И. А. КАПЛАН
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Часть II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ И МНОГИХ
НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Издание 5-е
Издательское объединение «В ища школа»
ИЗДАТЕЛЬСТВО ПРИ
ХАРЬКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
Харьков 1973

517
K20
В настоящем учебном пособии дано подробное реше-
решение задач по дифференциальному исчислению функций
одной и многих независимых переменных. Практическим
занятиям предпосланы основные теоретнческие сведения,
справочные данные и формулы. Многие задачи, пред-
предназначенные для самостоятельного решения, снабжены
указаниями и промежуточными результатами.
Книга рассчитана на студентов высших технических
учебных заведений. Она может быть полезной препода-
преподавателям, ведущим практические занятия.
Ответственный редактор кандидат
физико-математических наук доцент
Р. В. Солодовников.
(с)Издательское объединение «Вища школа*, 1973 г.
0223—113
К М 226(О4)-73" 19~73

ПРЕДИСЛОВИЕ *
Книга содержит практические занятия по дифференциальному
исчислению функций одной и многих независимых переменных.
Цель этой книги — помочь студенту научиться самостоятельно
решать задачи по данному разделу курса высшей математики
в высших учебных технических заведениях. Она рассчитана
прежде всего на студентов, обучающихся заочно и по вечерней
системе, но может быть полезной и студентам стационарных
высших технических учебных заведений, а также преподавателям,
ведущим практические занятия.
Книга написана в полном соответствии с новой программой
по высшей математике.
Весь учебный материал разделен на отдельные практические
занятия. Перед каждым занятием помещены основные сведения
из теории, относящиеся к этому практическому зан ятию, теоре-
теоремы, определения, формулы и подробное решение типовых задач
различной степени трудности с полным анализом решения, при-
причем большое количество этих задач решаются различными спосо-
способами и целесообразность этих способов сравнивается. Каждое
практическое занятие содержит большое число задач для само-
самостоятельного решения, многие из них снабжены методическими
указаниями к решению и промежуточными результатами.
Такое построение книги предоставляет студенту широкие
возможности для активной самостоятельной работы и экономит
его время. Студент, пользующийся этим способом, должен перед
каждым практическим занятием выучить относящийся к нему
раздел теории, внимательно, с выполнением всех действий на
бумаге, разобрать решенные задачи, и только после этого при-
приступить к решению задач, предложенных для самостоятельного
решения.
Предисловие к 4-му изданию.

Книга написана так, что она допускает не только последо-
последовательное проведение всех практических занятий, но и исполь-
использование их в выборочном порядке.
Автор приносит глубокую благодарность рецензенту этой
книги доктору физико-математических наук профессору Г. М. Ба-
Баженову и ее ответственному редактору кандидату физико-мате-
физико-математических наук доценту Р. В. Сололовникову, ценные советы
и замечания которого, учтенные автором, способствовали значи-
значительному улучшению книги.
Автор признателен также сотрудникам кафедры высшей
математики Харьковского инженерно-строительного института
В. Г. Александрову, Э. Б. Александровой, В. М. Аветисовой,
И. М. Каневской, Ю. В. Князеву, 3. Ф. Паскаловой и Л. В. Олей-
ник, проверившим ответы к задачам, и Р. А. Ежовой за помощь
в оформлении рукописи.

ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интервал, отрезок, промежуток. Абсолютная величина
числа. Свойства абсолютных величин.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Интервал, отрезок, промежуток
1. Если а и b — действительные числа и а меньше b(a<Cb),
то совокупность всех действительных чисел х, подчиняющихся
условию а < х < Ь, образует интервал. Левым концом интервала
является число а, а правым его концом — число Ь. Обозначается
интервал символом (а, Ь).
С геометрической точки зрения интервал (а, Ь) представляет
собой совокупность всех точек прямой, находящихся между точ-
точками а и Ь, причем концы этого отрезка а и b в интервал не
включаются.
На фиг. 1,1 представлен интервал. Стрелки показывают, что
точки а и b не принадлежат интервалу (а, Ь).
Фиг. 1,1.
2. Если к интервалу (а, Ь) присоединить числа а и Ь, то
получим отрезок ab, который обозначается символом [а, Ь].
Таким образом, под отрезком [а, Ь] понимается совокупность всех
действительных чисел х, подчиняющихся условию а < х < Ь.
Геометрически отрезок [а, Ь] есть отрезок прямой с концами
в точках а и Ь.
Различие между интервалом (а, Ь) и отрезком [а, Ь] состоит
в том, что в случае интервала (а, Ь) числа а и b ему не принад-
принадлежат, а в случае отрезка [а, Ь] числа а и b ему принадлежат.
На фиг. 1,2 представлен отрезок \а. Ь].
Фиг. 1,2.

3. Под символом \а, Ъ) следует понимать совокупность всех
действительных чисел х, подчиняющихся условию а < х < Ь, т. е.
рассматриваются все действительные числа, содержащиеся между
числами а и Ь, причем число а рассматривается, а число Ь — нет
(фиг. 1,3).
Под символом же (а, Ь] понимается совокупность всех дей-
действительных чисел х, подчиняющихся условию а < х < Ь, т. е.
0\ •
Фнг. 1,3.
рассматриваются все действительные числа, содержащиеся между
числами а и Ь, причем число а не рассматривается, а число Ь
рассматривается (фиг. 1,4).
o\ *—— ■ ■ л
Фиг. 1.4. '
Каждая из совокупностей чисел (а, Ь] и \а, Ь) называется
полуотрезком *.
4. В том случае, когда безразлично, принадлежат ли гра-
граничные точки а и Ь рассматриваемым совокупностям или нет,
вместо терминов «интервал» и «отрезок'» употребляется тер-
термин «промежуток».
Пример 1. Интервал E,9) есть совокупность всех действитель-
действительных чисел х, удовлетворяющих условию 5 < х < 9.
Пример 2. Отрезок [—1, +2] есть совокупность всех действи-
действительных чисел х, удовлетворяющих условию —1 < х < + 2.
Пример 3. Совокупность всех действительных чисел х, для
которых —1<#<1, есть полуотрезок [—1,1).
Пример 4. Совокупность всех действительных чисел х, подчи-
подчиняющихся условию —2<*<2, есть полуотрезок (—2, +2].
5. Если рассматривается совокупность всех действительных
чисел, то это записывается так: —oo<#<-f-oo или (—оо, + оо).
Под записью а < х < + оо или (а, + оо) следует понимать,
что рассматривается совокупность всех действительных чисел х,
больших, чем а, а под записью а < х < + оо, или [а, + оо), по-
понимается совокупность всех действительных чисел х, не мень-
меньших а (когда мы говорим «число, не меньшее числа а», то это
значит, что это число или больше, или равно а).
* Некоторые авторы, например F. П. Толстое в учебнике «Курс матема-
математического анализа», называют этн совокупности чисел не «полуотрезками»,
а «полуинтервалами».

Запись —оо <дг<Ь или (—оо, Ь) означает, что рассматри-
рассматриваются все действительные числа х, меньше числа Ь, а запись
— оо < х < Ь или (— оо, Ь] следует понимать так, что рас-
рассматривается совокупность всех действительных чисел х, не боль-
больших числа Ь (когда говорят, что число не больше числа Ь, то
это означает, что оно или меньше, или равно числу Ь). Интер-
Интервалы, рассмотренные в этом пункте, называются бесконечными.
2. Свойства абсолютных величин
С абсолютными величинами чисел в математическом анализе
приходится часто встречаться. Мы напомним относящиеся сюда
определения и теоремы и сделаем ряд упражнений.
1. Абсолютная величина числа а обозначается символом \а\.
Пусть а — действительное число. Если оно положительно или
равно нулю (а > 0), то его абсолютной величиной называется оно
само, а если оно отрицательно (а < 0), то его абсолютной вели-
величиной называется число — а.
Итак, если а > 0, то | а| = а; если а< 0, то \а\ = —а.
Чтобы перейти к абсолютной величине числа, имеющего в циф-
цифровой записи знак минус, надо этот знак отбросить.
Если а = 5, то | а | = 151 = 5; если а = 0, то | а | = 0.
Если а = — 3, то |а| = | —31 = — (—3) = 3.
2. Если |х| < е(е > 0), то это означает, что х удовлетворяет
неравенствам (фиг. 1,5)
-е<х< + е. A,1)
-£ О *£
Фиг. 1,5.
Пример 1. Если |а|<3, то имеют место неравенства
—3 < а < + 3.
Пример 2. Если |г/|<у, то у удовлетворяет неравенствам
— \ <У < + ^ (фиг. 1,6).
Фиг. 1,6.
Задача 1,1. Определить числовую величину выражения]
при х = 2.
7

Решение. При х — 2
2х + 5 | |2-
7 — 2х*
7 — 2 • 22
4 + 5
7 — !
__
— 1
= |-9|=9.
Задача 1,2. Определить числовую величину выражения
Решение. При х = 0 имеем
— 4
5 —
12-0 — 4
5 — 0
—4
5
-
5-
Задача 1,3 (для самостоятельного решения). Определить при
х = 4 числовую величину выражения
О т в е т. ту. s
Задача 1.4 (для самостоятельного решения). Найти числовую
1 5~х3 при: 1) х = 0; 2) х = 2; 3) х = —3.
величину выражения -nz
Ответ. 1) 5; 2) 3; 3) 8.
Задача 1,5. Определить, при каких значениях х будет спра-
справедливо неравенство | х — 511 < 2.
Решение. Согласно формуле A,1) данное неравенство может
быть записано так: —2 < х — 3<2. К каждой части этих не-
неравенств прибавим по 3 и получим —2 + 3<#<2 + 3, огкуда
следует, что 1 < х < 5.
Заключение: неравенство \х — 3|<2 выполняется для всех
значений х из интервала A,5).
Задача 1,6. Определить, при каких значениях х выполняется
неравенство | х — а | < е.
Решение. Поступая так же, как и в предыдущей задаче,
получаем, что — е < я — а < + е, а отсюда, прибавляя а к каждой
части этих неравенств, имеем а — е < я < а + г.
Заключение: неравенство \х — а|<е выполняется для всех
значений х из интервала (а — е, а + е).
Задача 1,7 (для самостоятельного решения). Определить, при
каких значениях х выполняются неравенства: 1) \х — 11 < 3;
2) |* + 3|<1; 3) |х+1|>3.
Ответ. 1) — 2<х<4; 2) _4<x<— 2; 3) х < — 4
и jc>2.
Указание к третьему примеру: из того, что |#|>(а>0),
следует, что х>+й их< — а. В нашем случае из того, что
|х + 11 > 3, заключаем, что х + 1>3 и х + 1 < — 3; отсюда
и следует указанный ответ.
Задача 1,8. При каких значениях х корень
иметь действительные значения?
будет
8

Решение. Корень ]/9 — х2 будет иметь действительные зна -
чения, если подкоренное выражение не является отрицательным,
т. е. когда 9 — х2 > 0, а х2 < 9.
Многие совершают грубую ошибку, делая на основании не-
неравенства х2 < 9 заключение, что х < ± 3, т. е. х< + 3их< —3.
В действительности же верно только, что х < +3, а неравенство
х < —3 является в данном случае ошибочным. Правильными ре-
решениями неравенства х2 < 9 являются х > —3 и х < +3, т. е.
—3 < х < + 3, или | # |< 3, ибо для всех значений х из интер-
интервала (—3, +3) выполняется неравенство х2 < 9. Если же при-
принять, что х < —3, то числа, удовлетворяющие этому неравенству,
будучи возведены в квадрат, дадут числа большие, чем 9 (на-
(например, —4 < — 3 и (—4J = 16 > 9).
Итак, решением неравенства х2 < 9 является —3 < х < +3,
или |д:| < 3.
Задача 1,9 (для самостоятельного решения). При каких зна-
значениях х корень У хг — 9 будет иметь действительные значения?
Ответ, хК—3 и х> +3, т. е. "J/*2— 9 имеет действитель-
действительные значения для значений х, удовлетворяющих неравенствам
— оо < х < —3 и 3 < х + оо.
3. Теоремы об абсолютных величинах
Теорема 1. Абсолютная величина суммы нескольких слагае-
слагаемых не больше суммы абсолютных величин этих слагаемых, т. е-
например, \x + y + z\<\x\ + \y\ + \z\, причем знак равенства
имеет место только в том случае, когда числа х, у и z имеют
один и тот же знак.
Теорема 2. Абсолютная величина разности двух чисел не
меньше разности абсолютных величин этих чисел, т.е. \х—у\>
>\х\-\у\.
Теорема 3. Абсолютная величина произведения нескольких
сомножителей равна произведению абсолютных величин этих со-
сомножителей. Например, в случае двух сомножителей \ ху | =
= \х\\У\-
Теорема 4. Абсолютная величина дроби равна абсолютной
величине числителя, разделенной на абсолютную величину знаме-
знаменателя, т. е.
У
у
Задача 1,10 (для самостоятельного решения). Проверить тео-
теорему 1 этого параграфа для
1) х = —5; у = 4; 2 = 5; и = — 1.
2) х = —4; у = 5; z = — 2.
3) х = 4; у = 2; 2 = 7.
4) х - 5; у = —3; z = — 6.

Задача 1,11 (для самостоятельного решения). Проверить тео-
теорему 2 этого параграфа для чисел
1)х= 7; у = —4; 3) х = 5; у = 7;
2) х = — 4; у = —8; 4) х = —10; г/ = 4;
Задача 1,12. Решить неравенство ].,*~ ,\—г <0,01 (#> —3).
I ^ С^ "Т" *^7 I
Решение. Упростим выражение, стоящее под знаком абсо-
абсолютной величины:
1 5х — 5 — 2х — 6 Зх— 11
5 ~" 10(х+3) ~0(х + 3)'
и данное неравенство запишется в виде
Зх —И
10 (х + 3)
1
100'
Освобождаясь от знака абсолютной величины, получаем:
1_ Зх—11 J_
100 ^ Ю (х + 3) ^ + 100'
а отсюда уже имеем два неравенства:
п 1 ^ Зх- 11 . „ Зх— II ^ 1
' 100^10(х+3)' ^ 10 (х + 3) ^ 100 •
Так как по условию #>—3, то# + 3 — величина положи-
положительная, и первое неравенство после умножения обеих его час-
частей на х + 3 дает
—1 • (х + 3)<30х—110; — х — 3<30х — ПО; *>-^
(х + 3 > 0, а поэтому смысл неравенства от умножения обеих
его частей на х + 3 сохраняется).
113
Из второго неравенства получаем, что х < -дя-. Итак, данное
неравенство выполняется, если -^т- < # < -gg-.
ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Величины постоянные и переменные. Функция. Область
существовании функции. Основные элементарные функции.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Постоянные величины. Абсолютные постоянные и параметры.
Величина называется постоянной, если она всегда или только
в условиях данной задачи сохраняет одно и то же числовое
значение.
Постоянные величины разделяются на абсолютные постоян-
постоянные величины и параметры. Величина, которая сохраняет одно
10

и то же значение при всех условиях, называется абсолютной пос-
постоянной (примерами абсолютных постоянных являются: все
числа, сумма внутренних углов треугольника, число «; скорость
света в пустоте).
Параметром называется такая постоянная величина, кото-
которая лишь в условиях данной задачи (данного исследования) сохра-
сохраняет постоянное, вполне определенное числовое значение, но с из-
изменением условий задачи принимает уже другое, хотя опять-
таки определенное числовое значение.
2. Переменные величины. Величина называется переменной,
если она в условиях данной задачи принимает различные число-
числовые значения.
3. Независимые переменные. Две переменные величины назы-
называются независимыми, если значения, принимаемые одной из них,
не зависят от значений, принимаемых другой.
(Пример: в формуле для определения объема цилиндра V = r.R^H
величины R и Н — независимые переменные, так как значения,
принимаемые высотой Н цилиндра, не зависят от значений R,
которые принимает радиус цилиндра).
4. Функция. Переменная величина у называется функцией от
переменной величины х, если каждому рассматриваемому значе-
значению х по известному правилу или закону соответствует одно
определенное значение у*. Если переменная величина у является
функцией переменной величины х, то это обозначают так:
</ = /(*)• B,1)
Эта запись читается: «игрек есть функция от икс», или «игрек
равен эф от икс».
В записи B,1) х называется аргументом или независимой пе-
переменной, а у — функцией, или зависимой переменной.
5. Задание функции. Функция B,1) считается заданной, если:
1) Указана совокупность всех рассматриваемых значений ар-
аргумента х.
2) Указан закон, который позволяет по заданному значению
аргумента х находить соответствующее ему значение функции у.
6. Частным значением функции называется то ее значение,
которое соответствует частному значению аргумента х = х0.
Для обозначения частного значения функции при х = х0 упот-
употребляется символ f (x0) или у(х0).
7. Область существования функции. Если функция задана
аналитически, то областью существования функции (иначе, об-
областью определения функции) называется совокупность тех дей-
действительных значений аргумента, при которых аналитическое
выражение, определяющее функцию, не теряет числового смысла
и принимает только действительные значения.
* Многозначные функции нами не рассматриваются.
И

ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Задача 2,1. Период малых колебаний 7_математического ма-
маятника вычисляется по формуле Т = 2г.Л/ —, где /—длина ма-
маятника, g — ускорение силы тяжести.
Какие из величин, входящих в эту формулу, являются абсо-
абсолютными постоянными, параметрами, переменными?
Ответ. 2 и it — абсолютные постоянные; g— параметр; зна-
значение этой величины постоянно только в данной точке земной
поверхности, но изменяется при переходе от одной точки земной
поверхности к другой; / и Т — величины переменные.
Задача 2,2. Согласно закону Бойля-Мариотта, в изометриче-
изометрическом процессе рV = С, где р — давление газа, а V — занимаемый
им объем. Указать в этой формуле переменные величины и па-
параметр.
Ответ. Величины р и V — переменные; величина С—пара-
С—параметр, так как она сохраняет постоянное значение только для
данного газа и для данной температуры.
Задача 2,3. В случае свободного падения тела в пустоте прой-
пройденный им путь S вычисляется по формуле S = 4р.
Какие из входящих в эту формулу величин являются абсо-
абсолютными постоянными, параметрами, переменными?
Ответ. 2 является абсолютной постоянной величиной (следует
помнить, что все числа — абсолютные постоянные величины); g —
параметр (см. задачу № 2,1); s и t — переменные величины.
Задача 2,4. Объем усеченного конуса вычисляется по фор-
формуле
Указать, какие из величин, входящих в эту формулу, явля-
являются переменными, абсолютными постоянными, параметрами.
Ответ. Величины г. и 3 — абсолютные постоянные; V, Н, R
и /■ — переменные величины.
Ни одна из величин, входящих в эту формулу, не является
параметром.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
Для того чтобы найти частное значение функции по задан-
заданному частному значению аргумента, надо в аналитическое выра-
выражение функции подставить вместо аргумента его частное зна-
значение.
Задача 2,5. Дана целая рациональная функция f(x) — 3x2 —
— 2х — 1.
Вычислить: 1) /B); 2) /(-2); 3) /A); 4) /@); 5) f(a + 2);
12

Решение. 1) /B) = 3 • 22 —2 • 2 —1 = 3 • 4 - 4 ~ 1 --12-
— 4 — 1 =7.
2) /(—2) = 3 (—2J — 2 (—2) — 1=3-4 + 4 —
—1 = 12 + 4-1 =15.
3) /A) = 3- 1а —2- 1-1=0.
4) /@) = 3- 0г —2- 0 — 1 =-1.
5) / (а + 2) = 3 (а + 2J — 2 (а + 2) — 1 = 3 (а2 +
+ 4а + 4) — 2а — 4— 1 = За2 + 10а + 7.
6) f (—х) = 3 (—хJ— 2 (— л;) — 1 = Зхг + 2х — 1.
Задача 2, 6 (для самостоятельного решения). Дана целая ра-
рациональная функция / (г) = 2г" — г2 + г — 1.
Вычислить: 1) /Ш ; 2) /B); 3)/(-1);
О т в е т. 1) — у ; 2) 13; 3) —5; 4) J- ;
г. а3 — 7а2 + За — 5
Задача 2,7. Дана дробная рациональная функция
' № = 3*2+5 *
Вычислить: 1) f (а); 2) f(~); 3) /B); 4) /@).
Решение. 1)/(а) = 44
4 —7а2+2а4 . о\ wo\ 4 • 22—7 • 2 + 2 16—14 + 2 4.
Отв ет. 1) /A) = 1; 2)/B) =.- ^_; 3) /(-2) = ^,4) ()
= 5»-'.
Задача 2, 9. Дана дробно-линейная функция <р (л;) = _^ .
_ f 9 _ _ __
— 5а« + 3 ' 6> * W — 3 • 22 + 5 ~" 12 + 5 ~~ 17 '
4) /@)=|.
Задача 2,8 (для самостоятельного решения). Дана функция
= 5~~'. Вычислить: 1) /A); 2) /B); 3) /(-2); 4) /(|).
Найти: 1) 9Cх); 2) ?(г>); 3) 3<р(х); 4) [<р (л;)]3.
Решение. 1) Чтобы найти 9 (Зл;) следует в выражении для
, . on /о ч 5 • Зл: + 1 15* + 1
<Р (л;) заменить х на ох. Получаем ер (ох) = »_ '— = 2_ „ .
13

2) Заменяя в выражении для <р (л;) х на Xs, получим
9\х) - 2-х3 •
3) Следует отличать <р (Зл;) от 3<р (л;), <р (л;3) от [<р (л;)]3. Было
найденов 1), 4TO?Cx)=^±i, а 3<р (*) = 3 Ц±± = %±1.
s _
-
Задача 2,10 (для самостоятельного решения). Дана функция
Найти:
1) ФB6); 2) 2ФF); 3) Ф@2); 4) [Ф (8)]2.
Ответ. 1)фB6) = 18|^; 2) 2Ф@)=
3) * О2) = lg ^2: 4) [Ф @)]* = Ig2|^.
Задача 2,11 (для самостоятельного решения). (? (х) = lg sin jt.
Доказать, что <р (а) + ср (b) = lg (sin a • sin b).
Задача 2,12 (для самостоятельного решения). F {х) = sinx. До-
Доказать, что F (Зх) = 3F (х) — 4[F (x)]3.
Задача 2, 13. Доказать, что если / (х) = ¥H±t т0 f (— ^) = — f(x).
Решение. / (— х) — cos (~ х> = .
Задача 2,14 (для самостоятельного решения). /(<x) = tga. До-
Доказать, что / Ba) = t _ fi(a\ •
Задача 2,15 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если / (х) = ^^, то / (— х) = / (х).
ос с
Задача 2,16. Вычислить / (х) = —-г + хг в точках, где Ь
I v С
~|~ А ■— d.
Решение. -2 + х2= —\-х) —12, а так как по условию
6 36 {Х '
^ + х = 5, то J + х2 = 52 — 12 = 13.
Задача 2,17. Дано, что <р (л;) = *2 + х +^ + ^. Доказать, что
14

/1 \ /1 \г 1 1 1 1 1
Решение. <pl — )=( — Н Ьу + тттг = ~ +
Задача 2, 18 (для самостоятельного решения). Дана функция
(х) = е—~f „^. Вычислить: с? f-M и J-r.
Ответ. ,D)=
ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Задача 2, 19. Найти область существования функции
Решение. Заданная функция — целая рациональная функ-
функция. Ее областью существования является бесконечный интервал
(— оо, + °°)> или в другой записи — оо < х < + °°-
Задача 2, 20. Найти область существования функций:
j)^t; 2) y=rhc' 3)у=ъ±г2-
Решение. 1) Функция у = дробная рациональная фун-
функция. Она существует при всех значениях независимой перемен-
переменной х, кроме тех, которые обращают в нуль ее знаменатель,
т. е. в данном случае кроме х = 0. Область существования этой
функции состоит из двух бесконечных интервалов (— оо, 0) и
@, + °°), или в другой записи — оо<л;<0и 0<х< + °°-
2) Функция У=-, также определена при всех значениях
х, кроме того его значения, при котором 1—х = 0, т. е. кроме
х=1. Область существования состоит из двух бесконечных ин-
интервалов (— оо, 1); A, + оо), или в другой записи (— оо < х <1);
(КЖ + оэ).
3) Решив уравнение 7х — 2 = 0, найдем, что х = у. Область
существования функции у — 7 __ состоит из двух бесконечных
/ 2 \ / 2 \ /
интервалов (—оо, у|; (—-, +°°]> или в другой записи!—оо<
yj И (j<X< +CO\-
15

Задача 2, 21 (для самостоятельного решения). Определись об-
область существования функций:
Ответ. 1) (—со, —1); (—1, -f- оо), или — со < х < — 1
и — 1 <л;< + со.
2) (- оо, 2); B, + оо),
или — оо<л;<2 и 2 < х < + со.
Задача 2,22. Найти область существования функции у =
* 7х + 12
Решение. Заданная функция — дробная рациональная функ-
функция. Она определена при всех действительных значениях х, кроме
тех, при которых знаменатель дроби х2 — 7*+12 равен нулю,
т. е. кроме значений х = 3 и х — 4 (эти значения найдены из
уравнения х2 ~ 7х + 12 = 0). Область существования заданной
функции состоит из трех интервалов: (— оо, 3); C,4) и D, + оо),
или в другой записи: — оо<х<3;3<х<4; 4<л;< + оо.
Задача 2,23 (для самостоятельного решения). Определить об-
область существования функций:
1 _ 5*2 — 7л + 12 . _ 7*2 + х — 1
Ч У =~ хг_\ ' У — зл:*— 8jc + 4 *
Ответ. Область существования состоит из трех интервалов:
(-со, -1); (-1, +1); (+1, +оо).
2) Область существования состоит из трех интервалов:
Задача 2.24. Найти область существования функции у =
*2 — 5х + 4
~ х» + * + 1 •
Решение. Приравняв нулю знаменатель дроби х2 + х + 1
и решив квадратное уравнение хг + х + 1 =0, убедимся, что его
1 \^Ъ
корни — комплексные числа: х = — -jri*'—о~- ^о при одном
действительном значении х многочлен х2 + х + 1 в нуль не обра-
обращается. Поэтому заданная функция определена при всех дей-
действительных значениях х. Ее областью существования является
бесконечный интервал (—со, -f- оо).
Задача 2, 25 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций:
.. х3 — х + 2 о. 5
ЧУ= 2H=
16

Ответ. 1) Бесконечный интервал (—со, +оо).
2) Бесконечный интервал (—оо, +оо).
Задача 2, 26 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций:
Ч У ~ хг_у
(знаменатель дроби Xs — 1 имеет один действительный корень
1)
Ответ. 1) Функция существует в двух бесконечных интерва-
интервалах: (—оо, +1) и (+1, +оо), т. е. при любом значении х,
кроме х = 1. 2 Знаменатель дроби Xs + 1 имеет один действи-
действительный корень х = —1. Функция существует в двух бесконеч-
бесконечных интервалах: (—оо, —1) и (—1, + со), т. е. при любом
значении х, кроме х = —1.
Задача 2, 27. Найти область существования функций:
1) у = |/2^"х; 2) у = УГ+~4.
Решение. 1) Для того чтобы функция у принимала только
действительные значения, величина 2 — х, стоящая под корнем,
не должна принимать отрицательных значений, т. е. должно
■быть 2 — х > 0, откуда х < 2. Областью существования функции
^является совокупность действительных значений х, меньших или
равных 2, т. е. полуотрезок —оо<х<2.
2) Чтобы определить область существования функции, соста-
состарим неравенство х + 4 > 0, из которого получаем, что х > —4.
Область существования функции полуотрезок —4 < х < + °°
Г-4, +оо).
Задача 2, 28 (для самостоятельного решения). Найти область
Существования функций 1) у = V5 — х и 2) у = }Лс — 3.
Ответ. 1) Полуотрезок —со < х < 5.
2) Полу отрезок 3 < л; < +оо.
Задача 2, 29. Найти область существования функций
Решение. 1) Выражение Ух — 2 принимает действительные
значения, когда х — 2 > 0, т. е. когда л; > 2. Но при л; = 2
имеем х — 2 = 0, знаменатель дроби обращается в нуль, дробь
теряет числовой смысл, а потому значение х = 2 не может вхо-
входить в область существования функции. Значит, функция суще-
существует при значениях х > 2, область существования представ-
представляет собой бесконечный интервал B, +°°)-
17

2) Областью существования функции является бесконечный
интервал (—оо, 4).
3) Область существования состоит из двух бесконечных ин-
интервалов (—оо, 8) и (8, +оо). Это же заключение можно зависать
с помощью неравенств: —оо<х<8 и 8<*<+оо.
Задача 2, 30 (для самостоятельного решения). Определить об-
область существования функций:
Ответ. 1) Два бесконечных интервала (—оо, 3); C, + °°).
2) Бесконечный интервал (—оо; 3,5).
Бесконечный интервал E, + °°)-
ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Продолжение упражнений в определении области суще-
существования функции.
Задача 3,1. Найти область существования функций 1) у =
= j/JF^Tj; 2) у = УТ^х2.
Решение. 1) Для того чтобы функция у = Ух2— 1 прини-
принимала только действительные значения, надо, чтобы х2 — 1 > 0,
т. е. х2>1. Это неравенство выполняется тогда, когда х <—1 и
х> 1, и, таким образом, область существования функции состоит
из двух полуотрезков: (—оо, —1] и [+1, -f-оэ), или в другой
записи —оо <х< —1 и 1 < л: + °°-
2) Должно выполняться неравенство 4—хг > 0, т. е. х2 < 4.
Отсюда следует, что х > —2 и х < +2.
Областью существования функции является отрезок [—2, +2].
Это можно записать иначе: —2 < х < +2.
Задача 3,2 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций:
= У9-х2; 2) у = ух*-6; 3) у =
Ответ. 1) Отрезок [—3, +3],_иначе — 3<x<+3. 2) Два
полуотрезка (—оо, —j/б] и [+Уб, -j-co), иначе —оо < х < —
—1/6 и +J/6 < х < +оо. 3) Интервал (—VI, V 5), или (—VI <
< х < У5) (значения х = ±У 5 отбрасываются, так как при х =
= + уЪ знаменатель дроби обращается в нуль и дробь теряет
числовой смысл). 4) Два интервала (—оо, —4) и D, +°°). или
—оо < х < —4 и 4 < х < + оо (значения х = ± 4
18

отбрасываются, так как при х = ±4 знаменатель дроби обраща-
обращается в нуль и тем самым дробь теряет числовой смысл).
Задача 3, 3 (для самостоятельного решения). Определить об-
область существования функции у = 1/ _ ..
Указание. Должно выполняться неравенство ~-г > 0. Для
определения тех значений х, при которых это имеет место сле-
следует решить системы неравенств:
1) х + 1 > 0| и 2) х + 1< 01
х — 1>о) х— 1<о)"
Из решения этих неравенств следует, что областью сущест-
существования является полуотрезок (—оо, —1) и интервал A, +°о).
Это можно записать иначе: —оо < х <—1 и 1 <*<+<». Зна-
Значение х = 1 рассматриваться не может, так как тогда х—1=0
и дробь ^4г7 теряет числовой смысл.
Задача 3,4 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у — У (х — 2) (х + 3).
Указание. Рассмотреть неравенство (л: — 2) (х + 3) > 0. •
Ответ. — оо<х<— 3 и 2<л;<+оо.
Задача 3, 5. Найти область существования функции у = \g (x —
-5).
Решение. Учитывая, что если основание логарифмов поло-
положительно, то ни нуль, ни отрицательные числа логарифмов не
имеют, область существования данной функции найдем из требо-
требования, чтобы х — 5 > 0, откуда следует, что должно быть х>5
Функция существует для значений 5<х<+оо, т. е. на беско-'
нечном интервале E, +оо).
Задача 3,6 (для самостоятельного решения). Найтк область
существования функций:
1) y=\gB-x); 2) «/=lg(*2-3). _
Ответ. 1) —оо<л;<2; 2) — оо < х < — /3 и /3< х <
<+оо.
Указание. В случае 2) рассмотреть неравенство хг — 3 > 0.
Задача 3,7 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции y = \gx*.
Ответ. (—оо < х < 0) и @<х<+со), т. е. функция опре-
определена при любом значении х, кроме х = 0.
Задача 3,8. Найти область существования функции у =
= sin Bх + 3).
Решение. Функция y — s'inx определена при любом значе-
значении аргумента х. Значит, выражение 2х + 3, стоящее под знаком
синуса, может принимать любое значение, откуда следует, что
19

х может принимать любое значение. Областью существования
функции является бесконечный интервал (—оо, +°°)- Это заклю-
заключение можно написать и иначе: —со<л-<+со.
Задача 3,9 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у = sin —.
Ответ. Все действительные числа, кроме х = 0: (—оо < л; <
<0) и @<л;< + со).
Задача 3,10. Найти область существования функции у = tg 2л;.
Решение. Функция у = tgx определена при всех действи-
действительных значениях х, кроме х = Bk + 1) у, где k — любое целое
число. Значит, в нашем случае величина 2х, стоящая после зна-
знака тангенса, не должна быть равна Bk+ \) у, т. е. 2х Ф
Ф Bk + 1) у, а х ф Bk + 1) -|-. Таким образом, область сущест-
существования функции у — tg2x состоит из всех действительных чисел,
кроме значений х = Bk-\-\)-г-, где k — любое целое число.
Задача 3,11 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций: 1) «/ = ctg-g-; 2) tg4A^; 3) y = sec-^
и у — cosec3#.
Ответ. 1) Множество всех действительных чисел, кроме зна-
значений х = 3kr.. 2) Множество всех действительных чисел, кроме
значений х = Bk + 1) -g- 3) Множество всех действительных чисел,
5я
кроме х = Bk + 1) у. 4) Множество всех действительных чисел
кроме х = у (всюду k — любое целое число).
Задача 3, 12. Найти область существования функции у =
= arc sin Eл; — 8).
Решение. Областью существования функции у = arc sin x
является отрезок [—1, +1]. Поэтому область существования
данной функции указывается неравенствами — 1 < 5л; — 8<+1.
Прибавляя ко всем частям этих неравенств по 8, получаем
7 < 5л; < 9, откуда уже следует, что функция существует для
7 9
значений -=- < х < -?-•
5 5
Задача 3, 13 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций:
/ X \
1) у = arcsin (у — 1 ; 2) у = arccos (Зл; — 6).
Ответ. 1) 0<л;<4; 2) -| <л;< ~.
20

Задача 3,14 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций:
1) у = arctgBx — 5); 2) у = arcsin У 4х — 3.
Ответ. 1) —оо<л:<+оо; 2)-|-<*<1.
Задача 3,15 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у — arcsin (х2 + 2).
Ответ. Данное аналитическое выражение не определяет ни-
никакой функции, так как ни при одном значении х не имеют
место неравенства —1 < х2 + 2 ^ +1.
Указание к решению задач 3, 16—3,23.
Если требуется найти область существования алгебраической
суммы нескольких функций, то надо поступить так:
1) Определить область существования каждой из слагаемых
функций:
2) Определить часть, общую для всех найденных областей. Эта
общая часть и будет искомой.
Если такой общей части у обласгей, найденных в п. 1), не
окажется, то заданное аналитическое выражение, представляю-
представляющее алгебраическую сумму нескольких функций, не определяет
никакой функции в области действительных чисел.
Это указание распространяется также на произведение не-
нескольких функций и на частное двух функций, причем при опре-
определении области существования частного двух функций должны
быть исключены точки, в которых знаменатель дроби обращается
в нуль.
Задача 3, 16. Найти область существования функции у =
= log2(x — 1) + х2.
Решение. Областью существования функции уг = log2 (х — 1)
является совокупность всех значений х, удовлетворяющих нера-
неравенству х—1 > 0, т. е. интервал A, +оо).
Областью существования степенной функции уг = х2 является
интервал (—оо, + оо).
Общей частью этих двух интервалов является интервал
A, +оо). Таким образом, данная функция существует для значений
1 <Х<+са.
Задача 3, 17. Найти область существования функции у —
--= V 'Ь^х + V^ТЗ-
Решение. Функция ух = Уь — л: существует для значений
— оо < л: < 5. Функция у2 = Ух + 3 существует для значений
—3 < х < +со.
Общей частью найденных двух областей является отрезок
[—3, +5], а поэтому данная функция существует для значений
—3 < х < +5.
21

Задача 3,18 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у — У 4 — х — Ух + 2.
Ответ. —2<л:<4, т. е. отрезок [—2,4].
Задача 3, 19 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у = У4+х —У х + 2 + У 15 —х.
Ответ. [—2,15], т. е. — 2<х<15.
Задача 3, 20 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у = 2х3 + \g(x — \) + -—?.
Ответ. Функция существует для значений l<x<3 и
3<х<+оо, т. е. в интервалах A,3) и C, +оо).
Задача 3, 21 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции y = 2xtgx.
Ответ. Функция существует при всех значениях х, кроме
значений х — Bk -f- 1)у, где k — любое целое число.
Задача 3,22. Найти область существования функции у =
sin х
IS (■*■ — 4)-
Решение. Функция ух = sin x существует в бесконечном
■интервале (—оо, +оо).
Функция г/ = lg (х2 — 4) существует в интервалах (—оо, —2)
и B, +со). Но следует иметь в виду, что функция lg(x2—4)
стоит в знаменателе дроби, а потому из этих двух интервалов
надо исключить точки, в которых эта функция обращается в
нуль, т.е. точки, для которых lg(*2— 4) = 0, или х2 — 4 = 1,
ах=±УЕ. Таким образом, функцию lg(x2— 4) следует рас-
рассматривать в интервалах: 1) (—оо, — УЪ)\ 2) (—1/5, —2); 3) B,
У 5) и 4) A/5, +оо).
Общей частью, принадлежащей бесконечному интервалу
(—со, +со), в котором определена функция sinx, и только что
найденным интервалам являются именно эти интервалы, а потому
данная _функция существует в интервалах: 1) (—со, —УЪ)>
2) (-1/5, -2); 3) B, ]/5); 4) A/5, +«,).
Задача 3. 23 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции у = lg *' ~ *?f ,6.
Ответ. Два бесконечных интервала: (—оо, 2) и C, +оо).
ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Построение графиков функций.
Это практическое занятие посвящается упражнениям на по-
построение графиков функций, заданных аналитически.
В инженерной практике с построением графиков функций
приходится встречаться очень часто. При изучении таких пред-
22

метов, как сопротивление материалов, теория упругости, гидрав-
гидравлика, электротехника, радиотехника, к построению графиков
функций приходится прибегать буквально на каждом шагу.
Поэтому студенту следует с исключительной серьезностью от-
отнестись к этому практическому занятию.
К построению графиков более сложных функций мы еще воз-
возвратимся на практическом занятии № 35 и используем для этого
уже аппарат дифференциального исчисления.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Определение 1. Графиком функции у =f(x) называется сово-
совокупность всех точек плоскости, абсциссы которых есть значения
аргумента, взятые из области существования функции, а орди-
ординаты, соответствующие этим значениям аргумента, — значения
функции.
Согласно этому определению, для построения точного графика
функции нам следовало бы построить все точки, принадлежащие
графику, а это, как правило, сделать невозможно, так как.,
вообще говоря, график функции содержит бесконечное множество
точек.
Для построения графика функции y = f(x) обычно поступают
так: дают аргументу несколько частных значений и пользуясь
аналитическим выражением функции, вычисляют соответствующие
значения функции. Если, например, взяты значения аргумента
х = х{, х = хг; х — хЛ, ..., х — хп, то соответствующими им
значениями функции будут
#1 = /(*i); Уй = / (*2); Уз = f (*з); • • •; «/»=
Эти значения сводят в таблицу такого вида:
После этого берут прямоугольную систему
координат, выбирают масштабную единицу и
строят точки
Mi(*i, 0i), М2(хг, у2), Ms(x3,y3), ....
Мп (Хп, Уп).
Полученные точки соединяют плавной кривой.
Эта кривая дает эскиз графика функции (при-
(приближенный график). Прежде чем приступить
к составлению таблицы числовых значений
функции, очень полезно выяснить вопрос
о симметрии графика функции.
Если функцию можно отнести к классу четных или нечетных
функций, то построение ее графика значительно облегчится.
Приведем относящиеся сюда определения.
Определение 2. Область существования функции называется
симметричной, если вместе с числом х этой области принадле-
принадлежит и число —х (на геометрическом языке это значит, что
23
X
*1
Хг
*з
хп
У
У1
У-
Уз
Уп

симметричная область существования функции расположена сим-
симметрично относительно начала координат).
Определение 3. Функция y — f(x) называется четной на
симметричной относительно начала координат области, если
для каждого значения аргумента х из этой области имеет место
равенство
f(-x) = f(x). D,1)
Таким образом, если функция — четная, то изменение знака
у аргумента ие меняет значения функции, а потому в случае
четной функции каждой точке ее графика с абсциссой х и орди-
ординатой у соответствует точка, имеющая абсциссу —х ту же ор-
ординату у.
Это приводит к выводу, что график четной функции распо-
расположен симметрично относительно оси Оу.
Таким образом, если функция четная, то ее график мы будем
строить так:
1) Построим только часть графика этой функции, расположен-
расположенную справа от оси Оу, т. е. при составлении таблицы числовых
значений функции будем давать аргументу только положитель-
положительные значения и значение, равное нулю, если это значение при-
принадлежит области существования функции.
2) Построим «зеркальное отображение» относительно оси Оу
графика, полученного в п. 1).
Определение 4. Функция y = f{x) называется нечетной на
симметричной относительно начала координат области, если
для каждого значения аргумента х из этой области имеет место
равенство
f(-x) = -f(x). D,2)
Таким образом, у нечетной функции изменение на противо-
противоположный знака аргумента изменяет на противоположный и знак
функции, не изменяя ее абсолютной величины.
Поэтому график нечетной функции расположен симметрично
относительно начала координат, так как если графику принад-
принадлежит точка А (х, у), то ему же принадлежит и точка В,
(-х, -У).
Для построения графика нечетной функции надо: 1) построить
только ту часть графика, которая расположена справа от оси Оу,
т. е. часть, соответствующую положительным значениям аргумента
(и значению х = 0, если нуль принадлежит области существова-
существования функции); 2) построить кривую, симметричную относительно
начала координат кривой, построенной в п. 1).
Эти свойства четных и нечетных функций будут использованы
при построении графиков функций.
Задачи 4,1—4,12 являются упражнениями, связанными с опре-
определениями четной и нечетной функций.
24

ПРИЕМЫ, ОБЛЕГЧАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Укажем приемы, облегчающие построение графика функции
в ряде случаев, которые часто встречаются в практике
4.1. Для того чтобы по известному графику функции у =
= / (х) построить график функции «/ = /(—х), надо построить
линию, симметричную линии у — f (х) относительно Оу.
4.2. Для того чтобы по известному графику функции у =
= f (х) построить график функции у=—/(*), надо построить
линию, симметричную линии у — f (x) относительно оси Ох.
4.3. Если известен график функции y = f(x), то, чтобы
построить график функции у — f (х + с), надо перенести график
функции y = f(x) вдоль оси Ох на с единиц масштаба вправо,
если с < 0, и влево, если с > 0 (предполагается, что ось Ох направ-
направлена вправо).
4.4. График функции у — f (х) + В получается из графика
функции у — f (x) переносом этого графика на В единиц мас-
масштаба вверх, если В > 0, и вниз, если В < 0 (предполагается,
что ось О у направлена вверх).
4.5. График функции y = Af(x) получается из графика функ-
функции у =f(x) умножением всех его ординат на А при сохранении
величины соответствующих абсцисс.
4.6. График функции у — f(kx) (k > 0) получается из графика
функции y = f(x) делением всех абсцисс этого графика на k,
если k~>l, и умножением их на -^, если 0<k<.l, при сохра-
сохранении величин соответствующих ординат.
Применяя последовательно эти приемы, можно, зная график
функции y = f(x) построить график более сложной функции
вида
Упражнения, связанные с понятиями четной и нечетной
функции.
Задача 4,1. Доказать, что функция f(x)=2x4 — четная.
Решение. Вычислим /(—х). Если окажется, что /(—х) —
= / (х), то из определения 3 будет следовать, что функция f (х) —
= 2л:4 — четная:
Равенство D,1) выполняется, а потому заданная функция —
четная.
Задача 4, 2. Доказать, что функция / (х) = нечетная.
25

Решение. Вычислим f(—х) и если окажется, что /(—х) =
= —f (х), то из определения 4 будет следовать, что заданная функ-
функция действительно нечетная:
1 1
Задача 4. 3 (для самостоятельного решения). Доказать, чтофунк-
ция / (х) = v——■ четная.
О
Задача 4, 4 (для самостоятельного решения). Доказать нечет-
ность функций: 1) f(x) = щ—,\ 2) f(x) = 2дД+7 ■
Задача 4, 5 (для самостоятельного решения). Доказать четность
функций: 1) /(дс) = т-£-?; 2) /(*) = * «^+7 •
х 4- 1
Задача 4, 6. Выяснить, является ли функция f (x) — -^т четной
или нечетной.
Решение. Вычислим f(—х):
1( х) ~-х—\
Отсюда заключаем, что изменение знака у аргумента изме-
изменило абсолютную величину функции; ни равенство D, 1), ни ра-
равенство D, 2) не выполняются, а потому данная функция не мо-
может быть отнесена ни к числу четных, ни к числу нечетных
функций.
Читателю необходимо уяснить, что функция не
обязательно должна быть либо четной, либо не-
нечетной.
Задача 4,7 (для самостоятельного решения). Показать, что
функции f (х) = sin х + cos х и tp (х) = 2х + 7 нельзя отнести ни
к четным, ни к нечетным функциям.
Задача 4,8. Доказать, что сумма или разность двух четных
функций есть функция четная.
Решение. Пусть <р(х) = /j(х) ± /о(х), причем функции fx(x)
и h (*) — четные. Тогда М—дс) = М*), а М—*)=/i(*) D-3).
Вычислим ср (—х): <р (—х) = Д (—х) ± /2 (—х).
На основании равенств D, 3) 9 (—*) — /х W ± /г (*). и тре-
требуемое доказано: ср (—х) = <о (х).
Доказанное предложение распространяется на алгебраичес-
алгебраическую сумму любого конечного числа слагаемых (предполагалось,
что функции fх (х) и f2(x) рассматриваются в одной и той же
симметричной области).
Задача 4,9 (для самостоятельного решения). Доказать, что
сумма или разность двух нечетных функций есть функция не-
нечетная (предполагается, что функции рассматриваются в одной
и той же симметричной области).
26

Задача 4. 10. Доказать, что произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная.
Решение. Пусть функции fx{x) и f2(x)—четные. Тогда
/i (—х) = /i (х), а /2 (—х) = /2 (х). Составим их произведение: ср (х) =
= h (х) к (х), и тогда ср (—х) = Л (—х) /, (—х) = /, (х) /2 (х) = ? (л:);
тем самым доказано, что произведение двух четных функций —
функция четная.
Теперь самостоятельно докажите, что произведение двух
нечетных функций есть тоже функция четная.
Задача 4,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что
произведение функции четной на нечетную есть функция не-
нечетная.
Задача 4, 12 (для самостоятельного решения). Выяснить, какая
нз функций 1) f(x) =х* + secx; 2) у = х2 +-^-; 3) /(*) =
= хг cos x; 4) f (x) = х sin x; 5) f(x) = x2tgx; 6) f (x) = х3 sin x;
7) у = хь sin л: является четной, а какая нечетной.
Ответ. Функции 1), 2), 3), 4), 6), 7)—четные, 5)—не-
5)—нечетная.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Графики целых рациональных функций
Задача 4,13. Построить графики функций: 1) у — Зх — 5;
2) у = — 2х + 3; 3) у = 4х— 1; 4) у = —Зх + 1.
Решение. 1) Данную функцию нельзя отнести ни к четным,
ни к нечетным функциям: у = (—х) = —Зх — 5.
Ее областью существования являет-
является бесконечный интервал (—оо, +оо).
Функция — линейная (это хорошо изве-
известно читателю из аналитической геоме-
геометрии). Ее графиком является прямая
линия, для построения которой доста-
точно знать только
две ее точки. Возь-
Возьмем два произволь-
произвольных значения аргу-
аргумента х и вычислим
соответствующие им
значения функции у.
Построим на пло-
плоскости точки Аг{2, 1) и Аг (—3, —14).
Прямая изображена на фиг. 4, 1.
Графики остальных функций по-
постройте самостоятельно. Фиг. 4, 1.
X
2
—2
У
1
—14
27

Задача 4, 14. Построить график функции у = л:2.
Решение. Заданная функция — четная. Ее график сим-
симметричен относительно оси Оу. Поэтому достаточно построить
часть графика для значений л:>0, а потом дополнить эту
часть ее «зеркальным отображением» относительно оси Оу. Так
будет получен полный график этой функции. Так как функ-
функция определена при любом значении х, составим таблицу ее
значений при произвольных значениях х > 0 и построим на
плоскости точки Аг@, 0); Л2A, 1); А3B, 4);
Л4C, 9).
Соединим эти точки плавной кривой (фиг. 4,2).
Построим теперь «зеркальное отображение»
этой кривой относительно оси Оу и получим
полный приближенный график данной функции
(фиг. 4,3). Очевидно, что графиком функции
является парабола.
Задача 4, 15. По известному графику функ-
функции у = х2 построить графики функций: 1) у =
X
0
1
2
3
У
0
1
4
9
2) у = -i-x2; 3) у = i- %2; 4) у = -г/2; 5) г/ = -Зх2.
3-
2
/\
(Г f 2
Фиг. 4,2.
(Г
Фиг. 4,3-
Указание. Учесть указание 4,5 (стр. 25). Пользуясь гра-
графиком функции у — х2 (фиг. 4,3), сохраняя величины абсцисс,
в первом случае надо увеличить все ординаты в 3 раза (фиг. 4,4),
во втором случае уменьшить все ординаты в 2 раза (фиг. 4,5),
в третьем — уменьшить их в 3 раза (фиг. 4, 6). В случаях чет-
четвертом и пятом использовать указание 4,2 стр. 25 (фиг. 4,7
и 4, 8).
Задача 4, 16 (для самостоятельного решения). По известному
графику функции у = 2л:2 построить графики функций: у = 2л:2 +
+ d при d= 1, 2, —1, —3.
28

Указание. 1) Построить график функции у = 2х2, исполь-
использовав график функции у = х2. Учесть указание 4,4 (стр. 25).
Графики этих функций показаны на фиг. 4,9 — 4, 12.
Например, график функции у = 2х2 — 3 получается из гра-
графика функции у = х2 так: увеличив все ординаты этого графика
ц
\ 1
\\
\
\
п
ь
—Л
4
1
1
Фиг. 4,5.
величины соответствующих абсцисс,
получим график функции у — 2л:2. Если этот график опустить
на 3 ед. масштаба, то получим график функции у — 2х2 — 3.
Фиг. 4,4.
в два раза при сохранении
У\
Фиг. 4,7.
Задача 4, 17. По известному графику функции у — хг построить
графики функций: 1) у = (х+ IJ, у = (х — 2J.
Решение. 1) График функции у = (х-{-\)г получается из
графика функции у = хг переносом его на 1 ед. масштаба.вдоль
оси Ох влево —фиг. 4, 13а и 4, 136 (см. указание 4,3, стр. 25).
29

Фиг. 4,8.
30

2) График функции у = (х — 2J получается из графика функ-
функции у = хг переносом его вдоль оси Ох на 2 ед. масштаба впра-
вправо— фиг. 4, 14а и 4, 146 (использовать то же указание).
а б
О
-/ 0
Фиг. 4,13.
Задача 4,18 (для самостоятельного решения). По известному
графику функции у = х2 построить графики функций;
1) # = 2(х + 2)*; 2) у '(x-l)*.
Фиг. 4,14.
Задача 4,19. Пользуясь графиком функции у = хг, построить
график функции у = х2 + 2х + 2.
Решение. Заданную функцию представим в виде у — {х +
+ 1J + 1. Исходя из графика функции у = х2, построим сначала
график функции у = (х + 1)г, а потом этот график перенесем на
1 ед. масштаба вверх (фиг. 4, 15) — см. указание 4,4 стр. 25.
Задача 4, 20 (для самостоятельного решения). Пользуясь гра-
графиком функции у — х2, построить график функции у = 4л:2 +
+ 8л:+12.
31

Указание. Заданную функцию записать в виде у = 4(х +
+ IJ + 8 и вести построение в такой последовательности:
1) у = х\ 2) у = {х+\?\ 3) у = 4 (х + IJ; 4) у = 4 (де + IJ + 8.
-/ о
1-1
Фиг. 4,15.
Задача 4, 21 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций:
1) у = —г* + 2л: + 2; 2) </ = — 2л? -|- Зл: — 4;
3) </ = 5л:2 + 4л: + 7; 4) у = 2лг2 + 4х:
5) </ = — Зл:2 — х.
Найти также точки пересечения этих парабол с осью Ох.
ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Продолжение упражнений в построении графиков функ-
функций. Графики показательной и логарифмической функции.
Задача 5,1. Построить график кубической параболы у = х3
(график этой функции, так же как и график параболы второй
степени, надо хорошо запомнить).
Решение. Функция у = х3 определена прн всех значениях х
I—оо <л: < +со). Функция эта нечетная (у(—л:) = —х3 =—у(х))
32

Поэтому мы построим сначала ту часть ее графика, которая со-
соответствует значениям х > О, а затем для построения полного
графика воспользуемся указанием к построению графика нечет-
нечетной функции (стр. 24). Так как данная функция определена при
н
О
Фиг. 5,1.
Л
Фиг. 5,2.
Фиг. 5,3.
любом значении х, то мы можем составить таблицу числовых
значений функции для нескольких произвольных значений аргу-
аргумента.
1) Построим точки Л! (О, 0), Л2A, 1), Л3B, 8), Л4C, 27) и
соединим их плавной кривой. Построим после этого кривую,
симметричную этой кривой относительно начала координат.
Вся полученная кривая и будет приближен-
приближенным графиком функции у = л:3 (фиг. 5,1).
Задача 5,2 (для самостоятельного решения).
Зная график функции у = л:3, построить гра-
графики функций:
X
0
1
2
3
У
0
1
8
27
1) у = -х3; 2) 0в(х-1)»;
3) у = — (х + 2K; i)y = 2*3;
5) </ = -^3; 6) у = х* + 2;
= х3—1;8)у =—^+3; 9) у = 2(х+1K+2.
Указание. Построение этих графиков сле-
следует выполнить на основании указаний 4,1—
4,6 стр. 25 (см. фиг. 5,2 — 5,6).
Задача 5,3 (для самостоятельного решения).
Построить график параболы четвертой степени
У = х* и, пользуясь им, построить графики
функций:
1)</ = 2х4; 2)у==х* + 1; 3)у = —х\
4) у = — 2х4; 5) у «pi- Xх; 6) у = (* — IL;
7) у =
Фиг. 5,4.
2 з-43о
33

(графики удобно строить на одном чертеже, используя указания
4,3—4,7 стр.).
Задача 5,4. Построить график функции д = 1- (функция у =
= - выражает закон обратной пропорциональности между пере-
Фиг. 5,5.
Фиг. 5,6.
менными х и у, а ее график называется графиком обратной про-
пропорциональности).
Решение. Прежде всего замечаем, что заданная функция—
нечетная, так как у (—х) = = —у(х).
Функция у — — определена при
{/, всех значениях х,' кроме х — 0.
Ее область существования состоит
из двух бесконечных интервалов
(— оо, 0) И @, + оо).
Построим часть графика для зна-
0 х чений х > 0, а полный график функ-
функции получим на основании указания
для построения графика нечетной
функции (стр. 24). Составим таблицу
числовых значений функции для по-
Фиг. 5,7. ложительных значений аргумента.
34

(I \
4 ' ^1'
Л2C-, З) Л3(^, 2], Л4A,1) Л6B, I),
Л6(з. i-j, Л, U, j\, соединим их плавной
кривой линией. Теперь построим кривую, сим-
симметричную ей относительно начала координат,
и получим приближенный полный график функ-
функции (фиг. 5,7)
Эта кривая, как известно читателю из ана-
аналитической геометрии, — равнобочная гипербола
(иногда говорят равноосная гипербола).
График этой функции был уже рассмотрен
в первой части этого пособия. Там же был
рассмотрен и график дробнолинейной функции
вида
ах -f- Ь
Числителю рекомендуется повторить относящиеся сюда вопросы.
ГРАФИКИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
Задача 5,5. Построить график функции у = 2х
Считая этот график исходным, построить график функций:
1) у = 2-*; 2) у = -2-;
X
1
4
1
3
1
2
1
2
3
4
У
4
3
2
1
1
2
1
3"
1
Т
6)
Фиг. 5,8.
3) у = -2".
Решение. Показательная
функция у = 2х определена при
всех значениях х. Ее областью
существования является беско-
бесконечный интервал (— со, + с0)-
Составим таблицу числовых зна-
значений функции, давая аргумен-
аргументу произвольные значения.
Построим на плоскости эти
точки, соединим их плавной кри-
кривой линией и получим прибли-
приближенный график данной функ-
функции (фиг. 5,8 а).
1) График функции у = 2~х
симметричен графику функции
35

у = 2* относительно оси Оу (фиг. 5,86), т. к. если у(х) — 2х, то
у(—*) =.:= 2~г (см. указание 4,1 на стр. 25).
2) График функции у — — 2х симметричен
графику функции у = 2х относительно оси Ох —
см. указание 4,2, стр. 25 (фиг. 5,8б).
3) График функции у = —2~х симметричен
графику функции у = 2~х относительно оси Ох
(фиг. 5.8г)—см. указание 4,2, стр. 25.
Задача 5,6 (для самостоятельного решения).
X
—5
—4
—3
—2
— 1
0
1
2
3
4
У
1
32
1
16
1
8
1
1
1
2
1
2
4
8
16
Построить график функции у — (j) и,
считая
его исходным, построить графики функций:
■>»-£)-. s>*--fr)".4»~ "■
Задача 5,7. Построить график функции у =
— 22х, считая исходным график функции у = 2х.
Решение. Для построения графика функ-
функции у — 22х по исходному графику у = 2х сле-
следует воспользоваться указанием 4,6 (стр. 25).
Сначала построим график функции у = 2х.
На этом графике выбираем несколько точек.
На том же чертеже построим точки, ординаты
которых равны ординатам выбранных точек,
но с абсциссами в два раза меньшими, чем у них (на фиг. 5,9
на графике функции у = 2х выбраны точки А, В и С). Получен-
с
-9—==:
i
-2
У,
3
2
it/
-/ о
Фиг. 5,9.
/у
i
i
/\
2 х
ные точки соединим плавной кривой линией, которая и будет
приближенным графиком функции у = 22х.
Задача 5,9 (для самостоятельного решения). Считая исходным
к
график функции у = 2х, построить график функции у = 2 .
36

Задача 5,9 (для самостоятельного решения). Построить график
функции у = 3* и, считая его исходным, построить графики
функций:
1) у = 1+3«; 2)у = 3*—2; 3) у = З*-2;
б 7
Фиг. 5,10.
4) У = 3:
Указание. При построе-
построении графиков функций 1) и 2)
использовать указание 4,4 (стр.
25), а при построении графика
функции 4) использовать указа-
указание 4,6 стр. 25.
Задача 5.10. Построить гра-
график функции у — log,,,*.
Решение. Заданная функ-
функция определена только для зна-
значений х > 0. Составим таблицу
числовых значений функции при
нескольких произвольно выбранных положительных значениях
аргумента. Построим на плоскости точки, абсциссы которых рав-
равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим им зна-
значениям функции.
Построенные точки соединим плавной кри-
кривой линией и получим приближенный график
данной функции (фиг. 5,10).
Задача 5,11 (для самостоятельного реше-
решения). Зная график функции у = logI0 *, по-
построить графики функций 1) у — log^x3;
2) 0 = loglo(x —1); 3) у = log10(— x); 4H =
= log,, i •
Указание к 4): logl0-= log10l— Iog10лг-=
= — log10 x.
Использовать также указание 4,2 (стр. 25).
X
1
100
1
То
1
2
3
4
У
_2
— 1
0
0,3010
0,4771
0,6021
ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Построение графиков тригонометрических и обратных
тригонометрических функций.
ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Задача 6,1- Исходя из графика функции у = sin*, построить
график функции у = cos*.
37

Решение. Функцию у = cos* представим в виде
у = sin \i + *). График этой функции получится из графика функ-
функции у — sin х (фиг. 6,1), перенесением его вдоль оси Ох влево
на £- ед. масштаба (фиг. 6,2).
у = sinx
-1
Фиг. 6,2.
=casx
Задача 6,2 (для самостоятельного решения). Считая извест-
известным график функции у = cos x (фиг. 6,2), построить график функ-
функции у = sin*.
У
y*tgz
-ж
3
0
ж
\ Фиг. 6,3.
Задача 6,3 (для самостоятельного решения). Исходя из графи-
графика функции у = tgx построить график функции у = ctgx.
Указание. ctg;t = tg(^-—х ]. I) Построить график функ-
функции у = tgx (фиг. 6,3);
38

2) Пользуясь им, получить график функции у = tg (—*) и по-
потом с помощью сдвига вдоль оси Ох получить график функции
График функции t/ = ctg* представлен на фиг. 6,4.
Фиг. 6,4.
Задача 6,4» Исходя из графика функции у = sin*, построить
график функции у = —sin*.
Решение. Если построить кривую, симметричную относи-
относительно оси Ох графику функции у = sin x, то она и будет являться
У1-
Фнг. 6,5.
графиком функции у=—sinx (фиг. 6,5). График функции у =
— sin(—л:) совпадает с графиком функции у — —sin*. Почему?
Задача 6,5 (для самостоятельного решения). Начертить график
функции y=\s\nx\ (фиг. 6,6).
Задача 6,6. Начертить график функции у — 2sin*, исходя из
графика функции у = sin*.
Решение. Начертим одну волну графика функции t/ = sin*
па отрезке [0,2и] (график этойфункции можно срисовать из учеб-
учебника). Выберем на этом графике несколько точек. Построим теперь
39

на том же чертеже точки с абсциссами, равными абсциссам выбран-
выбранных точек, но с ординатами, увеличенными в два раза. Соединив
эти точки плавной кривой линией, получим приближенный график
функции у = 2 sin* (фиг. 6,7).
у = /stnxf
Теперь, пользуясь периодичностью этой функции (ее период
равен 2г), продолжим построенный график в соседние интервалы.
У\
Фиг. 6,7.
Задача 6,7 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций:
2) t/ = J-
Задача 6,8. Построить график функции д = sin (* — 1), исходя
из графика функции y = sin;t.
Решение. Чтобы построить график функции у = sin (л: — 1),
начертим сначала одну волну графика функции у = sin* на отрез-
отрезке [0,2и] и перенесем ее вправо на 1 ед. масштаба. Зная, что
40

заданная функция имеет период, равный 2тс, продолжим построен-
построенный график в соседние интервалы (фиг. 6,8).
Задача 6,9 (для самостоятельного решения). Построить графи-
графики функций: 1) у = cos (х + 2) и 2) у = sin (x + 3), исходя из гра-
графиков функций y — cosx и y = sinx.
Фиг. 6,8.
Задача 6,10. Построить график функции «/ = sin2x.
Решение. Используем указание 4,6, стр. 25., Чтобы по-
построить график функции у — sin 2*, построим сначала одну волну
синусоиды у = sin л на отрезке [0,2ic].
Sinx
Фиг. 6,9.
Выберем на построенной кривой несколько точек и построим точ-
точки с ординатами, равными ординатам выбранных точек, но с
абсциссами, уменьшенными в два раза. Полученные точки соеди-
соединим плавной кривой. Пользуясь периодичностью заданной функ-
функции у = sin 2х (фиг. 6,9) (ее период Т ~ тс), продолжим получен-
полученный график в соседние интервалы (тс, 2ir), B*, Зя), (—тт. 0),
(—2z> —я), находящиеся справа и слева от интервала @, т:).
41

Задача 6,11 (для самостоятельного решения). Исходя из гра-
графиков функций у — cos* и у = sin*, построить графики функций:
1) у = sin3* и 2) у = cosT*.
О
Задача 6,12. Построить график функции (/ = cos^-*.
Решение. Построим на отрезке [0,2тс] сначала график
функции y = cosx (фиг. 6,10). Используем указание 4,6 стр. 25.
Выберем на этом графике несколько точек и построим точки
с ординатами равными, ординатам выбранных точек, но с абсцис-
абсциссами, в два раза большими, чем абсциссы выбранных точек.
f
/)
-f
г\
Фиг. 6,10.
Построение кривой показано на фиг. 6.10. Функция
у = cos к-х — периодическая. Ее период равен 4ir. Пользуясь перио-
периодичностью этой функции, ее график, построенный на отрезке [0,4ir],
продолжим в соседние интервалы Dи, 8ir); (8тс, 12т:); (—4«, 0);
(—8тг, -4тс).
Задача 6,13 (для самостоятельного решения). Построить гра-
фики функций: 1) г/= sin^-; 2) t/ = cos-g-; 3) г/= sin 5-.
Задача 6,14. Построить график функции y — 2s\n3x.
Решение. Будем исходить из графика функции у = sin*.
Построим одну волну этого графика на отрезке [0,2тс]. Поль-
Пользуясь этим графиком, построим график функции (/ = sin3*. Для
этого, как уже известно читателю, следует на кривой у = sin *
выбрать несколько точек и построить точки с ординатами, равны-
равными ординатам этих точек, но с абсциссами в три раза меньши-
меньшими, чем абсциссы выбранных точек. Построенные точки соединим
плавной кривой линией.
После того как построена кривая (/= sin 3*, на основании
указания 4,5 стр. 25 построим кривую # = 2sin.3*. Это надо
сделать так: оставив абсциссы построенных точек без изменения,
построить точки, ординаты которых в два раза больше, чем орди-
42

наты построенных точек. Построения показаны на фиг. 6,П.
После этого построенную кривую следует продолжить в соседние
/2 4 \ /4 . 6 \. / 2 . п\ I 4 . 2 V
интервалы ^""'Г*]1 (зтс>зу (~з"' °) [~ 3 тс> ~ з"%]
и т, д., используя то, что заданная функция — периодическая
с периодом Т = jTC.
-2
Фиг. 6,11.
Задача 6,15 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций: 1) у = j sin 2x\ 2) «/ = 3cos2.r, 3) у = ^ tg ^-я.
Указание. При построении графика функции y=^ig^x
следует исходить из графика функции y = tgx. Пользуясь этим
графиком, построить график функции y = ^tgx, а потом уже
кривую y = ^tg^x.
Задача 6,16 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций: 1) у = —sin2;t; 2) у = — 3cos|; 3) у ~—2sin^-.
Задача 6,17 (для самостоятельного решения). Построить гра-
график функции у = 2 sin (л:—1).
Указание. 1) Исходя из графика функции y = s\nx по-
построить график функции y = s\n(x — 1). 2) Зная график функции
у = sin (х — 1), построить график данной функции у = 2 sin (х — 1).
Задача 6,18. Построить график функции у = sin Bх + 3).
Решение. Представим заданную функцию в виде у =
== sin 2 I je -J- j I и будем вести построение графика в таком порядке:
43

1 Построим на отрезке [0,2*] график функции у = sin х.
z) Выберем на этом графике несколько точек и построим точки
с ординатами, равными ординатам выбранных точек но с абсцис-
абсциссами, уменьшенными в 2 раза. Построенные точки соединим плав-
= зВГ ЛИНиеи- Эта кРивая линия будет графиком функции
3) Перенесем этот график влево вдоль оси Ох на ^ ед. мас-
масштаба и получим график функции у = sin2/x + |), т. е. график
заданной функции у = sin Bx + 3) (фиг. 6,12).
Следует предостеречь читателя от одной распространенной
ошибки. Зта ошибка состоит в том, что для построения графика
Фиг. 6,12.
функции у = sin (шх + <р) иногда поступают так: из графика функ-
функции # = sinx получают график функции «/ = sinu>x, и этот график
переносят вдоль оси Ох на с? ед. масштаба, вместо того, чтобы
его перенести на £ ед. масштаба.
Чтобы избежать этой ошибки, надо функцию вида у = sin (шх +
+ ?) представить в виде у = sinw/x + l\ т. е. сделать так, что-
чтобы в скобках под знаком синуса коэффициент при х был равен 1.
Из рассмотрения функции у = sin ш 1х + *-) сразу видно, что пе-
перенос вдоль оси Ох должен быть сделан не на 9 ед. масштаба,
а на ^ ед. масштаба.
Задача 6,19 (для самостоятельного решения). Построить графи-
графики функции: 1) у = sin Dх + 8); 2) у = sin (| — з];
3) у = — sin Bx — 4).
Задача 6,20. Построить график функции у = 3sin Bx — 4).
Решение. Представим заданную функцию в виде у =
— 3sin2 (х — 2). Построим одну волну синусоиды на отрезке [0,2я).
44

Считая этот график исходным, построим график функции
у = sin 2л:.
Если перенести эту кривую вдоль оси Ох на 2 ед_ масштаба
вправо то получим график функции у = sin 2 (х — 2). Выберем на
этом графике несколько точек и, не изменяя абсцисс этих точек,
увеличим их ординаты в три раза. Соединив полученные точки
плавной кривой линией, получим приближенный график данной
функции у = 3sin2(* —2). Зная, что заданная функция перио-
Фиг. 6,13.
дическая и что ее период Т = я, продолжим полученный график
в соседние интервалы, как мы это делали в предыдущих задачах
Задача 6,21 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций:
1) ы= 2cosC*+ 1); 2) 0=2cos3*= 1;
3) у=— 2sinBx— 1); 4) у = — 3C +
5) г/ = | sin 2x |.
Задача 6,22. Построить график функ-
функции у — arcsin 2jc, считая исходным гра-
график функции у— arcsinA:.
Решение. График функции у =
= arcsin л: представлен на фиг. 6,14,
перечертите этот график. Выберите на
нем несколько точек.
Постройте точки с ординатами, равны-
равными ординатам выбранных точек, то с абс-
абсциссами, уменьшенными в два раза. По-
y=arcsinx
Фиг. 6,14.
45

t/=arcstn2x
строенные точки соедините плавной кривой линией, которая и бу-
будет приближенным графиком функции у= arcsin 2х (фиг. 6, }5).
Задача 6,23 (для самостоятельного ре-
решения). Пользуясь графиком функции
у = arcsin х (фиг. 6,14), постройте графи-
графики функций: 1) (/ = arcsin |-; 2) у—
— arcsin (л:+1); 3) у = arcsin (х—1); 4) у =
= 2 arcsin х\ 5) у = arcsin х — 1; 6) у =
= — arcsin х.
Задача 6,24 (для самостоятельного ре-
решения). Пользуясь графиком функции
у =-■ arccos л: (фиг.
графики функций:
2) «/ = arccos (—л:);
6,16), построить
1) у = —arccos л:;
3) у = arccos ^-;
Фиг. 6,15.
4) у = arccos (j + 1); 5) у ~ 2 arccos 2x.
Задача 6,25 (для самостоятельного решения). Исходя из гра-
графика функции t/=arctg;t и у — arcctg* (фиг. 6,17 и 6,18), по-
построить графики функций: 1) (/ = 2arctg;t; 2) у = — arctg*;
3) = arctg j ; 4) у = arcctg* + 2; 5) у = Х- arcctg;t.
\
О
Фиг. 6,16.
yarccosx
О
Фиг. 6,18.
'2
Фиг. 6,17.

СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
, Содержание: Построение графиков функций, заданных несколькими
аналитическими выражениями. Построение графика суммы, разности и произ-
произведения нескольких функций.
Определение функции, данное в кратких сведениях по теории
предпосланных второму практическому занятию, не предполагает,
что функция обязательно задается одной формулой. Может
оказаться, что на различных участках изменения аргумента
функция задана различными формулами.
С таким способом задания функции приходится встречаться
и в математических исследованиях, и в таких науках, как сопро-
сопротивление материалов, теплотехника, радиотехника и др. Поэтому
этот способ не следует считать чем-то надуманным.
Задача 7,1. Функция задана следующими равенствами:
2, если х < — 1,
х -f- 3, если — 1 < х < О,
— х -+- 3, если 0 < х < 1,
2, если х > 1.
Построить график.
Решение. Если х < — 1, то функция задана равенством у =
= 2 и ее графиком будет полупрямая, параллельная оси Ох
(фиг. 7,1а). На участке —1 < х < 0 функция задана равенством
у = х -)- 3. Графиком этой функции является прямая линия, на
которой надо взять отрезок ее, соответствующий значениям аргу-
аргумента х из отрезка [—1,0] (фиг. 7,16).
На участке 0 < х < 1 функция у — —х -j-З, ее график—пря-
график—прямая линия, на которой следует взять отрезок, соответствующий
значениям аргумента из отрезка [0,1J (фиг. 7,1в) и для значений
х > 1 функция у — 2 и ее графиком будет полупрямая, парал-
параллельная оси Ох (фиг. 7,1 г).
В «собранном» виде график заданной функции представлен
на фиг. 7,1 д.
Задача 7,2. Построить график функции, определяемой равен-
равенствами
у = х2, если х < 0;
у = х, если х > 0.
Решение. Графиком функции у—хг для значений х<0
является часть параболы, расположенная во втором квадранте
(фиг. 7,2 а).
Графиком функции у = х для значений х>0 является полу-
полупрямая— биссектриса первого координатного угла (фиг. 7,2 6).
На фиг. 7,2в график заданной функции представлен в «собран-
«собранном» виде.
47

Перед решением приведенных ниже задач введем такое условие:
если на кривых линиях или на полупрямых поставлены стрелки,
то это означает, что концы этих линий, на которых находятся
стрелки, не принадлежат графику функции.
Задача 7,3. Построить график функции
(+2 для х<0;
У = 1—2 для х > 0.
Решение. См. фиг. 7,3.
2
0
-2
=-2
У =-2
Фиг. 7,3.
Задача 7,4 (для самостоятельного решения). Построить график,
функции, определяемой равенствами
—х, если х < О,
х, если х > 0.
У\
О
Фиг. 7,4.
(график этой функции представлен на фиг. 7,4). Эта функция
может быть задана одним аналитическим выражением: j/ = |je|,
где |х| — абсолютная величина х.
Задача 7,5. Построить график функции
(х, если х ф 2,
E, если х = 2,
49

Решение. График функции состоит из всех точек прямой
У — х, кроме точки B,2). Эта точка удалена из прямой («изъята»,
«вырвана»). Она помещена в точку B,5). Это изолированная тс/чка
графика функции (фиг. 7,5).
Задача 7,6 (для самостоятельного
решения). Построить графики функций,
определяемые равенствами:
12х + 2 для 0<*<3
1) у = | 8 для 3 < х < 6
{ х + 2 для х > 6
ix— 1 для х <0
2) У = ( 3* для х > О
(не забывайте на прямых проставлять
стрелки, если они нужны на основании
сделанного выше условия. В примере 2)
они нужны)
Фиг. 7,5.
—2х — 1 для х < 2
3) у = ■ 3 для х = 2
2* — 9 для л: > 2
Задача 7,7 (для самостоятель-
самостоятельного решения). Построить графи-
графики функций, определяемых равен-
равенствами
1)
-2х — 2, если х < —1;
)Л — *2, если —1 <дс< 1,
2* — 2, если je > 1.
Указание. График функции
у — —V\—хг — часть окруж-
окружности х2 -f у2 = 1, лежащая в ниж-
нижней полуплоскости (фиг. 7,6).
I если < —2;
3, если — 2 < а: < 2;
4) у =
х + 1 для * < О
О для х = О
х — 1 для х > О
У=-
Фиг. 7,6.
х2, если * > 2.
-i-;
■j, если 0<
3) у = 2, если у < х < 6;
)/—32+ 12* — л:2, если 6 < л: < л:
8.
50

Задача 7,8 (для самостоятельного решения). Построить графики
функций:
1) у = \хг — 11; (фиг. 7,7а и 7,7 6)
2) 0 = 2-|х|;
|Q4 ,, I „2 7v I 1 О I
О
Фиг. 7,7.
Задача 7,9. Построить график функции у — х + sin x.
Решение. Построим на одном чертеже графики слагаемых
функций (фиг. 7,8): у—х и y = smx.
Фиг. 7,8.
Проведем ряд вертикальных прямых, пересекающих графики
этих функций, и пометим на них точки, ординаты которых равны
сумме ординат слагаемых функций. Каждая из точек, построен-
построенных на этих вертикальных прямых, имеет абсциссу такую же,
как и соответствующие точки обоих графиков. Соединяя получен-
61

ные точки плавной кривой, получим график данной функции
y — x + smx (конечно, полученный график будет приближенным).
Задача 7,10 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций:
1) у = 2*-f sin x;
2) у .— 3х + cos л;;
3) у = sinx + cos л;;
4) у = sin 2x 4- 2 cos x\
Ъ) у = х sin л:.
Указание. При построении графика функции у = хътх
(пример 5) учесть, что: 1) эта функция четная, а потому ее гра-
график симметричен относительно оси Оу. 2) Учитывая, что х умно-
умножается на sin л:, который по абсолютной величине не больше
единицы, заключаем, что абсолютная величина произведения xsinx,
т.е. | jc sin jc |, не больше \х\, т. е. |*sin*| < | х |, а потому гра-
график функции y — xsmx расположен между двумя биссектрисами
координатных углов у = х и у = —х. В точках х = ±у, ±-j>
±y, ...,± 2— график функции y = xs\nx касается этих
биссектрис, а в точках О, ±п; ±2iu... график пересекает ось Ох.
Задача 7,11 (для самостоятельного решения). Построить гра-
графики функций
1) у = х* 4- 2л:2;
2) у — х 4- со5л:;
3) у = хд — у*3;
4) г/ = х3созл:;
5) у = х2 + 4т.
ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Решение уравнений с помощью графиков (графическое
решение уравнений).
Если не требуется большой точности, то можно корни различ-
различных уравнений находить при помощи графиков функций. Для
этого поступают так:
Способ 1. Все члены уравнения переносят, в его левую часть
(правая часть оказывается при этом равной нулю), обозначают
левую часть через f (x), и тогда уравнение приобретает вид
f (х) — 0. После этого строят график функции у = / (х), где
) (х) — левая часть уравнения. Абсциссы точек пересечения этого
графика с осью Ох и будут корнями уравнения, так как в этих
точках у — 0.
52

Способ 2. Члены уравнения разбивают на две группы, одну
из них записывают в левой части уравнения, а другую — в правой.
Уравнение приобретает вид f (х) —
— Д (х). После этого строят гра-
графики двух функций у — f (x) и у =
= fi(x). Корнями данного уравне-
уравнения будут абсциссы точек пересече-
пересечения этих графиков. Так, если точка
пересечения графиков имеет абсцис-
абсциссу ха, то в этой точке ординаты
графиков между собой равны, и тогда
f (х0) = /j (xu). Это равенство по-
показывает, что х0 — корень уравне-
уравнения. Второй из указанных спосо-
способов предпочтительнее первого; он
особенно удобен, когда одна из ча-
частей уравнения является линейной
функцией.
Задача 8,1. Решить графически
О
Фиг. 8,1.
— Злг
рф
О первым и вторым из указанных СПО-
уравнение
COJOB.
Решение. 1-й способ. Построим график функции у = х3 —
— Зх-\-2 (фиг 8,1) и определим абсциссы точек пересечения этого
графика с осью Ох : хх = —2; х2 = х3 — 1.
Кривая касается оси Ох в точке х=\,
а потому уравнение имеет кратный корень
л; — 1 (следует иметь в виду, что уравнение
третьей степени с действительными коэффи-
коэффициентами имеет или один действительный
корень или все три его корня — действи-
действительны. Так как кривая пересекла ось Ох
в одной точке и коснулась ее в другой,
то в той точке, где имеет место касание,
будет кратный корень. В данном случае
таким двукратным корнем является 1).
2-й способ. Перепишем данное урав-
уравнение в виде х3 = Зх — 2. Построим гра-
фичи функций у = х3 и у = Зх — 2 (фиг.
8,2). Найдем абсциссы точек пересечения
этих графиков. Получим Х\ = —2, х2 = 1.
В точке л;2 = 1 прямая у = Зх — 2 касается
графика функции у — х3.
Задача 8,2 (для самостоятельного ре-
решения). Решить графически уравнение
фиг. 8,2. х3 — 2л;2 + 2х — 1 = 0.
Задачу решить двумя способами.
Ответ. Один действительный корень х = \.
53

Указание. Прежде чем решать заданное уравнение вторым
способом, его выгодно сначала упростить. Общий вид кубического
уравнения записывается так:
аих3 + а,х2 + а2х + а3 = 0 (а0 ф 0). (Л)
После деления обеих частей равенства на а0 оно преобразуется
к виду у3 + Ьгх2 -f Ьгх + Ь6 = 0.
Если теперь сделать подстановку
х = У-% (В)
то оно приведется к виду
У3+РУ + Я = 0. (С)
Этот вид кубического уравнения называется приведенным. Оно
не содержит квадрата неизвестной величины. Уравнение (С) ре-
решить графически проще, чем исходное уравнение (А), т. к. здесь
дело сведется к построению графика кубической параболы и пря-
прямой (см. предыдущую задачу), в то время как графическое реше-
решение уравнения (А) потребовало бы построения графиков кубиче-
кубической параболы и параболы второй степени (уравнение (А) следо-
следовало переписать так: пцХ3 = —а^х2— а2х — а3).
После того как решено уравнение (С), надо воспользоваться
подстановкой (В) и найти неизвестнее данного уравнения (А).
Задача 8,3. (для самостоятельного решения). Решить графи-
графически уравнения:
1) х3 — 6*2 + Ш — 6 = 0;
2) х3 — х2— Юх — 8 = 0.
Указание. Перейти к приведенному виду (С) кубического
уравнения, использовав указание предыдущей задачи.
Ответ. \) х1=1; х2 = 2; х3 = 3;
2) х1 = ~2; хг = — I; х3=4.
Задача 8,4. Найти графически вторым способом положитель-
положительный корень уравнения х* — х — 1 = 0.
Указание. При построении графиков функций у—х* и
у = х-\-\ масштабную единицу по оси Оу уменьшить в 5 раз.
Ответ. 1,22.
Задача 8,5. Найти графически наименьший положительный
корень уравнения х—tgx= 0
Указание. 1) Переписать уравнение в виде tgx = x. 2) На-
Начертить графики функций у = tgx и у = х (фиг. 8,3). Графики
54

пересекаются в бесконечном множестве точек. Уравнение имеет
бесчисленное множество корней.
Ответ. Наименьший положительный корень xx^s4,5 (более
точное вычисление дает хх = 4,4934).
Задача 8,6. (для самостоятельного решения). Найти графически
наименьший корень уравнения tgx— 0,5* = 0.
Ответ, х s^ 4,3.
Задача 8,7 (для самостоятельного решения). Найти графически
наименьший положительный корень уравнения 0,2л: —sin* = 0.
Фиг. 8,3.
Указание. Искомый корень является наименьшей положи-
положительной абсциссой точки пересечения прямой у = 0,2* и синусои-
синусоиды у = sirw.
Ответ. хдг2,6.
Задача 8,8 (для самостоятельного решения). Найти наимень-
наименьший положительный корень уравнения xtgx —0,3.
0 3
Указание. Переписать уравнение в виде tg.x:=— и по-
0 3
0 3
= — (равновесная ги-
гистроить графики функций y = tgx
пербола).
Ответ. 0,52.
Задача 8,9 (для самостоятельного решения). Найти наимень-
наименьший положительный корень уравнения х$\ш—\.
Ответ, xs^ 1,1.
Задача 8,10 (для самостоятельного решения). Решить графи-
графически уравнения:
1) х—2 sinх = 0 (найти положительный корень).
2) cosx — х2 = 0
Ответ. 1) *« 1,9; 2) х = ± 0,824.
55

ДЕВЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Обратная функция и се график. Периодические функции.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Обратная функция и ее график
Если функциональная зависимость у от х задана аналити-
аналитически уравнением у — / (х), из которого можно определить х как
функцию от у уравнением х = у (у) так, что каждому значению
у соответствует единственное значение х, то функция, опреде-
определяемая уравнением х — <? (у), называется обратной по отноше-
отношению к функции у = / (х), которая в этой связи называется прямой.
В уравнении y=f(x) величина х — независимая переменная, а
у — функция. Для того чтобы сохранить стандартные обозна-
обозначения, в которых х обозначает независимую переменную, а у —
функцию, в уравнении х = ф (у) следует заменить у буквой х,
ах — буквой у. Именно так полученную функцию у = ср (х) мы
и будем считать обратной по
отношению к функции у = / (х).
График обратной функции у =
— <?(х) симметричен гафику пря-
прямой функции у = f(x) относи-
относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов.
Задача 9,1. Найти функцию,
обратную функции у = 3х — 1,
и построить ее график.
Решение. Находим из дан-
данного уравнения х в зависимости
от у:
Фиг. 9,1. 6
Заменяя в этом равенстве х на у, а у на х, получаем окончательно
>-'-¥■
Графики заданной функции и ей обратной представлены на
фиг. 9,1
Задача 9,2. Найти функцию, обратную функции у = х
(— °° < X <С + °о).
Решение. Из уравнения у = х2 видно, что значения функ-
функции у заполняют полуотрезок [0, + с0)- Если это уравнение раз-
разрешить относительно х, то получим уравнение x=±Vy,
из которого видно, что каждому значению у из полуотрезка
(О, -j- оо) соответствует не одно, а два значения х из интервала
56

(—со, -f со). Отсюда мы заключаем, что если функцию у = х2 рас-
рассматривать на интервале (— оо, -j-oo), то для нее обратной функции
не существует (х через у выражается не однозначно).
Если будем рассматривать данную функцию у = х2 только для
положительных значений х и х = 0, т. е. значений х из полу-
полуотрезка [0, + оо), тогда х = -f Vy, и каждому значению у > О
соответствует не два, а только одно значение х, обратная функция
теперь существует и определяется уравнением у = + У~х (фиг. 9,2).
Если данную функцию
у — х2 рассматривать только
для значений х < 0, то она
и в этом случае будет иметь
обратную функцию. Действи-
Действительно, в этом случае х =
= —У~У, каждому значению
у > 0 соответствует единст-
единственное значение х, и обрат-
обратная функция определяется
уравнением у = —Vx.
Задача 9,3 (для самостоя-
самостоятельного решения). Убедить-
Убедиться, что на интервале (—оо,
+ оо) функция y = sinx не
имеет обратной функции, а на
Г ]
Фиг. 9,2.
Г « к]
отрезке — у, -у — имеет.
Задача 9,4. Найти функцию, обратную функции y = lg4-
<*>0).
Решение. 1) Находим х в зависимости от у:
JL= 10»; Х = Ъ- 10".
2) Заменим в последнем выражении х на у, а у на х и полу-
получим у = 5 • 10*. Это и есть функция, обратная данной.
Задача 9,5 (для самостоятельного решения). Найти функции,
обратные данным:
1) y = smCx — 1), где — (-J — у
2) у = arcsiriy где —3 < x < 3;
3) у = 5 arctgx, где (— оо < х < + оо).
Ответ. 1) у = -о-A + arcsinx);
2) у = 3 sin x;
57

При каких значениях х могут рассматриваться эти функции?
Задача 9,6 (для самостоятельного решения). Найти функцию,
обратную функции у = х3, и построить ее график, пользуясь свой-
свойством графика обратной функции.
Задача 9,7 (для самостоятельного решения). Определить функ-
функции, обратные следующим функциям:
и
i \ ,, V2 9v __L A* O^ *i * * *3\ ti . Ox— 11
1 / t/ — Л ~"~ ^л -p *t) z.) у — ^ л~ * Of у — Z '
4) у = 5's*; 5) у = 3sin*; 6) у = cos2 x — sin2 л-.
Указание. Заданную функцию 1) рассмотреть сначала для
значений х> 1, а потом для значений х< 1.
Ответ. 1) у = 1 + l^x — 3, //= 1 — Ух — 3 (х>3);
2) # = /Т |. область существования — два бесконечных ин-
тервала: (—оо<л;<—^-j; I — -g-<x< + oo);
3) # = i—~JZTi> область существования — интервалы @ < х < 2)
4) # = 10's5, область существования — @ < х < + со);
6) у — y arccosx, (—1 < х < 1).
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Основные сведения из теории
Определение. Функция f(x) называется периодической, если
существует такое число Т, отличное от нуля, что для всех зна-
значений х, принадлежащих области существования функции, вы-
выполняется равенство f (x) — f (х + Т).
Обыкновенно наименьшее из чисел Т, обладающее таким свой-
свойством, называется периодом функции.
Если Т — период функции, то ее периодом будут также и
числа 1гТ, где k — любое целое число.
Из определения периодической функции следует, что если
точка х принадлежит области определения функции, то ей при-
принадлежат также и точки х + kT, где k — любое целое число
(£- ±1; ±2; ±3;...;.
Построение графика периодической функции облегчается тем,
что можно ограничиться построением его части только для тех
точек области определения функции, которые находятся на полу-
58

отрезках [х0, хо + Т) или {х0, хо + Т], и последующим периоди-
периодическим повторением построенной части графика*.
Тригонометрические функции у = sin x, y = cosx, y = secxu
у = cosec х имеют период Т = 2т.: sin (х + 2к) = sin x, cos (х + 2я) =
= cosx, sec (x -f 2i^ = secx, cosec (x + 2я) = cosec x.
Кроме числа 2ъ периодом этих функций являются также и
числа вида 2nk, где k — любое целое число. Число 2т. — наимень-
наименьший период этих функций.
Функции же у — igx и у = ctgx имеют период Т = я.
Число к являеся наименьшим периодом этих функций. Во-
Вообще же периодом этих функций являются числа вида tzk, где
k — любое целое число.
Задача 9,8. Доказать, что функция у = sin (шл; + <р), где ш и
о — действительные числа и ш Ф 0, имеет наименьший период
Решение. Прибавим к аргументу х данной функции число
Г =— [здесь следует уяснить, что — прибавляется не к шх, а кх
и покажем, что функция от этого своей величины не изменит.
Этим мы и докажем, что число— является периодом этой функ-
функции:
sin v>lx + -^) + 9 = sin(o)A; + 2я + 9) =
= sin [(шл; + ср) + 2я] = sin (шл; + о).
Таким образом, требуемое доказано.
Следует запомнить, что функция sinu)* имеет период Т —
— — (о) Ф 0). Примеры:
1) функция у = sin-g- имеет период Т = -4- = 6я;
Т
2) функция у ~ sin 2л; имеет период Т = у = я;
3) функция // = sin 4л; имеет период Г = -f = у.
Задача 9,9 (для самостоятельного решения). Доказать, что если
функция f (x) имеет наименьший период, равный Т, то функция
f(ax), где а — любое действительное, не равное нулю число, имеет
Т
наименьший период Тх=— (предполагается, что точки х и ах
принадлежат области определения функции).
Указание. Использовать определение периодической функ-
функции.
Здесь х0 — произвольная точка области определения функции, а Г —
период функции.
59

Задача 9,10 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция у = cos2 х имеет период Т = п.
Задача 9,11. Показать, что если функции и и v — периодичес-
периодические функции х с одним и тем же периодом Т, то и и + о, uv и
— периодические функции с тем же периодом.
Указание. Удобно, например, ввести обозначение
с? (*) = и (х) ± v (х); ср (х + Т) = и (v + Т) ± v (х + Г)
и использовать свойство периодичности данных функций:
и(х + Т) = и(х); v(x + T) = v(x).
ДЕСЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Последовательности.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Если функция рассматривается только при целых и положи-
положительных значениях аргумента, то она называется функцией на-
натурального аргумента. Множество ее значений образует числовую
последовательность: каждому целому положительному числу со-
соответствует число хп — член последовательности, имеющий но-
номер п. Это значит, что
Xn=f(n).
Определение. Числовой последовательностью называется
множество значений функции f(n), определенной на множестве
натуральных чисел.
Член хп называется общим членом, последовательности.
Последовательность с общим членом хп содержит бесконечное
множество чисел и обозначается {хп}.
Последовательность считается заданной, если дан способ вы-
вычисления любого ее члена по его известному номеру.
Задача 10,1. Зная общий член последовательности хп — я, на-
написать ее первые десять членов.
Решение. Давая п значения 1, 2, 3, ... , 10, получим:
хх = 1; х2 — 2, х3 = 3; л:4 = 4; хь = 5; хс, = 6;
х7 = 7; xs = 8; х9 = 9; ххо = 10.
Эта последовательность из 10 членов запишется так: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Вообще же последовательность с общим членом хп — п запи-
запишется так: 1, 2, 3, ... . п, ...
Задача 10,2. Написать первые десять членов последователь-
последовательности, если ее общий член хп = "
п -|- Z
60

Решение. Вычисляя значение дроби ^~гт2 при значениях я,
равных 1, 2, 3, . . ., 10, получим:
1 . _ 2. _ з. _£. _ 5. 6.
Х\ — "з"> Х2 — 4 ' Хз — 5 ' Х* — 6 ' ^5 — ~Т' Х* — ~8*'
_ 7 . _ 8 . 9_. _ 10
Х-) "g"> Xg — Jq, -fg Yl' Xl® T2'
Вообше же последовательность с общим членом х= —?— за-
запишется так:
12 3 п
3 ' 5 ' 5 n + 2' ' ' *
Задача 10,3 (для самостоятельного решения). Написать после-
последовательности с общими членами:
In 1
1) ХП = о gl ^) -^Л = О! О) Хп = —I
4) х„ = -2»; 5) хп = ^; 6)
sin пт.
1 .
Хп
1
— для п нечетных;
" 10) хп =
п+1
для п четных;
Задача 10,4. По данным первым членам последовательности
б_ _9_ и 2\_ 30
У' ТО' 15' 22' 31'
написать ее общий член.
Решение. Прежде всего отметим, что заданием нескольких
первых членов последовательности не определяется вся последо-
последовательность. Однако условимся считать, что как написанные
члены последовательности, так и все следующие за ними состав-
составлены по одному и тому же закону соответствия между натураль-
натуральными числами и членами последовательности.
В нашем случае нетрудно усмотреть, что числитель каждой
дроби равен квадрату номера плюс пять, т. е. п2 + 5, а знамена-
знаменатель каждой дроби на единицу больше числителя, т. е. равен
пг + 6. Итак,
^П „2 I 6-
61

Задача 10,5 (для самостоятельного решения). Написать фор-
формулу общего члена последовательности по данным ее первым
членам:
1I 1 1 1 1 •
' 3' 6' 9' 12' 15' ' •; '
2^ ! l L !
2^ _!_ -L _!_
> 3-4' 5-6' 7-8' 9- 10'
Ъ JL i. — 12 15
> "' ТТ* 16' IV 26' " •' '
4\ A L 11 1!> 12
4' 5' 8' 11' 14* 17' '" " '
Ч\ 1 1 1 1 1 1
DJ 3' 9' 27' 8Г 243' 729' ' "
«oliili •
V) u> 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' " ' " '
_. ^_ 12 27 48 ^5
' 5' Т7' 37' 65' ЮГ
Ответ. 1) хп=з^; 2) хп=
B„ + 1) B«+ 2)'
3/г — 2 ., 4/г — 1 гч 1 .
ВТГТТ' ' Х" ~ З^Г+2' ^ Хп - у'
Монотонные последовательности
Последовательность называется монотонно возрастающей, если
при всех п каждый ее член больше предшествующего, т. е. если
Xn+i > хп, и монотонно убывающей, если каждый ее член меньше
предшествующего, т. е. если xn+i <х„.
Примеры монотонных последовательностей:
1) Последовательность натуральных чисел
1, 2, 3,..., п,... —монотонно возрастающая.
2) Последовательность чисел хп = —, обратных натуральным,
,111 1 , '
1, -j' "з"» Х'""' ~п'"''—монотонно убывающая.
Если переменная величина х„ изменяется не монотонно, то ее
называют колеблющейся.
Ограниченные последовательности
Последовательность называется ограниченной, если все ее члены
находятся в конечном интервале (—М, +М) и М > 0, т. е., если
\хп\ < М для любого номера п.
62

Примеры ограниченных последовательностей:
1) Последовательность {хп}, где хп есть n-й десятичный знак
числа У~Ъ, ограничена, так как |х„|<9.
2) Последовательность —г-у ограничена, так как |лгл|<1.
Замечание. Ограниченная последовательность не обязатель-
обязательно монотонна, а монотонная последовательность не обязательно
ограничена.
Последовательность с общим членом х„ = —-——, в которой
хг = 0, х2=1, х3 — 0, х4=1, ... ограничена, но не монотонна,
а последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... п, ...
монотонна, но не ограничена.
Задача 10,6 (для самостоятельного решения). Привести примеры:
1) возрастающей ограниченной последовательности;
2) возрастающей неограниченной последовательности:
3) убывающей ограниченной последовательности;
4) убывающей неограниченной последовательности.
Задача 10,7. Доказать, что последовательность с общим чле-
членом хп — 2 . .—монотонно возрастающая.
Решение. Найдем хп+\, заменив п на (п + 1) в выражении хп'
л + 1 л+ 1
Сравним величину дробей хп = 2п", t и хп+\ = ^"_Т 3' длячего
приведем эти дроби к большему знаменателю:
я (Чп + 3)
Bл + 3)Bл +1)' Хп Bл + 3) Bл + 1)'
Теперь знаменатели дробей равны.
Числитель первой дроби равен 2/г2 + 3/г + 1, а числитель вто-
второй дроби 2я2 + Зп и ясно, что 2п2 + Зп + 1 > 2п2 + Зп. Мы знаем,
что из двух положительных дробей с одинаковыми знаменателями
та дробь больше, у которой числитель больше. Значит, хп+\ > хп
и данная последовательность — возрастающая.
Задача 10,8 (для самостоятельного решения). Доказать, что
последовательность с общим членом хп = _» — монотонноубы-
, л— 1
вающая, а с общим членом хп = монотонно возрастающая.
Задача 10,9 (для самостоятельного решения). Доказать, что
{ Зл I
последовательность \ . —ограниченная и монотонно возраста-
Bя + 11
ющая, а последовательность 1—-j—[ — ограниченная и монотонно
убывающая.

Задача 10,10 (для самостоятельного решения). Показать, что
последовательность с общим членом х„ = 2" — неограниченная и
монотонно возрастающая.
ОДИННАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Предел последовательности.
Это практическое занятие отводится для упражнений, связан-
связанных с определением понятия предела последовательности. Отыски-
Отыскивать предел последовательности на этом занятии не придется.
В задачах предел последовательности будет задан, а учащийся
на основании определения предела последовательности должен до-
доказать, что заданное число действительно является пределом этой
последовательности.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Определение предела последовательности
Число а называется пределом последовательности {ха}
Х\ Х% Х3, . . • , Л"я, ... A1,1)
■(пределом переменной х„ или пределом функции f(n)), если ка-
каково бы ни было наперед заданное положительное число е, всегда
можно найти такое натуральное число N*, что для всех членов
последовательности с номерами n > N будет выполняться нера-
неравенство
|*„ —а|<е. A1,2)
Зто неравенство равносильно таким двум неравенствам:
а — е<Хп<а + е.
Число N зависит, вообще говоря, от выбранного s.
Если уменьшить число е, то соответствующий ему номер N
увеличится.
Для последовательности (или для переменной хп) необязатель-
необязательно иметь предел, но если этот предел есть, то он единственный.
Если число а есть предел последовательности {хп} с общим
членом xn = f(n) или переменной величины хп, то это символи-
символически записывается так:
\\тхп = а. (И.З)
Вместо записи A1,3) употребляется также запись
хп-+а,
■которая читается так: ч.хп стремится к а».
* Натуральными числами называются все целые положительные числа.
«4

В том случае, когда переменная величина хп (последователь-
(последовательность (HJ) имеет предел, равный а, говорят, что эта пере-
переменная величина или что последовательность {х„} сходится к а.
Последовательность, не имеющую предела, называют расходя-
расходящейся.
Переменная величина хп может стремиться к своему пределу
различными способами: 1) оставаясь меньше своего предела, 2) оста-
оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь около своего предела и
4) принимая значения, разные своему пределу.
Выбор числа s произволен, но после того как оно выбрано,
никаким изменениям в дальнейшем оно не должно подвергаться
Задача 11,1. Доказать, что последовательность с общим чле-
членом хп = у 1 имеет предел, равный 1.
Решение. Выберем произвольно положительное число ей
покажем, что для него можно определить такое натуральное
число N, что для всех номеров п~> N будет выполняться неравен-
неравенство A1,2), в котором надо взять а=\; х„ = -^ц-^, т. е. нера-
неравенство
1 —
л+1
(П,4)
После приведения в скобках к общему знаменателю получим
п + 1 — п
п+ 1
< е, или
л+1
Но если
< S, TO И
1*
ства следует, что п + 1 > —,
1
•<в.
1
Из последнего неравен-
Значит, если номер N больше, чем 1, то неравенство
A1,4) будет выполняться. Теперь надо решить вопрос о числе N,
о котором идет речь в определении. За число N можно принять
наибольшее целое число, содержащееся в числе 1.
Наибольшее целое число, содержащееся в числе х, обозна-
обозначается знаком Е (х).
На основании этого наибольшее
целое число, содержащееся
в числе 1, надо обозначить так: Е
Итак, можно принять
1]
N = El- —
A1,5)
* Если а < Ь, то — > -г.
3 з-43о
65

(предполагается, что Е I-—1]>0, иначе N не будет натураль-
натуральным и его надо брать равным 1).
Заключение: По произвольно заданному положительному числу
е мы нашли такое натуральное число N, что для всех номеров
п > N неравенство A1,4) действительно выполняется, а этим и
доказано, что 1 является пределом последовательности с общим
членом
X п —
'в+Г
Теперь приведенные вычисления проиллюстрируем числовым
примером.
Пусть, например, е = щ. Тогда при е = ^щ получаем из
A1,5)
N = Е (-у — \\ = Е A00 — 1) = 99; N = 99.
\Гоо /
Таким образом, для членов последовательности с номером боль-
большим, чем 99, выполняется неравенство
|1-*»1<155' О1.6)
Пусть п = 97; тогда, так как хп = jArf, x67 ~ ^,
98
если п = 98, то
99
*9g — gg >
98' 98 ^ 100 '
, 981 J_. J_ I
1 99 I ~ 99 ' 99 > ТОО '
Из этих расчетов видно, что когда номер п члена последова-
последовательности меньше 99 (л = 97, п = 98), неравенство A1,6) не выпол-
выполняется: вместо того чтобы | 1—хп\ была меньше щ, мы получи-
получили, что |1— *»|>1оо- Если взять п > 99, т.е., например, п =
, 100
1 101
101 —100
101
J_
101
100
= 100, тогда хп = щ и 11 —лгл| =
а щ<щ. Неравенство A1,6) будет выполняться для всех номе-
номеров п, которые больше, чем 99. Так как е = -^, а п > 99, то
все члены последовательности, начиная с сотого, будут лежать
на интервале A — щ^, 1 + щ)» т- е- на интервале @,99; 1,01)
(теперь возьмите для е значение, меньшее щ. например, s == т^.
Найдите N и убедитесь, что оно увеличится).
66

Полученный результат можно записать так: lim -4-г = I.
Иначе можно сказать, что последовательность [х„) = —-—
сходится к 1.
Мы употребили запись п -*■ со, которую следует понимать так:
переменная величина п становится все большей и большей и не
существует предела для ее возрастания.
Какое бы большое число мы не задали, п в процессе своего
возрастания его превзойдет. Для того чтобы коротко описать этот
характер изменения п, принято говорить «п стремится к бесконеч-
бесконечности» и записывать это так: п->со. Символ со произносится
«бесконечность» и применяется для сокращенной записи слова
«бесконечность».
Символ со ни в коем случае не может рассматриваться как
число, а потому бессмысленной является запись п = со, так как
п может равняться числу и не может быть равно символу, вве-
введенному только для сокращенной записи и сокращенного произ-
произношения фразы, которой заранее был придан определенный,
указанный выше, смысл.
Очевидно, что последовательность i —irrT > может быть запи-
записана так:
1 А
3 ' 4 ' *'
100'
и легко усмотреть, что она стремится к своему пределу 1, воз-
возрастая и оставаясь меньше 1.
Задача 11,2. Доказать, что последовательность с общим членом
хп = .■ имеет предел, равный 2.
Решение. Повторим подробно все рассуждения, приведенные
в предыдущей задаче. Выберем произвольно положительное число
s и покажем, что для него можно подобрать такое число N, что
для всех значений номера п, больших этого числа N, будет вы-
выполняться неравенство A1,2), в котором надо взять а — 2, хп —
-- о—т";. т- е- будет выполняться неравенство
2~штг\<£- <п'7>
Из этого неравенства после приведения в скобках к общему
знаменателю получаем
2 —
2я+ 1
— 4я
2я+1
2п+ 1
' 2л + 1»
и неравенство A1,7) запишется так:
67

Отсюда следует, что —%— > — (см. сноску на стр. 65) или
Таким образом, если номер п больше, чем у, то не-
неравенство A1,7) будет выполняться.
За N примем наибольшее целое число, содержащееся в числе
1-1 т е
6 2 , т. е.
Таким образом, мы сумели по произвольно заданному поло-
положительному s определить такое натуральное N, что неравенство
A1,7) выполняется для всех номеров п > N. Этим и доказано,
что 2 есть предел последовательности с общим членом хп ~ ± "
(предполагается, что Е( «Л ^ ^' так как иначе N не будет
натуральным числом. Если Е( ^-) окажется отрицательным,
то следует взять N = 1).
Теперь, чтобы лучше уяснить приведенные рассуждения, при-
приведем числовой пример: пусть выбрано е = ~. Тогда из A1,8)
следует, что
так как наибольшее целое число содержащееся в 49-j, есть 49.
Значит, для всех номеров п, больших, чем 49 при е= — , не-
неравенство A1,7) будет выполняться. Начиная с пятидесятого чле-
члена на все члены последовательности будут лежать в интервале
B — ^, 2 + еД т- е- в интервале A,98; 2,0 2). Убедимся сначала,
что при п < 49 неравенство A1,7) не выполняется. Пусть, напри-
например, п = 47. Тогда, так как х„ = 4" , получим, что xt7 =
4-47 . 188 ... _, о 1881 2
~ 2 • 47 4-"i' ~ 5" и левая часть неравенства A1,7) 2—"gg" =95*
2 1
На основании A1,7)^ должно быть меньше, чем е = ^, а фак-
2 1 1
тически gg не меньше ™, а больше g» и, значит, неравенство
A1,7) не выполняется.

п л о 4 -48 192. |о 192, 2'
При п — 48 имеем хп = 2 . 48 . ) = -ду; 2 — -^ | = ^ и опять
2 1 1
неравенство A1,7) не выполняется, т. к. и д=>-г, а не меньше^ .
У/ 5U 50
Если же взять, например, п = 50, то х„ = -^5 и 2 — ^
~ Ш • а пи ^ 50' и кеРавенств0 (И.7) выполнено. Так будет и
для всех номеров п, которые больше, чем 49.
Теперь примите, за е число, меньшее, чем ^, например —,
и убедитесь, что N увеличится.
Итак, Пт о^хгг = 2 (м°жн0 сказать иначе: последовательность
Г 4га
^-j 1 сходится к 2).
\2га
Замечание 1. В решенных двух задачах мы находили наи-
наименьший номер N, фигурирующий в определении предела после-
последовательности, такой, что начиная с него, неравенство A1,2)
выполняется. Однако учащийся должен уяснить, что 1) если это
неравенство выполняется, начиная с номера N, то оно будет вы-
выполняться и подавно при всех номерах Nu больших, чем N;
2) заданием числа е номер N определяется неоднозначно и 3) для
доказательства того, что \\тхп = а, вовсе нет необходимости среди
всех номеров N искать наименьший. Так, в задаче 11,1, уста-
установив, что неравенство A1,4) выполняется для всех п> 1,
мы могли дальше не вести никаких рассуждений.
Замечание 2. Выше было указано, что если последователь-
последовательность имеет предел, то этот предел — единственный: двух раз-
различных пределов последовательность иметь не может.
В последней задаче мы доказали, что пределом последователь-
последовательности I 97TXT ] является 2.
Покажем, что, например, число 3 не может быть пределом этой
последовательности.
Рассмотрим абсолютную величину разности
3 —
4п
2п+ 1
6п + 3 —
2п+
2л+ 3
Чп 4- 1
2л 4-
2л 4-3 .
и решим относительно п неравенство 2п t < e.
При любом целом и положительном п (а номер п может быть
только числом целым и положительным) число <£Т.* > 1, а по-
поэтому оно не может быть меньше произвольно заданного поло-
положительного числа е. Этим мы показали, что число 3 не может
служить пределом последовательности | 2n + l I'
69

Теперь самостоятельно решите простую задачу.
Задача 11,3 (для самостоятельного решения). Доказать, что
переменная хп = — имеет предел, равный нулю (следует запом-
запомнить, что lim — = 0).
Произносится эта запись так: «предел —, когда п стремится
к бесконечности, равен нулю». Вместо того чтобы писать lim — = 0,
можно употребить запись — ->- 0 при п -> оо, которую следует
читать так: «—стремится к нулю при п, стремящемся к беско-
бесконечности». Из того, что lim — = 0, следует, что
lim (l +-) = 1 и limfl — -М - 1.
Сокращенно это можно записать так:
1-J > 1 при п -у оо, 1 >- 1 при п -у со.
Задача 11,4. Доказать, что последовательность q, q*, qs, ..., qn ...
сходится к нулю, если абсолютная величина q меньше 1, т. е.
если |<7|< 1.
Решение. Чтобы доказать требуемое, возьмем произвольное
положительное число е и убедимся, что можно будет определить
такое N, что для всех номеров п, больших Добудет выполняться
неравенство
Ю-9"|<е (ВД
(в неравенстве A1,2) надо взять а = 0, xn = qn)-
Учитывая, что по условию \q\ < 1 можно заключить, что
-.—г>1, т. е. можно полагать, что -:—г равно 1 + а, где а —
число положительное.
-±-п = A + а)" = 1 + по. + lllpi) ««+... + а";
1 + пл + п(п~1)л* + ... + а" > 1 + па,
а потому — >1+ла, или |91я<]грга-
Выберем п так, чтобы знаменатель дроби 1 -f- па стал больше,
чем—. Тогда окажется, что и подавно |7|"<-г, т. е.
и неравенство A1,9) будет выполняться, так как из него следует,
70

J 1-1
что 1 q \n < s. Но если 1 + па. > —, то n > ^—. Значит можно
в качестве N выбрать наибольшее целое число, содержащееся в
числе , т. е. взять N = Е\ —-— I, и при этом неравенство
A1,9) будет выполняться при всех номерах п>ЛЛ Таким обра-
образом доказано, что Umqn = 0.
Надо запомнить, что если \q\ < 1, то lim9" = 0 (limqn, когда
\q\ > 1 вычислен в задаче 13, 1).
Если, например, q— y< 1, то последовательность запишется
так: 1, -jr. к?, gj-, ...— ... , и переменная —-> 0, монотонно
убывая (здесь каждое следующее значение переменной меньше
предыдущего).
Если q — — у, то последовательность запишется так:
1_ J_ __]_ _l_
2 ' 4 ' 8 ' 16
И эта последовательность, как доказано, сходится к нулю (Ы <1).
/ 1 \"
Однако здесь уже переменная величина I — у) стремится к свое-
своему пределу — нулю, принимая значения, то меньшие нуля, то
большие его. Можно сказать, что переменная в данном случае
колеблется около нуля.
Запишем эту последовательность в виде
L о 1 О !- П 1 О
2 ) и> 4 ' 8 ' 16' * * *
Ясно, что и эта последовательность сходится к нулю, но те-
теперь она содержит бесконечное множество членов, равных нулю.
Это тот случай, когда переменная, стремясь к пределу, становится
равной ему, причем это имеет место бесконечное множество раз.
Задача 11,5. Доказать, что последовательность 3,' З2, З3,
З4, ..., 3" ... не имеет предела.
Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что об-
общий член этой последовательности хп = 3" превзойдет любое на-
наперед заданное число.
Пусть А такое число. Возьмем п > А — 1. Тогда п + 1 > А;
Зп^-- A +2)я> 1 +2л, и подавно Зя>п + 1, или 3я >Л. Тем
самым показано, что 3" может превзойти любое число А. Если бы
существовал предел переменной хп = 3", и был бы равен а, то для
любого е > 0 можно было бы подобрать такое N, что при номерах
гс > N выполнялись бы неравенства а — е < хп < а -\- е, т. е.
71

a — e<3"<a-fe, а это противоречит доказанному, так как 3"
при п > Л — 1 превзойдет любое число А, а тем самым и число
а + е, меньше которого оно должно оставаться. Это противоречие
и доказывает, что последовательность {3я} предела не имеет. Этот
пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность
имеет предел.
Задача 11,6. Доказать, пользуясь определением предела по-
последовательности, что последовательность с общим членом хп =
УГ i ,
- имеет предел а — 1.
1
= , -
/„2+ 1—1
Решение. Подставим значения а и хп в неравенство A1,2)
и получим
1 —
п* +1 — 1
A1,10)
Уп*+\
—2
Упг + 1—1
Вместо неравенства A1,10) теперь имеем неравенство
Решим это неравенство относительно п:
Упг+\—\
Таким образом, если п удовлетворяет последнему неравенству,
то неравенство A1,10) будет выполняться при любом е > 0. Тем
Уп2 + ! + 1
самым мы доказали, что lim .... - = 1, а за N можно при-
п~~. У п* + 1— 1
нять N^
Определим из этого равенства значение N при е — 0,01
и е = 0,001. Если е = 0,01, то W/V ]
= Я (V2012 — 1) == 200.
Значит, при всех номерах п > 200 будет выполняться неравен-
неравенство
1—
р
< 0,01, т. е. при п > 200 все числа задан-
. -
У п' + 1 — 1
ной последовательности будут лежать на интервале @,99; 1,01).
Если е = 0,001, то N = Е (]/20012—l) = Е (/404 000) = 2000 и
72

для всех членов последовательности с номерами п > 2000 будет
VV + I
выполняться неравенство
1 —
< 0,001, а для номеров
n > 2000 все члены последовательности будут лежать на интер-
интервале @,999; 1,001).
Задача 11,7 (для самостоятельного решения). Пользуясь
определением предела последовательности, доказать, что
Т' 2) i™ST+l = Т;
с. ,. л*—1 . ,,. .. п'г — п — 1 1
5) nlim^prTr= 1; 6) !™5?нм=-| =1Г-
Задача 11,8 (для самостоятельного решения). Пользуясь опре-
определением предела последовательности, доказать, что
2
2+(~°"
2)
3) Нт 2+п(~°=0; 4) 1 im (К^ТТ — п) = 0.
Задача 11, 9 (для самостоятельного решения). Составить после-
последовательности: 1) возрастающую и сходящуюся к нулю; 2) убываю-
убывающую и сходящуюся к 3; 3) колеблющуюся и сходящуюся к 1;
А) колеблющуюся и расходящуюся; 5) убывающую и расходящуюся.
ДВЕНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Дальнейшие упражнения в определении предела последовательности.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
На предыдущем занятии мы задавали число и проверяли, яв-
является ли оно пределом переменной величины хп (последователь-
(последовательности {*„}).
Теперь мы займемся отысканием числа, являющегося пределом
переменной величины (последовательности).
Вычисление предела переменной величины основывается на
определениях и теоремах, помещенных ниже.
Бесконечно малые величины
12, 1. Если переменная величина х„ имеет своим пределом нуль
Iim лг« = 0, то она называется бесконечно малой. Это же опре-
определение можно высказать и в другой формулировке:
73

Переменная величина хп называется бесконечно малой, если для
всякого наперед заданного положительного числа е можно ука-
указать такое натуральное число N, что I хп I < е для всех номе-
номеров п, которые больше N.
Ни одно число, кроме нуля, не может быть отнесено к бес-
бесконечно малым величинам.
12.2. Алгебраическая сумма нескольких бесконечно малых ве-
величин есть также величина бесконечно малая. (Алгебраической
суммой называется такая сумма, члены которой присоединяются
друг к другу не только при помощи знака плюс, но и при по-
помощи знака минус).
12.3. Разность двух бесконечно малых величин есть величина
бесконечно малая.
12.4. Произведение ограниченной переменной величины на бес-
бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
Отсюда следует:
A. Произведение постоянной величины на бесконечно малую
есть также бесконечно малая величина.
B. Произведение переменной величины, стремящейся к пре-
пределу, на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.
C. Произведение двух бесконечно малых величин есть величина
бесконечно малая.
12.5. Отношение двух бесконечно малых величин не обяза-
обязательно есть величина бесконечно малая.
Отношение двух бесконечно малых величин может быть величи-
величиной конечной, бесконечно малой и даже бесконечно большой
величиной.
Об отношении двух бесконечно малых величин иногда говорят,
что оно представляет собой «неопределенность» вида -^.
Вычисление предела отношения двух бесконечно малых величин
О
часто называется также раскрытием «неопределенности» вида -?-.
Бесконечно большие величины
12.6. Переменная величина хп называется бесконечно большой,
если для любого наперед заданного числа М > О можно указать
такое натуральное число N, что для всех номеров п, больших N,
выполняется неравенство | хп | > М. Короче: переменная величина
хп называется бесконечно большой, если, начиная с некоторого
номера, она становится и остается при всех последующих номе-
номерах по абсолютной величине больше любого наперед заданного
положительного числа М. Если хп есть величина бесконечно боль-
большая, то это записывается так: limxn = оо, или хп^- °°.
Следует обратить внимание, что из определения бесконечно
большой величины следует, что знак хп роли не играет, а требует-
требуется лишь, чтобы абсолютная величина хп, т. е. \хп\, могла быть
сделана больше любого наперед заданного положительного числа.
74

Бесконечно большая величина хп называется положитель-
положительной бесконечно большой величиной, если, начиная с некото-
некоторого номера, она становится положительной. В этом случае
уже нет надобности писать \ хп | > М, знак абсолютной величины
(прямые скобки) можно опустить и писать лг«> М. В случае,
когда х„ — положительная бесконечно большая величина, пишут
Птдг„ = + оо, или дг„-> + оо, и произносят: <ахп стремится к
плюс бесконечности».
12, 7. Переменная величина хп называется отрицательной
бесконечно большой величиной, если для любого числа М <0
можно указать такое натуральное число N, что для всех номе-
номеров п больших N, выполняется неравенство х„ < М. В случае,
когда хп — отрицательная бесконечно большая величина, пишут
ИтХп -= — °о, или хп-> — со, и произносят <ахп стремится к ми-
минус бесконечности»
12, 8. Надо помнить, что символы со, + со, — со отнюдь не
являются числами, а вводятся только для упрощения записи и
для сокращенного словесного выражения того факта, что пере-
переменная величина является бесконечно большой, положительной бес-
бесконечно большой и отрицательной бесконечно большой. Следует
твердо запомнить, что никаких арифметических действий над
этими символами производить нельзя.
12, 9. Бесконечная большая величина предела не имеет.
12,10. Переменная, принимающая значения, обратные по ве-
величине соответственным значениям бесконечно малой величины,
есть величина бесконечно большая.
12,11. Переменная, принимающая значения, обратные по вели-
величине соответственным значениям, бесконечно большой величины,
есть величина бесконечно малая (хотя в некоторых учебниках и
применяются условные записи — = 0 и-»- = со, но их следует вся-
всячески избегать, так как 1) делить на нуль запрещено, 2) делить
же на со тоже нельзя, ибо со не число, а символ, делить же на
символы бессмысленно).
12, \2.Если А постоянная величина, не равная нулю, то про-
произведение А на бесконечно большую величину есть величина бес-
бесконечно большая.
12, 13. Произведение двух бесконечно больших величин есть ве-
величина бесконечно большая.
12,14. Отношение бесконечно большой величины к бесконечно
малой есть величина бесконечно большая.
12, 15. Сумма двух бесконечно больших величин одинакового
знака есть бесконечно большая величина того же знака.
12,16. Отношение двух бесконечно больших величин не обя-
обязательно есть бесконечно большая величина.
Это отношение может быть 1) величиной бесконечно большой,
2) величиной конечной и даже 3) величиной бесконечно малой
75

(см. задачи 12,1 — 12,9). Об отношении двух бесконечно больших ве-
величин говорят, что оно представляет собой «неопределенность» ви-
вида —, а отыскание этого отношения называется «раскрытием не-
неопределенности».
Действия над сходящимися последовательностями
12, 17. Последовательности складываются, вычитаются или
умножаются путем сложения, вычитания или умножения их со-
соответствующих членов. Если есть две последовательности:
и
Ьо, Ьъ Ь3, ... Ьп, ..., [Ьп]
то получим их сумму в виде
(ах + Ьх), (а2 + Ьг), (а3 + Ь3), ..., (ап + Ьп), ..., {ап} + {Ьп)
разность в виде
(a1 — b1), {a2 — b2), (а3 — Ь3), .... (an — bn) .... [ап\ — {bn)
а их произведение в виде
(% bx), (a2 b2), (a2 b3) (ап bn), ... [ап) • {bn}
Частное от деления двух последовательностей получим как
частное от деления членов последовательности {ап} на соответ-
соответствующие члены последовательности [Ьп) при условии, что в по-
последовательности {Ьп} нет членов, равных нулю.
Предел суммы» разности, произведения и частного
двух последовательностей
12, 18. Если две последовательности {х„\ и {уп) имеют пре-
пределы, равные соответственно а и Ь, то:
А) Последовательность {хп ± уп\ имеет предел, равный а ±Ь,
т. е.
Um(xn ± Уп) = Птл:„ ± \\туп = а ± Ь.
Это свойство распространяется также на случай любого
фиксированного числа слагаемых.
В) Последовательность {хп уп\ имеет предел, равный ab, т. е.
\\т(Хп- уп) — \\mxn • limy, = ab.
Это свойство распространяется также на случай любого
фиксированного числа сомножителей.
76

Постоянный множитель можно выносить за знак предела
kxn — k\\m.Xn при любом постоянном k.
Л-*- оо П-+ оо
С) Последовательность | — \ имеет предел, равный -г, т. е.
\\тхп
П-.оо
при условии, что все уп не равны нулю и \\туп — Ъ Ф 0.
Теоремы о последовательностях, расходящихся к ± оо
Если для последовательности {хп\ \imxn = + оо, /по говорят,
Л-.0О
что последовательность {хп} расходится к плюс бесконечности.
Если для последовательности [хп\ Итхп — — оо, то говорят,
П-* оо
что последовательность {х„} расходится к минус бесконечности.
Символы + оо и — оо имеют смысл, о котором было сказано в п. 12,8.
12,19. Если последовательность [хп] ограничена, а последова-
последовательность [уп] расходится к -|-оо: Нтг/„ = + оо, то
а) \\т(хп + Уп) = + оо; б) lim(Xn — уп) = — оо;
хп
в) Нт — = 0 при условии, что уп Ф 0 для всех п.
Л~оо уп
12, 20. Если последовательности [хп\ и [уп) расходятся к плюс
бесконечности:
= +oo и Птг/я = 4-оо, то
П-* оо П. -*■ оо
\im{xn -\-уп) = + оо; \\т{хп • уп) = + оо.
Я-.оо Л-»оо
12,21. Если \imxn = + <х>, о. \\т.уп — — оо, то
П-* оо П-* оо
a) lim(хя — г/„) = + со; б) \im (л:,г •«/„)= — оо.
П-.оо «-.оо
12, 22. Если \\mxn. = а и афО, а Нтуп = + оо и а — дейст-
Л-. оо /Z-. оо
вительное число, а не один из символов -f оо или — со, то
lim (*„ • уп) = { + оо, если а > 0;
П~°° \ — оо, если а < 0.
12,23. £сли Нтлга =а(а ф 0), аПтг/„==0 « уп>0, то
Л-»оо
а > 0;
77
цт ^L ( + оо, «ми а > 0;
я^.оо Уп \ — оо, если а<0.

Теоремы о предельном переходе
12,24. Если переменная хп (последовательность \хп}) имеет
конечный предел, то для любого действительного а имеет место
равенство
« A2,1)
в предположении, что степени xl(\\mxn)n имеют смысл. Ко-
роче: можно переходить к пределу в основании степени с любым
действительным показателем.
12, 25. Если переменная хп имеет конечный предел, то имеет
место формула
A2,2)
Л-*оо • Л-.оо
т. е. можно переходить к пределу под знаком корня (в случае
четного т предполагается, что хп > 0 и корень берется ариф-
арифметический).
12J6. Если а>0, а хп принимает только положительные
значения и имеет предел, не равный нулю, то имеет место формула
Hm \0gaXn = l0ga (ПтХ«). /10 3>
Л-.00 П-~ V ' '
Короче: можно переходить к пределу под знаком логарифма.
12,27. Если а>0, а переменная хп имеет конечный предел,
то имеет место формула
Нтхл
\\тахп -.=. ап-°° . A2, 4)
/1-> оо
Короче: при фиксированном основании можно переходить к пре-
пределу в показателе степени.
Теперь приступим к решению типовых задач на отыскание
предела переменной хп (предела последовательности {хп\).
Задача 12,1. Найти предел переменной
Последовательность {п2} расходится к + оо, а значит и после-
последовательность {2/г2} расходится к + оо, (п. 12,22). На том же
основании последовательность {Зя} расходится к + оо, а потому
последовательность {Зп + 2л2} расходится к -f- со и на основании
п. ,12,19 последовательность (I-{-Зп + 2п2) также расходится к
-г со и lim(l + Зп -\- 2п2) — + со. Можно было бы рассуждать и
Л-.0О
иначе: при п ->- со величина п — бесконечно большая, ее квадрат,
как произведение двух бесконечно больших величин, есть вели-
величина бесконечно большая (п. 12,13). На основании,п. 12,12 про-
78

изведение 2я2 есть бесконечно большая величина, как произведение
постоянной, не равной нулю, на бесконечную большую величину.
На том же основании величина Зя — бесконечно большая. Так
как Зя и 2я2 — бесконечно большие одного и того же знака, то
и сумма их (Зя + 2/г2) есть величина бесконечно большая того
же знака, потому и 1 + (Зя + 2я2) — бесконечно большая величина,
как сумма постоянной величины 1 с бесконечно большой и снова
]im A -f-Зя +2я2) = -j- оо. Что касается знаменателя 1 —я2,
при п -+ со последовательность {п2} расходится к -f- оо, и на ос-
основании п. 12,19, б получаем, что последовательность {1—я2}
расходится к —оо и знаменатель дроби A2,5) — тоже бесконечно
большая величина.
Таким образом, дробь A1,5) есть отношение двух бесконечно
больших величин, о котором без исследования ничего определен-
определенного сказать нельзя. Здесь также нельзя применить теорему о
пределе частного, так как в условии этой теоремы предполагает-
предполагается, что пределы числителя и знаменателя существуют, а в нашем
случае ни числитель, ни знаменатель дроби предела не имеют
(см. п. 12,9). Данную переменную A2,5) преобразуем, чтобы
к ней можно было применить теоремы о пределах. Обыкновенно
в этом случае поступают так: числитель и знаменатель дроби
делят на наивысшую степень я, встречающуюся в членах дроби *.
Тогда
_L 1
1 + 3/г + 2/г2 _ +" + . A2,6)
1 г ~ 1
Отыскивая теперь предел последней дроби, мы сможем при-
применить теорему о пределе частного, так как теперь числитель и
знаменатель дроби имеют пределы: величины -и — есть вели-
величины бесконечно малые, как величины обратные бесконечно боль-
большим пг и п, а потому
lim 4-=0, lim —= 0.
П-°° П Я-»оо П
О
Величина — есть тоже бесконечно малая, как произведение
1 3
постоянной величины 3 на бесконечно малую — и lim — = 0
п п-™ п
(п. 12 4А), и тогда существует предел числителя:
lim (~ +A+2) = iimJ_ + lim-+ Hm2 =0
^предел постоянной величины 2 равен ей самой).
* Деление на п допустимо, так как предполагается, что п Ф 0.
79

Предел знаменателя —^ — 1 дроби A2,6) также существует и
равен —1, так как
lim {\~ lWlim—,— liml =0—1 = —1; \\тхп =» —. = —2.
П / " 1
После этих подробных рассуждений укажем, как следует распо-
расположить записи:
п1
(Здесь применена теорема о пределе дроби. Это можно
было сделать только после того, как мы убедились, что
существуют пределы числителя и знаменателя).
0 + 0 + 2 _ _2_ _ о
~ 0 — 1 ~— 1 ~ ~" •
Такие подробные записи в последующем, когда выработается
определенный навык, можно сократить.
о inn t - • 1 • 7п + 2п — 3
Задача 12,2. Ьаити hm -, 2' ,.
Я-оо 0" 4/1 + 1
п .. 7п2 + 2/г —3 .. 7+ /г ~/г2
Решение, пт =-з—^ -; = Jim ; г- =
„-. 5/г2-4/г + 4 я..5_4_ 4
(числитель и знаменатель данной дроби
разделен на л2)
2 3 11
Iim7 + lim — — lim -5 7 + 21im — — 3lim —j
Д^оо /1->оо " n-oo " /J-»~ " «-.00 " 7
lim 5 —lim — + lim -7 5 — 4lim — + 4lim -7
П-.00 П-.00 ™ Я-»оо " Л-00" П-00"
(применена теорема о пределе дроби).
Задача 12,3 (для самостоятельного решения). Найти
,, .. 3/г3+л2 — п+1 о. ,. 5/!* — 4/г + 2
Ответ. 1) |-; 2) 0.

Задача 12,4 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. Последовательность расходится к + оо. Можно упо-
употребить символическую запись и написать, что
1mLr =+cOj
П-+ оо ~Т~ I"
Указание. В числителе перемножить двучлены, разделить
числитель и знаменатель на я3 и воспользоваться п. 12,23.
Задача 12,5 (для самостоятельного решения). Найти предел
12 I 22 + 3*+ . . . + «*
переменной *„ = 3/га + » + 1 '
Указание. Известно, что сумма квадратов чисел натураль-
лого ряда i* + 2* + 32 + ...+»2 = "("+1NB"^.
От вет. -д.
Задача 12,6 (для самостоятельного решения). Найти
.. ,. Ъп + 7 о\ i • п2 — п 4- 1
1) 1|т;ггт„; 2) hm Ц)г2_5,Г+2:
„. .. п3 4- 1 л\ I- /г + 5
3I^^; ^hmft
Ответ. 1) —|-; 2) у; 3) оо; 4H.
Задача 12,7. Доказать, что если я-*-оо, то 1) пк->+аэ,
когда k > 0; 2) nfc -> 0, когда k < 0; 3) nfc -»-1, когда ^ = 0.
Решение. 1) Пусть k > 0, а М — любое заданное положи-
положительное число.
Чтобы доказать, что пк -у + оо, мы должны показать, что
можно найти такое натуральное число N, что пк > М при
n>N.
Так как nfe должно быть большим, чем М, то это равно-
равносильно тому, что должно быть я> УМ, и за N можно принять
N > УМ\ тем самым доказано, что я* -»- -\- оо при£ > 0. Например,
«ели k — 3, а М = 1000, то должно выполняться неравенство
3
л3> 1000 для всех д> N, причем следует взять jV> |/Ю00, т. е.
принять N > 10. Значит, начиная с п= 11, неравенство п3> 1000
будет выполняться.
Если взять М = 1000 000, то должно выполняться нера-
неравенство п3 > 1000 000, для всех я > ./V, и следует взять
N > у' 1 000 000 = 100 (N > 100) и при л> 100, т. е. начиная
с п = 101 неравенство /г3 > 1000 000 будет выполняться.
81

Доказательство пунктов 2) и 3) предоставляется читателю.
При доказательстве п. 2) и 3) выгодно взять /г = — / (/ > 0), и тогда
nk = -j; при доказательстве п. 3) учесть, что если k = 0, то
всегда я* = 1 при любом п.
Результат проведенных вычислений можно записать и так:
I -f- оо, если /г > 0,
limn* = J 0, если Л<0, A2,7)
"-°° [ 1, если k = 0.
В задачах 12, 1—12,6 мы рассматривали пределы отношения
двух целых рациональных функций от п в частных случаях.
После решения предыдущей задачи мы можем рассмотреть вопрос
об отношении двух целых рациональных функций в общем виде.
Задача 12,8. Найти предел при п -> оо
-
причем а0 ф 0, Ьоф 0.
Решение. Перепишем A2, 8) в виде
xn
°o + H + /г2 + • * * + ^
Теперь предел
lim хп = lim nP~4
fl« + T + n* + Ь ^
Предел второго сомножителя равен °~, так как в числителе
и знаменателе предел каждого слагаемого, кроме первых (о,, и
£0), равен нулю. Что касается первого сомножителя, то его предел
зависит от знака разности р—д:
1) Если р — д < 0, т. е. р'Уд, то на основании A2,7)
limn''-'' = + оо, и тогда, в соответствии с п. 12,22, заключаем,
что limjCn = + оо.
2) Если р — q <0, т. е. р < д, то из A2,7) следует, что
Mm п?-1 = 0; тогда искомый предел равен нулю: Нтдся = 0.
82

3) Если же р — q — О, т. е. р ■= q, то limпр~ч = 1 или \\хйхл =
^. ^-. Соединяя полученные результаты, приходим к выводу, что
-2 , , f
+ + S = о, если р <д; A2 9)
Таким образом, при п -> оо предел отношения двух целых
рациональных функций от п равен 1) отношению коэффициентов
при высших степенях п, если степени этих функций между со-
собою равны; 2) нулю, если степень числителя меньше степени
знаменателя и 3) + °°> если степень числителя больше степени
знаменателя.
Заключения, полученные при решении задач 12, 1—12, б, совпа-
совпадают с только что сделанным.
Задача 12,9. Найти ш^Щ
Решение. Воспользуемся указанием п. 12,24, заметив, что
основание степени имеет предел
Задача 12, 10 (для самостоятельного решения). Найти
.. /Зп3 — 4п2 + 5л
lim -т-о п =-
л-оо \ 4nJ — 2л — 7
Ответ, g.
Задача 12,11. Найти limfl +-V2 —i-W-2
Решение. Применяя теорему о пределе произведения (это
мы имеем право сделать, так как каждый сомножитель имеет
предел) получаем последовательно:
« 1 . ГИтB-{)Г(-1) =1.4. (-1) = -4,
83

т. к. lim — = 3 lim — = 3 • 0 = 0, ибо если п -> со, то величина
я»»" я— «
ей обратная бесконечно малая /lim — = 0).
» W~ » i
бя+2
Задача 12, 12. Найти Iim33"-4.
Я-* °о
Решение. Воспользуемся указанием п. 12,27 о переходе к пре-
6Я+2 „т |»±2 Д
делу в показателе степени Iim33"-4 = Зл~~ " =3
Ит (б+
3 =3 3 9.
Задача 12, 13 (для самостоятельного решения). Найти:
1) Пт76"-5: -2) lim (yГ; 3) Iim5n!+2.
П-»°° П-»оо\^У Л-.оо
Ответ. 1) VI; 2) 1; 3) 1.
Задача 22,14. Найти lim
П -* оо \ ОП -(- у
Решение. На основании формулы A2,3), допускающей пере-
переход к пределу под знаком логарифма, имеем:
= l0ga -g" = l0gfl Y = —
Задача 12, 15 (для самостоятельного решения). Найти:
Ответ. —lg 3.
ТРИНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Определение предела последовательности (задачи повы-
повышенной трудности).
Задача 13,1. Найти lim?", если 1) q> 1; 2) q <— 1, 3)^ = 1;
4)<7 = -1.
Решение. 1) Если <?> 1. то 0 < — < 1, и тогда lim l—\" =0
Я п-.=о \ Q I
(см. задачу 11,4 — основание степени — по абсолютной величине
меньше 1).
84

Значит, бесконечно малая величина, а потому обратная
ей величина q" — бесконечно большая величина; так как при
q> 1 и п, стремящемся к + °°. переменная величина qn прини-
принимает только положительные значения, то \imqn = +со.
2) Если же q < —1, то переменная величина qn при п -> + °°
делается попеременно то положительной, то отрицательной, неогра-
неограниченно возрастая по абсолютной величине, а потому
lim qn = оо, если q < —1.
3) Если <7= 1, то qn — 1, при каждом п, а потому при q — 1
будет lim 9я = 1-
4) Если же q = —1, то переменная величина qn не стремится
ни к какому пределу, потому что когда п пробегает значения
1, 2, 3, 4,.., величина (—1)" делает скачки от —1 к +1 и
обратно.
-boo если <7> 1;
О, если | q | < 1;
lim<7n= { 1, если q = V, A3,1)
не существует, если q = —1;
оо если q < —1.
Прежде чем решать следующие задачи, укажем на очень
важные теоремы, выражающие признаки существования предела
переменной величины.
Теорема 13,1. Если переменная величина хп монотонно воз-
возрастает вместе с п, но остается меньше некоторого числа К, то
хп стремится к пределу, и этот предел не больше К, т. е. меньше
или равен К.
Теорема 13, 2. Если переменная величина х„ монотонно убы-
убывает с возрастанием п, но остается больше некоторого числа L,
то хп стремится к пределу и этот предел не меньше L, т. е.
больше или равен L. Теоремы 13,1 и 13,2 можно объединить
в одну, которая коротко формулируется так:
Каждая ограниченная монотонная последовательность схо-
сходится.
Эти теоремы будут использованы в задачах 13, 2—13,4, кото-
которые будут решаться по такому общему плану:
1) прежде всего мы докажем, что данные последовательности
монотонны;
2) после этого установим, что они ограничены.
Убедившись в выполнении этих двух требований и тем самым
в существовании предела последовательности, мы будем отыски-
отыскивать этот предел.
85

Задача 13,2. Доказать, что если а—любое положитель-
положительное число, то
lim>^a=l. A3,2)
Решение. Допустим сначала, что число а> 1. Тогда после-
_ 3 — 4 —
довательность а, У а, у а, -/а ... является монотонно убываю-
убывающей. Но эта последовательность и ограничена, так как >/а> 1.
Поэтому на основании теоремы 13, 2 эта последовательность имеет
предел L, и этот предел не может быть меньше, 1, т. е. L> 1.
Покажем, что предположение L > 1 приводит к противоречию.
Действительно, так как рассматриваемая последовательность —
монотонно убывающая, то даже при сколь угодно большом п
имеем, что
Va>L.
Отсюда a> L". Так как L>1, то при п-*оо величина L" —
бесконечно большая. Но это противоречит условию задачи, со-
согласно которому а — число и тем самым не может быть величиной
бесконечно большой. Таким образом, предположение что L > 1
привело нас к противоречию и должно быть отброшено и остается
только заключить, что L = 1.
Читателю предлагается самостоятельно доказать, что и при с
положительном, но меньшем 1 имеет место соотношение A3, 2).
Указание. Воспользоваться теоремой 13,1. В этом случае
последовательность а, У а, у7а, у/Ъ,... — возрастающая (и огра-
огра'
ниченная, т.к. >'а<1). Пределом будет число /С<1- Доказа-
Доказательство должно привести к тому, что случай К < 1 является
невозможным. Останется единственно возможное заключение А' = 1,
а это и требуется.
/"
Задача 13,3. Показать, что если / > 1, то lim — — + °°.
т. е. что последовательность {*„} =— расходится к + °°-
Решение. Так как / > 1, то можно записать, что / = 1 +а,
где a > 0. Тогда
I- „ a + „,» „ 1 + п, + "-^ «■ + - ^^f^ «8 +... + «-;
Теперь, переходя к пределу при п -> оо, получаем
т. е. переменная х„ = -^- при i > 1 — бесконечно большая.
86

Поэтому можно также утверждать, что для достаточно больших п
1п>п, если />1. Результат этой задачи приводит также к
выводу, что
Игл -^ = 0 при / > 1.
Л-> ос I
Задача 13,4. Показать, что
lim ]/n= 1. A3,7)
Решение. При вычислениях, связанных с числом е, полу-
/IV / 1V
чается заключение, что 11 -1—I < 3 при любом п. Значит, 11 +-I
меньше любого числа, которое больше 3 или равно 3, т. е. для
всех чисел «>3 имеет место неравенство jl -\—) <п. Из этого
следует, что
Извлекая теперь из обеих частей неравенства корень степени
п{п-\-\), получаем, что
или
Кп + К /п.
Мы установили это неравенство для того, чтобы показать,
что последовательность ij/ra!—убывающая, когда п возрастает
3 ,- 4 г- Ь г- 6 ^~
от значения, равного 3, т. е. у 3, у 4, у 5, у 6,... — убы-
убывающая последовательность. А так как при любом целом п > О
л —
всегда уп>1, то эта убывающая последовательность ограни-
ограничена. Значит, последовательность \j/nj, будучи убывающей и
ограниченной, необходимо стремиться к пределу, причем этот
предел не меньше 1. Обозначим этот предел через L. Так как
этот предел не меньше 1, то L> 1. Покажем, что предположение
L > 1 приводит к противоречию и тем самым для L останется
единственная возможность быть равным 1. Действительно, так как
рассматриваемая последовательность— монотонно убывающая, то
даже при сколько угодно больших п будет у" n> L, а потому
п > Vх. Это неравенство находится в противоречии с неравенством
L" > п, полученном в последнем абзаце предыдущей задачи при
тех же условиях: L> I, an достаточно велико.
Таким образом предположение L > 1 привело к противоречию
и должно быть отброшено. Для L остается только одна возмож-
возможность быть равным 1 и тем самым соотношение A3, 7) доказано.
87

Отсюда можно получить следствие:
lim г/1 = 1, A3,3)
т. к.
lim г/1 = lim -L = —— = 1=1.
Задача 13,5 (для самостоятельного решения). Найти:
п п п
1) lim J/5л; 2) lim|/n4; 3) lim]/9n;
4) lim Yri}\ 5) lim
Указание. 1) >/5« = )/5>Лг. Применить теорему 12, 18 п. В
п
о пределе произведения и использовать задачи 13, 2 и 13, 4. 2) ]/п4 =
/" .«
= \У~п) . Использовать задачу 13, 4.
Ответ. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) 0.
Для решения дальнейших задач полезна
Теорема 13,3. Если для трех переменных хп, Уп и zn, начиная
с некоторого номера п, выполняется соотношение
а хп и Уп имеют равные пределы, то тот же предел имеет и гп.
Задача 13,6. Найти предел lim j/3n + 2.
Решение. Для п>2 выполняются неравенства
Vrn</3n+2<Vr4n,
но
а поэтому на основании последней теоремы 13, 3 заключаем, что
искомый предел равен 1:
lim
П-.00
Задача 13,7 (для самостоятельного решения). Найти:
1) lim 1/2Г+3; 2) lim т/1 (л+ 2).
Ответ. 1) 1; 2) 1.
Задача 13,8. Найти lim {]fn + 2 — "|Лг). При вычислении этого
предела мы не можем применить теорему 12, 18 п. Л о пределе
разности двух переменных, ибо эта теорема верна только в том
■88

случае, когда обе переменные имеют предел. В нашем случае ни
У п + 2, ни У~п предела не имеют, так как на основании соот-
соотношений A2,7) при п->оо |/и->со, а вместе с ним и
ViT+1 -v + °( )
Здесь мы имеем дело с разностью двух положительных бес-
бесконечно больших величин. Без специального исследования об этой
разности нельзя сказать ничего определенного. Такие разности
называют «неопределенностями» вида со — со (запись со — со —
есть символическое обозначение «неопределенности» такого вида,
а не вычитание символов). Данную переменную преобразуем,
умножив и разделив ее на j/я + 2-f ]/7i. Это преобразование
мы делаем для того, чтобы перенести иррациональность в зна-
знаменатель:
,im (V7T+2-Vn) = lim (V bVHVrtVt)
V n
,. rt+ 2 — n ..
= lim ■ ... —-~- = lim
П-":
„-■» Vn + 2 + Vn
t= 2 lim , 1 =- = 2. 0 = 0,
„-■» Vn + 2 + Vn
ибо У п + 2 и ]/га при л-voo есть положительные бесконечно
большие величины, их сумма У п + 2 +1/« есть тоже положи-
положительная бесконечно большая величина, а величина, обратная ей,
- ,=- есть величина бесконечно малая. Предел же бес-
Vn + 2 + Vn .
конечно малой величины равен нулю.
Задача 13.9. Найти lim (/2га + 3 — УгГ^Т).
Решение. Здесь снова мы имеем дело с разностью двух
бесконечно больших величин (см. 12, 7) («неопределенность» вида
со — со), и без специального исследования никакого заключения
о пределе их разности мы сделать не можем.
Как и в предыдущих двух задачах, перенесем иррациональ-
иррациональность в знаменатель, и тогда
lim (K2T+3 — К«^Л) = lim
разделим числитель и
знаменатель на п
— lim — = со,
V ~^ + 7?+V T + 7?
так как при п-> со предел числителя равен 1, а знаменатель есть
величина бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых
89

величин. Значит, мы имеем дело с величиной, которая обратна
бесконечно малой, а такая величина — бесконечно большая.
Задача 13. 10 (для самостоятельного решения). Определить
lim VniVrT+l —
Указание. Здесь снова фигурирует разность двух беско-
бесконечно больших величин Уп-\- ] —У~п, а множитель Уп преде-
предела не имеет. Поэтому теорему 12, 18 (пункты А и В) применить
нельзя. Для решения задачи надо выражение, стоящее под зна-
знаком предела, умножить и разделить на Уп + 1 + Уп и в полу-
полученном выражении — г у= произвести деление числителя
V п -)-1 -г У п.
и знаменателя дроби на У п.
Ответ, -g- •
Задача 13,11 (для самостоятельного решения). Определить
1м
Указание. Здесь мы имеем дело с отношением двух беско-
бесконечно больших величин, о котором без специального исследования
ничего определенного сказать нельзя. Также нельзя применить
и теорему о пределе частного A2, 18 пункт С), так как для ее
применения требуется, чтобы числитель и знаменатель дроби
имели пределы, а в данном случае ни числитель, ни знаменатель
дроби предела не имеют (они величины бесконечно большие).
Для решения задачи следует числитель и знаменатель дроби
разделить на п.
О т в е т. 1.
Задача 13, 12 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Здесь мы опять-таки встречаемся с отношением
двух бесконечно больших величин. Теорему 12, 18 (пункт С) при-
применить нельзя (числитель и знаменатель дроби предела не имеют).
Для решения задачи числитель и знаменатель дроби резделить
на п.
Ответ. 1.
Задача 13, 13 (для самостоятельного решения). Найти:
1) lim (Vn2 + n+ 1 — Уп2 — л + 1);
2) lim (У(п + a)(n+b — n).
Ответ. 1) 1; 2) Ц-^.
90

Указание. При решении каждого из этих примеров мы
имеем дело с разностью двух бесконечно больших величин. Тео-
Теорема о пределе разности и в первом и во втором случае непри-
неприменима, так как переменные не имеют предела. Перенести
иррациональность в знаменатель, после чего числитель и знаме-
знаменатель дроби разделить на п.
Задача 13, 14. Найти:
2)lim'w Ъп
Указание. 1) Воспользоваться формулой A2,2), переписать
данное выражение в виде
и учесть результат задачи 12, 8.
1
Ответ. 1) 1; 2) D) 6.
Задача 13, 15 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на п.
Можно поступить и иначе: представить данную дробь в виде
Vi
(Зп + 2K '
2,2) и A
Задача 13,16 (для самостоятельного решения). Найти
воспользоваться формулами A2,2) и A2,9).
Ответ. 0.
1
я-.» Упг + 1 + /4п2 — 1
Указание. Числитель дроби записать так:
1— 2 + 3 — 4 + 5 — 6 + ... — 2л =[1 +3 + 5 + ... + Bп — 1)]—
-[2 + 4 + 6 + ...+ 2л].
91

Каждую из сумм, стоящую в скобках, вычислить как сумму
членов арифметической прогрессии. После этого числитель и зна-
знаменатель дроби разделить на п.
Ответ. — -д- •
Решение трех следующих задач основано на применении фор-
формул (a—b) (a2 + ab + Ь2) = а3 — Ь3и(а + Ь) (a2 — ab + Ь2) = а3 + Ь\
Задача 13,17. Найти limlj/l — п3 + п).
Решение. Здесь в скобках стоит разность двух бесконечно
больших величин. Полагая у 1—п3 — а; п—Ь, умножим и раз-
разделим выражение, стоящее под знаком предела, на а2 — ab -f- Ь2
и получим
= lim
.. 1 — п* + п»
= lim
= lim 3 = О,
n-*°°['yi—n3) — п/1 —п3 + п2
так как знаменатель дроби при п -± оо есть сумма трех положи-
положительных бесконечно больших величин, а потому на основании
п. 12,20 заключаем, что это величина положительная, бесконечно
большая. Величина же, обратная бесконечно большой, есть вели-
величина бесконечно малая, и ее предел равен нулю.
Задача 13, 18 (для самостоятельного решения). Найти
2 2
lim[(n + lK — (п— IK].
«-.по
Указание. Здесь мы снова имеем дело с разностью двух
? 2
бесконечно больших величин. Полагая («+ \у — а, (п—\у~Ь
умножить и разделить на а2 + ob + Ь2. После приведения подоб-
подобных членов в числителе получится An. После этого числитель и
знаменатель дроби разделить на наивысшую степень п, встречаю-
4
щуюся в членах дроби, т. е. на п3.
Ответ. 0.
Этим заканчиваются упражнения, связанные с определением
предела последовательности.
Задачи для дополнительных упражнений учащийся может
взять из хорошо зарекомендовавшего себя задачника для втузов
под редакцией Б. П. Демидовича «Задачи и упражнения по мате-
математическому анализу».
92

ЧЕТЫРНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Предел функции.
Определение предела функции
Число А называется пределом функции f(x) при х, стремя-
стремящемся к а (или в точке а), если для любого наперед заданного
положительного числа г (хотя бы и как угодно малого) можно
найти такое положительное число Ь, что для всех значений х,
входящих в область определения функции, отличных от а и
удовлетворяющих условию \х — а|<8, имеет место неравенство
\f(x)-A\<t.
Короче: число А называется пределом функции f(x) при х,
стремящейся к а, если выполнение неравенства О < | х — а | < 8
влечет за собой выполнение неравенства | / (х) — А | < е, где
е > 0 — наперед заданное число, а Ь соответствующим образом
подобрано.
В определении предела функции следует обратить внимание
на то, что вовсе не требуется, чтобы функция f (х) была непре-
непременно определена в точке а. Для того чтобы функция / (х) имела
возможность стремиться к пределу при х-+а, необходимо лишь
чтобы в области ее существования были точки, как угодно близ-
близкие к а и отличные от а.
Прежде чем приступить к непосредственному вычислению пре-
предела функций, приведем основные сведения из теории:
14, 1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
a) Функция f (х) называется бесконечно малой при х -> а, если
lim/(*)=0. A4,1)
х-*а
b) Функция f (х) называется бесконечно большой при х -> а
если имеет место одно из равенств
lim/(*) = co; \\mf(y) = + оо; \\mf{x) = — оо.
х-*а х-ю х-а
c) Функция f (x) называется ограниченной при х^-а, если
существует такое положительное число А, что для всех значе-
значений х из окрестности числа а выполняется неравенство
\f(x)\<A.
14,2. Свойства бесконечно малых функций.
a) Если функция f (х) бесконечно мала при х -»■ а, то и
— f (x) также бесконечно мала при х-+а.
b) Если функции /i (x) и /2 (•*) бесконечно малы при х -*■ а,
то сумма их, а также и разность их: f1 (x) + /2 (х) и fx (x) —
— /г (х) бесконечно малы при х -> а (это утверждение распро-
распространяется на любое фиксированное число функций).
93

с) Если при х -*■ а функция f (х) бесконечно мала, а функция
<Р (х) — ограничена, то их произведение f (x) ср (х) есть функция
бесконечно малая.
14,3. Свойства бесконечно больших функций.
Если при х^а функция f(x) имеет конечный предел
(l\mf(x)=b), а функция <?(х) — бесконечно велика A im ср (*) =
х-а х-а
= со), то
а) сумма их — бесконечно велика, т. е. lim [/(*) -j-cp(*)l = оо,
Х-а
предел отношения f{x) к <?(х) равен нулю:
b) если lim / (х) = Ь (Ь > 0), а 1 im <р (*) = °. причем ф(х)
х~а х~а
положительна в окрестности точки а, то ПтЦ^ = + оо.
c) При положительном k, если \\mf{x) — + оо, то
\\m[kf(x)\ = + oo.
х^а
d) Произведение двух бесконечно больших функций есть функ-
функция бесконечно большая, т. е. если \\mf{x) = со и Птср(*) = оо,
лг-»а х-щ
то и \\mf(x) = оо.
х-а
14,4. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми
функциями:
a) Если f{x) при х-+а — бесконечно большая функция, то
функция т-^г бесконечно мала.
b) Если при х -> а функция <р (х) бесконечно мала, то функ-
функция ——г — бесконечно большая, причем предполагается, что в
окрестности точки а функция <? (х) в нуль не обращается.
14, 5. Правила предельного перехода.
a) Если при х -> а функции f{x) и <о (х) имеют конечные
пределы, то и алгебраическая сумма их f(x)±<p (x) имеет пре-
предел, который равен сумме их пределов, т. е. если limf(x)=b,
х-а
а Пт9 (х) = Ьг, то lim [/(х) ± <р (х)] = lim /(х) ± Пт ср (х) ~
х-а х-а х-а х—а
= ь±ь1.
Короче (но не совсем точно): предел алгебраической суммы
нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих
функций.
b) Если при х^а функции f(x) и ср(х) имеет пределы, то
их произведение f(x) <?(x) также имеет] предел, который равен
94

произведению их пределов, т. е. если lim/ (х) — Ь, a limcp(*) = Ьъ
х—а х-а
то \\mf(x) • <?(х) = Umf{х) 1\т<?(х) =ЬЬХ.
х—а х—а х — а
Короче (но не совсем точно): предел произведения двух
функций равен произведению пределов этих функций. Свойства
а) и Ь) распространяются на любое фиксированное число функ-
функций.
с) Если при х ->■ а функции f (х) и «(х) имеют пределы и
предел функции © (х) № равен нулю, то предел их частного
существует и равен частному от деления их пределов, т. е.
если
\\mf{x)=--b, a lim <р (х) = Ьг {Ьг Ф 0),
х-*а х-*а
то
lim о (х)
х—а
Короче (но не совсем точно): предел частного равен частному
пределов, если предел знаменателя не равен нулю.
14, 6. Предел целой рациональной функции.
Если
Р (х) =аох" + а,*"-1 + a2xn-2 +... + ап^х + ап,
то
\\тР(х) = Р(а), A4,2)
х-а
т. е. при отыскании предела целой рациональной функ-
функции можно в аналитическом выражении функции заме-
заменить аргумент его предельным значением.
14,7. Предел дробно-рациональной функции.
Если
а^ + а^-' +а2хп~2 + ...+ап_1х + ап ^Р(х)
(х) " vm + Vm-' +b 2*m-2 + • • • + ьт_хх + ьт Q W'
v V +b 2 тх т
то
lim F (х) = Ш = F (а), если Q (а) Ф 0, A4, 3)
х-а V \">
т. е. при отыскании предела дробно-рациональной
функции можно в аналитическом выражении функции
заменить аргумент его предельным значением, если
при этом предельном значении знаменатель не обра-
обращается в нуль.
Задача 14,1. Найти lim^2 — 7х-\-А).
х-З
Решение. Функция f(x)=x2 — 7х + 4 — целая рациональ-
рациональная. Для отыскания ее предела применима формула A4, 2). Заме-
95

ним в аналитическом выражении функции х его предельным зна-
значением и получим
lim (*2 — 7х + 4) = З2 — 7 • 3 + 4 = —8.
Задача 14, 2 (для самостоятельного решения). Найти
1) limBx3 — 7*2+4a: + 2); 2) 1 im(±-x3 — х + 2].
Ответ. 1) —2, 2) 30.
Указание. Воспользоваться формулой A4,2).
Задача 14,3. Найти lim *2,'5Т
Х^3Х + •« + о
Решение. Здесь отыскивается предел дробно-рациональнон
функции. Прежде чем применить A4, 3), надо проверить, не обра-
обращается ли в нуль знаменатель дроби при х = 3. Проверяем:
З2 + 2 • 3 + 8 = 23 Ф 0:
х* + х + 2 _ з2 + 3 + 2 _ и
^з ж2 + 2ж + 8 ~ З2 + 2 • 3 + 8 ~ 23 "
Задача 14, 4 (для самостоятельного решения). Найти пределы
Указания: 1) Проверить, что знаменатель дроби в первом
примере при х = 1, а во втором при х = —1 не обоащается в
нуль; 2) воспользоваться формулой A4, 3).
Ответ. 1) 0; 2) —2.
Х2 g
Задача 14,5. Найти lim s-.
х-2Х— Z
Решение. Знаменатель дроби * ~ ■ обращается в нуль при
хз %
х = 2, а потому функция f (х) = г при х = 2 не существует.
Теорему о пределе дроби A4, 5 п. с) применить нельзя, так
как предел знаменателя равен нулю. По той же причине нельзя
применить и формулу A4,3). Но определение предела функции
содержит существенную оговорку: при отыскании предела функ-
функции f(x) при х-+а значение функции f(a) при х = а может не
рассматриваться. От функции f(x) это определение не требует,
чтобы точка х = а входила в область существования функции.
Поэтому значение х — а может нами не приниматься во внима-
внимание. Именно эти соображения и дадут возможность решить за-
задачу. В нашем случае мы должны считать, что х, стремясь к 2,
96

никогда не становится равным 2, а потому значение функции
уЗ Я
-—s" ПРи х = 2 нас не интересует.
При х = 2 и числитель, и знаменатель дроби обращаются
в нуль. Мы имеем в данном случае отношение двух бесконечно
малых функций, о котором без специального исследования ничего
определенного сказать нельзя. Для решения задачи разделим
числитель и знаменатель дроби х_2 на х — 2. Мы имеем право
это сделать потому, что значение х = 2 не рассматривается и,
значит, х — 2 Ф 0.
Если бы указанной оговорки в определении предела функции
не было и мы должны были бы рассматривать и значение х — 2,
то разделить числитель и знаменатель дроби па х — 2 мы не
смогли бы, так как такое деление означало бы деление числителя
и знаменателя дроби на нуль, что, конечно, недопустимо. После
сокращения дроби на х — 2 получим
х* — 8 _ (x — 2)(x* + 2x + 4) _ 2
х — 2~ х — 2 — X -i-ZX + %
и нам придется отыскивать предел не данной функции, а функ-
функции х2 + 2х -f 4. Тогда перед учащимся должен возникнуть такой
вопрос: тождественны ли функции х_2 и хг + 2х + 4. Этот
вопрос имеет положительный ответ: функции тождественны,
если не рассматривать значения х — 2. Следует иметь в виду,
что две функции тождественны, если они удовлетворяют таким
двум требованиям:
1) их области существования совпадают и
2) при одном и том же значении аргумента, взятом из обла-
области существования функции, численные значения функций равны.
В нашем случае эти два требования будут выполнены, если
не рассматривать значения х — 2, но ведь оно и не рассматри-
рассматривается. Таким образом,
= 22 + 2 • 2 + 4 = 12,
так как функция хг + 2х-|-4 — целая рациональная функция
и для определения ее предела на основании формулы A4,2) сле-
следует в аналитическом выражении функции заменить аргумент
его предельным значением.
Можно указать такое
Правило. Для того чтобы определить предел дробио-рацио-
нальной функции в случае, когда при лг-> а числитель и знаме-
знаменатель дроби имеет пределы, равные нулю, надо' числитель и
знаменатель дроби разделить на х — а и перейти к пределу.
4 а-430'. 97

Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют
пределы, равные нулю при х -*■ а, то надо произвести повторное
деление на х — а (это правило основывается на известном из
элементарной алгебры следствии из теоремы Безу, согласно ко-
которому, если многочлен обращается в нуль при х — а, то он де-
делится без остатка на х — а).
Теперь для самостоятельного решения будет предложен ряд
задач на определение предела дробно-рациональной функции.
Задача 14,6 (для самостоятельного решения). Найти
х2-^- х 12
]™2х2— 9х + 9"
Указание. При х = 3 числитель и знаменатель дроби —
функции бесконечно малые, пределы их равны нулю. Об их от-
отношении без специального исследования ничего определенного
сказать нельзя. Теорему 14,5 п. с о пределе дроби применить нельзя,
так как предел знаменателя равен нулю. Следует применить
указанное правило; разделить числитель и знаменатель дроби на
х — 3. Повторить рассуждения предыдущей задачи о допустимо-
допустимости такого деления.
Ответ, -д-.
Следует не только запомнить тот или иной прием, но глав-
главное— понять, на чем основано его применение, и каждое дейст-
действие проводить совершенно сознательно, а не автоматически, «по
правилам». Применяя правило, надо понимать те положения, из
которых оно выведено.
Задача 14,7 (для самостоятельного решения). Найти
^ s хг % _|_ ]
lim 5-
;
Указание. Здесь опять-таки функции, стоящие в числителе
и знаменателе дроби, бесконечно малы при х->-1. Для решения
вопроса о пределе их отношения следует разделить числитель
и знаменатель дроби на х — 1. Полученные после этого деления
функции при х -> 1 будет опять-таки бесконечно малыми. Снова
каждую из них следует разделить на х— 1. Этим указанием вос-
воспользуетесь и при решении двух следующих задач.
Ответ. -|.
О
Задача 14,8 (для самостоятельного решения). Найти
5з 6*
г
*™ 4*6 + 2х» + ж2'
Ответ. —6.
Задача 14,9 (для самостоятельного решения).
8 + 524 З 9
НЗИТИ 1
Ответ, у.
98

Задача 14,10. Найти lim^-—г(т и п — целые положитель-
Х-—1 X — '
ные числа).
Решение. При х -*■ 1 числитель и знаменатель дроби имеют
предел, равный нулю, а поэтому это функции бесконечно малы.
Для решения вопроса о пределе их отношения следует числитель
и знаменатель дроби разделить на х—1. Допустимость такого
деления подробно была объяснена в задаче 14,5. Повторяем,
что х, стремясь к 1, не становится равным 1, а потому х — \Ф
Ф 0. и деление на х — 1 имеет смысл.
хт j
Функция — при х — 1 не существует, но значение х = 1
нашему рассмотрению и не должно подлежать. Воспользуемся
известной формулой алгебры
ат — jjtn — (а — £,) (а-' 4- а-2 -)-..._]_ abm~2 + Ьт~1). A4,4)
Полагая здесь а = х, а Ь=\, в нашем случае получим
хт — \ _ .. (х— [)(хт-х -\-хт~2^.. ,^х+ I) _
lim—- = lim
ЛГ-.1 Х"- I
■ m раз
1 + 1 -fr 1 4" ■ . • + 1
я раз
T
_
Задача 14,11. Найти lim 5*
Решение. При х ->■ — 1 числитель и знаменатель дроби имеют
пределы, равные нулю, а потому это функции — бесконечно ма-
малые. Чтобы можно было применить формулу A4,4), с помощью
которой была решена предыдущая задача, следует сделать под-
подстановку х = г/55, где показатель степени 35—наименьшее крат-
кратное показателей корней.
7
Если *=г/85, то Ух = уь, а У~х = у\ и тогда ^ ъ* = гт~Т'
\ + Vx
причем у -*■ — 1, когда х^- — 1, и задача перепишется так:
Теперь следует разделить числитель и знаменатель дроби на
1 + у, применить формулу A4,3).
Ответ, j.
99

Задача 14,12 (для самостоятельного решения). Найти:
4 _ 3 _
1) lim ~ * . 2) lim ~ 5 *.
Ответ. 1) |; 2) |.
Задача 14,13. Найти lim х2_^х~, 12-
Решение. При jc -> 3 имеем
предел числителя:
lim Bх —5) = 1;
х-З
предел знаменателя:
lim (a;2 — 7* + 12)=0.
х-З
Теорема A4,5 п. с.) о пределе дроби неприменима. Рассмот-
рим обратную дробь — _^—, и ее предел при * ->• 3
_7ж+12 0 л
(здесь теорема о пределе дроби применима, так как предел зна-
знаменателя 2* — 5 не равен нулю). Так как предел функции
Х2 7x4- 12
—2Х_5—равен 0, то эта функция при jc->-3 бесконечно малая,
а потому функция -а_^7~\ 12 при х -*■ 3 — бесконечно большая,
и тогда ее предел lim -5—=—|—рг = оо (мы воспользовались тео-
ремой 14,4 пункт (б.).
Задача 14,14 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ, оо
Ответ, оо
Задача 14,15 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ, п.
Задача 14,22 (для самостоятельного решения). Найти
Нгп(-±-2-^).
Указание. Произвести вычитание дробей.
Ответ, оо.
Задача 14,16 (для самостоятельного решения). Найти
,. / 1 з
lim i
Ответ. —1.
100

Указание. После приведения к общему знаменателю ока-
окажется, что при х-*- — 1 числитель и знаменатель—функции бес-
бесконечно малые. Воспользоваться указанным на стр. 97 правилом.
ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Продолжение упражнений на нахождение предела
функции.
Решим несколько задач на нахождение предела дробно-ра-
дробно-рациональной функции при х -> оо.
Задача 15,1. Найти lim
X
im .
Решение. Для того чтобы можно было применить теорему
о пределе дроби, надо, чтобы числитель и знаменатель дроби
имели пределы и чтобы предел знаменателя не был равен нулю.
В данном случае эта теорема неприменима, так как пределы чис-
числителя и знаменателя дроби не существуют. При ^->оо и чис-
числитель, и знаменатель дроби функции бесконечно большие (см.
теоремы 14,4 о свойствах бесконечно больших функций. Рекомен-
Рекомендуется еще раз повторить эти теоремы). Значит, мы имеем дело
с отношением двух бесконечно больших функций. Об этом отно-
отношении, так же как и об отношении двух бесконечно малых
функций, ничего определенного без специального исследования
сказать нельзя. Для решения задачи следует применить прием,
знакомый из решения задачи 12,1 (полезно также возвратиться
к задаче 12,8): дроби разделить на высшую степень х, встречаю-
встречающуюся в членах дроби, а после этого перейти к пределу.
Итак,
lim 2+ lim 1 + lim -
_ X~™ X-*™X *-.«, X3 _2
— j r~ f
lim 3 +lim' — lim i J
так как при х-+со величина бесконечно малая, а потому
и-„ ^ и -д — величины бесконечно малые (см. теоремы 14,4);
1 11 1 111 5 с 1
~г= —-\ -г = , а -з = 5-з-и пределы этих величин равны
■* XXX X х X X X
нулю, когда х-*■ со.
После деления числителя и знаменателя на х3 оказалось воз-
возможным применить теорему о пределе дроби, так как теперь
101

и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные соот-
соответственно 2 и 3, и предел знаменателя не равен нулю.
Для самостоятельного решения предлагается несколько ана-
аналогичных задач.
Задача 15,2 (для самостоятельного решения). Найти:
х — 4.
3) К
4) li
с. .. 7х4 + 2х* — 14
5) hm
Ответ. 1) 5; 2) 0; 3) оо; 4) i; 5) J.
Задача 15,3 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Произвести вычитание дробей.
Ответ. 1.
Задача 15,4 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. 5-.
о
Задача 15,5 (для самостоятельного решения). Найти
HmEf~* — 3^~4 У-
Ответ. 16.
Решение остальных задач этого практического задания осно-
основано на применении теоремы:
При постоянном показателе степени можно переходить
к пределу в основании степени при условии, что предел основания
степени существует, т. е.
lim [/(*)]* = [lim/(*)]*, A5,1)
где k — постоянная величина (для случая, когда k — целое число,
мы этой теоремой пользовались неоднократно, так как она прямо
следует из теоремы о пределе произведения).
102

Из формулы A5,1) следует, что при любом нечетном т всегда
т т
limVTU) =VUmf(x). A5,2)
х — а х—а
Если же т — четное число, то эта формула верна только
тогда, когда функция f(x) — неотрицательна, т. е. когда f(x)>Q.
Выполним сначала ряд простых упражнений на применение
этой теоремы.
3 5 _
Задача 15,6. Найти: 1) lim]/7; lim Ух.
х-11 *-»—243
Решение. На основании формулы A5,2) имеем:
1) lim]/1 = ]/ШпТ= "|/27 = 3;
х-27 Х-.27
5 _ 5 5
2) lim V xV lim x = 1/^243 = — 3.
г- —243 х —243
Задача 15,7. Найти lim'|/2r! + 7
Х-.2
Решение. limVb:2 + 7=1/НтBл:2 + 7) ==/2 • 22 + 7 =
х-2 х-2
Задача 15,8. Найти при нечетном m
1) UmVx; 2) lim-^;3) liml/x.
Jt->0 JT-.00
У*
tn tn m
Решение. 1) lim V~x = VVmix = ]/0 =0
0
2) Пт^ = Н
y
т. е. при д: -> oo функция -— бесконечно мала;
3) lim yOt = lim-т— = со,
m
так как по результатам второго примера этой задачи при х -> со
функция ^— бесконечно мала, потому функция \^х — бесконечно
Ух
велика.
Задача 15,9. Найти lim ^+*~ *
X
Решение. Когда х->0, числитель и знаменатель имеют
своим пределом нуль, а потому они бесконечно малы:
lim (|/ГТ* — 1) = УШгпГ+х) — 1=1 — 1=0.
*-0 х-0
103

Для того чтобы решить вопрос о пределе их отношения, пере-
перенесем иррациональность в знаменатель, умножив для этого чис-
числитель и знаменатель дроби на (]/ + х-\-I). Будем иметь
x~0
lim(yT+*
(
ж-О
Так как х->0, не становясь равным нулю, то деление на х
числителя и знаменателя дроби возможно.
При решении задачи мы вместо предела функции f(x) =
l/"l 4- х-— 1 1
= -—— отыскали предел функции 6 (х) = ■ ; здесь
х у 1+х+1
должен быть затронут вопрос о тождественности этих функций
(подобно тому как этот вопрос возник при решении задачи 14,5).
О функциях ср (х) и / (х) мы можем сказать, что они тождест-
тождественны (х Ф 0).
Таким образом, замена функции f(x) при отыскании предела
функцией 9 (х) является законной.
При отыскании предела дроби, содержащей иррациональные
выражения, в большом числе случаев приходится с помощью
преобразований переходить от заданной функции к другой функ-
функции, и у учащегося должен возникнуть вопрос о тождественности
заданной функции и той, которая получается в результате пре-
преобразований. Во всех дальнейших примерах исследованием этого
вопроса мы заниматься не будем, предоставляя это читателю.
Теперь, после решения этой задачи, укажем правило для ре-
решения задач, в которых требуется определить предел дроби, со-
содержащей иррациональные выражения в случае, когда ее числи-
числитель и знаменатель — бесконечно малые функции, т. е. когда их
пределы равны нулю.
Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррацио-
иррациональные выражения в случае, когда предел и числителя, и зна-
знаменателя дроби равен нулю, надо перенести иррациональность
из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель,
после этого сделать необходимые упрощения (приведение по-
подобных членов, сокращение и т. д,) и перейти к пределу.
Задача 15,10. Найти 1irrX*2 + 5~3.
Решение. При х -*■ 2 числитель и знаменатель дроби имеют
предел, равный нулю. Перенесем иррациональность в знамена-
знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на ]/*2+5+3.
104

Получим
х-2
г*+ 5 —9 .. хг— 4
1= lim
~2 (х-2I1/^ + 5 + 3) х-2(х—2)(Ух*
(х-2)(х+2) , х + 2 _2
2)iV*TS + &) К^^Т З 3
()iVT + ) x-,2 К^^+Т + З 3 + 3 3-
Задача 15,11 (для самостоятельного решения). Найти пре-
пределы:
—2
3) Нт1^Ж=5; 4)
Ответ. 1) 1-; 2) I ; 3) |; 4) L.
Задача 15,12. Найти lim
з
/4л-+13- /л:+ 22
Решение. При *->3 числитель и знаменатель дроби имеют
предел, равный нулю. В этой задаче придется сначала числитель
и знаменатель дроби умножить на Y'ix + 7 + ]/2л; + 10, а по-
потом на j/4*+13 + ]/*+ 22 или сразу умножить числитель
(V (
и знаменатель дроби на (V3x + 7 + /2х + 10) (|/4л: + 13 +
+ Vх + 22). Используя это указание, получаем:
.. V'6x-*-7—V2x+\Q
lim .— т =
/413У 22
- У2х -г 10) (/зТ+7 + /2Тт~Т0) (V4+T3+V7+22)
—а: —22)(|/зТ+7+ ^2х+
27+10)
/^й 5
= lim У^+13 =
З(/З+7+К2л:-г10) 12
Задача 15,13 (для самостоятельного решения). Найти пре-
пределы:
limi;F+wgTT.
,-1 Кб —л— К7х —3
105

3) im -.. :—\ . —; 4) lim ,/ т-г-f—г,.
Ответ. 1I; 2) 0; 3) ^^, 4) -§.
Указание. В третьем примере одним из множителей чис-
числителя будет Зх2 — х—44. Корни этого квадратного трехчлена
хх — 4; х2 = — -у, вследствие чего Зх2 — х — 44 = 3 (х — 4) (х+ -т 1.
3 з_ 1 Ъ]
Задача 15,14. Найти lim - *~ Г~' ■ .
Реше ние. Здесь и предел числителя, и предел знаменателя
равен нулю. Перенесем иррациональность из числителя в знаме-
знаменатель. Воспользуемся известной формулой алгебры (а — Ь) (а2 +
+ ab + Ь2) = а3 + bs. Положим а = у х — 6, b = \. Значит, для
того, чтобы получить в числителе разность кубов, надо его
3 3
умножить на У(х — 6)8 + 1/х — 6+1. Умножая и знаменатель
на эту величину, получаем
3 3 3 3
+
Задача 15,15 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. —д-.
Задача 15,16 (для самостоятельного решения). Найти
з з
. У2х— 1 — y-ix — 2
Ответ. —S-.
о
Задача 15,17 (для самостоятельного решения). Найти
.. 7х
l}m
Ответ, у.
106

Теперь мы рассмотрим задачи, в которых требуется опреде-
определить предел функции, содержащей корни в том случае, когда
аргумент стремится к оо или к ± оо.
Задача 15,18. Найти lim (Ух — 2 — Ух).
Решение. Здесь непосредственно теорема 14,5 не-может
быть применена, так как при х-+-{-со пределы слагаемых не су-
существуют: мы имеем дело с разностью двух бесконечно больших
величин, о которой ничего определенного без специального ис-
исследования сказать нельзя.
Умножим и разделим данное выражение на сопряженное с
ним и получим
= = 0,
. [ j
Ух — 2 + Ух
так как при х-> + оо знаменатель дроби, стоящей под знаком
предела, есть функция бесконечно большая (см. задачу 15,8C)),
а потому дробь t—j=. есть величина бесконечно малая,
а ее произведение на —2 есть также бесконечно малая величина.
Задача 15,19. Найти lim х(Ух2 + 1 — х). Когда х-+-\-со,
Х-* ±оо
выражение, стоящее в скобках, есть разность двух бесконечно
больших величин, о которой без специального исследования
нельзя сказать ничего определенного. Умножим и разделим функ-
функцию, стоящую под знаком предела, на выражение, сопряженное
с Ухг +1 — х, т. е. на Ух% +1+jc, и получим
- х) = lim
+х
lim ——== = am
так как lim -5 = 0.
Теперь рассмотрим случай, когда х->—оо. Выражение, стоящее
в скобках, имеет в этом случае положительное значение и неогра-
неограниченно возрастает по абсолютной величине, множитель же х,
стоящий за скобкой, неограниченно возрастает по абсолютной вели-
величине, но сохраняет отрицательное значение. Поэтому все выражение
107

х(\^х2 + 1 —х) при х -v — оо неограниченно возрастает по абсо-
абсолютной величине, сохраняя отрицательное значение и
lim х(Ух2 + 1-х) = —оо.
Задача 15,20 (для самостоятельного решения). Найти
lim (VV'Tt — V^^-
Ответ. При х->-\-со и при х-*—со искомый предел равен 0.
Задача 15,21. Найти lim ^*, t4 .
х±»
Решение. 1) Рассмотрим сначала случай
Так как х > 0 при x -* + оо, а мы рассматриваем арифметическое
значение корня, то ]/х2 ~ + х и j/x2 +4 = + х у I + \,
потому lim —^— — hm —: о7~ = '1ГП
2) Пусть х-> — со. По-прежнему Ух2 + 4 = Ух7 у 1 +^' но
теперь l/x2 = —х, так как х<0, а мы рассматриваем ариф-
арифметическое значение корня, и ]/*2+4 =—д: I/ 1 + Tl a
lim , ,, = Ьтj
Задача 15,22 (для самостоятельного решения). Найти
lim (^ хг -\- х + 1 — Ух2— х + 1) .
Указание. Учесть, что при л;> 0 имеем )/х2=х, а прих<0
тот же |/ х2 — — х.
Ответ. При х-> + со искомый предел равен +1, а при
х -> — оо искомый предел равен —1.
Задача 15,23 (для самостоятельного решения). Найти
lim {Ух2+ 2 — х).
Ответ. 0 при х -> + со при х-*- — со.
108

Задача 15,24 (для самостоятельного решения). Найти
2
lim[(x + IK" — (х— I)*].
Х-»°о
Указание. Выражение, стоящее под знаком предела, умно-
L - 1 1
жить и разделить на (*+ IK + (х -f IK • (х—IK + (х—IK,
чтобы получить в числителе разность кубов. После упрощений
под знаком предела будет находиться выражение
1 L -
(х+ IK + (х + D3 (*- D3 + (*- О
Знаменатель дроби представить в виде
1
3
и сократить дробь на х.
Ответ. 0.
Задача 15,25 (для самостоятельного решения). Найти
i. 1
lim [jk3 — (a:2 —IK].
Указание. Выражение, стоящее под знаком предела, умно-
8 4_ 2_ 4
жить и разделить на хл +х*+(х2—IK -(- (л:а — IK" и получен-
полученную дробь сократить на х*.
Ответ. 0.
ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Определение пределов тригонометрических функций и
sin л:
упражнения на использование предела lim .
х-о *
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
При определении предела тригонометрической функции можно
независимую переменную заменить ее предельным значением, если
оно принадлежит области существования функции:
lim sin* = sina; lim cos x = cos a; limtgx = tga;
limctgx = ctga; limsec* =seca; limcosecx =coseca.
109

Примеры:
1) limsin* = sin£ = s-; 4) lim tgx = tgj^ = 1.
6 i
2) lim sin л: = sin 0 = 0; 5) limtgx — не существует, так
3) limcosx^ cosO= 1; ""*
как tgj нельзя приписать ни-
никакого числового значения.
Задача 16,1. Найти li'^'
*-1
Решение. На основании приведенного выше правила для
отыскания предела тригонометрических функций limsin;t =
*А
= sin^ = l, а потому, когда х-> j, 1—sinAr-^-O; Iimcos2^ =
= cos2£- = 0 и мы имеем дело с отношением двух бесконечно
малых функций. Требуется, как уже хорошо известно чита-
читателю, специальное исследование, чтобы решить вопрос о пре-
пределе. Зная, чт0 cos2*=l — sin2x = (l—sinx)A + sinx), имеем
1 1 — sinx ,. 1
1 '
-1 + limsinA; l+sin!L 1 + 1 2'
*-\ 2
Задача 16,2 (для самостоятельного решения). Найти
cos у — sin у
Ответ. '
2/2*
Задача 16,3 (для самостоятельного решения). Найти:
,.„ 1 — 4 sin2*
Указание. Под знаком предела находится при *->g-
отношение двух бесконечно малых функций. Следует числитель
разложить на множители:
110
— 4 sin2 л; = 4([ — ь\п2х\ = аA — sin*)(j

Знаменатель дроби
cos За: = 4 cos3 х — 3 cos x = 4 cos х [cos2 x — т) =
= 4cosх(cosx — ^-грj (cosx -f- ^-j.
Если под знаком предела имеется сумма или разность три-
тригонометрических функций, часто бывает полезным преобразовать
их в произведение по известным формулам тригонометрии.
Учесть, что j = sin30p; -^=
Л 2/Т
Ответ. —.
Задача 16,4. Найти lim-j
/sin x — /sin о
Решение. При л:->а и числитель, и знаменатель дроби —
функции бесконечно малые:
lim(Ktg3c — Ktga) =limKtgc— limKtg"a = VTimtglc —
a = |/tg lim X — V\g~«. = |/"tg a — V\g a = 0*.
Аналогичные рассуждения провести и по отношению к зна-
знаменателю. Имеем
■ /sin a
3 3
I 3 3 3 3 '
*"" (/sin x —/sin a )(/tgx +/tg а)(У sin2jc+ /sin a • sinx+/sin2a)
3^ 3 3^
__ j. (tg x — tg a) (V sin2 x + /sin x ■ sin a -f / sin8 a) _
*-.* (/tg*+ К tglt)(sinjc— sin a) ~
3 3 3
~ limVF»i°^ + Vr«2a-sin-!L+/5inlg lim sin(*-,a) =
* a ф Bk + 1)", где k — любое целое число. Если не сделать этой ого-
оговорки, то, например, при a = 1 будет tga=tgi, a tg£ не имеет числового
смысла.
Ш

2j/tga *-
|/sin2a
2 2 У tg a COSS a
Задача 16,5 (для самостоятельного решения). Найти
Л 2
О т в е т. я-
-а К sin а;— у si
3 3 COS3 а*
При решении остальных задач этого практического занятия
следует иметь в виду, что
lims-^ = l. A6,1)
Задача 16,6. Найти lims'n (k — величина постоянная).
Решение. Иногда при отыскании предела полезно произ-
произвести замену переменной с тем, чтобы упростить отыскание пре-
предела и использовать уже известные пределы.
Если под знаком предела делается замена переменной, то все
величины, входящие под знак предела, должны быть выражены
через эту новую переменную, и из равенства, выражающего за-
зависимость между старой переменной и новой, должен быть опре-
определен предел новой переменной.
Для решения предложенной задачи сделаем такую подста-
подстановку: kx — у. Из этого равенства следует, что у -> 0, когда х-+0,
у т 1- sin/гд; ,. sin i/ .. ksiny , ,. sin t/ ,
a x = i-. Тогда lim = hm —- = hm y = k lim —- = k,
k x-o x y~o У_ j,-o У u-o У
k
так как lim^ = 1.
y~0 У
Следует запомнить, что
,. sin kx , ,,n _ч
hm—— = £. A6,2)
Задача 16,7. Найти ^
Решение, hm
sin ft* jjm sin kx
sinkx
x x-o x
Мы разделили числитель и знаменатель дроби на х. Это
можно было сделать, так как значение х = 0 не должно рас-
112

сматриваться. При вычислении предела числителя и знаменателя
последней дроби использована формула A6,2).
Задача 16,8 (для самостоятельного решения). Найти lim^—^.
Ответ, -тт.
О
Задача 16,9. Найти lim-^-A
х-0 •*
_ .. igkx ,. sin kx ,. sink*:.. 1
Решение, hm —— = lim —r- = lim lim —r- =
JC-.0 * x-0coskx x-0 x x-0COskx
,1 ,1 ,1 , l ,
~ lim cos kx cos (lim kx) cosO ~ 1 ~ *
x-0 x-0
Задача 16, 10 (для самостоятельного решения). Найти lim Д-р.
Х-0 1§ '■*
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на х
и перейти к пределу. Использовать решение предыдущей задачи.
Ответ. —.
Задача 16, 11 (для самостоятельного решения). Найти Iims"\!a'*.
Указание. Дробь, стоящую под знаком предела, записать
так:
sin2oa sin casin ax
х* ~ х х '
Использовать теорему о пределе произведения*.
Ответ, а2,
г, .„ ,„ ., „ .. 1 — cos тх
Задача 16, 12. Найти hm ^—•
Решение. При х ->■ 0 числитель и знаменатель дроби — беско-
бесконечно малые функции. Воспользуемся тем, что 1—cosmx =
о . , тх
=2 smJ -jj- и тогда
9 . 2тх тх . тх
,. l-cosm* ,. Т „,. SinT ,. 2 omm m2
lim -2 = hm—-j— = 2hm^-—• hm-— -2^- -=■ =-?
x-0 * x-0 * x-0 л x-0 x L £ £
(мы использовали формулу A6,2). В нашем случае k -— у).
Задача 16,13. Найти lim(sec;t — tgx).
Решение. При х-»■ у функции secx и tgx — бесконечно
большие функции; таким образом, под знаком предела находится
sin2 a* /sina*\2 / sinax\2
* Можно поступить и так: lim—-5—= lim —-— = lim——- —a'
x-0 x x-*0\ x I \x->0 x J
113

разность двух бесконечно больших функций. Теорему A4,5а)
о пределе разности применить нельзя, так как не существует
конечных пределов каждой из функций sec* и tg* при *-»--г*
Преобразуем эту разность так:
, _ 1 sin jc 1 — sin * _ A — sin л) A -f sin *) _
* cos* cos* cos* ~ cos x A + sin*)
1—sin2x cos2* cos*
cos * A + sin *) cos * A -ф- sin *) 1 -^ sin x'
После этого получаем
lim (sec* — tg*) = lim ^^^ °-
К последней дроби можно было применить теорему о пределе
дроби, так как предел знаменателя равен 2, а числитель дроби
имеет конечный предел 0.
Задача 16, 14 (для самостоятельного решения). Найти
,. cos kx — cos /*
hm js .
kit £ /
Указание. Числитель дроби равен — 2 sin —w- x • sin —g— x\
использовать также формулу A6, 2).
Ответ. —pj—.
Задача 16, 15 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. При х -у 0 функция ctg x — бесконечно большая,
ах — величина бесконечно малая. Значит, мы имеем произведе-
произведение функции бесконечно большой на величину бесконечно малую
и требуется специальное исследование, чтобы определить предел
этого произведения.
Учесть, что ctg *=^^, а поэтому х ctg х — х <¥^. На осно-
sin х sin х
вании формулы A6, 1)Пт-Д- = 1.
ЛГ-.0 Sln *
Ответ. 1.
Задача 16, 16 (для самостоятельного решения). Найти
sin (Q+ ^) —sin (g — *)
lim
x
x-*0
Указание, sin (a + x) — sin (a — x) = 2 cos a sin x.
Ответ. 2 cos a.
Задача 16, 17 (для самостоятельного решения). Найти
sin
lim
1 — 2 cos *

Указание. Представить числитель в виде
с ■ 1 X т.\ IX Т. 1
2зш(у--б-)-СО5(т—б}
а знаменатель
1 — 2 cos х = 2 (у — cos х\ = 2 /cos у — cos л:) =
Сократить дробь и перейти к пределу
Ответ. -т=.
Задача 16,18. Найти limA—#)tg^.
х-0 J
Решение. При х -*■ 1 не существует предела tg у, а потому
нельзя применить теорему A4, 5 б) о пределе произведения. Сде-
Сделаем в нашем примере подстановку: 1—х = у. Когда #->!, то
новая переменная у->-0, так как lim г/ = lim A—*)=0. Если
ДГ-.1 Х—1
1 —х — у, то х = 1 —у, выражение, стоящее под знаком предела,
перепишется так:
^y
sinyy sin у у
поэтому
lim A — x)\.g^z- — \\m —-— lim cos -£-у =
l * Oi o z
= lim
— yu^o
12
*-о sin у у {пп^-У
lim
У v-o\ У .
Задача 16, 19 (для самостоятельного решения). Найти
х-0
Указание. 1) tg# = ^A Преобразовать дробь к виду
COS X
sin x
lg* — sin л: _ cosx sin х A — cos*) 1_ sin* I — cosx
х* х3 a;3 cos x cos a; x х*
Ответ, у.
115

Задача 16, 20 (для самостоятельного решения). Найти
cos — — sin SL
--; 2)
Указания. 1) В первом примере умножить числитель и
X X
знаменатель дроби на cos у + sin-j, сократить дробь и перейти
к пределу. 2) Во втором примере перенести иррациональность в
знаменатель, сократить дробь на sin* и перейти к пределу.
Ответ. 1) £?; 2) 1.
Задача 16, 21 (для самостоятельного решения). Найти
.. ,. х — sin 5л: о. ,. arcsin*. 0% .- 1 -+■ cos пх
1) hm»—;—^^г 2) lim 3) hm—f-з .
Ответ. 1) —^ 2) 1; 3) 1
Указание. В первом примере числитель и знаменатель дроби
разделить на х, во втором положить arcsinx = 2, в третьем при-
1 , о 2 ltx. + sin кх
мере 1 + cos -х = 2 cos2 у, tg ^ =
СЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Число е.
Это практическое занятие отводится для упражнений, связан-
связанных с числом е.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
lim(l +x)* =e; A7,2)
" " = e*; A7,3)
lim(l +Ь)Л =е*. A7,4)
ЛГ-0
Нам придется также пользоваться теоремой о переходе к пре-
пределу в показателе степени при постоянном основании. Эта тео-
теорема формулируется так:
J16

Если существует lim/(я), то при постоянном Ъ имеет место
х-а
формула
lim fix)
limfe'w =bx-a A7,5)
x-a
Короче (но менее точно): при постоянном основании можно
переходить к пределу в показателе степени.
При отыскании пределов вида lim [f (x)]*ix) в случае, когда
х-а
существуют конечные пределы lim/(x) и \\т<р(х), имеет место
х-а х-а.
формула
1 нп [/ (*)]«*> = [1 im / (х)\™? * . A7, 6)
х-а х-а
Замечание. В формуле A7,6) а может обозначить и число,
и один из символов со, +оо и —оо.
Если в этой формуле lim<p(;c) — ±со, а Пт/(л:) конечен, но
х-а х-а
не равен 1, то вопрос о пределе lim [/(*)]*(ЛГ) затруднений не вы-
х-а
вывает (см. например, задачу 17,10). Случай, когда lim/(*) = l,
х-а
а 1 im ср (лг) = ±со, рассмотрен в задачах 17,13—17,25, а соответ-
х-а
ствующие указания даны на стр. 119.
Сначала мы выполним упражнения, связанные с применением
формулы A7, 5).
2х
Задача 17,1. Найти lim 4*+l.
х-2
2х |jm j£_ 2-2 _4_ з
Решение. Нт4^н =4дг-2'7+1 = 42+1 =43 =4^4.
х-2
Зх
Задача 17,2. Найти lim 2*+2.
з
Зж Злг , т
Решение. \\т2х+ =2Х~°°Х+ =2Х~°° х = 23 = 8.
УТГх-2
Задача 17,3. Найти lima *~2 (a > 0).
х-2
У2+Х—2
t |n
Решение, lima х~2 = а*~2 *~2 =ах~2(х-2){У2+х+2)
По, J L 4
117

Задача 17, 4 (для самостоятельного решения). Найти
СО5Л
Указание. Ввести замену переменной: положить у — х = г.
При х -> ^ переменная г -*■ 0. Перейти к пределу в показателе
степени.
Ответ. 2.
Задача 17,5. Найти limfl V.
Х-+ оо\ ** /
Решение. Полагая в формуле A7,3) k = —1, получим
ljrn(l-l^ = e-'=|.
Задача 17, 6 (для самостоятельного решения). Найти:
1) limfl— -iV; 2) lim(l+^; 3) lim(l + 2x)~;
4) lim A -f- xKx.
Ответ. На основании формулы A7,3) получаем:
9
а) е-*; 2) e~.
на основании формулы A7, 4):
3) е-; 4) ет.
Задача 17, 7 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ, е' (здесь п — величина переменная, ах — постоянная).
Задача 17,8. Найти 1) lim(l + 5 tg2xKcte'*;
2) lim^I-f гвшл:K005"-1.
Решение. 1) Для того чтобы решение первого примера
свести к известной формуле A7,4), сделаем замену переменной,
положив ig2x = z.
Теперь следует и ctg2 лг, стоящий в показателе степени, выра-
выразить через г. Так как ctg2x = -r\-, то ctg2* = — . Таким обра-
lg X Z
зом, и ctg2* выражен через новую переменную. Осталось решить
вопрос о пределе новой переменной, когда старая переменная х
стремится к нулю. Из равенства tg2x = z следует, что Нтг =
118

= limtg2A: = O, а потому новая переменная z -*■ 0, когда х -> О-
Х-.0
Записи расположатся так:
.з-L
lim(l + 5z) г = |lim(l+ 5г)г Is- (е5K =е15.
г-.О г->0
применить формулу
A7.4)
2) При решении второго примера сделать подстановку sin* =г.
Из этого равенства следует, что новая переменная г -у 0, когда
х-»0.
Ответ. ев.
Теперь выполним ряд упражнений, связанных с использова-
использованием формулы A7, 6).
Задача 17,9. Найти ПтЦ-
л:-»оо V" /
Решение. На основании формулы A7,6)
/1 \/ 1 \ "т г 1
lim iИ+1 linw *-~*+1; lim-3=0;
поэтому
i- М-' = О1 = 0.
Задача 17,10 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. 0 (воспользоваться формулой A7, 6); lim^Л_3 = -Л.
( ру
Задача 17,11 (для самостоятельного решения). Найти
ш»(ё$|р.
л 4 , 2
Ответ, gg (предел основания степени равен -g-, а предел
показателя степени равен 2).
Задача 17, 12 (для самостоятельного решения). Найти
( , , , \ 2*4-5
Ответ. -§■ (воспользоваться формулой A7,6)).
В формуле A7,6) мы исключили из рассмотрения случай,
когда lim <р (х) = ± оо, а 1 im / (л:) = 1 (см. замечание к этой формуле).
х-а х-*а
Теперь выполним несколько упражнений, связанных с отыска-
отыскам lim [f(x)]f{x) в случае, когда Пт/(*) = 1,а Пт<р(л:) = ± оо.
х—а ха х*а
нием
х—а
119

В этом случае формула A7,6) неприменима, так как выражение
1~ не имеет смысла («неопределенность» вида 1°°). Существует
общий прием для отыскания предела в этом случае. Прием этот
состоит в следующем: функцию f (х) представляют в виде / (х) =
= 1 -}* [/ (х)— ']• Показатель степени у(х) запишем в виде:
и тогда
lim [/ (*)]?<*> = lim
х-а x-a
lm [/ (*)-l].p (*)
A7,7)
x-a
Сделаем подстановку: f(x)— 1 = z. Так как по предположению
при х-+а f(x)-+l, то Пт[/(л:)—1] = 0, т. е. z-*-0, когда
х-а
х -у а. На основании предыдущего равенства
— и
lim [/(*)]* (лг> = [Jim (I +z)z]x~°
х-а z-0
Следует иметь в виду, что а может быть и числом и одним из
СИМВОЛОВ оо, -]-00 ИЛИ —оо.
Теперь все дело сведется к вычислению lim [/(я) — 1]ср(я).
х-а
Это общее указание использовано при решении задач 17,20 —
17,25.
Этим же указанием можно воспользоваться и при решении
задач 17, 13—17, 19. Однако в этих задачах использование общего
приема приведет к ненужным осложнениям и мы их решим проще.
Задача 17, 13. Найти Hi
„it
Решение. Здесь основание степени f(х) = . -»1, когда
х-> со, а показатель степени х-> со. Здесь, таким образом, имеет
место рассматриваемый случай «неопределенности» вида 1°°.
Покажем, что применение общего приема, указанного выше,
приведет к более сложным выкладкам.
М20

У нас
Таким образом,
^ * + Т=~\ ~ * + Г=
f(x)-l=-
x—V
а потому показатель степени должен быть представлен на осно-
основании формулы A7, 7) так:
_х— 1 2
Х ~ 2 х — 1 Х'
и теперь
,. 2х
"т 7—Г
~-*-1 =е2.
Теперь ясно, что общий прием оказался сложнее.
Задача 17, 14 (для самостоятельного решения). Найти
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на
2х, применить теорему о пределе дроби и формулу A7,3). В чис-
числителе в этой формуле k = —s-, в знаменателе k = 2.
Ответ. —т
Задача 17, 15. Найти ]\т(^±1\2х+\
Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на х,
получим
1+Т lim 1+4-
limfi^r" =Hm
v 1-* -(- i->/ « / 5 \'^^+4 / О \ 2ДГ / 5
_ feM _ ^ _ 4
так как limj 1-]—) =1 и lim A4- — | = 1.
121

Можно было бы сразу записать
(x + 7\2*+4 _ (x + 7\2* /л: 4- 7\*
и, учитывая, что предел второго сомножителя
lim (*+2_У = film £±Z]4 = И = 1,
,. [Х-\- 4\2лг
отыскивать только предел первого множителя lim —г-И , что
упростило бы записи.
Задача 17, 16 (для самостоятельного решения). Найти
lim
Указание. Числитель и знаменатель дроби разделить на Зх
и перейти к пределу. Для упрощения записей полезно предста-
представить выражение, стоящее под знаком предела, в виде
(Зх + 4\*+3 _ /Зл + 4W3* + 4V*
(З Ъ) ~ {Зх + 5J \3х Ъ)
и учесть, что предел второго сомножителя равен 1.
Ответ, е 3.
Задача 17, 17 (для самостоятельного решения). Найти
указание. D—3)
Учесть, что предел второго сомножителя равен 1, а для опре-
определения предела первого сомножителя числитель и знаменатель
дроби нужно разделить на Ах и перейти к пределу в числителе
и знаменателе дроби:
Ответ. е~3.
Задача 17, 18. Найти lim (^-У+\
хг I Зх \*+з / 3* \* / Зх \з
Указание. (зТТг) = (sF + s) (sT+l) •
Предел второго сомножителя равен 1,а при определении пре-
предела первого сомножителя нужно числитель и знаменатель дроби
разделить на Зх.
Ответ, е 3~.
122

Задача 17, 19 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. ег.
Задача 17, 20. Найти lim (*+t2*f2)'.
Решение. Воспользуемся указаниями стр. 119. Здесь
cp (x) = x, a lim <p (x) = limx = oo.
Перепишем наш пример так:
,, r, . , 2х— 1 1 *г + 3
У нас f (х) — 1 = ■.. „, а потому тп—i = о——т! на осно-
„2 i _ о о %• 1
вании формулы A7,7) показатель степени х = 9 . -т~~ -^»
а потому
f3 2дт—1
так как
^[ =е, a lim ?fci = 2
*г+3
(если 1^1 = г, то ^^ = ^ , z -»■ 0, когда х-»-со и
Задача 17, 21 (для самостоятельного решения). Найти
123

Указание (см. указание на стр. 119).
_ *« + 2« + 2. f _ . __ x+l .
показатель степени
(см. пояснения к предыдущей задаче).
От в ет. е8.
Задача 17,22. Найти lim (^F".
Решение. Предел lim^-^ = 1, а показатель степени
_ Sin u X —— О
неограниченно возрастает по абсолютной величине, когда х ~у а-
Решение примера проведем на основании указаний стр. 119. Упас
sin х. с , % 1 sin x . _
= slrTa' ' W ~~ ~ sliTa
На основании формулы A7,7) показатель степени запишем
в виде
1 sin a 2 2 1
x + a ■ x — a sin a x — a'
и тогда
Iim feN^s = ]im П /5_|пх_
х-в I5»/ x-e L Isme
sin a
2 cos *'r" sin *~" \, x+a . £=ra
= llimll + 2__2_ 2-—-"—
sina /
Af+o . jt—а
2 cos—sin—
lim
124
дг+д . х-а
2 cos —s—sin ,
sin а 2 2 1
лг-4-a jt—a
2 cos-5— sin-д-
lim
sin a лг—a

sin a
/ 2 cos i^£sin Ш£\2с *+«._*-«
__ i» I < i О О I' COS— Sin —
Так как lim I 1 + 2 f_ 2 2 = e.
дг->а \ sin a /
lim
sin a x — a
2 2 1
-—..... x-v/o o ..... = -—• cos a • -75- = ctg a.
sin a r.a 2 x_a x — a sin a 2 6
2
Объяснение: 1) постоянная величина ^-^ вынесена за знак
предела;
2) lim cos х-^- = cos a-^- = cos a.
.!„*=£
3) Для вычисления предела lim ■——— применена подста-
дг-.а х а
новка х — а — г и г->0, когда х-»• а.
на основании формулы (i6, 2).
Задача 17,23. Найти lim (cos — Y".
Решение. Здесь опять-таки следует использовать указания
стр. 119, так как f (т) =cos-^-, причем х следует рассматривать
как величину постоянную. Предел
lim f (m) = lim cos — = 1,
m —00 m->°°
а показатель степени т неограниченно возрастает по абсолютной
величине. Составим
f (m) - 1 = cos-J - 1 = -2 sin2 ^.
Показатель степени преобразуем по формуле A7,7):
<р (т) = m = Ц- (-2 sin2 £) m,
2m
и тогда
i
12&

i/ „. 2 sin1-— iim I —2sln*^—\m — 2 Mm m stn8-—
lim (l-2sin» ^j) 2т\т~Л Ч =e —- 2m = 1.
sins-£. sinJi
x 2/И x 2/71
так как lim m sin2 g^ = lim —j— = lim sin ^ lim —j—.
m от
Если m -v oo, то Д -v 0 и sin £- -> 0.
Для вычисления второго предела lim —р™ сделаем подста-
т
х 1 2г
новку 2~ = 2, тогда г -v 0. когда m ->■ оо, а — = -, и получим,
учитывая, что х — величина постоянная
sin -i.
.. 2m ,. sin г х ,. sin z д: , л;
urn —j— = lim -gj- = -д- lim -j- = -д- • 1 = y
m д;
и, значит,
lim m sin2 ^ = 0 • у = 0, a e° = 1.
Задача 17,24 (для самостоятельного решения). Найти
r-l
Ответ, е-1.
Задача 17,25 (для самостоятельного решения). Найти
От в ет. е '*.
ВОСЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Вычисление пределов выражений, содержащих лога-
логарифмы и показательные функции.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Теорема. Если существует предел \imf(x)=A и этот пре-
лг—а
дел положителен {А > 0), то
lim[log»f (*)] =bgb[lim/(x)I. A8, 1)
х—а х-*а
126

Короче (но менее точно): можно переходить к преде ну под зна-
знаком логарифма.
Замечание. Требование теоремы о том, что \\mf(x)=A
лг-»а
должен быть положительным, связано с тем, что число А в пра-
правой части формулы A8, 1) стоит под знаком логарифма, а лога-
логарифмическая функция определена только для положительных
значений аргумента.
Между десятичными и натуральными логарифмами сущест-
существует связь, выражаемая формулой
\gx = M\nx, A8,2)
где М — модуль перехода: М = lge = ^-^ = 0,43429.
Сначала выполним упражнения на непосредственное примене-
применение формулы A8, 1).
Задача 18,1. Найти lim lg (л: -Ь 1).
JC-.9
Решение. На основании формулы A8,1)
lim jig (x + 1I = lg flira (x + 1I = lg 10 = 1.
Задача 18, 2. Найти lim In * g * T" .
Решение. На основании формулы A8,1) можно записать,
что
~* J
числитель и знамена-
знаменатель разделены на хг
= In 1 = 0.
Задача 18, 3. Найти lim [in r х 4 __1.
Решение. Воспользуемся опять формулой A8,1):
lim [in ^-^Г4 1 = In [lim ГЛИ4
= in [lim
= In [lim (*-4)(/i+4+/8)
\ (/F/8)(/JhT4+K8
= Ш [lim (V7+* + V8)] =
Перейдем теперь к вычислению пределов, которые играют
важную роль в дифференциальном исчислении.
127

Задача 18,4. Найти lim — —.
х~0 х
Решение, lim ]И11±Л= \\т 1\п A + х) = lim|ln(l + х)~|=
*-0 х х-0 х *->0[_ J
= In lim A +х)~ =lne = 1.
U-o J
Результатом этой задачи нам придется часто пользоваться, а
потому для ссылок запишем его отдельно:
I. A8,3)
Получите самостоятельно более общий результат:
lim '"П+«) = а_ A83а)
Х-.0 *
Задача 18,5. Найти limg ~ , считая, что а —положительная
х -* О X
постоянная величина, не равная 1.
Решение. Сделаем подстановку:
а*-1=г. A8,4)
На основании указания стр. 112 мы должны: 1) величину х,
стоящую под знаком предела, выразить через г и 2) определить
предел новой переменной z, когда старая переменная х-э-0.
Из подстановки A8,4) следует, что а" = 1 -\-z, х\па = In A +г);
1п П 4- г)
х = ■ , a lim г = lim (а* — 1) = 0, т. е. при х -» 0 и г -» 0.
lnfl х~0 дг-0
Теперь уже lim ^-=^ =1'т,т7ГТ-^ = 1!тыТТГ= " 'П<1
lna ^ г^0 с
— lna, так как на основании A8, 3) предел знаменателя равен 1,
а предел limlna = lna, ибо а, а вместе с ним lna — величина
ЛГ-.0
постоянная. Итак,
lim a—^± = lna. A8,5)
х -> 0
Если в формуле A8,5) взять к — —, то ах — а~, у = — и
lim// = lim— = оо, и тогда lim ~ == lna, т. е.
х-0 дс-0 * у-» J_
\imy\ay —\) = \па. A8,6)
128

Если у -v оо , принимая целые и положительные значения, то
это равенство можно переписать так:
п
\\mn(V~a— 1) = In а. A8,7)
П-* оо
Задача 18,6. Найти lim '"*' *x).
п~0 3" — 1
Решение. Решение этой задачи потребует некоторых искус-
искусственных преобразований для того, чтобы можно было использо-
использовать результаты двух предыдущих задач. Выражение, стоящее
под знаком предела, умножим и разделим на х:
' ~*~ м ^ ^ "* ^ _-_ ^ ■ ^ _ ТЗК КЗК 3 :—: 9*
32х—\ х з2* — 1 х 9х —\'
х
и теперь
ltajglimV
л;
Использовать Использовать
формулу A8.3) формулу A8,5)
3g i
Задача 18,7 (для самостоятельного решения). Найти lim •
х-0 х
gtgx | gtg* I tax
Указание. = —: ^— . При отыскании предела
первого множителя положить tgx = г и воспользоваться резуль-
результатом задачи 18,5.
Ответ. In 3.
Задача 18,8 (для самостоятельного решения) Найти
1
lim(l + 5 lnx)in* .
x-l
Указание. Сделать подстановку Ъ\пх — г и воспользова-
воспользоваться формулой A7,2).
Ответ. еъ.
Задача 18,9. (для самостоятельного решения). Найти
lim 2!и*Г.
*-о х
Указание. В числителе дроби отнять и прибавить 1, запи-
записать дробь в виде
х х хх
и воспользоваться формулой A8,5).
Ответ. 1п4-
о
5 з-43о 129

Задача 18,10 (для самостоятельного решения"). Найти
lim .
x-0 x
Ответ, a — C.
Задача 18,11. Доказать, что если
\\m\\nf(x)] — А, то )\mf(x) = eA.
Доказательство. На основании того, что мы имеем право
переходить к пределу под знаком логарифма, можно вместо
Пт[1п/(д:I записать In [lim f (x) = А, т. е. Umf(x) = eA.
х—а х-а х—а
Итак, если lim [In/(x)] = А. то
limf(x) = eA. A8,8)
Задача 18,12. Найти lim A + tgлг)~.
Решение. Сделаем подстановку A + tgx) x — у, откуда
ШУ = 71п^ + ^^) и lim In у = lim — In A + tgx) =
1 11
При вычислении первого предела положить \gx-z, исполь-
использовать результат задачи 18,4; получится, что ПтAпг/) = 3- 1 • 1,
т. е. lim (In у) = 3, и на основании A8,8) Пту = е3, а значит,
х-0 дг—0
!im(l +tgx)x =e9.*
«-о
Задача 18,13 (для самостоятельного решения). Найти
5
lim (I -f s'mxy
Х-.0
Ответ. еъ.
Задачу можно решить и иначе: (l«f*tgx)jr = A -f tgл:IйЛ: "
1 3(gA 3 J 3(££
Д--.0 «:-П
(при вычислении предела в квадратной скобке положить tg* = 2, a
130

Задача 18,14 (для самостоятельного решения^ Найти
,. in лг — 1
—игг-
Указание. В числителе дроби заменить 1 на \пе. Тогда
выражение, стоящее под знаком предела, запишется так:
1п*—1 In*—Ine _ е ,
х — е х —е х — е
и теперь
Hm In (-)'" = In lim (-) *~° = In limf 1 + - — ll *"' =
x~e \e } x~e \e J x-*e\_ e J
7
l+i=f] «in limfi . £^£) =lne = 1.
Ответ. —.
e
ДЕВЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Сравнение бесконечно малых величин.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Пусть f(x) и ср(х) — бесконечные малые функции при х-*а,
т. е. \imf(x) — 0, и limcp(x) = 0, причем а может быть как чис-
лом, так и одним из символов + оо, — оо, оо. Тогда имеют
место приводимые ниже определения.
Определение 1. Если Urn-— = 0, то функция f(x) назы-
х~а f (•*•)
вается бесконечно малой функцией высшего порядка малости, по
сравнению с функцией ср (х), а функция »(х) называется бесконеч-
бесконечно малой функцией низшего порядка малости, по сравнению с
функцией f(x).
Определение 2. Если \\т^Щ= оо, то функция f(x) назы-
вается бесконечно малой функцией низшего 'порядка малости, по
сравнению с ср (х), а <р (х) называется бесконечно малой функцией
высшего порядка малости, по сравнению с функцией / (х).
Определение 3. Если Пт;-у\ = А и А Ф 0, то бесконечно
малые функции f(x) и <э(х) называются бесконечно малыми одного
и того же порядка.
5* 131

f (x)
Определение 4. Если lim ЦД. = 1, то бесконечно малые
х-а ?(*)
функции f(x) и <р (лг) называются эквивалентными, или равносиль-
равносильными. В этом случае пишут: f (х)— tp (x).
Определение 5. Если lim//*^ = А и А ФО, то бесконечно
х~аЫх)\к
малая функция f(x) называется бесконечно малой k-eo порядка
малости, по сравнению с бесконечно малой функцией ср(х) (из этих
определений вовсе не следует, что отношение двух бесконечно
малых функций всегда имеет конечный или бесконечный предел.
Может оказаться, что отношение двух бесконечно малых функций
не имеет ни конечного, ни бесконечного предела).
Теорема (о замене бесконечно малых фукций им эквивалент-
эквивалентными). Предел отношения двух бесконечно малых функций не из-
изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить
эквивалентными им.
Задача 19,1. Доказать, что если х-*-0, то функция xk, где
&> 1,—бесконечно малая высшего порядка, чем х.
k
Решение, lim — = limxk~x =0, так как по условиюk—1 >0.
х-0 * х-0
Этим и доказано требуемое.
Задача 19,2. Доказать, что при х->0 функции sinx и igx —
эквивалентные бесконечно малые.
Решение. Если мы докажем, что lin^^-=l, то тем са-
х-0 хб*
мым будет доказано, что tgx — sin* при х->0.
Действительно, lim ^lim 5HLL = lim cosx = 1.
х-0 *§* x-nsin* x-0
COS*
Задача 19,3 (для самостоятельного решения). Доказать, что
при х->0 1) функции sinx — х; 2) InA + х) — х\ 3) ех — 1—х;
4) sinfor — fcc; 5) \п (I + kx) ~ kx;
Указание. Рассмотреть
jf-»O x x-0 * х-л х
lim? ; limsl" и убедиться, что каждый из этих пределов
х-0 * х-0 "•*•
равен 1. Полезно запомнить, что In (I + kx) — kx, sin£x — kx при
x -*0.
Задача 19,4. Доказать, что при х -> 0 функции sin kx и
/ • х (k ф 0, / Ф 0) — бесконечно малые одного и того же порядка.
Доказательство. Найдем limSl" и убедимся, что он
Х-() "
равен постоянной величине, отличной от нуля (см. определение 3).
твительно, li ^ ^
х-
См. задачу 18,4.
Действительно, lim ^-^ =^- Ф 0.
х-0 lx l
132

В частности, например, sin 2х и Зх при х -> 0 будут беско-
бесконечно малыми одного и того же порядка.
Задача 19,5. Показать, что если х— бесконечно малая пер-
первого порядка, то 1 — cos* — бесконечно малая второго порядка,
по сравнению с х.
Решение. Чтобы показать требуемое, надо на основании
определения 5 показать, что lim ~ 2— есть величина постоян-
постоянно х
l-cos* 2sin2|
ная, не равная нулю. Действительно, lim 5— = Игл—т—=
х~о х *-*о х
. х . х
Sin "Я" S1D "Я" 111
= 2 lim ——- lim ——- = 2 • т • т =т.
*~0 Х х-П х * z z
Замечание. При решении следующих задач полезно знать,
что если х->а, то limx° = l, так как переменная величина,
х-*а
стремясь к а, возводится в степень, равную нулю, а потому со-
сохраняет постоянное значение, равное 1. Предел ее поэтому
равен 1.
Задача 19,6. Считая, что х — бесконечно малая первого по-
порядка, определить порядок малости функции sin* — tgx.
Решение. Отличие этой задачи от предыдущей состоит в
том, что в предыдущей задаче порядок малости функции 1 — cos x
задавался, и требовалось только подтвердить это расчетом В этой
задаче порядок малости функции sinx — tg*, не задан, а подле-
подлежит определению. Будем считать, что порядок малости этой
функции равен k и найдем k такое, чтобы lim S'n*~ g* имелко-
х-Ч X
печное значение, отличное от нуля (см. определение 5 на стр. 132):
sin х
lim sin*-<g* = lim7°" =lim
K
JTCOSX
t-.0COS**.-0 ХЯ x-*0 X*
X X
sin* sm2y sjr)jc sin2—
=— lim z = — 2lim lim
x~0
= —2- 1 • lim
= — 2Ш2 lim *3-* = — 2 4-1 im x3
Теперь дело решает предел lim*3-*. Если предположить, что
х~0
3 — &> 0, то lim*3-* = 0. Если же 3 —k <0, то lim*3-* = оэ.
дс->0 х-и
133

Чтобы получить конечный и отличный от нуля limr5-*, надо
х~<'
отбросить предположения 3 — &>0 и 3 — & < О, так как в пер-
первом случае искомый предел равен нулю, а во втором — беско-
бесконечности. Только тогда, когда 3 — k = 0. т. е. когда k = 3, мы
получим, на основании сделанного замечания (см. задачу 19,5),
что lim*3-fe=l, а искомый предел равен—-д-, т. е. имеет ко-
нечное и отличное от нуля значение. Итак, k — 3 и при х -*■ 0
функция sin jf — tgjc — бесконечно малая третьего порядка малости,
по сравнению с х.
Задача 19,7. Считая, что х— бесконечно малая величина пер-
первого порядка, определить порядок малости бесконечно малой
функции
1пA + х2 + х3).
Решение. Будем считать, что искомый порядок малости
равен k и определим k так, чтобы 1 im "' к имел конеч-
конечно х
ное значение, отличное от нуля.
„„ in A+ «» + *«) .. inQM'fr**) *2JM3
11111 ь — 11Ш
X*
Первый предел равен 1 (подстановка: хг -\- х3 = г приводит
к хорошо известному пределу: lim ———- = 1).
г-0 г
Отыщем теперь второй предел:
lim^4^" = lim (x2~k + x9~k) = lim r»-*(l +x).
,^n XR x~0 x-0
Последний предел имеет конечное значение только в том слу-
случае, когда 2 — k = 0, т. е. k = 2, так как если &<2, то этот
предел равен нулю, а если k > 2, то при *-v0 *2-* — величина
бесконечно большая, при k — 2 lim x2~k = 1.
о
Таким образом, если k = 2, то lim ln A "^ ^^ = \ . \ Ф о.
Итак, при х-уО бесконечно малая функция In A + х2 + х3) имеет
второй порядок малости относительно бесконечно малой х.
Задача 19,8 (для самостоятельного решения). Считая, что х—
бесконечно малая величина первого порядка, определить поря-
порядок бесконечно малой функции
Ответ. Первого порядка малости (k — 1).
134

Задача 19,9. Считая, что х — бесконечно малая величина пер-
первого порядка, определить порядок малости бесконечно малой
функции
cos Зл; — cos x.
г. ^ , „. , . COS Злг — COS X
Решение. Определим число к так, чтобы lim j
имел конечное значение, не равное нулю. Учитывая, что cos3x—
— cosa:=—2 sin 2x sin x, искомый предел перепишем в виде
.. cos3* — cos x ,. 2 sin 2дг sin л:
hm г = — hm г =
X-.0 x" x~0 xR
... sin 1x,. sin лг ,. 1 о о i i• оь
— — 2lim lim lim k_2 = — 2 • 2 • 1 • limr"'.
x—0 * jc-»O * Jf — O X x—0
Если взять k < 2, то limx2"ft = 0, и тогда весь искомый пре-
х~0
дел будет равен нулю, а мы ищем такое значение k, при котором
искомый предел был бы конечен, но не равен нулю.
Если взять k > 2, то Iimx2-* = oo, что также не годится,
лг-0
так как тогда искомый предел не конечен. И только тогда, когда
k = 2 Itm x2~k = I, а искомый предел 1 im cos3*7 С°$ * = — 4 • 1 =
х-0 л: —О Л
= —4, т. е. имеет конечное и не равное нулю значение.
Итак, k—2. При х-+0 бесконечно малая функция cos3x —
— cos л: имеет второй порядок малости, по сравнению с х — бес-
бесконечно малой первого порядка.
Задача 19,10 (для самостоятельного решения). Считая, что
х — бесконечно малая величина первого порядка, определить по-
порядок бесконечно малой функции cos 2л;—cos л;.
Ответ, k = 2.
Теперь выполним упражнения, связанные с использованием
теоремы (стр. 132) о замене бесконечно малых функций им экви-
эквивалентными. Эта теорема во многих случаях значительно упро-
упрощает определение пределов.
Задача 19,11. Найти lim '" ('.~f,3*).
sin 4jc
Решение. При х -*■ 0 числитель и знаменатель дроби — функ-
функции бесконечно малые. Из задачи 19,3 нам известно, что при
х^-0 бесконечно малая функция 1пA + Зх) •—Зле, sin 4jc — 4х, а
потому, используя эту теорему, получаем
1 • 1П ( I -4»* оХ) I . оХ 3
lim —ч-Ц—— = hm -г— -г.
x_t) sin Их K_rl3 4x 4
Задача 19,12. Найти lim sin3x
x~ti x ~i~ x ~i~ x
1.3о

Решение. Так как при х-*■ 0 бесконечно малая функция
sin Зл; — Зл;, то заменяя sin Зл; эквивалентной ей бесконечно малой 3*.
получаем
,. sin Злг ,. Зж .. Зх „
Задача 19, 13 (для самостоятельного решения). Пользуясь
- , 1 onv о 1. cos ах — cos ая
теоремой (стр. 132), найти lim пг — хг "
Ответ. Ц
Задача 19, 14 (для само-
ш стоятельного решения). Поль-
Пользуясь теоремой (стр. 132),
найти
Ответ. 1.
Задача 19, 15 (для самостоятельного решения). Используя ту же
теорему, доказать, что
1) lim, s'n* = — 1; 2) limcosec*- ln(l +*)«= 1.
ДВАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Непрерывность функции. Односторонние пределы. Точки
разрыва и их классификация.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Определение 1. Если предел функции f(x) при х -*■ а суще-
существует и равен значению функции в точке х = а, то функция
f (х) называется непрерывной при х — а или в точке а, т. е.
для функции f (х), непрерывной при х = а должно выполняться
равенство
\\mf(x) = f(a). B0,1)
х-*а
При этом следует иметь в виду, что для непрерывности
функции при х = а равенство B0,1) должно выполняться при
стремлении х к а любому закону.
Для того чтобы согласно этому определению функция была
непрерывной при х — а, требуется выполнение таких трех усло-
условий:
1. Точка а должна принадлежать области определения функ-
функции, так как иначе о значении функции f(a) в этой точке не
имеет смысла говорить. Функция f (x) должна быть определена
не только в самой точке а, но и в некоторой ее окрестности.
136

2. Функция f (х) должна иметь конечный предел при х -> а
1 \mf(x) =A.
3. Этот предел А должен быть равен значению функции в
точке х = а, т. е. должно выполняться равенство f(a) = A.
Если соотношение B0, 1) не имеет места для данной функции
у = f (х) в данной точке х = а, то функция называется разрыв-
разрывной в точке х = а, а сама точка х = а называется точкой раз-
разрыва функции I (х).
Функция непрерывная в каждой точке некоторой области (ин-
(интервала, отрезка) называется непрерывной в этой области
(б интервале, на отрезке).
Определение 2. Функция j(х) называется непрерывной в
точке х = а, если в этой точке ее приращение Дг/ стремится
к нулю, когда приращение аргумента Lx стремится к нулю, или
иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а, если
в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответ-
соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если
0=0. B0,2)
Односторонние пределы функции
а) Левосторонний предел функции. Если отыскивается предел
функции / (х) при услбвии, что х, стремясь к а, может прини-
принимать только такие значения, которые меньше а, то этот пре-
предел, если он существует, называется левосторонним пределом
функции f (x) (или левым пределом функции). Для того чтобы
показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употреб-
употребляется запись: х -> а — 0, а левосторонний предел функции обо-
обозначается символами:
1) lim/(x) или 2) f(a — 0).
х-*а— 0
б) Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел
функции f(x) при условии, что х, стремясь к а, может прини-
принимать только такие значения, которые больше а, то этот предел,
если он существует, называется правосторонним пределом функ-
функции / (х) (или правым пределом функции).
То что х, стремясь к а, остается больше а, обозначается
так: х ->- а + 0, правосторонний предел функции обозначается
одним из символов:
1) \\mf(x) или 2) /(а + 0).
х-ю+0
137

Очевидно, что предел функции при x-vfl существует только
тогда, когда существуют и равны между собой ее левосторонний
и правосторонний пределы, т. е. когда f(a — 0) = / (а + 0). Символы
f (а — 0) и f (а -f- 0) являются только сокращенным обозначением
левостороннего и правостороннего пределов и ничего другого не
обозначают. Их можно применять только в случаях, когда опре-
определяющие их пределы существуют. *.
Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной при
х — а, если ее левосторонний и правосторонний пределы суще-
существуют, между собой равны и равны значению функции в этой
точке, т. е. f(a).
Таким образом, для непрерывности функции в точке х = а
требуется, чтобы выполнялись равенства
= f(a). B0,3)
Точки разрыва и их классификация
Если равенство B0,3) в какой-либо его части не выполняется,
то о точке х = а говорят, что она является точкой разрыва.
1. Точка разрыва первого рода
Определение. Если левосторонний предел функции f(a — O)
и ее правосторонний предел f (a -f- 0) существуют, но не равны
между собой, т. е. если
f(a — 0)#/(a + 0), B0,4)
О
/(а-0)ф+0)
Q
Фиг. 20,1,
то точка а называется точкой разрыва первого рода (фиг. 20,1).
* Символ х-+а означает, что х стремится к а, изменяясь по любому за-
закону. Тем самым этот символ отличается от символов х -* а— 0 и х -* а-\- 0.
138

2. Точка разрыв а второго vo да
Определение. Если в точке х — а не существует левосторон-
левосторонний или правосторонний предел функции или оба одновременно,
то эта точка называется точкой разрыва второго рода (фиг. 20,2;
20,3; 20,4). На фиг. 20,4 отсутствует левосторонний предел
Фиг. 20,2.
О
а
Фиг. 20,3.
функции; на фиг. 20,3 нет правостороннего предела функции, а
на фиг. 20,4 у функции нет ни левостороннего, ни правосторон-
правостороннего предела. Во всех этих случаях функция в точке х = а тер-
терпит разрыв второго рода
(иначе: точка х = а — точ-
точка разрыва второго рода).
О
WIW
Фиг. 20,4.
3. Устранимый
р аз рыв
Если в точке х — а функ-
функция f(x) имеет левосторон-
левосторонний и правосторонний пре-
пределы и эти пределы между
собой равны, но их значения
не совпадают со значением
функции в точке а, т. е. со значением f (а), то точка х = а назы-
называется точкой «-устранимого)) разрыва. Таким образом, в этом
случае
/(а —0)=/(о + 0)#/(а). B0,5)
Разрыв «устраняется» тем, что полагают f(a) равным f(a — 0)
и f(a + 0), т. е. принимают, что f(a) = lim/(x).
a-0
13Э

Свойства непрерывных функций
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функ-
функций, непрерывных в одной и той же точке а, есть функция не-
непрерывная в той же точке, причем в случае частного предпола-
предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а.
(Теорема остается верной для суммы и произведения любого ко-
конечного числа функций).
Упражнения, связанные с первым определением непрерывной
функции
Задача 20,1. Доказать, что функция / (х) = Зх3 — Ах+ 5 не-
непрерывна при любом значении х, т. е. непрерывна на бесконечном
интервале (— оэ, + °°)-
Решение. Заданная функция определена на бесконечном ин-
интервале (— оэ, + оэ). Возьмем из этого интервала произвольное зна-
значение х = а. На основании известных теорем о пределе функции
мы можем написать
lim / (д-) = lim (Зх3 — 4х + 5) = За3 — 4а+ 5.
х~а х~а
Но ведь и f(a) = За3— 4а+ 5 и, таким образом, у нас выполнено
соотношение B0,1): \\mf(x) =/(a), а это и значит, что рас-
рассматриваемая функция непрерывна при х = а. Учитывая, что а
произвольное число интервала (— оэ, + оэ). мы заключаем, что
заданная функция непрерывна при любом значении х, т. е. на
бесконечном интервале (—оо, + оэ).
Задача 20,2. Доказать, что любой многочлен
/ (х) == аохп + ахх"-1 + агх"—2 + ... -f- an-\ х + ап
непрерывен при всех значениях х.
Решение. Пусть х = а — произвольное значение* из бес-
бесконечного интервала (— оэ, -+- оо), в котором определена заданная
функция.
Докажем, что 1 im / (х) = f (a).
Действительно, на основании известной теоремы о пределе
целой рациональной функции имеем
lim / (х) = айап -f- а^"-1 -f- а2ап~2 + ... -\-ап-\ + ап.
Но полученное выражение есть не что иное, как значение задан-
заданной функции при х + а, т. е. /(а), и тем самым мы убедились
в том, что выполняется соотношение B0,1) 1 im/ (х) = /(а), а по-
х-а
140

тому и заключаем, что многочлен непрерывен всюду, т. е. при
любом значении х.
Задача 20,3. Доказать, что любая дробно-рациональная функция
К w ~~ Q(x)
(Р (х) и Q{x) — многочлены) непрерывна для всех значений х, за
исключением тех из них, при которых знаменатель обращается
в нуль.
Дробно-рациональная функция определена для всех значений х,
кроме тех, которые знаменатель обращают в нуль. Пусть а —
произвольное число, такое, что Q (а) ф 0. Из соотношения A4,3)
следует, что lim R(x) = R(a), т. е. соотношениеB0,1) выполнено,
и мы заключаем, что дробно-рациональная функция непрерывна
при всех значениях х, кроме тех из них, которые обращают зна-
знаменатель в нуль, т. е. дробно-рациональная функция непрерывна
при всех значениях х, при которых она определена.
Задача 20,4 (для самостоятельного решения). При каких зна-
значениях х непрерывна дробно-рациональная функция
f(x) 3*
Ответ. Функция непрерывна всюду, кроме значений х = 2 и
х = 4, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. О не-
непрерывности функции в этих точках не может быть и речи, так
как они не принадлежат области определения функции.
Задача 20,5 (для самостоятельного решения). Исследовать на
непрерывность функцию f(x) =—,
Ответ. Функция непрерывна при всех значениях х, кроме
х = 0. Значение х = 0 не принадлежит области определения функ-
функции: /@) не существует.
Упражнения, связанные с определением
приращения функции
Эти упражнения будут приводиться и на следующем практичес-
практическом занятии. Читатель должен приобрести прочные навыки в оп-
определении приращения функции, так как с необходимостью опре-
определять приращение функции приходится очень часто встречаться.
Задача 20,6. Найти приращение Ау функции f(x)=x2 при
переходе аргумента от значения % = 3к новому значению х2 = 4.
Решение. Приращение аргумента Ах = х2 — хг = А — 3 = 1.
У нас / (х) = х\ а потому / (х2) = / D) = 42 = 16, / (ху) =fC) =
= З2 = 9, а приращение функции Ay = f (x2) — f{x1)=f(i) — f C) —
= 16 — 9 = 7.

Задача 20,7. Найти приращение Ьу функции f(x)=x3 при
переходе аргумента от значения х к значению х -f- Ах.
Решение, Дг/ = Дх + Д*) — / (х). Найдем / (х + Д*). Так как
у нас / (х) = х3, то / (х + Д*) получим заменой х на л; 4- Д* в вы-
выражении функции f(x):f{x-\- Дх) = (л: + Д*K, а потому
Дг/ = (х + АхK — г* = Xs + Зх2Ах + ЗхАх2 + Ах3 —Xs;
+ Дг>.
Пользуясь этой формулой, вычислите, чему равно приращение
Д{/ функции, когда х от значения хх = 1 переходит к значению
х, = 2,01.
Ответ. 0,120601.
Задача 20,8 (для самостоятельного решения). Найти прира-
приращение &у функции f{x) = х3 при переходе аргумента от значе-
значения Х\ = 2 к новому значению #2=3.
Ответ. Ау=19.
Задача 20,9. Найти приращение Ау функции /(x)=sin x при
переходе аргумента от значения х к значению дг+Дл;.
Решение. Ду = /(х + Дя) — f(x). У нас f(x) = sinx. Мы
найдем / (х -f- Д#), если заменим л: на х+ Ьх в выражении функ-
функции f(x):
f(x + ^x) — sin (л; + Дл:); Дг/ = sin (х + Дх) — sin л;
и, применяя формулу
. , о а-\- b . а — Ь
sin а — sin о =2cos ^ sin- 2 ,
получим
Задача 20,10 (для самостоятельного решения). Найти прира-
приращение Ьу функции у — cos л; при переходе аргумента от значения*
к значению х + Д*.
Ответ. Ay = —2s\n[x+ yjsin^. B0,7)
Задача 20,11 (для самостоятельного решения). Найти прира-
приращение функции f(x) =sinx при переходе аргумента от значения
= -^ к значению х2 = -у.
Ответ, у.
Задача 20,12. Найти приращение функции у = ах.
Решение. f(x)=ax; f(x + Ьх) = а*+А* ; Д i/ = / (д; + Дх) —
— / (л:) = а*+л* — ах = ах (а*х — 1);
Дг/ = ах(а&х— 1). B0,8)
142

Задача 20,13. Найти приращение функции у = \пх.
Решенье. У нас / (х) ~ In x; / (х + &х) = In (х + Дх);
f (х) = In (х + Дх) — In х;
= In
■ их
;
. /, , Лх\
= In A + —).
Задача 20,14 (для самостоятельного решения). Найти прира-
приращение ts.S функции S = у при переходе аргумента от значения /
к значению t -f- Д^.
Ответ. До = gt\t -{- —-.
Задача 20,15. Доказать, что при х = 0 функция sinx непре-
непрерывна.
Решение. Мы должны обнаружить, что lim sin х = sin 0 = 0.
Учащийся не должен думать, что мы здесь имеем право просто
подставить под знак минуса нуль вместо х. Это мы имели бы
право сделать, если бы непрерыв-
непрерывность функции sinx при х == 0
была уже доказана.
Рассмотрим окружность ради- \
уса О А = 1 (фиг. 20,4 а). Тогда
Отрезок AD короче дуги А В,
а потому |sinx|<|x|. Если те-
теперь угол х уменьшать, делая
его все меньшим и меньшим по
абсолютной величине, мы можем
и синус этого угла сделать по
абсолютному значению сколь угод- Фиг. 20,4а.
но малым, а это значит, что при
х-*■ 0 sinx есть величина бесконечно малая, и ее предел
lim sin x— 0, т. е. lim sin x = sin 0.
Итак как здесь выполняется соотношение B0,1): lim/(x) =
Х-Ч1
= f(a), то при х = 0 функция sinx действительно непрерывна.
Задача 20,16. Доказать, что функция sinx непрерывна при
любом значении х.
Решение. В задаче 20,9 для определения приращения f(x) —
= sinx была получена формула B9,6), верная при любом значе-
значении х.
143

Воспользуемся теперь вторым определением непрерывной функ-
функции B0,2) и докажем, что ПтД{/ = 0.
Дх~0
На основании результата предыдущей задачи sin —^-0, ког-
когда Дх -*- 0; что касается cos (х + ^)> т0 он величина ограниченная
при любом значении x:|cosx|<l. Произведение же величины
бесконечной малой на ограниченную есть величина бесконечно ма-
малая, поэтому, когда Дх->-0, то Д{/->-0, т. е. ПтД1/=0. Так как
Д*->0
это выполняется при любом значении х, то мы теперь вправе утвер-
утверждать, что функция sin л; непрерывна при любом значении л; (иначе
говорят: «непрерывна всюду», «непрерывна на всей числ вой оси»).
Теперь уже, определяя предел sinx при х->а, мы вправе с пол-
полным основанием писать:
lim sinx = sin a.
х-*а
Задача 20,17 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция /(x)=cosx непрерывна при всех значениях х.
Указание. Воспользоваться формулой B0,7).
Задача 20,18 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функции tgx, ctgx, secx, cosecx непрерывны в любой точке своей
области существования.
Указание. Использовать непрерывность всюду функций sin x
и cosx и теорему о непрерывности частного двух непрерывных
функций.
Упражнения, связанные со вторым определением непрерывной
функции
Задача 20,19. Пользуясь вторым определением непрерывности
функции, доказать, что функция / (х) = 5х2 — 6х -f- 2 непрерывна
в произвольной точке х.
Решение. f{x + Дх) = 5 (х + Д*J — 6 (х + д*) + 2;
Hy=f(x + Ax) — f (х) = ЮхДх — 6Дх
= A0х — 6)Дх+ 5Дх2.
Найдем теперь предел Д{/ при Дх->0:
— 6) Дх4-5Дх2]=0
Дх->0
при любом значении х, что и доказывает непрерывность заданной
функции при любом значении х.
144

Задача 20,20 (для самостоятельного решения). Пользуясь вто-
вторым определением непрерывной функции, доказать, что функция
f(x) = t _7~ * непрерывна при любом значении х.
Указание. Найти Ду, после чего перейти к пределу при
Дх^О.
Задача 20,21 (для самостоятельного решения). Доказать, что
1 4- х2
при х = 3 функция f(x) =-12 непрерывна.
Указание. Составить Д{/ = /C + Дл:)—/C) и найти ПтДу.
д*->о
Задача 20,22 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция f(x) =V х2 -f х-\- 1 непрерывна при любом значении х
Указание. Определить Ду, после чего перейти к пределу
при Дл: -у 0.
Упражнения, связанные с классификацией точек разрыва.
Задача 20,23. Испытать на непрерывность при х — 1 функцию
Решение. Так как знаменатель 1—х дроби равен нулю при
х = 1, то f(x) разрывна при х = 1. Установим характер этой точки
разрыва. Найдем сначала левосторонний предел функции lim / (х).
х->0— I
Если х -> 1 — 0, то можно положить х — 1 — а (а > 0) и считать,
что а, оставаясь положительной, стремится к нулю, Заменяя х
на 1 — а,
lim/(x)=lim/r2 + J-i-Л = lim B + —Ц-\ =2,
IO +0 \ +0
/ i
а~+0 -— \ а-»+0
\ l + ^-l'—7
J
так как при а-+ +0 величина — бесконечно большая, 2 а также
бесконечно велика, 1+2"—бесконечно большая величина, обрат-
обратная ей величина f — бесконечно мала:
lim—Ц- =0,
+ 0 Л
а потому lim /2 -j р | = 2.
V 1 +
Таким образом
/A-0) =2.
145

Теперь определим правосторонний предел функции. Если
х -* 1 + 0, можно положить * = 1 Ч- а (а > 0) и считать, что а,
оставаясь положительной, стремится к нулю.
Тогда, заменяя х на 1 + а, получим:
= lim /24 —-\ = 3,
j ^ + 2
так как при a -■*■ + 0, -и2" — величины бесконечно большие, то
_L 1
2 a = —-—величина бесконечно малая, а поэтому
2Т
-— 1 / 1 \
lim A + 2 «) = l;lim г = 1; а lim( 2 Н ■—г =3
и, значит, /A +0) =3.
Итак, у функции существуют и левосторонний предел / A—0) =
= 2, и правосторонний предел /A + 0) = 3, но между собой они
не равны. Из этого мы заключаем, что точка х — 1 является для
заданной функции точкой разрыва первого рода.
Задача 20,24 (для самостоятельного решения). Испытать на
2
непрерывность функцию f(x) = — при х = 2.
З + б7^
Указание. 1) Найти левосторонний предел функции lim/(jc)
х-2—0
(положить jc = 2 — a(a>0) и найти предел полученной функции
2
при а-у+0). Получится, что f B — 0)=у. 2) Найти правосто-
правосторонний предел функции lim/(x) (положить л; = 2 + a (a > 0) и найти
лг-2+0
предел полученной функции при a-v+О). Получится, что/B+0)=0.
Ответ. Точка х = 2 —точка разрыва первого рода: /B — 0)
и / B + 0) существуют, но между собой не равны.
Задача 20,25 (для самостоятельного решения). Испытать на
непрерывность функцию f(x) — р при х — 0.
3+5*
Указание. При х — 0 функция терпит разрыв. Левосторон-
Левосторонний предел функции \\mf(x) = \-\ /(— 0) = 4--
Правосторонний предел функции Нгп/(х) = 0: /(+ 0) =0 (сим-
*-+о
волы I) х-+ —0и2)х->-+0 означают, что 1) х стремится к нулю,
оставаясь меньше нуля; 2) х стремится к нулю, оставаясь больше
нуля).
146

Левосторонний и правосторонний пределы функции существуют
/(—0) =-. у, /(+0) = 0, но между собою не равны: /(— 0)^/(+0).
Заключение. Точка х = 0— точка разрыва первого рода.
Задача 20,26 (для самостоятельного решения). Функцию f(x) =
испытать на непрерывность при х = 5.
~~ _4
2 + 75—*
Ответ. /E — 0)=0, /E + 0) =|; / E — 0) # E + 0).
Точка x = 5 — точка разрыва первого рода.
Задача 20,27 (для самостоятельного решения). Какого рода
разрыв имеет функция f(x) = 3 * в точке х =0. Начертить график.
Ответ. Разрыв второго рода: /(—0)=0, /(+0) = + оо.
Задача 20, 28 Какого рода
разрыв имеет функция у = —
в точке х — 0.
Решение. Левосторонний
предел функции lim— = — оо,
х-—0х
а ее правосторонний предел
lim — = + оо. Таким образом,
здесь не существуют ни предел
слева, ни предел справа, а пото-
потому точка х = 0 — точка разрыва
второго рода.
Фиг. 20,5. Задача 20,29 (для самостоя-
самостоятельного решения). Какого рода
разрыв имеет функция у = ^__3 в точке х — 3 (фиг. 20,5).
Ответ. Второго рода;
при х -у 3 не существуют
ни предел слева, ни пре-
предел справа.
Задача 20,30. (для са-
самостоятельного решения).
Какого рода разрыв имеет
фунция у = — в точке
Ответ. Второго рода
(фиг. 20,6). Фиг. 20,6.
Задача 20,31 (для самостоятельного решения). Определить точ-
точки разрыва функции у = ——г и род этих точек разрыва.
147

Ответ. Точка jc= — 1 и х = + 1—точки разрыва второго
рода (фиг. 20,7).
Задача 20,32. Какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функ-
функция у = arctg ~.
-1
Решение. В точке х = О
функция arclg-j не существу-
существует. Определим левосторонний и
правосторонний пределы функ-
функции: lim arctg— =—£-, так как
при х
а
— О величина-^-^ —оо,
arctg—-»- — -|; / (— 0) =
по-
тс ,. ,1 , я
= —т. lim arctg— = +7г
■' *-+о х 1
тому, что при х ->■ -{- 0 величина
7^ + со, a arctg 7^ + 5"'
Фиг. 20,7
Таким образом, оба предела — левосторонний и правосторон-
правосторонний — в точке х = 0 существуют, но между собою не равны:
/(—Oi=f(-rO), и точка х = 0 — точка разрыва первого рода
(фиг. 20,8).
У
±
Г?
Фиг. 20,8.
Задача 20,33. Какого рода разрыв имеет функция / (х) = s-^
в точке х = 0?
Решение. В этой точке функция разрывна, так как /@) не
существует. Однако нам известно, что при стремлении х к нулю
по любому закону (л; ->■ 0)
sin*
=гт1
148

и, таким образом, существуют левосторонний предел функции
/(—0), правосторонний предел функции / (+0) и они между со-
собою равны: /(—0) = /(+0) = 1. Но /@) не существует. На кри-
кривой, которая является графиком этой функции, отсутствует точка
(она как бы «вырвана»), абсцисса которой равна нулю. Если ус-
условиться, что при х = 0 функция s— = 1, то тем самым график
функции станет сплошным (непрерывным), и разрыв будет «уст-
«устранен» (фиг. 20,9).
Заключение: Для функции ^-^ точка х = 0 является точ-
точкой «устранимого» разрыва, так как /(—0)=/(-f0), и функция
Фиг. 20,9.
в этой точке может быть доопределена так, что можно взять
/@) = limiiHi
' х~о х '
Замечание. Термин «устранимый» взят в кавычки потому,
что фактически разрыв функции ^^ в точке х = 0 ничем устра-
устранить нельзя, так как он существует в действительности. Можно
только условно принять, что значение функции в этой точке
равно 1. Такое соглашение восстановит на кривой отсутствующую
на ней точку @,1).
Это замечание следует иметь в виду и при решении других
задач, в которых разрыв будет «устранимым».
Задача 20,34. Испытать на непрерывность функцию / (х) =
= ^- в точке х = 2.
Решение. Так как при х = 2 функция не существует и тем
самым нарушено первое условие непрерывности, то в этой точке
функция терпит разрыв. Найдем левосторонний и правосторонний
пределы функции
lim =*3-8 = lim (x2 + 2x+i) = 12, /B—0) = 12;
лг-2—0 X — 2 лг-2—0
lim *3~8 = lim (х2 + 2х + 4) = 12; /B + 0) = 12.
лг^2+0 X — 2 Х-+2 + 0
Таким образом, существует и предел этой функции при х^2,
так как / B — 0) = / B + 0). В точке х = 2 разрыв можно «устра-
149

нить», если значение функции в этой точке принять равным 12,
т. е. если условиться, что / B) = lim ■*•*—в = 12.
Точка х — 2 — точка «устранимого» разрыва. Графиком функции
f М ~ _о является парабола (фиг. 20, 10), на которой нет точки
с абсциссой х = 2. На графике эта точка обозначена кружком и
к ней направлены стрелки. Сплошной
ход кривой в этой точке оборвался.
Слева и справа от точки х — 2 график
функции — непрерывная линия.
Задача 20,35 (для самостоятельно-
самостоятельного решения). 1) Исследовать на непре-
Х2 g
рывность функцию / (х) = 3 и на-
начертить график функции. 2) Чему
должно быть равно /(—3), чтобы по-
пополненная этим значением функция
была непрерывна при х = —3?
Ответ. Точка х — — 3 — точка
«устранимого» разрыва. Следует взять
Задача 20,36 (для самостоятельно-
самостоятельного решения). 1) Исследовать на непре-
непрерывность функцию f (х) ~ х _~j~. и на-
начертить график функции. Как следует
доопределить эту функцию при х =
= —1, чтобы при х = —1 она была
непрерывной?
Задача 20,37. Доказать, что функ-
-1 0
Фиг. 20,10.
ция / (л;) = хв cos2 х
непрерыв-
на при всех значениях х.
Решение. Воспользуемся теоремами о сумме, произведении
и частном непрерывных функций. Так как функция cos* непре-
непрерывна при всех значениях х, то и ее квадрат есть функция, не-
непрерывная при всех значениях х, как произведение двух непрерыв-
непрерывных функций: cos2 х = cos x ■ cos x.
Функция ср (х) = х непрерывна всюду, а потому и функция
'fi M — х3 также всюду непрерывна, как произведение непрерыв-
непрерывных функций: <?i (л;) = (л;K = ххх.
Произведение х3 cos2 x — функция непрерывная, как произведе-
произведение непрерывных функций jc3 и cos2 л;.
х4
Второе слагаемое ^ , -|—функция непрерывная, как частное
двух непрерывных функций, причем знаменатель дроби не имеет
150

действительных корней (уравнение х2 + 1 = 0 не имеет действи-
действительных решений).
Заключение. Заданная функция непрерывна при всех зна-
значениях х.
Задача 20,38 (для самостоятельного решения). Пользуясь тео-
теоремами о непрерывности суммы, произведения и частного непре-
непрерывных функций, решить вопрос о непрерывности функций:
з) ср(*) = ^
Ответ. 1) Функция непрерывна при всех значениях х, кроме
значений хх = — 3 и х2 = 3.
2) Функция непрерывна для всех значений х, кроме х = \
3) Функция непрерывна для всех х, кроме jc = пк, где и —
любое целое число.
ДВАДЦАТЬ ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Задачи, приводящие к вычислению производной. Не-
Непосредственное вычисление производной из определения. Геометрический
и механический смысл производной.
Это практическое занятие является первым по разделу «про-
«производная и дифференциал функции». К вычислению производной
данной функции мы проходим всякий раз, когда требуется опре-
определить скорость изменения другой величины (функции), в зависи-
зависимости от изменения другой величины (независимой переменной).
Определение /. Средней скоростью изменения функции у =
= / (х) при переходе независимой переменной от значения х к
значению х -j- Дх называется отношение приращения Д{/ функции
к приращению Дл: независимой переменной:
Определение 2. Истинной {мгновенной) скоростью измене-
изменения функции у при данном значении х называют предел, к кото-
которому стремится средняя скорость изменения функции при стрем-
стремлении к нулю Дх:
p
Дд:-.О
^±^lW. B1,2)
При вычислении этого предела следует х считать величиной
постоянной. Переменной же величиной здесь является Дл: (конечно,
значение х можно выбрать произвольно из области существования
151

функции, но после того как этот выбор сделан, значение х должно
оставаться постоянным, а изменению может подвергаться только Ах).
Найденный из B1,2) предел будет являться функцией х. О ско-
скорости изменения функции при данном значении х имеет смысл
говорить лишь в том случае, когда предел B1,2) существует и
не зависит от того, каким способом Дх стремится к нулю.
Функция, полученная в результате определения предела B1,2),
называется производной функцией от функции / (х). Сокращенно
найденная из B1,2) функция называется просто производной.
Определение производной. Производной функции f(x) no-
независимой переменной х называется предел, к которому стре-
стремится отношение приращения функции Ау к приращению аргу-
аргумента Ах, когда приращение арумента стремится к нулю.
Операция нахождения производной называется дифференцирова-
дифференцированием функции.
Производная функции при частном значении х есть число,
если при этом значении х производная имеет конечное значение.
Обозначение производной. Производная обозначается од-
одним из символов: у'х, у , ■£, /' (х), а ее значение при х =х0 обо-
обозначается так:
Ух (х0); у (х0); у'о; ^|^;/' (х0).
Когда мы нашли производную функцию /' (х), тем самым мы
нашли скорость изменения данной функции в точке х.
Механическое значение производной
1. Средняя скорость. Закон движения точки считается задан-
заданным, если ее путь s* есть известная функция времени t, т. е. если
« = /(') B1,3)
(s — расстояние движущегося тела от начала отсчета). Будем счи-
считать, что s > 0, если оно находится справа от начала отсчета и
s < 0, если оно находится слева от начала отсчета. Средняя ско-
скорость движения Vcp за время момента / до момента / + Д^
вычисляется по формуле
- ДО - / (<) /„I л\
Vcp~At~ At • \П^>
Истинная скорость движения в момент времени t по определе-
определению есть предел, к которому стремится средняя скорость Уср за
промежуток времени Д/, когда промежуток времени Д/ -у 0. Или
* Предполагается, что точка движется в одном направлении.
152

иначе: скоростью движения в данный момент времени t назы-
называется предел отношения приращения пути As к приращению
времени М, когда приращение времени Д/ стремится к нулю.
Скорость в момент времени t определяется равенствами
V = lim VcP =lim:E. B1,5)
Из сравнения B1,5) с B1,2) видно, что скорость точки в момент
времени t есть производная от пути s по времени t.
Геометрическое значение производной
Производная от функции f(x), вычисленная при заданном
значении х, равна тангенсу угла, образованного положительным
направлением, оси Ох и положительным направлением касатель-
касательной*, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х.
Упражнения этого практического занятия имеют целью закре-
закрепить у студента понимание определения производной, ее меха-
механического и геометрического значения.
Мы будем решать задачи, в которых производная вычисляется
не из готовой формулы, как это делается на следующих практи-
практических занятиях, а непосредственно, исходя из ее определения.
После твердого усвоения определения производной мы перей-
перейдем к упражнениям, которые помогут выработать прочные на-
навыки вычисления производных.
Задача 21,1. Вычислить производную функции у=х2 при х =3.
Решение. Проведем решение этой задачи двумя способами:
1) сначала найдем производную как функцию х, а потом вы-
вычислим ее значение при х = 3, т. е. у' C),
2) значение производной будем вычислять, исходя из значения
х = 3:
у = х\ т. е. f{x) =x2;
f (х + Дл:) = (х + Дл:J = х2 + 2л:Дл: + Дл:2.
Теперь найдем приращение функции Д# = f(x + Дл:)—fix) =
= х2 + 2хЬ>х + Дг5 — х2 = 2хДл: + Дл:2 = Bх + Дл:) Дл:.
Разделим теперь приращение функции Ly на приращение ар-
аргумента Дл::
^x л* д*
В этом месте мы можем сказать, что найденное отношение ~
есть не что иное, как средняя скорость изменения данной функ-
функции f [х) — х2 в промежутке (х, х + Дл:).
* Положительным направлением на касательной считается то, в котором
возрастает абсцисса.
153

Для того чтобы найти производную у' этой функции, нужно
найти предел полученного отношения при Дл:-»- 0. Переходя к пре-
пределу, получаем
у' = lim^ = lira Bx + Ах) = 2х
Лх-*0й* ЛХ-0
(еще раз напоминаем, что здесь при отыскании предела величину
х мы должны считать постоянной).
Итак, х' — 2х.
При х = 3 значение производной у' C) = 2 • 3 = 6. Найденное
число 6 есть не что иное, как скорость изменения функции / (х) — х2
при х =■ 3.
2) Найдем теперь значение производной данной функции при
х = 3, минуя нахождение производной, как функции х.
У нас f(x)=x2; fC) = 32.
Перейдем от значения х=3 к значению х = 3 + А*;
= fC + Ax) — fC) = C + Ал:J — 9 - бДл: + (Дл:J = F + Длг)Дх;
Найдя производную у' C), мы нашли и тангенс угла между
положительными направлениями оси Ох и касательной к графику
функции у = х2 в точке с абсциссой х = 3, т. е. угловой коэф-
коэффициент касательной к параболе # = л:2 в точке с абсциссой х = 3.
Задача 21,2 (для самостоятельного решения). Вычислить про-
производную функции у = х3 при х = 2.
Дать геометрическое истолкование полученного результата.
Задачу решить двумя способами по примеру решения предыду-
предыдущей задачи. Найти среднюю скорость изменения функции в про-
промежутке от Ху = 3 до х2 = 3,1.
Ответ, у' B) = 12; средняя скорость изменения функции на
интервале C; 3,1) уср = Зхг + ЗхЬх + Дл:2. Подставляя сюда х = 1,
\х = 0,1, получим уср = 27,91.
Задача 21,3. Точка движется по прямой по закону S = /8,
где S — путь, измеряемый в сантиметрах, а / — время в секундах.
Найти среднюю скорость точки за время от / = 2 сек до /, =
= B + М)сек, считая, что М = 1; 0,5. 0,01; 0,001. Вычислять
также истинную скорость точки в момент t = 2 сек.
Решение. Согласно результату предыдущей задачи, если
у = х3, то Ьу =Зх2Ьх + ЗхЬх2 + Ьх3. Так как в задаче, которую
мы решаем, функция обозначена буквой S, а аргумент буквой /,
то выражение для Ау надо переписать, заменив у на S, а х на t:
AS = WAt + 3/Л/2 + АР,
154

а средняя скорость будет равна
Если Д/ = 1 сек, то, приняв, что t = 2 шс, получим
Vc = 3 • 2г+ 3 • 2 • 1 + I2 = 19 см/сек;
при t = 2 сек, а Ы — 0,01 сек:
Vcp = 3 • 22 + 3 • 2 • 0,01 + @,01J = 12,0601 см/сек;
при / = 2 с<?к, а А/ = 0,001 с<?к;
Vcp = 3 • 22 + 3 • 2 • 0,001 + @,001 J = 12,006001 см/сек.
Найдем теперь истинную скорость в момент времени t = 2 сек.
У нас
уср = З/2 + 3/Д/ + Д^2.
Истинная скорость по B1,4) будет равна
V = lim Vcp = Пт Ct2 + ЗШ + Д/2) = З/2.
При t = 2 сек получаем V = 3 • 2г = 12 см.!сек.
Все полученные нами средние скорости отличаются от истин-
истинной, но из рассмотрения полученных значений средних скоростей
мы приходим к выводу, что они тем ближе к истинной скорости
в момент / = 2 сек, чем меньше At.
Задача 21,4 (для самостоятельного решения). Точка движется
по прямой по закону S = 5/3—3/г + 4, где путь 5 измеряется
в сантиметрах, а время / — в секундах. Найти среднюю скорость
за промежуток времени от tx — 1 до t2 — A + Ы), считая Д^ =
= 0,5; 0,3; 0,1.
Определить также истинную скорость в момент t = 1 сек.
Указание. 1) Найти AS; 2) Vcp = ^.
Ответ. При Д^ = 0,5 Vcp = 15,25 см/сек; при Дг? = 0,1 Vcp =
= 10,21 см/сек; V = \5t2 — 6t, V(l) = 9 см/сек.
Задача 21,5. Функция у = * у Вычислить производную
при х = 1.
Решение. Сначала найдем производную у' как функцию х,
а потом вычислим у' A).
Наращенное значение функции у-\- Ь.у мы найдем, если за-
заменим в аналитическом выражении функции х на х + &х. Имеем
.. i Л,._2(* + А*) + 1. л..-2
У-f- Щ-3(х+Ьх) + 1> аУ~з{х -Рд^Г+Т ~ Зл:
Дх Ау 1
[3 (х + toe) + 1] C* + 1)' " Д* [3 (х + Дх) + 1J C* + I)'
155

Эта формула дает выражение средней скорости изменения дан-
данной функции на интервале (х,х-\- Дат). Чтобы найти производную,
перейдем к пределу, устремляя Дл: к нулю:
У> =25 S = Ц™ Ь [з1Г+Ах) +
Найденный результат геометрически истолковывается так:
угловой коэффициент касательной к графику функции у = „ .
в точке с абсциссой л: = 1 равен—у?; tgcp = —у^.
Если точка движется по прямой по закону у = д—XT' где х —
время в секундах, а у - путь в метрах, то найденное значение
производной у' A) =—jg — скорость движения в момент времени
t = 1 сек, а знак минус у скорости показывает, что с увеличе-
увеличением времени расстояние движущейся точки от начала отсчета
пути уменьшается.
Эту задачу можно решить и иначе: вычислить значение про-
производной заданной функции при х = 1, минуя определение ее
производной при любом х.
Перейдем от значения х = 1 к значению х = 1 + Л*. У нас
в точке х — 1 приращение функции Д# = /A + Дл:) — /A)'>
Д{/=2Л* + 3 3 -Л* . Аи 1
' A) = lim т-^ = — lim
(ЗДх -f 4)' St 4 (ЗЛх + 4)'
|6
Таким образом, найдена производная заданной функции при
х ~- 1 без определения производной как функции х.
Задача 21,6 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производную функции у = Ух при х — 9.
Ответ. у'(9)=~.
Задача 21,7 (для самостоятельного решения). Доказать, что
для линейной функции y=kx + b отношение -^ есть величина
постоянная.
156

Задача 21,8 (для самостоятельного решения). Пользуясь опре-
определением производной, найти производную функции у = Ух2— 1
при х—У~Ъ.
Указания: 1) Ау = V{х + ДхJ — 1 — Ух2 — 1; 2) при опре-
определении lim^следует числитель и знаменатель дроби умножить
Дх-0
на У(х + АхJ — 1 + Ух2 — 1; 3) у' =
—-
Ответ. y'(Vb)=^.
Задача 21,9 (для самостоятельного решения). Закон движения
точки по прямой задан формулой s = t3 — З/2 + 3/ + 5 (s — в мет-
метрах, t — в секундах). В какие моменты времени t скорость точки
равна нулю?
Ответ. У = 3/2— 6/+3; V = 0 при / = 1 сек.
Задача 21,10 (для самостоятельного решения). Две точки дви-
движутся по прямой по законам sx =tz — 5/2 + 17/— 4; s2 = t3 — 3/.
В какой момент времени их скорости равны?
Ответ. t = 2 сек (V, =3^2 — 10/+ 17; V2 = 3/2—3).
Задача 21,11 (для самостоятельного решения). Тело, брошен-
брошенное вверх, движется по закону s — —4,905/2 + 981/ + 950 (s —
в метрах, / — в секундах). Найти: 1) скорость тела в любой мо-
момент времени и его начальную скорость; 2) в какой момент вре-
времени скорость тела станет равной нулю и какую наивысшую
высоту в этот момент времени достигнет тело.
Ответ. 1) V = —9,81/ + 981; Vo = 981 м/сек; 2) / = 100 сек;
sA00) = 50 км.
ДВАДЦАТЬ ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Дифференцирование алгебраических функций.
Это практическое занятие отводится для упражнений в опре-
определении производных алгебраических функций. Эти упражнения
продолжаются и на следующем практическом занятии. Операция
определения производной функции называется дифференцирова-
дифференцированием функции.
Вычисление производных мы будем вести не непосредственно,
исходя из определения производной, а по формулам, с выводом
которых читатель уже знаком. Здесь приводится для ссылок и
справок.
СВОДКА ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Во всех приведенных ниже формулах функции и и v счита-
считаются функциями независимой переменной х: и — и (х)\ v = v (x).
Эту таблицу читатель должен твердо выучить наизусть.
у = с (с — постоянная).; у' = 0 B2,1)
157

(производная постоянной величины равна нулю);
У = г, у' = 1 B2, 2)
(производная независимой переменной равна 1);
у=си (с — постоянная); у' =си' B2,3)
(постоянный множитель можно выносить за знак производной)
y = u±v; у' =и' ±v' B2, 4)
y = v ■ и; у' =u'v + uv' B2, 5)
У- £ У = "-V^- B2, 6)
у = —\ у' = —-^г • "' (а— постоянная величина); B2,7)
у = ц»; «/' = ПИ" • U' B2, 8)
(га — любое действительное число)
У = УЛ; у'=-^и'; B2,9)
у = а»; у' = а" ■ In а ■ а'; у = е«; / = е"и'\ а > 0, а =£ 1; B2, 10)
{/ = loga«; y^lu'iofoe^j^; B2,11)
у = \пи; У'=11и''> B2-12>
у = sin «; у' = cos и • и'; B2. 13)
у = cos и; у'= —sin и-и'; B2,14)
0 = tg«; У' = Ж"'; <22'15)
J B2,1б)
у = sec у; t/' = sec и tg и • а'; B2, 17)
у = cosec и; у' = —cosec и • ctg и • и'; B2, 18)
у = arcsin и; у' = ' а'; B2, 19)
У I — и2
у = arccos u; у' = — . ' и'; B2,20)
У 1 — и2
?/ = arctg«; ^=_^_и'; B2,21)
у = arcctg и; у' = - —-, и'. B2, 22)
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Если y = f(u), a и является не независимой переменной, а
функцией независимой переменной х: и = <р (х), то, таким образом,
(/ = ■'(? W).
158

Функция у называется в этом случае сложной функцией х.
Переменная и называется промежуточной переменной. Производ-
Производная сложной функции определяется на основании такой теоремы:
Пусть y~f(u), а и = у(х), причем для соответствующих
друг другу значений х и и существуют конечные производные
уи и их. Тогда сложная функция y~f(<?(x)) имеет конечную
производную по х, и эта производная определяется по формуле
у'х=у'иих*, B2,23)
причем производная уи вычисляется так, как если бы и было
независимой переменной. Короче: производная сложной функции
равна произведению производной данной функции по промежуточ-
промежуточной переменной на производную от промежуточной переменной
по независимой переменной.
Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые
задаются с помощью цепи, содержащей три и более звена. Напри-
Например, если у = /(«). и = ср (v), v = ф (х), т. е. если «/ = /{» [@ (*)]},
то
Ух = y'uu'vVx. B2, 24)
Формулы B2, 23) и B2, 24) дифференцирования сложной функ-
функции являются очень важными.
Прежде чем приступить к решению задач, сделаем замечание,
которым нам неоднократно придется пользоваться:
Если функция, которую надо продифференцировать, не яв-
является сложной, то мы в формулах B2, 3) — B2,22) будем полагать,
что и = х, т. е. и — независимая переменная, а тогда по формуле
B2, 2) их= 1 (производная независимой переменной равна единице),
и поэтому, применяя указанные формулы, на и' умножать не
придется, так как такое умножение равносильно умножению на
единицу, а, как известно, умножение на единицу не изменяет
произведения.
Сначала решим самые простые задачи.
Задача 22, 1. Найти производные функций:
4
1I/ = х*; 2) у = х5; 3) у = Ух; 4) у = VI?.
Решение. Учитывая замечание, которое только что сделано,
по формуле B2, 8), полагая в ней и = х, имеем:
1) В этом примере показатель степени п = 4, а потому у' =
= 4*3;
2) Здесь п = 5, а потому у' = 5л:4;
* Индексы у производных указывают на то, по какому переменному про-
производится дифференцирование.
15S

!
3) Если у = Ух, то, переписав пример в виде у = л:2, пола-
полагая в формуле B2,8) п = у, получаем у'~—х* =тх *~
1
При решении этого примера можно было сразу воспользоваться
формулой B2, 9).
- 3
4) Пример можно переписать так: у = х*. Здесь п = -г-, а
, 3 |-1 3 -4 3
7^
Задача 22,2. Найти производные функций:
1) у = 5х3; 2) у - -4х2; 3) у = 7 К*; 4) у = 1, 5) у - 4 ^?.
Решение. При решении всех этих примеров можно поль-
пользоваться формулой B2, 8) и надо учесть, что постоянный множи-
множитель можно выносить за знак производной (формула B2,3)).
1) ц' =5 (л:3)' (здесь постоянный множитель 5 вынесен за знак
производной); у' = 5 • Зх2 = 15л:2 ((л:3)' = Зх2);
2) у' = —4 (л:2)' = —4 • 2х = —8л: (постоянный множитель —4
вынесен за знак производной, а (х2)' = 2х);
3) y = lk ,'=7(^=74^ = 7^ = ^ (по-
стоянный множитель 7 вынесен за знак производной, а (х*)' —
~YX I- Здесь можно было сразу воспользоваться формулой
B2,9), и тогда, если у = 7Ух, то у'=7
у х /• у х
Учащемуся рекомендуется запомнить (это очень часто встре-
встречается), что если у = У~х, то у' = —-^=.
z у х
4) Перепишем пример в виде у = 8л~2, тогда у' ~ 8 (л~2)' =
= 8(—2л:~3), у' — з (постоянный множитель 8 вынесен за
знак производной, а (л~2)' = —2л~2-' = —2л:-3). Можно было
сразу воспользоваться формулой B2, 7), взяв в ней а = 8; и = х2,
а и' = 2л\ Здесь уже на и' придется умножить, так как и — не
независимая переменная, а ее функция: и = х2.
Имеем у = —-; у' = т (л:8)' = г 2х = — -г, т. е. то же,
производная
аиамснателя
что и раньше, но функцию, данную для дифференцирования, не
пришлось преобразовать.
160

5) Данную функцию перепишем в виде у = 4х3: тогда у' =
|3
З/х
Задача 22,3 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций: 1)у = 7х6; 2) у = 8Vх; 3)у =-^.
Ответ. 1){/' = 42*Ь; 2) у' = < ; 3)^ = -§.
Задача 22, 4. Найти производные функции: _
1) У = yj: 2) у = — ; 3) у = — ^ ; 4) г/ = —^-.
Решение. Здесь для решения всех примеров удобно при-
применить формулу B2,7):
п „' 6 f-iA-V 6 ' 3 •
(V7J ~j ~
псоизвидная
знаменателя
2) y'^ —
производная
знаменателя
'здесь можно было также воспользоваться формулой
_2
B2,8), но данную функцию переписать в виде у = 4х~3, тогда
у' = DJtИ' = il?4 ^)' = т&3х2= и" (можно
производная
знаменателя
пить и иначе: данную функцию переписать в виде
5 з- ' ^ С —3\' № 4 '
; У 82/7 16/7'
Если дифференцируется дробь с постоянным знаменателем,
то применять формулу B2,6) для дифференцирования дроби не
следует, а поступить надо так: взять производную только от
числителя дроби, а знаменатель оставить без изменения:
и 1 , 1 , и'
у = т = у«; у'=-* = -.
6 3-430 161

Следует запомнить: производная от дроби с постоян-
постоянным знаменателем равна производной числителя, раз-
разделенной на тот же знаменатель.
Использование здесь формулы B2,6) привело бы к ненужному
и г и'с — с'и и'с — 0-и и'с и' . , п
усложнению: у = — ; у' = —3— = -2 = —* = — (с = О
потому, что производная постоянной величины равна нулю).
Если отыскивается производная от дроби с постоянным чис-
числителем, то также не следует применять формулу B2,6) для
дифференцирования дроби, а надо воспользоваться формулой B2,7)
для дифференцирования дроби с постоянным числителем;
Если здесь пользоваться формулой для дифференцирования дроби,
то получим
а . ( du — аи' 0 • п — аи' аи' а ,
*> и а иг и* и2 и2
Такой способ вычисления производной от дроби с постоянным
числителем следует считать нецелесообразным.
Задача 22,5 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
т
48/
Т
Задача 22, 6. Найти производную функции у = 5л?— Зх2+ х —1.
Решение. Заданная функция есть алгебраическая сумма
нескольких функций. Известно (формула B2,4), что производная
алгебраической сумме функций равна такой же алгебраической
сумме производных этих функций, а потому у' = Eл?)' — (Зл:2)'+
+ хг — A)'. Здесь мы дифференцирование выполним без проме-
промежуточных записей;
у* = 15*2 —6* + 1;
производная от х равна \:х' = \, а производная 1 равна нулю,
как производная постоянной величины.
Задача 22,7 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций: 1) у = а]/"х + xYa; 2)у—-^хг — у^4 +
+ |*5_2*«+-i*7; 3) 0в9*-!-;£—|;;
4) у =3x2Vx~— 4
V* - . Ir-
7хгУ х
162

Указание. Перейти к дробным показателям степеней.
Ответ. 1) у' =—^т= -{- ]/а(при дифференцировании второго
слагаемого учесть, что У а— постоянная величина, а х' = 1);
2) г/ •= л;2 A — 6х + 13х2 — 12л:3 + 4л:4);
3) y'~ *£ ^L
4) г/'=7хКх71/х+з7Г77Г ^
/л: Эх' /х
Задача 22, 8(для самостоятельного решения). Найти производ.
5„2 |5 _ g 5*2 —
ные функций 1) у = -г |-30]/л: + -j—. Указание. s—=5х5.
/^ /Г /?
2) г/ = 27*» -| ?" |Л?
Ответ. 1) у' =8К?+ ^ з^— > 2) ^ =(9х —
— 2 ]/Т)г.
Задача 22,9. Найти производную функции у = Eл:2 + 7х + 2K.
Решение. Здесь мы имеем дело со сложной функцией. Поло-
Положим и = 5х2 + 7х + 2. тогда у = ы3. Следует писать так: у — us\
и = 5л:2 + 7л: + 2.
Для того чтобы найти производную, воспользуемся формулой
B2,23) для дифференцирования сложной функции:
у» = 3uV = 3 Eл:2 + 7л: + 2J Eл:2 + 7х+ 2)' =
= 3 Eл:2 + 7л: + 2J • A0л: + 7).
Однако можно обойтись и без промежуточных записей, т. е.
без введения переменной и. Мы настоятельно рекомендуем
читателю после того, как он сделает несколько упражнений,
выполненных при помощи введения вспомогательной переменной,
от введения такой переменной отказаться и дифференцирование
выполнять сразу.
Формула B2,8) должна быть понята так: производная от сте-
степенной функции ип, где и есть функция х, равна пип~хи', т. е.
равна показателю степени, умноженному на ту же функцию ы,
но в степени на единицу меньшей, а полученное произведение
надо еще умножить на производную от основания степени и.
В нашем случае получаем: у' =3Eх2+7х+2)й-AОх+7)
производная производная
степенной основания
функции степени
6' 163

Выполним еще несколько аналогичных задач, но без столь
подробных пояснений.
Задача 22,10. Найти производную функции у — (бх3 -f 4х2 -f
+ 8L.
Решение. 1) у = и4, где и — бх3 -f 4л:2 + 8. По формуле
B2,23) у' = 4ы3ы' = 4 E*3 + 4л:2 -f 8K {\Ъхг + 8х) (производная от
8 равна 0). Проведем решение без введения промежуточной пере-
переменной: у' = 4 E*3 + 4л:2 + 8K A5Х2 + 8х)
производная производная
степени степени
основания
Задача 22,11 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у = Eл:2 + 7K; 2) у = A + 5л: — 8л:2M;
3) у = (а + Ьх)т; 4) «/ = (l + 2^J- Aj\
Найти производные, введя сначала промежуточную перемен-
переменную, а потом минуя ее введение.
Ответ. 1) (/'=3(kEx2 + 7J;
2) у1 = 5 A + 5л: — 8х2L E — 16л:);
3) г/' =Ьт(а + Ьх)т-*;
Задача 22,12. Найти производные функций:
2
2) y=V3x; 3) t/ = ,
(Зх2 — 5)»'
Решение. 1) Положив и = л:2 + 2, получим
поэтому на основании формулы B2,23)
у ~Wzu ~'ъу^+ъ х =
Можно было бы сразу воспользоваться формулой B2,9) для
дифференцирования квадратного корня из функции, не вводя
промежуточной переменной и.
Эту формулу следует понимать так: чтобы получить производ-
производную от квадратного корня из функции, надо единицу разделить
на два корня квадратных из той же функции и полученную дробь
умножить на производную от функции, стоящей под корнем.
Следовало поступить так: 1) у = Ух2 -f 2; у' = —-=^ • 2л;
производная произ-
от квадрат- водная
Ииго корня из от
функции функ-
функции,
стоящей
под кор-
ием
164

произвоеная квад- производная от
ратного корня функции, стоя-
нз функции щей под корнем
у= 2 ■- 2 -
производная дро- производная
би с постоянным знаменателя
числителем
,/ - _ 36
У ~ (Зх2—5)* *
Для упражнения выполним еще один совершенно аналогич-
аналогичный пример, но без введения переменной и.
Задача 22, 13. Найти производную функции у =
Решение. По формуле B2,7) у'= — -г—L—(]/"j?+Jc+7)
■ . производная
производная знаменателя
дроби дроби
производная производная производная
дроби знаменателя функции, стоящей
под корнем
Задача 22,14 (для самостоятельного решения). Найти проив-
водные функций: 1) у — УЗх2 + 5х + 1; 2) у — 3) у =
^ х -|- 5
10
Ответ. 1) /= —^=^±1=.; 2) / =
+ 5)
Задача 22, 15. Найти производные функций: 1) Q = ]/3^ —
4
„ , 40A2^-10^ +
' у (Ах3 — 5х2 + 1х —
2)S =
Решение. Перепишем пример в виде Q = C/ — 2/2K;
Q' = 1C^ — 2/2)~~C — 40- Окончательно Q' =-33~4t
производная производная осно- 3 \ C^ — £.t J
степени ваиия степени
2) Перепишем пример в виде S = Bt2—t3L ',
S' = |- B/2 — /»)" ~. D/
производная производная осно-
степени вания степени
165

_ c, Ы D — 30
Окончательно S =
4 У ЧР— t3
Задача 22,16 (для самостоятельного решения). Найти производ-
ные функций: 1) у = |Л + 2 J/& + Зг, 2) г/ = 1^C + * ~~
Ответ.
У( V^ 3 + 4/2*
Теперь решим несколько задач, в которых требуется найти
производную, произведения и частного функций. Нам придется
пользоваться формулами B2,5) и B2,6).
Задача 22,17. Найти производную функций у = х?Eх — 4N.
Решение. Здесь надо продифференцировать произведение
двух функций. Будем считать, что в формуле B2,5) и = х\ v =
= (бх — 4N. Каждую из этих функций мы уже умеем дифферен-
дифференцировать, а потому на основании указанной формулы у' = (х2)'х
Х(Бх 4)в+ х2[(Ьх 4)8]'. Теперь выполним дифференцирование:
у1 «=2jcEjc 4)8 +х2 • 6Eх — 4M • 5, а после упрощений получим
' 8E4)М51)
у = 8аEх4)М5х1).
Задача 22,18 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производную функции у = Eл;2 — 7л; + 2) A5л:2 + 5K.
От в е т. у = (Юх - 7) A Ьх2+ 5)s+ 90х A5х» + 5J (Ьх2- 7х + 2).
Задача 22,19. Найти производную функции
2*У2 З2
у = (Зх* + Ьах-2а*)Уа2 + Зх2.
Решение. По формуле B2,5) имеем при и = Зл;2+ 5ол; — 2а2;
v = \Г&+Ы?; у' = (Зх2 + Ьах - 2а2)' • Уа?+ Зх2 + (Зх2 + 5ал; —
- 2а1)
а) (УаЧЗх).
Выполняя дифференцирование, получим (/=Fлг
+ Зх2 + (Зг8 + 5ш: —2а2) ^у~== • 6ж; после упрощений
■ производная
производная подкоренного
корня выражения
, 5я» + ЗОях' + 27х"
* ^ ]/а2 + Зл:2
Задача 22, 20. Найти производную функции
у = (9а2 - 6abx + 5&V) / (а + &хJ.
Решение. Эту задачу мы решим без промежуточных запи-
записей (формула B2,5)): ^^^__
у' = (—6ab + Ю62х) У (а + bxf + (9аг — Gabx + №х2) X
производная пер-
всго сомножителя
произиодиая вто-
второго сомножителя
100

Теперь следует сделать упрощения, после которых должно
получиться
У = ~
а + Ьх
Задача 22,21 (для самостоятельного решения). Найти про-
производные функций:
Задача 22, 22 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у = /^ _ 2* + *2VE + 2jc)s; 2) (/ = C^ + 4) ^
; 3) / =
18
; 2) / =
Задача 22, 23. Найти производную функции у = ыга», где и,
v, w — функции х:и = и(х), v—v (x), w = w (x).
Решение. Запишем данную функцию в виде y = (uv)w и
применим к ней формулу B2,5):
у' — (uv)'w+ uvw', но (uv)' — u'v 4- uv',
а поэтому у' = (u'v-\- uv') w + uvw'; раскрывая скобки, будем
иметь окончательно
у' = u'vw + uv'w + uvw'. B2,24)
Можно указать, что вообще, если у = и1игщ ... и„, то
У' —Щи^пз ... Un
+ • • • +
Этот результат словесно выражается так: чтобы вычислить
производную произведения любого числа функций, надо продиф-
продифференцировать первую функцию и умножить полученную про-
производную на произведение всех остальных функций, затем найти
производную второй функции и умножить ее на произведение
всех остальных функций. Точно так же поступить со всеми
функциями-сомножителями и все полученные таким образом про-
произведения сложить.
167

Задача 22, 23а. Найти производную функции
у = Bа + ЗЬх) Bа — ЗЬхJ У 4а + 6Ьх.
Решение. На основании формулы B2,24), полученной в
предыдущей задаче,
у' = Bа + ЗЬх)' Bа — ЗЬхJ УШ+Wx +
+ Bа + ЗЬх) \Bа — ЗЬх)г\' У 4а -f 6bx +
+ Bа -f ЗЬх) Bа — ЗЬх}2 {У 4а + 6Ьх)\
Выполняя дифференцирование, получим
у' = 36 Bа — 36л:J V4a+6bx +Bа + ЗЬх) • 2 • Bа — ЗЬх) • (—36) X
1
X У4а+6Ьх + Bа + ЗЬх) Bа — ЗЬхJ ' • 6Ь
2 У 4а + 66х
и после упрощений окончательно
у* = 1Ь (ЗЬх — 2а) B\Ьх + 2) Vba + 6Ьх.
Задача 22,24 (для самостоятельного решения). Найти про-
производную функции
Ответ.
Задача 22,25 (для самостоятельного решения). Найти про-
производную функции
Ответ.
,
Задача 22, 26. Найти производную функции
Решение. Здесь следует применить формулу B2,6) для диф-
дифференцирования дроби. При решении этой задачи и следующей
будем делать подробные записи, а в дальнейшем от них откажемся.
Надо научиться дифференцировать бегло, без промежуточных за-
записей. Здесь и = аг — х2, v = аг + хг\
, __ (а2 — хг)' (а2 + хг) — (аг -f х2)' (ог — х*)
У ~ (а? + х>)*
168

Выполняя дифференцирование в числителе, получим, что
, — Чх (a'- -f- х') — 2х (а' — xz)
а после очевидных упрощений
я ~ (аа + *2J '
Задача 22, 27. Найти производную функции
5 + Зг + х*
Решение. Применяя формулу B2,6), имеем
' E + Зх+ х2)' E — Зл: + л2) — E — Зх + *")' E + Зл: + -
E Зх -г л2J
Выполняя дифференцирование, получим
, C + 2х) E — Зл: + л:2) — (— 3 + Чх) E + 3* + *а)
У ~ E —Зл + л2J
а после упрощений
» ~ E — Зх + *2J •
Задача 22,28 (для самостоятельного решения). Найти про-
производные функций:
т?-' 2) у =
Ответ.
Задача 22, 29. Найти производную функции
Решение. По формуле B2,6),- считая и = х,
получаем
у' =Z-L-L-
а выполняя дифференцирование имеем
у =
после упрощений получим, что
У ~ V A +

ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Дифференцирование тригонометрических функций.
Задача 23, !. Найти производные функций:
1) у — sin fee; 2) у = cos lx\ 3) y = tgpx; 4) y = ctgqx.
Решение. 1) По формуле B2,13), полагая и = kx, имеем:
у = sin и; u = kx\ у' = cos и ■ и'; y'—coskx- k; у' =kcoskx.
производная производная
синуса и=кх
2) По формуле B2,14), полагая
у = cosu; у — 1х; у' — — sinu-u'; у' = —sin/х- /; у' = — Isinx.
производная производная
косинуса и=1х
3) По формуле B2,15), полагая
у - tg и; и = рх; у' = с-^-м и'; у' =
производная производная
тангенса ц—рх
ил и у' = р sec2 рлг.
4) По формуле B2,16), полагая
y=cigu; и=дх; у' =- ^и'; у' = -щр^ У' = -ffife-
производная производная
котангенса й=вдг
ИЛИ (/' = —<7 Cosec2 <?*•
После нескольких упражнений студент сам откажется от вве-
введения промежуточной переменной и, подразумевая ее в тех мес-
местах, где она нужна.
Задача 23, 2 (для самостоятельного решения). Найти производ-
производные функций: 1) у = sm3x; 2) г/= sin 5л:; 3) у = sin 15л:; 4) у =
— cos \х; 5) у — — cos Зл;; 6) у = cos 9x.
Ответ. 1) t/'^3cos3;t; 2) #' = 5cos5;t; 3) у' = 15cos15jc
4) у' = — 4 sin 4л:; 5) г/' = 3 sin Зл:; 6) у' = — 9 sin 9л:.
Задача 23, 3. Найти производные функций:
1) у = sin 2л-2; 2) у = sin Ух; 3) г/ = tg Ц^ ; 4) г/ = cos]/r
Решение. 1) Мы прежде всего вычисляем производную си-
синуса, а так как синус берется от 2л:2, то вычисляем производ-
производную 2л:2. Производная данной функции равна произведению этих
производных. Пользуясь формулой B2,13), получаем
у' = cos 2л:2 • 4л:; у' = Ах cos 2л?.
произ- произ-
производная водная
синуса 2л:г
170

2) При решении этого примера мы также прежде псего должны
вычислить производную синуса, а так как синус вычисляется от
У~х, то надо взять производную от этого корня и полученные
производные перемножить. Формула B2,13) дает
г/= cos
2J/
*
производная
синуса произ-
производная
корня
р
3) Здесь прежде всего надо продифференцировать тангенс, но
так как он берется от дроби, то следует найти производную
дроби и эти производные перемножить. По формуле B2,15)
t .• . - i - г - \ - I ' X —
У —'
1 + х [ х / - 1 + *
COS'' —— Ч_^_/ COS2 ——-
Л произ- *
производная
тангенса
4) В этом примере следует сначала продифференцировать коси-
косинус. Так как косинус вычисляется от квадратного корня, то вслед за
этим надо продифференцировать корень. Но корень вычисляется от
дроби, а поэтому надо продифференцировать дробь н все три полу-
полученные производные перемножить. Здесь цепочка из трех звеньев:
у = cos ы; и = Vv, v = ytTx •
Производная
■У г
+ X производная
производная ^J—- дроби
косниуса производная
корня
Окончательно
У' =
■i-3 -sin]/^.
2 A + х) 2
Аналогичное упражнение выполните самостоятельно.
Задача 23,4 (для самостоятельного решения). Найти про-
производные функций:
1) ^sinlAJ-; 2) у =
—sin л:
3) у = ]/—i- ; 4) г/ = {-
' w r cos х 'я 1
171

Ответы даются в таком виде, который позволяет проверить
решение. Упрощение ответа сделайте сами.
Ответ.
1-х
2) у'= wW •cosx' 3) у> =
cosx
2 COS X
> У — ~ A + sin;tJ -
Задача 23,5. Найти производную функции # = 3sin2x.
Решение. Запишем пример так: г/= 3 (sinxJ.
Если и = sinx, то у = Зы2, и тогда
у' = быы' = 6 sinx cos x.
Теперь покажем как решить задачу, не вводя и. Прежде все-
всего продифференцируем степень, а так как в степень возводится
sinx, то продифференцируем и sinx. Найденные производные
перемножим, постоянный множитель 3 вынесем за знак произ-
производной:
#' = 3-2sinx cosx; у' = 6sinxcosx,
пронзвод- произ-
ная сте- водная
пени синуса
ИЛИ
у' = 3sin2x.
Задача 23,6. Найти производную функции г/= cos8 *.
Решение. Запишем пример в виде у = (cosxN и положим
у — ц6, а и = cosx', тогда у'= 6ы5ы' = 6(cosxM.(—sinx); у' =
=— 6 sinx cos5 х.
Теперь ту же задачу решим без введения и.
У нас дифференцируется шестая степень косинуса: сначала
продифференцируем степень, а так как в степень возводится
косинус, то надо найти производную и от косинуса, а затем эти
производные перемножить.
Итак,
y = cosex; #'=6cos5x» (—sinx);
производная производная
от шестой от cos x
степени ко-
косинуса
у — — 6 sinx cos5 x.
Теперь самостоятельно, но без введения и (и держать в уме)
решите несколько аналогичных примеров.
172

Задача 23,7 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у =r sin3 *; 2) у = tg3 *; 3) у = ctg4 *;
4) г/ = 5 cos5 *; 5) г/ = 7 tge *; 6) г/ = 8 sin2 *.
Ответ. 1) г/'= 3sin2*cos*; 2) у' = 3tg2*sec2*;
3) у' = — 4 ctg3 * cosec2 *; 4) у' =—25 cos4 x sin *;
5) г/' = 42 tg5 х sec2 x\ 6) г/' = 16 sin x cos * =
= 8 sin 2*.
Задача 23, 8. Найти производную функций:
2) y = l/sin2* + 3cos3~4*; 3) у =
Решение. 1) Вычисляем производную от квадратного корня,
а так как корень извлекается из sin*, то следует вычислить
производную от синуса и перемножить эти производные. После-
Последовательно получаем
у' =■—==• cos*.
ГО КОрИЯ
2) Здесь корень квадратный извлекается из суммы sin2* +
+ 3 cos3 Ax. Поэтому сначала вычисляем производную от квадрат-
квадратного корня, а потом умножаем ее на производную от подкорен-
подкоренного выражения:
у' = — 1 [Bsinхcosx) +3- 3cos24x- (— sin4*) • 4].
^ • производная от произвол- произвол- ПР°-
производиая v sin"* ная от сте' иая от ИЗ»°Д-
корня пени cos cos 4* ная от
3) Сначала возьмем производную дроби, затем вычислим про-
производную от знаменателя дроби и перемножим эти производные:
У = -п*Ъ -3cos2*, (-sin*) = ^j.
пТ^иХ производная зна-
водная меиателя дроби
дроби
Задача 23,9 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у = sin (px+g);
1 3 1
2) у = у sin 7* + -jt sin 5* + -у sin 3* — 5 sin *;
1 2
3) у = -g- sin 8* + -j sin 6* + sin 4* — 2 sin 2* — 5*;
13 8
4) f/ = -g- cos 9* + у cos 7* — jcos 3* — 6 cos*.
173

Задача 23,10. Найти у', если
у = х3 sin х + Зл;2 cos х — 6х sin х — 6 cos x.
Решение. Производную от первого, второго и третьего
слагаемых будем искать, как производную от произведения
у' = Зх2 sin х + х3 cos x + 6х cos x — 3.x:2sin;<: — 6 sin* — 6*cosa: +
производная первого производная второго производная третьего
слагаемого слагаемого слагаемого
производ-
производная чет-
четвертого
слагае-
слагаемого
после приведения подобных членов получаем г/'= л? cos я.
Задача 23,11 (для самостоятельного решения). Найти про-
производные функций:
1) х = tgл: + 4-tg3•«: 2) у =
3) y = tgX — ctgA: — 2x\ 4) y =
Указание. При дифференцировании первого сомножителя
во втором примере учесть решение третьего примера задачи 23, 8.
Ответ. l)y'=-L; 2) , = 8--3cos^
' а cos4 х ' а
cos5 х
3) у' = tg2 х + ctg2 x\ 4) у' = 5 sin2 x cos3 x.
Задача 23, 12 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у = -д- cos х ctg x — — cos 2x sin л: — у sin x — -j cosec л:;
2) г/ = -g-A: + ctgA: + -2-sin2A:+ ^ sin 4л:.
Ответ. 1) y'=^; 2)f/' = ^.
' " sin^A;' ; " sin2 д;
Задача 23,12. Найти производную функции
3 cosec х — 2 sin л: 16
У
174

Решение. Первое слагаемое — дробь, а потому при его
дифференцировании должна быть использована формула B2,6);
. 1 C cosec х — 2 sin x)' coss x — (cos6 х)' C cosec х — 2 sin х)
У ~ 5 cos1"* ~
_16/ 1 „\_
5 [ sin2 2х ) ~
_ (— 3 cosec x ctgx — 2 • cos x) cos5 x — (—5 cos1 x sin *) • C cosec x — 2 sin *)
~~ 5 coslu x
32 _1
5 sin2 2a; '
а после упрощений окончательно получим (если заменить
cosec х =
sin a;
что
1
* sin** • cos6**
ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержение: Дифференцирование обратных тригонометрических
функций.
Задача 24,1. Найти производные функций;
1) у = arcsin 2х; 2) у = arccos xm\
3) у = arctg l^je(л; > 0); 4) у = arcctg -j=- (л: > 0).
Решение. 1) Задачу перепишем в виде
у = arcsin и, и = 2х.
Тогда по формуле B2,19)
у' = —Л===BхУ; у'= —L=-2; у1 = r 2 .
про-
извод-
изводная
от
Можно было обойтись и без введения промежуточного аргумен-
аргумента. Присмотритесь к формуле B2,19). Производная от функции
у = arcsin я находится так: единица делится на квадратный
корень из единицы минус квадрат той функции, которая стоит
175

под знаком арксинуса, и эта дробь умножается на производную
этой функции. Поэтому сразу можно было бы писать:
производ-
производ- иая от
ная от функции,
арксинуса стоящей
под зна-
знаком арк-
арксинуса
Таким образом, мы функцию и не ввели, а держали ее и уме.
2) Здесь мы используем формулу B2,20), которая только зна-
знаком отличается от формулы B2,19) и проведем решение с введе-
введением и без введения промежуточного аргумента. Перепишем
задачу так:
у = arccos и; и = хт; у' — • (хт)' ~
Vl-X
,2т
их
(и — хт, а потому и2=х2т).
Теперь решим эту задачу, не вводя промежуточного аргумента.
тхт-1
произ-
производная от
функции,
стоящей
под знаком
арккосинуса
3) При решении этого примера будем пользоваться формулой
B2,21). Опять-таки сначала введем промежуточный аргумент и,
а потом проведем решение без этого осложнения.
Перепишем задачу так: г/^acrtgu; и — Ух\
у' = 14|ц2 • (Vx)'= —х • ^у^. (так как и = Ух, то и2 = х)-
Запомните, что производная функции у ■-= arctg и равна дроби,
у которой числитель равен 1, а знаменатель равен 1 плюс квад-
квадрат функции, стоящей под знаком арктангенса, и дробь умно-
умножается на производную этой функции:
у = arctg}/ x;
произ- производная
водная от функции,
от арк- стоящей под
тан- знаком арк-
геиса тангенса
176

4) Здесь следует воспользоваться формулой B2, 22). Поступим,
как и раньше: сначала введем промежуточную функцию и, а по-
потом проведем решение, не вводя ее.
Перепишем задачу:
у = arc ctg и, и = у=\
,,
произ- производ-
водиая иая зна-
Дроби меиателя
дроби
Так как и = —^, то и2 — —, а потому
и окончательно
* 2Vx(l+x)'
Мы получили такой же ответ, как и в предыдущей задаче.
Этот результат не является случайным, потому что при а>0
имеет место формула arctg а = arctg —, а в нашем случае
arctg j^c=arcctg^=.
Ух
В дальнейшем нам придется ссылаться на соотношения между
обратными тригонометрическими функциями.
Читателя, интересующегося относящимися сюда выводами,
отсылаем к книге: С. И. Новоселов. Обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
Задача 24, 2 (для самостоятельного решения). Найти производ-
производные функций:
1) у = arcsin 5л:; 2) у = arcsin j/jt (л: > 0); 3) у = arcsin mx;
4) у = arccos 6л:; 5) ;/ = arccos(l—л:2); 6) */ = arccos — .
С 1
Ответ. 1) у' =
F 1 — A — х)* хУ х2— 1
177

Задача 24, 3 (для самостоятельного решения). Найти производ-
производные функций:
1) у = arctg 5*; 2) у = arctg -j ; 3) у = arctg 3*2;
4) У = У arctg x; 5) у = arcctg mx\ 6) arcctg
Ответ. 1)г/'= ; 2) г/' = — 2;
1 1 m
4) у' = ту== • ттхг ; 5) у' = — г+
1
В двух следующих задачах даны упражнения в дифференци-
дифференцировании степеней обратных тригонометрических функций.
Задача 24, 4. Найти производные функций:
1) у = arcsin2 х; 2) у = arcsin3 3*; 3) у = arctg4 Ух.
Решение. 1) Этот пример решим сначала с помощью введе-
введения промежуточного аргумента и. Перепишем задачу так: у =
~ (arcsin л:J.
Пусть у ~ и2, и = arcsin л:,
Поэтому у' = 2ии' = 2 (arcsin x) (arcsin x)'\
Этот же пример решим без введения промежуточного аргу-
аргумента. У нас у = arcsin2 x.
Прежде всего следует продифференцировать степень, а так
как в степень возводится arcsinx, то вслед за этим надо про-
продифференцировать arcsin л: и производные перемножить:
у' = 2 arcsin х • -7==..
у {—х*
2) Мы настоятельно рекомендуем не вводить промежуточных
аргументов.
а) продифференцируем сначала степень;
в) так как в степень возводится arcsin Зл:, надо взять про-
производную от arcsin Зл;;
с) вычислим производную от Зх потому, что арксинус вы-
вычисляется от Зх. Полученные производные перемножим.
Записи расположатся так:
у' = 3 arcsin2 3* '
. • 3
V 1 - 9л:2 —-
производная • ' пР°"
от степени производная извод-
арксннуса от арксинуса иая Зх
178

3) Этот пример также решим без введения промежуточного
аргумента
у' = 4 arctg3 У х • ,_,2 • —7=
производная ' • ' „7^3^
степени производная БОдНая
арктангенса кория
Задача 24,5 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций:
1) у = arcsin3*2; 2) у = arctg2 -^ ; 3) у = arccos4 5x;
4) y^arctgl/x3; 5) г/= arctg
Ответ. l)y'=3arcsin2^^^; 2) у' = _-^arctg 1;
20 arccos3 Ьх . .. , _ 3 Ух .
d) у -~
5) У' = -
Задача 24, 6.* Продифференцировать:
1) у = arcsin]/l —г2; 2) г/ = tg (arcsinjc);
„. , cosx .. , а + b cos x
3) у = arctg г+-г-; 4) y =arctgft^;•
Решение. 1) При дифференцировании не будем вводить про-
промежуточных аргументов:
у' _ ' . ' . ( 2л;)*
ПрОИЗВОД-
производная от производная ная под-
арксииуса корня коренного
выражения
А так как Ух2 = | х | = f л:, если л: > 0;
\—л:, если х < я,
то получаем, что при л:>0 г/'= * g; г/'=—t
Л f 1 ~~~ л
^
В первом случае (х > 0) получилась производная, равная про-
производной от arccos л:, а во втором (*<0) производная получилась
* В этой и следующих задачах буквы а и 6 имеют такие значения, что
содержащие их функции вещественны. Неоднозначность знака не указывается.
179

такая же, как от арксинуса. Этот результат не случаен. Из три-
тригонометрии известно, что если 0 -^ * < 1, то
arc sinl/l —х2 = arc cos я,
а при значениях —1<л:<0
2) у' = sec2 (arc sin x)
arc sin 1^1 — х2 =к — arc cos x.
l
w V 1 — x*
производная таигеиса » '
производ-
производная арк-
арксинуса
, 1 — sin jc A + sin x) — cos x ■ cosx . , _ 1
У — cos2* (l-t-sin*f ' У ~~~2{
A -f- Sin-t) производная Дроби
производная арк-
арктангенса
' У ~
—b sin x(b -f a cos x)—(— a sin x)(a -f b cos x).
' b2 '
,'g -j- b cos x \2 (b 4- a cos xJ
. —b2 sin x + a2 sin a;
« = 77— ... 1 , 1 ■ гг и окончательно
" (b ■+■ a cos xy -\- (a + 6 cos A:)-1
(a2 —<
^ (a2 + ft2) + (a2 + b2) cos2 a; + 4o6 cos x '
Задача 24,7 (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать:
1) у = arc sin x + arc cos x; 2) у = arc tg л: + arc ctg x;
и объяснить простоту полученных результатов.
Ответ. 1) 0; 2) 0; 3) у' ==1±^.
Задача 24, 8. Показать, что каждая из функций
=rb\ 2) 0 = 2arct
„. . 2 V(a — x)(x~ bj
3) у = arc sin -*-*—^— —
имеет производную, равную —====-_.
H Д ' F * V(a-x)(x-b)
Решение. Дифференцирование проведем с подробными запи-
записями, но без введения промежуточных аргументов:
i/. /l/^^f 2l/£H
_ . .
производ-
производная иод-
производная коренного
производная арксинуса корня выражения
180

В этом примере мы прежде всего дифференцируем арксинус
(постоянный множитель 2 сразу вынесен за знак производной).
Арксинус берется от корня и, следовательно, нужно взять про-
производную корня. Корень извлекается из дроби, а потому следует
вычислить производную дроби (дробь, имеет постоянный знаме-
знаменатель а—Ь, а производная от дроби с постоянным знаменателем
равна производной числителя дроби, разделенной на тот же зна-
знаменатель). Производная заданной функции равна произведению
полученных выше производных.
После упрощений получаем:
1/
V
, £=* 2 l/ill*. а~Ь V{a-x){x-b)'
l~a—b V a — b
9) и' =2 !—- ' (a — x) + (x—b)
)/
— •*/ V a — X производная под-
*■ * ' коренного выраже-
производная от производная иия
арктангенса корня
Упрощения проведите самостоятельно и получите, что
1
У =
V(a-x)(x-b)'
3) у' =
1 BУ(а-х)(х-Ь)\
X [—1 • (х — Ь) + \-{а — х)\ =
= .
х
Ь)
Г (а —
х-тГ9г"и"и"м
(a-bf
а + Ь~ Чх
Но выражение под корнем в знаменателе первой дроби равно
(a -f- b — 2л:J, а потому получаем, что у' = -р=
V(a-x)(x-b) '
Задача 24,9 (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать функцию
Ответ.
COS X COS 3*

ДВАДЦАТЬ ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Дифференцирование показательной и логарифмической
функций. Логарифмическое дифференцирование.
При дифференцировании показательной и логарифмической
функций мы будем пользоваться формулами B2,10), B2,11) и
B2,12) из основной таблицы формул.
Задача 25,1. Найти производные функций:
1) у = а3- (а> 0); 2) у = Vх 3) у = 2Х\
4) у = 4sin! *; 5) у = е*4; 6) г/ = е/*г+*+г;
7) у = е^ш~х 8) у = ех(х3 — Зх2 + 6х — 6);
9) у = etg *; 10) у = еатс sinS x.
Решение. 1) По формуле A2,10), если у' —аи(а>0), то
у' = а"- и' • \па.
В нашем случае, полагая у == а", и = 3*, имеем г/' = a" In а- 3 =
= За3Мпя.
Здесь снова возникает вопрос о целесообразности введения
промежуточного аргумента и.
Можно обойтись без этого. Техника дифференцирования у
читателя уже выработалась, а потому все последующие примеры
должны решаться без введения вспомогательных переменных.
Пример первый должен решаться так: у' = а3х In а (Зх)';
у' = а3х In a .3.
производ- производ-
производная пока- пая пока-
показательной зателя
функции степени
2) Здесь также будем пользоваться формулой B2,10):
/ = 7^1n7.i-(-i)=_i-l7^in7.
производная .
показательной прОнзводная
функции показателя
степени
3) По формуле B2,10) имеем:
производ- произ-
ная пока- водная
зательной показа-
функции теля
степени
4) По формуле B2,10) имеем
у' =zAsln'x- 1п4- 2sinx- cos^ = 4sinl!jcsin2A:. In4.
производная произ- произ-
показательной водная водная
функции степени синуса
синуса
182

5) Из формулы B2,10) следует, что производная от функции
у = е** равна ей же самой, умноженной на производную пока-
показателя степени и. Получаем у' = ё*1 (х*)' = 4**
«s^ —' производная
производная подкоренного
корня выражения
7) Здесь также следует воспользоваться формулой B2,10):
cos*.
произ-
производная водная
корня сннУса
Применим формулу для дифференцирования произведения:
у' = (е*)' (х3 — Зх* +Ьх — 6) +ех {х3 — Зх2 + 6х~6)' =
= е* (х3 — Зх* + 6л: — 6) + е* (Зх2 — 6х + 6);
/ =e*(x3_3x2 + 6x —6 + Зл:2 —6х + 6).
Окончательно после приведения подобных членов в скобке
А
9) •= ;£
10) г/' = еагс *ia*x • 2 arc sin x
производная ^ v '
степени производная
арксинуса арксинуса
Задача 25,2 (для самостоятельного решения). Продифференци-
Продифференцировать функции:
\)у = а*п (а > 0); 2) у= (а*)п (а > 0);
3) y = e*rCtex. 4H = p|;
В} У = *~; 6) у = е~\
Ответ. 1) у' = ахЛ• In • а • /и"-1; 2) у' = папх • lna;
3)^/^^; 4)У = ;
5) ^ = —р-е*; 6) у = —ег*.
Задача 25, 3. Продифференцировать функции:
1) у = 1п(ах + Ь); 2) у = In6 х; 3) у = lnsinx;
4) i/ = lnarctgx; 5)y=*ln«; 6) у = ~;
7) у = in (* + КГ+Т2); 8) г/ = 1п(in*).
183

Решение. По формуле B2, 12), если у = \пи, то у' = ~и\
Чтобы получить производную от функции In и, где и — функция х,
надо единицу разделить на функцию и, стоящую под знаком
логарифма; полученную дробь следует умножить на производную
этой функции:
2) Здесь дифференцируется степень логарифма, а потому
у = о\п х ■ —, у —
производная "—.—■
степени ПРОИЗ"
водная
лога-
логарифма
3) у' = —.— • cos х — ctg х
' а sin х °
sin х
произ- произ-
производная водная
лога- синуса
рнфма
4) Аналогично решается пример 4 : у' = — —L_.
5) Здесь следует применить формулу для дифференцирования
произведения
и' = х' 1п х + х (In х) = In х -4- х- — = In х 4-1.
6) По формуле для дифференцирования дроби имеем
_ _^ 1 — In х
1 / О« \
7) у'-
производная от
функции, стоящей
под знаком логарифма
После упрощений получим, что у' — —== ;
У 1+х*
у'=
х\пх
пронз- производная
водная от функции,
лога- стоящей под
рифма знаком лога-
логарифма
Задача 25, За (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать функции:
1) у = In A5е* + х2); 2) у = 5in<**+*+D.
Ответ. 1) У'= ХЪеХ + 2*; 2)у' = 51»<*1+«+1) In5.
184

Задача 25, 4. Продифференцировать функции:
!) У = 1п Г=Ьг*;
Решение. Во всех этих примерах прежде чем вычислить про-
производную, целесообразно выполнить логарифмирование.
1) Перепишем пример в виде у = \пх — 1пA—х4), а теперь
и'-1 ' '1 **Y - ' I 4х3 ■
окончательно
4 ' + 3*4
у х(\ — х*)'
2) Перепишем пример в виде у = \пх — -^- In A +хг), и тогда
у ~ х 2 1+j2'^' У ~ хA + jc2) '
3) В преобразованном виде пример запишется так:
у = \п(\ + х) — \пA —х).
а поэтому
• -bbO + ^-nri*1-*)''
или
1,1 , 2
Задача 25,5 (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать функции:
*2-2 • 9\ „ _ 1„ /(^ + 4)'3 /(лс-3)" .
m- 2)y~ln—^Ti—'
3-х/7
fT77~7-
Указание. Прежде чем вычислять производную, целесо-
целесообразно выполнить логарифмирование.
Ответ. 1) У' = (Х2_2)C_Х2) J 2) г/'=
3) у 4I/--^-
^ » л: F + 7х + 2*г)' V У ~ 7х*— 3 -
Задача 25,6 (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать функции:
135

Указание. Под знаком логарифма в первом слагаемом вы-
выгодно освободиться от иррациональности в знаменателе. После
этого дробь сначала прологарифмировать и только потом при-
приступить к дифференцированию. Производная второго слагаемого
найдена в задаче 25,3 (пример 7).
2># = arctg^ + ln J/^.
x — a
Ответ.
Задача 25, 7 (для самостоятельного решения). Продифферен-
Продифференцировать функции:
3) У =
Указание. В каждом примере, прежде чем дифференциро-
дифференцировать первую дробь, надо ее прологарифмировать.
Ответ 1) /-т^»; У Уг =
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Если требуется продифференцировать произведение несколь-
нескольких функций или дробь, числитель и знаменатель которой со-
содержат произведения, часто представляется выгодным обе части
данного выражения сначала прологарифмировать, по основанию е,
а потом уже приступить к дифференцированию. Этот прием
получил название логарифмического дифференцирования. ПроиЗ'
водная от логарифма функции называется логарифмической про-
производной.
К этому приему удобно прибегать и при дифференцировании
выражений, содержащих корни из дробей. К нему прибегают
всегда, когда следует продифференцировать функцию вида
т. е. когда и основание степени, и показатель степени есть
функции х.
Способ логарифмического дифференцирования будет подробно
рассмотрен на ряде примеров.
186

Задача 25, 8. Найти производную функций:
1) у = (х + 5JBх-7K(х-2)(х + 3);
2) и =
±1
( + )( ) cx+d'
Решение. Во всех предложенных примерах целесообразно
сначала прологарифмировать по основанию е обе части равен-
равенства, а потом уже дифференцировать.
1) Если у = (х + 5JBх — 7K(х — 2)(х + 3), то )пу =
= 21п(х + 5) + 31пBх — 7) + ln(x — 2)+ ln(x + 3).
Будем считать функцию In г/ сложной функцией переменной
л; и найдем ее производную:
Производная функции lnt/ с учетом того, что у есть функция
х, равна — #', а потому, вычисляя производную левой и правой
частей равенства, получим
1 »' 2 I 3 , 2 I l I '
Умножая обе части этого равенства на у и учитывая, что
есть заданная функция, получим
tf = (x + 5)* Bх - 7)з С* _ 2) (х
r5 + JL-, + х4-2 + ^-з]-
2) Поступая так же, как в первом примере, получим
j\n(x2 + 7x — 8)+-^ ln(x4 — 1)— -i ln(x3 — 3x2+x — 4).
Считая функцию \пу сложной функцией переменной х и диф-
дифференцируя обе части равенства, получим
Умножая обе части этого равенства на i/ и зная, что t/ есть
ваданная функция, получаем окончательно выражение искомой
производной:
— 8 • yV — 1 М
6х + 1 \
+ х — 4~/
187

3) Здесь опять-таки целесообразно сначала прологарифмиро-
прологарифмировать по основанию е обе части равенства, а потом уже диф-
дифференцировать:
In у = 2 In (х + 5) + 3 In (х — 4) — 5 In (* + 2) — 2 In (x + 4).
Считая, как и в двух предыдущих примерах, \пу сложной
функцией переменной х и дифференцируя обе части равенства,
получим:
а после умножения обеих частей равенства на у, учитывая, что
у есть заданная функция, получаем окончательное выражение
производной
Ч 2 _3 5 2_\
[х + 5 + * — 4 * + 2 X — 4J'
» ~~ (x + 2M (x -f- 4)!
4) Прологарифмируем обе части равенства:
In г/ = у [Ш (ax + 6) — In (ex + d)].
Считая, что In у есть сложная функция переменной к и диф-
дифференцируя обе части равенства, получим:
1 ... 1
2Lajc+6" ex
Умножая обе части этого равенства на у = Л/ ax~f ., получим,
что искомая производная
„г 1/__2
У ~ 2 [ах+Ь
—
cx + d
и после очевидных упрощений окончательно
/ ad-bc
f - 2 (ojc + b) («с + d) +
Задача 25, 9 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функции:
2) y =
188

Задача 25, 10 (для самостоятельного (решения). Продифферен-
Продифференцировать функции:
Bх — ЗJ (Ах + 7J
с — 2M (х — 4O ' ^ E—2л:)C* —4)'
3) » =
7л: —4M/(х—IK
Теперь мы займемся дифференцированием функций вида
y=\f(x)]«'\
Читатель должен обратить внимание на тот факт, что для
дифференцирования этой функции непригодна формула ни B2,8),
ни B2,10), так как в первой из них основание степени и есть
функция х, а показатель степени — величина постоянная, во вто-
второй основание степени — постоянная величина, а показатель сте-
степени— функция х. В рассматриваемом случае и основание
степени f (х) и показатель степени ср (х) — величины переменные —
функции независимой переменной.
В общем виде задача дифференцирования этой функции ре-
решается так:
0 = 1/(*)]«*>.
Прологарифмируем по основанию е обе части равенства и
получим
Теперь, считая In у сложной функцией переменной х, найдем
производную обеих частей последнего равенства, дифференцируя
правую часть, как произведение
jy' = f'(x)lnf(x) +<?(х)-±Г) Г
Умножая теперь обе части этого равенства на у и учитывая,
что у = [/ (x)]f(x), получаем окончательно
У' - [/ (*)]'<*> {?' (х) In / (х) + ср (х) Щ }.
Запоминать эту формулу не следует, а вместо этого надо хорошо
усвоить метод вычисления производной от функций рассматри-
рассматриваемого вида.
Задача 25,11. Найти производную функции у — Xх (х > 0).
Решение. Беря натуральные логарифмы от обеих частей
равенства, получим \пу = х\пх и дифференцируем теперь обе
части равенства, считая In у сложной функцией х:
— у' — \пх-\—х: — и' — \пх-{-1.
189

Умножая теперь обе части равенства на у, который по усло-
условию равен Xх, получаем окончательно у' = ххAпх + 1)-
Замечание. В условии задачи указано, что х>0 потому,
что х в последующем оказывается под знаком логарифма, а ло-
логарифмы можно вычислять только от положительных чисел.
Задача 25, 12. Определить производную функции
Решение. Беря натуральные логарифмы обеих частей ра-
равенства, получаем
1пу = cosx • Insinx
(так как sinx стоит под знаком логарифма, то является сущест-
существенной оговорка в условии задачи, что х берется из интервала
@; к), так как для значений х из этого интервала sin;e>0 и
In sin л: имеет смысл). Теперь продифференцируем обе части по-
последнего равенства, считая, что In у — сложная функция пере-
переменной х:
— у' = — sinx • In sin л: + cos* • —— • cos*.
у y ' sin*
Умножая обе части этого равенства на у, который по условию
задачи равен (sin x)cos x, получаем окончательно, что
у' = (sinx)c03*[ — sin*
ДВАДЦАТЬ ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Гиперболические функции. Дифференцирование гипербо-
гиперболических функций. Дифференцирование неявных функций.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Предыдущие практические занятия убедили читателя в широ-
широком применении при решении разобранных задач показательной
функции е*. Но кроме самой этой функции как в математике,
так и в прикладных науках применяются различные комбинации
ее с функцией е~х.
По определению вводятся такие часто встречающиеся комби-
комбинации функций е* и егх:
е* е—х
т.— называется гиперболическим синусом х и обозначается
символом sh*;
sh x = е* ~е~Х (- ю < х < + со); B6,1)
190

Jt. I g—X
—±r называется гиперболическим косинусом х и обозна-
обозначается символом chx
chx = e"+2e~X (-°o<x< + co); B6,2)
~е— называется гиперболическим тангенсом л; и обозна-
е* +е~х
чается символол thx
thx = -Jr£S(-M<Jf< + °°)' B6.3)
е* А-ё~х
——— называется гиперболическим котангенсом х и обоз-
е* — е~*
начается символом cthx
5 C() @<* + °°). B6,4)
Производные гиперболических функций вычисляются по фор-
формулам (и = и (х)):
y = shu; y' = chu-u'; B6,5)
у = ch и; у' = sh и • и'; B6, 6)
^u'; B6,7)
^и\ B6,8)
Эти формулы следует запомнить.
Задача 26,1 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функции shx, thx и cthx — нечетные, а функция chx — четная.
Указание. В формулах B6,1)—B6,2) заменить хна —'*
и убедиться, что sh (— х) = — sh x; th (— х) — — th x; cth (— х) =
= — cthx, a ch(— x)=chx;
Задача 26, 2. Вычислить производные функций: 1) у = sh2 *;
2) # = th3 x2; 3) г/ = In sh x; 4) у = cos (ch x).
Решение. 1) Используя правило дифференцирования слож-
сложной функции и формулу B6,5), получаем, что у' = 2shxchx =
= sh 2x (проверьте, что из определения гиперболических функций
действительно следует, что 2shxchx = sh2x);
2) y'=
произ-
производная
производ- xz
стёпеии "ая гипер-
гиперболического
3) у' = -^ ch х = cth x; 4) у' = — sin (ch x) • sh л:
пронзвод- произ-
ная коси- водная
нуса гипербо-
гиперболического
косинуса
191

Задача 26,3 (для самостоятельного решения). Вычислить про-
производные функций: 1) y — ch3x; 2) у — sh х + -j sh2 х; 3) у =
= ch(sinx); 4) i/ = sin(chx); 5) y=\nchx; 6) t/ = In thx; 7) t/ =
= cosx- chx + sinx- shx; 8) г/ = thx— -j th3x; 9) у = ^-*~^*.
Ответ. 1) t/' = 3 ch2x sh x; 2) t/'= ch3x; 3) y' = sh (sin x) • cosx;
4) y' = cos (ch x) ■ sh x; 5) t/' =-- th x; 6) г/' =^; 7) t/" = 2sh xcosx;
o\ r ii л. 2sh *sin x
8) y'=sch^;9) y= {sb
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Если независимая переменная л; и функция у связаны уравне-
уравнением вида f (х, у) ■--■ 0, которое не разрешено относительно у, то
у называется неявной функцией х.
Несмотря на то, что уравнение / (х, у) = 0 не разрешено отно-
относительно у, оказывается возможным найти производную от у по х.
В примерах, которые рассматриваются ниже, указан прием
для нахождения производной в случае, когда функция задана
неявно. Прием этот состоит в том, что обе части уравнения
/(•*> У) = 0 дифференцируются по х с учетом, что у есть функция
х, и из полученного уравнения определяется у'.
Задача 26, 4. Найти производную от неявной функции 5л; + Зу—
— 7 = 0.
Решение. Дифференцируя по х обе части ревенства и учи-
учитывая, что: 1) у есть функция х и что 2) производная правой
части равенства равна нулю, получаем 5 + 3#'=0; Зу'= — 5;
»•— 4-
Задача 26, 5. Найдем производную у' неявных функций:
1) х2 + у2 — 25 - 0; 2) х3 + у3 — Заху = 0.
Решение. 1) При дифференцировании у2 по х получается
f 2
Здесь сначала продифференцирована степень у, а потом диф-
дифференцируется по х основание степени у (производная от у по х
есть у'). Обе эти производные на основании правила дифферен-
дифференцирования сложной функции перемножаются.
Дифференцируя обе части равенства, получаем 2х + 2уу' = 0.
Сокращая на 2 и перенося х в правую часть равенства, имеем
уу' =—х; разрешая это уравнение относительно у', находим,
что у' — — — .
2) При дифференцировании последнего слагаемого второго
примера надо применить формулу для дифференцирования произ-
192

ведения и тогда (Заху)'х — За (у + ху'). Поэтому получаем Зх2
Сокращаем на 3, раскрываем скобки, переносим члены, не
содержащие у', в правую часть равенства и получаем (у2 — ах) у'' —
о i оу — х2
— ау — х1, а отсюда у = 2_ .
Задача 26,6 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производную у' неявных функций:
2) х3 + у3 — a = 0.
Ответ. 1)у'=_^; 2) у' = -f
Задача 26,7. Найти производную неявных функций:
!) У" -£=7 = 0; 2) х" ~ "i^J = °-
Решение. 1) Считая, что у есть функция х, производную
по х от уп находим так:
(у"У = m/"-y.
Дифференцируя обе части уравнения, получаем:
nyW _ 1 = о.
Умножим теперь обе части последнего равенства на (х—уJ
раскроем скобки в числителе дроби и получим
пуп~]у' (х — уJ — х — ху' + у->г уу' +х — ху' + у — уу'=0.
У членов, содержащих у', вынесем за скобку у', а остальные
члены перенесем в правую часть равенства:
у' [пу"-1 (х-уJ — 2х] = —2у;
отсюда уже получаем, что и = -. .
Покажем теперь, как использовать условие задачи для того,
чтобы упростить это выражение.
У нас в знаменателе дроби есть уп~], а потому, если умно-
умножить числитель и знаменатель дроби на у, то в знаменателе
окажется уп, который можно на основании условия задачи заме-
заменить на х + у ; выполним эти преобразования: у' — ;
х ~~ У пуп{х—у)*—2ху
подставим теперь *_ вместо уп.
После этого окажется, что
' =VЧу*
пх-±1-(х-уУ- Чху ' «(**- У') ~ >2хУ'
7 3-430 193

2) Указание. В полученном выражении для у' на осно-
основании условия задачи заменить х" на \—%■
4 Х ^
Ответ, у' = т~з .
Задача 26,8 (для самостоятельного решения). Найти производ-
производные неявных функций: 1) уь — Баху + х5 = 0; 2) а* ех~у = 0.
После того как производная у' будет определена, надо учесть,
что из условия задачи следует равенство а* — ex~v-
Ответ. 1) у' = °4_дХ '> 2) у' = 1 — 1п а.
Задача 26,9. Найти производную неявной функции е« = х*+у.
Решение. В правой части равенства переменными являются
и основание степени х, и показатель степени х + У, а потому
здесь следует сначала прологарифмировать обе части равенства,
а потом уже дифференцировать.
После логарифмирования с учетом того, что \пе = 1, получаем
у = (х + у) 1п х. Отсюда у' = A + у') 1п х + (х + у) \ . Раскрывая
скобки, имеем:
У—1
у'A — \пх) = \пх + (х+у). -,
у
([— \пх) '
и окончательно:
..,_. х(\пх+\)+у
У ~ x(l—\ax) "
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Параметрическое представление функции. Дифференци-
Дифференцирование функций, заданных параметрически.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
В геометрии и механике часто употребляется так называе-
называемый параметрический способ задания уравнения кривой. Кривую
линию можно рассматривать как геометрическое место последо-
последовательных положений движущейся точки, а координаты х и у
этой точки выразить в виде непрерывных функций вспомогатель-
вспомогательной переменной t, которая называется параметром. Плоская
кривая в этом случае определяется двумя уравнениями:
* = <Р('}1 B7,1)
194

причем параметр t должен изменяться в таком промежутке,
чтобы, при изменении его в этом промежутке точка с координа-
координатами (х, у) описывала всю кривую или ее рассматриваемую часть.
Предполагается, что каждому значению ( соответствует
только по одному значению х и у.
Задание кривой уравнениями B7, 1) называется парамет-
параметрическим.
Если из уравнений B7,1) можно исключить параметр t, то
у определится как явная или неявная функция х. Однако чита
тель должен знать, что исключение параметра t из уравнений
B7,1) является в большом числе случаев задачей трудной, а иногда
и просто неразрешимой.
Задачи B7,1) — B7,9) отводятся для упражнений в исключе-
исключении параметра.
В механике уравнения B7,1) называются уравнениями дви-
движения точки. Если из этих уравнений исключить t, то полу-
получится уравнение траектории точки.
Задача 27,1. Исключить параметр t из уравнений
х= 8^ — 7
у = 16/2 + 4
и определить линию, определяемую полученным уравнением.
Решение. Из первого уравнения определим /2 в зависи-
зависимости от х:
8 *
Подставим это значение t2 во второе уравнение, и тогда у —
= 16- ^i—1-4; # = 2x+18. Линия, определяемая этим уравне-
уравнением, — прямая. Значит, заданные уравнения определяют прямую.
Задача 27, 2. Какую линию определяют уравнения
x = 2t — 4/2|
Решение. Если второе уравнение умножить на 2 и вы-
вычесть его почленно из первого, то получим х — 2у — 0. Это урав-
уравнение определяет прямую, а потому и заданные уравнения есть
параметрические уравнения этой прямой.
Задача 27,3 (для самостоятельного решения). Линия задана
параметрическими уравнениями
Определить вид линии.
Ответ. Прямая линия За: — 5у — 0.
195

Задача 27, 4. Даны уравнения движения точки:
х = Ы*
Определить траекторию точки.
Решение. Исключим из уравнений параметр L Найдем из
второго уравнения t и подставим найденное значение в первое
уравнение:
*=_; х = 5- §-; У2=^х;
траектория — парабола. Заданные уравнения — параметрические
уравнения параболы.
Задача 27,5. Какую линию определяют уравнения
x = rcost) «
I @ < t < тс)?
г/ = rsm/ J
Решение. Для исключения параметра / возведем обе части
каждого уравнения в квадрат и сложим почленно полученные
уравнения:
х2 = л2 cos2 /,
+ ,y2 = r!sin4
х* + #2 = г2 (cos2 * + sin2 0; х2 + г/2 = г2; г/ = УУ — х2. B7, 2)
Перед корнем выбран знак плюс потому, что когда / изме-
изменяется на отрезке [0, тс], то y=rs\nt не принимает отрицатель-
отрицательных значений. Кривая — полуокружность с центром в начале
координат, расположенная в верхней полуплоскости.
Если бы параметр t изменился на отрезке [тс, 2~], то в B7,2)
следовало бы у корня взять знак минус у — —V^r2—х2, так как
в этом случае у = г sin/ положительных значений не принимает.
Уравнение у = — У г2 — х2 определяет полуокружность с цент-
центром в начале координат, расположенную в нижней полуплоскости.
Если же считать, что параметр / изменяется на отрезке [0, 2%],
то уравнения
х = г cos t\
у = rs'int]
определяют две функции: у — \^гг — х2; и у--= - У г2 — х2.
Графики этих двух функций в совокупности образуют целую
окружность.
196

Задача 27,6. Кривая задана параметрическими уравнениями:
х = a cos t)
, . , @
Исключить параметр / из этих уравнений.
Решение. Обе части первого уравнения разделим на a. a
второго на Ь:
х .
- = cost
Обе части каждого из этих уравнений возведем в квадрат и по-
почленно сложим:
i-2 v2
—4- — — 1
кривая — эллипс. Итак, заданные уравнения — уравнения эллипса
в параметрической форме. Когда параметр / изменяется на от-
отрезке [0, 2тс], точка на эллипсе описывает всю кривую.
Задача 27,7 (для самостоятельного решения). Исключить пара-
параметр t из уравнений и определить вид кривой:
у — 3 cos ^rt
3) x=3cos/2l 4) ^ =
Ответ. 1) Кривая — эллипс, определяемый уравнением х2 +
+ \уг — 36 = 0. 2) Кривая —окружность х2 + У2 = 16- 3) Кривая —
окружность х2 + у2 — 9. 4) Кривая — окружность х2 + (У —4J= 9.
Задача 27,8. Исключить параметр t из уравнений:
Решение. В первом уравнении из правой части в левую
перенесем 2, а во втором — 3. Тогда
х —2 = ЗсоэП
f/ + 3= 4 sin/ I
197

Обе части первого уравнения разделим на 3, а второго — на
4, после этого обе части каждого уравнения возведем в квадрат
и сложим их почленно:
9 * 16 "~ 1#
Кривая эллипс, центр которого находится в точке B, —3).
Задача 27,9. Исключить параметр t из уравнений
х = a cos3Л
у = a sin3/)
Решение. Обе части каждого уравнения возведем в степень
т и почленно их сложим:
с3 = a3 cos21
9 L
/ =a3sin2/
x3 +y3 =a3
Кривая — астроида.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Производная функции
заданной параметрически, вычисляется по формуле
Ух - %. B7. 3)
xt
Ниже предлагаются задачи, в которых требуется найти про-
производную от функций, заданных параметрически, минуя опреде-
определение у как функции х.
Эти задачи не должны вызвать у читателя затруднений, так
как предполагается, что техника дифференцирования у него вы-
выработана хорошо на большом количестве примеров, решенных
на предыдущих практических занятиях.
Поэтому подробно мы рассмотрим решение только двух задач,
а остальные должны быть решены самостоятельно. Формула B7,3)
используется при решении задач B7, 9) — B7, 13).
I9S

Задача 27, 9 а. Найти производную у\ от функций, заданных
параметрически:
asint л 2) x=arcsin-«=L=
х> х 1 + bcosH ' Vi + t2
„ — CCCBt у — arc cos -
Решение. 1) Находим х\ и у\ и полученные значения под-
подставляем в формулу B7, 3):
cos t (I + Ь cos /)— (—Ь sin Q sin / . . a (cos < + fc)
*< = a A + b cos 02 ' ' A + Ь cos 02"
— sin / A + b cos t) — (—b sin t) cos <. . —sin/
У< —c (T+Tcoslp ' y< (l
Теперь по формуле B7,3) имеем:
sin t
a (b -j- cos t)'
i
'"
Г+Т2
находим далее, что и ^ = . 2, потому г/^ = 1.
Замечание. Из тригонометрии известно, что
t 2
arc tg / = arc sin , = arc cos r
и, таким образом, у нас в задаче
х = arc tg / ]
у = arc tg / J
т. е. у = х, а потому и у'х= 1.
Если бы это сразу было замечено, то не было бы необходи-
необходимости находить x't и у'и
Задача 27,10. Найти производную у'х от функции, заданной
параметрически,
x = 2cos/ — cos2n
y=-2sint — sin2/j
в точке, где / = ^-.
о
Решение.
о/ у
a:J = —2 sin/ -J- 2 sin2/ = 4 cos-^ sinp
Of f
y't = 2 cos t — 2 cos 2t = 4 sin g- sin g-,
199

а потому
,, 4sin-о-sins-
xt 4cosySin_ " ' t-\
Задача 27, 11 (для самостоятельного решения). Найти при
= £ производные функций, заданных параметрически:
у = at у у = sin2 / )•
3) х = cos t -\-1 sin f\ л\ v 2 l/9/з
Ответ. 1) у\ = -\\ 2) ^ = j; 2) у; = 0,414; 4) £=0,833.
Задача 27,12 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций, заданных параметрически:
\)x=acosf\ 2) х = a (/ — sin/))
y=bs\nt}' у = а(\ —cost))'
3 \ i^l
Ответ.
Задача 27,13 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производные функций, заданных параметрически:
cos31 \ о _ о За — It
\ 2)xacs3t\ 3) х =
-т=^\ 2)x—acost\
V cos2t I u_ Оо;пз/ N
у /
Ответ. 1) .„>-tg3ft 2) ^--tg/; 3) £=
ДВАДЦАТЬ ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Дифференциал функции.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
/) Если дана дифференцируемая функция у = f (х), то ее при-
приращение
Ду = /'(х)Дд;+аДх, B8,1)
где, а -*- 0, когда Дх ->■ 0.
200

2. При Ах -> 0 величина аДх есть бесконечно малая высшего
порядка, чем Ах.
3) Из формулы B8,1) следует, что приращение функции,
которая имеет производную в точке х, не равную нулю, может
быть представлено в виде суммы двух слагаемых. В первое слага-
слагаемое /' (х) • \х приращение Ах независимой переменной входит в
первой степени, т. е. оно, как говорят, линейно относительно Ах.
Это слагаемое является главной частью приращения функции и
называется дифференциалом функции.
Определение. Дифференциалом функции у~Нх) называется
произведение производной этой функции на приращение независи
мой переменной. Дифференциал функции обозначается символом
dy, и, таким образом, дифференциал функции
dy = /' (х) Ах. B8, 2)
Определение. Дифференциалом независимой переменной на-
называется ее приращение: dx = Ах, и поэтому можно сказать, что
дифференциалом функции называется произведение ее
производной на дифференциал независимой переменной:
dy = У (х) dx, B8, 3)
а формула B8, 1) может быть переписана в виде
by = dy + <iAx. B8,4)
4) Второе слагаемое аДх в B8,1) при Дх -> 0 есть величина
бесконечно малая высшего порядка малости чем Ах. Из этого
следует, что разность Ay — dy между приращением функции и
ее дифференциалом, равная аДх, есть величина бесконечно малая
высшего порядка, по сравнению с Ах.
5) Для вычисления дифференциала функции необходимо задать
начальное значение независимой переменной х и ее приращение Ах.
6) Если Ах мало, a f (x) ф 0, то величина аДх, входящая в при-
приращение функции, значительно меньше, чем дифференциал функ-
функции dy, причем тем меньше, чем меньше Ах.
Поэтому вычисление Ау приращения функции может быть
с хорошим приближением заменено вычислением дифференциала
функции dy, а вычислить дифференциал функции зна-
значительно проще, так как для этого требуется толь-
только найти производную этой функции и умножить ее
на приращение независимой переменной:
Ayxzdy. B8,5)
7) Из формулы B8, 5), учитывая, что
B8,6)
201

следует, что f (х + Ах) — f (х) — f (x) Ах, а отсюда заключаем,
что наращенное значение функции
f(x + Ax)^f(x)+f'(x)Ax. B8,7)
Эта формула позволяет по известному значению функции и ее
производной в точке х найти приближенное значение функции
в точке х -f Ах, близкой к х, и тем самым дает возможность
использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.
8) Таблица для вычисления дифференциалов основных элемен-
элементарных функций получается из таблицы для вычисления произ-
производных этих функций путем умножения соответствующей произ-
производной на дифференциал независимой переменной dx.
9) Правила дифференцирования:
d (си) = cdu, B8, 8)
d {и + v) = du ± dv, B8, 9)
d (uv) =-. udv + vdu, B8, 10)
Задача 28, 1. Определить приращение и дифференциал функ-
функции у = х3 при переходе х от значения х = 2 к значению хг = 2,01.
Решение. Решим задачу сначала в общем виде, т. е. опре-
определим приращение заданной функции при произвольных значе-
значениях х и Ах, а потом уже при заданных.
У нас у — х3, а потому, так как у' = Зх2, то
dy = y'dx = ЗхЧх; Ay = (х + АхK —х3^
= х1 + Зл:3Ах + 3* (АхJ + (Axf — х3;
Ау = Зх2Ах + Зх (АхJ + (Ax)s.
dy аАл:
Таким образом, дифференциал функции и ее приращение най-
найдены при произвольных значениях х и Ах.
Подчеркнутое слагаемое ЗхгАх, линейное относительно Ах, и
есть dy — дифференциал функции.
Теперь определим Ау и dy при заданных числовых значениях.
Начальное значение х — 2. Приращение аргумента
Ах = хх — х = 2,01 — 2 = 0,01,
а потому приращение функции
Ау = 3 • 22 • 0,01 + 3 • 2 @, 01J + @.01K; B8, 12)
dy = 0,12 + 0,0006 + 0,000 001 = 0,120601.
dy ых
202

Дифференциал же функции — первое слагаемое в равенстве
B8, 12), dy^3- 23- 0,12.
Теперь определим погрешность, которую мы допустим, если
п риращение функции заменим дифференциалом функции dy. Эта
погрешность равна Дг/— dy = Зх (ДхJ + (Дх)8, и мы усматриваем,
что она при Дх-э-0 есть величина бесконечно малая более высо-
высокого порядка, чем Дх.
При числовых данных задачи абсолютная величина погреш-
погрешности от замены приращения функции ее дифференциалом
|Ax — dy|= 10,120 601—0,121 = 0,000601.
Относительная погрешность
в процентах это составляет всего около j %• Подчеркнем еще
раз, что определение дифференциала функции вместо
ее приращения дает значительную экономию в вычис-
вычислениях, а допускаемая пр этом погрешность будет
тем меньше, чем меньше приращение аргумента.
Мы очень подробно разобрали эту задачу и теперь предло-
предложим ряд аналогичных задач для самостоятельного решения.
Задача 28, 2 (для самостоятельного решения). Дано у — Зх* +
+ 5х — 4. Определить Ьу и dy при произвольных значениях х
и Дх, а потом при переходе х 1) от значения х — 2 к значению
х3 = 1,98; 2) от значения х = 4 к значению ^ = 4,03.
Ответ. Д# = Fл: + 5) Дл: + 3 (Дл:J, dy = Fл: + 5) dx\ при чис-
числовых данных: 1) Д#= —0,3388; dy=— 0,34; 2) Д# = 0,8727;
dy — 0,87. Относительная погрешность в процентах: 1H,3; 2H,3.
Задача 28,3 (для самостоятельного решения). Вычислить при-
приращение и дифференциал функции у — 2х3 — хг + 3 сначала при
произвольных значениях х и Ах, а затем:
1) при переходе х от значения х=3 к значению лгх = 3,01 и
2) при переходе х от значения х = 3 к значению Xj = 3,001.
Найти в этих двух случаях абсолютную и относительную погреш-
погрешности.
Ответ. Ьу = Fл:2 — 2х) Дл: + Fх — 1) (ДхJ + 2 (Дл:K;
dy = Fл:2 — 2х) dx
при числовых данных: 1) Дг/ = 0,481702; di/=0,48; 2) Д# =
-0,048017 002; d#=- 0,048; абсолютная погрешность: 1H,001702;
2) 0,000 017 002; относительная погрешность в процентах; 1H,35;
2) 0,03.
Задача 28, 4. Показать, что при Д* -+ 0 с точностью до бес-
бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное ра-
равенство
И + Дл-)" =к 1 + пЬх.
203

Решение. Рассмотрим функцию f (х) — хп. Тогда Д# = (х-\-
+ Дл:)" — хп; dy— пхп~1Ьх, а так как на основании B8,5) с точ-
точностью до бесконечно малой высшего порядка имеет место при-
приближенное равенство kyz^dy, то
(х + Ьх)п — хп^пхп-1Ьх< а (х+ Дх)п^хп+пхп~'Дх.
Полагая здесь л: = 1, получаем, что для достаточно малых Дл:
имеет место приближенное равенство
A + Ьх)п % 1 + пЬх. B8, 13)
Числовые примеры для приближенных вычислений по фор-
формуле B8, 13):
1) A,03M^1 +5- 0,03 = 1,15 (Дл: = 0,03; л = 5);
2) 1/U005—1 + i- - 0,005 = 1,0025 (здесь я=^, а Дл: =
= 0,005);
3 3 .
3) 1/0,988= 1/1 — 0,012 = 1+^ (—0,012) = 1—0,004=0,996.
(n=L; Ах= _ 0,012)
4) /267 = /256 + 11 = |/~256 A + Щ =
Задача 28, 5 (для самостоятельного решения). Пользуясь фор-
формулой B8, 13), вычислить:
1 1 1
^ П0005' ) 61Ш8 ' 3) A,003K '
4^ 5 . с\ _37_. w 15,23
' 0,9997 ' ' 1,04' b' 0T999"'
Указание. 4) 5^997^ 5 •} _р0003 = 5A —0,0003)-'; теперь
надо взять в B8, 13) п = —1; Дл: = 0,0003.
Ответ. 1) 0,9995; 2) 1,0012; 3) 0,991; 4) 5,0015; 5) 36,852;
6) 15,246.
Задача 28,6 (для самостоятельного решения). Пользуясь фор-
формулой B8, 13), вычислить:
1) УЩ2: 2) -4=,; 3) Т^Г; 4) /б^вЖ
Ответ. 1) 2,003; 2) 0,498; 3) 4,997; 4) 0,995.
204

Задача 28, 7. При нагревании объем твердого тела растет про-
пропорционально кубу его линейного расширения. Если а — коэффи-
коэффициент линейного расширения, р — коэффициент объемного расши-
расширения, а / — температура, то имеет место формула 1+C/ =
= (l+atK.
Пользуясь формулой B8, 13), доказать, что имеет место при-
приближенное равенство р^За.
Решение. При малых аA + atK^z 1 4-За/ и значит, 1 +
4-р/~ 1 + За/; р/^За/; р = За, т. е. коэффициент объемного
расширения твердого тела приближенно равен утроенному коэф-
коэффициенту его линейного расширения.
Задача 28, 8. Высота ртутного столба в барометре при темпе-
температуре f приводится к 0° по формуле р0 — р ~^~_а , где а —
коэффициент расширения ртути, а а' — коэффициент расширения
латунной шкалы. Упростить эту формулу так, чтобы она не со-
содержала дробей.
Решение. По формуле B8, 13) j-^ = A + ai)~l zx 1—at,
а потому p0 = p A + a't) A — at) = p A + a't — at — aa'/). Так как
a и a' — малы, то последним произведением в скобке можно
пренебречь; окончательно получаем упрощенную формулу
Задача 28, 9 (для самостоятельного решения). Ускорение силы
тяжести £л на высоте h над уровнем моря определяется по фор-
формуле
gh~8(R + hf '
где g — ускорение силы тяжести на уровне моря, а R — радиус
земли. Считая, что h мало по сравнению с R, доказать, что имеет
место приближенная формула
}
Указание. R + h = r(] +^\
Задача 28,10. Доказать, что еслиДл; — бесконечно малая ве-
величина, то с точностью до бесконечно малой высшего порядка
имеет место приближенное равенство sin b.x^zb.x(b.x—выражается
в радианах).
Решение. Рассмотрим функцию у = sin x. Приращение этой
функции Д# = sin (х 4- Дл:) — sin x, а ее дифференциал dy=cos лгДл:.
На основании формулы B8,5) с точностью до бесконечно малой
высшего порядка имеет место приближенное равенство ky^dy,
205

а потому sin (x + Д*) — sin x ^ cos x • Ax, ил и sin (x -j- Ax) ^ sin x -f
+ cosx- Ax. Полагая здесь x = О и учитывая, что sinO = O, a
cos0=1, получаем требуемое приближенное равенство
sinto^A*. B8,14)
Эта формула показывает, что для малых углов (выраженных
в радианах) синус равен числу радианов, содержащихся в угле.
Например, так как 4° = 0,0698 радиана, то sin 0,0698^ 0,0698.
Это же значение для sin4° дают и четырехзначные таблицы (не
забудьте, что при использовании формулы B8, 14) следует гра-
градусы переводить в радианы).
Заметим, что формула B8, 14) для углов, не больших 3°, дает
величину синуса с четырьмя верными десятичными знаками (для
перевода градусов в радианы и обратно следует пользоваться
справочниками). Для углов же, не превышающих 7°, эта формула
дает значение синуса с тремя верными десятичными знаками.
Задача 28, И (для самостоятельного решения). Доказать, что
если Да' — величина бесконечно малая то с точностью до беско-
бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равенство
id Ах ^ Ах. B8,15)
Применить это равенство к вычислению tg3° и сравнить получен-
полученное число со значением tg3° из четырехзначных таблиц.
Задача 28, 12 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если Ах— бесконечно малая величина, то с точностью до беско-
бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равен-
равенство
Указание. Рассмотреть функцию у — \пх. Приращение
этой функции
Ау = In(х + Ах) — \пх = \п(\+^у, dy=jdx.
Из формулы B8, 16) следует, что, например,
In 1,007 = In A + 0,007) х 0,007;
In 1,008 = In A + 0,008) ss 0,008.
Задача 28, 13 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если Дх — бесконечно малая величина, то с точностью до беско-
бесконечно малой высшего порядка имеет место приближенное равен-
равенство
е^х^\+\х. B8,17)
Получить это же равенство из формулы B8, 16).
206

Указание. Рассмотреть функцию у = ех.
Д# = е*(ел* — 1),
dy = е*&х.
Пользуясь формулой B8, 17), можно получить приближенные
значения еЛх при малых значениях Дл:. Например, е0'003 ^ 1 +
+ 0,003 = 1,003; е0-009« 1 + 0,009 = 1,009; е°-04 яз 1 + 0,04 = 1,04
(все десятичные знаки верны).
Приведем сводку полученных приближенных формул B8, 13),
B8, 14), B8, 15) B8, 16), B8, 17), причем во всех этих формулах
, . „ Ах ,
заменим для удобства Дх, а в последней —, буквой а;
A + а)" ss 1 + Па; ел =s 1 + а,
sin а^а;
tg а =к а;
1п A +а)^а;
Задача 28,14. Составить таблицу для вычисления значений
функции y = sinx при значениях х, равных 30°Г; 30°2'; 30°3',
имея в виду, что Г = .„„ Q = 0,00029 радиана.
Решение. Рассмотрим функцию / (х) = sin x. При переходе
аргумента от значения х к значению х + Дх наращенное значе-
значение функции определяется из приближенного равенства B8, 7).
У нас f (х) = sin х. Поэтому / (л: + Дл:) = sin (л: + Дл:), a f {x) =cos x.
Для заданной функции / (л:) = sin л: приближенное равенство B8,7)
запишется так:
sm(x-\-b.x)zzs\nx-\-cosx-Ь.х. B8,18)
Полагая в этой формуле х = 30° — £-, Дх = Г = 0,00029, а
sin30° = 0,50000; учитывая, что cos30° = ^£ =0.86602, получим
sin 30° V = 0,50000 + 0,86602 . 0,00029 = 0,50025,
что совпадает точно со значением sin 30° Г по пятизначным таб-
таблицам.
Из формулы B8, 18) найдем и sin 30° 2', учитывая, что теперь
Ах = 2' = 2 • 0,00029 = 0,00058 радиана и по-прежнему х = 30".
sin 30° 2' - 0,50000 + 0,86602 • 0,00058 = 0,50050
(все десятичные знаки верны).
При вычислении sin 30° 3' воспользуемся той же формулой,
взяв Дл: = 3' = 3 • 0,00029 = 0,00087;
sin 30*3' = 0,50000 + 0,86602 • 0,00087 = 0,50075
207

(это значение отличается от табличного на 0,00001 (по пяти-
пятизначным таблицам sin 30°3' = 0,50076).
Задача 28,15 (для самостоятельного решения). Составить таб-
таблицу для вычисления функции cosx при значениях х, равных
60° Г; 60°2'; 60°3' (для справок sin60° = 0,86602: cos60° =
= 0,50000; 1'=0,00029 радиана).
Полученные значения сравнить со значениями из пятизначных
таблиц тригонометрических функций.
Задача 28, 16 (для самостоятельного решения). Вычислить
tg45° Г, tg45°2', tg45°3' и сравнить полученные значения со зна-
значениями из пятизначных таблиц тригонометрических функций.
Задача 28, 17. Вычислить натуральные логарифмы чисел 2,001;
2,002; 2,003; 2,004 и сравнить их с табличными значениями
по пятизначным таблицам натуральных логарифмов (для справки:
In 2 =0,69315).
Решение. Рассмотрим функцию / (х) = In х. Чтобы приме-
применить формулу B8,7), надо определить /(х + Дх) и /' (х):
Подставляя эти значения в B8,7), получаем
\п(х + Их)^1пх+]-Ьх. B8,19)
Чтобы найти In 2, 001, возьмем в формуле B8, 19) х = 2, а Дл; —
= 0,001:
In2,00i = In B + 0,001)» In 2 + -• 0,001 =
= 0,69315 + 0,00050 = 0,69365.
Аналогично по формуле B8, 19) вычисляется In 2,002; In 2,003
и In2,004: берем по-прежнему х = 2, а Дх надо взять равным
соответственно 0,002; 0,003; 0,004. Имеем
In 2,002 = In B + 0,002) ж 2 + g- • 0,002 = 0,69315 +
+ 0,001 =0,69415; In 2,003 = In B + 0,003) ^2 + i- ■ 0,003 =
= 0,69315 + 0,0015 = 0,69465; In 2,004 = In B + 0,004) ж 2 +
+ i- • 0,004 = 0,69315 + 0,0020 = 0,69515.
Пятизначные таблицы логарифмов дают значения, равные най-
найденным. Решение последних задач показало читателю, как диф-
208

ференциал функции может быть использован для составления
таблиц тригонометрических функций и логарифмов. Формула B8,7)
позволяет составлять таблицы и других функций.
Мы считаем необходимым обратить внимание на то, что заме-
заменяя во всех предыдущих задачах приращение функции Ау ее диф-
дифференциалом dy, мы не интересовались оценкой погрешности,
которую мы при этом допускаем. В последующем, при изучении
раздела «Бесконечные ряды», будут указаны более совершенные
приемы составления таблиц функций и там указаны формулы,
оценивающие погрешность, возникающую при замене точного зна-
значения функции ее приближенным значением.
Задача 28.18. Прямым измерением найдено, что диаметр круга
равен 6,7 см, причем максимальная погрешность измерения со-
составляет 0,03 см. Найти приближенную относительную и про-
процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.
Решение. Относительная погрешность вычисленной площади
os =_ —, а ее приближенное значение мы получим, заменив в этом
равенстве As на ds. В таком случае bs^z—. Но площадь круга
s ■-= —кх2 (х — диаметр), а поэтому ds — -^ъх dx. Таким образом,
L-nxdx
8S % \ ~ = 2 • _ ф у нас х = 6,7 см; dx = 0,03 см, а потому 8S ss
^ 2 • -~ st; 0,009, а умножая эту величину на 100, получим про-
процентную погрешность, которая равна @,009-100)% —0,9%.
Задача 28,19. Доказать, что приближенная" относительная по-
погрешность вычисленного объема шара равна утроенной относитель-
относительной погрешности в измерении его диаметра.
Решение. Объем шара вычисляется по формуле V= —^з
где л; —диаметр шара. Приближенно погрешность AV вычислен-
вычисленного объема равна dV = -~T>x2dx. Относительная погрешность
1
ov ~-pr = -] = о • —. Но относительная погрешность измере-
тпх3
dx
иия диаметра 8*ss—, а потому 8у^38Х) что и требовалось.
X
209

Задача 28,20 (для самостоятельного решения). С какой отно-
относительной погрешностью допустимо измерить радиус шара, чтобы
объем его можно было определить с точностью до 2%.
Ответ. bR =0,66%.
Задача 28,21 Период малых колебаний маятника (в секундах)
определяется по формуле
T = 2r.y^, B8,20)
где /—длина маятника в сантиметрах, a g = 981 см/сек2 — уско-
ускорение силы тяжести.
Доказать, что приближенная относительная погрешность изме-
измеренного периода колебания маятника равна половине относитель-
относительной погрешности его измеренной длины.
Решение. Приближенно абсолютная погрешность периода
колебания ДГ ^ dT = -j=, а потому относительная погрешность
ndl
dT VTl 1 dl
— =-2"—, а так как относительная погрешность
8
измерения длини маятника 8; = — , то 8r ^ —Ьи и требуемое до-
доказано.
Задача 28,22 (для самостоятельного решения). Пользуясь фор-
формулой B8,20), установить, насколько следует изменить длину
маятника / = 25 см, чтобы его период Т увеличился на 0,05 сек.
Ответ, dl =^-VTdT; dl =2,49 см.
Задача 28,23 (для самостоятельного решения). Из формулы
B8,20) следует, что определение ускорения силы тяжести с по-
помощью колебания маятника может быть сделано по формуле
Определить относительную погрешность в определении g, если
известны:
1) относительная погрешность в измерении / (Т вычислено
точно);
2) относительная погрешность в измерении Т (I вычислено
точно).
Ответ. 1) bg =5,; 5g = 28Г;
210

ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Производные высших порядков. Формула Лейбница.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Производная от функции у — f(x) в общем случае является
функцией х. Если от этой функции вычислить производную, то
получим производную второго порядка, или, короче, вторую про-
производную функции у — f (x). Таким образом, вторая производная
от первоначальной функции есть производная от первой произ-
производной.
Производная от второй производной называется третьей про-
производной. Производная от третьей производной называется чет-
четвертой производной и т. д.
Обозначения. Вторая производная функции у = f(x)
обозначается одним из символов: у" (читается: игрек два штриха);
-гК2 (читается: де два игрек по де икс дважды); f'"(x) (читается:
эф три штриха от икс).
Третья производная функции у ~ f (x) обозначается одним из
символов: у'" (читается: игрек три штриха): f" (x) (читается:
эф три штриха от х); jf >" УC)-
Производная порядка п есть производная от производной по-
порядка (п— /). Эта производная обозначается одним из символов:
/<»>(*), У™ ">»«§•
Для обозначения последовательных производных нами приняты
обозначения: у", у3, уD\ ... у{пК
Задача 29,1. Найти третью производную функцию у = 5л:4.
Решение, у' = 20л:3; у" = 60л:2; у'" =-- 120л:.
Задача 29,2. у = Зх* + 5л:3 — 4л:2 + 8. Найти у«К
Решение, у' = 12л:3 + 15х2 — 8х; у" = 36л:2 + 30л: — 8; #<3> =
= 72л: + 30; уЮ = 72.
Задача 29,3. y=sm2x. Найти у$К
Решение. #'=2sinxcosx = sin2л;; ^" = 2cos2x;
yW = _ 4 sin 2 х; у^ = — 8 cos 2л:; у™ = 16 sin 2x.
Задача 29,4. у = У х + 5. Найти yw.
Решение. Запишем заданную функцию в виде у = (х + 5)j.
Тогда у' = \(х + 5) 2 J #" = —-i (^ + 5) 2 ; г/<3> = i. (х + 5) а;
15 -f
211

Задача 29,5. Найти уЮ От функции ^ = In sin дг.
Решение, у' = ^JL cos x = ctg х; у" = — cosec2 x,
> = — 2cosec х (—cosec л: • ctgx) = 2cosec2x • ctg л:;
> =. 4 cosec x (—cosec x ■ ctg x) ctg x + 2 cosec2 л: (—cosec2 x) =
—4cosec2 x ctg2 x — 2cosec4 x = —2cosec2 x Bctg2 x + cosec2 лг).
Задача 29,6 (для самостоятельного решения).
1) # = arcsin;c; найти у". 2) ^ = arctgx; найти у".
3) 0 = 1пх; найти г/<4>. 4) ^ = |~; найти г/<3».
Ответ. 1) —-i--; 2) --г^; 3) -3U-4; 4) /Т-^.
Задача 29,7 (для самостоятельного решения),
найти wD).
найти ^); 2) ^ = р^; найти ^<3); 3) у = ^-.
Ответ. 1) !£?; 2) - I'3'?-; 3) - 80
Определить от заданной функции производную порядка п —
значит найти формулу, по которой можно определить производ-
производную любого порядка этой функции. Вообще говоря, для этого
надо вычислить все последовательные производные до п-й включи-
включительно. Однако этого можно избежать, пользуясь методом ма-
математической индукции. На практике поступают, так: находят
несколько последовательных производных, подмечают закономер-
закономерность, по которой они все образовываются, и, считая, что эта
закономерность выполняется для производной любого порядка, со-
составляют выражение для производной порядка п (заметим, что
нулевая производная означает саму функцию).
Мы прежде всего определим производные порядка п основных
элементарных функций.
Задача 29,8. Найти */(л> функции у = хт.
Решение, у' —тхт-1; у" —т{т—Цх™-2,
у" ^т(т— 1) (т — 2)хт~3.
Здесь нетрудно усмотреть закономерность, которая состоит
в следующем: 1) число множителей перед х равно порядку про-
производной; 2) первый множитель равен показателю степени т, а
каждый следующий — на единицу меньше; 3) в последнем мно-
множителе из т вычитается число, на единицу меньшее порядка про-
производной; 4) показатель степени буквы х равен т минус порядок
производной. Полагая, что для производной порядка п эта зако-
закономерность сохраняется, получаем
*/<«> - m (т — 1) (т — 2)... (т — п + 1) xm~n.
212

Задача 29,9. Найти */(п) функции у = ах.
Решение. у'=ах\па; у" = ах (InаJ; */<3> = а*(InаK; */«> =
==a*(lnaL.
Здесь уже нетрудно подметить, что каждая из найденных
производных равна произведению ах на In а в степени, равной
порядку производной. Полагая, что эта закономерность сохра-
сохраняется для производной любого порядка, получаем */(п) = ах (In с)".
Задача 29, 10. Найти у'п) функции у = ех.
Решение, у' =ех; у" =ех; у(Ъ)=ех\ ... ; */(п> = е*.
Задача 29, 11. Найти */<"> функции у — \пх.
Решение. y'=-j = (-1)° • |; / = -^ = (-1I • рг> У1** =
_ 2 _/_П«.1^- цт 2-Зх» 2-3 ( n, I-2-3
- ^7 - ( ^ х* > У - х» ~ х* ~ ( 1) х' '
Усмотрим закономерность, по которой составлена каждая из
этих производных: 1) все производные содержат множителем
число —1 в степени, которая на единицу меньше порядка произ-
производной; 2) числитель дроби есть произведение натуральных чи-
чисел, начиная с единицы и кончая числом, на единицу меньшим
порядка производной; 3) знаменатель дроби есть х в степени, равной
порядку производной. Считая, что эта закономерность сохраняется
для производной любого порядка, получаем
по этой формуле, например, г/<7> = (—INф-.
Задача 29,12. Найти у(п) функции y = s\nx.
Решение, у' = cosx=s\n[x-\--^y,у" = — sinx = sin(лг+ у • 2);
г/C) = —cos л: = sin \х + 3 • у); у{4> = sinx = s'mlx + 4 • у).
Легко усматривается закономерность, по которой образованы
все эти производные: у каждой из них под знаком синуса к х
прибавляется произведение — на порядок производной. Считая
что эта закономерность сохраняется для производной любого по-
порядка, получаем, что г/("> — sin (л:-f я • у).
Задача 29,13 (для самостоятельного решения). Найти у(п)
функции у — cos х.
Ответ. у(п) = cos(a:+ n • у].
Задача 29, 14 (для самостоятельного решения). Найти у(п)
функции у = —.
213

Ответ. ^» = (-1)«-^_.
Задача 29,15. Вычислить у(п) функции */ = )Лс, пользуясь
формулой, полученной в задаче 29,8 при т = ~^, а затем эту же
производную вычислить непосредственно.
Ответ. ^-(-ly.-.P"-')'' Ig>.
у к ' B„_ \Jп хп
Задача 29, 16 (для самостоятельного решения). Найти у(п)
функции у = (а + Ьх)т\
Ответ. */<"> =т (т— \)(т — 2)... (/я —я + \)Ьп (а +Ьх)т-п;
Задача 29, 17 (для самостоятельного решения). Доказать на
основании формулы, полученной при решении предыдущей задачи,
что
\п_(~\)пп\Ь\ I
х) (п+Ьх)п+1' ' \Va
'' \a+bx} ~{а+Ьх)п+1' ' \V a + bx ] ~ 2« (a + bx)n VZ+W
Задача 29, 18 (для самостоятельного решения). Доказать, что
)/ \
; 2) (cospArI"* = pncosipx + n-у).
Задача 29, 19 (для самостоятельного решения). Показать, что
функция у = cxcosx-\-c2s\nx (q и сг — постоянные величины)
удовлетворяет уравнению у" -\-У — О-
Задача 29, 20 (для самостоятельного решения). Показать, что
функция и = схг + с2— удовлетворяет уравнению
ta _i_ — — - —о
(с^ и с2 — постоянные величины).
Задача 29,21 (для самостоятельного решения). Показать, что
функция V — ct cos ax + с2 sin ax + с3х + с4 удовлетворяет уравне-
уравнению VD)+ a2V" =0(сх, с2, сА, с4, —постоянные величины).
МЕХАНИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Если точка движется по прямой и задан ее закон движения
s=/(/) (s — путь. / — время), то ускорение точки равно второй
производной от пути по времени.
Задача 29, 22. Найти ускорение точки, совершающей простые
гармонические колебания по закону s = A sin (со/ + ср).
ds d2s
Решение, -п = Лео cos (со/ + <?); ъ-ъ = —Лео2 sin (со/ + ср), нс
так как s = Л sin (со/ + <р), то ^ == —cu2s.
* Символ Bя — 1I! означает произведение нечетных натуральных чи-
чисел от 1 до B/г — 1) включительно. Например, 9!1 = 1 • 3 • 5 • 7 • 9.
214

Задача 29,23 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если точка совершает затухающие колебания по закону х =
то ее ускорение -^ = — (ш2 + k2)x — 2kv; где у —
I dA
скорость точки
Формула Лейбница. Эта формула дает возможность вычислить
производную любого порядка от произведения двух функций, ми-
минуя последовательное применение формулы для вычисления про-
производной от произведения двух функций. Формула Лейбница
записывается так:
l B9, 1)
Задача 29,24. Найти */E>, если у = e4xsin3x.
Решение. Если y = uv, то на основании B9,1)
B9,2)
Полагая в заданной функции и = е4х, y = sin3A:, для приме-
применения формулы B9, 2) нам следует найти первые пять последо-
последовательных производных каждой функции и и v:
и' =4е*х; и" = 1&4*; ыC> = 64е4*; ы<4> =256е4^; u'5> = 1024е«;
v' =3 cos Зх\ v" = —9 sin Зл;; м<3) = —27 cos Зх; и<4> = 81 sin Зл;;
№= 243 cos Зл;.
Подставляя эти производные в B9,2), получим
г/E) = 1024е4* • sin Зх + 5 • 256е4* • 3 cos Зл; + ^| 64е4* (—9 sin Зл;) +
+ 5^75 16е4л: (—27 cos Зл:) + 1 '■ 2 • з ■ 4 4e^ • 81 sin Зл; + е4^ х
Х243соз3л;; и после упрощений г/'5> = —е4л: C116 sin Зл; + 237 cos Зл;).
Задача 29, 25 (для самостоятельного решения), у — х*е2х; найти
УF)-
Ответ. г/<6> = 64е2* (л;4 + 12л:а + 45л;2 -f 60л; + 22,5).
Задача 28, 26 (для самостоятельного решения). Найти произ-
производную порядка п от функции у = х2ех.
Ответ. #<"> = [х2 + 1пх + п (п — 1)]ех.
Задача 29, 27 (для самостоятельного решения). Определить */D)
от функции у = х3 In —.
Ответ. у^> = —.
215

Задача 29,28 (для самостоятельного решения) y = e*cosx.
Найти */E).
Ответ. */<5> =
ТРИДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержа ние: Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно
малых и двух бесконечно больших величин I раскрытие «неопределенностей» ви-
видов: — и — и приводящихся к ним).
О оо /
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
При вычислении предела отношения ^-^ может оказаться,
что при х -> а числитель и знаменатель одновременно стремятся
нулю или к бесконечности, т. е. являются одновременно беско-
бескоечно малыми или бесконечно большими величинами. Говорят, что
в этих случаях мы имеем дело с «.неопределенностями» вида
О оо
7Г или —.
О оо
Вычисление предела в этом случае называется (/.раскрытием
неопределенности» и производится по правилу, указанному фран-
французским математиком Гильомом Лопиталем A661—1704 гг.)
Правило Лопиталя. Если функции f(x) и ср(лг) таковы, что
1) lim / (х) = О и lim ср (л;) = 0;
х-ю х-ю
или
lim / (л:) = + оо u lim ср (х) = ± оо;
х-х х->а
2) они имеют первые производные в окрестности точки х — а
(за возможным исключением самой точки а);
V (х) f (x)
3) существует Пт^-гтз, тогда существует также и lim ^-^
и имеет место равенство hm Ц-4 = lim Ц-Н.
х-а ? (*) х~а Ч (*)
Сущность этого правила состоит в том, что в случае «.не-
«.неопределенностей» вида у или — вычисление предела отношения
функций, при соблюдении указанных требований, заменяется
вычислением предела отношения их производных, которое в боль-
большом числе случаев оказывается проще.
В случае, когда и отношение производных приводит к одному
из этих видов «неопределенностей» -^ или —, можно уже к этому
216

отношению применить правило Лопиталя и тем самым исследо-
исследовать отношение вторых производных. Может оказаться, что и
отношение вторых производных дает опять-таки какую-либо из
этих «неопределенностей». Тогда следует перейти к отношению
третьих производных и т. д. Укажем, что если понадобится
прибегнуть к отношению вторых, третьих и т. д. производных,
то прежде чем это делать, следует провести все возможные
упрощения в выражении, полученном на предыдущем этапе.
1. Предел отношения двух бесконечно малых величин
/ 0\
«неопределенности» вида -тИ
Задача 30,1. Найти lim
Если в заданное отношение подставить вместо х число а, то
получим «неопределенность» вида -^. Применим правило Лопи-
Лопиталя, т. е. заменим отношение функций отношением их произ-
производных.
Следует предостеречь читателя от распространенной ошибки:
надо дифференцировать не дробь, а отдельно ее числитель и зна-
знаменатель:
.. хт-ат ,. тхт-х тат-х т _ _
lim ~5 7Г = llm 7Г~Г — Т~Г = — а ■
Задача 30,2. Найти lim -4_ 3 -^-у-»——р.
Решение. Если в данную дробь подставить —1 вместо х,
то получится «неопределенность» вида —. Применяя правило Ло-
Лопиталя, получим
.. Xs— 5*2 +2х+8 ,. Зхг— 10*+ 2 15 5
Х1\ х" — 2х3 — 16х2 + 2х + 15 ~~ ж_, 4х3 — 6хг — 32х + 2 ~ 24 ~~ 8 "
л
Задача 30,3. Вычислить lima~ "~—.
х-0 Хп
Решение. Если заменить в данной дроби х нулем, то по-
получится «неопределенность» вида -^. Применим правило Лопи-
Лопиталя: заменим числитель и знаменатель дроби их производными
и будем отыскивать предел этого нового отношения:
lim -—- = lim 1 .
х-о х «-„о пхп '
217

Сокращая дробь на пхп~х и подставляя после этого х — О,
1 '-. а1-"
получим, что искомый предел равен — (а")п = ~^ .
Если бы мы не произвели сокращения на пхп~\ то снова
имели бы «неопределенность» вида -^. Еще раз напоминаем, что
прежде чем решить вопрос о необходимости перехода к следую-
следующим производным, надо сделать все возможные упрощения.
Задача 30,4. Вычислить lim —"~* -^-..
х~\ 1 — У 2х— хг
Решение. Если подставить в числитель и знаменатель i
вместо х, то получится «неопределенность» вида -^. Применим
правило Лопиталя:
,. 1 — х + \пх ,. —! + Т
lirn -—,J =hm —
?:\\-уъ^#-,:1 2-2x
= — lim /2л; — х2 = — 1.
И здесь были сделаны необходимые упрощения. Если бы мы
их не сделали, а в полученную дробь подставили бы х = \, то
, 0
снова получили бы «неопределенность» вида -jr.
Задача 30,5. Найти limx~sslnx.
Решение. Подставляя в данную дробь х = 0, получим «не-
«неопределенность» вида -jj-. Применим правило Лопиталя:
Снова «неопре- Снова «неопре-
«неопределенность» ви- делеиность» ви-
да Т; Т вы" to Т- в тре"
носим за знак тий раз приме-
предела. вто- няем правило
рнчио приме- Лопиталя.
ияем правило
Лопиталя.
Теперь предлагается ряд задач для самостоятельного решения.
218

Задача 30,6 (для самостоятельного решения). Найти пределы:
,. х2— 1 оч ,. х» — 8хг + Пх — \0
^ 2> ^^
6) lim г. ^-; 7) lim-
x-m V X — a x->0
8) X{mV* + a*±*-V*ILa*±*. 9) „m.
Указание. В числителе сначала вынести х за скобку, и
тогда
j^Jf х Х*~* 1 Х*~' 1
lim-; п— = Птдс-; г-,— = ПтлгПт -. —.—;
;;,;,
er—e~x
Указание. Разложить числитель на множители и сократить
дробь.
Ответ. 1) 2; 2) |; 3) -|; •§■; 4) 0; 5) -|/|; 6) а/3;
5
7) In у; 8) V~a\ 9) —2; 10) -1.
Задача 30,7 (для самостоятельного решения). Для вычисления
пределов в этой задаче правило Лопиталя придется применять
не менее двух раз. Найти пределы;
I) nm , i) lim—-r-r- ,
x~o x — sinx x-o sm° x
px sin x (-X p—x\2
3) Hmgy_l, ; 4) lim(^ >
x-0
Указание. Искомый предел равен:
~0Cosxx~0
_ Ita, t£=f!f _ (lim t=f
— tg(a — x) . fi. 1;„ 1 — cosx
6) ^^ШГ
Ответ. 1) 2; 2) I; 3) 1; 4) 4; 5I±Д 6) oo.
о COS fl
Задача 30,8 (для самостоятельного решения). Найти
— — arctg дс
lim -—т
2 х+)
219

о
Указание. Здесь «неопределенность» вида -^-, так как
lim -~- = ^ In 1=0; 1 imarctgх = у.
Ответ. —1.
2. Предел отношения двух бесконечно больших величин
(«неопределенность» вида ^
Задача 30,9.
Замечание. В условии задачи подчеркнуто, что х -> -f 0; это
указание является существенным, потому что при х -> — 0, так
же как при л:-»0, lnx не существует, так как отрицательные
числа логарифмов не имеют.
Решение. При х -* +0 числитель и знаменатель данной
дроби—величины бесконечно большие, и мы имеем здесь слу-
чай «неопределенности» вида —.
На основании правила Лопиталя заменяем отношение функ-
функций отношением их производных и отыскиваем предел этого но-
нового отношения:
1
1 • <g 3*
Задача 30,10. Вычислить lim ^.
Решение. При * -»• у функции tg Зл: и tg 5л: — величины бес-
со
конечно большие, т. е. мы имеем «неопределенность» вида —.
Применим правило Лопиталя, т. е. заменим отношение функций
отношением их производных и будем отыскивать предел этого
нового отношения:
_ 3
ЫЗх ,. cos2 Зх ,. 3 cos2 5х 3 ,. cos2 5x
ПГПт5-^- = ИГЛ
Здесь имеет место
«неопределенность»
вида —. Прежде
чем применять пра-
правило Лопиталя,
преобразуем дробь.
220

cosbxy
Предел степени равен
степени предела. При-
Применяем теперь прави-
правило Лопиталя
_3 25/.. sia 5х\* 5 М \2 _ 5
~ " ' 9 ( °] sin Зх j ~ 3 \—1 ] ~~ 3 #
ОО'
Задача 30,11 (для самостоятельного решения). Найти Iim—.
ЛГ-. + 0О Х
Ответ. 0.
Задача 30,12. Найти Iim e-^.
Решение. Здесь имеет место «неопределенность» вида ^
е* ех е*
Iim р- = Iim ^ = Iim у = + оо.
Здесь «иеопре- Здесь уже
деленность» вн- никакой
°° „ «нео преде-
да -. Вторич- леннотти»
но применим нет*
правило Лопн-
таля.
Задача 30,13 (для самостоятельного решения). Найти:
1) lim^—; 2) Iim " , 2 .
Ответ. 1) 1; 2) 1.
Задача 30,14 (для самостоятельного решения). Найти:
In(l--J)
im ^Ц
IMim ^; 2) !jm -L—Z; 3)Jiin ^^ ,
а
Ответ. 1) +оо; 2) 0; 3) —2.
3. Разность двух бесконечно больших величин
(«неопределенность» вида оо — оо)
Если
Iim/ (л;) = + оо и Iimср (*) = + оо. C0 1)
221

то для определения предела lim [f (х)—ср (л:)] надо преобразовать
х->а
эту разность f (х) — ср (л;) к такому виду:
f (Х) - ср (х) = ч(х) { Пх); тогда Пт [/ (х) - ср (х)) = Пт
Учитывая C0,1), заключаем, что теперь мы должны исследо-
исследовать «неопределенность вида» -^, которую мы умеем раскрывать
с помощью правила Лопиталя.
Задача 30,15. Найти: limfj-^ ~).
x->l\lnx х 1/
Решение. При л:-> 1 .— и г — бесконечно большие ве-
1П X X — 1
личины одного и того же знака, а потому мы имеем здесь раз-
разность двух бесконечно больших величин («неопределенность» вида
оо — со). Разность =-! 1— = *-'~1пл:;
' In х х— I (х— 1) \пх
lim ; —г = пт тт-.— = lim
к^\\пх х-\ (*—1Iп*
\)\пх ~ ' х~1
«неопределенность»
О
X— 1
*= lim
In x-\- x—
X
0+1 + 1 2 *
Задача 30,16. Найти lif'
2 1
Решение. При х -у 1 дроби -,—p и г — величины беско-
нечно большие одного и того же знака, а потому их разность
приводит к «неопределенности» вида оо — оо. Выражение, стоя-
стоящее в скобках, приводим к общему знаменателю и получаем
limf-
*-i V
2
с2 — 1
1
X — 1
\ 2 х 1
/ х—\ х '
♦неоп ределе н в осты
вида -!
1
m Чх '
*-1 гх
—I
21
222

Задача 30,17 (для самостоятельного решения). Найти
Ответ. 0.
Задача 30,18 (для самостоятельного решения). Найти:
^Т-пУ; 3> lfan(*tg,~
Ответ. 1) 1; 2) 1; 3) -1.
Задача 30,19. Найти
Решение. При х -»0 имеем
X — 1
= — со lim
Значит, мы имеем «неопределенность» вида оо — оо.
,. (х-1)(е2х-\) +
«Неопределенность» вида —I
в числителе раскрываем скоб-
скобки и делаем приведение по-
подобных членов.
Применяем правило Лопи-
таля.
Опять «неопределенность» вида
О „
уг. Прежде чем вторично приме-
применять правило Лопиталя, упростим
числитель и знаменатель дроби.
= j
Снова применяем правило
Лопиталя
., О
«Неопределенность» вида —.
4 2
+ 2 6.
4. Произведение бесконечно малой величины на бесконечно
большую (неопределенность» вида 0-оз)
«Неопределенности'» этого вида могут быть сведены к «не-
«неопределенности?) вида -Q- или ^. Действительно, пусть
\imf(x)=0, a lim 9 (*) = 00.
C0, 2)
223

Записав
I (x) <? (х) = Щ, или / (х) ср (х) = Ц$, C0,3)
мы получим, что
lim f (х) • <р (х) — lim-Ц^ = Игл
«Неопределенность»
вида 0 • •»
(лг)
На основании На основании
C0,2) здесь C0.2) здесь
«неопределен- «иеомределен-
0 *>
ность» вида - ность» вида —.
U со
При решении задач в этом случае следует выражение
/ (*) • ф (*) записать в одном из видов C0,3).
Задача 30,20. Найти lim л: In* (см. замечание в задаче 30,9).
Решение. При х -> + 0 In x — величина бесконечно большая,
а х — бесконечно малая. Поэтому здесь имеет место «неопределен-
«неопределенность» вида О-оо. Применяем преобразование, указанное в C0,3):
limxln* = lim ~ = lim —^j- = lim(—x) ■= 0.
Неопределен-
Неопределенность вида —:
со
применяем пра-
правило Лопитали.
Задача 30,21. Найти lim*e-*.
Х-+-)-со
Решение. При *->-]-оо имеем lime-* = 0, а потому при
х -> + оо выражение хе~х — произведение величины бесконечно
большой на бесконечно малую («неопределенность» вида 0 • оо).
Так как е~х — —, то
lim хе~* = lim ^-= lira -j- = 0.
Неопреде-
Неопределенность
вида —.
Применяем
правило
Лопиталя.
Задача 30,22 (для самостоятельного решения). Найти:
— x)tg^x ;2) lim xn\nx (n> 0).
Ответ. 1) -§-; 2) 0.
224

Задача 30,23 (для самостоятельного решения). Найти:
1) lim(l-*)ln(l-*); 2) lim^^t
3) limsec -^х ■ In—.
Ответ. 1) 0,2) —1; 3) 1.
5. «Неопределенности» видов 1°°; оо°, 0°
«Неопределенности» этих видов сводятся к «неопределенности»
вида О-оо, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе.
Это достигается с помощью тождества
\f (X)]f(x) - ev(*) in «*> C0, 4)
в предположении, что f(x)>0 (это предположение необходимо
сделать, так как в показателе степени в правой части равенства
f (x) стоит под знаком логарифма). Теперь можно написать, что
lim <f(x) In f(x)
lim [f (*)]*<*> = lim e?<*>ln «*> = e*-*0
x-*a x-*a
и дело сводится к определению предела Нт«р(д;Iп/(*).
х-*а
Задача 30,24. Найти lim** («неопределенность» вида 0°).
Решение. На основании C0,4) можем записать, что Xх =
= ех]пх, а потому
i!m x\nx
lim хх = lime*in * = е*~+° . C0, 5)
Найдем теперь limxlnx (здесь «неопределенность» вида 0-оо):
+о
= lim^= lim ~ = lim(—x) =0
JC-+O х->+0 J. Х-.+0 L *-+0
Неопределен-
Неопределенность вида —.
Применяем
правило Лопи-
таля.
Подставляя этот результат в C0, 5), получим, что
lim xx = e9 = 1.
8 з-4зо 225

Задача 30,25. Найти \im(\+mx)x («неопределенность» ви-
да 1-)
Решен и е. На основании C0, 4) имеем A + mx) x =ех ,
а потому
— ln(l+m*i Mm — Infl+mx)
— — ln(l+m*i Mm Infl+mx)
lim(l +mx)* = Umex = £*-«* ; C0,6)
лг-O x-0
m
i- 1 i /i . ч i- In A + mx) .. \ + mx
lim — In A -f- mx) = lim —L-; ' = lim —-— == m.
«неопределенность» «неопределен-
вида 0. <*>'. 0
ность вида —.
Подставляя найденное значение в C0, 6), получим что'
lim (I + mx)x =em.
г-0
Задача 30, 26 (для самостоятельного решения). Найти:
i
1) lim** («неопределенность» вида оо°);
A Yg
2) lim — («неопределенность» вида оо°).
х-* + °°\х I
Ответ. 1) 1; 2) 1.
/. \j_
Задача 30,27. Найти lim —Г («неопределенность» вида 1~).
+\ х I
31Y = ех% " х , а потому
«-+0
lim W^ = lim —5^- == lim '*-'njc = lim
«неопределен- «неоиред*!лен- /I ' \
ность» вида 0 I TTZ sec * = ,.in •,, I
te г "ость» вида -;r \'K * sin 2A:^
-oo, т. к -5—->1. 0
x
когда *-*0
2 _ I
-s-nm= hrrj = ИШ
х- cos lx =
Применяем правило
Лопиталя
226

1 ,. 2sin 2*
= "9 lim сТГо
чп 9.x 4- 2.v cos 2л: + 2x cos 2x — 2л:2 sin 2л:
«Неопределенность» вида —. Вторично применяем пра-
правило Лопнталя
1 .. 4 COS 2х
~ 2"Jt^+02 cos 2x 4- 4 cos 2л: — 8/sin 2л: — 4л: sin 2x —
2 ' 24-4 ~ 3*
И тогда lim (-^- И2 = е3 .
Задача 30, 28 (для самостоятельного решения). Найти пределы:
i
1) lim(f-arctgx'!T @°)
2) lim (^-arctgx V@°)
i
3) lim (cos акр A°°)
Ответ. 1) 1; 2) e "; 3) (-iJ.
Задача 30, 29 (для самостоятельного решения). Найти пределы:
1) lim(cosav)cosec2fl: A°°);
2) lim A+7)' A~);
3) lim(tgx)'e2Ar A-);
4) lim(— Inx)' (co°);
5) 1 im (tg xYin 2x @0°).
Ответ. 1) е 9Ь'; 2) е; 3) е~<; 4) 1; 5) 1.
ТРИДЦАТЬ ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Возрастание и убывание функций.
Краткие сведения из теории
Определение !• Функция / (х) называется возрастающей а не-
некотором интервале, если дли любых двух чисел хх и хг из этого
интервала из неравенства хг > А', следует неравенство
227 :

Если же из неравенства х2 > хх следует нестрогое * неравен-
неравенство / (х2) > f (xy), то функция называется неубывающей в этом
интервале.
Определение 2. Функция f(x) называется убывающей в не-
некотором интервале, если для любых двух чисел хх и х2 из этого
интервала из неравенства х2 > хх следует неравенство
/B>(
Если же из неравенства х2 > xY следует нестрогое неравентво
f(x2)<f(x1), то функция называется невозрастающей в этом
интервале. Функции возрастающие и убывающие, а также функ-
функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.
ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ
Следующая теорема выражает важный для практических це-
целей признак строгого возрастания и строгого убывания функции
и указывает правило для определения интервалов, в которых
функция возрастает и убывает (иначе, интервалов монотонности
функции).
Теорема. Если во всех точках некоторого интервала первая
производная /' (х) > 0, то функция f (x) в этом интервале воз-
возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая
производная f (х) < 0, то функция в этом интервале убывает.
Эта теорема выражает достаточный признак возрастания
и убывания функции на интервале.
Замечание. Строгое возрастание или строгое убывание
функции на интервале не исключает возможности обращения
в нуль первой производной функции в некоторых отдельных
точках этого интервала. Слова «отдельных точках* подчерк-
подчеркнуты потому, что в случае строгого возрастания или строгого
убывания функции точки, в которых первая производная обра-
обращается в нуль, не должны сплошь заполнять никакого частичного
интервала, даже малого, ибо если бы это имело место, то функ-
функция в этих частичных интервалах сохраняла бы постоянное зна-
значение и тем самым не была бы строго возрастающей или строго
убывающей на всем рассматриваемом интервале.
Правило. Для определения интервалов строгого возрастания
и строгого убывания функции следует решить неравенства:
Г (*)>0 и Г (х)<0. C1,1)
Следует также рассмотреть, как располагаются в этих ин-
интервалах точки, в которых f (x) обращается в нуль. Если ока-
окажется, что эти точки не заполняют сплошь какого-либо частич-
частичного интервала, то неравенства C1,1) укажут интервалы стро-
строгого возрастания и строгого убывания функции.
* Неравенства вида а < Ь и а > Ь называются строгими, а неравенства
вида а « 6 и а > b — нестрогими.
228

При решении задач, в которых требуется определить интер-
интервалы возрастания и убывания функции, следует прежде всего опре-
определить область существования этой функции.
Задача. 31,1. Определить интервалы возрастания и убывания
функции
f(x)=xs—\2x+U.
Решение. Областью существования данной функции явля-
является вся ось Ох (функция существует при любом значении х).
Ее производная f (х) = 3х2—12. Чтобы найти интервалы возрас-
возрастания функции, решим неравенство Зл^—12 > 0. Деля на 3 обе
его части, получаем х2 — 4 > 0. Отсюда следует, что х2 > 4,
а х <—2 и х>2, т. е. |x|>2. Следовательно, данная функция
возрастает в двух бесконечных интервалах: (—оо, —2) и B, +оо).
Чтобы определить интервалы убывания функции, решим неравен-
неравенство Зх2 — 12 < 0 или х2 — 4 < 0, из которого следует, что л;2 < 4,
а х < 2, или х > — 2, т. е. | х | < 2. Отсюда заключаем, что функ-
функция убывает на интервале (—2; 2). Производная функция Зх2—12
обращается в нуль при * = — 2 и * = + 2. В точке х = — 2 функ-
функция переходит от возрастания к убыванию, а в точке х = + 2
она от убывания переходит к возрастанию.
Легко усмотреть, что /A) =0, а /@) = 11. Так как f A) =0,
то х3 — 12* + 11 делится без остатка на х — 1 и мы получаем, что
х?— 12л:+11 =(*— 1)(*2+х — II).
Приравняв последнее выражение нулю и решая уравнение хг-\-х—
— 11 =0, найдем и другие два значения х, при которых f(x) = 0.
Этими значениями являются
\^ *i« —3,85; х2=^2,85.
Полученных данных достаточно, чтобы составить представле-
представление о графике функции. Постройте его эскиз.
Задача 31,2 (для самостоятельного решения). Найти интервалы
возрастания и убывания функции f(x)=x3 — 3* — 2. Построить
эскиз графика.
Ответ. Функция возрастает в интервалах (—оо, —1) и
A, + оо); Д2) = 0; /(-1) =0; ДО) =—2; f (x) =0прих=-1
И X = 1.
Задача 31,3 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция f (x) = Xs возрастает на бесконечном интервале
(— оо, + со), а ее производная обращается в нуль при л:=0.
Задача 31,4. Определить интервалы возрастания и убывания
функции
у = sin л;.
229

Решение. Область определения функции — вся ось Ох. На-
Находим у' = cos х. Решаем неравенство cosx>0.
Это неравенство, выполняясь на интервале^—\; у), выпол-
выполняется также и на интервалах [—'^-\-2Ы\ %у-\-1къ ],где к—
любое целое положительное или отрицательное число, так как
функция cos л; — периодическая, а ее период Т— 2т:.
Заключение. Функция y — smx возрастает на интервалах
~ +2Ы; ~ + 2/п \ где k = 0, ±1, ± 2,...
Решая неравенство cos x < 0, получаем, что оно выполняется
в интервалах [у + 2&тг; у -f 2&ir V где k — любое целое положи-
положительное или отрицательное число, а потому приходим к заклю-
заключению, что функция у — sin х убывает в этих интервалах.
Задача 31,4а (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция f (x) — tg х возрастает во всех интервалах, в которых
она существует.
Задача 31,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция / (х) =ctg* убывает во всех интервалах, в которых она
существует.
Задача 31, 6. Найти интервалы возрастания и убывания
функции
Решение. Функция существует при всех значениях х, кроме
л: = — 1 и х — + \, т. е. областью ее существования являются
интервалы: (—со, —1); (—1,1) иA, + оо).
Находим производную функции
Г м - 9 »-*'+ 2х*- г м - 2Р+ у2)
Г W -Z- (,_х2J • Г (X) - (,_д.2J-
Числитель и знаменатель последней дроби положительны при
всех значениях х (значения х — — 1 и х —-\- 1 не должны рас-
рассматриваться, так как при этих значениях не существует и за-
заданная функция). Значит, во всех интервалах в которых функ-
функция определена, она возрастает.
Задача 31,7 (для самостоятельного решения). Определить ин-
интервалы возрастания и убывания функции f (х) = . , . Начер-
Начертить чскиз графика функции.
О г в е т. Функция возрастает в интервале (— 1, + 1), убывает
в интервалах (— со, — 1) и A, +оо);/'(л;) = }+ *.' .
230

Задача 31,8. Определить интервалы возрастания и убывания
функции
у = 4Г' -
1) Решение. Функция существует при всех значениях*:
у' = 12л-2 — 42х 4-18 = 6 Dл:2 — 7х + 3); у' = 6 Bл: — 1) (х — 3).
Решаем неравенства: 1) у' > 0 и 2) у' < О.
1. Решаем неравенство у' > 0; 6 Bл:—1) (х — 3) > 0.
Произведение двух множителей положительно тогда, когда
они оба имеют один и тот же знак, т. е. когда они одновременно
положительны или одновременно отрицательны. Эти соображения
приводят к двум системам неравенств:
х — 3>0 ( \ х — 3<0
Первое из неравенств (А) дает х>-^, а второе х > 3; поэтому
неравенства (А) приводят к заключению, что х~> 3. Из неравенств
(В) получаем: из первого х < у, из второго х < 3; приходим
к заключению, что эти неравенства выполняются при х < -*.
Таким образом, функция возрастает в интервалах (—оо, -Л
и C, +оо).
2) Теперь решим нера венство у' < 0; 6 Bл;— 1) (л: — 3) < 0 или
Bл:—\)(х — 3) < 0. Произведение двух сомножителей отрица-
отрицательно тогда, когда эти сомножители имеют разные знаки. Это
приводит к двум системам неравенств:
*-1>0 Г2„_1<0
х-3<0 1х—3>0
В системе (С) из первого неравенства х~>-^, из второго л:<3;
на основании этого заключаем, что (С) выполняется для значе-.
ний х из интервала -^ < х < 3. Система неравенств (D) дает: из
первого х < ■£-» из второго л:>3, что противоречиво, так как не
может быть, чтобы одновременно добыло меньше -к и больше трех.
Заключение. Неравенство у' < 0 выполняется для значе-
значений — < х < 3; таким образом, данная функция убывает на ин-
231

тервале (у, з\ В точке х = -у функция сменяет возрастание иа
убывание, а в точке х = 3 убывание прекращается и сменяется
возрастанием.
Задача 31,9 (для самостоятельного решения). Найти интервалы
возрастания и убывания функции
у = х6 — 5x4 + 5*3-f- 1.
Указание, у' = 5г*(л:2 — 4х+ 3). Так как хг > 0 при всех
л =£ 0, то у' > 0, когда х2 — 4* + 3 > 0, и г/' < 0 при
jk» — 4дг + 3 < 0; х* — 4х+3 = (х—1)(х — 3).
Функция возрастает в интервалах (—оо, 1) и C, + со), а убы-
убывает в интервале A,3). Производная обращается в нуль при х = 0,
но это значение содержится в интервале (—оо, 1) где функция
возрастает. Этот пример показывает, что хотя в интервале (—оо, 1)
функция строго возрастает, но ее первая производная обратилась
в нуль в отдельной точке @, 0).
ТРИДЦАТЬ ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержани е: Определение максимума и минимума функций. Наиболь-
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Определение максимума. Говорят, что функция f (x) имеет
в точке х = х0 максимум, если значение функции в этой точке
больше, чем ее значение во всех точках, достаточно близких к х0.
Иначе: функция f (х) имеет максимум при х = х0, если
для любых Ь.х — как положительных, так и отрицательных, но
достаточно малых по абсолютной величине.
Определение минимума. Говорят, что функция f(x) имеет
в точке х = х0 минимум, если значение функции в этой точке
меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х0.
Иначе: функция f (х) имеет минимум при х = х0, если
для любых как положительных, так и отрицательных Д*, доста-
достаточно малых по абсвлютной величине.
Если в некоторой точке функция имеет максимум или мини'
мум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум,
а значение функции в этой точке называется экстремальным.
232

Замечание. Следует помнить: 1) Максимум (минимум) не
является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, при-
принимаемым функцией. Вне рассматриваемой окрестности точки
х0 функция может принимать ббльшие (меньшие) значения, чем
в этой точке. 2) Функция может иметь несколько максимумов
и минимумов. 3) Функция, определенная на отрезке, может до-
достигнуть экстремума только во внутренних точках этого от-
отрезка.
Необходимое условие экстремума. Если функция f(x)
имеет экстремум при х = х0, то ее производная в этой точке
равна нулю, или оо, или вовсе не существует.
Из этого следует, что точки экстремума функции
следует разыскивать только среди тех, в которых ее
первая производная /' (х) — 0, f (x) — °о или не суще-
существует. Исследование остальных точек отпадает. Точки, в ко-
которых первая производная функции равна нулю, бесконечности,
а также те, в которых она не существует, но функция сохра-
сохраняет непрерывность, называются критическими.
Следует уяснить, что указанный признак экстремума явля-
является только необходимым, но отнюдь не достаточным: производ-
производная функции может быть равна нулю, со или не существовать
не только в тех точках, в которых функция достигает экстре-
экстремума. Поэтому определив критические точки, в которых функция
может достигать экстремума, надо каждую из точек в отдель-
отдельности исследовать на основании достаточных условий существо-
существования экстремума. Укажем два таких достаточных условия.
ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Пусть точка х = х0 является критической точкой функции
f(x), а сама функция f (х) непрерывна и дифференцируема во
всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за
исключением возможно самой этой точки). Тогда: 1) если при
х < х0 производная функция f (х) > 0, а при х > х0 [' (х) < О,
то при х — х0 имеет место максимум, т. е. если при переходе
слева направо через критическую точку первая производная функ-
функции меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция
достигает максимума; 2) если при х < х0 /' (х) < О, а при
х> х0 f (х) > 0, то при х = х0 имеет место минимум; иначе:
если при переходе слева направо через критическую точку первая
производная функции меняет знак с минуса на плюс, то в этой
точке функция достигает минимума; 3) если же при переходе
через критическую точку первая производная функции не меняет
знак, то экстремума нет.
233

ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА
Е ели в точке х = х0 первая производная функции f (x) равна
нулю: f (хо) = 0, то при х — х0 имеет место максимум, если
/." (*о) < 0> « минимум, если /" (лг0) > 0. Если же /" (х) = 0, то
для заключения об экстремуме в этой точке требуется дальней-
дальнейшее исследование {предполагается, что функция f(x) в окрест-
окрестности точки х = Хо имеет непрерывную вторую производную).
Способ, которым функция исследуется на экстремум с по-
мощью первого достаточного условия {по первой производной),
мы будем называть первым, а способ исследования функции на
экстремум на основании второго достаточного условия (по вто-
второй производной)—вторым.
Правило для исследования функции на экстремум при помощи
первой производной (первый способ)
Для исследования функции на экстремум по первой
производной следует:
1. Найти /' (х) — первую производную функции.
2. Решить уравнение f (х) = 0, а также определить
т е значения х, при которых /' (х) = со или не сущест-
существует (короче: найти критические точки функции f(x).
Пусть этими точками будут точки с абциссами хи
х2, х3. .., Хп, которые находятся в интервале (а, Ь).
3. Все критические точки расположить в порядке
возрастания их абсцисс в интервале (а, Ь).
а < Хх < Х2 < Х3 <>••■< Хп < Ь.
4. Внутри каждого из интервалов (а, х^); (хи хг);
(хг, хг); ... (хп, Ь) взять любую точку и установить &
этой точке знак первой производной функции (произ-
(производная сохраняет знак в каждом интервале между
двумя соседними критическими точками).
5. Рассмотреть знаки f (х) в двух соседних интер-
интервалах, переходя последовательно слева направо от пер-
первого интервала к последнему. Если при таком переходе
знаки/' (х) в двух соседних интервалах различны, то
экстремум в критической точке есть: максимум бу-
будет, если знак поменяется с + на —, а минимум, если
он поменяется с — на +.Если же в двух соседних ин-
интервалах имеет место сохранение знака первой произ-
производной, то экстремума в рассматриваемой критиче-
критической точке нет.
6. Найти значения функции в точках, где она дости-
достигает экстремума (экстремальныезначения функции).
234

Правило для исследования функции на экстремум по
второй производной (второй способ)
Для того чтобы исследовать функцию на экстре-
экстремум по второй производной, следует:
1. Найти f (x) — первую производную функции.
2. Решить уравнение /' (х) = 0.
3. Исследовать знак /" (х) — второй производной
функции — в каждой точке, найденной в п. 2. Если ока-
окажется, что в рассматриваемой точке /" (х) > 0, то в
этой точке будет минимум, а если f (х) < О, то в ней
будет максимум. Если же окажется, что в рассмат-
рассматриваемой точке /" (х) = 0, то исследование надлежит
провести по первому правилу.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\, то на этом
отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наи-
наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция дости-
достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь].
Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее
значение функции на отрезке, надо:!) определить кри-
критические точки функции;2) вычислить значения функ-
функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь\;
3) наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет
наибольшим, а наименьшее —наименьшим значением
функции на отрезке [а, Ь\.
Задача 32,1- Найти экстремум функции у = —х*—~ х3 —
— -jX2 + 2, а также определить ее наибольшее и наименьшее
значение на отрезке [•—2, 4].
Решение. Проведем решение сначала по перво-
первому правилу, а потом по второму. Областью существования
функции является весь бесконечный интервал (— со, + <х>).
1. Находим, что
f'(x) =x3 — 2x2~3x.
2. Решаем уравнение f (х) =0, т. е. уравнение C2,1)
х3 — 2х2 — Зл: = 0.
Разлагаем левую часть уравнения на множители:
х {х* — 2х — 3) = 0, C2,2)
откуда X] = 0; хг — 2х — 3=0, а х2 = 3; х3 = —1.
Производная конечна при любом х (говорят в этом случае,
что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками
будут только найденные из C2,2).
235

3. Располагаем критические точки в порядке возрастания
абсцисс: — 1; 0; 3.
4. Рассмотрим интервалы
(-со, -1); (-1,0); @,3) C, + со) C2,3)
Выберем внутри каждого из этих интервалов произвольную
точку и определим в этой точке знак первой производной по вы-
выражению C2,1). В интервале (— оо, —1) возьмем, например, точ-
точку х = —2; /' (—2) = (—2)8 —2 (—2)а — 3 (—2) =—10 < 0; в интер-
интервале (—1,0) возьмем точку х = ——: /'[—у) ~1Г ^ ^' b интеР"
вале @,3) возьмем точку л=1 и вычислим в ней /' (х): /' A) =
= —4 < 0: в интервале C, + оо) возьмем точку х = 4 : /' D) —
= 20 > 0 (вместо этих точек читатель может в каждом из интер-
интервалов C2,3) взять любые другие). Таким образом, в интервалах
C2,3) первая производная имеет такую последовательность знаков:
*- 2т3+ 3
Т 7
min max min
и мы приходим к заключению, что в критической точке х = — 1
имеет место минимум, в критической точке х = 0 — максимум; а
в критической точке х = 3 — минимум. Найдем теперь экстре-
экстремальные значения функции
Эскиз графика представлен на фиг. 32,1.
Теперь проведем решение по второму правилу,
т. е. исследуем функцию на эк-
экстремум с помощью второй про-
■ ,, изводной.
U у-^j. j-л г jj. */. у нас КрИтические точки уЖе
i определены: x1== —I; х2=0 и
Jr j x3 = 3. Найдем вторую производ-
производную функции. Дифференцируя
первую производную, получаем
f (#) = Зх2 — Ах — 3, и согласно
второму правилу определяем знак
второй производной в каждой
критической точке:
f(-l)=4>0; при * = —1
функция имеет минимум,
/"@)— 3<0; при х=0
функция имеет максимум,
/" C) = 12 > 0; при х = 3
Фиг. 32,1, функция имеет минимум.
236

Читатель должен отметить, что исследование, проведенное по
второму способу, было значительно проще. Однако от исследова-
исследования функции иа экстремум по первому правилу при помощи пер-
первой производной отказываться не следует, так как может ока-
оказаться, что в критической точке вторая производная окажется
равной нулю, а в этом случае нельзя сделать никакого заключения
о наличии экстремума.
Поэтому упражнения в нахождении экстремума функции по
первой производной необходимы. Теперь ответим на второй вопрос
задачи: определим наименьшее и наибольшее значение функции
на отрезке [—2,4). Этот отрезок содержит внутри себя все кри-
критические точки. Так как значения функции в критических точках
мы уже вычислили C2,4), то нам осталось вычислить значения
Ifi
функции на концах отрезка, т. е. f(—2) и/D):/(—2) = т;
/ D) = — у. Сравнивая эти значения со значениями C2,4) функции
в критических точках, мы видим, что наибольшим из них являет-
ся /(—2) = у, а наименьшим — /C) =—-j, т е. наибольшего
значения функция достигает на левом конце отрезка при х=—2,
а наименьшего — в критической точке х = 3. Решим подробно еще
одну аналогичную задачу.
Задача 32,2. Определить экстремум функции у = х3 — Зх2 -+•
+ Зх + 2 и найти ее наименьшее и наибольшее значение на отрез-
отрезке [2,5].
Решение. Сначала решим задачу по первому способу, а потом—
по второму. Областью существования функции является весь беско-
бесконечный интервал (—со, + со). Находим вторую производную функ-
функции: f (х) = Зх2 — 6х + 3. Решим уравнение Зх2 — 6х + 3 = 0.
Это уравнение имеет только один корень х = \. Производная конечна
при любом значении х, а потому х = 1 является единственной
критической точкой.
Рассмотрим интервалы (—со, 1) и A, + со).
Внутри каждого из этих интервалов выберем произвольную
точку и определим в ней знак первой производной. Например,
в первом интервале возьмем точку х — 0, во втором х = 2.
/' @) = 3 > 0; /' B) = 3 > 0
(читатель вместо этих точек может в каждом из этих интервалов
взять любые другие).
.Таким образом, в интервалах (— со, 1) и A, + °°) имеет место
такая последовательность знаков первой производной: +. +• Из
этого мы заключаем, что первая производная знака не поменяла,
а потому в точке х = 1 экстремума нет.
Если первую производную записать в виде /'(х)=3(х—IJ,
то можно сразу заключить, что она положительна при любом
237

значении х Ф 1, а потому рассматриваемая функция возрастает на
всем бесконечном интервале (— оо, -j- со). Эскиз графика представ-
представлен на фиг. 32,2.
Покажем, что по второму правилу с помощью второй произ-
производной исследование провести нельзя. Действительно, /" (х) =
= 6х —6, и в критической точке х= 1 имеет, что /"A) =0. Та-
Таким образом, исследование следует вести по первому правилу, а
на основании его мы уже заключили, что экстремума нет.
Теперь ответим на второй вопрос задачи. Так как отрезок
[2, 5] не содержит критической точки, то для определения наимень-
наименьше гоинаибольшего значения функ-
функции на этом отрезке следует опре-
определить только значения ее на
концах отрезка: fB) = 4, /E) =-67.
Наименьшего значения на отрезке
[2,5] функция достигает на левом
конце при х = 2, и это наименьшее
значение / B) = 4. Наибольшего
значения функция достигает при
х =5 — на первом конце отрезка;
это значение / E) = 67.
Задача 32,3 (для самостоятель-
самостоятельного решения). Найти сначала по
первому, а потом по второму пра-
правилу экстремум функции у =
также наибольшее и наименьшее
Фиг. 32,2.
= £:_l-_7x2 + 24x+l,
значение функции на отрезке [—5,2].
Указание. Уравнение х3 — л:2— 14х + 24 =0 имеет корни:
j£- == — 4j X2 ~=~ s~i Х$ ^^ о*
Эти корни могут быть легко найдены на основании следствия
теоремы Безу, известной из алгебры. Можно также уравнение
представить в виде
х3 — 2х2 + х2 — 2х —12х + 24 = 0,
а тогда его левая часть равна (х — 2)(х2 + *—12).
Ответ. При х — — 4 минимум; / (— 4) = тг; при х = 2 —
о
67 85
максимум; /B) = j; при х = 3 — минимум; /C) =^; на отрез-
отрезке [—5,2]: г/„аИб = у B) = -~; г/наим. = у (—4) = — ^-5, т. е. функ-
функция достигает наибольшего значения в критической точке х = 2,
которая является правым концом отрезка, а наименьшего значе-
значения — в критической точке х = — 4 внутри рассматриваемого отрез-
отрезка (в этой точке функция достигает также и минимума).
238

Задача 32,4 (для самостоятельного решения). Найти сначала
по первому правилу, а потом но второму экстремум функции
у = х4 — 8Х3 4- 22х2 — 24л: + 12.
Указание. Уравнение х3 — 6х24-Пх — 6 = 0 может быть
переписано так: х3 — х2 — 5х2 4- 5х 4- 6х — 6 = 0, или (х — 1) (х —
— 2) (х — 3) = 0. Корни этого уравнения: хх==1; х2 = 2; х3=3.
Ответ. При х = 1 — минимум; /A)=3; при х = 2 — макси-
максимум; /B) =4; при х = 3 — минимум; /C)=3 (см. фиг. 32,3).
Задача 32,5. Исследовать
на экстремум функцию у = х4 +
4- 8Х3 4- 16х2, а также найти ее
наибольшее и наименьшее зна-
значение на отрезке [—3,1].
Решение. Область суще-
существования —бесконечный интер-
интервал (— со, + °°). Первая про-
производная f'(x)=4x3+24x24-32x.
Для определения критических
точек решаем уравнение
4х3 + 24х2 + 32х = 0.
Перепишем его в виде
л:(л:2 4- 6х + 8) = 0, откуда х=0;
Фиг. 32,3.
х2 4- 6х 4- 8 = 0. Критические
точки: X] = —4; хг — 2; ха=0.
Применимпервоепра-
вило. Критические точки раз-
разбивают область существования функции на интервалы.
(_оо, —4); (-4, —2); (—2, 0); @, + оо).
В каждом из этих интервалов первая производная сохраняет
знак. Поэтому для исследования в них знака первой производ-
производной можно в каждом интервале выбрать произвольную точку. В
первом интервале возьмем точку х = — 5, /' (— 5)= — 60 < 0; во
втором интервале возьмем точку х = —3; f (—3) = + 12 > 0; в
третьем интервале выберем точку х——1'. /'(—1) = — 12 <0
в четвертом интервале — точку х = + \\ /' A) = 60 > 0.
Последовательность знаков первой производной в рассмотрен-
рассмотренных интервалах запишется так:
min max
min
Следовательно, при х = —4 имеем минимум, а /(—4) = 0;
при х = —2 — максимум и /(—2) = 16, а при х = 0 — минимум,
239

причем f @) = 0. Эскиз графика представлен на фиг. 32,4. Вторым
способом задачу решите самостоятельно.
Найдем теперь наименьшее и наибольшее значение функции
на отрезке [—3,1]. На этом отрезке имеются две критические
точки х= — 2 и х = 0; /(—2) = 16, /@) = 0. Для решения во-
вопроса о наибольшем и наименьшем значении в нем функции надо
еще рассмотреть значения функции на концах отрезка: /(—3) и
f(l). Подсчет показывает, что /(—3) — 9, а /A) = 25. Сравнивая
эти значения функции с ее значениями в критических точках,
приходим к заключению, что наи-
наименьшее значение функции в точ-
точке х = 0, и оно равно 0, а наиболь-
наибольшее значение функция имеет на
правом конце рассматриваемого
отрезка в точке х= 1, и оно раз-
разно 25.
Задача 32,6 (для самостоятель-
самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум по второму правилу
функцию / (х) = х4 — j х3 + 8х\
Начертить эскиз графика функции.
Ответ. Критические точки:
. . ^_ Xi = 0;x2=l; x3 = 4. При хх —
-4-3-2-/0 / х =0 — минимум; при х2 = 1 — мак-
максимум; при х3 = 4 — минимум.
фиг 324 Задача 32,7 (для самостоятель-
самостоятельного решения). По второму пра-
правилу исследовать на экстремум
функцию
Ответ. Критические точки: х1 = -^\ х2 = 3; при х=-^ —
максимум, при д; = 3 —минимум;
97 7
Утах = -£> Утт — —'•
Задача 32,8. Исследовать на экстремум функцию
f(x) = (x-lK(x+iy.
Решение. Функция определена при всех значениях х. Про-
Проведем решение по первому и второму правилам. Начнем с опреде-
определения первой производной:
/' (х) = 3(х- 1)г (х + IJ + 3 (х + 1) (х - IK =
240

Так как производная имеет конечное значение при любом х,
то критическими точками будут только те, в которых первая
производная равна нулю. Решая уравнение (д:—IJ (х -f-1) E* +
+ 1) = О, находим критические точки; х, = — 1; х2 = —-г;
э
Эти точки разбивают интервал (— со, + со), в котором суще-
существует заданная функция, на интервалы.
(-«,, -1); (-1, -1); (-1, l); A, + оо).
Теперь мы должны исследовать знак первой производной в
каждом из этих интервалов. Учитывая, что в каждом из этих
интервалов первая производная сохраняет знак, мы можем в каж-
каждом из них рассмотреть любую точку. Возьмем в первом интер-
интервале х = — 2; /' (— 2) = 81 > 0. Во втором интервале берем х =
= —-g-;; /' ( — у) = — jq < 0. В третьем интервале берем х — 0;
f @) = 1 > о.
В четвертом интервале возьмем х = 2; /' B) — 33 > 0 (вместо
этих точек читатель может в каждом из этих интервалов взять
любые другие). Последовательность знаков первой производной
будет такой:
max min
Из рассмотрения этой последовательности знаков заключаем,
что в точке х =— 1—максимум, а /(—1) = 0; в точке х —
1 ,/ 1 \
= —-д- — минимум, а /I—-g-j =
331
1 в точке х = 1 экст-
ремума нет; /A) = 0; в интервале
/ —-д- , +со\ функция возра-
возрастает, так как ее первая произ-
производная в этом интервале поло-
положительна (эскиз графика пред-
представлен на фиг. 32,5). Теперь
решим эту же задачу по второ-
второму правилу. Находим, что
f (х) = 2 (х- 1) (х +1) Eх + 1) + (х-Щ5х + 1) + 5(х- 1J(х + 1).
Поскольку нас интересует только знак второй производной в
критических точках, то нет надобности упрощать это выражение-
Подставляя в это выражение критические значения х, получим:
241
Фиг. 32.5.

f (— 1) = — 16 < 0. Значит, при х = — 1 функция имеет максимум;
Г( —3") = "Уг>0- Это означает, что при х = —§- минимум1
f(l)=0. Для заключения о поведении функции в этой точке
надо прибегнуть к исследованию по первой производной (оно уже
было проведено выше: в этой точке экстремума нет).
3
Задача 32,9. Определить экстремум функции / (х) = ]/^г.
Решение. Легко находим, что /' (х) = —л/ — ■
Уравнение -^л/ — = 0 не удовлетворяется ни одним конечньш
значением х. Рассмотрим значения х, при которых /' (х) = со или
не существует, Ясно, что таким единственным значением будет
х — 0. Таким образом, имеется
только одна критическая точка
х = 0, которая весь бесконечный
интервал (— со, + со) существо-
существования функции разбивает на 2
интервала: (—со, 0) и @, +со).
Исследуем знак первой произ-
производной в любой точке каждого
Фиг. 32,6. из этих интервалов. Возьмем,
например, в первом интервале
точку х = — 1;/'(—I) = —"з < 0; во втором интервале возь-
возьмем точку х = 1; /' A) = — > 0. Последовательность знаков пер-
первой производной:
Так как производная меняет знак с — на -+-, то в критиче-
критической точке х=0 функция имеет минимум, и /@) = 0. Эскиз гра-
графика представлен на фиг. 32,6.
Исследование заданной функции во второй производной про-
провести нельзя, так как /" (х) не существует в точке х = 0.
ТРИДЦАТЬ ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Продолжение упражнений на определение максимума и
минимума функций и их наибольшего и наименьшего значения на отрезке (необ-
(необходимые краткие сведения из теории помещены в тридцать втором практиче-
практическом занятии).
Задача 33,1- Определить экстремум квадратичной функции
у = ах2 -[- Ьх -f с.
242

Решение. Прежде всего находим первую производную
функции
у' = 2ах+Ь
и решаем уравнение 2ах + Ь = 0; х =—^. Бесконечный интер-
интервал (—оо, +оо) существования заданной функции разбивается
на два:
»• -I): (-£- +»)• ^
Для исследования вопроса о знаке первой производной в этих
интервалах возьмем в каждом из них произвольную точку: на-
пример, в первом — точку — я '» а во втором — я- + 1, и вы-
вычислим первую производную функции в этих точках:
Таким образом мы получаем такую последовательность знаков
первой производной:
при а>0 —, +, при а<0+, —
min max
Заключение. Квадратичная функция у = ах2 + Ьх + с в
точке х = —„~ достигает: минимума, если а>0, максимума при
а < 0. Значение ординаты в этой точке:
) +Ь()+С + С
Исследование во второй производной значительно проще при-
приводит к этому же результату (у" = 2а), и сразу видно, что в
критической точке х = — ^ при а < 0 — максимум, а при а > 0 —
минимум. Читателю известно, что квадратичная функция у = ах2 +
-f Ьх + с определяет параболу с осью, параллельной оси Оу. В
первой части этой книги вершину параболы мы определяли вы-
выделением в правой части уравнения у — ахг + Ьх + с полного квад-
квадрата и последующим параллельным переносом координатных осей.
После разбора этой задачи учащийся получает более простой спо-
способ определения координат вершины параболы у = ах2 + Ьх + с:
надо просто определить экстремум этой функции. Числовые
примеры:
1) Найти вершину параболы у = 2х2 + 6х — 7.
243

Решение, у' =Ах + 6; Ах + 6 = 0; л: = —g— абсцисса
вершины.
Так как а — 2 > 0, то в этой точке функция имеет минимум.
Ордината вершины равна
а координаты вершины этой параболы
2) Найти вершину параболы у = —5лг2 — Ах + 2.
2
Решение, у' = —Юд; — 4; —Юх — 4 = 0; х = —g-. Так
как здесь а = —5 < 0, то в этой точке функция имеет макси-
максимум, а у(—з") = Т" Координаты вершины параболы (— -g-, -g-J.
Несколько аналогичных задач решите самостоятельно. Найти
координаты вершины парабол и начертить эскизы их графиков:
\) у = х*+х+\; 2) у = — 4л? + 9л:— 1;
3) у = — 2г> + 2х + 3; 4) г/ = 4х2 + 6х — 4;
5) у = 6х2 + 2л:.
Ответ. 1) (-т, т); 2) ^, Гб); 3) (у, у);
/3 25\ - / 1 1\
4)(-Т. -т)! 5) (-Т- -Т)'
Задача 33,2 (для самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум функцию / (.v) = sin3 x + cos3 x и начертить эскиз гра-
графика этой функции.
Указания. 1) Функция периодическая, а ее период Т = 2ъ;
f (х + 2х) = / (х). Поэтому при определении экстремума можно
ограничиться определением экстремума на отрезке [0; 27и];
2) у' = 3sinхcosx(sinx—cosjc). На отрезке [0, 2т] уравнение
3sin л: cos л: (sin л: — cosa;)=0 имеет такие корни: 0;-^-; -jr\ u;
■j-', -£; 2и, а потому критическими точками будут 0; -j\ -g-; u;
5-^ ?? 9^
3) Дальнейшее исследование выгоднее провести по второй
производной, знак которой следует определить во всех критиче-
критических точках.
Ответ. Максимум в точках: 0; £; -j тс; 2тс;/@) = 1; /f-j) =
244

Минимум в точках: -|, г., -^, а / (^-j = -у , /(г) = — 1;
)
Задача 33,3 (для самостоятельного решения). Исследовать на
_2_ J_
экстремум функцию / (х) — х3 — (х2 — 1K.
Сделать эскиз графика функции.
Указания. 1) Область определения функции — интервал
(—оо, +оо), 2) первая производная обращается в нуль при х =
= ±Xf',3) Пх) = оо при х = —1; х = 0; х= + 1; 4) крити-
ческие точки —1; ^-; 0; — ; 1.
Ответ. При х = + 1 экстремума нет; при х = 0 — минимум; при
V2
х = ± г-^ максимум.
В следующих четырех задачах, которые должны быть решены
самостоятельно, надо иметь в виду, что если в рассматривае-
рассматриваемом интервале имеется единственный экстремум, то
в критической точке функция достигает наименьшего,
или наибольшего значения, смотря по тому, будет ли
в этой точке минимум или максимум.
Задача 33,4 (для самостоятельного решения). Найти наимень-
наименьшее значение функции у = х2\пх.
Указание. 1) Область существования функции — интервал
@, +оо); производная существует во всем этом интервале; 2) крити-
критическая точка х — -р.. Других критических точек нет. 3) /"(-^)
Уе \у е)
и тогда при х = -р. — минимум. Так как заданная функция
У е
имеет на интервале @, +оо) единственный минимум, то при х = -р.
Vе
функция достигает наименьшего значения, и это наименьшее
значение/ ^_) = _1
Задача 33,5. Найти наибольшее значение функции у = х]-Ых.
Указание, у' = лг'-1п*^-A — 2 In л:).
Для всех значений х из интервала @, +оо), в котором опре-
определена заданная функция, производная имеет конечное значение
и обращается в нуль, когда 1— 21плг = 0, т. е. при \nx-lr-, и
тогда х = Vе — единственная критическая точка.
Докажите, что в этой точке функция достигает максимума.
Так как эта точка — единственная критическая точка функции, а
245

в ней достигается максимум, то в ней достигается и наибольшее
значение заданной функции:
1 — 4
Унаиб = у (V~e) — (У~еУ~1пГ° — Q^e) ~ 2 = (]/ёJ = ]/е.
Задача 33, 6 (для самостоятельного решения). Найти наимень-
наименьшее значение функции у= ^-.
Ответ. уНаиы= е при д: = е.
Указание, у' = п*~ . Область существования функции
состоит из двух интервалов: @, 1) и A, +оо). В каждом из этих
интервалов производная имеет конечное значение, причем у' = О
при 1пл:—1=0, т. е. когда 1пх=1, а х = е.
Задача 33, 7 (для самостоятельного решения). Найти наимень-
наименьшее значение функции у — хх.
Ответ. Наименьшего значения функция достигает при х =
Указание, у' = Xх (\пх+\) и имеет конечное значение при
всех х > 0.
Задача 33, 8 (для самостоятельного решения). Определить экст-
экстаз
ремум функции и = 2х + 3 ]/ B — xf.
Указания. 1) ы =
2B —хK —2
= — —:—;
:
B-хK
2) критических точек две: х = 1 и х = 2;
3) рассмотреть знак первой производной в интервалах (—оо, 1);
<1,2); B, +оо).
Ответ. При х = 1 функция имеет максимум: утак = 5; при
л: = 2—минимум, г/тш=4. В интервале B, +оо) функция
возрастает.
Задача 33, 9 (для самостоятельного решения). Исследовать на
з
экстремум функцию u=~^V Bax — я2L.
Ответ. При х = 0 и х = 2а функция имеет минимум:
о 3
и @) = 0; и Bа) = 0; при х = а — максимум и и (а) = -^ a2 Va2.
Указание к решению задач 33, 10 и 33, 11. В этом случае,
когда первая производная представляет собой отношение двух
функций, а исследование на экстремум ведется при помощи вто-
второй производной, полезно для упрощения вычислений иметь в
виду следующее: пусть у' = —, где и и v — функция х.
Тогда
„ u'v — uv'
У = ^г— =
246

Сокращая последнюю дробь на и и принимая во внимание,
и , „и' — y'v'
что — = у , получим у — —.
Так как при исследовании функции на экстремум по второй
производной мы определяем знак второй производной при тех зна-
значениях х, которые обращают в нуль первую производную, то в
предыдущей формуле окажется, что у' = 0, и тогда y'v' = 0, а
знак у" будет таким же, как и знак —. Поэтому нет на-
надобности в рассматриваемом случае отыскивать полностью вто-
вторую производную для, определения знака второй производной при
значениях х, найденных из уравнения у' = 0, а надо эти значения
подставить в выражение — . Составить же это выражение зна-
значительно проще, чем отыскивать вторую производную. Если ока-
окажется, что v > О, то придется исследовать знак только и'.
Задача 33,10. Исследовать на экстремум по второй производ-
производной функцию
Xs + X
У = х* — х* + 1 '
Решение. Находим прежде всего первую производную:
, 1 + 4л:а — 4х* — хь
У ~ (л-4 — х'' + I)' '
При всех действительных значениях х производная имеет конеч-
конечное значение. Критические точки найдем из уравнения у' =0.
Приравнивая числитель дроби нулю, имеем 1 +Ах2 — 4л:4 — х6 =0,
откуда 1—лгв + 4лг2A—х2) = 0. Рассматривая 2 — хв как раз-
разность кубов, получаем 1—х6 = A—х2) A -\-хг + лт4), а уравне-
уравнение перепишется в виде:
A —хг) A + х2 + х*) + 4хг A — хг) = 0,
или
A— х2)(\ + 5х* + л;4) = 0:
отсюда получаем два уравнения: 1) 1—хг = 0; 2) 1 -f- 5л:2 +
+ л:4 = 0.
Корнями первого уравнения будут числа х = — 1; *= + 1, а
второе уравнение имеет только комплексные корни, а потому кри-
критическими точками будут только точки х = — 1 и х= + 1. Для
определения знака второй производной при этих значениях со-
составим, согласно сделанному указанию, выражение —. У нас и =
= 1 +4х2 — 4л:4 — л:6; v = (л:4 — х2 + IJ;
а так как v > 0 при любом х, то надо исследовать знак только
и' = 8л:— 16л:3 -6л:5; ы'(— 1) = 14 >0.
247

Значит, при х = — 1 функция имеет минимум, и t/min = —2.
При х — + 1 имеем и' (+ 1) = — 14 < 0 и, значит, при х = + 1
функция имеет максимум, a t/max = + 2.
Задача 33,11 (для самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум функцию и =/* ]Г
Указание, ц' = * j"»!'• Корнями уравнения ы'=0 будут
*! = — 3; х2 = 0; и' = оо при д; = — 2. Но при л: = — 2 заданная
функция не существует, а потому значение л; — —2 рассмотрению
не подлежит. Критическими точками, подлежащими рассмотре-
рассмотрению, являются хг = — 3 и д:2 = 0.
Ответ. При х — — 3 экстремума нет; при х = 0 функция
имеет минимум, а итт = и @) = 6^-.
Теперь мы решим несколько задач, в которых требуется опре-
определить наибольшее или наименьшее значение функции, причем,
в отличие от предыдущих задач, эта функция не дается в гото-
готовом виде, а определяется из условия задачи.
Общее указание. Во всех случаях, когда функция, опреде-
определенная из условия задачи, окажется функцией двух независимых
переменных, надо, используя известные теоремы, одну из этих
переменных исключить.
Задача 33,12. Доказать, что из всех прямоугольников, имею-
имеющих данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет квадрат.
Решение. Обозначим длину одной стороны прямоуголь-
прямоугольника через х. Тогда длина другой его стороны будет р—х, а его
площадь s — x(p — jc) @ <л: < р). Эта функция и есть та, кото-
которая получена из условия задачи и наибольшее значение которой
должно быть найдено:
d± = p-2X; £ = -2.
dx r ' dx2
Приравняем первую производную нулю. Из уравнения
р — 2х = 0 находим, что х = -у. Так как вторая производная
отрицательна, то при этом значении х функция достигает мак-
максимума, а поскольку в интервале 0 < х < р имеется единствен-
единственный максимум, то он будет-и наибольшим значением функции
в этом интервале.
Мы нашли, что наибольшего значения площадь прямоуголь-
прямоугольника достигает, когда одна его сторона х = у, его другая сто-
сторона равна р — т ~ Y» т- е# стороны его равны, а прямоуголь-
ник — квадрат: SHaH6 = ^ кв. ед.
248

Итак, из всех прямоугольников, имеющих один и тот же
периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.
Задача 33,13 (для самостоятельного решения). Доказать, что
из всех прямоугольников, имеющих данную площадь а2, квадрат
имеет наименьший периметр.
Указание. Если обозначить длину одной стороны прямо-
угольника через х, то другая сторона равна —, а периметр
Это и есть составленная из условия задачи функция, наимень-
наименьшее значение которой требуется определить.
Найти j- и решить уравнение ■£, = 0.
Ответ, х = а, т. е. прямоугольник — квадрат.
Задача 33,14. Основание треугольника равно а, а его пери-
периметр 2р. Определить его две другие стороны так, чтобы площадь
его была наибольшей.
Решение. Пусть вторая сторона треугольника Ъ ~ х. Тогда
его третья сторона с = 2р — а — х. Известно, что площадь тре-
угольника определяется по формуле S = У^р(р — а) (р — Ь) (р — с),
а в наших обозначениях S = ]/р (р — а) (р — х) [р — Bр — а — х)],
т. е.
S = Ур(р-а)ф-х)(а + х-р). @ < х < р)
Таким образом из условия задачи определена функция, наи-
наибольшее значение которой требуется найти. Очевидно, что эта
функция достигает наибольшего значения, когда ее подкоренное
выражение будет наибольшим. В подкоренном выражении первые
два постоянные множителя можно не учитывать, а потому тре-
требуется определить наибольшее значение произведения /(*) =
=--(р — х)(а + х — р). Находим, что f (х) = — (а + х — р) + (р —
— х)=2р — а — 2х. Решая уравнение 2р — а — 2х = 0, находим,
что х — р — — , т. е. Ь = р—т-. Третья сторона с = 2р — а —
— (р—%) = Р—' т* е# ^ = с> и рассматриваемый треуголь-
треугольник— равнобедренный. Так как /" (х) — —2<0, то отсюда за-
заключаем, что при х = р — у площадь достигает наибольшего зна-
значения (при х — р — y Функция s имеет максимум, но так как
в интервале @, р) он единственный, то х = р — -х-доставляет функ-
функции наибольшее значение в этом интервале).
249

Задача 33,15. (для самостоятельного решения). В треугольнике
одна сторона а, противолежащий ей угол а. Определить два
других угла так, чтобы площадь его была наибольшей.
Указание. Второй угол треугольника обозначить через х,
тогда его третий угол т. — (а.+х). Площадь треугольника Sa =
= Yaysmx< гле х—угол, образуемый сторонами а и у. Функ-
Функция S—функция двух переменных х и у. Используем теперь
известную из тригонометрии теорему синусов
a sin a
~у ~ sin [л — (а + *)] •
откуда
о sin (a -f- x)
У =-
Sin a
« 1 а2 sin (a + дг) sin x
2 sin a
Теперь уже S—функция одной независимой переменной.
Наибольшего значения S достигнет тогда, когда его достиг-
достигнет множитель числителя f(x)=sin(a.-{-x)smx, производная
n) iB)
n) ()
Уравнение sinBx -f- a) = 0 имеет решение 2л:+а = 7и&. Зна-
Значения k = 0 и &> 1 не должны рассматриваться. Остается одно
решение:
2х + a = it, а х = у (тс — а).
Если х = y (ic — а), то третий угол равен тс — a — -^{т. — а.) =
= -„ (ic — а) и, таким образом, углы, прилежащие к стороне а,
между собою равны, и искомый треугольник — равнобедренный.
Решите самостоятельно вопрос о том, доставляет ли значение
х = -^(т. — а) наибольшее значение функции S (докажите, что
f" (x) < 0, когда х = ~ (ic — a) j.
Задача 33,16. Требуется изготовить закрытый цилиндриче-
цилиндрический бак объемом V. Какими должны быть его размеры, чтобы
на его изготовление ушло наименьшее количество материала?
Решение. В задаче требуется определить в каком отно-
отношении должны находиться радиус и.высота цилиндра, чтобы при
заданном объеме V его полная поверхность была наименьшей.
Полная поверхность цилиндра
5 = 2-RH + 2-Я2. (R > 0)
250

Наименьшее значение этой функции и следует определить. Но
легко усмотреть, что S является функцией двух независимых
переменных. На основании указания стр. 248 следует одну из
этих переменных исключить. Известно, что объем цилиндра V=
= tzR2H.
В задаче V — величина известная. Выразим Н через V:
Н = ^. (А)
С этим значением Н полная поверхность цилиндра
1/ 91/
S = 2ти# . -4г* + 2тиЯ2, или S = 4? + 2*Я2.
Теперь уже S — функция только одной независимой перемен-
переменной R:
и при любом R имеем, что S"(R)~>Q. Из уравнения S' (R) =0
следует, что
з
4z#3 — 21/= 0, а # =
Так как S"(/?)>0, то это значение R доставляет функции S
минимум, а вместе с тем и наименьшее значение.
Подставив в равенство (Л) это значение R, получим, что
Н= /=2/1, т.е. Й-2Я.
Таким образом, на изготовление цилиндра заданного объема
будет употреблено наименьшее количество материала, если взять
высоту цилиндра равной диаметру.
Задача 33, 17 (для самостоятельного решения). Требуется из-
изготовить цилиндрический сосуд заданного объема V, открытый
сверху. Определить его радиус и высоту так, чтобы поверхность
была наименьшей.
Ответ.
з
Задача 33, 18 (для самостоятельного решения). Какие разме-
размеры должен иметь цилиндр, поверхность которого оавна S, чтобы
его объем был наибольшим?
251

Указание. Объем цилиндра
V = *R*H (A)
— функция двух независимых переменных R и Н. Чтобы одну из
них исключить, воспользуемся формулой для вычисления полной
поверхности цилиндра:
из которой следует, что
„ S -
Это значение Н подставим в формулу (А) и получим, что
v SR —
Ответ. R — 1/ т-; И — 2R, т. е. высота цилиндра должна
быть равна диаметру его основания.
Задача 33, 19 (для самостоятельного решения). Доказать, что
прямой круговой конус при заданном объеме имеет наименьшую
боковую поверхность тогда, когда R2: Н2:12 — 1 : 2: 3.
Указание. S6oK. K0Hyca = ти#/; / = УН2 + R2; тогда S =
= ~R\' Н2 -{- R2. Наименьшее значение этой функции требуется
найти. Но она — функция двух независимых переменных. Одну
из них можно исключить с помощью формулы для объема конуса:
I 3V
V = -о" ~R2H, откуда И = —н2,
и тогда
S = 4 /9V2 + t2R*.
Ответ. * = ]/%; Н = У%; l=V3- }f-*=, откуда
следует, что R*: Я2:12 = 1 : 2 : 3.
Задача 33, 20 (для самостоятельного решения). Чему должны
быть равны радиус основания R, высота Н и образующая / пря-
прямого кругового конуса для того, чтобы при заданном объеме V он
имел наименьшую полную поверхность?
Указание. Учесть указание, данное в предыдущей задаче.
2п У 2
Задача 33,21 (для самостоятельного решения). Чему должны
быть равны высота Н, радиус оснований R и образующая / пря-
прямого кругового конуса, чтобы при заданной боковой поверхно-
поверхности S он имел наибольший объем?
252

У к азан и е. Объем конуса V = -g-id
Из этой формулы одну независимую переменную следует исклю-
исключить. Используем с этой целью формулу для вычисления боко-
боковой поверхности прямого кругового конуса S=nRl, или так как
образующая конуса / = У Я2 + R2, то S = kR УН2 + R2~ откуда
"ь^ С2 тс2/?4
Я = -—^о , а объем V с этим значением Я становится функ-
функцией одной независимой переменной:
t2R\
Ответ. Объем конуса будет наибольшим при
Уз Уз
откуда следует, что R2: Я2:12 = 1:2: 3.
Задача 33, 21а (для самостоятельного решения). При данной
длине прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна
ширине и квадрату высоты.
Из цилиндрического ствола дерева диаметром d надо выре-
вырезать балку наибольшей прочности. Определить ширину и высоту
балки.
Указание. Л2 = d2 — х2. Прочность у = kx(d2 — хг), где k
коэффициент пропорциональности.
Ответ. Ширина балки * = -?=-_, а ее высота h = I/ —d.
Задача 33, 22 (для самостоятельного решения). Найти радиус
основания г и вьхоту h прямого кругового конуса, вписанного
в шар радиуса R так, чтобы его объем был
наибольшим.
Указание. Объем конуса V — у r.r2h.
Исключим одну из переменных, например
г2. На фиг. 33,1 изображено сечение фигу-
фигуры плоскостью, проходящей через ось
конуса. Известно, что в прямоугольном
треугольнике перпендикуляр, опущенный
из прямого угла на гипотенузу, есть сред-
средняя пропорциональная между отрезками
гипотенузы. Поэтому .Rr_h = — и г2 =
— hBR — h), а объем конуса V—
_м Фиг. 33,1.
Ответ. h = j
253

Задача 33, 23 (для самостоятельного решения). На какой вы-
высоте следует поместить источник света над освещенной поверх-
поверхностью, чтобы освещение на расстоянии а от основания перпен-
перпендикуляра, опущенного из источника света на освещенную поверх-
поверхность, было наибольшим?
Известно, что освещенность обратно пропорциональна квад-
квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна
синусу угла между лучом и освещенной поверхностью.
Указание. Освещенность Е = k
sin <
а2 +
,, где k — коэффици-
ент пропорциональности, h — высота источника света над осве-
освещенной поверхностью, ? — угол между лучом и освещенной по-
верхностью. Так как sin <р = ■, г ., то Е = k
Ответ. h =
(а2 + Л2)т
; максимальная освещенность £max =
2k
—; максимальная освещенность £max = .
Задача 33, 24 (для самостоятельного решения).} Точка Рг дви-
движется в направлении от А к В с постоянной скоростью .Vv В тот
момент, когда Рл проходит че-
через А, другая точка Р2 выхо-
выходит из В и движется с постоян-
постоянной скоростью Уг по направле-
направлению к С. В какой момент вре-
времени t расстояние Р\Рг между
этими двумя точками будет наи-
наименьшим, если принять АВ — а,
/_АВС = $ (фиг. 33,2).
Указание. За время /пер-
/первая точка, двигаясь с постоян-
постоянной скоростью Vb пройдет рас-
расстояние Vy и в треугольнике
РгРгВ сторона PjB = a—Vjt; вторая точка, вышедшая из В за
то же время t пройдет расстояние Р2В = V2t, а потому по из-
известной формуле геометрии квадрат стороны Р,Р2 треугольника
PtP2B равен
(Р,Р2)г = (а
+
2 (а — Vxt) V2t cos
Ответ. Момент времени t, в который расстояние РгРг между
точками будет наименьшим, определится по формуле
( =
Задача 33,25. На расстоянии АВ = Ь от прямолинейной ма-
магистрали ON находится завод В. От какого места D магистрали
254

надо сделать прямолинейное ответвление DB, чтобы стоимость
проводки водопровода к заводу была наименьшей, если известно,
что стоимость единицы длины водопровода по направлениям OD,
DN и DB равна соответственно kx, k2 и k3 рублей, ОА = а,
ON = 1 (фиг. 33,3).
Указание. Стоимость водопровода: 1) на участке 0D равна
k)X\ 2) на участке DN равна k2{l — х); 3) на участке DB она
равна ka У~(а — хJ + Ь*.
0
О
AM
Фиг. 33,3.
Общая стоимость k = k{x + k2 (I — x) -\- k3 Y{a — xJ + b2. Убе-
k k(
диться, что -г = «i — «2
ОХ
-г
ОХ
(
(k,(a — x)
у @ _ хуг
определить х из урав-
нения
и показать, что при наиденном х
d->0
dx2
Выгодно ввести в рассмотрение угол BDA = а. Из фиг. 33,3
видно, что cos а == ,. ° ~-^-== . Из уравнения (Л) следует, что
а —х _ ft, — fe; ,R
т. е.
COS а =
42
j — k2< kj
C3, 23
и, значит, ответвление DB следует вести под углом а, определя-
определяемым из равенства C3,23). Выражение для х получается очень
просто:
{а — х)а , (а — or)* 4- b2 „ , . б2
(а — х)- + Л2
2 (а — а-K + Ь2 2 , ,
s^ j[- ^ '. 1 — sec а" \ -\- ■
' (а — дгJ v ' (а -
ть = sec2 а;
(а — хJ
а — x\2 , „ о — x
= ctg2
ctg2a;
= ctga,
255

и х определяется равенством х — а — Ъ ctg а, в котором а уже
известно из C3, 23).
Задача 33, 26 (для самостоятельного решения). Стоимость пере-
перевозки груза на один километр по железной дороге АВ равна kx
рублей, а по шоссе PC— k2 рублей (kt < &2)« С какого места Р
надо начать шоссе, чтобы возможно дешевле доставить груз из
Л в С. Известно, что АВ = а; ВС = Ъ (фиг. 33,4).
Ответ. АР = а — fectga, а угол а определяется из соотно-
соотношения cos a = £. Из последнего равенства усматриваем, что на-
«2
С
Д Р В
Фиг. 33,4.
правление, в котором надо вести шоссе, зависит только от отно-
отношения стоимостей и не зависит от положения точки Р. Если,
например, k2 = Akb то cos a = -£■ = -j, a otx: 75°.
ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Точки перегиба. Асимптомы.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Определение 1. Говорят, что на интервале (а, Ъ) кривая
обращена выпуклостью вниз, если она лежит выше касательной,
проведенной в любой ее точке.
Определение 2. Говорят, что на интервале (а, Ь) кривая
обращена выпуклостью вверх, если она лежит ниже касательной,
проведенной в любой ее точке.
Дуги кривой, обращенные выпуклостью вверх, в дальнейшем
будем называть выпуклыми, а обращенные выпуклостью вниз, —
вогнутыми.
Дуга кривой y = f(x) выпукла на интервале (а, Ь), если во
всех точках этого интервала f (x) < 0, и вогнута на этом ин-
интервале, если во всех его точках f (х) > 0.
Правило. Интервалы, в которых дуги кривой выпуклы, опре-
определяются из неравенства ]" (х) <.О, а интервалы, в которых
дуги этой кривой вогнуты, — из неравенства /" (х) > 0.
256

Определение 3-Точка кривой, отделяющая ее выпуклую дугу
от вогнутой, называется точкой перегиба.
Определение 4. Точки кривой, в которых /"(*) = 0 или
f" (х) = со, а также те из них, в которых f (х) не существует,
называются критическими точками второго рода.
Точки перегиба следует искать среди критических точек вто-
второго рода.
В критической точке второго рода х = х0 перегиб будет
только в том случае, когда при переходе через эту точку f" (х)
меняет знак.
Правило. Для определения точек перегиба кривой надо опре-
определить все критические точки второго рода и рассмотреть знаки
f" (х) в каждых двух соседних интервалах, на которые эти точки
делят область существования функции. В случае, если знаки
f (х) в двух соседних интервалах различны, критическая точка
второго рода является точкой перегиба. Если же в двух соседних
интервалах f (х) имеет один и тот же знак, то в рассматри-
рассматриваемой критической точке второго рода перегиба нет. В точке
перегиба кривая пересекает касательную.
Задача 34,1. Определить интервалы выпуклости и вогнутости
и точки перегиба графика функции
у = 5х2 + 20л; + 9.
Решение. Область существования функции — интервал
(—со, +со); у' = Юх + 20; у" = 10 > 0,
и так как у" > 0 при любом значении х, то кривая вогнута на
всем интервале (—со, +оо). Точек перегиба нет.
Задача 34,2. Определить интервалы выпуклости и вогнутости
и точки перегиба графика функции
,, = _ 6х2 + 8а-— 11.
Решение. Область существования функции — интервал (— со
+ со).
у' = — 12х + 8; у" = — 12 < 0.
Так как неравенство у" < 0 выполняется при любом х из об-
области существования функции, то кривая на всем интервале
(—со, -|-со) выпукла. Точек перегиба нет.
Задача 43,3. (для самостоятельного решения). Определить
интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба
кривых:
1) у = 3х2 +х + 1; 2) у = —2х2 + 8х — 9; 3) у = х2-\-х.
Ответ. На всем бесконечном интервале (—со, -|-оо) кривая
1) вогнута, 2) выпукла, 3) вогнута. Ни одна из этих кривых точек
перегиба не имеет.
9 з-4зо 25Г

Задача 34,4. Определить точки перегиба и интервалы выпук-
выпуклости и вогнутости кривой у = х3.
Решение. Область существования функции — интервал (—оо,
+ со); у' = Зх2, у" — 6х. Решаем уравнение блг = 0 и находим,
что х—0. Вторая производная конечна и существует при любом
х, а потому х — 0 — единственная критическая точка второго
рода. Область существования функции она разделяет на два
интервала:
1) (—оо, 0) и 2) @, +оо).
В каждом из этих интервалов у" сохраняет знак. При любом
значении х из первого интервала у" < 0, а при любом х из вто-
второго интервала у" > 0. Таким образом при переходе через точку
х — 0 вторая производная меняет знак. Эта точка является точ-
точкой перегиба. Ее координаты @, 0). В первом интервале (—оо, 0)
кривая выпукла (у" < 0), а во втором — вогнута (у" > 0).
Задача 34,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что
кривая у = х(х2— Ь2) имеет точку перегиба в начале координат.
Задача 34,6. Определить точку перегиба и интервалы выпук-
выпуклости и вогнутости кривой у = ха — \2хг +х—1.
Решение. Область существования функции — бесконечный
интервал (—оо, -foo). Находим у":у'==3х2— 24л:+ 1; у" =
= 6л; — 24.
При любом х вторая производная конечна и существует. Кри-
Критическую точку второго рода найдем из уравнения у" = 0, т. е.
из уравнения Ьх — 24 = 0. Такой точкой будет х= 4. Интервал
существования функции она разделяет на два:
1) (-оо, 4) и 2) D, +оо).
В каждом из этих интервалов у" сохраняет знак. При любом х
из первого интервала у" < 0, а при любом х из второго интер-
интервала у" > 0, а потому точка с абсциссой лг = 4—точка перегиба,
а так как в первом интервале у" > 0, и дуга кривой на нем —
выпукла, а во втором интервале у" > 0, дуга кривой на нем —
выпукла, а во втором интервале у" > 0, и дуга кривой вогнута.
Координаты точки перегиба D, —125).
Задача 34,7 (для самостоятельного решения). Определить точ-
точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой у =
= —*3 + 15ха —ж—250.
Ответ. Точка перегиба E, —5); слева от точки перегиба
кривая вогнута (у" > 0), справа от нее — выпукла (у" <0).
Задача 34,8 (для самостоятельного решения). Определить точки
перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой
у = х4 + 2xs — 12х2 — Ъх + 2.
25S

Ответ. Точки перегиба при х =—2 и я= 1; на интервалах
(—оо. —2) и A, +со) кривая вогнута, на интервале (—2, 1)—
выпукла.
Задача 34,9 (для самостоятельного решения). Найти точки
перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой
у = х4 — 4xs — 18л;2 + А5х — 14.
Ответ. Точки перегиба (—1, —72) и C, —68). На интервале
(—оо, —1) кривая вогнута; на интервале (—1, 3) кривая выпукла;
на интервале C, -}-оо) кривая вогнута.
Задача 34,10 (для самостоятель-
самостоятельного решения). Определить интерва-
интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба кривой у = (х— IL.
Ответ. Кривая на всем беско-
бесконечном интервале вогнута (у" > 0).
Задача 34,11 (для самостоятель-
самостоятельного решения). Определить точки
перегиба и интервалы выпуклости
и вогнутости кривой у = е~х' (кри- Фиг. 34,1.
вая Гаусса, или кривая вероятностей).
I V2 1 \ IV Т 1 \
Ответ. Точек перегиба две: \——, 4r=-jVL\2~' Vt)'
V2
Слева отточки х = g- кривая вогнута, на интервале
V2 V%\ V2
-5— • -Чг~ | кривая выпукла, а справа от точки х = —~ вогнута
(фиг. 34,1).
Асимптоты
Определение. Если расстояние d от точки кривой y = f(),
имеющей бесконечную ветвь, до некоторой определенной прямой
по мере удаления точки по этой кривой в бесконечность стре-
стремится к нулю, то прямая называется асимптотой кривой.
Различают асимптоты: 1) горизонтальные, 2) вертикальные
и 3) наклонные.
1. Кривая y = f(x) имеет горизонтальную асимптоту у — Ь
только в том случае, когда существует конечный предел функции
f (х) при х -»- + оо или при х-*- — оо, и этот предел равен Ь, т. е. если
\\mf(x) = b или l\mf(x) = b. C4,1)
2. Кривая y=f(x) имеет вертикальную асимптоту х — а,
если при х-> а, х-> а — 0 или при х -*■ а + 0, f(x)-*-<x>. Для опре-
определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения аргу-
аргумента, вблизи которых f(x) неограниченно возрастает по абсо-
9* 25»

лют ной величине. Если такими значениями аргумента являются
at, a» то уравнения вертикальных асимптот будут
х = ах; х = аг; ...
3. Для определения наклонной асимптоты у = kx-\-b кривой
у = f (х) надо найти числа k и b из формул
k = lim
Т(х)
C4,2)
b = lim |
—foe]
C4,3)
(следует отдельно рассматривать случаи х-+-\-со их-*- — оо).
Наклонные асимптоты у кривой у = f(x) существуют в том и
только в том случае, когда пределы C4,2) и C4,3) имеют ко-
конечное значение (если окажется, что k = 0, a b имеет конечное зна-
значение, то асимптота будет горизонтальной). При определении
пределов C4,2) и C4,3) удобно пользоваться правилом Лопиталя.
Задача 34,12. Найти асимптоты кривой у =— (равноосная ги-
гипербола).
Решение. 1) Находим горизонтальные асимптоты по форму-
формулам C4,1):
lim 1 = 0; lim 1=0,
«.» + « Х *— оо *
и кривая имеет единственную горизонтальную асимптоту у = О,
т. е. горизонтальной асимптотой является ось Ох.
2) Определяем вертикальную асимпто-
асимптоту; для этого находим те значения х, вбли-
вблизи которых f(x) = — неограниченно воз-
возрастает по абсолютной величине. Таким
значением будет х = 0. Вертикальная
асимптота имеет уравнение х = 0, т. е.
это ось Оу (фиг. 34,2).
Задача 34,13. Найти асимптоты гра-
графика функции у = -г—7-
Решение. 1) Для определения гори-
горизонтальных асимптот находим по C4,1)
Фиг. 34,2.
lim -2-J = 0 и lim -/-j- = 0.
*-*-)-~ * * *-*_oo* 4
Горизонтальная асимптота одна: у = 0 (ось Ojc).
2) Для определения вертикальных асимптот находим те зна-
2
чения х, вблизи которых f (х) = —— неограниченно возрастает
х —4
260

по абсолютной величине. Такими значениями являются =—2
и х = +2, и вертикальными асимптотами будут прямые х ——2
и х = + 2. Эскиз графика показан на фиг. 34,3.
Задача 34,14 (для самостоятельного решения). Определить
асимптоты графика функции у — —.
Ответ. Вертикальная асимптота х = 2, горизонтальная асимп-
асимптота у= 0 (ось Ох); наклонных асимптот нет.
'2
y-arctgj:
Фиг. 34,3.
Фиг. 34,4.
Задача 34,15 (для самостоятельного решения). Определить
асимптоты графика функции у = jxi*
Ответ. Горизонтальная асимптота у=\\
вертикальная асимптота х — —4;
наклонных асимптот нет.
Задача 34,16. Найти асимптоты кривой # = arctgx.
Решение. Находим горизонтальные асимптоты по формулам
C4,1) полагая в них i(x) = arctgx.
lim arctg* = -~
lim arctgx =—-^.
Горизонтальные асимптоты имеют уравнения у— -^ и у = —„.
Вертикальных асимптот нет, так как нет значений х, вблизи
которых функция f(x) = arctgx неограниченно возрастает по
абсолютной величине (фиг. 34,4).
Задача 34,17 (для самостоятельного решения). Найти асимп-
асимптоты кривой y = tgx.
Ответ. Вертикальных асимптот бесконечно много. Их урав-
уравнения
х = ~ Bk + 1),
где k = 0, +1, ±2, ± 3, ... (фиг. 34,5) (это следует из того, что
вблизи точек х=4- B6 + 1) функция tgx неограниченно возра-
возрастает по абсолютной величине). Других асимптот нет.
261

Задача 34,18 (для самостоятельного решения). Найти асим-
птоты кривой у = -4--.
Фиг. 34,5.
Ответ. Горизонтальная асимптота у = 0; вертикальная асимп-
асимптота х = 0 (фиг. 34,6).
Задача 24,19 (для самостоятельного решения). Найти асимпто-
асимптоты кривой у =
Ответ. Горизонтальная асимптота
у = 0 (фиг. 34,7).
Задача 34,20. Найти асимптоты кри-
ха+ 1
вои ^ = 27Тз-
Решение. Горизонтальных асимптот
нет. Так как у неограниченно возрастает,
когда х-*— -^х+ 3 = 0 при х — тг),
то имеется вертикальная асимптота: ее
з
уравнение х = — у, при этом у-*-—со,
когда х -»- — -g—0 и #->-f-°°.
когда
х-+ —|т +0 (эти сведения мы используем
в дальнейшем при построении эскиза гра-
графика).
Теперь определим наклонные асимптоты, уравнение которых
имеет вид у = kx -\-b, a k и b определяются по формулам C4,2)
х2 + 2
и C4,3), в которых надо взять f(x) =2 ■
, .. 2х+3 ,.
6= hm
х2+1
11 ..
——х \— Ii
Iim
!х2+ Зх ~ 2 '
—Зх -f 3 _ _3
4x4-6 Т*
262

Так как k и Ь имеют конечные значения и равные между
собой при х -*■ -f- оэ и при х->— со, то имеется единственная на-
наклонная асимптота, уравнение которой
Чтобы сделать заключение об интервалах, на которых кривая
находится над асимптотой и под ней, надо составить разность
8 = г/кр. — уаСф. На тех интервалах, где 8>0, кривая лежит над асимп-
асимптотой, а на тех, где 8 < 0, кривая лежит под асимптотой.
В нашем случае укр =Г)
'+1.
13
Знак 8 такой же, как и знак двучлена 2л:+ 3. Решая нера-
неравенства 1) 2л: + 3>0 и 2) 2л: + 3<0, находим, что первое вы-
3 3
полняется при х> — у, а второе — при х <—^; поэтому:
3 ( 3 \
1) 8 > 0, когда х>—-^, а значит на интервале у—-*, + ooj
кривая лежит над асимптотой; 2) 8 < 0, когда х <—^, а это значит,
что на интервале (—оэ, —-^j кривая лежит под асиптотой.
Набросок графика функции сделан
на фиг. 34,8.
Задача 34,21 (для самостоя-
самостоятельного решения). Определить
асимптоты кривой у — —^ttq—•
Ответ. Уравнения асимптот:
1) х = — 6; 2) у = 2х — 11.
Самостоятельно решить вопрос
об интервалах, в которых кривая
лежит над асимптотой и под ней.
Замечание. Следует иметь
в виду, что когда k имеет конеч-
конечное значение, a b — бесконечное,
то наклонной асимптоты нет. Этот
случай имеет место в следующей
задаче.
Фиг. 34,8.
Задача 34,22. Найти асимптоты кривой у
2х2 4- Ах V х + 2
'2х + 4
263

Ответ. Вертикальная асимптота х = — 2. Так как Ь -*■ + оо,
когда лг-> + оо, то наклонной асимптоты нет. Так как при *<0
не существует |Ле, то пределы C4,2) и C4,3) при х -> — °° не
должны рассматриваться.
ТРИДЦАТЬ ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Общее исследование функции.
Приобретенные на предыдущих занятиях навыки в определении интерва-
интервалов монотонности функции, экстремума функции, интервалов выпуклости и
вогнутости графика функции, его точек перегиба и асимптот позволяют про-
вести полное исследование функции и построить эскиз графика функции, ко-
который, хотя и не будет отличаться большой точностью, но все же даст воз-
возможность усмотреть характерные свойства и особенности исследуемой функции
Под полным исследованием функции обычно понимается реше-
решение таких вопросов:
1) Определение области существования функции.
2) Выяснение вопроса о четности и нечетности функции.
3) Определение точек разрыва функции.
4) Определение асимптот графика функции.
5) Определение интервалов возрастания и убывания функции.
6) Определение экстремума функции.
7) Определелие интервалов выпуклости и вогнутости графика
функции.
8) Определение точек перегиба.
Полученные данные следует использовать для построения гра-
графика функции. Для большей точности эскиза графика рекомен-
рекомендуется построить еще и отдельные точки графика, давая
значения независимой переменной и определяя соответствую-
соответствующие значения функции. Полезно также получаемые данные сразу
наносить на чертеж.
Учитывая, что на предыдущих занятиях все элементы этой
схемы были полно изучены, мы дадим подробное решение только
трех задач, после чего остальные задачи должны быть решены
самостоятельно. Эти задачи снабжены ответами и необходимыми
указаниями.
„3
Задача 35,1. Исследовать функцию у = ————.
Решение. 1. Определим область существования этой функции.
Функция существует при всех значениях х, кроме х = —1, при
котором знаменатель дроби обращается в нуль. Значит, функция
определена в интервалах (—оо, —1) и (—1, + оо).
2. Исследуем вопрос о наличии центра симметрии и оси сим-
симметрии. Проверим для этого выполняются ли равенства / (—л:) =
= /(*) И f(-X)=-f(X).
264

Непосредственная подстановка убеждает нас, что ни одно из
этих равенств не выполняется, так что ни центра, ни оси сим-
симметрии график функции не имеет.
3. Числитель и знаменатель дроби у = * ni непрерывные
функции и, следовательно, функция у будет непрерывной при
всех значениях х, кроме х = — 1, при котором знаменатель дро-
дроби обращается в нуль.
4. Переходим к определению асимптот графика.
а) Вертикальные асимптоты найдем, приравняв знаменатель
нулю: 2 (х + IJ = 0; х = — 1.
Вертикальная асимптота одна: ее уравнение х = — 1.
б) Горизонтальные асимптоты находим так: отыскиваем limy
lim у = lim2, * 2 = ± со,
а это означает, что горизонтальных асимптот нет.
в) Наклонные асимптоты:
k = lim Ц2. = li
х
=1
b =--lim [f («) -kx] ^lim \щ£ъ ~ x] = T^
Наклонная асимптоты одна: у=-^-х — 1.
5 и 6. Определяем интервалы возрастания и убывания функ-
функции и экстремум функции.
Находим первую производную у' = / J_,\i-
Z (X -j- i)
Определим критические точки: 1) Решаем уравнение у' = О,
т. е. уравнение - ' _Т ' = 0 и находим, что хх = — 3; х2 = 0.
2) Определяем значения х, при которых у' = со. Таким зна-
значением является х = — 1. Но это значение рассмотрению не дол-
должно подлежать, так как оно не входит в область определения
функции. Критические точки, подлежащие рассмотрению: хг —
— — 3, хг = 0 и точка х — — 1 — разделяют интервалы существо-
существования функции на такие интервалы:
1) (-со, _з); 2) (-3, -1); 3) (-1,0); @, + со).
В каждом из этих интервалов производная сохраняет знак: в
пеовом — плюс, во втором—минус, в третьем—плюс, в четвертом—
265

плюс (в этом можно убедиться, взяв в каждом интервале произ-
произвольное значение х и вычислив при нем значение у'). Последо-
Последовательность знаков первой производной запишется так: +, —,
+, +• Значит, в интервале (— со, —3) функция возрастает, в
интервале (—3, —1) —убывает, в интервалах (—1,0) и @,+ оо)
функция возрастает.
При х = —3 функция имеет максимум и уЫгкс. = —-g • Так как
знаки во втором и третьем интервалах различны, то можно было
бы предположить, что при х = — 1 есть экстремум. Но такое пред-
предположение неверно, так как при х = — 1 заданная функция не су-
существует. Итак, функция имеет единственный экстремум (максимум)
при х = — 3.
7 и 8. Определение интервалов выпуклости и вогнутости гра-
графика функции и точек перегиба.
тт „ Зх
Находим, что у = -—г-га и определяем критические точки
14 3* Л
второго рода: 1) решаем уравнение .-4 = 0 и находим, что
уХ —|- 1 /
х = 0; 2) определяем значения х, при котором у" = со. Таким
значением является х — — 1). Как уже было отмечено выше, это
значение рассматриваться не должно, так как при нем не суще-
существует заданной функции.
Критическая точка второго рода х — 0 разделяет интервалы
(— оо, — 1), (—1, + °°) существования функции на интервалы:
1) (_ со, -1); 2) (-1, 0); 3) @, + со).
В каждом из этих интерва-
интервалов вторая производная конеч-
конечна и сохраняет знак: в первом—
минус, во втором—минус,
в третьем — плюс, и мы имеем
такое чередование знаков вто-
второй производной в этих интер-
интервалах: —, —, +.
Значит, в интервалах (—со,
— 1) и (—1, 0) кривая выпукла,
а в интервале @, + °°) — вог-
вогнута. При х = 0 вторая произ-
фиг 351 водная равна нулю, а при пе-
' " реходе из второго интервала в
третий она поменяла знак. Это указывает на то, что при х = 0,
кривая имеет точку перегиба. Координаты точки перегиба @, 0) —
это начало координат. Все полученные сведения наносим на чер-
чертеж и получаем эскиз кривой (фиг. 35,1).
266

Задача 35,2. Исследовать функцию у = г . , ,,.
X ~~\~ ^••^ "~Г~
1. Определим область существования функции. Прежде всего,
определим, при каких значениях х знаменатель хг + 2х + 3 обра-
обращается в нуль. Приравниваем знаменатель нулю и решим уравнение
х* + 2х+ 3 = 0; получим, что х = — 1 ± tj/2. Корни знаменателя
комплексны. Значит, ни при одном вещественном значении х зна-
знаменатель дроби в нуль не обращается. Дробь, представляющая
собой отношение двух непрерывных функций, будет функцией
непрерывной при всех значениях х, за исключением тех, при ко-
которых знаменатель дроби обращается в нуль. В нашем случае
числитель и знаменатель — функции, непрерывные на всей оси.
Следовательно, заданная функция непрерывна при любом х (мы
выяснили, что ни при одном вещественном х знаменатель в нуль
не обращается), и областью ее определения является вся ось Ох,
т. е. интервал (—со, + оо).
2. Определим, нельзя ли отнести данную функцию к классу
четных или нечетных функций. Для этого вычислим /(—*):
/(—х) = , ~~* ». Мы заключаем, что f{x) не равно ни f(—х),
X *••— Z.X —|~ О
ни — f(x), т. е. нашу функцию нельзя отнести ни к классу
четных, ни к классу нечетных функций, и график функции не
имеет ни оси, ни центра симметрии.
3. Определим теперь асимптоты графика: а) вертикальных
асимптот нет, так как нет тех конечных значений х, при которых
у -> оо; б) найдем горизонтальные асимптоты:
+ 3= ± СО'
Так как конечный предел отсутствует, то горизонтальных асимп-
асимптот нет; в) находим наклонные асимптоты, уравнение которых
k
Значения k и b как при *->+ со, так и при х-> — оо одни
и те же. Наклонная асимптота одна; у = х — 2.
3. Теперь определим интервалы возрастания и убывания функ-
, х2 (х2 + Ах + 9)
ции и ее экстремум у = (л-г +Zix + з)« '
267

Определим критические точки функции: 1) Решаем уравнение
у' = О, т. е. уравнение А, ^ \ 'VXJ = 0. Из него следует, что
л: — 0 и х2 + 4* + 9 = 0, т. е. х — — 2 ± /1/5. Значит, производ-
производная имеет один действительный корень х = 0.
2) Ни при одном действительном значении х первая произ-
производная не принимает бесконечно больших значений (из уравнения
хг + 2х + 3 = 0 следует, что х = — 1 ± г]/2). Таким образом, име-
имеется одна критическая точка х = 0. Область существования функ-
функции— интервал (—со, + оо) она разделяет на два интервала:
1) (—оо, 0) и 2) @, + со). Выбирая в каждом из них произволь-
произвольные значения х и вычислив при нем у', мы получим такую пос-
последовательность знаков первой производной: +, +.
Так как в рассматриваемых двух соседних интервалах у' имеет
один и тот же знак, то в критической точке х — 0 экстремума
нет: во всей области существования функции возрастает.
5. Определяем точки перегиба: tf = х,2 ** ,.„ '. Прирав-
ниваем у" нулю:
(х2 + 2х + ЗK ~ и'
2х (х2 + 18л: + 27) = 0; х = 0; х1 + 18* + 27 = 0;
х = — 9 ±/54; хг~— 16,2; *3^ — 1,8.
Ни при одном значении х знаменатель дроби в нуль не обра-
обращается; таким образом, критическими точками второг'о рода будет
Хх^~ 16,2; х2^— 1,8; х, = 0.
Эти точки разделяют область существования функции — интервал
(—оо, +оо) на интервалы 1) {—оа; —16,2); (—16,2; —1,8);
3) (—1,8; 0) и 4) @; + оо).
Для определения знака второй производной в каждом из этих
интервалов достаточно определить ее знак в произвольной точке
этого интервала, так как при всех значениях х из данного ин-
интервала она имеет один и тот же знак. Последовательность зна-
знаков второй производной записывается так: —, +, —, +, и так
как в каждом из двух соседних интервалов вторая производная
имеет различные знаки, то найденные три критические точки вто-
второго рода —точки перегиба графика функции. Их координаты:
1) (-16,2; -18,2); 2) (-1,8; -2,64) 3) @, 0).
Прежде чем приступить к построению эскиза графика функ-
функции, определим взаимное расположение кривой и асимптоты.
268

Выясним, не пересекает ли кривая асимптоту. Для этого решим сов-
совместно их уравнения:
У =
C5,1)
= х-2
Исключая у, получим, что х — 2=х2*х, откуда
(х — 2) (х2 + 2х + 3) = х*; * = —6.
Подставляя это значение во второе уравнение системы C5,1),
получим, что у = — 8. Асимптота пересекает кривую в точке
(-6, —8).
У нас */kd. = .,2 , п.. , о'» Vac =x— 2;
2Х + г'
5 =
«/ас
х* + 2х
5- (х~2) = -
2х + 3*
функции
х"
Так как знаменатель положителен при любом х (корни его
комплексны), то знак дроби зависит от знака числителя. Он бу-
будет положительным при х + 6 > О,
т. е. при х > — 6. Значит, при
х > — 6 кривая располагается над
асимптотой.
Разность 8 будет отрицательной, Р
когда числитель дроби отрицатель-
отрицательный, х + 6 < 0, т. е. при х < — 6,
а кривая расположена ниже асимп-
асимптоты при х < — 6.
Теперь достаточно данных, чтобы
начертить эскиз кривой (фиг. 35,2).
Задача 35,3. Исследовать функ-
О
Фиг. 35,2.
ЦИЮ У = ~
1. Определим область существо-
существования функции:
Функция существует при всех
значениях х, кроме х = 0, т. е. в интервалах (— оо, 0), @, + оо).
В этих интервалах функция непрерывна.
2. Исследуем вопрос об оси и центре симметрии кривой.
е~х ё~х
У нас f(x) =—, а /(—л:) =— (ни одно из равенств f (х) —
= /(—*) и f(—*) =—f (х) не имеет места, т. е. у кривой не
существует ни оси, ни центра симметрии).
3. Определим асимптоты графика функции.
а) Значение х = 0 является точкой разрыва функции. Верти-
269

кальная асимптота имеет уравнение х = 0 и, таким образом, ось
Оу является вертикальной асимптотой кривой. При этом
ех ех
= lim~ = — оо Нт у = Нт — = -+■ со.
0х 0 х
y у
х-»—0 х->—0х х-*-\-0 х-*+0х
б) Определяем горизонтальные асимптоты:
lim- = +oo; lim- = 0
х->+~ х ж-—«о х
и горизонтальная асимптота имеет уравнение у = 0 (ось Ох яв-
является горизонтальной асимптотой).
в) Определим наклонные асимптоты, уравнение которых у —
•= kx + b. По формуле C4,2)
При х -> 4- оо наклонной асимптоты нет.
При л:-> — со, k2 — lim — = Hm ^ = 0, а это опять-таки
говорит о том, что наклонной асимптоты у кривой нет.
4. Определяем интервалы монотонности функции:
„' «(*-»
г/ - ^ .
Находим критические точки:
1) Из уравнения у' =0, т. е. е ^~ ^ = 0, следует, чтол:—1 =
= 0, а х= 1;
2) у' = со при л; = 0, но при л: = 0 функция не определена.
Таким образом, функция имеет критическую точку: х — \.
Область существования функции она разделяет на интервалы:
1) (— оо, 0); 2) @, 1); 3) A, + со). В каждом из этих интервалов
у' сохраняет знак. Беря в них произвольные значения х и вы-
вычислив при них у', получаем такую последовательность знаков
производной: —, —, -J-.
Заключение. В первых двух интервалах функция убывает,
в третьем возрастает. При х = 1 функция достигает минимума, а
Ут\п~у{\) =е. Координаты точки экстремума A, е).
5. Теперь определим точки перегиба и интервалы выпуклости
и вогнутости графика функции:
270

Определим критические точки второго рода:
Из уравнения —* а ~ = 0, учитывая, что ех Ф 0 ни при
одном конечном значении х, должно быть хг— 2*4-2=0, т. е.
х ~ \ ± i. Значит, нет действительных значений х, при которых
вторая производная равна нулю.
Определим те значения х, при которых у" = со. Таким един-
единственным значением является х = 0. Значит, имеется одна кри-
критическая точка второго рода х =■ 0. Но точки перегиба при х — 0
не может быть, так как при х = 0 заданная функция не суще-
существует. Итак, точек перегиба график функции не имеет.
Для определения интервалов
выпуклости и вогнутости гра-
графика функции рассмотрим знак
у" на интервалах (— со, 0) и
@, + оо) Выбрав в каждом из
них произвольное значение х и
вычислив при нем у", получим
такую последовательность зна-
знаков второй производной:—,+.
Значит, на интервале (— со, 0)
кривая выпуклая, а на интерва-
интервале @, + °°) кривая вогнута.
Еще раз подчеркиваем, что
несмотря на то, что переходя че-
через х =0 вторая производная по-
поменяла знак, точка х = 0 не является точкой перегиба, так как при
х = 0 не существует заданная функция (фиг. 35,3).
Задача 35,4 (для самостоятельного решения). Исследовать функ-
З*3
X
о
W
Фиг. 35,3.
цию у =
и построить эскиз графика.
ох* + Ах + 4
Ответ. 1) Область существования функции — бесконечный
интервал (—оо, 4- °о): 2) функция непрерывна при любом х; 3) цент-
центра симметрии и оси симметрии нет; 4) вертикальных и горизон-
Л
тальных асимптот нет; наклонная асимптота у = х— -~\ 5) экстре-
О
мума нет, функция возрастает на всем интервале существования;
6) критические точки второго рода: a) Xi = —6—2}/^ #i~—4.5;
б) хг~— 6 + 2"|/б; у2 ^ — 1,5; в) *3=0; ул = 0 является точ-
точками перегиба; 7) на интервале (—оо, —6—2|Лэ) кривая вы-
выпукла; на интервале (—^6 — 2J/6; — 6 +2|/1>) кривая вогнута;
на интервале (— 6 4- 2)^6; 0) кривая выпукла, на интервале
@, 4- °°) кривая вогнута.
Задача 35,5 (для самостоятельного решения). Исследовать функ-
функцию у = —х и построить эскиз графика.
271

Ответ. 1) Область определения — интервал (—оо, + °°)>
2) функция не относится ни к четным, ни к нечетным: график
функции не имеет ни центра, ни оси симметрии; 3) в интервале
(— оо, 0) #<0 кривая находится под осью Ох, в интервале
@, + оо) кривая расположена над осью Ох, а в точке @, 0) она
пересекает координатные оси; 4) вертикальных и наклонных асимп-
асимптот нет. Горизонтальная асимптота у = 0 — ось Ох; 5) на интер-
интервале (—оо, 1) функция возрастает; на интервале A, + °°)—убы-
°°)—убывает. При* = 1 максимум, «/max ~ 0,37; 6) на интервале (—со, 2)
у" < 0 кривая выпукла, на интервале B, + оо)у"> 0 кривая во-
вогнута. Точка перегиба: х ~ 2; yzz.0,3.
Задача 35,6 (для самостоятельного решения). Исследовать
Х2 2л; 4- 2
функцию у = ^——и построить эскиз кривой.
Ответ. 1) Область определения — два бесконечных интервала:
(—оо, 1) и A, + оо); 2) точка разрыва одна: х= 1; 3) функция не
принадлежит ни к четным, ни к нечетным: кривая не имеет ни оси,
ни центра симметрии; 4) асимптоты: вертикальная дс=1; наклонная
у — х— 1; 5) критические точки первого рода: х± = 0; х2 = 1; х3=2.
В интервале (— оо, 0) у' > 0функция возрастает; в интервале @,1)
у' < 0 функция убывает; в интервале A,2) у' < 0 функция убы-
убывает; в интервале B, + оо) у' > 0 функция возрастает. При х=
— 0 функция имеет максимум: утах = —2; при* = 2 функция имеет
минимум: j/min = 2. Экстремальные точки @, —2) и B,2); 6) у" —
о
— _. 3. Критическая точка второго рода х=\. Перегиба в
ней быть не может, так как в этой точке функции не существует:
точки перегиба нет. При х < 1 у" < 0: на интервале (— оо, 1)
кривая выпукла; при х> 1 у" > 0: на интервале A, + °°) кри-
кривая вогнута.
Задача 35,7 (для самостоятельного решения). Исследовать
1х— 1\3
функцию y = [jzf~ij и построить эскиз ее графика.
Ответ. 1) Интервалы существования функции (—оо, —1);
(-,+ с°);
2) ни оси, ни центра симметрии кривая не имеет;
3) кривая пересекает ось Ох в точке х = 1. В интервале
(—оо, —1) кривая лежит над осью Ох, в интервале (—1,1) —
под осью Ох, а в интервале A, + оо) — над осью Ох;
4) асимптоты: х — — 1 — вертикальная, у = 1 — горизонталь-
горизонтальная;
5) критические точки первого рода; Xi = — 1 и х2 = 1. Значе-
Значение х —- — 1 не должно рассматриваться, так как оно не принад-
принадлежит области существования функции; функция возрастает
в интервалах, где она определена; экстремума нет;
6) критические точки второго рода: хх = — 1; х2 = 1; х3 = 3.
Значение Xi = — 1 не должно рассматриваться: у(—1) не сущест-
272

вует. В интервале (—оо, —1) кривая вогнута,в интервале (—1, 1) —
выпукла, в интервале A,3) — вогнута, а интервале C, + оо)—
выпукла. Точки перегиба: х = 1 и х=3; их координаты: A, 0);
К
Задача 35,8 (для самостоятельного решения). Исследовать
2х
функцию у = г и построить эскиз графика.
I -f- X
Ответ. 1) Область определения — вся числовая ось;
2) функция — нечетная, кривая симметрична относительно на-
начала координат;
3) горизонтальная асимптота у = 0 — ось Ох. Других асимп-
асимптот нет;
4) критические точки первого рода: xi = — 1 и лг2 = 1 : в интер*
вале (—оо, —1) функция убывает, в интервале (—1, 1) — возрас
тает, в интервале A, + оо) убывает; при х = — 1—минимум,
у1п1п = — 1; при х = 1 —максимум, утах = 1. Экстремальные точки
(-1, -1) и A, 1);
5) критические точки второго рода
являются точками перегиба^
В интервале (—со, —]/3) у" < 0 кривая выпукла, в интер-
интервале (—УЗ, 0) у" > 0 кривая вогнута, в интервале @, |/3)
у" < 0 — кривая выпукла, в интервале (J/3, +оо) у" > 0 кривая
вогнута;
6) при х < 0 кривая расположена под осью Ох, а при х > 0 —
над осью Ох.
Задача 35,9 (для самостоятельного решения). Исследовать
функцию у = х\пх и построить эскиз ее графика.
Ответ. 1) Область существования функции — интервал
@, +°о): функция определена только при положительных значе-
значениях х;
2) ни оси симметрии, ни центра симметрии нет;
3) асимптот нет;
4) критическая точка первого рода х — е~х. В интервале
@, е~[) функция убывает, в интервале (е~[, +оо) — возрастает. При
х^=е~1 минимум: утш — —е~[ 5) у" = — . Критическая точка
второго рода х = 0 не принадлежит области существования функ-
функции. Точек перегиба нет. Во всей области существования функ-
функции у" > 0. Кривая выпукла. 6) Кривая пересекает ось Ох в точке
х = 1. При 0<л:<1 кривая находится под осью Ох, а при
х > 1 — над осью Ох.
273

ТРИДЦАТЬ ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Геометрические приложения производной: уравнения
касательной и нормали к плоской кривой. Длины касательной и нормали.
Подкасательная и нормаль и их длины. Кривизна, радиус кривизны. Центр
кривизны. Соотношение между радиусом кривизны и длиной нормали. Эволюта
кривой.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Касательная к кривой
а) Если кривая определена уравнением y — f(x), то уравнение
касательной к ней в точке М с координатами (хи уд имеет
вид
У~У1=У'(хд{х-Х1). C6,1)
б) Если кривая задана уравнением f (х, у) — 0, то уравнение
касательной, проведенной в точку М (хи уд на ней, имеет вид
У-У1 = У' (*i, Уд (х - *i), C6,2)
где у' (хь уд есть производная неявной функции f (x, у) —0, в ко-
которой буквы х и у заменены числами xt и ух — координатами
точки касания.
Если кривая задана параметрическими уравнениями
то касательная к этой кривой в точке, соответствующей значе-
значению параметра t = tlt определяется уравнением
У — У1=УхУд{х — хд, C6,4)
причем у* (tx) определяется по формуле B7,3), и в полученном
выражении буква t заменяется числом tv Числа же хх и ух на-
находятся из C6,3), если там заменить букву t числом /х.
2. Нормаль к кривой
а) Если кривая задана уравнением y = f(x), то нормаль к ней
в точке М (хи уд имеет уравнение
У — У1 = — ^у (х - хд. C6,5)
б) Если кривая задана уравнением f (х, у) = 0, то уравнение
нормали записывается так:
274

в) В случае, если кривая задана параметрическими уравне-
уравнениями, то нормаль к ней в точке, где параметр t = tlt имеет
уравнение
у — у1 = —^~(х~х1). C6,6а)
3. Длины касательной и нормали. Подкасательная
и поднормаль
Определение. Длиною касательной или нормали к кривой
в точке М (xlt yj называется длина отрезка этих прямых от
точки касания до точки их пересечения с осью Ох. Эти длины
обозначаются соответственно буквами Т и N. Подкасательная
и поднормаль являются соответственно проекциями отрезков Т
и N на ось Ох. Их длины будем обозначать: St и S,v. Если
кривая задана уравнением у = f (х), то для определения длин
этих отрезков служат формулы:
Т =
ц
У' (х\Р
/1 +iy'(xi)\2
У\
у' Ы
1
C6,7)
C6,8)
Sn = |*/i • У' (xj |. C6,9)
Касательную и нормаль легко построить, если соединить ко-
конец подкасательной Т и конец поднормали N с точкой касания М
на кривой. Но для определения поло-
положения на оси Ох точек Т и N — кон-
концов подкасательной и поднормали
(фиг. 36) недостаточно знать длины
этих отрезков, определяемые по фор-
формулам C6,8) и C6,10), а необходимо еще
знать направление, в котором надо от-
отложить длины этих отрезков от точки Р
для получения точек Т и N. Условимся
считать подкасательную РТ и поднор-
поднормаль PN положительными или отри-
отрицательными, смотря по тому, будут
ли направления от PKTuomPKN совпадать с положи-
положительным или отрицательным направлением оси Ох. По величине
и по знаку PN = y^' (xt), а РТ = Ц—..
У \х\)
Отсюда следует, что РТ и PN имеет противоположные
знаки, так как произведение уху' (хх) и частное -ттр. имеют
один и тот же знак.
PfaO) N
Фиг. 36.
275

Если окажется, что РТ > 0, то точка Т лежит с положи-
положительной стороны, а точка N — с отрицательной стороны от Р.
Противоположное расположение получим, когда РТ< 0. Иначе:
точка Т лежит с положительной стороны от Р, а точка N —
с отрицательной, если ух и у' (х) имеют разные знаки, а про-
противоположное расположение этих точек имеет место тогда,
когда уь и у' (хг) имеют одинаковые знаки.
В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями,
для определения величин Т, N, St и Sn следует сначала по за-
заданному в точке касания значению параметра t ~tv определить
координаты точки касания хх и уъ вычислить ух в точке каса-
касания при t = tu а затем воспользоваться формулами C6,7)—
C6,10), причем в них следует заменить у'(хг) на yx(ti).
В случае, если уравнение кривой задано в виде / (х, у) — О,
в тех же формулах надо значение производной у' (хг) заменить
на y'(xi, уг), где хх и уг — по-прежнему координаты точки ка-
касания.
Если кривая задана в полярных координатах уравнением г ~
= / (<р), то длиной ее касательной и нормали считается длина
отрезков этих линий от точки касания М (ги (рх) до точки пе-
пересечения их с прямой, проходящей через полюс перпендикулярно
к радиусу-вектору, проведенному в точку касания. Эти отрезки
называются полярной касательной и полярной нормалью. Проек-
Проекции этих отрезков на указанную прямую называются полярной
подкасательной и полярной поднормалью. Длины этих четырех
отрезков вычисляются по формулам:
Т =
N =
C6-и>
C6,12)
S* = | г'Ы |. C6,14)
Во всех этих формулах гх и <pi — полярные координаты точки
касания.
4. Кривизна и радиус кривизны
а) Если кривая задана уравнением у = f (x), то ее кривизна К
и радиус кривизны R определяются по формулам
К= 1Л _з, C6,15)
A + у"J
R = V±£f. C6,16)
276

Входящий в эти формулы У1 +у"г берется со знаком плюс.
Кривизна и радиус кривизны кривой, по определению — вели-
величины не отрицательные.
б) В случае, если кривая задана параметрическими уравне-
уравнениями C6,3), то в точке, для которой параметр t = tly
причем берется только положительное значение корня
Vx (h) + У"' (*i).
в) Если кривая задана уравнением в полярных координатах
C6>19)
=V4^1> C6>20>
где гг и <pi — полярные координаты точки, в которой вычисляют-
вычисляются К и R, a\/rr'i+ г'2^) следует брать со знаком плюс.
5. Круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента
Координаты а и р центра кривизны в точке М (хи уг) кривой
определяются по формулам
i + А**)* C6'21>
В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями
C6,3), координаты центра кривизны в ее точке М, соответствую-
соответствующей значению параметра t = tv, определяются по формулам
« = х (t,) ; V. —1-^-——1-А— ;
M'dtfM'iJ-'fMs'iCi) C6,22)
Формулы C6,22) применимы и тогда, когда кривая задана
полярным уравнением г = [ (ср). Так как в полярных координатах
277

•* = rcoscp, t/ = rsincp, то, подставляя сюда r = /(tp), получим
x = / (tp) cos©, у = / (cp) sincp, и параметром теперь является поляр-
полярный угол <?•
Определение. Геометрическое место центров кривизны дан-
данной кривой называется ее эволютой. По отношению к своей
эволюте исходная кривая назысается эвольвентой.
Если в формулах C6,21) опустить индекс у xt и ух и заме-
заменить у на f (x), а в формулах C6,22) опустить индекс у t, то
эти формулы можно считать параметрическими уравнениями
эволюты, причем в первом случае параметром является х, во вто-
втором — t.
Исключение параметра х из уравнений C6,21) или парамет-
параметра t из уравнений C6,22) определит эволюту неявным уравне-
уравнением
F (а, р) = 0.
Задача 36, 1. Для параболы у2 ~2рх в произвольной ее точке
М(хь yt) найти уравнение касательной и нормали, длины подка-
сательной и поднормали, длины касательной и нормали, радиус
кривизны, координаты центра кривизны и эволюту.
Решение. Прежде всего из уравнения параболы определим
у' и у" в точке с координатами (хи г/х): 2уу' = 2р; у' = £-;
Подставляя сюда найденное значение у', получим у" = —^,
_ У
У" (*i> У\) — —*~з- Подставляя у'(хи ух) в уравнение касатель-
У\
ной C6,1), получим
y — yi = ji(x — хд, или yyt —yl=px — px\. C6,23)
Так как точка М (xlf yt) лежит на параболе, то ее координаты
удовлетворяют уравнению параболы, а потому
C6,24)
Используем эту зависимость для упрощения уравнения C6,23)
касательной. Для этого в его правой части прибавим и отнимем
рхх и получим
УУх — #1 = Рх + рх\ — рх\ — рх\,
или
УУ\ —У2\=р(х + х\)— 2pxi,
а с учетом того, что у\ =2рх\, уравнение касательной запишется
в виде
УУ1 =Р(х + xj.
278

Подставляя значение производной у'
получим уравнение нормали
в уравнение C5,5),
У\
которое после упрощений запишется так:
УЛх — xj + piy— t/i)=0.
Формула C6,8) дает для длины подкасательнои
ST=
y\
C6,25)
Используя равенство C6,24), получим, что Sj = | — 2xt\,
т. е. длина подкасательнои параболы равна удвоенной абсциссе
точки касания. Так как в C6,25) отрицательное число, то
для построения подкасателыюй ее длину 2xt надо отложить от
основания ординаты точки касания в отрицательном направлении
оси Ох. Соединив конец подкасательнои с точкой касания, полу-
получим касательную к параболе.
Из того, что у' — —, следует, что ухц' (хъ t/i) = р.
У\
Так как левая часть этого равенства, взятая по абсолютной
величине, на основании C6,10) есть длина поднормали, то мы
заключаем, что у параболы длина поднормали есть величина
постоянная, равная параметру параболы. Так как р > 0, то мы
получим поднормаль, если отложим по оси Ох в положительном
ее направлении от основания ординаты точки касания отрезок,
равный параметру параболы. Соединив конец этого.отрезка с точ-
точкой касания, получим нормаль к параболе. Получить самостоя-
самостоятельно по формулам C6,6) и C6,9), что длины касательной
и нормали равны
гр У\^
Радиус кривизны определим по формуле C6,16), подставив
в нее у' и у":
_з
1
R
27»

Самостоятельно докажите, что радиус кривизны в любой
точке параболы у2 = 2рх равен кубу длины нормали, проведенной
в эту точку, разделенному на квадрат ее параметра, т. е.
Координаты центра кривизны находим по формулам C6,21)
с учетом найденных значений у' и у":
р_
У\\
а =
2
Pi
7?
и после упрощений
а =
Р ' р*
Эволюта параболы. В последних уравнениях опустим индексы
у х и у и, учитывая, что из уравнения параболы у2 = 2рх, а
у = ± У2рх, получим
_ Рх + 2рх + Р* .
а — -
( а =
± Ipx Vipx .
Р3
1рх
Отсюда следует, что
(а — рK = 27х3
02 __
Это и есть параметрические уравнения эволюты параболы,
а параметром является дс. Чтобы исключить параметр х, разде-
разделим почленно первое уравнение на второе и получим, что
(а— р)» 22р
р** о
а отсюда получается уравнение эволюты
в виде
Фиг. 36,1-
Текущими координатами здесь являются
аир. Обозначая их, как обычно, через х и
у, получим
р
Это полу кубическая парабола, веошина которой находится
в точке (р, 0) (фиг. 36,1).
280

Задача 36. 2. Для эллипса, заданного уравнением
найти в произвольной точке на нем М (xlt уг):
1) уравнения касательной и нормали;
2) длины подкасательной и поднормали;
3) радиус кривизны;
4) координаты центра кривизны;
5) эволюту.
Решение. Запишем уравнение эллипса в неявном виде:
b2x* + aV — a2b2 = 0
и найдем у' и у" по правилу дифференцирования неявных функ-
функций:
В точке касания М(хъ у^
У' (*i, yi) = — -^ ; у"(хь Уг) = — ^з •
Уравнение касательной по формуле C6,2) запишется так:
или
а*у\.
Так как точка М (хъ yj лежит на эллипсе, то ее координаты
удовлетворяют уравнению эллипса, а потому Ьгх\ + агу\ = a2b2,
и уравнение касательной запишется так:
Ь%х + Ьгуху = a2b2,
или после деления обеих частей этого уравнения на агЬг
Уравнение нормали получите самостоятельно по формуле
C6,6). Оно будет таким:
Длина подкасательной найдется по формуле C6,8);
281

но
a2y'i = a2b2— b2xl = b*(a2 — xf), а потому
и, таким образом, длина подкасательной не зависит от Ь — малой
полуоси эллипса. Это значит, что у эллипсов, имеющих одну
общую ось 2а, их подкасательные в точках с одинаковыми абс-
абсциссами, равны между собой (фиг. 36,2).
У Длина поднормали на основании фор-
формулы C5,10)
У1 —.
По формуле C6,16) определится ра-
радиус кривизны
п _V »
Фиг. 36,2.
а по формулам C6,21) координаты центра кривизны
а'Ух
б4*?
(о\«?
Теперь получим уравнение эволюты эллипса: в последних
двух формулах для вычисления аир опустим индекс ухну
и получим, что
-у + Ь<х*) х
5Ф
а ~х
Постараемся с помощью уравнения эллипса исключить из послед-
последних двух равенств хну. Из уравнения эллипса следует, что
а2у2 =а262—
282

В выражениях для аир заменим а2у2 и Ь2х2 по этим форму-
формулам, в правых частях выполним вычитание, раскроем скобки
и, учитывая, что у эллипса а2 — Ь2 = с3, получим после очевид-
очевидных сокращений, что
a=^-;
ь* •
Перепишем их в виде
аа =
а3
и возьмем каждое из этих равенств в степень -j,
Получаем
2 T
и сложим их почленно:
2
Но из уравнения эллипса следует, что
а потому
Это и есть уравнение эволюты эллип-
эллипса. Здесь а и р — текущие координаты.
Если их обозначить через х и у,
то уравнение эволюты перепишется
в виде
— 2. ±
(ахK +(Ь«/K =с3.
Кривая, определяемая этим уравне-
уравнением, напоминает астроиду и получает-
получается из нее растяжением по вертикали
(см. фиг. 36,3).
Задача 36, 3 (для самостоятельного решения). Взять парамет-
параметрические уравнения эллипса в виде
x = acost; y =
Фиг. 36,3.
283

и доказать, что в точке, соответствующей значению параметра
t = 1Ъ имеют место следующие равенства:
—-cos^j;
Т = | — tg tx Va? sin2^ + ft2 cos2 tx |;
N =- Va2 sin2 tx + b* cos2 ta
ab
c
a = —cos^; p = — T-
Пользуясь выражением для радиуса кривизны, доказать, что
в вершинах эллипса lt = 0 и ^ = -^-) радиус кривизны
а координаты центра кривизны в этих точках:
<а)*~о = ^ ; №)'-о = 0; Wb. !L = 0; №><_ i= - Т •
2 2
Задача 36,4 (для самостоятельного решения). Пользуясь ре-
результатами предыдущей задачи, доказать, что у эллипса радиус
кривизны равен кубу нормали, разделенному на квадрат пара-
параметра эллипса.
Указание. Параметром р эллипса называется половина
длины его хорды, проведенной через фокус перпендикулярно
большой оси: р — — .
Задача 36, 5 (для самостоятельного решения). Найти уравне-
уравнение касательной и нормали к кривой у — Зх* — 5хг + 4 в точке
* = —1, У = 2.
Ответ. Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Задача 36, 6. Найти уравнения касательной и нормали к кривой
4*3 — Зху2 + № — Ъху — 8j/2 +9x +14=0
в точке (—2,3).
284

Решение. Уравнение кривой задано в неявной форме. На-
Находим производную по правилу дифференцирования неявной
функции:
12х2 — Зг/2 — Ьху у' + 12х — 5у —Ьху' — Щу' + 9=0;
У = Ьху + 5х + \6у ' У * ' ' = " *
Уравнение касательной
уравнение нормали
2х — 9у + 3\ =0.
Задача 36, 7. Найти уравнение касательной и нормали кривой
: = 3/ — 5
в точке, где t — 3.
Решение. Для того чтобы воспользоваться формулами C6,4)
и C5,6а), надо определить хъ ух и у' (t) при t = 3. Определим
прежде всего Ху и г/х:
хх = 3 • 3 — 5 = 4,
yt = З2 — 4 = 5.
После этого находим у'х производную в точке, где
f = 3; yt=2t; x,=3; y'x = f; y'x C) = 2.
Уравнение касательной у — 5 = 2 (х—4), или 2х — у — 3 = 0.
Уравнение нормали у — 5 = —-^ (х — 4), или х + 2у—14=0.
Задача 36, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравне-
уравнение касательной и нормали к кривой
(х = 2 cos/ + 3sin£
\ у = cos t + 2 sin t
в точке, где t = -| .
Ответ. Уравнение касательной х — 2у + 1 =0;
уравнение нормали 2х-\-у — 8 = 0.
Задача 36, 9 (для самостоятельного решения). Найти уравне-
уравнение касательной и нормали к гиперболе
Ь2х2 — а?у* = аЧ*
в точке на ней (хь yj.
Ответ. Уравнение касательной Щ-—Щ- = 1;
уравнение нормали — +^ = с2(с? = а2 +
285

C6.26)
Задача 36,10. Для циклоиды
х — a (t — sin t),
= a\\—cost)
в точке, где t =tb определить:
1) уравнения касательной, нормали и длину поднормали;
2) доказать, что нормаль в произвольной точке циклоиды
проходит через точку касания производящего круга, а касатель-
касательная— через соответствующую ей высшую точку этого круга;
3) доказать, что у циклоиды радиус кривизны имеет длину
в два раза большую, чем соответствующая нормаль:
4) определить координаты центра кривизны и доказать, что
эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная данной *, но пе-
перемещенная на отрезок а~ в положительном направлении оси Ох
и на отрезок 1а в отрицательном направлении оси Оу.
Решение. Если круг радиуса а катится без скольжения
по прямой, то всякая точка, лежащая на его окружности, опи-
описывает кривую, которая называется циклоидой. Уравнения C6,26)
есть параметрические уравнения циклоиды. Примем прямую, по
которой катится круг, за ось Ох.
Если в исходном положении точка, вычерчивающая циклоиду,
находилась в начале координат, а центр катящегося круга был на
оси Оу, то параметр / есть центральный угол, соответствующий
дуге, на которую прокатился круг по оси Ох.
Фиг. 36,4.
Циклоида состоит из конгруэнтных арок, каждая из которых
соответствует одному полному обороту производящего круга.
Расстояние на оси Ох между началом и концом одной арки равно
длине окружности производящего циклоиду круга, т. е. 2-ха.
Когда точка описывает одну полную арку циклоиды, параметр t
изменяется от ^ = 0 до / = 2^ (фиг. 36,4).
1) Пусть при t = tt x = хь у = уъ причем
*, =а(*! —sin*!); ух = аA — cos/,). C6,26a)
* Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если одну из
них можно совместить с другой, изменив только в результате некоторого
движения ее положение на плоскости.
286

Чтобы найти уравнения касательной и нормали на основании
C6,4) и C6,6а), найдем ух при t = tx:
yt — as\r\t; xt=a{\—cos/);
ijx = ctg-j, а в точке, где t = tb y'x (^) =ctg^-.
Уравнение касательной y — yi=^g^-(x — xl);
уравнение нормали у — yx= — tgg-(x — xx).
Длина поднормали находится по формуле C6,10):
Но i/i = a(l—cos^j). а потому
SN = I a A — cos /j) ctg *j-1; 5W = | a sin .'t |,
т. е длина поднормали равна про-
проекции на ось Ох радиуса произ-
производящего круга (фиг. 36,4).
2) Точка Р касания производя-
производящего круга с осью Ох (фиг. 36,5)
имеет координаты atx и 0: Р {ati 0).
Покажем, что нормаль в точке М
проходит через эту точку. Для
этого надо доказать, что коорди-
координаты этой точки удовлетворяют
уравнению нормали. Подставляя
координаты этой точки вместо Фиг-36>5-
текущих координат fx и у в уравнение нормали, а вместо хг
и t/j их выражения из C6,26а), получим в левой части уравнения
0 — a(l cos/) = 2asin8
А 0
9
/
{
' \
N
f
2 \
С \
)
У
а в правой части
— tg|[a/1-a(^-sin/1)]= — tg (*■(<*! — aft
a sin /,) =
Таким образом, координаты точки Р удовлетворяют уравнению
нормали и, значит, нормаль в точке М проходит через точку
касания производящего круга Р (ati, 0). Касательная же необхо-
необходимо пройдет через противоположную точку N диаметра PN,
так как касательная перпендикулярна нормали, проведенной
в точку касания (в окружности вписанный угол, опирающийся
на диаметр, есть прямой).
287

3) Найдем радиус кривизны циклоиды по формуле C6,18)
и длину ее нормали по формуле C6,9). Из уравнений циклоиды
C6,26) следует, что
х'(I) =аA — cos/); у'(t) = a sin t;
х" (/) = a sin /; у" (t) = a cos t.
Заменяя здесь t на /j и подставляя в C6,18), получим, что
р _ [""A—cos <!)" + "'sin2 М 2 _ Bаг — 2а2cos <Q 2
[a2cos <i A — costx) — a2sin2/i] ~ агA— cos ^) '
3 3
sin-i
C6,27)
По формуле C6,9), полагая в ней уу — а{\ — cos/j), будем иметь
Получим, что длина нормали
A —cos/0
Из формул C6,27) следует, что
R
.)
si
Vх
cosec у
4
•
9
C6,28)
jj- = 2, или # = 2А/,
т. е. радиус кривизны в произвольной точке циклоиды равен
удвоенной длине, соответствующей нормали.
4) Координаты центра кривизны определяются по формулам
C6,22). Подставляя в них ранее найденные значения х'и хи yt,
yt, вычисленные в точке, где t=tu и учитывая C6,26а), полу-
получим, что
a = a(^1 + sin/1);
Р == — а A — cos/i).
Если в этих формулах опустить индекс у tl7 то получим урав-
уравнение эволюты циклоиды
a = a(t + sin /),
р = —аA—cos/).
288

Если теперь взять t = г. -f- x, то уравнение эволюты циклоиды
запишется так:
а — йтг + а (т — sin т);
р = —2а + яA—cost).
Из этих формул мы заключаем, что эволюта циклоиды есть
циклоида такая же, как данная, но смещенная на отрезок аъ
в положительном направлении оси Ох и на отрезок 2а в отри-
отрицательном направлении оси Оу.
Циклоида обладает замечательным механическим свойством:
материальная точка, двигаясь по этой кривой, достигает задан-
заданной на ней точки, затрачивая на это одно и то же время, не-
независимо от того, из какой исходной точки кривой началось дви-
движение.
Задача 36.11 (для самостоятельного решения). Найти радиус
кривизны и эволюту астроиды
(х = a cos31
[у = asin3t
в произвольной ее точке, где / = tt.
Указание. Астроида — кривая, описываемая точкой окруж-
окружности радиуса а, которая катится без скольжения по внутренней
стороне окружности радиуса, в четыре раза большего, т. е. рав-
равного 4а*.
Ответ. /? = |asin2^; a = acos^ (I +2sin8/1); p=asinA
Уравнение эволюты (a + $f~ + (a — ?f = 2a 5".
Если повернуть координатные оси на 45° вокруг начала ко-
координат, то можно усмотреть, что эволютой астроиды является
опять-таки астроида, образованная кругами, радиусы которых в
два раза больше исходных. Докажите это.
Задача 36, 12. Найти угол между касательной и радиусом-
вектором произвольной точки спирали Архимеда
г — ау.
Решение. Спираль Архимеда представляет собой траекто-
траекторию точки М, которая равномерно движется по прямой ON в
то время, как сама эта прямая равномерно вращается вокруг
точки О (полюса). Предполагается, что в начальный момент дви-
2 2 2
* Уравнение астроиды в прямоугольных координатах * 3 +j/3"=a^".
10 3-430 289

жения точка М находилась в полюсе полярной системы коорди-
координат, а прямая ON совпадала с полярной осью (фиг. 36, 6).
Известно, что угол р. между радиусом-вектором произвольной
точки кривой г — г (ср) и касательной к ней в этой точке опреде-
определяется по формуле
tg и- = р. C6,29)
где г' есть производная от г по <?•
Подставляя в эту формулу из уравнения спирали Архимеда
г ~ щ и г' — а, получим, что
■■——<?, а
arctg <?.
C6,30)
N
Число а в уравнении спирали Архимеда называется парамет-
параметром. Полученный результат показывает, что jj. не зависит от а.
Это значит, что все спирали Архи-
Архимеда пересекают радиусы-векторы,
соответствующие одному и тому же
_ значению полярного угла, под одним
Р и тем же углом. Интересно подме-
подметить и такую особенность: когда
<р->оо, то из C6,30) следует, что
(х -> к , а это означает, что по мере
развертывания спирали она стре-
стремится стать нормальной к своим
радиусам-векторам.
Задача 36,13. Определить полярные поднормаль и подкаса-
тельную спирали Архимеда в произвольной точке спирали (гь <рх).
Решение. По формулам C6,13) и C6,14) находим, что длина
полярной поднормали Sn = а, а длина полярной подкасательной
Фиг. 36,6.
Из этого заключаем, что полярная поднормаль спирали Архи-
Архимеда есть величина постоянная, равная ее параметру, и что
концы всех поднормалей лежат на окружности радиуса а с цент-
центром в полюсе. Рассматривая длину полярной подкасательной,
приходим к выводу, что она равна длине дуги окружности ра-
радиуса гъ соответствующей центральному углу, равному <pv В част-
" ности, в точке, где спираль вторично (после полюса) пересекает
положительное направление полярной оси (в этой точке <pi = 6ДК
длина полярной подкасательной равна длине окружности, радиус
которой равен радиусу-вектору этой точки.
Задача 36,И (для самостоятельного решения). Определить
радиус кривизны спирали Архимеда в произвольной ее точке.
Ответ. R = ■ ° (о **■< •
290

Задача 36,15 (для самостоятельного решения). Доказать, что
подкасательная гиперболической спирали г — - имеет постоян-
постоянную длину, равную а.
Задача 36, 16 (для самостоятельного решения). Для логариф-
логарифмической спирали г = а? определить в ее произвольной точке:
1) угол между радиусом-вектором касательной в этой точке;
2) длину полярной подкасательной поднормали;
3) длину полярной касательной и нормали.
Ответ. 1) Логарифмическая спираль пересекает все свои ра-
радиусы-векторы под одним и тем же углом р: ^Н-~|~- Напри-
Например, спираль г — е7 пересекает все свои радиусы-векторы под
углом 45°. 2)Sr = j^; SN=r\na. 3) Г = }/" 1-f--^-r;
N = V\ + In2a- r.
Задача 36, 17. Доказать, что радиус кривизны в произвольной
точке логарифмической спирали г = а? пропорционален радиусу-
вектору этой точки и равен R — r]/"l + In2 а (сопоставляя вели-
величину R с длиной полярной нормали, найденной в задаче 36, 16,
приходим к выводу, что радиус кривизны в произвольной точке
логарифмической спирали равен полярной нормали в этой
точке).
Задача 36, 18 (для самостоятельного решения). Доказать, что
эволюта логарифмической спирали г = tf есть так же логарифми-
логарифмическая спираль, конгруэнтная данной, но повернутая относитель-
относительно ее на некоторый угол.
Указание. С помощью формул, связывающих прямоуголь-
прямоугольные координаты с полярными (x = rcos<p; у — rsmv), уравнение
логарифмической спирали записать в виде
{к = а? cos св.
\у = я* sin ф
и по формулам C6, 22) определить координаты центра кривизны
произвольной точки (гь ©i) логарифмической спирали. Получится,
что
fa = —art sin <s± In a,
(B = a?i cosoj in a.
Радиус-вектор центра кривизны
rx = У а2 + f = У a2?' In2 a (sin2 ?1 + cos2 cpj,
/-, = a?' In a.
Если взять lna=a?° и опустить индекс у, гх и 'flt то получим
эволюту логарифмической спирали в виде г = а*а*\ или г = #■+?„.
Эта кривая получается из данной логарифмической спирали г ~
~ а? вращением ее на некоторый угол ?„.
10*
291

Задача 36,19. В какой точке кривая у = \пх имеет наимень-
наименьший радиус кривизны?
Решение. Находим по формуле C6, 16), что в произвольной
3
точке А (х, у) этой кривой R = - —1—.
Чтобы определить наименьшее значение R, находим производ-
производную
dR _ Bг=— I)Vl+ х2
dx~~ х*
приравниваем ее нулю и решаем уравнение Bх2— l)Vl + хг —
= О, откуда х = ± ^У~2. Критической точкой является также
и х = 0. Но значения х = —^\^2 и х = 0 должны быть от-
отброшены, так как для значений х<0 функция у = \пх не су-
существует (на кривой у = \пх нет точек с абсциссами х < 0).
Осталось исследовать значение х = ^уг'2. Найдите/?", подставь-
подставьте в полученное выражение х = L|/'2 и убедитесь, что/? "(<гК2)>
> 0. Это доказывает, что радиус кривизны кривой у = \пх бу-
будет наименьшим в точке с абсциссой х = -к J/^2, т. е. в точке
\,V2; -4 m 2).
Задача 36,20 (для самостоятельного решения). Доказать, что
X X
у цепной линии у = ^(е"-\-е а) радиус кривизны пропорцио-
пропорционален квадрату ординаты I/? = — уАн что он равен длине нор-
нормали N.
X X
Указание, у' = L (е° — е~ ° ): у" =%.
ТРИДЦАТЬ СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Функции многих независимых переменных. Область су-
существования. Частные производные. Полное приращение и полный дифферен-
дифференциал nepeoFO порядка функции нескольких независимых переменных.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
/. Переменные х, у, г, ... t называются независимыми меж-
между собой, если каждая из них может принимать любые значе~
ния в своей области изменения, независимо от того, какие зна-
значения принимают при этом остальные переменные.
292

2. Переменная величина и называется функцией независимых
переменных х, у, г, ..., t, если каждой системе значений этих
переменных в области их изменения соответствует единственное
определенное значение и*.
Символически функция и независимых переменных х, у, г, ..., t
записывается так:
У = Цх, у, г О- C7,1)
5. Областью существования функции f (х, у, г, ...,/) назы-
называется совокупность значений независимых переменных х, у,
г, ... , t, при которых функция определена (т. е. принимает
действительные значения). Область существования функции на-
называется также областью определения функции.
В дальнейшем для упрощения записей все определения и фор-
формулы приводятся только для функций от трех независимых пе-
переменных.
4. Частные приращения функции. Если и — f (х, у, г) и одна
из независимых переменных, например х, получила приращение
Ах, то частным приращением Ахи функции называется разность
Аки — f (х + Ах, у, z) — f(x, у, г). Соответственно
Ayu=j(x, у + Ау, z) — f{x, у, г),
а
Дгы=/(л:, у, г + Аг)—[(х, у, г).
4 и
5. Частные производные. Составим отношение -^-. Если при
стремлении Ах к нулю это отношение стремится к определен-
определенному пределу, то этот предел называется частной производной
функции и = [(х, у, г) по независимой переменной х и обознача-
обозначается одним из символов -^, д£, и'х, [х.
Таким образом
дх
или в более подробной записи
(* + А*. У, z)—f(x, у, г)
Аналогично определяются частные производные функции и =
— f(x, у, г) по независимым переменным у и г. Частная произ-
производная по у обозначается одним из символов-^, -^, и, /" >
^ ^^H , а частная производная
* Многозначные функции нами не рассматриваются.
293

no г — одним из символов: j-; -г ; uz\ fz
* = Ига £■ = llm M^.« + ^
Вычисление частных производных функции нескольких незави-
независимых переменных производится по тем же правилам, по кото-
которым вычисляются производные функции одной независимой, пере-
переменной, только следует иметь в виду, что при определении
частной производной надо считать постоянными все независимые
переменные, кроме той, по которой вычисляется частная произ-
производная.
Задача 37, 1. Найти область существования функции и —
у
Решение. Представим функцию в виде и = \^А — (х2 -f- у2).
Очевидно, что функция определена для тех значений х и у,
которые удовлетворяют неравенству х2 -f у2 < 4. На языке гео-
геометрии это означает, что функция определена в точках, лежащих
внутри окружности х2 4- у2 = 4 н на ее границе, так как для
всех точек, лежащих вне ее, имеет место неравенство х2 + у1 >4.
Задача 37,2. Найти область существования функции z =
= In (х- у).
Решение. Так как отрицательные числа и нуль логариф-
логарифмов не имеют, то должно выполняться неравенство х — у > О,
т. е. у < х.
Точки плоскости хОи, координаты которых удовлетворяют
этому неравенству, расположены под прямой у ~ х, причем точ-
точки, лежащие иа этой прямой, рассматриваться не могут. Короче:
область определения функции — полуплоскость, расположенная
под прямой у — х, причем сама прямая у = х при рассмотрении
не учитывается.
Задача 37,3 (для самостоятельного решения), и — г . Най-
•* I У
ти область существования функции.
Ответ. Функция определена во всех точках пространства,
кроме точек плоскости х + у = 0, так как в точках этой пло-
плоскости знаменатель дроби у заданной функции обращается в
нуль.
Задача 37,4 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функций: 1) г = ху и 2) г = х2 + у2.
Ответ. Обе функции определены во всей плоскости хОу,
т. е. при любых значениях х и у.
*) Следует иметь в виду, что символы -1 , -i, ... нельзя рассматривать
ох ду
как частные от деления, например д( на дх, та:< как ни д[, ни дх в отдель-
отдельности смысла не имеют.
294

Задача 37,5. Найти область существования функции г =
^ ^ш^нТие ~Так' как функция и = arcsin/ определена для
значений аргумента / из отрезка [-1, +1] то искомая область
существования найдется из условия — КЗ — х2 — у2 < 1, от-
откуда бедует, что 2 < * + Ф < 4 и область существования функ-
функции заключена между двумя концентрическими окружностями:
4.7,2 = 2 и х2 + У2 = 4. причем могут рассматриваться и точки,
принадлежащие этим окружностям.
Задача 37,6 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции г = arcsin Зху.
Фиг. 37,1.
Фиг. 37,2.
Ответ. Область существования ограничена двумя сопряжен-
сопряженными гиперболами:
1 1
У = Ъх и у = ~ 3i"
Задача 37, 7 (для самостоятельного решения). Найти область
существования функции f (х, у) = arcsin A -х--^ + arcsm 2g.
Ответ. Областью существования является общая часть об-
областей существования слагаемых функций: 1) arcsin A—* — у)
и 2) arcsin 2m т. е. область, изображенная на фиг. б(, ь
Задача 37,8. Найти область существования функции и -
1п*2 + У2
Решение. Должно выполняться требование:р—г>и-
дробь положительна, когда положителен ее знаменатель те
когда **-*/*> 0, или г/2<Л а это влечет за собой неравенство
ЫРасшотрим два случая: 1) х>0, 2) х<0. 1) Если х>0,
то И=Ги то?Да \у\<х, или -*<у<* На языке комет-
295

рии это означает, что область определения есть часть правой
полуплоскости (т. к. рассматриваются значения д;>0), ограни-
ограниченная прямыми у = х и у — — х, причем течки, лежащие на
этих прямых, рассматриваться не могут. 2) Если х < 0, то |х| =
= — х, и тогда |t/|< — х, или х<(/< — х.
Последние неравенства определяют ту часть левой полупло-
полуплоскости, которая находится между прямыми у — — х и у = х,
причем опять-таки точки, принадлежащие этим прямым, не долж-
должны рассматриваться (фиг. 37, 2).
Задача 37,9 (для самостоятельного решения). u = lnx + lny.
Найти область определения функции.
Ответ. Первый квадрант (х > 0, */>0), причем оси Ох и Оу
исключаются.
Задача 37,10 (для самостоятельного решения), и =|/lnx+lny.
Найти область определения функции.
Ответ, х > 0; у > 0; ху > 1. Область состоит из точек пер-
I
вого квадранта, лежащих над гиперболой у = - и на ней.
Задача 37,11. Найти частные производные функций: 1) и =
X
= х2 + Зху + Ау2; 2) и = sin (Зх + Ъу — Аг); 3) и = еу.
Решение. 1) Функция и — функция двух независимых пе-
переменных — х и у. При определении частной производной функ-
функции и по независимой переменной х вторая независимая пере-
переменная должна рассматриваться как величина постоянная. По-
Поэтому ^ = 2х + 3у, так как производная по х от Ау2 равна нулю,
как производная от постоянной величины.
При отыскании -£- независимая переменная х рассматривается
как величина постоянная, а потому ^ = Зх -f- 8y.
2) Функция и — функция трех независимых переменных: х, у
и г. При определении частной производной по каждой из этих
переменных две других следует считать величинами постоянными.
Поэтому £ = 3 cos (Зх + Ъу — 4г); ■£■ = 5 cos (Зх + 5г/ — 4г); ^ =
= — 4cos (Зх + 5г/ — 4г).
3) Заданная функция есть функция двух независимых пере-
переменных хну. При дифференцировании по каждой из них вто-
вторая переменная должна рассматриваться как величина постоянная.
п ди 1 J ди х 7 [х\' 1 ,
Поэтому г-=-е"; з-=—гм>у, так как - =-, ибо про-
дх у °У У \У} У
изводпая от дроби с постоянным знаменателем равна производ-
производной числителя, разделенной на тот же знаменатель, а про-
производная по у от дроби - есть производная от дроби с постоян-
296

ным числ ителем х и переменным знаменателем у. Как известно,
в таком случае
/у я
Задача 37, 12 (для самостоятельного решения). Найти частные
ди ди ,
производные ^- и j- функции:
1) г = - -\-у-\ 2) г = хп + у"; 3) г = cos (a* + by).
л 1 v <Эг 1 и dz х 1 .
Ответ. 1)^ = ~~":^'5"== 2 + J'
' 6х оу "
(при дифференцировании по х производная от уп равна нулю,
так как уп рассматривается как величина постоянная, а при диф-
дифференцировании по у производная от хп равна нулю, так как хп
считается теперь величиной постоянной).
3) £■ = — a sin (ax + by); ^- — — b sin (ax + by).
Задача 37, 13 (для самостоятельного решения). Найти частные
производные функций: 1) и = ах + by + сг; 2) и = у sin x + sin у;
3) и = х"пЦх>0); 4) м = г^(г>0), 5) и = Ухг + у2 + г2.
Ответ. 1) ■£ — а; ~ = Ь; -^ —с (при дифференцировании
по х две другие независимые переменные считаются постоянны-
постоянными, а потому производная по х от by и от сг, как производная
от постоянных, равна нулю. Аналогично при дифференцировании
по у независимые переменные х и г считаются постоянными, и
поэтому производная по у от ах а сг равна нулю и т. д.)
2) £ = ^
3) рх = sin?/- x51"^-1; p =xsin»- cos#- \nx
<здесь при дифференцировании по х заданную функцию следует
рассматривать как степенную. Основание степени х — величина
переменная, а показатель степени sin у — величина постоянная.
При дифференцировании по у величину х следует рассматри-
рассматривать как постоянную, а sin у — как величину переменную, а по-
потому в этом случае функцию xsiny следует рассматривать как
показательную).
4) | = ^->; | = хг^1пг; g=^lnz;
гч ди х _ . ди _ и ди г
Ох * у x-i ^. уг ^ £* ' ф ~ yx2 + y-i + ~z' Ъг ~ у хч + у* + ^'
297

Задача 37, 14 (для самостоятельного решения). Найти частные
производные функций: 1) z = excosy— e^sinx;
2) г = ]/х2 + у2; 3) г = arctgp
arctg £-
4) г = в ; 5) и =
V *2 -г г/а ^- г2
Ответ. 1) -? ~ ех cos у — е* cos х; ?£ — ~ е* sin у — е" sin х;
2) д-г х дг ^. у
' дхух* + у* ' ду
оч дг _ у 5г
^ + у1
-г .'Уа ' dy ' х" -|- у2'
дх ~
дх ~ у (Х* ^ у* _|_ г^уз ' 0у~ у (х- + /,2 -j-
ДГ2
Задача 37,15 (для самостоятельного решения). Известно, что
сторона треугольника а определяется через две другие стороны
и угол а между ними по формуле
а = \/Ь2 + с2 — 2bc cos а.
u „ да да да
Найти —., -т и Д-.
оЬ ' дс да
„ да Ь — с cos а _ Ь — с cos a
да с—b cos a _ да be sin а
дс а ' оа а '
Задача 37, 16 (для самостоятельного решения). Сила тока
согласно закону Ома вычисляется по формуле I = в • Найти
dj_ д]_
vV И olr
п 61 V dl _ I
итвет. -~-, — ^, бТ-£.
Задача 37, 17 (для самостоятельного решения). Формула Кла-
Клапейрона pV — RT, где R — величина постоянная, связывает для
идеального газа его объем V, давление р и абсолютную темпе-
температуру Т.
Считая каждую из этих величин V, р и Т функцией, а две
другие—независимыми переменными, определить частные произ-
производные этих функций.
298

.. ., RT. dV R dV RT . 0. RT .
Решение. 1) V = —, of = ■= . ^ =—? ' 2> P = T '
dp _ /?. dp _ ЯГ „ r—^-^i-^-^I — ?-
5T ~~ И ' dV ~ И* ' ' R ' dp * R ' dV ~ R'
„ dp dV dT
Докажите, что ^^- = -1.
Задача 37,18. Доказать, что функция z = y2sin(x2—у2) удо-
удовлетворяет уравнению у2 *- + ху я- = 2xz.
Решение. ^ = г/2 cos (х2 — у2) • 2х
производная функции производная
sin ix'—y2) no x функции
*»—у', стоящей
под знаком синуса
|= Jy_ •sin^-^ + y'-cos^-^ J^L
производная производная фуик- производная
по // первого ции «in (х'—у*) По ,, функции
сомножителя х* — у*
Умножая обе части первого равенства на у2, а второго—на
ху и почленно складывая, получим
Но так как z = y2sin(x2 — у2), то правая часть последнего
равенства есть 2хг, и тем самым требуемое доказано.
Задача 37,19 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция г = In (х2 + г/2) удовлетворяет уравнению
dz dz Л
у dx ду
Задача 37,20 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если 2 = arctg-, то имеет место равенство
dz dz n
х + у °
Полный дифференциал и полное приращение функции.
Связь между полным дифференциалом функции
и ее полным приращением
Полное приращение функции и = / (х, у, г) определяется по
фэрмуле
Ды = / (х + \х, у + Дг/, z + Дг) — / (*, у, г). C7, 2)
где Дл:, Дг/, Дг—приращения независимых переменных.
По определению приращения независимых переменных Дл:, Ду,
Дг и их дифференциалы dx, dy и dz — числа, между собою равные:
Ах — dx; Дг/ — \у; Дг = dz.
299

Полный дифференциал функции ы = /(х, у, г) обозначается
символом du и вычисляется по формуле
и аналогично, если г — f (х, у), то
dz^-dx + ^dy. C7,4)
ох ' ду у
Полный дифференциал du функции есть главная часть ее при-
приращения Ли, линейная относительно Дх, Ду и Дг, т. е. Ди^^и,
причем при бесконечно малых Дх, Ду и Дг разность Ди — du —
величина бесконечно малая высшего порядка малости, чем
р = У (ДхJ + (Дг/J + (ДгJ.
Приближенное равенство kuzsdu на основании формулы
C7, 3) может быть записано так:
. ди , ди , , ди , 1ОП г\
Au^^dx + ^dy + ^dz, C7,5)
или более подробно:
/(х + Дх, г/ + Ду, г + Дг)^/(х, у, z) +|dx + fydy +|dz. C7, 6)
Это приближенное равенство тем более точно, чем меньше
величины dx, dy, dz.
Вычисление Ди приращения функции представляет собой за-
задачу, значительно более сложную, чем вычисление ее дифферен-
дифференциала du, а потому в практических вычислениях с достаточной
точностью при малых приращениях независимых переменных
заменяют вычисление приращения функции вычислением ее
дифференциала.
Задачи 37,21—37,22 являются упражнениями в вычислении
полного приращения и полного дифференциала функции, а также
в применении формулы C7,6) для приближенных вычислений.
Задача 37,21. Найти полное приращение Ли и полный диф-
дифференциал du функции и (х, у) = 3хг~{-ху — г/2-|-1.
Решение. Дц = и (х + Д*, у + Дг/) — и (х, у) = 3 (х + д*J+
+ (х + \х) (у + Ду) - {у + Дг/J + 1 - (Зх2 ~ ху - у* + 1);
Ди = Зх2 + 6х Дх + 3 (ДхJ + ху + у\х + xly -f Дх • Ду —
-ф -2уАу- (Дг/J + 1 -Зх2 -ху + у2- 1;
Дц = Fх + г/) Да: + (х — 2у) Дг/ + 3 (Дх2) + Д*Ду — (Дг/J C7, 7)
du при бесконечно малыч Лл' и &у —
величина бесконечно малая
высшею порядка по
срав нению с
300

Так как г- = 6л: + у, а -г = х — 2у, то на основании фор-
формулы C7, 4)
du = фх + y)dx+(x — 2y) dy\ (Дл: = dx\ Ay = dy). C7,8)
Разность
Ди — du = 3 (Дл:J + Дл: • Д# — (Д*/J*
представляет собой погрешность, которая возникает от замены
приращения Ды функции ее дифференциалом du. В связи с этим
примером решим такой числовой пример; найти для заданной
функции ее полное приращение и полный дифференциал в точ-
точке A,2), если: 1) Дх = 1, Ьу = 2; 2) Дх = 0,1; Ьу = 0,2; 3) Дх =
= 0,01; Д*/ = 0,02.
1) Подставляя в C7,7) значения х — \, у — 2, Дл: = 1, Д*/=
= 2, находим, что
Ди = F • 1 + 2) 1 + A — 2 • 2) 2 + 3 • I2 + 1 • 2 — 22 =
подставляя эти же значения в C7, 8), получаем, что
du = F • 1 + 2) 1 + A — 2 • 2) 2 = 8 — 6 = 2,
а разность
Дм —d« = 3 — 2 = 1. C7,9)
2) Подставим теперь в C7,7) и C7,8) значения х = 1, у =2,
Дл: =0,1» Ду — 0,2, получим:
Дм = F- 1 +2H,1 а.A_2. 2H,2 + 3@,1J +
+ 0,1 0,2 — @,2J = 0,8 — 0,6 + 0,03 + 0,02 — 0,04;
Ди = 0,21,
du = F- 1 +2H,1 +A—2.2H,2 = 0,8-0,6=0,20;
Ди — du = 0,21—0,20 =0,01. C7,10)
3) Подставим теперь в C7,7) и C7,8) те же значения х и у,
но возьмем Дх = 0,01, а Дг/ = 0,02;
Ды = F • 1+2) 0,01 + A — 2 • 2) 0,02 + 3 @,01J +
+ 0,01 • 0,02 — @,02J = 0,08 — 0,06 + 0,0003 + 0,0002 —
— 0,0004 =0,0201;
du = F- 1+2) 0,01 + A — 2 • 2) 0,02 = 0,08 — 0,06 = 0,02,
а
Ды —du = 0,0201— 0,02 =0,0001. C7,11)
* В выражениях (АхJ, (Ay)z скобки могут быть опущены, гак как Ах,
рассматриваются как единый символ.
301

Сравнивая разности C7, 10), C7, 11) и C7, 12) между полным
приращением функции и ее полным дифференциалом, мы усмат-
усматриваем, что они уменьшаются вместе с уменьшением прираще-
приращений Ах и Дг/ независимых переменных.
Этот пример иллюстрирует высказанное выше утверждение,
что равенство C7, 5) тем более точно, чем меньше приращения
независимых переменных.
Задача 37, 22 (для самостоятельного решения). Найти полное
приращение функции и — Л/2 и ее полный дифференциал в точ-
точке B,1) при: 1) Дх = —0,1, Ау = — 0,1; 2) Дл: = — 0,01; Ьу =
= —0,01. В обоих случаях сравнивать разности Да — du.
Ответ. 1) Ди = —2,4442; du = — 2,8; Ди — du =- 0,3558;
2) Ли = —0,2762; du - -0,2800; Ди - du = 0,0038.
Задача 37,23. Найти полный дифференциал функции г —
= In (х + V*2 + Уг).
Решение. Полный дифференциал функции находится по
формуле C7,4). Найдем ^ и ^-\
дг 1
+ у
дг
/l I * ) =
Поэтому
г~УЖ+? х+ {xyVWT^Vx^TV у'
Задача 37,24 (для самостоятельного решения). Найти полный
дифференциал функций: 1) г — a'J~^; 2) 2 = arctg^; 3) z =
X
== xs'm у-{-ys'mx; 4) и = х-\-уеу.
Ответ 1) dz {Ь"'~q2)Ыу~ydjc) • 2) dz - xdy~ydjc•
итвет. 1^аг~ {byax*) • s> аг ~ х* + у* '
3) dz = (sin у + у cos x) dx + (* cos r/+sin x) dy\ 4) d« = A +eu) dx+
X x
[\7d
j
Задача 37,25 (для самостоятельного решения). Найти полный
дифференциал функций: 1) и = — •; 2) и = !r
у хг + у2 -\- г2 '
3) и = In tg- : 4) и = arcsin ^х2~ у' ; 5) ы -= eV + eV.
У У хгп- у*
302

_ .. , x dx + t/ dy + zdz
Ответ- 1) du = y з—;
(x'+if+z'f
„ _ A + ^) di/ — 2x 11 + У-) arctg у rf*.
i/ sin— {/•'sin——
du =
x x г г
Ъ) du = -<?dx — {/- x- + e7- *-r)dy + e~■ -dz.
Задача 37,26. Для вычисления объема цилиндра были вы-
вычислены его высота и диаметр основания. При этом оказалось,
что высота h = 60 см, а диаметр D = 50 см, и границы ошибок,
допущенных при измерении, Д/г = Д£> = 0,1 см. Найти границу
ошибки ДУ в объеме цилиндра, вычисленном по этим данным.
Решение. Объем цилиндра V = ^—т- .
Считая, что я^З.Н и подставляя сюда числовые данные за-
задачи, получим, что V = 117,75 дм3. Чтобы вычислить границу
ошибки в полученном числе, примем, что AVs^dV.
Учитывая,
получаем,
что
что
dV
dV
oD ~
dV
~ OD
T.Dh
2 '
dD
a
+ Th
dV
Oh ~
dh.
T.D*
4
Оценим абсолютную величину dV:
Подставляя числовые данные из условия задачи, получим,
что граница ошибки равняется 0,7 дм3. Таким образом, ДУ'=ь
^0,7 дм3.
Следует иметь в виду, что мы приняли я = 3,14, что также
внесло ошибку в результат вычислений. Однако ошибка, возник-
возникшая из-за этого, значительно меньше той, которая возникла от
неточности в измерении D и h.
Задача 37,27. Для вычисления удельного веса тела его взве-
взвешивают и измеряют его объем. Оказывается, что вес Р = 326 г,
а объем V = 126 см3; при этом границы ошибок величин Р и V
равны ДР = 0,5 г, ДУ = 1 см3.
303

Определить границу ошибки Д£> в удельном весе D, вычис-
вычисленном по этим данным.
Решение. Удельный вес ^ = у = 126 ~ 2'59 ел5' ТепеРь
положим, что kD^dD;
ldD] = >VAP-PW
V*
P | Д1/ |
Подставляя сюда числовые данные задачи, найдем, что гра-
граница ошибки AD^a 0,024 —а.
СМ
Задача 37, 28 (для самостоятельного решения). Даны две точ-
точки Р (х, у) и Рх (хь г/i). Насколько изменится расстояние S между
ними, если координаты точек получат приращения dx, dy и dxlt
dyi и сколько процентов р от длины S составит это изменение.
Ответ. dS — (dx — dxx) cos a -f- (dy — dy^ sin alt где a — угол,
образуемый с положительным направлением оси Ох прямой, про-
проведенной из Рх по направлению к Р
sin a\.
1Л
Количество процентов р = — • 100.
Задача 37,29 (для самостоятельного решения). Решить пре-
предыдущую задачу с такими числовыми данными:
S = 4200 м; а = 34°17'25"; dx = — 1м;
dy — 3 м; dxx = 4 м; dyx~2 м.
Ответ. Расстояние S уменьшится на 3,65 м, или на 0,087%.
Задача 37, 30. Даны две точки Р (х, у) и Рг (хъ г/х). Расстоя-
Расстояние между ними равно S, а угол а определяется, как и в за-
задаче 37,29. Точка Рг неподвижна. Насколько изменится угол а,
если координаты точки Р станут равными x + dx, y + dy.
Указание. tga = у ~ у'; In tg a = In (у — г/х) — In (x — л:х).
Отсюда следует, что
1 , dy dx
■da— - —
tg a cos2 a у — й x — x1
(xt и ух по условию — постоянные величины). Так как у — yl=.
= 5 sin a, а х — Xi = S cos a, то отсюда получается ответ
, cos a , sin ot ,
da. = —^- • dy ^- dx.
304

Задача 38,31 (для самостоятельного решения). Решить преды-
предыдущую задачу при таких числовых данных: 5 = 3500 м; а =
= 52°13'24"; dx —l м; dy = 2 м. Выразить d<x в секундах.
Указание. В формуле, полученной в ответе предыдущей
задачи, da смеряется в радианах. Чтобы получить do. в секун-
секундах, следует полученное число умножить на 206 264,8, т. е. на
число секунд в одном радиане.
Ответ. 25",6.
Задача 37,32. Вычислить приближенно величину A,03K'001.
Решение. Мы знаем, что I3 = 1. Нам следует теперь про-
произвести вычисления для того случая, когда основание степени 1
получит приращение 0,03, а показатель степени 3 — приращение
0,001. Будем исходить из функции /(х, y)—x[J и воспользуемся
формулой C7, 6).
Учитывая, что в нашем случае J- = уху~х\ -j^=xy\nx, полу-
получим (х + &х)у+*у ^ ху + ухУ-Ч^х + ху In х^у.
У нас х = 1; у = 3; !±х = 0,03; Ьу = 0,001, а потому A.03K-001 %
~ I» + з • I3-1 0,03 + Is In 1 • 0,001 = 1 + 0,09 = 1,09, т. к. 1п 1 =
= 0.
Задача 37, 33 (для самостоятельного решения). Вычислить при-
приближенно: 1) @.97J-02; 2) A.003J-07; 3) j/F,03J + (8,04)г.
Указание. В последнем примере следует исходить из функ-
функции / (х, у) = У*1 + У2-
Ответ. 1) 0,94; 2) 1,006; 3) 10,05.
ТРИДЦАТЬ ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Дифференцирование сложной функции от одной и не-
нескольких независимых переменных.
1. Дифференцирование сложной функции от одной независимой
переменной
Формула полной производной. Если г = / (и, v), а и и v
являются функциями независимой переменной х: и = ср (х) v —
= ф (х), то и г является функцией х.
В таком случае говорят, что г есть сложная функция аргу-
аргумента х. Производная от функции г по независимой переменной
х вычисляется по формуле
— = -- Л.—— /ООП
dx Oudx "г" ovdx' \O°' l>
Вычисленная по этой формуле производная называется пол-
полной производной от функции z по независимой переменной х.
305

Аналогично, если z — f(u, v, w), а ы=<р(л:), v = <b (x), w =
= (в (x), то полная производная от функции г по независимой пе-
переменной х вычисляется по формуле
dz dz du . dz dv . dz uw ,»„ g.
dx du dx 0v dx dw dx
Частный случай. Если z — f(x, и, v) а и и v в свою оче-
очередь, также является функциями х, т. е. и = <э(х); v = ф (х),
то
dz dz dz du , dz dv .„о «-
Читатель должен обратить внимание на то, что в правой
части формулы C8,3) стоит частная производная -г, вычис-
вычисленная в предположении, что и и v — величины постоянные. Эту
производную следует отличать от полной производной -г , кото-
которая вычисляется в предположении, что и и v являются функция-
функциями х. Различие в этих двух производных объясняет также и
различие в их обозначениях.
Задача 38,1. Найти -^, если z = sinC« + 2y — Aw), а и ^
Решение. Здесь следует воспользоваться формулой C8,2).
Определим производные, входящие в эту формулу:
ju = 3 cos (Зы 4- 2v — 4ш); ^ = 2 cos (Зы + 2v — 4ш);
J- = -4 cos (Зы + 2v — 4и>); % = 6л:2; ^ = 6л:; ^ = 4л:3.
ow dx dx dx
Подставляя эти величины в C8, 2), получим
d£ = [3 cos (Зы + 2v — 4ш)] 6л:2 + [2 cos (Зы + 2v — 4ш)] 6х —
— 4 cos (Зы + 2v — 4ш) 4Х3.
Вынося в правой части за скобку cos (Зы + 2v — 4w) и заме-
заменяя под знаком косинуса ы, v и w их выражениями через л:,
получим окончательно
£ = A8л:2 + \2х — 16л:3) cos Fлг> + 6х2 — 4л:4).
Задача 38, 2 (для самостоятельного решения). Найти полную
производную т- функции ы = sin —, где х=е1; y = t2.
Указан ие. Формулу C8, 1) следует переписать в виде
du ди dx
dT ~~ dx' Ж
Ответ. £■ = (/ — 2) • -J5- • cos
du ди dx .du dy
dT ~~ dx' Ж *~ <Гу ' df '
306

Задача 38, 3 (для самостоятельного решения). 1) и = z + У +
Л du
+ zy; z = sinx; y^-ex. Определить полную производную -^
Указание. На основании формулы C8,1)
du du dz ои dy
dx ~ dz ' dx' dy dx'
2) и — v2 + vy; v — In x\ у = ex.
т, - du
Найти полную производную j-.
Указание. Применить формулу C8, 1), переписав ее в виде
du dudv du dy
dx ~ dvdx' dy dx'
3) Найти полную производную — , если г = /(«, v) u=ax2-\-
+ bx + с; v = ах + Ь.
Ответ. 1) ^ = 3e3*-fe*(sinx + cos;t) + sin2x; 2) ^ =
1vA- и , „ du 2 In x + ех , _ , г.. dz dz ,n , ,. , <9г
= —:L-- +ve*\ -r — ~ f- ех 1пх; 3) — = -г- Bах -f 6)+Го.
а1 ^л: * ' ' dx duч ' ' ' dv
Задача 38, 4. Определить полную производную функции
и = е"" (у — г); y = asmx; z = cosx.
Решение. Здесь следует применить формулу C8,3), так как
функция и зависит от х как непосредственно, так и через по-
посредство функций у и г. Определим производные, входящие в пра-
ьую часть этой формулы:
dx.~°^ (У Z>' dy~e ' dz e aC0SX
du du . du dy , dv dz
= ea*(a2 +
Задача 38,5 (для самостоятельного решения). Найти ^, если
г — / (х, и, v), и = — ; v = In x.
Указание. Применить формулу C8,3).
п dz _dz dz \ dz \
итвет. ^-jx~^--p + dl
y
Задача 38,6 (для самостоятельного решения), г = Ухг + г/2;
у = sin2х. Найти £ и ■£.
307

.. dz дг , дг dy
Указание. -=- + 5-_.
Ответ. g= , 'г + vj' 2sin2x-
Задача 38,7 (для самостоятельного решения). Найти ~ , если
1)г = и°, где ы = sinx; у = tgx; 2) г = игда, где и = sinx; у =
= lnx; w = tgx.
Ответ. 1) ^ = (sin х)'8 Л A + sec2 x In sin x);
Задача 38,8 (для самостоятельного решения). Найти ^- и ~,
если г = ху, где г/ = lnx.
О„ег.
Задача 38,9 (для самостоятельного решения). Найти ^, если
X
г = еУ, где г/ = sin3 х.
Ответ. -?=—еУ\\ ^sin2xcosx).
dx у \ у /
Задача 38, 10 (для самостоятельного решения). Найти -г-, если
1) г = In (х2 + у2), где у = ех*; 2) г = arctg f-±£ ( где г/ = cos x.
Ответ. 1) -£■ = -г-тЦA +2ye*2). a вместо г/ можно подставить
е*2; 2) ■/ =
' dx
dx I + хг 1 + у
Задача 38, 11. Движение точки задано уравнениями
* = 3/2; г/ = 2/4; г = 4<6.
С какой скоростью возрастает ее расстояние от начала координат?
Решение. Расстояние г точки от начала координат опреде-
определяется формулой г = |/х2 + у2 + г2, где х, у и г — координаты
точки.
,__ „ dr дг dx , дг dy . дг dz
Для решения задачи следует найти - = -- + _J?+-_:-
<Эг л: дг _ у_ . дг_ 2
дх ~ у х*-f yt+J*' by ~ ypqrpqip ' дг ~ у x* + yi -r Z2
dx fi/. di/ _ o/3. ^ _
d7 ~ W> d~t ~ Ы ' dt ~
Л dr 18/ + 16/5 + 96/»
Ответ, -г. = — -^= .
dt у у .,_ 4/i -j- 16/»
308

2. Дифференцирование сложной функции от нескольких
независимых переменных
Если г —/(«, v) — функция от двух переменных и и v, а каж-
каждая из них есть в свою очередь функция двух независимых пере-
переменных хну, то и г есть функция независимых переменных х
и у, а ее частные производные по этим переменным вычисляются
по формулам
dz dz ди dz dv
Ох ~~ ОиОх ~> Ovdx
dz __ dz ди dz dv C8, 4)
dy аи Оу "•" ov dy
Частный случай. Если функция г зависит от х и у не только
через посредство и и у, но и явно, т. е. г = / (х, у, и, v), то имеют
место формулы:
^£ _ /^£\ _1- — — 4- — —
ах I ox) ' Oudx' dv dx
[
dy ~ [dy] ~*~ ди
\ 4
dy ~ [dy] *~ диоут dv ay
ldz\ ldz\
причем следует иметь в виду, что производные j- и -т-] от
функции г вычисляются в предположении, что и и v—величины
постоянные.
Задача 38,12. Найти — и —, если г = In (и2 + у2), а
u=xcosy; v — ys\nx.
Решение. Следует воспользоваться формулами C8,4). Опре-
Определим частные производные, входящие в эти формулы:
дг 1 9 dz _ 1 п ди
д~и'-!?Т~Ь~г ' b~v = п*Т7>' гг)' Тх-"cosy''
dv du dv
Tx = ycosx; Ty = -smy
Подстановка этих производных в C8, 4) дает
Т^cos у + ^г* у cos х = ^Т^("cos у + щ cos х) =
2
——т,—;—., . ., (у sin2 х — х2 sin и • cos и).
30»

Задача 38, 13. Определить ■£ и j , если г = arctg-^ , а и —
— xsin у, v — xcosy.
Решение. Здесь опять-таки следует применить формулы
C8, 4). Определяем частные производные, входящие в эти формулы:
dz _ l J_ _ v . dz _ l / и_\ и .
1 "Г у2 "Т V2
ди . dv ди dv
Fx smy cosy; xcosy;
Поэтому
dv ди dv
,Tx = cosy; Fy = xcosy; - = -xsiny.
Задача 38, 14 (для самостоятельного решения). Определить
£;^£.ec-« = lncosFr где * = *
Указание. Формулы C8,4) в данном случае для определе-
ди
ния, например, ^ запишутся так:
ди _дидх ди ду ди дг
ЪТ ~д~хдТ *~ dyW *"o~z~dl
ди ди
и аналогично для ^- и =-.
01) OW
t
п ди _ ±„ ху (yvw . xe" xyv
Ответ. -=-xg y +
Задача 38,15. Найти -^ и j , если г ~ f (и, v) а и = х-\-у;
v-^x — y.
Решение. Применяя формулы C8, 4), получаем, учитывая, что
ди ди _ , ди ,, до _ , дг _ dz , , dz . _ dz йг.
дх^дх~ ' ду~ ' Fy~~' дх^дп' ^ dv ' ди + dv''
dz дг . , дг . ■. _ dz дг
dy'^Fu' +dv(~~'=d~u~Fv'
Задача 38, 16 (для самостоятельного решения). Найти -г- и -?
ох оу
■если г = f (и, v), а и = х2 + г/2; у = ху.
г, дг с, dz . dz dz o dz дг
Ответ. - = 2^-+i/-; ^ = 2^
Задача 38, 17. Доказать, что функция г = г/?(^2 — у2) удовле-
,, 1 дг , 1 дг г
творяет дифференциальному уравнению — — ■]— — = —г.
310

Решение. Обозначим х2 — уг = и. Тогда заданная функция
г = уч (и). C8, 6)
Легко усмотреть, что г зависит от х только через посредство
и, а от у — как непосредственно, так и через посредство и. По-
Поэтому
д£ = у<?' (и)д£ = у9' (иJх = 2ху<?' (и).
Производная ^ должна быть определена по второй из формул
C8, 5). Входящая в эту формулу производная [^) = <? (и), а пото-
му, учитывая, что j- = —2у
| = <?(«) + У?' (и) fy = ?(«)- 2уЧ' (и).
ния -г-
Подставляя найденные выражения -г- и j- в левую часть за-
заданного уравнения, получим
7 % + 71 = 4 24*' («) + ^
= 2W' (и) + I ср («) - 2г/?' (и) = 1 ср (и) = 11- = ±.
так как на основании C8,6) у (и) — —.
Задача 38, 18. Доказать, что функция г = ху + х<? I — удовле-
творяет дифференциальному уравнению х-г -f-у s- = ху-\-г.
Решение. Обозначим — = и. Тогда заданная функция пере-
перепишется в виде
г = ху + щ (и) C8, 7)
и очевидно, что г зависит от х и у как непосредственно, так и
через посредство и. Поэтому частные производные —_ и ■£■ сле-
следует отыскивать по формулам C8, 5). Учитывая, что
(я)-»+*<•>••(«)-*
и, кроме того,
ди __ у ди 1
Fx ■?' <Гу=~х'
311

I = у + ? (и) + х-У (и) (- J) = у + ср («) -1-?' (и);
J" = •* "+" Щ' (U) — = X + о' («).
Подставляя значения т- и 5- в левую часть заданного урав-
«ения, получим
х —. + У — = х \у -\- у (и) —- ^' {и)\ -\- у [х
\-xy-\- ул (и) = ху -\- х
г
Задача 38, 19 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция г = х-\- у -\-ol-) удовлетворяет дифференциальному
уравнению х^-'т у'— -— х + у.
Указание. Обозначить — = и и воспользоваться формулами
<38, 5). Учесть, что 1^-\ = 1; 1-?| = 1.
Задача 38, 20 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция г = — (х2 -f- у2) •{-» (х — у) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению —|- -г- — х 4- У-
Указание. Обозначить х — у — и и воспользоваться форму-
формулами C8,5), в которых 13-) = *; (л")=^'
Задача 38, 21 (для самостоятельного решения). Доказать, что
-функция г = e!^[ye'2l/2J удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
х
Указание. Положить ye2q* = и, воспользоваться формулами
<38,5) и учесть, 4To(g) = 0; (|)=e".
Задача 38, 22 (для самостоятельного решения). Доказать, что
■функция г = x<?(-j) — х2 — У2 удовлетворяет дифференциальному
д f
уравнению хд£ + yfy = г — хг — у2.
312

ТРИДЦАТЬ ДЕВЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Производные и дифференциалы высших порядков функ-
функций нескольких независимых переменных.
1. Производные высших порядков
Если задана функция двух независимых переменных г ~ f (x, у)
и вычислены ее частные производные у и у , то они, вообще
говоря, также являются функциями независимых переменных х
и у, а потому от каждой из них можно вычислить производные
как по х, так и по у.
Если вычислить частную производную по х от у, то полу-
получим частную производную второго порядка от функции г, взятую
два раза по х. Эта производная обозначается символом j-2 и, та-
, д /дг\ д*г
ким образом, з- з- =лтг-
Если вычислить частную производную по у от -=г , то полу-
получим частную производную второго порядка функции г, взятую
сначала по х, а потом по у. Эта производная обозначается сим-
волом г-г- и, таким образом, з-(^- = т-з--
dxdy г < ду\дх) дхду
Подобно этому частная производная по х от ~ даст вторую
частную производную функции z, вычисленную сначала по у, а
потом по х. Она обозначается символом -з-з-;
дудх
дх [ду] ~ дудГх '
дх
а частная производная по у от ^~ есть вторая частная произ-
производная от функции z, взятая два раза по у. Она обозначается
д2г д [dz\ d2z
символом ^-„; гг- К- = д~2 •
дуг' ду\ду) ду*
Также вводятся частные производные порядка более высокого,
чем второй.
Например, символ з-3 обозначает производную третьего порядка
функции г = f (x, у), вычисленную три раза по х.
Символ же д-зд- обозначает, что от функции z взята произ-
производная третьего порядка, причем она вычислялась два раза по х
и от полученной производной ^2 вычислена один раз производная
по у и т. д.
313

Задача 39, 1. Найти частные производные третьего порядка
•функции г = х* 4- Зх3у — Ах2у2 + Ьху3 — у*.
Решение. ^ = 4л:3 + 9х2г/ — 8ху2 + бу3; C9,1)
|? = Зх3 — 8х2г/ + 1 Ъхуг — At/. C9, 2)
Если взять производную по х от g- (выражение C9, 1)), то
получим, что g4 = ^2х2 + 18хг/ — 8г/2; если то же выражение C9, 1)
продиффгренцировать по у, то получим
5г/2; р-г = —8х2 + ЗОху — 12г/2.
Продифференцируем теперь по л: производную -^ (выражение
C9, 2) и получим, что
,. ~ dz d2z
Читатель должен усмотреть разницу в обозначениях ^- и
Символ g^|- означает, что от функции г сначала была взята про-
производная по х, а результат был продифференцирован по у. Сим-
Символ же g-з- показывает, что от функции г была сначала вычис-
вычислена производная по у, а полученный результат продифферен-
цирован по х. I аким образом, производные 5-5- и з-^- отлича-
отличаются порядком, в котором велось дифференцирование.
Если продифференцировать по у производную =-j, то получим
третью производную spg- = 18л;— 16г/.
d2z
Продифференцировав же по л: производную g-r-, получим
532 18х16у
Если вычислить производную по у от з-^-, получим
^5-2 = —16^ + ЗОг/.
Производная по х от ^—- даст з-^-? = 18л:— 16г/.
314

Производные
дудхду ~ *"л
d*z &>z
наконец, если взять производную по х от g-.г, то получим з-а =
= 24* + \8у, а если взять производную по у от g-2, то получим
Здесь опять-таки следует пометить, что производные
а также производные
азг
5jc2dt/ * дхдудх' дудхг
отличаются только порядком дифференцирования.
Оказалось, что
" ^ __ " * . /on 'Yv
дхду ~ дудх ' ^y' °>
C9, 4)
Это совпадение не является случайным. Имеет место такая
важная теорема: если частные производные непрерывны,
то их значения не зависят от порядка дифференци-
дифференцирования.
Задача 39, 2 (для самостоятельного решения). Найти частные
производные второго порядка функций:
1) г = ху; 2) г = еах+°"; 3) г = In (х2 + у2); 4) г = ех«.
Ответ. 1) ^=0; ^=1; ^ = 0;
Ъ ^1 - 9 У* — ** J
; ИЛ:2 ~ (JC2 + *)*
ду2 ~ (х2 + г/2J'
4> S = '/^: Щу = ^ ^ + «5 S" = Л*"
Задача 39, 3. Определить производную а а д функции ы =
; sin (л#г).
315

Реш eHjie.
% = уг cos (хуг); £Ц- = г cos (хуг) — хуг2 s i n (хуг);
дхдудг
д»и
д*а = cos (хуг) — хуг sin (л:уг) — 2л:уг sin (хуг) — х2у2г2 cos (хуг);
= A — х2у2г2) cos xyz — Зхуг sin (хуг).
Задача 39,4. Показать, что функции: 1) г = 1пг, где г~
= V(x~xlJ + (y — y1J и 2) z = arctg -|- удовлетворяют урав-
■нению Лапласа к-2+^-2 = О.
Решение. 1) т-=—з-• Но так как
' дх г дх
дг
ТО
дг
32z
Теперь вычислить ^2, рассматривая правую часть последнего
равенства как произведение
д*г _ \
дх2 ~Т*
Подставляя сюда найденное выше значение -к- = ^—^-, получим
д*г _ J ? (х — х,)
дх* ~ гг г*
Аналогично находим
Подставляя найденные значения у^ и з~г в левую часть урав-
уравнения Лапласа и учитывая, что если
г = V(x-xlf + (
то (х — xj2 + (г/ — yiJ = г2, получим
г
2 2 Г(л:-
1 2 (л:-*,J , 1 2 (у-г/гJ __
316

и тем самым доказано требуемое.
1 1 _ х d*z х о
~1 х~* + у" ду* ~ (x*+W У'
а2г а2г
Подставляя найденные значения —г и yi B левую часть
уравнения Лапласа, получим
у о..х о» п
Z* У
и требуемое доказано.
Задача 39,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция о = — , где г — ]/л:2 -f- if -\-гг удовлетворяет уравнению
Лапласа:
ил:2 ~ аг/2 + дг2 ~ Ul
Задача 39, 6 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функции 1) v = rcos0 и 2) v = ^- удовлетворяют уравнению Ла-
Лапласа в сферических координатах:
а I , dv \ . 1 д ( . r,dv\ . 1 а2о -
(г+(sin6)+ 0
Задача 39,7, Доказать, что если функция и = и(х, у, г) удов-
удовлетворяет уравнению Лапласа
то и функция
Ри , ди , ди
также удовлетворяет этому уравнению.
Указание. Подставить в заданное уравнение вместо и функ-
функцию v и доказать, что хт! + з-i + др = О
а*'- \ dxj дх' ' дх \дх'г) ' dif \ dxj ~ дхду* дх \ду*1
а2 /,.а«\ д*и д (д2и
'■ X
а2 / ди\ _
д? \Хдх) =
дхдг2 ~ дх \
317

и, таким образом,
*-1хдЛ\ + .[х!\ , _(х?у\ - 2^
дх"- [Хдх) + дуг [Х дх) + дг2 Г дх) "~ дх*
д (д2и д2и д*и\ __ 9 д*и .
5i\3F* + Ъ~~г + аа) а*2'
так как по условию
Аналогично
OLl du\-i &-( дЛ\_l &г I ди\ - 9д*и
дх2 [У ду) + дуг\уду) + <?22 [у dlj) ^ Z ду*'
а2 / ди\ а2 / да\ а2 / аы\ 9 а2ы
г] + ^ + ^г ^
Поэтому g^5 + g^ + 0-г = 0, что и требовалось.
Задача 39,8. Известно, что г — f (и, v), а переменные и и о
являются функциями независимых переменных л: и г/.
ы = <р (л:, у); v = i> (x, у).
„ а2г а2 г
Определить ш; ^.
Решение. На основании формулы C8, 4)
дг _ dzdu , dz dv д2г __ д /дг\ __ q fdz ди . дг dv\
дх да дх ' dv дх ' а*2 ~~ дх \дх] gj \ди "дх dv дх)
_ д_ (дг ди\ д_ /дг_ dv\ _ д_ (дг\ ди дг dhi д_ jdz\ dv а_г cPv
~ дх [ди дх) + дх [dv дх) ~ дх [ди) дх + ди дх* + дх [dv) дх + dv Ы? '
Учитывая, что производные г и т- являются, вообще говоря,
функциями и и v, имеем, опять-таки на основании формул C8, 4)
дх [ди) ~ ди [ди) дх + dv [ди) дх ~ ди2 dx + dudv дх '
д (^1\ — д (dz\ ?а 4. — (—\ — — ^!iди
дх [dv) ~ Ъ~п \dv) дх + dv [dv) die ~~ dvdu дх
Подставляя эти значения в предыдущее равенство, получим
окончательно, что
а2г /дЬди а2г dv\du дг дЧ I (Рг_ ди , d*z dv\ dv
дР =: [dl? дх + duTv Ыс) д~х + дп ' dx* + [dvdu дх + ЬТ3 дх) дх +
2 ^£ ди dv j а^г /"^Л2 . &: Ё!^ 4
Этим же путем найдем, что
а2^ а2? ми у! , _^_ а« а_у а^г /ач\ - аг д*и dz
ду* :1= а«а ^Л/j "" ййсТп дуду"Т~д1? \ду) + аи ар + dv ду*'
318

Задача 39,9 (для самостоятельного решения). Вычислить ^-^- .
Функции z = f(u, v), где и = с? (х, у); v = ф (х, у).
Указание. Воспользоваться методом, с помощью которого
d2z
была найдена производная з-g в предыдущей задаче, и учесть, что
dA-dy ~ 31/ |^§д- j ~ ду[дпдх~т~ dvdxj'
Ответ:
а2г _ tfz диди , д2? (ди dv dv ди\ , d^zdvdv,d£ д2и dz d2v
дхду ~ дп2д~х~ду ~* dadv ' [дхду ~т~ 'дхЩ}~^ dv2dxdy ' да дхду ~^ dvdxdy'
Замечание. Формулы, полученные в последних двух зада-
задачах, не должны запоминаться. Читатель должен усвоить метод,
с помощью которого эти формулы были получены.
На применение этого метода предлагается задача 39, 10.
дгг
Задача 39, 10 (для самостоятельного решения). Найти ^ >
Ш и W1' если г = ^("' 0); и^х +У > v~-= ХУ-
Указание.
ал: — ' а</ ~ »' дх ~у' ду~ *" дх2 ~ Zt
П
^. дхду
dz а« . аг at) dz „ . Ez
d*z d (dz\ a (dz n . dz \ a (dz ~ \ д (dz \
дх2 ~~ дх [дх) ~ дх [ди ' dvy) ~ дх [ди ) ' дх \dv У) ~~
_ д_ (дг\ г, , dz_ 9 d_ (dz\ _ fd_ (дг\ du д_ (дг\ dv~\ 9
~ ал: [ди) ^ ди ^ дх [dv) у ~ [ди [ди] дх ~т~ dv [ди)дх\' Х +
dv I ди \ dv} дх dv \ dv J дх \ ди2 дх dudv дх) ди
L\/ \/J\ /
/ d^z ди d^z dv\
~*~ [dvdu dx ~^ ~dv2 дх j &'
Подставляя сюда значения частных производных функций и
и v по х, получим окончательно:
I a2z a2z v
| учтено, что 3-5- = =г^г •
у dudv dvdu]
Ответ.
д*г . ,агг .
dz
319

Задача 39,11 (для самостоятельного решения). Определить
частные производные второго порядка функции г = в (и, v), где
и = х + у; v = х — у.
d2z __ 32г d2z p d2z ш д2г _ 32г д2г .
Ответ, foa — 0Ц2 + а„г "Г ■<= ди0„ ' 3x3// ~~ ди* dv''
Задача 39, 12 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функции 1) и = еын smnx и 2) и = е~кпЧ • cos nx удовлетворяют
уравнению теплопроводности
ди , д-и
dt =КШ-
Задача 39, 13. Показать, что функция
z = <s (x — at) + $ (х + at)
удовлетворяет уравнению колебания струны
dt-~a Шр
(функции ср и ф — какие угодно дважды дифференцируемые функ-
функции).
Решение. Введем обозначения х — at = ы; х + at = v.
Тогда заданная функция перепишется так: z — о (и) -{-ф (о);
дгд<? ди д<? dv
Но так как функция ср не зависит от v, а функция ф — от ц,
dv ди
— du.dv.dz да 34
Если учесть, что ^- = 1 иг= , Тог = г+з-;
J ' дх dx dx du ' dv'
Зл:2 ~" а^^ал:] ~ ax \3« ' dv) ~dx [ди) + dx \dv) ~~ du [duj die +
5 /3<p\ 3d , d_ /3i\ Зи г? /Зф\ dv __ a2a , 32d/
+ dv [duj dx + дп [dv) dx + Зп \апj dx ~~ dtp + dv*'
з /3»\ Л a /30\ Л аз (fea« , dbdv i
как -^ =0 и5^) = 0; - = ^_ + __ ^учтено, что
- = ^_ + __
,, du dv dz dv , 3i>
Учитывая, что тг = —а, а тг == а, имеем ^т = —а-г-\-а-~.
dt dt dt du ' dv
cP-z __ 3 (dz\ __ 3 / 3o 3d/\ 3 /3y\ 3 /дф\ _
dt*~dt [dt) ~dt {~adH+ adH) ~ ~adt \du~) + adt [Fvj ~
_ 3 /3?\ du a /дфЗгЛ _ 2 a2? 2 d26 _ 2 /32d-
~ ~adu[du'jdl+adv[dv"dl)~a ШГ* + а Ы^~а
320

Умножая 5-j на а2, убеждаемся, что действительно
д-z j д2г
Ш2 = п дх2'
что и требовалось.
Задача 39, 14 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция
удовлетворяет уравнению
дх- дхду "*" ду2 ~
Указание. Положить х-\-у = и.
Задача 39,15 (для самостоятельного решения). Показать, что
функция
г = ? (ху) +
удовлетворяет уравнению
2 d2z , &z
Л дхг у ду2'
Указание. Ввести замену; ху — и\ —=v.
2. Дифференциалы высших порядков
Аргументы л: и у функции z — f (х, у) — независимые пере-
переменные.
Дифференциалом второго порядка функции z — f{x,y) назы-
называется дифференциал от дифференциала первого порядка; он обо-
обозначается через йЧ. Таким образом d2z = d(dz).
Дифференциал второго порядка вычисляется по формуле
dh = g dx- + 2 g*L dxdy + g df. C9, 6)
Дифференциал третьего 'порядка функции z — f(x, у) есть
дифференциал ее дифференциала второго порядка; обозначается
он символом d3z, т. е. d3z = d (d?z).
Дифференциал третьего порядка вычисляется по формуле
d?z = g dx* + 3 ^ dx4y + 3 а-£2 dxdtf +1| ^з. C9, 7)
если условиться над символами т- и ^- производить все ариф-
арифметические действия по тем же правилам, по которым они про-
производятся над числами, а произведение
дт дп
дхт дуп "
И 3-430 321

д+и
заменять частной производной - -, то формулы для вычисле-
дх ду
ни я d2z и й3г можно в символической записи переписать так:
C9.8)
J
dsz = [§-x
§-ydyJz C9,9)
и вообще для дифференциала порядка п функции z — f(x, у)
имеет место символическая формула
^)". C9,Ю)
При вычислении по формуле C9, 10) следует применить извест-
известную из алгебры формулу Ньютона для возведения бинома в целую
и положительную степень.
Например, выражение -^dx* -^—^уг-г следует заменить выра-
выражением д *, dx3dy2, а выражение -^ dx2 g- dy- z выражением
йхЧу и т- д"-
Вычисление дифференциалов любого порядка функции z = f(x, у),
где х и г/ — независимые переменные, по формулам, приведенным
в этом параграфе, не может вызвать у читателя никаких затруд-
затруднений, так как по существу все вычисления сводятся к опреде-
определению частных производных высших порядков, которые читатель
уже умеет находить.
Мы разъясним при решении задач другой способ нахождения
дифференциалов высших порядков, который даст возможность
определять их, минуя вычисление частных производных, а по
известному выражению дифференциала мы сможем находить и
частные производные.
Задача 39, 16. Найти йРг функции z = x2y2.
Решение. Первый способ. Воспользуемся формулой C9,6),
для чего определим все частные производные, входящие в нее:
дх ~ гхУ ' ду
Подставляя вторые производные в C9, 6). находим, что
d*z = 2уЧхг + 8xydxdy + 2хЧу2.
Второй способ. Определим сначала -дифференциал первого
порядка заданной функции, опираясь на основные формулы:
dz = уЧ (х2) + хЧ (г/2) = у2- 2xdx + хг 2ydy = 2хуЧх + 2x*ydy =
= 2ху (ydx + xdy).
322

Для определения d2z дифференцируем dz, но при этом следует
иметь в виду, что так как х и у — независимые переменные, то
их дифференциалы dx и dy—величины постоянные, которые при
дифференцировании выносятся за знак дифференциала. Учитывая
это, получим
d2z = d {dz) = d [2xy {ydx + xdy)} = 2 [d {xy) {ydx + xdy) +
+ xyd {ydx + xdy)] = 2 [{ydx -\- xdy) {ydx -f xdy) -f
+ xy • {dydx + dxdy)] = 2 [{ydx + xdyJ + xy ■ 2dxdy] =
= 2 [(*/2flfx2 + 2xydxdy + x2dy2) + 2xydxdy] =
= 2г/2Л:2 + Sxydxdy + 2x2dy2. {39, 11)
Теперь уже, зная дифференциал второго порядка, можно найти
частные производные второго порядка. Легко усмотреть, что
коэффициент при dx2 равен ^, коэффициент при dxdy есть
^ ШГ' а коэффициент при dy2 есть j\. Это следует из того,
что при произвольных dx и dy равенство
Adx2 + Bdxdy + Cdy2 = g rfx2 + 2 J|; <Ыу + g ^
имеет место только при условии, что
д2г „. о й2г д. д2г ^
Таким образом, из C9, 11) заключаем, что
*1 - 2и2- — - Ахи- — - 2х2
и совпадает с ранее найденными значениями этих производных.
Сейчас подробно двумя способами будет решена еще одна
задача.
Задача 39, 17. Найти дифференциал третьего порядка d3z
функции z = cos (x -f- 2y2).
Решение. Первый способ. Воспользуемся формулой C9,7),
для чего прежде всего определим частные производные третьего
порядка, входящие в эту формулу.
Производные первого порядка:
^ = —sin
Производные второго
з-; = —cos
и*
(^ + 2у*);
порядка:
{х + 2у2);
sin {x + 2г
Aysin{x + 2y2).
—4ycos(x+ 2/z2);
f cos (x + 2y2).
C9,
12)
323

Производные третьего порядка
g = sin (x + 2/); ^ = Ay sin (x + 2/);
—4 cos 'x + 2/) -f 16/ sin (x + 2/);
g-4 = — 1 б</ cos (х + 2/) — 32у cos (х + 2/) + 64/ sin (х + 2/) =
= —48*/ cos (х + 2/) + 64/ sin (x + 2уг). C9, 13)
Подставляя значения третьих частных производных в C9, 7),
получим, что
dsz = sin (x + 2у2) dx3 + 3 • Ay sin (*
+ 3 f —4 cos (x -f- 2y2) + I6y2 sin (x + 2/)] rfxrfi/2 +
+ [—48y cos (л: + 2уг) -f- 64/ sin (x -f 2/)] rf/.
Второй способ. Теперь мы вычислим третий дифференциал
daz тремя последовательными дифференцированиями:
dz = — sin {x + 2/) dx — 4# sin (x + 2у2) dy;
dz = — sin (x + 2/) • (dx + 3ydy).
Дифференцируя второй раз, следует помнить, что дифферен-
дифференциалы dx и dy независимых переменных должны рассматриваться
как величины постоянные, а потому они должны выноситься за
знак дифференциала
d?z = d {dz) = d [—sin (x + 2f) • (dx + 4ydy)] =
= d [-sin (x + 2/)) • (dx + Aydy) + [-sin (x + 2/)] d (dx + 4ydy) =
= [—cos (x + 2y2) dx — Ay cos (x + 2/) Л/] (dx + 4#ф) +
+ [—sin (x -f 2/)] 4d#£?# = — cos (x + 2/) dx2 —
—4# cos (x + 2/) Л/rfx — Ay cos (x + 2/) dxrfy —
— 16/ cos (x + 2/) rf/ — 4 sin (x + 2/) d/ = —cos (x + 2/) dx2 —
—by cos (x + 2/) dxdy — [16/ cos (x + 2/) + 4 sin (x + 2/)] d/.
Читатель легко заметит, что коэффициенты при dx2, dxdy и
д2г дгг дгг
d/ равны соответственно g^, 2 ^- и g-j, которые были
найдены выше в выражениях C9,12).
Чтобы упростить определение дифференциала третьего порядка,
выражение дифференциала второго порядка перепишем в виде
dh = —cos (x + 2/) (dx* + bydxdy + 16/d/) — 4 sin (x + 2/) d/.
324

Тогда
dsz =-- d (d2z) = d [—cos (x + 2y2) (dx2 + 8y dx dy + \ЬуЧу2] -f
-f d [— 4 sin (x -f- 2*/2) dy2] = rf [—cos (x + 2y2)\ (dx2 + 8y dx dy -(-
4- 16*/2tf*/2) + I—cos (x -f 2y2)] d (dx2 + Sydx dy + I6y2dy2) +
+ d I- 4 sin (x -f- 2*/2)] dy2 = [sin (x + 2y2) dx +
+ Ay sin (x + 2y2) dy] (dx2 -f 8y dx dy + 16*/2d*/2) +
-f [—cos (x + 2y2)] (8dy dx dy + 32*/ dy dy2) +
+ [-4 cos (x -f- 2y2) dx — 16*/ cos (x -f 2*/2) rfy] d*/2 =
= sin (x + 2y2) dx3 + 4y sin (x + 2y2) dx2dy + 8y sin (x + 2y2) dx2dy +
+ 32y2 sin (x + 2*/2) rfx d*/2 + \6y2 sin (л: + 2t/2) dx dy- -f
+ 64*/3 sin (* + 2y2) dtf — 8 cos (x + 2y2) dxdy2 —
— 32y cos (x + 2y2) dy3 —4 cos (x + 2y2) dx dy2 —
— 16t/ cos (* + 2y2) dy3 = sin (* + 2y2) dx3 + I2y sin (* + 2y2) dx2dy +
+ [48*/2 sin (x + 2*/2) — 12 cos (x + 2y2)) dx dy2 +
+ [64*/3 sin (x + 2y2) — A8y cos (x + 2/y2)] dy3.
Теперь легко усмотреть, что коэффициенты при dx3, dx2dy,
dxflfy2 и di/3 равны соответственно:^, 3^^, Зд^ и д^,
значения которых были найдены выше (выражения C9, 13)).
Задача 39, 18 (для самостоятельного решения). Найти двумя
способами d2z функции г = Л/3.
Ответ, d-z = 6xr/sdx2 + I8x2y4xdy + btfydy2.
Задача 39, 19 (для самостоятельного решения). Найти двумя
способами дифференциал третьего порядка функции z = sin Bx -f г/)
при х = -|; у = 0.
Ответ. d3z = Sdx3 + 12rfx2dr/ + 6rfxd*/2 + ЛД
Задача 39, 20 (для самостоятельного решения). Найти диффе-
дифференциал второго порядка функций:
1) г = <?*-»' +cosх; 2) z = ylnx;
3) г = хг/; 4) г = гад:+^; 5) у + exv.
Ответ.
1) d2z = (ех-У — cos х) dx2 — Ayex~v2dxdy -f- 2еЛ-^ B*/2 — 1) rfy2;
2) tf^-^dtf + l^wfy;
3) сBг'= 2dxdy\ 4) сBг = еал:+й» (adx -\- bdyf\
5) d2z = (ГиуЧх1 + 2e*y (xy + 1) dxdy + x2e^dy2.
Задача 39, 21 (для самостоятельного решения). Найти диффе-
дифференциалы третьего порядка функций:
1) z = х*у — ху1*;
2) z — х sin у -\- ycosx;
определить все частные производные третьего порядка.
325

Ответ.
2) ^ = </sinx; ^ = -cosx; ^2 = -sin у; g - -
б) Аргументы х и у функции z = f (х, у) являются функциями
одной или нескольких независимых переменных.
Задача 39, 22. Вычислить дифференциал второго порядка функ-
функции г = / (а-, у), где х = ср («, у), у = ф (и, v).
Решение. Здесь уже х и у — не независимые переменные,
а функции независимых переменных и и v, т. е. заданная функ-
функция является сложной.
Если при вычислении дифференциала первого порядка функции
г — / (х, у) совершенно безразлично, будут ли аргументы незави-
независимыми переменными или функциями других независимых пере-
переменных (свойство инвариантности дифференциала первого по-
порядка), то при вычислении дифференциалов высших порядков
надо строго различать эти два случая.
Так как г = /(*, у), то dz = ^dx + щйу.
При повторном дифференцировании мы теперь не можем уже,
как это делалось раньше, считать дифференциалы dx и yd вели-
величинами постоянными, потому что л; и у — не независимые перемен-
переменные, а функции независимых неременных и и v. Поэтому
дг\ д (дг\ . , д [дг\
д [дг\ . д /дг\ . д2г . , д2г
[)ах + ()аУ ах +
d {dx) = d2x; d (dy) = d*y.
Подставляя только что найденные величины в предыдущее
равенство, получим, что
Окончательно после приведения подобных членов получаем
или в другой записи (символической):
dx+т
326

Сравнивая эту формулу с формулой C9, 6) или C9, 8) для вы-
вычисления второго дифференциала функции г — f (х, у) в том случае,
когда аргументы х и у являются независимыми неременными, мы
видим, что в рассматриваемом случае появились два дополнитель-
дополнительных слагаемых -^ d2x и ~ d2y.
дх оу J
Заметим, что формула C9, 6) является частным случаем фор-
формулы C9, 14), так как если х и у — независимые переменные, то
dx и dy—величины постоянные, а потому их дифференциалы
d2x = О н d2y = 0, добавочные слагаемые становятся равными
нулю и мы получаем из C9, 14) формулу C9, 6).
Формулу C9,6) вряд ли имеет смысл запоминать. Значительно
важнее уяснить метод, с помощью которого она была получена.
Задача 39, 23. Определить d2z, если г — ху, где х = uv; у =
~ U -j-V.
Решение. Дифференциал первого порядка
^ dy ухУ-Чх + xv Inxdy;
d-z == d {dz) = d {yxf>-ldx) + d (xf> \nxdy) = d (уху-1) dx -f
+ yxv~ld {dx) -f d (x« In x) dy + x'J In x • d (dy) =
=- \dy ■ x*-1 + yd (ху-1)] dx + yx'J-42x +
-f [d (x'J) In x + x'Jd (In x)] dy + x" In x ■ d2y.
Нам осталось вычислить дифференциалы d{xy~l); d(xy) и
d(\nx):
d (*>-* = jx (ХУ-*) dx + | (x"->) dy =
= (y— 1) xv-2 dx + x-"-1 In xdy;
d (xlJ) — yx"~4x + xu In xdy;
d(\nx) — — dx.
Подставляя эти величины в предыдущее равенство, имеем
dh = [x"-xdy + у[(у—1)ху-Чх + ху-1 Inxdy]} dx +
-f- ухУ~Ч2х + I (г/л*-1 dx + x» In xdy) In x + x'J • — dx] dy +
L * J
-|- л* In x • d2y = у (у — 1) x»~-dx2 + 2 (ху-1 + yx'J-] \nx) dxdy +
+ ху In2 x • dy2 + yxy-ld2x + x" In x • cpy. C9, 14)
На основании данных задачи надо в последнее выражение
подставить х--= uv; у ^ и + v; dx ~ udv + vdu; dx2 = (udv -f-
+ vduJ; dy = du ~t- dv; dy2 = (du + dvJ; d2x = dudv + dv du =
= 2dudv; d2y~0, так как du и dv, как дифференциалы незави-
независимых переменных, — величины постоянные, а значит, их диффе-
дифференциалы равны нулю.
327

Решение задачи можно, конечно, провести сразу по формуле
C9, 14), и тогда было бы
■-'In*; g = J
Подставляя эти значения в C9, 14), получим выражение d2z,
уже ранее найденное. В нем следует сделать замены, указанные
выше.
Задача 39, 24 (для самостоятельного решения). Найти диффе-
дифференциал второго порядка функции z = f(u,v), где и = х2 + у-;
v = ху.
Указание. Здесь и и и — промежуточные переменные, а х
и у — независимые переменные.
Формула C9, 14) должна быть переписана в виде
я д'*г lo.o d'h , , d'lz , „ , dz „ . dz ,„
drz — -7-г, ям2 + 2 i—г dudv + v-s dir + 3- dru 4- 3- d*v;
dud ' du Ov dv* * du dv
du = 2xdx + 2y dy; du2 = 4 (x2 dx2 + 2xy dx dy + y2 dy2);
d2u = 2dx2 + 2 dy2; cPv = 2dx dy.
Ответ.
Jz dz d2z o\
d2z .00 d2>
+2p+x
dv ' dv ' 6
Задача 39, 25 (для самостоятельного решения). Использовать
результат, полученный в предыдущей задаче, если 2 = e"cosa, a
ы и у имеют те же значения, что и в задаче C9, 24).
СОРОКОВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Линии и поверхности уровня. Производная функции по
заданному направлению. Градиент функции.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Физическим полем называется часть пространства, в которой
происходит физическое явление.
1. Скалярное поле
Физическое поле называется скалярным, если физическое явле-
явление, его образующее, характеризуется функцией f = f (x, у, г),
зависящей только от координат точек пространства, в кото-
328

ром это явление происходит. Скалярное поле полностью опреде-
определено заданием одной функции } (х, у, г) трех независимых пере-
переменных*.
Если физическое явление образовало скалярное поле, то каж-
каждой точке Р (хъ уъ zj пространства, в котором происходит это
явление, ставится в соответствие определенное число, характери-
характеризующее это явление в рассматриваемой точке. Это число есть
частное значение функции f (х, у, г), вычисленное в точке
Р (хь Уо Zi) (примерами скалярного поля являются: поле элект-
электрического потенциала, давление в атмосфере).
2. Поверхность уровня
Если однозначная функция f (х, у, г соответствует скаляр-
скалярному полю, образованному физическим явлением, то поверхностью
уровня (иначе эквипотенциальной поверхностью) этого поля
называется поверхность, ей. всех точках которой функция
[(х, у, г) сохраняет одно и то же значение.
Поверхности уровня имеют уравнение
f{x, у, г)=с, D0,1)
где с — постоянная величина.
Придавая постоянной с различные числовые значения, получим
семейство поверхностей уровня. Через каждую точку простран-
пространства проходит одна поверхность уровня.
Во всех точках поверхности уровня физическое явление проте-
протекает одинаково.
Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку
Р (хь У1> •?!)> имеет вид
/(*. У. z)=f(xh ylt *J. D0,2)
3. Производная по направлению
Производная от функции / (х, у, г) по направлению (I) харак-
характеризует скорость изменения функции f (х, у, г) по этому на-
направлению.
Эта производная вычисляется по формуле
| = g cos (I, x) + | cos (/, у) + I cos (/, г). D0, 3)
* Предполагается, что функция f(x, у, г) — однозначная непрерывная
функция х, у, г, имеющая непрерывные частные производные первого порядка
д[ д[_ о/
ox' dy' дг'
329

Производная -£ равна нулю'по любому направлению,
касательному к поверхности уровня. Она достигает
своего наибольшего значения по направлению нормали
к поверхности уровня
4. Градиент функции
Градиентом скалярной функции f(x, у, г) называется вектор,
проекции которого на координатные оси Ох, Оу и Ог соответ-
д} а/ а/
ственно равны £, + и ■£, т. е.
grad/ = |7+|7+I*. D0,4)
На основании этого определения проекции вектора grad/ на
координатные оси запишутся так:
(grad/), = |; (grad/)y=|; (grad/J--=| D0,5)
(предполагается при этом, что f (х, у, г) — однозначная непре-
непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные).
Мудуль вектора grad/ вычисляется по формуле
Если х — единичный вектор направления (/),
т = cos(/, x)~i + cos(/, у)] + cos(/, г)k,
то формула D0,3) запишется так:
К-(grad/. г). D0,7)
Вектор grad/ в каждой точке направлен по норма-
лик поверхности уровня, проходящей через эту точку,
в сторону возрастания функции. Скорость изменения
скалярной функции f no некоторому направлению G)
равна проекции вектора grad/ на это направление, т: е.
| D0,8)
В этом состоит основное свойство градиента функции.
Задача 40, 1. Скалярное поле образовано функцией
V = VRl — xl — y2~z\
Найти поверхности уровня этого поля.
330

Решение. На основании формулы D0, 1) уравнение семейства
поверхностей уровня найдем в виде
— tf — ff — з» = с,
или
R2 — x2 — y2 — z2 = c2.
Отсюда уже получаем окончательно х2 + у2 -\- г2 = R2—с2.
Поверхностями уровня является семейство концентрических
сфер.
Задача 40,2. Найти поверхности уровня скалярного поля
v = arctg ...
Решение. По формуле D0,1) уравнение семейства поверх-
поверхностей уровня имеет вид
arctg c
Отсюда
и окончательно
Это уравнение семейства круговых конусов с общей вершиной
в начале координат. Их общей осью является ось Ог.
Задача 40,3. Найти производную функции f(x,y)=x3 — у3
в точке М{1, 1) в направлении I, составляющем угол а = 60° с
положительным направлением оси Ох.
Решение. В формуле D0, 3)
cos (/, х) = cos a = cos 60° = -i-;
cos (/, у) = cos (90 — а) -= cos 30° = ^~ ; cos (/, г) = 0.
Кроме того,
"I Qy2. °1 О,,2
дх ~ 6Х ' Ту~ ~6У '
Подстановка в D0, 3) дает
Ш 2^2'
В точке МA, 1) имеем х= 1, у=\. Подставляя эти значения
х и у в последнее равенство, будем иметь
331

Итак, искомая производная
Задача 40,4. Найти производную функции f(x у) = Зх2—
— бху + у2 в точке А\ — -к-; —-о-) в направлении /, составляю-
\ ** 1)
щем угол а с положительным направлением оси Ох. В каком
направлении эта производная имеет: а) наибольшее значение;
б) наименьшее значение; в) значение, равное нулю?
Найти также градиент этой функции, его модуль и его
направляющие косинусы.
Решение. По условию задачи cos (/, х) = cos а, и тогда
cos (/, у) = cos (90° — а) — sin а.
Дальше: jx = &х — 6у; щ = 4у — 6х.
Подстановка в формулу D0,3) дает
| = F* — 6у) cos а + Bу — 6х) sin а;
в точке A I — -g-; —у)
т. е. 4. — cos a -f sin а.
Теперь нам надо найти те значения а, при которых 4 имеет
значения: а) наибольшее, б) наименьшее, в) равное 0.
Обозначим и — cos a + sin а и найдем экстремум этой функции
и' — — sin a -f- cos а. Из уравнения —sin a -f cos а =:0 следует, что
tga = I, a * = -j + k~-
Считая, что а может изменяться от 0 до 2~, из последней
формулы получаем
при /fe = 0a1 —-^ при k = 1 a2 = -^, «" = —cos я — sin a, и так
как и"/-^-) = — cos-j—sin-J = —у% то при a.i = ~ функция и
достигает .максимума, а вместе с тем и наибольшего значения.
Таким образом, производная -j-. нашей функции имеет наиболь-
наибольшее значение по направлению, составляющему с положительным
направлением оси Ох угол a = —.

При а = -г г. имеем и" 1-j ~j — у2 > 0. Производная ^ имеет
наименьшее значение по направлению, составляющему с поло-
положительным направлением оси Ох угол а = —г..
Ответим теперь на последний вопрос задачи: надо найти то
значение а, при котором ^ = 0, т. е. при котором cos а + sin а =
= 0. Решая это уравнение, имеем cosa = —sin a: tga = —1
и для а, содержащегося между 0 и 2*, получаем
3 7
4 4
Другое решение этой же задачи: мы нашли, что направление
наибыстрейшего роста функции составляет с положительным на-
направлением оси Ох угол a =-- ^. Известно, что направление наи-
наибыстрейшего роста функции в данной точке совпадает с направ-
направлением вектора, являющегося градиентом этой функции, который
определяется формулой D0,4), а длина его находится по формуле
D0, 6).
Для нашей функции f(x, у)=3х2 — бху + у2
grad / = F* — бг/) • i + Bг/ — 6*) • /,
а в точке А[—^, —-И (grad/) , =
I 3 2) *—т
Длина вектора grad/ в этой точке
|grad/|= VW+T*-
а его проекция на оси прямоугольной системы координат равна
(grad/), = 1; (grad/)i/ = 1.
Известно, что направляющие косинусы вектора а находятся
по формулам
ах аи
cos a = pr-; cos р = -pri;
\а\ |а1
в нашем случае вектор grad/ в точке /if — -v, —-5-) имеет на-
1 1^2 1 V2
правляющие косинусы cos а = — = —-; cos^ = -р. = ^".
Значит, вектор grad / составляет в точке/1 (— -^-, —-^) с по-
ложительным направлением оси Ох угол <х = -^-. Этого и сле-
333

довало ожидать потому, что этот вектор указывает направление
наибыстрейшего роста функции в дайной точке, а мы нашли, что
производная щ, определяющая скорость изменения функции, до-
достигает своего наибольшего значения именно по направлению /,
составляющему угол а = — с положительным направлением оси Ох.
Задача 40,5. Определить производную функции
f(x, у, z) = х2у2 + x2z2 + у2г2
в точке А (г—, т-, г—\ в направлении /, составляющем с осями
прямоугольной системы координат Ох, Оу, Ог углы, соответ-
соответственно равные s, p и j, градиент этой функции, его величину
и направляющие косинусы.
Решение 1. По формуле D0,3) находим производную-^
по указанному в задаче направлению. Чтобы воспользоваться этой
формулой, найдем частные производные
Подставляя эти значения производных в D0,3), получим
% = 2х (у2 + г2) cos а + 2г/ (х2 + г2) cos р + 2г (г2 + У2) cos у.
В точке A /j—, —' Г~^ значение J. найдем, подставив в пре-
j, ^ значение J
дыдущее равенство х = у = г — §—
/4
(^) = cos a + cos p + cos у.
2. По формуле D0, 4)
grad / = 2х (у2 + г2) 7 + 2г/ (хг + г2) / + 2г (х2 + г/2) й.
В точке A (grad /)л = i + j + k, a его проекции на координат-
координатные оси и его модуль в этой точке равны:
(grad f)x = (grad f),, = (grad f)z = 1,
| grad /! = V\2+ 12+ I2 = КЗ.
Направляющие косинусы вектора grad/ в точке А равны:
(Контроль: cos2 aj + cos2 ^ + cos2 yx = 1).
334

Эти направляющие косинусы определяют направление наибы-
наибыстрейшего роста нашей функции в точке Л.
Если направление 7, о котором шла речь в задаче, совпадало
бы с направлением вектора grad/, то производная^ достигла бы
своего наибольшего значения в этом направлении, и тогда
в точке А
— -шГт, ~т~ лГп ~г -tfn — -./"?. — У "■
Уз ' VI ^ Уз Уз
Задача 40,6. Найти |grad«| и направляющие косинусы гра-
градиента в точке А (х0, г/0, г0), если функция и — —,
где
г = Ух2
z2.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой D0, 6) для опре-
деления gradu, нам надо найти —, - и ^. У нас и = ~, а по-
потому проекция градиента этой функции на оси Ох
а потому | = -
ди х
ИЛИ з- = —~?i-
2х
= f и тогда | =-If
дг
_
Аналогично [grad —1 =3-=—-•
Г г/.« дУ т .
Пользуясь формулой D0,6), получаем, что
|grad u\ =
В точке Л | grad и j = \, где
2 2,2,2
го — Хо -f- г/о + ^о.
Направляющие косинусы вектора а ~ grad — найдем по фор-
формулам
cos (а, х) == рг, =
grad-
:; cos (а у) = -± =
grad^"l - °, (grad^"/s
^; cos (а, г) = рт-, =
grad —
grad у
335

Подставляя в эти формулы найденные значения grad — 1,
grad — ), (grad—) и (grad — ), получим
r jx \ r ju \ r jz
cos (a, x) = — -J; cos (а, у) = — %; cos (a, z) = — J.
Чтобы найти значения направляющих косинусов градиента
нашей функции в точке А, надо в последних формулах заменить
х, у и г соответственно на х0, у0 и г0, а г — на
го = V^o + Уо + го.
СОРОК ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Дифференцирование неявных функций.
/. Если независимая переменная х и функция у связаны урав-
уравнением
fix, у) = 0, D1,1)
неразрешенным относительно у, то говорят, что у есть неявная
функция х (или функция у от х задана неявно). Для того чтобы,
не решая уравнение D1,1) относительно у, найти производную
от у по х, пользуются формулой
д1
</'=-§• D1,2)
Щ
Чтобы определить вторую производную от у по х, надо пере-
переписать D1. 2) в виде 4- -\- J- У' = 0, продифференцировать его
по х и в полученном выражении заменить у' уже найденным зна-
значением D1,2). Точно так же определяется у" и т. д.
Запоминать достаточно громоздкие формулы для определения
у" и у" не имеет смысла. На примерах будет показан метод опре.
деления производных высших порядков в рассматриваемом случае.
Задача 41, 1. Определить у' и у", если функция у от х задана
неявно уравнением х3 + у3 — Заху =0, где а — величина постоян-
постоянная.
Решение. Обозначим левую часть этого уравнения через
f (х, у). Чтобы воспользоваться формулой D1,2), найдем ^.а J-.
д13х>-3ау; | = Зу2 - Зах.
Подставляя эти выражения в D1,2), получим после сокраще-
сокращения на 3
33S

Чтобы определитьV, перепишем равенство D1,3) в таком виде:
x*-.ay + Qf — ax)y'=0. D1,4)
Продифференцируем его по х, помня, что у есть функция от х.
Здесь следует применить правило дифференцирования сложной
функции. Получим
2х — ау' + Bуу' —а)у' + (#8 — ах) у" = О,
или
2х — 2ау' + 2уу'* + (у2 — ах) у" = 0.
Подставляя сюда вместо у' его значение из D1,3), получим
Отсюда
хг — ау 1хг— шЛ8
ИЛИ
,,/г _ 2х (у* - axf + 2а (х* - ау) (у* - а*) + 2у (х" - ау)*
У — (у2 —ахK '
Если в числителе дроби раскрыть скобки и сделать приведение
подобных членов, то получится выражение 2хух + 2х*у — 6ах2уг-\-
+ 2а3ху, которое выгодно переписать в виде 2ху (х3 + у3 — Заху) +
+ 2а3ху. Так как по условию х3 + у3 — Заху равняется нулю,
то окончательно числитель дроби равен 2а3ху, а
„ 2а3ху „ 2а3ху
У =— /,,2_^3' ИЛИ У =//,»_„2Ч8«
Задача 41,2. Функция у от х задана уравнением
л? — Зху + Ау2 — 2х + Зу + 2 = 0.
Определить у', у", у'" при х = 2; у = 0.
Решение. Обозначим левую часть заданного уравнения через
/ (х, у). Имеем:
и на основании D1,2)
, 2х — Зу— 2 ... ,-v
У "-ац-%, + 3* <41'5)
12 3-430

Подставляя вместо х и у их значения, имеем
/B0) ; yB0)
Перепишем D1,5) в виде
2x — Зг/ — 2 — C* — Ту — 3) у' = 0.
Продифференцируем это равенство по х, имея опять-таки в
виду, что у есть функция х:
2 — Зг/' — C — 8/) у'— (Зх — 8# — 3) / = 0. D1,6)
Подставляя сюда вместо х и у их значения, а вместо у' —
найденное выше его значение (у' = —\, получим
2-3- -J — C — 8' f) f — C ■ 2 — 8 • 0 — 3)у" = 0,
откуда
£_3/ = 0; а / = 11.
Для определения /' продифференцируем опять по х равен-
равенство D1,6):
—3/— (—8/) у'— C — 8у') г/"—C — 8г/') / — C* — 8у — 3) г/'" = 0.
Подставляя сюда данные значения х и у и уже найденные
значения г/' и г/", получим, что
-294 + 243/'= 0, а /• = §?.
Задача 41,3 (для самостоятельного решения). Кривая опреде-
определена уравнением хг + 2ху + уг — Ах + 2у — 2 = 0.
Определить, в какую сторону направлена вогнутость этой
кривой в точке A,1).
Указание. Направление вогнутости кривой в данной точке
определяется знаком второй производной в этой точке. Поэтому
следует найти /.
Ответ. /=0; 1 + 2/ + /2 + (* + у + 1)/ = 0; / = —-д-
Кривая в точке A,1) обращена вогнутостью в сторону отрица-
отрицательных ординат.
Задача 41,4 (для самостоятельного решения). Найти /' функ-
функции, заданной <в предыдущей задаче при тех же значениях хну.
Указание. Продифференцировать по х полученное при ре-
решении предыдущей задачи равенство 1 + 2/ + /2 + (х + +
Ц)/ 0
Ответ. / = -g-.
338

Задача 41,5 (для самостоятельного решения). Функция у от х
задана уравнениями:
1) xsiny — cos у + cos 2у — О,
2) у sin х — cos (x — у) — О,
3) sin х In у 4- cos у In л; = 0-
Найти г/'.
л .. , sin у
Ответ. 1) у = —
л;cos у + sin i/ — 2 sin 2i/ '
2ч и> = у cos л: + sin (л: — у)
^ " sin (л;—i/) — sin л; '
cos x In у 4- — cos i/
3) */'= ^ .
sin у In л; — — sin x
Задача 41,6 (для самостоятельного решения). Кривая опреде-
определена уравнением
х2 — 2ху 4- 5г/2 — 2х + 4г/ 4-1 =0.
В точке (тг, —-s-j на ней определить уравнение касатель-
касательной нормали, направление вогнутости, а также у".
Ответ. Уравнение касательной 2у 4-1 = 0; уравнение норма-
нормали 2х—1=0; г/' = 1. Кривая обращена вогнутостью в сторону
положительных ординат; у" — —3.
Указание 1. Касательная к кривой [(х, у) =0 в точке
&о, Уо) определяется уравнением у — уо=у'{хо, уо){х — хо), а
нормаль
У — Un = —, г (х — *i).
1. Если функция г от двух независимых переменных х и у
задается уравнением
f(x, у, г) = 0, D1,7)
не разрешенным относительно г, то говорят, что г есть неявная
функция переменных х и у. В этом случае частные производные
функции г по независимым переменным х и у определяются по
формулам
д1 д1
дг _ _дх . дг__ду .. ft
дх~ df' ду df' ^!'0'
дг дг
На примерах будет показано, как можно определить в рас-
рассматриваемом случае производные з- и ^, не прибегая к гото-
готовым формулам D1,8).
12* 339

На примерах будет также показан и метод~определения част»
ных производных
5*z. £г_, дЬ
дх*ш дхду' ду*'
Задача 41, 7. Функция г независимых переменных х и у задана
уравнением х2 + У* + 2* = с2. Определить ^ и щ.
Решение. Первый способ. Перенесем с2 в левую часть дан-
данного уравнения и обозначим ее через f(x, у, г). Тогда f(x, у, z) =
г* 2* — а* = 0;
Подставляя эти значения в D1,8), будем иметь:
дг 2х х # дг 2у у
дх 2г = "~Т' ду ~~2г~ 1'
Второй способ. Продифференцируем данное уравнение и по-
получим
Ixdx + 2ydy + 2zdz = 0,
отсюда
dz = —^dx—f dy. D1,9)
С другой стороны, мы знаем, что дифференциал функция
z = tf(x, у) вычисляется по формуле
Сравнивая формулу D1,10) с выражением D1,9), мы заклю-
заключаем, что
дх z ' ду г '
таким образом, мы определили искомые производные, не прибе-
прибегая к готовым формулам D1,8).
Задача 41, 8. Функция г независимых переменных х и у зада-
задана неявно уравнением Ах* + Чу* — 3z2+ ху — уг + х — 4=0. Опре-
Определить рх и j| при х = 1; у = V, г = 1.
Решение. Первый способ. Обозначим левую часть уравне-
уравнения через f(x, у, г). Тогда
По формулам D1,8) получаем
дг 8* + 4у+1 т дг х + 4у-г
хд~ 6г + у ' ду
340

Подставляя сюда значения х=1; у = \; 2 = 1. получим, что
О? _ j3. Ё _ i.
дх ~ 7 ' ду ~ 7 •
Второй способ. Дифференцируя заданное уравнение, получаем
8xdx + Aydy — bzdz + xdy + ydx — ydz — zdy + dx = 0,
или
(8x + y+ 1) dx + Dy + x — z)dy + (~6z — y) dz=0,
откуда
сравнение с формулой D1,10) показывает, что
дг _ 8х + у + 1 „ аг _ х -f 4y — г
дх~ бг-t-y ' ду~ 6 +
что совпадает с выражениями D1,11), полученными раньше.
Задача 41,9 (для самостоятельного решения). Функция г
независимых переменных х и у задана уравнениями:
1) т + 5 + ? =0; 2) - + £—22 = 0.
' а о с Р Ц
3) ху + XZ-\-yz = 1.
Определить =- и ^ . Решение провести двумя способами.
Ответ. i)f2 = _$; ? = -g?;
' дх а2г ду ЬН'
пч дг х_. дг __ у_ .
оч Зг У + г. аг
Задача 41,10. Из уравнения, заданного в задаче 41,7, опре-
определить вторые производные.
а*г# д*г_ Э^г
дх*'г дхду И ду*'
Решение. В указанной задаче было получено, что
Поэтому
дг __ х дг у_
дх 7* Щ~~"г
341

Подставляя сюда значение ^ получим, что
дх2 z* г2 *
Дифференцируя по у выражение g- и учитывая, что при диф-
дифференцировании по у переменная х, стоящая в числителе, рас-
рассматривается как величина постоянная (так как х и у — неза-
независимые переменные, то х не зависит от у), получаем
д2г _ х_дг_ _ х_1 £\ __ _ ху
дхду ~ г2 ду ~ г2 { г J ~ г3 '
Аналогично находим, что ^4 = —у ^ *■.
Задача 41,11. Из уравнения f(x, у, z)=0, в котором х рас-
рассматривается как функция независимых переменных у и z, опре-
дх дх
ДбЛИТЬ ду И di-
Решение. Дифференцируя данное уравнение, получаем
<
с
откуда следует, что
dj df
дх дх
С другой стороны, если х есть функция у и г:
х = х (у, г), то dx — ^-dy+^dz.
Сравнивая последнее равенство с предыдущим, получим, что
д1 д1
дх ду дх дг
ду df' dz df
дх дх
Задача 41, 12 (для самостоятельного решения). Из уравнения
f (х, у, г) = 0, в котором у рассматривается как функция неза-
независимых переменных х п г, определить
ду ду
дха д~г'
д1 д1
<ч ди дх ди дг
Ответ. z^ = — £-\ JZ = — —.
ду • ду
342

СОРОК ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Экстремум функции нескольких независимых переменных.
Наибольшее и наименьшее значении функции двух независимых переменных-
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Экстремум функции
Определение 1. Функция u = f(x, у, z, ..., v) при некото-
некоторой системе значений х0, у0, z0..., v0 независимых переменных
имеет максимум (минимум), если приращение функции
Ды = / (х0 + Дх, уо + Дг/, z0 + Дг, ..., v0 + Ду) —
— f(x0, у0, .... v0)
отрицательно (положительно) при всевозможных, достаточно
малых по абсолютной величине как положительных, так и отри-
отрицательных значениях
Дх, Ду, Дг, ..., Ду.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимые условия экстремума
Если функция и = f {х, у, г, ..., v) достигает экстремума при
значениях независимых переменных х = х0, у = у0, z = z0, ..., v =
— v0 то при этих значениях или выполняются равенства
й==0>^=0' &-° Й~0' D2Л)
или частные производные при этих значениях не существуют.
Иначе: в точке экстремума первый дифференциал
функции равен нулю или не существует. Количество
уравнений D1,1) равно числу независимых переменных.
Точки, в которых выполняются равенства D2,1),
называются стационарными точками функции.
Равенства D2,1) выражают необходимое, но недостаточное
условие экстремума функции нескольких независимых перемен-
переменных. Это значит, что не при всех тех значениях независимых
переменных, при которых эти равенства выполняются, функция
имеет экстремум.
Достаточные условия экстремума
Для того чтобы решить вопрос, какие из значений независи-
независимых переменных, получаемых из уравнений D2,1), доставляют
функции максимум или минимум, или ни то, ни другое, обраща-
обращаются к исследованию дифференциала второго порядка этой
функции.
343

Если при значениях независимых переменных, най-
найденных из уравнений D2,1), дифференциал второго
порядка функции сохраняет постоянный знак при
всевозможных достаточно малых по абсолютной
величине приращениях независимых переменных, то
функция при этих значениях имеет экстремум,
причем максимум будет в том случае, когда диф-
дифференциал второго порядка отрицателен, а мини-
минимум — когда он положителен.
Если дифференциал второго порядка при значениях
независимых переменных, найденных из системы у рав-
равнений D2,1), не сохраняет постоянного знака, то для
этих значений функция не имеет ни максимума, ни
минимума.
Если же окажется, что при этих значениях дифференциал
второго порядка обратится в нуль, то решение вопроса об
экстремуме требует исследование дифференциалов порядка выше,
чем второй.
Правило определения экстремума функции двух независимых
переменных
Чтобы определить экстремум функции г=/(х,у)
двух независимых переменных, следует:
1) Определить стационарные точки, в которых
функция может достигать экстремума, для чего
надо решить систему уравнений
*? - о- - - О-
дх ~ и' ху ~ и'
2) Определить вторые частные производные
в^ дгг д^г
дх2' дхду' ду*'
3) Вычислить значения вторых частных производ-
производных в каждой стационарной точке, а полученные
числа обозначить соответственно через А, В и С.
4) Составить выражение Д = ЛС —В2. При этом,
а) если Д > 0, то экстремум в стационарной точке
есть: если А > О, то будет минимум, а при А < 0 —
максимум;
б) если А<0, то экстремума в рассматриваемой
стационарной точке нет;
в) если Д = 0, то имеет место сомнительный слу-
случай, и для заключения об экстремуме надо привлечь
к рассмотрению частные производные порядка выше
второго (этот случай в программу не входит и
нами не рассматривается).
344

Задача 42,1. Исследовать на экстремум функцию
г = 2х* + 2уа — Збху + 430.
Решение. Прежде всего определяем ~ и £:
§ = 6**-36*,; | = б0«-36*. D2,2)
Решаем систему уравнений
D2Л)
которая в нашем случае запишется так:
/6л:а — 36у = 0,
\ 3 0
после сокращения на 6 имеем
х* — 6у = 0, D2 3)
X2
Из первого уравнения у — ^-. Подставляя его во второе урав-
нение, получим gg — бдс = 0, или х* — 216д; = 0, которое перепи-
перепишем так:
х{х* — 216) =0.
Разлагая на множители выражение в скобках, получим урав-
уравнение х (х — 6) (л;2 + 6х + 36) = 0.
Отсюда следует, что хх = 0; х2 — 6, а остальные два корня —
комплексные, которые нас не интересуют (это корни уравнения
хг + 6х + 36 = 0).
Подставляя эти значения х в равенство у = -г-, получаем,
что у! = 0; уг = 6.
Итак, есть две пары решений системы уравнений D2,3):
1) *х = 0; у1==0; 2) х2 = 6; уг = 6.
Теперь определим число д, для чего найдем
д*г д*г (Рг
дх*' дхду И ду*'
Из D2,2) получаем, что
д%г
345

Поставим теперь сюда сначала первую пару решений, а потом
вторую и определим числа А, В, С и Д.
Для первой пары решений:
'y=0
а потому число A = AC— В2 = —36.
Так как Д<0, то при х = 0; у = 0 функция не имеет ни
максимума, ни минимума.
Для второй пары решений:
Теперь число Д = ЛС — Б2 == 72 • 72 — 362 = 3888, и так как
оно положительно, то экстремум при значениях х = 6; у = 6 есть.
Учитывая, что Л — число положительное, заключаем, что при
этих значениях хну имеет место минимум. Чтобы определить
минимальное значение функции, подставим в нее х = 6, у = €> и
получим zmin = —2.
Замечание. Из Д>0 следует, что АС— В2>0, АС> В2,
т. е. ЛС>0, а это означает, что Л и С в случае, когда функция
имеет экстремум, имеют один и тот же знак.
При решении этого примера читатель усмотрел, что не все
значения независимых переменных, которые получаются при ре-
решении системы D2,1), доставляют функции экстремум. Так,
значения х = 0 и у — 0, хотя и являются решениями системы
D2,1), но при них функция не имеет ни максимума, ни мини-
минимума (экстремума нет).
Задача 42, 2. Исследовать на экстремум функцию
г = Их3 + 27хуг — 69л; — Ыу.
Решение. Находим прежде всего г и %-:
| = 42х* + 27у* - 69; | = Ыху - 54. D2,4)
Решаем систему уравнений
/ 42л-2 + 27у2 — 69 = О,
\ Ыху — 54 = 0.
После очевидных сокращений эта система запишется так:
П4*2 + 9у2 = 23,
1 ху=\.
346

итпШаЯ ЭТу системУ» получим 4 пары решений, при которых
исследуемая функция может иметь экстремум. _
Первая пара: х, = 1; Ух = 1; вторая пара: х2 = у^,Уг = ~;
третья пара: *3 = -1; г/3 = -1; четвертая пара: х4 = =^;
1еперь определим, какие именно из этих значений достав-
доставляют функции экстремум.
Определим из D2,4) вторые частные производные:
Для каждой пары значений определим числа А, В и С и
число д.
1. Для xl=l; yl==\ имеем
(Ц)^ С = (-)„, = 5,
Число д =ЛС — 5г = 84- 54 — 542>0.
Экстремум есть, а так как А > 0, то имеет место минимум
= 14- 1 + 27- 1 • 1—69 —54 = —82.
и при дг= —-; г/ = -^р экстремума нет.
3. Для *, = —1; ^ = -1
>1 = —84; В -= -54; С = —54;
Д = Л С - В2 = (—84) (—54) — (—54J > 0.
Экстремум есть, и именно максимум, так как А =—84 <0;
= — 14 — 27 + 69 + 54 = 82.
347

4. Для xt = — yj=; t/4 = — ^p- имеем
252 • я 1«1/п- г 162
Экстремума при значениях д; = х4 и t/ = yt нет.
Задача 42, 3 (для самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум функцию
г = ^ + 2ху + £-Ах — 5у.
Ответ. Экстремума нет.
Задача 42, 4 (для самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум функцию z — х* -\- у* — 2л;2 + 4ди/ — 2i/2.
Указание. Система уравнений д-=0 и з~=0 приведет
к системе уравнений
(*» —* + у = 0,
+ jc — у = 0.
Почленное сложение даст уравнение х3 + уа — 0, откуда сле-
следует, что у = — х.
Подставляя в первое уравнение, получим я3 — 2* = 0, откуда
«1 = 0; х%=УЪ\хл=*—УЪ, а ^ = 0; у2 = -/27 у, = |/2Т
Имеем три пары решений: l)^ = 0; ух = 0; 2) х2 = ]/2; у2 =
= - У% 3) х3 = - /21 ^ = ]/2Т _
Отв_ет. zmiri = —8 при x2 = /2, у2 = — J/2 и при х3 =—/2,
t/3 = V'2. Вопрос об экстремуме при х = 0, у =0 остается открытым.
Задача 42,5 (для самостоятельного решения). Исследовать на
экстремум функции: 1) г = х3у2A2 — х — у); 2) z = ху (ху (х-\- у — 1));
3) г = х3 + t/2 — Gxy — 39* + 18у + 20.
Ответ. 1) Максимум при х ~ 6; # = 4; zmax = 6912;
2) минимум при x = j; y = j', zmin = —^;
3) минимум при х = 5; # = 6; zmin = —86.
Задача 42,6. Найти экстремум функции
и = х* + г/2 + г2 + ху — х + у — 2г.
Решение. Здесь мы имеем дело с функцией трех независи-
независимых переменных. Определим частные производные:
348

и решим систему уравнений:
2*+ #—1=0.
2у + х + 1 = 0.
[2г — 2=0;
получаем х—\\ у = — 1; г = 1.
Значит, при этих значениях независимых переменных воз-
возможен экстремум.
Для того чтобы сделать заключение, будет ли он, надо об-
обратиться к исследованию дифференциала второго порядка этой
функции. Известно, что дифференциал первого порядка
, ди , , ди , , ди ,
du dx + dy + dz
~ ' в? ~ г* Шу - !> Шг ~ и« Щ& =
Дифференциал второго порядка читатель определит самостоя-
самостоятельно и получит, что
У нас
а потому
d2u = 2о!л:2 + 2dy2 + 2dz> + 2dxdy = 2 (dx2 + dxdy + dy2) + 2dz*.
Выражение, стоящее в скобках, не отрицательно при любых
dx и dy: (а2 + Ь2)>—ab, а последнее слагаемое положительно.
Таким образом, d2u > 0 при любых dx, dy и dz.
Тем самым мы доказали, что при * = 1; у = —1 и г = 1
функция и достигает минимума, а итт = —2.
Задача 42,7 (для самостоятельного решения). Определить
экстремум функции и — х2 + У2 + г2 — ху -\- х — 2z.
2 1
Ответ. При х = — у; у = — -j; г=1 функция достигает
4
минимума, a umin = —j.
2. Отыскание наибольших и наименьших значений функции
двух независимых переменных в замкнутой области
Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой об-
ласти достигает в этой области своего наибольшего и наимень-
наименьшего значения или во внутренних точках этой области, кото-
которые являются точками стационарности функции, или на ее
границе.
349

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение
функции, надо: 1) Найти стационарные точки функции, для
чего следует решить систему уравнений — = 0; j- = 0;
2) вычислить в стационарных точках значения функции;
3) найти наибольшее и наименьшее значение функции на каждой
линии, ограничивающей область; 4) сравнить все полученные зна-
значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее —
наименьшим значением функции в замкнутой области.
Задача 42,8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутом треугольнике, ограничен-
ограниченном осями координат и прямой х-\-у +
+ 5 = 0 (фиг. 42,1).
Решение. 1) Находим стационар-
^_ ные точки функции:
х
^г — 9 4- Ч# ^Z -X- 4 О- 9
S0rJ) Решаем систему уравнений
I 2х — у + 3 = 0
Фиг. 42,1. 1—* + *У + 2 = 0
и находим, что х = —2; у — —1. Итак, имеется одна стацио-
стационарная точка (—2, —1).
2) Определяем значение функции в этой точке:
z(—2, —1)=-3
(запись z(—2, —1) означает, что ищется значение функции
г=г(л;, у) при х = —2, у = —1).
Переходим к исследованию функции на границах области,
которая состоит из отрезка оси Ох, отрезка оси Оу и отрезка
АВ прямой.
а) На оси Ох у = 0, а заданная функция принимает при у — 0
такой вид: z — *2 + Зл; + 1 (—5 < х < 0).
Эта функция должна быть рассмотрена на отрезке [—5,0].
Так как на этом отрезке функция z непрерывна, то она дости-
достигает на нем как наибольшего,так и наименьшего своего значения.
Это может произойти или в точках стационарности функции, где
jx — 0, или на концах рассматриваемого отрезка.
Определим прежде всего точку стационарности
350

3
Определим значение функции при х — — тг и на концах от-
отрезка [—5,0]:
г(—|, 0) = -§-; zt—5,0] = 11; г[0.0] = 1.
Сравнение показывает, что (гнаИб.)оА = И; (zHaHM.)oA = —|.
б) На оси Оу: х = 0, а данная функция при х = 0 запишется
так:
Эта функция—функция одной независимой переменной. Она
должна быть рассмотрена на отрезке {—5,0] (см. фиг. 42,1).
Определим на этом отрезке ее наименьшее и наибольшее значе-
значения, которые в силу непрерывности должны существовать. Прежде
всего определяем точки стационарности функции:
! = ty + 2; 4у + 2 = 0;у = --1.
Определим значение функции при у — — j, а также на кон-
концах рассматриваемого отрезка:
г (О. ~4) = \ ; z@, -5) = 41; г@, 0) = 1;
ов — 41; Bиаиы.HВ = J" •
в) Наконец, исследуем данную функцию на отрезке прямой А В,
принадлежащем границе области.
Уравнение прямой А В х -fy + 5 = 0. Поэтому на ней у =
= — х — 5.
Подставляя это значение у в заданную функцию, получаем
г = 4л;2 + 26л;+ 41.
Наибольшее и наименьшее значение этой функции должно
быть определено для значений —5 < х < 0:
Находим соответствующее значение у. Из у = —х — 5 сле-
следует, что
35Д

Итак, рассмотрению подлежит точка ( ^-, —И (надо следить
ва тем, чтобы исследуемые точки принадлежали рассматриваемой
области):
) °) = 11; г(~5«0)=41;
(гНанб.)лв = 41; (гНанм.)лв = — -f •
Сравнивая теперь значение функции г в стационарной точке
(—2, —1) с наибольшими и наименьшими значениями на отрез-
отрезках ОА, ОВ и АВ, найденными в пунктах а), б) и в), усматри-
усматриваем, что в заданной замкнутой области
гнаНб. =г@, -5) =41,
гнанм. = г (—2, —1) = —3;
таким образом, оказалось, что наименьшего своего значения
функция достигла в стационарной точке (—2, —1), а наиболь-
наибольшего— на границе области, в точке @, —5).
Задача 42,9 (для самостоятельного решения). Найти наиболь-
наибольшее и наименьшее значения функции г~х2+у2— блг + 4у +2
в прямоугольнике с вершинами: Л A, —3); 5A, 2); СD, 2);
D D,-3)
Указания. В стационарной точке C, —2)гC, —2)=—11.
Рассматривая границу области, получаем: 1) На отрезке А В:
z = z(l, у) — у2-\-$у— 3. Наибольшего значения на АВ функция
достигает в точке В A, 2) и BиаИб.)лв =9, а наименьшее ее зна-
значение на АВ в точке A, —2) и (гиаИм.)лв = —7;
2) на отрезке CD: z — zD, у) = у2'-{-4у— 6. На CD наиболь-
наибольшего значения фун кция достигает в точке С D, 2) и (zHaH6.)c£> = 6,
а наименьшее ее значение в точке D, —2) и Bнаим.)со = — Ю;
3) на отрезке ВС : г = z (х, 2) = х2 — 6jc + 14; наибольшего
значения функция достигает в точке В A, 2); а (гнаИб.)вс = 9;
(гнаим. )вс = 5;
4) на отрезке AD : z = г {х — 3) = х2 — блт — 1; (гнаиб.)ло = —6;
(гнаим.) AD = —Ю.
Сравнить полученное значение функции в стационарной точке
C, —2) с ее наибольшими и наименьшими значениями на гра-
границе области.
Ответ. В рассматриваемой области функция достигает наи-
наименьшего значения в стационарной точке: гнаИм. = —П. Наиболь-
Наибольшего значения функция достигает на отрезке АВ в точке A,2)
и гиаиб. = 9.
352

Задача 42, 10 (для самостоятельного решения). Найти наи-
наибольшее и наименьшее значения функции г = ху [х -\- у -\-1) в
замкнутой области, ограниченной линиями у = — ; х = \; х = 2;
y = ~Y-
Ответ. Стационарные точки: (—j. — -3-); @, —1); (—1, 0);
@, 0) находятся вне рассматриваемой области. Наибольшего зна-
значения функция достигает на границе области в точке [2, у); а
2наиб. = 3,5. Наименьшего значения функция достигает в точке
(О \
2, — -j\, а гнаим. = —4,5.
Задача 42,11 (для самостоятельного решения). Найти наиболь-
наибольшее и наименьшее значения функции г = cos я cos # cos (я + у) в
замкнутом квадрате, ограниченном линиями х = 0; x = ic; # = 0,
Указания. 1) После определения частных производных
■^ и 4- их выгодно представить в виде:
рх = — у isin Bх + 2у) + sin 2*];
0 = -1 [sin. B* + 2у) + sin 2y].
2) Из системы уравнений
— у (sin Bх + 2у) + sin 2x\ = 0
— 1 [sin Bх + 2у) + sin 2y] = 0
следует, что sin 2х = sin 2y, и тогда 2 cos {x + у) sin (x — y) = 0.
Отсюда получаем, что
x-y = kn, (В)
х + у = -J Bk + 1), (О
где k — любое целое число. Но условие задачи требует, чтобы
выполнялись неравенства 0<x<ic; 0<#<ic, а потому должно
быть — ic<x — #<ic иО<л: + у<21с; поэтому в (В) можно брать
k = — 1; k = 0 и k = 1, а в (С) k = 0 и А = 1.
: —^ = 0, откуда у = х;
it, » у = х — ic;
Я It
2^~" J ~~ "о ^1
л,
Зл Зи
2 * #= Т~*
353

Подставляя в первое уравнение системы (Л) первые три зна-
значения у, поручим уравнение sin 4* +sin 2* — 0, а подстановка в
это же уравнение последних двух значений у приводит к урав-
уравнению sin 2х = 0.
Из этих уравнений находим стационарные точки:
@, 0) @, «):(£. £); (£.. |.«); («, «); (|, |); (о, |),
(решения, находящиеся вне данного квадрата, отброшены).
3) Теперь следует отобрать из стационарных точек те, кото-
которые лежат внутри квадрата;
/тс тс\ /2 2 \ /я it\
(У ' Tj ' ( 3 *' У *) ' [~2 ' Т)'
4) На прямой у = 0 имеем / (jc, 0) = cos2 x,
» » у = х имеем / (jc, it) = cos2 jc,
» » х = 0 имеем / @, у) = cos2 у,
» » л; = и имеем / (я, г/) = cos2 у.
На каждой из этих прямых наибольшее значение функции
равно 1, а наименьшее — нулю. Наибольшее значение функция
имеет в вершинах квадрата, а наименьшее, равное нулю, — в точках
МИ)И)
Ответ. Наибольшего значения функция достигает в верши-
вершинах квадрата и гнаиб. = 1; наименьшего — в стационарных точках
/JL, |); И /J.r, ■|u)H?HaHM.=--.
\ I \ J
Задача 42, 12. Доказать, что из всех треугольников имеющих
данный периметр 2р, наибольшую площадь имеет равносторонний
треугольник.
Решение. Обозначим стороны треугольника через х, у и г.
По формуле Герона площадь треугольника
S = Vp ip — х) (р - у) {р — г).
Замечая, что г = 2р — х—у, мы получим S как функцию только
двух независимых переменных,
S = У РКР—х)(р — у){х + у — р).
Вместо того, чтобы искать экстремум этой функции, будем
искать экстремум ее квадрата
/ (х, у) = 52 = р (р — х) (р —у) (х + у — р)\
J- = р(р — у) Bр — 2х — у); J- = р (р — х) Bр — 2у — х).
354

Решаем систему уравнений
р(р-у)Bр-2х-у) =
р(р-х)Bр~2у~х) =
Эта система приводит к таким четырем системам:
1) р-у = 0\ 2) 2р-2х-у =
р —* = 0J' 2р — 2у — * =
3) 2р — 2х — у = 0\ . 4) 2р — 2у — х = (П
Находим стационарные точки:
(р, р); |-|р, |р); (Р, 0); @, р).
B 2 \
у Р. "з" РI »
так как остальные точки не удовлетворяют смыслу задачи: не
может быть треугольника, у которого сторона равна половине
периметра.
Исследуем на экстремум точку М \-о р> -г
Д > 0, а так как А < 0, то в исследуемой точке функция дости-
достигает максимума. Итак, в единственной стационарной точке функ-
функция достигает максимума, а потому и наибольшего значения: та-
2 2
ким образом, при х = -^р, у — -g-p функция достигает и наиболь-
2
шего значения. Но тогда г = 2р — х — y = -jp. А так как х =
= г/ = г, то треугольник— равносторонний.
Задача 42, 13. Канал, подводящий воду к турбине, имеет в
сечеиии равнобедренную трапецию, площадь которой задана и
равна S. Определить глубину канала и угол а откоса так, чтобы
периметр, смоченный водой, был наименьшим*.
* Периметр, смоченный водой, называется «мокрым». Он влияет на трение
йот его величины зависят расходы на сооружение канала.
355

Решение. «Мокрый» периметр обозначим буквой L, и тогда
(фиг. 42, 2) L=*AB + BC + CD. Так как Л = CD sin а, то CD =
= AB = shTa' Учитывая, что ВС = а, получаем, что L =
~ Sin a '
Таким образом, L есть функция трех независимых перемен-
переменных: а, Л и а. Условие задачи позволяет одну из переменных
исключить. Требуется, чтобы площадь сечения была постоянна
и равна S. В трапеции S = BC + AD h. Но ВС = а, a AD = ВС +
+ 2ED = а + 2Л ctg a, a потому
~ s = 2a + 2ft ctg а д.
откуда следует, что
и для L получаем формулу
Фнг. 42,2.
в которой только две независимых переменных —А и а.
(S — величина постоянная).
Находим
и решаем систему двух уравнений:
Sin2 a
после упрощений эта система запишется так:
S 2 — COS a
Из второго уравнения следует, что Л A —2 cos a) = 0, откуда
или Л = 0, или 1— 2 cos a =0. Но глубина Ане может быть
равна нулю, а потому остается только 1 — 2cosa = 0 или cosa =
= т, а в = т.
356

Найденное значение а подставим в первое уравнение и полу-
получим
рТГ р щ:
Т ' 3
Теперь определим значения производных второго порядка при
найденных значениях а и Л:
d*L _ 2S . ^L _ 9 1 — cos a + cos2 a A. _£*£_ _ 1 — 2 cos я
dh?~h3' da2 ~ sin3 a ' dadh ~~ sin2a *
Находим числа А, В и С:
Значит, экстремум есть, а так как А > 0, то при найденных
значениях Л и а функция L достигает минимума, и Lm\n — 2 ]/S j/3.
Задача 42, 14. Два пункта Рг и Р2 отстоят от двух пересе-
пересекающихся под прямым углом прямых, которые принимаются за
оси прямоугольной системы координат Ох и Оу, на расстояния
соответственно равные: я, = аь St = bt; x2 = а2, у2 = Ь2 (все эти
числа положительны). Рх и Р2 надо соединить телеграфным про-
проводом так, чтобы провод сначала шел к какой-нибудь точке Qu
на положительной части оси Ох, от нее к точке Q2 на положи-
положительной части оси Оу, а после этого — от Q2 к Рг (фиг. 42, 3),
где на осях Ох и Oj/ надо поместить точки Qt и Q2, чтобы длина
телеграфной линии была наименьшей?
Решение. Все обозначения указаны на фиг. 42,3. Длина
телеграфной линии
L = PiQx + Q1Q2 + Q,Pt;
L =
Z — функция двух независимых переменных — х и у. Приступаем к
определению стационарных точек:
357

Решаем систему уравнений
= 0
= 0
Запишем уравнения системы так:
г — х
У __ Ь2—у
0
^Л)
Фиг. 42,3
Возводя в квадрат обе части каждого уравнения,
Отсюда следует, что
•■+у* Ь\ + (а, - д:J
Уг
358

Поэтому
>+l
Ji+ l — фг _ у)г + !
После очевидных упрощений получаем
, или
1 — л:
Q2
2 — У
Перемножая почленно уравнения последней системы, получим
1
Отсюда
Ьг— у'
х = а. —
— у
Но из второго уравнения последней системы следует, что
х — а^_ . Сравнивая это значение с только что полученным,
имеем
аг — у
— аху — a%bx
Ьг — у
откуда следует, что
или
Определите самостоятельно х; получите х = a',2~I" l. причем
axb2 — a2b1yO, так как х>0 и г/>0 по условию. Значения
х и у можно определить значительно проще, если рассмотреть
геометрическое значение уравнений системы (А) (вообще от та-
такого истолкования никогда не следует отказываться, так как оно
часто приводит к значительным упрощениям).
В первом уравнении системы (А)
■ cos аг;
= cos
а потому
cos a, = cos
359

Второе уравнение системы (А) дает:
= cos-;v£Zv ^cosРг и °2 =
Из этого мы заключаем, что треугольники PiQiRu QfiQ2 и
P2Q2R2 подобны, т. к. они имеют по равному острому углу.
Из подобия треугольников следует, что—— = — = b~ll.
Отсюда уже просто можно найти значения хну, которые были
найдены раньше.
Теперь самостоятельно докажите, что
1) найденные значения х и у доставляют функции L минимум;
2) кратчайшая длина провода LHaHM = У (ах + а2J + (Ь1+ЬгJ;
3) для построения точек Qx и Q2 следует поступить так; пер-
перпендикуляры PtRi и P2R2 продолжить за точки Rt и R2 на рас-
расстояния, равные этим перпендикулярам, и концы полученных
отрезков соединить прямой линией. Эта линия пересечет ось Ох
в точке Qlt а ось Оу в точке Q2 (следует написать уравнение
прямой, проходящей через точки (аъ —6j) и (—а2, Ь2) и найти
координаты точек пересечения этой прямой с координатными
осями).
Задача 42,15 (для самостоятельного решения). Число а раз-
разделить на три слагаемых так, чтобы произведение этих трех
слагаемых было наибольшим.
Ответ. Каждое слагаемое равно 4нполученный результат
допускает простое геометрическое истолкование: из всех прямо-
прямоугольных параллелепипедов, у которых сумма трех измерений
есть величина постоянная, равная а, наибольший объем имеет куб
с ребром, равным -|-|.
Задача 42,16 (для самостоятельного решения). Требуется изго-
изготовить из жести коробку без крышки в виде прямоугольного
параллелепипеда заданного объема V так, чтобы затрата мате-
материала была наименьшей. Определить размеры коробки.
От вет. Основание параллелепипеда — квадрат со стороной
3_ Л/у
а = у V, а высота его Л = ~ ■
Задача 42,17. Задано п неподвижных материальных точек Pi
с массами mt и координатами pfa, yi) (t = 1, 2, 3 .... п).
Найти координаты х и у точки Р (х, у), для которой сумма
квадратов ее расстояний от этих неподвижных точек, помножен-
помноженных на массу соответствующих точек, имеет наименьшее зна-
значение.
360

Указание. Искомая сумма S = 2 /л< [(х — *<)* -f (у — y()lJ.
Ответ.
_ ^ + гд + ... + тпхп, _т1У1
«1 + «г + + т ' ~
+ «г + • • • + т„ ' ~ «1 -f «a -f ... + тп
СОРОК ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Если на поверхности через точку М на ней провести всевоз-
всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные
пряные {они называются касательными к поверхности), то ока-
окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, ко-
которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке М,
а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней
в точке касания М, называется нормалью к поверхности.
1. Если поверхность задана уравнением z = f(x, у), разре-
разрешенным относительно г {т. е. в явной форме), а точка касания
. М имеет координаты (х0, у0, z0), то уравнение касательной
плоскости записывается так:
г — го = г'х(хо, у0) (х — х0 + гу (дг0, уо)(у—уо), D3,1)
а нормаль к поверхности в точке М определяется уравнением
х — *о У — У о г — го /АО п\
*;(*. у») *;(*<>. уо) -1 * ( ''
Символы г'х(х0, у0) и г'у(х0, у0) означают, что производные
функции г = f (х, у) вычислены при значениях х = х0, у = уь.
2. Если поверхность определена уравнением f (х, у, г) = О,
неразрешенным относительно г (уравнение поверхности задано в
неявной форме), а точка касания имеет координаты (х0, у0, г0),
то касательная плоскость определяется уравнением
Гх (х0, У о, г0) (x — xo)+f'y (х0, у0, г0) (у — у0) +
+ Гр0, у0, г„) (г - г„) = 0, D3,3)
а нормаль к поверхности в точке М (х0, у0, г0)
х — ха __ у — уа __ г — г0 ..^ л\
f'x(x0, Уо. г0) f'y (хо> Уо> 20) "" Гг(х0, Уо, г0) * К < t
Символы fx (д:0, у0, z0), fy (х0, ущ г0), Гг(х0, у0, г0) означают
частные производные функции f(x, у, г) вычисленные для значе-
значений х = х0, у = у0, г = г0.
361

Задача 43,1- Найти уравнение касательной плоскости и нор-
нормали к поверхности г — х2 + 3у2 в точке, для которой дс = 1;
у= 1.
Решение. Прежде всего определим аппликату точки каса-
касания: 2A,1) = I2 + 3 • I2 = 4. Итак, точка касания имеет коорди-
координаты A, 1, 4), т. е. хо—1; уо = 1; г0 = 4. Так как уравнение
поверхности разрешено относительно г, то касательная плоскость
и нормаль определяются уравнениями D3,1) и D3,2). Опреде-
Определяем частные производные функции г: z'x(x, у) = 2х; гу (х, у) =
— 6у. Вычислим теперь значения частных производных в точке
касания: г'хA, 1) = 2; г'у{\, 1) = 6.
Подставляя эти значения и координаты точки касания в урав-
уравнения D3,1) и D3,2), получим уравнение касательной плоскости
г — 4 = 2(лг — 1) + 6 (у — 1), или 2х + 6г/ — г — 4 = 0. Уравнение
х— 1 у— 1 2 — 4
нормали —g— = ^-g— = ^—f •
Задача 43,2 (для самостоятельного решения). Найти уравнения
касательной плоскости и нормали к поверхностям:
1) к эллиптическому параболоиду г = 2х2 + у2 в точке A, 1, 3);
2) к поверхности г = х4+ 2хгу — ху + х в точке A, 0, 2);
3) к гиперболическому параболоиду г — ху в точке A, 2, 2).
Ответ.
1) 4лг + 2г/ — г — 3 = 0, —^-= 2__ = __ ;
3)
2 = 0; ^1 = =^ = !^.
Задача 43,3. Определить уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
х2 + у2 + г2 — 4* + 6у — 8г — 1 = 0 в точке М A, 2, 2).
Решение. Здесь уравнение поверхности задано в неявной
форме (оно не разрешено относительно г), а потому касательная
плоскость и нормаль к поверхности определяется уравнениями
D3,3) и D3,4). Обозначим левую часть уравнения поверхности
через f(x, у, г), найдем частные производные этой функции и их
значения в точке касания М: (тЛ , [J-) и [J-) ,
\дх/м \ду)м \dzjM.'
f(x, у, 2) = г! + г/г + г2— 4х + 6у — 8г~ 1;
EL-2X-4- (дА -2.1-4 2-
дх - zx q' \dxJM ~ v q ~ '
2i/ + 6;(|)M = 2.2 + 6=10;
3G2

Подставляя найденные значения частных производных и коор-
координаты точек касания в уравнения D3,3) и D3,4), получим урав-
уравнение касательной плоскости
—2(лг — 1)+ 10(у — 2) — 4(г — 2) = 0, или х — Ъу + 2z + 5 = 0;
уравнение нормали
х— I _ у— 2 _ г —2
~ -5 ~~Т~-
Задача 43,4 (для самостоятельного решения). Определить урав-
уравнения касательной плоскости и нормали к поверхностям в за-
заданных на них точках:
О х2 + у2 — х + 2у + 4г — 13 -= 0 в точке B, 1, 2);
2) хг + 2у2 — Зг2 + ху + yz — 2xz + 16 = 0 в точке A, 2, 3);
3) 1? + Р + Р = 1 в Т0Чке Iх» Уо' го)-
Ответ.
4у + 4г - 18 = 0; Ц^ = ^ = Lzl;
2)х-6у + 9г-1б = 0; = ^=L=i;
оч *о£ ■ .Vo^ _, £о£ _ .. у—жр _ у — % __г— г0
Э> 01 "Г" Ь! f С1 - 1. ^ - ^ ~ ^ •
а2 62 сг
Указание (к пункту 3). Воспользоваться тем, что-|
Задача 43,5 (для самостоятельного решения). Определить
уравнение той касательной плоскости к эллипсоиду ^г + р +
22
+ ■£ = 1, которая отсекает равные отрезки на координатных осях.
Указание. Воспользоваться уравнением, полученным при
решении предыдущей задачи. Отрезки, отсекаемые этой плоскостью
а2 ь2 с2
на координатных осях, равны: —; —; —.
ха Уо га
гт а2 Ь2 с2
По условию задачи — = — — — .
*о Уо г0
Обозначив каждое из этих отношений через k, получим
__ а2 . _ 6а . _ с*_
■Х-о — k ' У° — й ' г° — k '
Так как точка (х0, у0, г0) — точка касания, то ее координаты
удовлетворяют уравнению поверхности, а потому, подставляя по-
полученные значения х0, у0, z0 вместо текущих в уравнение эллип-
эллипсоида, получим
363

тогда
Подставляя эти значения в уравнение касательной плоскости к
эллипсоиду, полученное в предыдущей задаче, имеем оконча-
окончательно
х + у + z ± Va2 + b2 + с2 = 0.
Задача 43,6 (для самостоятельного решения). В такой точке
Х2 „2 Z2
эллипсоида -у + |г + ^г = ' нормаль к нему образует равные углы
с осями координат?
Указание. Из уравнения нормали к эллипсоиду, получен»
ного в задаче 43,4, следует, что направляющие косинусы нор-
нормали равны:
где
А _ . 1 / 0 , О , О
V а* + Ь* "+" с*"
Из условия задачи следует, что
или
х0 = АаЧ; у0 = Ab2k; z0 = Лс2^,
где k — общее значение написанных выше отношений. Так как
точка М (х0, у0, z0) — точка касания, то ее координаты удовлет-
удовлетворяют уравнению эллипсоида, а потому
- Л W + A2c2k2 = U Ak=*±
/а2 + Ь2 + с2
координаты точки, удовлетворяющей условию задачи,
х = ± °2 - и =± Ь2 z = + g8
Задача 43,7. К поверхности х2 + Зу2 + z2 = I провести каса-
касательную плоскость, параллельную плоскости 2х + Ау + г = 0.
Решение. Запишем уравнение поверхности в виде / (х, у, z) =
= х2 + Зг/2 -J- z2 — 1 = 0. Обозначим координаты точки касания
М через x0, y0, z0. Определим значения частных производных
функции f (х, у, г) в этой точке:
364

Уравнение касательной плоскости запишется в виде D3,3):
х0 (х — х0) + 3yOi(y — У о) + zo(z — г0) = 0.
Так как точка касания М (х0, у0 z0) принадлежит поверхности,
то х\ + 3yl + г\ = 1 и уравнение касательной плоскости может
быть записано так:
ХоХ + Зуоу + гог — 1=0 (Л)
Из условия параллельности этой плоскости и заданной в условии
вадачи плоскости 2х + \у + г = 0 следует, что
2 ~~ 4 "" 1 *
Обозначая каждое отношение через k, получим, что
Xq = ZH> у0 = "з" ^° ==
Подставляя эти значения в уравнение поверхности, получим:
4k2 + 3 • ^*» f А2 = 1.
Откуда А = ± -^= и, значит,
Подставляя это значение в уравнение (Л), получим оконча-
окончательно уравнение касательной плоскости:
Таким образом, оказалось, что условию задачи удовлетворяют
две плоскости.
Задача 43,8 (для самостоятельного решения). К поверхности
х2 + 2у2 + г2 = I провести касательную плоскость, параллельную
плоскости х — у + 2z = 0
Ответ, х — у + 2г ± }/~ = 0.

СОДЕРЖАНИЕ С.
Первое практическое занятие. Интервал, отрезок, промежуток. Абсолют-
Абсолютная величина числа. Свойства абсолютных величин 5
Второе практическое занятие. Величины постоянные и переменные.
Функция. Область существования функции. Основные элементарные
функции 10
Третье практическое занятие. Продолжение упражнений в определении
области существования функции ,18
Четвертое практическое занятие. Построение графиков функций ... 22
Пятое практическое занятие. Продолжение упражнений в построении
графиков функций. Графики показательной и логарифмической
функции 32
Шестое практическое занятие. Построение графиков тригонометрических
и обратных тригонометрических функций 37
Седьмое практическое занятие. Построение графиков функций, заданных
несколькими аналитическими выражениями. Построение графика сум-
суммы, разности и произведения нескольких функций 47
Восьмое практическое занятие. Решение уравнений с помощью графиков
(Графическое решение уравнений) 52
Девятое практическое занятие. Обратная функция и ее график. Перио-
Периодические функции 56
Десятое практическое занятие. Последовательности 60
Одиннадцатое практическое занятие. Предел последовательности . . • 64
Двенадцатое практическое занятие. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Дальнейшие упражнения в определении предела
последовательности 73
Тринадцатое практическое занятие. Определение предела последователь-
последовательности (задачи повышенной трудности) 84
Четырнадцатое практическое занятие. Предел функции 93
Пятнадцатое практическое занятие. Продолжение упражнений на нахо-
нахождение предела функции 101
Шестнадцатое практическое занятие. Определение пределов тригоно-
тригонометрических функций и упражнения на использование предела
lim 5i!L? 109
х—о х
Семнадцатое практическое занятие. Число е 116
Восемнадцатое практическое занятие. Вычисление пределов выражений,
содержащих логарифмы и показательные функции 126
Девятнадцатое практическое занятие. Сравнение бесконечно малых ве-
величин • 131
Двадцатое практическое занятие. Непрерывность функции. Односторон-
Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация 136
Двадцать первое практическое занятие. Задачи, приводящие к вычис-
вычислению производной. Непосредственное вычисление производной из
определения. Геометрический и механический смысл производной 151
Двадцать второе практическое занятие. Дифференцирование алгебра-
алгебраических функций 157
Двадцать третье практическое занятие. Дифференцирование тригоно-
тригонометрических функций 170
366

с.
Двадцать четвертое практическое занятие. Дифференцирование обрат-
обратных тригонометрических функций 175
Двадцать пятое практическое занятие. Дифференцирование логариф-
логарифмической и показательной функций. Логарифмическое дифферен-
дифференцирование • • • • 182
Двадцать шестое практическое занятие. Гиперболические функции.
Дифференцирование гиперболических функций. Дифференцирование
неявных функций 190
Двадцать седьмое практическое занятие. Параметрическое представление
функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически 194
Двадцать восьмое практическое занятие. Дифференциал функции . . 200
Двадцать девятое практическое занятие. Производные высших порядков
Формула Лейбница 211
Тридцатое практическое занятие. Предел отношения двух бесконечно
малых и двух бесконечно больших величин (Правило Лопиталя) 216
Тридцать первое практическое занятие. Возрастание и убывание функции 227
Тридцать второе практическое занятие. Определение максимума и ми-
минимума функций. Наибольшее и наименьшее значение функции иа
отрезке 232
Тридцать третье практическое занятие. Продолжение упражнений на
определение максимума и минимума функций и их наибольшего
и наименьшего значения на отрезке 242
Тридцать четвертое практическое занятие. Точки перегиба. Асимптоты 256
Тридцать пятое практическое занятие. Общее исследование функции. 264
Тридцать шестое практическое занятие. Геометрические приложения
производной: уравнения касательной и нормали к плоской кривой.
Длины касательной и нормали. Подкасательная и нормаль и их
длины. Кривизна, радиус кривизны. Центр кривизны. Соотношение
между радиусом кривизны и длиной нормали. Эволюта кривой . . 274
Тридцать седьмое практическое занятие. Функции многих независимых
переменных. Область существования. Частные производные. Полное
приращение и полный дифференциал первого порядка функции не-
нескольких независимых переменных 292
Тридцать восьмое практическое занятие. Дифференцирование сложной
функции от одной и нескольких независимых переменных .... 305
Тридцать девятое практическое занятие. Производные и дифференциалы
высших порядков функций нескольких независимых переменных . . 313
Сороковое практическое занятие. Линии и поверхности уровня. Произ-
Производная функции по заданному направлению. Градиент функции . . 328
Сорок псовое практическое занятие. Дифференцирование неявных функций 336
Сорок второе практическое занятие. Экстремум функции нескольких
независимых переменных. Наибэльшее и наименьшее значения функции
двух независимых переменных 343
Сорок третье практическое занятие. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности 361

Илья Абрамович Каплая
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть II
Дифференциальное исчисление функций
одной и многих независимых
переменных
Редактор А. П. Гужва
Обложка художника И. Ф. Криворучко
Технический редактор Л. Т. Момот
Корректоры Т. А. Жигальцова, Л. П. Пипенко
Сдано в набор 20/11 1973 г. Подписано к печати 3/VIII 1973 г. БЦ 20299. Формат
бумаги 60 X 90 Vie- Бумага типографская №3. Объем: 23 усл. печ. л., 23 физ-
печ. л., 20,5 уч.-иэд- л. Тираж 75 600. Заказ 3-430. Цена 70 к.
Издательское объединение «Вища школа».
Издательство при Харьковском государственном университете.
310003, Харьков, 3, ул. Университетская, 16.
Харьковская книжная фабрика «Коммунист» Республиканского производствен-
производственного объединения «Пол игр а фкн ига» Государственного комитета Совета Минист-
Министров Украинской ССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Харьков, ул. Энгельса, 11.