Лекции по СВЧ электронике для физиков Т.2 - Трубецков Д.И., Храмов А.Е.

Автор: Трубецков Д.И. Храмов А.Е.

Теги: электронные и ионные явления физика электроника свч физика поля физматлит лекции по физике пособие для физиков

ISBN: 5-9221-0200-1

Год: 2004

Похожие

Лекции по СВЧ электронике для физиков Т.1

Введение в наносекундную импульсную энергетику и электронику

Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами реабилитологии. Лекции и семинары

Лекции по атомной физике

Текст

УДК 537.5
ББК 22.333
Т77
Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокоча-
сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2 т. Т. 2. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 648 с. - ISBN 5-9221-0200-1.
Современная сверхвысокочастотная электроника представлена в книге
не технической стороной с кратким описанием физики и основ теории раз-
различных электронных ламп, а детальным описанием основных физических
явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с элек-
электромагнитными полями и лежащих в основе различных типов устройств.
В книге уделено большое внимание математическому моделированию на
ЭВМ явлений в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Изложение
ведется так, чтобы показать тесную связь сверхвысокочастотной электрони-
электроники с современной нелинейной теорией колебаний и волн и теорией излучения.
Особенностью книги является то, что в ней определенное место занимает
история СВЧ-электроники. Во втором томе книги рассматриваются такие
современные области исследований в электронике сверхвысоких частот, как
взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитны-
электромагнитными волнами (мазеры на циклотронном резонансе), лазеры на свободных
электронах, сверхизлучение в электронных потоках, плазменная сверхвысо-
сверхвысокочастотная электроника, сверхмощные релятивистские генераторы высо-
высокочастотного излучения, синхронизация в распределенных системах СВЧ-
электроники, вакуумная микроэлектроника.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей, инте-
интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными
полями, для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих
исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радио-
радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших
курсов соответствующих специальностей.
ISBN 5-9221-0200-1 (Т. 2)
ISBN 5-9221-0371-7 © физматлит, 2004

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму тому .
Лекция 1A6). Взаимодействие криволинейных электронных по-
потоков с незамедленными электромагнитными волнами; гиропри-
боры; пениотрон 7
Гироприборы: история создания и особенности конструкции. Резона-
Резонаторы гиротронов. Собственные и вынужденные колебания резонато-
резонаторов гиротронов. Уравнения стационарных колебаний. Укороченные урав-
уравнения автоколебаний в гиромонотроне. Интегрирование укороченных
уравнений автоколебаний в гиромонотроне (теория слабого сигнала).
Пусковой реэюим гиромонотрона. Мазеры на циклотронном авторезо-
авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов. Взаимодействие
винтовых электронных пучков с незамедленными электромагнитными
волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ). Пениотрон — эталонная
модель распределенной системы с силовой группировкой электронов.
Лекция 2A7). Лазеры на свободных электронах 99
История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ: от
микротрона до накопительных колец. Нерелятивистские предшествен-
предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа). Основные прин-
принципы лазеров на свободных электронах. Элементарная теория ЛСЭ.
Нестационарные уравнения ЛСЭ. Методика и результаты численного
моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ. ЛСЭ, основанные на
излучении электронов в периодических статических полях и рассея-
рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный на введении сил
Миллера
Лекция 3A8). Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике . 167
Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых атомов.
Ближнее поле элементарного электрического диполя. Кооперативное
излучение осциллирующих электронов (линейная теория, численные ре-
результаты). Индуцированное излучение, имитирующее кооперативное.
Теоретическое и экспериментальное исследование генерации импульсов
сверхизлучения. Циклотронное и черепковское сверхизлучение. Феноме-
Феноменологическая модель электронной турбулентности.
Лекция 4A9). Сверхвысокочастотная плазменная электроника . 208
Плазменно-пучковая неустойчивость и нерелятивистская плазмен-
плазменная сверхвысокочастотная электроника. Плазменная СВ Ч-электрони-
ка: релятивистский виток. Пучково-плазменные СВЧ-лампы с дли-
длительным взаимодействием. Пазотрон. Лазеры на свободных электро-
электронах с плазменным заполнением.
ЛЕКЦИЯ 5B0). Электронный пучок со сверхкритическим током
в плоском пролетном промежутке 279
Принципы подобия для динамики виртуального катода в одномерном
приближении. Условие развития неустойчивости: нелинейная теория.

4 Содержание
Нелинейная динамика виртуального катода в пролетном промежут-
промежутке. Феноменологические модели динамики электронного потока с вир-
виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке. Особенности
нелинейной динамики и образование когерентных структур в электрон-
электронном пучке с виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне. Вли-
Влияние подвижности ионного фона на колебания виртуального катода
в плоском пролетном промежутке. Проблема ускорения ионов колеблю-
колеблющимся виртуальным катодом.
Лекция 6B1). Генераторы на виртуальном катоде 352
Предельный вакуумный ток. Типы конструкций и характеристики гене-
генераторов на виртуальном катоде (отражательные триоды, виркаторы
на пролетном токе, редитроны). Нелинейная динамика генераторов на
виртуальном катоде. Виркаторы с различными типами управляемой
обратной связи. Связанные системы на виртуальном катоде.
Лекция 7B2). Синхронизация в СВЧ-электронике 408
Взаимная синхронизация отраэюательных клистронов. Синхрониза-
Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный
поток-встречная электромагнитная волна». Особенности синхрониза-
синхронизации колебаний в лампе обратной волны типа О. Влияние внешнего сиг-
сигнала на хаотические автоколебания в гиролампе со встречной волной.
Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ со связанными электродинами-
электродинамическими системами. Взаимная синхронизация магнетронных генерато-
генераторов. Синхронизация систем с виртуальным катодом.
Лекция 8B3). Вакуумная микроэлектроника 494
Немного истории по Айвору Броди: четыре пути к вакуумной микро-
микроэлектронике. Кен Шоулдерс — пророк в вакуумной микроэлектронике.
Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумной микроэлектронике.
Закон Фаулера-Нордгейма. Катод Спиндта. Матрицы автоэмиссион-
автоэмиссионных катодов. Триоды возвращаются? Распределенный усилитель с ав-
автоэмиссионными катодами — наиболее естественный прибор вакуум-
вакуумной микроэлектроники. Характеристики и модификации распределен-
распределенного усилителя. Вакуумная электроника и электроника СВ Ч: возврат
к истокам. Гигатрон. О некоторых применениях вакуумной микроэлек-
микроэлектроники. Туннельная микроскопия.
Лекция 9B4). Нелинейная нестационарная теория электронных
приборов СВЧ с позиций нелинейной динамики 547
История исследований стохастических автоколебаний (динамического
хаоса) в СВ Ч-приборах. Нестационарная теория лампы обратной волны
М-типа и ее результаты. Общие замечания об автоколебаниях в си-
системах «электронный поток-встречная (обратная) электромагнит-
электромагнитная волна». Динамический хаос в нерелятивистских электронных С В Ч-
приборах. Шумотрон. Механизмы перехода к хаосу в релятивистских
электронно-волновых системах. Управление хаотическими колебания-
колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ
Самый успешный путь обучения — проделать все
самому и учиться на собственных ошибках. Луч-
Лучше этого пути нет. Еще один хороший путь —
наблюдать как кто-то проделывает это. Третий
путь — слушать лекции о том, как и что делать;
и последний стоящий путь — прочитать об этом.
Р. Компфнер
Во втором томе книги «Лекции по сверхвысокочастотной электро-
электронике для физиков» сохранен стиль первого тома. Чтобы подчеркнуть
единство книги, авторы сочли возможным сохранить в качестве эпи-
эпиграфа к этому предисловию эпиграф к предисловию первого тома.
В этом томе книги рассматриваются такие современные области
иследований в электронике сверхвысоких частот, как взаимодействие
криволинейных электронных потоков с электромагнитными волнами
(мазеры на циклотронном резонансе), лазеры на свободных электро-
электронах, сверхизлучение в электронных потоках, плазменная сверхвысоко-
сверхвысокочастотная электроника, сверхмощные релятивистские генераторы вы-
высокочастотного излучения, синхронизация в распределенных системах
СВЧ-электроники, вакуумная микроэлектроника.
Многие вопросы впервые излагаются в систематизированном виде
и с достаточно полным охватом материала, включая описание экспе-
экспериментальных результатов и некоторых технических деталей новых
устройств. В частности, это относится к лекциям по сверхизлуче-
сверхизлучению в СВЧ-электронике, плазменной электронике, проблеме генерации
сверхмощного излучения электронными потоками с виртуальным ка-
катодом. Новой и современной проблемой является изучение синхрони-
синхронизации в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники.
Этим вопросам посвящена отдельная лекция.
Приоритет решения ряда задач, рассматриваемых в этом томе, при-
принадлежит авторам данной книги.
При написании книги мы старались построить изложение таким об-
образом, чтобы читатель мог получить достаточно полное представление
о том или ином разделе, не прибегая к другим источникам (в то же
время каждая глава снабжена достаточно подробным списком литера-
литературы, так что читатель при необходимости сможет легко обратиться
к первоисточникам). Как и в первом томе, в Предисловии нет краткого
изложения каждой лекции, поскольку дано расширенное оглавление,
повторяющееся перед текстом каждой из лекций.
В связи с тем, что второй том является продолжением первого,
и материал, изложенный в нем, тесным образом связан с материалом

6 Предисловие ко второму тому
первого тома, мы придерживаемся двойной нумерации лекций. Первый
номер — это текущий номер лекции в данном томе, в скобках — но-
номер лекции с учетом первого тома. При ссылках на лекции, формулы
или рисунки указывается только текущий номер. Если необходима
соответствующая ссылка на материал первого тома, то рядом с ней
указывается номер тома.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей,
интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромаг-
электромагнитными полями (в том числе для тех, кто ранее не изучал СВЧ-
электронику), для научных работников, аспирантов и инженеров, про-
проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радио-
радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут заинтересовать
студентов старших курсов соответствующих специальностей.
Авторы хотят выразить искреннюю признательность Российско-
Российскому Фонду Фундаментальных Исследований, программе «Университе-
«Университеты России — Фундаментальные исследования», Саратовскому учебно-
научному центру «Волновая электроника, микроэлектроника и нели-
нелинейная динамика» на базе Саратовского государственного универси-
университета, Саратовского филиала Института радиотехники и электроники
РАН и Государственного учебно-научного центра «Колледж;» (под-
(поддерживаемого ФЦП «Интеграция»), научно-образовательному центру
«Нелинейная динамика и биофизика» при Саратовском госуниверсите-
госуниверситете (грант REC-006 of U.S. Civilian Research & Development Foundation
for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF)), фон-
фонду некоммерческих программ «Династия» и Международному центру
фундаментальной физики, без финансовой поддержки которых данная
книга вряд ли бы увидела свет.
В заключение заметим, что отбор материала, включенного в книгу
лежит целиком на совести авторов и вряд ли может понравиться всем.
Чтобы как-то защитить себя, сошлемся на авторитет В.Л. Гинзбурга,
который в своей книге «О науке, о себе и о других», М.: Физматлит,
2001, в статье «Какие проблемы физики и астрофизики представляют-
представляются наиболее важными и интересными в начале XXI века?» пишет на
с. 47 следующее:
«Весть мой проект — составление «списка» и его комментарии в ка-
качестве некоторой педагогической или образовательной программы и,
в известной мере, руководства к действию не всем по душе. Некоторым
не понравятся также манера и стиль изложения. Это естественно. Я
могу защищать лишь право иметь и излагать свое мнение, что не
мешает уважать иные мнения. Надеюсь, настоящая статья принесет
пользу».
Мы также смеем надеяться, что книга принесет пользу.
Д. И. Трубецков
А.Е. Храмов

Лекция 1A6)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКОВ
С НЕЗАМЕДЛЕННЫМИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ВОЛНАМИ;
ГИРОПРИБОРЫ; ПЕНИОТРОН
Гиротроны являются электровакуумными
СВЧ-приборами, в которых имеет место
когерентное излучение электромагнитных волн
потоками электронов, вращающихся во внешнем
однородном магнитном поле, на частотах,
близких к циклотронной частоте электронов или
ее гармоникам.
Гироприборы. Горький, ИПФ АН СССР.
1989. С. 7.
Гироприборы: история создания и особенности конструкции. Резо-
Резонаторы гиротронов. Собственные и вынужденные колебания резона-
резонаторов гиротронов. Уравнения стационарных колебаний. Укороченные
уравнения автоколебаний в гиромонотроне. Интегрирование укорочен-
укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне (теория слабого сигна-
сигнала). Пусковой режим гиромонотрона. Мазеры на циклотронном авто-
авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов. Взаимодей-
Взаимодействие винтовых электронных пучков с незамедленными электромаг-
электромагнитными волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ). Пениотрон —
эталонная модель распределенной системы с силовой группировкой
электронов.
Вся история сверхвысокочастотной электроники, начиная с самого
начала (двадцатые годы) — это, в первую очередь, поиск путей повыше-
повышения частоты и мощности генерируемого электромагнитного излучения.
До 60-х годов электровакуумные электронные СВЧ-приборы использо-
использовали преимущественно излучение электронов, движущихся прямоли-
прямолинейно. Даже если траектории частиц и не были строго прямолинейны,
то это отличие не являлось существенным для механизма излучения.
Несмотря на постоянное совершенствование приборов, их выходная
мощность падала с ростом частоты. Так, наиболее коротковолновые
генераторы того времени — ЛОВ О-типа — в диапазоне длин волн

Лекция 1 A6)
короче одного миллиметра (до 0,2 мм) имели выходную мощность от
одного до долей милливатта.
Дело в том, что с точки зрения теории излучения приборы, со-
соответствующие первым четырем основным идеям, лежащим в основе
СВЧ-электроники (см. том 1, лекцию 1), основаны на использовании
переходного индуцированного излучения (клистроны) и черенковского
индуцированного излучения (магнетрон, ЛОВ, ЛБВ). Переходное из-
излучение имеет место при движении электронов около неоднородностей,
размеры которых порядка или менее длины волны (в клистроне неод-
неоднородности — сетки резонатора или стенки, если зазор бессеточный).
Если же электрон движется вблизи поверхности среды с показателем
преломления более единицы, то, когда расстояние от поверхности не
превышает по порядку величины длину волны, возникает черенковское
излучение (роль среды в магнетроне играет анодный резонаторный
блок — периодическая структура с периодом порядка длины волны,
а в ЛБВ и ЛОВ — замедляющая система). Таким образом, в выше-
вышеуказанных типах приборов всегда присутствуют электродинамические
структуры с размерами порядка длины волны генерируемого или уси-
усиливаемого сигнала, причем электронный поток проходит близко к ним.
В этом и состоит основное препятствие для получения больших мощ-
мощностей на коротких — миллиметровых и субмиллиметровых — длинах
волн.
Естественны поэтому поиски других принципов индуцированного
излучения электронов, использование которых позволило бы при
продвижении во все более коротковолновый диапозон отказаться
в СВЧ-генераторах и усилителях от мелкоструктурных замедляющих
систем и резонаторов. В конце 50-х — начале 60-х годов внимание
было обращено на электронные пучки, в которых электроны движутся
по непрямолинейным периодическим траекториям. Хорошо известно,
что заряженная частица, траектория которой имеет ненулевую
кривизну, излучает при любом соотношении между ее скоростью
и фазовой скоростью волн в данной среде. Очевидно, что если
траектория периодична в однородной среде, то и излучение должно
быть периодическим во времени. Однако это еще не решает проблем
получения мощного СВЧ-излучения. Дело в том, что, во-первых,
излучение электронов должно быть когерентным: только в этом
случае оно имеет какую-то ценность для дальнейшего его применения.
Во-вторых, поскольку пространственный период траектории по
крайней мере при субрелятивистских энергиях мал по сравнению
с длиной волны излучения, то не так просто создать фокусирующие
и электронно-оптические системы, элементы которых имели бы
большие размеры в масштабе длины волны. В противном случае,
трудности, о которых шла речь выше, переходят из электродинамики
в электронную оптику, по-прежнему ограничивая объем активной
среды.
Решающими для создания нового класса мощных приборов сверх-
сверхвысокочастотной электроники, использующих криволинейные элек-
электронные пучки, стали идеи А.В. Гапонова-Грехова и частично Р. Твисса

Гироприборы 9
и Дж. Шнайдера. Подробнее они будут рассмотрены в следующем
разделе лекции. Пока же только заметим, что первая основная идея
состояла в применении однородного магнитного поля для создания пе-
периодических траекторий. При этом в значительной степени снимаются
электронно-оптические проблемы. Вторая идея состоит в трактовке
криволинейного периодического электронного пучка как ансамбля воз-
возбужденных классических осцилляторов.
Электрон в атоме, как известно, является осциллятором с суще-
существенно неэквидистантным энергетическим спектром, и в присутствии
электромагнитного поля с частотой и вынужденные переходы совер-
совершаются практически только между парой уровней, разность энергий
которых AW ~ Ни. Поэтому для получения индуцированного излу-
излучения достаточно поместить вещество в высокодобротный резонатор
и создать инверсную населенность в указанной двухуровневой системе.
Значительная величина энергии AW в оптическом диапазоне и вы-
высокая плотность активной среды, которую легко создать, ввиду ней-
нейтральности атомной структуры, и образуют принципиальные основы
получения больших мощностей излучения лазеров.
Электроны в криволинейных электронных пучках с квантовой точ-
точки зрения также являются осцилляторами с бесконечным спектром,
но весьма малыми расстояниями между соседними энергетическими
уровнями по сравнению с колебательными энергиями частиц. Поэтому
поведение таких осцилляторов практически неотличимо от классиче-
классических. Энергетический спектр классических осцилляторов является сла-
слабо неэквидистантным. Это приводит к неоднозначности воздействия
высокочастотного поля на указанную систему: вынужденные энерге-
энергетические переходы с каждого уровня могут совершаться как вниз (из-
(излучение), так и вверх (поглощение). Вместе с тем при определенных
условиях [1] возможно организовать преимущественно излучающие пе-
переходы, причем между многими парами уровней. В результате каждый
электрон может совершать большое число последовательных переходов
вниз и, несмотря на малость энергии кванта, передать полю значитель-
значительную часть своей энергии.
Приборы, использующие индуцированное излучение классических
электронных осцилляторов, называют электронными мазерами. Как
видно из вышесказанного, по своему принципу действия электронные
мазеры занимают промежуточное положение между классическими
вакуумными СВЧ-приборами и квантовыми генераторами (лазерами).
Именно это и позволило в коротковолновом диапазоне преодолеть вы-
вышеуказанные специфические трудности и создать уникальные по своим
энергетическим характеристикам приборы.
Гироприборы: история создания и особенности
конструкции
Как уже отмечалось во введении к лекции, проблема генерации
мощного излучения в миллиметровом диапазоне привела к поиску но-
новых принципов индуцированного излучения электронов. Здесь особый
интерес вызывает использование индивидуального излучения электро-

10 Лекция 1A6)
на, колеблющегося в статическом электромагнитном поле — излучение
ускоренно движущегося заряда. В первую очередь это связано с тем,
что при этом отпадает необходимость использования мелкоструктур-
мелкоструктурных замедляющих систем и резонаторов. Как поведет себя ансамбль та-
таких классических возбужденных электронов-осцилляторов? К 1958 г.,
который является во многом точкой отсчета в истории мазеров на цик-
циклотронном резонансе, ответа на этот вопрос не было. Хотя заметим, что
СВЧ-электроника начинается именно с электронных мазеров — генера-
генератора Баркгаузена-Курца A920 г.) [2] и магнетрона Жачека A928 г.) [3],
генерирующего на циклотронной частоте 1).
Остановимся чуть подробнее на механизме колебаний, обнаружен-
обнаруженных немецкими физиками Баркгаузеном и Курцем в 1919 г. при ис-
исследовании обычных триодов, в которых сетка находилась под поло-
положительным потенциалом по отношению к аноду и катоду (рис. 1.1).
Независимо СИ. Зилитинкевич [4] в Ленинграде обнаружил аналогич-
аналогичные колебания в усилительных лампах с сетками. Баркгаузену принад-
принадлежит и первое объяснение механизма колебаний в таком генераторе.
Вылетевшие из катода электроны ускоряются сеткой, но, пройдя ее,
возвращаются обратно тормозящим полем в пространстве сетка-анод;
проскакивают сетку в обратном направлении, разворачиваются, вновь
ускоряются сеткой, проходят ее, вновь тормозятся и т. д. Такие колеба-
колебания электрона около сетки происходят до тех пор, пока он не попадет
на нее (траектория 1 на рис. 1.1). Таким образом, каждый электрон
подобен маятнику, совершающему в общем случае нелинейные коле-
колебания, обусловленные статическими полями между электродами. По
современным воззрениям совокупность таких нелинейных электронов-
осцилляторов (классических осцилляторов) проявляет свойства «уни-
«универсальной» активной среды, способной поддерживать электромагнит-
электромагнитные колебания без электродинамических систем с размерами элементов
порядка длины усиливаемой или генерируемой волны.
Именно возможность использовать, так называемое, индуцирован-
индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов (в нашем
случае электронов-осцилляторов) и утвердило за подобными прибора-
приборами название «электронные мазеры». Напомним, что maser— аббревиа-
аббревиатура словосочетания microwave amplification by stimulated emission of
radiation. Как следует из расшифровки аббревиатуры, термин не обя-
обязательно относится к среде из квантовых осцилляторов: среда может
быть и классической.
Группирование электронов-осцилляторов под действием перемен-
переменного поля определяется их неизохронностью, т. е. зависимостью их
собственной частоты и® от энергии ?. Если частота и внешнего воз-
воздействия в точности равна ujq (резонанс) и осцилляторы изохронны
(duo/d? = 0), то половина электронов будет отдавать энергию вы-
Практически Жачеком был создан электронный мазер со скрещенными
ями на циклотронном резонансе (!), так как
баний была близка к циклотронной частоте ujc.
полями на циклотронном резонансе (!), так как частота генерируемых коле-

Гироприборы
11
i X
Рис. 1.1. Схема генератора
Баркгаузена-Курца
Рис. 1.2. Образование
сгустка неизохронных
электронов-осцилляторов
на фазовой плоскости
сокочастотному полю («правильнофазные»), а половина — забирать
(«неправильнофазные»). Поэтому для получения эффекта индуциро-
индуцированного излучения электронов-осцилляторов нужно «убрать» непра-
неправильнофазные электроны из пространства взаимодействия — нужен
механизм фазовой рассортировки. В схеме тормозящего поля таким
механизмом является поглощение электронов анодом или сеткой (тра-
(траектории 2, 3 на рис. 1.1).
Рассмотрим теперь резонансную раскачку неизохронных
электронов-осцилляторов (duio/dS ф 0), используя для наглядности
фазовую плоскость (х,х), где х — смещение осциллятора, а ж —
его скорость. На рис. 1.2 жирная фазовая траектория соответствует
движению электронов-осцилляторов в отсутствие переменного поля.
Чаще всего duio/dS < 0, т.е. частота уменьшается с ростом энергии.
При этом ускоренные электроны-осцилляторы колеблются медленнее
(на фазовой плоскости это соответствует переходу на внешнюю по
отношению к начальной траектории; относительное движение их
показано стрелкой В), а заторможенные начинают колебаться быстрее
(переход на внутреннюю по отношению к начальной траекторию;
относительное движение — стрелка А). В результате образуется
«фазовый сгусток» (на рис. 1.2 он заштрихован). Аналогичная
«фазовая группировка» имеет место и при duj^/dS > 0, но сгусток
образуется в фазе, сдвинутой на тг по отношению к предыдущему
случаю. Образовавшийся сгусток может поддерживать колебания
определенной фазы, т. е. можно сказать, что имеет место индуциро-
индуцированное излучение классических электронных осцилляторов, которое
характеризуется возможностью весьма широкой перестройки частоты,
поскольку последняя определяется напряженностью статических
полей в пространстве взаимодействия.
В данной лекции будем обсуждать особый класс таких мазеров —
мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). Историю этого класса при-
приборов обычно начинают с 1958 г., указывая на работу австралийского
астрофизика Р. Твисса. Когда прошло немногим более двадцати лет
с момента появления этой работы, библиографический указатель лите-
литературы, вышедший в 1983 г. и охватывавший период с 1958 по 1980 гг.,

12 Лекция 1A6)
содержал уже 444 ссылки [5]. Заметим, что предыдущий аналогичный
указатель, вышедший в 1974 г., содержал лишь 178 ссылок [6]. Несо-
Несомненно, что сейчас число публикаций еще более возросло. Активные
исследования ведутся в России, США, Франции, КНР, Великобрита-
Великобритании, Австралии, ФРГ, Швеции и других странах. В мире продолжается
«гиротронный бум», который начался более тридцати лет назад с пуб-
публикацией на Западе кратких обзоров результатов, достигнутых в СССР
по мощным генераторам миллиметровых длин волн — гиротронам —
одной из разновидностей МЦР. Обычно в таких обзорах приводился
график мощность-частота, на котором ближе к правому верхнему углу
красовалась одинокая точка с надписью «Soviet gyrotron».
Итак, в 1958 г. Р. Твисс [7] первым указал на возможность уси-
усиления электромагнитной волны системой неравновесных электронов-
осцилляторов на циклотронной частоте. Как отмечается в [8, с. 527],
в более ранней работе [9] уже имеется упоминание о механизме усиле-
усиления, подробно описанном Твиссом в [7]. В связи с чем в [8] делается
вывод: «Можно безусловно предположить, что он понимал циклотрон-
циклотронные мазеры перед 1958 г.» [8, с. 527]. Твисс вывел формулу для ко-
коэффициента поглощения среды, показав возможность отрицательного
поглощения. Некоторые исправления расчетов Твисса были приведены
позднее в [10].
В 1959 г. независимо от Твисса и друг от друга А.В. Гапонов-
Грехов [11,12] и Дж. Шнайдер [13] теоретически показали возможность
индуцированного излучения в потоке электронов, вращающихся в маг-
магнитном поле. Практически одновременно с теоретическими работами
появились сообщения об экспериментальном наблюдении индуциро-
индуцированного циклотронного излучения [14-16], В работе [14] был описан
эксперимент с усилителем, в котором винтовой пучок в однородном
продольном магнитном поле взаимодействовал с волной Ню прямо-
прямоугольного волновода.
Подход Шнайдера был основан на квантово-механических пред-
представлениях, подход Гапонова-Грехова был классическим. Квантовый
подход [13] основан на том, что электрон, вращающийся в однородном
магнитном поле, ведет себя как ангармонический осциллятор, энерге-
энергетический спектр которого неэквидистантный. Поэтому переходам под
действием внешнего поля с населенного уровня р на уровень р + п (по-
(поглощение) и на уровень р — п (излучение) соответствуют разные, хотя
и близкие частоты tmjq (ojq — собственная частота осциллятора, п —
целое, положительное число). На частотах, близких к tiljq, осциллятор
подобен трехуровневой квантовой системе: он поглощает энергию на
частоте перехода ип+р^р и излучает — на ир^п-р. Таким образом, если
Шнайдер и думал о мазере на циклотронном резонансе, то исходил из
аналогии с соответствующей квантовой системой.
В работе [11] изложена линейная теория распространения электро-
электромагнитных волн в гладких волноводах, пронизываемых тонким трохо-
идальным или винтовым электронным потоком. Основной результат
рассмотрения различных механизмов взаимодействия непрямолиней-
непрямолинейных пучков с незамедленными электромагнитными волнами — дока-

Гироприборы 13
зательство существования пространственной группировки электронов
(инерциальной и силовой), а также анализ усиления и генерирования
СВЧ-колебаний в таких системах. Нет сомнения, что самой важной
работой для дальнейшего развития мазеров на циклотронном резонан-
резонансе, по крайней мере в СССР, оказалось письмо в редакцию журна-
журнала «Изв. высш. уч. заведений. Радиофизика» А.В. Гапонова-Грехова
[12]. В нем подчеркивалось, что при рассмотрении взаимодействия
непрямолинейного пучка с электромагнитной волной необходим учет
релятивистских эффектов. Эти эффекты приводят в новому механизму
группирования электронов — «азимутальной группировке» (впослед-
(впоследствии закрепился термин фазовая группировка), которая возникает
из-за того, что «... циклотронная частота ujc зависит от скорости...
...» [12] х). А.В. Гапонов-Грехов пишет в [12], что на данное обстоя-
обстоятельство его внимание обратил В.В. Железняков. Замечу, что авторы
[8], отмечая этот факт, задают риторический вопрос: «Можем ли мы
предположить, что доктор Железняков понимал мазер на циклотрон-
циклотронном резонансе в 1959 г.?» [8, с. 527]. На вопрос можно ответить так:
да, группа горьковских исследователей уже тогда понимала физику
мазеров на циклотронном резонансе. Дело в том, что цитированные
статьи были отражением результатов лишь части исследований, ко-
которые велись под руководством А.В. Гапонова-Грехова по созданию
приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона длин волн.
Постепенно перебирались один возможный механизм за другим, одна
конструкция за другой. Так, по разным причинам были «забракова-
«забракованы» после подробных исследований лампы с поперечным током [18],
электромагнитная линза [19], приборы с сортировкой электронов [20],
приборы с электростатической фокусировкой [21] и с трохоидальны-
ми потоками [22]. Во всех исследованиях всегда в качестве конечной
цели ставилось создание мощного коротковолнового прибора с КПД
не менее 50%. Заметим, что В.В. Железняковым в то же время были
опубликованы результаты исследования неустойчивости неравновес-
неравновесной магнитоактивной астрофизической плазмы по отношению к вы-
высокочастотному электромагнитному излучению [23, 24] и совместная
с А.В. Гапоновым-Греховым работа [25], касающаяся как ансамбля
электронов-осцилляторов в магнитном поле, так и неравновесной маг-
магнитоактивной плазмы 2). В 1984 г. В.В. Железнякову Президиумом АН
СССР была присуждена премия имени А.А. Белопольского за цикл
работ «Циклотронное излучение в астрофизике». При этом его роль
в создании мазеров на циклотронном резонансе отмечается в [27, с. 142]
следующим образом: «Результаты его работ по теории циклотронного
излучения приобрели также важное прикладное значение в области
электроники больших мощностей».
х) «Релятивистский вариант» работы [11] был дан в статье [17].
2) Исследование неустойчивостей неравновесной магнитоактивной плазмы,
обусловленных индуцированным циклотронным излучением, было проведе-
проведено и Шнайдером [26].

14 Лекция 1A6)
В конечном счете горьковчане остановились на способе усиления
и генерирования электромагнитных колебаний, основанном на взаи-
взаимодействии потока электронов, движущихся по винтовым траектори-
траекториям, с незамедленной электромагнитной волной, т.е. на механизме ин-
индуцированного излучения возбужденных классических осцилляторов
[1]. Выбор пал на электроны, вращающиеся с циклотронной частотой
в однородном магнитном поле, которыми можно заполнить большой
электродинамический объем (однородное магнитное поле в принципе
можно создать в очень большом объеме). Таким образом можно нако-
накопить в электродинамическом объеме большую энергию и использовать
ее для получения мощных электромагнитных колебаний на коротких
длинах волн. Приборы, в которых реализуется такое взаимодействие,
и получили название мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). В ва-
вакуумной электронике термин «cyclotron resonance maser», по-видимому,
впервые появился в работе [28], хотя ранее его ввел Лэкс, предложив
МЦР на полупроводниках (см. [5, с. 4]).
Описывая этот этап развития СВЧ-электроники, американский фи-
физик Осепчук [29] особо подчеркивает роль горьковских физиков в со-
создании МЦР. «Открытие фазовой фокусировки, которая является ре-
результатом релятивистской зависимости массы электрона, объясняет
интерес к лампе такого типа [11-13] 1). Это позволило назвать та-
такие приборы «электронно-циклотронными мазерами» [28]. В США в
60-х гг. [30] возлагали большие надежды на появление эффективных
источников миллиметровых волн. Но не получив поддержки, ученые
США утратили интерес к разработки этих приборов. А в это вре-
время советские ученые сумели объяснить процессы, происходящие во
всех циклотронно-резонансных приборах. Например, работа Гапонова
1967 г. [31] содержала обзор мощных миллиметровых приборов и за-
заложила основы их серьезного развития. В последующие годы в СССР
интенсивно проводились обширные работы, результат которых был
отражен в написанных на высоком уровне статьях по СВЧ-лампам,
в основном посвященных приборам на циклотронном резонансе» [29,
с. 15-17].
Каков же механизм фазовой группировки и в чем его отличие от
механизмов, рассмотренных нами в предыдущих лекциях? Для объяс-
объяснения данного механизма обратимся к механической аналогии, следуя
работе [32].
В качестве модели ансамбля электронов-осцилляторов, взаи-
взаимодействующих с электромагнитным полем, рассмотрим систему
легких маятников, прикрепленных к упругой балке, качающихся
вразнобой и взаимодействующих с ее колебаниями. Напомним, что
простой маятник, состоящий из невесомой нити длиной /, один конец
которой закреплен, а ко второму прикреплен «точечный» груз с
массой т, в общем случае представляет собой нелинейный осциллятор.
Маятник колеблется в заданной плоскости, а его положение целиком
Ссылки, приведенные в [29] даны в нашей нумерации.

Гироприборы 15
определяется углом в — углом отклонения маятника от вертикали,
причем по второму закону Ньютона
^1 + .1 sin 9 = 0, A.1)
где ojo = g/l — собственная частота колебаний линейного осциллятора
(угол 0 — мал и sin 0 « 0, g — ускорение свободного падения). В слабо-
слабонелинейном случае просто показать, что колебания неизохронны, и их
период зависит от амплитуды колебаний:
Т «То A + 02/16) , A.2)
где То = 2тг/о;о — период колебаний линейного осциллятора, во — мак-
максимальное угловое смещение маятника. Частота колебаний, очевидно,
в этом случае меняется по закону
и яооо A-eg/16) . A.3)
Если сначала все маятники покоятся, а балка совершает малые
колебания, то с течением времени она раскачает их в такт с собой.
Забирая энергию колебаний у балки, точно также раскачиваются и
слабо (т.е. с малой амплитудой, а следовательно, с постоянной частотой
и о) качающиеся маятники. Этот случай соответствует вынужденным
колебаниям линейных осцилляторов, собственные колебания которых
изохронны. Ситуация кардинально меняется, если начальный размах
колебаний маятников настолько велик, что частота их колебаний под-
подчиняется закону A.3) и колебания становятся неизохронными. Пред-
Предположим, что в начальном состоянии маятники качаются вразнобой,
но с одинаковой большой амплитудой (тогда для частот их колебаний
справедливо соотношение A.3)). В этом случае переменная сила, вы-
вызванная колебаниями балки, ускоряет те маятники, скорости которых
большую часть времени совпадают по направлению с переменной си-
силой, и тормозит те, у которых направления скорости и силы противо-
противоположны. Вспомним, что маятники неизохронны. Поэтому, как свое-
своеобразно пишут авторы [32], у более «энергичных» маятников период
колебаний возрастает, а у менее «энергичных» — падает (см. соотноше-
соотношение A.2)). Из-за неизохронности одна часть маятников подстраивается
под другую, маятники начинают качаться в такт и образуется так
называемый, «фазовый сгусток». В [32] есть запоминающийся образ
фазового огустка. Если вспомнить истории о солдатах, шагающих по
мостам и страницам книг по теории колебаний, то в нашем случае
в отряде солдат, идущих по мосту, значительная часть солдат в разных
местах строя пошла «в ногу» — образовался фазовый сгусток. Для
того чтобы маятники в «сгустке» когерентно отдавали свою энергию
балке (мост сам «синхронизовал» солдат и раскачивался [32]), нужно
выполнение неравенства ujb > &о при ujb ~ шо, где ujb — частота балки
(имеется определенная аналогия с ЛБВ, где скорость волны Уф близка
к скорости электронов vq, но для нужного энергообмена Уо должна
быть больше Уф).

16
Лекция 1 A6)
L
ЧЛЛЛА/И
У
Если теперь вернуться от механической аналогии к системе
электронов-осцилляторов, взаимодействующих с электромагнит-
электромагнитным полем, то, заменив маятники классическими электронами-
осцилляторами, а колебания балки — переменным электромагнитным
полем, можно сохранить все наглядные рассуждения работы [32].
Строгий анализ механизма фазовой группировки был изложен
нами в томе 1, лекции 1 (см. также [1, 31, 33]). Следует, однако,
заметить, что, по-видимому, впервые фазовая группировка электронов-
осцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскими
эффектами, а с конфигурацией ста-
статических полей, была подробно ис-
исследована теоретически в работе
Агдура [34]. Более того, был соз-
создан СВЧ-генератор — строфотрон
(рис. 1.3), который работал как в ре-
режиме отсортировки неправильно-
фазных электронов, так и в режи-
режиме фазовой фокусировки (строфо-
(строфотрон был предложен в 1950 г. Аль-
фвеном и Гомелем; см., например,
[35, Т. 2, с. 92-118]). В режиме чи-
чистой отсортировки строфотрон мо-
может работать лишь в том случае,
когда распределение электростати-
электростатического потенциала вдоль оси х (см.
рис. 1.3) параболическое. Этот ре-
режим нас не интересует. Чтобы дока-
доказать приоритет Агдура в описании
фазовой фокусировки, процитируем
его статью [35, Т. 2, стр. 95]. «Рас-
«Рассмотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит от
амплитуды. Это имеет место, когда распределение потенциала вдоль
оси х непараболическое... Электрон, стартующий с отбором энергии
от высокочастотного поля, увеличивает амплитуду своих колебаний,
и поэтому период его колебаний изменяется. Фаза электрона, стар-
стартующего с отдачей энергии высокочастотному полю и уменьшением
амплитуды колебаний, рано или поздно изменится так, что электрон
начнет накапливать энергию. Амплитуда колебаний электронов будет
поэтому изменяться в некоторых пределах, определяемых распределе-
распределением постоянного электрического поля вдоль оси х, высокочастотным
потенциалом и соотношением между периодом колебаний электрона
в случае отсутствия высокочастотного поля и периодом высокочастот-
высокочастотных колебаний. Поскольку при больших амплитудах скорость измене-
изменения фазы должна быть большей, чем при малых, то можно ожидать,
что электроны будут большую часть времени колебаться при малых
амплитудах. Этот механизм обмена энергией мы назовем режимом
фазовой фокусировки. В этом режиме можно добиться того, чтобы
электроны, покинувшие катод, достигали коллектора с кинетической
Рис. 1.3. Плоский периодический
пучок в строфотроне. Распределе-
Распределение потенциала вдоль оси х пара-
параболическое или квазипараболиче-
квазипараболическое. Электроны совершают боль-
большое число колебаний в высокоча-
высокочастотном поле между анодом (А)
и отражателем (R)

Гироприборы 17
энергией, в среднем меньшей, чем та, которую они получили от посто-
постоянного поля с момента вылета из катода».
Вернемся к МЦР, в которых имеет место индуцированное излуче-
излучение в активной среде, состоящей из электронов, вращающихся в маг-
магнитном поле. Такое излучение естественно называть индуцированным
циклотронным излучением, поскольку оно имеет место на циклотрон-
циклотронной частоте или одной из ее гармоник. Обсудим качественно причину
неизохронности таких осцилляторов, их группировку и взаимодействие
с ВЧ-полем. Рассмотрим релятивистское движение электрона в высо-
высокочастотном электрическом поле Е и магнитном поле В (В — сумма
индукций статического и высокочастотного магнитного поля), которое
описывается уравнением для скорости v:
4- , V = — (Е + [vB]) , A.4)
dt y/l-v2/c2 m°
где е и то — заряд и масса покоя электрона. После преобразований,
вводя обозначение
^/ъ2/с2, A.5)
mo
получим вместо A.4) с учетом A.5)
f? + [ncv] = ^yi^W f е + ^ (Щ }. A.6)
dt mo I с \с J)
С погрешностью v2 /с2 правую часть в A.6) можно заменить выражени-
выражением (е/то)Е и считать, что д/1 — v2/с2 « 1 — v2/Bс2). Если пренебречь
в A.5) высокочастотным магнитным полем и считать, что Е = 0, то
с указанной погрешностью, например, для ж-составляющей скорости
получаем уравнение нелинейного осциллятора
^+uc(l-v2/c2)vx=0, A.7)
где ис = (e/mo)B.
Можно обойтись и без математики. Известно, что если электрону
в однородном продольном магнитном поле В сообщить скорость, пер-
перпендикулярную полю, то он будет вращаться по окружности с частотой
?lc = (e/m)B = (e/mo)By/l — v2/с2 . При v <С с, когда m « mo, ^с =
= ис = const. С ростом энергии, например, когда д/1 — v2/с2 « 1 —
— v2/Bс2), ?1С « ис (l — v2/Bc2)), частота вращения электрона умень-
уменьшается, поскольку он становится тяжелее. Таким образом, благодаря
релятивистскому эффекту (зависимость массы частицы от ее скорости)
электрон в магнитном поле оказывается неизохронным осциллятором.
Предположим теперь для простоты, что кольцо электронов, враща-
вращающихся в однородном магнитном поле В (продольное движение не
учитываем), взаимодействует с переменным монохроматическим полем
Е = Re {Eoeja;^}, которое однородно и линейно поляризовано в плос-
2 Трубецков, Храмов

18
Лекция 1 A6)
Е
Рис. 1.4. Стадии взаимодействия электронов с ВЧ-полем в режиме цикло-
циклотронного резонанса: а — начальная модуляция орбитальных скоростей; б —
образование фазового сгустка; в — торможение сгустка
кости, перпендикулярной магнитному полю В. Частота вращения элек-
электрического поля почти синхронна с частотой движения электронов
в магнитном поле — и « ?1С. Электроны, попавшие в разные фазы поля,
получают разные приращения энергии (разные v2/с2). Сначала проис-
происходит модуляция орбитальных скоростей электронов: у тех электронов,
которые попадают в тормозящую фазу поля, энергия уменьшается,
а у тех, которые попадают в ускоряющую — увеличивается (рис. 1.4 а).
Далее из-за релятивистской зависимости частоты от энергии электро-
электроны начинают вращаться с разными циклотронными частотами и, сме-
смещаясь друг относительно друга по фазе, образуют сгусток (рис. 1.4 б).
Если теперь uj > ujc у электронов, попавших сначала в тормозящую
фазу, угловая скорость \и — ?1С\ относительно поля Е уменьшается (из-
за релятивистского эффекта увеличивается Пс), и они задерживаются
в этой фазе. У электронов в ускоряющей фазе величина ?1С уменьша-
уменьшается, т. е. увеличивается \и — fic|, и они переходят в тормозящую фазу.
Таким образом, сгусток образуется в тормозящей фазе поля (рис. 1.4 в),
и результат энергообмена оказывается весьма эффективным. Заметим,
что если высокочастотное поле Е неоднородно в поперечном к магнит-
магнитному полю В направлении, то возможно эффективное взаимодействие
этого поля с электронами не только на основной циклотронной частоте,
но и на ее гармониках (oj « nfic, n = 1, 2, 3 . . .).
Уже в 1960 г. В.К. Юлпатовым была развита нелинейная теория
взаимодействия кольца электронов, вращающихся в однородном маг-
магнитном поле с собственной модой резонатора [36]. Было показано, что
при условиях, близких к оптимальным (оптимальное время взаимо-
взаимодействия, не слишком большая неизохронность, подходящая структу-
структура электромагнитного поля), электроны-осцилляторы могут отдавать
ВЧ-полю порядка 70% своей первоначальной энергии. Позднее анало-
аналогичная теория была построена для МЦР с попутной волной [37,38].
Надо сказать, что релятивистский механизм фазовой группировки
был не сразу понят специалистами по электронике СВЧ как у нас,
так и за рубежом. Однако в 1967 г. можно было подводить итоги

Гироприборы
19
первого этапа развития МЦР. Эти итоги и были подведены в статье
А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Петелина и В.К. Юлпатова [31], в ко-
которой уже фигурировали главные элементы наиболее эффективного
МЦР — гиротрона. В этом же году группе горьковских радиофизиков —
И.И. Антакову, М.И. Петелину, В.А. Флягину, В.К. Юлпатову во главе
с А.В. Гапоновым-Греховым была присуждена Государственная пре-
премия за теоретические и экспериментальные исследования индуциро-
индуцированного циклотронного излучения электронов, приведшие к созданию
нового класса приборов — мазеров на циклотронном резонансе. С 1967 г.
начинается и история гиротрона, когда была предложена его конструк-
конструкция [39] и А.В. Гапонов-Грехов ввел сам термин. Любопытно в связи
с этим замечание того же Дж. Осепчука [29, с. 18]: «Необходимо под-
подчеркнуть, что изобретение гиротрона — результат программы, приня-
принятой в 50-х годах Академией Наук СССР [40], официально одобрившей
разработку мощных источников миллиметровых и субмиллиметровых
волн. Обширная работа, которая проводилась в этом направлении,
отражена в большом количестве публикаций [41]».
Что же представляет собой такой тип мазеров на циклотронном
резонансе как гиротрон? На рис. 1.5 приведена схема гиротрона [42] —
генератора с открытым резонатором, пронизываемым электронным
потоком с винтовыми траекториями.
Поскольку частота излучения практически совпадает с циклотрон-
циклотронной частотой, из определения циклотронной частоты следует, что на-
напряженность магнитного поля Н [кЭ] = 110/А [мм], А — длина волны
излучения. Для достижения больших магнитных полей (при измене-
Рис. 1.5. Схема гиротрона: 1 — катод; 2 — анод; 3 — резонатор; 4 ~~ коллек-
коллектор; 5 — выходной волновод; 6 — выходное окно; 7 — соленоид. Штриховая
линия — силовая линия магнитного поля, волнистая линия — траектория
электрона, ломаная линия — траектория лучей, образующих рабочую моду.
Внизу график распределения статического магнитного поля В вдоль про-
продольной координаты z

20
Лекция 1 A6)
Рис. 1.6. Схема магнетронно
инжекторной пушки (МИП)
гиротрона
нии длины волны от 10 до 1 мм требуются поля от 11 до 110 кЭ)
оказалось энергетически выгодно использовать соленоиды из сверхпро-
сверхпроводящих сплавов, помещенных в криостаты с жидким гелием. Один
из важнейших элементов гиротрона — электроннооптическая система.
Самой удобной оказалась «адиабатическая» магнетронная инжекци-
онная пушка (МИП) [43], схема которой приведена на рис. 1.6. МИП
состоит из осесимметричных катода и анода, соосных магнитному по-
полю. Электрон, вылетевший из катода, движется в плавнонеоднородных
скрещенных статических электри-
электрическом и магнитном полях, приоб-
приобретая на входе в резонатор про-
продольную скорость и циклотрон-
циклотронное вращение. Траектория движе-
движения электрона в МИП описывает-
описывается квази-трохоидальными траекто-
траекториями. Компонента электрического
поля, параллельная магнитному по-
полю обеспечивает инжекцию частиц
в переходную область, следующую
после пушки (см. рис. 1.5), находя-
находящейся в относительно слабом поле рассеяния соленоида Вк, которое,
согласно рис. 1.6, наклонено к поверхности катода под острым уг-
углом ср. Благодаря этому возрастает начальная вращательная энергия,
приобретаемая электронами в пушке; кроме того, по мере движения
электронов в более сильное магнитное поле идет перекачка энергии
продольного движения в энергию вращения.
На языке квантовых мазеров МИП представляла собой эффектив-
эффективную систему накачки осцилляторной энергии. Заметим, что в пер-
первых зарубежных работах для «накачки» применялся специальный эле-
элемент — «штопор» (corkscrew) — бифилярная спираль, по которой про-
протекал ток, создающий поперечное магнитное поле [28,44].
Чрезвычайно важной на первом этапе создания гиротрона оказа-
оказалась работа [45], в которой были определены условия, когда МЦР-уси-
лители и генераторы малокритичны к разбросу электронов по ско-
скоростям. При достаточной однородности высокочастотного поля инду-
индуцированное излучение возникает только как результат квадратичной
группировки в окрестности циклотронного резонанса, т. е. с учетом
эффекта Доплера:
A.8)
и =
1 - Vd/уф '
Здесь Vd — скорость дрейфа ведущих центров вдоль магнитного по-
поля. Эта скорость зависит от условий формирования и в принципе не
одинакова для разных электронов пучка. Следовательно, излучение
в разных направлениях происходит на частотах, сдвинутых на допле-
ровскую поправку, разную, если есть разброс по скоростям. Очевидно,
что нельзя сформировать односкоростной поток, поэтому было важно
понять к чему приведут разброс электронов по частотам излучения из-

Гироприборы 21
за эффекта Доплера и из-за разных полных энергий (разные полные
энергии — разные циклотронные частоты). Первое впечатление было
неутешительным. Казалось, что частотные области проводимости ак-
активной среды, соответствующие разным скоростным группам электро-
электронов, могут сместиться по частоте так, что область с отрицательной про-
проводимостью перекроется областью с положительной проводимостью,
и индуцированного излучения просто не будет [46, с. 22]. Но допле-
ровского смещения нет при любой продольной скорости, если огра-
ограничиться излучением электромагнитных волн в направлении, перпен-
перпендикулярном поступательному движению электронов *), т.е., если ис-
использовать резонансную электродинамическую структуру (например,
длинный цилиндрический резонатор), в которой возбуждается мода
с частотой, близкой к критической соответствующего волновода [31,
с. 1445]. В большинстве гиротронов поэтому применяются открытые
цилиндрические резонаторы (отрезки слабонерегулярных волноводов),
поперечное сечение которых при рабочей длине волны близко к кри-
критическому, так что Уф ^> с, а, следовательно, и «ф » ^, и различие
по скоростям дрейфа ведущих центров (см. формулу A.8)) оказыва-
оказывается несущественным. Открытые резонаторы были выбраны в первую
очередь из-за того, что увеличивая поперечное сечение пространства
взаимодействия, можно увеличить мощность гиротрона. Но тут же воз-
возник вопрос: «Можно ли обеспечить возбуждение одной рабочей моды
в многомодовых резонаторах, не теряя в к.п.д прибора (не ограничи-
ограничивая сечение)?» Ответ оказался положительным и были разработаны
эффективные методы электродинамической [46, с. 62] и электронной
селекции мод [46, с. 77].
Первые эксперименты, подтверждающие правильный выбор кон-
конструкции данного типа МЦР и возможность получения высоких к.п.д
(порядка 50 % — как и задумывалось при выборе направления), были
изложены в докладах на 5-й Межвузовской конференции по электро-
электронике СВЧ (Саратов, 1966), а позднее опубликованы в работе [47]. Любо-
Любопытно, что, несмотря на впечатляющие результаты, полного понимания
МЦР как принципиально нового класса электронных приборов СВЧ
еще не было у широкого круга электронщиков 2). Показательно в этом
смысле, что на упомянутой выше конференции 1966 г. все доклады по
МЦР были вынесены первоначально на теоретическую секцию и лишь
по настоянию А.В. Гапонова-Грехова перенесены на приборную сек-
секцию. Однако уже в 1967 г. расширилось число групп, занимающихся
МЦР, а в периодической литературе появилось четкое признание МЦР
х) Упомянутый разброс электронов по полным энергиям можно практиче-
практически ликвидировать, если использовать эквипотенциальный катод и принять
меры к тому, чтобы в пространстве взаимодействия не было статических
полей.
2) Были и курьезы, связанные с названием приборов — мазеры на цик-
циклотронном резонансе. После присуждения горьковчанам Государственной
премии в одном из уважаемых физических журналов было написано, что она
присуждена за выдающиеся работы в области квантовой электроники.

22 Лекция 1A6)
как нового класса мощных приборов ведущими специалистами-элек-
специалистами-электронщиками [40] (О присуждении Государственной премии мы уже
упоминали). В частности, в [48, с. 50] отмечено: «.. .был создан новый
класс мощных электронных приборов СВЧ. Практическая неограни-
неограниченность пространства взаимодействия позволяет применять в них
квазиоптические открытые резонаторы. Это, в свою очередь, позволи-
позволило получить в приборах этого класса наивысшие значения мощности
в коротковолновой части сантиметрового и в миллиметровом диапазоне
длин волн при высоких значениях электронного КПД, достигающих
40% (без рекуперации)».
Последующие за 1967 годы характеризуются значительной активно-
активностью работ по гиротронам, главным образом в СССР: если посмотреть
в библиографический указатель[5], то в 1968-1974 гг. зарубежных работ
практически нет (всего четыре работы в 1969 г., одна работа в 1970 г.,
одна работа в 1971 г., одна работа в 1973 г. при общем числе работ —
более 100). Дж. Осепчук, рассуждая о работах по МЦР в СССР, сви-
свидетельствует: «... реальную оценку данные исследования не получили
в США до 1974 г., когда в советском техническом журнале были опуб-
опубликованы ошеломляющие результаты [49], достигнутые на гиротроне.
На гиротроне в непрерывном режиме была получена мощность 12 кВт
на длине волны 2,8 мм при КПД 31 % и 1,5 кВт на длине 0,9 мм при
КПД 6% » [29, с. 17-18]. Именно этим «ошеломляющим» результатам
соответствует, как мы уже указывали, одинокая точка с надписью
«Soviet gyrotron» около нее. Пожалуй, именно эта публикация послужи-
послужила пусковым механизмом последовавшего затем «гиротронного» бума
на Западе. В 1977 г. американцы публикуют краткую историю МЦР
[8], в которой легко обнаружить некоторую обиду на самих себя («Ведь
как хорошо начинали, а бросили»). Во всех последующих обзорах, даже
в весьма необъективных по отношению к советской СВЧ-электронике
(см., например, обзор [50]), признается приоритет горьковской группы
в создании гиротрона от идеи до наиболее удачной конструкции.
В этом разделе мы часто упоминали имя академика Андрея Вик-
Викторовича Гапонова-Грехова. Он родился в Москве 7 июня 1926 г.
В 1949 г. окончил радиофизический факультет Горьковского универ-
университета. А.В. Гапонов-Грехов — ученик А.А. Андронова, у которого
учился в аспирантуре A949-1952). В 1955 г. он защитил кандидатскую
диссертацию по теории электромеханических систем, по результатам
защиты которой ему была присуждена ученая степень доктора физико-
математических наук. С 1952 по 1955 гг. работал в Горьковском поли-
политехническом институте. С 1955 г. Андрей Викторович — зав. отделом,
зам. директора НИРФИ, с 1977 г. — директор известного сейчас во
всем мире Института прикладной физики (Нижний Новгород). Диа-
Диапазон его исследований широк: физика плазмы и высокочастотная
электроника, электродинамика и теория электромагнитных излучате-
излучателей, теория нелинейных колебаний и волн. А.В. Гапонов-Грехов и его
сотрудники дважды становились лауреатами Государственной премии
СССР A967 и 1984 гг.).

Гироприборы
23
Дальнейшее изложение материала лекции, посвященного гиротро-
нам, будем вести, следуя книге Цимринга Ш.Е. «Мазеры на циклотрон-
циклотронном резонансе» [33].
Резонаторы гиротронов
Обсудим кратко некоторые особенности конструкции резонаторов
гиротронов (рис. 1.7) и наиболее очевидные требования к ним, следую-
следующие из характера группировки и излучения электронов-осцилляторов.
1. Осевая симметрия. Применение резонаторов с осевой симметри-
симметрией имеет ряд технологических и конструктивных преимуществ. Так
она оптимальна для магнитных систем (в частности, соленоидов),
и уже по этой причине предпочти-
предпочтительна для электронно-оптических
систем.
2. Условие Уф ^> с делает необхо-
необходимой конструкцию резонатора в ви-
виде отрезка волновода, каким-то об-
образом закрытого на торцах, с попе-
поперечным сечением, близким к крити-
критическому. Условие квазикритичности:
Z=Z2
зэ :
к,
A.9)
Рис. 1.7. Резонатор гиромонотро-
на
где зэ и h — соответственно поперечное и продольное волновое число
выбранного типа волны.
3. Поперечные размеры резонатора должны быть велики в масшта-
масштабе длины волны, т. е. во всяком случае
Rp/X > 1. A.10)
Это условие важно, чтобы иметь большой объем активной в корот-
коротковолновом диапазоне среды и возможности рассеяния на достаточно
большой поверхности тепла, выделяющегося на стенках резонатора из-
за джоулевых высокочастотных потерь.
4. Длина L резонатора должна быть достаточной для развития
квадратичной группировки. Вспомним условие индуцированного излу-
излучения при квадратичной группировке, полученное в лекции 1 (том 1,
формулы A.42) и A.43)). Тогда
где g = у±/у\\ — питч-фактор, характеризующий угол намотки винто-
винтовой траектории.
Из результатов нелинейной теории известно, что приемлемые КПД
гиромонотрона получаются при ц ~ 10, тогда при C± = 0,3 и g = 1,7
длина резонатора L/X = 6. Этим данным соответствует Uq = 30 кВ.
5. Использование ТЕ-мод. Использование взаимодействия электро-
электронов винтового пучка с полем ТМ-моды при слаборелятивистских энер-
энергиях малоэффективно из-за разгруппировывающего действия продоль-

24 Лекция 1A6)
ного электрического поля. Будем интересоваться собственными колеба-
колебаниями цилиндрических резонаторов. Они помечаются тремя индекса-
индексами: азимутальным т, радиальным п (поперечные индексы) и продоль-
продольным индексом q. Каждый из индексов является целым числом, равным
числу вариаций поля по соответствующему направлению (т. е. числу
полуволн, укладывающихся по каждому масштабу). Таким образом,
интересующие нас колебания обозначаются как ТЕШП(?.
6. Слабая нерегулярность волновода. Основная (низшая мода круг-
круглого волновода) Нц характеризуется отношением Rp/А « 0,3. Выпол-
Выполнение условия A.10) требует использование высоких мод, у которых,
как правило, один или оба поперечных индекса существенно больше
единицы. Но высокие моды требуют осторожного с собой обращения:
любое резкое изменение поперечного сечения сразу же (за редким
исключением) ведет к трансформации данной моды в другие, что
радикально меняет параметры резонатора и характеристики самого
излучения.
7. Селекция мод. Дифракционный вывод энергии. Число N соб-
собственных колебаний произвольного резонатора в некотором диапазоне
длин волн Л определяется известным соотношением N ~ V/А3, где V —
объем резонатора. Из условий A.10), A.11) понятно, что резонаторы
гиротронов обладают плотным спектром. Если в полосу циклотронно-
циклотронного резонанса попадают две или большее число мод, то возникающее
их нелинейное взаимодействие, как правило, существенно ухудшает
и эффективность гиротрона, и монохроматичность, и когерентность
излучения. Отсюда следует необходимость селекции мод.
С электродинамических позиций селекция колебаний возможна
двумя способами: 1) разряжение спектра мод в какой-то узкой рабочей
области за счет сгущения в другой; 2) разрежение спектра добротных
мод путем создания условий для диссипации энергии мешающих коле-
колебаний с соответствующим понижением вероятности их возбуждения.
Один из наиболее действенных способов селекции — использование
открытых резонаторов, когда диссипация энергии громадного числа
мешающих колебаний достигается за счет их беспрепятственного излу-
излучения.
Рассмотрим чуть более подробно селекцию колебаний по продоль-
продольному индексу, которая наиболее существенна, принимая во внимание
большие значения величины L/А. Оценим длины волн колебаний как
функцию продольного индекса. При продольном индексе q на длине ре-
резонатора L укладывается q волноводных полуволн Лв. Таким образом,
длина волны в свободном пространстве, соответствующая ЯтПG-моде,
равна:
А = , = , ^, где Акр = АКр(т, га). A.12)

Гироприборы 25
Отсюда видно, что Л максимальна при q = 1 и быстро уменьшается
с ростом q. Для мод с небольшим q, когда AKp/2L <С 1:
т. е. длины волн первых колебаний весьма близки к критическим. В ка-
качестве рабочей наиболее интересна мода TEmni, для которой фазовая
скорость максимальна.
Если создать небольшое сужение на выходном (левом на рис. 1.7)
конце волновода, то можно так подобрать его размеры, что он ока-
окажется закритическим для этой моды и докритическим для мод с q >
> 1, которые имеют меньшую длину волны. В результате мода ТEmni
отражается от сужения и оказывается запертой, тогда как осталь-
остальные моды свободно излучаются и соответствующие добротности ма-
малы (QtEmn21'QtEmnl = 1/B -г- 3); при q > 3 все добротности (кроме
QTEmnl) пренебрежимо малы). Общее число мод с различными q рав-
равно примерно 2L/A, т.е. указанный метод селекции разряжает спектр
в 2L/A раз.
При малой длине сужения имеет место частичное просачивание
мощности излучения в выходной волновод. Подбор геометрии сужения
позволяет тогда одновременно использовать его и как вывод энергии
(«дифракционный» вывод энергии), и как корректор добротности ре-
резонатора, при котором обеспечивается оптимум КПД.
Собственные колебания резонаторов гиротронов
Исходными уравнениями для рассмотрения колебаний резонаторов
гиротронов являются уравнения Максвелла:
A.14)
rot E = ~А*о-^-.
Пусть Е, Н и j — периодические функции времени. Представим плот-
плотность тока в виде ряда Фурье:
сю
i(r,a;)e^t, A.15)
где jn(r, uj) — комплексные амплитуды плотности тока, определяемые
обратным преобразованием Фурье:
2тг
M)e"^w<iM). A.16)

26 Лекция 1A6)
Будем в дальнейшем интересоваться только первой гармоникой плот-
плотности тока:
2тг
If
ji(r,o;) = - \ Ur,t)e~Jujt d(ujt) = j(r, t). A.17)
7Г J
о
Если j(r, i) — вещественная функция, то согласно выражению A.16)
Используя соотношение A.17) и аналогичные соотношения для Е и Н,
приходим к уравнениям Максвелла для комплексных амплитуд Е(г, и)
иН(г,о;):
rot Н = j + jojeoEi,
A.19)
rot E = — 76
Рассмотрим собственные колебания резонатора, т. е. положим j = 0:
rot H = jusoE,
A.20)
rot Е = — j
Из уравнений A.20) непосредственно следует уравнение Гельмгольца,
которое для поля Н имеет вид
rot rot H - k2tt = 0, A.21)
где к = lo^/г^Щ = и/с.
Из общих соображений ясно (строгое обоснование приведено в мо-
монографии [51]), что в каждом поперечном сечении слабо неоднородного
волновода электромагнитное поле имеет такую же структуру, что и по-
поле в регулярном волноводе такого же сечения (последний называется
волноводом сравнения). Для волноводов с прямолинейной осью z (см.
рис. 1.7) и волнами ТЕ отличны от нуля Hz, //ж, Ну, Ех, Еу. Из
уравнения A.21) следует, что:
Если в поперечных сечениях Hz(x,y, z) имеет такую же структуру, что
и в регулярном волноводе, то его можно представить в виде
Hz(x,y,z) = C(z)T(zHx,y), A.23)
где Т^)(ж, у) — мембранная функция, удовлетворяющая уравнению:
^ + ^ + *2T(z)=0. A.24)
ду дхА

Гироприборы 27
Для ТЕ-волны при идеальной проводимости стенок резонатора на
контуре поперечного сечения должно выполняться граничное условие:
= 0. A.25)
дп
В каждом сечении контур различен, поэтому зэ = ae(z). Ненулевые
решения уравнения A.24) при условии A.25) существуют при дискрет-
дискретных значениях зэ, образующих спектр критических волновых чисел
собственных мод волновода сравнения.
Для Т^\х,у) известно следующее интегральное представление
(см., например, [33]):
^dcp. A.26)
о
Тогда, согласно выражению A.23) имеем
2тг
Hz(x,y,z)= \n((p)ej^XCOS(p+ys{n(p)d(p, A.27)
Функция Р{ф) выбирается такой, чтобы выполнялось усло-
условие A.25). Как показано для осесимметричного волновода (все
контуры — окружности) [33]
П(ч>, z) = 9^1e-Jm^+n/2) ^ ш = 0, 1, 2, ... A.28)
2тг
Поле Hz выражается через функции Бесселя, т.е.
Hz(r,i/>, z) = C(z)Jm(&r)e-jm^, A.29)
где г, ф и z — цилиндрические координаты, т — азимутальный индекс
моды. Подставляя выражение A.23) в уравнение A.22) и используя
соотношение A.24), находим
^fi- + h2C = 0. A.30)
dz
Последнее уравнение отличается от аналогичного уравнения для ре-
регулярного волновода тем, что для последнего h2 = к2 — зэ2 = const,
тогда как в нашем случае h2 = к2 — 8e2(z) — заданная функция z.
Уравнение A.30) является уравнением неоднородной струны.
Поскольку нас интересуют собственные колебания, то на концевых
сечениях резонатора z = z\ и z = z<i (см. рис. 1.7) поля должны иметь
вид уходящих волн:
C(z)\z=Zl ~ Jhz\ C(z)\z=Z2 ~ e-^2. A.31)

28 Лекция 1A6)
В дифференциальной форме условия излучения A.31) запишутся в ви-
виде
dC(z)
dz
= jhC(z1),
dC(z)
dz
= -jhC(z2). A.32)
Нетривиальные решения уравнения A.30) при условиях излучения
A.31) или A.32) существуют при некоторых дискретных комплексных
и) = oj1 + joj2j образующих спектр собственных частот резонатора, при-
причем UJ2 = \muj > 0 (колебания затухают). В результате решения крае-
краевой задачи, как правило численными методами, находят резонансную
частоту (т.е. ио\ и о^) и добротность резонатора, связанную с излуче-
излучением (дифракционную добротность):
Зная Hz(x,y,z), легко определить остальные компоненты полей по
известным формулам для поля ТЕ-волны в регулярных волноводах
(в данном случае — в регулярных волноводах сравнения):
УхЯг], A.34)
± ±Z, ± ^[гхг],
36 ЭЭ
где V_l = i^TF" ~^ ^7Г~' *ж' '1у и lz ~ еДиничные векторы по соответ-
соответствующим направлениям.
Вынулсденные колебания резонаторов. Баланс энергии
при стационарных колебаниях
Вернемся к неоднородным уравнениям Максвелла A.19). Умножим
первое уравнение на Е* dr и проинтегрируем по объему резонатора
между сечениями z = z\ и z — zoHH* - [E*H],
а также используя второе уравнение A.19) и применяя теорему
Остроградского-Гаусса, получим
[ |Е|2 dr - u)*fjL0 [ |H|2 dr = ji [E*H]n da + j I jE* dr. A.35)
V V V
Здесь поверхностный интеграл взят по замкнутой поверхности резона-
резонатора. Приравняем отдельно действительные и мнимые части данного
уравнения, учитывая, что о; = и\ + JU2- Тогда

Гироприборы 29
|E|2 dr - ал/х0 |Н|2 dr = -Im [E*H]n da - Im jE* dr.
V V 5 V
A.36)
gj2?0 J |E|2 dr + oj2fio J |H|2 dr = Re J [E*H]n da + Re J jE* dr.
V V S V
В последнем выражении мы кроме всего перешли от интегрирования
по замкнутой поверхности к интегрированию по торцам, подразумевая
под S суммарный интеграл по сечениям волновода при z = z\ и z =
= Z2, так как на боковых поверхностях омические потери считаются
равными нулю.
Рассмотрим два частных случая.
1. Свободные колебания, j = 0 (будем отмечать все величины, от-
относящиеся к этому случаю, индексом 0). Интеграл J [E*H]n da при
s
действительной частоте можно считать вещественным, так как на тор-
торцах колебания имеют вид чисто бегущих волн, для которых Е и Н
находятся в фазе. Тогда из первого уравнения A.36) получаем
И/о = \ \ ?о|Е|2 dr = \ J /iO|H|2 dr. A.37)
V V
Последнее означает, что средняя за период запасенная электрическая
энергия равна магнитной. Это известное свойство закрытых резона-
резонаторов, не имеющих омических потерь. Выражение A.37) справедливо
приближенно и для комплексных частот, если добротность резонатора
велика.
Из второго уравнения A.36) для свободных колебаний с учетом
A.37) следует, что
4о;2И/о = 2Р0, A.38)
где Ро = - Re J [ЕдНо]п da — средняя мощность дифракционных по-
2 S
терь за счет излучения через торцы. По определению добротности Q =
= ujiWo/Po. Комбинируя это определение с A.38), получаем выписан-
выписанное ранее соотношение Q = ooi/2oj2-
2. Вынужденные стационарные колебания при фиксированной
структуре поля. Пусть теперь j ф 0, но режим стационарен, т.е.
установился баланс энергий — поступающей из пучка и излучаемой
из резонатора. Для таких колебаний о^ = 0, uj\ = о;, где uj — частота
вынужденных колебаний. При достаточно высокой добротности
резонатора гиротрона можно считать, что
Е = .МЕ0, Н = Л/*Н0. A.39)
ДобрОТНОСТЬ Q будем СЧИТаТЬ ВЫСОКОЙ, КОГДа Q/Qmm ^> 1, ГДе Qmin =
= 4тг (L/Л) — добротность «резонатора», образованного отрезком ре-

30 Лекция 1A6)
гулярного волновода длины L, согласованного с нагрузкой. Легко по-
показать, что М = щМ.
Подставив выражение A.39) в уравнение A.36), и полагая и 2 = 0
hwi=w, получаем:
\M\2oj^ ^o|Eo|2-/io ^ |H0
V
= —Im \M\ — [EoHoL da — Im jE dr, (Л лсл
to J n J U-4UJ
0 = Re \M\2— \ [E*H0]n do- + Re [ jE* dr.
Учтем теперь, что - J [ЕдНо]п da = -Re J [ЕдНо]п da = Po, а также
2 2
J [ЕдНо]п da
2 5 2
соотношения A.37) и A.38), тогда
Im
Подставив полученный результат в первое уравнение A.40), получаем
2|.М|2о;ИЛо (l-^ + ^J = -Im jE* dr.
v
Так как |о; — и\\ <С о;, то окончательно имеем
2(о;0 - о;01)И/ = ~ Im fjE* dr, A.41)
v
где VK = |А^| VKo-
Уравнение A.41) выражает собой баланс реактивных мощностей.
Аналогично из второго уравнения A.40) с учетом A.37) и A.38) найдем
выражение для баланса активных мощностей:
2ojO2W = -l Re fjE* dr. A.42)
Здесь в правой части стоит активная мощность, излучаемая потоком
в объеме резонатора, а в левой — величина, выражающая мощность
дифракционных потерь.

Гироприборы 31
Преобразуем объемный интеграл, введя в него j(г, ?), вместо комп-
комплексной амплитуды тока (см. соотношение A.16)):
* dr = -i- || j(r, t)E*e"^* d(cot) dr, A.43)
V OV
где Р — комплексная мощность, которую отдает электронный поток.
Окончательно
2uO2W = ReP, A.44)
2(w-uH1)W = ImP. A.45)
Если плотность возбуждающего тока j (r, t) задана, то правые части
последних двух уравнений могут считаться известными. В приближе-
приближении фиксированной структуры поля известны также распределения
полей. Аналогичное приближение делалось в теории оротрона (см.
том 1, лекция 15), в котором также используется открытый резонатор.
Тогда из уравнения A.44) можно определить амплитуду поля, вхо-
входящую в VK, а из A.45) — отстройку частоты и стационарных колебаний
от собственной частоты резонатора. Однако в задаче об автоколебаниях
в гиромонотроне плотность тока (точнее ее переменная составляющая)
не является заданной величиной и определяется возмущением движе-
движения электронов под воздействием высокочастотного поля неизвестной
амплитуды. Поэтому соотношения A.44) и A.45) могут рассматривать-
рассматриваться только как решение первой части общей самосогласованной задачи.
Вторая ее часть состоит в нахождении j(r, ?), что опирается на анализ
движения частиц в гармоническом поле. Последняя задача существен-
существенно упрощается за счет усреднения движения и перехода к укороченным
уравнениям.
Укороченные уравнения автоколебаний
в гиромонотроне
Уравнение движения электрона в статическом поле Во и высокоча-
высокочастотном поле Е и В имеет вид
^ = -eE-e[v,B + B0], A.46)
где В = /ioH, Во = i^Bo, Bq = const. На частотах, близких к критиче-
критическим /i/ae <C 1, и согласно A.34) имеем соотношение
ае
откуда следует, что
В±«0, ae«Jk«-. A.47)
с
Таким образом, высокочастотное магнитное поле, как и статическое,
направлено вдоль оси z, и уравнение движения принимает вид
A.48)

32 Лекция 1A6)
или
dp
р = -еЕ - е(Б0 + В) [v±,iz] , A.49)
= 0. A.50)
dt
dPz
dt
Сохранение продольного импульса (соотношение A.50)) является пря-
прямым следствием использования квазикритических волн, фазовая ско-
скорость КОТОРЫХ Уф ^> С.
Перепишем уравнение A.49) в виде
^ + eB0[v±,iz] = -eG, A.51)
at
где G = Е + В [v_l, iz] — высокочастотная сила Лоренца, действующая
на единичный положительный заряд. Перейдем в A.51) к независимой
переменной z, используя, что
d d dr± p_L
dt zdz1 dt pz
Тогда уравнение A.51) можно преобразовать к виду
dp± еВп . . . eGm
dz m m
Окончательно приходим к системе уравнений:
A-52)
dr±
~dz~
dt
dz
1
T) =
P-L
Pz '
m
Pz'
-v2/c2
const.
dt Pz
fir* i ТТЛ i
A.53)
A.54)
A.56)
Здесь hc = eBo/pz = ojc/vz — постоянная распространения волны ча-
частоты о;с, бегущей с фазовой скоростью vz; hc = const. Величина hc
имеет также смысл угла поворота электронов на ларморовской окруж-
окружности при дрейфе вдоль оси z на единицу длины.
Прямое решение полученной системы представляет значительные
трудности, учитывая, что сила Лоренца G, входящая в правую часть
уравнения A.52), сложным образом зависит от времени и координа-
координаты частицы, движущейся по многопетлевой траектории. Однако, это
движение является почти периодическим, что позволяет упростить
уравнения путем их усреднения по быстро меняющейся переменной.
В уравнениях A.52), A.53) неизвестными функциями являются ж,

Гироприборы 33
У•> Vxi Py Введем новые переменные следующим образом:
х = X + r± cos в, у = У + r± sin в,
A.57)
рх — — p±sm6, ру = р± cos в, 6 = hcz + 4*.
Новыми переменными являются X, У, р±, Ф. Величина r_L выражается
через p_L как
r± =P±/hcpz. A.58)
Рассмотрим ж-компоненту уравнения A.52):
Дифференцируя третье из соотношений A.57), заменим —f^- следую-
щим образом:
—— = —-— sin в — р± cos в— = — pfj_ sin в — hcpy — p±4*f cos в.
CL Z CL Z CL Z
В результате уравнение A.59) примет вид
A.60)
A.61)
Аналогично для пары уравнений A.53) получаем
X' + rf± cos в - r±4*f sin 0 = 0, A.62)
У + rf± sin в + г±Ф' cos 0 = 0. A.63)
Исключим 0 из левых частей A.60) и A.61). Для этого умножим
уравнение A.60) на sin#, а уравнение A.61) — на cos# и сложим их.
Получим выражение вида
p'± = —Go, Ge = Gxsm0-GyCos0. A.64)
v z
Теперь домножим уравнение A.60) на cos#, а уравнение A.61) на sin#
и вычтем второе из первого. Получим
G G G6 + Gsin6. A.65)
vz
Для ^/-компоненты A.52) имеем
vz
Исключим в из уравнений A.62) и A.63). Из формулы A.58) имеем
dr± I dp±
dz hcpz dz ' hcpz
3 Трубецков, Храмов

34 Лекция 1A6)
Теперь, используя соотношения A.64) и A.65), находим
vzhcpz ' vzhcpz '
С учетом этого из уравнений A.62) и A.63) получаем следующие соот-
соотношения:
В чем смысл новых переменных? Пусть высокочастотная сила G =
= 0. Тогда уравнения A.52) и A.53) описывают движение электрона по
винтовой линии (рис. 1.8). На рисунке величинами Xq и Yq обозначены
поперечные координаты ведущего центра (оси винтовой линии), г±о —
радиус ларморовской окружности. Координаты и импульс частицы
равны:
х = Хо + r_Lo cos #, у = Уо + r±o sin #,
A.68)
рх0 = тх = -р±о sin 0, руо = ту = -р±о cos 0,
где 0 = о;с? + Фо = hcz + Фо — угол поворота электрона около ведущего
центра, r_Lo = ^_lo/^cO = P_Lo/e^o5 P_lo — осцилляторный импульс, Хо,
^о? P_LO5 ^о есть постоянные величины. Сравнение уравнения A.68)
с уравнениями A.57) и A.58) свиде-
аааааа/1г .-. тельствует об их эквивалентности,
т.е. X и У можно считать коор-
iD/v v,
\jin(An, In/
т и и/ динатами ведущего центра, р± —
поперечным импульсом электрона,
Рис. 1.8. Параметры электронной г± ~ ларморовским радиусом, Ф -
траектории фазой. В отличие от невозмущен-
невозмущенных новые величины являются пе-
переменными. При включении высокочастотного поля траектория уже не
будет винтовой линией, но указанные величины изменяются медленно,
т. е. очень мало за циклотронный период (иначе будет нарушаться
условие синхронизма, и будет невозможен резонансный механизм вза-
взаимодействия).
Заметим также, что несмотря на то, что новые переменные явля-
являются медленными, у них не исключены быстрые, но мелкие пульса-
пульсации, которые вызваны тем, что компонента высокочастотной силы G
явно и неявно (через координаты вращающихся электронов) зависит
от быстрой переменной 0. Учет этих пульсаций не должен влиять
в рамках резонансного механизма на интегральные характеристики
индуцированного излучения. Поэтому адекватным методом в данном
случае является усреднение правых частей уравнений A.54)—A.67) по
быстрой переменной в, т.е. выделение в них медленно меняющихся,

Гироприборы 35
но максимальных по модулю составляющих. При этом мы приходим к
«укороченным» уравнениям, существенно более простым, чем преды-
предыдущие.
Средняя величина G(r, t) равна (с учетом того, что G(r, t) =
= ReG(r,Lj)ejuJt)
1 2ж 1 2г
(G(r, t)) = — J G(r, t)d0 = — jRe [G(x, y, z)e*wt] d0, A.69)
0 о
где G(x,y,z) — комплексная амплитуда. Поскольку х и у периоди-
периодически зависят от 0 (см. первые два уравнения A.57)), то G также
периодическая функцмя в. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид
сю
G(x,y,z)= J2 Gm(X,Y,r±,z)e-im0, A.70)
т= — оо
где амплитуда гармоник выражается как
Gm(X, Y, гх, z) = -^ | G{x,y, z)Jme dO. A.71)
О
Подставим выражение A.70) в уравнение A.69). Это дает
\О(ХУ)^-твив A.72)
Однако величина Gm не зависит от в. Поэтому усреднение сводится
к вычислению интегралов вида
2тг
— f е№-тв) 60. A.73)
2тг J
о
Экспоненциальный множитель exp [j(uit — тв)] в общем случае силь-
сильно меняется на интервале 0 -г- 2тг, и интегралы A.73) малы. Но если
предположить, что для некоторого т = п фаза (oot — тв) остается
примерно одинаковой, то соответствующий интеграл дает основной
вклад в соотношение A.72). Условие постоянства фазы есть
— (ojt-nO) = 0,
at
или с учетом определения в = hcz + Ф
и — nhcvz — пФ' = 0.
Но Ф меняется медленно, поэтому величина Ф' мала, и
и - пьос « 0. A-^4)
Последнее выражение есть условие циклотронного резонанса. Если
электрон дрейфует со скоростью vz, это условие справедливо в системе

36 Лекция 1A6)
отсчета, связанной с ведущим центром. При переходе в лабораторную
систему отсчета следует записать среднее от силы G как
(G(r,*)> = ^ Re [Ge^"^j dO.
о
Поэтому в интегралах A.73) показатели в экспоненциальных членах
заменяются на (ut — hz — пв) и резонансным условием будет
uj — hvz « nojc, A-75)
т. е. появляется доплеровская поправка.
Таким образом, в уравнении A.72) есть только один член, содержа-
содержащий интеграл
2тг
_L [ Jiut-пв) jn ^ j(ut-n6)
О
Тогда
где через $ обозначена медленная фаза
$ = — oot + пв = — uot + nhcz + пФ. A-77)
Заменяя в правых частях уравнений A.64)—A.67) компоненты С#, G>,
Сж и Gy их средними значениями, а также Ф' на $'/п, приходим
к укороченным уравнениям:
р'± = ~ Re (Gen*4*) , A-78)
Р'± (#' + z~ ~ nhc) = — Re {Grne-ji)) , A.79)
z и z
X' = -^- Re (G^e-^) , A.80)
V zt>
Y' = —^ Re (Gine-^) . A.81)
Определим физический смысл величины $. Для этого найдем ее
производную:
d$ , и nojc — и ,
— = nhc + пФ = h пФ .
az vz vz
Отсюда видно, что скорость изменения фазы зависит от разности (пи —
— ujc) и скорости изменения медленной фазы Ф в результате действия
высокочастотного поля. В свою очередь и первый фактор содержит ди-
динамическую составляющую: помимо кинематического изменения фазы
электрона относительно поля, вызванного начальным рассинхрониз-
мом и и nojc, вклад дает неизохронность вращения, т.е. зависимость
ис от энергии. В целом $ определяет фазу вращения электрона отно-
относительно фазы высокочастотного поля.

Гироприборы 37
Найдем теперь правые части укороченных уравнений. Для этого
необходимо вычислить коэффициенты Фурье Gon, Grn, Gxn, Gyn. Под-
Подставим выражение A.34) с учетом A.9) в выражение для комплексной
амплитуды G = Е + [vj_, \ZBZ\.
так что G>, Gq, Gx и Gy содержат под знаком интеграла линейные
О Г> О Г)
комбинации Bz, л z , л z , а также тригонометрические функции sin в
(УХ СУ у
и cos в, так как v±x = г>ж sin в, v±y = v^ cos в.
Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье сводится к расчету
интегралов вида
2тг 2тг 2тг
l\Bze^d0, I-\ Bz cos 0 dO, i-J^sin
0 0 0
о о
1 27r
Вычислим Bzn — — Г Bze^n0 d6, используя соотношения A.27) и
2тг 0
A.9):
2тг2тг
Bzn = h
о о
Здесь х и у — координаты электрона на винтовой траектории, опреде-
определяемые соотношениями A.68). Окончательно
2тг 2тг
Bzn=
о о
2тг
^- [ejkr
A.82)
Внутренний интеграл выражается через функцию Бесселя Jn(kr±)
и поэтому
Bzn=jnJn(kr±) n(cp,z)ejk^Xcos^Ys'in^j^ dcp. A.83)
о

38 Лекция 1A6)
Для вычисления последнего интеграла учтем, что
2тг
Bz(X,Y,z)= [ /^0n(^,z)ej^Xcos^Ys[n^ dip.
Применим оператор V = - (-гу4^ + jjsrr ) к этому интегралу, диффе-
к \ОЛ or '
ренцируя под знаком интеграла. Тогда
2тг
VBz(X,Y,z)=j
о
n-кратное применение оператора V дает:
2тг
Т)П г> ( лг \г „\ -n U(т <y\s>Jk(X cos (p+Y sin (p)-\-jn(p j.n
Ls LJ z I vA. j 1 j A I — 7 UQ /L l Ц^ j A 1С LLUs .
0
Окончательно
где
Ln(X,y,*)=Z>nB*(X,y,*). A.84)
Аналогично определяются и другие фурье-компоненты. В результате
. dJn с с! /'dJn
^вп — Jc~TTLru Ьгп = — —-77 s~77"
A.85)
^ _ v± dJn dLn fi _ v±- dJn dLn
к d^ dX ' к dt; dY '
где ? = k/r±. При выводе формул A.85) величина /3_l = v±/c полага-
полагается равной ?/п, что точно справедливо при uj = nujc.
Укороченные уравнения можно записать в более симметричной
форме, близкой к уравнениям Гамильтона в механике. Для этого, ис-
используя связь энергии и импульса
введем в качестве одной из функций энергию ? (вместо р±), которая
вместе с фазой $ образует канононически сопряженные величины.
Из выражения A.86) следует, что ?' = v±pf±. Умножим уравнение
A.78) на v± и учтем соотношение A.85). Тогда
v±P± = ~ Re {Gene JV) , Gen =
v
' = eRe(-j-H), где H = c^^-Lne~^. A.87)
Pz ac;

Гироприборы 39
Поскольку ^у = —jHj то
Правая часть уравнения A.79) р± (#' + — — nhc) = — Re (Grne Jn^)
V Vz / Vz
{c rl f fl 1 \Л А 1/7
~~(TP (^ /v/1 ) Г* Заметим, что -fe = — , =
= —L^T^- Тогда правая часть соотношения A.79) равна —
— ep±Re^JpL. Аналогично можно показать, что правые части
уравнений A.80) и A.81) равны соответственно
1 _ (дп\ 1 fan
Re "^7 и —Б- Re ^V
Окончательно получаем следующую систему преобразованных
уравнений:
(Ю с-88'
A.89)
Y'=skRe (Ш ¦ (LM)
Пары уравнений A.88), A.89) и A.90), A.91) обнаруживают сходства
с уравнениями Гамильтона. Функция И (формула A.87)), зависящая
от координат, импульса, фазы, играет в этих уравнениях роль функции
Гамильтона.
Комплексная мощность Р выражается через обычные, а не через
медленные переменные, т. е. Р тоже нужно усреднить. Преобразуем
выражение A.43), используя, что jE* = J_lE* = jz——. Тогда
Pz
2тг 2тг
Р = -i- \\j(r,t)E*e->utd(wt) dr = i- [ Jj2Ei5le-i"*dH) dr.
0 V 0 V
A.92)
Предположим, что пучок тонкий, т. е. скорости электронов и ВЧ-по-
ле не меняются по поперечному сечению пучка. Тогда интегрирование
по поперечному сечению в уравнении A.92) сводится в приближении

40 Лекция 1A6)
L
тонкого пучка к замене jz на J = J jz da и J dr на J dz. Следовательно,
5 V О
2тг L
р = _ А [ [ E^e-i«* d(wto) dT_ (L93)
J J * ^
0 0
При получении последнего соотношения A.93) использован также за-
закон сохранения заряда Jdt = /о dto, где ?о и Л) — соответственно
время влета электрона в пространство взаимодействия и входной ток.
Используем равенство p_lE* = p±G$ и запишем среднее от выражения
A.93) в виде
2тг L
| \d{u}ot) dzh \
0 0
Интеграл по в имеет такой же вид, как среднее от правых частей
дифференциальных уравнений A.64)—A.67) при выводе укороченных
уравнений. Процедура усреднения также аналогична: разлагаем G^
в ряд Фурье и выделяем резонансный член с медленно меняющейся фа-
фазой. Опуская расчеты, которые ничем не отличаются от предыдущих,
получаем, что
2тг L 2тг L
^-dz d#0. A.94)
0 0 0 0
Здесь $ = nhcz + пФ — ujt — медленная фаза (уравнение A.77)), $о =
= пФо — uto — начальное значение $.
Получим интеграл энергий укороченных уравнений. Для этого най-
найдем активную мощность, отдаваемую винтовым электронным пучком
в среднем за период:
0 0 0 0
Подынтегральная функция является правой частью уравнения
A.88), поэтому:
2тг L 2тг
Re {p) = -?k\\lz'dzd*0 = ^h\ [m ~ ?{L)] M°- (L95)
0 0 0
Физический смысл уравнения A.95) ясен: активная мощность, пере-
передаваемая пучком высокочастотному полю в среднем за период, равна
усредненной по начальным фазам убыли энергии электронов пучка за
единицу времени.

Гироприборы 41
Интегрирование укороченных уравнений
автоколебаний в гиромонотроне
(слаборелятивистское приближение)
Полученная нами система укороченных уравнений достаточно
сложна даже для численного ее решения. Поэтому обычно рас-
рассматриваются некоторые частные случаи, которые имеют важное
значение для практической реализации гиротрона и понимания общих
закономерностей в таких системах. Данный раздел посвящен рассмот-
рассмотрению аксиально-симметричного гиротрона в слаборелятивистском
приближении.
Перейдем в этом случае к цилиндрическим координатам ведущего
центра:
X = Rcos4*, Y = Rsm4f. A.96)
Уравнения A.88) и A.89) не изменятся, а уравнения A.90), A.91), как
можно показать, примут вид [33]
(§?) (L97)
т'=ткR" {ш) ¦ <L98>
Преобразуем функцию ?{, используя тот факт, что магнитное поле
ТЕ-волн в круглом волноводе выражается через функцию Бесселя:
im41, A.99)
где f(z) — соответствующим образом нормированное продольное рас-
распределение поля. Применим к Bz оператор Vй = —^ (jr^r + Э~яу)
и учтем выражение A.96). Тогда получим
Ln = VnBz = Af(z)Jm-n{kR)e-*m-n)*. A.100)
Подставляя полученное соотношение в выражение для 1-L A.87), нахо-
находим
U = Af(z)c ^^Jm.n(kR)e-^m-n^l A.101)
Pz dq
Выпишем окончательно полную систему укороченных уравнений
аксиально-симметричного гиротрона, которая имеет вид
A.102)
+ ^ _ nhc = -e Re (^P\ , A.103)
V \ ОС )
RR' = \- Re f^f] , A.104)

42 Лекция 1A6)
т> = zkRe (м)' AЛ05)
= Af(z)c ^^Jm.n(kR)e-^m-n^+^, A.106)
Pz at,
2л- L
о о
Полная система уравнений, кроме интеграла энергии, имеет про-
простой интеграл движения. Действительно, из уравнения A.101) с учетом
того, что jrj = —j^H, следует:
Тогда из уравнений A.97) и A.88) находим
рр/_ 1/р2у _ т-п
RR - -(R ) - -—^ Re
и,следовательно,
Если n > m, то отдача энергии электроном сопровождается умень-
уменьшением R (радиальным смещением ведущего центра) и наоборот. На-
Например, если взаимодействие осуществляется на волне Я01, то на всех
гармониках электроны по мере излучения приближаются к оси. Для
волны Нц на основном циклотронном резонансе радиус не изменяется,
а на второй гармонике ведущие центры приближаются к оси и т. д.
Для слаборелятивистских энергий указанное изменение радиуса
незначительно. Действительно, из уравнения A.110) находим, учиты-
учитывая, что uj = поос,
2Я@) (Я - Я@))
г>/п\/г> г>/п\\ [? — ?@)]п(п — т) 1 ? — 8@)
Д@)(Д- Д@))«±^^4^^Т^^
Окончательно получаем
Д-Д@) 1 ^-^@) ГА
1 и ^ [
п(п"ш)< (
Тогда при т = 0: Д@) ~ Л и f — ?@) = 100 кэВ, а энергия покоя ?q =
= 500 кэВ. В результате даже при п = 3 АД/До ^ 0,05 — достаточно
малая величина.

Гироприборы 43
Найденный интеграл движения позволяет свести систему укорочен-
укороченных уравнений аксиально-симметричного гиротрона к двум уравнени-
уравнениям. Введем для этого новую фазу
и образуем выражение, аналогичное левой части уравнения A.89):
$' + ^ - nhc = $' + — + (т - га)Ф'.
vz vz
Используя теперь уравнения A.110) и A.89), находим
# + ^ _ nhc = -е Re (*U\ ( )
vz \ ас )
где полная производная ^М = UM- + ^Ш^Т~- Функция % следующим
образом выражается через новую фазу #:
U = Af(z)c l±^lJm_
p at
Производная по старой и по новой фазе одинакова, т. е.
дП _ дП
В итоге, укороченные уравнения A.102) и A.103) становятся такими:
^ = eReffl, A.114)
dz \дд) У '
dz vz
Эти уравнения образуют полную систему, так как И не зависит от
Ф, а входящий в И радиус R однозначно связан с энергией интегра-
интегралом A.110).
Заметим, что в традиционных схемах гиротрона, т.е. при синхро-
синхронизме и = пи)с, высокий КПД возможен, когда изменение энергии элек-
электрона при взаимодействии с высокочастотным полем несущественно
меняет их массу и, следовательно, циклотронную частоту. В противном
случае, нарушается условие синхронизма. Поэтому энергия электронов
должна быть такой, чтобы (? — ?q) /?q <^i 1. Данное неравенство фак-
фактически есть условие слабого релятивизма и полностью эквивалентно
условию v/с ^С 1. Это условие справедливо для большинства практи-
практически используемых конструкций гиротронов. Поэтому будем в даль-
дальнейшем рассматривать именно слаборелятивистское приближение для
анализа выведенных нами укороченных уравнений.
Выведем укороченные уравнения для слаборелятивистского слу-
случая, исключив уравнения для ведущих центров (смещения центров ма-
малы). Поэтому при вычислении И можно в качестве координат ведущих
центров выбирать их начальные значения.

44 Лекция 1A6)
Введем следующие безразмерные переменные:
безразмерная слаборелятивистская осцилляторная энергия
2
W = ^ф- < 1; A.116)
Р±о
безразмерная продольная координата
С = тЩ; A.117)
относительные осцилляторная и дрейфовая скорости на входе в про-
пространство взаимодействия
/3± =V-f, pz= V-f. A.118)
Заметим, что в рассматриваемом приближении C± и /3Z — малые вели-
величины. Параметр ? = kr±.
В слаборелятивистком приближении при синхронизме и « пис и не
слишком высоких п
В силу этого, производную —-^, входящую в И, можно заменить пер-
вым членом степенного ряда:
Таким образом, функция И принимает следующий вид:
п-1
Pz d? pz 2n • n\
где F называется параметром поля, и имеет вид
е пП вп~4 1 ( Ai \П
В
Преобразуем теперь величину (— — п/гс), входящую в уравнение
A.89):
UJ OJ 11
— - nhc = —— - nhc + u) | — -
vz vAO)
= ^ [ш _ ш(о)] + _^_ - пЛс. A.123)

Гироприборы 45
Заметим, что разность масс пропорциональна разности энергий. Тогда
с учетом A.116) и того, что W@) = 1:
т - ш@) = —[?- ?@)] = (W - 1) . A.124)
с2
При выводе последнего соотношения используется разложение в ряд
энергии в виде
f — т г
Окончательно имеем
^ - nhc = ?(Д + W - 1), A.125)
где безразмерная расстройка частоты
Параметр
^ = 1^*1 A.127)
имеет смысл безразмерной полной длины (ср. с A.117)). Ранее эта вели-
величина использовалась как мера квадратичной группировки электронов
в магнитном поле и была названа параметром неизохронности (см.
том 1, лекция 1). Таким образом, укороченные слаборелятивистские
уравнения гиротрона имеют следующий вид:
= A Re (wnl2Fe-i°\ , A.128)
_ + д + И/-1 = Re [Wn/2Fe-jA (I
d? dW V J ' v '
В левой части уравнения A.129) содержится энергия, влияющая на
фазу вращающихся электронов относительно волны, т. е. на фазовую
группировку. Это слагаемое непосредственно связано с релятивистской
неизохронностью осцилляторов (ср. формулы A.123) и A.124)) и опре-
определяет инерционную группировку, которая может прогрессировать на
участках дрейфа, где отсутствует высокочастотное поле (например,
в гироклистронах). Наоборот, правая часть уравнения A.129) пропор-
пропорциональна амплитуде поля и определяет силовую группировку.
Для получения активной мощности в слаборелятивистском
приближении заменим разность ?@) — ?(L), входящую в A.95), на
[р\ ~ Рхо) /2ше. Тогда
/о 1 7 1 'Г
Re (Р) = t±-±- [?@) - ?{L)] d$0 = V±o^ \ A - W) i?Oj

46 Лекция 1A6)
т 2
где V±o = — ^-^- — осцилляторная мощность, вносимая пучком в ра-
е 2тпе
бочую область. Тогда поперечный электронный КПД
2тг
Ц^1 1-WHO. A.130)
Преобразуем укороченные уравнения к виду, удобному для числен-
численного интегрирования. Введем комплексную переменную
b = y/We~j*/n. A.131)
Очевидно, что модуль |6| = y/W равен осцилляторному импульсу, от-
отнесенному к своему начальному значению. Найдем
d? 2V\V
HW
и подставим в полученное выражение производные ^^- и ^г из урав-
уравнений A.128) и A.129). Тогда
'n[l-*-W-mJb\W»"Fe-«jj . A.132)
Рассчитаем фигурирующие в соотношении A.132) производные:
— Re (\Vn/2Fe~j^ = Re (-jbni
— i^e (—jwn/2]?e-J®
-— Re (wn/2Fe~jd\ = Re (nW71^'1 Fe~jd/2]
Тогда
2п^-^Ь[А + \Ь\2-1}=п^ММке(-
ixe
= jnbn~1F.

Гироприборы
47
Рис. 1.9. Равномерное (а) и треугольное (б) распределение безразмерной силы
В итоге приходим к комплексному уравнению, заменяющему пару
исходных укороченных уравнений.
2п^- - 2jb [А + |6|2 - 1] = jn (b^F) . A.133)
ас,
Уравнение A.133) должно интегрироваться при начальном условии
_ = е"^°/п, A.134)
где начальная фаза может принимать любые значения в интервале 0 ^
^ $о ^ 2тг. Интегрирование A.129) по достаточно полному набору фаз
позволит табулировать функцию |6| = |6(#o)|?=l и затем вычислить
поперечный КПД по формуле A.130), которая с учетом A.131) прини-
принимает вид
2тг 2тг
v± = h \A ~|6|2) Mo = l~h\|6'2 м°- AЛ35)
о о
Значения начальной фазы обычно задаются в N равноудаленных точ-
точках. Далее для каждой фазы $о получаем в результате интегрирования
уравнений A.133) свое значение 6^(L), а затем по формуле A.135),
которая превращается в сумму
находим среднее значение rje±.
В таблицах 1.1 и 1.2 приведены оптимальные параметры гиро-
монотронов, вычисленные для двух простейших распределений вы-
высокочастотного поля в резонаторе (рис. 1.9) [33]. Для равномерного
распределения F = Fq (рис. 1.9 а), для треугольного — F = F^/n
(рис. 1.9 б). Как видно из данных таблиц, эффективность энергообмена
при равномерном распределении поля существенно меньше, чем при
треугольном. Основной причиной является то, что при большом поле
на начальном участке рабочего пространства, где имеет место линей-
линейная группировка, электроны интенсивно поглощают энергию. Особенно
сильно это проявляется при работе на второй и более высоких гар-
гармониках гирочастоты. Треугольное распределение, согласно табл. 1.2,

48
Лекция 1 A6)
Т а б л и ц а 1.1
п
1
2
3
4
п
1
2
3
42%
30%
22%
17%
71%
64%
56%
7,5
8,0
10,0
12,5
fJL
14,0
14,0
20,0
А
0,60
0,55
0,40
0,35
А
0,55
0,55
0,40
\F0\2 • 10а
8
6
2
1
Таблица 1.2
\F0 a • 10а
16
25
9
в значительной мере лишено этих недостатков: КПД существенно выше
и медленно спадает с ростом п.
Отметим, что треугольное распределение является сильной идеали-
идеализацией и его невозможно реализовать. Расчеты, проведенные с рядом
других распределений, показывают, однако, их некритичность, если
они сохраняют основные особенности треугольного распределения: сла-
слабое поле на начальном участке и сильное поле в области энергообмена,
где в результате квадратичной группировки формируются плотные фа-
фазовые сгустки. В табл. 1.3 приведены характеристики гиромонотрона
при гауссовом распределении поля F = Fq ехр [—3B?/х — IJ], которое
достаточно близко к реальным распределениям поля в открытых резо-
резонаторах.
Если теперь произведен расчет оптимального поперечного КПД, то
следующим этапом необходимо отыскать такие характеристики прибо-
прибора, как параметры электронного пучка /2о, v±, г>ц, ис или, вместо v±,
v\\, ускоряющее напряжение Vb и питч-фактор g. Необходимо также
выбрать параметры, характеризующие электромагнитное поле: тип ко-
колебаний (поперечные индексы TEmn"x моды), продольное распределе-
распределение высокочастотного поля, добротность Q и собственную частоту o;oi
резонатора; определить профиль резонатора, включая конфигурацию
дифракционного вывода энергии, геометрические параметры выход-
выходной части прибора, включая область коллектора и окно вывода энер-
энергии. Определение всех этих факторов представляет собой задачу, не
имеющую однозначного решения. Здесь следует также учитывать ряд
дополнительных факторов (устойчивость колебаний на рабочей моде
п
1
2
3
Табл
V±
72%
71%
55%
А*
17
16
22
и ц а 1.3
А
0,50
0,55
0,40

Гироприборы 49
по отношению к конкурирующим модам, устойчивость электронного
пучка, тепловые эффекты и т.п.). Данные факторы играют разную
роль на различных участках миллиметрового диапазона и при разных
требованиях к энергетическим характеристикам прибора. Поэтому тра-
традиционно при проектировании гиротронов приходится отказываться от
условия оптимума КПД и прибегать к компромиссным решениям.
Пусть задана длина волны излучения, номер гармоники п цикло-
циклотронной частоты, тип рабочей моды TEmn, параметры электронного
пучка /3_l, Pz (а значит и ускоряющее напряжение Vb). Предполагается
также, что должен достигаться оптимум поперечного КПД, т. е. извест-
известны значения расстройки А, параметра неизохронности ц и параметра
поля F (при простейшем однородном распределении поля).
Циклотронная частота определяется из выражения A.126) для
расстройки А.
Магнитная индукция находится по формуле [33]
B0«-^-(H-0,002Vo), A.136)
Т1ЛС
где Лс = 2тгс/исп и измеряется в миллиметрах. Ускоряющее напряже-
напряжение Vo измеряется в киловольтах, Bq — в килогауссах.
Радиус пучка в резонаторе (средний радиус ведущих центров), как
правило, выбирается из условия максимума фактора F как функции
R. Тогда оптимум |Fq| будет достигаться при минимально запасенной
энергии поля в резонаторе, что создает преимущества рабочей моды по
отношению к паразитным и обеспечивает минимальные высокочастот-
высокочастотные потери в резонаторе. Из выражения для параметра поля A.122)
и формулы A.100), применимой для круглых резонаторов, следует:
F = -±-^^pi^Af{z)Jm-n{kR)e^m-n^. A.137)
Таким образом, радиус пучка определяется из условия
Ro = A^P, A.138)
где Хтр — один из нулей производной функции Бесселя Jm-n(x).
Чаще всего из бесконечного множества нулей выбирается наибольшее
значение при условии, что вращающиеся электроны не касаются стенок
резонатора.
Длина L рабочего пространства находится из соотношения A.127),
исходя из значений /3j_, /3Z и оптимального значения параметра неизо-
неизохронности (см. табл. 1.1).
Добротность резонатора и ток пучка связаны с отношением, вы-
вытекающим из уравнения баланса активных мощностей A.44), которое
можно записать в виде
2cj02W « ^ = Re (P) = V±oV± = -^P±V±- A-139)
4 Трубецков, Храмов

50 Лекция 1A6)
Запасенная энергия (ср. с формулой A.100) при f(z) = 1)
J Jm(krJ7rrdrdz =
0 0
- J2m-AkRP)J2m+1(kRP)] ¦ A-140)
Амплитуда поля Л вычисляется путем приравнивания \F\ из выра-
выражения A.137) оптимальному значению Fq (cm. табл. 1.1) при учете
A.138) и f(z) = 1. Следовательно, уравнение A.139) позволяет опре-
определить только произведение IoQ. Это означает, в частности, что для
достижения оптимального КПД следует понижать добротность с уве-
увеличением тока пучка и наоборот. Физически это объясняется необ-
необходимостью поддержания оптимального действующего на электроны
высокочастотного поля. Отклонения в любую сторону от этой вели-
величины ухудшают условия фазовой группировки и энергообмена частиц
и поля, поскольку время взаимодействия задано однозначно через /3Z
и L. Отметим, что ток пучка в принципе может задаваться выход-
выходной мощностью, связанной с ускоряющим напряжением и поперечным
КПД соотношением
^вых = Г]1ОУо = Г]±1ОУо п2 ± п2
(в пренебрежении омическими потерями в резонаторе). Тогда формула
A.139) позволяет определить дифракционную добротность Q.
Таким образом (с учетом упрощающих предположений), возможно
определить практически все параметры, необходимые для проектиро-
проектирования электронно-оптической и электродинамической систем и выбора
электрического режима.
Интегрирование укороченных уравнений
автоколебаний в гиромонотроне
(теория слабого сигнала)
В случае, когда амплитуда поля мала, малыми величинами явля-
являются параметр поля F, приращение энергии и динамическая поправка
к медленной фазе. С учетом A.77), A.117), A.125)—A.127) представим
энергию W и фазу $ в следующем виде:
W =
$ = -ut + nhcz + пФ = z (-— + пнЛ + пФ = -АС + #о + #ь
Здесь W\ и #i — соответственно приращения энергии и фазы, обу-
обусловленные высокочастотным взаимодействием. В линейном прибли-
приближении W\ <С 1 и #i ^С 1 (# ~ тг). Линеаризуем укороченные уравнения

Гироприборы 51
A.128), A.129), удерживая в правых и левых частях члены первого
порядка по F, W\ и #]_. Тогда
= -Re [jFei(A^o)] , A-141)
d?
^Г = ~Wi - f Re [Fei(^-"o)l . A.142)
dq 2 1 J
Подставив И из A.121) в уравнение A.94), получаем
2тг /i
(Р) = -jV±o^ [ [ Vyn/2F*e^ dt?0 d?. A.143)
о о
Рассмотрим произведение Wn'2e^, входящее в подынтегральное вы-
выражение, в линейном приближении:
+
A.144)
Отбросим постоянное слагаемое («единицу»), поскольку при подста-
2тг
новке в интеграл соответствующий член J eJ^° dfio обратится в нуль.
о
Физически это означает, что если фазы вращающихся электронов не
меняются, т. е. если нет группировки, то распределение по фазам оста-
остается равномерным и средняя мощность равна нулю. Таким образом,
с учетом выражения A.144) имеем
2тг 11
|
(Р) = pxoi- | | (Ч - j^Wi) е^о-ДС) Мо dt (L145)
О О
Интегрируем выражение A.141) непосредственно:
= -Л Re [jFoe^'-^jV)] da'. A.146)
Здесь вместо (иА введены безразмерные переменные — соответствен-
соответственно а = ?//л = z/L и ip = А • /л. Кроме того, функция F(?) = F(a)
представлена в виде F(a) = Fq/(ct), f(cr) — соответствующим образом
нормированное продольное распределение поля.
Интеграл уравнения A.142) имеет вид
а а
$!{?) =-ц \wi{a')da' -^ [Re [eXv'-^Fof((?')] da'. A.147)
о о

52
Лекция 1 A6)
М
-6п -An -2п
Рис. 1.10. График функции М(ф) для однородного распределения поля
Подставив в первый из интегралов выражения A.147) VKi(cr) из
соотношения A.146), получим двойной интеграл. Если теперь образо-
образовать разность f$i — j — Wij и подставить ее в выражение A.145) для
комплексной усредненной мощности, то последняя окажется суммой
тройного и четырехкратного интегралов, которые в общем случае не бе-
берутся. Однако если ограничиться вычислением только активной мощ-
мощности, то результат может быть выражен через сравнительно простой
однократный интеграл:
2
д
Re (Р) =
A.148)
Из последней формулы следует, что в формуле Re (Р) знак мо-
может быть положительным (система электронов-осцилляторов излуча-
излучает) только за счет слагаемого
д
и при достаточно больших /i. Это слагаемое происходит от слагаемого
— W\ в уравнении A.142), которое (см. комментарий к формуле A.129))
непосредствено связано с неизохронностью циклотронного вращения
электронов и инерционной группировкой.
Рассмотрим случай однородного распределения высокочастотного
поля /(<т) = 1, 0 ^ z ^ L, т. е. 0 ^ а ^ 1. Интегральный член выража-
выражается следующим образом:
°f(cr)da
Л \00 — ПООс @I г /гл\1 гт! г »
где величина ср = /a/j,- ^^ = [и — пис{[))\ 1 представляет собой
набег фазы вращающегося электрона относительно поля за время про-
пролета Т. Полученная функция изображена на рис. 1.10. Области с отри-
отрицательным наклоном кривой соответствуют положительному вкладу
слагаемого Hjr— в величину Re (P). Наибольший интерес, естественно,

Гироприборы 53
вызывает область 0 < ср < 2тг, где производная отрицательна и макси-
максимальна по модулю. Относительная полоса частот для этой области
совпадает с частотой циклотронного резонанса, т. е. с шириной полосы
циклотронного резонанса, равной ширине полосы циклотронного по-
поглощения при линейной группировке, когда параметр неизохронности
мал, и величина Re (Р) в выражении A.148) определяется первым
слагаемым.
Пусковой режим гиромонотрона
Пусковые условия автогенератора фактически представляют собой
условия баланса энергий в режиме малых колебаний. Будем исходить
из уравнения баланса активных мощностей A.44). Это уравнение при-
пригодно при любых амплитудах. Если теперь воспользоваться выраже-
выражением A.148) для линеаризованной активной мощности, то, поскольку
и запасенная энергия и величина Re (Р) пропорциональны квадрату
амплитуды поля, последняя сократится, и равенство A.44) даст непо-
непосредственно пусковой ток.
Запишем уравнение A.44) с учетом соотношения A.148) в виде
= Re (P) - ?ю^дЫ, A.150)
где q(<p) =
1
Рассмотрим аксиально-
о
симметричный гиромонотрон. Для этого случая согласно выражениям
A.137) и A.140)
W = IA^PL [jKkRp) - Jm-l(kRp)Jm+l(kRp)] .
Подставляя эти значения в уравнение A.150) и сокращая на |Л|2, по-
получаем пусковой ток:
_ nmeuRl{n\Lnp2z [Jl(kRp) - Jm-i(kRp)Jm+1(kRp)]
Q»efr2Ln^W)Jl{kR) " ( '
Для гауссова распределения поля в резонаторе минимальный пус-
пусковой ток (в Амперах), соответствующий оптимальному углу пролета

54 Лекция 1A6)
(/?, равен:
^мин ~ 17, 5— зч 2пу, т /лч5-2п/ ч2C-2п) ' A.152)
где параметр
— 2 2 2"^ A.153)
называется структурным фактором.
Расчеты показывают, что оптимальные значения расстройки (/?, со-
соответствующие минимальной величине пускового тока, не совпадают
со значениями (f(rj±), соответствующими максимальному КПД. Более
того, пусковой ток, отвечающий (f(rj±), может превышать рабочий ток
в режимах с приемлемыми значениями КПД. Это означает наличие
режима жесткого возбуждения автоколебаний в гиромонотроне. По-
Последнее является фактором усложняющим эксплуатацию генераторов
в импульсном режиме. Отметим также, что область жестких режимов
при работе на гармониках циклотронной частоты существенно выше,
чем при работе на основном циклотронном резонансе п = 1.
Согласно соотношению A.151) пусковой ток (или произведение
^пУск02п-2) быстро возрастает с увеличением п (в первую очередь
за счет E\ в знаменателе). Присутствие этого сомножителя, а также
фактора Jm-n(kRo) связано с тем, что интенсивность взаимодействия
на гармониках гирочастоты определяется неоднородностью высокоча-
высокочастотного поля на ларморовской орбите. При размерах неоднородностей
порядка длины волны излучения эффективное поле имеет величину
( ~Y~ J i/(E2), где (E2) — среднее поле. Следствием этого и является
повышение тока с ростом п. Фактор Jm-n(kRo) связан с выделением
из полного высокочастотного поля спектральной компоненты, соответ-
соответствующей n-й гармонике циклотронной частоты, которая дает вклад
в среднее поле. Из вышесказанного понятно, почему пусковые токи
гиромонотрона на гармониках уменьшаются с ростом энергии частиц.
Отметим также, что пусковой ток при работе на основном гирорезо-
нансе растет с увеличением энергии за счет /3Z в числителе выраже-
выражения A.151), что вызвано уменьшением времени взаимодействия.
Мазеры на циклотронном авторезонансе (МЦАР).
Другие разновидности гироприборов
Как уже отмечалось в начале этой лекции очень важной пробле-
проблемой с практической точки зрения является задача повышения мощно-
мощности генерируемого СВЧ-излучения. Очевидно, что повышение энергии
электронов — наиболее действенный способ этого, так как ресурсы
наращивания мощности за счет тока пучка ограничены эффектами
пространственного заряда. Однако в рамках гиротронного механизма
попытка прямого увеличения ускоряющего напряжения наталкивается

Гироприборы 55
на принципиальные ограничения. Легко убедиться в том, что КПД
ультарелятивистского гиротрона должен быть достаточно малым. Дей-
Действительно, если начальная осцилляторная энергия электронов ?±о ^>
^> ?q, to при электронном КПД порядка единицы, относительное из-
изменение циклотронной частоты в процессе взаимодействия
!. A.154)
Это явно противоречит условию синхронизма. Единственным выходом
здесь видится уменьшение числа оборотов электрона в рабочем про-
пространстве, чтобы набег фазы вращающегося электрона относительно
высокочастотного поля оставался близким к тг. Требуемое число обо-
оборотов оценивается следующими равенствами:
с учетом соотношения A.154) оно оказывается близким к единице. Од-
Однако при этом не работает в достаточной мере механизм квадратичной
группировки, и КПД все равно остается малым. Компромиссом являет-
является использование субрелятивистских энергий пучков B00 -г- 400 кэВ).
В последнем случае возможно поддержать поперечный КПД на уровне
20 -г- 30 %, но тенденция падения КПД с ростом ускоряющего напряже-
напряжения сохраняется.
Некоторым выходом из создавшегося положения может быть при-
применение неоднородного по длине резонатора магнитностатического по-
поля (спадающего к выходному сечению) для компенсации ухода цик-
циклотронной частоты. Значительные трудности на этом пути связаны
с существенно жестким возбуждением колебаний. Действительно, в ре-
режиме малого сигнала изменение массы частиц незначительно и неодно-
неоднородное магнитностатическое поле нарушает синхронизм. В результате
«стартовая» эффективная длина области взаимодействия окажется
существенно меньшей, чем «рабочая» длина.
Другой выход из создавшегося положения — это использование
мазеров на циклотронном резонансе, которые в отличие от гиротрона
работают на бегущих волнах, фазовая скорость которых близка к ско-
скорости света с. В этом случае отлична от нуля поперечная компонен-
компонента магнитного поля волны, и высокочастотная сила Лоренца имеет
продольную составляющую. В результате при энергообмене меняется
не только осцилляторная, но и продольная скорости частиц. Можно
показать, что в процессе энергообмена при этом автоматически поддер-
поддерживается синхронизм между вращающимися электронами и электро-
электромагнитной волной (циклотронный авторезонанс) за счет компенсации
ухода циклотронной частоты доплеровским сдвигом, обусловленным
изменением продольной скорости.
Рассмотрим излучение электронных осцилляторов в поле электро-
электромагнитной волны, бегущей вдоль магнитостатического поля с фазовой
скоростью Уф. Запишем квантовые законы сохранения энергии и им-

56 Лекция 1A6)
пульса при испускании одного фотона:
Атс2 = Пи, A.156)
Apz=hk. A.157)
Отношение приращений запишется как
Атс2 d(mc2) и
d(pz) k
A.158)
Оно не зависит от постоянной Планка, и, следовательно, соотношение
A.158) справедливо в классическом пределе. Таким образом, получаем
следующий закон сохранения:
_UPz (Х _ ? * ) =G =
kmec
Скомбинируем это соотношение с доплеровским условием синхронизма
ПШ A.160)
полагая в обеих формулах /Зф = Уф/с = 1 (точный авторезонанс). Пра-
Правая часть оказывается константой:
П(л)с
1-/3, G v сн с//'
т. е. синхронизм сохраняется независимо от изменения энергии электро-
электрона в процессе взаимодействия с высокочастотным полем. При указан-
указанном строгом авторезонансе вращающиеся электроны вообще не меняют
фазу относительно волны. Но тогда нет фазовой группировки и отсут-
отсутствует индуцированное излучение. Если, однако, немного отстроиться
от авторезонанса, приняв /Зф > 1, то появляется слабая неизохронность
и,следовательно, излучение.
Особенностью МЦАР является и то, что в процессе энергообмена
уменьшается не только осцилляторный, но и продольный импульс, что
следует непосредственно из формулы A.158), т.е. энергия черпает-
черпается из дрейфового движения осцилляторов. Более того, теоретические
оценки [52, 53] показывают, что электронный КПД порядка едини-
единицы возможен при 1 — /?ф <С 7о~2 и v±/vz <С I, т.е. когда дрейфовое
движение является главным источником энергии излучения. Важным
достоинством таких режимов является большое (при 7о ^> 1) допле-
ровское преобразование частоты, что открывает возможность получе-
получения коротковолнового излучения при относительно слабых магнитных
полях. Действительно, полагая, например, в уравнении A.160) Уф =
= с A + -Jq2 ) и учитывая, что ujcq = ojch/jo и /3Z « 1 — -Jn2, находим
V 2 / 2
uj « njoUJCH. Частота колебаний при п = 1 оказывается в 7о раз больше
нерелятивистской циклотронной частоты.
Использование в МЦР электромагнитных волн с Уф « с влечет за
собой существенные изменения электродинамической системы МЦР от

Гироприборы
57
МЦР
Трохотрон
Гиротрон
Пениотрон
Мазер на цикло-
циклотронном авторезо-
авторезонансе
Секционирова-
Секционированные МЦР с
продольно-неод-
продольно-неоднородным магнит-
магнитным полем
МЦР с попереч-
поперечно-неоднородным
магнитным полем
Та
б л и ц а 1.4 (из работы [5, с. 6])
Эффекты, обеспечивающие индуцированное
циклотронное излучение
Реляти-
Релятивистская
зависимость
циклотрон-
циклотронной частоты
от энергии
электронов
+
+
+
Продоль-
Продольная неод-
нород-
нородность
высокоча-
высокочастотного
поля
+
Сильная
поперечная
неодно-
неоднородность
высокоча-
высокочастотного
поля
+
Сильная
продольная
неодно-
неоднородность
магнито-
статичес-
кого поля
+
Попере-
Поперечная
неодно-
неоднородность
магнито-
статичес-
кого поля
+
Направления «продольное» и «поперечное» отнесены здесь к направлению
магнитостатического поля.
резонаторов гиротронов. В частности, приходится отказываться от бес-
бесполезного в данном случае дифракционного вывода энергии, и исполь-
использовать системы, в которых резонатор формируется за счет брэгговского
отражения от периодических структур типа гофрированных волново-
волноводов или на квазиоптические резонаторы. Более жесткие требования
в МЦАР предъявляются и к разбросу скоростей электронов.
Обсудим кратко другие типы мазеров на циклотронном резонансе,
отличные от гиротромонотрона. Как специально отмечается в темати-
тематическом указателе [5] все МЦР подразделяются на группы — по меха-
механизму группировки электронного потока и по виду статических полей
(см. табл. 1.4) и типы — по характеру используемых неустойчивостей
(абсолютная, конвективная) и по конфигурации электродинамических
систем [54]. Так в 1966 г. на 5-й межвузовской конференции по электро-
электронике СВЧ (Саратов, 1966) в обзорном докладе А.В. Гапонова-Грехова
было отмечено, что практически каждому СВЧ-электронному прибо-
прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог [5]. Различные типы таких
аналогов приведены на рис. 1.11, взятом из [5, с. 7]. Теория одного из
таких приборов — гироклистрона — была впервые изложена в докладе
[55], где показано, что «поперечный» КПД двухрезонаторного гирокли-

58 Лекция 1A6)
Рис. 1.11. МЦР-аналоги классических приборов О-типа: а — гиромонотрон;
б — гироклистрон и гиротвистрон; в — гиротрон-усилитель бегущей волны
(гиро-ЛБВ); г — гиротрон-генератор на встречной волне (гиро-ЛВВ)
строна составляет 34%. Гироклистрон с параметрами, аналогичными
приведенным в работе [93], был создан в Горьком в 1967 г. [5] (сноска
на с. 13). В настоящее время гироклистрон и его разновидность —
гиротвистрон — активно исследуются в Мэриленском университете [56-
64].
Взаимодействие винтовых электронных пучков
с незамедленными электромагнитными волнами
в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ)
В конце предыдущего параграфа отмечалось, что практически каж-
каждому прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог. Особый интерес
среди них вызывают гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ (см. рис. 1.11), в которых
реализуется взаимодействие винтовых электронных потоков с бегущи-
бегущими волнами волноводов в режимах усиления сигнала или генерации
с перестраиваемой частотой излучения. Разработке эксперименталь-
экспериментальных установок и теоретическому анализу подобных приборов уделяется
очень большое внимание [65-81], поэтому расмотрим МЦР с бегущими
волнами более подробно.
При выполнении условия синхронизма электромагнитной и элек-
электронной волн
UJ — /Зо^ц « UJC A.161)
имеет место эффективное взаимодействие винтового пучка с электро-
электромагнитными волнами волноведущей структуры. Здесь /3q — постоянная
распространения волны, г>ц — продольная (вдоль направления магнит-
магнитного поля Во) скорость движения электронов. Если пучок взаимодей-
взаимодействует с одной ТЕ-модой регулярного волновода, а вектор Во направлен

Гироприборы
Рис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка
и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействия
вдоль оси волновода, то
= ±-
- 1,
A.162)
где оокр — критическая частота данной моды. При данных о;с, о;кр и г>ц
дисперсионные соотношения A.161) и A.162) определяют в общем слу-
случае два значения частоты, вблизи которых реализуется эффективное
взаимодействие пучка и поля (рис. 1.12).
В первом случае (рис. 1.12 а) дисперсионная характеристика пучка
пересекает обе ветви дисперсионной характеристики волноводной мо-
моды, одна из которых соответствует прямой волне (/?о > 0), а другая —
встречной (/?о < 0). Во втором случае (рис. 1.12 6) обе точки пересе-
пересечения (в частном случае — точка касания о;кас (рис. 1.12 в)) лежат на
«прямой» ветви. С учетом знаков потоков мощности ясно, что в первом
случае возможно усиление сигнала с частотой, близкой к и\ (vrp(coi) =
7777
> 0)> и генерация колебаний на частоте о; 2
< 0).
л
Второй случай более сложен. Если пучок ультрарелятивистский
(v\\ ~ с), то частоты и± и о^ достаточно отличаются от критической ча-
частоты оокр волноводной моды, поэтому в согласованном на частотах oji^
волноводе возможно только усиление сигнала с частотами примерно
равными u\ и U2 (^Гр(^1,2) > 0). Если же пучок слаборелятивистский,
то v?Jc2 <C 1, и из-за близости частоты о^ к о;кр возможно не только

60 Лекция 1A6)
усиление сигнала с частотами и й^1J,нои самовозбуждение системы
вблизи критической частоты даже при хорошем согласовании волново-
волновода.
Описанные ситуации характерны для любого вида взаимодействия
винтового электронного пучка с бегущими волнами независимо от типа
группировки. Наиболее удобно их анализировать отдельно. Рассмот-
Рассмотрим два типа группировки: фазовая группировка за счет релятивист-
релятивистской зависимости массы электрона от его энергии и фазовая сортировка
электронов вследствии поперечной неоднородности ВЧ-поля. Первый
тип группировки имеет место в гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ и рассматри-
рассматривается в этом разделе, второй тип группировки является основным
в пениотроне, который будет изучаться в следующем разделе лекции.
В отсутствие ВЧ-поля траектория электрона в продольном магнит-
магнитном поле описывается уравнениями
z = v\\t, Z = a + PejuJc\ A.163)
где Z = х + jy, х и у — поперечные координаты, z — продольная
координата, а — комплексная координата ведущего центра электрона,
C = г exp [jip], г — радиус и ц> — фаза вращения электрона относительно
ведущего центра. Для описания динамики электрона в присутствии
ВЧ-поля используем, как и в теории гиротрона, метод усреднения,
который применим, когда изменение энергии электрона из-за взаимо-
взаимодействия с ВЧ-полем за время t ~ 2тг/ujc невелико. Поэтому соотноше-
соотношения A.163) сохраняют свой вид и для взаимодействующего электрона,
однако а и /3 будут медленно меняющимися (по сравнению с exp [juct])
функциями времени. Уравнения, описывающие их изменение во време-
времени или по продольной координате, получаются усреднением уравнения
движения релятивистского электрона
^ = -e(E + [vB]/C), A.164)
и в слаборелятивистском приближении без учета влияния простран-
пространственного заряда и ВЧ-магнитного поля имеют вид [83]
Здесь
Е = Ех + jEy = E+(z, z*,t)ejwt + E~(z, z*, t)e~jwt, A.167)
oo
(E) = ^E+ u,u+nl3uj3*u+nejAujz/vw +Y, E~с+п,сР1+пP*Le~jAujz/v",
l/ = 0 L = 0
A.168)

Гироприборы 61
(Eexp[-jcjt]) =
сю
i/=0
E-l+n-1,ipt+n-1Fte-*A"z'v", A.169)
/,=0
(L170)
где Aoj = oj — ojCj (...) обозначает усреднение по времени 2тг/а;с.
Система уравнений A.165)—A.170) учитывает эффекты, связанные
с неизохронностью электронов-осцилляторов и неоднородностью попе-
поперечного ВЧ-электрического поля (последнее позволит построить тео-
теорию пениотрона— МЦР с неоднородным ВЧ-полем, которая будет рас-
рассматриваться далее в лекции). Изменение фазы вращения электронов
вследствии неизохронности описывается первым членом в правой части
уравнения A.166), а от характера неоднородности зависит, какие из
членов сумм в выражениях A.168) и A.169) окажутся превалирующи-
превалирующими.
Начальные условия для уравнений A.165),A.166) зависят от
вида электронного пучка. В частности, для нитевидного винтового
электронного пучка a(z = 0) = а0 = const, /3(z = 0) = /3° =
= roexp[j(/?o] = const, го — ларморовский радиус; для трубчатого
винтового пучка a(z = 0) = а0 = const, /3(z = 0) = /3° = r0 exp [jipo],
cpo G [0, 2тг]; для аксиально-симметричного поливинтового пучка a(z =
= 0) = R° exp [j$o]5 $o ? [0, 2тг], R° — радиус окружности, на которой
расположены центры вращения электронов, /3 (z = 0) = го ex []
у[,]
Для самосогласованного анализа взаимодействия пучка с полем
к уравнениям движения электрона необходимо добавить уравнение
возбуждения для поля Е. Если рассматривается взаимодействие вин-
винтового электронного пучка отдельно для прямой и встречной волны,
то уравнение возбуждения имеет вид (см. том I, лекция 1)
j 27Г
2тг
dz A^s J Nev||
5± 5± 0
A.171)
где E = Re {C(z)Es(x, y) exp [j(ut - /3oz)]}, ~Es(x,y) — собственная
функция взаимодействующей с пучком моды, Ns — норма колебаний,
причем в отсутствии потерь Ns ~ Р, Р — поток мощности в волноводе,
Ро = ^0(^1,2)- Верхний знак в уравнении A.171) соответствует прямой
волне, нижний — встречной. Интеграл в правой части уравнения воз-
возбуждения A.171) может быть выражен через величины а и /3, однако
его конкретный вид зависит от типа пучка и собственной функции.

62
Лекция 1 A6)
TEoi
ТЕп
ТЕп
TEoi
TEoi
i
l
X
t
(
ЩИ
пая
)
i
Рис. 1.13. Примеры взаимодействия винтового (поливинтового) электронного
пучка с модами круглого и прямоугольного волновода
Начальные условия для уравнения A.171) следующие: для прямой
волны C(z = 0) = Свх, где Свх — амплитуда входного сигнала; для
встречной волны C(z = L) = 0 в режиме генерации и C(z = L) =
— Свх в реж;име регенеративного усиления, где L — длина пространства
взаимодействия.
Будем далее в этом разделе рассматривать взаимодействие слабо-
слаборелятивистского трубчатого пучка с поперечным электрическим по-
полем одной из ТЕ-мод волновода в условиях, когда пучок располо-
расположен в области максимального поля (максимума функции 'Es(x,y))
и ларморовский радиус электронов достаточно мал для того, чтобы
в области взаимодействия поле можно было бы считать однородным.
Для однородного поля (Е) = 0, а (Е ехр (—juci)) ~ Е+ /0 в случае
резонанса и = ис. Именно этот случай и будет исследоваться в этом
разделе г). Рассматриваемые ниже модели являются простейшими мо-
моделями, представляющими взаимодействие аксиально-симметричного
поливинтового пучка с полями, например, мод TEqi и ТЕц кругло-
круглого волновода (рис. 1.13 а, б) и моды ТЕю прямоугольного волновода
(рис. 1.13 г), а также трубчатого винтового пучка с полями тех же мод
(рис. 1.13 в,д).
Напомним, что поле в области пучка может быть представлено
в виде суперпозиции двух циркулярно-поляризованных компонент с
противоположным направлением вращения, с одной из которых вин-
г) Неоднородность поля в этом случае вносит несущественные поправки
в основное движение электронов, определяемое однородной компонентой
поперечного поля, и не будет учитываться далее.

Гироприборы 63
товой пучок эффективно взаимодействует. Таким образом, задача сво-
сводится к анализу взаимодействия кольца неизохронных электронов-
осцилляторов с циркулярно-поляризованным однородным поперечным
электрическим полем.
Рассмотрим вначале усиление сигнала на прямой волне — в ги-
роусилителе бегущей волны (см. рис. 1.12 а, и = и±). Для описания
процессов в гиро-ЛБВ из уравнений A.165), A.166) и A.171) с учетом
соотношений (Е) = О, (Е ехр (—jojct)} ~ Е+ можно получить систему
стационарных уравнений в безразмерных переменных, описывающую
взаимодействие прямой электромагнитной волны с винтовым элек-
электронным пучком:
HF 27Г
— -jbF = I, I = -±-^f3dtp0, A.172)
? о
H? = ^. A-173)
Уравнение A.172) есть уравнение возбуждения прямой волны элек-
электронным потоком, уравнение A.173) — уравнение движения электронов
слаборелятивистского винтового пучка.
Уравнения A.172), A.173) решаются со следующими граничными
и начальными условиями:
= 0) = ej4>o, <р0€[0,2п]. A.174)
/ 2 2
Здесь ? = kVz, V = w-?-—N 2 ~~ параметр взаимо-
y 4'/° v\\
действия, /i = v\\/(Vc) — параметр неизохронности, b =
= (uj — /Зо^ц — Ct;c) /(kVv\\) — параметр рассинхронизма, К =
= |Es(a°)|2/Bk2N) — сопротивление связи, к = и/с, F ~ С —
нормированная амплитуда волны, FBX — начальная амплитуда
входного усиливаемого сигнала, величина комплексного радиуса
электрона /3 нормирована на невозмущенный начальный радиус го
вращения электрона вокруг ведущего центра.
В уравнениях A.172)—A.174) предполагается, что возможное само-
самовозбуждение системы вблизи частоты о^ (см. рис. 1.12) каким-либо
образом предотвращено. Заметим, что уравнение для а отсутствует,
поскольку при взаимодействии с однородным полем дрейфа ведуще-
ведущего центра не происходит. Поэтому в гирорезонансном взаимодействии
главную роль играет изменение комплексного радиуса /3.
Впервые физическая модель, соответствующая системе уравнений
A.172)—A.174), была изучена В.К. Юлпатовым в 1964-1967 гг. (см, на-
например, [37,38]).
Система нелинейных уравнений A.172)—A.174) по смыслу анало-
аналогична системе уравнений, описывающих ЛБВ типа О в рамках про-
простейшей нелинейной модели (см., например, [83], а также том 1, лек-

64 Лекция 1A6)
ция 10). Однако есть и существенная разница, связанная с наличием
дополнительного параметра /i, который имеет смысл коэффициента
эффективности преобразования энергии пучка в энергию поля (именно
параметр /i, а не параметр ?>, который соответствует параметру Пирса
в теории ЛБВО). Параметр \i является отношением двух малых па-
параметров v\\/c и V и может принимать, вообще говоря, произвольные
значения.
Для режима усиления слабого сигнала (\F\ <С 1) из уравнений
A.172)—A.174) следует система линейных уравнений гиро-ЛБВ:
<LL+l = jbF, A.175)
dF .,,
-
jF + ^)F /, A.176)
= -FBX, A.177)
где F = Fexp(j>?), P =/3exp(j>?)-
Система линейных уравнений A.175)—A.177) приводит к дисперси-
дисперсионному уравнению (F ~ exp (—jrj?)) следующего вида:
rJ2(rJ + b)-fi-rJ = 0, A.178)
которое было подробно исследовано в книге Л.А. Вайнштейна
и В.А.Солнцева [83]. Из его решения вытекает, что при \i — 0
экспоненциальное усиление сигнала невозможно (для всех трех корней
уравнения A.178) имеет место Imrji = 0). При \i ^> 1 дисперсионное
уравнение гиро-ЛБВ заменой rj = —jS^Jl, b = jb^/JI приводится
к виду, в точности совпадающему с дисперсионным уравнением ЛБВО,
и следовательно, имеет место решение, описывающее процесс усиления.
При произвольных значениях \i также для одного из корней (пусть для
определенности 771) Im^i > 0, и по аналогии с ЛБВ можно определить
асимптотический коэффициент усиления (том 1, лекция 10) в виде
G [дБ] =-Л+ [?-Im »/!]•?, A.179)
где А — параметр начальных потерь.
При анализе нелинейной стадии взаимодействия следует учесть, что
система уравнений A.172)—A.174) имеет интеграл движения, являю-
являющийся по смыслу законом сохранения энергии:
где г]± — коэффициент эффективности преобразования поперечной ки-
кинетической энергии пучка в энергию поля. Заметим, что полный КПД
гиро-ЛВВ определяется соотношением r\ — 77_i_(v_i_o/v||)/A

Гироприборы
65
Рис. 1.14. Линии равного КПД rj± на плоскости параметров (/х, 6) (а) и
распределения амплитуды поля вдоль длины пространства взаимодействия
для различных значений /л (б), построенные в результате численного расчета
нелинейных уравнений гиро-ЛБВ (из работы [82])
Из закона сохранения A.180) следует, что увеличение амплитуды
поля определяется уменьшением радиусов вращения большего числа
электронов кольца.
Результаты численного интегрирования системы стационарных
нелинейных уравнений A.172)—A.174) приведены на рис. 1.14 [82].
Из представленных на плоскости параметров (/i, b) линий равных
значений поперечного КПД г]±, максимально достижимых при данных
значениях \i и 6, видно (см. рис. 1.14 а), что величина КПД может
достигать больших значений (г]± ~ 0, 6 -г- 0, 7) в достаточно широкой
области изменения параметров. Оптимальные значения параметра \i
лежат в интервале /i G A,10). Величина оптимальной безразмерной
длины пространства взаимодействия ?/,опт, определяемая по длине,
на которой наблюдается насыщение мощности |F|2(?), при разумных
значениях поперечного КПД и коэффициента усиления составляет, как
следует из представленных на рис. 1.14 б распределений амплитуды
поля вдоль пространства взаимодействия, величину порядка ?/,опт ~
~2-г10.
Рассмотрим теперь взаимодействие винтового электронного пучка
со встречной бегущей волной в волноводе — гироусилитель или гиро-
генератор со встречной волной (гиро-ЛВВ) (см. рис. 1.12 а, и = о^)-
Система уравнений для этого случая получается из системы уравнений
A.172)—A.174) заменой знака в правой части уравнения возбуждения:
A.181)
A.182)
5 Трубецков, Храмов

66
Лекция 1 A6)
6,дБ
12
8
4
0
\ ^5
а
6,дБ
20
15
10
5
А
N
X \
N
/у =8,0
A560°n\
^" 7,о ^\
"¦-0 ¦-'•'-•^Ч
-4 -3 -2
1
Fo = 0,05
Fo = 0,3
ш
7 .
Аш/юо
1,2
0,8
0,4
о п
5 6
б Iх
Рис. 1.15. Амплитудно-частотные характеристики гироусилителя со встреч-
встречной волной в режиме усиления малого сигнала, построенные для различных
значений параметра неизохронности /i (а); зависимости максимального ко-
коэффициента усиления G и ширины полосы пропускания Auj/ujo от параметра
неизохронности (б). Сплошные линии 1 построены для режима усиления
малого сигнала (из работы [86])
Граничные и начальные условия уравнений гиро-ЛВВ A.181) и A.182)
в режиме регенеративного усиления записываются в следующем виде:
[0,2тг], A.183)
в режиме генерации —
= Л)=0,
= 0) =
[0,2тг], A.184)
где А — безразмерная длина пространства взаимодействия гиро-ЛВВ.
Рассмотрим сначала режим регенеративного усиления в гиро-ЛВВ,
предполагая внешнее воздействие A.183) гармоническим FBX = F^e^1
[85,86].
На рис. 1.15 а представлены зависимости коэффициента усиления
G от частоты о;, построенные для режима усиления малого сигнала
(|Fq| ^C 1), для различных значений параметра неизохронности /i. От-
Отрицательные значения частоты определяются тем, что в используемой
нормировке частота и представляет собой поправку к частоте «холод-

Гироприборы 67
Рис. 1.16. Зависимости эффектив-
эффективности преобразования энергии по-
поперечного движения электронов-ос-
электронов-осцилляторов винтового пучка в энер-
энергию встречной электромагнитной
волны при различных параметрах
неизохронности /х, построенные в ре-
3 0 L зультате численного расчета нели-
' нейных уравнений гиро-ЛВВ (из ра-
работы [82])
ного» синхронизма. Видно, что максимальный коэффициент усиления
растет с увеличением параметра неизохронности.
На рис. 1.15 ? (сплошные линии) показаны зависимости ширины по-
полосы Аи/ljq усиления и коэффициента усиления G в режиме усиления
малого сигнала от параметра неизохронности /i, где частота ио соответ-
соответствует максимальному усилению. Из рисунка видно, что коэффициент
усиления быстро растет с ростом параметра неизохронности и дости-
достигает величин порядка 20 дБ. В свою очередь, ширина полосы Аи/ио
уменьшается с ростом параметра неизохронности. Полосу пропускания
можно достаточно легко сдвигать в широкой полосе частот за счет
изменения величины продольной скорости электронов г>ц или магнит-
магнитного поля Bq. Учитывая узость полосы пропускания, гироусилитель со
встречной волной можно рассматривать как активный узкополосный
фильтр миллиметрового диапазона длин волн.
На рис. 1.15 ^ (штриховые линии) также представлены характери-
характеристики гироусилителя встречной волны при усилении внешнего сигнала
с конечной амплитудой как функции параметра неизохронности \i для
двух значений амплитуды внешнего сигнала: Fq = 0,05 и Fq = 0,3.
В первом случае зависимости Au(fi) и G(fi) существенно отличаются
от результатов линейной теории только при больших параметрах неизо-
неизохронности \i > 6,0. Это связано с тем, что параметр неизохронности
определяет величину фазовой нелинейности гиролампы с бегущей вол-
волной (~ /i(l — |/3|2)/3). Поэтому при больших значениях /i нелинейные
эффекты начинают сказываться при меньшей амплитуде ВЧ-поля. Во
втором случае (Fq = 0,3) вид зависимостей существенно отличается от
результатов малосигнальной теории: коэффициент усиления резко па-
падает, одновременно имеет место значительное расширение полосы про-
пропускания лампы. Таким образом, меняя амплитуды входного сигнала
в достаточно широких пределах возможно эффективно перестраивать
ширину полосы пропускания гироусилителя (активного фильтра).
Рассмотрим теперь генерацию СВЧ-сигналов при взаимодействии
винтового электронного пучка со встречной волной. Численное реше-
решение системы уравнений A.181)—A.184) показывает, что поперечный
КПД гирогенератора со встречной волной в режимах стационарной
генерации имеет значения г]±та^ ~ 0,2 (см. рис. 1.16), что значительно
меньше, чем при взаимодействии винтового пучка с прямой волной.
Причина в инерционном характере фазовой группировки: промодули-
рованный по поперечной скорости на входе в пространство взаимодей-

68 Лекция 1A6)
ствия сильным полем выходного сигнала винтовой электронный пу-
пучок быстро группируется. Электроны-осцилляторы образуют фазовый
сгусток, который затем также быстро разгруппировывается, и элек-
электроны не успевают отдать полю значительную часть своей поперечной
энергии. Поэтому эффективность гирогенератора на встречной волне
существенно меньше, чем гиротрона. Преимущество гиро-ЛВВ в воз-
возможности перестройки частоты генерации при изменении величины
магнитного поля или ускоряющего напряжения г).
При взаимодействии винтового пучка со встречной электромагнит-
электромагнитной волной с ростом длины системы А и параметра неизохронности
/i наблюдается генерация не только монохроматического сигнала, но
и сложных хаотических колебаний с узкополосным спектром. Описание
таких режимов необходимо вести в рамках нелинейных нестационар-
нестационарных уравнений гиро-ЛВВ.
Нестационарную теорию гиро-ЛВВ можно строго построить вос-
воспользовавшись нестационарным уравнением возбуждения волновода
(см. том 1, лекция 1), как это было сделано при построении теории
лампы обратной волны О-типа. Однако учитывая методику вывода
нестационарных уравнений ЛОВО, получить соответствующие уравне-
уравнения гиролампы со встречной волной можно феноменологически путем
замены оператора d/ dz новым оператором, а именно
d_ d__J_d_
dz dz ^rp dt'
или, переходя к переменной ? = k
d д 1 д
di^ Ъ1 vrpkVdi'
Тогда, делая такую замену в уравнении A.181), переходя от времени t
к новой переменной г = uV{t — z/v\\)(l + ^n/l^rpl) и положив b =
= 0, после соответствующих преобразований приходим к уравнениям
нестационарной нелинейной теории гиро-ЛВВ, которые записываются
в виде
2тг
ff ±\d<po, A-185)
A.186)
], A.187)
г) В лекции 7B2) будет обсуждаться возможность повышения КПД гиро-
ЛВВ путем использования в качестве электродинамической системы связан-
связанных волноведущих систем.

Гироприборы 69
где /° — функция, характеризующая начальное распределение поля по
координате.
Рассмотрим особенности нестационарной динамики модели гиро-
ЛВВ, описываемой уравнениями A.185)—A.187) при изменении управ-
управляющих параметров. Заметим, что механизм взаимодействия элек-
электронной и электромагнитных волн в гиро-ЛВВ инерционный и с точки
зрения нелинейной динамики имеет ряд схожих черт с аналогичным
механизмов ЛОВ типа О. При больших величинах параметра ц все
результаты, полученные при анализе нестационарных процессов в ЛО-
ВО, качественно справедливы для гиро-ЛВВ, причем совпадение тем
более точнее, чем больше параметр неизохронности [84].
При малых значениях ц в системе превалирует не «интегральный»
механизм ограничения амплитуды колебаний из-за перегруппировки
электронов, а другой механизм, связанный с фазовой нелинейностью
электронов-осцилляторов винтового пучка. Он заключается в том, что
сформировавшийся в пучке фазовый сгусток с небольшим разбросом
энергий при малом ц на некотором участке пространства взаимо-
взаимодействия может вести себя подобно одному «большому» электрону-
осциллятору. В этом случае ограничение амплитуды колебаний опреде-
определяется главным образом нарушением фазы между электронной волной,
образованной такими сгустками, и электромагнитной волной, а не «раз-
«разрушением» (разгруппировкой) электронных сгустков, как в ЛОВО.
На рис. 1.17 а представлена карта режимов колебаний гиро-ЛВВ на
плоскости управляющих параметров (Л,/х). Кривая 1 на рис. 1.17 а
соответствует бифуркационной линии возникновения стационарного
режима генерации, когда амплитуда выходного поля после переход-
переходного процесса становится не равной нулю и \F(? = 0,r)| = const, что
соответствует одночастотному режиму генерации МЦР со встречной
волной на частоте ljq. Кривая 2 — линия потери устойчивости од-
ночастотного режима. При переходе через нее амплитуда выходного
сигнала | F(? = 0, г) | начинает зависеть от времени — возникает режим
автомодуляции. В этом случае выходной сигнал содержит сложный
набор спектральных компонент. Вблизи линии 2 имеет место одно-
частотная автомодуляция. В этом случае в спектре выходного сигна-
сигнала содержатся базовая высокочастотная спектральная составляющая
uq и частоты uq ± 2тг/д, /д — частота автомодуляции. На линии 3
происходит усложнение выходного сигнала: имеет место удвоение пе-
периода автомодуляции. Кривая 4 соответствует возникновению слож-
нопериодической модуляции выходного сигнала. Кривая 5 — линия
перехода к режимам хаотической автомодуляции, когда зависимость
\F(? = 0, т)\ ведет себя существенно нерегулярно, а спектр генерации
становится сплошным, хотя и остается достаточно узкополосным.
Иллюстрацией наблюдающихся в гиро-ЛВВ переходов между ко-
колебательными режимами являются рис. 1.17 б,в, на которых представ-
представлены бифуркационные диаграммы колебаний медленно меняющей-
меняющейся амплитуды выходного поля \F(? = 0,т)| с изменением параметра
неизохронности /i при двух значениях безразмерной длины системы
А = 3,0 (рис. 1.17 6) и А = 4,0 (рис. 1.17в). На рисунках отложены

70
Лекция 1 A6)
8,0
6,0
4,0
2,0
0,0
\ \ \
\ \\
Хаотическая
автомодуляция
Состояние
равновесия
F
0,60
0,40
0,0
б 3,0 4,8 6,6 8,4 10,2 ц
F
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 А
в 3,0 4,2 5,4 6,6 7,8
Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости
параметров (/х, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выхо-
выходе лампы ? = 0 соответственно при А = 3,0 и Л = 4,0 (б,в) (из работ [84,87])
положения максимумов Fmax амплитуды выходного сигнала \F(? =
= 0, т)| в зависимости от параметра /i. С увеличением неизохронности
электронов-осцилляторов в системе наблюдается возбуждение автоко-
автоколебаний с постоянной амплитудой (режим стационарной генерации).
При некотором \i — /iKp возникает периодическая автомодуляция. Мак-
Максимумы поля на бифуркационных диаграммах откладываются, начи-
начиная с этого значения параметра неизохронности /iKp. С дальнейшим
ростом параметра неизохронности имеет место удвоение периода авто-
автомодуляции, и далее генератор переходит в режим хаотической автомо-
автомодуляции выходного сигнала.
Характерными особенностями пространственно-временной динами-
динамики гиро-ЛВВ являются, во-первых, возникновение устойчивых одноча-
стотных режимов колебаний с «многогорбыми» распределениями ам-
амплитуды электромагнитного поля вдоль координаты пространства вза-
взаимодействия (в численном моделировании были зафиксированы двух-
и трехгорбые распределения) и, во-вторых, бифуркационная линия
потери устойчивости одночастотного режима генерации (линия 2 на
рис. 1.17 а) оказывается сложно устроенной, поскольку переход в ре-
режим периодической автомодуляции может происходить из режимов
с различными пространственными распределениями поля 1).
Исследованные простые модели гиро-ЛБВ (уравнения A.172)-
A.174)) и гиро-ЛВВ (стационарные уравнения A.181)—A.184)
и нестационарные уравнения A.185)—A.187)) сильно идеализированы
г) Аналогичная картина была обнаружена для нерелятивистской лампы
обратной волны О-типа (см. том 1, лекция 13), а также наблюдалась в гиро-
ЛВВ со связанными волноведущими системами (см. лекцию 7B1)).

Гироприборы 71
в том смысле, что в реальных гироприборах с бегущими волнами для
эффективной перестройки частоты генерации, расширения ширины
полосы усиливаемых частот и увеличения КПД генерации часто
вводят одновременное изменение геометрии волновода и величины
магнитного поля вдоль длины пространства взаимодействия г), и
таким образом учитывают вышесформулированные модели.
Впервые способ широкодиапазонной перестройки частоты в гиро-
гироприборах (гиромонотроне с нефиксированной структурой поля), осно-
основанный на использовании электродинамической системы в виде вол-
волновода с плавно расширяющимся в направлении коллектора сечением,
был предложен в 1976г. в работах [89,90]. В таком гиромонотроне ав-
автоколебания возникают на том участке волновода, где критическая ча-
частота близка к гирочастоте; соответственно при изменении магнитного
поля изменяется и частота генерации. Преимуществом такой схемы яв-
является возможность перестройки частоты генерации без необходимости
механического перемещения охлаждаемых деталей в ваккуме. В работе
[90] рассматривался гиромонотрон с электродинамической структурой,
представляющей собой конический переход между регулярными волно-
волноводами. Было показано, что при задании линейного закона изменения
радиуса волновода и при варьировании величины магнитного поля
в гиромонотроне возможно увеличение ширины полосы перестройки
частоты генерации примерно в 5 раз.
Рассмотрим конструкции и особенности работы гироусилителей
и гирогенераторов с бегущими волнами с неоднородными по сечению
электродинамическими структурами и соответственно профилирован-
профилированными магнитными полями. На рис. 1.18 представлены схематические
изображения соответствующих приборов. Обычно в качестве электро-
электродинамических систем в таких гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ используются
цилиндрические волноводы конической формы.
В случае гиро-ЛБВ (рис. 1.18 а) с неоднородной электродинами-
электродинамической системой, расширяющейся к коллекторному концу лампы, вход-
входной усиливаемый сигнал вводится либо распределенным образом (каж-
(каждая частота в свое сечение, которое соответствует критической частоте,
близкой к частоте сигнала), либо посредством циркуляторас выходного
конца лампы и последующего отражения от критического сужения
(для каждой частоты сигнала — своего). Теоретические исследования
неоднородной гиро-ЛБВ, проведенные в работах [70,91], показали воз-
возможность расширения полосы усиливаемых частот, в которой реализу-
реализуются уровень усиления и эффективность энергообмена, сопоставимые
с аналогичными параметрами одночастотного режима, в несколько раз.
В работе [70] была исследована широкополосная с большим коэф-
коэффициентом усиления гиро-ЛБВ, в которой входная и выходные секции
были выполнены в виде конических волноводов. Для предотвращения
х) Известно, что при использовании нерезонансной регулярной в попереч-
поперечном сечении электродинамической системы (волновода) полоса усиления не
превышает 2-3% (полоса циклотронного резонанса).

72
Лекция 1 A6)
Гиро-ЛБВ
Гиро-ЛВВ
В
В
Рис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с кони-
коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полем
самовозбуждения лампы (как и в ЛБВО с локальным поглотителем
(см. подробнее том I, лекция 10)) в систему была введена секция с боль-
большими потерями (~ 100 дБ), которая позволила развязать вход и выход
лампы. Рассматривалась система с током пучка 3,5 А и внешним маг-
магнитным полем 12,65 < Bq < 12,75 кГс. Выходная мощность в экспери-
эксперименте составляла 93 кВт, что соответствовало коэффициенту усиления
70 дБ и КПД ~ 26,5 %. Максимальная ширина полосы усиления лампы
составляла ЗГГц (или соответственно 8,6% от центральной частоты,
которая равнялась 33,2 ГГц).
В гирогенераторе со встречной волной использование коническо-
конического волновода и профилированного магнитного поля (см. рис. 1.18 6)
также позволяет существенно улучшить выходные характеристики ги-
ролампы. В этом случае используется электродинамическая система,
расширяющаяся в сторону инжектора винтового электронного пучка
(т.е. в сторону вывода высокочастотной мощности).
В работах [92] и [69] отдельно исследовались влияние изменения
геометрии волновода или величины магнитного поля на выходные ха-
характеристики генерации гирогенератора со встречной волной.
Влияние изменения магнитного поля вдоль длины системы тео-
теоретически изучалось в работе [92]. Рассматривалось взаимодействие
винтового электронного пучка с ТЕц-модой круглого волновода неиз-
неизменного сечения. Параметры исследуемой модели были следующие:
энергия пучка Vb = 50 кВ, релятивистский фактор 7о = 1,098, ток
пучка /о = ЗА, питч-фактор g = 1,5, радиус регулярного волновода
rw = 0,113см.
Внешнее магнитное поле задавалось в виде [92]
В = --Воевгго + Во [1 + sBzzo] ,
A.188)

Гироприборы
73
50
40
30
20"
10-
-
J
}
500 1000 1500 2000
Рис. 1.19. Зависимости поперечного КПД гиро-ЛВВ в случае постоянного
и профилированного в соответствии с формулой A.188) магнитного поля (из
работы [92])
где Bq = 45 кГс, zq и г о — единичные векторы в продольном и попереч-
поперечном направлении в пространстве взаимодействия, ев — коэффициент
линейного изменения магнитного поля (величина магнитного поля |В|
линейно растет от выхода гиро-ЛВВ z = 0 к коллекторному концу
лампы).
На рис. 1.19 представлены временные зависимости эффективно-
эффективности генерации в гиро-ЛВВ, рассчитанные в соответствии с формулой
A.180), для случая отсутствия профилирования магнитного поля (ев —
= 0) и случая Eb^w — 0,003. Видно, что во втором случае наблюдается
значительный рост «поперечного» КПД г]± (более чем в три раза).
Одновременно имеет место увеличение частоты генерации системы
в 0,0014о;Кр раз, где о;кр — критическая частота для ТЕц-моды круг-
круглого волновода.
Исследуем механизм повышения КПД генерации при изменении
магнитного поля вдоль длины лампы, для чего рассмотрим распределе-
распределения электрического поля ВЧ вдоль длины системы и фазовые портре-
портреты электронного пучка на плоскости параметров «фаза в электрона-
осциллятора относительно волны — координата z» для случая посто-
постоянного и профилированного внешнего магнитного поля (рис. 1.20).
Фаза в есть угол между вектором поперечной скорости электрона
vj_ и вектором электрического поля Е, действующего на электрон вин-
винтового пучка. Очевидно, что электрон будет отдавать энергию ВЧ-по-
лю, если в Е @, тг) и, наоборот, забирать энергию у поля, если в Е
G (тг, 2тг). Фаза электрона определяется из решения уравнения
0(z) = ipo + {ooc/l -ojo- Pov\\) z/v\\0, A.189)
где (fo — начальная фаза электрона. Фазовый сдвиг в электрона от-
относительно волны складывается из кинетической составляющей (кото-
(которая определяется расстройкой относительно циклотронного резонанса
A.Ш))
z/v\\0 A.190)

74
Лекция 1 A6)
и динамической составляющей (которая определяется взаимодействи-
взаимодействием электронов с электромагнитным полем)
0d = - ((wc/7o2)A7o + А)Д«ц) z/vm, A.191)
где А7 и А^ц — изменения релятивистского фактора и продольной
скорости электрона в результате взаимодействия с ВЧ-полем.
В случае внешнего постоянного магнитного поля (см. рис. 1.20 а)
фазовый портрет пучка демонстрирует, что значительная часть элек-
электронов пучка находится в «неправильной» фазе электромагнитного
поля или имеет фазу в « тг, в которой энергообмен мал. Как видно из
рисунка, на длине пространства взаимодействия z ~ 1 см формируется
фазовый сгусток, который быстро разрушается, и в системе наблюдает-
наблюдается фазовая перегруппировка электронов-осцилляторов, причем часть
электронов «выходит» из тормозящей фазы ВЧ-поля. Заметим также,
что вторичный фазовый сгусток в области z ~ 2,0 -г- 2,5 см слабо сфор-
сформирован, и следовательно, малоэффективно отдает энергию ВЧ-полю.
В результате возникает двугорбое распределение электрического поля
вдоль оси z, и эффективность генерации не велика.
Другая ситуация складывается при оптимально подобранной неод-
неоднородности магнитного поля (см. рис. 1.20 6). В этом случае в системе
не наблюдается «вредного» разрушения электронного сгустка и даль-
дальнейшей перегруппировки электронов. В результате распределение поля
I
2 z, см
Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для раз-
различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка
на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны
в — координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б)
магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при uoct = 750, б— 850
(из работы [92])

Гироприборы 75
демонстрирует структуру с одним максимумом. Плотный электронный
сгусток формируется в оптимальной фазе для передачи энергии ВЧ-по-
лю в = тг/2, и КПД системы резко увеличивается.
Это связано с тем, что в системе с увеличивающейся к коллек-
коллекторному концу величиной постоянного магнитного поля |В| условие
циклотронного резонанса A.161) меняется вдоль длины лампы. Это
в свою очередь, как следует из соотношения для динамического фазо-
фазового сдвига 6d A.191), приводит к тому, что величина изменения фа-
фазового сдвига A6d увеличивается для электронов, которые находятся
в ускоряющей фазе ВЧ-поля, и наоборот, уменьшается для электронов
в тормозящей фазе поля. Поэтому на длине пространства взаимодей-
взаимодействия формируется достаточно плотный электронный сгусток, и число
электронов, находящихся в тормозящей фазе ВЧ-поля, существенно
больше, чем в случае однородного магнитного поля.
Рассмотрим теперь, к чему приводит плавное изменение поперечно-
поперечного сечения гиролампы со встречной волной и однородным магнитным
полем.
В работе [69] теоретически исследовалось взаимодействие вин-
винтового электронного пучка со встречной волноводной модой ТЕц
(см. рис. 1.13 6). Геометрия системы совпадает с представленной на
рис. 1.18 6. Параметры электродинамической системы были следую-
следующие: радиус выходного для СВЧ-излучения сечения /2Вых = Змм, ра-
радиус входного сечения /2ВХ = 2,4 мм, длина регулярной секции элек-
электродинамической структуры Lq = 1,5 см, длина конического волновода
L = 5,0 см. Критическая частота ТЕц моды, соответствующая сечению
большего радиуса, была равна 29,3 ГГц, меньшего радиуса — 36,6 ГГц.
Параметры пучка были следующие: ток /q = 2 А, питч-фактор g = 1,4,
радиус ведущего центра 1,05 мм.
На рис. 1.21 представлены выходная мощность гиро-ЛВВ и частота
генерации в зависимости от внешнего однородного магнитного поля
В. Как видно из рис. 1.21 а максимальная выходная мощность си-
системы в случае однородного по сечению волновода (сплошные точки
на графике) составляет 16,8 кВт, что соответствует КПД 10,5%. При
этом наблюдается незначительное уменьшение мощности генерации
при увеличении величины приложенного магнитного поля.
Применение волновода с плавным измененим радиуса сечения при-
приводит к резкому увеличению выходной мощности гирогенератора. Чис-
Численный расчет показывает, что в системе с неоднородным сечением
волновода при прочих равных параметрах максимальная выходная
мощность увеличивается в 2,5 раза, т.е. РВых = 42 кВт при КПД 26%.
При этом с ростом магнитного поля имеет место почти линейный
рост мощности генерации. Одновременно с ростом мощности генера-
генерации имеет место и увеличение частоты ВЧ-изучения при возрастании
магнитного поля. Последнее определяется условием, что для переда-
передачи энергии от электронов-осцилляторов встречной электромагнитной
волне необходимо выполнение условия {и + /?о^ц — шс) > 0, поэтому
с увеличением магнитного поля частота генерации увеличивается. Ме-
Механизм увеличения эффективности генерации при изменении сечения

76
Лекция 1 A6)
Р,кВт
/ГГц
1,30 1,35 1,40 1,45 B/Bq 130 1,35 1,40 1,45,
а б
Рис. 1.21. Зависимости выходной мощности (а) и частоты генерации (б) от
внешнего магнитного поля в гиро-ЛВВ с конической волноведущей струк-
структурой. Магнитное поле нормируется на величину Во, которая соответствует
точному циклотронному резонансу A.161) при радиусе волновода R = Змм
(из работы [69])
волновода подобен описанному выше для системы с изменяющимся
магнитным полем (подробнее см. [69]).
В заключение раздела остановимся на обсуждении нестационарной
динамики в гиро-ЛВВ с изменяющимся поперечным сечением элек-
электродинамической системы. В работе [81] численно с помощью элек-
электромагнитного кода MAGY [88], предназначенного для исследования
физических процессов в электронных приборах с длительным взаи-
взаимодействием, анализировалась нестационарная динамика в гиро-ЛВВ
с входной и выходной секцией в виде волноводов конического сечения,
геометрия которого представлена на рис. 1.22 а. Заметим, что анало-
аналогичная электродинамическая система использовалась в обсуждаемой
выше работе [70] для создания широкополосной с высоким коэффи-
коэффициентом усиления гиро-ЛБВ. Геометрические параметры исследуемой
гиролампы приведены на рис. 1.22 а, величина внешнего магнитного
поля составляла В = 14,52 кГс.
Исследование нестационарных процессов проводилось при измене-
изменении тока пучка /о и степени неоднородности электродинамической
системы (радиуса выходного волновода Rt)- Результаты численного
моделирования представлены на рис. 1.22 б, на котором на плоскости
параметров (/t^,/o) нанесены области отсутствия колебаний, стацио-
стационарной и нестационарной генерации в гиро-ЛВВ.
При малых токах пучка пусковые условия не выполнены, и колеба-
колебания в гиро-ЛВВ не возбуждаются. С увеличением радиуса выходного
волновода Rt эта область на карте режимов незначительно расширяет-
расширяется. С ростом тока пучка имеет место установление режима стационар-
стационарной генерации, когда амплитуда колебаний выходного ВЧ-сигнала не
меняется с течением времени. Дальнейшее увеличение тока приводит

Гироприборы
77
Rt= 2,76 мм Rmf= 2,65 мм
0 2 4 6
10 12 14
Автомодуляция выходного
сигнала
Стационарная генерация i
Отсутствие генерации ¦
2,65 2,7 2,75 2,8 2,85
Рис. 1.22. а — геометрия исследуемой гиро-ЛВВ с входной и выходной сек-
секцией в виде волноводов конического сечения. Первая секция лампы пред-
представляет собой волновод диаметром Rt и длиной 1 см, далее располагается
ссуживающийся конический волновод длиной 1,27 см; следующая секция —
регулярный волновод длиной 10 см и в конце пространства взаимодействия
располагается выходная секция, симметричная с входной секцией; б— харак-
характерные режимы колебаний гиро-ЛВВ с переменным сечением волновода на
плоскости параметров «радиус входного волновода Rt — ток пучка /о» (из
работы [81])
к возникновению автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ. Однако
при Rt > 2,69 -^ 2,77мм и токе пучка 1 А < /0 < 10 А наблюдается
вторая область стационарной генерации. Последнее означает, что пу-
путем подбора степени неоднородности электродинамической системы
возможно подавление автомодуляции выходного сигнала при больших
токах пучка, а следовательно, получение одночастотной генерации
с высокой выходной мощностью. Возникновение автомодуляции меж-
между двумя зонами стационарной генерации при изменении тока пучка
и степени неоднородности в работе [81] связывается с возможностью
одновременного возбуждения в электродинамической структуре двух
мод с различными распределениями поля вдоль пространства взаимо-
взаимодействия. Характер автомодуляции, во многом, определяется отраже-
отражением встречной волны от входа системы и взаимодействием в области
регулярного волновода с винтовым пучком.
В заключение этого параграфа приведем некоторые характеристи-
характеристики экспериментально реализованных гироприборов с бегущими волна-
волнами.
В Мэрилендском университете (США) создан экспериментальный
макет гироусилителя бегущей волны, внешний вид и схематическое
устройство которого представлено на рис. 1.23. Он представляет собой
многосекционную лампу со значительной выходной мощностью и зна-
значением ширины полосы усиливаемых частот порядка 3%. Винтовой
электронный пучок формируется магнетронно-инжекторной пушкой 1
и далее проходит последовательно через три секции. В первой секции 3
имеет место взаимодействие пучка с ТЕо2-модой круглого волновода.

78
Лекция 1 A6)
л.
¦ '-¦—,!*..'!
Рис. 1.23. Внешний вид и схематическое устройство двухсекционной гиро-
ЛБВ. Здесь 1 — магнетронно-инжекторная пушка, 2 — ввод ВЧ-энергии, 3 —
первая секция, работающая на моде ТЕ02, 4 — дрейфовая секция, в которой
располагается поглотитель ВЧ-мощности, 5 — вторая секция, в которой про-
происходит преобразование моды ТЕ02 в моду ТЕоз волновода, частота которой
выше в два раза, 6 — коллектор отработанных электронов с водяным охла-
охлаждением, 7 — выходное окно для мощного СВЧ-излучения (также с водяным
охлаждением) (из доклада В.Л. Гранатстейна на конференции по вакуумной
электронике (Монтерей, Калифорния, 1 мая 2000 г.))
Вторая секция (на рис. 1.23 отмечена цифрой 4) — это пространство
дрейфа пучка с поглотителем высокочастотной мощности, предназна-
предназначенная для развязки входа и выхода лампы (ср. с ЛБВ типа О с погло-
поглотителем ВЧ-мощности, обсуждаемой нами в лекции 10 первого тома).
В этой секции происходит фазовая группировка винтового электрон-
электронного пучка, промодулированного внешним сигналом, подаваемым на
вход лампы 2. В третьей секции 5 происходит взаимодействие хорошо
сгруппированного винтового пучка с возбуждаемым им полем TEq2-
моды. Последняя преобразуется вдоль длины пространства взаимо-
взаимодействия в ТЕоз-моду волновода, излучение которой и выводится из
вакуумного окна 7. За счет такого преобразования удается осуществить
усиление на второй гармонике циклотронной частоты. Соответственно
частота усиленного выходного сигнала удваивается по сравнению с ча-
частотой входного поля. Отработанный электронный пучок осаждается

Гироприборы 79
на коллектор 6, который имеет водяное охлаждение. Типичные рабочие
характеристики гиро-ЛБВ, приведенной на рис. 1.23, следующие.
Напряжение пучка 48 кВ
Ток пучка 22 А
Частота входного сигнала 16-16,5 ГГц
Частота выходного сигнала 32-33 ГГц
Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 3 %
Максимальная выходная мощность 120 кВт
Коэффициент усиления 36 дБ
КПД 12%
Величина внешнего магнитного поля 6,41 кГс
Более высокочастотный гироусилитель (гиролампа бегущей вол-
волны W-диапазона, соответствующего частотам порядка 100 ГГц) раз-
разработан фирмой Вариан (в настоящее время — фирма CPI) [74,94].
В лампе используется электродинамическая структура с постоянным
поперечным сечением и неизменным вдоль лампы магнитным полем,
что делает прибор достаточно узкополосным, как и лампа, характери-
характеристики которой представлены выше. В качестве источника электронов
используется пушка Пирса с вигглером, обеспечивающим движение
электронов по винтовым траекториям. Винтовой пучок взаимодейству-
взаимодействует с ТЕц модой круглого волновода. Приведем основные рабочие ха-
характеристики лампы.
Напряжение пучка 65 кВ
Ток пучка 5,6 А
Частота входного сигнала 95 ГГц
Частота выходного сигнала 95 ГГц
Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 2 % A,9 ГГц)
Максимальная выходная мощность 28 кВт
Коэффициент усиления 31 дБ
КПД 8%
Величина внешнего магнитного поля 33 кГс
Как уже говорилось выше, для расширения полосы частот гиро-
ламп с бегущей волной необходимо использовать в качестве электро-
электродинамических структур волноводы с коническим сечением с одновре-
одновременным изменением ведущего магнитного поля вдоль длины лампы.
Характеристики экспериментального образца подобной гиро-ЛБВ, раз-
разработанной в военно-морской лаборатории США [95], представлены
в следующей таблице.
Напряжение пучка 33 кВ
Ток пучка 1,6 А
Частота входного сигнала 33 ГГц
Частота выходного сигнала 33 ГГц
Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 33 %
Максимальная выходная мощность 5 кВт

80
Лекция 1 A6)
Коэффициент усиления > 20 дБ
КПД 11%
Величина внешнего магнитного поля 12 кГс (изменяется вдоль
пространства взаимодействия)
Из таблицы видно, что путем введения неоднородности магнитного
поля и геометрии волновода удалось расширить полосу усиливаемых
частот гироприбора более, чем в 10 раз. Аналогичные результаты были
получены в этой же научной лаборатории при разработке многосекци-
многосекционных гиро-ЛБВ [96,97].
Пениотрон — эталонная модель распределенной
системы с силовой группировкой электронов
Наряду с гиротронами и гироприборами с бегущими волнами боль-
большой интерес вызывает и другой МЦР — пениотрон. Этот СВЧ-усили-
тель был предложен в середине 60-х годов японскими исследователями
[98]. Его конструкция отличается от конструкции гиротрона существен-
существенной неоднородностью высокочастотного поля. Электродинамическая
структура пениотрона представляет собой прямоугольный волновод
с двумя парами выступов (рисунки 1.24 а, 1.25). Электрическое поле
ТЕ-волны сосредоточено в основном между выступами (области I, III
на рис. 1.25, а в области II поле практически отсутствует). Тонкий
полый цилиндрический электронный пучок движется в постоянном
магнитном поле Во, направленном вдоль оси волновода. Электроны
пучка вращаются с циклотронной частотой ис по винтовым линиям,
оси которых совпадают с осью симметрии поперечного сечения волно-
волновода. Пучок взаимодействует с быстрой волной TEqi в условиях допле-
Рис. 1.24. Конструкция пениотрона

Гироприборы
81
ровского резонанса на какой-либо из четных гармоник циклотронной
частоты:
ш ~hv\\ -2риос = 0, A.192)
где р = 1,2,3, ... будем называть порядком резонанса, и — частота
входного сигнала, h — постоянная распространения волны на частоте о;,
v\\ — продольная составляющая скоростей электронов. Размеры попе-
поперечного сечения волновода и радиус ларморовской орбиты выбираются
так, что невозмущенная электронная орбита пересекает все три области
A,11, III; см. рис. 1.25).
На рис. 1.25 а стрелки соответствуют фазе высокочастотного поля,
при котором электроны в области I тормозятся, а в области III — уско-
ускоряются. Когда частицы проходят половину окружности и попадают
в область III, фаза поля меняется на целое число 2тг, и в области III
электроны ускоряются. В начале эти воздействия одинаковы. Однако
следует учитывать еще и дрейф ведущего центра в скрещенных полях,
который для указанной на рисунке фазы направлен влево. Поэтому
вращающиеся электроны все большее время проводят в области I
(рис. 1.25 б) и радиус орбиты уменьшается, а энергия передается высо-
высокочастотному полю. При обратной фазе поля тормозятся уже правые
электроны. Но и направление дрейфа меняется на противоположное,
так что торможение опять превалирует, и орбиты стягиваются к право-
правому «фокусу» (рис. 1.25 в). Как видно, здесь неизохронность не играет
принципиальной роли, и группировка является силовой и простран-
пространственной.
К достоинствам пениотрона следует отнести следующее.
1. Требуемое магнитное поле существенно меньше, чем в гиротроне:
в 2 раза при работе на резонансе первого порядка (р = 1), в 4 раза —
на резонансе второго порядка (р = 2) и т. д.
2. Параметры волновода нетрудно выбрать так, чтобы в нем могла
распространяться в интересующем диапазоне длин волн только одна
рабочая мода, а следовательно, проблемы конкуренции мод, достаточно
важной для гиротрона, не существует.
3. Простота электродинамической структуры и легкость ее согласо-
согласования.
4. Расчеты демонстрируют возможность достижения КПД близких
к единице.
/
/
/
/
Ж
/
/
/
/
V
а 6 в
Рис. 1.25. Схема группировки в пениотроне
Трубецков, Храмов

82 Лекция 1A6)
Главными недостатками пениотрона являются малый объем актив-
активной среды в масштабе длины волны и весьма жесткие требования
к электронной оптике.
Изложим здесь, следуя работам [99,100], простейшую теорию пенио-
пениотрона, которая рассматривает «почти идеальный» пениотрон, учиты-
учитывая из всех паразитных факторов только релятивистскую неизохрон-
неизохронность циклотронного вращения электронов.
Предположим, что распределение поля рабочей моды волны в об-
области пучка такое же, как для ТЕМ-волны в четырехпроводной линии
передач (см. рис. 1.24 6) [99]:
Е = Ех+ jEy = 4*(z*)Re [?(z) exp [-ju(t - z/v\\)]] , A.193)
где
2 , j2 л
z = x + jy, zi,2 = ±s±jd,
gk = y/i + s2/d2 sin [BA; + 1) arctg (d/s)].
Отметим, что выбор функции Ф в виде A.194) обусловлен лишь
желанием сделать постановку задачи более конкретной. На самом деле
для дальнейших выкладок существенна лишь возможность представ-
представления поля в виде аналитической функции от (z*) . Такая возмож-
возможность обусловлена, во-первых, малостью геометрических размеров s
и d по сравнению с длиной волны 2тг//г (см. рис. 1.24 а), и, во-вторых,
симметрией профиля волновода относительно поворота на угол тг. По-
Поэтому дальнейшее рассмотрение применимо не только к волноводу,
представленному на рис. 1.24 а, но и для другой конфигурации ребер,
удовлетворяющих указанным условиям х).
Поскольку рассматривается нерезонансная электродинамическая
структура — волновод, то можно полагать, что высокочастотное поле
не будет слишком сильным, и за один оборот электрон сможет отдавать
ему лишь незначительную часть энергии. Так, в работе [101] рассмат-
рассматривается пениотрон, в котором электроны совершают за время пролета
не меньше 20 оборотов. Поэтому, как и в теории МЦР (гиротронов,
гироламп бегущей и встречной волны), для пениотрона применим ме-
метод усреднения, в рамках которого движение электрона в поле волны
A.193) в слаборелятивистском приближении описывается уравнениями
х) При s и d много меньших 2тг/h в уравнении Гельмгольца А^Ф + ае2Ф =
= 0, которому подчиняется мембранная функция, в области между ребер
можно пренебречь членом ае2Ф. Тогда приходим к уравнению Лапласа, ре-
решение которого, представляющее интерес в данном случае, является анали-
аналитической функцией Ф(з*).

Гироприборы 83
A.165), A.166) (см. также [83]), которые запишем в следующем виде:
z = а + f3e~jUct, z = v\\(t-t0),
х. • з_ . A.195)
z = --L.{E), /3 = ^/3\/3\2 + ^-о(Ее-^),
z\t=to=0, P\t=t0 = r0ei<fi0. A-196)
Напомним, что а определяет положение ведущего центра электронной
орбиты (х = Re<5, у = 1т а — декартовы координаты центра), /3 —
радиус \/3\ и фазу arg/З циклотронного вращения по орбите; го и ifo —
полярные координаты электрона в момент to ег0 влета в пространство
взаимодействия; (...) означает усреднение по «нерелятивистскому»
периоду циклотронного вращения 2тг/а;с. Первый член в правой части
уравнения для /3 A.195) отвечает единственному учитываемому здесь
релятивистскому эффекту — зависимости массы электрона от скоро-
скорости, приводящей к необходимости внесения поправки к циклотронной
частоте.
Подставляя соотношения A.194) в уравнения A.195) с учетом вы-
выражения A.192), несложно увидеть, что после усреднения ненулевой
вклад внесут члены ряда A.194) с номерами к ^ р. В дальнейшем
будем учитывать только первые неисчезающие после усреднения члены
ряда A.194). Строго говоря, вклад следующих членов несущественен
при 7*о/ (s2 + d2) <^i 1; величина этого отношения будет определять
порядок величины допускаемой ошибки. Практически, однако, общий
характер распределения поля описывается достаточно правильно, что
позволяет использовать это приближение и в тех случаях, когда нера-
неравенство и не является сильным. С учетом последнего предположения
и после усреднения уравнения движения принимают вид
^ (в*Jр
d2)p[P ] '
A-197)
Bo [s + а )
Уравнения движения необходимо дополнить уравнением возбужде-
возбуждения рабочей волноводной моды:
dl_ .(h_w\E = _h2K
dz T «НУ 2
[ dxdyju-E°_sexp (-J^-A , A-198)
J \ II /
27r
1 27r.
где }ш = — J jeeja;^ dt — первая гармоника плотности тока сгруппи-
п о
рованного пучка, К — сопротивление связи (поток мощности волны

84 Лекция 1A6)
Р связан с амплитудой электрического поля в начале координат соот-
соотношением Р = \Е\2 / Bh2 К)), E°_s — вектор с компонентами E®_sx =
= Re4*(z*) и E^_sy = Im4*(z*), h — волновое число.
Система уравнений A.197) и A.198) описывает самосогласованную
задачу. Чтобы ее решить, необходимо эти уравнения записать через
одни и те же переменные. Для этого, во-первых, заменим в уравне-
уравнении A.197) производную d/dt на v\\d/dz (в соответствии со вторым
соотношением в A.195)), и, во-вторых, выразим правую часть уравне-
уравнения A.198) через а и /3.
Предположим вначале, что электроны влетают в пространство
взаимодействия не непрерывно, а компактными сгустками заряда IqT
с начальным азимутом сро в моменты времени t = to -\- nZo, n =
= О, =Ы, ±2, где Т = 2тг/а;, /о — средний ток пучка. Создаваемая ими
плотность тока будет определяться выражением
¦to -пТ - z/v\\). A.199)
Здесь хе, уе — координаты сгустка, ve — его скорость, компоненты
которой ve^x = Re (ju>cf3ejuJctY ve^y = Im (ju>cf3ejuJct). Отсюда для
фурье-компоненты плотности тока имеем
jw = — ve5(x - xe)S(y - ye)eJUj{t°^\ A.200)
v\\
Подставив полученное выражение в соотношение A.198), правую часть
уравнения возбуждения запишем как
Используя теперь представление функции Ф(г*) в виде ряда A.194)
и пренебрегая, как и раньше, нерезонансными членами и членами
степени выше 2р, после усреднения по переменным сро и uto получим
уравнение возбуждения в виде
/ j T A-201)
dz \ v\\J V\\N (s2 + d2)P 2?
Уравнения A.197) и A.201), дополненные начальными условиями
A.196) и условием
e\z=o=S@), A.202)
полностью определяют задачу об усилении сигнала в пениотроне.
Введем безразмерные переменные и параметры: а = \/2р—e2j>^0 ?
го
/3 = —e~J(/?0, F = ?/BhWo) ~ нормированная амплитуда вы-
высокочастотного поля, ? = hVz — продольная координата, b =

Гироприборы 85
= (о; — hv\\ — 2рис) /(hVv\\) — параметр рассинхронизма, е =
= oj2Tq/'Bc2v\\hV) — параметр, характеризующий относительную
величину релятивистской неизохронности циклотронного вращения
_ lloKp Л , ш2сг1\
электронов, V = W / 1 + —^ — параметр взаимодействия,
V 2V V )
V
Кр = К [(s2 + d2)P /gp], Vo — ускоряющее напряжение. В новых
переменных система уравнений принимает вид
^ = -F(/TJp, A.203)
^=je\C\2f3 + Fa*(n2p-1, A-204)
1L _ jbF = -a/32P A.205)
с начальными условиями
а|с=о, Pk=o = 1, F|c=0 = Fo, A.206)
где Fq всегда будем считать действительным.
Отметим, что благодаря замене а ~ ae2ip(f0 и /3 ~ f3e~i(f0 зави-
зависимость от начальной фазы у?о исчезает из уравнений и начальных
условий, так что движение всех электронов, рассматриваемое как из-
изменение «новых» координат а и /3, происходит одинаковым образом.
Поэтому в уравнении A.201) можно убрать усреднение по начальным
фазам, как это и сделано при записи уравнения возбуждения в форме
A.205). Такое упрощение связано с тем, что мы задали фиксированным
поперечное распределение переменного поля в форме Ф (z*) ~ (z*) p.
Очевидно, что при более общем законе распределения Ф (z*) зависи-
зависимость от начальных фаз </?о сохраняется.
В линейном режиме (т.е. \а\ ^С 1, |F| ^С 1, /3 ~ eJ?^) из системы
уравнений A.203)—A.205) следует, что
^ —-jbF = -ae2^. A.207)
Если искать решение в виде F ~ е^^, а ~ e(s~2JP?)^^ T0 приходим
к дисперсионному уравнению
S[S-j(b-2pe)] = 1. A.208)
Решая уравнения A.207) с начальными условиями A.206), находим
зависимость амплитуды сигнала \F\ = А от длины ? в виде
pef. A.209)
Область значений управляющих параметров, где реализуется уси-
усиление, определяется неравенством
2(ре-1) < b < 2(pe + l). A.210)

86 Лекция 1A6)
Получим первые интегралы (законы сохранения) системы A.203)-
A.205). Умножим уравнение A.203) на а*, а A.204) — на /3* и сложим
их с комплексно сопряженными выражениями и между собой. После
интегрирования с учетом соотношения A.206) будем иметь
\а2\ + \/32\ = 1. A.211)
Аналогичным образом, умножая уравнение A.204) на /3* и A.205) на
F*, находим
\F\2 + \p\2 = F* + l A-212)
— закон сохранения энергии. Наконец, если в правую часть соотноше-
соотношения
B) = Im
A.213)
подставить выражения для производных из A.203)—A.205), то следую-
следующее интегрирование дает
Im (F'af) + Ь-\Й2 ~ f I/3I4 = Ь-=^. A-214)
Как видно из выражения A.205), амплитуда А должна удовлетво-
удовлетворять уравнению
НА
^ = -|aP|2"cos^ A.215)
где ф = arg (F*af32p). Выразим \а\, \/3\ и cos-0 через А = |F| из фор-
формул A.212), A.214) и подставим в соотношение A.215). В результате
получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно
А с разделяющимися переменными. Интегрируя его, можно получить
соотношение, которое определяет в неявном виде зависимость ампли-
амплитуды волны А от координаты:
- (а2 ~ F$) [^ + ре (^1 - l)] } V2 da. A.216)
В частном случае р = 1, 6 = 0, ? = 0 в результате вычисления
интеграла имеем
А = v " v " A.217)
Из последнего соотношения и рис. 1.26, на котором показаны зависимо-
зависимости А(?) для различных значений Fq, видно, что при ? —у ос амплитуда

Гироприборы
87
Рис. 1.26. Зависимости амплитуды поля А от продольной безразмерной ко-
координаты ? для различных значений Fo и р = 1, b = О, е = О
поля стремится к д/l + Fq . С учетом закона сохранения A.212) это
означает, что в пределе ? —у ос вся кинетическая энергия циклотронно-
циклотронного вращения электронов передается высокочастотному полю, т. е. КПД
преобразования г]± стремится к единице.
Анализ полученных уравнений и их решений позволяет рассмотреть
механизм фазировки в пениотроне. Приведенная ниже трактовка меха-
механизма фазировки аналогична методу усреднения, и в ней также находит
отражение возможность достижения 100%-го асимптотического КПД.
Для определенности ограничимся случаем основного резонанса р = 1.
Рассмотрим электрон, вращающийся по циклотронной орбите,
центр которой находится в центре координат (рис. 1.27). Проследим за
изменением фазы поля за время одного оборота. Нетрудно видеть, что
силы, тормозящие и ускоряющие движение электрона на различных
участках его орбиты в точности сбалансированы (на рис. 1.27 эти
силы показаны стрелками в тех точках орбиты, где проекция вектора
электрического поля на направление движения электрона максимальна
по абсолютной величине). Поэтому скорость вращения электрона по
орбите сначала меняться не будет, однако, ведущий центр начнет
смещаться перпендикулярно направлению средней за период силы (на
о jf в
Рис. 1.27. Механизм фазировки в пениотроне

Лекция 1 A6)
рис. 1.27 а— влево). При этом из-за неоднородности высокочастотного
поля баланс между ускоряющей и тормозящей силой нарушается
в пользу последней, и электрон начинает отдавать энергию полю.
Если электрон попал в другую начальную фазу (см. рис. 1.27 5^ в),
то направление смещения ведущего центра будет другое, но оно
приведет к тому, что вращение по орбите опять начнет замедляться
высокочастотным полем. Интенсивность воздействия поля на электрон
оказывается не зависящей от начальной фазы, если 4?(z*) ~ (z*)
(см. начало раздела); все электроны находятся в равных условиях.
Это можно видеть и непосредственно из рис. 1.27. Рисунки а; б, в
переходят друг в друга простым поворотом вокруг начала координат.
Таким образом, если удалось полностью отобрать энергию вращения
у одного электрона, то она будет полностью отобрана и у остальных:
поперечный КПД г]±_ составит 100%. Для других порядков резонанса
картина фазировки в общих чертах останется такой же.
На рис. 1.28 показано, как меняется вид пучка в поперечном се-
сечении в процессе взаимодействия. Такие изящные и сложные формы
возникают в результате того, что смещение ведущих центров и враще-
вращение по орбитам определенным образом сфазированы для различных
электронов. При построении рис. 1.28 использовалась вытекающая из
соотношений A.195), A.211) и A.212) формула для поперечных коор-
координат электронов (Fq <С 1)
z = г0
Отметим, что с течением времени картина вращается с частотой
ис/Bр + 1), так что за период 2тг/а;с любой электрон успевает побы-
побывать в каждой точке петли.
Рассмотрим теперь вопрос самовозбуждения пениотрона на встреч-
встречной волне, что позволит использовать данный МЦР не только как уси-
усилитель, но и как генератор СВЧ-излучения. Для простоты ограничимся
случаем р = 1, е = 0, b = 0.
Рис. 1.28. Вид пучка в поперечном сечении в процессе взаимодействия

Гироприборы
89
Частоты, при которых справедливо условие синхронизма A.192),
могут быть найдены графически. Им соответствуют точки пересечения
дисперсионной характеристики волновода uj2 — и2о = h2с2 и прямой
линии и = hv\\ + 2иср, где ио — критическая частота волновода. Как
видно из рис. 1.29, на котором пред-
представлена соответствующая диаграм-
диаграмма Бриллюэна, при 2иср > ио усло-
условие A.192) выполняется для прямой
волны на частоте uj\, а для встречной
волны на частоте о^, причем ио <
< U2 < оо\. Поэтому для колебания
с частотой шйш2в пениотроне будет
существовать распределенная обрат-
обратная связь, как и в лампе обратной
волны, и возможно возникновение ге-
генерации.
Взаимодействие встречной волны
с электронным пучком описывает-
описывается уравнениями A.203)—A.205), где,
однако, нужно изменить знак перед
правой частью уравнения возбужде-
возбуждения. В определении безразмерных
переменных и параметров следует понимать под и частоту самовозбуж-
самовозбуждающихся автоколебаний о; « и2, h(u) < 0. Первый интеграл A.212)
принимает вид (как и раньше, Fq = F@))
\C\2 - \F\2 = 1- F02, A.218)
а формулы A.211) и A.214) остаются неизменными.
Условие генерации определяется отсутствием сигнала на коллек-
коллекторном конце прибора
F\i=iL=0. A.219)
Как видно из соотношения A.214), при ? = 0 условие A.219) может
выполняться только, если 6 = 0. Проводя вычисления, аналогичные
проведенным выше, получим зависимость амплитуды поля от расстоя-
расстояния при генерации на встречной волне (рис. 1.30 а) в виде
р
Рис. 1.29. Дисперсионная харак-
характеристика волновода, поясняю-
поясняющая возникновение в пениотроне
распределенной обратной связи
на встречной волне
F =
FoJl-FgcosJl-Fgt
A.220)
Уровень выходного сигнала Fq и безразмерная длина прибора ?/, свя-
связаны соотношением (см. рис. 1.30 6)
X
A.221)

90
Лекция 1 A6)
Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния ? при
генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq
от безразмерной длины прибора ?l (р = 1, Ь = 0, е = 0) (б)
При ?/, —у оо и i*o —У 1 КПД генератора при увеличении длины при-
приближается к 100%. Пусковое условие генерации получается из соотно-
соотношения A.221) при Fq -у 0: ?пуск = тг/2.
Таким образом, пениотрон может использоваться в качестве гене-
генератора, причем с достаточно высоким КПД С другой стороны, для
пениотрона-усилителя самовозбуждение на встречной волне становит-
становится весьма неприятным паразитным эффектом. Дело усугубляется тем,
что на частоте о^ сопротивление связи больше, чем на частоте и\. Это
означает, что предельно допустимая безразмерная длина усилителя
даже меньше тг/2. Оценим ее величину, предполагая, что частоты o;i,
U2 и 2рис близки к критической частоте х).
Аппроксимируем дисперсионную характеристику волновода пара-
параболой
2wo '
A.222)
а зависимость сопротивления связи от частоты — выражением
К =
A.223)
Тогда можно определить частоту о^, благоприятную для паразитной
генерации, и отношение сопротивлений связи K{uj2)/K{uji) через вели-
величины ljq и Со?!, предполагаемые заданными, следующими формулами:
г) Такой выбор соотношения частот обусловлен стремлением обеспечить
более высокое сопротивление связи [101].

Гироприборы 91
A.224)
nS-y/2S'
где S = o;/o;i — 1, n = с/^ц. Таким образом, на рабочей частоте и\
условие самовозбуждения паразитной генерации дается выражением
ib -Спуск - 7^/1- -
Взяв значения параметров пениотрона, описанного в [101]: S = 1/9,
п = 11,3, для пусковой длины получаем значение Спуск = 1,24. Это
очень маленькое значение, которое позволяет получить коэффициент
усиления в линейном режиме не более 5,5 дБ.
Вместе с тем существуют и некоторые факторы, которые улучша-
улучшают вышеописанную ситуацию. Во-первых, на паразитном колебании,
более близком к критической частоте, должны сильнее сказываться
потери в волноводе. Во-вторых, возможно использование прибора как
усилителя на встречной волне, подобного ЛОВ-усилителю. В-третьих,
возможно выбрать 2иср < ujq так, чтобы дисперсионная характери-
характеристика пучка проходила как штриховая линия на рис. 1.29. Заметим,
что при этом вопрос о характере неустойчивости — конвективной или
абсолютной — становится нетривиальным и требует для своего кор-
корректного решения учета ряда других факторов, в первую очередь учета
пространственного заряда. И наконец, естественно попытаться сделать
прибор секционированным, т.е. разделенным на несколько электро-
электродинамически не связанных друг с другом согласованных на концах
отрезков волноводов.
В последнем случае многосекционного прибора для расчета коэф-
коэффициента усиления необходимо воспользоваться следующей методи-
методикой. Для первой секции используются соотношения A.211)—A.217).
Далее для последующих секций величины а и /?, характеризующие со-
состояние электронного пучка, задаются такими, какими они получаются
на выходе предыдущей секции, а амплитуда сигнала предполагается
равной нулю.
Результаты расчетов [99] свидетельствуют о том, что КПД секци-
секционированного пениотрона существенно меньше, чем односекционного
(величина г]± не превышает 20 %) и слабо зависит от увеличения числа
секций. Коэффициент усиления растет с ростом числа секций и состав-
составляет величину порядка 20 дБ для случая шести секций с безразмерной
ДЛИНОЙ СеКЦИИ ^секции = 1,2.

92 Лекция 1A6)
Видимо, простое секционирование пениотрона не очень удачно, так
как фазировка электронов-осцилляторов происходит одновременно с
энергоотбором. Поэтому, если на входе в секцию пучок хорошо сгруп-
сгруппирован, то он уже обладает небольшим запасом энергии вращения. И
наоборот, если запас энергии еще велик, то мала амплитуда высокоча-
высокочастотного тока, а значит и возбуждаемого им поля.
Список литературы
1. Гапонов А. В. О неустойчивости системы возбужденных осцил-
осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям //
ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 326.
2. Barkhausen H., Kurz К. Die kurzesten, mit Vacuumrohren
herstellbaren Wellen // Phys Zs. 1920. V. 21, No 1. P. 1.
3. Zacek A. Nova metoda k vytvor^eni netlumenych oscylaci // Cas.
peestov. mat. a fys. V Praze. 1924. Roc. 53. S. 378.
4. Зилитинкевич СИ. Колебательный электронный режим внутри
триода // ТиТбП. 1923. № 18. С. 2.
5. Мазеры на циклотронном резонансе. Тематический указатель ли-
литературы A958-1980). - Горький: ИПФ АН СССР, 1983. 56 с.
6. Федоров В. Т.; Шаронова Г.М. Мазеры на циклотронном резонансе.
Препринт № 77. - Горький: НИРФИ, 1974. 39 с.
7. Twiss R.Q. Radiation transfer and the possibility of negative
absorption in radio astronomy // Austral. J. Phys. 1958. V. 11, No 4.
P. 564.
8. Hirshfield J.Z., Granatstein V.L. The electron cyclotron maser — an
historical survey // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques.
1977. V. MTT-25, No 6. P. 522.
9. Twiss R.Q., Roberts J.A. Electromagnetic radiation from electron
rotating in an ionized medium under the action of uniform magnetic
field // Austral. J. Phys. 1958. V. 11. P. 424.
10. Bekefi Y., Hirshfield J.Z., Brown S.C. Cyclotron emission from
plasmas with non-Maxwellian distributions // Phys. Rev. 1961. V. 122,
No 4. P. 1037.
11. Гапонов А.В. Взаимодействие непрямолинейных электронных по-
потоков с электромагнитными волнами в линиях передачи // Изв.
вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 3. С. 450.
12. Гапонов А.В. К статье: «Взаимодействие непрямолинейных элек-
электронных потоков с электромагнитными волнами в линиях пере-
передачи». Письмо в редакцию // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2,
№ 5. С. 836.
13. Schneider J. Stimulated emission of radiation by relativistic electrons
in a magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2, No 12. P. 504.
14. Гапонов А.В. // Доклад на сессии научно-технического об-ва ра-
радиотехники и электроники им. А.С. Попова. М., июнь 1959.

Гироприборы 93
15. Pantell R.H. Electron beam interaction with fast waves // In: the
Proc. Symp. on Millimeter waves. Polytechnic Inst. of Brooklin, N.Y.:
Politechnic Press, 1959. V. 9. P. 301.
16. Pantell R.H. Backward-wave oscillattions in an unloaded waveguide //
In: the Proc. IRE. 1959. V. 47, No 6. P. 1146.
17. Гапонов А.В. Релятивистские дисперсионные уравнения для вол-
новодных систем с винтовыми трохоидальными электронными
потоками II Изв. вузов. Радиофизика. 1961. Т. 4, № 3. С. 547.
18. Dochler О., Mourier J. Theory of two-dimensional travelling wave
tube. — Miinchen: Microwellenrohren, 1960. P. 97.
19. Цейтлин М.Б., Фурсаев М.А., Бецкий О.В. Сверхвысокочастот-
Сверхвысокочастотные усилители на скрещенных полях. — М.: Сов. радио, 1978.
С. 185.
20. Тетельбаум СИ. Фазохронный генератор обратной волны // Ра-
Радиотехника и электроника. 1957. Т. 2, № 6. С. 705.
21. Боков В.М., Гапонов А.В. О взаимодействии типа О в системе
с центробежной фокусировкой // Изв. вузов. Радиофизика. 1959.
Т. 2, № 5. С. 831.
22. Антаков И.И., Боков В.М., Васильев Р.П., Гапонов А.В. Взаимо-
Взаимодействие трохоидального электронного пучка с электромагнитны-
электромагнитными волнами в прямоугольном волноводе // Изв. вузов. Радиофи-
Радиофизика. 1960. Т. 3, № 6. С. 1033.
23. Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы
относительно высокочастотных электромагнитных возмущений.
I // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 1. С. 57.
24. Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы
относительно высокочастотных электромагнитных возмущений.
II // Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 2. С. 180.
25. Gaponov A.V., Zheleznyakov V.V. On coherent radiation of excited
oscillator system (irrecti-linear electron beams, magnetoactive
plasma) // Report submitted to URSI. London, 1960. Proc. of the
XIIIth General Assembly URSI, Commission VII on Radioelectronics,
1960. V. XII, part 7. P. 109.
26. Schneider J. Negative electrische leitfahigkeiten // Zeitschrift for
Naturforschung. 1960. V. 15a, No 5/6. P. 484.
27. Премия имени А.А. Белопольского В.В. Железнякову // Вестник
АН СССР. 1985. № 3. С. 141.
28. Hirshfield J.Z. Wachtel J.M. Electron cyclotron maser // Phys. Rev.
Lett. 1964. V. 12, No 19. P. 533.
29. Osepchuk J.M. Life begins in forty: microwave tubes // Microwave J.
1978. V. 21, No 11. P. 51.
30. Kulke В., Veronda CM. Millimeter-wave generation with electron-
beam devices // Microwave J. 1967. V. 10, No 10. P. 45.
31. Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное
излучение возбужденных классических осцилляторов и его ис-

94 Лекция 1A6)
пользование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радио-
Радиофизика. 1967. Т. X, № 9-10. С. 1414.
32. Гапонов-Грехов А.В., Петелин М.И. Мазеры на циклотронном
резонансе // В кн.: Наука и человечество. — М.: Знание, 1980.
С. 283.
33. Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький:
Изд-во Горьк. гос. ун.-та, 1988.
34. Agdur В. Strophotron — a new electron device // Ericsson Techn..
1957. V. 13, No 1. P. 3.
35. Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными
полями. — М.: ИЛ, 1961 (в двух томах).
36. Юлпатов В.К. К вопросу о нелинейной теории взаимодействия
электрических осцилляторов с электромагнитными полем // До-
Доклад на 4-й Всесоюзной конференции МВССО СССР по радио-
радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5, с. 10]).
37. Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямоли-
непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным
полем. Часть I. Вывод основных уравнений // Вопросы радиоэлек-
радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 15.
38. Гольденберг В.Н., Ежевская Н.А., Жислин Г.М., Оржеховская
М.Н., Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непря-
непрямолинейного периодического электронного пучка с электромаг-
электромагнитным полем. Часть П. Численные результаты // Вопросы ра-
радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 24.
39. Гапонов А.В., Гольденберг В.Н., Петелин М.И., Юлпатов В.К.
Прибор для генерации электромагнитных колебаний в санти-
сантиметровом, миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин
волн // А.с. 223931 (СССР). Заявл. 24.03.67, опубл. 25.03.76.
40. Девятков П.Д., Голант М.Б. Пути развития электронных при-
приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин
волн II Радиотехника и электроника. 1967. Т. 12, № 11. С. 1973.
41. Hibben S.J. Open millimeter-band resonators: resent progress in the
USSR // Microwave J. 1969. November. P. 59.
42. Гольденберг B.H., Нусинович Г.С. Мощные коротковолновые ги-
ротроны II В кн.: Итоги науки и техники. Электроника, Т. 17. М.:
ВИНИТИ, 1985. С. 3.
43. Гольденберг А.Л., Панкратова Т.Е., Петелин М.И. Электронная
пушка магнетронного типа // А.с. 226044 (СССР). Кл. НО1 3/02.
Заявл. 16.06.67, опубл. 31.05.72.
44. Wingerson R. Corkscrew — a device for changing the magnetic
moment of charged particles in magnetic field // Phys. Rev. Lett. 1961.
V. 6, No 5. P. 446.
45. Гапонов А.В., Петелин М.И. К вопросу о распространении элек-
электромагнитных волн в волноводах, заполненных неравновесной
магнитоактивной плазмой // Доклад на 4-й Всесоюзной конферен-

Гироприборы 95
ции МВССО СССР по радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5,
с. 12]).
46. Гиротрон: Сб. научных трудов. — Горький: ИПФ АН СССР. 1981.
47. Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Григорьев Д.П., Панкратова Т.Е.,
Петелин М.И., Флягин В.А. Экспериментальное исследование ги-
ротронов диапазона сантиметровых волн // Изв. вузов. Радиофи-
Радиофизика. 1975. Т. 18, № 2. С. 280.
48. Гельвич Э.А. Мощные генераторы и усилители электромагнитных
колебаний свервысоких частот // В. сб.: Электронная техника.
Сер. Электронные и квантовые приборы. — М.: ЦНИИ ТЭИНИ,
1967. С. 37.
49. Зайцев Н.И., Панкратова Т.В., Петелин М.И., Флягин В.А. Ги-
ротроны диапазона миллиметровых и субмиллиметровых волн //
Радиотехника и электроника. 1974. Т. 19, № 5. С. 1056.
50. Boring H. 100 Jahre Electronenrohren // NTZ: Nachrachtentechn Z.
1983. V. 36, No 10. P. 644.
51. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно
меняющимися параметрами. — М.: Изд-во АН СССР, 1961.
52. Братман В.Л. и др. Циклотронные и синхротронные мазеры //
В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький:
ИПФ АН СССР, 1979. С. 157.
53. Братман В.Л., Денисов Г.Г., Офицеров М.М. Мазеры на цикло-
циклотронном авторезонансе миллиметрового диапазона длин волн //
В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький:
ИПФ АН СССР, 1983. С. 127.
54. Петелин М.И., Юлпатов В.К. Мазеры на циклотронном резо-
резонансе II Лекции по электронике СВЧ и радиофизике C-я зимняя
школа-семинар) — Саратов: Изд-во Сарат. госуниверситета. 1974,
Кн. 4, С. 95.
55. Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Юлпатов В.К. Мазер на цикло-
циклотронном резонансе с двумя резонаторами (МЦР-клистрон) // До-
Доклад на 5-й Межвузовской конференции по электронике СВЧ. —
Саратов, 1966.
56. Nusinovich G.S., Saraph G.P., Granatstein V.L. Scaling Law
for Ballistic Bunching in Multicavity Harmonic Gyroklystrons //
Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78, No 9. P. 1815.
57. Nusinovich G.S., Walter M. Theory of the inverted gyrotwystron //
Phys.Plasmas. 1997. V. 4, No 9. P. 3394.
58. Nusinovich G.S., Latham P.E., and Dumbrajs O. Theory of relativistic
cyclotron masers // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 998.
59. Hezhaong Guo, Shiaw-Huei Chen, Granatstein V.L., Rodgers J.,
Nusinovich G.S., Walter M. Т., Zhao J., Chen W. Operation of a High
Performance, Harmonic-Multiplying, Inverted Gyrotwystron // IEEE
Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 451.

96 Лекция 1A6)
60. Nusinovich G.S., Wenjun Chen, Tripathi V.K. Linear Theory of a
Gyrotwystron with Stagger-Tuned Cavities // IEEE Trans. Plasma
Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 468.
61. Nusinovich G.S., Levush В., Danly B.G. Theory of Multibeam
Stagger-Tuned Gyroklystrons // IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26,
No 3. P. 475.
62. Chen W., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Nonlinear Theory of
Gyrotwystrons with Stagger-Tuned Cavities // IEEE Trans. Plasma
Sci. 1999. V. 27, No 2. P. 429.
63. Zhao J., Nusinovich G.S., Guo H., Rodgers J.C, Granatstein
V.L. Axial Mode Locking in a Harmonic-Multiplying, Inverted
Gyrotwystron // IEEE Trans. Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 597.
64. Zhao J., Guo H., Nusinovich G.S., Rodgers J.C, Granatstein V.L.
Studies of a Three-Stage Inverted Gyrotwystron // IEEE Trans.
Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 657.
65. Дмитриев А.Ю., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нестационар-
Нестационарные процессы при взаимодействии винтового электронного пучка
со встречной волной в волноводе // Изв. вузов. Радиофизика. 1991.
Т. 34, № 9. С. 595.
66. Furuno D.S., McDermott D.B., Кои C.S., Luhmann N.C., Vitello P.
Theoretical and experimental investigation of a high-harmonic gyro-
traveling-wave-tube amplifier // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1314.
67. Дмитриев А.Ю., Четвериков А.П. Усиление многочастотных сиг-
сигналов в гирорезонансном усилителе со встречной волной // Радио-
Радиотехника и электроника 1993. Т. 38. № 3. С. 517.
68. Wang Q.S., McDermott D.B., Luhmann N.C Demonstration of
Marginal Stability Theory by a 200-kW Second-Harmonic Gyro-TWT
Amplifier // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 4322.
69. Kou C.S., Chen C.H., Wu T.J. Mechanism of efficiency enhancement
by a trapered waveguide in gyrotron backward wave oscillator // Phys.
Rev. E. 1998. V. 57, No 6. P. 7162.
70. Chu K.R., Chen H.Y., Hung C.L., Barnett L.R., Chen S.H., Yang
Т. Т. Ultrahigh gain gyrotron traveling wave amplifier // Phys. Rev.
Lett. 1998. V. 81, No 21. P. 4760.
71. Denisov G.G., Bratman V.L., Cross A.W., He W., Phelps A.D.R.,
Ronald K., Samsonov S.V., Whyte CG. Gyrotron Traveling Wave
Amplifier with a Helical Interaction Waveguide // Phys. Rev. Lett.
1998. V. 81. P. 5680.
72. Nusinovich G.S., Walter M., Zhao J. Excitation of backward waves in
forward wave amplifiers // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 6594.
73. Nusinovich G.S., Walter M. Linear theory of multistage forward-wave
amplifiers // Phys.Rev.E. 1999. V. 60, No 4. P. 4811.
74. Felch K.L., Danly B.G., Jory H.R., Kreischer K.E., Lawson W.,
Levush В., Temkin R.J. Characteristics and applications of fast-wave
gyrodevices // Proc. of the IEEE. 1999. V. 87, No 5. P. 752.

Гироприборы 97
75. Yang Y., Ding W. High efficiency and wideband gyro-traveling-wave-
tube amplifier // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4450.
76. Chen S.H., Chu K.R., Chang Т.Н. Saturated Behavior of the Gyrotron
Backward-Wave Oscillator // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2633.
77. Rodgers J., Guo H., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Experimental
Study of Phase Deviation and Pushing in a Frequency Doubling,
Second Harmonic Gyro-Amplifier // IEEE Trans, on Plasma Sci. 2001.
V. 48, No 10. P. 2434.
78. Nusinovich G.S., Chen W., Granatstein V.L. Analytical theory of
frequency-multiplying gyro-traveling-wave-tubes // Phys. Plasmas.
2001. V. 8, No 2. P. 631.
79. Nusinovich G.S., Sinitsyn O.V., Kesar A. Linear theory of gyro-
traveling-wave-tubes with distributed losses // Phys. Plasmas. 2001.
V. 8, No 7. P. 3427.
80. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация автоколебаний
в распределенной системе «винтовой электронный поток —
встречная электромагнитная волна» // Письма в ЖТФ. 2002.
Т. 28, № 18. С. 34.
81. Nusinovich G.S., Vlasov A.N., Antonsen T.M. Nonstationary
Phenomena in Tapered Gyro-Backward-Wave Oscillators // Phys.
Rev. Lett. 2001. V. 87, No 21. P. 218301-1.
82. Дмитриев А.Ю., Коневец А.Е., Пищик Л.А., Трубецков Д.И.,
Четвериков А.П. Обзорные лекции по теории взаимодействия
слаборелятивистских винтовых электронных пучков с электро-
электромагнитными волнами в волноводе // Лекции по электронке СВЧ
и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 1. —
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 61.
83. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
84. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распре-
распределённых системах «электронный поток — встречная (обратная)
электромагнитная волна» // Изв. вузов. Прикладная нелинейная
динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 3.
85. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние сигнала
сложной формы на колебания в активной среде «винтовой элек-
электронный поток — встречная электромагнитная волна» // Известия
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 4. С. 3.
86. Храмов А.Е. Усиление сигналов в гиролампе со встречной вол-
волной // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, №11. С. 56.
87. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние внешне-
внешнего сигнала на автоколебания в распределенной системе «винтовой
эектронный пучок — встречная электромагнитная волна» // Из-
Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. XLV, № 9. С. 773.
88. Botton М. II IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26. P. 882.
7 Трубецков, Храмов

98 Лекция 1A6)
89. Гапонов А.В., Голъденберг А.Л., Петелин М.И., Юлпатов В. К.
Прибор для генерации электромагнитных колебаний в см-, мм-
и субмм-диапазонах длин волн. Авторское свидетельство № 223931
с приоритетом от 24.03.1967 г. // Официальный бюллетень КДИО
при СМ СССР, 1976. №11.
90. Братман В.Л., Новожилов С.Л., Петелин М.И. Перестройка ча-
частоты в гиромонотроне с электродинамической системой в виде
конического волновода // Электронная техника. Сер. I. Электро-
Электроника СВЧ. 1976. № 11. С. 46.
91. Четвериков А.П. Широкополосное усиление электромагнитных
волн в волноводе винтовым электронным пучком // Лекции по
электронке СВЧ и радиофизике. 8-я зимняя школа-семинар ин-
инженеров. Кн. 2. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989. С. 43.
92. Ыт А.Т. Mechanisms of efficiency enhancement in gyrotron
backward-wave oscillators with trapered magnetic field // Phys. Rev.
A. 1992. V. 46, No 8. P. 4516.
93. Состояние разработок гиротронов за рубежом // Электронная тех-
техника. Сер. 1. Электроника СВЧ, № 12. 1978. С. 121.
94. Eckstein J.N., Latsshaw D. W., Stone D.S. 95 GHz gyro traveling wave
tube // Varian Assoc, Inc., Final Rep. Contract DASG60-79-C-005
(BMDATC), 1983.
95. Park G.S., Park S.Y., Kyser R.H., Armstrong СМ., Ganguly A.K.,
Parker R.K. BroadBand operation of a Ka-band tapered gyro-
traveling wave amplifier // IEEE Trans. Plasma Sci. 44. V. 22, No 10.
P. 536.
96. Park G.S., Choi J.J., Park S.Y., Armstrong СМ., Kyser R.H.,
Ganguly A.K., Nguyen К. Т., Parker R.K. Experimental investigation
of two-stage tapered gyro-traveling wave amplifier // Proc. 19th Int.
Conf. Infrared and Millimeter Waves. October 1994. P. 417.
97. Park G.S., Choi J.J., Park S.Y., Armstrong СМ., Kyser R.H.,
Ganguly A.K., Parker R.K. Experimental investigation of two-stage
tapered gyro-traveling wave amplifier // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74.
P. 2399.
98. Shoichi Ono et al // Proc. 14th Int. Cong. Microwave Tubes,
Scheveningen, September 3-7 1962, P. 355.
99. Кузнецов СП., Моносов Г.Г., Трубецков Д.П., Четвериков А.П.
Некоторые вопросы теории пениотрона // Лекции по электронике
СВЧ и радиофизике E-я зимняя школа-семинар) — Саратов: Изд-
во Сарат. госуниверситета. 1981, Кн. 1, С. 8.
100. Кузнецов СП., Трубецков Д.П., Четвериков А.П. Нелинейная
аналитическая теория пениотрона // Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6,
№ 5. С. 1164.
101. Dohler С, Gallagher В., Moats R. // International Electron Device
Meeting, 1978, Washington, D.C., December 4-6, P. 400.

Лекция 2A7)
ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ
ЛАЗЕР НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ,
генератор когерентных электромагнитных
колебаний оптического диапазона длин волн
(ИК, видимого), принцип работы которого
основан на взаимодействии пучка свободных
релятивистских электронов с пространственно-
периодическим электрическим или магнитным
полем. Относится к приборам релятивистской
электроники. ..
Электроника: энциклопедический
словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991.
с. 242.
История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ:
от микротрона до накопительных колец. Нерелятивистские предше-
предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа). Основ-
Основные принципы лазеров на свободных электронах. Элементарная тео-
теория ЛСЭ. Нестационарные уравнения ЛСЭ. Методика и результаты
численного моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ. ЛСЭ,
основанные на излучении электронов в периодических статических
полях и рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный
на введении сил Миллера.
Одними из наиболее перспективных и интенсивно исследуемых при-
приборов релятивистской электроники являются мазеры и лазеры на сво-
свободных электронах х) (МСЭ и ЛСЭ). В библиографическом указателе
[1], посвященном мазерам и лазерам на свободных электронах, дается
следующее определение этих приборов. «МСЭ и ЛСЭ — это генераторы
и усилители электромагнитных колебаний, действие которых основано
на излучении электронов, колеблющихся под действием внешнего элек-
электрического и (или) магнитного поля и перемещающихся с релятивист-
релятивистской поступательной скоростью в направлении распространения излу-
излучаемой волны» [1, с.З]. Главное в этом весьма широком определении
х) В.Л. Гинзбург в монографии [2] отмечает, что хотя и имеется некоторая
аналогия с лазером, термин ЛСЭ «...вряд ли удачен (достаточно сказать,
что основной целью создания лазеров на свободных электронах является от-
отнюдь не генерация света, прекрасным источником которого служат обычные
лазеры)».

100 Лекция 2A7)
то, что частота относящихся к данному классу электронных генерато-
генераторов и усилителей из-за эффекта Доплера сильно превосходит частоту
колебаний электронов. В работах [3,4] такие генераторы были назва-
названы доплертронами. Термин доплертрон применяется к устройствам,
основанным как на индивидуальном, так и индуцированном излучении
классических (свободных) электронов. Те доплертроны, которые ис-
используют индуцированный процесс, и являются МСЭ и ЛСЭ. Заметим,
что под определение ЛСЭ не попадают гиротроны и те релятивистские
приборы, в которых преобразование частоты из-за эффекта Доплера
отсутствует, мало или происходит «вниз» (частота излучения меньше
частоты колебаний электронов).
Строго говоря, электрон в ЛСЭ не является «свободным», посколь-
поскольку испытывает действие электромагнитного поля, которое заставляет
его излучать, но он «свободен» в том смысле, что не связан в атоме,
как в случае обычного лазера. Излучение в ЛСЭ, как правило, воз-
возникает при прохождении электронов через магнитное устройство, на-
называемое ондулятором или вигглером, в котором электроны движутся
по периодической осциллирующей в пространстве траектории. Онду-
ляторное движение может вызываться винтовым магнитным полем,
создаваемым током бифилярной спиральной обмотки (в таком онду-
ондуляторе электроны движутся по траекториям, близким к спиральным),
или же линейно-поляризованным полем, создаваемым последователь-
последовательностью магнитов переменной полярности. Ондулятором может быть
также некоторое электростатическое устройство или оптическая волна
большой интенсивности. Движение электронов в ЛСЭ происходит, как
правило, в вакууме, но возможно также и использование диэлектриче-
диэлектрических структур; в последнем случае важную роль может играть эффект
Черенкова (электроны движутся в среде со сверхсветовой скоростью).
Предшественниками ЛСЭ были нерелятивистские малошумящие па-
параметрические ВЧ-усилители, активно разрабатываемые в 60-70годах.
На них подробнее остановимся в специальном параграфе лекции.
Следует подчеркнуть, что В.Л. Гинзбург еще в 1947 г. указал на
возможность получения когерентных колебаний в коротковолновом
диапазоне длин волн при сверхсветовом движении в среде [5-7]. Бы-
Было, в частности, показано, что, если излучатель (заряженная частица,
осциллятор и т. п.) движется в среде с показателем преломления п, то
из-за эффекта Доплера в системе отсчета, связанной с неподвижной
средой, излучение имеет частоту [5,6] (см. также том 1, лекция 1)
BЛ)
где ооо — частота излучения в системе координат, в которой излуча-
излучатель покоится, /3 = vo/c, vo — скорость излучателя, в — угол меж-
между вектором скорости vq и направлением наблюдения. При /Зп > 1
эффект Доплера называют нормальным, при /Зп < 1 — аномальным
(или «сверхсветовым»). В работе [7] показано, что в потоке электро-
электронов-осцилляторов (даже невозбужденных), движущихся со сверхсвето-
сверхсветовой скоростью, имеет место неустойчивость, связанная с аномальным

Лазеры на свободных электронах 101
эффектом Доплера. Типичный пример — прямолинейный электронный
поток, сфокусированный продольным магнитным полем и взаимодей-
взаимодействующий с поперечным электрическим током ВЧ [8]. Однако от идеи
до ее воплощения в МСЭ и ЛСЭ прошло много времени.
Можно выделить три больших группы приборов среди всех МСЭ
и ЛСЭ.
1. МСЭ и ЛСЭ, основанные на вынужденном тормозном излуче-
излучении электронов. К ним относятся убитроны х), в которых имеет место
ондуляторное излучение частиц, совершающих колебания в простран-
пространственно-периодическом магнитостатическом или электростатическом
поле и строфотроны (нерелятивистский строфотрон обсуждался в лек-
лекции 1A6)).
2. МСЭ и ЛСЭ, основанные на рассеянии волны накачки электрон-
электронным потоком.
3. МСЭ и ЛСЭ, в которых используется вынужденное излучение
Смита-Парселла и переходное излучение частицы в пространственно-
периодических средах.
Отметим, что иногда все указанные приборы называют ЛСЭ, а ино-
иногда под ЛСЭ понимают лишь приборы второй группы. Так, напри-
например, в книге [9] дано следующее определение: «Лазер на свободных
электронах представляет собой устройство, в котором на «свободных»
частицах релятивистского электронного пучка осуществляется вынуж-
вынужденное обратное рассеяние низкочастотной волны». В связи с этим еще
раз подчеркнем, что главным в ЛСЭ является значительный сдвиг
в сторону высоких частот рассеянного в обратном направлении излу-
излучения (частота рассеянного излучения, как покажем ниже, примерно
в 72 — 1 /A ~ (vo/c) ) Раз больше частоты падающего излучения)
и принципиальная возможность перестройки частоты излучения в ши-
широких пределах (например, за счет изменения скорости электронного
пучка).
На рис. 2.1 приведена классическая схема ЛСЭ, в котором установ-
установлены два зеркала, образующие резонатор Фабри-Перо. Этот ЛСЭ был
разработан в Станфордском университете в 1977 г. и предназначен для
работы в генераторном режиме. Между зеркалами резонатора распо-
расположен ондулятор из N периодов; длина каждого периода d. Внутрь
системы вводится ультрарелятивистский электронный пучок со скоро-
скоростью vo ~ с G ^> 1). При определенных значениях энергии пучка, рас-
расстояния между зеркалами резонатора и других параметров устройство
будет генерировать когерентное излучение, частоту которого можно
оценить следующим образом.
х) Убитрон — фирменное название Дженерал Электрик. Оно объединяет
словосочетание undulator beam interaction — взаимодействие волнообразного
пучка — где под ондулятором понимается устройство, в котором реализуется
периодическое в пространстве статическое поле, например, знакопеременное
магнитное (ондулятор — от французского Vonde — волна).

102
Лекция 2A7)
Зеркало
резонатора
Спиральный магнит
(период 3,2 см)
O0O0O0O0O0OQ
5,2 м
12,7 м
Электронный пучок
D3 МэВ)
^ «
¦ ] Зеркало
резонатора
Рис. 2.1. Схема Станфордского лазера на свободных электронах, работаю-
работающего в режиме генератора [10]. Вблизи зеркал, кроме поля ондулятора,
использовалось ведущее поле для ввода и вывода электронного пучка (из
монографии [11])
Частота колебаний электрона, движущегося по периодической тра-
траектории в ондуляторе, равна v§ — vo/d. В системе координат, дви-
движущейся со скоростью электронного потока vo, частота колебаний
электрона становится равной vs — vo/ds, где из-за релятивистского
сокращения длины период d ондулятора уменьшился в 7 раз, т. е. ds =
= d/j. Отсюда vs — cj/d = i/qj. Следовательно, в собственной систе-
системе координат электрона частота его колебаний в 7 Раз больше, чем
в лабораторной. Тогда частота излучаемых им волн с учетом эффекта
Доплера
7A — (vo cos в)/с) 1 — (vo cos в)/с'
В ультрарелятивистском случае j = - 1 — — . 1огда в направле-
2 V с /
нии движения электронного пучка (в = 0), в котором частота макси-
максимальна, получим, что
iy = 2j2iy0. B.2)
Приближенное соотношение B.2) иногда называют резонансным соот-
соотношением — в ЛСЭ частота излучения пропорциональна величине 2j .
Так, если период ондулятора равен 1см, а 7 ~ Ю, т.е. энергия элек-
электронов приблизительно равна 5 -г- 10 МэВ, то длина волны излучения
будет лежать в ИК диапазоне.
Длинноволновая граничная длина волны для ЛСЭ примерно равна
1 мм. Диапазон, перекрываемый ЛСЭ, простирается за видимую об-
область спектра и проникает в область рентгеновского диапазона. В лю-
любой конструкции ЛСЭ перестройка частоты ограничивается возможно-
возможностями электронного ускорителя, но можно утверждать, что без особых
конструктивных изменений перестройка частоты ЛСЭ возможна в пре-
пределах декады.
Настоящая лекция ставит своей целью дать элементарное введе-
введение в физику лазеров и мазеров на свободных электронах, система-
систематизировать основные принципы классических МСЭ и ЛСЭ, изложить
основы теории приборов данного класса. Лекция построена следую-
следующим образом. В начале лекции излагается история создания ЛСЭ,
основываясь, в первую очередь, на книге Т.Маршалла [11]. При этом
подробно рассматривается история создания первого ЛСЭ — убитрона.

Лазеры на свободных электронах 103
В этом же параграфе обсуждаются различные представители семей-
семейства ЛСЭ, классификация режимов работы и некоторые области при-
применения МСЭ и ЛСЭ. Далее обсуждаются нерелятивистские предше-
предшественники ЛСЭ — малошумящие параметрические усилители О- и М-
типа. Остальная часть лекции посвящена изложению теории лазеров
и мазеров на свободных электронах, которое во многом основывается
на лекциях В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина, прочи-
прочитанных на 5-й Зимней школе-семинаре инженеров по СВЧ-электронике
и радиофизике (Саратов, 1981) [4].
История создания лазера на свободных электронах.
Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительных
колец
Еще в 1933 г. П.Л. Капица и П.A.M. Дирак [12] теоретически про-
проанализировали вынужденное рассеяние фотонов на электронах. Од-
Однако результаты не нашли практического применения вплоть до 50-х
годов, когда попытки продвинуться в более коротковолновый диапа-
диапазон натолкнулись на ограничения технологии электронных приборов.
Уменьшение их геометрических размеров с уменьшением длины вол-
волны оказалось неблагоприятным с точки зрения точности изготовле-
изготовления, допусков и мощности; кроме того, исследование таких приборов
должно проводиться, как правило, при низкой энергии электронов
(< ЮкэВ). Результаты не были обнадеживающими, и с созданием
в 60-х годах лазера интерес исследователей переместился в область
квантовой электроники. Однако в 1951 г. X. Мотц исследовал ондуля-
торное излучение — высокочастотное излучение электронного потока
в периодическом в пространстве статическом поле [13]. Статья [13]
начинается фразой, кратко суммирующей сделанное: «Электрон, дви-
движущийся через последовательный ряд электрических или магнитных
полей разной полярности, излучает. Частотный спектр испускаемого
излучения зависит от скорости электрона. Как показано ниже, весь
спектр электромагнитного излучения от сверхвысоких частот до жест-
жестких рентгеновских лучей может быть легко получен при использовании
электронов с энергиями в интервале от 1 до 100 МэВ». Работа прово-
проводилась в Станфордском университете. Экспериментально полученные
значения выходной мощности и спектр излучения сравнивались с ре-
результатами расчетов по формулам классической электродинамики для
излучения одного электрона. Эксперименты [14] проводились в опти-
оптическом и миллиметровом диапазонах длин волн. В 1959 г. Мотц и На-
камура [15] показали, что подводимые извне электромагнитные волны
могут усиливаться устройством с такой ондуляторной структурой.
Позднее в 1960 г. Р.Н. Филлипс описал в работе [56] убитронный
усилитель (первый лазер на свободных электронах), в котором реали-
реализовано индуцированное ондуляторное излучение. В одном из вариантов
убитрона [57] электронный пучок, формируемый магнетронной пуш-
пушкой, встреливается в круглый волновод с рабочей модой TEqi. В вол-

104 Лекция 2 A7)
новоде размещены чередующиеся стальные и медные диски, поэтому
при помещении его в поле соленоида образовывались как периодиче-
периодическое, так и постоянное магнитные поля, обеспечивающие фокусировку
и пульсации электронного пучка (колебания электронов в периодиче-
периодическом магнитном поле с баунс-частотой ив = Bтгуо)/с1, где d — шаг
периодической магнитной системы, vo — продольная скорость пучка).
Была получена импульсная выходная мощность 1,6 МВт на частоте
16 ГГц и 150 кВт на частоте 54 ГГц. Во втором случае ток пучка был
35 А при напряжении пучка 70 кВ. Как отмечается в монографии [11],
другие устройства обеспечивали примерно такую же большую мощ-
мощность на этих частотах, и разработка убитрона как СВЧ-прибора была
временно приостановлена в связи с созданием гиротрона. История со-
создания убитрона подробно изложена самим Р.Н. Филлипсом в работе
[58]. Остановимся на ней подробнее.
Убитрон обязан своим изобретением исследованиям, которые про-
проводились Р.Н. Филлипсом для объяснения, почему происходит самовоз-
самовозбуждение ЛБВ ЦСР с периодической магнитной фокусировкой элек-
электронного пучка, и не происходит при фокусировке пучка постоянным
магнитным полем соленоида. Самое значительное различие между
этими двумя способами фокусировки заключалось в поведении пучка:
в первом случае электроны пучка совершали колебания, а во втором —
двигались по спиральным траекториям. Филлипс предположил, что пу-
пучок оказывается сильно связан с TEqi-модой, если имеет место условие
синхронизма, заключающееся в том, что электрическое поле меняет
направление на обратное в тот же момент времени, когда меняется
направление и скорость электрона.
Как оказалось, причина возбуждения ЛБВ была совсем в ином (свя-
(связанные резонаторы возбуждались на щелевой моде, которая зависит
не от колебаний пучка, а от его среднего диаметра), однако, когда это
было установлено, Р.Н. Филлипс уже работал над созданием нового
прибора, который бы использовал обнаруженное им взаимодействие
электронов-осцилляторов с незамедленной электромагнитной волной.
Проведенные им в течении семи лет исследования позволили создать
новую лампу (убитрон), которая перекрывала весь частотный диапазон
от 3 до 60 ГГц и позволила установить новые рекорды по мощности
генерации, которые продержались в течении следующих двух десяти-
десятилетий.
Результаты по созданию первого убитрона были доложены Фил-
Филлипсом на 17-й конференции по исследованиям электронных приборов
A7th Electron Tube Research Conference) в Мехико, где они вызвали
значительный интерес среди тех, кто смог оценить их значение. Как
вспоминает Филлипс [58]: «Одним из заинтересовавшихся моими ре-
результатами был организатор конференции профессор Паул Колеман,
который являлся ведущим специалистом в использовании мегавольт-
ных электронных пучков для генерации милиметровых и субмиллимет-
субмиллиметровых волн. Другим был председатель конференции профессор Мар-
вин Чодоров из Станфордского университета. Третьим был М.Б. Го-
лант из Советского Союза, который подошел ко мне и сказал, что он

Лазеры на свободных электронах 105
и его коллеги делали подобную «быстроволновую» работу в институте
в Москве... и были очень заинтересованы моей работой. Он предложил
обменяться информацией. Работой, на которую он ссылался, были,
вероятно, более ранние русские эксперименты с гиротроном. Излишне
говорить, что State Department не разрешил никакого обмена инфор-
информацией. .. ».
Дальнейшие исследования убитрона нашли поддержку в лице Ар-
Армии США для создания на его основе сверхмощного СВЧ-оружия.
Предполагалась разработка убитрона, который бы давал мощность
1 МВт в сантиметровом диапазоне длин волн. В результате была созда-
создана лампа, выходная мощность которой составляла 1,2 МВт при полном
КПД 10 %. Ширина полосы частот Аи/ио ~ 30 %. Коэффициент усиле-
усиления убитрона в режиме малого сигнала составлял 13 дБ.
Эти результаты были представлены в работе [56], опубликованной
в октябре 1960 г. Одновременно путем введения неоднородности в онду-
ондулятор (заключавшейся в 10 % уменьшении периода магнитной системы
к концу пространства взаимодействия лампы) удалось достигнуть КПД
порядка 13%.
К этому моменту Армия США отказалась от попытки создания
СВЧ-оружия, однако убитроном заинтересовались военно-воздушные
силы США для создания прибора с максимально возможной выходной
мощностью на частоте 1 мм. В результате была разработана и принята
многолетняя программа, состоящая из серии испытаний убитрона сна-
сначала на 16 ГГц, затем на 60, 120 и 300 ГГц.
Как пишет Филлипс, она не была выполнена до конца. В начале был
создан убитрон, который имел выходную мощность 1,65 МВт на частоте
15,7 ГГц при КПД приблизительно 6 %. Однако при реализации 60 ГГц-
части программы возникли сложности, связанные с дополнительным
условием, которое наложили инженеры ВВС США на конструируемую
лампу. Так как предполагалось использование убитрона на самолетах,
то потребовалось сделать действующее ускоряющее напряжение как
можно более низким, и ни в коем случае не превышающим 100 кВ.
Это потребовало принципиальной переработки конструкции лампы,
так как имеющаяся схема для работы на частоте 60 ГГц требовала
ускоряющего напряжения по крайней мере 0,5 МэВ. В результате был
разработан прибор с ускоряющим напряжением 70 кВ. Убитрон давал
выходную мощность порядка 150 кВт на частоте 54 ГГц с максималь-
максимальным КПД 6 %. Пиковое усиление имело место вблизи частоты отсечки
волновода и составляло 30 дБ. Полученная таким образом мощность
генерации убитрона была на порядок выше зарегистрированной ранее
в этом частотном диапазоне. Однако ВВС США отказались от выпол-
выполнения дальнейшей 120 ГГц-части программы по разработке убитрона.
Таким образом, при поддержке различных военных ведомств США
был создан первый прототип лазера на свободных электронах — уби-
убитрон. Результаты, полученные группой Р.В. Филлипса, свидетельство-
свидетельствовали, что убитрон был способен создавать мощность большую, чем
любой другой источник СВЧ-излучения миллиметрового диапазона
того времени.

106 Лекция 2A7)
И все же отсчет истории ЛСЭ следует вести от работы [59], датиро-
датированной 1968 г. Ее авторы впервые предложили использовать вынужден-
вынужденное рассеяние на релятивистском электронном пучке для генерации из-
излучения сверхкоротких длин волн (именно предложение использовать
релятивистский пучок было главным для создания ЛСЭ). В работе
было предложено устройство, аналогичное тому, которое разработал
Мотц, но теперь к нему были добавлены зеркала и ондулятор. Уже
в первых экспериментах с ЛСЭ было установлено, что имеют место
процессы рассеяния волны на частице (комптон-эффект) и рассеяние
волны на волне (комбинационное рассеяние). В Станфордских экс-
экспериментах было получено индуцированное комптоновское рассеяние
с мощностью порядка 10 МВт в инфракрасном диапазоне. Позднее
были проведены эксперименты по вынужденному комбинационному
рассеянию.
В конце 60-х-начале 70-х гг. появилось современное название нового
устройства — лазер на свободных электронах. Около 1970 г. Дж. Мейди
под руководством профессора Шветтмана начал исследования устрой-
устройства, которое и было названо им впоследствии лазером на свободных
электронах {free electron laser; FEL) [16]. На возможность создания
ЛСЭ на базе ускорительной техники впервые указал Пэлмер [17]. Пер-
Первые эксперименты на релятивистских энергиях пучка по получению
вынужденного рассеяния были выполнены в Станфорде, а в 1976 г.
Элиас и др. [18] на слаботочном электронном пучке линейного уско-
ускорителя (/ = 70 мА, Vo = 24 MB) реализовали усилитель, который имел
максимальный коэффициент усиления равный 7 % на длине волны Л =
= 10,6 мкм. В ЛСЭ использовался спиральный ондулятор с магнитным
полем 2,4 кГс. Позже аналогичный эксперимент (но в генераторном
варианте) выполнили Дикон и др. [10], которые получили импульсную
мощность 7 кВт с длиной волны излучения Л = 3,4 мкм, используя
тот же режим накачки, но при более высоких значениях интенсивно-
интенсивности и энергии электронного пучка (/ = 2,6 A, Vo = 43 MB). Выходная
мощность 7 кВт составила 0,01 % мощности пучка. Поскольку усиление
здесь было обусловлено интерференционными процессами, коэффици-
коэффициент усиления сильно зависел от длины ондулятора ЛСЭ. Первоначаль-
Первоначальное рассмотрение ЛСЭ велось на основе квантовомеханических пред-
представлений [16,19,20]. Однако как показали последующие теоретические
исследования, классическая теория процесса вынужденного рассеяния
также дает удовлетворительные результаты по описанию физических
процессов в лазерах на свободных электронах [21-23].
Примерно в это же время проводились исследования по получению
излучения на сильноточных электронных ускорителях A Ч- 10 кА/см2,
1 Ч- 2МэВ). Нейшен [24,25], а также Фридман и Херндон [26] иссле-
исследовали излучение релятивистских электронных потоков, взаимодей-
взаимодействующих с замедленными электромагнитными волнами периодиче-
периодических электродинамических структур или системами с пространствен-
пространственно периодическими магнитными полями. В Научно-исследовательской
лаборатории ВМС США [27, 28] изучалось мощное излучение в суб-
субмиллиметровом диапазоне, которое объяснялось вынужденным рассе-

Лазеры на свободных электронах 107
янием. В Колумбийском университете была проведена первая серия
экспериментов на ондуляторе со статическим магнитным полем для
возбуждения комбинационного рассеяния. Эфтимион и Шлезингер [29]
получили генерацию с большим уровнем мощности на длинах волн
~ 0,3 -г- 6 см и показали, что физический механизм основан на свя-
связи волноводных мод с циклотронной волной отрицательной энергии
и волной пространственного заряда, играющих роль холостых волн [30].
Маршалл и др. [31] модифицировали этот эксперимент, используя ин-
интенсивное поле накачки, и получили излучение с мощностью несколько
мегаватт в диапазоне длин волн Л = 1 -г- Змм. В эксперименте исполь-
использовался электромагнитный ондулятор, в котором была предусмотрена
возможность изменять поле накачки, что позволило получить линей-
линейную зависимость инкремента от амплитуды накачки, свидетельствую-
свидетельствующую о том, что взаимодействие осуществлялось в режиме вынужден-
вынужденного комбинационного рассеяния [32]. Гильгенбах и др. [33] провели де-
детальный спектральный анализ излучения в миллиметровом диапазоне.
Мак-Дермотт и др. [34] сообщили о реализации ЛСЭ-генератора на
комбинационном рассеянии, работающего в режиме коллективного вза-
взаимодействия. В этом устройстве (эксперимент проводился совместно
сотрудниками Колумбийского университета и Научно-исследователь-
Научно-исследовательской лаборатории ВМС США) использовался квазиоптический резона-
резонатор, обеспечивающий оптическую обратную связь, а для уменьшения
разброса электронного пучка по импульсам вблизи катода создавалась
специальная область с сильным магнитным полем. Выходная мощность
ЛСЭ составила 1 МВт при Л = 400 мкм, при этом наблюдалось суже-
сужение линии излучения до 2%. Усовершенствование диодной системы
и улучшение качества электронного пучка [35] позволили группе из На-
Научно-исследовательской лаборатории ВМС США получить генерацию
в ЛСЭ на комбинационном рассеянии с эффективностью ~ 7%. Чтобы
продемонстрировать различные возможности применения ЛСЭ, Уолш
[36] провел серию экспериментов по совместному действию вынужден-
вынужденного черенковского эффекта и комбинационного рассеяния: в соответ-
соответствующем устройстве для возбуждения вынужденного комбинационно-
комбинационного рассеяния использовался ондулятор с диэлектриком, что позволило
получить дополнительный сдвиг частоты вверх.
В связи с упомянутыми выше экспериментами был проведен ряд
теоретических исследований. Первоначально теория разрабатывалась
как квантовомеханическая [16]. Однако Кол сон [21] показал, что двух-
волновый ЛСЭ можно описать в динамическом режиме с помощью
уравнения маятника. Такая модель, в частности, полезна для понима-
понимания процессов в неоднородных ондуляторах и эффектов насыщения
(см., например, [11]). Позже Л.А. Вайнштейн провел сравнение кван-
квантового и классического подхода в случае однуляторного излучения
в открытый резонатор [37]. Спрэнгл и др. [32] впервые вычислили
инкременты для режима малой амплитуды накачки процесса комби-
комбинационного рассеяния, а последующий нелинейный анализ позволил
вычислить инкременты и эффективности для всех экспоненциально на-
нарастающих процессов [38]. Линейное приближение, которое применили

108 Лекция 2A7)
Кролл и МакМуллин [39], позволило рассчитать инкременты в режиме
большого усиления и объяснить режим малого усиления двухволно-
вого процесса рассеяния. Хасегава [40] сообщил о дальнейшей работе,
посвященной системам с большим усилением, включая учет влияния
разброса пучка по импульсам, в то время как Бернштейн и Хирш-
фильд [41] решали эту проблему как краевую задачу усиления бегущей
волны. Используя метод крупных частиц, Кван и др. [42 численно
рассмотрели нелинейную стадию усиления. Лин и Доусон [43 показали,
что высокую эффективность порядка 25 % можно получить соответ-
соответствующим профилированием пространственного периода и амплитуды
накачки. В дальнейшем эти идеи использовали Спрэнгл и Танг [44],
а также Кролл, Мортон и Розенблют [45], применительно, в частности,
к двухволновому ЛСЭ. Последняя из этих теорий оказалась весьма
полезной для установления взаимосвязи теории ускорителей и физиче-
физических процессов, происходящих в ЛСЭ [46].
С начала 80-х годов количество работ по ЛСЭ значительно увели-
увеличивается; появились сообщения об экспериментах по захвату частиц
и получению повышенной эффективности в ЛСЭ-усилителях [47-49];
получено усиление в видимой области спектра на накопительном коль-
кольце [50]; предпринята разработка ЛСЭ дальнего ИК диапазона фир-
фирмой «Бэлл лэборэтриз» [51,52] и Национальным центром комитета по
ядерной энергии (ENEA) во Фраскати (Италия) [53] на базе модерни-
модернизированного компактного ускорителя микротронного типа; создаются
ЛСЭ с использованием накопительных колец во многих лабораториях
мира, имеющих дело с ускорительной техникой; среди них АСО во
Франции, ADONE в Италии, в Брукхейвенской лаборатории и в Стан-
фордском университете в США. На французском накопителе АСО
создан ЛСЭ-генератор на длине волны 6400 А [54], а в Станфордском
университете ЛСЭ-генератор работал на третьей гармонике основной
частоты (~ 0,5 мкм) [55]; в обоих этих экспериментах были использо-
использованы неоднородные ондуляторы для повышения эффективности гене-
генерации, а следовательно, и выходной мощности генераторов.
Остановимся кратко на основных конструктивных особенностях
ЛСЭ.
Наиболее важным физическим компонентом ЛСЭ является ускори-
ускоритель. Энергия электронного пучка, создаваемого ускорителем, лежит
в области релятивистских энергий электронов и может превышать
величину 1000 МэВ. Ток ускорителя является импульсным с длительно-
длительностью импульса от нескольких микросекунд до нескольких пикосекунд.
Ускорители могут работать в режиме либо одиночных импульсов, либо
повторяющихся импульсов с частотой повторения до 1 кГц. Электроны
ускоряются в диодном промежутке или электронной пушкой, которые
включают в себя «горячий» или «холодный» катод, фокусирующие
элементы и соленоид (обычно сверхпроводящий), создающий ведущее
магнитное поле.
При увеличении энергии электронов в соответствии с резонансным
условием B.2), ЛСЭ будет генерировать (или усиливать) излучение
на все более возрастающей частоте. Из рис. 2.2 видно, какие из суще-

Лазеры на свободных электронах
109
Длина волны »
0,1 мкм 1 мкм 10 мкм 100 мкм 1000 мкм
Электронное
накопительное
кольцо
Линейный
ускоритель
Электростатический ускоритель
Микротрон
Импульсная
линия
Рис. 2.2. Диапазон длин волн ЛСЭ и соответствующие ускорители электронов
(из монографии [11])
ствующих ускорителей, разработанных за предшествующие несколько
десятков лет, могут быть использованы для создания ЛСЭ в различных
областях спектра электромагнитных волн [11].
Другим параметром, характеризующим электронный пучок, явля-
является его собственный разброс по продольным импульсам. В идеальном
случае энергия всех электронов, вылетающих из ускорителя, должна
быть одной и той же, но из-за конструктивных особенностей уско-
ускорителя и системы транспортировки у электронов имеется не равный
нулю разброс по импульсам в поперечном и продольном направлениях.
Он описывается параметром, называемым эмиттансом пучка, который
характеризует яркость электронного потока. Для ЛСЭ нужны яркие
электронные потоки с малым разбросом по продольным импульсам.
В обычных лазерах излучение на выходе тоже является ярким (т. е.
в дополнение к высокому уровню выходной мощности оптический пу-
пучок имеет очень малую расходимость и, следовательно, может быть
сфокусирован до размера дифракционно ограниченного пятна).
Следующим конструктивным элементом ЛСЭ является устройство,
которое обеспечивало бы осцилляторное движение электронов. Это,
например, может осуществляться путем искривления траектории элек-
электрона в периодическом поперечном магнитостатическом поле, созда-
создаваемом ондулятором. Большинство разработанных в настоящее время
ондуляторов представляют собой либо спиральные токовые обмотки,
либо линейную цепочку из постоянных дипольных магнитов. Подроб-
Подробнее на способах создания осцилляторного движения электронов пучка
остановимся позже. Здесь же отметим, что типичный период ондуля-
ондулятора равен примерно Зсм, а типичное значение индукции магнитного

110 Лекция 2A7)
поля порядка 1 кГс. Такое поле создается импульсным или постоянным
током (последнее возможно в сверхпроводнике) или ондулятор состоит
из постоянных магнитов (таких как самарий-кобальтовые магниты).
Простейшие конструкции ондуляторов имеют фиксированные значе-
значения периода и амплитуды поля, за исключением коротких участков на
входе и выходе, где поле адиабатически увеличивается, чтобы обеспе-
обеспечивать плавный переход электронов в новую область взаимодействия.
Однако часто разрабатываются неоднородные ондуляторы, которые
позволяют улучшить характеристики ЛСЭ.
Важным элементом ЛСЭ являются зеркала резонаторов. Здесь су-
существует важная технологическая проблема совершенствования каче-
качества зеркал в соответствии со следующими техническими требования-
требованиями.
Во-первых, это требование к коэффициенту отражения зеркал, ко-
которое является решающим для ЛСЭ с малым усилением, особенно в ви-
видимом и ультрафиолетовом диапазонах. Необходимо, чтобы зеркала
имели устойчивое широкополосное покрытие. Достижение коэффици-
коэффициента отражения R ~ 0,9995 в видимом диапазоне возможно благодаря
использованию многослойных (с числом слоев порядка 20) интерферен-
интерференционных пленок, а в диапазоне длин волн порядка 100 А коэффициент
отражения удается сделать порядка R > 0,50.
Во-вторых, в случае работы ЛСЭ на накопителе, энергия элек-
электронов которого составляет 100 -г- 200 МэВ, мощное ультрафиолетовое
синхротронное излучение будет очень быстро приводить к разруше-
разрушению покрытия зеркал с высоким коэффициентом отражения. Поэтому
разработка устойчивых к ультрафиолетовому излучению зеркальных
покрытий с высоким коэффициентом отражения представляет собой
необходимое условие успешной разработки мощных ЛСЭ, использую-
использующих энергию накопительного кольца.
В-третьих, в ЛСЭ с большим уровнем мощности в коротковолно-
коротковолновом диапазоне диссипация энергии на зеркале может привести к разру-
разрушению его поверхности. Например, выходную мощность ЛСЭ, равную
10 МВт, при 1 %-ном коэффициенте пропускания зеркала не следует
рассматривать как очень высокую, хотя в резонаторе она будет около
1 ГВт. Небольшая доля этой мощности должна рассеиваться подлож-
подложкой зеркала без прогрессирующего поверхностного разрушения. Хотя
в резонаторе импульсная мощность 1 ГВт не вызывает каких-то ослож-
осложнений при существующей технологии, некоторые ускорители создают
электронные пучки очень высокой мощности, что неизбежно приводит
к соответствующим трудностям при создании оптических систем для
сверхмощных ЛСЭ.
Характер взаимодействия электронного пучка с электромагнитны-
электромагнитными модами оптического резонатора можно описать методами кванто-
квантовой электроники. Между зеркалами резонатора Фабри-Перо благо-
благодаря многократному отражению оптического пучка устанавливаются
поперечные и продольные моды — такой процесс впервые описали
Фоке и Ли. В резонаторе Фабри-Перо полные потери складываются

Лазеры на свободных электронах 111
из дифракционных потерь на краях зеркал, потерь за счет диссипации
излучения на поверхности зеркал и потерь, обусловленных наличием
связи (через отверстие, неустойчивый резонатор или частично пропус-
пропускающее зеркальное покрытие). Электронный пучок будет возбуждать
только те моды, взаимодействие с которыми является сильным (т. е.
обеспечена сильная связь электронного пучка с оптической структу-
структурой) и потери для которых малы. Поскольку линия излучения ЛСЭ
шире, чем у традиционного лазера, в резонаторе, если в него не внесены
фильтры, могут возбуждаться многие резонаторные моды. В некото-
некоторых типах ЛСЭ в данный момент времени в резонаторе может при-
присутствовать один электронный сгусток диаметра около 1 мм и длины
лишь несколько миллиметров. В этом случае оптическая волна будет
опережать медленно распространяющийся электронный импульс и воз-
возникает эффект, названный лазерной летаргией [11]. В этом случае на
выходе ЛСЭ будет наблюдаться последовательность очень коротких
импульсов, возникающих за счет синхронизации мод.
Заметим, что МСЭ и ЛСЭ могут работать в различных режимах,
для которых справедливы различные физические принципы. Кратко
рассмотрим режимы работы ЛСЭ и соответствующую их классифика-
классификацию, следуя книге [11].
Если ток электронного пучка мал и энергия пучка высока (бо-
(более 10 -г- 20МэВ), а длина волны излучения лежит в коротковолно-
коротковолновом (ИК) диапазоне, то ЛСЭ работает в режиме, который называ-
называется по-разному: комптоновский, двухволновый, интерференционный
или режим одночастичного взаимодействия. В этом случае существует
очень близкая аналогия между ЛСЭ и линейным ускорителем: увеличе-
увеличение (уменьшение) энергии частиц соответствует затуханию (усилению)
энергии электромагнитного поля. Оптимальное усиление ЛСЭ зависит
от величины энергии пучка и длины ондулятора. К ЛСЭ в общем
случае неприменимо положение лазерной физики, согласно которому
чем больше объем среды, тем больше усиление и выходная мощность.
Лазеры на свободных электронах, в которых имеет место экспо-
экспоненциальное нарастание волн и которые напоминают традиционные
лазеры с накачкой, работают в длинноволновом режиме (Л > 100 мкм)
при низкой энергии (обычно менее 5 МэВ) и при высоких плотностях
тока пучка (/ > 1 кА/см ); эти ЛСЭ представляют собой компактные
устройства с высоким коэффициентом усиления. Если пучок холодный
(т.е. разброс электронов по импульсам невелик), а амплитуда поля
накачки ондулятора мала, то имеем ЛСЭ на комбинационном рассея-
рассеянии (рамановский ЛСЭ)). При увеличении поля накачки ондулятора
коэффициент усиления возрастает, и возникает режим большой ам-
амплитуды накачки с оптимальными значениями усиления и эффектив-
эффективности (режим осциллирующей двухпотоковой неустойчивости). Если
пучок имеет большой разброс по импульсам, то коэффициент уси-
усиления и выходная мощность ЛСЭ уменьшаются, но сигнал все еще
экспоненциально нарастает вдоль ондулятора. Такой режим называют
комптоновским с разбросом по импульсам. Уменьшение коэффициента

112 Лекция 2A7)
усиления связано с тем, что ЛСЭ на комбинационном рассеянии —
это трехволновое параметрическое устройство (волна накачки, сигнал
и холостая волна), в котором в качестве холостых волн могут выступать
либо волны в плазме, либо волны пространственного заряда. В случае
электронов с разбросом по импульсам, когда холостая волна затухает
вследствие бесстолкновительного эффекта (за счет затухания Ландау),
ЛСЭ снова переходит в режим малого усиления г).
Между одночастичными ЛСЭ и ЛСЭ, в которых существенную
роль играют коллективные эффекты, приводящие к экспоненциально-
экспоненциальному нарастанию мощности волны, можно провести довольно простую
границу. ЛСЭ действуют в коллективном (многочастичном) режиме,
когда система имеет достаточно большую длину, а пучок — достаточно
высокую плотность, так что вдоль системы укладывается несколько
плазменных длин волн. Это накладывает верхний предел на энергию
пучка и нижний предел на длину волны. Другим весьма важным эф-
эффектом является взаимодействие между силой, которая группирует
электроны пучка (пондеромоторная сила), и расталкивающими силами
пространственного заряда. Пондеромоторная сила определяется ам-
амплитудами ондуляторного поля и сигнала, в то время как силы про-
пространственного заряда — плотностью тока и энергией пучка. Из-за
этой конкуренции группировки/разгруппировки пучка коэффициент
усиления ЛСЭ в некоторых случаях возрастает, а в некоторых — умень-
уменьшается.
Как и традиционные лазеры на атомных переходах, ЛСЭ могут
работать и как усилители когерентного излучения, и как генераторы
(при использовании резонатора с зеркалами). Последние устройства
при очень большом коэффициенте усиления могут давать мощное ча-
частично когерентное излучение.
Нерелятивистские предшественники ЛСЭ
(параметрические усилители О- и М-типа)
Предшественниками ЛСЭ, использующими параметрическое усиле-
усиление СВЧ-колебаний, являются параметрические усилители на волнах
пространственного заряда, лампа Адлера, параметрические усилители
М-типа [60,61]. Интерес к подобным приборам связан с возможностью
получения низкого уровня шумов, что делает лампы этого типа неза-
незаменимыми в качестве входных усилителей.
Р.Адлер предложил прибор [62-64], который был назван парамет-
параметрическим усилителем. Во входной и выходной секциях усилителя (лам-
(лампы Адлера) должно использоваться взаимодействие поперечного элек-
электрического ВЧ-поля с электронным пучком, в котором возбуждаются
циклотронные волны, а возрастание поперечных ВЧ-смещений элек-
г) Заметим, что для работы всех разновидностей ЛСЭ требуется, чтобы
электронный пучок был достаточно «холодным», т.е. разброс по импульсам
электронов должен быть малым

Лазеры на свободных электронах 113
тронов достигается путем применения внешнего источника энергии,
работающего на частоте накачки ш%. Частота и% должна быть выше
частоты сигнала uj\. Необходим также вспомогательный резонансный
элемент, работающий на частоте о; 2 = ^з — ^1 (за исключением особого
случая, когда соз = 2o;i).
Прибор представляет собой устройство с поперечным полем, в ко-
котором в качестве входной и выходной секций применены резонаторы,
через которые движется поток электронов, фокусируемый однородным
магнитным полем. Напряженность поля выбрана так, что циклотрон-
циклотронная частота равна частоте сигнала. Параметрическое усиление проис-
происходит в квадрупольной системе электродов (квадрупольная система
настраивается четырьмя катушками, связанными между собой для
обеспечения работы на колебании тг-вида), к которой приложен сигнал
накачки, изменяющийся с удвоенной циклотронной частотой. В та-
таком приборе периодически меняющимся параметром является кинети-
кинетическая энергия электронов, движущихся по спиральной траектории.
Сигнал, подаваемый в первый резонатор, приводит к возникновению
поперечных ВЧ-смещений электронов (электроны движутся по расши-
расширяющейся спирали). Длина входной секции выбирается такой, чтобы
на ее выходе имело место полное подавление входного сигнала, а сле-
следовательно, поперечные ВЧ-смещения электронов были максимальны
(энергия входного сигнала полностью переходит в энергию поперечных
колебаний электронов пучка).
Квадрупольная секция, которая помещается между входным и вы-
выходным резонаторами (рис. 2.3 а), предназначена для постепенного
увеличения амплитуд поперечных ВЧ-смещений электронов (радиуса
электронных траекторий). Степень возрастания последних характери-
характеризует коэффициент усиления прибора.
В квадрупольной секции, показанной на рис. 2.3 ?, поле на оси
отсутствует и при удалении от оси возрастает линейно с расстоянием;
чем больше радиус окружности, по которой движется электрон, тем
большей кинетической энергией он обладает.
Электроны, которые при движении по спиральной траектории по-
попадают в ускоряющий полупериод поля, естественно назвать правиль-
нофазными, а электроны, попадающие в отрицательный полупериод, —
неправильнофазными. Синхронизм электронов и ВЧ-поля в квадру-
квадрупольной системе обеспечивается условием равенства частоты сигнала
циклотронной частоте. В среднем, результирующий выходной сигнал
будет больше входного, так как экспоненциальное возрастание всегда
преобладает над экспоненциальным ослаблением.
Из квадрупольной секции пучок поступает в выходной резонатор.
Электроны, движущиеся по спирали, наводят в нем токи, и если резона-
резонатор правильно нагружен, то результирующее поле вызывает движение
электронов по суживающейся спирали и, следовательно, полную отда-
отдачу их кинетической энергии. Такой усилитель является малошумящим,
поскольку первый резонатор, правильно нагруженный источником сиг-
сигнала с омическим внутренним сопротивлением, поглощает шумовую
8 Трубецков, Храмов

114
Лекция 2A7)
мощность, содержащуюся в пучке. В идеальном случае шумы в пучке
полностью подавляются [63,64].
В экспериментальной лампе [64] коэффициент усиления зависит от
мощности накачки. Так, например, был получен коэффициент усиле-
усиления до 20 дб при мощности накачки в несколько милливатт; коэффи-
коэффициент шума составлял 1,3 дБ, причем 0,4 дБ авторы относят на счет
потерь во входном резонаторе. Коэффициент шума отличен от нуля
из-за нерегулярностей в электронном пучке, вторичной электронной
эмиссии и ряда других явлений, не имеющих решающего значения, так
что полученный коэффициент шумов может быть снижен при подав-
подавлении подобных нерегулярностей. Лампа Адлера является полностью
однонаправленным и чрезвычайно стабильным усилителем. Она имеет
полосу усиливаемых частот 10 %, причем широкополосность определя-
определяется в основном входной и выходной секциями и, следовательно, может
быть увеличена.
Рассмотрим простейшую теорию усилителя Адлера. В лампе Адле-
Адлера принцип параметрического усиления используется для получения
нарастающей быстрой циклотронной волны. Усиление на быстрой цик-
циклотронной волне выгодно с точки зрения получения низкого уровня шу-
шумов. Процесс собственно параметрического усиления происходит в об-
Входной
¦ сигнал (со)
I
Входной
элемент связи
Сигнал
накачки
Выходной
сигнал а
Квадрупольная
секция
Выходной
элемент связи
Пучок
электронов
Электронная
пушка
а
Д>
Коллектор
Рис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы
Адлера (б, в)

Лазеры на свободных электронах 115
ласти резонатора, называемого резонатором накачки. Электрические
поля в резонаторе, как уже указывалось, должны быть такими, чтобы
радиусы орбит электронов увеличивались после того, как электроны
покинут входной элемент связи, а следовательно, чтобы увеличивалась
энергия электронов. Резонаторы, которые пригодны для этой цели,
могут представлять собой отрезок квадратного волновода, в котором
возбуждается ТЕц-волна, или отрезок круглого волновода при воз-
возбуждении в нем ТЕ21-волны. Такие резонаторы создают квадруполь-
ную систему электрического поля. Другая возможность состоит в при-
применении синусоидального поля, которое возникает в прямоугольном
волноводе при ТЕ2о-типе колебаний.
Рассмотрим систему накачки, создающую квадрупольные электри-
электрические поля вида
Ех = - (Vo/a2) 2xcosupt, Ey = (V0/a2) 2ycosojpt, B.3)
где Vo и а — постоянные 1).
Предположим, что амплитуда поля накачки велика по сравнению
с амплитудой поля сигнала и остается постоянной, так что можно
пренебречь обратным влиянием пучка на поле накачки. Таким образом,
поле накачки будет входить в уравнения движения электронов как
заданная вынуждающая сила.
Тогда с учетом сделанных предположений и соотношений B.3) ли-
линеаризованные уравнения движения электронов в области взаимодей-
взаимодействия можно записать как
^ + vo^f + u;cvy = п2х (е**>' + е"^) , B.4)
^ + «0^ - ucvx = П2у (е*'< + е-*"*) , B.5)
где vx, vyj x и у — переменные составляющие скорости и смещения
электронов в ж- и ^-направлениях соответственно; ?l2 = (e/me)Vo/a2,
vo — постоянная составляющая скорости вдоль оси z.
Решение системы уравнений B.4) и B.5) будем искать в виде [65]
«*= Е Ухп(г)е>ш~*, vy= f; vyn{z)e^\ B.6)
п= —сю n= —сю
где ujn = nujp + uj.
Подставляя выражения B.6) в уравнения B.4) и B.5), и полагая,
что все переменные величины изменяются вдоль оси z по гармониче-
) Поля B.3) могут, в частности, соответствовать статическому потенциалу
квадрупольной структуры в форме V = —(у2 — ж2), причем у2 — х2 =
а
= const описывает эквипотенциальную поверхность. Тогда у2 — х2 = a2, Vo —
потенциал электродов; размер а показан на рис. 2.3 в.

116 Лекция 2A7)
скому закону ехр (—/?z), ограничиваясь случаем п = 0, — 1 [65], легко
получить следующую систему уравнений:
- vo/3) vx0 + ujcvyo - — vx-! = 0,
\j(uj -шр) - - al
1 vvo + I .v л_^й I ^-i = °>
cVy-l =0,
+ (j( - UJp) - V0/3) Vy-! = 0.
Из условия совместности полученной системы уравнений находится
дисперсионное уравнение анализируемой схемы
2 \а)
UРе ~ Р)№' ~ Рр) ~ PWP' - РJ + Рс] ШРе ~ Рр) ~ PI' + Рс} '
B.7)
где введены стандартные обозначения: /Зе = ui/vo, /Зр = ojp/vo и /Зс =
Будем искать решение дисперсионного уравнения B.7) предпола-
предполагая, что фазовая скорость искомой нарастающей волны близка к фазо-
фазовой скорости быстрой циклотронной волны пучка, т. е.
, B.8)
где слагаемое (?128/vqojc) есть малая величина.
С учетом выражения B.8) дисперсионное уравнение B.7) значи-
значительно упростится и примет вид
6F + jb) = l, B.9)
где b = Шс2 Шр .
П /шс
Из уравнения B.9) следует, что
1.2 = -; 1
- (I) • BЛ0)

Лазеры на свободных электронах 117
Как видно из последнего соотношения, для того чтобы существовала
нарастающая парциальная волна, необходимо выполнение условия
- < 1 или \2ис — (jjp\ < 2 —.
А си с
Максимальное значение действительной части 5 достигается при
6 = 0, т.е. при ир = 2ис. В этом случае 5 = =Ы и Re/3 = ±-
а асимптотическая формула для коэффициента усиления на частоте
сигнала (п = 0) и на так называемой холостой частоте (п = — 1) имеет
вид
G [дБ] = -6,02 + 8,68 (—А , B.11)
\VoUJc J
где L — длина секции накачки г).
Более строгое решение задачи требует провести анализ для входно-
входного элемента связи, секции накачки и выходного элемента связи [61,67].
Помимо многочисленных исследований лампы Адлера было пред-
предпринято несколько попыток создания аналогичных приборов М-типа
[68-70]. В работе [70] описан вырожденный параметрический усилитель
с коэффициентом усиления 40 дБ и коэффициентом шума 5 дБ, причем
собственные шумы пучка составляли всего 3,2 дБ. Усилитель работал
при токах луча несколько микроампер и напряжении луча несколько
десятков вольт. Преимуществом варианта со скрещенными полями яв-
являются высокий КПД и малый зазор магнита.
Теоретическому исследованию параметрического усиления цикло-
циклотронных волн в приборах типа М посвященны работы [71-73].
Схематическое изображение параметрического усилителя цикло-
циклотронных волн со скрещенными полями представлено на рис. 2.4.
В первой секции (входном элементе связи) электронный пучок взаи-
взаимодействует с прямой замедленной электромагнитной волной вида
exp [j(wt — Pox)], где и — частота усиливаемого сигнала, /?о — постоян-
постоянная распространения волны сигнала в линии передачи без пучка. Про-
модулированный на частоте uj электронный пучок входит во вторую
секцию — секцию накачки. Третья секция (выходной элемент связи)
служит для выделения выходного сигнала.
Во входном элементе связи осуществляется возбуждение в пучке
одной из циклотронных волн, что можно достичь путем выполнения
условий синхронизма между фазовой скоростью волны в линии пере-
передачи и фазовой скоростью одной из циклотронных волн. При введении
х) Можно считать, что на входе в область накачки в пренебрежении шумами
выполняются следующие граничные условия: амплитуды синхронных волн
и амплитуда быстрой циклотронной волны на холостой частоте равны нулю
[66]. Формула B.11) получена с учетом того, что в двухволновой теории при
6 = 0 амплитуды парциальных волн в секции накачки равны между собой
и каждая равна половине соответствующего значения переменной на входе.

118 Лекция 2A7)
Ро рн f Ро
I Ў 1_ "_ ' L - .+. _*___J4
ВХОДНОЙ Гртгттма ВЫХОДНОЙ
элемент „я™жм элемент
связи накачки свжж
Рис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со
скрещенными параметрами
пучка, в котором распространяются циклотронные волны, в поляризо-
поляризованное в плоскости распространения поле волны накачки волна сигнала
будет параметрически усиливаться.
Теория параметрического лучевого усилителя М-типа изложена
в работах [61,71-73], и здесь на ней не будем останавливаться.
Основные принципы лазеров на свободных электронах
В данном параграфе рассматриваются основные кинематические
соотношения, описывающие излучение релятивистского электрона,
движущегося по периодической траектории, дается классификация
механизмов излучения, а также обсуждаются особенности индуциро-
индуцированного излучения потока релятивистских электронов-осцилляторов.
При изучении этого круга вопросов будем использовать классические
соотношения, для справедливости которых необходимо, чтобы энергия
излучаемых квантов была существенно меньше энергии электрона:
Пи < mc27, B.12)
что для МСЭ и ЛСЭ, как правило, выполняется.
Рассмотрим кратко различные типы излучения релятивистских ос-
осцилляторов, используемые в МСЭ и ЛСЭ.
1. Эффект Доплера. Пусть электрон колеблется с частотой ?1 и при
этом перемещается с поступательной скоростью V||. Такой осциллятор
излучает электромагнитные волны Е = Re {Eoej(^~kr)} с частотами
и), которые вследствии эффекта Доплера
w-kv||=ft B.13)
отличаются от частоты ?1.
2. Излучение в вакууме. Согласно соотношению B.13) наибольшую
частоту uj = П/A — /Зц), где /?ц = v\\/c, осциллятор излучает в на-
направлении своего поступательного движения, т.е. при k ^ V||. Если
поступательная скорость является ультрарелятивистской, то, как было
показано выше (см. формулу B.2)), для коэффициента преобразования
частоты Г = и/И получаем выражение
Г = 272. B.14)

Лазеры на свободных электронах 119
Последнее соотношение справедливо, если осцилляторная скорость
электрона
Д«1/7- B.15)
Уже при кинетической энергии электронов около 1 МэВ G ~ 3,0) ча-
частота излучения более чем на порядок превышает частоту колебаний.
Следует отметить, что большой частотный выигрыш сохраняется, пока
угол ср между направлением излучения и скоростью электрона остается
в пределах ср < 1/j.
3. Излучение на гармониках. Большое преобразование частоты Г ~
~ 72 сохраняется и при осцилляторных скоростях /3 ~ 1/7? существен-
существенно превышающих значения, определяемые условием B.15). При этом
наряду с излучением на основной доплеровской частоте s = 1 становит-
становится эффективным также и излучение на гармониках s ^ 2, для которых
выполняется условие синхронизма вида
и -kv|| = sft, B.16)
которое обобщает соотношение B.13).
При дальнейшем увеличении осцилляторной скорости до значений
Д » 1/7 B-17)
поступательная скорость электрона (при фиксированной энергии) сни-
снижается. Но это не является препятствием для получения высоких ча-
частот. Более того, при переходе к большим осцилляторным скоростям
B.17) спектральный максимум излучения даже перемещается в об-
область еще более высоких частот
wMax ~ 73w. B.18)
Это так называемое синхротронное излучение [74].
4. Излучение в среде и электродинамической структуре. В замед-
замедляющей диэлектрической среде, как видно из формулы B.13), при при-
приближении фазовой скорости волны к поступательной скорости электро-
электрона коэффициент преобразования частоты Г также может существенно
превзойти величину B.14) и ограничивается лишь дисперсионными
свойствами среды.
Если же фазовая скорость волн, распространяющихся в среде, мень-
меньше поступательной скорости электрона Уф < г>ц, то, как обсуждалось
выше, наблюдается аномальный эффект Доплера, при котором излуче-
излучение сопровождается не затуханием, а раскачкой осциллятора, причем
последняя наблюдается даже при равной нулю начальной осциллятор-
осцилляторной скорости частицы. В условиях синхронизма B.16) аномальным до-
плеровским частотам соответствуют отрицательные номера гармоник
s. Существенные особенности в излучении появляются и при поме-
помещении электронов в неоднородную среду. Так, при движении в вол-
новедущей системе (например, цилиндрической металлической трубе)
осциллятор может излучать лишь счетное число собственных волн
(мод) с дискретными частотами.

120
Лекция 2A7)
МЦР
Скаттрон
Флиматрон (I)
Убитрон (Е)
© в © е ® е
^^—--—-\._^-—\^
© © е ® е ®
Убитрон (Я)
Флиматрон (II)
Hi ?) F.i Яо *
е-
Рис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариан-
вариантах лсэ
Для того чтобы электрон излучал, необходимо тем или иным спо-
способом заставить его осциллировать. Существуют различные спосо-
способы создания осцилляторного движения в ЛСЭ, представленные на
рис. 2.5. Так, можно воспользоваться магнитным полем (рис. 2.5 а);
поперечно-неоднородным (рис. 2.5 б) или пространственно-периодиче-
пространственно-периодическим (рис. 2.5 в) статическим полем; можно придать осцилляторное
движение, воздействуя на электрон интенсивной электромагнитной
волной (рис. 2.5 д); можно позволить электрону двигаться равномерно
и прямолинейно, а его изображение заставить колебаться в перио-
периодически изогнутой металлической стенке (рис. 2.5 е) или в слоистой
диэлектрической структуре (рис. 2.5 ж).
Соответствующие механизмы излучения охватывают все основные
типы излучения классических заряженных частиц: в первых трех
случаях наблюдается различное тормозное излучение (циклотронное,
строфотронное или ондуляторное), в четвертом случае имеет место
параметрический процесс (комптоновское рассеяние), а два последних
являются вариантами черенковского и переходного излучения. Рас-
Рассмотрим системы, изображенные на рис. 2.5, более подробно.

Лазеры на свободных электронах 121
1. Циклотронное излучение (рис. 2.5 а). Как обсуждалось в лек-
лекции 1A6) в однородном магнитном поле электрон осциллирует с цик-
циклотронной частотой ft = ujc. Возникающее при этом излучение было
предсказано еще в 1898 г. Льенаром и эффективно используется в мазе-
мазерах на циклотронном резонансе (см. лекцию 1A6)). Однако пучки, ис-
используемые в МЦР, слаборелятивистские, поэтому доплеровский сдвиг
частоты весьма мал, а в наиболее распространенном МЦР — гиро-
троне — реализуется квазипоперечное распространение волн kv|| = О,
когда доплеровское преобразование частоты в принципе отсутствует.
Однако при ультрарелятивистских энергиях электронов МЦР также
может работать в режиме доплертрона [75,79].
2. Строфотронное излучение (рис. 2.5 б). При движении в попереч-
поперечно-неоднородном поле релятивистский электрон колеблется с частотой,
зависящей от вида потенциала и энергии электрона. В параболической
яме U(x) = kx2/2 частота колебаний равна fi = ^k/mj. Излучение
слаборелятивистских осцилляторов данного типа используется в стро-
фотроне, поэтому соответствующий тип излучения называется стро-
фотронным. В качестве потенциального желоба для релятивистских
частиц может служить внутреннее поле кристалла— среднее поле, соз-
созданное атомными цепочками или плоскостями. Инжектированный под
достаточно малым углом к оси такого канала электрон в нем удержи-
удерживается — канализируется, совершая поперечные колебания. С учетом
эффекта Доплера, как показал Кумахов [80], канализируемые электро-
электроны могут излучать в направлении своего поступательного движения
рентгеновские и гамма-волны.
3. Ондуляторное излучение (рис. 2.5 в,г). Траектория движения
электрона в ондуляторе с периодом d может быть в зависимости от
структуры поля как пространственной, так и плоской. Электрон в он-
ондуляторе колеблется с баунс-частотой ?1 = CxJb = 27rv\\/d. Ондуляторное
излучение — это тип излучения, наиболее часто используемый в ЛСЭ.
Заметим, что поскольку поле кристалла обладает периодичностью, то
в нем наряду со строфотронным излучением частица может испускать
еще более коротковолновое — ондуляторное излучение [81].
4. Комптоновское рассеяние волн (рис. 2.5 д). В поле волны накач-
накачки Ei = Re {ЕОг exp [j(u)it - k^r)]} электрон колеблется с доплеровски
смещенной частотой ?1 = uji — k^V||. В томсоновском пределе, когда
в системе отсчета, связанной с движущимися электронами, энергия
налетающего фотона много меньше энергии электрона и, соответствен-
соответственно, в лабораторной системе отсчета выполнено условие B.12), часто-
частота излучения определяется классической формулой B.13). Как уже
говорилось, впервые индуцированное комптоновское рассеяние было
рассмотрено в работе [12], однако первое предложение о генерации
с помощью него коротковолнового излучения было сформулировано
в более поздней работе [59].
5. Черепковское и переходное излучение (рис. 2.5 е, ж). Электрон,
находящийся вблизи металлической поверхности или внутри диэлек-
диэлектрика, перераспределяет в первом случае свободные заряды, во вто-

122 Лекция 2 A7)
ром — связанные. В первом случае поле электрона и заряда, наведен-
наведенного на металлической поверхности, совпадает с полем диполя, образо-
образованного электроном и его «позитронным» зеркальным отображением
в стенке. Во втором случае электрон оказывается частично экраниро-
экранированным окружающими его зарядами. В обоих случаях при равномер-
равномерном движении электрона эффективный источник поля периодически
меняет свои параметры с баунс-частотой О, = ujb (мигающий диполь
или, соответственно, мигающий заряд) и излучает волны, частота ко-
которых подчиняется формуле Доплера.
Излучение, схематически представленное на рис. 2.5 е, носит на-
название излучения Смита-Парселла, оно подробно обсуждалось нами
в первом томе книги, лекция 15 (см. также работу [82]). Во втором
случае (рис. 2.5 ж) мы имеем дело с разновидностью переходного из-
излучения [83]. И в том и другом случае соотношение B.13) можно рас-
рассматривать как условие черенковского синхронизма между равномерно
движущимся электроном и медленной пространственной гармоникой
с фазовой скоростью Уф = и/(к + 2тг/й) одной из собственных волн
периодической структуры г). Чтобы выделить черенковские ЛСЭ (до-
плертроны) из общей массы черенковских и «переходных» приборов
(ЛБВ, ЛОВ, клистрон, магнетрон, оротрон и т.д.), в работе [4] введен
новый термин флиматрон (от англ: nickering image — мигающее изоб-
изображение).
Выше были рассмотрены типы индивидуального (спонтанного) из-
излучения частиц. Как обсуждалось нами в первом томе книги (лек-
(лекции 1 и 6), в СВЧ-электронике эксплуатируется индуцированное из-
излучение заряженных частиц. Действительно, в любом классическом
сверхвысокочастотном приборе электронный поток, поступающий на
вход в пространство взаимодействия с высокочастотным полем, стацио-
стационарен (флуктуации плотности и других макроскопических параметров
потока не учитываем), а потому создает непосредственно лишь статиче-
статическое поле. Энергообмен между этим потоком и ВЧ-полем может иметь
место только как индуцированный коллективный процесс, когда пер-
первичное («затравочное») поле возбуждает в потоке макроскопический
высокочастотный ток, излучение которого складывается с «затравкой».
Макроскопический высокочастотный ток возникает в стационарном
потоке вследствии того, что из-за возмущения движения электронов
они собираются в сгустки. Эти сгустки могут либо поглощать ВЧ-энер-
гию, либо увеличивать ее — в зависимости от того, попадают ли они
в ускоряющее или тормозящее поле.
При этом имеет место два основных типа группировки электро-
электронов — силовой и инерционный. Силовая группировка происходит толь-
только в присутствии переменного тока, как только поле «выключается», ее
развитие останавливается. Так, если в случае циклотронного резонанса
пренебречь неизохронностью осцилляторов, то после выключения поля
г) Данный факт свидетельствует об условности границ между различными
типами излучения.

Лазеры на свободных электронах 123
электроны будут вращаться с одинаковыми частотами и их взаимное
расположение не изменится. Инерционная группировка в отличие от
силовой может развиваться и при «выключенном» ВЧ-поле.
Если поток электронов, совершающих свободное поступательное
движение, промодулировать ВЧ-полем, а затем это поле выключить,
то взаимное положение частиц вследствии разности их скоростей будет
продолжать изменяться х). Возможны ситуации, когда одновременно
реализуется оба типа группировки. В этом случае всегда можно подо-
подобрать достаточно большое время взаимодействия электронов с пере-
переменным полем, так чтобы инерционная группировка преобладала над
силовой.
Оба элементарных механизма группировки действуют и в ЛСЭ.
Причем, по типу механизмов группировки все ЛСЭ можно разбить на
две группы. Первую группу составляют флиматрон, скаттрон и уби-
трон, где частота колебаний линейно зависит от его продольной коор-
координаты, и поэтому соотношение B.13) можно рассматривать как усло-
условие черенковского резонанса электрона с медленной комбинационной
волной v\\ = Уф, где v\\ — продольная скорость электрона, Уф = (и —
— uji)I (k + ki) — фазовая скорость комбинационной волны, а и){, ki —
частота и волновое число накачки для скаттрона и ui = 0, ki = 2тг/d
для флиматрона и убитрона. В этих ЛСЭ действует такой же механизм
реактивной группировки, что и в прямолинейном потоке электронов,
находящихся в поле медленной электромагнитной волны.
Вторую группу ЛСЭ составляют МЦР и строфотрон, где частота
колебаний является функцией его энергии SI = Sl(?), и поэтому условие
резонанса B.13)
w-kv|| = Sl(?) B.19)
не сводится к черенковскому виду. В этих ЛСЭ кроме реактивной
группировки действует также и группировка, основанная на неизохрон-
неизохронности колебаний электронов 2).
Опираясь на представлении о группировке частиц, нетрудно полу-
получить оценку эффективности ЛСЭ и МСЭ [84]. Проанализируем для
этого, с какой точностью должно выполняться условие B.13) резонанса
электронов с волной.
Вследствие конечности времени Т пребывания в пространстве взаи-
взаимодействия электрон может эффективно обмениваться энергией с вол-
волной и при наличии относительно нее некоторого фазового смещения
в = Uu- kv\\ -Si)
г) Этот эффект широко используется в секционированных приборах
СВЧ — секционированных усилителях клистронного типа, ЛБВ с поглоти-
поглотителем и т. п.
2
!) На квантовом языке это означает неэквидистантность их энерегических
уровней (см. том 1, лекция 1).

124 Лекция 2 A7)
если величина этого смещения не превышает 2тг. Фазовое смещение мо-
может обуславливаться двумя причинами — кинематической (начальной
расстройкой резонанса):
ОКИН = (оо-ку\1о-П0)Т, B.20)
и динамической (изменением энергии электрона в процессе взаимодей-
взаимодействия с волной):
^1, B.21)
7
где jj, = — I k-TjJ)- + ЯМ ) — параметр группировки, N = ?LqT/2-к —
число осцилляции электрона в пространстве взаимодействия. Вторая
из этих причин (динамическая) приводит к группировке электронного
потока.
Эффективный отбор энергии у пучка будет обеспечен, если
образующиеся в процессе группировки электронные сгустки, во-
первых, будут достаточно компактными и, во-вторых, попадут
в тормозящую фазу поля. Первое требование обеспечивается, если
динамическое смещение электронов составляет в среднем величину
|0Дин|~2^, B.22)
а второе, если начальная расстройка резонанса удовлетворяет условию
|0к„„|~7г, B.23)
причем ее знак должен быть противоположен знаку параметра груп-
группировки \i.
Из условия B.22) следует оценка величины характерного изменения
энергии электронов в процессе группировки
^1 L_ (о 24)
Отбор энергии у сгустка осуществляется до тех пор, пока он не пе-
переместится из тормозящей фазы поля в ускоряющую. При этом, если
торможение сгустка производится однородным в продольном направ-
направлении полем волны, допустимое изменение его фазы определяется со-
соотношением B.23). Соответственно формула B.24) позволяет найти
электронный КПД ЛСЭ rj = G0 — l)/(lo — 1) G ~~ текущий реляти-
релятивистский фактор электронов), который определяется усредненным по
фазам влета частиц изменением их кинетической энергии. В ультраре-
ультрарелятивистском случае КПД определяется выражением
B-25)
Таким образом, КПД ЛСЭ в общем случае обратно пропорциона-
пропорционален коэффициенту преобразования частоты, но зависит еще от числа
колебаний электрона в пространстве взаимодействия N и параметра

Лазеры на свободных электронах 125
группировки II. Для ЛСЭ наибольший интерес представляют резонанс-
резонансные режимы, когда число колебаний велико N ^> 1 и принимает мак-
максимально возможное значение. Последнее облегчает пусковые условия
и способствует сужению линии активного вещества. Однако, как сле-
следует из формулы B.25), увеличение N ведет к снижению электронного
кпд.
Выясним теперь, какие значения может принимать параметр груп-
группировки ц. Для флиматрона продольная скорость и энергия связаны
( \~1/2
простым соотношением j = ll — /З2,) . Тогда, как не сложно по-
показать [4], параметр группирования \i ~ 1/-у2, и соответственно КПД
ЛСЭ в режиме большого преобразования частоты (Г ~ j2) может быть
оценен как
V~jj- B-26)
Для остальных типов ЛСЭ необходимую для вычисления параметра
группировки связь между изменением продольной скоростью и энерги-
энергией можно найти из законов сохранения энергии и импульса. Наиболее
просто это сделать из квантовых соотношений для элементарного акта
излучения/поглощения:
А? = h(u - Ui), Дрц = h(k + кц).
Здесь для скаттрона о^, ki — частота и волновое число накачки, для
флиматрона и убитрона oji = 0, ki = 2n/d, для МЦР и строфотрона,
где накачка осуществляется однородными в продольном направлении
статическими полями, иц = 0, ki = 0.
Отношение приращений энергии и продольного импульса электрона
Д?/Дрц =^Ф B.27)
не содержит постоянной Планка и равно в общем случае фазовой ско-
скорости комбинационной волны. Для скаттрона, убитрона и флиматрона,
в соответствии с условием резонанса B.13) фазовая скорость комбина-
комбинационной волны примерно равна поступательной скорости электронов
^Ф ~ v\\o- Поэтому с учетом выражения B.27) и соотношения рц =
= ?v\\/с1 находим выражение для параметра группировки:
k + ki ( с \ 1
/л = — - v\\ « —,
и следовательно, для КПД ЛСЭ будет справедлива та же оценка B.25),
что и для флиматрона.
В режиме небольшого преобразования частоты (Г ^С 72) КПД фли-
флиматрона, скаттрона и убитрона могут иметь значения порядка едини-
единицы, если число колебаний удовлетворяет условию Л^пт ~ 72/Г. Соот-
Соответственно оптимальная длина L пространства взаимодействия ЛСЭ
определяется соотношением L ~ j2X.
Для МЦР и строфотрона величина Уф совпадает с фазовой скоро-
скоростью излучаемой волны, являющейся независимым параметром. Кроме

126 Лекция 2 A7)
того, параметр группировки \i для них зависит не только от производ-
производной dv\\/d?, но и от производной d?l/d?. Частота колебаний ?1 в этих
ЛСЭ убывает с ростом энергии. Поэтому связанная с неизохронностью
электронов-осцилляторов группировка частично компенсирует реак-
реактивную группировку. Соответственно для МЦР
1
а для строфотрона
В МЦР при равенстве фазовой скорости волны скорости света (/Зф =
= 1) параметр группировки ц обращается в нуль, и происходит полная
компенсация группировок (так называемый, авторезонанс). Аналогич-
Аналогичное явление возможно и в строфотроне.
Таким образом, благодаря компенсации группировок параметр /i
для МЦР и строфотрона может быть сколь угодно малым и, в частно-
частности, возможно выполнение неравенства \/л\ <С 7~2- Тогда и при боль-
большом доплеровском преобразовании частоты колебаний Г ~ 72 КПД
может быть порядка единицы при числе осцилляции электрона NonT ~
~ 7~2/М [79]- В генераторах особо коротковолновых диапазонов этот
режим требует очень высокой плотности тока и потому трудно реа-
реализуем. В этих условиях, по-видимому, более важное значение имеет
«стандартный» режим, в котором \/л\ ~ J~2-
Соотношение B.23) позволяет определить ширину полосы частот
волн, находящихся в синхронизме с заданным электронным пучком
(так называемая, полоса отрицательной реабсорбции) [4]:
^T~N- B'28)
Из сравнения формул B.28) и B.26) следует, что в «стандартном»
режиме работы полоса и максимальный электронный КПД ЛСЭ близ-
близки друг к другу по порядку величины.
Из формулы B.23) нетрудно найти допустимый начальный разброс
параметров пучка. В частности, для начального разброса энергии элек-
электронов имеем [4]
<229>
Элементарная теория ЛСЭ
Как было показано в предыдущем параграфе, в узкополосных ЛСЭ
при большом преобразовании частоты колебаний изменение энергии
электронов относительно не велико, что позволяет существенно упро-
упростить уравнения ЛСЭ и представить их в асимптотической форме,
универсальной для всех приборов.

Лазеры на свободных электронах 127
Пусть электрон движется в поле волны
Е = Re {Еш exp [j(ut - k\\z)} } . B.30)
Тогда изменение энергии электрона в любом ЛСЭ описывается урав-
уравнением
и содержит ряд гармоник. Для флиматрона, где электрон движется
прямолинейно, а в отсутствии волны и равномерно, гармоники содер-
содержатся в поле периодической электродинамической структуры в соот-
соответствии с теоремой Флоке. Для ЛСЭ с криволинейными траекториями
электронов гармоники могут появляться как вследствие несинусои-
несинусоидальности колебаний электрона в поле накачки, так и пространствен-
пространственной неоднородности поля волны.
Условие резонанса B.13) позволяет отбросить в правой части урав-
уравнения B.31) все слагаемые, кроме одного, содержащего медленную фа-
зу в = cot — k\\z — J Л dt. Для простоты ограничимся случаем диполь-
ного взаимодействия (формула B.15)) и будем рассматривать резонанс
на основной гармонике s = 1. Пользуясь малостью изменения энергии
в множителе перед экспонентой положим в формулах B.30) и B.31)
скорость электрона равной ее невозмущенному значению. В экспоненте
exp (jO) это делать нельзя, так как даже небольшие изменения энергии
могут привести на большей длине к значительному фазовому сдвигу.
Для фазы в следует записать отдельное уравнение
— =u-k\\vn-Sl B.32)
с правой частью, зависящей от энергии. Но благодаря малому из-
изменению энергии правую часть уравнения можно линеаризовать по
величине w = 1 — 7/70• В результате приходим к универсальным асим-
асимптотическим уравнениям движения электрона в ЛСЭ [4]
^=aeRe{ae^}, B.33)
^ = 5 + ^ B.34)
с начальными условиями
w@) = 0, 0@) = 0о, в0 G [0,2тг], B.35)
где t' = wt, a = eEfi/(mcojjo) — безразмерная амплитуда волны, S =
= (и — k\\v\\ — ilo)/uj — начальная расстройка резонанса, /i — введен-
введенный в предыдущем разделе параметр группировки, ае — параметр связи
электрона с волной, характеризующий величину проекции вектора ско-
скорости электрона на электрическое поле волны.
В ЛСЭ с криволинейными траекториями электронов (рис. 2.5 а-
д) параметр связи ае пропорционален невозмущенному волной питч-
фактору электронов /3_lo (коэффицент пропорциональности имеет ве-
величину порядка единицы и зависит только от поляризации волны).

128 Лекция 2 A7)
Для флиматрона с электродинамической системой в виде полоскового
гофрированного волновода (рис. 2.5 е) величина ае = irg/d, где g —
глубина гофрировки, для флиматрона с электродинамической систе-
системой в виде плоского диэлектрика (рис. 2.5 ж) зэ = (Аг/гср) sin^, где
As — перепад диэлектрических проницаемостей в слоях, еср — средняя
диэлектричесая проницаемость, ф — угол между направлением распро-
распространения волны и нормалью к структуре.
Уравнения B.33)-B.35) были получены впервые для скаттрона
и убитрона, а их обобщение на случай произвольного ЛСЭ было про-
проведено в работе [84].
При постоянной амплитуде волны уравнения B.33)-B.35) сводятся
к уравнению маятника
d26
н = /iaeasintf. B.36)
at
Периоду колебаний маятника Т' ~ 1/^/[/1аёа| соответствует длина
Az ~ (|/iaea|)~ ' ^ц/а;, на которой электроны смещаются относитель-
относительно волны на расстояние порядка ее периода, образуя сгустки и обмени-
обмениваясь энергией с волной.
Простейший случай, описываемый уравнением маятника B.36), со-
соответствует ЛСЭ-генератору с высокодобротным резонатором типа
Фабри-Перо или ЛСЭ-усилителю с очень маленьким усилением. При
большом усилении необходим учет изменения амплитуды волны под
влиянием электронного потока [4].
Перейдем теперь к расмотрению элементов стационарной теории
основных вариантов ЛСЭ: генератора с высокодобротным резонатором
и усилителя попутной волны г) .
Если резонатор ЛСЭ-генератора обладает высокой добротностью
Q ^> ojL/vrp, где L — протяженность резонатора, vrp — групповая
скорость волн, образующих поле рабочей моды, то структуру ВЧ-поля
в нем можно считать фиксированной, не изменяющейся при введении
электронного потока. Амплитуда поля в режиме стационарной генера-
генерации определяется в этом случае балансом мощности, вносимой в резо-
резонатор электронным потоком, и мощностью, выводимой из резонатора
ВЧ-полем:
^ ^ B-37)
где / — ток пучка, rj — электронный КПД, W — энергия, запасенная
в объеме резонатора.
При фиксированной структуре поля в уравнениях движения B.33)-
B.35) можно считать, что a(z) — действительная положительная
х) Заметим в связи с такой классификацией, что любой ЛСЭ-усилитель
можно превратить в автогенератор путем введения обратной связи (на-
(например, за счет отражения волн от нерегулярностей электродинамической
структуры), а ЛСЭ-генератор в регенеративном режиме будет работать как
усилитель.

Лазеры на свободных электронах
129
функция, если учитывать все возможные фазовые изменения в рас-
расстройке S(z). Тогда уравнения B.33)-B.35) заменой переменных и =
= V~XW, •& = в Sgn/i, ? = l/\fJb\tr, A = (l/lfJbD^S Sgn/i, V = y/2Bamax/\fJb\
(c^max — максимальное значение амплитуды волны) приводятся к виду
гх(О)=О i?@) = i?Oj #ое[0,2тг]. B.39)
Уравнения B.38) содержат только две независимые функции /(?) =
Электронный КПД ЛСЭ-генератора с фиксированной структурой
поля равен
2тг
rj = i/rj, f) = — u(^l, $o) dfio, B.40)
где ^l — безразмерная длина пространства взаимодействия.
Для режима малого сигнала (\и\ ^С 1, |^ — #о| ^ 1)? представляя
переменную расстройку как Д = До + Д(^), с помощью метода после-
последовательных приближений получаем выражение
1 dtp
B.41)
где
— мощность спектра ВЧ-силы, действующей на электрон при пролете
через резонатор.
В простейшем и наиболее важном случае постоянной структуры
поля /(?) = 1, Д(?) = 0 при ? G [O,?l]j которая аппроксиммирует
распределение поля попутной волны в двухзеркальном резонаторе,
«линейный» КПД равен
щ = -fi-rf > B-42)
где (р^) = A — cos^)/2^2, ?? = ?/,Д- Основная зона усиления, где
производная dtp/'dfi отрицательна и при $ = 0,8тг достигает своего
максимального значения (^^/^^)тах = —0,065, имеет ширину Д# =
= 2тг, что совпадает с оценкой B.23), проведенной нами из других
соображений.
Подстановкой выражения B.42) в уравнение баланса B.37) находим
пусковой ток генератора
^^ „3 -1 г*
т — _1
1 пуск —
B.43)
Трубецков, Храмов

130 Лекция 2A7)
где S — площадь зеркала резонатора ЛСЭ. С ростом числа осцилляции
электрона в пространстве взаимодействия N пусковой ток уменьшает-
уменьшается пропорционально 1/7V3. Последнее связано с тем, что добротность
резонатора пропорциональна его длине и числу осцилляции. Однако
такая зависимость имеет место лишь до тех пор, пока при заданном
энергетическом разбросе электронов А70 разброс углов Д# остается
меньше 2тг, что эквивалентно ограничению
N < 7о/А7 B.44)
— так называемая гидродинамическая стадия взаимодействия. При
достаточно большом разбросе, когда Д# ^> 2тг (кинетическая стадия
взаимодействия), величина пускового тока с увеличением N уменьша-
уменьшается, но по закону /пуСк ~ 1/-/V [4].
Следует отметить, что в полосу отрицательной реабсорбции попа-
попадает очень много продольных мод резонатора ЛСЭ:
LAuj/ttc ~ 72 > 1, B.45)
поэтому вышеизложенная стационарная теория справедлива только
в случае, когда обеспечена эффективная селекция паразитных мод
резонатора.
Проведем теперь стационарный анализ схемы ЛСЭ, представляю-
представляющего собой усилитель попутной волны. ВЧ-поле в такой системе опи-
описывается волновым уравнением
АЕ = |, B.46)
в котором электронный ток j сам определяется воздействием поля Е
на пучок.
В случае резонансного взаимодействия между электронным пото-
потоком и электромагнитной волной, групповая скорость которой совпадает
с направлением движения электронов (условие конвективной неустой-
неустойчивости), в режиме малого изменения энергии электронов уравнение
B.46) можно преобразовать к универсальному для всех типов ЛСЭ
виду х)
где а — медленно меняющаяся комплексная амплитуда волны, z' =
2 2тг
= ujzI'с, J = \ Г e~ie dOo — синхронная с волной гармоника вы-
2тго; о
сокочастотного тока, ujp — плазменная частота электронного потока.
Фазы электронов относительно волны подчиняются уравнениям B.33)-
B.35).
г) Данное уравнение будет строго выведено дальше в лекции.

Лазеры на свободных электронах
131
Для стационарных режимов (dp/dtf = 0) заменой переменных (для
простоты величина 5 считается константой)
= -— sgn/i,
С
a*(/i<0),
где С = (|/i|ae2a;p/2ci;2) — обобщенный параметр Пирса, система
самосогласованных уравнений B.47) и B.33)-B.35) сводится к уже
рассмотренным уравнениям стационарной теории ЛБВ без учета про-
пространственного заряда (см. том I, лекция 10):
2тг
B.48)
"s
B.49)
с граничными условиями
dti
= 0, 0ое[О,2тг].
B.50)
Поэтому для анализа работы ЛСЭ-усилителя с попутной волной можно
воспользоваться всеми результатами, полученными в теории ЛБВ типа
О.
КПД ЛСЭ-усилителя пропорционален отношению параметра Пир-
Пирса к параметру группировки:
2тг
с
B.51)
Нестационарные уравнения ЛСЭ
В предыдущем параграфе рассматривались режимы стационарной
генерации и усиления. Однако хорошо известно, что в распределенных
автоколебательных системах сверхвысокочастотной электроники при
сильном превышении тока пучка над пусковым значением генерация
может стать нестационарной. Для ЛСЭ, который возбуждается корот-
короткими импульсами тока (см., например, [11,85]), анализ нестационарной
динамики тем более актуален. В обоих случаях существенно, что в со-
соответствии с соотношением B.45) в ЛСЭ с резонатором Фабри-Перо
полоса активного вещества включает большое число эквидистантных
мод резонатора. Поэтому модовое описание нестационарных процес-
процессов в ЛСЭ оказывается малоэффективным и более предпочтителен

132 Лекция 2 A7)
пространственно-временной подход, аналогичный тому который при-
применялся в первом томе книги при построении нестационарной теории
приборов О-типа с длительным взаимодействием.
Подход, положенный в основу нестационарных уравнений, заключа-
заключается в методе, который учитывает, что при близких к единице коэффи-
коэффициентах отражения от зеркал заметная эволюция огибающей ВЧ-поля
происходит лишь при большом числе оборотов отраженной волны вну-
внутри резонатора [86].
Тогда взаимодействие электронов-осцилляторов с синхронной им
волной Е = Re {En(?, z) exp [j(ut - kz)]} на ее п-м обороте в резона-
резонаторе ЛСЭ-генератора, как и в ЛСЭ-усилителе попутной волны, описы-
описывается самосогласованной системой уравнений для поля B.47) и урав-
уравнений движения электронов B.33) и B.34). В этих уравнениях без-
безразмерная амплитуда волны ап = еЕп/'(mcuj) является медленно
меняющейся функцией безразмерного времени t' и координаты z'. Если
от переменных t' и z' перейти к новым переменным ? = t' — z//Згр и z1',
то уравнение для медленно меняющейся амплитуды волны
§? = ./. <»2)
легко проинтегрировать вдоль характеристики волны ? = const. С уче-
учетом граничного условия, характеризующего отражение волны от гра-
границ системы
где Ri:2 — коэффициенты отражений от зеркал, L — длина резонатора,
приходим к уравнению
ujL/c
«/n|?=const dz'.
О
B.54)
В последнем уравнении предполагается, что длина пространства вза-
взаимодействия, где высокочастотный ток отличен от нуля, равна длине
резонатора L.
При высокой добротности резонатора Q = uL/vrp{\ — R1R2), поль-
пользуясь малостью изменения огибающей волны на одном обороте, пе-
перейдем от дискретной переменной п к непрерывному времени г =
= n2ujL/vrp, а следовательно, от отображения B.54) к дифференци-
дифференциальному уравнению. Одновременно можно пренебречь явной зависи-
зависимостью а от координаты z в уравнениях для электронов B.33) и B.34).
Переходя к безразмерным переменным
>/
1/3
\JJ I J-^\ I с*~' У" ^ р
2Q' ~ \1- RiR2^?

Лазеры на свободных электронах 133
приходим к системе нестационарных уравнений, описывающих ЛСЭ
с высокодобротным резонатором (тильду над новыми переменными
опускаем)
г, L
а = J Jl^constd*, B.55)
о
B.56)
Граничное условие B.53) в новых переменных записывается сле-
следующим образом:
а(?,т) = а(? + Тг,т), B.57)
где Tr = ujtrDf3\\f3rp/(f3\\ + /Згр), tr = 2L/vrp — период обращения вол-
волны. Для электронного потока граничными условиями являются усло-
условия отсутствия модуляции на входе в пространство взаимодействия,
которые имеют вид
"-¦=«•¦ (*+?)L=°-
Полученные уравнения справедливы при стационарной инжекции
электронного потока в резонатор ЛСЭ. Режим стационарной инжекции
означает, что величина электронного тока и параметры резонатора
не зависят от времени. Однако часто в ЛСЭ применяется режим пе-
периодической инжекции (см., например, [85]), при работе в котором
период tr обращения волны в резонаторе синхронизирован с периодом
ti следования коротких (At <С tr) токовых импульсов.
Для описания такого режима удобно перейти от переменной ? к но-
новой переменной ( = ? — ет, где
— параметр тактового рассинхронизма. Тогда граничные условия для
электронов будут задаваться на фиксированном интервале 0 ^ ? ^
^ AT, где AT = coAtD^^1 — Р~рг), уравнения для электронов B.56)
сохраняют свою форму, а уравнение для амплитуды поля B.55) примет
вид
-,dz. B.59)
Здесь введена функция g, характеризующая форму токового импульса.
В простейшем и наиболее важном случае функция g является констан-
константой на промежутке <^ G (О, AT).
Важно подчеркнуть [4], что при синхронной инжекции электронов
генерация возникает только тогда, когда период следования токовых

134
Лекция 2A7)
Рис. 2.6. Режим периодической инжекции электронов: характеристики вол-
волнового уравнения B.59) на плоскости (?, г) и характеристики уравнения дви-
движения электронов на плоскости (?, г), а также стационарная форма электро-
электромагнитного импульса |а(?)|. Волна и электронный поток взаимодействуют
на интервале 0 ^ ? ^ AT + L
импульсов несколько превышает период обращения волны х) е > О
и когда соответственно возмущения переносятся электронами и волной
в противоположных направлениях (рис. 2.6). Благодаря этому в ЛСЭ
в режиме периодической инжекции формируется обратная связь, ана-
аналогичная лежащей в основе действия генератора обратной волны (кар-
синотрона).
Методика и результаты численного моделирования
нестационарных процессов в ЛСЭ
Рассмотрим методику численного моделирования уравнений неста-
нестационарной теории ЛСЭ [87], сформулированной в предыдущем разделе.
Для построения численной схемы введем на плоскости (C,z) прямо-
прямоугольную сетку с шагами Д? и Az, причем положим Д? = Az =
= h. Значения медленно меняющейся амплитуды поля а определяются
только в узлах сетки.
Для моделирования динамики электронного потока воспользуемся
методом крупных частиц, который сводит решение уравнений движе-
движения электронов B.56) к решению N х TVi обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, которые интегрируются вдоль характеристик на
плоскости (С, z), направление которых обозначим вектором 1:
д2вкг
= - Re {aexp[j6km]} ,
B.60)
х) В отсутствии генерации при точном синхронизме е = 0 можно убедиться
аналитически, сведя линеаризованную систему уравнений B.56) и B.59)
к однородным интегральным уравнениям Волтерра, которые имеют лишь
тривиальные решения [4].

Лазеры на свободных электронах 135
й , _ 27r(fc-l)
= 5k, k = 1,.. .,N, m = 1,...,.
z=0
#1
B.61)
где TV — число крупных частиц, движущихся вдоль одной траектории,
TVi — число траекторий (число точек пространственной сетки по оси
О-
Далее будем опускать индексы к и т, так как для фиксированных
кит рассматривается только одно уравнение движения. Интегри-
Интегрирование вдоль характеристики 1 означает, что шаг интегрирования
уравнений движения необходимо выбрать равным А/ = \/2h.
В правые части уравнений B.55), B.56) и B.59) переменная в входит
только под знаком экспоненты. Поэтому для интегрирования системы
нестационарных уравнений удобно перейти к новой переменной
lp = lp1+ jp2 = exp [jO] . B.62)
Тогда уравнение B.60) с граничными условиями B.61) относительно
новой переменной ср принимает вид
ф — ф2ф* — -j(f Re {atp} = 0, B.63)
<р@) = exp [Я2тг(А; - 1)/N)] , ф@) = j6k<p@). B.64)
Новая переменная позволяет существенно уменьшить объем вычисле-
вычислений и снизить погрешность расчетов благодаря отсутствию необходи-
необходимости численно рассчитывать большое число экспонент.
Полученные уравнения интегрируются стандартными численными
методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для
проверки корректности расчетов можно воспользоваться очевидными
соотношениями
2,2-1 i • п /о пг\
(?>-. -|- (р2 = 1, ty?lty?l ~г ty?2ty22 — U. (Z.OO)
Дважды проинтегрировав уравнение B.60) на интервале [0, А/] по-
получаем следующее уравнение (символ Л определяет значения перемен-
переменных в начальной точке интервала, V — в конечной):
А/
1
Re {aejS} dl, B.66)
А/
^ \ (Al-l)Re {aeje} dl. B.67)
о
Введем следующее обозначение:
ф = фг + j$2 = exp [j<9A/] . B.68)

136
Лекция 2 A7)
Тогда
A/
- J (А/ - I)
2) ехр
\j
A/
\jAl
dl\
B.69)
B.70)
Интегралы в правых частях уравнений B.69) и B.70) рассчитываются
численно с использованием схемы четвертого порядка точности, т.е.
с точностью О(А13) и О(А14) сответственно. Поэтому для расчета пер-
первого интеграла используется линейная интерполяция функции (Aiipi —
— ^2^2), а для расчета второго — метод трапеций. Тогда уравнения
B.69) и B.70) принимают следующий вид:
+ ЗФ2 = (Фг + 3<P2)$i + 3Ф2)
О(А14)] , B.71)
1
O(A/4) , B.72)
А/2
—
Вводя обозначения с + jd = (^1 + j<P2)(i>i + J^), AL = A/2/12, F =
= A\(fi — A2(f2j получаем, что выражения для искомых функций (р\
и ф2, а также ^i и ^2 записываются как
0{Al }'
B.73)
F) + О(А/4),
F) + О(А/4).
Заметим, что
B.74)

Лазеры на свободных электронах
137
т.е. полученное нами численное решение с точностью О(А/4) удовле-
удовлетворяет условию <р\ + </?! = 1, которое автоматически следует из опре-
определения B.62). Аналогичное условие в соответствии с формулой B.68)
имеет место и для переменной ф: ф\ + '
При расчете уравнений движения
на каждом шаге будет появляться
некоторая ошибка (оцениваемая вели-
величиной О (А/4)), которая накапливается
и может приводить к неустойчивостям
разностной схемы. Для предотвраще-
предотвращения этого в работе [87] предложена
процедура коррекции решения урав-
уравнений движения. Ее идея заключает-
заключается в следующем (рис. 2.7). Получен-
Полученные в результате численной процеду-
процедуры B.73) величины (р\ и (pi лежат вне
(или внутри) единичной окружности
на плоскости (</?i, ip^). Процедура кор-
коррекции заключается в «возвращении»
их на единичную окружность вдоль
радиус-вектора, который отмечен на
рис. 2.7. Очевидно, что таким образом
происходит лишь приближение скор-
скорректированного значения к точному.
Процедура корректировки описы-
описывается преобразованием
— 1.
Рис. 2.7. Процедура коррекции
решения уравнений движения
электронов. Здесь ф\ и (р2 —
нескорректированные величи-
величины, (fin и (р2п — скорректиро-
скорректированные веЛИЧИНЫ, ф\е И (р2е ~
точное значение
B.75)
Очевидно, что скорректированные значения удовлетворяют условию
(р\п + (р\п — 1. Легко показать, что (р\п — (р\ + О(А/4), (pin — Ф2 +
+ О(А/4).
Аналогичная процедура коррекции проводится при расчете вели-
величин ф\ и -02, так что скорректированные значения i\)\n и ip2n такж;е
УДОВЛеТВОрЯЮТ УСЛОВИЮ ф\п + Щп = 1-
Вышеописанная процедура используется для расчета интегралов
^ 2тг L
I = — J ехр [—j6] dOo и В = J / dz в нестационарных уравнениях
27Г о о
ЛСЭ.
Рассмотрим теперь методику численного решения уравнения для
распространяющейся в резонаторе ЛСЭ волны, т.е. уравнения B.55)
в случае стационарной инжекции и уравнения B.59) в случае периоди-
периодической инжекции. Будем полагать в этих уравнениях, что величина В
известна из решения уравнений движения.

138 Лекция 2A7)
Будем интегрировать уравнения B.55) и B.59) вдоль характеристик
С + ет. Тогда случаи с различным типом инжекции практически не
различаются. Единственное отличие заключается в том, что в режиме
стационарной инжекции (уравнение B.55)) направление характеристик
совпадает с направлением оси переменной т, что позволяет произволь-
произвольно, независимо от величины h выбрать размер шага по времени Ат.
В случае периодической инжекции шаг по времени должен удовлетво-
удовлетворять условию Ат ^ h.
Производя замену переменной Е = аехр[т], преобразуем уравне-
уравнение B.55) к более удобному для численного интегрирования виду
Ё = Вехр[т], B.76)
где точка над переменной означает дифференцирование вдоль направ-
направления характеристики волнового уравнения.
Запишем одну из возможных разностных схем третьего порядка
точности для уравнения B.76). Так:
А А
Яп+1 = Еп + \ тВеТ dr = Еп + \ т \вп + Впт + Вт2/2~\ ет dr =
о о
А Ат
r [EJl^zl + B^] re^dr + B J ^ dr =
О О
= Еп + Вп(еАт - 1) + Вп д^п-1A " еАг + АтеАт) + О(Ат3),
B.77)
где п — номер шага во времени. Возвращаясь к переменной а, получаем
следующую вычислительную схему для нахождения величины поля на
(п + 1)-м шаге по времени:
Аг^о \л A-Аг)A-е-Ат1 „ Л 1-е-А
ап+1 =апе ^т + В 1 - ^?- Б1 I 1 -
At
B.78)
Вычислительная ошибка такой схемы может быть оценена как [88]
e1 = ^(An+An)AT3 + O(ATi).
В случае периодической инжекции электронов вычислительная схе-
схема B.78) также применима к уравнению B.59), но при выборе шага по
времени, равного величине Ат — h/e.
Рассмотрим результаты, полученные при анализе нестационарных
уравнений ЛСЭ.
Исследуем вначале случай стационарной инжекции электронов.
В случае малых амплитуд поля можно найти аналитическое решение

Лазеры на свободных электронах
139
о
2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 т
а б
Рис. 2.8. Зависимость от параметра L диапазона углов пролета, при которых
имеет место генерация (а); переходный процесс установления одночастотной
одномодовой генерации (L = 3,6, Тг = 21,6) (б)
системы уравнений B.55) и B.56). Линеаризовав уравнение движения
электронов, нетрудно получить уравнение для амплитуды наведенного
тока:
dz
B.79)
Учитывая граничные условия B.57) и B.58), решение можно пред-
представить в виде разложения по модам с однородной в пространстве
амплитудой и эквидистантным спектром
Здесь Д/, = 27гк/Тг. Амплитуды этих независимых мод подчиняются
уравнениям:
dr
¦ak(l-F(dk))=0,
B.80)
где F(#k) = L4f
f [| (#ке*»" - l) - (e^ - l)], #k = AkL - угол
пролета электронов относительно к-й моды. Согласно уравнению
B.80), амплитуда мод экспоненциально растет, если для нее выполнено
условие самовозбуждения Rei^(^^) > 1. Наименьшее значение
безразмерной длины системы L, в соответствии с выражением для
пускового тока /пуСк B.43), удовлетворяющее условию возбуждения
ЛСЭ, равно LnyCK = 2,5. На рис. 2.8 а представлена область на
плоскости параметров (L^/,), где имеет место самовозбуждение
ЛСЭ-генератора. При L > 4 ширина зоны генерации близка к 2тг.
В этой зоне одновременно нарастает примерно Tr/L ~ 7о М°Д
открытого резонатора.
При больших амплитудах поля уравнения B.55) и B.56) необходимо
интегрировать численно с помощью вышерассмотренной разностной

140
Лекция 2A7)
1,0
0,5
-2
г
в
я
V
0,0
8,0
V
0 2 4 6 8 10 к
Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а)
и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5
схемы. Результаты удобно интерпретировать на модовом языке, раз-
разлагая огибающую а в ряд Фурье. Как показывают расчеты, с ростом
тока пучка ЛСЭ проходит следующую последовательность режимов
генерации [4].
1. При относительно небольшом превышении тока пучка над мини-
минимальным стартовым значением устанавливается режим стационарной
генерации. При одинаковых начальных условиях в результате конку-
конкуренции выживает мода с наибольшим инкрементом (см. рис. 2.8 б).
2. При токах, превышающих оптимальное по стационарной теории
значения / = 3/пуСк, одномодовая генерация становится неустойчи-
неустойчивой и возникает периодическая автомодуляция волны (рис. 2.9 а), т.е.
самосинхронизация мод. Амплитуды мод в этом режиме постоянны
(рис. 2.9 6). При дальнейшем росте тока пучка или увеличении числа
мод в полосе активного вещества (увеличении параметра Тг) амплиту-
амплитуды мод начинают меняться во времени сначала периодически, а затем
и хаотически. В результате поведение амплитуды поля а становится
нерегулярным. Интересно, что в этих режимах средний электронный
КПД оказывается даже большим, чем в режимах стационарной гене-
генерации, однако излучаемая мощность распределена по большому числу
мод в полосе частот, в несколько раз превышающей полосу активного
вещества (отмечена штриховой линией на рис. 2.9 б).
Изучим теперь режим периодической инжекции электронов. Учи-
Учитывая, что в этом режиме реализуется обратная связь, аналогичная
имеющей место в лампе обратной волны (см. рис. 2.6), смена режимов
генерации ЛСЭ с синхронной инжекцией электронов напоминает смену
режимов в ЛОВ типа О (см., например, работы [91-93], а также первый
том книги, лекцию 13). По мере превышения тока пучка пускового
значения ЛСЭ-генератор проходит три стадии (рис. 2.10):
1. Генерация со стационарной формой импульса (рис. 2.11 а).
2. Генерация с периодической формой имульса (рис. 2.11 б).
3. Генерация со стохастической формой импульса (рис. 2.11 в).

Лазеры на свободных электронах
141
8,0
6,0
4,0
2,0
Автомодуляция
формы импульса
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 L
Рис. 2.10. Границы области самовозбуждения и автомодуляции ЛСЭ с пе-
периодической инжекцией электронов на плоскости управляющих параметров
(L,TC) при е = 2,5
:Х
Рис. 2.11. Пространственно-временная динамика поля в резонаторе ЛСЭ
с периодической инжекцией электронов в различных случаях: а — генерация
одинаковых импульсов (L = 3,0, Тс = 5,0, е = 2,5); б— автомодуляция формы
импульса (L = 6,5, Тс = 5,0, е = 2,5); в — стохастическая автомодуляция
(L = 10,0, Тс = 6,0, е = 1,0) (из работы [87])

142 Лекция 2 A7)
ЛСЭ, основанные на излучении электронов
в периодических статических полях и рассеянии волн
электронными потоками: подход, основанный на
введении сил Миллера 1)
В предыдущих разделах лекции была изложена элементарная тео-
теория различных модификаций ЛСЭ. Однако для убитронов и скат-
тронов существует более последовательная и универсальная теория,
базирующаяся на релятивистском обобщении широко использумого
в физике плазмы метода усредненной высокочастотной силы Гапонова-
Миллера [89, 90]. В этом случае с самого начала учитывается, что
пондеромоторное воздействие на электрон оказывает лишь синхронная
с ним волна, частота и волновой вектор которой равны разностным
частотам и волновым векторам волны накачки и сигнала. Комбинаци-
Комбинационная волна аналогична по своей пространственно-временной струк-
структуре обычным волнам, что позволяет, в принципе, любому прибору
классической электроники поставить в соответствие убитронный или
скаттронный аналог.
1. Концепция комбинационной волны. Поле в пространстве взаимо-
взаимодействия убитрона и скаттрона представляет собой сумму двух волн:
А = Re {As(r±, z, t)eje° + А<(г±, z, t)ej6i} . B.81)
Здесь A^s и 0i^s = (uji^st — ki^s\\z) — амплитуды и фазы (заданных
в кулоновской калибровке) вектор-потенциалов накачки {%) и сигнала
(s). Убитрону соответствует накачка с нулевой частотой ц =0и вол-
волновым числом hi || = 2тг/й, где d — период статичского поля.
Воздействие каждой из волн на электроны, которые совершают в их
поле большое число колебаний
N = Nt*tNi-»\, B.82)
является не синхронным и не может привести к накапливающемуся
эффекту. Но синхронизм
wc = kcV\\, uc = и8 - Ui, kc = ks\\ - кц\ B.83)
и накапливающееся воздействие возможны в поле комбинационной вол-
волны, амплитуда которой определяется произведением амплитуд ASA*,
а фаза в = 6S — 6i — разностью фаз волн. Тогда естественно пред-
представить динамические переменные в виде суммы плавно меняющихся
(дрейфовых) и быстро осциллирующих переменных и провести усред-
усреднение уравнений движения электрона. Наиболее просто это сделать при
г) При написании данного раздела были использованы материалы лек-
лекции В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина на 5-й зимней школе-
семинаре по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1981) [4].

Лазеры на свободных электронах 143
использовании канонической формы уравнений движения [4]:
S = I<«P + «A»- ? = -fv<™>-gvA>, B.84)
где Р = р — (е/с)А и р = mjv — канонический и механический им-
импульсы электрона.
Для энергии электрона ? = у/?тг2с4 + (сР + еАJ удобно восполь-
воспользоваться отдельным уравнением
Считая, что наряду с соотношениями B.82) и B.83) выполнено
условие малости амплитуд волн, так что ВЧ-осцилляции координаты
электрона существенно меньше длин волны накачки и сигнальной вол-
волны, т. е.
|г~| « \.,и B.86)
проведем усреднение уравнений B.84) и B.85) по явно входящим ком-
комбинациям exp [jOs^]. Тогда получаем уравнения
^(г)=?^(Р> d(P)_ = _^ , 2 d(?) = е2 д (А2)
dt ? ' dt 2 (?) v \ /' dt 2 {?) dt '
B.87)
в которых
(А2) = Re {AsA*exp(j0)} + \ (|As|2 +
Поскольку дрейфовые части механического и канонического им-
импульса совпадают: (Р) = (р), правая часть второго уравнения B.87)
представляет собой выражение для усредненной силы
F = -^JyV(A2), B.88)
при этом осциллирующая часть механического импульса определяется
динамикой вектора-потенциала А, т. е.
р^ = -А. B.89)
Можно показать [4], что уравнения B.87) сохраняют канонический
вид с гамильтонианом
П = (?) = V/m2c4 + c2(p2) + e2(A2) . B.90)
С квантовой точки зрения переход от уравнений B.84), B.85) к урав-
уравнениям B.87) означает, что в соответствии с условием синхронизма
B.83) в гамильтониане опущены ответственные за однофотонные про-
процессы слагаемые, пропорциональные первой степени А и оставлены
ответственные за двухфотонные процессы слагаемые, пропорциональ-
пропорциональные А2.

144 Лекция 2A7)
Рис. 2.12. Неколлинеарное рассеяние волн
Согласно третьему уравнению B.83) при постоянных во времени
амплитудах волн из трех слагаемых, входящих в (А2) и усредненную
силу B.88), на энергообмен влияет лишь первое, отвечающее комбина-
комбинационной волне.
Отметим, что начальные условия для медленно меняющихся ве-
величин отличаются от невозмущенных значений го, Ро и ?q. Соответ-
Соответствующие поправки можно найти с помощью первого улучшенного
приближения метода усреднения [4]. Указанным отличием можно пре-
пренебречь при плавном нарастании или достаточно малой интенсивности
полей, когда безразмерные амплитуды волн as?i = eAs^/(mc2jo) малы:
к,г|<1.
2. Неколлинеарное рассеяние волн. Наряду с рассмотренным выше
коллинеарным рассеянием, когда падающая волна распространяется
навстречу электронам, а рассеянная — в направлении их поступатель-
поступательного движения, важное значение имеет также случай неколлинеар-
ного рассеяния. В ряде случаев такая геометрия (рис. 2.12) проще
в конструктивном отношении. Кроме того переход к неколлинеарному
рассеянию позволяет управлять частотой и эффективностью ЛСЭ.
Из условия синхронизма B.83) ясно, что доплеровское преобразо-
преобразование частоты электрона
в убитроне и скаттроне остается большой величиной Г ~ 7о и ПРИ
отклонении сигнальной волны от направления движения электронов
на углы ips ^ 1/то- Изменение же направления накачки в скаттроне
довольно слабо сказывается на изменение частоты колебаний ft =
= Lj{ — k^V||. При переходе от встречной (k^V|| = —kiv\\) к поперечной
(k^V|| = 0) накачке частота ft уменьшается в два раза.
При неколлинеарной геометрии направление комбинационной вол-
волны kc = ks — k^, вообще говоря, отличается от направления движения
электронов. Так при большом преобразовании Г ~ j2, когда |ks| ^> |k^|,
это направление близко к направлению сигнальной волны. Поэтому
под действием комбинационной волны электроны смещаются не только

Лазеры на свободных электронах 145
вдоль, но и поперек своего невозмущенного движения. Для плоских
волн As^(r_L, z, t) = As^exp[—jks^r±] это обстоятельство легко ил-
иллюстрируется поперечной частью интеграла системы уравнений B.87):
кс (?) - ojc (p) = const. B.92)
В случае малых амплитуд полей (\as,i | <^ 1) и соответственно малых
изменений энергии электронов (\w\ <С 1), используя B.92) и вводя ком-
комбинационную фазу вс = uct — kcr, нетрудно привести уравнения B.87)
к виду системы уравнений B.33) и B.34). Для неколлинеарного рассея-
рассеяния линейно поляризованных волн параметры группировки и связи,
входящие в уравнения B.33) и B.34), определяются выражениями
Пользуясь соотношениями B.93) для неколлинеарного рассеяния, как
и для коллинеарного получаем, что в режиме большого преобразования
частоты, электронный КПД пропорционален ширине полосы отрица-
отрицательной реабсорбции и сравнительно невелик.
3. Рассеяние в условиях доплеровских синхронизмов пучка с ком-
комбинационной волной. При поперечной фокусировке пучка, обеспечива-
обеспечиваемой либо наложением однородного магнитостатического поля, либо
использованием подходящих поперечно-неоднородных полей накачки,
наряду с черенковским синхронизмом B.83) при рассеянии возможен
и доплеровский синхронизм (как нормальный, так и аномальный) ко-
колеблющихся с частотой П± электронов с комбинационной волной, ко-
который определяется следующем условием:
ис - kcv\\ = ±il±. B.94)
При таком синхронизме взаимодействие электронов с комбинационной
волной аналогично их взаимодействию с обычными волнами в соответ-
соответствующих однофотонных приборах — МЦР, строфотроне и т. д. В част-
частности, при нормальном доплеровском синхронизме (знак « + » в форму-
формуле B.94)), когда фазовая скорость комбинационной волны больше ско-
скорости света, электроны могут отдавать свою энергию сигнальной волне
лишь при наличии у них первоночальной колебательной энергии. При
аномальном доплеровском синхронизме (знак « —» в формуле B.94)),
когда фазовая скорость комбинационной волны меньше скорости све-
света, начальная колебательная энергия у частиц может отсутствовать.
Излучая волны, такие предварительно невозбужденные осцилляторы,
движущиеся со сверхсветовой поступательной скоростью, переходят на
более высокие осцилляторные энергетические уровни.
Рассмотрим для определенности случай, когда группировка элек-
электронов осуществляется благодаря поперечной неоднородности поля
накачки. Необходимый потенциальный рельеф образуют, в частно-
частности, периодическая система аксиально-симметричных магнитов в уби-
троне (рис. 2.13 а) или цилиндрическая аксиально-симметричная вол-
волна накачки (например, волна Hqi) в скаттроне (рис. 2.13 6). Вектор-
10 Трубецков, Храмов

146
Лекция 2A7)
s
N
S
N
S
N
S
s
И
S
И
S
И
S
Hoi @
Ни (s)
Рис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями
накачки
потенциал А^ для таких полей вблизи оси симметрии системы можно
приближенно представить в виде
Ах = уAi cos 6i,
Ay = —
Az = 0.
B.95)
Усредненное движение электрона в фокусирующем поле B.95) и по-
поле сигнальной волны описывается уравнениями B.87). Считая для про-
простоты сигнальную волну плоской циркулярно-поляризованной и рас-
распространяющейся вдоль направления поступательного движения элек-
электронов
Asx + jA8y = -jA8 exp [j68] ,
уравнения B.87) представляются в виде (знак усреднения опущен)
dr+
~df
dt
28
B.96)
B.97)
где г+ = х + jy, P+ = Рх + jPy, Уф = и;с/кс. Уравнения B.96) и B.97)
имеют интеграл, аналогичный интегралу B.92), а именно
= С.
B.98)

Лазеры на свободных электронах 147
Как отмечалось выше, при резком включении полей значение кон-
константы С должно определяться с помощью первого улучшенного при-
приближения метода усреднения. Производя соответствующие вычисле-
вычисления, получим, что [4]
2
р (
^0 I 9 9 i 9 I / А 9 \
-%- (га2с2+р]_0 + — (А2)
с \ с
B.99)
где Го, p_i_o — начальные координата и поперечный импульс электро-
электрона-осциллятора.
В отсутствии сигнала (As = 0) энергия и продольный импульс
электрона постоянны, а поперечные колебания в поле усредненного
потенциала, создаваемого накачкой, представляют в данном случае
суперпозицию двух вращений в противоположные стороны с угловой
частотой п±0 = eAikic/V2?0:
Р+ = Я1 exp (jil±t) + q2 exp (-jil±t) , B.100)
r+ = J sts ^~qi exp ^fi±^ + q2 exp (-jil±t^' (
где амплитуды q\^ определяются из начальных условий.
Считая, что при наличии сигнала (As ф 0) выполнено условие до-
плеровского синхронизма B.94) между комбинационной волной и попе-
поперечными дрейфовыми колебаниями, будем искать решение уравнений
B.96), B.97) в виде B.100), B.101), где амплитуды q\^ теперь есть
функции времени. Предполагая, что число поперечных вращений, со-
совершаемых электроном в пространстве взаимодействия, велико: N± =
= ?1±Т/2тг, произведем дополнительное усреднение уравнений по пе-
периоду 2тг/Л_ь Переходя от независимой переменной t к продольной
координате z, приходим к системе уравнений вида
= 0,
B.102)
где q — qi^-,9 — </2,ъ ^ = ^ ^ J ^_l dt. Первая пара индексов и знак « —»
в фазе ср и во втором уравнении B.102) относятся к нормальному до-
плеровскому рассинхронизму, когда в резонансе с волной оказывается
компонента поперечного движения электрона, которой соответствует
вращение в ту же сторону, что и направление вращения сигнальной
волны. Вторая пара индексов и знак « + » относятся к аномальному
доплеровскому синхронизму, при котором резонансная компонента q
поперечного движения вращается в сторону, противоположную на-
направлению вращения сигнальной волны.
Уравнения B.102) имеют интеграл, связывающий квадрат импульса
резонансной компоненты поперечных вращений с изменением энергии
ю*

148 Лекция 2 A7)
электрона-осциллятора г):
q2=q20±^(?-?0)?0. B.103)
00сС
В соответствии с этим соотношением торможение электрона в условиях
нормального эффекта Доплера (знак « —») сопровождается уменьше-
уменьшением поперечного импульса, а в условиях аномального эффекта Допле-
Доплера (знак « + ») — его увеличением.
Используя интегралы B.98) и B.103) и вводя безразмерные пе-
переменные z1 = (uc/c)z, as = eAs/(V2mc2jo), q' = q/(mcj0), p' =
= р/(?тгс7о), приведем усредненные уравнения B.102) к двум уравне-
уравнениям для энергетической переменной w = 1 — ? /So и фазы $ = (р —
— argg, которые записываются в виде (штрихи над безразмерными
переменными опускаем):
^ , B.104)
dz I - w
dz I - w 2wc q(l - w)
2w q(l w)
Здесь S = (l - Дф1 +7^2/2 + ^ + p% - п^/ис -
начальная расстройка относительно условия синхронизма, q =
Если электроны обладают отличной от нуля начальной поперечной
скоростью, то граничные условия уравнений движения B.104) и B.105)
имеют вид
гу(О) = О, #@) = #о е [0,2тт]. B.106)
В случае первоночально прямолинейного пучка граничные условия
модифицируются:
w@) = 0, i?@) = 0. B.107)
Рассмотрим случай рассеяния в условиях нормального эффекта
Доплера. Хотя в описывающих этот случай уравнениях B.104)—B.106)
присутствуют члены, ответственные как за силовую, так и за инерци-
инерционную группировку, именно последняя определяет основные характе-
характеристики процесса индуцированного излучения. Однако по сравнению
с убитронами и скаттронами, основанными на черенковском синхро-
синхронизме с комбинационной волной, к инерционной группировке приводит
здесь не только эффект отдачи, но и неэквидистантность энергетиче-
энергетических уровней электрона, колеблющегося в усредненном потенциальном
рельефе, т.е. зависимость ?1± = ?1±(?) (неизохронность электронов-
осцилляторов). Причем при фазовой скорости комбинационной волны,
г) Амплитуда нерезонансной компоненты в среднем в соответствии со вто-
вторым уравнением B.102) постоянна.

Лазеры на свободных электронах 149
равной скорости света, (/?ф = 1), группировки полностью компенси-
компенсируют друг друга г) (случай авторезонанса). Следовательно, параметр
группировки /i = (Рф2 — 1J может быть сделан сколь угодно малым:
\/л\ <С 1/7о? а эт0 означает, что высокое преобразование частоты в скат-
тронах и убитронах, использующих нормальный доплеровский син-
синхронизм, может быть совместимо с высоким КПД 2) (при однородной
продольной структуре поля максимальный КПД составляет величину
В случае рассеяния в условиях аномального эффекта Доплера, ког-
когда начальная осцилляторная энергия электронов отсутствует (q±o = 0),
в системе доминирует силовая группировка электронов, при которой
движение и энергообмен для всех электронов происходит совершен-
совершенно одинаково. В этом случае нельзя приблизиться к авторезонансу
вплотную, так как фазовая скорость комбинационной волны меньше
скорости электронов и, тем более, меньше скорости света. В результате
КПД такого ЛСЭ не велик: r\ ~ \/ N.
4. Влияние однородного магнитостатического поля на эффектив-
эффективность индуцированного рассеяния. В присутствии однородного магнит-
магнитного поля HqZq раскачка электронов полем падающей волны суще-
существенно облегчается. Действительно, осцилляторная скорость электро-
электрона определяется в этом случае величиной [4]
2_ eAi Wi + kiV\\0
Р — 2 i / '
которая резко возрастает при приближении к циклотронному резонан-
резонансу, когда
uji + kiV\\Q « ujc. B.108)
Другой важной особенностью подобного режима является то, что при
выполнении условия B.83) черенковского резонанса для комбинацион-
комбинационной волны условие циклотронного резонанса
us - ksv\\0 « uc B.109)
оказывается выполненным и для сигнальной волны (так называемый
двойной резонанс).
Рассмотрим простейший для анализа случай коллинеарного встреч-
встречного рассеяния циркулярно-поляризованных волн постоянной ампли-
амплитуды с фазовыми скоростями, равными скорости света, на ультраре-
ультрарелятивистском электронном пучке. Считая относительные изменения
х) При фазовой скорости волны, равной скорости света, усредненное дви-
движение электрона носит авторезонансный характер, при котором электрон
в рамках сделанных идеализации бесконечно ускоряется.
2) В убитронах и скаттронах черенковского типа высокий КПД достигается
только при малом преобразовании частоты, например, когда сигнальная
волна распространяется навстречу пучку [94].

150 Лекция 2 A7)
энергии электронов малыми, представим уравнения движения электро-
электронов в присутствии магнитного поля в виде [4]
B.110)
dz 2 ^6~ ' "'" "
dOs _ w \p+\ dOi _ w
~df ~ s ? + ^~' "df ~ *~2"'
где i" = ojsz/(cJq) — безразмерная координата, р+ = j(Cx + jfiy) ~
безразмерный поперечный импульс, as = as7o, 08^ = (u}s,it + &s,i^ —
— Ja;c dt), ^s,i = ( —^-A + P\\o) — —^-) 7o ~~ циклотронные фазы элек-
V CO § СО s /
трона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сиг-
сигнала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на
входе пучка граничные условия к уравнениям B.110) имеют вид
гу(О)=О, р+@) = 0, 0в,г(О) = 6>s,i0, #*,го е [0,2тт),
а электронный КПД определяется как
2тг 2тг
*7 = ^Т [ [^(^)^so^iO. B.111)
о о
Рассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное
магнитное поле.
Если величина магнитного поля далека от резонансного значения
и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаи-
взаимодействия достаточно велик {Si^'zk ^> 1)? уравнения B.110) могут
быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравне-
уравнение системы B.110), представим поперечный импульс электрона в виде
р+ = I К езе. + ^1 езвЛ + const< B.112)
2 lds di J
Подставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя
медленную фазу 0 = 0s — 0i, после усреднения получим систему урав-
уравнений
dw asai . а dO
-7^ = ^^sin6>, — = 6-w, B.113)
dz 25i dz
где S = (S8 — Si) — начальная расстройка относительно условия ком-
комбинационного синхронизма. Уравнения B.113) могут быть получены
[95,96] и непосредственно из выражения для усредненной пондеромо-
торной силы в присутствии нерезонансного магнтного поля.

Лазеры на свободных электронах
151
Заменой переменных ? =
Д =
5 и и =
V 26i ' у V
эти уравнения сводятся к универсальному виду B.38), причем по-
прежнему КПД определяется соотношением B.25). Следовательно,
нерезонансное магнитное поле не влияет на величину максимально
достижимого КПД, однако приводит к снижению оптимальных на-
пряженностей полей сигнала и накачки asai ^ Si/N2. Кроме того,
при фиксированной интенсивности волны накачки наложение нерезо-
нерезонансного магнитного поля в B5i)~2 раз уменьшает пусковой ток по
сравнению с величиной, определяемой соотношением B.43).
В случае резонансного магнитного поля при выполнении условий
циклотронного резонанса B.108) и B.109) необходимость дополнитель-
дополнительного усреднения уравнений B.110) отсутствует. Нетрудно видеть, что
в этом случае формирование компактных сгустков электронов и их тор-
торможение полем сигнальной волны будут обеспечены при выполнении
следующих условий:
N
-1
B.114)
Из них следует, что оптимальные напряженности высокочастотных по-
полей в присутствии резонансного магнитного поля уменьшаются в лЛ/V
раз. В то же время для КПД остается справедливой та же оценка rj ~
~ 1/N, что и в случае отсутствия резонансного поля.
Решая уравнения B.110) в приближении малого сигнала (as <С 1),
найдем КПД в линейном приближении. В случае точного синхронизма
электронов с накачкой E{ = 0) электронный КПД равен
)}• B.115)
Здесь 6sk = Ss^k, функция (f(9sk) описывает циклотронное поглоще-
поглощение сигнальной волны в отсутствие накачки, а слагаемое is<&Fsk) от-
ответственно за индуцированное излучение, v = а2Щ,/8. При больших
параметрах и согласно формуле B.115) индуцированное излучение пре-
преобладает над индуцированным поглощением. Тогда стартовое условие
для скаттрона и убитрона с резонатором Фабри-Перро представляется
в виде [4]
32?г- [кА], B.116)
где
•<¦>-!¦?
Если зафиксировать интенсивность волны накачки и длину простран-
пространства взаимодействия (а следовательно, и максимальный КПД r\ ~
~ 1/N), то как следует из сравнения выражений B.116) и B.43), при

152 Лекция 2 A7)
резонансном условии B.108) пусковой ток в TV2 раз меньше, чем в от-
отсутствии магнитного поля.
5. Индуцированное ондуляторное излучение в интенсивном поле на-
накачки. Генерация высших гармоник баунс-частоты. До сих пор в этом
параграфе рассматривался случай относительно слабых полей накачки
ol{ <С 1/70? в которых размах осцилляции электрона мал по сравнению
с длиной излучаемой волны. В таких полях излучение электрона носит
дипольный характер.
Рассмотрим теперь случай недипольного излучения электронов
в поле очень интенсивной накачки, когда
Щ > 1/70, B.П7)
и размах осцилляции сравним с длиной излучаемой волны. Соответ-
Соответственно в этом случае в спектре излучения электрона представлены
высшие гармоники
^/ = 1,2... B.118)
1 ^,
1 — /5ц COS ^
Рассмотрим возможности получения эффективного индуцированного
ондуляторного излучения на гармониках.
Заметим, что при нарушении условия B.86) процедура усреднения
уравнений движения электронов существенно усложняется. Рассмот-
Рассмотрим ее на простейшем примере, когда излучение сигнальной волны
происходит в направлении поступательного движения электронов
As = Re {Aex0 exp [j(ujst - ksz)]} , B.119)
а накачка осуществляется периодическим магнитным полем с вектор-
потенциалом
А{ = Л^х0 sin k{Z. B.120)
В выражениях B.119) и B.120) считается, что оба поля линейно по-
поляризованы. В этих полях поперечная составляющая канонического
импульса электрона сохраняется и, следовательно, для нее можно за-
записать выражение вида
p_L = -А + const, B.121)
где А = As + А^. Константу в этом соотношении можно считать
пренебрежимо малой, если инжекция осуществляется в нули вектор-
потенциала А^, а амплитуда поля сигнала не слишком велика.
Используя выражение B.121) и выражая продольный импульс элек-
электрона через его энергию и поперечный импульс
-mV-pi, B.122)

Лазеры на свободных электронах 153
сведем уравнения движения к двум уравнениям
dS e2 дА dt E
dz 2pzc2 dt ' dz c2pz
B.123)
где за независимую переменную принята координата z электрона.
Для дальнейшего упрощения уравнений B.123) сделаем ряд допол-
дополнительных предположений.
Во-первых, поперечный импульс электрона в поле сигнальной волны
будем считать слаборелятивистским p±s <С тс, или соответственно
as <С 1/то- Относительно накачки будем считать, что в соответствии
с условием B.117) приобретаемый электроном в ее поле поперечный
импульс является релятивистским p±i ^ тс, но все же много меньшим
поступательного импульса рц. Это означает, что выполняется условие
То <«<«!• B-124)
Эти ограничения позволяют упростить соотношение B.121), приводя
его к виду
2 А2)) , B.125)
где можно положить А2 = Л2 = Л2 sin2 k{Z.
Во-вторых, относительное изменение энергии электронов w = 1 —
— ?/?о невелико:
\w\ < 1. B.126)
Тогда, с учетом выражений B.125) и B.126) преобразуем уравнения
B.123) к следующему виду:
— = -asai Re {j exp [j(u8t - ksz)]} sin k{z, B.127)
-A = I 1 + 2° + ^1A -cos2kiz) + ( A. + a? j w\ . B.128)
dz с [ 2 2 Wo J \
Добавки, обусловленные интенсивной накачкой, сравнимы с основ-
основными слагаемыми в правой части уравнения B.128) при а\ ~ 1/То-
Решение уравнения B.128) естественно искать в виде суммы t — т +
+ ?, в которую входят плавно меняющаяся величина г, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению
а% ' ' " ' -2 * -1 B.129)
и осциллирующая добавка ^, которая описывается выражением
B.130)

154 Лекция 2 A7)
Именно осциллирующее слагаемое ? в фазовом множителе уравнения
B.127) порождает гармоники баунс-частоты:
сю
exp [-jq sin 2k{z] = ^ jt(q) exP (-Zj
r= — oo
Здесь q = aiU)s/D:cki), Jr(q) — функция Бесселя порядка г. Соответ-
Соответственно уравнение для энергии приобретает вид
— = — asai Re Y" Jr(q) {exp [j(lj8t - (k8 + k{)z + 2rk{z)] -
dz с
- exp [j(w8T - (k8 - ki)z + 2rk{z)]} . B.131)
Из последнего уравнения следует, что в поле линейно поляризованной
накачки B.120) в направлении поступательного движения электроны
излучают лишь на нечетных гармониках
/ = l + 2r, r = 0, ±1, ±2,... B.132)
Будем считать выполненным условие синхронизма
u)8-k8v\\&lil, il = kiV\\ B.133)
на /-й гармонике и отбросим в уравнении B.131) все нерезонансные
слагаемые. В результате получим усредненные уравнения движения
электрона в поле интенсивной накачки, записанные относительно новой
независимой переменной Z = ujsz/с
-^ = ае/ Re {as exp (jO)} , — = 5t + fiw. B.134)
Здесь
ae/ = <*i [Ji^i (<y) - J/±i (q)] B.135)
— коэффициент связи г) (величина ае2 определяет интенсивность 1-й
гармоники в спектре индивидуального излучения электрона в ондуля-
ондуляторе [4]),
Si = 7q2 + q^ -ф B.136)
— начальная расстройка синхронизма, /i = а2 + 7G2 ~~ параметр груп-
группировки. Увеличение параметра группировки с ростом интенсивности
накачки определяется уменьшением эффективности продольной массы
частиц.
Полученные уравнения B.134) по форме совпадают с асимптоти-
асимптотическими универсальными уравнениями ЛСЭ (см. формулы B.33) и
B.34)).
г) Напомним, что число / — нечетное, поэтому индексы функций Бесселя
в уравнении B.135) всегда целые числа.

Лазеры на свободных электронах 155
В случае малой интенсивности накачки, когда q <С 1, и выполнении
условия дипольного приближения уравнения B.134) для первой гармо-
гармоники баунс-частоты G = 1) полностью переходят в ранее полученные
уравнения B.33) и B.34).
Заменой переменных
( = Z/ZLj F = fipiZ2LaSj u = fiZLwJ <& = 5tZLj
где Zl = uosL/с — безразмерная длина пространства взаимодействия,
уравнения B.134) приводятся к виду
^ = Fcos0, ^ = Ф + ", B.137)
универсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный
КПД ЛСЭ определяется выражениями
2тг
Ъ l\d6 B.138)
в которых величина приведенного КПД fj не зависит от номера гармо-
гармоники /. В то же самое время величина полного КПД г\ при фиксиро-
фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом /.
Используя уравнение баланса мощностей B.37) и линеаризованное
решение уравнения движения B.137), определим пусковой ток для
генерации на 1-й гармонике
Hi) Ц^! ^?I-R1R2 /
где ^(Ф) = A — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выраже-
выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда
угол пролета Ф находится в интервале 0 ^ Ф ^ 2тг. Соответственно
полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]:
в котором
— частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / отно-
относительная ширина полосы Aoji/oji сужается, причем между величи-
величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение rj ~
/
/
Величина пускового тока B.139) определяется, в первую очередь,
значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку вели-
величины равен отношению размаха продольных осцилляции электрона,
вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,

156 Лекция 2 A7)
когда ol{ <С I/70? величина q мала, и с ростом номера гармоники зна-
значение коэффициента связи ае/ быстро падает, а пусковой ток — растет.
При интенсивной накачке, когда о.{ ^> 1/7о? с увеличением номера
гармоники / величина коэффициента связи спадает очень медленно
и остается достаточно большой вплоть до / ~ 7о М- Однако реализация
индуцированного ондуляторного излучения на высокой гармонике на-
налагает очень жесткие требования к качеству пучка и поля накачки, что
затрудняет практическое использование режима генерации на высших
гармониках.
Важно отметить, что при изменении напряженности периодиче-
периодического поля ондулятора изменяется средняя скорость поступательного
движения электронов и, следовательно, частота излучения (см. форму-
формулу B.141)). Поэтому таким образом можно осуществлять перестройку
частоты генерации.
6. Рассеяние на частицах и на волнах. Выше при рассмотрении
индуцированного рассеяния и индуцированного ондуляторного излу-
излучения пренебрегали пространственным зарядом электронных сгустков,
сформировавшихся под действием поля комбинационной волны. Такое
приближение заведомо справедливо для оптического и более кортко-
волновых диапазонов, где при существующей плотности электронных
пучков в объеме ~ Л3 содержится весьма малое число частиц (Л —
длина излучаемой волны). Однако в более длинноволновых диапазонах
пространственный заряд может играть существенную роль, и в них
вместо рассеяния на отдельных частицах может иметь место рассеяние
на коллективных колебаниях электронной плазмы.
Проследим за такой сменой на примере встречного рассеяния
циркулярно-поляризованных волн относительно небольшой амплиту-
амплитуды (a{iS <1)в однородном безграничном электронном потоке, где все
электроны имеют одинаковые невозмущенные скорости, а невозмущен-
невозмущенный пространственный заряд скомпенсирован ионным фоном.
Тогда задача сводится к одномерной, поскольку комбинационная
сила F является чисто продольной, а следовательно, плотность заряда
B.142)
и обусловленное этим зарядом продольное квазистационарное электри-
электрическое поле
Ez = -j-lpdz B.143)
не зависят от поперечных кординат.
Дополним уравнение движения электрона B.87) полем Ez B.143),
в котором ограничимся только учетом первой гармоники, и перейдем
к новым переменным # = в + jz, a's = as exp [j6z], p's = p\ exp [j6z],
z' = kcz. Тогда, опуская штрихи над новыми переменными, запишем

Лазеры на свободных электронах 157
уравнение движения электрона как
—2" — Im 1 ( asBl + ~^\р ) ехР и$) Г •> B.144)
dz I V То ксс ) )
где О7рц = ujp/jo — «продольная» плазменная частота.
Выделяя с помощью выражений B.89) и B.142) в поперечных ком-
компонентах плотности переменного тока j = — pw комбинационные сла-
слагаемые с частотами ujs и ui
Re {AiPleje* +Asplejei} B.145)
и подставляя это выражение в волновое уравнение B.46), получим
усредненные уравнения для медленно меняющихся амплитуд полей
— Ь jSas = jGspcti, —— = —jGip*aSj B.146)
где коэффициент Gs^i = oo^/{Akccoos^). Из полученных уравнений сле-
следует закон сохранения числа квантов поперечных волн:
ojs\as\2 - Ui\ai\2 = const. B.147)
Самосогласованная система уравнений B.144) и B.146) описывает
различные варианты индуцированного рассеяния волн как на части-
частицах, так и на волнах. Граничные условия к этой системе уравнений
имеют стандартный вид:
= 0, ae@) = ae0, OLi(zk) = aw- B.148)
z=0
Рассмотрим вначале простейший случай, когда амплитуда комбина-
комбинационной волны мала. Тогда движение электронов может быть описано
в линейном приближении ^ = ^о + ^5|^|^15в рамках которого урав-
уравнение B.144) приобретает вид г)
d2p , «pii . _ад) BЛ49)
kcc
где р = J I? exp [-j#o]
В приближении заданной накачки о^ = const уравнения для as
и р становятся линейными, и их решение следует искать в виде as,
р ~ exp (—jkz). В результате приходим к дисперсионному уравнению
г) Заметим, что система уравнений B.146) и B.149) совпадает с хорошо
известными уравнениями модифицированного распада [97].

158
Лекция 2A7)
[4,94]
4ujskcc
B.150)
которое легко сводится к хорошо известному (см., например, [61]) дис-
дисперсионному уравнению обычной ЛБВ типа О
где к = к/С, А = S/C, q =
Сксс
'2) + 1 = 0, B.151)
параметр пространственного за-
П I ШР\\
ряда, С = ^
^— параметр, аналогичный параметру Пирса
\4:UJskccJ
в приборах с длительным взаимодействием О-типа.
Исследуем случай малого пространственного заряда, т.е. случай,
когда в соответствии с уравнением B.151) величина q <$C 1. При задан-
заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность
накачки: ai ^> 2-^ир\\/и8 . В этом случае инкремент сигнальной волны
достигает максимума:
\а2
1/3
B.152)
Im
,0
2,0
4,0
Рис. 2.14. Инкремент рассеянной
волны, максимизированный по
расстройке синхронизма, в зави-
зависимости от параметра простран-
пространственного заряда q (параметр
Пирса С фиксирован)
при 6 = 0.
С увеличением параметра про-
пространственного заряда и при фик- си-
рованном параметре Пирса С инкре-
инкремент нарастания сигнальной волны
уменьшается (рис. 2.14).
При большом параметре про-
пространственного заряда q2 ^> 1, ког-
когда частотный разнос между волнами
пространственного заряда превыша-
превышает величину инкремента нарастания
волны, максимальное значение инкре-
инкремента
B.153)
достигается при нулевой расстройке
(А — q = 0) между комбинационной
волной и медленной волной простран-
пространственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом
случае уравнения B.146) и B.149) заменой
р = -japexp [-3^
as = as exp -

Лазеры на свободных электронах 159
где ар — медленно меняющаяся амплитуда медленной волны простран-
пространственного заряда, приводятся к стандартным трехволновым уравнени-
уравнениям распада
—— = Giasa B.154)
dz p
dav „ ,
dz s
где коэффициент Gp = kcC/{2^2up\\). Уравнения вида B.154) были
детально исследованы в работах [98-100].
Обсудим в заключение данного раздела механизмы насыщения уси-
усиления ЛСЭ. Из уравнений B.144) и B.146) следует, что насыщение
обуславливается либо истощением накачки, либо захватом сгустков
волной.
Первый механизм ограничивает в соответствии с законом сохране-
сохранения числа поперечных квантов B.147) амплитуду сигнальной волны
величиной
\as\2 ~ |aio|2/47o- B.155)
При достижении этого уровня значительная часть квантов накачки
преобразуется в сигнальные кванты.
Для исследования второго механизма в «чистом» виде необходимо
считать накачку заданной. Тогда уравнения B.144) и B.146) сводятся
к нелинейным уравнениям ЛБВ. Максимальная амплитуда сигнала
в этом случае равна [4]
/ Ч) • B-156)
Сравнивая выражения B.155) и B.156), условие преобладания пер-
первого или второго механизма насыщения можно представить в виде
или
ai\2 ^ а2
соответственно, где характерное значение амплитуды волны накачки
определяется выражением [4]
Как показывают оценки, в большинстве практически интересных
случаев насыщение усиления определяется нелинейным смещением
электронных сгустков в тормозящую фазу поля (ср. с механизмами
ограничения мощности в ЛБВ (первый том книги, лекция 10)), а кван-
квантовый выход и истощение накачки малы.

160 Лекция 2A7)
В заключение лекции кратко остановимся на важной проблеме, ко-
которая является центральной при создании ЛСЭ с малой длиной волны
излучения — проблеме формирования электронных пучков, обладаю-
обладающих одновременно высокой плотностью и малым разбросом парамет-
параметров. Воспользовавшись формулой B.44) в сочетании с требованием, на-
налагаемым на энергетический разброс электронов (см. формулу B.29))
Ато/То ^ 1/^ (однородное уширение линии), можно сформулировать
критерий [4]
^(^J
пег^-^(^) [с-см], B.157)
Лае 7о \ То /
позволяющий судить о пригодности того или иного инжектора реляти-
релятивистских электронов для построения ЛСЭ определенного частотного
диапазона. Здесь пе — средняя по сечению пучка плотность электронов,
г — характерное время процесса, равное минимальной из двух вели-
величин: длительности электронного импульса тс и времени переходного
процесса Q/и (для инжектора, работающего в режиме периодического
следования импульсов тс равно полной длительности электронного цу-
цуга), Л — длина излучаемой волны, ае — коэффициент связи электронов
с волной.
Согласно критерию B.157) для создания высокоэффективных ЛСЭ
могут быть использованы как слаботочные инжекторы (линейные уско-
ускорители, накопительные кольца и т.д.), так и сильноточные. Первые
обеспечивают малый разброс параметров А70/70 ^ ОД + 0,01 % и вы-
высокую частоту следования импульсов, вторые — высокую плотность
пучков. Заметим, что при генерации на высших гармониках требования
к качеству пучка резко возрастают.
Список литературы
1. Лазеры на свободных электронах. Тематический указатель лите-
литературы A968-1985). - Горький: ИПФ АН СССР, 1986.
2. Гинзбург В.Л. О физике и астрофизике. — М: Наука, 1985.
3. Granatstein V.L. // Physics of Quantum Electronics. V. 5. Novel
sources of coherent radiation / Eds. by Jacobs S.F., Sargent M.
Addison-Wesley. P. 273.
4. Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Теория лазеров
и мазеров на свободных электронах // Лекции по электронике СВЧ
и радиофизике E-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов:
Изд-во Сарат. ун-та, 1981. Книга 1. С. 69.
5. Гинзбург В.Л. Об излучении радиоволн и их поглощении в возду-
воздухе // Изв. АН СССР. Физика. 1947. Т. 11, № 2. С. 165.
6. Гинзбург В.Л. Об излучении электронов, движущихся вблизи ди-
диэлектрика // ДАН СССР. 1947. Т. VI. С. 145.
7. Гинзбург В.Л. Некоторые вопросы теории излучения при сверх-
сверхсветовом движении в среде // УФН. 1959. Т. 19, № 4. С. 537.

Лазеры на свободных электронах 161
8. Безручко Б.П., Трубецков Д.И., Четвериков А. П. Электронные
приборы СВЧ с поперечным взаимодействием // Обзоры по элек-
электронной технике. Серия I. Электроника СВЧ. Вып. 9C83). ЦНИ-
ИИ «Электроника», М., 1976.
9. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных
частиц. — М., 1984.
10. Deacon D.A. G., Elias L.R., Madey J.M.I., Ramian G.J., Schwettman
H.A., Smith T.J. First Operation of a Free-Electron Laser // Phys.
Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 892.
11. Маршалл Т. Лазеры на свободных электронах. — М.: Мир, 1987.
12. Kapitza P.L., Dirac P.A.M. The reflection of electrons from stunding
light waves // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1933. V. 29. P. 297.
13. Motz H. Application of the radiation from fast electron beams // J.
Appl. Phys. 1951. V. 22, No 5. P. 527.
14. Motz H., Thon W., Whitehurst R.W. Experiments on radiation dy
fast electron beam // J. Appl. Phys. 1953. V. 24. P. 826.
15. Motz H., Nakamura M. // Annals of Physics. 1959. V. 7. P. 84.
16. Madey J.M.J. Stimulated emission of bremsstrahlung in a periodic
magnetic field // J. Appl. Phys. 1971. V. 42, No 5. P. 1906.
17. Palmer R.B. Interaction of a relativistic particles and free
electromagnetic waves in the presence of a static helical magnet // J.
Appl. Phys. 1972. V. 43. P. 3014.
18. Elias L.R., Fairbank W.M., Madey J.M.I., Schwettman H.A., Smith
T.J. Observation of Stimulated Emission of Radiation by Relativistic
Electrons in a Spatially Periodic Transverse Magnetic Field // Phys.
Rev. Lett. 1976. V. 36. P. 710.
19. Madey J.M.J., Schwettman H.A., Fairbank W.M. // IEEE Trans.
Nucl. Sci. 1973. V. NS-20. P. 980.
20. Sukhatme V.P., Wolff P.A. Stimulated Compton scattering as a
radiation source-theoretical limitations // J. Appl. Phys. 1973. V. 44.
P. 2331.
21. Colson W.B. II Phys. Quan. Elect. 1977. V. 5. P. 152.
22. Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Classical Theory
of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 1215.
23. Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Strong-Signal
Theory of a Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37.
P. 1215.
24. Nation J.A. On the coupling of an high-current relativistic electron
beam to a slow wave structure // Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 491.
25. Carmel Y., Ivers J., Kribel R.E., Nation J.A. Intense Coherent
Cherenkov Radiation Due to the Interaction of a Relativistic Electron
Beam with a Slow-Wave Structure // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33.
P. 1278.
11 Трубецков, Храмов

162 Лекция 2 A7)
26. Friedman M., Herndon М. Emission of Coherent Microwave Radiation
from a Relativistic Electron Beam Propagating in a Spatially
Modulated Field // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 55.
27. Granatstein V.L, Herndon M., Parker R.K., Schlesinger S.P. Strong
submillimeter radiation from intense electron beams // IEEE Trans.
1974. V. MTT-22. P. 1000.
28. Granatstein V.L, Schlesinger S.P., Herndon M., Parker R.K., Paso-
ur J.A. II Appl. Phys. Lett. 1977. V. 30. P. 384.
29. Efthimion P., Schlesinger S.P. Stimulated Raman scattering by an
intense relativistic electron beam in a long rippled magnetic field //
Phys. Rev.A. 1977. V. 16. P. 633.
30. Manheimer W.M., Ott E. Parametric instabilities induced by the
coupling of high and low frequency plasma modes // Phys. Fluids.
1974. V. 17. P. 1413.
31. Marshall T.C., Talmadge S., Efthimton P. // Appl. Phys. Lett. 1977.
V. 31. P. 320.
32. Strangle P., Granatstein V. L., Baker L. Stimulated collective
scattering from a magnetized relativistic electron beam // Phys. Rev.
A. 1975. V. 12. P. 1697.
33. Gilgenbach R.M., Marshall T.C., Schlesinger S.P. // Phys. Fluids.
1979. V. 22. P. 971.
34. MrDermott D.B., Marshall T.C., Schlesinger S.P., Parker R.K.,
Granatstein V.L. High-Power Free-Electron Laser Based on
Stimulated Raman Backscattering // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41.
P. 1368.
35. Parker R.K., Jackson R.H., Gold S.H., Freund H.P., Granatstein
V.L., Efthimion P.C., Herndon M., Kinkead A.K. Axial Magnetic-
Field Effects in a Collective-Interaction Free-Electron Laser at
Millimeter Wavelengths // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 238.
36. Walsh J.E. II Phys. Quan. Elect. 1980. V. 7. P. 255.
37. Вайнштейн Л.А. Спонтанное и индуцированное излучение сво-
свободных электронов // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, № 5. С. 40.
38. Sprangle P., Drobot А. Т. // J. Appl. Phys. 1979. V. 50. P. 2652.
39. Kroll N.M., McMullin W.A. Stimulated emission from relativistic
electrons passing through a spatially periodic transverse magnetic
field // Phys. Rev. A. 1978. V. 17. P. 300.
40. Hasegawa A. // Bell. Syst. Tech. J.. 1978. V. 57. P. 3069.
41. Bernstein L, Hirshfield J.L. Amplification on a relativistic electron
beam in a spatially periodic transverse magnetic field // Phys. Rev.
A. 1979. V. 20. P. 1661.
42. Kwan Т., Dawson J.M., Lin A.T. // Phys.Fluids. 1977. V. 20. P. 581.
43. Dawson J.M., Lin A.T. High-Efficiency Free-Electron Laser // Phys.
Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 1670.

Лазеры на свободных электронах 163
44. Sprangle P., Tang CM // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1981. V. NS-28.
P. 3346.
45. Kroll N.M., Morton P., Rosenbluth M.N. // IEEE J. Quan. Elect.
1981. V. QE-17. P. 1436.
46. Morton P. If Phys. Quan. Elect.. 1982. V. 8. P. 1.
47. Edighoffer J., Boehmer H., Caponi M.Z., Fornaca S., Munch J.,
Neil G.R., Saur В., Shih С // IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19.
P. 316.
48. Slater J.M., AdamskiJ., Churchill T.L., Nelson L.Y., Carter R.E. //
IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 374.
49. Warren R. W., Newnam B.E, Winston J.Q., Stern W.E., Young L.M.,
Brau C.A. II IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 391.
50. Deacon D.A., Robinson K.E., Madey J.M.J., Bazin C, Biltardon M.,
Elleaume P., Farge Y., Ortega J.M., Petroff Y., Velghe M.F. I I Opt.
Comm. 1982. V. 40. P. 373.
51. Shaw E.D., Patel CK. // Phys. Quan. Elect. 1980. V. 7. P. 665.
52. Shaw E.D., Patel CK. // Phys. Quan. Elect. 1980. V. 9. P. 671.
53. Dattoli G., Fiorentino E., Letardi Т., Marino A., Renieri A. // IEEE
Trans. Nucl. Sci. 1981. V. NS-28. P. 3133.
54. Billardon M., Elleaume P., Ortega J.M., Bazin C, Bergher M., Velghe
M., Petroff Y., Deacon D.A.G., Robinson K.E., Madey J.M.J. First
Operation of a Storage-Ring Free-Electron Laser // Phys. Rev. Lett.
1983. V. 51. P. 1652.
55. Edighoffer J.A., Neil G.R., Hess C.E., Smith T.L, Fornaca S.W.,
Schwettman H.A. Variable-wiggler free-electron-laser oscillation //
Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 344.
56. Phyllips R.N. The ubitron, a high-power travelling-wave tube based
on a periodic beam interaction in unloaded waveguide // IRE Tran.
ED. 1960. V. 7. P. 231.
57. Эндбери СИ., Филлипс P.M. Убитронный усилитель — мощная
ЛБВ миллиметрового диапазона // ТИИЭР. 1965. № 10. С. 1848.
58. Phyllips R.N. Hystory of the ubitron // Nuclea Instruments and
methods in physics research. 1988. V. A272. P. 1.
59. Pantell R.H., Soncini Y., Puthoff H.E. Stimulated photon-electron
scattering // IEEE Quantum Electronics. 1968. V. 4, No 11. P. 905.
60. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебатель-
колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. —
Саратов: Изд-во СГУ, 1963.
61. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета
в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
62. Adler R. Paramteric amplification of the fast electron wave // Proc.
IRE. 1958. V. 46, No 6. P. 1300.
63. Adler R., Hrbek G., Wade G. A low-noise electron-beam paramteric
amplifier // Proc. IRE. 1958. V. 46, No 10. P. 1756.
n*

164 Лекция 2 A7)
64. Adler R. et al The quadrupole amplifier, a low-noise parametric
device // Proc. IRE. 1957. V. 47, No 10. P. 1713.
65. Johnson С С Theory of fast-wave parametric amplification // J. Appl.
Phys. 1960. V. 31, No 2. P. 338.
66. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в эектронике
/ Пер. с англ. под ред. А.Н. Выставкина. — М.: Изд-во иностранной
литературы, 1963.
67. Железовский Б.Е. Электроннолучевые параметрические СВЧ-
усилители. — М: Наука, 1971.
68. Kliiver J.W. An M-type fast cyclotron wave coupler // Internat.
Microwellenrohren, Munchen, 1960. S. 367.
69. Сэкингер. Параметрический усилитель М-типа, имеющий квадру-
польную систему со статическими полями // ТИИРИ. 1963. No 7.
С. 1066.
70. Kliiver J. W. A low-noise M-type parametric amlifier // IEEE Trans.
1964. V. ED-11, No 5. P. 204.
71. Kliiver J.W. Parametric coupling between the transverse waves O-
and M-type beams // J. Appl. Phys. 1961. V. 32, No 6. P. 1111.
72. Гурзо В.В., Сталъмахов B.C., Трубецков Д.И. К теории парамет-
параметрического усиления циклотронных волн в лучевых приборах со
скрещенными полями // Радиотхника и электроника. 1965. Т. 10,
№ 12. С. 2251.
73. Куликов М.П., Сталъмахов B.C. К расчету электронно-волнового
усилителя типа М с тонким лучом // Радиотхника и электроника.
1964. Т. 11, № 2. С. 252.
74. Синхротронное излучение. Сб. ст. / Под ред. Соколова А.А., Тер-
нова И.М.. — М.: Наука, 1966.
75. Петелин М.И. К теории ультрарелятивистских лазеров на цик-
циклотронном авторезонансе // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17,
№ 6. С. 902.
76. Гапонов А.В. О неустойчивости системы возбужденных осцил-
осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям //
ЖЭТФ. 1960. Т. 39, № 2(8). С. 326.
77. Давыдовский В.Я. О возможности резонансного ускорения заря-
заряженных частиц электромагнитными волнами в постоянном маг-
магнитном поле // ЖЭТФ. 1962. Т. 43, № 3(9). С. 886.
78. Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Авторезонансное движение ча-
частицы в плоской электромагнитной волне // ДАН СССР. 1962.
Т. 145, № 6. С. 1259.
79. Братман В.Л., Гинзбург Н.С, Нусинович ГС, Петелин М.И.,
Юлпатов В.К. // Релятивистская сверхвысокочастотная электро-
электроника / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький: Изд-во ИПФАН
СССР, 1979.
80. Kumakhov М.А. // Phys. Lett. 1976. V. 57, No 1. P. 17.

Лазеры на свободных электронах 165
81. Тер-Микаэлян М.Л. Рассеяние сверхбыстрых волн в кристалле //
ЖЭТФ. 1953. Т. 25. С. 289.
82. Smith S.J., Purcell Е.М. Visible Light from Localized Surface Charges
Moving across a Grating // Phys. Rev. 1953. V. 92, No 4. P. 1069.
83. Файнберг Я.Б., Хижняк П.А. Потери энергии заряженной части-
частицей при прохождении через слоистый диэлектрик // ЖЭТФ. 1957.
Т. 32, № 4. С. 883.
84. Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin M.I. // Optics Commun. 1979.
V. 30. P. 409.
85. Deacon D.A.G., Elias L.R., Madey J.M.J., Ramian G.J., Schwettman
H.A., Smith T.I. First Operation of a Free-Electron Laser // Phys.
Rev. Lett. 1977. V. 38, No 16. P. 892.
86. Братман В.Л., Гинзбург П.С, Петелин М.И. Лазер на свободных
электронах: перспективы продвижения классических электрон-
электронных генераторов в коротковолновые диапазоны // Известия АН
СССР. Сер. физич. 1980. Т. 44, № 8. С. 1593.
87. Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Numerical simulation of
nonstationary processes in free electron lasers // J. Comput. Phys.
1985. V. 58. P. 80.
88. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых
задач. — М.: Мир, 1972.
89. Гапонов А.В., Миллер М.Л. О потенциальных ямах для заряжен-
заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле // ЖЭТФ.
1958. Т. 34, № 1. С. 242.
90. Миллер М.А. Ускорение плазменных сгустков высокочастотными
полями // ЖЭТФ. 1959. Т. 36, № 6. С. 1909.
91. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные яв-
явления при взаимодействии электронного потока, движущегося
в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной // Изв.
вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, № 2. С. 300.
92. Трубецков Д.П., Четвериков А.П. Автоколебания в распределен-
распределенных системах «электронный поток—встречная (обратная) элек-
электромагнитная волна» If Изв. вузов. Прикладная нелинейная ди-
динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 9.
93. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Стохастические
автоколебания в системе электронный пучок — обратная волна /
в сб.: «Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность». —
Горький: ИПФ АН СССР, 1980, С. 29.
94. Братман В.Л., Гинзбург П. С, Петелин М.И. Нелинейная теория
вынужденного рассеяния волн на релятивистских электронных
пучках // ЖЭТФ. 1979. Т. 76, № 3. С. 930.
95. Мирошниченко В.И. Вынужденное когерентное рассеяние элек-
электромагнитной волны релятивистским электронным пучком в маг-
магнитном поле // Физика плазмы. 1976. Т. 2, № 5. С. 789.

166 Лекция 2A7)
96. Мирошниченко В. И. Нелинейная теория вынужденного когерент-
когерентного рассеяния электромагнитных волн релятивистским элек-
электронным пучком (РЭП) в магнитном поле // Физика плазмы. 1980.
Т. 6, № 3. С. 581.
97. Алътеркоп Б.А., Волокитин А.С, Шапиро В.Д., Шевченко В.И.
II Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 13. С. 46.
98. Sprangle P., Granatstein V.L. // Appl. Phys. Lett. 1974. V. 25, No 7.
P. 377.
99. Калмыков A.M., Коцаренко Н.Я., Кулиш В.В. Возможность пара-
параметрической генерации и усиления электромагнитных волн с ча-
частотами, выше частоты волны накачки, в электронных приборах //
Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1977. Т. 20, № 10. С. 76.
100. Кулиш В.В., Силин Р.А. К теории параметрических электронных
мазеров. Ч. 1. Малосигнальный и нелинейный анализ // Электрон-
Электронная техника. Сер. I. Электроника СВЧ. 1980. № 1. С. 3.

Лекция 3A8)
СВЕРХИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМНОЙ
СВЧ-ЭЛЕКТРОНИКЕ
В данной работе исследована фазировка элек-
электронов в отсутствии каких-либо внешних полей
под действием их ближнего поля, причем показа-
показано, что классическое кооперативное излучение во
многом отличается от квантового. Показано так-
также, что индуцированное излучение осциллирую-
осциллирующих электронов в резонатор, может имитировать
свойства кооперативного излучения.
Л. А. Вайнштейн, А. И. Клеев.
Кооперативное излучение электро-
электронов-осцилляторов. ДАН. 1990. Т. 311,
№4. С. 499.
Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых
атомов. Ближнее поле элементарного электрического диполя. Коопе-
Кооперативное излучение осциллирующих электронов (линейная теория,
численные результаты). Индуцированное излучение, имитирующее
кооперативное. Теоретическое и экспериментальное исследование
генерации импульсов сверхизлучения. Циклотронное и черепковское
сверхизлучение. Феноменологическая модель электронной турбулент-
турбулентности.
В квантовой электронике кооперативное излучение (или, как его
еще называют, коллективное спонтанное излучение, сверхизлучение
Дике) хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально [1-3].
Простейшей теоретической задачей здесь является задача об излуче-
излучении возбужденных двухуровневых атомов, заполняющих объем, все
размеры которого малы по сравнению с длиной волны. В этой задаче
учитывается только однородное в пространстве фазирующее электри-
электрическое поле. При этом особенно существенные для малых объемов
дефазирующие поля во внимание не принимаются.
В первой части лекции будет рассмотрена полуклассическая тео-
теория кооперативного излучения и получено решение вышесформули-
рованной задачи. Поскольку кооперативное излучение происходит за
короткий промежуток времени, другими релаксационными процессами
(индивидуальным спонтанным излучением (см. том 1, лекции 1 и 4),
столкновениями) с самого начала можно пренебречь. Далее в лекции

168 Лекция 3A8)
будут изложены результаты классической теории кооперативного излу-
излучения электронов-осцилляторов. В заключение этой лекции рассматри-
рассматривается феноменологическая модель электронной турбулентности, свя-
связанная с взаимодействием электронных структур, под которыми пони-
понимаются малые ансамбли электронов-осцилляторов, для которых имеет
место сверхизлучение, а также некоторые экспериментальные работы,
посвященные наблюдению эффектов сверхизлучения в электронных
потоках.
Сверхизлучение Дике на примере возбужденных
двухуровневых атомов
Пусть в небольшом объеме К, размеры которого малы по сравне-
сравнению с длиной волны Л = 2тгс/а;, в начальный момент находится N
возбужденных атомов. В процессе излучения атомы переходят в невоз-
невозбужденное состояние, излучая энергию Ни. Обозначим через 7V+ число
возбужденных атомов в момент времени ?, через 7V_ — число атомов
в невозбужденном состоянии. Тогда энергию всей системы можно пред-
представить в виде ? = ANhui/2, где AN = 7V_|_ — 7V_. В начальный момент
времени, когда все атомы ансамбля возбуждены, энергия максимальна
(?max = NHuj/2). В момент времени, когда все атомы отдали свою энер-
энергию, равную Nhui, энергия ансамбля минимальна (?т\п = — Nhuo/2).
Полуклассическая теория, которая используется здесь, применима при
условии, что в момент времени t = О уже существует электромагнитное
поле Е и Н, которое можно трактовать классически, т. е. излучено 5N
фотонов, где 1 <С SN <С N. Этому полю соответствует энергия ? =
= (N -25N)hu/2.
Обозначим через р дипольный момент объема V. Под величиной
р понимается векторная сумма всех атомных дипольных моментов,
вызванных переходом |+) \—у |—). В полуклассическом приближении
вектор р удовлетворяет уравнению
p + u;2p = -^ANE, C.1)
т
где Е — электрическое поле, создаваемое переходами и предполагаемое
однородным в объеме К, коэффициент / @ < / < 1) — это так называ-
называемая сила осциллятора, связанная с дипольным моментом перехода d
соотношением / = 2mud2/e2h. В классической теории дисперсии для
системы упруго связанных электронов используется уравнение
2
р + ^р = - —7VrE, C.2)
тп
где Nr — число электронов с собственной частотй иг. При наличии
возбужденных атомов с частотой перехода uj величина Nr заменяется
на /GV+ - 7V_) = /ATV.

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 169
В уравнении C.1) величина Е есть поле, создаваемое самими ато-
атомами в объеме V, в то время как в уравнении C.2) Е — поле рас-
распространяющейся волны. Иначе говоря, в уравнении C.1) поле Е есть
поле, создаваемое током поляризации с плотностью j = <9P/dt, где Р —
вектор поляризации, т. е. дипольный момент единицы объема. Поэтому
величина
есть плотность мощности, отдаваемой полем атомной системе. Если
считать поле Е однородным в пределах объема К, то интегральная
мощность будет равна рЕ.
Обозначив через W электромагнитную энергию в объеме, можем
записать энергетический баланс в виде
W = -pE-E, C.3)
где
Е = ^з IpI2 C.4)
— мощность излучения из объема V. Здесь величину р можно заменить
на —о;2р, так как правая часть уравнения C.1) достаточно мала. Тогда
= |4р2- C-5)
Вместе с тем очевидно, что полный энергетический баланс может
быть выражен как
W + ? = -Jl. C.6)
Отсюда вытекает важное соотношение ? = рЕ. Оно показывает, что
поле Е, возникшее из-за переходов |+) н-» |—), индуцирует дальнейшие
переходы, изменяя величину AN.
Из уравнения C.1) следует тождество
I ^ ^, C.7)
связывающее между собой величины ? и ?. Используя тождество
где (...) означает усреднение по периоду 2тг/о;, выражение C.7) можно
представить в виде
t\ = _М^?ё. C.8)
/ Зтс3П

170 Лекция 3A8)
Усредняя аналогичным образом уравнение C.6) и пренебрегая слагае-
слагаемым W (этот момент будет рассмотрен ниже), получим соотношение
? = - <?>. C.9)
Усреднение величин X, W и р ликвидирует у них вторые гармоники
(с частотой 2а;), приводя к рассмотрению медленно изменяющихся
величин. У энергии гармоник нет, поэтому (?) = ?.
Введем беразмерные функции
ф)=т
и параметры
а = 4/е2о;? @)
ЗтсЧ ' ^ " ?@) ' V У
имеющие размерность [Т]. Тогда уравнения C.8) и C.9) можно пе-
переписать в более простом виде
ё = -/3<т, а = ~её, C.12)
причем из второго выражения следует, что
е2 + —а = 72 = const, j2 = 1 + —, C.13)
а а
поскольку е — а — \ при t = 0. Первое уравнение принимает вид
?l = -tf-e*), T = ±t, C.14)
и подстановка е = jthu приводит к соотношениям
du
Тт=-Ъ и = у(т-т), C.15)
где г — постоянная интегрирования. В итоге получаем
е = jthu. а = -^—, C.16)
2/3 ch2 и
так что при и = 0, т — т реализуется максимальная мощность из-
излучения и наиболее быстрое уменьшение энергии атомной системы
(рис. 3.1).
Выясним физический смысл величин а, /3 ит, входящих в решение
C.16). Прежде всего ясно, что при t —> ос энергия должна стремиться
? —у —NHuj/2 и е —у —1/A — 2SN/N). Отсюда следует, что 7 ^ 1?
и приближенно

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
171
2,0
Рис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величи-
величины и
поэтому момент времени t, когда излучение максимально, выражается
как
Т- l N
C.18)
Величина а определяет временной масштаб процесса. В частности,
в начале высвечивания, когда ? « 1, величина а « e2r = eat. Последнее
следует как из решения уравнения C.16), так и непосредственно из со-
соотношений C.12). При обычном спонтанном излучении, когда каждый
атом излучает сам по себе, а = e~vt, где v — 4u>3d2/(ЗНс3). Подставляя
в первое выражение C.11) значение /, находим
а =
C.19)
т. е. кооперативное излучение изменяется во времени в N раз быстрее,
чем спонтанное. Возвращаясь к размерным величинам и делая анало-
аналогичные аппроксимации, получим для кооперативного излучения
?(t) = -
Nu
(t- t) , C.20)
4 ch2u '
в то время как при спонтанном излучении той же системы было бы
?{t) =
[e~vt - i) ,
C.21)
т. е. при кооперативном излучении максимальное значение ? в 7V/4 раз
больше, чем при спонтанном. Максимальная мощность излучения, про-
пропорциональная TV2, свидетельствует о том, что излучение всех атомов
сфазировано.
В уравнении C.9) мы пренебрегли слагаемым (W ) по сравнению
с ?. Оценивая (W), предположим, что в объеме V величины Е и Р

172 Лекция 3A8)
одного порядка (здесь под Е понимается полное поле, а не только
фазирующее). Тогда
aeS ill
где ftk = \/ ——Г7— — кооперативная частота атомной системы. Обыч-
но ftk <С ^5 ? < 1? и слагаемым ( W) действительно можно пренебречь.
Выше было введено однородное в объеме V поле Е, которое в даль-
дальнейшем было исключено и которое фазирует излучение атомов в дан-
данной системе. В классической теории осциллирующих электронов, кото-
которая будет рассмотрена дальше, это фазирующее поле фигурирует явно,
вместе с тем появляются и дефазирующие поля.
Ближнее поле элементарного электрического диполя
Рассмотрим классическую задачу об излучении элементарного ди-
диполя р, направленного вдоль оси z. Опуская временной множитель eja;*,
можно вычислить поле диполя, исходя из вектора Герца с единственной
составляющей
На малых расстояниях г от диполя, при кг ^ 1 (к = 2тг/Л), можно
ограничиться только выписанными слагаемыми. Составляющая Ez по-
получается при кг <С 1 в виде
OZ
z = p
Первое слагаемое в скобке при к —у 0 дает статическое поле диполя, при
г —У 0 оно пропорционально 1/г3. Второе слагаемое пропорционально
1/г и в \/{кгJ раз меньше первого. Третье слагаемое постоянно и,
в отличие от первых двух, которые имеют реактивный характер, яв-
является активным, а именно находится в противофазе с током диполя.
При использовании комплексных обозначений мощность, излучаемая
током с плотностью j, равна
iJ C.24)
где Е — комплексная амплитуда создаваемого этим током электриче-
электрического поля. В данном случае j = — jujp5(r), поэтому согласно формулам
C.23) и C.24)
<?> = |4|Р|2, C.25)

Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 173
что согласуется с соотношением C.4), если учесть связь между средним
значением квадрата физической величины и ее комплексной ампли-
амплитудой. В уравнения C.1) и C.3) входит полученное здесь однородное
активное поле Ez = —&3р, которое при переходе к физическим вели-
величинам имеет вид
Е = Л Р- C-26)
ОС
При AN = — 1 и Nr = /, когда имеется один упруго связанный
электрон, уравнения C.1) и C.2) принимают вид
^4р. C.27)
Правую часть уравнения можно записать в виде — г/р, где v — коэф-
коэффициент затухания осциллирующего электрона по энергии, который
равен
о п 2 2 . 3,2
Зшс3 3/гс3 V }
В квантовой электронике основным дефазирующим полем является
первое слагаемое в формуле C.23) — квазистатическое дипольное поле
(диполь-дипольное взаимодействие между атомами, силы Ван дер Ва-
альса (см. [3])), которое гораздо сильнее (в 1/(кгK раз) фазирующего
поля C.26). В малых объемах влияние этого поля сказывается в сме-
смещении частот различных атомов (в зависимости от их расположения
в объеме), а при симметричном расположении атомов — в смещении
частоты атомной системы как целого [3]. В больших объемах все ато-
атомы находятся в одинаковых условиях (за исключением относительно
малого числа атомов в приповерхностном слое толщиной Л), однако
при этом необходимо учитывать распространение волн. В полуклас-
полуклассической теории дефазирующие поля автоматически отбрасываются,
поскольку при усреднении величины рЕ, фигурирующей в формулах
C.3) и C.7), по периоду 2тг/а; они дают нуль.
В вакуумной электронике дефазирующие поля имеют другую при-
природу, что будет рассмотрено далее.
Кооперативное излучение осциллирующих электронов
(линейная теория, численные результаты)
Рассмотрим систему электронов-осцилляторов в малом объеме V.
Электроны осциллируют с частотой и в направлении оси z, их энергия
велика по сравнению с величиной Ни, поэтому классическая теория
полностью применима.
По аналогии с формулой C.23) ближнее поле каждого электрона
представляется как сумма трех слагаемых
1 I z Q О
Ez = е —5- 2 z(t) + -^г z (t) + • • • , C.29)
[г 2с г Зс

174 Лекция 3A8)
где z(t) — мгновенное положение электрона, г — расстояние точки
наблюдения до него, $ — угол между осью и направлением от электро-
электрона к этой точке. Выражение C.29) строго выводится из потенциалов
Льенара-Вихерта [4], но в нашем случае достаточно воспользоваться
соотношением C.23), заменяя в нем комплексные амплитуды физи-
физическими величинами, полагая p(t) = ez(t) и, кроме того, учитывая
в первом слагаемом отличие поля заряда от поля диполя. Первое
слагаемое — это просто квазистатическое кулоновское поле, пропор-
пропорциональное 1/г2. Второе слагаемое, пропорциональное 1/г, есть по-
поле электромагнитной индукции и дает электромагнитную поправку
Am к массе электрона. После интегрирования по объему электрона
(предполагаемому конечным) получается инерциальное слагаемое —
—Amz(t)/e. Третье слагаемое, в соответствии с формулами C.23) и
C.26), имеет вид
Ez = ~^'z(t), C.30)
а уравнение движения электрона под действием этого поля имеет вид
z + oj2z = te'z\ C.31)
где
2 2
te = -^-з =^р-= 6,27 • 104 с, го = -Ц = 2,82 • 103 см C.32)
Зтс ос тс
— классический радиус электрона. Вследствии малости времени te
в правой части уравнения C.30) "z можно заменить на —o;2i, после чего
общее решение уравнения C.30) примет вид
z — ае vt'2 cos (coot + <р) , v — oo2te, uj$ = л/со2 — (v/2J ~ a;,
C.33)
где а и <р — постоянные интегрирования. Формула C.33) показывает,
что энергия электрона уменьшается как e~vt вследствие высвечивания,
что дает так называемую естественную ширину линии.
В системе электронов-осцилляторов, заполняющих объем К, ку-
кулоновское поле каждого электрона дает нам поле постранственного
заряда, которое в вакуумной электронике учитывается только тогда,
когда оно явно и сильно влияет на фазировку, например, в приборах
с прямолинейными электронными пучками или в приборах магнетрон-
ного типа. Фазировка осцилляторов не сопровождается образовани-
образованием сгустков (см. лекцию, посвященную приборам с криволинейными
электронными потоками), поэтому пространственный заряд в расчетах
можно не учитывать.
Поле электромагнитной индукции в нерелятивистской вакуумной
электронике вообще не принимают во внимание, поскольку оно зна-
значительно слабее — имеет порядок v2 / с2 = uj2a2/c2, где v = и а —
максимальная скорость электрона. Однако здесь необходимо учиты-
учитывать, что, во-первых, это поле, как и поле пространственного заряда,

Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 175
является реактивным, и, во-вторых, возрастает по мере фазировки (оно
пропорционально N (z) = —u2N (z)). Его влияние сложно учесть.
Здесь существенно, что дефазирующие поля определяются не пар-
парными взаимодействиями (т.е. столкновениями, которыми в вакуумной
электронике можно пренебречь), а усредненным распределением заря-
зарядов и токов в объеме V. Учет дефазирующих полей крайне осложняет
теорию, поэтому не будем их рассматривать, как это и делается в по-
полуклассической теории и в теории индуцированного излучения.
Остается только поле, обусловленное излучением. Для одного элек-
электрона оно определяется соотношением C.30), а для N электронов
Ez = ^N('z), <*> = -|,$>, ? = 1,2,...,7V. C.34)
6с к
Поскольку поле C.30) не зависит от расстояния (при иг/с <С 1), то
будем учитывать только это третье — фазирующее — поле, пренебрегая
первым и вторым, которые являются дефазирующими.
Учитывая только фазирующее поле C.34), для ансамбля N элек-
электронов можно записать систему уравнений
zk+w2zk = -Nv(z), C.35)
из которой следует, что величина (z), определяющая дипольный мо-
момент электронной системы, удовлетворяет уравнению
(z)+u;2(z) = -Niy(z), C.36)
т.е. релаксирует по закону e-Nvt/2 Тем быстрее, чем больше элек-
электронов. Здесь уже проявляется кооперативный эффект, однако при
этом не происходит эффективного превращения колебательной энер-
энергии электронов в электромагнитное излучение: начальная модуляция
быстро исчезает, после этого (z) = 0, и каждый электрон колеблется
независимо от других в соответствии с формулой C.33).
Иные результаты получаются для слабонелинейных осцилляторов,
у которых частота колебаний зависит от энергии (неизохронные осцил-
осцилляторы) и имеются сравнительно слабые высшие гармоники. Неизо-
Неизохронность можно ввести, добавляя в правую часть уравнения C.35)
кубическую нелинейность, т. е. рассматривая систему уравнений вида
zk + u2zk + fjLzl = -Nv (z) . C.37)
Введем вместо величин zk комплексные безразмерные переменные ск
по формуле
zk = aRe (cke-juot) , C.38)
где а — начальная амплитуда колебаний (как и в формуле C.33)), и® —
начальная частота, которая зависит от амплитуды а. Затем частота
изменяется вместе с изменением \ск\ (\ск\ = 1 при t = 0). В выражении
C.38) не учтены высшие гармоники, нас не интересующие. Принимая

176 Лекция 3A8)
во внимание малость нелинейности и затухания, а также медленность
изменения с&, с помощью либо метода усреднения, либо метода разде-
разделения частот [5] нетрудно преобразовать уравнения C.37) к виду
ck+jAu>kck = ~Nv(c), <с> = ^$>ь C'39)
к
где Аи;/* = аеа;о (\ck\2 — l) —смещение частоты из-за нелинейности,ае =
= 3/ш2/(8о;2) — коэффициент неизохронности. В соотношении C.38)
выделен множитель е~^ш°1 с начальной частотой oj$ (тогда Auik = О
при \ck\ = 1). Если же выделить множитель e~^ut, то уравнения C.39)
будут применимы, но в последнем случае Ашк = аео;|с&|2 (тогда Ашк —>¦
-»• 0 при ск ->¦ 0).
Вводя безразмерные параметры
r = \Nvt, в = ^, C.40)
уравнения C.39) можно переписать в более простой форме
^\2-l)ck = -(c), C.41)
содержащей параметр #, который может принимать как положитель-
положительные, так и отрицательные значения. При в = 0 возвращаемся к линей-
линейным осцилляторам, т.е. к уравнениям вида d (с) /dr = — (с). В этом
случае начальная модуляция затухает пропорционально е~т. При в ф
= 0 из системы уравнений C.41) вытекает тождество
__ /\с 2\ _ _2| /с\ |2 (\с\2) = — V \с\2 C 42)
к
являющееся законом сохранения энергии. Действительно, энергия
электронной системы ? и мощность излучения (?) даются выражени-
выражениями
? = \mu2a2 J2 Ы2 = \Nmuj2a2 (\c\2) , C.43)
к
? = 4fa2 ((Re 5>e~J J
поскольку энергия каждого электрона равна -Nmuj2a2\ck\2, а диполь-
ный момент, им создаваемый, равен еа Re (ске~^ш°ь). Величины ? и (?)
в соответствии с тождеством C.42) связаны соотношением
? = -(?), C.45)

Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 177
совпадающим с выражением C.9). Как и в квантовой электронике,
энергия электронной системы (пропорциональная (|с|2)) монотонно
убывает, причем (|с|2) = 1 при t = 0.
Систему уравнений C.41) разумно решать численно при следующих
начальных условиях:
Ск = е-Л^+<Ь cos <ph) _ e-jV* (! _ jSQ cos (pk) ,
C.46)
(c) « -jSo/2
при r = 0, <fk = 2тг&/М, A: = 1, 2, ... M. Здесь М — число «крупных»
частиц, которые в численном расчете заменяют N реальных электро-
электронов. При г = 0 частицы почти равномерно распределены по фазам
и подвергнуты слабой модуляции с глубиной модуляции So <С 1. Из этой
начальной затравки развивается кооперативное излучение. Заметим,
что при численном расчете можно положить So = 0, тогда излучение
возникает (при достаточно больших О) из численного шума подобно
тому, как в реальной электронной системе оно возникает из некогерент-
некогерентного спонтанного излучения электронов.
Индуцированное излучение осциллирующих электронов, подробно
исследованное в лекции 1 первого тома (см. также [6-8]), возможно
только в случае нелинейных (неизохронных) осцилляторов. Примером
такого осциллятора является электрон в однородном магнитном поле
при учете релятивизма. Кооперативное излучение также реализуется
только в системе нелинейных осцилляторов, причем уравнения C.41)
применимы и к электронам в магнитном поле.
Система линейных осцилляторов в однородном поле не способна
к фазировке, т. е. к индуцированному или кооперативному излучению.
Причина лежит в принципе суперпозиции, выполняющемся для ли-
линейных систем. Внешнее поле раскачивает их, тратя свою энергию,
вне зависимости от их собственных колебаний, поэтому вместо индуци-
индуцированного излучения имеет место лишь поглощение. Индивидуальное
движение каждого электрона, описываемое уравнением C.33), и коопе-
кооперативное движение согласно уравнениям C.35) и C.36) накладываются
друг на друга, не взаимодействуя. Лишь благодаря нелинейности и на-
нарушению принципа суперпозиции происходит взаимодействие, ведущее
к фазировке, т. е. к когерентному излучению — индуцированному или
кооперативному.
Фазировка обусловлена неизохронностью осцилляторов, т. е. зави-
зависимостью частоты колебаний от их амплитуды. В простейшем случае
эта зависимость такая же как в формуле C.39). Аналогичная зависи-
зависимость будет для электронов, вращающихся в постоянном магнитном
поле. Действительно, двумерное уравнение движения электрона в плос-
плоскости ху, перпендикулярной направлению магнитного поля В, имеет
вид [8]
z + jooc(l-^\z\2)z = te'z\ C.47)
12 Трубецков, Храмов

178 Лекция 3A8)
где z = х + jy — комплексная координата электрона, ис = rjB —
циклотронная частота, а выражение в скобках — релятивистская по-
поправка к частоте, предполагаемая малой. Реакция излучения, стоящая
в правой части уравнения C.47), имеет составляющие te'x и te У , и при
переходе к комплексной координате z может быть записана как —i/z,
где v = u2te. Для N электронов в малом объеме уравнение движения
можно записать как
h +juc (l ~ -K\zk\2) zk = Nte (z) . C.48)
V 2c /
Введем медленно меняющиеся функции Ck(r) в соответствии с фор-
формулой
/ 2 2 \
zk = -ju)cacke-juot, loo = loc(i- ^- ) , C.49)
где а — радиус окружностей, по которым движутся электроны в на-
начальный момент времени. Тогда приходим к уравнениям C.41), где
медленное время г и параметр в определяются соотношениями
г = Nut = Nultet, в = ——— = 5^5 ае = -^^ ; C.50)
а вместо выражений C.43) и C.44) имеем
? = \Nmuj2ca2 \(с)\2 , Е = N2vmw2c \(c)\2 . C.51)
Видно, что в данной задаче роль частоты и берет на себя цикло-
циклотронная частота о;с, причем небольшие отличия формул C.49)-C.51)
от соответствующих формул для осцилляторов объясняются тем, что
движение двумерное. Знаки ае и в не имеют значения, поскольку при
замене в на — в функции С& переходят в с?, а все энергетические
величины остаются без изменений. Поэтому всегда можно считать, что
в > 0.
Еще один пример применения уравнений C.39) и C.41) — это ко-
колебания в генераторе Баркгаузена-Курца (см. предыдущую лекцию).
Если внешний контур в этом генераторе резонансный, то эти колеба-
колебания дают индуцированное излучение, в противном случае — только
кооперативное. Заметим также, что потенциальная яма в триоде сильно
отличается от параболической, поэтому зависимость Ао;^(|с^|2) более
сложная и уравнения C.39) и C.41) дают лишь грубую ориентировку.
Система уравнений C.41) не поддается аналитическому решению,
но некоторые аналитические выводы из нее можно сделать без чис-
численных расчетов. Эта система имеет тривиальное решение С& = e~J(/?fc,
(с) = 0, которое неустойчиво — малые начальные возмущения вида
C.46) экспоненциально нарастают. Это следует из линейной теории.
Построим ее, следуя работам [9,10].

Сверхизлучение в вакуумной СВЧ-электронике 179
Положим
с* = е-^A + С*). Са = Cfe+iC iai«l C-52)
и, оставляя только линейные по (k члены, преобразуем систему C.41)
к виду
e4<Pb*dL + 2j0e-w-C'k = -(с), (с) = <е-^С) = ^?e~jVfc0fc-
C.53)
Из последнего соотношения получаем два выражения
C-54)
из которых следует, что
dr/" dr '
C.55)
Учитывая соотношение
и комбинируя формулы C.55), приходим к линейному уравнению
d2(c) , d(c)
dr2 dr
-j9(c)=0 C.56)
для величины (с), определяющей дипольный момент электронной си-
системы. Это уравнение имеет решение вида eqT, где
C.57)
Reqi = -^ + л/( л/1 + 166»2 +1)/2 > 0, Re<72<0. C.58)
12*

180 Лекция 3A8)
Экспонента exp [qir] всегда возрастает, причем Req± — монотонно воз-
возрастающая функция \0\. В предельных случаях
Re,?! = л/\в\/2 при |<9|>1, Re<?i=02 при \в\ < 1. C.59)
Безразмерное время г в квантовой и классической задачах имеет
один и тот же смысл, но в квантовой электронике дипольный момент
согласно линейной теории пропорционален ехр[т], а в классической
показатель экспоненты зависит от параметра в. Кроме того экспонен-
экспоненциальное нарастание реализуется лишь при |ехр[</2т] | <^С 1. Наличие
дополнительного параметра #, зависящего как от числа электронов TV,
так и от коэффициента неизохронности ае, усложняет все зависимости.
Если бы этого параметра в уравнениях C.41) не было, то характер-
характерное время высвечивания было пропорционально 1/N, а максимальная
мощность излучения — пропорциональна TV2 (см. формулы C.20) для
квантовой задачи и формулы C.40), C.43) и C.44) для классической).
Параметр #, сам зависящий от числа электронов TV, изменяет за-
законы 1/7V для времени и TV2 для мощности, но не они являются опре-
определяющими для кооперативного излучения. Определяющим является
фазирующее действие ближнего поля — оно одно и то же в квантовой
и классической электронике.
Линейные уравнения C.56) относятся к начальной стадии коопера-
кооперативного излучения. В конечной стадии величины |с&|2 и (|с|2) обычно
невелики, поэтому из уравнений C.41) следуют приближенные линей-
линейные уравнения
C.60)
соответствующие гармоническим осцилляторам, колеблющимся с бес-
бесконечно малой амплитудой. Из последнего соотношения следует, что
величина | (с) |2 убывает как е~2т. Поэтому после достижения свое-
своего максимума величина | (с) |2 быстро спадает, а согласно тождеству
C.42) величина, определяющая энергию осциллирующих электронов,
стремится к постоянному пределу, в общем случае отличному от нуля.
Поэтому эффективность излучения в отличие от квантовой электрони-
электроники получается из уравнений C.41) меньше единицы, хотя при больших
в приближается к ней (рис. 3.2).
Уравнения C.41) не учитывают других видов излучения. Так, после
прекращения дипольного излучения (пропорционального | (с) |2) опре-
определяющим будет квадрупольное и высшие мультипольные излучения,
гораздо более слабые, а кроме того, всегда будет спонтанное излучение
каждого электрона в отдельности. Благодаря этим более медленным
процессам излучение будет продолжаться вплоть до полного охлажде-

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
181
16,0
Рис. 3.2. Зависимости величин | (с) |2 (безразмерной мощности излучения)
и (|с|2) (безразмерная энергия осцилляторов) от медленного времени г
ния электронной системы. Вместе с тем дефазирующие поля, препят-
препятствующие формированию когерентного излучения при малой началь-
начальной модуляции | (с) | <С 1 ускоряют распад кооперативного состояния,
когда величина (с) опять становится малой.
Рассмотрим теперь результаты численного решения системы нели-
нелинейных уравнений C.41) с начальными условиями C.46). Типичные
графики для величин 2| (с) |2 (безразмерная мощность излучения)
и 2(|с|2) (безразмерная энергия осцилляторов) при различных зна-
значениях 0 представлены на рисунках 3.2 и 3.3. Расчеты показывают,
что параметр So, определяющий начальную модуляцию, слабо влияет
на процесс излучения. При уменьшении 5q происходит незначительное
возрастание времени, необходимого для формирования кооперативного
состояния ансамбля электронов-осцилляторов. Как уже было сказано
выше, кооперативное излучение может возникнуть и при So = 0 из
машинного шума, однако, в этом случае процесс сильно зависит от
применяемого численного метода.
2|<с>|2
<Н2>
0,840
Q,44G
6=1/16/
Л ч
- 1
-
¦¦¦¦¦—¦¦
0 100 200 300 400 т
0,8-
0,4-
0,75
ю-3
0,50
ю-3
0,25
\ 9 = 1/16
е = 1/4
0 100 200 300 400 т
Рис. 3.3. Численный расчет зависимостей величин (с) и (\с\ ) от медлен-
медленного времени т

182
Лекция 3A8)
Решение системы C.41) зависит от числа крупных частиц М. Од-
Однако при М > 24 дальнейшее увеличение числа частиц практически
не сказывается на форме кривых 2| (с) |2 и (|с|2) при т ^т, где т со-
соответствует максимуму кооперативного излучения. Зависимость от М
существенно более существенна после прохождения максимума, когда
излучение уже незначительно.
Как и следовало ожидать, при увеличении #, т.е. в случае сильной
нелинейности, время установления кооперативного состояния умень-
уменьшается, а мощность излучения возрастает. Зависимость максимальной
безразмерной мощности излучения 2| (с) |^ах и безразмерного времени
т от в представлены на рис. 3.4. Все зависимости построены для М =
= 36 и So = 0,05.
Величина ?, логарифмически зависящая от So, определяет время
формирования кооперативного состояния. При т <т происходит фази-
ровка электронов, осциллирую-
осциллирующих в вакууме, под действием
ближнего поля, создаваемого
самими электронами. После
быстрого высвечивания при
т ы т электроны, отдавшие
значительную часть запасенной
энергии, переходят в состоя-
состояние с суммарным дипольным
моментом, близким к нулю.
Это иллюстрирует рис. 3.5, на
котором показаны мгновенные
положения осцилляторов на
фазовой плоскости в начале
фазировки (рис. 3.5 а), в мак-
максимуме излучения (рис. 3.5 б)
и при последующей дефазировке
(рис. 3.5 в). Первоначально
электроны-осцилляторы распре-
распределены на окружности единичного радиуса с небольшим (So = 0,05)
сгущением вблизи фазы ip = 0 и ip = тг. Расчеты проводились при
М = 48 и в = 1.
Приведенные выше результаты показывают, что в отличие от двух-
двухуровневых атомов (см. рис. 3.1) кооперативное излучение прекраща-
прекращается, когда электроны еще осциллируют. При расчетах считалось, что
излучение прекращается при г = Т = 50,0. Введем величину
Рис. 3.4. Численный расчет зависи-
зависимостей максимальной безразмерной
мощности излучения 2| (с) |^ах и вре-
времени т достижения максимума ко-
кооперативного излучения от величи-
величины в
г 1 М
V = 2 J | (с (г)) |2 dr = 1 - <|с(Т)|2) = 1 - ± ? |с,(Т)|2, C.61)

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
183
¦Г
i 1
¦ 1
1,0 -
0,0
-i,oh
-1,0 0,0 Re Ck -1,0 0,0 Re Ck -1,0 0,0 Re Ck
а б e
Рис. З.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в раз-
различные моменты времени
являющуюся эффективностью кооперативного излучению, и величину
Ат =
2|<с>
C.62)
определяющую длительность излучаемого импульса, т. е. ширину пря-
прямоугольного импульса с той же энергией. Зависимости этих величин от
О для М = 36 и #о = 0,05 приведены на рис. 3.6. Эти зависимости пока-
показывают, что увеличение па-
параметра О укорачивает им- Ах
пульс излучения и увеличи-
увеличивает эффективность излуче-
излучения, хотя форма импульса при
этом усложняется. При умень-
уменьшении величины О коопера-
кооперативное излучение уменьшает-
уменьшается и становится близким к ну-
нулю.
Параметр #, согласно фор-
формуле C.40), есть отношение
двух величин — аес^о и Nv/2.
Первая из величин определяет
полосу частотной перестрой-
перестройки неизохронных осциллято-
осцилляторов при изменении их ампли-
амплитуды от \ск\ = 1 до \ск\ = 0.
Вторая величина согласно уравнению C.36) представляет собой коэф-
коэффициент затухания синфазных колебаний в электронной системе. Если
затухание слишком велико, то неизохронность не успевает фазировать
электроны. Возникающий небольшой дипольный момент системы элек-
электронов-осцилляторов быстро стремится к нулю.
Таким образом, в отличие от кооперативного излучения двухуров-
двухуровневых атомов, излучение электронов-осцилляторов характеризуется
более сложными свойствами. Хотя на основании соотношений C.40),
Рис. 3.6. Зависимости величин эффек-
эффективности г] и длительности импульса Аг
кооперативного излучения от величины
в

184 Лекция 3A8)
C.43) и C.44) для г и (?) следовало бы ожидать, что длительность
излучаемого импульса будет пропорциональна 1/N, а максимальная
мощность излучения — пропорциональна TV2, фактические закономер-
закономерности иные, поскольку безразмерные величины Аг и 2| (с) |^ах зависят
от параметра #, который сам также зависит от N. Заметим, что эта
зависимость (см. рис. 3.4 и 3.6) более слабая, но все же об излучении,
аналогичном излучению двухуровневых атомов можно говорить лишь
в ограниченном интервале значений в Е @,1,10,0). Безразмерные ве-
величины т и г\ также зависят от в.
Приведем некоторые оценки из работы [9]. Для электронов в маг-
магнитном поле положим Л = 0,1 м, тогда Но = 8 • 104 А/м и|/^ 10~3 м.
Если ооса/с = 0,1, то по формуле C.50) ае = 5 • 10 и N = 4 • 1О1О/0,
а по формуле C.51) энергия, запасенная в электронной системе ? =
= 1,7 • 10~5 Дж. При в = 1 эта энергия излучается за время At = 70 не,
Smax = 0,12 кВт, г] « 0,5. Оценки для других значений в можно дать
с помощью рис. 3.4 и рис. 3.6.
Индуцированное излучение, имитирующее
кооперативное
Индуцированное излучение в квантовой или классической элек-
электронике происходит под действием не ближних, а дальних внешних
полей. Наиболее типичный случай — индуцированное излучение в поле
одного из собственных колебаний объемного или открытого резона-
резонатора. Движение нелинейных электронов-осцилляторов в этом случае
определяется уравнением (аналогично соотношению C.37))
zk + u2zk + fjLzl = —Ez, C.63)
где
Е = Re {Cs(t)Ese-juJot} C.64)
— поле резонатора, колебания которого имеют комплексную частоту
cj8 = u's — juj'J. Зададим zk в виде C.38), воспользуемся уравнением
возбуждения резонатора (см. лекцию 1 первого тома) и введем вместо
Сs нормированную функцию
ь2, C.65)
где ?о — начальная энергия электронной системы. Ее энергия ? в про-
произвольный момент времени, электромагнитная энергия Ws и мощность
излучения в резонатор определяются по формулам
? = ?0 (\с\2) , Ws = ?o\cs\2, (Vs) = Ioj'^Ws. C.66)

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 185
Для функций Ck и cs получается следующая симметричная система
уравнений
ск + jAukck = 3-uqcs, Аик = жи0 (\ск\2 - l) , C.67)
cs + jAu>scs = |w9 (с) , Au>s = u>s-u>0, C.68)
где
к = \^v = j^j^ C.69)
(jjp — плазменная частота пучка, К — коэффициент связи электронной
системы с резонатором, Ns — норма резонаторного колебания с ин-
индексом s, Es^z — составляющая резонаторного поля, действующая на
колебания электронов.
Если теперь ввести безразмерное время г и безразмерные парамет-
параметры ? = ?' — j?", г и О по формулам
т = еыо1, we = w0(l + e0. « = -. е = ^-. C-70)
то приходим к уравнениям
^2l)ck=jcs, C.71)
#=j(c). C.72)
Поскольку параметр е, который естественно назвать параметром
усиления, пропорционален \/7V, безразмерное время г и параметр О
содержат соответственно множители лЛ/V и l/yTV вместо N и 1/7V
в выраж;ениях C.40). Зависимость мощности излучения от TV, которая
пропорциональна |cs|2, также иная.
На рис. 3.7 показана зависимость величин |cs|2 и 2| (с) |2 от г при
О = 1, найденная в результате численного моделирования. Расчеты про-
проводились для М = 36, св@) = 0,05, сЛ@) = ej27rk/M, А; = 1, 2,. . ., М.
Как и при кооперативном излучении, на начальном этапе происходит
фазировка электронов-осцилляторов, но уже под действием резона-
резонаторного поля. После относительно быстрого высвечивания электроны
начинают отбирать энергию у поля, а потом энергообмен много раз
меняет знак, и функция |cs|2 испытывает сильные колебания, которых
нет у кооперативного излучения, сразу покидающего электронную си-
систему.
При условиях ?" ^> ?', ?" ^> 1, когда резонаторное колебание бы-
быстро затухает (в масштабе безразмерного времени г), индуцированное
излучение по своим свойствам становится похожим на кооперативное.
В частности, зависимость энергетических характеристик от числа N

186
Лекция 3A8)
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0
Рис. 3.7. Зависимости величин |cs|2 и 2| (с) |2 от г
будет одинаковой. При этом, излучение остается индуцированным,
а добротность резонатора может быть достаточно высокой — она долж-
должна лишь удовлетворять условию Qs ^C 1/2е. В этом случае функции cs
и (с) связываются простым соотношением cs = (с) /?", в силу чего для
Ck справедливы уравнения
C.73)
C.74)
которые после введения новых величин
совпадут с уравнениями C.40). Поскольку величина и^ пропорциональ-
пропорциональна TV, зависимость г от N и # от ае/TV будет такая же, как в выражениях
C.40). Такое индуцированное излучение естественно назвать псевдоко-
псевдокооперативным.
В электронной системе, помещенной в резонатор, возникают как
ближние, так и дальние фазирующие поля. Соотношения между ними

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 187
при ?" ^> ?', ? ^> 1 определяются безразмерным параметром
(Jg oEoCJs С К
который может быть как малым, так и большим. При к ^С 1 преобла-
преобладает псевдокооперативное излучение, при к ^> 1 — кооперативное. Их
одновременный учет приводит к уравнениям C.41), в которых
.. C.76)
Из уравнений C.41) следует тождество C.42), приводящее к соотноше-
соотношению
? = - (Ре) ~ <S>, C.77)
где ? и (?) определяются выражениями C.43) и C.44), а
(Ps) = 2^WS = 2ш'^0\сг\2 = i (E> C.78)
есть мощность потерь, т. е. мощность, которая тратится на омические
потери, отдается в нагрузку и излучается в открытое пространство
(если резонатор открытый).
Соотношение C.77) показывает, что оба вида излучения не смеши-
смешиваются: псевдокооперативное излучение поддерживает резонаторное
колебание, а кооперативное существует само по себе, как подобает
спонтанному излучению.
Из всего вышесказанного следует, что точное выполнение законов
1/N и TV2 для кооперативного излучения не обязательно: необходимо
лишь формирование когерентного состояния под действием ближних
полей и его быстрое высвечивание (гораздо более быстрое по сравнению
со спонтанным излучением).
Теоретическое и экспериментальное исследование
генерации импульсов сверхизлучения. Циклотронное
и черенковское сверхизлучение
Первые экспериментальные наблюдения сверхизлучения
в СВЧ-диапазоне были сделаны при исследовании сгустков электронов,
вращающихся в магнитном поле [11, 12]. Кооперативное излучение
в такой системе принято называть циклотронным сверхизлучением
[13]. В работах [13,14] было показано, что для режима циклотронного
сверхизлучения наиболее благоприятен режим синхронизма, когда
поступательная скорость электронов близка к групповой скорости
электромагнитной волны, распространяющейся в электродинами-
электродинамической системе vrp = vq (групповой синхронизм). Такая ситуация

188
Лекция 3A8)
возможна в случае касания дисперсионных кривых волны ио2 — с2 к2 =
= со2 и электронного потока со — v$k = ujc (рис. 3.8 а) г).
= (пс = шкр
Рис. 3.8. Дисперсионная диаграмма, иллюстрирующая режим группового
синхронизма в лабораторной (а) и подвижной (б) системе координат
В случае группового синхронизма, во-первых, увеличивается часто-
частота циклотронного сверхизлучения, а, во-вторых, повышается инкре-
инкремент сверхизлучательной неустойчивости. Ниже рассмотрим это более
подробно.
Важно также отметить, что в собственной системе отсчета, где сгу-
сгусток как целое покоится, режим группового синхронизма соответствует
излучению на квазикритической частоте и поэтому обладает рядом
достоинств, характерных для электронно-волнового взаимодействия
в гиротронах, где, как известно, рабочая мода также возбуждается на
квазикритической частоте (см. лекцию 1A6)). В частности, при излу-
излучении на квазикритической частоте происходит снижение чувствитель-
чувствительности процессов сверхизлучения к разбросу параметров электронов,
включая чувствительность к продольной динамике сгустка, вызванной
кулоновским расталкиванием и различием начальных скоростей элек-
электронов.
Рассмотрим подробнее теорию циклотронного сверхизлучения
в условиях группового синхронизма [15]. При касании дисперсионных
кривых электродинамической структуры и электронного пучка
выполняется следующее соотношение между частотой отсечки
волновода икр и релятивистской гирочастотой ис:
где 7м = 1/лА ~~ (vo/cJ •> v± = P±c — вращательная скорость электро-
электронов. Соответственно, частота излучения равна
UJ =
г) Условие группового синхронизма может реализоваться также при дви-
движении электронного сгустка в диспергирующих средах, например, в одно-
однородной плазме.

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 189
Поэтому для ультрарелятивистских электронов-осцилляторов частота
излучения может существенно превысить частоту их собственных ко-
колебаний.
Проведем анализ процессов в сгустке электронов-осцилляторов
в системе отсчета, движущейся вместе с электронами со скоростью vo.
Используя преобразования Лоренца, несложно увидеть, что в подвиж-
подвижной системе отсчета волновое число к' и поперечная компонента маг-
магнитного поля Hf± равны нулю, и необходим анализ излучения ансамбля
неподвижных циклотронных осцилляторов на квазикритической ча-
частоте икр (см. рис. 3.8 б).
Если предположить, что распределение поля излучения в сечении
системы совпадает с распределением поля волноведущей структуры
(), то электрическое поле можно представить в виде
Е' = Re {е'±(г±)A'(z', t')ejuJ^'} . C.79)
Вводя безразмерные переменные: амплитуду поля а =
/ 2еЛ' \ (
) ^/) поперечную скорость электронов
Р = (Рх + iPy) /Р±0' продольную координату Z = zf(З'±оикр/с и время
г = t'P'±qUjc/2 запишем математическую модель, описывающую
процесс циклотронного сверхизлучения, в виде [14]
|^-A-l)=ia. C.81)
Здесь уравнение C.80) описывает эволюцию продольного распределе-
распределения электрического поля, уравнение C.81) — азимутальную автофази-
ровку электронов-осцилляторов, А = 2{uj'c — ojkp)/ojcC±o — отстройка
невозмущенной циклотронной частоты от частоты отсечки (в подвиж-
подвижной системе координат),
^ _ J е/о 1 А2 ^^(НъикрIс)
2^ mc3 p[
— структурный фактор, записанный в предположении, что электрон-
электронный сгусток имеет трубчатую форму с радиусом Rb, /о — полный
ток электронного пучка, А = 2тгс/а;Кр = 2тг/2г/п, R — радиус волно-
волновода, т — азимутальный индекс волноводной моды, vn — п-и корень
уравнения Зш{у) — 0, Jm — функция Бесселя n-го порядка, f(Z) —
распределение плотности электронов вдоль продольной координаты,
(. . .) обозначает усреднение по начальным фазам у?о-
Уравнения C.80) и C.81) должны решаться при следующих началь-
начальных условиях (аналогично соотношению C.46)):
/3(т = 0) = е^0+E°cos ^, (ро е [0, 2тг], а(т = 0) = 0, C.82)

190 Лекция 3A8)
которые отвечают почти равномерному распределению электронов по
фазам циклотронного вращения со слабой начальной модуляцией с глу-
глубиной 50 ^ 1.
Предполагая, что протяженность b в продольном направлении
электронного сгустка мала, т. е. имеет место выполнение условия
bj\\/c\Tf <С 1, функцию / можно представить в виде f(Z) =
= P±ot>7\\uKp6(Z)/c [14, 16], где S(Z) — дельта-функция, Т' —
характерное время развития циклотронной сверхизлучательной
неустойчивости.
Рассмотрим линейную стадию развития циклотронной сверхизлу-
сверхизлучательной неустойчивости. Для этого представим излучаемое поле в ви-
виде
a(Z, г) = а@)е-^г+Аг+/ем IZD C.83)
и линеаризуем систему уравнений C.80)-C.82). Тогда получаем
следующее характеристическое уравнение:
j?l2y/Sl + A + 2Gtt = 2G, C.84)
где G = GB, В = Cfj_0bj\\0JKp/c — толщина электронного слоя. Решение
уравнения C.84) определяет собственные частоты слоя электронов-ос-
электронов-осцилляторов, которые, как несложно видеть, являются комплексными.
При условии G <С 1, что соответствует малой плотности электронов
в сгустке, в режиме группового синхронизма, когда А = 0, уравнение
C.84) имеет единственное решение
(j^) C.85)
п=Bд)
соответствующее возбуждению нарастающей во времени моды с инкре-
ментом Im ?1 = ( 2G j sin f — ) и с потоком электромагнитной энер-
энергии, направленной от сгустка на периферию (Re &ц > 0). Соотношение
C.85) получено в пренебрежении вторым слагаемым в уравнении C.84),
ответственным за циклотронное поглощение. В размерных переменных
инкремент циклотронной сверхизлучательной неустойчивости равен
( v
Из последнего соотношения следует, что сверхизлучение носит беспо-
беспороговый характер, обусловленный бесконечным временем жизни элек-
электронов-осцилляторов в области взаимодействия с электромагнитным
полем.
Наличие положительного электронного сдвига частоты (Refi =
= BGJ cos f — 1 > 0) приводит к тому, что даже при нулевой рас-
расстройке от точного группового синхронизма (А = 0) частота излучения
превосходит критическую частоту. В результате действительная часть

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
191
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
Im k\\
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
\
V
^^^_ReO
0,0 2,0 4,0 А ^2,0 0,0 2,0 4,0
Рис. 3.9. Зависимость от параметра расстройки А реальной и мнимой части
продольного волнового числа к\\ (а), инкремента и сдвига частоты (б) при
G = 0,005
продольного волнового числа становится положительной. Это означает,
что под влиянием электронной перестройки групповая скорость также
становится отличной от нуля, и возникает поток энергии из электрон-
электронного сгустка.
Зависимости нормализованного инкремента Imfi, электронного
сдвига частоты Refi, действительной и мнимой частей продольного
волнового числа к\\ = y/il + А от величины расстройки А показаны
на рис. 3.9. Из рисунка видно, что отстройка от режима группового
синхронизма ведет к падению инкремента развития неустойчивости.
При этом, если в области отрицательных расстроек (и'с < сокр)
неустойчивость обрывается, то в области положительных расстроек
(oj'c > оокр) неустойчивость существует при сколь угодно больших А,
хотя с ростом параметра А величина инкремента плавно уменьшается.
40,0
Рис. 3.10. Зависимость от времени т квадрата модуля амплитуды а (а) и
электронного КПД (б): 1 — в режиме группового синхронизма (А = 0); 2 —
при отстройке частоты от группового синхронизма (А = 1) при G = 0,005

192 Лекция 3A8)
Исследование нелинейной стадии развития циклотронного сверх-
сверхизлучения в работе [14] проводилось с помощью численного решения
системы уравнений C.80)-C.82). Результаты расчетов представлены
на рис. 3.10, на котором изображена зависимость от времени квадрата
амплитуды \а\2 поля излучения и электронного КПД
2тг
^2 C.87)
Из рисунка видно, что основная часть осцилляторной энергии электро-
электронов трансформируется в энергию излучения за время порядка несколь-
нескольких характерных времен развития неустойчивости Т' = (Im a/) . При
этом максимальная амплитуда поля достигается в случае точного груп-
группового синхронизма.
Перейдем теперь из подвижной системы координат обратно в лабо-
лабораторную и обсудим основные характеристики циклотронного сверхиз-
сверхизлучения в ней.
Из приведенного рассмотрения следует, что в подвижной системе
отсчета электронный сгусток излучает изотропно в положительном
(+zf) и отрицательном (—zf) направлениях вдоль оси волновода. При
этом, поскольку в этой системе частота излучения близка к критиче-
критической частоте, групповые скорости излученных в обоих направлениях
электромагнитных импульсов vfrp достаточно малы (их отличие от нуля
связано с электронной перестройкой частоты). В лабораторной системе
отсчета, где сгусток движется с продольной скоростью г>ц > vfrp в точку
наблюдения (детектор), расположенную в направлении поступательно-
поступательного движения сгустка, вначале придет излучение, испущенное сгустком
в подвижной системе координат в +2/-направлении, а затем в —z'-
направлении. Действительно, из закона сложения скоростей следует,
что в том случае, когда поступательная скорость источника волн (элек-
(электронного сгустка) превышает групповую скорость электромагнитных
волн в собственной системе отсчета, в лабораторной системе отсчета обе
компоненты излучения распространяются в одном направлении в сто-
сторону поступательного движения источника. При этом в лабораторной
системе групповая скорость импульса, излученного в +2/-направлении,
несколько больше продольной скорости электронного сгустка, а излу-
излученного в — ^'-направлении, — меньше той же скорости. В результате
с увеличением длины наблюдения указанные импульсы должны расхо-
расходиться. Чтобы найти форму импульса циклотронного сверхизлучения,
принимаемого детектором, необходимо построить распределение полей
в плоскости zftf, а затем найти поле на линии z' = —v\\tf + const, вдоль
которой на этой плоскости происходит движение детектора. Постро-
Построенная таким образом зависимость амплитуды электрического поля на
детекторе от времени для режима точного группового синхронизма
А = 0 приведена на рис. 3.11 а. Видно, что сигнал на детекторе имеет
двугорбую форму, т. е. излучение представляет собой последователь-
последовательность двух импульсов. Первый из этих импульсов образован фотонами,

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
193
0,15
0,1
0,05
0,0
Ч
\
i
0,0 10,0 20,0
0,15
0,1
0,05 -
0,0
, J
у
0,0 10,0 20,0
Рис. 3.11. Зависимость от времени амплитуды поля, принимаемого детекто-
детектором в лабораторной системе отсчета при (а) А = 0 и (б) А = 0,4
испущенными сгустком в подвижной системе координат в положитель-
положительном направлении оси +zf, а второй импульс — фотонами, испущенными
в отрицательном направлении оси —z'. При этом вследствие эффекта
Допплера частота заполнения первого импульса должна превышать
частоту заполнения второго импульса и соответственно первый им-
импульс существенно короче второго. Тот факт, что амплитуда первого
импульса превышает амплитуду второго, объясняется тем, что первый
импульс поступает на детектор раньше второго, испытывая при этом
меньшее дисперсионное расплывание. Важно отметить, что при смеще-
смещении параметра расстройки А в область отрицательных значений разли-
различие между групповыми скоростями становится столь незначительным,
что для заданной дистанции наблюдения сигнал, принимаемый детек-
детектором в лабораторной системе отсчета, имеет форму моноимпульса
(рис. 3.11 б). Таким образом, изменение начального расстояния до де-
детектора при постоянном А, а также варьирование параметра расстрой-
расстройки при заданной длине наблюдения позволяет получать различную
форму импульса сверхизлучения.
Пиковая мощность циклотронного сверхизлучения, проходящая че-
через неподвижную площадку, расположенную вне слоя ансамбля элек-
электронов-осцилляторов, определяется соотношением
= -^r a
о/6
У
C.88)
Усредненное по начальным фазам изменение энергии электронов в ла-
лабораторной системе отсчета может быть найдено с учетом соотношения
для электронного КПД в подвижной системе координат с помощью
соотношения
<1-72/7о%о=7^хоЧ1- C-89)
Из этих соотношений следует, что высокая эффективность энергооб-
энергообмена может быть достигнута и при относительно малых поперечных
скоростях /3± ~ 1/7||о- Это связано с тем, что в энергию излучения
13 Трубецков, Храмов

194 Лекция 3A8)
трансформируется не только энергия поперечных, но и продольных
движений в электронном потоке.
Приведем некоторые оценки из работы [14]. Пусть в лабораторной
системе координат напряженность ведущего магнитного поля Но =
= 10,7 • 104 А/м, длина волны Л = 1,0 • 10~3 м, ток /о = 0,1 кА, энергия
электронов 1,0 МэВ G0 = 3,0), вращательная скорость v± = 0,2с, длина
сгустка b = 0,03 м. При радиусе волновода R = 4,0 • 10~3 м и рабочей
моде Я13 структурный фактор G = 0,005. Тогда из рис. 3.10 получаем
Мтах = 6,4- 10~3, что соответствует пиковой мощности циклотронного
сверхизлучения порядка 50 МВт. Длительность импульса составляет
порядка десяти периодов высокочастотных колебаний.
Заметим, что при исследовании эффектов сверхизлучения ансамбля
электронов-осцилляторов в волноведущей системе трудно исключить
влияние полей электродинамической структуры на процесс взаимодей-
взаимодействия электронного сгустка с электромагнитным полем структуры, а,
следовательно, сложно отделить индуцированное излучение от эффек-
эффекта сверхизлучения. В работе [17] в рамках численного моделирования
системы уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения
электронов определяются условия проявления эффекта циклотронного
сверхизлучения электронного пучка, распространяющегося в волново-
волноводе, т.е. условия, когда возможна фазировка электронов-осцилляторов
не только через общее поле излучения (кооперативное излучение), но
и за счет отражения волн от внутренних стенок электродинамической
системы (индуцированное излучение).
Предыдущее рассмотрение (см. также работы [18,19]) показало, что
при увеличении параметра нелинейности инкремент сверхизлучатель-
ной неустойчивости возрастает, максимум дипольного момента, харак-
характеризующий интенсивность излучения достигается за более короткое
время от начала высвечивания. В работе [17] рассматривается ансамбль
циклотронных электронов-осцилляторов при различной нелинейности
(скорости электронов) и демонстрируется, что наличие электродина-
электродинамической структуры приводит к появлению возможности реализации
трех различных сценариев развития процесса излучения в зависимости
от степени нелинейности.
На рис. 3.12 представлены зависимости поперечной компоненты
суммарного импульса ансамбля электронов-осцилляторов для различ-
различных значений начальных скоростей /3 и, как следствие, различных
значений параметра нелинейности. Величина суммарного импульса р±
нормирована на сумму модулей импульсов отдельных электронов, вре-
время г нормировано на период циклотронного вращения Тс = о;с/2тг.
При небольшой величине нелинейности (рис. 3.12 а) развитие про-
процесса циклотронного сверхизлучения к моменту прихода излучения,
отраженного от стенок электродинамической системы (г « 4,0), неве-
невелико, и после нескольких переотражений электромагнитных волн фаза
и энергетические характеристики взаимодействия осцилляторов опре-
определяются только установившимся полем возбужденных волноводных
мод, т.е. имеет место процесс индуцированного излучения.

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
195
р±
240
0
44 0^4
Л
-

1.
-1-
-2-
ю-3
0
ю-3
ю-3
¦ 1
У
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 т 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0
а б
1
г
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 т
в
Рис.342. Зависимость от времени поперечной компоненты суммарного им-
импульса ансамбля циклотронных электронов-осцилляторов для различных
значений начальной скорости электронов (различной нелинейности систе-
системы): а— /3 = 0,2; б — /3 = 0,3; в — р = 0,9 (из работы [17])
Увеличение нелинейности приводит к конкуренции циклотронного
сверхизлучения и индуцированного излучения (см. рис. 3.12 6). При
большой нелинейности (/? > 0,9; рис. 3.12 в) индуцированное излу-
излучение практически не влияет на процесс сверхизлучения циклотрон-
циклотронных осцилляторов. Поэтому эффект сверхизлучения в ансамбле элек-
электронов-осцилляторов в присутствии электродинамической структуры
может наблюдаться только при значительной нелинейности осцилля-
осцилляторов, которая определяет инкремент развития сверхизлучательной
неустойчивости.
Рассмотрим теперь результаты экспериментального наблюдения
эффекта циклотронного сверхизлучения [11,12].
В экспериментальном макете в качестве источника электронов
использовался субнаносекундный сильноточный ускоритель. Энер-
Энергия электронов составляла 200 кэВ, длительность импульса тока
300 -г- 500 пс, максимальный ток пучка, получаемый с помощью
взрывоэмиссионного катода в коаксиальном вакуумном диоде
с магнитной изоляцией, достигал 1 кА. Использовались коллиматоры,
позволяющие редуцировать ток пучка до величины 0,1 -г- 0,4 кА.
Непосредственно за коллиматором располагался участок с неодно-
неоднородным магнитным полем — кикер, представляющий собой систему
из трех дополнительных катушек, где электроны приобретали
13*

196
Лекция 3A8)
200
.„Li
/
: 1 НС
——>——
290
X
1 1 не
А ||^ *-
j
V
-
К
: 1 НС
, -~-—
: 1 НС
Рис. 3.13. Осциллограммы: ускоряющего импульса на катоде (а), импульса
тока па входе дрейфовой камеры (б); в, г — СВЧ-сигналы с детектора при
ведущем магнитном поле 12 кЭ и 11,5 кЭ (из работы [11])
вращательную скорость с расчетным питч-фактором g = v±/v\\ ~ 1.
Область высвечивания представляла собой гладкий цилиндрический
волновод диаметра 0,01 м, помещенный в однородное продольное
магнитное поле импульсного соленоида с напряженностью до 15 кЭ.
Максимальная длина области высвечивания достигала 0,3 м при
характерной продольной длине электронного сгустка 0,05 м.
На рис. 3.13 представлены характерные осциллограммы ускоряю-
ускоряющего напряжения, электронного тока и СВЧ-импульсов. При вариации
напряженности ведущего магнитного поля микроволновые импульсы
были последовательно зарегистрированы в области касания электрон-
электронной дисперсионной характеристики с дисперсионными кривыми Н21
и Hqi волн. При значительном удалении от режима касания мощ-
мощность излучения либо падала до нуля, либо значительно снижалась.
Осциллограммы СВЧ-импульсов, представленные на рис. 3.13, соответ-
соответствуют возбуждению моды Я21. Осциллограмма, представленная на
рис. 3.13 в, снята при напряженности магнитного поля 12 кЭ, которое
несколько превышает значение, отвечающее режиму касания, осцилло-
осциллограмма на рис. 3.13 г — при магнитном поле 11,5 кЭ, которое несколько
ниже указанного значения.
Двугорбый характер СВЧ-импульса на рис. 3.13 в обусловлен уже
рассмотренным нами эффектом, связанным с тем, что в системе от-
отсчета, движущейся вместе с электронами, ансамбль циклотронных
электронов-осцилляторов излучает изотропно в положительном и от-
отрицательном направлениях вдоль оси волновода. В лабораторной же
системе в точку наблюдения (детектор), расположенную на оси по

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
197
О
20 24 Z, см
Рис. 3.14. Пиковая мощность субнаносекундного импульса циклотронного
сверхизлучения в зависимости от длины транспортировки электронного
сгустка в продольном магнитном поле 12 кЭ. Здесь кривая 1 соответствует
току пучка 180А, 2— 290А (из работы [11])
направлению движения электронного сгустка, вначале придет излуче-
излучение, испущенное в положительном, а затем (при условии, что скорость
источника превышает групповую скорость) в отрицательном направле-
направлениях в подвижной системе координат (ср. с рис. 3.11 а). При этом, вслед-
вследствие эффекта Доплера, частота излучения передней части импульса,
воспринимаемого детектором, должна превышать частоту хвостовой
части. По этой же причине мощность излучения в передней части
импульса должна превосходить мощность в хвосте, а длительность ко-
коротковолновой компоненты излучения на приемном детекторе должна
быть существенно короче длительности низкочастотной компоненты.
Действительно, как видно из рис. 3.13 в, высокочастотная часть излуче-
излучения представляет собой предельно короткий импульс с длительностью
на полувысоте менее 400 пс и высокой пиковой мощностью. После нее
регистрируется низкочастотная компонента, имеющая примерно в два
раза более низкую мощность, а длительность — до полутора наносе-
наносекунд.
Одногорбый характер микроволнового импульса на рис. 3.13 г объ-
объясняется тем, что при уменьшении циклотронной частоты происходит
сближение частот и групповых скоростей высокочастотной и низкоча-
низкочастотной компонент. В результате при заданной длине области распро-
распространения обе компоненты поступают на детектор в неразрешенном по
времени виде (ср. с рис. 3.11 б).
Измерения спектра излучения посредством установки в тракте при-
приемного детектора волноводных фильтров с различными частотами от-
отсечки показали, что импульсы излучения являются широкополосными,
со спектральным составом, лежащим в интервале 30 -г- 38 ГГц.
Важным подтверждением кооперативной природы наблюдавшего-
наблюдавшегося в работе [11] излучения является характер зависимости пиковой
мощности излучения от длины дрейфа электронного сгустка в одно-
однородном магнитном поле, т. е. фактически от времени взаимодействия
(рис. 3.14). Указанная мощность на начальном этапе растет по экспо-

198
Лекция 3A8)
ненциальному закону. Если же предположить, что наблюдаемое излу-
излучение обусловлено не процессом автофазировки, а наличием достаточ-
достаточно сильной начальной модуляции электронов по фазам циклотронного
вращения — спонтанным излучением, то на квазикритической частоте
икр мощность излучения должна расти с длиной взаимодействия не
быстрее, чем корень из длины.
При токе пучка 290 А наблюдался режим насыщения максимальной
пиковой выходной мощности, при меньшем токе A80 А) режим насы-
насыщения при заданной длине области высвечивания достигнут не был.
Пиковая мощность излучения определялась детектором путем инте-
интегрирования показаний по диаграмме направленности. Нижняя оценка
пиковой мощности для моды
//21 составила приблизительно
200 кВт, что соответствовало
эффективности трансформации
энергии в эксперименте более
одного процента.
Рассмотрим теперь эффект
сверхизлучения, связанный с ме-
механизмом черенковского излуче-
излучения. Первое экспериментальное
исследование процессов сверх-
сверхизлучения при прямолинейном
движении электронного сгустка
в периодической замедляющей
системе (черенковское сверхиз-
сверхизлучение) было проведено в ра-
работах [20-22]. При этом были
получены электромагнитные им-
импульсы на частоте 39 ГГц с мак-
максимальной пиковой мощностью
до 150 МВт и рекордно корот-
короткой длительностью 300 пс. Излу-
Излучение в этом случае имело место
при синхронном взаимодействии
частиц с медленной простран-
пространственной гармоникой встречной
электромагнитной волны. Наря-
Наряду с этим черенковское сверх-
сверхизлучение может возникать при
взаимодействии с попутной вол-
10,0
г, см
Рис. 3.15. а— геометрия области взаи-
взаимодействия исследуемой системы: 1 —
подводящая коаксиальная линия, 2 —
инжектирующая поверхность, 3 — по-
позиции частиц через 1 не после пода-
подачи в коаксиальную линию импуль-
импульса ускоряющего напряжения (резуль-
(результат численного моделирования с по-
помощью кода КАРАТ), 4 — поглоти-
поглотитель, б — положение электронов на
фазовой плоскости (pz, z) при 1 не (из
работы [24])
ной, например, в случае, ког-
когда электроны прямолинейно дви-
движутся в волноводе, частично за-
заполненном диэлектриком. Рас-
Рассмотрим результаты исследования черенковского сверхизлучения как
с помощью натурного, так и численного эксперимента более подробно,
следуя работам [23,24].

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
199
2,0 2,5 1,5 2,0
a t, не # /, не
Рис. 3.16. Импульсы СИ при различных значениях амплитуды ускоряющего
напряжения (моделирование): а — Vm&x = 180 кВ, б — Кпах = 290 кВ (из
работы [24])
Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3.15 а.
Электронные сгустки генерировались коаксиальным взрывоэмиссион-
ным диодом с магнитной изоляцией и имели трубчатую геометрию со
средним радиусом 2,75 мм и толщиной стенки 0,4 мм. Транспортиров-
Транспортировка сильноточных сгустков через пространство взаимодействия, длина
которого составляла 0,06 м, осуществлялась либо в постоянном маг-
магнитном поле сверхпроводящего соленоида с напряженностью до 10 Тл,
либо в поле импульсного соленоида с напряженностью до 5 Тл. Рабочее
пространство представляло собой участок гофрированного волновода.
При этом с коллекторного конца глубина гофрировки плавно уменьша-
уменьшалась на последних трех периодах, обеспечивая согласование с выход-
выходным электродинамическим трактом. Аналогично глубина гофрировки
также спадала на четырех периодах с катодного конца, сопрягаясь
с закритическим сужением. После отражения от закритического суже-
сужения генерируемый электромагнитный импульс высвечивался в направ-
направлении поступательного движения электронов. Использование сильно-
сильного фокусирующего магнитного поля величиной 5 Тл и более давало
возможность работать при напряженностях, превышающих значения,
соответствующие области поглощения, которое, как известно, возни-
возникает, когда условие циклотронного резонанса выполнено для основной
гармоники волны, распространяющейся в периодической системе. При
этом транспортировка сгустка в сильном магнитном поле позволила
уменьшить практически до одной десятой доли миллиметра зазор меж-
между замедляющей системой и частицами, повысив тем самым сопротив-
сопротивление связи и инкременты.
Численное моделирование сверхизлучения электронного сгустка,
движущегося в периодической замедляющей системе, в работе [24] про-
проводилось на основе PIC-кода КАРАТ (см., например, [25], а также том 1,
лекция 14), позволяющего непосредственно интегрировать уравнения
Максвелла совместно с уравнениями движения электронов. Геомет-

200
Лекция 3A8)
од
0,05
- Er(f)
VI..,
/, ГГц
200
100
0
ДМВт
О 25 50 75
Рис. 3.17. Спектр импульса черенковского сверхизлучения, полученный в ре-
результате численного моделирования (из работы [24])
рия моделируемой системы была выбрана соответствующей реальным
условиям эксперимента (см. рис. 3.15 а).
При наличии гофрировки волноведущей структуры при пролете
сгустка через область взаимодействия развивается модуляция электро-
электронов по плотности (см. рис. 3.15 а) и продольному импульсу (фазовая
плоскость (pZj z) показана на рис. 3.15 б). В результате происходит вы-
высвечивание короткого электромагнитного импульса, представленного
на рис. 3.16. Длительность импульса СИ по полувысоте составляет не
более 300 пс при пиковой мощности
до 75 МВт. При этом излучение на
выходе структуры имеет вид волны
?oi с центральной частотой 39 ГГц
(рис. 3.17).
Зависимость пиковой мощности
от длительности импульса напря-
напряжения приведена на рис. 3.18. По-
Поскольку пиковое значение электрон-
электронного тока остается практически по-
постоянным, а длительность электрон-
электронного импульса определяется дли-
длительностью импульса ускоряющего
напряжения, этот график характе-
характеризует зависимость величины пи-
пиковой мощности от полного заряда
электронного сгустка.
В натурном эксперименте по на-
наблюдению сверхизлучения в перио-
периодической замедляющей системе исследовались два режима [24]. В пер-
первом случае амплитуда ускоряющего напряжения составляла 180 кВ,
что соответствовало току инжекции 1,2 кА. Характерная осцилло-
4, не
0,0 1,0 2,0
Рис. 3.18. Зависимость пиковой
мощности импульса черенковско-
черенковского сверхизлучения от длительно-
длительности электронного сгустка, полу-
полученная в результате численного
моделирования (из работы [24])

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
201
60 МВт
Рис. 3.19. Осциллограммы импульсов СИ при различных значениях амплиту-
амплитуды ускоряющего напряжения (эксперимент): a— Umax = 180 кВ; б— Umax =
= 290 кВ (из работы [24])
грамма импульса сверхизлучения для этого случая представлена на
рис. 3.19 а. Импульс имеет длительность порядка 300 пс. Спектраль-
Спектральные измерения посредством системы волноводных фильтров с раз-
различными частотами отсечки показали, что центральная частота из-
излучения порядка 39 ГГц соответствует возбуждению расчетной Eqi
моды. Диаграмма направленности излучения имела характерный для
данной моды минимум в центре. Интегрирование показаний детектора
по диаграмме направленности дало значение для пиковой мощности
излучения в этом случае на уровне 60 МВт.
Во второй серии экспериментов амплитуда ускоряющего напряже-
напряжения была увеличена до 290 кВ, что в соответствии с результатами моде-
моделирования приводило к одновременному увеличению амплитуды тока
до 2 кА. При сохранении длительности импулса на уровне 300 пс пи-
пиковая мощность импульсов сверхизлучения возросла до 140 -г- 150 МВт
(рис. 3.19 6).
Феноменологическая модель электронной
турбулентности
В работах [26,27] предложена модель электронной турбулентности,
описывающая нелинейное взаимодействие электронных структур. Под
электронной структурой в модели понимается малый объем активной
среды, состоящий из электронов-осцилляторов. Предполагается, что
для каждого элемента такой системы имеет место кооперативное из-
излучение, возникающее за счет взаимодействия электронов через поле
собственного излучения, которое является для них фазирующим.

202 Лекция 3A8)
В безразмерных комплексных переменных процессы в потоке взаи-
взаимодействующих электронных структур описываются системой диффе-
дифференциальных уравнений [26]
cki + Зв (\cki\2 - 1) cki = - {c)t + KF (c)^ + KB (c)i+1, C.90)
где k = 1,2,..., M, г = 1,2,..., TV, M — число электронов в каж-
каждом ансамбле, TV — число электронных структур, си% — безразмер-
безразмерная комплексная переменная, соответствующая полю k-то электрона
г м
в г-й структуре; (c)i = — ^ Cki — определяет дипольный момент
М к=1
г-й системы М электронов; параметр в пропорционален отношению
коэффициента неизохронности к коэффициенту затухания электронов
по энергии; Кр и К в — коэффициенты взаимного влияния элементов
потока. Нетрудно видеть, что уравнение C.90) без двух последних
слагаемых в правой части описывает процессы в г-й изолированной
элементарной структуре.
Система уравнений C.90) анализировалась численно с начальными
условиями, соответствующими равномерному распределению электро-
электронов по фазам в интервале [0, 2тт] с внесением малого возмущения 5q
(см. формулу C.46)).
Для моделирования динамики взаимосвязанных электронных
структур также учитывалось время пролета через область взаи-
взаимодействия. Очевидно, это время должно быть приблизительно
равно времени AT, за которое происходит излучение из каждого
элементарного объема. Временной интервал AT соответствует
характерному временному масштабу кооперативного излучения,
в течение которого электроны отдают большую часть запасенной
энергии, и суммарный дипольный момент системы становится равным
нулю. В рассматриваемой феноменологической модели движение
электронных структур учитывается непосредственно в численном
алгоритме и предполагает «перенос информации» от (г — 1)-го к г-
му сечению потока за время А? = AT/7V, где N — число структур,
одновременно присутствующих в потоке. Переменная г в таком
контексте соответствует фиксированному месту в пространстве
взаимодействия и служит дискретным аналогом пространственной
координаты.
Рассмотрим некоторые результаты моделирования процессов в си-
системе взаимодействующих электронных структур [26,28].
На рис. 3.20 показаны зависимости величины | (с) |2, пропорцио-
пропорциональной мощности излучения, от изменения основных управляющих
параметров модели — интервала времени At, определяющего длитель-
длительность взаимодействия электронных структур в потоке, и коэффициен-
коэффициентов связи Кр и Кв-
С увеличением А? видна тенденция к упрощению формы
пространственно-временного распределения | (с) |2.
Сильное влияние на характер излучения системы оказывают вели-
величины коэффициентов Кр и Кв, причем, если значение Кр определяет,

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике
203
\<с>\
Рис. 3.20. Пространственно-временные распределения величины | (с) | для
различных значений параметров: a— Kf = 0,5, К в = 0,5, At = 1; б— Kf =
= 0,5, Кв = 0,45, At = l;e—KF = 0,5, Кв = 1,5, А* = 1; Значения N = 10,
0 = 2, ?0 = 0,2 и М = 12 остаются постоянными (из работы [26])
главным образом, форму и амплитуду распределения | (с) |2, то измене-
изменение К в в большей степени сказывается на смещении временной перио-
периодичности в пространстве. Одновременное увеличение коэффициентов
К/г и К в приводит к усложнению вида зависимости | (с) | — в течение
конечного времени и на конечной длине излучение начинает носить
нерегулярный сложный характер. Для тех значений пространственной
координаты, где имеет смысл говорить о периодичности во времени,
период | (с) |2, в основном, определяется параметром О, заметно умень-
уменьшаясь с ростом его значения.
Все результаты, которые рассматривались выше, были получены
для N = 10. Увеличение N означает рост частоты поступления элек-
электронов в поток и ограничение времени взаимодействия каждой струк-
структуры с полем остальных в течение интервала At, когда нет движения
в пространстве. Эти эффекты связаны с постоянством времени AT
излучения из каждого элемента активной среды.
В результате, при относительно большом количестве электронных
структур (N = 100) имеет место стационарное во времени и нерегу-
нерегулярное в пространстве распределение поля излучения (рис. 3.21). Этот
факт свидетельствует о том, что количественные преобразования для
данной модели, в основу которой положен эффект кооперативного
излучения, приводят к качественному изменению динамики излучения
от пространственно-временных сложных колебаний к развитому про-
пространственному хаосу.

204
Лекция 3A8)
\<с)\2
20 40 60 80 100
Рис. 3.21. Зависимости величины | (с) |2 для различных значений параметров:
а- N = 10, в = 1, KF = 0,5, Кв = 0,5, А* = 1,6, д0 = 0,2; б— N = 10, в = 2,
KF = 0,5, Кв = 0,5, А* = 1,0, д0 = 0,2; в - N = 100, в = 3, KF = 0,7, Кв =
= 0,7, ?0 = 0,3; г - N = 100, в = 2, KF = 0,8, Кв = 0,8, А* = 0,8, ?0 = 0,3.
Значение М = 12 остается постоянным (из работы [26])
В работе [27] показана возможность управления электронной тур-
турбулентностью с помощью размещения на пути движения электронных
сгустков либо одиночных резонаторов, либо цепочки связанных резо-
резонаторов.
В первом случае наибольший интерес вызывает ситуация, когда
один резонатор находится в начале потока, другой — в конце простран-
пространства взаимодействия. Оказывается, что в зависимости от собственной
частоты резонаторов временной процесс вдоль потока становится близ-
близким к периодическому (при близости частоты резонатора к собственной
частоте процесса в потоке без резонатора), либо хаотизируется. В по-
последнем случае в системе наблюдается усложнение пространственно-
временной динамики (при существенной расстройке частоты резона-
резонатора относительной собственной частоты процесса). Последнее объ-
объясняется более эффективной разгруппировкой электронов отдельных
структур, и, как следствие этого, приводит к более сложному распре-
распределению величины | (с) |2 во времени и пространстве.
В случае воздействия на поток высокочастотных полей цепочки
связанных резонаторов наблюдается усложнение пространственно-вре-
пространственно-временной динамики излучения системы при любой настройке резонато-
резонаторов.

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 205
Список литературы
1. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные
явления в оптике. — М.: Наука, 1988.
2. Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. // УФН. 1980.
Т. 131, № 4. С. 653-694.
3. Gross M., Haroche S. // Phys. Rep. 1982. V. 93, No 5. P. 301-396.
4. Лорентц Г.А. Теория электрона. — Л.М.: ОНТИ, 1934.
5. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории коле-
колебаний и волн. — М.: Наука, 1983. СС. 91-93.
6. Районов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное из-
излучение возбужденных классических осцилляторов и его использо-
использование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радиофизика.
1967. Т. 10, № 9, 10. С. 1415.
7. Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький:
Изд-во Горьк. ун-та, 1988.
8. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
9. Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение из малых
объемов в квантовой и классической (вакуумной) электронике. —
Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 3-я зимняя школа-
семинар инженеров. Кн. 1. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1989.
С. 25.
10. Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение
электронов-осцилляторов // ДАН. 1990. Т. 311, № 4. С. 862.
11. Гинзбург И.С, Зотова И.В., Коноплев И.В., Сергеев А.С, Шпак
В.Г., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Яландин М.И. Экспери-
Экспериментальное наблюдение эффекта циклотронного сверхизлучения //
Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63, № 5. С. 322.
12. Ginzburg N.S., Zotova I.V., Sergeev A.S., Konoplev I.V.,
Phelps A.D.R., Gross A.W., Cooke S.J., Shpak V.G., Yalandin
M.I., Shunailov S.A., Ulmaskulov M.R. Experimental observation of
cyclotron superradiance under group synchronism conditions // Phys.
Rev. Lett. 1997. V. 78, No 12. P. 2365.
13. Гинзбург И. С, Сергеев А. С. Сверхизлучение в слоях возбужденных
классических и квантовых осцилляторов // ЖЭТФ. 1991. Т. 99, № 2.
С. 438.
14. Гинзбург И.С, Зотова И.В., Сергеев А.С. Циклотронное сверхиз-
сверхизлучение движущегося электронного сгустка в условиях группового
синхронизма // Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60, № 7. С. 501.
15. Гинзбург И.С, Зотова И.В., Сергеев А.С. Теория эффекта цик-
циклотронного сверхизлучения движущегося электронного сгустка
в условиях группового синхронизма II ЖТФ. 2000. Т. 70, № 7. С. 1.

206 Лекция 3A8)
16. Гинзбург Н.С. Об эффекте сверхизлучения сгустков релятивист-
релятивистских электронов-осцилляторов // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 5.
С. 440.
17. Корниенко В.Н., Черепенин В.А. Сверхизлучение циклотронных
осцилляторов в электродинамической структуре // Изв. РАН, сер.
физич. 1997. Т. 61, № 12. С. 2317.
18. Канавец В.И., Стабинис А.Ю. Спонтанное излучение и самовозбу-
самовозбуждение малого объема классической нелинейной активной среды //
Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1973. № 2. С. 186.
19. Железняков В.В., Кочаровский В.В., Кочаровский Вл.В. Волны
поляризации и сверхизлучение в активных средах // УФН. 1989.
Т. 159, № 2. С. 438.
20. Шпак В.Г., Яландин М.И., Гинзбург Н.С. и др. // ДАН. 1999. Т. 365,
№ 1. С. 50.
21. Гинзбург Н.С, Зотова И.В., Сергеев А.С, Фелпс А.Д.Р.,
Кросс А.В., Виггинс СМ., Хи В., Рональд К., Шпак В.Г., Яландин
М.И., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Тараканов В.П. Генера-
Генерация импульсов сильноточным субнаносекундными электронными
сгустками, движущимися в периодической замедляющей структу-
структуре // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 18. С. 7.
22. Ginzburg N.S., Novozhilova N.Yu., Zotova I.V., Sergeev A.S., Pes-
kov N.Yu., Phelps A.D.R., Wiggins S.M., Gross A.W., Ronald K.,
He W., Shpak V.G., Yalandin M.I., Shunailov S.A., Ulmaskulov M.R.,
Tarakanov V.P. Generation of powerful subnanosecond microwave
pulses by intense electron bunches moving in a periodic backward wave
structure in the superradiative regimes // Phys. Rev. E. 1999. V. 60.
P. 3297.
23. Гинзбург Н.С, Зотова И.В., Сергеев А.С, Розенталь P.M., Шпак
В.Г., Яландин М.И., Яландин М.И., Фелпс А.Д.Р., Кросс А.В. Ге-
Генерация субнаносекундных микроволновых импульсов на основе
эффекта черенковского сверхизлучения // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 3.
С. 53.
24. Гинзбург Н.С, Зотова И.В., Новожилова Ю.В., Сергеев А.С,
Шпак В.Г., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Яландин М.И. Те-
Теоретическое и экспериментальное исследование генерации импуль-
импульсов сверхизлучения сильноточными субнаносекундными электрон-
электронными сгустками, движущимися в периодической замедляющей си-
системе // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 1. С. 83.
25. Tarakanov V.P. User's manual for code KARAT. - Springfield, VA:
BRA, 1992.
26. Мчедлова Е. С, Трубецков Д.И. Излучение потока взаимодействую-
взаимодействующих малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы // Пись-
Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19, № 24. С. 26.

Сверхизлучение в вакуумной СВ Ч-электронике 207
27. Мчедлова Е.С., Трубецков Д.И. Особенности излучения в цепочках
связанных малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы //
ЖТФ. 1994. Т. 64, № 10. С. 158.
28. Мчедлова Е.С. Феноменологическая модель электронной турбу-
турбулентности II Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 10-я зим-
зимняя школа-семинар. Кн. 2. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж;»,
1996. С. 107.

Лекция 4A9)
СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ПЛАЗМЕННАЯ
ЭЛЕКТРОНИКА
В последнее время плазма как особое агрегатное
состояние вещества привлекает особое внимание
широкого круга исследователей... Новые...
... свойства плазмы предлагают использовать
для решения важных научно-технических задач.
Так, путем нагрева плазмы до температур
порядка миллионов градусов стремятся осуще-
осуществить управляемые термоядерные реакции...
... аконец, волноводные и резонансные свойства
плазмы стремятся использовать для создания
приборов, способных генерировать и усиливать
электромагнитные колебания в миллиметровом
и субмиллиметровом диапазонах радиоволн.
Г. А. Бернашевский, З.С. Чернов.
Предисловие к сб. статей «Колебания
сверхвысоких частот в плазме», М.:
Изд-во иностранной литературы,
1961, с. 5.
Плазменно-пучковая неустойчивость и нерелятивистская плаз-
плазменная сверхвысокочастотная электроника. Плазменная СВЧ-элек-
троника: релятивистский виток. Пучково-плазменные СВЧ-лампы
с длительным взаимодействием. Пазотрон. Лазеры на свободных
электронах с плазменным заполнением.
В последние годы словосочетание «плазменная СВЧ-электроника»,
начавшее забываться с конца 60-х — начала 70-х годов, вновь замель-
замелькало на страницах журналов и в программах конференций. Список
обзорных статей и книг по плазменной сверхвысокочастотной элек-
электронике уже достаточно велик и представителен [1-13, 99]. Возобнов-
Возобновление исследований в этой области и их быстро нарастающее коли-
количество связано с созданием сильноточных электронных ускорителей,
успешно используемых в вакуумной релятивистской электронике для
генерации импульсов мощного электромагнитного излучения. Возврат
к идее генерации сверхвысокочастотного излучения при взаимодей-
взаимодействии плазма-пучок связан с целым рядом уникальных свойств та-
таких систем. Перечислим основные преимущества приборов плазменной

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 209
СВЧ-электроники, далее подробно остановившись на них при изложе-
изложении материала лекции.
1. Большой коэффициент усиления электромагнитных волн на еди-
единицу длины (порядка 15дБ/см).
2. Поля в системе плазма-пучок незначительно изменяются по по-
поперечному сечению, что позволяет использовать более широкие пучки
(в плазменно-наполненной системе нет частотной зависимости от по-
поперечного сечения), чем в вакуумных приборах в том же частотном
диапазоне.
3. Поскольку отсутствует опасность плавления замедляющих си-
систем, требования к фокусировке электронного пучка менее жесткие
и можно применять более слабые магнитные поля — меньший вес
и габаритные размеры соответствующих приборов и устройств.
4. Пункты 2 и 3 позволяют получить более высокие КПД и мощность
усиления и генерации электромагнитного излучения
5. В пучково-плазменных системах существует возможность про-
продвижения в миллиметровый и субмиллиметровый диапазоны длин
волн.
6. Возможность продвижения в область больших токов пучков, ко-
которые ограничены в вакуумной релятивистской электронике простран-
пространственным зарядом электронов, причем существует предельный ток
пучка, выше которого транспортировка пучка через пространство вза-
взаимодействия невозможна [7-10]. Пучки с током большим предельного
могут распространяться только при наличии нейтрализации простран-
пространственного заряда электронов, что достигается заполнением системы
относительно плотной (по сравнению с плотностью пучка) плазмой.
7. Возможность увеличения эффективности энергообмена пучка
с возбуждаемой волной и повышения КПД благодаря самосогласо-
самосогласованному изменению параметров плазмы и дисперсионных характери-
характеристик электродинамической структуры на нелинейной стадии взаимо-
взаимодействия.
В данной лекции рассмотрим некоторые основные положения плаз-
плазменной сверхвысокочастотной электроники. Заметим, что количество
исследований, выполненных в области плазменной электроники, очень
велико. Поэтому в лекции мы ограничимся, главным образом, работа-
работами, в которых проведенные исследования были доведены до создания
приборов с приемлемыми для СВЧ-электроники характеристиками,
т.е. до приборов, конкурентноспособных в сравнении с вакуумными
СВЧ-приборами.
В начале лекции рассмотрим явление плазменно-пучковой неустой-
неустойчивости и обсудим некоторые идеи и приборы нерелятивистской плаз-
плазменной электроники. Далее остановимся на результатах теоретиче-
теоретических и экспериментальных исследований в области релятивистской
плазменной СВЧ-электроники, опираясь, в первую очередь, на рабо-
работы [7-11]. В конце лекции остановимся на таких современных только
14 Трубецков, Храмов

210 Лекция 4 A9)
начинающих развиваться направлениях исследований в плазменной
СВЧ-электронике как плазменно-наполненные приборы с длительным
взаимодействием О-типа, пазотроны и лазеры на свободных электронах
с плазменным заполнением.
Плазменно-пучковая неустойчивость
и нерелятивистская плазменная сверхвысокочастотная
электроника
Предшественницей релятивистской плазменной СВЧ-электроники
была нерелятивистская плазменная электроника, развитие которой
приходится на период с 1950 по 1970 гг., причем количество вы-
выполненных за это двадцатилетие исследований было огромно. Плаз-
Плазменная СВЧ-электроника зародилась в 1949 г. после первых работ
А.И. Ахиезера и Я.Б. Файнберга х) [14] в СССР и Д. Бома и Е. Гросса
[15] в США, в которых было теоретически предсказано явление плаз-
менно-пучковой неустойчивости. Оно состоит в «раскачке» моноэнерге-
моноэнергетическим электронным пучком электромагнитных колебаний в плазме
и преобразовании кинетической энергии электронов в энергию плаз-
плазменных колебаний. Физическая причина неустойчивости — индуциро-
индуцированное черенковское излучение быстрыми электронами пучка медлен-
медленных электромагнитных волн в плазме (плазменных волн). В первых
работах [14,15] пучковая неустойчивость была обнаружена при анализе
дисперсионного уравнения
ио (ш — к и)
которое соответствует модели моноэнергетического электронного пуч-
пучка, взаимодействующего с продольными (потенциальными) колеба-
колебаниями изотропной плазмы. В уравнении D.1) ир = ^e2np/г^т —
ленгмюровская частота электронов плазмы с плотностью пр, а ц =
= ^/е2пь/ботп — ленгмюровская частота электронов пучка с плот-
плотностью пь и продольной скоростью и < с, где с — скорость света
в вакууме.
В предположении малой плотности пучка пь ^> пр из уравнения
D.1) легко получается частота и инкремент возбуждаемых пучком
плазменных колебаний
, 7 -1+jVS [пьЛ1 (А оч
д = и; — ки = и; — ujp = I I Up. D.2)
2 \2прJ
Из последнего соотношения следует, что пучок возбуждает колебания,
частота которых близка к плазменной частоте ljp, а фазовая скорость
г) Заметим, что впервые работа А.И. Ахиезера и Я.Б. Файнберга была
помещена в отчете Украинского физико-технического института (УФТИ)
в 1948 г.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 211
близка к скорости пучка; инкремент нарастания колебаний весьма вы-
высок и всего лишь в (пр/пьI^3 раза меньше частоты.
Высокая частота колебаний (при пр = 1012 см~3 ир = 5,5 • 1010 с,
т.е. длина волны Л = Зсм, что соответствует СВЧ-диапазону), воз-
возможность ее изменения в широких пределах путем изменения плот-
плотности плазмы пр, а также очень большой инкремент нарастания (при
пь = 109см~3, что при сечении пучка ~ 1см2 и энергии инжекции
электронов ? = 30 кэВ соответствует току пучка 1ь = 1,5 кА, временной
инкремент Im 5 = 3 • 109 с, а пространственный — Im 5k = 0,5 см),
сразу же привлекли внимание многих физиков на предмет создания
на основе плазменно-пучкового взаимодействия новых типов генерато-
генераторов и усилителей электромагнитного излучения СВЧ-диапазона. Под-
Подчеркнем, что возникший интерес был «подогрет» экспериментальным
доказательством в Харьковском и Сухумском физико-технических ин-
институтах, а также за рубежом, высокой эффективности коллективно-
коллективного взаимодействия электронного пучка с плазмой. Пучок электронов
весьма эффективно терял свою энергию (более 30 %) и уже на очень
малых расстояниях от места инжекции «застревал» в плазме. Так
в 50-х годах зародилась плазменная электроника, которая в то время
была нерелятивистской [1]. Разработчики электронных СВЧ-устройств
обратились к плазменной электронике в первую очередь потому, что
увидели в ней возможность продвинуться в область миллиметровых
и субмиллиметровых длин волн. В этой области резонаторы и замед-
замедляющие системы становятся столь миниатюрными, что затрудняет их
изготовление даже при современной технологии, возрастают потери
электромагнитной энергии, увеличиваются трудности теплоотвода (по-
(последнее может приводит к плавлению элементов электродинамических
систем) и т. п. Использование плазмы позволило отказаться от сложных
в изготовлении резонаторов и замедляющих систем — достаточно было
использовать гладкие системы типа волноводов, поскольку плазма са-
сама имеет спектр собственных колебаний и волн, зависящий в основном
от ее плостности, диаметра плазменного столба и внешнего магнитного
поля (см., например, [16, 17]). Электронный пучок мог эффективно
взаимодействовать с этими плазменными колебаниями и волнами.
Практически все перечисленные во введении преимущества плаз-
плазменной электроники были экспериментально подтверждены в санти-
сантиметровом диапазоне длин волн г).
г) Большая часть теоретических и экспериментальных работ того времени
по расчету и созданию приборов была выполнена в СССР авторами книги
[16]. Об авторитете этой группы исследователей за рубежом может свиде-
свидетельствовать публикация «О советских работах по использованию плазмы
для усиления СВЧ-колебаний» [18], в которой давалось краткое изложение
доклада З.С. Чернова и Г.А. Бернашевского, прочитанного на Международ-
Международном симпозиуме в Нью-Йорке по электромагнитным свойствам и колебаниям
плазмы.
14*

212 Лекция 4 A9)
Однако трудности резко возрастали при переходе в миллиметровый
диапазон длин волн [1,16], при этом они усугублялись тем, что исследо-
исследователи занимались созданием только усилителей СВЧ-излучения. Дело
в том, что для ввода ВЧ-сигнала в плазму и вывода его из плазмы
приходилось использовать все те же мелкоструктурные электродина-
электродинамические системы. Не решена была в те годы и проблема создания
устойчивой плотной плазмы с необходимой концентрацией. Для усиле-
усиления и генерирования миллиметровых волн нужна высокоионизирован-
ная стабильная плазма с плотностью 1014 -г- 1015см~3, с собственной
частотой порядка 3 ГГц и с размерами от нескольких миллиметров до
десятых долей миллиметров. Это означает, что необходимо создавать
плазму с размерами, во много раз превышающими величину ее соб-
собственного бесстолкновительного скин-слоя:
2nfp 2n \Рр [см
1П9
10
]
/2 [м].
При этом появляются значительные флуктуации, и создавать и под-
поддерживать устойчивую плазму такой плотности весьма непросто.
Поэтому созданные усилители были неустойчивы к самовозбужде-
самовозбуждению и имели весьма высокий коэффициент шума, из-за большой часто-
частоты столкновений даже сравнительно низкочастотные усилители обла-
обладали высокими потерями [1]
В 1966 г. появилось первое сообщение о создании сильноточного
электронного ускорителя [19], а в 1970 г. с помощью сильноточного пуч-
пучка релятивистских электронов была осуществлена генерация СВЧ-ко-
лебаний [20]. Последующие работы привели к созданию высокочастот-
высокочастотной вакуумной релятивистской электроники и релятивистскому витку
плазменной СВЧ-электроники.
Если говорить о развитии вакуумной релятивистской электроники,
то можно сказать, что она много с пользой позаимствовала и заимству-
заимствует у своей нерелятивистской предшественницы. Таким же путем идет
и релятивистская плазменная электроника, поэтому весьма важным
является вопрос о том, что сделано в нерелятивистской высокоча-
высокочастотной плазменной электронике. Очевидно, что теорию релятивист-
релятивистских плазменных приборов можно свести к теории слаборелятивист-
слаборелятивистских аналогов г), а многие из оригинальных конструктивных решений
использовать в сильноточных устройствах. Поэтому кратко рассмот-
рассмотрим в этом разделе некоторые приборы нерелятивистской плазменной
СВЧ-электроники.
Плазменные аналоги клистронных приборов. Уже без де-
детального анализа разумно предположить, что система плазма-пучок
х) Более того, в тех случаях, когда плазму можно считать линейной средой,
теорию релятивистских плазменно-пучковых приборов можно свести к тео-
теории соответствующих релятивистских вакуумных устройств. Для черенков-
ских СВЧ-приборов в ультрарелятивистском пределе это показано в работе
[21].

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 213
может быть автоколебательной: плазма обладает набором собственных
мод, а электронный пучок может быть источником энергии для под-
поддержания незатухающих колебаний.
Раньше других были открыты и изучены колебания ограничен-
ограниченной плазмы, которые зависят от существования колебательных сло-
слоев в плазме вблизи окружающих ее электродов. Колебательные слои
в плазме были открыты в связи с так называемым «парадоксом Ленг-
мюра» (так назвал возникающее явление Габор), состоящем в сильном
рассеянии электронов пучка (наличие электронов с большими скоро-
скоростями) и их «максвеллизация» (установление максвелловского распре-
распределения по скоростям) в положительном столбе газового разряда. Ни
столкновения, ни кулоновские силы не могут обеспечить столь сильный
обмен энергией между электронами, который приводил бы к этим явле-
явлениям. Оказалось, что эти явления связаны с существованием больших
градиентов потенциала в колеблющихся слоях плазмы.
ВЧ-поле колеблющегося слоя плазмы играет для электронного пуч-
пучка роль ВЧ-поля входного или выходного зазора клистрона. Колеблю-
Колеблющиеся слои располагаются, как правило, у поверхности катода, сеток,
коллектора (отражателя), что и позволяет интерпретировать работу
соответствующих плазменных генераторов как аналогов пролетного
и отражательного клистронов. Когда существует два колеблющихся
слоя, например, у сетки и коллектора, то это эквивалентно входно-
входному и выходному ВЧ-зазорам; обратная связь осуществляется за счет
отражений от границ слоев. Когда колеблющийся слой один и есть
отраженный поток электронов, входной и выходной зазоры совпадают
(аналог отражательного клистрона).
Наиболее четкие эксперименты здесь принадлежат Вехнеру [22].
«Генератор Вехнера заслуживает внимание как один из немногих
приборов, неожиданно возникающих из плазменных исследований»
[23]. Он генерирует мощность порядка нескольких ватт на частоте
~ 1 -г- 10 ГГц. Первоначальный электронный пучок возникает из низ-
низкотемпературной, несветящейся плазмы в сеточном катоде и возвра-
возвращается отражателем. Вехнер использовал газовый разряд в ртутных
парах, стабилизированный явлением отрицательной сетки. Если отри-
отрицательное напряжение на сетке растет с увеличением анодного тока,
то разряд стабилизируется, и можно подавать анодные напряжения до
500 В (обычно напряжение разряда ~ 12 В). Схема генератора Вехнера
показана на рис. 4.1 а.
Вблизи поверхности сетки и отражателя образуются плазменные
слои (разность потенциалов ~ 1 кВ через слой). То, что генерация свя-
связана с существованием этих слоев, подтверждают измерения плотности
плазмы вдоль пространства взаимодействия (рис. 4.16). Во-первых,
частоты генерации хорошо совпадают с плазменными, вычисленными
по результатам измерений. Во-вторых, плотность, соответствующая
определенной частоте, может быть только в одной или двух точках про-
пространства, что соответствует одному или двум колебательным слоям.
Как возникает плазменный слой и как он «работает»? Когда колеба-
колебаний нет, между плазмой и электродом находится ионный слой; форма

214
Лекция 4 A9)
Катодный экран
Катод
1,5 А \ Отражатель
Анод
Графитовая сетка
О 5 10 15 20
б Расстояние от сетки в мм в
3 /ГГц
Рис. 4.1. Схема генератора Вехнера (а); распределение плазмы вдоль оси
анода генератора (б); частотные характеристики генератора Вехнера (в)
кривой распределения потенциала в области плазма-электрод плав-
плавная: потенциал стремится к потенциалу электрода, становясь все более
отрицательным. Сместим теперь все электроны в слое Ах плазмы,
примыкающей к анодному слою. Распределение потенциала изменит-
изменится и возникнет потенциальная яма. Смещенные электроны начинают
«скатываться» в нее, проскакивают положение равновесия и смеща-
смещаются вправо от него. Так появляется колебательное движение около
этого положения и возникает переменное поле. Для осуществления ге-
генерации важной становится уже конструкция лампы, а именно наличие
отражателя. Он может работать двумя способами.
1. Отражатель обеспечивает существование около своей поверхно-
поверхности второго колебательного слоя. Тогда электронный поток, промоду-
лированный присеточным колеблющимся слоем, группируется в «про-
«пространстве дрейфа» и отдает энергию приотражательному слою (аналог
пролетного клистрона).
2. Есть только присеточный колеблющийся слой. Отражатель воз-
возвращает электроны, сгруппированные в пространстве торможения,
и они отдают энергию тому же пристеночному слою (аналог отража-
отражательного клистрона).

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 215
В силу сказанного частотная характеристика может быть рассчи-
рассчитана с учетом аналогии с клистронным механизмом взаимодействия.
Так для пролетного клистрона условие самовозбуждения, накладыва-
накладываемое на угол пролета, имеет вид во = 2тг(п =F 1/4), где знак « —» (п =
= 1,2,3...) соответствует синфазным колебаниям, « + » (п = 0,1, 2 ...
...) — противофазным; для отражательного клистрона во = 2тг(п —
— 1/4). Здесь все соотношения выписаны для центра зоны колебаний.
Экспериментальные частотные характеристики плазменного генера-
генератора типа пролетного клистрона представлены на рис. 4.1 в. Харак-
Характеристики генератора следующие. Максимальная выходная мощность
^вых,тах = 4 Вт при Л = 15 см с КПД г] = 0,04. Самая короткая длина
волны, полученная в эксперименте, составляла Amin = 6,5 см.
Колебания в плазме существуют и при отсутствии ионных слоев
у электродов [24,25]. В этом случае имеет место взаимодействие элек-
электронного потока с попутной волной, а обратная связь осуществляется
за счет отражений от границы плазмы. Это соответствует клистрону
с распределенным взаимодействием [26]. Соответствующий экспери-
эксперимент изложен в работе [24]. Плазма, создаваемая в кварцевой колбе
(нет металлических отражающих поверхностей) возбуждалась пучком
электронов с энергией 80 кэВ и током 1 А в импульсе длительностью
2 мкс. Колебания имели место при длине колбы 20 см.
Плазменные аналоги карсинотронов — ламп с обратной
волной. Поскольку в плазме возможно распространение волн, у ко-
которых направление фазовых и групповых скоростей противоположны,
были предприняты попытки создания плазменных ламп с обратной
волной [16,27-29], в которых реализуется абсолютная неустойчивость
в системе плазма-электронный пучок. В частности, обратные волны
имеют место в волноводе, заполненном плазмой, которая находится
в магнитном поле конечной величины [16,17]. Обратным волнам соот-
соответствуют две области частот:
ир < и < (up1 + <^I/2 для ис < ир D.3)
и
ис < и < (и2р + и1I!2 Для ис > Up, D.4)
где Up — ленгмюровская частота электронов плазмы, ис — циклотрон-
циклотронная частота, и — частота генерации. Соответствующие дисперсионные
кривые приведены на рис. 4.2.
Как видно из рис. 4.2 при выполнении условий D.3) возможно
создание генератора на аномальном эффекте Доплера, когда обратная
волна плазмы синхронна с медленной циклотронной волной в пучке
(рис. 4.2 а), а при выполнении условия D.4) — с медленной волной
пространственного заряда в пучке (рис. 4.2 6). В последнем случае,
поскольку иь <С ир (иь — ленгмюровская частота электронов пучка),
можно считать, что шйЬи имеет место черенковское излучение.
Экспериментальные работы [16, 27, 28] подтвердили существова-
существование взаимодействия электронного потока с объемной обратной вол-

216
Лекция 4 A9)
Рис. 4.2. Дисперсионные характеристики волновода, заполненного плазмой:
зависимость ш(к), соответствующая случаю ujp > ujc (а) и ujp < ujc (б). В за-
заштрихованной области возможен синхронизм пучка (си = к и) или медленной
циклотронной волны в пучке ш = ки — иос или медленной волны простран-
пространственного заряда в пучке ш = ки — иоъ с обратной плазменной волной (груп-
(групповая скорость duj/dk < 0, когда фазовая скорость со/к > 0). При больших
к пучок (о; = ku-i) может оказаться в синхронизме с объемной плазменной
волной с нормальной дисперсией, причем uj и ujp
ной в плазме в полосе частот, определяемой неравенством D.4) (см.
рис. 4.2 6). В более поздней работе [29] была экспериментально об-
обнаружена абсолютная неустойчивость в системе электронный пучок-
плазма в магнитном поле (пусковой режим генератора соответство-
соответствовал синхронизму медленной волны пространственного заряда в пучке
и обратной волны в плазме). Все эти эксперименты проводились на
макетах с непрерывной откачкой и носили демонстрационный харак-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
217
тер. Наиболее интересный результат их состоял в том (см., например,
[16]), что на макете с фиксированными геометрическими размерами
наблюдались колебания с разными длинами волн (порядка 10 см и 3 см)
при изменении тока пучка и магнитного поля. В работе [27] при ис >
> и были получены также колебания, слабо зависящие от магнитного
поля и соответствующие ветви дисперсионной кривой с нормальной
дисперсией. Возбуждение колебаний наблюдалось при больших к на
частотах близких к ир (см. рис. 4.2 б). Авторы не объясняют механизм
обратной связи, указывая лишь на наличие синхронизма пучка с объ-
объемной плазменной волной с нормальной дисперсией.
В экспериментальной работе [30] был исследован макет генератора,
в котором электронный поток взаимодействовал с поверхностной плаз-
плазменной обратной волной, обнаруженной в [31]. Плазменный волновод,
в котором существуют обратные
поверхностные несимметричные мо-
моды колебаний, показан на встав-
вставке рис. 4.3. Если плазма изотроп-
изотропна, то существует бесконечный на-
набор поверхностных мод, энергия ко-
которых сосредоточена вблизи грани-
границы стекло-плазма. В отличие от
рассмотренных выше объемных мод
они могут возбудиться при нулевом
внешнем магнитном поле. Все ком-
компоненты ВЧ-полей n-й моды име-
имеют азимутальную зависимость ви-
вида cosn</?, а продольная компонен-
компонента электрического ВЧ-поля Ez име-
имеет радиальную зависимость внутри
плазмы — 1п(кг), где 1п — мо-
модифицированная функция Бесселя
n-го порядка, где к — волновое чис-
число n-й моды, г и z — радиаль-
радиальная и продольные координаты соот-
соответственно. В продольном направле-
направлении все компоненты поля изменяют-
изменяются по закону e~jkz. Как видно из показано на вставке. Волновод
рис. 4.3 в сравнительно узкой по-
полосе частот существуют медленные
обратные волны (моды п = 1 и п =
= 2). Прибор с непрерывной откач-
откачкой содержал область плазмы, отде-
отделенную от электронной пушки двумя
областями перепада давления с про-
промежуточной откачкой между ними
[30]. Такая конструкция позволила
сделать прибор коротким, чтобы исключить даже слабое фокусиру-
фокусирующее магнитное поле. В эксперименте были получены колебания на
0,2-
Рис. 4.3. Дисперсионные харак-
характеристики для мод п = 0,1,2,
которые распространяются
в плазменном волноводе,
поперечное сечение которого
однороден вдоль оси z,
= шр/у/1 + s2/si , si и s2 —
диэлектрические проницаемости
воздуха и стекла соответственно;
e2/ei = 4,82, Ь/а = 1,17,
с/а = 1,9. На вставке ось z
направлена за чертеж; 1 —
металл, 2 — воздух, 3 — стекло,
4 — плазма

218 Лекция 4 A9)
обратной волне с А ~ Зсм. Максимальная выходная мощность состав-
составляла 1 Вт при весьма низком КПД, ширина спектра генерируемых
частот была больше 100 МГц. Пусковой ток равнялся 0,1 А.
Упомянутые работы (см. также список литературы в [16]) исчерпы-
исчерпывают известные исследования по созданию плазменных аналогов ЛОВ.
Достигнутые результаты не соответствовали ваккумным аналогам да-
даже того времени. Это видимо связано с тем, что в системе плазма-
пучок легко возбуждались многие виды колебаний: ионные, на прямых
и обратных медленных волнах, возбуждаемые электронами-осцилля-
электронами-осцилляторами в магнитном поле и т. д. Много усилий тратилось на инденти-
фикацию возникших колебаний. Кроме того, как мы уже указывали,
в нерелятивистской плазменной электронике больше интересовались
усилителями, чем генераторами.
Плазменный аналог усилительной лампы бегущей волны.
В приборах этого типа использовалось длительное взаимодействие
электронного пучка с синхронной медленной электромагнитной волной
в плазменном волноводе (плазменные лампы с бегущей волной) 1).
Интерес представляли, в первую очередь, объемные волны, у которых
напряженность продольной компоненты электрического поля макси-
максимальна на оси волновода (дисперсионные кривые в нижней полосе на
рис. 4.2). Эквивалентное сопротивление связи для таких волн на не-
несколько порядков больше, чем для спиральной замедляющей системы
[16], что позволило уменьшить рабочую длину лампы. Плазменный
волновод можно было перестраивать по частоте (перестраивать об-
область усиливаемых частот), изменяя параметры плазмы и величину
фокусирующего магнитного поля.
Схематически плазменная ЛБВ представлена на рис. 4.4. Плазма
с необходимой концентрацией, которая пронизывается электронным
потоком, создается системой электродов разряда (ее может создавать
и сам электронный поток за счет ионизации). Для введения ВЧ-сиг-
нала в плазму и вывода из нее усиленного сигнала используются со-
соответствующим образом согласованные отрезки спирали, замедление
которых такое же как замедление волны в плазме. Возбужденная та-
таким образом в плазме медленная электромагнитная волна эффективно
взаимодействует с электронным потоком, если его скорость близка
к фазовой скорости продольной электрической компоненты этой волны
и несколько превосходит ее. Как и в вакуумной ЛБВ имеет место инду-
индуцированное черенковское излучение электронов. Для предотвращения
возбуждения усилителя за счет отражения от элементов связи преду-
предусмотрены локальный поглотитель — отрезок спирали с поглощающим
покрытием (большое локальное затухание).
В качестве примера приведем экспериментальные характеристики
плазменной ЛБВ, описанной в работе [39].
г) Наиболее полно такие приборы были исследованы в СССР [16,32,33].
Зарубежные исследования отражены в материалах конференций [34-38].

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
219
2 3
1
G,
30
20
10
0
j
1
1
\
,0
1
1
1,
\2
1
2
10
1,4
з,Вт
\
1,
6
мВт)
Рис. 4.4. а — схематическое изображ:ение плазменной ЛБВ: 1 — электронная
пушка; 2 — катод разряда; 3 — анод разряда; 4, 5 — входной и выходной
спиральные элементы связи; 6 — плазма; 7 — локальный поглотитель; 8 —
электронный пучок; 9 — коллектор, б — зависимость коэффициента уси-
усиления G плазменной ЛБВ от частоты / при различных значениях тока
электронного пучка: 1 — 5,6 мА; 2 — 7,0 мА; 3 — 8,0 мА; 4 — 9,0 мА. Длина
пространства взаимодействия / = 20 см, длина спиральных элементов связи
1\ = 1 см, напряженность магнитного поля 1 кГс. в — коэффициент усиления
G в зависимости от скорости пучка г^о электронного пучка (г^о = y2(e/m)Vo ,
Vb — ускоряющее напряжение) при различных значениях тока пучка: 1 —
6,0 мА; 2 — 7,0 мА; 3 — 10,0 мА. Частота усиливаемого сигнала 4,2 ГГц, / =
= 10 см, 1\ = 1,8 см. г — зависимость выходной мощности Ръых от мощности
входного сигнала Рвх

220 Лекция 4 A9)
Макет, подобный, изображенному на рис. 4.4 а, был наполнен пара-
парами ртути, и поток электронов сам создавал плазму за счет ионизации
газа на всей длине пролета. Величина максимального коэффициента
усиления порядка 60 -г- 70 дБ (см. рис. 4.4 б, при токе пучка в несколько
миллиампер частота ир ~ 4ГГц). Когда в пространстве взаимодей-
взаимодействия не было паров ртути (не было плазмы) коэффициент усиления
изменялся от —10 дБ до нуля. При увеличении тока пучка кривые на
рис. 4.4 б смещались в сторону больших частот, поскольку возрастала
плотность плазмы.
Зависимость коэффициента усиления G от скорости vq электронно-
электронного пучка (рис. 4.4 в) имеет вид, типичный для любых ЛБВ: максималь-
максимальное значение величины G достигается при vq близкой к фазовой скоро-
скорости Уф медленной волны в плазме, но при vq немного больше Уф, при
появлении значительного рассинхронизма, коэффициент усиления па-
падает. При токах пучка > 10 мА была обнаружена вторая область усиле-
усиления, для которой vq значительно превосходит синхронную. Возможно,
что эта область определяется интерференционным (крестатронным)
усилением в ЛБВ [40], хотя при таком объяснении остается неясным,
почему второй максимум на рис. 4.4 в больше «синхронного» г).
Амплитудная характеристика плазменной ЛБВ (рис. 4.4 г) также
имеет вполне стандартный вид. Однако авторы работы [39] указывают
на ряд установленных ими особенностей. Главная из них — эффект
насыщения выходной мощности связан не только с нелинейным меха-
механизмом, обычным для ЛБВ (колебания сгустка в потенциальной яме
[26]), но и с тем, что колеблющиеся электроны плазмы после приобрете-
приобретения определенной амплитуды сами способны производить ионизацию.
При этом увеличивается плотность плазмы, меняется рабочая точка,
становясь сильно зависящей от уровня входной мощности.
Главный недостаток плазменной ЛБВ — опять-таки малоэффек-
малоэффективные в данном случае элементы связи в виде отрезков спиральных
замедляющих систем.
Нелинейная теория плазменной ЛБВ изложена в работах [32,33].
При выводе основных уравнений предполагалось, что температура
плазмы и пучка равна нулю, плазма — линейная и однородная среда —
помещена в постоянное фокусирующее магнитное поле. Плазма пол-
полностью заполняет металлический цилиндрический волновод радиуса
а, вдоль которого движется электронный пучок радиуса Ь. Решается
самосогласованная задача, основными уравнениями которой являются
уравнение возбуждения плазменного волновода электронным током
и уравнение движения электронов в поле медленной плазменной элек-
электромагнитной волны и поле кулоновских сил.
В предположении разделения Е и Н волн в плазменном волноводе
было получено уравнение для продольной компоненты электрического
поля, решенное методом функций Грина. Как и в нелинейной теории
г) Ясно лишь, что при напряжениях > 1200 В и токах > 10 мА увеличива-
увеличивается плотность плазмы.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 221
вакуумной ЛБВ (см. [41]) полное поле было разделено на поле бегущей
электромагнитной волны Ez и поле кулоновских сил ЕП3. Для основ-
основного типа колебаний в плазменном волноводе [32] можно записать
n = 1,2,... целая часть < ^—^—— > ,
I ш J
где п — номер гармоники х) , jn = у/- (ern/ezn) к (к8 = р8/а, Jo(ps) =
= 0, Jo — функция Бесселя нулевого порядка, к соответствует s = 1, т. е.
основному типу колебаний в плазменном волноводе), srn,szn — зна-
значения радиальной и продольной компонент тензора диэлектрической
проницаемости на частоте пи, гп — комплексная амплитуда n-й гармо-
гармоники тока, Кп — 1207r/Gra2jnkonJf(p)) — аналог сопротивления связи
в случае равномерного распределения тока по радиусу пучка (ко = и)/с,
р = ps при s = 1, J\ — функция Бесселя первого порядка). В отличие от
вакуумной в плазменной ЛБВ сопротивление связи возрастает с увели-
увеличением частоты, поэтому (несмотря на крутую дисперсию) необходимо
учитывать все гармоники, для которых п ^ целая часть
J\ т\п(иор,иос) \
I ш )
Выражение для поля пространственного заряда внешне совпадает
с используемым в теории вакуумной ЛБВ и имеет вид 2)
ЕПЗ = V , Г-^ , D.6)
где Sn — эффективная площадь сечения пучка, Гп — коэффициент
депрессии на частоте пи. Для плазменного волновода в полосе частот,
где распространяются медленные волны,
тл -1 / (пал (. ^ч
Гп = 1 ezn= \2J 2. D.7)
(пш) -шр
Как следует из выражения D.7), коэффициенты депрессии могут при-
принимать отрицательные значения, кроме того, при пи —у ир Гп —у ос.
Отрицательные коэффициенты депрессии связаны с зарядами, наве-
наведенными в плазме. Последние при и < ир компенсируют силы растал-
расталкивания электронов пучка в сгустках и способствуют сжатию их. Это
наиболее существенно отличает плазменную ЛБВ от вакуумной. Если,
следуя работе [32], перейти к безразмерным величинам, то рабочие
w ^ ( mm (cxjp,cxjс) \
) Условие п ^ целая часть < ^—*- > связано с тем, что в плазмен-
I " J
I J
ном волноводе с металлическими стенками медленные прямые волны могут
распространяться лишь на частотах па; < гшп(а;р, ujc).
2) В работе [33] получено и более строгое выражение для Е^з, основанное
на модели жестких дисков и справедливое при ujc ф 0 и а ф Ь.

222
Лекция 4 A9)
Рис. 4.5. Распределение амплитуд первой, второй и третьей гармоник поля
бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (а), распределе-
распределение амплитуды поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодей-
взаимодействия (б)
уравнения нелинейной теории плазменной ЛБВ запишутся следующим
образом:
где
1 27r
, In = - J ejn<|)
. г„
влета электрона в пространство взаимодействия, Fn3n = jq-^In^71^\
q = —2~V — параметр пространственного заряда, ире — плазменная
частота электронного пучка, Сп — параметр усиления на частоте
пи, Ьп — параметр рассинхронизма электронов и волны на частоте
пи. Уравнение D.8) — уравнение возбуждения только для попутной
с пучком волны, уравнение D.9) — уравнение движения электронов
в поле попутной волны и в поле пространственного заряда. По
внешнему виду система уравнений D.8) и D.9) такая же как и для
вакуумной ЛБВ. Однако из-за отрицательных значений коэффициента
депрессии результаты должны быть иные.
Численные расчеты показали, что КПД плазменного аналога ЛБВ
может быть порядка 0,6 при С\ = 0,25; длина, на которой достигается
эффект насыщения мощности, значительно меньше, чем в вакуумной
ЛБВ. Доказано, что, помимо основной гармоники, в плазменной ЛБВ
возбуждаются и все высшие гармоники, которые попадают в поло-
полосу распространения прямых медленных волн. В качестве примера на
рис. 4.5 а представлены зависимости безразмерных амплитуд трех гар-
гармоник поля (они попали в полосу распространения) от безразмерной

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 223
длины пространства взаимодействия [33]. При выбранных параметрах
(cj/cjp = 0,3, иос/иор = 1,1, q = -0,14, Г2/Г1 = 2,4, Г3/Г1 = 3,3, d =
= 0,11, 61 = 62 = 1,5, C2 = 0,12, C3 = 0,187, 63 = 4,6) КПД в точке
насыщения первой гармоники равен 771 — 0,41, rj2 = 0,005 и rjs = 0,01,
* 2
( )
На рис. 4.5 ? распределение поля по длине волновода приведено для
случая, когда вторая гармоника попадает в запретную полосу частот
и не возбуждается. Однако из-за весьма эффективного взаимодействия
пучка с наведенными в плазме зарядами модуляция тока на второй
гармонике возрастает. Амплитуда поля довольно быстро «насыщается»
на сравнительно низком уровне, а затем начинает падать (см. рис. 4.5 б).
Взаимодействие пучка с наведенными зарядами на второй гармонике
мешает отдавать ему энергию ВЧ-полю на основной частоте.
Проблема ввода и вывода энергии в системе плазма-
электронный пучок. Уже неоднократно указывалось, что, по-
видимому, основным затруднением нерелятивистской плазменной
электроники являются элементы ввода и вывода энергии в электронно-
плазменных приборах. Обычные способы создания таких элементов
при продвижении в коротковолновый диапазон сводили на нет все
преимущества систем плазма-пучок. Нужны были конструкции, не
содержащие мелкоструктурных элементов.
Например, предложенный в работе [42] элемент, представляет собой
цилиндрический резонатор, заполненный плазмой, плотность которой
в продольном направлении изменяется по синусоидальному закону. По-
Поскольку электронный поток должен проходить вдоль оси z резонатора,
то при соответствующей конфигурации поля пучок можно эффективно
модулировать по скорости (входной элемент). Исследования показали,
что на низших типах ТМ-колебаний (при отсутствии плазмы возбу-
возбуждается ТМ-вид колебаний цилиндрического резонатора), поле мак-
максимально в центре резонатора и величина максимума увеличивается
при приближении резонансной частоты резонатора к максимальной
плазменной частоте. Понятно, что сгруппированный пучок в таком
резонаторе также будет эффективно возбуждать ВЧ-поля (выходной
элемент). Изменение плотности плазмы в продольном направлении
в резонаторе эквивалентно наличию трубок дрейфа в обычном резо-
резонаторе клистрона, где трубки дрейфа, нагружая емкостным образом
резонатор, уменьшают его резонансную частоту по сравнению с ци-
цилиндром. В резонаторе же с плазмой с увеличением плотности плазмы
размер резонатора нужно увеличивать, чтобы удержать постоянной ре-
резонансную частоту. Очевидный выигрыш достигается в мм-диапазоне
длин волн.
Предлагался и плазменно-лучевой генератор с непосредственным
излучением на частоте примерно вдвое больше плазменной [1].
Это уже совсем «близкий родственник» приборов релятивистской
плазменной электроники. Идея состояла в следующем. Два про-
противоположно направленных электронных пучка проходят через

224 Лекция 4 A9)
плазму и переносят волновые возмущения вида exp [j(u)it — k\z)]
и exp [j(oJ2~k — k2z)]. За счет связи волн в плазме возникает возмущение
exp [j {{u\ + U2)t — {k\ — k2)z}]. Если u\ = и2, то в плазме возмущение
изменяется как exp [j {Buit — (k± — /^2)^}]- Пусть k\ и /^ выбраны
так, что Re {2и/(к± — /^2)} > с (с — скорость света в вакууме).
Тогда в плазме возбуждается быстрая волна, которая излучается
непосредственно на частоте второй гармоники.
В заключение этого раздела заметим, что с возможностью исполь-
использовать сильноточные релятивистские электронные пучки во многом
исчезла проблема ввода/вывода СВЧ-сигнала. Релятивистский элек-
электронный пучок позволяет возбуждать быстрые плазменные волны,
достаточно легко излучаемые из плазмы. Это и дало толчок к новому
витку развития плазменной СВЧ-электроники — теперь уже реляти-
релятивистскому. Создание же плазменных усилителей и генераторов в нере-
нерелятивистской области пошло по пути использования в качестве за-
замедляющих структур комбинированных пучково-плазменных систем,
в которых определяющую роль в возбуждении колебаний играет пуч-
ково-плазменное взаимодействие, а для вывода энергии используется
периодическая волноведущая структура [2-4,43,44].
Плазменная СВЧ-электроника: релятивистский виток
Как уже обсуждалось во введении, положение в плазменной
СВЧ-электронике существенно изменилось с начала 70-х годов,
когда была решена проблема создания сильноточных релятивистских
электронных пучков с токами 1 -=- 10 кА и энергией электронов
> 1 МэВ. Теоретическое расмотрение задачи инжекции в плазму
релятивистского пучка показало, что инкремент развития пучковой
неустойчивости уменьшается с ростом релятивистского фактора
электронов 7 [45], т. е.
D.10)
что приводит к увеличению длины релаксации пучка в плазме. Из-
за увеличения длины релаксации возрастает коэффициент эффектив-
эффективности передачи энергии пучка плазменным волнам (КПД), который
в случае релятивистского пучка равен [46]
1 / \1/3
G + 1). D.П)
nbmc G - 1)
Данная формула справедлива только при малых КПД (rj ^C 1). Чис-
Численное моделирование показало, что максимальный КПД преобразо-
преобразования энергии релятивистского пучка плазменным волнам составляет
30^35% [7].
Первый успешный эксперимент по генерации мощного СВЧ-излу-
чения в плазменном волноводе был проведен в 1982 г. в лаборатории
физики плазмы Института общей физики АН СССР [47,48].

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
225
Схема плазменного релятивистского генератора (ПРГ) сверхвы-
сверхвысокочастотного диапазона почти не изменилась с 1982 г. [9-11, 49].
Схематический вид ПРГ представлен на рис. 4.6. Импульс высокого
напряжения подается на катод ускорителя 1. Электронный пучок 2
инжектируется вдоль оси круглого металлического волновода 3, пред-
предварительно заполненного трубчатой плазмой 4. Пучок и плазма поме-
помещены в однородное продольное магнитное поле В. Электроны пучка
имеют только продольную компоненту скорости. Длина электронного
пучка ограничивалась торцом центрального проводника 5 коаксиаль-
коаксиального выходного излучающего устройства 6. СВЧ-волна генерируется
в плазменном волноводе, затем
распространяется по вакуумному
коаксиальному волноводу 6 и по-
потом излучается рупором 7. Труб-
Трубчатая плазма имеет диаметр боль-
больше диаметра пучка и не попадает
в диод сильноточного ускорителя.
Все поперечные размеры (пучок,
В
плазма, волновод), а также плот-
плотность плазмы и пучка, величина
магнитного поля постоянны вдоль
длины системы.
Значительная часть энергии,
возбуждаемой волной, содержит-
1
3
Рис. 4.6. Схема плазменного реляти-
релятивистского генератора (из работы [9])
ся в вакуумном зазоре между плазмой и стенкой волновода. Близость
структуры поля этой части плазменной волны к структуре ТЕМ-волны
коаксиального излучающего устройства, большая фазовая скорость,
близкая к скорости света, обеспечивают высокую эффективность выво-
вывода энергии плазменной волны в коаксиальное излучающее устройство.
Применение коаксиального выходного волновода обеспечивает возмож-
возможность эффективного вывода илучения в широкой полосе частот.
Рассмотрим экспериментальные результаты, полученные на ПРГ
[9]. На рис. 4.7 представлены спектры генерации ПРГ при разных значе-
значениях плотности плазмы [50,51]. Видно, что средняя частота излучения
возрастает от 4 ГГц до 30 ГГц с увеличением плотности плазмы от
4-1012см до 7- 1013см.
Зависимость среднего значения частоты ПРГ от плотности плазмы
приведена на рис. 4.8. Там же представлена теоретическая зависимость
(сплошная линия), рассчитанная для усилителя, на вход которого пода-
подается спектр частот в полосе от 0 -г 40 ГГц. Видно, что зависимость сред-
средней частоты от плотности плазмы в эксперименте хорошо совпадает
с расчетом. Генерация в плазменном СВЧ-генераторе возникает в пол-
полном соответствии с теорией при плотности плазмы пр > 3 • 1012см~3.
Теоретическая кривая находится в хорошем соответствии с экспери-
экспериментом. Незначительное расхождение наблюдается только в области
высоких значений плотности плазмы. На рис. 4.8 также указана изме-
измеренная ширина спектра. Однако точность измерения ширины спектра
в эксперименте невелика [9]; можно только утверждать, что ширина
15 Трубецков, Храмов

226
Лекция 4 A9)
dE/df,
Дж/Гц
dE/df,
Дж/Гц
0,1 ¦
1,2 Дж
0,0
а 0,0 10,0 20,0 /ГГц д 10,0 20,0 30,0 /ГГц
dE/df,
Дж/Гц
0,1 -
0,0
0,7 Дж
dE/df
Дж/Гц
б 0,0 10,0 20,0 /ГГц е Ю,0 20,0 30,0 /ГГц
Дж/Гц
од
0.0
1,1 Дж
/ГГц 10,0 20,0 30,0 /ГГц
Рис. 4.7. Спектры частот плазменного релятивистского СВЧ-генератора при
различных значениях плотности плазмы A013см~3): а — 0,4, б— 0,8, в — 2,3,
г — 4,4, д — 6,0, е — 7,0. На каждом из рисунков указана полная энергия
СВЧ-импульса в джоулях (из работы [9])
спектра не превосходит указанной на рисунке и не меньше, чем полови-
половина от приведенной на рисунке. Поэтому из рис. 4.8 следует, что ширина
спектра ПРГ либо больше, либо равна расчетному значению ширины
спектра усилителя.
Длительность СВЧ-импульса в эксперименте была равна 25 не во
всем диапазоне значений плотности плазмы. Тогда 1 Дж соответствует
мощности 40 МВт, а КПД генерации при этом равен 0,04. Важным
является то, что при изменении плотности плазмы от 1013 см~3 до
7 • 1013 см~3 мощность СВЧ-излучения оставалась почти постоянной.
Это говорит о том, что ПРГ является генератором, в котором удает-
удается осуществить в широком диапазоне перестройку частоты генерации
с постоянной эффективностью без изменения геометрии рабочей каме-
камеры прибора.
Таким образом, основная особенность ПРГ заключается в возмож-
возможности перестройки частоты генерации в широких пределах D Ч- 28 ГГц)
за счет изменения плотности плазмы при примерном постоянстве
мощности СВЧ-излучения. Спектр излучения ПРГ довольно широк

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
227
28
Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость частоты СВЧ-излучения от плот-
плотности плазмы пр и плазменной частоты сир/2тг. Вертикальные отрезки опре-
определяют границы измеренного спектра и соответствуют рис. 4.7. Согласно
теоретическим данным в заштрихованной области частот находится спектр
излучения, имеющий уровень спектральной плотности 0,3 от максимального
значения. Расчет выполнен для ujc ^> ujp, в эксперименте а;с/2тг = 62 ГГц (из
работы [9])
(А/// ~ 30%), что также делает данный прибор перспективным для
решения ряда прикладных задач.
Рассмотрим теперь экспериментальные результаты по плазменному
релятивистскому усилителю СВЧ-диапазона [9,52].
Схема установки представлена на рис. 4.9. Трубчатая плазма 1 со
средним радиусом 7,5 мм и толщиной 1 мм расположена в продольном
магнитном поле с индукцией 1,6 Тл в цилиндрическом металлическом
волноводе 2 с радиусом 22 мм. Плазма создается в разряде с горячим
катодом в газе ксеноне. Потенциал катода 600 В, ток разряда ~ 100 А,
давление газа 3,5 • 10~4Тор. Вдоль оси волновода распространяется
трубчатый релятивистский электронный пучок 3 со следующими па-
параметрами: энергия ускорения электронов 550 МэВ, ток 1,5 кА, дли-
длительность импульса 150 не, средний радиус пучка 10 мм, толщина пучка
1 мм. На входе усилителя расположен СВЧ-преобразователь 4, воз-
возбуждающий во входном коаксиальном волноводе ТЕМ-волну, которая
I Входной сигнал
В
Выходной
^ сигнал
ШШШШ2Ш2
1 У
4
\\ \
5
Рис. 4.9. Схема плазменного релятивистского СВЧ-усилителя (из работ
[9,52])
15*

228 Лекция 4 A9)
далее трансформируется в быструю и медленную волны плазменного
волновода. Медленная плазменная волна усиливается релятивистским
пучком, и далее трансформируется в ТЕМ-моду выходного металличе-
металлического коаксиального волновода и излучается выходным коаксиальным
рупором 5 большого сечения. Длина, на которой происходит взаимо-
взаимодействие пучка с плазмой, равна 29 см.
Для развязки входа и выхода усилителя использовался погло-
поглотитель б, коэффициент поглощения которого составлял 20 дБ для
ТЕМ-волны в коаксиальном волноводе с внутренним радиусом 5 мм
и внешним радиусом 22 мм и 50 дБ для TMqi-волны в круглом волно-
волноводе радиуса 22 мм.
В качестве источника входного СВЧ-сигнала использовались два
импульсных магнетрона. Параметры первого следующие: частота ге-
генерации 12,9 ГГц, длительность импульса 2 мкс, мощность 75 кВт. Па-
Параметры второго магнетрона соответственно 9,1 ГГц, 20 мкс и 40 кВт.
Если на вход подавался сигнал с частотой Д =9,1 ГГц при АД =
= 0,51 ГГц с мощностью 40 кВт, то на выходе наблюдалось усиленное
излучение с той же частотной характеристикой при выходной мощно-
мощности 8 МВт. Коэффициент усиления в данном случае составлял величи-
величину К = 200 [53]. Усиление имело место в области плотностей плазмы
3 • 1012 см~3 < пр < 3 • 1013см~3. Если же на вход подавался сигнал,
генерируемый первым магнетроном при А/ = 0,29 ГГц с мощностью
75 кВт, то на выходе имело место излучение с той же частотной харак-
характеристикой и мощностью 3 МВт, т. е. коэффициент усиления был равен
40. Усиление в этом случае имело место в области плотностей плазмы
1 • 1013 см~3 < пр < 3 • 1013см~3. Существует и диапазон плотностей
плазмы, в котором режим усиления реализуется одновременно на обеих
частотах подаваемого на вход сигнала. Это имеет место при плотности
плазмы пр ~ 1,2 • 1013 см~3.
Кратко остановимся на теоретическом описании генерации и уси-
усиления СВЧ-излучения в черенковских плазменных релятивистских
устройствах.
Простейшая теоретическая модель плазменного СВЧ-усилителя
представляет собой прямолинейный релятивистский пучок, распро-
распространяющийся в сильном продольном внешнем магнитном поле парал-
параллельно оси металлического волновода радиуса R с плазменным запол-
заполнением. Пучок инжектируется в волновод в плоскости z = 0, а в плос-
плоскости z = L расположен коллектор и начинается система вывода излу-
излучения (рупор). Плазма и пучок однородны вдоль оси волновода, холод-
холодные, полностью замагниченые и нейтрализованные по заряду и току.
В поперечном сечении волновода пучок и плазма являются тонкими
трубчатыми со средними радиусами гь < R, rp < R и толщиной А^
и Ар соответственно, причем Ар^ <С гр^-
Общие нелинейные уравнения, описывающие усиление в такой си-
системе, для электромагнитного поля волны Е'-типа и индуцированных

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 229
в плазме и пучке токов записываются в виде [12,13]:
dt [гдгГдг + dz2 c*dt2\
= -— (Ab5(r - rb)jb + Ap5p(r - rp)jp), D.12)
so
jb = епь v(z, to)S (t - t(z, to)) dt0, —^ — eooo^Ez,
,2 , Я2П D-13)
Здесь Ez — продольная составляющая напряж;ености электрического
поля, ф — поляризационный потенциал, пь — невозмущенная плот-
плотность электронов пучка. Индуцированный в плазме ток jb определя-
определяется в линейном приближении г), а для тока пучка jb используется
модель, основанная на вычислении характеристик уравнения Власова
электронов пучка и представлении его функции распределения в виде
интеграла по начальным данным [7,55]. При этом t(z, to) nv(z, to) есть
решения характеристической системы уравнений Власова
dt 1 dv / 2ч3/2
z v dz l - '
(rj — удельный заряд электрона) с начальными условиями
t(z = 0) = to, v(z = O) = u. D.15)
Из системы уравнений D.12)—D.15) следует дисперсионное уравне-
уравнение
которое описывает спектры собственных колебаний рассматриваемой
системы. Здесь
^ ^X D.17)
— дисперсионные функции, нули которых определяют спектры волн
в невзаимодействующих плазме и электронном пучке [56]; в — пара-
параметр, характеризизующий степень связи пучковых и плазменных волн;
параметры к\р и к\ь имеют смысл квадратов поперечных волновых
чисел волн плазмы и пучка; и — частота; kz — продольное волновое
число; ир и иъ — ленгмюровские частоты электронов плазмы и пучка
г) Влияние нелинейности плазмы и возможности ею пренебречь обсужда-
обсуждаются в работе [54].

230 Лекция 4 A9)
соответственно; и — невозмущенная скорость электронов пучка; %2 =
= Pz-uj2/c2.
Параметр связи в обладает следующими свойствами: при гь = гр
величина в = 1; во всех остальных случаях параметр в < 1. При уве-
увеличении частоты и величина в сильно уменьшается.
Вблизи тех и и к, где дисперсионные функции D.17) одновременно
обращаются в ноль, имеется сильное черенковское (одночастичное или
коллективное) взаимодействие между пучком и плазмой. Это возможно
только в области uj < kzc, где пучковые и плазменные волны явля-
являются поверхностными. В частности, спектр поверхностной плазменной
волны в наиболее важном длинноволновом пределе kz —> 0 дается фор-
формулой [56]
и>= . ^с = , D.18)
где квадрат поперечного волнового числа плазменной волны определя-
определяется выражением (для азимутально-симметричного случая)
*1р = (грАр1п(Д/гр))-1. D.19)
Волна со спектром D.18) называется плазменной кабельной волной
[7, 57]. С увеличением волнового числа kz > \/R фазовая скорость
волны D.18) сильно уменьшается, и волна становится потенциальной.
Для к\ь в длинноволновом пределе также справедлива формула
D.19), но с заменой индекса р на Ь. При этом из второго соотно-
соотношения D.17) легко определяются спектры пучковых волн — быстрой
и медленной [7,12,13]. Медленная волна пучка имеет отрицательную
энергию, что и приводит к неустойчивости пучка в плазме. Частота,
на которой фазовая скорость поверхностной плазменной волны D.18)
совпадает со скоростью пучка п, называется частотой одночастичного
черенковского резонанса (резонанс «волна-частица»). Та частота, на
которой фазовая скорость плазменной волны равна фазовой скорости
медленной волны пучка, называется частотой коллективного черенков-
черенковского резонанса (резонанс «волна-волна»). С уменьшением uj частота
одночастичного резонанса уменьшается и при
<4о = * W D-20)
обращается в нуль [12,57]. Если плазменная частота меньше пороговой
частоты D.20), то одночастичный черенковский резонанс невозможен.
Однако отсутствие резонанса не означает отсутствия вынужденного
черенковского излучения, т. е. отсутствия усиления. При большой плот-
плотности электронного пучка реальный порог значительно ниже опреде-
определенного формулой D.20).
Усиление волн в пучково-плазменной системе в зависимости от ее
параметров (в первую очередь, ир и \гь — rp\/R) возможно в различных
областях частот. Так, если коэффициент связи в ~ 1, то усиливаются
волны в широкой полосе частот, практически от нуля до частоты,
превышающей частоту резонанса «волна-волна». Такие широкополое-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 231
ные плазменные усилители называют томсоновскими. Когда же ко-
коэффициент связи О <С 1, усиление происходит в узкой полосе частот,
а соответствующие узкополосные плазменные усилители называют ра-
мановскими [12,57,58].
На рис. 4.10 а приведены, как функции плазменной частоты ир,
наиболее важные для пучково-плазменного взаимодействия частотные
характеристики. Кривая 1 изображает верхнюю по частоте границу
полосы усиления, кривая 2 — нижнюю границу. Видно, что усиление
возможно лишь на частотах, заключенных между линиями 1 и 2. Кри-
Кривая 3 определяет частоты, на которых коэффициент усиления макси-
максимален. Кривая 4 задает частоту коллективного резонанса, а кривая 5 —
частоту одноночастичного резонанса. Кривые получены для реальной
экспериментальной системы со следующими параметрами: R = 1,8 см,
гр = 1,1 см, гь = 0,6 см, Ар = Аь = 0,1 см, ток пучка 1ь = 2 кА, j = 2.
Из рис. 4.10 а видно, что усиление возникает только при превыше-
превышении частотой (xjp некоторого порогового значения. На рисунке порог
отмечен вертикальной прямой А. Этот порог оказывается примерно
вдвое ниже, чем рассчитанный по формуле D.20), что связано с боль-
большой величиной тока пучка.
Далее имеется определенный диапазон плазменных частот (между
вертикальными линиями А и D), для которого нижняя граница полосы
усиления равна нулю — зона томсоновского усиления. При еще больших
плазменных частотах (правее вертикальной прямой D) нижняя грани-
граница полосы усиления становится отличной от нуля и происходит сужение
полосы усиливаемых частот с ростом ир — зона рамановского усиления.
В свою очередь, зоны томсоновского и рамановского усиления подраз-
подразделяются на промежуточные области (прямые В, С и Е). Из рис. 4.10 а
также видно, что с ростом ujp существенно сужается полоса усиления,
повышается частота максимального усиления (кривая 3), причем в ито-
итоге она сливается с частотой коллективного резонанса (кривая 4). Таким
образом, при повышении частоты и больших токах пучково-плазменное
взаимодействие носит все более коллективный характер, что связано
с уменьшением коэффициента в при увеличении uj. Напротив, частота
одночастичного резонанса (кривая 5) с ростом частоты все более уходит
в сторону от кривой 3. Более того, как видно из рис. 4.10, на частоте
одночастичного резонанса усиление в конце концов вообще пропадает
(см. вертикальную линию Е) [13].
На рис. 4.10 ? показана зависимость максимального коэффициента
усиления от плазменной частоты ир (величина 5k = |Im kz | вычисленна
вдоль кривой 3 рис.4.10 а) для систем с теми же параметрами, для ко-
которых построен рис. 4.10 а. Видно, что имеется некоторая оптимальная
плазменная частота, при которой реализуется абсолютный максимум
коэффициента усиления. На рис. 4.10 в изображены коэффициенты
усиления для системы с теми же параметрами, что и на предыдущих
двух рисунках, но в зависимости от частоты uj и для различных ujp:
1 - 15 • 1010, 2 - 25 • 1010, 3 - 35 • 1010, 4 - 45 • 1010 рад/с. На этом
рисунке, кривые 1 и 2 весьма характерны для зависимостей коэффици-

232
Лекция 4 A9)
соДО10 рад/с
25
20
15
10
5
А В С D Е
А
а '0 10 20 30 40 тр ДО10 рад/с
40 шрДО10 рад/с
25 со„ДОш рад/с
Рис. 4.10. а — важнейшие частоты плазменного усилителя в зависимости от
плазменной частоты: 1 — верхняя граница полосы усиления, 2 — нижняя
граница полосы усиления, 3 — частота максимального коэффициента уси-
усиления, 4 — частота коллективного резонанса, 5 — частота одночастичного
резонанса, б— зависимость максимального коэффициента усиления от плаз-
плазменной частоты, в — зависимости коэффициентов усиления от частоты для
различных плазменных частот. Кривая 1 соответствует оор = 15-10 рад/с,
2 - 25 • 1010 рад/с, 3 - 35 • 1010 рад/с, 4 - 45 • 1010 рад/с
ентов усиления от частоты широкополосного томсоновского усилителя,
а кривые 3 и 4 характерны для рамановского режима усиления.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 233
Вернемся к анализу исходной нелинейной системы уравнений
D.12)—D.15). Общие уравнения D.12) и D.13) преобразуются к виду,
удобному для решения задачи усиления волн с учетом следующих
факторов:
1) поперечная структура поля волн в плазменно-пучковом волно-
волноводе заранее неизвестна, а устанавливается самосогласованно по мере
продвижения в область больших z;
2) не обязательно задан частотный спектр усиливаемого сигнала,
а следовательно, необходимо рассматривать одновременное усиление
разночастотных волн, взаимодействующих между собой на нелинейной
стадии;
3) у всех эффективно усиливаемых пучком волн продольные вол-
волновые числа близки к частоте волны, деленной на невозмущенную
скорость пучка.
Эти соображения позволяют представить поляризационный потен-
потенциал поля ф в виде [9,13]
к.с] \ , D.21)
где ft — некоторая малая частота, с помощью которой осуществляется
«дискретизация» спектра усиливаемого сигнала. По порядку величи-
величины ft = 2тг/Т, где Т удобно выбрать равной длительности импульса
тока пучка. Представление D.21) позволяет вместо интеграла Фурье
по частотам воспользоваться рядом Фурье. С учетом D.21) систе-
система D.12) и D.13) преобразуется в следующие нелинейные уравнения
релятивистского плазменного СВЧ-усилителя [9, 12, 13], записанные
относительно новых безразмерных переменных у = ft(t(z,to) — z/u),
к=(и -v(z,to))/v(z,to):
, . / 2 2 \ 3/2 °°
Щ = 1A + 2-1^1 ? [8е-»»Ы{аь.р. + i.) - к.с] ,
D.22)
dy djs . s \( 1 Л . а1 , ,*
= * = VK Г' (я)в6' f
где
2тг
D.23)
Ш1
шг> _ 1

234 Лекция 4 A9)
а величины k±b(s), k±p(s), 6S совпадают с соответствующими вели-
величинами линейной теории, но с заменой и —у sft. Эффективность уси-
усилителя определяется как относительная часть потока кинетической
энергии пучка, преобразованная в поток энергии излучения [13, 59].
Таким образом,
2тг , 2 1/2
71 = 1 ~ h 1 A + 2т' E) к) dy°- D<24)
о ^ '
Система уравнений D.22) дополняется граничными условиями. Для
усилителя они задаются на входной границе z — 0 и в достаточно общем
виде записываются в форме [13,59]:
D.25)
= 0) = 2/о + ^ ? [fesej(s^+^) + к.с] , уо G [0, 2тг].
Здесь jso — подаваемые на вход усилителя плазменные колебания, у о
соответствует невозмущенному пучку, а второе слагаемое во втором
соотношении D.25) — модуляции пучка по плотности.
Рассмотрим результаты численного решения уравнений нелинейной
теории D.22)-D.25). Для определенности рассмотрим случай, когда
плазменные колебания на входе равны нулю, т.е. jso = 0. При этом
пучок на входе усилителя предполагается слабо модулированным по
плотности: \bs\ = 0,01 -г- 0,05. Для анализа эффективности усиления
достаточно рассмотреть усиление монохроматического сигнала, т. е.
использовать граничные условия D.25) только с одним отличным от
нуля слагаемым Ь\ ф 0, 62,3,... = 0.
На рис. 4.11 а показаны максимальная эффективность усиления
монохроматического сигнала и оптимальная длина пространства вза-
взаимодействия усилителя, на которой эта эффективность достигается,
в зависимости от ир. Расчеты были проведены для частоты О, (см.
соотношение D.21)), соответствующей кривой 3 на рис. 4.10 а и Ь\ =
= 0.01. Из рисунка видно, что эффективность усилителя довольно
высока во всем рассматриваемом диапазоне плазменных частот [59],
а оптимальная длина невелика и в широкой полосе частот практически
не зависит от плазменной частоты. Особенно высока эффективность
около порога возникновения усиления [9,59], где длина усилителя резко
возрастает.
На рис. 4.11 б для нескольких плазменных частот представлены
спектры плотности излучения на выходе усилителя с оптимально по-
подобранной длиной, когда выходная мощность достигает максимума.
Спектральная же плотность входного сигнала была при этом равно-
равномерно распределена во всем представленном на рисунке частотном
диапазоне. Кривые 1-4 на рис. 4.11 ? рассчитаны в точности для тех же

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
235
40 Юп.1010рад/с
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
п
J
1
У
2
W
3
V ,
4
о
5 10 15 20 25 а>.1010 рад/с
Рис. 4.11. Зависимость эффективности усиления (сплошная линия) и опти-
оптимальной длины пространства взаимодействия (штриховая линия) (а); спек-
спектральные плотности излучения на выходе усилителя для различных плаз-
плазменных частот (б)
параметров, что и соответствующие кривые 5k(ui) линейной теории на
рис. 4.10 б. Видно, что излучение сосредоточено в несколько более узкой
полосе частот, чем предсказывает линейная теория, что обусловлено
нелинейной конкуренцией волн. Максимум же спектральной плотности
соответствует максимуму зависимости линейного коэффициента уси-
усиления 5k от частоты. Относительная ширина спектров излучения и их
центральная частота сильно зависят от плазменной частоты.
В представленной выше теории плазменного СВЧ-усилителя пред-
предполагается, что все усиленное пучком электромагнитное излучение
беспрепятственно покидает объем усилителя через границу z = L. На
самом деле на выходной границе z = L усиливаемая пучком плазмен-
плазменная волна частично отражается и возвращается на вход системы z =
= 0. Это может служить причиной самовозбуждения усилителя, т.е.
начала генерации излучения. Поэтому при рассмотрении плазменного
релятивистского СВЧ-генератора полагают, что на входе системы z = 0
расположена металлическая сетка, прозрачная для электронов пучка
и непрозрачная для излучения. Выходная граница z = L является
переходом от плазменного волновода к излучающему рупору. Излуча-
Излучающий рупор представляет собой коаксиальный вакуумный волновод
с внешним радиусом R, как и у плазменного волновода, и внутренним

236
Лекция 4 A9)
R
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
У
у
2
/ /
3
^^
4
)
О
10 15 20 со 401и рад/с
Рис. 4.12. Частотные зависимости коэффициентов отражения от правой гра-
границы системы для различных плазменных частот
радиусом го, несколько большим среднего радиуса плазменной трубки
гр. При переходе через границу z = L плазменная кабельная волна
трансформируется в волну коаксиального волновода. При этом про-
происходит изменение фазовой скорости и структуры СВЧ-поля волны,
что и является причиной частичного отражения падающей слева на
излучающий рупор плазменной волны.
Для определения коэффициентов отражения плазменной волны по
R от границы z = L разработаны специальные численные методы [60],
основанные либо на прямом решении стационарной дифракционной
задачи, либо на определении времени вытекания СВЧ-поля из плазмен-
плазменного резонатора. Имеются и аналитические приближенные формулы
[61]. Все вышеназванные подходы дают близкий результат. Поэтому
при разработке теории плазменного СВЧ-генератора считается, что
коэффициент отражения R плазменной волны известен. На рис. 4.12
изображены зависимости коэффициента отражения R(u) от частоты,
рассчитанные при гр = 1,1 см и го = 1,15 см для четырех значений плаз-
плазменной частоты — тех же, что и на рисунках 4.10 и 4.11. Вертикальны-
Вертикальными прямыми отмечены частоты, на которых коэффициенты усиления
(см. рис. 4.10) и спектральные плотности излучения усилителя (см.
рис. 4.11) достигают максимумов. Видно, что значения коэффициента
отражения весьма велики, пики и изломы на кривых, представленных
на рис. 4.12, возникают при близости частоты и к частотам отсечки
системы.
Перейдем теперь к рассмотрению теории плазменного реляти-
релятивистского генератора. При построении линейной теории плазменного
СВЧ-генератора в основу кладут линеаризованные уравнения D.12)-
D.15), общее решение которых в плазменной области системы при 0 <
< z < L записывается в виде
D.26)

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 237
где kzj = kzj(u)) — корни дисперсионного уравнения D.16). Это урав-
уравнение имеет четвертую по kz степень, поэтому решение D.26) содержит
четыре слагаемых. Постоянные Aj определяются с учетом конкретизи-
конкретизированных выше граничных условий на концах системы z = 0 и z = L.
Результатом является уравнение для определения комплексных частот
ПРГ [7,61]
1 = Щш) J2 ajA(u))ej(<k'^u)-k'^u))L, D.27)
где aj^ — известные из теории коэффициенты трансформации волн при
z = 0 [7]. Таким образом, если величина коэффициента отражения Щи)
известна, то расчет плазменного генератора в линейном приближении
сводится хотя и к сложной, но алгебраической задаче D.27).
Основной результат линейной теории состоит в том, что к частоте,
близкой к частоте коллективного резонанса и являющейся частотой
генерации ПРГ, добавляется мнимая поправка 5w, обусловленная пе-
передачей энергии от пучка резонатору и выносом энергии из резонатора
через рупор [7,61,62]. Она записывается так:
5и = j± (\lmSk\L - In (q/\R\)) . D.28)
Здесь и) — резонансная частота, величина 5к определяется из
рис. 4.11 a, q — постоянная (в пределах от 2 до 3). Формула D.28)
справедлива, если ujL/u > 1 и групповая скорость плазменной волны
близка к скорости пучка и.
Из соотношения D.28) следует условие самовозбуждения плазмен-
но-пучкового резонатора [12,13,60]:
\\m8k\L = \n(q/\R\), D.29)
откуда определяются пусковые параметры генератора. Как и в тео-
теории вакуумных приборов с длительным взаимодействием О-типа, это
или пусковой ток пучка или пусковая длина резонатора. При токах
больших, чем пусковые (либо при длине системы большей пусковой)
возникает генерация сверхвысокочастотного излучения. Из рис. 4.11 а
(сплошная линия) и рис. 4.12 легко оценить стартовую длину. Если
плазменная частота не слишком близка к критической, то пусковая
длина находится в диапазне от 10 см до 15 см. Если теперь обратиться
к рис. 4.11 а (штриховая линия), на котором представлена оптимальная
длина усилителя, то окажется, что она больше пусковой. Следова-
Следовательно, усилитель либо переходит в режим генерации, либо его длину
следует делать меньше, увеличив при этом уровень входного сигнала
(для сохранения оптимальной эффективности), либо следует улучшить
согласование плазменного резонатора с излучающим рупором.
Нелинейная теория ПРГ строится на основе метода крупных частиц
[63]. В этом случае в уравнениях D.12) интегральное выражение для

238 Лекция 4 A9)
jb заменяется соотношением вида
D.30)
где Л — некоторая характерная длина, N — число крупных частиц
на участке невозмущенного пучка длиной Л, Zj(t) и Vj(t) — решения
уравнений движения j-й крупной частицы
которые решаются с начальными условиями, соответствующими ин-
жекции пучка в пространство взаимодействия в плоскости
z = O:zj(t = tj0) = 0, Vj(t = tj0) = и,
где tjo — время инжекции j-ro электрона в пространство взимодей-
ствия.
Наиболее общий подход в нелинейной теории плазменного СВЧ-
генератора, очевидно, состоит в прямом решении системы D.12) и
D.30). При этом требуется дополнительное граничное условие для
поляризационного потенциала ф на открытой границе плазменного
резонатора z = L. Это нестационарное парциальное условие излучения
в коаксиальный волновод было сформулировано в работе [64]. Одним
из важных результатов общей нелинейной теории плазменного СВЧ-
генератора является то, что при длительной квазистационарной ин-
жекции пучка в системе возбуждается электромагнитное излучение из
достаточно узкого спектрального интервала
Auj^uj, D.32)
что согласуется с результатами нелинейной теории плазменного
СВЧ-усилителя (см. рис. 4.11 б). Основываясь на условии D.32), введем
в рассмотрение волну с фиксированной средней частотой и медленно
меняющейся амплитудой. В частности, поляризационный потенциал
попутной (резонансной) с пучком плазменной волны представим в виде
(см. выражение D.21))
к.с] , D.33)
где Ап — медленные по сравнению с соответствующим экспоненциаль-
экспоненциальным множителем функции координаты z и времени t (медленно меня-
меняющиеся амплитуды). Уравнения для медленно меняющихся амплитуд

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 239
можно получить, используя процедуру усреднения
Ф(г')езш^-* /u)dz'. D.34)
z-A/2
Здесь Ф — усредняемая величина, Л — характерная длина, входящая
в формулу D.30), которая, как следует из выражений D.33) и D.34),
определяется формулой Л = 27tu/uj.
Подставляя выражение D.33) в уравнения D.12) и D.30) и применяя
процедуру усреднения, получим систему уравнений плазменного СВЧ-
генератора в следующем виде [9,61,65]:
dVj _ щ
dr '
dJ
d
'J' dr
¦f
и
дт
(и/
j
~272
±-p-l^J-ealL(p)y D.35)
D.36)
Здесь
A + ^> D.37)
где vrp — групповая скорость плазменной волны D.18), параметры
#, аь,р определены в линейной теории усилителя и формулах D.23).
В уравнениях D.35) и D.36) введены следующие безразмерные пере-
переменные и обозначения:
T = U)t, ^ = LOZ/U, yi=LOZi/u, Kj=Vj/u.
Система уравнений D.35)-D.37) полностью соответствует уравне-
уравнениям плазменного усилителя D.22) и D.23) при s = 1, но только явля-
является нестационарной. Величина (р) является комплексной амплитудой
возмущения плотности заряда пучка и соответствует одному из ps
в уравнениях плазменного усилителя. В выражение D.37)) введена
функция /(toj), где toj — момент влёта электрона в плазменный ре-
резонатор. Эта функция позволяет моделировать фронты пучка и его
модуляцию. Величина J является медленной комплексной амплитудой
попутной с пучком плазменной волны и соответствует одной из функ-
функций js в уравнении D.22) плазменного усилителя.
Уравнений D.35)-D.37) недостаточно для создания теории плаз-
плазменного генератора. Необходим учет еще и встречной плазменной вол-
волны, осуществляющей обратную связь в генераторе. Встречная волна не
находится в резонансе с пучком и в среднем с ним не взаимодействует.
Взаимодействие встречной и попутной волны происходит только на

240
Лекция 4 A9)
Ц
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
I
1
1
1
о
10 15 20 25
30
L, см
Рис. 4.13. Зависимость максимальной эффективности генерации от длины
плазменного резонатора для различных плазменных частот
продольных границах плазменного резонатора, где они трансформиру-
трансформируются друг в друга. Эта трансформация формулируется в виде следую-
следующего граничного условия обратной связи (аналогично релятивистской
лампе обратной волны с отражениями [26, лекция 13]):
= 0, т) = -
D.38)
где R — рассматривавшийся ранее коэффициент отражения, ?/, =
= uL/u — безразмерная длина плазменного резонатора, а знак минус
в D.38) отвечает изменению фазы волны при отражении от металли-
металлической сетки при z = 0.
Уравнения D.35)-D.37) с граничным условием D.38) являются
замкнутой системой нелинейных нестационарных уравнений реляти-
релятивистского плазменного СВЧ-генератора.
Рассмотренные выше результаты линейной теории следуют есте-
естественно из полученной системы уравнений и условия обратной связи.
Уравнения D.35)-D.38) описывают плазменный генератор на импульс-
импульсном электронном пучке при условии (см. условие D.32)), что иТ ^> 1,
где Т — характерный временной масштаб изменения тока пучка.
Рассмотрим некоторые результаты моделирования плазменного
СВЧ-генератора при стационарной инжекции электронного пучка [66].
В работах [9,66] исследовалось изменение длины плазменного резонато-
резонатора и плазменной частоты при следующих фиксированных параметрах:
1Ъ = 2кА, R = 1,8 см, гь = 0,6 см, гр = 1,1см, Аь = Ар = 0,1см, 7 = 2.
На рис. 4.13 для четырех плазменных частот (тех же, что и на рис. 4.10 в
и 4.11 б) представлены в зависимости от длины плазменного резонатора
L кривые эффективности генерации (коэффициенты отражения опре-
определялись из рис. 4.12). Резкое возрастание эффективности излучения
от нуля до некоторой довольно значительной величины связано с пре-
превышением пусковой длины генератора. При дальнейшем увеличении
длины плазменного резонатора наблюдаются осцилляции эффективно-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 241
сти, что связано с перемещением точки насыщения пучковой неустой-
неустойчивости от границы z = L к меньшим z и обратно. Максимальные зна-
значения эффективности генерации оказываются даже несколько выше
максимальных значений эффективности усиления монохроматическо-
монохроматического сигнала. Однако сравнение с рис. 4.11 а подтверждает уменьшение
эффективности излучения с ростом плазменной частоты. Заметим,
следуя работе [9], что применение разнообразных методов и моделей
расчетов черенковских плазменных СВЧ-усилителей и генераторов на
плотных релятивистских электронных пучках дает близкие результа-
результаты по эффективностям, спектрам, критическим плазменным частотам
и стартовым параметрам, зависимостям от основных характеристик
пучково-плазменной системы и согласуется с результатами эксперимен-
экспериментальных исследований, которые обсуждались в начале раздела.
В заключение раздела отметим наиболее перспективные отличи-
отличительные черты плазменных черенковских релятивистских источников
СВЧ-излучения по сравнению с приборами вакуумной электроники [9].
Во-первых, в плазменных релятивистских источниках СВЧ-излуче-
СВЧ-излучения возможна очень быстрая электронная перестройка частоты излу-
излучения, что принципиально отличает подобные системы от вакуумных
аналогов. В работах [9,10,52] это было продемонстрировано как теоре-
теоретически, так и экспериментально в диапазоне частот 4 -г- 28 ГГц. При
этом мощность генерации во всем диапазоне частот была на уровне
50 МВт и незначительно изменялась при изменении частоты.
Во-вторых, преимуществом плазменного релятивистского генера-
генератора является его широкополосность. В томсоновском режиме отно-
относительная ширина полосы генерации составляла Аи /и ~ 0,3. Вместе
с тем легко осуществить переход к рамановскому режиму с узким
спектром генерации Aoj/oj ~ 0,05.
В-третьих, в плазменных релятивистских источниках СВЧ-излу-
СВЧ-излучения благодаря эффектам нейтрализации пространственного заряда
пучка существует возможность использования токов пучков, сравни-
сравнимых с предельным вакуумным током в той же геометрии в вакуумной
системе. Это открывает возможность достижения в плазменных источ-
источниках СВЧ-излучения больших мощностей за счет увеличения тока
электронного пучка, чем в сответствующих вакуумных устройствах [7-
и].
Пучково-плазменные СВЧ-лампы с длительным
взаимодействием
Результаты теоретических и экспериментальных исследований
ламп бегущей волны с плазменным заполнением подробно представ-
представлены в работах [3, 43, 44, 67-76]. Наибольший интерес вызывают
здесь плазменно-заполненные ЛБВ с цепочкой связанных резонаторов,
которые демонстрируют высокий КПД и широкую полосу частот
усиливаемых сигналов [67], которая недостижима в соответствующих
ваккумных устройствах.
16 Трубецков, Храмов

242 Лекция 4 A9)
Работа плазменных приборов с длительным взаимодействием осно-
основана на гибридных модах, возбуждаемых в плазменнонаполненных
волноведущих системах [68]. Рассмотрим их более подробно.
Исследуем замедляющую электродинамическую структуру радиуса
/2, внутри которой соосно с замедляющей системой располагается столб
плазмы радиуса а. Поле замедленной волны в электродинамической
структуре сосредоточено около ее поверхности. Как следует из усло-
условия черенковского синхронизма, мнимая часть поперечного волнового
числа к = к±с/оо зависит от энергии электронов в соответствии с соот-
соотношением [69]
\т~к = 1 /л/т2 — 1 • D-39)
Расстояние от поверхности замедляющей структуры, на котором рас-
распространяется основная часть потока мощности замедленной волны,
как следует из формулы D.39), порядка величины i/t2 — 1.
Столб плазмы, расположенной внутри замедляющей системы, так-
также поддерживает медленные волны. В случае, когда плазма замагни-
чена сильным продольным магнитным полем, для плазменных волн
имеем дисперсионные уравнения к\ = (ио2/с2 — к2} ер внутри плазмы
и к\ = uj2 /с2 — к2 вне ее (здесь ер = 1 — oj2/oj2 — аксиальная ком-
компонента тензора диэлектрической проницаемости плазмы). Для опре-
определения величины kz можно воспользоваться условием синхронизма
oj = kzvz. Для возбуждения плазменной волны и ее локализации в об-
области плазмы требуется выполнение двух основных условий: 1) попе-
поперечное волновое число внутри плазмы должно быть действительным;
2) поперечное волновое число вне плазмы должно быть мнимым. Так
как рассматриваются замедленные волны kz/uj < с, то первое условие
будет выполняться, если ир > и (ер < 0), а второе условие для мед-
медленной волны выполняется автоматически. Тогда для волнового числа
плазменной волны получаем выражение, аналогичное определяемому
формулой D.39). Отсюда следует, что плазменная волна может быть
сильно связана с электромагнитной волной в замедляющей структуре,
только когда расстояние (R — а) удовлетворяет условию
R-a^ (A/2)vV-l D.40)
или в случае нерелятивистских пучков
Щ, D.41)
тс
где Vo — ускоряющее напряжение электронного пучка.
Следует заметить, что для сильной связи между плазменной и мед-
медленной электромагнитной волной требуется, кроме выполнения усло-
условия D.41), выполнение условий синхронизма между обеими волнами.
Для фиксированной частоты это означает, что обе волны должны иметь

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
243
kd
Рис. 4.14. Дисперсионные кривые гибридных мод в плазменно-наполненном
гофрированном волноводе (а), замедляющей системе типа ЦСР (б), диэлек-
диэлектрическом волноводе (в), спиральной замедляющей системе (г) (из рабо-
ты [3])
примерно одинаковые продольные волновые числа kz. Возможная рас-
расстройка между волновыми числами в случае усилителя может быть
оценена по степени экспоненциального роста связанных полей вдоль
пространства взаимодействия. В случае генератора, где kz фиксирова-
фиксировано, частоты мод должны быть одинаковы.
При выполнении условий связи между волнами в плазме и замед-
замедляющей системы возникают моды, которые носят название гибридных
мод [68]. Продольное электрическое поле гибридной моды примерно
одинаково на любом расстоянии от поверхности замедляющей вол-
новедущей системы в отличие от поля мод замедляющей структуры.
Поэтому трубчатый электронный пучок может эффективно взаимодей-
взаимодействовать с гибридными модами не только, когда он распространяется
16*

244
Лекция 4 A9)
в плазме, но также и в области между плазменным столбом и поверх-
поверхностью замедляющей системы.
Рассмотрим некоторые примеры дисперсионных кривых (рис. 4.14),
иллюстрирующие формирование гибридных мод в плазменной ЛБВ
при различных типах замедляющих систем [3,68]. Штриховые линии
на рис. 4.14 соответствуют модам вакуумной замедляющей структуры
и плазменным волнам. Штрих-пунктирная линия на рис 4.14 в,г со-
соответствует частоте ljp, к которой асимптотически стремится частота
плазменной волны при kz —> ос. Из рисунка видно, что дисперсионные
кривые гибридных мод в некоторых областях лежат вблизи мод ваку-
вакуумной электродинамической системы, а в других областях — вблизи
дисперсионных линий плазменных мод.
Схема плазменно-наполненной ЛБВ с цепочкой связанных резона-
резонаторов (ЦСР) представлена на рис. 4.15. Столб плазмы 1 с высокой
плотностью занимает пролетный канал электронного потока. Осталь-
Остальное элементы плазменной ЛБВ с ЦСР аналогичны вакуумной лампе
(см., например, [26]; лекции 9-11). Рассмотрим характеристики ЛБВ
ЦСР с плаз- менным заполне-
заполнением. Дисперсионные кривые ги-
гибридных мод, на которых ра-
работает усилитель, представлены
на рис. 4.14 & Плазменный ка-
канал формируется за счет иониза-
ионизации электронами пучка водорода,
который создается за счет водо-
водородного генератора. Лампа так-
также снабжена вакуумным ионным
насосом, расположенным между
источником электронного пучка
и пространством взаимодействия
2
Рис. 4.15. Схема замедляющей струк-
структуры типа цепочка связанных резо-
резонаторов с плазменным заполнением.
Здесь 1 — столб плазмы, заполняю-
заполняющей пролетный канал электронно-
электронного потока; 2 — элементарная ячей-
ячейка электродинамической структуры
(отдельный резонатор); 3 — элемент
связи с соседними ячейками (из ра-
работы [67])
и не позволяющим ионам плазмы
находится в области электронной
пушки.
Фотография плазменной ЛБВ
ЦСР, зависимость выходной мощ-
мощности от частоты входного сигнала и другие характеристики лампы
представлены на рис. 4.16 и в табл. 4.1. В частности из рис. 4.16 6
следует, что применение в ЛБВ плазменнонаполненой замедляющей
системы существенно увеличило входную мощность лампы, несколько
расширило диапазон усиливаемых частот.
Исследования плазменных приборов с длительным взаимодействи-
взаимодействием выявили наличие сложных колебательных режимов в таких систе-
системах. В работах [70,71] рассматривались процессы стохастизации коле-
колебаний в ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей струк-
структурой и влияние на сложные режимы генерации динамики плазмы, за-
заполняющей пространство взаимодействия. В вышеуказанных работах
было показано, что на динамику генератора оказывает существенное
влияние нелинейность плазмы, одно из проявлений которой заключает-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
245
Таблица 4.1
Основные параметры плазменнонаполненной ЛБВ ЦСР
Частота
кпд
Ширина полосы
Мощность
Ускоряющее напряжение
Ток пучка
Коэффициент усиления в
режиме большого сигнала
Давление газа
Амплитуда шума
Генерация высших гармоник
1 Ч- 10 ГГц — диапазон,
перекрываемый четырьмя лампами
> 35%
> 30%
и 25 кВт
20 кВ
ЗА
25 дБ
0,7-^2мТор
-70дБи
< 60 дБ для 2-й и 3-й гармоник
ся в изменении ее параметров под воздействием распространяющейся
в ней волны. Причиной этого может быть либо сила высокочастотного
давления [77], вытесняющая плазму из области с высокой напряженно-
напряженностью электрического поля, либо высокочастотный разряд, возникаю-
возникающий в области с достаточно большой амплитудой волны. Поскольку
в плазменной электродинамической структуре дисперсия собственных
волн определяется параметрами плазмы, то как в первом, так и во вто-
0,90 1,00 1,10 ///о
Рис. 4.16. Фотография плазменной ЛБВ ЦСР (а) и зависимость выходной
мощности лампы от частоты входного сигнала для плазменнонаполненной
и вакуумной замедляющих систем (б) (из работы [3])

246 Лекция 4 A9)
ром случаях фазовая скорость волны будет зависеть от ее амплитуды.
Нелинейность плазмы, пронизываемой электронным пучком, приводит
к возникновению распределенной обратной связи, которая превраща-
превращает плазменную ЛБВ в генератор низкочастотных плазменных коле-
колебаний. Действительно, возникающие в области максимума СВЧ-поля
возмущения параметров плазмы распространяются в виде собственных
низкочастотных (ионнозвуковых, магнитозвуковых и т. п.) плазменных
волн и влияют на условия возбуждения СВЧ-волн пучком, меняя тем
самым величину поля в области возникновения возмущения. «Память»
о возникшем возмущении параметров плазмы сохраняется до тех пор,
пока возмущение не покинет пространства взаимодействия.
Если кроме указанной распределенной низкочастотной обратной
связи в плазменной ЛБВ существует цепь обратной связи для воз-
возбуждаемых пучком высокочастотных колебаний, то такая система пре-
превращается в генератор СВЧ-излучения со сложной динамикой. В вы-
вышеупомянутых работах были расмотрены некоторые предельные слу-
случаи влияния различных нелинейных эффектов в плазме на процессы
в плазменных СВЧ-приборах с длительным взаимодействием. Так,
в работе [72] показано, что возбуждение продольной пондеромоторной
силой распространяющихся ионно-звуковых волн в системе без высоко-
высокочастотной обратной связи приводят к ограничению выходной мощно-
мощности СВЧ-излучения и развитию низкочастотной автомодуляции. Вли-
Влияние продольной пондеромоторной силы на работу устройства с вну-
внутренней обратной связью (плазменнонаполненной ЛОВ) рассмотрено
в [73]. Однако специфические условия, при которых рассматривалась
ЛОВ (генерация вблизи частоты отсечки, низкая плотность плазмы) не
позволили обнаружить здесь сколько-нибудь значительного эффекта.
В работе [71] рассмотрен другой предельный случай: система с ВЧ
обратной связью (ЛБВ-генератор), в которой поперечная компонента
высокочастотного давления приводит к появлению нераспространяю-
щихся возмущений параметров плазмы. И, наконец, в работе [70] с по-
помощью численного моделирования рассмотрено влияние нелинейности
плазмы на возникновение хаотической генерации в ЛБВ-генераторе
с плазменнонаполненной замедляющей структурой. Проанализируем
результаты этой работы подробнее.
Рассматривался нерелятивистский ЛБВ-генератор, замедляющая
структура которого частично или полностью заполнена плазмой. Ис-
Исследуемая система описывалась уравнениями возбуждения собствен-
собственных высокочастотных волн структуры электронным пучком и уравне-
уравнениями, связывающими возмущения параметров плазмы с амплитудой
возмущенных волн. При этом предполагалось, что возмущения плот-
плотности плазмы обусловлены только силой высокочастотного давления.
Модель учитывает взаимное влияние магнитозвуковых колебаний, выз-
вызванных радиальной неоднородностью полей собственных волн струк-
структуры, и возбуждаемых пучком высокочастотных волн. Не останавли-
останавливаясь на формулировке математической модели, обсудим полученные
в работе [70] результаты.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
247
Автомодуляция
Хаос
Монохроматическая
генерация
9,0 10,0 11,0
Нормированная длина
12,0
Автомодуляция
Хаос
Монохроматическая
генерация
10,0
11,0 12,0
Нормированная длина
Рис. 4.17. Карта режимов генерации ЛБВ-генератора в отсутствии силы
высокочастотного давления (вакуумный ЛБВ-генератор) (а) и при больших
силах высокочастотного давления (ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной
замедляющей структурой) (б) (из работы [70])
На рис. 4.17 представлены карты режимов на плоскости
управляющих параметров «коэффициент обратной связи — нормиро-
нормированная длина ЛБВ» колебаний вакуумного и плазменного ЛБВ-гене-
ЛБВ-генератора с внешней обратной связью. Поведение вакуумного генератора
аналогично поведению вакуумных ЛОВ, гиро-ЛВВ и других приборов
с длительным взаимодействием при изменении основных управляющих
параметров. При постоянном малом коэффициенте обратной связи
по мере возрастания тока пучка /о (увеличение безразмерной
длины
сначала возникает генерация монохроматического
сигнала, затем возникает регулярная и, наконец, стохастическая
автомодуляция выходного сигнала генератора. Общая картина
поведения вакуумного ЛБВ-генератора представлена на рис. 4.17 а.
Стохастическая автомодуляция выходного сигнала возникает только
при больших токах пучка, т. е. при ?/, > 5 -г- 6.

248 Лекция 4 A9)
Заполнение волноведущей системы плазмой приводит к определен-
определенной трансформации карты режимов (см. рис. 4.17 6). Порог возбужде-
возбуждения плазменного ЛБВ-генератора с внешней обратной связью остается
тем же самым, что и для вакуумного, но область монохроматической
генерации во втором случае существенно уже. Плазменнонаполненный
генератор с увеличением тока пучка быстро переходит в режимы авто-
автомодуляции (как периодической, так и хаотической) с ростом коэффи-
коэффициента связи и током пучка. При этом, как показал анализ динамики
генератора методом функционального отображения (см. [26,70,74,75]),
даже слабая нелинейность плазмы существенно влияет на механизм
стохастизации сигнала ЛБВ-генератора, не меняя при этом его энерге-
энергетических характеристик. При больших нелинейностях плазмы начина-
начинают изменяться и энергетические характеристики плазменного генера-
генератора (усилителя) [72]. Переход к хаотической динамике в плазменном
ЛБВ-генераторе происходит через перемежаемость, когда система с те-
течением времени переходит с генерации на одной собственной частоте
к другой. В результате сплошной широкополосный спектр хаотической
генерации является весьма однородным и слабоизрезанным.
Полученные результаты хорошо подтверждаются эксперименталь-
экспериментальными результатами по иследованию хаотической генерации в плаз-
плазменных ЛБВ-генераторах. В работах [44, 76] представлены спектры
хаотических сигналов в ЛБВ-генераторе, которые отличаются силь-
сильной однородностью в отличие от аналогичных вакуумных устройств.
Также экспериментальным подтверждением важности рассмотрения
нелинейности плазмы в плазменнонаполненных приборах с длитель-
длительным взаимодействием является наличие развитых низкочастотных ко-
колебаний в плазме замедляющих структур [44]. Частотный диапазон
таких колебаний меняется в зависимости от мощности СВЧ-излуче-
ния: от десятков кГц при относительно малых мощностях, до десятков
МГц при больших мощностях. Первый диапазон хорошо согласуется
с диапазоном ионно-звуковых колебаний, второй — с магнитозвуковы-
ми колебаниями.
Пазотрон
Пазотрон г) представляет собой новый класс мощных генераторов
(или усилителей) СВЧ-диапазона [3,78-80], использующих в качестве
источника электронного пучка электронную пушку с плазменным като-
катодом и заполненную газом замедляющую электродинамическую струк-
структуру, в которой при инжекции в нее интенсивного электронного пучка
за счет ионизации газа создается плазменный канал. Электронный пу-
пучок проходит через пространство взаимодействия пазотрона в режиме
ионной фокусировки, когда возникающая за счет ионизации нейтраль-
нейтрального газа (обычно используется гелий или ксенон) плазма нейтрали-
нейтрализует пространственный заряд пучка и создает силы, которые сжима-
г) От английского PASOTRON — Plasma Assisted Slow-wave Oscillator.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 249
7
3
Рис. 4.18. Схема пазотрона-генератора на обратной волне сантиметрового
диапазона длин волн. Здесь 1 — замедляющая структура в виде гофри-
гофрированного волновода; 2 — электронная пушка с плазменным катодом; 3 —
ускоритель; 4 — газовый клапан; 5 — окно связи с вакуумным насосом; 6 —
зонды для измерения типа рабочей моды; 7 — антенна, 8 — керамическое
окно для вывода излучения (из работы [80])
ют пучок при инжекции его в пространство взаимодействия. Такой
способ транспортировки электронного пучка через пространство вза-
взаимодействия позволяет отказаться от внешней магнитной фокусирую-
фокусирующей системы, а следовательно, значительно снизить вес и уменьшить
габаритные размеры мощных линейных источников СВЧ-излучения,
требующих ту или иную фокусировку электронного пучка 2) .
Пазотроны разрабатываются как мощные генераторы обратной
волны (ЛОВ) и как усилители бегущей волны (ЛБВ). В качестве
электродинамических замедляющих структур в них в зависимости
от частотного диапазона и мощности используются гофрированные
волноводы, спирали, системы типа цепочек связанных резонаторов
(ЦСР). Экспериментально созданные устройства используют элек-
электронные пучки со следующими типичными параметрами [3]: энергия
электронов 50 -г- 150 кэВ, ток пучка 50 -г- 500 А, длина импульса тока
порядка 100 мкс. Выходная мощность пазотрона (в режиме генерации
на обратной волне) зависит от параметров пучка и заполняющего элек-
электродинамическую структуру газа и составляет величину от 1 до 5 МВт
при эффективности передачи энергии пучка электромагнитному полю
15 -г- 25 %. Пиковая мощность, которая была получена в специально по-
поставленном эксперименте, составила 20 МВт при использовании пучка
с током 1 кА.
На рис. 4.18 представлена схема пазотрона-генератора на обратной
волне сантиметрового диапазона длин волн (С-диапазон, соответствую-
соответствующий частотам от 4 до 8 ГГц), использующего в качестве электродина-
электродинамической структуры гофрированный волновод [80].
2) Заметим, что идея ионной фокусировки электронного потока в приборах
с длительным взаимодействием была высказана и исследована еще в 60-х го-
годах в работах [81-83], однако тогда она не нашла практического применения,
и к ней вернулись только при разработке мощных компактных усилителей
и генераторов с длительным взаимодействием в 90-х годах.

250
Лекция 4 A9)
Рис. 4.19. Схематическое изображение электронной пушки пазотрона. Здесь
1 — полый катод; 2 — газовый клапан; 3 — электрод для поджога электри-
электрического разряда в газе; 4 — плазма; 5 — анод плазменного разряда («катод»
ускорителя); 6 — высоковольтная изолирующая керамика; 7 — ускоряющая
электроны сетка (анод); 8— электронный пучок (из работы [84])
Источником электронного пучка с длительностью импульса 100 мкс
и частотой повторения 2 Гц в пазотроне служит электронная пуш-
пушка с плазменным анодом (ЭППА) (рис.4.19) [84-87]. Использование
в пазотроне ЭППА связано с естественными ограничениями других
источников электронных пучков. Так термоэмиссионные катоды позво-
позволяют формировать пучки с неограниченной длительностью импульса,
но с достаточно жесткими ограничениями на плотности токов. Элек-
Электронные пушки, использующие полевую эмиссию, позволяют созда-
создавать очень высокие плотности токов, однако имеют очень короткую
длительность импульса, ограниченную временем, за которое плазма
заполняет весь ускоряющий промежуток.
ЭППА в отличие от вышеназванных источников электронных по-
потоков позволяет получать мощные пучки с плотностью тока более
50 А/см2 и с длинными импульсами тока. Источником электронов
в ЭППА выступает плазма 4, создаваемая за счет ионизации газа
с низким давлением управляемым электрическим разрядом. Тлеющий
электрический разряд, протекающий между полым катодом 1 и ано-
анодом плазменного разряда 5, создает однородную и стабильную плазму,
плотность которой (а следовательно и плотность электронного потока)
управляется путем изменения напряжения разряда (напряжения на
аноде 5). Холодный катодный разряд не требует большой мощности
накала и позволяет получать высокую частоту повторения импульсов.
Анод плазменного разряда 5 служит первой сеткой («катодом») для
двухсеточного ускорителя электронов 3 (см. рис. 4.18). На вторую,
ускоряющую сетку 7 (см. рис. 4.19) подается импульс ускоряющего
напряжения Vo- Эффективная площадь катода составляет 104см2,
и ЭППА позволяет формировать электронные пучки током до 2 кА
с длительностью импульса 100 мкс.
На рис. 4.20 а представлены зависимости мощности выходного из-
излучения пазотрона от ускоряющего напряжения при различных токах
пучка. При различных ускоряющих напряжениях пучка в пазотроне

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
251
Дых. МВТ
/W,MBt
1
од
0,01
' 70 А
¦ 80 А
•120 А
>160 А 6<Л></
4,5</о<6,5
1
од
H1
: А Гелий
; о АрГОН
. • Ксенон
А /аа
¦ ' Не
э/ о
Аг
Хе
0 20 40 60 80 100 F0,kB 75 80 85 90 К0,кВ
Рис. 4.20. Выходная мощность пазотрона-генератора на обратной волне сан-
сантиметрового диапазона длин волн при изменении ускоряющего напряжения
(а); выходная мощность пазотрона-генератора на обратной волне при изме-
изменении ускоряющего напряжения для ионов различной массы (б) (из работы
[80])
имеет место генерация с различными частотами, что соответствует
возбуждению различных волноводных мод. Из рисунка видно, что
с изменением напряжения наблюдаются как зоны генерации, так и об-
области изменения напряжения, где генерация отсутствует. Для каждой
зоны напряжений, в которой имеет место генерация, экспериментально
определен оптимальный максимальный ток, который и приведен на
рис. 4.20 а. На рис. 4.20 а также представлен диапазон частот, в котором
имели место колебания выходного поля в каждой из зон генерации.
Колебания возникали на частоте максимального усиления и далее
с током пучка спектр генерации усложнялся. Частота максимально-
максимального усиления определялась длиной системы и отражениями от концов
лампы. Для получения монохроматического одночастотного сигнала
длина замедляющей структуры выбиралась малой (8 -г- 12 периодов
гофрированного волновода).
Важной проблемой с точки зрения увеличения КПД и выходной
мощности пазотрона является выбор заполняющего электродинамиче-
электродинамическую структуру газа. Как показали исследования [80], основную роль
играет масса ионов, образующих плазменный канал, по которому дви-
движется электронный пучок. Рисунок 4.20 б иллюстрирует зависимость
максимальной выходной мощности от ускоряющего напряжения для
трех различных газов, заполняющих систему — гелия, аргона и ксено-
ксенона, имеющих различные массы rrii ионов. Заполнение системы ксено-
ксеноном, ионы которого наиболее тяжелые, при давлении 10~5 -г- 10~4 Тор
обеспечивало наибольшую выходную мощность. Увеличение выходной
мощности при использовании более тяжелых ионов связано с подавле-
подавлением гидродинамических неустойчивостей в пучке. Частота генерации

252 Лекция 4 A9)
/о уменьшается с увеличением массы ионов как /о ~ 1/л/пц . Частота
и скорость роста гидродинамических (шланговой и винтовой [100])
неустойчивостей в пучке уменьшаются с ростом массы ионов и при
выборе оптимальных параметров пучка и давления газа. Подавление
неустойчивостей было подтверждено как путем прямых измерений
в пучке [80], так и косвенно по максимальной выходной мощности
и максимальной длительности импульса ВЧ-излучения.
В работах [78, 80] рассматривался мощный пазотрон-генератор
с электродинамической структурой в виде гофрированного волновода,
предназначенный для работы в дециметровом диапазоне длин волн
(L-диапазон, соответствующий частотам 390 -г- 1550 МГц). Схема и фо-
фотография макета такого генератора показаны на рис. 4.21 а. ЭППА 1
формирует электронный пучок с током 2 кА и энергией ускорения
0,24 МэВ. Гофрированный волновод 2 имел следующие размеры: внеш-
внешний диаметр составлял 28,5 см, внутренний — 18,3 см, глубина гофри-
гофрировки 5,1 см, шаг гофра 8,6 см, полное число гофров — 12, общая длина
замедляющей системы 103 см. Дисперсионная диаграмма структуры
показана на рис. 4.21 ?, на котором показана рабочая частота 1,34 ГГц,
соответствующая синхронизму медленной волны пространственного
заряда в пучке и волноводной моды TMqi. Заметим, что, поскольку
плазма не замагничена, дисперсионные характеристики электромаг-
электромагнитных мод с плазмой и без плазмы практически одинаковы: в присут-
присутствии плазмы они незначительно сдвигаются вверх.
После замедляющей системы (гофрированного волновода 2) распо-
располагается диагностическая секция 3 длиной 122 см, в которой располага-
располагались зонды для измерения радиальной компоненты Ег электрического
поля. Они были собраны в азимутальные и аксиальные решетки на
внутренней поверхности волновода измерительной секции и использо-
использовались для измерения распределения радиального поля рабочей моды,
на которой происходила генерация СВЧ-излучения в пазотроне. Как
показали измерения, рабочей модой была TMqi- или ТЕП1-мода круг-
круглого волновода.
Следующей секцией экспериментального пазотрона дециметрового
диапазона с гофрированным волноводом был преобразователь моды 4
(рис. 4.21 в), в котором TMoi-мода преобразовывалась в ТЕМ-моду
коаксиального волновода и далее в ТЕц-моду, которая излучалась
через антенну 6. При генерации на ТЕП1-волне преобразователь мод
удалялся, и мощность ТЕ-моды излучалась из антенны без преобра-
преобразования. Генерация на ТЕ-модах связана с влиянием гофрированной
стенки волновода — силовые линии электрического поля нормальны
к проводящей поверхности электродинамической системы, поэтому ак-
аксиальная компонента электрического поля появляется везде кроме оси
волновода.
Пазотрон дециметрового диапазона длин волн в эксперименте де-
демонстрировал генерацию СВЧ-импульсов с частотой повторения 1 Гц
и выходной мощностью ~ 10МВт (полная энергия, заключенная в им-
импульсе, составляла около 800 Дж). Максимальная выходная мощность,

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
253
Ш.Р"
ГГц
Рабочая точка
A,34 ГГц)
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ?,1/см
Входной
волновод
TMoi ТЕМ ТЕМ TEoi
ТЕц
Рис. 4.21. а — схема и фотография лабораторного макета пазотрона-генера-
тора на обратной волне дециметрового диапазона длин волн. Длина системы
около 5 м, диаметр ~ 30 см. Здесь 1 — электронная пушка с плазменным
катодом; 2 — замедляющая структура в виде гофрированного волновода; 3 —
диагностическая секция; 4 — преобразователь мод; 5 — окно из тугоплавкого
борного стекла (пирекса); 6 — антенна (из работы [3]). б — дисперсионная
характеристика для пазотрона с энергией пучка 200 кВ и соответственно
рабочей частотой 1,34 ГГц. в — схематическое изображение преобразователя
TMoi моды в ТЕц моду (из работы [80])

254 Лекция 4 A9)
полученная в эксперименте, составляла 20 МВт и ограничивалась
неустойчивостями пучка при ионной фокусировке.
Заметим, что использование в качестве замедляющей структуры
гофрированного волновода в диапазоне частот ~ 1 ГГц имеет ряд недо-
недостатков. В первую очередь они связаны с большими геометрически-
геометрическими размерами (диаметр гофрированного волновода ~ 20 см), которые
требуются при генерации на ТМ- или ТЕ-модах в рассматриваемом
диапазоне.
Проблема уменьшения размеров и веса прибора, а также расшире-
расширения рабочей ширины полосы частот решаются с использованием спи-
спиральных замедляющих структур. Спиральные замедляющие системы
работают на коаксиальных ТЕМ-волнах (см., например, [88]), которые
требуют меньший диаметр волноведущей системы. При использова-
использовании спиральной замедляющей системы диаметр пазотрона не зависит
от вида рабочей моды и определяется в первую очередь параметра-
параметрами пучка и характеристиками выходного излучения. Здесь на первом
месте для мощных усилителей и генераторов оказывается проблема
электрической и тепловой прочности элементов конструкции, поэто-
поэтому использование спиральной замедляющей структуры ограничивает
максимальную выходную мощность прибора. Во-первых, это связано
с тепловым режимом работы спирали (при больших токах пучка то-
коосаждение может быть таково, что возможно плавление элементов
электродинамической структуры). Во-вторых, при больших напряжен-
ностях выходного поля (большой мощности лампы) возможен электри-
электрический пробой в элементе связи спирали с выходным устройством.
В пазотроне дециметрового диапазона длин волн используется спи-
спиральная замедляющая система с водяным охлаждением и специально
разработанным ВЧ-выводом энергии, расчитанным на вывод излуче-
излучения с мощностью > 1 МВт.
Фотография макета пазотрона дециметрового диапазона длин волн
со спиральной замедляющей структурой представлена на рис. 4.22.
Прибор разрабатывался как генератор обратной волны. Внутренний
диаметр спирали 5 см, что существенно меньше диаметра гофрирован-
гофрированного волновода, шаг спирали Зсм, число витков 12 -г- 14. Максималь-
Максимальная выходная мощность составляла 2 МВт при длительности импульса
порядка 100 мкс. Ускоряющее напряжение 50 -г- 100 кВ и ток пучка
50 -г- 200 А. КПД генератора составлял величину т\ « 0,3. Зависимость
выходной мощности спирального пазотрона от ускоряющего напряже-
напряжения показана на рис. 4.23 а для тока пучка /о = 100 А. Видно, что с ро-
ростом ускоряющего напряжения имеет место рост выходной мощности,
которая стабилизируется при Vb ~ 80 кА на уровне 2 МВт.
При генерации излучения в пазотроне был также обнаружен эф-
эффект увеличения частоты генерации в течение импульса тока, инжек-
инжектируемого в пространство взаимодействия. Это явление иллюстрирует
рис. 4.23 ?, на котором показана осциллограмма измеренной частоты ге-
генерации пазотрона со спиральной замедляющей системой при ускоряю-
ускоряющем напряжении 70 кВ при заполнении пространства взаимодействия
ксеноном с давлением 2 • 10~5 Тор. Генерация начинается на частоте

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 255
i :Н !
1 V
I /¦ Т"..::„ "'*;!:i;P- ' V
Рис. 4.22. Фотография пазотрона-генератора обратной волны дециметрового
диапазона длин волн со спиральной замедляющей системой (из работы [3])
1,22 ГГц, с достижением током пучка рабочего значения частота вы-
выходит на некоторый уровень и не изменяется в течение временного
интервала 30 мкс. Далее частота генерации начинает монотонно уве-
увеличиваться и к концу импульса тока отличается от рабочего значения
на существенную величину. Одновременно с началом сдвига частоты
колебаний уменьшается выходная мощность излучения пазотрона (на
10 -г- 50 %) и при временах более 60 мкс после начала импульса падает
почти до нуля.
Такое поведение частоты колебаний на выходе генератора связа-
связано с изменением дисперсионной характеристики спиральной замедля-
замедляющей системы при заполнении ее плазмой. При отсутствии плазмы
дисперсионную характеристику спирали в окрестности рабочей точки
можно приближенно представить в виде
сА j 2с ,. .оч
к + D42)
где А — шаг спирали и d — диаметр спирали. Колебания в системе
происходят на частоте, которая определяется как точка пересечения
характеристики D.42) с дисперсионной линией МВПЗ в пучке, которая
определяется как [26] и = и к — соь, где ииц- соответственно скорость
и плазменная частота электронного пучка. Соответствующая дисперси-
дисперсионная диаграмма представлена на рис. 4.23 в (рабочая точка отмечена
цифрой 1) для пучка с током 80 А и ускоряющим напряжением 70 кВ.
После ионизации нейтрального газа и формирования плазменно-
плазменного канала вид дисперсионной характерстики меняется. Соотношение

256
Лекция 4 A9)
РВых,МВт
III
! II.
№
20 30 40 50 60 70 Ко,кВ
/, ГГц
?1
70 75 80 85 90
/A0 мкс/деление)
Рис. 4.23. а — зависимость выходной мощности спирального пазотрона-
усилителя обратной волны от ускоряющего напряжения (из работы [80]);
б — частота генерации пазотрона со спиральной замедляющей системой как
функция времени в течение длительности импульса тока (из работы [80]);
в — дисперсионная характеристика пазотрона со спиральной замедляющей
структурой в окрестности рабочей точки
D.42) необходимо заменить на выражение вида
д г) \ 2
UJ — —
тгс/
d;
D.43)
где Up — характерная плазменная частота плазмы, заполняющей за-
замедляющую структуру, остальные параметры те же, что и в формуле
D.42).
При ионизации электронным пучом нейтрального газа, плотность
плазмы в замедляющей структуре увеличивается, и пучок начинает
сжиматься — происходит ионная фокусировка — и скорость иониза-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 257
ции возрастает. Эти процессы увеличивают плотность фоновой плазмы
в течение длительности импульса. Если плазменная частота сравнима
с частотой генерации ЛОВ, то частота выходного излучения будет уве-
увеличиваться с течением времени благодаря продолжающейся генерации
плазмы и сжатии электронного пучка. Увеличение частоты вполне
понятно из рассмотрения дисперсионной диаграммы для этого случая
(см. рис. 4.23 в) — увеличение плотности плазмы приводит к подъему
соответствующей дисперсионной кривой электродинамической систе-
системы вверх.
Величина сдвига частоты в течение импульса в спиральном пазо-
троне определяется давлением нейтрального газа, параметрами пуч-
пучка (током и напряжением), а также технологическими особенностями
сборки и подготовки макета. Уменьшить сдвиг частоты в течение им-
импульса возможно путем создания условий, когда ионизация газа вне
плазменного канала, по которому движется электронный пучок, будет
затруднена. Этого можно достичь обезгаживанием макета и фильтра-
фильтрацией тех примесных компонент газа, которые могут способствовать
ионизации. Так в плохо очищенной системе сдвиг частоты составлял
около 150 МГц в течение импульса длительностью 100 мкс. После 1000
электронных импульсов сдвиг частоты составил 20 МГц и выходная
мощность практически не менялась в течение импульса [80].
Итак, анализ экспериментальных результатов свидетельствует, что
пазотрон является весьма перспективным СВЧ-генератором и усилите-
усилителем в диапазоне частот до 10 -г- 15 ГГц с максимальной выходной мощ-
мощностью до нескольких десятков мегаватт. Прохождение пучка через
плазменный канал, который создается им за счет ионизации нейтраль-
нейтрального газа, позволяет отказаться от громоздких внешних магнитных
фокусирующих систем, а следовательно снизить вес и размеры устрой-
устройства. Экспериментально полученные характеристики пазотрона-гене-
ратора обратной волны показывают, что пазотрон по ряду важных
характеристик не уступает вакуумным источникам СВЧ-излучения.
В работах [101-103] в рамках самосогласованной нестационарной
математической модели, описывающей взаимодействие электронного
потока с замедленной электромагнитной волной электродинамической
системы в присутствии подвижных ионов, начат теоретический ана-
анализ специфики физических процессов, определяющих выходные харак-
характеристики и особенности работы пазотрона-усилителя прямой волны
и пазотрона-генератора обратной волны. Численная модель [101,102]
достаточно сложна и учитывает генерацию ионов электронным пучком,
динамику ионов в плазменном канале, токооседание пучка на стенки
электродинамической системы и т. п.
Вместе с тем возможно построение простой линейной теории лам-
лампы с ионной фокусировкой (пазотрона) [104] на основе метода по-
последовательных приближений, который применительно к приборам
с длительным взаимодействием О-типа подробно обсуждался в первом
томе книги (лекция 9). Рассмотрим простейшую модель пазотрона,
представляющую собой ионно-сфокусированный электронный пучок,
движущийся со скоростью г>о вдоль замедляющей системы, и взаимо-
17 Трубецков, Храмов

258 Лекция 4 A9)
действующий с бегущей электромагнитной волной в линии передачи
в условиях черенковского резонанса. Предполагается установившийся
режим, когда плазменный канал, через который транспортируется пу-
пучок, уже сформировался, так что динамику ионов можно не рассмат-
рассматривать.
Пусть электронный пучок движется в направлении оси z, которое
совпадает с осью аксиально-симметричного пространства взаимодей-
взаимодействия исследуемой системы. Уравнение движения электрона пучка
в присутствии плотного ионного фона в цилиндрической системе коор-
координат с учетом аксиальной симметрии системы можно записать в виде
±p=V(fi + fe+p1), D-44)
^ = 0. D.45)
at
Здесь предполагается, что z = vo(t — t\) = vqt, t. e. считается, что про-
продольная скорость vo электрона не меняется; fi — фокусирующая сила
положительных ионов, /е — дефокусирующая сила пространственного
заряда электронов, р\ — сила, обусловленная поперечным тепловым
разбросом скоростей электронов [105,106].
Предположим, что плотность пространственного заряда неизмен-
неизменна по поперечному сечению пучка и что длина волны аксиального
изменения поверхности пучка мала по сравнению с его характерным
поперечным размером (диаметром). Тогда, воспользовавшись теоремой
Гаусса и предполагая в качестве уравнения состояния электронного
газа уравнение адиабаты, перепишем уравнение движения электронов
ионно-фокусируемого пучка в виде [105,106]
d2r _ пРгг , /о , утг1 D<4б)
dz Vo rvoVo Vors '
где pi — средняя плотность ионов в рассматриваемом поперечном
сечении пучка, /о и Vo — ток и напряжение пучка, <рт = кТ/е, к —
постоянная Больцмана, Т — температура электронов, эмитируемых
катодом, Г& — радиус, характеризующий положение электронов на
катоде.
Считая, что амплитуда поперечных флуктуации фокусируемого
пучка мала, статический радиус электронного пучка можно предста-
представить в виде
П = гоA + г), |r|<r0. D.47)
Здесь го — равновесное значение радиуса пучка, г — величина, характе-
характеризующая волнистость границ пучка. Тогда, при сделанных предполо-
предположениях уравнение относительно величины г пульсаций границы пучка
сводится к линейному уравнению вида
^ + <52F=0, D.48)

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 259
где величина 5 определяет длину волны пульсаций 2тг/5 границы пуч-
пучка. В интересном с точки зрения практики случае (pi — ре)/ре <С 1
величина S определяется следующим соотношением [106]:
D.49)
Здесь rrii и те — масса ионов и электронов соответственно, s — удель-
удельная ионизация, Р — давление газа, заполняющего электродинамиче-
электродинамическую систему пазотрона.
Уравнение D.48) представляет собой уравнение линейного осцилля-
осциллятора и его решение имеет вид
г = a cos Sz + 6 sin Sz, D.50)
где а = r\z=o и b = *V-
dz
z=0
соответствуют начальным условиям при
z = 0. Далее для определенности рассмотрим случай а ф 0, 6 = 0,
который соответствует инжекции пучка параллельно оси системы.
Перейдем к решению высокочастотной задачи в одномерном при-
приближении без учета градиентов статических полей и высокочастотных
полей пространственного заряда электронного пучка. Предполагая, что
все переменные величины изменяются по закону exp[jct;?], уравнение
для сгруппированного тока в ВЧ-поле бегущей волны можно записать
в виде
T=i^B(n,^,r), D.51)
v0
где /Зе = uj/vo, а ВЧ-поле Е выражается как [108]
Ё(г{,г{,т)) = Еое-М°*е-РоТ<е-М°ъ. D.52)
Удобнее воспользоваться уравнением для сгруппированного тока не
в дифференциальной D.51), а в интегральной форме, которое с учетом,
что z = vot (последнее соответствует малости величины \Е\), запишет-
запишется в виде
D.53)
где Vo = Vq/2t] — ускоряющее напряжение.
Разложим экспоненциальный множитель exp [—jPoTi], где Т{ опре-
определяется формулами D.47) и D.50), в выражении D.52) в ряд Фурье,
ограничиваясь для получения аналитического результата только чле-
членами с номерами к = 0, =Ы:
e-/3on = _je-2j8z ((X + e2jSz) /l(a/3or6) _ е>'Чо{аРогь)) х
17*

260 Лекция 4 A9)
х ((е2^ - 1) h(bporb) - je>540(bf30rb)) . D.54)
Здесь /о и /i — модифицированные функции Бесселя соответственно
нулевого и первого порядка. Тогда, интегрируя уравнение D.53), с уче-
учетом разложения D.54) находим:
-Г, ч ./Зе/О e-Jf>.*e-f>OTb
{Ре ~ PofiS2 ~ (Ре ~ Poffi^2 -(Pe-,
- А)J (е3^г F-ре+ Pof + ejSz E + /Зе - /3ОJ
+ zfie52 + Ро (bzPl - 2jPe - zS2))) h(aPon))] • D.55)
Вид выражения для сгруппированного тока D.55) показывает, что
динамика пучка в поперечном направлении (периодические колебания
с пространственным периодом 2тг/'5) оказывает существенное влияние
на процессы группировки электронов. Рассмотрим этот вопрос подроб-
подробнее, для чего найдем наведенное в линии передачи сгруппированным
током ВЧ-поле и, следовательно, величину электронной мощности вза-
взаимодействия ВЧ-поля с непрямолинейным ионно-фокусируемым пуч-
пучком.
Рассмотрим вначале случай взаимодействия ионно-сфокусирован-
ного электронного пучка с прямой волной в линии передачи, который
соответствует пазотрону-усилителю прямой волны (ЛБВ-пазотрон).
Используя найденную величину сгруппированного тока D.55) и ста-
стационарное уравнение возбуждения непрямолинейным потоком прямой
волны в линии передачи в интегральном виде [107]
E(z) = E°e~j^z - Щ- [Т@Ый)е-^°(*-« d? D.56)
(ip±(r) — распределение ВЧ-поля D.52) по поперечному сечению ли-
линии передачи г); Е° — амплитуда входного сигнала в начале линии
передачи z = 0) и учитывая малость колебаний пучка в поперечном
направлении \г\ <$С го, находим выражение для полного поля в конце
г) Величина <р±(г) определяет значение ВЧ-поля волны в том месте по-
поперечного сечения линии передачи, где в данный момент проходит пучок,
который предполагается достаточно тонким.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 261
волноведущей системы (х = /) при ионной фокусировке электронного
пучка в виде
(Fa(*0,<p, X) + jFr(<t>0, v, X))} ,
D.57)
где
п(Фо,^х) = /о(х)BA"с08ф;)з+Фо8|пФо)
Фо
¦2/1(х)((Ф° + у2)81ПУ + У2(Ф°"Л2Ф081пФ°)). D.59)
Здесь Фо = (Ре — РоI> — относительный угол пролета электронов в про-
Т IS I /Q \
странстве взаимодействия, (р = о/, С = ——- — , X = аРгъ-> N —
4 Ко \Ре )
= Pel/2тг — число длин волн, укладывающихся на длине пространства
взаимодействия (электрическая длина лампы).
Функции ^а(Фо,</?,х) и ^г(Ф(ъ ^5 х) описывают взаимодействие
ионно-сфокусированного электронного потока с бегущей электромаг-
электромагнитной волной в пазотроне и пропорциональны соответственно актив-
активной и реактивной составляющим электронной мощности взаимодей-
взаимодействия Ре. Полученные выражения записаны при условии, что в линии
передачи отсутствует затухание, т. е. Ро — постоянная распространения
волны в линии передачи — является действительной величиной.
Отметим, что полученные выражения для ^а(Фо,^,х)
и ^г(Фо, (/?, х) в пределе пучка с неизменным сечением (х —> 0, </? —> 0)
переходят в хорошо известные выражения, описывающие группировку
в приборах О-типа (см., например, первый том книги, лекция 9,
формулы (9.19)-(9.21)).
Следует также заметить, что при выполнении резонансного условия
Ре — Ро = =Ь<5 получаем, что величины Fa^r неограниченно возрастают,
тогда как истинное решение, очевидно, должно быть ограничено при
любых соотношениях между /?е, Ро и 5. Последнее связано с тем,
что при решении задачи мы ограничились предположением о мало-
малости возмущений статической траектории ионно-фокусируемого пучка
и ограничивались малым числом членов разложения. Поэтому в даль-
дальнейшем не будем рассматривать случай Ре — Ро = =Ь^- Последнее явля-
является вполне разумным, так как оценка величины \ip\ = \5l\ из данных
физических экспериментов с пазотроном показывает, что величина \51\

262
Лекция 4 A9)
0,05 0>:
Рис. 4.24. Зависимость функции /^(Фо, (р, х) от Фо для различных значений
параметра % и <р = 20
достаточно велика и лежит вне интересующего нас диапазона измене-
изменения Ф0 = (Ре ~ Po)l e (-37Г, ЗТГ).
На рис. 4.24 представлены функции ^а(Фо, </?, х) в зависимости от
относительного угла пролета Фо в предположении, что последний изме-
изменяется вследствие изменения фазовой скорости волны при постоянных
значениях /, и и vo. Различные кривые получены при ср = 20 и различ-
различных значениях параметра х, что может быть интерпретировано, как
различные свойства механизма ионной фокусировки в пазотроне. Слу-
Случай х = 0 на рис. 4.24 соответствует зависимости активной мощности
взаимодействия электронов, удерживаемых бесконечным фокусирую-
фокусирующим магнитным полем (классическому усилителю бегущей волны).
Из рис. 4.24 следует, что в диапазоне изменения относительного
угла пролета-тг < Фо < тг величина |^а(Ф0, </?, х)| > |^а(Ф0, 0, 0)|, т.е.
имеет место увеличение эффективности взаимодействия электронов
с бегущей волной. При этом с ростом параметра х, который можно
интерпретировать как радиус поперечных колебаний ионно-фокусиру-
емого электронного потока, наблюдается увеличение величины \Fa .
Это связано с ростом эффективного сопротивления связи замедляющей
системы пазотрона при увеличении радиуса пучка. При Фо > тг и Фо <
< —тг имеет место ухудшение взаимодействия электронов с ВЧ-полем
по сравнению с классической ЛБВ. При этом степень улучшения или
ухудшения эффективности взаимодействия существенно зависит от
параметров ионной фокусировки ср и %.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
263
G-дБ
30
20
10
CN
Рис. 4.25. Зависимость коэффициента усиления G пазотрона-усилителя от
безразмерной длины лампы С N для различных значений параметра % (отме-
(отмечены на рисунке) и Фо = —0,54тг (а), Фо = —1,2тг (б) (<р = 15) . Штриховыми
линиями отмечены кривые, соответствующие случаю ЛБВ с электронным
пучком, фокусируемым бесконечным внешним магнитным полем (х = 0)
Коэффициент усиления G (в дБ) пазотрона по мощности находится
как
= 201g
Е@)
где поле Е(Г) на выходе усилителя определяется соотношением D.57).
На рис. 4.25 приведены зависимости коэффициента усиления па-
пазотрона от параметра С TV, построенные при различных значениях
параметра х ионной фокусировки. Данные кривые можно интерпре-
интерпретировать как зависимость коэффициента усиления пазотрона от тока
пучка С N ~ v^To или от длины пространства взаимодействия С N ~
~ /. Из рисунка видно, что при малых значениях параметра С N поле
изменяется слабо. Это связано с тем, что при малых длинах простран-
пространства взаимодействия пучок еще слабо сгруппирован и эффективного

264 Лекция 4 A9)
взаимодействия между ним и прямой электромагнитной волной нет.
С ростом параметра С N увеличивается амплитуда сгруппированного
тока, поле в лампе возрастает, одновременно наблюдается быстрый
рост коэффициента усиления пазотрона.
Из рис. 4.25 а, построенном при значении относительного угла про-
пролета Фо > —тг, следует, что с увеличением параметра х имеет место рост
коэффициента усиления пазотрона. Иная ситуация имеет место при
Фо < —тг (см. рис. 4.25 б). В этом случае коэффициент усиления G па-
пазотрона падает, что обусловлено уменьшением величины функции \Fa\
при | Фо | > тг. Одновременно, как следует из сравнения представленных
на рис. 4.25 ? кривых, при больших значениях х > 0,22 параметра ион-
ионной фокусировки зависимость G(CN) приобретает «пульсирующий»
характер.
Для более детального исследования вопроса усиления сигналов
в пазотроне рассмотрим зависимость коэффициента усиления G от
величины относительного угла пролета Фо. Отметим, что относитель-
относительный угол пролета электронов при фиксированной частоте и сигнала
характеризует величину «холодного» рассинхронизма между волной
и пучком, т. е. разность фазовой скорости Уф «холодной» волны в линии
передачи и скорости vo электронного потока. Случай vo > ^ф, как
следует из определения относительного угла пролета, соответствует
Фо < 0 и наоборот. На рис. 4.26 представлены зависимости коэффи-
коэффициента усиления G от величины Фо, построенные при различных зна-
значениях безразмерной длины пазотрона С N. Кривые, построенные при
X = 0, соответствуют коэффициенту усиления «классической» ЛБВ,
найденному в рамках первого приближения метода последовательных
приближений, которое справедливо при длинах лампы С N < 1,0.
Найденные зависимости коэффициента усиления при различных
безразмерных длинах системы С N (токах пучка) ионной фокусиров-
фокусировки показывают, что с ростом величины х наблюдается определенное
усложнение вида зависимости С(Фо). Так при х < 0,03 зависимость
коэффициента усиления от относительного угла пролета Фо (или, что то
же самое, от частоты) близка к соответствующей кривой, построенной
для «классической» ЛБВ (х = 0). Однако при х > 0,03 вид функции
С(Фо,х) существенно изменяется, что связано с появлением сильной
изрезанности на зависимости С(Фо) при увеличении параметра С N.
Последнее является весьма отрицательным фактором системы с ион-
ионной фокусировкой пучка, так как в этом случае будет наблюдаться
существенное искажение многочастотного широкополосного сигнала
даже в линейном режиме работы ЛБВ-пазотрона.
Аналогичным образом можно теперь рассмотреть случай взаимо-
взаимодействия ионно-сфокусированного электронного пучка с обратной вол-
волной в электродинамической замедляющей структуре (пазотрон-лампа
обратной волны; ЛОВ-пазотрон). В этом случае вместо интегрально-
интегрального уравнения возбуждения непрямолинейным пучком прямой волны
D.56) необходимо использовать соответствующее уравнение возбужде-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника
265
CN = 0,3
Рис. 4.26. Зависимости коэффициента усиления G пазотрона-усилителя пря-
прямой волны от относительного угла пролета Фо электронов в пространстве
взаимодействия для различных значений параметра ионной фокусировки х
(отмечены на рисунке), построенные при следующих значениях безразмер-
безразмерной длины лампы CN: а — CN = 0,2, б — CN = 0,3, в — CN = 0,6, г —
CN = 0,8 (у> = 15).
ния встречной волны, которое записывается как
E(z) = E°
D.60)
Тогда, проводя выкладки аналогичные выкладкам для ЛБВ-
пазотрона, можно получить полное поле Е на выходе системы х = 0.
В первом приближении оно записывается в виде
Е@) =
BttC7VK
о, <р, Х)
D.61)
где все функции Fa и Fr определяются формулами D.58) и D.59),
а обозначения совпадают с обозначениями в формуле D.57).
Как и при взаимодействии с прямой волной (ЛБВ-пазотрон) можно
ввести коэффициент усиления ЛОВ-пазотрона G = 20 lg
, где

266
Лекция 4 A9)
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0,9
0,3
0,0 0,02 0,04 0,06 0,08
Рис. 4.27. Зависимость максимального усиления Gmax и ширины полосы До;
усиливаемых частот от параметра ионной фокусировки х (^ = 15)
— амплитуда входного усиливаемого сигнала, Е@) — амплитуда
выходного поля D.61).
На рис. 4.27 показаны зависимости максимального коэффициен-
коэффициента усиления Gmax и ширины полосы До; усиления (определенной на
уровне ЗдБ) пазотрона-усилителя с обратной волной от параметра
ионной фокусировки %, построенные при ср = 15. Все зависимости нор-
нормированы на соответствующие величины при % = 0. Из рисунка видно,
что с ростом величины осцилляции ионно-фокусируемого электронного
пучка в линейной теории наблюдается рост коэффициента усиления
пазотрона с 16 дБ до 24 дБ с одновременным сужением относительной
полосы усиливаемых частот. Такое поведение коэффициента усиления
связано с уже обсуждаемым выше увеличением эффективного сопро-
сопротивления связи электронов с волной в линии передачи с ростом пара-
параметра ионной фокусировки.
Заметим, что теперь, в отличии от ЛБВ-пазотрона, мы имеем дело
с регенеративным усилением, и при некоторых параметрах возможно
получить генерацию на обратной волне (пазотрон-генератор обратной
волны). Условием возбуждения пазотрона-усилителя является обраще-
обращение коэффициента усиления в бесконечность или обращения в нуль
поля Е{1) = 0 на коллекторном конце лампы. Тогда из соотношения
D.61) с учетом выражений D.58) и D.59) следуют пусковые условия ге-
генератора обратной волны с ионной фокусировкой электронного пучка
(Л ОВ-пазотрона):
1 +
<р,
= 0,
s, <р, х) = 0,
D.62)
где индексом «s» обозначены значения соответствующих величин, при
которых наблюдается самовозбуждение пазотрона-генератора.
Решение уравнения D.62) показывает, что пусковые условия
пазотрона-генератора слабо зависят от параметров ионной фокусиров-
фокусировки и близки к соответствующим пусковым условиям лампы обратной
волны О-типа: Фо<? ~ —тг, СNs « 3,0. Из уравнения D.62) также
следует, что в пазотроне-генераторе облегчается возбуждение высших

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 267
видов колебаний, однако, для корректного определения их пусковых
значений необходимо использование приближений более высокого
порядка.
Заметим, что изложенная простейшая линейная теория взаимодей-
взаимодействия ионно-фокусируемого электронного пучка с электромагнитной
волной не учитывает целый ряд существенных особенностей черенков-
ского взаимодействия ионно-фокусируемого пучка с синхронной вол-
волной линии передачи, в частности, важную роль токооседания пучка
на замедляющую систему. Так, в работах [102,103] установлено, что
в ЛБВ-пазотроне выброс пучка на стенки электродинамической струк-
структуры приводит к прерыванию неустойчивости (фактически, снижению
эффективной электрической длины лампы), так что амплитуда выход-
выходного сигнала перестает зависеть от уровня входного сигнала. В ЛОВ-
пазотроне подобный эффект приводит к появлению автомодуляции
выходного сигнала пазотрона, т. е. к многочастотному спектру генери-
генерируемого излучения.
Лазеры на свободных электронах с плазменным
заполнением
Как обсуждалось нами в лекции 2, одним из бурно развивающихся
классов приборов релятивистской электроники являются лазеры на
свободных электронах, предложенные конструкции которых весьма
разнообразны и направлены на получение мощного коротковолнового
перестраиваемого по частоте электромагнитного излучения. Известно,
что одним из элементарных механизмов излучения в ЛСЭ являет-
является комптоновское рассеяние электромагнитной волны на электронах
релятивистского пучка. На основе этого механизма созданы успешно
работающие генераторы, в которых в качестве рассеиваемой электро-
электромагнитной волны используется периодическое магнитное поле (поле
ондулятора, вигглера и т.п.). При этом длина волны генерируемого
излучения Xs может быть оценена как (см. лекцию 2)
А, = А^/272, D.63)
где Xw — например, пространственный период магнитостатического
поля, 7 — релятивистский фактор электронов.
Из соотношения D.63) следует, что имеются два пути продвиже-
продвижения в более коротковолновую область. Во-первых, за счет уменьшения
пространственного периода Xs ондулятора и, во-вторых, за счет увели-
увеличения энергии электронов релятивистского пучка. Каждый из этих пу-
путей характеризуется различной эффективностью преобразования ки-
кинетической энергии пучка в энергию электромагнитного излучения.
Реализация первого пути продвижения во все более коротковолновую
область наталкивается на технические трудности создания ондулято-
ондуляторов и вигглеров с периодами Xw меньшими нескольких сантиметров
и мощными магнитными полями (порядка 1кГс). Поэтому возника-
возникает необходимость в исследовании возможности использования других

268 Лекция 4 A9)
структур, которые бы выполняли роль накачки, а также возможность
использования других элементарных эффектов для создания источни-
источников коротковолнового излучения, основанных на рассеянии электро-
электромагнитных волн в среде.
Одной из наиболее эффективных сред, пригодных для этих целей,
является плазма [89]. В работах [90,91] была исследована возможность
использования легмюровской волны, возбуждаемой в плазме, в каче-
качестве эффективного ондулятора с малым пространственным периодом.
Рассмотрим основные результаты этих работ, в которых предлагается
использование плазменного вигглера для ЛСЭ.
Период плазменной волны, которая рассеивается на электрон-
электронном пучке, определяется дисперсионными свойствами плазмы. Пара-
Параметром, определяющим эффективность преобразования кинетической
энергии пучка в энергию коротковолнового электромагнитного излуче-
излучения является величина зе# = еЕ/(mew), где Е и и — напряженность
и частота электрического поля электромагнитной волны накачки. Если
электроны пучка совершают поперечные колебания в магнитостатиче-
ском поле ондулятора, то этот параметр может быть записан в виде
D.64)
Здесь В± и Xw — амплитуда и пространственный период ондуляторного
поля.
Рассмотрим какие максимальные значения этого параметра мо-
могут быть получены в случае ленгмюровской волны. Напряженность
электрического поля Е в ленгмюровской волне создается переменной
составляющей ее плотности п и подчиняется уравнению Пуассона
divE = en/е0- D.65)
Принимая во внимание, что максимальная модуляция электронной
плотности п равна ее равновесному значению nmax = по, для оценки
максимально достижимой напряженности электрического поля легко
получить следующую оценку:
|Етах|-^"^7' D-66)
где кр — волновое число возбуждаемой плазменной волны. Используя
соотношение D.66) можно оценить максимальное значение, которое мо-
может достигать параметр зе# для ленгмюровской волны из соотношения
[Ы»« = ^ = ^> D-67)
где Уф = (xjp/kp — фазовая скорость ленгмюровской волны. Если возбу-
возбуждаемая ленгмюровская волна имеет фазовую скорость, приближаю-

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 269
щуюся к скорости света с, то значение параметра [ае#]тах стремится
к 1. Записав соотношения
еЕ eB±Xw
ж = = = ж
теш 2тгтс
откуда можно определить, каким эффективным магнитным полям со-
соответствует использование в качестве ондулятора ленгмюровской плаз-
плазменной волны. Очевидно, что
2тгтс D 2тгтс
В
D 2тгтс D 2тгтс о 1Гк-з /FчТ гл го\
В±эфф = —г—аея, В±т = —-— = 3-10 Vno [см] . D.68)
СЛр G-Лр
Таким образом, воздействие электрического поля ленгмюровской вол-
волны, возбуждаемой в плазме с плотностью по ~ 1015 см~3, эквивалентно
воздействию ондуляторных магнитных полей В_\_эфф ~ Ю5 Гс, на поря-
порядок превосходящих их значения в обычных ЛСЭ. Если ленгмюровская
волна, возбужденная в плазме, является релятивистской (т.е. Уф ~ с),
то ее длина волны определяется плотностью плазмы как
\р = *Е± = з • 1Q6 г D.69)
шР у/по [см-3]
Варьируя плотность плазмы в пределах по ~ Ю13 -г-1018 см~3 и воз-
возбуждая в этой плазме мощную ленгмюровскую волну, можно создать
коротковолновые ондуляторы в широком диапазоне длин волн от 1 см
до десятков микрон. Изменение плотности плазмы позволяет управ-
управлять периодом плазменного ондулятора и, таким образом, продлить
взаимодействие релятивистского пучка с плазменной волной. Одновре-
Одновременно, в связи с тем, что через плазму можно пропустить значитель-
значительно большие токи чем в вакууме, мощности возбуждаемых колебаний
в плазменном ЛСЭ могут быть значительно увеличены.
Заметим также, что использование волн, возбуждаемых в плазме,
расширяет круг элементарных эффектов, которые могут быть исполь-
использованы для генерации коротковолнового излучения. Если возбуждает-
возбуждается медленная ленгмюровская волна (уф < с), то в плазме появляется
возможность осуществления коллективных эффектов, основанных на
использовании элементарного эффекта аномального рассеивания [92].
Рассмотрим те коллективные эффекты, которые могут иметь ме-
место при вынужденном когерентном рассеянии волн, возбужденных
в плазме (ленгмюровской, необыкновенной электромагнитной и др.),
на электронном пучке. Элементарные механизмы, лежащие в основе
вынуждаемого рассеяния ленгмюровской волны на релятивистском
электронном пучке, были детально исследованы в работе [93]. При
рассеянии отдельного электрона на плазменной волне имеет место кон-
конкуренция двух элементарных процессов — вынужденного излучения
при томпсоновском рассеянии плазменной волны на электронах реля-
релятивистского пучка и параметрического черенковского излучения [94],
имеющего место при движении электронов в периодической слоистой

270 Лекция 4 A9)
среде, какой становится плазма после модуляции ее плотности полем
продольной волны. Как следует из работы [93], при нерелятивистских
скоростях электронов, электрические поля излучения, обусловленные
этими двумя процессами, интерферируют и полностью гасятся при
v/с —у 0. Однако в случае релятивистских электронных пучков роль
томпсоновского рассеяния электронами плазменной волны становится
определяющей.
Остановимся более подробно на возможности использования ленг-
мюровской волны в плазме в качестве ондулятора ЛСЭ. В работе [90]
рассматривается модель однородной безграничой плазмы, в которой
возбуждена ленгмюровская волна, распространяющаяся наклонно под
углом #з по отношению к направлению движения электронов моноэнер-
моноэнергетического релятивистского пучка. Будем считать, что он движется
вдоль оси z.
В случае рассеяния попутной ленгмюровской волны на электронах
релятивистского пучка условия пространственно-временного синхро-
синхронизма между волнами имеют следующий вид:
k2 = ki + к3, 002 = ^i + <^з, D.70)
где к2 и UJ2 — волновой вектор и частота синхронной с электрон-
электронным пучком комбинационной волны пондеромоторного потенциала, кз,
ооз — характеристики ленгмюровской волны накачки и ki, uj\ — харак-
характеристики возникшей в результате рассеяния высокочастной электро-
электромагнитной волны. Рассмотрение взаимодействия волн с электронами
пучка проводится в рамках модели трехволнового взаимодействия, где
каждая из волн имеет вид ?i(r,t) = Re {E^ exp [j(k^r - и it)]} (i =
= 1,2,3), причем амплитуды волн |Е^| предполагаются слабо изменяю-
изменяющимися с расстоянием z от входа в область взаимодействия.
Условия синхронного взаимодействия волн D.70) в частном случае,
когда волна пондеромоторного потенциала распространяется вдоль
движения пучка (&2Ж = 0) приводит к следующему выражению для
частоты O7i, рассеянной электромагнитнй волны:
V
— cos #з — 1
--cos0i
с
D.71)
где 01 — угол, под которым распространяется рассеянная волна. Углы
в\ и 0з благодаря условию к^х — 0 связаны между собой соотношением
sin 0з = (v/c) sin (#3 ~ #1) + (^ф/с) sin 0i. Из выражения D.71) следует,
что поскольку в плазме может быть реализовано условие v/уф ^С 1,
то существенного умножения частоты рассеянной волны по сравнению
с частотой ojp можно добиться, используя даже нерелятивистские пуч-
пучки. Отметим, что при перпендикулярном распространении ленгмюров-
ленгмюровской волны 0з = тг/2 и излучении рассеянной волны в направлении
движения пучка 0i = 0 для частоты рассеянной волны из выражения

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 271
D.71) следует соотношение:
ал =2j2u;pe. D.72)
Важным является вопрос и о способе возбуждения интенсивной
плазменной волны, которая может играть роль ондулятора. Один из
таких способов может быть основан на возбуждении плазменной волны
волной биений, возникающей в плазме под воздействием двух мощных
источников когерентного излучения (метод beat-wave) [95]. В прове-
проведенном эксперименте [95] использовался СС^-лазер с плотностью по-
потока мощности 2 • 1013 Вт/см2, работающий на длинах волн 10,6 мкм
и 9,6 мкм. В плазме с плотностью 1017см~3 была возбуждена ленгмю-
ровская волна со значением параметра ае^; ~ 0,03 -г- 0,1. Эквивалентное
магнитное поле ондулятора равнялось 32 -г- 95 кГс, соответствующий
период имел значение Xw = 105 мкм. Другой способ создания плазмен-
плазменной волны заключается в кильватерном способе возбуждения волны
в плазме сгустками электронов, протяженность которых меньше длины
возбуждаемой ленгмюровской волны (метод wake-field) [96]. Возмож-
Возможность использования бетатронных колебаний плотного электронного
пучка в области возникающего ионного канала для осуществления
лазерного эффекта обсуждается в работе [97]. Наконец, в работе [98]
в качестве эффективного коротковолнового вигглера предложена мощ-
мощная ионнозвуковая волна.
Список литературы
1. Трубецков Д.И., Пищик Л.А. Черенковские нерелятивистские
плазменные СВЧ-приборы // Физика плазмы. 1989. Т. 15, № 3.
С. 200.
2. Файнберг Я.Б. Плазменная электроника и плазменные методы
ускорения заряженных частиц // Физика плазмы. 1994. Т. 20,
№ 7/8. С. 613.
3. Nusinovich G.S., Carmel Yu., Antonsen T.M., GoebelD.M., SantoriJ.
Recent progress in the development of plasma-filled travelling-wave
tubes and backward-wave oscillators // IEEE Tranc. Plasma Sci. 1998.
V. 26, No 3. P. 628.
4. Carmel Y., Lou W.R., Antonsen T.M., Rodgers J., B. Levush В.,
Destler W.W., and Granatstein V.L. Relativistic plasma microwave
electronics: Studies of high-power plasma-field backward oscillator //
Phys. Fluids B. 1992. V. 4. P. 2268.
5. Кадомцев В.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука,
1976.
6. Незлин И.В. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергатомиздат,
1982.
7. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон-
электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.

272 Лекция 4 A9)
8. Кондратенко А.Н., Куклин В.М. Основы плазменной электрони-
электроники. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
9. Кузелее М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С Современное состо-
состояние исследований в области плазменной релятивистской СВЧ-
электроники в ИОФ РАН // Изв. вузов. Прикладная нелинейная
динамика. 2001. Т. 9, № 2. С. 3.
10. Кузелее М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П. С Релятивистская плаз-
плазменная СВЧ-электроника // УФН. 1985. Т. 146, № 4. С. 709.
11. Кузелее М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С, Шкварунец А.Г. Ре-
Релятивистская сильноточная плазменная СВЧ-электроника: пре-
преимущества, достижения, перспективы // Физика плазмы. 1987.
Т. 3, № 11. С. 1370.
12. Биро М., Красильников М.А., Кузелее М.В., Рухадзе А.А. Пробле-
Проблемы теории релятивистской плазменной СВЧ-электроники // УФН.
1997. Т. 167, № 10. С. 1025.
13. Кузелее М.В., Рухадзе А.А. Современное состояние теоретической
релятивистской плазменной СВЧ-электроники // Физика плазмы.
2000. Т. 26, № 3. С. 231.
14. Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. О взаимодействии пучка заряжен-
заряженных частиц с электронной плазмой // ДАН СССР. 1949. Т. 69, № 4.
С. 555.
15. Bohm D., Gross E.P. Theory of plasma oscillations // Phys.Rev. 1949.
V. 75, No 12. P. 1851.
16. Бернашееский В.Г., Богданов В.Е., Кислое В.Я., Черное З.С
Плазменные и электронные усилители и генераторы СВЧ. — М.:
Сов. радио, 1965.
17. Трайеелпис Э. В., Гоулд Р. В. Колебания сверхвысоких частот
в плазме // М.: Изд-во иностр. лит., 1961. С. 137.
18. Bernashevskii V.G., Chernov Z.S. Plasma use as amplifier in Soviet
told // Electron News. 1961. V. 6, No 256. P. 18.
19. Graibill S.E., Nabro S. V. // Appl. Phys. Lett. 1966. V. 8. P. 18.
20. Naiion J.A. // Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 491.
21. Братман В.Л., Гинзбург Н.С, Шапиро М.А. // Изв. вузов. Ра-
Радиофизика. 1981. Т. 24. С. 763.
22. Wehner J. Electron plasma oscillations // J. Appl. Phys. 1951. V. 22,
No 6. P. 761.
23. Grawford F.W., Kino G.S. Oscillations and noise in low-pressure dc
discharges // Proc. IRE. 1961. V. 49. P. 1767.
24. Kojima S., Kato K., Hgiwara S. Oscillations in plasma. I. // J. Phys.
Soc. Japan. 1957. V. 12. P. 1276.
25. Kojima S., Kato K., Hgiwara S., Matsuzaki R. Oscillations in plasma.
II. // J. Phys. Soc. Japan. 1959. V. 14. P. 821.
26. Трубецкое Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике для физиков. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 273
27. Targ R., Levine L. // J. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 751.36
28. Kislov V. Tubes pour hyper frequences // Fravaux du 5e congress
internat. Paris, 15-18 September 1964.
29. Tamano T. // Jap. J. Appl. Phys. 1965. V. 4. P. 987.
30. Beck A. H., Gregory В., Mourier J. // 6th Intern. Conf. on microwave
and optical generation and amplification. Cambridge, September 1966.
P. 480.
31. Харченко Л.Ф., Файнберг Я.В., Николаев P.M. и др. // ЖЭТФ.
1960. Т. 38. С. 685.
32. Рогашкова А.И., Цейтлин М.Б. // Электрон, техника. Сер. 1.
Электроника СВЧ. 1967. Вып. 7. С. 3.
33. Рогашкова А.И. // Радиотехника и электроника. 1970. Т. 15.
С. 2338.
34. Vlaadingerbrock M., Weimer К. // Proc. 4th Int. cong. on
microwave tubes. Sheveningen, 3-7 September 1962. Eindhoven:
Centrex publishing company, 1963. P. 322.
35. Gas-discharge devices. Part F. From Microwaves. Proc. 4th Int. cong.
on microwave tubes. Sheveningen, 3-7 September 1962. Eindhoven:
Centrex publishing company, 1963. P. 317.
36. Interactions faisceaus plasmas. From Tubes pour hyperfrequences.
Fravaux du 5e cong. internat. Paris, 14-18 September 1964. P. 427.
37. Gaseous plasma devices. From 6th Int. conf. on microwave and optical
generation and amplification. Cambridge, September 1966. P. 470.
38. Allen M., Biechler C, Chorney P. // Tubes pour hyperfrequences.
Fravaux du 5e cong. internat. Paris, 14-18 September 1964. P. 437.
39. Weimer K., Bodt H., Vlaadingerbrock M. // Travaux du 5e cong.
intern. Paris, 14-18 September 1964.
40. Шевчик В.Н., Трубецков Д. И. Аналитические методы расчета
в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
41. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
42. Biechler С, Chorney P. // 6th Intern, conf. on microwave and optical
generation and amplification. Cambridge, 1966.
43. Антонов А.Н., Блиох Ю.П., Дегтярь Ю.А. и др. Пучково-
плазменный генератор, основанный на взаимодействии электрон-
электронного пучка с плазменно-волноводной структурой, ограниченной
цепочкой индуктивно связанных резонаторов // Физика плазмы.
1994. Т. 20, № 9. С. 777.
44. Блиох Ю.П., Корнилов Е.А., Митин Л.А., Файнберг Я.Б.
Экспериментальное исследование возбуждения мощных СВЧ-
колебаний электронным пучком в гибридной замедляющей струк-
структуре с плазменным заполнением // Физика плазмы. 1994. Т. 20,
№ 9. С. 767.
18 Трубецков, Храмов

274 Лекция 4 A9)
45. Рухадзе А.А. О взаимодействии релятивистского пучка заряжен-
заряженных частиц с плазмой // ЖТФ. 1962. Т. 32, № 6. С. 669.
46. Ковтун Р.И., Рухадзе А.А. К теории нелинейного взаимодействия
релятивистского пучка электронов с плазмой // ЖЭТФ. 1970.
Т. 58, № 6. С. 1219.
47. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. и др. Плаз-
Плазменный релятивистский СВЧ-генератор // ЖЭТФ. 1982. Т. 83,
№ 3. С. 1358.
48. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. и др. Плаз-
Плазменный релятивистский СВЧ-генератор // ДАН. 1982. Т. 267, № 4.
С. 829.
49. Рухадзе А.А., Стрелков П.С, Шкварунец А.Г. Широкополосный
релятивистский плазменный СВЧ-генератор // Физика плазмы.
1994. Т. 20, № 3. С. 682.
50. Кузелев М.В., Лоза О. Т., Пономарев А.В., Рухадзе А.А., Стрел-
Стрелков П.С, Ульянов Д.К., Шкварунец А.Г. Спектральные характе-
характеристики релятивистского плазменного СВЧ-генератора на РЭП //
ЖЭТФ. 1996. Т. 109, № 1. С. 208.
51. Стрелков П.С, Ульянов Д.К. Спектры излучения плазменного
релятивистского СВЧ-генератора // Физика плазмы. 2000. Т. 26,
№ 3. С. 379.
52. Loza О.Т., Shkvarunets А.С, Strelkov P.S. Experimental Plasma
Relativistic Microwave Electronics // IEEE Trans. On Plasma
Sciences. 1998. T. 26, № 6. С 615.
53. Пономарев А.В., Стрелков П.С, Шкварунец А.Г. Реализация
плазменного СВЧ усилителя // Физика плазмы. 1998. Т. 24, № 1.
С. 53.
54. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Метод характеристик уравнения Вла-
Власова в начальной и граничной задачах электродинамики // Изв.
вузов. Радиофизика. 1993. Т. 36, № 10. С. 867.
55. Кузелев М.В., Лазутченко О.В., Рухадзе А.А. Режимы и спектры
черенковской пучковой неустойчивости в нелинейной плазме //
Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42, № 10. С. 958.
56. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. О влиянии редкой фоновой плазмы
на спектры излучения СВЧ-генератора на сильноточном реляти-
релятивистском пучке If Физика плазмы. 1999. Т. 25, № 5. С. 471.
57. Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Шкварунец А.Г. Черенков-
ская генерация низшей моды коаксиального плазменного волно-
волновода // Физика плазмы. 1983. Т. 9, № 6. С. 1137.
58. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Вынужденное излучение сильноточ-
сильноточных релятивистских электронных пучков // УФН. 1987. Т. 152,
№ 2. С. 285.
59. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Оптимальные эффективности и спек-
спектры излучения черенковских плазменные СВЧ-усилителей на
сильноточных РЭП // Физика плазмы. 1998. Т. 24, Я0- 6. С. 530.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 275
60. Карташов И.Н., Красилъников М.А., Кузелев М.В. Отражение
электромагнитных волн от перехода волновода с трубчатой плаз-
плазмой в вакуумный коаксиальный волновод // Радиотехника и элек-
электроника. 1999. Т. 44, № 12. С. 1502.
61. Биро М., Красилъников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нели-
Нелинейная теория плазменного СВЧ-генератора на кабельной волне //
ЖЭТФ. 1997. Т. 111, № 4. С. 1258.
62. Красилъников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная
динамика резонансного вынужденного черенковского излучения
в пространственно ограниченной плазме // ЖЭТФ. 1995. Т. 108,
№2(8). С. 521.
63. Hockney R.W., Eastwood J.W. Computer simulation using particles.
- NY: McGraw-Hill, 1981.
64. Бобылев Ю.В., Кузелев M.B., Рухадзе А.А., Свешников А.Г.
Нестационарные парциальные условия излучения, в задачах ре-
релятивистской сильноточной плазменной СВЧ-электроники // Фи-
Физика плазмы. 1999. Т. 25, № 7. С. 615.
65. Красилъников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Каскадные про-
процессы в плазменном генераторе // ЖЭТФ. 1997. Т. 112, № 4A0).
С. 1299.
66. Красилъников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Об установив-
установившихся режимах плазменного генератора // КСФ. 1996. № 7-8.
С. 22..
67. Zavjalov A., Mitin A., Perevodchikov V., Tskhai V., Shapiro A.L.
Powerful wideband amplifier based on hybrid plasma-cavity ilow-wave
structure // IEEE Trans. Plasma Sci. 1994. V. 22. P. 600.
68. Karbushev R.L., Kolosov Y.A., Ostrensky E.L, Polovkov A.I. Hybrid
plasma slow-wave structures for linacs and microwave power sources //
Pulsed RF Soutces Linear Colliders AIP Conf. Proc. 337. Montauk.
NY. Oct. 1994.
69. Nusinovich G.S., Antonsen T.M., Bratman V.L., Ginzburg N.S.
Applications of High-Power Microwaves / Eds Gaponov-Grekhov A.V.
& Granatstein V.L. — Boston, MA: Artech House, 1994. Ch. 2.
70. Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Нусинович Г. С, Подобинский В. О.
Влияние нелинейности плазмы на процесс стохастизации коле-
колебаний, возбуждаемых в пучково-плазменных СВЧ-генераторах //
Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 2/3.
С. 56.
71. Bliokh Yu.P.y Liybarsky M.G., Podobinsky V.O., Fainberg Ya.B.,
Granatstein V.L., Carmel Y., Nusinovich G.S. Chaotic oscillations
enhanced by magnetosonic waves in plasma-filled travelling-wave
tubes // Physics of Plasma. 1998. V. 5, No 11. P. 4061.
72. Bliokh Yu.P., Fainberg Ya.B., Lyubarsky M.G., Podobinsky V.O. Self-
consistent plasma motion as a possible mechanism of the power
18*

276 Лекция 4 A9)
limitation and the pulse shortening in the plasma-filled TWT devices //
SPAE Proc. 1997. V. 3158. Intense Microwave Pulses V. P. 182.
73. Miller S.M., Antonsen T.M., Levush B. Ponderomotive effects in
plasma-filled backward-wave oscillators // IEEE Trans, on Plasma Sci.
1998. V. 26. P. 680.
74. Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б.
Применение метода функционального отображения для исследо-
исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв.
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 1/2. С. 34.
75. Блиох К.Ю., Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Подобинский В. О. Ав-
Автомодуляционный режим линейного пучково-плазменного усили-
усилителя СВЧ-колебаний, вызванный возбуждением ионно-звуковых
колебаний в плазме // Изв. вузов. Прикладная нелинейная дина-
динамика. 1999. Т. 7, № 1. С. 29.
76. Mitin A., Perevodchikov V., Shapiro A.L. Beam-plasma generators
of stochastic microwave oscillations used plasma heating in fusion
and plasma-chemistry devices and ionospheric investigations // SPAE
Proc. 1996. V. 2843. Intense Microwave Pulses IV. P. 208.
77. Районов А.В., Миллер М.А. Об использовании движущихся вы-
высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных ча-
частиц // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, № 3. С. 715.
78. Goebel DM., Butler J.M., Schumacher R.W., Santoru J., Eisenhart
R.L. High-power microwave source based on an unmagnetized
Backward-Wave Oscillator // IEEE Transacnons on Plasma Science.
1994. V. 22, No 5. P. 547.
79. Ponti E.S., Goebel DM., Feicht J., Santoru J. PASOTRON amplifier
experiments // Proc. SPIE Conf. Los Angeles. CA. 1995..
80. Goebel DM., Ponti E.S., Feicht J.R. and Watkins RM. Pasotronn
high-power microwave source performance // Proc. Intense Microwave
Pulses IV. Denver CO. Aug. 1996. V. 2843. P. 69-78.
81. Жарков Ю.Д. Ионная фокусировка ленточного электронного пуч-
пучка // Изв.вузов. Радиотехника. 1961. Т. IV, № 4. С. 446.
82. Бахрах Л.Э., Жарков Ю.Д. Геометрические параметры электрон-
электронных пучков при ионной фокусировке // Радиотехника и электро-
электроника. 1961. Т. 6, № 6. С. 976.
83. Дмитриев Б.С, Медокс В.Г., Соколов И.Л. Магнитно-
ограниченные электронные пучки при наличии ионов //
Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1966. № 1. С. 61.
84. Ponti E.S., Goebel DM., Poeschel R.L. and Watkins RM. Beam
focusing and plasma channel formation in the Pasotron HPM source //
Intense Microwave Pulses. IV Proc. SPIE. 1996. V. 2843. P. 240-250.
85. Goebel DM., Schumacher R. W. and Watkins RM. Long-pulse plasma
cathode e-gun // Proc. 9th Int. Conf. High-Power Particle Beams.
Washington. DC. May 1992. V. 11. P. 1093-1098.

Сверхвысокочастотная плазменная электроника 277
86. Goebel D.M. and Schumacher R. W. High current, low pressure plasma
cathode electron gun // U.S. Patent 5 537005. July 1996.
87. Goebel D.M. Cold-cathode, pulsed-power plasma discharge switch //
Rev. Sci. Instrum. 1996. V. 67. P. 3136.
88. Силин Р.А., Сазонов В.П. Замедляющие системы. — М.: Сов.
радио,1966.
89. Мирошниченко В.И., Файнберг Я.Б. Лазеры на свободных элек-
электронах с плазменным заполнением // Лекции по СВЧ-электронике
и радиофизике. Материалы IX зименей школы-семинара. Сара-
Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 102.
90. Балакирев В.А., Мирошниченко В.И., Файнберг Я.Б. // Физика
плазмы. 1986. Т. 12, № 8. С. 983.
91. Joshi С, Katsouleas Т., Dawson J.M., Yan Y.T., Slater J.M. Plasma
wave wigglers for free-electron lasers // IEEE J. Quantum Electronics.
1987. V. QE-23, No 9. P. 1571.
92. Франк И.М. II Ядерная физика. 1968. Т. 7, № 5. С. 1100.
93. Гайлитис А., Цытович В.Н. // ЖЭТФ. 1964. Т. 46, № 6. С. 1726.
94. Файнберг Я.Б., Хижнлк Н.А. // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 883.
95. Jo ski С, Mori W.B., Katsouleas Т., Dawson J.M., Kindel J.M.,
ForslundD. W. Ultra-High Gradient Particle Acceleration by Intense
Laser-Driven Plasma Density Waves // Nature. 1987. V. 311. P. 525.
96. Chen P., Dawson J.M., Huff R., Katsouleas T. Acceleration of
Electrons by the Interaction of a Bunched Electron Beam with a
Plasma // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 693.
97. Whittum D.H., Jesser 0., Dawson J.M. Ion-channel laser // Phys.
Rev. Lett. 1990. V. 64, No 21. P. 2511.
98. Chen P., Dawson J.M. Ion-ripple laser // Phys.Rev.Lett. 1992. V. 68,
No 1. P. 29.
99. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная реляти-
релятивистская СВЧ-электроника. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-
Баумана, 2002.
100. Колесников Е.К., Мануйлов А.С, Филиппов Б.В. Динамика пуч-
пучков заряженных частиц в газоплазменных средах. — С-Пб.: Изд-во
С-Петербургского ун-та, 2002.
101. Nusinovich G.S., Bliokh Yu.P. Cherenkov radiation of electromagnetic
waves by electron beams in the absence of an external magnetic field //
Phys. Rev. E. 2000. V. 62, No 2. P. 2657.
102. Bliokh Yu.P., Nusinovich G.S., Felsteiner J., Granatstein V.L. Self-
consistent nonstationary processes in phase-mixed electron beams
focused by mobile ions // Phys. Rev. E. 2002. Vol.66. 056503.
103. Блиох Ю.П. Физика пасотрона // Материалы XII зимней школы-
семинара по СВЧ-электронике и радиофизике, Саратов, 28 янва-
января — 3 февраля 2003, С. 58.

278 Лекция 4 A9)
104. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Линейная теория взаимодействия
электронного потока с электромагнитными полями при ионной
фокусировки в пазотроне // Физика плазмы. 2004. Т. 30. е 1.
105. Бредов М.М. Автоматическая компенсация объемного заряда
в электронных пучках // Сборник, посвященный семидесятилетию
академика А.Ф. Иоффе. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 155.
106. Давыдов Б.И., Брагинский СИ. К теории газовой концентрации
электронных пучков // Сборник, посвященный семидесятилетию
академика А.Ф. Иоффе. - М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 72.
107. Гапонов А.Б. Возбуждение линии передачи непрямолинейным
электронным потоком // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. II, № 3.
С. 443.
108. Гапонов А.Б. Взаимодействие непрямолинейных электронных по-
потоков с электромагнитными волнами в линиями передачи // Изв.
вузов. Радиофизика. 1959. Т. II, № 3. С. 451.

Лекция 5B0)
ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК
СО СВЕРХКРИТИЧЕСКИМ ТОКОМ
В ПЛОСКОМ ПРОЛЕТНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
ВИРТУАЛЬНЫЙ КАТОД (от лат. virtualis -
возможный), условная эквипотенциальная
поверхность в межэлектродном пространстве
электровакуумного прибора, характеризующаяся
минимальным отрицательным по отношению
к катоду-эмиттеру потенциалом... В широком
смысле под В.К. понимается любая эквипотен-
эквипотенциальная поверхность, через которую не может
пройти часть электронов, напр, поверхность
поворота в отражательном клистроне, сложные
поверхности в многосекционных коллекторах
с рекуперацией энергии электронов.
Электроника: Энциклопедический
словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991.
С. 58.
Принципы подобия для динамики виртуального катода в одномерном
приближении. Условие развития неустойчивости: нелинейная тео-
теория. Нелинейные колебания виртуального катода в пролетном проме-
промежутке. Феноменологические модели динамики электронного потока
с виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке. Особен-
Особенности нелинейной динамики и образование когерентных структур
в электронном пучке с виртуальным катодом в неоднородном ионном
фоне. Влияние подвижности ионного фона на колебания виртуального
катода в плоском пролетном промежутке. Проблема ускорения ионов
колеблющимся виртуальным катодом.
Так называемый «классический» диод Пирса представляет собой
две бесконечных плоских параллельных сетки, пронизываемые моно-
моноэнергетическим на входе электронным потоком (рис. 5.1). Сетки, огра-
ограничивающиеся систему, заземлены и находятся на расстояние L друг
от друга. Плотность заряда ро и скорость vo на входе в систему под-
поддерживаются постоянными. Пространство между сетками равномерно
заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов. Плотность

280 Лекция 5 B0)
нейтрализующего заряда pi равна невозмущенной плотности заряда
в потоке. Неустойчивость, возникающая в диоде Пирса, связана с суще-
существованием внешней обратной связи через цепь, соединяющую сетки,
поскольку они заземлены.
Модификацией «классического» диода Пирса является модель
плоского пролетного промежутка с произвольной степенью нейтрали-
нейтрализации пространственного заряда ионным фоном, в которой абсолютная
величина плотности нейтрализующего заряда \pi\ отличается от
величины \ро\. Предельным случаем здесь является модель без
нейтрализации пространственного заряда электронного пучка, для
которой величина pi полагается равной нулю.
Основная особенность диода Пирса заключается в том, что гранич-
граничные условия для уравнения Пуассона, описывающего потенциал р поля
пространственного заряда в междусеточном пространстве пролетного
промежутка, записываются как
р@) = <p(L) = const. E.1)
Электронный поток, движущийся в диоде Пирса, является одной из
простейших систем электронно-плазменной природы. Данная модель,
являясь моделью распределенной активной среды, позволяет рассмот-
рассмотреть различные неустойчивости, возникающие в электронном потоке,
влияние на них граничных условий вида E.1) [1-3, 105]. Уже в ставших
классическими работах Бурсиана, Чайлда, Лэнгмюра и Пирса [4-8] по-
показано, что при инжекции в диодный промежуток тока больше некото-
некоторого критического значения (сверхкритического тока), стационарные
состояния с полным прохождением электронов становятся неустойчи-
неустойчивыми. В пролетном промежутке возникает колеблющийся как в про-
пространстве, так и во времени виртуальный катод [9], отражающий часть
электронов обратно к плоскости инжекции. Это явление используется
для генерации импульсов сверхмощного электромагнитного излучения
в новом перспективном классе СВЧ-устройств — виркаторах и отра-
отражательных триодах [10, 11, 106]. Приборы с виртуальным катодом
выделяются на фоне других по мощности генерации, конструктивной
простоте и ряду других преимуществ, связанных, в первую очередь,
с возможностью управления характеристиками генерируемого излуче-
излучения. Этим устройствам и различным их модификациям будет посвя-
посвящена следующая глава книги.
С точки зрения нелинейной теории колебаний и волн, теории са-
самоорганизации пролетный промежуток со сверхкритическим током
является одной из простейших моделей электронной турбулентности.
Теоретический анализ и вычислительный эксперимент показывают,
что в диодном промежутке со сверхкритическим током наблюдаются
различные нелинейные феномены, включая детерминированный хаос,
классические сценарии переходов к хаотической динамике, процессы
образования и взаимодействия структур. Некоторые из этих явлений
рассматривались нами в первом томе при анализе нелинейных явлений

Электронный пучок в пролетном промежутке
281
РО
Р/
Рис. 5.1. Схема изучаемой модели
пролетного промежутка
в электронном пучке в рамках гидродинамической модели диода Пирса
[12, лекция 4] (см. также работы [13-17]).
В этой лекции изучим процессы в электронном пучке со сверхкри-
сверхкритическим током в плоской геометрии в режимах с формированием
виртуального катода. Такая мо-
модель, схематически изображенная
на рис. 5.1, является простейшей мо-
моделью, описывающей явления в пуч-
пучке с виртуальным катодом.
Обратимся вначале к качествен-
качественному описанию процессов в элек-
электронном пучке со сверхкритическим
током, для чего рассмотрим резуль-
результаты численного эксперимента [10].
На рис. 5.2 представлена зависи-
зависимость величины минимума потенци-
потенциала в диодном промежутке от тока /
инжектируемого в него пучка с релятивистским фактором электронов
7 = 1/а/ 1 — (^о/с) , где vo — скорость инжектируемого в пролетный
промежуток потока. Из рисунка видно, что с увеличением тока / глуби-
глубина «провисания» потенциала срт\п в пучке становится все больше, и при
некотором критическом значении тока /кр величина фш\п переходит
скачком с устойчивой ветви, соответствующей полному стационарному
прохождению потока через диодный промежуток, на ветвь, которая
соответствует колеблющемуся виртуальному катоду. Механизм коле-
колебаний виртуального катода может быть пояснен следующим образом.
При токах пучка больше критической величины /кр высота потен-
потенциального барьера в диодном промежутке (виртуального катода) ста-
становится больше кинетической энергии G — 1)тос2 влетающих в про-
пространство взаимодействия электронов. Здесь 7 — релятивистский фак-
0
фтт
Устойчивое равновесие
Гистерезис
у Стационарное отражение
15 электронов в пучке
Точка бифуркации
Колебания виртуального
катода
Рис. 5.2. Величина минимума потенциала фпип в пространстве взаимодей-
взаимодействия как функция тока инжектируемого пучка /

282 Лекция 5 B0)
тор электронов в плоскости инжекции х = 0 пролетного промежутка,
то — масса покоя электрона, с — скорость света. В этом случае электро-
электроны останавливаются перед виртуальным катодом и разворачиваются,
что приводит к смещению виртуального катода и максимума плотности
пространственного заряда в сторону плоскости инжекции. Кроме того,
величина плотности пространственного заряда быстро увеличивает-
увеличивается, так как практически все электроны оказываются захваченными
движущимся к входной плоскости виртуальным катодом, образующим
сгусток электронов. По мере приближения к плоскости инжекции ве-
величина потенциального барьера уменьшается и в некоторый момент
времени становится меньше кинетической энергии влетающих элек-
электронов. Снижение величины потенциального барьера продолжается
и после того, как отраженные электроны покидают пространство вза-
взаимодействия. Инжектируемые электроны теперь легко преодолевают
уменьшившийся потенциальный барьер и двигаются к выходной плос-
плоскости промежутка. Виртуальный катод начинает смещаться к выход-
выходной плоскости диода до тех пор, пока не восстановится потенциальный
барьер достаточной высоты для отражения электронов. Далее процесс
повторяется. Ток отраженных от виртуального катода и пролетных
электронов оказывается промоделированным на частоте uj колебаний
виртуального катода, которая, как будет обсуждаться дальше, связана
с невозмущенной плазменной частотой пучка иор.
Вернемся к рис. 5.2. Если теперь в состоянии, когда в системе име-
имеется колеблющийся виртуальный катод, начать уменьшать ток пучка
/, то амплитуда колебаний A(j)m-in(t) уменьшается, а координата фт\п
в пространстве стремится к центру диодного промежутка. Состояние
системы возвращается к прежнему устойчивому равновесию при до-
достижении точки бифуркации. Таким образом, в окрестности / ~ /кр
существует гистерезисная петля, которая обозначена на рис. 5.2 штри-
штриховой линией. За точкой бифуркации существуют четыре возможных
состояния, два из которых устойчивы и реализуются в системе в зави-
зависимости от предыстории, а остальные два — неустойчивы и физически
нереализуемы.
Описание нелинейных нестационарных процессов в потоке с вир-
виртуальным катодом можно вести в рамках различных приближений.
Наиболее простой и фундаментальной моделью, которая позволяет
изучить особенности физических процессов в подобной системе, как
уже говорилось выше, является модель плоского диодного промежутка,
в который инжектируется сверхкритический ток / > /кр *) .
Впервые численно такая система была исследована в 60-х годах
Бриджесом и Бёдселлом [18-20]. Это был один из первых, наряду с ра-
х) Заметим, что в лекциях мы говорим о сверхкритическом токе, при превы-
превышении которого имеет место неустойчивость. Однако можно ввести понятие
сверхкритического первеанса электронного пучка р = I/V3^2 для случая,
когда пучок испытывает торможение статическим полем в пространстве
взаимодействия.

Электронный пучок в пролетном промежутке 283
ботой по моделированию динамики электронного пучка в магнетрон-
ном диоде [21] :), вычислительных экспериментов в электронике. В нем
сразу же была обнаружена нестационарная динамика электронного
потока со сверхкритическим током в диодном промежутке. В данной
лекции подробно остановимся на нелинейной нестационарной динамике
виртуального катода в плоском пролетном промежутке, проанализи-
проанализируем характеристики сложной динамики пучка и найдем связь между
хаотической динамикой и процессами структурообразования в элек-
электронном пучке. Однако прежде чем переходить к анализу подобных
сложных явлений в пучке со сверхкритическим током, в начале лекции
остановимся на анализе условий развития неизлучательной пучковой
неустойчивости в плоской геометрии.
Принципы подобия для динамики виртуального катода
в одномерном приближении
Рассмотрим задачу инжекции бесконечно широкого пучка, инжек-
инжектируемого с постоянной скоростью vo. Для определения критериев
подобия колебаний виртуального катода в электронном пучке, инжек-
инжектируемом в пространство взаимодействия, при учете только продоль-
продольного движения электронов воспользуемся кинетическим уравнением
Власова [22,23]
y?(x,p,t) + v^(x,p,t) + eE^(x,p,t) = O, E.2)
где /(ж,р, t) — функция распределения заряженных частиц (электро-
(электронов), х — продольная координата, t — время, р и v — соответственно
импульс и скорость электронов, Е — напряженность электрического
поля, действующего на электронный поток. Заметим, что аналогичные
результаты можно получить из гидродинамических уравнений элек-
электроники [12, лекция 3, 4], однако, использование уравнения Власова
позволяет легко обобщить полученные результаты на двух и трехмер-
трехмерный случай.
Релятивистский электронный пучок в данном случае также может
быть легко описан с помощью уравнения E.2), если учесть связь между
риив релятивистском случае
Р = ,Л ( , Л2 = 7™о^, E.3)
VI - (v/cJ
где то — масса покоя заряженной частицы. Положив 7 = 1, мож-
можно формальным образом получить соответствующие соотношения для
нерелятивистского электронного пучка.
г) Первый эксперимент на ЭВМ относится к 1943 г., когда Хартри и Ни-
кольсон исследовали поведение магнетрона с помощью 30 плоских «крупных
электронов».

284 Лекция 5 B0)
Электрическое поле описывается уравнением Пуассона, которое за-
запишем в виде
?¦-*¦¦ E-41
ОХ ?о
где р — плотность пространственного заряда пучка.
Пусть электронный пучок имеет на входе в пространство взаимодей-
взаимодействия невозмущенную скорость vo, импульс ро = тоТо^о и плотность
пространственного заряда ро.
Рассмотрим отдельно случай полубесконечного и ограниченного
в продольном направлении пространства взаимодействия.
В полубесконечной геометрии пространства взаимодействия гра-
граничные условия для электронного пучка запишутся в виде
р@, t) = р0, /(О, р, t) = ро5(р - ро). E.5)
Введем безразмерные переменные р = \po\n и р = роР- Обозначая
неизвестные масштабирующие коэффициенты для оставшихся пере-
переменных как х = ?Х, t = тТ, Е = е?, и подставляя эти выражения
для безразмерных переменных в соотношения E.2) и E.4), с учетом
выражения E.3), получим
E.6)
Граничные условия E.5) в безразмерных координатах перепишутся
в виде
п@,Т) = -1, Р@,Т) = 1, F@,P,T) = -S(p-l). E.8)
Здесь F(X, Р, Т) — безразмерная функция распределения.
Выберем масштабирующие коэффициенты ?, г и е так, чтобы
в уравнениях E.6) и E.7) максимальное число коэффициентов при про-
производных стало равным 1. Положим из этих соображений е = С||/
С = P^^Jsol{e\po\mo) и г = ^Jeomo/{e\po\), тогда уравнения E.6) и
E.7) принимают вид:
ш =п- EЛ0)
Полученная система безразмерных уравнений E.9) и E.10), решае-
решаемая совместно с граничными условиями E.8), описывает динамику
электронного пучка со сверхкритическим током в полубесконечной
геометрии.

Электронный пучок в пролетном промежутке 285
В этой системе уравнений имеется только один параметр ——, т.е.
тос
динамика полубесконечного электронного пучка со сверхкритическим
током определяется единственным параметром (критерием подобия)
В классическом пределе величина vq/c —> О, и система уравне-
уравнений E.9), E.10) и E.8) не имеет ни одного управляющего параметра.
Последнее означает, что все «классические» электронные пучки в полу-
полубесконечном пространстве взаимодействия будут вести себя идентично.
Рассмотрим теперь ограниченное в продольном направлении про-
пространство взаимодействия длины L. Процедура перехода к безразмер-
безразмерным уравнениям в данном случае такая же, однако, теперь безразмер-
безразмерную координату вдоль пространства взаимодействия удобно записать
в следующем виде:
^ . E.11)
То
Последнее приводит к тому, что динамика виртуального катода
в ограниченной геометрии описывается уже двумя критериями подобия
а= ^^^ E.12)
poVToc
где (xjp — плазменная частота электронного потока на входе в про-
пространство взаимодействия и Cq = vo/c. В классическом пределе 7о —> 1
и /3 —> 0 динамика системы описывается единственным управляющим
параметром а = upL/vq. Последнее обсуждалось нами в первом то-
томе книги [12, лекция 4], где рассматривалось описание электронного
потока со сверхкритическим током в плоском пролетном промежутке
в рамках гидродинамического приближения.
Параметр а носит название параметра Пирса. Параметр Пирса при
постоянной длине системы L и неизменной скорости vo пучка на входе
в систему пропорционален току пучка / как а ~ у/1.
В случае полной нейтрализации нерелятивистского электронного
потока, как было уже показано в первом томе [12, лекция 4], значе-
значение параметра Пирса, при котором возникает неустойчивость в пучке
и формируется виртуальный катод, равно тг. При инжекции пучка в ди-
диодный промежуток без нейтрализующего ионного фона критическое
значение параметра Пирса, как будет показано дальше, равно акр =
= 4/3.
Условие развития неустойчивости: нелинейная теория
Количественный анализ процессов развития неизлучательной
неустойчивости в нерелятивистском случае в ограниченной геометрии
проводился в большом количестве работ (см., например, [24-36]),
и обычно основывается на рассмотрении движения электронного
потока в рамках гидродинамического приближения совместно
с уравнением Пуассона для описания эволюции квазистатического

286 Лекция 5 B0)
электрического поля. В безразмерном виде, с учетом полученной
в предыдущем разделе нормировки физических величин, система
гидродинамических уравнений, описывающая динамику плоского
пролетного промежутка со сверхкритическим током, запишется
в следующем виде:
•?=-*¦
E.15)
где р = р'/\ро\ и v = vf/vo — безразмерные функции плотности про-
пространственного заряда и скорости электронного потока в пролетном
промежутке, Е = л/еео/(то\ро\) Е'/vo — безразмерная напряжен-
напряженность электрического поля пространственного заряда, t = t'vo/L и х =
= х'IL — безразмерные время и продольная координата (штрихами
обозначены соответсвующие размерные переменные). Параметр п есть
отношение плотности нейтрализующего ионного фона pi к невозму-
невозмущенной плотности электронного потока р$\ п = pi/\po\-
Граничные условия для системы уравнений E.13)—E.15) запишутся
в виде г)
1
v@,t) = l, p(O,t) = -l, \Edx = O. E.16)
J
о
Рассмотрим вначале электронный пучок без нейтрализации, т.е.
случай п = 0. Решая систему уравнений E.13)—E.16) методом харак-
характеристик [37,38], получаем
- = - — (t - hJ + aEMAit - h) - 1, E.17)
р 2
где t\ — время влета частицы, которая в момент времени t имеет коор-
координату ж, Eo(ti) — электрическое поле в плоскости х = 0. Траектории
заряженных частиц можно найти, используя уравнение непрерывности
E.13), из которого следует
EЛ8)
г) Заметим, что для пучка ионов /?@, t) = 1, дальнейшие же выкладки
в этом случае аналогичны приведенным ниже.

Электронный пучок в пролетном промежутке 287
Интегрируя уравнение E.18), с учетом соотношения E.17), получа-
получаем выражение для траектории электронов:
х =
*1
a J Eoih) dh + (t- h), E.19)
Интегрирование последнего уравнения в общем случае достаточно
сложная задача, так как, налагая соответствующие граничные условия,
приходим к нелинейному интегральному уравнению для Eo(t\). Од-
Однако для некоторых частных случаев можно получить аналитическое
решение уравнения E.19).
Решение задачи E.13)—E.16) об инжекции пучка со сверхкритиче-
сверхкритическим током в пустой пролетный промежуток может быть найдено до
момента формирования появления сингулярности в р, т. е. до момента
появления отражений в потоке. В этот момент скорость v(x,t) элек-
электронного потока становится трехзначной величиной, и для корректно-
корректного описания динамики потока необходимо вместо гидродинамических
уравнений воспользоваться кинетическим уравнением Власова г). Та-
Такое многопоточное состояние в электронном пучке означает формиро-
формирование колеблющегося виртуального катода и возникает при превыше-
превышении величиной параметра Пирса а критического значения сукр.
Рассмотрим стационарное состояние в диодном промежутке, т. е.
случай Eo(t) = Eq = const. Из уравнения E.19) легко найти соотноше-
соотношения для скорости и координаты электронов
1 2
v = -- = ^-(t - hf - a#0(*i)(* - h) + 1, E.20)
P ^
а2 з a 2
6 2
Учитывая граничное условие на правой границе диода х = 1, v = 1
и обозначая через to = t — t± время пролета частиц через пространство
взаимодействия, получим, что величина to удовлетворяет уравнению
^4 -t0 + 1 = 0. E.22)
Уравнение E.22) имеет два положительных решения при 0 ^ а ^
^ 4/3, которые сходятся при а = 4/3. Большее из этих решений при
0 ^ а < 2у^2/3 соответствует неустойчивому состоянию электронного
потока и не реализуется физически. Это иллюстрирует рис. 5.3, на
котором показана зависимость i^o = otto/2 как функция параметра
Пирса а. Из него видно, что при а > 4/3 в системе не реализуется
однопотоковое состояние и формируется колеблющейся виртуальный
катод.
г) Уравнение Власова можно численно интегрировать, например, методом
частиц [39] или методом фазового пространства [40].

288
Лекция 5 B0)
Колебания виртуального
катода
Неустойчивое
равновесие
Устойчивое
равновесие
4/3 ±е2
Рис. 5.3. Зависимости величины электрического поля Eq в плоскости инжек-
ции от параметра Пирса а для п = О
Рассмотрим теперь пучок, который нейтрализован ионным фоном
с плотностью п/0. Стационарное состояние для этого случая может
быть найдено аналогично тому, как это делалось выше для случая п =
= 0. Переписывая уравнения E.13)—E.15) в характеристических коор-
координатах, получаем
E.23)
Для положительных ионов (п > 0) решение уравнения E.23) имеет
вид
1 + - = A + п) cos ay/n{t - ti) + Еол/п sin ay/n(t - ti). E.24)
Учитывая условия на правой границе х = 1 и v = 1 для величины
to = t — ti, можно записать систему уравнений
ап
3/2
Н (cosay^o — l) = 1,
COS OL\Jn to Sin OL\Jn to — 1.
n V n ) n
E.25)
E.26)
Решения полученных уравнений для различных значений плотно-
плотности ионного фона п представлены на рис. 5.4. На рисунке представлены
зависимости поля Е = Еол/п от величины ~а = an3/2. Функция Е(а)
является периодической с периодом 2тг для любых значений п. Для
данного значения ~а линейный анализ показывает, что состояния рав-
равновесия, обозначенные кривыми на рисунке, устойчивы для меньших
значений Е и неустойчивы для больших Е.
Для случая п = 1 («классический» диод Пирса [7]) бифуркация
потери устойчивости состоянием равновесия имеет место при а = Bг +
+ 1)тт (г = 0,1, 2 . . .), что совпадает с результатами, полученными в

Электронный пучок в пролетном промежутке 289
- п = 1,1
' л = 1,0
п = 0,95 — ¦ —
п =0,5 — — -
ос
Рис. 5.4. Зависимости нормированного электрического поля в плоскости ин-
жекции Е от нормированного параметра Пирса 7х для различных значений
параметра нейтрализации п
[12, лекция 4] из других соображений. При п < 1, изменение характера
устойчивости возникает в точках, где dEo/da —У ос.
Как видно из рис. 5.4, для п < 1 не существует устойчивых решений
в окрестности ~а = тг. Поэтому следует ожидать возникновение вирту-
виртуального катода при п<1и! адиабатически медленно стремящимся
к тг. Медленно увеличивая п, можно наблюдать колебания виртуаль-
виртуального катода и при п > 1. Любой другой способ получения в потоке
колеблющегося виртуального катода при п > 1 является достаточно
сложной задачей, так как решение стремится к устойчивому состоянию,
которое имеет место для всех значений тока пучка а.
Проведем нелинейный анализ устойчивости обнаруженных стаци-
стационарных состояний в окрестности критического значения параметра
Пирса акр. Для определенности рассмотрим случай п = 0, хотя полу-
полученные результаты легко обобщить на случай произвольного п.
В рамках линейного анализа устойчивости стационарного состоя-
состояния, описываемого соотношением E.22), в работе [41] получено диспер-
дисперсионное уравнение
E.27)
4^
a t0
где /3 = jooto, j = д/^Т. Для величины параметра Пирса а около
критического значения можно положить
а = 4/3-?2, е<1. E.28)
19 Трубецков, Храмов

290 Лекция 5 B0)
Вблизи значения а, определяемого соотношением E.28), из уравне-
уравнения E.22) можно получить приближенное выражение для to B виде
|^ 0(?2), E.29)
где знак «минус» соответствует нижней, а «плюс» — верхней ветви на
рис. 5.3. Подставляя соотношения E.28) и E.29) в уравнение E.27),
можно найти, что
jut0 = р « TlV2e + О(е2). E.30)
Отсюда следует, что нижняя ветвь зависимости Ео(а) на рис. 5.3,
которой соответствует знак «минус» в формуле E.30), является устой-
устойчивой, а верхняя — неустойчивой. Точка а = акр = 4/3 (е = 0) соот-
соответствует безразличному состоянию равновесия.
Однако в области а > акр = 4/3 линейная теория неприменима.
Используя теорию возмущений [42], можно провести нелинейный ана-
анализ устойчивости в окрестности акр. В системе уравнений E.13)—E.15)
положим: а = 4/3 =Ь е . В (е )-окрестности критического значения
параметра Пирса будем рассматривать эволюцию возмущений в «мед-
«медленном» времени г = at.
Исключим из системы E.13)—E.15) переменную Е, для чего ском-
скомбинируем уравнения E.13) и E.14) и используем определение г. Тогда
приходим к уравнениям:
p. E.32)
Граничные условия E.16) в этом случае перепишутся в виде
1
e\-^-dx + \ (v2(l, т) - v2@, r)) = 0. E.33)
J от *
о
Разложим функции скорости и плотности в ряд по степеням малого
параметра е:
э . . э .
г=0 г=0
Подставим получившиеся асимптотические разложения в систему
уравнений E.31) и E.32) и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях е.
При е° получаем
(v0 - 0,5) (v0 + IJ = 2Bж - IJ, E.35)

Электронный пучок в пролетном промежутке 291
ро = -l/v0. E.36)
Для нахождения v\ и р\, т.е. рассматривая коэффиценты при е1,
введем новую переменную и, которую определим как
х=™№-Ц.\+и, E.37)
так что
16 {и2 Зи
Тогда получаем, что
V! = Cu(u-3/2)/v0, E.39)
Pi = vx/vl, E.40)
где С — константа интегрирования, которая в общем случае есть функ-
функция «медленного» времени т. Для нахождения функции С = С (г),
которая определяет медленное изменение во времени возмущения vi,
необходимо найти коэффициенты следующего порядка малости е2. Ис-
Используя выражения для vq, i?i, ро, р\ и исключая из задачи выражение
для р2, можно показать, что функция V2(x,r) удовлетворяет уравне-
уравнению
d2v0v2 16 1 _ 16 1 дС Г и(и-3/2) ,
о— ~г ~г кVo — ~г т:— о UU
д2 9 « $ д )
дх2 Ь022 9 vo дт
о
д^_д_
дт дх
t72@,r) = 0, V2A,t) = A^Z. E.42)
Решение данной неоднородной граничной задачи существует только
в том сучае, когда выполняются условия теоремы Фредгольма об аль-
альтернативе [43,15.4-4]. Тогда дифференциальное уравнение, определяю-
определяющее функцию С(т) принимает вид
ВС
а— + 6С2±с = 0, E.43)
где a, b и с — константы, которые определяются как
3/2
Г и(и-Ъ/2) /16 2 / 9\ , 3\ , 1 ^Qc:n ,K ...
о = - ^2 7 ^—п^ ^ - -J + -J tin = 1,6850, E.44)
о
19*

292 Лекция 5 B0)
3/2
о = - — 4 ' у an = -3,7968, E.45)
3 J ^о
о
3/2
\ u = -l?. E.46)
В уравнении E.43) знаки « + » и « —» соотносятся со значениями
параметра Пирса а > акр и а < акр соответственно.
При а > акр функция С принимает вид
![()] E.47)
при а < акр —
где го — константа интегрирования.
Таким образом, малые начальные возмущения в электронном пучке
в окрестности а ~ акр эволюционируют в соответствии с решением
v(x, t)~vo + J2 Ci(r)eUitVi(x) + ОИ, E.49)
г=1
где uii — корни дисперсионного уравнения E.27) при а = 4/3. Отсюда
непосредственно видно, что всеми модами, которые характеризуются
условием Rect;^ < 0, можно пренебречь по сравнению с модой, для
которой и = 0. Именно она будет определять динамику потока, так
как все остальные моды будут затухать в «быстром» времени t. Таким
образом, после некоторого небольшого промежутка времени от начала
инжекции пучка в диодный промежуток искомое решение можно запи-
записать как
v - v0 + еС(т)и{и~3/2) + О(е2). E.50)
vo
Из имеющихся начальных условий легко отыскать начальные усло-
условия для моды с uj = 0. При а < акр, если начальные условия таковы,
что С@) > — л/c/b , решение будет стремиться к устойчивой нижней
ветви на рис. 5.3 (область I). Если же С@) < —^с/Ь, то С —У ос за
конечное время (рис. 5.3, область II). При а > акр резкий бесконечный
рост величины С за конечное время имеет место при любых С@). Та-
Такое поведение на больших интервалах времени решения, полученного
методами возмущений из нелинейных уравнений, означает, что теория
возмущений позволяет описать динамику пучка со сверхкритическим
током только на начальном этапе (линейном и отчасти нелинейном)
развития неустойчивости.

Электронный пучок в пролетном промежутке
293
Как видно из соотношения E.47) резкий бесконечный рост при
превышении параметром Пирса критического значения описывается
функцией тангенса, поэтому необходимо корректно определить ин-
инкремент развития неустойчивости в данном случае. Заметим, что из
линейной теории следует развитие неустойчивости при превышении
критического значения параметра Пирса по экспоненциальному закону
gimo;^ Где ИНКреМеНТ неустойчивости определяется величиной мнимой
части частоты и (см. соотношение E.27)).
Оценим как ведет себя некоторое начальное возмущение при а <
< акр вблизи устойчивой ветви на рис. 5.3. Для этого положим в первом
соотношении E.48) г = et и устремим время t —> ос. Тогда
1
1
+
ехр
ехр
2л/сЬ
а
2у/~сЬ
а
{et
{et
+
+
го)
го)
| (l - 2ехр \-
+ то)] + . . .V E.51)
Отсюда видно, что нелинейный декремент d затухания возмущения при
а < акр вблизи устойчивой ветви (см. рис. 5.3) равен
2л/с6
E.52)
Заметим, что нелинейный декремент затухания d численно совпадает
с декрементом затухания, получающимся из линейной теории [41].
Последний результат очень важен, потому что именно значение d
определяет нелинейный инкремент 5 развития неустойчивости при а >
> акр, описываемой соотношением E.47). Если представить величину
е как
4\1/2
*кР -l«-?) E.53)
и проделать аналогичные выкладки для этого случая, можно получить
инкремент развития неустойчивости в виде
е =
= (-1)
1/2
или
ш PL
4у/2
ЗУ
E.54)
E.55)
Из соотношений E.54) и E.55) следует, что инкремент неустойчиво-
неустойчивости растет как корень квадратный из надкритичности 8 ~ ^/а — акр .
В заключение этого раздела заметим, что разложение E.49) спра-
справедливо только при С(т) < 1/е. Однако когда С не слишком вели-

294 Лекция 5 B0)
ко, уравнение E.47) дает разумную оценку для инкремента развития
неустойчивости в пучке со сверхкритическим током.
Нелинейные колебания виртуального катода
в пролетном промежутке
После образования виртуального катода в потоке начинаются отра-
отражения частиц, что делает невозможным описание системы в эйлеровых
координатах, как это делалось выше. Поэтому для анализа нестацио-
нестационарной нелинейной динамики виртуального катода необходимо исполь-
использовать численное моделирование методом «частиц в ячейке» (particle-
in-cell) [12,39,44].
В плоской геометрии электронный поток представляется в виде
совокупности крупных частиц (заряженных листов), инжектируемых
через равные промежутки времени с постоянной скоростью в простран-
пространство взаимодействия. Для каждого листа решаются нерелятивистские
уравнения движения
^ = -Е(хг), E.56)
где Х{ — координата г-го заряженного листа, Е(х{) — напряженность
поля пространственного заряда в точке с координатой Х{.
Для вычисления напряженности и потенциала поля пространствен-
пространственного заряда, а также плотности заряда вводится равномерная про-
пространственная сетка с шагом Ах{. Потенциал поля пространственного
заряда в электростатическом приближении определялся из уравнения
Пуассона, которое в одномерном приближении имеет вид
^ 2(р(х) + п) E.57)
и решается при следующих граничных условиях: ф(х = 0) = ф(х = 1) =
= 0. Здесь а есть введенный ранее параметр Пирса, п — плотность непо-
неподвижного положительного нейтрализующего заряда (ионного фона),
равномерно заполняющего пролетный промежуток. Напряженность
поля пространственного заряда определялась численным дифферен-
дифференцированием полученных значений потенциала.
Для вычисления плотности пространственного заряда использова-
использовалась процедура линейного взвешивания частиц (листов) на простран-
пространственной сетке (метод «частиц в ячейке» или, как его еще называют,
Р1С-метод) [39,45,46], снижающий сеточный шум. В этом методе плот-
плотность пространственного заряда в j-м узле пространственной сетки,
т. е. в точке с координатой Xj, выражается как
N
п(„ Л _ 1 \ Л й(т • — т Л (^ x*R}
v J/ no ^-^ v J/ v '
i—1

Электронный пучок в пролетном промежутке
295
а 0,0 2,0 / E(t+T) 6,0 15,6 25,1 34,7
6,0 15,6 25,1 34,7 t
Рис. 5.5. Характеристики колебаний электрического поля во входной плоско-
плоскости пространства взаимодействия без нейтрализации ионным фоном в пучке
с виртуальным катодом при следующих значениях параметра Пирса: а —
а = 1,5; б— а = 6,0
где xi — координата г-й частицы, N — полное число крупных частиц,
По — параметр вычислительной схемы, равный числу частиц на ячейку
в невозмущенном состоянии,
в(х]
_ /1- \x/Dx
-\о,
< Аж,
> Ах
— функция формы, определяющая процедуру «взвешивания» крупной
частицы на пространственной сетке с шагом Ах.
Рассмотрим динамику электронного потока с виртуальным катодом
в плоском пролетном промежутке при изменении управляющих пара-
параметров а и п.
Изучим сначала простейший случай — инжекцию моноэнергети-
моноэнергетического пучка со сверхкритическим током в пространство взаимодей-
взаимодействия без ионного фона, т. е. случай п = 0. При а ^ акр = 4/3, как было
показано выше, в системе возникает неустойчивость, развитие которой
приводит к формированию виртуального катода.
Вычислительный эксперимент свидетельствует, что в этом случае
в диапазоне управляющих параметров акр < а < 2тг в системе наблю-
наблюдаются регулярные колебания релаксационного типа. Для иллюстра-
иллюстрации этого на рис. 5.5 представлены зависимости поля Е во входной
плоскости х = 0 системы от времени, фазовые портреты колебаний,
восстановленные по методу Такенса, и фурье-спектры мощности коле-
колебаний E(t) для случая малой (а = 1,5) и большой (а = 6,0) надкритич-
ности (а — акр). Напомним, что при реконструкции фазового портрета
по методу Такенса [47] точка в d-мерном фазовом пространстве систе-
системы имеет координаты (E(t), E(t + T), . . . , E(t + (d - 1)Т)), где Т —
длительность задержки метода Такенса.

296
Лекция 5 B0)
3,8
Рис. 5.6. Пространственно-временные диаграммы колебаний в электронном
пучке с виртуальным катодом в пролетном промежутке без нейтрализации
ионным фоном при следующих значениях параметра Пирса: а— а = 1,5; б —
а = 6,0
Для понимания физических процессов в электронном пучке
со сверхкритическим током удобно рассмотреть пространственно-
временную диаграмму электронного потока для обоих значений
параметра Пирса а. Каждой крупной частице на плоскости (x,t)
соответствует кривая, показывающая зависимость координаты
частицы Х{ от времени t. Сгущение кривых на диаграмме соответствует
возникновению уплотнения в электронном потоке — электронной
структуры (электронного сгустка).
На рис. 5.6 представлены пространственно-временные диаграммы
при п = 0 соответственно для малой и большой надкритичности. Из
рисунка видно, что в потоке имеет место торможение электронного
потока (наклон траекторий заряженных частиц уменьшается), и в неко-
некоторой точке пространства взаимодействия электроны останавливаются
и поворачивают обратно — в пучке возникает двухпотоковое состоя-
состояние. Точку поворота электронов можно рассматривать как координату
виртуального катода жвк • Из анализа пространственно-временных диа-
диаграмм следует, что плоскость отражения электронов, а следовательно,
и положение виртуального катода смещается в течении характерно-

Электронный пучок в пролетном промежутке 297
го периода колебаний к плоскости инжекции: потенциальный барьер
достигает величины, достаточной для отражения электронов вдали
от плоскости инжекции (жвк ~ 0,3 на рис. 5.6 а), и затем движется
к ней, достигая координаты жвк ~ 0,2. При этом в области вирту-
виртуального катода имеет место сгущение траекторий заряженных частиц.
Последнее означает, что в области виртуального катода возникает плот-
плотный компактный сгусток электронов, т. е. плотность пространствен-
пространственного заряда в области виртуального катода существенно превосходит
плотность простанственного заряда во всем остальном пространстве
взаимодействия. Далее с течением времени наблюдается «сброс» за-
заряда из области виртуального катода обратно к плоскости инжекции
(из пространства взаимодействия), плотность пространственного за-
заряда в пространстве взаимодействия резко уменьшается, в результате
глубина тормозящего потенциального барьера становится меньше и,
как следствие, виртуальный катод «открывается» — электроны легко
преодолевают потенциальный барьер. В системе появляются пролет-
пролетные частицы, происходит накопление пространственного заряда в меж-
междусеточном пространстве, глубина потенциального барьера растет —
возникает отражающий от себя электроны виртуальный катод. Таким
образом, процесс периодически повторяется. На рис. 5.6 а представлено
три характерных временных периода колебаний виртуального катода.
Из сравнения рисунков 5.5 а, 5.6 а и рисунков 5.5 ?, 5.6 б можно сде-
сделать вывод, что с увеличением надкритичности наблюдается рост ча-
частоты ojbk колебаний виртуального катода. Одновременно с этим имеет
место смещение среднего положения виртуального катода к плоскости
инжекции и, как следствие, уменьшение времени пролета в простран-
пространстве взаимодействия электронов, отраженных от виртуального катода.
При большой надкритичности практически все электроны, инжекти-
инжектируемые в пространство взаимодействия, оказываются отраженными от
виртуального катода (см. рис. 5.6 б) — пролетный ток близок к нулю.
Это иллюстрирует рис. 5.7, на котором показана зависимость отноше-
отношения тока пролетных (/пр) и отраженных (/ОТр) частиц от величины
параметра Пирса а при п = 0. Из рисунка видно, что ток пролет-
пролетных частиц при малой надкритичности составляет величину порядка
10 -^ 20% (при а = 2,0 отношение /пр//отр «16%) и резко падает
с ростом параметра Пирса. Величина /пр//отр хорошо аппроксимиру-
аппроксимируется эмпирической степенной зависимостью, которая в безразмерных
переменных может быть записана как
/Пр//отр = 0,18 • (а - акр)'5 (в %). E.59)
Остановимся подробнее на зависимости частоты колебаний
виртуального катода от величины параметра Пирса. Как уже отме-
отмечалось выше, численное моделирование показывает, что частота ujbk
растет с ростом параметра Пирса или, что то же самое, с ростом тока
пучка (напомним, что а ~ л/7). В большом числе работ [56-62] из
различных соображений были проведены оценки частоты колебаний

298
Лекция 5 B0)
3,5 4,5
а/тс
Рис. 5.7. Соотношение между пролетным (/пр) и отраженным (/отр) током
в диодном промежутке без нейтрализации ионным фоном при различных
значениях параметра Пирса
виртуального катода. В работах [57-60] установлено, что частота с^вк
может быть оценена как и^к — 2,5о;р. Более строгая теория [61,62]
показывает, что характерная частота колебаний в пучке с виртуальным
катодом несколько меньше этого значения и может быть определена
как
1,93о;р < ьовк < 2,31а;р. E.60)
Отсюда следует, что характерная частота колебаний виртуального ка-
катода зависит от невозмущенной плазменной частоты электронного пуч-
пучка и растет линейно с увеличением ир. Заметим, что оценки в случае
релятивистского электронного пучка приводят к подобной зависимо-
зависимости: LOBK ~ (л)р.
Результаты численного моделирования подтверждают эту зависи-
зависимость — частота колебаний виртуального катода с^вк растет линей-
линейно с ростом а. Предполагая, что длина пространства взаимодействия
L и скорость пучка на входе в систему vo постоянны, а управление
параметром а обеспечивается изменением ир (тока пучка /) путем
численного моделирования находим, что ujbk — 2о;р. Последнее под-
подтверждает вышеприведенную зависимость для частоты виртуального
катода E.60).
Рассмотрим теперь другой предельный случай — случай полной
компенсации плотности пространственного заряда электронного пото-
потока ионным фоном («классический» диод Пирса, п = 1). В этом случае
неустойчивость возникает в системе при а > тг. Динамика виртуаль-
виртуального катода при этом значительно сложнее, чем в предыдущем случае
п = 0 [48].
На рис. 5.8 показаны шесть характерных динамических состояний
колебаний электронного потока после образования виртуального ка-
катода при увеличивающемся значении параметра Пирса. Для каждого
состояния представлены спектр мощности, проекция восстановленного
аттрактора и часть временной реализации (с исключенным переход-

Электронный пучок в пролетном промежутке 299
ным процессом) колебаний напряженности электрического поля на
выходе системы.
Сразу после превышения током пучка предельного значения в пото-
потоке возникают нерегулярные колебания виртуального катода (рис. 5.8 а).
В спектре можно выделить две частоты (отмечены в спектре мощности
на рис. 5.8 а штриховыми линиями), находящиеся в иррациональном
соотношении, при этом шумовой пьедестал в спектре имеет значитель-
значительную высоту. Фазовый портет однороден и при малом превышении а над
акр = тг соответствует сильно размытому предельному циклу. По мере
роста а основной цикл становится двухоборотным, степень «размазан-
«размазанности» аттрактора уменьшается. При значении а ~ 1,28тг поведение
системы становится близким к регулярному, аттрактор превращается
в узкую ленту, в спектре мощности выделяется только основная частота
(отмечена на рис. 5.8 ? штриховой линией) и ее гармоники. На фазовом
портрете появляется неоднородность: в области, соответствующей от-
отсутствию виртуального катода в системе, фазовая траектория проводит
относительно больше времени. Внутри каждого периода колебаний
в реализации можно выделить промежуток почти неизменных значе-
значений поля и следующий за ним острый пик.
Дальнейший рост а приводит к расширению ленты аттрактора,
что соответствует росту нерегулярности колебаний в электронном пуч-
пучке. В спектре мощности при этом растет уровень шумового пьеде-
пьедестала и расплываются отдельные спектральные пики. Аттрактор по-
прежнему является сильно неоднородным. Увеличение а выше 1,58тг
приводит к блужданию изображающей точки по аттрактору. Теперь он
занимает целую область в фазовом пространстве (рис. 5.8 в). На фазо-
фазовом портрете видна область разбегания близких фазовых траекторий,
что характерно для хаотических аттракторов. В спектре имеет место
развитый шумовой пьедестал, что также свидетельствует о развитых
хаотических колебаниях виртуального катода в данном случае. Нере-
Нерегулярность колебаний проявляется и во временной реализации, однако,
основной временной масштаб ~ 1/^р, связанный с плазменной часто-
частотой пучка, сохраняется. По мере роста надкритичности неоднородность
аттрактора растет, и расширяется область, занимаемая им в фазовом
пространстве (рис. 5.8 г). При а > 1,86тт нерегулярность колебаний
резко уменьшается. Аттрактор при этом представляет узкую ленту
сложной формы. В спектре мощности можно выделить большое число
высших гармоник, имеющих почти одинаковую с гармоникой основной
частоты амплитуду, что свидетельствует о сильной нелинейности про-
цесов в системе.
С дальнейшим ростом параметра Пирса имеет место установле-
установление неоднородного стационарного состояния, которому предшествует
длительный сложный переходной процесс. При а > 2,48тг в системе
вновь возникают нерегулярные колебания, которые на фазовом пор-
портрете представляют собой блуждание изображающей точки между
двумя притягивающими центрами. Спектр в этом режиме спадающий,
а основная частота в нем ниже, чем в режимах с а < 2тг (рис. 5.8 д).

300
Лекция 5 B0)
E(t+T) 5,0 25,5
-72,0
б 0,0 2,0 / ' E(t+T) ' 0,0 25,5
P(J) m ,Д0, ,Д0г
E(t+T) 0,0 25,5
E(t+T) 0,0 25,5
E(t+T)
10,0
92,0
Рис. 5.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации
колебаний напряженности поля на выходе диода Пирса для характерных
режимов колебаний а = 1,20тг (а); а = 1,50тг (б); а = 1,60тг (в); а = 1,76тг (г);
а = 2,60тт (д). Штриховыми линиями в спектрах отмечены базовые частоты

Электронный пучок в пролетном промежутке 301
Рассмотрим кратко сценарии перехода из одного режима колебаний
в другой в диоде Пирса. Из режима сильно нерегулярных колеба-
колебаний к почти регулярным при а ~ 1,28тг переход происходит жестким
образом, без предварительного упрощения колебаний. Возникновение
хаотических колебаний при а « 2,48тг также происходит жестким об-
образом. В отличие от этого, режим нерегулярных колебаний при а/тг Е
Е A,58; 1,68) возникает и исчезает при увеличении а через постепенное
усложнение (упрощение) колебаний. Временная реализация поля на
выходе системы при этом состоит из областей регулярного поведения,
прерываемых хаотическими всплесками. Такое поведение в низкораз-
низкоразмерных динамических системах характерно для перехода к хаосу через
перемежаемость [49,50].
Исследуем количественные характеристики хаотических колебаний
в диоде Пирса в режиме с виртуальным катодом, используя для это-
этого такую характеристику хаотических колебаний, как максимальный
ляпуновский характеристический показатель [51,52], который служит
мерой скорости разбегания близлежащих фазовых траекторий. Напо-
Напомним, что ляпуновский показатель может быть определен как [53]
где D(t) — расстояние в момент времени t между двумя изображающи-
изображающими точками в фазовом пространстве. Предполагается, что в начальный
момент времени эти точки близки, т.е. D@) <С R, где R — харак-
характерный геометрический размер аттрактора в фазовом пространстве.
Положительное значение максимального ляпуновского показателя Л
свидетельствует о хаотической динамике системы. При этом через про-
промежуток времени Т « \n(R/D@))/\ поведение системы становится
непредсказуемым.
Для определения Л необходимо измерять расстояние в фазовом про-
пространстве. В случае распределенной системы фазовое пространство —
бесконечномерное, и каждому состоянию электронного потока соответ-
соответствует набор безразмерных функций E(x,t), (j)(x,t), p(x,t) и j(x,t),
где Е(х, i) и ф(х, i) — напряженность и потенциал поля пространствен-
пространственного заряда, j(x, t) и р(х, t) — плотность тока и плотность заряда пуч-
пучка. Для измерения расстояния в фазовом пространстве использовалась
величина
D=\J(El- E2f + (фг - ф2J + (pi - P2f + (ji ~ hf dx. E.62)
Здесь функции с индексами «1» и «2» соответствуют двум близким
состояниям системы. Малое возмущение вносилось в положение и ско-
скорости частиц в момент времени ?q, a затем определялось значение D(t)
через временной интервал AT после возмущения системы. Для опреде-
определения среднего по аттрактору значения максимального ляпуновского

302
Лекция 5 B0)
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0,000
У
/
V
\
/
/
л
\
/
ч/
/
/
1,0 1,2 1,4 1,6
а/к
Рис. 5.9. Зависимость усредненного по аттрактору максимального ляпунов-
ского характеристического показателя (Л) от параметра Пирса а (взято из
работы [48])
показателя процедура повторялась М раз до достижения величиной
м
MAT
га=1
D(t0 + mAt)
+ (m-l)AT)
E.63)
асимптотического значения. Результаты в виде зависимости (Л) от
величины а представлены на рис. 5.9. В каждом из режимов колеба-
колебаний величина (Л) положительна, что свидетельствует о хаотическом
поведении электронного потока с виртуальным катодом. В режиме
сильнонерегулярных колебаний (а < 1,28тг, 1,58тг < а < 1,68тг) ляпу-
новский характеристический показатель (Л) значительно больше, чем
в областях, близких к регулярным колебаням виртуального катода.
Внутри областей с нерегулярным поведением (Л) почти постоянна, что
свидетельствует о неизменности механизма неустойчивости в каждой
области. При приближении к границам этих областей величина (Л)
резко уменьшается.
Изучим теперь физические процессы в пучке, приводящие к хаоти-
зации колебаний виртуального катода в диоде Пирса. На рис. 5.10 пред-
представлена зависимость максимальной плотности пространственного за-
заряда в электронном потоке от времени. Можно видеть, что плотность
пространственного заряда в потоке достигает макисмума дважды за
период колебаний. Физическая причина возникновения первого макси-
максимума подробно описана выше — она связана с формированием и дина-
динамикой в системе виртуального катода. Причиной второго увеличения
плотности заряда является кинематический эффект — превращение
модуляции по скорости в модуляцию по плотности в электронном по-
потоке.
Рассмотрим пространственно-временную диаграмму электронного
потока для одного периода колебаний (рис. 5.11). Буквами на ней отме-
отмечены различные характерные траектории заряженных частиц в пучке.
Когда плотность заряда в области виртуального катода достаточна,
виртуальный катод перестает существовать, поскольку часть потока

Электронный пучок в пролетном промежутке
303
|ртах|
1,4
Рис. 5.10. Зависимость максимального значения плотности пространствен-
пространственного заряда ртах в междусеточном пространстве от времени при а = 1,62тг
и п = 1 (взято из работы [54])
отражается от него (на рис. 5.11 эта часть потока обозначена буквой
Л), а другая часть, затормозившаяся в области виртуального катода,
уходит к выходной плоскости, создавая пролетный ток (часть потока,
обозначенная символом В). В процессе распада виртуального катода
плотность заряда в нем падает, а, следовательно, уменьшается напря-
напряженность создаваемого им тормозящего поля. Поэтому на электроны,
поступающие в систему позже, действует меньшее тормозящее поле,
и их скорость изменяется на меньшую величину, чем у влетевших
ранее. В результате образуется сгусток электронов за виртуальным ка-
катодом, проходящий по системе к выходной сетке. На пространственно-
временной диаграмме формированию сгустка соответствует сближение
кривых (область С). Образование вторичного сгустка приводит к вто-
второму увеличению плотности заряда в потоке.
Рассмотрим зависимость величины второго максимума плотности
заряда от параметра Пирса, представленную на рис. 5.12. Величина
второго максимума определяет характер динамики электронного пото-
потока: хаотическим режимам соотвествует значение плотности заряда во
втором сгустке большее 20, а его уменьшение приводит к слабонере-
слабонерегулярным колебаниям. Анализ пространственно-временных диаграмм
2,7 3,1 3,5 t
Рис. 5.11. Пространственно-временная диаграмма колебаний в электронном
пучке с виртуальным катодом в диоде Пирса (п = 1)

304
Лекция 5 B0)
V
\
N
\
\
Ртах2
25,0
20,0
15,0
10,0
5,00
0,00
1,0 1,2 1,4 1,6 а/ж
Рис. 5.12. Зависимость плотности заряда во вторичном сгустке от параметра
Пирса а (взято из работы [48])
электронного потока [48,54] показывает, что при значениях ртах2 > 20
в пучке с виртуальным катодом возникают отражения части потока от
формирующегося вторичного сгустка.
В фазовом пространстве системы отражению от вторичного сгустка
соответствует уход изображающей точки в редко посещаемую область
аттрактора. Процесс возвращения при этом сильно зависит от состоя-
состояния потока перед отражением. Локальное значение ляпуновского ха-
характеристического показателя в этой области положительно и больше
по величине, чем в среднем по аттрактору. Это связано с тем, что
при формировании сгустка средняя плотность заряда увеличивается
в междусеточном пространстве, одновременно увеличивается и ско-
скорость роста возмущения [2,55]. Рост амплитуды плотности заряда во
втором максимуме приводит к увеличению значения ляпуновского ха-
характеристического показателя. Из сравнения рисунков 5.9 и 5.12 видно,
что рост плотности вторичного сгустка Ртах 2 сопровождается ростом
величины (Л). Качественное различие между двумя хаотическими ре-
режимами связано с тем, насколько плотность пространственного заряда
во втором сгустке превышает критическое значение. В первом режиме
нерегулярных колебаний плотность заряда во вторичном сгустке на-
настолько велика, что отраженный от него поток существует постоянно,
а во втором режиме превышение небольшое, и отраженный поток воз-
возникает не на каждом периоде колебаний.
Значение плотности заряда во втором максимуме определяется ам-
амплитудой потенциала поля пространственного заряда в области вир-
виртуального катода и расстоянием между входной сеткой и местом фор-
формирования виртуального катода. При увеличении параметра Пирса
амплитуда плотности пространственного заряда в области виртуаль-
виртуального катода уменьшается (при прочих неизменных параметрах) и для
того, чтобы остановить электрон, движущейся с прежней скоростью,
достаточно меньшего уплотнения электронного потока. Это уменьше-
уменьшение наиболее резко происходит при увеличении а от тг до 1,3тг, что

Электронный пучок в пролетном промежутке
305
г) Cl
R
Ri
^^
LA
I
0,8
0,6
0,4 ¦
0,2 ¦
0,0
0,71 1,97 3,23 4,48 5,74 7,00 a
Рис. 5.13. Разбиение плоскости параметров (a, n) на области с различными
типами колебаний виртуального катода
объясняет первое уменьшение плотности заряда во втором максимуме
и возникновение слабого нерегулярного режима при а « 1,3тг.
Расстояние между входной сеткой и виртуальным катодом также
уменьшается с ростом а, но неравномерно с ростом надкритичности.
Это расстояние сильно уменьшается при а « 1,7тг, что приводит к сни-
снижению плотности заряда во втором сгустке, так как он не успевает
сгруппироваться.
Рассмотрим теперь динамику пучка со сверхкритическим током
в пролетном промежутке с произвольной плотностью ионного фона 0 <
< п < 1.
На рис. 5.13 представлена карта режимов на плоскости управляю-
управляющих параметров (а, п). Различные области на ней соответствуют раз-
различным режимам колебаний виртуального катода в диодном проме-
промежутке.
Область, обозначенная символом S и расположенная слева на карте
режимов, — это область стационарного состояния, соответствующая
полному прохождению потока через диодный промежуток. Граница
этой области определяется зависимостью критического значения пара-
параметра Пирса акр от плотности ионного фона п. При значениях плот-
плотности ионного фона п < 0,5 -г- 0,7 в пучке наблюдаются регулярные
колебания, форма которых близка к приведенной на рис. 5.5 для случая
п = 0. Соответствующая область обозначена на карте режимов симво-
символом R. Область Q — область квазипериодических колебаний в потоке
с виртуальным катодом. В этом случае в спектре колебаний поля име-
имеют место колебания с двумя несоизмеримыми частотами. В фазовом
пространстве образом таких колебаний является тор в трехмерном про-
пространстве. Это подтверждает расчет такой характеристики колебаний
как сечение Пуанкаре, которое в данном случае имеет вид гладкой
замкнутой кривой.
При больших п ~ 1,0 и а < 2тг имеют место хаотические колебания
(обозначенные символом С\ на карте режимов), подобные описанным
20 Трубецков, Храмов

306
Лекция 5 B0)
8,4
Рис. 5.14. Пространственно-временные диаграммы колебаний в электронном
пучке с виртуальным катодом для различных режимов хаотических колеба-
колебаний: а — режим слабохаотических колебаний (п = 0,7, а = 2,3); б — режим
развитого хаоса (п = 1,0, а = 7,0)
выше для случая п = 1. На рис. 5.14 а показана пространственно-
временная диаграмма электронного пучка для случая п = 0,7, а =
= 3,23. Из рисунка видно, что на каждом периоде колебаний в системе
за счет кинематической неустойчивости в пролетном потоке возникает
вторичный электронный сгусток, от которого отражается часть элек-
электронов. Отраженные от вторичного сгустка электроны, возвращаясь
обратно к плоскости инжекции в момент времени, когда начинается
формирование виртуального катода на следующем периоде колебаний,
возмущают начальное состояние и тем самым приводят к усложнению
динамики виртуального катода. В системе возникает запаздывающая
обратная связь по пучку, что, как хорошо известно [63,64], приводит
к хаотизации колебаний в системе.
В области а ~ 2тг и п > 0,7 при изменении управляющих парамет-
параметров имеет место перестройка между различными типами колебаний
виртуального катода. Область R2 — область регулярных колебаний
в пучке с виртуальным катодом, образом которых в фазовом простран-
пространстве является двухоборотный цикл. В спектре кроме основной частоты
колебаний виртуального катода CxJbk и ее гармоник коовк (к — целое)
наблюдаются ярко выраженные субгармоники этих частот

Электронный пучок в пролетном промежутке
307
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 п
Рис. 5.15. Частота колебаний виртуального катода как функция плотности
ионного фона
Переход к хаотическим колебаниям из режимов Q и /22 имеет место
через перемежаемость (область / на карте режимов (рис. 5.13)), когда
регулярная временная реализация прерывается хаотическими всплес-
всплесками. При росте плотности ионного фона длительность хаотических
стадий увеличивается и в системе устанавливается хаотический режим
С\. Переход к хаотическим режимам с ростом плотности ионного фона
по сценарию перемежаемости обусловливается следующим. С ростом
плотности ионного фона растет плотность заряда р2 во вторичном
сгустке, формирующемся в «пролетном» потоке. При некоторой плот-
плотности ионного фона n<i возникают отражения электронов от него, вли-
влияющие на динамику виртуального катода на последующем периоде
колебаний. Однако при п ~ n<i это происходит не на каждом пери-
периоде колебаний. Поэтому колебания представляют собой регулярные
колебания, прерываемые короткими стадиями хаотической динамики.
С ростом плотности ионного фона при п > п^ наблюдается увеличение
р2, отражения от вторичного сгустка становятся все более частыми и,
как результат, растет длительность хаотической стадии колебаний.
Рассмотрим как ведет себя частота колебаний /вк виртуального
катода в зависимости от плотности ионного фона. На рис. 5.15 пред-
представлены соответствующие зависимости при различных значениях па-
параметра Пирса. Видно, что с ростом плотности ионного фона частота
колебаний виртуального катода уменьшается, причем тем быстрее, чем
больше величина параметра Пирса а. При а > 4,0 зависимость частоты
/вк вначале быстро уменьшается с ростом плотности ионного фона до
п « 0,5, а затем насыщается на некотором уровне. Однако, при п « 0,8
наблюдается резкое падение частоты колебаний виртуального катода.
Особенно ярко это проявляется при а > 2тг, когда при превышении
некоторого критического значения п частота скачком уменьшается
более чем в 3 раза.
Поэтому, для увеличения частоты генерации в системе с виртуаль-
виртуальным катодом необходимо увеличивать плазменную частоту пучка ир
и уменьшать влияние ионного фона на динамику виртуального катода.
20*

308 Лекция 5 B0)
На рис. 5.13 режим колебаний виртуального катода с малой часто-
частотой обозначен символами Ci и R<$. Область R$ соответствует режиму
регулярных колебаний виртуального катода. Режим Ci — режим раз-
развитых хаотических колебаний со сплошным спектром и слабо выра-
выраженной на фоне шумового пьедестала базовой частотой в спектре. Рас-
Рассмотрим пространственно-временную диаграмму потока (рис. 5.14 6),
построенную для последнего случая (п = 1, а = 7,0). Из рисунка видно,
что динамика потока существенно сложнее, чем при а < 2тг. Электрон-
Электронный пучок сильно тормозится не только в области инжекции (х ~ 0,1),
но и вблизи выхода системы (х ~ 0,7 -г- 0,8). Из пространственно-
временной диаграммы видно, что динамика потока сильно нерегуляр-
нерегулярна — отражающий электроны виртуальный катод возникает нерегуляр-
нерегулярно во времени, наблюдается также отражение электронов от второго
сгустка вблизи выходной сетки. Характерный временной масштаб ди-
динамики виртуального катода в этом случае существенно меньше, чем
при меньшей плотности ионного фона.
Феноменологические модели динамики электронного
потока с виртуальным катодом в плоском пролетном
промежутке
При исследовании систем типа «электронный поток с виртуальным
катодом, взаимодействующий с электромагнитным полем» было пред-
предложено несколько простых моделей, которые отражали те или иные
характерные особенности нелинейного поведения системы со сверхкри-
сверхкритическим током. Так в первом томе книги в лекции 4 рассматривалась
модель «гидродинамического» диода Пирса, построенная с помощью
Галеркинской аппроксимации. С помощью этой модели была иссле-
исследована возможность управления сложной динамикой волн простран-
пространственного заряда с помощью введения в систему внешней запаздываю-
запаздывающей обратной связи [16].
Для построения подобных моделей в режимах с образованием вир-
виртуального катода, с одной стороны, феноменологически используют-
используются уравнения типа Ван-дер-Поля [65, 66]. С помощью этих моделей
исследуются вопросы синхронизации колебаний виртуального катода
внешними сигналами [66-68] или взаимной синхронизации нескольких
систем на виртуальном катоде [69]. Однако при таком подходе в модели
не учитываются особенности физических процессов в электронном пуч-
пучке с виртуальным катодом, что не позволяет говорить о количественном
согласии результатов анализа модельных систем с результатами, по-
полученными при исследовании более сложных распределенных моделей
или в натурном эксперименте.
С другой стороны, имеется ряд работ, в которых в основу постро-
построения модели кладутся представления о физических явлениях в пото-
потоке с виртуальным катодом, причем в качестве базы для этого часто
служит стационарный анализ поведения потока в режиме образования
виртуального катода [70, 71]. Такой подход является намного более
перспективным и плодотворным, позволяя в некоторых случаях опи-

Электронный пучок в пролетном промежутке
309
G\
Т
Рис. 5.16. Эквивалентная
схема диодного промежут-
промежутка с виртуальным катодом
сать сложные нестационарные режимы колебаний виртуального като-
катода. В этих работах диодный промежуток с виртуальным катодом пред-
представляется в виде эквивалентной схемы, которая включает в себя гене-
генератор тока и цепочку, составленную из емкости С и проводимости G\
(рис. 5.16). Зарядка емкости соответству- _
ет накоплению пространственного заряда j ~ ^J_
в области виртуального катода и увели-
увеличению провисания потенциала в диодном
промежутке. Подключение к цепи неко-
некоторой дополнительной проводимости Gi \ ~ I"
в момент превышения напряжением на
емкости С некоторого порога приводит
к разряду емкости. Последнее эквивалент-
эквивалентно сбросу заряда из области виртуального
катода. Вид нелинейных функций, описы-
описывающих проводимости Gi и Gi, получен в работе [71]. В работе [72]
в рамках этой модели удалось описать усложнение динамики в диодном
промежутке со встречными электронными потоками. В работах [73,74]
предложена модель в виде системы двух связанных отображений, ко-
которая использовалась для описания сложной динамики электронного
потока со сверхкритическим током в диоде Пирса.
Тем не менее, вышеупомянутые модели не лишены недостатков. Де-
Дело в том, что в них не учитываются явным образом основные причины
нестационарного поведения виртуального катода в пролетном проме-
промежутке. Возникновение колебаний в этих моделях происходит благодаря
заданию порогового уровня одной из переменных, по достижении ко-
которого система должна «перепрыгнуть» на другую ветвь эволюции.
В этом смысле вышеупомянутые модели можно рассматривать, как
системы, описываемые дифференциальными уравнениями с неодно-
неоднозначными правыми частями [75]. Поведение таких системы зависит как
от текущего значения переменных, так и от предыстории процесса. Од-
Однако такой подход не совсем корректен, так как нестационарность ди-
динамики виртуального катода является результатом инерционности про-
процесса образования отражающего заряженные частицы виртуального
катода. Иными словами, в электронном потоке с виртуальным катодом
имеет место запаздывание между достижением высотой потенциаль-
потенциального барьера величины, предсказываемой стационарной теорией, т.е.
достаточной для отражения заряженных частиц обратно к плоскости
инжекции, и достижением максимальной плотности пространственно-
пространственного заряда в области виртуального катода, а следовательно, и начала
сброса заряда к входной плоскости.
Таким образом, несмотря на то, что процесс колебаний в систе-
системе со сверхкритическим током носит релаксационный характер ви-
вида «накопление-сброс» заряда, механизм этого явления существенно
сложнее, чем простое переключение между двумя состояниями систе-
системы.
Построим, следуя работам [76,77], феноменологическую модель ко-
колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом, учитывающую

310 Лекция 5 B0)
данные явления, и правильно описывающую динамику рассматривае-
рассматриваемой системы.
Для построения модели рассмотрим систему, состоящую из двух
плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии L, в которую влета-
влетают заряженные частицы, причем все частицы влетают в систему с оди-
одинаковой начальной скоростью vq. Потенциал плоскости влета равен ну-
нулю, а на выходную плоскость системы подается некоторое напряжение
V(Q(t)), зависящее от суммарного заряда Q, накопленного в систе-
системе. Будем считать далее, что частица, влетевшая в рассматриваемый
промежуток в некоторый момент времени ?]_, в течение всего времени,
пока находится в системе, будет двигаться под влиянием потенциала
V(Q(to)), несмотря на то, что потенциал будет непрерывно менять-
меняться с течением времени за счет изменения суммарного заряда Q(t),
накопленного системой. Иными словами, каждая частица движется
в некотором своем «эффективном» электрическом поле, которое для
нее не изменяется с течением времени. Тогда для любой частицы, зная
время ее влета в пролетный промежуток и заряд Q(t), накопленный
в системе к этому моменту, можно рассчитать траекторию ее движения
и время пролета, т. е. время нахождения частицы в междусеточном
пространстве. В безразмерных координатах уравнение движения заря-
заряженной частицы, влетевшей в диод в момент времени ti, примет вид
х(т) = т-ит2/4, E.64)
где г = vo(t — t\)/L — безразмерное время движения, отсчитываемое
от момента влета частицы, х = X/L — безразмерная координата, X —
размерная пространственная координата, u(Q) = 2V(Q)e/'(uiVq) —
безразмерный потенциал, поданный на выходную плоскость диода.
Заряженная частица, движущаяся в постоянном электрическом по-
поле, в зависимости от величины потенциала на выходной плоскости
рассматриваемого промежутка, может либо достичь этой плоскости
и покинуть систему, либо развернуться и вылететь назад через плос-
плоскость инжекции. Нетрудно видеть, что время, за которое заряженная
частица достигает точки разворота, равно то = 2/и. Если точка разво-
разворота совпадает с выходной плоскостью диода, то безразмерное время,
за которое заряженная частица проходит от точки влета до выходной
плоскости, равно 2. Очевидно, что если для какой-либо заряженной
частицы го > 2, то точка разворота для этой частицы находится за
выходной плоскостью промежутка, а следовательно, эта заряженная
частица будет находиться в системе (и своим зарядом вносить вклад
в величину Q(t)) в течение времени т/ = 2A — у/1 — и). С другой сто-
стороны, если го < 2, то точка разворота частицы находится внутри диода,
и, следовательно, она будет находиться в диоде в течение времени
П = 4:/u(Q(to))J начиная с момента влета.
Легко видеть, что заряженная частица будет вылетать через выход-
выходную плоскость системы в том случае, если в момент влета безразмерное
напряжение на выходной плоскости меньше критического значения
ис = 1, и, наоборот, при и > ис заряженная частица будет покидать

Электронный пучок в пролетном промежутке 311
диод через плоскость инжекции. Тогда для времени пролета отдельной
заряженной частицы в диодном промежутке можно записать
/ ч Г2 A — у/1 — и) /и. и < и
ti(u) = <a} }1 ' .
' E.65)
и > ис. у J
Очевидно, что безразмерный суммарный заряд q в момент времени
г будет определяться числом частиц, которые в данный момент нахо-
находятся в диодном промежутке. Для того чтобы можно было с помощью
рассматриваемой модели получить временную реализацию </(т), необ-
необходимо только знать вид функции u(q). Найдем ее.
Каждая частица в феноменологической модели движется в задан-
заданном в момент ее влета поле г), поэтому воспользуемся стационарной
теорией для нахождения зависимости V(Q). Рассмотрим стационар-
стационарное состояние потока с виртуальным катодом в диодном промежутке.
В этом случае в точке с координатой жвк (точке местоположения мини-
минимума потенциала— виртуального катода) входной поток jc разделяется
на пролетный поток jv и отраженный jc — jv. Полный анализ такой си-
ситуации требует решения уравнения Пуассона для обеих областей (см.,
например, [78]). Однако на виртуальном катоде, т. е. в точке минимума
потенциала жвк, имеют место следующие соотношения для потенциала
ср поля пространственного заряда:
И*вк=0. E.66)
Это означает, что в плоскости жвк выполняются условия, аналогичные
условиям на катоде плоского диода в режиме полного ограничения тока
пространственным зарядом. Таким образом, области слева и справа от
виртуального катода могут рассматриваться как диоды, для которых
выполняется «закон 3/2», причем координата должна отсчитываться
от местоположения виртуального катода. Введем безразмерные пере-
переменные
з' = З/Зп, х'вк = хвк/d. E.67)
Здесь
— ток в режиме полного ограничения пространственным зарядом
в плоском диоде, катод и анод которого расположены на расстоянии d,
а потенциал между ними равен Vo-
Тогда в новых переменных (штрихи над безразмерными перемен-
переменными опускаем) слева от виртуального катода «закон 3/2» запишется
в виде
2jc-jv = -^-, E.68)
г) Т. е. для любой отдельно взятой частицы поле, которое действует на нее,
стационарно.

312 Лекция 5 B0)
а справа —
1 E-69)
iv = (л
A -
Полный заряд Q, накопленный в диодном промежутке, в стацио-
стационарном состоянии будет равен
= A\ \ -^dx' + \ —-L—dx'\ =
A - жвкJ J L^bk 1 —#вк.
О " жВк
E.70)
где Л — коэффицент пропорциональности. Так как виртуальный катод
возникает вблизи плоскости инжекции, то можем пренебречь вторым
слагаемым в E.70), и тогда получим, что полный заряд, накопленный
в системе, обратно пропорционален координате виртуального катода
Предположим для простоты, что заряд Q располагается в плоскости
диода. Тогда на влетающую частицу в плоскости х = 0 действует
потенциал V, равный
9 -?-. E.71)
Последнее соотношение представляет собой зависимость действую-
действующего потенциала от координаты виртуального катода. Однако для
каждого значения полного заряда Q величина жвк будет своя, т.е.
для окончательного определения выражения E.71) необходимо знать
вид зависимости жвк = f(Q)- Для этого воспользуемся результатами
численного моделирования. На рис. 5.17 приведены усредненные по
времени зависимости координаты виртуального катода от полного за-
заряда в диодном промежутке для некоторых значений параметра Пирса
(точки). Сплошная линия — аппроксимация степенной функцией. Вид-
Видно, что при а > 3 полученные зависимости xbk(Q) хорошо аппрокси-
аппроксимируются функцией вида
^vc-0'55. E.72)
Из рис. 5.17 также видно, что при а < 3 зависимость xbk(Q) имеет
другой вид. Такой характер зависимости связан не с динамикой вирту-
виртуального катода, а с процессами в пролетном потоке. Анализ физических
процессов в пучке показывает, что вид зависимостей жвкМ ПРИ малом
а от начала формирования виртуального катода до начала интенсив-
интенсивного сброса из него заряда (момента достижения максимума вели-
величины Q) полностью совпадает с соответствующей зависимостью при
большем а, т.е. динамика виртуального катода полностью идентична
в обоих случаях. Но при малом а в момент, когда наблюдается резкое
уменьшение величины потенциального барьера, в системе наблюдает-
наблюдается большое число пролетных частиц. При этом в пролетном потоке
имеет место группировка заряженных частиц в быстро меняющемся
тормозящем поле виртуального катода. Действительно, на частицы,

Электронный пучок в пролетном промежутке
313
80,00
60,00
40,00
20,00
0,00
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
Q
Рис. 5.17. Зависимости координаты виртуального катода от полного заряда,
накопленного в системе, для различных значений параметра Пирса: х — а =
= 2,0; о — а = 4,0; Л — а = 6,0. Сплошная линия — аппроксимация кривых
степенной функцией
влетающие раньше, воздействует более сильное тормозящее поле, чем
на влетающие позже. Как следствие этого последние догоняют части-
частицы, которые влетели раньше, что приводит к образованию вторично-
вторичного электроного сгустка в пространстве взаимодействия. В результате
минимум потенциала смещается в сторону больших х. Это приводит
к тому, что в области малых Q зависимость xbk(Q) меняет свой наклон
на противоположный. Однако это связано не с динамикой виртуального
катода, как единого целого, а с эффектами в пролетном потоке, кото-
которые не оказывают влияния на поведение электронного потока вблизи
плоскости инжекции, а следовательно, и на колебания виртуального
катода. Поэтому предположим, что зависимость xbk(Q) имеет такой
же вид как и при больших а, т. е. описывается выражением E.72). Дей-
Действительно, временной интервал, когда наблюдается пролетный ток,
можно рассматривать как время, когда виртуальный катод в потоке
не существует. Тогда регистрируемое положение минимума потенциала
нельзя соотносить с координатой виртуального катода жвк-
Окончательно, учитывая выражения E.71) и E.72), получаем иско-
искомую зависимость V(Q) в виде
V = BQ1\ E.73)
где В — коэффицент пропорциональности, зависящий от выбора нор-
нормировки физических величин.
Рассмотрим численную реализацию вышеописанной модели. За-
Зафиксируем шаг по времени равным Аг и будем рассматривать ди-

314
Лекция 5 B0)
намику системы в дискретном времени. Тогда заряженная частица,
влетевшая в диод в момент времени то, будет двигаться в диодном
промежутке в течение [ti(v(to))/At] дискретных временных шагов,
где [•] обозначает операцию округления. Максимально возможное чис-
число временных шагов, в течение которых частица будет находиться
в диоде, составляет [4/Дт]. Будем рассматривать одномерный массив
из [4/Дт] + 1 элементов, замкнутый в кольцо (рис. 5.18). Значение
каждого элемента этого массива соответствует заряду, накопленному
в системе в какой-либо момент дискретного времени. Стрелка ука-
указывает на элемент, соответствующий текущему моменту дискретного
времени, а все остальные элементы соответствуют будущим моментам
дискретного времени. Если считать, что k-и элемент соответствует
текущему моменту дискретного времени то, то (к -\- ? -\- 1)-й элемент
соответствует моменту то + ? х Ат, а, (к — 1)-й элемент — моменту
времени то + 4.
В каждый рассматриваемый момент дискретного времени в систему
влетает одна частица с зарядом Aq. Считая, что частица движется
в заданном поле, которое суще-
существует в системе на момент ее вле-
влета в диодный промежуток, вре-
время пролета этой частицы в про-
пространстве взаимодействия можно
определить с помощью соотноше-
соотношения E.65). Необходимое для этого
значение u(Q) определяется соот-
соотношением E.73), в котором в ка-
качестве величины Q использует-
используется значение заряда, накопленно-
накопленного в системе, из элемента массива,
соответствующего текущему мо-
моменту времени. Поскольку влетев-
влетевшая в момент времени т\ частица
за счет своего пребывания в дио-
диоде будет увеличивать суммарный
заряд на величину Aq в течение
времени t/(v(ti)), to все значения
последующих [ti(v(ti))/At] эле-
элементов массива следует увеличить
на Aq (см. рис. 5.18). Такой под-
подход позволяет учесть влияние за-
заряженной частицы на суммарный
заряд системы в течение всего вре-
времени, пока она находится в диодном промежутке.
Следующим этапом численной процедуры необходимо перейти
к следующему элементу массива, в котором будет находиться
значение заряда, накопленного в диоде к этому моменту времени,
а предыдущий элемент массива трактовать как элемент с нулевым
зарядом, соответствующий будущему моменту времени, отстоящему
Рис. 5.18. Схема, иллюстрирующая
одну итерацию численной реали-
реализации феноменологической моде-
модели (схема «клеточного автомата»).
Стрелкой отмечен текущий момент
дискретного времени

Электронный пучок в пролетном промежутке 315
от настоящего на четыре безразмерные единицы. Подобная процедура
позволяет проследить динамику рассматриваемой модели во времени.
Более того, возможно, следя только за динамикой суммарного заряда
в системе, восстановить траектории движения отдельных частиц
и построить «пространственно-временную диаграмму» движения
электронного потока в модели.
При рассмотрении полученной модели отчетливо просматривается
аналогия с клеточными автоматами [79]: существует набор дискретных
элементов, каждый из которых имеет конечное множество возмож-
возможных состояний, и существует правило, по которому данная система
эволюционирует. Тем не менее, существует и отличие — в клеточных
автоматах все элементы синхронно изменяют свое состояние, причем
на каждый элемент оказывают влияние соседние элементы. В описы-
описываемой же модели, наоборот, только один активный в данный момент
элемент оказывает влияние на своих соседей. В работе [76] полученная
модель названа «клеточным конвейером». Действительно, в модели
имеет место замкнутый в кольцо набор клеток, каждая из которых
в течении цикла только один раз оказывает влияние на динамику
остальных клеток, а в остальные моменты дискретного времени клетка
«пассивна» и изменяет свое состояние в зависимости от состояния
«активной» на данный момент дискретного времени клетки.
Остановимся на сопоставлении результатов численного моделирова-
моделирования электронного потока со сверхкритическим током в плоском диоде
с результатами, полученными при анализе вышеописанной модели.
В обоих случаях в системе существует один управляющий параметр —
параметр Пирса а для электронного потока и заряд частицы Aq для
модели, который по своему физическому смыслу адекватен квадрату
параметра Пирса а2. Критические значения управляющих параметров,
при которых стационарное во времени состояние теряет устойчивость
и в системах жестким образом возникают колебания, составляют для
параметра Пирса акр = 4/3 и AqKp = 0,003 для модели (при временном
шаге в модели Аг = 0,005).
На рис. 5.19 а приведены пространственно-временные диаграммы
и зависимости полного заряда, накопленного в системе, от времени
для электронного потока и феноменологической модели. Видно, что
имеет место хорошее соответствие характеристик друг другу. Видно
также, что и для электронного потока, и для модели максимум заряда,
накопленного в системе, приходится на моменты времени, когда сгусток
частиц оказывается максимально прижатым к плоскости инжекции
(виртуальный катод сформирован).
Аналогичные рисунки (см. рис. 5.19 6) иллюстрируют динамику
систем для случая большей надкритичности. Видно, что и в этом случае
феноменологическая модель правильно описывает процессы, проис-
происходящие в электронном пучке со сверхкритическим током в плоском
диодном промежутке. По мере увеличения параметра надкритичности,
средняя величина суммарного заряда, накопленного в системе, возрас-
возрастает, а сгусток частиц («виртуальный катод») все больше приближает-
приближается к плоскости инжекции.

316
Лекция 5 B0)
б 600,00
800,00
Рис. 5.19. Пространственно-временные диаграммы и временные зависимости
полного заряда, накопленного в системе, полученные при анализе исходной
системы уравнений (слева) и феноменологической модели (справа) для над-
критичности а/акр = у/Aq/Адкр = 1,5 (а) и 3,0 (б)
На рис. 5.20 приведены зависимости периода и частоты колебаний
в электронном потоке и в феноменологической модели, в зависимости
от управляющих параметров а и соответствущей параметру Пирса
в модели величины л/Aq , соответственно. Линейная зависимость ча-
частоты колебаний от управляющего параметра служит подтверждени-
4,00г
3,00
2,00
1,001
0,00
\ Т
f
4,00г
3,00
2,00
1,00
0,00
\ Т
f
2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
Рис. 5.20. Зависимость периода и частоты колебаний (в безразмерных еди-
единицах) от параметра надкритичности в электронном потоке с виртуальным
катодом без нейтрализации ионным фоном (а); феноменологической моде-
модели (б)

Электронный пучок в пролетном промежутке 317
ем корректности феноменологической модели электронному потоку со
сверхкритическим током в плоском пролетном промежутке.
Модель также отслеживает явление гистерезиса в окрестности кри-
критической точки (см. рис. 5.2). При медленном уменьшении управляю-
управляющего параметра от закритических значений к докритическим в системе
продолжаются колебания и при докритических значениях параметров.
Особенности нелинейной динамики и образование
когерентных структур в электронном пучке
с виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне
Рассмотрим влияние неоднородности неподвижного ионного фона,
заполняющего диодный промежуток, на динамику виртуального като-
катода. Будем исследовать динамику пучка с плотностью пространствен-
пространственного заряда ро = по • е, инжектируемого со скоростью vo в диодный
промежуток, образованный двумя плоскими электродами с одинако-
одинаковыми потенциалами, находящимися на расстоянии L друг от друга.
Область длины Axi, начинающаяся с точки с координатой Xi, запол-
заполнена неподвижным ионным фоном с концентрацией rii (рис. 5.21).
Напомним, что одним из управляющих параметров системы являет-
является параметр Пирса а = ojpL/vo. В качестве управляющих параметров
также выступают параметр неоднородно-
неоднородности п = rii/по и геометрические парамет- ^
ры НеОДНОрОДНОСТИ ИОННОГО СЛОЯ Х{ И Ах{.
Последний параметр считается постоян-
постоянным и положен равным Axi = 0,2L.
Проведем анализ динамики электрон-
электронного пучка со сверхкритическим током
в такой системе, следуя работам [80-85]. Q
На рис. 5.22 представлены плоскости
параметров, на которых отмечены харак- Рис 5 21 Схема модели
терные режимы колебаний, реализующие- пролетного промежутка
ся в системе, при изменении управляющих с неоднородным ионным
параметров — параметра Пирса а и па- фоном
раметров неоднородности ионного фона п
и Х{. Из карты режимов видно, что в системе наблюдается сложная
смена различных типов колебательной динамики при измененении тока
пучка а, плотности п и расположения ионного слоя Х{.
Для малой степени неоднородности (п < 1,0 -г 2,0) колебания вир-
виртуального катода регулярны (область, обозначенная знаком «R» на
картах режимов). Рост плотности ионного слоя приводит к возникнове-
возникновению квазипериодических движений в системе (область Q). При смеще-
смещении ионного слоя к правой границе системы область квазипериодиче-
квазипериодической динамики на плоскости управляющих параметров расширяется.
Дальнейшее увеличение величины п приводит к возникновению
различных типов хаотической динамики электронного потока со сверх-
сверхкритическим током в диодном промежутке. Рассмотрим их, анали-

318
Лекция 5 B0)
0,01 . . . . . . ГТЧ 0,0
1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5 2,7 а/я 0,0
а
F
сз 1
А
02\
¦Щ-т,
/
С2
Cl
>. j
к I
к
Q
C2
CL
И
R ,
0,1 0,2 0,3 0,4
Рис. 5.22. Разбиение плоскостей параметров ток пучка а — плотность ионного
фона п при Xi/L = 0,05 (а) и координата ионного слоя х% — плотность ион-
ионного слоя п при а = 1,75тг (б) на характерные режимы колебаний в диодном
промежутке со сверхкритическим током с неоднородным распределением
ионного фона
зируя характеристики хаотических колебаний потенциала в области
виртуального катода (рис. 5.23).
Область G1 соответствует слабохаотическим колебаниям
(рис. 5.23 а, построенный при а = 2,86тг, п = 2,0, Х{ — 0,05L),
возникающих в результате разрушения квазипериодических движений.
При этом в спектре мощности наблюдаются пики на двух несоизмери-
несоизмеримых базовых частотах (отмечены в спектре на рис. 5.23 а вертикальны-
вертикальными линиями), которые наследуются от квазипериодического режима.
Аттрактор представляет собой узкую ленту в фазовом пространстве.
С ростом степени неоднородности ионного фона (величины п) на
базе режима G1 возникает новый хаотический режим G2, который
характеризуется увеличением нерегулярности колебаний в системе
и, как следствие, ростом шумового пьедестала в спектре мощности;
аттрактор в фазовом пространстве представляет собой широкую ленту
(рис. 5.23 ?; а = 2,0тг, п = 2,5, Х{ = 0,05L). При величинах Х{ <
< 0,2 в узком диапазоне управляющих параметров, соответствующих
области G4 карты режимов, наблюдаются развитые хаотические
колебания, характеристики которых приведены на рис. 5.23 в,
построенном при а = 2,0тг, п = 3,5, Х{ — 0,05L. В спектре мощности
имеет место высокий шумовой пьедестал, медленно спадающий
с ростом частоты, на фоне которого наблюдаются пики базовых
частот (отмечены вертикальными линиями в спектре мощности) и их
гармоник. Фазовый портрет колебаний однороден и сильно зашумлен.
Также на плоскости управляющих параметров выделен клюв, обо-
обозначенный буквой «F», в котором происходит резкое увеличение ча-
частоты колебаний в электронном пучке. Зависимость базовой частоты
в спектре колебаний от тока пучка и плотности ионного слоя для случая
Xi/L = 0,05 представлены на рис. 5.24.
Из рис. 5.24 а, на котором представлены зависимости базовой ча-
частоты от а (тока пучка) при различных величинах п, видно, что при

Электронный пучок в пролетном промежутке
319
0,0 2,5 5,0 /ГГц ™0,2 0,1 ф(*+7) 12,0 20,2 28,4 32,6 tfm
0,0 2,5 5,0 /ГГц -0,11 0,0 ф(*+7) 12,0 20,2 28,4 32,6
0,0 2,5 5,0 /ГГц -0,02 ОД ф(Г+7) 12,0 20,2 28,4 32,6 Г,
-59
0,0 2,5 5,0 /ГГц -0,8 0,0 ф(Г+7) 12,0 20,2 28,4 32,6 t,t
-48
д 0,0 2,5 5,0 /ГГц »0,2 0,1 ф(Г+1) о,0 20,2 28,4 32,6 f,
Рис. 5.23. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации
колебаний потенциала <j>(t) в плоскости х/L = 0,25 для различных хаотиче-
хаотических режимов, реализующихся в системе с неоднородностью ионного фона
малой степени неоднородности (кривая 1, п = 0,5) частота меняется
линейно с изменением а. Это вполне понятно, учитывая, что в диодном
промежутке с однородным распределением ионного фона частота /
колебаний виртуального катода определяется плазменной частотой ир
электронного пучка (см. формулу E.60)). Поэтому частота колебаний
/ в случае слабой неоднородности пропорциональна параметру Пирса
а, что и показывает численный эксперимент. При увеличении степени

320
Лекция 5 B0)
/ГГц
4,0
3,0
2,0|
1,0
а=1,34тг —•—
¦ а=1,48тг -Х--
¦ а= 1,61 тс --«--
а= 1,75л ---Q--
а=1,89тг -¦-^
Lr "¦¦*-- JL * - - ^т-^ "
„л i
f?Sl
-Jiii
;'• iT
• '¦
щ
T+4-+
ft
Ы
! l
' j
,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8аД 0,5
1,5 2,5 3,5 4,5
Рис. 5.24. Зависимости частоты генерации от параметра Пирса а при различ-
различных значениях п (а); зависимости частоты генерации от плотности ионного
слоя п при различных значениях а (б)
неоднородности (кривая 2, п = 2,5) зависимость /(«) отклоняется от
линейной, причем с увеличением параметра Пирса частота уменьша-
уменьшается по сравнению со случаем слабой неоднородности (кривая 1; ср.
с рис. 5.15, на котором представлена зависимость частоты колебаний
виртуального катода от плотности ионного фона для различных значе-
значений параметра Пирса). Ситуация принципиально меняется при даль-
дальнейшем увеличении степени неоднородности (кривая 3, п = 3,5). При
больших значениях плотности нейтрализующего ионного слоя частота
колебаний при а < 2,1тг существенно больше частоты колебаний вир-
виртуального катода при малых п. Далее при а ~ 2,1 частота генерации
уменьшается, а затем испытывает еще один скачок до величины / «
« 6 ГГц. При дальнейшем увеличении тока пучка (величины а ) при
больших п базовая частота в спектре генерации резко падает.
Это также иллюстрирует рис. 5.24 б, на котором представлены зави-
зависимости /(п) при различных значениях тока пучка а из области F на
карте режимов (см. рис. 5.22 а). Видно, что при достижении величины
п некоторого критического значения nKpi, базовая частота в спектре
колебаний резко возрастает примерно в два раза. Критическое значение
плотности nKpi увеличивается с увеличением тока пучка, что хорошо
видно из сравнения кривых, построенных для различных значений
параметра Пирса а.
С дальнейшим ростом плотности п ионного слоя частота несколько
уменьшается, затем наблюдается провал на графике /(п), и далее
имеет место еще один скачок частоты. При этом частота колебаний
виртуального катода превышает частоту колебаний при п J> ^Kpi- При
^кр2 > ^кр1 происходит резкое уменьшение частоты колебаний в элек-
электронном пучке. Величина критической плотности пкр2 в отличии от
величины nKpi уменьшается с ростом параметра Пирса. То есть с уве-
увеличением тока пучка область возрастания частоты колебаний в элек-
электронном пучке с виртуальным катодом сужается, одновременно растет
частота генерации при плотностях п G (nKpi, nKpi).

Электронный пучок в пролетном промежутке 321
Заметим также, что наиболее интенсивная гармоника в спектре
мощности колебаний в диапазоне управляющих параметров, принад-
принадлежащих области G4 на карте режимов, соответствует базовой частоте
генерации в режиме F.
При очень больших плотностях ионного слоя, располагающегося
вблизи плоскости инжекции электронного пучка, в системе возникают
сильно нерегулярные колебания без выделенной базовой частоты с бы-
быстро спадающим с ростом частоты спектром мощности (область G3;
рис. 5.23 г; а = 2,4тт, п = 5,0, Х{ — 0,05L). Фазовый портрет колебаний
в данном случае однороден.
Однако в случае, когда ионный слой с большим значением плотно-
плотности положительного заряда (п > 3) располагается вдали от плоскости
инжекции (х{/L > 0,2), динамика колебаний пространственного заря-
заряда вблизи плоскости инжекции упрощается. Для иллюстрации этого
на рис. 5.23 д приведены характеристики колебаний для случая а =
= 3,0тг, п = 4,5, Xi = 0,25L. Вид фазового портрета и спектра мощности
аналогичны виду этих характеристик для режима G2 (ср. с рис. 5.23 б),
что позволяет классифицировать наблюдающийся в этом случае дина-
динамический режим как режим G2.
Рассмотрим, с чем связана сложная перестройка различных режи-
режимов колебаний при изменении управляющих параметров системы — то-
тока пучка и неоднородности распределения ионного фона, предполагая
что вышеописанное поведение системы определяется особенностями
динамики и взаимодействия формирующихся в системе когерентных
структур.
Воспользуемся для анализа процессов формирования и взаимодействия
когерентных структур в электроном пучке понятием вейвлетного преобра-
преобразования и вейвлетной бикогерентности (см., например, [86—88, 107]). Дадим
несколько определений.
Непрерывное вейвлетное преобразование есть свертка
+ ОО
E.74)
анализируемого сигнала g(t) с двухпараметрической вейвлетной функцией
ips,t0(t), которая получается из материнского вейвлета фо{Ь) (знак «*» озна-
означает комплексное сопряжение):
Lfc^y E.75)
Параметр s, называемый масштабом вейвлетного преобразования, отвечает
за ширину вейвлета, а ?о — параметр сдвига, определяющий положение вей-
вейвлета на оси t. Множитель 1/л/s в соотношении E.75) введен для того, чтобы
+ ОО
все вейвлетные функции ф8,ь0 имели единичную норму (ips,t0J dx =
— оо
= 1. В качестве вейвлетной функции может быть выбрана любая функция,
удовлетворяющая следующим основным условиям.
21 Трубецков, Храмов

322 Лекция 5 B0)
Условие локализации. Материнский вейвлет гро должен быть локализован
как во временном, так и в частотном представлении. Для этого достаточно,
чтобы функция гро была задана на конечном интервале и обладала достаточ-
достаточной регулярностью.
Условие допустимости. Материнский вейвлет должен быть выбран та-
таким образом, чтобы его фурье-образ фо(си) удовлетворял условию
E.76)
Последнее условие E.76) для всех практических целей эквивалентно требо-
требованию нулевого среднего
+ ОО
•фо(Ь) dt = O или ^о(О) = 0, E.77)
что следует из соотношения E.76).
Заметим, что непрерывное вейвлетное преобразование, записанное в ви-
виде E.74), есть разложение по неортогональному базису ips,t0- Однако если
условие допустимости E.76) выполняется, существует обратное вейвлетное
преобразование
E-78)
где Сф — коэффициент, введенный в формуле E.76).
Бикогерентное вейвлетное преобразование представляет собой расчет
вейвлетного биспектра, являющегося обобщением вейвлетного преобразова-
преобразования. Нормализованный биспектр (бикогерентность) характеризует фазовые
соотношения (фазовую связь) между различными частотными составляю-
составляющими, присутствующими в сигнале. О фазовой связи можно говорить в том
случае, когда в анализируемом сигнале одновременно присутствуют две ча-
частоты uj\ и о;2, сумма (или разность) которых, а также сумма фаз ф\ и фч
этих частотных компонент остается постоянной в течении некоторого про-
промежутка времени. Бикогерентность является количественной мерой такой
фазовой связи. Величина бикогерентности является функцией частот ш\ и иоъ
и должна быть близка к единице, если анализируемый сигнал содержит три
частоты (ел, о;2, cj), удовлетворяющих соотношениям
cdi + о; 2 = се?, ф\ + 02 = ф + const. E.79)
В случае, когда соотношение E.79) не выполняется, бикогерентность, опре-
определенная относительно частот wi, W2 иш, равна нулю.
Дело в том, что при нахождении фурье- или вейвлетного спектра ана-
анализируемый процесс считается результатом наложения в любой момент вре-
времени статистически некоррелированных процессов на различных времен-
временных масштабах и производится оценка распределения мощности среди этих
временных масштабов. При этом исследуются только линейные механизмы,
определяющие динамику процесса, так как фазовые соотношения между

Электронный пучок в пролетном промежутке 323
частотными составляющими исключаются. Фактически можно сказать, что
имеющейся информации в фурье- или вейвлетном спектре достаточно для
полного статистического описания Гауссовского процесса с известным сред-
средним значением. Однако когда анализируемый сигнал содержит сложную
структуру различных временных гармоник и порождается нелинейной дина-
динамической системой, то одного фурье- или вейвлетного спектра мощности уже
недостаточно для полного описания процесса. В этом случае можно предпо-
предположить, что в сигнале появляется фазовая связь между некоторыми частот-
частотными компонентами. Информацию, касающуюся наличия нелинейностей,
позволяют получить спектры более высокого порядка, и, в частности, спектр
третьего порядка или биспектр. Поэтому обобщение биспектра на вейвлетное
преобразование позволит анализировать такие принципиально нелинейные
явления, как временную динамику фазовой связи между теми или иными
компонентами в сигналах, а также выделять в наборах пространственно-
временных данных когерентные структуры.
Введем вейвлетный взаимный биспектр, который определим как
где
— = 1 или LOs = о; si + ioS2 E.81)
8 Si S2
есть правило суммирования частот. Здесь частота ujs = 2тг/s соответствует
масштабу s вейвлетного преобразования.
Вейвлетный взаимный биспектр есть мера фазовой связи на интервале
времени Т, которая проявляется между компонентами вейвлетных спектров
W сигнала g(t) на масштабах s\ и S2 и сигнала h{t) на масштабе s. Тогда
вейвлетный взаимный биспектр может быть интерпретирован как фазовая
связь между волнами (вейвлетами), частоты которых удовлетворяют усло-
условию E.81).
При анализе удобно пользоваться не только взаимным биспектром E.80),
но и понятием вейвлетной взаимной бикогерентности, которая определяется
как нормализованный вейвлетный взаимный биспектр:
-0,5
T)Wg{s2, т)\2 drj\Wh(8, t)\2 dr
\T T )
E.82)
Величина взаимной бикогерености может принимать в соответствии с опре-
определением E.82) значения в интервале [0,1].
Важной характеристикой бикогерентного вейвлетного преобразования
является суммированная бикогерентность, которая определяется как
где суммирование производится по всем масштабам s± и S2, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию E.81); Ns — число слагаемых в сумме. Коэффициент 1/NS
необходим для того, чтобы величина 6е принимала значение из интервала
[0,1].
21*

324 Лекция 5 B0)
По найденным величинам вейвлетного взаимного биспектра полезно вос-
восстанавливать суммированный биспектр
B(si,s2)J, E.84)
где, как и в формуле E.83), суммирование осуществляется по всем масштабам
s\ и S2, удовлетворяющим условию E.81); Ns — число слагаемых.
Вводится также понятие полной бикогерентности, которая записывается
в виде
где суммирование теперь уже производится по всем анализируемым масшта-
масштабам si и 82, Ns — общее число суммируемых величин.
В связи с неоднозначностью выбора материнского вейвлета возникает
вопрос о том, какой вейвлетной функцией гро(г]) необходимо пользоваться
при расчетах величин вейвлетной бикогерентности и вейвлетного взаимного
биспектра. Наиболее удобным для дальнейшей интерпретации результатов
оказывается вейвлет Морлета [88, 89, 107], являющийся комплексным вей-
влетом
фо(п) = тг-1/4 exp (ju>ori) exp (-гJ/2), E.86)
где изо — параметр вейвлета. Обычно рассматривается морлет-вейвлет с па-
параметром ооо = 6. Морлет-вейвлет обладает хорошо локализованным в ре-
реальном и фурье-пространстве базисом, причем с увеличением loq растет
разрешение в фурье-пространстве, но ухудшается локализация во времени.
Фактически, морлет-вейвлет представляет собой синусоидальную функцию,
модулированную функцией Гаусса. Для вейвлетного и бикогерентного вей-
вейвлетного преобразования с базовым морлет-вейвлетом легко сопоставить
масштабы вейвлетного преобразования s (или соответствующие им частоты
u)s) и длины волн А (или частоты ш = 2тг/А) преобразования Фурье. Это
позволяет анализировать результаты вейвлетного бикогерентного анализа
в привычных из фурье-анализа терминах частот и фаз сигналов [107].
Для анализа процессов структурообразования с помощью вейвлет-
вейвлетной бикогерентности удобно использовать пространственно-временные
данные колебаний потенциала ф(х,г) поля пространственного заряда
в диодном промежутке.
В простейшем случае — режиме регулярных колебаний, который
реализуется при небольших токах пучка а и малой степени неодно-
неоднородности ионного фона п — в спектре колебаний потенциала во всех
сечениях диодного промежутка имеют место колебания с базовой ча-
частотой /о = 0,98 ГГц.
Найдем полную бикогерентность b E.85) временных колебаний по-
потенциала (f>(x,t) и гармонического сигнала с частотой, соответствую-
соответствующей базовой частоте в спектре мощности /о колебаний потенциала. Это
означает, что в качестве функции h(t) в формуле E.82) выбирается
сигнал а • sin27r/o?; функции g(t) — колебания потенциала <f>(xo,t)
пространственного заряда в некоторой фиксированной точке простран-
пространства х = xq. На рис. 5.25 а показана величина полной бикогерентности

Электронный пучок в пролетном промежутке
325
О 0,2 0,4 0,6 0,8 x/i
/ГГц
4,6
2,2
10,8
0,6
J0,4
'0,2
*0,0
0,0
0,05 0,2
0,4
x/L
0,6
Рис. 5.25. Зависимость величины полной бикогерентности Ь(х) от координа-
координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра В^(х/L, /) (б),
построенные для режима регулярных колебаний (режим R)
как функция координаты пространства взаимодействия. Зависимость
Ь(х) является функцией с одним максимумом, который располагается
вблизи плоскости инжекции. Наибольшая полная бикогерентность (т. е.
максимальная фазовая связь между колебаниями потенциала и дина-
динамикой основного временного масштаба в системе) соответствует ко-
колебаниям потенциала в области x/L « 0,1. Последнее означает, что
основная пространственно-временная структура, определяющая базо-
базовые временные и пространственные масштабы поведения рассматрива-
рассматриваемой системы, локализована вблизи области x/L ~ 0,1.
На рис. 5.25 б представлен суммированный взаимный вейвлетный
биспектр B^(f) (см. соотношение E.84)) пространственно-временных
данных колебаний потенциала в диодном промежутке. На рисунке
изображена проекция поверхности величины В^ в координатах (ж, /),
где х — координата сечения диода, относительно которого рассчиты-
рассчитывается бикогерентность, / — частоты, на которых определялась сум-
суммированная бикогерентность. При построении вейвлетного биспектра
в качестве сигнала h(t) выбирались колебания потенциала <fi(x,t) в об-
области x/L = 0,1, для которой максимальна величина полной бикоге-
бикогерентности процесса; в качестве сигнала g(t) используются колебания

326 Лекция 5 B0)
потенциала <fi(x,t) в различных сечениях диодного промежутка. Бис-
пектр позволяет определить области в пространстве, где имеет место
сильная фазовая связь между временными колебаниями, т. е. возможно
выделить и локализовать в пространстве формирующиеся в системе
когерентные структуры.
Из рис. 5.25 б видно, что на поверхности суммированной бикоге-
рентности B^(x,f) четко выделяется область, где вейвлетная бико-
герентность резко возрастает. Эта область, локализованная на плос-
плоскости (ж, /) вблизи x/L ~ 0,05 -^ 0,2; / ~ 1,7 -^ 2,1 ГГц, определяет
единственную пространственно-временную структуру в пучке, которая
расположена вблизи плоскости инжекции (она пространственно огра-
ограничена областью x/L < 0,2) и имеет характерный временной масштаб
Т = 1// ~ 1 не. Заметим, что на поверхности наблюдается еще один
максимум (высота которого примерно в три раза меньше максимума
при / ~ 1,9 ГГц) на частоте / ~ 3,8 ГГц. Он связан с динамикой той же
когерентной структуры и определяется квадратичной нелинейностью,
а именно фазовой связью между временной динамикой базового мас-
масштаба Т и его гармоники Т/2.
Как уже обсуждалось, при увеличении степени неоднородности си-
системы с ростом плотности ионного слоя п наблюдается резкий скачок
частоты генерации в системе (область F на карте режимов рис 5.22).
На рис. 5.26 представлены зависимость полной бикогерентности
b(х) колебаний потенциала в различных сечениях диодного промежут-
промежутка ж и гармонического сигнала с частотой, равной базовой частоте
генерации в данном случае /о = 3,1 ГГц, и поверхность суммированной
бикогерентности B^(x,f) для большой плотности ионного слоя п =
= 3,75 (остальные параметры такие же как в предыдущем случае).
Из рис. 5.26 а видно, что область высокой бикогерентности прижи-
прижимается непосредственно к плоскости инжекции х = 0. Из распределе-
распределения амплитуд коэффициентов суммированного вейвлетного биспектра
вдоль пространства взаимодействия (рис. 5.26 б) следует, что в систе-
системе, как и раньше, формируется только одна когерентная структура,
определяющая поведение электронного потока. Однако теперь в про-
пространстве взаимодействия она располагается вблизи входной сетки ди-
диодного промежутка, занимая область x/L Е @,0; 0,1). Характерный
временной масштаб динамики этой структуры примерно в два раза
превышает характерный временной масштаб динамики системы в слу-
случае малой степени неоднородности (предыдущий случай) и численно
равен Т « 0,5 не. Как и в предыдущем случае ярко выражена динамика
временного масштаба второй гармоники базовой частоты, что свиде-
свидетельствует о сильной нелинейности колебаний.
Таким образом, увеличение степени неоднородности системы при-
приводит к изменению условий формирования когерентной структуры,
определяющей динамику электронного пучка. В результате такой пере-
перестройки внутренней структуры электронного пучка изменяется харак-
характерный пространственный масштаб Ар динамики единственной струк-
структуры. Он становится примерно в два раза меньше пространственного
масштаба Ля когерентной структуры в режиме регулярных колебаний.

Электронный пучок в пролетном промежутке
327
0,0 0,2 0,4 0,6 x/L
/ГГц
12,0
9,6
7,2
4,8
2,4
0,0 •
х 0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55
б и
x/L
Рис. 5.26. Зависимость величины полной бикогерентности Ь(х) от координа-
координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра В^(х/L, /) (б),
построенные для режима F
Известно [70], что для систем с виртуальным катодом имеет место
связь между средним временем пролета те отраженных от виртуально-
виртуального катода электронов и частотой генерации /, которая дается простым
выражением / ~ 1/т. Время пролета для режима F оценим как тр ~
~ Л/г/^о, для режима R tr ~ Kr/vq. Тогда частота генерации fp
в диоде с сильной неоднородностью ионного фона (режим F) связана
с частотой генерации в случае малой неоднородности /я как fp « 2/я
(ср. с рис. 5.24).
Рассмотрим теперь режимы развитых хаотических колебаний в си-
системе.
Исследуем вначале режим, реализующийся в диодном промежутке
при большом токе пучка а и большой степени неоднородности п в си-
системе при расположении ионного слоя вблизи плоскости инжекции Х{ ~
~ 0 (режим G3). Анализ спектрального состава колебаний потенциала
при переходе от одного сечения диода к другому в данном режиме
практически не изменяется.
На рис. 5.27 приведены результаты расчета зависимости полной
бикогерентности Ь(х) колебаний потенциала и поверхность суммиро-
суммированной бикогерентности В^(х, /). Из рис. 5.27 а следует, что наиболь-
наибольшая полная бикогерентность соответствует колебаниям потенциала

328
Лекция 5 B0)
b
0,8
0,6
0,4
0,2
¦ л
/ \
7 V
a 0 0,2 0,4 0,6
/ГГц
6,0
5,2
4,3
3,5
2,6 = *;
1,8
0,0
0,0
0,2 0,4 0,6
0
o,
,8 x/L
1
1 0,030
1 °'026
H 0,022
8 1
0
: 0,018
'0,014
0,010
6 x/L
Рис. 5.27. Зависимость величины полной бикогерентности Ь(х) от координа-
координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Вя(х/L, /) (б),
построенные для режима G3
в области x/L « 0,25. Это означает, что в данном режиме основ-
основная пространственно-временная структура, определяющая характер-
характерные особенности поведения рассматриваемой системы, в первую оче-
очередь, базовые временные и пространственные масштабы колебаний
в пучке, локализована в области x/L ~ 0,25.
Расчет суммированного вейвлетного биспектра показал, что на по-
поверхности Б$](ж,/) четко выделяются две области, где вейвлетная
бикогерентность резко возрастает: область на плоскости (ж,/), ло-
локализованная вблизи x/L ~ 0,2 Ч- 0,4; / ~ 2,5 ГГц и область x/L ~
~ 0,1 -г- 0,2; / ~ 1,0 ГГц. В каждой из этих областей, где коэффициен-
коэффициенты вейвлетного биспектра велики, имеет место фазовая связь между
колебаниями в различных сечениях диодного промежутка на соответ-
соответствующих временных масштабах, причем величина бикогерентности
в первой области существенно превышает соответствующую величину
во второй области. Каждую из этих областей на плоскости (ж, /) можно
связать со своей когерентной структурой, поведение которых опреде-
определяет динамику электронного пучка в данном случае.
Из рис. 5.27 ? четко видно, что одна из структур (базовая, кото-
которая была определена нами из результатов расчета полной вейвлетной

Электронный пучок в пролетном промежутке 329
бикогерентности) занимает большую область в пространстве взаимо-
взаимодействия и имеет малый временной масштаб 7\ « 0,4 нс. Вторичная
структура, как следует из поверхности В^ на рис. 5.27 ?, располагается
между плоскостью инжекции и базовой структурой системы. Ее ха-
характерный временной масштаб существенно больше и составляет Т<± «
« 1,0 нс. Можно предположить, что взаимодействием между этими
структурами, имеющими различные временные масштабы динамики,
определяются особенности сложной хаотической динамики электрон-
электронного пучка в этом случае. Так, вторичная структура, временной мас-
масштаб которой 7~2 существенно превышает масштаб 7\, взаимодействуя
с основной структурой, выполняет роль некоторой распределенной
обратной связи, оказывающей воздействие на динамику электронного
пучка. Последнее и приводит к хаотизации колебаний в электронном
пучке в этом случае — она связана со сложным запаздывающим (из-
за различных характерных временных масштабов) взаимодействием
между когерентными структурами, формирующимися в системе.
Рассмотрим теперь режим, реализующийся в системе при боль-
большой плотности ионного слоя п = 4,5, который располагается вдали
от плоскости инжекции в сечении с координатой Xi/L = 0,25. Па-
Параметр Пирса в рассматриваемом нами случае равен а = 3,0тг. Вид
фурье-спектра мощности и фазового портрета колебаний в сечении
х/L = 0,25 диодного промежутка соответствует режиму G2 на картах
режимов (см. рис. 5.22 и рис. 5.23 д, построенный при вышеуказанных
значениях параметров по колебаниям потенциала в точке пространства
взаимодействия х/L = 0,25).
В отличие от предыдущих случаев временная динамика поля про-
пространственного заряда в различных точках диодного промежутка
принципиально различна. Так спектральный состав колебаний ка-
качественно и количественно меняется при продвижении вдоль про-
пространства взаимодействия. Это иллюстрирует рис. 5.28, на котором
представлены фурье-спектры мощности колебаний потенциала ф в точ-
точках с координатами х/L = 0,05 (рис. 5.28 а) и х/L = 0,45 (рис. 5.28 б).
Вблизи плоскости инжекции колебания потенциала слабо хаотические,
на фоне небольшого слаборазвитотого шумового пьедестала наблюда-
наблюдается ярко выраженный пик базовой частоты генерации /о = 2,24 ГГц
в диоде и ее второй гармоники 2/q. Ситуация меняется при продви-
продвижении вдоль пространства взаимодействия к выходной сетке системы.
В спектре мощности повышается шумовой пьедестал, который медлен-
медленно спадает с ростом частоты. В низкочастотной части спектра (/ < /о)
наблюдается появление спектральных составляющих, энергия которых
в спектре превышает энергию частоты /о, которая также присутствует
в спектре колебаний потенциала в центральной части пространства вза-
взаимодействия. Так амплитуда доминирующей частоты в низкочастотной
области спектра Д (см. рис. 5.28 б) превышает амплитуду гармоники
частоты /о в 1,57 раз.
Можно предположить, что такое изменение поведения системы,
выражающееся в появлении пространственно развитых хаотических

330
Лекция 5 B0)
А/)
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
п
А
/о
f
6 /ГГЦ О
/ГГЦ
Рис. 5.28. Фурье-спектры мощности колебания потенциала поля простран-
пространственного заряда в различных сечениях диодного промежутка (масштаб
нелогарифмический). Рисунок а соответствует сечению с координатой х/L =
= 0,05, б-x/L = 0,45
колебаний, определяется в данном случае качественной перестройкой
внутренней структуры электронного потока.
Рассмотрим пространственную динамику величины полной бикоге-
рентности Ь(х) колебаний потенциала поля ф(х^) и гармонического
сигнала. Будем рассматривать гармонические сигналы, частоты кото-
которых соответствуют характерным частотам в фурье-спектре мощности
колебаний в различных точках пространства взаимодействия. Такими
характерными частотами являются частота /о, которая соответствует
основному временному масштабу в области инжекции электронного
пучка, и частота Д, которая определяет характерный временной мас-
масштаб динамики в электронном пучке в центральной части пространства
взаимодействия.
Результаты расчета представлены на рис. 5.29. Из него видно, что
зависимости полной вейвлетной бикогерентности 6(ж), построенные
для частот гармонического сигнала, соответствующих различным ха-
характерным временным масштабам колебаний системе, имеют принци-
принципиально различный вид.
Распределение вдоль пространства взаимодействия полной бикоге-
бикогерентности колебаний потенциала и гармонического процесса с частотой
/о (кривая 1 на рис. 5.29) показывает, что максимальная фазовая связь
между колебаниями потенциала и динамикой временного масштаба
Tq = 1//о имеет место в области х/ L < 0,1. Эту область можно связать
с пространственно-временной структурой, которая располагается вбли-
вблизи плоскости инжекции и чья динамика определяет появление в спектре
мощности частоты /о. Во всем остальном пространстве взаимодействия
полная бикогерентность колебаний потенциала и гармоники с часто-
частотой /о мала и свидетельствует о слабой связи между динамикой этой

Электронный пучок в пролетном промежутке
331
Рис. 5.29. Зависимости величины полной бикогерентности Ь(х) от координа-
координаты, построенные при различных частотах гармонического сигнала. Кривая
1 соответствует частоте /о; 2 — Д; 3 — fi
когерентной структуры и колебаниями в остальном пространстве вза-
взаимодействия.
Аналогичная картина складывается при рассмотрении распределе-
распределения Ь(х) колебаний потенциала и гармонического процесса с частотой
/i (кривая 2 на рис. 5.29). В этом случае максимум бикогерентности
приходится на область х G @,3L; 0,6L). Данную область логично свя-
связать с еще одной когерентной структурой, формирующейся в системе,
и имеющей характерный временной масштаб 7\ = 1/Д. Заметим, что
в данном случае величина полной бикогерентности в области форми-
формирования первой структуры достаточно велика. Это свидетельствует
о том, что вторая структура оказывает достаточно сильное влияние на
динамику первой структуры, в то время как обратного влияния, как
было установлено выше, нет.
Таким образом, в рассматриваемом случае пространственно-вре-
пространственно-временного хаоса в диодном промежутке с сильно неоднородным рас-
распределением ионного фона, анализируя только спектральный состав
колебаний P(f) и величину полной бикогерентности b в различных
сечениях х/L пространства взаимодействия, удалось выделить коге-
когерентные структуры, формирующиеся в системе, а также выявить ха-
характерные особенности взаимодействия между ними. В основу диагно-
диагностики пространственно-временных структур была положена сильная
зависимость величины полной вейвлетной бикогерентности колебаний
в системе и гармонического сигнала с частотой, соответствующей тому
или иному характерному временному масштабу динамики системы, от
координаты пространства взаимодействия.
Для сравнения на рис. 5.29 (кривая 3) приведена рассчитанная
зависимость полной вейвлетной бикогерентности колебаний потенци-
потенциала и гармонического сигнала с частотой отличной от характерных
частот в спектрах мощности, построенных по колебаниям потенциа-

332 Лекция 5 B0)
ла в различных сечениях диодного промежутка. Для определенности
был выбран сигнал с частотой /2, отмеченной в спектре мощности
на рис. 5.28 б. Из рисунка видно, что бикогерентность, а следователь-
следовательно, и фазовая связь между колебаниями в системе и динамикой вы-
выбранного временного масштаба, невелика и практически не зависит
от координаты пространства взаимодействия. Аналогичная картина
получается при выборе других частот для анализа. При этом меняется
только величина бикогерентности, но не ее характер распределения
в пространстве: b(x) « const.
В заключение этого параграфа проиллюстрируем полученные ре-
результаты по выделению когерентных структур из пространственно-
временных данных физическими картинами динамики электронного
пучка в диодном промежутке с неоднородным распределением ионного
фона. Для этого исследуем пространственно-временные диаграммы
электронного потока для вышерассмотренных случаев (рис. 5.30).
В режиме регулярных колебаний (область R на карте режимов) вид
пространственно-временной диаграммы пучка (рис. 5.30 а) качественно
совпадает с «классическим» видом диаграммы электронного потока без
ионного фона (ср. с рис. 5.6 б). На ней хорошо видно, что в электрон-
электронном пучке на каждом периоде колебаний формируется единственный
электронный сгусток — виртуальный катод, который колеблется как
в пространстве, так и во времени, и от которого отражается большая
часть электронного потока обратно к плоскости инжекции. Максимум
плотности пространственного заряда колеблющегося виртуального ка-
катода приходится на область х/L ~ 0,1, в которой большая часть элек-
электронов останавливается (их скорость \v\ «0) и поворачивает обратно.
Это совпадает с результатами бикогерентного вейвлетного анализа,
который определяет наличие когерентной структуры в системе в этой
же области (ср. с рис. 5.25).
При увеличении степени неоднородности (повышения величины
плотности ионного слоя п) и при переходе системы в режим F име-
имеет место изменение динамики электронного пучка, что иллюстрирует
рис. 5.30 б. Из него видно, что в потоке как и раньше формируется
только один сгусток электронов (виртуальный катод), однако теперь
его колебания в пространстве происходят с очень малой амплитудой.
Анализ данных с помощью вейвлетной бикогерентности (см. рис. 5.26)
выявил уменьшение характерного пространственного масштаба коге-
когерентной структуры, формирующейся в этом режиме, по сравнению
с режимом R. Действительно, максимум плотности пространственного
заряда смещается к плоскости инжекции, в результате чего и наблю-
наблюдается скачок частоты генерации в системе. Заметим, что такая пере-
перестройка внутренней структуры электронного потока происходит скач-
скачком, также скачком возрастает частота генерации в диодном проме-
промежутке. Хаотизация колебаний в пучке в этом случае происходит за счет
возмущающего влияния метастабильных частиц, находящихся в об-
области х/L ~ 0,2 пространства взаимодействия в течении нескольких
характерных периодов колебаний основной структуры (виртуального
катода). Возращаясь к плоскости инжекции, они оказывают влияние

Электронный пучок в пролетном промежутке
333
16,7
x/L
0,4
0,2
0 0
ш
17,7
Ш
18,6
лоЖж
19,6
¦
Ж
17,7
18,6
19,6 /,нс
Рис. 5.30. Пространственно-временные диаграммы электронного потока
в различных реж:имах колебаний в диоде с неоднородным плазменным за-
заполнением: а — режим регулярных колебаний, в электронном потоке фор-
формируется единственная структура — виртуальный катод; б — режим F,
в котором имеет место резкое увеличение частоты генерации, амплитуда
колебаний виртуального катода в пространстве резко уменьшается, в области
виртуального катода наблюдается большое число метастабильных частиц;
в — режим G3 хаотических колебаний, виртуальный катод «вытесняется»
из «плотного» ионного слоя, примыкающего к плоскости инжекции; г —
режим G2 хаотических колебаний, в потоке формируется две структуры:
виртуальный катод и сгусток электронов, захваченный в потенциальную яму,
связанную с расположением ионного слоя в середине пролетного промежутка

334
Лекция 5 B0)
4,5 п
Рис. 5.31. Зависимость эффективного параметра Пирса аэф/а в области
виртуального катода от плотности ионного слоя п. Здесь о соответствует
величине а = 1,34тг, П — ot, = 1,75тг
на пространственно-временную динамику виртуального катода в рас-
рассматриваемом режиме.
Заметим, что рост частоты генерации определяется скоростью раз-
развития неустойчивости в пучке со сверхкритическим током, которая,
в свою очередь, зависит от значения эффективного параметра Пирса
аэф в области виртуального катода. Эффективный параметр Пирса
может быть введен как [85]
E.87)
где {•}t означает усреднение во времени, жвк — координата виртуаль-
виртуального, соответствующая координате остановки и поворота заряженных
частиц, (р) и (v) — соответственно средняя плотность пространствен-
пространственного заряда и скорость потока в промежутке «плоскость инжекции —
виртуальный катод». Рост аэф приводит к росту частоты колебаний
в пучке с виртуальным катодом.
На рис. 5.31 представлены зависимости величины эффективного
параметра Пирса аэф от плотности п ионного слоя для двух значений
параметра Пирса а. При небольших плотностях ионного слоя аэф « а.
Однако увеличение п приводит к росту аэф. При значениях п = nKpi (a)
наблюдается резкое увеличение величины эффективного параметра
Пирса одновременно, имеет место резкий рост частоты колебаний вир-
виртуального катода.
Ситуация меняется при переходе к режимам развитых хаотических
колебаний. В режиме G3 плотность компенсирующего заряд электрон-
электронного потока ионного слоя столь велика, что основная структура в пуч-
пучке — отражающий от себя электроны виртуальный катод — «вытесня-

Электронный пучок в пролетном промежутке 335
ется» из ионого слоя и формируется на его границе. Это четко проде-
продемонстрировал бикогерентный анализ (см. рис. 5.27), выделив базовую
когерентную структуру в электронном пучке в области х/L ~ 0,3. Од-
Одновременно, между виртуальным катодом, находящемся вне ионного
слоя, и входной сеткой диодного промежутка возникает потенциальная
яма с экстремумом при х/L « 0,05. В нее захватываются частицы,
отраженные от виртуального катода и имеющие небольшую скорость
при подходе к выходной плоскости. Захваченные частицы, колеблю-
колеблющиеся в этой потенциальной яме, хорошо видны на пространственно-
временной диаграмме (см. рис. 5.30 в). Эти частицы образуют «вихре-
«вихревую» автоструктуру, взаимодействие между ней и виртуальным като-
катодом приводит к усложнению динамики в потоке. Вихревую автострук-
автоструктуру можно связать со второй когерентной структурой, выделенной
с помощью обработки данных вейвлетной бикогерентностью, так как
расположение этих структур, а также характерные пространственные
и временные масштабы их динамики близки.
В режиме G2, при расположении ионного слоя вдали от плоскости
инжекции, динамика электроного пучка сильно усложняется. Как вид-
видно из рис. 5.30 г, в этом случае в диодном промежутке формируется два
сгустка электронов — виртуальный катод вблизи плоскости инжекции
и сгусток электронов, колеблющихся в потенциальной яме, связанной
с наличием в середине пространства взаимодействия нейтрализующего
слоя ионов с плотностью п = 4,5. Как не сложно видеть, сопоставляя
пространственно-временную диаграмму для этого случая с рис. 5.29,
на котором представлены результаты расчета величины полной бико-
герентности для различных характерных временных масштабов коле-
колебаний в системе, бикогерентный анализ позволил выделить обе элек-
электронные структуры, формирующиеся в системе со сверхкритическим
током.
Влияние подвижности ионного фона на колебания
виртуального катода в плоском пролетном
промежутке. Проблема ускорения ионов
колеблющимся виртуальным катодом
Предыдущее рассмотрение процессов в электронном потоке с вирту-
виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке проводилось в рам-
рамках предположения, что ионы, заполняющие междусеточное простран-
пространство и составляющие ионный фон с плотностью положительного заряда
п = pi/\pe\, неподвижны. Такое приближение основывается на том
очевидном факте, что за время развития неустойчивости tH, которое
порядка времени пролета электронов через пролетный промежуток,
ионы в тех же полях пройдут путь в ^/т{/те раз меньший, чем
электроны, и на временах tH их можно считать практически неподвиж-
неподвижными [90]. Если в качестве ионов рассматривать ядро атома водорода
(протон), то отношение rrii/me « 1800, и путь, который пройдут ионы

336 Лекция 5 B0)
за время tH, будет примерно в 40 раз меньше, чем путь инжектируемых
в междусеточное пространство электронов.
Однако такие оценки справедливы только на сравнительно корот-
коротких временах развития неустойчивости tH. После формирования в си-
системе виртуального катода воздействие со стороны высокочастотно-
высокочастотного поля на ионы становится иным. Колеблющийся с частотой /в к ~
~ ojp/тг виртуальный катод приводит к быстрым колебаниям распре-
распределения потенциала, а, следовательно, на ионы действует быстро ос-
осциллирующая сила, период которой существенно меньше величины
характерного временного масштаба Т{ движения ионов. В этом случае
на временах, существенно больших, чем время развития неустойчиво-
неустойчивости tH, возможно сильное возмущение движения тяжелых ионов, под
действием быстроосциллирующей силы накачки. Действительно, если
рассматривать движение иона как колебания в нелинейной потенци-
потенциальной яме ф(х), соответствующей стационарному решению уравнения
Пуассона для пролетного промежутка со сверхкритическим током, то
воздействие быстросциллирующего поля колеблющегося виртуального
катода можно описать как силу F(x) cos Ш, частота которой ?1 ~ ujp ^>
» 1/Тц
mix + е-^ = F(x) cos Ш. E.88)
Рассматривая решение уравнения E.88) в виде суммы медленной и бы-
быстро осцилирующей части X(t) + ——x(t) и усредняя по времени Те =
1 iLOp
= 2тг/П, легко получить уравнение вида [91, раздел 11.4]
¦) =0. №М)
дх)х 2 п \дх)х
Из последнего соотношения следует, что на тяжелый ион действует
сила, пропорциональная квадрату амлитуды колебаний потенциала
в области виртуального катода.
Поэтому на больших временах после начала развития неустойчиво-
неустойчивости, заканчивающейся формированием виртуального катода, в пролет-
пролетном промежутке возможно существенное возмущение первоночально
неподвижных равномерно распределенных в пространстве тяжелых
ионов. При этом, учитывая, что поля, создаваемые виртуальным като-
катодом, велики, можно ожидать ускорения ионов до значительных энер-
энергий. Одновременно, возмущение первоначально равномерно распре-
распределенных ионов, т. е. возникновение неоднородности в распределении
положительного пространственного заряда pi(x), как следует из вы-
выводов предыдущего раздела лекции, приведет к изменению характера
динамики виртуального катода.
Первые работы (по большей части экспериментальные) по ускоре-
ускорению ионов в сильноточных электронных пучках относятся по времени
своего появления к концу 60-х — началу 70-х годов XX века [92].
В проведенных экспериментах наблюдались большие ускоряющие поля

Электронный пучок в пролетном промежутке 337
(~ 106В/см), в которых ионы приобретали энергию, превышающую
энергию электронов. Позже в ряде работ были проведены теоретиче-
теоретические оценки возможности ускорения ионов сильноточным электронном
пучком [93,94]. Среди различных методов коллективных механизмов
ускорения ионов еще в 70-х годах была отмечена возможность ускоре-
ускорения ионов движущимся в пространстве взаимодействия виртуальным
катодом [95-97]. Ускорение ионов в пучке со сверхкритическим током
рассматривалось теоретически в работах ряда авторов [98-101] и явля-
является одной из перспективных схем ускорения ионов до значительных
энергий.
Для анализа подобных процессов проанализируем динамику элек-
электронного пучка со сверхкритическим током в подвижном ионном фоне
в плоской геометрии. В качестве ионов будем рассматривать прото-
протоны, т.е. случай, когда rrii/me « 1800. Изучение процессов в такой
системе основывается на математической модели, сформулированной
в разделе, посвященном нелинейной динамике виртуального катода
в пролетном промежутке. Динамика ионов в системе моделируется
конечным, хотя и большим числом крупных частиц, имеющих заряд
+е и массу т^. Будем анализировать особенности поведения системы
от двух управляющих параметров — параметр Пирса а и плотность
ионного фона п.
На рис. 5.32 а представлена характерная временная реализация ко-
колебаний потенциала в области виртуального катода в случае плотности
невозмущенного ионного фона п = 1 и параметра Пирса а = 1,5тг.
Сравнивая рис. 5.32 а с рис. 5.8 в, построенным для тех же значений
параметра Пирса и плотности неподвижного ионного фона, видно, что
сложность колебаний в системе сильно возрастает. Временная дина-
динамика потенциала сильно нерегулярна, и в различные моменты време-
времени происходит с различными характерными временными масштабами.
Для анализа таких сигналов с изменяющимся с течением времени
спектральным составом наиболее приспособлен вейвлетный анализ (см.
предыдущий раздел лекции). Поэтому будем использовать вейвлетный
спектр для анализа особенностей колебаний в пучке с виртуальным
катодом в подвижном ионном фоне. На рис. 5.33 а представлены ре-
результаты расчета вейвлетного спектра |VK(?, T)\ E.74) с базовым Мор-
лет-вейвлетом E.86). На плоскости (рис. 5.33) по оси абсцисс отложе-
отложено время ?, по оси ординат в логарифмической шкале представлены
масштабы вейвлетного преобразования (масштабы наблюдения) s = Т.
Интенсивность окраски поверхности пропорциональна амплитуде соот-
соответствующих коэффициентов вейвлетного спектра на данном масштабе
Т в момент времени t.
Распределение коэффициентов вейвлетного спектра |VK(?,T)| де-
демонстрирует сложную нерегулярно зависящую от времени структу-
структуру локальных максимумов. Такой вид поверхности свидетельствует
о сложной нестационарной динамике большого числа временных мас-
масштабов [102], возбуждаемых в электронном пучке со сверхкритическим
током в подвижном ионном фоне.
22 Трубецков, Храмов

338
Лекция 5 B0)
10 20 30 40 50 60 70 t
10
20
30
40
50
60 t
Рис. 5.32. Зависимости колебаний потенциала в области виртуального катода
(в точке пространства взаимодействия х = 0,2) в присутствии подвижного
ионного фона для параметра Пирса а = 1,5тг и п = 1 (а); п = 0,2 (б)
Как следует из рисунков 5.32 а и 5.33 а, на начальном этапе развития
колебательной динамики в потоке с виртуальным катодом (t < 20)
колебания происходят с временным масштабом Т « 2тг/и)р, равным ха-
характерному периоду колебаний виртуального катода в диоде Пирса при
а = 1,5тг. Этот временной масштаб в безразмерных единицах времени
составляет величину Т ~ 1,6 и постепенно уменьшается с течением
времени (растет частота колебаний виртуального катода). В момент
времени t ~ 20,0 происходит резкий скачок частоты колебаний вирту-
виртуального катода, сопровождающийся уменьшением амплитуды колеба-
колебаний потенциала. На вейвлетной поверхности (рис. 5.33 а) это соответ-
соответствует всплеску амплитуд коэффициентов вейвлетного преобразования
на масштабах наблюдения Т ~ 0,6. Величина их амплитуд существенно
меньше, чем амплитуда коэффициентов на масштабах наблюдения Т ~
~ 1,6, что связано с меньшей амплитудой колебаний виртуального
катода в данном случае. Далее, как хорошо видно из вейвлетного спек-

Электронный пучок в пролетном промежутке
339
3,66-
1,72-
0,81-
18,8
37,5
56,3
2,8
2,4
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
0,18-
0,0
18,8
37,5
56,3
2,0
1,6
1,2
0,8
0,4
0,0
Рис. 5.33. Вейвлетные спектры колебаний потенциала поля пространствен-
пространственного заряда в области виртуального катода (см. рис. 5.32) в присутствии
подвижного ионного фона для параметра Пирса а = 1,5тг ип = 1(й);п = 0,2
()
тра, имеет место тенденция роста амплитуды и уменьшения частоты
колебаний потенциала пространственного заряда. И, наконец, при t >
> 65,0 вид колебаний потенциала становится подобным тому, который
имел место в начале развития неустойчивости в пучке с подвижным
ионным фоном. После установления данного режима вид вейвлетного
спектра уже качественно не меняется.

340
Лекция 5 B0)
ртах
10
20
30
40
50
60
70
Рис. 5.34. Зависимость максимальной плотности положительного заряда
ионов от времени для параметра Пирса а = 1,5тгип = 1
Усложнение колебаний связано с динамикой ионов в поле вирту-
виртуального катода. Рассмотрим ее более подробно. В течение начального
промежутка времени t < 20,0 имеет место пространственно-временное
поведение системы, практически точно совпадающее с динамикой пуч-
пучка в неподвижном ионном фоне. Распределение плотности положи-
положительного ионного фона на этом этапе возмущено слабо, и динамика
виртуального катода подобна динамике в диоде Пирса. Однако с тече-
течением времени плотность ионов в области виртуального катода растет.
Это иллюстрирует рис. 5.34, на котором представлена зависимость
максимального значения плотности положительного заряда ионов ртах
в междусеточном пространстве. Видно (ср. рис. 5.34 с рис. 5.32 а),
что в течении первых 5 -г 8 периодов колебаний зависимость pma^(t)
достигает первого максимума, причем пространственная координата
максимума плотности ионов находится в области виртуального катода.
Дальнейшая динамика ионов связана с формированием плотного ион-
ионного слоя в области входной сетки, причем в остальном пространстве
взаимодействия плотность pi ионного фона резко уменьшается по срав-
сравнению с невозмущенной плотностью п. Средняя плотность формирую-
формирующегося в области виртуального катода ионного слоя составляет (pi) ~
~ B Ч- 3)п. В этом случае динамика пучка в пролетном промежутке
подобна динамике потока в уже изученном нами диоде с неоднород-
неоднородным ионным фоном при расположении ионного фона вблизи плоскости
инжекции и плотности п « 3 -г- 4 (см. предыдущий раздел, а также
рис. 5.24 и его описание). Именно формированием плотного ионного
слоя объясняется увеличение частоты и уменьшение амплитуды ко-
колебаний потенциала в междусеточном пространстве на данном этапе
развития процессов в диоде с подвижным ионным фоном.
Плотный сгусток ионов в области виртуального катода сохраняется
до времени t « 40,0, когда плотный ионный слой в области виртуаль-
виртуального катода начинает разрушаться, и при достижении времени t ~ 60
наблюдается установение в среднем равномерного распределения плот-
плотности пространственного заряда ионов в междусеточном пространстве

Электронный пучок в пролетном промежутке
341
0,04
0 0,2 0,4 0,6 О,
О 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4
Рис. 5.35. Фазовый портрет в координатах (ж;, vi) (а) и распределение Fi по
энергиям (б) подвижных ионов в момент времени t = 70,0 для параметров
а = 1,5тг и п = 1
(pi(x))t « const. Однако теперь такое распределение ионов есть ре-
результат коллективного движения ионов в диодном промежутке. На
рис. 5.35 а представлена фазовая диаграмма ионного потока в пролет-
пролетном промежутке для момента времени t = 70,0. На ней каждая крупная
частица, моделирующая поведение подвижного ионного фона, нанесена
в виде точки на фазовую плоскость «координатаа^-скорость Vi» ионов.
Видно, что в междусеточном пространстве возникает многопотоковое
движение ионов, а на фазовом портрете четко прослеживается зави-
завихрение в области виртуального катода жвк ~ 0,1 -г- 0,2. Характерный
масштаб движения ионов в системе существенно больше плазменного
периода и численно равен характерному времени вихревого движе-
движения ионов в окрестности виртуального катода. В системе возникает
многопотоковая неустойчивость, связанная с движущимися навстре-
навстречу друг другу несколькими потоками ионов с примерно одинаковыми
скоростями. Неустойчивость имеет характер абсолютной неустойчиво-
неустойчивости, и возмущение нарастает в окрестности виртуального катода. Это

342 Лекция 5 B0)
способствует дальнейшему росту возмущения движения ионов по мере
развития неустойчивости во встречных потоках. Формирование вихре-
вихревого многопотокового движения ионов в системе при рассматриваемых
значениях параметров соотвествует моменту времени t « 40,0.
Динамика виртуального катода в этом режиме качественно подобна
динамике виртуального катода в диоде Пирса при том же значении
тока пучка а. Однако колебания виртуального катода демонстрируют
более сложную динамику, что связано со взаимодействием через поле
пространственного заряда электронной структуры (виртуального ка-
катода), имеющей характерный временной масштаб динамики порядка
плазменного периода ~ 2тг/'и)р, и вихревой структуры в потоке ионов,
временной масштаб динамики которой существенно больше.
При сохранении величины невозмущенной плотности ионного фона
п = 1,0 и изменении параметра Пирса в диапазоне тг < а < 2тг характер
динамики в диодном промежутке не изменяется. Сохраняются все три
характерные стадии развития неустойчивости в пучке со сверхкрити-
сверхкритическим током: стадия начального возмущения ионного фона и форми-
формирования плотного ионного слоя в области виртуального катода, стадия
разрушения ионного слоя и, наконец, стадия установления квазистаци-
квазистационарного распределения ионов в пространстве взаимодействия. Однако
длительность каждой из стадий зависит от величины параметра Пир-
Пирса. С ростом надкритичности у/а — акр (тока инжектируемого пучка)
длительность начальных стадий возрастает.
При уменьшении плотности п ионного фона динамика ионов оказы-
оказывает меньшее влияние на колебания виртуального катода, и поведение
системы не сильно отличается от поведения потока в неподвижном
ионном фоне на больших временных масштабах. Для иллюстрации
этого на рис. 5.32 ^приведена временная зависимость колебаний потен-
потенциала пространственного заряда, а на рис. 5.33 ? — соответствующий
вейвлетный спектр для случая п = 0,2 и параметра Пирса а = 1,5тг.
Из рисунка видно, что в этом случае колебания потенциала близ-
близки к регулярным с частотой, равной частоте колебаний в системе
с неподвижным ионным фоном. Неизменность спектрального соста-
состава подтверждается видом вейвлетного спектра, представленного на
рис. 5.33 б. Из него следует, что колебания происходят с единственным
характерным временным масштабом Т ~ 1,0, интенсивность которого
с течением времени изменяется слабо.
Рассмотрим теперь вопрос коллективного ускорения ионов в поле
колеблющегося виртуального катода. На рис. 5.36 представлены зави-
зависимости максимальной энергии Wi max ускоренных ионов (нормирован-
(нормированной на энергию Weo, инжектируемых в междусеточное пространство
электронов) от времени для различных значений управляющих пара-
параметров а и п. Из анализа представленных зависимостей можно сделать
следующие основные выводы.
Во-первых, развитие процесса ускорения изначально неподвижных
ионов до энергий Wi ~ @,5 -г- l,0)VKeo происходит экспоненциально за
временной интервал At ~ 8,0 -г- 10,0. Одновременно, за это же время
At, как уже обсуждалось, формируется ионный слой с плотностью за-

Электронный пучок в пролетном промежутке 343
ряда pi ~ B Ч- 3)п в области виртуального катода (см. рис. 5.34). Далее
имеет место медленное разрушение ионного слоя в области виртуально-
виртуального катода, в течении которого максимальная энергия ускоренных ионов
не меняется.
Во-вторых, при t > 40,0 имеет место вторичное ускорение ионов
в системе до энергий, в 2-1-3 раза превышающих энергию инжек-
инжектируемых электронов в пространство взаимодействия. Это связано
с обсуждавшейся выше возникающей в потоке ионов многопотоковой
неустойчивостью. Возникающие в этом случае большие поля способ-
способствуют эффективному ускорению части ионов г). Заметим также, что
начало вторичного роста энергии ускоренных ионов в точности совпа-
совпадает с моментом формирования двухпотокового состояния в ионном
потоке в области виртуального катода, а, следовательно, и с моментом
начала развития неустойчивости.
Для оценки количества ускоренных ионов на рис. 5.35 б представ-
представлено распределение F{ ионов по энергии в тот же момент времени,
что и фазовый портрет пучка ионов (рис. 5.35 а), обсуждаемый нами
выше. Распределение спадает по степенному закону F{ ~ W~^ с ро-
ростом энергии, и доля ионов, энергия которых больше 2Weo составляет
в рассматриваемом случае всего 1,2 %. Доля малоэнергетичных ионов,
энергия которых Wi < 0,5VKeo, превышает 70 %. Заметим, что вид рас-
распределения Fi после установления в системе многопотокового ионного
состояния практически не меняется с течением времени.
На рис. 5.36 а представлены зависимости Wi тах/И/ео от времени
для различных увеличивающихся значений параметра Пирса и невоз-
невозмущенной плотности ионного фона п = 1,0. Скорость роста энергии
ионов на начальном этапе незначительно увеличивается с ростом тока
пучка су, а далее, после насыщения увеичения энергии ионов, сно-
снова имеет место рост энергии ионов W{ max, причем теперь энергия
ускоренных ионов существенно определяется током пучка: чем выше
ток инжектируемого пучка, тем быстрее растет максимальная энергия
ионов и тем выше величина, на которой она насыщается. При малом
токе пучка (см. кривую на рис. 5.36 а, соответствующую случаю а =
= 1,2тг) максимальная энергия ионов не превышает l,2VKeo, тогда как
при токе пучка а = 1,8тг максимальная энергия достигает величины
Аналогичная ситуация имеет место и при изменении плотности
ионов п. Начиная с некоторой величины плотности ионов п зависи-
зависимости Wi max ведут себя качественно подобно (см. рис. 5.36 б). Однако
величина максимальной энергии ионов и время появления ионов с такой
энергией существенно зависят от управляющих параметров. Скорость
развития возмущения распределения ионов на начальном этапе боль-
больше при малой плотности ионого фона (ср. кривые, построенные при
различных п на временах t < 10,0). Однако на больших временах
г) Ускорение заряженных частиц при двухпотоковой неустойчивости было
отмечено еще в работах [20,103,104] (см. также [39, раздел 5]).

344
Лекция 5 B0)
2,8
2,
1
=1 1,2
0,8
0,
/
JJ
/
f у
f
1,8 т/
//
/
r
4,5n
/¦
--——-
= 1,271
10 20 30 40 50 60 70
2,
2,0
1 !>2
0,8
0,
0,
/г
1,0/
/
-л /
/ /А
у
/0,8
Я =
= 0,2
О 10 20 30 40 50 60 70 t
Рис. 5.36. Максимальная энергия ионов Wi max/VKeo как функция времени.
Рис. а построен при п = 1 и различных значениях параметра Пирса а;
рис. #— при а = 1,5тг и различных значениях плотности невозмущенного
ионного фона п
развития процесса ускорения с ростом плотности ионов удается достичь
более высокой энергии ионов за более короткое время. При п > 0,6
максимальная энергия Wi max не сильно зависит от п и составляет при
а = 1,5тг величину Wi max ^ A,9 -г 2,2)VKeo. При п < 0,4 максимальная
энергия ускоренных ионов достигает величины Wi max ^ И/ео за время
t < 10,0, и далее уже не увеличивается, оставаясь на уровне Wi max ^
Оценим время, соответствующее появлению первых высокоэнерге-
тичных ионов, после начала инжекции электронного пучка. Учитывая,
что частота колебаний в пучке с виртуальным катодом в неподвиж-
неподвижном ионном фоне равна /вк ~ ^р/тг, характерный временной мас-
масштаб колебаний в системе в начале развития процесса ускорения ионов
можно оценить как Т = 1//вк- Предполагая, что частота генерации

Электронный пучок в пролетном промежутке 345
виртуального катода составляет 1 ГГц, получаем что Т « 1 не. Тог-
Тогда, оценивая число характерных периодов колебаний, укладывающих-
укладывающихся на временной интервал, соответствующий еще слабовозмущенному
распределению ионов в междусеточном пространстве, получаем, что
единица безразмерного времени соответствует 0,8 не. Характерная дли-
длительность импульса сильноточного электроного пучка, которую можно
создать с использованием взрывоэмиссионного катода, составляет по-
порядка 20 -г- 60нс, т.е. 25 -г- 80 безразмерных единиц времени. Именно
такая длительность импульса тока и рассматривалась при численном
моделировании. Из рис. 5.36 следует, что ионы, ускоренные до энер-
энергий, превышающих энергию ускорения пучка, будут регистрироваться
в зависимости от тока пучка и плотности ионов через 20 -г- 40 не от
начала импульса тока, а появление ионов, энергия которых в два и более
раз превышает энергию инжектируемых электронов, следут ожидать
примерно через 40 -г- 50 не после начала инжекции. За это характерное
время в системе возникнет двухпотоковое состояние ионов, а также
разовьется абсолютная неустойчивость при взаимодействии ионных
потоков через общее поле пространственного заряда, которая приведет
к дополнительному ускорению ионов.
Рассмотрение, проведенное в данном разделе лекции, не учитыва-
учитывает целый ряд важных факторов, а именно неодномерность движения
ионов, релятивистские эффекты и ряд других, менее существенных
факторов. Тем не менее приведенные результаты, полученные в рамках
простейшей модели плоского пролетного промежутка со сверхкритиче-
сверхкритическим током, показывают возможность коллективного ускорения ионов
в поле колеблющегося виртуального катода и установления многопото-
многопотокового состояния ионного потока.
Использование простой модели плоского пролетного промежутка со
сверхкритическим током (диода Пирса) на протяжении всего изложе-
изложения материала данной лекции позволило с единых позиций взглянуть
на особенности нелинейной динамики в потоке с виртуальным като-
катодом при различных ситуациях: 1) необходимые условия и инкремент
развития неустойчивости; 2) различная степень нейтрализации про-
пространственного заряда пучка; 3) неоднородность распределения ион-
ионного фона вдоль пространства взаимодействия; 4) подвижность ионов,
составляющих ионный фон.
Список литературы
1. Рухадзе А.А., Богданкевич Л. С, Росинский СЕ., Рухлин В.Г.
Физика сильноточных релятивистских электронных пучков. —
М.: Атомиздат, 1980.
2. Незлин Н.В. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергатомиздат,
1982.
3. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон-
электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.
4. Child CD. Discharge from Hot CaO // Phys. Rev. 1911. V. 32. P. 492.

346 Лекция 5 B0)
5. Langmuir L, Blodgett К.В. Current limited by space charge between
coaxial cylinders // Phys. Rev. 1923. V. 22. P. 347.
6. Langmuir L, Blodgett K.B. Current limited by space charge between
concentric spheres // Phys. Rev. 1924. V. 23. P. 49.
7. Pierce J. Limiting currents in electron beam in presence ions // J.
Appl. Phys. 1944. V. 15. P. 721.
8. Buneman 0. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 503.
9. Миллер P. Введение в физику сильноточных пучков заряженных
частиц. — М. Мир, 1984.
10. High Power Microwave Sources/ Eds V.L. Granatstein and I. Alexeff.
— Boston: Artech House, 1987. Ch. 13.
11. Рухадзе А.А., Столбецов С.Д., Тараканов В.П. Виркаторы (об-
(обзор) II Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 3. С. 385.
12. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике для физиков. Том 1. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
13. Анфиногентов В.Г., Трубецков Д.И. Хаотические колебания
в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и элек-
электроника. 1992. Т. 37. С. 2251.
14. Godfrey В.В. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode //
Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1553.
15. Kuhn S., Ender A. Oscillatory nonlinear flow and coherent structures
in Pierce-type diodes // J. Appl. Phys.. 1990. V. 68. P. 732.
16. Ремпен И. С, Храмов А.Е. Управление режимами колебаний элек-
электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса // Изв.
РАН, сер. физич. 2001. Т. 65, № 12. С. 1689.
17. Matsumoto H., Yokoyama H. Computer simulations of the chaotic
dynamics of the Pierce beam-plasma system // Phys. Plasmas. 1996.
V. 3, No 1. P. 177.
18. Bridges W.B. Birdsall C.K. Space-Charge Instabilities in Electron
Diodes. I // J. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 2611.
19. Bridges W.B. Birdsall C.K. Space-Charge Instabilities in Electron
Diodes. II // J. Appl. Phys. 1963. V. 34, No 10. P. 2946.
20. Birdsall C.K., Bridges W.B. Electron dynamics of diode regions. —
N.Y.: Academic Press, 1966.
21. Buneman O., Yu S.P., Koyers G.P. Time-dependent Computer
Analysis of Electron-Wave Interaction in Crossed Fields // J. Appl.
Phys. 1965. V. 35, No 8. P. 2550.
22. Власов А.А. // ЖЭТФ. 1938. T. 8. С 291.
23. Власов А.А. Теория многих частиц. — M.-JL: ГИТТЛ, 1950.
24. Гвоздовер С.Д., Слуцкин В.Н. О возникновении колебаний релак-
релаксационного типа в электронных пушках // Вестник МГУ. 1956.
№ 2. С. 37.

Электронный пучок в пролетном промежутке 347
25. Birdsall С.К., Bridges W.B. Space-charge instabilities in electron
diodes and plasma converters // J. Appl. Phys. 1961. V. 32, No 12.
P. 2611.
26. Frey J., Birdsall CK. Instabilities in a neutralized electron stream in
finite-length drift tube // J. Appl. Phys. 1966. V. 37, No 5. P. 2051.
27. Смирнов В.М. О неустойчивости нелинейных колебаний потенци-
потенциала в электронно-ионных пучках // ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 1005.
28. Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нелинейной теории неустойчиво-
неустойчивости электронного пучка в системе с электродами // ЖЭТФ. 1967.
Т. 52. С. 144.
29. Иванов А.А., Путвинская B.C. Неустойчивость Пирса в системе
с ограниченными размерами // ЖТФ. 1975. Т. 45. С. 1648.
30. Мосиюк А.Н., Мухтаров М.А. О колебательной неустойчивости
Пирса // Физика плазмы. 1984. Т. 10. С. 878.
31. Буринская Т.М., Волокитин А.С. Ускорение ионов при развитии
неустойчивости электронного пучка // Физика плазмы. 1984. Т. 10.
С. 989.
32. Гвоздецкий B.C., Коваленко В.П., Парнета И.М. Автоколебания
в ограниченной пучково-плазменной системы // ЖЭТФ. 1986.
Т. 90, № 1. С. 25.
33. Григорьев В.П., Диденко А.Н.К теории возбуждения электромаг-
электромагнитных колебаний в системах с виртуальным катодом // Радио-
Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, № 2. С. 353.
34. Kolinsky H., Shamel H. Counterstreaming electrons and ions in Pierce-
like diodes // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 4267.
35. Клочков Д.В., Рухадзе А.А. Электромагнитная теория излуча-
тельной неустойчивости Пирса // Физика плазмы. 1997. Т. 23, № 7.
С. 646.
36. Jiang W., Masugata К., Yatsui К. Mechanism of microwave generation
by virtual cathode oscillation // Phys. Plasmas. 1995. V. 2, No 3.
P. 982.
37. Курант P. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.
38. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные
функции. — М.: Наука, 1974.
39. Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирова-
моделирование. — М.: Атомиздат, 1985.
40. Takayuki Utsumi, Tomoaki Kunugi, James Кода A numerical method
for solving the one-dimensional Vlasov-Poisson equation in phase
space II Computer Physics Communications. 1998. V. 108. P. 159.
41. Lomax R.J. // Proc. IEE Pt. С 1961. V. 108. P. 119.
42. Найфе А. Методы возмущений. — M: Мир, 1976.
43. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работ-
работников и инженеров. — М: Наука, 1978.

348 Лекция 5 B0)
44. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. — М.: Атомиз-
дат, 1979.
45. Березин Ю.А., Вшивцов В.А. Метод частиц в динамике разрежен-
разреженной плазмы. — Новосибирск: Наука, 1980.
46. Hockney R.W., Eastwood J.W. Computer simulation using particles.
- NY: McGraw-Hill, 1981.
47. Tokens F. Detecting strange attractors in turbulence // Dynamical
Systems and Turbulence: Lect. Notes in Math. / Ed. by R.A. Rand
and L.S. Young. — Warwick: Springier-Verlag, 1980. V. 898. P. 366.
48. Анфиногентов В.Г. Хаотические колебания в электронном потоке
с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная
динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 69.
49. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative
dynamical systems // Physica ID. 1980. P. 219.
50. Pomeau Y., Manneville P. Intermitten transition to turbulence in
dissipative dynamical system // Comm. Math. Phys. 1980. T. 74.
С 189.
51. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
52. Кузнецов СП. Детерминированный хаос. — М.: Наука, 2002.
53. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and
numerical experiments // Phys. Rev. A. 1976. V. 41. P. 2338.
54. Анфиногентов В.Г. Электронный поток в диодном промежутке
и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование
структур) II Дисс. ... к.ф.-м.н. Саратов, 1997. 158с.
55. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. — М.: Мир, 1980.
56. Блиох Ю.П., Магда И.И., Найстетер СИ., Прокопенко Ю.В.
Исследование частотного спектра одномерной СВЧ системы на
виртуальном катоде // Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 1191.
57. Диденко А.П. Механизм генерации мощных СВЧ-колебаний в вир-
каторе // ДАН СССР. 1991. Т. 321, № 4. С. 727.
58. Диденко А.Н., Ращиков В.И. Генерация мощных СВЧ колебаний
в системах с виртуальным катодом // Физика плазмы. 1992. Т. 18,
№ 9. С. 1182.
59. Селемир В.Д., Дубинов А.Е., Степанов П.В. Исследование ме-
механизма генерации СВЧ излучения в виркаторе // Препринт.
Арзамас-16 - ВНИИЭФ, 1993.
60. Селемир В.Д., Алёхин Б.В., Ватрунин В.Е., Дубинов А.Е., Сте-
Степанов П.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Теоретические и экспе-
экспериментальные исследования СВЧ-приборов с виртуальным като-
катодом // Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 7,8. С. 689.
61. Kwan T.J.T., Thode L.E. Formation of virtual cathodes and
microwave generation in relativistic electron beams // Phys. Fluids.
1984. V. 27. P. 1570.

Электронный пучок в пролетном промежутке 349
62. High Power Microwave Sources/ Eds V.L. Granatstein and I. Alexeff.
— Boston: Artech House, 1987. Ch. 14.
63. Кислое В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний
в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыва-
запаздыванием II Лекции по электронике СВЧ и радиофизике E-я зимняя
школа-семинар, Саратов, 1981). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1981. С. 78.
64. Кузнецов СП. Сложная динамика генератора с запаздывающей
обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.
65. Храмов А.Е. О влиянии обратной связи на характеристики гене-
генерации прибора с виртуальным катодом // Радиотехника и элек-
электроника. 1999. Т. 44, № 1. С. 116.
66. Woo W., Benford J., Fittingoff D., Harteneck В., Price D., Smith R.,
Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators // J. Appl.
Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.
67. Price D., Sze H., Fittinghoff D. Phase and frequency locking of a cavity
vircator driven by a relavistic magnetron // J. Appl. Phys. 1989. V. 65.
P. 5185.
68. Sze H., Price D., Woo W., Benford J. Priming and phase locking
of high power vircators // In: the Book of Abstract of the 7th
International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'88),
Karlsruhe, 1988. P. 328.
69. Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled
vircators // J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 5. P. 2278.
70. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Филипенко Н.М. Колебания
электронного потока в плоском пролетном промежутке // ЖТФ.
1981. Т. 51, №6. С. 1161.
71. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Филипенко Н.М. Феноменоло-
Феноменологический анализ устойчивости стационарных состояний интен-
интенсивного электронного потока в пространстве взаимодействия //
Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30. С. 756.
72. Храмов А.Е. Сложная динамика когерентных структур в двухпо-
токовом виркаторе // Изв. вузов. Прикладная нелинейная дина-
динамика. 1998. Т. 6, № 2. С. 42.
73. Анфиногентов В.Г. Взаимодействие когерентных структур и ха-
хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным като-
катодом // Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21, № 8. С. 70.
74. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko
V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave
devices // CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.
75. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — M:
Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.
76. Короновский А.А., Храмов А.Е., Анфиногентов В.Г. Феноменоло-
Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом //
Изв. РАН, Сер. физич. 1999. Т. 63, № 12. С. 2355.

350 Лекция 5 B0)
77. Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Anfinogentov V.G. On the simple
model of the electron beam with overcritical current // Proc. of
Int. University Conf. «Electronics and Radiophysics of Ultra-High
Frequencies", May 24-28, 1999, St. Petersburg, Russia, PP. 206-209.
78. Добрецов Л.И. Электронная и ионная эмиссия. — М: ГТТИ, 1950.
79. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. — М.:
Мир, 1991.
80. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Влияние неоднородности ион-
ионного фона на частоту колебаний виртуального катода // Письма
в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 21. С. 74.
81. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Нелинейные явления в потоке
со сверхкритическим током в неоднородном ионном фоне // Изв.
РАН. Сер. физич. 1998. Т. 62, № 12. С. 2428.
82. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложная динамика электрон-
электронного потока с виртуальном катодом при неоднородным плаз-
плазменном заполнении // Вопросы атомной науки и техники. 1998.
Вып. 1A). (Материалы VI Межгосударственного семинара «Плаз-
«Плазменная электроника и новые методы ускорения». 3-7 сентября
1998, Харьков, Украина), Харьков: ННЦ ХФТИ, 1998. С. 71.
83. Храмов А.Е., Короновский А.А., Левин Ю.И. Исследование про-
процессов структурообразования в электронном пучке с виртуаль-
виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности // Письма
в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 13. С. 57.
84. Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование когерентных струк-
структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью
вейвлетной бикогерентности // Физика плазмы. 2002. Т. 28, № 8.
С. 722.
85. Храмов А.Е. Нелинейная динамика электронного пучка с вирту-
виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне // Радиотехника
и электроника. 2002. Т. 47, № 7. С. 860.
86. van Milligen В.Ph., Sanchez Е., Estrada Т., Hidalgo С, Branas В.,
Carreras В., Carcia L. Wavelet bicoherence: A new turbulence analysis
tool // Phys. Plasmas. 1995. V. 2, No 8. P. 3017.
87. Wavelets in Physics / Eds J.C. Van den Berg. — Cambridge:
Cambridge University Press. 1998.
88. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ
для специалистов в области нелинейной динамики. — Саратов:
Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 216с.
89. Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy function into square
integrable wavelets of constant shape // SI AM J. Math. Anal. 1984.
V. 15, No 4. P. 273.
90. Волосов В.И. Предельный устойчивый ток в закомпенсированном
электронном потоке // ЖТФ. 1962. Т. 32, № 5. С. 566.
91. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний
и волн. — М.-Ижевск: РХД, 2000.

Электронный пучок в пролетном промежутке 351
92. Плютто А.И., Беленсов П.Е., Корон Д. Е., Мхеидзе Г.П., Рыжков
В.Н., Суладзе К.В., Темчин СИ. Ускорение ионов в электронных
пучках // Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6, № 3. С. 540.
93. Briggs R.J. Space-charge waves on a relativistic, unneutralized
electron beam and collective ion acceleration // Phys.Fluids. 1976.
V. 19, No 8. P. 1257.
94. Miller R.В. // In: Collective Methods of Acceleration / Eds Rostoker
N. and Reiser M. Geneva: Harwood Academic Publishers, 1979. P. 675.
95. Rostoker N. // Int. Conf. on High Energy Accel. Yerevan. 1970. V. 11.
P. 509.
96. Poukey J. W., Rostoker N. // Plasma Phys. 1971. V. 13. P. 897.
97. Oslon C.L. Collective ion accelaration with linear electron beams // In:
Collective ion acceleration-springer tracts in modern physics. V. 84.
Springer-Verlag, 1979..
98. Yao R.L., Striffler CD. Numerical simulation of collective ion
acceleration in an intense electron beam-localized gas cloud system //
J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 4. P. 1650.
99. Galvez M., Gisler G. Collective ion acceleration by relativistic electron
beams in plasmas // J. Appl. Phys. 1991. V. 69, No 1. P. 129.
100. Slutz S.A. Ion pressure induced bending of the virtual-cathode in
multistage ion diodes // Phys. Plasmas. 1998. V. 5, No 8. P. 3021.
101. Dolgopolov V.V., Kirichenko Yu.V., Romanov S.S., Stratienko V.A.,
Tkach Yu. V. Ion acceleration by a virtual cathode potential // In: the
Abstracts of 12th International Conference on High-Power Particle
Beams (BEAMS'98). (Haifa, Israel, 7-12 June 1998), Haifa: 1998.
P. 377.
102. Анфиногентов В.Г., Короновский А.А., Храмов А.Е. Вейвлетный
анализ и его использование для анализа динамики нелинейных
динамических систем различной природы // Изв. РАН, сер. физич.
2000. Т. 64, № 12. С. 2383.
103. Pierce J.R. Possible fluctuations in electron streams due to ions // J.
Appl. Phys. 1948. V. 19, No 3. P. 231.
104. Birdsall CK. Sheath formation and fluctuations with dynamics
electrons and ions // Int. Conf. on Plasma Physics. Goteborg. Sweden.
June 1982.
105. Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С Плазменная реляти-
релятивистская СВЧ-электроника. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баума-
Баумана, 2002.
106. Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Электронные приборы с виртуаль-
виртуальным катодом II Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 6.
С. 575.
107. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ
и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Лекция 6B1)
ГЕНЕРАТОРЫ НА ВИРТУАЛЬНОМ КАТОДЕ
Известно, что если ток электронного пучка, ин-
инжектируемого в дрейфовую камеру, достаточно
велик, в системе образуется виртуальный катод
(ВК), от которого электроны отражаются в сто-
сторону инжектора. .. Сам ВК не остается стацио-
стационарным, совершая колебания с частотой, близкой
к плазменной частоте электронов пучка. Промо-
дулированный в области ВК ток может взамодей-
ствовать с собственными модами резонатора, что
в свою очередь может привести к возникновению
мощного СВЧ-излучения. Приборы, функциони-
функционирование которых основано на наличии ВК, назва-
названы виркаторами.
Л. Л. Рухадзе, С. Д. Столбецов,
В. П. Тараканов. Виркаторы (обзор).
Радиотехника и электроника. 1992.
Т. 37. С. 385.
Предельный вакуумный ток. Типы конструкций и характеристики
генераторов на виртуальном катоде (отражательные триоды, вир-
виркаторы на пролетном токе, редитроны). Нелинейная динамика гене-
генераторов на виртуальном катоде. Виркаторы с различными типами
управляемой обратной связи. Связанные системы на виртуальном
катоде.
Генераторы на виртуальном катоде (или, как их еще называют, вир-
виркаторы 1)) — это новый класс приборов релятивистской электроники,
использующий для генерации импульсов сверхмощного СВЧ-излуче-
СВЧ-излучения колебания виртуального катода в электронном пучке со сверхкри-
сверхкритическим током. Свойства и характерные особенности автоколебаний
в активной среде «электронный пучок с виртуальным катодом» по-
подробно обсуждались в лекции 5B0) для плоской геометрии в нере-
нерелятивистском случае. Экспериментальное доказательство генерации
СВЧ-излучения за счет колебаний виртуального катода и дальнейший
«взрывной» интерес к виркаторам обусловлен, в первую очередь, зна-
значительными успехами в развитии сильноточной электроники (высоко-
(высоковольтной техники, техники создания и транспортировки интенсивных
г) От английского vitrual cathode oscillator — VIRCATOR.

Генераторы на виртуальном катоде 353
электронных пучков) [1-3]. В мощной релятивистской электронике
обычно имеют дело с пучками, формируемыми электронными пушками
сильноточных ускорителей с холодными катодами со взрывной эмис-
эмиссией и направляемыми сильными продольными магнитными полями.
Токи таких электронных пучков достигают величины 100 кА, а уско-
ускоряющие напряжения — 50 MB [3,4] г). С помощью таких ускорителей
было реализовано много экспериментальных СВЧ-устройств реляти-
релятивистской электроники, многие из которых рассматриваются в нашей
книге.
Однако в полной мере использовать достижения техники формиро-
формирования сильноточных пучков в вакуумной релятивистской электронике
часто не удается. Это связано с тем, что эффективность приборов про-
пролетного типа (релятивистские карсинотроны, ЛБВ, клистроны, ЛСЭ,
МЦР) резко снижается при приближении тока электронного потока
к предельному из-за влияния пространственного заряда пучка. Поиск
путей преодоления этих трудностей и привел к созданию нового класса
принципиально сильноточных приборов — виркаторов [6-9], которые
используют для генерации сверхвысокочастотного излучения энергию
собственных полей релятивистских электронных пучков (РЭП) в ре-
режиме сверхкритических токов, когда возникает поток электронов, от-
отраженных в сторону катода, и в пучке образуется виртуальный катод.
К достоинствам СВЧ-приборов на виртуальном катоде следует от-
отнести их следующие свойства: простота конструкции, большая выход-
выходная мощность, возможность работы без магнитного фокусирующего
поля, широкая перестройка частоты генерации, возможность управле-
управления прибором внешним сигналом. Последнее является важным усло-
условием для применения виркаторов в качестве модулей фазированных
антенных решеток (см., например, [10-14]). Также генераторы на вир-
виртуальном катоде характеризуются компактностью, поскольку преобра-
преобразование энергии электронного потока в энергию СВЧ-излучения проис-
происходит непосредственно в области его формирования, и не накладывают
жестких требований на качество электронного пучка, предъявляемых
обычно в таких приборах вакуумной СВЧ-электроники как реляти-
релятивистские ЛБВ, карсинотроны, гиротроны, клистроны, ЛСЭ.
Экспериментальные исследования и результаты численного моде-
моделирования свидетельствуют, что генераторы на виртуальном катоде яв-
являются источниками исключительно высокого уровня мощности (см.,
например, обзорные работы [23-27]). Некоторые характерные экспе-
экспериментальные результаты представлены в табл. 6.1 2). Из таблицы
х) Популярное изложение физики сильноточных релятивистских пучков
и ускорителей дано в работе [5].
2) Даты публикаций представленных в таблице работ в основном относятся
к 80-м годам. Это связано не с тем, что работы по исследованию виркаторов
прекратились, а с тем, что в этот период (первое десятилетие «жизни» нового
класса приборов) делалось много экспериментальных работ на достижение
каких-либо уникальных результатов (по частоте, по мощности и т.д.). Рабо-
Работы, выполненные и опубликованные позже, были уже направлены на решение
23 Трубецков, Храмов

354
Лекция 6 B1)
Таблицаб.1
Результаты экспериментальных исследований
генераторов на виртуальном катоде
Место и год
эксперимента
Военно-морская
лаборатория
(Вашингтон,
1977) [6]
НИИЯФ
при ТПИ
(Томск, 1983)
[16]
Osaka City
University,
(Osaka, 1991)
[17]
Нац. лаб. Ло-
уренса
(Ливермор,
1987) [18]
НИИЯФ
при ТПИ
(Томск, 1986)
[19]
Нац.лаб. (Лос-
Аламос,
1985) [20]
НИИЯФ
при ТПИ
(Томск, 1988)
[21]
Нац. лаб. (Лос-
Аламос,
1988) [22]
Тип
системы
Отража-
Отражательный
триод
Отража-
Отражательный
триод
Отража-
Отражательный
триод
Виркатор
Виркатор
Виркатор
Виркатор
Редитрон
Мощность
100 МВт
500 МВт
100 МВт
240 кВт
160 МВт
4ГВт
200 МВт
500 МВт
2ГВт
1,6 ГВт
1,4 ГВт
Частота
8 -=-12 ГГц
3,2 ГГц
3,0 ГГц
26 ГГц
5,0 ГГц
6,5 ГГц
15 ГГц
17 ГГц
5,5 ГГц
2,5 ГГц
3,9 ГГц
Длительность
импульса
260 нс
500 нс
100 нс
100 нс
40 нс
70 нс
20 нс
30 нс
90 нс
70 нс
КПД
0,15
0,27
0,18
—
0,033
0,05
0,005
0,08
0,06
видно, что характерная выходная мощность генераторов на виртуаль-
виртуальном катоде составляет Р > 500 МВт, диапазон генерируемых частот
2 Ч- 30 ГГц, КПД 1 Ч- 10%. Длительность импульса высокочастотно-
высокочастотного излучения определяется возможностями сильноточных ускорителей
и соответствует величине 30 -г- 500 не.
конкретных задач — началась стадия спокойного и планомерного изучения
нового механизма генерации сверхмощного высокочастотного излучения.

Генераторы на виртуальном катоде
355
s
>?
a
о
К
о
ft
Q
ей
ю5'
ю4
103
ю2
10
1
ю-1
Виркаторы л.
X
Релятивистские \ \
" карсинотроны, \ \
клистроны, \ \
ЛБВ и т.п. \
V \
X \
х^^ \
" НерелятивистскаяХу
электроника ^
V
Xv
\ ^^^
\ ^х.
\ X
\ леэ
V \
\ МЦР \
\\ \
10 100
Частота, ГГц
1000
Рис. 6.1. Прогнозируемые диапазоны частот и мощностей, которые смогут
достичь различные классы приборов мощной СВЧ-электроники (из работы
[23])
Значительный интерес и успех генераторов на виртуальном катоде
определяется местом этого нового класса приборов среди традици-
традиционных устройств СВЧ-электроники. Предшественниками и наиболее
близкими по идее виркаторам являются такие хорошо известные гене-
генераторы СВЧ-излучения, как генератор Баркгаузена-Курца (см. гл. 1),
отражательный клистрон [28], электронно-волновой генератор с тор-
тормозящим полем [29, гл. V].
Развитие электроники СВЧ, как уже обсуждалось в вводной лекции
первого тома, шло по пути конкуренции возникающих новых приборов
с уже разработанными, апробированными и «запущенными в серию»
старыми типами СВЧ-устройств. Очень не многие из новых идей могли
конкурировать с пятью идеями, которые создали СВЧ-электронику,
и с которых мы начали знакомство с предметом и основными особен-
особенностями сверхвысокочастотной электроники в вводной лекции. Чтобы
занять свое место в СВЧ-электронике новый прибор должен обладать
набором уникальных новых характеристик, быть технологичным и,
главное, чтобы у потенциальных потребителей нового устройства была
необходимая потребность в нем. Тогда, пройдя долгий путь от первых
коротких сообщений до обзорных статей в солидных журналах, глав
в книгах, а затем и монографий, посвященных прибору, он займет свое
место в электронике.
Место генераторов на виртуальном катоде среди других приборов
электроники больших мощностей иллюстрирует схема на рис. 6.1, на
которой представлены прогнозируемые уровни мощности в зависимо-
зависимости от рабочей частоты для различных классов приборов сверхвысоко-
23*

356 Лекция 6 B1)
частотной электроники [23]. Из схемы можно сделать вывод, что вирка-
тор находится вне конкуренции по возможно достижимому уровню вы-
выходной мощности в диапазоне 1 -г- 100 ГГц. Представленные в табл. 6.1
данные подтверждают это: уровень мощности, полученный в экспе-
экспериментах значительно превышает уровни мощности, достигнутые на
приборах, использующих другие принципы генерации сверхмощного
СВЧ-излучения. Вместе с тем генераторы на виртуальном катоде не
могут существенно продвинуться в более коротковолновый диапазон,
так как частота генерации (см. лекцию 5B0)) виртуального катода
во многом определяется плотностью тока инжектируемого пучка, зна-
значительно повысить которую невозможно. К недостаткам виркаторов
следует отнести малую эффективность преобразования энергии пуч-
пучка в энергию СВЧ-излучения. О некоторых подходах к повышению
КПД виркатора будет рассказано в настоящей лекции. Генераторы на
виртуальном катоде — сравнительно новый класс приборов, поэтому
пока еще существует большое число их конструкций и модификаций,
направленных на увеличение выходной мощности, частоты генерации,
получения требуемого спектра генерируемого излучения и т. д.
Начнем лекцию с нахождения величины предельного вакуумного
тока для пучка, инжектируемого в дрейфовую камеру, определив тем
самым токи, при которых будут работать генераторы на виртуальном
катоде. Далее рассмотрим основные типы и характеристики генерато-
генераторов на виртуальном катоде — отражательные триоды с виртуальным
катодом, виркаторы на пролетном токе, редитроны, виркаторы с внеш-
внешней и внутренней обратной связью. В заключение лекции рассмотрим
результаты исследований связанных генераторов на виртуальном ка-
катоде и кратко остановимся на проблеме создания сверхмощных фази-
фазированных антенных решеток на виркаторах.
Предельный вакуумный ток
Рассмотрим физические ограничения на силу тока транспортируе-
транспортируемых электронных пучков, которые обусловлены развитием ряда неиз-
лучательных токовых неустойчивостей, наиболее сильными из которых
являются неустойчивость Пирса (подробно обсуждаемая нами в первом
томе книги [30, лекция 4] и в лекции 5 B0) этого тома) и Бунемана
[31], а также определим те предельные величины токов электронных
пучков, при которых пучок еще допускает стационарную транспорти-
транспортировку через пространство дрейфа. Значение предельного вакуумного
тока тонкого полностью замагниченного электронного пучка в дрей-
дрейфовой камере произвольного сеченияопределяется точно как условие

Генераторы на виртуальном катоде 357
разрешимости следующей стационарной системы уравнений [31]:
д2ср enSb Г/ ч
+ eip = — = me 7,
— г>2/с2
где (/? — потенциал поля пространственного заряда пучка, по и vo —
невозмущенная плотность и скорость электронов пучка; n(z) и v(z) —
текущие значения плотности и скорости электронов соответственно;
Бь — площадь сечения пучка; j — релятивистский фактор электронов;
?о — диэлектрическая постоянная, г± — поперечная координата и гь —
средний радиус пучка. Дрейфовая камера — металлическая труба про-
произвольного сечения — расположена в области z > 0. Плоскость z = 0
является местом инжекции пучка в систему. Система уравнений F.1)
дополняется следующими граничными условиями:
<р|Е = 0, tpz=0 = 0, tpz^oo = const. F.2)
Здесь X — металлическая боковая поверхность дрейфовой камеры.
Второе условие в F.2) означает, что в плоскости инжекции расположе-
расположена металлическая фольга или сетка, прозрачная для инжектируемых
электронов.
Аналитические решения системы уравнений F.1), F.2) были най-
найдены в работе [32]. Эти решения существуют, если только ток пучка
меньше некоторого критического значения. Потенциал ср при больших
z стремится к некоторой постоянной величине, а область значительного
изменения ср (там где действуют препятствующие инжекции электро-
электронов электростатические поля) локализована в непосредственной близо-
близости к плоскости инжекции. Определим условие разрешимости системы
уравнений F.1), F.2), что и позволит получить аналитическое выра-
выражение для предельного вакуумного тока.
При больших z потенциал (/?, а также функции п и v не зависят
от продольной координаты. Разложим ip(r±) в ряд по мембранным
функциям ip8(r±) дрейфовой камеры. Имеем
сю
(?>(г_|_) = у A.s(ps (i*j_). F*3)
8 = 1
Выражая коэффициенты А8 через функцию плотности п из уравнения
Пуассона и исключая п из системы F.1), получаем уравнение вида
/ 2 \ ~1/2 2 °° 2 2
7=A-^2-) + ^ТТ^^У^Т^ТГГТГ' F'4)

358 Лекция 6 B1)
где k±s — собственные числа, соответствующие мембранной функции
<ps (A±ips = — k\s(ps), \\<Ps\\ — норма мембранной функции. Обозначая
через 7 = (l — (v/cJ) релятивистский фактор электронов в дрейфовой
камере при больших z, преобразуем выражение F.4) к следующему
виду:
«=1 "" ^S|1 G-1)
Функция в правой части соотношения F.5) обращается в нуль при j =
= 1 и 7 = 7) а в некоторой промежуточной точке j = ^/7 достигает
максимума. Вычисляя его, находим максимально возможное значение
левой части соотношения F.5) в виде
3/2
—. F.6)
Отсюда следует выражение для предельного ваккумного тока тонкого
пучка в дрейфовой камере произвольного сечения [31]:
тс
3 / / Л3/2
72/3-l) G6, F.7)
где
Оь=Aу>Ц1фиА . F.8)
Величина тс3/е имеет размерность тока и численно равна 17,03 кА.
В случае цилиндрической геометрии (бесконечно тонкий трубчатый
пучок радиуса гь в круглом волноводе радиуса R) tps = Jo([iosrb/R),
где fjbQs — корни функции Бесселя нулевого порядка, \\ips\\ —
= ttR2 J\(/jlos). Тогда, используя известное соотношение [33]
сю
-Inж = - ^2 JKvqsx)IJl(iiQ8)lt>Qs 1 х < 1, F.9)
n=l
получаем из формул F.7) и F.8) выражение, определяющее предель-
предельный вакуумный ток тонкого пучка цилиндрической геометрии
/ 9/4 Л3/2
3 |'72/3 - 1)
ь-^Ыз- F10)
Если электронный пучок не является бесконечно тонким, а имеет
конечный размер в поперечном сечении, то аналитическое выражение
для его предельного тока найти достаточно сложно. Поэтому обыч-
обычно в таких случаях пользуются приближенными формулами, которые
хорошо согласуются с экспериментом [31]. В случае трубчатого пучка

Генераторы на виртуальном катоде 359
конечной толщины предельный ваккумный ток равен
з
i _ тс
где гь — средний радиус пучка, а А — его толщина. В случае сплошного
цилиндрического пучка радиуса гь ^ R выражение для предельного
тока оказывается следующим:
З/2
)
з
тс \! J ( ,
/о = — 1 + 21п(Я/гь)' FЛ2)
И наконец, при полном заполнении волновода электронным пучком из
последнего соотношения при гь = R имеем
При токах пучка, превышающих предельный вакуумный ток, зада-
задача F.1), F.2) не имеет решений. Это означает, что при токах I > Iq
стационарное прохождение потока невозможно — задача инжекции
пучка в пространство дрейфа имеет только нестационарные решения.
Как уже обсуждалось выше, в этом случае в потоке формируется
виртуальный катод, от которого отражается часть электронов обратно
к плоскости инжекции. Проходящий вглубь дрейфовой камеры поток
имеет ток порядка предельного вакуумного. Генераторы на виртуаль-
виртуальном катоде принципиально работают при рабочих токах электронного
пучка / > /о.
На рис. 6.2 представлены зависимости предельного вакуумного тока
от скорости электронного потока и отношения R/гь для различных
случаев, рассмотренных выше. Из рисунков и соотношений F.10)-
F.13) следует, что величина критического тока /о растет с увеличением
скорости инжектируемого потока vo (с увеличением ускоряющего на-
напряжения) и увеличением радиуса гь пучка при неизменном радиусе R
металлической дрейфовой камеры.
Типы конструкций и характеристики генераторов на
виртуальном катоде (отражательные триоды,
виркаторы на пролетном токе, редитроны)
Среди множества различных предложенных конструкций генера-
генераторов на виртуальном катоде можно выделить два основных типа: от-
отражательный триод с виртуальным катодом и виркатор на пролетном
токе.
Отражательные триоды были первыми генераторами излучения
сантиметрового диапазона длин волн классической СВЧ-электроники
(генератор Баркгаузена-Курца). Многочисленные исследования пока-
показали, что генерация в такой системе осуществляется благодаря осцил-
ляторному движению электронов вокруг сетки-анода между катодом
и отражателем (см. лекцию 1A6)) на частоте осцилляции или кратной

360
Лекция 6 B1)
8 0,84 0,88 0,92 0,96 и/с
/о,кА
70
60
50
40
30
20
10
0
¦ 111 t '\
1111 \
1
1! 1 \
n \ \
p\l\ \ \
mm x \
l\\\ \ 0,954
VvXV 0,96\.
0,92"^^^-^^ " - - -
'c = 0,99 -
—¦'
—.
-
— 111**1, —*_
R/n
Рис. 6.2. Зависимости величины предельного вакуумного тока от скорости
электронного пучка vo/с (а) и от отношения R/гь для различных скоростей
vo/c инжекции электронов (А/гь = 0,1) (б). Здесь кривая 1 соответствует
полному заполнению пучком волноведущей структуры (формула F.13)); 2 —
сплошному цилиндрическому пучку с отношением радиусов пучка и волно-
волновода гь/R = 0,5 (формула F.12)); 3 — для бесконечно тонкого пучка с гь/R =
= 0,5 (формула F.10)); 4,5,6— для трубчатых пучков с толщиной А/гь = 0,1
и соответственно радиусами гь/R = 0,5, 0,7 и 0,4 (формула F.11))
ей. Этот же принцип положен в основу и релятивистских триодов
с виртуальным катодом, в которых колебания электронов происходят
между реальным и виртуальным катодом, выполняющим роль отра-
отражательного электрода.
На рис. 6.3 а схематически показано устройство отражательного
триода с виртуальным катодом. Высоковольтный планарный диод по-
помещается в резонансную систему, размеры которой значительно боль-
больше размеров катода и сетки-анода и зазора между ними. Резонансная

Генераторы на виртуальном катоде
361
Рис. 6.3. Схемы основных типов конструкций генераторов на виртуальном
катоде: а — отражательный триод с виртуальным катодом A — металличе-
металлическая камера, 2 — приемная антенна, 3 — сетка-анод, 4 — катод, 5 — цилиндр
Фарадея, 6 — окно для вывода излучения); б — виркатор на пролетном токе
A — катод, 2 — анод, 3 — фокусирующая магнитная система (сверхпроводя-
(сверхпроводящий соленоид), 4 — электронный пучок, 5 — волновод, 6 — выходной рупор)
система одновременно служит вакуумным объемом для электронного
потока. Катод, представляющий собой металлический диск диаметра
в несколько сантиметров, и резонансная система находятся под нуле-
нулевым потенциалом. Анодом является натянутая на обод металлическая
сетка с геометрической прозрачностью 0,5 -г 0,9. Генератор работает
следующим образом.
После подачи на анод положительного потенциала напряжения
105 -г- 106 В благодаря взрывной эмиссии с катода поток электронов
с величиной тока /, превышающей предельный вакуумный ток /о,
ускоряется в промежутке «катод-анод» и выходит в пространство за
анодом, где тормозится собственным кулоновским полем и отражается
обратно к аноду, образуя виртуальный катод на расстоянии от анода,
примерно равном расстоянию до реального катода.
Отраженные электроны проникают сквозь сетку в область ускори-
ускорительного диода и вновь тормозятся у поверхности катода. Таким об-
образом формируется облако электронов, осциллирующих вокруг анода
в потенциальной яме между реальным и виртуальным катодом. Часть
электронов из-за конечной прозрачности сетки-анода непрерывно осе-
оседает на ней, а с катода эмитируются новые электроны в количестве,
необходимом для выполнения закона «3/2» или его релятивистского
аналога.
Эта система ангармонических электронных осцилляторов благо-
благодаря фазовой группировке, а затем селекции «неправильнофазных»
электронов на катоде и стенках вакуумной камеры образует модули-
модулированный по фазе поток, который эффективно возбуждает высоко-
высокочастотное поле в резонансной системе на частоте колебаний электро-
электронов или кратной ей. «Правильнофазные» электроны, теряя энергию,
уменьшают амплитуду колебаний вокруг анода и постепенно оседают
на сетке и таким путем выводятся из пространства взаимодействия
с высокочастотным полем. Электромагнитное излучение выводится

362 Лекция 6 B1)
из резонатора через вакуумно-плотное окно и излучающую антенну
в свободное пространство.
Триод с виртуальным катодом — это генератор сантиметрового
и дециметрового диапазона длин волн. Эксперименты [6,16, 25] показы-
показывают, что эффективность его достигает 10 -г 20 % в 10-сантиметровой
области, а мощность — нескольких гигаватт при использовании срав-
сравнительно скромных импульсных ускоряющих систем в качестве источ-
источников напряжения 1). Частота излучения определяется приложенным
к промежутку катод — анод напряжением и расстоянием между като-
катодом и анодом, причем характер этой зависимости при малых напряже-
напряжениях такой же, как и обнаруженный еще в работе Баркгаузена и Курца
в классическом отражательном триоде [35]. С учетом релятивистских
поправок он может быть представлен полуэмпирической формулой
[6,34]
где 7о = 1 + eVb/raoc2 — релятивистский фактор электронов на входе
в пространство взаимодействия, Vb — ускоряющее напряжение, d — ши-
ширина зазора «катод-анод», FGo) ~~ функция, принимающая значения
от 1 до 1,5 при изменении 7о от 1 до оо. Из этой формулы, в частности,
следует, что изменением ускоряющего напряжения генерируемая дли-
длина волны может перестраиваться в широких пределах без изменения
геометрии сильноточного диода и резонансной системы.
Заметим, что зависимость F.14) вычислена для идеального одно-
одномерного диодного промежутка и плохо описывает экспериментальные
данные. Экспериментальную зависимость характерной частоты гене-
генерации от величины d можно аппроксимировать как / ~ d~n, где по-
показатель степени п Е @,1). Такой вид зависимости может быть объ-
объяснен влиянием конечных поперечных размеров диода и электронно-
электронного потока, влиянием собственного магнитного поля, неравномерным
распределением плотности по поперечному сечению и другими ме-
менее значимыми эффектами. Эксперименты показывают, что изменение
характеристик внешней электродинамической структуры (изменение
формы, размеров и добротности резонатора, в котором формируется
виртуальный катод) не приводит к изменению генерируемой частоты.
Однако от величины добротности и резонансной частоты существенно
зависит мощность излучения. Так, при замене металлической резонанс-
резонансной камеры камерой, покрытой поглощающим материалом, величина
генерируемой мощности уменьшается на четыре порядка [39].
Эффективная перестройка частоты генерируемого излучения в три-
одной системе на виртуальном катоде возможна и при изменении плот-
плотности тока потока путем изменения формы катода сильноточного ди-
г) Типичные ускоряющие напряжения соответствуют величинам
0,2 -=- 0,5 MB при токах пучка более 20 кА и длительности импульса тока
порядка 50 -г 100 не.

Генераторы на виртуальном катоде
363
Р,МВт
1,7-3,95-8,2- 18-
а 2^6 5^85 li,4 26,5
Р,МВг
1,7- 3,95-8.2- 18
2,6 5,85 15,4 26,5
/,ГГц
/ГГц /,ГГц
Рис. 6.4. Спектры мощности выходного излучения триодного генератора
с виртуальным катодом при различных типах катодов (а — кольцевой, б —
круглый, в — шарообразный, г — конусный), обеспечивающих увеличиваю-
увеличивающуюся плотность тока электронного пучка (см. табл. 6.2) (из работы [17])
ода. Для примера на рис. 6.4 представлены экспериментально изме-
измеренные спектры мощности выходного сигнала триода с виртуальным
катодом для четырех различных плотностей тока при прочих равных
условиях эксперимента [17]. Для изменения плотности тока исполь-
использовалось четыре типа катодов — кольцевой катод большой площади
с внешним и внутренним диаметрами 125 и 60 мм соответственно, круг-
круглые катоды с диаметрами 80 и 40 мм, шарообразный катод с диаметром
шара 30 мм и конусообразный катод с острием. Расстояние катод —
анод было фиксировано и составило 5 мм. При использовании таких
катодов плотность тока менялась от 80 А/см2 до 3,2 кА/см2. Как видно
из рис. 6.4, при замене катода (изменении плотности тока электронного
пучка) одновременно изменялись как базовая частота генерации, из-
измеряемая по максимуму спектральной мощности, так и распределение
энергии по частотам. С ростом плотности тока базовая частота смеща-
смещалась в область больших частот (от 2 до 20ГГц), а спектр становился
все более сплошным. В таб. 6.2 представлены характеристики триодов
с различными типами катодов — плотность тока j, базовая частота /о
выходного излучения и генерируемая мощность Р.
В заключение заметим, что все экспериментальные исследования
триодных генераторов на виртуальном катоде проводятся с резонато-
резонаторами, размеры которых значительно больше генерируемых длин волн
для исключения возможности электрического пробоя между анодом
и рабочей камерой.

364 Лекция 6 B1)
Таблица 6.2
Характеристики триода с виртуальным катодом
при различных типах катодов (из работы [17])
Тип катода j, А/см^ /о, ГГц Р, МВт
Кольцевой
Круглый (80 мм)
Круглый D0 мм)
Шаровой
Конусный
2,
з,
80
200
800
7-Ю3
2-Ю3
1,7-2,6
3,95-5,85
8,2-12,4
18,0-26,5
18,0-26,5
6,0
-160
< 160
0,17
0,24
Некоторые экспериментальные данные различных научных групп
(США, Россия, Япония) по генерации импульсов сверхмощного
СВЧ-излучения в отражательных триодах на виртуальном катоде
представлены в табл. 6.1.
Другим типом генераторов на виртуальном катоде являются вир-
каторы на пролетном токе, которые отличаются от отражательных
триодов с виртуальным катодом тем, что отрицательный потенциал
подается на катод, а анод, дрейфовая камера и коллектор находятся
под одним потенциалом, обычно потенциалом Земли. На рис. 6.3 б
показана принципиальная схема такого виркатора. Электроны уско-
ускоряются в промежутке катод-анод и через анодную фольгу или сетку,
прозрачные для высокоэнергетических электронов, попадают в дрей-
дрейфовое пространство. Если ток инжектируемых электронов выше пре-
предельного тока для данной геометрии, то часть электронов тормозится
собственным полем потока и отражается в сторону анода, другая часть
электронного потока продолжает свое движение, пока не достигнет
коллектора или стенок камеры. Таким образом, в виркаторе на пролет-
пролетном токе из области виртуального катода в стационарном состоянии
испускаются электроны и в прямом и в обратном направлениях. От-
Отраженные электроны, как и в случае триода с виртуальным катодом,
образуют поток осциллирующих электронов. Положение виртуального
катода и степень деления тока на отраженный и проходящий через вир-
виртуальный катод, определяются величиной приложенного напряжения,
а также геометрией диода и дрейфового пространства. При увеличе-
увеличении инжектируемого тока виртуальный катод приближается к аноду.
Анализ величины проходящего тока пучка для плоской геометрии был
проведен в предыдущей лекции (см. рис. 5.7). Для ограниченного в
поперечном направлении пространства взаимодействия в результате
численного моделирования показано, что величина проходящего тока
осциллирует во времени около величины, численно равной предельно-
предельному вакуумному току для данной геометрии [94]. Стационарное состоя-
состояние потока с виртуальным катодом является неустойчивым и переходит
в колебательное состояние с частотой, близкой к плазменной частоте
CxJp потока (см. лекцию 5B0)). Типичные характеристики СВЧ-излу-
СВЧ-излучения, генерируемого виркаторами на пролетном токе, представлены
в табл. 6.1.

Генераторы на виртуальном катоде 365
Генерация в виркаторах с пролетным током происходит благодаря
двум основным механизмам: за счет колебаний частиц вокруг анода
в промежутке «катод-виртуальный катод» и за счет колебаний вирту-
виртуального катода как единого целого [40].
Многочисленные модификации виркаторов на пролетном токе раз-
различаются геометрией катодов, анодов, электродинамическими систе-
системами, устройствами вывода СВЧ-излучения, а также отсутствием или
наличием внешнего ведущего магнитного поля.
Анализ работы виркаторов на пролетном токе начнем с одной из
наиболее простых схем без внешнего магнитного поля, предложенной и
экспериментально реализованной в Национальной лаборатории в Лос-
Аламосе (США) [43,44]. В качестве катодов использовались стержни
из нержавеющей стали радиусов 3,8 и 2,8 см с нарезкой по торцевой
поверхности для более равномерной эмиссии электронов. Анодом слу-
служила прозрачная для электронов алюминиевая фольга или металличе-
металлическая сетка с прозрачностями 84 % и 60 % соответственно. Поток элек-
электронов из диода через анод попадает в трубу дрейфа диаметра 8,5 см
и длины 8,5 м. При этом часть электронов, совершая колебания между
реальным и виртуальным катодами, оседает на аноде, другая часть,
проникающая за виртуальный катод, попадает на стенки трубы про-
пространства дрейфа. Генерируемое СВЧ-излучение распространяется по
трубе дрейфа в калориметр, установленный в конце трубы. Амплитуда
и частота излучения регистрируются с помощью расположенных в тру-
трубе электрических зондов. Излучение происходило в широкой полосе ча-
частот 6,25 -^ 7,75 ГГц с катодом радиуса 3,8 см и в полосе 7,25 -^ 8,75 ГГц
с катодом радиуса 2,8 см при мощности 150 -г- 250 МВт в том и другом
случае. Причем частота излучения увеличивается от начала к кон-
концу СВЧ-импульса. В виркаторе при ускоряющем напряжении 1,8 MB
на диоде с зазором 2 см в начале импульса генерация происходила
на частоте 6,5 ГГц, а в конце на частоте 8 ГГц. Максимум мощности
излучения 4 ГВт был на частоте 6,5 ГГц в полосе 0,5 ГГц. Генерация
происходила преимущественно на моде TMqi круглого волновода [45].
Более детально вопрос возникновения генерации в виркаторе без
сопровождающего магнитного поля был исследован в работах [46,47].
В указанных работах рассматривалась система, характерной особенно-
особенностью которой было то, что СВЧ-излучение выводилось в направлении,
перпендикулярном движению электронного потока. Электроны с като-
катода радиуса 2,54 см ускоряются напряжением 1 MB в промежутке анод-
катод длиной 0,7-г 1,3 см и через анодную фольгу попадают сквозь
широкую стенку в прямоугольный волновод сечения 12,7 х 6,4см2.
Таким образом, виртуальный катод образуется в прямоугольном вол-
волноводе, а электроны осциллируют поперек волновода. СВЧ-колебания
ТЕ-типа направляются вдоль волновода длины 3,5 м в безэховую ка-
камеру для регистрации. СВЧ-импульс возникает в момент, когда ток
диода достигает определенной величины /сж, равной току, необходи-
необходимому для линчевания диода (т. е. сжатия пучка в диоде собственным
магнитным полем; /сж « 60 кА). СВЧ-излучение заканчивается, когда
полностью завершается процесс линчевания диода, т. е. когда ток до-

366 Лекция 6 B1)
стигает величины парапотенциального тока [48]. Таким образом, вир-
каторы без внешнего магнитного поля генерируют только в состоянии
пинча, поэтому наложение магнитного поля такой величины, которая
препятствует сжатию пучка, должно нарушать режим генерации. Дей-
Действительно, экспериментально показано [47], что при магнитном поле
более 1 кГс почти полностью прекращается излучение, что хорошо со-
согласуется с расчетными данными. Виркаторы без ведущего магнитного
поля имеют довольно широкий спектр излучения (А/// ~ 20 -г- 30 %),
эффективность их мала и составляет несколько процентов.
Широкополосное многочастотное излучение в виркаторе на про-
пролетном токе без магнитного сопровождения пучка объясняется тем,
что генерация СВЧ-колебаний происходит одновременно как за счет
колебаний электронов вокруг анода, так и за счет колебаний вирту-
виртуального катода. Полоса генерируемых частот зависит от соотношения
частот этих колебаний и обычно довольно велика. Применение внеш-
внешнего магнитного поля позволяет не только эффективно удерживать
электронный пучок [41], но и дает возможность изменять эти часто-
частоты, уменьшая число осциллирующих электронов, усиливая тем самым
генерацию колебаниями виртуального катода. При этом в качестве
источника электронного потока используется сильноточный диод с маг-
магнитной изоляцией.
В работе [42] исследовалась конструкция виркатора с магнитоизо-
лированным диодом, инжектирующего трубчатый пучок электронов с
энергией 0,8 МэВ и током 36 кА в трубу радиуса 4 и длины 40 см. Генери-
Генерируемое СВЧ-излучение выводится через азимутальную щель в боковой
поверхности трубы в области виртуального катода. При магнитном по-
поле более 8 кГс возбуждаются электромагнитные колебания на частотах
около 3 и 10 ГГц, мощность которых на выходе передающей антенны
составляла приблизительно 105 и 108 Вт соответственно. Эксперимен-
Экспериментальное исследование показывает, что длинноволновое излучение воз-
возбуждается колебаниями электронов, отраженных из волновода в диод,
а коротковолновое излучение генерируется колебаниями виртуального
катода. Генерация низкочастотных колебаний могла быть значительно
ослаблена установкой диафрагмы на входе волновода, перехватываю-
перехватывающей отраженные электроны.
Последняя идея была в полной мере реализована в работах [22, 49],
где была предложена модификация виркатора, названная авторами ре-
дитроном, в котором были подавлены колебания электронов в потенци-
потенциальной яме «катод-виртуальный катод» путем создания специального
«толстого» анода с щелью, через которую инжектируется электронный
пучок в область пространства взаимодействия (рис. 6.5 а). Отраженные
от виртуального катода электроны имеют другие траектории в про-
пространстве взаимодействия, чем инжектируемые электроны, поэтому
они не попадают в щель для инжектируемого пучка и поглощаются ано-
анодом, не совершая колебаний в пространстве взаимодействия. Генерация
в редитроне осуществляется только за счет колебаний виртуального
катода как единого целого.

Генераторы на виртуальном катоде
367
В Пространство
дрейфа
"Толстый"
анод Отраженные
с щелью электроны
\ СВЧ-излучение
Пролетный пучок q
электронов г-
12 16 В,кГс
Рис. 6.5. а — схема виркатора с выводом из пространства взаимодействия от-
отраженных от виртуального катода электронов (редитрона); 6— зависимость
мощности генерации редитрона от величины приложенного фокусирующего
магнитного поля при длине промежутка «анод-катод» 2,6 см (из работы [22])
Характеристики генератора были следующими: импульс напряже-
напряжения до 1,9 MB и длительности 70 нс подавался на диод с трубчатым
катодом радиуса 3 см и графитовым анодом с кольцевой щелью, радиус
которой равен радиусу катода, а ширина 0,5 см. Пучок электронов
с током до 48 кА через щель в аноде проходил в волновод радиуса
9 см и длины 125 см, который заканчивался конической антенной. Диод
и примыкающая к нему область волновода длины 16 см находились
в магнитном поле, величина которого менялась от 0 до 30 кГс. При
увеличении магнитного поля от 0 до 5 кГс мощность СВЧ-излуче-
ния быстро нарастала, а затем медленно спадала и при магнитном
поле, равном 20 кГс, составляла половину от максимального уровня
(рис. 6.5 6). Измерения, проведенные при фокусирующем магнитном
поле 9,3 кГс, показали, что мощность излучения равняется 1,4 ГВт на
частоте C,9 ± 0,4) ГГц.
Математическое моделирование на ЭВМ [49] подтверждает, что
в редитроне основная часть отраженных электронов перехватывается
анодом и генерация СВЧ-излучения происходит за счет колебаний
виртуального катода.
Основное достоинство редитрона — близкое к монохроматическому
генерируемое излучение. При выборе оптимальных величин магнит-
магнитного поля, геометрических размеров, параметров электронного пучка
ширина полосы излучаемых частот редитрона составляла порядка 1 %
при достаточно высокой эффективности [50].
Нелинейная динамика генераторов
на виртуальном катоде
Уже первые экспериментальные и численные исследования гене-
генерации СВЧ-излучения с помощью колебаний виртуального катода по-
показали, что выходное излучение виркатора имеет сплошной спектр
с типичной шириной полосы Aoj/oj ~ 20 -г 50%. В 1985 г. появилась
первая теоретическая работа Говарда Брандта [51], в которой с помо-
помощью численного моделирования исследовалась нелинейная динамика

368
Лекция 6 B1)
25,4 мм
30 мм
1 3 мм
Л МВт/ГГц
25 30 35 40 /, ГГц
не
/, мм
Рис. 6.6. а — схема турбутрона: 1 — цилиндрический катод, 2 — окно вывода
энергии, 3 — аллюминевая фольга, 4 — пролетный электронный пучок, 5 —
цилиндрический анод; б — спектр излучения турбутрона при ускоряющем
напряжении 1MB и диаметре пучка 5,1см; в — распределение плотности
пространственного заряда в зависимости от расстояния от катода и времени
и турбулентность в электронном пучке с виртуальным катодом в такой
модификации виркатора как турбутрон.
Турбутрон (рис. 6.6 а) представляет собой СВЧ-диод с протяжен-
протяженными цилиндрическим катодом со взрывной эмиссией и цилиндриче-
цилиндрическим анодом, которые разделены малым зазором. Такая схема вирка-
виркатора позволяет получать очень большие токи пучка, а следовательно,
и сверхбольшую выходную мощность СВЧ-излучения. Вдоль оси тур-
турбутрона приложено магнитное поле величины 1 Тл. В рабочем режи-
режиме генератора на катод подается импульс ускоряющего напряжения
порядка 1 MB. Формируется пучок, который имеет ток значительно
превышающий предельный вакуумный ток для рассматриваемой гео-
геометрии. Большинство электронов не могут преодололеть потенциаль-
потенциальный барьер виртуального катода и остаются в промежутке катод-
виртуальный катод, создавая слой плотной турбулентной электрон-
электронной плазмы с широким спектром возбуждаемых мод. Для турбутрона
с зазором в 3 мм основная мощность излучения была сосредоточена
в окрестности частоты 35 ГГц (см. рис. 6.6 6). Излучаемая мощность
составляла приблизительно 1 ГВт/ср.
О турбулентном состоянии плазмы свидетельствует не только
сложный спектральный состав излучения, но и вид распределения
плотности пространственного заряда в пространстве взаимодействия

Генераторы на виртуальном катоде 369
(рис. 6.6 в). Оно имеет очень сложный нестационарный во времени
и пространстве вид. Анализ динамики электронов в численном
моделировании показывает, что в зависимости от времени влета
в пространство взаимодействия электроны группируются: правильно-
фазные остаются, неправильнофазные удаляются. Режим ограничения
пространственного заряда не позволяет беспрепятственно влетать
электронам в пространство взаимодействия. Фазировка порождает
электронные сгустки (структуры), сложная динамика которых
приводит к распределениям плотности пространственного заряда,
подобным представленным на рис. 6.6 в.
Дальнейшие исследования сложной нестационарной динамики
электронного потока с виртуальным катодом проводились в двух
направлениях. Во-первых, рассматривалась простейшая одномерная
плоская модель пролетного промежутка со сверхкритическим током,
которая позволяет качественно (а иногда и количественно) проанализи-
проанализировать основные физические явления в пучке с виртуальным катодом.
К достоинствам такой модели относится простота, легкость численного
моделирования, возможность получения аналитических результатов,
общность получаемых результатов. Результаты исследований пролет-
пролетного промежутка со сверхкритическим током представлены в пятой
лекции этого тома и в четвертой лекции первого тома.
Во-вторых, исследуются более реалистичные модели генераторов на
виртуальном катоде. Обычно такие исследования проводятся численно
в рамках электромагнитного или электростатического моделирования
(см. [30, гл. 14], а также работы [36-38]) в двух или даже трех простран-
пространственных измерениях.
Многочисленные исследования нелинейной динамики электронно-
электронного потока со сверхкритическим током выявили и изучили различные
проявления нелинейной динамики электронного потока со сверхкрити-
сверхкритическим током, например, хаотическую динамику виртуального катода
[53-57] или образование и взаимодействие когерентных структур в пуч-
пучке с виртуальным катодом [58-62].
Выясним основные закономерности нелинейной динамики элек-
электронного потока с виртуальным катодом на примере простой и наи-
наиболее общей 1,5D модели, описывающей виркатор в рамках электро-
электромагнитного моделирования. Исследуемая модель представляет собой
замкнутый отрезок цилиндрического волновода длины L и радиуса
R, помещенный в сильное продольное магнитное поле (рис. 6.7). Че-
Через сечение z = 0 (плоскость инжекции) внутрь системы поступает
моноскоростной трубчатый электронный поток со скоростью vo (ре-
(релятивистским фактором 7о)« В предположении фокусировки пучка
сильным продольным магнитным полем рассматривается одномерное
движение потока в направлении оси z.
Хаотическая динамика и процессы образования и взаимодействия
когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим то-
током в такой системе были детально изучены в работах [61,62].
Для описания эволюции электромагнитного поля в цилиндриче-
цилиндрическом пространстве взаимодействия виркатора рассматривается полная
24 Трубецков, Храмов

370
Лекция 6 B1)
Трубчатый
электронный
пучок
Цилиндрическая
рабочая камера
'(отрезок волновода)
Рис. 6.7. Геометрия исследуемой простой модели виркатора на пролетном
нестационарная система уравнений Максвелла, которая с учетом ак-
аксиальной симметрии прибора вырождается в систему для ТМ-волн.
В цилиндрической системе координат она имеет вид [37]
дНв
dt
дЕг
dt
dEz
dt
dEr dEz
dz dr
dHe
= dz '
1 drHe .
r dr -1'
F.15)
где плотность тока благодаря замагниченности электронного пучка
будет иметь одну продольную компоненту: j = @, 0, jz).
Динамика заряженных частиц описывается бесстолкновительным
кинетическим уравнением Власова
dt
dz
dpz
F.16)
где f(t,z,pz) — функция распределения электронов пучка, pz — реля-
релятивистский импульс и vz = рг/тл/1 + р1/т2с2 .
Решение уравнения Власова базируется на методе крупных частиц,
который сводит уравнение F.16) к системе из Р (Р — число крупных
частиц) обыкновенных дифференциальных уравнений вида
^ = (l-vlk)^Ezk,
dt
Ezk= N Ez(r, z)h(\r - rk\,\z - zk\)r dr dz,
F.17)
F.18)
Здесь h — нормированная функция формы крупной частицы [37].

Генераторы на виртуальном катоде
371
-90,0
0,00 0,02 / -229
ДО
-35
-229
АА
А
А
А
I(t+T) 0,0
2048,0
0,00 0,02 / ^367
Рис. 6.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации
колебаний тока пучка из области виртуального катода для различных дина-
динамических режимов: а = 1,4 (а); а = 2,0 (б); а = 4,0 (в). Графики построены
в безразмерных единицах времени (релятивистский фактор электронов на
входе в систему 7 = 2,3)
При фиксированной геометрии пространства взаимодействия
и ускоряющего напряжения электронного пучка основным управ-
управляющим параметром, от которого зависит поведение системы,
является отношение тока пучка / к предельному вакуумному току /о,
обозначаемое здесь через а.
Численное моделирование показало, что с увеличением тока пучка
а наблюдается последовательное усложнение колебаний в электронном
потоке. На рис. 6.8 приведены временные реализации, фурье-спектры
мощности и фазовые портреты колебаний тока пучка в области вирту-
виртуального катода для различных режимов генерации, возникающих по
мере увеличения надкритичности а (увеличения тока пучка /, инжек-
инжектируемого в рабочую камеру виркатора).
При малых значениях а (а < 1,7) в системе устанавливаются регу-
регулярные колебания релаксационного типа (рис. 6.8 а). Спектр мощности
содержит узкие пики, являющиеся кратными гармониками основной
частоты uq « 2,6а;р, где ир — плазменная частота электронного потока.
Фазовый портрет колебаний соответствует однотактному предельному
циклу. С увеличением а происходит разрушение периодических коле-
колебаний, и последовательно с ростом надкритичности появляются два
типа хаотического поведения. В первом случае A,7 < а < 3), как видно
из рис. 6.8 б, хаотическая динамика появляется на базе одного неустой-
24*

372 Лекция 6 B1)
чивого предельного цикла, соответствующего динамике системы в ре-
регулярном режиме при меньшем токе пучка. Во втором случае (а > 3;
рис. 6.8 в) фазовый портрет колебаний более однороден, структура ат-
аттрактора сложна; спектр мощности сильно зашумлен, на нем нет четко
выраженных пиков. Вид спектра и фазового портрета свидетельствует
об увеличении числа степеней свободы, вовлекаемых в колебательное
движение на нелинейной стадии развития неустойчивости Пирса по
мере роста надкритичности а.
Анализ корреляционной размерности г) аттракторов колебаний
электрического поля в области виртуального катода [63,64], свидетель-
свидетельствует о детерминированной природе сложной динамики в виркаторе.
Такой вывод следует из наблюдаемого насыщения размерности аттрак-
аттракторов с ростом размерности пространства вложения т. Такое поведе-
поведение размерности свидетельствует о детерминированности хаотических
колебаний, так как для чисто шумовых колебаний корреляционная
размерность не насыщается с ростом т [65,66].
При небольшом превышении током пучка предельного вакуумного
тока (а < 2,0) размерность насыщается при малых значениях размер-
размерности пространства вложения (т = 3 -г- 4). Для второго хаотического
режима размерность пространства вложения существенно выше: т =
= 7 -г- 9, что соответствует возникновению более сложных колебаний
виртуального катода. Число возбуждаемых степеней свободы п в си-
системе может быть оценено по верхней границе размерности фазового
пространства системы ms: n = ms/2 [67]. Величина ms равна раз-
размерности пространства вложения, при которой происходит насыщение
размерности аттрактора.
Из вышесказанного понятно, что в системе возбуждается только
небольшое число степеней свободы, хотя электронный поток в про-
пространстве дрейфа представляет собой систему с бесконечным числом
степеней свободы. С увеличением тока пучка число степеней свобо-
свободы, вовлекаемых в колебательное движение, растет. Тем не менее оно
остается достаточно малым, что является косвенным свидетельством
г) Напомним, что корреляционная размерность D аттрактора есть функ-
функция масштаба наблюдения е и размерности т фазового пространства:
. ч 1пС(е,га)
Die, т) = hm ——-,
v J е^о lne
где С(г) — число пар точек, расстояние между которыми в фазовом про-
пространстве меньше е (редуцированный корреляционный интеграл), дается
соотношением
М N
^ E Я(?-|хг-х,|).
Здесь М — число точек редукции, N — число точек во временной реализации,
Н — функция Хевисайда, х — вектор состояния в фазовом пространстве
размерности т.

Генераторы на виртуальном катоде
373
100 200 300 400 т
Рис. 6.9. Распределение заряженных частиц по временам жизни в простран-
пространстве взаимодействия для следующих параметров: а — а = 1,4 (сплошная
линия) и а = 2,0 (пунктирная линия) ; б — а = 4,0
возможности описания внутренних движений в потоке с помощью огра-
ограниченного числа структур в системе г).
Сложная динамика электронного потока со сверхкритическим то-
током определяется формированием в пространстве дрейфа нескольких
областей отражения заряженных частиц (нескольких «виртуальных
катодов»), которые связаны между собой через отраженные от них
электроны.
Это иллюстрирует функция распределения Ф(т) электронов по вре-
временам жизни г в пространстве взаимодействия (рис. 6.9). В регулярном
режиме (рис. 6.9 а, сплошная линия) Ф(т) имеет двухгорбый вид. Пло-
Площадь под кривой пропорциональна числу существующих в потоке про-
пролетных и отраженных к плоскости инжекции частиц. Характерные тра-
траектории заряженных частиц в координатах (z,t) и (v, z) с временами
жизни, соответствующими максимумам Ф(т), приведены на рис. 6.10 а.
Видно, что в регулярном режиме в потоке существует единственная
структура — виртуальный катод.
С увеличением а отраженные частицы начинают доминировать
в общем числе инжектируемых частиц (см. рис. 6.9 а, пунктирная ли-
линия); область возможных времен жизни отраженных частиц увеличи-
увеличивается. За счет появления долгоживущих частиц в потоке возникает
внутренняя распределенная обратная связь, обеспечивающая взаимо-
взаимосвязь между основной структурой (виртуальным катодом) и возникаю-
возникающей вторичной структурой, которой соответствует третий максимум
на кривой Ф(т) (отмечен стрелкой на рис. 6.9 а). Однако при неболь-
х) В монографии [70, гл. V] описана динамика исследуемой системы с по-
позиций вейвлетного анализа и выявлены те же основные закономерности
в динамике электронного потока со сверхкритическим током в ограниченном
пространстве дрейфа.

374
Лекция 6 B1)
-1,001
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 z 0 50 100 150 200 t
-1,00!
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 z
0
100 200 300
Рис. 6.10. Характерные зависимости скорости v от координаты z и координа-
координаты z от времени t заряженных частиц для режима регулярных колебаний (а)
и развитого хаоса (б)
шой надкритичности эффективность этой связи мала (общее количе-
количество частиц, отраженных от вторичного виртуального катода, мала)
и движение слабонерегулярно (в фазовом пространстве наблюдается
размытый предельный цикл).
Для развитого хаоса (рис. 6.9 6) характерна сильно изрезанная
форма Ф(т), которая позволяет выделить несколько примерно равных
по количеству групп заряженных частиц с различными временами
жизни. В этом случае процессы в потоке могут быть интерпретирова-
интерпретированы как формирование нескольких виртуальных катодов (нескольких
пространственно-временных структур) на различном расстоянии от
плоскости инжекции (рис. 6.10 5, на котором изображены траектории
заряженных частиц, времена жизни которых соответствуют максиму-
максимумам распределения Ф(т) (отмечены цифрами на рис. 6.9 би рис. 6.10 б)).
Это также подтверждается приведенными на рис. 6.11 распределения-
распределениями плоскостей, в которых наблюдается отражение заряженных частиц,
по продольной координате. Видно, что в случае регулярных движений

Генераторы на виртуальном катоде
375
X II
a 5
0,12
g«0,09
3S
' 0,06 -
si
p
О
о
5 И
c H
g I
I o 0,03
о ¦
Рн
0,00
111I11
-
-
-
-
2
\
...J. .^
i
I
iV
1
1 1 1 1 1 1 1 1 I I I
h
l
I
i
l
i
i
1 3
1 /
V^4 , , ,
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 z
Рис. 6.11. Распределение плоскостей отражения электронов в пространстве
взаимодействия при различных значениях параметра надкритичности (тока
пучка /): 1 — а = 1,4; 2 — а = 2,0; 3 — а = 4,0
(кривая 1 на рис. 6.11) функция распределения имеет ярко выра-
выраженный максимум, соответствующий тому, что в потоке существует
единственная отражающая плоскость (виртуальный катод), которая
четко локализована в пространстве. Рост тока приводит к уширению
функции распределения, причем в режиме слабого хаоса на кривой 2
выделяется два глобальных максимума, соответствующих двум струк-
структурам в потоке, а в режиме развитого хаоса (кривая 3) форма распре-
распределения сильно изрезана, при этом каждый максимум соответствует
своей структуре (виртуальному катоду). Отметим, что максимумы на
кривых покоятся на высоком основании, связанном с тем, что каждый
из формирующихся виртуальных катодов колеблется как во времени,
так и в пространстве, однако наиболее вероятные места локализации
отражающих плоскостей соответствуют именно максимумам распреде-
распределения.
Отражение части потока от каждого виртуального катода оказыва-
оказывает влияние на условия формирования других структур в потоке, что
обеспечивает несколько петель внутренней обратной связи с различ-
различными временами запаздывания. Такая распределенная связь между
всеми структурами в потоке приводит к сильно нерегулярной динамике
системы при большой надкритичности а.
Заметим, что аналогичные результаты демонстрирует и анализ
внутренней структуры электронного потока с помощью декомпозиции
пространственно-временных данных по алгоритму Карунена-Лоэва
[68,69].

376
Лекция 6 B1)
60,00
40,00
20,00 -
3 4 5 6
номер моды,
Рис. 6.12. Распределение энергии по модам Карунена-Лоэва для следующих
параметров: Д — а = 1,4, ? — а = 2,0, о — а = 4,0
Задача выделения мод Карунена-Лоэва сводится к решению инте-
интегрального уравнения вида
I* K(z, z*)V(z*) dz* = АФ(г). F.19)
Ядро уравнения имеет вид
is(~ ~*\ /с(~ 4-\ с(~* -а\\ (а. оп\
i\ [Z, 2^ J = \Ц2^, t)q{Z , t))t , (^O.zUJ
где (. . .)t обозначает усреднение по времени. В качестве функций ?(z, t)
может быть выбран набор пространственно-временных распределений
любой физической величины, приведенный к нулевому среднему. Нами
из соображений удобства в качестве функций ?(z,t) выбраны величины
тока пучка jz(z,t). Собственное значение Ап, соответствующее п-й
моде Фп, пропорционально энергии, заключенной в этой моде 1). Мерой
этой энергии может служить величина
¦100%.
F.21)
На рис. 6.12 приведены величины энергии F.21) первых десяти мод
х) Отметим, что разложение является оптимальным в том смысле, что
собственные функции задачи F.19), F.20) составляют хорошо приспособ-
приспособленный базис, так что среднеквадратичная ошибка е минимизируется: е =
= min(||? — ?^11), где ? — точное решение, ?N — приближенное решение,
а N — размерность базиса.

Генераторы на виртуальном катоде 377
Карунена-Лоэва Wn для различных значений надкритичности. В ре-
регулярном режиме (а = 1,4) порядка 90% энергии потока заключено
в первых двух модах (W\ + W% ~ 90%). С ростом а спектр энергий
мод уширяется, энергия из первой моды постепенно перекачивается
в высшие моды, и при а ~ 4 основная энергия заключена уже в пер-
4
вых четырех модах ( ^ Wn ~ 90%), причем энергии второй, третьей
п=1
и четвертой мод примерно одинаковы. Вместе с тем во всех режимах,
как периодических, так и со сложной динамикой, число мод с энергией
большей, чем 1 % от общей энергии потока, невелико.
Пространственные распределения мод характеризуются сложной
многогорбой формой, причем с ростом номера моды п они усложня-
усложняются, теряя симметричность, свойственную высшей моде. Временная
динамика основных мод с номерами п = 1,2 при малой надкритичности
достаточно регулярна. Можно выделить интервалы времени, когда
на временной реализации наблюдается всплеск амплитуды, связан-
связанный с формированием в потоке виртуального катода и его распадом,
и когда амплитуды мод примерно равны нулю (в потоке отсутствуют
структуры; виртуальный катод «открыт», и в системе имеют место
пролетающие к коллектору электроны). Колебания первой и второй
моды во всех режимах происходят с постоянным сдвигом фаз, откуда
следует [71], что они описывают динамику одной пространственно-
временной структуры. Одновременно поведение мод с номерами п ^
^ 3 демонстрирует сильно нерегулярную динамику их амплитуд во
времени, причем основная частота колебаний этих мод существенно
превышает частоту колебаний высших мод и примерно равна 8,3 ГГц.
Таким образом, электронный поток с виртуальным катодом в огра-
ограниченной трубе дрейфа демонстрирует различные типы нелинейных
колебаний, перестройка между которыми объясняется особенностями
динамики когерентных структур в электронном потоке. При малой
надкритичности (а < 3) в системе устанавливается малоразмерный
хаос. С увеличением а система демонстрирует развитый хаос. В регу-
регулярном режиме в потоке существует только одна структура — вирту-
виртуальный катод, динамика которого описывается двумя высшими модами
Карунена-Лоэва, на которые приходится более 85 % энергии колеба-
колебательного движения. Хаотическая динамика объясняется формирова-
формированием и взаимодействием нескольких когерентных структур в электрон-
электронном потоке с более гладким распределением энергии по модам.
Виркаторы с различными типами управляемой
обратной связи
Потребности практики диктуют необходимость разработки методов
эффективного управления состоянием электронного потока в вирка-
торной системе в целях получения близкого к одночастотному выход-
выходного излучения, либо, наоборот, установления стохастических режимов
генерации со сплошным широким спектром; повышения эффективно-
эффективности преобразования энергии пучка в электромагнитное излучение; воз-

378 Лекция 6 B1)
можность перестройки ширины полосы, характерной частоты и уров-
уровня мощности генерации. Наиболее перспективным методом решения
этих задач является введение в виркаторную систему различных типов
обратной связи [72, 95].
Виркатор с обратной связью был впервые предложен в 1993 г.
в Харьковском физико-техническом институте [72]. В работе [72] при-
приводятся результаты экспериментального исследования двух виркатор-
ных схем с различными типами обратной связи. Первая исследуемая
система представляла собой виркатор на пролетном токе, в которую
была введена внешняя обратная связь путем отвода части мощности
колебаний из пространства взаимодействия (из области виртуально-
виртуального катода) в область ускорения релятивистского электронного пучка
(РЭП) с помощью волноводной линии с фазовращателем. Вторая —
была системой с внутренней распределенной обратной связью, и на ее
рассмотрении остановимся чуть дальше.
Система с внешней обратной связью была названа виртодом. Схема
виртода, представлена на рис. 6.13 а. Электронный пучок со сверхпре-
сверхпредельным током пропускается через волновод в направлении, перпен-
перпендикулярном направлению распространения бегущей волны основной
волноводной моды (для выбранного прямоугольного волновода Ню).
При этом реализовались оптимальные условия возбуждения волновода
осциллирующим объемным зарядом виртуального катода. Жесткая
стабилизация виркатора производилась за счет отвода части мощности
излучения из выходного волновода в область ускорения РЭП с помо-
помощью волноводного тракта. В результате инжектируемый в дрейфовую
область ток РЭП становился промоделированным сигналом с частотой
колебаний виртуального катода. Применение передвижного плунже-
плунжера 8 позволяло изменять фазу /3 управляющего СВЧ-сигнала V(/3),
благодаря чему ускоряющее напряжение в сильноточном диоде имело
модулирующий компонент V = Vo + V(/3).
Особенностью виртода является отсутствие режима накопления
СВЧ-энергии во внешней резонансной системе, связанного с определен-
определенным временем достижения порогового уровня и стабилизацией авто-
автоколебаний виртуального катода. Использование такой «быстрой» вол-
волноводной обратной связи играет важную роль при управлении вирка-
торной системы внешним СВЧ-сигналом, что подробнее обсуждается
в следующем разделе, где рассматривается сверхмощная фазированная
антенная решетка на параллельно работающих виртодах. В работе
[75] показано, что время реакции \ на внешний сигнал генератора,
связанного с резонансным контуром, определяется отношением уровня
управляющего сигнала Рвн к уровню основного Ро:
F.22)
где Q — нагруженная добротность, / — рабочая частота. Поэтому
возможность управления фазой мощных виркаторных систем, генери-
генерирующих излучение ультракороткой длительности импульса —14-10 не,

Генераторы на виртуальном катоде
379
Цепь обратной связи
3,50
0,60 0,70 0,80 0,90 /осц 0,2л; 0,9л: 1,6л 2,3л р5рад
ЛтОЛН
Рис. 6.13. а — схематическое изображение виртода: 1 — катод, 2 — сеточный
анод, 3 — выходной СВЧ-тракт, 4 — диэлектрическая линза, 5 — рупор,
6 — коллектор тока РЭП, 7 — соленоид, 8 — короткозамыкающий поршень,
9 — фазовращатель обратной связи); б — зависимость частоты излучения
виртода от отношения осциллирующего и полного тока РЭП: /ПОЛн = /осц +
+ /Пр, /полн = 8,5 кА, /пр — проходящий ток РЭП; в — зависимость мощности
излучения Р от фазы /3 обратной связи генератора для различных условий
настройки виртода по частоте: 1 — /о = 4,28 ГГц, 2 — /0 = 4,84 ГГц, 3 —
уровень мощности излучения свободными колебаниями виртуального катода
(из работы [72])
связана главным образом с уменьшением добротности электродина-
электродинамической структуры и ее работой в режиме бегущей волны, когда
существует возможность существенно уменьшить величину %.
В экспериментально исследованном виртоде [72] внешняя обратная
связь осуществлялась за счет отвода до 15 % мощности колебаний из
области формирования виртуального катода в область ускорения РЭП.
Виртод возбуждал интенсивные колебания в прямоугольном волноводе
в диапазоне /о = 3 -г- 5 ГГц при инжекции в него РЭП с энергией

380 Лекция 6 B1)
450-г500кэВ и током до 14 кА. Длительность импульса излучения
соответствовала длительности импульса тока РЭП — 40 ± 5 не. Вели-
Величина отношения проходящего и осциллирующего токов РЭП регулиро-
регулировалась путем перемещения заземленного коллектора вдоль оси пучка
(изменения длины системы), что в широких пределах изменяло частоту
генерации (рис. 6.13 6).
Введенное в область ускорения РЭП электромагнитное поле бе-
бегущей СВЧ-волны воздействовало на электронный пучок совместно
с ускоряющим полем вакуумного диода. В результате осуществлялась
модуляция РЭП на частоте генерации виртуального катода. Изменение
фазы управляющей волны позволило за счет интерференции сигналов
в пучке и в области волноводной обратной связи регулировать ам-
амплитуду колебаний генерации виртуального катода и, следовательно,
амплитуду выходного СВЧ-излучения (рис. 6.13 в). При этом частота
генерации не изменялась и затягивание импульса СВЧ-излучения не
наблюдалось — его длительность соответствовала длительности им-
импульса тока РЭП. Уровень мощности излучения при настройке на мак-
максимум генерации увеличился по сравнению с уровнем свободных коле-
колебаний виртуального катода на 5 дБ. Изменение фазы сигнала обратной
связи позволило регулировать мощность токовых осцилляции и со-
соответственно виркаторного излучения в пределах 8дБ. Коэффициент
полезного действия виртода менялся в пределах 0,03 -г- 0,17, а макси-
максимальная мощность генерации достигала 600 МВт.
В работах [76,77] в рамках теоретической модели F.15)—F.17) бы-
было исследовано влияние внешней запаздывающей обратной связи на
характеристики генерации виртода. Введение внешней обратной связи
в исследуемую систему проводилось за счет отвода части мощности
колебаний из пространства взаимодействия в область ускорения РЭП
с помощью волноводной линии задержки. Обратная связь характе-
характеризовалась временем задержки сигнала г и приводила к изменению
скорости электронного потока на входе в пространство взаимодействия.
Глубина модуляции потока сигналом обратной связи не превышала
15 ^ 20%.
На рис. 6.14 представлена зависимость генерируемой мощности в ис-
исследуемой системе от времени задержки т. Горизонтальная линия на
рисунке соответствует уровню мощности в системе без обратной связи
при том же токе а (ток пучка был выбран равным а = 2,0, что соот-
соответствует максимальной эффективности генерации в системе). Видно,
что при оптимальном г мощность возрастает более чем в 1,5 раза.
Теоретическая зависимость качественно согласуется с результатами
натурного эксперимента (ср. с рис. 6.13 в).
Изменение времени задержки г при фиксированном токе приводит
также к перестройке частоты генерации системы (рис. 6.14 6). Этот
эффект в работе [77] был проиллюстрирован на простейшей феномено-
феноменологической модели, основанной на уравнении типа уравнения Ван-дер-
Поля. Стабилизация виркатора собственным сигналом, воздействую-
воздействующим на виртуальный катод после прохождения линии задержки с вре-

Генераторы на виртуальном катоде
381
0,00 0,20 0,40 0,50 0,80 0,00 0,20 0,40 0,50 0,80
a t, не g t, не
Рис. 6.14. Теоретические зависимости мощности (а) (горизонтальная линия —
уровень мощности свободных колебаний виртуального катода) и характерной
частоты генерации виртода (б) от времени запаздывания обратной связи
менем запаздывания т, может быть описана уравнением вида
A Е _ / 11/гл \ till/ о ^Ш(Л / / чч / ч
- 25 [ 1 - -^Р- ) -г- + uolE = —^-ME(ujo(t - г)), F.23)
где ?7 — амплитуда поля в системе, ?Vl — величина нелинейного
ограничения амплитуды поля, S — инкремент колебаний, ооо и Q — со-
соответственно холодная резонансная частота и добротность резонансной
системы, М — коэффициент ослабления в цепи обратной связи.
Для решения уравнения F.23) полагаем, что Е имеет вид Е =
= Eo(t) cos (uot — 4>(t)). Здесь Eq и ф медленно меняющиеся функции.
Применяя метод усреднения Ван-дер-Поля, можно показать, что дина-
динамика фазы в первом приближении описывается уравнением
dt
F.24)
решение которого ф(г) = [Ми® sin /3/Q] t + фо. Тогда зависимость Е от
времени будет иметь вид: E(t) = Ео cos (ио [1 + М sin /3/Q] t - ф0).
Изменяя задержку /3, можно добиться перестройки частоты генера-
генерации прибора, причем максимальный сдвиг частоты записывается как
До; М
F.25)
Видно, что чем меньше коэффициент М и чем больше добротность Q,
тем меньше сдвиг частоты. Оценка сдвига частоты по формуле F.25)
согласуется по порядку величины с экспериментальными и численными
результатами [73].

382
Лекция 6 B1)
Рис. 6.15. Схема комбинированной системы виркатор—лампа обратной вол-
волны. Здесь 1 — катод, 2 — сеточный анод, 3 — выходной СВЧ-тракт, 4 —
короткозамыкающий поршень, 5 — виртуальный катод, 6 — периодическая
замедляющая структура, 7 — коллектор-поглотитель, 8 — соленоид, 9 —
выходной рупор, 10 — диэлектрическая линза (из работы [72])
В экспериментальной работе [72] была также предложена связанная
система виркатор-лампа обратной волны, в которой реализуется рас-
распределенная внутренняя обратная связь. Исследуемая система пред-
представляет собой виртод, дрейфовая область тока РЭП которого была
усложнена введением в нее различных периодических замедляющих
структур (диафрагмированный или гофрированный волноводы). Осо-
Особенностью режима работы замедляющей структуры являлось исполь-
использование взаимодействия пучка с отрицательными пространственными
гармониками, фазовая скорость которых совпадала с направлением
движения электронного пучка, а поток мощности направлен навстре-
навстречу пучку. Благодаря этому максимальная амплитуда СВЧ-волны со-
создавалась на входе периодической структуры, примыкающем к обла-
области формирования виртуального катода. Это создало комбинирован-
комбинированную систему двух сильно связанных генераторов — виртода и лампы
обратной волны (рис. 6.15) При этом поле замедляющей структуры
модулировало электронный поток с частотой, соответствующей рабо-
рабочей частоте ЛОВ. В системе виртод-ЛОВ создавались условия для
выделения в спектре волн плотности пространственного заряда, воз-
возбуждаемых в пучке колебаниями виртуального катода [74], колебаний
с продольной составляющей волнового вектора &ц = 2тгп/Ь, где L —
пространственный период замедляющей структуры, п = 1,2, ... По-
Последнее можно трактовать как модовую селекцию электронных коле-
колебаний, поддерживаемых электронным пучком с виртуальным катодом
в виртоде.
В экспериментах рабочая область частот /с ЛОВ выбиралась такой,
чтобы она либо совпадала, либо отличалась от базовой частоты /вк
собственных колебаний виртода. При этом рабочая полоса ЛОВ была

Генераторы на виртуальном катоде 383
достаточно узкой (А/ <С /вк,/с)- Коэффициент связи электронного
пучка с периодической структурой регулировался изменением зазора
между пучком и внутренним диаметром структуры dc.
Связанная система виртод-ЛОВ демонстрировала в эксперимен-
эксперименте три характерных режима работы, возникновение которых опреде-
определялось расстоянием между виртодом и ЛОВ, коэффициентом связи
электронного пучка с замедляющей структурой, коэффициентом по-
положительной обратной связи как по полю, так и по пучку, а также
амплитудой СВЧ-волны, выводимой из ЛОВ.
Результаты экспериментального исследования приведены
в табл. 6.3.
В автономном режиме (виртод без ЛОВ, эксперимент 1 в табл. 6.3)
спектр излучения системы был многочастотным, основная энергия
в спектре приходилась на частоты 4,3 ГГц и 8,0 -г- 10,0 ГГц.
При обеспечении достаточно «сильной» связи между частями ком-
комбинированной системы генерация осуществлялась в области рабочей
частоты ЛОВ (эксперименты 2 и 6 в табл. 6.3). В спектре волн плот-
плотности заряда виртода выделялись только колебания с частотой /с.
Это дает основание предполагать, что за время достижения порогового
уровня автогенерации виртода успевает произойти достаточно глубо-
глубокая модуляция тока РЭП сигналом ЛОВ.
При «средней» связи в эксперименте был заложен режим близких
частот, т. е. рабочая область частот ЛОВ совпадала с собственной ча-
частотой генерации виртода (эксперимент 4 в табл. 6.3). В этом случае
мощность микроволнового излучения была максимальной и достигала
500 МВт при оптимальной напряженности внешнего магнитного поля
Н = 2,ЗкЭ.
При «слабой» связи между частями комбинированной электроди-
электродинамической структуры генерация осуществлялась как на частоте /вк
виртода, так и на частоте /с ЛОВ (эксперименты 3 и 5 в табл. 6.3).
В системе происходило независимое возбуждение двух генераторов —
виртода и ЛОВ; выходная мощность была мала.
Как показало экспериментальное исследование, различный харак-
характер спектров излучения прибора определялся особенностями взаимо-
взаимодействия пучковой системы (включающей как пролетные, так и осцил-
осциллирующие электроны) с электромагнитными полями, возбуждаемыми
виртуальным катодом, а также введением внешнего поля, генерируе-
генерируемого лампой обратной волны (формированием цепи внутренней рас-
распределенной обратной связи). Заметим также, что выходная мощность
была максимальна при близких к одночастотным режимам генерации
(см. эксперименты 2 и 4 в табл. 6.3).
Важным результатом экспериментальных исследований связанной
системы «виртод — лампа обратной волны» явилось достижение эф-
эффекта сверхширокой перестройки виртода по частоте. Так при исполь-
использовании гладкостенного волновода в качестве дрейфовой зоны РЭП
перестройка по частоте генерации при пучковой модовой селекции за
счет перемещения коллектора производилась в диапазоне 4,0 -г 5,5 ГГц
(см. рис. 6.13 б). В случае использования возбуждения проходящего то-

384
Лекция 6 B1)
Таблица 6.3
Результаты экспериментальных исследований
виртода — ЛОВ (из работы [72])
1
2
3
4
5
6
Тип
структуры
Виртод без ЛОВ
(/полн = 4 К А)
Виртод-ЛОВ
(/с = 4,0 ГГц)
Виртод-ЛОВ
(/с = 4,5 ГГц)
Виртод-ЛОВ
(/с= 4,28 ГГц)
Виртод-ЛОВ
(/с = 9,4 ГГц)
Виртод-ЛОВ
(/с = 9,4 ГГц)
Р/Ртах
0,8^-0,9
-1,0
0,5-^0,7
-1,0
-0,6
-0,8
Спектральная
характе-
характеристика Р = Р(/)
i Доты.ед.
1
4,3 8,0 10,0
i, Доты.ед.
Г
4,0
ьДоты.ед.
/вк /;.
1
4,5 750 9,0
i, Д отн. ед.
/с =/вК
/,ГГц
4,3
ьР,отн.ед.
/вк /с
= л„
4,3 7,0 чл
и Дотн.ед.
1.
9,4
Особенности рабо-
работы (б^ — диаметр
коллектора)
Режим
многочастотный,
dk = 15 мм
Режим
одночастотный,
dk = 15 мм! сильная
dc = 18mmJ связь
Режим
многочастотный,
dk = 15 мм! слабая
dc = 30mmJ связь
Режим близких
частот,
dk = 15 мм! средняя
dc = 25 мм Г связь
Режим
многочастотный,
dk = 15 мм! слабая
dc = 38mmJ связь
Режим
одночастотный,
dk = 25 мм! сильная
dc = 38mmJ связь

Генераторы на виртуальном катоде 385
ка пучка с помощью различных периодических замедляющих структур
достигнута генерация в диапазоне 3,5 -г- 10,0 ГГц, что в верхней области
частот существенно превышает собственную частоту автогенератора
(см. таблицу).
В работах [78,79] был проведен анализ связанной системы «виртод-
ЛОВ» с помощью численного моделирования в рамках одномерной
электростатической модели с использованием метода «частиц в ячей-
ячейке» и нестационарной теории возбуждения волновода. Была показана
возможность использования внутренней распределенной обратной свя-
связи для управления сложной нестационарной динамикой виртуального
катода в виртоде. Так в работе [78] показана возможность получения
моночастотных режимов колебаний при близости частоты колебаний
виртуального катода или ее субгармоники к частоте генерации лампы
обратной волны. Ширина полосы и спектральный состав генерации
виркатора сильно зависят от параметров ЛОВ, в первую очередь длины
системы и сопротивления связи электронного пучка с волноведущей
структурой (гофрированным волноводом). Эта зависимость определя-
определяется внутренней обратной связью, осуществляемой путем воздействия
выходного сигнала лампы обратной волны непосредственно на колеба-
колебания виртуального катода. Одновременно взаимодействующий с обрат-
обратной волной пролетный пучок после прохождения области виртуального
катода сложно модулирован как по скорости, так и по плотности, что
приводит к установлению сложных хаотических режимов генерации
в карсинотроне [80]. Воздействие на колеблющийся виртуальный ка-
катод хаотического сигнала ЛОВ способствует установлению развитой
шумовой генерации в системе с внутренней распределенной обратной
связью.
Другим примером виркатора с внутренней обратной связью явля-
является генератор на виртуальном катоде с высокодобротным входным
резонатором — виркатор-клистрон, предложенный и исследованный
в работах группы К. Ятсуи [81,82].
Отличительной особенностью данного прибора, одна из схем кото-
которого представлена на рис. 6.16 а, является наличие входного высоко-
высокодобротного резонатора, настроенного на частоту, близкую к частоте
колебаний виртуального катода. В этом случае отраженный от вирту-
виртуального катода пучок возбуждает в резонаторе интенсивные колеба-
колебания, что приводит к модуляции входящего в область дрейфа потока на
частоте колебаний виртуального катода. Виркатор-клистрон является
виркатором с внутренней обратной связью, так как на возбуждение
входного резонатора оказывает сильное влияние отраженный от вир-
виртуального катода электронный поток. Последнее может быть интер-
интерпретировано как петля обратной связи с очень коротким временем
задержки т (порядка времени пролета электрона от анода к области
минимума потенциала (виртуальному катоду)). Вывод энергии в вир-
каторе-клистроне может быть осуществлен любым из традиционных
способов, применяемых в сильноточных генераторах. На рис. 6.16 а
вывод энергии оформлен в виде коаксиального вывода, переходящего
в рупорную антенну.
25 Трубецков, Храмов

386
Лекция 6 B1)
1,5 2,0 0,0 3,0 6,0
/До в AE/Eq (%)
Рис. 6.16. а — схема виркатора-клистрона (из [82]). Здесь 1 — секция форми-
формирования пучка; 2 — входной резонатор; 3— коаксиальный вывод энергии; 4 —
коллектор; 5 — рупорная антенна; 6— рабочая камера; 7 — электронный пу-
пучок, б— зависимость частоты генерации как функция тока РЭП (/о = 6,0 кА)
без входного резонатора (линия 1) и с резонатором (/о = 10,0 к А) (линия 2).
в — КПД генерации как функция разброса электронов инжектируемого
РЭП по начальным энергиям АЕ = 0 без входного резонатора (линия 1)
и с резонатором (линия 2), величина щ соответствует КПД генерации при
АЕ = 0 (из работы [81])
Теоретический анализ и численное моделирование виркатора-кли-
строна показали, что использование входного резонатора позволяет
существенно поднять эффективность преобразования энергии пучка
в электромагнитное излучение (численный эксперимент показал уве-
увеличение примерно на порядок: в работе [81] КПД с входным резона-
резонатором составлял 12,5% против 2,1% без резонатора). Одновременно
использование входного резонатора приводит к установлению близкой
к одночастотной генерации, а также дает возможность снизить влияние
начального разброса электронного потока по скоростям [81,82].
На рис. 6.16 ? показана частота генерации как функция тока пучка.
В системе без входного резонатора частота генерации растет с ростом
тока пучка (с ростом плазменной частотой ир электронного потока),
как это и следует из теории (см. формулу E.60)). При включении на
входе пространства дрейфа добротного входного резонатора, настроен-
настроенного на частоту колебаний виртуального катода /о ~ /вк = 8,65 ГГц,
частота генерации, как видно из рис. 6.16 б, стабилизируется на уровне

Генераторы на виртуальном катоде 387
резонансной частоты /о входного резонатора при изменении тока пучка
от 10 до 20 кА.
Слабое влияние на эффективность генерации величины начального
разброса электронов по энергиям АЕ / Eq, где Eq = 0,3 МэВ — энергия
ускорения РЭП, иллюстрирует рис. 6.16 в, на котором представлены
КПД генерации виркатора и виркатора-клистрона при увеличении
энергетического разброса. Как видно из рисунка, при использовании
резонатора КПД (а следовательно, и мощность генерации) не снижа-
снижается при введении энергетического разброса электронов до величин
порядка 6%. Однако при отсутствии входного резонатора г\ « 0 уже
при разбросе АЕ/Е0 > 2%.
Для решения вопроса управления спектральными и энергетиче-
энергетическими характеристиками в виркаторе-клистроне в работах [83-85] бы-
была рассмотрена новая конфигурация виркатора — виркатор-клистрон
с внешней запаздывающей обратной связью. В них рассматривалась
система, в которой часть мощности электромагнитного поля из выход-
выходного тракта по линии задержки подается в область ускорения РЭП,
осуществляя предварительную скоростную модуляцию потока, посту-
поступающего во входной резонатор.
Виркатор-клистрон с внешней обратной связью является системой,
в которой реализуется обратная связь с двумя временами задержки:
т < Хвк (связана с отражением электронного потока от виртуального
катода во входной узкий резонатор; Твк — период колебаний вирту-
виртуального катода) и г (длительность задержки внешней обратной связи,
которая может быть в принципе любой).
Кроме реализации в виркаторе-клистроне генерации, близкой к од-
ночастотной, в нем возможны режимы хаотических автоколебаний
с широким спектром генерации. Этого можно добиться за счет сильной
отстройки входного резонатора от собственной частоты /вк колебаний
виртуального катода. В подобной схеме введение внешней обратной
связи позволяет оптимизировать КПД и спектральный состав шумовой
генерации виртуального катода.
В работе [83] была дана аналитическая оценка КПД виркатора-кли-
виркатора-клистрона с внешней обратной связью с временем запаздывания т. Рас-
Рассматривалась модель, в которой на входе в пространство взаимодей-
взаимодействия размещается высокодобротный резонатор, где происходила моду-
модуляция электронов по скорости, и секция, в которой осуществляется мо-
модуляция потока сигналом, снимаемым из пространства взаимодействия
и подаваемым в резонатор с временной задержкой г (цепь обратной
связи). Группировка и взаимодействие электронов с электрическим
ВЧ-полем происходят в тормозящем поле между входным резонатором
и виртуальным катодом. При этом полагается, что виртуальный катод
как целое не совершает колебания и находится на расстоянии D от
входного резонатора. Тогда его действие эквивалентно воздействию по-
поля, создаваемого дополнительным электродом, расположенным в про-
пространстве взаимодействия на расстоянии D от входного резонатора
и имеющим постоянный потенциал относительно резонатора |Vo| =
25*

388 Лекция 6 B1)
= Vq/2tj. Для простоты выкладок и получения в результате аналити-
аналитического выражения для КПД пренебрегается релятивистскими эффек-
эффектами движения потока.
Будем предполагать, что: 1) амплитуда колебаний электрического
поля ВЧ в пространстве взаимодействия E(t) мала по сравнению с тор-
тормозящим полем Vb; 2) модуляция электронного потока, поступающего
в область виртуального катода, определяется только колебаниями элек-
электрического поля во входном резонаторе и сигналом обратной связи,
причем предполагается, что модуляция сигналом обратной связи не
влияет на возбуждение резонатора г); 3) влиянием поля в рабочей
камере прибора на колебания в резонаторе при небольших зазорах
пролетного канала электронного пучка из резонатора в камеру дрейфа
можно пренебречь 2).
Найдем закон модуляции по скорости на входе в пространство взаи-
взаимодействия с высокочастотным и тормозящим полем. Между сетками
резонатора действует переменное напряжение V\ sin (uit). Предполо-
Предположим, что ВЧ-поле в пространстве взаимодействия имеет вид
E(t) = U(t)/D = V3 sin (ut)/D. F.26)
Сигнал mU(t) (m — коэффицент ослабления в цепи обратной связи),
воздействуя на поток с задержкой т, также приводит к модуляции
потока. Тогда для нахождения закона модуляции необходимо проин-
проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего
зазора, которое можно записать как
х = -Vx [sin (ut) + a sin (ut + /3I . F.27)
а
где /3 = 2тгт/ТЬ, 7q = 2тг/а;, d — размер модуляционного зазора, а —
отношение глубины модуляции потока сигналом обратной связи к глу-
глубине модуляции потока во входном резонаторе (а < 1).
Интегрируя уравнение F.27) при начальных условиях ut = wti, x =
= ^о, х = 0 получаем
их ? fsin(<z?/2) г
= | { Щ-±
v0 2 { (fo/2 L
2,
F.28)
2
+a cos (cjti + /3 + — ) I + — [cos (uti) + a cos (o;ti + /3)] > . F.29)
г) Последнее выполняется в случае узких зазоров модулятора и входного
резонатора.
2) Как будет видно из дальнейшего, провисание поля из резонатора в про-
пространство взаимодействия может быть учтено феноменологически с помо-
помощью соответствующей замены параметра эффективности модуляции М.

Генераторы на виртуальном катоде 389
Здесь ? = Vi/Vo, </?о = ud/vo — невозмущенный угол пролета в моду-
модуляционном зазоре. При малых ? выражение F.28) упрощается, и полу-
получаем закон модуляции потока в виде
' h+P + ^)]\, F-30)
где М = sin (ipo/2) / (ipo/2) — параметр эффективности модуляции во
входной секции.
Рассмотрим теперь движение потока в пространстве взаимодей-
взаимодействия с тормозящим полем (см., например, [30, лекция 2]). Угол пролета
в пространстве группирования имеет вид
^ F.31)
где t' — момент влета электрона в пространство взаимодействия из
резонатора. Невозмущенный угол пролета электронов запишется как
/
/
Заменим реальный входной модулятор шириной d бесконечно тон-
тонким эквивалентным зазором, который электрон пролетает в момент
времени t\. Тогда соотношение F.30) перепишется в виде
v = v0 <1 + ^— [sin (w*i) + a sin (w*i + /3)] i . F.32)
Подставляя (9.38) в выражение F.31), и учитывая, что d <$C D, для
угла пролета электрона в пространстве взаимодействия найдем
в = в0 + X0[sin(a;?i) + asin(ut1 +/?)], F.33)
Хо = ±?М0о. F.34)
Из закона сохранения заряда г = /о —гг легко получить выраже-
выражение для сгруппированного в поле виртуального катода тока:
% = /0 /A + X0[cos(a;^i) + a cos(a;?i + /3)]) . F.35)
При этом амплитуда первой гармоники сгруппированного тока имеет
вид
%х = 2I0Ji(X0)[cos (ut -во) + а cos (ut + ft - в0)], F.36)
где J\ — функция Бесселя 1-го порядка.
Для анализа стационарного режима работы генератора запишем за-
закон сохранения энергии (баланс активных мощностей) в пространстве
взаимодействия:
2тг /ujD
pnk = ~^ I jii{t)E{t)dtdx = -Pea. F.37)
о о

390 Лекция 6 B1)
Здесь E(t) дается выражением F.26), Pnk = Рп + Рк ~ активная мощ-
мощность, выделяющаяся в нагрузке (Рп) и потери внутри резонатора (Рк)-
Используя F.26) и F.36) и интегрируя (9.40), находим, что
Рпк = I0VoCJi(Xo)Msine0[l + acosl3 + asinl3ctgeo\, F.38)
дГ з/К)
Предположим, что невозмущенный угол пролета электронов в от-
отражающем поле виртуального катода близок к оптимальному, т. е. во ~
« (#о)опт = 2тг (п — 1/4) , п = 1, 2, . . . Тогда последним слагаемым
в квадратных скобках в соотношении F.38) пренебрегаем, и для вели-
величины Pnk получаем выражение вида
Рпк = 10УоСЫХ0)Мсо8Ф[1 + асо8 13], F.39)
где Ф = в0 - 2тг (п - 1/4) , п = 1, 2, ...
Уже из этого выражения видно, что длительность задержки обрат-
обратной связи оказывает сильное влияние на мощность взаимодействия
электронного потока с электромагнитным полем в рабочей камере при-
прибора. Преобразуем выражение F.39) к удобному для анализа виду.
Представим резонатор, в котором формируется виртуальный катод,
эквивалентной схемой, что предполагает наличие только одной резо-
резонансной частоты а/ = 1/VLC (L и С — соответственно индуктивность
и емкость эквивалентного резонанасного контура). Соотношение F.39)
представляет собой уравнение стационарных колебаний генератора,
которое может быть записано в виде [30, лекция 2]:
gnk+ge =0, F.40)
где gnk = gn + gk = 2Pnk/Vi — суммарная активная проводимость
резонатора и нагрузки; ge = 2Pea/V^ — активная электронная прово-
проводимость. Учитывая определение Xq и вид выражения F.39), получаем,
что
F.41)
Хо /о М2в0 cos Ф [1 + a cos /3]'
Тогда, вводя Xq = ?*/?,Xq = ?*Мво/2 — эффективный параметр груп-
группирования, окончательно с учетом выражения F.39) находим элек-
электронный КПД виркатора-клистрона с внешней обратной связью в виде
= ^ = 2^Л(Х0)со8Ф qs
При а = 0 из формулы F.42) получаем выражение для КПД вир-
виркатора-клистрона без обратной связи. Оценка величины КПД с по-
помощью выражения F.42) с параметрами, соответствующими исследу-
исследуемой модели, и vo/c = 0,5 дает величину r\ ~ 0,05. Малое значение
полученного КПД виркатора вполне понятно, так как рассматривается
система, в которой группировка и взаимодействие происходят в од-
одном ВЧ-поле — пространстве группировки с отражательным полем,
и мощность взаимодействия пропорциональна величине (?*J, которая

Генераторы на виртуальном катоде 391
в рамках сделанных предположений мала. Расчет электронного КПД
по формуле F.42) дает качественно такую же картину, как и результаты
численного эксперимента: максимальный КПД достигается при г = О
или То; минимальный — при г = 0,5Tq.
В работах [83, 84] было проведено численное моделирование фи-
физических процессов в виркаторе-клистроне с внешней запаздывающей
обратной связью в рамках электромагнитного моделирования.
Рассматриваемая в работах [83,84] модель представляла собой отре-
отрезок цилиндрического волновода, полого при 0 < z < / и коаксиального
при I < z < L. Область коаксиального волновода была заполнена од-
однородной проводящей средой с проводимостью а, что моделировало
коаксиальный вывод энергии. Длина поглощающей области и величина
а подбирались такими, чтобы обеспечить коэффициент отражения по
мощности, не превышающий 10%. Радиус рабочей камеры R = 3,0 см;
длина L = 16,0 см; / = 10 см. Внутрь рабочей камеры через входной
узкий коаксиальный резонатор инжектироваля моноскоростной акси-
аксиально-симметричный трубчатый пучок с током / и энергией 560 кэВ.
Радиус пучка гь = 2 см. Ток пучка превышал критическое значение для
данной геометрии, поэтому в электронном пучке в пространстве дрей-
дрейфа формировался виртуальный катод. На входе пространства взаимо-
взаимодействия располагалась секция, в которой электронный пучок модули-
модулировался по скорости сигналом обратной связи, и входной коаксиальный
резонатор, настроенный на частоту /о, примерно равную частоте сво-
свободных колебаний виртуального катода (она составляла величину по-
порядка 8 ГГц). Отраженный от виртуального катода поток пронизывал
резонатор и оседал на входной сетке, не участвуя в колебаниях пото-
потока в промежутке катод-виртуальный катод («редитронная» модель).
Сигнал из коаксиального выходного волновода через цепь внешней
обратной связи с длительностью задержки г поступает во входной мо-
модулятор. Вдоль оси системы было приложено сильное магнитное поле,
и движение электронов можно было рассматривать как одномерное.
Поток моделировался совокупностью нескольких заряженных колец
различного радиуса, что позволяло учесть распределение плотности
тока пучка в поперечном сечении волновода.
Полученные в результате численного моделирования виркато-
ра-клистрона с внешней запаздывающей обратной связью зависимости
КПД от времени задержки обратной связи приведены на рис. 6.17. На
том же рисунке представлены зависимости КПД виркатора-клистрона,
рассчитанные по формуле F.42). Можно отметить достаточно
хорошее совпадение результатов аналитической теории и численного
эксперимента. При больших токах пучка (/ ^ 7 кА), когда величина
коэффициента обратной связи а < 0,5, эти результаты совпадают
лучше, чем при меньших токах. Из рисунка также видно, что
с увеличением тока пучка КПД генератора падает. Такое поведение
КПД является характерным для генератора на виртуальном катоде
[86, 87]. Изменение задержки обратной связи позволяет изменять
КПД в широких пределах, причем максимальная эффективность
преобразования энергии пучка в электромагнитное поле, как показало

392
Лекция 6 B1)
0,00
Рис. 6.17. Зависимость электронного КПД виркатора-клистрона от времени
запаздывания в цепи внешней обратной связи для различных токов пучка
(численное моделирование (точки) и расчет по формуле F.42) (штриховые
и сплошные линии)): Л (линия 1) — 6,3 кА, П (линия 2) — 6,9 кА, О
(линия 3) — 7,5 кА
численное моделирование, достигается при г ~ 0 или То. Минимальный
КПД имеет место при г « 0,5Tq. Это связано с тем, что в этом случае
модуляция потока сигналом внешней обратной связи и полем входного
резонатора происходит в противофазе.
В работе [84] было проведено исследование характерных режимов
генерации в виркаторе-клистроне при изменении параметров внешней
обратной связи и тока пучка. Численный анализ показал, что при
изменении тока пучка в пределах 5 -г 10 кА и времени задержки г от
0 до То, где То = 1//о (/о — «холодная» резонансная частота входного
резонатора), в виркаторе наблюдались различные режимы колебаний,
границы которых на плоскости (/, г) представлены на рис. 6.18.
Можно выделить три характерных режима генерации.
При значениях /иг, соответствующих области А на карте режимов,
наблюдаются колебания, близкие к одночастотным, когда в спектре
имеет место одна основная спектральная компонента. Характерный
для этого режима спектр мощности, построенный по колебаниям элек-
электрического поля в выходном коаксиальном волноводе, представлен на
рис. 6.19 а, рассчитанный для / = 6,3 кА, t/Tq = 1,0. В спектре мощ-
мощности можно выделить основную частоту, кроме этого слабо выражена
вторая основная частота, находящаяся в иррациональном соотношении
с первой. Уровень основной спектральной компоненты превышает уро-
уровень второй частоты более чем на 20 дБ. Остальные высокочастотные
составляющие представляют собой гармоники и комбинационные со-
составляющие двух основных частот. В спектре присутствует слабоизре-
слабоизрезанный шумовой пьедестал на уровне порядка 40 дБ в области 10 ГГц,
который быстро спадает с ростом частоты.
Между режимами А и Б наблюдается количественное различие.
Переход к режиму Б приводит к росту второй спектральной компонен-

Генераторы на виртуальном катоде
393
5,70 6,55
кА
Рис. 6.18. Характерные режимы генерации виркатора-клистрона с внешней
обратной связью плоскости параметров (/, г) на области с различными
динамическими режимами
ты — ее мощность в спектре увеличивается до —15 дБ. Одновременно
имеет место увеличение мощности шумового пьедестала в спектре ко-
колебаний.
В режиме В (рис. 6.19 5, построенный при / = 6,3 кА, и г/То =
= 0,25) наблюдается существенное усложнение колебаний. В спектре на
фоне выросшего шумового основания наблюдаются две спектральные
компоненты с несоизмеримыми частотами, причем их спектральная
мощность приблизительно одинакова.
Для выяснения причин появления в спектре генерации второй неза-
независимой частоты исследовались функции распределения Ф(Т/) заря-
заряженных частиц по временам жизни Т/ в пространстве дрейфа. На
-60
0,0 15,0 /, GHz
ДДдБ E(t)
Е(х+Т) 0,0
E(t)
/GHz
E(x+T) 0,0
2,0
Рис. 6.19. Характеристики колебаний выходного поля виркатора—клистрона
с внешней обратной связью для режима слабохаотической (а) и развитой
хаотической (б) генерации

394
Лекция 6 B1)
Ф(т)
300
200
100
j
к
200 400 600 800
б 0 200 400 600 800
Рис. 6.20. Функция распределения по временам жизни электронов для режи-
режима Л (а) и В (б), построенные для среднего слоя электронного пучка
рис. 6.20 представлены соответствующие зависимости для режима А
(рис. 6.20 а, / = 6,9 кА, т/Т0 = 1,0) и режима В (рис. 6.20 6, / =
= 6,9кА, т/ТЬ = 0,25). Для режима Л, близкого к одночастотному,
распределение Ф(Т/) в области времен жизни Т\ Е @, 400), соответству-
соответствующих отраженным от виртуального катода электронам, имеет один
глобальный максимум (рис. 6.20 а). Это соответствует существованию
в потоке только одной пространственной структуры (виртуального ка-
катода), соответственно в спектре генерации наблюдается одна основная
спектральная компонента, соответствующая периоду его колебаний как
единого целого. В отличие от этого, для режима В (рис. 6.20 б) функция
распределения в рассматриваемой области малых Т/ имеет два четко
наблюдаемых максимума. Появление на функции распределения двух
выделенных пиков (один из которых (отмечен на рисунке стрелкой)
хорошо сформирован и его расположение на оси абсцисс совпадает
с предыдущим случаем; другой — сильно расплывшийся, располага-
располагающийся правее по оси абсцисс — характерен только для данного ре-
режима) свидетельствует о формировании в потоке двух электронных
структур, отражающих заряженные частицы. Характерные времена
жизни частиц, принадлежащих каждой из этих структур, находятся
в том же соотношении, что и основные частоты в спектре мощности.
При временах задержки, соответствующих режиму В (г ~ 0,257q, a,
следовательно, г ~ (Те), где (Те) — среднее время пролета электрона,
отраженного от виртуального катода) максимальная модуляция пото-
потока по скорости приходится на моменты времени, когда виртуальный

Генераторы на виртуальном катоде
395
6,00
4,00
2,00
0,00
-
_
* А
а
А
А
D
_
-
D i
-
¦ I 1 1 1
0,00
200,00 400,00 т,пс
Рис. 6.21. Зависимость электронного КПД виркатора-клистрона с сильно
расстроенным входным резонатором от времени запаздывания для различ-
различных токов пучка: Л — 6,3 кА, ? — 8,1 кА. КПД генератора с сильно расстроен-
расстроенным входным резонатором, но без обратной связи при токе пучка / = 6,3 к А
равен 3,7%; при / = 8,1 кА равен 2,2%
катод в потоке «открывается», и плотность пространственного заряда
р в области, примыкающей к плоскости инжекции, минимальна. В этом
случае в результате модуляции потока сигналом обратной связи, ампли-
амплитуда которого велика, благодаря группировке электронов наблюдается
образование дополнительных структур, рост которых слабо демпфиру-
демпфируется пространственным зарядом, так как р мало. В результате в пучке
наблюдается формирование плотных сгустков (дополнительных элек-
электронных структур), заряда которых достаточно для отражения от них
части электронного потока. Последнее приводит к росту неустойчи-
неустойчивости движения потока, и колебания становятся сильно хаотически-
хаотическими. Отметим также, что и в случае т ~ ТЬ в области малых времен
жизни на графике виден, наряду с глобальным максимумом, неболь-
небольшой локальный максимум в области больших времен жизни. Именно
с динамикой частиц, имеющих времена жизни, соответствующие этому
локальному максимуму, связано появление в спектре мощности вто-
второй независимой низкочастотной спектральной составляющей. Данный
временной масштаб динамики потока слабо выражен как на функции
распределения, так и в спектре мощности колебаний. Вместе с тем,
с уменьшением времени г образование и влияние вторичных структур
на динамику потока растет, одновременно увеличивается и интенсив-
интенсивность соответствующей спектральной компоненты.
При сильной расстройке резонансной частоты входного резонатора
от частоты колебаний виртуального катода (/о > /вк) в виркаторе-
клистроне наблюдаются развитые шумовые колебания со сплошным
спектром мощности СВЧ-излучения. Вид спектра мощности шумовой
генерации не изменяется при изменении параметров обратной связи.

396 Лекция 6 B1)
Этого нельзя сказать об эффективности передачи энергии пучка элек-
электромагнитному полю. Как и в случае настроенного на частоту /вк
резонатора была обнаружена сильная зависимость КПД генератора от
времени запаздывания сигнала в цепи обратной связи. На рис. 6.21
представлена зависимость rj от времени запаздывания г для двух раз-
различных токов пучка. Из рисунка видно, что существует оптимальное
время запаздывания топт ~ 350 -г- 400 пс, при котором КПД максимален
и составляет порядка 5 -г- 7%, причем топт одинаково для различных
токов пучка.
Связанные системы на виртуальном катоде
Известно, что максимальная мощность генерации электромагнит-
электромагнитного излучения, достигнутая в СВЧ-диапазоне, увеличивается пример-
примерно на порядок каждое десятилетие [27]. Вместе с тем дальнейший рост
мощности весьма затруднен в связи с тем, что достигнутые мощности
генерации настолько велики, что в электродинамических структурах
сверхмощных генераторов возникают электрические пробои. Так в ра-
работе [88], где было достигнута мощность генерации 22 ГВт, излучение
не выводилось из прибора в атмосферу, так как электрическое поле
такой напряженности сразу же вызывало пробой воздуха, и плазма
экранировала вывод сверхвысокочастотного излучения.
Возможность дальнейшего повышения уровня мощности лежит
на пути создания фазированных антенных решеток (ФАР), в кото-
которых в качестве модулей будут выступать современные сверхмощные
генераторы. В ряде работ в качестве таких элементарных модулей
рассматриваются генераторы на виртуальном катоде (см., например,
[11,14,15,27]).
Основной проблемой, которую требуется решить при разработке
ФАР с использованием генераторов сверхмощного излучения, является
необходимость очень быстрой настройки частоты и фазы генерируе-
генерируемых сигналов в каждом из виркаторов в течение короткого импульса
ускоряющего напряжения (несколько десятков наносекунд) [27]. Было
предложено три пути решения данной проблемы.
1. Элементы ФАР (виркаторы) связываются между собой взаимной
линией связи. Такая конструкция возможна, если длина линии связи
между двумя наиболее удаленными генераторами такова, что время
распространения сигнала по ней существенно меньше длительности
импульса излучения, генерируемого виркаторами.
2. Управление каждым из элементов ФАР путем воздействия на
них сигналом высокостабильного внешнего генератора со сравнительно
низким уровнем мощности (магнетрон, ЛБВ ЦСР и т. п.). Недостатком
такого подхода является то, что на мощность управляющего сигна-
сигнала, подаваемого на каждый из модулей ФАР, накладывается вполне
определенное ограничение: при слишком низком уровне мощности син-
синхронизовать частоту и установить нужную фазу сигнала невозможно.
Поэтому учитывая, что управляющий сигнал должен быть подан на

Генераторы на виртуальном катоде 397
Т а б л и ц а 6.4
Изменение частоты генерации триода с виртуальным катодом
при воздейстии на него внешнего сигнала (из работы [89])
Эксперимент
/о, ГГц
6, МГц
/вк, ГГц
1
2,58
+270
3,03
2
2,62
+230
3,02
3
2,82
+30
2,88
4
2,90
-50
2,75
каждый из модулей ФАР, выходная мощность внешнего генератора
требуется достаточно большой.
3. Использование схем подключения генераторов, сочетающих оба
вышеназванных подхода.
Число исследований, в которых анализировались возможности со-
создания сверхмощных ФАР на виркаторах, достаточно велико.
Первые эксперименты касались влияния внешних сравнительно ма-
малых по мощности электромагнитных полей на колебания виртуального
катода. Один из первых таких экспериментов был описан в работе [89],
где исследовалась возможность изменения частоты генерации отража-
отражательного триода с виртуальным катодом внешним сигналом. СВЧ-три-
од с виртуальным катодом, схема которого аналогична представленной
на рис. 6.3 а, генерировал излучение с мощностью 100 + 200 МВт и ча-
частотой, которая в эксперименте менялась в пределах /о ~ 2,5 + 3,0 ГГц.
Внешний сигнал с мощностью 400 кВт, длительностью импульса 1,5 мкс
и частотой /вн = 2,85 ГГц подавался в область формирования вирту-
виртуального катода через окно в рабочей камере. Управляющий сигнал
генерировался имульсным магнетроном. Рассматривалось влияние ча-
частотной расстройки 5 = /вн — /о на частоту генерации /вк- Величина
S менялась за счет изменения частоты генерации отражательного три-
триода. Результаты экспериментальных исследований изменения частоты
генерации представлены в табл. 6.4. Из анализа данных можно сделать
вывод, что частота колебаний виртуального катода меняется при влия-
влиянии на него управляющего сигнала даже небольшого уровня мощности
по сравнению с мощностью генерации синхронизируемого виркатора.
Дальнейшие исследования вопроса синхронизации виркатора внеш-
внешним сигналом проводились в работах [90-92], где анализировались ко-
колебания виртуального катода при воздействии на него сигнала реляти-
релятивистского магнетрона.
Экспериментальное исследование двух генераторов на виртуальном
катоде, связанных через волновод и запитываемых одним высоковольт-
высоковольтным источником, представлено в работе [13]. Полная выходная мощ-
мощность комплекса составляла 1,6 ГВт, фазовая синхронизация колебаний
в каждом из модулей устанавливалась в течение 10 не и далее поддер-
поддерживалась около 45 не, т. е. в течение длительности импульса ускоряю-
ускоряющего напряжения. Схема экспериментальной установки представлена
на рис. 6.22 а.

398
Лекция 6 B1)
1 2
Рис. 6.22. Схемы связанных генераторов на виртуальном катоде: а — два
виркатора с волноводной связью A — общий анодный электрод, 2 — общий
катодный электрод, 3 — детектор СВЧ-мощности, 4 — элемент связи, 5 —
волновод связи, 6 — анодная сетка, 7 — короткозамкнутый передвижной
поршень) [13]; б — два связанных виркатора через общий резонатор A —
катод сильноточного ускорителя, 2 — анодная сетка, 3 — коллектор элек-
электронов (использовался в экспериментах с электромагнитной связью между
виркаторами), 4 — вывод СВЧ-мощности, 5 — элементы связи с детекторами
для анализа колебаний в каждом из связанных виркаторов) [10]
Другая схема связи двух виркаторов предложена в работе [10]. В ней
виркаторы были связаны через общий резонатор (рис. 6.22 б). Два силь-
сильноточных электронных ускорителя создавали пучки, направленные на-
навстречу друг другу, в каждом из которых формировался виртуальный
катод. Рассматривалось два типа связи: в первом случае между пуч-
пучками помещалась металлическая пластина 3 (см. рис. 6.22 6), которая
выступала в качестве коллектора для каждого из пучков. В этом случае
связь между генераторами обеспечивалась только через общее элек-
электромагнитное поле резонатора (электромагнитная связь). Во втором
случае пластина убиралась, и встречные электронные пучки оказыва-
оказывались сильно связаны между собой через общее поле пространственного
заряда (электростатическая связь). Длительность имульса тока уско-
ускорителей составляла порядка 160 не. Синхронизация в такой системе
наблюдалась в течение 100 не. Длительность установления режима син-
синхронизации была на уровне 50 -г- 60 не. Столь большая длительность
установления синхронного режима связана с высокой добротностью
резонатора, через который связаны виркаторы. В соотвествии с соотно-
соотношением F.22) увеличение добротности резонансной системы приводит
к росту длительности времени реакции автоколебательной системы на
внешний сигнал. В работе экспериментально исследовалось влияние

Генераторы на виртуальном катоде
399
ФАР
Виртод-1
Виртод~2
—ц Виртод~3
л
ФАР
ВК
Рис. 6.23. а — схема сверхмощной ФАР, базирующейся на параллельно свя-
связанных виртодах A — источник энергии, 2, 7 — фазовращатели, 3 — зарядное
устройство, 4 — линия формирования высоковольного импульса, 5 — ваку-
вакуумный диод, 6 — генератор виртодного типа, 8 — антенна); б — схема ФАР
на двух связанных виртодах A — ускорительная секция, 2 — фокусирующая
система, 3 — выходной волновод, 4 — линии связи) (из работы [14])
добротности резонатора, через который связаны виркаторы, и было по-
показано, что режим синхронизации наблюдается при любой добротности
и геометрии связанной системы. Обратим внимание, что сигналы для
анализа характеристик колебаний каждого из виркаторов снимались
из областей ускорения РЭП, которая экранирована от общего резона-
резонатора анодной сеткой, так как для выяснения вопросов синхронизации
колебаний каждого из виртуальных катодов анализировать колебания
в общем резонаторе бессмысленно.
В работе [14] была предложена схема сверхмощной ФАР на па-
параллельно связанных виркаторах (рис. 6.23 а). В качестве элементар-
элементарного модуля такой ФАР предполагалось использовать виртод. Схема
экспериментально реализованного прототипа такой ФАР на двух свя-
связанных виртодах представлена на рис. 6.23 б. Применение в качестве
элементарного модуля виртода (в котором принципиально отсутствует
высокодобротная колебательная система) позволяет осуществить очень
быструю синхронизацию колебаний и установление нужной разности
фаз между генераторами (см. предыдущий раздел, лекцию 7B2), а так-
также работу [93]).
В предложенной системе для обеспечения синхронизации генера-
генераторов и обеспечения необходимого сдвига фаз между их выходными
сигналами вводятся электронно управляемые фазовращатели в линии
связи между соседними виртодами (см. рис. 6.23 а). Синхронизация ге-
генераторов обеспечивается за счет отвода части мощности (порядка 15 %
от генерируемой мощности) в область ускорения пучка соседнего гене-
генератора (см. рис. 6.23 6). Благодаря возможности выбора фазы управ-
управляющих сигналов, подаваемых на каждый из виртодов, накопление
фазовой ошибки на длине апертуры антенны может быть существенно
уменьшено. При этом существует возможность электронным образом
перестраивать фазовращатели, а следовательно, и распределение фа-

400
Лекция 6 B1)
Рис. 6.24. Фотография сверхмощной ФАР «Фрегат»
виркаторах (из работы [27])
базирующаяся на 14
зы сигнала вдоль длины ФАР. Такая ФАР, основанная на многоэле-
многоэлементном источнике сверхмощного излучения, имеет узкую диаграмму
направленности и обладает возможностью сканирования радиолуча
в пространстве путем изменения фазы выходного поля виртодов.
В 1992 г. в Российском федеральном ядерном центре ВНИИЭФ бы-
была создана импульсная ФАР «Фрегат», состоящая из 14 виркаторов,
которые управлялись одним мощным СВЧ-генератором [27]. Все вир-
каторы были собраны в два горизонтальных ряда, и находились друг
от друга на расстоянии 72см. Рисунок 6.24, взятый из работы [27],
демонстрирует внешний вид ФАР «Фрегат». Сверхмощная ФАР «Фре-
«Фрегат» использовалась для исследования физических процессов в сверх-
сверхвысокочастотных генераторах, а также применялась в экологических
исследованиях [27].
В следующей лекции, посвященной вопросам синхронизации
в сверхвысокочастотной электронике, будут представлены и обсуж-
обсуждены некоторые закономерности синхронизации автоколебаний
в активной среде «электронный пучок с виртуальным катодом-
электромагнитное поле».
Список литературы
1. Физика и техника мощных импульсных систем / Под. ред. Е.П. Ве-
Велихова. — М.: Энергатомиздат, 1987.
2. Бабыкин М.В. Генерация и фокусировка сильноточных реляти-
релятивистских электронных пучков / Под. ред. Л.И. Рудакова. — М.:
Энергатомиздат, 1990.
3. Бугаев СП., Литвинов Е.А., Месяц Г.А., Проскуровский Д.И.
Взрывная эмиссия электронов // УФН. 1975. Т. 115, № 1. С. 101.

Генераторы на виртуальном катоде 401
4. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные
пучки и их применение. — М.: Энергатомиздат 1977.
5. Литвинов Е.А. Сильноточные релятивистские электронные пуч-
пучки II Соросовский образовательный журнал. 1998. № 6. С. 100.
6. Mahaffey R.A., Sprangle P.A., Golden J., Kapetanakos С.A. High-
power microwaves from a non-isochronous reflecting electron system //
Phys. Rev. Lett. 1977. V. 39, No 13. P. 843.
7. Kapetanakos С A., Sprangle P. A., Mahaffey R.A., Golden J. High-
power microwaves from a non-isochronous reflecting electron system
(NIRES). US Patent 4150340, 17.04.79. H 01 J 25/74.
8. Диденко А.Н., Красик Я.Е., Перелыгин С.Ф., Фоменко Г.П. Ге-
Генерация мощного СВЧ-излучения релятивистским электронным
пучком в триодной системе // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5, вып. 6.
С. 321.
9. Sullivan D.J. High-power microwave generator using relativistic
electron beam in waveguide drift tube. US Patent 4345220, 17.08.82.
H 03 В 9.01.
10. Hendricks K., Richard A. and Noggle R. Experimental results of phase
locking two virtual cathode oscillator // J. Appl. Phys. 1990. V. 68,
No 2. P. 820.
11. Алёхин Б.В., Дубинов А.Е., Селемир В.Д., Степанов Н.В.,
Шамро О.А., Шибалко К.В. Натурная имитация импульсной фа-
фазированной решётки на основе виркаторов // Изв. вузов. Приклад-
Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 1. С. 28.
12. Didenko A.N. Influence of external high frequency signal on generation
in the virtual cathode // Abstracts on the 7th International Conference
on High-Power Particle Beams. Karlsruhe, 1988. P. 338.
13. Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled
vircators // J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 5. P. 2278.
14. Magda I.I., Prokopenko Yu.V. Cooperative high-power radiation of
two beams at the dual vircator complex // Proc. of the 11th Int.
Conf. on High Power Particle Beams (BEAMS'96). (Prague, Czech
Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.
15. Дубинов А.Е., Селемир В.Д., Царев А.В. Фазированные антенные
решетки на основе виркаторов: численные эксперименты // Изв.
вузов. Радиофизика. 2000. Т. XLIII, № 8. С. 709.
16. Диденко А.Н., Жерлицын А.Г, Сулакшин А.С и др. Генерация
мощного СВЧ-излучения в триодной системе сильноточным пуч-
пучком микросекундной длительности // Письма в ЖТФ. 1983. Т. 9,
№ 24. С. 48.
17. Hanio H., Nakagawa У. Generation of intense pulsed microwave from
a high-density virtual cathode of a reflex diode // J. Appl. Phys. 1991.
V. 70, No 2. P. 1004.
26 Трубецков, Храмов

402 Лекция 6 B1)
18. Coutsias Е.А., Sullivan D.J. Space-charged limit instabilities in
electron beams // Phys. Rev. A. 1983. V. 27, No 3. P. 1535.
19. Жерлицын А.Г., Кузнецов СИ., Мельников Г.В., Фоменко Г. П.
Генерация СВЧ-колебаний при формировании виртуального ка-
катода в сильноточном электронном пучке // ЖТФ. 1986. Т. 66, № 7.
С. 1245.
20. Davis H.A., Bartsch R.R., Kwan T.J.T. et al Gigawatt-level
microwave bursts from a new type of virtual-cathode oscillator // Phys.
Rev. Lett. 1987. V. 59, No 5. P. 288.
21. Жерлицын А.Г., Мельников Г.В., Фоменко Г.П., Цветков В.И.
Экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного
поля на генерацию СВЧ-колебаний в виркаторе // Тез. VII Всесо-
Всесоюзного симпоз. по сильноточной электронике. Томск, 1988.
22. Davis И.A., Bartsch R.R., Kwan T.J.T. et al Experimental
confirmation of the reditron concept // IEEE Trans. Plasma Sci. 1988.
V. 16, No 2. P. 192.
23. High Power Microwave Sources / Ed. by V.L. Granatstein and
I. Alexeff. - Boston: Artech Hourse, 1987. Ch. 13,14.
24. Артюх И.Г., Сандалов А.И., Сулакшин А.С, Фоменко Г.П.,
Штейн Ю.Г. Релятивистские СВЧ устройства сверхбольшой
мощности If Обзоры по электронной технике. Серия I. Электро-
Электроника СВЧ. М: ЦНИИ «Электроника», 1989.
25. Рухадзе А.А., Столбецов С.Д., Тараканов В.П. Виркаторы (об-
(обзор) // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 3. С. 385.
26. Селемир В.Д., Алёхин Б.В., Ватрунин В.Е., Дубинов А.Е., Сте-
Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Теоретические и экспе-
экспериментальные исследования СВЧ-приборов с виртуальным като-
катодом // Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 7, 8. С. 689.
27. Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Электронные приборы с виртуаль-
виртуальным катодом II Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 6.
С. 575.
28. Бунин Г.Г., Васенькин В.А. Отражательные клистроны. — М.:
Сов. радио, 1966.
29. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебатель-
колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. —
Саратов: Изд-во СГУ, 1963.
30. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике для физиков. Том 1. — М.: Физматлит, 2003.
31. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон-
электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.
32. Шафер В.Ю., Филиппычев Д.С. // ЖТФ. 1983. Т. 83. С. 1325.
33. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.:
Наука, 1974.

Генераторы на виртуальном катоде 403
34. Didenko A.N., Fomenko G.P., Gleizer I.Z. Generation of high power
RP pulses in ihe magnetron and reflex triode systems // Proc. 3nd
Int. Top. Conf. on High-Power Electron and Ion Beams. Novosibirsk.
1979. V.2. P.683.
35. Barkhausen H., Kurz K. Die kurzesten, mit Vacuumrohren
herstellbaren Wellen // Phys Zs. 1920. V. 21, No 1. P. 1.
36. Anderson T.M., Mondelli A.A., Levush B, Verboncoeur J.P., Birdsall
CK. Advances in modelling and simulation of vacuum electron
devices // Proceedings of the IEEE. May 1999. V. 87, No 5. P. 804.
37. Свешников А.Г., Якунин С.А. Численные модели бесстол кнови-
тельной плазмодинамики // Математическое моделирование. 1989.
Т. 1, № 4. С. 1.
38. Григорьев А.Д. Современные методы моделирования нестацио-
нестационарных электромагнитных полей // Изв.вузов. Прикладная нели-
нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 4. С. 48.
39. Диденко А.Н., Арзин А.П., Жерлицын А.Г Релятивистские три-
одные СВЧ-генераторы // Релятивистская высокочастотная элек-
электроника. Вып.4. - Горький: ИПФ АН СССР, 1984.
40. Диденко А.Н. Механизм генерации мощных СВЧ-колебаний в вир-
каторе // ДАН СССР. 1991. Т. 321, № 4. С. 727.
41. Buzzi I.M., Doucet H.I., Lomoin Н. et al Impulsion micro-ondes
gigawatt en bande X // Le Jorn. de Phys. Lett. 1978. V. 59, No 2.
P. 15.
42. Жерлицын А.Г., Кузнецов СИ., Мельников Г.В., Фоменко Г.П.
Генерация СВЧ-колебаний при формировании виртуального ка-
катода в сильноточном электронном пучке // ЖТФ. 1986. Т. 66, № 7.
С. 845.
43. Burkhart S. С, Scarpetty R.D., Lundberg R.L. A virtual cathode reflex
triode for high power microwave generation // J. Appl. Phys. 1985.
V. 58, No 1. P. 28.
44. Davis H.A., Bartsch R.R., Sherwood E.G. et al Observation of high-
power millimeter wave emission from в virtual cathode // Proc. 10th
Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves. Lake Buena Vista. 1985.
45. Burkhart S. С Multigigawatt microwave generation by use of a virtual
cathode oscillator driven by a 1-2 MV electron beam // J. Appl. Phys.
1987. V. 62, No 1. P. 75.
46. Sze H., Benford J., Young T. et al A radially and axially extracted
virtual cathode oscillator (vircator) // IEEE Trans. Plasma Sc. 1985.
V. 15, No 6. P. 592.
47. Sze H., Benford J., Harteneck B. Dynamics of virtual cathode
oscillator driven by a pinched diode // Phys. Fluids. 1986. V. 29, No 11.
P. 5875.
48. Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных
частиц. — М., 1984.

404 Лекция 6 B1)
49. Kwan T.J.T., Davis П. A. Numerical simulations of the reditron //
IEEE Trans. Plasma Sci. 1988. V. 16, No 2. P. 185.
50. Davis H.A., Fulton R.D., Sherwood E.G., Kwan T.J.T. Efficient,
multi-gigawatt, narrow bandwidth operation of the reditron
oscillator II Abstr. 7th Int. Conf. on High-Power Particle Beams.
Karlsruhe. 1988. P. 555.
51. Brandt H.E. The turbutron // IEEE Transactions on Plasma Science.
1985. V. 13, No 6. P. 513.
52. Brandt H.E., Bromborsky A., Graybill S.E., Kehs R.A. The
turbutron — a new higher power millimeter-wave source // Bull. Amer.
Phys. Soc. 1982. V. 27. P. 1018.
53. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko
V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave
devices // CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.
54. Афонин A.M., Диденко А.Н., Пауткин А.Ф., Рошаль А.С. Нели-
Нелинейная динамика виртуального катода в триодных системах // РЭ.
1992. Т. 37, вып. 10. С. 1889.
55. Привезенцев А.П., Саблин П.П., Филипенко Н.М., Фоменко Г.П.
Нелинейные колебания виртуального катода в триодной системе
// РЭ. 1992. Т. 37, вып. 7. С. 1242.
56. Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.П.,
Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ
(нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной дина-
динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, № 4. С. 61.
57. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П. Сложная динамика потока заря-
заряженных частиц с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная
нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 56.
58. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Нелинейные когерентные струк-
структуры в колебаниях виртуального катода // Лекции по СВЧ-
электронике и радиофизике: 9-я зимняя школа семинар, Саратов,
1993. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1993. С. 130.
59. Анфиногентов В.Г. Взаимодействие когерентных структур и хао-
хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным катодом
// Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21, вып. 8. С. 70.
60. Анфиногентов В.Г. Нелинейная динамика электронного потока
с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа //
Изв. вузов. Радиофизика. 1995. Т. 38, № 3/4. С. 268.
61. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возник-
возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на
виртуальном катоде // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 9.
С. 1137.
62. Храмов А.Е. Хаос и образование структур в электронном потоке
с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа //
Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 5. С. 551.

Генераторы на виртуальном катоде 405
63. Grassberger P., Procaccia J. On the characterization of strange
attractors // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 346.
64. Кузнецов СП. Динамический хаос. — М.: Наука, 2001.
65. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
66. Андрушкевич А.В., Кипчатов А.А., Красичков Л.В., Митрофа-
Митрофанов А.П., Трубецков Д. И. Корреляционная размерность как мера
сложности колебаний // Физика. Сб. статей (Прогр. «Университе-
«Университеты России») / Под ред. Тихонова А.Н., Садовничьего В.А. и др. —
М.: МГУ. 1994. С. 32.
67. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюцонных уравнений
с частными производными и оценка их параметров // УМН. 1983.
Т. 38, № 4. С. 133.
68. Lumley J.L. The structure of ingomogeneous turbulent flows //
Atmospheric Turbulence and Radio Wave Propagation: Proc. of the
Int. Colloquim / Ed. by A.M. Yaglom and V.I. Tatarsky. — Moscow:
Nauka, 1967. P. 166.
69. Ватанабе С Разложение Карунена — Лоэва и факторный анализ.
Теория и приложения // Автоматический анализ сложных изоб-
изображений / Под. ред. Э.М. Бравермана. — М.: Мир, 1969. С. 310.
70. Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ
и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
71. Aubry N., Holmes P., Lumley J., Stone E. Application of dynamical
system theory to coherent structures in the wall region // Physica D.
1989. V. 37. P. 1.
72. Гадецкий П.П., Магда И.И., Найстетер СИ., Прокопенко Ю.В.,
Чумаков В.И. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управ-
управляемой обратной связью — виртод // Физика плазмы. 1993. Т. 19,
вып. 4. С. 530.
73. Bliokh Yu.P., Magda I.I. Controlled regimes possibility in system with
virtual cathode and internal delay feedback // In: the Abstracts of 12th
International Conference on High-Power Particle Beams (BEAMS'98)
(Haifa, Israel, 7-12 June 1998), Haifa: 1998. P. 299.
74. Блиох Ю.П., Магда И.П., Найстетер СИ., Прокопенко Ю.В.
Исследование частотного спектра одномерной СВЧ системы на
виртуальном катоде // Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 1191.
75. Benford J., Sze П., Woo W. et al // II Proc. 7th Intern. Conf. on
High-Power Paticle Beams. 1988. P. 1359.
76. Храмов А.Е. Влияние обратной связи на сложную динамику элек-
электронного потока с виртуальным катодом в виртоде // Письма
в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 5. С. 51.
77. Храмов А.Е. О влиянии обратной связи на характеристики гене-
генерации прибора с виртуальным катодом // Радиотехника и элек-
электроника. 1999. Т. 44, № 1. С. 116.

406 Лекция 6 B1)
78. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронно-
электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сиг-
сигналов в виртодных системах // Известия РАН. Сер.физич. 1997.
Т. 61, № 12. С. 2391.
79. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Влияние распределенной обрат-
обратной связи на хаотические колебания виртуального катода // Изв.
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 1. С. 93.
80. Вакс В.Л., Гинзбург П.С, Сергеев А.С, Сморгонский А.С,
Ходос В.В., Шулешов А.О. Использование модуляции в СВЧ-
генераторах для получения стохастического выходного сигнала //
Радиотехника и электроника. 1994. Т. 40, № 6. С. 957.
81. Jiang W., Masugata К., Yatsui К. New configuration of a virtual
cathode oscillator for microwave generation // Physics of Plasmas.
1995. V. 2, No 12. P. 4635.
82. Jiang W., Masugata K., Yatsui K. High power microwave oscillator:
vircator-klystron // In: the Proceedings of 11th International
Conference on High-Power Particle Beams (BEAMS'96), (Prague,
Czech Republic, 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 477.
83. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Исследование численной модели
редитрона с модуляцией электронного потока и внешней управля-
управляемой обратной связью // Изв. РАН, Сер. физич. 1999. Т. 63, № 12.
С. 2308.
84. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Численное исследование харак-
характеристик генерации виркатора-клистрона с внешней запаздываю-
запаздывающей обратной связью // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46,
№ 5. С. 588.
85. Hramov А.Е. and Rempen I.S. Investigation of generation
characteristic of high power microwave virtual cathode generator with
input cavity // Proceedings о Intern. Vacuum Electron Source Conf.
(IVESC'2002). July 15-19, 2002. Saratov. Russia. P. 379-381.
86. Поезд А.Д., Якунин С.А. Програмный комплекс для численных
расчетов самосогласованных нелинейных нестационарных задач
сильноточной СВЧ электроники // В сб: Численные методы, ал-
алгоритмы и программы. — М.: 1988, С. 102.
87. Поезд А.Д., Якунин С.А. Численное моделирование СВЧ генера-
генератора на сверхпредельных релятивистских электронных пучках //
В сб: Численные методы, алгоритмы и программы. — М.: 1988,
С. 117.
88. Bromborsky A., Agee F., Bollen M. et al. // Proc. SPIE. 1988. V. 873.
P. 51.
89. Григорьев В.П., Жерлицын А.Г., Коваль Т.В., Кузнецов СИ.,
Мельников Г.В. О возможности изменения частоты излучения
внешним сигналом в СВЧ-триоде с виртуальном катодом // Пись-
Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. С. 2164.

Генераторы на виртуальном катоде 407
90. Woo W., Benford J., Fitting оff D., Harteneck В., Price D., Smith R.,
Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators // J. Appl.
Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.
91. Price D., Sze H., FittinghoffD. Phase and frequency locking of a cavity
vircator driven by a relativistic magnetron // J. Appl. Phys. 1989.
V. 65, No 12. P. 5185.
92. Price D., Sze H. // IEEE Trans. Plasma Sci. 1990. V. 18, No 3. P. 580.
93. Храмов А.Е. Колебания в системе связанных генераторов на вир-
виртуальном катоде виртодного типа // Радиотехника и электроника.
1999. Т. 44, № 2. С. 211.
94. Дубинов А.Е., Ефимова И.А. О токе, прошедшем за виртуальный
катод // ЖТФ. 2003. Т. 73, № 9. С. 126.
95. Храмов А.Е. Управление режимами колебаний в пучках со сверх-
сверхкритическим током с помощью различных типов обратной связи //
Изв. вузов. Прикладн. нелин. динамика. 2003. Т. 11, № 2. С. 3-25.

Лекция 7B2)
СИНХРОНИЗАЦИЯ
В СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙ
ЭЛЕКТРОНИКЕ
...тенденция к синхронизации является свое-
своеобразной закономерностью поведения матери-
материальных объектов самой различной природы.
Несомненно, что такая закономерность пред-
представляет собой одно из проявлений тенденции
материальных форм к самоорганизации...
... Вместе с тем взгляд на синхронизацию
еще окончательно не сформировался, и порой
приходится слышать по этому поводу самые
различные суждения.
И. И. Блехман. Синхронизация в при-
природе и технике. М.: Наука, 1981, с. 25.
Взаимная синхронизация отражательных клистронов. Синхрониза-
Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный
поток-встречная электромагнитная волна». Особенности синхрони-
синхронизации колебаний в лампе обратной волны типа О. Влияние внешнего
сигнала на хаотические автоколебания в гиролампе со встречной вол-
волной. Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ со связанными электро-
электродинамическими системами. Взаимная синхронизация магнетронных
генераторов. Синхронизация систем с виртуальным катодом.
Автоколебательная система, на которую воздействует внешний сиг-
сигнал или которая связана с другой автоколебательной системой, может
принципиально по разному вести себя в зависимости от амплитуды
и частоты воздействующего на нее сигнала. Наиболее фундаменталь-
фундаментальное нелинейное явление, наблюдаемое в этом случае — синхронизация
автоколебаний. Открытие и описание эффекта синхронизации перио-
периодических колебаний в автоколебательных системах со сосредоточен-
сосредоточенными параметрами г) восходит еще к работам Гюйгенса [1]. Эффект
синхронизации периодических автоколебаний в общем случае наблю-
наблюдается при условии
~ mfi, G-1)
г) Т. е. в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными
уравнениями или отображениями.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 409
где изо — собственная частота автогенератора, ft — частота воздей-
воздействующего на него сигнала, т, п — натуральные числа. При п = т
частота неавтономного генератора равна частоте внешнего воздействия
(синхронный режим), однако остается сдвиг фаз, зависящий от пер-
первоначальной частотной расстройки |о;о — Щ- Когда т > п синхрони-
синхронизируемый генератор работает на частоте, большей частоты внешнего
воздействия, и происходит умножение частоты. Наоборот, при т < п
имеет место деление частоты. Возможна также ситуация, когда частота
автоколебаний в п/т раз отличается от частоты синхронизирующего
сигнала [2].
В настоящее время проблема синхронизации регулярных ав-
автоколебаний достаточно подробно исследована только для систем
с резонансными колебательными системами, в первую очередь, для
генераторов томсоновского типа. Фундаментальные исследования
в этой области были проведены В.И. Гапоновым, Ван-дер-Полем,
А.А.Андроновым, А.А.Виттом, К.К. Теодорчиком, Р.В. Хохловым,
И.И. Блехманом и многими другими [3-12]. В этих исследованиях были
найдены определенные закономерности, сопровождающие переход
автоколебательной системы со сосредоточенными параметрами
в синхронный или, наоборот, асинхронный режим работы.
Одновременно, большое внимание уделяется проблеме синхрониза-
синхронизации нелинейных систем, демонстрирующих детерминированный хаос
[13-19]. Наблюдается рост числа публикаций, посвященных рассмотре-
рассмотрению синхронизации хаоса в дискретных (отображениях) и потоковых
конечномерных динамических системах. Следуя этим работам, можно
говорить о различных типах синхронизации хаотических систем.
Одним из первых был подход, согласно которому под синхрони-
синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение пери-
периодического режима в результате влияния внешнего воздействия или
взаимодействия с другим хаотическим генератором [26,27]. Однако та-
такой переход возможен только при достаточно интенсивном воздействии
на систему (т. е. он имеет пороговый характер) и связан с эффектом
синхронизации через подавление хаотических автоколебаний. Понят-
Понятно, что такая концепция синхронизации хаотических автоколебаний
не исчерпывает всего спектра наблюдаемых явлений при воздействии
сигнала сложной формы на генератор хаотических колебаний.
Наиболее строгое определение хаотической синхронизации заклю-
заключается в требовании, чтобы разность векторов состояния исследуемой
системы и состояния внешнего воздействия на систему (например, дру-
другой хаотической системы, связанной с исследуемой) стремилась к нулю
в пределе t —> ос. Это так называемая идентичная синхронизация,
которая редко применяется на практике. Чаще используется понятие
обобщенной синхронизации [16], при которой состояние системы ас-
симптотически должно стремиться к некоторой (возможно достаточно
сложной) функции. Под понятие обобщенной синхронизации попадает
и классическое определение синхронизации автоколебательных систем,
например, генератора Ван-дер-Поля [20].

410 Лекция 7B2)
При анализе синхронизации хаотических систем наиболее удобно
воспользоваться понятием фазовой синхронизации хаотических коле-
колебаний, впервые введенной Розенблюмом [21]. В этом случае для анали-
анализа хаотической синхронизации автоколебательной системы требуется
определить фазу хаотических колебаний. Строго фаза хаотического
сигнала находится с помощью преобразования Гильберта [21,22], когда
мгновенные значения амплитуды A(t) и фазы Ф(?) некоторого сигнала
f(t) вводятся из следующего представления:
/(*) = Д(*)совФ(*),
G.2)
= A(t)*in<l>(t).
Здесь Н {. . .} — преобразование Гильберта (см., например, [23])
1^1 dr, G.3)
где интеграл понимается в смысле основного значения Коши.
Часто используется феноменологически вводимая фаза Ф(?), опре-
определяемая на основе анализа базового характерного масштаба коле-
колебаний хаотической системы. Например, когда хаотический аттрактор
имеет в фазовом пространстве ленточный или спиральный вид, то
можно ввести характерное время возврата фазовой траектории на ат-
аттракторе в выбранную плоскость. При возврате траектории можно
говорить об изменении фазы хаотического сигнала на величину 2тг.
Можно считать, что между двумя пересечениями фазовой траекторией
выбранной плоскости фаза меняется линейно. Различные способы фе-
феноменологического определения фазы Ф(?) хаотического сигнала для
конечномерных систем описываются в работах [24,25]. Если определена
фаза Ф(?), то характерная частота TJ хаотического сигнала вводится
как
п= lim Ф(*)/*. G.4)
t—toc
При воздействии на хаотическую систему внешнего гармонического
сигнала с частотой ft о фазовой синхронизации можно говорить в слу-
случае выполнения равенства ~п = ft. В этом случае характерная базовая
частота хаотических автоколебаний системы равна частоте внешнего
воздействия, т. е. для хаотических автоколебаний как и для периодиче-
периодических можно говорить о захвате частоты управляющим сигналом. Здесь
важно то, что при фазовой синхронизации зависимость амплитуды сиг-
сигнала от времени может быть достаточно сложной и демонстрировать
хаотическое поведение, вместе с тем характерный временной масштаб
колебаний будет определяться управляющим сигналом.
На фоне большого числа работ, посвященных различным вопросам
синхронизации систем с малым числом степеней свободы, вопросы
синхронизации распределенных систем, какими являются большинство

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 411
систем сверхвысокочастотной электроники, изучены в настоящее вре-
время весьма неполно. Хотя исследование влияния внешнего сигнала как
на периодические, так и на хаотические режимы автоколебаний систем
сверхвысокочастотной электроники является весьма важным. С одной
стороны, это определяется созданием сверхмощных СВЧ-генераторов
с перестраиваемыми характеристиками (частота, ширина полосы, уро-
уровень мощности) выходного излучения. С другой стороны, исследование
влияния внешних сигналов важно при разработке СВЧ-генераторов,
использующихся в качестве модулей фазированных антенных реше-
решеток, управляемых внешними сигналами. В последнем случае особую
важность приобретает вопрос управления фазовыми соотношениями
сигналов, генерируемыми неавтономными СВЧ-электронными систе-
системами.
Актуальной является и задача о влиянии внешнего сигнала на ха-
хаотические автоколебания в системах релятивистской вакуумной элек-
электроники. Это обусловлено тем, что для сверхмощных СВЧ-генераторов
характерны режимы сложной нестационарной динамики выходного из-
излучения [28, 29, 83]. Влияние внешнего сигнала позволяет в этом случае
либо упростить спектральный состав выходного излучения, поднять
КПД и выходную мощность, либо, наоборот, получить близкий к шумо-
шумовому спектр выходного сигнала, и опять же поднять КПД и выходную
мощность, но уже в режиме генерации хаотического сигнала.
В этой лекции будут рассмотрены явления, наблюдающиеся при
влиянии внешних сигналов на приборы сверхвысокочастотной элек-
электроники, а также в связанных СВЧ-генераторах. Особое внимание
обращено на те основные особенности, которые присущи неавтоном-
неавтономным режимам работы распределенных электронно-волновых систем
сверхвысокочастотной электроники. При анализе таких явлений будем
опираться на результаты, которые были получены в теории колебаний
и волн при изучении классической и хаотической синхронизации в ко-
конечномерных потоковых и дискретных динамических системах.
В начале лекции рассмотрим эффекты, наблюдающиеся при сов-
совместной работе классических генераторов СВЧ-диапазона — отража-
отражательных клистронов, следуя работам Р.В.Хохлова, С.Д. Гвоздовера
и др. [30, 31]. Теория синхронизации клистронных генераторов сводится
к анализу математической модели, описываемой уравнениями в обык-
обыкновенных производных, т. е. к рассмотрению конечномерной динамиче-
динамической системы, которое далее сводится к изучению укороченных уравне-
уравнений относительно амплитуды и фазы. Однако особый интерес вызывает
рассмотрение синхронизации колебаний в распределенных системах
типа «электронный поток, длительно взаимодействующий с высокоча-
высокочастотным электромагнитным полем». В качестве базовой системы для
анализа неавтономных режимов работы приборов с длительным взаи-
взаимодействием рассматривается гирогенератор на встречной волне (гиро-
ЛВВ), особенности автономной динамики которого изучались в лекции
1 A6).
В лекции изложены результаты детального теоретического анализа
различных типов синхронизации в приборах с длительным взаимодей-

412
Лекция 7B2)
ствием — гиролампе со встречной волной, а также рассмотрены осо-
особенности синхронизации в лампе обратной волны типа О, основываясь
на работах [32-39, 84]. В заключение лекции рассмотрены вопросы син-
синхронизации внешним сигналом и взаимной синхронизации генераторов
на виртуальном катоде и магнетронных генераторов.
Взаимная синхронизация отражательных клистронов
Рассмотрим два отражательных клистрона, резонансные полости
которых связаны между собой индуктивно (рис. 7.1). Как уже обсужда-
обсуждалось в первом томе книги (лекция 2), отражательный клистрон можно
рассматривать как автогенератор, контур которого обладает сосредо-
сосредоточенными параметрами L, С и R. На конденсаторе контура электрон-
электронным потоком наводится напряжение, которое возбуждает в контуре
дополнительный ток /. Уравнения колебаний эквивалентных контуров,
как несложно показать, имеют вид
Li/i + Я1/1 + Vi + M/2 = 0,
L2/2 + R2I2 + V2 + Mh = 0,
G.5)
где М — коэффициент взаимной индукции, / и V — ток в контуре и на-
напряжение на конденсаторе, индекс «1» относится к первому клистрону,
«2» — ко второму. Ток в контуре связан с напряжением на конденсаторе
соотношением
I = CV + 7. G.6)
Подставляя выражение G.6) в уравнения G.5), получаем систему урав-
уравнений
G.7)
Рис. 7.1. Схема индуктивной связи резонаторов двух отражательных кли-
клистронов

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 413
Здесь г/152 — парциальные частоты контуров, 5±^ — декременты зату-
затухания, «i52 — коэффициенты влияния одной системы на другую. На-
Наведенное напряжение V связано с наведенным током / соотношением
V = LI + RI. G.8)
Слагаемые, стоящие в правой части уравнений G.7), по сравнению
со слагаемыми левой части, являются малыми: первые два благодаря
большой добротности объемных резонаторов клистрона, а последний —
из предположения малости коэффициентов связи а\^-
Применим к анализу системы уравнений G.7) метод укороченных
уравнений (см., например, [20]). Предположим, что
Vi = A cos (uot -ф) , V2 = В cos (uot - ср) , G.9)
где амплитуды А и В и фазы ф и ip при малых расстройках контуров
каждого из клистронов \i/i — ^l/^i <С 1 являются медленно меняю-
меняющимися функциями времени. Поведение этих функций описывается
следующими укороченными уравнениями [30]:
А = —SiА - ji(A)Asm6i(A) - -aiUoBsin((p - ф),
В = -62В - J2(B)B sin 92{B) + -а2ш0А sm(<p - ф),
G.Ю)
ф = А2+ 72(В) cos 02(В) + ^^ cos(^ - ф),
где расстройки по частоте имеют вид:
Ai =с^о-^1, А2 = с^о-^2, G-11)
71,2 — электронные декременты и 0i^ — углы пролетов в пространстве
взаимодействия первого и второго отражательного клистрона (см., на-
например, [40,41]).
Система укороченных уравнений G.10) сложна, однако в предполо-
предположении слабой связи между отражательными клистронами эта система
допускает значительные упрощения.
Отметим сразу, что при слабой связи изменение амплитуд колеба-
колебаний клистронов квазистатично. В этом случае амплитуды колебаний
могут быть найдены из первой пары уравнений G.10) в пренебрежении
членами с производными по времени. Тогда
Л = Л0-а08тФ, Б = Б0 + 6081пФ, G.12)
где Aq и Bq — амплитуды стационарных автоколебаний клистронов
в отсутствии связи (ai,2 — 0); Ф — разность фаз между колебаниями

414 Лекция 7B2)
в каждом из отражательных клистронов;
. .Во ( d
A=An
d .
I dB J в=в0
Выберем значение и® так, чтобы
Ai +7i(^o)cosl9i(^o) = -A2 -72(^0) cos 6>2(Бо) = А/2. G.13)
Соотношение G.13) выполняется, если
[( ~ 7i cos 0i) + (i/2 - 72 cos 62)] ,
А = 77 [(^2 - 72 cos 62) - {v\ - 71 cos 61)],
т. е. величина uo равна полусумме частот изолированных клистронов,
а А — их разности.
Пренебрежем также зависимостью среднего угла пролета 0 от ам-
амплитуды колебаний. Выпишем вторую пару уравнений G.10) с точно-
точностью до членов порядка ol\^-> учитывая при этом, что коэффициенты
ао и 6о имеют тот же порядок малости, что и ol\^'-
ф = — - aosin7{(;4o) cos#i + -agsin2 Ф^(А
OL1UJ0 Bo jm- OLiuoo Bo f 0,0
+ СО8ф + и +
ф = -у
2 Во 2 Во \Ао Во
G.15)
Поведение разности фаз, определяющее в случае слабой связи про-
процесс синхронизации, описывается уравнением, которое получается вы-
вычитанием уравнения G.14) из G.15), т.е.
Ф = -A + pcos + rsin - </sin2 - scos2 + s. G.16)

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
415
Здесь введены следующие обозначения:
ir О D О Л '
Я =
он Во
OL2 Ло
I Во
9
Параметры р и г имеют первый порядок малости относительно ве-
величины коэффициента связи, q и s — второй, они связаны с изме-
изменением амплитуд колебаний в каждом из клистронов внутри полосы
синхронизации. Коэффициентами q и s в большинстве случаев можно
пренебречь по сравнению с р и г. Однако если коэффициенты риг
малы (это может иметь место при близости мощностей клистронов
и при 01 « 02), то коэффициентами q и s пренебречь уже нельзя.
Таким образом, в случае двух слабосвязанных клистронных генера-
генераторов процесс взаимной синхронизации описывается уравнением G.16).
Режим синхронизации, очевидно, определяется условием Ф = 0 или
Ф = const.
Из теории колебаний известно [30], что при взаимной синхронизации
автогенераторов в случае близких по мощностям парциальных систем
внутри полосы синхронизации при
плавном изменении параметров частота
и амплитуда изменяются скачкообразно.
При этом имеет место затягивание по
частоте и амплитуде. Аналогично будет
вести себя и система из связанных
отражательных клистронов — в полосе
синхронизации при плавном изменении
параметров наблюдаются скачки
частоты системы. Поэтому центральным
вопросом теории взаимной синхро-
синхронизации клистронов является вопрос
о возможности плавного изменения ча-
частоты и амплитуды колебаний системы
в целом при изменении параметров
парциальных систем. В частности,
важно понять возможен ли непрерывный переход при изменении
напряжений на отражателе от состояния системы, при котором один
клистрон синхронизирует другой, к состоянию, при котором второй
клистрон синхронизирует первый.
Л
Рис. 7.2. Амплитудные харак-
характеристики клистронов при
изменении потенциала отра-
отражателей

416 Лекция 7B2)
Для решения данного вопроса рассмотрим поведение системы двух
взаимосвязанных одинаковых клистронов при изменени напряжения
на отражателе, причем эти напряжения сдвинуты относительно друг
друга на некоторую постоянную величину. При увеличении напря-
напряжения на отражателе сначала генерирует клистрон Б, клистрон А
при этом не генерирует и служит реактивной нагрузкой клистрона В
(рис. 7.2). Затем в определенном интервале напряжений AV (отмечен
на рисунке) клистроны А и В генерируют колебания одновременно.
При дальнейшем увеличении напряжения клистрон В перестает гене-
генерировать и служит реактивной нагрузкой работающего клистрона А.
Зададимся вопросом: возможен ли непрерывный переход от области
генерации одного клистрона к области генерации другого клистрона
так, чтобы частотная ветвь зоны А служила бы продолжением ветви
зоны Б?
При изменении напряжения отражателя частота генерируемых ко-
колебаний меняется. Если так подобрать собственные частоты резонато-
резонаторов клистронов, чтобы при напряжении отражателей, соответствую-
соответствующем точке пересечения амплитудных кривых, пересекались бы также
частотные кривые, то это и будет случаем, когда монотонно меняются
одновременно параметры р и А, причем значению р = 0 соответствует
значение А = 0.
Чтобы узнать, насколько широко при непрерывном переходе от
области генерации одного клистрона к области генерации другого мож-
можно раздвигать эти области по напряжению, проанализируем решения
уравнения G.16). Прежде всего отметим, что в окрестности точки
равных амплитуд
«ctg02 = tg0, G.17)
где в — разность между оптимальной пролетной фазой и фазой #2-
Последнее означает, что г « —pigв.
Кроме того, в обычных режимах работы клистрона зависимость
средних электронных декрементов вблизи значений амплитуд стацио-
стационарной генерации близка к линейной [41], а следовательно, величина s
близка к нулю. Поэтому пренебрежем членами s в уравнении G.16) по
сравнению с другими членами. Таким образом, окончательно вместо
G.16) получаем упрощенное уравнение
ф = - А + -?-j cos (Ф + в) - q sin 2Ф. G.18)
Решение последнего уравнения может быть найдено графическим
способом. Когда значение в мало, то, очевидно, при одновременном
изменении р и А, так что значению р = 0 соответствует значение А = 0,
никаких скачков внутри полосы нет. Покажем, что фазовых скачков
нет до тех пор, пока \0\ < тг/4.
Для этого рассмотрим стационарные решения уравнения G.18), т. е.
решения при условии, что Ф = 0, в случаях, когда в близко к значению
(—тг/4), но в первом случае больше него, а во втором — меньше.
Если начертить на графике (рис. 7.3) правую часть соотношения

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
417
A I
~% ~ж/2 \ X
а
~ М /
- 1,0 /
- 0,6 /
-0,2 / Ф
-4),2 я/2/ я
--0,6 /
-4,0 /
¦-1,4 А
А ,
Рис. 7.3. Графическое решение уравнения G.18) при условии в > — тг/4. Здесь
а соответствует случаю р<0и |р| ^ |^|; б"— р < 0, |р|~|^|; в — р = 0; г —
р > 0
д =
р
COS в
+ 6) — ^ sin 2Ф,
G.19)
то координата пересечения ниспадающего с увеличением Ф участка
этой линии с прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на
величину Д (отмечена на рис. 7.3 штриховой горизонтальной линией),
даст значения стационарной фазы. Из рис. 7.3 а, построенного для р <
< 0 и |р| > \q\ видно, что устойчивые значения фазы расположены
в случае больших отрицательных р в окрестности Ф = 0. Рисунок 7.3 б
соответствует случаю р < 0 и |р| « \q\, рис. 7.3 в — случаю р = 0. Из
рассмотрения рисунков следует, что при р, сравнимом с </, появляется
вторая область постоянных фаз вблизи ф = тг. При изменении р от
отрицательных значений к положительным эта вторая область все
более и более увеличивается и при достаточно больших положительных
р область фаз около Ф = 0 сливается с областью устойчивых фаз около
Ф = тг (рис. 7.3 г).
27 Трубецков, Храмов

418
Лекция 7B2)
А |
к/2 к
-0,2
4) ,6
-1,0
-1,4
Рис. 7.4. Графическое решение уравнения G.18) при условии в < — тг/4. Здесь
а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |д|; б" — р < 0, |р| ~ |д|; в — р = 0; г —
р > 0
Если одновременно с р изменять параметр А от отрицательных
к положительным значениям так, чтобы устойчивая фаза находилась
бы в области Ф = 0 вплоть до присоединения ее к другой области
синхронизации, то скачка амплитуды и фазы не происходит, так как
такой скачок связан с переходом из одной области устойчивых фаз
в другую.
Непрерывный переход из одной области синхронизации в другую
обусловлен, таким образом, возможностью плавного присоединения
области синхронизации вблизи значения Ф = 0 к области Ф = тг.
Положение изменится, если величина в близка, но меньше тг/4
(рис. 7.4). В этом случае, как видно из рассмотрения рисунков, плавное
присоединение области фаз около значения Ф = 0 к другой области при
изменении параметра р не имеет места. Область устойчивых фаз около
значения Ф = 0 при увеличении р исчезает (рис. 7.4 г), и фазы, находя-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
419
А/, МГц
10
20
30 AF,B
Рис. 7.5. Области бесскачковой взаимной синхронизации двух отражатель-
отражательных клистронов с различным уровнем связи Qa на плоскости управляющих
параметров (ДV, Д/)
щиеся в ней, скачкообразно переходят в область значений около Ф = тг.
Таким образом, вплоть до значений в = тг/4 возможен плавный переход
от состояния, когда один клистрон захватывает другой, к обратному
состоянию.
Рассмотрим теперь результаты экспериментальных исследований
синхронизации двух связанных отражательных клистронов, следуя
работе [31]. В рассматриваемом эксперименте объемные резонаторы
клистронов были связаны между собой и настроены так, что раз-
разность их парциальных частот /2 — Д = Д/ меньше общего диапазона
электронной перестройки частоты отдельного клистрона. Потенциалы
отражателей V\ и Vi различаются на постоянную величину AV, не-
несколько меньшую ширины области генерации отдельного клистронного
генератора. Тогда зоны генерации при изменении напряжения V\ будут
следовать одна за другой. Связь между клистронами обеспечивалась
за счет прямоугольного отверстия, которое связывало тороидальные
объемные резонаторы.
Используемые в эксперименте клистроны имели резонаторы с оди-
одинаковой нагруженной добротностью Qi = Q2 = Q = 200. Диапазон
длин волн, в которых работали клистроны, составлял Л = 10 см.
Эксперимент показал, что для бесскачковой синхронизации необхо-
необходимо и достаточно, чтобы значения параметров Д V, Д/ и коэффици-
коэффициента связи а между клистронами лежали в некоторой вполне опреде-
определенной области. Вне этой области параметров, которая соответствует
синхронному режиму, совмещение областей генерации клистронов со-
сопровождается либо скачками амплитуды и частоты генерации, либо
возникновением двухчастотной генерации.
27*

420 Лекция 7B2)
Области взаимной синхронизации, в которых клистроны работают
синхронно без скачков амплитуды и фазы, показаны на рис. 7.5. При
очень малых коэффициентах связи Qa < 0,014 бесскачковая синхро-
синхронизация клистронов практически невозможна. Возрастание а приво-
приводит к появлению бесскачковой взаимной синхронизации в небольшой
области значений AV и А/, которая увеличивается с ростом а (см.
рис. 7.5). Однако при Qa > 3,0 появляются амплитудные и частотные
скачки, обусловленные нагрузочным гистерезисом. При этом бесскач-
бесскачковая взаимная синхронизация клистронов не может быть получена ни
при каких значениях AV и А/.
Оптимальным значением коэффициента связи, при которой область
синхронизации наиболее велика, является величина а « 1/Q- Два дру-
других основных параметра AV и А/ выбирались в эксперименте [31]
в зависимости от типа используемых клистронов и ширины полосы
электронной настройки, которую хочется получить.
Синхронизация автоколебаний в распределенной
системе «винтовой электронный поток—встречная
электромагнитная волна»
Рассмотрим теперь синхронизацию автоколебаний в распределен-
распределенной активной среде типа «электронный поток, длительно взаимодей-
взаимодействующий с электромагнитным полем» на примере мазера на цик-
циклотронном резонансе со встречной волной (гиролампы со встречной
волной).
Для исследования влияния внешнего сигнала на гиро-ЛВВ восполь-
воспользуемся системой нестационарных нелинейных уравнений, полученных
в лекции 1 A6) методом усреднений на основе простой, не учитываю-
учитывающей влияние пространственного заряда модели винтового электронно-
электронного пучка, взаимодействующего со встречной электромагнитной волной
(см. соотношения A.185)—A.187)):
^-J>(l-|/3|2)/3 = F, G.20)
где все обозначения обсуждались в лекции 1.
Внешний управляющий сигнал вводится на коллекторном конце
системы:
F(? = A) = FBH. G.22)
В простейшем случае управляющий сигнал представляет собой гармо-
гармонический процесс FBH = Fq exp (jflr). Здесь Fq — амплитуда внешнего
гармонического сигнала, ?1 — отстройка частоты внешнего воздействия
от частоты «холодного» синхронизма и (см. условие A.161)).

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
421
Проанализируем, следуя работам Р. Адлера, Б.Е. Железовского
и Э.В. Кальянова [42,43], ширину полосы фазовой синхронизации
и характеристики автоколебаний при выходе из области синхронизации
в гиро-ЛВВ [33]. Предполагая случай слабого внешнего сигнала Eq,
вводимого на коллекторном конце лампы (см. G.22)), будем считать,
что он влияет только на фазовые соотношения выходного сигнала
?вых. При этом предположим изменение амплитуды выходного
сигнала малым АЕВЫ^ <С ?Вых, и, как следствие, будем пренебрегать
им по сравнению с самой величиной Евы^. Тогда, если частота
внешнего сигнала и собственная частота автоколебаний в гиро-ЛВВ
отличаются, возникает фазовый сдвиг ip между колебаниями поля
на выходе в автономном и неавтономном режиме, обусловленный
изменением условий взаимодействия поля
бегущей волны с винтовым пучком. На
рис. 7.6 представлена векторная диаграм-
диаграмма мгновенных напряженностей выходно-
выходного ?вых, собственного Е и внешнего Eq Е@) i
полей на выходе ? = 0 гиро-ЛВВ. В соот-
соответствии с ней выразим возникающий фа-
фазовый сдвиг <р через мгновенную разность
фаз а между полем ?вых неавтономной
гиро-ЛВВ и управляющим сигналом Eq на
выходе системы как
G.23)
Рис. 7.6. Векторная диа-
диаграмма мгновенных напря-
напряженностей полей на выходе
гиро-ЛВВ
Записанное выражение справедливо как
в полосе синхронизации, так и при выходе
из нее.
Мгновенная разность фаз а между по-
полем синхронизируемой системы с частотой
и и внешним гармоническим воздействием
(его частота равна ft) может быть запи-
записана как uj — ft = da/dr^ где производная
da/dr имеет смысл мгновенной угловой частоты биений. Тогда, вводя
невозмущенную частоту биений автономных колебаний и внешнего
сигнала (ljq — ft), отстройку частоты выходного поля неавтономной
системы от частоты автономных колебаний (oj — ljq), уравнение для а
можно записать в виде
da
UJ - L00 =
G.24)
Режим синхронизации колебаний поля на выходе системы соответству-
соответствует разности фаз а = const или da/dr = 0.
Найдем изменение фазы ср сигнала на выходе гиро-ЛВВ при из-
изменении частоты ее колебаний под воздействием внешнего поля. Для
этого необходимо задать распределение высокочастотного поля Е(х)

422 Лекция 7B2)
вдоль системы. Аналитическое решение данной задачи проведем в рам-
рамках линейного стационарного приближения. Предполагая изменения
величины поля и радиуса траектории электронов малыми, линеаризуем
исходную нестационарную систему уравнений G.20)-G.22), а также
перейдем от нестационарного уравнения возбуждения G.20) к стацио-
стационарному.
Вводя новые переменные / = /eJM^ и F = FeJM^, легко получить
следующую систему линейных уравнений:
^+7=-j6F, G.25)
^ - ЛЬ +/i)F =-7, G.26)
где
b = (и + /3ov\\ - ujc)/kev\\ G.27)
— параметр холодного рассинхронизма, к = и/с.
Для решения системы уравнений G.25) и G.26) воспользуемся мето-
методом последовательных приближений [44,45]. Задавая в качестве нуле-
нулевого приближения поле невозмущенной волны Е°(^) = Е^е~^0<у^~А\
получаем, что распределение поля вдоль пространства взаимодействия
в первом приближении определяется следующим образом:
Е(О = Eoe~jM^-A) [A + С2 Re Ф(Ф0) + /^3 Re 0(ФО)J +
+ (?21тФ(Ф0) + /^31т0(Фо)J| -ехр(^1(Фо,?,/х)), G.28)
где функция ^]_(Фо, ?,//), описывающая фазу поля в гиро-ЛВВ, запи-
записывается как
"'" , G.29)
а функции Ф(Фо) и 0(Фо) имеют вид, характерный для линейной
и квадратичной группировки соответственно [45]:
Ф(Ф0) = 1~в '*2~J'*°. 0(ФО) = -
Фо Фо
G.30)
Величина Фо = (Ь + //)? представляет собой относительный угол про-
пролета электронов-осцилляторов в пространстве взаимодействия.
Тогда в соответствии с соотношением G.28) фазу поля на выходе
гиро-ЛВВ относительно фазы управляющего сигнала можно записать
как
^ = -AH + ^0,/L,/i). G.31)

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 423
Найдем изменение фазы поля (а следовательно, и частоты генерации)
при воздействии на систему внешнего сигнала. Для этого разложим
фазу в ряд по углу пролета Фо около точки, соответствующей часто-
частоте ооо автономных колебаний. Полагая, что изменение частоты мало,
ограничимся первым членом в разложении фазы поля G.31)
Ф = Фш0 + ( ^Г^1(ф(ь^/-0 ) Дфо, G.32)
где|АФ0| = |Фо()о1
Перейдем от величины |ДФо| к изменению частоты. Для этого вос-
воспользуемся определением относительного угла пролета Фо. Продиффе-
Продифференцируем выражение G.27) для Ь. Тогда
с V\\ с1Уф\ I (У\\?\
~~i — I 2 2 1 I / I ) '
duo \ш v^ duo ) I \ с J
Подставляя в полученное выражение значение dv$/du из формулы
Рэлея
/V ^Ф duo
получаем
duo
С учетом последного выражения приближенное соотношение, связы-
связывающее относительное изменение угла пролета Фо с малой отстройкой
частоты внешнего сигнала от частоты автономной генерации, записы-
записывается как
Дф0 ^
Окончательно выраж;ение для фазового сдвига между полем син-
синхронизируемой гиро-ЛВВ и управляющим сигналом на выходе системы
с учетом выражений G.31) и G.34) принимает вид
^, G.35)
uj
)
v\\e
где функция ?(Фо) определяется как
GM)
Используя соотношения G.23), G.24) и G.35), окончательно получа-
получаем дифференциальное уравнение для разности фаз а между выходным

424
Лекция 7B2)
S
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
А = 2,0
2,2
2,5
3,0
4,0
2 4 6 8 10 12 14 \х
s
1,0
0,5
:6,o\
: 2,0*^
7
10,0
V
X
4
6
8
»- —
10
— -
17
— ¦
A
Рис. 7.7. Зависимости коэффициента синхронизации S от параметра неизо-
неизохронности (а) и длины системы (б)
полем неавтономной гиро-ЛВВ и внешним сигналом в виде
dr
где функцию
1 1
= 0, G.37)
G.38)
назовем коэффициентом синхронизации.
Уравнение G.37) описывает поведение фазы выходного поля гиро-
ЛВВ при воздействии на нее высокочастотного поля с частотой ?1.
Из него следует, что возможен режим синхронизации неавтономной
гиро-ЛВВ, который соответствует случаю постоянной разности фаз
между выходным и управляющим сигналом (da/dr = 0). В этом случае
неавтономная генерация происходит на частоте внешнего воздействия.
Максимальная величина частотной отстройки, при которой еще воз-
возможно существование синхронного режима работы, определяется усло-
условием sin а = =Ы. Тогда ширина полосы синхронизации До; = 2\ujo — ?18\,
где ?ls — частота, соответствующая границе области синхронизации,
определяется в соответствии с уравнением G.37) выражением
G.39)
Из полученного соотношения следует, что ширина полосы синхро-
синхронизации определяется в первую очередь коэффициентом синхрониза-
синхронизации и мощностью управляющего сигнала.
На рис. 7.7 представлены зависимости величины коэффициента
синхронизации S от основных управляющих параметров — параметра
неизохронности /i и безразмерной длины пространства взаимодействия
А. Из рис. 7.7 а следует, что при /i > 6,0 величина S (а следовательно,

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
425
О 1 2 3 4 5 6 7 |П-соо| О 1
5 \-А
Рис. 7.8. Зависимости периода Та биений поля на выходе гиро-ЛВВ от рас-
расстройки \?1 — Сс7о| (а) и частоты автомодуляции /а от координаты простран-
пространства взаимодействия для различных величин расстройки (А = 5, к = 1,0) (б)
и ширина области синхронизации Аи ~ S) перестает меняться с ростом
11. При 11 < 6,0 для малых длин А < 2,5 с увеличением параметра
неизохронности область синхронизации Аи ~ S расширяется, а при
больших А — наоборот, сужается. С увеличением длины системы при
постоянном параметре неизохронности наблюдается уменьшение коэф-
коэффициента синхронизации и ширины области синхронизации (рис. 7.7 б).
При больших длинах пространства взаимодействия А функция коэф-
коэффициента синхронизации S при различных значениях параметра \i
аппроксимируется как 5(Фо, A, /i) ~ 1/A.
Уравнение G.37) позволяет проанализировать поведение неавто-
неавтономной системы и вне области синхронизации, определяемой соотно-
соотношением G.39). Перепишем для удобства рассмотрения уравнение G.39)
в виде
dot
+ иок sin a = п - uq , G.40)
ат
где
-1
Из уравнения G.40) следует, что при к ^ \П — ио\/ио величина а(т)
при г —у оо асимптотически стремится к постоянному значению а =
= const, что соответствует режиму синхронизации в активной среде
«винтовой электронный пучок, взаимодействующий со встречной вол-
волной». При к < \il — Ct;o|/^o не существует постоянного не зависящего
от времени сдвига фаз между сигналом, генерируемым неавтономной
гиро-ЛВВ и управляющим сигналом. В системе имеют место биения
с периодом Та- Зависимость величины Та от расстройки |fi — о;о| для
различных значений параметра к представлена на рис. 7.8 а. Заметим,
что изменение величины к можно интерпретировать как изменение
амплитуды внешнего воздействия при прочих равных параметрах, учи-
учитывая, что к ~ Eq. Из рис. 7.8 а следует, что период автомодуляции

426 Лекция 7B2)
стремится к бесконечности при приближении к границе области син-
синхронизации \П — а;о|/^о —> м- Одновременно видно, что с ростом ам-
амплитуды внешнего воздействия увеличивается период биений поля на
выходе лампы при одинаковой величине расстройки. При увеличении
величины \П — ljq\ период биений уменьшается и стремится к одинако-
одинаковым величинам для различных амплитуд внешнего воздействия. Одно-
Одновременно, при увеличении отстройки форма автомодуляции становится
близкой к синусоидальной.
Заметим, что уравнение G.37) (или уравнение G.40)) можно исполь-
использовать и для описания характерных особенностей пространственной
динамики неавтономной гиро-ЛВВ. Определяющей характеристикой
неавтономных колебаний в гиро-ЛВВ является коэффициент синхро-
синхронизации G.38), который, учитывая соотношения для распределения по-
поля G.28) и фазы поля G.29), может рассматриваться как функция про-
продольной координаты формальной заменой А •<->¦ ?. Тогда зависимости
коэффициента синхронизации S от длины системы Л, представленные
на рис. 7.7 а, можно интерпретировать как распределение величины S
вдоль системы при фиксированном безразмерном параметре Л, пара-
параметре неизохронности /i и расстройке Ь.
Будем считать фазу а = а(т,?) не только функцией времени, но
и координаты, и рассматрим решение уравнения G.40) в каждой точке
пространства взаимодействия с учетом того, что коэффициент к также
является функцией координаты: к = х(?).
Режим синхронизации имеет место при к ^ |fi — cl7o|/cl7q и функция
х, = х(?) является спадающей с ростом ? (при больших ?, как было по-
показано выше, можно считать, что к ~ I/O- Тогда при малых ? и доста-
достаточно малой расстройке всегда будет иметь место режим синхрониза-
синхронизации, соответствующий постоянному значению фазы а = const. Однако
с ростом координаты ? и уменьшением величины х(?) может возник-
возникнуть ситуация, когда режим синхронизации разрушится. Это означает,
что пространство взаимодействия лампы делится на две характерные
области — область длины А8, где имеет место режим синхронизации
колебаний (область синхронизации, примыкающая к коллекторному
концу лампы; As — длина синхронизации), и область длины (А — А8),
в которой наблюдается разрушение режима синхронизации.
Таким образом, в неавтономной электронно-волновой системе
с длительным взаимодействием типа «винтовой электронный
поток-встречная электромагнитная волна» имеют место колебания
с меняющйся частотой и формой в пространстве взаимодействия.
Это иллюстрирует рис. 7.8 б, на котором представлены зависимости
частоты биений /д поля Е(?) от пространственной координаты
для различных значений расстройки \?1 — и>о\. Видно, что длина
синхронизации А8, т.е. область, где колебания поля синхронны
с внешним сигналом (этой области соответствует частота биений /д =
= 0) увеличивается с уменьшением величины \?1 — и® .
Обратимся теперь к изучению синхронизации автоколебаний
в гиро-ЛВВ путем численного интегрирования нелинейной неста-
нестационарной системы уравнений G.20)-G.22). Рассмотрим влияние

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
427
Fo
0,6
0,4
0,2
0,0
| | | L
0,31 0,65 1,00 1,34 1,68
0,33 0,66 1,00 1,34 1,68 2,00 О/ш0
Рис. 7.9. Карты режимов на плоскости управляющих параметров частота-
амплитуда внешнего воздействия для автономных режимов стационарной
генерации (а) и периодической автомодуляции (б)
внешнего сигнала на режимы стационарной генерации и периодической
автомодуляции. Параметры, при которых проводились исследования,
следующие: безразмерная длина системы полагалась равной А = 3,0;
параметр неизохронности ц = 2,0 (в автономном случае наблюдается
режим стационарной генерации) и \i — 4,0 (режим периодической
автомодуляции выходного сигнала).
На рис. 7.9 представлено разбиение плоскости параметров ампли-
амплитуда Fo-частота ft внешнего воздействия на характерные режимы
пространственно-временных колебаний в гиро-ЛВВ для режима ста-
стационарной генерации (рис. 7.9 а) и автомодуляции (рис. 7.9 б) в авто-

428 Лекция 7B2)
номном режиме. Рассмотрим динамику генератора под воздействием
управляющего сигнала более подробно.
При близости частоты внешнего воздействия ft к собственной ча-
частоте стационарной генерации автономной системы ojq в генераторе
имеет место режим синхронизации (отмечен на рисунках 7.9 а и 7.9 6),
в котором частота выходного сигнала и определяется частотой ft внеш-
внешнего воздействия, а амплитуда выходного сигнала F(? = 0, г) после
окончания переходного процесса устанавливается постоянной F(? =
= 0, г) = const (режим стационарной генерации). В случае /i = 2,0
синхронизация колебаний наблюдается при сколь угодно малой ам-
амплитуде Fq внешнего сигнала, а область синхронизации симметрично
расширяется при отстройке частоты ft от ujq при увеличении величи-
величины Fq. В случае ц = 4,0 режим стационарной генерации на частоте
внешнего воздействия возникает при конечной амплитуде Fq внешнего
воздействия и форма области синхронизации сильно асимметричная.
При выходе из области синхронизации с изменением параметров внеш-
внешнего сигнала, как видно из рис. 7.9, имеет место сложная картина
перестройки колебательных режимов генератора. Рассмотрим харак-
характеристики различных колебательных режимов неавтономной системы,
при необходимости снова обращаясь к рис. 7.9.
При пересечении управляющими параметрами границы области
синхронизации на карте режимов (см. рис. 7.9) наблюдается переход
системы в режим автомодуляции, который характеризуется тем, что
амплитуда выходного сигнала генератора \F(? = 0,т)| начинает за-
зависеть от времени. При этом в зависимости от частоты и амплитуды
внешнего сигнала могут возникать режимы как периодической, так
и хаотической автомодуляции. В последнем случае амплитуда выход-
выходного сигнала ведет себя существенно нерегулярно, имеют место колеба-
колебания со сплошным спектром. На карте режимов области периодической
автомодуляции обозначены символами 7^, где индекс ъ соответствует
периоду автомодуляции, области хаотической автомодуляции — симво-
символом С.
При малой фазовой нелинейности (/i = 2,0) из рис. 7.9 а видно, что
режимы периодической автомодуляции с единственной базовой часто-
частотой f a — ^/Та возникают при небольших амплитудах внешнего воздей-
воздействия Fq. Период автомодуляции на границе области синхронизации
стремится к бесконечности и с ростом расстройки плавно уменьшается
(аналогично см. рис. 7.8 а). С ростом Fq при определенных частотах
ft наблюдается явление удвоения периода (области Тч и Т± на карте
режимов). При большой амплитуде внешнего воздействия на карте
режимов наблюдается несколько областей хаотической автомодуляции.
Переход к ним происходит из режимов периодической автомодуляции
после одного или двух удвоений периода автомодуляции Та-
При большом параметре неизохронности /i = 4,0 вид карты режи-
режимов вне области синхронизации существенно меняется (см. рис. 7.9 б).
Перестройка режимов при изменении параметров внешнего воздей-
воздействия достаточно сложна: имеет место большое количество переходов
порядок-хаос и хаос-порядок, сопровождающихся изменением различ-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 429
ных динамических характеристик выходного сигнала генератора (спек-
(спектра мощности, фазового портрета и т. д.).
При небольших амплитудах внешнего сигнала в системе наблюда-
наблюдаются квазипериодические автоколебания (соответствующие области на
карте режимов отмечены символом Q). В области (ft — ljq) < 0 как
видно из рис. 7.9 ?, к границе клюва синхронизации примыкает область
периодической автомодуляции (область 7\), которая с увеличением
амплитуды внешнего воздействия сильно расширяется. При больших
расстройках (ft — ojq) и амплитуде внешнего сигнала Fq меньшей, чем
необходимо для возникновения режимов периодической автомодуля-
автомодуляции 7\, наблюдаются различные режимы как хаотической, так и пери-
периодической автомодуляции выходного сигнала неавтономной системы.
Выход из области периодической автомодуляции при уменьшении
частоты управляющего сигнала ft происходит через режим перемежа-
перемежаемости (область на карте режимов (рис. 7.9 б), обозначенная символом
/). В этом случае у зависимости амплитуды \F\ выходного сигнала
генератора от времени наблюдаются фазы почти периодических коле-
колебаний, прерываемых короткими фазами нерегулярных движений.
При большой нелинейности ц характер перехода системы из области
синхронизации в режим модуляции амплитуды выходного поля претер-
претерпевает изменение. Так модуляция возбуждается мягко по амплитуде,
при этом частота модуляции поля имеет конечное значение /д(Г^) ф О
на границе клюва синхронизации.
При захвате базовой частоты и выходного сигнала F(r) exp (juit)
внешним сигналом с частотой ft имеет место следующее важное явле-
явление, названное в работах [32,33,37,38] квазисинхронизацией автоколе-
автоколебаний. Под режимом синхронизации понимается режим стационарной
генерации на частоте внешнего сигнала. Однако область захвата базо-
базовой частоты генерируемого сигнала существенно больше, чем область
стационарной генерации на частоте внешнего поля (область синхрони-
синхронизации на рис. 7.9).
Будем называть неавтономный режим генерации распределенной
системы, в котором высокочастотные автоколебания происходят на
частоте внешнего управляющего сигнала, режимом квазисинхрониза-
квазисинхронизации. В режиме квазисинхронизации огибающая выходного ВЧ-поля
|i^(r)| демонстрирует сложную динамику (низкочастотную модуляцию
выходного поля). Рисунок 7.10 иллюстрирует вышесказанное. На нем
представлены зависимости разности частот (и — ft) высокочастотных
колебаний на выходе системы от нормированной частоты управляюще-
управляющего сигнала ft/uio при различных амплитудах Fq при /i = 2,0 (рис. 7.10 а)
и /i = 4,0 (рис. 7.10 6).
Из сравнения рис. 7.9 и рис. 7.10 видно, что область захвата частоты
со стороны больших частот совпадает с границей области модуляции
выходного поля (и соответственно области синхронизации), а со сторо-
стороны меньших частот (справа на рис. 7.9) частота внешнего воздействия,
при которой имеет место захват частоты, лежит существенно левее
границы режима стационарной генерации. Граница области захвата
базовой частоты генерации (режима квазисинхранизации) нанесена на

430
Лекция 7B2)
-0,8
0,4 1,0 1,6 2,2 Q/шо
1,2
Q/шо
Рис. 7.10. Разность частот (ft — uj) внешнего воздействия и колебаний при
различных амплитудах внешнего сигнала для случая /i = 2,0 (а) и /i = 4,0 (б)
рис. 7.9 штриховой линией (кривая 1). Заметим, что линия 1 и граница
области синхронизации не совпадают при любой сколь угодно малой
амплитуде внешнего воздействия Fq как в случае малой (fi = 2,0;
рис. 7.9 а), так и большой фазовой нелинейности (fi = 4,0; рис. 7.9 б).
В режиме квазисинхронизации генерация высокочастотного излу-
излучения имеет место на частоте и® « ft, а амплитуда выходного поля \F\
медленно меняется с временным масштабом Та- Область квазисинхро-
квазисинхронизации исследуемой неавтономной системы соответствует области на
карте режимов (см. рис. 7.9) между линией 1 и правой границей клюва
синхронизации (см. рис. 7.10).
При выходе из области квазисинхронизации частота ВЧ-генерации
при увеличении отстройки частоты внешнего воздействия ft от часто-
частоты генерации и) автономной системы стремится к частоте автономной
генерации.
Таким образом, можно говорить о «расщеплении» границы клюва
синхронизации при воздействии внешнего гармонического сигнала на
автоколебания в распределенной активной среде «винтовой электрон-
электронный пучок-встречная электромагнитная волна». Если под синхрони-
синхронизацией понимать установление в активной среде колебаний на часто-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 431
те управляющего воздействия ft и без дополнительных спектральных
компонент в спектре мощности генерации (т. е. с неизменяющейся во
времени амплитудой поля \F\), то граница области синхронизации
соответствует области стационарной генерации на карте режимов (см.
рис. 7.9; сплошная линия). Другая ситуация складывается, если под
синхронизацией понимать только захват базовой частоты в спектре
мощности генерации гиро-ЛВВ управляющим сигналом, так что \ft —
— и\ = const. В последем случае стоит говорить о режиме квази-
квазисинхронизации, который занимает существенно большую область на
плоскости управляющих параметров (ft/uio, Fq). При этом в режиме
квазисинхронизации амплитуда выходного сигнала \F(? = 0, т)\ может
вести себя достаточно сложно во времени, совершая как периодические,
так и хаотические колебания. Вместе с тем ВЧ-генерация в системе
происходит на частоте внешнего воздействия.
Рассмотрим физические процессы, сопровождающие перестройку
режимов колебаний в гиро-ЛВВ под воздействием внешнего управляю-
управляющего сигнала с амплитудой Fq и частотой ft.
Частота ВЧ-генерации определяется как поправка и к частоте «хо-
«холодного» синхронизма и). Частота ио определяется фазой </?f(?, t) поля
F(?,t) = \F(^,r)\exp[jipjr(^,r)]. В режиме одночастотной ВЧ-гене-
ВЧ-генерации поправка к частоте может быть представлена в виде
и0 = lim </?f@,t)/t. G.41)
т—>-оо
Если считать фазу (Pf(?,,t) периодической функцией с периодом 2тг,
т. е. рассматривать функцию
Vf(?,t) = <pf(?,t) mod 2тг, G.42)
To7pF ведет себя периодически с периодом 1/ojo (рис. 7.11 а), на котором
представлены проекции распределения поля \F\ и фазы поля TpF на
плоскость ?т в режиме стационарной автономной генерации. В режиме
сложной динамики фазы TpF(r) частота о;о, находящаяся из соотноше-
соотношения G.41), определяет характерный временной масштаб ВЧ-генерации.
Квазисинхронизация колебаний, т.е. генерация ВЧ-излучения на
частоте ujq = fi, соответствует периодическим колебаниям фазы TpF
с частотой ft. При этом амплитуда выходного ВЧ-поля \F\ может
вести себя во времени достаточно сложно, демонстрируя как режимы
периодической, так и хаотической модуляции.
Рассмотрим подробнее поведение амплитуды и фазы поля F в гиро-
ЛВВ в области синхронизации и вне ее при малой неизохронности \i —
= 2,0. На рис. 7.11 б-г показаны пространственно-временные распре-
распределения амплитуды и фазы поля F(?,t), построенные для различных
режимов неавтономной генерации гиро-ЛВВ.
Как показывает анализ рисунков 7.11 б и 7.11 г, в режиме, отлич-
отличном от режимов квазисинхронизации и синхронизации, пространство
взаимодействия можно условно разделить на две области. В первой,
примыкающей к коллекторному концу системы ? = Л, колебания фазы
TpF происходят с частотой внешнего воздействия ft. Далее, в доста-

432
Лекция 7B2)
42.0 46.0 50.0 54.0 58.0
2,0;
1,0
ч ч ч ч ч
0,0
42Л) 46л) 50JJ 54J.) 58,0 т
,0,5
2,0
1,0
\\\\\
¦
0,0
\CVfV
42,0 46,0 50,0 54,0 58,0
Рис. 7.11. Пространственно-временные распределения амплитуды и фазы
поля при /j, = 2,0 (построенные при амплитуде внешнего воздействия Fq =
= 0,3): а— автономный режим генерации; б— режим автомодуляции с перио-
периодом 1, отличный от квазисинхронизации; в — режим стационарной генерации,
область синхронизации; г — режим автомодуляции с периодом 2, отличный
от режима квазисинхронизации

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 433
точно узкой области пространства взаимодействия наблюдается резкое
изменение величины фазы поля lpF, которая практически скачком
изменяется на величину тг. В области вблизи выхода системы ? = О
колебания фазы имеют место на частоте о;, отличной от ft. Таким
образом пространство взаимодействия неавтономной системы делится
на две характерные области пространственно-временных колебаний —
область синхронных с управляющим сигналом временных колебаний
и область, в которой имеют место колебания на частоте, отличной от
частоты управляющего сигнала. Эти две характерные области разде-
разделены узкой областью, в которой наблюдаются резкие скачкообразные
изменения фазы поля TpF. С увеличением отстройки (ft — fts) < 0 от
границы клюва квазисинхронизации fts область пространства, в кото-
которой наблюдаются синхронные колебания, уменьшается.
В режиме квазисинхронизации колебания во всем пространстве вза-
взаимодействия происходят на частоте внешнего воздействия ft. На проек-
проекции распределения ^F(^, г) (см. рис. 7.11 в) имеет место периодическая
картина, идентичная наблюдаемой в случае автономных колебаний (см.
рис. 7.11 а), но с частотой и>0 = ft.
При большой неизохронности ц > 3,0, соответствующей автомо-
автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ в автономном режиме, карти-
картина разрушения состояния квазисинхронизации при отрицательной от-
отстройке (ft — fts) < 0 выглядит аналогично. На рис. 7.12 а представ-
представлены распределения |F(?, т)\ и ty?/r(?, т), построенные при параметрах
внешнего сигнала, соответствующих области вблизи границы клюва
квазисинхронизации. Амплитуда выходного сигнала \F\ в этом случае
ведет себя сложным образом, демонстрируя хаотическую модуляцию.
Последнее хорошо видно на пространственно-временном распределе-
распределении амплитуды \F\ поля (см. рис. 7.12 а). Что касается распределения
fpjr, которое определяет частоту генерации системы в данном режиме,
то оно близко к характерному для режима квазисинхронизации (это
выражается в отсутствии резких скачков фазы поля). При этом фаза
в пространстве ведет себя нерегулярным образом, характерная частота
генерации ujq < ft. Однако, как и раньше, в области вблизи правого
конца системы динамика фазы регулярна и происходит на частоте,
равной частоте управляющего сигнала ft.
При положительной отстройке (ft — fts) > 0 и большой величине па-
параметра неизохронности ц ситуация меняется. В этом случае в области,
примыкающей к правой границе системы ? = Л, наблюдаются не коле-
колебания на частоте внешнего сигнала ft, как было при малом /i, а имеют
место квазипериодические колебания с базовыми частотами и® и ft. Это
хорошо видно из анализа пространственно-временного распределения
фазы ТрF (см. рис. 7.12 6), построенного для режима периодической
автомодуляции, несоответствующей области квазисинхронизации.
Возникновение автомодуляционных режимов в исследуемой систе-
системе под воздействием управляющего сигнала определяется, во-первых,
запаздывающим характером обратной связи [46], и, во-вторых, пере-
перегруппировкой электронов в сильном поле [47-49], т.е. с амплитудной
нелинейностью системы.
28 Трубецков, Храмов

434
Лекция 7B2)
\F\
\\W\\\ v\w
42,0 46,0 50.0 54,0 58,0 т
\F\
2,0
1,0
2,0.
1,0-
vvvvuuv
I
0,5
WvwYN
42,0 46,0 50,0 54,0 58,0
I
0,0
0
Рис. 7.12. Пространственно-временные распределения амплитуды и фазы
поля при /1 = 4,0 (построенные при амплитуде внешнего воздействия Fq =
= 0,32): а — область вблизи границы клюва квазисинхронизации, хаотиче-
хаотическая автомодуляция амплитуды выходного сигнала (ft/cuo = 1,8); б— режим
периодической автомодуляции, не соответствующий области квазисинхрони-
квазисинхронизации (fl/wo = 0,14)
На рис. 7.13 а представлены распределения сгруппированного тока
|/(?I (сплошная линия) и поля |^(?)| (штриховая линия) в режиме
стационарной генерации в автономном режиме работы гиро-ЛВВ. Оба
распределения имеют вид функций с одним максимумом. Это соответ-
соответствует формированию на длине пространства взаимодействия одного
фазового сгустка в потоке электронов-осцилляторов. Падение величи-
величины |/(?)| к концу пространства взаимодействия ? = А свидетельствует
о разгруппировке фазового сгустка. При малых амплитудах внешнего
воздействия в режиме синхронизации вид распределений тока и поля
качественно не меняется (рис. 7.13 б, соответствующий границе области
синхронизации).
При выходе из области синхронизации влияние внешнего сигна-
сигнала сказывается в нарушении фазовых соотношений, соответствующих
режиму стационарной генерации, между комплексными амплитудами
поля F и тока /. Как следствие этого, режим синхронизации со стацио-
стационарными распределениями тока и поля вдоль системы теряет устойчи-
устойчивость. Это связано с возникновением дополнительной распределенной
обратной связи в системе: сгруппированный в сильном поле винтовой
электронный пучок приходит к коллекторному концу системы ? = А

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
435
Рис. 7.13. Распределения амплитуды тока |/(?)| (сплошная линия) и поля
|F(^)| (штриховая линия): а— при стационарной генерации (параметр неизо-
неизохронности /1 = 2,0) в автономном режиме; б — в неавтономном режиме при
малых амплитудах внешнего воздействия, соответствующем границе области
синхронизации (режим стационарной генерации на частоте внешнего воздей-
воздействия); в — в неавтономном режиме, соответствующем периодической авто-
автомодуляции выходного сигнала (большая амплитуда внешнего воздействия)
со скоростью v\\ уже перегруппировавшись; возбуждаемое сгруппиро-
сгруппированным током поле смещается со скоростью vg к входному концу ? =
= 0 системы; сгруппированный в слабом поле пучок возбуждает теперь
сильное поле, в котором винтовой электронный пучок и перегруппи-
перегруппировывается. Таким образом, при переходе частоты ft границы области
синхронизации при данном Fq ранее стационарные распределения |/|
и \F\ начинают смещаться в сторону ? = 0, причем максимум поля
растет по величине при движении из-за взаимодействия с волной тока,
пока не достигнет конца системы. Из оставшегося распределения F(?)
под влиянием внешнего поля опять выделяется основной тип колеба-
колебаний, и процесс периодически повторяется с временным масштабом Та-
Следует заметить, что при большой величине параметра неизо-
неизохронности (/i > 3,0), когда в автономной системе наблюдается автомо-
автомодуляция амплитуды выходного сигнала, при воздействии на систему
гармоническим сигналом в режиме синхронизации удается разорвать
дополнительную внутреннюю обратную связь. Это обусловлено тем,
что внешний управляющий сигнал «навязывает» исследуемой систе-
системе некоторое распределение фазы поля 7pF в пространстве взаимо-
взаимодействия, которое характеризуется отсутствием резких скачков фазы
в пространстве, и которое соответствует оптимальному, в смысле воз-

436 Лекция 7B2)
никновения режима стационарной генерации, фазовому соотношению
между волнами тока / и поля F в гиро-ЛВВ.
Ситуация меняется при росте амплитуды внешнего воздействия Fq.
В этом случае влияние внешнего сигнала приводит к разгруппировке
и далее к формированию вторичного фазового сгустка. Как следствие,
распределения тока и поля вдоль пространства взаимодействия при-
приобретают двухгорбый вид (см. рис. 7.13 в, соответствующий области
синхронизации; на зависимости |/(?)| появляется второй максимум
в области ? > 2,5). При потере устойчивости режима, характеризуе-
характеризуемого «многогорбыми» распределениями поля и тока, при выходе из
области синхронизации за время прохода излучения вдоль длины си-
системы успевают сформироваться не один как при малой амплитуде
Fq, а два или четыре максимума. Поэтому при выходе из области
синхронизации и потере устойчивости режима стационарной генерации
возникают режимы модуляции выходного поля.
Учитывая все вышесказанное, можно, как и при анализе фазовой
синхронизации в рамках линейной стационарной теории, ввести дли-
длину синхронизации А8 (совпадающую с длиной области синхронных
колебаний ? Е (А — А8,А)), на которой имеют место высокочастот-
высокочастотные колебания на частоте внешнего воздействия ft. Далее в области
пространства взаимодействия ? ~ As имеет место разрушение режима
синхронизации, которое связано с резкими скачками фазы поля, и,
как следствие, изменением внутренней структуры электронного пучка
(фазовой перегруппировкой электронов-осцилляторов винтового пуч-
пучка). Разрушение режима синхронизации на длине синхронизации А8
определяется нарушением фазовых соотношений между волной то-
тока и поля, приводящим к возникновению более сложной структуры
пространственно-временных распределений поля F. При фиксирован-
фиксированных безразмерной длине системы А и параметре неизохронности \i
«паразитный» набег фазы поля, возникающий за счет воздействия на
систему управляющего сигнала с амплитудой Fq и приводящий на
длине синхронизации А8 к разрушению режима колебаний на частоте
внешнего воздействия, постоянен и не зависит от частоты внешнего
воздействия. Обозначая «паразитный» набег фазы через Ар запишем,
что Aip = \il — oJo\As/vg или, выражая величину А8, окончательно
получаем выражение для длины синхронизации:
Р G.43)
s \п-шо
Зависимость набега фазы Aip от амплитуды внешнего поля при малых
Fq может быть представлена как Aip = %Fo, где х ~ коэффициент
пропорциональности, зависящий при фиксированной длине системы от
параметра неизохронности /i. Это определяется тем, что при неболь-
небольшом увеличении амплитуды внешнего поля Fq имеет место уменьшение
фазовой разгруппировки и последующей перегруппировки электро-
электронов-осцилляторов винтового потока, приводящее к нарушению фазово-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 437
го соотношения Аср и, как следствие, сохранению режима синхронных
колебаний на большей длине пространства А8.
Границе области квазисинхронизации сответствует длина синхро-
синхронизации, равная длине пространства взаимодействия А8 = А. Тогда из
соотношения G.43) следует, что для границы области квазисинхрони-
квазисинхронизации на плоскости (ft, Fq) можно записать
\П8 - соо\ = ^Fo = const Fo, G.44)
где частота П8 соответствует границе клюва.
Полученные в результате численного моделирования в рамках нели-
нелинейной нестационарной теории феноменологические выражения для
границы клюва синхронизации G.44) и длины синхронизации G.43)
хорошо подтверждают представленные в начале раздела результаты
анализа фазовой синхронизации гиро-ЛВВ в рамках линейной стацио-
стационарной теории. Последняя позволила правильно предсказать форму
границы области синхронизации при малых амплитудах внешнего воз-
воздействия Fq, качественно описать характеристики асинхронного ре-
режима (амплитуду и частоту автомодуляции). Более того, в рамках
стационарной линейной теории удалось правильно описать простран-
пространственную динамику в неавтономной активной среде — было получено,
что синхронизация автоколебаний имеет место только на некоторой
длине А8 (длине синхронизации), которая зависит как от парамет-
параметров активной среды, так и от характеристик управляющего сигнала.
Вместе с тем, линейная стационарная теория не позволила описать
наблюдаемое в численном эксперименте явление расщепления клюва
синхронизации и возникновение режимов квазисинхронизации, когда
ВЧ-генерация имеет место на частоте внешнего воздействия и = fi,
одновременно демонстрируя нестационарную во времени динамику
медленно меняющейся амплитуды поля |F(r)|.
Остановимся теперь на важном с прикладной точки зрения вопросе:
как быстро будет происходить процесс установления режима синхрони-
синхронизации (т. е. какова будет длительность переходного процесса) в актив-
активной среде «винтовой электронный пучок-встречная электромагнитная
волна». Последнее очень важно при синхронизации системы, работаю-
работающей в импульсном режиме, когда необходимо уменьшить длительность
установления синхронного режима. Рассмотрим зависимость длитель-
длительности установления режима синхронизации в гиро-ЛВВ, следуя работе
[50]. В ней рассматривается вопрос о том, какое влияние оказывает
начальная разность фаз ВЧ-поля в режиме стационарной генерации
и внешнего воздействия на длительность интервала времени, за кото-
который осуществляется синхронизация распределенной системы. Предпо-
Предполагается, что внешнее воздействие вида FBH = Fq exp [j(ftr + </?)] вклю-
включается, когда в автономной гиро-ЛВВ завершается переходный процесс
и устанавливается режим стационарной генерации. Начальная фаза
внешнего сигнала ср меняется от 0 до 2тг, тогда как момент времени,
в который включается внешнее воздействие, остается фиксированным.

438
Лекция 7B2)
D
120
100
80
60
40
20
0
? — Q
****** **** V
7ч!Ч
/,'
г/
4—
*•'.
'//
¦V
/ .
/
/
I
A
/ /
/
/
/
/
1/2
\ /
\vi
\\
\
\
\
, = 7A/S .
О
2л/3
4и/3
Ф
Рис. 7.14. Длительность D (в относительных единицах времени) установ-
установления режима синхронизации в активной распределенной среде «винтовой
электронный поток—встречная электромагнитная волна» как функция фазы
внешнего поля для различных сечений пространства взаимодействия
На рис. 7.14 показаны зависимости длительности D установления
режима синхронизации от начальной фазы внешнего поля ip, с которой
подается внешний синхронизирующий сигнал, в различных сечениях
? пространства взаимодействия лампы. Управляющие параметры ис-
исследуемой модели G.20)-G.22) выбраны следующими: А = 3,0, /i =
= 2,0, Fq/F = 0,1 и ?1/ojo = 0,0154, где F и oj$ — амплитуда и частота
автономных колебаний.
Из рисунка следует, что длительность переходного процесса сильно
зависит от начальной фазы входного сигнала и имеет четко выра-
выраженные максимум и минимум, причем максимальная и минимальная
длительности установления режима синхронизации отличаются при-
примерно на порядок. Минимальная длительность переходного процесса
составляет величину Тт-Ш < 20,0, которая соответствует всего 2 Ч- 3 ха-
характерным временам тд запаздывания распределенной обратной свя-
связи исследуемого генератора. Характерное время реакции системы на
внешнее воздействие определяется длиной лампы Л, групповой ско-
скоростью распространения волны в волноведущей структуре vg и пере-
переносной скоростью пучка г>ц. Внешнее поле, подаваемое на вход лампы,
распространяется навстречу пучку, производя модуляцию винтового
электронного потока, который в свою очередь переносит эту инфор-
информацию к входу (коллекторному концу) лампы со скоростью г?ц, воз-
возбуждая в волноведущей системе встречную электромагнитную волну,
поле которой складывается с внешним полем. В результате характерное
время равно г а ^ A [l/vg + 1/^ц), что в безразмерных переменных
составляет величину та ^ 6,0.
Последнее означает, что при оптимальной фазе внешнего поля про-
происходит сверхбыстрая синхронизация распределенной автоколебатель-
автоколебательной системы со встречной волной, которая осуществляет обратную

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 439
связь. В случае максимальной длительности Т установление режима
синхронизации осуществляется за время Т > 20тд.
Сравнивая зависимости D(?) длительности переходного процес-
процесса, построенные для различных сечений пространства взаимодействия
лампы (см. рис. 7.14), можно видеть, что в режиме сверхбыстрой
синхронизации наблюдается практически одновременное установление
синхронного режима во всем объеме активной среды. При фазах ip
внешнего поля, отличных от оптимальной, длительность переходного
процесса различна в различных сечениях лампы. Наиболее короткий
переходной процесс имеет место в середине пространства взаимодей-
взаимодействия ? = А/2.
И в заключение раздела отметим, что вблизи правой границы клю-
клюва синхронизации неавтономной гиро-ЛВВ наблюдается явление, на-
называемое переходным хаосом. Под переходным хаосом в отличие от
«классического» динамического хаоса (образом которого в фазовом
пространстве является странный аттрактор, к которому асимптотиче-
асимптотически стремятся фазовые траектории из определенной области фазово-
фазового пространства при t —> ос [20,51,52]), в нелинейных динамических
системах понимается следующее [53]: в фазовом пространстве систе-
системы, демонстрирующей переходной хаос, существует так называемое
«хаотическое седло» (chaotic saddle) — хаотическое множество в фа-
фазовом пространстве, которое является неустойчивым по одному из на-
направлений. Фазовая траектория, стартуя из точек фазового простран-
пространства, лежащих вблизи хаотического седла, долгое время демонстрирует
непериодическое поведение, после чего покидает его окрестность по
неустойчивому направлению и достигает аттрактора, который может
быть как периодическим, так и хаотическим.
В гиро-ЛВВ в неавтономном режиме также наблюдается подобное
явление [34, 35]. На рис. 7.15 представлены характерные временные
реализации выходного сигнала F(? = 0, г) в режиме переходного хаоса,
полученные при различных амплитудах начального возмущения.
Из рис. 7.15 видно, что в зависимости от амплитуды начального
возмущения длительность переходного процесса различна, но, в итоге,
в гиро-ЛВВ устанавливается режим стационарной генерации на ча-
частоте внешнего воздействия. Длительный переходный процесс носит
нерегулярный хаотический характер, что свидетельствует о наличии
в системе явления переходного хаоса.
Особенности синхронизации колебаний в лампе
обратной волны типа О
Согласно работе [54] система уравнений G.20)-G.22), описывающая
взаимодействие винтового электронного пучка со встречной электро-
электромагнитной волной, при больших значениях параметра неизохронности
/i > 1 с точностью до коэффициентов приводится к уравнениям нели-
нелинейной нестационарной теории ЛОВ типа О с малым коэффициентом
усиления, а при введении новых переменных F' = — ^/JlF, ?' =

440
Лекция 7B2)
Рис. 7.15. Типичные временные реализации амплитуды выходного сигнала
неавтономной гиро-ЛВВ в режиме переходного хаоса. Реализации построены
для различных амплитуд начального возмущения. Вертикальными штри-
штриховыми линиями выделена область переходного хаоса. После длительного
нерегулярного переходного процесса в системе устанавливается режим ста-
стационарной генерации
т' — \/7^г полностью переходит в эти уравнения (штрихи над безраз-
безразмерными переменными опускаем) [44,45]:
dF dF
G.45)
G.46)
Формула G.45) представляет собой уравнение движения электронов
в поле синхронной электромагнитной волны, G.46) — уравнение воз-
возбуждения обратной пространственной гармоники электромагнитной
волны. Здесь в — фаза электрона в поле волны, А = 2тгС'N — безраз-
безразмерный параметр, имеющий смысл безразмерной длины пространства
взаимодействия (увеличение параметра А может рассматриваться как
рост тока электронного пучка), С — параметр усиления Пирса [45], N —
электрическая длина лампы. Уравнения G.45) и G.46) должны быть

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 441
дополнены начальными и граничными условиями вида
F(T = 0,() = f(O, »« = 0) = »„,
^[0,2*], f« = 0) = 0. G'47)
Рассмотрим, исходя из модели G.45)-G.47), характерные особен-
особенности неавтономной динамики ЛОВО при влиянии на нее внешнего
гармонического сигнала F(? = А) = Fq exp (jTir), подаваемого на вход
лампы.
Проводя, аналогично тому как это делалось для гиролампы со
встречной волной, анализ фазовой синхронизации ЛОВ внешним сиг-
сигналом, можно показать, что дифференциальное уравнение, описываю-
описывающее динамику разности фаз а между полем синхронизируемой системы
и внешним сигналом, имеет вид
da/dr + и§к sin a — {О, — u$) = 0, G.48)
где коэффициент х определяется как
Здесь функция 0(Фо) (см. формулу G.30)) описывает процесс квадра-
квадратичной группировки в прямолинейном пучке; величина Фо = (/Зе ~ А))?
представляет собой относительный угол пролета электрона в простран-
пространстве взаимодействия, Eq и ?вых — соответственно амплитуда внешнего
и выходного сигнала лампы обратной волны.
Режим синхронизации соответствует случаю постоянной разности
фаз между выходным и управляющим сигналами da/dr = 0. Макси-
Максимальная величина частотной отстройки (ojq — ils), при которой еще
имеет место режим синхронизации, определяется условием sin a = =Ы
(?18 — частота, соответствующая границе области синхронизации). Тог-
Тогда ширина полосы синхронизации Аи = 2\ljq — fls\ в соответствии
с уравнением G.48) определяется выражением
Аи/и0 = 2к. G.50)
Из соотношений G.49) и G.50) следует, что, как и в случае неавто-
неавтономной гиро-ЛВВ, ширина полосы синхронизации определяется в пер-
первую очередь амплитудой управляющего сигнала Eq и длиной системы
А. Величина До;/ljq пропорциональна отношению амплитуд управляю-
управляющего сигнала и выходного сигнала ЛОВ.
Зависимость ширины полосы синхронизации Аи/'ljq от управляю-
управляющего параметра А для различных величин Eq/Евы^ представлена на
рис. 7.16 а. Видно, что с увеличением длины системы А наблюдается
уменьшение ширины области синхронизации Аи/и^. При больших
длинах пространства взаимодействия А зависимость ширины полосы

442
Лекция 7B2)
О 0,23 0,45 0,68 0,91 1,14
Рис. 7.16. а— зависимости ширины полосы синхронизации Auj/ujo от управ-
управляющего параметра Л, построенные при различных величинах Ео/Евых
(отмечены на рисунке); б — частота колебаний как функция координаты
пространства взаимодействия ? для следующих величин расстройки: 1 —
\П - шо\/х = 0,23, 2 — 0,45, 3 — 0,68, 4 — 0,91; в — зависимость длины
синхронизации А3 от величины \?1 — сио\/м:
синхронизации при различных амплитудах внешнего сигнала можно
аппроксимировать степенной функцией вида Auj/ujo ~ \/А.
Анализ уравнения G.48) показывает, что при к ^ |cl?o ~ ^|/^о вели-
величина а при г —у оо асимптотически стремится к постоянному значению,

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 443
что соответствует режиму синхронизации автоколебаний в активной
среде. Наоборот, при к < \ljq — Щ/uio не существует постоянного не
зависящего от времени сдвига фаз а между сигналом, генерируемым
неавтономной ЛОВ, и управляющим сигналом. В системе имеют место
биения с периодом Та, причем как следует из уравнения G.48), период
автомодуляции стремится к бесконечности при приближении к границе
области синхронизации \ljq — Щ/uio —у к. С ростом амплитуды внеш-
внешнего воздействия Е$ наблюдается увеличение периода автомодуляции
при одинаковой величине расстройки |о;о — Щ- При увеличении рас-
расстройки период автомодуляции уменьшается и стремится к постоянной
величине для различных амплитуд внешнего воздействия. Одновре-
Одновременно, при увеличении разности частот |о;о — Щ форма автомодуляции
становится близкой к синусоидальной.
Рассмотрим, как уравнение G.48), впервые полученное для ЛОВ
в работе [43], можно использовать для описания характерных особен-
особенностей пространственной динамики неавтономной ЛОВ. Определяю-
Определяющей характеристикой неавтономных колебаний лампы обратной волны
типа О является коэффициент к, описываемый соотношением G.49).
Рассмотрим фазу между полем Е(?) неавтономной ЛОВ и внешним
сигналом Ео(?) как функцию координаты и времени а = а(т, ?) и най-
найдем решение уравнения G.48) в каждой точке пространства взаимо-
взаимодействия с учетом того, что коэффициент к = х(?). Заметим, что
из определения G.49) следует, что функция к является убывающей
с ростом ?, и при больших длинах пространства взаимодействия х(?) ~
/
/
Режим синхронизации, как было показано выше, имеет место при
я ^ \ojq — Щ. Тогда при малых длинах пространства взаимодействия
и достаточно малой расстройке всегда будет иметь место режим син-
синхронизации, соответствующий постоянному значению фазы а(т,?) =
= const. Однако с ростом координаты и одновременным уменьшением
величины х(?) возможна ситуация, что величина х(?) в некоторой точ-
точке пространства взаимодействия ? = ?* принимает значение, меньшее
\П — а;о|. В этом случае режим синхронизации разрушается.
Последнее означает, что пространство взаимодействия лампы де-
делится на две характерные области — область длины As (которую, как
и выше при рассмотрении гиро-ЛВВ, будем называть длиной синхрони-
синхронизации, As = А — ?*), где имеет место режим синхронизации колебаний,
и область длины А — As, в которой наблюдается разрушение режима
синхронизации. Таким образом, в неавтономной системе в асинхронном
режиме имеют место колебания с меняющйся частотой и формой коле-
колебаний вдоль длины пространства взаимодействия. Это иллюстрирует
рис. 7.16 6, на котором представлены полученные из решения уравне-
уравнения G.48) зависимости характерной частоты и)(?)/и)о автоколебаний
в неавтономной системе в асинхронном режиме от пространственной
координаты ? для различных значений расстройки \?l — ujq\/х. Видно,
что длина синхронизации А8, которой соответствует и)(?)/и)о = 1, уве-
увеличивается с уменьшением величины расстройки. При ? < А8 частота
и)(?) быстро увеличивается и далее практически перестает меняться

444
Лекция 7B2)
\\ Синхронизация /j
1 \ /
'0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 О/ш0
Рис. 7.17. Разбиение плоскости управляющих параметров частота П-
амплитуда Fb внешнего сигнала на характерные режимы неавтономных
колебаний в лампе обратной волны. Штриховой линией 1 отмечена область
квазисинхронизации
с изменением координаты. На рис. 7.16 в показана зависимость длины
синхронизации А8 от величины расстройки |fi — ujo\/x:. Граница обла-
области синхронизации ?18 (отмечена на рис. 7.16 в стрелкой) соответствует
условию, что длина синхронизации становится равной длине системы
As = A.
Изучим теперь синхронизацию автоколебаний в лампе обратной
волны путем численного интегрирования нелинейных нестационарных
уравнений ЛОВ G.45)-G.47).
На рис. 7.17 представлена карта режимов колебаний в системе на
плоскости управляющих параметров нормированная частота Q/uio-
амплитуда Fq внешнего сигнала, построенная при длине системы А =
= 2,2. На ней отмечены области характерных режимов динамики ис-
исследуемой неавтономной системы. При близости частоты ?1 внешнего
воздействия к частоте генерации oj$ автономной системы лампа обрат-
обратной волны демонстрирует режим синхронизации (отмечен на рис. 7.17),
в котором частота выходного сигнала и определяется частотой внеш-
внешнего воздействия, а амплитуда выходного сигнала \F(^ = 0,т)| после
окончания переходного процесса устанавливается постоянной (режим
стационарной генерации). Когда значения управляющих параметров
соответствуют пересечению границы области синхронизации (сплош-
(сплошная линия на рис. 7.17), имеет место переход системы в режим модуля-
модуляции выходного сигнала. В этом случае амплитуда сигнала \F(^ = 0, т)|
начинает периодически изменяться во времени.
При исследовании зависимости базовой частоты и выходного по-
поля FBbIX = |F(r)|eja;r неавтономной системы от параметров внешнего
управляющего сигнала было обнаружено, что область захвата частоты
uj шире области стационарной генерации, которая отмечена на карте
режимов как область синхронизации. Граница области захвата частоты
нанесена на рис. 7.17 штриховой линией (кривая 1). При частотах внеш-
внешнего воздействия, больших частоты автономной генерации {?1/и$ >
> 1,0), область захвата частоты при малых амплитудах внешнего воз-
воздействия Fq совпадает с границей области автомодуляции (и соот-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
445
Аш/шо
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
°0
ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Fo
ОД ^ — ^________
2,8
Рис. 7.18. а — ширина полосы синхронизации (штриховая линия) и квазисин-
квазисинхронизации (сплошная линия) как функция амплитуды внешнего сигнала
Fo/FBblx, построенные при различных длинах системы А; б — зависимости
ширины полосы синхронизации Auj/ujo от длины системы А, построенные
при различных амплитудах управляющего сигнала Fq/ FBbl* (отмечены на
рисунке; FBbl* — амплитуда выходного сигнала в автономном режиме)
ветственно области синхронизации). Заметим, что линия 1 и граница
области синхронизации в области меньших частот (Q/uio < 1,0) не
совпадают при любой сколь угодно малой амплитуде внешнего воздей-
воздействия Fq.
Режим колебаний неавтономной системы, соответствующий захва-
захвату частоты и высокочастотной генерации, как и выше в случае гиро-
ЛВВ, назовем режимом квазисинхронизации. В нем генерация высо-
высокочастотного излучения имеет место на частоте о; « fi, а амплитуда
выходного поля \F\ может медленно меняться с характерным вре-
временным масштабом Та. При выходе из области квазисинхронизации ба-
базовая частота генерации при увеличении отстройки частоты внешнего
воздействия ?1 от границы области квазисинхронизации ils стремится
к частоте автономной генерации.
На рис. 7.18 представлены зависимости ширины полосы квазисин-
квазисинхронизации от амплитуды внешнего сигнала Fq при различных значе-

446 Лекция 7B2)
ниях длины лампы (рис. 7.18 а) и от безразмерной длины системы А при
различных амплитудах внешнего воздействия (рис. 7.18 б). Рассмотрим
их более подробно.
Из рис. 7.18 а следует, что ширина полосы квазисинхронизации
(сплошная линия) при малых длинах системы с ростом амплитуды
внешнего сигнала растет по закону, близкому к линейному. Это под-
подтверждает результаты, полученные в предыдущем разделе: полоса
синхронизации растет при малых амплитудах внешнего поля линейно
с увеличением Eq (cm. соотношения G.49) и G.50)).
Зависимость ширины полосы синхронизации (штриховая линия на
рис. 7.18 а) от величины Fq при увеличении амплитуды внешнего сиг-
сигнала отклоняется от линейной. При этом отметим, что ширина полосы
квазисинхронизации при малой безразмерной длине лампы А суще-
существенно больше, чем ширина полосы синхронизации. С увеличением па-
параметра А разница между шириной полосы синхронизации и шириной
полосы квазисинхронизации уменьшается. При приближении длины
системы к значению А = 2,9, когда в автономной системе возникает
автомодуляция выходного сигнала, область синхронизации, в которой
имеет место режим стационарной генерации на частоте внешнего сиг-
сигнала, исчезает. Однако при этом в неавтономной системе сохраняется
режим квазисинхронизации, в котором частота выходного сигнала и =
= fi, а амплитуда выходного сигнала \F\ зависит от времени (см. кри-
кривые на рис. 7.18 а, соответствующие А = 2,8 и 3,5).
На рис. 7.18 б показана зависимость ширины полосы квазисинхро-
квазисинхронизации Au/uq от параметра А. Сравнивая рис. 7.18 6, полученный
в результате численного моделирования, с результатами стационарного
анализа синхронизации ЛОВ (см. рис. 7.16 6) можно заключить, что
проведенный стационарный анализ синхронизации при малых длинах
системы и малой амплитуде внешнего сигнала хорошо подтвержается
результатами решения полной нелинейной нестационарной системы
уравнений ЛОВО. Ширина полосы квазисинхронизации Аи/'ljq с ро-
ростом параметра А уменьшается и при А > 2,2 -г 2,6 (в зависимости от
амплитуды Fq) практически перестает меняться с изменением А.
При переходе через границу области синхронизации (сплошная ли-
линия) возникает режим автомодуляции выходного сигнала |^Вых(/7")|5
причем форма автомодуляции достаточно сложна и далека от гармо-
гармонической. Автомодуляция при малой амплитуде входного сигнала Fq
возбуждается жестко, т. е. на границе клюва синхронизации амплитуда
модуляционных колебаний выходного сигнала имеет конечное значе-
значение. При больших величинах управляющего сигнала автомодуляция
возбуждается мягко, быстро достигая максимального значения. Да-
Далее при отстройке от границы клюва синхронизации автомодуляция
медленно спадает. Частота автомодуляции при переходе через границу
клюва синхронизации при малых Fq возбуждается мягко, а при боль-
больших Fq — жестко.
Анализ пространственно-временной динамики неавтономной
ЛОВО показал, что аналогично гиролампе со встречной волной
в пространстве взаимодействия лампы обратной волны О-типа

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 447
формируются две характерные области пространственно-временных
колебаний — область синхронных с управляющим сигналом временных
колебаний и область, в которой имеют место колебания на частоте,
отличной от частоты управляющего сигнала. Эти две характерные
области разделены узкой областью, в которой наблюдаются резкие
скачкообразные изменения фазы поля TpF.
Заметим, что аналитическая теория фазовой синхронизации гиро-
ЛВВ и ЛОВ типа О, базирующаяся на стационарной линейной теории,
не описывает явление «расщепления» клюва синхронизации на области
стационарной генерации на частоте внешнего сигнала и автомодуляции
с захватом базовой частоты внешним сигналом (квазисинхронизации).
Вместе с тем она правильно предсказывает «возникновение» в асин-
асинхронном режиме в пространстве взаимодействия двух областей с раз-
различными временными масштабами динамики в них.
Введем в каждой точке пространства взаимодействия частоту и)(?),
определяемую в соответствии с формулой G.41), в которую вместо
фазы поля на выходе системы ? = 0 будем подставлять величину </?f@
в произвольной точке пространства взаимодействия ?. Соответствую-
Соответствующие расчеты зависимости и = и>(?) представлены на рис. 7.19 а.
В режиме квазисинхронизации для частоты колебаний выполняется
равенство во всем пространстве взаимодействия w(?) = ft (при этом
амплитуда \F\ выходного сигнала медленно по сравнению с частотой
ft изменяется во времени).
В режимах, отличных от режима квазисинхронизации, пространст-
пространственно-временная динамика вдоль длины лампы усложняется. В обла-
области, примыкающей к коллекторному концу системы ? = Л, происходят
колебания на частоте внешнего воздействия, далее частота неавтоном-
неавтономных колебаний быстро отстраивается от частоты ft внешнего поля.
Причем с ростом расстройки длина синхронизации As уменьшается.
Зависимость длины синхронизации As от величины расстройки ча-
частот автономных колебаний распределенной автоколебательной систе-
системы и внешнего сигнала показана на рис. 7.19 б. Сравнивая ее с теорети-
теоретической зависимостью величины As от расстройки частот, показанной
не рис. 7.16 в, можно сделать вывод, что найденная из стационарного
анализа зависимость хорошо подтверждается численным моделиро-
моделированием. При стремлении частоты внешнего сигнала ft —у fts (fts —
частота соответствующая границе клюва синхронизации, отмечена на
рис. 7.19 6) длина синхронизации As стремится к полной длине про-
пространства взаимодействия. При больших расстройках \ft — ojq\ длина
синхронизации мала и перестает меняться с изменением расстройки.
Сравнивая зависимости о;(?), полученные в результате численного
моделирования нестационарной системы (рис. 7.19 а), с соответствую-
соответствующими зависимостями, полученными на основе стационарной линейной
теории (см. рис. 7.16 6), следует отметить, что хотя частота автоко-
автоколебаний ведет себя качественно подобным образом, тем не менее вид
зависимостей отличается друг от друга. Основное отличие заключается
в резком, скачкообразном изменении частоты колебаний при достиже-
достижении координаты ? = А — А8. Далее при больших отстройках частота

448
Лекция 7B2)
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 у А
Рис. 7.19. Зависимости характерной частоты автоколебаний в различных
сечениях пространства взаимодействия для различых частот внешнего воз-
воздействия (а); зависимость длины синхронизации А3 от величины расстройки
(б) (рисунок построен при А = 2,2, F0/FBbIX = 0,3)
стабилизируется и уже не изменяется вдоль пространства взаимодей-
взаимодействия. При малой отстройке частоты внешнего воздействия от границы
клюва синхронизации имеет место несколько таких скачков частоты на
длине пространства взаимодействия.
Такое отличие численного моделирования и аналитической теории
связано с принципиально нелинейными эффектами при взаимодей-
взаимодействии электронного потока с обратной волной, которые не учитывает
линейная теория. Области пространства взаимодействия, в которых на-
наблюдаются резкие изменения частоты и неавтономных автоколебаний,
соответствуют перегруппировке электронов в пучке. Это соответству-
соответствует достижению амплитудой первой гармоники сгруппированного тока
1 27Г
/(?) = — Г exp (—jO) dOo максимального значения на длине ? = А —
* о
— А8 и далее уменьшению ее значения на длине А8 к входу лампы
? = Л, где вводится внешний сигнал. Одновременно имеет место пе-
перестройка внутренней структуры электронного потока в неавтономной
системе. Так перегруппировка пучка приводит к скачкам фазы тока

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 449
/(?) и F(?) в области {; ~ А — As. В результате при выходе из области
синхронизации влияние внешнего сигнала сказывается в нарушении
фазовых соотношений, соответствующих режиму стационарной гене-
генерации, между комплексными амплитудами поля F и тока /. В системе
формируется дополнительная распределенная обратная связь в систе-
системе: сгруппированный в сильном поле электронный пучок приходит
к коллекторному концу системы ? = А со скоростью v ~ vo уже пере-
перегруппировавшись; возбуждаемое сгруппированным током поле смеща-
смещается со скоростью vg к входному концу ? = 0 системы; сгруппирован-
сгруппированный в слабом поле пучок возбуждает теперь сильное поле, в котором
электронный пучок и перегруппировывается. В результате вся картина
повторяется с периодом
TA~2(A-A8)(l/vo + l/vg).
Таким образом, возникающие при выходе из области синхрониза-
синхронизации режимы модуляции выходного сигнала определяются нелинейно-
нелинейностью в электронном пучке, связанной с инерционностью электронов
и приводящей к перегруппировке электронов пучка. Изменение пери-
периода автомодуляции при отстройке частоты внешнего воздействия от
границы клюва синхронизации ?18, определяется изменением длины
синхронизации As и увеличивается с ростом частот расстройки |fi —
— ljq\. Последнее подтверждается результатами численного расчета:
период автомодуляции Та растет при отстройке частоты ?1 внешнего
сигнала от частоты ujq автономной генерации.
Влияние внешнего сигнала на хаотические
автоколебания в гиролампе со встречной волной
Рассмотрим теперь влияние внешнего управляющего сигнала на
хаотическую генерацию в гиролампе со встречной волной. Управляю-
Управляющие параметры исследуемой системы G.20)-G.22) были выбраны так,
чтобы в автономном режиме наблюдался режим хаотической генерации
(безразмерная длина А = 3,0 и параметр неизохронности \i — 8,0).
Учитывая близость полученных результатов по синхронизации ре-
регулярных режимов колебаний гиро-ЛВВ и ЛОВ типа О, можно предпо-
предполагать, что результаты, изложенные в данном разделе применительно
к гиро-ЛВВ, будут иметь схожий вид и при рассмотрении подобных
явлений в ЛОВО.
На рис. 7.20 представлена карта режимов на плоскости управляю-
управляющих параметров амплитуда Fo-частота ft внешнего сигнала. Различ-
Различные режимы неавтономной генерации на карте режимов выделены раз-
различными символами. Область, отмеченная символом С, соответствует
режимам хаотической автомодуляции выходного сигнала F(? = 0,т);
символом Q — квазипериодической автомодуляции, т.е. автомодуля-
автомодуляции с двумя несоизмеримыми спектральными компонентами; символом
Т\ обозначены режимы периодической автомодуляции, Тч — режимы
29 Трубецков, Храмов

450
Лекция 7B2)
0,52 0,76 1,00 1,24 1,48 О/ю0
Рис. 7.20. Разбиение плоскости управляющих параметров частота П-
амплитуда Fq на характерные режимы неавтономных колебаний в гиро-ЛВВ
в режиме автономной хаотической генерации (А = 3,0, fi = 8,0). Штриховой
линией отмечена область квазисинхронизации
удвоения периода автомодуляции и Тп — режимы сложнопериодиче-
ской автомодуляции; S — режимы стационарной генерации.
Рассмотрим режим синхронизации в исследуемой активной рас-
распределенной колебательной системе. Воспользуемся понятием фазовой
синхронизации хаоса (см. введение), под которой будем понимать за-
захват высокочастотной частоты генерации ojq внешним управляющим
сигналом. Как уже обсуждалось выше, в режиме одночастотной ВЧ-ге-
нерации поправка к частоте выходного сигнала определяется функцией
lpF G.42) и может быть представлена в соответствии с выражением
G.41). В режиме сложной динамики частота о;о, находящаяся из соот-
соотношения G.41), определяет основной характерный временной масштаб
ВЧ-генерации активной среды.
Режим квазисинхронизации характеризуется условием ojq = ft. При
этом амплитуда выходного высокочастотного поля |F(r)| может вести
себя во времени достаточно сложно, демонстрируя режимы периоди-
периодической и хаотической автомодуляции.
На рис. 7.20 штриховой линией (кривая 1) показана область ква-
квазисинхронизации МЦР со встречной волной внешним управляющим
сигналом. В этой области наблюдается автомодуляция амплитуды вы-
выходного сигнала, что хорошо видно из карты режимов. Однако часто-
частота высокочастотной генерации uj в системе определяется частотой ?1
управляющего сигнала так, что uj = ?1.
На рис. 7.21 представлены зависимости разности частот (ft — и)
высокочастотных колебаний на выходе системы от частоты ft при раз-
различных амплитудах управляющего сигнала Fq. В области квазисин-
квазисинхронизации разность частот ft — и = const, а при выходе из нее частота

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
451
0,1 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6
Рис. 7.21. Зависимости разности частот (ft — ио) высокочастотных колебаний
на выходе системы от частоты ft при различных амплитудах управляющего
сигнала Fq
генерации при отстройке от границы области синхронизации стремится
к частоте автономной генерации (рис. 7.21 а).
Ширина области квазисинхронизации увеличивается с ростом
амплитуды внешнего воздействия, причем при отрицательных
расстройках (ft — и) < 0 (слева) ширина клюва квазисинхронизации
практически линейно зависит от частоты ft. Правая граница области
квазисинхронизации имеет более сложную форму.
При больших значениях амплитуды внешнего сигнала 0,25 < Fq <
< 0,45 имеет место появление еще одного клюва квазисинхронизации
при частотах внешнего воздействия ft/uiQ G A,3; 1,5). Это также ил-
иллюстрирует рис. 7.21 б, на котором представлены зависимости (ft — и)
при Fq = 0,32 и Fq = 0,42. Из них видно, что при изменении частоты
ft имеют место две области различной ширины, в которых есть за-
захват частоты генерации внешним сигналом. Стрелкой на зависимостях
показаны области, соответствующие второй области синхронизации.
С ростом амплитуды внешнего воздействия ширина второго клюва
синхронизации увеличивается, и он соединяется с основным клювом.
Исследуем пространственно-временное поведение системы в раз-
различных режимах, для чего рассмотрим динамику распространяющихся
вдоль пространства взаимодействия волн. В каждой точке простран-
пространства взаимодействия, аналогично тому как это делалось для J1OBO,

452
Лекция 7B2)
Q/coo
1,0
0,5 :"
0,0
-0,5
л
-7——¦
J
¦.,.....,
5
Ч л
\
1
0,0 0,5
1,0
1,5 2,0 2,5
Рис. 7.22. Зависимости характерной частоты автоколебаний в гиро-
J1BB в различных сечениях пространства взаимодействия для различ-
различных характерных режимов системы. Кривая А соответствует автономным
пространственно-временным колебаниям; кривая S — режиму квазисин-
квазисинхронизации (П/о;о = 1,6, Fq = 0,42, при данных значениях управляющих
параметров в системе наблюдается режим периодической автомодуляции
выходного сигнала); кривые 1—3 соответствуют режимам хаотической ав-
автомодуляции, отличным от режима квазисинхронизации A — ft/cuo = 0,77,
Fo = 0,22; 2 - П/соо = 1,6, Fo = 0,22; 3 - П/ш0 = 1,6, Fo = 0,32)
можно ввести частоту о;(?), определяемую в соответствии с формулой
G.41).
На рис. 7.22 представлены результаты расчета частоты автоколеба-
автоколебаний в системе в зависимости от координаты ?. Кривая А на рис. 7.22
соответствует расчету зависимости о;(?) для режима автономных ко-
колебаний. Видно, что в автономном режиме генерации все пространство
взаимодействия может быть условно разделено на две характерные
области. В первой, примыкающей к коллекторному концу системы ? ~
~ Л, имеют место колебания, частота которых постоянно меняется с из-
изменением координаты ?. При ?с « 1,0 наблюдается стабилизация ча-
частоты автоколебаний в системе. Соответственно область пространства
взаимодействия ? G @,?с) можно рассматривать как вторую область,
в которой колебания происходят на одной частоте, равной частоте
генерации системы ljq. В этом случае условно можно говорить о неко-
некотором переходном процессе вдоль длины пространства взаимодействия
системы по направлению к выходному концу лампы ? = Л, который
завершается установлением колебаний с частотой о;(?) = ujq.
Такой зависимости частоты и от координаты ? вдоль пространства
взаимодействия соответствуют сложные пространственные распреде-
распределения амплитуды поля |^(?)| и первой гармоники сгруппированного
тока |/(?I- В области ? G (?С,Л) имеет место возникновение много-
горбых распределений |F(?)|. Это связано с многократной фазовой
перегруппировкой электронов-осцилляторов винтового пучка в силь-
сильном электрическом поле при больших /i, т. е. формированием большого

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 453
числа электронных структур вдоль длины системы. Фазовая перегруп-
перегруппировка электронов-осцилляторов приводит к резким скачкам фазы
тока /(?) и поля F(?). Это, в свою очередь, обусловливает сложную,
сильно нерегулярную динамику фазы на начальном участке ? > ?с
распространения волны поля. Характерная частота колебаний поля
(см. рис. 7.22, кривая Л), определенная в соответствии с формулой
G.41), в этом случае сильно зависит от координаты ?. На участке
вблизи выходного конца системы ? < ?с, где амплитуда поля достигает
большого значения, а ток пучка мал, перегруппировка электронов-ос-
электронов-осцилляторов отсутствует, и характерная частота высокочастотных ко-
колебаний стабилизируется. Координата ?с определяется длиной про-
пространства взаимодействия, на которой первая гармоника сгруппиро-
сгруппированного тока достигает максимального значения (формируется первая
вдоль пространства взаимодействия электронная структура-фазовый
сгусток электронов-осцилляторов).
Рассмотрим теперь как изменяется соответствующая картина
при подаче на вход активной среды управляющего гармонического
воздействия. В режиме, отличном от режима квазисинхронизации,
пространственно-временная динамика усложняется (см. кривые 1-3
на рис. 7.22). В пространстве взаимодействия теперь можно выделить
три характерные области. В первой, примыкающей к области введения
управляющего сигнала ? = Л, возникает режим, в котором колебания
происходят на частоте внешнего воздействия ft. Длину этой области
можно рассматривать как некоторую длину синхронизации As. Длина
синхронизации сильно зависит от параметров внешнего сигнала,
и, в первую очередь, от частоты ft. Для примера можно сравнить
кривые 2 и 3, построенные при одинаковой частоте ft и различных
амплитудах Fq% > i*02- Видно, что длины синхронизации в обоих
случаях примерно одинаковы. Однако из анализа зависимости 1 на
рис. 7.22, построенной при другой расстройке ft — loo, видно, что длина
синхронизации As существенно меньше.
Далее при продвижении к выходному концу системы режим синхро-
синхронизации разрушается, частота автоколебаний начинает сильно зави-
зависеть от координаты пространства взаимодействия. Это режим, анало-
аналогичный режиму колебаний автономной системы вблизи коллекторного
конца. При дальнейшем продвижении вдоль пространства взаимодей-
взаимодействия в некоторой точке пространства ? = ?с, как и в автономном
случае, устанавливается режим стабилизации частоты автоколебаний
на уровне ujq. Однако теперь частота генерации uq и координата ?с
сильно зависят от параметров внешнего управляющего сигнала.
Разрушение режима синхронизации на длине синхронизации А8,
как и при малых /i, определяется нарушением фазовых соотношений
Ар между волной тока и поля. Набег фазы поля Ар определяется
воздействием управляющего сигнала с частотой ft, то есть Ар = \ft —
— uJo\As/vg. В результате в системе возникает сложная структура
пространственных распределений поля F и тока /, связанная с много-
многократной фазовой перегруппировкой винтового электронного пучка под
действием внешнего поля большой амплитуды. Далее в области ? <

454 Лекция 7B2)
< ?с характерная частота высокочастотных колебаний стабилизирует-
стабилизируется. Координата ?с теперь другая, чем в случае автономных колебаний,
так как на процесс фазовой группировки электронного пучка, а следо-
следовательно, и на достижение первой гармоники сгруппированного тока
максимального значения, существенно влияют параметры внешнего
сигнала.
В режиме квазисинхронизации во всем пространстве взаимодей-
взаимодействия устанавливаются автоколебания с одной частотой, равной ча-
частоте внешнего сигнала ft (см. рис. 7.22, кривая S). Граница области
квазисинхронизации определяется условием, что длина синхронизации
As становится равной длине пространства взаимодействия А.
Таким образом, можно заключить, что при воздействии на гиро-
ЛВВ в режиме хаотической генерации внешнего гармонического сиг-
сигнала при близости частоты ft к базовой частоте автономной генера-
генерации ljq наблюдается режим квазисинхронизации автоколебаний в рас-
распределенной активной среде. В этом режиме наблюдается генерация
с базовой частотой, определяемой управляющим сигналом и с медлен-
медленным изменением амплитуды (как периодическим, так и хаотическим)
выходного сигнала. При значительных отстройках частоты внешнего
воздействия от частоты автономной генерации и больших амплитудах
внешнего воздействия имеет место сложная последовательность пере-
переходов порядок-хаос и хаос-порядок в зависимости от частоты и ампли-
амплитуды управляющего сигнала.
Рассмотрим теперь влияние сигнала сложной формы на режим
хаотической генерации в гиро-ЛВВ. В качестве такого сигнала будем
рассматривать детерминированный хаотический сигнал, порождаемый
системой Рёсслера [55]
х — — (у + z), у = х + еу, z = w — mz + xz, G.51)
которая является одной из наиболее полно и глубоко изученных нели-
нелинейных конечномерных систем. Управляющие параметры системы
уравнений G.51) были выбраны следующими: е = w = 0,2, т = 4,6,
что соответствует режиму ленточного хаоса.
На вход гиро-ЛВВ подается входной хаотический сигнал, который
формируется в виде
Fext = Fo A + Мж(*))ехр jta, G.52)
где М — глубина модуляции, x(t) — сигнал, порождаемый системой
Рёсслера G.51) при вышеуказанных управляющих параметрах, Fq
и ft — частота и амплитуда несущего гармонического сигнала.
Будем рассматривать случай, когда М = 0,09, и изменять величину
амплитуды несущего гармонического сигнала в пределах 0,0 < Fq <
< 0,6. Частота несущего сигнала была выбрана близкой к базовой
частоте в спектре хаотической генерации ft « ио автономной гиролам-
пы со встречной волной при ц = 8,0 и А = 3,0. Спектр автономной
хаотической генерации представлен на рис. 7.23 а.
Рассмотрим, как ведет себя неавтономная система при увеличе-
увеличении амплитуды Fq внешнего воздействия. При небольшой амплитуде

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
455
ON
СП
о"
о"
CN
CD
©"
—н
О
-62,211
г 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0
Рис. 7.23. Спектры и фазовые портреты колебаний амплитуды поля \F\ на
выходе системы в автономном режиме (а); спектр входного сигнала Fext (б);
спектры и фазовые портреты колебаний амплитуды поля в неавтономном
режиме при амплитуде входного сигнала Fq = 0,05 (в) и Fq = 0,3 (г)
внешнего воздействия Fq < 0,1 имеет место резкое усложнение вида
хаотических колебаний в системе. Для иллюстрации этого на рис. 7.23 в
представлены характеристики колебаний (спектр мощности, проекция
фазового портрета (восстановленного по методу задержек Такенса г)
[189]), временная реализация) колебаний амплитуды выходного поля
F(? = 0, г) неавтономного генератора при Fq = 0,05. Из рисунка видно,
что спектр выходного сигнала близок к спектру генерации автономной
х) Напомним, что по временному ряду x(t) строится n-мерный вектор вида
{x(t), x(t + г), x(t + 2т), . . . x(t + пт)}, который, как показано Такенсом,
может рассматриваться как вектор в фазовом пространстве. Величина г —
время задержки, которое выбирается произвольно [189].

456 Лекция 7B2)
системы, однако при этом наблюдается рост шумового пьедестала в об-
области низких частот.
С ростом амплитуды внешнего сигнала наблюдается упрощение
спектра мощности выходного сигнала. В нем уменьшается высота шу-
шумового пьедестала, на его фоне появляются спектральные компоненты,
«наследуемые» полем на выходе системы от входного хаотического
сигнала. Одновременно имеет место упрощение фазового портрета ко-
колебаний — на нем появляется определенная структура, связанная с обо-
оборотом фазовой точки с характерным масштабом колебаний внешнего
хаотического сигнала.
При Fq « 0,3 спектр мощности становится близким к спектру
входного сигнала (рис. 7.23 г), порождаемого системой Рёсслера
(рис. 7.23 6).
Для сравнения спектра мощности сигнала, генерируемого неавто-
неавтономной активной системой, со спектром внешнего хаотического сигнала
удобно строить множество точек вида
Pout(f)=f[PinP(f)}, G.53)
где Pout и Лпр — соответственно мощность (в дБ) спектральных ком-
компонент на частоте / в выходном и входном сигнале. Близость значений
функции к диагонали Pout = Pinp будет свидетельствовать о близости
спектрального состава двух колебательных процессов.
На рис. 7.24 представлены соответствующие зависимости для слу-
случая малой амплитуды внешнего воздействия Fq = 0,05 (рис. 7.24 а)
и случая Fq = 0,3 (рис. 7.24 б), при котором спектр выходного сигнала
оказывается близким к входному. В первом случае уже на длине про-
пространства взаимодействия 0,05Л имеет место существенное искажение
спектра входного сигнала, выражающееся в существенном повышении
высоты шумового пьедестала в спектре мощности: точки, нанесенные
в соответствии с правилом G.53), находятся выше диагонали. На выхо-
выходе системы (? = 0) при Fq = 0,05 спектр даже в области основных спек-
спектральных компонент (Pout(f) > — 20дБ) находится выше диагонали,
т. е. выходной сигнал имеет существенно другую структуру спектраль-
спектрального состава, чем входной хаотический сигнал, генерируемый системой
Рёсслера.
Другая картина наблюдается при большей амплитуде входного сиг-
сигнала Fq (рис. 7.24 б). В этом случае основные спектральные компоненты
Pout(f) > ~~20дБ находятся вблизи диагонали. Шумовой пьедестал
(^out < —40дБ) поднимается над диагональю, однако его интенсив-
интенсивность существенно меньше, чем в случае малой амплитуды входного
сигнала Fq (рис. 7.24 а).
Для количественной оценки разницы спектров колебаний мощно-
мощности выходного поля неавтономной гиро-ЛВВ и внешнего хаотического
сигнала рассматривалась характеристика следующего вида:
°) = \ \PoutU) ¦ H(Pout(f) - р°) - pinp(f) ¦ ВД„Р(Я - р°)\ df,
G.54)

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
457
00 -80 -60 -40 -20
-100 -80 -60 -40 -20
0
-20
-40
-60
-80
1 ЛЛ
у
О-°юо
л
и
™20
-40
-60
-80
-100
у'
-100
у'
у'
-80 -60 -40 -20 0
^80 -60 -40 ™20 0
Рис. 7.24. Сравнение спектров мощности сигнала, генерируемых неавтоном-
неавтономной активной средой, со спектром внешнего хаотического сигнала в соответ-
соответствии с соотношением G.53) для режима усложнения хаотических колебаний
(i^o = 0,05) (а) и режима синхронизации хаоса (Fo = 0,3) (б). Слева пред-
представлено сравнение со спектром мощности сигнала в сечении пространства
взаимодействия ? = 0,95/1, справа — ? = 0,0
где Н — функция Хевисайда. Величина С(^0) характеризует разли-
различия в спектральных компонентах двух спектров мощности на уровне
мощности Р°. Интегральной харак-
характеристикой близости спектральных
составов двух сигналов является
интеграл
и
@= { йРшР)с1Р-тр. G.55)
-100
В соотношениях G.54) и G.55) спек-
спектральная мощность входного и вы-
выходного сигнала измеряется в дБ.
Близость величины (?) к нулю сви-
свидетельствует о близости спектраль-
спектрального состава двух сигналов.
На рис. 7.25 показана зависи-
зависимость величины (?) от амплитуды
несущего сигнала Fq. Из него вид-
видно, что с ростом амплитуды Fq име-
Рис. 7.25. Зависимость величины
(С) от амплитуды несущего сигна-
сигнала Fo. При амплитудах внешне-
внешнего воздействия Fo ~ 0,3 и Fo ~
~ 0,6 устанавливающийся в гиро-
ЛВВ режим можно рассматривать
как хаотическую синхронизацию
ет место уменьшение величины (?), и при Fq « 0,3 эта величина дости-
достигает минимума. При этой амплитуде внешнего поля наблюдается спек-

458 Лекция 7B2)
тральный состав колебаний выходного поля, наиболее близкий к спек-
спектру входного сигнала. Далее с ростом Fq наблюдается разрушение
режима синхронизации — величина (?) увеличивается. При большой
амплитуде внешнего поля (Fq > 0,6) опять наблюдается возникновение
режима хаотической синхронизации.
Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ со
связанными электродинамическими системами
Рассмотрим теперь режимы взаимной синхронизации в гиро-ЛВВ
со связанными волноведущими системами (СВС), следуя работам
[36,57,58]. Для этого исследуем систему, представляющую собой две
связанные электродинамические структуры, через каждую из которых
пропускается винтовой электронный пучок.
Получим уравнения, описывающие усиление и генерацию сигнала
в гиро-ЛВВ СВС. Будем, как и в лекции 1, рассматривать взаимодей-
взаимодействие пучка с ТЕ-модой волновода, предполагая, что поле в поперечном
сечении электронного пучка однородно. Пренебрежем взаимодействи-
взаимодействием электронов с ВЧ-составляющими магнитного поля, что означает
постоянство продольной скорости потока v\\ ы const. Будем также счи-
считать, что в рабочей полосе частот можно учитывать взаимодействие
винтового пучка только со встречной волной. Тогда для амплитуд Е\
и Е2 напряженностей электрических полей двух слабосвязанных вол-
новедущих систем, через каждую из которых пропускается винтовой
электронный пучок, в стационарном случае можно записать [59,60]
+ JP0E1 +aiE2 = iu G.56)
f a2E1=i2, G.57)
dx
dE2
dx
где величины ii^2 пропорциональны амплитудам ВЧ-токов винтовых
электронных пучков, ai^2 — параметры связи.
Вследствие идентичности систем |ai| = \а2\ = S, а из закона сохра-
сохранения потока мощности при i\ = г2 = 0 следует, что а\ = — а2 = ja.
Перепишем уравнения G.56) и G.57) в форме связанных волн:
= Н+г2, G.58)
¦ii-i2, G.59)
dx
dEB
dx
где Ем = Ei + E2 — амплитуда «медленной» нормальной волны (ее по-
постоянная распространения Рм = Ро + а; Ро — постоянная распростра-
распространения встречной волны на частоте «холодного» синхронизма) и ?б =
= Е2 — Ei — амплитуда «быстрой» (/Зб = Ро — S) нормальной волны
связанной системы.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 459
Перейдем в системе уравнений G.58), G.59) к новым переменным
Ер = Ер ехр (—j/Зрх) и Eg = Eg exp (—j/3sx) и используем следую-
следующую нормировку переменных. Пусть ? = f3o(Q)sx — безразмерная ко-
координата и г = Qe(t - x/v\\)(l + ^п/!1^!) — безразмерное время;
Ff,s = Ep^s/^2VoySo; /1,2 = {2i>i,2/ PqK Io) exp (—j/Зох); a = a//3o?,
где ? = \ IqK/4Vo [1 -\- v2, n/vf, 1 — параметр взаимодействия; /С — co-
V v м/
противление связи; v_lo — начальная поперечная скорость электронов.
Тогда, осуществляя переход от стационарных уравнений к неста-
нестационарным [44,61], получаем следующую систему уравнений в безраз-
безразмерных переменных относительно медленно меняющихся комплексных
амплитуд быстрой и медленной волн
dFM dFM T ( v
—^- = ~/м, G.60)
дт д?
dFB dFB
дт д?
= -/б, G.61)
которая определяет полевую часть задачи об усилении и генерации
сигналов в гиро-ЛВВ СВС. Нормальные волны Fm,b системы связаны
с полями Fi52 каждой из волноведущих систем соотношениями вида
FM = (Fi + F2)eja^ FB = (F2 - Fi)e"j^. G.62)
Медленная и быстрая волны тока /м,б введены по аналогии с выраже-
выражениями G.62) и определяются как
/м = (h + h)ejai, 1в = (h ~ h)e~jai. G.63)
Система уравнений G.60), G.61) решается при следующих началь-
начальных и граничных условиях:
*i,2 (?, г = 0) = Л°2(?), F1>2(^ = А, т) = 0, G.64)
где Л — безразмерная длина системы.
Рассмотрим теперь электронную часть задачи. Уравнения движе-
движения электронов винтовых пучков, пропускаемых через каждую из элек-
электродинамических структур, в наших переменных записываются как
^ - зц A - IAI2) А = \ (FM exp (-jaO - FB exp (ja?)), G.65)
^ - j> A - |/32|2) fa = \ (FM exp (-jaO + FB exp (jaQ), G.66)
где ^i52 — комплексный радиус траекторий электронов-осцилляторов
соответственно первого и второго винтового пучка.
Предварительно рассмотрим задачу, когда пучок проходит только
через одну из волноведущих систем. Для определенности исследуем

460 Лекция 7B2)
случай, когда 1\ ф 0, I<i — 0. Важность расмотрения данной задачи
связана с особенностями работы гиро-ЛВВ. Гирогенератор со встреч-
встречной волной имеет сравнительно низкий КПД, максимальное значение
которого порядка 20%, что, как уже обсуждалось в лекции 1A6), свя-
связано с особенностями взаимодействия электронов-осцилляторов пуч-
пучка с ВЧ-полем вдоль пространства взаимодействия. Для гиро-ЛВВ
характерными оказываются многогорбые распределения тока и поля,
которые обусловлены многократной фазовой прегруппировкой пучка.
Как следствие, с увеличением длины системы или тока пучка в гиро-
ЛВВ быстро возникает автомодуляция выходного сигнала — выходной
сигнал становится многочастотным. Для повышения КПД и выходной
мощности (которая определятся увеличением тока пучка) с сохранени-
сохранением одночастотной генерации необходимо так изменить распределение
поля вдоль длины системы, чтобы вблизи выхода лампы поле было
мало, а в области коллектора оно имело один максимум, где сформиро-
сформировавшийся фазовый сгусток электронов отдавал бы полю значительную
долю своей энергии. Одним из путей решения данной проблемы может
быть использование распределенного отбора мощности путем приме-
применения идентичных СВС, через одну из которых проходит винтовой
электронный пучок [62].
Рассмотрим пусковые условия гиро-ЛВВ СВС, для чего линеари-
линеаризуем нелинейные уравнения, описывающие динамику гиро-ЛВВ СВС.
В предположении |Fm,b| <С 1 при условии 1^ — 0 из уравнений G.60)-
G.66) легко получить систему линейных уравнений
(ГР Q — -
S j(b + »)F = ~h exp (jaO , G.67)
^f- - j(b + n)FF = -h exp (-ja?), G.68)
-. U
- + I = -j- (Fs exp (-ja?) + FF exp (ja?)) , G.69)
где b = (u + /3qV\\ — uoc)/(ksv\\) — параметр рассинхронизма, 1\ =
(j^) (j/?) /
Из решения линейной системы уравнений G.67)-G.69) следует, что
порог самовозбуждения гирогенератора растет с введением связи меж-
между волноведущими системами. На рис. 7.26 (сплошная линия) показа-
показаны зависимости значения параметра неизохронности /i, при котором
наблюдается самовозбуждение лампы и установление режима стацио-
стационарной генерации, от коэффициента связи а для трех значений длины
А. Параметр неизохронности \i нормировался на величину /io, соот-
соответствующую возбуждению лампы при коэффициенте связи а = 0.
Из рисунка видно, что при введении связи между электродинамиче-
электродинамическими системами значение параметра неизохронности /i, при котором
возникает самовозбуждение, растет по сравнению со случаем а = 0.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
461
Рис. 7.26. Зависимость значения параметра неизохронности /л, при котором
наблюдается самовозбуждение лампы (сплошная линия), и зависимости от-
отношения амплитуд медленной и быстрой нормальных волн Fs / Ff на выходе
системы (штриховая линия) вблизи границы самовозбуждения fi(a) от ко-
коэффициента связи а для различных значений параметра А
При этом зависимости fi(a) имеют вид кривых с одним максимумом.
С увеличением длины системы А относительное увеличение «пусково-
«пускового» значения параметра неизохронности /л(а)//io становится меньше —
соответствующие кривые при больших коэффициентах связи распола-
располагаются тем ниже, чем больше длина системы А.
Рассмотрим, с чем связано такое поведение пускового значения
параметра \i при введении связи между волноведущими системами.
Для этого изучим поведение амплитуды возбуждаемых нормальных
мод системы при возникновении генерации в гиро-ЛВВ СВС.
На рис. 7.26 (штриховые линии) представлены зависимости отноше-
отношения амплитуд медленной и быстрой нормальных волн Fm/Fb на вы-
выходе системы ? = О вблизи границы самовозбуждения лампы от коэф-
коэффициента связи а для различных длин пространства взаимодействия
А. Максимальное увеличение пускового значения параметра неизо-
неизохронности соответствует минимальным значениям величины Fm/Fb-
Последнее означает, что с ростом коэффициента связи имеет место
преимущественное возбуждение быстрой волны в связанных электро-
электродинамических системах, т. е. пучок взаимодействует селективно с нор-
нормальными волнами. Сопротивление связи каждой из нормальных волн
в два раза меньше, чем сопротивление связи гиро-ЛВВ с одной электро-
электродинамической системой (т.е. при а = 0). Поэтому для самовозбужде-
самовозбуждения гиро-ЛВВ СВС необходимо увеличение тока пучка по сравнению
с гиро-ЛВВ при а = 0. Это означает, что при фиксированной длине
системы А для возбуждения лампы необходимо увеличение параметра
неизохронности /i электронов-осцилляторов.
Обратимся теперь к анализу нелинейной нестационарной модели
G.60)-G.66) гиро-ЛВВ СВС при /2 = 0.

462
Лекция 7B2)
О
0,4 0,6
0,8
Рис. 7.27. Зависимость значения параметра неизохронности /xaut, при ко-
котором наблюдается возникновение автомодуляции (сплошная линия), и за-
зависимости отношения потоков мощности Р±/' Рч на выходе системы вблизи
границы автомодуляции fiaut(ot) (штриховая линия) от коэффициента связи
о, для различных значений параметра А
На рис. 7.27 представлена величина параметра неизохронности /iaut,
при которой наблюдается возникновение автомодуляции, как функция
коэффициента связи а для различных длин пространства взаимодей-
взаимодействия А. Из него следует, что значения /iaut значительно увеличиваются
при введении связи между волноведущими системами. Максимальное
увеличение наблюдается при а « 1,0, которое по абсолютной величине
тем больше, чем меньше длина пространства взаимодействия А.
Исследуем, с чем связано такое поведение границы автомодуля-
автомодуляции в гиро-ЛВВ СВС. Как уже неоднократно обсуждалось в лекциях
(см. также [44,47,48]), возникновение автомодуляционных режимов
в СВЧ-приборах с длительным взаимодействием связано с форми-
формированием дополнительной распределенной обратной связи в системе.
При введении связи между двумя электродинамическими системами
возникающая дополнительная обратная связь подавляется, так как
теперь часть мощности встречной волны с групповой скоростью vg,
обеспечивающей обратную связь, «уходит» в систему без винтового
пучка. В результате граница области автомодуляции сдвигается в об-
область больших значений параметра неизохронности \i (больших токов
пучка).
Для понимания процесса перекачки ВЧ-мощности между волнове-
волноведущими системами на рис. 7.27 представлены зависимости отношений
Р%1 Р\ потоков мощности в волноведущих системах без пучка и с пуч-
пучком от коэффициента связи а. Видно, что с ростом коэффициента
связи в диапазоне а Е @,0; 0,7) имеет место быстрый рост мощности,
«перекачиваемой» из первой во вторую систему, так что у/'P^lP\ ~
~ ехрG«). При больших коэффициентах связи а > 0,7 имеет место
насыщение роста потока мощности Р^. Однако рост величины /iaut(^)
продолжается, что связано с особенностями распределений полей F\^

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
463
Рис. 7.28. Эффективность rj± преобразования энергии поперечной кинетиче-
кинетической энергии пучка в энергию поля в зависимости от коэффициента связи а
для различных значений параметра А
в связанных волноведущих структурах при больших коэффициентах
связи. При больших коэффициентах связи а существенная часть мощ-
мощности встречной волны в системе с пучком начинает ответвляться в свя-
связанную с ней волноведущую структуру уже вблизи входа лампы ? =
= Л, что также способствует разрыву дополнительной обратной связи,
приводящей к автомодуляции.
Одновременно с ростом связи между волноведущими системами а
наблюдается увеличение КПД стационарного режима генерации (при-
(примерно в 1,2 -г 1,4 раза). Напомним, что эффективность преобразования
поперечной кинетической энергии винтового пучка в энергию поля
^ 2тг
(поперечный КПД) определяется как г]± = 1 - — J \/3\2 dO^. Полный
2тг 0
КПД гиро-ЛВВ выражается соотношением rj = rj±-
ае
+ ае
, в котором
ае = v±o/v\\. При постоянном коэффициенте зэ КПД лампы определя-
определяется только величиной rj±.
На рис. 7.28 представлены зависимости величины поперечного КПД
гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи а для различных параметров
А. Из зависимостей следует, что максимальное значение КПД в режиме
одночастотной генерации достигается при а « 0,5 -г- 0,6 и далее наблю-
наблюдается его уменьшение. При малых длинах системы А ^ 3,2 рост КПД
незначителен и при а ~ 1,0 величина rj± < rj±(a = 0). При больших
длинах системы максимум функции г]±(а) смещается в область мень-
меньших а, и величина [r]± (a)]max значительно увеличивается по сравнению
со случаем отсутствия связи а = 0. Это связано с тем, что распре-
распределение поля в первой волноведущей системе при данных значениях
коэффициента связи наиболее оптимально для эффективного отбора
энергии у электронов-осцилляторов винтового пучка.

464
Лекция 7B2)
ц
12,0
10,0
8,0
6,0
4,0
2,0
1 2
\ 11 \
- 11
\\
- \
\\
_
S
\ \
\
\
\
*^
\
V
J
1 / 1
\
v \ \
\ G Ч ^ Ч
с
1 ' i
0,0 1,0 2,0 3,0
4,0
5,0
6,0
Рис. 7.29. Карта характерных режимов генерации гиро-ЛВВ СВС на плос-
плоскости управляющих параметров (А, ц), построенная при коэффициенте свя-
связи а = 0,6. Область S — область отсутствия колебаний, G — одночастот-
ной, Т — периодической и С — хаотической автомодуляции; штриховыми
и штрих-пунктирными линиями отмечены соответствующие бифуркацион-
бифуркационные линии для гиро-ЛВВ без СВС (а = 0)
Рассмотрим теперь возникающие режимы генерации гиро-ЛВВ
СВС с изменением управляющих параметров /i и А при фиксирован-
фиксированной связи между волноведущими системами а = 0,6, соответствующей
максимальному КПД при изменении коэффициента связи СВС.
На рис. 7.29 представлено разбиение плоскости параметров «без-
«безразмерная длина системы Л-параметр неизохронности /i» на харак-
характерные режимы пространственно-временных колебаний в гиро-ЛВВ
СВС. На рисунке выделены области отсутствия колебаний (область S),
одночастотной генерации (G), периодической (Т) и хаотической (С)
автомодуляции выходного сигнала. Одновременно на карте режимов
нанесены линии возникновения стационарной генерации (штриховая
линия 1) и перехода к периодической (штрих-пунктирная линия 2)
и хаотической (штрих-штрих-пунктирная линия 3) автомодуляции вы-
выходного сигнала в гиро-ЛВВ без связанных волноведущих систем (а =
= 0).
Из анализа карты режимов (см. рис. 7.29) можно сделать следую-
следующие выводы.
Во-первых, область стационарной генерации гиро-ЛВВ СВС резко
расширяется по сравнению со случаем а = 0. Одновременно, как об-
обсуждалось выше, возрастает эффективность энергообмена в режиме
монохроматического выходного сигнала.
Во-вторых, граница области автомодуляции имеет сложную из-
изрезанную форму. Последнее связано с тем, что для гиро-ЛВВ СВС
(как и для гиро-ЛВВ без СВС [47] или релятивистской ЛОВ типа О
[28,63]) характерны устойчивые «многогорбые» распределения ампли-
амплитуды электромагнитного поля. Последнее связано с конкуренцией двух
механизмов нелинейности в исследуемой системе — фазовым и инерци-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 465
онным. Первый определяется фазовой нелинейностью электронов-ос-
электронов-осцилляторов винтового пучка и приводит к нарушению фазовых соот-
соотношений между электронной и электромагнитной волнами. Второй ме-
механизм связан с инерционностью взаимодействия электронной и элек-
электромагнитной волн и сводится к разрушению фазовых сгустков и пере-
группирвке электронов-осцилляторов. Возникновение сложной формы
границы области автомодуляции обусловлено возможностью перехода
в режим периодической автомодуляции из режимов стационарной ге-
генерации с различными пространственными распределениями.
В-третьих, граница области хаотической автомодуляции выход-
выходного сигнала гиро-ЛВВ СВС при малых длинах пространства взаи-
взаимодействия, как и линия потери устойчивости режима стационарной
генерации, отодвигается в сторону больших значений параметра /i (ср.
расположение штриховой линии 3 (соответствующей гиро-ЛВВ без
СВС) с границей области С хаотической автомодуляции гиро-ЛВВ
СВС на карте режимов, рис. 7.29). При больших значениях параметра
А граница области хаотических автоколебаний также отодвигается
в область больших /i, но менее значительно.
В гиро-ЛВВ со связанными волноведущими системами изменяется
характер перехода к хаотической генерации по сравнению с гиро-ЛВВ
без распределенного отбора мощности (без СВС). Для гиро-ЛВВ ха-
характерен переход к хаотической динамике через постепенное усложне-
усложнение формы периодической автомодуляции (например, при увеличении
параметра А возникновению хаоса предшествует одно-два удвоения
периода автомодуляции). Ситуация меняется при введении связи а >
> 0,3 -г- 0,4. Численное моделирование показало, что для гиро-ЛВВ
СВС, в отличие от гиро-ЛВВ или ЛОВ типа О, не характерны слож-
нопериодические режимы автомодуляции. В анализируемом диапазоне
изменения управляющих параметров наблюдались два основных типа
перехода от режимов регулярной динамики к хаотической генерации.
При больших значениях параметра неизохронности \i и малых дли-
длинах системы А имеет место переход к хаотической автомодуляции через
перемежаемость. Амплитуда выходного сигнала 1^1,2 (т) | в этом случае
ведет себя во времени так, что стадии почти периодических колебаний
(близких к колебаниям в области периодической автомодуляции) сме-
сменяются стадиями коротких хаотических всплесков, которые резко отли-
отличаются по амплитуде и частоте от стадии регулярной динамики. С уве-
увеличением надкритичности (/i — /iaut) (/^aut — параметр неизохронности,
соответствующий границе потери устойчивости режима стационарной
генерации) длительность регулярных фаз колебаний удлиняется, пока
они практически совсем не исчезают.
При больших А и малых ц имеет место переход к хаотической
генерации через постепенное усложнение динамики выходного поля
с ростом надкритичности (/i — /iaut)-
При значениях параметра А > 5 -г- 6 переход к хаосу в гиро-ЛВВ
СВС происходит сразу от режима стационарной генерации, минуя ре-
режим периодической автомодуляции.
30 Трубецков, Храмов

466 Лекция 7B2)
В предыдущих параграфах лекции были проанализированы
основные закономерности установления режимов синхронизации
распределенной автоколебательной системы типа «электронный
поток-встречная (обратная) электромагнитная волна» при вводе
внешнего синхронизирующего сигнала на коллекторном конце
системы. Важной особенностью синхронизации в распределенной
электронной системе при таком «сосредоточенном» вводе сигнала
является усложнение пространственной динамики неавтономной
системы, заключающееся в формировании двух характерных областей
пространства взаимодействия с различной частотой колебаний поля
в них. В первой пространственной области длины А8, примыкающей
ко входу лампы ? = Л, устанавливаются колебания на частоте fi
внешнего воздействия. Во второй области имеет место разрушение
колебаний на частоте внешнего воздействия (синхронизации) и имеет
место отклонение базовой частоты и колебаний ВЧ-поля от частоты
ft внешнего воздействия при движении к выходу системы ? =
= 0. Соответственно граница клюва квазисинхронизации отвечает
условию равенства длины синхронизации общей длине пространства
взаимодействия А8 = А.
Проведенный анализ показывает, что одним из способов расши-
расширения полосы синхронизации систем «электронный поток-встречная
(обратная) электромагнитная волна» может стать поддержание режи-
режима синхронизации колебаний в распределенной активной среде путем
воздействия управляющего сигнала вдоль всей длины системы (распре-
(распределенное внешнее воздействие). Подобное распределенное воздействие
можно реализовать за счет применения распределенного ввода сигнала
с помощью связанных волноведущих систем.
Рассмотрим в качестве примера распределенного ввода синхрони-
синхронизирующего сигнала гиро-ЛВВ СВС. Система уравнений, описывающая
подобную систему, включает в себя уравнения возбуждения G.60) и
G.61), в которых полагается, что пучок пропускается только через
первую волноведущую структуру A\ ф 0, 1^ — 0), и уравнение движе-
движения для электронов-осцилляторов винтового пучка G.65). Уравнения
G.60), G.61) и G.65) решаются со следующими начальными и гранич-
граничными условиями:
2(Z ) BH,
G.70)
0o), 0ое[О,2тг],
которые определяют, что внешний синхронизирующий сигнал FBH =
= Fq exp (jtir) подается на вход ? = А второй из связанных волнове-
волноведущих систем.
Будем исследовать синхронизацию гиро-ЛВВ распределенным воз-
воздействием при значениях управляющих параметров, которые соответ-
соответствуют автономной стационарной генерации и которые рассматрива-
рассматривались нами выше, а именно /i = 2,0 и А = 3,0.
На рис. 7.30 показаны зависимости нормированной ширины полосы

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
467
ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 а
Рис. 7.30. Зависмости нормированной ширина полосы синхронизации
Ао;/Ао;о гиро-ЛВВ с распределенным вводом высокочастотного управляю-
управляющего сигнала от коэффициента связи а между волноведущими системами,
построенные для различных амплитуд внешнего воздействия Fq]
синхронизации Ао;/Ас<;о гиро-ЛВВ с распределенным вводом высо-
высокочастотного управляющего сигнала от коэффициента связи а меж-
между волноведущими системами, построенные для различных амплитуд
внешнего воздействия Fq. Ширина полосы синхронизации Аи норми-
нормировалась на ширину полосы квазисинхронизации Ао;о при воздействии
на гиро-ЛВВ сигналом, подаваемым на коллекторный конец лампы
и имеющим такую же амплитуду Fq.
Из рисунка следует, что при распределенном воздействии синхро-
синхронизирующего сигнала на гиро-ЛВВ ширина полосы синхронизации
Аи существенно расширяется в некотором диапазоне значений коэф-
коэффициента связи а связанных волноведущих структур, через которые
внешний синхронизирующий сигнал воздействует на активную среду.
При малых амплитудах внешнего воздействия (см. рис. 7.30; Fq =
= 0,05) расширение полосы синхронизации Аи > Ао;о имеет место
в диапазоне коэффициентов связи а > 0,25. С ростом мощности внеш-
внешнего синхронизирующего сигнала область по параметру а, в которой
наблюдается увеличение ширины полосы синхронизации уменьшается
(a Е @,35,0,8)). Одновременно с ростом Fq наблюдается уменьшение
нормированной ширины полосы Au/Auq.
Расширение полосы синхронизации в случае распределенного ввода
сигнала определяется особенностями физических процессов в неавто-
неавтономной гиро-ЛВВ при различных способах введения внешнего управ-
управляющего сигнала.
При «сосредоточенном» воздействии синхронизирующего сигнала
на коллекторном конце лампы, внешнее поле действует уже на хорошо
сгруппированный электронный пучок. При распределенном введении
синхронизирующего поля внешнее воздействие оказывается на пучок
на всей длине системы. Поэтому в последнем случае существует воз-
возможность эффективной модуляции винтового пучка на частоте внеш-
внешнего сигнала вблизи пушечного конца лампы, где пучок еще слабо
30*

468
Лекция 7B2)
О ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 а
Рис. 7.31. Зависимость отношения F^j F\ на выходе связанных волноведущих
систем без электронного пучка от величины а
сгруппирован. Тогда в винтовом пучке, который группируется бла-
благодаря фазовой модуляции ансамбля электронов-осцилляторов, имеет
место более интенсивный рост к коллекторному концу лампы гармони-
гармоники сгруппированного тока, частота которой равна частоте ?1 внешнего
поля, чем в случае подачи управляющего сигнала такой же мощно-
мощности в начале пространства взаимодействия ? = А. В результате при
распределенном воздействии синхронизирующего сигнала на систему
длина синхронизации As увеличивается и оказывается равной длине
пространства взаимодействия А в частотном диапазоне До; большем,
чем ширина полосы синхронизации Aujo в случае «сосредоточенного»
воздействия на систему.
Таким образом, ширина полосы синхронизации при использовании
распределенного ввода внешнего сигнала при оптимальных коэффици-
коэффициентах связи между СВС существенно возрастает.
Наиболее оптимальным при рассматриваемой длине А = 3,0 про-
пространства взаимодействия оказывается коэффициент связи а « 0,65,
при котором ширина полосы синхронизации относительно случая «со-
«сосредоточенного» воздействия на гиро-ЛВВ (подаче сигнала на коллек-
коллекторном конце) увеличивается в 1,5 -г 2 раза. Оптимальный коэффици-
коэффициент связи а определяется особенностями перераспределения ВЧ-мощ-
ности, подаваемой на вход одной из СВС, между каждой из волнове-
волноведущих систем.
На рис. 7.31 представлена зависимость отношения F2/F1 ве-
величин амплитуд полей в «холодных» волноведущих системах от
коэффициента связи а. Внешнее поле амплитуды Fq с частотой, равной
частоте автономной генерации гиро-ЛВВ, подается на вход второй из
волноведущих систем (т. е. F\ (? = А) = 0 и F<i (? = А) = Fq) . Видно, что
при малых а из второй структуры в первую «перекачивается» только
часть ВЧ-мощности. Это соответствует тому, что при использовании
СВС с таким коэффициентом связи а для синхронизации гиро-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
469
2,0 \
Рис. 7.32. Распределения амплитуд ВЧ-полей в каждой из «холодных» свя-
связанных волноведущих систем вдоль пространства взаимодействия при коэф-
коэффициенте связи а = 0,5 (а) и а = 0,8 (б). Внешнее поле с частотой, равной
частоте автономной генерации гиро-ЛВВ, подается на вход ? = А = 3,0
второй волноведущей структуры
ЛВВ эффективная мощность поля, воздействующего на электронный
пучок, уменьшается за счет неполной «перекачки» в пространство
взаимодействия гиролампы.
При а ~ 0,4 Ч- 0,7, соответствующем максимальной ширине полосы
синхронизации, имеет место практически полное ответвление мощно-
мощности из одной волноведущей структуры в другую. Это иллюстрирует
рис. 7.32 а, на котором представлены распределения полей в каждой
из «холодных» СВС вдоль пространства взаимодействия, построенные
при коэффициенте связи а = 0,5. Видно, что практически вся ВЧ-мощ-
ность, поданная на вход второй волноведущей структуры, ответвилась
в первую структуру, так что ширина полосы синхронизации в этом
случае максимальна: на винтовой пучок воздействует вся мощность
внешнего синхронизирующего сигнала по всей длине пространства вза-
взаимодействия.
При больших коэффициентах связи а > 0,6 наблюдается обрат-
обратная перекачка ВЧ-мощности из первой СВС во вторую, в результате
амплитуда поля на выходе второй линиии передачи возрастает (см.
рис. 7.30 6). Из рис. 7.32 6 (а = 0,8) видно, что полная «перекачка»
мощности ВЧ-поля в первую СВС происходит на длине пространства
взаимодействия ? = B/3)Л, и далее начинается обратный процесс.
Последнее эквивалентно тому, что эффективная длина, на которой
внешнее поле воздействует на электронный пучок в пространстве взаи-
взаимодействия, уменьшается. В результате имеет место сужение ширины
полосы синхронизации генератора. При значительных коэффициентах
связи а > 0,9 -г 1,1, когда длина, на которой происходит «перекачка»
ВЧ-мощности из одной СВС в другую составляет только малую часть
пространства взаимодействия, и ширина полосы синхронизации резко
сокращается, становясь меньше соответствующей величины До;о для
сосредоточенного ввода внешнего сигнала.

470
Лекция 7B2)
0
Рис. 7.33. Стационарные распределения ВЧ-тока 1\ и поля F\ при одних
управляющих параметрах А = 3,0, /ii = 2,0, /12 = 3,0, и а = 0,8, но раз-
различных начальных условиях G.71) и G.72). Сплошная линия — «быстрое»
состояние, штриховая — «медленное». Амплитуда начального возмущения
°
Перейдем теперь к изучению синхронизации двух гиро-ЛВВ со
связанными волноведущими структурами. С точки зрения рассматри-
рассматриваемой модели G.60)-G.66) это означает, что /ij2 ф 0.
Численное исследование модели G.60)-G.66) показало, что в свя-
связанных через волноведущие системы гиро-ЛВВ имеет место мультиста-
бильность (точнее, бистабильность), когда в зависимости от начальных
условий связанная система приходит к одному из двух устойчивых
состояний, которые характеризуются различными распределениями
ВЧ-поля и тока вдоль пространства взаимодействия и, соответственно,
различными выходными мощностями и КПД генерации.
Каждое из состояний соответствует преимущественному возбужде-
возбуждению в начальный момент времени либо быстрой, либо медленной нор-
нормальной волны связанной системы, что наиболее просто достичь путем
задания начальных условий в виде
Fb(t = 0,0 =
ИЛИ
Fm{t =
G.71)
G.72)
где 5° — амплитуда начального возмущения.
Будем называть состояние, которое будет реализовываться в систе-
системе при задании в начальный момент времени распределений вида G.71)
(т. е. при преимущественном возбуждении медленной номальной вол-
волны), «медленным», а при задании распределения G.72) — «быстрым».
Для иллюстрации мультистабильности в связанных гиро-ЛВВ СВС
на рис. 7.33 представлены распределения ВЧ-тока и поля в одной
из связанных гиро-ЛВВ, построенные при одинаковых управляющих
параметрах, но различных начальных условиях, задаваемых выраже-
выражениями G.71) и G.72) соответственно. Из представленных зависимостей
F\ и 1\ видно, что в связанной системе при одинаковых управляющих

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
471
©1,2
-0,34
-0,38
-0,42
а ' 0 0,2 0,4 0,6 0,8
©1,2
-0,3-
-0,4
-0,5
в 0 0,2 0,4 0,6 0,8

Л
: \\
ч,
-0,45
а „ О
0,8
Рис. 7.34. Зависимости частоты генерации каждой из связанных гиро-ЛВВ
СВС от коэффициента связи для длины системы А = 3,0 (а,б) и А = 4,0
(в,г) для быстрого (а,в) и медленного (б,г) состояния системы. Сплошная
линия — частота генерации в случае /ii = /12 = 2,0, штриховые линии — /ii =
= 2,0, /12 = 3,0. Штриховая линия 1 соответствует гиролампе с параметром
неизохронности /ii, 2 — /12
параметрах реализуются принципиально различные режимы генера-
генерации, характеризуемые топологически различными распределениями
амплитуд тока и поля в зависимости от того, какая из нормальных
волн (медленная или быстрая) в начальный момент времени г = 0
преобладает.
Для различных мультистабильных состояниий различаются часто-
частоты совместных ВЧ-колебаний связанной системы. На рис. 7.34 пред-
представлены зависимости частоты колебаний (сплошная линия) при изме-
изменении коэффициента связи а между волноведущими структурами для
«быстрого» (рис. 7.34 а (А = 3,0) и рис. 7.34 в (А = 4,0)) и «медленного»
(рис. 7.34 б (А = 3,0) и рис. 7.34 г (А = 4,0)) состояний связанной систе-
системы при одинаковых управляющих параметрах гиро-ЛВВ (/ii = /i2 =
= 2,0). Видно, что с увеличением связи частота генерации в «быстром»
состоянии уменьшается, а в «медленном» — наоборот, растет. Такое по-
поведение частоты генерации связано с видом дисперсионной кривой вол-
волновода. Введение связи между волноведущими структурами изменяет
скорость распространения нормальных волн системы. Дисперсионная
линия медленной волны /м, поддерживаемой электронным пучком,
располагается выше дисперсионной линии пучка uj + fiov\\ ~ шс = 0,
следовательно, частота синхронизма электромагнитной и медленной

472
Лекция 7B2)
а
0,8
0,6
0,4
0,2
00
Квазисинхронизация
-/ у^ Асинхронные
/ / колебания
4,0
^^
5,0
2,0
3,0
4,0
нормальной волны больше, чем электромагнитной и электронной волн
в случае отсутствия связи. Обратная ситуация складывается при пре-
преимущественном возбуждении быстрой нормальной волны /б — в этом
случае дисперсионная линия рас-
располагается ниже дисперсионной
линии пучка, и частота генера-
генерации меньше, чем в несвязанной
системе.
Изучим синхронные режимы
связанных гиро-ЛВВ СВС. На
рис. 7.35 на плоскости управля-
управляющих параметров (/i2, а) пока-
показаны зоны квазисинхронизации
для различных значений безраз-
безразмерной длины лампы А. Обла-
Области квазисинхронизации распо-
располагаются выше соответствующей
линии на плоскости параметров.
В области квазисинхронизации
базовые частоты генерации каж-
каждой из гиро-ЛВВ, определяемые
в соответствии с определением
G.41), равны друг другу: ujx =
,2| выходных полей каждой из гиро-ЛВВ
могут демонстрировать различные сложные колебательные режимы.
Заметим, что области синхронных колебаний совпадают как для «бы-
«быстрого», так и для «медленного» состояния системы, поэтому рис. 7.35
справедлив при задании начальных условий как в виде G.71), так и
G.72). Однако частоты синхронных колебаний будут различаться для
«быстрого» и «медленного» состояния связанной системы. Это иллю-
иллюстрирует рис. 7.34 (штриховые линии), на котором представлены зави-
зависимости базовой частоты выходных колебаний каждой из связанных
гиро-ЛВВ от коэффициента связи между волноведущими структурами
су, построенные для обоих устойчивых состояний связанной системы.
Сравнение рис. 7.34 а,в и рис. 7.34 б,г показывает, что частоты синхрон-
синхронных колебаний отличаются в различных мультистабильных состояниях
и стремятся с ростом коэффициента связи к частоте генерации при
/ii = /i2 = 2,0.
Отметим также, что в области квазисинхронизации для «медлен-
«медленного» состояния связанной системы характерными оказываются скач-
скачки частоты выходного сигнала при изменении управляющих парамет-
параметров каждой из парциальных систем, а также связи между ними (см.
рис. 7.34 б,г) *). Появление скачков определяется конкуренцией бы-
быстрой и медленной нормальных волн системы, и как следствие переско-
Рис. 7.35. Области синхронизации
совместных колебаний двух гиро-
ЛВВ СВС на плоскости «параметр
неизохронности /12 — коэффициент
связи а», построенные при fii =2,0
= иJ- При этом амплитуды
г) Скачки частоты генерации сопровождаются скачками амплитуды вы-
выходных сигналов каждой из связанных гиро-ЛВВ.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 473
ками связанной системы при небольшом изменении управляющих па-
параметров (в данном случае коэффициента связи а) между «быстрым»
и «медленным» состоянием гиро-ЛВВ СВС. При этом такие скачки
имеют место только при преимущественном возбуждении медленной
нормальной волны, т.е. при задании начальных условий в виде G.71).
При большой длине системы наблюдается несколько таких скачков
с увеличением величины коэффициента связи (см. рис. 7.34 г). Поэтому
для стабильной перестройки частоты генерации связанной системы
при изменении коэффицента связи между волноведущими системами
предпочтительно добиваться установления «быстрого» состояния пу-
путем соответствующего выбора параметров прибора.
Вернемся снова к рис. 7.35, на котором представлена граница обла-
области режима квазисинхронизации связанной системы гиро-ЛВВ СВС.
Из рисунка следует, что взаимная синхронизация двух гиро-ЛВВ име-
имеет место при малой связи между волноведущими системами и при
небольшой расстройке частот автономной генерации каждой из пар-
парциальных систем (малой разности параметров неизохронности A/i =
— |/^i — А^21)- С ростом A/i режим квазисинхронизации возникает при
больших значениях коэффициента связи су, т.е. область синхронных
колебаний сужается на плоскости (/^2,су). Это сужение тем больше,
чем больше безразмерная длина гиролампы А (ср. границы области
квазисинхронизации на рис. 7.35, построенные при Л = 3,0 и Л =
= 4,0). Одновременно с ростом параметра А форма границы синхрони-
синхронизации становится изрезанной, что определяется конкуренцией на гра-
границе области синхронизации режимов с различными пространствен-
пространственными распределениями полей нормальных волн связанной системы.
Последнее тесно связано с возникновением режимов автомодуляции
выходного сигнала в связанных гиро-ЛВВ, поэтому кратко рассмотрим
автомодуляционные режимы, реализующиеся в связанной системе при
изменении управляющих параметров. Отметим, что в зависимости от
того, в каком мультистабильном состоянии находится система, картина
перестройки режимов генерации в гиро-ЛВВ СВС различна.
На рис. 7.36 показаны карты режимов на плоскости параметров
(/^2,су), построенные для «быстрого» и «медленного» состояний си-
системы с безразмерной длиной пространства взаимодействия Л = 4,0.
Из рисунка видно, что граница области стационарной генерации и ав-
автомодуляции выходных сигналов имеет сложную сильно изрезанную
форму. Как и для гиро-ЛВВ со связанными волноведущими структу-
структурами, только через одну из которых пропускается электронный пучок,
такая форма границы связана с реализующимися в системе устойчивы-
устойчивыми «многогорбыми» распределениями амплитуды электромагнитных
полей в каждой из ламп при большой длине системы. Появление мно-
гогорбых распределений обусловлено конкуренцией фазового и инер-
инерционного механизмов нелинейности в винтовом пучке, взаимодейству-
взаимодействующем со встречной волной. Устойчивость «многогорбых» простран-
пространственных распределений определяется величиной связи и расстройкой
по частоте между связанными гиро-ЛВВ. Поэтому сложная форма гра-
границы стационарной генерации, как и сложная форма границы области

474
Лекция 7B2)
а
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
S
_
/ Т
/ Уз]
Q J С
\
1 \ I 1 I
2,0
3,0
4,0
Рис. 7.36. Области стационарной генерации и автомодуляции выходного сиг-
сигнала совместных колебаний двух гиро-ЛВВ СВС на плоскости «параметр
неизохронности fi2 — коэффициент связи а», построенные при fii = 2,0 для
«быстрого» (а) и «медленного» (б) состояния при А = 4,0 (fii = 2,0). Об-
Область S соответствует стационарному режиму генерации, Т — периодической
автомодуляции выходного сигнала, Q — сложнопериодическим режимам
автомодуляции, С — хаотической генерации
квазисинхронизации, определяется устойчивостью наблюдающихся со-
состояний Fi52(?, т) и /i,2(С? t)j возникающих в результате многократной
перегруппировки электронов-осцилляторов винтового пучка на длине
лампы г).
Отметим важное с точки зрения применения гиро-ЛВВ как мощно-
мощного перестраиваемого по частоте генератора миллиметрового диапазона
обстоятельство, что в связанной системе имеет место расширение об-
области стационарной генерации по сравнению со случаем автономной
генерации. Так при А = 4,0 в автономной гиро-ЛВВ автомодуляция
выходного сигнала возникает при fiaut « 2,8. В связанных гиро-ЛВВ
СВС, как видно из рис. 7.36, возникновение режимов стационарной
генерации имеет место при значительно больших значениях параметра
/i. Так в «быстром» состоянии стационарная генерация наблюдается
при коэффициентах связи а > 0,3 и \i 4,0 также имеется сравнительно узкая область режима ста-
стационарной генерации. В «медленном» состоянии связанной системы
область стационарной генерации занимает меньшую область на плос-
плоскости управляющих параметров и имеет значительно более сложную
границу. В режимах стационарной генерации в системе наблюдается
квазисинхронизация колебаний в каждой из гиро-ЛВВ, что позволя-
х) Заметим, что при А = 3,0 столь сложной формы как области синхрони-
синхронизации (см. рис. 7.35), так и области стационарной генерации не наблюдается,
что связано с тем, что при малой длине системы распределения полей в лам-
лампах имеют более простой вид.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 475
ет эффективно повысить суммарную выходную мощность комплекса
в одночастотном режиме генерации.
При переходе к режиму автомодуляции в связанной системе на-
наблюдаются различные режимы колебаний амплитуды выходного поля
|i*i,2|- Так вблизи границы области стационарной генерации автомоду-
автомодуляция носит регулярный периодический характер (область Т и Q на
рис. 7.36). При больших расстройках Аа и коэффициентах связи а <
< 0,6 в системе наблюдаются режимы хаотической генерации. Изменяя
параметр связи а можно эффективно перестраивать спектральный
состав (ширина полосы, частота, изрезанность спектра) шумового сиг-
сигнала, что делает систему связанных гиро-ЛВВ перспективным управ-
управляемым источником шумового сигнала в миллиметровом диапазоне
длин волн.
Взаимная синхронизация магнетронных генераторов
Обсуждая вопросы синхронизации в сверхвысокочастотной элек-
электронике, нельзя не остановиться на задаче о синхронизации внешними
высокочастотными сигналами генераторов магнетронного типа. Фази-
Фазирование в магнетронных генераторах применяется главным образом
для стабилизации их частоты, фазовой и амплитудной модуляции. Кро-
Кроме того параллельное включение магнетронов используется для увели-
увеличения полезной выходной высокочастотной мощности (см., например,
[64,65]). Наиболее подробно и систематично рассмотрение вопросов
совместных колебаний магнетронных генераторов изложено в работе
Дейвида [66], на основе которой излагается материал этого параграфа.
Взаимная синхронизация магнетронных генераторов в отличие от
синхронизации отражательных клистронов, которая рассматривалась
в первом параграфе лекции, используется не для расширения полосы
перестройки частоты, а для получения большей выходной мощности,
чем способен дать один магнетрон. В этом случае несколько магнетро-
магнетронов соединяют так, чтобы они работали синхронно на одну или ряд
нагрузок. При этом каждый из генераторов является источником фази-
фазирующего сигнала для всех остальных генераторов. Частота совместных
синхронных колебаний, ширина полосы синхронизации и выходная
мощность определяются в данном случае относительной расстройкой
частот автономных генераторов относительно друг друга, добротно-
добротностью резонансных колебательных систем магнетронов и геометрией
соединяющих их линий передачи. Последний фактор существенен, ког-
когда характерные размеры элементов связи сравнимы с длиной волны
генерируемого электромагнитного излучения.
Два одинаково настроенных магнетрона могут работать синхронно,
если они будут параллельно подключены с помощью тройника (коак-
(коаксиального или волноводного). На рис. 7.37 а показана наиболее простая
схема такого подключения, когда генераторы включены в противопо-
противоположные плечи, а нагрузка присоединена к третьему плечу. В некоторой
выбранной плоскости отсчета для магнетронного плеча к генератору
подключено сопротивление, состоящее из параллельно включенных

476
Лекция 7B2)
1-й
а\
h
магнетрон
аз
h
Щ В
3 ?
4
V
Zo
/ р
¦¦¦/
Магнетроны
Zo
К 2
Рис. 7.37. Схемы соединительных устройств для работы магнетронных гене-
генераторов. Представлены варианты для случаев: параллельной работы магне-
магнетронов (а); последовательного соединения цепей для работы N генераторов
на N + 1 нагрузку (б); работы нескольких синхронизованных магнетронов
на одну общую нагрузку (в)
нагрузки и второго магнетрона. Если оба магнетрона работают на со-
согласованные нагрузки, то указанное выше сопротивление должно быть
равно волновому сопротивлению Zq, а полное сопротивление второго
магнетрона должно быть (—Zq). Таким образом, в рассматриваемой
плоскости
Zo Z Zo

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 477
где ZH — сопротивление нагрузки. Из соотношения G.73) следует, что
ZH = Zq/2. Поэтому сопротивление нагрузки выбирается равным по-
половине волнового сопротивления генераторных плеч. При этом предот-
предотвращается образование стоячей волны в плече нагрузки.
На рис. 7.37 ? показана цепочка контуров, которая позволяет N оди-
одинаковым магнетронам работать на (N + 1) нагрузку, причем каждый
из магнетронов нагружается на самосогласованную нагрузку. Тожде-
Тождественность образующих эту цепь элементарных контуров может быть
доказана равенством полных сопротивлений в точках Л и А' (см.
рис. 7.37 6). Так как Za — Zq и Zb = — Zq/2, получаем следующие
соотношения:
1112 1 (Г7Г7Л,
Точно также Zp = 2Zq и, следовательно,
Zp = Za1 = 2Zq — Zq = Zq = Za, G-75)
т. е. элементарные контуры могут быть повторены столько раз, сколько
это необходимо (сколько необходимо соединить магнетронных генера-
генераторов).
Другое возможное соединение магнетронных генераторов с анало-
аналогичными свойствами заключается в использовании соединенных меж-
между собой волноводных крестовин типа «магическое Т» [67], внешний
вид которой представлен на рис. 7.37 в. В идеальном случае сами гене-
генераторы не связаны, но каждый из них синхронизован сигналом, вво-
вводимым в центральную ветвь соединения (см. рис. 7.37 в). Если длины
волноводных плеч соответствуют указанным на рисунке, то генераторы
будут аддитивно работать на одну нагрузку [66].
Остается открытым вопрос об установлении режима синхрониза-
синхронизации в такой системе. Здесь можно лишь отметить, что эксперимент
с группой синхронизируемых импульсных магнетронов показал, что
установление синхронного режима может быть значительно ускорено,
если один из магнетронов начинает работать раньше других.
Более сложным является случай, когда магнетронные генерато-
генераторы расстроены относительно друг друга. В этом случае необходимо
правильно выбрать рабочие точки магнетронов. Наиболее просто для
нахождения рабочих точек воспользоваться нагрузочными диаграмма-
диаграммами. Под нагрузочной диаграммой понимается совокупность изолиний
постоянной частоты и выходной мощности на плоскости коэффициента
отражения нагрузки. Из такой диаграммы, в частности, следует, что
если режим питания магнетронного генератора фиксирован, его часто-
частота и выходная мощность однозначно определяются для каждой вели-
величины коэффициента отражения. Для анализа режима синхронизации
исходным является одновременное выполнение условий, налагаемых
наличием соединительных цепей, полным сопротивлением нагрузки
и нагрузочной диаграммой магнетрона. Так параллельное соединение,
обсуждаемое выше и показанное на рис. 7.37 а, можно описать урав-
уравнениями для амплитуд отраженных от концов линии волн 6^. Если

478
Лекция 7B2)
(oi-созз
a>i-a>if
180°
180°
Рис. 7.38. Нагрузочные диаграммы с изолиниями двух параллельно работа-
работающих магнетронов. Рис. а соответствует первому, б — второму магнетрону.
Точки О\ и 0<i соответствуют синхронному режиму работы магнетронов
нагрузка согласована (т.е. амплитуда отраженной волны аз = 0), эти
уравнения имеют вид [66]
G.76)
л/2 , л/2
где а^ — амплитуды падающих волн.
Из уравнений G.76) следует, что при всех условиях Ь\ = —62, так что
отраженные мощности для каждого генератора должны быть равны,
если они работают на одинаковых частотах. Это условие вместе с одним
из первых уравнений системы G.76) определяет геометрическое место
рабочих точек каждого генератора на его нагрузочной диаграмме.
На нагрузочных диаграммах это будут окружности, показанные на
рис. 7.38. Кривые для частот в центрах диаграмм, обозначенные и\
и и2, указывают относительную настройку генераторов. Другие кри-
кривые указывают на отклонение от этих центральных частот. Если оба ге-
генератора настроены на одну частоту (oji = o^), рабочие точки их соот-
соответствуют центрам своих диаграмм (Г^ = bi/a^ отмечены на рис. 7.38
черными жирными точками). Когда настройка меняется (|o;i — и2\ >
> 0), рабочие точки смещаются (отмечено на рисунке стрелками) от
центра по окружностям в противоположных направлениях, например
к точкам, обозначенным О\ и О2 (отмечены на рисунке кружками).

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
479
Частота синхронных колебаний и будет равна
СО = LOi -\- 0J22 = 0J2 — ^22-
G.77)
Мощность, выделяемую на нагрузке, можно найти, просуммировав
значения, даваемые кривыми выходной мощности, проходящими через
точки О\ и О*}- Эта сумма в общем случае тем меньше, чем больше
\uj\ — Сс?21• Полоса синхронизации достаточно велика, так как все ча-
частотные кривые пересекают кривые отраженной мощности (сплошная
линия на нагрузочной диаграмме на рис. 7.38). Практически эта полоса
определяется формой кривых в области, близкой к Г = — 1.
Когда расстояния от центральной плоскости тройника до генера-
генераторов изменяются по сравнению с указанными на рис. 7.38, рабочие
кривые на диаграммах смещаются. Пусть, например, указанные рас-
расстояния равны четверти длины волны. Анализ можно провести так
же, как и раньше, с той только разницей, что нагрузочные диаграм-
диаграммы должны быть повернуты на 180°. Рабочими кривыми будут снова
окружности (штриховые линии на рис. 7.38), но смещенные на 180°
по сравнению с ранее рассмотрен-
рассмотренными. Полоса синхронизации силь-
сильно уменьшается, так как окруж-
окружность пересекают только изолинии
частоты, близкие к центру диа-
диаграммы. Каждая из пересекающих
окружность линий частоты пересе-
пересекает ее дважды. Устойчивые рабо-
рабочие точки лежат ближе к окруж-
окружности |Г| = 1, чем к точке Г = 0.
Последнее связано с тем, что, ког-
когда генераторы одинаково настрое-
настроены, каждый из них оказывается на-
нагруженным на линию, открытую на
конце, модуль коэффициента отра-
отражения |Г| = 1 и на нагрузке не вы-
выделяется никакой мощности. Ког-
Асо, МГц
0,0
да |сс?2 —
0,10 0,20
d,B длинах волн
0,30
увеличивается, рабочие
точки двигаются по своим окружно-
окружностям в сторону меньшего значения
коэффициента отражения |Г|. Ког-
Когда длины d линий, соединяющих
генераторы с тройником, не равны
целому числу четвертей длин волн,
рабочие окружности будут проме-
промежуточными относительно изображенных на рис. 7.38. Соответству-
Соответствующая зависимость ширины полосы синхронизации от длины линии,
соединяющей магнетрон с тройником, в диапазоне от 0 до А/4 пред-
представлена на рис. 7.39.
Рис. 7.39. Кривая зависимости по-
полосы синхронизации при парал-
параллельной работе двух генераторов
от длины линий d, соединяющих
их с тройником

480 Лекция 7B2)
Детальный анализ условий синхронизации большого числа парал-
параллельно работающих магнетронов показывает, что для эффективной
синхронной связи генераторов особое внимание необходимо уделять их
относительной настройке и конфигурации соединяющих контуров. При
этом небольшая разница в параметрах генераторов мало сказывается
на работе и может быть скомпенсирована изменением соответствую-
соответствующих волновых сопротивлений или изменением длин соответствующих
линий.
Синхронизация систем с виртуальным катодом
Рассмотрим в заключение этой лекции синхронизацию колебаний
в электронном потоке с виртуальным катодом [67-74, 78, 84]. Для этого
будем изучать простейшую модель такой системы — плоский пролет-
пролетный промежуток, пронизываемый электронным потоком со сверхкри-
сверхкритическим током без нейтрализации ионным фоном, т. е. в режиме, когда
параметр Пирса а > акр = 4/3. Автономная динамика виртуального
катода в плоском пролетном промежутке подробно обсуждалась нами
в лекции 5B0).
Исследуем влияние предварительной модуляции электронного по-
потока на колебания виртуального катода при различной степени надкри-
тичности (а — суКр) [68-71]. Введение управляющего сигнала по потоку
более энергетически выгодно, чем действие внешнего поля непосред-
непосредственно в области формирования виртуального катода. Как показыва-
показывает эксперимент по скоростной модуляции сильноточных электронных
пучков [76, 77], необходимый уровень управляющего сигнала в этом
случае может быть уменьшен примерно на порядок.
В математической модели E.56)-E.58) внешнее воздействие сводит-
сводится к изменению граничного условия для скорости электронного потока
на левой границе пролетного промежутка, которое теперь зависит от
времени и записывается в виде
v(x = 0,0 = uo(l + Msinm), G.78)
где М и ft — глубина и частота модуляции по скорости электронного
потока на входе в пролетный промежуток, vq — невозмущенная ско-
скорость электронного потока, определяемая ускоряющим напряжением.
На рис. 7.40 представлены карты режимов неавтономных колебаний
в пучке с виртуальным катодом на плоскости управляющих параметров
«частота Л/с^о-глубина М модуляции». При малой надкритичности
(рис. 7.40 а, (а — акр) = 0,6) вблизи частоты внешнего воздействия,
равной частоте и® автономных колебаний виртуального катода, на-
наблюдается область синхронизации, в которой имеют место регуляр-
регулярные колебания на частоте и = О, скоростной модуляции электронного
потока. Со стороны меньших частот область синхронизации практи-
практически линейно растет с ростом глубины модуляции М, а со стороны
больших частот быстро расширяется, и при глубине модуляции М =
= 0,05 занимает почти всю область параметров. Вблизи частоты О, «
« 2и$ возникает клюв синхронизации на кратной частоте (область f/2-

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
481
М
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
м \
>
1 1
S
V ^
\А I
М \у
^>-—^*-
м
I I I
0,34 0,67 1,0 1,33 1,66 2,0 2,33 2,66 3,0 О/ш0
м
0,08
0,06
0,04
0,02
о по
ft \
М
S
\
л
\
т \
г\ \
\ \
\ Х^ f/2-S
Quasi-SV^^—\
" <\
\LS м Д
0,70 0,85 1,0 1,15 1,30 1,45 1,60 1,75 1,90 2,
Рис. 7.40. Карта характерных режимов неавтономных колебаний виртуаль-
виртуального катода на плоскости управляющих параметров (il/cjo, M), построенная
для надкритичности а = 2,0(й)иа = 6,0(б). Область S — область синхрони-
синхронизации, Quasi-S — квазисинхронизации, М — автомодуляции периодических
колебаний, f/2-S — синхронизация на половинной частоте внешнего воздей-
воздействия (деление частоты), Т — сложные хаотические и квазипериодические
колебания
S на рис. 7.40), когда колебания виртуального катода имеют место на
частоте и = П/2, т.е. происходит деление частоты внешнего воздей-
воздействия. С ростом глубины модуляции область синхронизации на кратной
частоте перекрывается клювом синхронизации на частоте внешнего
воздействия.
При выходе из области синхронизации в системе возникают биения
(режим М на карте режимов), частота и амплитуда которых существен-
существенно зависят от параметров предварительной модуляции электронного
потока.
С увеличением параметра Пирса а вид карты режимов неавто-
неавтономной системы существенно усложняется (рис. 7.40 б, построенный
при а — акр = 4,6). Во-первых, имеет место значительное сужение
области синхронизации колебаний виртуального катода по сравнению
31 Трубецков, Храмов

482 Лекция 7B2)
со случаем малой надкритичности. Во-вторых, наблюдается возник-
возникновение режимов, названных нами выше режимами квазисинхрониза-
квазисинхронизации — колебаний с базовой частотой в спектре, равной частоте внеш-
внешнего воздействия, и одновременно, сложным поведением амплитуды
выходного сигнала. В этом режиме (области Quasi-S на карте режимов)
спектр мощности колебаний содержит большое число спектральных
компонент, однако базовая частота колебаний виртуального катода и =
= ?1. Область квазисинхронизации в области меньших частот примы-
примыкает к клюву синхронизации и быстро расширяется с ростом глубины
модуляции. Со стороны больших частот режим квазисинхронизации
наблюдается только при глубине модуляции М < 0,06. С ростом ам-
амплитуды внешнего воздействия режим квазисинхронизации разруша-
разрушается, т.е. перестает выполняться условие и = fi, и возникают режимы
сложных хаотических и квазипериодических колебаний (область Т на
рис. 7.40 6).
В области О, « 2и$ аналогично случаю малой надкритичности на-
наблюдается режим синхронизации на кратной частоте, однако теперь
он занимает существенно большую область на карте параметров. Это
связано с большей нелинейностью системы при увеличении значения
параметра Пирса а. Вне зон синхронизации (режим S) и синхронизации
на кратной гармонике (f/2-S) наблюдается режим биений (область М
на рис. 7.40 б), в котором амплитуда периодически меняется во времени.
Область М также расширяется по сравнению с предыдущим случаем,
и ее граница поднимается вверх по параметру глубины модуляции М.
Рассмотрим теперь колебания в связанной системе двух генераторов
на виртуальном катоде виртодного типа [78, 79]. В виртодной схеме
внешний сигнал, воздействуя на электронный пучок в области ускоре-
ускорения, приводит к модуляции поступающего в пространство взаимодей-
взаимодействия электронного потока. Система связанных виртодов представляет
интерес с точки зрения изучения возможности применения виркаторов
в качестве модулей фазированнных антенных решеток [75,79].
Рассмотрим два идентичных вакуумных пролетных промежутка
(модуля), в каждый из которых инжектируется сильноточный элек-
электронный поток с релятивистским фактором 7о = 3,5 и током пучка,
соответственно для первого и второго модуля, 1\ и I<i- Поток перед
поступлением в пространство взаимодействия каждого из модулей
модулируется в узком зазоре электромагнитным сигналом, который
снимается из пространства взаимодействия другого модуля. Сигнал
воздействует на поток с некоторой задержкой г во времени.
Основными параметрами, от которых зависит поведение связанной
системы виртодов, являются квадратный корень отношения тока пучка
к предельному вакуумному току ct{ = y/U/Iq , и параметры линии
внешней связи между модулями: время задержки т^ и коэффицент
связи А{, определяющий глубину модуляции М электронного потока на
выходе из модулятора — на входе в пространство взаимодействия (г =
= 1,2 — номер виртода). Будем рассматривать, если не оговаривается

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
483
I, ПС
2100
1400
700
0
i i i i i .i i i i
Iе/ ft
: К | \
/ / V
: / / s
Л :
С
\ :
у Quasi- s\
V \
x^ 1 :
.4 i ... i ..."
0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 oci/a2
Рис. 7.41. Карта режимов колебаний связанной системы двух генераторов
на виртуальном катоде на плоскости управляющих параметров (г, ai/аг).
Область S — область синхронизации, Quasi-S — квазисинхронизации, С —
хаотической генерации
особо, случай симметричной связи между модулями, т.е. Т\ = t<i = г
при фиксированном коэффициенте связи А\ = А^ = А.
Как показали исследования, система связанных виртодов может
демонстрировать различные режимы поведения в зависимости от па-
параметров линии связи. При коэффиценте связи Л, соответствующем
глубине модуляции М < 0,05, связь мала, и колебания в каждом из
виртодов практически автономны. С ростом коэффицента связи А в за-
зависимости от расстройки генераторов по частоте наблюдаются режимы
хаотической генерации и синхронизации. Последний имеет место при
близости токов пучков г) fti и «2 и глубине модуляции М ~ 0,1 -г- 0,2.
Далее будем исследовать поведение связанной системы при коэффици-
коэффициенте связи Л, соответствующем глубине модуляции М = 0,15.
На рис. 7.41 на плоскости управляющих параметров г и а\/а2
показаны зоны синхронизации, квазисинхронизации и хаотической ге-
генерации в системе связанных виртодов.
Из карты режимов видно, что при небольшой расстройке генера-
генераторов по частоте в системе наблюдается режим синхронизации, когда
сигналы обоих генераторов регулярны и имеют одну частоту, причем
между ними устанавливается не меняющаяся во времени разность фаз
Аф. Область синхронизации на плоскости параметров сужается с уве-
увеличением времени задержки. Отличительной особенностью поведения
системы связанных виртодов является наличие порогового времени
х) Т.е. при небольшой расстройке по частоте А/ = |/г — /i|, где /i и /2 —
соответственно частоты колебаний в автономных режимах при а± и«2- На-
Напомним, что частота колебаний виртуального катода зависит от тока пучка
как / ~ л/Т-
31*

484
Лекция 7B2)
/ГГц
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1.0
i i i i i i i i i i i i i i i
- -
. i i ! i . . I . . . ! . . .
1,60 2,00 2,40 2,80 a2
Рис. 7.42. Частота совместных колебаний двух виртодов как функция тока
пучка а.2 при ol\ = 2,2: 1 соответствует режиму автономной генерации, 2 —
14 пс, 3 — 413 пс, 4 — 825 пс, 5 — 2,2 не
задержки ткр, при превышении которого режим синхронизации раз-
разрушается. Отметим, что величина порогового времени задержки ткр
уменьшается с ростом коэффицента связи А и расстройки Аа = |а2 —
-ы
При большой расстройке модулей по частоте А/ (Аа ~ 1) режим
синхронизации разрушается и при малых т. Это означает, что взаимная
синхронизация имеет место в диапазоне времен задержки в цепи связи
7кр,гшп < т < ткр, причем необходимый коэффицент связи, при котором
обеспечивается синхронизация колебаний, должен быть достаточно ве-
велик (М -0,2).
На рис. 7.42 показана зависимость частоты генерации комплекса
в режиме синхронизации от отношения а±/'а<± при различных величи-
величинах г. На рисунке также приведена зависимость частоты генерации
автономного генератора от тока пучка (кривая 1). Видно, что частота
генерации связанной системы уменьшается по сравнению с частотой
колебаний виртуального катода в автономном диоде. Увеличение дли-
длительности задержки в цепи связи приводит к уменьшению частоты
синхронных колебаний комплекса. Максимальная перестройка частоты
генерации с изменением времени задержки г равна (Д///)тах ~ 20 %.
С точки зрения возможности применения исследуемой системы как
модуля фазированной антенной решетки особый интерес представляют
фазовые соотношения между СВЧ-сигналами каждого из модулей.
На рис. 7.43 а приведены зависимости разности фаз Аф между
сигналами в каждом из виртодов от тока пучка а<± при фиксированном
о.\ — 2,2. Из графиков видно, что изменение времени задержки г поз-
позволяет перестраивать разность фаз в достаточно широких пределах,
причем при немалой расстройке генераторов параметр Ат существенно
влияет на величину Аф. При малой расстройке генераторов (Аа ^С 1)
влияние симметричной связи (т\ = т2) на разность фаз Аф очень мало.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
485
Т2
Рис. 7.43. а — разность фаз (в градусах) между сигналами, генерируемыми
в каждом из виртодов как функция тока пучка схч при сх\ = 2,2. Кривая
1 соответствует п = Т2 = г = 14 пс, 2 — 413 пс, 3 — 825 пс, 4 — 2,2 нс.
б — несимметричный случай: разность фаз (в градусах) между сигналами,
генерируемыми в каждом из виртодов как функция времени задержки Т2 для
различных значений т\ и коэффициента связи А. Кривая 1 соответствует
г = 14пс (М = 0,15), 2 - 1,4нс (М = 0,15), 3 - 1,4нс (М = 0,25)
Введение в систему асимметрии, связанной с различными времена-
временами задержки т\ и т^ (т\ ф тг), позволяет достаточно эффективно управ-
управлять величиной Аф практически без изменения частоты генерации.
Как видно из рис. 7.43 б, за счет изменения только времени задержки
в одной из цепей внешней связи возможно перестраивать разность фаз
в пределах 0 -г- тг/2. Увеличение фиксированного времени задержки т\
приводит к потере монотонности роста Аф с увеличением т^. Отметим,
что увеличение коэффицента связи А (или, что тоже самое, глубины
модуляции инжектируемого в пространство дрейфа потока) приводит
к уменьшению разности фаз между колебаниями в обоих виртодах
(ср. кривые 1 и 3 на рис. 7.43 ?, соответствующие М « 0,15 и М «
« 0,25). При временах задержки т^ > 2,5нс режим синхронизации
разрушается, и система переходит к стохастическим колебаниям через
перемежаемость.
В области квазисинхронизации колебания в каждом из модулей
происходят с одной базовой частотой, при этом временная динамика
выходных сигналов достаточно сложна и представляет собой сложный
хаотический процесс.
При большой расстройке генераторов (Да > 1) наблюдаются несин-
несинхронные хаотические колебания, которые усложняются с ростом дли-
длительности задержки и расстройки Да. В этом случае в спектре каж-
каждого из виртодов наблюдается высокий шумовой пьедестал, медленно
спадающий с ростом частоты, на фоне которого имеются слабо выра-
выраженные пики основной частоты и ее субгармоники. С ростом времени
задержки сложность хаотических колебаний увеличивается, причем

486
Лекция 7B2)
0,33
1000
1250,0
Рис. 7.44. Пространственно-временные диаграммы электронного потока в од-
одном из виртодов для случая синхронизации (а) и развитого хаоса (б)
этот эффект наблюдается даже при малой растройке генераторов (см.
рис. 7.41, на котором наблюдается сужение области синхронизации
с ростом г). При асимметричной связи между модулями, когда т\ ^>
^> Т2, наблюдается жесткий переход к хаотическим колебаниям через
перемежаемость. Таким образом, можно сделать вывод, что увеличе-
увеличение времени запаздывания в цепи связи между модулями приводит
к усложнению динамики системы. Следует отметить, что подобный
эффект наблюдается и в автономном виртоде. Как было показано в ра-
работах [80-82], увеличение времени задержки внешней обратной связи
облегчает хаотизацию динамики виртуального катода в виртодной си-
системе.
Рассмотрим, чем определяется перестройка режимов совместных
колебаний в связанной системе виртодов. На рис. 7.44 представлены
пространственно-временные диаграммы потока в пространстве взаи-
взаимодействия одного из модулей для случая регулярных движений в ре-
режиме синхронизации и хаотических колебаний в связанной системе.
Как видно из рис. 7.44 а, в режиме синхронизации в потоке воз-
возникает только одна электронная структура на каждом периоде ко-
колебаний — виртуальный катод. В потоке можно выделить два типа
заряженных частиц — пролетные и отраженные от виртульного катода
обратно к плоскости инжекции частицы. Это также следует из рис. 7.45
(штриховая линия), на котором изображена функция распределения
Ф(Т/) заряженных частиц по временам жизни в пространстве взаимо-
взаимодействия. Распределение Ф(Т/) имеет двугорбый вид, где первый ярко
выраженный пик соответствует отраженным от виртуального катода
частицам, а второй — пролетным частицам, которым хватает кинетиче-
кинетической энергии, чтобы преодолеть потенциальный барьер (виртуальный
катод) и, ускоряясь, выйти из зоны виртуального катода к коллектору.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике
487
ф
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
i i | i i i | i i i | i i i | i i i
_
:
_
и
¦ i i i
—
к,
У .4
1
к. ;
0,00
500,00 1000,00
Ti
Рис. 7.45. Функция распределения заряженных частиц по временам жизни
в пространстве взаимодействия одного из виртодов для случая синхрониза-
синхронизации (штриховая линия 1) и развитого хаоса (сплошная линия 2)
Изменение времени задержки и расстройки модулей приводит
к подстройке времени существования в потоке отражающего частицы
виртуального катода за счет предварительной модуляции, которая, уве-
увеличивая (или уменьшая) скорость инжектируемого потока, позволяет
затормозить (или ускорить) процессы формирования/распада вирту-
виртуального катода. При этом времена начала формирования виртуального
катода в потоке каждого из модулей отличаются на некоторую вели-
величину, зависящую от времени задержки т, которая и определяет сдвиг
фаз между сигналами каждого из модулей.
При большой расстройке ситуация меняется. В этом случае в потоке
кроме основной структуры (виртуального катода) образуются вторич-
вторичные структуры, возникновение которых обусловлено кинематической
группировкой промодулированного по скорости потока. Как видно из
пространственно-временной диаграммы (рис. 7.44 б), в этом случае про-
происходит отражение части потока от вторичных структур, что оказывает
сильное влияние на начальные условия формирования виртуального
катода на каждом периоде колебаний, в результате чего неустойчивость
движения потока возрастает и колебания хаотизируются.
В режиме хаотической генерации спектр возможных времен жизни
электронов в пространстве дрейфа уширяется (см. рис. 7.45; сплош-
сплошная линия). Распределение Ф(Т/) становится более равномерным, т.е.
в потоке существует примерно одинаковое число частиц с различны-
различными временами жизни, что свидетельствует о формировании в потоке
внутренней распределенной обратной связи, реализующейся за счет
частиц, отраженных от вторичных структур и имеющих большие зна-
значения Т/.

488 Лекция 7B2)
Список литературы
1. Нидепп С. Horoloqium Oscilatorium. — Parisiis, France, 1673.
2. Капранов M.B., Кулешов В.Н., Уткин P.M. Теория колебаний в ра-
радиотехнике. — М.: Наука, 1984.
3. Районов В. И. Два связанных генератора с мягким возбуждением //
ЖТФ. 1936. Т. 6, № 5. С. 801.
4. Теодорчик К. Ф. К теории синхронизации релаксационных автоко-
автоколебаний // ДАН СССР. 1943. Т. 40, № 2. С. 63.
5. Хохлов Р.В. К теории захватывания при малой амплитуде внешней
силы // ДАН СССР. 1954. Т. 9, № 6. С. 411.
6. Андронов A.A., Bumm А.А. К теории захватывания Ван-дер-
Поля // Собр. тр. А.А.Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1956.
7. Минакова И.И., Реодорчик К. Ф. К теории синхронизации автоколе-
автоколебаний произвольной формы // ДАН СССР. 1956. Т. 106, № 4. С. 658.
8. Ланда П.С, Ларионцев Е.Г. Режимы биений и синхронизации
встречных волн во вращающемся кольцевом газовом лазере // Ра-
Радиотехника и электроника. 1970. Т. 15, № 6. С. 1214.
9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. — М.: Наука,
1971.
10. Романовский Ю.М. О взаимной синхронизации многих автоколе-
автоколебательных систем, связанных через общую среду // Изв. вузов.
Радиофизика. 1972. Т. 15, № 5. С. 718.
11. Демьлнченко А.Р. Синхронизация генераторов гармонических ко-
колебаний. — М.: Энергия, 1976.
12. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — М.: Наука,
1981.
13. Афраймович B.C., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая
синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. вузов.
Радиофизика. 1986. Т. XXIX, № 9. С. 1050.
14. Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization. A Universal
Concept in Nonlinear Sciences. — Cambridge University Press, 2001.
(Пиковский А., Розенблюм M., Курц Ю. Синхронизация. Фунда-
Фундаментальные нелинейные явления. — М.: Техносфера, 2003.)
15. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная ди-
динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные
основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. — Сара-
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
16. Rulkov N.F., Sushchik М.М., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I.
Generalized synchronization of chaos in directionall coupled chaotic
systems // Phys. Rev. E. 1995. V. 51, No 2. P. 980.
17. Pecora L.M., Carroll T.L., Jonson G.A., Mar D.J. Fundamentals of
sinchronization in chaotic systems, concepts, and applications // Chaos.
1997. V. 7, No 4. P. 520.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 489
18. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д.
Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхрониза-
синхронизации / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И.Рабиновича. — Горь-
Горький: ИПФ АН СССР, 1989.
19. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний
и колебаний индуцированных шумом (обзор) // Радиотехника
и электроника. 2002. Т. 47, № 2. С. 133.
20. Рабинович М.И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний
и волн. - М.-Ижевск: РХД, 2000.
21. Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of
chaotic oscillations // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76, No 11. P. 1804.
22. Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization of
chaotic oscillations // IEEE Trans. CAS-I. 1997.
23. Panter P. Modulation, noise, and spectral analysis. — New York:
McGraw-Hill, 1965.
24. Parlitz U., Junge L., Lauterborn W. Experimental observation of phase
synchronization // Phys. Rev. E. 1996. V. 54, No 8. P. 2115.
25. Zhiganag Zheng, Gang Ни. Generalized synchronization versus phase
synchronization // Phys. Rev. E. 2000. V. 62, No 6. P. 7882.
26. Кузнецов Ю.А., Ланда П.С, Ольховой А.Ф., Перминов СМ. Ам-
Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических
автоколебательных системах // ДАН СССР. 1985. Т. 281, № 2.
С. 1164.
27. Ланда П.С, Рендель Ю.С., Шер В.Ф. Синхронизация колебаний
в системе Лоренца // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32, № 9.
С. 1172.
28. Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н.,
Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ
(нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной дина-
динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, № 4. С. 61.
29. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomorenko
V.I., Ryskin N.I. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave
devices // CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.
30. Хохлов Р.В. Об одном случае взаимной синхронизации отражатель-
отражательных клистронов II Радиотехника и электроника. 1956. Т. 4, № 1.
С. 88.
31. Брагинский В.В., Гвоздовер С.Д., Горшков А.С, Трофименко И. Т.
Взаимная синхронизация отражательных клистронов без скачков
амплитуды и частоты // Радиотехника и электроника. 1957. Т. 5,
№ 8. С. 1048.
32. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация автоколебаний в рас-
распределенной системе «винтовой электронный поток — встречная
электромагнитная волна» // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 18.
С. 34.

490 Лекция 7B2)
33. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация колебаний в распре-
распределенной активной среде «винтовой электронный пучок — встреч-
встречная электромагнитная волна» // Изв. РАН, сер. физич. 2002. Т. 66,
№ 12. С. 1761-1767.
34. Короновский А.А., Ремпен И.С, Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Пе-
Переходный хаос в активной распределенной системе «винтовой элек-
электронный пучок — встречная электромагнитная волна» // Изв. РАН,
сер. физич. 2002. Т. 66, № 12. С. 1754-1760.
35. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Rempen I.S., Trubetskov D.I.
Investigation of transient chaos in gyro-backward-wave-oscillator
synchronized by the external signal // Applied Nonlinear Dynamics.
2002. V. 10, No 3. P. 97.
36. Короновский А.А., Храмов А.Е. О возможности увеличения порога
автомодуляции в гирогенераторе со встречной волной и связан-
связанными электродинамическими системами // Письма в ЖТФ. 2003.
Т. 29, № 4. С. 636-670.
37. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. О синхронизации хаотических авто-
автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный пу-
пучок — встречная электромагнитная волна» // Радиотехника и элек-
электроника. 2003. Т. 48, № 1. С. 116-124.
38. Храмов А.Е. К вопросу о синхронизации колебаний в распределен-
распределенной активной системе «электронный пучок-обратная электромаг-
электромагнитная волна» II Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, №7.
39. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние сигнала
сложной формы на колебания в активной среде «винтовой элек-
электронный поток — встречная электромагнитная волна» // Изв. ву-
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 5. С. 3-18.
40. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн
электронными потоками. — ГИТЛ, 1953.
41. Хохлов Р.В. К теории автоколебаний в отражательном клистроне //
ЖТФ. 1955. Т. XXV, № 14. С. 2492.
42. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proc. IRE.
1946. V. 34, No 6. P. 351.
43. Железовский Б.Е., Кальянов Э.В. Многочастотные режимы в при-
приборах СВЧ. - М.: Связь, 1978.
44. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной
электронике для физиков. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
45. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета
в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
46. Кузнецов СП. Сложная динамика генератора с запаздывающей
обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.
47. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределен-
распределенных системах «электронный поток-встречная (обратная) электро-
электромагнитная волна» If Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика.
1994. Т. 2, № 5. С. 9.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 491
48. Гинзбург П.С, Кузнецов СП., Федосеева Т.Н. Теория переходных
процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978.
Т. 21, № 7. С. 1037.
49. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Стохастические ав-
автоколебания в системе электронный пучок-обратная волна / в сб.:
«Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность». — Горь-
Горький: АН СССР Институт прикладной физики, 1980, С. 29.
50. Короновский А.А., Трубецков Д.П., Храмов А.Е. О сверхбыстрой
синхронизации автоколебаний в распределенной активной среде
«винтовой электронный пучок-встречная электромагнитная вол-
волна» // ДАН. 2003. Т. 389. № 6.
51. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
52. Берже П., Помо П., Бидаль К. Порядок в хаосе. О детерминисти-
детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.
53. Jdnosi I.M., Tel T. Time series analysis of transient chaos // Phys. Rev.
E. 1994. V. 49. P. 2756.
54. Юлпатов Б.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямолиней-
непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным по-
полем II Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника. 1965. № 12.
С. 15.
55. Rossler O.E. An equation for continious chaos // Phys. Letters. 1976.
V. 57A. P. 397.
56. Tokens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence // in Proceedings
of the Symposion on Dynamical Systems and Turbulence, University of
Warwick, 1979 A980, edited by D.A. Rand and L.S. Young (Springer,
Berlin, 1981).
57. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Исследование ко-
колебаний в гирогенераторе со встречной волной и связанными элек-
электродинамическими системами // ЖТФ. 2003. Т. 73, № 6. С. 110-117.
58. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Исследование
совместных колебаний в гирогенераторах со встречной волной со
связанными электродинамическими системами // Радиотехника
и электроника, 2004 (в печати).
59. Льюиселл У. Связанные и параметрические колебания в электро-
электронике. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
60. Трубецков Д.И., Шахин Б.П. Некоторые вопросы теории взаимо-
взаимодействия электронного потока с полями связанных линий пере-
передач II Вопросы электроники сверхвысоких частот. Вып. 7 / Под
ред. В.Н. Шевчика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. С. 44.
61. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Некоторые вопросы теории лампы
обратной волны как распределенной автоколебательной системы //
Электроника ламп с обратной волной / Под ред. В.Н. Шевчика
и Д.И.Трубецкова. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1975. С. 135.
62. Исаев Б.А., Фишер Б.Л., Четвериков А.П. Исследование возникно-
возникновения автомодуляции в ЛОВ со связанными системами // Лекции

492 Лекция 7B2)
по электронике СВЧ и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар
инженеров. Кн. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. С. 3.
63. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Исследование автомодуляционных ре-
режимов колебаний в релятивистской дампе обратной волны // Изв.
вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42, № 6. С. 566.
64. Edson W.A. II Vacuum-Tube Oscillators. N.Y., 1953. PP. 311-340.
65. Bostick W., Everhart E., babbitt M. // Mass. Inst. Technol., Res. Lab.
Electronics, Techn. Rep. No 14. September 14, 1946.
66. Дейвид. Фазирование высокочастотными сигналами // Электрон-
Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями / Под
общей ред. М.М. Федорова. — М: Изд-во иностранной лит-ры, 1961.
С. 327-348.
67. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ (том I. Техника СВЧ). - М.:
Высшая школа, 1972.
68. Hramov А.Е., Rempen I.S. Investigation of generation characteristic
of high power microwave virtual cathode generator with input
cavity II Proc. of International Vacuum Electron Source Conference
(IVESC'2002). July 15-19, 2002, Saratov, Russia. P. 379.
69. Храмов А.Е., Короновский А.А., Ремпен И.С. О синхронизации
колебаний в электронном пучке с виртуальным катодом // Труды
VIII Всероссийской школы-семинара «Нелинейные явления в неод-
неоднородных средах». Т. 2. 26-31 мая 2002, Красновидово, Москов.
обл., Россия. С. 53.
70. Anftnogentov V.G., Hramov A.E. Virtual cathode oscillation driven by
the external signal // Proc. of 6th International Specialist Workshop
on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98). July 16-18,
1998, Budapest, Hungary, P. 307.
71. Hramov A.E. Influence of external action on chaotic dynamics of virtual
cathode oscillations // Proc. of 5th International Specialist Workshop
on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'97). June 26-27,
1997, Moscow, Russia, P.443.
72. Woo W., Benford J., Fittingoff D., Harteneck В., Price D., Smith R.,
Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators // J. Appl.
Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.
73. Hendricks K., Richard A. and Noggle R. Experimental results of phase
locking two virtual cathode oscillator // J. Appl. Phys. 1990. V. 68,
No 2. P. 820.
74. Magda I.I., Prokopenko Yu. V. Cooperative high-power radiation of two
beams at the dual vircator complex // In: the Proceedings of the 11th
International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'96).
(Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.
75. Храмов A.E. Колебания в системе связанных генераторов на вир-
виртуальном катоде виртодного типа // Радиотехника и электроника.
1999. Т. 44, № 2. С. 211.

Синхронизация в сверхвысокочастотной электронике 493
76. Friedman M., Serlin V. Modulation of intense relativistic electron
beams by an external microwave sources // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55,
No 26. P. 2860.
77. Friedman M., Krall J., Lau Y.Y., Serlin V. Externally modulated
intense relativistic electron beams // J. Appl. Phys. 1988. V. 64, No 7.
P. 3353.
78. Гадецкий H.H., Магда И.И., Найстетер СИ., Прокопенко Ю.В.,
Чумаков В.И. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управ-
управляемой обратной связью — виртод // Физика плазмы. 1993. V. 19,
No 4. Р. 530.
79. Magda I.I., Prokopenko Yu. V. Cooperative high-power radiation of two
beams at the dual vircator complex // In: the Proceedings of the 11th
International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'96).
(Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.
80. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронного
потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов
в виртодных системах // Известия РАН. Сер. физическая. 1997.
Т. 61, № 12. С. 2391.
81. Храмов А.Е. Влияние обратной связи на сложную динамику элек-
электронного потока с виртуальным катодом в виртоде // Письма
в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 5. С. 51.
82. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Исследование колебаний в элек-
электронном потоке с виртуальным катодом в виркаторе и виртоде //
Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 2,3.
С. 33.
83. Трубецков Д.И., Ремпен И. С, Рыскин И.М., Титов В. И., Хра-
Храмов А.Е. Управление сложными колебаниями в распределен-
распределенных системах сверхвысокочастотной электроники // Радиотехника.
2003. Т. 67, № 2.
84. Трубецков Д.И., Короновский А.А., Храмов А.Е. Синхронизация
распределенных автоколебательных систем электронно-волновой
природы с обратной волной // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47
(в печати).
85. Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Управление спектром генерации вир-
катора с помощью внешнего СВЧ-сигнала // Письма в ЖТФ. 2000.
Т. 26, вып. 13.

Лекция 8B3)
ВАКУУМНАЯ МИКРОЭЛЕКТРОНИКА
Трудно чего-либо добиться уговорами. Обычно
лишь какой-то явный успех (или сообщение
в печати, пусть и неточное, о таком успехе)
может совершенно, и притом быстро, изменить
ситуацию. Почувствовав «запах жаренного»,
вчерашние скептики или даже хулители способны
превратиться в рьяных сторонников нового
направления.
В.Л. Гинзбург. Высокотемпературная
сверхпроводимость (история и общий
обзор). УФН. 1991. Т. 161, №4. С.З.
Немного истории по Айвору Броди: четыре пути к вакуумной микро-
микроэлектронике. Кен Шоулдерс — пророк в вакуумной микроэлектронике.
Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумной микроэлектронике.
Закон Фаулера-Нордгейма. Катод Спиндта. Матрицы автоэмисси-
автоэмиссионных катодов. Триоды возвращаются? Распределенный усилитель
с автоэмиссионными катодами — наиболее естественный прибор ва-
вакуумной микроэлектроники. Характеристики и модификации распре-
распределенного усилителя. Вакуумная электроника и электроника СВЧ:
возврат к истокам. Гигатрон. О некоторых применениях вакуумной
микроэлектроники. Туннельная микроскопиях).
Леонид Исаакович Мандельштам сравнивал определения с колючей
проволокой. В своих знаменитых лекциях [1] он писал: «Планк как-
то сказал, что правильная классификация — это уже высокий вид
познания. Это несомненно: ведь правильно классифицировать — это
значит давать довольно полные определения». Перефразируя Ман-
Мандельштама, заметим: «Совсем не легко дать определение того, что
составляет предмет вакуумной микроэлектроники». И все же начнем
х) При написании этой главы использовались фрагменты книги
Д.И. Трубецкова, А.Г. Рожнева и Д.В.Соколова «Лекции по сверхвысоко-
сверхвысокочастотной вакуумной электронике» (Саратов: изд-во ГосУНЦ «Колледж»,
1996) и материалы статьи Д.И. Трубецкова, А.Г. Рожнева и Д.В.Соколова
«Вакуумная микроэлектроника — бремя ожиданий» (Изв. вузов. Приклад-
Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т. 4, № 4, 5. С. 130) и статьи Д.И. Трубецкова
«Вакуумная микроэлектроника» (Соросовский образовательный журнал,
1997, № 4).

Вакуумная микроэлектроника 495
с определения, загородившись авторитетом А. Броди и Ч. Спиндта —
признанных специалистов в этой новой области знаний. Определение
из их монографического обзора [2] звучит следующим образом.
Термин вакуумная микроэлектроника используется для описания
приборов или компонент, имеющих микронные геометрические разме-
размеры (с нанометрическими допусками на эти размеры), принцип действия
которых основан на движении свободных электронов в вакууме соглас-
согласно законам классической физики. Выделяются три ключевых аспекта
вакуумной микроэлектроники:
• необходимо вырвать электроны из металла (или полупроводника),
в котором они находятся, и инжектировать в вакуум в достаточном
количестве и с малым разбросом по энергиям для последующего ис-
использования в конструируемом приборе;
• необходимо изготовить структуры нужных размеров и допусков,
включая напыление тонких слоев материалов с такими физическими
свойствами, какие пригодны для приборов;
• необходимо разработать прибор так, чтобы он был устойчив по
отношению к нежелательным разрядам в вакууме и к изменениям
окружающей среды.
Написанное выше трудно назвать определением. Скорее очерчен
некоторый круг вопросов, которым занимается новая наука. Вакуум-
Вакуумная микроэлектроника действительно нова и молода. По-видимому,
официальной датой ее рождения следует считать 1988 г., когда в Виль-
ямсбурге (США) состоялась Первая международная конференция по
вакуумной микроэлектронике. Начиная с этого времени число публика-
публикаций в этой области растет экспоненциально (а может быть и быстрее —
по законам взрывной неустойчивости). С 1988 г. международные кон-
конференции по вакуумной микроэлектронике проходят каждый год в раз-
разных странах мира.
Немного истории по Айвору Броди: четыре пути
к вакуумной микроэлектронике. Кен Шоулдерс —
пророк в вакуумной микроэлектронике
Конечно, историю науки пишут сами люди науки. Поэтому никак
не избежать субъективного подхода к изложению даже одних и тех
же фактов, к подбору важных событий, к оценке значимости того
или иного специалиста, той или иной работы для развития научного
направления. Важно и из какой страны мы смотрим на развитие этого
научного направления: ведь есть пророки в своем отечестве, о которых
не знают в отечествах других.
Основной доклад на Первой международной конференции по ва-
вакуумной микроэлектронике сделал Айвор Броди — один из осново-
основоположников этого направления. По мнению Броди вакуумная микро-
микроэлектроника приобрела огромное значение благодаря двум факторам
общего характера. Во-первых, возросли требования, которым уже не
могут удовлетворить твердотельные приборы, даже после огромных
исследовательских затрат, а, во-вторых, пришли к выводу, что отнюдь

496
Вакуумные
лампы
с термо-
катодами
Твердо-
Твердотельные
приборы
Термоэлектрон» Интегра
Микро-
Микроскопия
Лекция 8 B3)
Наука
о живых
клетках
льные Оптическая Молекулярная
ная эмиссия схемы
10м инженерия
Электронная
10 "*м
Пробой Технология Полевая
в вакууме микроструктур ионная
100м
Полевая Технология Туннельная
эмис
сия материалов
10-10м
Вакуумная
микроэлектроника
Рис. 8.1. Схема, иллюстрирующая тезис А. Броуди о четырех путях развития
вакуумной микроэлектроники
не будет непрактичным делать вакуумные лампы микронных и субми-
субмикронных размеров. Как заявил Броди: «Я уверен, что в будущем эта
конференция будет играть историческую роль в эволюции электрон-
электронных приборов, и что она будет первой из множества будущих таких
конференций». Прошедшие годы показывают, что он был прав.
Как же по Айвору Броди развивалась вакуумная микроэлектрони-
микроэлектроника? Он выделяет четыре основных пути ее развития, приведших к сего-
сегодняшнему состоянию (см. схему на рис. 8.1). Броди видит истоки в пер-
первых исследованиях вакуумного пробоя. В начале 20-х годов прошлого
столетия пробой заявил о себе в периодических срывах трансатлантиче-
трансатлантических радиопередач, осуществляемых с помощью высокомощных ламп
Маркони. Госслинг, работавший у Маркони, исследовал этот эффект
и в 1926 г. опубликовал работу, в которой высказал гипотезу, что пробой
вызывается электронами с выпуклостей на вольфрамовом стержневом
катоде. Эти выпуклые неоднородности взрывались, вызывая пробой.
Как пишет Броди, обсуждение этих результатов с профессором Фау-
лером из Кембриджского университета привело к Нордгейму, полу-
получившему средства на исследования, и в конечном счете, к уравнению
Фаулера-Нордгейма, о котором речь пойдет позднее. Открытие того,
что электроны могут вылетать с холодных катодов под действием
электрических полей с высокой напряженностью, вызвало множество
проектов приборов (см., например, [3]), но прошло более сорока лет
прежде, чем что-то получилось. Вот, что препятствовало в тот период
созданию приборов с автоэмиссионными катодами:
• на электродах требовались напряжения от 2 кВ до 20 кВ;
• электронная эмиссия была нестабильной и поток характеризовал-
характеризовался высоким уровнем шумов;

Вакуумная микроэлектроника 497
• требовалось давление менее 10 -г- 14 мм рт. ст. для приемлемого
срока службы;
• трудно было создать решетки из катодов для обеспечения высоких
значений полного тока и высоких значений средней плотности тока
с ограниченной поверхности;
• трудно было обеспечить решетки с одинаковым фактором b —
коэффициентом преобразования поля от острия к острию (Е = bV, V —
вытягивающее напряжение, Е — напряженность поля у поверхности
катода);
• отсутствие эффектов пространственного заряда и радиальные эф-
эффекты при автоэмиссии потребовали переосмысления конфигурации
приборов.
В данной лекции кратко рассмотрим, как преодолевались подобные
препятствия. Причем, надо заметить, что исследователи пользовались
не тем, что дает природа, а обманывали ее, научившись изготавливать
идентичные конусные катоды высотой около 1 мкм и радиусом острия
в несколько сот ангстрем, с расстоянием от острия до электрода в не-
несколько тысяч ангстрем.
Броди подчеркивает, что пророком в вакуумной микроэлектронике
был Кен Шоулдерс из Станфордского исследовательского института,
который в 1961 г. опубликовал выдающуюся работу [4], быстро подняв-
поднявшую теорию и эксперимент в вакуумной микроэлектронике на очень
высокий уровень. В обзоре [2] приведен перечень важных результатов
в вакуумной микроэлектронике под названием «Значительные собы-
события для вакуумной микроэлектроники». Начинается перечень с имени
Шоулдерса. Ниже приведены несколько первых строк из перечня.
1ПКО Первые планы изготовления приборов с ттт
1958 „ Хл Бак и Шоулдерс
с линейными размерами порядка 0,1 мм
Разработаны основы вакуумной микро-
микроэлектроники. Предложены вертикальные
19б1 и горизонтальные микротриоды, использу- Шоулдерс
ющие источники с полевой эмиссией; ис-
исследовано использование электроннопуч-
ковой технологии.
Первое сообщение об изготовлении и ра-
работе микрокатодов с полевой эмиссией,
1968 использующих тонкопленочную техноло- Спиндт
гию и молибденовые острия (катоды Спин-
дта).
Можно с уверенностью сказать, что последнее открытие стало ре-
революционизирующим для вакуумной микроэлектроники. Но вернемся
в 1961 г. На русском языке широко известна работа Шоулдерса «Ком-
«Комплексные системы на микроминиатюрных электровакуумных прибо-
приборах» [5]. Для наших целей достаточно воспроизвести один небольшой
фрагмент этой статьи.
32 Трубецков, Храмов

498
Лекция 8 B3)
Вид сверху
Катод
\ / Экранирующий
\ Управляющий электрод
\ электрод
Анод
Диэлектрик-
Подложка
Вид сбоку
Управляющий
электрод
Рис. 8.2. Триод Шоулдерса с автоэлектронным катодом
«В ходе исследовательской фазы работы над компонентами были
изготовлены триоды микронных размеров с автоэлектронным катодом.
Эти приборы характеризуются большим коэффициентом усиления по
мощности и плотностью анодного тока порядка нескольких миллионов
А/см2 при расчетном времени переключения менее 10~12 с. На рис. 8.2
изображен активный элемент с автоэлектронным катодом. Такой эле-
элемент имеет многослойную пленочную структуру, а ее коэффициент
усиления по напряжению лежит в пределах от 0,5 до нескольких сотен
в зависимости от формы прибора. Оптимальное рабочее напряжение
для этих приборов находится вблизи 50 В при минимуме 20 В и макси-
максимуме 100 В. При токе 0,1 мА плотность тока на аноде получается поряд-
порядка 104 А/см2. При работе верхний предел по плотности тока достигал
108 А/см2. Расчетная величина времени переключения при 0,1 мА рав-
равна 10~10 с. Ток прибора в состоянии покоя равен около 10~14 А. Такая
низкая величина тока покоя очень важна при построении на основе
таких приборов больших матриц».
В это же время разрабатывался и иной подход к уменьшению габа-
габаритов приборов — микроминиатюризация обычных электровакуумных
приборов с термоэлектронными катодами. В нашей стране в области
миниатюризации вакуумных приборов СВЧ несомненным лидером яв-
является М.Б. Голант. Наиболее полно полученные им результаты отра-
отражены в монографии [6] и книге [7].
Второй путь к вакуумной микроэлектронике связан с удивительным
совершенствованием технологии за последние 20 лет: «Один микрон
сейчас также обычен, как десять микрон десять лет назад, а четверть
микрона, вполне возможно, будет обычной в ближайшем будущем» —
предсказывает А. Броди.
И более того, оказалось, что оборудование и технологии, разрабо-
разработанные для интегральных схем (производство жидкого кремния, нане-
нанесение тонких пленок, химическое и плазменное травление, оптическая,
электронно-пучковая, ионно-пучковая и рентгеновская литография

Вакуумная микроэлектроника 499
и др.) пригодны для изготовления вакуумных микроэлектронных при-
приборов.
Третий путь — микроскопия. Развитие технологии вакуумных ламп
привело к созданию электронного микроскопа [8]. Причем, любопытно,
что появление сканирующего электронного микроскопа (СЭМ) было
решающим для полного понимания не только технологии изготовле-
изготовления, но и работы приборов. Броди пишет: «Без него мы не смогли бы
увидеть, что происходит. Именно СЭМ привел к электронно-пучко-
электронно-пучковой литографии. Очевидно, что для создания приборов все меньших
и меньших размеров потребуются микроскопы с атомным разреше-
разрешением». По мнению Броди, сканирующий туннельный микроскоп [9]
окажется для подобных целей наиболее подходящим, поскольку он дает
наименьшие искажения наблюдаемого объекта.
Наконец, четвертый путь — изучение живых клеток. Клетки —
машины микронных размеров со сложными и разнообразными химиче-
химическими и физическими функциями, осуществляемыми на молекулярном
уровне. В этой области идет непрерывное обновление представлений.
Недавно было установлено, что билипидные слои, которые образуют
стенки клетки и способны контролировать происходящее внутри и вне
клетки, являются двойными слоями из пленок Лэнгмюра-Блоджетт
[10]. Под лэнгмюровскими пленками чаще всего понимают мономоле-
мономолекулярные слои поверхностно-активных органических веществ, находя-
находящихся на границе раздела жидкой (как правило, это вода) и газооб-
газообразной (воздух) фаз. Если же эти монослои переносить на твердую
подложку, то получится твердая мономолекулярная или мультимоле-
кулярная пленка, называемая пленкой Лэнгмюра-Блоджетт. Наиболее
известный пример — растекание масла по поверхности воды. Подобные
пленки сейчас активно изучаются применительно к микроэлектрон-
микроэлектронным приборам. Предложено также использовать копирующие свойства
некоторых полимеров для создания молекулярной литографии. Броди
считает, что многое из полученного в молекулярной инженерии оказа-
оказало серьезное влияние на идеологию создания сверхмалых вакуумных
приборов. Заключает свой доклад Броди следующим любопытным тек-
текстом: «...пора рассматривать вакуум как материал со специфическими
свойствами, который может иметь субмикронные размеры и почти
атомные допуски. Для электроных приборов главная трудность состоит
в том, чтобы в этом материале электроны оказались в достаточных
количествах и с разбросом по энергиям, сравнимым с разбросом элек-
электронов в зоне проводимости полупроводника». Броди видит основной
путь преодоления всех трудностей для вакуумной микроэлектроники
в использовании автоэлектронной эмиссии.
Мы воспользовались готовой историей вакуумной микроэлектрони-
микроэлектроники — историей по Айвору Броди. По-видимому, с других позиций она
выглядит иначе. В частности, более подробное обсуждение вакуумной
ветви дано в работе [3] и весьма полном обзоре [11].
«Обратно в будущее» — под таким символическим девизом прошла
первая конференция в Вильямсбурге. По своей сути он сохранился
и на последующих конференциях, хотя восторженность уступила место
32*

500 Лекция 8 B3)
сдержанному оптимизму. Организаторы конференции подчеркивают,
что, по их мнению, открылась новая эра миниатюрных вакуумных
электронных приборов и вакуумных интегральных схем с автоэлек-
автоэлектронной эмиссией (в некоторых случаях речь идет о микровакуумных
приборах и интегральных схемах на основе термоэмиссионных като-
катодов).
Эти новые приборы обладают сверхвысоким быстродействием
(субпикосекундным), высокой устойчивостью к радиации, слабой
чувствительностью к температуре и весьма большим КПД При-
Приборы вакуумной микроэлектроники могут быть использованы как
усилители и генераторы миллиметрового диапазона длин волн,
в системах непосредственного телевизионного вещания со спутников
с использованием тридцатисантиметровых антенн и менее, в РЛС,
телефонных системах сотовой связи и т. п. Особо перспективным
представляется использование этих приборов для создания нового
поколения сверхбыстрых компьютеров. В этом случае элемент памяти
может быть создан на двух лампах по схеме триггера. При токе
с одного острия 10~5 А мощность, рассеиваемая парой микротриодов
при напряжении на аноде 20 В, будет 2 • 10~4 Вт. При плотной упаковке
на одном квадратном сантиметре площади можно разместить около
106 элементов памяти, для которых мощность рассеяния составляет
20Вт/см2, так что в качестве основной выступает здесь проблема
теплоотвода. В 1988 г. на квадратном сантиметре размещали 104
микротриодов, так что мощность рассеяния составляла уже 2 Вт.
Интересным бытовым применением вакуумной микроэлектроники
является разработка плоских панельных дисплеев, обеспечивающих
изображение высокого качества и высокой яркости (в том числе и для
цветного телевидения). В частности, на конференции в Вильямсбурге
в докладе Холланда и Спиндта было сообщено о разработке вакуум-
вакуумного флуоресцентного экрана с холодным катодом Спиндта. В тонком
вакуумно-флуоресцентном цветном дисплее использовалась матрич-
но адресуемая группа автоэмиссионных острий для каждого цветного
элемента индикатора. Электроны с острий фокусировались на близко
расположенном люминофоре цветного элемента (разрешающая спо-
способность индикатора — около 40 линий/см, сторона панели — 8,3 см,
толщина — 4 мм). На конференциях обсуждалась также и возможность
создания телевизионных экранов больших размеров, сверхвысокояр-
костных и многолучевых электронных ламп и трубок. Много внимания
уделялось созданию электронных пушек с автоэмиссионными катодами
и ионных источников, вопросам сканирующей туннельной микроско-
микроскопии и др.
Перспективы кажутся фантастическими и заманчивыми, а диапа-
диапазон исследований непрерывно расширяется.
Три последних строчки в перечне значительных событий из [2]
выглядят так.
1989 Получена полевая эмиссия при приложенном Махов В.И.
напряжении меньше 10 В.

Вакуумная микроэлектроника 501
1990 Получены острия с радиусом Маркус и др.
субнанометровых размеров из кремния.
1990 Доложено о первом полностью действующем Джис и др.
плоском катодолюминисцентном дисплее.
Обсудим далее физику, принцип действия и особенности конструк-
конструкции некоторых приборов вакуумной микроэлектроники.
Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумной
микроэлектронике. Закон Фаулера—Нордгейма
Автоэлектронная эмиссия — физическое явление, состоящее в том,
что электроны покидают твердое тело, в котором они находятся в ка-
качестве свободных носителей заряда (это может быть металл или по-
полупроводник), под действием сильного электрического поля, прило-
приложенного к поверхности. В случае автоэлектронной эмиссии электроны
преодолевают потенциальный барьер на поверхности тела не за счет
кинетической энергии теплового движения, а путем специфического
квантового явления — туннельного эффекта (см., например, [12]).
В простейшем случае туннельный эффект заключается в том, что
микроскопическая частица, первоначально находившаяся по одну сто-
сторону потенциального барьера (т. е. области пространства, для кото-
которой полная энергия частицы ? превышает ее потенциальную энергию
U(x)), может с конечной вероятностью быть обнаружена по другую
сторону барьера.
Туннельный эффект является чисто квантовым феноменом и для
него отсутствует аналог в классической механике. Согласно Ньюто-
Ньютоновской механике частица с массой т не может находиться внутри
потенциального барьера, поскольку из уравнения для полной энергии
? = p2/Bm) + U(x) (8.1)
следует, что соотношение Е < U(x) выполняется только для мини-
минимальных значений импульса р. Объяснение туннельного эффекта в ко-
конечном счете связано с соотношением неопределенности Гейзенберга,
согласно которому квантовая частица не может находиться в состоя-
состоянии с одновременно точно определенными координатой х и импульсом
р. Неопределенности Ах и Ар всегда удовлетворяют соотношению
Ах Ар ^ /г, где h = 1,05459 • 10~27эрг-с — постоянная Планка г). Со-
Согласно этому принципу, слагаемые в правой части уравнения (8.1) не
имеют одновременно определенных значений и могут отличаться от
своих средних. Поэтому имеется конечная вероятность обнаружить
квантовую частицу в запрещенной с точки зрения классической ме-
механики области. Заметим, что неким аналогом туннельного эффекта
г) В более общем случае соотношение неопределенности связывает погреш-
погрешности измерения любых двух канонически сопряженных величин А и В, для
которых должно выполняться АААВ ^ h.

502
Лекция 8 B3)
в волновой оптике может служить просачивание световой волны внутрь
отражающей среды в условиях полного внутреннего отражения.
Туннельный эффект был одним из первых квантовых явлений,
предсказанных после создания в 1926 г. Э. Шредингером волновой ме-
механики. По всей видимости, первыми указали на его существование
Л.И.Мандельштам и М.А. Леонтович, которые исследовали решение
уравнения Шредингера для модельного потенциала ангармонического
осциллятора вида U(x) = kx2/2 при \х\ < а и U(x) = 0 при \х\ > а.
Они показали, что волновая функция, описывающая свободное дви-
движение частицы слева от потенциального барьера (при х < —а), имеет
конечное по величине значение и справа от потенциального барьера
(при х > а). При этом, когда энергия частицы близка к значениям
дискретных уровней энергии внутри потенциальной ямы, амплитуда
волновой функции справа от нее резко возрастает. Это явление на
современном языке носит название резонансного прохождения через
потенциальный барьер.
В 1928 г. Г. Гамов с помощью туннельного эффекта объяснил явле-
явление «-радиоактивности тяжелых ядер, и в том же году Фаулер и Норд-
гейм [13] построили теорию хо-
холодной эмиссии с поверхности
металлов. Туннельный эффект
лежит в основе объяснения та-
таких явлений, как слияние лег-
" ких ядер при термоядерных ре-
реакциях, работы сверхпроводяще-
сверхпроводящего перехода Джозефсона и тун-
туннельного диода. Нас в наиболь-
наибольшей степени интересует объяс-
объяснение автоэлектронной эмиссии,
данное Фаулером и Нордгеймом.
На рис. 8.3 приведен график
Щх) J
Уровень Ферми
§Энергетические<
уровни,
^заполненные;
^электронами
Металл
Вакуум
потенциальной энергии элек-
электрона вблизи границы металл-
вакуум при отсутствии внешнего
поля и при наличии слабого
и сильного внешних полей
в зависимости от расстояния от
поверхности металла. По мере
увеличения внешнего приложен-
приложенного поля понижается высота
потенциального барьера над уровнем Ферми г) и уменьшается его
Рис. 8.3. Поверхностный потенци-
потенциальный барьер на границе разде-
раздела металл-вакуум. Кривые 1, 2 и
3 соответствуют случаям отсутствия
внешнего поля, слабому полю и силь-
сильному полю; d — ширина барьера
х) При Т = 0 К все электроны в твердом теле стремятся занять наиболее
низкие энергетические состояния. По принципу Паули на каждом уровне мо-
может находиться не более двух электронов с противоположно направленными
спинами. Поэтому все состояния с энергией меньшей определенного значения
заняты, а остальные — свободны. Это значение носит название энергии (или
уровня) Ферми и зависит от плотности электронов.

Вакуумная микроэлектроника 503
ширина. Следовательно, увеличивается вероятность проникновения
через барьер электронов, подлетающих к нему со стороны металла.
Иными словами, увеличивается число электронов, проходящих через
барьер, т.е. ток автоэмиссии. Подчеркнем, что в случае автоэмиссии
с поверхности металла электрическое поле не проникает вглубь него
и не влияет на движение электронов в металле. Роль внешнего
поля сводится только к изменению формы потенциального барьера,
уменьшению его высоты и ширины.
Характеристикой одномерного туннельного эффекта 1) является,
так называемый коэффициент прозрачности D потенциального барье-
барьера. Он равен отношению потока прошедших через барьер частиц к па-
падающему на барьер потоку. В частности, для прямоугольного барьера
высотой [/о ис конечной протяженностью а
D = Do ехр [(-2/Л)Bш(?/0 - <ЭД1/2] • (8.2)
Вероятность прохождения не слишком мала, если показатель экспо-
экспоненты не превышает по модулю единицы. Оценим Z), подставив в фор-
формулу (8.2) величины ядерных масштабов. Пусть а ~ 10~13 см, т ~
~ 10~23 г (масса нуклона), Uq — ? ~ 10 = 10~5 эрг. Тогда D ~ е.
Частица в этом случае с заметной вероятностью пройдет через барьер,
высота которого превышает ее энергию на 5 -г 10 МэВ. Если а ~ 1 см,
то D rsj Ю~13, т.е. вероятность проникновения частицы через барьер
ничтожно мала. В области макроскопических масштабов туннельный
эффект отсутствует.
Классическая теория эмиссии электронов с поверхности металла
основана на предположении, что электроны в зоне проводимости ведут
себя как свободные частицы, чье движение в объеме металла ограни-
ограничено только силами двойного электрического слоя на границе металл-
вакуум. Существование этого слоя приводит к скачку потенциальной
энергии, в результате чего электрон отражается от границы, если его
энергия недостаточна для преодоления барьера. При наличии внешне-
внешнего электрического поля с напряженностью F потенциальный барьер
снижается по величине, приобретает конечную ширину, и становится
возможным туннелирование электронов. Потенциальная энергия элек-
электрона описывается формулой
о ~ eFx- е2/Dж), х > 0,
х<0.
В формуле (8.3) (—eFx) — вклад внешнего приложенного поля, —
— е2/(Ах) — вклад силы изображения, е — заряд электрона. Совре-
Современные исследования показывают, что формула (8.3) справедлива при
х) Заметим, что в широком понимании тунельный эффект означает воз-
возможность перехода системы макрочастиц из одного состояния в другое, если
промежуточные состояния системы в классическом случае не могут осуще-
осуществляться.

504
Лекция 8 B3)
-10
1
-12
-13
-14
-15
-16
^17
-18
6,1
5,70
2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
104/F, мкм/B
Рис. 8.4. Экспериментальные зависимости Фаулера-Нордгейма для различ-
различных кристаллографических плоскостей вольфрама. Числа около линий озна-
означают измеренные по этим данным значения работы выхода
х > ЗА [14]. Форма потенциального барьера при х < ЗА зависит от
конкретной поверхности металла.
В рамках этой модели плотность тока автоэмиссии выражается
зависимостью
(8.4)
где ср — работа выхода, измеряемая в электронвольтах, F измеряется
в В/мкм, a J — в А/мкм2; функции Аи В зависят от геометрии системы
и работы выхода. Это и есть знаменитая формула Фаулера-Нордгейма,
которая является основной в теории автоэлектронной эмиссии. Экспе-
Экспериментальная проверка формулы Фаулера-Нордгейма показала, что
она правильно количественно описывает зависимость тока автоэмиссии
от напряженности поля, температуры, работы выхода.
Если построить график зависимости lg (J/F2) от 1/F, то получится
прямая линия (рис. 8.4 [14]), которая носит название графика Фаулера-
Нордгейма. Наклон линии позволяет определить значение работы вы-
выхода из соответствующей кристаллографической плоскости металла,
однако это требует тщательного измерения напряженности поля на
эмитирующей поверхности. Такие измерения, как правило, весьма за-
затруднительны, поскольку эта поверхность имеет форму острия или
лезвия. Поясним последнее.
Для получения автоэмиссионного тока на поверхности катода тре-
требуется создать напряженность поля C -г 5) • 107 В/см. Для типичного
значения работы выхода р = 4,5 эВ при этом достигается плотность
тока порядка 107 А/см2. Предельные значения плотности тока могут

Вакуумная микроэлектроника
505
достигать 1010 А/см2. Очевидно, что такие значительные поля невоз-
невозможно создать, если размер области однородного поля будет превы-
превышать несколько квадратных микрон из-за пробоя, который произойдет
даже при очень высоком вакууме. Поэтому автоэлектронная эмиссия
реализуется только на катодах, имеющих острийную или лезвийную
форму.
Подобные катоды весьма привлекательны: они обладают чрезвы-
чрезвычайно большой плотностью тока, не требуют подогрева, практически
безынерционны. Для применения устройств с автоэлектронной эмис-
эмиссией в качестве элементов радиотехнических схем весьма важно, что
вольт-амперная характеристика автокатода сильно нелинейна.
Катод Спиндта. Матрицы автоэмиссионных катодов.
Триоды возвращаются?
0,4 мкм
Мы уже указывали, что научный мир узнал об успехах и перспекти-
перспективах вакуумной микроэлектроники сравнительно недавно — после Пер-
Первой международной конференции 1988 г. Однако пути к преодолению
тех трудностей, которые препятствовали практическому использова-
использованию автоэмиссионных процессов, были намечены еще в начале 70-хгг.,
когда Ч. Спиндтом и его сотрудни-
сотрудниками была разработана технология
изготовления матричного автоэмис-
автоэмиссионного катода и проведено все-
всестороннее исследование его свойств
(первое сообщение о катоде Спин-
Спиндта относится к 1973 г., подробная
статья вышла в 1976 г. [15]). Без пре-
преувеличения можно сказать, что вся
вакуумная микроэлектроника вы-
вышла из этой работы, и без ссылки на
нее не обходится добрая половина
докладов, представленных на меж-
международных конференциях по ваку-
вакуумной микроэлектронике.
Остановимся подробнее на ре-
результатах работы [15]. Тонкопле-
Тонкопленочный катод с полевой эмис-
эмиссией представляет собой сэндвич: проводник-изолятор-проводник
(рис. 8.5). Верхний проводник или сетка имеет круглое отверстие от 1
до 3 мкм в диаметре, сквозь которое протравлено отверстие до нижне-
нижнего проводника. На подложке находится конусообразный эмиттер, его
вершина располагается в отверстии сеточной пленки. Размеры для од-
одного из изготовленных катодов приведены на рисунке. Высота конуса,
радиусы острия и отверстия в сетке могут меняться при изменении
параметров технологического процесса.
Рис. 8.5. Схематическое изображе-
изображение тонкопленочного катода авто-
автоэмиссионного катода Спиндта: 1 —
молибденовый корпус, 2 — изоли-
изолирующий слой из двуокиси крем-
кремния, 3 — молибденовая управляю-
управляющая пленка, 4 — кремневая под-
подложка

506
Лекция 8 B3)
2 мкм
у////////////
ШшШШШШ,
Рис. 8.6. Технология изготовления тонкопленочного катода: а — исходная
структура для формирования конуса; б— формирование изолирующего слоя;
в — формирование конуса напылением; г — удаление изолирующего слоя. 1 —
металлическая пленка, 2 — диэлектрик, 3 — кремниевая подложка, 4 — ось
вращения, 5 — направление напыления
Технология изготовления катодов Спиндта заслуживает особого
внимания. Она состоит из нескольких этапов.
• Получение стандартной высоко-проводящей подложки из крем-
кремния. Эта подложка покрывается затем оксидной пленкой кремния тре-
требуемой толщины A,5 мкм) с помощью техники окисления.
• Методом электронно-лучевого напыления на окисел наносится
тонкая пленка молибдена толщиной 0,4 мкм.
• Эта структура покрывается полиметил-метакрилатом (ПММ) —
высокополимерным соединением, которое представляет собой элек-
электронно-чувствительное сопротивление. Толщина пленки ПММ пример-
примерно 1 мкм.
• Поверхность ПММ экспонируется в вакууме сфокусированными
электронными пучками, формируя на ней пятна нужного диаметра
и необходимой конфигурации. Пятна обычно имели диаметр около
1 мкм и располагались в узлах квадратной решетки с шагом 25,4 мкм
или 12,7 мкм.
• Экспонированные участки растворяются в изопропиловом спир-
спирте, а затем происходит травление лежащего ниже этих участков слоя
молибдена до диэлектрика.
• Удаляются остатки ПММ и слой диэлектрика травится плавико-
плавиковой кислотой до кремниевой подложки. В результате образуется струк-
структура, показанная на рис. 8.6 а. Пленка молибдена слегка нависает над
отверстием в диэлектрике, так как кислота не действует на молибден.
• Методом вакуумного напыления на молибден наносится пленка
алюминия. При этом образец непрерывно вращается вокруг вертикаль-

Вакуумная микроэлектроника 507
ной оси и напыление происходит под большим углом к ней. Это дела-
делается, чтобы предотвратить попадание алюминия в отверстия в сетке.
Размер отверстия уменьшается до необходимой величины (рис. 8.6 б).
• Через частично закрытое отверстие производится напыление мо-
молибдена, при этом внутри отверстия вырастает конус необходимого
размера и высоты. Вершина конуса формируется, когда отверстие пол-
полностью закрывается. Эта стадия процесса показана на рис. 8.6 в.
• Вспомогательный слой алюминия растворяется, находящаяся на
нем молибденовая пленка удаляется (рис. 8.6 г). После термической
тренировки в вакууме катод готов к применению.
Используя такую технологию, были изготовлены катоды с 1, 100
и 5000 эмиттерами. Решетка со 100 эмиттерами имела вид матрицы
10 х 10 с шагом 25,4 мкм, так что полная область эмиссии представляла
собой квадрат со стороной 0,25 мм. Решетка с 5000 эмиттерами запол-
заполняла круглую область диаметра 1 мм с расстоянием между конусами
12,7 мкм; таким образом плотность упаковки эмиттеров достигала 6,4 х
х 105см.
Область рабочих напряжений для катодов составляла от 100 до
300 В. Они работали при давлении 10~9 мм рт. ст., которое обеспечи-
обеспечивалось непрерывной откачкой. Ток эмиссии с одного острия находился
в пределах от 50 до 150 мкА. Полный ток с 100-острийного катода
достигал 5 мА, что соответствует средней плотности тока с катода
8 А/см2. Для катода с 5000 остриями в импульсном режиме был полу-
получен ток до 100 мА (плотность тока достигала 12 А/см2) 1).
Из вышеизложенного ясно, что матричный автоэмиссионный катод
есть не что иное, как вакуумная трехэлектродная лампа микронных
размеров, т. е. триод. Конусообразный эмиттер выполняет роль катода,
управляющие электроды — роль сетки, кроме того, существует уда-
удаленный анод, который выступает в качестве коллектора электронов.
В начале развития вакуумной микроэлектроники появились надежды,
что малые размеры устройства позволят использовать его в качестве
элемента радиотехнических схем на СВЧ-частотах, подобно тому, как
обычный вакуумный триод работает в диапазоне радиочастот. Извест-
Известно, что быстродействие твердотельных устройств ограничено подвиж-
подвижностью электронов в зоне проводимости. В этом смысле преимущества
г) Разумеется эти результаты уже не уникальны. Так, на 6-й Междуна-
Международной конференции (США) сообщалось о создании решеточных катодов
с расстоянием между эмиттерами 0,32 мкм, радиусом острия около 25 А
и диаметром отверстия в управляющем электроде 0,16 мкм. Маска для трав-
травления отверстий в структуре металл-изолятор с диаметром 0,16 мкм созда-
создавалась с использованием методов лазерной голографии. Были изготовлены
катоды с 9000 эмиттерами, расположенными в решетке размером 30 х 30 мкм
и с 800 эмиттерами, расположенными в решетке размером 9x9 мкм. Рабочее
напряжение на управляющем электроде около ЗОВ, на аноде — 200В. Рас-
Расстояние между управляющим электродом и удаленным анодом — примерно
100 мкм. Катод с 800 эмиттерами в рабочем режиме дает ток около 0,1 мА,
что соответствует средней плотности тока 120 А/см2 [16].

508
Лекция 8 B3)
10
12,0 16,0 20,0 V,B
Рис. 8.7. Зависимость времени проле-
пролета электронов от напряжения для ва-
вакуума 1; фосфида индия 2; арсенида
галлия 3 и кремния 4
вакуумного микротриода очевидны. На рис. 8.7 приведены зависи-
зависимости времени пролета от приложенного напряжения для кремния,
арсенида галлия, фосфида индия и вакуума. Из графиков следует, что
предельная частота вакуумных
приборов может быть повыше-
повышена, по крайней мере, на поря-
порядок по сравнению с твердотель-
твердотельными. Кроме того, одним из
возможных преимуществ ваку-
вакуумных микротриодов является
их радиационная и термическая
стойкость. Именно эти обстоя-
обстоятельства привели, видимо, к по-
появлению статей с утвердитель-
утвердительными заголовками «Триоды воз-
возвращаются». К сожалению, ва-
вакуумный микротриод имеет вро-
врожденные недостатки, причины
которых связаны с его конструк-
конструктивными особенностями. И глав-
главный из них — малый коэффициент усиления. Увеличить коэффициент
усиления можно было бы за счет опускания вершины эмиттера ни-
ниже уровня управляющего электрода (см., например, [17]), однако при
этом резко уменьшается анодный ток. Разумный компромисс достига-
достигается, когда вершина эмиттера лежит вблизи плоскости нижней кромки
управляющего электрода.
Наряду с автоэмиссионными катодами в виде металлических остри-
остриев, полученных в результате напыления, многие научные группы за-
занимаются разработкой технологии изготовления и изучением эмисси-
эмиссионных свойств катодов из полупроводниковых материалов, таких как
кремний. Анализ требований, предъявляемых к современным источни-
источникам автоэмиссии, проведенный Г. Греем (Н. Gray — один из авторитет-
авторитетных в вакуумной микроэлектронике исследователей), показал, что они
должны обеспечивать:
• высокую крутизну, плотность тока и низкую межэлектродную
емкость катодов для возможности их применения в СВЧ- и миллимет-
миллиметровом диапазонах;
• высокую плотность тока для использования в электронно-лучевых
трубках;
• высокую яркость и малый размер источника для использования
в сканирующих электронных микроскопах и установках для электрон-
электронно-лучевой литографии;
• низкую стоимость, большие размеры экрана и однородность эмис-
эмиссии для плоских дисплеев.
Решетки автоэмиссионных катодов, изготовленные из монокристал-
монокристалла кремния удовлетворяют всем этим требованиям. Кремний явля-
является очень удобным материалом для изготовления автокатодов. Он
имеет работу выхода 4,2 эВ, сравнимую с работой выхода электронов

Вакуумная микроэлектроника 509
Рис. 8.8. Микровакуумные устройства с горизонтальной геометрией: а —
диод: 1 — катод, 2 — анод; 3— пленка, задающая рельеф, 4 — диэлектрическая
подложка; б — триод: 1 — катод, 2 — управляющий электрод; 3 — анод, 4 —
диэлектрическая подложка, 5 — пленка, задающая рельеф
из металлов, его механические, электрические и химические свойства
хорошо изучены, технология работы с кремнием тщательно отрабо-
отработана при разработке сверхбольших интегральных схем, устройства на
кремниевых полевых эмиттерах могут быть легко интегрированы в ми-
микросхемы, содержащие традиционные МОП-элементы и биполярные
транзисторы. Кроме того, разработаны методы изготовления острий из
кремния с радиусом кривизны атомарных размеров (менее 10 А), что
позволяет существенно понизить рабочее напряжение. Изготовлены
решетки острев размером 10 х 10 и 80 х 80 с расстоянием между остри-
остриями 4мкм (плотность упаковки 6,25 • 106 см~2) и диаметром отверстий
в управляющем электроде 2 и 3 мкм. Для отверстий с диаметром 2 мкм
ток эмиссии 1 мА достигался при напряжении 66 В на управляющем
электроде. Максимальный ток, снимаемый с одного острия, мог дости-
достигать 50 мкА.
Пожалуй, самое замечательное свойство кремниевых катодов в том,
что форма образующего острия, радиус кривизны его вершины и вы-
высота практически идентичны для всех элементов решетки. Однако по
сравнению с металлическими, кремниевые катоды имеют более низ-
низкую плотность тока, что связано с физической природой механизма
проводимости в полупроводниках. Возможным способом преодоления
этого ограничения является использование кремниевых эмиттеров, по-
покрытых тонким слоем металла, в качестве которого могут выступать
вольфрам, титан, тантал, платина, палладий и золото.
Отличительной особенностью описанных выше автоэмиссионных
катодов является вертикально расположенное острие. Между тем, еще
в середине 60-х годов была высказана и практически реализована идея
микровакуумных автоэмиссионных диода и триода, в которых эмиссия
происходила с края тонкой металлической пленки, напыленной на ди-
диэлектрическую подложку [18] (рис. 8.8). Толщина эмитирующей кром-
кромки составляла 100 -г- 200 А, расстояние анод-катод — 6-8 мкм, рассто-
расстояние катод-управляющий электрод — около 0,5 мкм. При напряжении
на аноде 300 В ток менялся от 10~3 до 3 мкА при изменении потенциала
управляющего электрода от 175 до 250 В. Основные трудности в работе
с такими приборами были связаны с получением атомарно-гладкой
поверхности эмитирующей кромки для обеспечения равномерной эмис-
эмиссии, а также нестабильность эмиссии во времени.

510 Лекция 8 B3)
В настоящее время автоэмиссионные триоды (транзисторы) с гори-
горизонтальной геометрией рассматриваются как основные кандидаты для
работы на сверхвысоких частотах благодаря присущей их конструк-
конструкции низкой емкости между эмиттером и управляющим электродом.
Для увеличения напряженности поля вблизи катода эмитирующий
электрод выполняется в виде гребенки с зубцами прямоугольной или
треугольной формы. Создан также и микровакуумный аналог тетрода:
был введен дополнительный четвертый электрод между управляющим
электродом и анодом, что позволило получить практически линейную
передаточную характеристику прибора, если в качестве входного ис-
использовался контрольный электрод.
Следует заметить, что активный поиск новых материалов, подхо-
подходящих для создания автокатодов, ведется неперывно. Одним из таких
материалов, имеющих уникальные свойства, оказался алмаз. Отрица-
Отрицательное электронное сродство, присущее алмазу, сделало возможным
эмиссию электронов при низких напряженностях электрического поля
(менее 1В/мкм). Благодаря устойчивой структуре кристаллической
решетки алмаза, возможно создание более стабильных катодов, чем
металлические.
Для многих приложений, например, для использования в плос-
плоских дисплеях или для создания источников электронов в мощных
СВЧ-приборах, нет необходимости в том, чтобы катод имел регулярную
структуру в виде периодических острев. Поэтому особый интерес вызы-
вызывает исследование автоэлектронной эмиссии из тонких пленок аморф-
аморфного алмаза. Такие пленки получаются путем испарения графита в ва-
вакуумной камере в луче мощного Nd-YAG-лазера. Испаренный графит
осаждается на подложку из стекла, кремния или различных металлов,
образуя аморфную пленку. В экспериментах получена плотность тока
в пределах 0,1 -г 1 мА/мм2 при приложенных полях 20 -г- 40 В/мкм. Та-
Такие плотности тока достаточны для использования в плоских дисплеях.
В отдельных случаях регистрировались плотности тока до 100 мА/мм2.
Оценки работы выхода, произведенные по измеренным эмиссионным
характеристикам, показали, что она действительно имеет очень малое
значение.
Распределенный усилитель с автоэмиссионными
катодами — наиболее естественный прибор вакуумной
микроэлектроники
Наиболее популярной схемой вакуумной СВЧ-микроэлектроники
оказалась схема распределенного усилителя, предложенная еще
в 1937 г. (естественно, в ламповом варианте) [22] и подробно описанная
в 1948 г. [23]. Хотя в свое время эта схема не была широко использована,
следует отметить, что она блестяще разрешила на уровне ламповых
усилителей проблему сочетания высокого коэффициента усиления
с широкой полосой.
Как известно, можно выделить два класса радиотехнических уси-
усилителей — нерезонансных и резонансных. В первом из них нагрузка
имеет преимущественно активный характер, что обеспечивает широко-

Вакуумная микроэлектроника
511
полосность, но вносимые нагрузкой потери уменьшают коэффициент
усиления и КПД В резонансных усилителях нагрузкой является коле-
колебательный контур с малыми потерями, который позволяет добиться вы-
высокого усиления, но в узкой полосе частот. В распределенном усилителе
в качестве выходной нагрузки используется длинная линия, представ-
представляющая собой цепочку из LC-ячеек. Эта линия в идеале является абсо-
абсолютно широкополосной, ее входное сопротивление, равное волновому
сопротивлению Zq = L/C, является активным и может быть сделано
достаточно большим для получения высокого коэффициента усиления;
вместе с тем, поскольку линия составлена из одних реактивных элемен-
элементов, она не имеет омических потерь. Входной сигнал подается в линию,
аналогичную выходной и подключенную к промежутку сетка-катод
каждого триода (рис. 8.9). Омические сопротивления R\ = Zq\ и R2 =
= Zq2 необходимы для предотвращения отражений; исходя из этого же,
сопротивление нагрузки Rn должно быть также равно волновому.
Если во входную линию поступает ВЧ-сигнал, то анодный ток каж-
каждого триода ik будет модулироваться этим сигналом, причем в ли-
линейном приближении для к-го
триода можно записать
ik=gU?exp\j{wt-p1kAl)],
(8.5)
где g — крутизна триода,
11® — амплитуда входного
сигнала, /?i = uj/v$\, Уф± =
= 1/y/Li/Ci — фазовая ско-
скорость волны в линии передачи,
А/ — длина ячейки.
Чтобы найти ВЧ-потенциал
в выходной линии, возбуждае-
возбуждаемой токами каждого триода, бу-
будем предполагать, что она про-
пронизывается не дискретными то-
токами ik, а непрерывно распределенным вдоль оси током с линейной
плотностью j (х). Из формулы (8.5) следует, что
j(x) = gU° exp [j (wt - fax)]. (8.6)
Здесь g — распределенная крутизна (крутизна на единицу длины ли-
линии). Используя выражение (8.6), выпишем уравнения Кирхгофа для
тока и напряжения в выходной линии (временную зависимость e^ut
опускаем) в следующем виде:
Вход
Рис. 8.9. Схема распределенного уси-
усилителя
dx
=-ju>L2I
2,
dx
с граничными условиями на концах линии
(8.7)
(8.8)
(8.9)

512 Лекция 8 B3)
Анодная пленка
Выходная линия
Пл
/ управляющий электрод
.—гч.
Пленочный
7 " Ж А о ^" * а 2" т а 7 " ^v
h * \ ^.Входная линия Л ^А U ^ А
^ w///w/////////y.
Автоэмиттеры
Рис. 8.10. Схема микроэлектронного распределенного усилителя с решеткой
автоэмиссионных катодов
Здесь Z02 = л/Ь2/С2 .
Решение системы уравнений (8.7)-(8.9) имеет вид:
= U° [\[(Pi - h)l + j] e~j^+^lej^x + /32xe-j^x} , (8.10)
где C2 = uy/L^a;, J/2° = gU?Z02/Pi.
Из последнего выражения следует, что поле в выходной линии пред-
представляется суммой встречной волны постоянной амплитуды и прямой
волны с линейно нарастающей амплитудой; последняя и определяет
усилительные свойства схемы. Если фазовые скорости собственных
волн в обеих линиях близки друг другу, а длина линий невелика по
сравнению с длиной волны, то выражение для коэффициента усиления
К = U(x)/Ui, записанное с учетом только нарастающей волны, имеет
особенно простой вид:
K = gZ02C2x. (8.11)
Несмотря на свои неоспоримые достоинства, схема распределенно-
распределенного усилителя практически не была востребована в радиотехнике того
времени. Интерес к ней начал возрождаться в 80-ые годы, сначала в по-
полупроводниковой микроэлектронике (в монолитных интегральных схе-
схемах с арсенид-галлиевыми полевыми транзисторами), а затем и в ва-
вакуумной микроэлектронике, для которой эта схема оказалась очень
органичной, самым естественным образом связанной с ее технологиче-
технологическими особеностями. Если бы эта схема не была известна ранее, она
неизбежно бы появилась в микроэлектронном варианте (вернее всего,
так оно и было, а о старой идее вспомнили уже потом). Действительно,
решетка автоэмиссионных спиндтовских катодов, дополненная сверху
анодной пленкой, представляет собой почти готовую конструктивную
основу распределенного усилителя, в которой микрополосковая линия,
образованная катодной и управляющей пленками, играет роль входной
линии, а подобная же линия, образованная управляющей и анодной
пленками, является выходной (рис. 8.10). Каждая из линий представля-
представляет собой несимметричную полосковую линию, частично заполненную
диэлектриком. Поперечные размеры линий составляют обычно от деся-
десятых долей микрона до десятков микрон. Если рабочая длина волны не

Вакуумная микроэлектроника 513
меньше 3 мм (частота не более 100 ГГц), то поперечные размеры линий
оказываются на 2-3 порядка меньше длины волны, и, следовательно,
при их анализе можно использовать квазистатическое приближение
и по-прежнему описывать их эквивалентными схемами из LC-цепочек,
аналогичных изображенным на рис. 8.9.
Однако важное отличие микроэлектронного варианта, подробно
рассмотренное в работе [24], заключается в следующем. Толщина
проводящих пленок, образующих микрополосковую линию, невели-
невелика и обычно существенно меньше толщины скин-слоя 5 = 2/^ufioa
(а — погонная проводимость). Так для молибденовой пленки толщина
скин-слоя в частотном диапазоне 1-20 ГГц меняется в пределах 3,7-
0,84 мкм, в то время как толщина пленки составляет 0,2-0,5 мкм. Это
приводит к резкому возрастанию погонного активного сопротивления,
вследствие чего при расчете параметров микроэлектронных линий уже
нельзя пользоваться обычно всегда подразумеваемым условием R <С
<С u)L, более того, как правило, оказывается, что R ^> uL. Например,
для линии с молибденовыми пленками толщиной 0,3 мкм, разделенны-
разделенными слоем SiO2 толщиной 1 мкм, на частоте 1 ГГц R = 370 Ом/м, a ujL =
= 10,2 Ом/м. Соответственно на частоте 1 ГГц постоянная распростра-
распространения j = а + j/3 = A93,8 + j 199,3) м (без учета потерь j = j/З =
= j^O^m), а на частоте 10 ГГц 7 = E42 +J713) м (без учета потерь
j = j'406 м). Как видно из приведенного примера, микроэлектронную
линию уже нельзя считать бездисперсной, поскольку при увеличении
частоты в 10 раз мнимая часть постоянной распространения возросла
приблизительно в 3,5 раза.
Перейдем к элементарному анализу распределенного усилителя
с автоэмиссионными катодами [19,25]. Элементарность заключается,
во-первых, в использовании уравнений LC-цепочек вместо уравнений
Максвелла; во-вторых, в том, что вместо комплексного выражения
параметра Zq будем использовать только его действительную часть,
т. е. пренебрежем влиянием потерь в линии на волновое сопротивление;
в-третьих, в выборе простых аппроксимаций для вычисления эквива-
эквивалентных параметров цепочек; и, наконец, в-четвертых, в выбрасывании
из исходных уравнений встречной волны, поскольку, как это следует
из анализа вакуумного аналога усилителя, ее влияние на усиление не
очень велико.
Из системы уравнений (8.7), (8.8) легко получить уравнение для
одной прямой ?/+, волны, которое имеет вид [19, лекция 6]
^ = ^j(x). (8.12)
С учетом потерь в линиях передачи величина j/З должна быть заме-
заменена величиной j = а -\- j /3. Кроме того, во входной линии необходимо
учесть активные потери Rg = 1/g, что эквивалентно дополнительному
увеличению коэффициента затухания в этой линии на величину Аа =
= gZoi-
33 Трубецков, Храмов

514 Лекция 8 B3)
В предположении U\ <С Uo (Щ — статическое напряжение) выра-
выражение для линейной плотности тока запишется как
j(x)=gU1. (8.13)
Здесь g = gonw3 — распределенная крутизна, go — крутизна одного
эмиттера, п — линейная плотность расположения эмиттеров в решетке,
тэ — ширина решетки.
Используя уравнения (8.12) и (8.13), можно записать систему рабо-
рабочих уравнений распределенного усилителя с автокатодами в виде
^ + аг + xgZQ1/2) U± = -gZOiU1/2, (8.14)
(j/32 + а2) U2 = gZ02U1/2J (8.15)
где индексы 1 и 2 относятся ко входной и выходной линиям соответ-
соответственно; к = 1 для включения триодов по схеме с общей сеткой и к =
= 0 — с общим катодом.
Для оценки волнового сопротивления Zq можно воспользоваться
приближенной формулой, предложенной в работе [26]:
377 h/uj
О I— q 0724 / \ о 836 * ^O.-LUJ
Здесь h и w — высота и ширина полосковой линии.
Затухание, связанное с потерями в проводнике (потери в диэлек-
диэлектрике обычно на порядок ниже), можно рассчитать по формуле [27]:
где а измеряется в дБ/мм, h — в мм, / — в ГГц. Значения величины Q
приведены в табл. 8.1, а величина q показывает, во сколько раз удельное
сопротивление материала полоска больше удельного сопротивления
меди.
Таблица 8.1
uj / h
Q
0,5-1,
0,25
0
1
,0-2
0,2
,0
>
0
2,0
,18
Из решения системы уравнений (8.14) и (8.15), дополненной выра-
выражениями (8.16) и (8.17), получается следующее выражение для коэф-
коэффициента усиления К = Рвых/^вх = (U2/UiJ(Zoi/Zq2)'-
j. Zoi J /i2e a2X Г'(a2-a11-fi1)x -ill /n 1Q\
К = -— < \eK ^1J -If, (8.18)
где /ii52 — 0,5^^0 1,25 «li = «i + O^KgZoi.
Чтобы оценить зависимость коэффициента усиления от парамет-
параметров, разложим экспоненты в формуле (8.18) в ряд с точностью до

Вакуумная микроэлектроника 515
членов второго порядка малости. Тогда
К « |^(/^J [1 - (а2 + «1 + 0,bxgZOi + /ii)^] . (8.19)
Из формулы видно, что за счет возбуждения выходной линии воз-
возрастающим по длине током, усиление растет пропорционально (fi2x) ,
однако этот параболический рост снижается под воздействием несколь-
нескольких причин. Первая, самая очевидная — это «холодное» затухание
в линиях а\ и«2. Вторая имеет место в схеме с общей сеткой (к = 1)
и обусловлена активным характером входного сопротивления триода
в этой схеме. Наконец, третья причина связана с возбуждением пучком
входной линии. Автоэмиссионный пучок покидает катод полностью
промоделированным по плотности, и подобно тому, как он наводит
в выходной линии ВЧ-напряжение bXJi — —jw3Zq2 = —#^3^02^1? точ-
точно так же и во входной линии он наводит ВЧ-напряжение AUi = —
—jw3Zqi = —gw3ZoiUi. Механизмы возбуждения выходной и входной
линий принципиально одинаковы, некоторые различия могут быть вы-
вызваны только разной геометрией зазоров между управляющим элек-
электродом и анодом и управляющим электродом и катодом.
Возбуждаемое напряжение всегда противофазно возбуждающему
его току, следовательно, возбуждамое во входной линии напряжение
оказывается противофазным и по отношению ко входному напряже-
напряжению. Это приводит к тому, что поступающее в эту линию напряжение
постепенно уменьшается вдоль длины, что эквивалентно появлению до-
дополнительного затухания Аа± = OfigZoi (электронное затухание) г).
Вследствие перечисленных причин рост коэффициента усиления,
начиная с некоторой длины х = жтах, сменяется его уменьшением.
Величина максимального коэффициента усиления Кта^ и значение
длины жтах, соответствующее этому максимуму, определяются следу-
следующими формулами [19]:
.20)
In ( ^ ) . (8.21)
V an +/ii /
(
0L2 - olii - Mi V an
Характеристики и модификации распределенного
усилителя
Рассмотрим частотные ограничения, накладываемые на коэффици-
коэффициент усиления микроэлектронного распределенного усилителя с авто-
автоэмиссионными катодами. Помимо очевидной зависимости коэффици-
г) В приборах с термокатодом картина принципиально иная: через входной
зазор проходит практически смодулированный (по крайней мере, в квази-
квазистатическом приближении) пучок, и электронное затухание не наблюдается.
33*

516 Лекция 8 B3)
ентов затухания линий от частоты (см. эмпирическую формулу (8.17)),
здесь можно говорить о следующем.
• Время пролета электронов от катода до анода не должно превы-
превышать, по крайней мере, четверти периода колебаний, т. е./пр < 1/D?пр).
• Обе LC-цепочки не являются однородными, а составлены из
отдельных ячеек. Дискретные цепочки, подобные изображенным на
рис. 8.9, представляют собой, как известно, фильтр низких частот,
причем частота верхней границы (предельная «резонанасная» частота
fr) соответствует резонансу в отдельной ячейке /г = 1/Bтгл/LC), где
L = LAI и С = СА1 — значения сосредоточенных параметров одной
ячейки, А/ — длина ячейки.
• На высоких частотах, когда поперечные размеры полосковой ли-
линии становятся сравнимыми по порядку с длиной волны, возникают
поверхностные волны. Эта предельная частота отсечки определяется
частотой поперечной электрической поверхностной волны низшего по-
порядка [27]:
_ 75
/от - ^tf^t '
где h измеряется в мм, / — в ГГц.
В заключение приведем оценки предельных частот распределенного
усилителя при hi = Юмкм, h^lh — 4, w/h\ = 0,4 [19] (геометрические
параметры h\ и h^ показаны на рис. 8.10).
1. Пролетная предельная частота /пр = 250 ГГц для U = 300 В.
2. Резонансная предельная частота /г = 1,2 ТГц при е = 4,0.
3. Предельная частота отсечки /от = 1,1 ТГц при h^ — 40мкм.
Рассмотрим теперь, какие значения крутизны микротриодов обес-
обеспечивают приемлемое усиление прибора. На рис. 8.11 представлены
зависимости Gmax (в дБ) и жтах от крутизны, причем по оси абсцисс
нанесены значения меток как для крутизны одного микротриода go,
так и для распределенной крутизны g. Самые верхние кривые А на
этих графиках построены без учета электронного затухания во входной
линии. Для кривых В и С это затухание учитывается, причем кривые
В относятся к схеме с общим катодом, а кривые С — к схеме с общей
сеткой. Из графиков можно сделать следующие выводы: во-первых,
с ростом крутизны усиление растет (что вполне очевидно); во-вторых,
учет электронного затухания принципиально необходим (иначе полу-
получаются неоправданно оптимистичные результаты); в-третьих, наличие
активной проводимости в схеме с общей сеткой роковым образом ска-
сказывается на ее усилении и делает эту схему, по крайней мере пока, мало-
малоперспективной. Из анализа успехов катодной электроники за последние
несколько лет следует, что значения go = 10 мкС/острие, при которых
появляются удовлетворительные значения усиления, пока считаются
достаточно высокими и достигаются только на уникальных образцах.
Что касается влияния геометрических параметров на коэффициент
усиления микроэлектронного распределенного усилителя, то уменьше-
уменьшение ширины полоска сначала увеличивает коэффициент усиления за
счет возрастания Zq, но при дальнейшем уменьшении ширины коэффи-

Вакуумная микроэлектроника
517
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
0,0
-5,0
ди
^а
/
- Gmax
*max^
— -
**^А
,В
у /
' / с
120,0
100,0
80,0
60,0
40,0
20,0
0,0
1,0 2,5 4,0 5,5 go, мкС/острие
0,002 0,005 0,008 0,011 g, С/мм
Рис. 8.11. Зависимости Gmax и Жщах от крутизны при w = 5мкм, и>э =
= 500 мкм, / = 10 ГГц, е = 4 (геометрические параметры /ii и /i2 показаны
на рис. 8.10). Кривая А построена без учета электронного затухания в схеме
с общим катодом; В — без учета электронного затухания в схеме с общей
сеткой (или с учетом электронного затухания в схеме с общим катодом); С —
с учетом электронного затухания в схеме с общей сеткой (из работы [19])
циент усиления начинает падать вследствие роста потерь. Увеличение
высоты выходной линии ведет к увеличению коэффициента усиления
вследствие роста Zq, но при условии, что постоянная составляющая
автоэмиссионного тока не меняется, например, за счет пропорциональ-
пропорционального изменения анодного напряжения при изменении величины hi-
Зависимость коэффициента усиления от длины представлена на
рис 8.12 а. Хорошо видны область насыщения и дальнейшего паде-
падения коэффициента усиления вследствие влияния потерь. На рис 8.12 б
приведены частотные характеристики усилителя для разных значений
потерь в линиях (в данном случае — для линий, изготовленных из
разных материалов — меди и молибдена). Поскольку здесь выбрана
частотная область, далекая от предельных частот, и предполагается
полный синхронизм между линиями, то единственными частотно-зави-
частотно-зависимыми величинами являются потери в линиях, и поведение частотных
характеристик определяется именно этими потерями.
Из всех этих графиков следует, что усиление распределенного уси-
усилителя для достигнутых пока параметров автоэмиссионных решеток
25,0 50,0 75,0/, ГГц
Рис. 8.12. Зависимости коэффициента усиления от длины (а) и частоты (б)
для пленок из различных материалов (меди Си и молибдена Мо)

518
Лекция 8 B3)
Коллектор
<
I
I
1
I
1
I
I
III
i
=
^/%
- Выходная
линия
Заземленные
электроды
^ Входная
"линия
Отработанные
электроны
Входная
линия
Лезвийный
катод
Рис. 8.13. Усовершенствованные модификации распределенного усилителя
крайне невелико. Становится ясным, что пока параметры автоэмисси-
автоэмиссионного триода не будут кардинально улучшены, трудности, связанные
с созданием распределенного усилителя, будут носить принципиаль-
принципиальный характер — слишком неустойчивое равновесие противоречивых
или взаимоисключающих факторов должно быть при этом достигнуто.
Более усовершенствованные конструкции, в которых сделана по-
попытка преодоления некоторых из этих противоречий, показаны на
рис. 8.13 а [28] и рис. 8.13 5 [29]. Вместо простейших несимметричных
полосковых линий здесь используются две отдельные квазисимметрич-
квазисимметричные линии (на рис. 8.13 а линии в волноводе), разделенные металличе-
металлическим экраном и включенные по схеме с общим катодом. Значительно
увеличен объем выходной линии, причем в конструкции на рис. 8.13 6"
в верхнем полоске анодной линии делается широкий продольный разрез
так, чтобы электроны собирались не на аноде, а на расположенном
за анодом коллекторе. Благодаря такому разделению функций анода
и коллектора удалось существенно уменьшить расстояние между ано-
анодом и катодом при сохранении большого объема пространства взаи-
взаимодействия, что позволяет решать проблему теплоотвода без ущерба
для основных параметров устройства. Здесь же сделан переход от
многоострийного катода к лезвийным эмиттерам, которые, как было
показано, обладают более высокими эмиссионными свойствами по срав-
сравнению с решетками конусных эмиттеров, более стабильны и устойчивы
в работе.
Возможной полезной модификацией микроэлектронного распреде-
распределенного усилителя может стать распределенный умножитель частоты.
Действительно, при подаче на вход усилителя чисто гармонического
сигнала, если амплитуда этого сигнала не слишком мала, анодный
ток распределенного усилителя имеет в своем составе, помимо основ-
основной, еще и высшие гармонические составляющие, причиной появления
которых является сильная нелинейность анодно-сеточной характери-
характеристики. Это позволяет без каких-либо особых переделок использовать
автоэмиссионный усилитель в качестве умножителя частоты. Провести
строгое аналитическое разложение в ряд Фурье анодного тока, подчи-
подчиняющегося закону Фаулера-Нордгейма, невозможно; но в работе [30]

Вакуумная микроэлектроника
519
приведено приближенное выражение для гармоник тока. Оно имеет
вид
п2 Um
(8-22>
где q\ — (dli/dU) / (I/U) — динамическая крутизна вольтамперной
характеристики триода, Umax — максимальное напряжение на зазоре.
В достаточно типичном случае величина q± ~ 4 Ч- 6. Относительный
коэффициент усиления распределенного усилителя для каждой гармо-
гармоники можно оценить как [19]
Результаты расчета относительного коэффициента усиления умно-
умножителя для 2 Ч- 4-й гармоник приведены в табл. 8.2 [19].
Таблица 8.2
Коэффициент умножения
Относительный коэффициент
усиления
0,54-0,61 0,28-0,43 0,12-0,24
Интересной и важной разновидностью распределенного усилителя,
в которой используются идеи и решения, полученные в классической
вакуумной СВЧ-электронике, является клистрон бегущей волны с ре-
решеткой автоэмиттеров [49].
Клистрон бегущей волны обсуждался нами в лекции 11 первого
тома. Напомним, что он представляет собой обычный пролетный кли-
клистрон, у которого входной и выходной резонаторы заменены волновода-
волноводами, а пушка — распределенным вдоль волновода катодом или набором
пушек (многолучевой клистрон бегущей волны). В микроэлектрон-
микроэлектронной модификации клистрона бегущей волны, как и в распределенном
усилителе, в качестве волноведущих систем используются полосковые
линии, а распределенным катодом является матрица автоэмиттеров
(рис. 8.14). Получившаяся схема отличается от схемы распределенного
усилителя только участком дрейфа между полосковыми линиями, ко-
,5 F, отн.ед.
Выход
Вход _j:
->/*<¦
3
"
1
0,4
0,2
0,0
Рис. 8.14. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с двумя
полосковыми линиями: 1 — матрица автоэмиттеров, 2 — входная линия, 3 —
область дрейфа, 4 — выходная линия, 5 — анод; б — распределения полей во
входной (Л) и выходной (В) полосковых линиях

520 Лекция 8 B3)
торый может оказаться полезным для увеличения коэффициента уси-
усиления — как за счет дополнительной группировки, возникающей из-
за модуляции по скорости, так и за счет повышения эффективности
взаимодействия в выходной линии.
Задавая «холодные» поля во входной линии, легко рассчитать
сгруппированный ток электронного потока на выходе из простран-
пространства дрейфа, предполагая, что на катоде справедлив закон Фаулера-
Нордгейма, а затем найти поле, возбужденное сгрупированным пото-
потоком в выходной линии. Рассмотрим основные соотношения, описываю-
описывающие в линейном приближении процессы взаимодействия в автоэмисси-
автоэмиссионном клистроне бегущей волны [25].
Поле во входной линии Е = Е\ + (Е\/Е$) cos (ujt — f3y)] вызывает
появление автоэмиссионного тока, который в предположении Е\/Е$ <С
<С 1 (Е\ и Eq — соответственно высокочастотная и статическая компо-
компоненты электрического поля) имеет вид [19]
Г 2
7(Ц/ со» [2 М-А/)]], (8.24)
где /о — средний ток всей решетки автоэмиссионных триодов, q± =
= Eohg//о, #2 = 1 + (qi — IJ, g — динамическая проводимость в точке
U = Eoh. Начальные условия на входе в пространство дрейфа таковы:
начальная модуляция по току
70 = i@)cos(a;?i - fiy),
начальная модуляция по скорости
v = v@) cos (uti - /Зу + Ф).
В пространстве дрейфа (см. рис. 8.14 а) можно записать
? = *! + -, V = V0 + V@)cos(u>t! -/32/ + Ф).
При выполнении условия v@) ^C vo последнее соотношение можно
переписать в виде
t = h + — [l - ^ cos
Тогда для первой гармоники 1\ сгруппированного тока получается
следующее выражение:
7i = [г@) + 2/@) Ji(xv) exp {-j(/3ex + Ф - тг/2)}] ехр {j(ut - /Зу)} ,
(8.25)
где J\(xv) — функция Бесселя, xv = (lox/vo)(v@)/vo).
Напряж;енность электрического поля моды с индексом s выходного
волновода определяется формулой
Е(х, у, t) = Cs(y)Es(x) exp {-j/3sy} , (8.26)

Вакуумная микроэлектроника 521
где
у d-\-hi
СЛу) = ^\ \ 7i(x',y')exp{jCsy'} dx'dy', (8.27)
У\ d
откуда
\CsVNs _ П1
4
у ч 2 /
I ~Т7гл I ' TTTvT^l I ~ ~
\I(O)J ' "/(О) V^o ^0
V 2 vo ) 1 \
хсо8(^-Ф--)+4^(^^)|, (8-28)
d+h2
где Ms = J ^(ж7) da;', ^ « /?s, 7VS — норма собственной волны с но-
d
мером s. Выражение для максимальной мощности записывается как
_ \C2s\Na _ TsM2s\i(Q) (wdv(Q)Y\2
В режиме максимального КПД амплитуда высокочастотного напря-
напряжения U\ должна быть близка к постоянному напряжению Uq, чтобы
не допустить возвратного движения электронов. В этом случае
|Csmax|Ms ~ f/0, (8.30)
р^^
4
Первые слагаемые в правых частях выражений (8.31) описыва-
описывают взаимодействие, связанное с процессом сеточной модуляции, когда
г@)// = giEih/I. Вторые слагаемые описывают чисто клистронные
эффекты. Начальная модуляция по скорости может быть определена
стандартным образом: v@)/vo = y/E\/Eq . Учет электронного затуха-
затухания, как и в случае распределенного усилителя, приводит к тому, что
амплитуда высокочастотного напряжения во входной линии убывает по
длине, вызывая прекращение нарастания поля в выходной линии (см.
рис. 8.14 б, построенный по результатам численного расчета [31]). Что-
Чтобы повысить эффективность прибора, целесообразно, как и в класси-
классическом клистроне бегущей волны, ввести промежуточную полосковую
линию (рис. 8.15 а). Для объяснения необходимости введения такой ли-
линии достаточно вспомнить, что в обычном клистроне для компенсации
разгруппировки сгустка (а разгруппировка сгустка происходит всегда
вследствие действия сил пространственного заряда) между входным
и выходным резонаторами помещают дополнительный резонатор (см.
лекцию 5 первого тома). Если частота резонатора равна частоте вход-
входного сигнала, то сгустки будут возбуждать этот резонатор так же, как
и выходной, и разгруппировываться. Для того чтобы этот резонатор
не отбирал энергию у сгустка, необходимо, чтобы его сопротивление

522
Лекция 8 B3)
Электроны
тормозятся
Электроны
ускоряются
Рис. 8.15. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с проме-
промежуточной полосковой линией 5 (остальные обозначения совпадают с обо-
обозначениями рис. 8.14 а) (ср. с рис. 11.15 тома 1); б — распределения полей
в промежуточной (А) и выходной (В) полосковых линиях
было реактивным, а для того чтобы он догруппировывал пучок, эта
реактивность должна иметь индуктивный характер (ток отстает по
фазе от поля). Действительно, при этом, как видно из рис. 8.16, поле
резонатора увеличивает скорость бы-
быстрых электронов и уменьшает ско-
скорость медленных электронов. Полу-
Получить такой характер сопротивления
можно некоторой расстройкой резо-
резонатора, а именно, увеличив его соб-
собственную частоту по сравнению с ча-
частотой основных резонаторов.
В случае клистрона бегущей вол-
волны аналогичный эффект отставания
фазы тока от фазы поля в промежу-
промежуточной линии достигается путем из-
изгиба оконечной части этой линии (см.
рис. 8.15 а). Электронные сгустки, влетающие на начальном участ-
участке линии, возбуждают в ней некоторое поле; сгустки, влетающие на
изогнутом участке, отстают по фазе от этого поля (потому что им
приходится дольше лететь до линии) и получают дополнительную мо-
модуляцию по скорости, которая усиливает группировку в дрейфе после
промежуточной линии. В результате удается существенно повысить
скорость нарастания поля в выходной линии (рис. 8.15 6). Поскольку
амплитуда переменного напряжения в выходной линии не должна пре-
превышать потенциал пучка U\ (иначе, вследствие возврата электронов,
КПД начнет уменьшаться), на оконечном участке выходной линии ее
волновое сопротивление искусственно уменьшают, хотя бы путем су-
сужения линии. Для такой схемы получен расчетный КПД порядка 30 %
и коэффициент усиления 23 дБ в достаточно широком динамическом
диапазоне входных сигналов [19].
Интересная идея модернизации распределенного усилителя была
предложена в работах [32, 33]: увеличение усиления с помощью эффек-
эффекта отрицательного электронного сопротивления. Известно, что при про-
Рис. 8.16. Группировка электро-
электронов в клистроне бегущей волны
вблизи точки с фазой тг

Вакуумная микроэлектроника
523
Угол пролета ®о
Угол пролета 0
Рис. 8.17. Зависимости нормализованной электронной проводимости от угла
пролета для монотрона (а) и для диода с автоэмиссионным распределенным
катодом (б)
лете электронного пучка со скоростью vo через диодный промежуток
длиною /, к которому приложено ВЧ-поле частоты о;, возможно либо
ослабление, либо усиление этого поля в зависимости от значения угла
пролета электронов в = ujI/vq. Например, при значениях угла пролета
в пределах B,0 -г- 2,8)тг сгруппированный в пучке ВЧ-ток и ВЧ-поле
оказываются в противофазе, мощность взаимодействия между ними
становится отрицательной и энергия пучка передается ВЧ-полю, что
описывается как появление отрицательного электронного сопротивле-
сопротивления. Созданный на этом принципе генератор получил название «моно-
«монотрон» [34]. Приборы этого типа занимают промежуточное положение
между приборами со статическим управлением электронным потоком
(различные триодные структуры, в том числе и распределенный уси-
усилитель), в которых угол пролета близок к нулю, и между приборами
с длительным взаимодействием и большими углами пролета электро-
электронов, например, ЛБВ или ЛОВ.
Подобный тип автоэмиссионного устройства со «средним» углом
пролета В.А. Солнцев [32] предлагает назвать «политрон», акцентируя
внимание на богатстве спектра автоэмиссионного потока. В политроне
входной сигнал подается в сеточно-анодную линию. Если высота этой
линии составляет 20-100 мкм, то значение угла пролета, соответствую-
соответствующее максимуму мощности взаимодействия и равное 2,5тг, реализуется
в частотном диапазоне 120-1000 ГГц при сеточном (вытягивающем)
напряжении 200-500 В. Основным недостатком политрона является
необходимость использования катодов с очень высокой плотностью то-
тока — порядка 50-100 А/см2. В работе [33] показано, что характеристики
политрона можно улучшить путем замедления электронного потока
между сеткой и анодом.
Возможна также диодная конструкция, совершенно аналогичная
обычному монотрону, в котором термокатод заменен решеткой авто-

524 Лекция 8 B3)
эмиссионных катодов. Поскольку эмиссия в этом случае определяется
ВЧ-полем, в пространство взаимодействия поступает уже промодули-
рованный по плотности пучок, и ему не надо ни тратить время на
группировку, ни забирать на это энергию у поля. Поэтому угол пролета,
соответствующий максимуму отрицательной электронной проводимо-
проводимости уменьшается по сравнению с обычным монотроном с 2,5тг до 1,5тг,
а само значение этого максимума существенно возрастает, как показано
на рис. 8.17 6", взятом из работы [35].
К сожалению, полученные результаты справедливы только для
однородного высокочастотного поля, когда расстояние между анод-
анодной и катодной плоскостями значительно превышает высоту катодов.
Но в этом случае напряжение, при котором возникает автоэмиссия,
должно быть слишком большим. В работе [36] предлагается вместо
чисто катодных решеток использовать спиндтовские решетки катодов
с управляющими электродами. Дело в том, что при обычной толщине
управляющих электродов порядка 0,2 мкм эта толщина на сверхвы-
сверхвысоких частотах оказывается значительно меньше толщины скин-слоя
(Змкм для молибдена), и пленка управляющих электродов становится
прозрачной для СВЧ-полей, которые существуют между анодом и ка-
катодом. Так как управляющий электрод находится вблизи катода, авто-
автоэмиссия возникает при невысоких величинах статического напряжения
на этом электроде, а высокочастотное поле между анодом и катодом
модулирует этот процесс автоэмиссии. Как отмечается в работе [36],
приборы со «средним» углом пролета имеют обещающие перспективы
и способны занять свое место между твердотельными и традиционны-
традиционными вакуумными приборами.
Вакуумная электроника и электроника СВЧ: возврат
к истокам
Несмотря на большие успехи и очевидные перспективы вакуум-
вакуумной микроэлектроники, следует признать, что достигнутые на сего-
сегодня значения параметров автоэмиссионных катодов оказываются недо-
недостаточными для практической реализации традиционных микроэлек-
микроэлектронных схем сверхвысокочастотных устройств, использующих схе-
схему распределенного усилителя (триодное взаимодействие). В основ-
основном это обусловлено большими возрастающими с частотой потеря-
потерями в микрополосковых линиях. Поэтому, несмотря на, казалось бы,
«генетическую» предрасположенность микроэлектронных устройств
к миллиметровому и субмиллиметровому диапазону, лучшие экспери-
экспериментальные образцы распределенных усилителей пока не выходят за
пределы 10 -=- 20 ГГц.
В поисках новых возможностей расширения частотного диапазона
вакуумная микроэлектроника, естественно, обращается к идеям и ме-
методам электроники СВЧ, активно разрабатывая микроэлектронные
аналоги и модификации хорошо известных и зарекомендовавших себя
электронных СВЧ-приборов. Тот простой принцип, который вакуум-
вакуумная микроэлектроника может заимствовать у электроники СВЧ, есть
принцип длительного взаимодействия, когда скорости движения элек-

Вакуумная микроэлектроника 525
тромагнитной волны и электронов (а точнее, электронных сгустков)
близки друг другу. За счет этого электроны достаточно длительное
время находятся под воздействием поля волны, в отличие от клистрона
или распределенного усилителя, где такое воздействие кратковремен-
кратковременно.
Реализовать подобное взаимодействие можно, уменьшая скорость
волны с помощью замедляющих систем. Конкретная модификация
замедляющих систем в существенной мере определяется геометрией
электронного потока или геометрией катода. В лампах с круглым, эл-
эллиптическим или трубчатым пучком используются обычно аксиально-
симметричные системы — круглые спирали, цепочки круглых связан-
связанных резонаторов; в лампах с плоским пучком или плоским катодом
применяются плоские системы — меандры, гребенки, встречные шты-
штыри, лестницы и т. п.
Если попытаться классифицировать сверхвысокочастотные прибо-
приборы с распределенным взаимодействием по степени их конструктивного
сходства с наиболее органичным для вакуумной микроэлектроники
(и в некотором смысле эталонным) устройством — распределенным
усилителем, то, по-видимому, таковой окажется классификация по от-
относительной длине электронных траекторий (по отношению к расстоя-
расстоянию между входом и выходом замедляющей системы) г). С этой точки
зрения распределенные СВЧ-приборы можно условно разделить на
следующие три группы:
1) приборы с длинными электронными траекториями — лампы бе-
бегущей и обратной волны О-типа;
2) приборы, в которых длина траекторий уменьшается в процес-
процессе взаимодействия за счет выхода электронов на анод — лампы со
скрещенными полями с разомкнутым электронным потоком (ЛБВМ,
ЛОВМ, дематрон);
3) приборы с короткими электронными траекториями — лампы со
скрещенными полями с замкнутым электронным потоком (амплитрон,
магнетрон) и лампы с поперечным взаимодействием.
Рассмотрим несколько предварительных соображений, которые от-
относятся к любым микроэлектронным модификациям электронных
СВЧ-приборов и касаются соотношений размеров замедляющих систем
и длины волны, вопросов фокусировки электроннного потока и компо-
компоновки автоэлектронных эмиттеров в СВЧ-приборе [19].
Из естественного требования, чтобы СВЧ-приборы вакуумной ми-
микроэлектроники оставались, по возможности, низковольтными, следу-
следует, что для обеспечения взаимодействия с низкоскоростным электрон-
электронным потоком замедляющие системы этих приборов должны обладать
большим замедлением п. Так, например, ускоряющему напряжению
х) В данном случае мы пользуемся упрощенным понятием электронной
траектории как усредненной по периоду ВЧ-поля траектории «крупной ча-
частицы» (мысленного образования, аппроксимирующего группу из большого
числа электронов с близкими начальными условиями).

526 Лекция 8 B3)
V = 300 -г- 400 В соответствует замедление п = 30 -г- 25. Для обычных
устройств такое замедление возможно, как правило, лишь на высших
пространственных гармониках. К счастью, технологические особенно-
особенности изготовления микроминиатюрных замедляющих систем, а именно,
обязательное наличие диэлектрической подложки, позволяют полу-
получить требуемое замедление даже на основной гармонике.
Исходя из специфики микроэлектронной технологии, можно пред-
предположить, что в микроэлектронных СВЧ-устройствах будут, в основ-
основном, использоваться плоские замедляющие системы, расположенные
на диэлектрической подложке вблизи одной из стенок полосковой ли-
линии или прямоугольного волновода. Минимальная длина волны Amin
в этом случае определяется из условия, что на поперечной длине ячейки
замедляющей системы w укладывается четверть длины волны: Amin =
= 4w, при этом в ячейках замедляющей системы возникает резонанс,
который соответствует верхней (по частоте) границе полосы пропуска-
пропускания. Нижняя граница полосы появляется в том случае, когда замедляю-
замедляющая система расположена в волноводе, и определяется расстоянием
между боковыми металлическими стенками волновода (в полосковой
линии она отсутствует). Тем не менее, слишком далеко уходить от верх-
верхней границы полосы не имеет смысла, так как при этом в области, за-
занятой пучком, сопротивление связи значительно уменьшается. Обычно
удаление от верхней границы полосы не превышает значения 2 -г- 4Amin,
так что в качестве рабочей длины волны можно взять значение А =
= 2-r 4Amin В этом случае ширина замедляющей системы определяется
выражением w « А/(8 -г- 12).
Период замедляющей системы р = w/k, где величина к, называе-
называемая геометрическим замедлением, обычно не превышает значения к =
= 10 -г- 14. Таким образом, для длины волны А = 1 мм и ? = 6 ширина w
и период р замедляющей системы оказываются заключенными в пре-
пределах w « 30 -г- 50мкм, р « 2,5 -г- 5,0 мкм. Эти величины возрастают
пропорционально увеличению длины волны.
Одной из сложных проблем, которые возникают при микромини-
микроминиатюризации электронных СВЧ-приборов, является проблема фокуси-
фокусировки электронного потока. Фокусировка должна скорректировать на-
начальную расходимость электронных траекторий, связанную с тем, что
электроны вылетают из катода по радиусам в растворе конуса с уг-
углом су, и скомпенсировать расталкивающие силы пространственного
заряда. Наиболее удобной и простой является фокусировка в стати-
статическом продольном магнитном поле. Оценим минимальную величину
фокусирующего магнитного поля Bq в предположении, что силами
пространственного заряда можно пренебречь. Если при влете в область
магнитного поля со скоростью vo электрон имеет поперечную скорость
^_l = votga, то радиус его циклотронного вращения R = votga/uc,
где ис — циклотронная частота. Учитывая, что vq = y2eZ7/m, легко
получить выражение для минимального магнитного поля Вот-Ш, при
котором отклонение электрона от осевого положения не превышает

Вакуумная микроэлектроника 527
величину R:
Фокусировка пучка должна обеспечить его прохождение вблизи
замедляющей системы с нулевым токооседанием. Поскольку при удале-
удалении от замедляющей системы сопротивление связи резко уменьшается,
не рекомендуется удалять край пучка от замедляющей системы на
расстояние большее четверти периода замедленной длины волны (R <
< Л/Bп)), откуда следует, что
ВОтт = 1.348- 10^
Л
В этом соотношении Вот-Ш измеряется в теслах, U — в вольтах, Л —
в миллиметрах. Из полученной оценки следует, что в миллиметровом
диапазоне удовлетворительная фокусировка пучка достигается при до-
довольно умеренных значениях индукции магнитного поля Вот-Ш < 1 Т.
Рассмотрим последовательно в этом параграфе различные микро-
микроэлектронные аналоги «классических» СВЧ-устройств.
1. Микроэлектронные СВЧ-приборы с длинными пучка-
пучками. Конструктивно самыми родственными вакуумной микроэлектро-
микроэлектронике представляются приборы с короткими траекториями — тем не
менее среди первых СВЧ-устройств вакуумной микроэлектроники (по-
(помимо распределенного усилителя) оказались именно ЛБВ и ЛОВ О-
типа. Первые сообщения о начале разработки микроэлектронных ана-
аналогов ЛБВ и ЛОВ О-типа появились еще в середине 80-х гг. По своей
принципиальной схеме эти устройства были близки к обычным ЛБВ
и ЛОВ, только вместо аксиально-симметричных замедляющих систем
в них предполагалось использовать более органичные для микроэлек-
микроэлектронной технологии плоские замедляющие системы (лестницы, плос-
плоские спирали, плоские гребенки, встречные штыри, меандры и т.п.),
а термоэлектронную пушку должна была заменить пушка с решет-
решеткой тонкопленочных автоэмиссионных катодов, формирующая пучок,
близкий к плоскому.
В нашей стране работы по созданию микроэлектронных приборов
О-типа с автоэмиссионными катодами [19, 38, 39] являются продол-
продолжением и развитием работ по глубокой миниатюризации вакуумных
приборов, основанной на сочетании технических приемов вакуумной
и полупроводниковой технологии, которые проводились еще с 60-х гг.
Схема одного из подобных приборов — микро-ЛБВ [37] — приведе-
приведена на рис. 8.18. Электронный пучок, формируемый системой лезвий-
лезвийных катодов с управляющими электродами, проходит вблизи плоской
замедляющей системы, расположенной на стенке полосковой линии.
Толстыми линиями показаны электронные траектории, полученные
в процессе компьютерного расчета этой схемы [19].
2. Устройства вакуумной СВЧ-микроэлектроники со скре-
скрещенными полями [49]. Типичная схема усилителя со скрещенными
электрическим Eq и магнитным Bq статическими полями показана на

528
Лекция 8 B3)
Управляющий
электрод Диэлектрик
Эмиттер
Фокусирующий
электрод Uf
Анод Замедляющая система
Ua U
Рис. 8.18. Схематическое изображение планарной электронно-оптической си-
системы микро-ЛБВ (из работы [37])
рис. 8.19. В верхней плоскости размещается замедляющая система, на-
находящаяся под положительным потенциалом Ua относительно нижней
плоскости, в которой расположен распределенный катод. Вылетающие
с катода электроны вращаются с циклотронной частотой о;с, а центр
их вращения дрейфует в направлении к аноду или катоду. В обычных
режимах радиус вращения невелик, и под электронной траекторией по-
понимают только траекторию центра вращения. На рис. 8.19 пунктиром
показаны силовые линии ВЧ-поля, а контурными стрелками — силы,
действующие на электроны. Под действием этих сил в тормозящих фа-
фазах электрического поля электронные траектории (сплошные кривые)
сгущаются и приближаются к аноду, вследствие чего потенциальная
энергия электронов переходит к высокочастотному электромагнитному
полю.
В микроэлектронном аналоге усилителя принципиальная конструк-
конструкция не меняется, только в нижней плоскости помещается распреде-
распределенный автоэмиссионный катод, представляющий собой либо решетку
спиндтовских эмиттеров, либо набор клиновидных эмиттеров с вер-
Вход
Рис. 8.19. Схема усилителя со скрещенными полями: 1 — катодная плоскость
с автоэмиттерами; 2 — замедляющая система

Вакуумная микроэлектроника 529
тикальными электродами, к которым прикладывается вытягивающее
напряжение, либо просто массив неупорядоченных эмиттеров.
Остановимся на особенностях микроэлектронной конструкции по
отношению к «классической» схеме усилителя М-типа. Электроны,
вылетающие с катода, имеют радиус вращения R = vq/uc и стати-
статическую скорость дрейфа у о = Eq/Bq. Предполагая, что эта скорость
близка к скорости волны в замедляющей системе Уф = с/n, с учетом
обозначения г = R//г, можно получить следующие соотношения для
основных электрических параметров [19]:
с2т 5,11-105 шст 0,036/ , ,
Uа — о ~~ 2 ' ^° ~~ "~ ~~г7 ' [р.61)
егп т е Унг
где напряжение измеряется в вольтах, магнитное поле — в теслах,
частота— в гигагерцах. Собственно говоря, выражения (8.32) справед-
справедливы для приборов любых размеров, специфичной же для микроэлек-
микроэлектронных конструкций является область значений г, h и п. В «класси-
«классических» конструкциях, как правило, радиус циклотронного вращения
невелик: R <С h или г< 1. Это и позволяет использовать так назы-
называемое дрейфовое (или адиабатическое) приближение (см. лекцию 7
первого тома) и вместо реального движения электронов рассматривать
движение центров их орбит, «подправленное» усредненными эффекта-
эффектами вращения за один циклотронный период. Этот режим, как правило,
является наиболее оптимальным для обычных приборов со скрещен-
скрещенными полями. В микроэлектронной конструкции величина h невелика
и «циклотронный» диаметр может сравниться с ней или стать боль-
больше. Для реализации адиабатического режима, как следует из формул
(8.32), нужно увеличить магнитное поле.
Как показывают расчеты [19], уже при значениях г < 0,1 (пока
еще имеет смысл говорить о дрейфовом приближении) величина Во
в диапазоне частот / ~ 10 -г- 100 ГГц становится очень большой, так
что практически оказывается нереализуемой. Таким образом, в ми-
микроэлектронных приборах, по-видимому, не имеет смысла говорить
о дрейфовом приближении и разделять движение электронов на вра-
вращательное и дрейфовое, а нужно рассматривать их движение в целом.
Этот режим, называемый режимом слабых магнитных полей, являет-
является малоисследованным, хотя для автоэмиссионных приборов именно
он и представляет особый интерес. Минимально возможные значения
Uamm и Bq m\n в этом режиме можно получить из формулы (8.32)
в предположении, что электрическая высота пространства взаимодей-
взаимодействия Yh = ujh/vo < 4 и г < 0,5:
Ua = 1>2'210 , Во = 0,018/. (8.33)
п
Значения Uam\n и Вот-Ш приведены в табл. 8.3 и 8.4.
Из табл. 8.3 видно, что поскольку в микроэлектронной конструкции
анодное напряжение не должно быть слишком большим, необходи-
необходимо использовать замедляющие системы с большим замедлением или
34 Трубецков, Храмов

530
Лекция 8 B3)
Таблица 8.3
Замедление (п)
10 20
40
/, ГГц
/omin, кВ 10,2 2,55 0,64
Таблица 8.4
10 50 100 200 400
?0min, T
0,18 0,9 1,8 3,6 7,2
работать на высших пространственных гармониках. Таким образом,
нормальным замедлением для подобных приборов следует считать за-
замедление, по крайней мере, большее 30.
Из табл. 8.4 следует, что главным фактором, ограничивающим
продвижение приборов со скрещенными полями в область коротких
миллиметров и в субмиллиметровую область, оказывается магнитное
поле.
Высоту пространства взаимодействия h можно оценить из следую-
следующих соображений. Для того, чтобы электроны еще могли «чувство-
«чувствовать» поле замедляющей системы, электрическая высота пространства
взаимодействия У^ должна быть не очень большой, а именно У^ <
< 4,0. В диапазоне частот 50 -г- 200 ГГц для «нормальных» замедлений
высота пространства взаи-
взаимодействия имеет значения
50 -г- 100мкм, т.е. достаточно
типичные для вакуумной
микроэлектроники.
Рассмотрим некоторые ха-
характеристики микроэлектрон-
микроэлектронного усилителя со скрещенными
полями, следуя работе [19, лек-
Рис. 8.20. Зависимость коэфициента ция 8J.
усиления для усилителя со скрещен- На рис. 8.20 приведены две
ными полями от безразмерной длины кривые, отражающие зависи-
пространства взаимодействия /Зех: 1— мость коэффициента усиления
с учетом оседания электронов на ка- от ДЛИны лампы. Кривая 1 по-
тод; 2 — без учета оседания строена при условии, что элек-
электроны, попадающие на катод,
считаются поглощенными катодом и выбывают из дальнейшего расче-
расчета, а кривая 2— в предположении, что попавшие на катод электроны не
поглощаются им и могут снова участвовать в процессе взаимодействия.
Интересным оказывается то, что в первом случае и скорость нараста-
нарастания коэффициента усиления, и его максимальное значение оказыва-
оказываются выше, чем во втором. Это связано с циклоидальным характером
движения электронов, когда каждый электрон периодически прибли-
приближается к катоду. При этом электроны, находящиеся в неблагоприятной

Вакуумная микроэлектроника
531
дБ
25,0
20,0
15,0
\
\
<7тах
\
^тах
>
\
г \
^тах
t <7тах
\
0,0 0,1 0,2 0,3 Fo 0,0 ОД 0,2 0,3 d
Рис. 8.21. Зависимости максимального коэффициента усиления Gmax и дли-
длины gmax = /ЗеЖтах, соответствующей максимуму усиления, от безрамерных
параметров: входного сигнала (а) и затухания (б)
(ускоряющей) фазе поля, опускаются и поглощаются катодом. Таким
образом, уже с самого начала пучок становится промоделированным по
плотности (кривая 1) и взаимодействует с полем гораздо эффективнее,
нежели в случае, когда подобная модуляция отсутствует (кривая 2).
На рис. 8.21 построены зависимости максимального коэффициента
усиления Gmax и длины /Зежтах, на которой этот коэффициент дости-
достигается, от безразмерных параметров: амплитуды входного сигнала Fq
(рис. 8.21 а) и параметра затухания в линии передачи d (рис. 8.21 б).
Знание этих зависимостей позволяет рассчитывать характеристики
автоэмиссионной ЛБВ М-типа для размерных параметров. Расчет [19]
показывает, что даже для сравнительно больших величин затухания
усиление достигает вполне приемлимых значений 20 -г- 25 дБ при линей-
линейных плотностях тока Jo ~ 0,01 -г- 0,03 А/мм, которые вполне реальны
для нынешнего уровня развития автоэмиссионной микроэлектроники.
Наиболее важной для рассматриваемого прибора является пробле-
проблема теплоотвода. Полный ток с катода автоэмиссионного усилителя со
скрещенными полями составляет 30 -г- 90 мА, что дает для постоянной
мощности значения 18-г 54 Вт. Поскольку КПД прибора не превы-
превышает 40 -г- 50%, оказыватся, что в объеме менее одного кубического
миллиметра нужно рассеять 10 -г- 30 Вт тепловой мощности. Выход
может быть найден при использовании открытых колебательных си-
систем, в связи с чем вызывает интерес автоэмиссионный оротрон со
скрещенными полями.
Оротрон (см. лекцию 15 первого тома) представляет собой генера-
генератор высокочастотных колебаний. Существенной его частью является
открытый резонатор, образованный вогнутым и плоским зеркалами,
расстояние между которыми значительно превышает длину волны.
Между зеркалами могут существовать высокодобротные колебания.
Вблизи плоского зеркала, находится периодическая структура на ди-
диэлектрической опоре, само плоское зеркало является катодной плоско-
плоскостью, на которой размещается решетка или неупорядоченный массив
34*

532
Лекция 8 B3)
/о, А/мм
КПД=26,0%,
КПД=20,9%
0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 /, ГГц
Рис. 8.22. а — схема автоэмиссионного оротрона: 1 — автоэмиссионный катод,
2 — замедляющая система, 3 — открытый резонатор; б— кривые постоянного
КПД и постоянного замедления автоэмиссионного оротрона на плоскости
Jof
автоэлектронных эмиттеров (рис. 8.22 а). Геометрия области взаимо-
взаимодействия и распределение статических полей совершенно такие же,
как у только что рассмотренного усилителя со скрещенными полями.
Уравнения движения и возбуждения также остаются прежними, но
распределение по длине амплитуды ВЧ-поля, которое в усилителе яв-
являлось искомой функцией, теперь определяется геометрией резонато-
резонатора. Электроны взаимодействуют с синхронной пространственной гар-
гармоникой электрического поля замедляющей системы. Распределение
поля в оротроне оказывается не очень оптимальным, поскольку в конце
прибора, где группировка пучка максимальна, амплитуда поля оказы-
оказывается небольшой. Основной характеристикой оротрона является КПД.
Известно, что высокие значения КПД в обычном оротроне достигают-
достигаются в режиме очень большой мощности (порядка десятков киловатт),
обеспечивающей высокий уровень группировки и взаимодействия пуч-
пучка даже при неоптимальном пространственном распределении поля.
В микроэлектронном оротроне такой режим, естественно, невозможен,
и значения КПД не поднимаются выше 20 -г- 25 %. На рис. 8.22 ? пред-
представлены результаты расчета [40] линий постоянного КПД в коорди-
координатах «линейная плотность тока с автокатода» и «частота генерации».
Важно отметить, что вплоть до частот порядка 40 ГГц требуемые зна-
значения линейной плотности тока оказываются вполне реальными.
Полученные результаты теоретических исследований автоэмисси-
автоэмиссионного оротрона свидетельствуют о перспективности использования
открытых резонаторов для конструирования приборов вакуумной ми-
микроэлектроники высокой и средней мощности миллиметрового диапа-
диапазона.
3. Лампа с поперечным взаимодействием — прошлое и бу-
будущее распределенного усилителя. Схема лампы с поперечным
взаимодействием появилась в конце 50-х гг. (см., например, [41]) как
реакция на те трудности, которые возникли при продвижении луче-
лучевых приборов О- и М-типа в коротковолновую часть СВЧ-диапазо-

Вакуумная микроэлектроника
533
Вход
Двумерная
периодическая
структура
Коллектор
Выход
Ускоряющий
электрод
Рис. 8.23. Схема лампы с поперечным взаимодействием
на. Связанное с этим продвижением уменьшение размеров приборов
предъявляло повышенные требования к формированию и фокусировке
достаточно протяженного и мощного электронного потока, удовлетво-
удовлетворить которые зачастую оказывалось невозможно. В качестве одного из
способов преодоления этих трудностей и было предложено использо-
использовать взаимодействие коротких пучков с полем волны в направлении,
перпендикулярном движению волны (а точнее — потоку мощности).
В этом случае широкий пучок проходит поперек двумерной замедля-
замедляющей системы, которая обладает замедлением в двух взаимно пер-
перпендикулярных направлениях. Привлекательной особенностью лампы
с поперечным взаимодействием явилась возможность применения рас-
распределенного катода и распределенного коллектора, которые разре-
разрешают как проблему формирования мощного электронного пучка, так
и проблему теплоотвода. При взгляде на схему лампы с поперечным
взаимодействием (рис. 8.23) сразу бросается в глаза ее сходство со
схемой распределенного усилителя — только в распределенном уси-
усилителе воздействие ВЧ-поля на пучок и воздействие пучка на поле
локализованы во времени (угол пролета пучка через полосковую линию
00 = (oj/vo)h близок к нулю), а в лампе с поперечным взаимодействием
пучок, как и в обычной ЛБВ, движется синхронно с замедленной в у-
направлении компонентой электромагнитной волны и взаимодействует
с ней достаточно длительное время. Хотя за счет более короткого пучка
это время (и эффективность взаимодействия) меньше, чем в обычной
ЛБВ, но возбужденные электронами поля также, как и в распределен-
распределенном усилителе, суммируются по ширине пучка в ж-направлении, так
что в этом направлении будет возрастать и амплитуда ВЧ-поля и, со-
соответственно, эффективность взаимодействия. Было показано, что по-
постоянная нарастания волны j в лампе с поперечным взаимодействием
пропорциональна постоянной распространения 7о эквивалентной ЛБВ
(с тем же самым током пучка) и в значительной степени определяется

534
Лекция 8 B3)
Выход
3
Вход
Рис. 8.24. Распределенный усилитель с «неоднородным энергетическим кол-
коллектором»: 1 — лезвийный эмиттер, 2 — управляющий электрод, 3— решетка
полосковой линии энергетического коллектора
свойствами замедляющей системы:
7 ~7о-
где (уф)х^у и (vrp)x^y — фазовая и групповая скорости замедляющей
системы соответственно в ж- и ^-направлениях.
Конечно, авторы лампы с поперечным взаимодействием никаких
распределенных усилителей не имели ввиду и шли от исследования вза-
взаимодействия с двумерной замедляющей системой, поэтому тем более
интересной оказывается та примечательная перекличка эпох, которую
можно наблюдать, например, в конструкции прибора, предложенной
в работе [42] (рис. 8.24). Входная часть описываемого прибора пред-
представляет собой входную секцию обычного распределенного усилите-
усилителя, образованную полосковой линией с лезвийными автоэмиттерами 1
и управляющим электродом 2. Далее промоделированный электрон-
электронный пучок поступает в выходное устройство, которое представляет
собой полосковую линию 3, в обкладках которой проделано N про-
прорезей, расположенных вдоль линии. В отличие от входной, эта линия
расположена параллельно плоскости электронного потока. Расстояние
между прорезями Lcy выбирается таким образом, чтобы время пролета
электронов пучка между соседними прорезями равнялось целому числу
периодов поля в линии
или
(8.34)
где Uс — потенциал выходного устройства, Xj и сп — длина и фазовая
скорость 2тг-волны, р = 1,2, ... По этой причине, пролетая последова-

Вакуумная микроэлектроника 535
тельно мимо прорезей линии, электроны «видят» одну и ту же фазу
поля. При этом создаются оптимальные условия для отбора энергии
у электронного пучка, что и дает авторам повод назвать это выходное
устройство «неоднородным энергетическим коллектором».
С другой стороны, описанная авторами модификация полосковой
линии представляет собой типичную двумерную замедляющую систе-
систему, у которой замедление в продольном направлении х обусловлено ди-
диэлектрической подложкой (впрочем, это замедление может равняться
единице), а замедление в поперечном направлении у связано с нали-
наличием периодической неоднородности, а именно, — прорезей, так что
подобная модификация полосковой линии представляет собой вариант
лестничной замедляющей системы. В этом случае условие (8.34) озна-
означает, что пучок движется синхронно с пространственной гармоникой
замедляющей системы, работающей на 2тг-виде, и схему на рис. 8.24
можно трактовать как схему лампы с поперечным взаимодействием
с предварительной модуляцией электронного потока.
Таким образом, в этом параграфе были рассмотрены некоторые
идеи СВЧ-электроники, которые могут быть освоены вакуумной ми-
микроэлектроникой. Конечно, выбор представленных примеров далеко не
полон. Тем не менее, даже приведенные результаты свидетельствуют
о перспективности исследований в этом направлении.
Гигатрон
Представляется перспективным использование матриц автоэмитте-
автоэмиттеров и в релятивистской электронике. Здесь интересен проект гигатрона
(см., например, [3]) — компактного усилителя с высоким КПД для
линейного ускорителя на встречных пучках в диапазоне частот от 10 до
30 ГГц, когда потребуется импульсная управляющая мощность порядка
100 МВт/м. Это — типичное устройство с модуляцией эмиссии: сгустки
электронов, создаваемые матричным катодом Спиндта, ускоряются
при прохождении высоковольтной диодной структуры и возбуждают
волноводную выходную структуру.
Можно выделить следующие положительные особенности гигатро-
гигатрона.
• В гигатроне используется ленточный электронный пучок
(рис. 8.25), что позволяет снизить дефокусирующее действие простран-
пространственного заряда и увеличить предельно допустимый ток, для чего
нужно просто увеличить ширину пучка. Действительно, понижение
потенциала под действием пространственного заряда приводит
к ограничению тока электронного пучка. При этом появляется разброс
времени пролета сгустков в области диода. В ленточном пучке
эффект ограничения тока при данном токе пучка ослаблен в а/Ь
раз, где а и b — размеры катода (в конкретном случае проекта а х
х b = 14 х 1см2). В случае цилиндрического пучка необходимость
получения большого тока требует, чтобы поперечные размеры пучка
были сравнимы с длиной волны на высоких частотах, что затрудняет
создание эффективного выходного устройства. Для ленточного

536
Лекция 8 B3)
пучка эта проблема снимается использованием волновода со щелью
связи с пучком: высота пучка может быть сделана небольшой; если
же мощность необходимо увеличить, то можно сделать шире все
устройство.
• Использование волноводных элементов связи наряду с указанной
выше «совместимостью» с ленточным электронным потоком, влечет за
собой и известный недостаток:
имеется запаздывание при об-
образовании электронных сгустков
вдоль волновода; это может при-
привести в широком электронном
пучке к тому, что часть пучка
ускоряется, а часть тормозится.
Чтобы избежать этого, пучок мо-
модулируют так, что его фронт об-
образует угол с направлением дви-
движения электронов (см. рис. 8.25).
Рис. 8.25. Ленточный электронный
пучок, пересекающий элемент связи
с бегущей волной
В простейшем случае условие
того, что пучок движется в бегу-
бегущей волне выходного элемента с постоянной фазой по всей своей ши-
ширине, имеет вид
где Ре = ve/c и Рф = Уф/с — нормированные на скорость света скорость
электрона и фазовая скорость волны.
Как пишут авторы [43], в этом случае «пучок занимается серфингом
на бегущей волне». Однако речь идет о релятивистских пучках, поэтому
существенными оказываются высокочастотные магнитные поля в вол-
волноводе, которые заставляют наклониться фронт пучка на некоторый
угол
[??, (8.35)
Рис. 8.26. Другая геометрия системы «ленточный электронный пучок-
выходной элемент связи»; выходной элемент наклонен, чтобы использовать
эффект воздействия магнитного ВЧ-поля на электронный пучок

Вакуумная микроэлектроника
537
Выходная
мощность
Рис. 8.27. Возможные конструкции выходных элементов связи в гигатроне
где напряженности магнитного и электрического бегущих полей свя-
связаны формулой В = Е/(/Зфс), е, т — заряд и масса покоя электрона,
Vo — ускоряющее напряжение пучка. Для оценки угла ф используем тот
факт, что для эффективного энергообмена необходимо, чтобы Eh ~ Vo,
где h — ширина щели. Тогда
qE
$.36)
Авторы работы [43] показали, что углы наклона в и ф почти оди-
одинаковы, поэтому для сохранения постоянной фазы можно наклонить
выходной элемент по отношению к оси пучка, а не сам пучок (рис. 8.26).
Напомним, что такой же подход использовался в клистроне бегущей
волны для компенсации «фазовых уходов».
Некоторые возможные конструкции выходных элементов связи
пучка различной конфигурации приведены на рис. 8.27.
• Наиболее важным элементом конструкции гигатрона является
решетка из автоэмиссионных катодов (они способны эмиттировать
электронный поток с плотностью 100 А/см2 в импульсном и 1 А/см2
Параметры проектируемого гигатрона
Таблица 8.5
Частота, / 18 ГГц
Максимальная ВЧ-мощность, Р 10 МВт
Коэффициент усиления по мощности, G 27 дБ
КПД, ц 74%
Ускоряющее напряжение, Vo 200 кВ
Ток пучка, /о 390 А
Размеры катода, а х b 14 х 1 см2
Волноводный элемент связи, ~g x h 1,1 х 4 см2
Ширина и высота щели, /г, g 0,2, 0,34 см
Скорость электронного потока, /Зе = ve/c 0,7
Фазовая скорость, /Зф = Уф/с 1,37
Угол наклона ленточного пучка, в 27°
Угол наклона за счет магнитного ВЧ-поля, ф 22°
Максимальная напряженность поля, Eq 125 МВ/м

538
Лекция 8 B3)
в непрерывных режимах), размещенных в модулирующем волноводе.
Важно, что последний представляет собой цепочку из связанных ре-
резонансных элементов. Такая конструкция нужна потому, что эмиттер-
ная решетка вносит в модулирующий волновод большую реактивную
нагрузку. Предполагается, что такой прибор на частоте 18 ГГц будет
обеспечивать коэффициент усиления по мощности 27 дБ с ожидаемой
выходной мощностью 10МВт и КПД, равным 74%.
Предполагаемые параметры проектируемого гигатрона приведены
в табл. 8.5.
О некоторых других применениях вакуумной
микроэлектроники. Туннельная микроскопия
В этом разделе, следуя книге [19, лекции 10 и 12], кратко коснемся
трех областей практического применения вакуумной микроэлектрони-
микроэлектроники, в которых в настоящее время достигнут существенный прогресс.
Первая из областей — это туннельная микроскопия. Так в 1981 г.
сотрудниками исследовательской лаборатории фирмы IBM в Цюрихе
Гордом Биннингом и Генрихом Рорером был создан уникальный фи-
физический прибор — сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Это
событие оказало столь большое и быстрое воздействие на развитие
физики, что уже в 1986 г. авторам СТМ была присуждена Нобелевская
премия.
Работа СТМ основана на эффекте туннелирования электронов
сквозь узкий потенциальный барьер между металлической поверхно-
поверхностью и зондом, которым служит тонкое острие. Энергетическая диа-
диаграмма туннельного перехода для системы металл-диэлектрик-металл
показана на рис. 8.28. Толщина
диэлектрика определяет шири-
ширину потенциального барьера, в то
время как его высота и форма
определяются величинами работ
выхода Ф1 и Ф2 и разностью по-
потенциалов V между металлами.
В СТМ (рис. 8.29) один из
металлов заменяется металличе-
металлическим острием,которое закрепля-
закрепляется на ж-, у- и ^-позиционерах
(в месте жесткого соединения
трех пьезодвигателей). Острие
подводится к образцу с помощью
грубого позиционера для получе-
получения туннельного тока. Это проис-
происходит при расстоянии S ~ 10 А, когда волновые функции электронов
ближайших друг к другу атомов острия и образца перекрываются. При
разности потенциалов V <С Ф плотность туннельного тока определяет-
определяется формулой
2S), (8.37)
Ф1
Ф2§рB)
Рис. 8.28. Энергетическая диаграм-
диаграмма туннельного перехода в системе
металл—диэлектрик—металл

Вакуумная микроэлектроника
539
Рис. 8.29. Устройство сканирующего тунельного микроскопа: 1 — зонд, 2 —
изучаемый объект, 3 — дисплей, 4 — система обратной связи
где S — эффективное туннельное расстояние в А, ко — постоянная
затухания плотности волновых функций в туннельном зазоре (ко =
= у/2?тгФ//г2), где Ф = (Ф1 + Фг)/2 — высота эффективного барье-
барьера. Для типичных величин работы выхода Ф ~ 4,5эВ, ко ~ 1,1 А.
Характерная величина туннельного тока составляет 10~9 А, при V ~
~ 0,01 В и S ~ 10 А. Из соотношения (8.37) следует, что при изменении
расстояния на 1 Авеличина туннельного тока изменяется на порядок.
Для сканирования исследуемой поверхности используются преци-
прецизионные пьезоэлектрические манипуляторы. Из-за пьезоэффекта из-
изменением напряжения на электродах на 0,1В можно удлиннить стер-
стержень на 0,1 нм, т. е. на величину поперечника атома. Слой металла на
поверхности манипулятора достаточно тонок, чтобы, растягиваясь, не
препятствовать этому перемещению.
Конструкция из трех стержней-манипуляторов, соединенных в од-
одной точке перпендикулярно друг другу (см. рис. 8.29), может передви-
передвигать зонд, помещенный в месте соединения, во всех пространственных
направлениях. Три управляющих напряжения их, иу и uz задают
координаты смещения зонда ж, у и z. Изменяющиеся напряжения их
и иу перемещают зонд по поверхности исследуемого предмета, ска-
сканируя ее по параллельным строкам, отстоящим друг от друга на за-
заданное расстояние (как луч на телевизионном экране). Напряжение
uz двигает зонд вверх и вниз. Если uz поддерживать неизменным,
то при сканировании поверхность из-за неровностей будет удаляться
или приближаться к зонду. Это неудобно для регистрирующей систе-
системы — сигнал сильно меняется. Кроме того, при больших неровностях
зонд может сталкиваться с ними. Чтобы избежать этого, в прибор
вводят обратную связь, которая заставляет зонд двигаться вверх и вниз
в соответствии с рельефом поверхности. Обратная связь представляет
собой сложную и чувствительную электронную схему, улавливающую
изменение туннельного тока и изменяющую напряжение uz, приложен-
приложенное к вертикальному манипулятору. Пьезоэлектрический манипулятор
перемещает зонд так, чтобы туннельный ток оставался постоянным

540 Лекция 8 B3)
(скажем, / = const с точностью, например, 2%). Это возможно лишь
при сохранении неизменным расстояния между зондом и поверхностью
(поддерживать постоянной величину S можно с точностью 0,01 А).
Этот режим работы называется режимом постоянного тока. Таким
образом, обратная связь не дает зонду ни отойти от поверхности, ни
столкнуться с ней. В результате острие движется по траектории, по-
повторяющей рельеф сканируемой зондом поверхности. Поскольку на-
напряжение uz пропорционально высоте места поверхности, над кото-
которым в данный момент находится острие, оно служит удобной мерой
рельефа. Информация о рельефе поверхности записывается в память
ЭВМ и после обработки (фильтрации шумовых и паразитных сигналов)
выводится на дисплей в виде топографической карты поверхности.
Обычно карта полутоновая, т.е. на ней высота рельефа обозначается
интенсивностью раскраски.
В настоящее время с помощью сканирующих туннельных микроско-
микроскопов получены детальные изображения поверхностей многих кристал-
кристаллических и полимерных материалов с атомным разрешением. Скани-
Сканирующий туннельный микроскоп имеет беспрецедентное увеличение —
108! Важность СТМ для вакуумной микроэлектроники очевидна: без
него не разглядеть то, что создается х).
Вторая область — использование катодов с полевой эмиссией для
создания плоских дисплеев [20], которые могут использоваться и как
информационные транспаранты и в качестве телевизионных трубок,
и как дисплеи для портативных компьютеров.
Основная идея использования решеток автокатодов в дисплеях
представлена на рис. 8.30 [2,21]. На нем показано устройство одного
пикселя, формирующего цветное изображение на экране, покрытого
люминофором (обычно это ZnO). Каждый пиксел имеет квадратную
форму со стороной 250 мкм, так что на одном квадратном милли-
миллиметре умещается 16 элементов. Источниками электронов являются
решетки полевых эмиттеров лезвийной формы с плотностью около
106 эмиттеров/см2. На пиксел приходится три управляющих электро-
электрода, выполненных в виде полос шириной 40 мкм, по одному на красный,
зеленый и голубой цвета. Люминофор соответствующего цвета нанесен
на стеклянную пластину над каждым из электродов. Подавая различ-
г) Поскольку манипуляторы можно перемещать с точностью, соответ-
соответствующей атомным размерам, острие СТМ можно использовать как инстру-
инструмент для работы в нанометровом диапазоне. Острием толщиной в один атом
можно точно попасть в выбранное место молекулы и разрезать ее на части;
можно «подцепить» какой-нибудь атом и перенести его в нужное место.
В лаборатории фирмы IBM ученым удалось сделать надписи, выложенные из
цепочек атомов. Надпись, символизирующая эмблему фирмы, была состав-
составлена из отдельных атомов ксенона на поверхности крисстала Ni. Она собрана
острием тунельного микроскопа из хаотически разбросанных на поверхности
атомов ксенона, прилипших к Ni. Чтобы из-за теплового движения атомы не
разбегались по поверхности, опыт проводился при очень низкой температуре
—269 °С. Конечно, это — реклама, но и демонстрация возможностей СТМ.

Вакуумная микроэлектроника
541
3
5
Рис. 8.30. Устройство пикселя изображения плоского дисплея с полевой эмис-
эмиссией: 1 — горизонтальная адресная шина; 2 — вертикальная адресная шина;
3 — диэлектрическая подложка; 4 — изолирующий диэлектрик; 5 — управ-
управляющие электроды; 6 — столбики, поддерживающие стеклянную пластину;
7 — стеклянная пластина; 8 — полоски красного, зеленого и голубого люми-
люминофоров
ные напряжения на электроды, можно независимо менять интенсив-
интенсивность основных цветов, создавая полную цветовую гамму.
Пиксельные элементы размещены в прямоугольной матрице, так
что катоды в каждой строке образуют единую (горизонтальную) ад-
адресную линию, а управляющие электроды — три вертикальные линии
на каждый столбец. Таким образом, каждый пиксел может быть адре-
адресован индивидуально.
Интерес к дисплеям с полевой эмиссией резко возрос после того, как
специалистами из французской исследовательской лаборатории LETI
(г. Гренобль) были продемонстрированы действующие монохромные
и цветные дисплеи с размером 15 см по диагонали для телевидения и мо-
мониторов компьютеров. Основные достоинства, которые обеспечивает
микровакуумная технология, —
высокая яркость изображения,
низкое рабочее напряжение,
полноцветность и чистота цвета,
малая потребляемая мощность,
быстрый отклик (менее 1 мкс).
Еще одной областью использо-
использования катодов с полевой эмиссией
является создание микросенсоров,
которые могут работать как датчи-
датчики давления, акселерометры, изме-
измерители микроперемещений, элементы микрофонов [44,45]. Схематиче-
Схематически такое устройство изображено на рис. 8.31. В микросенсоре коллек-
Рис. 8.31. Микросенсор на решет-
решетках автоэмиссионных катодов

542 Лекция 8 B3)
тор решетки микрокатодов представляет собой упругую проводящую
пластину, смещение которой зависит от внешнего давления. Поскольку
напряженность поля на острие зависит от расстояния до коллектора,
его смещение будет изменять ток эмиссии. Известны эксперименталь-
экспериментальные данные для микросенсора с полевыми микрокатодами, изготовлен-
изготовленными на основе кремниевой технологии. В режиме постоянного тока
(при изменении прогиба изменяется напряжение, чтобы не менялся
ток) измеренная чувствительность при общем токе 1 мкА составляла
6,6В/мкм. В режиме постоянного напряжения (при смещении пласти-
пластины регистрируется изменение тока) при изменении смещения от 0,3 до
2 мкм ток изменялся на два порядка (рабочее напряжение было равно
4000 В).
А что еще можно придумать в вакуумной микроэлектронике?
Первое, что приходит в голову при попытке ответить на постав-
поставленный вопрос, это идея о создании активной нелинейной вакуумной
среды с автоэмиссионными вкраплениями г).
До создания современных автоэмиссионных катодов подобная идея
не представлялась реализуемой. В настоящее время, когда созданы ми-
микроминиатюрные активные элементы, есть все основания для разработ-
разработки по крайней мере теории и проведения аналогового моделирования
такой среды. Моделью такой среды может служить цепь с активны-
активными вакуумными элементами, в которых ток и поле связаны законом
Фаулера-Нордгейма. Подобный способ создания сред-моделей широко
используется в радиофизике (см., например, [46]). Простейший вариант
активной среды-модели — цепочка (или решетка) из связанных авто-
автогенераторов.
Автогенератор на микротриоде можно построить, вводя положи-
положительную обратную связь в усилитель (подобно обычному ламповому ге-
генератору). Однако из-за отсутствия насыщения нелинейной характери-
характеристики автоколебания в таком генераторе будут бесконечно нарастать,
приводя при больших значениях токов к разрушению катода. Чтобы
скомпенсировать рост сигнала, нужно в цепь обратной связи ввести
диссипативный элемент с нелинейной характеристикой, при которой
возможно возникновение стационарных колебаний.
В работах [47-49] показано теоретически и в аналоговом радиотех-
радиотехническом эксперименте, что такой автогенератор представляет собой
активный нелинейный элемент со сложным поведением, включая ре-
режимы хаотических колебаний. Поэтому на его основе можно построить
среды-модели, например, цепочки и решетки генераторов. Такие среды
можно использовать для обработки изображений и решения других
задач, связанных с искусственным интеллектом и обработкой больших
объемов информации на принципах нейродинамики.
х) Один из авторов не раз обсуждал эту идею с Д.И. Биленко (Саратовский
универистет), а позднее слышал ее от Н.А. Арманда (ИРЭРАН, Москва).
По-видимому, впервые, правда, в весьма туманной форме, ее высказал все
тот же Кэн Шоулдерс в 1965 г. [4].

Вакуумная микроэлектроника 543
Список литературы
1. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука,
1972.
2. Brodie L, Spindt С. A. Vacuum microelectronics // Advances in
electronics and electron physics. Academic Press, 1992. V. 83. P. 2.
3. Исаев В.А., Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Электронные СВЧ-
приборы с электростатическим управлением и модуляцией эмис-
эмиссии II Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, № 11. С. 2241.
4. Shoulders K.R. Microelectronics using electron beam activated
machining techniques /Ed. F.L. Alt // Advances in Computers. 1961.
V. 2. P. 135.
5. Шоулдерс К. Комплексные системы на микроминиатюрных элек-
электровакуумных приборах. — Микроэлектроника и большие систе-
системы. - М.: Мир, 1967. С. 119
6. Голантп М.Б., Бобровский Ю.Л. Генераторы СВЧ малой мощности.
Вопросы оптимизации параметров. — М.: Сов. радио, 1977.
7. Голантп М.Б., Бобровский Ю.Л. Минитроны. — М.: Сов. радио,
1983.
8. Руска Э. Развитие электронного микроскопа и электронной микро-
микроскопии // УФН. 1988. Т. 154, № 2. С. 243.
9. Биннинг Г., Рорер Г. Сканирующая туннельная микроскопия — от
рождения к юности // УФН. 1988. Т. 154, № 2. С. 261.
10. Блинов Л.М. Ленгмюровские пленки // УФН. 1988. Т. 155, № 3.
С. 261.
11. Бондаренко Б.В., Шешин Е.П., Щука А.А. Приборы и устройства
электронной техники на основе автокатодов // Зарубежная элек-
электронная техника. 1979. № 2. С. 3.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивист-
Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1989. 768с.
13. Fowler R.H., Nordheim L.W. Electron emission in intensive fields //
Proc. R. Soc. London. A. 1928. V. 119. P. 173.
14. Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная
спектроскопия. — М.: Наука, 1990. 320с.
15. Spindt С.A., Brodie L, Humphrey L., Westerberg E.R. Physical
properties of thin-film field emission cathodes with molybdenum
cones // Journal of Applied Physics. 1976. V. 47, No 12. P. 5248.
16. Bozler CO., Harris СТ., Rabe S., Rathman D., Goodnue W.D.,
Hollis M.A., Smith U.I. Arrays of gated field-emitter cones having
0,32 mm tip-topic spacings // Sixth Int. Vacuum Microelectronics Conf.
Newport, USA, July 12-15, 1993. Technical Digest. P. 160.

544 Лекция 8 B3)
17. Дюжев Н.А., Козлов А.И., Махов В.Н., Серовайский В.М. Быстро-
Быстродействие микроэлектронных триодных структур с автоэлектрон-
автоэлектронными катодами // Микроэлектроника. 1990. Т. 19, № 5. С. 478.
18. Чесноков В. В. Электронные лампы с автоэлектронными катода-
катодами II Электронная техника. Сер. Приемно-усилительные лампы.
1968. № 4. С. 3.
19. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвы-
сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во
ГосУНЦ «Колледж», 1996.
20. Grand-Clement J.-L. Technology, application and market analysis for
field-emitter displays (FEDs) // Sixth Int. Vacuum Microelectronics
Conf. Newport. USA. July 12-15. 1993. Technical Digest. P. 3.
21. Spindt C.A., Holland C.E., Brodie L, Mooney J.B., Westerberg E.R.
Field emitter arrays applied to vacuum fluoresent display // IEEE
Trans, on ED. 1989. V. ED-38, No 2. P. 225.
22. Percival W.S. Improvements in and relating to electron discharge
devices // British Patent No 464977, 1935.
23. Ginston E.L., Hewlett W.R., Jasberg J.H., Noe J.D. Distributed
amplification // Proc. IRE. 1948. V. 36. P. 956.
24. Calame J.P., Gray H.F. and Shaw J.L. Analysis and design of
microwave amplifiers employing fielf-emitter arrays // J. Appl. Phys.
1993. V. 73, No 3. P. 1485.
25. Gavrilov M.V., Rozhnev A.G., Sokolov D.V., Trubetskov D.I. The
Theory of Vacuum Microelectronic Distributed Microwave Devices
(Amplifier, Multifier, Oscillator) // Technical Digest IVMC'91.
Nagachama, 1991. P. 148.
26. Ковалев И. С Основы теории и расчета устройств СВЧ. Радиовол-
Радиоволноводы и резонансные системы. — Минск: Наука и техника, 1972.
27. Волгов В.А. Детали и узлы радиоэлектронной аппаратуры. — М.:
Энергия, 1977.
28. Ganguly А.К., Phillips P.M., Gray H.F. Electromagnetic properties of
a field emission distributed amplifier // J. Appl. Phys. 1990. V. 61,
No 11. P. 1245.
29. McGruer N.E. at all Prospects for a ITIIz Vacuum Microelectronic
Microstrip Amplifier // IEEE Trans, on ED. 1991. V. 38, No 3. P. 666.
30. Fontana J.R., Shaw H.J. Harmonic generation at microwave
frequencies using field-emission cathodes // Proc. IRE. 1958. V. 46.
P. 1424.
31. Трубецков Д. И., Гаврилов М. В., Пищик Л. А. и др. Приборы ва-
вакуумной СВЧ-электроники с распределенным взаимодействием //
Моделирование и проектирование приборов и систем микро- и на-
ноэлектроники: Межвуз. сб. научн. тр. — М.: МГИРЭТ, 1994. С. 46-
59.

Вакуумная микроэлектроника 545
32. Solntsev V.A. // Journal Vac. Sci. Technol. 1993. V. 11, No 2. P. 484.
33. Solntsev V.A. The analysis of the amplification and efficiency in
polytron and diode with medium transit angles and decelerating static
field II Eighth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Portland, USA, July
30 — August 3, 1995. Technical Digest. P. 434-437.
34. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов.
радио,1959.
35. Yokoo К. and Ishichara T. Field-emission monotron for THz emission //
Eighth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Portland, USA, July 30 —
August 3, 1995. Technical Digest, P. 123-127.
36. Солнцев В.А., Галдецкий А.В., Клеев А.И. Приборы вакуумной
СВЧ микроэлектроники со средним углом пролета // Лекции по
СВЧ электронике и радиофизике. 10-я школа-семинар. Книга 1A).
Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. С. 76.
37. Sinitsyn N.I., Culyaev Yu. V., Golant M.B., Nefyodov I.S. et al. Analysis
of the possibility of performing microelectronic microwave vacuum
devices with extended interaction on field emitter arrays // J. Vac. Sci.
Technol. 1993. V. 11, No 2. P. .477
38. Gulyaev Yu.V., Sinitsyn N.I. // IEEE Trans, on ED. 1989. V. ED-36,
No 11. P. 2742.
39. Devyatkov N.D. et al. Miniaturisation of electrovacuum microwave and
radiofrequency lowpower devices // Proc. of the Second Int. Conf. on
Vacuum Microelectronics, Bath, USA, July, 1989. P. 201-206.
40. Rozhnev A.G., Sokolov D. V., Trubetskov D.I. Crossed-field orotron with
field emission cathodes arrays // Seventh Int. Vacuum Microelectronics
Conf., Grenoble, France, July 3-7, 1994. P. 274-277.
41. Шевчик B.H., Трубецков Д. И. Аналитические методы расчета
в электронике СВЧ. — М.: Сов.радио, 1970.
42. Gulaev Yu.V., Nefedov I.S., Sinitsyn N.I.. Torgashov G.V.,
Zakharchenko Yu.F. and Zhbanov A.I. Distibuted microwave amplifier
on field emiUer arrays with nonhomogeneous energy collector //
Seventh Int. Vacuum Microelectronics Conf. Grenoble, France, July
3-7, 1994. P. 84.
43. Bicek H.M., Mclnttyre P.M., Raparia D., Swenson C.A. Gigatron //
Trans. Plasma Sci. 1988. V. 16, No 2. P. 258.
44. Busta H.H., Pogermuller J.E., Zimmermen B.J. The field emitter
triode as pressure/displasement sensor // Sixth Int. Vacuum
Microelectronics Conf. Newport. USA. July 12-15. 1993. Technical
Digest. P. 92.
45. Lee H.-C, Huang R.-S. A theoretical study on field emission array for
microsensors // IEEE Trans, on ED. 1992. V. ED-38, No 2. P. 313.
46. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний
и волн.. — М.: Наука, 1984 (первое издание). 432с; 1992 (второе
издание). 456 с; М., Ижевск: РХД, 2000 (третье издание). 560 с.
35 Трубецков, Храмов

546 Лекция 8 B3)
47. Пономаренко В.И., Трубецков Д. И. Сложная динамика радиотех-
радиотехнической модели — аналога автогенератора на вакуумном микро-
микротриоде // Доклады РАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 602.
48. Пономаренко В.И., Трубецков Д. И. Сложная динамика автогене-
автогенератора на вакуумном микротриоде: вычислительный и аналоговый
эксперименты на радиотехнической модели // Изв. вузов. Приклад-
Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 6. С. 56.
49. Rozhnev A.G., Sokolov D.V., Trubetskov D.I., Han S.T., Kim J.I.,
Park G.S. Novel concepts of vacuum microelectronic microwave devices
with field emitter cathode arrays // Physics of Plasmas. 2002. V. 9,
No 9. P. 4020.

Лекция 9B4)
НЕЛИНЕЙНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ СВЧ С ПОЗИЦИЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ
(АВТОКОЛЕБАНИЯ, ХАОС И СТРУКТУРЫ)
Автоколебания — это незатухающие колебания,
поддерживаемые внешними источниками энер-
энергии в нелинейной диссипативной системе, вид
и свойства которых определяются самой системой
и не зависят от начальных условий (по крайней
мере в конечных пределах).
М.И. Рабинович. Автоколебания рас-
распределенных систем. Известия вузов.
Радиофизика. 1974. Т. 17. С. 477.
Возбуждение регулярных автоколебаний в рас-
распределенных системах можно трактовать как
возникновение из хаоса некоторой упорядоченной
пространственно-временной структуры.
П. С. Ланда. Автоколебания в распре-
распределенных системах. М.: Наука, 1983.
С. 7.
В радиотехнике и электронике известен целый
ряд приложений, где необходимы генераторы шу-
моподобных колебаний, в роли которых могут
выступать различные устройства, функциониру-
функционирующие в режиме динамического хаоса. Примера-
Примерами могут служить генераторы с запаздывающей
связью на лампе бегущей волны... и на лампе
обратной волны...
СП. Кузнецов. Динамический хаос.
М.: Физматлит, 2001. С. 19.
История исследований стохастических автоколебаний (динамическо-
(динамического хаоса) в СВЧ-приборах. Нестационарная теория лампы обратной
волны М-типа и ее результаты. Общие замечания об автоколебаниях
в системах «электронный поток-встречная (обратная) электромаг-
электромагнитная волна». Динамический хаос в нерелятивистских электронных
35*

548 Лекция 9 B4)
СВЧ-приборах. Шумотрон. Механизмы перехода к хаосу в реляти-
релятивистских электронно-волновых системах. Управление хаотическими
колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной элек-
электроники.
«Нелинейная динамика», «теория самоорганизации», «динамиче-
«динамический или детерминированный хаос», «синергетика» — эти термины
и подобные им все чаще и чаще встречаются на страницах естественно-
естественнонаучной и даже гуманитарной литературы. Решается и решено мно-
много конкретных задач в различных областях естествознания, но глав-
главным остаются фундаментальные исследования. Достаточно сказать,
что замаячил свет решения такой фундаментальной проблемы, как
связь динамических и статистических законов физики, которые ранее
противопоставлялись друг другу. Все большее и большее число иссле-
исследователей, а среди них все большее число математиков, включаются
в фундаментальные исследования в области нелинейной динамики. Во
многом именно их усилиями и работами нелинейная динамика выде-
выделилась в самостоятельное междисциплинарное научное направление
в науке. Доказывая ценность фундаментальной науки Леон М. Ли-
дерман — директор Национальной ускорительной лаборатории им.
Э. Ферми в Батавии (шт. Иллионис, США) и профессор физики Ко-
Колумбийского университета, писал следующее:
«Фундаментальная наука увлекает людей по разным причинам. Это
и непосредственное наслаждение, которое доставляет занятие наукой,
и осознание своего вклада в общечеловеческую культуру, и священное
чувство приобщения к великому наследию многих поколений ученых;
на этом поприще может удовлетворить свои честолюбивые стремления
тот, кто хочет обнаружить нечто, ранее неведомое. Но если расходы на
оплату такой деятельности высоки, то справедливо задать вопрос: «А
почему общество должно эту деятельность поддерживать?» [1].
Вопрос, на который был вынужден отвечать еще Больцман:
«Пусть замолкнет этот обычный вопрос, бросаемый навстречу вся-
всякому абстрактному стремлению: какая собственно в этом польза? Для
чего нужно, хотелось бы спросить, исключительное культивирование
жизни, направленное на получение практических выгод за счет того,
что единственно дает жизнь жизни, что ее делает ценной, — за счет
стремления к идеалам?» [2].
Ответ Лидермана на собственный вопрос прекрасен, но он не удо-
удовлетворяет, по крайней мере, требованиям ВАК, а главное — требова-
требованиям жизни:
«Самым важным представляется вклад фундаментальных наук
в нашу культуру. В то же время процесс превращения научных от-
открытий в общественное достояние здесь наиболее сложен и длителен.
Что касается непосредственных, прямых выгод, когда объект научных

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 549
исследований попадает в сферу практической деятельности, то их ре-
реализация занимает в среднем 30 лет» г).
Если вести отчет с работы Эдварда Н. Лоренца [3], в которой было
впервые обнаружено и описано явление динамического хаоса в простой
системе из трех дифференциальных уравнений, то пора говорить или,
по крайней мере, думать о приложениях нелинейной динамики.
И здесь радиофизика и сверхвысокочастотная электроника являют-
являются едва ли не единственными науками, которые всерьез задумываются
над вопросом: «Зачем все это нужно?» Именно в СВЧ-электронике ис-
исследования стохастических автоколебаний в распределенных активных
средах типа «электронный пучок-высокочастотное электромагнитное
поле» имеют непосредственное и важное прикладное значение, о кото-
котором мы упоминали во вводной первой лекции к нашему курсу (том I):
это и необходимость создания мощных генераторов широкополосного
сложного сигнала для применения в радиолокации, в системах нагрева
плазмы для установок управляемого термоядерного синтеза, и, нао-
наоборот, поиск методов управления сложной динамикой в электронных
потоках для создания генераторов и усилителей близкого к монохро-
монохроматическому излучению. В последнее время активно изучается воз-
возможность использования хаотических сигналов в целях коммуникации.
Благодаря хаотической природе сигналов, генерируемых динамически-
динамическими системами (в том числе и на сверхвысоких частотах), становится
возможным создание эффективных схем кодирования информации,
делающих весьма затруднительным перехват сообщений [197].
Цель данной лекции показать, как идеи и методы нелинейной ди-
динамики, как нового фундаментального направления в науке, позволя-
позволяют исследовать сложную динамику процессов взаимодействия потоков
заряженных частиц с высокочастотными электромагнитными полями.
Заметим, что в первом и во втором томах книги мы использовали
эти методы. В данной главе сделан акцент на истории вопроса и на
описании явлений хаоса в СВЧ-электронике.
История исследований стохастических автоколебаний
(динамического хаоса) в СВЧ-приборах
Первые автогенераторы стохастических СВЧ-колебаний появились
в «достохастический» период, когда еще никто не осмеливался говорить
о хаотических колебаниях в динамических системах. К ним, в первую
очередь, следует отнести шумовые генераторы, в которых электронный
поток движется в скрещенных статических электрическом и магнитном
полях (генераторы магнетронного типа) [4]. Попытки понять аномаль-
аномально высокий уровень шумов в таких приборах и устройствах приве-
привели к гипотезе об их турбулентном происхождении (этому во многом
способствовала известная аналогия между диокотронной неустойчиво-
г) Применительно к СВЧ-электронике это подтверждает Дж.М. Осепчук,
которому принадлежит фраза: «Для СВЧ-ламп жизнь начинается в 40 лет».

550 Лекция 9 B4)
стью и неустойчивостью Гельмгольца в гидродинамических течениях)
[4,5]. Практически в то же время В.Я. Кисловым и его сотрудниками
был предложен так называемый шумотрон — ЛБВ-генератор с за-
запаздывающей обратной связью [6]. Роль шумотрона как эксперимен-
экспериментальной модели, на которой проверялись все теоретические результа-
результаты, полученные при изучении стохастичности динамических систем,
трудно переоценить. Можно смело утверждать, что ЛБВ-генератор
с запаздывающей обратной свяью стал в нелинейной динамике наряду
с карсинотроном эталонной моделью распределенной автоколебатель-
автоколебательной системы.
После того как широкие круги физиков и радиофизиков позна-
познакомились с работами по стохастической неустойчивости нелинейных
колебаний и с работами, посвященными странным аттракторам в дина-
динамических системах с малым числом степеней свободы (см., например,
монографии [7-18], а также библиографический список к ним), дина-
динамический хаос стали искать и находить в самых различных системах,
в том числе и в СВЧ-генераторах г).
Так в Институте прикладной физики АН СССР (Горький) и Сара-
Саратовском государственном университете был выполнен цикл работ по
изучению последовательности бифуркаций, наблюдаемых в генерато-
генераторе с обратной волной (карсинотроне), по пути к режиму стохастиче-
стохастической автомодуляции (последний характеризуется СВЧ-излучением со
сплошным частотным спектром мощности) [19-24]. Было показано (те-
(теоретически и экспериментально), что характер переходов качественно
не меняется в различных вариантах исследуемой системы и определя-
определяется одним и тем же единственным безразмерным параметром — без-
безразмерной длиной лампы L (см. лекцию 13 первого тома) — аналогом
числа Рейнольдса для гидродинамических течений.
Важным и центральным моментом этих исследований стало созда-
создание нестационарной теории карсинотрона, и дальнейшее численное
решение полученных уравнений в частных производных на ЭВМ. Как
численные исследования, так и экспериментальные данные показали,
что переход «порядок-хаос» в системе «электронный поток-обратная
электромагнитная волна» соответствует возникновению неустойчиво-
неустойчивости по отношению к малым возмущениям начальных условий.
Предшественником нестационарной нелинейной теории лампы
обратной волны (как нерелятивистской, так и с учетом релятивистских
эффектов) стала нестационарная теория лампы обратной волны
магнетронного типа [25, 26]. Нестационарной теории карсинотрона
была посвящена отдельная лекция в первом томе (лекция 13).
В настоящей лекции в следующем параграфе подробней остановимся
на нестационарной теории ЛОВ М-типа.
г) Этот этап исследований можно назвать периодом поисков стохастиче-
стохастических колебаний в эксперименте (часто, численном, реже — натурном) и стран-
странных аттракторов в теории.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 551
После исследований простейшей нестационарной нелинейной тео-
теории ЛОВ М- и О-типа были проведены исследования различных ва-
вариантов как нерелятивистских, так и релятивистских карсинотронов
[27-29], в частности, карсинотронов с отражениями от концов замедля-
замедляющих систем [30,31], были обнаружены тонкие эффекты нелинейной
динамики нерелятивистской и релятивистской лампы обратной волны
О-типа [32,34,35], ЛОВ со связанными волноведущими структурами
[36,37], ЛОВ на аномальном эффекте Доплера [38].
В 1978 г. была опубликована работа Фейгенбаума [39,40] об одном из
типичных сценариев перехода от периодических автоколебаний к хао-
хаотическим: через каскад удвоений периода. Практически одновременно
с ней появились работы, в которых обсуждались и другие сценарии —
переход к хаосу через перемежаемость [41,42] и через разрушение ква-
квазипериодических движений [43]. В экспериментальных исследованиях,
в том числе и устройств сверхвысокочастотной электроники, работа
Фейгенбаума и последовавшие за ней теоретические исследования по-
породили период «коллекционирования бабочек» — множилось число
систем, в которых обнаруживались те или иные сценарии.
Период работ, направленных на поиск хаоса в самых различных
СВЧ-системах и сценариев его возникновения, сменило время, когда
были начаты планомерные исследования причин и механизмов возник-
возникновения хаотической динамики в распределенных автоколебательных
средах сверхвысокочастотной электроники [35,38,44-48]; был поднят
вопрос о связи хаотической динамики в пространственно распреде-
распределенных системах, содержащих электронные потоки, взаимодействую-
взаимодействующие с электромагнитными полями, и процессов образования и взаимо-
взаимодействия диссипативных структур, были начаты работы по приложе-
приложению обнаруженных нелинейных явлений в прикладных исследованиях
и разработках. Это уже современный этап исследования нелинейной
динамики в приборах и устройствах СВЧ-электроники.
Bo-многом, начало теоретических исследований нелинейных яв-
явлений в сверхвысокочастотных системах было положено созданием
нестационарной нелинейной теории лампы обратной волны М-типа.
Поэтому следующий параграф лекции посвящен изложению именно
этого вопроса.
Нестационарная теория лампы обратной волны М-типа
и ее результаты [25,26]
Лампа обратной волны магнетронного типа кратко рассматрива-
рассматривалась нами в последнем параграфе лекции 12 первого тома книги.
Напомним, что ЛОВМ представляет собой генератор СВЧ-излучения
манетронного типа, в котором источник электронов (катод) вынесен
из пространства взаимодействия. Схема конструкции ЛОВМ (плоский
вариант, который и рассматривается в этом параграфе) представлена
на рис. 9.1 и состоит из следующих основных элементов.
1. Замедляющая система, в которой может распространяться обрат-
обратная волна.

552
Лекция 9 B4)
Вывод ВЧ
энергии
У-
Уа
Электронный
поток
УО
Замедляющая система
/ Поглотитель
Коллектор
Катод " Отрицательный электрод
Рис. 9.1. Схематическое изображение плоской конструкции лампы обратной
волны магнетронного типа
2. Паралельный замедляющей системе электрод, находящийся
под отрицательным потенциалом относительно катода («холодный
катод»).
3. Электронная пушка, формирующая плоский электронный пучок,
который далее вводится в пространство взаимодействия.
4. Пространство взаимодействия, в котором создаются условия, при
которых электронный поток движется в скрещенных статических элек-
электрическом и магнитном полях со скоростью vx = vo = const.
5. Коллектор, собирающий электроны, неосевшие на замедляющую
систему, и расположенный около него согласованный поглотитель.
6. ВЧ-вывод энергии, соединяющий катодную часть замедляющей
системы с внешней нагрузкой.
В ЛОВМ электронный поток отдает ВЧ-полю свою потенциальную
энергию, смещаясь в среднем к замедляющей системе. Оптимальное
взаимодействие достигается при точном синхронизме электронов и вол-
волны. Нелинейные эффекты в ЛОВМ связаны, во-первых, с подъемом
пучка к замедляющей системе и увеличением вследствие этого «эффек-
«эффективного» сопротивления связи, и, во-вторых, с оседанием электронов
на замедляющую систему.
Теория лучевых приборов магнетронного типа строится на основе
дрейфового приближения, которое подробно обсуждалось в лекции 7
первого тома. Рассмотрим взаимодействие электронного потока с по-
полем только одной пространственной гармоники. В дрейфовом прибли-
приближении уравнения движения электронов в поле бегущей волны медленно
меняющейся амплитуды имеют вид [49]
dx
—- = v0 - Re
at
at
%ty-
Bo
exp
x
vo
(9.1)
x\t=t0 = 0, y\t=t0 = Уо,

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 553
где vo = Eq/Bq — невозмущенная скорость электронов; Eq и Bq — элек-
электрическое и магнитное статическое поля; частота ft выбрана из усло-
условия, что |/3sn(ft)| = Q/vo; to — время влета электрона в пространство
взаимодействия; C-s — комплексная медленно меняющаяся во времени
амплитуда высокочастотного поля, индекс « — s» означает, что взаимо-
взаимодействие происходит с обратной волной, E®_sny и E®_snx — функции,
характеризующие распределение ВЧ-поля по поперечной координате,
которые имеют вид (см., например, [49])
z^o _ • г cb\/3sn\y о _ р sb\/3sn\y ( v
где уо — координата по оси ординат (см. рис. 9.1), в которую инжек-
инжектируется плоский электронный поток в пространство взаимодействия.
Квазистатическое поле пространственного заряда в уравнениях (9.1)
не учитывается.
Введем следующие безразмерные величины:
г = HDt, To = UDto, q — т — то —
(9.3)
D =
Здесь [. . .] и {. . .} означают соответственно целую и дробную часть
числа, Ко — сопротивление связи замедляющей системы в точках
статической траектории электронов, взятое на частоте fi, ya — коор-
координата, в которой располагается замедляющая система в пространстве
взаимодействия. Параметр D будем считать малым (D ^С 1), что, как
правило, выполняется в реальных приборах.
При определении фазы электронов в виде (9.3) было учтено два
следующих обстоятельства. Во-первых, фаза определена с точностью
до слагаемого 2тг, ее всегда можно выбрать так, чтобы начальные фазы
электронов каждой группы находились в интервале от 0 до 2тг. Во-
вторых, при движении электронов их фазы не должны терпеть разры-
разрывов (скачков на 2тг), которые требовали бы специального рассмотрения
при решении уравнений движения.
Рассмотрим группу электронов, влетевших в пространство взаимо-
взаимодействия в течение одного периода ВЧ-поля и имеющих всевозмож-
всевозможные начальные фазы 0 < Хо < 2тг. В силу медленности изменения
амплитуды в пространстве и во времени (в рамках самосогласованной
задачи это означает малость параметра D) можно считать, что все

554 Лекция 9 B4)
эти электроны «видят» одну и ту же комплексную амплитуду поля
C-s. Она зависит от положения группы в целом, которое может быть
определено с точностью до величин порядка D и характеризуется без-
безразмерной координатой q. Следовательно, уравнения движения (9.1)
в новых переменных можно записать в виде
где
Г|,=о = Хо, Y\g=0 = Го- (9-6)
Уравнения (9.4)-(9.6) определяют движение электронов той группы,
которая в данный момент г характеризуется координатой </, т. е. имеет
время влета то = г — q.
Выразим через новые переменные уравнение возбуждения (см. лек-
лекция 1 первого тома, формула A.102)). Используя закон сохранения
заряда в виде pdxds = Io\dto\ = Io\dxo\/fl, с точностью до величин
порядка D находим
(9.7)
где и = vsrp/vo — безразмерная групповая скорость волны, Н — функ-
функция Хевисайда, учитывающая оседание электронов на замедляющую
систему.
Уравнения (9.4)—(9.7) представляют систему уравнений нелиней-
нелинейной нестационарной теории ЛОВ М-типа. Их необходимо дополнить
граничными условиями для уравнения возбуждения (9.7). В случае
ЛОВМ-генератора без отражений от концов замедляющей системы
граничное условие выражает отсутствие ВЧ-поля на коллекторном
конце системы
F\q=i = 0, (9.8)
где / — безразмерная длина лампы. Если рассматривается ЛОВМ-
усилитель или ЛОВМ-генератор, в который вводится внешнее поле на
коллекторном конце системы, то граничное условие принимает вид
F\q=i = /(т), (9.9)
где /(т) — комплексная амплитуда входного сигнала, которая может
быть произвольной медленно меняющейся функцией времени.
Обычно получившуюся систему уравнений рассматривают в более
простом виде. Для этого предполагают, что отрицательный электрод
удален на бесконечность Yq —У ос. Введем новые переменные Y' = Y —
— Ус? У а = Ya — Yo, тогда вместо гиперболических функций в урав-

Нелинейная динамика и С В Ч- электроника 555
нениях появятся экспоненты, и заменой Z = exp (У + jX) уравнения
(9.4), (9.5) и (9.7) сводятся к следующим:
где \Za\ = exp (VJ), граничные условия на коллекторном конце имеют
вид (9.7), а при q = 0 Z\q=o = exp (jXq). Уравнения (9.10), (9.11) поз-
позволяют сильно сократить затраты машинного времени при численном
решении задачи, так как они не содержат трансцендентных функций.
Далее предположим, что амплитуда F — действительная величина.
Это означает следующее.
1. Волне можно приписать определенную фазовую скорость, равную
скорости потока (синхронизм).
2. Входной сигнал ЛОВМ-усилителя должен иметь действительную
амплитуду.
3. Накладываются существенные ограничения на возможные на-
начальные состояния потока и поля; последнее ограничение не имеет
особого значения для ЛОВМ-генератора, поскольку нарастающее во
времени решение, которое получается из линейной теории (и которое
возможно использовать далее в качестве начального условия для нели-
нелинейных уравнений), удовлетворяет требованию синхронизма.
Введем новую величину Ф так, что
дФ дФ
дт dq
Ф|,=о = 0. (9.13)
Тогда из уравнения (9.10) следует, что
% = \Z?. (9.14)
Обозначим Z = ? + jrj и, отделяя в последнем уравнении действи-
действительные и мнимые части, получим
ft ?~ О ft ?}
-— =f +ту2, -71-= 0, ^|<s>=o=cosX0, т7|ф=о = sinX0.
аФ аФ
Решение этих уравнений имеет вид: rf = sin Xo, ? = sin Xq • ctg (Xq —
— sinXo), и уравнение возбуждения можно записать теперь следую-
следующим образом:

556
Лекция 9 B4)
где
1
7Г
sin Хо • ctg (Хо - Ф sin Хо) dX0
(9.16)
— функция Фейнштейна и Кайно [50] (рис. 9.2, на котором представлен
вид функции G для различных Ya). Нижний предел интегрирования
учитывает оседание электронов на замедляющую систему и опреде-
определяется так: XlD>) = 0 при Ф ^ A — ехр [—У^]), и Х].(Ф) есть решение
трансцендентного уравнения
sin
sin (Xi — Ф sin Xi)
= e
заключенное между 0 и тг, при Ф > A — ехр [—У^\). Отметим, что в от-
отличие от работы [50], здесь нами не учитывается оседание электронов
на отрицательный электрод, которое в общем-то несущественно. С дру-
другой
стороны, учет оседания электронов
на замедляющую систему являет-
является принципиально необходимым, по-
поскольку, как будет показано ниже,
без оседания невозможен устойчивый
стационарный режим генерации.
Теперь задача свелась к реше-
решению нелинейной системы уравнений
в частных производных (9.12) и (9.15)
с учетом выражения (9.16). Далее для
простоты ограничимся частным слу-
слу\\
чаем и = 1, т.е. \v
srp\
Ф
Рис. 9.2. График функции
вив уравнение
дим, что
<92Ф <92Ф
p
(9.12)
Подста-
(9.15), нахо-
2
дт"
С(Ф) =
(9.17)
Это квазилинейное дифференци-
дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболи-
гиперболического типа — уравнение Клейна-Гордона (см., например, [51]) V .
Уравнение (9.17) имеет два семейства характеристик (рис. 9.3):
r-q = Cu (9.18)
т + q = С2,
(9.19)
х) Как отмечено в [52], уравнение Клейна-Гордона описывает нелинейное
взаимодействие встречных волн. В рассматриваемом случае имеет место
встречное движение электронного потока и потока мощности обратной волны
в линии передачи.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
557
которые обладают четким физическим смыслом. Вдоль характери-
характеристик первого семейства распространяются возмущения электронного
потока, а вдоль характеристик второго семейства — возмущения поля.
Если бы взаимодействие между потоком и полем отсутствовало (оно
определяется членом С(Ф) в уравнении (9.17)), то возмущения распро-
распространялись бы в виде простых волн Д(т — q) и /г(т + q), т. е. состояние
потока и амплитуда поля не менялись бы на характеристиках (9.18) и
(9.19) соответственно.
Рассмотрим плоскость переменных (</,т) (см. рис. 9.3). Каждой
точке плоскости соответствует определенное состояние системы
поток-высокочастотное поле, характеризующееся величинами Ф(</,т)
и F(q,r) = Ч\ Ь тч—. Как ясно из сказанного выше, в отсутствие
взаимодействия состояние системы в точке А полностью определяет
состояние потока и поля на отрезках характеристик АВ и АС
соответственно. При наличии взаимодей-
взаимодействия электроны, движущиеся вдоль АВ,
будут наводить поле в области I, а поле на
АС будет группировать электроны, посту-
поступающие в область I. Следовательно, состо-
состояние системы в области I будет зависеть от
состояния в точке А. Аналогичным обра-
образом можно показать, что состояние потока
и поля в точке А определяется состояни-
состоянием системы в области П. С другой сторо-
стороны, состояния системы в областях III и IV
и точке А никак не связаны, поскольку ни
поток, ни поле не могут донести какое-ни-
какое-нибудь возмущение изШи1УвЛи наоборот
(в принятом приближении).
Граничные условия для уравнения
(9.17) ставятся так же, как и для системы
уравнений (9.12) и (9.15), однако на кол-
коллекторном конце они записываются непо-
непосредственно для функции Ф с использова-
использованием определения (9.12). Так для ЛОВМ-
генератора получаем
Амплитуда
поля v
W41
«ЭФ
Рис. 9.3. Пространственно
(9.20) временная диаграмма
Остановимся теперь на вопросе о «необратимости» процесса оседа-
оседания; это позволит уточнить область применимости рассматриваемой
теории.
Будем следить за группой электронов, влетевших в пространство
взаимодействия за период ВЧ-поля. Эти электроны «видят» амплитуду
поля F(t — то, г); можно определить также значение Ф в каждый

558
Лекция 9 B4)
w\(q)
Рис. 9.4. График функции
момент времени
W2(q+Aq)
q q+Aq
Рис. 9.5. К пояснению физи-
физического смысла соотношений
(9.22) и (9.24)
(9.21)
Если |Ф(т — го, т)\ растет с течением времени, то с началом оседания
будет расти и нижний предел в интеграле (9.16). Если затем Ф начнет
уменьшаться, то предел интегрирования не должен уменьшаться в силу
«необратимости» оседания из-за того, что электроны, попавшие на за-
замедляющую систему более не попадут в пространство взаимодействия.
А это значит, что интеграл (9.16) уже не будет только функцией Ф.
Это затруднение возникает и в стационарной задаче, причем оно легко
устраняется при численном решении уравнений [49], но приводит к зна-
значительному усложнению теории Фейнштейна и Кайно [50]. Поэтому
далее не рассматриваем подобных случаев и сформулируем следующее
условие применимости уравнения (9.17).
Уравнение (9.17) применимо, если после начала оседания функция
Ф не убывает вдоль характеристики (9.18). Это, в свою очередь, спра-
справедливо, если функция F не меняет знака нигде в области оседания.
Данное условие ограничивает возможности применения теории для
исследования возбуждения высших типов колебаний в ЛОВМ.
Рассмотрим теперь некоторые общие свойства уравнений (9.10) и
(9.11) нелинейной нестационарной теории ЛОВ М-типа безотноситель-
безотносительно к каким-либо граничным условиям.
1. Закон сохранения энергии. Умножим обе части уравнения
(9.17) на F и перепишем его в следующем виде:
где
7Г
= -" f In . '1П*°. v,dX0 (9.23)
тг J sin (Ao — Фят ло)
(рис. (9.4)).

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
559
Рис. 9.6. Фазовые портреты стационарных нелинейных волн огибающих в си-
системе с распределенными параметрами, отрезок которой представляет собой
модель ЛОВМ: а - V2 < 1; б— V2 > 1 (Уо; = 3,0)
Следует ожидать, что соотношение (9.22) выражает закон сохра-
сохранения энергии, поскольку величинам F2/2 и И/(Ф) можно, очевид-
очевидно, приписать смысл безразмерных средних плотностей энергии поля
и потенциальной энергии электронов соответственно. Покажем, что это
действительно так.
Рассмотрим участок пространства взаимодействия длиной Aq и ин-
интервал времени Аг (рис. 9.5). Пусть через сечение q за время Аг
в объем AV поступают электроны, суммарная потенциальная энергия
которых есть W2(q)Ar, и выходит из объема энергия поля wi(q)Ar г).
Через сечение q + Aq за время Aq поступает энергия поля wi(q +
+ Aq) Аг и выходят электроны с общей потенциальной энергией w\ (q +
+ А</)Ат. Составим теперь уравнение энергетического баланса в объ-
объеме AV. Приращение энергии, заключенной в объеме AV за время Аг,
равно
— (wi + w2)ArAq = [w2(q) + wi(q + Aq) - W\{q) — w2(</ + Aq)] .
or
Если теперь перейти к пределу при А</ —у 0, то получим
— (wi + w2) = -^-(wi - гу2). (9.24)
or oq
Соотношение (9.24) совпадает с соотношением (9.22), если положить
гУ1 = F2/2nw2 = \У(Ф).
х) Поскольку безразмерные скорости движения электронов и волны ампли-
амплитуды равны единице, то плотность энергии численно равна величине потока
энергии.

560
Лекция 9 B4)
2. Стационарные нелинейные волны. Будем искать решение
уравнения (9.17) в виде волн, распространяющихся с безразмерной
скоростью V, т. е. в виде
ф = ф(я-Ут) = Ф(-О, (9.25)
где — ? = q — Vr. Тогда уравнение (9.17) принимает вид:
+
Щ
l-V2
= 0.
Умножим обе части на d<&/'d^ и проинтегрируем. Будем иметь:
\У(Ф)
—^^- = const.
l-V2
(9.26)
(9.27)
Выражение (9.27) определяет семейство фазовых траекторий на
плоскости переменных (Ф,йФ/й?) (рис. 9.6). Если перейти в систему
отсчета, движущуюся со скоростью V, то при V2 < 1 потоки энергии,
переносимые пучком и полем, направлены в противоположные сторо-
стороны. В частности, при V = 0 уравнение (9.26) совпадает с уравнением,
описывающим стационарный ре-
режим ЛОВМ [50]. Если же V2 >
> 1, то в выбранной системе от-
отсчета потоки энергии направлены
в одну сторону, т. е. с точки зрения
наблюдателя, находящегося в этой
системе отсчета, поток взаимодей-
взаимодействует с прямой волной (что ана-
аналогично ЛБВ М-типа). Указанные
случаи принципиально отличают-
отличаются, что находит свое выражение
в различии фазовых портретов (ср.
рис. 9.6 а и рис. 9.6 6). При V2 >
> 1 начало координат является осо-
особой точкой типа центра. Вблизи нее
фазовые траектории представляют
собой эллипсы. Замкнутые фазовые
траектории соответствуют перио-
периодической зависимости Ф и с(Ф/'d? от
? (рис. 9.7 а). Траектории, которые
лежат в заштрихованных областях
фазовой плоскости, не имеют смыс-
смысла из-за «необратимости» оседания.
При V > 1 начало координат ста-
становится особой точкой типа седла.
Замкнутых траекторий и периоди-
периодических стационарных волн не существует: решение больше похоже на
ударную волну (рис. 9.7 6). Сепаратриссе А на рис. 9.7 б соответствует
решение, обращающееся в нуль при ? —у ос. До прохождения волны
электроны имеют координату У = 0 и неиспользованный запас по-
Рис. 9.7. Профили стационарных
нелинейных волн огибающих: а —
2 2
V2 <1;6-V2>1
=3,0)

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
561
0,0
1,0
2,0
Рис. 9.8. Распределения амплитуды поля по длине ЛОВМ, найденные путем
численного решения уравнения стационарной нелинейной теории (9.28) при
Уа = 3,0
тенциальной энергии. После прохождения волны все электроны ока-
оказываются осевшими на замедляющую систему. В теории нелинейных
волн подобные решения носят название стационарных волн [51]. Таким
образом, в неограниченной системе с распределенными параметрами,
отрезок которой представляет собой модель ЛОВМ, могут существо-
существовать стационарные волны, форма которых определяется их скоростью
и амплитудой.
3. Стационарные состояния ЛОВМ. Частным случаем рас-
рассмотренных стационарных волн являются стационарные состояния
ЛОВМ. Если функции F и Ф не зависят от времени, то уравнение (9.17)
принимает вид
дЧ
dqz
<7(Ф)=0.
(9.28)
Положим Ф|<7=о = 0, F\q=$ = Fq = Or- . Эти условия определяют
°Я я=о
решение уравнения (9.28), которое будет удовлетворять граничным
условиям (9.8) и (9.18), если подобрать соответствующим образом ве-
величину Fq. Удобно обратить задачу: задать Fq и искать такую нор-
нормированную длину лампы, при которой выполняются нужные условия
на коллекторном конце [50]. Результаты такого решения представлены
на рис. 9.8. Применительно к ЛОВМ-генератору без отражений изоб-
изображенные кривые можно интерпретировать следующим образом. При
малых Fq нормированная длина близка к тг/2. С ростом Fq она вначале
уменьшается, что связано с подъемом электронов к замедляющей си-
системе, а затем оседание электронов на систему приводит к увеличению
нормированной длины. Точки перегиба кривых, показанных на рис. 9.8,
соответствуют началу оседания электронов на замедляющую систему.
4. Устойчивсть стационарных состояний ЛОВМ-генерато-
ра. Предположим, что в каждой точке пространства взаимодействия
величины Ф и F мало меняются за время пролета электронов и про-
прохождения волны через лампу. Тогда можно пренебречь второй произ-
36 Трубецков, Храмов

562 Лекция 9 B4)
водной по времени в уравнении (9.17), оставив первую производную по
времени в граничном условии (9.20).
В этом случае распределение Ф в пространстве описывается уравне-
уравнением (9.28), а изменение Ф и F во времени связано с тем, что
Ф 0
q
и определяется уравнением (9.20). Пусть нуль производной 4-=- дости-
достигается в точке q = qo(Fo) « /. Разлагая 4-=- в ряд вблизи точки </о5
получим
получим
где Ф/ = Ф\д=1 ~ Ф\д=Яо. И, наконец, используя условие (9.20), находим
dFo _ С(Ф0)(/ -
достаточно вели-
велиОтсюда видно, что стационарные состояния определяются условием
/ = qo(Fo), которое представляет собой уравнение относительно выход-
выходной амплитуды.
Соотношением (9.29) можно пользоваться только при анализе влия-
влияния возмущений вполне определенного вида и в непосредственной бли-
близости от стационарного состояния, соответствующего основному типу
колебаний, когда / « q(Fo) и когда значение -jrp-
ко, поскольку иначе нарушается условие медленности изменения Fq
за время пролета. Это соотношение позволяет частично исследовать
найденные выше состояния на устойчивость г).
Пусть Fq — амплитуда поля при q = 0 в некотором стационарном
состоянии (т.е. q(Fo) = /). Дадим небольшую добавку 5(т) к этой
величине, так чтобы Fq = Fq + S(r). Тогда для величины 5 получим
из соотношения (9.29) следующее уравнение:
\dFoJ
Как следует из уравнения (9.22), 4^- > 0, б?(Ф/) > 0 при Ф/ > 0,
так как рассматривается основной тип колебаний. Поэтому достаточ-
достаточное условие неустойчивости стационарного состояния Fq заключается
в том, что функция qo(Fo) должна быть убывающей в окрестности
точки Fq.
х) Мы говорим «частично», потому что устойчивость исследуется лишь
относительно возмущений определенного вида, что недостаточно, вообще
говоря, для заключения об устойчивости рассматриваемого состояния рас-
распределенной автоколебательной системы.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
563
4,0»
3,0
На рис. 9.9 показан график функции qo(Fo), из которого видно, что
в отсутствие оседания все состояния ЛОВМ-генератора (за исключе-
исключением тривиального случая F = О, Ф = 0) при </о < тг/2 неустойчивы.
Состояния с оседанием не удовлетворяют сформулированному условию
и, по-видимому, устойчивы. Тогда рис. 9.9 можно интерпретировать
следующим образом. При увеличении нормированной длины лампы
(например, путем увеличения тока
луча) генератор не возбуждается до
тех пор пока величина / не достиг-
достигнет значения тг/2. После этого раз-
развивается нестационарный процесс,
который завершается установлени-
установлением состояния Л с оседанием элек-
электронов на замедляющую систему
и выходной амплитудой Fa- Если
теперь увеличить или уменьшить
безразмерную длину I, то соответ-
соответственно увеличится или уменьшит-
уменьшится амплитуда выходного сигнала.
Уменьшая I, можно дойти до длины
I = 1в и амплитуды выходного сиг-
сигнала Fb, после чего колебания со-
сорвутся (т. е. в результате нестацио-
нестационарного процесса амплитуда умень-
уменьшится до нуля). Наличие описанно-
описанного явления гистерезиса подтвержде-
подтверждено экспериментально [25].
5. Численное моделирова-
моделирование нестационарных нелиней-
нелинейных явлений в ЛОВМ. Уравне-
1,0 FB Fa Fq
Рис. 9.9. Зависимость между ам-
амплитудой выходного сигнала в ста-
стационарном режиме и нормирован-
нормированной длиной ЛОВМ-генератора:
х — неустойчивые состояния,
• — состояния, удовлетворяющие
необходимому условию устойчиво-
устойчивости (по-видимому, устойчивые)
ние нестационарной нелинейной теории ЛОВМ (9.17) представляет
собой дифференциальное уравнение в частных производных. Его чис-
численное решение заключается в замене дифференциальных операторов
конечно-разностными. Значения функций F и Ф ищутся в узлах сетки
на плоскости переменных (</,т), имеющей шаг Aq по безразмерной
координате и Ат по безразмерному времени. Будем обозначать каждый
узел сетки двумя целыми числами т и п, а значения ^иФв этом узле
отмечать индексами тип. Была выбрана следующая разностная схе-
схема, аппроксимирующая уравнение (9.17) (или, точнее говоря, систему
уравнений (9.12) и (9.15) при и = 1):
фп+1 _
Аг
Aq
- Fit,
(9.31)
(9.32)
В случае ЛОВМ-генератора граничные условия записываются как
ф?=0, F&=0, Л = 0,1,2..., (9.33)
36*

564 Лекция 9 B4)
где (М + 1) — число узлов по пространственной координате q.
Начальные условия в предположении, что в линейном режиме на-
нарастающим является только основной тип колебаний, зададим в виде
Ф^ = Л8тЛ/1-Х2шАG, Ф^ = Asmy/l-x2{l-mbq), (9.34)
где х — корни уравнения [25]
у/\ — х2 cos лА - X2 • ^ + X sin д/l - х2 -1 = 0,
которое связывает нормированную длину лампы / = 2тгDN (N — число
замедленных длин волн на длине лампы) и величину %, определяющую
характер изменения поля во времени. При тг/2 < / < Зтг/2 нараста-
нарастающим является только один вид колебаний, т.е. только один корень
уравнения имеет положительную действительную часть (Rex > 0).
Анализ устойчивости разностной схемы (9.31) и (9.32) показывает,
что условие Куранта (см. лекцию 4 первого тома) в этом случае запи-
записывается в виде Аг < Aq.
Рассмотрим результаты расчета нестационарных нелинейных урав-
уравнений ЛОВМ для случая Y'a = 3,0, / = 1,8 с шагами Aq = 0,05 и Аг =
= 0,025. Расчет показал, что на протяжении всего процесса установле-
установления выполняется условие F > 0 и, следовательно, «необратимость» осе-
оседания не играет роли. Результаты расчета представлены на рис. 9.10 а.
Каждый «кадр» соответствует фиксированному моменту времени и по-
показывает зависимость амплитуды поля F и величины Ф, характеризу-
характеризующей состояние электронного потока, от координаты q. Обозначения
и масштаб ясны из рис. 9.10 б, который показывает установившееся ста-
стационарное состояние, найденное путем численного решения уравнения
стационарной теории (9.28) с использованием той же самой функции
)
Ту часть пространства взаимодействия, на протяжении которой
имеет место оседание электронов на замедляющую систему, будем на-
называть областью оседания. На границе этой области Ф = 0,95; функция
G имеет максимум С(Ф) ~ 4,2, поэтому взаимодействие наиболее эф-
эффективно. Для лучшего понимания развития процесса установления,
описанного ниже, удобно следить за перемещением граничной точки
области оседания. Положение этой точки в каждый момент времени
также показано на рис. 9.10.
На рис. 9.11 представлена пространственно-временная диаграмма,
построенная по результатам численного счета, на которой можно ви-
видеть траекторию максимума пространственного распределения ампли-
амплитуды поля и граничной точки области оседания.
Используя рисунки 9.10 и 9.11, рассмотрим качественные особенно-
особенности завершающего этапа процесса установления колебаний в ЛОВМ.
Время, г Описание происходящих процессов (см. рис. 9.10)
0,0 Заданы начальные условия (9.34). Амплитуда выходного сигнала
составляет 0,2. Распределение F и Ф в пространстве гармониче-
гармоническое.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
565
т =
3,25
5,75
6
6,25
6,5
6,75
7
7,25
7,5
8
V-—9,5
10
10,5
15,5
.---" 9
Рис. 9.10. Распределение амплитуды поля F (сплошная линия) и величины
Ф (штриховая линия) в пространстве взаимодействия на нелинейном этапе
процесса установления в различные моменты времени при У'а = 3, / = 1,8,
Ад = 0,05, Ат = 0,025 (а); стационарное состояние, полученное путем чис-
численного решения (9.28) при тех же параметрах (б). Жирной точкой показана
граница области оседания электронов на замедляющую систему
0 -г 4 Имеет место экспоненциальное нарастание поля во времени, как
предсказывает линейная теория. Распределение поля в простран-
пространстве не меняется (это видно хотя бы из того, что не меняется
положение максимума амплитуды, рис. 9.11).
5,75 Начали действовать нелинейные эффекты, связанные с подъемом
электронов к замедляющей системе. Максимум функции Ф со-
составляет примерно 0,8 и достигается вблизи коллекторного конца
лампы. Поле в этой области быстро растет вследствие увеличения
«эффективного сопротивления связи», поэтому максимум ампли-
амплитуды поля смещается к коллекторному концу. Распределение по-
поля в пространстве уже нельзя считать гармоническим.
6,0 Начинается оседание электронов на замедляющую систему вблизи
коллекторного конца лампы. Вследствие этого движение макси-
максимума амплитуды к коллекторному концу прекращается; он на-

566
Лекция 9 B4)
Рис. 9.11. Пространственно-вре-
Пространственно-временная диаграмма, построенная
по результатам численного моде-
моделирования. Показана траектория
максимума амплитуды и область
оседания электронов на замедляю-
замедляющую систему (серый цвет)
0,0 0,5 1,0 q
чинает перемещаться к пушечному концу, двигаясь со скоростью
близкой к групповой (на рис. 9.11 — практически по характери-
характеристике).
6,3 -г 6,5 Сильное поле в области максимума быстро поднимает элек-
электроны к замедляющей системе. Наиболее эффективная переда-
передача энергии электронов полю происходит вблизи граничной точ-
точки области оседания, которая практически совпадает с точкой
максимума амплитуды. Вследствие этого величина максимума
быстро растет, и он принимает форму резкого всплеска. Вблизи
коллекторного конца лампы амплитуда поля уменьшается, так
как в этой области осталось мало электронов (большая часть
их осела на замедляющую систему), которые не могут навести
значительного поля.
6,8 -г 7,0 Граничная точка области оседания отстает от вершины
всплеска, так как он подошел уже близко к пушечному концу
и даже сильное поле не успевает вывести на замедляющую
систему электроны, только что влетевшие в пространство
взаимодействия. Всплеск становится шире, поскольку наиболее
эффективное взаимодействие происходит теперь на его заднем
склоне.
7,25 Вершина всплеска дошла до пушечного конца лампы. В этот
момент наблюдается максимум амплитуды выходного сигнала
(рис. 9.12). Группировка электронов у пушечного конца проис-
происходит наиболее интенсивно, поэтому Ф быстро увеличивается
с ростом q и граничная точка области оседания находится на
минимальном расстоянии от пушечного конца.
7,5 -г- 8,5 Всплеск прошел выход лампы; амплитуда поля по всей длине
лампы уменьшается, так как пространство взаимодействия «опу-
«опустошено» после прохождения всплеска. В момент г = 8,5 ампли-
амплитуда выходного сигнала достигает минимума. Величина Ф также

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
567
уменьшается во всем пространстве взаимодействия; граница об-
области оседания удаляется от пушечного конца. Это происходит
потому, что электроны, испытавшие влияние прошедшего всплес-
всплеска, непрерывно покидают пространство взаимодействия. На их
место со стороны пушечного конца приходят «новые» электроны,
которые группируются сравнительно слабым полем.
9 -г 9,5 Вошедшие в пространство взаимодействия электроны оказы-
оказываются в состоянии навести более сильное поле. Распределение
амплитуды вновь приобретает максимум (на этот раз достаточно
плавный) вблизи середины пространства взаимодействия, ближе
к пушечному концу, т. е. там, где находится теперь граница обла-
области оседания. Максимум, увеличиваясь, смещается к пушечному
концу, вслед за ним смещается граница области оседания. Факти-
Фактически все процессы повторяются, но в значительно более слабой
степени.
10 -г- 10,5 Максимум доходит до пушечного конца, а затем амплитуда
выходного сигнала вновь начинает уменьшаться.
15,5 После нескольких затухающих колебаний устанавливается стаци-
стационарное состояние с оседанием, которое соответствует решению
уравнения стационарной теории (9.28) (см. рис. 9.10 6).
На рис. 9.13 те же результаты представлены в иной форме,
позволяющей сразу видеть характер изменения амплитуды поля во
времени и пространстве. На
рис. 9.12 показано, как меняется
во время описанного процесса
амплитуда сигнала на выходе
лампы. На этом же рисунке
приведена зависимость ампли-
амплитуды выходного сигнала от
времени, полученная на основе
линейной теории. Результаты
линейной и нелинейной неста-
нестационарной теории совпадают
на начальном этапе развития
процесса. Как видно из рисунка,
найденное по линейной теории
время нарастания амплитуды
выходного сигнала до значения,
соответствующего амплитуде
стационарного режима генера-
генерации, хорошо аппроксимирует
время установления колебаний.
Впрочем, указанное совпадение
0,0 5,0 10,0 15,0
Рис. 9.12. Зависимость амплитуды
выходного сигнала ЛОВМ-
генератора от времени в процессе
установления. Сплошная линия 1 —
результаты численного модели-
моделирования, штриховая линия 2 —
результаты линейной теории,
штрих-пунктирная линия 3 —
стационарная теория (F = 1,775)
носит случайный характер, так
как линейная теория не может описать процессы, определяющие
заключительную стадию установления колебаний.

568
Лекция 9 B4)
0,5
1,5
Y\\\T \ \ \Л
Рис. 9.13. Зависимость амплитуды поля F от безразмерных времени т и ко-
координаты д, полученная в результате численного моделирования
В дальнейшем на основе методики построения нестационарной тео-
теории приборов с длительным взаимодействием, разработанной для ЛОВ
М-типа, была построена нелинейная нестационарная теория карсино-
трона, с помощью которой были исследованы и объяснены многие
нелинейные явления при взаимодействии прямолинейного электронно-
электронного потока с обратной электромагнитной волной, наблюдавшиеся в экс-
эксперименте (см. лекцию 13 первого тома). Позже на основе этой теории
были подробно проанализированы нестационарные процессы, хаоти-
хаотическая динамика, явление синхронизации в различных системах типа
«электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна»,
на общем анализе которых остановимся в следующем параграфе лек-
лекции.
Общие замечания об автоколебаниях в системах
«электронный поток—встречная (обратная)
электромагнитная волна» х)
В теории колебаний и волн в качестве примера неравновесной среды
очень часто приводят системы типа «взаимодействующие электронный
поток и электромагнитная волна». В указанных системах неустойчи-
неустойчивость может быть связана с существованием волн с отрицательной
энергией, т. е. волн, с ростом амплитуды которых общая энергия систе-
системы «среда-волна» уменьшается. Наиболее известные примеры таких
волн — медленная волна пространственного заряда (МВПЗ) и мед-
медленная циклотронная волна (МЦВ), о которых шла речь в третьей
лекции первого тома. Взаимодействие волн с отрицательной энергией
с волнами с положительной энергией и с поглощающей средой приводят
к неустойчивости: отдавая энергию, такая волна нарастает по ампли-
г) При написании этого параграфа были использованы материалы статьи
Д.И. Трубецкова и А.П. Четверикова [38].

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 569
туде. Физические механизмы, обуславливающие неустойчивость, могут
быть связаны с черенковской или циклотронной неустойчивостями и,
в частности, с аномальным эффектом Доплера.
Для возникновения автоколебаний неустойчивость должна быть
либо абсолютной, либо глобальной. Обе неустойчивости имеют место
при наличии обратной связи. Если система не кольцевая, то обратная
связь реализуется при взаимодействии электронного потока с обратной
электромагнитной волной (с противоположно направленными фазовой
и групповой скоростями) или со встречной волной. Причем встречные
волны возникают как при отражении от стенок (есть резонатор), так
и из-за специфики процессов взаимодействия.
Особенностью анализа процессов в системе «электронный поток-
встречная электромагнитная волна» (задача о неравновесной среде)
является то, что все процессы можно описать лишь в рамках самосогла-
самосогласованной теории. Математически такая теория формулируется в виде
двух блоков уравнений (обычно в дифференциальной форме):
1) линейное уравнение возбуждения электромагнитного поля в вол-
новедущей системе током электронного пучка;
2) нелинейные, в общем случае, уравнения, описывающие процессы
в электронном пучке (активной среде) под действием поля.
В такой постановке к данной задаче можно применить общие ме-
методы теории волновых процессов и нелинейной динамики. При этом
колебательно-волновые процессы в распределенной автоколебательной
системе можно трактовать как процессы взаимодействия волн, имею-
имеющих противоположные групповые скорости, — нелинейной электрон-
электронной волны (или волн) 1) и линейной электромагнитной волны.
Примечательным является то, что при определенных условиях
уравнение электромагнитной волны остается одним и тем же для раз-
разных автоколебательных систем; различаются лишь уравнения «актив-
«активной» среды — электронной волны. Благодаря этому можно прове-
провести сравнительный анализ систем «электронный поток-встречная вол-
волна» с различными механизмами взаимодействия электронного потока
с электромагнитным полем с достаточно общих колебательно-волновых
позиций, что и является основной целью настоящего параграфа лекции.
Рассмотрим качественно взаимодействие волн в электродинами-
электродинамической волноведущей системе, заполненной активной средой — элек-
электронным потоком. В данном случае термин «поток» подразумевает,
что все электроны, заполняющие пространство взаимодействия, имеют
компоненту скорости г>ц, направленную вдоль оси z электродинами-
электродинамической структуры (для определенности — в положительном направле-
х) Конечно, следует сразу подчеркнуть условность термина «нелинейная
электронная волна»: на самом деле, речь идет об эволюции возмущений
и описывающих ее уравнениях активной среды — электронного потока.
Акцент на условности этой удобной в дальнейшем терминологии делается
потому, что в электронных потоках есть и «настоящие» электронные волны
(см. лекции 3 и 4 первого тома).

570 Лекция 9 B4)
нии, и, следовательно, — запас «продольной» кинетической энергии.
Кроме того, электроны могут смещаться и в поперечной плоскости
пространства взаимодействия, в частности, совершать колебательные
движения, обладая запасом «поперечной» кинетической энергии (элек-
(электроны-осцилляторы). Известно, что в таком потоке — активной сре-
среде — могут существовать высокочастотные возмущения в виде волн
с групповыми скоростями, равными по величине г>ц при малом уровне
возмущений. Предположим, что в электродинамической структуре мо-
может распространяться электромагнитная волна с групповой скоростью
vrp « — |^|||j причем фазовая скорость волны Уф может быть как от-
отрицательной (v<j) tt vrp — встречная волна), так и положительной
(чф 14 vrp — обратная волна, которая обычно реализуется в периодиче-
периодической электродинамической системе в виде обратной пространственной
гармоники). При определенных условиях волны в потоке и встречная
электромагнитная волна могут эффективно взаимодействовать. Пусть,
например, в начальный момент времени t = 0 электронная и электро-
электромагнитная волны возникают в виде шумовых возмущений, имеющих
естественное происхождение (дробовой шум, тепловые шумы и т. п.)
или появляющихся при формировании электронного потока. Амплиту-
Амплитуды возмущений малы, поэтому на начальной стадии колебаний процесс
в системе может рассматриваться как взаимодействие линейных волн.
Отдельные компоненты электронной и электромагнитной волн, т.е.
их пространственно-временные фурье-компоненты будут взаимодей-
взаимодействовать эффективно, если выполняется условие временного {uj\ « о;2)
и пространственного {уф\{ш\) ~ ^2(^2)) резонансов. Здесь и\ и о; 2 —
частоты компонент «холодных» (в отсутствие взаимодействия) элек-
электромагнитной и электронной волн, Юф\ и г>ф2 — их фазовые скорости.
Разумно предположить, что в такой системе, конкретную реализа-
реализацию которой не оговариваем, может наблюдаться абсолютная неустой-
неустойчивость, поскольку групповые скорости волн направлены в разные
стороны, а одна из волн — волна активной среды. Если к тому же для
рассмотренных волн удовлетворяются и граничные условия на концах
ограниченной в пространстве системы (в таком виде она реализуется
практически), то в ней будет происходить нарастание колебаний во
времени х) по экспоненциальному закону (линейная стадия переходно-
переходного процесса) до тех пор, пока за счет нелинейных эффектов в элек-
электронном потоке не произойдет установление некторого стационарного
режима колебаний (под термином «стационарный» здесь понимается
любой установившийся режим — одночастотный, периодический, ква-
квазипериодический, хаотический). Свойства такого режима зависят от
нелинейных свойств электронной волны. Таким образом, в рассматри-
х) Если эти условия не выполняются, то амплитуды колебаний остаются
на уровне шумовых возмущений. Это так называемый предгенерационный
режим, который с точки зрения теории динамических систем соответствует
состоянию устойчивого равновесия, т. е. не является автоколебательным (по-
(подробнее см., например, коллективную монографию [25]).

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 571
ваемом процессе можно выделить три характерных этапа: линейная
стадия переходного процесса, нелинейная стадия переходного процесса,
режим установившихся стационарных колебаний. Проанализируем их
отдельно, начав с рассмотрения линейных колебаний в рамках модели
взаимодействующих линейных волн.
Учтем, что спектр частот, для которых реализуется эффективное
взаимодействие волн, лежит около частоты 2, определяемой из усло-
условия точного пространственного резонанса v^i{uj) « ^ф2B). Его ши-
ширина Аоо зависит от величины коэффициентов связи между волнами
и в стандартных для СВЧ-электроники ситуациях удовлетворяет усло-
условию Aoj <С 2. Более того, из-за встречных направлений групповых
скоростей волн и продольные волновые числа h взаимодействующих
компонент также удовлетворяют аналогичному условию Ah <С /г, где
Л = Л(сЗ).
Будем рассматривать далее только «одномерную» эволюцию волн
в предположении, что все возможные поперечные распределения ха-
характеристик волн Ф(г) заданы и неизменны. Сказанное позволяет ана-
анализировать только процессы с узкополосным спектром частот и вол-
волновых чисел в окрестности точки B, К) пересечения дисперсионных
характеристик «холодных» волн на диаграмме Бриллюэна uj = uj{K).
В этом есть важное достоинство: нет нужды знать всю дисперсионную
характеристику, и колебательные процессы в системах различного типа
со встречной (или обратной) волной могут быть исследованы в рамках
единой достаточно общей модели. К таким системам относятся ЛОВ
типа О (см. лекции 12, 13 первого тома) и типа М (см. предыдущий
параграф, а также [25,26]), гиро-ЛВВ (лекция 1A6)), пениотрон на
встречной волне (лекция 1A6), а также [53-56]), ЛОВ на аномальном
эффекте Доплера [57], ЛОВ с поперечным полем (лекция 7B2)) [58]
и т.д.
Из предположения об узкополосности временного и пространствен-
пространственного спектров следует, во-первых, возможность разделения «быстрых»,
соответствующих эволюции с частотой ~ 2, и «медленных», соответ-
соответствующих эволюции с частотами ~ До;, переменных в описании процес-
процессов взаимодействия. Во-вторых, это предположение позволяет единооб-
единообразно описывать электродинамическую часть задачи для разных ламп
со встречной волной (ЛВВ). Более того, на линейной стадии процесса
и описание электронных волн в простейших моделях всех известных
ЛВВ сводится к анализу всего двух характерных разновидностей волн,
соответствующих, за редким исключением, инерционному и силовому
(безынерционному) типам фазировки электронов. Покажем это.
Для любой частоты и из полосы Аи верно соотношение г)
^) (h -h) = u>- \vrpl\(h - ft), (9.35)
г) Для этого необходимо только, чтобы в полосу До; не попадали критиче-
критические частоты электродинамической системы.

572 Лекция 9 B4)
поэтому амплитуда электромагнитной волны может быть представлена
в виде
Е = Е0Ч> E^)F{z,t)ej^t-lz\ (9.36)
где безразмерная комплексная амплитуда F(z,t) медленно меняется
по сравнению с функцией exp \j(uit — hz) , и ее эволюция в отсутствие
связи с электронной волной описывается в соответствии с (9.35) урав-
уравнением
f-KPl|f =0- (9.37)
Если же эта волна взаимодействует с электронной волной J =
= 1оЧ?11(z, t) exp \j(uit — hz)\ с безразмерной медленно меняющейся
амплитудой I(z,t), то уравнение (9.36) заменяется на неоднородное
уравнение (нестационарное уравнение возбуждения волноведущей си-
системы заданным током (формула A.102) первого тома):
f -Ы9? = -?1/, (9.38)
где Фе и Ф/ — векторные функции поперечного распределения ампли-
амплитуд электромагнитной и электронной волн соответственно, /о — посто-
постоянный ток электронного пучка, Е\ — параметр связи. Уравнение воз-
возбуждения (9.38) является универсальным для всех рассматриваемых
систем, в отличие от уравнений, описывающих эволюцию амплитуды
электронной волны.
При взаимодействии электромагнитной волны с единственной пар-
парциальной электронной волной г) (эта ситуация реализуется во всех си-
системах с силовой и в отдельных системах с инерционной группировкой
электронов в потоке; см., например, [51,59-61]) справедливо уравнение
f + hlg = -?2F. (9.39)
В этом случае в системе происходит двухволновое взаимодействие.
Если же электромагнитная волна взаимодействует одновременно
с двумя электронными вырожденными волнами, т. е. имеющими одина-
одинаковые (близкие) дисперсионные характеристики в полосе До;, то реали-
реализуется случай трехволнового взаимодействия, которому соответствует
уравнение электронной волны
г) При малом уровне возмущений в электронном потоке электронная волна
может являться суперпозицией линейных (нормальных) волн — волн про-
пространственного заряда, циклотронных волн и т. п.

Нелинейная динамика и С В Ч- электроника 573
Здесь ?2 — коэффициент связи, причем s<i ~ \ЕЭф\2/Pq, где Еэф —
напряженность резонансной компоненты поля, эффективно взаимодей-
взаимодействующей с электронной волной, Pq — поток мощности электромагнит-
электромагнитной волны, г?ц играет роль групповой скорости электронной волны.
Уравнения (9.37)-(9.40) неоднократно обсуждались выше в лекциях
применительно к приборам с длительным взаимодействием О-типа
(ЛБВО и ЛОВО), гироприборам и устройствам плазменной электро-
электроники.
Считая в дальнейшем, что |vrpi| = г>ц *) введем безразмерное время
Т = ute и продольную координату ? = hze, где е = у/е\Е2 <С 1 для
систем с двухволновым взаимодействием и е = fysiSz <^C 1 для систем
с трехволновым взаимодействием.
В новых переменных уравнения (9.38)-(9.40) будут выглядеть сле-
следующим образом:
Данная форма записи уравнений (9.41)-(9.43), соответствующая
лабораторной системе координат, не самая удобная для анализа. При
рассмотрении двух взаимодействующих волн всегда имеется возмож-
возможность заменой переменных исключить в одном из уравнений эволю-
эволюции волн временную или пространственную производную. Наиболее
удобной здесь является использование системы отсчета «со смещенным
отсчетом времени» г = (Т — ?) /2, в которой уравнения (9.42) и (9.43)
преобразовываются к следующему виду:
| = -F, (9.44)
При этом форма уравнения возбуждения (9.41) не изменятся:
д (
(9.46)
г) Такое равенство всегда можно реализовать путем выбора соответствую-
соответствующей системы координат, в которой взаимодействующие волны распростра-
распространяются в разные стороны с одинаковой скоростью

574 Лекция 9 B4)
Покажем, что в системах, описываемых уравнениями (9.41), (9.42),
(9.41)-(9.43) или (9.44)-(9.46), (9.45), (9.46), реализуется абсолютная
неустойчивость.
Полагая F, / ~ exp [j(wT - Л?)], где и и h — безразмерные «мед-
«медленные» частота и волновое число в лабораторной системе координат,
из (9.41) и (9.42) получим для двухволнового случая дисперсионное
уравнение
h2-u>2 = l. (9.47)
Заметим, что двухволновое взаимодействие является простейшим слу-
случаем взаимодействия линейных волн и его свойства хорошо изучены
[25,51,59]. Однако именно в этом случае удобно показать применение
методов анализа характера неустойчивости в системе взаимодейству-
взаимодействующих линейных волн.
Напомним, что согласно критерию Стэррока-Бриггса (см., напри-
например, [62]), в системе существует абсолютная неустойчивость, если в ре-
решении дисперсионного уравнения h = h{uj) имеются два корня /ii,2,
которые при \ти —у ос лежат по разные стороны действительной
оси в плоскости комплексных /г, а при уменьшении величины |Imo;|
сближаются, причем значения ha и и)а, при которых они сливаются
(hi(uja) = h2{oja) — ha) определяют асимптотическое поведение на-
начального состояния волны
F(t)~ -4еЛыв7"Лв0- (9-48)
л/т
В случае взаимодействия волн, распространяющихся в разные сторо-
стороны, такие два корня всегда есть и, как нетрудно видеть из уравнения
(9.47),
иа = -j, К = 0. (9.49)
Поэтому в системе действительно реализуется абсолютная неустойчи-
неустойчивость с асимптотическим поведением возмущения во времени и про-
пространстве по закону
F(r) - -]L еТ. (9.50)
Vr
Это означает, что из всех возможных возмущений c\h\ < 1, существо-
существование которых следует из решения уравнения (9.47)
(9.51)
с течением времени выделяется возмущение с наиболее «гладким» про-
пространственным распределением с h = 0, максимальным инкрементом
Im и = —1 и частотой Re и = 0, соответствующей точному синхронизму
невзаимодействующих волн.
В случае трехволнового взаимодействия удобно провести исследо-
исследование характера неустойчивости в системе со смещенным отсчетом вре-
времени на основании уравнений (9.45) и (9.46). Дисперсионное уравнение

Нелинейная динамика и С В Ч- электроника 575
имеет вид
h3 + uh2 - 1 = (h - haf {h - h3) , (9.52)
где ha = —— (—1 + jV$) Hwa = (l — jV3). Тогда в лабораторной
2 4
системе координат имеем
[ (9-53)
Из сравнения соотношений (9.48) и (9.53) следует, что в послед-
последнем случае максимальный инкремент нарастания имеют возмущения
с частотой, отличающейся от частоты точного синхронизма, поскольку
с электромагнитной волной взаимодействуют одновременно две выро-
вырожденные парциальные электронные волны.
Приведенный выше способ установления характера неустойчивости
относится к безграничным электронным системам со встречной (обрат-
(обратной) волной. Реально же рассматриваемые системы всегда имеют ко-
конечную длину, т. е. взаимодействие электромагнитной и электронной
волн происходит на ограниченном участке пространства (пространство
взаимодействия). При этом амплитуды волн должны удовлетворять
следующим граничным условиям:
/|*=о = 0, (9.54)
F\z=a = 0, (9.55)
где А — безразмерная длина пространства взаимодействия (А = hie,
I — геометрическая длина пространства взаимодействия). Первое из
них соответствует отсутствию высокочастотных возмущений электрон-
электронного пучка на входе в пространство взаимодействия, второе — отсут-
отсутствию воздействия внешнего электромагнитного сигнала на систему.
Это означает, что электронная волна является волной с отрицательной
энергией (для трехволнового взаимодействия по крайней мере одна
из электронных волн — волна с отрицательной энергией), поскольку
электромагнитная волна переносит положительный поток мощности,
и он на входе в пространство взаимодействия равен нулю. Действи-
Действительно, только в этом случае возможно возбуждение электромагнитной
волны за счет передачи ей энергии от электронной волны, амплитуда
которой на входе в пространство взаимодействия равна нулю. Отметим
однако, что не всегда она может быть интерпретирована как одна из
стандартных волн с отрицательной энергией электронного пучка, т. е.
с медленной волной пространственного заряда, медленной циклотрон-
циклотронной волной или синхронной волной. В некоторых случаях возбуждают-
возбуждаются волны с отрицательной энергией более сложной природы, например,
в пениотроне со встречной волной или гиро-ЛВВ (см. лекция 1A6)).
Конечность длины I пространства взаимодействия приводит к тому,
что не все возможные возмущения с волновыми числами, определен-

576
Лекция 9 B4)
2,0 4,0
10,0
Рис. 9.14. Пространственные рас- Рис. 9.15. Зависимости инкремен-
пределения амплитуд Д(?) линей- тов аед; линейных мод от безразмер-
безразмерных мод с низкими номерами в моде- ной длины пространства взаимодей-
ли с двухволновым взаимодействи- ствия А в модели с двухволновым
ем при безразмерной длине системы взаимодействием
Л = 8,0
ными условиями реализации абсолютной неустойчивости, могут раз-
развиваться в системе. Возбуждаются лишь те из них, для которых воз-
возникающие пространственные возмущения амплитуд электромагнитной
и электронной волн удовлетворяют граничным условиям (9.54), (9.55).
Определим их сначала для двухволнового взаимодействия, используя
уравнения (9.44) и (9.46). Пусть
(9.56)
тогда
/(?,т)~-ЛС7Л)ехр[Лт-
причем uj и h связаны дисперсионным уравнением
/г2 — о;/г + 1 = 0,
так что
(9.57)
(9.58)
h = u/2± л/и2/4-1. (9.59)
Подставляя решение (9.56) и (9.57) в формулу (9.44) и учитывая
граничные условия (9.54) и (9.55), получим, что амплитуда поля пред-
представляется суперпозицией линейных мод (собственных видов колеба-
колебаний)
, r)
kiO exp \JLjk(A)r]
(9.60)
с функциями распределения /&(?) (рис. 9.14, взятый из монографии
[25]), частотами Reuik = 0 и инкрементами 2ае^ = — Ima;/., определен-
определенными из уравнения
tg U/l - ае2 А) = —
ае
Из рис. 9.15 [25] следует, что инкременты 2ае (коэффициент «2»
введен для удобства), являющиеся функциями параметра Л, образуют

Нелинейная динамика и С В Ч- электроника 577
дискретный ряд. Значение Л, при котором наибольший из инкремен-
инкрементов (в данном случае aei, если пронумеровать их в порядке убывания
величины) перестает быть отрицательным, будем называть пусковым
значением Ап. Нетрудно видеть, что Ап = Ak=i = тг/2, где Л& опреде-
определяются как пороговые значения для k-R моды (зэ&(Л&) = 0).
Очевидно, что при А < Ап возмущения в системе не нарастают,
и она находится в состоянии устойчивого равновесия (предгенерацион-
ный режим). При А > Ап состояние равновесия становится неустой-
неустойчивым. При этом асимптотическое поведение F(r,?) при достаточно
малой величине начального возмущения определяется выражением
F(?, г) = ^2 Ci/i(?) exp Baeir) . (9.61)
Оно практически не зависит от того, сколько собственных мод имеет
положительный инкремент, поскольку инкремент первой моды всегда
больше инкрементов других мод с менее гладкими («многогорбыми»,
см. рис. 9.14) пространственными распределениями, а их начальные
амплитуды примерно одинаковы и малы. Отметим характерную осо-
особенность двухволнового взаимодействия: все собственные моды имеют
одинаковую частоту Reuik = 0.
Таким образом, безразмерная длина системы А (пропорциональная
квадратному корню из тока электронного потока) является ее бифур-
бифуркационным параметром, значение А = Ап — первым бифуркационным
значением, а инкремент 2aei и функция пространственного распределе-
распределения амплитуды Д (?) определяют асимптотическое поведение амплитуд
электромагнитной и электронной волн на линейной стадии переходного
процесса, т.е. процесса установления колебаний. Длительность туст
этой стадии может быть оценена как [38]
где значение FH определяет (хотя бы по порядку величины) значение
амплитуды поля, при котором становятся заметными нелинейные эф-
эффекты в электронном потоке.
Для трехволнового взаимодействия анализ проводится аналогично
[25]. Из него следует, что комплексная частота ujk определяется из
уравнения
= 0, (9.62)
82 S\
3
1 2 3
гДе ^1,2,з — корни дисперсионного кубического уравнения
S2(S-joj)=j. (9.63)
Результаты решения показывают, что теперь Ап = А\ = 1,974, А^ =
= 3,7 и т. д., но качественная картина развития неустойчивости при А >
> Ап на этом этапе установления колебаний в распределенной активной
37 Трубецков, Храмов

578 Лекция 9 B4)
среде практически не отличается от рассмотренной для двухволнового
взаимодействия.
При достижении амплитудой F(?, т) достаточно больших значений
начинают проявляться нелинейные свойства электронных волн, кото-
которые могут быть весьма разнообразными и определяются механизмами
взаимодействия электромагнитной и электронной волн. Кратко опи-
опишем системы, которые наиболее интересны для сверхвысокочастотной
электроники и соответствуют реальным устройствам. Будем указывать
для каждой системы уравнение для амплитуды волны тока, вид дис-
дисперсионного уравнения (рис. 9.16, на котором на диаграмме Бриллюэна
штриховыми кружочками указан интервал частот и волновых чисел,
где волны эффективно взаимодействуют), характер взаимодействия.
Многие из нижеперечисленных систем нами были уже подробно изуче-
изучены в курсе лекций. Не будем подробно останавливаться на них.
1. ЛОВ типа О. Амплитуда волны тока в системе координат
со смещенным отсчетом времени определяется следующей системой
уравнений (без учета пространственного заряда):
—
= 0,
где и — фаза колебаний электронов, uq — начальная фаза, равномерно
распределенная в интервале @, 2тг). Нелинейность в этой системе опре-
определяется нелинейной функцией exp (ju) и характерной «интегральной»
нелинейностью, которая не позволяет сформулировать дифференци-
дифференциальное уравнение относительно амплитуды волны тока /(?,т). Это
связано с неидентичностью нелинейного поведения различных элек-
электронов, формирующих волну тока из первоначально однородного по-
потока, для которой функция / является интегральной характеристикой.
Характер взаимодействия в ЛОВО является инерционным, а механизм
излучения — черенковским.
С учетом сил пространственного заряда и потерь в линии передачи
уравнения, описывающие динамику нерелятивистской ЛОВО, имеют
вид
2тг

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
579
0
У
h
//мцв
тГ
Л2-соЛ+1=О
МЦВ
//мцв
=0
Рис. 9.16. Диаграмма Бриллюэна и форма дисперсионного уравнения для
следующих систем типа «электронный поток-встречная (обратная) элек-
электромагнитная волна»: а — ЛОВ типа О; б — гиро-ЛВВ; в — пениотрон
на встречной волне; г — ЛОВ на аномальном эффекте Доплера; д — ЛОВ
с поперечным полем; е — ЛОВ типа М
dF dF j г. т
дт д^
ди
= 0, F
= 0,
где In — комплексная амплитуда n-й гармоники ВЧ-тока электрон-
электронного пучка, q — параметр пространственного заряда, d — параметр
37*

580 Лекция 9 B4)
холодных потерь (см. лекцию 10 первого тома), остальные обозначения
совпадают с определенными выше.
Заметим, что вышесформулированная модель ЛОВО может рас-
рассматриваться как базовая однопараметрическая электронно-волновая
система с инерционной нелинейностью. В лекции 13 первого тома рас-
рассматривалась также такая модификация ЛОВО как релятивистский
карсинотрон (это приводит к замене вышеприведенных уравнений для
волны тока).
2. Гиро-ЛВВ. Модель гиро-ЛВВ подробно обсуждалась в лекции
1A6) (см. формулы A.185)—A.187)). Здесь лишь отметим, что в ней
реализуется инерционный характер взаимодействия и имеет место цик-
циклотронное излучение.
3. Пениотрон на встречной волне. Исторически пениотрон
исследован позднее других систем с силовой фазировкой, однако его
автоколебательные режимы исследованы наиболее подробно среди ана-
аналогичных систем. В рамках простой модели взаимодействия эволюция
электронной волны в пениотроне на встречной волне описывается урав-
уравнением
где р = 1, 2, ... — порядок циклотронного резонанса, j — нормирован-
нормированная энергия электронов G^=0 = 1)? А* ~ параметр неизохронности (см.
лекция 1A6)).
Замечательным свойством пениотрона является отсутствие «инте-
«интегральной» нелинейности, так как траектории всех электронов в нем
идентичны (естественно, при определенных допущениях, положенных
в основу используемой модели), что существенно упрощает анализ ко-
колебательно-волновых явлений. Основной нелинейный эффект в пенио-
пениотроне на встречной волне связан с уменьшением связи между волнами
при уменьшении энергии электронов. Он не является инерционным
и не приводит к сложным автоколебательным режимам. Однако при
достаточно больших значениях параметра неизохронности /i > 1 пре-
превалирует, как показано ниже, побочный для пениотрона (в отличие,
скажем, от гиро-ЛВВ) инерционный эффект фазовой нелинейности, за
счет которого в пениотрон на встречной волне могут реализовываться
многочастотные автоколебательные режимы вплоть до хаотического.
На линейной стадии взаимодействия этот эффект никак не проявля-
проявляется и эволюция электронной волны описывается уравнением (9.44),
в которое переходят уравнения пениотрона при /<С 1, 7« 1.
4. Ультрарелятивистская ЛОВ на аномальном эффекте
Доплера (ЛОВ АД). В этом случае поведение волны тока описыва-
описывается уравнением

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 581
Особенность ЛОВ АД — увеличение связи электронной волны с элек-
электромагнитной волной при развитии нелинейных эффектов в пучке.
Ограничение уровня колебаний и установление стационарных режимов
определяется фазовой нелинейностью (~ j/i|/|2/), физически связан-
связанной с сильной зависимостью частоты вращения ультрарелятивистских
электронов в магнитном поле от энергии. Отметим, что так же, как
и в пениотроне, траектории электронов в ЛОВ АД идентичны, и «инте-
«интегральная» нелинейность отсутствует, а линейная стадия колебаний так-
также описывается уравнением (9.44). Характер взаимодействия в ЛОВ
АД является силовым, а механизм излучения — циклотронным.
5. ЛОВ с поперечным полем (ЛОВ ПП). ЛОВ ПП является
нерелятивистским аналогом ультрарелятивистской ЛОВ АД. Эволю-
Эволюция волны тока в ней определяется уравнением
которое содержит единственную кубичную нелинейную функцию, опи-
описывающую в данном случае изменение фазы волны за счет изменения
продольной скорости электронов. Последняя уменьшается при переда-
передаче кинетической энергии продольного движения электронов электро-
электромагнитной волне. При |/| —У 0 уравнение ЛОВ ПП переходит в линейное
уравнение (9.44) и описывает в данном случае либо медленную цикло-
циклотронную волну, либо одну из синхронных волн [63].
Отметим, что если отвлечься от конкретного физического смысла
процессов в ЛОВ ПП, соответствующих последнему уравнению, то
описываемую им модель, не содержащую дополнительных параметров
по сравнению с соответствующей линейной моделью, можно рассмат-
рассматривать как базовую (элементарную) модель для систем с фазовой нели-
нелинейностью. Для таких систем нелинейное ограничение амплитуд волн
связано с нелинейным смещением фазы электронной волны. Более то-
того, можно полагать, что это простейшая известная нелинейная модель
системы взаимодействующих волн, в которой обнаружены сложные
автоколебательные режимы [64,65]. Характер взаимодействия в ЛОВ
ПП является силовым, механизмы излучения — циклотронный и че-
ренковский.
Остановимся чуть подробнее на нелинейной динамике ЛОВ ПП
[38] как наиболее простой модели, являющейся асимптотической для
автоколебательных режимов систем с силовой фазировкой электронов,
когда в них превалирует эффект стабилизации колебаний за счет фа-
фазовой нелинейности.
Нелинейная динамика системы ЛОВ ПП усложняется с увеличени-
увеличением ее единственного бифуркационного параметра Л, который харак-
характеризует степень возбуждения системы (рис. 9.17, на котором пред-
представлена бифуркационная диаграмма колебаний выходного поля ЛОВ
ПП с увеличением управляющего параметра Л). При тг/2 < Л < 1,83
в системе возбуждается одночастотный режим автоколебаний с про-
пространственными распределениями F(?) и /(?), топологически подоб-

582
Лекция 9 B4)
1,0 2J 4,6 6,4 8,2
Рис. 9.17. Бифуркационная диаграмма колебаний выходного поля ЛОВ с по-
поперечным полем с увеличением безразмерной длины системы А
ными распределениям основной линейной моды. При А > 1,83 систе-
система генерирует многочастотные периодические колебания, причем при
А > 2,05 временная последовательность выходного поля F(t,? = 0)
имеет вид последовательности мощных импульсов с мелкими осцилля-
циями между ними, возникающими в результате возбуждения сложных
«многогорбых» пространственных распределений F(?) и /(?). В свою
очередь, причиной их возникновения является быстрое нелинейное
изменение фазы электронной волны вдоль координаты в простран-
пространстве взаимодействия. Наконец, при А > 4,5 возбуждаются хаотические
автоколебания. При увеличении А временная реализация F(t,? = 0)
теряет вид последовательности импульсов. Эти явления обязаны своим
существованием инерционному характеру нелинейности и запаздыва-
запаздывающей (вследствие распределенности системы) обратной связи в ней.
Сценарий перехода к хаосу имеет некоторые черты, характерные для
сценариев удвоения и добавления периода в системах с малым числом
степеней свободы. Размерность аттрактора автоколебаний в фазовом
пространстве невысока, однако растет с увеличением Л, причем спектр
процесса становится шире. Большую роль в возбуждении хаотических
автоколебаний в ЛОВ ПП играет вторая линейная мода, несмотря на
то, что режим сугубо нелинейный.
В работе [169] было изучено влияние флуктуации на автоколебания
в ЛОВ ПП. Предполагалось, что нелинейная электронная волна воз-
возмущалась распределенным шумовым источником, так что эволюция
волны тока определялась уравнением
где (C(t г)) = 0,
интенсивности шума.
, г')) =
- О. D - параметр

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 583
В результате численного моделирования было показано, что при
больших значениях параметра неравновесности Л, когда в системе
наблюдаются развитые хаотические колебания, внешний шум может
как увеличивать степень хаотизации, так и упорядочивать форму гене-
генерируемого хаотического сигнала, проявляя свойства, характерные для
эфектов стохастического резонанса [169, 170].
6. ЛОВ М-типа. Уравнения ЛОВМ были получены в предыдущем
параграфе. Поэтому здесь лишь отметим, что для кинематической
модели ЛОВМ в адиабатическом приближении характерным является
режим одночастотной генерации. Это обусловлено оседанием электро-
электронов на замедляющую систему, что определяет основной нелинейный
эффект в ЛОВ М-типа. Как и для ЛОВ ПП взаимодействия в ЛОВМ
носят силовой характер, механизмы излучения — циклотронный и че-
ренковский.
Не будем подробно останавливаться на особенностях нелинейной ди-
динамики вышеназванных моделей со встречной волной, так как каждая
из них характеризуется своими присущими только ей особенностями.
Для нас важнее, что все распределенные активные среды типа «элек-
«электронный поток, взаимодействующий со встречной (обратной) элек-
электромагнитной волной» имеют много общего, описываются во многом
схожими по структуре моделями и демонстрируют некоторые общие
закономерности своего линейного и нелинейного поведения.
Динамический хаос в нерелятивистских электронных
СВЧ-приборах. Шумотрон
Генераторы шума на ЛБВ с внешней обратной связью.
ЛБВ-генератор с внешней запаздывающей обратной связью (шумот-
(шумотрон) занимает важное место среди систем с хаотическим поведением.
Интерес к изучению хаотической динамики ЛБВ-генератора с запазды-
запаздывающей обратной связью обусловлен прежде всего тем, что в подобной
системе наиболее просто реализуются режимы, в которых генератор
ведет себя подобно динамической системе как с большим, так и с малым
числом степеней свободы [66]. С одной стороны, рассматривая ЛБВ-
генератор как наглядную и технически реализуемую модель сплошной
среды, можно попытаться ответить на ряд вопросов, связанных с про-
проблемой турбулентности, и провести некоторые аналогии с хаотической
динамикой в гидродинамических течениях. С другой стороны, введе-
введение фильтра в цепь обратной связи генератора делает число степеней
свободы конечным и зависящим от полосы пропускания, что позволяет
исследовать режимы с различным известным числом возбуждаемых
собственных мод. Последнее дает возможность изучить особенности
процесса перехода к хаотической генерации и свойства хаотического
сигнала от числа степеней свободы рассматриваемой распределенной
активной среды.
ЛБВ-генератор с внешней обратной связью по праву может считать-
считаться одним из самых «старых» автогенераторов шума. Стохастические

584
Лекция 9 B4)
1 2 4
3 52
С
с
с
1,0 2,4 2,8
3,2 3,6
автоколебания в детерминированной модели генератора на ЛБВ экс-
экспериментально наблюдались Котыревым и Плиссом еще в 1960 г. [67].
Уровень нерегулярных сигналов был настолько низок, что их изучению
не было уделено должного внимания. Действующий генератор шума
на ЛБВ с петлей обратной связи был впервые предложен в США, его
мощность составляла 200 Вт в полосе частот свыше 2 ГГц [68].
Группа сотрудников Института радиотехники и электроники АН
СССР под руководством В.Я. Кислова независимо создала СВЧ-
генератор шума на ЛБВ (шумотрон) и детально изучила его режимы
при изменении параметров внешней обратной связи [69-74].
Значение шумотрона как модели, на которой проверялись мно-
многие идеи теории стохастических автоколебаний, трудно переоценить.
Группа В.Я. Кислова экспериментально и теоретически исследовала
генераторы, состоящие из ЛБВ
с фильтром в цепи обратной свя-
связи, и двух ЛБВ, последовательно
замкнутых в кольцо [70,71]. В экс-
экспериментах было показано, что
при изменении глубины обратной
СВЯЗИ 7 = 101g(PBx/PBbix) (Рвх
и РВых — соответственно мощно-
мощности на входе и выходе ЛБВ или
каскада ЛБВ) на плоскости па-
параметров генератора существуют
зоны регулярных и хаотических
режимов. Хаотические автоколе-
автоколебания при этом возникают в ре-
результате непериодической авто-
автомодуляции амплитуд собственных
мод кольцевой системы на падаю-
падающем участке амплитудной харак-
характеристики [71]. В качестве примера перехода к хаосу в ЛБВ-генераторе
на рис. 9.18 приведена диаграмма смены периодических и хаотиче-
хаотических режимов для модели генератора с амплитудной характеристикой
Лвых = 5АВх A — с^вх + ^вх), которая моделирует характеристику ре-
реального устройства (здесь Лвх — амплитуда входного и Лвых — выход-
выходного сигнала, а и j — управляющие параметры).
Для анализа хаотических автоколебаний ЛБВ-генератора была
предложена элементарная феноменологическая модель, включающая
последовательно соединенные и замкнутые цепью обратной связи безы-
безынерционный усилитель с функцией преобразования сигнала F(x),
фильтр с линейным оператором Ф и линию задержки с длительностью
запаздывания Т [72]. Последовательные преобразования сигнала в трех
элементах схемы приводят к следующему интегральному уравнению
Рис. 9.18. Диаграмма смены перио-
периодических и стохастических режи-
режимов колебаний в модели с обратной
связью для характеристики Авых =
= 5АВ* A - aAlx + А«). Цифрами
отмечены периоды циклов регуляр-
регулярных колебаний (показаны серым цве-
цветом на диаграмме), символом С —
хаотические автоколебания (из рабо-
работы [76])

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 585
генератора с запаздывающей обратной связью:
t
x(t)= | F(x(t-T))g(t-T)dT, (9.64)
где g(t — г) — импульсная переходная функция фильтра. Для узкопо-
узкополосного фильтра уравнение (9.64) преобразуется к виду
x(t) + ex(t) = eF(x(t - Т)), (9.65)
где е — малый параметр, обратно пропорциональный добротности
фильтра. Если колебания в генераторе устанавливаются быстро, то
уравнение (9.65) можно свести к простому соотношению
x(t) = F(x(t-T)). (9.66)
Функция F(x) в общем случае может содержать амплитудную или
фазовую нелинейность (переменную задержку). Топологически, наи-
наиболее близка к амплитудной характеристике ЛБВ аппроксимация вида
F(x) = joxe~x .
Но, вообще говоря, функция F(x) неявно определяется системой
уравнений возбуждения волновода пучком и уравнений, описывавших
процессы в электронном потоке под действием поля применительно
к модели ЛБВ (см. том первый, лекции 9-11). Удачный подход к нахож-
нахождению вида функции F(x), основанный на построении функциональ-
функционального отображения для описания ЛБВ-генератора с запаздывающей
обратной связью, был развит в работе Ю.П. Блиоха с соавторами [75],
который подробно обсуждался в лекции 14 первого тома.
Уравнение (9.66), в свою очередь, может быть сведено к дискретно-
разностному уравнению (отображению)
xn = F(xn_i), (9.67)
где хп — значение амплитуды сигнала в момент времени tn — пТ.
На основе уравнений (9.66) и (9.67) было проведено численное мо-
моделирование динамики генераторов на ЛБВ с внешней обратной свя-
связью [72], позволившее выявить ряд общих закономерностей перехода
к хаосу в таких системах. Стохастические режимы в ЛБВ-генераторе
наблюдались уже в случаях, когда в полосу пропускания фильтра А/
попадала всего одна собственная частота кольцевой системы. Области
стохастичности существовали в определенных интервалах изменения
глубины обратной связи 7- С увеличением параметра 7 наблюдалось
постепенное усложнение генерируемого сигнала. Генерация стохасти-
стохастических сигналов имела место лишь при достаточно больших значениях
ТА/, т.е. в случаях, когда задержка или нелинейность в исследуемой
системе были достаточно велики.
Развитие сложных режимов облегчалось при расширении поло-
полосы пропускания фильтра, т. е. в многомодовом случае. Существенную
роль тогда играла комбинационная неустойчивость, возникающая в ре-
результате взаимодействия и энергообмена между собственными модами

586 Лекция 9 B4)
кольцевой системы. Области стохастичности при этом расширялись,
появлялись новые области параметров, в которых наблюдались режи-
режимы хаотической генерации. Наиболее равномерный спектр генерируе-
генерируемого шумового сигнала получался при введении фазовой нелинейности,
т.е. переменной задержки [72]. Для большинства исследованных ап-
аппроксимаций функции F(x) с ростом управлявшего параметра в ЛБВ-
генераторе с внешней обратной связью наблюдался переход к хаосу
через последовательность бифуркаций удвоения периода. Численно
были обнаружены также «жесткий» переход к хаосу и явление нели-
нелинейного стохастического резонанса [73]. Многие из полученных резуль-
результатов были подтверждены при расчетах по экспериментально снятым
амплитудным характеристикам ЛБВ и экспериментально [76].
Во всех перечисленных выше работах по изучению хаотических
режимов в ЛБВ-генераторах использовались стационарные методы, не
учитывающие динамику взаимодействия электронов с бегущей элек-
электромагнитной волной. Основным ограничением при этом является
необходимость задания аналитического выражения амплитудной ха-
характеристики усилителя и передаточной функции полосового фильтра,
что позволяет анализировать лишь узкополосные сигналы. Поэтому
следующим шагом в теоретическом исследовании нерегулярных коле-
колебаний в электронно-волновых системах с бегущей электромагнитной
волной стало создание нелинейной нестационарной теории ЛБВ, наи-
наиболее корректно описывающей взаимодействие электронного потока
с полем сложного, в общем случае широкополосного многочастотного
сигнала [77-80]. Такая электронно-волновая модель позволяет понять
процессы развития и установления нерегулярных хаотических коле-
колебаний, переходов из одного режима в другой на уровне электронно-
волнового взаимодействия, рассчитать энергетические характеристики
этих процессов. Численное моделирование в рамках этой теории прово-
проводилось на основе совместного решения уравнений движения крупных
частиц и уравнения для синхронного поля в замедляющей системе. Это
дает возможность определить зависимость сгруппированного тока /
и поля F от безразмерной длины системы L, параметра рассинхрониз-
ма b и безразмерного времени т.
Анализ непрерывных и импульсных режимов колебаний в рамках
нестационарной нелинейной модели ЛБВ-генератора с внешней обрат-
обратной связью дал следующие результаты [78,80]. При отсутствии рас-
синхронизма F = 0) в системе устанавливаются колебания, близкие
к монохроматическим (рис. 9.19 а). Рассинхронизм приводит к пере-
перераспределению энергии колебаний из низкочастотной области спектра
мощности в высокочастотную, ширина спектра при этом резко уве-
увеличивается, колебания становятся нерегулярными (рис. 9.19 б). Сдвиг
спектра объясняется тем, что для поддержания колебаний большой
амплитуды в ЛБВ с малым усилением необходимы высокие значения
параметра рассинхронизма, что возможно на высоких частотах за счет
падения сопротивления связи (аналог крестатронного режима), рас-
расширение спектра при больших величинах b связано с более пологой
зависимостью спектральных амплитуд от безразмерной длины L и,

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
587
2,0 О
Рис. 9.19. Усложнение спектра генерации ЛБВ-генератора при изменении
основных управляющих параметров (численное моделирование): a— L = 3,0,
С = 0,1, b = 0; б- L = 6,0, С = 0,1, b = 1,8; е- L = 6,0, С = 0,03, b = 1,8
(ft = oj/ojq] L = 2ttCN, где o;o — частота максимального усиления ЛБВ, N —
электрическая длина)
следовательно, от частоты. С ростом усиления в системе генерируют-
генерируются колебания все более сложного вида, спектр генерации становится
сплошным и менее изрезанным (рис. 9.19 в).
К возникновению хаотической динамики выходного излучения
и закономерному усложнению хаотических колебаний ЛБВ-генератора
приводит увеличение времени прохождения сигнала по цепи обратной
связи, рост тока электронного пучка и геометрической длины лампы.
Интересным результатом является стохастизация колебаний при
уменьшении параметра усиления Пирса С для фиксированной
безразмерной длины L. По-видимому, это связано с тем, что
при постоянном параметре L с уменьшением параметра усиления
геометрическая длина / пространства взаимодействия растет.
Ввиду сложности строгого теоретического исследования стохасти-
стохастических автоколебаний в генераторах на ЛБВ весьма важными пред-
представляются экспериментальные исследования. Техника их к настоя-
настоящему времени хорошо разработана и сравнительно проста, а резуль-
результаты представляются достоверными и точными. Экспериментальные
исследования стохастизации автоколебаний показали многообразие пе-
переходов к хаосу в ЛБВ-генераторе и позволили подробно исследовать
возникающую иерархию хаотических режимов.
Экспериментальное изучение путей перехода к одномодовому и мно-
гомодовому режимам стохастических автоколебаний проводилось на
модели генератора, представляющего собой замкнутую в кольцо цепоч-
цепочку из ЛБВ, резонансного фильтра и линии задержки [81-85]. Управля-

588 Лекция 9 B4)
ющим параметром являлась глубина обратной связи, а начальные усло-
условия формировались изменением частоты fp первоначально возбуж-
возбуждаемой моды и расстройки центральной частоты резонансного фильтра
от fp. Было обнаружено, что в зависимости от значений управляющих
параметров такая система может демонстрировать различные сцена-
сценарии перехода к хаосу. Кратко опишем их.
A. Последовательность бифуркаций удвоения периода. С ростом
глубины обратной связи j уверенно наблюдались три бифуркации
удвоения периода исходного цикла периодических колебаний, а далее
возникал хаотический режим, характеризующийся странным аттрак-
аттрактором, который представляет широкую ленту в фазовом пространстве.
С ростом надкритичности j имели место бифуркации связности ат-
аттрактора. При каждой такой бифуркации число витков ленты хаоти-
хаотического аттрактора и число пиков четных субгармоник, наблюдаемых
на фоне сплошного спектра, уменьшалось вдвое.
Б. Бифуркации квазипериодических движений. «Жесткое» возник-
возникновение хаотической генерации. Перемежаемость. В некоторых обла-
областях параметров режим периодической автомодуляции сменялся ква-
квазипериодическими колебаниями амплитуды выходного сигнала, имею-
имеющими вид биений двух регулярных мод с несоизмеримыми частотами
/i и /2. В фазовом пространстве колебаний амплитуды поля в этом
случае существует двумерный инвариантный тор. В зависимости от
управляющих параметров и способа начального возбуждения генера-
генератора переход от двухчастотных квазипериодических колебаний к хао-
хаотическим автоколебаниям происходил одним из следующих способов.
В фазовом пространстве появлялся трехмерный тор, жесткое раз-
разрушение которого приводило к рождению странного аттрактора —
реализовывался механизм Рюэля-Такенса. В системе возникал режим
синхронизации, когда в фазовом пространстве наблюдался резонанс-
резонансный цикл на торе. Порядок резонанса определялся соотношением за-
захваченных частот /2//1 = р1ч-> гДе Р и Я ~ целые числа. В случае
резонанса 1 : 5 хаотизация режима квазипериодических колебаний воз-
возникала либо жестко, либо через перемежаемость. В случае резонанса
1 : 2 происходила мягкая потеря устойчивости резонансным циклом
через последовательность бифуркаций удвоения периода.
B. Бифуркации удвоения тора. В неавтономном режиме работы
генератора в области существования квазипериодического движения,
соотношение периодов которого далеко от сильного резонанса (q < 5),
наблюдалось мягкое рождение хаотического аттрактора в результате
бифуркаций удвоения двумерного тора. При этом удваивался период
основного движения с частотой Д на фоне медленной модуляции с ча-
частотой /2. В спектре мягко рождались субгармоники /i/2n и часто-
частоты, соответствующие линейным комбинациям mifi/2n =Ь 7712/2 {n, mi
и гп2 — целые числа).
Следует также отметить, что в натурном эксперименте наблюда-
наблюдались переходы к хаосу через перемежаемость от режимов стационарной
генерации и периодической автомодуляции.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 589
Дальнейшее увеличение управляющего параметра j позволило на-
наблюдать следующие смены режимов на фоне хаотических автоколеба-
автоколебаний ЛБВ-генератора.
1. Жесткое исчезновение хаотических колебаний и установление
в результате конкуренции мод стационарной генерации. Такой переход
характеризовался широкой областью гистерезиса по управляющему
параметру j.
2. Перемежаемость типа «хаос-хаос», сопровождающаяся глобаль-
глобальной трансформацией структуры хаотического аттрактора и возраста-
возрастанием степени нерегулярности временной динамики амплитуды выход-
выходного СВЧ-поля. При этом в процесс хаотического движения включа-
включаются новые собственные моды системы, также стохастически моду-
модулированные. Область, занимаемая аттрактором, растет, фрактальная
размерность хаотического множества увеличивается. Эксперименталь-
Экспериментальная осциллограмма такого режима представляет собой чередование
участков нерегулярных сигналов малой интенсивности и мощных сто-
стохастических «всплесков».
Своеобразный механизм перехода к многомодовому хаосу, сочетаю-
сочетающий черты модели развития турбулентности Ландау и последователь-
последовательности бифуркаций удвоения, был обнаружен при экспериментальном
изучении макета шумотрона в работе [86]. Переход к многомодовому
хаосу исследовался для 3 -г 15 собственных мод при фиксированных
значениях тока и ускоряющего напряжения, основным управляющим
параметром, как и выше, являлась глубина обратной связи. С ростом
надкритичности режим одномодовой генерации сменялся многомодо-
вым режимом. Частотный интервал между частотами fi мод был
порядка ft = 1/т, где г — время прохождения сигнала по системе.
Дальнейшее увеличение параметра приводило к синхронизации мод
и установлению единого периодического процесса периода т. Затем
наблюдались две бифуркации удвоения периода, в спектре при этом
появлялись компоненты fi + ft/2 и fi + ft/4, где fi — частоты собствен-
собственных мод. Детальный анализ эволюции спектра не выявил дальнейших
удвоений периода колебаний, рост параметра j приводил лишь к за-
шумлению спектра.
Эксперименты с неавтономными генераторами хаоса на ЛБВ поз-
позволили выявить роль синхронизации среди различных механизмов
стохастизации и дестохастизации в таких системах и наблюдать раз-
разнообразные механизмы перехода к хаосу. Исследования генераторов
с узкополосной и широкополосной петлями обратной связи, а также
с двухпетлевой обратной связью показали следующее [87].
Если в автономном ЛБВ-генераторе наблюдается одночастотный
режим генерации, то при определенных расстройках внешнего сигнала
относительно собственной частоты системы может происходить хао-
тизация его выходного излучения. Максимум спектральной плотности
мощности хаотических колебаний в этом случае находится вблизи соб-
собственных частот, интегральная мощность выходного шумоподобного
сигнала падает. Стохастизация колебаний облегчается с увеличением

590
Лекция 9 B4)
глубины обратной связи. Режимы хаотической генерации в этом случае
возникают жестким образом.
В случае стохастических автономных колебаний при увеличении
уровня мощности внешнего воздействия сначала наблюдается умень-
уменьшение интенсивности шума в спектре мощности колебаний, а затем
резкий переход в режим много- частотных регулярных колебаний.
Дальнейшее увеличение мощности воздействия приводит к подавле-
подавлению генерации на всех частотах, кроме частоты внешнего воздействия.
Процесс дестохастизации облегчается, если частота воздействия близка
к одной из собственных частот кольцевой системы. Уровень мощности,
необходимый для срыва стохастического режима, тем ниже, чем слабее
обратная связь и меньше полоса пропускания фильтра.
Изменение свойств стохастических режимов, при воздействии
на ЛБВ-генератор внешнего регулярного сигнала, изучалось
экспериментально на модели генератора, состоящего из ЛБВ,
фильтра и линии задержки, за-
замкнутых в кольцо. Внешний
гармонический сигнал подавал-
подавался на вход ЛБВ. В экспери-
эксперименте параметры системы оста-
оставались фиксированными, а ам-
амплитуда и частота внешнего
воздействия менялись. В ав-
автономном режиме работы ге-
генератора наблюдались хаоти-
хаотические колебания, возникшие
в результате последовательно-
последовательности бифуркаций удвоения пери-
периода (рис. 9.20 а). В зависимости
от параметра расстройки х =
= /вн//о частоты внешнего воз-
воздействия /вн от частоты /о ра-
рабочей моды генератора наблю-
наблюдались следующие три случая
[82]. При нерезонансном воз-
воздействии (х — иррациональное)
с ростом амплитуды воздей-
воздействия колебания все более и бо-
более усложняются (рис. 9.20 6).
Странный аттрактор колебаний
в фазовом пространстве зани-
1,2 /
работы ЛБВ-
а — автономный хаоти-
режим, б — неавтономный
при нерезонансном внешнем
Рис. 9.20. Режимы
генератора:
ческий
режим
воздействии, в — неавтономный режим
при резонансном воздействии
мает больший объем, его фрак-
фрактальная размерность растет. При резонансном воздействии (х — раци-
рациональное) сначала происходит частичное «упрощение» спектра хаоти-
хаотической генерации (в спектре мощности возникают отчетливые пики на
комбинационных частотах mi/BH ± 7712/0, ^i и 1т>2 ~~ целые), а затем
жестко исчезают стохастические автоколебания, после чего в системе
в результате нелинейной синхронизации рабочей моды внешним сигна-

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 591
лом возникают регулярные режимы с различным периодом. Синхрон-
Синхронное воздействие (х — целое) приводит к мягкому разрушению хаотиче-
хаотической генерации. При этом наблюдаются последовательные бифуркации
удвоения базового периода 7q = l//o хаотических колебаний, в спектре
рождаются субгармоники /о/2, размерность аттрактора уменьшается.
При некотором критическом значении амплитуды внешнего воздей-
воздействия в системе возникают сначала режимы периодической автомо-
автомодуляции, а затем стационарная генерация на частоте /вн внешнего
воздействия (рис. 9.20 в).
На сегодняшний день ЛБВ-генератор с внешней обратной связью,
наряду с генератором обратной волны О-типа, о котором скажем чуть
ниже, является самым исследованным СВЧ-генератором шума. На
плоскостях параметров различных его модификаций найдены области
регулярных и хаотических режимов, подробно исследованы сценарии
перехода к хаосу для одномодовых и отчасти для многомодовых ре-
режимов, изучена динамика ЛБВ-генератора с плазменным заполнением
и выявлены особенности нелинейной динамики в этом случае [88,89].
Однако до сих пор остается невыясненным ряд важных вопросов. Так,
например, много неясного в осмыслении физических основ шумовой
генерации в распределенной активной среде с глобальной неустойчиво-
неустойчивостью «электронный поток-бегущая электромагнитная волна с внешней
обратной связью». Непонятно до конца, как влияет распределенность
рассматриваемой системы на механизмы перехода к хаосу, особенности
сценариев перехода к хаосу, в случае когда существенными оказывают-
оказываются несколько мод.
Хаотические автоколебания в лампе обратной волны О-
типа. Вопросам нелинейной динамики распределеной активной среды
«электронный поток-обратная электромагнитная волна» была посвя-
посвящена отдельная лекция первого тома (лекция 13). Поэтому здесь не
будем останавливаться подробно на этом вопросе. Скажем только, что
как численно на основе нелинейной нестационарной теории, так и экспе-
экспериментально с помощью специально сконструированных макетов ЛОВ,
в которых уменьшена роль пространственного заряда и увеличена дли-
длина пространства взаимодействия, был обнаружен переход к хаосу через
постепенное усложнение формы автомодуляции выходного излучения.
При этом с ростом бифуркационных параметров (тока пучка или длины
системы) наблюдалось несколько характерных переходов порядок-хаос
и хаос-порядок, заканчивающиеся установлением развитых хаотиче-
хаотических колебаний (гиперхаоса), размерность D странного аттрактора
которых весьма высока D > 6,0 [171].
Клистрон бегущей волны (КБВ). Возникновение хаотических
автоколебаний в генераторе на основе двухрезонаторного пролетного
клистрона, охваченного внешней обратной связью подробно рассмат-
рассматривалось в лекции 2 первого тома, где приводились соответствующие
численные и экспериментальные данные. Остается открытым вопрос
о возможности возникновения хаотической динамики в клистроне бе-
бегущей волны с внешней обратной связью (КБВ-усилитель обсуждался

592
Лекция 9 B4)
2
5
нами в лекции 11 первого тома). Теоретически возможность генерации
хаоса в КБВ с обратной связью была показана в работе [90].
Рассматриваемая система состояла из двух одинаковых парал-
параллельных волноводов, пронизываемых ленточным электронным пуч-
пучком (рис. 9.21). Сигнал поступает в первый волновод, модулирует
электронный пучок, в области дрейфа между волноводами электро-
электроны группируются, а во втором волноводе возбуждается синхронная
с основным сигналом волна переменного тока пучка. Часть сигна-
сигнала с выхода клистрона подается через цепь обратной связи на его
вход. Если ширина спектра сигнала До; мала по сравнению с полосой
усиления прибора, то амплиту-
амплитуда генерируемого сигнала будет
описываться следующим уравне-
уравнением с запаздывающим аргумен-
аргументом:
Alt) « 7 \а ~ -^31 , (9.68)
v_ L 8 \t-T
где Т — время прохождения
^ сигнала по замкнутой системе,
7 — управляющий параметр. Это
Рис. 9.21. Схема КБВ-генератора уравнение может быть сведено
с внешней обратной связью: 1 - цепь r отображению:
внешней обратной связи; 2 — коллек- ^
тор; 3 — вывод ВЧ-мощности; 4 — .
электронный поток; 5 — волноводы;
6 — катод
описывающему динамику ампли-
амплитуды колебаний Ап в дискретные моменты времени tn = to + пТ, п —
целое число. Из теоретического анализа подобных отображений извест-
известно, что асимптотическое поведение Ап при п —> ос зависит от парамет-
параметра 7 и с ростом 7 демонстрирует хаотическое поведение G > 2,302).
Переход к хаосу происходит через каскад бифуркаций удвоения пе-
периода. Таким образом, можно было бы ожидать, что при увеличении
параметра 7 B КБВ-генераторе должна наблюдаться последователь-
последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающаяся установлением
режимов хаотической генерации. Однако численное моделирование
уравнений КБВ-генератора с запаздывающей обратной связью пока-
показало, что простейшая модель (9.69) описывает в общих чертах лишь
установление режимов с неизменной амплитудой. В случае автомоду-
автомодуляционных и хаотических колебаний эта модель становится неверной,
так что вопрос о возможности появления хаотических режимов в КБВ-
генераторе остается открытым.
Оротрон. Стохастические автоколебания обнаружены и в элек-
электронных системах с открытыми резонаторами — генераторах дифрак-
дифракционного излучения или оротронах (см. лекцию 15 первого тома).
Необходимые условия для стохастической генерации в оротроне были
реализованы в устройствах с многократным пролетом электронного
потока [91], так называемых отражательных оротронах.
= j\An--A3n \, (9.69)

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
593
30,0
20,0
10,0
0,0
4 ГГц
I Оротрон
40 МГц
40
МГц *
Рис. 9.22. Одновременное возбуждение стохастических колебаний в режиме
оротрона и ЛБВ
Экспериментальные исследования энергетических и частотных ха-
характеристик таких генераторов показали, что при определенных зна-
значениях угла пролета в поле отражателя и в определенных интервалах
рабочего тока / оротрон работает в режиме генерации шумового сигна-
сигнала. Возбуждение стохастических автоколебаний обычно наблюдается
в тех частях зоны генерации, где в одночастотном режиме колебания
возбуждаются «жестко» (см. лекцию 15 первого тома). Энергетические
и частотные характеристики возможных режимов генерации в оро-
троне с многократным пролетом электронов могут изменяться путем
изменения напряжения на отражателе. Так, при ///о > 60, где /о —
пусковой ток, в зависимости от угла пролета прибор работал в одно-
частотном, многочастотном регулярном или стохастическом режимах
(см. том 1, рис. 15.10).
Было обнаружено, что стохастические автоколебания в оротроне
сопровождаются стохастической генерацией на прямой поверхностной
волне, соответствующей режиму ЛБВ, но вблизи несущей, сдвинутой
вверх по спектру на 4 ГГц (рис. 9.22). Мощность этих сигналов была
на 10 -г- 15 дБ ниже. Обратную связь в этом случае осуществлял отра-
отраженный поток электронов, а выбор режима работы генератора произ-
производился изменением ускоряющего напряжения электронного потока.
Вынужденные колебания неавтономного генератора дифракцион-
дифракционного излучения изучались численно на основе укороченных уравнений
оротрона [92]. Внешний полигармонический сигнал подавался непо-
непосредственно в открытую колебательную систему генератора. Вычисля-
Вычислялись фазовые траектории, показатели Ляпунова и автокорреляционная
функция. Исследовалось монохроматическое и бигармоническое воз-
воздействие. При монохроматическом воздействии обнаружена прерыви-
прерывистая импульсная генерация, которая в реальном приборе в момент сры-
срыва колебаний за счет случайных возмущений может приводить к сто-
хастизации режима. В случае бигармонического воздействия в системе
могут возбуждаться синхронные, квазипериодические и стохастиче-
стохастические колебания. Стохастические автоколебания набладались в широкой
области изменения глубины обратной связи и относительной расстрой-
38 Трубецков, Храмов

594 Лекция 9 B4)
ки частот двух внешних сигналов. Смена режимов имела место при
изменении любого из этих параметров. Анализ фазовых портретов вре-
временной динамики процессов и спектров мощности колебаний позволил
выявить разнообразные переходы к хаосу, в том числе и бифуркации
удвоения периода колебания на комбинационной частоте.
Пучково-плазменный разряд. Мощным источником шумового
излучения самых различных диапазонов является пучково-плазмен-
пучково-плазменный разряд (ППР) [93,94]. Обычно ППР формируется при сильных
магнитных полях, исключающих поперечные смещения электронов,
а также в случае одномерных и четко ограниченных в поперечном
направлении систем, когда определяющим коллективным процессом
в низкотемпературной плазме является гидродинамическая пучковая
неустойчивость.
Пучково-плазменный разряд можно рассматривать как многомодо-
вую распределенную автоколебательную систему с хаотическим пове-
поведением; причем существуют физические эксперименты, подтверждаю-
подтверждающие динамическую природу шумового излучения ППР [95].
Генерация радиоизлучения из плазмы с шумовым спектром
в окрестности электронной плазменной частоты, идентифицированная
как ППР, наблюдалась в экспериментах с интенсивными электронными
пучками (напряжение ускорения и ток пучка составляли Uq = 1 кВ,
/о = 200 -г- 300 мА), инжектируемыми в плазменную камеру с гелиевым
заполнением [95]. Пороговое давление зажигания ППР в отсутствие
магнитного поля составляло приблизительно 1,33 Па A0~2 тор) при
/0 = 20 мА.
Плотность плазмы в ППР была на 1-2 порядка больше плотно-
плотности пучка и достигала 10псм~3. Плазменное образование имело вид
аксиально симметричного относительно оси пучка тела с диффузны-
диффузными границами. Были обнаружены сильные НЧ-колебания плотности
электронов в ППР. Самые низкочастотные колебания — «мерцания» —
представляли собой спонтанные зажигания и срывы разряда с часто-
частотами 10 -г- 100 Гц и наблюдались в околопороговой области параметров.
Мелкомасштабные широкополосные колебания в диапазоне частот до
ионной плазменной частоты имели характерную пичковую структуру,
позволяющую связать их генерацию с модуляционной неустойчивостью
возбуждаемых пучком высокочастотных волн.
В радиодиапазоне зажиганию ППР соответствовало резкое измене-
изменение спектра, который становился сплошным и широкополосным с вы-
выбросами на монохроматических составляющих излучения в предраз-
рядном состоянии. При продвижении в область существования ППР
ВЧ-спектр сдвигается в область более высоких частот и расширяется.
Осуществление начальной модуляции пучка по скорости приводит
к возникновению стимулированного ППР. Уменьшение порогового тока
в случае стимулированного ППР составляло 25 -г- 30%. Если частота
модуляция осуществлялась на частоте /т, лежащей в диапазоне излу-
излучения спонтанного ППР, излучение становилось монохроматическим
с частотой /ш. Если /ш лежит вне этого диапазона, то одновременно

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 595
регистрировались монохроматический сигнал с частотой /ш и широко-
широкополосный сигнал в интервале частот между /ш и границей диапазона
излучения спонтанного ППР. Мощность излучения индуцированного
ППР превышала мощность спонтанного ППР на 20 -г- 30 дБ.
Анализ реализации генерируемых колебаний показал, что колеба-
колебания представляют собой амплитудно-модулированные цуги с почти по-
постоянной длительностью, а перескоки между цугами происходят через
интервалы времени, близкие к удвоенному времени пролета электронов
через область взаимодействия. В режиме с наличием в спектре и мо-
монохроматической, и широкополосной компонент спонтанные перескоки
происходят между колебаниями на частоте модуляции и короткими
квазимонохроматическими цугами с хаотически меняющейся частотой.
На основании аналогии между характеристиками колебаний в ППР
с колебаниями в генераторах шума на ЛБВ была построена каче-
качественная модель ППР как многомодовой автоколебательной системы.
Внутренняя обратная связь в такой системе обусловлена частичным
отражением электронов пучка и генерируемых плазменных волн.
Механизмы перехода к хаосу в релятивистских
электронно-волновых системах
1. Стохастическая неустойчивость движения электронов.
Достаточно часто в неравновесных активных средах, содержащих ре-
релятивистские электроны-осцилляторы, наблюдаются жесткие перехо-
переходы к хаосу от режимов одночастотной или двухчастотной генерации.
Такие переходы наблюдались в ЛСЭ [96-98], в модельных эксперимен-
экспериментах со строфотроном [99], в гиротронах [100] и плазменно-пучковых
приборах [101]. При этом в рассматриваемых системах сначала воз-
возникают неустойчивости, приводящие к появлению колебаний на пара-
паразитных частотах, а затем при определенных амплитудах паразитного
колебания может возникать режим хаотической генерации. Коэффи-
Коэффициент усиления в этом режиме обычно значительно уменьшается на
всех излучаемых частотах, спектр излучения становится сплошным
и широкополосным с мощным шумовым выбросом в области самых
низких частот. Возможным механизмом хаотизации колебаний в этом
случае может быть перекрытие нелинейных резонансов [102].
В самом деле, режим работы рассматриваемых электронно-волно-
электронно-волновых систем во многом определяется динамикой электронов в поле элек-
электромагнитной волны, а в некоторых случаях — еще и в периодическом
или постоянном магнитном (электростатическом) поле. Достижение
высоких КПД в таких системах возможно только в том случае, ког-
когда в пространстве взаимодействия выполняется условие синхронизма
электронов и волны. При этом электроны оказываются захваченными
в движущуюся потенциальную яму, созданную пондеромоторными си-
силами бегущей волны и магнитного (или статического электрического)
поля. Захваченные электроны осциллируют вблизи дна потенциальной
ямы с некоторой характерной частотой Г?осц относительно устойчиво-
38*

596 Лекция 9 B4)
го состояния равновесия. Например, в ЛСЭ электроны осциллируют
с синхротронной частотой, в гиротроне — с гирочастотой, в убитроне —
с баунс-частотой.
В режиме высокого КПД преобладает инерционная группировка
электронов, когда малое изменение энергии частиц под действием СВЧ-
поля приводит к сильной фазовой группировке этих частиц. Каждый
электрон в этом случае можно рассматривать как элементарный осцил-
осциллятор, а любое возмущение (например, паразитное колебание конечной
амплитуды) будет играть роль вынуждающей внешней силы. При этом
во всех вышеперечисленных приборах динамика электронов может
быть описана уравнением неавтономного нелинейного маятника (см.
лекцию 1A6), а также работу [103]):
^ + sin (р = A sin [ujt - kip + ф] , (9.70)
dr
где ip — изменение относительной фазы электронов; А — амплитуда;
uj — частота; к — постоянная распространения; ф — начальная фаза
волны.
Уравнение (9.70) представляет собой уравнение нелинейного
консервативного осциллятора, возбуждаемого внешней периодической
силой. Нелинейность колебаний такой системы означает ангармо-
ангармоничность, т. е. наличие в спектре гармоник и субгармоник основной
частоты, и неизохронность — зависимость частоты колебаний от
амплитуды внешнего воздействий. Эффект возмущения в этом случае
(т. е. уменьшение или увеличение амплитуды вынужденных колебаний)
определяется его фазой, которая, в свою очередь, зависит от частоты,
изменяющейся в силу неизохронности под действием возмущения. При
определенных условиях такая «обратная связь» приводит к развитию
стохастических колебаний.
Известно, что движение нелинейного осциллятора под внешним
воздействием (9.70) определяется взаимным расположением и шириной
резонансов на фазовой плоскости. Поясним это более подробно.
Если частота и внешнего воздействия близка к собственной частоте
нелинейной невозмущенной системы (в нашей нормировке в уравне-
уравнении (9.70) собственная частота равна единице), то имеет место нели-
нелинейный резонанс uj « 1.
На рис. 9.23 показана фазовая плоскость неавтономного осцилля-
осциллятора (9.70), преобразованного в автономный переходом к новым пере-
переменным угол-действие.
Резонансные зоны на фазовой плоскости такого осциллятора име-
имеют вид цепочек, состоящих из п областей. В каждой области име-
имеется устойчивое состояние равновесия типа «центр», соседние обла-
области разделяются неустойчивым состоянием равновесия типа «седло».
Сепаратриса, соединявшая два соседних седла, ограничивает область
нелинейного резонанса, внутри которой существуют фазовые коле-
колебания. В случае единственного резонанса имеет место стабилизация
резонанса нелинейностью: увеличение амплитуды колебаний вызывает

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
597
со
?
Рис. 9.23. Схема фазовых траекторий в окрестности двух нелинейных резо-
нансов. Заштрихованные области соответствуют изолированным резонанс-
резонансным зонам, А — ширина отдельного резонанса, S — расстояние между сосед-
соседними резонансами
вследствие неизохронности уход частоты от резонансного значения,
что прекращает рост амплитуды, а возникшая частотная расстройка
приводит к уходу резонансной фазы, амплитуда колебаний при этом
начинает уменьшаться, а частота возвращается к резонансной, затем
все повторяется.
Картина движения коренным образом меняется, если резонансов
хотя бы два. Если осциллятор, как в нашем случае, ангармоничен,
а возмущение A(t) содержит набор гармоник
A(t) = ^2 Аш sin moot,
(9.71)
то условие резонанса n-й гармоники колебаний автономной системы
с ттг-й гармоникой воздействия (9.71) имеет вид
п « ти. (9.72)
Такой резонанс называется резонансом (п + т)-го порядка.
Если условие (9.72) одновременно выполняется для нескольких ре-
резонансов, а ширина каждого резонанса достаточно велика, то области
отдельных резонансов перекрываются, сепаратрисы, их разделяющие,
разрушаются, и на их месте образуется так называемый стохастический
слой. Взаимодействие резонансов зависит от величины, называемой па-
параметром стохастичности S. Она определяется как отношение ширины
отдельного резонанса А к расстоянию между соседними резонансами
5 (см. рис. 9.23):
S = А/6. (9.73)
В случае изолированного резонанса S < 1. Перекрытие резонансов
возникает при S > 1. Понятно, что ширина резонанса определяется
амплитудой А внешнего воздействия. Если амплитуда воздействия

598
Лекция 9 B4)
мала, то электроны находятся внутри изолированного резонанса, т. е.
вблизи дна потенциальной ямы пондеромоторных сил. Их движение
регулярно. С ростом амплитуды возмущения резонансные области рас-
расширяются, амплитуда вынужденных колебаний электронов-осцилля-
электронов-осцилляторов также увеличивается. При некотором пороговом значении А
амплитуды воздействия происходит перекрытие резонансов. Потенци-
Потенциальные ямы, соответствующие отдельным резонансам, сливаются так,
что осциллятор начинает по случайному закону переходить из одной
«ямы» в другую. Возникает новый тип неустойчивости — стохастиче-
стохастическая неустойчивость [102], при которой динамика электрона-осцилля-
электрона-осциллятора не определяется более колебаниями внутри резонансной области,
а начинается «блуждание» по резонансам [103].
Заметим, что задача о перекрытии нелинейных резонансов связана
с существованием минимального хаоса и своеобразной формы его про-
проявления — стохастической паутиной [104,105]. Проблема минимального
хаоса состоит в отыскании условий, при которых малые области со
стохастическим поведением возникают при сколь угодно малом воз-
возмущении. Фазовое пространство гамильтоновой системы покрывается
некоторой мозаичной структурой — стохастической паутиной, пред-
представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга стохастическими
слоями.
Таким образом, фазовое пространство нелинейного осциллятора
оказывается «заполненным» системой нелинейных резонансов
(рис. 9.24). Их взаимодействие приводит к образованию в окрестности
сепаратрисы каждого резонанса стоха-
стохастического слоя, представляющего собой
область нерегулярного непредсказуемого
движения. Это обстоятельство было из-
известно еще Пуанкаре, который писал:
«Сложность этой картины движения на-
настолько поражает, что я даже не пыта-
пытаюсь изобразить ее». Решение этой зада-
задачи было впервые найдено В.К. Мельнико-
Мельниковым, который вычислил расщепление се-
сепаратрисы и нарисовал движение в стоха-
стохастическом слое [106]. В настоящее время
строго доказано существование в стохасти-
стохастическом слое квазислучайных траекторий
[107]. В системах с числом степеней свобо-
свободы п > 2 взаимодействие резонансов при-
приводит к случайному движению по резо-
резонансам — происходит диффузия Арнольда.
Стохастические слои различных резонан-
резонансов при этом пересекаются, образуя запу-
запутанную сетку. Схематически это показано
на рис. 9.24. Под действием возмущения
осциллятор движется таким образом, что все время сохраняется одно
из резонансных соотношений между частотами. В точках пересечения
со?
со
Рис. 9.24. Схема резонан-
резонансов Tl\U)\ + П2Ш2 + TIUJ =
= 0 для осциллятора с дву-
двумя степенями свободы, на-
находящегося под действи-
действием внешнего возмущения
с основной частотой ш

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 599
нескольких резонансных линий происходит случайный переход на одну
из них. Такое движение является стохастическим.
В реальных электронно-волновых системах этому движению со-
соответствует выход электронов из состояния фазового захвата и, как
следствие этого, переход системы в режим хаотических колебаний. Для
многих электронно-волновых систем удалось получить условия пере-
перекрытия нелинейных резонансов, позволяющие предсказать возникно-
возникновение хаотической динамики.
В рассматриваемых системах хаотизация движения может быть
обусловлена перекрытием следующих резонансов, соответствующих
различным видам индивидуального излучения электронов, черенков-
ских и циклотронных резонансов на нормальном и аномальном эф-
эффектах Доплера, а также параметрических резонансов, возникающих
при движении электронов в периодически неоднородной среде. Условие
перекрытия резонансов различной природы, так называемый критерий
стохастичности, был получен для разных электронно-волновых систем:
электронов в поле волнового пакета продольных волн [108], реляти-
релятивистских электронов в постоянном магнитном поле и в поле продоль-
продольной плазменной волны [109,110], электронов в поле двух волн в от-
отсутствие внешнего магнитного поля [102], релятивистских электронов
в заданном и самосогласованных полях поперечной электромагнитной
волны, распространяющейся перпендикулярно магнитному полю [111],
релятивистского электрона, движущегося в поле продольного вигглера
и двух поперечных волн [100], релятивистского электрона во внешнем
постоянном магнитном поле и в поле волны произвольной поляризации
при наличии среды, в частности, плазмы, а также для электрона, дви-
движущегося в поле волны, возбуждаемой пучком релятивистских элек-
электронов, движущихся в периодически неоднородной среде [112].
Можно оценить амплитуду электромагнитной волны, с которой
начинается хаотизация режима в том или ином приборе, что важно
с практической точки зрения. Было показано, например, что при дви-
движении электронов в периодически неоднородной среде возникновение
хаоса затруднено и возможно только для очень плотных пучков [112].
Это и в самом деле имеет место в ЛСЭ с переменным шагом ондулятора
[109]. Напротив, возникновение стохастической неустойчивости суще-
существенно облегчается в случае, если на захваченные частицы действует
частотно-модулированная волна, что также подтверждается числен-
численным экспериментом с ЛСЭ [97]. Отметим, что сопоставление для реля-
релятивистских и нерелятивистских частиц показывает, что в релятивист-
релятивистском случае стохастическая неустойчивость наступает при больших
амплитудах воздействия [112].
2. Движение ансамбля электронов-осциляторов в поле
электромагнитной волны. Методы анализа процессов стоха-
стизации. Условие перекрытия нелинейных резонансов для осцилля-
осциллятора (9.70) дает лишь критерий возникновения стохастической неустой-
неустойчивости для отдельно взятой частицы. Однако хаотизация излучения
в реальной электронно-волновой системе будет наблюдаться лишь
в том случае, если значительная часть электронов выйдет из состоя-

600 Лекция 9 B4)
ния захвата, причем скорость выхода должна быть достаточно вели-
велика, поскольку время взаимодействия частиц с волной в релятивист-
релятивистских приборах очень мало. При решении задачи о движении ансамбля
электронов в поле электромагнитной волны статистические методы
позволяют определить, какая часть электронов выходит из захвата,
как быстро это происходит, как меняется при этом энергия электро-
электронов. Для этого либо решают возмущенное кинетическое уравнение для
функции распределения электронов [96,113], либо используют методы
усреднения по ансамблю частиц [98], либо из уравнений движения для
отдельных частиц находят среднестатистические величины, например,
корреляционную функцию и дисперсию процесса [112].
При решении задачи методом кинетического уравнения можно най-
найти изменение среднего квадратичного от инварианта действия J, яв-
являющегося константой движения невозмущенного осциллятора. Оно
находится из уравнения диффузии, которое получается из кинетиче-
кинетического уравнения методом моментов [96]. Если движение осциллятора
(9.70) становится хаотическим, действие J начинает меняться случай-
случайным образом. При этом меру скорости, с которой электроны, покида-
покидающие область захвата, проходят через сепаратрису, ограничивающую
изолированный резонанс в пространстве угол-действие, определяет
коэффициент диффузии D действия J. Этот коэффициент находится
из уравнения диффузии. Зная коэффициент диффузии, можно найти
диффузионную длину Ld, на которой приблизительно половина частиц
выходит из захвата.
Оказывается, что каждое нетривиальное распределение частиц
df /dJ ф 0 является неустойчивым по отношению к возмущениям на
паразитных частотах [96]. Даже одночастотное возмущение с амплиту-
амплитудой в десять раз меньше, чем амплитуда основного сигнала, приводит
к хаотизации движения большинства захваченных частиц. Пороговое
значение амплитуды зависит прежде всего от соотношения частот
основного и паразитного колебаний. Скорость выхода (~ D) повыша-
повышается, а диффузионная длина L^ уменьшается с ростом амплитуды
возмущения [96]. Зависимость числа вышедших из области захвата
электронов от длины пространства взаимодействия более сложная.
Так, например, в ЛСЭ число вышедших частиц сначала растет при
увеличении длины вигглера, а затем осциллирует относительно неко-
некоторого среднего значения, что соответствует режиму периодического
перехода из захваченных в пролетные, и наоборот [96]. В случае, когда
диффузионная длина превышает длину пространства взаимодействия,
наблюдается резкое ухудшение характеристик прибора, в частности
падение КПД Скорость выхода и диффузионная длина сильно зависят
от вида спектра возмущения. Вычисления, проведенные для возмуще-
возмущения с узкополосным, широкополосным дискретным и широкополосным
непрерывным спектрами, показали, что для каждого случая имеет-
имеется собственный коэффициент, связывающий интенсивность диффу-
диффузии электронов с относительной мощностью излучения боковых полос
[96]. Самая интенсивная диффузия имеет место в случае воздействия
сигналом с широкополосным непрерывным спектром. Однако во всех

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 601
случаях коэффициент диффузии не зависит от энергии электронного
пучка, а диффузионная длина пропорциональна отношению энергии
паразитного колебания и энергии основного и уменьшается с ростом
этой величины. Аналитические и численные результаты при этом хо-
хорошо совпадают.
Средняя энергия частиц после возникновения стохастической
неустойчивости может сильно изменяться. Так, в случае, когда
волна распространялась строго перпендикулярно магнитному полю,
средняя энергия взаимодействующего с ней ансамбля электронов
после возникновения стохастической неустойчивости за время порядка
ста периодов увеличивалась, как показывают численные расчеты,
в 2,5 раза [112]. Это свидетельствует в пользу эффективности методов
стохастического ускорения и нагрева заряженных частиц. Напротив,
в других устройствах наблюдается эффект стохастического торможе-
торможения электронов [114], существенный при больших разностях начальной
скорости частицы и фазовой скорости электромагнитной волны.
Стохастическое торможение частиц сопровождается значительным
ростом КПД и возникает, как правило, в системах с нефиксированной
поперечной структурой высокочастотного электромагнитного поля.
3. Учет изменения энергии электронов. Хаотические пере-
перескоки между двумя состояниями. В условиях резонанса взаимо-
взаимодействие электромагнитной волны и электронов приводит к изменению
энергии и относительной фазы последних. В модели нелинейного ос-
осциллятора это соответствует движению в потенциальной яме с трением.
Уравнение движения электрона при этом принимает следующий вид:
х + jx + sin ж = Asinuit, (9.74)
где 7 — коэффициент, характеризующий диссипацию энергии.
Уравнение (9.74) подробно исследовано в нелинейной теории ко-
колебаний [172]. При определеннах условиях его динамика описывается
одномерным отображением окружности [115]. Для рассматриваемых
систем особый интерес представляет изменение характера движения
электронов при захвате их электромагнитной волной и при выходе из
захвата. В фазовом пространстве траектория частицы проходит при
этом через сепаратрису, разделяющую области захвата и пролета. Чис-
Численное исследование уравнения (9.74) показало, что помимо регулярно-
регулярного и стохастического движений в рассматриваемой системе возможны
режимы, когда частицы становятся то захваченными, то пролетными.
Кроме того, возможны режимы, когда после «долгоживущего» стоха-
стохастического движения частица начинает двигаться регулярно [115]. Та-
Такие движения соответствуют известным хаотическим переключениям
между двумя состояниями. Спектр излучения в этом случае содержит
мощный низкочастотный шумовой выброс; автокорреляционная функ-
функция быстро спадает.
4. Автомодуляционная неустойчивость. Решение задачи о ди-
динамике осциллятора в заданном поле электромагнитной волны основа-
основано на целом ряде ограничений и справедливо только в случаях, когда

602 Лекция 9 B4)
влиянием электронов на волну можно пренебречь. Во всех же реальных
приборах воздействие электронного потока на поле является суще-
существенным, что делает некорректным использование метода заданного
поля и требует решение самосогласованных задач. Конечно, электрон-
электронные СВЧ-приборы являются сложными распределенными активны-
активными системами и описание их динамики модельными уравнениями ти-
типа (9.70) является весьма приближенным. Особенности используемых
в релятивистской электронике волноведущих структур приводят к то-
тому, что в таких приборах одновременно могут возбуждаться несколько
мод. Другой отличительной их чертой является большая по сравнению
с длительностью электронных импульсов длительность переходных
процессов. Из всего сказанного следует, что полностью динамика мощ-
мощных релятивистских приборов может быть изучена только с помощью
нестационарной нелинейной теории, позволяющей описать процессы
установления колебаний и переходы из одного режима в другой. Подоб-
Подобные нестационарные нелинейные теории в настоящее время созданы
для многих приборов и устройств сверхвысокочастотной электрони-
электроники — систем типа «электронный поток-встречная (обратная) электро-
электромагнитная волна» (см. второй и третий параграф текущей лекции),
гиротронов [119,120], некоторых модификаций ЛСЭ (см. лекцию 2A7),
а также работы [114,121-125]), ЛБВ с запаздывающей обратной связью
(см. предыдущий параграф лекции), виркаторов [126-132], клистрон-
ных генераторов с запаздывающей обратной связью [133-135] и т. д.
Решение нестационарных нелинейных уравнений для различных
релятивистских приборов с распределенным взаимодействием и экс-
экспериментальные исследования показали, что в большинстве перечис-
перечисленных выше системах в зависимости от величины бифуркационных
параметров (таких как ток пучка, электрическая длина системы, рас-
расстройка частоты осцилляции электронов и частоты электромагнит-
электромагнитной волны, рассинхронизм электронного импульса и волны и др.) мо-
могут существовать сменяющие друг друга одночастотные, многочастот-
многочастотные и стохастические режимы пространственно-временных автоколе-
автоколебаний. Разнообразие режимов связано с особенностями нелинейных
процессов взаимодействия электронов с электромагнитными полями
и распределенностью рассматриваемых активных автоколебательных
сред. Типичным переходом к хаосу с ростом управляющего пара-
параметра представляется следующая последовательность режимов: ста-
стационарная одночастотная генерация—периодическая автомодуляция—
стохастическая автомодуляция, хотя конкретная реализация в различ-
различных приборах этой последовательности режимов может иметь свои
весьма отличные от других подобных систем черты.
Анализируя динамику распределенных электронно-волновых ав-
автоколебательных систем, можно выделить два основных механизма
автомодуляции [75,134,137].
Первый из них связан, с одной стороны, с запаздывающим характе-
характером обратной связи, которая может быть как внутренней, так и внеш-
внешней (т.е. по сути с тем, что автоколебательная система является рас-
распределенной), а, с другой стороны, с перегруппировкой электронных

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 603
сгустков в сильном поле (т.е. с амплитудной нелинейностью системы).
Естественно назвать этот механизм автомодуляции амплитудным. Ам-
литудный механизм является основным при возникновении автомоду-
автомодуляции выходного сигнала в лампе обратной волны, гирогенераторе со
встречной волной, пениотроне со встречной волной, виркаторе [136]
и т.д.
Второй механизм, который можно назвать частотным, заключа-
заключается в одновременной генерации нескольких мод высокодобротной ко-
колебательной системы, конкуренция которых и определяет нелинейную
динамику высокочастотного поля и сгрупированного тока. Этим ча-
частотный механизм отличается от амплитудного, который связан с мо-
модуляцией только одной собственной моды, тогда как остальные по-
подавляются в результате конкуренции. Важно, что при амплитудном
механизме нарастают главным образом возмущения амплитуды стаци-
стационарного состояния, а при частотном — фазы [75,137]. Частотный ме-
механизм характерен для резонансных генераторов — лазеров на свобод-
свободных электронах, ЛБВ генератора с запаздывающей обратной связью
(шумотрона), ЛОВ с сильными отражениями от концов замедляющей
системы [48,138].
5. Конкуренция различных сценариев перехода к хаосу.
При определенных условиях в системах типа «поток сфазированных
электронов-осцилляторов-электромагнитное поле» может наблюдать-
наблюдаться конкуренция переходов к хаосу, характерных для консервативных
и диссипативных систем. Так, в модельных экспериментах с нереляти-
нерелятивистским строфотроном г) (см. лекцию 1A6)) в различных областях
изменения анодного напряжения и рабочих токов пучка наблюдались
три различные типа бифуркационных переходов от регулярных режи-
режимов колебаний к хаотическим [99]. В конкретном эксперименте [99]
ток пучка менялся в пределах 0 -г- 0,5 мА. При небольших значениях
анодного напряжения (Ua = 220 -г- 340 В) имел место жесткий переход
от режима двухчастотной генерации к хаотическому режиму с широ-
широким непрерывным спектром. Этот режим, как показали аналитические
и численные расчеты, возникал в результате стохастической неустойчи-
неустойчивости движения электронов из-за перекрытия нелинейных резонансов.
Для промежуточных значений напряжения (Ua — 340 -г- 420 В) наблю-
наблюдался чисто диссипативный переход — цепочка бифуркаций удвоения
периода автомодуляции. При Ua = 420 -г- 560 В возникала конкуренция
этих двух типов хаотизации движения.
6. Мультистабильность и гистерезис в системах с сильно-
сильноточными электронными пучками. При теоретическом исследова-
исследовании взаимодействия релятивистского электронного пучка, движущего-
х) Релятивистский строфотрон теоретически исследовался в работах [117,
118], где рассмотрены только регулярные режимы его динамики. В отличие
от нерелятивистского строфотрона релятивистский электронный пучок мо-
может совершать колебания как в электростатической, так и в магнитостатиче-
ской потенциальной яме. Действующего экспериментального макета такого
прибора не существует.

604 Лекция 9 B4)
ся в магнитном поле ондулятора и оптической волны было обнаружено
явление гистерезиса и бистабильности [139]. Гистерезис наблюдался
в кривой зависимости интенсивности излучения ЛСЭ, выходящего из
резонатора, в который была помещена исследуемая система, от интен-
интенсивности падающего луча. С уменьшением коэффициента отражения
зеркал резонатора ширина петли гистерезиса уменьшается. Бистабиль-
ность (мультистабильность), как известно, означает, что в рассматри-
рассматриваемой системе в одной и той же области параметров могут сосущество-
сосуществовать два (или более) устойчивых стационарных состояния, реализация
которых определяется выбором начальных условий. Часто бистабиль-
ность предшествует жестким переходам к хаосу [140] и может служить
причиной весьма распространенного типа хаотических колебаний —
быстрых переключений между двумя стационарными состояниями.
Такие переключения инициируются малыми собственными шумами
системы и приводят и появлению низкочастотного шумового спектра
вида 1//.
Учитывая важность возникновения мультистабильных состояний
в активных распределенных средах СВЧ-электроники, рассмотрим по-
подробнее другой пример бистабильности в сильноточных электронных
пучках — электронный пучок со сверхкритическим током в гидроди-
гидродинамической модели диода Пирса.
Напомним (подробнее см. лекцию 4 первого тома и лекцию 5B0)
этого тома), что динамика электронного потока в диоде Пирса в рамках
гидродинамического приближения описывается нелинейной самосогла-
самосогласованной системой уравнений Пуассона, непрерывности и движения:
Я2
% 2(р-п), (9.75)
дх2 хг
dp _ d(pv)
~dt = ~dx~'
(9.76)
?1 -VE1 - ! (9 77)
dt~ дх дх (9-77j
со следующими граничными и начальными условиями:
Т7(О,*) = 1, <p(Q,t) = Q, р@,*) = 1, <p(l,t) = Q. (9.78)
Нормировка физических величин рассмотрена в лекции 4 первого
тома. Параметр а = ojpL/v$ называется параметром Пирса и пропор-
пропорционален току электронного пучка; параметр п = \pi/ро\ характеризу-
характеризует степень компенсации пространственного заряда \ро\ невозмущенного
электронного потока ионным фоном с плотностью \pi\. В лекции 4
первого тома (см. также работы [141-143]) рассматривалась нелиней-
нелинейная динамика гидродинамической модели диода Пирса при условии
полной компенсации пространственного заряда пучка ионным фоном
(п = 1,0) и было показано, что в этой системе с уменьшением параметра
Пирса наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения
периода.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
605
Возникновение
виртуального
катода
1,00
2,50
Рис. 9.25. Разбиение плоскости параметров (а,п) на различные режимы
колебаний для гидродинамической модели диода Пирса. Символами Тп обо-
обозначены области периодических колебаний с циклами периода п, С — об-
области хаотической динамики, S — стационарных состояний в пространстве;
заштрихована область сильной мультистабильности, где сложно выделить
тип колебательного режима. На врезке показано схематическое изображение
структуры одной из областей параметров, в которых имеет место мультиста-
бильность (отмечена рамкой на рисунке)
Динамика гидродинамической модели усложняется при изменении
плотности п неподвижного ионного фона [144]. Соответствующая карта
режимов на плоскости управляющих параметров (а, п), построенная в
результате численного моделирования, представлена на рис. 9.25. При
расчете карты режимов для каждой пары значений параметров зада-
задавались «одинаковые» начальные условия в виде возмущения плотности
пространственнного заряда около однородного состояния равновесия
v(x) = vq, р(х) = poj Ц>(х) = 0 по закону
р(х, 0) =
(9.79)
Сечение карты режимов по линии п = 1,0 (штриховая линия на
рис. 9.25) соответствует колебаниям в классическом диоде Пирса с пол-
полной компенсацией пространственного заряда электронного потока. Со-
Соответствующая бифуркационная диаграмма колебаний плотности про-
пространственного заряда для этого случая была представлена на рис. 4.1
(лекция 4 первого тома книги).
Проводя выкладки, аналогичные выкладкам в лекции 4 первого
тома при выводе уравнений Годфри, можно получить систему связан-
связанных интегральных уравнений с запаздыванием относительно поля Eq
на входной сетке системы и времени пролета Т частиц через диодный
промежуток, эквивалентную системе гидродинамических уравнений,

606 Лекция 9 B4)
описывающих динамику электронного потока в диоде Пирса (9.75)-
(9.78), с произвольной степенью нейтрализации:
t
1 = — - I1 sin(a^/nT) H — E0(s) sin (ay/n (t - s)) ds.
n n ' ал/п J
t-T
(9.80)
па \п v
t
1 Г
— E0(s)(t-s) sin (ay/n(t-s))ds. (9.81)
t-т
Интегральные уравнения (9.80) и (9.81) полностью описывают динами-
динамику потока со сверхкритическим током и при п = 1,0 переходят в урав-
уравнения Годфри D.35) и D.38) (см. первый том книги).
Вид найденных интегральных уравнений с запаздыванием (9.80) и
(9.81) близок к уравнениям Годфри, с помощью которых в лекции 4
первого тома было показано, что при некоторых допущениях динамика
электронного потока со сверхкритическим током может быть каче-
качественно подобна динамике такой эталонной модели нелинейной теории
колебаний как логистическое отображение. Поэтому можно ожидать,
что нелинейная динамика электронного потока в диодном промежутке
с плотностью ионного фона, не сильно отличающейся от величины п =
= 1,0, будет демонстрировать похожее поведение.
Действительно, из рис. 9.25, иллюстрирующего последовательность
переходов между режимами колебаний в гидродинамической модели
диода Пирса при изменении плотности ионного фона и параметра Пир-
Пирса, следует, что основной сценарий перехода к хаосу тот же, что и при
условии п = 1,0: через каскад бифуркаций удвоения периода. Заметим,
что область, где существуют колебания и устойчивые стационарные со-
состояния в рамках гидродинамической модели Пирса, расширяется с ро-
ростом п и максимальна при п ~ 1,05 (перекомпенсированный электрон-
электронный пучок) 1). Однако в этом диапазоне управляющих параметров, т. е.
в случае, когда плотность ионного фона больше плотности простран-
пространственного заряда пучка (п > 1,0), динамика системы, как показывает
численный эксперимент, сильно усложняется. Усложнение динамики
определяется появлением неоднозначности (мультистабильности) на
плоскости управляющих параметров. При некоторых фиксированных
значениях плотности ионного фона и параметра Пирса система может
х) На карте режимов в области, отмеченной как «возникновение виртуаль-
виртуального катода», в гидродинамической модели имеет место неограниченный рост
амплитуды колебаний, что соответствует в физической модели формирова-
формированию в пучке со сверхкритическим током виртуального катода.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
607
1,4
0,9
п e2J 2,75 2,
Р
Рис. 9.26. Бифуркационные диаграммы колебаний плотности пространствен-
пространственного заряда в точке диодного промежутка х = 0,2 для различных значений
управляющих параметров: а, б — а = 2,735тг (бифуркационные диаграммы
строились с наследованием начальных условий соответственно с уменьшени-
уменьшением и увеличением управляющего параметра, вертикальными линиями отме-
отмечена область бистабильности); в — п = 1,04; г — а = 2,728тг (вертикальными
линиями показаны моменты резкого изменения состояния системы за счет
«перескока» с одного листа на другой при изменении управляющего пара-
параметра)
демонстрировать не один, а несколько режимов колебаний и зависимо-
зависимости от предыстории (начальных условий). Эта особенность динамики
на плоскости управляющих параметров отражается гистерезисными
складками и наличием нескольких листов, наложенных друг на друга,
на каждом из которых реализуется свой режим колебаний (см. врезку
на рис. 9.25). Так, одновременно в системе в зависимости от начальных
условий могут реализовываться как регулярные, так и хаотические
режимы колебаний плотности пространственного заряда.
Это иллюстрируют рисунки 9.26 а и б, на которых представлены
бифуркационные диаграммы колебаний плотности пространственного
заряда, построенные при одном и том же значении параметра Пир-
Пирса а = 2,735тг при изменении плотности п ионного фона. При этом
бифуркационные диаграммы строились с наследованием, т.е. в каче-
качестве начальных условий для расчета при новом значении параметра п
брались распределения величин в последний момент времени расчета
для предыдущего значения параметра (такая процедура может рас-
рассматриваться как адиабатически медленное изменение управляющего

608 Лекция 9 B4)
параметра). Медленное изменение параметра п может происходить
соответственно либо в сторону уменьшения (рис. 9.26 а), либо в сторо-
сторону увеличения (рис. 9.26 б) его значения. Если сравнить построенные
таким образом рисунки 9.26 а и б, то можно видеть, что в некотором
диапазоне изменения параметра п (отмечен вертикальными линиями
на рисунках) в системе имеет место бистабильность — в зависимости
от направления движения по параметру в системе реализуется два
различных колебательных режима. Последнее означает, что при из-
изменении управляющего параметра система находится на одном листе
и затем, дойдя до границы листа, «скачком» переходит на другой лист
(а следовательно, и другой режим). В результате в гидродинамической
модели диода Пирса в случае перекомпенсации электронного потока
могут наблюдаться жесткие переходы к хаотической динамике.
Последовательность изменения режимов колебаний и резкие пере-
перескоки системы с одного динамического режима на другой при измене-
изменении управляющих параметров а и п иллюстрируют рисунки 9.26 виг,
на которых представлены бифуркационные диаграммы, построенные
с наследованием при изменении соответственно параметра Пирса а
и нормированной плотности п ионного фона. Из них, во-первых, видно,
что с изменением управляющих параметров происходит переход к хао-
хаосу через бифуркации удвоения периода (последнее означает, что при
произвольной плотности ионного фона сохраняется тот же физический
механизм колебаний, что и в классическом диоде Пирса (см. лекцию 4
первого тома) — рост возмущений в системе наблюдается при малых
значениях амплитуды колебаний, который при превышении некоторого
порога сменяется ограничением неустойчивости и уменьшением ампли-
амплитуды колебаний). Во-вторых, из рисунков 9.26 в и г следует, что при
пересечении управляющим параметром значения, соответствующего
границе листа (см. врезку на рис. 9.25), в системе наблюдается резкое
изменение динамических режимов, включая переходы от периодиче-
периодических автоколебаний к хаотическим, т. е. жесткий переход к хаосу.
Бистабильность наблюдается и в гидродинамической модели диода
Пирса при п = 1,0 и наличии внешней запаздывающей обратной связи.
Такая система подробно была исследована в работах [145, 146] (см.
также лекцию 4 первого тома) и в ней была обнаружена в определенном
диапазоне управляющих параметров неоднозначность наблюдающего-
наблюдающегося режима. Напомним, что обратная связь вводилась в исследуемую
распределенную активную систему, описываемую уравнениями (9.75)-
(9.78) путем изменения граничного условия (9.78) для потенциала на
правой границе системы, а именно
</?A, t) = A- [p(xOc,t -d)- po] • (9.82)
Здесь А — коэффициент обратной связи, характеризующий какая
часть мощности колебаний ответвляется в цепь обратной связи, d —
запаздывание в цепи обратной связи, хос — 0,2 — точка пространства
взаимодействия, в которой подключается цепь обратной связи.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
609
Ртах
ртах
1,40
1,32-
1,24-
1,16-
1,08-
1,00
0,010
0,026
0,042
0,058
0,074
0,090
Рис. 9.27. Бифуркационные диаграммы колебаний плотности пространствен-
пространственного заряда в точке х = 0,2 для одинаковых значений управляющих пара-
параметров, но для различных начальных условий. Бифуркационные диаграммы
строились с наследованием с левого края диапазона изменения бифуркаци-
бифуркационного параметра А = 0,01 (а); из центра диапазона А = 0,05 {б)
Рассмотрим динамику системы при параметре Пирса а = 2,86тг
и длительности запаздывания в цепи обратной связи d/T = 0,45, где
Т — характерный временной масштаб колебаний в системе без обрат-
обратной связи (т.е. при А = 0). Численное моделирование показывает,
что уменьшение величины коэффициента обратной связи А приводит
к усложнению колебаний. В диапазоне значений коэффициента обрат-
обратной связи А ~ 0,04 Ч- 0,07 в системе имеет место мультистабильность
(точнее бистабильность), когда в зависимости от вида начальных усло-
условий система приходит либо к одному, либо к другому динамическо-
динамическому режиму [173]. Наличие бистабильности и усложнение вида коле-
колебаний с уменьшением А иллюстрируют бифуркационные диаграммы
(рис. 9.27), построенные при одних и тех же вышеприведенных зна-
значениях управляющих параметров и при изменении коэффициента А
обратной связи, но при различных начальных условиях (распределени-
(распределениях величин р, v и ср в пространстве), с которых стартовала система. Об-
Область бистабильности отмечена на бифуркационных диаграммах вер-
вертикальными линиями. Из рисунка следует, что в фазовом пространстве
распределенной автоколебательной системы с запаздывающей обрат-
обратной связью сосуществуют аттракторы, соответствующие различным
режимам колебаний, как периодическим, так и хаотическим.
Последнее означает, что в фазовом пространстве каждому из режи-
режимов соответствуют две области начальных условий — два бассейна при-
притяжения аттракторов, стартуя из которых можно попасть либо на один,
либо на другой режим. Анализируя зависимость установившихся коле-
39 Трубецков, Храмов

610 Лекция 9 B4)
баний в распределенной системе от амплитуды начального возмущения
р (см. формулу (9.79)) при фиксированном коэффициенте обратной
связи в области бистабильности было обнаружено, что при возраста-
возрастании амплитуды начального возмущения относительно неустойчивого
состояния равновесия исследуемая система попеременно выходит либо
на периодический, либо на хаотический режим пространственно-вре-
пространственно-временных колебаний. Это иллюстрирует рис. 9.28, на котором снизу пред-
представлено схематическое строение структуры бассейнов притяжения 1)
хаотического (темная область) и периодического (светлая область)
установившегося режима колебаний. Как видно из рис. 9.28, при ма-
малых значениях р, ширина областей значений амплитуды р начального
возмущения (бассейнов притяжения), из которых система попадает на
тот или иной режим, увеличиваются прямо пропорционально величине
р. При этом бассейны притяжения стягиваются к неустойчивому со-
состоянию равновесия, которому соответствуют распределения величин
v(x) = vo, p(x) = ро, (р(х) = 0 и р = 0, при этом структура бассейнов
притяжения демонстрирует фрактальную природу — какой бы малый
диапазон изменения р вблизи неустойчивого состояния равновесия р =
= 0 мы не взяли бы, в нем всегда отыщутся бассейны притяжения
обоих аттракторов, причем их структура после соответствующего пе-
перемасштабирования шкалы начального возмущения р будет повторять
структуру бассейнов притяжения на более крупных масштабах (свойст-
(свойство скейлинга). Коэффициент скейлинга обнаруженной самоподобной
структуры бассейнов притяжения, определенный эмпирически из ре-
результатов численного анализа, равен Л « 2,5.
Аналогичная картина самоподобного строения бассейнов притяже-
притяжения в окрестности неустойчивых состояний равновесия была найдена
для систем с дискретным временем (отображений) [147], где коэффи-
коэффициент скейлинга определяется динамикой системы вблизи состояния
равновесия и численно равен значению максимального положительно-
положительного мультипликатора неустойчивой точки.
Для анализа явления бистабильности в распределенной системе
сведем описание нелинейной динамики электронного потока в диоде
Пирса с внешней обратной связью к дискретному отображению. Для
этого рассматрим отображение последования вида
Pm?=^[PmaxL (9-83)
где р^ах — п-и максимум на зависимости плотности пространственного
заряда от времени в некоторой точке пространства (для определен-
определенности будем рассматривать точку х = 0,2). Графически отображение
подобное отображению (9.83) строится путем нанесения на плоскость
х) Фактически, рассматривая возмущения в виде распределения линейной
моды (9.79) с различными амплитудами р», мы изучаем бассейны притяжения
распределенной системы (т.е. системы, обладающей бесконечным числом
степеней свободы) в некотором узком классе начальных возмущений относи-
относительно неустойчивого состояния равновесия.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
611
Ртах
1,05-
1,15 1,2 1,25 рптж
0
1
Рис. 9.28. Схематическое строение структуры бассейнов притяжения (внизу)
и отображение последования для диода Пирса (сверху), построенные при
значениях параметров обратной связи А = 0,05 и d = 1,803. Темные области
соответствуют хаотическому режиму, светлые — периодическому с периодом
три
точек с координатами (рт1^ •> Ртах) •> причем рассматривается совокуп-
совокупность временных реализаций, построенных с различными начальными
условиями (различными амплитудами у5). Результаты построения по-
подобного отображения представлены на рис. 9.28 (сверху), на котором
разным цветом нанесены максимумы временных реализаций системы
в режиме хаотической (темные точки) и периодической (светлые) точ-
точки. При этом для построения отображения (9.83) (см. рис. 9.28) исполь-
использовалась временная реализация колебаний системы как в установив-
установившемся режиме, так и в течении длительности переходного процесса.
Возможность построения дискретного отображения, описывающего
динамику распределенной активной среды определяется следующим
важным обстоятельством. Распределения всех величин описывающих
динамику распределенной системы (плотность и скорость электронно-
электронного потока, потенциал поля пространственного заряда) в анализируемые
моменты времени, когда значения плотности пространственного заряда
принимает максимальные значения ртах, имеют топологически подоб-
подобный вид. Для иллюстрации этого на рис. 9.29 представлены отрезки
временных реализаций p(t) и распределения плотности пространствен-
пространственного заряда в различные моменты времени, соответствующие макси-
максимумам функции p(t,x = 0,2). Соответствующие распределения при-
39*

612 Лекция 9 B4)
ведены для моментов времени, отмеченных на временной реализации
цифрами, и построены в режиме как хаотической, так и периодической
динамики. Видно, что функции р(х) в различные моменты, соответ-
соответствующие максимумам функции p(t), демонстрируют распределения
с двумя максимумами, причем второй максимум (возникающий вблизи
выходной плоскости х = 1,0 диода Пирса) по амплитуде меньше, чем
первый вблизи входной сетки.
Отметим, что подобные распределения р(х) плотности простран-
пространственного заряда вдоль длины системы сохраняются, как в течение
переходного процесса, когда амплитуда колебаний пространственно-
пространственного заряда пучка мала, так и после завершения переходного процесса
и установления либо хаотического, либо периодического режима. Бла-
Благодаря этому возможно описание распределенной системы с помощью
дискретного отображения, которое позволяет исследовать некоторые
наиболее важные аспекты динамики исследуемой системы, в том числе
и мультистабильность. Корректность описания системы с помощью
отображения последования определяется тем, что в каждый момент
дискретного времени, соответствующего максимуму на зависимости
p(t), система находится в состоянии, качественно подобном состоянию
в предыдущий момент дискретного времени. В этом случае единица
дискретного времени равна характерному периоду Т колебаний в си-
системе.
Исследуем вид восстановленного по временной динамике плотно-
плотности пространственного заряда отображения последования (9.83) (см.
рис. 9.28). Из анализа рис. 9.28 видно, что вблизи неустойчивого состо-
состояния равновесия, соответствующего условию р = 0,0 и находящегося
в точке A,0; 1,0) (отмечена на рисунке кружком), отображение по-
последования имеет вид прямой линии. Коэффициент ае наклона прямо-
прямолинейного участка, на котором динамика системы близка к линейной,
определяет коэффициент скейлинга и равен ае = 2,5. Данное значе-
значение равно величине коэффициента скейлинга, найденного из анализа
структуры бассейнов притяжения.
Отметим, что коэффициент скейлинга можно оценить и из линейной
теории развития неустойчивости Пирса, найдя максимальный инкре-
инкремент развития неустойчивости Пирса при данном значении параметра
а. Дисперсионное уравнение, определяющее возбуждение линейных
мод в диоде Пирса, приведено в лекции 4 первого тома (см. формулу
D.47) на с. 135):
{ejam [{w2 + 1) sin a + 2jw cos a] + awA - aw2 - 2jw) x
x (ш2-1)=0, (9.84)
где w = uj/ujp. Численное решение дисперсионного уравнения показы-
показывает, что в диапазоне значений управляющих параметров а ~ Зтг имеет
место одна преобладающая нарастающая линейная мода. Ее инкре-
инкремент развития неустойчивости, определяемый как к = \а Im (и/ир)\
(Im {и) < 0), равен к = 0,018. Тогда величина коэффициента скейлин-

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
613
О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Р
б °'8О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Рис. 9.29. Временная реализация (верхние рисунки) и распределение плот-
плотности заряда на длине пространства взаимодействия (нижние рисунки) для
периодического (а) и хаотического (б) режимов. Распределение р(ж), приве-
приведенное на нижних рисунках, строилось в моменты времени, которые обозна-
обозначены точками и цифрами на соответствующих временных реализациях

614 Лекция 9 B4)
га Л, зависящая от инкремента развития неустойчивости в линейном
режиме, определяется формулой Л = ехр[&Т], где Т — характерный
масштаб колебаний в системе. Оценка коэффициента скейлинга в этом
случае дает значение Л ~ 2,0, которое также хорошо соответствует
найденному из результатов численного моделирования.
При больших значениях ртах (в нелинейном режиме работы) из
рис. 9.28 видно, что полученное дискретное отображение (9.83) харак-
характеризуется сложной неоднозначной формой, что свидетельствует о том,
что корректное описание динамики исследуемой системы в виде модели
одномерного отображения невозможно, и следует использовать отоб-
отображение более высокой размерности. Анализ отображения (9.83) при
различных значениях коэффициента А обратной связи показал, что
вид отображения усложняется с ростом величины А. Так, при малых
коэффициентах связи Л, когда влияние обратной связи мало, отоб-
отображение можно рассматривать как одномерное с одним максимумом.
С ростом коэффициента обратной связи, когда в системе возникает
бистабильность, отображение теряет однозначность и становится дву-
двумерным. Наиболее просто, это учесть феноменологически введением
запаздывания в отображение (9.83), т. е. с помощью перехода к двумер-
двумерному дискретному отображению следующего вида:
Pm?=^[/»max./C«]- (9-85)
Введение запаздывания подсказывается структурой самой исследу-
исследуемой системы, в которой имеет место обратная связь с временем запаз-
запаздывания d, меньшим характерного временного масштаба Т динамики
системы без обратной связи. Последнее можно трактовать так, что
на значение переменной в п + 1-й момент времени оказывает влияние
значение переменной не только в n-й момент времени, но и в момент
дискретного времени, отстоящий на 2 единицы дискретного времени
(в п — 1-й момент времени).
Простейшим примером подобного двумерного отображения с запаз-
запаздыванием является эталонное для теории динамических систем отоб-
отображение Эно [174]
жп+1 = 1 - ах\ - Ьхп-и (9.86)
где а и b — управляющие параметры. Отображение Эно (9.86) можно
рассматривать как одномерное отображение с введенной в него запаз-
запаздывающей обратной связью xn+\ = G(xn,xn-i), гДе G' (х) — оператор
эволюции. Коэффициентом обратной связи здесь выступает параметр
b отображения.
В отображении Эно (9.86) возможно возникновение мультистабиль-
ных состояний, причем бассейны притяжения различных состояний де-
демонстрируют аналогичную самоподобную структуру вблизи неустой-
неустойчивого состояния равновесия @,0), скейлинговые свойства которой
также определяются инкрементом развития неустойчивости. При 6 —>- 0
(уменьшение коэффициента обратной связи) отображение Эно перехо-
переходит в логистическое отображение xn+\ = 1 — ах^, к которому, как было

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 615
Рис. 9.30. Эволюция неустойчивости и образование ансамбля структур
в дрейфующем электронном потоке в продольном магнитном поле; на фото-
фотографиях показано сечение пучка при перемещении экрана вдоль простран-
пространства дрейфа; увеличение номера кадра соответствует увеличению длины
дрейфа
показано в лекции 4 первого тома, при некоторых предположениях
сводится описание динамики гидродинамической модели диода Пирса,
и мультистабильность в данной системе исчезает. Такое же поведение
демонстрируют колебания в гидродинамической модели диода Пирса
при уменьшении коэффициента А обратной связи.
Сравнение распределенной автоколебательной системы со сверх-
сверхкритическим током и простой модели с дискретным временем пока-
показывает, что характерные особенности наблюдающейся мультистабиль-
ности имеют схожие черты: возникновение и фрактальная структура
бассейнов притяжения сосуществующих в фазовом пространстве ат-
аттракторов определяется динамикой систем возле неустойчивых состо-
состояний равновесия.
7. Образование и взаимодействие диссипативных авто-
автоструктур и ансамблей автоструктур в электронных потоках.
Под диссипативной автоструктурой понимается локализованное про-
пространственное образование, устойчиво существующее в диссипативных
неравновесных средах и не зависящее (в конечных пределах) от гра-
граничных и начальных условий [150]. Под это определение динамической
автоструктуры попадают многие эффекты и явления, наблюдающи-
наблюдающиеся в электронных потоках, взаимодействующих с электромагнитны-
электромагнитными полями на сверхвысоких частотах. Так, самым простейшим при-
примером образования структур в электронном потоке служит явление
группирования в пространстве, свободном от ВЧ-полей (пространство
дрейфа), невзаимодействующих частиц — электронов (кинематическая
группировка) (подробнее см. лекцию 2 первого тома, а также книги
[51,151]). Другой пример самоорганизующейся электронной системы —
электронное облако в магнетронном генераторе (или усилителе со скре-
скрещенными полями — платинотроне), которое в присутствии синхрон-
синхронной волны находит себе нужные контуры. Система электронных спиц
в пространстве взаимодействия магнетрона — несомненно динамиче-
динамическая автоструктура, хотя граничные условия определяют, по-крайней
мере, число формирующихся электронных спиц.
Примерами ансамбля автоструктур могут быть структуры, возни-
возникающие в полом цилиндрическом электронном потоке, который дви-

616 Лекция 9 B4)
жется в продольном статическом магнитном поле (последнее компен-
компенсирует силы рассталкивания в объемном заряде) [152-154]. В этом
случае электронный пучок неустойчив, и любые самые малые увели-
увеличения плотности пучка приводят к изгибу электронного слоя и увели-
увеличению начального малого возмущения. На рис. 9.30, взятом из рабо-
работы [152], представлены фотографии, иллюстрирующие эволюцию этой
неустойчивости в пространстве дрейфа. Другим примером ансамбля
автоструктур является цепочка вихрей на нелинейной стадии разви-
развития диокотронной неустойчивости в электронном потоке в скрещенных
статических электрическом и магнитном полях [155]. Электронные вих-
вихри в скрещенных полях — пример ансамбля структур с переменным
составом: при условиях вычислительного эксперимента, результаты
которого изложены в работе [155], сначала образуется три электронных
вихря, которые затем соединяются в два и, наконец, — в единственный
вихрь.
Формирование и последующее взаимодействие подобных динамиче-
динамических автоструктур в электронных потоках может приводить к возник-
возникновению пространственно развитого хаотического поведения и элек-
электронной турбулентности. Показательны здесь работы по электронной
турбулентности в активной среде, составленной из электронов-осцил-
электронов-осцилляторов, в которой имеет место кооперативное излучение (фазировка
электронов происходит через поле собственного излучения) [156-158]
(см. также лекцию 3A8)), а также работы по исследованию хаоти-
хаотической динамики в электронных потоках со сверхкритическим током
(виркаторах) [159-168] (также лекции 5B0), 6B1)). В последнем слу-
случае именно формирование и взаимодействие нескольких электронных
структур в электронном потоке с виртуальным катодом приводит к сто-
хастизации выходного излучения генераторов на виртуальном катоде
и возникновению турбулентного состояния в электронном пучке со
сверхкритическим током.
Управление хаотическими колебаниями
в распределенных системах сверхвысокочастотной
электроники
Одной из важных проблем, связанных с исследованием динами-
динамического хаоса и процессов структурообразования в автоколебатель-
автоколебательных системах электронно-волновой природы, представляется пробле-
проблема управления хаотическими колебаниями. Наиболее часто возникает
необходимость «избавится» от сложной нерегулярной динамики в ак-
активной электронной среде с сохранением некоторых важных особенно-
особенностей ее поведения. Последнее возможно достичь за счет применения
схем управления хаосом с помощью различных типов обратной связи.
В идеальном случае обратная связь должна представлять очень слабое
возмущение динамики системы (т. е. сигнал в цепи обратной связи
должен быть сравним с уровнем шумов), так чтобы интересующие нас
особенности поведения систем были сохранены.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 617
Проблема управления хаосом восходит к классической работе Отта,
Гребожи и Йорка [175], в которой было показано, что неустойчивые
периодические орбиты, составляющие «скелет» хаотического аттрак-
аттрактора динамической системы с малым числом степеней свободы [176],
могут быть использованы для управления динамикой нелинейной си-
системы, причем стабилизация неустойчивой периодической орбиты тре-
требует весьма малого возмущения поведения системы. В работе [175] был
предложен алгоритм управления хаосом, основанный на малых изме-
изменениях управляющего параметра р хаотической системы. Изменение
параметра осуществляется тогда, когда фазовая траектория системы
проходит через выбранное сечение Пуанкаре (в некоторой точке х),
чтобы направить ее к стабилизируемой неустойчивой орбите, которой
соответствует неустойчивая неподвижная точка xq в сечении Пуанкаре.
Величина и знак необходимого для стабилизации изменения параметра
Арп на п-м прохождении фазовой траектории через сечение Пуанкаре,
которое может рассматриваться как сигнал некоторой обратной связи,
определяется из линейной теории, когда текущее состояние системы хп
принадлежит окрестности неподвижной точки xq:
Здесь Хи и fu — собственное значение и сопряженный собственный век-
вектор неустойчивого многообразия неустойчивой неподвижной точки xq,
Axn = xn — xq — отклонение траектории х системы от неустойчивой
периодической орбиты. Дискретная коррекция (9.87) управляющего
параметра, пропорциональная величине Ах производится только тог-
тогда, когда фазовая траектория пересекает выбранное сечение Пуанкаре,
и до тех пор, пока необходимо поддерживать нахождение системы вбли-
вблизи неустойчивой орбиты, т. е. пока х ~ xq. Последнее связано с тем, что
присутствующие шумы уводят систему от неустойчивой периодической
орбиты, что требует компенсации подобного ухода в течении всего
времени стабилизации.
Алгоритм Отта, Гребоджи, Йорка (9.87) весьма сложно применить
к управлению хаотической динамикой распределенных электронно-
волновых ВЧ-систем, так как он требует точного определения состоя-
состояния системы и затем резкого изменения параметров системы в момент
прохождения сечения Пуанкаре во всем пространстве распределенной
хаотической системы. Здесь можно сослаться на теоретические работы
по управлению хаосом с помощью схемы (9.87) в электронном потоке
с виртуальным катодом [177, 178], из анализа которых понятно, что
практическая реализация подобной схемы применительно к распреде-
распределенной электронно-волновой системе весьма затруднительно.
В работе [177] с помощью численного моделирования методом круп-
крупных частиц рассматривались задача о подавлении формирования вир-
виртуального катода в диоде Пирса при а > тг с установлением режима
полного прохождения тока через пролетный промежуток и задача об

618 Лекция 9 B4)
установлении регулярных периодических колебаний виртуального ка-
катода при введении обратной связи вида (9.87).
При решении первой задачи в качестве управляющего сигнала бы-
была выбрана зависимость суммарного заряда, накопленного в диодном
промежутке:
1
Q(t) = p(x,t)dx + l. (9.88)
о
Управляющий сигнал воздействовал на величину плотности простран-
пространственного заряда на входе системы и формировался следующим обра-
образом:
P@,t) = p0 + jQ(t) + ^Q(tJ, (9.89)
где коэффициенты hi = —0,038 и h^ — 0,3 подбирались феноменологи-
феноменологически, q — безразмерный заряд одной крупной частицы.
Использование нестационарного граничного условия (9.89), которое
можно трактовать как нелинейную обратную связь, приводит к по-
подавлению формирования виртуального катода и установлению в систе-
системе однопоточного состояния электронного потока. Это иллюстрирует
рис. 9.31, взятый из работы [177], на котором показаны фазовые пор-
портреты электронного потока в режиме стабилизации однопотокового со-
состояния. Графики построены для значения параметра Пирса а = 1,5тг,
при котором инкремент развития неустойчивости Пирса максимален
(см. том I, лекция 4).
Рис. 9.31 а соответствует моменту времени t = 5, когда система на-
находится вблизи неустойчивого состояния однородного равновесия. По-
Последнее характеризуется однородным распределением в пространстве
скорости, плотности и потенциала:
v(x) = lfi, р(х) = 1,0, (р(х) = 0,0. (9.90)
В момент времени t = 6 виртуальный катод уже сформирован
(рис. 9.31 б), часть электронов в области х « 0,14 имеет скорость
близкую к нулю, однако отраженного потока еще нет. Появление
в потоке отраженных заряженных частиц иллюстрирует рис. 9.31 в,
построенный для момента времени t = 8. После появления отраженных
частиц начинает уменьшаться высота отражающего электроны потен-
потенциального барьера и число проходящих частиц резко увеличивается.
Далее процесс повторяется и в системе возникают колебания, которые
подробно обсуждались нами в лекции 5B0).
Рассмотрим теперь поведение системы при включении обратной
связи. Пусть обратная связь включается в момент времени t = 10. Уже
в момент времени t = 11 состояние электронного потока становится
близком к однородному состоянию равновесия (9.90) (рис. 9.31 г). Далее
в системе устанавливается режим полного прохождения электронного
потока через диодный промежуток, когда поведение системы описы-
описывается гидродинамическими уравнениями (9.75)-(9.77) (см. рис.9.31 д,

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
619
t=5
t=6
Рис. 9.31. Фазовые портреты (г;, х) электронного потока в диоде Пирса в ре-
режиме подавления колебаний виртуального катода с помощью нелинейной
обратной связи (9.89) (из работы [177])
построенный для момента времени t = 21). При этом имеют место коле-
колебания в пучке, аналогичные колебаниям в гидродинамической модели
диода Пирса (см. том 1, лекция 4). С течением времени амплитуда этих
колебаний стремится к нулю, и при t « 50 в диоде Пирса стабилизиру-
стабилизируется неустойчивое равновесие (9.90) (см. рис.9.31е).
В работе [177] также рассматривалась возможность подавления ха-
хаотических колебаний и установление режима периодических колеба-
колебаний виртуального катода в диоде Пирса с помощью алгоритма (9.87).

620
Лекция 9 B4)
V
о
1
Рис. 9.32. Спектры мощности колебаний плотности пространственного заря-
заряда электронного потока в области виртуального катода для режима разви-
развитого хаоса (а) и периодических колебаний при подключении обратной связи
(9.87) (б) (из работы [177])
Полученные результаты иллюстрирует рис. 9.32, на котором показаны
спектры мощности хаотических колебаний плотности пространствен-
пространственного заряда в точке х = 0,25 в системе без обратной связи и стабилизи-
стабилизированных периодических колебаний при подключении обратной связи
(9.87).
Таким образом, использование алгоритма (9.87) позволяет в ряде
случаев эффективно стабилизировать хаотическую динамику в рас-
распределенной электронно-волновой системе. Однако для управления
хаосом в системах СВЧ-электроники более перспективно использо-
использование схем с непрерывной обратной связью [179]. Последние пред-
предполагают синхронизацию системы с ее сдвинутым на один период
орбиты в прошлое состоянием посредством непрерывного изменения
доступного управляющего параметра, равного по величине e(t) =
— 7 (?М ~~ ?(^ ~~ Т)), где ?(?) — анализируемая переменная системы,
7 — коэффициент обратной связи и Т — период стабилизируемой
неустойчивой периодической орбиты. В случае, когда стабилизация
неустойчивой орбиты произошла, сигнал обратной связи e(t) сравним
с уровнем шумов в системе. Важно то, что вся требуемая для ста-
стабилизации орбиты информация, исключая информацию о периоде Т
неустойчивой орбиты и необходимом коэффициенте обратной связи
7, содержится в измеряемом временном ряде ?(?), т.е. определяется
автоматически в реальном времени. Схема управления хаосом с непре-
непрерывной обратной связью подробно анализировалась для систем с ма-
малым числом степеней свободы (см., например, [180-183]). Тот факт, что
в этой схеме отсутствуют дискретные «быстрые» изменения сигнала
обратной связи (9.87) делает ее более подходящей для управления
высокочастотной пространственно-временной хаотической динамикой.
Схема с непрерывной обратной связью использовалась и для управ-
управления пространственно-временным хаосом в распределенных колеба-
колебательных системах [184-187]. Так, в работе [186] исследовалась задача об
управлении хаотической динамикой в модели Гинзбурга-Ландау с по-
помощью большого (но конечного) числа малых локальных возмущений.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 621
Подобная техника позволила стабилизировать неустойчивые структу-
структуры хаотической пространственно-временной динамики. В работе [184]
рассматривалось управление хаотической генерацией импульсов в мо-
модели глобально связанных реакционно-диффузионных систем. Сигнал
непрерывной обратной связи, воздействующий на систему, предпола-
предполагался пространственно однородным, т.е. возмущение, вносимое в каж-
каждую точку пространства, было одинаковым. Последнее делает реа-
реализацию подобной схемы управления хаосом на практике достаточно
затруднительной.
Именно поэтому важно разработать методику управления хаосом
в электронно-волновой системе на основе схемы с непрерывной обрат-
обратной связью и простой реализацией, связанной с подачей сигнала обрат-
обратной связи на одну из границ распределенной системы. Рассмотрим в ка-
качестве исследуемой системы гидродинамическую модель диода Пирса
(9.75)-(9.77) в режиме хаотических колебаний.
Рассмотрим неустойчивые периодические пространственно-времен-
пространственно-временные состояния распределенной электронно-волновой среды, которые
будут аналогичны неустойчивым периодическим орбитам динамиче-
динамической системы с малым числом степеней свободы х). Первоначальную
информацию о наборе неустойчивых периодических орбит, присутству-
присутствующих в хаотическом аттракторе, позволяет получить построение гисто-
гистограмм времен возврата фазовой точки к фиксированным «стартовым»
состояниям, выбираемых случайным образом по всему хаотическому
аттрактору [188].
Если некоторая фазовая точка R^ принадлежит неустойчивому
циклу с периодом Т, то фазовая траектория, пройдя точки Ri+i, Ri+2,
..., R&, окажется вблизи исходного состояния с заданной точностью
е > 0:
||К<-К<+Го||<е, (9.91)
где т = Т/ At — период орбиты в дискретных единицах времени. Далее
строится распределение (гистограмма) времен возврата, по которой
легко выделить характерные времена соответствующих неустойчивых
периодических орбит, а затем отыскать и сами неустойчивые циклы.
При анализе неустойчивых пространственно-временных состояний
в диоде Пирса удобно рассмотреть временные колебания плотности
пространственного заряда р(жо, ?), снимаемые в фиксированной точке
хо пространства взаимодействия. С помощью алгоритма (9.91) в хаоти-
хаотическом аттракторе, восстановленном с помощью метода Такенса [189]
по колебаниям p(xo,t) в некоторой точке пространства, выделялись
неустойчивые орбиты, по которым далее определялись неустойчивые
пространственно-временные состояния.
х) Заметим, что наиболее простым «особым» состоянием электронного пуч-
пучка в диоде Пирса является неустойчивое состояние однородного равновесия
(9.90), которое является устойчивым при а < тг, далее при а > тг состояние
равновесия теряет устойчивость.

622 Лекция 9 B4)
На рис. 9.33 представлены гистограммы времен возврата при раз-
различных уменьшающихся значениях параметра Пирса а, что соответ-
соответствует усложнению хаотических колебаний в пучке. Из рисунка мож-
можно видеть, что в режиме ленточного хаоса1) (рис. 9.33 а,б) одна из
неустойчивых орбит в значительной степени доминирует в спектре
времен возврата, т. е. изображающая точка посещает ее значительно
чаще, чем другие неустойчивые орбиты. Заметим, что период наиболее
посещаемой неустойчивой орбиты в режиме ленточного хаоса меня-
меняется с уменьшением параметра Пирса. Действительно, как видно из
рис. 9.33 а,б, в случае а = 2,862тг наиболее посещаемой является орбита
с периодом Т = 12,177, при а = 2,861тг преобладающей уже становится
орбита с Т = 20,159.
Для режима развитого хаоса (см. рис. 9.33 в;г) набор неустойчи-
неустойчивых периодических орбит оказывается существенно сложнее. При этом
различные неустойчивые периодические состояния, как видно из пред-
представленных на рис. 9.33 гистограмм, посещаются системой более рав-
равномерно.
На рис. 9.34 показаны пространственно-временные распределения
р(ж, t) плотности пространственного заряда, соответствующие неустой-
неустойчивым периодическим состояниям развитой хаотической динамики
в диоде Пирса. Различные неустойчивые пространственно-временные
состояния, представленные на рис. 9.34, отличаются величиной своего
периода Т.
Рассмотрим теперь стабилизацию неустойчивых состояний изучае-
изучаемой распределенной автоколебательной системы [190].
Для стабилизации неустойчивого состояния равновесия (9.90) в ре-
режиме сложной хаотической динамики использовалась непрерывная
обратная связь, которая осуществлялась с помощью изменения значе-
значения потенциала на правой границе системы:
<р(х = 1,0, t) = /fb(*) = К(р(хпх, t) - p(xfix, t-d)), (9.92)
где К — коэффициент обратной связи и d — длительность задержки
в цепи обратной связи. В формуле (9.92) величина р(ж^х,?) представ-
представляет собой колебания плотности пространственного заряда в некоторой
фиксированной точке х = здх = 0,2 пространства. В случае установ-
установления режима стабилизации неустойчивого состояния, когда система
находится точно на неустойчивом состоянии равновесия, сигнал обрат-
обратной связи /fb будет сравним с уровнем шумов.
Таким образом, в отличие от работ [184,185,187,191-193], в которых
управление хаотической динамикой распределенных систем предпола-
предполагало влияние сигнала обратной связи на значения переменных во всем
пространстве исследуемой системы, в рассматриваемой в данном пара-
параграфе схеме сигнал непрерывной обратной связи приводит к изменению
г) Подробнее виды хаотической динамики в гидродинамической модели
диода Пирса обсуждаются в первом томе, лекция 4.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
623
щту
800
600
400
200
, 1,
а 0
ЩТ)
600
400
200
б о
N(T)-
120
80
40
в О
ЩТ)
120
40
20
40
60
80
100 Т
Hi. 1 .. . ...I
20 40
60
80
100 Т
20
40
60
80
100 Т
г 0 20 40 60 80 100 Г
Рис. 9.33. Гистограммы времен возврата фазовой траектории к фиксирован-
фиксированным точкам аттрактора при различных значениях управляющего параметра:
а - а = 2,862тг; б—а = 2,861тг; в - а = 2,859тг; г - а = 2,857тг

624
Лекция 9 B4)
Г=4,173
1М8,987
18,00
0,20
,00
/• \ ,-=^
22,00
Рис. 9.34. Вид неустойчивых периодических пространственно-временных со-
состояний различных периодов Т распределенной системы в режиме развитого
хаоса: (а) Т = 4,173, (б) Т = 18,987, (в) Т = 23,115

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
625
200
300
400
500
Рис. 9.35. Временные реализации колебаний p(xfix,t) в нестабилизируемой
системе (верхний рисунок), p3(xfix,t) в стабилизируемой системе (средний
рисунок) и сигнал ffb(t) в цепи обратной связи (нижний рисунок) для раз-
развитого хаоса (а = 2,857тг). Стрелкой отмечены моменты включения сигнала
непрерывной обратной связи
только граничных условий (которые становятся нестационарными),
что делает подобную схему более простой для реализации на практике.
Для стабилизации неустойчивого состояния равновесия длитель-
длительность задержки d в цепи непрерывной обратной связи (9.92) должна
быть достаточно малой: d < Тр/2, где Тр — временной масштаб коле-
колебаний в распределенной системе без обратной связи.
Результаты по управлению хаосом (стабилизации неустойчивого
состояния равновесия) в диоде Пирса представлены на рис. 9.35 для
режима развитых хаотических колебаний. Показаны временные реали-
реализации колебаний плотности р(ж^х,?) пространственного заряда неста-
нестабилизируемой системы, колебаний плотности р<?(ж^х,?) заряда в ста-
стабилизируемой системе и сигнала /fb(?) обратной связи с параметрами
К = 0,8 и d = 0,15. Стрелкой и штриховой линией показан момент
40 Трубецков, Храмов

626
Лекция 9 B4)
К
Рис. 9.36. Карты режимов колебаний в стабилизируемой внешней непрерыв-
непрерывной обратной связью распределенной системе на плоскости управляющих
параметров (К, d). Заштрихована область стабилизации неустойчивого со-
состояния равновесия
времени toe включения обратной связи. При t ^ toe в системе на-
наблюдаются хаотические колебания. После включения обратной связи
(t > toe) B распределенной автоколебательной системе наблюдается
быстрое уменьшение амплитуды колебаний, заканчивающееся стабили-
стабилизацией неустойчивого состояния равновесия. После короткого переход-
переходного процесса величина управляющего сигнала устанавливается весьма
малой по сравнению с сигналом до начала стабилизации. Последнее
означает, что в системе наблюдается стабилизация неустойчивого со-
состояния системы за счет обратной связи с весьма малой амплитудой
управляющего сигнала (управление хаосом).
Важным вопросом является определение области значений пара-
параметров К и d обратной связи, в которой возможно управление хаосом
в пучково-плазменной системе.
На рис. 9.36 показаны области значений параметров К и d обратной
связи, в которой возможно управление хаосом в диоде Пирса при а =
= 2,857тг. Из рисунка видно, что при малых коэффициентах обратной
связи имеют место хаотические колебания, подобные наблюдающим-
наблюдающимся в системе без обратной связи (область С на рис. 9.36). С ростом
величины К наблюдается разрушение хаотических колебаний и уста-
установление периодических автоколебаний (область Р). При этом сигнал
обратной связи не мал (амплитуда колебаний в цепи обратной связи
того же порядка, что и амплитуда колебаний /fb до момента включения
обратной связи), поэтому данный режим динамики нельзя считать
режимом управления хаоса. С дальнейшим увеличением К имеет место
установление режима управления хаосом (область S), когда в системе
стабилизируется неустойчивое состояние равновесия и система ведет
себя так, как это изображено на рис. 9.35. Ширина области S управ-
управления хаосом на карте режимов сильно зависит и от длительности
задержки d. Существуют пороговые значения длительностей d\ и d<i,
так что только в диапазоне d Е (rfi, d<i) наблюдается установление ре-
режима стабилизации неустойчивого состояния равновесия. При больших

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
627
величинах d и К возникают отражения электронов в пучке (область
V на рис. 9.36), когда исходные уравнения гидродинамической модели
(9.75)-(9.77) диода Пирса оказываются не справедливы.
Анализ устойчивости состояний стабилизируемой хаотической си-
системы с непрерывной обратной связью возможно провести с помощью
расчета максимального ляпуновского показателя Л [179,194]. Рис. 9.37
демонстрирует зависимость максимального ляпуновского показателя
Л от коэффициента К обратной связи для двух различных значений
параметра Пирса. Эта характеристика определяет границу примени-
применимости предложенного метода стабилизации хаоса. Так подавление ха-
хаотической динамики в системе с обратной связью возможно только
в тех интервалах К, где величина А(К) < 0. Этим интервалам со-
соответствуют области Р и S на рис. 9.36. Значения параметра К, при
которых возникает стабилизация неустойчивого состояния равновесия
(область S на рис. 9.36), показаны на рис. 9.37 стрелками для обоих
типов хаотической динамики. Видно, что установлению режима ста-
стабилизации предшествует рост ляпуновского показателя, а за порогом
стабилизации К — Кс величина А(К) линейно спадает.
Рассмотрим теперь стабилизацию неустойчивых периодических со-
состояний в распределенной хаотической системе. В этом случае исполь-
используется схема, в которой сигнал обратной связи формируется следую-
0,20 г
0,15
Рис. 9.37. Максимальный ляпуновский показатель А в зависимости от ко-
коэффициента К обратной связи. Штриховая линия соответствует режиму
слабохаотических колебаний (а = 2,862тг), сплошная — режиму развитого
хаоса (а = 2,857тг). Стрелкой отмечены значения Кс, начиная с которых
наблюдалась стабилизация неустойчивого состояния равновесия.
40*

628 Лекция 9 B4)
щим образом:
<р(х = 1,0, t) = fUt) = К{р{х^, t) - р(хпх, t - Tk)) = K?(t), (9.93)
где T& — длительность задержки в цепи обратной связи, равная вре-
временному периоду k-то неустойчивого периодического состояния.
Рассмотрим стабилизацию неустойчивого периодического
пространственно-временного состояния с наименьшим периодом 7\
(см. рис. 9.34 а). На рис. 9.38 показана пространственно-временная
динамика системы (распределения плотности пространственного
заряда p(x,t)) в случае свободных колебаний в системе и в режиме
стабилизации неустойчивого периодического состояния. Сравнивая
рисунки, видно, что в течение 2 -г 3 характерных временных
периодов 7\ в хаотической системе устанавливается периодическая
динамика, соответствующая динамике системы вблизи неустойчивого
периодического состояния (см. рис. 9.34 а).
Особенности влияния на диод Пирса непрерывной обратной связи
вида (9.93) можно проанализировать, рассмотрев зависимости макси-
максимальной ляпуновской экспоненты Л и среднего значения (?) сигнала
в цепи непрерывной обратной связи от коэффициента обратной связи
К. Соответствующие зависимости, построенные для случая длитель-
длительности задержки обратной связи, равной периоду стабилизируемого со-
состояния d = 7\, показаны на рис. 9.39.
При малых коэффициентах обратной связи в системе имеют место
хаотические колебания, не отличающиеся от колебаний в системе без
обратной связи (см. рис. 9.40 а, на котором представлена временная
реализация колебаний плотности пространственного заряда в сече-
сечении пролетного промежутка х = 0,2 в системе без обратной связи).
С ростом величины К наблюдается уменьшение сложности колебаний
в системе (уменьшается величина максимальной ляпуновской экспо-
экспоненты Л) и одновременно уменьшается амплитуда сигнала (?) в цепи
обратной связи. В некотором диапазоне коэффициента обратной связи
сигнал обратной связи становится равным нулю (серая область С на
рис. 9.39), а максимальная ляпуновская экспонента в этой области
Л < 0. Пространственно-временная динамика системы в этом случае
точно соответствует неустойчивому периодическому пространственно-
временному состоянию с периодом 7\. Это режим стабилизации хаоса,
который иллюстрируют рисунки 9ЛОб,в, на которых показаны колеба-
колебания плотности пространственного заряда в стабилизируемой системе
и сигнал в цепи обратной связи.
На зависимости Л (К) также следует отметить области, в которых
амплитуда сигнала обратной связи (?) не мала, однако Л < 0. Эти режи-
режимы, обозначенные на рис. 9.39 символом Р, соответствуют периодиче-
периодическим колебаниям системы вблизи неустойчивого состояния равновесия.
Вид периодических колебаний пространственного заряда и сигнала
обратной связи для этого случая показан на рис. 9.40гД При больших
значениях К > 0,15 в системе наблюдаются резкий рост амплитуды
колебаний и, как следствие, отражения частиц в электронном потоке.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
629
1,00-
0,80
0,60-
0,40
0,20-
0,00
20,00 40,00 60,00 0,00 100,00 120,00 140,00 t
1 1 i 1 1 i 1
О,-
0,60 |
0,40 |
0,20 |
0,00 :
20,00 40,00
I
1,35
1,25
1,15
1,05
0,95
0,85
0,75
60,00 0,00 100,00 120,00 140,00 t
Рис. 9.38. Пространственно-временная динамика диода Пирса в режиме раз-
развитого хаоса (а = 2,857тг) (а) и в режиме стабилизации неустойчивого состо-
состояния наименьшего периода Т± = 4,173 (б). На рисунках представлены рас-
распределения плотности пространственного заряда р(ж, t). Момент включения
обратной связи обозначен стрелкой и штриховой линией
Заметим, что методика управления хаосом с помощью непрерывной
обратной связи может быть применена и для устранения автомодуля-
автомодуляции в генераторе с обратной волной. В работах [195,196] рассмотрена
возможность подавления автомодуляции в лампе обратной волны за
счет цепи запаздывающей обратной связью, которая оказывает влия-
влияние на величину поступающего в пространство взаимодействия тока.

630
Лекция 9 B4)
Р С С
р Pi
-0,05
Рис. 9.39. Зависимость максимальной ляпуновской экспоненты А (сплошная
линия) и среднего значения (?) сигнала в цепи непрерывной обратной связи
(штриховая линия) от коэффициента К непрерывной обратной связи в ре-
режиме спирального хаоса (а = 2,857тг). Области С (выделены серым цветом)
соответствуют стабилизации неустойчивого периодического состояния наи-
наименьшего периода Т\ = 4,173 (сигнал в цепи обратной связи близок к нулю:
(С) ~ 0)? область Р — периодическим колебаниям (сигнал в цепи обратной
связи велик, максимальная ляпуновская экспонента А < 0), область Р2 —
режиму удвоения периода. Отметим, что на границах смены режима А = 0
В этом случае ток электронного пучка можно задать выражением
J(t) = I0+g(V(t)-V(t-At)), (9.94)
где V(t) — амплитуда высокочастотного потенциала на выходе ЛОВ,
At — время запаздывания, g — коэффициент обратной связи, имею-
имеющий размерность проводимости, (V(t) — V(t — At)) — напряжение на
выходе цепи непрерывной обратной связи.
Используя стандартную нормировку безразмерных переменных
и параметров ЛОВ-уравнение возбуждения обратной волны с учетом

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника
631
50 100 150 200 250 300
50 100 150 200 250 300
50
100
150 200
250
300
Рис. 9.40. Временные реализации колебаний p(xfix,t) в нестабилизируемой
системе (a), ps(xfix,t) в стабилизируемой системе в режиме стабилизации
неустойчивого состояния (К = 0,07, d = Т = 4,173) с наименьшим периодом
Т\ = 4,173 (б), сигнал /яь(?) в цепи обратной связи (в), pp(xf\^,t) и /яь(?)
(г и д) в системе в реж:име периодических колебаний (А < 0), отличном от
режима стабилизации неустойчивой орбиты (К = 0,035, d = Т\ = 4,173),
для режима спирального хаоса (а = 2,857тг). Стрелкой и штриховой линией
отмечен момент времени включения сигнала непрерывной обратной связи

632
Лекция 9 B4)
4f
3
О
10
20
Рис. 9.41. Зависимость безразмерной амплитуды поля \F\ на выходе ЛОВ
и величины сигнала обратной связи К от времени т при безразмерной длине
системы А = 3,5. Момент включения сигнала обратной связи показан стрел-
стрелкой, параметры обратной связи с = 0,95, Т = 0,8 (из работы [196])
обратной связи можно записать в виде
где величина К определяется сигналом обратной связи:
К{т) = 1 + J (F@, т) - F@, т-Т)),
<9-95'
J (9.96)
с ~ g и Т ~ At — безразмерные константы, характеризующие цепь
обратной связи. Уравнения, позволяющие найти первую гармонику
сгруппированного тока /, граничные и начальные условия для поля
и тока ЛОВ при этом не изменяются (см., например, параграф этой
лекции, посвященный автоколебаниям в системах со встречной (обрат-
(обратной) волной, или лекцию 14 первого тома книги).
На рис. 9.41, взятом из работы [196], показан пример зависимостей
амплитуды выходного поля и сигнала обратной связи от времени для
А = 3,5, когда в системе без обратной связи наблюдается режим ав-
автомодуляции генерируемого сигнала ЛОВ. Цепь обратной связи вклю-
включается в момент времени, отмеченный на рисунке стрелкой. Хорошо
видно, как автомодуляция затухает и в системе устанавливается режим
стационарной одночастотной генерации: амплитуда сигнала становится
постоянной и не зависящей от времени. При этом дополнительные
члены в соотношении (9.96) уничтожаются и К ~ 1. Это тот самый
режим, который находят в стационарной теории (см. том первый, лек-
лекция 12, стр. 388-391), но присутствие цепи непрерывной обратной связи
делает его устойчивым. При выборе параметров обратной связи с =
= 0,95 иТ = 0,8 режим стационарной генерации имеет место в диапа-
диапазоне безразмерной длины Ап < А < 3,7, в то время как в отсутствие

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 633
обратной связи автомодуляция возникает при А ~ 2,9. Таким образом,
удается увеличить порог автомодуляции по А примерно в 1,27 раз,
а по величине рабочего тока — в два раза A,27K. Отметим также, что
в соответствии с приведенными в работе [196] оценками метод подав-
подавления автомодуляции сигнала ЛОВ на основе идеи управления хаосом
с помощью непрерывной обратной связи представляется достаточно
просто реализуемым на практике.
Список литературы
1. Лидерман Л. Ценность фундаментальной науки // В мире науки.
1985. № 1. С. 4.
2. Больцман Л. Статьи и речи. О значении теории. — М. Наука, 1970.
С. 56.
3. Lorentz E.N. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963.
V. 20. P. 130.
4. Arnaud J. Bruit anormal dans les canons electroniques a champs
electriques et magnetique croises // Ann. Radioelct. 1964. V. 19, No 75.
P. 3.
5. Кузнецов СП. Турбулентное движение электронного потока
в скрещенных полях // ЖТФ. 1977. Т. 47, № 12. С. 2483.
6. Кислое В.Я., Млсин В.Е., Богданов Е.В. Генератор СВЧ широко-
лосных колебаний // Заявка № 984513/19-09 от 31.07.68.
7. Eckmann J.-P., Collet P. Iterated maps as dynamical systems. —
Basel, Birkhauser, 1980.
8. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова.
-М.: Мир, 1981.
9. Guckenheimer J., Holmes P.J. Nonlinear oscillations, dynamical
systems, and bifurcations of vector fields. — Berlin, Springer-Verlag,
1983.
10. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear dynamics and chaos. —
N.Y.: Wiley, 1986.
11. Неймарк Ю.И., Ланда П. С Стохастические и хаотические коле-
колебания. — М.: Наука, 1987.
12. Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
13. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. — М.:
Наука, 1990.
14. Мун Ф. Хаотические колебания. — М.: Мир, 1990.
15. Берже П., Помо П., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминисти-
детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.
16. Reichl L.E. The transition to chaos in conservative classical systems:
quantum manifistations. — N.Y.: Springer-Verlag, 1992.
17. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. — Cambridge Univ. Press, 1993.
18. Кузнецов СП. Динамический хаос. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

634 Лекция 9 B4)
19. Гинзбург Н.С, Кузнецов СП., Федосеева Т.Н. Теория переходных
процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика.
1978. Т. 21, № 7. С. 1037.
20. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Эксперименталь-
Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической
системе электронный поток-обратная электромагнитная волна //
Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, № 3. С. 180.
21. Безручко Б.П., Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Стохастические
автоколебания в системе электронный пучок-обратная волна //
Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. — Горький:
Институт прикладной физики АН СССР, 1980, С. 29.
22. Безручко Б.П., Булгакова Л.Б., Кузнецов СП., Трубецков Д.И.
Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических
автоколебаний в лампе обратной волны. // Лекции по электронике
СВЧ и радиофизике E-я зимняя школа-семинар инженеров). —
Саратов: Изд-во СГУ, 1980, С. 25.
23. Безручко Б.П., Булгакова Л.Б., Кузнецов СП., Трубецков Д.И.
Стохастические колебания и неустойчивость в лампе обратной
волны II Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 6. С. 1136.
24. Гинзбург П.С, Кузнецов СП. Периодические и стохастические
автомодуляционные режимы в электронных генераторах с рас-
распределенным взаимодействием // Релятивистская высокочастот-
высокочастотная электроника. — Горький: Институт прикладной физики АН
СССР, 1981, С. 101.
25. Электроника ламп с обратной волной. // Под ред. В.Н. Шевчика
и Д.И. Трубецкова. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.
26. Кузнецов СП., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные яв-
явления при взаимодействии электронного потока, движущегося
в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной // Изв.
вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, № 2. С. 300.
27. Гинзбург П. С, Зайцев П.П., Иляков Е.Б., Кулагин И. С, Новожи-
Новожилова Ю.Б., Сергеев А. С, Ткаченко А.К. Наблюдение автомодуля-
автомодуляционных режимов генерации в мощной ЛОВ // Письма в ЖТФ.
1998. Т. 24, № 20. С. 66.
28. Гинзбург П.С, Зайцев Н.И., Иляков Е.Б., Кулагин И.С, Но-
Новожилов Ю.Б., Сергеев А.С. Теоретические и эксперименталь-
экспериментальные исследования автомодуляционных режимов генерации 3-
сантиметровой ЛОВ с мегаваттным уровнем мощности // Изв.
вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 5. С. 60.
29. Гинзбург Н.С, Розенталь P.M., Сергеев А.С. О возможности
синтеза спектра излучения в секционированной релятивистской
ЛОВ // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, № 4. С. 71.
30. Levush Б., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y.
Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections //
IEEE Trans. Plasma Sci. 1992. V. 20, No 3. P. 263.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 635
31. Астахов С.А., Безручко Б.П., Зборовский А.В., Трубецков Д. И.
Исследование сложной динамики системы электронный поток —
обратная волна с отражениями (эксперимент и численное мо-
моделирование) II Материалы международной научно-технической
конференции «Актуальные проблемы электронного приборостро-
приборостроения». Том 1. 7-9 сентября 1998 г., Саратов, Россия. — Саратов:
Изд-во СГТУ, 1998, С. 39.
32. Рыскин Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д. И. Детали перехода к ха-
хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная
волна // Доклады РАН. 1998. Т. 358. С. 620.
33. Рыскин Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопа-
раметрической модели лампы обратной волны // Известия вузов.
Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 1. С. 75.
34. Титов В.Н. «Тонкая структура» процессов автомодуляции и пе-
перехода к хаосу в распределенной автоколебательной системе
«электронный поток-обратная электромагнитная волна». — Дисс.
к.ф.-м.н. Саратов, 2000, 186с.
35. Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н.,
Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ
(нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной дина-
динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, № 4. С. 61.
36. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомо-
автомодуляционной неустойчивости колебаний в связанных карсинотро-
нах // Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16, № 19. С. 8.
37. Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории авто-
автомодуляционных процессов в системе связанных гофрированных
волноводов, возбуждаемых прямолинейными электронными пото-
потоками // ЖТФ. 1991. Т. 61, № 9. С. 94.
38. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределен-
распределенных системах «электронный поток — встречная (обратная) элек-
электромагнитная волна» II Известия вузов. Прикладная нелинейная
динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 9.
39. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear
transformation // J. Stat. Phys. 1978. V. 19, No 1. P. 25.
40. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных си-
систем // УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 343.
41. Manneville P., Pomeau Y. Different ways to turbulence in dissipative
dynamical system // Physica D. 1. V. 1980. P. 219.
42. Manneville P., Pomeau Y. Intermittent transition to turbulence in
dissipative dynamical system // Comm. Math. Phys. 1980. V. 74.
P. 189.
43. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math.
Phys. 1971. V. 20. P. 167.

636 Лекция 9 B4)
44. Соколов Д.В., Трубецков Д. И. Нелинейные волны, динамический
хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники //
Проблемы физической электроники. — Л., 1988. С. 141.
45. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomorenko
V.I., Ryskin N.I. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave
devices // CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.
46. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электрон-
электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических
сигналов в виртодных системах // Изв. РАН, Сер. физ. 1997. Т. 61,
№ 12. С. 2391.
47. Трубецков Д.И., Дмитриев B.C., Красичков Л.В., Малюгина
М.А., Мчедлова Е.С., Ремпен И. С, Рыскин П.М., Храмов А.Е.,
Шараевский Ю.П. Волны, хаос и структуры в моделях распреде-
распределенных систем II Физическая мысль России. 2002. № 1/2. С. 132.
48. Трубецков Д.И., Ремпен И. С, Рыскин П.М., Титов В. П., Храмов
А.Е. Управление сложными колебаниями в распределенных си-
системах сверхвысокочастотной электроники // Радиотехника. 2003.
Т. 67, № 2. С. .
49. Теория лучевых приборов магнетронного типа // Под. ред. Д.И.
Трубецкова. Лекции по сверхвысокочастотной электроники B-я
зимняя школа-семинар инженеров по СВЧ-электронике и радио-
радиофизике) кн. 5. II Изд-во Сарат. ун-та, 1972.
50. Фейнштейн, Кайно. Лампа со скрещенными полями при большом
сигнале // Электронные сверхвысокочастотные приборы со скре-
скрещенными полями — М.: ИЛ, 1961. Т. I. С. 451-462.
51. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний
и волн.. — М.: Наука, 1984 (первое издание). 432с; 1992 (второе
издание). 456 с; М., Ижевск: РХД, 2000 (третье издание). 560 с.
52. Рабинович М.И. Автоколебания распределенных систем // Изв.
вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 4. С. 477.
53. Кузнецов СП., Моносов Г.Г., Трубецков Д.И., Четвериков А.П.
Некоторые вопросы теории пениотрона // Лекции по электронике
СВЧ и радиофизике. Матер. 5-й зим. школы-семинара инженеров.
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 8.
54. Четвериков А.П. О генерации колебаний в пениотроне на встреч-
встречной волне // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, № 14. С. 13.
55. Chetverikov A.P. Nonlinear Theory of Fast Wave Devices // Proc. of
17th Int. Conf. on Infrared and Millimeter Waves (Pasadena, USA),
Proc. SPIE. 1992. P. 398.
56. Chetverikov A.P. Nonstationary Theory and Simulation of the
Backward Wave Peniotron Oscillator // Int. J. of Infrared and
Millimeter Waves. 1993. V. 14, No 2. P. 213.
57. Кузнецов СП., Четвериков А.П. Нестационарная нелинейная те-
теория ультрарелятивистской ЛОВ на аномальном эффекте Допле-
Доплера // Изв. вузов, радиофизика. 1981. Т. 24, № 1. С. 109.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 637
58. Кузнецов СП., Четвериков А.П. К теории лампы обратной волны
с поперечным полем // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23,
№ 2. С. 385.
59. Шевчик В. П., Трубецков Д. И. Аналитические методы расчета
в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
60. Петелин М.И., Юлпатов В.К. Мазеры на циклотронном резо-
резонансе If Лекции по электронике СВЧ. Матер. 3-й зим. школы-
семинара инженеров. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. С. 95.
61. Высокочастотная релятивистская электроника // Горький: Изд-во
ИПФ АН СССР, 1979.
62. Лившиц Е.Н., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. — М.: На-
Наука, 1979.
63. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электро-
электронике. - М.: ИЛ, 1963.
64. Четвериков А.П. Периодические и хаотические автоколебания
в простых распределенных электронно-волновых системах // Изв.
РАН. Сер. физ. 1994. Т. 58, № 8. С. 171.
65. Четвериков А.П. Нелинейная динамика системы взаимодейству-
взаимодействующих встречных электромагнитной волны и электронной волны
с кубичной фазовой нелинейностью // Изв. вузов. Прикладная
нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 46.
66. Кузнецов СП. Сложная динамика генератора с запаздывающей
обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.
67. Котырев Е.А.. Плисе Л.Е. Спектральные особенности устойчивой
генерации колебаний в генераторах с запаздывающей обратной
связью в мягком режиме // Радиотехника и электроника. 1965.
Т. 10, № 9. С. 1628.
68. Пат. 3178655 (США). Кл. 331-78. High power source employing a
feedback path around a travelling wave tube / C.A. Ries, Y.E. Zellers.
No 152883; Заявл. 16.11.61; Опубл. 13.04.65.
69. Дихтяр В.Б., Кислое В.Я. Расчет колебаний автогенератора
с внешней запаздывающей обратной связью временным методом //
Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, № 10. С. 2141.
70. Кислое В.Я., Млсин Е.А., Залогин Е.Н. Исследование стохастиче-
стохастических автоколебательных режимов в автогенераторах с запаздыва-
запаздыванием II Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. С. 1118..
71. Кислое В.Я., Мясин Е.А., Залогин П.П. О нелинейной стохастиза-
ции автоколебаний в электронно-волновом генераторе с задержан-
задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1980. Т. 25,
№ 10. С. 2160.
72. Кислое В.Я. Теоретический анализ щумоподобных колебаний
в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыва-
запаздыванием и сильной нелинейностью // Радиотехника и электроника.
1980. Т. 25, № 8. С. 1683.

638 Лекция 9 B4)
73. Калинин В.И., Залогин Н.Н., Кислое В.Я. Нелинейный резонанс
и стохастичность в автоколебательной системе с запаздыванием //
Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 10. С. 2001.
74. Кислое В.Я. Теоретический анализ щумоподобных колебаний
в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыва-
запаздыванием II Лекции по электронике GB4 и радиофизике. 5-я зимняя
школа-семинар инженеров) Кн. 5. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1981. 78.
75. Блиох Ю.П., Бородкин А.В., Любарский А.Г., Онищенко Н.М.,
Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображе-
отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обрат-
обратной связью II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993.
Т. 1, № 1, 2. С. 34.
76. Афанасьева В.В., Трубецков Д.И. Динамический хаос в электрон-
электронных сверхвысокочастотных приборах. Ч. I. Вакуумные нереля-
тистские приборы // Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Элек-
Электроника СВЧ. Вып. 3A614). М.: ЦНИИИ «Электроника», 1991.
77. Манькин И.А., Школьников В.Г. Численное моделирование авто-
автоколебаний в системе электронный пучок — прямая электромаг-
электромагнитная волна с внешней обратной связью // Радиотехника и элек-
электроника. 1984. Т. 29, № 2. С. 307.
78. Манькин И.А., Школьников В.Г. К нестационарной нелинейной
теории ЛБВ II Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, № 9.
С. 1918.
79. Манькин И.А., Школьников В.Г. Сверхширокополосные сигналы
в СВЧ-системах. Ч.П. Нестационарная электроника. Усиление
сигналов со сплошным спектром в ЛБВ // Обзоры по электрон-
электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 3A001). М.: ЦНИИ
«Электроника», 1984.
80. Манькин И.А., Школьников В.Г. Сверхширокополосные сигналы
в СВЧ-системах. Ч.Ш. Нестационарная электроника. Генерирова-
Генерирование сложных сигналов в ЛБВ // Обзоры по электронной технике.
Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 6A083). М.: ЦНИИ «Электрони-
«Электроника», 1985.
81. Кац В.А. Стохастизация структур и переходы в хаосе в автогене-
автогенераторе с запаздывающей обратной связью. Эксперимент // Лекции
по электронике СВЧ и радиофизике F-я зимняя школа-семинар
инженеров). Кн. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. С. 49.
82. Кац В.А. Переходы в хаосе, инициированные внешним воздей-
воздействием в распределенном автогенераторе о запаздыванием. Экспе-
Эксперимент II Лекции по электронике СВЧ и радиофизике F-я зимняя
школа-семинар инженеров). Кн. 2. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
1983. С. 65.
83. Katz V.A., Trubetskov D.I. Stochastization of nonstationary
structures in distributed oscillation with delay // Self-Organization

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 639
Autowaves and Structures for of Equilibrium. Ed. by Krinsky V.I.
Springer. 1984. P. 55.
84. Кац В. А. Возникновение и эволюция хаоса в распределенном гене-
генераторе с запаздыванием. Эксперимент^ Изв. вузов. Радиофизика.
1985. Т. 28, № 2. С. 161.
85. Кац В.А. Стохастизация колебаний и переходы в хаосе в неавто-
неавтономном генераторе с запаздыванием // XXXIX Всесоюзная сессия,
посвященная Дню радио: Тезисы докладов. М., 1984, Ч. I. С. 125.
86. Анисимова Ю.В., Дмитриев А.С, Залогин И.Н. и др. Об одном
механизме перехода к хаосу в системе электронный пучок — элек-
электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37, № 8. С. 387.
87. Кальянов Э.В. Стохастизация и дестохастизация колебаний
в неавтономных многомодовых автоколебательных системах //
Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27. С. 2448.
88. Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Нусинович ГС, Подобинский В. О.
Влияние нелинейности плазмы на процесс стохастизации коле-
колебаний, возбуждаемых в пучково-плазменных СВЧ-генераторах //
Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 2/3.
С. 56.
89. Bliokh Yu.P., Liybarsky M.G., Podobinsky V.O., Fainberg Ya.B.,
Granatstein V.L., Carmel Y., Nusinovich G.S. Chaotic oscillations
enhanced by magnetosonic waves in plasma-filled travelling-wave
tubes // Physics of Plasma. 1998. V. 5, No 11. P. 4061.
90. Кузнецов СП., Перельман А.Ю., Трубецков Д. И. Автомодуля-
Автомодуляционные и стохастические режимы в клистроне бегущей волны
с внешней обратной связью // ЖТФ. 1983. Т. 53, № 1. С. 163.
91. Дорнеенков В.К., Мирошниченко B.C., Цвык А.И., Шестопалов
В.П. О возбуждении стохастических колебаний в генераторе ди-
дифракционного излучения — лазере на свободных электронах //
Доклады АН УССР. Сер. А. 1982. № 5. С. 59.
92. Шматько А.А. Возбуждение многочастотных и стохастических
колебаний в электронных СВЧ-генераторах внешним модулиро-
модулированным сигналом II Доклады АН УССР. Сер. А. 1987. № 9. С. 65.
93. Лавровский В.А., Харченко И.Ф., Щустин Е.Г. Исследование ме-
механизма возбуждения стохастических колебаний в пучково-плаз-
менном разряде // ЖЭТФ. 1973. Т. 65, № 6. С. 2236.
94. Кочмарев Л.Ю., Емиль А.И., Щустин Е.Г. Свойства пучково-
плазменного разряда с модулированным электронным пучком //
Физика плазмы. 1985. Т. 11, № 10. С. 1231.
95. Щустин Е.Г. Физическое моделирование процессов взаимодей-
взаимодействия электронных потоков с плазмой в околоземном простран-
пространстве. Автореферат дис. на соискание ученой степени д.ф.-м.н. М.,
1986.

640 Лекция 9 B4)
96. Biyopoulos S., Tang CM. Stochastic electron detraping in FEL's
caused by sidebands // Nucl. Instrum. and Meth. Phys. Res. A. 1988.
V. 272, No 1-2. P. 448.
97. Ram A.K., Hizanidis K., Bers A. Trapped-electron stochasticity
induced by frequency-modulated waves // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 56,
No 2. P. 147.
98. Colson W.B. The trapped-particle instability in free electron laser
oscillators and amplifiers // Nucl. Instrum. and Meth. Phys. Res. A.
1986. V. 250, No 1. P. 168.
99. Дмитриев А.Ю., Трубецков Д. И. Экспериментальное исследова-
исследование динамического хаоса в системе поток электронов — осцилля-
осцилляторов — электромагнитная волна // Письма в ЖТФ. 1985. Т. 11,
№ 20. С. 1257.
100. Davidson B.C., McMullin W.A. Detrapping stochastic particle
instability for electron motion in combined longitudinal wiggler and
radiation wave fields // Phys. Rev. A: Gen. Phys. 1984. V. 29, No 2.
P. 791.
101. Блиох Ю.П., Балакирев В.А., Мухин В.В. и др. Ускорение заря-
заряженных частиц в плазме волнами плотности заряда, возбуждае-
возбуждаемыми электронными пучками и лазерным излучением // Плазмен-
Плазменная электроника. 1989. Т. I. С. 39-66.
102. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость
нелинейных колебаний // Успехи физических наук. 1971. Т. 105,
№ 1. С. 3.
103. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: На-
Наука, 1972.
104. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от
маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988, Гл. 5.
105. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников А.А. Сто-
Стохастическая паутина и симметрия структур. — М.: Наука, 1989,
С. 84-106.
106. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса
в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 6. С. 1257.
107. Алексеев В.М., Якобсон М.В. Символическая динамика и гипер-
гиперболические динамические системы. — Методы символической ди-
динамики. М.: Мир, 1979
108. Заславский Г.М., Филоненко М.Н. Стохастическая неустойчивость
захваченных частиц и условие применения квазилинейного при-
приближения // ЖЭТФ. 1968. Т. 54, № 5. С. 1590.
109. Smith G.B., Kaufman A.N. Stochastic acceleration by an obliquely
propagating wave — an example of overlapping resonances //
Phys.Fluids. 1978. V. 21, No 9. P. 1584.
110. Шкляр Д.Р Стохастическое движение релятивистских частиц
в поле монохроматической волны // ЖЭТФ. 1981. Т. 80, № 6.
С. 2272.

Нелинейная динамика и С В Ч- электроника 641
111. Балакирев В.А., Буц В.А., Толстолужский А.П., Туркин Ю.А.
Хаотизация движения пучка сфазированных осцилляторов //
ЖЭТФ. 1983. Т. 84, № 4. С. 1279.
112. Балакирев В.А., Буц В.А., Толстолужский А.П., Туркин Ю.А.
Динамика движения заряженных частиц в поле двух электромаг-
электромагнитных волн // Препринт ХФТИ АН УССР. № 88-6. Харьков, 1988.
113. BiicherJ., Zeieny L.M. Deterministic chaos in the dynamics of charged
particles near a magnetic field reversal // Phys. Lett. A. 1986. V. 118,
No 8. P. 395.
114. Гинзбург Н.С., Горшкова М.А., Сергеев А.С. Теория индуцирован-
индуцированного ондуляторного излучения ленточного релятивистского элек-
электронного пучка в свободное пространство // Препринт ИПФ АН
СССР: № 216. Горький, 1988.
115. Bohr Т., Bak P., Iensen M.H. Transition to chaos by interaction of
resonances in disaipative systems // Phys. Rev. A. 1984. V. 50, No 4.
P. 1970.
116. Буц В.А., Толстолужский А.П. Особенности прохождения заря-
заряженных частиц через сепаратрису // Препринт ХФТИ АН УССР:
№ 87-8. Харьков, 1987.
117. Peodorov M.V., Oganesyan К.В. Classical theory of emission and
amplification at high harmonics in the relativistic strophotron FEL //
IEEE J. of Quant. Electron. 1985. V. QE-21, No 7. P. 1059.
118. Зарецкий Д.Ф., Hepcecoe Э.А. Вынужденное излучение ультраре-
ультрарелятивистских электронов в сильных электрических и магнитных
полях // ЖЭТФ. 1983. Т. 84, № 3. С. 892.
119. Гинзбург Н.С., Завольский Н.А., Нусинович Г.С, Сергеев А.С.
Установление автоколебаний в электронных СВЧ-генераторах
с дифракционным выводом излучения // Изв. вузов. Радиофизика.
1986. Т. 24, № 1. С. 106.
120. Гинзбург Н.С., Эавольский М.А., Нусинович ГС Динамика гиро-
тронов о нефиксированной продольной структурой высокочастот-
высокочастотного поля II Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 5. С. 1031.
121. Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Numerical simulation of
nonstationary processes in free electron lasers // J. Comput. Phys.
1985. V. 58. P. 80.
122. Levush В., Antonsen T.M. Regions of stability of FEL oscillators //
Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. A.. 1988. V. 272, No 1-2. P. 375.
123. Гинзбург Н.Н., Петелин М.Н. Конкуренция и кооперация мод
в лазерах на свободых электронах // Изв. вузов. Прикладная нели-
нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 6. С. 3.
124. Гинзбург Н.С Об эффекте автомодуляции излучения в ЛСЭ уси-
усилителе, основанном на вынужденном встречном рассеянии волн //
ЖТФ. 1986. Т. 56, № 5. С. 46.
125. Братман В.Л., Савилов А.В. Сценарии перехода к многочастот-
многочастотному режиму в ЛСЭ-генераторе с низкодобротной колебательной
41 Трубецков, Храмов

642 Лекция 9 B4)
системой II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994.
Т. 2, № 6. С. 27.
126. Березин Ю.А., Вшивцов В.А. Метод частиц в динамике разрежен-
разреженной плазмы. — Новосибирск: Наука, 1980.
127. Свешников А.Г., Якунин С.А. Численные модели бесстолкнови-
тельной плазмодинамики // Математическое моделирование. 1989.
Т. 1, № 4. С. 1.
128. Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электрон-
электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.
129. Афонин A.M., Диденко А.Н., Пауткин А.Ф., Рошаль А.С. Нели-
Нелинейная динамика виртуального катода в триодных системах //
Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 10. С. 1889.
130. Привезенцев А.П., Саблин Н.И., Филипенко Н.М., Фоменко Г.П.
Нелинейные колебания виртуального катода в триодной системе //
Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 7. С. 1242.
131. Анфиногентов В.Г. Хаотические колебания в электронном потоке
с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная нелинейная
динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 69.
132. Храмов А.Е. Математическая модель виркатора на пролётном
токе II В сб.: Труды седьмой межвузовской конференции «Ма-
«Математическое моделирование и краевые задачи» B8-30 мая 1997,
Самара, Россия). Т. 2. Самара: 1997. С. 94.
133. Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г. Динамический хаос в двухрезо-
натрных клистронных генераторах с запаздывающей обратной
связью II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3,
№ 5. С. 88.
134. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Шигаев A.M. Слож-
Сложная динамика простых моделей электронно-волновых систем //
Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 6.
С. 66.
135. Дмитриев B.C., Жарков Ю.Д., Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Тео-
Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических коле-
колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием // Радиотех-
Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 5. С. 604.
136. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возник-
возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на
виртуальном катоде // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 9.
С. 1137.
137. Antonsen T.M., Levush В. Mode competition and suppression in free
electron laser oscillators // Phys. Fluids B. 1989. V. 1, No 5. P. 1097.
138. Рыскин Н.М., Титов В.Н. Сложная динамика распределенной
автоколебательной системы «электронный поток — обратная элет-
кромагнитная волна» // Вторая международная конференция
«Фундаментальные проблемы физики». Материалы конферен-
конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 643
139. Bonifacio R., De Salvo Soura L. Optical bistability in a relativistic
electron beam // Nucl. Instrum. and Meth. Phys. Res. A. 1988. V. 272,
No 1-2. P. 551.
140. Firth W.J., Wright E.M. Oscillations and chaos in a Fabry-Perot
bistable cavity with gaussian input beam // Phys. Lett. A. 1982. V. 92,
No 5. P. 211.
141. Godfrey B.B. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode //
Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1553.
142. Kuhn S., Ender A. Oscillatory nonlinear flow and coherent structures
in Pierce-type diodes // J. Appl. Phys.. 1990. V. 68. P. 732.
143. Анфиногентов В.Г., Трубецков Д. И. Хаотические колебания
в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и элек-
электроника. 1992. Т. 37. С. 2251.
144. Ремпен И. С, Храмов А.Е. Управление режимами колебаний элек-
электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса // Тру-
Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение
микроволн». Часть 1. 26-30 мая 2001. Звенигород. Московская
область. Россия. С. 96.
145. Ремпен И.С, Храмов А.Е. Управление режимами колебаний
в электронном потоке со сверхкритическим током в диоде Пирса //
Изв. РАН, Сер. физ. 2001. Т. 65, № 12. С. 1689.
146. Храмов А.Е., Ремпен И.С. Влияние обратной связи на сложную
динамику в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотех-
Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 6. С. 732.
147. Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование переходных про-
процессов в мультистабильных динамических системах // Материалы
конференции «Современные проблемы электроники и радиофи-
радиофизики СВЧ». Саратов, 20-24 марта 2001. Саратов: Изд-во. ГосУНЦ
«Колледж», 2001. С. 94.
148. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е., Храмова А.Е.
Универсальные скейлинговые закономерности переходных про-
процессов // ДАН. 2002. Т. 383, № 3. С. 322.
149. Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е., Храмова А.Е.
Универсальные закономерности переходных процессов // Изв. ву-
вузов. Радиофизика. Т. 2002, № XLV. С. 10.880
150. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотиче-
Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и би-
бифуркации. — М.: Наука, 1987. С. 7.
151. Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.:
Сов. радио, 1959.
152. Kyhl R.L., Webster H.R. Breakup of hollow cylindrical electron
beams // IRE Trans. 1956. V. ED-3. P. 172.
153. Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, динамический
хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники //
41*

644 Лекция 9 B4)
Проблемы физической электроники: Сб. статей. — Л.: Изд-во
ФТИ, 1986. С. 7.
154. Трубецков Д.И., Шепелева Е.Я. Структуры (общий взгляд и за-
задачи электроники) // в сб.: Проблемы физической электроники.
- Л.: Изд-во ФТИ, 1988. С. 124.
155. Фернбах С, Ротенберг М. Вычислительные методы в физике
плазмы. — М.: Мир, 1984.
156. Трубецков Д.И., Мчедлова Е.С., Красичков Л.В. Введение в тео-
теорию самоорганизации открытых систем. — М.: Физматлит, 2002.
157. Мчедлова Е.С., Трубецков Д.И. Излучение потока взаимодейству-
взаимодействующих малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы //
Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19, № 24. С. 26.
158. Мчедлова Е.С., Трубецков Д.И. Особенности излучения в це-
цепочках связанных малых объемов, содержащих электроны-
осцилляторы // ЖТФ. 1994. Т. 64, № 10. С. 158.
159. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П. Сложная динамика потока заря-
заряженных частиц с виртуальным катодом // Изв. вузов. Прикладная
нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 56.
160. Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Нелинейные когерентные струк-
структуры в колебаниях виртуального катода // Лекции по СВЧ-
электронике и радиофизике: 9-я зимняя школа семинар, Саратов,
1993. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1993. С. 130.
161. Анфиногентов В.Г. Взаимодействие когерентных структур и ха-
хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным като-
катодом // Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21, № 8. С. 70.
162. Анфиногентов В.Г. Нелинейная динамика электронного потока
с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа //
Изв. вузов. Радиофизика. 1995. Т. 38, № 3/4. С. 268.
163. Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возник-
возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на
виртуальном катоде // Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 9.
С. 1137.
164. Храмов А.Е. Сложная динамика когерентных структур в двухпо-
токовом виркаторе // Изв. вузов. Прикладная нелинейная дина-
динамика. 1998. Т. 6, № 2. С. 42.
165. Храмов А.Е. Хаос и образование структур в электронном потоке
с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа //
Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 5. С. 551.
166. Храмов А.Е., Короновский А.А., Левин Ю.И. Исследование про-
процессов структурообразования в электронном пучке с виртуаль-
виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности // Письма
в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 13. С. 57.
167. Храмов А.Е. Нелинейная динамика электронного пучка с вирту-
виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне // Радиотехника
и электроника. 2002. Т. 47, № 7. С. 860.

Нелинейная динамика и СВ Ч-электроника 645
168. Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование когерентных струк-
структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью
вейвлетной бикогерентности // Физика плазмы. 2002. Т. 28, № 8.
С. 722.
169. Фролова Н.Б., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенной
системе взаимодействующих встречных волн в присутствии флук-
флуктуации II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002.
Т. 10, № 5. С. 50.
170. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная ди-
динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные
основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. — Са-
Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.
171. Kuznetsov S.P. Complex dynamics in backward-wave oscillators //
Proc. of Int. Symp. "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics".
N. Novgorod, Russia. 6-12 September, 2003. P. 78.
172. Кузнецов А.П., Кузнецов СП., Рыскин Н.М. Нелинейные колеба-
колебания. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
173. Егоров Е.Н., Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование муль-
тистабильности в распределенной активной среде с обратной свя-
связью // Изв. РАН. Сер. физич. 2003. Т. 67. № 12..
174. Хенон М. Двумерное отображение со странным аттрактором /
В кн. Синай Я.Г., Странные аттракторы. — М.: Мир, 1981. С. 152.
175. Ott Е., Grebogi С, Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett.
1990. V. 64, No 11. P. 1196-1199.
176. Grebogi C, Ott E., Yorke J.A. Unstable periodic orbits and the
dimensions of multifractal chaotic attractors // Phys. Rev. A. 1988.
V. 37, No 5. P. 1711-1724.
177. Friedel H., Grauer R., Spatschek U.K. Contolling chaotic ststes of a
Pierce diode // Phys. of plasmas. 1998. V. 5, No 9. P. 3187-3194.
178. Krahnstover N. et al Controlling chaos in the pierce diode // Phys.
Lett. A. 1998. V. 239, No 1. P. 103.
179. Pyragas K. Continuous control of chaos, by self-controlling feedback //
Phys. Lett. A. 1992. V. 170, No 1. P. 421-428.
180. Chen Y.H., Chou M. Y. Continuous feedback approach for controlling
chaos // Phys. Rev. E. 1994. V. 50, No 3. P. 2331-2334.
181. Franz-Josef Elmer Controlling friction // Phys. Rev. E. 1998. V. 57,
No 5. P. 4903-4906.
182. Kouomou Y.C., Woafo P. Stability and optimal parameters for
continuous feedback chaos control // Phys. Rev. E. 2002. V. 66, No 1.
P. 036205.
183. Meucci R., Ciofini M., Abbate R. Suppressing chaos in lasers by
negative feedback // Phys. Rev. E. 1996. V. 53, No 6. P. 5537-5540.

646 Лекция 9 B4)
184. Franceschini G., Bose S., Scholl E. Control of chaotic spatiotemporal
spiking by time-delay autosynchronization // Phys. Rev. E. 1999.
V. 60, No 5. P. 5426-5434.
185. Montague R., Colet P. Nonlinear diffusion control of spatiotemporal
chaos in the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. E.
1997. V. 56, No 4. P. 4017-4024.
186. Boccaletti S., Bragard J., Arecchi F.T. Controlling and synchronizing
space time chaos // Phys. Rev. E. 1999. V. 59, No 6. P. 6574-6578.
187. Bleich M.E., Hochheiser D., Moloney J.V., Socolar J.E.S. Controlling
extended systems with spatially filtered, time-delayed feedback //
Phys. Rev. E. 1997. V. 55, No 3. P. 2119-2126.
188. Lathrop D.P., Kostelich E.J. Characterization of an experimental
strange attractor by periodic orbits // Phys. Rev. A. 1989. V. 40, No 7.
P. 4028-4031.
189. Tokens F. Detecting strange attractors in dynamical systems and
turbulence, Lectures Notes in Mathematics (Rand D., Young L.-S,
ed.). - N.Y.: Springler-Verlag, 1981, 366.
190. Ремпен И.С, Короновский А.А., Храмов А.Е. Управление хаосом
в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинами-
гидродинамической модели диода Пирса // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, № 23.
С. 67-74.
191. Lu W., Yu D., Harrison R.G. Control of patterns in spatiotemporal
chaos in optics // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76, No 18. P. 3316-3319.
192. Gang H., Zhilin Q. Controlling spatiotemporal chaos in coupled map
lattice systems // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72, No 1. P. 68-71.
193. Grigoriev R.O., Cross M.C, Schuster H.G. Pinning control of
spatiotemporal chaos // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79, No 15. P. 2795-
2798.
194. Короновский А.А., Ремпен И.С, Храмов А.Е. Исследование
неустойчивых периодических пространственно-временных состо-
состояний в распределенной активной системе со сверхкритическим
током // Изв. РАН. Сер. физическая. 2003. Т. 67, No. 12.
195. Dolov A.M., Kuznetsov S.P. Application of idea of chaos control to
stabilization of stationary generation in backward-wave oscillator //
Proc. 2003 Int. Conference "Physics and Control" (August 20-22, 2003,
Saint Petersburg, Russia), 507-509..
196. Долов A.M., Кузнецов СП. Применение методики контроля хаоса
для устранения автомодуляции в лампе обратной волны. // ЖТФ.
2003. Т. 73, № 8. С. 139-142.
197. Дмитриев А.С, Панас А.И. Динамический хаос: новые носители
информации для систем связи. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Научное издание
ТРУБЕЦКОВ Дмитрий Иванович
ХРАМОВ Александр Евгеньевич
ЛЕКЦИИ ПО СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙ
ЭЛЕКТРОНИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ
Том 2
Редактор О. В. Салецкая
Оригинал-макет: В. В. Дядичев
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 18.05.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 44,55. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0200-1
9 78592202001