Практические занятия по высшей математике. Часть 3. Интегральное исчисление функции одной независимой переменной. Интегрирование дифференциальных уравнений - Каплан И.А.

Автор: Каплан И.А.
Теги: математика задачи по математике
Год: 1974
Похожие
Практические занятия по высшей математике. Часть 5. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференциальных уравнений первого порядка с частными производными
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах
Интегральное исчисление функций одного переменного
Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению
Текст
                    И. А. КАПЛАН
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
Часть III
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
ИЗДАНИЕ 4-Е, СТЕРЕОТИПНОЕ
ИЗДАТЕЛЬСКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ «ВИЩА ШКОЛА»
ЛЬСТВО ПРИ ХАРЬКОВСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
ХАРЬКОВ — 1974

Книга содержит разбор и подробное решение типо- •
вых задач по интегральному исчислению и интегрирова- ¦'
нию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Большое количество задач для упражнений сиабжено
указаниями, промежуточными результатами и ответами.
Книга соответствует новой программе по высшей ма- ,
тематике. Она рассчитана на студентов высших техничес- j
ких учебных заведений, а также может быть полезна пре- j
подавателям, ведущим практические занятия. )
) 4
Ответственный редактор
кандидат физико-математических иаук
доцент Р. В. Солодовников
0223-062
* М226@4) — 74 *" /ч
(С) Издательство Харьковского университета, 1965.
5G2 %\Ъ
АБСНЕМБНТ
НАУЧНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга содержит практические занятия по инте-
интегральному исчислению функций одной независимой переменной и
интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Как и первые две части, вышедшие ранее, книга рассчитана,
прежде всего, на студентов, обучающихся заочно и по вечерней
системе.
Она написана в полном соответствии с новой программой по
высшей математике для высших технических учебных заведений.
Весь материал книги разделен на отдельные практические за-
занятия. В каждое из них включены основные положения теории,
формулы, теоремы, определения и подробное решение типовых за-
задач различной степени трудности с их полным анализом, а также
предлагаются задачи для самостоятельного решения с методичес-
методическими указаниями, промежуточными результатами и ответами. Мно-
Многие задачи решаются различными способами, и целесообразность
этих способов сравнивается.
Такое построение книги предоставляет студенту широкие воз-
возможности для активной самостоятельной работы.
Студент, пользующийся этим пособием, должен перед каждым
практическим занятием выучить относящийся к нему раздел тео-
теории, внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, ра-
разобрать решенные задачи и только после этого приступить к ре-
решению задач, предложенных для самостоятельного решения.
Книга может быть полезна и студентам, обучающимся в ста-
стационарных высших технических учебных заведениях, а также
преподавателям, ведущим практические занятия.
Автор приносит глубокую благодарность рецензенту этой кни-
книги доктору физико-математических наук профессору Г. М. Баже-
Баженову и ее ответственному редактору кандидату физико-математи-

ческих наук доценту Р. В. Солодовникову, ценные советы и за-
замечания которых способствовали значительному улучшению книги.
Автор признателен сотрудникам кафедры высшей математики
Харьковского инженерно-строительного института В. Г. Алексан-
Александровой, И. М. Каневской, 3. Ф. Паскаловой, В. М. Аветисовой
и Л. В. Олейник, проверившим ответы к задачам, а также Р. А.
Ежовой за помощь в оформлении рукописи.

Часть III
Практические занятия
по интегральному исчислению
и интегрированию
дифференциальных уравнений
ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла. Непосредственное интегрирование.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Основной задачей дифференциального исчисления является
определение для заданной функции F (х) ее производной F' (х) =
= / (х) или ее дифференциала F' (x) dx = f (x) dx.
Обратная задача, состоящая в определении функции F (х) по
ее известным производной f(x) или дифференциалу f(x)dx, пред-
представляет собой основную задачу интегрального исчисления.
Операции дифференцирования и интегрирования взаимно об-
ратны.
Определение. Первообразной функцией (короче: первообраз-
первообразной) функции f(x), определенной на отрезке [а, Ь], называется
функция F (х), определенная на том же отрезке и удовлетворяю-
удовлетворяющая условию
F'(x) = f(x) или dF (x) = f (x) dx. A,1)
Процесс нахождения первообразной функции для заданной
функции называется интегрированием.
Если функция F (х) является первообразной Для функции f (х),
то и функция F(x)-\-C, где С — произвольная постоянная вели-
величина, также является первообразной функции f(x). Таким обра-
образом, если функция f (х) имеет первообразную, то она имеет их
и бесчисленное множество, причем все они отличаются одна от
другой только постоянным слагаемым.
Определение. При определении равенств A,1) выражение
F {х) + С, где С — произвольная постоянная величина, называется
неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается сим-
символом:
F(x) + C=jf(x)dx. A,2)
Здесь знак J называется интегралом, f(x) — подынтегральной
функцией, а произведение / (х) dx — подынтегральным выражением.

Наличие в этой формуле произвольной постоянной величины С
объясняет, почему интеграл J f (х) dx называется неопределенным.
Равенство A,2) дает самый общий вид первообразной функции.
Вопрос о том, имеет ли заданная функция f(x) первообраз-
первообразную, решается основной теоремой интегрального исчисления:
Теорема. Если функция f(x) непрерывна в каждой точке
отрезка [а, Ъ\, то во всех точках этого отрезка она имеет пер-
первообразную, которая на этом отрезке также непрерывна.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕРРАЛА
1. Если а — постоянная величина, то
dx, A,3)
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
2. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функ-
функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от сла-
слагаемых функций
J tii (х) + h (*) - /• (*)I dx - J/, (*) dx + J h (x) dx - j>s (x) dx. A,4)
3. d$f(x)dx-f(x)dx, A,5)
т. е. знак дифференциала d и знак интеграла j, когда первый
помещен перед вторым, взаимно погашаются (иногда говорят
взаимно сокращаются или взаимно уничтожаются).
A.\dF(x)~F(x)+C, A,6)
т. е. знаки d и J взаимно погашаются также и тогда, когда
знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, но в этом
случае к F (х) нужно прибавить произвольную постоянную.
Формулу A,6) можно переписать так: j F' (x) dx = F (x) -f С.
5. [J7(*)rf*]'=f(x). A,6а)
ОСНОВНАЯ ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
Во всех формулах под и понимается или независимая пере-
переменная, или произвольная функция любой независимой пере-
переменной, дифференцируемая в некотором промежутке.
Каждая из формул этой таблицы справедлива б любом про-
промежутке, содержащемся в области определения соответствующей
подынтегральной функции.

J
2. J du = и + С.
3. \ ^
(n — постоянная величина).
Частными случаями этой формулы являются
4 Cl"-__i !_ + с
(п — постоянная величина; п Ф 1).
5.
6.
7.
, аф\).
Интегралы, помещенные в таблице, называются табличными.
A,7)
A.8)
A.9)
следующие две:
A,10)
A,11)
A,12)
A,13)
A,14)
A,15)
A,16)
A,17)
A,18)
A,19)
A,20)
A,21)
A,22)
A,23)
A,24)
A,25)
A,26)
A,27)
A,28)
8. J eudu — е" + С.
9. \ sin udu — —cos u + C.
i
10. \ cos udu — sin u + C.
11. ] tg udu — —In | cos u | + C.
12. J ctg udu — In | sin u | + С
13.
J u + C.
16. f du = arcsin u+C.
J ^ l — u2
J
17.
18.
( at
j т/"ц2
й2 2
i
In
In
1 — и
"+1
+ c.
19. J sh udu = ch u + C.
20. J ch udu = sh u -f C.
91 С = th м 4- С

Таблицу формул читатель должен выучить наизусть. Это и
следующие два практические занятия отводятся для непосред-
непосредственного интегрирования, под которым понимается вычисление
интегралов с помощью таблицы основных интегралов. Навыки
интегрирования приобретаются опытом, а потому рекомендуется
решить как можно больше задач.
1. Упражнения в применении формул A,9) — A.12)
Перепишем формулу A,9) в виде, который более удобен для ее
практического применения.
Если и есть функция независимой переменной х, то du —
= u'dx, и формула A,9) перепишется так:
и°иЪх = ?Т1+С(пФ-1). A,29)
Следует обратить внимание на подынтегральную функцию
ипи'. Здесь n-я степень функции и умножается на и* — на про-
производную основания степени и. Эта формула верна только при
наличии множителя и*. В правой части формулы функция и на-
находится в степени я+ 1, т. е. в степени, на единицу большей,
чем под знаком интеграла, и и"+1 делится на ее показатель сте-
степени п + 1. Оговорка п Ф —1 существенна, так как если п =
= —1, то «+1=0, и тогда в правой части формулы знамена-
знаменатель равен нулю. Когда п = —1, следует пользоваться формулой
A,12). В случае, когда и — независимая переменная (например,
х), и' = 1 и формула A,29) переписывается в виде
c. A,30)
Первые упражнения связаны именно с этой формулой.
Задача l,t. Вычислить интегралы: 1) Jjtrf*; 2) J
3) \x*dx', 4) \Y~xdx; 5) \-/~x*dx, 6) Г-Д. и самостоятельно
проверить дифференцированием полученные результаты.
Решение. По формуле A,30) находим:
1) ^xdx = ^+C; 2) j *•<&-?'+С: 3)
4) $Vxdx=SxTdx = x-^- + C = jxVx+C; 5) f
j^с. 6) j^-^

В пятом примере проверка дает
Как и следовало ожидать, мы получили подынтегральную функцию.
f 4 —
Задача 1,2. Вычислить интегралы: 1) J 7Л*г, 2) З/х3^;
3) i—idx; 4) f-^dx; 5) \5dx, и проверить дифференцированием
полученные результаты.
Решение. 1) Вынося за знак интеграла постоянный множи-
множитель 7, получаем: Г lx*dx — 7 С л^с = 7 . ^ + С;
T <
_ T <_
2) Сз/Л/д: = зГлг4^ = 3-^-+С = у дг/х3 + С;
J J
Замечание. Можно было сразу применить формулу A,10),
положив в ней и = х, du = dx, n == 2.
(см. замечание к предыдущей задаче);
5) J 5dx = 5 J dx = 5д: + С
(применена формула A,8), в которой взято и = х).
Задача 1,3. Вычислить интегралы: 1) \ (х3 — Зд^ + бх — i)dx;
Указание. При решении этих примеров следует применить
формулу A,4), выражающую правило интегрирования алгебраи-
алгебраической суммы, и формулу A,30).
При вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму
произвольных постоянных, которая при этом получается, заме-
заменяют одной произвольной постоянной, обозначаемой обычно бук-
буквой С.
Ответ: 1) ^ — х3 + 5^ — 4х + С;
2) 4^-j.^-8K^-f

Замечание. В этом примере при вычислении каждого ин-
интеграла можно сразу воспользоваться формулой A,10), заменив
в ней и на х.
Задача 1,4 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы: 1) J Y~xdx\ 2) J Vx^dx; 3) J (ax2 + bx + c) dx.
Ответ. 1) ^JL-xVx + C; 2) ^xV**+ C; 3) a-? + b-f +
+ CX + C. ¦
Задача 1,5 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы: 1) [I; Ух-\--ц—\dx\ 2) [(-? «-4--^
г ' 1 1 3 — ' '7 I ' \ \ Хъ X1 Xs i
J \у •* Ухъ1
3 - 2 г- 7
Ответ. 1) 15Ух —jxVx + l
= \-—Зх2
Задача 1,6. Вычислить интеграл / \
J V~x
Решение. Для вычисления интеграла следует разделить мно-
многочлен, стоящий в числителе, на знаменатель. Если это выпол-
выполнить, то получится, что
хъ _3л;3 +5 —7л;3 +Ъх ^jd^x3 х3
Задача 1,7 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
3
тегралы: 1) I (Ъх2 — bfdx; 2) I
Ух
Ответ. \)jx7- — 27л;5-f 75л?— 125л; + С
\ — — #
Задача 1,8. Какая функция имеет производную Ъхг — 7х + 4
и принимает значение, равное 3, при л;=1?
Решение. В задаче требуется найти функцию, для которой
известна ее производная, т. е. требуется найти первообразную
функцию для функции 5л;2 — 7х + 4.
Из бесчисленного множества первообразных, которые имеет
эта функция, следует отобрать ту, которая равна 3 при х—\.
10

Если F (x) •—какая-нибудь первообразная функция, то в самом
общем виде она на основании формулы A,2) запишется так:
F(x) + C = j Eд? — 7jc + 4)
В условии задачи дано, что .F(l) = 3,. для того чтобы опре-
определить произвольную постоянную. Полагая в последнем равенстве
х—1, a F A) = 3, получаем
отсюда С = —-g-. Тогда F (х) — -g- = -g x3 — у х2 + 4х, а искомая
функция F (х) = -j х3-— y х* + 4х + j.
Таким образом, мы нашли функцию F (х), производная кото-
которой равна Ъхг — 7х + 4, и кроме того F(l) = 3.
Задача 1,9 (для самостоятельного решения). Какая функция
имеет производную Ъхг -\-2x-\-\ н принимает значение, равное 2,
при * = 0?
Ответ. Искомая функция F(х) — х3 + х? + х + 2 (С = 2).
Задача 1,10 (для самостоятельного решения). Какая функция
имеет производную 5—Эх+Ах2, если известно, что при х = 2 эта
функция равна 50?
9 4 142
Ответ. Искомая функция F(х) = Ъх — ух* + jх3 + -§¦.
Задача 1,11 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы:
[ШЛчх; 2) [
J Ух J
Указание. В первом интеграле числитель сначала возвести
в куб, полученный многочлен разделить на j/ x и после этого
проинтегрировать. Во втором интеграле в числителе перемножить
3
многочлены, произведение разделить иа Vx2, после чего выпол-
выполнить интегрирование.
Ответ. 1) 2У~х + Ъх + 2х]/х + ^+С.
2) ¦|л»ТГх + §*"/? + 60К"х+12/? + С.
Задача 1,12. Вычислить интегралы: 1) J (х3 + bO2xdx\
2) J(ax» + 5x« — 8) (9^ + 10^) dx; 3) |
и
4) j Bx2 + 7Kxdx; 5) j Vx3^x%dx; 6) f V^^x~%xdx

Решение. Все эти примеры решаются с помощью формулы
A,29). Прежде чем применять ее, надо выяснить: 1) какую из
функций, стоящих под интегралом, следует принять равной и и
2) есть ли под интегралом множитель, равный и'.
1) В первом примере следует взять и = х2 + 5. Множитель 2х
является производной функции и, так как (хг -\- 5)' = 2х. Поэтому
на основании A,29) при л = 7 имеем
J
(хг + 5O • 2xdx = ^-±-^ + С.
Если бы подынтегральная функция не содержала множитель 2х,
то применить формулу A,29) было бы нельзя. В этом случае сле-
следовало бы вычислить по формуле Ньютона (хг + 5O и интегриро-
интегрировать полученную сумму функций.
2) Пример второй решается аналогично. Считая, что и = Ъх3 4-
-\-Ьх*— 8, и замечая, что множитель 9*a + Юл: есть производная
функции и, а п = 3, по формуле A,29) находим
I
— 8)з . (9jc2 _|_ lOx) dx e
Здесь опять-таки отметим, что наличие множителя 9х* -\-
который на первый взгляд осложнил подынтегральную функцию,
на самом деле облегчило интегрирование, так как если бы мно-
множитель 9ха + 10х отсутствовал, то для вычисления интеграла
следовало бы возвести Зх2 + 5х* — 8 в куб, что потребовало бы
значительно больших выкладок.
3) Этот пример также легко решается, так как подынтеграль-
подынтегральная функция имеет вид ипи'. Действительно, полагая и = г* + 6,
мы замечаем, что множитель 2х равен и', п = ¦?>, а потому
2xdx = \ (х2 + 6J • 2xdx = (*""{) +С =
,Т
Если бы подынтегральная функция не содержала множитель
2х, то вычисление интеграла \ У хг -\-6dx потребовало бы значи-
значительно большей работы. Еще раз напоминаем читателю, что фор-
формула A,29'' применима только тогда, когда подынтегральная функ-
функция имеет внд и"и' илн может быть преобразована к этому виду.
12

4) В этом примере подынтегральная функция равна Bл? + 7)*х.
Если принять, что и = 2х% + 7. то и' = 4*. Множитель 4х отсут-
отсутствует под знаком интеграла, а потому подынтегральная функция
не имеет вида и"и'.
К такому виду мы легко придем, если запишем подынтеграль-
подынтегральную функцию в виде -^ Bх2 + 7K 4х, т. е. если умножим и раз-
разделим подынтегральную функцию на 4, отчего ее значение ие
изменится. При интегрировании постоянный множитель -j выне-
вынесем за знак интеграла и применим формулу A,29). Имеем
16 v"'v ' '' '
В этом примере подынтегральная функция не имела вид ы"ы',
но умножением на постоянную величину легко была к нему при-
приведена.
5) Подынтегральная функция в этом примере может быть за-
записана так: (х9 + 8) 3,х*. Если принять и = х* + 8, то «' = Ъх2.
У нас же вместо множителя Ъх2 есть множитель х*.
Умножим на 3 подынтегральную функцию. Чтобы она не из-
изменила своего значения,. разделим ее на 3 и получим у (х3 +
-Ь 8K Зле3. При интегрировании множитель у вынесем за знак
интеграла, а под интегралом окажется выражение вида ипи'
[п = y). Применяя формулу A,29), получаем
1 Т+1
ал*х=.т*?±^— +с =
1? j+l
h
а) В этом примере опять-таки придется преобразовать подын-
подынтегральную функцию так, чтобы она приобрела вид ипи'. Пред-
Представим ее в виде (аа—х*Jх. Если принять, что и = а* — х%,
то и' = —2х. Значит, чтобы под знаком интеграла был множи-
множитель —2х, подынтегральную функцию надо умножить на —2.
13

Выполняя это умножение и деля одновременно на —2, получаем:
2
(а2 — хгJх = —-s (а2 — х%J (—2х). При интегрировании множи-
множитель — ^ вынесем за знак интеграла, тогда под интегралом ока-
окажется выражение вида ипи' и формула A,29) может быть приме-
применена. Записи расположатся так:
ф dx = -^^=pl+ с=
а5^?* • dx = — I \ (а2 — зф* (-
— i- tiP — x*) уа*—х*+С
Задача 1,13 (для самостоятельного решения). Вычислить инте-
интегралы: 1) j Eл; + 4)Чх; 2) \ (9 + 7л?)в х cfx; 3) j (вал;2 + 9&д^)т х
X A бах + 27Ьхг) dx; 4) j jAx2 + 8л; Bх + 2) Лс;
1^ j
Указания. В пятом интеграле: —~= — G + я8) 2.
1 .
В шестом интеграле: У\ — х = A—хJ —— A—хJ • (—1).
и и'
Ответ. 1) 1E*-1-4M + С; 2) i(9 + 7л;2)8 + С;
25 V"* ~ v т^ "» '84
7
3) -J (8а^ + %х?) з + С; 4) -i- Dл^ + 8х) V 4л:2 + 8л: + С;
5) |К7Ч^'+С; 6) _|(l_^)/r=t + c.
Задача 1,14. Вычислить интегралы: 1) J sin3 x cos xdx;
2) jcosM.sinfefe 3>^AiifL_;4) J ^4, 5) j gi,*,
6) \ tga x seca x dx; 7) \ ]/cosa x sin л; eke.
Решение. 1) Подынтегральная функция имеет вид ипи'.
Действительно, если и = этл;, то и' = cos л;, п = 3. Поэтому, при-
применяя формулу A,29), имеем
J
sins x • cos xdx= —j h C.
14

2) В этом примере подынтегральная функция cos5 4x sin 4х не
имеет вид ипи', так как если и = cos\х, то и' =—4sin4;e(rt = 5).
Значит, недостает множителя —4. Умножая н деля на —4 и вы-
вынося — -j за знак интеграла, получим:
cos5 \х sin \xdx = — -jv I cos5 4л; • (—4 sin 4я) cfx =
= -|-^ + C ±cos4X + C.
3) Представим подынтегральную функцию в виде (ix3 + 9)-4х2»
Возьмем и = 4д? + 9, тогда и' =» 12.x2 (л = —4). Чтобы подынте-
подынтегральная функция приобрела вид ипи', ее надо умножить на i*2.
Умножив и разделив полученное выражение на 12, вынесем мно-
множитель -^ за знак интеграла. Тогда получим
*** 1 Г (it2 I 0)' 12* d l D^ + 9) t
\ Г + У) ^ h
1 Г (it2
12 \ \?Г
J
и
4) Представим подынтегральную функцию в виде arctg8 x X
х t . g. Положив u = arctg л;, получим ы' = - 2, н подынте-
подынтегральная функция будет иметь внд ипи' (п = 3). Поэтому без
дополнительных преобразований можем применить формулу A,29),
Найдем
5) Запишем подынтегральную функцию в виде sin-5* cos х
Возьмем « = sin*, тогда m' = cos*. В таком случае без всяких
преобразований подынтегральная функция имеет внд иаи', а по-
потому на основании формулы A,29) получаем
с.
6) Положим, что и = tg*, тогда u' = sec2* и подынтегральная
функция имеет вид ипи' (п = 2), никаких дополнительных пре-
преобразований делать не требуется. На основании A,29) сразу по-
лучаем
tg2*- sec2*dx = %? +C.
2_
7) Представим подынтегральную функцию в виде cos3 x sin x.
су
Возьмем и = cos х, тогда и' =. — sin х, п =» у. Чтобы получить
15

под знаком интеграла выражение вида ипи', но не изменить вели-
величину подынтегральной функции, умножим и разделим ее на —1.
По формуле A,29) получаем
5
3 С 2 "з"
I ¦— Г OS
cosa xsin x dx = — \ cos3 x - (—sin x) dx = f- x + С =
= — T- cos я]/ cosa л; + С.
О
Решим еще одну аналогичную задачу.
Задача 1,15. Вычислить интегралы: 1) {-^dx\
6>
Решение. 1) Представим -^ в виде Aп х) • -i-. Полагая ы =
In л;, получим и' = —. Подынтегральная функция — приобре-
т вид ипи' (п = 1), и тогда С — dx = f In х • -
N 1 Jf 1 - X
J J • v
2) /^ ^
Считая, что u== arcsin^, имеем uf =-т==г, а потому по
формуле A,29)
\/m
= -j arcsin л; j/arcsin x + C.
3) Выражение-y-j-= (In*)-4.—. Если положить ы = 1пл:, то
и' = —, и подынтегральная функция (In*)-4 • — приобретет вид
иаи' (п = —4), а потому по формуле A,29)
J
и~*
и'
16

4) Подынтегральную функцию можно преобразовать так:
1 —
¦- = -g- A + *а) 2 2х. Положим, что и = 1 +хг, тогда и' =
= 2л;. Если -g- вынести за знак интеграла, то подынтегральная
функция примет вид ипи' и формулу A,29) применить можно:
1
_ L
ы~2
И' 2
При решении этого примера можно было сразу воспользоваться
формулой A,11), переписав подынтегральную функцию в виде
du u'dx
Тогда
^ Уп+С. A,31)
Заметьте, что числитель дроби под знаком интеграла равен
производной функции, стоящей в знаменателе под квадратным
корнем. Если положить и = 1 -f х*, числитель дроби переписать
в виде х = -g- • 2х и вынести -g- за знак интеграла, то окажется,
что числитель дроби равен производной функции, стоящей в зна-
знаменателе под квадратным корнем. На основании формулы A,31)
5) Подынтегральную функцию перепишем так:
COSX
= —51n* _ _ Хеперь числитель дроби равен производной функ-
функции, стоящей под корнем в знаменателе. Поэтому на основании
формулы A,31) имеем
Г1 sin а: . С — sin х ,
J У 5 + cos х ) У5 + cos х
6) Принимая и=3 — sin8*, получаем, что и' = — 2sinxcosx.
_, . sin x cos л
Переписываем подынтегральную функцию в виде
Уз — sin2*
= —- ~ slnAL?°15 Теперь мы можем применить формулу A,31)^
* У 3 — sin2 х
так как числитель второй дроби является производной функции,
стоящей в знаменателе под квадратным корнем:
sin*C05* dr
+ С = — у 3 — sina х + С.
[7
A Y> у -, H E M E H T

Ниже предлагаются для самостоятельного решения десять
примеров на применение формул A,29) и A,31).
Задача 1,16 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
^ Г P
n (cos* , m Cl^ln jc , o. Г xadx ,, Parcsin3*
тегралы: 1) J-^Л; 2) ] — <**; 3) )yf=^i 4) )
Г l^arctg x Г sec2 x Г sin 2a; . . Q\ Г 2xdx .
J -ttw d*>6) J Tiyfc 7) J Ff^e^' 8)J TT^P'
9) fsh^chA;^; 10) Г^^Дdл:.
Ответ. 1) — -g-cosece* + C; 2) -| In x V In * + C;
3) —i-l/l—A^ + C; 4) {-arcsin^ + C;
о
5) j arctg x j/arctg x + C; 6) 2 ]/tg x + C;
2
7) 2/7 — cos2x + C; 8) — 4 /l — 3xa + C;
9)-|sh4x-fC; 10) — 2 /ctgx + C.
Чтобы закончить это практическое занятие, нам остается вы-
выполнить упражнения • на применение формулы A,12). Полагая,
что и есть функция независимой переменной х: и = и(х), a du —
= u'dx, эту формулу можно переписать в виде, более удобном
для применения:
ffdx=ln\u\ + C. A,32)
и'
Следует обратить внимание на подынтегральную функцию —:
числитель дроби является производной ее знаменателя, а перво-
первообразная функция равна натуральному логарифму абсолютной
величины знаменателя. Если и = х, то и' = 1, и формула A,32)
запишется так:
A,33)
dx
Задача 1,17. Вычислить интегралы 1) \
2) \^dx; 3) jrf^x; 4) \
5) Г-А_; 6)f-?_; 7)
' J a- x ' ' j x\nx 'J
3*3
18

P e iii e н и e. 1) Подынтегральная функция —— дробь, числи-
числитель которой является производной знаменателя (х + о)- Дробь
имеет вид — , а потому на основании формулы A,32) интеграл
равен натуральному логарифму абсолютной величины знамена-
знаменателя
2) И в этом примере подынтегральная функция — дробь, числи-
числитель которой есть производная знаменателя: и = хг + 5, и' — 2х,
дробь имеет вид —, формула A,32) может быть применена:
Здесь х2 + 5 не следует писать под знаком абсолютной вели-
величины, так как х2 + 5 > 0 при любом действительном значении х.
3) Стоящую под знаком интеграла дробь smx—можно пре-
1 "т~ COS X
образовать так, чтобы ее числитель стал равным производной
знаменателя.
тт „ sin х —sin* ,-, , ,
Действительно, l + cosx = — 1+C0SJC• Если u = l+cosx, то
и* =—sin*, дробь имеет вид —, формула A,32) применима и
4) Дробь 14Та = —-^ • ~^2. Если и=1^х\ тои'=-2х,
и числитель второй дроби равен производной знаменателя. Эта
дробь имеет вид ^-. Поэтому по формуле A,32) .
1 и'
5) Чтобы преобразовать дробь —— к виду —, перепишем ее
так: = —— . Если знаменатель дроби а — х = и, то и' =
= — 1, числитель дроби равен производной знаменателя, и по
формуле A,32) получаем
19

6) Перепишем подынтегральную функцию в виде 7Тп~х = 1п~ё'
Если взять и = \пх, то и' = —, и числитель дроби равен произ-
производной ее знаменателя. Поэтому на основании A,32) имеем
7) Подынтегральную функцию можно преобразовать так, чтобы
¦ее числитель был равен производной знаменателя: 4 * ^ =
= -g- 3 з. Принимаем, что и = 4 -f Ъх3, тогда и' = 9х2. Вторая
.дробь имеет вид ^-, и по формуле A,32) получаем •
8) Дробь г-? рациональная, неправильная: степень ее чис-
лителя равна степени знаменателя. С помощью деления можно
«з этой дроби выделить целую часть. Действительно, если раз-
разделить хна х+1, то получится 1 —. Таким образом,
^применены формулы A,8) и A,32), при вычислении второго ин-
интеграла учтено, что числитель дроби 1 равен производной знаме-
знаменателя дроби).
9) Если и = 5 + е*, то и' = ех. Дробь имеет вид ?-, и по
формуле A,32) получаем
.{так как при любом значении х имеет место неравенство: 5 +
-f е* > 0, то выражение 5 + 6х мы не поставили под знак абсо-
абсолютной величины).
х3
10) Дробь „ — неправильная, так как степень числителя
больше степени знаменателя. Чтобы выделить целую часть, раз-
разделим j? на х + 2 и получим -q-g = х* — 2х + А — —г^, а по-
потому
+ 4 ^dx-
20

В этом примере вместо деления х3 на х + 2 можно было пред-
представить дробь в таком виде:
х3 _ х3 + 8 — 8 _ х3 + 8 8_ _ (х + 2) (х* — 2х + 4) _ « _
х + 2 ~ х + 2 ~ х+2 х+2~~ х+2 х + 2~
= х2-2х + *-хТ~2-
Аналогично в восьмом примере дробь ~г~ = i _i_~ == " —
Задача 1,18 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы: 1) f-?_; 2) С a*d* ; 3) Г, , f* . ;
*\ ' Ja+b*' ; J a2 - b2*2' ; J (t+*2)arctgx '
4) С ^ ; 5) Г sinx dx; «) С ^ :
7^ f rf^ . q\ С sin2A: иг-
> jxd-ln*)' ' j b*cosa* + a2 x>
10) ffe|^; И) Ctgxcfx; 12) Cctgxcfx
2) - 2jr In I aa - 6 V | + C; 3) In | arctg x\ + C;
4) In|tgx| + C; 5)— у ln|5 + 7cosA;| + C;
6) ln|arcsinx| + C(*=?0); 7) — Inl 1 — ln*|+ lnC = In j—~J;
8) -|aln|62cos2A; + a2H-C; 9) ? + | +| + >;+ ln|x- 11 + C;
10) |x —jln|2x + 3| + C; 11) —ln|cosx|
12) l
ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интегрирование показательной и тригонометрических
функций.
На этом практическом занятии мы проведем упражнения в не-
непосредственном интегрировании по формулам A,13)—A,20).
1. Интегрирование показательной функции (упражнения в
применении формул A,13) и A,14).
21

Придадим этим формулам вид, который более удобен для при-
применения их на практике: считая и функцией независимой пере-
переменной х: и = и{х), запишем, что du = u'dx, а потому формулы
A,13) и A,14) перепишутся в виде:
a«u'dx = ^ + С (a > 0, а Ф 1); B,1)
x = е" + С. B,2)
Здесь следует обратить внимание на то, что подынтегральная
функция в этих формулах содержит множитель и', являющийся
производной функции и, стоящей в показателе степени. Без этого
множителя формулы B,1) и B,2) не верны. Если х—независимая
переменная, т. е. и — х, то и' — 1, формулы B, 1) и B,2) пере-
перепишутся так:
xdx = -?-a + C (а>0, аф1); B,3)
^exdx=ex + C. B,4)
Задача 2, К Вычислить интегралы 1) J 3х dx; 2) \\V2jdx;
3) j 4-xdx; 4) [e-xdx; 5) j.23*cfx; 6) \ebxdx.
Решение. 1) Этот пример не требует пояснений. Он решается
непосредственным применением формулы B,3). Полагая в ней
а = 3, получаем I 3* dx = ^ + С.
2) Точно так же полагая в B,3) а = У2, получаем, что
3) Этот интеграл не может быть вычислен по формуле B,3),
так как в показателе степени стоит не х, а —х. Поэтому обра-
обратимся к формуле B,1). Перепишем подынтегральную функцию
в виде 4~х — —4-*- (—1). Таксе преобразование нам понадобилось
для того, чтобы ввести множитель —1, который является произ-
производной от показателя степени —х. Теперь уже подынтегральная
функция содержит производную от показателя степени, и мы
получаем при.а = 4, полагая, что м = — х: . \
4-*dx = j -4- (- 1) dx = - J 4-x • (^1) dx = - -jU + С
4« «'
4) Запишем, что е~х = —e~x(—1) и применим формулу B,2).
Полагая в ней и = — х, имеем
e-xdx = — j e~x • (— 1) dx = —e-x + С.
22

5) При решении этого примера формула B,1) не может быть
применена, так как подынтегральная функция не содержит мно-
множителя и', являющегося производной от показателя степени м =
= Зл;. Но так как и' = 3, введем такой множитель, умножив
и разделив подынтегральную функцию на 3. Тогда можно будет
применить формулу B,1): 23х =-о" 23* • 3. Поэтому
2« и'
Поступая так же, как в предыдущем примере, получаем по
формуле B,2)
f
Задача 2,2. Вычислить интегралы: 1) \akxdx; 2) \ekxdx;
3) С bV7 Y=^dx\ 4) fe=°s*sinxcfx; 5) [lxtxdx; 6) fe*V'dx;
7) J 2{8 * sec2 xcfr, 8) J е-^'+*+з) (Зх4 + 1) dx\ 9) J e* ^ cfx;
10) J (e* + e-xf dx.
Решение. 1) При вычислении этого интеграла следует иметь
в виду, что k — любое действительное число. Подынтегральная
функция а** не содержит множителя и'. Если и = kx, то и' = k.
Чтобы ввести этот множитель, перепишем подынтегральную функ-
функцию так: akx = -r-akxk. Поэтому
2) Применим рассуждения, приведенные в предыдущем при-
примере: efc* = -r ekxk, а потому
Г екх dx = — f efc* • k dx — -^ ekx + C.
Этот результат полезно запомнить. Зная его, сразу получаем,
что, например, I e3xdx = je3* + С; I е^х = 2е? + С [здесь & =
= Т.' Т = 2); j e~X* dx Зе"^+ С CДесь *
23
)
= — 3J, и т. д.

3) Здесь показатель степени и = У^х, и' = —у=. Подынте-
2 у х
тральная функция вместо этого множителя содержит множитель-^.
Умножая и деля на -~-, получим 5'* -т= = 2 • 5'х . —т= • а ПОг
¦* У X 2 у х
тому по формуле B,1) при а=5
_^ 2 Vx 1п5 т *
5" —^
4) В примере и = cos x; и' = —sin x. Значит, недостает множи-
множителя —1. Подынтегральную функцию представим в виде ecos x sin x =
_—ecos*(—sin x), поэтому по формуле B,2)
I ecos * sin xdx = — \ е*™ х (— sin x)dx= — ecos * + С.
5) Здесь и = х2; и' = 2х.
Подынтегральная же функция содержит множитель х. Умно-
Умножая и деля ее на 2, запишем, что 7*'х = у7**-2х, a\7x'xdx =
7" о'
6) В этом примере функция и = х3, ее производная и' = Зл;2.
Подынтегральная же функция содержит множитель ха. Умножая
и деля ее на три, получим е*'х% = g-e*'3je2. По формуле B,2)
находим
Г
и"
7) Этот пример решается без предварительных преобразований,
так как множитель sec2* — производная от функции u=tgx —
входит в подынтегральную функцию. По формуле B,1) при а=2
получаем
с
• sec2xdx = ¦
2« и
8) Полагая здесь и — — (х3 + х + 3), имеем м' = — (Зл;2 + 1).
Вместо этого множителя подынтегральная функция содержит мно-
множитель Зх2+ 1. Чтобы получить требуемый множитель и', подын-
подынтегральную функцию представим в виде е-(*8+*+з) (Здг2 -f 1) =
= —е-с+^+з) [—(Злг2 -{- 1)] и на основании B,2) получим
— (Зл;2 + 1)] dx =
24

9) Здесь функция и = у, ее производная и' = — -^. Подын-
Подынтегральную функцию перепишем в виде е*~« -^ = —е* ( 3), и
по формуле B,2) найдем
1 f i / 1\ ±
e"
и'
10) (ех -f е-*J = е2х + 2 + е~2*. Учитывая решение второго при-
примера, получаем
(е* + е-*)Чх = ^(е2д: + 2 + е-2*) cfx = § е2х dx
f e-2*cfA; = ie2* + 2x— je~2* + C.
cfA; = i
Задача 2,3 (для самостоятельного решения).
д , (д р)
(» (» garcsln ;t
Вычислить интегралы: 1) \ (e*s — e~fcs) ds; 2) \ . adx;
3) I e81" * cos xdx; 4) We3-f2)se 4cfr, 5) \9x'+6xt+3x{x2+Ax+A)dx;
6) \ Ка~ьУ dr, 7) I (^+e^)«^; 8^ j \Tu>dx;
9) Je5+sln'2*sin4ArfA:.
Ответ. 1) i-(efcs +e~fcs)+C; 2) earcsin * -f C; 3)__esin * + C;
4) Te** + ?eH* + 144еП*— 32e~* + C: 5) TTF9
Лй! [(тГ - (I" Л ~ 2X + C: 7) 5 ^ - -^ +1Г-
+ C; 8) -i earcts2* + C; 9) 1е5+^п. 2* + c.
2. Интегрирование тригонометрических функций (упражнения
в применении формул A,15)—A,20).
Полагая, что функция и, входящая в эти формулы, есть функ-
функция независимой переменной х: и = и (х), и заменяя дифференциал
25

этой функции du по формуле du = u'dx, формулы A,15)—A,20)
можно переписать в виде, более удобном для практики:
sin и ¦ и' dx = — cos и + С; B,5)
j" cos и ¦ и' dx = sin и + С; B,6)
j tg и • u'dx = — In | cos и |-f С; B,7)
Jctgu- u'dx= ln|sinu| + C; B,8)
Следует обратить внимание на то, что множитель и', входящий
в подынтегральную функцию во всех этих формулах, есть произ-
производная от той функции и, которая находится под знаком тригоно-
тригонометрической функции. Если и — независимая переменная, и = х,
то и' = 1, и эти формулы перепишутся так:
Jsinjtfifx = — cosx + C; B,11) \ctgxdx= In | sin дс | + С; B,14)
B,12) jirf* = tgx + С; B,15)
C. B.16)
Задача 2,4. Вычислить интегралы; 1) J sinmxdx; 2) ^cosnxdx;
$ j \ f'
4)
^dx; 6)
Во всех примерах буквы т, п, р, q, k и / — величины по-
постоянные, не равные нулю.
Решение. 1) Формулу B,5) можно применить в том случае,
если подынтегральная функция имеет множитель и', являющийся
производной от функции, стоящей под знаком синуса.
В нашем случае функция и = тх, а ее производная и' = т.
Множитель т в подынтегральной функции не содержится. Умно-
Умножим и разделим подынтегральную функцию на т, т. е. предста-
представим ее в виде sin mx =—sin тх - т; тогда, вынося постоянный
множитель — за знак интеграла, по формуле B,5) получим
\ sin mxdx — — \ sin mx • mdx = cos mx 4- С
J J и и'
26

2) Повторяя те же рассуждения, что и при решении первого
примера, получим по формуле B,6)
\ cos nxdx = — \ cos nx • п dx = — sin nx -f С
На основании этих результатов легко вычисляются, например,
такие интегралы: \ sin 2xdx = — -~. cos 2x + С; \ sin — dx =
р + С (здесь м = I-; «' = ~);
f cos V2xdx = — sin |/2T+ С; С cos 4jedje = j sin 4jc + C;
(здесь u=i; «' = !
(
3) Здесь и = fer, ы' = й. Подынтегральная функция не содер-
содержит множителя k. Чтобы можно было применить формулу B,7),
преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы оно содер-
содержало множитель k\ умножим и разделим его на k и представим
в виде igkx=- -^tgkx- k. Теперь на основании B,7) получаем
f igkxdx = j f tgfc*• fecfx = — j In|cos^| + С
4) Повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем примере,
получаем по формуле B,8)
С 1С 1
\ ctg lxdx = -r \ ctg lx • dx = -г In I sin Ix I 4- С
J ' J *
Используя результаты, полученные при решении этого и преды-
предыдущего примера, легко вычислим такие интегралы:
tg2xdx = —^ In| cos2х| 4- С; \ tg -=• dx = — 5 In cos-g-
Cctg3*rfje = -|- In|sin3je|4-C; Cctg-|cfx=o
In
sin-
• cfx = 7 In | sin -j
5) По формуле B,9) получаем
u'
27

(подынтегральную функцию мы умножили и разделили на р,
а постоянный множитель -1 вынесли за знак интеграла), поэтому,
например, Г с^ = J *8 Ъх + С- [-^ = 6 tg -J + С; f-^_=
6) На основании формулы B,10), повторяя рассуждения, про-
проведенные при решении предыдущих примеров, получаем
1 1 С 1 I
-г—dx = — \ -т-5— qdx = ctg qx 4- С
n2 qx q J sin2 ?xJL q ъч '
u
.(подынтегральную функцию мы умножили и разделили на q,
а постоянный множитель — вынесли за знак интеграла). Полу-
Полученный результат позволяет легко вычислить, например, такие
Г 1 1 s> (* dx x
интегралы: \ sina кх dx = — -g ctg ox + С; I = — 4 ctg -j -f C;
f* dx
sin2T
Задача 2, 5 (для самостоятельного решения). Вычислить инте-
С d Г ^
Указания. 1) 1 — cosx = 2sin2 -| ; 2) 1 + cos а: = 2 cos2-|.
Ответ. 1) — ctg-J + C; 2) tgi + C.
Задача 2,6 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) \ sin (x2) xdx; 2) I cos/T_f dx;
J J V*
3) jtgB*-3)^; 4) jsin(lnx)l^; 5)
6) jcosH^^; 7) J cos (Mi* 8) ^^: 9)
Указания. В восьмом примере:-г—.—:— = ,-т-—. ~f!njc .—:
v v l + sin* A+ sin x)(\ — sin*)
1 — sin x1 sin x
cos2 x cos2 x cos2 x
В девятом примере: .,' 2 = sin.'* + cfx = -L- + -
^ r sin2xcos2x sin^jcos2* cos2* ' sin
sin2xcos2x sin^jcos2* cos2* ' sin''*
28

Ответ.
1) _iCosxs + C; 2) 2slnV~x + C; 3) — j ln| cosBx —
4) —cosln|*|+C; 5) 1 tg (ax + 6) + C; 6) sin(e*)+C;
7) sinln|x| + C; 8) tgs — secs+ C; 9) tgx — ctgx +
C ' ~"
) || +
10) — cosecx +
Задача 2,7 (для самостоятельного решения). Вычислить инте-
интегралы:
1) tsinB, + 5)*; 2) С "у, 3) ]Ш*,К 4,
(?sin2x
J,ш~х
еч fsin2? ... ?, f?0
6) 3-Eo^^- 7) J4
9) j cos (ax + 6) dx; 10) J ctg» *dr, 11)
Jlifc
Указания. В седьмом примере: cos2x = cos8x — sin2x, после
деления на sin2* заменить ctg2x = cosec2х—1. В восьмом при-
примере: после деления на cos2* заменить tg2 * = sec2 x—1. В при-
примере 10 заменить ctg2 x = cosec2 х—1. В примере 11 числитель
и знаменатель дроби разделить на cos2*. Подынтегральная функ-
sec2*
ция примет вид -т-—.
Ответ. \
1) — ICosBx + 5)C; 2)—tg-j+C;3) - In |cos (Ins) 1 + C;
4)~tgx + C\ 5) 2 In | sin a; | +С; 6) — 2 ln|cosx| + C;
7) —ctgx—2x + C; 8) 2x — tgx + C; 9) 1 sin (ax + b) + C;
10) —ctgx — x + C; 11) ln|tg*|+C; 12) — In|sin^| + C.
Задача 2,8 (для повторения материала первого практического
п з
занятия). Вычислить интегралы: 1) \ у tg2xsec2 2xdx (воспользо-
$хг
7 + Ъх3 dx (воспользоваться форму-
формулой A,32)); 3) С Qjg-dx (формула A,29)); 4) f (ax* +b)"xdx
(пФ — \) (формула A,29));
(формула A, 32)); 7)
sin
(формулаA,29)); 6)
dx (пФ~2) (sin 2x = 2 sin x cos л;,

сократить дробь и воспользоваться формулой A,29)); 8) ( г " . - dx
r J xy 7-f-!n2*
(воспользоваться формулой A,31)); 9) J __*__;
*TZ«xdx; П) ^У;Г1
« /1 new ю\ Г bC0S* — С sin Л: . 1ОЧ Г ЛГ djf ... Р
мулои A,32)); 12) )Vfl + fcril|X + CC0.^ 13) Jy^; 14) J
dx
Указание. В примере 16 разделить е3х нае* + 2, получится
2
Ответ.
1) | tg2x?tg2x'+ С; 2) -1 In 17+3^| + С;
3) - 1 ctg» ал: + С; 4) 2-
-9 6) ^1
9) j/ + arctg2A: + C; 10) р]/"а2 + б2 sin2 а; + С;
11) 2 [_ In (а cos2a: + Ъ %тЧ) + С; 12) 2 Va+b sinx+ccos x+C;
13) - i- In (а2 - х2) + С; 14) i In D + 7х2) + С;
15) 11/5 + 4^ + С; 16) 1 е2* - 2е* + 4 In (e« + 2) + С;
11/5 + 4^ + С; 16) 1
17)i-ln|a + &x| + C; 18) -
19) j [arctg2x+ In A + х2)] + С; 20) - f ]/9^т
ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Продолжение упражнений в непосредственном интегри-
интегрировании.
1. Упражнения в применении формул A,21) и A,22)
Эти формулы перепишем в виде, более удобном для практики.
Полагая, как и раньше,, что функция и, входящая в эти фор-
формулы, есть функция независимой переменной х: и = и (х) заменим
30

ее дифференциал du по формуле du = и' dx и перепишем эти фор-
формулы так:
J^-arctgu + C; C,1)
<& = arcsin и+С. C,2)
Следует обратить внимание на то, что в этих формулах числи-
числитель дроби и' есть производная первой степени функции и, кото-
которая в C,1) находится в квадрате в знаменателе, а в C,2) —в
знаменателе под квадратным корнем.
Прежде чем начать упражнения, выведем более общие форму-
формулы чем C,1) и C,2), а именно: вычислим интегралы
C.3)
В первом интеграле преобразуем подынтегральную функцию
так, чтобы можно было применить формулу C,1):
и' и' _ а "
Числитель и зна-
знаменатель дроби
1
умножен на — -
Теперь числитель дроби l-^-j есть производная от первой сте-
степени функции I —], которая находится в знаменателе, и фор-
формулу C,1) можно применить.
Поэтому, вынося за знак интеграла постоянный множитель —,
получаем
Г
J
а2+«г
Итак,
$НчЬ^=4агс^+С- C,4)
Если и = х, то и' = 1, и эта формула запишется так:
C,5)
31

Подынтегральную функцию второго интеграла C,3) преобразуем
так, чтобы можно было воспользоваться формулой C,2).
Из-под корня
вынести мно-
множитель а
Теперь числитель дроби /jj есть производная от первой сте-
пени функции I— I , которая находится под корнем в знаменателе.
Н 3
На основании формулы C,2)
Итак,
(" , u' , dx = arcsin - + C. C,6)
J У a2 — u2 a
Если « = x, то u = 1, и эта формула запишется так:
dx = arcsin | + С. C,7)
a' — x
Задача 3,1. Вычислить интегралы:
Г dx • 4W- Г ^
J 11 -f- 9jca * ' J 6+13*2'
Решение. 1) Здесь аг = 7; а = J/7, по формуле C,5) полу-
получаем / = ^
2) В этом примере а* = 10; а => 1/"Ю, по формуле C,5) полу-
чаем / = -^arctg?|- + C.
3) В знаменателе дроби находится не хг, а 5л:2. Поэтому фор-
формула C,5) непригодна. Здесь должна быть применена формула
C,4). Для этого надо в числителе иметь производную функции и,
квадрат которой и2 = 5х2, и = У5х. Производная и' = У.
¦32

Формулу C,4) можно применить в том случае, если числитель
подынтегральной функции будет равен и'. Мы этого достигнем,
умножив его на У^Ъ, а чтобы не изменилась величина подынте-
подынтегральной функции, разделим ее на Vb и представим в виде
11 V5
Учитывая, что а2 = 8, а = 2J/2, по формуле C,4) получаем
1 , V\Qx , п
— —т= arctg —-. \- С.
2/10 s 4 т-
4) Этот пример ничем не отличается от предыдущего. Здесь
ы2 = 9х2; и=3х; и' = 3. Чтобы можно было применить формулу
C,4), надо образовать в числителе и'. Умножим подынтегральную
функцию на 3, а чтобы не изменилась ее величина, разделим ее
на 3 и представим в виде jj-qig^ + -§¦ ТТТЩ*' ТепеРь Ф°РМУЛУ
C,4) можно применить с учетом, что а2 =11; а = ]/" 11; / =
Л Г* 3 .1 . Зл: , г
5) Этот пример решим без подробных объяснений: а2 = 6;
ы2 = 13л:2; и = V^x; а2 = 6; а = Vb; W = УТЗ.
Подынтегральную функцию запишем в виде
33 /Тз
6+
а _ _
7 = 7Ш j ^ = arctg
Задача 3,2 (для самостоятельного решения). Вычислить инте-
Гралы: 1) j5+16jt2J 2) J 12 -Ь 7д:а » 3) J 14+15** 5 4) J 15
j J J J + Шд;2!
Ь> J5 + 21A;2- <¦
Ответ.
1) -^ardg~ + C; 2)—^arctg^L + С; 3)-^= arctg^Mx+C;
4/5 ё/5 2/21 2/3 ;/2Ю /И
-1= )ЛШ S
/285 °/15 /105
2 3-1734 33

J
Задача 3,3. Вычислить интегралы: 1) / = \
C* + 2)d* _ ' C9t
лг -4- 3
xt_f2dx; 2) / =
\dt.
Решение. 1) Подынтегральную функцию запишем в виде
** + 2 "~ *2+2 + *2 + 2'
каждую из этих дробей проинтегрируем и интеграл представим
в виде суммы двух интегралов:
dx 1 3 х
i B + 2) + jTfarctgC
у
=J
Умножая числитель на 2,
получим в ием производ-
производную знаменателя
Применить )фор-
мулу C,f>)
2) Подынтегральную функцию представим как сумму двух
дробей:
3*-(-2_- 3* 2
5д;2 + 7~'5аг2 + 7+5аг24-7-
Каждую из этих дробей мы умеем интегрировать. Интеграл
представим как сумму двух интегралов (постоянные множители
вынесены за знак интеграла):
с d* з
dx + 2 JgF+7 -iglnEд:2 + 7) +
Здесь в числителе
получитея произ-
производная знаменателя,
если чнслнтель
умножить на 10
Применить_ C,4) при;
^+C. Окончательно / = ^1п Eл:2 + 7) -f
3) Этот пример следует решить самостоятельно.
9
Ответ. I6ln(8/2 + 9)
Задача 3,4 (для самостоятельного решения). Вычислить интег-
Р 7л- + 3 (* Злг + 8
ралы: 1) J 10*2 -j- Г! dx; 2) J i2*" + 2
3) аг
и прове-
проверить вычисления, проведенные в примерах 1 и 2, по формуле,
полученной при решении примера 3.
34

Ответ. 1) Jl
2) iln A2* + 23) + ^=arctg ^|* + C;
• ио —и
с с
Задача 3,5. Вычислить интегралы: 1) \. cos.*2 dx;2) 1= \
х dx
3) I=\f^r; 4) /-f—*^ 5) / = Г ?* dx;
6> /== yi+cos2*-
Решение. 1) Если ы2 = sin2x, то и = sinr," ы' = cosa:; a2 = 5,
а = V§, a потому сразу без допблнительных преобразований по-
получаем по формуле C,4)
г 1 . sin* . ~
2) Возьмем и2 = xi, тогда и — х2, а ы' = 2л:.
Чтобы получить в числителе 2х, умножим его на 2, а чтобы
величина подынтегральной функции не изменилась, разделим ее
х j 2x
на 2 и запишем в виде =-j—
Применяем фор-
формулу C,4)
3) Примем и2 = eix; и = е2х. Тогда и' = 2е2х. Формулу C,4)
можно применить, если в числителе находится функция ы* —
производная функции и. Чтобы этого достигнуть, умножим и раз-
разделим подынтегральную функцию на 2, тогда она запишется так:
е2х 1 2е2х . 1 f 2е2х ^ 1 1 .в2* . г
а2 = 4; о= 2
4) Полагаем, что ы2 = 1п2я = Aпд:)г; и = \пх\ ие =—.
Если мы представим подынтегральную функцию в виде
х E 4-1 2*) = 5 4- an ai2"' то заметим> что в числителе имеется и', а
потому формулу C,4) применить можно (а2 = 5; а = J/5):
Г -
,1 * , 1 , ]пх . ~ I
/ = г | "—тг-ал: = -=arctg -r=. 4- С.
J 5 + (In xf yj &Уъ
2* 35

5) Здесь и2 = tg2*; и = igx; и' = sec**, поэтому без дополни-
дополнительных преобразований получаем (а2 = 9; а = 3):
sec2
1 , let . /,
- Tarctg-§- + С.
6) Вычисление этого интеграла связано с некоторыми труд-
трудностями.
Здесь надо догадаться, что интеграл может быть приведен к
виду C,4), если числитель и знаменатель дроби умножить
на sec2*. Выполняя это, получим
sec2* sec2*
¦ sec2* +1 tg2* + 1 + 1 ~
Если теперь положить и2 = tg2*; и = tg*; и' = sec2 x, формулу C,4)
можно применить, так как числитель содержит производную
функции и. Тогда
tg2* + 2 }/YarC ^V2
"I
Задача 3,6 (для самостоятельного решения).
С dx
Вычислить интегралы: 1) \=—, „, ,_.
j (о* + 1) у х
I
Указа ни е. Представить х —(ухJ, взять и = у х\ и! ——у=.
С cos * dx
2) a2 -f 62sin2* • Указание: и2 = Ъ2 sin2*; и = Ъ sin *; и! —
= Ъ cos*. Умножить и разделить подынтегральную функцию на Ъ.
гт—г- Указание: числитель и знаменатель дроби
умножить на sec2*. Подынтегральная функция примет вид
-j-j-2—ц-r (учтено, что sec2* = tg2*-j- 1).
. 2 ¦¦ Указание: числитель и знаменатель умножить
на cosec2A:. В знаменателе заменить cosec2 x = ctg2 x + 1.
Ответ. 1) ylfarctg |Л? + С; 2) 1 arctg (| sin x) + С;
Теперь выполним упражнения, связанные с формулами C, 6)
и C, 7).
Напомним еще раз построение этих формул: числитель дроби
есть производная от первой степени той функции, которая в
квадрате стоит под корнем в знаменателе.
$6

Задача 3,7. Вычислить интегралы: 1) / = \
Решение. 1) Здесь сразу можно применить формулу C, 7),
полагая, что а2 = 5; а = У~5. Получаем / = arcsin-4=^ + С.
2) Здесь также формула C,7) может быть применена сразу:
а2 = 10; а = VTO, a / = arcsin-4=- + С.
3) Применить формулу C, 7) здесь нельзя, так как н2 равно
не х2, как в двух предыдущих примерах, а 2х2. Поэтому надо
применить формулу C, 6), полагая и2 = 2д^ = (уЛ2д;J; и = ]/л:.
Числитель дроби подынтегральной функции должен быть равен
и' = V 2. Но так как У2 в числителе не содержится, то мы ум-
умножим числитель на У~2, а чтобы выражение не изменило своей
величины, и разделим его на ]/2. Подынтегральная функция
перепишется в виде
а 4= • /-^ а / = L
а / = -Larcsinl/I* + С.
ад2' /2 V 3
4) Здесь н2 = 8х2; «2 = B^БJ; и = 2^; u' = 2VJ. Для
того чтобы можно было применить формулу C, 6), надо, чтобы
числитель дроби в этой формуле был равен производной функции и,
т. е. 2]/2. Умножим и разделим подынтегральную функцию на
это число и получим
1 1 2/2"
Теперь уже формулу C, 6) можно применить. Постоянный
множитель —-=. вынесем за знак интеграла, получим
/ = • " <¦ dv = _i_ arcsin ±^ + С
2/2 )y7-2V2x* 2/2 /7
а2 = 7; а =
Задача 3,8. (для самостоятельного решения).
Г* rf ^\ P
Вычислить интегралы: 1)
3)
/l9-17x2'
37

Ответ. 1) -4=arcsin^~^- + С; 2) y-arcsin^x + C;
.„V'Tix , n
Задача 3,9. Вычислить интегралы:
l> J/7-3sin2* J/ll5tg2*
dx
4) /= f dX
2*' J xV\b-l\n4 '
Решение. 1) Здесь функция «2 = 3sin2>;, « = K3sinx, ее
V
производная и' = V
Для того чтобы числитель дроби в подынтегральной функции
был равен и', умножим его на У^З, а чтобы^ дробь не изменила
своей величины, ее надо и разделить на У^З. Представим_подын-
cos х 1 К 3 cos х
тегральную функцию в виде -
щ
Теперь числитель второй дроби содержит производную функции
u = yr3s'mx, и формула C,6) может быть применена
7; а = К7; ы = 1^3 sin *
2) Этот пример решается так же, как и предыдущий:
us = 5 tgax; и = yTTtgx; и' = /5 sec2 x.
Числитель подынтегральной функции надо умножить на ,
чтобы он стал равен и'. Деля одновременно на У~Ъ, для того
чтобы не изменить величину подынтегральной функции, преобра-
ауем ее к виду
sac"* 1/5sec2 x
ig xf
Применяя теперь формулу C,6), получим
I = -7=. I -- ' sec ^-— dx = -p= arcsin ¦ ¦ _P -j- C.
aa = 11; a =

3) Представим подынтегральную" функцию в виде
1
A + х*) /6-5arctg2*
Здесь «2 = 5 arctg2 х; и= У"Е ardgx; и' —
Для того чтобы числитель подынтегральной функции стал равен
и', его надо домножить на ]/5. Если это сделать и одновременно
разделить на У~Ъ, то подынтегральная функция не изменит своего
значения и запишется так:
VT
A + *2)/6-Б arctg»х
Теперь на основании C,6)
р
1 1+*** , 1 arcsin /5-arctg,
/5 J Кб -(/5 arctg *J ^5 ^ VT у^
a' l_
4) Перепишем подынтегральную функцию в виде —
Полагаем и2 = 7 In2*, тогда « == К7 In х, и' "= Vi • — • Чтобы
получить в числителе и', умножим его на V~7, одновременно раз-
разделим на У~Т и подынтегральную функцию представим в виде
VT.L
ГУ 15 _
Теперь по формуле C,6) находим
п 1
,11 ^7 "х , 1 . /угТ\пх\ , ^,
/ = -т= I ^у = —г- ягг..«яп( г -г С.
(
_ \
а2 = 15; а^УТ V
5) Умножим и разделим на 1 — х числитель и знаменатель
дроби, стоящей под корнем в подынтегральной функции, и получим
л/"\Е1= -I Л
г 1+лг У
'-*)('-
(( —хJ = 1 — х, так как предполагается, что — 1 < х < 1).
Теперь / = f ^i^^rfx \ JO [^
V\-x* J/l-
x2
= arcsin х + У 1-х2 + C.
Применяем
формулу A,31)

Задача 3,10 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) \ ^'х~' ^ = dx; 2) 1 '.. ~ *\г-dx (см.
указайие к предыдущему примеру);
3) Г sin* Ну- 4) Г / Х dr- 5) Г *' dx;
У Ь — б cos2* 1/5 ¦>** I К 4 — 1"
-. f sin 2л: , „ f sh л: ,
6) \ , — <ix; 7) \ , =ufx.
У J 1^5-3 sin" J/l-15ch2A:
Указания. В первом примере: ~
/7 —
/7 - 2хг'
Каждая из этих дробей может быть легко проинтегрирована:
первая — по формуле A,31), вторая — по формуле C,6).
В шестом примере: «2 = 3sin4*; и = ]/3s'm2x; и' = j/3sin2x
2) -^arcsin^p+lKe^
- г_и.^о.„ о +С; 6) -Jzarcsirp—уг=—\- С;
3|АЦ 2 ]^3 }^5
7) ^=
2. Упражнения в применении формул A,23) и A,24)
Как и раньше, преобразуем эти формулы к виду, который
более удобен для их применения в практике. Получим формулу
A,23) в более общем виде. Если функция и есть функция неза-
независимой переменной х: и = и (х), то du = u'dx. Тогда вместо фор-
формулы A,23) получим
«' л • 1„ 1 + и
1-й
+С, C,8)
а формулу A,24) преобразуем к виду
Отметим построение этих формул: числитель подынтегральной
функции есть производная функции и, квадрат которой нахо-
находится в C,8) в знаменателе, а в C,9) — в знаменателе под квад-
квадратным корнем.
40

Обобщение формулы A,23) состоит в том, что знаменатель
Дроби 1 — и2 заменен на а2 — ц2
и' . 1
—-z-dx=7?
Теперь можно применить формулу A,23),
так как числитель содержит производную
функции, квадрат которой находится в зна-
знаменателе
и окончательно
Си' 1
>2-«2 2a
а— и
с.
C,10)
Так как под знаком логарифма стоит абсолютная величина
дроби
j~^ . то> не изменяя величины этого выражения, его
" , и тогда формула C,10)
можно записать и в таком виде:
перепишется в виде
а2,—
i
и + а
и — а
с
C,11)
С и'
Укажем также формулу для вычисления интеграла \ 2__ 2 dx:
и -\- а
j
Итак, окончательно
1 ,
2а
и —
и -f
• о
- а
и
и
— а
f с.
c.
C,12)
Теперь приступим к упражнениям.
Задача 3,11. Вычислить интегралы: 1) /г = \б_ г; 2) /г =
4, ,.=j
=1
dx
¦V+17
; 5) /6 =
— 14"
41

Решение. 1) Здесь и2 = х2, и = х, и'=\. Числитель содер-
содержит и' — производную функции и, значит, формула C,10) может
быть применена. Учитывая, что а2 = 5, а = J/5, получаем
/х = -4= In
1 2/5
2) При решении этого примера следует учесть, что и'1 = 9х2;
и = Зх; «' = 3.
Числитель подынтегральной функции не содержит и'. Умно-
Умножим и разделим подынтегральную функцию на 3 и запишем, что
If 3
'2 = -q-\t—?u&dx, и = Зх. Теперь применим формулу C,10) и,
учитывая, что а2 = 7, а = J/~7, найдем
_[ 1
3
— "тг • .— 1П
2/7
6/7
In
/7+3-*
, 3) Этот пример отличается от предыдущего тем, что здесь на
первом месте стоит в знаменателе не квадрат постоянной вели-
величины, а квадрат функции и. Поэтому должна быть применена
формула C,12): и2 — 5х2; и = ]/5х. Ее можно применить в том
случае, если числитель будет содержать множитель и' = }fb. Этот
множитель получим, умножив подынтегральную функцию на|/
и одновременно, чтобы не изменилась ее величина, разделив на
У5. Делая это и применяя формулу C,12) с учетом, что Ф — 7;
а — У7, найдем
1 С /б" 1 1 ,
2/35
2/7
/57-/Г
+ VT
с =
с.
4) Этот пример решается сразу по формуле C,9): и = х, а
множитель и' = 1 в числителе есть.
Поэтому /4 = In | х + Ух2+_17\ + С. _
5) Здесь и2 = 19х2; и = /I9x, и' = }Л9.
Для применения ^формулы C,9), надо чтобы в числителе был
множитель и' = У19.
Умножим и разделим подынтегральную функцию на У~19.
1 С /1э
Тогда /5= Г7=\'.,;—- ^. По формуле C,9), учитывая,
что ы' =
найдем
'б== ^т^" In
- 141
С.
42

Задача 3,12 (для самостоятельного решения).
р Ых р dx p dx
Вычислить интегралы: 1) и — з^; ^_..I1 _е^а; 3) J ю*» — f>
а\ f dx ^ С 9dx ^ Г ах
Ответ. 1)
4/6
Применена формула C,10):
u=/3Jt; a2 = 8|_
0 = 2/2
2)
2/66
— In
/Н—
—/7
+\С. 3) -4= In -= т.
\ ' 2/70 /Юл:+/:
Применена формула C,12):
и= /Юг, u'=/lO; a =/77
4) ^1п|2х +
I Применена формула C,9)
ЗТГ | + С; 5) JLln|К5л: + ^7 + 5x2l +C;
6) -±
— 12) +С.
Задача 3,13 (для самостоятельного решения).
С dx С x^dx
Вычислить интегралы: ln-ra г! 2) \гз—о-в.' 3)
Ответ. 1) X
2ас'
ах — с
ах + с
+ 2/3
3) _1,
С;2)±\п
; 4) ^
Проведенные упражнения позволяют предложить для само-
самостоятельного решения задачи на применение формул A,25) — A,28).
Перепишем эти формулы в виде, который более удобен для их
практического применения. Полагая в них, что и — и (х), du —
— u'dx, получим вместо формул A,25) — A,28) соответственно:
\ sh и • u'dx = ch и -t- С;
\ ch и • u'dx — sh и 4- С;
C,13)
C,14)
C,15)
C,16)

Задача 3,14 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) j sh2xdx; 2) С ch^dx; 3) J A0x
+ 7) sh (Sx2 + 7х + 9) dx; 4) • j ch (8x + 7) tfx; 5) j —^ dx;
"sh2(L*+) • 7) j sh4xchxdx; 8) j cthxdx; 9) j thxdx,
10) j x th хг dx.
6) \
Ответ. 1) g-ch2* + C; 2) 3sh J + C; 3) ch Ex2 + 7x + 9) + C;
4) i-sh(8* + 7) + C; 5) 2ch|/^ + C; 6) - i cth Cx2 + 5) + C;
7) i-shBA; + C;8)ln|shA:H-C; 9) In | ch * | + C; 10) jln|chx2| + C.
i-shA; + C;8)ln|shA:H-C; 9) In | ch * | + C; 10) j
Этим заканчиваются упражнения, связанные с непосредствен-
непосредственным применением таблицы основных интегралов.
ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Замена переменной в неопределенном интеграле (метод
подстановки). Интегрирование по частям.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Метод подстановки. (Два правила)
Если интеграл / = j f (x) dx не может быть вычислен непо-
непосредственно по основным формулам A,7) — A,28), то введением
новой независимой переменной во многих случаях удается пре-
преобразовать подынтегральное выражение / (х) dx. При этом интеграл
приводится к табличному или к такому, прием вычисления ко-
которого уже известен. Замена переменной интегрированит?! и состав-
составляет существо метода, называемого методом подстановки. Укажем
два правила подстановки.
1) Независимую переменную заменяют по формуле.
*=?(*), D,1)
где <р (г) — дифференцируемая функция.
После этого определяют dx = ср' (г) dz, а интеграл J / (x) dx
приводят к виду / = J/[cp(z)]!p' (г) dz. Цель подстановки будет
достигнута, если окажется, что вычисление этого интеграла проще,
чем исходного. В результате интегрирования получится функция
независимой переменной г. Чтобы возвратиться к переменной х,
44

надо из уравнения D,1) определить z через х и подставить это
значение вместо z в найденную функцию.
Общего правила, которое указывало бы, как выбрать функцию
ср (г) в D,1), не существует. Умение выбрать эту функцию дости-
достигается опытом. Однако для многих типов интегралов подстановка
D,1) известна и нами будет в соответствующих местах указана.
Обратим внимание читателя на то, что, пользуясь подстановкой
D,1), надо найти множитель dx.
Заметим также, что функция ср (z) и D,1) должна иметь обрат-
обратную. Это необходимо для того, чтобы из подстановки D,1) можно
было определить z как функцию х.
2) Полагают, что
ф (х) = г. D,2)
Эта подстановка отличается от предыдущей тем, что в D,1)
сама независимая переменная х заменялась новой функцией ср (z),
а здесь не независимая переменная х, а ее функция <]» (х) заме-
заменяется новой переменной г. Из уравнения D,2) находят dx. В резуль-
результате этой подстановки подынтегральная функция заменится другой
/ (*) dx = а) (г) dz.
Подстановка D,2) достигнет цели, если вычисление интеграла
I — \ ш (z)dz может быть выполнено проще, чем исходного. После
интегрирования получится функция переменной z. Для того
чтобы возвратиться к переменной х, надо подставить в получен-
полученную функцию из D,2) <]» (л:) вместо z.
И здесь умение выбрать функцию <]» (х) так, чтобы вычисление
интеграла упростилось, достигается большим числом упражнений.
Для определения класса интегралов целесообразные подстановки
вида D,2) будут указаны.
Упражнения этого практического занятия не имеют целью
указать подстановки для вычисления определенного класса инте-
интегралов, а предназначены только для приобретения навыков в при-
применении указанных двух правил подстановки.
Упражнения в применении первого правила подстановки
Задача 4,1. Вычислить интеграл /= \ Х1/ 2 = при помощи
j ух п
подстановки х — j.
Решение. Здесь применяется правило первое. Подстановка
имеет вид D,1). Сразу находим, что dx——%dt и преобразуем
подынтегральную функцию
а-\Гаг ,
45

Поэтому
J /l-?
Чтобы перейти к переменной х, надо из подстановки х = -г
выразить f через л;: * = р и тогда
/ = — - arcsin j + С = — arccos -j + С.
Мы здесь заменили — arcsin — на arccos — не потому, что они
равны между собой, а на основании следующих соображений:
из тригонометрии известно, что
arcsin а + arcos а = -j» "J — arcsin а = arccos а. D,3)
Считая, что С = — -^ +СЬ получим
_iarcsin? + C = 1^-1 arcsin ? + С1 =
= \ ("if ~~ arcsin т) + Cl = 7 arccos 7 + С'
а Сх мы снова обозначим через С, отбросив у Сх индекс.
Ответ был преобразован путем вьщеления слагаемого — • -| из
произвольной постоянной. Следует иметь в виду, что за счет тож-
тождественного преобразования ответа, а также в связи с возмож-
возможностью представить произвольную постоянную интегрирования в
разных видах ответы при вычислении неопределенных интегралов
могут получаться различные.
Замечание. Следует иметь в виду, что можно было сразу
написать: \ - - = — arccos t -f- С, так как (arccos) =
1
Vl t
С dx
Задача 4,2. Вычислить интеграл / = \ , при помощи
J у Чах — х2
подстановки х = а A — f).
Решение. Здесь опять-таки применяется правило первое.
Подстановка имеет вид D,1\.
Находим, что dx = — ац^ подставляя под корень х = а A — t),
имеем
У2ах — х^ =
46

и тфгда
( . _ С —adt а Р dt _ a
' - 3 MFT^^ й1 3 Fr^F ~ ~R1arccos t + с =
= ± arccos t + C.
Верхний знак надо взять при а > 0, а нижний —при а<0, так
как | а | = а, если а > О, и | а | = —а, если а < О.
Чтобы возвратиться к старой переменной, надо выразить /
через х. Из х — аA — t) следует, что t= 1— — = а~х , а по-
потому / = ± arccos -~х -\-С.
Вычислим два интеграла, которые нам часто будут встречаться
в дальнейшем: 1) j sin2M<2u и 2) j cos2udu.
Из тригонометрии известно, что sin3 и = ^ , cos2 и =
1 + cos 2«
-, поэтому
¦1) Г sin2 udu= С ^^-ofu =yf(l-cos2u) du =
= — /« — у sin 2^ + С = у (ы — sin и cos гЛ -f С;
= Y (« + т s'n ^w) = — (" + sin и cos ы) + С.
Выпишем для ссылок полученные результаты:
f sin3 udu = у (ы — sin и cos ы) + С) D,4)
\ cos2 udu — —{и + sin«cos«) + C. D,5)
Задача 4,3. С помощью подстановки je = asin^ (так называе-
называемая тригонометрическая подстановка) вычислить интегралы:
Решение. 1) Из подстановки
x = asin* D,6)
следует, что -dx — a cos tdt; ]/ a2 — х% = Y^ —. «а sina t —_
= ]/ а2 A — sin21) = Y a% c°sa t = a cos t, a потому
/x = \ a cos t (a cos tdt) = a3 \ cos2 tdt = as у (tf 4- sin * cos tf) 4- С
Применить формулу I
D.5) I
47

Чтобы возвратиться к переменной х, надо из D,6) определить
t sin/, cos г: sin/ = —; t = arcsin ^-\ cost — V^ — sin2/ =
U a
Окончательно
/i = -j Уа?-~хг + y arcsin j + C. D,7)
2) Из D,6) следует, что в /2 подынтегральная функция
х а sln (выше было вычислено, что У а?—х2 = acost),
у а* х* а cos '
а потому
/,=
a cos tdt = аг Jsin21 dt = аг -|- (t — sint cos 0 + C.
Применить
формулу D,4)
Возвратимся теперь к переменной х.
Подставляя значения t, sin t и cos t, найденные при вычисле-
вычислении /j, получим
= ? (arcsin-?_ JLi^ZEZ) + с,
ИЛИ
/2 = -| arcsin ¦? — у /аС^? + С.
Задача 4,4 (для самостоятельного решения).
При помощи подстановки х = sin^ вычислить / = \ 1/ ~ х dx.
Ответ. / = arcsinx + У\—хг + С.
Задача 4,5 (для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл /= г ^ при помощи подстановки
t
Указание, dx =
Но
C0ST= 2cos2T ^ 1+со»< ^ 1
. t . t t smt sin t '
sin i
48

значит,
l-ln(x + V 1 + х2) + С.
Задача 4,6 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) /, = [ * г— (подстановка х = z2)i
JEx+ 7) у х
2) 1Ъ — \ —г * ¦ (подстановка х =— ).
J л: у а2 — х» \ г I
/, =
2
Ответ. lJ^aret
Указание. Во втором примере после подстановки
=iL= = -±ln(az + /ЛГ=
Задача 4,7 (для самостоятельного решения).
„ с e~dx
Вычислить интеграл у с помощью подстановки х =ь
= 2Inz.
Указание. 6* = e21nz = elnz! = z2; dx = ^.
Ответ. 21п(ет + ]/"е*—1)+С.
Упражнения в применении второго правила подстановки.
Задача 4,8. Интеграл / = \ —, вычислить подстановкой
J х У х2— а2
-a2 = Z. D,8)
Решение. Этот интеграл был уже вычислен нами в задаче
4,1. Указанная новая подстановка имеет вид D,2): ф (л:) = г. Подын-
Подынтегральное выражение —-=== должно быть выражено через новую
переменную г. Из D,8) следует, что
х2 — а2 = г2; хг = а2,+ г2; 2х dx = 2г dz; xdx = zdz.
Деля обе части этого равенства на х2 и заменяя в. правой части
равенства х2 на а2 + г2, получим
dx zdz , dx zdz dz
Теперь
dz
49

Переходим к переменной х: с помощью D,8) получим оконча-
окончательно ' '
Этот ответ отличается от полученного в задаче 4,1. Однако
это только кажущееся различие. Фактически же ответы тожде-
а Л[хг а2
-ственны: легко показать, что arccos — = arctg • Здесь мы
еще раз обращаем внимание читателя на возможность различных
ответов при вычислении одного и того же интеграла.
Задача 4,9 (для самостоятельного решен-ия).
Вычислить интеграл / = I — подстановкой Ух + 2 = t.
Решение. Из подстановки Ух + 2 = t следует, что х + 2 =
-= t2; х = Р — 2; dx = 2tdt, а потому- подынтегральное выражение
dx- ltdt
Подставляя сюда t = Ух + 2, окончательно получим
Задача 4,10 (для самостоятельного решения).
. Вычислить интеграл /= \ ?—= подстановкой 1 +yr"jc = y.
Указание. У~х = v— 1; x=(v— IJ; dx = 2 (у— 1) d.V,
Ответ. _/ = 2[l+Vrx — In|l+)/x|]+C=2
1п|1+}^|) + С = 2(К1-1п|1+К1|)+С1,где
Задача 4,11. Вычислить интеграл / = \ х при помощи
J у а2— л:2
подстановки
У а2 — х2 = f (а — х). D,9)
Решение. Этот интеграл нам уже хорошо известен: / =
arcsin — + С. Мы предложили этот пример для упражнения,
а также для того, чтобы показать еще раз, что вычисление интег-
интеграла может приводить к различным по форме ответам, в зависи-
зависимости от того, какой метод применен при его вычислении. Из
50

указанной подстановки получаем а4 — х* = t2 (а — хJ. Сокращая
теперь на а — х, имеем a + x = t2{fl— х), отсюда
* — 1 , Aatdt . , 2а*
Так как arcsin —+ -у = 2 arctg 1/ ^^ > то следует считать,.
что полученный ответ только формой отличается от уже извест-
известного, указанного выше.
Задача 4,12. Вычислить интеграл / = \-cosx *— (подстановка.
J V 6 — sin"*
i )
Ответ. / = arcsin (^=L) + С.
\V 6 /
Задача 4, 13 (для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл I ~ \~^ТТШ?~х (п°Дстановка ctgx = и)„
Указание. —cosec2 x dx = du; cosec2 x — 1 -{- ы2; sin2x =
-;—2. Подынтегральное выражение
dx du
3 + 4 sin2* 7+Зм2*
Ответ. / = ^= arcctg/j/Actgx'j + C.
Задача 4, 14 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) 1г = \ * а (подстановка tgx = z);
Sos«* (п°Дстановка 48* = г);
-—-/.... n „ (подстановка cigx = z).
sin л: У 4 sin2 x—9 cos2 x '
Указания. Во втором примере: ~- = dz; -^ = -.-.
cos2 х "*' sin* x A — cos2 xf'
C0S < - j + 2 , -4 x - Z4 - &+-0+1.
+
Подынтегральное выражение
dx
В третьем примере:
sin4 л: cos2 x \ z4 + z2
V4sin2A: —9cos2x sin2 л: "^4 — 9 ctg2 x
V 4 — 9z^'
51

Ответ, 1) Ix = ^L arctg *1| + C;
2) /2 = tgx-2ctgx--i-c
¦3) /8=-§-*
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
Этот метод, так же как и метод подстановки, который мы
¦только что разобрали, принадлежит к числу основных методов
интегрирования.
Формула интегрирования по частям записывается так:
j и dv = uv — j v du. D, 10)
Применение этой формулы предполагает, что в правой части
.интеграл j v du может быть вычислен легче, чем исходный ин-
интеграл.
Задача 4,15. Вычислить интегралы: 1) 1г = j xex dx; 2) /2 =
= J xsinxdx; 3) /3 = j Inxdx; 4) It = j arctg xdx; 5) /s =
= Jarcsinjcdx.
Решение. Для вычисления всех предложенных интегралов
применим формулу D, 10) интегрирования по частям. При исполь-
использовании этой формулы надо прежде всего установить, какая
функция принимается равной и и что относится к dv. Затем по
установленному выражению и надо дифференцированием найти
du, а по известному dv определить интегрированием функцию v.
Таким образом, для применения формулы D, 10) потребуется вы-
выполнить одно дифференцирование для определения du и одно
интегрирование для определения v. Следует помнить, что в состав
dv должен обязательно входить дифференциал независимой пере-
переменной.
. После этих общих указаний приступим к вычислению пред-
предложенных интегралов:
1) Ix = \xex dx = хех — Je* dx = xex — ех + С = ех (х — 1) + С.
и dv и v v du
U=x
dv —exdx
du = dx
v = ex
Замечание. При вычислении этого интеграла нецелесооб-
нецелесообразно брать и = ех; dv = xdx, так как в этом случае было бы
du = e*dx; v ~ ^-. Применяя формулу D,10), мы получили бы
х2 Г я2
¦xdx = ye* — j-j- ex dx.
52

Совершенно очевидно, что интеграл в правой части сложнее исход-
исходного. Из этого читатель должен сделать вывод, что выбор и и dv
не может быть произвольным. Он определяется требованием, чтобы
интеграл, к которому приводит формула D,10), был проще задан-
заданного.
2) /2 = I xsinxdx ——xcosx+[ cosxdx=—xcosx-f sinjc + C.
J u 7v uv J v du
U = X
dv = sin xdx
du =
V = —COS X
Здесь также надо иметь в виду, что если взять u = sinx;
dv = xdxt то мы придем к интегралу более сложному, чем дан-
данный.
Г* 1 f* dx {*
О} Л о — I 111 X С*Л — Л 111 Л ^^ \ Л ^7 ¦* **'* Л ^^ I ь*Л —— Л 111 Л ^"^
J ТлГ
и =
dv =
In x
dx
du
V
X
= X
4)
— х + С = х(\пх— 1) + С
arctg ^ dx = х arctg л; —
' 7j dv 2v
Лх =
и = arctg л:
dv = dx
dx
ti — x
x arctg x — y'11^ +
5) I arcsin xdx = x arcsin x —
dv ,,„
J
и = arcsin x
dv = dx
du=-
V = X
dx
= x arcsin x -f Vl — x2.
Задача 4,16 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегрированием по частям интегралы:
1) Ix = j xco&xdx: 2) /2 = j хъ In xdx;
О\ г С х arcsin х , ... Г\пх ,
3) 3=*\уТ=1? ^) h= \-rdx.
Указание. В третьем примере взять « = arc.sinjc; dv —
х dx
53

Ответ. 1) /, =«sinx
-,. 2) / — x —
lax
3) /3 = — ]/l— x2 arcsin х + x + C; 4) /4 = _-^i —-L +C.
Задача 4,17. Вычислить интегралы: 1) Ix = I ^—j—;
2) /2 = \ " s'a" *dx; 3) /3 = \ sinx/m
j cos л: j
'; 5) /, =
Aid*
1 In (arctg x) dx.
Решение. 1) Ix =
С*
— I tgjcdx = xtgx
J v du
и = x
dv ¦¦
dx
COS2X
du = dx
Применить фор-
формулу A,17)
2) /2 =
4- In I COS XI + С
и = In sin
л dx
cos2*
du = ctg x dx
= tgx • In sin x — j dx = tg л; In sin л; — x тЬС.
3) /3 = I sin x • In cos x dx = — cos x In cos x —
и = In cos л:
da = sin xdx
du — — tg я dx
v = — cos я
— I (—cos x) (—tg x dx) = — cos x In cos x — I sin x dx —
= — cos x In cos x + cos x + С = cos x(l — In I cos x I) + C.
4) /4 == Г " ;"; lx) dx = arctg x • In arctg x —
и —
do
In
arctg x
dx
1 + xz
du
1
~ arctg x 1
v — arctg
1
X
= arctg x • In arctg x — arctg x — arctg x (In arctg jc — 1) + C.
54

5) /5 = f ex In (<?* + 1) dx = е* In (e* + 1) — (V —— dx =
J J ^ T ' i
и = In (e* + l)
do =
dx
= e* In (<* + 1) — e* + In (e* + 1) + С = (e* + 1) In (e« + 1) — e* + C.
Задача 4,18 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы: 1) /х = j cos x- Ins'mxdx;
2) /,= J!^dr, 3) /, = Jsec2*- lntgxdx; 4)
5) j xenxdx.
Ответ. 1) sin x (In sin x—1) + C; 2) —x — ctg x In cos x + C;
3) tgx(lntg*— 1)+C; 4) —ctgx — ctgxlntgx + C;
5) le-(x-l)
Интегралы, для вычисления которых
интегрирование по частям
применяется несколько раз
Задача 4,19. Вычислить интеграл j (\nxfdx.
Ре ш ен»е. Интегрирование по частям применим дважды:
J (In xf dx = x (In xf — 2 j In x dx = x (In xJ — 2 (x In д; — j dx) =
ц = (Inxf \du = 2\ax — dx
dv = dx v = x
и = In x
dv —dx
du = —dx
V = X
•2)-f
Задача 4,20 (для самостоятельного решения).
Вычислить Jl/x(lnxJdx.
Указание. ы = Aпл:J; du =
з 3
;du = 2-^dx;
v — -j х У х.
Интегрирование по частям и здесь придется применить дважды.
3 з г з 9 1
Ответ, jxyx (lnxJ— -j lnx + -g- \+C.
Задача 4,21. Вычислить интеграл j (arcsin xJ dx.
Ответ, x(arcsinxJ + 2]/l — x2arcsinx — 2x + C.
55

Упражнения, в которых двукратное интегрирование
по настям приводит к исходному интегралу
Задача 4,22. Вычислить интеграл / = j е"х cos bx dx.
Решение. В этом примере двукратное применение интегри-
интегрирования по частям приведет к исходному интегралу
= \ e?xcosbxdx = -r i
' 0
— -г \
е°х sin bx dx =
dv = cos bx dx
du = i
¦ у sin bx
Вторично применяем инте-
интегрирование по частям:
и = е"~ \а.
dv = sin bxdx
= aeaxdx
v = —-?¦ cos bx
— -r eax sin bx — ¦? — -r e"" cos bx + -?• \ e<" cos bx dx].
b b [ b b J J
Таким образом, двукратное применение формулы интегриро-
интегрирования по частям привело нас к исходному интегралу, который
нами вычисляется.
Раскроем скобки в правой части:
= —eax sin
^efx cos bx
— p \ efx
cos bx dx.
Это вычисляемый ин-
интеграл, который мы
обозначили буквой /
Таким образом,
/ = i-e + p ?
Мы получили уравнение с неизвестной величиной /.
Перенося последнее слагаемое в левую часть уравнения,
найдем
/ + g / = 1 е" (sin Ьх + |- cos 6 А
Вынесем в левой части этого уравнения / за скобку:
*+Ь* 1 _,[ . , , а , \
е° sin 6х + х cos Ьх .
о I
1 _,[ .
= -т- е°л sin
о \
7» = -т
о* о
Отсюда следует, что искомый интеграл равен
I = ^Fi(bsinbx+acosbx)+C. D,11)
Аналогичную задачу предлагаем для самостоятельного решения.
5С

Задача 4,23 'для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл /= ] е?х sin bx dx.
Ответ. / =-^j2(asinbx— bcosbx) +C. D,12)
Задача 4,24 (для самостоятельного решения).
Применить формулы D,11) и D,12) к вычислению интегралов:
f*sin ? + cos ¦?
1) /х = \e**cos3xdx; 2) /2 = Y^ dx; 3) /3 = \ —-3 dx.
J J e J V?
^ 2sin2*~3^cos2jc;
Ответ. 1) -|^Bcos3A; + 3sin3x)+C; 2)
sin|-5cos|
Задача 4,25 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) 1г — j sin(lnx)dx и 2) /2=jcos (\x\x)dx.
Указание. Применение дважды к каждому интегралу фор-
формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу.
Например,
/х = х sin (In x) — j cos(\nx)dx = xsin (\nx) — [-^cosO11*) -f
Снова применить
интегрирование
по частям
+ j sin (In x)dx].
| Исходный интеграл |
Ответ. /1== -j [sin (In x) — cos (In x)] +C; /2 = -^ [sin (In x) +
+ cos(lnx)] +C.
ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Простейшие дроби. Разложение рациональной дроби на
простейшие.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Простейшие дроби. Простейшими (иначе элементарными) дро-
дробями называются дроби вида:
4 ^;2) («>Ol
57

где А, В, а, р и q — действительные числа, а трехчлен хг +
+ рх + Я имеет ¦ комплексные корни, т. е. не раскладывается на
действительные множители первой степени.
Рациональные дроби. Дробь
Р-^ E I)
называется рациональной, если ее числитель и знаменатель —
многочлены (предполагается, что коэффициенты многочленов дей-
действительные числа).
Дробь E,1) называется правильной, если степень многочлена
Р (х), находящегося в числителе, меньше, чем степень много-
многочлена Q (х), находящегося в знаменателе.
Если же степень числителя равна степени знаменателя или
больше ее, то рациональная дробь E,1) называется неправильной.
Примеры. 1) Дробь -5-7-3 г—правильная (степень числи-
теля меньше степени знаменателя).
первой степень числителя равна степени знаменателя, а во вто-
второй степень числителя больше степени знаменателя.
Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить
целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя
на знаменатель по правилу деления многочленов.
Например, неправильная дробь х-^ х + х +
представлена так:
_ х4 — Зх2 + 5х + 4
хь 8х3 4- 5х2
может быть
х2 + 8х + 56
8х3 —64х2
56х2 — 35л; + 4
56х2 —
413х —276
и, таким образом,
*ЗЁ
Целая часть
(многочлен)
Правильная
дробь
Всякая неправильная рациональная дробь может быть пред-
представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поэтому интегрирование рациональной дроби E,1) всегда мо-
может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной
дроби,
58

Корни многочлена. Если при х = xt многочлен
Q (х) = аохп + а^-1 + а2хп-°- + ... +а„-1х + ап E,2)
обращается в нуль, т. е. Q {х{) = 0, то число Х\ называется кор-
корнем многочлена.
Разложение многочлена на множители. 1. Если числа х\, xi,
х3 ..., хп являются корнями многочлена E,2), то этот многочлен
может быть разложен на множители по формуле
Q {х) = ао(х — х\) (х — хг) (х — хъ) ... (х — хп). E,3)
2. Многочлен степени п не может иметь больше, чем п раз-
различных корней.
3. Корень многочлена хх называется простым, если в разло-
разложение E,3) множитель х — хх входит один раз. Если же этот
множитель в формулу E,3) входит а, раз, то корень хх называется
корнем кратности ах многочлена E,2).
Если корень Х\ имеет кратность аь корень хг — кратность а2,
а корень хр — кратность лр, то формулу E,3) можно заменить
такой:
Q {х) = а0 (х — х,) (х — xj- ... {х — хр)*р, E,4)
причем а.г -\- а2 + ... + ар = п.
4. Если коэффициенты многочлена E,2) —действительные
числа, а его корнем является комплексное число а -\- Ы, то его
корнем будет также и комплексное число а— Ы, сопряженное
с а + Ы.
Если в „формуле E,3) перемножить множители х — (а + Ы)
и х — (а—?н), соответствующие этим корням, то получится квад-
квадратичный множитель вида xz-\-px + q, где р и q — действитель-
действительные числа.
В случае, когда а + Ы — простой корень многочлена E,2),
то и а — Ы — также простой корень этого многочлена.
Если же а + Ы — корень кратности k многочлена E,2), то
и корень а—Ы имеет такую же кратность. В этом случае паре
этих комплексных сопряженных корней в E,3) будет соответство-
соответствовать множитель (х2 + рх -\~ q)k.
Если многочлен E,2) имеет не только действительные, но
и комплексные корни, то вместо формулы E,4) имеет место фор-
формула
Q (х) = а0 (х - *,)•' (х — хг)<" ... (x2+Plx + q^ (x2 +
+ Ра* + q*)kt •>. (х2 -f Pix + qt)kl, E,5)
причем
«i + a2 + • • • + 2&! + 2k2 + ... +2ki-n.
Квадратичные множители, входящие в эту формулу, не имеют
действительных корней и на множители первой степени с действи-
действительными коэффициентами не разлагаются.
59

Теорема (о разложении рациональной дроби на простейшие).
ПуСТЬ ^-^ —.правильная, несократимая рациональная Дробь, а ее
знаменатель после разложения на множители имеет вид
Q (х) а0 (х — xtf* (х — х3)" ... (х2 + plx + fc)*« (х3 + р2х +
где хъ х2 ... —действительные числа, а квадратичные множи-
множители не имеют действительных корней.
Тогда дробь qjA может быть представлена в виде суммы про-
простейших дробей. В этой сумме каждому множителю вида (х — х^у
в знаменателе, где xt — любой из действительных корней, ар —
его кратность, соответствует выражение вида
а каждому множителю (х2 -\-px-\-q)r знаменателя — выражение
вида
+C, , В2х + Сг В3х + Ся . Вгх + С
q)r (x* + px + q)r-1 (а;2 + рх + q)r~2 '" Xs +
(x2+px+q)r (x* + px + q)r-1 (а;2 + рх + q)r~2 Xs + рх + q
E,7)
где Л,, Л2, ... , Ар, Въ Вг, ... , Вг, Clt С2 ... , Сг—действи-
Сг—действительные числа, подлежащие определению.
Теперь мы на нескольких примерах укажем два наиболее рас-
распространенных способа определения коэффициентов, стоящих
в числителях тех простейших дробей, на которые разлагается дан-
данная рациональная дробь. Это способ неопределенных коэффициен-
коэффициентов и способ задания частных значений.
Задача 5,1. Разложить на простейшие дроби рациональную
хг + 2х — 4
Решение. Применим способ неопределенных коэффициентов.
Общий вид разложения будет таким:
ха+2х—4 _ А1 , А2 Аз_ Ах
"г „ о ~г vлл г" ¦
(х — 1) (х — 2) (х+ 3) (х— 4) л; — 1 г л: — 2 ' *-|-3 ' х — 4 '
Умножим обе части этого равенства на знаменатель левой
части:
х3 +2х — 4 = Ах{х— 2)(х + 3)(х — 4) + Л2(х— 1) (х + 3) (х— 4) +
+ Л3 (х- 1) (х- 2) (х-4) + Л4 (х- 1) (х-2) (х + 3). E,8)
Левая часть равенства должна быть тождественно равна пра-
правой, т. е. равенство E,8) должно выполняться при любом значе-
значении х. Это будет иметь место только в том случае, когда коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства
будут между собою равны.
60

В правой части E,8) произведем умножение двучленов и по-
получим
хъ + 2х— 4 = Ах{х3 — Зх2 — 10х + 24) + А2{х3 — 2х? — 1\х + 12) +
Это равенство можно переписать иначе, расположив многочлен:
в правой части по убывающим степеням х:
х*+2х — 4 = {At + Л2 + А3 + Л4) х3 + (— ЗА1 — 2А2 — 7А3)х2 +
+ (_KM,—11Л3 + 14Л3 —7Л4)х+B4Л1 + 12Л2-8Л3+6Л4).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой
и правой частях последнего равенства, получаем систему четырех
уравнений первой степени с четырьмя неизвестными:
At+ Л
— М1— 2Л
2 -г- Лзтл4=и
— ЮЛ! — ИЛ, + 14Л3 — 7Л4 = 2
¦ 8Л3+6Л4 = —4
Xs
х
х°
(свободный
член)
Решив эту систему, получим:
А -_!• А - —!• Л --L- л -10
1 ~ 12' ^2 — 5' 3 140 * л«~21*
Теперь определим числа Л^ Л2, Л3, и Л4 вторым способом —
способом задания частных значений.
Так как равенство E,8) — тождество, то оно сохраняется при
любом значении х. Будем давать х такие значения, чтобы в пра-
правой части все члены, кроме одного, обращались в нуль. Такими
«выгодными» значениями являются, очевидно, корни знаменателя,
т. е. значения х= 1; х = 2; х=—3; х = 4.
При х = 1 в правой части E,8) все слагаемые, кроме первого,
обратятся в нуль, левая часть равенства хг + 2-х — 4 при х = 1
будет равна — 1, и мы получим
-1 = ЛХA-2) A+3) A-4); -1 = 12Л1; Л1==-^.
При х—2 левая часть равна 4, а в правой части E,8) все
слагаемые, кроме второго, будут равны нулю:
4 = Л2 B—1) B + 3) B —4); 4 = — ЮЛ2; Л2 = — -|.
При х—— 3 в правой части E,8) все слагаемые, кроме тре-
третьего, равны нулю:
- 1 = Л3(—3—1) (-3-2)(—3-4); - 1 - - 140Л3; Л3-щ.
При х = 4 в правой части E,8) все слагаемые, кроме четвер-
четвертого, обратятся в нуль, и мы будем иметь:
20 = Л4D—1) D —2) D + 3); 20 = 42Л4; Л4 = -^ .
til

Заметим, что каким бы способом ни вычислялись неизвестные
коэффициенты, мы всегда получим для них одни и те же значе-
значения, так как разложение рациональной дроби на простейшие может
быть осуществлено единственным образом.
Итак, заданная дробь
х2 + 2х — 4 1 5
(х— 1)(х — 2)(лг+3)(лг — 4) 12(х—1) 5(лг —2) +
140 (х + 3) ' ' 21 (х — 4) *
Укажем, что способ задания частных значений х для опреде-
определения неизвестных коэффициентов особенно удобен в том случае,
когда знаменатель дроби содержит только действительные мно-
множители первой степени, среди которых нет равных.
В других случаях способ задания частных значений также
дает сокращение вычислений, так как позволяет избежать реше-
решения системы уравнений с числом уравнений, равным числу неиз-
неизвестных.
Однако мы рекомендуем учащемуся овладеть этими двумя
способами.
Задача 5,2 (для самостоятельного решения).
Xs + 2
Рациональную дробь --— , _9,Т„—qWy , и разложить на
уХ V) \Х ' ?,) \Х OJ \Х —J- lj
элементарные. Решение провести двумя способами.
о __3 10 29 1
итвет. 4(х—1) 3(х— 2) + 8(х — 3) 24(х+1)*
Задача 5,3 (для самостоятельного решения). •
Разложить на простейшие дроби следующие рациональные
дроби (применить два способа):
Указаний: знаменатель разложить на множители.
.„. 2л:2+ 41* — 91 . _ Зл:» — 24х2 - 41х + 20
(х— 1)(*+3)(х—D' 6> (х-\-1)(х-\-2)(х-3)(х-2)'
5х"-25х + 26 . -. Их + 40 .
ix—\)(x— 2){х — 3)' > 4(аг —4)(х + 2) '
3x^ + 23*+ 28
2)(х+3)(х-4)'
Ответ. 1) -^-9 + -4i; 2) *_ 7 +
х— 2^л; + 4' > х—1 х + з'Т'х — 4'
Зч 17 , 9 119 67 .
' 6 (х + 1) ' 10 (х + 2) 10 (х — 3) ' 6 (х — 2)'
3 4 9 7 ' *3
х—\^х — 2 х—3' ' 2 (х — 4) 4 (х + 2) '
1 2,4
л- 4 *
62

Задача 5,4 (для самостоятельного решения).
Представить в виде суммы многочлена и простейших дробей
рациональные дроби:
. За3 — Юл:2— Наг +21. „ x*—xa — 9xi — Юх — 14.
Ч ха_5х+4 ' > х* -2х -8
оч 30л* + 90л:4 + 165л:3 + 341л:2 + 271* + 30
Зл:2 + 2л:
Указание. Выделить целую часть, согласно объяснению на
стр. 60; знаменатели разложить на множители.
Ответ. 1) Зх + 5-^Lj + Jb;
2) X2 + Х + 1 +^+Г2~х~=Ц>
3K0** + 105 + ^
Задача 5,5. Разложить на простейшие дроби рациональную
- х3 — б*2 + 9л: + 7
Дробь (ж_2)^_5)-
Решение. Разлагая дробь на простейшие, получаем согласно
формуле E,6):
хэ-6х2 + 9л:+7 At . At . A, . At
(х — 2K (х — 5) = (л: — 2K "*" (х — 2J "^ * — 2 "*~ л: — 5"
Умножим обе части этого равенства на знаменатель левой
части:
х3 — бх2 + 9х + 7 = Л х (х — 5) + А, (х — 2) (х — 5) +
+ Л3(х-2KСх-5)+Л4(^-2K. E,9)
Для определения неизвестных коэффициентов Аъ А2, А3 и Л4
применим второй способ — способ задания частных значений в соче-
сочетании со способом неопределенных коэффициентов. Напоминаем,
что написанное равенство является тождеством: оно остается вер-
верным при любом значении х. Принимая х = 5 и х = 2, мы сможем
просто определить. два коэффициента. При х = 5 имеем в левой
части 27, тогда 27 = Л4E — 2K; 27 = 27Л4; Л4 = 1.
При х = 2 получаем в левой части 9.
9 = ЛХB — 5); 9 = —ЗЛ,; А1 = — 3.
Теперь сравним коэффициенты при х3 в левой и правой части
тождества E,9). В левой части коэффициент при х3 равен 1,
а в правой, если выполнить в ней возведение в степень и умно-
умножение, коэффициент при х3 равен А3 + Л4. Таким образом, Ля+-
+ Л4 = 1. Но так как Л4 = 1. то Л3 = 0.
Сравним теперь свободные члены в левой и правой части E,9).
В правой части свободный член равен —ЪАг + 10Ла — 20Л3—8Л4,
а в левой 7, т. е. имеет место уравнение
—ЪА1 + 10Л2 — 20Л3 — 8Л4 = 7.
63

Подставляя найденные' значения Л1( Л4 и Л3, получим для
определения А^ уравнение
15 +ЮЛ, — 8 = 7; 10Л2 = 0; Л2=0.
Итак, данная дробь
х8 — 6х2 + 9х + 7 _ 3 1
(х - 2)8 (х - 5) (х-2K ' * —5"
Определение Л2 и А3 можно было провести способом задания
частных значений. Например, при х = 1 и х = 0 получаем систему
уравнений:
11 = _4Л1+4Л2 — 4Л3 — Л4
7 = — 5ЛХ + ЮЛ2 — 20Л3 — 84
Подставляя найденные значения Ах = —3, Л4 = 1, получаем:
И = 12+4Л2 —4Л3—1 1 4Л3 —4Л3=:
+ 10Л3 — 20Л3— 8J' ИЛИ Л, —2Л8=о}"
Отсюда следует, что Л2 = А3 = 0.
Задача 5,6 (для самостоятельного решения).
Разложить на простейшие дроби:
]\ х* + 5*3 ~ 10*2 ~ 8л: + 5- (ч\ —69л:3 — 12л:2 + 475л: + 646
о,
(х — 2)8 (х + 3)а ' ^ (л: + 2J (л: — ЗJ
5л:2 + 6л: + 9 ел Зл:2 + 13л: + 11
(л:-3J(л:+ IJ' D; (х + IJ (х + 2)'
х2 - л: + 14 . у х3 - 2л:2 — Зл: + 4
(ж —4)»(х —2)' ' ха(л: —2J
4^
' (л:2 — Зх - 10J'
Указания. В четвертом примере ха — 2>х—10 разложить
на множители; в седьмом примере представить дробь в виде
М ¦ Аг А3 , At
Х2 1- х -Г I
х -Г (х _ 2J I- x _ 2-
1 1 42 г 27 I 23
5 (х-2K
2
25(х
оч 13
__ __ _ _
(х — 4K (л: — 4J т" л: — 4 х — 2'
§ , 30 2730
' 49 (х — 5J г 343 (х — 5) ~ 49 (х + 2)а 343 (х + 2)'
г. __8 9_ 4 60
' (х + 2J х + 2 + (х - ЗJ ~ х - 3'
R. 1 6 3
\X —J— 1 j Л —f- i л —p ?t
7\ l ,1 t , 3
х2 ~ 4х 2 (х —2J ~ 4 (х — 2)"
64

х
х°
(свобод-
Задача 5,7. Дробь а> . разложить на простейшие.
Решение. Разложим знаменатель х3 + 1 на множители:
= (х + 1) (ха — х + 1). Квадратичный множитель ха — * + 1 дей-
действительных корней не имеет, а потому на основании формул
E,6) и E,7) имеет место разложение
1 Ах . BjAr-j-Ci
Умножая обе части равенства на х3 + 1, получаем
Для определения неизвестных Л, 5Х и Ct воспользуемся способом
неопределенных коэффициентов. Выполняя умножение, имеем
1 = (Аг + Bj) х2 4- ( Ах 4- Q + 5j) х -\- Ах-\-Сх.
Это равенство является тождеством и может сохраняться только
тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях х в левой
и правой частях равенства равны между собой:
^4-^=0 A)
¦А. + ^ + В^О B)
Аг + С, = 1 C)
ный член)
Складывая первое уравнение с третьим и вычитая из полу-
полученного уравнения второе, получаем
1 2
Тогда из уравнения A) Вх = —-д-, а из уравнения C) С1 = -^-
и окончательно
1 _ __1 х — 2
х3 4 1 ~ 3(х+ 1) 3(*2— х+1)
Задача 5,8. Дробь ^_ 4 разложить на простейшие.
Решение. Знаменатель дроби 1—xi = (\—х) A 4- х) A 4-
+ х2). Поэтому данная дробь может быть представлена в виде
1 — *4 = 1 — х' 1 +*"• 1 +жа '
После умножения обеих частей равенства на 1 — х* получим
тождество'
х2 = А1 A 4- х) A +*•) + ^2 A — *) A + х2) 4- (Л х + Л4) A — х2).
E,10)
Для определения неизвестных коэффициентов Лх, Ла, Л3 и Л4
применим сначала способ задания частных значений. При х = 1
3 3-1734 ' 65

получаем в левой части 1, а в правой все слагаемые, кроме .пер-
.первого, обратятся в нуль, а первое слагаемое станет равным 4AV
Ах найдем из полученного уравнения: 1 = 4Л1( А1 = -^. При х—
= —1 получаем в левой части равенства 1, а в правой 4Л2
и тогда 1 =4Ла, а А^=-^.
Теперь сравним коэффициенты при х3 в левой и правой части
равенства E,10). В левую часть этого равенства х3 не входит.
Это означает, что коэффициент при х3 равен 0, а в правой части
коэффициент при х3 равен Ах— А2 — А3. Таким образом,
Учитывая, что At и Ла уже определены, имеем
о «4-4-л„
а отсюда следует, что А- — 0.
Нам осталось определить А4.
Дадим х значение 0. В левой части получим 0, а в правой
А± + Аъ+At и тогда
0 = A1 + Ai + Ai.
Так как А1 = Аа = -j, то 0 = -^ + -^ + Л4, отсюда Л4 =
_ _1_
~ 2"
Итак, предложенная дробь
х2 1.1
+
1-х4 4A —x) ' 4A +x)
Задача 5,9 (для самостоятельного решения). Разложить на
простейшие дроби:
Оч 1
Указание. xi + 1 =***_+2л*-f 1' — 2х* = (х2 + 1J — 2л:2 =
Дробь представить в виде
_1 Ах + В , Cx + D
л ,. а — Ъх , Ъ2
Ответ. 1) __—-___ +
а2 + 6s) (I + *2) ^ (а2 + ?>2) (а + 6л;)'
; 4 (х — 1) ~ 4 (л; + 1) " 5 (х — 2) "^ 10 (*2 + 1)'
66

: Задача 5, 10 (для самостоятельного решения).
Рациональные дроби: 1) ^±-| и 2) ^ + **+L + 4' разложить
на простейшие.
Указание, х3 + х? + 4х + 4 = ха(х + 1) +4(х+ 1) = (л: +
+l)(a+4)
Задача 5, 11 (для самостоятельного решения). Разложить на
простейшие дроби: 1) х4+*2_2 > 2) j~?
Указание. 1) Знаменатель разложить на множители. Для
этого решить биквадратное уравнение xi + *а — 2 = 0. Его корни
х1=1\ х2 — — 1; %= Y2i и х^ = —Y^i, а потому х* -f- ха —
— 2 = (х—1)(х+1) (x — V~2i) (x + Vt). Перемножая множите-
множители, соответствующие мнимым корням (х —1^2/) (х -f V^i), полу-
получим окончательно
Л " 1" л ''' ^ ^"^ \^Л ~~~ 1 I ^^ ' | i I I/С *' [ ^ I #
04 1 \чв •— /1 Y"^ ^ 1 | у*м — /1 \А A I у I
+ ха)A +х)A— х + хг).
it 11 2 1
Ответ: 1)^-— - -—\-— —$;
9. 1 _J , 1 1 , х + 2 , х — 2
Z> 61+^6 l-x + 6(^2 + ^+ 1) + 6(*2-х+1) *
ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интегрирование простейших рациональных дробей.
Интегрирование рациональной дроби Q . приводится к инте-
интегрированию простейших дробей вида:
1) -А-; 2) —4_— (п > 0 и целое); 3)
F,1)
Задача 6, 1. Найти интегралы:
67

Решение. 1) По формуле F,1) j^^g = ln|* —3|+C;
Числитель равен
производной
знаменателя
Задача 6,2 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) J^; 2) j-^; 3) J4-^_;
: 5> З
Ответ. 1) ln|*— 13| +C;
2) — i ln|15 — Зх\ + С] 3) —у 1п|4 — 7д:| + С;
4) —-J. 1п|3 — 8л: 1 + С; 5) -| In14л; — 9| + С.
2.
Окончательно:
Задача 6,3. Вычислить интегралы:
их
г + 3M
р dx С dx
3) ' = \ Bх— II • 4) ' ~ ) D —Зл:)8 •
Решение. Для вычисления первых двух интегралов непо-
непосредственно применяется формула F,2):
1ч ОГ ' ^
2 (х_2J
+С
3) Чтобы можно было применить формулу F,2), числитель
дроби -р: j-rj, стоящей под интегралом, должен быть равен про-
изводной от основания степени знаменателя. Преобразуем дробь
к виду
1 _ J_ 2
Bх— IL ~ 2 Bх— I)»'
68

и тогда
_ I С -J—dx - 1 (—1 —1
~ 2 J Bх-\)*аХ- 2 \ 3 Bх-
1 , + с.
6 Bх— IK
4) Этот интеграл вычисляется, как и предыдущий
7 =~~Tj D-
-I
Для вычисления этого интеграла поступают так:
а) в числителе дроби, стоящей под интегралом, записывается
производная знаменателя, т. е. Bх + р). Тождественными пре-
преобразованиями из 2х + р получают заданный числитель Ах -+• В.
Для этого следует 2х + р умножить на -$ и к полученному
произведению прибавить В ?. Очевидно, что
б) Преобразованная дробь ¦a*~t ,— имеет вид
X -\- рХ -f- Ц
х* + рх + q
и может быть представлена как сумма двух дробей:
А
2 х* + рх + q + *? + рх + q '
Первая дробь интегрируется просто: в числителе находится
производная знаменателя — интегрирование приводит к натураль-
натуральному логарифму модуля знаменателя. Для интегрирования вто-
второй дроби в знаменателе выделяют полный квадрат:
+рх +9 -(* +PYJ + q -•?,
69

Интеграл от второй дроби приводится к табличному интег-
интегралу! A,23), если Ад — рй < 0, и к табличному интегралу A,21),
если 4<7 — ра>0.
Замечание. Если в знаменателе дроби вместо квадратич-
квадратичного трехчлена х2 + рх + q находится трехчлен ах2 + Ьх + с
(а Ф 0), то коэффициент а следует вынести за скобку и тем са-
самым свести этот случай к предыдущему.
В задачах 6,4 и 6,5 даны примеры вычисления интегралов
этого типа.
Задача 6, 4. Найти интегралы:
dx
14
;2)/2
dx
-f —
J * —-
dx
Решение- В этом практическом занятии нам часто при-
придется пользоваться формулой C,4). Напомним, что она имеет
такой вид:
1) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
х2 + 4х + 14 = (х + 2)г — 4 + 14 = (х + 2J + Ю.
Применим формулу C,4)
и — х + 2; и' = 1
а= 10; а =
2) Выделяем полный квадрат в знаменателе дроби:
—х+т;u'=
а*=Т: в=
/3
s
/3
70

3) Выделим полный квадрат в знаменателе дроби:
/я =
dx
*+¦!
4
Формулу C,4) можно
применить: и = х + —;
= 2 t 2^3
/15 S /IS ^
4) В знаменателе выделяем полный квадрат:
/4 =
х-1
_9_\г 19 /Т9 Б /79
Формулу C,4) можно
применить: а = х — —;
/19 5 /19
5) Выделим полный квадрат в знаменателе:
= -Д=, arctg 2-^=U- + С.
/7 S /7 ^
6) ^_х_14=^_1)г_1
•¦"" 2/ + 4
2 ' 2* — 1
lA" S /55
71

Задача 6,5 (для самостоятельного решения).
Иайти интегралы:
dx ¦ О\ Г dx » С **
' ) а:2 + 5а: +12" ' Ja:2— 7а: + 20 '
Ответ. П 4= arctg^У + С;
/19 S /19
2)arctg
4) 4= arctg 2-^5 + С; 5) -* arctg 2-^-7 + С
/23 S /23 ' /31 /31
Задача 6,6. Найти интегралы:
dl• 2} h f dx
_ Г
- J5x2
Решение. Эта задача отличается от предыдущих тем, что
коэффициент при х2 в знаменателе не равен единице. Для того
чтобы свести этот случай к предыдущему, будем этот коэффици-
коэффициент выносить за скобку (см. замечание на стр. 72).
49 , 111 c|7 , 7\2 1
~Ibo + yj = 5[^ + Ioj +1
7
!Т^т^тагс*бТАт^т
1711 Б/i7i
"+00 ~ПГ"
/171 S /Ш
2) 4^ + ^ ) [
2-arctg^+C.
72

3) 3^-
dx
8[(*-т)Г+т]
1
/7ТаГС
~ 3
. 3x
tg у
— 4
X
_ 4
Задача 6,7 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы:
1> ) 5а:2 + 9а: X 10' ; J 7а:2 - 3* + 5'
dx A\ Г dx
C2_ 11л._|_ !7-
Ifl
Ответ. 1) , z
3) 2
/431 S /431
4)
Теперь выполним упражнения в интегрировании дробей вида
Ах + В
Задача 6,8. Найти интегралы:
7х~8
Решение. На стр. 71 дано указание, как вычислять эти
интегралы. Рекомендуется еще раз ознакомиться с ним.
73

1) Преобразуем дробь .-j
~7x 4-14' Стояш-Ую П°Д интегралом:
выделим в числителе из Ъх + 4 производную знаменателя, равную
2х + 7, но чтобы величина числителя при этом не изменилась:
Ч 91 Ч 14
о у I л /О v г 74 _^_ | л ^ icy v i у\ j^ *а
ол -р ^ — ^а/Л -р ' / <л ~р ^ ,) — ^л -\- i} о о •
Поэтому
13
14
-il
2x4-7
Преобразовываем в разность
двух интегралов, причем во
втором интеграле в знамена-
знаменателе выделяем полный
квадрат
Числитель является
производной знамена-
знаменателя. Применима фор-
формула A,32)
dx
I 1* 49
14 1 * Т" 9
-^•7yarctgTT + c'
13
Ответ. /1=|-
Замечание. Под знаком логарифма трехчлен лгг + 7л:+14
не взят по абсолютной величине, так как корни его комплексны,
коэффициент при х% положителен, а поэтому при любом значен
нии х этот трехчлен положителен.
Это замечание следует иметь в виду и в дальнейшем.
2) Из числителя дроби 2х — 3 выделим производную знаме-
знаменателя, равную 2х + 1, и получим 2х — 3 = Bх'+ 1) —4. Поэтому
/2 =
Bх+1)-4
d* =
х2 4- х + 5
Представляем как раз-
разность двух интегралов,
а во втором интеграле
в знаменателе выде-
выделяем полный квадрат
2x4- 1
dx —
хг + х + 5
В числителе произ-
производная знаменате-
знаменателя. Применить фор-
мулу A,32)
-4^arctg y^+C-
= in
-^garctg ^±
74

3) Поступаем так же. Из числителя дроби 7х — 8 выделяем
производную знаменателя, равную 2х + 5:
7*-8 = B^ + 5)|-8-|= Bх + ?j);
Задача 6,9 (для самостоятельного решения). Найти интегралы:
4) ]^Bh ]^k
Ответ. I) I
2) i
3)il
4) |
5) 4 In (* + 3x + 8) - ^Larctg 2j±l + C.
4. Интеграл вида \ -, где /г > 1 и целое, а корни
знаменателя комплексны, сводится к вычислению двух интегра-
интегралов. Это достигается так: в числителе записывается производная
основания степени знаменателя, т. е. производная от. хг + рх+д,
и так же, как было указано в п. 3, (стр. 71), эта производная
преобразовывается в выражение Ах-\-В, стоящее в числителе.
Дробь
АХ+В P* + P)± + B-Aj_A 2x + p -
+
q)n (х* + рх + qf 2 (л? + рх + q)
?
Интеграл первой дроби вычисляется по формуле A,29).
Вторая дробь
Если обозначить
q-?=>P, x + %=$2 F,4)
7;5

(обозначить q—?- через [З2 мы имеем право, так как по предпо-
предположению корни трехчлена л? + рх + q — комплексны, а потому
г — ~i—величина положительная), то
llll
ох + q)" (р'г< +Г) IP' U -
и таким образом интегрирование второй дроби в правой части
F,3) сводится к интегрированию дроби
Интеграл
п === \ "п ^
вычисляется по формуле
/ _ 1 г . 2я — з
" ~" 2 (я — 1) A _|_ г2)"-1 "т" 2я — 3J
где
(индекс у буквы / равен показателю степени выражения 1 +гг).
Вывод формулы F,6) можно найти, например, в учебнике Н. С. Пис-
Писку нова «Дифференциальное и интегральное исчисления».
Формула F,6) называется рекуррентной, или формулой приве-
приведения. Она позволяет вычисление интеграла /„ свести к вычисле-
вычислению интеграла In-i с меньшим на единицу индексом.
Упражнения, связанные с применением
рекуррентной формулы F,6)
Задача 6,10. Вычислить интегралы:
' 2) V J 3) !
= J A _ г2K>' 2) V= J A + ху> 3) ! =
D +
(Значок при / равен показателю степени выражения, стоящего
в знаменателе).
Решение. 1) Применим последовательно формулу F,6).
Подставляя в F,6) п — 3, получим:
2-3-3
76

Теперь применим F,6) к вычислению/2 (положим в F,6) п =2)
Тогда
/ _±_L_ | 3 / 1 z 2 .2-3. \ 1 г
8 ~ 4 A +z2)a '¦" 4 ^2 B — 1) A + г1) ~т~ 2 . 2 — 2
,3/1 г 1 . \ I г 3
^4 \ 2 1 + z'~ 2 ly 4 A+z2J ^8 1 + za ~ ' 1#
Ho /x = \ -jrr—г = arctgz + С, а поэтому окончательно
2) Здесь также последовательно применяем формулу F,6)
начиная с п = 4:
1 х 2 4 — 3 ; .
!\4-1 +9.4-2 81
J*~ 2D—1) A+*2)«-' Т2 -4-2 8*
/ - 1 * 4- — / ffi 8^
У*~ 6 A+*2)а+ 6 '*• ^'й)
Но /3 нами было найдено в предыдущем примере, только там
вместо х стояла буква z. Заменяя в F,7) г на х и подставляя
в F,8), получим
, _ 1 х ,511 х , 3 х , 3
4 ~~ Т A + *2)8 +  [Т A + *2J"+" 8 Т+Т2 ¦+" Т
Окончательно
3) Формулу F,6) можно применить, если в знаменателе будет
выражение вида A + хг)п. У нас же в степень п = 5 возводится
не 1 + хг, а4 + ? Полагая х = 2г, получим dx = 2dz; x2 = 4z2,
а D + х2M = D + 4z2M = [4A+ г2)]5 = 1024 A + г2M.
Поэтому искомый интеграл
/ — Г dx — f 2dz L f dz L /
J D + *2M ~ J 1024 A + z2N ~ 512 J A + z2)^ "" 512 6'
Итак, ^=gj9^6 и, применяя формулу F,6) при п = 5,
, If» 'г 2-5-3 1
~" 512 [2 E — 1) A + z2)* "Ч" 2 • 5 — 2 y *J»
T e /--Lfi—? + 1/1
' 512 [8 (l + z2)*+ 8 '«J-
Подставляя сюда найденное в предьщущем примере /4 (только
в F,9) надо х заменить буквой z), получаем
. 1_ М г 7_ /_1_ z ^_ z
~ 512 [ 8 A + г2)* + 8 [ 6 A + г2)8 + 24 A + г2J +
77

Раскрывая скобки, будем иметь
/^ 1 I > * 7 г 35 г
512 [ 8 A + г2)* 1~ 48 A + г2K ~ 192 A + г2)' *
, 35 г ,35
Возвратимся к старой переменной х. Мы полагали, что х = 2г.
Отсюда г = -|-. Подставляя в последнее равенство z = 4г, полу-
«им окончательно
1_ I * , 7 Х | 35 * |
32 D + а:2L "^ 768 D + а:2K "^ 12288 D + хУ "г"
,35 х | 35 . а: . Г
+ Й768 iqrT2 + 65536 arctg Т + L<
Задача 6, И (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы (указания даны на стр. 77 и 78).
Г dx 1) ! - Г
J Ca:2 + x+7J' ; J
г ( Зл: + 5 ., у _ (* 2л: — 1 ,
J (лга + 2л: + 5J' ' J Dл:2Ь За: + 5)8
Ответ. 1)
2л: — 1
Dл:2-Ь За: + 5)8
-?±-__+-
83 (За:2 + д; + 7) ' 83
5*+М > | IE 1
38 [2Eха4-2д: + 4)а ' 76 Eх2 + 2* + 4)J
+ "
2888/19
4- _ Их 4-23 _21_ 8а:+ 3
142 D*2 + Зх + 5J 5041 4а:2 + За: + 5
336 ,;
+3 ,г
СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Интегрирование рациональных дробей.
На пятом практическом занятии учащийся на большом числе
упражнений ознакомился со способами разложения рациональной
дроби на простейшие, а на шестом занятии он приобрел навыки
интегрирования простейших рациональных дробей.
Поэтому интегрирование рациональных дробей не должно вызы-
вызывать трудностей. Ограничимся только несколькими подробно разо-
78

бранными примерами, а остальные предложим для самостоятель-
самостоятельного решения.
Мы рассмотрим такие четыре случая:
1. Корни знаменателя — только действительные числа, среди
которых нет равных.
2. Корни знаменателя—только действительные числа, но среди
них есть равные (знаменатель имеет действительные кратные корни).
3. Знаменатель дроби, кроме действительных корней, имеет
и комплексные корни, но среди них нет равных.
4. Знаменатель дроби наряду с действительными имеет и
кратные комплексные корни.
Первый случай.
Задача 7,1. Вычислить /= f_?±?+JLdx.
Решение. Прежде чем приступить к интегрированию ра-
рациональной дроби, следует убедиться в том, что дробь — пра-
правильная и несократимая. В нашем случае дробц стоящая под
интегралом, -т- неправильная, так как степень ее числителя (третья)
выше степени знаменателя (второй).
Поэтому прежде всего исключаем целую часть.
Для этого делим числитель х3 + х + 2 на знаменатель
(* — 3)(* — 4) = *г — 7*+12:
+*3 dt 7*2 + 12*
7*a— 11*+ 2
" + 7** ±49* + 84
*2 — 7*+12
. ? . 38* — 82
11 *2 — 7x + 12
38* —82
Поэтому
С i ч»у 89 \ 1 . Г- 48v Я9
7 _ 1/1-174. 1 d* = — * + 7* 4- \ — rf*
„ л 38* — 82 Л . В
ДРОбь (х_з)(*-4) = ЛГЗ + 7=4-
Умножая обе части этого равенства на (* — 3) (* — 4), получаем
38* — 82 = А (* — 4) + В (* — 3).
Здесь коэффициенты проще всего определить способом задания
частных значений: А = —32; В = 70.
:п д 38* — 82 32 . 70 , 1 „ , _ ,
32 ' 70n'- ' * ' 7х — 32 1п.|*_3[+70In|*-4|+С.
Задача 7,2. Вычислить / =
Решение. Дробь, стоящая под интегралом,— правильная.
Разлагаем ее на простейшие:
х2 + х + 5 _ А_ , В , С
х г х + Ъ^ х — 2'
79

Умножая левую и правую часть этого равенства на знамена-
знаменатель левой части имеем
И здесь при определении коэффициентов А, В и С наиболее
быстро к цели ведет способ задания частных значений.
(Вообще, если корни знаменателя — числа только действитель-
действительные и разные, этот способ является наиболее целесообразным).
11
Задача 7,3 (для самостоятельного решения).
Вычислить 1) С, , ,d* , . .; 2) С. , *d.x , . ч.
1 J (а + bx)(c+dx)' ; J (а + Ьх) (с + dx)
Ответ. 1)т—!—Т1п\^г +С; 2) -г-Ц-Гт 1п|а +Ьх\ —
' Ьс — аа | с -f- dx ' ' 'ая — bcyb '
-J ln|c + dx| \+C.
Задача 7,4 (для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл \ 8_^ 2 .
Ответ. 4ln|^| + C.
Задача 7,5. Вычислить:
il±i?±-3 ^У-
« j _ Г2х*-х*
Решение. 1) Разлагаем прежде всего знаменатель на мно-
множители: х2 — 7х + 12 = (х — 3) (х — 4). Дробь
2.+3 _ 2. + 3 _ А +ВА=_9.в = п.
2) Знаменатель дроби разлагаем на множители:
дз _ д^ + 20* = л: (д;2 — 9х + 20) = х (х — 4) (х — 5).
Дробь
Л , В , С
^ х х —
80

Для определения коэффициентов А, В а С с целью упражне-
упражнений примените способ задания частных значений и способ неопре-
неопределенных коэффициентов. Окажется, что
1 В ? С
20 ° 4' °
5ln|*4| +
;
(х — 4)«/(* — АK
3) Знаменатель дроби разлагаем на множители: приравниваем
знаменатель нулю и находим его корни:
х* — Юл:2 + 9 = 0; xt = 1; х2 = — 1; х3 = 3; jc4 = — 3, поэтому
*4— 10л:2+ 9 =ф— \)(х + 1)(х — 3)^ + 3), а дробь
2д» -7^+8 _ Л В С D
х* - 10*2 + 9 ~ х— 1~т~ х+1~т~ х-3'т~ х+3'
Д-—1- Я-IZ- C-i- D- 1Z-'
п~ 16' 16' ^~48' ^ "" 48'
4) Здесь мы прежде всего обращаем внимание на то, что дробь,
стоящая под интегралом, — неправильная. Исключаем целую часть:
, . 18*2— 9*+5
1 +
х (ж — 3) (* + 3) х ^ х — 3 ~ х + 3 *
Определяя коэффициенты любым из указанных способов, по-
получим:
. 5 . R 70. _ 97.
/ = х2~х + In(х-3O (х + 3I0"|/ y*—>rn*-r*,_ + Сш
Задача 7,6 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
15 .
_ dx
dz
Г 2^ + 41^-91
J (х-1)(^+3)(х-
7г2 + 2г — 40 р
81

Указания. В первом примере после исключения целой части
поручится дробь xS _ 5хТ^_ х,5 ; знаменатель после разложения
его-на множители равен (х + 1)(л:— 1)(х — 5). Дробь -j-
А , В , С^. ¦
Л — 3 ' Д 4' U~12-
В четвертом примере один корень знаменателя zx = 2.
Ответ. 1) <i±^ +i In | х + 1.1 — ¦§- In |jc — 11+ A in|^_
«Л In (*-lL(*-4M j_ г. оч ln V(*-l)B*+l)a ,
2) in {х + зу— + C, 3) ln у {x+l){2x_ir +
1 (Z + 5)«B2)
42 Ш
"' 42 '" (z + 4)' ^ "•
Второй случай. Корни знаменателя — только действительные
-числа, но среди них есть кратные.
Задача 7,7. Вычислить
/ =
Решение. Заданная дробь — правильная и несократимая.
>(На это прежде всего следует обратить внимание).
Представим дробь в виде
А , в ¦ , С , D + Е
(х— 1K(* + 2J (х-1K т(дг- lJ"^- 1 "т~ (* + 2J
Определение Л, В, С, D, Е проведем способом неопределен-
неопределенных коэффициентов и способом задания частных значений, кото-
которые целесообразно комбинировать.
Умножая. обе части написанного равенства на знаменатель
левой части, получим
2х2+ 5х — 8 = А{х + 2J+ В(х—1)(х + 2J +С(х — Щх + 2f +
+ р (х — IK + Е (х — IK (х + 2).
Напоминаем, что написарное выражение является тождеством,
а потому равенство должно сохраняться при любом значений х.
При х = — 2 получаем
2 (—2J + 5 (—2) — 8 = D (—2 — IK,
отсюда определяем коэффициент Д:
При х = 1
2-1а+5. 1—8 = ЛA+2J; — Г=9Л;Л
-82

Нам осталось определить еще три коэффициента: В, С и Е,
Теперь будем сравнивать коэффициенты при одинаковых сте-
степенях х в левой и правой части равенства.
Коэффициент при х* в левой части равен,нулю (я4 в левой
части отсутствует), а в правой С + Е. Поэтому С + Е = 0.
Свободный член в левой части равен — 8, а в правой 4А —
— 4В + 4С — D — 2Е. На основании этого получаем второе урав-
уравнение: 4А—4В + 4С — D—2Е = —8, в котором А и D уже
97
известны, а поэтому 2В — 2С + Е = ^.
Мы сравнивали именно свободные члены, потому что это можно
сделать, не выполняя умножения и возведения в. степень в пра-
правой части равенства.
Для того, чтобы получить третье уравнение для определения
В, С и Е, снова возвратимся к способу задания частных значе-
значений. При х = 2 получим
8+10 — 8 =
D это уравнение примет вид
С учетом, что А = —q , a D =щ
Таким образом, для определения В, С и Е имеем систему
уравнений
2В
Е-0
Q7
Е
°~2Т °~~ 27' ' ~27*
Таким образом,
л- д, ?>-27, и— 2?, ь» — 27, я-27.
Очень полезно сделать проверку найденных значений коэф-
коэффициентов. Для этого дадим х произвольное значение, например,
х = — 3, получим равенство
_ 5 = А — 4В + 16С — 64D + 64?.
83

При найденных значениях коэффициентов оно выполняется.
Отсюда мы заключаем, что коэффициенты определены верно.
2*»+ 5*-8
1
L 11 1 29_1 13 j , ц ip_j
j *~ 9 2 (*—1J~27*-1 27 ш|* ч 27дг+
27 , 11 1 _29 1 13 j . _ii_1P_J I
"Г , _i_ i J "* — g 2 (x — IJ ~~ 27 x — 1 27 Ш ' x ~ ' ~~ ^7 ^ a. 9 +
13,„,„ ,oi , л>_ 26**+ 5*-34 , 13
Задача 7,8 (для самостоятельного решения).
о Сх* + 5х3—10*2_ 8* + 5 . л
Вычислить интеграл \ — . _ 2K. . 3^а —dx способами, ко-
которые были применены в предыдущей задаче.
П 23 1 42 27 , . 9|
итвет. 25 (х + 3) 10 (л: — 2J 25 (х- 2) +25 ln\x~z\ ~
Задача 7,9 (для самостоятельного решения).
С х2 4- х 1
Вычислить интеграл \ -—-—^гг- • dx
J X (X — I)
Ответ-
Задача 7,10 (для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл / = I (x2_3x_ lQJ dx.
Указание, х2 — 2,х— 10 = (х~5) (х+ 2).
8 1 27 1 30
30 .
343
х-5
с.
x-\- 2
Третий случай. Знаменатель дроби, кроме действительных
корней, имеет и комплексные, но среди комплексных корней нет
разных.
Задача 7,11. Вычислить интеграл / = \х 8"t_*аТ5*_5 ^х'
Решение. Разложим знаменатель на множители:
Xs — х2 + Ьх — 5 = х2(х— 1)+5 (л— 1) = {х— 1)(л?4-5).
Дробь, стоящая под интегралом, — неправильная. Поэтому,
прежде чем разлагать ее на простейшие, исключим целую часть.
Окажется, что она равна
б*2+ 25* — 35
84

Теперь дробь шха*—хг + С5х—'Е Разложим на простейшие. Учиты-
Учитывая, что знаменатель дроби равен (х—1)(х2+Ь), получим
б*2 + 25* — 35 А Вх + С
(х- 1)(*2 + 5) ""*- 1 + х' + 5 '
Умножая обе части этого равенства на знаменатель левой
части, получим
6х2 + 25л; — 35 = А {х2 + 5) + {Вх + С) (х— 1).
Применим сначала способ задания частных значений. Возьмем
х = 1:
6- I2 +25- 1—35 = А (I2 +5); — 4 = 6Л; Л= — -|.
О
Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях х.
В левой части равенства коэффициент при х* равен 6, а в пра-
правой А + В.
2 20
Поэтому А + В = 6, а так как Л = —-j , то B=j.
Свободный член в левой части равенства —35, а в правой
-
ЪА—С. Поэтому 5Л —С = — 35; С = - .
Итак, дробь
20 %
6х* + 25х — 35 _ 2 1 3 *+ 3
(*1)(**+5) Зх1+ ха+5
Учитывая это, а также выражение (Л), получаем
/ 20 95\1
()J
Я
¦dx+sy
20 С x j , 95f dx
x* + 5
Задача 7,12 (для самостоятельного решения).
Вычислить ( . _^ 4.
Указание. 1 —х* = A — д;) A +х) A +л:а). Дробь запишется
в виде
1 _ Л в Сх + Р
I-*4"i-*+ i + *+ l-fx2 '
Ответ. 1 - /1 + * J
Задача 7,13. Вычислить
xdx
1+х3 '
85

Решение. Так как 1 + х3 = A +х) A ~^х-{-х%), а корни
трехчлена 1 — х + х* комплексны, то дробь запишется в виде
. х _ А , Вх + С
arctg
Задача 7,14 (для самостоятельного решения).
Вычислить \ . _* 8.
Указание. 1 — х3 = A — х) A +х + ха).
Задача 7,15. Вычислить / = I
(х2 + х + 2)(х*-2х+3) "•Л-
Указание. Учитывая, что корни каждого из трехчленов,
находящихся в знаменателе,— комплексны, подынтегральную дробь
запишем в виде
х* Ах + в Сх + Р
(х2 + х + 2) (дг2 - 2х + 3) ~ *2 + * + 2 + х" — 2х + 3 '
, 5 ¦ „ 7 . « 17. Л 21
О'твет. \п7(х* +х + 2У(х*-2х+ 3)"
-Ц arctg^+C.
Задача 7,16. (для самостоятельного решения).
Вычислить
Ответ, у arctgx— j arctg -| + С.
Четвертый случай. Знаменатель дроби имеет действительные
и кратные комплексные корни.
Задача 7,17. Вычислить Г (х _ 1J ^ + 4J dx.
Указание. Знаменатель дроби имеет кратные комплексные
корни. Если (х2 + 4J = 0, то х1 = 2i\ х2 — — 2i; x3 = 2i; xt =
= — 2i. Дробь
1 Л . В . Сх + Р
125
86
^* ~— пс » & — —— 1П_ . О — ln- . LJ — '

Ответ. ш Injj3T)s~~ юио(х- 1)(*2 + 4)~ 2000 arct§ Т + С-
Задача 7,18. (мя самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы:
П С 5л:2— 12
' J ,(л:2-6*+1
Л 1ч 13*—159 ,53
Ответ. 1) 8(;с2_6^щ- + jg
Указание. При вычислении второго интеграла можно избе-
жать обычного пути, если ввести подстановку 3 + 2х2 = г. Тогда
\xdx = dz; xdx = f; x2 = ^; x* = ^=-^ и
f_il^L — С ^djc Г (г —3Jdz _ I Г г2— 6г+9 , _
J C + 2xY * J C+ 2*2K ~ J 4 • 4 ¦ z3 ~ 16 J г» UZ ~
- i [ in C + 2,4 + j-jA-, _ j-^.] + c.
Отсюда легко получается и предыдущий ответ.
Замечание. Следует вообще иметь в виду, что интегралы
2+1
вида \ . 2w<fa. где,m —целое и положительное число, легко
вычисляются с помощью подстановки а + Ьх2 = г. Эта подстановка
1 с (г — о)"»
приводит к интегралу 2^Гн \—in—"г» а вычисление его сво-
сводится к вычислению интегралов от одночленов.
Задача 7,1.9 (для самостоятельного решения). Вычислить
Указание. Подстановка 5 4-Ах2 = г;
. /„_L Г ?=«!.«&
512 J z*
87

ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интегрирование выражений, содержащих тригонометри-
тригонометрические функции.
I. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
J sin kx cos Ixdx; J cos kx cos Ixdx; j sin kx sin Ixdxr,
где k и / — действительные числа.
Из тригонометрии известно, что произведения тригонометри-
тригонометрических функций, находящихся под знаками этих интегралов, пре-
преобразуются в суммы по следующим формулам;
sin kx cos 1х = -? fsin (k — /) x + sin (k + l)x]; (8,1)
cos kx cos Ix = j [cos (k — /) x + cos (k -f /) x\\ (8,2)
sin kx sin Ix = у [ cos (k — /) x — cos (k + /) x]. (8,3)
Заменив в рассматриваемых интегралах подынтегральные функ-
функции по этим формулам, легко выполним интегрирование.
Следует также иметь в виду уже известные нам формулы,
которыми часто придется пользоваться. Для удобства мы запи*
шем их здесь;
\ sin nxdx=- cosrtx + C; (8,4)
\ cos nxdx = — sin nx + C; (8,5)
ilfe = tg*+c; (8.6)
_gL.=_ctg* + C; (8,7)
+ C; (8,8)
Задача 8,1. Вычислить интегралы:
1) lx = j sin 6л: cos Ix dx; 2) /a = j cos3A;cos9A;dx;
3) /3 = \ sin 2x sin bxdx.
88

Решение. 1) Заменяя произведение sin 6х cos 7x по фор-
формуле (8,1), получим
f 1 = Т J tsin (— *) + sin 13*1dx = Т J (— sin * + sin 13*) dx =
= -g- ( cos д; — -jgcos 13 jc] -f C.
2) Заменим cos 3jc cos 9x суммой косинусов по формуле (8,2),
найдем
/2 = yj [cos (—6л:) + cos 12л:] dx = у \ (cos 6л; + cos 12л:) dx =
| cos (—6*) = cos 6* | | Применить формулу (8,5) I
= 1( Isin6x + ^sin 12jc ) + С
3) Заменяя произведение sin 2л: sin 5л: по формуле (8,3), по-
получим
/3 = -1 \ [cos(—Зл;) — cos7x]dx = Y\'JsinЗх~~Тsin 7х) + с-
Задача 8,2 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) \ cosZxcosxdx; 2) \ sin5xsin-g-dx;
3)jsini
x cos -г dx.
4
Ответ. 1) y[-i-si
()
3) — -i B cos|-+ cosx) + С.
Задача 8,3. Найти / = j sin 2л; cos Ъх sin 9л; dx.
Решение.
sin 2л; cos Ъх sin 9x — ^ [sin (—Зл;) + sin 7x] sin 9л; =
= i-(_ sin Зл; sin 9л: + sin 7x sin 9л;) = у — у (cos 6л: —cos 12л;) +
, 1 , „о„ ic \1 л 1/sin 12* sin 6* sin2x sin 16*\ _
+ T (cos 2x-cos 16x)j; / = T( -fg 6~+~2 Щ-) + C'
Задача 8,4 (для самостоятельного решения). Найти:
1) (*8тл;со8 2л;со8 3л:с?л;; 2) Г cos x cos 2л; cos 5л; dx.
Ответ. 1)-
sin 2х |^ sin 4х , sin 6х , sin 8д:
~Т~ + ~1б~ + ~Ш~ + ~32~
89

П. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
j smm'x cos" х dx. (8,10)
(Во всем дальнейшем т — показатель степени синуса, п — пока-
показатель степени косинуса).
Интегралы этого вида вычисляются особенно просто в четырех
случаях: 1) т— нечетное положительное число; 2) п — положи-
положительное нечетное число; 3) т + п — — 2k — четное отрицательное
число; 4) т + п = 0 (в четвертом случае предполагается, что т
и п — целые числа).
Первый случай. Показатель степени синуса т — нечетное поло-
положительное число: т = 2k + 1. В этом случае подынтегральное
выражение преобразовываем так: из sinm;e = sin2*+'A:, выделяем
первую степень синуса и получаем
sin2*+';<: = sin2feA:sinA: = (sina;c)fesinA: = A —cos2 л:)* sin л:,
а подынтегральное выражение
sin х cos" x dx = A — cos2 x)k cos" x sin x dx.
Теперь применим подстановку
cos х = г. (8,11)
Тогда —sin xdx = dz\
A ^-cos?x)kcosnxs\nxdx = —(l—z2)kz"dz,
и вопрос сведется к интегрированию суммы степенных функций.
Второй случай. Показатель степени косинуса п — нечетное по-
положительное число:
n = 2k + C
¦ Из cos" л; ==cos2*+'a; выделяем первую степень косинуса и по-
получаем
cos2ft+l х _ CQS2ft х cos х _ (COS2 xyt CQSX _ A sjn2 xy cos ^
Подынтегральное же выражение запишется так:
sinmA:cos'lA:dA: = sinmA:(l —sin2 x)k cos xdx.
Применим подстановку
sin* = г, * (8,12)
cos xdx = dz, подынтегральное выражение примет вид
zm(\—z2)kdz,
и вопрос опять-таки сведется к интегрированию суммы степен-
степенных функций.
Итак, вычисление интеграла (8,10) при указанных значениях
тип сводится к интегрированию степенных функций.
Приступим к .решению задач.
90

Задача 8,5. Вычислить интегралы: .
1) /г = {s\naxdx; 2) /2 = fco
3) /3 = Csin7д;с?лг; 4) h= \^cos9xdx-
Решение. 1) Запишем, что sin3 x = sin2 x sin x —
— A — cos2 x) sin л;. Тогда
/х = J(l —cos2л;) sinxdx. (8,13)
Применяя подстановку (8,И) cosa;=2, получим
Возвращаясь к старой переменной получим окончательно
Собственно говоря, для вычисления интеграла (8,13) никакой
подстановки не требуется, так как формула A,29)
ип+х
'd C
позволяет сразу написать ответ. Из (8,13) следует.что
/х= \s\nxdx—\>tos2xsmxdx =—cosa: +
f cos3*
+ \cos2 x (— sinx) dx = —cos x +—3— Ц- С. 4
u! u'
Это замечание относится и к следующим примерам этого но-
номера. Однако мы все же для упражнений будем прибегать к под-
подстановкам.
2) В подынтегральной функции cos5 x выделим первую степень
косинуса, тогда '
cos5 х = cos4 x cos x — (cos2 xf cos x = A —sin2 х)г cos x = x
= A — 2 sin2 x + sin4 x) cos x,
a
/2 = j(l — 2 sin2 x + sin4 x) cos x dx.
Применяя подстановку (8,12): sin* = г; cosxdx— dz, получим
_2г2 + г4)&=г-^+|+ С.
Возвращаясь к старой переменной, т. е. заменяя г на- sin x, по-
получим окончательно
, . 2 sin3 х . sin5 x , г,
/а = 81пд: з Ь—g— -ЬС
И здесь, конечно, можно было обойтись без подстановки,
а вести интегрирование непосредственно при помощи формулы
A,29).
91

3) Из sin7 л; выделяем первую степень синуса и получим
sin7 х — sine x sin x = (sin2 я)8 sin x = A — cos2 x)s sin x;
/3 = ] A — cos2 xK sin x dx.
Подстановка (8,И): cosx = z; —sinxdx = dz
_ zzKdz=— J(l— 3z2+3z4 — ze)dz =
Возвращаясь к старой переменной, т. е. заменяя z на cos#,
получим окончательно
/3 = — (cos х — cos3 x+-j cos5 х —j cos7 xj + С.
4) Решение проведем без подробных объяснений:
cos9 х = cos8 x cos x = (cos2 л:L cos л: = A — sin2 xLcosx;
/4= J(l_sin2A;
I Подстановка; I
sinx = г; cosxdx — dz\
= j(l — 4г2 + 6г4 —4гв + г8) dz = г— j23 + -|гв —
— ysin7 х + ¦§¦ sin9 x + С.
Задача 8,6. Найти интегралы: 1) /j = jsin4xcos3A:rf;e;
2) /2 = ] cos2 x sin5 л; rf^; 3) /3 = J sin4 д; cos7
Э
] J
Решение. Эти примеры решаются так же, как и примеры
предыдущей задачи. У функции, которая под интегралом нахо-
находится в нечетной степени, выделяем первую степень и применяем
указанный выше прием.
1) sin4 л; cos3 л; = sin4xcos2.Kcos;e = sin4x(l —sin2 х) cos x =
= (sin4 x — sin" х) cos x,
поэтому
/x = § (sin4 x — sin" x) cos xdx = j(z4 — г6) dz —
I Подстановка: sin x = г;
cos xdx = dz
sin6 x sin7 х
Заменяем г на
sin дг
92

2) Подынтегральную функцию преобразуем так:
cos2 х sin5 x = cos2 x sin4 x sin x = cos2 x (sin2 xJ sin x =
= cos2 л: A — cos2 xJ sin * = cos2 x A — 2 cos2 д: + cos4 д:) sin x ¦¦
= (cos2 л: — 2 cos4 д: + cos' x) sin д:;
/2 = \ (cos2 x — 2 cos4 x + cos' x) sin x dx =
Подстановка: cos x = z; I
I Заменяем Z на cos д: |
_ (cos3 д; 2cosB д; cos7 д;^ . r
\ 3 5 + 7 /"T"c-
3) Подынтегральную функцию запишем так:
sin4 x cos7 x = sin4 x cos' cos д; = sin4 x (cos2 д:K cos д: =
=sin4* A — sin2 x)s cos ^=sin4^ A — 3sin2;e -f 3sin4jc — sin6^) cos x =
= (sin4 x — 3 sin' x + 3 sin8 x — sin10 x) cos x;
I. = J (sin4 x — 3 sin' x + 3 sin8 x — sin10 x) cos x dx —
I Подстановка: sin x = z; cos xdx = dz I
Заменяя Z на sin д;
sin6 д; 3 sin7 x . sin9 x sin11
__ 7-+-3 п
Задача 8,7 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) Jsin7^cos6^dx; 2) Jsin2 x cos5 x dx;
3) Jsin2^cos3^dx:; 4) \si
J
Ответ. 1) — у cos7 x + -j cos9 x — ^ cos11 д; + ¦— cos13 д; -f C;
2) ~ sin3 л; — -| sin5 x+j sin7 * + C;
3) iSin3^~-isin6^4-C;
4) — cos5 x — -v cos3 x + C.
О О
Задача 8,8. Найти интегралы:. 1) /1=\^^-dx;
J COS X
лч . feos3 x , оч fsin3 д; ,
2) /г == \-T-g— dx; 3) \—г-йд:.
' * Jsin6*: ' 7 Jcos2*
93

Решение. 1) sin6 x = sin4 х sin x = (sin2 хJ sin x
(l — cos2 яJ sin x = A — 2 cos2 л; + cos4 x) sin x;
1 — 2cosax + cos4* ..„ .. j__ ft — :«- -r «- dz
cos* Г
Подстановка: cos*=z; i I Выполним почленное I
— sin xdx—dz деление
Заменяем г на cos
= -—-= cos* -f-C = о-sec3 x — 2 secx — cosx +
3 cos3 д; cos д; '3
2) cos3 x = cos2 x cos a: = A — sin2 x) cos x\
sin» д;
I Подстановка: sin.*t= z;
I cos xdx=dz
Cl —22 ,^ (*/1 \\
= \ 5—dZ = \\ -г- il
J ze J\ze г*/
I Заменяем z на sin x I
= — -=- cosec6 x + -5- cosec3 * + C.
о о
3) Числитель sin3x = sin2A:sinA: = A—cos2 x) sin x;
. _ (*(l —cos^sinx ,
'3~ J ESi2^ ~ax:
Подстановка: cos x = z;
sin xdx = dz
I Заменяем г на cos x
COS X
+ cos x + С = sec x + cos x + C.
Задача 8,9 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) $|Н>; 2) ^Л; 3)

Ответ. 1) _^_ln|cosA:| + C; 2)
3) -^p^ + lnlcos^l + C; 4)
6) -g- cos2 x —-g- cos4 x 4- -^ cos6 x — -g- cos8 x + yg cos10*— In I cos л; I;,
7) Зу'Жж (l — у sin2 a: + -^sin4 лА + C;
8) — 2"Kcosa:( 1 — -| cos2 x + -|cos4 x — ¦! cos* x\ + C;
9) 3 j^sin2 xijsinx — - sin3 ^ + ^ sin6 x) + C;
cos7 х
10) 2l/slnx(l— -i sin2J
Задача 8,10 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) \^q;dx; 2)
Ответ. l)_coS*-^
2)
Третий случай. Сумма т + п показателей степени синуса и
косинуса в интеграле (8,10) — четное отрицательное число:
m + п — — 2k (&>0 и целое).
В этом случае подынтегральная функция может иметь два
вида:
1) Подынтегральная функция — дробь, в числителе которой
находится степень синуса, а в знаменателе — степень косинуса
(или наоборот), причем показатели степени или оба четные, или
оба нечетные. В этом случае говорят, что они одинаковой чет-
четности.
Так как m + n — отрицательное число, то отсюда следует,
что степень знаменателя больше степени числителя.
2) Подынтегральная функция —дробь, числитель которой по-
постоянная величина, а знаменатель — произведение степеней синуса
и косинуса одинаковой четности.
В рассматриваемом случае (т + п = — 2k) любая из подста-
подстановок
tg* = z (8,14)
или
ctgx = z (8,15)
95

преобразует подынтегральную функцию в многочлен или в много-
многочлен, сложенный с целыми отрицательными степенями новой не-
независимой переменной г.
Если подынтегральная функция имеет первый из разобранных
видов, а в числителе находится степень sin*, более удобной из
этих подстановок является (8,14), если же в числителе находится
степень cosx, рациональнее применить подстановку (8,15).
Дроби второго вида с помощью подстановок (8,14) и (8,15)
можно привести к интегрированию степенных функций.
Применяя подстановку (8,14), надо учесть, что из \gx = z
следует:
, dx '
d
l + za
sin* =
(8,16)
- L*?xdx = dz; ^=-^?-=—^-=-^-1
\ sec2 x 1 + tg2 x 1+z2)
Если применяется подстановка (8,15), то
j dz \
1
/l+г2
COS* =
/Г+72
(8,17)
Задача 8,11. Найти интеграл / =
Решение. Здесь m = 4; л = — 8; т -\-п = — 4 — четное отри-
отрицательное число. Подынтегральная функция относится к рас-
рассматриваемому случаю.
Так как в числителе находится степень синуса, то на осно-
основании сделанного указания удобно применить подстановку (8,14):
igx==z. По формулам (8,16) получаем
96

Переходим к старой переменной (заменяем г на tgx)
, tgs х tg' х r
Задача 8,12. Найти интеграл / = \ ^r^dx.
Решение. Здесь и = 4; /га = — 6; т + п = —2 — четное отри-
отрицательное число, и мы имеем рассматриваемый случай. Так как
в числителе находится степень косинуса, удобна подстановка
(8,15): ctgjf = z.
Используя формулы (8,17), получаем
V(\ + г2)»
Заменяем г
на ctg х
Задача 8,13. Найти интегралы:
dr, 2) It =
Решение. 1) Здесь т = 3; n = —7; m + я = —4 — четное
отрицательное число, т. е. рассматриваемый случай. В числителе—
степень синуса, а потому удобна подстановка (8,14): \.gx = z.
Используя формулы (8,16), относящиеся к йтой подстановке, по-
получим
z3
/A + г*O
= $*3 0 + *2J пЬ = J28 A + г2) & =
I Заменяем г на tg д:
tg4 х , tg* д; г
2) Здесь /п = —9; /г = 3; m -f п — —6 — четное отрицательное
число, т. е. рассматриваемый случай. В числителе — степень
4 3-1734 97

косинуса, удобно применить подстановку (8,15): ctg х = г. Исполь-
Используя формулы (8,17), относящиеся к этой подстановке, получаем
| Заменяем z на ctg.* I
/ctg* * ctg8 л: , ctgSAA _
¦ — (-т~ + —r + -g-j+ Ci
Для упражнения к первому интегралу примените подстановку
(8,15), а ко второму — (8,14). Ответы совпадут, но в каждом —
случае придется интегрировать отрицательные степени г„ поэтому
интегрирование осложнится.
Задача 8,14 (для самостоятельного решения). Вычислить ин-
интегралы:
1) \^г} [подстановка (8,15I;
2) \^-х [подстановка (8,14I;
а> J cos» х' '; J sin" х' 0> J
О т вет. 1) —ctg* — -§-ctg3л;, + С; 2) tgх + ^-tg3 л: + С; 3) tg д:+
dx
|g; 4)
5) tgx + tg3A; + 4tg^ + -it
Задача 8,15 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) Г^г?dx [подстановка (8,15)];
о, Г cos'л: . . .. rsin^ .
z> )ШГхах' 3> )^^dx-
Ответ. 1) _Ictg**+C; 2) -(jdg*x +|ctg»*)+ С;
98

В предыдущих задачах тип были целыми числами. Это тре-
требование не является обязательным. В рассматриваемом случае
необходимо только, чтобы т -\-п было отрицательным четным
числом. Мы предложим несколько задач, в которых соблюдается
условие т + п = —2k, но т и п — числа не целые.
Задача 8,16. Найти интегралы:
\
Решение. 1) В подынтегральную функцию sin* входит в
1 9 „
степени т — -=-, a cos х — в степени п — —^. Поэтому т + п —
1 9 8
= -j — -j — — т = — ^~" четн0МУ отрицательному числу. Здесь
наиболее удобной будет подстановка (8,14): igx = z. Используя
формулы (8,16), получим
1 + z2
2) В этом примере показатель степени синуса т = —-д-> а по-
2 . 8 2, '
казатель степени косинуса п = -j, а потому т-\-п = — ¦g--f-3- =
= —2 — четному отрицательному числу. Здесь уместна подста-
подстановка (8,15) :ctgx = г. Учитывая связанные с ней формулы (8,17),
получим
-
sin3*
1 1 + г*
+l2K
| Применяем формулы (8,17) |
Г ! -5. 1
99

3) Преобразуем подынтегральную функцию к виду, который
соответствует рассматриваемому случаю:
I cose* if
COS2* COS2 X
Здесь т= -?' n~~~2> tn-\rn = —6 — отрицательному не-
нечетному числу. Применяя подстановку (8,14) и учитывая связан-
связанные с ней формулы (8,16), получим
sin2* d:
13 a;
COS2 X
1 (vi -
| Применяем
I
l H
i?
формулы
L 22
(8,16) |
Г1 fi
= z2(l+2?2 + z4)dz= (z2
Возвращаемся к старой переменной,
заменяя г на igx
2 2 4 - 2 -
Задача 8,17 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) J/Jg*; 2)
3) J i^xse^xdx.
Ответ. 1) -|tgA;Ktg^ + C; 2) ^
3)
Теперь рассмотрим примеры, относящиеся ко второму виду
дробей (см. стр. 665).
Задача 8,18. Найти: 1) /, = Г . ,dx . ; 2) /, = { . /* е ;
J sm3 х coss *' ' 2 J sm4 x cos6 *
d*
' * cos x
100

Решение. 1) Здесь т = —3; п = —5; т + п = — 8 — отри-
отрицательному четному числу, а потому подынтегральная функция
относится к рассматриваемому случаю. Для вычисления инте-
интеграла можно применить любую из подстановок: (8,14) и (8,15).
Остановимся, например, на подстановке (8,14): tg;c = z-H исполь-
используем связанные с ней формулы (8,16)
1 dz _ РA + г2K ,
, — i -~ иг —
1+ г2
1 (V7T72M
_ С 1 + Зг2+Зг4 + г8^ _
-У
2tg2A;
Для упражнения при вычислении этого интеграла применить
подстановку (8,15) и связанные с ней формулы (8,17).
2) В этом примере т — —4; п — —6; т + п = —10 — отри-
отрицательному четному числу. Подынтегральная функция относится
к рассматриваемому случаю. Для вычисления интеграла, как это
было указано и при решении предыдущего примера, можно при-
применить любую из подстановок; (8,14) или (8,15). Чтобы разнооб-
разнообразить решение, применим подстановку (8,15): ctg;c = г и исполь-
используем связанные с ней формулы (8,17)
Вычисляем A + z2L
по формуле бинома
Ньютона
Возвращаемся к старой переменной,
заменяя г на ctg*
101

3) Здесь т = —7; п = —1; /я + /г = —8. Применим подета
новку (8,14): tgx = z. Учитывая связанные с ней формулы (8,16)
получим
п 1 UZ Г» A+22K,
11 31
Заменяем г Hatgj; и учитываем,
что =ctg*
= --ictge*-|ctg**-fctg2x+ln|tgxl+C.
Задача 8,19 (для самостоятельного решения).
dx
Найти интегралы: 1) j sin, fcos8 ^ 2) j ^
3^ Г dx ¦ А) Г dx ¦ 5) С йх
' J sin3*cos3*' ' J sin*cos9*' ' J sin5*cos5*'
Ответ. 1) lO(tgx — ctgx) + -T{tgsx — ctgi
sin* cos3*'
+ 2 1n|tg*| + C; 4) i-tg8A; + |-tg«A;+^
-4-.lnltgJc| + C; 5) —jctgix — 2ctg2x+2tg2x + ^-tgix+ ;
+ 6 ln|tgjc| + С '
Четвертый случай. Сумма показателей степени синуса и ко-
косинуса равна нулю: ^ т + п = 0, причем предполагается, что т'
и п — целые числа.
Таким образом, показатели степени синуса и косинуса равны
по абсолютной величине, но противоположны по знаку, а подын-
подынтегральное выражение имеет один из видов:
1) -!!°!lf или 2) ^.
В рассматриваемом случае интеграл (8,10), если /и>0, при-
приводится к интегралу вида
^tgnxdx, (8,18)
а если п > 0 — к интегралу
)ctgnxdx. (8,19)
102

К интегралу (8,18) следует применить подстановку (8,14):
tgx = z;dx=~-2. (8,20)
Эта подстановка приведет к интегралу
J 1 + 22*
К интегралу (8,19) удобно применить подстановку (8,15):
ctg* = 2; dx = — j-jfjj, (8,21)
которая приведет его к виду
Выполняя деление (в первом случае гт делим на 1 + гг, а во
втором г" на 1 + z2), придем к выражению, которое непосред-
непосредственно интегрируется.
Задача 8,20. Найти интегралы: 1) /х = j tg4 xdx;
2) /2 = j" ctg5 xdx; 3) /, = j" ctge xdx; 4) /4 = j" tg8xdx.
Решение. 1) Применяя подстановку (8,20), получаем
Заменяем г на \%х |
- С.
2) В этом случае применяем подстановку (8,21):
Возвращаемся к старой перемен-
переменной: г = ctg *
103

3) Подстановка (8,21) дает
1г5 —-i
—arctg2j + C.
Учитывая, что arctg a + arc ctg а = — , a arctg а = ¦? — arc ctga
получаем
/3 = — j гъ + -j г8 — г + arctg z -f С =
= — jctg5A; +i-ctg8A; — ctg* — x + C
(слагаемое -j отнесено в произвольную постоянную).
4) Подстановка (8,20) дает
= 1г' - i-г5 + 1г3 -г + arctgz + С = \ tg' x-
— j tg» л; + 4 tg3 х — tg д; + arctg (tg *) + С =
ytg8*- tgjc
Задача 8,21 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) ^tg^xdx; 2) \jtg5xdx; 3) §ctg8xdx;
4) jtg3x^; 5) Jtg'^dx.
Ответ. 1) jtg5x—-~tgsx
2) 4tg**-itg2A:
3) — i-ctg2*— l
4>r
104

III. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЧЕТНЫХ СТЕПЕНЕЙ СИНУСА
И КОСИНУСА
j sin2" xdx, J cos2"xdx, п — целое и > 0.
Из тригонометрии известно, что
sin2 х =~(\— cos 2х); (8,22)
cos2 х = ~ A + cos 2л:). (8,23)
Применение этих формул позволит снизить степень подынте-
подынтегральной функции в рассматриваемых интегралах.
Задача 8,22. Найти: 1) /х = jcos2xdx; 2) /2 = J sin2xdx.
Решение. 1) Заменяя cos2x по формуле (8,23), получим
/ = С1 A + cos 2x) dx = j (x + ~ sin 2xj + С.
Итак,
\ cos2xdx — -g- (л: + у sin2лА + С. (8,24)
2) Поступая так же, найдем
f sin2 x dx = ~ lx — 1 sin 2x) + С. (8,25)
Задача 8,23. Найти / = J еоз4л:йл:.
Решение.
cos4 x = (cos2 xJ = [1 A + cos 2л;) I2 = ~ A + 2 cos 2лг + cos2 2x) =
| К cos2 2x применяем формулу (8,23) |
= xfl + 2 cos 2л: + 4-Х1 + cos 4лгI == i- ГА + 2cos2a; + -^ cos 4x1.
4 L J Lz J
Поэтому
7 = T \ D + 2 cos 2x + Ycos4-^) ^ =
1 / 3 • 1 \ ^i
= т r?r x + sin 2x + -я- sin 4л: -4- C.
4 \2 8 /
Задача 8,24 (для самостоятельного решения).
Найти j sin4 x dx.
Указание, sin4x = (sin2xJ = |-^A — cos2x)j .
Ответ. |_si!f + siHif + C.
105

Задача 8,25. Найти / = jcos*xdx.
Реш ение.
cos6 х - (cos8 xf a, \ i- A + cos 2л:)]3 =
| Применить (8,23) |
= 1 A + 3 cos 2x +3 cos2 2л: + cos3 2х) =
= 4"[J +3cos2x + 3--i-(l -f cos4x) + cos22л:-cos2a;] =
= -g-[l -f 3cos2* + J- + !-cos4a:-H1— sin2 2*) cos 2x] =
Поэтому
/ = -g- Uy + 4 cos 2* + у cos 4л; — sin2 2x cos 2л;) dx =
== -g- (y x +2 sin 2л; + ~ sin 4л: — -g- sin3 2xj + C.
Задача 8,26 (для самостоятельного решения).
Найти: 1) J sin* xdx; 2) j sin8x dx.
Указание. Учесть, что cos32л; = cos22л;cos2л; =
= A — sin2 2л;) cos 2л; = cos 2л; — sin2 2л; cos 2л:.
Ответ. 1)
2)^A sin 8л: — i-sin 6л:+ 7 sin 4л: — 28sin2*)+||*-f С. ,
Замечание. Интеграл j sin8xdx получается из рассмотрен-
рассмотренного в предыдущей задаче J cos6 x dx заменой х на х + у:
cos (х + у) = — sin x; cos6 (л: + ~) = (— sin л;N = sin6 x;
\ sin6 х dx — \ cos6 ( х = у j dx.
Проверьте, что ответ этой задачи получается из предыдущего,
если в нем заменить х на х -f у.
106

IV. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕТНЫХ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СИНУСА И КОСИНУСА
(ИНТЕГРАЛЫ ВИДА:
j sinZm x cos2" x dx, где т и п — целые и > 0).
При вычислении интегралов этого вида нам придется приме-
применять формулы (8,22) и (8,23).
Задача 8,27. Найти интегралы: 1) /х = ? sin2 x cos2 x dx; 2) /2 =
= ] sin* х cos2 x dx; 3) /3 = \ sin* xcos* x dx.
Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию так:
/ i \2
sin2 х cos2 x = (sin x cos л:J == I у sin 2x) =
= 1 sin2 2x = - -1 A — cos 4л).
j Применить (8,22) i
Поэтому
/x = -g-1 A — cos Ax) dx = -g- л; — -^ sin 4л; = С.
2) Преобразуем подынтегральное выражение так:
sin* х cos2 x — sin2 x cos3 д; sin2 x — (sin a; cos х)г sin2 x =
/l \2 1
= I-г-sin2x\ sin2д; = -j-sin22a;sin2д; =
К каждому сомножителю применяем
формулу (8,22)
= -i- • -j A — cos4a;) • — A — cos2x) = ^A — cos 4* — cos 2x +
+ cos4a;cos2a;) = Tg U —cos 4л; — cos 2л; -f- -^-(c°s2a; +cos6;t) =
I Применяем формулу (8,2) I
= та И — cos 4л; — -к- cos 2л; + -о- cos Qx).
Поэтому
/2 = jg \ A — cos 4л; — -g- cos 2л; -f ¦% cos 6л;) dx =*
— -7-sin4.* — -j sin2л: +т^ sin6;cJ4- С.
107

3) Подынтегральное выражение преобразуем так:
/1 \4 1
sin4 х cos4 x = (sin x cos xY = I-g- sin 2x\ = -г* (sin2 2xf =
[12
i- A - cos Щ J = 1 A - 2 cos 4a; + cos2 4x) =
Применить (8,23)
1 cos 8*) = 1 (y — 2cos4^ + -J- cos8*).
+ -i sin 8д;) + С = -1= (Зх — sin 4л; + 4- sin 8x) + С.
10 / I/O \ О /
Задача 8,28 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) j sin2.x;cos4.x;d.x;; 2) J sin4 .xrcos6 xdx.
Указание.
sin4 x cos8 x — sin4 xcos4 x cos2 д; = (sin x cos яL • -~-(l +cos2a;) =
?
.. = A sin 2^L. i A + cos 2^) = 1 sin4 2x l+c°s2x e
= 32 (sin4 2д; + sin4 2x cos 2д;).
j n42A;dx вычисляют как и j sin*xdx, a j sin42л;cos2л;d.x; лег-
легко находят по формуле A,29).
Ответ. 1) щ \Лх — sin4x-f sin 2л; — -^ sin 6л;) + С;
1
1
Задача 8,29. Найти интегралы:
1) j sin6 xcos4xdx; 2) j sin8 cos" xdx.
Указание, sin8xcos6x = -^(sine2л; — sin62л;cos2л;).
Вычисление j зт62л;йл; см. задачу 8,26.
Ответ. 1) ggg[Эх — sin4л; + -g"sin8x — 4"sin5Щ + ^
2) j^\jx — sin4л;+ ^sin8л;+ ]^sin34л;]—
108

V. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
J /? (sin л:, cosx)dx. (8,26)
Запись #(sin*, cos*) означает, что над синусом и косинусом
производятся только рациональные операции: сложение и вычи-
вычитание, умножение на постоянные величины, возведение в целые
степени как положительные, так и отрицательные, деление. Дру-
Другими словами, под символом iR (sin*, cos я) следует понимать ра-
рациональную функцию синуса и косинуса.
Интегралы вида (8,26) приводятся к интегралу от рациональ-
рациональной функции подстановкой
tgy = z <-« <*<«), (8,27)
которая называется универсальной тригонометрической подстанов-
подстановкой. Это название подстановка (8,27) получила потому, что она
во всех случаях приводит функцию iR (sin.*;, cos я) к рациональ-
рациональному виду.
В тригонометрии доказывается, что все тригонометрические
функции выражаются рационально через tg -j:
sin x — " ¦ f cos x ——
1+tg2! .
поэтому универсальная тригонометрическая подстан овка (8,27)
приводит к формулам, по которым sin я, cos л; и dx выражаются
рационально через новую переменную г:
^п* = ттт*; cosx==rri' d* = TT? (8>28)
из tg -| = г следует, что — = arctg г (— тс < * < тс), х = 2 arctg-г;
. 2dz
x
Применяя подстановку (8,27), мы могли бы вычислить все
интегралы этого практического занятия. Однако это привело бы
к значительному усложнению вычислений. В случаях, разобран-
разобранных выше, мы обошлись без этой подстановки.
Укажем еще три случая, в которых легко можно избежать
универсальную тригонометрическую подстановку (8,27).
1. Если 7? (siriA: cos*) меняет знак при замене sin.*; на—sin.*;,
т. е. если iR (sinx, cos*)—нечетная функция от sin*, то подын-
подынтегральное выражение в (8,26) приводится к рациональной функ-
функции подстановкой
z. (8,29)
109

2. Если функция R (sin х, cos х) меняет знак при замене cos x
на — cos х, т. е. если она нечетная функция cos x, то подынтег-
подынтегральное выражение в (8,26) приводится к рациональной функции
подстановкой
•¦ sinse=.z.' (8,30)
Если функция R(s'mx, cosx) не изменяется при одновре-
одновременной замене sin* на —sinx и cosx на — cosx, то подынтег-
подынтегральное выражение в (8,26) приводится к рациональному виду
подстановкой
tgx = z. (8,31)
Задача 8,30. Найти / =
Решение. Применим универсальную тригонометрическую
подстановку:
, х . йг , Ыг
tg z; sinx dx
(см. формулы (8,27) и (8,28)).
Поэтому
2dz
Возвращаемая * старой перемен-
х
ной: заменяем г на tg -к"
1 _!_ +1 In
8 . . х + 2 Ш
Задача 8, 31 (для самостоятельного решения).
Найти /==1
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи,
ic / \ С И
заменив х на * + у- Так как cosx = sin(x + о"). то \ —т~ =
J
sin3 х
, и в ответе предыдущей задачи всюду вместо х
подставить *-}--?¦.
110

Ответ. /--¦{¦
Преобразуйте этот ответ к виду
Задача 8,32. Найти /
= J —j^ .
Решение. 1) Здесь опять-таки, применим универсальную три
гонометрическую подстановку: tg — = z\ sin х = } * ,; dx =
A + г2)»
16 J
+ 4Z4-Z8.
Возвращаемся к старой переменной: заменяем г на tg -j
Задача 8,33 (для самостоятельного решения).
Найти
cos6
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей зада-
задачи, заменив в нем х на х + у •
Ответ. i(-ictg«(| +^)_2ctg»(i+ f) + 61n| tg(f +
Задача 8,34 (для самостоятельного решения).
cos' х '
III

Отрет. 1) l(itge|-+4tg*|-+ ^
_ .Lcte2 —— Л-cts4 —— — cto6 —) 4-C-
2 8 2 2cg 2 6 lg 2/+
—
6
Задача 8,35. Haita /
Решение. Применяем универсальную тригонометрическую
подстановку: tg |- = z. Используя формулы (8,27) и (8,28), имеем
2z /, 3A-г2) I+.
1 -f- га1 ~*~
Г 5гМ-12г 4- 5 dz.
г G 4- г2)
Разложим на простейшие дробь, стоящую под интегралом:
г G + г2)
7 +г2 '
отсюда
5г2 4- 12г + 5 = А G +z2) + г (Bz + С);
Поэтому
= у; С =12.
:=yln>z|-t-ylnG
12
Переходим к старой переменной:
заменяем г на tg.?
Задача 8,36 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) [J^+IL*) dx>
2)
cos x
С 4 4- 5
J sin as G 4- 3sinAs7
dx.
112

Ответ. 1) -?¦
7 + 3 sin x
2) 7ln tgy
12
-Tln
Задача 8,37 (для самостоятельного решения).
Найти ("f^~^^ /подстановка: tg у = г\.
Ответ. xtgj + C.
Задача 8,38 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы 1) ^c0,x(Zsinx) ; 2) j «,., Д «,, х).
Указание. Подстановка: tg у = г.
Ответ. 1)
| )|
В заключение выполним несколько упражнений на применение
упрощающих подстановок, указанных на стр. 111.
С d
Задача 8,39. Найти интеграл /«
Решение. Так как синус и косинус находятся в четных
степенях, то изменение знака у каждого из них не изменяет
подынтегральной функции C-й случай, стр. 112). Подстановка
(8,31):
tgx = z; sec2xdx = dz; A -\-z2) dx = dz; dx= -j - 2.
Если tgx — z, то sinx — —7=== \ cosx — - l a ; sin2A; =
= . !_ 2; сог2 x = '. . g2- . Поэтому
6 Ja24-(bz)
/ _ i J + z2 _ f dz 1 f 6 dz
I Заменяем z на
tg л: 1
113

Пользуясь этой, формулой, можно легко вычислить интегралы:
с dx с dx
J 1 + sin2 x ' J 1 + cosa* '
Выполним это так: 1 =ь sin2# + cos2.><;, а потому
г dx _ С d? г dx_
J Т+ШРх J sm^ + cos^ + sin^* ~ J cos2x + 2sin2x ~
'¦ ¦ |
j
| а2 = 1;
Аналогично легко найдем, что
Рекомендуем вычислить эти два интеграла не по готовой фор-
формуле, а при помощи подстановки tgx — z.
Задача 8,40 (для самостоятельного решения).
тт „ С sin2xeos;c
НаиТИ j
Указание. Перемена знака у синуса и косинуса не изме-
изменяет подынтегральную функцию, va потому и здесь мы имеем тре-
третий случай, и наиболее удобной будет подстановка: tgx = z.
Подынтегральная функция после подстановки примет вид
A + г) A + г2J *
Ответ, j- In | sin x + cos x \ — j cos x (sin х- + cos x) -f- С.
Задача 8,41. Найти интегралы:
dx
' х J sin*л; ' * J
. 3
sin3
Решение. 1) При замене cosx на—cos* подынтегральное
выражение меняет знак.
Здесь уместна подстановка: sin* = z (см. стр. 112);
cos xdx = dz; cos x = V\ — z2;
J Г cos^ x cos x . С V(T=W dT , С A -
11 - J sin** UX ~ j ? dz - J
I Возвращаемся к старой
| переменной: г = sin x
114

2) При замене sin л: на —sin л: подынтегральная функция ме-
няет знак. Подстановка: cosx = z; см. стр. Ill; sinх = УТ
— sinxdx = dz; dx= — ,. г ;
Г - С Лг _ С d?_
2 — 3 Vt=WW=W? — J ^-^
Указание. Дробь т. ^-2 разложить на элементарные,
Ответ. ' cosx ' 3 '--1-*
Задача 8,42 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы:
х -j- (подстановка: cosx = z);'
sin л: cos4
sin2 л: cos3 x'
ДЕВЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интегрирование алгебраических иррациональностей.
I. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
(9,1)
где а, р, -j—дробные рациональные числа;
R {ха, х9, хч) — рациональная функция от аргументов дс», лсР, л:т.
Это означает, что над этими аргументами производятся только
четыре арифметических действия и действие' возведения в целую
степень, как положительную, так и отрицательную. Вообще же
под интегралом находится иррациональная функция.
Интегралы этого вида приводятся к интегралу от рациональ-
рациональной функции подстановкой
х = уп, dx = nyn-ldy, (9,2)
где п — наименьшее кратное знаменателей дробей а, р, f.
Интеграл (9,1) преобразуется к виду
УпК у1*)nyn-ldy,
115

но теперь па, п$, щ — целые числа и тем самым интеграл (9,1)
от иррациональной функции сведен к интегралу от рациональной
функции.
Задача 9,1. Найти 7 = 1 ^x r-dx.
С j
Решение. Представим интеграл в виде I -JL—-dx. Наи-
I
1 О 1
меньшим кратным знаменателей дробей -^, s- и тг является 6.
Под интегралом находится рациональная функция от х6, т. е.
от ух. Интеграл относится к рассматриваемому типу (9,1), а так
как наименьшее кратное знаменателей дробей равно 6, то под-
подстановка (9,2) запишется в виде
х = у6; dx = 6г/8 dy; (9,3)
11 1 ? 'А
х3 = (г/6K =
а интеграл
/ =
J г/3 («/ —
— у3 J ( J
Быделяем
целую часть
Возвращаемся к старой переменной,
из (9,3) следует, что у = -fx
Задача 9,2 (для самостоятельного решения).
Г v~ Г ¦ 3/~
Найти: 1) g—vx _dx; 2) L-L——,
Указания. 1) Первый интеграл, приводится к интегралу от
рациональной функции подстановкой х = г/6. После этой подста-
подстановки интеграл переходит в 6 Г ¦ у_ dy.
Пб

2) Ко второму интегралу применяем такую же подстановку:
у*
+l -Ud a\Cdy Г dy
3) К третьему интегралу применяем подстановку х = у12, кото-
которая приводит интеграл к такому виду:
4
у
Ответ. 1N [±
¦ С; 2) ln-^—-6+ С; 3) 1
{ух + 1) ~ ух
Задача 9,3 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) I ^ • 2) I Ух+У^+Ух.
I 3 ^ 1 ^ ^
Указание. Подстановка х — уп приводит к 12 (у ~\*( ft- dy
(выделить целую часть).
6 _ 3 _ _ 6 _
Ответ. 1) 6 Ух — 3 Ух + Wx— 6 In | yx _|_ 11 _j_ q;
/ 1 3 _ j 12 _ j 4 _ 12 _ 12 _
2) 12 [j Ух^+jy^—jyx + Vx — arctg (}/x + 1) + C.
Задача 9,4 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) \ v—3 -dx; 2)
3) v x dx
О) i -^ ил.
3 ,„ 6
Ответ. 1) iVx* — ^
3) 4 yi? - in y^(^3 +1L+ с
117

II. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
cx+d)
cx
1,
пХ<
где а, C, 7 — рациональные дробные числа, a R — рациональ-
рациональная функция своих аргументов.
После подстановки
где п — общее наименьшее кратное знаменателей дробей а, р, у,
интеграл (9,4) переходит в интеграл от рациональной функции.
Из (9,5) следует определить х, а по найденному значению х
определить его дифференциал dx.
Отметим, что частный случай интеграла (9,4) получается тогда,
когда вместо дроби axJ~ : подынтегральная функция содержит
СХ —j-" О/
дробные степени линейной функции от х.
В этом случае рационализация достигается подстановкой
ах + Ь = у", (9,5а)
где п имеет указанное выше значение.
Задача 9,5. Найти / = Г , ** dx.
JVx-l
Решение. Этот интеграл может быть переписан так: / =
xi ¦ '
fdx, и поэтому он относится к рассматриваемому типу
Подстановка: х — 1 = г/8; х = у2 -{• 1; dx = 2ydy.
Осуществляя эти замены, получаем интеграл от рациональной
функции:
7 =
2ydy = 2^у2 + l?dy=2
К старой переменной переходим,
полагая у = }^х — 1
+4
(х- 1) Vx~=
С = 21/J~i [I(x-
118

xzdx
С
Задача 9,6. Найти / = j E, + 2)y5, +
Решение. Интеграл представим в виде / == I г dx.
Он относится к рассматриваемому типу. Сделаем подстановку
2 2
Тогда Ых = 2ydy; dx = Цр ; х = ^- .
Подставляя эти значения, получаем интеграл от рациональ-
рациональной функции:
Задача 9,7. Найти / = \ —, (рассмотреть случаи Ь > О
J ху ах+ b
и 6<0).
Решение. Подстановка: ах + b = у1; adx = 2уdy\ dx = -ydy;
Подставляя эти значения в /, получим под интегралом рацио-
рациональную функцию;
Если Ь > 0, то b = k2, и тогда
-fe
Заменяем ft на Yb
а у на Yax-\- Ъ
Окончательно, возвращаясь к старой переменной, имеем
/== 1 inl^Hz^+c. (9,6)
119

Если b < 0, то b — — р";
р
Задача 9,8. Найти / =
(9,7)
Решение.
Г
J
Интеграл относится к рассматриваемому типу.
Полагаем, что 3* + 4 = гД Тогда х=^=^; dx=
О
О О
а интеграл преобразуется к интегралу от рациональной функции;
3 1 (t/2 — 4J
Интегрируем по частям
У
du = dy;
1
'2(у2-4)
Ответ. / = -
j- infill-2 + С.
4 /з + 4 + 2
+ j infill
Задача 9,9 (для самостоятельного решения).
Найти 1,J Ш=1 dx; 2) Щ^
Указание. Во втором примере после подстановки удобно
применить интегрирование по частям.
Ответ. 1)
р ух + 2 + 3
Задача 9,10. Найти /= у —гъ _ 4 ^
J г * "г *
Решение. Положим ^ + 2 = г/2; х = у" — 2; dx = 2ydy.
Тогда
I Выделить целую часть
О т в е т. / = х + 14 Vx + 2 + 56 In | Ух + 2 — 41 + С.
120

Задача 9, II (для самостоятельного решения).
н. Г йх'
Найти I з .
Jxfx-8
Указание. Подстановка х — 8 = у3.
Интеграл после подстановки примет вид: 3 I -j
t) У
Разложить дробь 3.18 на простейшие.
1 , о2 — 2« + 4 , V~b , У — 1 3
Л торт , In JL Ч. ! _] ЯГГТ0 , ГЯР 11 = 1/ ... О
итвет. 4 ш (у + 2)г т- 2 drcig 1/3 'гдег/ К^—8-
Задача 9, 12. Найти / = \ г
-2л:J —у 3 +2л:
Решение. Здесь подынтегральная функция отличается от
предыдущих тем, что она содержит корни разных степеней (третьей
и второй).
Перепишем интеграл, заменяя корни дробными показателями:
,_ С dx
1 - \ ± ±'
J C + 2х) 3 — C+ 2х) 2
2 1
Общий наименьший знаменатель дробей -д- и у равен 6. Под-
Подстановка (9,5а) будет такой:
Подставляя эти значения, получим
= з(^ + у + In \у~ 11) + С = зD
Еозвращаемся к старой переменной
б
Задача 9, 13 (для самостоятельного решения).
Найти: 1) Г3 " , 2) f 3^+-Г dx.
121

— 1| + C;
Ответ. 1) 3 Vt\ +x
Теперь найдем несколько интегралов вида (9,1), в которых
подынтегральная функция—дробно-линейная функция;в дробной
степени.
Задача 9, 14. Найти I = \у
*
4
Решение. Подстановка .-. - = у2 приведет к интегрирова-
интегрированию рациональной функции. Из указанной подстановки опреде-
определим х, а потом dx:
' 5 _ 3* = 4г/а + 7ху2; 5 — 4г/а = 7ху2 + Зл:;
//г - -8j/Gj/2+3)-14j/E-y)
Л ~ Gi/2 + ЗJ *•
Поэтому
Здесь удобно вместо разложения на
элементарные дроби применить интег-
интегрирование по частям:
и —у
dv =
У
dy
du = dy
1
О = — Та'
1
14 7i/2
¦; '¦
4 —
УE — Ъх) D + 7х) 47/21
7 147~
122

Задача 9, 15 (для самостоятельного решения).
Найти: 1) 1г = J У §±|л, 2) /, = J ]/ fEga,-
Ответ. 1) —1/4 — г* + 2 arcsin -|- + С. (Этот пример можно-
легко решить и не пользуясь подстановкой (9,5), если переписать
подынтегральную функцию, умножив ее числитель и знаменатель
на Y 2 + х. Тогда
/4 -
-7M
/4 -
+ 4/5C —4л:)(9 —
\
Задача 9, 16. Найти интеграл / = \ г
Решение. Применим подстановку
X ¦¦—
Отсюда определим ли&
л; + 3 = ху* — Зу2; 3 + 2>у2 = ху2 — х;
Интегрировать по частям:
Задача 9, 17 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1)
3) |(дг-2
Указание. В первых двух интегралах после подстановки
интегрировать по частям.
123

Ответ. l)_
2) E - х) j/Ш _ 6 arctg УЩ + С;
3) \\ — y* j Y\ — x2 — g-arcsinx + C.
Задача 9, 18. Найти интеграл / = \ —*x + 4 +1 dx.
Решение. Подстановка: х + 4 =± г/8; dx — 2ydy
Разлагаем на простейшие дробь
(/+3 (/ + 3 А , В.(/+С
— _j
«/3-l
3' " ~ 3
4 4 5
Отсюда следует, чтоЛ=-5; В = — т; С = — т;
=-| ln|r/-l |-4 In (г/2+ r/ + l)-^=-arctg
Переходя к старой переменной, с помощью равенства у =
= ]/* + 4 окончательно получаем
/ « Ш <V?+l-jr__ 4 2/7+4 + 1 +с>
3 х + 5 + /л: + 4 /3 ё /3
Задача 9, 19 (для самостоятельного решения).
lH±L=dx- 2) fi/TEL^.
C.
1 „
Указание. После подстановки —— = у* окажется, что
J ur— .
Дробь
уг
_ _ J
(г/2-1)(#2+1) ~ 4 •(,_! 4
124

Рассмотрим еще несколько интег ралов, сводящихся к виду (9,4).
Задача 9. 20. Найти / = I g •
Решение. Этот интеграл легко приводится к рассматривае-
рассматриваемому типу:
V(x — IJ (х + 2) = У |* ~ ^ (х + 2)s= (х + 2)Y(~\J (можно
и иначе
Я 9
3
(х- 1J (х + 2) = у (х- lK^f = (х -
Поэтому
dx
/ =
(х
Подстановка нам хорошо известна:
Отсюда ж — 1 = ху* + 2г/3: 2г/3 + 1 = х A — у3);
3
, о_ 2у»+1 р_
Производя замены в (А), получаем / = 3 \ rzrr • Разлагаем
на простейшие дробь
11 _ А • Ву+С
1-1/3- A-у)(\ +у+у*) 1-
Отсюда
Из подстановки (В) следует, что у = 1/ х~2 , а поэтому по-
получаем
Ответ можно несколько упростить, если постоянную величину
•j In 3 присоединить к произвольной постоянной.
125

Окончательно
Тlp IW+2 -/*=! | + КЗarctg^H_L?^L.
Задача 9,21 (для самостоятельного решения).
Найти, интегралы: 1) Г <—; '> 2) Г §
J(x-3)»(x+l)» J/(*+i)*(
3)
3
Указания. 1) V(*-3)s (* + 1)» = jT(*-3K|±4p = \
Применить подстановку: J^|= г/4; * + 1 = Г±^; dx= Jg
2) /(* + 1У (x - 2)* _ уь±$ (х - 2)« = (x - 2).
Подстановка: J±i = ^; x = ^t^;
3) V (l+x)'{l—x) =
Подстановка: , — у*', х = у4 Т ; 1—х =
4 3
Ответ. 1) /?=1 + С; 2) -
'
III. ИНТЕГРАЛЫ ОТ БИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Так называются интегралы вида
|лЯ(а + Ьхп)р dx, (9,8I
где т, п и р —любые рациональные числа;
а я b — какие угодно постоянные, не равные нулюг. Подынтег*
ральное выражение называется биномиальным дифференциалом,
1 Конечно, предполагается, что числа т, п и р не все целые. Если бы вс<
они были целыми, то вопрос свелся бы к интегрированию суммы степенньц
функций,
126

П. Л. Чебышев доказал, что только в трех случаях этот
интеграл может быть выражен в конечном виде через алгебраи-
алгебраические, логарифмические и обратные круговые функции:
1) р — целое число, которое может быть положительным, отри-
отрицательным или равным нулю. В этом случае применяется под-
подстановка
х = у*, . (9,9)
где s — общее наименьшее кратное знаменателей дробей тип.
Это простейший случай: дело сводится к интегрированию суммы
степенных функций. Нами он рассматриваться не будет. 4
2) t—^ целое число. Здесь следует применить подстановку
a + bxn = ys. (9,10)
где s — знаменатель дроби р.
3) — \- р — целое число. В этом случае применяют под-
подстановку
, ax-n + b = ys, (9,11)
где s — знаменатель дроби р.
Других случаев интегрируемости биномиальных дифференциа-
дифференциалов, кроме перечисленных, нет. Интересно отметить, что они были
известны еще Ньютону, а Эйлер указал приведенные выше под-
подстановки. Однако только П. Л. Чебышев доказал, что эти случаи
интегрируемости являются единственными и что в других случаях
интеграл (9,8) не может быть выражен при помощи элементарных
функций.
Задача 9,22. Найти / = ] —•' dx.
J Ух
Решение. Перепишем интеграл в виде
:т)т dx
\х 41
и, сравнивая его с (9,8), получим
т = — т; п = т; р = -^.
6 *± О
_1 ! 1
Составим выражение: —^— = т = — = 2—целое число.
Т Т
Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости.
Подстановка (9,10) запишется так:
II „ 4 * .3. I I t v 41 3 .. /Q | о\
т* j i 1'т* / — У' 1">^^)
-L _L _L
= ^,1»,; Лс = 4 (г/3 — lK Зг/гйг/ = 12 (г/3 — 1Kг/2^.
127

Поэтому
J' 12 (У* -
= 12Jto- - Л «ЙГ = 12 (? -5) + С = 12^ (? -4) + С
о
3
л/ *~~Z
у — ' 1 + \/~х получим
Возвращаясь к старой переменной, при помощи равенства!
3
3
Задача 9,23 (для самостоятельного решения).
Найти \ Х+.УХ dx.
d Ух
Указание, т — — ¦-", п— -g-; р ==¦ -^ ; —~~ = 3 — целое
число. Здесь имеем второй случай интегрируемости. Знаменатель
дроби р равен 3, Подстановка (9,10): 1 -\-х6 = уъ. После подста-
подстановки получится
*— IJ
3. г / \a / \ n
6 _-|/ Г^_\ l[ 6 \ 2f 6 \ 1
Ответ. 18A + Vx)V l+V4.W+Vx) — T\l+V^]+l\.
Задача 9,24. Найти / = С , dx 8-g.
Решение. Запишем интеграл в виде / = \ (д _|_ ьх2) 2 dx.
Сравнивая его с (9,8), замечаем, что т = 0; п — 2; р = = •
Составляем числа т и ;—i—f- p, чтобы обнаружить, какое
из них — целое (если бы оказалось, что ни одно из чисел не
целое, то от интегрирования мы бы отказались):
mJr ¦ — -—¦ =-? — не целое число;
т+1, 1 3 ,
—~—Ьр= о- — -к — —' — целое число, и мы имеем здесь
ft ?t \ ?
третий случай интегрируемости.
Подстановка (9,11) при п==2 (знаменатель дроби р равен
также 2) выглядит так:
ахг2 + Ъ — у2.
128

¦ Отсюда следует, что — 2ах~3 dx = 2y dy, а хгг dx = — —ydy.
Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы оно содер-
содержало ах~2 + Ь (в третьем случае интегрируемости биноминальных
дифференциалов рекомендуется преобразовывать подынтегральное
выражение так, чтобы оно содержало ах~п -f Ъ). Вынося в
подынтегральном выражении х" за скобку, имеем
(а 4 bx*)~~idx = |хг(р + &)]""гdx =
= х-3 {ахг2 + Ъ) 3dx=— \
Поэтому
Подставляя сюда
получим окончательно
Задача 9,25 (для самостоятельного решения).
Найти \Ух C + 4л:3) йа:.
Указание. Записать интеграл в виде \ х2 C + 4д^J rfx
m = у; л = 3; р = -^; т~^- + р = 1 — целое число, третий слу-
случай интегрируемости.
Подстановка (9,11): Зх~3+4 = г/а. Подынтегральную функцию
представить в виде х2 (Зг~3 + 4J. Из подстановки следует, что
?i a «•«-ji-. Отсюда Зг'йл; =
' и интегРал преобразуется к виду
Вычисление этого интеграла можно выполнить разложением
рациональной дроби на простейшие, но проще применить инте-
интегрирование по частям, полагая
du = dy
1 i
'¦> = - tlF^
ydy
dv = r~s г
5 3-1734 129

После интегрирования получим
/_ У 1 1ng —2
причем, чтобы возвратиться к старой переменной, надо сюда
подставить
+1*5 I
Задача 9,26. Найти интегралы:
1) Г ** ±dx; 2)
J О-*8J
Ответ. 1)
2) 1 E + x2) Dxa — 15) Vb + x2 + C.
(9,13)
1
IV. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
где R — знак рациональной функции.
(Еще раз напоминаем, что это понимается так: над аргумен-
аргументами х и ~\fax% -\-bx-\-c могут производиться четыре действия
арифметики и возведение в целую степень как положительную,
так и отрицательную).
а) Интегралы вида
йх ^ (9,14)
ах* + Ьх+с'
Напомним три интеграла, которые нам часто будут встре-
встречаться:
1) jyi?Lj.dx = In | и + Vu* ± а21 + С; (9,15)
г dx = arcsin -^ + С; (9,16)
(9,17)
Вычисление интеграла (9,14) производится так:
1) под корнем \а\ следует вынести за скобку, - —за знак
V\a\
интеграла;
2) после этого под корнем выделить полный квадрат и при-
применить формулу (9,15) (при а>0) или (9,16) (при а<0).
(Если |а|= 1, то вынесение за скобку становится излишним,
и надо только выделить под корнем полный квадрат).
130

dx
Задача 9,27. Найти интеграл /= ¦ , а ?
Решение. Здесь а = 2 > 0; вопрос сведется к применению
формулы (9,15). Вынесем под корнем 2 за скобку и в остав-
оставшемся выражении выделим полный квадрат:
Зх + 7 =
+С=
Применяем формулу
(9,15): и +
и'= 1
Выражение, стоящее
под корнем, равно
V2
Окончательно, присоединяя —-^=1п4 к произвольной пос-
постоянной, получаем
/ = щ \Щ4х + 3 + 2^2 {2х*+3х + 7] + С.
Задача 9,28 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) С dx -; 2) [ dx
)Vlx*+bx + l '
Ч
• 4) Г
' ' J
:2 + 2х + 9
dx
Ответ. 1) -^
5) Г
4)| + С;
2) In 12л: -f 2 + 2K л:2 + 2a: + 91 + С;
3) -^= In 116* + 13
4) y-g lnf
+ C;
- C;
5) —U- In | 28л: + 9 + 2|Л4 A4а:2 + 9а: + 1) | + С.
у 14
131

Задача 9,29. Найти интеграл /
Задача 9,29. Найти интеграл / = jp=======-.
Решение. Здесь а = — 3 < 0, интеграл может быть вычис
лен по формуле (9,16). Вынесем под корнем за скобку 3, т. е. \а\
/3a j/*3D \ 2) K3|/"|I2
Выделяем под корнем
полный квадрат |
Для выделения полного квадрата в этом случае поступаем
так: 1) ставим перед скобкой минус; 2) в скобку вписываем х
и половину коэффициента лрил; в первой степени с обратным
знаком; 3) выражение в скобке возводим в квадрат, а квадрат
второго слагаемого в скобке прибавляем к свободному члену.
у ' Г ** » arcsin X-7^ +С-
Уз \ л Г109 / 7 ^ Уъ Ут
J У Ж~[х — ~б)
Применяем (9,16):
7
w=x — -г; g =
Окончательно
, l . 6* — 7 , -
/ = -7= arcsin , + С.
Уз Ут
Задача 9,30 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1)
2) )Уз + 2Х5х>'' 3)
I _ r _ г» ¦
|3
Ответ. 1) arcsiny|-3 + С; 2) ^- arcsin
3) arcsin ?i+i + С. 4) 4= arcsin
/37 /7
б) Интегралы вида
Г г Ах + В dx. (9,18)
J У ах* +bx + c K '
Интегралы этого вида приводятся к интегралам (9,15) и (9,17),
если а>0, а если а<0,— к интегралам (9,16) и (9,17). Дос-
132

тигается это так: в числителе дроби, стоящей под интегралом,
записывается производная подкоренного выражения, т. е. 2ах +
+ Ъ, которая тождественными преобразованиями преобразуется
в заданный числитель Ах + В.
Лж -и В « Bах 4- Ь)й- + В — М
и тогда
Ах+В
>-+Ьх+с
Ьх + с
Разлагаем на сумму
двух интегралов
¦dx =
dx
Этот интеграл вычисля-
вычисляется по формуле (9,17):
числитель — производ-
производная подкоренного выра-
выражения
Этот интеграл приво-
приводится при а > 0 к интег-
интегралу (9,15), при а < О —
по формуле (9,16)
Задача 9,31. Найти интегралы:
"f —7 л • о\ / Г 2*+ 5 ,
- dx; 2) /2 = \ ^ с?лг.
J/7 + 8*-ll*2
Решение
¦Ml
—7
\lOx + 8) 4- 7 -g
«2 + 8л; + 1
I Применяем формулу
(9,17)
:+1
¦dx
1ZC
5 J Ybx* + 8x + Г
I См. задачу 9,27 I
47
2x + 5
dx
2
-8*— И*2
If 8 — 22*
4
dx-
63
* +п
dx
Применяем формулу
(9.17)
Поступаем так же, как
и в задаче (9,29)
13J

Задача 9,32 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) jfl==—;
2> J VW + x + 9 ' 3)
4) С xdx : 5) Г 5*-3
Ответ. 1) ±У2х2 + Ьх + г— -~ 1п|4а:
+ Ъх + 3) | + С;
2) -i/
3) _i.]/4x2 — *
13,
4) _ 1)/8 —Зх —2д;2 5= arcsin ^^У + С;
5) _ /1_13^_ 5х2 ^= arcsin 10^±.13+С.
' 2УЪ /189
в) интегрирование функций вида R (х, у ах* -\-Ьх + с) в общем
случае приводится к интегрированию рациональной дроби и вы-
вычислению интегралов таких трех видов:
, , Р (х) ь- dx {P (х) — многочлен); (9,19)
I У ахг + bx -f с
(р — целое число и > 0); (9,20)
(т — целое число и т > 0)
(9,21)
Укажем способы вычисления интегралов вида (9,19) и (9,20).
выполним упражнения на применение этих способов, а затем вы-
вычислим несколько интегралов, в которых подынтегральную функ-
функцию придется преобразовывать так, чтобы вопрос сводился к вы-
вычислению интегралов указанных видов1.
1. Интеграл вида (9,19) вычисляется по формуле
v SJ? l. dx-Q(x)Va*+bx + c + \{ *\ , , (9,22)
У ах*>-\- Ьх + с J у ах1 + Ьх + с
где Q (х) — многочлен степени, на единицу меньшей, чем много-
многочлен Р (х).
1 Интегралы вида (9,21) нами рассматриваться не будут, так как программа
не предусматривает изучение их. Интересующиеся этим видом интегралов могут
обратиться к учебнику F. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и инте-
интегрального исчисления», т. II, § 272.
134

Коэффициенты многочлена Q (х) и число X подлежит опреде-
Jdx
¦> = выше уже был рассмотрен.
V ах*-\-Ьх-\-с
Для определения коэффициентов многочлена Q(x) и числа X
поступают так:
дифференцируют обе части равенства (9,22) и получают то-
тождество
+ bx + с i
(производная неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции).
Умножая обе части этого равенства на V ах* + Ьх + с, полу-
получаем
Р (х) = Q' (х) (ад;2 + Ьх + с) + j Q (х) • Bалг + 6) -V X.
Неизвестные коэффициенты многочлена Q (я) и число X нахо-
находятся сравнением коэффициентов при одинаковых степенях буквы
х в последнем равенстве.
Подставляя найденные коэффициенты и число X в (9,22) и вы-
вычисляя интеграл, входящий в правую часть этой формулы, нахо-
находим и интеграл (9,19).
Решим несколько относящихся сюда примеров.
Задача 9,33. Найти интеграл / = I , -¦ ах.
Решение. На основании формулы (9,22) имеем
r;trjr
Многочлен степени, на
единицу меньшей, чем
многочлен числителя дро;
би, стоящей под интегра-
интегралом
dx
Определению подлежат неизвестные коэффициенты а, Ъ, с и
число X.
Дифференцируем обе части последнего равенства и, учитывая,
что производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-
подынтегральной функции, получаем
(ал:2 + Ьх .+
135

Умножая обе части этого равенства на 2j/2xa + 5л: + 7, имеем
6х3 + Юл:2 — 14* + 18 = Dа* + 26) Bл:2 + 5л: + 7) +
+ (ах2 + Ьх + с) Dл: + 5) + 2Х.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы *
в левой и правой частях этого равенства, получаем:
При х3 6 = 8а + 4а. A)
При х* 10 = 20а + 46 + 5а B)
При л: — 14 = 28а +106 + 56 + 4с C)
При х» 18 = 14Ь+5с + 2Х D)
(свободный
член)
Из первого уравнения следует, что а = -^.
Подставляя а = -»¦ во второе уравнение, получаем 10 = 10 +
5 5 '
+ 86 + -g-« отсюда Ь = —yg. При найденных значениях а и 6 из
373
уравнения C) получаем, что с = — -gr-, а из уравнения D) —
_ 3297
Таким образом,
Интеграл
\ dX - = ^=ln 14* + 5 + 2 У*2 + 10* + 141 + С,
|См. задачу 9,271
а потому окончательно
/ = р C2*2 — 20* — 373) 1/" 2*2 + 5* + 7 +
Задача 9,34 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) f , ^~4 dx\ 2) C3^~8jc + 5 //к
J V3x* + 6x-5 ' }-fx* — 4x-7
Указания.. В первом примере на основании формулы (9,22)
имеем
С , х* А =dx = {ах + 6) КЗ*2 + 6л: — 5 + if
Дифференцируем обе части этого равенства, освобождаемся от
дробей и сравниваем в полученном равенстве коэффициенты при
одинаковых степенях буквы х в левой и правой части, получаем
1- ь-_1- \- ?
6, о— 2' 3-
136

Во втором примере по формуле (9,22) находим
Дифференцируя обе части равенства, освобождаемся в получен-
полученном выражении от дробей и, сравнивая коэффициенты при одина-
одинаковых степенях буквы х в левой и правой части, получаем:
в»1; Ъ = 5; с =36; Х = 112.
Ответ. 1) -g- (x — 3)]
-6л: —5)| +С;
2) (х* + 5х+ЩУх2 — 4л: — 7 + 1121п|л: — 2
Ух2 — 4л: — 71 + С.
Задача 9,35 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) \у ,/^dx; 2) \
Указание. В первом примере окажется, что
1 и 1 1 л л
а== 15; &=10' С==Т0; Х==0-
Замечание. В этих двух примерах X = 0, а потому реше-
решение имеет чисто алгебраический вид.
Ответ. 1) - Bл:2 + Зх + 3)V5x* — 6х + 3 + С; 2) jUlx8 —
105л: — 175) Vx2 + Qx + 5 + С.
Н
)
Задача 9,36. Найти интеграл
2 + Ьл: + crfx.
Решение. Следует иметь в виду, что к интегралам (9,19)
легко приводятся интегралы вида
J Р (х) У ах* + Ьх + cdx,
где Р (х) — многочлен относительно х.
Действительно, перенося иррациональность в знаменатель,
получим
f P (х) Vax* + bx + cdx = f ЩЖ±М±$4х.
J J У ах2 + Ьх + с
Теперь остается применить формулу (9,22).
Предложенный в задаче интеграл может быть представлен так:
(ах +
I Применена формула (9,22) о другим обозначением I
неизвестных коэффициентов |
137,

Значения неизвестных коэффициентов;
_ 1 й __ Ь . _ 4ас-_
а - j. Р — Ха ' Л ~ 8а
и, таким образом, учитывая, что
Ь 2ах + Ь .
1 Ь_ _
~2 Х + 4а "" 4а
f Уш;2 + &л:+7Лс = ^±^ Уы* + Ьх + с +
4?L±2f=^==J (9,23)
ax*+bx + c V '
Вычисление же последнего интеграла известно из задачи 9,27.
Задача 9,37 (для самостоятельного решения).
По формуле (9,23) найти интегралы:
\)\У~с+И*йх; 2) Jl/c^TS?*** (c>0).
II Т П <* Т 1 \ — 1/ /"* I V^ . J ___ I Т\ I V f I/ /• I -t^2 I \ f**
\/ 1 D С A • 11 ^T ¦i' С —г" Л ^ ^^ 111 I Л | Jf U ^^ Л I I ™ vJ >
2) 4 У^х'Ч | arcsin p= + С
Задача 9,38 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы:
1) J К5 + Зх+8л:2Лс.; 2) j У 2х2 + 5х + 7dx;
3) J=|/5 — х — 3x2dx; 4) Jl/7 + вж —
не применяя формулы (9,23), а пользуясь указаниями, данными
в задаче 9,36.
Ответ. 1) ^±^^5 + 3^ + 8^+^^ 1п|16* + 3
+ 4 |Л0 + 6а; + 16^1 + С;
4- 2 V 4х2 + Юд; + 14 1 + С;
3) 6-?+JV5-,-3^+
4) Ь^ут+ШИЯ? + j^arcsin5-^+ С.
138

2. Интегралы вида (9,20)
dx
(х + k)P У ах2 + Ьх + с
подстановкой
(9,24)
приводятся к интегралу вида (9,19), примеры определения кото-
которого мы уже разобрали.
С dx
Задача 9,39. Найти интеграл / = \—.. ¦
J xVx2 +
Решение. Этот интеграл принадлежит к рассматриваемому
типу: ? = 0;р=1;а=1; Ь~0; с = 5. Применим подстановку
(9,24), которая в данном случае будет такой: лг= — \йх — $у.
Подставляя эти значения в подынтегральную функцию, получим
dy
Возвращаемся к старой переменной:
1
In
/5
+ 5
Окончательно
= _ ' In
Задача 9,40. Найти /= Г ——
J х* V 7 - х2'
Решение. Этот интеграл относится к рассматриваемому типу:
= 0; р = 2; а== —1; 6=0; с = 7.
Подстановка:
139

dy
dy
ydy 1 Г 14 ydy
==_l
Возвращаемся к старой переменной:
1
Окончательно
Задача 9,41 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы 1) |-р§=^; 2) j-^f
Ответ. 1) arccos-^ + C; 2) -l^
Задача 9,42 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) /, = \ *
J (дс-1) V1+*-*»
2W = ( dx
2
+С.
Указания. В первом примере использовать подстановку
х — 1 = —, во втором — подстановку х — 2 = — . После подста-
новки получится: /2 = — \ f . =dy; применить формулу
(9,22).
3 — x-f 2
2)
Ответ. 1) — In
6л:-13
s/3F^i
—4 In
2л: — 3 + КЗ*2 — 8* + 5
с.
2 (л: — 2J ]
V. ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОДСТАНОВОК
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА
j R {х, Vax" + bx + с) dx. (9,13)
Для вычисления интегралов, не содержащих другой иррацио-
иррациональности, кроме квадратного корня из квадратного трехчлена,
применяются также тригонометрические подстановки, которые
НО

приводят интеграл (9,13) к интегралу от рациональной функции
синуса и косинуса.
Чтобы применить эти подстановки, следует поступить так:
Из квадратного трехчлена, находящегося под корнем, надо
выделить полный квадрат, после чего применить линейную под-
подстановку, которая будет показана ниже на ряде примеров. Это
даст возможность получить под корнем следующие выражения:
1) При а > 0 — сумму квадратов вида
k* + y* (9,25)
или разность квадратов вида
if-*». (9,26)
После того как под корнем окажется выражение вида (9,25),
для уничтожения иррациональности в подынтегральном выражении
следует применить подстановку
(9,27)
= k sec t
Если под корнем окажется выражение вида (9,26), то для
уничтожения иррациональности в подынтегральном выражении
надо применить подстановку
у — k sec t
ks<x.ttgtdt
2) При а < 0 под корнем после выделения полного квадрата
и применения линейной подстановки могут оказаться выражения
вида
?2 — уг , (9,29)
или
-&-у\ (9,30)
В случае, когда под корнем окажется выражение вида (9,29),
подстановка
(9,31)
= kcostdt
освободит подынтегральное выражение от иррациональности.
Случай (9,30) не представляет для нас интереса, так как корень
здесь не имеет вещественного значения ни при одном действи-
действительном значении у.
141

Помещаем для справок основные интегралы рассматриваемого
вида:
(9,32)
. (9,35)
Сначала найдем несколько интегралов в которых выражение,
находящееся под корнем, имеет один из видов: (9,25), (9,26) и
(9,29), а после этого — несколько примеров, в которых подкорен-
подкоренное выражение придется приводить к этому виду.
Задачу (9,43); Найти интеграл 1=
Решение. Выражение, стоящее под корнем, имеет вид
(9,25) (k = 3). Применяем подстановку (9,27):
x = 3tgi/; dx=3sec2ydy
хг + 9 = 9 tga у + 9 = 9 (tga у + 1) = 9seca#.
Поэтому
= -д- С
a / = fQ ffy =Ц-&-
J 9sec^(/ ¦ 3 sec у 9 J secy
^ ~siny
Для того, чтобы возвратиться к первоначальной переменной х,
найдем sin у через х. Из подстановки
Поэтому окончательно
Задача 9,44 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) 1' dx ; 2) С dx

Задача 9,45. Найти / =
Р е ш е н и е. Подкоренное выражение имеет вид (9,26). Под-
Подстановка (9,28) (k2 = 5, k = 1/5) должна уничтожить иррацио-
иррациональность подынтегрального выражения. Полагаем
t; dx = У~5sec ttgtdt;
¦¦ 5 tg21; Уx* — 5 = 1^5 tgi.
Тогда
, С V5sec ttg tdt 1 С cosl ,, 1 С cost ,. 11 . n
\ 5 tg2 < V 5 tg t 5 l sma ^ 5 \ sin2 t 5 sin * '
J - J cos2 t J
Из подстановки л; = УЪ sec ^ следует, что
а потому окончательно
Задача 9,46 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) \ —^— х. -г ¦¦ ', 2) \ -j-r-
Ответ. 1) — i-7=^=^ + С; 2) — ~
14) ух2 —14
Задача 9,47. Найти интеграл / = \ *—:—2!.^/ —^-
Решение. Подкоренное выражение имеет вид (9,29) (№ = 2;
k — Y2). Применяем подстановку (9,31):
x = V2sint; dx = V2 cos tdt; 2 — хг = 2 cos2«
1/2 — A? = y2cosft
/_ Г /2co8W _-i Г dt _ i . , r
J 2cos** /2cos < ~ 2 J cos2 f ~ 2 l§f + U>
Но из подстановки х = "|/2 sin t следует, что sin?= y=,
tg t — и *. а поэтому окончательно
V Z — x
2 ,/2-T?
143

Задача 9,48 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1) j__^_; 2) $
Ответ- l) ivfb*+C; 2) i
Задача 9,49 (для самостоятельного решения).
Найти
Ответ.
Задача 9,50. Найти интеграл
Решение. В подкоренном выражении выделяем полный
квадрат: х* + 2х + 5 = (х + IJ + 4.
Сделаем линейную подстановку, о которой мы упоминали
на бтр. 141: х-\-\=у\ dx = dy; хг+ 2х+ 4 = (х+ 1)г+ 3 =
= х + 1 +Ъ = у + Z, а интеграл
/"» I О
/ =
Теперь выражение, стоящее под корнем, имеет вид (9,25).
Применим подстановку (9,27) (k2 = 4; k = 2):
- 4 = 2 sec /;
Теперь
4 tg4 + 3
-,dt (*
_ _ = I liin
, 3 j 4 sin2 t + 3 cos* t
cos2 *
sin / ,, , 3f cos
Л + 3 J
" " J 4im2!i + 3cos2r- f J j :
I 4 sin21 -f 3 cos21 = 4 — cos2 г [ I 4 sin2 f + 3 cos21 =
[ = sin21 + 3
sin t ... о Г cos *
* + 3
-2-i-ln
2 + cos t
2—cost
Учтен знак минус,
етоящий перед логарифмом
144

Теперь следует от переменной t перейти к переменной у,
а затем от у к х.
Так как y = 2igt, то tgf = |-; sin* = - у 2
а потому
12-:
=1 In
+j/3 arctg ,- / -f С =
2 |2F4 + jr2 + 2|
Но так как х + 1 = У, то у2 -f 4 = х2 + 2л: + 5, и окончательно
Задача 9,51 (для самостоятельного решения).
Найти интегралы: 1)
2) Г
J/D + )
Указания. 1) Подкоренное выражение представить так:
4х2 + 4* + 5 = Bх + IJ + 4.
Линейная подстановка 2х + 1 = г/ f2 dx = dy; dx = -^ dyj при-
приведет это выражение к виду г/2 + 4. Выражение же г8 + х + 4 =
= 4^ + 4x4-16 _ ,^+1J+15 =У1+15. Теперь адедуст применить
подстановку г/ = 2 tg ^. Можно сразу взять 2х + 1 = 2 tg /.
2) Подкоренное выражение г9 + 2л + 4 = (* + IJ 4- 3. Можно
сразу применить подстановку х + 1 = "K3tg* или сначала линей-
линейной подстановкой х+l =у привести подкоренное выражение
к виду у2 + 3, а потом взять # =]/3 tg ^. Вопрос сведется к вы-
вычислению интеграла Г cos5 г d*. Из x+l =VZtgt следует, что
+1
sin t = -
х+1
Ух* + 2х + 4
Ответ. 1) —j=
Tf atct§
VTl Bx+J)~-
5)
27 y^
_2_
'8l
2л: + 4
145

ДЕСЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Интегральная сумма. Определенный интеграл и его
основные свойства. Задачи механики и физики, приводящие к вычислению
предела интегральной суммы. Вычисление определенного интеграла как пре-
предела интегральной суммы.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Интегральная сумма. Пусть на отрезке [а, Ь\ (а < Ь) оси Ох
задана непрерывная функция f(x).
Отрезок [а, Ь] разделим на п частей, длины которых могут
быть произвольными.
Каждый такой отрезок будем называть частичным.
Абсциссы точек деления обозначим через х1г хг, х3, ... хп-х
и будем полагать, что
а < хх < х2 < х3 < ... < хп-\ < Ь.
Длину частичного отрезка, равную разности Xk — Xk-i (k = 1,
) б Д
2, ..., п), обозначим через
Дх* = Xk — Xk-i-
На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку,
абсциссу которой обозначим через h (k = 1,2, ..., п), вычислим
f (?k) — значение заданной функции / (х) в этой точке. Найдем
произведение числа / (?*) на длину Дат* отрезка, на котором взята
точка h, т. е. / (?*) l±Xk.
Составим сумму таких произведений
/ (У Дхх + / (|2) Дх2 + / \1.) Дх3 + •••+/ (^л-i) дх„_1 -г f (Sn) Дх„,
которую обозначим
2/(?*)Дх*. A0,1)
Эта сумма называется интегральной суммой для функции / (х)
на отрезке [а, й}.
Для заданной функции / {х) на отрезке [а, Ь] можно составить
бесчисленное множество интегральных сумм, так как отрезок [а, Ь]
может быть - разделен на части бесчисленным числом способов,
а при выбранном способе разделения существует еще бесчислен-
бесчисленное число возможностей для выбора в каждом отрезке точек ?*.
2. Определенный интеграл. Обозначим через / длину наиболь-
наибольшего из частичных отрезков [Xk-u Xk] {k =1,2, 3, ..., п) в дан-
данном разделении отрезка [а, Ь] на части (/ = max Дата).
Определение. Предел интегральной суммы A0,1)
Нт у. f F*
146

при условии, что / -*• 0 (а значит, число отрезков п неограниченно
возрастает (п -> оо)), если он существует и не зависит ни от того,
каким образом разделен на части отрезок [а, Ь\, ни от того, какая
точка $& выбрана на каждом частичном отрезке, называется опре-
определенным интегралом функции / (х) на отрезке [а, Ь\ и обозна-
ь
чается символом §f(x)dx. Таким образом,
A0'2>
(л--) B=1 a
Функция / (х) в этом случае называется интегрируемой на от-
отрезке [а, Ь].
Гарантией существования этого предела, или, что то же ca-
cafe
мое, существования определенного интеграла \f(x)dx, и незави-
а
симости его ни от способа деления-отрезка [а, Ь] на части, ни от
выбора точек \ь. на каждом частичном отрезке является непре-
непрерывность функции f(x) на отрезке [а, Ь].
Теорема (о существовании определенного интеграла).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то предел
интегральных сумм A0,1] при условии, что длина каждого час-
частичного отрезка стремится к нулю, а число частичных отрезков
неограниченно увеличивается, существует и не зависит ни от
способа разделения отрезка [а, Ь] на части, ни от выбора точек
на каждом частичном отрезке,
ь
В символе [f(x)dx числа а и b называются соответственно
а
нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [а, Ь] —
отрезком интегрирования, а переменная величина х — переменной
интегрирования.
п
Отыскивая предел A0,2) суммы 2/(?*)Д** при условии, что
длина наибольшего из частичных отрезков Дя* стремится к нулю,
следует иметь в виду, что каждое слагаемое / (h) Дх* есть вели-
величина бесконечно малая, так как в этом предельном процессе Axk—
величина бесконечно малая, а / (?а) имеет конечное значение, по-
потому что функция / (х) на отрезке [а, Ь] по предположению непре-
ь
рывна. Таким образом, определенный интеграл J f(x)dx есть
ь
предел суммы бесконечно малых величин, количество которых
неограниченно возрастает.
147

3. Формула Ньютона — Лейбница. Имеет место формула
)-dx = F(b) — F(a), A0,3)
где функция F (х) есть какая-нибудь первообразная для подын-
подынтегральной функции f(x).
Формула A0,3) называется формулой Ньютона — Лейбница.
Она является основной формулой интегрального исчисления.
Согласно этой формуле, для вычисления предела интегральной
суммы A0,1) при указанных выше условиях, или, что то же, для
ь
вычисления определенного интеграла J/ {x)dx, надо: 1) найти ка-
а
кую-нибудь первообразную функцию F [х) для подынтегральной
функции; 2) вычислить ее значение F (Ь) при верхнем пределе
и вычесть из него ее значение F (а) при нижнем пределе.
Обычно при вычислении определенного интеграла употребляют
такую запись:
Формула Ньютона — Лейбница позволяет свести сложную за-
задачу вычисления предела интегральной суммы, для решения кото-
которой отсутствует общий прием, к нахождению первообразной функ-
функции для подынтегральной; тем вамым она указывает единообраз-
единообразный и простой способ вычисления предела суммы неограниченно
возрастающего количества бесконечно малых величин и позволяет
заменить бесконечный процесс суммирования хорошо известной
операцией отыскания Первообразной функции.
4. Основные свойства определенного интеграла.
1) ]dx = b—a. A0,4)
а
2) Постоянный множитель можно вынести за знак опреде-
ленного интеграла
A0,5)
где с—постоянная величина.
148

3) Определенный интеграл от алгебраической суммы несколь-
нескольких функций равен такой же алгебраической сумме определенных
интегралов от слагаемых функций
\[fi(x)±h(x)±...±fn(x)]dx =
а
= { ft (pc) dx ± I U (х) dx ± ... ± \и (х) dx. A0,6)
а а а N
4) При перестановке пределов интегрирования знак опреде-
определенного интеграла меняется на противоположный
\ ]dx. A0,7)
5) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны
между собой, то определенный интеграл равен нулю
" A0,8)
6) Переменную интегрирования можно обозначить любой бук-
буквой, не нарушая справедливости формул, т. е.
]] ]t = ]f (a) da. A0,9)
7) Имеет место формула
J / (х) dx - ] f (х) dx + )f (x) dx, A0,10)
а а с
которая верна при любом взаимном расположении чисел a, b и с.
Если выполняются неравенства а < с <й, то из формулы A0,10)
следует, что интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов
по частям этого отрезка 1. •' ¦
1. Упражнения на вычисление определенных интегралов
непосредственно из определения, как предела интегральных
сумм, и с применением формулы Ньютона — Лейбница.
Задача 10,1. Составить формулы для вычисления интегральных
сумм для функции f (x), непрерывной на отрезке [a, b], разделяя
этот отрезок на п равных частичных отрезков.
Значение функции вычислять:
1) в правом конце каждого частичного отрезка;
2) в левом конце каждого частичного отрезка.
1 Дальнейшие свойства определенных интегралов будут рассмотрены на
последующих практических занятиях,
149

Решение. 1) Длина отрезка интегрирования равна Ь — а.
Длину каждого частичного отрезка для удобства записи обозна-
обозначим "не через Ьх, как обычно, а через h. Тогда
Координаты точек деления равны:
х0 — a; x1 = a + h; хг = а + 2h, ..., хп-\ = a-\-(n—l)h;
xn = b = a-\-nh. A0,11)
Значения функции в правых концах частичных отрезков будут
f(a+h); f(a + 2h); f(a + 3h) f (a + nh).
Умножая каждое из этих чисел на длину h частичного
отрезка и складывая эти произведения, получим интегральную
сумму
+ ih). A0,12)
(величина h, входящая в каждое слагаемое, вынесена за знак
суммы).
ь
В таком случае [f(x)dx будет пределом этой интегральной
а
суммы, т. е.
U (х) dx = Um h-%{(a+ ih) A0,13)
а Л->0 1=_[
(Л->оо)
2) Значениями функции в левых концах каждого частичного
отрезка будут числа
f(a); f(a + h); f(a + 2h), ,.. , f[a+ {n-l)h].
Умножая каждое из этих значений на длину h частичного
отрезка, получим интегральную сумму
2 h^f(a + ih). A0,14)
t=0 i=0
В этом случае
U (x) dx = lim h^f (a+ ih). A0,15)
150

Задача 10,2. Составить формулу для вычисления интегральной
суммы для функции f(x), непрерывной на отрезке [а, Ь] (а<6),
разделяя отрезок [а, Ь] на п частичных отрезков так, чтобы
абсциссы точек деления образовывали геометрическую прогрессию
(или, что то же, чтобы длины частичных отрезков разбиения
образовывали геометрическую прогрессию).
Решение. Если знаменатель геометрической прогрессии обо-
обозначить через <?(<?> 1), то абсцисса конца отрезка [b, b]
Ь = адп. A0,16)
Абсциссы точек деления будут такими: s
хй — a; хх = ад; хг = ад2; х3 = ад3, ..., хп = ада = Ь.
Длины частичных отрезков равны:
kxt — xx— ха = ад — а = а(д—1); Дл:2=л:2 — xL = аф — ад =
= ад(д—\)
и вообще
?±Xk = Xk— xk-i = адк~х (q — 1).
Вычислим значения функции в левом конце каждого частич-
частичного отрезка и получим числа
f(a)\ Над); f(ag2) f (ag*~l). .
Умножая эти числа на длину соответствующего отрезка и
складывая полученные произведения, составим интегральную
сумму
f(a) .a(g-\)+f(ag). ад (д - \) + f (ад*) • ад* (д-1) + ... +
+ f (ад«-1) • ад'1-' (д-\) = а(д-\) % f (ад1) д*. (Ю.17)
<=о
В этом случае
Г / (х) dx = a lira 21 (Я - 1) / (ад*) <t = a lira (q - 1) "^ / (ад1) Я1-
(П~" A0,18)
Из A0,16) получаем
я=\/'т> О0-19)
а потому, когда л-» со, то ^-^1 (см. И. А. Кап л а н. «Практи-
«Практические занятия по высшей математике», ч. II, задача 13,2).
ь
Задача 10,3. Вычислить определенный интеграл f e"dx как
а
предел интегральной суммы.
151

Решение. Разделим отрезок интегрирования [а, Ь] на п рав-
равных частей и составим для функции f(x) = e* по формуле A0,12)
интегральную сумму, выбирая точки в правом конце каждого ча-
частичного отрезка. Так как / (х) = е*, то
f(a+h) = e°+h; f (a + 2h) = ea+2h, .... / (a + ih) = ea+ih;'
' f (a + nh) = f(b) = e«+ah (a+nh = b);
Sn = he«+h + hea+2b + ... + he?+ih + ... + he°+nh;
Sn = he0 ieh + e2h + ... + eih + ... + enh). A0,20)
Выражение в скобках — геометрическая прогрессия, знамена-
знаменатель которой д = eh. >
Известно, что сумма п членов геометрической прогрессии равна
Sn=a^lll. A0,21)
У нас at = eh; q = еь, а потому A0,20) перепишется так;
Но из A0,11) следует, что a + nh = b, а потому
о
J
На основании A0,2) определенный интеграл
= limSe= lim -p—(eb — e*) = Ь(е6 — е°) Ншт-7=еь
й-0 й-0 « — 1 й-0 е ~1
(множитель еь —е° как постоянная величина, вынесен за знак пре-
предела, а по правилу Лопиталя lim-r = lim -r = 1, а Пгаей =1).
Итак,
Вычислите самостоятельно этот интеграл по формуле A0,14)»
т. е. разделяя отрезок [а, Ь] по-прежнему на п равных частей,
но выбирая на каждом частичном отрезке (хь-i, xk точку в его
левом конце.
Теперь применим к вычислению этого интеграла формулу A0,3)
Ньютона — Лейбница. Согласно этой формуле
152

где'F (я) — первообразная функция для подынтегральной функции
}(х). Поэтому
ь ь
? e*dx = e*\ =еь — еа,
а а
что совпадает с ранее найденным результатом.
Учащийся легко оценит экономию в вычислениях, которую
дает формула Ньютона — Лейбница: весь процесс сводится к оты-
отысканию первообразной функции для подынтегральной, вычислению
ее значений при верхнем и нижнем пределах интегрирования
и определению разности этих значений.
ь
Задача 10,4. Вычислить интеграл J x* dx, где а и b — положи-
а
тельные числа, а<й, k Ф — 1, рассматривая его как предел
интегральной суммы.
Решение. Предпримем такое разбиение отрезка интегриро-
интегрирования [а, Ь] на части, чтобы абсциссы точек деления образовали
геометрическую прогрессию. (Это равносильно тому, что длины
частичных отрезков образуют геометрическую прогрессию). Вы-
Вычислять значение функции будем в левом конце каждого частич-
частичного отрезка.
В задаче 10,2 была получена формула A0,18) для вычисления
определенного интеграла при таком способе разбиения отрезка
интегрирования на части. Полагая в этой формуле f(x) = xk,
f (aq<) = (aql)k и учитывая A0,19), получим
f xk dx = а 1 im (q — 1) ? (cuf)k ql = a lira (q — 1) "y aV(*+I) =
(«¦•«I (Л-юо)
ak+l lim (q — 1) y 9((ft+1)- A0,22)
Под знаком суммы стоит геометрическая прогрессия. Ее пер-
первый член ах = 1, знаменатель qk+l. Поэтому по формуле A0,21)
сумма этой прогрессии
Sn = 1 И/+У - il ^ (¦?")*+' -1
Но на основании A0,19) q" = —, поэтому
153

a A0,22) перепишется в виде
ъ
так как по правилу Лопиталя
lira -Д~— — Нт
Итак,
**dx= k+i T ' A0>23>
а
причем на пределы интегрирования а я b было наложено ограни-
ограничение 0 < а < Ъ, так как при этом предположении проведенное
деление отрезка [а, Ь) на части, длины которых составляют гео-
геометрическую прогрессию, всегда возможно.
Следует отметить, что формула A0,23) верна при любых зна-
значениях а и Ъ.
Теперь применим к вычислению этого интеграла формулу
A0,3) Ньютона —Лейбница:,
ь ь
**<& =
А+1
k+\
(никаких ограничений на числа а и Ъ не наложено).
Очевидно, что применение этой формулы просто и быстро
дает необходимый результат.
При k = 0 из A0,23) получаем
$dx = b — a,
а
т. е, определенный интеграл от дифференциала равен разности
между верхним и нижним пределами интегрирования.
Эти две задачи приведены с целью упражнения в составлении
интегральной суммы для подынтегральной функции, определении
предела этой суммы при разных способах разбиения отрезка инте-
интегрирования на части, а также для сравнения труда, затрачивае-
затрачиваемого на вычисление определенного интеграла по формуле Нью-
Ньютона — Лейбница и как предела интегральных сумм.
Теперь мы предложим для тех же упражнений несколько за-
задач для самостоятельного решения с необходимыми указаниями.
154

Задача 10,5 (для самостоятельного решения).
ь
Вычислить \ ~dx(a > 0; Ь > 0; а < Ь). Составим интегральную
а
сумму для функции f{x) =— на отрезке [а, Ь]. Разбиение от-
отрезка на части произвести точками, абсциссы которых состав-
составляют геометрическую прогрессию. Вычислить этот интеграл и по
формуле Ньютона — Лейбница.
Указание. Использовать формулу A0,18).
а—1 п—1
Задача сведется к определению предела \\тп{д—1).
i
Так как согласно A0,19) ^ = Т/ —, т
= -г—. Поэтому указанный предел преобразуется в
= —In—, an —
1п-
Нт — (q - 1) == In - lim g~
l применить правило Лопиталя: «неопределенность» вида ¦»-1.
Ответ. In —. По формуле Ньютона — Лейбница
— dx = In x
In b — lna = In —.
Требование, чтобы а и Ъ были числами положительными,
является существенным, так как каждое из них оказалось под
знаком логарифма.
Задача 10,6 (для самостоятельного решения).
ь
Вычислить [xdx, составив интегральную сумму для функции
f (х) — х. Отрезок [о, Ь] разделить произвольным образом на
п частей.
155

Точку, в которой вычисляется значение функции, взять в
середине каждого частичного отрезка
«* = 2 "
Так как f (х) = х, то / (?*) =
Длина частичного отрезка
Интегральная сумма примет вид
+5=i {Xk - Xk_x) =
Но хп = b; хй = а, поэтому интегральная сумма равна
Y (Ьг — а2), а ее предел в данном случае, как предел постоянной
величины, равен ей самой
ь
xdx= iF2_a2).
Такой результат, конечно, мог быть получен сразу по формуле
A0,23). При решении этой задачи было произведено не специаль-
специальное разбиение отрезка на части, а произвольное. Точка, в кото-
которой вычисляется значение функции, была выбрана в середине
каждого отрезка. По формуле Ньютона—Лейбница получается,
конечно, то же самое
Ь Ь
f х*
) xdx= т -
Задача 10,7 (для самостоятельного решения).
ъ
Вычислить ^sinxdx как предел интегральной суммы и при-
а
меняя формулу Ньютона — Лейбница.
Указание. Отрезок [а, Ь] разделить на п равных частей.
Значения функции sin л: вычислить в правом конце каждого
отрезка.
По формуле A0,12) интегральная сумма будет иметь такой
вид /с учетом, что h = ——-):
h [sin (a + h) -f- sin (a -f- 2h) + ... + sin (a + ih) +
+ ... + sin (a
156

Учесть, что 2 sin (a -f ih) sin -^ = cos (a + ih — -J\ — cos la -\-
+ ih + -тД а отсюда
sin (a + ih) = —l-j- [cos (a + ih — -|] — cos [a + t'A -f -| |
2 sin 7Г •- ' * ^
2
(/=1, 2, ..., л).
Подставляя это значение sin (a -f ih) в интегральную сумму,
после приведения подобных членов получим
2 sin
~ [cosfa + j) — cos [a -j- «Л + -|]1
in — L v / -, \ /J
Перейти к пределу при h ->• 0 (л ->¦ со), но учесть, что a
4-nh = b, а lira г—1 (применить правило Лопиталя).
ft
Ответ. С sin л;й(л: = cos a — cos b.
a
По формуле Ньютона—Лейбница
ь ь
jsin;edx = —cos л: =—(cos b — cos a) = cos a — cos b. *¦
a a
Заканчивая упражнения на вычисление определенного инте-
интеграла как предела интегральных сумм, отметим еще раз, что
такое вычисление даже в простейших случаях требует больших
усилий.
В заключение этого практического занятия выполним ряд
упражнений на вычисление определенного интеграла по формуле
Ньютона — Лейбница.
Задача 10,8 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
% 1 1
1) \sin;cd;<:; 2) \ekxdx; 3) V ^dx (учесть, что значения
0 0-1
функции у = arctg х находятся на интервале — ~, -| j, arctg 1 =
-Г- «*(-!>—*i 4, 'jr*Lr; 6)
0
Ответ. 1) 2; 2)е—^; 3) -J ; 4) ?; 5)/2-1.
157

Задача 10,9 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
1) ]di(a>0; 6>0); 2) jcos*^; 3) j}^; 4)
а
а
5) \ YcP — х2 dx (учесть результат задачи 4,3).
—а
Ответ. 1) 1п?; .2) sin 6 — sina; 3) In2; 4) -J ; 5) ^.
Задача 10,10 (для самостоятельного решения).
Интегралы, вычисляемые в этой задаче, имеют большое зна-
значение в теории тригонометрических рядов.
Доказать справедливость следующих формул, если т и л —
целые числа:
¦к
1) j sin mx cos nxdx = 0;
—тс
Г» v f 0, если \т\Ф\п\,
2) \ cos mx cos nxdx— \ к » т = п,
J [—тс » m = — п.
—тс
Указание: sin mx sin «л: = -^ [cos (m — л) х — cos (m -f- ti) x].
Ь ( 0,'если \пг\ф\п\,
3) \ cos/пл; cosnxdA: =\п»т=±п,
] [ 2те » m = n = 0.
—тс
Указание: cosтл:cos nx — у [cos (m-\- n)x -f- cos (m — п) л:].
Задача 10,11 (для самостоятельного решения).
Интегрируя по частям, доказать формулу
f sin2 x dx = — -— sin2-1 x cos л: -f ^~ f sin2'"-2 д:йд:
и, применяя её при т > 0 и целом, показать, что
2"
I
2m — 1 2m — 3 2m—5 , j} 1 jrc^ A0,24)
158

Задача 10,12 (для самостоятельного решения).
Из формулы A0,24) получить, заменяя х на ^ — z, формулу
J1 2/га 1 (*
cos2m х dx = -^ cos2m-1 x sin x -f 2w \ cos2m-
и, пользуясь ею, доказать, что при т > 0 и целом
[?4
о
На последующих практических занятиях учащийся сможет
выполнить еще много упражнений, связанных с применением фор-
формулы Ньютона — Лейбница для вычисления определенного ин-
интеграла.
ОДИННАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Задачи механики и физики, приводящие к определен-
определенному интегралу (продолжение).
Решим несколько задач, в которых для определения искомой
величины требуется сначала составить интегральную сумму, а
затем найти ее предел.
Задача 11,1. Сила тока / является заданной непрерывной
функцией времени t: I = / (t). Определить количество Q электри-
электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за время
Т, отсчитываемое время от момента начала опыта.
Решение. Считая, что в начале опыта Т = 0, разделим
произвольным образом отрезок времени @, Т) на п частичных отрез-
отрезков. Абсциссами точек деления пусть будут числа tlt t2, t3, . ..,
fn_b а длины частичных отрезков времени 4 —tk-\ (k = 1, 2, ..., п)
обозначим через Д4
Uk = tk—tk~i (k= I, 2, ..., я),
причем подчеркнем еще раз, что промежутки времени Д4 не обя-
обязательно должны быть между собой равны. В каждом из этих
частичных промежутков времени выберем произвольный момент
времени %k{k— 1, 2, ..., п). Этот момент может находиться как
внутри отрезка времени [tk-i, tk], так и на любом из его концов.
Сила тока — величина переменная, изменяющаяся во времени.
Однако мы будем считать, что за время Mk сила тока не изме-
изменяется, а имеет в течение всего этого промежутка постоянное
значение, а именно то, которое она имела в момент т*. Таким
образом, для отрезка времени [tk-i, 41 сила тока, равная / (т*),
считается величиной постоянной.
Известно, что для постоянного тока количество электричества,
протекшего через поперечное сечение проводника, равно произве-
произведению силы тока на время, затраченное на прохождение током
159

этого проводника. Следовательно, за отрезок времени, равный
" 'k, протечет количество электричества, приближенно равное
/* (?=1, 2, .... я).
Произведение / (тА) Д/й дает приближенное, а не точное коли-
количество электричества, протекшего за время ДЛ-, потому что силу
тока в течение всего этого промежутка времени мы считаем вели-
величиной постоянной, в то время как в действительности она изме-
изменяется непрерывно со временем и является величиной переменной.
Давая индексу к значения 1, 2, .... л и складывая произве-
произведения / fa) Д^, / fa) Д4, • • • , I (хп) Д*л, найдем, что количество
электричества Q, протекшего за весь отрезок времени [О, Т\,
приближенно определяется суммой
Q « / fa) Д/j + / Ы Д/, + ...+/ Ы Мп,
которая является интегральной суммой для функции / (f) на
отрезке [О, Т\. Итак,
Q«2/(*ft)Afc. A1,1)
За точное значение количества электричества Q принимается
предел этой интегральной суммы при условии, что наибольший
из отрезков времени max Д^ стремится к нулю, а значит, число
п этих отрезков неограниченно возрастает, т. е.
Q= lim y\I^k)Mk. A1,2)
i<0
(Л -> оо)
Когда наибольший из отрезков времени Д^ стремится к нулю,
то каждое слагаемое / (т*) Д4 — величина бесконечно малая, а ко-
количество п этих слагаемых неограниченно возрастает. Таким
образом, при определении предела интегральной суммы A1,1) мы
отыскиваем предел суммы бесконечно малых величин, когда их
количество неограниченно возрастает.
Из A1,2) следует, что количество электричества, протекшего
за отрезок времени [0, 71, определяется по формуле
т
Q = l'l{i)dt A1,3)
о
(см. формулу A0,2)).
Таким образом, формула A1,1) определяет приближенно коли-
количество электричества, протекшего через поперечное сечение про-
проводника за время, равное Т секундам. Формула же A1,3) опре-
определяет это количество1 точно, причем числа, найденные по этим
формулам, тем меньше отличаются одно от другого, чем меньше
отрезки времени Д4, на которые разделен основной отрезок вре-
времени [0, Т).
160

Напомним, что в технической системе единиц количество
электричества Q измеряется в кулонах, а сила тока / — в ампе-
амперах:
Задача 11,2. Сила тока I = 2f — 3t + 2.
Определить количество электричества, протекшее через попе-
поперечное сечение проводника за 10 секунд, считая время от начала
опыта.
Решение.
"> /о ч \|Ш о
Задача 11,3. Тело движется по прямой Ох из точки с абсцис-
абсциссой а до точки с абсциссой Ь (а < Ь) под действием переменной
силы F, являющейся непрерывной функцией абсциссы х: F — F (х),
причем сила параллельна прямой Ох^ а ее направление совпа-
совпадает с направлением движения тела. Найти работу А, произве-
произведенную силой F (х) на этом перемещении.
Решение. Если бы сила F (х) была не переменной, а постоян-
постоянной, параллельной прямой Ох, и ее направление совпадало с на-
направлением движения тела, то работа Л, произведенная ею, была бы
равна произведению модуля силы на пройденный путь, т. е. на
длину отрезка [а, Ь], равную (Ь — а)-
Но сила переменна, а потому этой формулой для определения
работы мы воспользоваться не можем.
Отрезок [а, Ь] разделим на п отрезков [Xk-i, Xk] {k=l, 2,
3, . .., п). На каждом из них выберем произвольную точку U-
Определим в этой точке численное значение силы F(x). Получится
число F (Ь)- Полагая, что в пределах каждого частичного отрезка
сила не переменна, а постоянна и что ее значение на всем час-
частичном отрезке такое же, как в выбранной точке, будем считать
произведенную этой силой работу приближенно на каждом час-
тичном отрезке равной произведению модуля силы на путь, т. е.
F(h)^.
Работа силы F (х) на всем отрезке [а, Ъ) приближенно равна
сумме работ «а всех частичных участках
(П,4)
Сумма 2 F (Ы Ьхн — интегральная сумма для функции F (х)
на отрезке [а, Ь]. По формуле A1,4) мы получим не точное зна-
значение работы, а приближенное, потому что на каждом частичном
6 3-1734 161

отрезке мы считали силу постоянной, в то время как фактически!
в пределах каждого частичного отрезка она непрерывно изме-1
няется. _ ]
За точное значение работы силы F (х) на отрезке [а, Ь] мыл
примем тот предел, к которому стремится интегральная сумма^
A1,4), когда наибольший из частичных отрезков Дх* стремится;
к нулю, а число их п неограниченно возрастает т. е. '¦
Л- lim SFft
и согласно формуле A0,2)
A=[F(x)dx. * A1,5)
а
Подынтегральное выражение F (x) dx называется элементарной
работой и обозначается через ЬА.
Работа' А есть определенный интеграл от элементарной работы
ЬА = F (x) dx. Таким образом, для определения работы перемен-
переменной силы на прямолинейном пути надо сначала вычислить эле-
элементарную работу ЬА, а после этого интегрированием по формуле
A1,5) найти полную работу.
Приближенное значение работы, вычисленное по формуле A1,4),
будет тем меньше отличаться от ее- точного значения A1,5), чем
меньшими будут частичные отрезки Ь.Хк, на которые разбит отре-
отрезок, [а, Ь].
При определении предела суммы A1,4) наибольший из отрез-
отрезков Ь-Xk -> 0, каждое слагаемое F (kk) U.Xk — величина бесконечно
малая, а количество их неограниченно возрастает. Поэтому и здесь
определение искомой величины, как и в задаче 11,1, связано с оп-
определением предела суммы бесконечно малых величин, когда их
количество неограниченно возрастает.
Задача 11,4 (работа упругой силы на прямолинейном пере-
перемещении).
К телу прикреплена пружина, другой конец которой закреп-
закреплен неподвижно в точке О. Упругая сила, с которой действует
пружина на тело, подчиняется закону Гука, согласно которому
F = —kx, где k — коэффициент пропорциональности, ах — удли-
удлинение пружины. Найти работу упругой силы на прямолинейном
перемещении по линии действия силы из точки с абсциссой a
в точку с абсциссой Ъ. (Сила — в килограммах, перемещение —
в метрах). Знак минус в выражении силы показывает, что упру-
упругая сила стремится восстановить равновесие.
Решение. Элементарная работа ЬА силы упругости на пе-
перемещении dx равна
dA = —kxdx,
162 -

а потому полная работа на перемещении из точки а в точку Ь
определится по формуле A1,5)
2
dx = У —kxdx = —kj
Следует иметь в виду, что работа упругой силы положительна,
если тело движется в сторону убывания модуля упругой силы,
и отрицательна,.когда движение происхо-
происходит в сторону возрастания модуля упру-
упругой силы, i
Задача 11,5. Электрический точечный / /• д \ „
заряд +е1 движется в электрическом поле, ' г - \ d \о
созданном точечным зарядом +е. Согласно
закону Кулона, сила взаимодействия между
двумя точечными зарядами в пустоте
численно определяется по формуле
F = ~^г- К задаче 11,5
Определить работу при перемещении заряда ех из точки А
в точку В, считая, что А и В находятся на прямой, проходя-
проходящей через заряд +е.
Решение. Элементарная работа на перемещении dr равна
ЬА — Fdr = e-?dr, а полная работа определится интегрированием.
Выражение, стоящее в скобках,— разность потенциалов или
напряжение между точками А и В.
При решении задачи можно было не составлять выражение
элементарной работы, а сразу воспользоваться формулой A1,5)
так как здесь известно аналитическое выражение силы: F = Щ.
Это же замечание относится и к предыдущей задаче.
Задача 11,6. Тяжелая цепь длиною L — 200 м поднимается,
навиваясь на ворот. Определить работу силы веса при поднятии
цепи, пренебрегая размерами ворота, если погонный метр цепи
весит 50 кг.
Решение. Пусть к некоторому моменту времени на ворот
навернулся отрезок цепи длиной х. Тогда свешивается его часть
163

длиной 1-х. Весит эта часть (I — х) • 50 кг. Элементарная
работа силы веса на перемещении их будет равна
ЬА = —(L —*). Wdx.
(Знак минус поставлен потому, что сила веса направлена проти-
противоположно перемещению). Полную работу найдем по формуле
A1,5) как интеграл от элементарной работы
—25L2
- —25 • 2002 = —1 000 000 кг-т.
Задача 11,7. На вал, вращающийся с угловой скоростью ш,
насажен диск радиуса R, погруженный в жидкость. Считая, что
сила трения окружающей жидкости о поверхность диска пропор-
пропорциональна плотности жидкости р, ква-
квадрату скорости и площади соприкасания,
определить момент сил трения относитель-
относительно оси вала.
Решение. Очевидно, что сила трения
окружающей жидкости о поверхность
диска будет меняться с глубиной. Подсчи-
Подсчитаем сначала элементарную силу трения dF.
На расстоянии г от оси вала рассмотрим
кольцо, внутренний радиус которого г,
а внешний г + dr. Площадь этого кольца
К задаче 11,7 равна
¦к (г + drf — тег2 = 2izrdr + тс dra.
При dr, стремящемся к нулю, %drs — величина бесконечно
малая высшего порядка малости, чем dr, а потому, пренебрегая
ею, примем площадь кольца равной 2wrdr. Линейная скорость
v = шг. Квадрат этой скорости равен wV2, плотность жидкости —р.
А потому, принимая коэффициент пропорциональности равным
k, для элементарной силы трения dF на расстоянии г от оси вала
получаем
dF ^ k&vrdmh*,
а ее момент относительно оси вала
dm = r dF = (kp2nrdrw2r*) r,
dm = 2тс&рсо2/-4 dr.
Полный момент сил трения найдем интегрированием этого
выражения от 0 до R:
R
т 2?Ps f ?
R
f
164

.Число это следует удвоить, принимая .т внимание, что трутся
обе поверхности диска. Поэтому полный момент сил трения
М = -=- тскро) /?5,
При решении задач 11,8—11,15 следует иметь в виду что
давление — величина векторная. '
Задача 11,8. Определить численное значение силы давления о
ветра на стоящую вертикально цилиндрическую башню высотой
hue круглым основа-
основанием радиуса а, м, если
известно, что сила дав-
давления ветра на 1 м2
плоской поверхности,
расположенной перпен- *"
дикулярно кегонаправ- _
лению, равна р, кг. ——
Решение. На чер- ——
теже показано основа- ——
ние башни, направле- —-
ние ветра и расположе- "
ние координатных осей. "~>
Дугу АС В разделим на п "~
дуг точками Аъ Аг,..., ~*^ .
Ak, . • •, Ап-\ и рассмо- р
трим полоски башни,
опирающиеся на соот-
соответственные дуги. Если
направление ветра не
перпендикулярно по- .К задаче 11,8
верхности полоски, то
эта поверхность будет испытывать только часть давления, равную
составляющей силы давления р по Нормали к этой поверхности.
Вычислим силу давления, которую испытывает полоска башни,
опирающаяся на Дугу As*. Обозначим через cpfe угол, который каса-
касательная в точке Ak Дуги AkAk+i составляете направлением ветра.
Тогда составляющая DkAk силы давления по нормали равна
pcos
(т — ?*)
Полоска башни, опирающаяся на дугу As^, имеет площадь,
равную приближенно h As* м2, а потому она испытывает давле-
давление, равное
Ьрь. = punykhb.Sk.
165

Обозначим через Дер* центральный угол, опирающийся на дугу
ksK. Учитывая, что радиус окружности основания башни равен а,
получим
а сила давления ветра на полоску башни, опирающуюся на дугу
~Крк = р sin <pK йаДф*.
Определим проекции этой силы на координатные оси Ох и Оу;
(Ьрк)х «= {pah sin <?КЬ<?К) ces (— — <рЛ
или
~ n2 <рД<р;
(Ьрк)у = (/кй sin <ркД<рк) cos tpK -= pah sin <pK cos t
(Учащегося должен заинтересовать вопрос, почему от силы дав-
давления ветра Дрк на полоску башни мы переходим к проекциям
этой силы на координатные оси).
Суммы проекций по соответствующим координатным осям да-
дадут приближенные значения проекции на эти оси силы давления
р на всю башию.
л' ¦ . - л
sin"
A1,6)-
Ру ~ 2 po-h sin 9/c cos 9«Д9« = poh 2 sin «p« cos 9*
к—I к—1
(в обоих случаях постоянная величина pah, входящая в каждое
слагаемое, вынесена за знак суммы).
Угол 9 отсчитывается от ОА и изменяется на дуге АСВ от
О до тс, а потому, переходя к пределу в последних равенствах
A1,6) при условии, что число частей деления дуги АСВ на части
неограниченно увеличивается, а все Д9* стремятся к нулю, полу-
получим точные выражения для проекций силы давления на оси Ох
и Оу в виде определенных интегралов:
pahjz
т— —^— кг,
ру = pah \ sin 9 cos tpcty = pah
J
о
Итак, рх = р-^ кг; ру =¦ 0.
166
0.
о

Если известны проекции ах и ау ""вектора а на координатные
оси, то его численное значение (модуль), как известно, находится
по формуле a—V
всю башню равен
+ ау, а потому модуль силы давления р на
Л Г 2 ¦ 2 pahn
= V pi + Pv = Р— кг-
Задача 11,9 (о давлении жидкости на погруженную в нее вер-
вертикальную стенку).
В жидкость, удельный вес которой равен y, погружена верти-
вертикальная стенка. Определить численное значение (модуль) силы
гидростатического давления жидкости на эту стенку (см. чертеж).
Решение. Из гидростатики
известно, что давление жидкости
на погруженную в нее горизон-
горизонтальную пластинку численно равно
весу столба жидкости, опираю-
опирающегося на эту пластинку, т. е.
произведению площади этой пла-
пластинки на ее расстояние от сво-
бодной поверхности жидкости и "
на удельный вес жидкости.
Если площадь пластинки S,
ее расстояние от свободной по-
поверхности жидкости А, а удель-
удельный вес жидкости y. to модуль
силы давления
X,
Х[
1
о
? f(xt)
f
6
в
X
1 с
|\
Ш
У
\
\\ ч
Ж,
1
1
D
A1,7)
К задаче 11,9
Но эта формула верна только Для пластинки, занимающей в
жидкости горизонтальное положение. Если же пластинка, погру-
погруженная в жидкость, занимает не горизонтальное положение, а
например, вертикальное, то ее различные точки находятся на раз-
различной глубине, а поэтому о расстоянии всей пластинки от сво-
свободной поверхности жидкости не имеет смысла говорить, и фор-
формула A1,7) для вычисления модуля силы Давления на эту пла-
пластинку непригодна.
Отнесем 'пластинку ABCD к прямоугольной системе координат
(см. чертеж), причем ось Оу' расположим на поверхности жидкости.
Абсциссы точек А и В соответственно равны а и Ь, а линия CD
определяется уравнением у = f (х), где / (х) — непрерывная .функ-
.функция на отрезке [а,Ь].
Разделим отрезок [а, Ь] на и произвольных частей и построим
прямоугольники, как показано на чертеже. Площадь пластинки
EFK.H примем приближенно равной площади прямоугольника
EFGH, т. е. произведению / {xl) kxt. Чтобы вычислить прибли-
приближенно величину давления на этот прямоугольник, повернем его
167

вокруг стороны EH так, чтобы он принял горизонтальное поло-
положение. Теперь уже к этой площадке применима формула (И,7),
и приближенно величина давления жидкости на прямоугольник
EFGH будет равна .
(/ {xi) Д%) хц.
Эта величина тем меньше будет отличаться от истинной вели-
величины давления на пластинку EFKH, чем на большее число п
разделен отрезок [а, Ь].
Поступая так же со всеми прямоугольниками, мы найдем, что
приближенно модуль силы давления определяется интегральной
суммой
л— I
1=0
(постоянная величина f входит в каждое слагаемое,, а потому вы-
вынесена за знак суммы). При составлении интегральной суммы мы
точку на каждом частичном отрезке взяли в его левом конце. Как
известно, на предел интегральной суммы это не повлияет.
За точное значение модуля силы давления примем предел, к ко-
которому стремится эта сумма, когда наибольший из отрезков kxt
стремится к нулю, а число п этих отрезков неограниченно увели-
увеличивается
n—I
Р = т lim 2 xtf (xi) Дл:*.
max bXf-*0 1=0
П-юо
'Так как Дх< -*¦ 0, то каждое произведение xtf(xi) Ь.х(— вели-
величина бесконечно малая, и здесь опять-таки мы имеем дело с опре-
n „a , делением предела суммы неограниченно
О а Поверхность живости врастающего количества бесконечно
малых величин.
На основании формулы A0,2) мы
можем записать, что модуль силы давления
жидкости на вертикально погруженную в нее
стенку равен
A1,8)
Задача 11,10. Прямоугольная пластинка со
х сторонами а дм и h дм вертикально погруже-
К задаче И 10 на в жидкость удельного веса -р Сторона дли-
длиной а дм лежит на поверхности жидкости.
Определить численное значение силы давления, испытываемого
каждой стороной пластинки.
168

Решение. Применим формулу A1,8). Ц ней нижний предел
интегрирования нужно взять равным нулю, верхний равен h, f(x)—a,
а потому модуль силы давления
(давление получилось в килограммах, так как стороны прямо-
прямоугольника выражены в дециметрах).
При решении задачи значительно большую пользу принесло бы
повторение рассуждений, проведенных в предыдущей задаче, чем
использование готовой формулы A1,8).
Задача 11,11. При условиях предыдущей задачи определить,
на какой глубине надо разделить прямоугольник горизонтальной
прямой, чтобы давления на каждую из двух частей прямоуголь-
прямоугольника были равны между собой.
Решение. Проведем прямую, разделяющую треугольник на
глубине c(c<ik). Тогда давление рг на верхнюю часть прямо-
прямоугольника численно равно
с
Pi = т S axdx>
о
а давление р2 на нижнюю его часть
Л
По условию задачи эти числадолжны быть между собой равны,
а потому
с h
Y \ ахйх = у I axdx.
Сокращая на а\ и интегрируя, получим уравнение для опре-
определения неизвестной величины с:
с2 /г2 — с2 У~2 .
Задача 11,12 (для самостоятельного решения).
Определить численное значение давления жидкости удельного
веса 1 на одну из сторон прямоугольной пластинки, наклонен-
наклоненной к поверхности жидкости под углом а, причем верхняя сторона
169

AD длиной а, дм расположена горизонтально на глубине h от по-
поверхности жидкости. Длина другой стороны АВ прямоугольника—
Ь, дм (см. чертеж).
Указание. На прямоугольнике ABCD взять полоску ши-
шириной Дх на расстоянии х от стороны AD. Площадь этой полосы
равна а- Дя, а ее расстояние от поверх-
поверхности жидкости равно ft-f*sina. Дав-
Давление, оказываемое жидкостью на эту
полоску, приближенно равно
7 (Л -f- xs[na)abx.
Ответ, р — а-? Bh + Ъ sin a) кг.
Задача 11,13 (для самостоятельного
решения).
Плотина имеет форму половины
эллипса, малая ось которого 2Ъ лежит
на поверхности жидкости. Большая
ось эллипса — 2а. Вычислить численное
значение давления воды на плотину.
Указание. Если расположить оси, как это сделано на чертеже,
то эллипс определится уравнением -^-\-%=\
Вырежем полоску на глубине х шири-
шириною Дл;. Площадь этой полоски равна 2у!\х.
Величину у определить из уравнения
эллипса. Принять удельный вес воды
т= 1.
Численное значение давления равно
К задаче 11,12
] — хЫх.
Можно было сразу воспользоваться готовой формулой A1,8), в
которой взять У=~V&—х*. ¦
Ответ. Если полуоси эллипса выражены в дециметрах, то
численно давление получится в килограммах
р = \а%'Ь кг.
Если заменить эллипс половиной круга (а = Ь), то
р = —а2 кг.
170

Задача 11,14 (для самостоятельного решения).
Найти численное значение давления воды (^ = 1) на треуголь-
треугольные щиты, показанные на чертеже.
Указание, а) Уравнение АВ:
—^—щ,х'>
б) уравнение ОС:
ah2
„иг
О т в е т. а) р = =g-; б.) р
I*
о
а б
К задаче 11,14 а К задаче 11,14 6
Задача 11,15 (для самостоятельного решения). '
Поперечное сечение стенки резервуара, наполненного водой,
представляет дугу АВ круга радиуса а, дм, центр О которого
лежит на поверхности воды, а цен-
центральный угол АО В равен а. Опре-
Определить давление воды на эту дугу
(см. чертеж).
Указание. 1. Дугу АВ разде-
разделить на п частей.
2. Учесть, что давление направ-
направлено по перпендикуляру к поверхно-
поверхности и численно равно произведению
длины элемента As на его глубину
DC и на удельный вес 7 жидкости.
3. Длина дуги окружности равна произведению ее радиуса на
число радианов, содержащихся в центральном угле, опирающемся
на эту дугу, т. е.
As
х
К задаче 11,15
DC = a sin cp; -j =» 1, а потому на элемент. As дуги А В численное
значение силы давления Др приближенно равно
Др =* (a sin <р) а Дер = a2 sin ср Дер.
171

4) Найти проекции АХ и AY силы Ар на оси ОХ и Оу:
АХ — (a2 sin ср Дер) cos (90° — ср) = а2 sin2 ср Дер;
AY = а2 sin ср cos ср Дер.
Y = J а2 sin <p cos
Как и в задаче 11,9, читателя должна заинтересовать при-
причина, заставляющая перейти от элементарных давлений Ар к их
проекциям, затем суммировать не элементарные давления, а их
проекции и, только найдя „их, ¦ определить численное значение
самого давления.
Ответ. р = ^- К4sin4а + Bа — sin2аJ
кг.
Задача 11,6. Согласно закону Гука, удлинение А1 стержня
длиной I постоянного сечения F под действием растягивающей
нормальной силы Р определяется формулой
A' = S?. ¦ A1,9)
О
из ко-
койХ
где Е — модуль упругости материала,
торого сделан стержень.
Определить удлинение свободно подвешен-
подвешенного цилиндрического стержня длиной I см и
поперечного сечения F см? под действием его
собственного веса. Удельный вес материала
стержня у г/см3.
Решение. Разделим стержень на эле-
элементарные цилиндрические стержни. Эти эле-
элементы будут испытывать различные растяже?
ния, так как они находятся под действием
различных сил веса.
Вычислим по формуле A1,9) растяжение
элементарного цилиндра высотой Ах, находя-
находящегося на расстоянии х от места подвеса. На него действует
сила веса, равная весу нижележащей части стержня. Длина
этой части равна (I — х), объем ее — (I — х) F, а вес — (I — х) Е^.
Полагая в формуле A1,9) I = Дд;; Р ~ (/ — х) Ff, получим, что ра-
растяжение элементарного цилиндра приближенно равно
К задаче 11,16
(/ — х) Fу Ах
EF
(I — х) Y Ах
Е
Суммируя растяжения этих элементарных цилиндров и пере-
переходя к пределу при условии, что число этих элементарных ци-
цилиндров неограниченно возрастает, а высота Ах каждого из них
172

неограниченно убывает, общее удлинение стержня найдем по фор-
формуле
¦г A-х?1
Ответ.
А/ = \sCM.
Задача 11,17 (для самостоятельного решения).
Материальная точка движется по прямей с переменной ско-
скоростью, являющейся заданной непрерывной функцией времени (:
у = v(t). Определить путь, пройденный телом от момента вре-
времени t0 до момента Т.
Указание. Промежуток времени [t0, Т] разделить на п
произвольных частей. Длина каждого промежутка времени
Д/* = tk — tk—i.
В каждом частичном промежутке времени выберем произволь-
произвольный момент — tk. (Момент tk может совпадать и с любым из
концов отрезка времени Д4).
Вычислим скорость v в этот момент времени. Получится число
/Ы-
Принимаем, что за время Д4 движение происходит равномерно.
Поскольку при равномерном прямолинейном движении путь, прой-
пройденный телом, равен произведению скорости на время, путь, прой-
пройденный за время Д^, будет приближенно равен / (та) Д/*. Сложим
пути, пройденные за все частичные отрезки времени.
Приближенное значение пути
л
~ 2л i\tk)ktk. (и, Ш)
За точное значений пути 5 следует принять предел интеграль-
интегральной суммы A1,10), когда наибольший из промежутков времени
Шк стремится к нулю: . i
л
1 »^__ ^^1 ? / \ Д 1
= 11Ш ^J / (Xk) 'i'fe.
max Mfc-tO k—1
На основании формулы A0,2) можно записать, что
A1,11)
Таким образом, если задан закон изменения скорости, то путь,
пройденный телом, вычисляется с -помощью определенного инте-
интеграла по формуле A1,11).
173

Когда max \tk -> 0, то произведение v (ть) Mk — величина беско-
бесконечно малая. Определение искомой величины и в этой задаче
свелось к отысканию предела суммы неограниченно возрастающего
количества бесконечно малых величин.
Задача 11,18 (для самостоятельного решения).
Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте
телом за Т секунд, если известно, что скорость v свободного па-
падения в пустоте определяется формулой v — gt (начальную ско-
скорость v0 принимаем равной нулю).
Ответ. S=^-. Еслио0 =? 0, Tov=*v0 + gt, a S=o0jT + ^.
Задача 11,19 (для самостоятельного решения). '
Дан неоднородный тонкий стержень длиной L. Определить
массу этого стержня, зная, что в каждой его точке плотность jj.
есть заданная непрерывная функция абсциссы х этой точки: ц =
= {*(*)• •
Указание. Если бы стержень был однородным, то плот-
плотность ц во всех его точках была бы величиной постоянной, а его
масса, учитывая, что по условию стержень тонкий, была бы равна
произведению плотности ц на его длину L, т. е. m — pL.
Разделить длину стержня на п произвольных частей. Вычислить
массу каждой части, считая, что плотность каждой из частей
постоянна, сложить полученные массы и перейти к пределу,
устремляя к нулю наибольший из частичных отрезков, на которые
разделен стержень.
ь
О т в е т. пг = ? \х (х) dx.
ДВЕНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Замена переменной в определенном интеграле. Интегри-
Интегрирование по частям. Теорема о среднем значении.
I. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Краткие сведения из теории
Часто для упрощения вычисления интеграла
ь
if(x)dx A2,1)
а ^
приходится заменять независимую переменную величину х, пола-
полагая, что
'* = ?(/). A2,2)
174

Это приводит к формуле преобразования определенного инте-
интеграла при введении новой переменной
ь в
При этом предполагается: 1) функция f(x)— непрерывна на
отрезке [а, Ь]; 2) функция <f(t) и ее-производная <р' (t) — непре-
непрерывны на отрезке [а, р]; 3) имеют место равенства a = tp(a); b =
— <р(Р); 4) при изменении новой переменной t от а до р функция
х — <р if) изменяется всегда в одном и том же направлении от
ср (а) = а до ср ф) = Ь, т. е. функция х = ср (fy на отрезке [а, {$]
должна быть монотонной. (Это требование можно заменить другим;
все значения функции <р (t) должны находиться на отрезке [а, Ь]).
Из этой справки читатель видит, что замена переменной в опре-
определенном интеграле требует осторожности и обязательного выпол-
выполнения всех перечисленных условий, налагаемых на функцию A2,2).
При соблюдении этих требований важно отметить, что замена
переменной в определенном интеграле приводит в общем случае
к интегралу с новыми пределами интегрирования. Эти пределы
находятся так: в A2,2) подставляется сначала нижний предел а
заданного интеграла и решается уравнение a — <f(t). Значение t,
найденное из - него, и будет новым нижним пределом а. Если
этому уравнению удовлетворяет не одно, а несколько значений t,
то за а можно принять любое из них. Затем для определения
нового верхнего предела в A2,2) подставляется верхний предел b
заданного интеграла и решается уравнение b = ср (t). Найденное
из этого уравнения значение t будет новым верхним пределом р.
Если это уравнение, имеет несколько корней, то за- р можно при-
принять любой из них. Однако свобода выбора чисел аир ограни-
ограничивается требованием, чтобы значения функции ср (t) не выходили
из отрезка [а, Ь], в котором определена и непрерывна подынте-
подынтегральная функция. f(x) (см. задачу 12,1).
Сделав замену переменной, изменив пределы интегрирования,
после вычисления преобразованного определенного интеграла нет
необходимости переходить к старой переменной, как это мы де-
делали при1 вычислении неопределенного интеграла с помощью замены
переменной.
Еще раз подчеркиваем, что подстановка A2,2) должна упро-~
стить вычисление интеграла A2, 1).
Укажем также, что несоблюдение всех указанных требований,
налагаемых на функцию A2,2), может привести к грубым ошибкам.
Во многих случаях приходится вместо подстановки A2,2), ко-
которая переменную интегрирования х заменяет функцией новой
переменной, вводить новую переменную t как функцию старой
переменной х, т. е. полагать
175

В этом случае новые пределы интегрирования а = ш (a), a C =
= (в (Ъ). Если соотношение / = ш (%) разрешить относительно х,
то окажется, что х —<?((), причем необходимо, чтобы для функ-
функции у (/) были соблюдены все указанные выше условия.
Задача 12,1. Вычислить определенный интеграл
Решение. Можно было бы воспользоваться известным из
задачи 4,3 вычислением неопределенного интеграла \ У а2 — x2dxn,
применяя формулу A0,2) Ньютона — Лейбница, найти искомый
интеграл
а / ' 2 \\а
I ya2—x2dx= [^-Уа2 _*• + ?. arcsin- =
о \* J\o
а2 а о2 . « а2п
= -? arcsin — = у arcsin ' = "Г"
(Первое слагаемое у У а2 — х2 обращается в нуль как при
верхнем, так и при нижнем пределах).
Вычислим теперь этот же интеграл с помощью замены пере-
переменной. Введем подстановку
x^asint. A2,4)
Прежде всего определим новые пределы интегрирования. Когда
х = 0, из уравнения 0 = asin/ получаем, что t = kw. Подстав-
Подставляя же в A2,4) вместо х верхний предел а, получим: а = a sin/;
sin/ = 1; / = ~ + 2&гс.
Из всех возможных значений /, удовлетворяющих уравнениям
asin/ = 0n а — a sin/, мы возьмем 0 и у потому, что на от-
отрезке 0, y\ Функция х = a sin / удовлетворяет не только Первым
трем из указанных требований, что очевидно было сразу, но и
четвертому, так как на отрезке 0, ~\ она монотонно возрастает
и ее значения сплошь заполняют первоначальный отрезок интегри-
интегрирования [0, а]. Вместо этих значений можно было бы взять и лю-
любые другие, но такие, чтобы значения функции л; = a sin/ не вы-
выходили из отрезка [0, а]. В качестве таких значений можно езять,
например, а = 2гс, C = -к, При-изменении / от 2гс до у п функ-
функция х= a sin/ изменяется от 0 до а. Но взять значения а = к,
176

g
C = -j ¦к нельзя, так как тогда функция х = a sin t принимает зна-
значения не на отрезке [0, а], на котором ведется вычисление задан-
заданного интеграла, а на отрезке [0, —га].
Подынтегральная функция преобразуется так:
Va2 — х2 = Va2 — a2 sin21 = a cos /; dx = a cos / dt.
Поэтому /
a2 — x2 dx = [ a2 cos2 t dt = a2 \
2
1 + cos 2/
2
о
dt
a21, . 1 . о Л IT a2 it no2
Ответы, конечно, совпали.
la
Задача 12,2. Вычислить ] V2ax — х2 dx.
о
Решение. Преобразуем подкоренное выражение
2ах — х2 = а2 — (х2 — 2ах + а2) = а2 — (л; — af
и введем подстановку
х — а = asin/; д; = a +asirW; A2,5)
dx = acostdt; V2ax — x2 = Va2 — {х — аJ = ]/a2 — a2sin2f =
=» /a2(l—sin2/) = a cos f.
Подынтегральное выражение будет таким: |/2ах — х2 dx =
= a2 cos2 * rf/.
Теперь надо не забыть определить новые пределы интегриро-
интегрирования: сначала в подстановку A2,5) подставим нижний предел
заданного интеграла х = 0, а потом верхний х = 2а и получим:
при х = 0 0 = а + a sin /; sin / = — 1; t = —^ ; при х — 2a 2a ==
= a+asin/; 2 = l+sin/; sin^= 1; ^ = -|'. Решая уравнения
sin/=—1 и sin/ = l, мы остановились на значениях / = — у
и/ = 4, так как на отрезке —^ , -^ фУнки.ия A2,5) монотонно
возрастает и остальным требованиям она также удовлетворяет.
177

Таким образом, новыми пределами интегрирования будут —^
нижний предел, — верхний. Поэтому
1С • ТЕ
2а ~2 Т
J V ax-x dx = a j cos / '=y J< +
2
Задача 12,3 (для самостоятельного решения). •
а .
Вычислить }
о
Указание. х2 — 2ал: + 2иг = (х —аJ+а2,
Подстановка: д; — а = г.
Пределы интегрирования: при х = 0 получаем г ——а, при
л: = а 2 = 0. Таким образом, новая переменная г изменяется на
о
отрезке [-^а, 0]. Интеграл преобразуется к интегралу Г
У
— а
Ответ. In (/2 + 1).
Задача 12,4 (для самостоятельного решения).
.4 .
Вычислить Г ^xd*
Указание. Подстановка: д; = 22 (г>0),
Определяем новые пределы интегрирования:
при х—Л 1 = z2; 2=1;
» х = 4 4 = г2; 2 = 2.
Новая переменная 2 изменяется на отрезке [1; 2]. Интеграл
2
преобразуется к виду 2J
О т в е т. 1 + In j.
Задача 12,5. Вычислить \ 1/ { , * dx -
о
Указание. Сделать подстановку: х = cos 6.
178-

Пределы интегрирования:
при х = 0 О = cos 9; 9 = -¦;
» х— 1 Icos9; 9 = 0.
Новая переменная изменяется на отрезке -|, 0 .
о «
Интеграл приводится к виду — 2 \ sin2 -=¦ d9 = 2 г sin2 -5- d9.
л J
2 0
(Перемена местами пределов интегрирования меняет знак опреде-
определенного интеграла на противоположный).
Ответ.-^-—1.
п
Задача 12,6. Вычислить / = f . *sin * v dx.
J 1 -r cos ж
о
Решение. Сделаем подстановку:
Х = те-2. A2,6)
Новые пределы интегрирования:
при х = 0 0 = те — Z', 2 = те;
» х = тете=ате — г; 2=0.
Таким образом, новая переменная изменяется на отрезке [те, 0].
Подстановка A2,6) поменяла пределы местами. Учитывая, что из
A2,6) dx = —dz, данный интеграл
0 г.
(и — г) sin (it— г) . f (it — г)sin 2 .
——r— az = \ 1 1 „.a—  =г
о
sin г ,_ Г г sin г ,
С
"«3
о
о о
Но V . 3— иг равен искомому, потому что по сравнению с ним
¦6 " •
здесь изменилось только название переменной (г вместо х).
Поэтому последнее равенство можно переписать так:
sin г , ,
dz — /,
1 + eosa г
о
179

т. е.
27= Л sinz dz- / = -f sinz dz =
Jl+cos2z 2jl+cos2z
о о
= — y arctg (cos z) Г= — у [arctg (cos %) — arctg (cos 0)] =
= - J [arctg(- 1) -arctg 1] = —J(-1 -|j - - 2L(_|j = J
Ответ. I =-j.
Задача 12,7. Вычислить \
г - a2) F2 - л:2)
2
Решение. Применим подстановку
*2 = a2 cos2 9 + 62 sin2 9. A2,7)
Отсюда следует: •
2xdx = — 2a2 cos e sin 9 rf9 -f- 262 sin 6 cos 6 db;
xdx—(b2 — a2)sinecoserf6; A2,8)
x2 — a2 = a2cos29-M2sin29 — a2 = 62sin2e +a2(cos2e— 1) =.
= b2 sin2 9 — a2 sin2 9 = F2 — a2) sin2 9;
b2 — x2 = b2 — a2 cos2 9 _ 62 sin2 0 = 62 A — sin2 9) — a2 cos2 9 =
= b2 cos2 9 — a2 cos2 9 = (b2 — a2) cos2 9;
V(x2 — a2)(b2 — x2j = V(b2 — a2) sin2 9 (b2 — a2) cos2! =
= F2 —a2) sin 9 cos 9.
При учете A2,8) подынтегральное выражение станет равным d9.
Теперь определим новые пределы интегрирования.
При нижнем пределе а: = ^-— имеем из A2,7):
^1±А2 = a2 cos2 9 + b2 sin29;
3a2 + b2 = 4a2 A — sin2 9) + 462 sin2 9 = 4a2 — 4a2 sin2 9 -f- ib2 sin2 9;
b2 — a2 = 4 (b2 — a2) sin2Q; sina9=^; sin9 = 1; 9 = -|.
180

При верхнем пределе х = 1/ —у—, используя A2,7),получим:
а-^~~ = a2 cos2 9 + b2 sin2 6;
а2 + Ь2 = 2а2 A — sin2 0) -f 2b2 sin2 9;
а2 -f Ь2 = 2а2 — 2а2 sin2 0 + 2Ь2 sin2 0;
Ь2_а2 = 2(Ь2 —a2)sina8; sin20 = i> sin0 = ^-;
Таким образом, новая переменная 0 изменяется на отрезке
•, ^-1, а исходный интеграл
Ответ. /=Y2-
Задача 12,8 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
2 10 1
(гЬ1); 2)/2==1^^7гт^; 3)
1 2 0
Указания. 1) Подстановка: х — -^ . Здесь можно вооб-
ще легко избежать подстановки, если подынтегральную функцию
представить в виде
1 _ 1 + л4 — х1 _ 1 -{-Xх х* _ 1 х3
"~ ~ ~" ~ 7 ~ Г+1* '
Новые пределы интегрирования: 2 и -^;
11
16
е
~2
2) Подстановка: а: + 6 = 2а. Новые пределы интегрирования:
нижний 2 = 3, верхний 2 = 4; х — 1 = z2 — 7,
Л ,ч 1 1 32 о. 1 , 16 + 5/f „.5 , .
Ответ. 1)т1пп; 2) y=ln ^Q ; 3) -3 — In4.
181

Задача 12,9 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
+ Х1)Ух (поДстановка: * =
3
2) j Гз-faf+x» (подстановка: ха =г);
уз
3) f xayi + x2dx (подстановка: 1 +хг = г2).
о
Ответ. 1) i; 2)'?; 3) g.
Задача 12,10 (для самостоятельного решения).
ь
Доказать, что интеграл / = J /. (х) dx может быть преобразова!
а
в интеграл с заданными пределами аир при помощи подстановк!
Ь — а, , ар-&а
и указать подстановку, которая преобразует этот интеграл в и№|
теграл с пределами 0 и 1. |
i
II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ .]
1
Формула интегрирования по частям для определенных интег-
интегралов имеет вид ¦
ъ ь ь \
\ udv = uv — \ vdu A2,9)
а . а а
в предположении, что функции и и v имеют непрерывные произ-
производные на отрезке интегрирования..
Применение формулы A2,9) мало чем отличается от примене-
применения соответствующей формулы для неопределенного, интеграла.
Поэтому мы ограничимся небольшим числом упражнений.
Задача 12,11. Вычислить интегралы:
1) jarcsinxflf* 2) \ x&rdgxdx.
о о
182

Решение. 1) \ arcsinxdx = xarcsinx —
VT
и = arcsin x
dv = dx
du ¦¦
dx
v — x
— 1 • arcsin 1 —0 • arcsin 0
= ¦?•— 1, так как
0 2
2)
f
о
и = arcsin x
dv = xdx
du =
arcsin 1 = —.
dx
1-f-x2
"8
T •
Задача 12,12 (для самостоятельного решения). Вычислить
интегралы:
1) f ln2^dx; 2) V-^dx; Z) [xtg2xdx; 4) f (arcsinлJdx.
¦ i Г о о
Ответ. 1) e-2) 2) ^-!g; 3) ^-Iln2-g;
III. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
Краткие сведения из теории
Вводя понятие об определенном интеграле, мы произвольным
образом делили отрезок интегрирования [а, Ь] на п частей и в произ-
произвольной точке %i каждого частичного отрезка вычисляли значение

функции f(x). При этом получались числа /(?,-). Очевидно, самым
простым способом будет разложение отрезка [а, Ь] на части, рав-
равные между собой. В таком случае длина каждой из них будет
равна b^z? > интегральная сумма- примет вид
и ее предел
ИЛИ
(Ь — a) lim — — — = \f(x) dx.
ft -*¦ oo ^
После деления обеих частей этого равенства на Ь — а получим
hm -' = т—г-я [ f (*)dx- A2>10)
Число —— ——— — есть среднее арифметическое чи-
*
1
сел ДУ, f(U), • • м /On), а потому и правую часть ^J / (x)dx
а ,
формулы A2,10) называют средним значением функции f(x) на"
отрезке [а, Ь]. Среднее значение функции / (х) обозначается через
f (с), и имеет место формула
которая и выражает теорему о среднем значении. При этом пред-
предполагается, что функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь].
Итак, по определению, среднее значение функции f(x) на от-
отрезке [а, Ь] равно определенному интегралу от этой функции,
вычисленному в пределы от а до Ь и разделенному на длину
этого отрезка.
Задача 12,13. Найти среднее значение функции y — s\nZx на
отрезке Г0, j j.
184

Решение. По формуле A2,11), полагая в ней а — О; Ь —
= тг 5 / М = sin 3*, получим, что среднее значение функции
О
3 1
3
f /л — 1 I sin Ъх dx = ¦ -о- cos Ъх
3 о
о
= _ i Г cos 3 ^ — cos ol = — i (cos it — cos 0) = — -i (— 1 — l) =
= - = 0,6366.
Задача 12,14. На отрезке АВ длиною а см, взята точка Р.
Найти среднее значение Sm площадей прямоугольника, построен-
построенных на отрезках АР и РВ как на сторонах.
Решение. Примем Точку А за начало отсчета. Пусть точка Р
находится на расстоянии х от А. Тогда АР = х, а РВ = а—х.
Площадь прямоугольника, построенного на АР и РВ как на сто-
сторонах равна х(а — х).
По формуле A2,11), полагая в ней нижний предел равным 0,
а верхний а, находим среднее значение площадей
а 6 ~~ 6
Итак, Sm — -g- ам:
Задача 12,15 (для самостоятельного решения).
Чему равно среднее значение обратных величин всех вещест-
вещественных чисел, лежащих между а и b (a < 6)? Рассмотреть част-
частный случай: b = 2а.
Указание. Обозначить обратную величину вещественного
числа через — , а искомую — через т.
О т в е т. т = ,-i- In -. При b = 2am = I . 0,69315 (In 2 =
= 0,69315).
Задача 12,16 (для самостоятельного решения). .
Если тело падает свободно вблизи поверхности земли без на-
начальной скорости, то его скорость вычисляется по формуле v =
= y^2gS, где S — путь, пройденный от начала падения. Найти
среднюю скорость vm на пути Sv пройденном от начала падения.
Ответ. vm = ±r[V2gSdS; vm = | vv
Oi 1 О

Где ^ = V2gSl скорость в момент, когда пройденный путь!
равен Sv '\
Задача 12,17 (для самостоятельного решения). ?
Найти среднюю" длину рт радиусов кривизны одной арки-
циклоиды. ;
Уравнение циклоиды
x=a(t — sin/); y — a(\— cost) (О < t < 2я).
Указание. Радиус кривизны циклоиды равен 4а
sin 4-
(см. И. А. К а пл а н. «Практические занятия по высшей математике», ч. И,
стр. 291, формула C6,27).
Ответ. рт = -А
11 <
Задача 12,18. В динамомашине электродвижущая сила -пере-,?
менного тока выражается формулой ¦>.
где Т — продолжительность периода в сек;
Ео — максимальное значение (амплитуда) электродвижущей
силы. .. . . •
Определить среднее значение Ет электродвижущей силы и сред-
среднее значение ее квадрата (?2)т в течение одного полупериода от
* = 0 до. * = у.
Е2
Ответ. 1) Ет = 0,б36?0; 2) (E2)m = -^
ТРИНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ1
Содержание: Несобственные интегралы по бесконечному интервалу и от
разрывных функций. Принцип сравнения несобственных интегралов с положи-
положительными подынтегральными функциями.
Краткие сведения из теории
ь
Определенный интеграл [f(x)dx во всем предыдущем рассмат-
а
ривался при следующих предположениях: 1) отрезок [а, Ь] инте-
интегрирования конечен и 2) подынтегральная функция на этом отрезке
непрерывна. При таких предположениях этот интеграл называется
интегралом в «собственном смысле», или «собственным» интегралом.
В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или
1 Без ущерба для последующего задачи- этого практического занятия
могут решаться после шестнадцатого практического занятия.
186

конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит
разрыв, интеграл называется интегралом в «несобственном смысле»,
или «несобственным» .интегралом.
Каждый из названных двух случаев рассматривается на этом
практическом занятии.
I. ИНТЕГРАЛ, РАСПРОСТРАНЕННЫЙ НА БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРОМЕЖУТОК
(НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ)
Определение интеграла с бесконечными пределами
В этом разделе считается, что f(x) в промежутке [a, +ooj
непрерывна. Интегралом от f(x)dx между пределами а и +°°
J f(x)dx A3,1)
а
называется предел интеграла от f(x)dx, взятого в пределах а
и N, когда N стремится к +оо, т. е.
+ оо N
У f(x)dx= Vim lf(x)dx. A3,2>
Интеграл A3,1) с бесконечным верхним пределом — несобственный
интеграл.
Если существует определенный конечный предел в правой
части A3,2), то несобственный интеграл A3,1) называется сходя-
сходящимся, а функция f(x) в этом случае называется интегрируемой
на бесконечном промежутке [а, Н-°°]-
Если же этот предел бесконечен или не существует, то интеграл
называется расходящимся.
а
Интеграл J f(x)dx определяется аналогично:
— 00
а . а
lf(x)dx= lim U(x)dx, A3,3>
— 00 А-» 00 А
а интеграл
+~ n
J f(x)dx=: lim U(x)dx, - A3,4>
— оо Л-*—°° д
при этом
+оо а +оо
J Hx)dx= J f(x)dx+ [ f(x)dx, A3,5>
—oo —oo a
где а — любое число.
187-

•1
Если удается найти первообразную функцию F (х) для подын^
тегральной f (х), то записи можно расположить так: }
+°° N w - , j
J f(x)dx= lim [f{x)dx= lim F (x) = \
= lim [F (N) — F (a)] = lim F{N) — F (a). A3,6)'
Очевидно, что несобственный интеграл A3,1) существует, если
существует предел lim F (N).
Введем обозначение lim F (N) ~ F(+<x>) и аналогично:
lim F(N)=F(— oo)).
Тогда A3,6) можно переписать так:
J f{x)dx= lim F(N) — F(a) = F(+<x>) — F(a).
Разность же F(-{-co) — F (а) можно записать в виде F(x)\+°°,
в таком случае вычисления располагают следующим образом:
J / (лг) dx = F (х) =F(+co)-F (a), A3,7)
а а
понимая, что F(-{-co) = lim F (x).
Если отыскать первообразную функцию для / (л:) трудно или
если она в конечном виде не может быть вычислена, то сущест-
существуют признаки, позволяющие решить вопрос о сходимости или
расходимости интеграла A3,1).
Признаки сравнения
1. Если две функции f(x) и ср (х) для всех значений х из полу-
полуотрезка la, -f °°] не принимают отрицательных значений и к то-
тому же
f(x)<<f(x), A3,8)
то J f{x)dx сходится, если сходится интеграл J y(x)dx, и
а а
j ср (х) dx расходится, если расходится J / (x) dx.
а а
2. Если при х-*¦-{-со
Ш = с- A3>9)
188

причем с>0, сф оо и f(x) ФО для всех достаточно больших х,
то интегралы $ f(x)dx и § <?(x)dx либо оба сходятся, либо оба
а а
расходятся.
3. Если сходится J /(*)<&, то сходится и J kf(x)dx,' где&—
а
а
величина постоянная.
+~
Эти признаки распространяются и на интегралы вида J f (x)dx,
— СО
но относятся только к указанным выше функциям.
4. Для решения вопроса о сходимости интеграла A3,1) в том
случае, когда функция f (х) является знакопеременной в проме-
промежутке [а, +оо], можно применить такую теорему:
Если несобственный интеграл J I f(x) | dx от абсолютной ве-
а
личины функции f (x) сходится, то сходится и интеграл A3,1).
Задача 13,1. Вычислить
-4-00
1
Решение. По определению, применяя запись A3,7), полагая
р ф 1, имеем
dx 1
х"~
——--, если р > 1;
+ оо, если р < 1.
Значит, при р > 1 интеграл сходится, а при р < 1 — расхо-
расходится. (Первый ответ получен так: если р>1, тор—: 1 > 0, и
если х-+ +оо, то хр~1 -*¦ +оо, а дробь ——, ->0.
Второй ответ объясняется так: если р < 1, то р — 1 < 0, а 1 —
— р > 0. Тогда хр~х = —^ -> 0, когда х -*¦ + оо, т. е. величина
#p-i — бесконечно малая. Поэтому величина -——г > которая нас ин-
X
тересует, — величина бесконечно большая).
Осталось рассмотреть случай р = 1:
= lim Ых— In 1 = +оо.
189

Таким образом, при р = 1 "интеграл A3,9) расходится. Так
как нам придется обращаться к этому интегралу, то сделаем
общее заключение.
+°°
Интеграл \ — сходится при р > 1 и расходится, когда р < 1.
Этим интегралом часто пользуются, применяя признак срав-
сравнения, для решения вопроса о сходимости интеграла.
Задача 13,2. Вычислить интегралы:
+~ о
1) j e-p*dx; 2) j ep*dx. A3,11)
+» +«
Решение. 1) Интеграл /х = I e~Pxdx = -е~Рх
о
lim (е)G
р **+« l+oo, если р<0.
При р > 0 lime-p*= lim—=0, так как еР*->-|-оо при
+ОО. При р <0 Пте-Рл:= +оо.
' +
Заключение, i e-?xdx при р > 0 сходится, а при р<0 рас-
расходится.
2) Второй из интегралов A3,11) сводится к первому подста-
подстановкой х = —у (сделайте это преобразование самостоятельно),
а потому ? еР* dx сходится при р > 0 и расходится при р < 0.
Г dx
Задача 13,3. Вычислить \ {<хГ
+» +»
rq—rj = arctg д: = lim arctg x — lim arctg *=.
Можно было бы записи вести так:
arctgx | = arclg(+oo) — arctg(— оо) = -? — (-?) = тс.
190

-Задача 13r4. Вычислить J s'mxdx.
Решение. J sinxdx= —cos* J = — limcos* + 1.
0 0 x-++t*>
Ho cos x при *->+со не стремится ни к какому пределу,
совершая колебания от —1 к -f 1, а потому интеграл расхо-
расходится. Этот случай отличается от рассмотренного в задаче 13,2
при р < О тем, что там имелся бесконечный предел, а здесь его
вовсе нет.
Записи в этом примере можно было вести и так:
-+~ +»
\s\nxdx=—cos* | =—cos(-foo) -|_ i(
о о
но cos^+co) числового значения не имеет.
Задача 13,5. Решить вопрос о сходимости интеграла / =
+Г
= \ erax sin bxdx и вычислить его (а > 0).
Решение. Вопрос о сходимости этого интеграла решается
просто. Так как j e~axdx при я>0 сходится (см; задачу 13,2),
о
а | erax sin Ьх \ < е~ак, то на основании признака сравнения схо-
сходится и интеграл ] \erax%\xibxdx\. Применяя пункт 4 (стр.191),
о
заключаем, что сходится и рассматриваемый интеграл. Требуется
не только, решить вопрос о сходимости этого интеграла принци-
принципиально, но и вычислить его.
Пользуясь справочником (а этого избегать не следует), или
применяя дважды интегрирование по частям, легко показать, что
для функции е-"* sin &# первообразная функция
F (Х) - _asm bx+b cos Ьх
г \х> — а3 + б2
Поэтому
л sin п<г _1 п ff\Q h V fj h
2 C T n2 J_ (,2 ^2 I_ (,2>
так как под знаком предела числитель дроби — величина огра-
ограниченная, a lime-'" = 0 при а > 0. Величина же 2 .2 есть Р @).
*-+~ . а "г °
191

Задача 13,6 (для самостоятельного решения).
+Г
Вычислить интеграл J егах cos bx dx.
о
Ответ, ^р-р.
Задача 13,7 (для самостоятельного решения).
Вычислить \
dx
а2 + Ь2х*
о-
Ответ- й-
Задача 13,8 (для самостоятельного решения).
Вычислить интеграл \ Г4ГЙ.
о
Указание. Воспользуйтесь справочником для вычисления
С dx
неопределенного интеграла \ t , xi или найдите первообразную
функцию самсстоятельно.
Должно получиться
_ х
2 /2
Ответ.
Задача 13,9. Вычислить 1п — \ хпе~х dx (п > 0 и целое). (Ин-
о
деке п у 1п равен показателю степени буквы х в подынтеграль-
подынтегральной функции).
Решение. Применим формулу интегрирования по частям
In =
б 0 0
dv — e~xdx v ¦
= — ПтЛ
192

Для вычисления \\тхпе*~х применим правило Лопиталя:
lim^-= Hm ?« llm 2^- Нт "(" - у2 =
= ... = lim — = 0.
Таким образом, /n = nln~\- Применяя последовательно эту
рекуррентную формулу, найдем
/„ = nln-i = n(n-rl)/n-2 = п(п— 1 (п — 2)/„_3= ... =
= п(п— 1)(п — 2)(« — 3)... 2- 1 ./0=,п!/0.
Но, как легко видеть, /0 = \ e~xdx = —е~х I =—lim[e-x—
0 0 л;-»-+оо
— 11 = 1, так как lime-* = 0.
Таким образом,
/„ = п\
+-"
Задача 13,10. Доказать, что j e~x'dx сходится.
о
Решение. Этот интеграл имеет важное значение в теории
вероятностей и называется интегралом вероятностей. В данном
случае ]e~x'dx через элементарные функции не выражается.
Для решения поставленного вопроса используем признак
сравнения. Для этого рассмотрим выражение хг — 2л: + 1- Ясно,
что
д?_2л; + 1>0; _2* + l>— хй, или — хг < — 2х + 1, а по-
потому е-*2 <е-2*+1, или е~*' • е.
Из задачи 13,2 следует, что интеграл ] e~2xdx сходится, зна-
о
+ ~
чит, на основании п. 3 (стр. 191) сходится и интеграл J е~2к • edx.
о
А так как е~х* < е~2 • е, то на основании признака сравне-
+»'
ния п. 1 (стр. 190) заключаем, что сходится и интеграл \ e~xtdx.
Заменяя в этом интеграле х на —у, приходим к выводу,
что сходится и \ e~x'dx (название переменной интегрирования
не изменяет величину определенного интеграла). Из сходимости
7 3-1734 193

рассмотренных двух интегралов -следует, что сходится также и
интеграл J е~х' Ьх.
Задача 3,11 (для самостоятельного решения).
С х С x2dx
Доказать, что интегралы \ а %dx и \ а а- расходятся.
а
Указание. Вычислить первообразные функции.
После того как доказана расходимость первого интеграла,
расходимость второго легко показать на основании признака
сравнения.
Задача 12,13 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
-г—, тз йТ 2)
1 + хK >
о 1
Указание. 1) Интегрировать по частям и принять во вни-
1 х
мание, что —^ „ .а = 0.
п
4-»
2) Положить х = Р. Получится 2 \ интегрировать
X
по частям.
Ответ. 1) \: 2) -j =-J-.
Задача 13,13. Доказать, что \ ^~-dx расходится.
i
Решение. Воспользуемся формулой A3,9). Сравним задан-
заданный интеграл с интегралом A3,10) \ ¦—, в котором подынтег-
1
ральная функция равна —
X
Полагаем, что в A3,9) у (х) = —с gх, а /(л:) = — (при д;>1
* хр
<?(х)>0 и /(д;)>0 формула A3,9) применима), тогда
arctg х
lim jjJ. lim —j— = lim^ • arctg x.
194

Определим теперь р так, чтобы этот предел был конечным
и не равным нулю. Так как lim arctg*-f -^-, то определяемый
предел будет иметь конечное значение, не равное нулю, только
при р — 1=0, т. е. при р — 1 (и этот предел будет равен -у)-
Но при р = 1 функция / {х) = —, а \ -? расходится, а потому
расходится и исследуемый интеграл (см. п. 2, стр. 190).
Решим две задачи физики, которые приводят к вычислению
интеграла по бесконечному промежутку.
Задача 13,14. В начале координат О находится масса т, ко-
которая притягивает по закону Ньютона с силой, модуль которой
т
F = —, материальную точку М единичной массы, находящуюся
на оси Ох на расстоянии х от начала координат.
Вычислить работу А, которую произведет эта сила при пере-
перемещении точки М в бесконечность из положения х = а.
Под перемещением точки в бесконечность следует понимать
удаление ее на такое расстояние, что сила F уже не оказывает
на нее действия.
Решение. Так как сила притяжения направлена к началу
координат, т. е. против движения, то работа будет отрицатель-
отрицательной. На основании формулы A1,5), принимая верхний предел
равным + со, получаем
J х2 х
-•
а
Задача 13,15. Согласно закону Био — Савара, модуль силы
F, с которой на магнитный полюс массы / действует конечный
прямолинейный отрезок тока, вычисляется по формуле
где / — сила тока;
а — расстояние от магнитного полюса до прямолинейного от-
отрезка, по которому протекает ток;
ds — элемент тока. _
Вычислить модуль силы F в предположении, что проводник
имеет бесконечно большую длину.
7* 195

Решение. Прежде всего сделаем оговорку: проводников бес-
бесконечно большой длины не бывает. Если проводник очень длин-
длинный, то его приближенно можно рассматривать как бесконечно
большой. В этом случае модуль силы F
Легко показать, что подстановка s = atgt приведет задачу
к вычислению интеграла
=l[ costdt=*Uint
a j a
Задача 13, 16 (для самостоятельного решения).
Исследовать сходимость интегралов:
+- +- xd
Г d Г
+ +
Г dx Г
" J Кхо + бх+З ; 2) J
о о
Указание. Каждый из интегралов представить в виде
суммы двух интегралов, из которых первый берется по интер-
интервалу @,1), а второй — по интервалу A, +оо).
За интеграл сравнения взят A3, 10I, /(*) — —, а ?М -
подынтегральная функция.
3 _ /™ С Q
В первом интеграле у д3 + 5д: + 3 =д;1 j/ 1 -^—_ _|_ _ t в0 вто-
3 2 3
ром
При отыскании предела A3,9) для первого интеграла ока-
окажется, что он имеет конечное и отличное от нуля значение при
з 2
р = ~2, а для второго интеграла р =-к-. Поэтому, используя
интеграл сравнения A3,10) и п. 2 (стр. 191), заключаем, что пер-
первый интеграл сходится, а второй расходится.
—-—¦ . v
1 Поэтому и следует интервал интегрирования @, +оо) представить в виде
суммы двух интервалов: @, 1) и A, +оо).
196

П. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
а) Может оказаться, что в интеграле
\f(x)dx A3, 12)
а
функция f(x) неограниченно возрастает, т. е. /(*)->>± со, когда
х приближается к одному из пределов интегрирования.
Если это имеет место, когда x-+b, a F(х)—первообразная
ь
для f (х), то J f(x) dx определяется так:
а
Ь Ь—г Ь—г
e-»+0 a г -»-+0 а
= lim F(d — в)— F(a). A3,13)
Аналогично находят этот интеграл и в том случае, когда при
х -> а подынтегральная функция f (х) -> ± оо.
При этом
ь ь ь
[f(x)dx = l\m J /(х)dx = limF(x)\ =
а е->-=0 а+s е-*+0 fl-f-e
= F(b) — limF(a + e). A3,14)
Если в A3, 13) и A3,14) конечные пределы существуют, то
интеграл A3, 12) называется сходящимся. Если же эти пределы
бесконечны или вовсе не существуют, то интеграл A3, 12) назы-
называется расходящимся.
Таким образом, в обоих рассматриваемых случаях отбрасывают
тот конец отрезка интегрирования, на котором подынтегральная
функция перестает быть ограниченной, и переходят к пределу.
б) Если подынтегральная функция перестает быть ограничен-
ограниченной внутри отрезка интегрирования, например при х — с, то эту
точку «вырезают», а интеграл A3, 12) определяют в предположении,
что ^(х) — первообразная для f(x), так:
Ь С—? Ь
lf{x)dx = \\m J f{x)dx + \\m I f(x)dx =
a e->-f-0 a s->-+Oc-f-E
= lim F {x)f~s + lim F (x)\b =l\mF(c — B) — F (a) +
. e-+0 й e—f-0 c+s e-4-0
+ F (b) — lim F {c + e). A3, 15)
?-+0
197

Если пределы в A3,15) существуют "и конечны, то интеграл
A3,12) называется сходящимся, в противном случае — расходя-
расходящимся.
1
Задача 13,17. Вычислить
6
Решение. При х -> 0, т. е. при приближении х к нижнему
пределу, подынтегральная функция -т= неограниченно возрастает.
У "
Здесь х = 0 особая точка. По A3,14) имеем
= 2- 1 — lim2j/7=2.
SH.+0
1 1
f-Lrfx = lim f 4=dx=\im
J УХ S-+OJ Г* s-=
Интеграл сходящийся.
2
dx
Задача 13,18. Вычислить Г
2-х
О
Решение. Когда х приближается к верхнему пределу
(х-+2), подынтегральная функция jzr^ -> + °°• Точка х — 2 —
особая. На основании A3,13) имеем
^L =Ит
о
= — limlnB — 2 + e) -f In2 = — limln(+e) + In2 = + oo.
E-+0 E-+0
Интеграл расходящийся.
Задача 13,19 (для самостоятельного решения).
Вычислить интегралы:
=; 2)
О 0 1
Особые точки: 1) * = 2; 2) х=\; 3) д; = 1.
Ответ. 1) 2 |Л>; 2) у; 3) интеграл расходится. Первооб-
Первообразная функция lnlnx.
Задача 13,20 (для самостоятельного решения).
ь ь
Доказать, что интегралы \ dx и \—^L_ , где а < b, a p =
J(a;—а)р J F — д:)р
а а
= const, сходятся при р< 1 и расходятся при р> 1.
198

1
Задача 13,21. Вычислить I — {\nxdx.
о
Решение. Здесь особенность при х = 0. Интеграл заменим
по формуле A3,14).
= — 1 — lim (e In e — e).
+
Ho lim sine = 0 I применить правило Лопиталя к lim e In s =
е-+0 \ s-+0
= lim -4-V а потому / = — 1.
+ 1
2
Задача 13,22. Вычислить: 1) / = V dx — ;
J л; У 2*2 — х — 1
1
2) I=
Решение. 1) Когда х приближается к нижнему пределу,
подынтегральная функция —=== неограниченно возрастает.
х У 2х х 1
Особая точка х = 1.
Отыщем первообразную функцию для подынтегральной с по-
помощью подстановки х = —. Окажется, что \ —
— х — 1
. х + 2
/ = lim f . dj; — = - lim arcsin ^
t~+o ) xV2x* - x - I s-H-o 3*
1+6
= — arcsin -j + -f •
2) Решите эту задачу самостоятельно.
Ответ. ^. '
Чтобы закончить практическое занятие, рассмотрим пример,
в котором подынтегральная функция неограниченно возрастает
при некотором значении х внутри отрезка интегрирования.
199

27
Задача 13,23. Вычислить
Луг
Решение. Внутри отрезка интегрирования [—8,27] при х ->¦ О
подынтегральная функция неограниченно возрастает (* = 0 —
особая точка). «Вырежем» кгу точку, и тогда по A3,15)
о 3 ? о ? L
= i. (Hm (_ еM _ (_ 8K) + f B73 — lim (+ е3)
Задача 13,24. Вычислить / = Г х_ dx.
—2
Решение. Здесь на отрезке интегрирования [—2,2] две
точки: х = — 1 и #= +1, при приближении к которым подын-
подынтегральная функция неограниченно возрастает. Интеграл надо
расписать так:
— 1-е 1-е 2
/ = lim \ 4 * . dx + lim \ 4 _ . с?лс -
—2 —1+е
Вычислять эти пределы не имеет смысла, так как первообразная
функция 1п(х*—1) обращается в бесконечность в особых точках.
РассматриваемБ1й интеграл расходится.
Задача 13,25 (для самостоятельного решения).
ь
Доказать, что интеграл \ у- ^—тг- расходится, а интеграл
J V* — а) Vе — "I
а
Ь
С dx .
\ (Х-а)(Ь-х) = %t пРичем а < Ь-
ЧЕТЫРНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Приближенное вычисление интегралов: формулы прямо-
прямоугольников, трапеций и Симпсона (формула парабол).
Краткие сведения из теории
Известно, что всякая непрерывная функция имеет первооб-
первообразную. Однако это утверждение имеет только теоретическое зна-
значение. Для широкого класса элементарных функций первообраз-
200

ная функция уже не является элементарной и не может быть
определена их конечной комбинацией. К таким функциям отно-
относятся, например,
х • In** ' ^Т+Тз'
В тех случаях, когда первообразная функция для подынте-
подынтегральной, хотя и существует, но не может быть вычислена, поль-
пользуются способами приближенного вычисления интеграла y(x)dx.
... а
Программа предусматривает овладение только тремя такими
способами.
1. Способ прямоугольников. Отрезок интегрирования делится
на п равных частей точками деления
х0 = а < % < хг < ... < xa=i < х„ = Ь.
Длина каждой такой части равна h — ¦——.
Эта величина называется шагом интегрирования.
В каждой, точке деления вычисляются значения подынтеграль-
подынтегральной функции f(x), т. е. значения
b
Формула для вычисления интеграла ^}{х)йх по этому спо-
а
собу называется формулой прямоугольников. Она записывается
так:
ь
^a ,)]• A4,1)
a
2. Способ трапеций. В этом способе отрезок [а, 61 интегри-
интегрирования делится также на я равных частей. С прежними обозна-
обозначениями формула для приближенного вычисления интеграла
выглядит так:
ь
/ (X) dx « ^-° {/ (ХО) + f (Ха) + 2 [{/ (Xl) +f(xJ+...+'f (Xa-l)}}.
Если 2Х = / (х0) + f (xn), a S, = / (ХО +/ to + ...+/ (*„-1),
то
ь ¦
а
^-аB1+2Ц2). A4,2)
Эта формула называется формулой трапеций.
201

3. Способ парабол (способ Симпсона). Здесь отрезок интегри-
интегрирования делится на четное число равных частей. Обозначим это
число через 2«, точки деления [а, Ь\ — через
а значения подынтегральной функции в этих точках — через
#0» Уъ У2> • • • i У2п-2, У2п~\, У2п-
Формула для приближенного вычисления определенногоу ин-
интеграла в этом случае записывается так:
+ 2 (гу2 + г/4 + г/6 + ... + у2п-?)]
или, если 2i = Уо + У2п, ^2 = ух + Уз + Уь + • • • + №п-\\ 2з =
== У2 + г/4 + Уе + ¦¦• + У2п-2, то
A4,3)
Формула A4,3) называется формулой Симпсона. Оценкой по-
погрешности, возникающей при использовании этих формул, мы
заниматься не будем. Отметим, что формула Симпсона дает точ-
точность значительно большую, чем формула A4,2) трапеций при
одном и том же шаге. '
Рекомендации. 1) При вычислениях следует пользоваться
не логарифмической линейкой, а арифмометром или электрической
клавишной машиной. Даже в решенных примерах необходимо
выполнять все выкладки, а не пользоваться «готовыми» числами.
2) Следует иметь пятизначные таблицы тригонометрических
функций, натуральных и десятичных логарифмов, значений об-
обратных чисел и их квадратов.
Очень удобными являются «Пятизначные математические таб-
таблицы» Б. И. Сегала и К. А. Семендяева (конечно, можно поль-
пользоваться и другими).
Обозначения. Искомый интеграл будем обозначать симво-
символом Ik, где индекс k указывает число равных частей, на кото-
которые разделен отрезок интегрирования.
Для того, чтобы оценить точность различных способов, мы.
вычислим сначала с помощью указанных способов интегралы,
значения которых известны. Затем уже применим эти способы
к вычислению интегралов, значения которых неизвестны.
Задача 14.1. Вычислить способами прямоугольников, трапеций
и Симпсона \exdx, вычисления вести с пятью десятичными зна-
0
ками. Отрезок интегрирования делить на 8 частей.
202

Решение. Точное значение вычисляемого интеграла с пятью
1 1
верными знаками \ е* dx = е*
_1 =2,71828—1 = 1,71828.
Теперь посмотрим, что даст каждый из применяемых способов.
Способ прямоугольников (формула A4,1). Если п = 8, то
-^ = -^—=0,125, а точками деления будут:
0; 0,125; 0,250; 0,375; 0,500; 0,6255; 0,750; 0,875
Значения подынтегральной функции ех в этих точках по таб-
таблицам следующие:
f(xo) = e° =1,00000
= 1,13315
= 1,28402
/ (jg = е0-375 = 1,45499
f (Xi) = ео,5оо = 1,64872
f(^5)=e0'625 = 1,86824
f(xt) =e0-750 = 2,11700 /«/. = 0,125. 12,90500.
/(^,)=е°-875 = 2,39888 /,«1,61312
2=12,90500
Полученная точность явно недостаточна.
Применим способ трапеций (формула A4,2)).
Шаг h = b-~ = Цр2 = 0,125.
Множитель -—вперед скобкой, в A4,2) равен ^rif^ IB
= 0,0625.
/ (х0) = f (а) = е° = 1,00000
f(xJ = f(l)*=eL= 2,71828
2! = 3,71828
= 1,133 15
eo-375 = 1,454 99
/(л:4)=е0'500 = 1,648 72
f(xb) =60,625^86824
== е0'750 =2,117 00
^2 = И ,905 00 2 ^2 = 23,810 00
2t= 3,718 28
2i + 2 2а = S = 27,528 28.
/^;/8 = 0,0625- 27,528 28
/«1,72052
203

Здесь мы уже значительно ближе подошли к искомому зна-
значению.
Теперь применим способ Симпсона.
Отрезок [0, 1] разделен на 8 частей. Значит, 2га = 8; п — 4.
Вычислим прежде всего множитель перед скобкой в A4,3):
Ь~д _ 1—0 _
6я ~" 6 • 4 ~ 24
= 1=0,0416 67.
= е°= 1,00000
= е1 = 2,71828
2i = 3,71828
Vl = e°.i25 = 1,133 15 г/2 = е0-250 = 1,28402
y3 = e°. = 1,454 99 г/4 = e°-m = 1,648 72
t/5 = e0,625 = 1 )868 24 ^ = 60.750^2,11700
' ' = 2,39888 2з = 5,049 74
= 6,855 26
/ « /8 = 0,041 667 Bi + 4 2г + 2 2з) = 0,041 667 C,718 28 +
+ 27,42104 + 10,09948);
/8^0,041 667- 41,23880= 1,71829.
После запятой здесь уже верни четыре знака, в то время как
формула трапеций давала только один верный знак.
Погрешность по сравнению с точным значением R = 1,71829 —
—1,71828 = 0,00001, что следует признать очень хорошей точ-
точностью.
J,
0
= arctg x
f 0
= -j-. (С шестью верными знаками -|- = 0,785 398J.
Решение. Отрезок интегрирования разделим на 10 равных
частей точками:
Xq Xl Х2 Xg Х^ Xa Xq X,j ЛГд Х$
0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.
204

Способ прямоугольников f (x) = . , 2. Поэтому с помощью
таблиц получаем: f(xu) = 1;
i {Xl) = f @,1) = -j^p = щ = 0,990 099
/ (x2) = f @,2) = ГЛ^ = щ = 0,961 538
f(*,) =/@,3) = Y-pL. = _Jg e0,917431
f (*«) = f @,4) = y^ = хдб = 0,862 069
f (x6) = / @,5) = rpLj2 = yig = 0,800 000
t (*.) = / @,6) = rp^ = ~ - 0,735 294
f (*7) =/ @,7) = i—^ = щ = 0.671 141
/ (xb) = / @,8) = j^g = щ - 0,609 756
= / @,9) = з^р = Щ - 0.552 486
2 = 7,099 814
Применим формулу A4,1). Складывая полученные числа, най-
найдем сумму, стоящую в скобках.
/ ж/ш = 1 • 7,099 814 = 0,709 98.
(Округление сделано до пяти знаков после запятой).
Сравнивая с точным значением, убеждаемся, что получена
очень незначительная точность.
Теперь применим формулу трапеций A4,2). Для этого надо
довычислить
05
Множитель перед скобкой в формуле A4,2) равен
&_п_1~0_1_
2п ~ 2 • 10 ~ 20 ~" U)U0#
f(^0)= 1,000 000
/ (x10) = 0,500 000
Ул = 1,500000
9
) =7,099 814
= 14,199 628; 2i +2Ц2 = 15,699 628
/10 = 0,05 ( 2! + 2 22 )= 0,784 981.
205

Если округлить это до трех десятичных знаков после запя-
запятой, то получится 0,785, т. е. три верных знака.
Применим формулу Симпсона A4,3).
Теперь следует считать число частей деления равным 2« =
= 10; п = 5, а множитель перед скобкой в A4,3) равен ~° =
1-0
~~ 6 • 5
1
30*
Уг
Ув
Уа
= 0,961 538
= 0,862069
= 0,735 294
= 0,609 756
= 3,168 657
= 6,337314
= 1
= 0
= 1.
,000000
,500 000
,500 000
У-!
4 2*
= 0,990 099
= 0,917431
= 0,800 000
= 0,671 141
= 0,552 486
= 3,931 157
= 15,724 628
_1_ ft ЭД7 "Х\А\ — _
30
+ 6,337 314) = 1 • 23,561 942 = 0,785 398,
т. е. получено значение числа -|-с шестью A) верными знаками.
Задача 14,3. Вычислить по способу трапеций и способу Симп-
Т
сона \ sin xdx.
о
Ответ. По способу трапеций / = 0,997 94, по способу Симп-
Симпсона / = 1,00006.
Задача 14,4 (для самостоятельного решения).
Вычислить по способам трапеций и Симпсона интегралы:
V 0,8 4 1,7
1) J?; 2) jcosxdr; 3)je*rfr, 4)
2 0 0
2 0 0 0,1
Отрезок интегрирования делить в первых двух интегралах на
10 равных частей* в последних — на 8.
Ответ. 1) Точное значение интеграла 0,69314718...
Приближенное: по способу трапеций 0,693 77,
по способу Симпсона 0,693 152.
206

2) Точное значение интеграла 0,71736.
Приближенное: по способу трапеций 0,716 76,
по способу Симпсона 0,717 36
3) Точное значение интеграла 53,59815.
Приближенное; по способу трапеций 54,710 15,
погрешность равна — 1,112 00,
по способу Симпсона 53,616 22,
погрешность равна — 0,018 07, что
указывает на значительно более высокую точность.
4) Точное значение интеграла 1,975 12.
Приближенное: по способу трапеций 2,020 18,
погрешность равна — 0,045,
по способу Симпсона 1,985 58,
погрешность равна — 0,010.
Задача 14,5 (для самостоятельного решения).
1
Вычислить по формулам трапеций и Симпсона \ arctg x dx. От-
0
резок интегрирования разделить на 10 равных частей.
Указание. При х = 0 aIil? находится как limarc gx =1.
х х-о х
Ответ. По способу трапеций 0,915 728,
по способу Симпсона 0,915 965 (все знаки верны).
Задача 14.6. Вычислить по формуле Симпсона \ е~х' dx.
о
Ответ. 0,746 825 (все шесть знаков верны).
ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Приложения определенного интеграла к геометрии. Опре-
Определение площадей плоских фигур.
Площадь в прямоугольных координатах
Площадь плоской фигуры, ограниченной непрерывной кривой,
уравнение которой в прямоугольных координатах имеет вид у —
= f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = Ъ (а < Ь), нахо-
находится по формуле
ь 'ь
S= \f{x)dx, или S= ^ydx. A5,1)
а ' а
207

Отрезок [а, Ь\ следует разделить на части, в каждой из кото-
которых функция f (х) сохраняет один и тот же знак. При этом не-
необходимо соблюдать такое правило знаков: площади, находящиеся
над осью Ох, берутся со знаком плюс, а площади, расположен-
расположенные под осью Ох, со знаком минус.
Если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми, урав-
уравнения которых в прямоугольных координатах у = [г (х) и у =
= /2 (х), причем всюду на отрезке fa, b] /2 (х) > Д (х), и двумя
прямыми х = а и х = Ь, то площадь определяется по формуле
ь
k{x)-h{x)\dx. A5,2)
И в этом случае надо соблюдать указанное выше правило знаков.
Интегрирование четных и нечетных функций в пределах
симметричных относительно начала координат
Если функция / (х) — четная, то
x. A5,3)
а
Если же функция / (х) — нечетная, то
а
\f{x)dx = 0. A5,4)
—a
Эти формулы часто оказываются полезными при вычислении
определенных интегралов вообще и, в частности, при вычислении
площадей. Формула A5,3) приме-
применяется в том случае, когда рас-
рассматриваемая фигура симметрична
относительно оси Оу.
Задача 15,1. Найти площадь,
О
х ограниченную синусоидой у — sin x
на отрезке \0,п] и осью Ох.
К задаче 15,1 Решение. На отрезке [0,%]
функция sin л; сохраняет знак,
а потом по формуле A5,1), полагая в ней /(.\:)=sin.\;, сразу
находим
S = \ sin х dx = — cos л:
= — (cos тс — cos 0) =
"о о
= — (—1 — 1) = 2 кв. ед.
В частности, если единицей масштаба является сантиметр,
то S = 2 см2.
Если требовалось бы найти площадь, ограниченную той же
синусоидой и осью Ох на отрезке [0, 2тс], то, применив формулу
208

A5,1) без учета правила знаков, мы получили бы абсурдный ре-
результат: оказалось бы, что площадь равна нулю. Действительно,
sin xdx*= — cos л;
= — (cos2ic — cosO) = —A — 1) = 0.
Это получилось потому, что на отрезке [0, 2тс1 функция sinx ме-
меняет знак. Следовало этот отрезок разделить на два: [0, %\ и \%, 2и],
в каждом из которых функция сохраняет знак (в первом — плюс,
во втором — минус A5,1)).
По правилу знаков, на отрезке [к, 2тс] площадь надо было
брать со знаком минус и тогда
Я 2*
= S1—S2 = \sinxdx—J si
— (— cos л;)
= — (COS 1С — COS 0) + (COS 2it — COS it) — — (—1 —
= 2 + 2 = 4 кв. ед.
При вычислении площадей строго
соблюдайте правило знаков и, прежде
чем интегрировать, убедитесь, что на
отрезке интегрирования функция сохра-
сохраняет знак.
Задача 15,2. Вычислить площадь,
ограниченную прямой х = 4, кривой
у = Зх2 — 6л; и осью Ох на отрезке
10,41.
Решение. Прежде всего построй-
постройте эскиз графика функции. Кривая —
парабола. Площадь ОАВ расположена
под осью,' брать ее надо со знаком
минус, а площадь BCD — над осью Ох,
и. взять ее следует со знаком плюс.
Отрезок интегрирования [0,4] должен
быть разделен на два: [0.2J и [2,4].
Поэтому, полагая в A5,1) }(х) = Ъхг —
—6х, найдем К задаче 15,2
(I—(—1)) =
/ | г-З^-бх
— Ьх)dx + ^ (Зл;2
S = —Sx
+ F4 —48 —8+ 12) = 4+ 20 = 24 кв. ед.
Если за единицу длины взять, например, дециметр, то площадь
равна 24 дм2.
Если бы правило знаков не было учтено, ответ был бы неверен.
209

Задача 15,3 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную осью Ох и параболами:
3 2
Ответ. 1) ЗО-g- кв. ед., 2) Юу кв. ед.
Задача 15,4 (для самостоятельного решения).
Найти площади, ограниченные осью Ох и линиями:
1) у = 2х2; х = 1 и х = 2; 2) г/ = -J- г* на отрезке [0,2], л; = 2.
2
Ответ. 1) 4-д кв. ед.; 2) 1 кв. ед.
Задача 15,5. Найти площадь, ограниченную осью Ох и кри-
кривой у — х3 — бх2 + 1 \х — 6.
У 4
К задаче 15,5 К задаче 15,6
Решение. Найдем точки пересечения кривой с осью Ох.
Для этого решим уравнение х3 — 6х2 + Пх — 6 = 0. Легко заме-
заметить, что его корнем является хг=1. После деления левой части
уравнения на х—1, получим хг — Ъх + 6, а приравняв это выра-
выражение нулю, найдем: х2 =2; ха = 3. Из эскиза графика видно,
что на отрезке [2,3| площадь находится под осью Ох, а потому
2
О === Oj LJ2 == \ \Х v-v ~
— j (x3 — 6х2 + 1 lx — 6) dx = j кб. ед.
2
Задача 15,6. Доказать, что площадь параболического сегмента,
отсеченного от параболы хордой, перпендикулярной ее оси, равна
2
-j произведения высоты h сегмента на его основание Ь.
Решение. Пусть середина указанной хорды — начало коор-
координат, ось Ох направлена по хорде направо, а ось Оу вверх по
оси симметрии параболы.
210

Уравнение параболы будет иметь вид у = —ахг+с (а>0).
Вершина параболы находится в точке (О, Н), где ft— высота сег-
сегмента. Ось Ох парабола пересекает в точках /— —, 0) и 1-^, 0|-
Зная координаты этих точек, найдем значения коэффициентов
а и с в уравнении параболы. Подставляя координаты вершины
в уравнение у = —ах2 + с, получим ft = с. Подставляя же коор-
координаты
-g-> OJ,
имеем:
—а • у -+- ft; -j = ft; a = у2,
и уравнение параболы с найденными а и с примет вид
4/z
у = — ^г х2 + ft. Искомую площадь определим по формуле A5,1),
„ ,. . Ah 2 , ,
полагая в ней /(*)= —^x2 + h;
Ь Ь
2
= -тг hb кв. ед.
Задача 15,7 (для самостоятельного решения).
Вычислить площадь, ограниченную эллипсом.
р
Указание. Из уравнения эллипса '-^ + р =
Четверть площади эллипса равна
S b "с ,/-о s^
-г- = — \ К « — X2 dx.
4 а 3
найти у.
Применить
о
подстановку х = a sin z. Новые пре-
пределы интегрирования: 0 и — . Под
интегралом окажется cos2 z, который
1 + cos 2г
надо заменить на —~ .
Ответ. %ab кв. ед. (Этот ответ
полезно запомнить). При а = b имеем
окружность. Получается, что пло-
площадь круга равна на2, как это из-
известно из геометрии.
Задача 15,8. Определить площадь,
ограниченную параболами у2 = 2рх ^ задаче 15,8
и хг = 2ру.
Решение. Найдем прежде всего координаты точек пересе-
пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Из пер-
211

вого уравнения у = ~\f2px (у > 0, так как точка пересечения —
в первой четверти), из второго У=^-р' Приравнивая эти зна-
значения, получим
~Г^~~=h> или
Отсюда х4— 8р3х = 0; х (х3— 8р3) =0;х{х — 2р) (х2 + 2рх + 4р2) «
= 0, т. е. х = 0; х — 2р = 0; х2 -j- 2рх + 4р2 = 0. Корни первых
двух уравнений: ху = 0; х2 = 2р. Последнее уравнение имеет
комплексные корни. Значит, параболы пересекаются в начале
координат (х = 0) ив точке Л с абсциссой х = 2р. Искомую
площадь Найдем по формуле A5,2). Значения у из каждого урав-
уравнения были найдены выше. Принимая в A5,2) /2 {х) = V
а /х {х) = jp, получим
= -о р2 кв. ед.
Задача 15,9. Вычислить площадь, ограниченную осью Ох
и линиями у = (х + 2J и у =
Решение. Первая линия —
парабола, вторая — прямая. Отре-
Отрезок интегрирования {—2,4] следует
разбить на два: [—2,0] и [0,4J, так
как на этих отрезках линии, огра-
ограничивающие площадь, имеют раз-
различные уравнения. На отрезке
[—2,0] надо у взять из уравнения
параболы, а на отрезке @,4] —из
К задаче 15,9 уравнения прямой. Поэтому
= f (х + 2fdx + С D — х) dx =
_2 0
—2
Задача 15,10 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную осью Ох и линиями у = (х
и у = 16 — г2 (сделать чертеж).
Ответ. 64 кв. ед.
¦4)*
212

Задача 15,П (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную линиями .и/ = 3 и л: -f У = 4.
Сделать чертеж.
Указание. Разрешить оба уравнения относительно у. Найти
абсциссы точек пересечения линий. Окажется, что х — \; х — Ъ.
Применить формулу A5,2), в которой /2(x) = 4— х; fx(x) = —.
Ответ. D—In27) кв. ед.
Задача 15,2 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную гиперболой ху = а2 и прямыми
х= 1; л; = 5; г/ = 0.
Ответ: а21п5 кв. ед.
О
\
J
К задаче 15,12
К задаче 15,13
Задача 15,13. Найти площадь, ограниченную цепной линией,
X X
определяемой уравнением у = ^(еа +е а), осями координат и
прямой х = а (а > 0).
Решение. По формуле A5,1)
S =¦ —
= т(е° -е «) =
о2
= -^ (е — e-I) = а2 sh 1 кв. ед.
К
^(еа f e~a)
Если: заметить, что-^(еа -f e~a) =ach-^ , то задача реша-
решается проще
а
= a Cctw dx = a2sh-J
=a2shl кв. ед.
213

Задача 15,14. Найти площадь, заключенную между кривыми
Указание. Первая кривая называется локоном Аньези,
вторая — парабола. Чтобы
определить отрезок интегри-
интегрирования, найдем абсциссы то-
точек пересечения этих кривых.
Ответ. 2(it—5") кв. ед.
-2 О
К задаче 15,14
X
Задача 15,15. Найти пло-
площадь фигуры, ограниченную
линиями у = — ,х = а (а > 0)
и осью абсцисс.
Решение. В формуле A5,1) верхний предел интегрирования
равен +°°. а потому
-1) + 1 =1 кв.ед.
XJ a a
Интеграл
несобственный
Таким образом, несмотря
на то, что площадь прости-
простирается в бесконечность, в
данном случае ей можно при-
приписать определенное число-
числовое значение.
К задаче 15,15
Задача 15,16. Та же задача для равносторонней гиперболы
1
Решение.
S = \ — dx = In x
= lim In л;— lna = +оо,
Интеграл
несобственный
т. е. площадь бесконечно велика и никакого числового значения
ей приписать нельзя.
214

Задача 15,17 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную осью Ох и локоном Аньези,
определяемым уравнением у = -р-—¦„.
I -f- X
+ 00 +О0
Указание. S = \ t xidx = 2 \ ' ^dx = 2 arctg x +°° =
—о» о
= 2 lim arctg x.
Ответ. S = ?t кв. ед.
К задаче 15,17
Задача 15,18 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную линиями у = ¦¦ ,.., х — 4 и
осью Ох.
Ответ, у^ кв. ед.
Задача 15,19 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную линиями у = —, х = 1 и
осью Ол;.
Ответ. +оо.
Задача 15,20 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную кривой у «= —^, осью Оу и
прямой х = 9.
9
Указание.S= \-y=.dx. При приближении к нижнему пределу
JV X
и
(х-^+°°) подынтегральная функция неограниченно возрастает,
а потому этот интеграл — несобственный:
9 9
[~ dx = lim f4-- dx - lim 2 уГх I9 = 2 Urn ()/9 — ]/i) = 6 кв. ед.
J V X S-+OJ У X г-+0 U «-+0
215

Вычисление площади, ограниченной кривой, заданной
полярным уравнением и двумя радиусами-векторами
Если кривая, ограничивающая площадь, определяется урав-
уравнением
A5,5)
то площадь, ограниченная ею, вычисляется по формуле
S-4-
где а и р (а < р) — пределы изменения полярного угла.
Задача 15,21. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
г = 2аA—со8ф).
Решение. Кривая относится к классу эпициклоид и яв-
у ляется траекторией точки, лежащей на
окружности круга радиуса а, который
без скольжения катится по внешней
части окружности круга такого же ра-
радиуса (интересующихся выводом урав-
уравнения эпициклоид, гипоциклоид и их
частных случаев отсылаем к книге
акад. В. И. Смирнова «Курс высшей
математики», том. I).
На всей кардиоиде полярный угол ф
изменяется от 0 до 2it, а потому, учи-
К задаче 15,21 тывая, что г2 = 4а2 A-—coscpJ:
= jC 4а2A—
= 2a2f (I — 2cos? + cos2?)dp = 2a2f (l —2cos? +l+c°s2<?\d<f
0 1 0
= 2a2 ( ф — 2 sin ф -f -к- ф + -j sin 2cp) \ = 6ita2 кв. ед.,
т. е.. площадь, ограниченная кардиоидой, равна ушестеренной
площади круга, который ее производит.
Задача 15,22. Определить площадь, ограниченную спиралью
Архимеда г = сир и двумя радиусами-векторами, которые соот-
соответствуют полярным углам срх и ф2 (фх < ф2) •
Решение. Спираль Архимеда — траектория точки, равно-
равномерно движущейся по прямой, которая равномерно вращается
вокруг заданной точки (полюса).
216

По формуле A5,5) имеем г2 = а2
9г
(А)
9i
Из (Л) следует, что площадь, ограниченная полярной осью
и первым витком спирали Архимеда (^ = 0; ср2 = 2ср):
кв. ед.
Площадь, ограниченная полярной
осью и вторым витком (срх = 2%', <ра —
= 4и), на основании (А) равна
_ а2 з _ 28 да
О 3
Разность этих площадей, т. е. к заДаче 15-22
площадь, заключенная между вторым и первым витками спирали
Архимеда:
28 4 -<,
о &
Можно показать, что и вообще площадь, заключенная между
двумя последовательными витками спирали Архимеда равна 8ж3а2.
Задача 15,23. Определить площадь, ограниченную лемнискатой
Бернулли, определяемой уравне-
уравнением г2 = 2а2 cos 2<p.
Решение. Лемниската—это
геометрическое место точек, про-
изведение расстояний каждой из
~ которых от двух фиксированных
точек (фокусов) — постоянная ве-
величина. Ее уравнение в прямо-
К задаче 15,23 угольных координатах
(х2 + г/2J — 2а2 (х2 — г/2) = 0.
Проследим, как изменяется угол <р, когда радиус-вектор точки
на лемнискате описывает четверть искомой площади, лежащей
в первой четверти.
При ср = О г = а 1^2. Определим, чему равен полярный угол %
когда радиус-вектор станет равным нулю. Подставляя г = 0 в
уравнение лемнискаты/получим 0 = 2a2cos2cp, откуда cos2<p = 0;
2ср = |-; <р = J-. Таким образом, на одной четверти площади
217

полярный угол ср изменяется в пределах от 0 До |-. Поэтому по
формуле A5,5) четверть искомой площади
4
4 = "И 2a2cos V? = у • 2a2 •
sin 2cp
а вся площадь
S = 2a2 = (a J/2J кв. ед.,
т. е. площадь, ограниченная лемнискатой, равна площади квад-
квадрата со стороной a V^2.
Задача 15,24 (для самостоятельного решения).
Вычислить площадь, ограниченную петлей декартова листа,
определяемого уравнением
N
х3 + у3 — Заху = о-
A5,6)
Указание. 1) Перейти к поляр-
полярным координатам, положив х — г cos cp,
у = г sin ср.
Получится уравнение
3a sin tp cos cp
Г =
sin3 9 + cos3 cp"
2) Учесть, что так как в уравнение
A5,6) координаты х и у входят симме-
К задаче 15,24 трично, т. е. замена х на у, а у на х не
изменяет уравнения, то кривая симметрична осносительно биссек-
биссектрисы первого координатного угла у = х. Поэтому искомую площадь
можно рассматривать как удвоенную площадь О AN. Когда радиус-
вектор ОА описывает площадь OAN, угол <р изменяется от 0 до j.
3) ПоЛовина площади
4 4
_?_ _ _1_ f* / 3a sin? cos cp \a _ _?_ 2 Г sin2 cp cos2 cp
2 2 J ^sin3 cp + cos3 cp/ af ~~ 2 a J sin6 cp + 2 sin3 cp cos3 cp + cos» cp'
Числитель и знаменатель дроби
умножить на cos2cp
9 , Г*
= Q* I
2 J cos2 9 (si
sin2 cp cos* dcp
sin6 9 + 2 bin3 cp cos3 cp ~|- cos6 cp) '
218

Числитель и знаменатель дроби разделить на cos6 <p, получится
S _ 9«Г t?? d 9 2f tg»y
Т~ 2 J cos2 cp (tg6 9 + 2 tg3 9 + 1) r 2 J cos2 9 (tg3 9 + 1J"т-
о о
Подстановка tg cp = z; ^- — dz. Новые пределы интегриро-
интегрирования 0 и 1.
S _ 9 2f _z2
Т -  а J (г3 +
О
о
О т в е т. S = -g- а2 кв. ед.
Задача 15,25. Вычислить площадь одного лепестка розы, опре-
определяемой уравнением
A5,7)
Решение. Кривые, определяемые уравнением A5,7), а также
уравнением r = acos&cp, где а и k — постоянные величины, назы-
К задаче 15,25 а К задаче 12,25 б
ваются розами. Если k — четное число, то кривая имеет 2k ле-
лепестков, если же k — нечетное число, то кривая имеет k ле-
лепестков.
Например, кривая, определяемая уравнением г = a sin 2cp,
имеет 4 лепестка, а кривая r = asin5cp — 5 лепестков.
Чтобы найти площадь одного лепестка, определим, как изме-
изменяется полярный угол ср> когда радиус-вектор описывает площадь
одного лепестка. Положим в A5,7) г = 0 и решим уравнение
0 = asin&<p. Из него следует, что sin&p — 0, а отсюда &ср = пи.
При я = 0 ср = 0, при п = 1 имеем &р = я, а ср = j . Таким обра-
219

зом, угол <р изменяется от 0 до ^ , а площадь одного лепестка по
формуле A5,5) равна '
я
т
_
ед.
а) Для четырехлепестковой розы г = a sin 2<p площадь одного
лепестка
s = —2 = т кв- ед>
б) Площадь одного лепестка трехлепесткозой розы г = a sin 3?
S = 4^3 = ТГ кв' ад-
Площадь плоской фигуры, ограниченной кривой,
уравнения которой заданы в параметрической форме
Если кривая задана параметрическими уравнениями
и в точках А и В кривой t1 и t9 ¦
щадь вычисляется по формуле
A5,8)
значения параметра, то пло-
и
S = J ty(f)?'(f)cU. A5,9)
Задача 15,26. Найти пло-
площадь, ограниченную осью Ох
и одной «аркой» циклоиды
x = a(t — sin^); y = a(l —
К задаче 15,26 — COS*).
Решение. Когда круг, производящий циклоиду, сделает
один полный оборот, абсцисса той точки окружности круга, кото-
которая в начале движения совпадала с началом координат, станет
равной 2зд (а — радиус окружности).
В формуле A5,9) надо взять ф (t) = г/ = а{\ — cosfy 9' (t)
находят из уравнения <р(*) = х = a(t— sint). Получим <р' (t) —
= а A — cos ^).
220

Пределы интегрирования будут равны 0 и 2тс, так как пара-
параметр t при одном полном обороте производящего круга пробегает
отрезок 10, 2it]. Поэтому
S = f a(\ —cost)a(\ —cosf)dt = а?\ A — cost)*dt =
= flaf (I— 2cos/
= a2(f — 2sin/ -f If -f jsin
а2 Bя -f ic) -
кв. ед.
Таким образом, искомая площадь в три раза больше площади
катящегося круга.
Задача 15,27 (для самостоятельного решения).
Найти площадь, ограниченную астроидой, определяемой урав-
уравнением:
х = R cos3 -^
A5,10)
Параметр t — угол, на который из начального положения повер-
повернулась подвижная окружность. За один полный оборот подвижной
окружности {t изменяется от 0 до 2тс) ^„
описывается четверть площади, огра-
ограниченной кривой и двумя радиусами
ОА и ОВ неподвижной окружности.
При вычислении интеграла
sin81 cos2 4 dt
4 4
подынтегральную функцию предста-
представить в виде
sin2 -т cos2 -т = [sin -r cos -A —
В
D
К задаче 15,27
Ответ. 5 = -g x/?2 кв. ед.
Задача 15,28. Найти площадь, заключенную между осью Ох
и верзиерой1, определяемой уравнениями
t
1 Кривая, называемая верзиерой, получается так! берется круг диаметром а
и отрезок BDM такой, что OB : BD = ОС: ВМ. Геометрическое место точек М
и представляет верзиеру (см. А. А. Савелов «Плоские кривые»).
221

Решение. Кривая симметрична относительно оси Оу. Щ
всей площади абсцисса точки кривой изменяется от—оо до+оо|
а так как х = t (первое уравнение), то параметр t изменяете^
в тех же пределах. По формуле A5,9) :
= a2 [arctg (+со) — arctg(—со)] = a2 ^ —(-
|.J] = «a" кв. ед.
К задаче 15,28
Эта кривая называется также локоном Аньези.
ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Приложения определенного интеграла к геометрии (про-
(продолжение): длина дуги плоской кривой, объем тела вращения, поверхность
тела вращения.
Краткие сведения из теории
1. Длина дуги плоской кривой, определяемой в прямоугольных
координатах уравнением y = f(x), находится по формуле
L = $V\+y'2dx, A6,1)
а
где а и Ь — соответственно абсциссы начала и конца дуги.
2. Если кривая задана параметрическими уравнениями
причем a. < t < C, а функции <?(t) и ф @ имеют непрерывные
производные, то длина дуги
L = lV7?TV2dt A6,2)
222

3. Если кривая задана уравнением в полярных координатах
а полярный угол <р на дуге изменяется от а до р, то длина дуги
вычисляется по формуле
r'2d<f. A6,3)
Задача 16,1. Найти длину окружности.
Решение. Возьмем окружность радиуса R с центром в на-
начале координат. Ее уравнение х2 + у2 = R2. Чтобы применить
формулу A6,1), найдем из этого уравнения у. Окажется, что
у = ± V^R* — я2, причем знак плюс отвечает верхней полуок-
полуокружности, а минус — нижней.
Найдем длину четверти окружности, лежащей 'в первой чет-
четверти. Возьмем поэтому перед корнем знак плюс. Под интегралом
в формуле A6,1) стоит к 1-f у'2- Вычислим это выражение
4)
Подставим его под знак интеграла в A6,1) и учтем, что абс-
абсцисса х точки на окружности, находящейся в первом квадранте,
изменяется от 0 до R, а потому четверть длины окружности
R
L_ _ С R_
4 ]
о
= flarcsin I = R^~.
Поэтому
В процессе решения задачи становится ясно, что не следует
сразу подставлять у' под знак интеграла в формулу A6,1), а надо
сначала вычислить VI + у'2, определить, как изменяется абс-
абсцисса х точки на дуге, длина которой вычисляется, и после этого
применить формулу A6,1). Это замечание относится и к форму-
формулам A6,2) и A6,3).
223

Эту же задачу решим для случая, когда окружность задана
параметрическими уравнениями:
х = R cos Л
у = R sin /)'
Чтобы применить формулу A6,2), вычислим:
х' — — R sin t; у' — R cos t;
x'2 = К2 sin2 *; y'2 = #2 cos2 f;
x'2 + у'2 = #2 sin2 * + R2 cos2 ^ = Я2 (sin21 + cos2 f) = R2;
На всей окружности параметр t (его геометрическое значе-
значение— центральный угол, опирающийся на дугу, начало которой
лежит на положительной части оси Ох) изменяется от 0 до 2те,
а потому по формуле A6,2) длина окружности
о о
Еще более простым будет решение этой задачи, если урав-
уравнение окружности задать в полярных координатах. Если центр
окружности находится в начале координат, то она определяется
полярным уравнением
(полярная ось совпадает с положительной частью оси Ох, а поляр-
полярный угол <р, когда точка на окружности пробегает ее всю, из-
изменяется от 0 до 2тг). Поэтому по формуле A6,3), так как г —
величина постоянная, равная радиусу окружности, а г' = 0, по-
получаем, что V г2 + г'2 = VW2 = R и
J ? ?\
о о
Задача 16,2 (для самостоятельного решения).
X X
Найти длину цепной линии у = -^-{еа 4- е а) между точками
с абсциссами 0 их (х>0) (см. чертеж к задаче A5,13).
Указание. Применить формулу A6,1):
е °).
224

Задача 16,3 (для самостоятельного решения).
Найти длину дуги параболы у = ах2 (а > 0) от вершины до
произвольной точки с абсциссой х.
Указание. V I + у'2 = У4а2х2 + 1 (применитьформулу A6,1))
Ответ. L = \ УАа?х2 + 1 +1 In Bах + У\а2х2 + 1).
Задача 16,4 (для самостоятельного решения).
Вычислить всю длину астроиды, определяемой уравнением
2 2 2
Xs -\- г/3 — а?
(см. чертеж к задаче 15,27).
111
Указание, ф = а3 — д;3; чтобы найти у, возвести обе части
2 23
23
3
этого равенства в степень -$ . Получится у=(а3 —
_ 1_ 2 2^ I _ 1
у' = _ х 3 (а3 — д;3J; /1 + у'2 = а3х 3.
/ "с ' - '
Ответ. =-=\а3х Чх\ L = 6a.
о у
Задача 16,5 (для самостоятель-
самостоятельного решения).
Найти длину дуги кривой у = \пх
от точки с абсциссой 1 до точки с
абсциссой
Указание. L
-J
dx.
О
Удобна подстановка х = tgz, которая
приведет к вычислению интеграла
К задаче 16,5
J
dz
sin г cos2 z
sin z cos2 г
Ответ. 2 —
jln3 — lntg-J
0,920.
Задача 16,6. Вычислить длину дуги линии у = е* отточки
= 0 до точки х.
X
У к а з а н и е. Z, => Т
о
Подстановка: 1 + е2х — г2.
Ответ.
+ т
— in (]/9 — 1).
8 3-1734
225

Задача 16,17 (для самостоятельного решения).
Найти длину одной «арки» циклоиды:
х = a(t— sin^))
у — a(l —cos^) J'
Указание. Применить формулу A6,2). Пределами
рования по t будут 0 и 2х (см. задачу 15,26).
интегри-
интегриОтвет. L = 8а, т. е. длина одной «арки» циклоиды равна
увосьмеренному радиусу производящего ее круга.
Задача 16,8 (для самостоятельного решения).
1 Определить длину всей кривой Штейнерах.
В
Указание.
*"+ У'2= 4
К задаче 16,8 Ответ. L = 16R
Задача 16,9 (для самостоятельного решения).
Найти длину всей астроиды:
х = R cos3 т
= R sin3
= R sin3 j
j
(см. чертеж к задаче 15,27).
Указание (См. также указание к задаче A5,27).
Воспользоваться формулой A6,2):
х'2+у'2=
i-cos' f; V
=TsinTC04
± cos L
Ответ. L = 6R.
J Кривой Штейиера называется гипоциклоида, которая получается в том
случае, когда радиус производящего круга в три раза меньше радиуса непо-
неподвижного круга.
226

Задача 16,10 (для самостоятельного решения).
Определить длину одной ветви эпициклоиды, определяемой
уравнениями:
x={R+mR) cos mt — mR cos (t + mt) I1
у = (R -f mR) sinm? — mR sin (^ -f mt))'
Ответ. 8Rm{l +m).
Задача 16,11 (для самостоятельного решения).
Найти длину дуги кардиоиды, определяемой уравнениями:
х — 2R cos t — R cos 2t\ q ^ t ^ t
\
(см. чертеж к задаче 15,21).
(Эти уравнения получаются из уравнений предыдущей задачи
при т = 1).
и
Ответ. L(^) = 4i? Csin-^<#= 16#sin2?!. При tx = 2ж по-
о
лучим, что длина всей кардиоиды L — 16.R.
Задача 16,12. Решить предыдущую задачу в случае, когда
кардиоида задана полярным уравнением г = 2а A — cos <p)
(см. чертеж к задаче 15,21).
Решение. Надо воспользоваться формулой A6,3):
г' = 2а sin <р; г'2 = 4а2 sin2 ^>;
г2 + г'2 = 4а2 A — cos <рJ + 4а2 sin2 9 =
== 4a2 (I — 2cos(p + cos2(p + sin2 <p) = 4aa B —2costp) =
= 8a2 A — cos ?) = 16a2 sin21-;
=4flsin-|.
Когда точка на кардиоиде пробегает всю кривую, ее поляр-
полярный угол изменяется от 0 до 2ъ.
Поэтому по формуле A6,3)
L= C4asin-|-dcp = — 4a- 2cos-||2>
= —8fl(cosir —cosO) = — 8а(— 2) = 16a.
Мы получили тот же ответ, что и в предыдущей задаче (R = а).
1 Эпициклоидой называется кривая, являющаяся траекторией точки, неиз-
неизменно связанной с окружностью, которая без скольжения катится по внешней
стороне неподвижной окружности радиуса R, а т — отношение радиуса по-
подвижной окружности к радиусу неподвижной.
8* . 227

Задача 16,13 (для самостоятельного решения).
Найти длину дуги спирали Архимеда г = щ от начала коор-
координат до произвольной точки Р (г, <?) (см. чертеж к задаче
15,22).
Указание. Чтобы воспользоваться формулой A6,3), надо
вычислить У г2 + г'2. Из г — а<? следует, что г' = а;
г* + г'2 = а,у + а? с а? A + <?2У>
(см. формулу A6,3)).
Ответ.
При <р = 2тс получим длину пер-
первого витка спирали Архимеда.
Задача 16,14 (для самостоятель-
самостоятельного решения).
Найти длину логарифмической
спирали г = а? {а > 0, а Ф 1) между
точками (г0, <р0) и (г1? ^).
Указание. Воспользоваться
формулой A6,3):
К задаче 16,14
г2 + г'2 = а2? + а2? In2 а = а2? A + In2 a);
у r2
In2a; L =
Ответ. Z, =
-щ-' или
L = У\ + In2 a ¦
Во второй части этой книги (задача C6,15) была определена
длина полярной касательной логарифмической спирали Т =
Запишем полученный в этой задаче ответ в виде
In a '
Таким образом, длина дуги логарифмической спирали равна
разности длин полярных касательных, проведенных в конце и на-
начале этой дуги.
228

Задача 16,15 (для самостоятельного решения).
Определить длину дуги гиперболической спирали г — — от
точки (rlt <pi) до точки (г2, ср2).
Указание.
представить в виде
dtp. Подынтегральную функцию
К вычислению \
количества: ф = —•,
Z
\
применить подстановку обратного
= — табличный.
К задаче 16,15
Ответ. L
Задача 16,16. Найти длину дуги циссоиды Диоклеса
г 2а
cos«p
от точки (rv ?1) до точки (г2) <р2) (<Р! < <р2)-
Решение. Кривая задана полярным уравнением. Чтобы
применить формулу A6,3), вычислим Vr2 + г'г:
г* = 2а 2 sin у cos2 у + sin3 у.
COS2<p '
L =
229

Сначала вычислим неопределенный интеграл
С помощью подстановки l/3cos9 = — придем к интегралу
2а /3
Первый интеграл вычислим
подстановкой обратного коли-
количества и = ~г и после интегри-
интегрирования получим
К задаче 16,16
а, возвращаясь к старой пере-
переменной 9. найдем, что он равен
— In (l/^cos9 +1/1 + 3cos2cp).
Второй , интеграл равен
У 1 + и2, а после перехода к
старой переменной
1 _ у 1 + 3 cos2 у
1^3 cos <p
г 3 cos2 9
Поэтому искомая длина
L = 2а j/з Г!Ш1?йЕ5 _ in A/3 cos 9 +
Окончательно
и
+ 3eos2<pa /l+Scos2o
r-
У 3 cos 92
r-
У 3 cos <p i
In
3 cos2
I
y'S'cos 9! + y'l +3cos29! J *
Вычисление длин дуг многих кривых, например, эллипса-
гиперболы, лемнискаты, приводит к так называемым эллипти-
эллиптическим интегралам, которые ,мы рассмотрим в связи с упраж-
упражнениями по степенным рядам.
230

Объем тела
Если известна площадь S(x) поперечного сечения тела, то
его объем
A6,4)
где абсциссы а и Ъ отвечают крайним сечениям.
Объем тела, полученного от вращения криволинейной трапе-
трапеции, ограниченной непрерывной кривой, определяемой уравнением
у = / (х), осью Ох и прямыми х = а
и х = Ь, вычисляется по формуле
ъ
V = тс f y2dx. A6,5)
а
Площадь поверхности тела вра-
вращения определяется по формуле х
A6,6)
Задача 16,17. Найти объем тела,
отсекаемого от прямого круглого ци-
цилиндра плоскостью, проходящей че-
через диаметр основания под углом а
к нему.
Решение. Такое тело назы-
называется цилиндрическим отрезком.
Пусть цилиндр, о котором идет речь,
определяется уравнением х2 + у2 — R2. Найдем площадь сечения,
перпендикулярного оси Ох. Сечение — прямоугольный треуголь-
треугольник. Возьмем на оси Ох точку с абсциссой x(\x\<R). Площадь
сечения будет функцией х:
S(x) = ±MN - NP.
Но MN — ордината точки N окружности х2 -f у* — R* и
MN = VR2 — х2; NP = MN tg a = VR2 — x2-\g а.
Если обозначить через Я высоту цилиндрического отрезка
{KL = Я), то tg а = ^ , и тогда NP = VR2 — х2 • |,
S{x) = ±VR2 — х2- VR2 — x2-^;
К задаче 16,17
231

Переменная интегрирования х изменяется от — R до + R,
а потому по формуле A6,4)
Задача 16,18. Найти объем части однополостного гипербо-
гиперболоида ^5 + тг — та=1. ограниченного плоскостями г——Я и
О- О С
г = Я.
Решение. Вычислим площадь сечения гиперболоида плоско-
плоскостью, перпендикулярной оси Ог при постоянном г.
Площадь эта будет функцией г. В сечении получится эллипс,
который определяется уравнениями
г = const J
Перепишем первое уравнение так, чтобы можно было сразу
усмотреть, чему равны полуоси эллипса. Для этого обе его части
разделим на правую часть. Тогда уравнения эллипса, получен-
полученного в сечении, будут такими:
= Const
Из первого уравнения следует, что полуоси этого эллипса
равны:
а потому его площадь (см. задачу 15,7)
В формуле A6,4) переменной интегрирования надо взять не х,
а г, так как площадь поперечного сечения есть функция г, при-
причем на вычисляемом объеме г изменяется от — Я до + Я, поэтому
н
V= j «ab(l + ?yZ = 2шЬ (Н + Щ куб. ед.
-н
232

Задача 16,19 (для самостоятельного решения).
Найти объем трехосного эллипсоида, определяемого уравне-
уравнением
v2 ,,2 ,2
— 4-s_ Л-— — 1
аа "Г Ьа "Г cs — 1 •
Указание. Пересечь эллипсоид плоскостью, перпендику-
перпендикулярной оси Оу и проходящей через точку у этой оси (—6<г/<
< Ь). При постоянном у из уравнения эллипсоида получим урав-
уравнение эллипса-сечения:
*г л.г* - 1 у21
а* i" ?f — ^ — р I
г/ = const J
или
Полуоси этого эллипса:
у = const
а его площадь
S (г/) = «fljCi = nacll — Й.
Теперь в формуле A6,4) надо вести интегрирование не по х,
а по у в пределах от —Ъ до -\-Ь\
ъ
V = каЬ Ul—?)dy = jwabc куб. ед.
—ь
233

Итак, объем трехосного эллипсоида
4
V = -д- тс
куб. ед.
Этот результат полезно помнить.
Если а = Ь = с, то эллипсоид — сфера, и тогда объем, ею
ограниченный, равен
4
куб. ед.
(Хорошо известная из геометрии формула для вычисления объ-
объема шара). -
Задача 16,20 (для самостоятельного решения).
Найти объем тела, ограниченного двумя прямыми круговыми
цилиндрами:
Указание. Пересечь тело плоскостью, перпендикулярной
оси Ох и проходящей через
точку с абсциссой х (— R <
<*</?)• На чертеже изо-
изображена восьмая часть тела.
В сечении получится ква-
квадрат, сторона которого равна
ординате той точки окруж-
окружности х2 + у2 = R2, абсцисса
которой равна х, т. е. сто-
сторона квадрата равна у =
= У R2 — х2. Площадь ква-
квадрата будет функцией х, она
равна
К задаче' 16,20 S {х) = у2 = R2 — х2.
При вычислении объема восьмой части тела пределами инте-
интегрирования по х будут О и R:
j= UR2-x*)dx.
о
1 fi
Ответ. V = jRi куб. ед.
Задача 16,21 (для самостоятельного решения).
Найти объем пирамиды, зная, что ее высота Я, а основание —
многоугольник, площадь которого равна S.
Указание. Из геометрии известно, что сечение пирамиды
плоскостью, параллельной основанию, есть многоугольник, подоб-
234:

ный основанию, причем отношение площади сечения к площади
основания равно отношению квадратов их расстояний от вершины.
Провести сечение на расстоянии h от основания. Обозначить
площадь сечения через S (А). Расстояние этого сечения от вершины
равно Я— h. Поэтому
В формуле A6,4) переменной интегрирования будет h, причем
h изменяется от 0 до Я:
?§-куб. ед.
Мы получим известный из геометрии результат: объем пира-
пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на
высоту.
Задача 16,22 (для самостоятельного ре-
решения).
Найти объем шара радиуса R.
Указание. Пересечь шар плоскостью,
перпендикулярной диаметру. Вычислить пло-
площадь круга, полученного в сечении. Из чер-
чертежа видно, что радиус этого круга г =
= VW—TF- Его площадь есть функция h
и равна 5 (Л) = кг2 = к (/?2 — Л2), причем
h — расстояние сечения от экваториальной
плоскости и изменяется h от —R до +R.
В формуле A6,4) переменной интегрирования надо взять h
К задаче 16,22
к
= С S (ft) dft = тс С (#2 — №)AЬ, = \ъК* куб. ед
-R -R
Объемы и поверхности тел вращения
Задача 16,23. Найти объем и боковую поверхность параболо-
параболоида, образованного вращением параболы у2 = 2рх вокруг оси Ох
и ограниченного плоскостью х = Я.
Решение. Объем тела вычислим по формуле A6,5):
V = к С уЧх = тс С 2pxdx = 2jt"t^r= гсрЯ2 куб. ед.
235

Боковая поверхность определится по формуле A6,6). Найдем
сначала корень V\ + г/'2, входящий в эту формулу. Если г/2 = 2рх,
Так как г/2 = 2рх, то у = У^2рх и по формуле A6,6) находим
н н
S = 2* Г
кв. ед.
н
? de = 2« С
К задаче 16,23
Задача 16,24. Вычислить объем и поверхность шара, рассмат-
рассматривая его как тело вращения.
Решение. Будем полагать, что сфера образована вращением
окружности х2 + У2 = R* вокруг оси Ох. Чтобы найти объем шара
по формуле A6,4), найдем из уравнения окружности г/2 = R* — х2.
Переменная интегрирования х изменяется от —R до +#> а поэтому
R R
V = х Г уЧх = ic f (R2 — х2) dx = ^ -kR3 куб. ед.
—R
-R
Теперь вычислим площадь поверхности сферы по формуле
A6,6). Из уравнения окружности найдем, что у' = — —;Y\-\-yfi—
¦ = — , так как
Подставляя это значение корня в A6,6), получим
R R
R
t
-R
S = 4-kR2 кв. ед.
236

Здесь уместно обратить внимание читателя на то, как просто
с помощью интегрального исчисления получены объем и поверх-
поверхность шара. Для того, чтобы это оценить, полезно вспомнить до-
достаточно сложный и гро-
У
моздкии вывод этих же
формул в элементарной гео-
геометрии.
Задача 16,25 (для само-
самостоятельного решения).
Найти объем и боковую
поверхность прямого круго-
кругового конуса, рассматривая
его как тело, полученное
от вращения полупрямой,
проходящей через начало
координат и точку (Я, R),
и ограниченное плоскостью
х = Н.
ВШ)
К задаче 16,25
R
Указание. Уравнение прямой у = -тух. Определив боковую
поверхность конуса, учесть, что его образующая L = У^Н*-\- R*.
Ответ. V = ^-g—; S = wRL.
Задача 16,26 (для самостоятельного решения).
Доказать, что поверхность сферического сегмента равна боко-
боковой поверхности цилиндра с тем же основанием и высотой.
X
^—
0
Р
К задаче 16,26 К задаче 16,27
Задача 16,27. Вычислить объем и поверхность тора, образован-
образованного вращением круга, уравнение окружности которого х2 +
-f (у — аJ = R2, вокруг оси Ox (a> R).
Реш ен и е.Тором называется тело, образованное вращением
круга вокруг прямой, лежащей в плоскости этого круга и не пере-
237

секающей его. Это тело напоминает бублик или автомобильную
шину. Из чертежа видно, что объем тела равен разности объемов!
тел, полученных от вращения полукруга BCDB и полукруга ABDA
вокруг оси Ох. Чтобы воспользоваться формулой A6,5), найдеад
ординаты кривых BCD и BAD. Решим уравнение окружности
относительно у:
у = а ± VR*-x*.
На окружности BCD: увсо = а
на окружности BAD: \увАо = а— VR* — х2>
V = Vbcd — Vbad = 2тг j y2tpD dx — 2ж J y%AD dx.
о о
(Множитель 2 появился потому, что мы взяли пределами интег-
интегрирования не —R и -}-i?i a 0 и R, учитывая симметрию тела отно-
относительно оси Оу).
R R
V = 2те \ (ylcD — УвАй) dx — 2% \(увсо — У bad) (i/bcd + yBAo)dx =
о о
R R
f
о
2а - 2 VR% — xz dx = 8au С]//?2 —л;2 d^ = 8а /?
о
куб. ед.
Поверхность тора равна сумме поверхностей, полученных от
вращения дуг BCD и BAD вокруг оси Ох.
На верхней полуокружности BCD у' — — . ; у" =
у н —~~ х
На нижней полуокружности BAD Y\ -j- у'2 имеет то же зна-
значение (вычислите его). Поэтому
R r
S — Sbcd ¦
б
J О
238

Но
Увсо + Увао = 2а; a
R R R
С R С dx x I
= 4it \ 2a • -, -jdx = 8kclR \ , = 8ita7? arcsin =- ==
о Х о о
кв. ед.
Задача 16,28 (для самостоятельного решения).
Вычислить поверхность эллипсоида, полученного от вращения
эллипса p-f |j= 1: а) вокруг его большой оси (так называемый
вытянутый эллипсоид вращения) и б) вокруг малой оси (сжатый
эллипсоид вращения).
Указание. В случае а) вычисление поверхности сведется к
интегралу —з- \ Yai — ifl2 — b2) x2 dx.
Следует для упрощения записей ввести а2 — Ьг = с2, где с —
половина фокусного расстояния, а поэтому
и теперь можно воспользоваться формулой D,7).
В случае б) вращение происходит вокруг оси Оу, и задача
сводится к вычислению поверхности по формуле
A6,7)
(Этой формулой следует пользоваться в том случае, когда по-
поверхность образована вращением вокруг оси Оу).
Ответ, a) S=2«6 (b + j arc sin -M;
Этот ответ получится, если учесть, что у Ь2 + <? = а.
Задача 16,29 (для самостоятельного решения).
Решить предыдущую задачу, взяв уравнение эллипса в пара-
параметрической форме:
у = bsin^.
239

Указание. В случае, когда кривая задана параметриче-
параметрическими уравнениями х — ср (t), у = §{t), объем тела вращения
? A6,8)
а поверхность тела вращения
j A6,9)
При вычислении половины площади поверхности пределами
интегрирования по t будут 0 и -|- •
В первом случае (вытянутый эллипсоид вращения) получится
2"
S = 4каЬ Г j/l —e2sin2cp cos tp afy.
о
Интеграл легко вычисляется подстановкой esin<p = z (новые пре-
лГ Ф ^2
делы интегрирования 0 и е), где е = эксцентриситет
эллипса. Во втором случае (сжатый эллипсоид вращения)
2
S = 4каЬ Г ]/1 + A2 sin2<p cos
о
б2 — а2
где &2 =
Применить подстановку ^ sin ср = г. Новые пределы интегри-
интегрирования 0 и k. Ответы, конечно, должны получиться те же. Дока-
Докажите, что при Ь, стремящемся к а, из обоих ответов получится
площадь поверхности сферы 42
При определении предела — arc sin — представить это выра-
жение в виде а аг"'п е, учитывая, что ~ — е.
Задача 16,30 (для самостоятельного решения).
Найти объем и поверхность тела, образованного вращением
одной арки циклоиды
х — cr(t — sin f)
У
вокруг оси Ох.
240
-"('-«Ml (р<<<2«)
= а A — cos f))

Окажется, что
V = ъа* { A — cos tK dt« 5«V
2it 2it
| j A _ cos /Ktf/ = j A — 3 cos / + 3 cos2/ — cos3 /) dt = 5«].
При вычислении поверхности надо пользоваться формулой
A6,9):
2и
J sin3|*.
о
64
Ответ. V = 5тс2й3 куб. ед.; S = -^ тса2 кв. ед.
Задача 16,31 (для самостоятельного решения).
Найти объем и поверхность тела, образованного вращением
кардиоиды
х = 2R cost — R cos2t)
y = 2Rsmt-Rsm2t] 0<t<2n
вокруг ее оси (см. чертеж к задаче 15,21).
Указание. При вычислении объема воспользоваться форму-
формулой A6,8), при вычислении поверхности—формулой A6,9).
Ответ. У = ^*Я3 куб. ед.; S = -^*#a кв. ед.
О О
Задача 16.32 (для самостоятельного решения).
Найти объем и поверхность тела, полученного от вращения
астроиды
у — R sin3 —
@ < / < 2«)
4"
вокруг оси Ох (см. чертеж к задаче 15,27).
Ответ. V — -u~kRs куб. ед.; S = -^ т:Л2 кв. ед.
241

СЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Дифференциальные уравнения первого порядка.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Дифференциальным уравнением называется соотношение, свя-
связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее
производные (или ее дифференциалы).
В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифферен-
дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой пере-
переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядком дифференциального уравнения называется наивыс-
наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в урав-
уравнение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка п в самом
общем случае содержит независимую переменную, неизвестную
функцию и ее производные или дифференциалы до порядка п
включительно и имеет вид
fix, у, у', у", .... */">)= 0. A7,1)
В этом уравнении х—независимая переменная, у — неизвест-
неизвестная функция, а у', у", ..., у(п) — производные неизвестной
функции.
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка
имеет вид
fix. У, У') = О, A7,2)
а если его удастся решить относительно производной, то оно
запишется так:
y' = F(x, у). A7,3)
Задача состоит в определении из дифференциального уравне-
уравнения неизвестной функции, а процесс определения этой функции
называется решением, или интегрированием дифференциального
уравнения.
Решением, или интегралом уравнения A7,3) называется всякая
дифференцируемая функция у = <?(х), удовлетворяющая этому
уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение
A7,3) оно обращается в тождество, т. е.
<?'(x)=F[x, <?(x)]
является тождеством относительно х.
Кривая у = <р(х), определяемая решением уравнения A7,2)
или A7,3), называется интегральной кривой дифференциального
уравнения.
242

. Общим решением дифференциального уравнения A7,2) или
A7.3) называются соотношения вида
Ф (х, у, С) = 0, или Ф (х, у) = С, A7,4)
включающие одну произвольную постоянную величину и обладаю-
обладающие тем свойством, что, решая их относительно у при любых част-
частных значениях произвольной постоянной, получаем функции вида
у = <]>(х), являющиеся решениями уравнения A7,2) или A7,3).
Уравнения A7,4) определяют семейство интегральных кривых
уравнения A7,2).
Частным решением дифференциального уравнения A7,2) назы-
называется такое решение, которое получается из общего решения
A7.4) при некотором частном значении произвольной постоянной.
Произвольная постоянная С, входящая в A7,4), определяется
из так называемых начальных условий.
Задача с начальными условиями ставится так: найти решение
у = ср (х) уравнения' A7,2) такое, чтобы оно принимало заданное
значение у0 при заданном значении независимой переменной х =
= д:0, т. е. чтобы выполнялось равенство
Уо=?(Хо)-
С точки зрения геометрии задача с начальными условиями
сводится к тому, чтобы из семейства интегральных кривых A7,4)
выделить ту, которая проходит через точку (д;0, у0) плоскости.
Задача Коши. Задача отыскания решения уравнения A7,2),
удовлетворяющего начальным условиям
у = г/0 при х = х0,
называется задачей Коши.
Особое решение. Решение дифференциального уравнения, кото-
которое не может быть получено из общего решения ни при одном
частном значении произвольной постоянной, включая ± оо, назы-
называется его особым решением.
При решении дифференциального уравнения надо стремиться
к тому, чтобы наряду с определением общего решения были най-
найдены также и особые.
Мы рассмотрим на этом практическом занятии типы диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка, предусмотренные про-
программой.
Первый тип. Уравнения с разделяющимися переменными
Этот тип уравнений является самым простым типом уравне-
уравнений первого порядка, но вместе с тем очень важным.
Если в дифференциальное уравнение первого порядка F {х, у,
у') = 0 производная у' входит в первой степени, то после реше-
решения его относительно у' получится уравнение вида
243

Так как-у' = ^, то это уравнение может быть переписано так!
f(x, y)dx + <?(x, y)dy = 0.
В частном случае, когда каждая из функций / (х, у) и <р (х, у)
является произведением двух функций, одна из которых — функ-
функция только х, а вторая — только у, т. е. когда
/ (х, У) = h (х) ¦ h (У), а <Р (х, У) = <Pi (x) • <р2 («/),
уравнение примет вид
h (х) • /2 (г/) dx + ?1 (х) • <р2(г/) rfy = 0. A7,5)
Уравнение A7,5) называется дифференциальным уравнением
с разделяющимися переменными.
Разделение переменных производится делением обеих частей
A7,5) на произведение ср1(л:) • /2(#), в котором/2 (г/) — функция
только от у, являющаяся множителем при dx, а <рг (я) — функ-
функция только от х, являющаяся множителем при dy. После деле-
деления на это произведение уравнение A7,5) примет вид
а его общий интеграл запишется так:
1у = С A7,7)
Особые решения уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение A7,5) может быть переписано так:
[]
Поэтому, кроме найденного ранее общего интеграла A7,7)
уравнения A7,5), ему могут также удовлетворять решения, полу-
получаемые из уравнения
?1М-М</)=0. A7,8)
Если эти решения не входят в общий интеграл A7,7), то они
будут особыми решениями уравнения. A7,5),
Задача 17,1. Найти общие интегралы уравнений, особые реше-
решения, а также частные решения, удовлетворяющие начальным
условиям.
244

Начальные условия:
1) х»(у3 + 5)dx + (x3±S)y*dy = О, у@)_= 1;
2) хУ 1 + г/2 dx + J/ZjJ^2 dy = O, у (/3) = 0;
3)
5) tgt/cfA; — л: 1пд;^г/ = 0,
6) у'+у* = 1.
Решение. 1) Приведем уравнение к виду A7,6). Разделим
обе части уравнения на (х3 -+• 5) (у3 + 5) и получим
Теперь переменные разделены. Интегрируем обе части урав-
уравнения:
5| +
(Здесь мы заменили Сх на -j ln|C|).
Отсюда общий, интеграл запишется так:
Следует также рассмотреть уравнение (я3 + 5) (у3 + 5) = 0.
Но решения этого уравнения не являются особыми, так как они
получаются из общего интеграла при С = 0. (Напоминаем, что
особым решением дифференциального уравнения называется та-
такое его решение, которое не может быть получено из общего ни
при одном частном значении произвольной постоянной С).
Используя начальное условие, найдем С: подставляем х = 0,
у — 1 в общий интеграл:
@ + 5) A + 5) = С; С = 30.
Частное решение, соответствующее начальному условию: -
2) Приведем уравнения к виду A7,6). Для этого разделим
обе его части на Y\ +*2 • Vl +У2- После деления получим
x dx + у ffy = 0,
245

Интегрируя обе части этого уравнения, получим общий ин|
теграл:
Отсюда
(С > 0, так как рассматриваются только арифметические значе-
значения корня).
Теперь следует решить вопрос об особых решениях. Для;;
этого рассмотрим уравнение
7 = 0. '
Действительных решений это уравнение не имеет, а потому
и нет особых решений. ^ _
Частное решение получим из условия у — 0 при х — ]/3. Под-
Подставляя эти значения х и у в общий интеграл A7,9), получим •
= С; С = 3;
и частным решением будет
+ VT+72 = 3.
3) Обе части уравнения делим на г/J/l -\-хЧ
V У
Интегрируя, получаем
ИЛИ
Чтобы рассмотреть вопрос об особых решениях, надо прирав- I
нять нулю произведение г/}А + х2 = 0. Отсюда следует, что у =* ]
= о, VTTx1 = о. |
Решение у = 0 является особым решением, так как оно, удов-1
летворяя уравнению, не может быть получено из общего решения I
ни при одном частном значении С. Уравнение же ]/1 + х2 = 0 ;j
действительных решений не имеет. ;
Частное решение получим, подставляя в общий интеграл
246

Частное решение
или
2J/ 1 + х2
4) Перепишем уравнение в виде —¦ = 5 VU-
(XX
Отсюда, деля обе части уравнения на 5]/~у и умножая на
dx, получим
Интегрируя, найдем общий интеграл
^х + С, A7,10)
или
y = j(
Чтобы получить особое решение, рассмотрим уравнение
bV~y — 0, откуда у = 0. Это решение будет особым, так как
оно не может быть получено из общего ни при одном числовом
значении произвольной постоянной С.
Частное решение получим из A7,10), подставляя в него
х = 0, у = 25:
|l/25 = 0 + С; С = 2,
и частным решением будет
5) Для того, чтобы разделить переменные, разделим обе
части уравнения на tgy • \пх, и получим 'х\^х—tey" = ^'
а интегрируя
найдем
; In] In х | — In | sin у | = In | С |.
Отсюда
In л:
suit/
или
'С,
In* = С sin г/.
247

Общий интеграл уравнения
x==(?smyt A7,11)
Для решения вопроса об особом решении надо приравнять
нулю выражение tgy • х\пх, на которое мы делим уравнение:
tg у • х In х = 0.
Отсюда tg у — 0; х = 0; In х = 0. Таким образом, у = Ы (k = 0,
±1, ±2, ± ...); * = 0; *= 1.
Но из общего интеграла при С = 0 получаем jc = 1. Значит,
х = 1 является не особым решением, а частным. При С = — <х>
имеем х — 0, а потому х = 0 также не особое решение, а част-
частное. При С — + оо будет у = Ы, что следует из A7,11), и по-
поэтому эти решения не особые, а частные. Таким образом, реше-
решения х = 0; л: = 1 и у = kti «подозрительные» на особенность яв-
являются попросту частными решениями. Значит,, особых решений
уравнение не имеет.
Чтобы найти частное решение, подставим в A7, il) x = e;
у + у, и получим
е = еС; С =
Поэтому частным решением будет
6) Перепишем уравиение в виде
dx l y '
Разделим обе части уравнения на 1 — у2 и умножим
Получим уравнение, в котором переменные разделены:
на dx.
Интегрируем обе его части:
j^-x + C;
\+у\
i.n
Отсюда
1-1
или
= х + С.
)_±1
Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
248

Общий интеграл: у = th (x -\- С).
2)
— У
Общий интеграл: г/ = cth (л: -f О-
Чтобы решить вопрос об особом решении, приравняем нулю
выражение I—у2, на которое мы делили обе части уравнения:
Эти решения являются особыми, так как не могут быть по-
получены из общего ни при одном числовом значении произволь-
произвольной постоянной С.
Задача 17,2 (для самостоятельного решения).
Найти общие интегралы, особые и частные решения диф-
дифференциальных уравнений:
1) у' = 0; 2) у' = а; 3) у' = 2х2 + 5х+ 12; у A) = 1;
4) j/'-r/2-3j/ + 4 = 0;
5) Vl _ уЫх + 1Л —x2dy = 0; у @) = 1;
6) A +2d (l2d 0 l) 2
Указания. В пятом уравнении произвольную постоянную
выгодно ввести под видом arcsin С, в шестом уравнении — под
видом arctg С.
О т в е т. 1) у = С; 2) у = ах + С;
3) у == %х* + ^-х* + 12л; + С. Частное решение у =
= -§х3 + -2-*2 + 12*-15.
_ 1
У 1
Решения у — \ и у = — 4 — частные. Они содержатся в общем
решении: первое при С — —оо, второе при С=4-°°-
5) arcsin х + arcsin у = arcsin С, или, беря синус обеих
частей, хУ 1 — у2 -f- yV^—х2 = С. Учесть, что
cos (arcsin х) = ]/ — х2.
Особое решение у = ± I. Частное решение xVl—у2 -f
6) arctg х -\- arctg у = arctg С. Беря тангенс обеих час-
частей, это равенство можно записать в виде.*_ у =С.
Частное решение . _ у =— 3. Учесть, что tg (arctg x) —
= х.
249

Уравнение вида
y' = f(ax + by + c) A7,12)
приводится к уравнению с разделяющимися переменными с по-
помощью подстановки
ax + by + c = z; a + by' =z'\ у' =г-~,
Уравнение A7,12) принимает вид:
Последнее уравнение — уравнение, в котором переменные раз-
разделены. В общем интеграле следует перейти к старой перемен-
переменной, заменив z на ах -\-Ьу -\- с.
Задача 17,3. Найти решения уравнений:
]) У' = ъГГу' 2> У' <У + Х) = !'> 3) У'
Решение. Первое и второе уравнения этой задачи отно-
относятся к типу A7,12), а третье — уравнение с разделяющимися
переменными.
1) Подстановка: Зх+у = г. Дифференцируя, находим: 3 -f*
+ „' = г'; у' = z' - 3. Поэтому z' - 3 =i; z' = l±^; g =-^-Z.
Разделяем переменные, умножая обе части последнего уравнения
на TTTzdx- Получаем
Интегрируя, находим
откуда, вычисляя интеграл, получаем
lz-i-lh|l+3z| = x + C,
а заменяя z на Ъх -f- у, имеем
LCx+y)-±\n\$x + 3y+\\=x + C.
2) Подстановка: л: + У = 2.
Ответ, у— \п\х + у+ 1| = С.
3) Представить правую часть в вице 33j:+2^ == З3*
250

Произвольную постоянную выгодно .ввести под видом — 6] »
Ответ. 3 • 3~^ + 2 • З3* = С.
Задача 17,4 (для самостоятельного решения).
Проинтегрировать уравнения:
1) у' = 3* + Ау, 2) у' = j^-3; 3) у' =
Ответ. 1) у = Се**—\х — %$
2) 5л: + Юг/+ 4 1п|5д;+ Юг/ —4| = С —25х;
3) 2V2x + y — 3 — 4\n(V2x + y~3 + 2) = x + C.
Второй тип. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Уравнения вида
y'+P(x)y = q{x) A7,13)
называются линейными потому, что искомая функция у и ее про-
производная у' входят в них в первой степени.
Функции р (х) и q {x) предполагаются непрерывными в про-
промежутке (а, Ь), в котором ищется решение уравнения A7,13).
Если правая часть в A7,13) —функция q(x) тождественно равна
нулю при всех значениях х из (а, Ь), то уравнение принимает вид
у' + р{х)у = 0 A7,14)
и называется в этом случае линейным однородным дифференциаль-
дифференциальным уравнением первого порядка. Оно соответствует уравнению
A7,13), которое при q (х) Ф 0 называется неоднородным. Отметим,
что линейное однородное уравнение является уравнением с раз-
разделяющимися переменными.
Иногда уравнение A7,14) называется линейным уравнением
без правой части.
Общее решение линейного неоднородного уравнения A7,13)
можно найти с помощью подстановки
y = e-SpMdxv(x), 07,15)
где v(x) — новая искомая функция. Множитель e-\p(x)dx — общее
решение линейного однородного уравнения A7,14), соответствую-
соответствующего уравнению A7,13), причем в этом общем решении опущен
множитель С.
Эта подстановка предпочтительнее указанной в учебниках —
у = uv, так как функция и всегда равна выражению e~i р (л:) dx
и ее, собственно, каждый раз отыскивать излишне.
Подстановка A7,15) приводит A7,13) к уравнению с разделяю-
разделяющимися переменными.
251

Задача 17,5. Найти решение уравнения у'-\-у = ех, удовле-
удовлетворяющее начальному условию у@) — 1.
(Прежде всего обратите внимание на то, что уравнение —
линейное, так как искомая функция у и ее производная у' входят
в него в первой степени).
Решение. Сравнивая это уравнение с A7,13), мы видим, что
функция р (х) — коэффициент при у— равна 1.
Чтобы применить подстановку A7,15), вычислим j р (х) dxt
который при р (х) = 1 запишется в виде j р (х) dx = J dx = х,
а ег § "(х) ** = е~х. Поэтому подстановка A7,15) имеет вид
y = er*v. A7,16)
Подставим выражение A7,16) в заданное уравнение. Для этого
A7,16) продифференцируем как произведение
у'= er*v'(x)—v(x)e-x
\
у= v(x)e~x
е' = erxv' (x)
(Складывая в левых частях этих равенств у' -J- у, мы получаем
правую часть заданного уравнения, т. е. ех).
Получилось уравнение с разделяющимися переменными
Умножая обе его части на ех dx, получим
dv = e2xdx,
а интегрируя, найдем
!
о = !,
Подставляя найденное значение у в A7,16), получим
ИЛИ
y = Cer* + l*f A7,17)
Как доказывается в теории интегрирования линейных неодно-
неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка A7,13),
общее решение этого уравнения равно сумме двух слагаемых,
из которых одно является общим решением соответствующего
однородного уравнения A7,14), а другое — его частным решением
неоднородного .уравнения (оно получается из общего при С = 0).
В нашем случае в A7,17) первое слагаемое Се~х — общее решение
однородного линейного уравнения у' -\- у = 0, соответствующего
заданному, а второе ^е* — частное решение заданного уравнения
252

Действительно, уравнение у' -f- у = 0 — уравнение с разделяю-
разделяющимися переменными: ^ = — у; — = —с?лг. Интегрируя, получим
. = — x; in\yv =
= е
Из A7, 17) определим произвольную постоянную С, используя
начальное условие у @) = 1:
Подставляя в A7/17) С =-^, получим частное решение у=-.^е-х _j_
_|__e*f т. е. частным решением является #^=sh#.
Задача 17,6. Найти общее решение уравнения у' — 4г/ = cosx.
а также частное, удовлетворяющее начальному условию у @) = 1.
Решение. Сравнивая с A7,13), заключаем, что р(х) = —4
{это коэффициент при у в заданном уравнении). Чтобы приме-
применить подстановку A7,15), вычислим—j p (x)dx, подставляя в него
Р(*>—4:
— j р (л:) йл: = — J — 4 dx — 4х,
Поэтому A7, 15) запишется так:
y = ve*\ A7,18)
Подставляя это значение у в заданное уравнение, получим
1
4
у' == и'е4* -f 4ue4*
у — veix
cos л; = v'eix
(при сложении два последних слагаемых уничтожились). Получи-
Получилось уравнение с разделяющимися переменными:
Умножая обе его части на е~ixdx, получим
dv = e~ixcosxdx.
Интеграл' правой части найден в задаче D,22). В формуле
D,11) надо взять а = —4; 6=1.
г~кх
Поэтому v = -JJ- (sinх—4cos#)+C, а из A7,18) получаем:
у = Г^(sin х — 4 cos x) + С \eix;
у=Се*х+Yj(smx —4 cos x). A7,19)
253

Здесь опять-таки следует обратить внимание на то, что сла-1
гаемое Се4х есть общее решение однородного линейного уравнения!
у' 4у = 0, соответствующего данному неоднородному, а второе
слагаемое.— частное решение всего данного уравнения. Это сла-
слагаемое получается из общего решения при С = 0.
Чтобы определить частное решение, подставляем в A7,19)
х = 0; у = 1 и получаем:
1 ~~ ° ~ 17' ° ~ 17'
поэтому частным решением будет
# = ^B1е4* + sin л: — 4 cos л:).
Задача 17,7 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
х' +ax = ebt (а + ЬфО).
Рассмотреть также случай a -+- Ь — 0.
Указание. Здесь искомая функция не у, как было в двух
предыдущих задачах, а #, независимой переменной является t
(это усматриваем из того, что правая часть еы — функция t).
Вместо интеграла —- j p (x) dx в A7, 15) надо вычислить
— \adt-—at. Поэтому подстановка A7,15) будет такой:
x = v(t)erat.
ры
Ответ, х = Cerat + f—^ (a-\-b=?0).
Если а + Ь = 0, то х = Cerat -f fe~a'.
Указание. Если a + ft = 0, то & = —а.
В трех последних задачах коэффициент при первой степени
искомой функции в линейном уравнении был величиной постоян-
постоянной (это были числа 1, —4, а).
Теперь мы решим задачу, в которой этот коэффициент есть
функция .независимой переменной.
Задача 17,8. Найти решение уравнения
у' + у cos х = sin х cos х,
удовлетворяющее начальному условию у @) = 0.
(Уравнение линейное, так как искомая функция у и ее про-
производная у' входят в уравнение в первой степени).
Решение. Сравнивая заданное уравнение с A7,13), заклю-
заключаем, что р (х) = cosх; — J p (x) dx = — ^ cosxdx — —.sinx. По-
Поэтому множитель eipixUx в A7,15) равен e-sinx, а подстановка
A7,15) запишется так:
A7,20)
254

Подставляя это 'значение у в заданное уравнение, получим:
1
COS X
у' = v'e~slnx — ye~siI"cos х
у = ve~sinx
sin л: cos л: — v'e-slnx
Получилось уравнение с разделяющимися переменными
¦т-е-sln х — sin х cos x.
Умножая его обе части на esinx, получим
dv — esin *sin x cos x dx,
a
и = \eslnxsln'xcosxdx = esin *sinx —
и = $in x du = cos jc d*
t _ „sin x
Подставляя это значение v в A7,20), найдем
у = (e^in ^Sin x — esin * -f С) е- sin *;
Теперь найдем частное решение. Подставляем в общее решение
начальное условие х = 0; у = 0; 0 = С — I; С = 1. Частное реше-
решение запишется так:
-fsinx— I.
Задача 17,9 (для самостоятельного решения).
Найти общие и частные решения следующих линейных урав-
уравнений:
1) y' + ytgx=> cos2 х; у (jj = у,
2) y'yX* + ix + 5 У(Ъ '
Указания. При решении многих задач придется пользо-
пользоваться формулой elnN — N. В первом уравнении р (х) = tgx;
— Jp (д;) dx = — f tg х dx = In cos i; e ~^p (д:) dj: = eln cos * = cos x.
Во втором уравнении
dJ: _ gin (* + 2) _ д. _|_ 2,
255

Подстановка: у — v (х) (х -f 2). Функция v (x) =у +х + ^~ d
Ц
Ответ. 1) у = С cos x + sin x cos x; частное решение:
у = sin х cos x;
2) у = С (х + 2) + (*"t,2K + (х + 2) In (x + 2); частное
решение: у = (х + 2) + ^^ + (х + 2) In (x + 2);
3) x = C(t + \)п + ё (t + 1)"; частное решение:
х = ё (t + 1)".
Задача 17,10 (для самостоятельного решения).
Найти общие интегралы и частные решения линейных уравне-
уравнений:
п ' 1у = _cosecх — sinх\ у\\) = 1 + ^-;
2) #'-2^=1-2^; г/ @) = 2;
2) ху' + у = х* + Зх+2; г/A) = |.
Указания. 1) jsin^0SJC= Intgx; eXa^x = tgx. Подста-
Подстановка: г/ = utgx
2) р (х) = —2л:; е ~Jp (x) rfjc = ё*. Подстановка: у = ие*1.
3) Обе части уравнения разделить на х. Функция р (х) = —;
— \ р (х) dx = — In x] e~ln x = eln *-' = х~х = —. Подстановка:
Ответ. 1) f/ = G tg л: + cos х\ у — tg x + cos я;
2) г/ = Се*8 + *; г/ = 2е*г + х;
3) У = 7+т+-2+2; г/ = - + т+т+2.
Задача 17,11. Найти общий интеграл уравнения
ydx — (х + у2 sin у) dy = 0.
Решение. Если обе части уравнения разделить на dy, то
получится
У ру — X — y2sinj/ = 0.
Разделив на коэффициент при -А получим уравнение
dx 1
Ту~ТХ:
256

в котором искомой функцией является х, независимой перемен-
переменной — у. А так как искомая функция х и ее производная —
входят в уравнение в первой степени, то оно линейное. Подста-
Подстановка A7,15) запишется так:
х = v (у)е~ $р т dy — ve~ )~Tdy —
Общее решение: х = Су — у cos у.
Задача 17,12 (для самостоятельного решения).
Найти общие интегралы уравнений:
O
у
3) (у* + 1) jy
Указание. Каждое из этих уравнений линейно относительно х
и --¦ . Искомая функция — х, независимая переменная — у. Прежде
чем интегрировать обе части уравнения, разделить на коэффициент
их
ПРИ Ту'
Ответ. 1) x^-C+^-cosft 2) x-^ + jy*;
Задача 17,13. Найти общие интегралы уравнений:
п\ г i п X2 cos ¦*
2) У — У ctg х = 2х : ;
' а а ° sin х
оч , 2 е* (х — 2)
Указание. В третьем уравнении при интегрировании по
частям, которое надо будет применить, два интеграла взаимно
уничтожатся. Интегрировать по частям придется только один раз.
Ответ. 1) у = С(х2 + х+ 1) +sinx;
2) y = Cs\nx + x2;
3) у = Сх% + е*.
Третий тип. Уравнение Бернулли
Если правую часть линейного уравнения A7,13) умножить на
уп при условии, что п — любое действительное число, кроме нуля
и единицы (п ф 0 и п ф 1), то получим уравнение вида
y' + p(x)y = q(x)y». A7,21)
Оно называется уравнением Бернулли.
9 з-1734 257

Так как га ф О и пф 1, то это уравнение не является линей-
линейным.
После умножения его обеих частей на у—п и подстановки
yi-n = 2, где г — новая искомая функция, оно приводится к ли-
линейному, интегрированием которого мы уже занимались.
Преобразование уравнения Бернулли в линейное будем прово-
проводить в такой последовательности:
1) умножим обе части уравнения на у~п;
2) введем подстановку yl~n = г. Обе части этого равенства
продифференцируем: A — га)у~пу' — z'\ у-пу' = 1 г__п ;
3) полученное уравнение проинтегрируем как линейное с по-
помощью подстановки A7,15), в которой вместо у надо писать z,
4) возвратимся к искомой функции, заменяя z на ух~п.
Подробно мы рассматриваем решение только одного уравнения
Бернулли и для самостоятельного решения предлагаем 5 уравне-
уравнений, учитывая большое число упражнений, выполненных при
интегрировании линейных уравнений.
Задача 17,14. Найти общее решение уравнения
ху' — уBу\пх— 1) = 0.
Решение. Приведем уравнение к виду A7,21):
, . 1 о In х ,
У Л У = 2 — У
(обе части уравнения мы разделили на х и слагаемое, содержа-
содержащее у в первой степени, оставили в левой части уравнения).
1) Обе части уравнения умножим на у~2:
y-iy' _]_ 1 f,-i = 2 ^. A7,22)
2) Сделаем теперь подстановку
#-'=z. A7,23)
Дифференцируя обе части этого равенства и помня, что у
есть функция х, получим
— у-2у' = г', а у-2у' = — г'.
Делая эти замены в A7,22), получим уравнение
z' a L z — 2 *"*
или
которое линейно относительно г и г'.
Чтобы сделать подстановку A7,15), вычислим сначала входя-
входящий в нее интеграл.
258

У нас р(х) = — —: — \p(x)dx=\—dx = \nx;e J P
= е!п * = л;.
Подстановка: z = vx.
г' = v'x + v
z = vx
olUf — o'v- — = о l?L?.
ж ~~ ' dx ~ х2 '
du = — 2 -^ *с;
= — 2
In
ж2
ц = \пх
!уЛ._2 _^+.\5 -2^+2т+О.
, In ж
¦>
< = --
2 = Cx + 2 (lnx + 1).
Чтобы возвратиться к исходной искомой функции, восполь-
воспользуемся сделанной подстановкой A7,23) и получим
г/-1 = Cx + 2(lnx+ 1).
Задача 17,15 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнения:
1) *У | + XI/3 = а2; 2) ху' -уЧпх + у = 0;
3) у'-^~^ 4) (**
Указание. Прежде чем делать какие-нибудь преобразования
в уравнениях 1, 2 и 4, следует разделить обе части уравнения
на коэффициент при у'.
Ответ. 1) у3 = тгч +7Г '> 2) — — 1 -
zx zx -у
3)y=-JL_; 4I=^
259

Четвертый тип. Однородные уравнения
(Эти уравнения не следует смешивать с линейными однород-
однородными уравнениями A7,14), которые рассматривались выше).
Если уравнения у' = f {х, у) или Р {х, y)dx + Q {х, y)dy = O
не изменяются при замене х на kx и у на ky, то они называются
однородными. Подстановка
у = их, A7,24)
где и — новая искомая функция, преобразует однородное уравне-
уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
После того как новое уравнение будет проинтегрировано,
следует и заменить на — .
Задача 17,16. Проинтегрировать дифференциальные уравнения:
1) </'+^р =°; 2) xydy-y4x= ~~~
Решение. 1) Прежде всего следует убедиться, что это урав-
уравнение однородное. Заменив х на kx, а у на ky, заметим, что
уравнение не изменилось. Это и доказывает, что оно однородное.
Сделаем подстановку A7,24): у = их. Тогда у' = и'х + м, и урав-
уравнение перепишется так:
ux + u +
' ' хих
или, сокращая на хг\
откуда M'* + L±^ = O;g* = _l±^.
Теперь мы получили уравнение с разделяющимися перемен-
переменными, которое после разделения переменных запишется следую-
следующим образом:
и , dx
-TTwdu = ~x'
Интегрируя, получаем:
или, переходя от логарифмов к числам, т. е. потенцируя, находим
J
260

Заменим теперь и на" -| и получим
2</2
Сократим на хг, тогда ^ . 2 , =
Это решение удобнее записать в виде
1 =г
/„2 I О..2\ «2 °»
или х*{х2 + 2у2)= ±-.
Заменяя g- на Са, получаем
х2 (х2 + 2г/2) = Ct.
2) В том, что это уравнение однородное, легко убедиться,
заменив х на kx, а у па ky. Замечаем, что при этом уравнение
не изменилось. Перепишем его для удобства в виде
и сделаем подстановку у = их, из которой следует, что
dy = udx -f xdu.
Уравнение перепишется в виде
[(л; + ихJ е~и + и2*2] dx — их2 (и dx + xdu) = 0.
Разделив обе его части на л;2, получим уравнение
[A + "J е~" + и2) dx—u{udx + xdu) = 0,
или
[A + иJ е~и + и2 — и2) dx — uxdu = 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя их,
получим уравнение
Интеграл
С « rf« _ С ueudu ._
Поэтому из A7,25) получаем
In л; — -г-—- = — In С,
1 +« '
или
]пх + \пС=т^-и.
261

Заменяя «на —, получаем
= -^— ; In Cx =
хе*
и окончательно
и
(х + у) In Cx = хе*.
Помещаем для самостоятельного решения еще 5 однородных
уравнений.
Задача 17,17. Проинтегрировать уравнения:
1) (х + У) dx + (у — х) dy = 0; 2) (х2 — ху) dy + y2dx = 0;
3) у'~е?* + ± + 1; 4) ху' = xsin 1 + */;
5) ;«/' + л; cos — — у -f л; = 0.
Указание. В третьем уравнении \-~— = \ —-?——— с?м =
— и — In (е" + 1). Полученное решение разрешить относительно е*.
Ответ. 1) arctg9- = \п(СVx2 + у2); 2)у = Сех;
3) ^ = г=Ъ*. 4) У = 2^arctgCA;; 5) tg? = ln-^ .
В заключение этого практического занятия решим несколько
задач из физики и механики, которые требуют составления диф-
дифференциального уравнения первого порядка и его интегрирования.
В задачах 17,18—17,21, несмотря на их внешнее различие,
две переменные величины х и время t, участвующие в них, обла-
обладают тем общим свойством, что скорость изменения одной из
них {х) по отношению к другой (t) пропорциональна наличному
количеству величины х в рассматриваемый момент времени.
Учитывая, что скорость изменения величины х есть производ-
производная -^, обозначим через k коэффициент пропорциональности.
Тогда дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс,
будет иметь вид
% = kx. A7,26)
Это уравнение с разделяющимися переменными и интегриру-
интегрируется оно очень просто.
262

Разделяя переменные, получим
или
ln|-?|«&; |-g|-e*'; \x\-]C\e";
x = Се*'. A7,27)
Таким образом, решением уравнения A7,26) является показа-
показательная функция.
Условие задачи должно содержать данные:
1) для определения произвольной постоянной, т. е. значение
хи величины х в момент времени t — t0: х (t0) = х0;
2) для определения коэффициента пропорциональности k.
Уравнение A7,26) описывает процесс непрерывного роста или
непрерывного убывания величины х, причем, как видно из реше-
решения A7,27), рост имеет место при положительном коэффициенте
пропорциональности k, а убывание — при отрицательном k.
Задача 17,18. Скорость распада радия пропорциональна коли-
количеству нераспавшегося радия. Количество радия в начале процесса
(t = 0) было равно х0. Известно, что за 1600 лет распадается
половина первоначального количества.
1) Через сколько лет количество нераспавшегося радия будет
составлять 80% первоначального?
2) Определить, какой процент радия сохранится через 300 лет.
Решение. Уравнение A7,25) описывает процесс радиораспада.
Определим в A7,27) произвольную постоянную С. Известно из
условия задачи, что в начальный момент, т. е. при t = 0, коли-
количество радия равно х0. Таким образом, начальное условие:
х@) = х0. Подставляя в A7,27) ^ = 0; х — х0, получим
а потому A7,27) перепишется так:
x=xoekt. A7,28)
Задача содержит условие, позволяющее определить коэффициент
пропорциональности k: когда t = 1600, количество радия х равно
половине начального, т. е. х = ^. Подставляя в A7,28) у вме-
вместо х и 1600 — вместо /, получаем Ц = л;0е6-160°. Сокращая на х0,
получим -g = е*'1600. Для определения k, прологарифмируем по
основанию е обе части этого равенства:
\n±=k- 1600; In I — In2=?. 1600; k = — ^.
263

Теперь решение A7,28) перепишется в виде
In 2 (
у _ v о 1600 .
ИЛИ
_ 1п2
- = е 1600 . A7,29)
Ответим на первый вопрос задачи. По условию — = 0,8(80%).
Подставляя это значение в последнее уравнение, имеем
In 2
0,8 = е 160° .
Для определения t прологарифмируем обе части равенства
In 2,
отсюда
1600 In 0,8 _ 1600 (—0,223 14) g.,
1 In 2 0,69315 ~Ml
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, найдем из A7,29)
отношение — при t = 300;
In 2 . _ 0.69315-300
?.= e-i6oo' ;j=e 1600 =е-°-130 ^0,878 = 87,8%.
Таким образом, через 300 лет сохранится 87,8% начального
количества радия, а следовательно, распадется за 300 лет 12,2%.
Задача 17,19 (для самостоятельного решения).
Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения нагретого
тела пропорциональна разности температур тела и окружающей
среды.
Определить, за какое время тело, нагретое до температуры
х0 = 300°, помещенное в жидкость, температура которой 60°,
охладится до 150°, если считать количество жидкости настолькс
большим, что ее температура практически остается без измене-
изменения. При этом известно, что через 10 минут после начала про-
процесса температура тела равна 200°.
Указание. Обозначить через х непрерывно убывающую тем-
пературу тела C00 < х < 60). Разность температур тела и жидко'
сти равна х — 60°. Скорость охлаждения ——.. Если k — коэф
фициент пропорциональности, то дифференциальное уравнений
процесса будет таким:
264

Общее решение имеет вид
х-60 = СеЧ A7,30)
Начальное условие: в начальный момент времени t = 0 тем-
температура х0 = 300":
300 — 60 = Сек0; С = 240.
Поэтому A7,30) запишется так:
* = 60 + 24Qe*«. A7,31)
Для определения коэффициента пропорциональности k исполь-
используем дополнительное условие в задаче:
при t = 10 мин температура тела равна 200°. Поэтому из
A7,31) при х = 200, t= 10, 2ОО = 6О + 24Ое*'<о. Откуда следует,
что k = —0,053, и тогда уравнение A7,31), связывающее темпе-
температуру х и время t, запишется так:
х = 60 + 240е-°-05Ч
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо подставить сюда
х = 150 и определить t.
1 3
Окажется, что t = — -ttxfo In -о" •
U,UDo о
Ответ, t = 18,5 мин.
Задача 17,20 (для самостоятельного решения).
Известно, что изолированный проводник вследствие несовер-
несовершенства изоляции теряет сообщенный ему заряд, причем скорость
потери заряда пропорциональна наличному заряду в данный
момент.
В начальный момент проводнику сообщен заряд 2000 CGSE.
За первые две минуты проводник теряет 150 CGSE. Определить,
через сколько минут заряд проводника станет равным половине
начального.
Указание. Обозначая переменный заряд через х, получим
дифференциальное уравнение процесса
их ,
Jt=kx-
Его общее решение дается формулой A7,27): х = Сеы. Из началь-
начального условия (х ~ 2000 при t = 0) следует, что С = 2000, и тогда
x = 2000ew. A7,32)
Так как через две минуты заряд равен 2000 — 150 = 1850 CGSE,
то для определения k имеем уравнение:
1850 = 2000е*<; к = j In ^ = — 0,039.
265

Поэтому A7,32) перепишется так: х = 2000-0-039'. Подставляя сюда]
х = 1000 — заряд, равный половине исходного, получаем: 1000 =.?
= 2000е-°-039', откуда -1 = е-0-039', а / = —jy.. :
Ответ, tza 18 мин.
Задача 17,21 (для самостоятельного решения).
Предполагая, что скорость прироста населения пропорцио-
пропорциональна его наличному количеству, и зная, что население СССР
на 1 января 1962 года составляло 200 млн. человек (приближенно),
а прирост за 1962 год был равен 2%, определить на основании
сделанного предположения и этих данных количество населения
СССР на 1 января 2000 года.
Указание. Дифференциальное уравнение процесса: -^ = kx\
х = Ceht\ С = 200, а потому
* = 200е*'. A7,33)
По условию за 1962 год прирост населения составил 2%.
900
Полагая в A7,33) х = 200 + щ • 2, т. е. х = ?04, a t = 1, нахо-
102
дим k: k = 1пщ = In 1,02 = 0,02, а поэтому уравнение A7,33)
перепишется так:
х = 2.00е°-02'.
На 1 января 2000 года t = 38, так как за начальный момент
приняты сведения на 1 января 1962 года. Отсюда х = 200е0'02'38.
Ответ. х2ооо = 428 млн. человек.
Если бы не был принят во внимание непрерывный рост насе-
населения, то за 38 лет из расчета 2% в год прирост населения
составил бы 76% начального, т. е. 152 млн. человек, и на 1 ян-
января 2000 года оно равнялось бы только 200 + 152 = 352 млн.
человек.
Ошибка была бы в 428—352 = 76 млн. человек.
Задача 17,22. Точка движется по прямой с постоянным уско-
ускорением, равным а -^. В начальный момент t — 0, ее скорость
v = v0, а расстояние от начала координат — So, т. е. v @) = v0,
S@)=S0.
Найти закон движения.
Решение. При движении по прямой ускорение есть произ-
dv
водная от скорости по времени, а потому ускорение а = -г¦ ;
dv = adt. Интегрируя, получим и = at -f Cv Подставляя сюда t = 0,
v = v0, найдем Сг = v0, а потому уравнение, связывающее ско-
скорость и время, перепишется так:
v — at
266

Известно, что скорость в прямолинейном движении — произ-
dS
водная от пути по времени: v = jr.
Поэтому j-t = at + уо. dS = atdt + VS> a S=°y +v0t + C2.
Используя начальное условие S = So при t = О, получим, что
C2 = So, и закон движения запишется следующим образом:
Если So = 0, то S = Tj- + V — хорошо известный из физики
закон прямолинейного равномерно-переменного движения.
Задача 17,23. Определить форму зеркала, отражающего все
лучи, исходящие из одной точки так, чтобы после отражения
они были параллельны
заданному направлению. Т
Решение. Поме- Х&Й^—L
стим начало координат /у [
в точку, из которой
исходят лучи, а задан-
заданное направление, кото-
которому должны быть па-
параллельны отраженные
лучи, примем за ось Ох
(см. чертеж).
Пусть точка А при- К задаче 17,23
надлежит зеркалу, а
АР — один из таких лучей. Кривая АК — линия пересечения
зеркала с плоскостью хбу. Согласно известному закону оптики,
лучи падающий, отраженный и нормаль к поверхности, на кото-
которую падает луч, лежат в одной плоскости и составляют с нор-
нормалью равные углы (угол падения равен углу отражения). На
чертеже АВ — нормаль к кривой KL в точке А (х, у), ОА — па-
падающий луч, АР — отраженный. Поэтому < OAB = </ЗЛЯ = а.
Треугольник ОАВ — равнобедренный: ОА = ОВ. Сумма углов с
общей вершиной в точке А, расположенных по одну сторону от
МР, равна 180Q. Поэтому, так как а + Т = 90°> то и а + Р = 90°-
Значит, а + т — а + ?» a T = P- Отсюда заключаем, что треуголь-
треугольник СОА — равнобедренный: ОС = ОА.
Если уравнение искомой кривой y = f(x), то tg{3 = у' (х). Но
с другой стороны, tgp=* oc + OD^ OA + OD- Так как 0А =
Vx% + уг, a OD = х, то tgB = -/ , у — . Подставляя сюда
У х* + уг + х
= {/', получаем дифференциальное уравнение
267

которое не изменяется от замены х на kx, а у на ky, а потому
оно является однородным. Применяя подстановку у = их, полу-
получим уравнение с разделяющимися переменными
du и Y1 4д ц2
Я* у\ _|_ «2+~1'
а после разделения переменных
Иметь в виду, что \ —, удобно вычислить при помощи
J «у 1 + «2
1 1 4- ~\f и} -+- 1
подстановки и — —. Окажется, что он равен — In — —.
Ответ, у2 — С2 + 2Сх — семейство парабол.
Зеркало должно иметь форму параболоида вращения. Дока-
Докажите, что начало координат есть фокус параболы.
ВОСЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Со де рж ан ие: Дифференциальные уравнения высших порядков, допу-
допускающие понижение порядка.
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Дифференциальное уравнение порядка п (и. > 1) имеет вид
f(x, у, у', у", ...,*/<">) = О, A8,1)
где по-прежнему л: — независимая переменная, у — искомая функ-
функция. Всякая функция у = ср (х), определенная и п раз дифферен-
дифференцируемая в промежутке (а, Ь) называется решением этого урав-
уравнения, если она обращает его в тождество.
Задача Коши. Задача Коши для дифференциального уравне-
уравнения A8,1) порядка п ставится так:
Найти такое решение дифференциального уравнения, чтобы
оно само и его производные до порядка (п—1) включительно
при заданном значении аргумента х = х0 принимали бы заданные
значения, т. е. чтобы это решение удовлетворяло условиям:
У (хо) - Уо, У' (хо) = Уо\ У" (хо) = yl\ ... ; ^-1> (х0) = у{оп~п, A8,2)
где Хо и у0; уо, уо, ... ; УЬП~1) — заданные числа, которые назы-
называются начальными данными или начальными условиями. Число х0
называется начальным значением независимой переменной, а числа
Уо, Уо, Уо, .... Уоп~п — начальными значениями решения и его
производных.
Отличительной особенностью задачи Коши является то, что
значения как искомой функции, так и всех ее производных до
268

порядка (п — 1) включительно задаются при одном и том же
значении независимой переменной х = х0.
Решение уравнения A8,1) имеет в своем составе п произволь-
произвольных постоянных и имеет вид
F(x, Clt С2, С„ .... С„) = 0.
Если произвольные постоянные в это решение входят так,
что задачу Коши можно решить при любых начальных условиях,
то оно называется общим.
Краевая задача. Задача интегрирования уравнения A8,1) назы-
называется краевой, если значения искомой функции у и, возможно,
ее производных задаются не при одном и том же значении неза-
независимой переменной, как это делается в задаче Коши, а на кон-
концах некоторого фиксированного интервала. В более общих случаях
значения искомой функции или ее производных могут задаваться
более чем в двух точках.
Задача Коши иногда называется одноточечной, краевые за-
задачи — двухточечными, а в соответствующих случаях — многото-
многоточечными.
Отметим, что краевая задача не всегда имеет решение, а если
она его и имеет, то оно во многих случаях не является един-
единственным.
На этом практическом занятии будут рассмотрены три типа
дифференциальных уравнений порядка выше первого, которые
допускают понижение порядка и интегрируются в квадратурах.
Первый тип. Уравнения, содержащие только производную
порядка п и независимую переменную
Эти уравнения имеют вид
F [х, */<">) = 0. A8,3)
Если удается это уравнение разрешить относительно г/(п), то
оно записывается так:
y(n)=f{x). A8,4)
Общее решение уравнения A8,4) имеет вид
у =
п раз
+ ... +Спх"-К A8,5)
Из этого видно, что для получения общего решения уравне-
уравнения A8,4) нужно п раз проинтегрировать функцию / (х) и при-
прибавить к полученному результату многочлен от х степени (п — 1),
коэффициентами которого являются произвольные постоянные.
269

Если задача Коши решается для уравнения A8,4) с началь-
начальными условиями A8,2), то частное решение уравнения A8,4)
имеет вид
„(л-1)
yf1
Уо (х -
у0.
A8,6)
(См. В. В. Степанов. «Курс дифференциальных уравнений», стр. 154;
Н. М. Матвеев. «Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений», стр. 217).
Уравнения вида У(п) = f (х)
Задача 18,1. Решить задачу Коши при указанных начальных
условиях для уравнений:
= 2; t/"(l) = -2;
1) ya=j\
2) y"
3) ф' = e2*; у @) = 0; у' @) = -2; / @) = 3; у" @) = - 1;
Решение. 1) На основании A8,6) выполним трижды инте-
интегрирование функции — каждый раз в пределах от 1 до х (х0 — 1)
Первое интегрирование:
X
f
i dx = In x
Второе интегрирование:
\ \nxdx — х\пх
I
х
'— I dx = x\nx— (х— 1).
и =
dv =
In х
--dx
l
du
i
X
dx
270

Третье интегрирование:
— (х— l)]dx =
X
— Ux—\)dx
i
u = In*
dv = x dx
= — dx
tj In л: — -j \ xd* — \ (# — 1) dx = ^
l l
= ^ In л: -*- j X2
с — IJ
На основании формулы A8,6), полагая в ней п = 3, имеем:
#о=1; 0о=+2; 0о = —2; ^0=1;
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, по-
получим
у = х-1\пх — jx* + 5x— -J.
(Проверьте, что начальные условия выполнены).
2) Проинтегрировав четырежды s'mx в пределах от-| до х и
использовав формулу A8,6) при я = 4, при заданных начальных
условиях получим после приведения подобных членов
(Проверьте, что начальные условия выполнены),
3) Проинтегрируем 5 раз функцию е2х в пределах от 0 до х
(х0 =¦ 0) и, использовав формулу A8,6) при п = 5 и заданных
начальных условиях, получим частное решение
^¦Wfe*4'
23
33
23 , 3 1
16Л " 16* 32*
(Проверьте, что выполнены начальные условия).
Задача 18,2 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
cos*
3) 0" = arcsinx; 4) у" = 27е?* + Шх3.
Указания. Воспользоваться формулой A8,5).
271

Уравнение 2 представить в виде у" = ; в уравнении 3
V 1 +х'
при вычислении f л: arcsin л: dx воспользоваться справочником.
Ответ. 1) у = In sin х + Сх + С2х -f G3xa;
2) i/ = х In (* + /Г+7а) - УГ+J* + C,+ C2x;
1 О _______ 1
3) j/ = -^ x2arcsinx + j x j/1 — x2 + j arcsinx + Cx +
4) у = e3^ + x6 + C, + Cax + C2x\
Задача 18,3. В сопротивлении материалов доказывается, что
дифференциальное уравнение упругой линии консоли с постоян-
постоянным поперечным сечением и сосредоточенной на свободном конце
силой Р имеет вид
<Й0 РХ
йхг ~ El'
где w—прогиб консоли в сечении с абсциссой х, a EI — посто-
постоянная величина, так называемая жесткость на изгиб сечения
балки.
Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным
условиям:
w (/) = 0; w' (/) = 0.
Решение. Уравнение принадлежит к рассматриваемому типу
Применив формулу A8,6) при я = 2 и х0 = I, получим
х
W
(х) =—jf \ dx \ xdx
(два последних слагаемых в этой формуле исчезают, так как
имеют место нулевые начальные условия);
Если не пользоваться сразу годовой формулой A8,6) (хотя
в этом нет ничего предосудительного), то интегрирование уравне-
уравнения можно провести так.
Первое интегрирование даст
их ?7 J xdX EI 2 + Cl
Учитывая второе начальное условие w' (/) = 0, получаем урав-
уравнение для определения произвольной постоянной
о- р Ч±с- с - р/2
Поэтому
dw _ _Р х2_ _Р f_ __ _Р_ 2 /2
dx ~ EI 2 + El 2 2ЕПХ l >'
272

Интегрируя вторично, получаем
Используя первое начальное условие, находим
откуда
с — _
Ua — 3?/'
и поэтому окончательно
Р /*3 ...\ РР
что, как легко видеть, совпадает с полученным ранее решением.
Полученное уравнение A8,7) — уравнение упругой линии кон-
консоли. Из него видно, что эта линия — кубическая парабола (па-
(парабола третьей степени).
Задача 18,4 (для самостоятельного решения).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси простой балки
постоянного сечения, несущей сплошную равномерно распреде-
распределенную нагрузку интенсивностью q, имеет вид
?? - ± I'll v ?
dx2~ Е1\2 х~ 2
(EI имеет прежнее значение, / — длина балки).
Краевые условия (иногда они называются граничными):
при х = 0 w = 0, иначе: w @) = 0;
при х = I w = 0, иначе: w (/) = 0,
т. е. на концах балки прогиб равен нулю.
Указание. Эта задача — краевая, так как заданы условия
не в одной точке, а в двух. Поэтому формулой A8,6) восполь-
воспользоваться нельзя. Можно применить формулу A8,5), найти общее
решение и, пользуясь заданными условиями на краях балки,
определить входящие в общее решение две произвольные по-
постоянные.
Ответ. Общее решение
w W =
Первое краевое условие дает С2 = 0, второе — Сг = —
Искомое решение, удовлетворяющее краевым условиям:
273

Задача 18,5. Найти общие решения уравнений:
1) / = 0; 2) у" = а.
Решение. 1) Если у" = 0, то у' = Сь отсюда ^ = Сг; dy=
= Cxdx;
y = Clx + C,. A8,8)
2) у" = a; y"dx = adx, но г/" dx~ дифференциал у', а потому
dy' = « Ле.
г/' = ах + Ci, fx = a* + Съ
Уравнения этого вида часто встречаются в задачах теорети-
теоретической механики, второе из них нам встретится в следующей
задаче.
Задача 18,6 (прямолинейное движение материальной частицы)
При движении точки по прямой, принимаемой за ось Ох,
основное уравнение движения точки записывается так:
т% = Р* A8,10)
где т — масса точки; -т^ — ускорение, a Fx — проекция действу-
действующей на точку силы на ось Ох.
Найти закон движения точки, падающей под действием силы
тяжести, учитывая, что в начальный момент t = t0 ее координата
х = х0, а начальная скорость равна и0.
Решение. Направим ось Ох вертикально вниз и обозначим
через g ускорение силы тяжести.
Уравнение движения A8,10) запишется так:
mdp= m8-
Сокращаем на т и получаем
Умножаем на dt обе части равенства:
и d2x . , ldx\ j[dx\ . TI
Ho jfidt = d \jt I, поэтому a \jt \ — g dt. Интегрируя, имеем
\jt I, поэтому a \jt \
-n = gt -г Сi- При t = t0 начальная скорость v = v0. Подставляя
эти значения, получаем
^о = gh + сь C1 = v0— gtQ.
274

Теперь
dx , , . dx ,, , ч ,
T/ — §Z -rvo — s'o. Tt ~ g " — lo) T- ^o.
Интегрируя вторично, находим
Ho x = x0 при t = t0, а потому #0 = ty0 + ^2; C2 = л:0
Подставив это значение С2, получим окончательно
Если t0 = 0, то
дг=х0 + vot+ Ц-.
(Это тот же результат, что и в задаче 17,22, если заменить
х на S, g на а, х0 на So).
Задачу можно было решить сразу по формуле A8,6).
Теперь рассмотрим случаи интегрирования уравнения вида A8,3)
F (х, г/<">) = 0, когда решение его относительно у(п> затруднительно
или просто невозможно.
В этом случае полагают, что
Функции ср(О и ф@ должны обращать уравнение A8,3)
в тождество.
Дифференциал производной (п — 1) порядка, т. е.
dj/(«-') = [j/C-D]' dx = у(пЫх. A8,12)
Из A8,11) следует, что dx = у' (t)dt, а потому
о^(«-1> = ф (/) ср' (г1) Л.
Интегрируя, получим
у<п-П = j ф @ ср' (/) Л + d = ф! (Л Q.
Теперь рассмотрим
и, снова интегрируя, получаем
</(п-2> = J Фх V, Cj) т' @ л + с, = ф2 (/, с1; со
и т. д.
275

В итоге окажется, что
у — tyn{t, Съ С2 ..., Сп),
и решение уравнения F (х, #<">) = 0 представится в виде
х = т @; у — Ф™ V' ^ь ^2> •••• ^л)ф
Иногда выгодно взять
yw = t, A8,13)
т. е. принять параметр t равным г/<").
Задача 18,7. Решить уравнение
х. A8,14)
Решение. Это уравнение относится к рассматриваемому
виду F (х, 0И>) = 0.
Положим, как это указано выше в A8,13), у' =t. Тогда урав-
уравнение A8,14) перепишется в виде
et _|_ t = х
Параметрическое представление заданного уравнения:
На основании формулы A8,12)
dy' =y"dx = tdx.
Но dx=(et + \)dt, а потому
dy' = t (e{ + 1) dt.
Интегрируя находим
у1 = \t{e + \)dt = te +t2
u=t
dv = (e
du = dt
= te* + f - e' - y + Ci! «/' = в' ( ?
Умножая обе части этого уравнения на dx, получим
Ц1) + +
Но dx = (в* + 1) Л, a y'dx = dy. Поэтому
5]
= J Y С- 0 +?
276

Выполнив интегрирование, получаем
а общее решение предложенного уравнения имеет такое пара-
параметрическое представление:
Задача 18,8 (для самостоятельного решения).
Решить уравнение
Указание. Перейти к параметрическому представлению
уравнения, положив х = sin t; у" = cost.
Убедиться, что эти значения х и у" удовлетворяют уравне-
уравнению (cos2 ^ + sin2 ^ = 1).
Учесть, что dx = costdt, и поэтому
dy" = y'"dx = cos t cos i dt — cos21 dt\
y" dx
Помещаем промежуточные результаты:
у' = -^sin? + -|cos^ — ^ccsS^ +
Учесть, что
С 11
\ sin 2t costdt= — -g- cos 3/ — -g- cos t; dy = y' dx = y' cos tdt,
a sin t cos t = -g- sin 2^
О т в е т. у = — ^t cos t + |g t + ^ sin 2t — ^ sin 4^ —
^-cos2^ + C2
Учтено, что
J
Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции
Уравнение порядка п, не содержащее искомой функции, имеет
такой вид:
fix, У',У",.-., #<">)= 0. A8,15)
277

Порядок его может быть понижен на единицу с помощью под-
подстановки
У' = р(х), A8,16)
где р (х) — новая искомая функция.
Эта подстановка приводит к уравнению
f(x,p,p'tp", ...,/><"-'>) =0.
Если уравнение A8,15) не содержит ни искомой функции у,
ни ее производных до порядка (k — 1) включительно, т. е. имеет вид
f(x, */(*>, у«+П «/<«>)= 0, A8,17)
то его порядок может быть понижен на k единиц при помощи
подстановки
/>=РМ- A8,18)
После определения функции р(х) уравнение A8,17) оказы-
оказывается приведенным к уравнению вида A8,3), интегрирование
которого разобрано выше (см. первый тип).
К этому же типу уравнений относятся и такие, которые содер-
содержат только две последовательные производные, т. е. уравнения
вида
W1-1', #<">) =0. A8,19)
Если это уравнение можно решить относительно t/<">, то оно
принимает вид
*/№=? (*/<«-!>) A8,20)
и интегрируется подстановкой
j/c-i) = р (х), A8,21)
которая приводит к уравнению
?-»«•
Определив из этого уравнения функцию р (х) и подставив ее
в A8,21), придем к уравнению вида A8,3).
Задача 18,9. Найти решения уравнений:
1) A-х2)у" — xi/'= 2; 2) у" = ау'.
(Уравнения не содержат искомой функции у, а потому относятся
к рассматриваемому типу).
Решение. 1) Пусть у' =р(х). Тогда у" = fx и уравнение
.перепишется так:
0-*');?-*/>= 2.
278

Это линейное уравнение относительно р н|. Разделим его
обе части на коэффициент при j- и получим
Сделаем подстановку A7,15).
Искомая функция
p = e J '-** v(x);
Подстановка в A8,22) дает:
1
X P-
1 —л;
2 _ , , . 1 dv
v = 2 arcsin х + Сх; р =
B
V 1 — де2
Но р = у' = -г , а потому
Barcsin* + Cl); dy =
г
2arcsin х
arcsin л:
у = arcsin2 x-\-C1 arcsin л: + С2.
2) Это уравнение относится также к рассматриваемому типур
так как оно не содержит искомой функции (его можно отнести
и к частному случаю этого типа — к уравнению A8,19)),
Подстановка: у' = р (х)\ ' у" = ^.
Уравнение принимает вид
'* ^ -> an
dx ~ °P-
Переменные разделяются: — = adx.
2П

Интегрирование дает:
i, Ing-= ах; ?- = еах; р = С1еах.
Но p — -j, а потому j- = Ciefx. Снова переменные разделяются:
с с
dy = Cxeaxdx; у = — е0* + С2. Обозначим —* = Сх и получим окон-
окончательно
г/ = deo* + С,.
Задача 18,10. Найти плоские кривые, у которых кривизна
постоянна.
Решение. Известно, что кривизна кривой
3*
Найдем решение этого уравнения, полагая, что К — величина
постоянная.
Подстановка: у' = р (х), у" = ¦?;
dp
A + Р2J
Получилось уравнение с разделяющимися переменными. Раз-
Разделяя их, получим:
1 dp , 1 Г* dp . „
U + P2J J A + P2J
При вычислении интеграла положить р = tgz; 1 + р2 = sec2 г;
dp — sec2 г dz;
f1 dp C sec2 г dz С dz С j
I c—j = I j = \^r_ = \ cos zdz = sinz.
Jd + pf J (s^zf
Но если tgz = /?, то sin2= —
.280

Поэтому после первого интегрирования получаем
Определим отсюда р:
hгтр=={х + ClJ; h
i р2 - р2 (х + СхJ = (х + СхJ; р2 [^2 - (* + СхJ] =
Второе интегрирование даст: у + С2 = ± у ^-2 — (х -f Q2.
Заменяя-^ —величину, обратную кривизне, радиусом кривизны R
jr = r), получим ответ
(х + СхJ + (у + С2J = R*.
Полученное уравнение — уравнение семейства всевозможных
окружностей радиуса R.
Таким образом, мы приходим к выводу, что единственными
плоскими кривыми с постоянной кривизной являются окружности.
Задача 18,11 (для самостоятельного решения). Найти частное
решение уравнения у" = 1 -г *\ _J^ > удовлетворяющее краевым
условиям: у @) = 1; у A) = i.
Указание. Подстановка у' == р(х) приведет к линейному,
уравнению -j — TZT~i P ~ ¦ „"V
Ответ. Общее решение:
у = -к х2 + Ci arcsin-x + С2.
Частнсе решение:
ц = тгх2 arcsinx + 1.
э 2 тс '
Задача 18,12 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) / - 2х (х2 - у') = 0; 2) у'у" - VT+T2 = 0; 3) г/ = у'.
281

Ответ \)U = -xX3 — x + Ci [e-x'dx-f- C2, причем входящий
в общее решение интеграл в конечном виде не вычисляется.
2) у = i^-1 V(x - CXJ^T - -j In (x - Ci)+
3) y = -i(x-C1K + C2.
Задача 18,13 (задача о цепной линии).
Найти уравнение кривой, по которой расположится гибкая нера-
нерастяжимая нить, укрепленная концами в двух данных точках А (х0,
у0) и В (Xi, yi), под действием нагрузки, равномерно распреде-
ленной по ее длине, причем на-
гРУзка> приходящаяся на еди-
ницу длины, равна q.
Решение. Вырежем на
кривой элемент дуги МN = ds.
На него действуют такие силы:
в точке М — натяжение Т, в точ-
точке N — натяжение Т -f ЗТ и си-
сила тяжести, численно равная
qds. Условия равновесия тре-
требуют, чтобы суммы проекций
K задаче 18,13
у у
этих сил на оси координат были
равны нулю.
Сумма проекций всех сил на ось Ох:
= — Тх -f (Г + dT)x = 0 (проекция силы qds на ось Ох
= -ТХ + ТХ + (dT)x = 0 Равна НУ^Ю)'
dTx = 0. A8,23)
Сумма проекций всех сил на ось Оу:
у y-qds = 0;
= -Ту + Т, + (dT)y -qds = 0,
откуда
dTy — qds = 0. A8,24)
Обозначим для удобства горизонтальную проекцию Тх натя-
натяжения через Н, а вертикальную его проекцию Ту—через V.
Тогда уравнения равновесия A8,23) и A8,24) запишутся так:
dH = 0; dV — qds = 0. A8,25)
Из dH = 0 следует, что Я = const, т. е. горизонтальная проек-
проекция натяжения нити — величина постоянная. Обозначим через а
угол, который касательная к нити в точке М составляет с осью Ох.
282

Второе уравнение в A8,25) преобразуем так:
(Величина Н, как постоянная, вынесена за знак дифференциала)-
Дифференциал дуги ds = У 1 + у'2 dx. Подставляя эти значения
dV и ds во второе уравнение A8,25), получим
Н tfdx^gVT+Y^dx,
и окончательно дифференциальное уравнение искомой линии бу-
будет таким:
Обозначим-^ —а и введем подстановку ~ = р(х). Тогда
¦У§=-^, и уравнение A8,26) станет таким:
Это уравнение с разделяющимися переменными. После разде-
разделения переменных получим
, р == adx.
Vi+p*
Интегрируя это уравнение, найдем
inip + VT+J^^ax + d,
откуда
р + Vf+V2 = (?X+Ci. A8,27)
Из A8,27) надо определить р. Это проще всего сделать так:
умножим обе части A8,27) на р — У\ + р2 и получим
(р + УТ+р2) (р-УГ+Р2) = ^+с' (р-
или
Отсюда, умножая обе части равенстйа на e~iax+Cl)), получаем
р — уТ+~р* = — в-(«+с>. A8,28)
Складываем почленно A8,27) и A8,28):
2/) = e^+Ci —
а
р = 1
283

Правая часть последнего равенства есть sh (ax -f Сх), а р =
— * Поэтому последнее равенство перепишется так:
dx' 3
dJ = sh (ax + d). или dy = sh (ax + d) tfx.
dx
Интегрируя, находим
у = \ ch (ах + d) + С,. \ A8,29)
Перепишем A8,29) в виде
,/_C2=icha|x + ?] A8,30)
и перенесем начало координат в точку (— -±, С2], а новые коор-
координаты точки на кривой обозначим по-прежнему через х и у.
Уравнение A8,29) перепишется в виде
у = - ch ax.
Это уравнение цепной линии. Итак, искомая кривая — цепная
линия.
Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой
переменной
Эти уравнения имеют в общем случае такой вид:
f(y,yl,y"...,yM) = 0. A8,31)
Понижение порядка на единицу достигается подстановкой у' =
_ р (у\ Где р (и) — новая искомая функция. В этом случае за
независимую переменную принимается не х, а у. Поэтому вторая
и последующие производные должны быть преобразованы так,
чтобы независимой переменной был у:
__dpdy_dP /1яч9\
^ТуТх-ТуР' <18'32)
dy
так как -fx = P\
и т. д.
Поэтому уравнение A8,31) перепишется так:
A8>33)
[ Р' dy' dy" •••' dyn-lj
Если удастся найти общее решение этого уравнения, то оно
будет иметь вид
F(y, р, Съ Сг С„_,)=0. A8,34)
284

Так как Р ~-т , то A8,34) — уравнение первого порядка, из
которого определится искомая функция у.
Частный случай. Если уравнение A8,31) имеет вид
/ (У, У") = 0 A8,35)
и его удается разрешить относительно у" так, что
У" = «р (У), A8,36)
то интегрирование, кроме указанного приема, можно провести
так: умножим обе его части на 2у'dx и приведем уравнение
к виду
2y'y"dx=2<?(y)y'dx. .A8,37)
Левая часть этого уравнения 2у' у" dx = d (у'2), а в правой
части y'dx = dy, поэтому A8,37) перепишется так:
Отсюда следует, что
у" = 2 J ? (у) dy + Сх; у' = У" 2 J ? (г/) А/ + Cv
Последнее уравнение допускает разделение переменных. Про-
Проинтегрировав его, найдем
[ йу
V 2 j <p ((/) dy + d
т. е. определим х как функцию г/.
Следует отметить, что этот прием интегрирования уравнения
A8,35) не дает ничего существенно нового по сравнению с ука-
указанным общим приемом замены у" по формуле A8,32).
К уравнениям вида A8,35) приводятся также и уравнения вида
г/<п) = /(У(п-2>), A8,38)
содержащие только две производные, порядки которых отличаются
на две единицы. В этом случае применяется подстановка
y<n-2> = p (х). A8,39)
Задача 18,14. Найти общие решения уравнений:
1) у" — аеи; 2) у'2 -f 2уу" = 0; выделить интегральную кривую,
проходящую через точку A,1) и касающуюся в этой точке бис-
биссектрисы первого координатного угла; 3) #"= — .
У у
Решение. 1) Уравнение не содержит независимой перемен-
переменной и относится к рассматриваемому типу. Полагаем у' = р (у)-
Вторую производную у" определяем по формуле A8,32):
'-%>¦
283

Уравнение запишется в виде
Отсюда
Интегрируя, получаем
pdp = ae« dy.
Находим, что
р^УШТСг, а?-
Разделяя переменные, получаем:
вычисляется подстановкой Чае» + С, =
Интеграл / =
= z2; 2ae«dy = 2zdz; ae"dy = zdz; dy- — 2—. Но так как
аеу
аеу
Поэтому
Окончательно
dy
2г йг
г2-Ct z2 -
С,
Vci Vtae? + С, + Vci
2) Это уравнение, так же как и предыдущие, не содержит:
независимой переменной х, а потому относится к рассматривае-
рассматриваемому типу. Полагаем у' — р{у). По формуле A8,32) у" — j- p,\
и уравнение запишется в виде
Сокращаем на р (не забудем впоследствии исследовать реше-|
ние р = 0):
Это уравнение с разделяющимися переменными:
286

Отсюда, потенцируя, находим, что
а _ ?j . _?i_ . dy _ Ct
В этом месте мы можем определить произвольную постоянную
Cv В условии задачи дано, что кривая в точке A,1) касается
прямой у = х. Следовательно, угловой коэффициент касательной
в этой точке равен у' — 1. Подставляя у' — 1; г/ = 1 в последнее
уравнение, получаем: 1=у! Сх = 1.
Переписываем уравнение в виде ¦?. = w^ и> разделяя перемен-
переменные, имеем
")/г/ <а?г/ = dx.
2 2
Интегрируя, получаем -^ у2 — х + С2.
Используем то, что кривая проходит через точку A,1):
а потому
2
Возведя обе части равенства в степень-^-, получим окончательно
уравнение искомой интегральной кривой
у = ± {Ъх - 1M.
v 4
Исследуйте оставленное решение: р = 0, т. е. -^ = 0; t/ = С.
Решите вопрос о том, будет ли это решение особым решением
уравнения.
3) Это уравнение также относится к рассматриваемому типу,
так как оно не содержит независимой переменной х. Подстановка,
понижающая порядок на единицу: у'=р(у)- По A8,32) у" =
С этими значениями у' и у" уравнение перепишется так:
y уу
Разделяя переменные, получаем р dp =-/_; *н-= 2 ]/]/-}-2СХ;
= 4]/г/ + 4Q. (Произвольную постоянную мы ввели подвидом
j с тем, чтобы в последующем извлечь корень из 4);
(V~y + Сг) =
287

Так как р — ^, последнее уравнение перепишется так: -? —
1. Разделяя переменные, получаем—-г—г = dx.
2 У У у + Ci
Интегрируя, получим:
Вычислить интеграл в левой части можно с помощью подста-
подстановки Vy + d = z2.
Окончательно получим
* + C2=f(/z/-2i
Задача 18,15 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) у" = 1 A + у'2). Начальные условия у @) = у' @) = 0;
2) ytfJy'*; 3) уу"-2уу' In у =*Л
х - х
Ответ. 1) у = —а lncos—, или eacos — = 1;
2) у = С2ес'* (здесь положено еСг = С2);
3) у = eCi teKV+Ct); y = C (особое решение).
Задача 18,16. Найти общее решение уравнений:
, „. „ 1
Решение. 1) Перепишем уравнение в виде у" = 5 • Будем
его интегрировать таким приемом: обе части умножим на 2у' dx
и получим
2у'у" dx = —- 2у' dx. Но у' dx = dy, а потому имеем
Интегрируя получаем:
у
Разделяем переменные ^ . у у = dx; интегрируем вторич-
но и получаем ± я- l/"l + Схг/2 = х + С2. Так как С, может быть
величиной как положительной, так и отрицательной, то знаки ±
288

перед корнем нет смысла сохранять. Окончательно общее реше-
решение имеет вид
где Са = СхСъ.
2) Умножаем обе части уравнения на 2у' dx и получаем
2у' у' dx = —|— dy {у' dx = dy),
или
Интегрируя, имеем
У'2= ~+С1;у'=±
У = ±
VI
3 _
у у = =
Разделяем переменные: — у у = = ± dx.
V 1 + СгУ7
J3 _
у. у :=¦ и вычисляем / при
помощи подстановки 1 -f Сг -\Гф — г2. Отсюда
^1 У?^~х 1 Ыг •
^=1
1JLИ _ zdz и — З-/^5- zdz . _ 3(г2-\)гйг
3 Y? y~Vcl У^Тт1 йу ~ Ус, У?=Т' У ~ с, ус, У?=Г
Поэтому
X VT+c^nj* о + с, Vf - з).
Окончательно
10 3-1734 289

Задача 18,17 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнений:
1)^-^ = 0; 2) 2#'у-аУ = 0.
Указание. 1) Подстановка у' = р(х) приводит к уравне-
уравнению р" =ь р (уравнение вида A8,36).
2) Подстановка у" = р понизит порядок уравнения на две еди-
единицы, и оно примет вид р" = а?р.
Ответ. 1) у = С, + С^е* + Сле~х;
2) у = С1 + С2х + Слеа* + С^е~а\
Замечание. Наследующем практическом занятии эти урав-
уравнения будут проинтегрированы очень просто, как линейные
уравнения.
В заключение этого практического занятия решим две задачи
из теоретической механики.
Задача 18,18. Найти закон прямолинейного движения мате-
материальной точки массы т, которая падает в среде, сопротивление
которой пропорционально второй степени скорости. На-
чальные условия: в начальный момент движения t = 0
координата точки равна х0, а начальная скорость v = v0
\j (см. чертеж).
Решение. На точку действуют две силы: вес Р и
сила сопротивления /. Примем прямую, по которой про-
исходит движение, за ось Ох, и направим ее вертикально
вниз.
Основным уравнением динамики точки является урав-
уравнение
_ ** = 2 Ъ. A8,40)
18,18 где ~^pk — равнодействующая всех сил, действующих на
точку.
Так как сила сопротивления по условию пропорциональна
квадрату скорости, то ее модуль / = k^mv2, где №т — коэффи-
коэффициент пропорциональности. Спроектируем на ось Ох действующие
на точку силы:
Знак минус перед k2mv2 объясняется тем, что сила сопротивле-
сопротивления всегда направлена в сторону, противоположную движению.
Проекция ускорения w на ось Ох равна -^ , а проекция ско-
скорости на ту же ось есть^, а потому A8,40) перепишется в виде
290

Сокращая на т, получим уравнение
йЧ уг /d*\»
dT* = 2-k \dt)'
которое является дифференциальным уравнением движения точки.
Это уравнение не содержит искомой функции х и принадлежит
к виду A8,15). Сделаем подстановку: ^=/?@- Порядок урав-
уравнения понизится на единицу,-и оно перепишется так:
Переменные в этом уравнении разделяются, получается сле-
следующее уравнение:
g - kY
Интегрируя, имеем
dp . с
или _
1 lnMiP=/+Cl. A8,41)
Так как при t = 0 скорость -^ = р (t) равна у0, то для опре-
определения Сг получаем уравнение
1n Vg
г. 1П—=z
и уравнение A8,41) запишется в виде
2feKg Vg-kp 2k]/g Vg-kv0
Определим отсюда /?:
l2±?
1 -In Vg-kP -4.
VgmYj+k~ '
Vg -
c
Vg-kp Vg-kv0
Решая это уравнение относительно р = -п, получим
dx Vg (Vg'+ kVo) e2k V& - (Vg - kv0) . 2
dt~ k (Vg + kvde*Yb + (Vl-tod ' '
10* 291

Умножим числитель и знаменатель дроби на егк ^е'щ Тогда
dx V7 У!}* Vl - e~k ^) + toe (ek T' +
dt
Ygt
Vst)
Вводя гиперболические синус и косинус и сокращая на 2,
получим ¦ _ _ _
dx_Ys V' g sh k Vgi + kvocbk У gt A8 43)
dt k y^Jch k yift + kv0 sh k Ygi ' '
Если в правой части уравнения числитель умножить на k Vg~,
то он станет производной знаменателя. Замечая это, разделяем
переменные и, интегрируя, получаем
х = р In (Vg ch k Vgt + kv0 sh k Vgt) + C2.
Определим произвольную постоянную Сг.
На основании начальных условий х — х0 при t = 0. Поэтому
-С2 (chO= I; shO = O);
Окончательно
Уравнение A8,43) дает закон изменения скорости в зависи-
зависимости от времени. Очевидно, что при неограниченном возраста-
возрастании времени (t -> со) дробь в правой части
этого уравнения стремится к единице, а
Vs
скорость v -> ^y . Отсюда мы можем за-
заключить, что движение точки асимптоти-
асимптотически приближается к равномерному, ско-
скоQ) /
Р
(У
0{
рость которого равна ~-, причем эта ско-
скорость не зависит от начальных условий.
' Задача 18,19 (для самостоятельного
решения).
Материальная точка массы т брошена
из начала координат вертикально вверх
z -с со скоростью v0, и движение происходит
К задаче 18,19 в среде, сопротивление которой пропорцио-
пропорционально квадрату скорости. Определить:
1) высоту Л, на которую поднимется точка
и 2) скорость и, с которой точка возвратится в исходное поло-
положение.
Считать, что движение происходит по оси Ох, которая на-
направлена вертикально вниз.
292

Указание. Модуль силы сопротивления f — k2mv2, где k2m—
коэффициент пропорциональности. Так как сила сопротивления
направлена в сторону, противоположную движению, то она при
движении вверх направлена вертикально вниз.
Проекции на ось Ох, силы веса и силы сопротивления —
положительны:
Уравнение движения после сокращения на т запишется так:
Г 08,44)
По условию задачи требуется определить скорость в зависи-
зависимости от положения точки. Поэтому здесь выгодно проинтегри-
проинтегрировать уравнение способом, указанным для интегрирования урав-
уравнения A8,36). Перепишем его в влде
dt*
¦(?)'
dx
и умножим обе части на 2 -гг dt:
dx?x
idt dt2 ,, o , (dx ,. , \
at = 2dx \-j-( dt = dx I.
Если числитель дроби в левой части умножить на k2, то он
станет равным производной знаменателя, а потому, интегрируя,
получим
Определив произвольную постоянную (при t = 0 х = 0, -тЛ =
— v\, найдем закон скорости в зависимости от положения точки
в виде
Чтобы найти высоту подъема, надо в этом уравнении взять
? = 0, так как подъем точки прекратится в тот момент, когда
ее скорость станет равной нулю. Обозначая высоту подъема
293

через ft и подставляя в A8,45) х = ft, j-t — О, получим для опре-
определения высоты подъема Л уравнение
?=, е**1*, A8,46)
отсюда
При движении вниз надо учесть, что начальная скорость
v0 = Q, а х0 = ft. Движение вниз описывается уравнением
(см. предыдущую задачу). Интегрируя это уравнение~ тем же
способом, что и уравнение A8,44), получим
Из начальных условий при х0 — ft, v0 = О
а потому
; С,-—ping — 2ft,
или
ln\g-k4a-?X\ = -№x + \ng + 2hk*.
Когда точка возвратится в исходное положение в начало
координат, то х станет равным нулю, а скорость в этот момент
пусть равна и, т. е. j — и, поэтому
! _ gin z+2hk* _ ge2hk't
Используя A8,46), получаем
g-W-g- 8 ¦
Окончательно скорость, с которой точка возвратится в первона-
первоначальное положение, равна
294

ДЕВЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Линейным дифференциальным уравнением порядка п на-
называется уравнение вида
У(п) + Рг (х) У(п~^ + Р2 (х) г/<«-2> + ... + Pn-i (х) у' +
+ Pn(x)y = f(x), A9,1)
где / (х) — функция независимой переменной х, по которой вы-
вычислены производные.
Отличительной чертой линейного уравнения является то, что
искомая функция у и все ее производные входят в это уравне-
уравнение в первой степени.
2. Предполагается, что функции pt(x) {i — 1, 2, .. ., п) и
правая часть уравнения — функция f{x) непрерывны в проме-
промежутке (а, Ь). Случаи а = — оо, Ъ = + °° не исключаются. Функ-
Функции pi (x) называются коэффициентами уравнения.
3. Задача Коши (см. восемнадцатое практическое занятие)
для этого уравнения при сделанном предположении (п. 2) всегда
имеется единственное решение при любых начальных условиях
A8,2), лишь бы точка х = х0 находилась в промежутке (а, Ь)
непрерывности функций pt{x) и f(x).
4. Если в уравнении A9,1) правая часть f(x) тождественно
равна нулю в промежутке (а, Ь), то уравнение A9,1) принимает
вид
. У(п) + Pi (х) У(п-1) + Р2 (х) У(п~2) + ¦¦'. + Р-1 (х) у' +
+ Рп(х)у = 0 ¦ A9,2)
и называется в этом случае линейным однородным уравнением,
соответствующим уравнению A9,1). При }{х)фО уравнение A9,1)
называется неоднородным.
На этом практическом занятии мы будем заниматься только
однородными линейными уравнениями, причем нами будут рас-
рассматриваться два вида этих уравнений: 1) уравнения, в которых
коэффициенты при производных являются функциями независи-
независимой переменной, и 2) уравнения, в которых коэффициенты при
производных постоянны, .так называемые линейные однородные
уравнения с постоянными коэффициентами.
5. Если функция ух (х) является решением линейного одно-
однородного уравнения A9,2), то и Сгу± (х) — произведение ее на
произвольную постоянную величину Сх—также является реше-
решением этого уравнения.
6. Если функции у1 (х) и у2(х) являются решениями линей-
линейного однородного уравнения A9,2), то и их сумма уг{х) -\-у%(х)
также является решением этого уравнения.
-295

Если функции у1 (х), уг (х), ..., уп (х) являются решениями
уравнения A9,2), то и функция
у = С1У1 (х) + С2у2 (Х) + ... + Спуп (х), A9,3)
где Си С2, ..., Сп — произвольные постоянные, также является
решением этого уравнения. Функции у1 (х), у2 (х), ..., уп (х) на-
называются частными решениями уравнения A9,2).
7. Две функции ух (х) и у2 (х) называются линейно независи-
независимыми в промежутке (а, Ь), если их отношение ^-Ш в этом про-
промежутке не является постоянной величиной.
Если же отношение
— величина постоянная, то эти
У \
функции называются линейно зависимыми.
8. Если имеется п функций ylt y2, ..., уп, то они называются
линейно независимыми в промежутке (а, Ь), при условии, что
равенство
ai#i + <кУг + ... + апуп = Ot
где а( (i = 1, 2, ..., п)—постоянные, может выполняться только
тогда, когда все коэффициенты а* равны нулю.
Если же это равенство в промежутке (а, Ь) имеет место, когда
хотя бы один из коэффициентов а не равен нулю, то функции
Уи #2» • • •» Уп называются линейно зависимыми.
9. Если функции ylt y2, ..., уп являются решениями уравне-
уравнения A9,2) и в промежутке (а, Ь) они линейно независимы, то
общее решение этого уравнения имеет вид A9,3):
У = С1У1 + С2у2 + С3у3 -Ь ... + Спуп.
Эта формула определяет структуру общего решения линейного
однородного уравнения A9,2) порядка п и указывает способ построе-
построения общего решения. Таким образом, чтобы найти общее peuie-
ние линейного однородного уравнения, надо найти п его частных
линейно независимых в (а, Ь) решений, каждое из них умножить
на произвольную постоянную величину и все эти произведения
сложить.
Система линейно независимых решений уравнения A9,2) назы-
называется фундаментальной.
10. Для того, чтобы функции у,, у2, ..., уп были линейно
независимы в промежутке (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
их так называемый определитель Вронского
У\ У2 ... Уп
W(x) =
У\
У1
У*
... Уп
... Уп
„(п—1) ,,(«-1) „("-'>
У1 У2 Уп
296

был отличен от нуля хотя бы в одной точке х0 промежутка (а, Ь),
в котором непрерывны коэффициенты уравнения A9,2).
Таким образом, чтобы проверить линейную независимость функ-
функций уг, уъ . . ., уп, надо составить их определитель Вронского
W (х) и убедиться, что хотя бы при одном значении х из промежутка
(а, Ь) он не равен нулю.
11. Уравнение A9,2) имеет п и только п линейно независимых
решений.
12. Если известно частное решение у1 (х) линейного однород-
однородного уравнения A9,2), то его порядок можно понизить на еди-
единицу при помощи подстановки
у = У1 J udx, A9,4)
где и = и (х) — новая искомая функция.
Полученное в результате подстановки A9,4) уравнение также
будет линейным.
1. Линейные однородные уравнения с переменными
коэффициентами
Задача 19,1. Доказать, что если у1 (х) — частное решение ли-
линейного однородного уравнения второго порядка
0, A9,5)
то второе его частное решение, линейно независимое с первым,
находится по формуле
е- J р, W dx
dx
Решение. Подставим A9,4) в данное уравнение, помня, что
( С udx)' = и. Получим
у = уЛ
udx
= ц\ [ udx ¦
у" — y'l X udx + у\и + у\и + yxu'
p2{x)
Pi(x)
1
O=0/i+ p\ {x) y'l + p2 (x) yi) ? udx + yiu' + [2y[ + pt (x) yd и
Это выражение равно
нулю, так как у1 —
решение данного ,
уравнения
(для сокращения записей вместо у1{х) мы пишем
297

Получаем уравнение
yiu' + {2y\ +piyi)u = 0,
порядок которого понижен на единицу по сравнению с данным.
Оно является также линейным однородным уравнением первого
порядка, допускающим, как известно, разделение переменных.
Разделяя переменные, получим
du _ %/i+PiJ/i
Интегрируя, будем иметь
\пи = — J —-dx — j pxdx — — 2 lnyt — ) Px dx.
Отсюда
u== e-2 iw- J ri*x = g_2intfie- J »».<«_ е1пГ2е- J '•"*= г/7е- J '«"* —
Заменяя в выражении A9,4) у — yAudx функцию и только
что найденным значением, получаем
y = yAe-l—-dx. A9,6)
^ щ
Найденное значение у н будет вторым частным решением
г/г (х) данного уравнения. Его линейная независимость с первым
видна из того, что отношение — не является постоянной вели-
величиной.
Решение этой задачи показывает, что знание одного частного
решения уравнения A9,5) позволяет найти второе линейно неза-
независимое с первым частное решение при помощи формулы A9,6),
которая требует выполнения двух интегрирований (говорят — двух
квадратур).
Тем самым для определения общего решения линейного одно-
однородного уравнения второго порядка достаточно знать одно его
частное решение.
Ниже предлагаются задачи на применение этой формулы.
Задача 19,2. Найти общее решение уравнения (х—\)у" —
— Ху' _|_ у = 0, если известно, что его частное решение у1 = х
(проверьте, что оно действительно является решением). Найти
частное решение при начальных условиях у @) = 1; у' @) = 2.
Решение. Данное уравнение — линейное однородное уравне-
уравнение второго порядка. Прежде всего приведем уравнение к виду
A9,5), в котором коэффициент при у" равен единице. Получаем
ч х t \ У г\
298

Здесь коэффициент при у' — функция рг (х)
^
Вы-
Вычислим прежде всего входящий в формулу A9,6) интеграл
= х + In (х — 1)
(произвольную постоянную вводить не следует, так как в после-
последующем она объединится с произвольной постоянной, вводимой
при построении общего решения).
Теперь входящее в A9,6) выражение
g- I Pi** _ gx+lnu-l) _-gxeln(*-l) — е* (д; _ 1),
а формула A9,6) дает
У* = Ух) —^—'dx = х J —к—г—'-dx =
Итак, у?, ~ е?. Умножая уг на Си у2 на С2 и складывая про-
произведения, получим общее решение заданного уравнения
y^CjX + Cie*. A9,7)
Указание. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям (т. е. чтобы решить задачу Коши), надо
начальные условия подставить в систему уравнений, которая
состоит из общего решения и его производных до порядка (п—1)
включительно; определить из этой системы произвольные постоян-
постоянные и подставить их значения в найденное общее решение.
Полученное выражение и будет искомым частным решением.
Дифференцируя найденное общее решение A9,7) один раз (так
как п = 2, то п — 1 = 1), получаем систему
у = Сгх
'С
подставляем в нее начальные условия: у @) = 1; у' @) =2;
или i = c2
ИЛИ 2^+
Са = 1; С, = 1,
искомое частное решение у = х + е*.
299

Задача 19,3 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения линейных однородных уравнений второ-
второго порядка и их частные решения по известным первым частным
решениям этих уравнений и заданным начальным условиям:
Начальные условия: 'У A) = 2; у' A) = 4.
2) / + tg* • г/' + cos2х-у = 0; ух = cos (sin*).
Начальные условия: г/ @) = 3; у' @) = 2;
3) у -zigx - г/' + sin2*" 0 = 0; & e cos (C0SA:)-
¦j I = и; у i1 — ь
4)
Начальные условия: «/C) = 1; г/' C) = -g-.
Указание. Во всех задачах использовать формулу A9,6).
В первом уравнении разделить обе части на 1 — 1плг.
Учесть, что — [ Pi. (х) dx = — J хA1дс]пх) In (In x - 1),
a e
С In x — I
-i) = lnx-l; \-ШГ
f _dx_ Г djc
Jin* Jln^-
Первый интеграл вычислить по частям. Окажется, что второй
интеграл взаимно уничтожится с тем, который получится при
применении интегрирования по частям к первому интегралу.
Отв ет.
№
1
2
3
4
Второе частное
решение
уг = х
уг = sin (sin x)
уг = sin (cos x)
1
Общее решение
у = Сх In х + dx
у = Сх cos (sin x) +
+ С2 (sin х)
у = Cj cos (cos л:) +
+ Сг sin (cos л:)
у = Cj*3 + C2 ^з
Частное решение
у = 2 In л: + 2*
# = 3 cos (sin *) +
+ 2 sin (sin *)
у = — sin (cos *)
1 з 27
Vе 30*+TOP
300

Задача 19,4 (для самостоятельного решения).
Зная первое частное решение линейных однородных уравне-
уравнений второго порядка, найти их общие решения:
1) 4х2у" + Ьу = 0; ух = y*cos (In дг);
с\\ it I / • I Sin X — COS Х\ f
\ ' I
— sin д; cos x : ; \ц = 0; и, = esin *.
\^ sin х + cos xjv ' yi
Указания. Для отыскания второго частного решения при-
применить формулу A9,6).
В первом уравнении разделить обе его части на коэффициент
при у". Учесть, что р1{х) = 0, так как уравнение не содержит у',
а С р± (х) dx — С 0 • dx — С, причем можно взять С = 1, ибо в
последующем произвольная постоянная будет введена.
Интеграл \ ^—:=tg(lnx) (подстановка 1пд;=г).
1 X COS V /
Во втором уравнении— \p1(x)dx= — Usinx — cosx-f
sinx-cosxi d = . ln ^s.n
' sin л: + cos ^J ' ' v ' "
gcos x + sin x + ln (sin x + cos *) __ gcos x + sin * (sin ЛГ 4- COS AT)'
= esin * С е005 * -sin * (sin x + cos л;) dx = e51" * (—
-sin
(Знак минус при написании общего решения ввести в произволь-
произвольную постоянную).
Ответ. 1) у2 = l/# sin (In д;);
общее решение:
у = Сг |ЛссозAп;с) + С2 "J/"^ sin (ln дг),
или
г/ = Ух (С1 cos (In д;) + С2 sin (In л:));
2) f/2 = -ecos*;
общее решение:
y = C1cslnJt+ C2ecos*.
301

Задача 19,5. Доказать, что если у1 и у2 — два линейно неза-
независимых частных решения линейного однородного уравнения
второго порядка
у" + рх {х) у' + р2 (х) у = 0, A9,8)
v\ _ w> W i \ 6 , vi W1 (x)
X) Щ' a P2W = ~ft+ftW'
то
то
где W(x) =
У1
Решение. Так как у1 и у2 — решения заданного уравнения,
то имеет место система уравнений относительно неизвестных
р± (х) и р2 (х), подлежащих определению:
У\ + Pi (х) у[ + р2 (дг) У1 = 01
или
Pi(x)yi +p2{x)yx =—у[
Pi (х) уг + р2 (х) г/г = —у2
Исследуем определитель этой системы:
У} У\
Уг У1
У\ Уч
A9,9)
A9,10)
Строки и Поменяли
столбы местами
поменяли строки и из-
местами менили знак
перед опре-
определителем
Так как решения у± и г/2 по условию линейно независимы, то
W(x) ф 0 и система A9,9) имеет решение и притом единственное:
р1 (х) =
-Ух У\
У\ У2
и и
УХ У2
У\ У\
W(x)
На основании
19,10
(Следует иметь в виду, что производная определителя Вронского,
как легко проверить, есть определитель, который отличается от
определителя Вронского тем, что в нем последняя строка содер-
содержит производные порядка на единицу большего, чем в опреде-
определителе Вронского).
Из первого уравнения системы A9,9) следует, что
УхРч (х) = — у\ — у\р\ (х),
откуда и получается доказываемое значение /?2 (х).
Найденные выражения коэффициентов рг (х) и »2 (дг) урав-
уравнения A9,5) позволяют составить линейное дифференциальное
уравнение второго порядка, если известна его фундаментальная
система решений.
302

2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение. Если в уравнении
A9,2) коэффициенты постоянны, то оно называется линейным
однородным уравнением с постоянными.коэффициентами и имеет
вид
yw + a^n-i) + а2уш-2) + ... + а„_1у' + апу = 0, A9,11)
где все cii — (i= 1, 2, .. ., п) — вещественные числа; у — искомая
функция; х — независимая переменная.
Решение этого уравнения ищется в виде
y = ekx. ¦ A9,12)
Это приводит к алгебраическому уравнению степени п
kn + axkn~l + a2kn-* + ... + an-ik + an = 0, A9,13)
которое называется характеристическим.
1 Таким образом, чтобы составить характеристическое уравне-
уравнение A9,13), надо в уравнении A9,11) заменить производные сте-
степенями неизвестной величины k, причем степень k должна быть
равна порядку соответствующей производной, а сама искомая
функция у заменена единицей. .
1. Если все корни характеристического уравнения kx, k2,
ks, .... kn — числа вещественные и среди них нет равных между
собою, то, подставляя значение корней в A9,12), получим п
частных линейно независимых решений уравнения A9,11) в виде
Уг = <?м; У г = **'*; Уз = ^1 • • •, I Уп = е* „*. A9,14)
2. Если все корни характеристического уравнения — числа
вещественные, но среди них есть равные, то каждому корню k\
кратности / соответствует I линейно независимых частных реше-
решений урайнения A9,11)
ух = ек*\ у2 = xeki*\ уъ = xW; ... ; уя = xl~xeki*. A9,15)
3. Если среди корней характеристического уравнения име-
имеются комплексные, но не равные между собой, то каждой паре
сопряженных комплексных корней а + \i и а — Ы соответствуют
два частных линейно независимых решения уравнения A9,11)
вида ,
e"cosp# и e«sinpA;. A9,16)
Если же среди комплексных корней характеристического урав-
уравнения имеются кратные комплексные корни, то корню а + рг
кратности / (корень а — рг имеет ту же кратность) соответствует
2/ частных линейно независимых решения уравнения A9,11),
которые имеют вид
e^cospx; xe"cosрлг; ArV^cospx; ... ; ^-'e^cospx мд jy4
е" sin рдг; хеах sin фх; х2еы sin фх; ... ; xl~leax sin фх
303

Задача 19,6. Найти решения линейных однородных диффе-
дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным
условиям:
2) /
3) /
4) У
5) /
6) /
7) У"
8) /
+ 9/
— У =
-2/
+ 4/
+ у'-
+ 8у = 0;
+ 20х/= 0;
= 0;
+ У = 0;
+ 4у = 0;
+ 2г/ = 0;
4- У = 0;
У
г/
У
У
У
@)
@)
@)
@)
B)
(*)
@)
= 1;
-0;
= 1;
= 2;
= 4;
= -2;
= 2;
У'
У'
У'
У'
У'
У'
у'
@)
@)
@)
@)
B)
00
@)
= 0;
= — 1;
j
= 4-
= 0;
= -3;
1
~" 2"'
9) / + оА/ = 0; у@) = а; /(Р)=о0;
10) / + У' = О; у@) = 2; / @) = 5.
Решение. 1) Составляем характеристическое уравнение вида
A9,13), согласно сделанному указанию: заменяем у" на №, у'
на k, а у на 1.
Получаем k% — 3? + 2 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим, что kx=\\ k2 = 2.
Корни характеристического уравнения — числа вещественные и
не равные между собою. Согласно A9,14) частными решениями
уравнения будут функции: ух = ех; у2 = е2*. Легко видеть, что
функции эти линейно независимы № = ех ф const). Общим ре-
шением, согласно A9,3), будет
у = Cje* + C2e*x. (А)
Теперь определим произвольные постоянные Сг и С2 по за-
заданным начальным условиям. Прежде всего найдем производную
у' = С^ + 2С***. (В)
Пользуясь указанием стр. 301, подставляем начальные усло-
условия в (А) и (В) и для определения С± и С2 составляем систему
уравнений
2 = Cj + С, 1
_3 = Сг + 2С2 /'
Решая эту систему, получаем: Сх = 7, С2 = —5.
Подставляя эти значения в (Л), найдем решение заданного
уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
у = 7ех — Ье2*.
2) Характеристическое уравнение вида A9,13) получим, заме-
заменив у" на А2, у' на k, а у на 1. Оно запишется так: k2 — 6k +
+ 8 = 0.'
304

Решая это квадратное уравнение, найдем, что kx — 2; &2 = 4.
Корни его — числа вещественные и не равные между собою. Со-
Согласно A9,14), частными решениями уравнения будут функции
ух = е2х; уг = еи. Функции эти линейно независимы, так как
JL2 = е2х Ф const. В соответствии с A9,3) общим решением урав-
уравнения будет
у = С^ + С,в**. , (А)
Чтобы найти решение, удовлетворяющее начальным условиям,
найдем производную полученного общего решения
у' = 2Схе2х + 4С2е4*. (В)
В уравнения (А) и (В) подставим заданные начальные усло-
условия и получим для определения произвольных постоянных Сг и
С2 систему уравнений:
1= С+ СЛ
О = 2С + 4СГ
из которой следует, что Сх = 2; С2 '——1.
Подставляя эти значения в общее решение (Л), находим ре-
решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у = 2в2х — е*х.
3) Это уравнение решим без подробных объяснений. Характе-
Характеристическим уравнением будет k* + 96 + 20 = 0; k1 = — 4; &2 =
= —5 (корни — вещественные и разные); частными решениями,
согласно A9,14),—функции уг = е-4*; yz = e-5x. Общее решение
на основании A9,3): у = Схе-4х + СгегЬх^ Находим у' = —АСхе-*х—
— bCsp-te. Система уравнений для определения произвольных
постоянных на основании начальных условий:
0= С+ С2;
_1 = _4С1 — 5С2;
Сх = —1; С2 = 1. Искомое решение, удовлетворяющее началь-
начальным условиям:
у = —е~*х + е~5х-
4) Характеристическое уравнение: k2 — 1 =0; корни его &х=
= 1, &2 = —1—числа вещественные и не равные между со-
собою. Частные решения, согласно A9,14), имеют вид: ух = ех;
у2 = е~х. Общее решение в соответствии с A9,3)
у = Схех + С2е~х.
Вместо этого вида общего решения в прикладных науках оно
записывается часто через гиперболические синус и косинус. Так
qX g—X gX I g—X
как sh x = 5—» a ch д; = —-^— , то
ех — ch х + sh x)
и и • A9-18)
е~х = ch х — sh л-j v ' '
305

Подставляя эти значения в общее решение, получим
у = Сх (ch х + sh x) + С2 (ch х — sh х),
или
у = (С, + d) ch jc + (С, — С,) sh x.
Обозначим: Сг + С1= сх; С2 — Сг — с2, и тогда общее реше-
решение запишется в виде
у = сх ch х + с2 sh л:.
Из начальных условий С2 = 1; С2 = 0. Решение, удовлетво-
удовлетворяющее начальным условиям:
г/ = ех, или г/ = ch x + sh г/.
5) Составляем характеристическое уравнение
#*_2А> + 1 =0.
Его корни Лгх = 1, &2 = 1 — числа вещественные, но равные
между собою (&х = k2). Поэтому частные решения надо записать
не в виде A9,14), а в виде A9,15):
У\ = е*\ уг = хех.
Легко заметить, что в этом случае второе частное решение
получается умножением первого частного решения на независи-
независимую переменную (в данном случае на х). Решения эти линейно
независимы, так как — = х Ф const.
Общее решение, согласно A9,3), имеет вид
у = С,ех + С2хе*, или у = е* (d + C2x); (А)
Подставляя начальные условия в общее решение и его про-
производную, получим систему уравнений для определения произ-
произвольных постоянных:
2 = С,;
Cj = 2; С2 = 2. Искомое решение, удовлетворяющее начальным
условиям:
6) Характеристическое уравнение имеет вид k? + 4k -f 4 = 0.
Его корни &j = —% k2 = —2 — числа вещественные и равные
между собой. Согласно A9,15) в этом случае частными реше-
решениями являются функции
Ух = е~2х; у2 = хе~2?.
306

Общее решение
у = Cxer*x
или , , .
у = е-2*(С1+С2х);~
у' =е-2х (С2 —2Ci —2С2лг).
Система уравнений для определения d и d из начальных
условий:
4е-< = d + 2С21 /
О = 2СХ + ЗС,|'
d = —12е—4; С2 = 8е~4. Искомое решение
у = 4е*-2х{2х — 3).
7) Характеристическое уравнение запишется так: &2— 2& +
+ 2 = 0. Его корни ,/г2 = 1 + j; &2 = Т — i — сопряженные комп-
комплексные числа вида a-)-pi. Частные решения имеют вид A9,16),
причем в этих решениях надо взять а = 1; р = 1:
г/i = ех cos х; i/2 =e-tsinAr.
Общее решение:
у = Cjff* cos x -f- Сге* sin л;,
или
г/ = е* (dcosx + CaSinx). (Л)
Для определения произвольных постоянных из начальных
условий надо найти у':
у' = ех [(Сг + d) cos x + (d — С±) si n л]. (В)
Подставляя в (Л) и (В) начальные условия, получим систему
уравнений для определения произвольных постоянных:
-2 = -e*d 1
-3 = _e« (d + d)J*
С2 = 2е-*; С2 == е~\
Искомое решение, удовлетворяющее начальным условиям, по-
получим, подставляя эти значения в общее решение (Л):
у = е*-% B cos х + sin x).
8) Характеристическое уравнение:
+ 1 = 0.
с и 1 , VZ ¦ и 1 /3 .
fc.ro корни: k± = —  + " г> *2 = — y г" 1 — комплексные
сопряженные числа вида а ± pi; а = — -^\''$=?—. Согласно
A9,16), частными решениями будут функции:
у± — е 2* cos -у х; уг=е 2" sin — х
307

(очевидно, что эти функции линейно независимы). Общее решение
в соответствии с A9,3) запишется так:
y — Cje 2* cos Jj- х + С2е 2*sin у- х,
или, вынося е 2 за скобку:
у = б* (Cj cos -у? jc + C2 sin ^ А (Л)
Чтобы определить произвольные постоянные на основании
начальных условий, найдем у':
• ~2Х\(^з г ¦ \ г \ Уз A _ 1^з п \ . Y%
Используя начальные условия, из уравнений (Л) и (В) полу-
получаем систему уравнений для определения Сг и С2:
1ЦС
2 - 2 Ь2— -j
отсюда Сх =2; С2 = КЗ. Подставляя эти значения в общее ре-
решение, найдем искомое решение
у = е~~2* ^2 cos ~x + ]/3 sin ^-3 Л
9) Это уравнение является уравнением свободных гармони-
гармонических колебаний. Оно имеет очень важное значение в механике
и других прикладных науках.
Характеристическое уравнение имеет вид k2 -f w2 = 0; kx = u>i;
ki = —tot — корни комплексные сопряженные, причем а = 0; [) = w.
Частные решения, согласно A9,16), имеют вид:
г/х = cos <о л:; г/2 = sin шд;.
Следует запомнить, что когда действительная часть комплекс-
комплексного корня характеристического уравнения равна нулю, т. е. когда
корни чисто мнимые, то частные решения содержат только три-
тригонометрические функции, множитель же е"х при них отсутствует,
так как при а = 0 е"" = I.
Общее решение, согласно A9,3):
у = Сх cos шд; -|- С2 sin шдг;
у' =— C^sinmAT + CamCOSu)* V1 »• )
(рекомендуется запомнить это общее решение уравнения свобод-
свободных гармонических колебаний. Встречаться оно будет очень
часто).
Определяем Сг и С2 из начальных условий:
С
j
v0 — С2ш|'
308

Отсюда,Сх = а; С2 = ^ . Подставляя эти значения произволь-
произвольных постоянных в A9,19), получаем искомое решение в виде
и = a cos шл; + — sin сод;.
" (О
Это решение выгодно представить в другом виде. Положим
a = y4sincp; ^ = /lcoscp. A9,20)
Тогда
у = A cos шд; sin cp -f- A sin шх cos cp = A (cos шд; sin cp + sin <o cos cp).
Окончательно
y = Asin((ox+<?). A9,21)
Возводя в квадрат обе части каждого из равенств A9,20)
и складывая их почленно, получим:
Механический смысл величин А, ш и <р: А—амплитуда коле-
баний; и — частота колебаний; ср — начальная фаза.
Движение, определяемое рассматриваемым уравнением у" +
_f- ш2у = 0,— периодическое. Его период Т = —.
10) Характеристическое уравнение: k* -\- k — 0. Его корни
kx =0; &2 = —1. Корни вещественные и разные. Частные решения
на основании A9,14)
Ух = 1; «/г = е~х.
Общее решение в соответствии с A9,3)
у = С2 + С*-*.
Решение, удовлетворяющее начальным условиям:
у = 7 — 5е-*
(С1=7; С, = -5).
Задача 19,7 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений (независимая переменная t)i
1) х"~ W = 0; 2) х" — 9х = 0; 3) х" — 7л;' + 10* = 0;
4) *• + 5*' = 0; 5) ** — 16* = 0; 6) х" +х' +х = 0;
7) х" + 2*' + 4л; = 0; 8) *" — 4*' + 4л; = 0; 9) х" + 6*' + 9л; = 0;
10) **—4*'+29* = 0; 11) д;" + 4л; = 0; 12) дг" + 17д; = 0.
Ответ. 1) * = Сх + С2е4*; 2) * = С^3' + С2е-3(; 3) * = C±e2t +
+ C2e5t; 4) _* = Сг + С2е-«; 5) * = С^4' + С2е~»; 6) * = e~ x
X^cos^Z + Cjsin^); 7) л; = е~( (CiCOs/3/1 + C2sin/3/1);
8) х = е2/ (С2 + С20; &; л; = е~3( (Q + С2/); 10) * = е2' (Сх cos_5/ +
+ C2sin5/)-L_ll) x = C1cos2/' + C2sin2/; 12) *== C^os/17/-f
+ C2sin|/ 17/.
30»

Задача 19,8 (для самостоятельного решения).
Материальная точка массы т движется по прямой, притяги-
притягиваемая к неподвижному центру силой, прямо пропорциональной
расстоянию точки от центра притяжения. Сопротивление среды
отсутствует. Определить закон движения точки, если в началь-
начальный момент движения t = 0, х — х0, v = v0, т. е. х @) = х0,
v @) = v0.
Решение. Прямую, по которой происходит движение точки^
примем за ось Ох, причем положительным будем считать направ-
направление направо. Начало координат поместим в центр притяжения.
Коэффициент пропорциональности возьмем для удобства после.
дующих выкладок равным k2m. Сила
О р 4 притяжения
. _ F — k2mx,
здесь \х\ — расстояние-точки от на-
начала координат.
д F п Определим модуль силы F.
в—»—i - х Модуль вектора — величина по-
2)х<0 ложительная. Поэтому перед моду-
К задаче 19,8 лем силы надо поставить знак плюс,
когда точка находится справа от
начала координат (х > 0), и знак минус, когда она находится
слева от него (л; < 0). Таким образом, модуль силы
F = ± k2tnx. ' (A)
Когда точка находится справа от начала координат (х > 0),
то сила притяжения к началу координат направлена в отрица-
отрицательную сторону_оси Ох, а потому составляет с осью Ох угол
в 180°, a cos(;t, F) =—1.
Если же точка находится слева от начала координат (х < 0),
сила притяжения направлена в положительную сторону оси Ох
и составляет с нею угол в 0°, а потому cos(;t, F) = +1.
Таким образом, cos(x, F) = :pl, причем верхний знак соответ-
соответствует х > 0, а нижний х < 0.
Известно, что проекция вектора на ось равна модулю вектора,
умноженному на косинус угла между вектором и осью. Умножая
(А) на cos(a;, F) = ^1, получаем
Fx = — k2mx {В)
независимо от того, где находится на оси Ох притягиваемая
точка.
Подставляя это значение проекции силы в основное уравне-
уравнение динамики:
.310

получаем дифференциальное уравнение движения
т g *= — k*mx ' A9,22}
и, сокращая на т, имеем
Перепишем это уравнение в виде
ото уравнение, как мы уже говорили, называется уравнением
свободных гармонических колебаний. Мы замечаем, что оно яв-
является линейным однородным уравнением второго порядка (иско-
(искомая функция— х, независимая переменная — /).
Его характеристическим уравнением будет
/2+?2=0. (D)
Неизвестное характеристического уравнения мы обозначили
не буквой k, как это было в предыдущих задачах, а /, так как
k входит уже в коэффициент пропорциональности.
Решая уравнение (?>), находим, что / = ±ki, а потому част-
частными решениями уравнения (D) будут:
хх = coskt; хъ = sinkt,
и его общее решение
х = Сх coskt + Ca sinkt.
Из начальных условий задачи следует, что Сх = х0; С2 =
= ^ (определите это самостоятельно), поэтому решением задачи,
удовлетворяющим начальным условиям, будет
х = х0 cos kt + -г sin kt. (E)
Далее удобно поступить так, как это было сделано в задаче
19,6 (9), и тогда решение (Е) запишется так:
х =asin (ев
где
Задача 19,9 (для самостоятельного решения).
Материальная- точка массы 'т движется по прямой, оттал-
отталкиваемая от неподвижного центра силой, пропорциональной рас-
расстоянию. Начальные условия:^ х (t0) = х0; v (t0) = v0.
Указание. Дифференциальным уравнением движения будет
d4 ,,
= х'
311
Общее решение:

Из начальных условий определяем С1 и С2:
2k ^ '. L2- 2k
или, используя формулы A9,18):
х = х0 ch? (/ —10) + ?° shk (t —
Задача 19,10. Материальная точка массы т движется по пря-
прямой, притягиваемая к неподвижному центру силой F, прямо про-
пропорциональной расстоянию точки от центра притяжения. Сила
сопротивления среды / прямо пропор-
F У -г циональна первой степени скорости.
О А Начальные условия: в начальный
f) V<0 момент движения (/ = 0) *@) = л;0;
= vo @) = vo- Найти закон движения.
~х Решение. Эта задача отличается
/7/ О от задачи 19,8 тем, что здесь учиты-
2)V>0 вается сила сопротивления среды. Обо-
К задаче 19,10 значим для удобства последующих вы-
выкладок коэффициент пропорционально-
пропорциональности через 2/im(/i>0). Если точка движется в положительном на-
направлении оси Ох, то ее абсцисса с течением времени возрастает, а
скорость —. > 0. Если же точка движется в отрицательном направ-
направлении оси, то ее абсцисса убывает с течением времени, а следо-
следовательно, ее скорость ^ < 0. Так как сила сопротивления / всег-
всегда направлена в сторону, противоположную скорости, то / =
= —2hmV. Таким образом, на точку действует сила притяжения
F = k2mx; Fx = —k?mx (см. задачу 19,8) и сила сопротивления
J = —2hrnV. Сумма проекций этих сил на ось Ох равна—k2mx —
— 2hm^, и дифференциальное уравнение движения, согласно
второму закону Ньютона, запишется так:
2 dx
или
jg + 2ftg+*»jc = 0. A9,23)
*Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Искомая функция — х, независимая переменная — /.
312

Характеристическое уравнение, если обозначить его неизвест-
неизвестное буквой s, будет таким:
s2 + 2/is + k* = 0;
s = — h± VW^-№.
Рассмотрим три случая: 1) h < k; 2) h = k; 3) h > k.
1) Если Л<?, то Л2 —?2<0. Обозначим /z2 —?2 = _u>2.
Тогда s = —A ± o>/, а л^ = e~h' cos с»/; л;2 = e~"w sin tot.
Общее решение:
x — Cye~ht cos Ы + С2е-Л< sin wt,
или
^ = e~M (Cx cos со/ + C2 sin o>/).
При / = 0 имеем х0 = Q.
Найдем jj и определим С2:
!-: = e-w [(C2o) — CJi) cos o>^ — (ClU) + Сф) sin a>/].
!-:
При * = 0
у о = —С-Ji + С2о), или у0 = —xoh + С2ш,
С __. "о + xoh
2 со
Подставляя найденные значения Q и С2 в общее решение, по-
получим решение, удовлетворяющее начальным условиям:
х = е~м (х0 cos Ы + t>8 + *°/t sin юЛ.
Если обозначить
xo=asincp; "л±?^ = а cos T, A9,24>
то предыдущее равенство запишется так:
х = ае-ы sin (u>t + ¦ ср). A9,25)
Возводя в квадрат обе части каждого из равенств A9,24) и
складывая их почленно, получим
а tgcp =
Наличие в равенстве A9,24) множителя sin (u>t + ср) указывает
на колебательный характер движения. С увеличением времени /
множитель e~ht уменьшается и стремится к нулю. Когда время,
неограниченно возрастает, точка колеблется около начала коор-
координат, неограниченно к нему приближаясь. Движение в рассмат-
рассматриваемом случае является затухающим колебательным, а уравне-
уравнение A9,23) называется уравнением затухающих колебаний.
313

Если h >k, то Л2— ?2>0, /i2_?2= u>2; корни характери-
характеристического уравнения sx и s2 —числа вещественные и неравные
между собой:
X=C1e**t+Cte>*. A9,26)
Из начальных условий следует, что
Г — *os2 ~ "о. Г — "о — *osi
Cl~ S2_Sl ' ^2 - S2_S] •
Решение A9,26) описывает так называемый апериодический
затухающий процесс движения точки к положению равновесия.
3) При h — k корни характеристического уравнения веществен-
вещественны и между собою равны: s1 = s2 = —h:
х = (С, + C,i) e-ht;
d = x0; Ct = xji+vo. A9'27)
И в этом случае, когда t^-co, абсцисса движущейся точки
х -> 0, т.' е. точка неограниченно приближается к началу коорди-
координат — положению равновесия, оставаясь с одной стороны от него,
если начальная скорость v0 не очень велика. Движение, описы-
описываемое уравнением A9,26), также называется апериодическим.
Теперь мы решим несколько линейных дифференциальных одно-
однородных уравнений порядка выше чем второй с постоянными коэф-
коэффициентами.
Задача 19,11. Найти общие решения уравнений:
1) у'"-.у''-у'+у = О; 2) y"-3tr + 3y'-y = 0; 3) у" + у = О'>
4) yw —/=0; 5) y<4>—y=0; 6) г/<4>+г/=О; 7) г/<б>_2г/Н>—г
)
12г/" - 16г/" + 12г/' — 4г/ = 0.
Независимой переменной во всех примерах, где она не ука-
указана, является х.
Решение. 1) Характеристическое уравнение имеет вид
k3 — kz — k + l =0.
Разлагаем левую часть этого уравнения на множители:
А* (* — 1) — (А — 1) = 0; (?_1)(^_1) = 0,
или (k —\){k— 1) {k + \) = 0. Отсюда ?—1 = 0; k — \ = 0;
? + 1 = 0. Корни: kx =1; k%— 1; k3 = —1. Все. корни — веще-
вещественны, но среди них есть два равных: ?х = ?2.
Частными решениями уравнения на основании A9,14) и A9,15)
будут:
#i = ех'> Уг = хех"> Уз = *~*«
Общее решение:
у = Cj* + Сгхех + С3е~х.
314

2) Характеристическое уравнение: k3— 3?2 + 3&—1=0, его
левая часть равна (k— IK. Поэтому k1 = 1; ?2 = 1; kz ~ 1. Корни
вещественны и все между собою равны.
Частными решениями уравнения в соответствии с A9,15) будут:
У\ — е > У г ~ хе , у3 — х е ,
а общее решение запишется так:
у = С,ек + CVce* + CS*V, или у = е* (Сх + С2л; + С3хг).
3) Характеристическое уравнение: ^3 + 1 = 0. Разлагая левукг
часть на множители, получаем: (k + 1) (k? — k + 1) = 0; ?+1=0;
1 V^3
?2 — ^+ 1 = 0. Корни: kx = — 1; &2.з = у ± "г"'- Корню ^ = —1
соответствует решение г/х = е~*, а корням ^2 и &3 (а = у Р — -o~f
на основании A9,16) — решения:
i х \/"Z —x V~3
г/2 = е% cos ~y- х; г/3 = е2 sin -^- х.
Общее решение:
— г -х л г Iх YI л. г Iх • VI
окончательно
у = Cje-* + е2* IC2 cos -^- x ~\- C3 sin -5- х ].
\ ^ 1 ) '
4) Характеристическое уравнение: ^4 — ?2 = 0; ^2(^2 — 1) =0 .
Корни: kx = 0; &2 = 0; "fe3 = 1; &4 = —1. Первым двум веществен-
вещественным и равным между собою корням соответствуют на основании
A9,15) частные решения: у1 = 1; г/2 = х, а корням k3 и &4 — ре-
решения у3 — е* и г/4 = е~*.
Общим решением уравнения будет
у = С1 + С3х + С3е* + С4е~*.
5) Характеристическое уравнение: ?4 — 1 = 0.
Разлагая левую часть этого уравнения на множители, полу-
получаем: (k2 — 1) (k* + 1) = 0, или (k —\)(k+ 1) {k2 + 1) = 0. Корни:
kx = 1; k2 = —1; k3H— ±i. Первым двум корням в соответствии
с A9,14) отвечают частные решения уравнения: у1 = ех; у^ = е~х,
а мнимым корням k3 и &4 (а = 0; р = 1) на основании A9,16) —
решения: ya — cosx; t/4==sinx.
Общее решение
у = Сувх + Cze~x + Cscosx 4- ^
6) Уравнение встречается при определении уравнения изогну-
изогнутой оси балки, лежащей на упругом основании.
315

Характеристическое уравнение: «4 + 1 = 0.
Решение этого двучленного уравнения вызовет некоторые за-
затруднения. Прибавим в его левую часть и одновременно вычтем
из нее 2k2, отчего уравнение не изменится. Получим:
«4 + 2k2 + 1 — 2?2 = 0; (k2 + IJ — 2k2 = 0.
Разлагаем левую часть на множители: (k2 + I —V?k) («2 + 1 +
+ Y~2k) — 0. Отсюда получаем два уравнения:
k2 — У2k + 1 = 0 и k% + V%k + 1 = 0.
Решая эти уравнения, находим:
. /2 /2 , /2/г.
«1.2 = "у ± ~2~1> «3,4 = 2" i "У *'
На основании A9,16) частными решениями, соответствующими
первым двум корням,_будут
9* ^2 Ох . /2
а частными решениями, соответствующими третьему и четвертому
корням:
-J3* /г -—^ /5 *
г/3 = е 2 cos ^-л;; г/4 = е 2 siniyA;.
Общее решение
y = Cei cos^x + Ce2 sinY^ + Ce 2 cosY^ +
+ С4е 2 s
или
4 /2 /2 \ -—
^QcosY^ + Qsin^j+ 2
Во многих прикладных науках (например, в сопротивлении ма-
материалов) принято функции ех и е~к заменять гиперболическими
по формулам A9,18). На основании этих формул:
-* /2 /2 -—* /г /г
е 2 == ch -g- л; + sh -у л;; е 2 = ch -^- х — sh^-x. .
Поэтому предыдущее решение может быть записано так:
/1 /2 /2 /2 /5 /
/1 /2 /2 /2 /5 /2
I/ = сх ch -у л; cos -у х + с2 ch -^- x sin у х + с3 sh — x cos -^ л; +
/2 /2
+ с4 sh -g- л: sin -^ дс,
где с1 = С1 + С3; сг = Сг + С4; cs = C1 — Cs; Ci = C2 — C4.
516

7) Характеристическое уравнение:
k» — 2k4 — k% + 2 = 0.
Легко заметить, что корнями этого уравнения будут: k, = 1
и k2 =—1. Разделив левую часть уравнения на ?2 —1, получим
k*—k2—2. Поэтому левую часть уравнения можно записать в виде
(jj, _ 1) (fe+ 1) (?•_?«_ 2) = 0.
Решая биквадратное уравнение k* — k2 — 2 = 0, найдем корни:
ka = У~% кА = — /2; kbfi = ±i.
Частными решениями уравнения будут:
Ух = ех; у?, = е~х; у3 = eV2x; г/4 = егуп*\ уь = cos х; г/в = sinx.
Общее решение:
y = Cje*+ С2е~* + С*?* + С^** + С5cosх + С6 sinx.
8) Характеристическое уравнение: &* — 13?2 ~f- 36 = 0. Его кор-
корни: kx = 2; &2 = —2; ^3 ==3; kt = —3.
Частные решения: x1 = e2t; х% = е~п\ хъ = еъи, х4 = е-3'.
Общее решение:
х = Cie2<
9) Характеристическое уравнение: k3 — Шг-\-Ylk — 8 = 0.
Левая часть" уравнения — куб разности k — 2, и уравнение пе-
переписывается так: (k — 2K = 0.
Его корни: kx = 2; k2 = 2; k3 = 2 — вещественны и все равны
между собой. Поэтому на основании A9,15) частными решениями
будут (иметь в виду, что искомая функция—2, независимая пе-
переменная— и):
zx — е2и; г2 — ие2и; г3 = иге2и.
Общее решение:
2 = Сге2и + С2ие2и + С3и2е2и,
или
z = e2«(C1+C2« + C3«2).
10) Характеристическое уравнение:
jfe» _ 5k* + 12^3 — 16?2 + 12* — 4 = 0.
Очевидным корнем его является 1 (?х = 1). После деления ле-
левой части уравнения на k — 1 получим k* — 4k3 + 8k2 — 8k + 4.
Левая часть уравнения теперь представится в виде произведения
двух множителей:
{k — 1) (k* — Ak3 + &k2 — 8k + 4) = 0,
откуда
k — 1 = 0; kx = 1; k* — 4/г3 + 8k2 — 8k + 4 = 0.
Представим последнее уравнение в виде
(А» — 2?J + 4 (/г2 — 2k) + 4 = CL
317

Левая часть этого уравнения есть полный квадрат суммы i
[(# _ 2k) + 2]2, а потому (*• — 2k + 2J = 0. , '
Корнями этого уравнения являются числа:
&2,з = 1 ± г; &4,5 = 1 ± i,
т. е. его корни — комплексные и кратные.
Первому корню соответствует решение у1 = ех, остальным че-
четырем корням на основании A9,17) — решения (а = 1; р = 1):
уг = ех cos х; у =e*sin.\;;
г/4 = л;е* cos x; уъ = хе* sin x.
Общее решение:
у = dex + С2е* cos х + С3е* sin л: + С4л;е* cos х + С6хе* sin л;,
или
у = [Q + (С2 + С4л;) cos х + (С, + Сьх) sin x] ех.
В заключение решим четыре задачи с граничными (краевыми)
условиями.
Как уже указывалось, в этих задачах искомая функция и ее
производные задаются не при одном и том же значении аргумента,
как это делается в задачах с начальными условиями (в задаче
Коши), а при разных значениях аргумента, соответствующих гра-
границам (краям) некоторого промежутка интегрирования. Поэтому
они и называются граничными (иначе краевыми) задачами.
Учащийся должен иметь в виду, что не всякая граничная за-
задача имеет решение, а если и имеет его, то во многих случаях
оно не является единственным.
Приведем пример граничной задачи, которая не имеет решения.
Найти решение дифференциального уравнения у" + 4г/ = 0,
удовлетворяющее граничным условиям: при х = 0 искомая функция
у = 2; при х == -j искомая функция у = 3.
Здесь заданы значения искомой функции на концах проме-
промежутка fa, j).
Характеристическое уравнение: k2 +4 =0. Его корни: кг = 2г;
ki = —2г. Частные решения уравнения: y1=cos2x; y2 = s,in2x.
Общее решение: у = Cj cos 2x + C2 sin 2x. Определим теперь произ-
произвольные постоянные так, чтобы у удовлетворял граничным усло-
условиям. Подставим в общее решение первое граничное условие у(Ь) =2
и получим, что 2 = Сг Подстановка же в общее решение второго
граничного условия у |-| ) = 3 дает 3 = —Cv Система
з = — с
318

не совместна и, таким образом, нет решения предложенного урав-
уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям.
На языке геометрии это означает, что через точки @, 2) и
/—, 3) не проходит ни одна интегральная кривая.
Если бы второе граничное условие: у = 3 при х=умы заме-
заменили, положив у = —2 при х — у , то оказалось бы, что —2 =
= —Clt и для определения Сг получилась бы уже совместная
система уравнений, а именно:
2 = С
а решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, запи-
записалось бы так:
у = 2 cos 2х + С2 sin 2x,
где С2 — произвольная постоянная. Это означает, что существует
бесчисленное множество интегральных кривых заданного уравне-
уравнения, проходящих через точки @,2) и (у, 2J.
Задача ч19,12. Найти решение уравнения
р, d'y 4ft п
удовлетворяющее граничным условиям:
1) при 2 = 0 у = 0; 2) при г = 0 -^ = 0;
г з A9,28)
3) при г = / j-| = 0; 4) при г = / -т-=5 = 0.
Решение. Это уравнение встречается при решении задачи
о потере устойчивости стержня, находящегося в магнитном поле.
(Здесь EI — жесткость стержня; а — начальное расстояние между
магнитом и стержнем; k — коэффициент пропорциональности; у—
отклонение стержня от положения равновесия).
Из уравнения видно, что искомой функцией является у, а неза-
независимой переменной— z. Разделим обе части уравнения на EI
и обозначим
4fe „ -VIF
Уравнение переписывается так:
и представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой оси
стержня.
319

Характеристическое уравнение: k* — а4 = 0. Разлагая его левую
часть на множители, получаем:
(#» _ а2) (#» + а2) = 0, или (k — а) (й + а) (k2 + а2) = 0.
Его корни: kt = а; k2 = —а; ?3f4 = ± o-i. Частные решения урав-
уравнения
ух = е" — ch az + sh as; г/2 = e~az = ch az — sh az
(см. формулы A9,18)); y3 — cosaz; j/4 = sinaz.
Общее решение:
г/ = d (ch аг + sh аг) + C2 (ch аг — sh аг) + C3 cos аг + C4 sin az.
Перепишем его в виде
у = (С1 + С2) ch аг + (Сх — С2) sh az + С3 cos аг + С4 sin аг.
Обозначим: Сг + С2 = Аг; Сг — С2 = Л2, и для однообразности
обозначений примем С3 = Ая; С4 = Л4.
Общее решение запишется теперь так:
у = ЛгсЬ аг + A2shaz + Л3cosaz + /l4sin аг. A9,29)
Для определения четырех произвольных постоянных используем
четыре заданных граничных условия A9,28) и получим систему
уравнений:
Аг +А3 =0\
Ах ch d + А2 sh al — Аз cos a/ — Л4 sin al = 01 A9,30)
A3shal
2 з
A2chal + A3 sin al —
= 0J
Уравнения A9,30) представляют собой систему линейных одно-
однородных уравнений относительно неизвестных Аъ Аъ, Л„, Л4. Как
и всякая система алгебраических линейных однородных уравне-
уравнений, она имеет тривиальное (самоочевидное) решение:
Лг = 0; Л2 = 0; Л3 = 0; Л4 = 0.
Чтобы система A9,30) имела решение, отличное от нулевого,
необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был
равен нулю:
10 1 0
0 1 0 1
chat sha/ — cosal —sinal
sh al cha/ sin al —cos al
Вычислим этот определитель. Отнимем от элементов четвертого
столбца соответствующие элементы второго столбца, и уравнение
A9,31) перепишется так:
= 0
1
0
chal
sh al
0
1
sh al
ch al
1
0
—cos al
sin al
0
0
—sin al — sh al
—cos al — ch al
320

Во второй строке все элементы, кроме второго, равны нулю,
а поэтому определитель равен произведению этого неравного
нулю элемента на его алгебраическое дополнение, и теперь урав-
уравнение A9,30) будет выглядеть так:
1 1 0
ch al — cos al — sin al — sh al
= 0.
sh al sin al — cos al—chal
Вычислив определитель третьего порядка по известному пра-
правилу, получим уравнение
cosatchal = — 1, A9,32)
которое перепишем в виде
cos al = г—,.
chal
Построим графики функций cos al и т—; (см. чертеж).
Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями этих
уравнений. Наименьший корень al=
= 1,873.
Установим теперь, какая зависи-
зависимость существует между произволь- о,5-
ными постоянными Аг, Л2, Л3, Л4.
Первое и второе уравнения си-
системы A9,30) показывают, что .
Л3 = -Лх; А,= -А,. A9,33) "^
Исключая Ая и Л4 из третьего и '
четвертого уравнений этой системы,
получим:
К задаче 19,12
А1 (ch al + cos al) + A% (sh al + sin al) = 01
Ax (sh al — sin al) + A2 (ch al + cos al) = 0j-
Первое уравнение системы дает
л- ch al + cos al,
Л A
A9>d4)
sh al
sin
И, таким образом, все произвольные постоянные могут быть
выражены через Av
Подставляя в A9,35) а/ = 1,873 и учитывая равенства A9,33)
получаем:
. Аг =—0,
* cos 1,873 = —0,2976; sin 1,873 = 0,9547; sh 1,873 = 3,1771; ch 1,873 =
= 3,3307.
l/2 П" 3-1734
321

1 873
а потому, так как а = -~-, общее решение A9,29) запишется
у = А1 ch -— г — Лх0,734 ch -^-j— г — Лх cos -—- г +
так:
Окончательно, вынося Лг за скобку, получим уравнение изогну-
изогнутой оси стержня
у= лЛсЫ,873у —0,734 sh 1,873 f—cos 1,873у +
+ 0,734 sin 1,873-у \
содержащее единственный неопределенный параметр Аи харак-
характеризующий масштаб кривой изгиба.
Замечание. Мы указали общий способ решения системы
A9,30). Однако можно было бы и не идти этим общим путем,
а исключить с помощью первого и второго уравнений этой системы
неизвестные А3 и Л4 и тем самым получить систему A9,34), из
которой, приравнивая нулю ее определитель:
cha/+cosa/ sh al + sin al
sh al — sin al ch al + cos al ~ '
получили бы
ch2 al + 2 ch al cos al + cos2 al — sh2 al + sin2 al = 0.
Отсюда
1 + 1 +2cha/cosaJ = 0, или cosa/cha/ = —1,
т. е. уравнение A9,32), которое было получено раньше.
Задача 19,13. Найти решение дифференциального уравнения
(s — постоянная величина), удовлетворяющее граничным усло-
условиям:
1) у" = 0 при z = 0; 2) у" = 0 при г = 0;
3) у = 0 при г = Ь; 4) у' = 0 при z= b.
Решение. К уравнению A9,36) приводит решение задачи
об исследовании искривленной поверхности пластинки, жестко
опертой по одной из ее длинных кромок и свободной вдоль дру-
другой, когда изгиб пластинки обусловлен аэродинамическими нагруз-
нагрузками. Величина s в уравнении зависит от скорости потока и от
параметров пластинки.
322

Характеристическое уравнение: й4 + s3k =в 0. Разлагая его
левую часть на множители, получаем k (k3 + s3) = 0;
k{k + s)(k? — sk + ь*) = 0.
Корни:
0; k2 = —s;
= 7Г ± ^st.
Частные решения уравнения A9,36): y1 = l; y2~e-sz; ys
= e2 sin ~y sz; </4 = e2 cos -^ sz.
Общее решение:
у = Cx + C2e— + IC3 sin ^sz
^ C4 cos ^s?je? A9,37)
Если использовать граничные условия, то для определения
произвольных постоянных получим систему четырех однородных
линейных алгебраических уравнений:
\
V 3 р 1 р г.
с2 + с4 = о
Vlj
С» sin — sb
.V}sb)e * =0
in ^ s6 +/3 cos ^
(sin
e1
j e1 cjcos ^ sb — VI sin ^ 5Л = о
A9,38)
Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, отлич-
отличное от тривиального
Сх = С2 = С3 = С 4 = 0,
необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был
равен нулю.
Однако мы не будем составлять этот определитель и вычислять
его, а выразим неизвестные С3 и С4 через С2.
Из второго уравнения следует, что
С4 =р -С2. A9,39)
Подставляя это значение С4 в первое уравнение A9,38), по-
получим
г " ^2 I—
— ' ~2 г ' 2" 3 —
откуда
11*
A9,40)
323

Теперь эти выражения С4 и Ся через С2 подставим в четвер-
четвертое уравнение:
-C2e-*b — ^е* cJsin^sb + ]/3cos^ sb\ —
— \е* cJcos^sb —
Вынося —С2 за скобку, получим
-> +Qii sin??sb +li*
?* тЛз тАз тАч
Так как по предположению С2=?0, то
,q , Для определения параметра sb no-
-j—- лучаем уравнение
COS —тг" S и — —— и, об . \/\.)
j ^ Графическое решение этого транс-
' ' цендентного уравнения дано на чер-
К задаче 19,13 теже.
Абсциссы точек пересечения этих кривых будут корнями
уравнения (А). Наименьший, наиболее важный корень дает
, , ос.л 1,854
sb = 1,854; s — -~-
(см. чертеж).
Подставляя найденное значение sb в третье уравнение и ис-
используя соотношение A9,39) и A9,40), выразим Сх через С%:
С, = [ -е-»» + ^3 sin О sb + cos Ц sb У* j C2; •
sb = 1,854, а поэтому
Сх = 1,942С2. A9,41)
Подставляя A9,39), A9,40) и A9,41) в A9,37), получим реше-
решение, удовлетворяющее граничным условиям:
Это решение содержит один произвольный параметр Сг.
324 .

Задача 19,14 (для самостоятельного решения).
Найти решение уравнения
удовлетворяющее граничным условиям: w @) = 0; w (I) = 0.
Указание. К этому уравнению приводит задача о продоль-
продольном изгибе стержня (задача Эйлера). Здесь Р — сила, сжимаю-
сжимающая стержень вдоль его оси.
Обозначить
РШ = k\ D)
Уравнение приводится к виду ^ + f^w = 0. Это дифферен-
дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня при продольном изгибе.
Его общее решение: w=C1coskx+
-\-C%sinkx. Из граничных усло-
условий получаем: из первого усло-
условия С1 = 0; из второго условия,
зная, что Cj = 0, имеем
1 ' К задаче 19,14
отсюда или С2 = 0, или sin&/=0.
Если С2 = 0, то w = 0, т. е. решение тривиальное, которое,
собственно, и искать было нечего. Остается рассмотреть sin kl = 0.
Отсюда kl = me; k = у, где п — любое целое число, не равное
нулю. Так, если kl = 0, то / = 0, k = 0, а этого не может быть.
Из kl = пъ (пф 0) следует, что k4% = Л2, /г2 = ^ ; /г =
==у. Подставляя эти значения в (Л), получим Yi~~'
или Р = ^-72—•' (в)
Выражение (В) дает так называемое критическое значение
сжимающей силы Р, действующей вдоль стержня, при котором
становится возможным продольный изгиб.
Решение, удовлетворяющее граничным условиям, запишется
так:
w = Casin уx I —
При п = 1 сжимающая сила Р = ^-, уравнение изогнутой оси
стержня
w = С2 sin -j х.
Это основной случай.
325

Так как наибольшее значение sin^= 1, то даНаиб = С2. и та-
таким образом, С2 есть не что иное, как наибольший прогиб стержня.
4ti2?/
При п — 2 сила Р — —й- , а уравнение изогнутой оси стержня
~ . 2ti
имеет вид ш = С2 sin у х и т. д.
Число п представляет собой число полуволн синусоиды, рас-
располагающихся по длине изогнутого стержня (см. чертеж).
Задача 19,15 (для самостоятельного решения).
Найти решение уравнения
dzi~ g dz2'
удовлетворяющее граничным условиям:
1) при z = 0 у = 0; 2) при г = 0 у" = 0;
3) при г = / у = 0; 4) при г = / у" = 0.
Указание. К предложенному уравнению сводится задача
о статической неустойчивости трубопровода. Здесь EI — жест-
жесткость поперечного сечения трубопровода; q — вес жидкости, при-
приходящейся на единицу длины трубопровода; g—ускорение силы
тяжести; v — скорость потока жидкости; у —прогиб оси трубо-
трубопровода.
Положить
Уравнение приобретает вид
Частные решения: ух = 1; у%~г\ уэ = cos sz; г/4 = sin sz.
Общее решение:
у = Сх + С2г + С„ cos sz + С4 sin sz.
Из граничных условий окажется, что
sin s/ == 0; si = пъ.
Первое значение si, которое наиболее важно: si = тс; s = у.
Решение, удовлетворяющее граничным условиям:
у — С4 sin sz.
-—, и при s = у получаем так
называемое критическое значение скорости укр = у I' — потока
жидкости, при котором наступает потеря устойчивости прямоли-
прямолинейной формы равновесия трубопровода.
326

ДВАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение имеет
вид
и(п) _1_ п <y\ </(«—I) -Л п (y\ /iC—2) _1_ _!_ п .»/ А- п 11 • f (y\
У ~i P\ v*^/ У I r2 \ J У *^ ... ~j~ fj/i—-\у ^^ упу — / \л/•
B0,1)
2. Общее решение линейного неоднородного уравнения нахо-
находится так:
а) Найти одно какое-нибудь его частное решение.
б) Найти общее решение соответствующего однородного урав-
уравнения.
в) Сложить эти два решения. Сумма их и будет общим реше-
решением уравнения B0,1).
Так, если частное решение неоднородного уравнения есть У,
а общее решение соответствующего однородного есть C1y1-f C2y2+
4- ... 4- СпУп, то общее решение линейного неоднородного урав-
уравнения B0,1):
у = С1У1 + С2у2 + СзУз + ... + Сууп + Y. B0,2)
Условия, налагаемые на коэффициенты р{ (х) и правую часть
f(x), изложены в пояснениях к уравнению A9,1).
3. Если правая часть уравнения B0,1) есть сумма двух
функций:
У(п) + Pi (х) У(п~» + р2 (х) У("-2) + • • • 4- Рп-х (х) у' + рп (х) у =
4i(x)+h(x), B0,3)
следует рассмотреть два уравнения, у которых левые части та-
такие же, как в B0 3), но в одном из них правой частью будет
функция fi(x), а во втором f2 (x), т. е. рассмотреть уравнения
У(щ + Pi (х) у(п~Х) + Рг (х) у(п~2) + ¦ ¦ ¦ + Рп-х (х) у' 4-
4- рп (х) y = h (x) B0,4)
+ Pl (X) У*"-1» + р2 (X) уС-2> + • • • + Рп-1 (X) У' +
+ Рп(х)у = Ь(х). B0,5)
Если функции Y1 и Y% — соответственно частные решения
уравнений B0,4) и B0,5), то их сумма Yx + Y% будет частным
решением уравнения B0,3). (Это свойство называется наложе-
наложением решений и распространяется на случай, когда правая часть—
сумма п функций).
4. Если известно общее решение однородного линейного урав-
уравнения, соответствующего заданному неоднородному,, то его
327

частное решение Y можно найти с помощью квадратур методом,
который указал Лагранж. Этот метод ¦ называется методом вариа-
вариации (изменения) произвольных постоянных.
Получив общее решение A9,3)
У = ciJ/i + Сгу2 + • •. + Спуп
линейного однородного уравнения A9,2), поступают так: полагают,
что в этом решении величины Сх, С2, .. ., С„ являются не по-
постоянными, а функциями независимой переменной х. Записывают
это так:
У = Сх (х) у1 + С2(х)у2+ ... + Сп (х) уя. B0,6)
Для определения функций Q (х) (г=1, 2, ..., п) состав-
составляется система уравнении:
С,' (х) У1 + С'г (х) у% + ... + Сп (х) уп = 0 j
d' (х) у\ + С'2(х) y'i + ¦ ¦. + Сп (х) у'п = 0 |
B0,7)
с; (х) Уг2> + с2 (х) Уг2> + ...+с'я(х) У(„"-2) = о
С[ (х) у\п-Х) + С'2 (х) yf~X) + ... +С'п (х) упп-Х) = / (х)
Мы рассмотрим подробно этот метод для линейных диффе-
дифференциальных неоднородных уравнений второго порядка:
У" + Pi (x)у' +рг(х)у= f (x). B0,8)
Получив общее решение
у = СхУ1 + С2у2 B0,9)
соответствующего однородного уравнения, поступают так: пола-
полагают, что в этом решении величины С1 и С2 являются не постоян-
постоянными, а функциями независимой переменной х и записывают
это так:
У = Ci (х) У! + Сг (х) у2.
Для определения функций Сх (х) и С2 (х) составляется система i
уравнений B0,7): '
Определитель этой системы — определитель Вронского. Так как:|
B0,9) есть общее решение уравнения B0,8), то функции ух и у^
линейно независимы и их определитель Вронского не равен нулю.;|
Поэтому система B0,10) всегда имеет решение и притом един-?
ствённое. *
I
328

Решая эту систему уравнений относительно С\ (х) и С2 (х),
получим:
О yt
f(x) у'9
С\ (х)
С2 (X) =
У\
W
0
(х)
ух) —
W
W
B0,11)
где определитель Вронского
W =
У\
Из B0,11) интегрированием находим:
-г i-i>
B0,12)
Подставляя B0,12) в B0,9), получим
Раскрывая скобки, найдем
Сравнивая с B0,2), замечаем, что первые два слагаемых с1у1 4-
+ с2у2 в правой части — общее решение однородного уравнения,
соответствующего B0,8), а последние два слагаемых — частное
решение неоднородного уравнения B0,8). Обозначая эти два сла-
слагаемых через У", получаем формулу частного решения линейного
неоднородного уравнения второго порядка
Y-u
1 — У 2,
\
i/l \
В более компактной форме частное решение линейного неодно-
неоднородного уравнения второго порядка может быть записано так:
B0,13)
w "" J w
Ух Уг
Все величины, входящие в эту формулу, известны.
Замечание. Следует иметь в виду,
ф B013)
так же как и формула B0,13), имеет место тогда, когда коэффи-
коэффициент при старшей производной равен единице.. Функция / (х)
есть правая часть уравнения при этом предположении.
12 3-1734
329

5. Метод вариации произвольных постоянных — универсальный.
Он позволяет при помощи квадратур определить частное решение
линейного неоднородного дифференциального уравнения B0,1),
если известно общее решение соответствующего ему однородного
уравнения.
Ниже будет рассмотрен случай, когда частное решение неодно-
неоднородного уравнения B0,1) может быть найдено без применения
метода вариации произвольных постоянных, и тем самым без вы-
вычисления интегралов.
Приступим к упражнениям, связанным с применением метода
вариации произвольных постоянных.
Задача 20,1. Найти общее решение уравнения
у W 6 х* — х2,
зная, что частным .решением соответствующего ему однородного
уравнения является функция ух — х2.
Решение. Прежде всего преобразуем уравнение так, чтобы
коэффициент при старшей производной, т. е. при у", был равен
единице. Для этого обе части уравнения разделим на х2 и получим
' У — У'+&У = **-*• (А)
Теперь правая часть уравнения f (х) = х2 — 1. Отбросим ее и
найдем общее решение уравнения
y' + ^y0- (В)
з,ная его одно частное решение. По формуле A9,6) определим'второе
частное решение:
i
У нас р(х) =— -|; — Г p(x)dx*= С |-<Ь= 4 In * =^ In*4;
l4
e-lp(x)dx _ eln*4 --х4. Помня, что ух =* хг, получаем
уг = х* Г ?* dx = х% • х — х3.
№ак, у2 = х3. Общее решение г/о уравнения (В) запишется так: ]
уо = С^ + С,ха. (С)]
Теперь применим формулу B0,13) для определения частного^
решения уравнения (А). Определитель Врбнского \
Уг
"У2
х% ха
330

Подставляя в B0,13) значения интегралов и частные реше-
решения уг и у2 уравнения (В), получим
1 Х^
У ;—- X ?,
Складывая это частное решение заданного неоднородного
уравнения с общим решением (С) соответствующего ему одно-
однородного, получим общее решение заданного уравнения
„ П у2 I С уЗ I Xi I yt I r2 1П I v I
Это выражение можно упростить, если объединить подчеркну-
подчеркнутые слагаемые и обозначить Сх + 1 через с1г аС8= с2. Тогда
у = Clx* + cix3 + Y + x4n\x\.
Задача 20,2. Найти общее решение дифференциального урав-
уравнения
{2х + 1) у' + Dх — 2)у' — 8у = 2ех Bх + IK,
зная, что функция у1 = е~2х является частным решением соответ-
соответствующего ему однородного уравнения.
Решение. Преобразуем уравнение (А) так, чтобы коэффи-
коэффициент при старшей производной у" был равен единице. Разделим
его обе части на Bх + 1). Получим
Правая часть этого "уравнения f(x) = 2е* Bх ~\-1J. Отбросим
правую часть и найдем общее решение полученного однородного
уравнения
Здесь опять-таки чтобы найти уг следует воспользоваться форму-
A.Y — 9
лой A9,6), в которой р (х) =* o-qri' У1 ~ е~2х (согласно условию):
+ 2 In 12x+ 11 = — 2х + In Bx + 1)а;
U ^ИB+1). 2
1) dx = -j е~*х Dх2 + 1) е2^ = ± Dх* + 1);
331

Этот интеграл проще всего вычислить так:
f е2х Dх2 + 4х 4-1) dx = е2х (ах2 + Ьх + с).
Теперь следует продифференцировать обе части этого равен-
равенства, сократить на е2х и сравнить коэффициенты при одинаковых
степенях х в левой и правой частях равенства. Получится, что
е2* Dх2 -f 4х + 1) = е2х Bах2 + 2Ьх + 2с + Чах + Ь).
Отсюда 2а = 4; 2Ь + 2а = 4; 2с + Ь = 1;
а = 2; Ь = 0; с = у.
Итак, общее решение j/q уравнения (В) запишется так:
(в последующем множитель -^ во втором слагаемом мы включим
в состав произвольной постоянной Са).
Чтобы воспользоваться формулой B0,13) для определения
частного решения заданного неоднородного уравнения (А), опре-
определим вронскиан:
4- D*2 + 1)
W
У1
у\
,-Чх
—2е~2х Ах
= е-2* Bх + IL.
Так как правая часть уравнения (A) f(x) = 2ex Bх + IJ, вы-
выражения для интегралов, входящих в B0,13), будут такими:
w
- Г е-2х
4D«1+1Jв«Bх+1)«
(Последний интеграл вычислен способом, указанным выше).
Найденные значения интегралов и частные решения у1 и уг
уравнения (В) подставим в B0,13), получим частное решение Y
заданного неоднородного уравнения:
Y =
1 v 4- — \
g х -t- 27j
27
332

Учитывая общее решение (В) однородного уравнения, соот-
соответствующего уравнению (А), и прибавляя к нему только что
найденное частное решение заданного неоднородного уравнения,
получим общее решение заданного уравнения:
у = de-2* + С2 Dг* + 1) +1 C6** + 12х + 5) в*.
Задача 20,3 (для самостоятельного решения). Найти общее
решение неоднородных линейных уравнений, зная одно частное
решение соответствующего однородного [уравнения:
О\ v&i/' Oyii' _!_ 9»i v5 In v и v2-
?tf Л у ^"^ ""Ч 1^ ~И ~~~ ** '^* Л? у-\ — Л ,
X
о
Ответ. 1) «/ = Сгх + С%х In | x | + j ^;
jc 3
МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ .КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
с постоянными коэффициентами
Сведения из теории
Пусть в уравнении B0,1) коэффициентами являются не функ-
функции, а вещественные числа, а его правая часть f (x) имеет вид
/ (х) = еах [Р (х) cos р х + Q (x) sin p х], B0,14)
где Я (х) и Q (д;) — многочлены, которые могут быть одной и
той же степени и разных степеней. Если они разной степени,
то пусть п — их наивысшая степень (при п = 0 эти многочлены
попросту постоянные величины).
Величины аир — вещественные числа.
В рассматриваемом случае метод вариации произвольных по-
постоянных для определения частного решения неоднородного урав-
уравнения, конечно, также применим. Однако здесь можно отыскать
частное решение более простым способом, пользуясь которым не
понадобится вычислять интегралы. Интегрирование уравнения
можно провести с помощью только алгебраических операций при
помощи метода, который называется методом неопределенных ко-
коэффициентов.
Если правая часть имеет вид B0,14), то следует рассмотреть
два возможных случая:
-ззз

1. Число a -f- Bi не является корнем характеристического урав-
уравнения соответствующего однородного уравнения.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения
ищется в виде
Y = е°* [р (х) cos рх + q (х) sin Щ, B0,15)
где р (х) и q (x) — многочлены одной и той же степени, равной
наивысшей степени многочленов Р (х) и Q(x). Коэффициенты
многочленов р (х) и q (x) — числа, подлежащие определению.
В B0,15) только эти коэффициенты и подлежат определению,
числа же а и р— те же, что и в B0,14).
2. Если число а + Р' является корнем кратности k (k > 1)
характеристического уравнения соответствующего однородного
уравнения, то, частное решение неоднородного уравнения ищется
в виде
Y = хкех [р (х) cos $x + q (x) sin рлг], < B0,16)
здесь р (х) и q(x) — многочлены, степень которых равна наивыс-
наивысшей степени многочленов Р (х) и Q (х) в B0,14), а коэффициенты
многочленов р (х) и q (x) подлежат определению; показатель сте-
степени k равен кратности корня a -f- Р' характеристического урав-
уравнения. Таким образом, и в этом случае определению подлежат
только коэффициенты многочленов р (х) и q (x), все же остальные
числа а, р и k — известны.
Неопределенные коэффициенты многочленов р (х) и q (x) как
в том, так и в другом случае находятся так.
В заданное уравнение подставляется Y и сравниваются коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной в
левой и правой частях равенства. Ниже на примерах мы укажем,
как это выполняется практически.
Заметим, что рассматриваемый вид неоднородных линейных
уравнений (коэффициенты постоянны, а правая часть имеет вид
B0,14)) встречается очень часто, а техника их интегрирования
исключительно проста. Мы рассмотрим различные возможные
случаи сначала для линейных неоднородных уравнений второго
порядка, а потом и порядка выше, чем" второй.
Задача 20,4. Найти общее решение уравнения
у"-7у' + 12у = 5. (А)
Решение. Уравнение линейное неоднородное. Прежде всего
отбрасываем правую часть и решаем соответствующее однородное
уравнение
у"-7у' + \2у = 0. (В)
Характеристическое уравнение
&2 — 7А: + 12 = 0
имеет корни:
^ = 3; &2 = 4. (С)
334

Частные решения уравнения (В):
Ух = е3*; у2 = е*х.
Общее решение однородного уравнения
#0 = С1бз* + Сг<?4 (D)
Теперь рассмотрим правую часть уравнения (А) и сравним ее
с B0,14). Так как правая часть не содержит множителя еак, то
надо считать, что а = 0 (е°* == еР'х — е° — 1).
Правая часть не содержит также ни синуса, ни косинуса. Это
значит, что р = 0 (sinO-x,= sin 0 = 0; cosO-л; = cosO = 1). Число 5
в правой части надо рассматривать как многочлен нулевой сте-
степени.
Составляем число а. + pi," чтобы решить вопрос, является ли
оно корнем характеристического уравнения. Так как у нас
а = $ = 0, то а •+¦ pt = 0. Из рассмотрения корней (С) характери-
характеристического уравнения видно, что 0 не является корнем характе-
характеристического уравнения. Значит, имеет место первый случай и
частное решение надо искать в виде B0,15), в котором положить
а = 0, р = 0, а многочлены р (х) и q (x) — нулевой степени.
Таким образом, частное решение будем искать в виде
Y = A {A— const). (E)
Подставляя (Е) в заданное уравнение (А), получим
12
Y' = 0 (F)
(-7,
У =0
Приравниваем сумму левых частей равенств (F) правой части
заданного уравнения (мы вправе это сделать, так как предпола-
предполагается, что Y — частное решение заданного уравнения. Так мы
будем поступать и при решении последующих задач, не делая
этой оговорки).
Учитывая это указание и складывая почленно равенства F,
получаем
5 = 12Л,
откуда Л = J2 и, следовательно, частное решение неоднородного
уравнения У — т^-
Складывая Y с общим решением (D) однородного уравнения,
находим общее решение заданного уравнения:
Задача 20,5 (для самостоятельного решения). Найти общие
решения уравнений: 1) у" — 6#' + Ъу — 10; 2) у" + fy = 8.
Ответ. ^y^C^ + C^ + j; 2) у = Сгcos2х + Саsin2x +
+ 2.
335

Задача 20,6. Найти общее решение уравнения
у"-5у' = 7. (А)
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет
вид
у"-5у' = 0. (В)
' Характеристическое уравнение: k2 — 5k = 0.
Его корни: kx = 0; кг — 5. Частными решениями уравнения
(В) являются: ух = 1; уг — е5х. Общее решение этого уравнения:
«/0 = ^ + ^4 (С)
Сравним теперь правую часть уравнения (А) с B0,14).
Правая часть не содержит ни множителя е", ни тригономет-
тригонометрических функций. Значит, а = 0 и р = 0. Поэтому число а. -{-
-j_ ^ = о, а нуль есть простой (однократный) корень характерис-
характеристического уравнения. .Поэтому частное решение неоднородного
уравнения (Л) следует искать в виде B0,16), в котором надо
взять k — 1; а = 0; р = 0, а многочлены р (х) и q (x) должны
быть той же степени, что и многочлен в правой части задан-
заданного уравнения, т. е. нулевой. Итак, Y = Ах.
0
(-5)
1
Y
Y'
Y"
= Ax
= A
= 0
7 = —5Л; А = — j.
Подставляя это значение А в выражение для Y, получим
Y — — -?х. Общее решение уравнения (А) будет суммой общего
решения (С) соответствующего однородного уравнения и только
что найденного частного решения заданного неоднородного. Тогда
Задача 20,7 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1)у"+6у' = 8; 2)у"-у' = 3.
Ответ. \) у = С1 + С2е-6* + jx; 2) у = Сг + С2е* — Зх.
Задача 20,8 (для самостоятельного решения).
Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям: х @) = 1; х' @) = 0.
Указание. Общее решение имеет • вид:
Ответ, х— jge3' + -=¦ e~2t—-g-.
336

Задачи 20,9. Весомая частица массы т брошена вертикально
вверх и при движении испытывает сопротивление, пропорцио-
пропорциональное первой степени скорости. Определить закон движения
частицы, если в начальный момент t = 0 положение точки опре-
определяется координатой х = sQ, а начальная скорость v = v0.
Решение. На точку действуют две силы: 1) сила тяжести
Р* (g — ускорение силы тяжести) и 2) сила сопротивления / =
= k%mv, где через k2m обозначен для удобства коэффициент про-
порциональност и.
Направим ось Ох, по которой происходит движение, верти-
вертикально вниз.
Уравнение движения будет таким:
m-^^ Pcos\
B0,17)
силы сопротивления
О
где Р и / — соответственно модули силы тяжести и силы сопро-
сопротивления.
Следует учесть, что
сила сопротивления на-
направлена всегда противо- у
положно направлению дви-
движения, а скорость —в сто- ^<с
рону движения. Модуль /ni , tm
cos(?,f)*cosO°'f
cos(xj)°cosW°=-r
en
/J
При движении частицы
вверх проекция скорости
dx
отрицательна, т. е. j-t<Q,
а модуль вектора всегда
положителен. Поэтому в К задаче 20,9
(Л) при движении вверх надо взять знак минус. В этом слу-
случае угол между силой сопротивления f и осью Ох равен 0е,
вследствие чего cos (х, /) = 1, а произведение /cos (x, J) —
При движении частицы вниз проекция скорости -г, > 0. Для
того, чтобы модуль силы f был величиной положительной, надо
в (Л) взять знак плюс. В этом случае угол между силой со-
сопротивления / и осью Ох равен 180°, а потому cos (л;, f) = — 1, а
произведение fcos(x, f) по-прежнему равно —к?т¦?,.Учитывая,
что сила тяжести направлена вертикально вниз, ее модуль
337

p = trig, угол между силой тяжести и осью Ох равен 0°, а
cos(x, Р) = 1, уравнение движения запишем так:
их
Сокращаем на т и переписываем уравнение в виде
Мы получили линейное неоднородное уравнение (искомая ¦]
функция —х, независимая переменная —t, правая часть равная). }
Отбрасываем правую часть и находим общее решение соот-1
ветствующего однородного уравнения |
1
Его характеристическое уравнение: г2 ~\-k2r = 0, г (г -\- k*) = 0.
(Конечно, буквой k здесь нельзя обозначать неизвестное ха-
характеристического уравнения, так как эта буква уже занята.
Неизвестное характеристического уравнения мы обозначили бук-
буквой г).
Корни характеристического уравнения:
Частные решения уравнения (В):
Его общее решение
. , (Е)
Теперь определим частное решение неоднородного уравнения1
(В). Сравнивая его правую часть с выражением B0,14), прихо-'
дим к выводу, что а = р = 0, поэтому число a -j- pi = 0. Среди
«орней (?>) характеристического уравнения нуль есть. Значит,
число а+'Ы— корень характеристического уравнения простой!
(или однократный). В выражении B0,16) число k = 1. Так как:!
g — величина постоянная, многочлен нулевой степени, то и в
B0,16) надо р(х) и q(x) считать многочленами нулевой степени;
и следовательно, учитывая, что k—\, искать частное решение
неоднородного уравнения в виде X — At:
0
&2
1
X =
Х' =
VH
At
А
0
338

Поэтому X = -^f, а общее решение уравнения (В) будет равно
сумме общего решения (Е) уравнения (С) и только что найден-
найденного частного решения неоднородного уравнения
Теперь нам осталось из начальных условий определить про-
произвольные постоянные Са и С2. Подставляя t = О и х — s0, по-
получим
Продифференцируем обе части (F)
dx
Si*=-
и поставим t — 0, a -jj = v0:
Отсюда
Подставляя это значение в (G), найдем
Найденные значения Ct и Са подставим в (F) и получим
окончательно решение, удовлетворяющее начальным условиям:
или
Из полученного результата можно сделать интересный вывод:
если бы время t неограниченно возрастало, то e~kH -> 0, и тогда
x-s 4- g /4-^2— §-• х — (х 4- V°
т. е. движение асимптотически приближается к равномерному
со скоростью 57 = р» '
Положение точки при очень большом t мало отличалось бы
от того, которое бы она занимала, двигаясь равномерно со ско-
скоростью Jj, выйдя из начального положения, абсцисса которого
равна *0 + $_?.
339

Задача 20,10. Найти общее решение уравнения
у"+у' +у = Ъе2х. (А)
Решение. Отбрасываем правую часть Зе2х и будем искать
общее решение соответствующего однородного уравнения:
У"+У'+У = О. (В)
Его характеристическое уравнение
Л» +/t+.1 = 0
имеет корни
Частные решения уравнения (В):
-\* Vs -I-* . УТ
ух = е 2 cos -у- х; у2 = е 2 sin ^- х,
а его общее решение
Теперь отыщем частное решение неоднородного уравнения
(А). Сравнивая его правую часть с B0,14), заключаем, что
а = 2; fi = 0, многочлен Р (х) имеет нулевую степень (множи-
(множитель при е2х — величина постоянная). Число а + р/= 2 и не яв-
является корнем характеристического уравнения (среди корней (С)
число 2 отсутствует). Частное решение следует искать в виде
B0,15), полагая в нем а = 2; fi = 0; многочлены р (х) и q(x) надо
взять нулевой степени. Таким образом, Y — Ае2х:
Y =Ае2х
Y' = 2Ае2х
Y" = 4Ае2х
Зе2х = e2x (A+2A+ 4Л); 3 = 7Л; A = y
и, значит, Y = -j e2x. Общее решение заданного уравнения будет
суммой этого частного решения неоднородного уравнения и об-
общего решения (D) соответствующего однородного:
1 _
у = е 2 '^cosll-^ + CiiSin^-^j + 7-е2*.
Задача 20,11 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) у" + 2у' — Ъу — 4е~х; 2) -тр — 5 -rj + Ах = 7e3t.
Ответ. 1) у = С1ех + СъегЪх — е~х; 2) х = С^ + СгФ1 —
у
340

Задача 20,12. Найти общее решение уравнения
Решение. Находим общее решение соответствующего одно-
однородного уравнения
Ш ~~ 6 Ш "^ 8х ~ 0> (в)
Корни его характеристического уравнения k2 — 6k + 8 = О
равны: kx = 2; ?2 = 4. Частные решения: хг — е2'; х2 = е4'. Его
общее решение
Ло — L^e -f L-2C . [Ь)
Теперь приступим к отысканию частного решения неоднород-
неоднородного уравнения (А).
Сравнивая его правую часть с выражением B0,14), заклю-
заключаем, что а = 2; р = 0. Число а + pi == 2. Но 2 есть простой ко-
корень характеристического уравнения. Поэтому частное решение
неоднородного уравнения (А) ищем в виде B0,16), в котором
k = 1, а независимую переменную х надо заменить на t, много-
многочлены же р (х) и q (x) взять нулевой степени, т. е. такой же,
как и многочлен, стоящий множителем при е2' в правой части
заданного уравнения. Таким образом, ищем частное решение
уравнения {А) в виде X=Ate2t (члены, содержащие t, уничтожились)
8
—6
1
X
X' = е2' (А + 2Л0
X" = е2' DЛ + Ш)
Зе2' = e2t (8At — 6Л — 12Л* + 4А+ 4At).
Сокращая на е2', получим уравнение для определения неиз-
неизвестного коэффициента А;
3 = —2Л; А = — -|,
и поэтому частное решение неоднородного уравнения
а его общее решение будет суммой этого частного решения и
общего решения (С) соответствующего однородного уравнения:
или
341

Задача 20,13 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) У" ~ 7у' + 12у - 5е3*; 2) у" -4*/' = 2е«.
Ответ. 1) у = С^х + C2eix — Бхе3х;
2) y^C. + C^+^te'C
Задача 20,14. Найти общее решение уравнения
d2r r-dr . * . ,_
V~6*f+9r=4e *
Решение. Заданное уравнение — неоднородное линейное
Искомая функция — г, независимая переменная — (р. Однородно»
уравнение, соответствующее ему:
Характеристическое уравнение k2 — 66 + 9 = 0 имеет корни
kx = 3; кг - 3. (С
Частные решения уравнения (В):
гг = е3*; г2 = Фе3''. {С
Общее решение уравнения (В)
г0 = Схе> + С29е3?. (Е
Теперь отыщем частное решение неоднородного уравнения (Л
Сравнивая его правую часть с B0,14), замечаем, что а = 3; р =
= 0. Число а + рг = 3. t
Среди корней (С) характеристического уравнения оно встреч
чается дважды. (В таком случае говорят, что 3 — двукратный)
корень характеристического уравнения). Частное решение следует!
искать в виде B0,16), в котором надо взять k = 2. Учитывая,'
что правая часть уравнения (Л) имеет постоянный множитель»;
т. е. многочлен нулевой степени, надо и в B0,15) многочлень|
р (<р) и q (<p) взять нулевой степени. |
Таким образом, частное решение надо искать в виде 1
• JR = срМе3? ¦ |
(в формуле B0,16) мы заменили независимую переменную х не-*
зависимой <р):
9
—6
1
JR =<р2Ле31Р
R' - Ле3? Bср + Зф2)
/Г = Ле3?A%Р+9у2 + 2)
4e3f - 2Ле3*; 2Л"=4; Л == 2
R = 2<pV*
342

Складывая это решение с общим решением (Ё) однородного
уравнения, получим общее решение заданного уравнения:
г =
или
Задача 20,15 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) У" + 4у' + % = 5е-2?; 2) у" - 2у' + у = Ъё.
Ответ.
1) y-e-^Cj + Ctf + ly); 2) y-
Задача 20,16. Найти общее решение уравнения
Решение. Находим общее решение соответствующего одно-
однородного уравнения
у" — 8у' + 7у = 0. (В)
Характеристическое уравнение k2 — 8k -f 7 = 0 имеет корни:
kx = 1; k2 = 7. (С)
Частные решения уравнения (В):
Его общее решение4
,, С рХ JL.P plX I ТТ\
Уо — '-'Iе г {~'2У • \М)
Переходим к определению частного решения неоднородного
уравнения (А). В его правой части отсутствуют множитель е"*
и тригонометрические функции. Поэтому а = 0; § = 0. Число
а + pi' = 0, а нуль не является,корнем характеристического урав-
уравнения (см. (С)). Частное' решение следует искать в виде B0,15),
причем многочлены р(х) и q (x) должны иметь вторую степень.
(Очевидно многочлен q {х). не будет участвовать, так как р = 0,
а при многочлене q (х) множитель sin р* = 0. Частное решение
ищем в виде Y = Ах2 -f Bx + С:
7
—8
1
Y =
У =*
Y" = 2А
Ъх% + 7х + 8 = 7Ах*+ {7 В — 16Л) Х + {2А—8В + 7Q.
343

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы х
в левой и правой частях этого равенства, получаем:
7Л = 3; Л = у;
Q7
7В-16Л=7; B = g;
2Л-8В + 7С = 8; C=X-~t
и, таким образом,
Общим решением заданного уравнения будет сумма этого ча-
частного решения неоднородного уравнения (Л) и общего решения
(D) соответствующего однородного уравнения (В):
П х , П 7* i 3 2 I 97 ,П2б
у = Qe* + С2е7* + j х% + ^х + щ-.
Задача 20,17 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) у" — у' — 2у = х3 — 5х2 + 7х+2;
2) x" — 3x' — 4x = t2.
2) х=»С1е-' !!§
Задача 20,18. Найти общез решение уравнения
/ — 2у' = х3 + 2х— 1. (Л)
Решение. Соответствующее однородное уравнение
. у" -2^ = 0. (В)
Его характеристическое уравнение ?2 — 2k = 0 имеет корни
fc, = 0; fe2 = 2. (С)
Частные решения уравнения (В):
01=1; У2 = е2*.
Общее решение уравнения (В)
Уо-^+С^. (D)
Теперь приступим к определению частного решения данного
неоднородного уравнения (Л). Сравнивая его правую часть с B0,14)
и замечая, что в ней отсутствуют множитель е" и тригонометри-
тригонометрические функции, заключаем, что а = 0 и р = 0. Число а + Щ = 0.
Но нуль есть среди корней (С) характеристического уравнения.
Корень этот простой, однократный. Частное решение будем искать
344

в виде B0,16) в котором следует взять k = 1, а многочлены р (х)
и q (х) — той же степени, что и многочлен в правой части урав-
уравнения (А), т. е. третьей. Ясно также, что многочлен q(x) будет
отсутствовать, так как множитель при нем ship* — 0 (р = 0).
Итак, частное решение ищем в виде
У = х (Ах9 + Вх2 + Сх +D) *;
0
—2
У ^ + + +
У = ААх9 + ЗВх2 +2Cx
2 В 2С
+ +
У" = \2Ах2 + еВх + 2С
A2Л — 6В)х2+ FВ—4С)л:+ BС —2D).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы х
в левой и правой частях этого равенства, получим:
— оЛ = 1', А = g- ]
12Л—6В = 0; В = — 1}
6В-4С = 2; С = — j-,
2С —2D = —I; D = —i.
о
Таким образом, частное решение заданного неоднородного
уравнения
Складывая это частное решение уравнения (А) с общим ре-
решением (D) соответствующего ему однородного уравнения, полу-
получим общее решение заданного уравнения:
Задача 20,19 (для самостоятельного решения).
Найти решение уравнения
х" + *' = t2 + 2t,
удовлетворяющее начальным условиям: х @) =*= 4; х' @) = —2.
Ответ. х = 2 ^
Задача 20,20. Найти общее решение уравнения
у"— 2у'+4у = (х + 2)е3х. (А)
Решение. Найдем общее решение соответствующего одно-
однородного уравнения
У" - 2у' +Ау = 0. E)
*. Такое умножение на х часто называется «усилением».
13 з-1734 345

Характеристическое уравнение к* — 2k -f 4 = 0 имеет корни:
ki,2 = \±VU- (Q
Частные решения уравнения (В):
у1 = ех cos K&r, у% = е* sin j/^.
Его общее решение
0О = е (С, cosyb: -f С2 sin УЪх). (D)
Отыскиваем частное решение неоднородного уравнения (Л).
Сравнивая его правую часть с B0,14), заключаем, что а = 3,
6 = 0. Многочлен Р (х) имеет первую степень. Число а + {И = 3.
Оно не является корнем характеристического уравнения. Поэтому
частное решение ищем в виде B0,15) (q (x) sin p* = 0, так как
Р-0):
—2
1
Y' = e3x {ЗАх + А+ЗВ)
Y" _ e** (9Ax + 6A+ 9B)
(х +2)е3* = е3* GАх + 4А+ ТВ)
Сокращая на е3* и сравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим:
1 = ТА', А — -J-',
Поэтому
1-е ^7 ^ -+- 49 j
Общее решение уравнения (А) есть сумма этого его частного
решения и общего решения (D) соответствующего однородного
уравнения:
у = & (Сх охУЪх + С2 sin УЪх) + е3* ^ х + Щ.
Задача 20,21 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
Указания. 1) Частное решение X неоднородного уравне-
уравнения следует искать в виде
346

коэффициенты А, В и С определятся из равенства
Р — Ы + 2 = 8Ле + (8В — 8Л) / + BЛ —4В + 8С).
2) Частное решение R неоднородного уравнения следует
искать в виде
r = ее28 (Ле8 + ве2 + се + ?>).
Это удобно переписать так:
jr - е26 (Ле* + ве3 + се2
коэффициенты А, В, С и D определятся из равенства
263 — 36 — 1 = 36Л63 + (\2А+ 27В) б2 + A8С + 6В) 6 + (9D + 2С).
Ответ. 1) x — e*{
Задача 20,22. Найти общее решение уравнения
¦ / + # = 5 sin 2*. (Л)
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
У" + У = О. (В)
Характеристическое уравнение kz + 1 = 0 имеет корни
Ai. 2 = ± /. (С)
Частные решения уравнения (В): y1 = cosx; yz — sinx.
Общее решение уравнения (В)
Уи = ^cosx+ C2sinx. (D)
Теперь обратимся к определению частного решения неодно-
неоднородного уравнения. Сравнивая правую часть уравнения (Л) с B0,14),
заключаем, что а = 0; р = 2. Число а + р/ = 2г не является кор-
корнем характеристического уравнения. Решение будем отыскивать
в форме B0,15). В правой части постоянный множитель 5 при
sin 2x должен рассматриваться как многочлен нулевой степени.
Поэтому в B0,15) вместо мнбгочленов р (х) и q(x) надо взять
постоянные величины, которые следует определить.
Учитывая это, а также то, что а = 0, [3 = 2, частное решение
будем искать в виде
Y = Л cos 2л; + В sin 2л;. (?)
Y = Л cos 2л: + В sin 2л;
Y' = 2В cos 2л: — 2Л sin 2л;
Y" = — 4Л cos 2л; — 4В sin 2л;
5 sin 2х = (—4Л + A) cos 2л; + (В — 4В) sin 2x
13* - 347

Так как левая часть не содержит cos2jt, то в правой части
коэффициент при cos 2х должен быть равен нулю, т. е. —4Л+
+ А — 0; коэффициенты при sin2x должны быть равны между
собой, т. е. В — 4В = 5. Значит, А =» 0; В = — ~.
Поэтому частное решение (Е) равно
Y = — 4 sin 2».
Общее решение уравнения (А) будет суммой только что най-
найденного частного решения заданного неоднородного уравнения
и общего решения (D) соответствующего однородного уравнения:
у = Сх cos х + С2 sin х —? sin 2x.
Задача 20,23 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
у"— 7у' +Qy = sinx.
Частное решение неоднородного уравнения следует искать
в виде
У — A cos х + В sin х.
Ответ, у — С^е* + С2е6* + щ
Задача 20,24 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
1) у" + ?у' + 5у = 4sin* + 22cos*;
2) у" — 4у' + 29z/ = 44sin3A;4-28cos3A;.
Указание. В первом примере частное решение неоднород-
неоднородного уравнения искать в виде Y = Acosx + Bsinx.
Ответ. 1) у = егх (Сх cos 2х + С2 sin 2x) + 3 sin x + 4 cos x;
2) у = е2* (Сх cos 5* + С2 sin Ъх) + sin Зх + 2 cos Зх.
Задача 20,25. Найти общее решение уравнения
#" — 2у'+ Юу = xcos2x. (A)
Решение. Соответствующее однородное уравнение
у"-2у' + \0у=0. (В)
Его характеристическое уравнение
/г2—26 + 10 = 0
имеет корни:
^1,2 = 1 ±3/. (С)
Частные решения уравнения (В):
ух—е?cosЗх; г/а = ехsinЗя.
Общее решение уравнения (В):
уй=е* (Сх cos Ъх + С2 sin Зх). (?>)
348

Приступаем к отысканию частного решения неоднородного
уравнения (А). Сравнивая правую часть этого уравнения с B0,14),
заключаем, что а = 0; р = 2; число а + pi = 2г не является кор-
корнем характеристического уравнения (среди корней (С) число 2г
отсутствует). Решение будем искать в виде B0,15). Нам осталось
решить вопрос о степени многочленов р(х) и q (х) в B0,15). Сле-
Следует помнить, что эти многочлены Должны иметь одну и ту же
степень, причем степень эта должна быть равна наибольшей сте-
степени многочленов Р (х) и Q (х) в B0,14).
В нашем случае многочлен Р (х), стоящий множителем перед
cos 2x в правой части уравнения (Л), имеет первую степень, мно-
многочлен Q (х) равен нулю. Поэтому многочлены р (х) и q(x) в B0,14)
должны иметь первую степень. Учитывая все это (а = 0, р = 2;
степень многочленов р (х) и q (x) — первая), частное решение
следует искать в виде
Y = (Ах + В) cos 2х + (Сх + D) sin 2х;
Y = (Ах + В) cos 2х + (Сх + D) sin 2x
У = BСх +A+2D) cos 2х + (—2Ах — 2В + С) sin 2x
Y" ( 4Лх 4fi + 4С) cos 2х + ( 4Сх 4Л 4D) si
10
—2
1 Y" = (— AAx — 4Д + 4C) cos 2x + (— 4Cx — 4Л — 4D) sin 2x
x cos 2л; = FЛх — 4Cx — 2A + QB + AC — 4D) cos 2л; + DAx +
+ QCx — 4Л + 4B — 2C + 6D) sin 2л;
Перепишем правую часть этого равенства так, чтобы ясно
были видны коэффициенты при х и свободные члены многочленов:
л; cos 2х = [FЛ'— 4С) х — 2А + 6В + АС —4D] cos 2x +
+ [DЛ + 6С) Х — 4А+4В — 2С + &D] sin2x. (E)
Сравниваем коэффициенты при cos 2л; и sin2x в левой и Дра-
Дравой частях этого равенства, получаем:
при cos2x х = FЛ— АС)х — 2А +6В + 4С — 4D;
при sin2x 0 = DЛ +6С)х — 4Л +АВ — 2C + 6D
(в последнем равенстве в левой части стоит нуль, так как в ле-
левой части равенства (Е) sirf2jc отсутствует). Сравнивая коэффици-
коэффициенты при одинаковых степенях буквы х в левой и правой частях
равенств (Г), находим:
6Л-4С = П
4Л + 6С = 0} W
и
—2Л+6В+4С —4D =0
—4Л+4В —2C + 6D=0
3 1
Из системы (I) следует, что А = ^; С = — у?.
349

Подставляя в систему (II) значения А и С для определения
В и D, получим систему
29 1
из которой следует, что В = щ; ?> = — щ,
Таким образом, искомое частное решение будет таким:
Общее решение заданного уравнения получим, складывая это
частное решение с общим решением (D) соответствующего одно-
однородного уравнения:
(о on
Задача 20,26 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
у" — 4у' + 5у = Dл; + 22) sin Зд; — B8л: + 84) cos Зд;.
Ответ.
у =е2х (C^osx + C2sinx) + Bx + 6) sin3x + (д; + 5) cos Зд;.
Задача 20,27. Найти общее решение уравнения
у" +4y = 3sin2x. , (A)
Решение. Отбрасываем правую часть и решаем соответст-
соответствующее однородное уравнение
/+4у«0. (В)
Корнями характеристического уравнения k2 + 4 = 0 являются
числа
ki. 2 = ± 21. (С)
Частные решения уравнения (В):
. уг = cos 2дг; у2 = sin 2л;,
а его общее решение
у0 = Сг cos 2л; + С2 sin 2л;. (D)
Приступаем к определению частного решения заданного неод-
неоднородного уравнения (А). Сравнивая его правую часть с B0,14),
заключаем, что а = 0; C = 2. Теперь надо определить число a -j- pi.
Оно равно 2i. Число 2/ является простым (однократным) корнем
характеристического уравнения (k — 1). Частное решение ищем
в виде B0,16), в котором следует взять k = 1; а = 0; C =2, сте-
степень многочленов р {х) и q {x) равна нулю.
350

Следовательно, надо взять
4 Y = х (A cos 2x + В sin 2x)
1 Y" = 2 (—2Л sin 2х + 2Д со<= 2л^ -f х (— 4Л cos 2дг — 4В sin 2л:)
3 sin 2л: — АА sin 2л: + АВ cos 2л:
Учитывая, что в левой части этого равенства cos 2л: отсутст-
отсутствует (а, следовательно, коэффициент при нем равен нулю), за-
заключаем:
—АА = 3;
4В=0.
3 3
Отсюда Л = — -J-; В = 0 и поэтому Y = — -jxcos2л:.
Общее решение:
t/ = С1сов2л: +С281п2л: — -^ х cos 2л:.
Задача 20,28 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
у" -J- у = х cos х.
Указание, Частное решение следует искать в виде
Y = х [Ах + В) cos х + (Cx + D)sinx].
После подстановки в заданное уравнение окажется, что А = 0;
Отв ет. у = C^^cosx + С2 эшл: + -т-л:со8л: + -^
Задача 20,29 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
у' -f 9у = 18 cos Зл: — 30 sin Зл\
Указание. Частное решение искать в виде
Y = х (A cos Зл: + В sin Зл:).
О т в е т. у = Сх сов.Зл: + С2 sin Зл: + х E cos Зл: + 3 sin Зл:).
Задача 20,30. Найти закон движения точки, на которую дей-
действуют две сильк 1) сила притяжения к неподвижному центру,
пропорциональная расстоянию точки от этого центра Р = — кгтх
(см. задачу 19,8), и 2) периодическая сила, определяемая форму-
формулой F = Am cos pt.
Решение. Дифференциальное уравнение движения будет
таким:
т Ш? = — ^гтх + Am cos pt.
351

Сократим уравнение на т и запишем его в виде
^+k2x = A cos pt. (Л)
Уравнение — линейное неоднородное.
Рассмотреть следует два случая: 1) р Ф k\ 2) р —k.
Уравнение (Л) часто встречается в механике. Оно называется
уравнением вынужденных колебаний при отсутствии сил сопро-
сопротивления. Сила F = Am cos pt называется возмущающей.
Первый случай (р Ф k). Отбросим в уравнении (А) правую
часть и найдем общее решение уравнения
5+^ = 0 (В)
(уравнение свободных гармонических колебаний). Характеристи-
Характеристическое уравнение г2 -{- k2 = 0 имеет корни:
П.2 = ± ki. (С)
Общее его решение:
х0 = С1 cos kt -f- C2 sin kt. (D)
Частное решение неоднородного уравнения (А) в случае, когда
рфк, следует искать в виде B0,15) (а = 0; C = р; a -J- р/ = pi
не является корнем характеристического уравнения):
k2
1
X = В cos pt + С sin pt
X" = — Bp2 cos pt — Cp2 sin pt
A cos pt = (Bk* — Bp2) cos pt + (Ck2 — Cp2) sin pt
Сравнивая коэффициенты при cos pt и sinp^, получаем урав-
уравнения для определения неизвестных коэффициентов В и С:
Bk2 — Bp2=A\
Ck2 — Cp2 = 0 Г
Поэтому
в = W=p* ; С = 0; Х = F=7C0s ^
(так как рфк, то /г2 — /?2 =^0).
Общее решение уравнения (Л) в этом случае будет таким:
х = Сг cos й^ + С2 sin й^ 4-
Второй случай (p=k). В этом случае по-прежнему а = 0;
Р = р, но так как р = k, то р = й, а число a -J- pi = ki является
корнем характеристического уравнения (см. (С)), поэтому частное
решение надо искать в виде B0,16) (только не упустить из вида,
что независимую переменную х надо заменить на /). Правая
часть заданного уравнения теперь равна A coskt (p заменено
буквой k).
352

Итак, частное решение в этом случае:
/г2
1
X = t(Ccoskt+Dsinkt)
X" = 2 (—Ck sinkt + Dk coskt) +
+t(—Ck2 coskt — Dk2 sinkt)
A cos kt — — 2Ck sin kt + 2?>? cos kt
Сравнивая коэффициенты при cos^ и sin^ в левой и правой
частях этого равенства, получаем
D = Ш '• С = 0;
,, .A sin kt
частное решение неоднородного уравнения Л=г—^ь—.злотому
общее решение уравнения вынужденных колебаний (А) при р — к
(это уравнение полезно запомнить) запишется так:
Рассмотренный второй случай представляет особый интерес.
Наличие множителя / в последнем слагаемом указывает на то,
что с возрастанием времени t абсцисса х точки (т. е. ее размахи)
неограниченно увеличивается и может достигнуть сколь угодно
большой величины. Это явление называется резонансом. Оно
наступает тогда, когда частота возмущающей силы равна частоте
свободных колебаний точки (р = k). Следует обратить внимание
на то, что при отсутствии возмущающей силы движение описы-
описывалось бы уравнением (В), закон движения — уравнением (D)
и точка совершала бы свободные гармонические колебания (см. за-
задачу 19,6, п. 9). Уже рассмотрение решения (Е) показывает, что,
когда частоты свободных и вынужденных колебаний (числа р и k)
мало отличаются одна от другой, знаменатель k2 — p% в послед-
последнем слагаемом мал, а само оно становится большим.
Из сказанного ясно, что при проектировании сооружений,
судов, машин, фундаментов и т. д. надо всячески избегать явления
резонанса, т. е. не допускать совпадения частот собственных
колебаний с частотой накладывающейся возмущающей силы.
Устранение этого явления может быть достигнуто увеличением
разности между этими частотами.
Задача 20,31. Найти общее решение уравнения
у" + у = (Зх + 2) sin2x + {х2 + х + 2) cos2x.
Решение. Соответствующее однородное уравнение
у" + у = о.
Его характеристическое уравнение fe2 -|- 1 = 0 имеет корни:
kil2=±i.
353

Частные решения уравнения:
уг = cos л:; у2 = sin л:,
а его общее решение
у 0= Сг cos х + С2 sin л:.
Приступая к определению частного решения заданного урав-
уравнения, сравним его правую часть с B0,14). Замечаем, что а =6
(множитель е"* отсутствует в правой части), C = 2; число а +
+ {3i"= 2i не является корнем характеристического уравнения.
Частное решение надо поэтому искать в форме B0,15). Нам
осталось решить вопрос о степени многочленов р (х) и д (х)
в B0,15). Так как многочлены при sin 2л: и cos 2л: в правой части
заданного уравнения различны, то степень многочленов р (х)
и q (x) должна быть равна наибольшей из них, т. е. второй,
и частное решение должно иметь вид:
Y = (Лл:2 + Вл: + С) cos 2л: + (Dx2 + Ex + F) sin2x
Y" = (— 4 Ах2 — 4Вх + Юх + 2А—4С + АЕ) cos 2л: + (—4?л:2—
— 4?л: — 8Ах —АВ + 2D — AF) sin 2л:
(Зх + 2) sin 2x + (х2 + х + 2) cos 2x = {—ЗАхг — Wx + 8Dx + 2A—
—ЗС + АЕ) cos 2л: + (— 3D*2— ЗЕх — ЪАх — 4В + 2D — 3F) sin 2л:
Сравнивая коэффициенты при sin 2л: и cos 2л: в левой и правой
частях последнего равенства, получаем:
—Юх2 + (—3? — 8А) х + (—АВ + 2D — 3F) = Зл: + 2;
—ЗАх2 + (-ЗВ + 8D) х + B4 — ЗС + АЕ) = х2 + х + 2.
Сравнивая коэффициенты при равных степенях, получаем:
при х2
— 34 = 1; А = — -i
при х
—ЗЕ — 8Л = 3; — 3?+| =3; ? = —I
свободный
член
Значит,
354
2D — 3F = 2; -i —3F = 2; У = _ |
2А — ЗС + 4? = 2; — -| — ЗС — |- = 2; C = -g

а общее решение заданного уравнения:
у = Cr cos х + С2 sin х + (—-g- х2 — у х — gj\ cos 2x +
Теперь, учитывая, что учащийся приобрел уже прочные навыки
в отыскании частного решения неоднородного линейного урав-
уравнения по виду его правой части, мы предлагаем для самостоя-
самостоятельного решения несколько дифференциальных неоднородных
уравнений, порядок которых выше второго.
Задача 20,32 (для самостоятельного решения).
Найти решения уравнений, удовлетворяющие начальным усло-
условиям: 1) g + g = e2(; *@)=0; х'@) = 0; *"@) = 0;
S S *@) = *'@)=*"@) = 0; х'"@) =5;
3) х<«> + 4л: = t2; х@) =х' @) = х" @) = х" @) = 0;
4Mf«+2a2$ + aV = C0S?; r@) = r'@) = l; r"(G) =
= 1 — 2a2; r" @) = — 2a2.
Указания. В третьем примере характеристическое урав-
уравнение ft4 + 4 = 0 може? быть переписано так: ft4 + 4ft2 + 4 —
— 4ft2= 0, или (ft2 + 2J— BftJ= 0; (ft8— 2ft + 2) (ft2 + 2ft + 2^ = 0.
Его корни: fti,2 = 1 ± i\ fo,4 = — 1 ± L Частное решение неодно-
неоднородного уравнения X = j t2.
В четвертом примере характеристическое уравнение ft4 +
+ 2a2ft2 + a4 = 0; (ft2 + a2J = 0 имеет кратные корни: kx — at;
&2 ==—ai; k3 = ai; ft4 = —at. Частные решения соответствую-
соответствующего однородного уравнения: r1 = cosacp; r2 = sina<p; r3 = <pcosa<p;
r4 = tpsinacp. Частное решение неоднородного уравнения jR =
= A cos ср.
12 1 1
Ответ. I) x = — -2+jCost—jsint+iQe1';
2) x = ~t2 — 4г + 4 — le-' + lcos^ — jsinft
3) x = jt2 — jetsint +je-1 sint;
4) r = [l ~ (fli + iJ ] C0SgcP + ^ sinacp + -j cos ay —
- 2(S+T)sin acp + WTWcos T-
355

Задача 20,33 (для самостоятельного решения).
Решить уравнение
d'u .3.1
^ — 4у = sinj xsm-2 х
при начальных условиях у @) — 1; у' @) =0.
Указания. Заменить произведение синусов в правой части
разностью косинусов:
3 11
sin-j Arsin-j* = -j (cos* — cos2x).
Рассмотреть два неоднородных уравнения:
d*y .1 <Ру л 1
^ 4«/ cosx; 4У
и отыскать для каждого из них частные решения: для первого
в виде
Yt = acosx + В sin*,
для второго
Уг = А1 cos 2х -]¦- Вг sin 2л:.
После определения коэффициентов Л, В, ^t и В1 образовать
сумму Yt + Y2, которая и будет частным решением заданного
уравнения.
Ответ, у^^ + ^е-^-^совх+^созгх.
ДВАДЦАТЬ ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание: Уравнение Эйлера. Системы линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (основные понятия).
1. УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Основные сведения из теории
Уравнение Эйлера является линейным дифференциальным
уравнением, которое имеет вид
{ах + Ь)пу^п) + ах (ах + й)"-1^*"-" + а2 (ах + b)n-2y^-"^ +
+ ...+an-l(ax + b)y'+ any = f(x), B1,1)
где все at (i = 1, 2, . ..), а также а и Ъ — вещественные числа,
а правая часть f (х)—функция независимой переменной х, и по
этой переменной вычислены все производные в B1,1).
В частном случае, когда а = 1, b = 0, уравнение B1,1) при-
принимает вид
x"yw + CjX"-1^"-1» + a2xn-2y'-n-v -j- ... 4- an-ixy' +
+ any = f(x). B1,2)
356

Уравнения Эйлера B1,1) и B1,2) представляют собой частный
случай линейных дифференциальных уравнений с переменными
коэффициентами.
В приложениях математики уравнение Эйлера встречается
часто.
Если ввести замену независимой переменной по формуле
ах + Ь=е*у=1п\ах + Ь\) B1,3)
в случае, если уравнение имеет вид B1,1), или
х = (* (t = ln\x\), B1,4)
если уравнение имеет вид B1,2), то уравнение Эйлера приво-
приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами.
Из B1,3) следует:
1
[dt2 dt
B1,5)
Делая в B1,1) замену переменных по формулам B1,5), это
уравнение преобразуем в линейное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами, которое мы умеем интегри-
интегрировать.
Сначала решим несколько однородных уравнений Эйлера, т. е.
таких, в которых правая часть /(х)=0.
Задача 21,1. Найти общее решение уравнения
Решение. Это уравнение Эйлера типа B1,2).
Произведем замену переменной х — е' по формуле B1,4) на
основании B1,5) при а—\ и получим
«¦-*-'%¦¦ *•"-«(?-%)¦
Подставляя эти значения производных в заданное уравнение
и замечая, что на основании B1,4) х2 = e2t, получаем
у"
Отсюда следует, что
d*y dy i ^ dy
357

Делая приведение подобных членов, имеем
Сделанная подстановка привела нас к линейному уравнению
с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение
имеет вид k2 + 4& + 3 = 0. Его корни: kx = — 3; k2 = — 1.
Частные решения:
Ух = е-*; у2=е~<. (А)
Теперь надо возвратиться к старой переменной х. Из B1,4)
следует, что t = \nx.
Частные решения запишутся в виде:
_ 1 _ 1
а общее решение заданного уравнения
или окончательно
Задача 21,2 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений Эйлера:
1) х2у" + ху' — 9у = 0; 2) *¦/ + ху' + 9у = 0; 3) х2у" + ху' = 0.
Ответ. 1) у = С,хя+ CiX-3; 2) у = Qcos C In x) + C2sin C In x);
3) у = С1 + Сг\пх.
Задача 21,3 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
Указание. Рассматриваемое уравнение — уравнение Эйлера
типа B1,2).
Применив подстановку х = ef, получим уравнение
Характеристическое уравнение; k2 — 2k -f-1 = 0. Его корни
kx = k2 = 1; частные решения: уг = е*\ у2 = fe(.
Ответ, у = Cxa: -{- C2x 'n^» или I/ = ^ (Q + ^2
Задача 21,4 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнения
?_?* 4г-о. (А)
Указание. Если обе части уравнения (А) умножить на <р2,
то оно примет вид B1,2): <ра;р — 2<pj- — 4г = 0. Это и есть урав-
уравнение Эйлера (независимая переменная—ср). Подстановка B1,4)
в данном случае имеет вид ср = е'.
358

Используя формулы B1,5а), в которых у надо заменить на г,
получим уравнение ^-2 — 3^~ — Аг = 0. Его общее решение: г =
= Схе4' + С2е~(. Возвращаясь к старой переменной, по формуле
<р = е( получим e4t = <р4; е—' = ср—'.
Ответ. г = С1<р4 + С2ср-1.
Задача 21,5 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений Эйлера:
1) Р2^-3Р^ + 5ы = 0; 2) ?Ж,-Ы __5^ = 0;
3) ^y-5^'+8i/ = 0.
Указание. Во втором примере искомой функцией является х,
а независимой переменной t. Подстановка B1,4) может быть за-
записана так: t = еи, где и — новая независимая переменная.
Ответ. 1) M = pz(C1coslnp + С2 sin In p);
2) х = Cjb +^; 3) у = С^ + Съх*.
Задача 21,6. Найти общее решение уравнения Эйлера
(Зх + IJ у" — 2 (Зд: + 1) у' — Щ = 0. (А)
Решение. Сделаем .замену независимой переменной по фор-
формуле B1,3), полагая, что
Ъх + 1 = еК (В)
На основании B1,5), учитывая, что а = 3, Ъ — 1, (Зх + l)z= e2t,
получим
Отсюда получаем (после приведения подобных членов и со-
сокращения на 3)
Характеристическое уравнение: 3k2 — 5k — 4 = 0. Его корни:
у __ 5 /га. , _ 5 /73
К1 ~  "Т"~6~ ' К2~~ 6 6 *
Общее решение уравнения (С)
5 /73 /73
ё (С е + С в }
Из (В) следует, что ^ = In (Зд: + 1), а потому ё® =е^
1 УТз, /73
(Зд: + IN; е 6 = (Зх + 1) 6 .
Общее решение заданного уравнения запишется так:
1 /73 YH
359

Задача 21,7 (для самостоятельного решения).
Проинтегрировать уравнения Эйлера:
2) Bх + IJ у" — 2Bх + 1)у' — 12у = 0;
3) E + хГу"-3E+х)у' + 4у = 0.
_ 4_
Ответ. 1) м = Q + С2 (Зг + 2)~ з";
2) ^C^x + l^+C^x + l)-1;
3) */ = E +лгJ [Сх +С21пE +л;I-
Задача 21,8 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение уравнений Эйлера:
1) х3у" — 6х2у" + \8ху' — 24г/ = 0;
2) x4ylv — х*у" + Зх2у" — бху' + 6у = 0.
Указания. 1) После подстановки х — ё на основании фор-
формул B1,5) при а=1 получится уравнение у" — 9у" + 26у' —
— 24у = 0.
Характеристическое уравнение kz — 9k2 -f 26^ — 24 = 0 имеет
корни: &j = 2; k2 = 3; /г3 = 4.
2) Замена независимой " переменной по формуле х = е( дает
такое выражение для четвертой производной:
Оно получается из последней формулы в B1,5) при а= 1, если
обе ее части продифференцировать по л;. При этом надо иметь
в виду, что для вычисления в правой части производной по х
надо ее продифференцировать по t и результат дифференциро-
дифференцирования умножить на — или, что тоже, разделить на ~~е*.\\о
деление на ё равносильно умножению на е~*. Таким образом,
чтобы найти производную по х правой части этой формулы, надо ее
продифференцировать по t, и результат дифференцирования умно-
умножить на егК
После приведения подобных членов получится уравнение
Характеристическое уравнение имеет корни:
Ответ. 1) у = Сгхг + С2х3 + С3х4;
2) у = Ctx + С2х 1п х
360

Задача 21,9. При изучении предмета «Сопротивление материа-
материалов» приходится решать так называемую задачу Ляме об опре-
определении напряжений в точках толстостенной цилиндрической тру-
трубы по известным равномерно распределенным давлениям, действу-
действующим на ее внутреннюю и наружную поверхности. Решение
задачи приводит к дифференциальному уравнению
о d'lu . du п
Р 5 ~Т* Р W = U»
dp flp
которое является уравнением Эйлера.
Проинтегрируйте его самостоятельно.
1
Ответ, и = С,о + С2 —.
Теперь проинтегрируем несколько неоднородных уравнений
Эйлера, т. е. таких, у которых правая часть f(x)B B1,1) или
в B1,2) не равна нулю.
Задача 21.10. Найти общее решение уравнения
fl2w=lnx. (A)
Решение. Предложенное уравнение — уравнение Эйлера.
От уравнений, решенных выше, оно отличается наличием правой
части, являющейся функцией той независимой переменной, по
которой вычислены производные.
Как и раньше, это линейное уравнение с переменными коэф-
коэффициентами может быть преобразовано к линейному уравнению
с постоянными коэффициентами с помощью подстановки B1,4):
х = е'; / = In х.
Применяя формулы B1,5а), получим уравнение
'¦?? + 3*{ + 12* = /. (В)
которое является линейным неоднородным уравнением с постоян-
постоянными коэффициентами. Поступаем так же, как и на предыдущем
практическом занятии: отбрасываем правую часть и ищем общее
решение уравнения
|f + 3|+12^ = 0. (С)
Его характеристическое уравнение
k* + Zk + 12 = 0 (D)
имеет корни: kuz = —-^± —^^ (?)
361

Частные решения уравнения (С):
-& /39, -f< - /39,
Ух=е 2 cos '-j-К y2 = е J sin — t,
а его общее решение
Уи = с/Ъ* cos J^|? / + Сае"' sin ^|? Л (F)
Теперь отыщем частное решение уравнения (В). Сравнивая его
правую часть с B0,14), отмечаем,. что а = 0; р = 0. Число а +
+ Р« = 0 не является корнем характеристического уравнения
(среди корней (Е) числа нуль нет).
Частное решение ищем в виде B0,15):
(G)
12
3
1
Y
Y'
Y"
= At-
—
=
A
0
t = \2At + 125 + ЗА (К)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы t
в левой и правой частях равенства (К), получим
1;Л=-^;
Подставляя эти значения А и В в (G), найдем
у = !*_±
12 48*
Складывая это частное решение неоднородного уравнения (В)
с общим решением (F) соответствующего однородного уравнения
получим общее решение уравнения (В):
„ -U /39, , г -~t . /39 , 1 , 1
«/ = ^6 2 cos^-^+ Сф 2 sin^-/ + 12* —48'
Теперь следует возвратиться к старой переменной х с помощью
равенства B1,4): t — \пх. Имея в виду, что
получаем окончательно
—о Ix-» / V 39 , it^> 'i? «эз 1 \ г • * i i
у = x 2 Qcosl -y- \ax\ + Casinl12- ln^j + ^ ln^ —^.
Задача 21,11 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения уравнений:
) у
2) *У-;
3) ху — у + у
4) B* + 1)¦/ — 2 B* + 1) г/' — 12г/ = Зд: + 1.
362

Указание. Сделать подстановку
2х + 1 = ё
и воспользоваться формулами B1,5). Из (А) следует;
* = |(«<-1); 3x+ \ = let—L.
Ответ. 1) у = Схх + С2х~1 + Зх2;
(А)
2) y = C1x j
3) у = Cjx2 + С2х% Ых + 5х;
4) у=,С1Bх+\K + С%Bх+1)^-^х-^
II. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
а) Нормальной системой дифференциальных уравнений назы-
называется система уравнений вида:
dxa
— /3
.-, Xn)
¦ • • » Xn)
..., xn)
dx,
~TT — In (h'Xi, Xit . . . , Xn)
dt
B1,6)
В этой системе уравнений неизвестными являются п функций
xv х2, ..., хп, а независимой переменной — t.
Особенности нормальной системы дифференциальных урав-
уравнений:
1) Все входящие в систему уравнения являются уравнениями
первого порядка.
2) Все уравнения системы разрешены относительно производ-
производных искомых функций ~, -^, ..., -jf.
Если нормальная система уравнений B1,6) линейна, а коэф-
коэффициенты при неизвестных функциях постоянны, то она имеет
вид:
~
dxn
Tt
~<?i(t)
... + а2пхп + «р2 (О
• . . + йппХп + ?n if)
B1,7)
363

Все искомые функции xlt х2, ..., хп входят в систему B1,7)
в первой степени, а функции, <рг@> ТгС). ¦•¦> Ф« @—функции
независимой переменной t, по которой вычислены производные.
Если все эти функции равны нулю, то система B1,7) назы-
называется однородной, а если хотя бы одна из них не равна нулю,—
неоднородной.
Число произвольных постоянных, входящих в общее решение
нормальной системы уравнений, равно числу неизвестных функ-
функций, входящих в систему. Произвольные постоянные определя-
определяются из начальных или краевых условий.
Способ интегрирования нормальных систем линейных уравне-
уравнений с постоянными коэффициентами мы покажем на примере
однородной системы из трех уравнений.
Задача 21,12. Найти общее решение системы:
dx r,
dz _ „
j-t — x — у + аг
Решение. Неизвестными функциями являются х, у и г, а
независимой переменной t.
Приведем решение этой системы к решению одного уравнения,
порядок которого равен числу уравнений, входящих в систему.
Для этого любое из уравнений системы (А) продифференцируем
, dx du
по t и заменим в полученном уравнении производные j-(, -^ и
-т. их выражениями из системы (А). Поступая так, например,
с первым уравнением, получим
dbc r,dx dy .dz
dT ~ di ~~ di + Tt'
Заменим в этом уравнении производные -?, ji^Tf СТ0Я1П-ие
в правой части, их выражениями из второго и третьего уравне-
уравнений заданной системы (Л) и получим уравнение
% = 3 (Зх-у + г) - (-х + Ъу — г) + (x-y + 3z),
dx dy dz
dt Tt Tt
откуда после приведения подобных членов в правой части найдем
¦— = Пх — 9у + 7г. (В)
Это уравнение опять продифференцируем по t и получим
d*x_..dx_ dy . -dz
364

Снова заменим в правой части производные -?, -У и ~ их
выражениями из заданной системы (А) и получим уравнение
которое после приведения подобных членов в правой части запи-
запишется так:
dt3'
Рассмотрим систему уравнений, состоящую из первого урав-
уравнения заданной системы (А), т. е. уравнения, обе части которого
мы дифференцировали, и уравнений (В) и (С):
(D)
Чтобы прийти к уравнению, содержащему только одну не-
неизвестную функцию, из первых двух уравнений системы (D)
определим функции у и г. Из этих уравнений следует:
dx
— 7z= Ux —
dH
Решая их относительно у и г, получим:
,ix d'lx ,c , ,
У
2 =
1^
dt dt2
2
Подставляя зти значения у и z в третье уравнение системы (D),
найдем
После упрощений в правой части получаем
d3x
Уравнение (F) — линейное однородное уравнение третьего по-
порядка с постоянными коэффициентами. Перепишем его так:
(О)
365

я найдем его общее решение по известным правилам. Составляем
характеристическое уравнение
к3—\№ + 36/г — 36 = 0.
Корнями этого уравнения являются числа:
kx = 2; k2 = 3; k3 = 6.
Частными решениями уравнения (G) будут функции:
х1 = e2t; х% = e3t; х3 = e6t,
а его общим решением
Л = Cjf* + С#" + С3е*<. (К)
Чтобы определить две остальные неизвестные функции у и z,
воспользуемся выражениями (Е). После подстановки в (Е) вы-
выражений х, j-t и ?-? получим:
у = C^t - 2C3e6t; z = —Схе* + С^1
Задача 21,13 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения систем уравнений:
у = ЪС-^ +
sint; у = 2
B V3l) + Casin
у = }^е( [Cacos B УЩ — Ci sin B
Задача 21,14 (для самостоятельного решения).
Найти общее решение системы:
х + # + 2sin^ — 3 cos t
— 20 cos/
Указание. Обе части первого уравнения продифференциро-
продифференцировать по t. В полученное уравнение подставить вместо производ-
производной ? ее значение из второго уравнения, а вместо у — его зна-
значение из первого уравнения:
' y = pt+x — 2sint + 3cost. (A)
Получится уравнение
Интегрировать его следует как линейное неоднородное урав-
уравнение.
366

Чтобы определить функцию у, надо в выражение (А) подста-
dx
df
вить найденное значение х и его производную —.
Ответ. x = C1et + Cie2t
y = 2C1et+3C2e2
Задача 21,15 (для самостоятельного решения).
Решить системы уравнений при заданных начальных условиях:
1) х' = — 2y+2,t\ %@)=2;
'24 ) 0) 3
х и у — искомые функции, t — независимая переменная.
2) х' + у' = у + е' \
2х' + у' = —2г/ + cos/J х^ = у @) = 0<
Указание. Разрешить систему относительно х' и у'. По-
Получится
y+ \
у' = 4у — cos t-\-2е* у
Интегрировать эту систему, как и предыдущую. Искомые функ-
функции и независимая переменная те же.
Ответ. 1) х= ljcos2t — 3sin2/ — -|;
2) x = et — }±eit—r7cost+ \
t/ = — -g-e' + ^ei
Задача 21,16 (для\ самостоятельного решения).
Найти решения систем, удовлетворяющие заданным условиям:
у'=х+у\ у @)^=2;
z' = x+z] г@)=3.
2) х' = 6х — 72у + 44г ] х @) = 9-,
у' = —4Х + 40у — 22г г/@)=5;
г' = —бх + 57«/ — 31г] г @) = 7.
(Искомые функции—х, у и г, независимая переменная — t).
Ответ. 1)* = 2 — ё\ y = —2
367

III. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
С линейными системами дифференциальных уравнений второго
порядка приходится встречаться часто в теоретической механике,
сопротивлении материалов и в других приложениях математики.
Система дифференциальных уравнений, разрешенных относи-
относительно наивысших производных искомых функций, называется
канонической. В случае трех неизвестных функций х, у и г
и независимой переменной / эта система уравнений записывается
так:
*?l _ f
dt2- I
y,
dx
z, dt,
dy
dt,
dz\)
dt)
dz
dhj [, dx du dz
jp = <?\t. x,y, z, Jt, jf, dt
dx
dg ch
d~V Tt
B1,8)
Общее решение этой системы содержит шесть произвольных
постоянных, для определения которых задается шесть начальных
условий (в механике это начальное положение и скорость точки
в некоторый момент времени t = t0).
Для определения решения канонической системы уравнений
B1,8) применяется такой же прием, как и при решении рассмот-
рассмотренных выше нормальных систем: последовательным дифферен-
дифференцированием одного уравнения системы (или нескольких ее урав-
уравнений) следует исключить все искомые функции, кроме одной.
Сущность этого приема подробно разбирается на примере в сле-
следующей задаче.
Задача 21,17. Найти общее решение системы уравнений:
d2x „ .
_ = _2х-4
Решение. Продифференцируем первое уравнение два раза
по t и получим
dt* dt* dt*'
d2u
Подставим в (Л) вместо ^1 его выражение из второго уравне-
-?
ния системы.
Тогда
или
dt*
d*x
(В)
368

Из первого уравнения системы определим у и подставим его
в уравнение (В):
У — 4 \ * dt2 Г
С этим значением у уравнение {В) перепишется так;
2
Раскрывая скобки и перенося все члены уравнения в его левую
часть, получаем
Характеристическое уравнение
k" + 9fe2 + 18 = О
имеет корни: &1>2 = ±V3i', k3ti = ±У~Ы.
Частные решения:
хх = cos|^3^; л;2 = sinl/З^; х3 = cos|^6/; л;4 = s
Функция
д:=СХ cosVr3F+ С2 sinVlF + Са cos^e? + С4 sin V&. (D)
Теперь из (€) найдем у. Из (D) находим
—ЗС2 sin|^37— 6C3 cos|^6F— 6C4 si
Подставляя х и -г^ в (С), получим
у = -i-Cj cos|^37 + -i-C2 sin ^ЗТ + C3 c
Задача 21,18. Найти общее решение системы:
(независимая переменная х).
Решение. Продифференцируем по х дважды второе уравне-
уравнение:
2<4> = у + г". (Л)
Заменим в (Л) г/" его значением из первого уравнения.
Тогда
2<*> = 4г/— 2г+2". (В)
Чтобы получить уравнение, содержащее одну неизвестную
функцию, исключим из него у с помощью второго уравнения си-
системы. Из него следует, что
У = 2" -2. (С)
369

Подставляя это значение у в (В), Получим
2<<n = 4(z" — z) — 2z+z\
а после упрощений
2D> _ 5z" + 6z = 0.
Характеристическое уравнение А4 — 5&2 + 6 = 0. Его корни:
к, - Yb кг = -^3; fc3 = )/2; к, = -1/2.
Частные решения:
Функция
z = с/*' + С^*х + С3е^ + С,е~УТх ,
или на основании формул A9,18), вводя обозначения:
C, + C2 = ci; ?,-C2 = c2j_C3 + C4=^3; С3-С* = си
г = сх chl/Зх + с2 chl/Зл; + с3 chV^ + c4 shV2Jc.
Подставляя найденное значение функции z и ее вторую про-
производную г" в выражение (С), получим
у - 2сгch 1/Зл; + 2с2 shl/З* + с3 сЬ1/л; + с4 shV§Je.
Задача 21,19 (для самостоятельного решения).
Найти общие решения' систем (во второй системе найти реше-
решение, удовлетворяющее начальным условиям):
1/0+Л 0| 2)^06 7
*@) = 2; y@) = 1; *'@) = 1;
У'@) = 3.
a t
I a \ I a \i •
Ответ. 1) *= |dcos(^) + C2sin(^
2) л; = de* — C2e-' + 7СЯ cos 3^+7C4 sin 3/ — у /.
y = — de< — C2e-' + 3C3 cos 3^ + 3C4 sin 3^ — -| /.
T, „ „ 297 n 31 n 3 „
Из начальных условии: d — — щ> ^>г= го'- ^з = Jq' c*
il
135*
370

Задача 21,20. Найти решение системы
d2x , dx
удовлетворяющее начальным условиям: x @) = у @) = 0; x' @) =
= vox; у' @) = voy (k и g — постоянные величины).
Решение. Предложенная система уравнений описывает дви-
движение снаряда с учетом сопротивления среды.
Каждое из уравнений системы содержит только одну неиз-
неизвестную функцию.
Из первого уравнения следует
d4 , Ах. п
Характеристическое уравнение г2 +kr = 0 имеет корни: гг = 0;
г2 = —k. Частные решения уравнения: хх = 1; х2 ¦= e~kt .Его об-
общее решение
х = Ct + C^rkt. (Л)
Чтобы определить Ct и С2, найдем х':
х' = — Czke-kt. (В)
При t = 0 имеем:
из (А) 0 = Q + С2;
из (В) v^ = — C2fe.
Отсюда C^^f; C,-_E|!.
Подставляя эти значения Сх и С2 в (Л), получим
v x = °-f{\-e-kt). A)
Второе уравнение перепишем так:
Уравнение линейное неоднородное. Общее решение соответ-
соответствующего однородного уравнения:
У о = С3 + С4е~".
Так как корни характеристического уравнения — числа 0 и —k,
из сравнения с B0,14) а =» р = 0, а число а + Щ = 0 является
корнем характеристического, то частное решение следует искать
в виде:
0 Y = At
1 У"=0
371

Общее решение уравнения (С);
у = С3 + С4е-*<-^. (D)
Для определения С3 и С4 из начальных условий найдем у':
«,' = -C4fer-«—f, (E)
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений:
из (DH = C3 + C4;
из (E)voy = С4&—?-,
± i-
С4 — ? , ь3 — fe •
Подставляя эти значения С3 и С4 в (D), получим
у = !!!?!(! _*-«)-!*. (П)
Уравнения (I) и (II) являются параметрическими уравнениями
траектории снаряда.
Исключите самостоятельно параметр t из этих уравнении (из (I)
выразить / через л; и подставить в (II)). Окажется, что
Из последнего уравнения можно определить горизонтальную
дальность стрельбы, если положить в нем у = 0, и из получен-
полученного уравнения найти х.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть HI
Стр.
Предисловие • • . ¦ . 3
Первое практическое занятие. Первообразная функция и неопреде-
неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Непосредствен-
Непосредственное интегрирование .••...• • ... 5
Второе практическое занятие. Интегрирование показательной и
тригонометрической функций . • ¦ ¦ 21
Третье практическое занятие. Продолжение упражнений в непо-
непосредственном интегрировании •.••••..-.•.••. 30
Четвертое практическое занятие. Замена переменной в неопреде-
неопределенном интеграле (метод подстановки). Интегрирование по частям ... 44
Пятое практическое занятие. Простейшие дроби. Разложение ра-
рациональной дроби на простейшие • • 57
Шестое практическое занятие. Интегрирование простейших рацио-
рациональных дробей . • .•¦•.••¦•.• 67
Седьмое практическое занятие. Интегрирование рациональных
дробей . •-.. -1 ••...-.... .-.•••¦.• 78
Восьмое практическое занятие. Интегрирование выражений, содер-
содержащих тригонометрические функции • • •.-..-..•.••.¦ 88
Девятое практическое занятие. Интегрирование алгебраических
иррациональностей ...••. .••...•...••. 115
Десятое практическое занятие. Интегральная сумма. Определенный
интеграл и его основные свойства. Задачи механики и физики, приво-
приводящие к вычислению предела интегральной суммы. Вычисление опреде-
определенного интегральной суммы • • ¦ ¦ . . 146
Одиннадцатое практическое занятие. Задачи механики и физики,
приводящие к определенному интегралу (продолжение) • . • 159
Двенадцатое практическое занятие. Замена переменной в опреде-
определенном интеграле. Интегрирование по частям. Теорема о среднем
значении ..•¦.•.•••.•¦. • . . • . 174
Тринадцатое практическое занятие. Несобственные интегралы по
бесконечному интегралу и от разрывных функций. Принцип сравнения
несобственных интегралов с положительными подынтегральными функ-
функциями • ................ 186
Четырнадцатое практическое ванятие. Приближенное вычисление
интегралов: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона (формула
парабол) ••.-..• . 200
Пятнадцатое практическое занятие. Приложения определенного
интеграла к геометрии. Определение площадей плоских фигур ..... 207
373

Шестнадцатое практическое занятие. Приложения определенного
интеграла к геометрии (продолжение): длина дуги плоской кривой,
объем тела вращения, поверхность тела вращения •..•••..-.. 222
Семнадцатое практическое занятие. Дифференциальные уравнения
первого порядка •.-....• 242
Восемнадцатое практической занятие. Дифференциальные уравне-
уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка ....... 268
Девятнадцатое практическое занятие. Линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения высших порядков . • 295
Двадцатое практическое занятие. Линейные неоднородные диф-
дифференциальные уравнения •....-.• 327
Двадцать первое практическое занятие. Уравнение Эйлера. Систе-
Системы линейвых дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
коэффициентами (основные понятия) ....••.- 356

Илья Абрамович Каплан
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть III
Интегральное исчисление фуикций одной
независимой переменной. Интегрирование
диффереициальных уравиеиий
Редактор 3. Н. Щегельская
Обложка художника И. Ф. Криворучко
Технический редактор Л. Т. Момот
s Корректор Т. А. Жигальцова