Я.А. ФОМИН
ДИАГНОСТИКА
КРИЗИСНОГО
СОСТОЯНИЯ
ПРЕДПРИЯТИЯ
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением по образованию
в области «Статистики и антикризисного управления»
Министерства образования РФ
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальностям 061700 «Статистика»,
351000 «Антикризисное управление» и другим экономическим специальностям
Жк
ЮН ИТИ
UNITY
Москва • 2003

УДК 658.15.012.12@75.8)
ББК 65.290-93-2я73
Ф76
Рекомендовано Учебно-методическим центром
«Профессиональный учебник» в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Рецензенты:
кафедра статистического моделирования и прогнозирования
Ростовского государственного экономического университета
(зав. кафедрой д-р экон. наук, проф. Л.И. Ниворожкина);
д-р экон. наук, проф. И.А. Корнилов
(Московский государственный университет
экономики, статистики и информатики)
Главный редактор издательства Н.Д. Эриашвили
Фомин Я.А.
Ф76 Диагностика кризисного состояния предприятия: Учеб.
пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 349 с.
ISBN 5-238-00458-3
Впервые всесторонне и полно рассмотрена одна из самых актуальных
проблем современного менеджмента — диагностика кризисного
состояния предприятия. Изложены постановка и формализация задачи,
методы распознавания, параметрическое и непараметрическое обучение,
оптимальные алгоритмы принятия решения, одномерное и многомерное
распознавание состояний, анализ динамики состояния предприятия.
Рассмотрены 30 практических примеров диагностики кризисного
состояния конкретных российских предприятий, проведена оценка
гарантированной достоверности диагностики. Для расчета вероятности ошибки
впервые разработан алгоритм ее вычисления через собственные
параметры диагностики.
Для студентов экономических специальностей, аспирантов,
преподавателей, специалистов в области антикризисного управления, а также
руководителей предприятий.
ББК 65.290-93-2я73
ISBN 5-238-00458-3 © Я.А. Фомин, 2003
© ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА, 2003
Воспроизведение всей книги или любой
ее части запрещается без письменного
разрешения издательства

Предисловие
Последние успехи применения математических и математико-статис-
тических методов к задачам экономики, управления, банковского дела
инспирировали появление ряда новых научных дисциплин, стоящих на стыке
естественных и гуманитарных наук. Одной из таких смежных научных
дисциплин является диагностика кризисного состояния предприятия,
возникшая как результат удачного применения статистической теории
распознавания образов к задаче антикризисного управления предприятием.
Диагностика кризисного состояния предприятия призвана выяснить, имеет ли
место на самом деле кризисное явление, насколько велика его глубина, а
главное, каким способом можно достоверно и точно идентифицировать
кризис. Точно так же, как лечение болезни начинается с установления
диагноза, так и борьба с кризисом начинается с его диагностики. Высокий
уровень нестабильности российской экономики обуславливает частые
симптомы возникновения кризиса предприятий, что диктует необходимость
поиска более эффективных методов борьбы с кризисными явлениями.
Данная работа имеет своей целью вооружить учащихся вузов, молодых
специалистов, работников предприятий и предпринимателей арсеналом
современных методов распознавания кризисного явления на предприятии.
Выходящая как учебное пособие, она также имеет и самостоятельное
научное значение: основной материал этого издания является оригинальным и
публикуется впервые. На сегодняшний день материалы работы в научном
плане полностью исчерпывают поставленную в ней проблему достоверной
диагностики кризисного состояния предприятия, поэтому читатель имеет
возможность разобраться в этой проблеме в рамках данного издания.
Множество примеров практической диагностики кризисного состояния
конкретных предприятий, представляющих различные отрасли российской
экономики, позволяет любому освоившему алгоритмы диагностики
самостоятельно зафиксировать кризис (либо его отсутствие) на предприятии.
Для читателей данной книги можно выделить три уровня сложности
представленного материала. Материал, соответствующий первому уровню
сложности, рассчитан на студентов экономических специальностей и
широкий круг работников в области экономики, финансов, управления. Он
охватывает гл. 1, 2, 3, 10, п.4.4, 5.1, 6.2, 7.6, 8.1, 9.1, 9.2, 11.1. Материал
второго уровня сложности рассчитан на студентов
экономико-математических и статистических специальностей, а также специалистов экономического
профиля, владеющих математическими методами решения прикладных
задач. Он охватывает всю работу, исключая Приложения 1—6. И наконец,
третий уровень сложности соответствует материалу, рассчитанному на
студентов математических и кибернетических специальностей, а также на
специалистов, обладающих высоким уровнем математической подготовки.
Материал этого уровня охватывает всю работу, включая приложения.
Автор выражает глубокую благодарность студенту 5-го курса МЭСИ
Я.Я. Фомину за активное участие в работе над данной книгой.
з

Введение. Цели предприятия
и необходимость диагностики
его кризисного состояния
Название курса «Диагностика кризисного состояния предприятия»
отражает довольно узкую проблему в сравнении с тем широким кругом
задач, с которым приходится иметь дело менеджерам. Однако не все
задачи в менеджменте имеют одинаковый приоритет. Его определяют
цели, которые ставит перед собой руководство фирмы. Если цели фирмы
адекватны сложившейся на рынке ситуации, а поставленные задачи,
которые им соответствуют, удалось решить, то фирма достигает успеха.
Организация считается добившейся успеха, если она добилась своих целей.
Какую же цель преследует задача распознавания кризисных состояний
или, проще говоря, зачем нужно вовремя определить наличие некоего
порога, за которым фирма перестает быть процветающей? Очевидно,
решение этой задачи не является достаточным условием для реализации
основной общей цели — миссии. Миссия есть та причина, по которой
фирма функционирует на рынке, и чтобы успешно на нем
функционировать, необходимо разработать множество целей и стратегий и
адаптироваться к самым различным факторам окружающего мира. На самом
деле, главная цель — выживание фирмы, но многие менеджеры почему-
то игнорируют ее, считая само собой разумеющимся фактом. Между тем,
в малом бизнесе, где высока степень конкуренции, многие фирмы
просто не имеют возможности ставить перед собой более высокие задачи без
риска разорения. В остальных случаях, конечно, миссия фирмы
заключается чаще в росте прибыльности, завоевании рынка, вследствие чего
задача не разориться становится слишком ограниченной. Но эта цель, если
даже миссия усложняется, значения своего ничуть не теряет, поскольку
является необходимым условием процветания фирмы. Вывод о наличии
кризиса делается исследователем на основе созданной им модели для
принятия решения, но окончательное решение принимает менеджер,
использующий эту модель. Руководство должно знать, насколько сильна
тенденция спада, т.е. возможность потери фирмой ее конкурентных
преимуществ, а главное, — когда совокупность неблагоприятных явлений
ослабит фирму настолько, что ее состояние станет кризисным.
Источники информации, которыми, как правило, мы можем оперировать:
бизнес-план фирмы, стратегический план фирмы, финансовая отчетность,
балансовый отчет. При этом предполагается, что существует доступ к
показателям финансовой отчетности фирм-конкурентов.
Наша задача — зафиксировать порог, за которым складывается
определенная комбинация показателей деятельности фирмы, определяю-
4

щая общий неблагоприятный результат, который и будет кризисом
(кризисным состоянием фирмы) Составляющих кризиса множество. Поэтому
диагностика кризисного состояния является многомерной и сложной
задачей.
Во избежание путаницы в терминологии сразу нужно разделить
понятия «кризис» и «банкротство». В отечественной литературе иногда
отождествляются эти два неодинаковых понятия.
Банкротство есть крайняя форма кризисного состояния, когда
фирма не имеет каких-либо возможностей оплатить кредиторскую
задолженность и восстановить свою платежеспособность за счет собственных
ресурсов. Если же проанализировать процесс спада фирмы, то
становится очевидным, что между порогом кризиса и началом процедуры
банкротства, как правило, существует значительный отрезок времени.
За время от момента фиксации кризиса до начала банкротства фирма
способна восстановить платежеспособность за счет собственных
ресурсов (если, конечно, эти два момента не совпали). После начала
процедуры банкротства это уже невозможно (за исключением случая, когда
арбитражный суд признает фирму состоятельной): фирма либо
ликвидируется, либо финансируется из других источников (бюджет,
кредиторы). Поэтому при всех отрицательных аспектах кризиса не стоит
переоценивать остроту ситуации. Целесообразно провести детальный анализ
обстановки для выработки мер по ее улучшению.
Особенность задачи, решаемой в рамках данного курса,
заключается в том, что при множестве различных показателей, отражающих
результаты деятельности фирмы, существует всего две альтернативы при
принятии решения: «кризис» — «не кризис». Достоинством
математических моделей, все шире применяемых в менеджменте (как правило, в
крупном бизнесе в США и Англии), является их способность
вскрывать многие причинно-следственные механизмы, трудно
распознаваемые методами неколичественного анализа. Очень хорошо себя
зарекомендовала применительно к менеджменту теория принятия решений.
Согласно теории принятия решений задачи управления можно
формально разделить на три категории, руководствуясь критерием
неопределенности. Выделяют детерминированный случай, когда руководитель
точно знает результаты каждого из альтернативных вариантов,
которыми он располагает (ситуация определенности). Здесь эффективно
применять методы линейного программирования, эти методы могут помочь
однозначно определить результат, так как все входные данные имеются
и могут быть использованы как исходные данные в математической
постановке задачи. Решения, принимаемые в условиях риска, — это такие
решения, результаты которых не могут выражаться точно, но известна
вероятность каждого из них. Результат определяется конечным числом
альтернатив, сумма вероятностей которых равна единице. Но при этом
требуется точный расчет вероятности на основе статистических данных.
К задачам с риском относятся задачи, которые могут быть решены
методами анализа временных рядов, распознавания образов, с помощью
теории игр. В условиях неопределенности невозможно оценить степень
5

вероятности результатов (исследователь либо не знает вообще, какие
возможны результаты принятия решения, либо знает лишь некоторые
из них). В этом случае модель может только весьма приближенно
описать среду принятия решения, основываясь на значительных
допущениях. В подобной ситуации менеджеры склонны полагаться на
собственный опыт, хотя некоторые сложные математические модели (модель
оптимального управления) целесообразно использовать применительно
к нуждам менеджмента [18,25].
Задача диагностики кризисных состояний фирмы является типичной
задачей двухальтернативного принятия решений с риском и решается в
рамках теории распознавания образов. Риск — это вероятность принятия
ошибочного решения. В данном случае (в отличие, например, от игровых
методов) эта вероятность является объективной, т.е. вычисляется
методами интегрирования распределения оценки отношения правдоподобия.
Следовательно, можно гарантировать любую желаемую достоверность
правильного принятия решения. Из теории проверки гипотез (раздел
математической статистики) известно, что «...байесовский критерий
отношения правдоподобия является оптимальным в том смысле, что он
минимизирует риск вероятности ошибки» [30].
Методы распознавания образов занимают центральное место в
курсе. Это объясняется тем, что принятие даже двухальтернативного
решения «кризис» или «не кризис» требует охвата большого числа
показателей деятельности фирмы и влечет за собой необходимость
использования многомерных статистических методов, так как, во-первых, данные
показатели являются случайными величинами; во-вторых, показателей
большое число; в-третьих, показатели могут быть связаны между собой
любым образом в любых сочетаниях.
Распознавание образа — это отнесение объекта к тому или иному
классу S] или S2. Задача распознавания образов включает три этапа:
1) формирование признакового пространства;
2) обучение распознающей системы — создание обобщенных
портретов (классов) убыточных S2 и процветающих S\ фирм
для снятия неопределенности с помощью обучающих
наблюдений;
3) принятие решений — отнесение фирмы к классу убыточных
5*2 или к классу процветающих S\.
Структура пособия полностью подчиняется вышеуказанным этапам
решения задачи, следовательно, начинать нужно с формулирования
признаков, которые бы наиболее полно отразили разницу между
процветающими и убыточными фирмами. В рамках экономической теории
точного определения класса процветающих и класса убыточных фирм
нет. Но разве не является критерием различия прибыль, получаемая
фирмой? - Ответ: «Нет». С момента выбора миссии фирма
ориентируется на удовлетворение нужд своих клиентов и на принципы
сосуществования на Рынке с фирмами-конкурентами. «Прибыль, - пишут
М. Мескон, М. Альберт и Ф. Хедоури, - представляет собой полно-
6

стью внутреннюю проблему организации... Она может выжить, только
если будет удовлетворять какую-то потребность, находящуюся вне ее
самой. Чтобы заработать прибыль, необходимую ей для выживания,
фирма должна следить за средой, в которой функционирует. Поэтому
именно в окружающей среде руководство подыскивает общую цель
организации» [18]. Другие американские специалисты по менеджменту
А. Томпсон и А. Стрикленд из университета штата Алабама
высказывают ту же мысль: «... прибыль — это скорее результат того, что делает
компания. То, что мы собираемся иметь прибыль, не говорит ничего о
том, в какой среде будет эта прибыль получена. Миссии компаний,
ориентированные только на получение прибыли, не дают возможности
отличить одно предприятие от другого... Компания, которая говорит,
что ее цель — получить прибыль, должна ответить на вопрос: «Что мы
предпринимаем, чтобы получить прибыль» [25].
Следовательно, чтобы выяснить, удачен бизнес фирмы или
неудачен, недостаточно уметь определять ситуацию внутри фирмы, менеджер
обязан соотносить внутренние экономические показатели с
показателями рыночной среды в отрасли. Выше было сказано, что важно
вовремя распознавать кризисные ситуации. Но совершенно ясно, что
никакая своевременная информация сама по себе из кризиса фирму не
вытащит. Другое дело, что в случае несвоевременного принятия
решения о наступлении кризиса, поправить положение будет очень трудно
либо невозможно. Но даже если предположить, что менеджер
своевременно распознал кризисную ситуацию, он обязан на будущее
разработать такие стратегии, которые бы спасли фирму от дальнейшего спада
и, в конечном итоге, от разорения. Поэтому принятие решения о том,
что фирма находится в кризисе, повлечет за собой ряд
ответственнейших решений, непосредственно относящихся к функциям управления.
Следует подчеркнуть, что в кризисных ситуациях, а также в начале
деятельности, т.е. в тех случаях, когда бизнес фирмы наиболее
ослаблен, стратегии управления меняются часто и быстро до тех пор, пока
фирма на конкурентном рынке не приобретет устойчивое положение.
Вступление в фазу кризиса — это вступление в новую ситуацию,
характерную прежде всего острой нехваткой финансовых ресурсов. Чтобы
выжить, необходимы полная мобилизация всех имеющихся ресурсов
фирмы и принятие нестандартных менеджерских решений.
Приняв решение о кризисе, следует попытаться выделить главные
причины, приведшие к нему, а также оценить реальную серьезность
кризисного явления. С этого начинается пересмотр стратегии фирмы.
Если же принято решение о том, что фирма по сравнению с
конкурентами пока далека от кризиса, это означает, что существующая
стратегия приносит свои плоды, что она эффективна, а менеджер, ее
реализующий, вполне контролирует ситуацию и справляется со
своими обязанностями. Пересмотр стратегии и ряд срочных мер,
направленных на форсированное достижение конкурентного преимущества,
успеха не принесут, так как вызовут быструю растрату финансовых
7

ресурсов, усилят недоверие работников к переменам, не выгодным
им, понизив их мотивацию, могут отрицательно повлиять на
организационную структуру, когда ответственные лица не сразу будут готовы
нормально работать в изменившихся условиях. Корректировка
стратегии была бы наиболее адекватна ситуации, в которой требуется лишь
незначительная адаптация [2].
Итак, мы выяснили, почему менеджер так остро нуждается в
достоверной информации о наличии кризиса на фирме и что эта
информация ему дает. Однако мы не выяснили, для чего следует пользоваться
теорией распознавания образов. Почему менее надежно решение
менеджера, пользующегося лишь своим опытом и интуицией? Почему ряд
других моделей менее предпочтителен для решения этой задачи? На
стадии анализа рыночной и внутрифирменной среды приходится
сталкиваться, как уже говорилось, со множеством факторов,
взаимодействующих между собой в любых сочетаниях с разной степенью
связанности, зависимости друг от друга.
Ни один менеджер не сможет абсолютно верно указать такое
правило, согласно которому пространству факторов среды, допустим,
размерности /?, где каждый из р-факторов может быть связан с
остальными р ~ 1 факторами мерой связи, измеряемой от 0 до 1 (это
может быть коэффициент корреляции, например), с заданной заранее
гарантированной вероятностью ошибки однозначно бы соответствовала
одна из альтернатив решения «кризис — не кризис». Объем
информации слишком велик, и человеческий мозг не в состоянии ее
обработать. Однако для распознающей системы эта задача вполне по силам.
Ансамбль /^-признаков по результатам обучения (сравнения с такими
же /^-признаками у т фирм) обрабатывается с учетом всех возможных
сочетаний между ними и полностью соответствует одному из двух
вариантов решения, которое выдает распознающая система. При этом
вероятность ошибки может быть задана любая! При наличии самого
квалифицированного менеджера и распознающей системы принятие
решения лучше доверить последней, потому что может быть
обеспечена минимальная вероятность ошибки, недостижимая для человека.
Возможность достижения самой высокой гарантированной
достоверности принятого решения по сравнению с любой другой моделью
ставит теорию распознавания образов и ее методы в наиболее выгодное
положение в сравнении с остальными методами в рамках теории
принятия решения.

л Стратегический анализ
Глава 1 деятельности предприятия
1.1. Понятие и характеристики кризисного
состояния предприятия
Под неблагоприятным явлением или явлениями в
деятельности предприятия можно понимать любую проблемную ситуацию,
вызванную как внешними (макроэкономическими, отраслевыми,
социально-политическими и др.) факторами, так и факторами
внутрифирменной среды (производственные процессы,
финансовое состояние, маркетинг, трудовые ресурсы), которая прямо
угрожает существованию конкретного предприятия. Причины,
которые провоцируют неблагоприятные изменения позиции
предприятия, могут быть разными и их может быть множество,
однако результаты их воздействия во многом схожи. Симптомы
воздействия неблагоприятных явлений, как правило, одни и те же:
снижение ликвидности, потеря прибыльности, финансовой
устойчивости, рост издержек, уменьшение доли рынка, падение
конкурентного статуса и т.д. Вследствие сильной связи между
факторами, определяющими экономическое благополучие
предприятия, ухудшение одного из показателей функционирования
предприятия влечет за собой немедленное отрицательное
изменение множества других, результатом чего является немедленное
лавинообразное падение позиций предприятия, снижение уровня
его прибыльности на рынке. Эта ситуация, сопровождающаяся
последовательным ослаблением признаков конкурентного
преимущества предприятия, называется эффектом падающего
домино. Таков приблизительно общий механизм наступления
кризиса (кризисного состояния) предприятия. Вообще понятие
кризиса является обобщенной характеристикой любых
неблагоприятных явлений, с которыми сталкивается предприятие. Кризис —
это экономическая категория, отражающая общий
неблагоприятный результат деятельности фирмы (предприятия) на
определенный период времени по многим экономическим признакам.
С точки зрения экономической теории кризис — это
закономерность для всех субъектов экономики, периодически повто-
9

ряющаяся в течение всего отрезка существования предприятия с
момента его создания до ликвидации. Особенно наглядно
трактует понятие кризиса концепция экономического цикла. Еще
Джон Кейнс давал объяснение этому явлению: «В
экономическом цикле есть еще одна характерная черта, а именно, явление
кризиса, то есть внезапная и резкая, как правило, смена
повышательной тенденции понижательной, тогда как при обратном
процессе такого резкого поворота зачастую и не бывает».
Жизненный цикл предприятия состоит из чередующихся фаз спада
и подъема, между которыми располагаются кризисные «ямы».
Продолжительность фаз спада и подъема в реальности бывает
самой разной (в среднем 3 года длится фаза подъема и 2,8 года —
фаза спада для предприятий малого и среднего бизнеса США ).
Графики жизненного цикла предприятия показаны на рис. 1.1.
Жирной линией (кривая 1) нарисован график так называемого
традиционного жизненного цикла; он демонстрирует процесс
деятельности предприятия в долгосрочном периоде (т.е. на всем
отрезке существования). Кривая 2 — график, который
детализирует первый, — это тоже график жизненного цикла
предприятия, но он показывает позицию предприятия в краткосрочных
периодах развития: [0; t\], ft; f2], \h> 'зЬ lh\ к], [Ц\ t5], [t5; t6].
t3 t4 t5 t6 t7 Время
Рис. 1.1. Жизненный цикл предприятия
В традиционном жизненном цикле выделяют семь стадий:
1) зарождение;
2) развитие;
3) бурный рост;
4) стабилизация;
10

5) стагнация;
6) спад;
7) банкротство и ликвидация.
График традиционного жизненного цикла иногда называют
еще графиком конкурентного преимущества предприятия. С этой
точки зрения в жизни предприятия можно выделить пять стадий
изменения его конкурентного преимущества:
1) зарождение конкурентного преимущества;
2) подъем (рост) конкурентного преимущества;
3) зрелость конкурентного преимущества;
4) падение конкурентного преимущества;
5) ликвидация бизнеса.
Интересно, что каждый из циклов развития предприятия
(кривая 2) напоминает по форме кривую традиционного жизненного
цикла (кривую 7), поэтому с некоторыми поправками график
каждого цикла можно считать графиком конкурентного
преимущества предприятия в краткосрочном периоде.
Конкурентное преимущество в краткосрочном периоде проходит те же
стадии, однако лишь последний цикл конкурентного преимущества
достигает стадии 5 — «ликвидация бизнеса», для всех остальных
это будет «кризис».
Буквами А, 5, С, Д Е показаны пики кризисных «ям». Эти
пики служат своеобразными условными границами между
циклами развития. Само кризисное явление, однако, не
ограничивается наличием его только в вышеперечисленных точках в
соответствующие моменты времени t\, ^> Ь> *4> h- Кризис — это
процесс, характеризующийся различной амплитудой (глубиной) и
различной длительностью. Он служит логическим завершением
фазы спада, когда окончательно исчерпываются ресурсы для
поддержания конкурентного преимущества, и является началом
этапа оживления, который сопровождается восстановлением
конкурентного преимущества новым способом.
Итак, вероятность наступления кризиса значительно выше в
межциклический период существования предприятия.
Кризисные явления могут возникать в нескольких случаях:
1) при переходе из стадии начального развития в период
возрастающего развития (см. рис 1.1, момент времени t\)\
2) при переходе из стадии развития в стадию стабилизации
(fc);
3) при переходе из стадии стабильности в период
глобального спада и депрессии (/3, U, ts, t^)\
11

4) от момента банкротства до момента ликвидации
бизнеса добровольно либо принудительно по суду.
Особенно, как показывает практика, изобилует кризисами
стадия спада, когда с течением времени растет не только
частота, но и глубина кризисных явлений. На рис. 1.1 (кривая 2)
выделены контуры кризисных ям и хорошо видно, что при
переходе из стадии стагнации в период спада (левее точки D) вся
деятельность предприятия до момента ликвидации характеризуется
непроходящим кризисным состоянием.
Сущность антикризисного управления состоит в том, что
меры по предотвращению кризиса должны быть приняты еще
задолго до попадания в кризисную «яму». При появлении
тенденции спада необходимо корректировать стратегию уже с учетом
наступления в скором будущем кризисных явлений, привлекать
финансовые средства с целью успешного противостояния
вызванным кризисной ситуацией убыткам, чтобы избежать
банкротства. Успех в антикризисном управлении зависит в
конечном счете даже не от того, удалось или не удалось предотвратить
кризис, который, исходя из концепции жизненного цикла,
является закономерным после подъема событием, а от того
насколько хорошо руководство оказалось к нему готово. В идеале
нужно стремиться к тому, чтобы кризисная «яма» была более
пологой и менее глубокой, т.е. спад длился бы недолго, а
главное, не был бы велик по амплитуде. Особенную опасность для
жизни предприятия имеют глубокие кризисы, после которых
ресурсов для подъема даже на былой до кризиса уровень
процветания уже нет. Поэтому практическая польза от модели
жизненного цикла предприятия заключается в том, что она может
прогнозировать возникновение кризиса еще задолго до него.
Но если в теории кризис, как мы выяснили, — это
закономерность, то на практике кризис — это почти всегда
неожиданность. Для владельца фирмы, для менеджера, для любого
работника это «гром среди ясного неба», «снег на голову». Основным
недостатком теории жизненного цикла является то
обстоятельство, что с ее помощью реально никогда нельзя хотя бы
приблизительно указать момент наступления кризиса. С ее помощью
можно лишь сказать, может случиться кризис или не может, и
то с высоким риском ошибки — ведь, к примеру, бывает и так,
что кризис, поразивший предприятие, может и не смениться
подъемом, а наоборот, является прелюдией к еще более глубокому
кризису. Из всех неприятных свойств, присущих кризисному яв-
12

лению, наиболее опасным является его внезапность, а
следовательно, нужны специальные методы для того, чтобы этой
опасности уметь противостоять.
В популярном американском учебнике по менеджменту
М. Мескона, М. Альберта и Ф. Хедоури [18] сказано, что рацио-
нальнор решение любой проблемы начинается с того, чтобы дать
ей «определение или диагноз, полный и правильный». С
диагностики кризиса начинается всякая борьба с ним.
Упрощенная блок-схема антикризисного управления со
следящей системой диагностики показана на рис. 1.2.
Видно, что все стратегические и тактические задачи
антикризисного управления (см. рис. 1.2) имеют подчиненное значение
по отношению к задаче своевременной диагностики кризиса.
Последняя определяет, в частности, какой тип стратегии
конкурентной борьбы целесообразно использовать руководству
предприятия в ближайшем будущем: оборонительный или
наступательный. Однако к подобной системе диагностики
предъявляются три важнейших требования:
1) своевременность распознавания кризисных явлений;
2) достоверность результата распознавания;
3) непрерывность процесса диагностики.
Природа кризисных явлений может быть различной, но
общим является то, что они наступают неожиданно.
Известнейший теоретик в области корпоративного управления И. Ансофф
[5] предложил именовать их стратегическими неожиданностями:
«Точно так же, как это бывает в системе радарного наблюдения,
некоторые проблемы ускользают от наблюдателей, как бы они
не старались, и превращаются в стратегические неожиданности.
Это означает, что: а) проблема возникла внезапно и вопреки
ожиданиям; б) она ставит новые задачи, не соответствующие
прошлому опыту фирмы; в) неумение принять контрмеры
приводит либо к крупному финансовому ущербу, либо к ухудшению
возможностей получения прибыли; г) контрмеры должны быть
приняты срочно, но обычный существующий в фирме порядок
этого не позволяет». М. Мескон, М. Альберт и Ф. Хедоури [18]
по этому поводу пишут, что ошибки и проблемы,
возникающие при анализе ситуации внутри организации,
переплетаются, если их вовремя не исправить, с ошибками в оценке
будущих условий окружающей среды и поведения людей: «Любая
организация безусловно обязана обладать способностью
вовремя фиксировать свои ошибки и исправлять их до того, как они
13

Диагностика
кризисного состояния
i
{ А
y//S\^ Да
_^/ Кризис \>*
n. есть? У^к
Нет
Управленческий
контроль
i
А
i
>
1 Выбор альтернатив
П управления
Осуществление оперативно-
Разработка
стратегий защиты
Оперативный
контроль
J Анализ стратегических
1 альтернатив
тактических мер
Реализация
стратегий защиты
f
Диагностика
кризисного состояния
Выбор стратегии
и ее планирование
^
^
^
^
^
^
i
><^
Реализация
стратегии
Оперативный
контроль
Да
Кризис >v
. есть? /
Нет
Рис. 1.2. Модель следящей системы диагностики кризисного состояния предприятия

повредят достижению целей организации». Иными словами,
ситуация обуславливает выбор соответствующей стратегии.
Близкий вышеуказанным авторам ситуационный подход в
менеджмента признает целесообразность использования самых
различных методов, не отвергая ни один вообще, однако он утверждает,
что специфические приемы, методы управления предприятием,
стратегии конкурентной борьбы могут сильно варьироваться, и
эти различия определяются конкретными обстоятельствами на
данный| момент времени.
Кризисная ситуация — это особая ситуация, которая
характеризуется повышенным риском банкротства, слабой конкурентной
позицией, финансовой неустойчивостью. Традиционные методы
управления не увязывают организационные цели с меняющейся
ситуацией, цели остаются прежними, но если в нормальной
ситуации целями любой организации является прибыльность,
захват новых рынков, экспансия и рост, то в кризисной ситуации
главная цель — это выживание. Возникает несоразмерность
потребностей предприятия и его возможностей. Чтобы избежать
банкротства, предприятие должно мобилизовать свои ресурсы на
решение задачи выхода из кризиса, а это уже цель не просто
управления, а способа управления, адаптированного к
стратегическим неожиданностям, антикризисного управления.
Специфическим методом в нем является диагностика кризисного
состояния предприятия. В нормальной, некризисной ситуации она
является инструментом контроля. В кризисной ситуации помимо
контрольной функции диагностика состояния является
своеобразной «системой сигнализации», предупреждающей руководство
об опасностях для бизнеса на ранних стадиях их возникновения.
Резюмируя, дадим определение: диагностика кризисного состояния
предприятия — это принятие двухальтернативного решения о
наличии либо отсутствии кризисной ситуации на предприятии,
исходя из количественных характеристик его деятельности.
1.2. Практическая роль системы диагностики кризисного
состояния в планировании и управленческом
контроле
Организация может считаться добившейся успеха, если она
достигла своих целей. Стратегическое планирование
разрабатывает конкретные действия и приемы, с помощью которых
эта организация сможет реально добиться своих целей.
Запланированную цель превратить в достигнутый результат по-
15

могает стратегия — всесторонний комплексный план
функционирования предприятия в определенном интервале времени.
Значит, стратегическое планирование начинается с постановил
реально достижимых (в реальном либо отдаленном будущем) целей:
конкурентных, финансовых, технологических и т.д. Цели/могут
быть правильно определены исходя не только из потребностей
руководства, но и из ситуации, которая сложилась внутри
предприятия и за его пределами — в рыночном окружении. В этом состоит
главное отличие стратегического планирования от долгосрочного.
Долгосрочное планирование основывается на экстраполяции
тенденций развития предприятия в прошлом, исходя из идеи подобия
настоящего и будущего прошлому. В системе стратегического
планирования предположение о сохранении тенденций прошлого
отсутствует, вместо этого на первом этапе детально исследуются
перспективы предприятия, исходя из данных обследования ситуации
внутри него. За правильную и своевременную выдачу этих данных
отвечает система диагностики состояния предприятия.
В задачу системы диагностики предприятия входит не только
распознавание кризиса. Система диагностики осуществляет
непрерывное наблюдение — мониторинг деятельности
предприятия и следит за ее основной тенденцией. При увеличении
степени близости предприятия к кризисному состоянию,
выраженной в появлении тенденции спада, руководство должно
начинать разрабатывать контрмеры, которые должны предупредить и
ослабить негативные влияния на ранней стадии их
возникновения. Успех и провал антикризисных стратегий зависят в
наибольшей степени от того, насколько рано система диагностики
распознала опасность еще до наступления возможной
кризисной ситуации и, разумеется, какова вероятность того, что
результат этой диагностики не был «ложной тревогой». Этот принцип
управления называется управлением по слабым сигналам. В
данном случае в качестве слабых сигналов выступают данные
системы диагностики, свидетельствующие о прекращении
тенденции роста, а сильными сигналами будет выявленная
ситуация кризиса. Изменения состояния предприятия влекут за собой
корректировку действующих стратегий, — в этом проявляет себя
механизм обратной связи в управлении. Система диагностики,
будучи непрерывной по времени работы, делает возможным
эффективный контроль за реализацией выбранной стратегии. В
ее задачу входит и оценка внутрифирменной ситуации при
формулировании стратегии, и постоянный контроль при ее реализа-
16

ции и, в конечном счете, — оценка успешности стратегии в целом
по истечении срока ее внедрения.
Кбнечно, само по себе стратегическое планирование не
исчерпывается лишь проблемой создания качественной системы
диагностики. Это сложная управленческая система, состоящая из
нескольких элементов, и отсутствие или неправильное
функционирование хотя бы одного из них влечет за собой и сбой во всей
систем^ т.е. неудачу планирования. Следует особо сказать, что в
миниатюре аналогом системы диагностики является так
называемое управленческое обследование сильных и слабых сторон
организации. Функционально — это одно и то же, однако
управленческое обследование в отличие от системы диагностики имеет
дело больше с качественной информацией, нежели с
количественными показателями. В качестве метода управленческого
обследования чаще всего используется SWOT-анализ. В реальности
большинство предприятий использует именно качественную
диагностику, оценивая состояние предприятия самостоятельно;
однако в современном бизнесе, перегруженном информацией, уже
повсеместно признано, что решения, принимаемые руководством,
как правило, слишком субъективны и поверхностны, чтобы
требовать от них высокой достоверности.
Под наплывом информации, которую человек просто не
способен переработать в полном объеме, растет и риск
неправильной оценки конкретного события или ситуации.
Количественным показателям можно доверять больше, однако не все
организационные процессы могут быть описаны математически.
Опытный руководитель или менеджер должен быть знаком со
многими системами обработки информации, моделями
принятия решения, чтобы для своих нужд выбрать наиболее
подходящие. Система диагностики состояния предприятия должна
реально приближать предприятие к достижению своих целей —
это главный критерий ее эффективности в конечном итоге.
Менеджер не разрабатывает сам математическую модель (в данном
случае систему диагностики), — это задача исследователя.
Менеджер обязан лишь корректно внедрить ее, чтобы от нее был
толк, однако и руководство, и разработчики модели прямо
заинтересованы в том, чтобы модель дала практический результат.
Управленческое обследование слабых и сильных сторон
охватывает все стороны деятельности предприятия, однако
реальная оценка таких факторов, как «человеческие ресурсы»,
«культура и имидж», затруднительна. Их оценки могут лишь основы-
17

ваться на осведомленности оценщика, опыт которого хотя и
полезен, но не может служить поручительством. Время, в которое
мы живем, называется веком информации, поскольку фактор
знания стал давать его обладателю такое преимущество перед
конкурентами, которого он получить раньше не мог. Знания
постоянно устаревают, замещаясь другими, накапливаются, множатся,
вследствие чего усложняется их восприятие, ускоряется процесс
поступления из мира новых знаний. Меняется информационная
среда не только вне, но и внутри предприятия, и информация, с
которой работает его руководство, нуждается в постоянном
обновлении, а информационные системы — в модернизации,
чтобы удовлетворить новым, более взыскательным запросам.
В упрощенном виде процесс стратегического планирования
показан на рис. 1.3.
Диагностика состояния предприятия (см. рис. 1.3)
проводится на стадии анализа состояния предприятия. Это единственный
инструмент (или один из инструментов) менеджера, а также
инструмент оперативного и стратегического контроля.
В общих чертах стратегическое планирование состоит из двух
этапов: разработки комплексного стратегического плана и
реализации выработанной стратегии. По П. Лоранжу,
стратегическое планирование выполняет четыре основные задачи
менеджмента: распределение ресурсов, адаптация к внешней среде,
внутренняя координация и организационное стратегическое
предвидение. Стратегическое планирование — это набор диктуемых
руководством указаний и решений, объединенных в обширное
понятие «стратегия», предназначенных для того, чтобы
предприятие достигло своих целей. Оперативное планирование — это
другой тип планирования: оно диктует меры, которые следует
принять для решения наиболее важных задач фирмы (прибыль,
рост). Основная разница в стратегическом и оперативном
планировании — не характер мер, а объект, на который направлено
планирование. Стратегическое планирование предполагает
развитие потенциала фирмы в будущем за счет выхода на
качественно лучший сегмент рынка с целью реализации скрытых в
нем возможностей. Оперативное планирование направлено на
превращение существующего потенциала фирмы в доход.
Современное стратегическое управление сочетает оба этих
взаимодействующих подхода, ориентируя стратегическое планирование
на достижение стратегических целей, а оперативное — на
решение стратегических задач.
18

Цели предприятия
Задачи
екущие Бюджеты
программы
/ ч i \
Выполнение
по подразделениям
Анализ
внешней среды
Анализ
состояния предприятия
Анализ Анализ позиций
перспектив в конкурентной
и опасностей борьбе
Выбор стратегии
I
Изучение
стратегических
альтернатив
Реализация стратегии
Стратегические
программы
Бюджеты
Выполнение по проектам
Стратегический контроль
Рис. 1.3. Процесс стратегического планирования
Инструментами стратегического планирования являются
бюджетирование, призванное создать надежную материальную базу
для эффективного распределения ресурсов, и управление по
целям, которое ищет оптимальный путь сочетания
организационных подсистем и обеспечивает соответствие каждой из них
поставленным целям. Бюджетирование представляет собой
количественное сопоставление целей предприятия с его ресурсами,
цели и задачи предприятия трансформируются в планируемые
финансовые показатели. Бюджетирование иногда называют
финансовым планированием. Управление по целям увязывает
поведение коллектива (трудовых ресурсов) с интересами предприятия
19

через систему планирования и контроля. Управление по целям
рассматривает организацию уже не как формальную систему, а
как реальную, и применительно к особенностям организации
вырабатывает иерархическую систему («сверху вниз»)
выполнения основной цели. |
Реализация стратегического плана предусматривает
одновременное эффективное действие четырех элементов
стратегического планирования: ,
• тактика — реализует задачи, формулируемые в рамках
оперативного планирования, и краткосрочные планы;
• политика — формулирует доступным для каждого члена
организации языком руководство для достижения
поставленных целей;
• процедуры — описывают все возможные меры,
принимаемые в различных типах ситуации;
• правила — точно и полно регламентируют порядок шагов в
каждом случае.
Правила отличаются от процедур тем, что они определяют
порядок действий в единичной ситуации. Реальная ситуация
может состоять из нескольких таких элементов, и процедура
предусматривает несколько этапов ее разрешения. Тактика состоит
из совокупности отдельных процедур и охватывает несколько
возможных взаимоисключающих управленческих ситуаций.
Обратную связь с руководством обеспечивает контроль.
Контроль проводится на всех уровнях реализации стратегии от начала
планирования до оценки достигнутых результатов. В зависимости
от объекта контроля различают несколько уровней контроля:
• стратегический контроль — управление достижением
(планированием и реализацией) целей организации;
• оперативный контроль — управление тактикой достижения
целей организации (управление по задачам).
В рамках оперативного контроля всегда выделяют
специфические виды контроля:
• производственный контроль — система управления
производственными процессами и операциями;
• финансовый контроль — система управления финансовым
планированием (бюджетами);
• маркетинговый контроль — система управления рекламой,
сбытом и продвижением товара;
• кадровый контроль — система управления человеческими
ресурсами.
20

Таким образом, контроль в широком смысле представляет
собой «систему управления в управлении», следящую за
эффективностью процесса достижения целей предприятия на всех
уровнях организации. Составными частями следящей системы
контроля являются подсистема мониторинга состояния
предприятия и координирующая система управления.
Подсистема мониторинга обеспечивает непрерывный процесс
фиксации результатов деятельности предприятия и сравнивает
их с запланированными показателями. Предусматривается также
анализ получаемых отклонений реальных показателей от
плановых и глобальная оценка ситуации в целом по данным
наблюдения. Корректирующая подсистема вырабатывает и реализует по
данным системы мониторинга контрмеры по преодолению
негативных тенденций в существующей стратегии, перенаправляя ее
более эффективным, чем ранее, способом на достижение
поставленной цели. В последнее время особое внимание в
процессе мониторинга стали уделять использованию информационных
систем. На базе использования в менеджменте информационных
систем родилась концепция информационно-управляющих
систем, родоначальником которой был Рассел Акофф [г].
Информационно-управляющая система может состоять из нескольких
информационных систем, обслуживая таким образом различные
информационные потребности работников управления.
Внедрение этой концепции в практику управления было связано с
информационными перегрузками, с которыми столкнулись
управляющие еще в 50-е годы XX века. Потребность в качественной
достоверной информации не может быть удовлетворена
усилиями управленческого коллектива без привлечения систем
искусственного интеллекта. Один из разработчиков концепции
информационных систем в менеджменте, Роберт Энтони, исходя
из потребностей управляющих в информации, разделил
управленческую деятельность на три вида: стратегическое
планирование, управленческий контроль и оперативный контроль. Эти
виды деятельности примерно отражают характер деятельности
высшего, среднего и низшего звеньев, которые соответствуют работе
с различной информацией.
Система диагностики состояния предприятия является
примером информационной системы принятия решений. Ее
присутствие в организационной подсистеме мониторинга незаменимо,
так как прямо решает задачу внутреннего обследования
состояния предприятия по большому числу показателей, облегчая за-
21

дачу управляющего по разбору огромного массива информации
и принятию решения о динамике состояния предприятия.
1.3. Диагностика состояния предприятия в различных
системах стратегического управления
Система диагностики и ее необходимость недооцениваются
руководителями предприятия из-за распространенного
представления о том, что вероятность резкого изменения
благоприятной тенденции развития их бизнеса невелика. Между тем,
расходы на совершенствование управленческого аппарата путем
внедрения системы диагностики и мониторинга довольно
велики. Вместо этого на практике чаще исходят из идей
поступательного развития и роста, мотивируя их положением, что
существуют общие законы бизнеса: «деньги делают деньги»,
«инвестиции должны приносить отдачу», «предложение стимулирует
спрос». Известный американский бизнесмен и автор работ по
бизнесу Густав Берл говорит о том, что на самом деле доля
разорившихся начинающих предприятий в США достигает 80%.
Во многом, — делает вывод он, — это продиктовано тем, что их
хозяева не знают, что в бизнесе нет общих подходов. Каждому
ясно, что бизнес должен приносить прибыль, но нет
проверенных путей, для того чтобы сделать это на практике. Опытные
руководители либо исследователи предлагают лишь возможные
пути решения проблем, которые дали эффект в определенной
ситуации в прошлом. Также руководитель сам определяет для
себя выбор системы управления, но данные, которыми он будет
оперировать, должны иметь объективный характер. «За очень
редкими исключениями фирмы не готовят для себя и даже не
рассматривают формальные системы управления в условиях
стратегической неожиданности» [з]. И. Ансофф указывал на
необходимость выработки «системы чрезвычайных мер при
стратегической неожиданности». Вообще говоря, существует три
возможных варианта управленческой реакции на неожиданные
изменения, соответствующие предкризисному и кризисному
периоду развития. Одним из них называется управление по
слабым сигналам. И. Ансофф говорит о том, что принимаемые
меры должны соответствовать характеру стратегической
неожиданности. Система наблюдения, чувствительная к предупреждающим
сигналам, обуславливает и масштаб принимаемых контрмер. В
монографии И. Ансоффа «Стратегическое управление»^] при-
22

ведена таблица «Действия фирмы при слабых сигналах о
возникновении проблемы» (табл. 1.1). Мониторинг слабых
сигналов осуществляет система диагностики.
Очевидные и конкретные проблемы, угрожающие интересам
фирмы, Ансофф называет сильными сигналами. Ранние и
неточные сведения о возможных неожиданностях он называет слабыми
сигналами. Слабые сигналы со временем усиливаются и могут
перерасти в сильные. При уровне нестабильности 3—4 (см. табл. 1.1)
фирма еще имеет время, чтобы подготовиться к
неожиданностям и выработать решения о путях борьбы, но при
нестабильности уровней 4 и 5 ситуация входит в критическую фазу, и
контрмеры, принятые фирмой, окажутся слишком запоздалыми
и не дадут желаемого эффекта, так как ситуация в этом случае
уже выходит из-под контроля руководства. При высоких уровнях
нестабильности появляется необходимость готовить решение еще
тогда, когда из внешней среды поступают слабые сигналы [5].
По горизонтали в табл. 1.1 слева направо возрастает реакция
на изменения: самые незначительные контрмеры состоят в
наблюдении (обследовании) фактора нестабильности; наиболее
сильные контрмеры могут означать развертывание или свертывание
целых видов деятельности, смену конкурентной стратегии,
разработку путей диверсификации и т.д. С ростом силы сигналов
растет и стоимость реакции, растет и важность принимаемых
решений — ошибки становятся дороже и необратимее.
Выделенная ломаная линия на табл. 1.1 показывает, что по мере того
как усиливаются сигналы из внешней среды, стратегические
действия обретают конкретную природу и достигается
стратегический результат: ситуация нормализуется и вновь становится
предсказуемой. От этапа С до этапа F руководство осуществляет
разработку, внедрение и реализацию специальных антикризисных
стратегий, обеспечивая тем самым достижение относительно
благоприятного итога деятельности в период уязвимости бизнеса
предприятия.
Разумеется, руководство по слабым сигналам не единственный
способ управления при возникновении опасности. И. Ансофф
называет в качестве возможных способов управление по
сильным сигналам и планирование на регулярной основе.
> Управление по сильным сигналам осуществляется исходя из
вполне серьезной осведомленности о характере опасности.
Реакция начинается только тогда, когда неожиданное явление при-
23

Таблица LI
Действия фирмы при слабых сигналах о возникновении проблемы
>
эсты
* 5
*> *
Уров
табил
а
¦*•
1
2
3
4
5
Сила сигналов
от внешней среды
Опасность или новая
возможность
Источники новой
опасности становятся
ясны
Масштабы опасности
или новой
возможности приобретают
конкретные очертания
Пути решения
проблемы определяются
Результаты
намеченных контрмер
предсказуемы

Наблюдение
за внешней

обстановкой
Л
Характер мер по нарастанию их действенности

Определение

носительной силы
сигналов
В
Снижение
внешней

стратегической

уязвимости
С

Повышение
гибкости
внутри
фирмы
D \
Разработка

подготовительных
планов
и разработка

предварительных мер
Е
Планы

практических

роприятий и их

реализация
F
Источник: Лнсофф И. Стратегическое управление: Пер. с англ. — М.: Экономика, 1989 [5].

обретает ясные характерные черты. Явный недостаток этого
способа заключается в том, что управленческий аппарат
предприятия уже не может предугадать кризисное состояние: оно уже
наступило, о чем сигнализирует система диагностики. От момента
начала реакции до момента осуществления конкретных мер
проходит определенный промежуток времени Т (период упреждения).
За это время кризисное явление наносит убыток фирме и
может стать серьезнейшей угрозой ее существованию. При
реакции на слабые сигналы такое запаздывание сильно
сокращается или вообще не происходит и принимаемые меры начинают
эффективно работать раньше. В защиту методик управления по
сильным сигналам можно привести то соображение, что слабые
сигналы не обязаны превращаться в сильные. Это означает, что
если сильные сигналы прямо говорят о реальной опасности для
бизнеса, причем особенности этой опасности можно оценить,
можно предвидеть и возможные негативные изменения от ее
воздействия, то слабые сигналы могут свидетельствовать о
большей или меньшей степени вероятности наступления угрозы.
По мере усиления сигналов растет и достоверность информации
о явлении, которое их вызывает, поэтому контрмеры, принятые
на ранней стадии кризиса, могут оказаться либо ненужными,
лишними (стратегии не сработают, деньги будут инвестированы
в малоприбыльные проекты, люди будут работать не там, где их
труд наиболее полезен), либо неадекватными — ситуационный
характер кризиса будет отличаться от его интерпретации
руководством. Управление по сильным сигналам, конечно же,
снижает потери от реакции по «ложным тревогам» до минимума.
Два возможных варианта действия фирмы в условиях кризиса
с точки зрения гарантированности успеха характеризует табл. 1.2.
Если предприятие ориентируется на сильные сигналы, то при
относительно низкой вероятности диагностировать кризис,
когда его на самом деле нет, высока вероятность не зафиксировать
кризис, когда он уже имеет место. Чувствительная система
управления по слабым сигналам вряд ли ошибется, когда кризис
наступил, однако она может зафиксировать его и тогда, когда в
реальности он еще не наступил с большой вероятностью. Однако
в отличие от системы использования сильных сигналов, когда
изменения уже носят необратимый характер и решение должно
быть принято немедленно, на стадии неполной информации
остается еще возможность снизить вероятность ошибки ложных
тревог. Для этого должна совершенствоваться система диагно-
25

стики. Одно из немаловажных требований, предъявляемых к ее
качеству, — это способность уловить среди «белого шума»
полезный сигнал, указывающий на реальную, а не мнимую угрозу. В
ситуации ограниченного объема информации предприятие
должно, «вместо того, чтобы ожидать полной информации, определить,
какие последовательные шаги в планировании и на практике
могут быть предприняты при резком развитии событий, создающих
угрозы и возможности» [5]. Данные диагностики следует
перепроверять и уточнять, подвергая тщательной верификации.
Таблица 1.2
Зависимость вероятности ошибок диагностики кризиса
от характера управленческой реакции
^\^^ Характер
^\. ошибки
Характер ^\^
реакции ^^^
Ориентация на слабые
сигналы
Ориентация на сильные
сигналы
Вероятность
ошибки
«пропуска кризиса»
Н
В
Вероятность
ошибки
«ложной тревоги»
В
Н
Вероятность ошибки: Н — низкая, В — высокая.
> Периодическое планирование (планирование на регулярной
основе) отрицает необходимость кардинальных изменений в
структуре организации, во всяком случае, в сжатые сроки в
зависимости от характера ситуации. В рамках периодического
планирования предусматривается лишь обычная реакция на
основе системы регулярно осуществляемых планов. В этих
случаях результаты диагностики прямо увязываются с
планированием только на стадии выработки стратегий по целям.
Сигналы обратной связи учитываются только на уровне
оперативного, а не стратегического реагирования. Поэтому возможность
непредвиденных осложнений учитывается только при
разработке стратегии, однако смена стратегии при изменении
обстоятельств не допускается. Может быть скорректирована тактика,
пересмотрены процедуры или правила, по которым реализуется
стратегический план, но цели, на достижение которых
направлена стратегия, не должны меняться. — Такой принцип
управления характерен для фирм, ориентирующихся на долгосроч-
26

ные цели и пребывающих в стадии роста. Однако, если целью
предприятия является выживание, то это еще не означает, что
положительный результат принесут только спонтанно
внедряемые чрезвычайные меры.
> Стратегическое планирование на регулярной основе
помогает реально зафиксировать достижилгые цели, спланировать
бюджет, наладить систему взаимодействий функциональных
подразделений, дисциплинировать персонал. Стратегический план —
это своеобразный путь выхода из сложной ситуации, который
для себя ищет организация. Планирование неприменимо лишь
в том случае, когда происходит лавинообразное нарастание
кризисных явлений и остается время лишь для принятия
экстренных мер, которые бы могли спасти предприятие от банкротства
и ликвидации.
Периодическое планирование — это традиционный вариант
корпоративного стратегического планирования (он используется,
как правило, в крупном бизнесе США), где планирование тесно
увязано с контролем и процесс контроля не является
независимым. Периодическое планирование осуществляется на основе
предвидения изменений. Это не экстраполяция существующей
тенденции на будущее, а более сложный вариант прогноза. В
качестве таких неэкстраполированных прогнозов применяется
имитационное моделирование, где рассматривается множество
возможных сценариев развития событий, некоторые
экономические модели. Эти модели учитывают возможные и даже
серьезные изменения в рыночной конъюнктуре и могут иметь
достаточно отдаленный горизонт прогнозирования.
Принимаемые меры в этом случае могут носить
стратегический характер (они имеют долгосрочный характер и
планируются). Они призваны привести бизнес предприятия в соответствие
с внешним окружением и упрочить его конкурентный статус.
Существуют также и оперативные меры, которые отвечают не
целям фирмы, а ее задачам. Они осуществляются в рамках
процедур, политики, тактики и правил — составляющих
компонентов любой стратегии. Характер оперативных мер, призванных
дать радикальный результат в сжатые сроки, ситуация
определить может, но только до такой степени, до какой это бы не
противоречило выбранным целям. Поэтому менеджмент
предприятия особое внимание (на предприятиях, использующих
стратегическое планирование) уделяет процессу выработки и
постановки конкретных, измеримых и достижимых целей. Цели,
как пишут А. Томпсон и А. Стрикленд, разрабатывают по кри-
27

терию «трудно, но выполнимо» [25]. В отличие от обобщенной
схемы стратегического планирования, где возможны различные
варианты действий менеджмента (или руководства), управление
на регулярной плановой основе предполагает подчинение
оперативных мер стратегическим, а не параллельное их действие и
отсутствие независимости контроля от планирования (рис. 1.4).
Цели
Стратегия:
планирование
Задачи
Оперативные
меры
Корректирующие
меры
Стратегия:
реализация
у
Тактика
Процедуры
Политика
Правила
f
Проверка
и оценка действий
Рис. 1.4. Процесс управления на регулярной плановой основе
Мы рассмотрели три возможных варианта действий при
реакции на стратегические неожиданности. Методы реагирования
определяются путем сравнения времени приближения
опасности со временем, необходимым для выработки ответных мер, и
путем сравнения доходов, полученных в результате этих
действий, с расходами на них. Выбор комбинаций этих вариантов
зависит от скорости приближения опасной ситуации по
сравнению со скоростью реакции на нее в каждом из трех
вариантов. Когда опасная ситуация приближается очень быстро и
периодическое планирование уже не может помочь, применяется
вариант действий в условиях слабых и сильных сигналов, в
зависимости от того, какие сигналы выдает система диагностики
состояния предприятия.

Анализ состояния
Глава 2 ПреДПрИЯТИЯ
2.1. Инструмент SWOT-анализа
Одним из известнейших методов анализа внутреннего
состояния предприятия, а также учета факторов опасностей или новых
возможностей для него во внешней среде является SWOT-анализ
(Strength — сила, Weakness — слабость, Opportunities —
возможность, Threats — угрозы). Как и ряд других методов (модель
сценариев, модель Портера, метод SPACE), SWOT-анализ
проводится на стадии управленческого обследования состояния
предприятия, на основе которого осуществляется выбор адекватной
ситуации стратегии. На вопрос, в нем сила и слабость
предприятия, отвечает анализ внутреннего состояния предприятия; на
вопрос, какие опасности и какие перспективные пути развития
имеет оно, может дать ответ анализ внешней среды.
Преимущество использования SWOT-анализа состоит в том, что это
фактически единственный способ дать хотя бы какую-нибудь
оценку всей ситуации, в которой ведет бизнес предприятие. SWOT-
анализ пытается объяснить и охарактеризовать те факторы
деятельности предприятия, которые не поддаются количественному
учету. В отличие от методов оценки финансового состояния, где
результаты анализа носят объективный, достаточно точный
характер, SWOT-анализ не претендует на высокую достоверность,
однако, поскольку финансы отражают в общем только одну
сторону деятельности предприятия, то было бы неразумно и опасно
игнорировать процессы мотивации, проектирования и НИОКР,
взаимодействия полномочий, рекламу только потому, что учет их
более затруднителен.
SWOT-анализ в рамках планирования стратегии помогает
понять, насколько эффективна действующая стратегия фирмы.
В рамках данной работы особенно важно определение силы
и слабости предприятия, так как изучение внешних
особенностей функционирования предприятия: опасностей и
возможностей — это скорее задача маркетолога.
29

Сила — это некоторая специфическая особенность, выгодно
отличающая предприятие среди своих конкурентов. Сила в чем-
либо дает предприятию дополнительные возможности. Важно
также, что речь идет не о благоприятной рыночной
конъюнктуре, которая может придавать силу не только конкретной фирме,
а может, и еще нескольким (например, некоторые льготы и
права), а о внутренней мощи организации — опыте, финансовой
обеспеченности, конкурентоспособности, лидерстве руководителя.
Слабость — это отсутствие или недостаток важного
элемента функционирования организационной системы. Слабость не
обязательно означает уязвимость данного предприятия, — это
зависит от того, насколько важен тот фактор, который находится
в недостатке, в конкурентной борьбе или в материальной
обеспеченности предприятия. Сила и слабость могут быть
потенциальными факторами развития либо упадка предприятия. Так как
стратегия формулируется на будущее, то следует помнить, что за
время до завершения реализации стратегического плана
потенциальные слабые стороны бизнеса могут перерасти в серьезные
опасности.
SWOT-анализ реализует методику управления по слабым
сигналам, причем данные сигналы не просто отслеживаются, а
усиливаются на уровне высшего руководства и влияют на выбор
управленческой стратегии. SWOT-анализ является уже
неотъемлемой частью стратегического плана. Он аккумулирует
информацию о состоянии предприятия во всех аспектах его
деятельности. Главная его задача — определить, насколько хватит у
руководства ресурсов, чтобы воспользоваться возможностями из
внешней среды, и насколько опасны негативные тенденции в
деятельности предприятия, чтобы они могли усложнить
проблемы, связанные с внешними угрозами. На основе данной
информации вырабатывается стратегия, оптимальным образом
сочетающая внутренние ресурсы предприятия (сильные и слабые
стороны) с внешними факторами (возможностями и угрозами).
Анализ возможностей и угроз сводится главным образом к
поиску привлекательных (территориальных, отраслевых,
демографических) зон хозяйствования. Нахождение вакантной
рыночной ниши — один из важнейших факторов успеха в
конкурентной борьбе, и высшее руководство обязано быть очень чутким к
изменениям в рыночной ситуации. Одновременно следует
избегать отраслей, связаных с повышенными угрозами, в особенно-
30

сти тех, которые связаны с высокой нестабильностью рыночной
ситуации и падением кривой жизненного цикла товара
(исчерпанием возможностей его дальнейшего производства и сбыта).
Так, например, фактор технологий может служить как
возможностью дальнейшего роста, так и угрозой устаревания
существующих технологий. Это зависит от того, насколько сильное
положение имеет предприятие, чтобы внедрить инновации,
которые будут соответствовать стратегическим целям руководства,
или ресурсов хватит лишь на то, чтобы поддерживать более или
менее стабильное конкурентное положение при имеющемся
технологическом потенциале.
А. Томпсон и А. Стрикленд [25] ищут аналогии SWOT-ана-
лиза со стратегическим балансом: «Внутренние сильные стороны
компании представляют конкурентные активы, ее внутренние
слабые стороны представляют конкурентные пассивы». Хотя и
здесь, в отличие от любого баланса, бросается в глаза основной
недостаток SWOT-анализа: качественная, а не численная
характеристика бизнесс-процессов. В то же время, — говорят
Томпсон и Стрикленд, — «SWOT-анализ является необходимым
компонентом оценки стратегического положения». На основе
данных SWOT-анализа делаются «выводы о состоянии компании и
необходимости стратегических изменений».
В монографии А. Томпсона и А. Стрикленда
«Стратегический менеджмент» [25] приведен пример SWOT-анализа (табл. 2.1).
Следует сказать, что SWOT-анализ является не единственным
качественным методом управленческого обследования сильных
и слабых сторон организации. М. Мескон, М. Альберт и Ф. Хе-
доури [18] предлагают простую классификацию, включающую
три базисные управленческие функции: маркетинг,
производство, финансы, и еще две: человеческие ресурсы и имидж
компании. И. Ансофф [5] приводит собственную методику оценки
конкурентного статуса фирмы. Существуют и более сложные
методы: в монографии «Стратегический менеджмент» [25]
приводится модель стратегического анализа издержек и цепочки
ценностей, который позволяет сделать вывод,
конкурентоспособны ли цены и издержки компании. Французская консалтинг-
компания «Еврокип» разработала модификацию SWOT-анализа,
сведя «силу/слабость» и «возможность/угрозу» в перекрестную
матрицу. В четырех квадрантах определяются варианты
возможных стратегий, соответствующих положению фирмы.
31

Таблица 2 /
SWOT-анализ: характеристики при оценке сильных,
слабых сторон компании, ее возможностей и угроз ей
Потенциальные внутренние
сильные стороны фирмы
• Полная компетентность в
плановых вопросах
• Адекватные финансовые
ресурсы
• Хорошее впечатление, ело-
1 жившееся о компании у
покупателей
• Признанный лидер рынка
• Хорошо проработанная
функциональная стратегия
• Экономия на масштабах
производства
• Умение избегать (хотя бы в
некоторой мере) сильного
давления со стороны конкурентов
• Собственная технология
• Более низкие издержки
• Лучшие рекламные компании
• Опыт в разработке новых
товаров
• Проверенный менеджмент
• Большой опыт (опережение по
кривой опыта)
• Лучшие возможности
производства
• Превосходные технологические
навыки
• Другое
Потенциальные внутренние
1 слабые стороны фирмы
• Отсутствует четкое
стратегическое направление развития
• Устаревшее оборудование
• Низкая прибыльность
• Недостаток управленческого
таланта и умения
• Отсутствие определенных
способностей и навыков в
определенных областях деятельности
Потенциальные внешние
возможности фирмы
• Способность обслужить допол- 1
нительные группы клиентов или
выйти на новые рынки
• Пути расширения ассортимента
продукции, чтобы удовлетворять
больше потребностей клиентов
• Способность использовать
технологические ноу-хау в выпуске
новой продукции или в новых
видах уже выпущенной продукции
• Возможная интеграция (вперед
или назад)
• Снижение торговых барьеров на
привлекательных иностранных
рынках
• Ослабление позиций
фирм-конкурентов
• Возможность быстрого развития
в связи с резким спросом на
рынке
• Появление новых технологий
• Другое
Потенциальные
угрозы
• Выход на рынок иностранных
конкурентов с более низкими
издержками
• Рост продаж товаров-субститутов
• Медленный рост рынка
• Неблагоприятное изменение
курсов иностранных валют или
торговой политики иностранных
правительств
32

Окончание табл. 2.1
Потенциальные внутренние
слабые стороны фирмы
• Плохо зарекомендовавшая
себя стратегия компании
• Внутренние производственные
проблемы
• Отставание в области
исследований и разработок
| • Слишком узкий ассортимент
продукции
• Недостаточный имидж на
рынке
Потенциальные
угрозы
• Высокая зависимость от
снижения спроса и этапа жизненного
цикла развития бизнеса
• Растущая требовательность
покупателей и поставщиков
• Изменение потребностей и
вкусов покупателей
• Неблагоприятные
демографические изменения
• Другое
Источник: Томпсон А., Стрикленд А.Дж. Стратегический менеджмент. Искусство
разработки и реализации стратегии: Пер. с англ. — М., 1998 [25J.
2.2. Экспресс-диагностика финансового состояния
предприятия
В настоящее время наиболее убедительные и достоверные
результаты при анализе различных сфер деятельности
предприятия дает диагностика финансового состояния предприятия.
Следует отметить, что методы анализа финансовой отчетности и
бухгалтерского баланса являются и самыми распространенными в
практике бизнеса повсеместно, причем как для крупного
бизнеса, так и для мелких и средних фирм. Как мы уже упоминали,
формально финансы являются лишь одним аспектом
деятельности предприятия, однако в то же время деньги являются
всеобщим эквивалентом оценки всех процессов бизнеса. Любой
аспект бизнеса отражается на финансовом положении
организации, что определяет некоторый финансовый результат,
выраженный в денежной форме.
Не стоит полагать, что финансовое состояние предприятия —
это состояние его финансов — денежных средств и фондов.
Финансовое состояние — это широкое понятие, обобщающее итог
деятельности всех функциональных подразделений предприятия
в комплексе. Банкротство (несостоятельность) — это показатель
33
2 Диагностика кризисного состояния предприятия.

финансового состояния предприятия, свидетельствующий не
только о потере платежеспособности предприятия, но и о
неудовлетворительном итоге работы всех организационных блоков
совместно. Финансовое состояние в целом — это многомерная
характеристика всех внутрифирменных процессов и результатов в
денежной форме. Этим объясняется и тот факт, что обычно не
говорят о «производственном состоянии» или о «маркетинговом
состоянии предприятия», так как любому организационному
процессу можно сопоставить более или менее адекватный показатель,
который пусть и не слишком полно, зато количественно
определенно отражает его характер. Совокупность этих показателей
может дать информацию о финансовом состоянии предприятия.
К простейшим методам оценки финансового состояния
относят так называемую экспресс-диагностику состояния — грубый,
поверхностный, однако быстрый, несложный и дешевый способ
оценки состояния предприятия. Н.В. Родионова дает
определение экспресс-диагностике: «Экспресс-диагностика (термометр) —
формальная оценка близости состояния предприятия к
банкротству на основе регулярного вычисления соответствующих
коэффициентов и данных баланса (здесь преследуются следующие
цели: выявить тенденции изменения состояния предприятия, дать
оценку глубины его несостоятельности и провести анализ
финансового оборота, обеспечивающего хозяйственную деятельность)».
Процесс экспресс-диагностики включает анализ
платежеспособности, финансовой устойчивости, рентабельности и деловой
активности.
> Анализ платежеспособности. Коэффициент текущей
ликвидности (Кшк) — универсальный коэффициент, показывающий
соотношение активов и пассивов (его значение должно
превышать 2):
Текущие
активы
IS _
Расходы
будущих Оборотные
периодов _ средства
Расходы Резервы Краткосрочная
- будущих - предстоящих задолженность
пассивы
периодов расходов
Коэффициент обеспеченности К0^ показывает, как
обеспечено предприятие собственными активами (К0^ должен быть
больше 0,1):
34

Текущие активы - Текущие пассивы
^об = ~ •
Текущие активы
В случае, если одновременно соблюдаются неравенства
Лоб > 0,1 и Кшк > 2, то структура баланса считается
положительной. Если хотя бы одно из этих неравенств оказывается
нарушенным, то структура баланса признается отрицательной и
анализ нуждается в дальнейшей детализации.
Если структура баланса отрицательна, но существует
тенденция повышения Аоб и Кшк, то рассчитывается коэффициент
восстановления платежеспособности КВП. Нормативный период
восстановления платежеспособности равен 6 месяцам (отсюда
число 6 в формуле):
_ ^лик! + 6/Т[Кшк i - Кшк о )
Алик(норм)
нормативное значение коэффициента текущей
ликвидности;
фактическое значение А^ в начале отчетного периода;
фактическое значение Кшк в конце отчетного периода;
длительность отчетного периода (в месяцах).
Если КВЛ1 > 1, то это значит, что предприятие способно
восстановить свою платежеспособность в течение полугода, если
^в.п < 1, то восстановление платежеспособности в течение
полугода невозможно.
В случае, если структура баланса положительна, т.е. Кшк > 2
и Аоб > 0,1, однако с течением времени их значения
понижаются, то рассчитывается коэффициент утраты платежеспособности
(^ут.п) за 3 месяца:
^ЛИК, +3/Г[*ЛИК1 -АЛИК0]
Яут.п = ~ •
лик(норм)
Если Аут.п > 1, то предприятие имеет возможность
сохранения платежеспособности в течение 3-х месяцев, в противном
случае оно утратит свою платежеспособность в данный период.
По закону, если при отрицательной структуре баланса
предприятие имеет шанс восстановить свою платежеспособность, то
несостоятельность предприятия считается неподтвержденной в
где Алик (норм)
^лик0
к„
^лик
2*
35

течение полугода. Если предприятие за полгода не имеет
возможности восстановить платежеспособность при отрицательной
структуре баланса, то структура его баланса считается
неудовлетворительной. При положительной структуре баланса она в любом
случае признается удовлетворительной, однако при Кутп < 1
существует реальная угроза для платежеспособности предприятия.
> Анализ финансовой устойчивости и текущей
платежеспособности. На следующем этапе производится анализ
финансовой устойчивости и текущей платежеспособности. Для оценки
финансового состояния может быть взят целый ряд
показателей. Степень близости к потере платежеспособности и
дальнейшему банкротству хорошо отражает коэффициент
автономии (ЛГавт):
_ Собственные средства
авт Сумма всех активов
Коэффициент АаВТ обязан быть больше 0,5. Он может
отражать инвестиционную привлекательность предприятия.
Коэффициент маневренности Км отражает мобильность
собственных средств. Чем он выше, тем выше и финансовая
устойчивость (он должен быть выше 0,3 и желательно выше 0,5):
Собственные оборотные средства
К —
Собственные средства
Оба коэффициента Кавт и Км отражают платежеспособность
предприятия в долгосрочном периоде.
Финансовая устойчивость пассивов в долгосрочном периоде
характеризуется коэффициентом финансовой устойчивости
Аф>уст (значение Аф.уст не должно превышать 1):
_ Прочие пассивы + Долгосрочные заемные средства
Ф-Уст Собственные средства
Коэффициент финансирования А^ин показывает, какая часть
деятельности предприятия финансируется за счет собственных
средств. Плохим признаком является финансирование
предприятия большей частью из заемных источников. Поэтому значение
АфИН (как отношение собственных средств к заемным) не
должно быть менее 1:
_ Собственные средства
У™ Заемные средства
36

Коэффициент абсолютной ликвидности (коэффициент
срочности) Каб.лик показывает, какая часть текущей задолженности
может быть погашена на текущую дату. Значение АГаб.ЛИк должно
быть не менее 0,2—0,3:
_ Денежные средства + Легкореализуемые ценные бумаги
^аб.лик ~~ Тг Г •
Краткосрочная задолженность
Следует заметить, что такой часто встречающийся
показатель, как оборотные средства (оборотный капитал), представляет
собой разность текущих активов и краткосрочных обязательств
(т.е. расходов будущих периодов). Поэтому оборотный капитал
имеется в наличии у предприятия только, если текущие активы
больше текущих обязательств. Коэффициент текущей
ликвидности показывает, во сколько раз оборотные средства покрывают
краткосрочные текущие обязательства (задолженность).
Собственные оборотные средства (чистый оборотный капитал)
определяются как разница между оборотными средствами и
краткосрочной задолженностью.
Для более детального анализа ликвидности используется еще
и общий коэффициент ликвидности ОКлик, отличающийся от
текущего коэффициента Кшк числителем: из показателей текущих
активов не вычитается краткосрочная задолженность (расходы
будущих периодов; коэффициент ОКшк должен быть более 2—3):
_ Текущие активы
ОКлик - — •
Краткосрочные обязательства
Различные коэффициенты покрытия отражают способность
предприятия погасить кредиторскую задолженность,
достаточность всех видов средств предприятия для ее устранения.
Коэффициент покрытия инвестиций Кп ин рассчитывается так:
Собственные средства + Долгосрочные заемные средства
К
Сумма всех активов
Коэффициент покрытия инвестиций Кп ин должен быть
выше 0,75-0,90.
Коэффициент покрытия текущих активов КПТЯК
рассчитывается как
Собственные оборотные средства
^п.т.ак "~ Z »
Запасы и затраты
где сумма запасов и затрат — это статья 2 активного счета баланса.
37

^п.т.ак должен превышать 0,1, желательно, чтобы он еще и был
выше 0,5.
Важнейшее значение для анализа предприятий, находящихся
на стадии спада, кроме показателей платежеспособности и
ликвидности, являются показатели рентабельности.
> Анализ рентабельности и деловой активности, измеряемой
показателями оборачиваемости, — это более углубленное
исследование, проводимое в рамках экспресс-диагностики.
Показатели рентабельности делятся на показатели
рентабельности по продажам и по капиталу. Рентабельность
играет важную роль при рассмотрении возможности санации
предприятия, приостановке процедуры ликвидации.
Рентабельность соизмеряет затраты с результатами, определяя таким
образом финансовую эффективность предприятия. При
исследовании рентабельности используются понятия чистой и
балансовой прибыли.
По форме № 2 балансовая прибыль представляет собой
выручку от реализации продукции за вычетом НДС и плюс сальдо
нереализованных операций.
Чистая прибыль — это разница между балансовой прибылью
и платежами в бюджет. Критическим значением для
коэффициентов рентабельности активов и рентабельности собственного
капитала является стоимость капитала q. «Стоимость капитала
(норма финансирования) — это ожидаемая инвестором отдача
на каждый рубль средств, вкладываемых в инвестиционный
проект, в частности в финансирование активов предприятия» [24].
«Бизнес считается эффективным, если отдача на вложенный
капитал не ниже "стоимости капитала" для данного вида
бизнеса» [24].
Рентабельность активов рассчитывается так:
Балансовая прибыль
кгк = — •
Сумма всех активов
Рентабельность собственных средств (финансовая
рентабельность) /?с с:
_ Чистая прибыль
Собственные средства
Общая рентабельность авансированных фондов Лобщ:
Балансовая прибыль
Основные средства + Запасы и затраты
38

При этом должны выполняться условия: i?aK < q\ RcC < q\
^общ < Я-
Рентабельность продаж можно считать по чистой, что
точнее, и по балансовой прибыли:
Чистая прибыль , Балансовая прибыль
Яп — ; ап = .
Выручка Выручка
Рассчитывается также рентабельность инвестиций:
л х Доходы от долевого
Доходы
г + участия в смешанном
по ценным бумагам J .
_ J предприятии
ин Среднее значение доходов от долгосрочных
и краткосрочных инвестиций
Рентабельность инвестиций Яш определяет успех
инвестиционной деятельности предприятия. При этом должно
выполняться условие: /?ин < д.
Степень использования ресурсов за определенный
промежуток времени показывают коэффициенты оборачиваемости.
Коэффициент оборачиваемости активов А^ак показывает
скорость формирования денежных потоков:
_ Выручка
^об.ак ~ ^
Сумма всех активов
Коэффициенты оборачиваемости показывают отношение
объема выручки (валового дохода) к объему, относительно
которого рассчитывается оборачиваемость: основных средств,
оборотных средств, собственного капитала и др., т.е. в числителе
любого коэффициента оборачиваемости — всегда выручка, в
знаменателе — то, для чего нужно вычислить оборачиваемость.
Авторы учебного пособия по антикризисному управлению под
ред. А.П. Градова [24] выявили закономерность между
показателями финансового состояния предприятия и этапами
жизненного цикла. Они условно разделили показатели на пять категорий:
• показатели ликвидности (коэффициенты абсолютной
ликвидности, общей ликвидности, текущей ликвидности,
маневренности и платежеспособности);
• показатели финансового состояния (коэффициенты
финансовой устойчивости, финансирования, обеспеченности,
покрытия текущих активов и покрытия инвестиций);
• коэффициенты оборачиваемости;
39

• показатели рентабельности капитала;
• показатели рентабельности продаж.
Таблица 2.2
Показатели деловой и экономической активности,
требующие особого внимания по этапам ЖЦКПФ1
Этапы
ЖЦКПФ

Показатели

ликвидности

Показатели

финансового
состояния

Показатели


чиваемости
Показатели
рентабельности

Рентабельность
капитала

Рентабельность
продаж
Источник: Стратегия и тактика антикризисного управления фирмой / Под ред.
А.П. Градова. - СПб., 1996.
Авторы учебного пособия [24] разделили их по степени
важности и значимости в зависимости от различных стадий
жизненного цикла предприятия и построили таблицу, где выделены
прямоугольники, соответствующие наиболее важным на данном
этапе развития показателям (табл. 2.2). Авторы отмечают, что
приоритет одного показателя перед другим не означает, что хотя
бы какой-либо из них не нуждается в обследовании. Скорее с
ростом предприятия меняются цели руководства, растут
требования к эффективности бизнеса, поэтому на стадии расцвета
приоритет имеют показатели хорошей оборачиваемости,
высокой эффективности. Напротив, для еще неразвитого бизнеса
или бизнеса на стадии спада важнее будут показатели
ликвидности — как главные признаки выживания или ликвидации дела.
Не следует забывать, что все эти показатели тесно
взаимосвязаны и изменение хотя бы одного из них в одну сторону ведет к
ЖЦКПФ — жизненный цикл конкурентного преимущества фирмы.
40

изменению в сторону той же тенденции и остальных. Поэтому
все они должны рассчитываться в комплексе. На стадии спада
происходит дестабилизация всех показателей, однако первые
сигналы об опасности дают показатели рентабельности. При
нарастании опасности вслед за ними дают сильные сигналы о
возможном банкротстве показатели ликвидности.
Достоинство методики экспресс-диагностики состоит в том,
что ее результаты имеют наглядную экономическую
интерпретацию и приносят большую пользу в качестве ориентиров для
финансового планирования деятельности предприятия. Данные
экспресс-диагностики могут служить материалом для более
углубленного анализа состояния предприятия. Так, некоторые
коэффициенты, отражающие финансовое состояние предприятия,
фигурируют в качестве признаков деятельности предприятия, по
ансамблю которых распознающая система производит
диагностику состояния. Поэтому экспресс-диагностика, имея свою
аналитическую ценность, может служить материалом для оценки
состояния предприятия. Важно помнить, что
экспресс-диагностика должна производиться непрерывно, а ее результаты —
оказывать влияние на принятие управленческих решений. В этом
состоит сущность финансового контроля. Некоторые показатели
финансового состояния, в особенности важный для практики
коэффициент финансовой устойчивости, показывают
тенденцию развития именно в динамике. Отклонения могут носить
сезонный характер (например, для Аф.усг — 15%), а основная
тенденция прослеживается лишь на длительном промежутке
времени (для Кф.уст — около 2—3 месяцев). Мониторинг финансового
состояния является неотъемлемой частью финансового
контроля. Его данные повышают достоверность принятых решений на
основе анализа тенденций финансового развития, делают
конкретнее и точнее интерпретацию экономических процессов.
2.3. Факторные модели оценки финансового состояния
предприятия
Анализ финансового состояния методами
экспресс-диагностики очень часто показывает, что одни оценочные показатели
превышают свои нормативные значения, а другие — находятся
ниже их, диагностируя при этом наступление кризиса.
Ситуация, когда все показатели сигнализировали бы о банкротстве
достаточно редка и очень нежелательна, так как в этом случае
41

финансовое оздоровление такого предприятия уже вряд ли
возможно. Учитывая то, что различные группы показателей
отражают различные финансовые процессы (ликвидность отражается
показателями ликвидности, финансовая эффективность
определяется показателями рентабельности, доля заемных средств —
показателями финансовой устойчивости), целесообразно уметь
проводить комплексный анализ финансового состояния
предприятия по различным признакам, обуславливающим его
финансовую деятельность.
Многие аналитики искали такую характеристику, которая
лучше всего отражала бы финансовую деятельность предприятия,
но сейчас уже признано, что одной такой характеристики явно
мало. А. Винакор и Р. Смит показали, что наиболее надежным
признаком скорого банкротства предприятия является снижение
отношения собственных оборотных средств к сумме активов
(коэффициент автономии). П.Дж. Фитцпатрик сравнил
показатели 20 обанкротившихся предприятий за период 1920—1929 гг.
с 19 выжившими предприятиями и пришел к выводу, что
лучшими показателями банкротства являются отношение прибыли
к собственным оборотным средствам и отношение собственных
оборотных средств к сумме задолженности (их понижение
диагностирует приближение несостоятельности). К.Л. Мервин
исследовал 939 предприятий и показал, что симптомом
банкротства является отрицательная динамика показателей:
коэффициента покрытия процентных выплат, коэффициента автономии и
собственного оборотного капитала на сумму задолженности.
Практика показала несовершенство этих подходов и потребовала
проведения более сложного анализа для получения
интегральной оценки финансового состояния предприятия. В качестве
критерия этой оценки выступает вероятность наступления
банкротства. Этой цели удовлетворяют некоторые факторные
модели, разработанные в США: модель Z-счета Альтмана, шкала
Вивера, формула Du Pont, а также менее известные модели Лиса,
Тишоу, Таффлера. К сожалению, все эти модели дают лишь
приблизительную градацию степени угрозы наступления
банкротства, однако ни количественного значения вероятности
банкротства, ни ошибки неправильной диагностики они не
представляют. Несмотря на несовершенство этих методов, их результаты
довольно полно характеризуют финансовое состояние
предприятия с помощью ограниченного числа наиболее важных и
распространенных показателей.
42

Двухфакторная модель оценки вероятности банкротства.
Самой простой моделью диагностики банкротства является
двухфакторная, анализ применения которой исследован в работах
МЛ. Федотовой. При построении модели учитываются два
показателя, от которых зависит вероятность банкротства, —
коэффициент текущей ликвидности (покрытия) и отношение заемных
средств к активам.
На основе анализа западной практики были выявлены
весовые коэффициенты каждого из этих факторов.
Для США данная модель выглядит следующим образом:
Z = -0,3877-1,0736 х А:лик+ 0,0579 х Кхс,
где Кшк — коэффициент текущей ликвидности;
Кзс — отношение заемных средств к валюте баланса.
Если Z < 0 — вероятно, что предприятие останется
платежеспособным; если Z> 0 — вероятно банкротство.
Данные анализа применения двухфакторной модели
вероятности банкротства для 15 предприятий представлены в табл. 2.3.
Из таблицы видно, что часто вероятность банкротства,
предсказанная на основе двухфакторной модели подтверждается, что
и произошло с предприятиями. Но существуют исключения: так,
у предприятия 6 Z = -0,649, т.е. по значению Z предприятие
платежеспособно, в действительности же имело место
банкротство фирмы.
Двухфакторная модель вероятности банкротства не отражает
другие стороны финансового состояния предприятия:
оборачиваемость активов, рентабельность активов, темпы изменения
выручки от реализации и т.д. Точность прогнозирования
увеличивается, если во внимание принимается большее количество
факторов, отражающих финансовое состояние предприятия.
Оценка вероятности банкротства на основе Z-счета Альтмана.
В практике финансово-хозяйственной деятельности западных фирм
широко используется для оценки банкротства Z-счет Альтмана.
Он представляет собой пятифакторную модель, построенную по
данным 33 обанкротившихся предприятий США A968 г.).
Z-счет Альтмана рассчитывается так:
Z-счет = 1,2 х Кх + 1,4 х К2+ 3,3 х Къ + 0,6 х Ц + К5,
где К\ — доля оборотного капитала в активах предприятия;
К2 — доля нераспределенной прибыли в активах предприятия;
Аз — отношение прибыли от реализации к активам предприятия;
43

А4 — отношение рыночной стоимости обычных и
привилегированных акций к кредиторской задолженности предприятия;
К$ — отношение объема продаж к активам.
Таблица 2.3
Пример использования двухфакторной модели
для вычисления вероятности банкротства 15 предприятий

Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Коэффициент
текущей

ликвидности
ЗД)
3,0
2,8
2,6
2,6
2,4
2,0
2,0
1,8
1,6
1,6
1,2
1,5
1,0
1,0
Отношение
заемного
капитала
к активам,
%
60
76
44
56
68
40
40
48
60
20
44
44
24
32
60
Z
-0,135
0,790
-0,847
0,062
0,757
-0,649
-0,220
0,244
1,153
-0,948
0,441
0,871
-0,072
0,391
2,012

Вероятность

банкротства,
%
42
81,2
15,5
51,5
80,2
21,2
38,1
60,1
89,7
13,1
68,8
83,5
45,0
66,7
97,9

Подтверждение

вероятности
банкротства
Нет
Да
Нет
Да
Да
Да
Нет
Да
Да
Нет
Да
Да
Нет
Да
Да
В зависимости от значения Z-счета дается оценка вероятности
банкротства предприятия по определенной шкале,
представленной в табл. 2.4.
В 1977 г. Альтман разработал более точную модель,
позволяющую прогнозировать банкротство на горизонте в пять лет с
точностью до 70%. В модели используются следующие
показатели: рентабельность активов, динамичность прибыли,
коэффициент покрытия процентов, коэффициент текущей ликвидности,
коэффициент автономии, стоимость имущества предприятия.
44

Таблица 2.4
Оценка вероятности банкротства предприятия
Значение
Z-счета
Z< 1,8
1,8<Z<2,7
2,7<Z<2,9
Z>2,9
Вероятность
наступления банкротства
Очень высокая
Высокая
Возможная
Очень низкая
В российской практике предпринимаются многочисленные
попытки использования Z-счета Альтмана для оценки
платежеспособности и диагностики банкротства, используется
компьютерная модель диагностики банкротства. Однако различия во
внешних факторах, оказывающих влияние на функционирование
предприятия (степень развития фондового рынка — главным
образом отсутствие вторичного рынка ценных бумаг, налоговое
законодательство, нормативное обеспечение бухгалтерского
учета), а следовательно, на экономические показатели,
используемые в модели Альтмана, искажают вероятностные оценки.
Оценка финансового состояния предприятия по показателям
У. Бивера. Известный финансовый политик Уильям Бивер
предложил свою систему показателей для оценки
финансового состояния предприятия с целью диагностики банкротства
(табл. 2.5).
Метод рейтинговой оценки финансового состояния предприятия.
Р.С Сайфулин и Г.Г. Кадыков предложили использовать для
оценки финансового состояния предприятия рейтинговое число:
R = 2Aq6 + ОДА'лик + 0,08 КШ1 + 0,45 Ктн + Кпр,
коэффициент обеспеченности собственными средствами
(Аоб > 0);
коэффициент текущей ликвидности (Ктк > 2);
интенсивность оборота авансируемого капитала, которая
характеризуется объемом реализованной продукции,
приходящейся на один рубль средств, вложенных в деятельность
предприятия (КИН1 > 2,5);
коэффициент менеджмента, характеризуется отношением
прибыли от реализации к величине выручки от реализации
(Кжн > (п - 1)/г, где г — учетная ставка Центробанка);
рентабельность собственного капитала"-— отношение
балансовой прибыли к собственному капиталу (Кпр > 0,2).
45
где Аоб
Алик
^инт
кы
^пр

При полном соответствии значений финансовых
коэффициентов минимальным нормативным уровням рейтинговое число
будет равно 1. Финансовое состояние предприятий с
рейтинговым числом менее 1 характеризуется как неудовлетворительное.
Рейтинговая оценка финансового состояния может
применяться в целях классификации предприятий по уровню риска
взаимоотношений с ними банков, инвестиционных компаний,
партнеров.
Таблица 2.5
Система показателей У. Бивера и их значения
Показатель
1
Коэффициент
Бивера
Рентабельность
активов
Финансовый рычаг
Коэффициент
покрытия активов
чистым оборотным
капиталом
Коэффициент
покрытия
Расчет
2
DII-Am)/(LR+SR)
(ЧП/АктивыI00%
(LR + SR)/AKTHBbi
(СК —
Внеоборотные активы) /
Активы
Оборотные акти-
вы/SR
Значения показателей
3
0,4-0,45
6-8
37
0,40
3,2
4
0,17
-4,00
50
0,3
2
5
-0,15
-22,00
80
0,06
1
Примечания:
СК — собственный капитал предприятия;
ЧП — чистая прибыль предприятия после уплаты налогов;
LR — долгосрочные обязательства (включая открытые кредитные линии);
SR — краткосрочные обязательства (включая задолженность по заработной
плате);
Ам — амортизация;
колонка 3 — для благополучных компаний;
колонка 4 — за 5 лет до банкротства;
колонка 5 — за 1 год до банкротства.
Формула Du Pont Формула Du Pont позволяет оценить
важнейший показатель с точки зрения инвесторов —
рентабельность собственного капитала по трем показателям
экономической эффективности: рентабельности продаж, оборачиваемости
активов и финансового рычага (коэффициента привода).
Произведение последних трех коэффициентов определяет структурный
46

состав показателя рентабельности собственного капитала — это
и есть формула Du Pont
Чистая Чистая Выручка Сумма
прибыль (ЧП) прибыль {объем продаж:) активов
Собственные Выручка (В) Сумма Собственные
средства (СС) {объем продаж:) активов (А) средства
В сокращенном виде формула Du Pont
где RCK = рентабельность собственного капитала;
СС
ЧП
В
^пр = — рентабельность продаж, или коммерческая маржа;
КОА = — — оборачиваемость активов или коэффициент трансфор-
А
мации;
, А
L = — — «рычаг».
СС
В монографии «Менеджмент: стратегия и тактика» Питера
Дойля [11] формулу Du Pont называют основным уравнением
финансового планирования, которое должно определять основную
финансовую задачу. «Принято считать, что основная цель
капиталистического предприятия — достижение удовлетворительного
уровня прибыли на акционерный капитал. Уравнение
показывает, что существует три и только три способа достижения этой
цели... Менеджмент компании должен предпринять меры по
повышению Rnp9 КОА или L. Основное уравнение финансового
планирования представляет результат деятельности компании» [11].
Так рентабельность продаж характеризует соотношение между
уровнем цен на рынке на реализуемую продукцию и затратами
на ее содержание и реализацию. Поэтому он приемлем для
сравнения компаний разного масштаба, но с хорошей структурой
(предлагающих хорошую продукцию). Однако, если инвестиции
в капитал предприятия сильно различаются от предприятия к
предприятию, то пользоваться этим коэффициентом отдельно
не стоит в качестве обобщающего. Смысл коэффициента
рентабельности по продажам — отразить уровень управления затратами
при существующих ценах на продукцию.
47

Оборачиваемость активов показывает эффективность активов
компании при достижении уровня ее объема продаж. Показатель
оборачиваемости активов позволяет оценить успех управления
активами предприятия.
Произведение этих двух показателей дает одно из уравнений,
следствием которого является формула «Du Pont».
Чистая прибыль _ Чистая прибыль Выручка
Сумма активов Выручка Сумма активов
где Лак — это коэффициент рентабельности активов, характеризующий
отдачу активов: чистую прибыль на 1 усл. ед. активов.
В идеале предприятие должно стремиться к высокому
уровню коммерческой маржи Rnp и высокому значению
коэффициента оборачиваемости КОА, однако стоит помнить, что на эти
показатели воздействуют разные факторы. Так, если поставлена
задача оптимизации коммерческой маржи, что отвечает целям
максимизации чистой прибыли, то это может быть достигнуто
быстро двумя методами: повышением цен или снижением
реализационных затрат. Повышение цен может отрицательно
сказаться на выручке вследствие падения спроса, что вызовет и
снижение коэффициента трансформации при фиксированном
уровне суммы активов, это будет отражено в замедлении
производственного цикла. Снижение затрат на реализацию увеличит
прибыль, но не обязательно вызовет увеличение выручки. Если
уменьшить затраты по сбыту, вероятней ожидать уменьшение
числа покупателей, что опять-таки увеличит запасы на складах и
уменьшит выручку. Ниже станет и оборачиваемость активов. А в
случае стимулирования роста объема продаж среди
потенциальных покупателей коэффициент оборачиваемости за счет роста
выручки, напротив, вырастет, однако выше будут затраты. В этом
случае на вопрос, вырастет ли маржа, ответит исследование,
поскольку окупает затраты чистая прибыль, которая может
уменьшиться, а может и увеличиться при росте объема продаж
(выручки). П. Дойль писал: «На коммерческую маржу оказывает
влияние ценовая политика, объем и структура затрат и т.д.
Коэффициент трансформации складывается под воздействием
внешних условий деятельности, а также экономической стратегии
самого предприятия» [11]. Искусство управления состоит в
гибкости реализации различных стратегий, в умении балансировать
между возможными вариантами достижения поставленных целей.
48

Одним из определяющих показателей финансового состояния
является коэффициент рычага: отношение к собственному
капиталу активов предприятия. Чтобы лучше понять сущность
рычага распишем его так:
L =
Сумма Сумма
активов _ пассивов __
Собственные Собственные
средства средства
Собственные Заемные Заемные
_ средства + средства (ЗС) = средства
Собственные Собственные
средства средства
ЗС
Величина — называется плечом рычага. Предельным
значением плеча рычага считают 1; это значит, что собственные
средства должны покрывать заемные средства. Заемные средства —
инвестиции должны присутствовать, однако чрезмерная доля
заемных средств в структуре капитала при неблагоприятном
стечении внешних обстоятельств может привести к потере
платежеспособности, если сразу несколько кредиторов потребуют
возврата ссуды. Обеспеченность собственными средствами
означает долгосрочную способность предприятия погашать все виды
ЗС
обязательств. Так как — должно быть меньше или равно 1, то
ЗС ЗС
из — < 1 следует, что L = 1 + — < 2.
СС СС
Однако слишком малое значение плеча рычага тоже имеет
свой недостаток. Его объясняет формула Du Pont, которую мы
имеем право переписать так:
ЧП ЧП А
RCC=RAL, или = .
сс А СС А СС
Пусть сумма активов А = const. Тогда, так как А = П = ЗС +
+ СС, следует, что с ростом собственных средств уменьшается
сумма заемных средств (ведь А = П = const). Очевидно, что
величина L с ростом СС падает. Тогда будет падать и Д.х, если
уровень чистой прибыли в числителе ЛА останется неизменным. Сле-
Заемные средства берутся с вычетом кредиторской задолженности.
49

довательно, чтобы уравнение было не нарушено, величина чистой
прибыли на активы будет возрастать. «Экономический смысл
этого показателя противоречив, — говорится в учебнике по
антикризисному управлению А.П. Градова и Б.И. Кузина об эффекте
рычага. — Он выступает как «рычаг», который при росте
заемных средств и неизменных активах увеличивает размеры чистой
прибыли на 1 руб. собственных средств, так и «рычаг», который
при неблагоприятной рыночной конъюнктуре увеличивает риск
и размеры потерь собственных средств. Данный вид формулы
Du Pont увязывает экономическую рентабельность /?д со
структурой капитала предприятия, и можно сделать еще один вывод
из формулы Du Pont. «... предприятия при одинаковой
экономической рентабельности могут иметь разную финансовую
рентабельность (рентабельность собственного капитала — Авт.), что
является следствием разной структуры финансовых источников» [24].
Как и модели Альтмана и Бивера, формула Du Pont
рассчитывается на основе данных экспресс-диагностики, однако
является более сложным и тонким инструментом анализа
финансового состояния предприятия. В отличие от двухфакторной
модели, модели Z-счета Альтмана, некоторых моделей линейной
регрессии модель Du Pont является нелинейной мультипликативной
моделью. Показатель рентабельности собственного капитала
является экономической нелинейной характеристикой трех
показателей финансовой деятельности предприятия. Из курса
многомерного статистического анализа можно узнать, что
мультипликативные модели лучше отражают нестационарные процессы
(к ним относится любой экономический процесс), так как
учитывают статистические связи между множимыми показателями
более высоких порядков, а линейные — отражают лишь
моменты распределения не выше второго порядка. Исходя из этого
можно утверждать, что формула Du Pont является несложным и
достаточно действенным инструментом финансового анализа
предприятия. Показатель рентабельности собственного капитала,
вычисленный по формуле Du Pont, может выступать и как
признак кризисного состояния предприятия, правда, в этой роли он
очень ненадежен и его значение не выходит за рамки экспресс-
диагностики состояния предприятия. Как было показано в
параграфе 2.2, для того, чтобы предприятие было успешным по
показателю Rq с, необходимо, чтобы значение Re c превышало
норму дисконтирования (цену капитала) q, т.е. если /^>с > <?, то
кризис отсутствует, при 1^ с < q кризис есть.
50

Следует заметить, что формула Du Pont не имеет целью
распознавание кризисного состояния предприятия. Правая часть
уравнения Du Pont интегрирует результат трех различных типов
управления: управление продажами, управление оборотом и
управление собственным капиталом. Левая часть уравнения
характеризует инвестиционную привлекательность по трем
финансовым результатам бизнеса предприятия. Особый
экономический смысл несет эффект рычага, отражающий отдачу от
инвестиций, обуславливающих долю заемного капитала в средствах
предприятия, отнесенных на весь собственный капитал. Из
вышесказанного можно заключить, что формула Du Pont является
важнейшим методом структурного анализа финансов
предприятия и хорошо определяет баланс различных финансовых
результатов, достигнутых им. Из всех перечисленных методов
анализа предприятия формула Du Pont является, пожалуй, самым
удачным, однако наличие довольно малого перечня признаков,
отражающих общее состояние предприятия, ограничивает
возможности глубокого анализа с помощью формулы Du Pont.
Поэтому задача анализа состояния предприятия может быть
решена, если в ее рамках будет предпринято собственное
исследование факторов бизнес-деятельности, всесторонне и
одновременно достоверно определяющих ее результаты.

Общая постановка задачи
распознавания кризисного
'лава 3 СОСТОЯНИЯ ПрвДПрИЯТИЯ
3.1. Общая схема распознавания кризисного состояния
предприятия
Проведенный в главах 1 и 2 анализ кризисных явлений в
экономике фирмы (предприятия) и экономического механизма
возникновения кризисного состояния показьгоает, что главную роль
в антикризисном управлении фирмой играет своевременное
распознавание ее кризисного состояния с требуемым уровнем
достоверности: D = 1 — а=1-р(а, р — ошибки распознавания 1-го и
2-го рода) для своевременного принятая мер по предупреждению
и предотвращению кризиса.
В общем виде можно полагать, что исследуемая фирма может
принимать одно из двух взаимоисключающих состояний: S\ —
нормальное (бескризисное) и Si — кризисное. Распознавание
представляет собой отнесение наблюдаемого неизвестного
состояния, заданного совокупностью Хп наблюдений над его
признаками Х\, Xi, ..., Хр,
хп хХ2... хХп
Хп-
L 21 Л22
Х-уу ... X
2п
Xd2 ... X
L/?l Лр2
рп )
C.1)
к одному из двух взаимоисключающих состояний S\ или S^
Каждый столбец
хи
хц
\XpiJ
= [*и
xv
*pi
г.
i = 1,2,..., п , матрицы
Хп представляет собой /ьмерный вектор наблюдаемых значений
52

р признаков Х\9 Х2, ..., Хр, отражающих наиболее важные для
распознавания свойства.
Набор признаков р, как правило, является одинаковым для
всех распознаваемых классов S\, ф. Если каждый класс S\ и S2
описывается своим набором признаков, то задача распознавания
становится тривиальной, поскольку однозначное отнесение
имеющейся совокупности наблюдений к определенному классу легко
осуществляется по набору составляющих ее признаков.
Общая схема системы распознавания кризисного состояния
фирмы приведена на рис. 3.1.
Рассматриваемая
фирма
Признак Х^
Признак X
1П Принятие
решения
s't Ь
Признак Х\
Эталонные описания состояний
I mi
Признак Х\ J
Признак Х^р'
WTJJ1
Преуспевающие
фирмы
Признак Х^
Кризисные
фирмы
т0
Рис. 3.1. Общая схема распознавания кризисного
состояния предприятия
Таким образом, рассматривается задача принадлежности
наблюдаемого состояния к одному из двух классов S\, ?2,
описываемых одинаковым для всех классов набором признаков Х\,
Х2, ..., Хр. При этом различие между классами будет
проявляться только в том, что у разных объектов одни и те же признаки
будут иметь различные характеристики (количественные,
качественные и др.), и для любого набора признаков Х\, ..., Хр
можно задать правила, согласно которым двум классам S\ и Si
ставится в соответствие вектор йу?.
53

\dx
d{2= • I, C.2)
\dP
состоящий из p скаляров, называемых межклассовыми
расстояниями и выражающих степень отличия у этих классов
характеристик данных признаков.
3.2. Основные этапы и параметры распознавания
Определение набора признаков Х\, Х2, ..., Хр, т.е. формирование
признакового пространства, является неотъемлемой составной
частью распознающего процесса. С одной стороны, выбранная
совокупность признаков должна в наибольшей степени отражать все
те свойства состояний, которые важны для их распознавания, т.е.
набор Х\, Аг, ..., Хр должен быть наиболее полным. С другой
стороны, с увеличением размерности р признакового пространства
очень быстро возрастают вычислительная сложность процедур
обучения и принятия решения, материальные и трудовые
затраты на измерение необходимых характеристик объектов, т.е. на
получение наблюдений на этапе обучения и принятия решений.
Основным показателем качества распознающей системы
является достоверность принимаемых ею решений [28, 29]. Если
распознающая процедура допускает большой процент ошибочных
решений, то, подобно ненадежным компьютерам, она делает
практически непригодной любую, пусть даже очень совершенную в
других отношениях, систему, частью которой она является. Таким
образом, практический интерес представляют только те системы,
которые обеспечивают требуемый уровень достоверности
распознавания.
Сокращение количества признаков уменьшает затраты на
проведение измерений и вычислений, но может привести к
снижению достоверности распознавания. Если время на обучение и
принятие решения жестко ограничено, то повышение
размерности признакового пространства может оказаться единственным
средством увеличения достоверности. Таким образом,
одновременное достижение минимума общей размерности признакового
пространства и максимума достоверности распознавания
оказывается, как правило, невозможным, и, следовательно, одной из
основных задач синтеза распознающих систем является выбор
из заданного множества признаков Х\9 Х2, ..., Хр оптимального
54

набора Х\9 Xi, ..., Х^ из ро признаков, обеспечивающего
требуемый по условиям решаемой задачи уровень достоверности
распознавания и минимизирующего затраты на проведение
измерений и вычислений.
Другой важной составной частью распознающего процесса
является обучение, цель которого — восполнение недостатка
априорных знаний о распознаваемых классах S\ и 52 путем
использования информации о них, содержащейся в обучающих
наблюдениях:
,(i) V(D
41
42
М) М)
4>1
*22
М) М)
кр\ хр2
\т\
2т\
рщ )
т2
„B) vB)
41
42
Л2) <2)
4>1
v22
rB) -B)
кр\ хр2
\ГП2
к2т2
pm2J
, C.3)
где я*/ — количество обучающих наблюдений.
Хотя методы и подходы, используемые при обучении, могут
быть разнообразными, конечный результат их использования,
как правило, неизменен — это эталонные описания состояний
$\, i2. Увеличение продолжительности обучения повышает
достоверность распознавания за счет увеличения количества
информации о распознаваемых классах, содержащейся в обучающих
выборках и позволяющей уточнять их эталонные описания su s2.
В то же время увеличение времени обучения влечет за собой рост
затрат на измерения и вычисления и, что самое главное,
увеличение общего времени, требуемого для решения задачи
распознавания. Сокращение же времени обучения может повлиять на
качество эталонных описаний и в конечном итоге привести к
снижению достоверности распознавания. Следовательно,
определение минимального времени обучения, обеспечивающего
заданный уровень достоверности распознавания, является одной
из важных задач, возникающих при синтезе распознающих систем.
Реализация информации о распознаваемых классах,
содержащейся в их эталонных описаниях s{J2 и в совокупности
наблюдений C.1), осуществляется в процедуре принятия решений,
занимающей центральное место в распознающем процессе.
Процедура сводится к сопоставлению неклассифицированных
наблюдений с эталонными описаниями и указанием номера класса /
из множества 1, 2 номеров классов, к которому принадлежит
рассматриваемая совокупность наблюдений. Таким образом,
решающая процедура осуществляет отображение наблюдений на ко-
55

нечное множество натуральных чисел 1, 2 с использованием
информации о классах, содержащейся в обучающих
наблюдениях и отражаемой в эталонных описаниях классов ib i2.
Увеличение продолжительности процедуры принятия
решения, в принципе, повышает достоверность распознавания за счет
вовлечения в процесс принятия решения большего количества
информации о состоянии фирмы, содержащейся в
описывающей совокупности наблюдений C.1), которую в дальнейшем
будем именовать контрольной выборкой. Однако для подавляющего
большинства распознающих систем естественными являются
требования минимальной продолжительности процедуры
принятия решения как с точки зрения быстроты решения задач, так и
с позиций минимизации затрат на измерения и вычисления.
Таким образом, определение минимального времени принятия
решения, обеспечивающего заданный уровень достоверности
распознавания, также является одной из важных задач синтеза
распознающих систем.
Итак, основными параметрами распознающей системы
являются: количество признаков /?, объемы выборок (обучающих
mi, /W2 и контрольной п) и достоверность распознавания D. На
практике при синтезе распознающей системы, заключающемся
в выборе величин р, т\, т^ п и D, обеспечивающем решение
задачи распознавания наилучшим образом, на значения всех
или некоторых из перечисленных параметров накладываются
ограничения, обусловливаемые либо необходимостью
достижения высокого уровня достоверности принимаемых решений,
либо жесткими требованиями на время обучения и распознавания,
либо ограниченными возможностями по затратам на получение
наблюдений, либо и тем, и другим, и третьим. В то же время
отмеченный выше сложный характер взаимосвязей между
параметрами распознающей системы приводит к тому, что нередко
удовлетворить всем налагаемым на них ограничениям можно
при различных соотношениях между этими параметрами. В этих
условиях появляется возможность выбора таких значений
параметров р, т\, mi, n и D, которые удовлетворяют всем
ограничениям и являются наилучшими (оптимальными) с точки зрения
некоторого критерия, т.е. появляется возможность оптимизации
распознающей системы [28].
Для обеспечения гарантированной достоверности
распознавания важную роль играет получение в удобной для
практического использования форме зависимости достоверности
распознавания D от параметров распознающей системы р, т\, /г*2, п и
межклассовых расстояний.

Анализ различных методов
с точки зрения обеспечения
л гарантированной
Глава тг достоверности распознавания
4.1. Детерминистские (перцептронные) методы
распознавания
Детерминистские (перцептронные) методы основаны на
использовании перцептрона и обучения на основе принципа
подкрепления-наказания. Основная модель перцептрона,
обеспечивающая отнесение образа к одному из двух классов, состоит из
сетчатки S сенсорных элементов, соединенных с
ассоциативными элементами сетчатки А, каждый элемент которой
воспроизводит выходной сигнал только, если достаточное число
сенсорных элементов, соединенных с его входом, находятся в
возбужденном состоянии (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Структурная схема перцептрона
Реакция всей системы пропорциональна сумме взятых с
определенными весами w; реакций х,- элементов / ассоциативной
сетчатки:
57

л -2>№="*|<0_^2. <4Л>
Обучение перцептрона по принципу подкрепления-наказания.
Обучающий алгоритм сводится к простой схеме итеративного
определения вектора весов W. Заданы два обучающих
множества, представляющие классы S\ и 52 соответственно.
Пусть W(\) — начальный вектор весов, выбираемый
произвольно. Тогда на ?-ом шаге обучения, если x(k)eS{ и w(k) х(к) < О,
то вектор весов w(k) заменяется вектором w(k + \) = w(k)+cx(k),
где с — корректирующее приращение.
Если x(k)eS2 и w(k)x(k)>0, то вектор w(k) —заменяется
вектором w(k + \}=w(k)-cx(k). В противном случае w(k) не
изменяется, т.е. w(k +1) = w(k).
Таким образом, изменения в вектор весов W вносятся
алгоритмом только в том случае, если образ, предъявляемый на к-ои
шаге обучения, был при выполнении этого шага неправильно
классифицирован с помощью соответствующего вектора весов.
Корректирующее приращение с должно быть положительным, и
в данном случае предполагается, что оно постоянно.
Следовательно, алгоритм является процедурой типа
«подкрепление-наказание», причем подкреплением является отсутствие
наказания, т.е. то, что в вектор весов ^не вносится никаких
изменений, если образ классифицирован правильно.
Если образ классифицирован неправильно и произведение
w'(k) x(k) оказывается меньше нуля, когда оно должно быть
больше нуля, система «наказывается» увеличением вектора весов
w(k) на величину, пропорциональную х(к). Точно так же, если
произведение w'(k)x(k) оказьгеается больше нуля, когда оно
должно быть меньше нуля, система наказывается
противоположным образом.
Сходимость алгоритма наступает при правильной
классификации всех образов с помощью некоторого вектора весов.
Основная задача, заключающаяся в выборе подходящего
множества решающих функций, решается в основном методом
проб и ошибок, поскольку, как указано в [26], единственным
способом оценки качества выбранной системы является прямая
58

проверка. Совершенно ясно, что отсутствие аналитических
методов оценки достоверности распознавания, увязанной с
параметрами распознающей процедуры, не позволяет обеспечить
гарантированную достоверность распознавания в системах
детерминистского распознавания, основанных на использовании
перцепторных алгоритмов.
4.2. Лингвистические (синтаксические) методы
распознавания
Здесь признаками служат подобразы (непроизводные
элементы) и отношения, характеризующие структуру образа. Для
описания образов через непроизводные элементы и их
отношения используется язык образов. Правила такого языка,
позволяющие составлять образы из непроизводных элементов,
называются грамматикой. Грамматика определяет порядок
построения образа из непроизводных элементов. При этом образ
представляется некоторым предложением в соответствии с
действующей грамматикой.
Объекты,
подлежащие
распознаванию

Предварительная
обработка
Построение
описания
объекта
Синтаксический
анализ

(грамматический разбор)
Объекты
обучающей
выборки
Номер
класса
(грамматика)
Распознавание
(грамматический
разбор)
Подсистема
вывода
грамматики
Обучение
(восстановление
грамматики класса)
Рис. 4.2. Общая схема лингвистического распознавания
Распознавание состоит из двух этапов (рис.4.2):
1) определение непроизводных элементов и их отношений для
конкретных типов объектов и обучение,
2) проведение синтаксического анализа предложения,
представляющего объект, чтобы установить, какая из имеющихся
фиксированных грамматик могла породить имеющееся описание
объекта {грамматический разбор).
59

Грамматики часто удается определять на основе априорных
сведений об объекте, в противном случае грамматики всех
классов восстанавливаются в ходе обучения, которое использует
априорные сведения об объектах и обучающую выборку. Объект
после предварительной обработки (например, черно-белое
изображение можно закодировать с помощью сетки, или матрицы
нулей и единиц) представляется некоторой структурой
языкового типа (например, цепочкой или графом). Затем он разбивается
(сегментируется), определяются непроизводные элементы и
отношения между ними. Так, при использовании операции
соединения объект получает представление в виде цепочки
соединенных непроизводных элементов.
Решение о синтаксической правильности представления
объекта, т.е. о его принадлежности к определенному классу,
задаваемому определенной грамматикой, вырабатывается
синтаксическим анализатором (блоком грамматического разбора).
Цепочка непроизводных элементов, представляющая собой
поданный на вход системы объект, сопоставляется с цепочками
непроизводных элементов, описывающими классы.
Распознаваемый объект с помощью выбранного критерия согласия
(подобия) относится к тому классу, с которым обнаруживается
наилучшая близость.
Обучение: по заданному набору обучающих объектов,
представленных описаниями структурного типа, делается вывод
грамматики, характеризующей структурную информацию об изучаемом
классе объектов. Структурное описание соответствующего
класса формируется в процессе обучения на примере реальных
объектов, относящихся к этому классу. Это эталонное описание в
форме грамматики используется затем для синтаксического
анализа. В более общем случае обучение может предусматривать
определение наилучшего набора непроизводных элементов и
получение соответствующего структурного описания классов.
Для распознавания двух классов объектов S\ и ^2
необходимо описать их объекты с помощью признаков V (непроизводных
элементов, подобразов). Каждый объект может рассматриваться
как цепочка или предложение из V. Пусть существует
грамматика Т\ такая, что порождаемый ею язык ЦГ\) состоит из
предложений (объектов), принадлежащих исключительно одному из
классов (например, S\). Предъявляемый неизвестный объект мож-
60

но отнести к S\, если он является предложением языка ЦГ\), и
к 52, если он является предложением языка ЦГ2).
Пример. Распознавание прямоугольников на фоне других
фигур (рис. 4.3).
Рис.4.3. Структурное описание распознаваемой
фигуры — прямоугольника
Выбор непроизводных элементов:
а' — 0°, отрезок горизонтальной линии;
Ь' — 90°, отрезок вертикальной линии;
с' — 180°, отрезок горизонтальной линии;
d — 270°, отрезок вертикальной линии.
Множество всех возможных прямоугольников задается с
помощью одного предложения — цепочки a'b'c'd'. Составляем
грамматику Г для прямоугольников, все другие грамматики —
грамматики не прямоугольников, наблюдаемый объект
сопоставляется с грамматиками и принимается решение о его
принадлежности.
Если же требуется различение прямоугольников разных
размеров, то приведенное описание не адекватно. В качестве
непроизводных элементов необходимо использовать отрезки
единичной длины. Тогда множество прямоугольников различных
размеров можно описывать с помощью языка:
L = {a\ bm, c\ dn\ n, m = 1, 2, ...}.
Как указано в [9], структурный подход к распознаванию еще
не располагает строгой математической теорией и
рассматривается как комплекс практически работающих эвристических
приемов. Это не позволяет увязать главный показатель качества
распознавания — достоверность — с другими параметрами
распознавания и, следовательно, не позволяет осуществить синтез
распознающей системы, обеспечивающей гарантированную
достоверность распознавания.
61

4.3. Логические и алгебраические методы
распознавания
В логических системах распознавания [9] классы и признаки
объектов рассматриваются как логические переменные. Все
априорные сведения о классах S\, fy и признаках Х\, Х2, ..., Хр,
присущих объектам классов S\, S2, полученные в результате
проведения ряда экспериментов (обучения), также выражаются в виде
булевых функций. Основным методом решения задач
логического распознавания является метод построения сокращенного
базиса с помощью алгоритмов получения произведения для
булевых функций и отрицания булевой функции и приведения
последней к тупиковой дизъюнктивной нормальной форме. Как
указывается в [9], логические алгоритмы распознавания в ряде
случаев не позволяют получить однозначное решение о
принадлежности распознаваемого объекта к классу, а в тех случаях,
когда такое решение удается найти, получить в аналитическом
виде оценку достоверности распознавания через параметры
распознающей системы оказывается невозможно, что делает
необходимым использование метода Монте-Карло [9]. К тому же в
системах логического распознавания основной упор делается на
использование априорных знаний в ущерб процедуре обучения,
количественная связь которой с достоверностью распознавания
никак не установлена.
Дальнейшим развитием логических методов распознавания
являются разработанные Ю.И. Журавлевым алгоритмы
логического распознавания, основанные на вычислении оценок (АВО) [12],
которые, в отличие от указанных методов, обеспечивают
возможность получения однозначного решения о принадлежности
распознаваемых объектов к определенному классу. АВО основаны
на вычислении оценок сходства, количественно
характеризующих близость распознаваемого объекта к эталонным описаниям
классов, построенным на основе использования обучающей и
априорной информации, задаваемой в виде таблицы обучения.
Пусть множество объектов {w} поделено на классы S\, S2 и
объекты описаны одним и тем же набором признаков х\, х2, •••>
Хр, каждый из которых может принимать значения из множества
({0,1,..., </}), для простоты из {0,1}.
Априорная информация представляется в виде таблицы
обучения, содержащей описания на языке признаков [хь...,хр\
ы

всех имеющихся объектов, принадлежащих различным классам
(табл. 4.1).
Пример. Задана таблица обучения (табл. 4.1) и подлежащий
распознаванию объект W.
Таблица 4.1
Таблица обучения
Классы
S\
s2
Объекты
Vt>2
W3
W4
W '
Значения признаков
X\
0
0
1
0
1
1
x2
0
A
1
1
*3
0
0
0
0
1
0
x4
0
0
1
1
1
0
z2
0
0
*5
0
1
1
0
1
0
ъ
0
Z3
0
0
Алгоритм распознавания сравнивает описание
распознаваемого объекта W с описанием всех объектов wu ..., w6 и по
степени похожести (оценки) принимается решение, к какому
классу (S\ или S2) относится объект. Классификация основана на
вычислении степени похожести (оценки) распознаваемого
объекта и' на объекты, принадлежность которых к классам
известна. Эта процедура включает в себя три этапа: сначала подсчиты-
вается оценка для каждого объекта wb ..., w6 из таблицы, а затем
полученные оценки используются для получения суммарных
оценок по каждому из классов S\ и S2. Чтобы учесть
взаимосвязь признаков, степень похожести объектов вычисляется не
последовательным сопоставлением признаков, а сопоставлением
всех возможных (или определенных) сочетаний признаков,
входящих в описание объектов.
Из полного набора признаков X = {*!,...,хр) выделяется
система подмножеств множества признаков Zl5 ..., Z/ (система
опорных множеств признаков либо все подмножества множества
признаков фиксированной длины k, k = 2, ..., р - 1, либо
вообще все подмножества множества признаков).
63

Для вычисления оценок по подмножеству Zx выделяются
столбцы, соответствующие признакам, входящим в Zb остальные
столбцы вычеркиваются. Проверяется близость строки Zx w со
строками Zxw[,..., Zxwr, принадлежащими объектам класса S\.
Число строк этого класса, близких по выбранному критерию
классифицируемой строке Zxw', обозначается Г2 (и/, Sx) —
оценка строки W для класса S\ по опорному множеству Z\m
Аналогичным образом вычисляются оценки для класса ?2:
rz{w\ 5,2),... Применение подобной процедуры ко всем
остальным опорным множествам алгоритма позволяет использовать
систему оценок:
rz2 (w\ Sx), Г72 (w\ S2 ),..., rz/ (и/, 5,), Г2/ (w\ S2).
Величины
iV.Sibr^S,^ D.2)
ZA
^,52) = Гч(м/,52) + ГГ2A|/,52) + ... + Г2Дм/,52) = Хг(^52)
представляют собой оценки строки и>'для соответствующих
классов по системе опорных множеств алгоритма ZA. На основе
анализа этих величин принимается решение об отнесении объекта W
к классам S\ или 52 (например, к классу, которому соответствует
максимальная оценка, либо эта оценка будет превышать оценку
другого класса на определенную пороговую величину г| и т.д.).
Так, в примере введем подмножества:
Z[~ < Х\9 Х2>, Zi = < Х3, х4 >» 2з = < JC5, *6 >•
Строки будем считать близкими, если они полностью
совпадают.
Тогда
Z,: rzi(w\S,)=\, rzi{W,S2)=2
Z2: rZ2(W9Sx) = 2, rZ2(W9S2)=l
Zy rZ3(W9Sx)=\, Г2з(н/,52) = 0; D.3)
Г2А (W, ^) = TZ{ [w\ Sx) +rz2 (W9 Sx) +Г23 (W, Sx) = 1+2+1 = 4;
rZA (wf, S2) = rZj (w\ S2) +Г22 {w\ S2) +Г23 (w\ S2) = 2+1+ 0 = 3.
64

Согласно решающему правилу, реализующему принцип
простого большинства голосов, объект w'относится к классу S\, так
как
r(w\S{)>r(w\S2).
Дальнейшим обобщением АВО является алгебраический
подход к решению задач распознавания и классификации [12],
позволяющий преодолеть ограниченные возможности
существующих алгоритмов распознавания путем расширения их семейства
с помощью алгебраических операций, введения алгебры на
множестве решаемых и близких к ним задач распознавания и
построения алгебраического замыкания семейства алгоритмов
решения указанных задач. К сожалению, методы количественной
оценки достоверности распознавания при использовании АВО и
алгебраического подхода к решению задач распознавания,
позволяющие в аналитическом виде увязать вероятности ошибок
распознавания с параметрами распознающей системы (временем
обучения и принятия решения, межклассовым расстоянием и
размерностью признакового пространства), в настоящее время
отсутствуют [12], что не позволяет обеспечить гарантированную
достоверность в указанных системах распознавания.
4.4. Статистический метод распознавания
В статистическом методе распознавания (рис. 4.4) в ходе
обучения формируются эталонные описания-оценки
многомерных условных плотностей вероятности, которые содержат
всю информацию, присутствующую в наблюдениях
jci\...,jt^,...,jr/\...,*? и о всех взаимосвязях между признаками
Х{, ..., Хр [28,29]. Оценка wfo,..., xm/Sj) является случайной
величиной. Для принятия решения используется статистика
отношения правдоподобия
Z(J) = Z(xl>..^J=^,''',-W/?v D-4)
w(xl,...9xn/S2)
представляющая неотрицательную случайную величину,
получаемую функциональным преобразованием Z = Z(jcb..., Зсл), которое
отображает точки «-мерного пространства выборок на
действительную полуось. Таким образом, для вынесения решения
достаточно использовать значение одной случайной величины —
65
3 Диагностика кризисного состояния предприятия.

статистики отношения правдоподобия ь(хь...,хп), а не значения
каждого элемента выборки (хь *2> •> *п) по отдельности, т.е.
отношение правдоподобия несет всю статистическую
информацию о классах, содержащуюся в данной выборке.
Объекты
Датчик
Датчик
Датчик
^
^-
^
^
^
^
^
f_w{xh...,xn/Si)
*\x9...,xnIS2)
Блок принятия решения
А А
т т
w(xh...,xn/Si)
Si
w(x{ x„/S2)
s2
Эталонные описания классов
Блок обучения
?
Информация о наличии классов
Рис. 4.4. Общая схема статистического распознавания
Подобная статистика называется достаточной и приводит
к редукции наблюдаемых данных: отображению выборочного
я-мерного пространства X на действительную положительную
полуось (рис. 4.5).
1{хь ..., хп)
Рис. 4.5. Редукция наблюдаемых данных при использовании
статистики отношения правдоподобия
66

Поверхность в я-мерном выборочном пространстве,
разделяющая пространство X на подпространства Х\ и Х2у
отображается в точку С на оси L > О. Принятие решения теперь состоит в
отображении интервала О < L < С в точку S2 и интервала L > С в
точку S\. Сводим векторную задачу к скалярной.
Любое монотонное преобразование у [L(xb...,xn)\
достаточной статистики отношения правдоподобия также представляет
достаточную статистику. Например, 4/(ZJ= lnZ(jcb...,jcw). Если
элементы выборки независимы, то имеем сумму
\nb(x) = InZft, ..., хп)=±\п1(х,)=±\пф^ D.5)
Для нахождения вероятности ошибок распознавания
достаточно располагать распределением отношения правдоподобия (или
его логарифма), которое в свою очередь определяется по
правилам нахождения функций от случайных величин.
Редукция данных позволяет преодолеть трудности, связанные
с вычислением л-кратных интегралов, возникающие при прямом
(без введения отношения правдоподобия) вычислении
вероятностей ложных тревог а и пропуска кризиса р:
а= f w(x/S\)dx =JJw(jc|,..., xnIS\)dx\, ...,<fcw, P = \w(x/S2) dx . D.6)
Так как событие х еХ{ эквивалентно событию L(x) > С, а
событие xeX2 — событию Z(x)<C, то вероятности ошибок
распознавания аир представляются однократными интегралами.
ос = РШ)< C/S{}=[w7 (zlSx)dz =fAC!Sx), D.7)
О
$ = p{l{x)>C/S2} = \w; {z/S2)dz=l-FAc/S2), D.8)
v ; *L Lm,n L
С
или, переходя к логарифмам отношения правдоподобия lnlCc)
((см. D.5)):
( ) 1пС
a=P\nl(x)<\nC/Sl)= JwlnZ(z/5,)& = FlnZ(lnC/51), D.9)
з*
67

V = p{nL(x)>\nC/S2}=]wlnL{z/S2)dz = l-FlnL(\nC/S2), D.10)
In С
ще wL{zlS,\ FL{zlSx\ Wl(z/S2\ FL(z/S2\ ^(z/S,), F^z/Sj,
w Az/S2)9 F Az/S2) — соответственно плотности вероятности и
функции распределения статистики отношения правдоподобия L (или
его логарифма InZ) при наличии классов S\ и ?2-
Таким образом, вероятности ошибок распознавания
аналитически выражаются через объемы обучающей и контрольной
выборок, размерность признакового пространства (размерность
вектора х) и межклассовые расстояния (в отношении
правдоподобия), что позволяет выбрать параметры, гарантируя
достоверность распознавания и используя всю информацию о классах,
содержащуюся в наблюдениях.
Важнейшей особенностью реальных систем распознавания,
которая практически не учитывается в других рассмотренных
(кроме статистического) детерминистских (перцептронных),
синтаксических (лингвистических), логических, в том числе с
использованием АВО, алгебраических системах распознавания,
является то, что наблюдения {jq,..., 5гя} неизбежно подвержены
многочисленным случайным возмущениям, непредсказуемый,
вероятностный характер которых проявляется на всех этапах,
начиная с процесса получения самих наблюдений и кончая
процессом принятия решения, который всегда является случайным.
Дестабилизирующие факторы выступают в распознавании как
погрешности измерительных приборов, неточности регистрации,
шумы в каналах связи при передаче данных измерений,
аппаратурные шумы, наконец, как ошибки округления при
вычислениях, являющиеся следствием ограниченности разрядной сетки
ЭВМ. Взаимодействуя между собой, указанные возмущения
приводят к тому, что наблюдения неизбежно оказываются
реализациями случайных величин. Отсюда видно, что разработка
адекватных исследуемым процессам методов распознавания
неизбежно связана с исследованием случайных отображений, что
оказывается возможным только на основе статистических методов.
Следовательно, только статистические методы распознавания
[28, 29] позволяют в полной мере отразить тонкую структуру и
все особенности проявления распознаваемых объектов через
описывающие их признаки как при обучении, так и при приня-
68

тии решений с учетом всех дестабилизирующих факторов, и
количественно описать указанные процессы, используя хорошо
развитые методы математической статистики. Это создает
основу для количественного выражения основных параметров
распознающего процесса — размерности признакового пространства,
времени обучения и принятия решения через главный
показатель качества системы — достоверность распознавания, что в
свою очередь позволяет реализовать в системах статистического
распознавания гарантированную достоверность распознавания.
Таким образом, проведенное сопоставление наиболее
распространенных методов распознавания с точки зрения
гарантированной достоверности распознавания показывает, что
единственным методом, обеспечивающим полное адекватное описание
исследуемых объектов с учетом всех дестабилизирующих
факторов и на этой основе позволяющим количественно выразить
главный показатель качества — достоверность распознавания —
через все основные параметры распознающей системы: объемы
обучающих и контрольных наблюдений, размерность
признакового пространства и межклассовые расстояния, является
статистический метод распознавания, на основе которого и будет
строиться все дальнейшее изложение.

Формирование признакового
Глава 5 пространства
5.1. Выбор показателей деятельности предприятия
Анализ состояния фирмы — это не только исследование
процессов, происходящих в структуре самой фирмы, это прежде
всего анализ той среды, в которой функционирует фирма.
Обычно разделяют внутреннюю среду фирмы, факторы которой
определяются целиком управленческими решениями (цели
фирмы, ее структура, люди, технологии), и маркетинговую
(внешнюю). Маркетинговую среду представляют факторы микро- и
макросреды. «Микросреда представлена силами, имеющими
непосредственное отношение к самой фирме и ее возможностям
по обслуживанию клиентуры, т.е. поставщиками,
маркетинговыми посредниками, клиентами, конкурентами и контактными
аудиториями. Макросреда представлена силами более широкого
социального плана, которые оказывают влияние на микросреду,
такими, как факторы демографического, экономического,
природного, технического, политического и культурного характера»
[15]. Факторы микросреды часто называют факторами прямого
воздействия на фирму, а факторы макросреды — косвенного
воздействия. Таким образом, фирма определяет внутрифирменную
среду, отрасль экономики определяет микросреду, рынок в
широком смысле слова — макросреду.
При формировании признакового пространства мы сделаем
одно допущение: в качестве обучающих фирм тх и т2 мы имеем
право взять любые фирмы, но выберем те, которые работают в
той же отрасли, что и фирма, состояние которой мы
диагностируем. Это избавит нас от необходимости учитывать и факторы
макросреды [15]. Факторы макросреды прямо влияют на
микросреду, обуславливая, таким образом, межотраслевое различие на
уровне макросреды. В пределах же одной отрасли и одного
региона влияние надотраслевых факторов инвариантно
относительно фирм, осуществляющих свой бизнес в этой отрасли и на
этой территории. Поэтому, взяв все обучающие и интересующие
нас фирмы в пределах одной отрасли, мы можем избавиться от
сложной задачи анализа самой отрасли (возможностей и пре-
70

имуществ отрасли, ее недостатков и слабостей и т.д.), нас
интересуют только фирмы одной нашей отрасли. Если бы мы взяли в
качестве обучающих фирмы из разных отраслей, то учет
факторов макросреды был бы обязателен, так как потребовалось бы
сравнивать признаки, характеризующие разницу не только
между фирмами, но и между отраслями, в которых они работают.
Точно так же поступают и менеджеры, сравнивая результаты
деятельности своей фирмы с соответствующими показателями
фирм-конкурентов. Таким образом, влияние макросреды при
таком подходе будет учтено, но не прямо, а опосредованно,
через внутриотраслевые факторы (например, мы не станем
рассматривать факторы миграции, но при изменении этого фактора
в сторону увеличения населения изменится предложение
рабочей силы и число потенциальных потребителей для отрасли
также в сторону увеличения, что отразится на рассматриваемых
признаках — значит, и влияние макросреды будет учтено).
Особенность методов математического моделирования вообще
заключается в том, что возможна обработка информации только
тогда, когда она состоит из показателей, выраженных
количественно. Если явления физики и техники на сегодняшний день
практически полностью могут быть описаны количественно, то
в экономике существует целый ряд процессов, которые удачно
перевести на язык формул пока не удается. Однако, к счастью,
эти факторы (иррационального свойства) в экономической
жизни не являются определяющими, а зачастую и прямо зависят от
таких факторов, как производство, финансы, которые
количественно могут быть описаны, преимущественно статистическими
методами.
Распознающая система, являясь центральным звеном в
решении задач диагностики состояния предприятия, предъявляет
высокие требования к качеству входной информации. Признаковое
пространство — это обобщенная характеристика деятельности
фирмы по более чем одному признаку в форме набора чисел,
количество (размерность пространства) которых равно числу
признаков. В такой форме входная информация, поступающая на
вход распознающей системы, пригодна для дальнейшей
обработки посредством этой системы. Однако не все типы численно
выраженных величин могут быть включены в признаковое
пространство. К неудовлетворительному результату в целом
приведет использование экспертных оценок, оценок по шкалам,
оценок, полученных в ходе опросов (жюри, анкетирование). Данные,
71

полученные этими методами, не имеют ничего общего с
объективными вероятностными оценками и носят субъективный
эвристический характер. Они обычно используются в
менеджменте в ситуации неопределенности, когда решение принимается в
отсутствие возможности подсчитать вероятность его успеха. Еще
во введении было показано, что задача диагностики
соответствует ситуации принятия решения в условиях риска, где
вероятность получения результата можно вычислить. Если бы
распознающая система использовала при решении задачи
диагностики недостоверные данные в форме чисел или просто
какие-нибудь наугад взятые числа, то результат решения задачи
диагностики имел бы фиктивное значение — был бы справедлив лишь
в рамках того признакового пространства, которое было
составлено. И только в том случае, когда показатели вычислены прямо
(как почти все финансовые показатели), их включение в
признаковое пространство обеспечит и практическую ценность
принятого решения. Таким образом, признаковое пространство
является синтетическим выражением внутрифирменных процессов,
обуславливающих характер состояния предприятия.
Не следует полагать, что потери от невозможности
использовать качественные характеристики деятельности предприятия
особенно велики. Ведь подавляющее большинство качественных
оценок, таких как «заметный», «высокий», «сильный» основываются
на результатах сравнительного анализа количественных
показателей. Чаще всего это бывает сравнительный анализ показателей
деятельности некоторого количества фирм, когда определяется
некий усредненный вариант по совокупности показателей
фирмы, вокруг которого ранжируются оценки показателей разных
фирм. Сравнительный анализ может проводиться при
сопоставлении показателей фирмы с общеотраслевыми показателями:
так строятся, например, показатели «темп роста» и «доля рынка»
для Бостонской матрицы. И совершенно очевидно, что правило
приоритета количественных величин над качественными
выполняется, когда, например: мотивация работников определяется,
исходя из среднеотраслевой зарплаты; авторитет фирмы
определяется из сравнительного анализа объема продаж данной фирмы
и среднеотраслевого объема продаж; предпочтения клиентов
определяются путем сравнения средней цены по отрасли и цены
товара, установленной данной фирмой. Количественные
показатели способны устранить отрицательное влияние фактора
неопределенности, что практически не могут сделать субъективные
72

категории, независимо от формы их представления: численной,
словесной, символичной. Количественные показатели можно
сопоставлять, строить на их основе прогнозы, агрегировать новые
показатели, а качественные — обладают лишь хорошей
наглядностью, они лишь интерпретируют явление, но не объясняют его.
В главе 2 обосновывались преимущества использования
финансовых данных для анализа состояния предприятия.
Финансовый анализ хотя и не всесторонне, но довольно глубоко и
объективно отражает сильные и слабые позиции предприятия.
Практические примеры диагностики кризисных состояний
частных предприятий подтверждают желательность ориентации
прежде всего на показатели результатов финансовой
деятельности, используемые на входе системы диагностики. Непрерывность
финансового контроля, который осуществляется
соответствующим структурным подразделением (финансовым отделом) дает
возможность проводить не только моментную, но и
непрерывную по времени диагностику состояния предприятия. Система
диагностики обобщает результаты оперативного контроля, частью
которого является финансовый контроль. В свою очередь,
статистический контроль использует информацию о состоянии
предприятия и другие данные оперативного контроля для выработки
важных управленческих решений.
Трудность анализа заключается в том, чтобы подобрать такой
набор показателей, который, с одной стороны, удовлетворял бы
требованию достоверности и объективности отображения
процессов деятельности предприятия, с другой, — описывал бы их
подробно и всесторонне, и, кроме того, система показателей
состояния предприятия выбирается так, чтобы избежать
дублирования информации разными показателями, т.е. каждый
показатель характеризовал бы новое явление в его деятельности. Еще
одним критерием качества системы показателей состояния
предприятия является сопоставимость, выраженная в возможности
сравнивать коммерческие предприятия разного масштаба или
неодинаковой структуры. Для этого обязательно наличие в системе
показателей некоторого числа относительных показателей,
которые позволяют сами по себе сравнивать результаты бизнеса
разных предприятий (например, показатели рентабельности и
производительности) .
Формирование признакового пространства по финансовым
показателям сходно с некоторыми разработками комплексных
программ финансового анализа, проводившимися некоторыми
73

американскими компаниями. В частности, компания «Standart
And Poor Compasted Tapes» разработала перечень 13 обобщающих
финансовых показателей деятельности фирмы, по которым в
течение нескольких лет проводились наблюдения, а затем
оценивались изменения их средних значений.
Показатели деятельности компании
(Источник: Ансофф И. Стратегическое управление. —
М.: Экономика, 1989 [5])
1. Продажи
2. Доходы
3. Соотношение Доходы/ Акция
4. Сумма активов
5. Соотношение Доходы/Акционерный капитал
6. Соотношение Дивиденды / Акция
7. Курс акций (откорректированный)
8. Соотношение Долг / Акционерный капитал
9. Акционерный капитал в обычных акциях
10. Соотношение Доходы / Суммарный акционерный капитал
11. Соотношение Цена / Доходы
12. Выплаты (Дивиденды / Доходы)
13. Соотношение Цена / Акционерный капитал
Целью исследования было комплексное изучение
деятельности фирм США, ориентирующихся на оперативное A-я группа
фирм) и стратегическое планирование B-я группа). В нашем
случае цель исследования носит совсем иной характер, однако
перечень «Standart And Poor Compasted Tapes» удовлетворяет
определению признакового пространства и может быть рассмотрен
как простейший пример признакового пространства. Этот
перечень хорошо демонстрирует финансовые результаты доходности
акционерного капитала, доходности активов, поступлений в форме
дивидендов. В то же время стоит отметить, что 13 показателей
не позволяют дать глубокий анализ положения фирмы: нет
расчетов рентабельности, отсутствует анализ финансовой
устойчивости и ликвидности.
Хорошо исследован вопрос оборачиваемости капитала,
однако в ряде отечественных работ по финансовому анализу
говорится о том, что при определении состояния фирмы показатели
оборачиваемости не всегда надежны. Этот перечень имеет,
скорее, демонстративное значение, если брать экономику
российских предприятий, чем практическое. Неразвитость фондового
74

рынка в России, особенно в сопоставлении с американским,
обуславливает очень незначительную долю акционерного капитала
(в балансе отсутствует даже строка «акционерный капитал») в
собственном капитале, поэтому при расчете всех показателей,
связанных с капиталом, в российской расчетной практике принято
заменять величину акционерного капитала на сумму
собственного капитала. Так было сделано, например, при российской
интерпретации американской формулы Du Pont, где
корректировался знаменатель коэффициента рычага. Слабая доходность
всех российских акций делает практически нулевым и влияние
величины дивидендов по ним в структуре доходов.
В западной экономике значение прибыльности
акционерного капитала и отдельной акции являются определяющими в
жизни фирм, поэтому использование неадаптированных
программ изучения бизнеса предприятий, составленных за
пределами России, нецелесообразно и требует доработки. Это
обстоятельство, а также еще серьезная ограниченность данного
перечня для углубленного анализа делает затруднительным
практическое его использование.
Как уже указывалось, финансы далеко не исчерпывают
множество всех процессов, происходящих в жизни предприятия, и
не дают характеристики всех результатов его деятельности.
Однако финансовые показатели используются при анализе и
других сторон деятельности фирм, кроме того существуют и другие,
не финансовые категории, которые с успехом могут быть
использованы для количественных исследований.
Рассел Акоф [2] выделял четыре основных функциональных
подразделения в организационной структуре любого
подразделения, отвечающих за:
1) производство;
2) сбыт (маркетинг);
3) финансирование;
4) кадры.
Требование всестороннего охвата хозяйственной деятельности
диктует не ограничивать исследование состояния предприятия
только с точки зрения успешности его финансовой деятельности,
поэтому необходимо разработать такой перечень показателей,
который характеризовал бы соответствующие признаки состояния
всех этих четырех блоков. Взаимоувязанность и
взаимодополняемость основных организационных блоков обеспечивают
возможность широкой и подробной характеристики деятельности
предприятия по четырем группам соответствующих показателей. При
75

этом формируется обобщенный портрет состояния предприятия,
который представляет собой вектор размерности Р. Этот вектор и
есть признаковое пространство, которое после математической
операции снижения размерности, будет представлять собой
готовое признаковое пространство размерности р < Р.
Исходя из требований, предъявляемых к качеству
признакового пространства, а также ограничений, налагаемых на него,
разработан перечень показателей, определяющих деятельность
предприятия. Воспользуемся методикой Р. Акофа [2] и разделим
организационные процессы на четыре группы: финансы,
производство, маркетинг и кадры. Эти четыре основные
организационные функциональные подсистемы диагностируются с
помощью ряда соответствующих показателей. Все они являются
неотъемлемой составляющей жизни предприятия, и успех
реализации своей функции каждой из вьщеленных подсистем влияет
на показатели функционирования остальных. В силу тесной
связи организационных подсистем серьезный провал хотя бы в
одной из них влечет за собой кризис и в остальных, а значит,
приводит к кризису организации в целом.
Перечень показателей экономической деятельности
предприятия
I. Финансовая деятельность:
а) важнейшие абсолютные показатели:
• чистая прибыль,
• оборотный капитал,
• кредиторская задолженность,
• дебиторская задолженность,
• сумма активов (пассивов);
б) показатели ликвидности и платежеспособности:
• текущий коэффициент ликвидности,
• общий коэффициент ликвидности,
• абсолютный коэффициент ликвидности,
• коэффициент обеспеченности собственными средствами;
в) показатели финансовой устойчивости:
• коэффициент автономии,
• коэффициент маневренности,
• коэффициент финансирования,
• коэффициент финансовой устойчивости,
• коэффициент финансового рычага,
• коэффициент инвестирования,
• коэффициент покрытия текущих активов,
76

• отношение собственного оборотного капитала к сумме
задолженности;
г) показатели оборачиваемости:
• коэффициент оборачиваемости активов,
• коэффициент оборачиваемости собственного капитала,
• коэффициент оборачиваемости оборотного капитала;
д) показатели рентабельности:
• рентабельность активов по чистой прибыли,
• рентабельность собственного капитала по чистой прибыли,
• рентабельность продаж по чистой прибыли,
• рентабельность инвестиций.
П. Маркетинг:
• объем продаж (выручка);
• издержки по хранению готовой продукции;
• издержки по отгрузке и транспортировке готовой продукции;
• затраты на маркетинг, в том числе затраты на рекламу и
пропаганду;
• затраты на стимулирование сбыта;
• затраты на маркетинговые исследования;
• затраты на упаковку и маркировку;
• затраты на пред- и послепродажное обследование клиентов;
• доля возмещений и скидок в общей выручке (продажах);
• издержки по оформлению и ведению заказов.
III. Производственная деятельность:
• объем производства (в рыночных ценах);
• объем заказов (в рыночных ценах);
• стоимость основных производственных фондов (основных
средств);
• оборачиваемость основных средств;
• оборачиваемость запасов;
• расходы на закупку, приемку и хранение материалов и
полуфабрикатов;
• расходы на модернизацию оборудования и машин;
• расходы на ремонт основных средств;
• расходы на НИОКР;
• фондоотдача;
• производительность труда;
• накладные расходы (постоянные издержки);
• издержки, связанные с простоем и браком.
IV. Кадры:
• численность рабочего персонала;
• расходы на заработную плату;
• расходы на премии и надбавки;
77

• расходы на командировки;
• расходы по найму и увольнению кадров;
• расходы по оплате труда поставщиков и подрядчиков;
• зарплатоемкость (доля зарплаты в выручке);
• расходы на обучение и подготовку новых работников.
5.2. Снижение размерности признакового
пространства
Первоначальный ансамбль признаков Y= (Yu Y2, ..., Yq)
формируется из числа доступных наблюдению показателей
деятельности предприятия таким образом, чтобы наиболее полно и
всесторонне отразить все существенные для диагностики его
состояния свойства. Однако увеличение размерности
признакового пространства повышает вычислительную сложность
распознающей процедуры и общие затраты на измерение
характеристик объектов, т.е. на получение необходимого числа
наблюдений. Поскольку объем обучающих и контрольной выборок, в
принципе, может быть ограничен, повышение размерности
признакового пространства может оказаться единственным
способом увеличения достоверности. Следовательно, требования к
размерности признакового пространства с точки зрения
повышения достоверности распознавания и минимизации затрат на
получение наблюдений (измерений) являются, как уже
подчеркивалось в главе 3, противоречивыми. Отсюда вытекает большая
важность проблемы оптимизации размерности признакового
пространства, которая может быть сформулирована как замена
первоначального набора q признаков Y = (Уь У2> •••> Yq) таким
набором X = (Х\9 Xi, ..., Хр) (где р — новое число признаков),
который минимизирует некоторый критерий / (X).
Наиболее распространенными способами формирования
ансамбля признаков X являются селекция (выбор) признаков из
исходного набора 7= (Y\, Y2, ..., Yq),
Х = (хьХ2, ^Xp)={YhJir...Jiplp<q; \<it <q; y = l,..., p; ij *ik, E.1)
и выделение признаков, т.е. проведение ортогонального
линейного преобразования исходного пространства признаков
Y= (Уь У2> •••> Yq) в новое пространство Х- (X\, Х2, ..., Хр)\
X=AY E.2)
Преобразование E.2), как правило, является декоррелирую-
щим, поэтому в качестве столбцов матрицы преобразования А
78

выбирают собственные векторы общей ковариационной
матрицы М распознаваемых совокупностей. Сама ковариационная
матрица М* в этом случае становится диагональной с
собственными числами Xf на диагонали:
М* = АТМА = А=
% о ... о ^
о х2 - о
vo о ... хр
После указанного преобразования отбирают р (р < q) новых
признаков, соответствующих тем собственным числам Х(
матрицы АР, которые оказывают набольшее влияние на значение
выбранного критерия J(X).
При выборе признаков методом минимизации
внутриклассового разброса наблюдений критерий
р
j = m* = ?xy. E.3)
7=1
Здесь вместо ^-характеристик или старых признаков У|, Y2, •••> Yq
выбирают р новых признаков Х\, Х2, ..., Хр, р < q, которые
соответствуют минимальным собственным числам Xj.
Другим критерием, который может быть использован при
формировании новых признаков, является критерий наилучшей
аппроксимации межклассового расстояния. Необходимо выбрать
р новых признаков, соответствующих, в отличие от предыдущего
случая, максимальным собственным числам Xj, так, чтобы
значение / сократилось не более чем на заданное или на
минимально возможное значение.
Последний критерий наилучшей аппроксимации можно,
вообще говоря, применить непосредственно к выражению E.3)
для внутриклассового разброса, но в этом случае новые
признаки должны уже соответствовать не минимальным, а
максимальным собственным числам в сумме E.3). Таким образом,
различные критерии могут приводить к противоположным по смыслу
рекомендациям по выбору признаков.
Существует усовершенствованный критерий, объединяющий
оба предыдущих. Сущность его состоит в совместной
минимизации внутриклассового разброса наблюдений и максимизации
межклассового расстояния. Этот критерий принят в дискрими-
нантном анализе, в котором наблюдения разных классов
проектируются на заданное пространство в пространстве признаков
79

Y\, Y2, ..., Yq (например, на прямую линию) таким образом,
чтобы расстояние между центрами классов стало максимальным, а
разброс наблюдений внутри каждого класса — минимальным.
Количественным выражением критерия является функция от
матриц 72 и Т\, характеризующих внутриклассовый и
межклассовый разбросы наблюдений:
^ = tr(r2-1r1). E.4)
Формирование признакового пространства по данному
критерию производится аналогично описанному ранее с
использованием декоррелирующего преобразования путем выбора
признаков, соответствующих максимальным собственным значениям
Xj матрицы Т2ХТХ.
С целью масштабирования вклада новых признаков в
критерий / можно произвести кластеризацию, т.е. применить к
новым признакам Х\, Х^ ..., Хр преобразование UX, матрица
которого диагональна:
(Uхх 0 ... О ^
Отсутствие связи перечисленных методов формирования
признакового пространства с основными показателями качества
распознавания, в первую очередь с главным из них —
достоверностью, приводит в ряде случаев, как уже указывалось выше, к
противоречиям и не позволяет однозначно осуществить
оптимальный выбор признаков, гарантирующий достижение
требуемой достоверности распознавания.
В общем виде задачу формирования признакового
пространства необходимо ставить, исходя из требозаний к распознающей
системе в целом. В реальных условиях обычно требуется, чтобы
принимаемые системой решения имели гарантированную
достоверность, которая достигалась бы при минимуме используемого
объема обучающих и контрольных выборок и размерности
признакового пространства. Поэтому характеристики достоверности
неизбежно должны быть увязаны с количеством обучающих
наблюдений, используемых для задания классов, объемом
контрольных выборок, необходимых для принятия решений, и
размерностью признакового пространства [28].
Каждое обучающее и контрольное наблюдение, очевидно,
требует проведения р актов измерения значений признаков. Поэто-
80

му выбор признаков является составной частью минимизации
общей размерности задачи распознавания. Если предположить,
что трудоемкость задачи распознавания складывается из трудо-
емкостей задач обучения и принятия решений, то минимизации
подлежит уже не просто размерность признакового пространства
р, а общее количество наблюдений [28]:
р = р(тх+ т2 +л), E.6)
где тът2 — объемы обучающих выборок;
п — объем контрольной выборки.
Пусть диагностируемые состояния предприятия^
(преуспевающее) и S2 (кризисное) характеризуются оценками своих
векторов средних dud2 и ковариационной матрицы М (см. F.30),
F.33) и A0.1)). Тогда межклассовое расстояние между
состояниями S] и S2 может быть охарактеризовано расстоянием Маха-
лонобиса d2, см [4]:
d2=[[ax-a2jM-x(ax-a2^. E.7)
Возможность повышения достоверности распознавания
?> = 1-а = 1-р путем увеличения размерности признакового
пространства Р ограничивается при больших значениях Р тем, что
вероятности ошибок распознавания а = р уменьшаются с
увеличением размерности Р только в том случае, если это увеличение
сопровождается ростом расстояния Махалонобиса d2 со
скоростью не нижеТ?. Как только эта скорость становится ниже
VJP, происходит своего рода насыщение признакового
пространства, так что дальнейшее увеличение количества признаков
р может даже привести к увеличению вероятности ошибок
распознавания а = |3 (см. Приложение 5). Физически это
объясняется возрастанием с увеличением размерности признакового
пространства Р общего числа оцениваемых параметров, что
увеличивает общую дисперсию их оценок. Это обстоятельство делает
целесообразным осуществление упомянутой выше селекции
(выбора) признаков E.1) из приведенного в параграфе 5.1
исходного перечня показателей экономической деятельности
предприятия, в результате чего формируется необходимый
ансамбль признаков X = (хи Хъ..., Хр).

Обучение с целью составления
эталонных описаний
'лава О СОСТОЯНИЙ ПрвДПрИЯТИЯ
6.1. Непараметрическое обучение (оценивание
неизвестных плотностей вероятностей наблюдений)
Источником информации о распознаваемых образах является
совокупность результатов независимых наблюдений (выборочных
значений), составляющих обучающие [x^f =Ц1\х§\...,х$)9
[xf'J1 = [xf\ 4Ч..., х$) и контрольную (экзаменационную)
(xt)\ =(*ь*2>•••»*/>) выборки. В зависимости от характера задачи
распознавания (одномерной или многомерной) х, может быть
либо одномерной, либо /7-мерной величиной. Основной целью
обучения являются преодоление априорной неопределенности о
распознаваемых классах «Si и ^ путем использования
информации о них, содержащейся в обучающих выборках, и построение
эталонных описаний классов — оценок условных плотностей
вероятностей wn(xi, х2,..., хт/S\) и wn(xi, х2,..., хтISj)•
Решающее значение для выбора метода обучения имеет вид
априорной неопределенности, для преодоления которой
используется обучение.
В наиболее общем случае отсутствия априорных сведений не
только о параметрах, но и о самом виде закона распределения
наблюдаемой совокупности выборочных значений, априорная
неопределенность носит название непараметрической [29], а
сами методы распознавания, применяемые в этих условиях,
именуются непараметрическими. Таким образом, случай
непараметрического обучения является самым общим и его содержанием
является статистическое оценивание неизвестных условных
плотностей вероятностей wn(xb...,xm/S(), 1 = 1,2 признаков Х\, ..., Хр.
Наиболее распространенными методами статистического
оценивания неизвестных плотностей вероятностей скалярных и
векторных наблюдений являются гистограммный, полигональный
82

методы, представление плотности вероятности линейной
комбинацией базисных функций и др.
Гистограммная оценка неизвестной плотности вероятности [29]
строится в виде ступенчатой кривой: над каждым отрезком оси
абсцисс, изображающим интервал значений наблюдаемой
величины (значения признака А}), строится прямоугольник, площадь
которого пропорциональна частоте попаданий наблюдений в этот
интервал. При равной ширине интервалов (что обычно и бывает)
высоты прямоугольников пропорциональны частотам. Гисто-
граммный метод обобщается и на многомерный случай. Так, для
представления двумерного распределения строятся трехмерные
фигуры. Горизонтальная плоскость делится на клетки как
шахматная доска. В центре клетки восстанавливается перпендикуляр,
пропорциональный по своей длине частоте, отвечающей
интервалу. На нем строится прямоугольный параллелепипед, по
объему пропорциональный частоте, соответствующей этой клетке.
Полученная объемная фигура является двумерной гистограммой.
Полигональные оценки получают путем сглаживания
гистограммы, соединяя прямыми линиями крайние левые, средние
или крайние правые точки верхов столбиков, в результате
получаются кусочно-линейные функции (ломаные). Иногда кусочно-
линейные функции состоят из отрезков прямых, проведенных с
учетом разности высот соседних столбиков. Подобные
аппроксимации не обязательно имеют вид обычных ломаных, концы
отдельных прямых могут не совпадать, а соединяться
вертикальными прямыми. Такой оценкой, в частности, является полигон
Смирнова [29]. Полигональные оценки, как и гистограммные,
обобщаются и на многомерный случай.
Оценивание плотности вероятности может быть также
осуществлено путем представления ее линейной комбинацией
базисных функций [29]. Одномерная плотность вероятности w(x)
может быть представлена разложением в рад по базисным
ортогональным функциям {Qn (x)} с весовой функцией ф(х):
00
и<*) = фМ?Сл&(х). F.1)
к=0
Коэффициенты Q можно определить, умножив обе части F.1)
на функцию Qn(x) и проинтегрировав с использованием условия
ортогональности:
00
\v(x)Qk(x)Q„(x)dx = 5kH, F.2)
83

где 8кп = \ ' — символ Кронекера. F.3)
При этом в сумме все члены, за исключением одного при
к = я, равны нулю и, следовательно,
оо
C„=l4x)Q„{x)dx. F.4)
-00
Если {(?„(*)} — совокупность ортогональных полиномов, то
тогда, так как по определению момента тг случайной величины
r-го порядка
00
mr = J w(x) jcrcbc, F.6)
-00
ТО
п
Сп = Y,armr О5-7)
и, следовательно, подставляя значение Сп из F.7) в F.1), получим
оо к
при условии, что моменты тг существуют.
В качестве примера рассмотрим наблюдения ? с нулевым
средним и единичной дисперсией (т.е. нормированные и
центрированные) — переход к произвольным наблюдениям с а и
а2 дает w i^- /а, и произведем разложение неизвестной плот-
ности вероятности w(x) в ряд по полиномам Эрмита:
2 2
х х
Нп(х) = (-1)^-^ е~^~, я = 0,1,2,... F.9)
Учитывая условия нормировки F.2), получаем из F.1) с
учетом того, что ((>(*)Ц1/V^) expj-x2/2j — нормальная плотность
вероятности:
84

^)= * e~2 f^?*H[x)9 F.10)
л/2тг kss0Jkl
где
1
Ск = lk\ ^W' Я"W Л = Ж mi{//*(^ ' (бЛ1)
причем Q = 1, а вследствие принятой нормировки случайной
величины % имеем С\ = С2 = 0.
Используя определение полиномов Эрмита F.9), можно F.10)
переписать в виде:
к=ъ V*!
F.12)
где q>l*'(jc) — к-я производная нормальной плотности распределения.
Вычислим несколько коэффициентов Q в ряду F.12) по
формуле F.11):
С~ = __ [ [х -3x)wJx) dx - —7= , F.13)
V3!_V ' * V3!
C4 = -L f (х4-6х2+з) wfe(x) Л = -I*, F.14)
V4!_oo V^
где А: и у - соответственно коэффициенты асимметрии и эксцесса;
* = -Г-> F.15)
у = ^--3; F.16)
1^2 > Цз> ^4 "~ соответственно второй, третий, четвертый центральный
моменты распределения, в качестве которых можно
использовать выборочные центральные моменты A2, [1з,
[14, полученные по выборке наблюдений.
Подставляя F.13) и F.14) в F.12), получаем в результате
приближенную оценку неизвестной плотности вероятности:
^(х) = ф)-^%) + 1.^(х)-... F.17)
85

Оценивание неизвестной плотности вероятности линейной
комбинацией базисных функций обобщается и на многомерные
плотности вероятности. Однако в этом случае отыскание
универсальной системы базисных функций и вычисление
коэффициентов разложения становится трудной задачей. Одним из
методов нахождения коэффициентов разложения является метод
последовательных приближений, известный под названием
метода потенциальных функций.
Существуют и другие методы оценивания плотности
вероятности, в том числе метод Парзена и метод ^-ближайших
соседей, основанные на суммировании наблюдений с некоторыми
весовыми функциями, называемыми обычно ядром и
выбираемыми таким образом, чтобы возможно больше «размазать»
столбики и в итоге получить более гладкую аппроксимацию
неизвестной плотности вероятности [29].
Представляется более обоснованным исходить при
оценивании плотности вероятности w(x) из ее определения как
производной от функции распределения F(x) с использованием
известных методов численного дифференцирования [14, 29]. В
настоящее время достаточно хорошо развиты методы оценивания
функций распределения эмпирическими ступенчатыми
функциями, определена точность оценивания для конечных
объемов выборок при различных способах задания расстояния
между F{x) и ее оценкой f(x) [29].
Нахождение производной представляет собой линейную
операцию с последующим переходом к пределу. Ввиду этого можно
попытаться построить линейную комбинацию значений
эмпирической функции, которая при асимптотическом росте
объемов обучающих выборок т -> оо сходилась бы по вероятности к
Дх), а при конечных фиксированных т позволяла оценить
погрешность аппроксимации плотности по известным
характеристикам эмпирической функции распределения. При этом мы
можем пользоваться значениями эмпирической функции
распределения f(x) во всех точках х области ее определения. Если
раньше при оценивании плотности мы могли использовать в
формулах только конечное множество обучающих наблюдений,
то теперь получаем в свое распоряжение бесконечную выборку
значений f(x) . Таким путем ликвидируется основной источник
трудностей непараметрического оценивания плотности
вероятности w(x): в отличие от {Цх)} множество исходных данных
86

\F(x)j становится равномощным множеству значений
оцениваемой функции распределения Дх).
Пусть для обучения используются одномерные (р = 1)
классифицированные обучающие выборки (*} s..., 4/) и [х\2\ ..., xjf').
Для получения оценок условных функций распределения
f(x/S\) и f(x/S2) рассмотрим одномерные условные случайные
процессы Ql\t) и Q2\t), относительно которых мы будем
полагать (в некоторых случаях, быть может, с определенным
приближением), что они удовлетворяют условию эргодичности [16,
27, 29]. Эти процессы представляют собой случайные изменения
во времени значений признака Хпри условии, что наблюдаемая
совокупность принадлежит одному из классов соответственно S\
или 52. Тогда отношение суммарного времени ^tk пребывания
к
реализации случайного процесса %{t) под некоторым уровнем х к
длительности реализации Г @ < Т< оо):
^M = 7l'*> F.18)
1 к
здесь t/с (длительность к-то выброса ?(/) под уровнем х) может
рассматриваться как оценка f(x) функции распределения F(x)
случайного процесса ?(/), которая является несмещенной и
состоятельной (см. Приложение 1, п. 1.1).
Пусть теперь для обучения используются /ьмерные
классифицированные обучающие выборки
>) Ж
\Х\ , ..., Xm J
Ml — л\т
Й '" /)
хр\ '" лрт
И \Х\ , ..., Хт )-
&) ... Ж
р\ "рт
Для получения оценок условных многомерных функций
распределения ^(jq, jc2, ..., xpISx) и Fp(xb jc2, ...,xp/S2) рассмотрим
векторные ^-мерные условные случайные процессы %y(t) и %y(t),
которые, как и в рассмотренном выше одномерном случае, мы
будем полагать, хотя бы приближенно, эргодическими [16, 29].
Тогда отношение суммарного времени ]Г^ пребывания реа-
к
лизации /ьмерного векторного случайного процесса \p(t) внутри
87

области, ограниченной некоторой гиперплоскостью Q (х\, *2,..., хр)
(т.е. пребывания процесса ^\(t) ниже уровня х\, процесса ^@
ниже Х2, ..., процесса ^(f) ниже х^), к длительности реализации Т
@< Г<а>)
/,р(дс1,х2,...,хр) = -5]^ F.19)
1 к
может рассматриваться как оценка Fp(xbjc2,...,хр) /ьмерной
функции распределения случайного процесса \p(t), которая
является несмещенной и состоятельной (см. Приложение 1,
п. 1.2).
Функции распределения F(x/Sk)=Fk(x\ к = 1, 2, содержат всю
информацию о классах S\ и S2. Поэтому наиболее естественным
было бы построение правила принятия решения на основе
эмпирических функций распределения Fk(x). Указанные функции
концентрируют всю информацию, содержащуюся в обучающих
выборках {*?'}, и позволяют оценивать точность аппроксимации
функций Fj^x) при любых объемах т. Однако на сегодняшний
день все правила принятия решений в статистическом
распознавании строятся с использованием плотностей вероятностей.
Для приведения в соответствие структуры решающего
правила, использующего плотности вероятностей признаков, и вида
исходных данных, представленных выражениями эмпирических
функций распределения, необходимо по эмпирическим
функциям распределения Рк(х) сформировать оценки плотностей щ(х)
и подставить их в решающее правило вместо априорно
неизвестных плотностей wk(x). При этом требуется, чтобы оценки
wk(x) сходились к априорно неизвестным плотностям wk(x) при
асимптотическом увеличении объемов обучающих выборок. В
результате мы приходим к двухэтапной процедуре обучения. На
первом этапе по обучающим выборкам строятся эмпирические
функции распределения для всех классов образов. На втором
этапе по эмпирическим функциям распределения формируют
плотности вероятностей с использованием известных методов
численного дифференцирования и известных соотношений:
*(х) = dF[x)ldx, F(x) = jw{y) dy ;
88

/ \ 8pF (xi,x2,..^x )
/ \ ^ XP ( \
-00 -00
В качестве примера можно привести полученную с
использованием методов численного дифференцирования оценку Ро-
зенблатта [29] м(х) одномерной плотности вероятности w(x):
w(jc) = [F(x + ft) - F{x - h)]/2h , F.21)
где h > 0 — некоторый параметр.
6.2. Приближенный метод сведения непараметрической
априорной неопределенности к параметрической
Если в результате предварительного анализа наблюдаемой
совокупности выборочных значений можно хотя бы с некоторым
приближением установить вид закона их распределения, то
априорная неопределенность относится лишь к параметрам этого
распределения, так что целью обучения в этом случае
становится получение оценок этих параметров. Подобная априорная
неопределенность носит название параметрической, а методы
распознавания, применяемые в этих условиях, именуются
параметрическими. Хотя с формальной точки зрения закон
распределения выборочных значений может быть произвольным, на
практике в параметрическом распознавании почти всегда
используется нормальный закон. Дело в том, что если при
распознавании одномерных совокупностей их распределение всегда может
быть описано одним (например, нормальным, биноминальным,
экспоненциальным, пуассоновским и др.) законом, то при
распознавании многомерных совокупностей каждая компонента
вектора выборочных значений (т.е. наблюдаемые значения
каждого признака) может иметь свой, отличный от других
компонент, закон распределения (что не может рассматриваться как
аномалия, поскольку сам ансамбль признаков формируется, таким
образом, чтобы возможно полнее охарактеризовать различные
свойства распознаваемых явлений). Но тогда многомерное
совместное распределение совокупности выборочных значений
должно описываться некоторым многомерным законом,
включающим в себя компоненты с различными законами распределения.
89

В литературе аналитические выражения подобных «разно-
компонентных» законов отсутствуют. К этому следует добавить,
что, как указано в [14], «современный уровень знаний таков, что
пока точному многомерному анализу, за редкими исключениями,
поддаются лишь задачи, где рассматривается нормальный
случай» и, следовательно, как указывается в [20], «почти все выводы
многомерной статистики опираются на предположения о
нормальности рассматриваемых распределений». Отсюда следует,
что на сегодняшний день параметрические методы
распознавания, по-существу, являются методами распознавания нормально
распределенных совокупностей, так что задачей
параметрического обучения в этих условиях является оценивание
параметров (средних, дисперсий, ковариационных матриц) нормальных
плотностей вероятностей, используемых в решающем правиле.
Большие вычислительные сложности и трудности
математического порядка, связанные с вычислением непараметрической
оценки плотностей вероятностей делает целесообразными
попытки сведения непараметрической априорной
неопределенности к параметрической.
Если для обеспечения достоверности, равной 1 — а = 0,9,
требуемая сумма объемов обучающей и контрольной выборок
составляет при расстоянии между совокупностями ag=0,lm + /i = 2200,
то при применении непараметрического подхода для
достижения такой же достоверности необходимо располагать объемом
т + п = 9000 -5- 11 600, т.е. * в 5 раз большим [28].
Следовательно, если бы мы смогли ограничивать затраты на переход от
непараметрической к параметрической неопределенности
пятикратным увеличением выборок, это было бы вполне оправданно.
Пусть ?i, ..., %д — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, имеющих конечные
среднее т\{^1с} = а и дисперсию ^{Ы = <*2- Тогда последовательность
нормированных и центрированных сумм
^=А=Ь^-а) F.22)
сходится по распределению к стандартной гауссовской
(нормальной) величине, что равносильно утверждению
—rl^k -а)*х\ = -?г f ехр1
и^
du = F[x), F.23)
90

т.е. последовательность функций распределения сумм r\q
независимых одинаково распределенных случайных величин ^ при
q -> оо сходится к гауссовской (нормальной) функции
распределения с параметрами @; 1). Эта формула является
аналитическим выражением центральной предельной теоремы теории
вероятностей, которая легко обобщается на многомерный случай.
Пусть %ь ..., \q — последовательность/^-мерных независимых
векторных случайных величин с одинаковыми /ьмерными функциями
распределения, компоненты которых могут быть
распределенными по разным законам (разнораспределенными) с вектором
средних а и ковариационной матрицей М . Тогда
последовательность ^-мерных функций распределения сумм
V? к=\
при q -> оо сходится к /ьмерной гауссовской (нормальной)
функции распределения с нулевым вектором средних и
ковариационной матрицей М.
Приближенное выражение плотности распределения суммы
v[q с точностью до малых порядка 0 (l/q3/2) получается с
использованием оценки F.17):
^М=Ж^
*2Л
к2
\ + ^Н3(х)+-^-НЛх)+—Н6(х)+---
F.25)
где к, у — коэффициенты асимметрии и эксцесса, вычисляемые по
формулам F.15) и F.16),
Hf/x) — полиномы Эрмита (см. формулу F.9)).
Как видно из анализа формулы F.25), приближенное
выражение плотности вероятностей \?ц суммы цд представляет
собой очень быстро сходящийся ряд, что свидетельствует о том,
что приближенная нормализация суммы цд наступает уже при
достаточно малых значениях #, в особенности, если исходное
распределение W^x) является симметричным (в этом случае
коэффициент асимметрии к, как известно, равен нулю и,
следовательно, вносящие ощутимый вклад в значение wn второй и чет-
ч
вертый члены суммы исчезают).
Детальный анализ влияния числа q членов суммы r\q на
скорость ее нормализации осуществлен в Приложении 2, в резуль-
91

тате чего установлено, что для наиболее распространенных в
практических приложениях законов распределения
приближенная нормализация суммы г^ наступает уже при q = 3 + 5.
Рассмотрим два наиболее сильно отличающихся как от
нормального закона, так и друг от друга закона распределения:
> равномерный
> экспоненциальный
м=
№
Ъ~х при 0 < I < Ь,
О при 5 < 0, ? > Ъ;
Р ехр(-?/р) при ^>0,
О при ^ < О,
р>0.
F.26)
F.27)
Полученная в Приложении 2 зависимость P(q) уровня
нормальности суммарных распределений W^ (x) суммы т\д
независимых равномерно (пунктирная кривая) и экспоненциально
(сплошная кривая) распределенных случайных величин от количества
суммарных членов q представлена на рис. 6.1.
Как видно из рисунка,
допустимый уровень
нормальности Р = 0,85 достигается в
случае равномерного
распределения уже при q = 2 (это
объясняется тем, что оно
является симметричным), а в
случае чрезвычайно
асимметричного (и, следовательно,
наиболее трудного для
осуществления нормализации)
экспоненциального распределения
при вполне допустимом в
практических приложениях
значении q= 5 (см. Приложение 2).
Таким образом,
поставленная нами ранее задача
ограничить затраты на переход от непараметрической априорной
неопределенности к параметрической пятикратным увеличением
объемов выборок оказывается выполнимой, что очень упрощает
Р(я)
0,9
0,8
0,7
0,6
0 20 40 60 q
Рис. 6.1. Зависимость уровня
нормальности P(q) распределения
суммы случайных величин от числа q
членов суммирования
/
I
1
1
"J* ~
"
92

процедуру обучения. Действительно, образуя в ходе
предварительной обработки обучающих и контрольной выборок новые
выборки, каждая из которых представляет собой
нормированную сумму из пяти исходных скалярных (при р = 1) или
векторных (при р > 1) наблюдений, получаем совокупность новых
выборок (скалярных или векторных), которые независимо от вида
законов распределения исходных наблюдений всегда
приближенно распределены по гауссовскому (нормальному) закону.
Это особенно важно в многомерном (векторном) случае,
поскольку позволяет, не исследуя конкретные законы
распределения каждого признака, которые в большинстве случаев могут
отличаться друг от друга, описать совместное распределение
полученных новых суммарных наблюдений многомерным гауссов-
ским (нормальным) законом распределения, преодолев к тому
же упомянутое выше отсутствие в математической литературе
аналитических выражений многомерных законов распределения,
включающих в себя компоненты с различными законами
распределения («разнокомпонентных»).
При нормальном распределении признака для построения
эталонных описаний классов достаточно вычислить выборочные
средние и дисперсии по классифицированным обучающим
выборкам (*}*)) f :
**=— l4k\ $=—%lk)-&kY> * = 1.2, F.28)
которые представляют собой, согласно [1], оценки
максимального правдоподобия указанных параметров.
Как известно [1], выборочные среднее и дисперсия F.28)
являются состоятельными оценками среднего и дисперсии, ак
является к тому же и несмещенной оценкой среднего. Для
устранения небольшого смещения оценки дисперсии F.28) достаточно
умножить ее на т^Цт^ — 1) и получить следующее выражение
выборочной дисперсии:
-Ь-ЧЕ^-^J. F.29)
которое дает не только состоятельную, но и несмещенную оценку
дисперсии нормального распределения [1].
93

В многомерном случае процесс построения эталонных
описаний классов при нормальном распределении совокупности
признаков Х\, Xi, ..., Хр также упрощается, так как вместо
весьма громоздких и трудоемких процедур формирования оценок
условных /ьмерных плотностей вероятности достаточно лишь
вычислить по выборке Щк'д из *S* выборочный вектор средних
я*—I*J4 xf=(xlhx2h...,xpi)T9 * = 1,2, F.30)
тк ы
и выборочную ковариационную матрицу
А" %$к)-№к)-ч)Т> <631>
mk i=\
которые являются оценками максимального правдоподобия
вектора средних ак и ковариационной матрицы Мк
рассматриваемой нормальной совокупности [1]. Здесь и далее знак Г означает
операцию транспонирования.
Выборочные вектор средних F.30) и ковариационная
матрица F.31) являются состоятельными оценками, причем F.30),
кроме того, несмещенная, тогда как оценка F.31) ковариационной
матрицы смещенная, поскольку ее среднее значение
m^Mky[{mk-l)/mk]lifk. F.32)
Несмещенная оценка ковариационной матрицы получается
умножением F.31) на т^ /(т^ — 1), см. [1]:
_л_ J Щ
Ми =
1=1
тк-\
lfeW-^)^L^)r.* = b2. F.33)
В дальнейшем предполагается, что входные скалярные и
векторные наблюдения значений признаков состояний предприятия
усредняются по изложенной в параграфе 6.2 методологии для
обеспечения их приближенной нормализации при q>5.

Оптимальные алгоритмы
принятия решения
Глава 7 О СОСТОЯНИИ ПрвДПрИЯТИЯ
Выбор оптимального решающего правила, позволяющего
наилучшим образом относить контрольную выборку наблюдений к
одному из взаимоисключающих классов S\ и S2, производится в
соответствии с теорией статистических решений [14, 16, 29] с
использованием характеристик, полученных в процессе
обучения. В рамках этой теории все виды решающих правил
основаны на формировании отношения правдоподобия L (или его
логарифма lnl) и его сравнении с определенным порогом С
(или In С) (значение которого определяется выбранным
критерием качества [16, 29]):
ь=ф^^^>С9 lnL=ln^b^^.;^pi)>lnC> GЛ)
™п{хЬХ2,...9Хп\Б2)< ^n{xUx2f"9Xn\S2)<
Y2 Y2
где wn (х\, *2,..., хп I $j) — условная совместная плотность
вероятности векторов выборочных значений х\, х2,...9 хп (функция
правдоподобия) при условии их принадлежности к классу 5), j =
= 1, 2. Однако если в теории статистических решений
указанные плотности wn (х\, х2, ..., хп I Sj) являются априорно
известными, то в статистическом распознавании они в принципе не
известны, вследствие чего в решающее правило подставляются не
сами плотности вероятности wn (х\9 х2,..., хп \Sj)> a и* оценки
™n\?\>x2>—9xn\sj)9 получаемые в процессе обучения, поэтому в
решающем правиле с порогом С сравнивается уже не само
отношение правдоподобия X, а его оценка L :
^ЦхьХ2,...9хМ>а {12)
Y2
95

При L > С принимается решение у\: контрольная выборка
принадлежит классу S\, в противном случае (при L<C) она
считается принадлежащей классу 52 и, следовательно,
принимается решение у2.
На практике помимо обучающих выборок иногда имеется и
другая дополнительная информация о классах образов, могут
выдвигаться различные требования к продолжительности,
стоимости обучения и распознавания, достоверности решений и т.д.
Дополнительные сведения влияют на выбор порога и способ
сравнения оценок отношений правдоподобия с порогами. Так,
в ряде случаев известно, что некоторый класс 5* чаще
предъявляется для распознавания, чем другой. Целесообразно тогда
при формировании отношений правдоподобия L придать
больший вес функции правдоподобия wn{x\,x2,...,xn\sk) по
сравнению с другой.
Указанная дополнительная информация учитывается
посредством выбора наиболее подходящего решающего правила из
имеющегося в теории статистических решений широкого
ассортимента критериев: байесовского, Неймана — Пирсона,
минимаксного, Вальда, максимума апостериорной вероятности,
максимального правдоподобия и др.
В теории статистических решений полный комплект
априорных данных включает в себя априорные вероятности Р\ = P(S\) и
Pi = P{Si) классов S\ и S2 n матрицу потерь (платежную
матрицу) П:
1п2, п22/
где П# — потери от принятия решения о том, что имеет место
класс к> тогда как на самом деле имеет место класс /(&,/= 1, 2).
В качестве ориентировочных прикидочных значений
априорных вероятностей Р\ и Р^ классов S\ и S2 можно в первом
приближении принять к примеру соответственно отношение числа
процветающих р и убыточных г фирм к общему числу р + г
рассматриваемых фирм в отрасли. При рассмотрении функций
потерь Щ/ можно учесть то очевидное обстоятельство, что потери
П12 от принятия решения у\ о том, что фирма находится в
процветающем состоянии, тогда как на самом деле имеет место
класс 52 — фирма убыточна (кризис), должны быть приняты
намного ббльшими, чем потери П21 от принятия у2 решения о
96

том, что фирма убыточна (кризис), тогда как на самом деле
имеет место класс S\ — фирма находится в процветающем
состоянии.
7.1 • Байесовский алгоритм
При наличии полного комплекта данных: априорных
вероятностей классов Р\ и Pi и матрицы П G.3) по определению
среднего значения дискретной случайной величины
г
можно записать общее выражение среднего риска [16]:
2 2
где p\jknSj\=p\fk =11^] — совместная вероятность принятия
решения у^, тогда как на самом деле имел место класс S/.
С учетом правила умножения вероятностей
PkknSj}=pkj}p\fk\Sj}=PjP\fk\Sj} G.6)
средний риск R будет иметь следующий вид:
j=\k=\
= А[п11Р{у||51}+П12р{у2|5|}]+Р2[п21р{у1|52}+П22р{у2|52}]. G.7)
Вероятности ошибок распознавания 1-го рода а (ложных
тревог) и 2-го рода р (пропуска кризиса), т.е. соответственно
вероятности а того, что будет принято решение у2 о том, что фирма
убыточна, тогда как на самом деле она находится в
процветающем состоянии S\, и вероятности р (пропуск кризиса) того, что
будет принято решение yi о том, что фирма процветает, тогда
как на самом деле она убыточна, т.е. находится в состоянии 52,
по определению равны (см. также D.6)):
a = p{y2\S]}= JwftSjJdSF; G.8)
P{y\\S\}= Jw(l|51)^ = l-a; G.9)
4 Диагностика кризисного состояния предприятия.

P = ^{yi|S2}= M*|S2)<ff; G.10)
P\m\S2) = 1-P= M*|S2)<ff. G.11)
Подставляя G.8) — G.11) в G.7), получаем
Л = Р2П22+Р1П12+Р2(П21-П22)р-Р1(П12-ПпХ1-а) =
= P2n22^Plnn-[Pl{nn-Un){\-a)-P2{U2l-U22^i G.12)
или, введя обозначения,
г/=П22A-р)+П21р, G.13)
г/=П12а + ПпA-а), G.14)
выражаем R через г/ и г/ (для использования при рассмотрении
минимаксного алгоритма в параграфе 7.3):
R = P{r/+P2r{. G.15)
В качестве критерия оптимальности алгоритма принятия
решения принимается минимальное значение среднего риска R
{байесовский критерий). Тот или иной алгоритм определяется выбором
области Х\ (или ее дополнения в выборочном пространстве Х2)9
что проявляется через'величины 1 - а и р. Подставляя значения
этих величин из выражений G.9) и G.10) в G.12), получаем
R = Р2П22 +fln12 - Jh(n12 -nn)w(x|^)-^(n2i -n22)w(*|S2)K G.16)
где
/?o = P2n22 + ip12 G.17)
— неотрицательная известная константа иЛ>0.
Обозначим
/W = fl(n12-n„)W(x|51)-/i(n21-n22)w(r|52)> G.18)
тогда
Л = ДЬ-J/Cc)<ff. G.W)
Так как для любого подмножества А множества^ при
/(*)> 0 имеет место неравенство J/(jc) dx > J/(x) dx , то интеграл
Хх А
98

в правой части G.19) достигает максимума тогда и только тогда,
когда в область интегрирования включаются все члены
выборочного пространства, для которых подынтегральная функция
f{x) неотрицательна. Отсюда следует, что минимальное значение
среднего риска достигается при условии, что в область Х\
принятия решения у\ включаются все выборки, для которых функция
f(x) из G.18) неотрицательна, а в область Х2 принятия решения
У2 — все выборки, для которых функция f(x) — отрицательна, т.е.
Yl
^(п^-Пи^^Ь^^-Пи^^г)^, G.20)
Y2
откуда
m=^M>IhlzIln^ G.21)
У2
Если границы между областями Х\ и Х2 выбраны согласно
G.21), то минимальный средний (байесовский) риск
определяется по формуле G.12), в которой условные вероятности
ошибок сев и Рб вычисляются согласно G.8) и G.10), где в
интегралах фигурируют области интегрирования Х\ и Х2, определенные
согласно G.21), т.е. байесовский алгоритм G.21) запишется в
виде:
Yl
1A)>СБ = П21"П22^, G.22)
V U Б П12-Пп Рх
Y2
где
аБ= \v»$\SxJ&, РБ= \w(x\S2)lbc. G.23)
х2 хх
Из G.12) имеем байесовский риск:
ЛБ = Р2П22 +^П12 +Р2(П21 -П22)рБ -А(П12 -П„Х1-аБ). G.24)
Минимальная величина R называется байесовским риском,
поэтому и правило G.22) также носит название байесовского.
Поскольку событие хеХ{ эквивалентно 1(х)>СБ, а хе Х2 —
событию ь(х)<СБ, то с учетом D.7) и D.8) вероятности ошибок
99

распознавания аБ и рБ можно выразить однократными
интегралами от плотности вероятности оценки отношения
правдоподобия w^(z\Si), / = 1, 2:
aB=/>{Z(x)<CB|S,}= fwi{z\S])dz=FL{cb\S{), G.25)
о
рБ=Р^)>СБ|52}= ]wL{z\S2)dz=l-FL{cB\S2). G.26)
7.2. Алгоритм максимальной апостериорной
вероятности
Предположим, матрица потерь П неизвестна, т.е. П|2 = П21 = 1,
Пц = П22 = 0, но известны априорные вероятности классов Р\
и Р2.
По формуле Байеса апостериорная вероятность гипотезы Bj
при условии отсутствия события А (Вк — полная группа):
Р{В;/А}= f^AN , G.27)
±р{вк)р{л/вк}
Здесь Рх =Px{sx\x) и P2=p(s2\x) составляют полную группу:
Р\ + Р2= I. Следовательно, по формуле Байеса получаем
апостериорные вероятности гипотез S\ и *$2, если в результате
наблюдений получена выборка х:
^•тщ^т'- G-28)
1 2| ' Plw{x\Sl)+P2W{x\S2y
, '.=Ixp. G.30)
Теперь устанавливаем правило решения: принимается S2,
если P^l^^pfs,^}, и Su если p{s,|5c}>p{s2|3c}, тогда
100
откуда

Yl
Z(x)^, G.31)
Y2
т.е. условие p{s!|x}+p{s2|3c}=1 равносильно принятию той
гипотезы, для которой апостериорная вероятность больше 1/2.
С другой стороны, алгоритм максимальной апостериорной
вероятности G.31) можно получить и непосредственно
подстановкой в G.21) значений П^ = П21 = 1 и Пц= П22 = 0.
При этом из G.24) имеем средний риск Rmab-
Кмав=Р\+Р2Рб-Р]{1-*б) = Р\*б+Р2Рб, G.32)
который, как видно из G.32), равен априорной вероятности
ошибочного решения. Следовательно, алгоритм максимальной
апостериорной вероятности минимизирует априорную вероятность
ошибок, т.е. в длинной последовательности решений
обеспечивает максимальную частоту правильных решений.
7.3. Минимаксный алгоритм
Если потери П =
известны, но неизвестны апри-
^П21 П22У
орные вероятности классов Pi и Р2, то принимающий решение
опасается, что ему попадется именно тот случай, при котором
Р\ и Р2 таковы, что дают максимум величине минимального
байесовского риска. Тогда он предполагает, что Р\ и Р2
распределены наименее благоприятно и им соответствует максимум
байесовского риска — минимаксный риск. Так как события S\ и
S2 составляют полную группу, то достаточно определить
наименее благоприятное значение Р\ = P{S\}=P\m> которому
соответствует максимум байесовского риска — минимаксный риск.
*м{Рш)= max Rb(l\). G.33)
0<Pj <1
Зависимость байесовского риска Rb(P\) от вероятности Р\
изображена на рис. 7.1.
Уравнение прямой, касательной к Rb(P\) в точке Р\9 имеет
вид:
Y(Pl) = r{+Pl(r/-r2f), G.34)
101

где х{ и г{ в соответствии с G.13) и G.14) равны
г/=П22A-рБ)+П21рБ)
П/=п12аБ + ПцA-аБ).
G.35)
G.36)
Рис. 7.1. Зависимость байесовского риска от вероятности Р\
В точке Р\- Р\м максимума функции Яъ(Р\) касательная к
кривой байесовского риска параллельна оси абсцисс и,
следовательно, Y(P\) = const, т.е. не зависит от переменной Р\.
Согласно G.34) это условие максимума функции Rs(P\) выполняется,
если коэффициент при Р\ равен нулю, т.е. значение
/^удовлетворяет уравнению:
г/{Рш) = г{{Рш). G.37)
Следовательно, минимаксный риск:
*м{Р\м) = г{{Рш) = г/{Рш). G.38)
Уравнение для нахождения порога См при минимаксном
алгоритме находим, подставляя в G.38) значения г/ и г{ из G.35)
и G.36):
П22A-Рм)+П21|3Л/=П12аЛ/+П11A-ам),
или
П22 +(n2i -n22)CM =П„ +(П12 -Пи)ам ,
но, как известно (см. G.25) и G.26)):
<*м =Р^м\^\),
G.39)
G.40)
G.41)
102

^M^-FL{CM\S2), G.42)
следовательно, искомое трансцендентное уравнение для
определения См\
n22+(n21-n22)[l-Fz(cM|^2)] = nu+(n12-nn)[Fz(cA/|4S1)].G.43)
7.4. Алгоритм Неймана — Пирсона
При отсутствии данных о потерях П и априорных
вероятностях классов Pi и Р2 может применяться алгоритм Неймана —
Пирсона, который обеспечивает минимальную вероятность
ошибок р при условии, что вероятность ошибок а не больше
заданного значения ао.
Задача синтеза оптимального алгоритма принятия решения
по указанному критерию состоит в определении минимума
функционала:
Ф = Р + Са, G.44)
в котором вероятность р зависит от правила выбора решения,
вероятность а фиксирована и С — неопределенный
множитель Лагранжа. Сравнивая G.44) с выражением для среднего
риска G.12):
/? = Р2П22+Р1П12+Р2(п21-П22)р-Р1(п12-Пп)A-а), G.45)
замечаем, что функционал Ф совпадает со средним риском R
при Р2 = Р! = 1/2, Пп = П22 = О, П21 = 2, П12 = 2С В этом
случае легко убедиться, что последнее выражение для R становится
равным Ф:
д = р + Са = Ф. G.46)
Следовательно, минимум функционала Ф достигается при
использовании байесовского алгоритма для Pi = Р2, Пц = П22 = О,
П21 = 2, П^ = 2С, тогда он совпадает с минимальным
байесовским риском /?, определяемым выражением G.46).
Порог С находится из граничного условия (заданного
значения вероятности ошибки 1-го рода ао):
р(?(х)<С|51}=^(ф1)=а0. G.47)
Минимальная по критерию Неймана — Пирсона
вероятность ошибки 2-го рода р получается из G.26):
103

Р = Р ^{х) > C\S2 )=\-FL {C\S2), G.48)
где С определяется согласно G.47).
7.5. Последовательный алгоритм Вальда
При последовательном анализе Вальда, применяемом как и в
предыдущем алгоритме, при отсутствии данных об априорных
вероятностях классов Р\ и Р2 и потерях П, на каждом этапе
пространство значений отношения правдоподобия 1(х) разделяется
на три области: допустимую G\, критическую G2 и
промежуточную Gпр. Если значение отношения правдоподобия L(x) попадает
в промежуточную область Gnp, то делается следующее
наблюдение, и так до тех пор, пока при некотором значении п размера
выборки это значение L(x) не попадает в одну из областей G\
или G2, после чего принимается решение о наличии класса S\
(при попадании в допустимую область G\) или S2 (при
попадании в критическую область ф).
Критерием качества последовательного правила выбора
решения обычно является минимум среднего значения размера
выборки, необходимой для принятия решения (после чего
процедура последовательного анализа завершается) при заданных
значениях вероятностей ложной тревоги а и пропуска сигнала р.
А. Вальдом показано [8], что среди всех правил выбора решения
(в том числе и непоследовательных и, в частности, известных
критериев байесовского, максимума апостериорной вероятности,
максимума правдоподобия, Неймана — Пирсона,
минимаксного), для которых условные вероятности ложной тревоги и
пропуска сигнала не превосходят аир, последовательное правило
выбора решения, состоящее в сравнении отношения
правдоподобия L(x{9 Зс2, ..., хк) с двумя порогами, нижним с2 и верхним сь
приводит к наименьшим средним значениям размера выборок
т\{п I S\} (при наличии класса S\) и т\{п I S2} (при наличии
класса S2).
Аналитически процедура последовательного анализа может
быть выражена следующим образом: при п-м наблюдении
принимается решение о наличии класса S\, если
с2 <L(xb ..., хк)<с{, Цхь ..., хп)>сх , к= 1, ..., я-1, G.49)
104

и решение о наличии класса 52, если
с2 <L(xb ..., хк)<сх, L(xu ..., хп)<с2, к= 1, ..., л-1. G.50)
Верхний и нижний пороги q и с2 с некоторым
приближением могут быть выражены через заданные значения вероятностей
ложной тревоги а и пропуска сигнала р согласно [8]:
-.-¦^Р С2=_1_. G.51)
а 1-а
Таким образом, последовательное правило выбора решения,
в отличие от алгоритмов: байесовского, максимума апостериорной
вероятности, максимума правдоподобия, Неймана — Пирсона,
минимаксного, предусматривает сравнение отношения
правдоподобия с порогами с\ и с2, не зависящими от априорных
вероятностей наличия или отсутствия сигнала и от потерь.
7.6. Алгоритм максимального правдоподобия
Если, как и в рассмотренных последних двух алгоритмах
принятия решений (Неймана — Пирсона и последовательном валь-
довском), данные о потерях П и априорных вероятностях
классов Р\ и Pi отсутствуют, то может также применяться алгоритм
максимального правдоподобия, который получается из
байесовского алгоритма G.21) при потерях Пц = П22 = 0; П^ = П21 = 1
и априорных вероятностях классов Р\ = Р2 = 1/2:
w{x\S2)<
Y2
и заключается в принятии решения о наличии того класса S\ и 52,
которому соответствует большее значение функции
правдоподобия w(x 15^i) ИЛИ wCt|S2).
Подстановкой значений потерь П = 1 и априорных
вероятностей классов Р\ и Р2 в выражение для минимального
байесовского риска G.24) получаем выражение для минимального риска
/?мп> получающееся при использовании алгоритма
максимального правдоподобия
^мп = — (амп + Рмп) > G.53)
105

где вероятности ошибок амп и Рмп получаются из G.25) и G.26):
1
амп=И(^)л, G.54)
о
Рмп=Н(г|52)л. G.55)
1
Из G.53) видно, что алгоритм максимального правдоподобия
минимизирует суммарную вероятность ошибок распознавания
Лмп, в чем также проявляются его оптимальные свойства.
Выбор алгоритма, сохраняющего свои оптимальные свойства
при использовании в нем оценок отношения правдоподобия. В
начале главы уже указывалось, что в рассмотренные решающие
/_\ Щх\S])
правила вместо отношения правдоподобия L(x) = ц \ под-
w[x\S2)
ставляется его оценка 1(х)= \\ Ч. Проведенная в работах [28,
w[x\S2)
29] проверка оптимальности рассмотренных алгоритмов:
байесовского, максимума апостериорной вероятности,
минимаксного, Неймана — Пирсона, последовательного валвдовского и
максимального правдоподобия при подстановке в них оценок
i(x) отношения правдоподобия вместо ь(х) показала, что при
указанной подстановке оптимальные свойства сохраняет только
алгоритм максимального правдоподобия, который вследствие
этого практически во всех случаях будет использоваться в
последующем изложении. При этом используется решающее правило
G.52) либо эквивалентное указанному правилу решающее
правило для логарифма отношения правдоподобия (см. также G.1)):
lnZ(*) = ta^>0. G.56)
У2

8
Одномерное (однопризнаковое)
распознавание состояний
лава U ПреДПрИЯТИЯ
8.1. Одномерное распознавание состояний,
различающихся средними
Неизвестные средние определяются в результате обучения из
F.28):
- 1 ? (О
- 1 % B)
т2 /=1
(8.1)
и представляют собой несмещенные и состоятельные оценки
максимального правдоподобия средних по обучающим выборкам
(х?Щх\]\ ..., х®) из Sx и (х?Щх\2\ .... *g) из 52. Оценка
логарифма отношения правдоподобия G.1) будет иметь вид:
1
\ПЦХ1,...,Х„) = \П —
;Ш hM
»/2
expf^Sk_"iJ}
га
Bяа2)"
/2
expi
1 " /
l 2<r t=1
¦1 ""
а2]
к=\
2oz
Zita-^ilM**-^J
t=l
2а2 -,
Zlx* -2*i«l +«l "** + 2хка2-а2\ =
хк[-(щ-а2)] + а? -а\
_{а\-а2)уг пЩ-а1)= пщ-а2 1
"Z**
к=\
2oz
2 "
-Zx*--ai
¦*=l
где обозначены случайные величины Yvi Z:
Y =
Щ~а2
z =
2?
п
Ъхк-{ах+а2)
*=1
_п_ (8.2)
Г/ '
(8.3)
107

Решающее правило получается подстановкой значения lnZ(x)
из (8.2) в G.56):
п a\-ai 1
2 а а
2 "
4=1
>
<
Y2
In С, aj >«2»
ИЛИ
Yi
1 Д > «1 +а2 2 In С
d\ > й2
lk=]
Y2
для алгоритма максимума правдоподобия С = 1, In С = 0 и
Yl
1 Д > а\+а2
~"Lxk .—~—•
пк=\ < 2
Y2
(8.4)
(8.5)
8.2, Вероятность ошибок одномерного распознавания
состояний предприятия
Для нахождения вероятностей ошибок распознавания 1-го и
2-го рода аир найдем сначала распределение оценки
логарифма отношения правдоподобия Wj ^(/), которое выражается через
Г и ZKaK распределение произведения этих случайных величин
(см. Приложение 3):
wlnZW= J wyMwz(//M)A
<V
vhy
(8.6)
или
и>
./(')¦
2яо]а2
J exp
(i/ + aJ | (//n-fl):
где обозначено
д1 ~a2
<*1
-2 2
oi
du
w
<*\
m
2 2 4
02= — + — .
(8.7)
(8.8)
108

Здесь предполагается, что т\ = mi = т. Общий случай
вероятности ошибок распознавания для разных т\ и т^ приведен в
Приложении 3.
Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода аир одномерного
распознавания определяются подстановкой значения и>1п^(/) в
формулы D.9) и D.10) (для алгоритма максимального
правдоподобия 1пС = 0):
esPsW)tfswIH^
О 2л°1°2 о I О
(ц + аJ { {1/и-а)
<*1
о\
du
fexp-l!
[и-of ,{llu + af
v\
o\
Mdi.
(8.9)
Меняя порядок интегрирования в (8.9), получаем:
1 °°Г [
« = Р = —T=f exp-
(и-аJ} 1
2а2 I 02>/2я
Jexpi-
fe#Uv«)+
+ exp-^ -
{» + ")
м 1^Н-^1*)
ст2
du.
(8.10)
Внутренние интегралы можно заменить их значениями я -—
и f
ласа F(Z):
, выражающимися через табулированный интеграл Лап-
а
о2
(8.11)
'<П
V°2y
а2
V^
_(//«+??
lextK-^—^-\d(lju),
где согласно [6]:
(8.12)
F[z)=irJ:2dx-
(8.13)
109

Подставляя (8.11) и (8.12) в (8.10), получаем для а = р:
oi<j2n;
ехр^-
о 2
а
о2
( \
а
\°г
duxm
Оставшиеся интегралы также можно заменить их значения-
МИ F\
а
F(z) (8.13):
И F
а
выражающимися через интеграл Лапласа
аЛ 1 ? [
2of
№,
(8.15)
Л-
G\Jhi
^xjAi±4-Uu.
2а
(8.16)
Сопоставлением (8.15) и (8.16) с (8.14) получаем для
вероятностей ошибок распознавания а = р их выражение через
табулированный интеграл Лапласа:
а = р = Я
а2
+ F\
<*l
/ \
Va2/
(8Л7)
Во многих практически важных случаях целесообразно иметь
выражение вероятностей ошибок распознавания a = p через
другой табулированный интеграл — интеграл вероятностей Ф(х) [6]:
который связан с интегралом Лапласа (8.13) формулами:
Ф)=1[(ф(,/Л))+1],
Ф(х) = 2Л*</2)-1.
(8.18)
(8.19)
(8.20)
Подставляя значение F(x), выраженное через интеграл
вероятностей Ф(х) согласно (8.19) в (8.17), получаем выражение
вероятностей ошибок распознавания 1-го и 2-го рода a = p через
табулированный интеграл вероятностей (8.18):
а = В = Ф
к 2 2
2у/2/п + 1/ет
110
ф(|а|7^/2). (8.21)

Результаты вычисления зависимости вероятностей ошибок
распознавания а = р по формуле (8.21) при а = 1 от объема т
обучающих выборок при различных объемах п контрольных
выборок представлены на рис. 8.1.
О 20 40 60 80 т
Рис. 8.1. Зависимость вероятностей ошибок распознавания
а = р от объема обучающих т и контрольных п выборок
Как видно из рисунка, влияние объема обучающих выборок
особенно сильно проявляется в области малых т(т < 30), где, в
частности, увеличение т от 5 до 20 (при п = 30) приводит к
уменьшению вероятности ошибок распознавания от 0,10 до 0,02.
При дальнейшем увеличении объема обучающих выборок (т > 50)
их влияние на вероятность ошибок распознавания становится
менее ощутимым, поскольку эталонные описания при таких
значениях т уже достаточно хорошо сформированы и
дальнейшее обучение мало что к ним может добавить. Аналогичным
образом влияет на вероятности ошибок а = р объем контрольных
выборок п. Это влияние сильно проявляется при малых п (п < 20)
и становится мало ощутимым при п > 30.
8.3. Одномерное распознавание состояний,
различающихся средними и дисперсиями
Наиболее общим случаем одномерного распознавания
является определение принадлежности выборки (х{)" ={хь ..., хп)
независимых наблюдений к одному из двух классов S\ и Sq9 харак-
ш

теризующихся неизвестными средними а\ и 02 и неизвестными
дисперсиями а? и с\. В ходе обучения вычисляются оценки
неизвестных средних я j и а2:
1 A h\ * 1
- 1 V 0) * ! V B)
и дисперсий а? и а2
я2- *
а1 =
/и-1
i(,!»-;,)\ ц.л-нр-ьг.
;=1
т-1
(8.22)
(8.23)
/=1
Оценка логарифма отношения правдоподобия будет,
очевидно, иметь следующий вид:
. ;/ \ , 4*1 > •••> хп\$\)
Цдг,, ..., *„|S2J
1 f If/ - \21
2ст, ,=i
= 1п
fe**2]
^exp|-^iu-«iJ
^ехрг4§*'~J
(8.24)
Решающее правило получается подстановкой значения
lni(xl9..., xj из (8.24) в G.56):
1 п
z/=i
-T(xi-a2J Ах—щJ
°\
°l
Yi
л 2
+ -ln%>lnC, (8.25)
2 of <
Y2
для алгоритма максимального правдоподобия С = 1, InC = 0 и
решающее правило:
1 "
2,ti
•(дгу-вгJ—rrU-eiJ
°i
Yi
+ -ln—f 0.
2 <
«1
Y2
Введем параметры распознавания:
¦ = а2/а22 d2={a{-a2Jla\
(8.26)
(8.27)
Вероятности ошибок одномерного распознавания состояний,
различающихся средними и дисперсиями, приведены в
Приложении 4.
112

На рис. 8.2 (а и б) приведены графики зависимостей
вероятности ошибок а = р от значений параметров d2 и г,
вычисленные в Приложении 4.1 для п = т =10. Их анализ позволяет
утверждать: с ростом расстояния d2 между классами вероятности
ошибок аир убывают; по мере увеличения г вероятности
ошибок аир сначала незначительно возрастают, а затем начинают
быстро уменьшаться (при d2 = 0 сразу только уменьшаются).
Это объясняется тем, что рост г фактически означает увеличение
дисперсий случайных величин, составляющих обучающие и
контрольные выборки из класса S\, что должно приводить при
неизменных значениях других параметров к увеличению
вероятностей ошибок а и р. С другой стороны, чем больше г, тем
сильнее отличие распределений у классов S\ и *% ДРУГ от друга и тем
меньше, следовательно, должны быть вероятности ошибок аир.
а = р
0,4
0,3
0,2
0,1
г=1,3
у 2
3
а = Р
0,4
0,2
0
d2=0
\9'2
0,6
0 0,2 0,6 1,0
1 2 3 4 г
а) б)
Рис. 8.2. Зависимость вероятностей ошибок распознавания
а = р от параметров распознавания г и d2
Таким образом, характер изменения вероятностей аире
ростом г определяется противоположным влиянием этих двух
тенденций. Так, увеличение г с 1,01 до 1,3 при т = 10, п = 10,
d2 = 0,6 сопровождается увеличением вероятности ошибки а
с 0,2 до 0,24. Однако при дальнейшем увеличении г до 2,0
вероятность ошибки а падает до 0,196. Это объясняется тем, что с
ростом г усиливается влияние тенденции, ведущей к
уменьшению вероятностей ошибок а и р, и, начиная с некоторого
значения г*, ее влияние становится доминирующим. При этом
величина г* тем меньше, чем меньше d2. Так, при d2 = 0,6 г* * 1,3,
при d2 = 0,2 г* * 1,25, при d2 < 0,01 г* < 1,01.

Многомерное
(многнопризнаковое)
распознавание состояний
"лава 9 ПреДПрИЯТИЯ
9.1. Многомерное распознавание состояний,
различающихся векторами средних
Пусть на вход распознающей системы поступают
многомерные (векторные) наблюдения, принадлежащие одному из двух
состояний S\ и S2, различающихся только своими неизвестными
векторами средних ах и а2 (и, следовательно, имеющих общую
ковариационную матрицу М). Оценки неизвестных векторов
средних а, и а2 определяются в результате обучения из F.30):
5i =- Z#> «2 =-!#). (9.1)
Оценка логарифма отношения правдоподобия lnZCcb ..., хп)
будет иметь следующий вид:
lnZ(jj, ..., хп) =
где обозначены случайные величины у и z :
2 «_ _д_ _л_
— ХХг -«1 ~«2
= -/a/z, (9.2)
2
^ = fli-a2; z = B/")Z ^ "ai - «2- (9-3)
Решающее правило получается подстановкой значения
lnZCcb ..., хп) из (9.2) в G.56):
114

7$1-*2)
т 1
Yl
>lnC (9-4)
2 " _ _д. ^
\zHXi-a\-a2 (<
Y2
где порог In С в связи с предпочтением, отдаваемым алгоритму
максимального правдоподобия, сохраняющему свои
оптимальные свойства при подстановке в него оценок логарифма
правдоподобия (см. главу 7), выбирается, как правило, равным: In С = О
(так как в этом случае С = 1).
9.2. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний предприятия
Нахождение вероятности ошибок распознавания 1-го и 2-го
рода аир осуществляется в Приложении 5 по той же методике,
что и нахождение вероятностей ошибок распознавания
одномерных образов в главе 8 (см. формулы (8.2) — (8.21)),
предусматривающей вычисление плотности вероятности оценок
логарифма отношения правдоподобия (9.2), которое выражается по
формуле (8.6) через введенные в (9.3) случайные величины у и
z как распределение произведения этих случайных величин. В
результате выполненного в Приложении 5 достаточно
трудоемкого и сложного процесса интегрирования общее выражение
для вероятности ошибок многомерного распознавания 1-го и
2-го рода аир удается свести к следующему двойному
интегралу (при С = 1):
а = р = [е(р)ехр{- d2ll<52x)Цы{р - 3)| \tP~x х
О-я/2
х cosp~2ф ехр|- 1/2ДГ2 -2<foj~lfsin<p|x f[-dsinф/a2]dt dy, (9.5)
где
Ь'
если р = 2к +1,
если р = 2к\
F(x) — табулированный интеграл Лапласа (8.13), а2 и <з\
выражаются через объемы контрольных п и обучающих m выборок
по формулам:
2 11 2 1 1 4
о? = — + —; о;= — + — + -, (9.6)
«1 /«2 Щ Ш2 п
115

или для рассматриваемого здесь случая т\ = т^ = т
с2=2/т; С2=2/т-?4/п;
d2 — скалярная величина — расстояние Махаланобиса [4]:
d2^x-^M-%-7i2). (9.7)
Возвращаясь к общему выражению (9.5) вероятности
ошибок многомерного распознавания аир, следует заметить, что
аналитически выразить а = р удается при р = 2к + 1, к = 1, 2, ...;
однако лишь в трехмерном случае (к = 1) получается
сравнительно компактное выражение через табулированный интеграл
Лапласа (8.13):
+ [o^/^d (jf -а^)]{а2ехр{-^2/2су?}И^2)-
_F(_^a2)]_aiexp{-jV2^}[F(^/aO-F(-^/aJ^ (9.8)
В табл. 9.1 приведены вычисленные по формулам (9.5) —
(9.8) требуемые значения объемов обучающих т и
контрольных п выборок, обеспечивающие заданную достоверность
распознавания D=l-a=l-p = 0,5800;...; 0,9900; 0,9990, 0,9999
при размерности признакового пространства р = 2; 3; 4; 7; 10 и
единичном расстоянии Махаланобиса (9.7) между классами d2 = 1.
Анализируя результаты расчетов, можно отметить, что при
выбранном единичном расстоянии между классами rf2= 1 и
размерности признакового пространства р = 10
удовлетворительный уровень достоверности распознавания 0,9 достигается n{Jto
значениях т = 19,17 и п = 23,00. Повышение уровня требуемой
достоверности распознавания до значений 0,9900; 0,9990; 0,9999
при тех же значениях d2 = 1 и р = 10 достигается путем
достаточно умеренного увеличения объемов обучающих т = 41,91;
62,73; 82,96 и контрольной п = 56,61; 90,90; 124,77 выборок.
Эффект возрастания значений объемов тип, требуемых для
обеспечения заданной достоверности 2)=1—a=l — P при
неизменном значении расстояния d2 и увеличении размерности
признакового пространства р, физически объясняется возрастанием
с ростом р числа оцениваемых параметров, что увеличивает
общую дисперсию их оценок и, следоэательно, уменьшает
результирующую достоверность распознавания [17] (см. также
Приложение 5).
116

Таблица 9.1
Требуемые объемы обучающих т и контрольных п выборок,
обеспечивающие заданную достоверность распознавания
(D = 0,5800 -ь 0,9999 при размерности признакового пространства
/7 = 2; 3;4; 7; 10).
Z)=l-a =
= 1-р
0,5800
0,6200
0,6600
0,7000
0,7400
0,7800
0,8000
0,8200
0,8400
0,8600
0,8800
0,9000
0,9100
0,9200
0,9300
0,9400
0,9500
0,9600
0,9700
0,9800
0,9900
0,9990
1 0,9999
Р =
п
1,27
2,04
2,94
4,00
5,27
6,82
7,75
8,79
9,99
11,39
13,05
15,08
16,28
17,64
19,22
21,08
23,31
26,12
29,79
35,14
44,60
77,75
112,08
= 2 1
т
1,21
1,90
2,66;
3,51
4,49
5,62
2,27
6,98
7,77
6,86
9,72
10,95
11,66
12,46
13,36
14,40
15,64
17,14
19,14
21,93
26,74
43,16
60,14
Р =
п
1,48
2,37
3,40
4,60
6,02
7,74
8,75
9,88
11,17
12,67
14,44
16,57
17,83
19,25
20,88
22,79
25,09
27,94
31,69
37,08
46,56
79,59
11,392
= 3
т
1,42
2,22
3,10
4,09
5,21
6,50
7,24
8,05
8,95
9,97
11,13
12,51
13,30
14,18
15,19
16,34
17,70
19,36
21,48
24,50
29,64
46,77
64,09
/> =
п
1,66
2,66
3,79
5,10
6,64
8,49
9,57
10,78
12,15
13,72
15,57
17,80
19,10
20,57
22,26
24,23
26,58
29,49
33,31
38,77
48,33
81,41
115,60
= 4
т
1,60
2,49
3,48
4,58
5,82
7,24
8,05
8,94
9,92
11,03
12,30
13,79
14,64
15,60
16,67
17,91
19,36
21,14
23,41
26,59
32,00
49,78
67,55
/> = 7
п
2,11
3,34
4,72
6,30
8,12
10,27
11,51
12,89
14,44
16,20
18,36
20,70
22,13
23,72
25,54
27,65
30,16
33,25
37,27
42,97
52,84
86,44
120,86
т
2,04
3,17
4,40
5,76
7,27
9,01
9,98
11,05
12,23
13,54
15,05
16,80
17,80
18,91
20,17
21,60
23,27
25,31
27,90
31,50
37,55
56,99
75,88
р= 10 1
п
2,47
3,89
5,47
7,25
9,29
11,68
13,04
14,55
16,24
| 18,18
20,37
23,00
24,52
26,23
28,16
30,39
33,04
36,29
40,48
46,42
56,61
90,90
124,77
т
2,39
3,71
5,13
6,70
8,43
10,41
11,52
12,72
14,05
15,53
17,21
19,17
20,28
21,52
22,91
24,40
26,34
28,57
31,41
35,35
41,91
62,73
82,96
Для нахождения оценки сверху ав = рв вероятности ошибок
распознавания a = р при р > 3 разобьем в выражении (9.5)
интервал интегрирования по dq> на два: [- я/2, 0] и [0, я/2]. После
117

замены в первом из двух образовавшихся интегралов
переменной интегрирования ср на —<р с учетом равенства
/'(sin (p/(T2i) =1 - F(— sin (p/G2i)
находим
a = p ' Ар)
V2^(p-3)!!
Я
JJ^cos^cpexp —-
00
2 It Sin ф 1
r+ ~ + —r
°n a,,
dt d(p +
я
002"
+ 2jp-1cos^29exp Ushj
00
t sirup
( • \
sirup
a21
dt dip
(9.9)
где a2, = o22/d2 =4/^d2y-2/{nd2), o^, = a2/rf2 =2/Ц2).
Первый из двойных интегралов в (9.9) легко берется с
помощью замены переменных х = / cosq), у = г sinq>:
1 ер>)
л/2^(р-3)!!
«2
00
11 ? 2fsinm 1
U2+ ^+ —
21 оц of,
J J^4 cosp-2 Ф ехр \ - ±\ tz + ^zz. + -^- I \ dt dtp =
Для второго двойного интеграла в (9.9) можно получить
оценку сверху, если обратить внимание на то, что во всей области
интегрирования подынтегральная функция неотрицательна, а
cos ф > cos P~2(p. Поэтому:
я
оо
/2 = 2yJ jf^cos^cpexp j- — [sh
00
я
fsin-
Jny
sincp
a21 J
dt d(p<
<2y\\tp ^oscpexp^ >sh
00
00 1
/sincp
I all J
= 2гЯ*'-'«ф U-
•sh
tz
00
ч°11У
a21,
sin(p
I a21 )
\dt dz,
dt d(p =
(9.11)
118

1 Q(p) off
где у = -7=—^— exp^—^-k
Кроме того, очевидно, при любом t > О
/2(/) = Jsh
tz
any
a21
'fe^
lall
a2i;
A = /3(/). (9.12)
dz < J sh
0 '
Далее, интегрируя по частям и учитывая, что /3@) = 0 и при
любом t > О
lim F(-z/ct2i)ch(tz/c{j) = 0.
Находим
/з(<) = -
1 o„
Jexpi
ch
fe
V2rc tc2\ 0 [ 2ct2iJ Vctu
Таким образом,
2' 1 2a?,
(9.13)
2f
/2<yanJ^-2eXp—LI
_2LLexJ-HU_
V27 И 2
1-
°21
a?,.
>A =
гт2 ^
a21
rr2 I
(p-1)
—1
(9.14)
поскольку, очевидно, g\x < a^ при любом t
Подставляя выражение (9.10) для 1Х и оценку (9.14) для 12 в
(9.9), получаем окончательно:
a = P<F|
к °2
1 (То
+ -т=—г- ехр
V27T </
Г ^2 1
2 2
V°-CT1 J
(P-1) 1
2
-1
= ав=Рв
(9.15)
Из вывода соотношения (9.15) ясно, что точность
приближения вероятности ошибок a = р ее оценкой ав = рв зависит от
двух факторов: от того, насколько подынтегральная функция в
119

(9.12) сконцентрирована в отрезке [0, 1] и от числа признаков р.
Поскольку с ростом р растет погрешность замены со^~2ф на
coscp, то погрешность приближения
<*b=Pbs/1
d_
G2
1 О?
+ -т= —*- ехр<!
V2tt d
й)
°l
(л-1)
¦a,
(9.16)
минимальна при р = 3 и возрастает по мере увеличения р.
Применение приближенной формулы (9.16) для вычисления
вероятности a = р наиболее эффективно при т » р, т » л, что
подтверждается тем, что при т ->оо оценка ав сходится к своему
асимптотическому значению а™ = р™ [27]:
= pKn=l-F
и
nd1
(9.17)
Приведенные ниже значения a = р, ав = рв при и = 20, р = 10,
d2 = 1 и различных т иллюстрируют сделанный вывод:
т
a = р
<*„ = (Зв
20
0,105
0,249
30
0,070
0,110
40
0,053
0,069
50
0,043
0,052
60
0,037
0,042
80
0,030
0,032
100
0,026
0,027
Таким образом, формула (9.16) дает наиболее точное
приближение вероятности ошибки распознавания при больших
значениях объемов обучающей выборки т, а ее погрешность
возрастает с увеличением пир. Однако нетрудно убедиться, что
величина а с увеличением пир зависит от п только через
отношение п/т. (Подробнее о приближенном вычислении вероятностей
ошибок распознавания а = р см. в параграфе П.5.2 Приложения 5.)
9.3. Многомерное распознавание состояний,
различающихся векторами средних
и ковариационными матрицами
В наиболее общем случае априори неизвестными оказываются
как векторы средних 5j, а2, так и ковариационные матрицы Мх,
120

М2 распознаваемых ансамблей. В ходе обучения вычисляются
оценки ах и а2 неизвестных векторов средних по формулам F.30)
Щ
т\ ,=1
- 1 »-{2)
m2 /=i
и оценки М! и М2 неизвестных ковариационных матриц по
формулам F.33):
Мх =-
1
м2 =
(9.18)
Решающее правило будет иметь следующий вид:
1 п
z/=i
(г/-я2) ^Yi-^J-^i-^l) Мх\-ах)
Yl
л , detM2 > , „
+ —In И- InC,
2 detMl <
У2
(9.19)
где, как и ранее, в связи с предпочтением, отдаваемым
алгоритму максимального правдоподобия (см. главу 7), порог InC = 0, так
как в этом случае С = 1.
Вероятности ошибок многомерного распознавания состояний,
различающихся векторами средних и ковариационными
матрицами, вычисляются в Приложении 6.

Практическая диагностика
кризисного состояния
предприятий с оценкой
ее гарантированной
Глава I О ДОСТОВерНОСТИ
На основе полученных в главах 3—9 теоретических
результатов рассмотрим 15 практических примеров диагностики
кризисного состояния российских разнопрофильных предприятий и
банков. В каждом из примеров формируется пространство,
состоящее из трех наиболее информативных признаков, набор
которых для каждого из 15 примеров оказывается различным и
отражает специфику предприятий. Подробные вычисления всех
оценок параметров (векторов средних, ковариационных матриц
и др.), необходимые в качестве образца для последующего
практического использования, приведены в примере 10.1.1. В
последующих примерах 10.1.2 — 10.2.10 приведены только результаты
расчетов на этапах обучения и принятия решения, в которых
используются предварительно усредненные данные,
обеспечивающие приближенную нормализацию (см. п. 6.2).
Вычисление вероятностей ошибок распознавания аи р и,
соответственно, достоверности диагностики D = 1 - а = 1 - J3
ввиду их большой важности приведены во всех 15 примерах. В
примере 10.2.3 эти вероятности ошибок, вычисленные для
рассматриваемого во всех примерах случая трехпризнакового
пространства {р = 3), для которого эти вероятности
выражаются точной формулой (9.8) в конечном аналитическом виде
через табулированные и элементарные функции,
сопоставляются (п. 10.3) с вычисленной по формуле (9.16) верхней
оценкой вероятности ошибок, справедливой для произвольной
размерности признакового пространства р, с целью использования
ее в последующем при любых р.
10.1. Диагностика кризисного состояния банков
Пример 10.1.1. Диагностика кризисного состояния
исследуемого банка в сопоставлении с преуспевающими (S\) банками
122

х\[\х^\х\1\х^ и банками х\2\ х%\ Х^\ Х%\ xf\
находящимися в кризисном состоянии (Si).
Для диагностики кризисного состояния банка возьмем
следующие показатели:
1) валюта баланса-нетто (т.е. сумма собственных (капитал)
и привлеченных средств банка);
2) коэффициент общей ликвидности;
3) рентабельность собственного капитала, %.
Преуспевающие х\х\х^\х^\х^ и кризисные x\2\x^\xf\
X^\xf\ а также исследуемый банкЛГ задаются следующими
характеристиками (см. табл. П10.1.1).
>На первом этапе (обучение) по приведенным выше
характеристикам вычисляются оценки векторов средних ах и а2 (по
формулам (9.1)) и ковариационных матриц Мх и М2 (по
формулам (9.18)). Оценки Мх и М2 используются затем для вычисления
по формуле A0.1) оценки общей ковариационной матрицы М :
'32,57)
4,45
«1
щ
14";
т\ /=1
а, =
(,80,5
xf> = —C1,33 + 32,78 + 35,61 + 30,54)=32,57 ;
^
-D,15+ 3,34+ 5,56 + 4,76)= 4,45 ;
,Р> - I
-G9 + 81 + 82 + 80) = 80,5;
4
»—!¦?#':
«2
т2 ;=|
«2
ж
,B)
^10,35 л
2,80
1,63,80
х^ = -A2,25+ 13,09+ 7,65+ 9,98+ 8,77) =10,35;
Д2)
1
кг - —B,98 +- 3,01 + 2,38 + 2,73 + 2,91) = 2,80 ;
xf> = 1F6 + 69 + 58 + 71 + 55) =63,80;
123

Таблица П10.1.1
Признаки
Валюта баланса-нетто,
млн руб.
Коэффициент общей
ликвидности
Рентабельность
собственного капитала, %
S\ (преуспевающие
банки)
X?
31,33
4,15
79
4>
32,78
3,34
81
Х\Ч
35,61
5,56
82
4"
30,54
5*2 (кризисные
банки)
42)
12,25
4,76 2,98
80
66
л2
13,09
3,01
69
42)
7,65
2,38
58
л4
9,98
2,73
71
42>
8,77
2,91
55
Исследуемый
банк X
33,21
5,58 ;
79

л/,=
„(О „(О „(О'
ти тп тп
4} 4} 4}
,4} 4141
f.=— Z(x^-xf)(x^-4h; /=1,2,3,4; 1,/= 1,2,3;
"i /=l
,(')=!
\1} = -|31,33 + 32,57J + C2,78 + 32,57J + C5,61 - 32,57J + C0,54 - 32,57J ]=
= -|-l,24J +0,212 +2.042 +(-2,03J]=-[1,54 + 0,44+ 4,16+ 4,12] =2,47;
= - C1,33 - 32,57) D,15 - 4,45) + C2,78 - 32,57) C,34 - 4,45) +
+ C5,61 - 32,57) D,15 - 4,45) + C0,54 - 32,57) D,76 - 4,45) = 0,4425;
+ (*[} - *('%JJ - 4'^= -КЗ 133 - 32,57)G9 - 80,5) + C2,78 - 32,57)(81 - 80,5) +
+ C5,61 - 32,57)(82 - 80,5) + C0,54 - 32,57)(80 - 80,5)]=1,51 = м$;
.@=1
;й-^J+й-4>J+й-^J+й1-^)а
J4,15-4,45J + C,34-4,45J +E,56-4,45J + D,76 -4,45J]= 0,66;
23 -"^IV^l х2 /Г31 ХЪ ГГ22 х2 )\СП~Х3 Г
= -[D,15 - 4,45)G9 - 80,5) + C,34 - 4,45)(81 - 80,5) +
4
+ E,56 - 4,45)(82 - 80,5) + D,76 - 4,45)(80 - 80,5)] = 0,35 = m$ ;
125

.{0=1
'33
^М>J ¦№-"?>)'¦(МJ ¦(•»-"?>)'
= -[G9-80,5J+(81-80,5J+(82-80,5J+(80-80,5J]=1,25;
*Г
^2,47 0,44 1,51Л
0,44 0,66 0,35
1,51 0,35 1,25
Л#,
2 2
?2)
I) J
31 m32 m33
B) = I
й?)-И24ё)-42)J4й)-?)J4й,-^J+
+ (x$ - xf2T = —112,25 - Ю,35J + A3,09 -10,35J +
+ (9,98 -10,35J + (8,77 -10,35J]= 4,12;
*12 = "^1гп ~х\ /Г21 ~х2 Г\х\2 ~х\ /Г22 ~х2 Г\ХП "х\ А*23 ~х2 Г
= -[A2,25 -10,35)B,98 - 2,8) + A3,09 -10,35)C,01 - 2,8) +
+ G,65 -10,35)B,38 - 2,8) + (9,98 -10,35)B,73 - 2,8) +
+ (8,77 -10,35)B,91 - 2,8) ]= 0,35 ;
tg).4L^(?)-^^*?))tt8)-*B))й)-?)K
+D2)-42%i^42)M4^42%^420+D2)-42))te-42))]=
= -[A2,25 -10,35)F6 - 63,8) + A3,09 -10,35)(б9 - 63,8) +
+ G,65 -10,35)E8 - 63,8) + (9,98 -10,35)G1 - 63,8) +
+ (8,77 -10,35)E5 - 63,8)] = 9,04 ;
= -[B,98 - 2,8J + C,01 - 2,8J + B,38 - 2,8J + B,73 - 2,8J + B,91 - 2,8J ]= 0,05;
4^4L[D^42))й)-42)M422)-42))D)-42)K
+D^420D^42)M4^42%i2^42^D^42))D^42))]=
= -[B,98 - 2,8)(б6 - 63,8) + C,01 - 2,8)(б9 - 63,8) + B,38 - 2,8)E8 - 63,8) +
+ B,38 - 2,8)E8 - 63,8) + B,73 - 2,8)G1 - 63,8) + B,91 - 2,8)E5 - 63,8)] = 0,46;
126

4Ч[(^*ИЧ4Ч2)J 4?Ч2)J 4®-42)Y 4il]-42))
= -|66 -63,8J + F9 - 63,8J + E8 - 63,8J + G1 -63,8J + E5 - 63,8J]= 38,96;
D,12 0,35 9,04")
М2= 0,35 0,05 0,46 .
^9,04 0,46 38,96j
Оценка общей ковариационной матрицы вычисляется по
формуле:
М = -ЦЛГ, + /и2Л/2)=0,571Л/, + 0,714Л/2; A0.1)
т\ + т2 - 2
0,571 Л/, =0,571
0,714Л/2 =0,714
2,47 0,44 1,5 О
0,44 0,66 0,35
1,51 0,35 1,25
'4,12 0,35 9,04^1
0,35 0,05 0,46
9,04 0,46 38,96
Л/
1,38 0,25 0,86
0,25 0,38 0,20
0,86 0,20 0,71 J
B,94 0,25 6,45^1
0,25 0,04 0,33
6,45 0,33 27,82
A,38 0,25 0,8б"|
0,25 0,38 0,20
(о,86 0,20 0,71 J
'2,94 0,25 6,45л
0,25 0,04 0,33
v6,45 0,33 27,82,
432 0,50 7,31
0,50 0,42 0,53
7,31 0,53 28,53
Оценка обратной ковариационной матрицы вычисляется по
формуле:
¦>-!
Л/"'=г^Ч
И
«11 «12 «13
77*21 w22 w23
Щ\ Щг Щъ
(Ю.2)
где \м\ — определитель;
mik — алгебраические дополнения соответствующих элементов
исходной матрицы Л/, которые вычисляются следующим
образом:
н
= тх\т21тъъ + тХ1т1Ътъх + т1Хтптъх -тхътг1тъх -
- тХ2т2Хт22 - т2ЪтЪ2т\ 1 = 4,32 • 0,42 • 28,53 +
+ 0,5-0,53-7,31+ 0,5-0,53-7,31-7,31-0,42-7,31-
- 0,5 • 0,5 • 28,53 - 0,53 • 0,53 • 4,32 = 24,86; (Ю.З)
127

тп
= (-D
1 + 1
т22 т2Ъ
тЪ2 /и33
= т22т33 - т23т32
= 0,42-28,53-0,53 =11,7;
w12=m21 ={-\
,1+2 w21 w23
рт31 ™33
= -@,5 • 28,53 - 0,53 • 7,31) = -10,4
= -{т2хтЪ2-т2Ътъх) =
m13=m31
= (-1)
1+3 И21 w22
]w31 m32
= 0,5.0,53-0,42-7,31 = -2,8;
= т2Хтъъ-т2Ътъх =
2+2
m22={-\)
IK-3
m33
^23=^32=(-1
ki
|w31
\mn
\m2\
m13
m3l\
m{2\
m22\
= титЪ2-титъх = 4,32-28,53-7,312 =69,81;
: m\ 1 w22 - mi2m2i = 4,32 • 0,42 -0,5 = 1,56;
i2+3
\mn mn
F21 т2Ъ
= -D,32-0,53-7,31-0,5) = 1,37;
-[mum23-m2lmu)
м-'=. *
24,86
( 11,7 -10,40 -2,80^
-10,4 69,81 1,37
-2,8 1,37 1,56 J
( 0,47 -0,42 -0,11^
-0,42 2,81 0,06
-0,11 0,06 0,06
> На втором этапе (принятие решения) вычислим оценку
логарифма отношения правдоподобия InL по формуле (9.2) и
подставим найденное значение в решающее правило (9.4):
1п? = ^1-а2)ГЛ/-1
2^
?*/-(в!+в2)
'/=1
0.
(Ю.4)
По смыслу задачи п = \, вследствие чего выражение A0.4) для
InZ упрощается и имеет вид:
Yl
1п1 = -(а1-а2)ГЛ/-1[2х-(а1+а2?о.
¦<
Y2
A0.5)
128

Вычислим разность векторов средних (ах -а2) :
^32,57^ (0,35^ (2,22>
4,45-| 2,8 | = | 1,65
,80,50 J
(«1-«2) =
10,35
2,8
v63,8 ,
16,7 )
откуда
(«1-в2 Г =B2,22 1,65 16,7).
Следовательно, входящее в A0.5) произведение (ax-a2J М~х
равно:
{ax-ii2jM~x =B2,22 1,65 16,7)
' 0,47 -0,42 -0,11л
-0,42 2,81 0,06
-0,11 0,06 0,06
= G,91 -3,69 -1,34).
Далее вычислим значение второго сомножителя 2х-{ах+а2)
в A0.5):
2x-(d{+d2)=2
Вычисляем теперь значение InZ по формуле A0.5) и
сравниваем его с порогом 1пС = 0:
^23,50)
3,91
r33,2f
5,58
[79,0 J
732,57N
4,45
[80,5 у
+
'10,35Y
2,8
^63,8 J
=
'23,5 ^
3,91
137
lnL = -(a1-a2fM-1[2Jc-(aI+a2)]=-G,91 -3,69 -1,34)
v13,70y
1,
= -A85,89 -14,43 -18,36) = 76,56 >0.
Таким образом, результаты вычислений свидетельствуют о том,
что исследуемый банк X является преуспевающим и очень
далек от кризисного состояния.
> На третьем этапе (оценка достоверности диагностики)
вычисляются ошибки распознавания 1-го и 2-го рода а и C
по формуле (9.8):
a = р = F\
4QlJ
F
< °2)
+ F
'_?
F
'?
,a2 j
5 Диагностика кризисного состояния предприятия.
129

1 gl<*2 .
a2 exp<
2ai
o2.
-F -
°2.
O)exp<
V
2a
2J;
l°i
-F
' rf^
aij)
A0.6)
для чего предварительно необходимо вычислить входящие в нее
параметры: расстояние Махаланобиса йг (9.7), значения ст, и <т2
(см. 9.6)) и функции от них: ехр (-2) и интеграл Лапласа F(x):
B2,22")
d2 =(*i -в2ГлГ_1(а, -a2)=G,91 -3,69 -1,34) 1,65 =
U 6,70 J
= 7,91 • 22,22 + (- 3,69) • 1,65+(-1,34) • 16,7 = 147,30;
ст, =0,67; A0.7)
</ = 12,13; а2=—+—=1+1 = 0,45;
т\ /п2 4 5
а^= —+ — + - = —+ 4 = 4,45, о2=2,11; A0.8)
/И) /п2 и 20
'@^12,13^
'</^
а{) у 0,67 J
i-f|
' </л
V СТ1У
^ j Л
°2
= F
12,13
2,11 J
''W
ст2
a2
= FA8,10) = 1;
=1-1=0;
= FE,57) = 0,9999;
1-0,9999 = 0,0001 ;
expj_^j=exP{-MM} = exp{-,63,7}=0;
= exp{-^4 = exp{-16,55} = 0.
2ct2
130

Подставив найденные значения параметров d, ou a2 и
функций от них exp{-Z} и F(x) в формулу A0.6), вычисляем по
ней вероятности ошибок диагностики а = р :
а = р = 1.0,0001 + 0-0,9999+ 0>67'2>П х
2,5 -12,13 -(-4)
х [2,11 • 0 • @,9999 - 0,0001) - 0,67 • 0 • A - 0)] = 0,0001.
Таким образом, найденное в ходе расчетов решение говорит
о том, что исследуемый банк является преуспевающим с
гарантированной достоверностью.
D = l-a = l-C = l-0,0001 = 0,9999.
Пример 10.1.2. Диагностика кризисного состояния
исследуемого банка Хв сопоставлении с преуспевающими банками
х[х\х^\х^\х{^ и кризисными банками x\2\xf\xf\ xf\
xf\
Для диагностики кризисного состояния возьмем следующие
показатели:
1) работающие активы;
2) ликвидные активы;
3) суммарные обязательства.
Преуспевающие, кризисные и исследуемый банки задаются
характеристиками, представленными в табл. ШО.1.2.
Вектор средних а2:
'25206,288 ^
Вектор средних а,:
^186053,989
5092,879
425467,751
Ковариационная матрицаМх\
^0,4312504065 -Ю10
0,7791856221 -109
1,2556-1011
0,7791856221 -10у
15149326,69
-8107,189
33212,973
1,2556-101
.10
0,2328803795-10
3,78958 10й
ю
0,2328803795-10
Ковариационная матрица М2:
г 216204035,1 -137249548,0 306392689,7^
-137249547,9 104375190,0 -216819305,7
306392689,7 - 216819306,0 557439846,5
5*
131

Таблица П10.1.2
1Й>".-;. -.'д^**:^^-'^..- ••?-*?>-¦¦¦¦¦ ¦¦•¦./у¦'¦'/*- "v^*
Признаки
HD
70)
"A)
х\
0)
Работающие активы, тыс. руб.
535886,598
45496,533
16364,439
146468,384
Ликвидные активы, тыс. руб.
11590,458
4164,203
1305,932
3310,923
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
1490470,283
72321,005
26881,887
112387,830
т
_аь_
{фШтые'йщЮш
Признаки
7B)
"B)
?B)
*.
B)
"B)
Работающие активы, тыс. руб.
174,782
43831,446
16673,371
27458,649
1268,905
Ликвидные активы, тыс. руб.
-189,780
-24198,034
529,285
-16262,703
-414,712
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
18270,803 79374,219 17452,347
31193,252
19774,463
ТШ-
":Ч'^
t
<' J? 1}Дсс^фшй&&к
Признаки
Работающие активы, тыс. руб.
10384,875
Ликвидные активы, тыс. руб.
2801,528
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
18642,226

Общая ковариационная матрица М:
'24797405205 347213535,5 71967328572л
347213535,5 83210465,57 1175874093
^71967328572 1175874093 216946000000
Обратная ковариационная матрица Л/-1:
f 1,11136-Ю"9 -6,199-100 -3,7203-100>1
-6,19902-10-10 1,336-Ю"8 2.7805510-10
-3,7203-Ю0 2,7805-100 1,295310-'°
Вычислим разность векторов средних:
(а, -а2) =A65888,9579 13200,0678 392302,2345).
Следовательно, входящее в A0.5) произведение [ax-a2J М~
равно:
(а,-а2/Л/=(з,02309 10"9 0,000182604 -7,23046 10).
Далее вычислим значение второго сомножителя 2x-(di+d2)
в A0.5):
2jc-(ai + а2)-
(-185449,269 Р|
8617,3658
-421443,8161 J
Вычисляем теперь значение InZ по формуле A0.5) и
сравниваем его с порогом 1пС=0:
lnZ = 0,492752729.
Таким образом, lnZ = 0,492752729>0, следовательно,
исследуемый банк X находится в преуспевающем состоянии S\.
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются по
формуле (9.8), входящие в нее параметры с19сьа2и функции
exp{-z} и F(x) вычисляются следующим образом:
dl-
0?
о\-
= 4,588;
=0,45;
=4,45;
d-
о,=
а2-
133
= 2,1422;
=0,6708;
=2,1095;

( d^
= F\
2,142155768^1
0,670820393
=i-f\
fd^
^л
= F\
VCT2 7
К °2
= FC,1933) = 0,9993;
=0,0007;
= FA,0155)=0,8451;
vCTiy
( 2,142155768^
J
2,109502311
=l-F
rd^
°2)
=0,1549;
exPi - —j- f = expj- ^jf^1} = exp{- 5,0987} = 0,0061;
d^
lot
\ J 4,588831333} , x
I eXPl 2 4 4S—I exPl~°'5156i = °'5971 •
Подставив найденные значения параметров d, аьа2и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,9993-0,1549+0,0007-0,8451+ 0,6708-2,1095 х
2,5066-2,1422-D,45-0,45)
х[2,1095-0,0061-@,8451-0,1549)-0,6708-0,5971-@,9993-0,0007)]=0,1797.
Таким образом, найденное в ходе вычислений решение о том,
что банк X является преуспевающим, справедливо с
гарантированной достоверностью
Z) = l-a = l-p = l-0,l 797 = 0,8203.
Пример 10.1.3. Диагаостика кризисного состояния
исследуемого банка X в сопоставлении с преуспевающими банками: х\{\
Х^1),Х$],ХD} и кризисными банками: х\2),Х{2),xf], Х{2), ХE2).
Для диагностики кризисного состояния выберем следующие
показатели:
1) чистые активы;
2) суммарные обязательства;
3) полученные межбанковские кредиты (МБК).
Преуспевающие, кризисные и исследуемый банки задаются
характеристиками, представленными в табл. ШО.1.3.
134

Таблица П10.1.3
Признаки
*<*>
х?
v(D
X?
Чистые активы, тыс. руб.
79401,552
76162,711
31105,936
7647,905
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
77005,443
72321,005
4
30085,685
5113,484
Полученные МБК, тыс. руб. 4675,218
5026,337 17301,165
2621,57
Признаки
Чистые активы, тыс. руб.
24295,164
17629,444
29895,349
15003,951
-608,186
S2
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
86591,498
36742,135
31193,2523
167,75969
18270,803
Полученные МБК, тыс. руб. | 7425,056
Признаки
5720,694
2651,744
1694,561
15953,14
<шщ
Чистые активы, тыс. руб.
45053,663
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
46858,786
Полученные МБК,
тыс. руб.
4464,179

Вектор средних aj: Вектор средних a2:
О 48354,519 "|
46239,539
7483,573
г 17243,144 л
34593,063
6689,039 )
-30642591,28
-27290084,3
33481256,78
Ковариационная матрица Мх:
f 941458970,4 917553551,1
917553551,1 894758931,6
v-30642591,28 -27290084,3
Ковариационная матрица М2:
г 106728494,6 138593606,4 -40091454,6л
13 8593606,4 834306429,4 14128416,76
-40091454,6 14128416,76 25709508,36
Общая ковариационная матрица М:
г 614211193,5 623311748,1 -46146805,44 л
623311748,1 1107223982 -5502607,63
-46146805,44 -5502607,63 37496081,27
Обратная ковариационная матрица М
-1
^4,67602-10"9
2,60566-Ю-9 5,37244-Ю-9^
2,60566-10"9 2,3558-10"9 2,8611-Ю"9
5,37244-10"9 2,8611-10"9 3,28615-Ю-8
ч /
Вычислим разность векторов средних:
(«! -а2)Г =C1111,3741 11538,31221 717,0335).
Теперь находим произведение:
(ах -а2)ТМ~{ =@,000179394 0,000110299 0,000223719).
Второй сомножитель в A0.5):
2x-(a,+a2)=
136
(4509,6631 Л
12993,08071
[-5166,7535

Вычисляем теперь значение lni по формуле A0.5):
lnZ = 2,337062381.
Таким образом, lni > 0, откуда следует, что исследуемый банк
находится в преуспевающем состоянии S\.
Для вычисления по формуле (9.8) вероятностей ошибок
диагностики а=р найдем значения параметров rf, аьа2 и функций
от них exp{-z} kF(x) :
J2 = 7,0143; d = 2,6485;
a2 =0,45; a, =0,6708;
0^=4,45; a2 =2,1095;
{-
= F\
( 2,648450455 Л
1,0,670820393
= FC,9481) = 0,9999;
f d^
= 0,0001;
\°2
2,648450455
2,109502311 J
= FA,2555) = 0,8953;
(-—1
{ G2j
2 ]
= 1-/1
f d^
V°2y
=0,1047;
expj —^11 = expj- |^j| = exp{- 7,7937} = 0,0004;
exp|--^yl = expj-^lfll = exp{-0,7881} = 0,4548.
Подставив найденные значения параметров d, о!,ст2и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок <х=р:
a = p = 0,99990,1047+0,00010,8953+:
0,6708-2,1095
2,5066-2,6485-@,45-4,55)
х[2,10950,0004@,8953-0,1047)-0,6708-0,4548@,9999-0,0001)]=0,1210.
137

Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемый банк X является
преуспевающим, справедливо с гарантированной достоверностью
D = 1 -а = 1 -р = 1-0,1210 = 0,8790.
Пример 10.1.4. Диагностика кризисного состояния
исследуемого банка X в сопоставлении с преуспевающими банками xil\
7A) 70) 70),
ь2\х\ч9х\1)н кризисными банками: Х\А\ х^\ Х\А\ x\Z), xf]
7B)
7B) 7B)
Для диагностики кризисного состояния выбираются
следующие показатели:
1) чистые активы;
2) ликвидные активы;
3) суммарные обязательства.
Преуспевающие, кризисные и исследуемый банки задаются
характеристиками, представленными в табл. П10.1.4.
Вектор средних ах: Вектор средних а2:
f 275896,1405 ^ B0462,0416 ^
7218,0123 . -8087,1888
^474499,7093 J [35223,6168
Разность указанных векторов средних:
B55434,0989^
(в!-а2)= 15305,2010 1
[l39276,0925v
Ковариационная матрица Мх:
49908715017-Ю10
0,8304413928-109
1,60586-1011
0,830441392,8 10у
1,60586-Ю1
0,11967423,36 • 10й 0,2038098071 -10
ю
0,2038098071 10
ю
3,77312 -101
Ковариационная матрица М2:
( 213647644,8 -131263937 297332770,8
-131263937,1 104722249 -199615609,6
297332770,8 -199615610 510010428,6 J
Общая ковариационная матрица М :
D0100442613 380777983,7 91975841828 Л
380777983,7 81640134,35 1022044891
91975841828 1022044891 2,15971-Ю1
138

Таблица П10.1.4
[¦::¦'•¦¦:<?-:.:-.? -...-. ^^^,л^^-тттт^Ше^Ш:^'t ¦ Z к а* ¦•'••¦•.' ... ' .&\-
1 Признаки
Чистые активы, тыс. руб.
Ликвидные активы, тыс. руб.
Суммарные обязательства,
' тыс. руб.
х"
728481,826
12731,458
1527149,283
Х<п
62763,913
6158,736
97264,837
Г3A)
174967
6783,932
260847,887
ЗРО)
137371,384
3197,923
12736,83
—
—
—
_
S,
¦&Ш?****'Ш *«-!*.«: г &Ъ#т»:Х;-ЗЛЖ''**--: *: W&2
Признаки
Чистые активы, тыс. руб.
Ликвидные активы, тыс. руб.
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
Х,B>
183,837
-189,78
18373,803
Jf
43831,446
-24198,034
79374,219
х\2)
19973,371
629,285
27452,347
X?
26484,649
-16262,703
31193,252
X™
11836,91
-414,712
19724,46
*
Признаки
Чистые активы, тыс. руб.
Ликвидные активы, тыс. руб.
Суммарные обязательства,
тыс. руб.
X
20393,837
3483,837
29484,226

Обратная ковариационная матрица М
-1.
( Ц2109-10'9 -7,9525-Ю-10 -4,81202-10~~1(Л
-7,9524810
-ю
1,3584-10"
4,02958-10
-ю
-4,81202100 4,0296-Ю0 2,11467-Ю-10
Вычисляем значение входящего в A0.5) произведения:
Ъ-*21
-5 ч
Л/-' =F,2812-10"° 0,0002 -2,38557-10).
Теперь вычисляем значение второго сомножителя,
входящего в A0.5):
f -255570,5081Ч
2*-(a,+a2)=
7836,8506
-450754,8741
Находим по формуле A0.5) значение логарифма отношения
правдоподобия:
lnZ =-1,937630626.
Таким образом, 1п1 = -1,937630626<0, откуда следует, что
исследуемый банк X находится в кризисном состоянии ф.
Для вычисления вероятностей ошибок диагностики а = р
получим значения параметров d, оьо2 и функции от них ехр {-Z} и
интеграл Лапласа F(x):
d1 =8,3474; d = 2,8891;
of =0,45; О! =0,6708;
(d^
\aU
(^=4,45; o2 =2,1095.
=F| 2'889198302)=FD,3069)=0,9999;
F\-—\ = l-F
0,670820393;
= 0,0001;
fd^
°\)
a2) { 2,109502311 J
140

d_
\ a2
=1-F| — |=0,0853;
°2.
ехР1-^^} = ехр{-9,2749}=0,0001;
expi _ ^^} = exp{- 0,9379} = 0,3914.
Подставив найденные значения параметров d, аьа2и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок а=р:
0,6708-2,1095
а = р = 0,9999 • 0,0853 + 0,0001-0,9147 + -
2,5066-2,8891-@,45-4,45)
х [2,1095-0,0001-@,9147-0,0853)-0,6708-0,3914-@,9999-0,0001)]=0,0977.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемый банк X находится
в кризисном состоянии, справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,0977 = 0,9023.
Пример 10.1.5. Диагностика кризисного состояния
исследуемого банка X в сопоставлении с преуспевающими банками х\х\
Х{21\ Х{3Х\ Х{4]) и кризисными банками: х\2\ Х%\ Х{2\ Х{2\ Ц2).
Для диагностики кризисного состояния выберем следующие
показатели:
1) сумма активов;
2) сумма обязательств;
3) прибыль.
Преуспевающие, кризисные и исследуемый банки задаются
следующими характеристиками (см. табл. П10.1.5).
Вектор средних ^: Вектор средних а2:
'31,60^ Г 2,33^
5,70 1,47
, 0,33j [o,04
Разность указанных векторов средних:
B9,27^
ах-а2 =
4,23
0,29J
141

Таблица П10.1.5
-еШ
йшаа
Признаки
-<»
"(О
*<•>
;(i)
Сумма активов, млн руб.
80,775
11,162
31,868
2,600
Сумма обязательств, млн руб.
5,447
15,071
18,155
1,610
Прибыль, млн руб.
0,574
0,365
0,150
0,246
Признаки
уЧ2)
шШШ
Сумма активов, млн руб.
0,580
0,352
1,581
8,778
0,372
S2
Сумма обязательств, млн руб.
0,700
0,167
1,299
4,889
0,300
Прибыль, млн. руб.
0,046
0,019
0,037
0,024
0,066

Ковариационная матрица Мх:
("919,23 -21,67 3,41 ^
-21,67 32,48 0,37
3,41 0,37 0,02 J
Ковариационная матрица М2 •
г 10,59 5,68 -0,02 л
5,68 3,08 -0,01
-0,02 -0,01 0,00
Общая ковариационная матрица М:
E32,84 -8,33 1,93 ^
-8,33 20,76 0,20
1,93 0,20 0,01
Обратная ковариационная матрица Л/:
( 0,0050 0,0102 -0,8255л
0,0102 0,0767 -2,4713
-0,8255 -2,4713 216,7600
Вычисляем значение входящего в A0.5) произведения:
{ах-а2)ТМ~Х =(-0,05 -0,1 29,8).
Второй сомножитель в формуле A0.5) имеет следующее
значение:
( 31,39^1
23с-(а1+а2)= -4,30 .
I 0.17J
Вычисляем теперь значение логарифма отношения
правдоподобия по формуле A0.5):
lnZ = 4,76.
Таким образом, InL = 4,76 > 0, откуда следует, что исследуемый
банк X находится в преуспевающем состоянии S\.
Для вычисления по формуле (9.8) вероятностей ошибок
диагностики а = р найдем значения параметров d, а\, с2 и
функций от них: экспоненциальную exp{-Z} и интеграл Лапласа F(x):
143

d2 =6,71;
d = 2,59;
a, =0,45; a, =0,6708;
a2=4D5; o2 =2,1095;
vai/
( d^
= F
2,59
0,6708
i-f|
f d^
< d^
V02 7
= Я
/2,59>|
v 2,11 у
— I = l-F|
^
a2)
= FC,861) = 0,9999;
= 1-0,9999 = 0,0001;
= FA,228) = 0,8803;
1-0,8803 = 0,1197;
exp —^y I = expj- ^j = exp{- 7,456} = 0,0005.
expj-^) = exp{-gi} = exp{-0,754} = 0,471.
Подставив найденные значения параметров d,aba2 и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок a = р:
0,6708-2,1095
<х = р = 0,9999-0,1197+0,0001-0,8803+-
2,5066-2,59-@,45-4,45)
х [2,1095 • 0,0005 • @,8803 - ОД 197) - 0,6708 • 0,471 • @,9999 - 0,0001)] = 0,1491.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемый банк является
преуспевающим, справедливо с гарантированной достоверностью
Z) = l-a = l-p = l-0,1491 = 0,8509.
10.2. Диагностика кризисного состояния
разнопрофильных предприятий
Пример 10.2.1. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия — фотоателье X в сопоставлении с преуспе-
144

вающими (s,) фотоателье x\l\ X^\ X^l\ X^ и фотоателье х{2\
Х{2\ xf\ xf\xf\ находящимися в кризисном состоянии E*2).
Для диагностики кризисного состояния фотоателье
выбираем следующие показатели:
1) чистая прибыль;
2) общий объем оказанных платных фотоуслуг;
3) издержки по выплате зарплат и премий.
Преуспевающие ху\ xx\xv\ X\l) и кризисные 'х\1) X
A)
"B)
2>
х?
l4 , si5 фотоателье, а также исследуемое фотоателье X за-
уB) уB)
даются значениями своих показателей (признаков) (табл. П 10.2.1, а).
Вектор средних Л!: Вектор средних а2:
f 99,8225 ^|
1674,915 .
v 87,1225 J
Разность векторов средних:
ах-а2 =
f 44,780Л
1089,406
43,520
( 54,5025^
585,509
43,6025
Ковариационная матрица Мх:
'1322,606 7497,285 1006,847^
7497,285 101381,6 9836,586
1006,847 9836,586 1299,686
Ковариационная матрица М2 '
'54,33286 920,2649 -32,7186 Л
920,2649 38241,64 5,45648
-32,7186 5,45648 79,3936 J
Общая ковариационная матрица М :
'794,5837 4941,495 551,9707 "|
4941,495 85247,79 5624,804
^ 551,9707 5624,804 799,3876 J
145

*

Исследуемое

фотоателье
s2
(кризисные
фотоателье)
(преуспевающие
фотоателье)
о?
IS?
is?
IS?
k
k
k
ik
Признаки
48,05
43,4
55,42
34,67
50,40
40,01
104,33
76,01
60,66
156,13
Чистая
прибыль,
тыс. руб.
1867,90
975,6
1100,05
908,53
1460,65
1002,2
1300,50
1565,46
1655,8
2177,9
Общий
объем
платных
фотоуслуг,
тыс. руб.
63,531
39,90
31,70
41,60
45,50
58,90
70,06
45,90
88,79
143,74
Издержки
по
выплате зарплат
и премий,
тыс. руб.
ё

Обратная ковариационная матрица М 1:
1.
0,002571
-610
-0,00136
-610 -0,00136 Л
-5
2,33-10"
-0,00012
-0,00012 0,003051
Подставляем найденные значения (а, -а2) М и сумму
(а{ +а2) в формулу A0.5) и вьиисляем по ней значения
логарифма отношения правдоподобия InZ :
(«1-«2)Г^_1 =@,04613 0,00503 -0,012729);
2х-(а1+я2) =
{- 47,9625^
971,479
-3,5805j
lnL = 1,3620.
Таким образом, InZ = 1,3620 > 0, откуда следует, что
исследуемое предприятие (фотоателье) является преуспевающим (S\).
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются по
формуле (9.8), параметры входящие в нее rf, аь а2 и функции от
них вычисляются следующим образом:
d2 =4,9067; </ = 2,2151;
а? =0,45; ^=0,6708;
а2=4,45; а2 =2,1095;
Г2,215Л
r d"
= F\
0,67
' </Л
V и1У
= 1-Л
'</Л
fd^
a2J
= F\
2,215
f d^
a2
К 2,11
= 1-H
f </Л
Va2 7
= FC,306) = 0,9995;
= 1-0,9995 = 0,0005;
= F(l,05) = 0,853;
= 1-0,853 = 0,147;
147

expi
2of
¦ exp<-
4,91
2-0,45
= exp{-5,46} = 0,0043;
sxp|"^bs4^b""',"o-552bw758-
Подставив найденные значения параметров d,obo2 и
Функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = В = 0,9995-0,147+0,0005-0,853+ 0»6708-2Д095 х
2,5066-2,215-@,45-4,45)
х[2,Ю95.0,0043-@,853-0,147)-0,6708-0,5758-@,9995-0,0005)]=0,170.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие —
фотоателье X является преуспевающим, справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,170 = 0,830.
Пример 10.2.2. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия — магазина X в сопоставлении с
преуспевающими^) магазинами Х$1\ Х$\ Щ1\ Х^ и магазинами х\2\
Х{2\ находящимися в кризисном состоянии (s2).
Для диагностики кризисного состояния магазина
выбираются следующие показатели:
1) выручка от реализации;
2) расходы по реализации;
3) количество сотрудников.
Преуспевающие магазины х\1), Щ1), Щ1\ Х^ и кризисные
х\2\ Щ2) магазины, а также исследуемый магазин X задаются
характеристиками, представленными в табл. П 10.2.2.
Вектор средних aj: Вектор средних а2:
'3228,5^ Г 2838 Л
1599
51
2302,5
92
148

Таблица П10.2.2
Признаки
Выручка от
реализации,
тыс. руб.
Расходы по
реализации,
тыс. руб.
Количество
сотрудников, чел.
(преуспевающие магазины)
X™
3500
1600
71
Х<»
7150
3595
82
J30)
940
473
23
П1)
1324
727
29
¦' ¦ ¦
(кризисные магазины)
х\2)
2047
1754
74
хр
3629
2851
109
Исследуемый
магазин
X'
870
545
19 1

Разность векторов средних:
щ-а2 =
390,5^
-703,5
-41
Ковариационная матрица Мх:
'6019061 3016290 58243^1
3016290 1503069 28152
^ 58243 28152 657
Ковариационная матрица М2 '•
'625681 433864 13843 ^
433864 300852 11660
^ 13843 11660 307
Общая ковариационная матрица М:
Г6391898 3233222 65165^1
3233222 1653495 33982
ч 65165 33982 811,
Обратная ковариационная матрица М~х:
f 0,00015180 -0,00033236 0,000172936^
-0,00033236 0,000076414 -0,000531242
0,000172936 -0,000531242 0,009395131)
Разность векторов средних:
{d{-d2)T= C90,5 -703,5 -4l).
Следовательно, входящее в A0.5) произведение (в, -а2)т М~
равно:
(а, - а2)Т М -1 = @,0031 - 0,022 0,0101).
Вычислим значение второго сомножителя в формуле A0.5):
'-43,27^
2*-(а1+а2) =
-28,12
-105
150

Вычисляем теперь по формуле A0.5) значение логарифма
отношения правдоподобия:
lnZ = 23,695.
Таким образом, lnZ = 23,695>0, откуда следует, что
исследуемый магазин является преуспевающим (S{).
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются по
формуле (9.8), входящие в которую параметры d, оь а2 и
функции от них вычисляются следующим образом:
d2 =16,287; d = 4,036;
а2 =0,75; ^=0,866;
а^=4,75; а2=2,18;
*-1 = Я
ст1
4,036
0,866
= FD,693) = 0,9999.
-—|=1-F| — |=1-0,9999=0,0001.
I — 1 = Я
4--)
j2 ]
4,036
2,18
=i-f|
V
< d^
ехр^
2a,2 J eXPi 2-0,45
°2)
16,287
= FA,85)=0,968.
1-0,968=0,032.
= exp{-10,86} = 0,0001.
expi
^7ГехрГ^[=ехр{"|,7|4|=(''180-
Подставив найденные значения параметров d,ob<j2 и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок а=р:
а = р = 0,99990,032+0,00010,968+:
0,866-2,18
2,5066-4,036-@,75-4,75)
х [2,18 • 0,0001 • @,968 - 0,032)- 0,866 • 0,18 • @,9999 - 0,0001)] = 0,0393.
Таким образом, полученное в ходе расчетов решение о том,
что исследуемый магазин J является преуспевающим,
справедливо с гарантированной достоверностью
Z) = l-a = l-p = 1-0,0393 = 0,9607.
151

Пример 10.2.3. Диагностика кризисного состояния
исследуемого производственного предприятия X в сопоставлении с
преуспевающими(s{) х^\ Х{2\ Х^1\ Х^] и кризисными(s2) х\2\
"B)
xf\ Х{^\ Х{2) производственными предприятиями той же
отрасли.
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выберем следующие показатели:
1) стоимость основных производственных фондов
предприятия;
2) численность персонала предприятия;
3) балансовая прибыль предприятия.
Преуспевающие х\х\х{2\х^\х^ и кризисные х\2\х{2\
77B) 77B) 77B)
производственные предприятия и исследуемое
предприятие X задаются характеристиками, представленными в
табл. П10.2.3.
Вектор средних а!:
'168,920^
14,048
ч 20,833
Разность векторов средних:
ах-а2 =
Вектор средних а2:
D5,793 Л
4,778
10,758
Л23,127Л
9,270
10,075
Ковариационная матрица Мх:
A025,610 55,666 28,945^
55,666 5,647 10,274
28,945 10,274 44,880
V
Ковариационная матрица М2 •
045,867
-6,610
22,790 -0,902
152
6,610 22,790Л
0,372 -0,902
5,750

Таблица П10.2.3
Признаки
Стоимость
основных
фондов,
млн руб.

Численность
персонала,
тыс. чел.
Балансовая
прибыль,
млн руб.
(преуспевающие
предприятия)
j<'>
223,228
17
22,981
J<'>
151,287
15
21,481
*<'>
143,313
14
28,669
xf
152,253
11
10,199
S2
(кризисные
предприятия)
j<2>
46,757
5
11,124
J<2>
29,033
6
6,091
J<2>
52,114
4
11,842
X?
37,050
6
11,873
X5B)
63,979
4
12,860

Исследуемое

предприятие
X
55,451
10
12,840

Общая ковариационная матрица М:
F90,250 27,088 32,820 ^
27,088 3,492 5,230
32,820 5,230 29,760 J
Обратная ковариационная матрица Л/:
( 0,002 -0,017 0,001 л
-0,017 0,483 -0,067
0,001 -0,067 0,046
Разность векторов средних:
(а\-а2)Т =A23,127 9,270 10,075).
Произведение:
(ix-u2)TM~X =@,098 1,729 -0,035).
Значение второго сомножителя в формуле A0.5):
2х-{йх+й2У-
г 103,811^|
0,358
v
-5,911)
Значение логарифма отношения правдоподобия вычисляется
по формуле A0.5):
lnZ =-4,673.
Таким образом, InZ =-4,673 <0, откуда следует, что
исследуемое производственное предприятие X находится в кризисном
состоянии (S2).
Вычислим теперь параметры d, aj, <з2 и функции от них,
необходимые для нахождения по формуле (9.8) значений
вероятности ошибок a = р:
dl = 27,742;
a? = 0,45;
ai=4,45;
d = 5,267;
a! =0,6708;
a2 =2,1098;
154

5,267
0,67
-±\ = l-F]
' d^
= F\
a2j
_d_
5,267 ^
2,1098
= l-F
r d^
o2
FG,860) = 0,99999;
=1-0,99999=0,00001;
= FB,496) = 0,9937;
=1-0,9937=0,0063;
d
ехрЫ
exp|-^^J = exp{-30,0l} = 0;
Подставив найденные значения параметров d,GUo2 и
функций от них в (9.8), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = В = 0,999990,0063+0,000010,9937+ 0,6708-2,1095 ^
2,5066-5,267.@,45-4,45)
х [2,1098 • 0 • @,9937 - 0,0063)- 0,6708 • 0,044 • @,99999 - 0,00001)] = 0,0070.
Таким образом, найденное в ходе вычислений решение о том,
что исследуемое производственное предприятие X находится в
кризисном состоянии (s2), справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,007 = 0,9930.
Пример 10.2.4. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия X в сопоставлении с преуспевающими (?,)
предприятиями х[{\х^\х^1) и кризисными(s2) предприятиями
х\2\ Х^ телекоммуникационной отрасли.
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выбираем следующие показатели:
1) рентабельность;
2) выручка;
3) число акционеров.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 10.2.4.
155

Таблица П10.2.4
Признаки
Рентабельность, %
7,52
11,61
23,28
Выручка, млн усл.ед
77,25
63,24
80,28
Число акционеров, тыс. чел.
8,8
9Д
П,2
Признаки
Х[2)
"B)
Рентабельность,
0,61
0,67
Выручка, млн усл. ед.
20,51
24,8
Число акционеров, тыс. чел.
2,4
2,2
Признаки
Рентабельность,
7,0
Выручка, млн усл. ед.
49,04
Число акционеров, тыс. чел.
5,7

Вектор средних aj:
A4,14 "J
73,59 .
97
Разность векторов средних:
ах-а2
Вектор средних а2
( 0,64^
27,66 .
2,3
V
Г 13,5 ^
45,93
7,4 J
Ковариационная матрица Л^:
^66,88 31,56 10,60 ^
31,56 82,64 6,48
v 10,60 6,48 1,71
Ковариационная матрица М2 •
^0,0018 0,42 -0,006 л
0,42 102,10 -1,43
^-0,006 -1,43 0,02
Общая ковариационная матрица М:
F6,88 31,7 10,60 л
31,7 150,71 5,53
10,60 5,53 1,72,
Обратная ковариационная матрица Л/-1:
г 0,661 0,012 -4,115"!
0,012 0,008 -0,098 .
-4,115 -0,098 26,254 J
Разность векторов средних:
(«1-«2)Г=A3,5 45,93 7,4).
Произведение:
{d{-d2)T M'X =(-20,98 -0,196 134,23).
157

Второй сомножитель в формуле A0.5)
f-0,78^
23F — (в] +а2)= -3,17
1-0.6.
Логарифм отношения правдоподобия вычисляется по
формуле A0.5):
lnZ = -31,781.
Таким образом, InZ = -31,781 <0, откуда следует, что
исследуемое предприятие X находится в кризисном состоянии S2.
Вероятности ошибок диагностики а=р вычисляются по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, ai,a2 и
функции от них вычисляются следующим образом:
d2 =701,07; d = 26,48;
at =0,83;
а! =0,911;
lCT2.
02=4,83; а2 =2,198;
= FA2,048)=0,99999;
А J 26,48 "|
F\ '
' </Л
1,2,198
=i-f|
'rf^
va2y
= 1-0,99999 = 0,00001;
exp<
-а-Ч-Ш-*(ад"в-
Подставив найденные значения параметров d,а,,а2и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,00001 +
2,198
26,48 • 2,506
х 0 х
3-1
2,198
2,198-0,911 J
-1
= 0,00001.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие X
находится в кризисном состоянии, справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,00001 = 0,99999 .
158

Пример 10.2.5. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия «Мобилсвязь» в сопоставлении с
преуспевающими (S{) предприятиями «Биллион-телеком», «АВ-Ппе»,
«Юнион-телеком» и кризисными E2) предприятиями «Кроун»,
«Аэртон», «Ремадс» отрасли (мобильная радиосвязь).
Для диагностики кризисного состояния предприятия
целесообразно выбрать следующие показатели (в млн руб.):
1) чистая прибыль;
2) сумма всех активов предприятия;
3) сумма обязательств.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 10.2.5.
Вектор средних ах:
f 0,424^
52,575
12,593
Разность векторов средних:
а{-а2 =
Вектор средних а2
'0,033 ч
0,915
,0,774 )
0,39 П
51,560
ll,819j
Ковариационная матрица Мх:
( 0,046 4,653
4,653 1700,81
^-1,373 -71,284
Ковариационная матрица М2:
40001 0,006
-1,373 ^
-71,284
45,114 J
0,006 Л
0,006 0,397 0,634
0,006 0,634 0,313 J
Общая ковариационная матрица М:
( 0,035 0,494 -1,025Л
0,494 1275,905 -53,519
-1,025 -53,519 34,070
Обратная ковариационная матрица М~х
'320,7690 0,3004 10,1430Л
0,3004 0,0011 0,0108
, 10,1430 0,0108 0,3510
159

Таблица П 10.2.5
f:f, y?v Vy. i.#%%- v
Признаки
Чистая прибыль, млн руб.
Сумма всех активов предприятия,
млн руб.
Сумма обязательств, млн руб.
«Биллион-
телеком»
0,434
13,121
10,022
ч *мл1|т'
«AB-Line»
0,632
95,374
7,541
«Юнион-
телеком»
0,205
48,930
20,215
шттдищяч ' 'Щртш iiJijini
Л.
*д
Признаки
Чистая прибыль, млн руб.
Сумма всех активов предприятия,
млн руб.
Сумма обязательств, млн руб.
*¦• -If '%'¦:¦¦ ;:t ¦-¦•;я-Т*.
«g^feS .«Ъ,' -:м ¦¦¦¦ - ¦-:•:¦ «i..
«Кроун»
«Лэртон»
0,043
0,021
1,637
0,475
1,315
0,198
«Ремадс»
0,035
0,634
0,810
S2
'Иф^фШгПрёдпр^т^^
, -fife ;<Sv ^й
¦ *\?'#? .^rf ^if» -*% ¦
!Ч»7М %*#$*: • -'W"-!- ** 'J
Признаки
«Мобилсвязь»
Чистая прибыль, млн руб.
0,386
Сумма всех активов предприятия,
млн руб.
50,335
Сумма обязательств, млн руб.
3,570

Разность векторов средних:
{а{-а2)Т =@,391 51,560 11,819).
Произведение:
{d{-i2)T M~{ =B60,542 0,302 8,67l).
Второй сомножитель в формуле A0.5):
( 0,315 ^
23с -(ai+a2)= 47,28
[-6,227^
Значение логарифма отношения правдоподобия по формуле
A0.5):
lnZ = 21,178.
Таким образом, InZ = 21,178 > 0, откуда следует, что
исследуемое предприятие «Мобилсвязь» является преуспевающим.
Вероятности ошибок диагностики а = C вычисляются по формуле
(9.16), входящие в которую параметры d, <з\, о2 и функции от
них вычисляются следующим образом:
</2 =45,414; </ = 6,739;
af =0,667:
ах =0,816;
<з\ =4,667; а2=2,160;
_d_
а2
2 }
ехтЬ
= F\
ехр
( 6,739
2,160
45,414
2-4,667
F(-3M) = 0,0018;
= ехр{-4,865} = 0,0078.
Подставив найденные значения параметров d,ouo2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,0018 +
2,160
6,739-2,506
• 0,0078-
4,667
4,667 -0,667 )
= 0,0059.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие «Мобил-
6 Диагностика кризисного состояния предприятия.
161

связь» является преуспевающим, справедливо с
гарантированной достоверностью
/) = 1-а = 1-р = 1-0,0059 = 0,9941.
Пример 10.2.6. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия ОАО «Хлебозавод №25» в сопоставлении с
преуспевающими (Sx) предприятиями: АОЗТ «Пеко», ОАО
Хлебокомбинат «Пролетарец», ОАО «Хлебозавод №28», ОАО
«Москворечье» и кризисными (s2) предприятиями: ООО «МПХ»,
«ГП №1» отрасли «Хлебобулочное производство»
Для диагностики кризисного состояния предприятия
целесообразно выбрать следующие показатели:
1) объем произведенной продукции;
2) материальные затраты;
3) балансовая прибыль.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 10.2.6.
Вектор средних ах: Вектор средних а2:
'2469,5 ^
1243,0
35,7
v
'205919,4 Л
148135,3
^ 40414,5
Ковариационная матрица Мх:
'9043799211,40 747380101,53
747380101,53 1649605863,69
v 555564427,08 79055760,24
Ковариационная матрица М2:
1257762,25 -93359990,00
-93359990,00 861184,00
-37794,55 -31273,60
Общая ковариационная матрица М
'9044428092,53 700700106,53
700700106,53 1650036455,69
555545529,81 79040123,44
Обратная ковариационная матрица Л/:
' 0,0000000004 0,0000000000 -0,0000000042^
0,0000000000 0,0000000007 - 0,0000000016
- 0,0000000042 - 0,0000000016 0,0000000708
555564427,08
79055760,24
49055928,81
-37794,55 Л
-31273,60
1135,69 у
555545529,81Л
79040123,44
49056496,66
162

Таблица П 10.2.6
Преуспевающие предприятия
Признаки
АОЗТ
«Пеко»
ОАО Хлебокомбинат
«Пролетареи»
ОАО
«Хлебозавод №28»
ОАО
«Москворечье»
Объем произведенной
продукции, тыс. руб.
305094,0
296323,0
121050,4
101210,1
Материальные затраты,
тыс. руб.
164172,0
153392,0
82321,0
192656,0
Балансовая прибыль, тыс. руб.
51862,1
40490,0
34609,8
34803,9
-^ ^Ж. 3L.—И— „„„.„¦,,afr, ,-,„ ,i
14/wAll ilUI
Признаки
OOO «МПХ»
ГП№1
S2
Объем произведенной продукции,
тыс. руб.
3591,00
1348,00
Материальные затраты, тыс. руб.
2171,00
315,00
Балансовая прибыль, тыс. руб.
2,00
69,40
~ТГ
-—«?
Признаки
ОАО «Хлебозавод №25»
Объем произведенной продукции,
тыс. руб.
32361,0
Материальные затраты, тыс. руб.
12842,0
Балансовая прибыль, тыс. руб.
2085,6

Значение логарифма отношения правдоподобия вычисляется
по формуле A0.5):
Т
InZ =—|
2
G205919,4^ Г2469,5ЛЛ
148135,3
40441,5
1243,0
35,7
J)
М
2
V V
C2361,0^
12842,0
2085,0
7205919,4"! B469,5^
148135,3
|Д 40441,5
V
1243,0
35,7
J)
-26,670.
Таким образом, In Z = -26,670 < 0, откуда следует, что
исследуемое предприятие ОАО «Хлебозавод №25» находится в
кризисном состоянии (s2).
Вероятности ошибок диагностики а=р вычисляются по
формуле (9.16), входящие в которую параметры rf, а,, а2 и функции
от них вычисляются следующим образом:
dl =15,171;
2
d = 3,895;
erf =0,75; а, =0,866;
а^=4,75; а2=2,18;
( 3,895 ^
rd^
\°2j
= F\
J
ехр^
2а
j =exp-
2,18
15,171
2-4,75
= F(-1,785) = 0,037;
= exp{-1,600} = 0202.
Подставив найденные значения параметров d,<jbo2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,037 +
1 2,18
^2я" 1,785
0,202
4,75
4,75-0,75
-1
= 0,0455.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие «Хлебозавод
№25» находится в кризисном состоянии, справедливо с
гарантированной достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,0455 = 0,9545.
164

Пример 10.2.7. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия компании «Siemens AG> в сопоставлении с
преуспевающими (S\) компаниями Ericsson, Nokia, MTS, Earthlink и
кризисными (Sq) компаниями Excite @ Home, Covax отрасли (связь).
Для диагностики кризисного состояния компании выберем
следующие показатели:
1) сумма активов;
2) чистая прибыль;
3) краткосрочные обязательства.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 10.2.7.
Таблица П10.2.7
Признаки
Сумма
активов,
млн усл.ед.
Чистая
прибыль,
млн усл.ед.

Краткосрочные

обязательства,
млн усл. ед.
(преуспевающие
предприятия)
Ericsson
248,02
14,229
85,335
Nokia
20,21
2,363
8,091
MTS
1,234
0,191
0,187
Earthlink
7,451
0,703
2,095
I,,.
(кризисные
предприятия)
Excite
@ Home
1,271
0,137
0,551
Covax
1,783
0,058
0,999

Исследуемое
предприятие
Siemens
AG
94,37
1,608
42,612
Вектор средних d{ :
Вектор средних d2:
a,=
69,229 ^
4,440
23,927
a2
Разность векторов средних:
ах-аг
1,527 ^
0,097
1, 0,775 J
67,702
4,342
23,152
165

мх =
м
2
Ковариационная матрица Мх:
^14269,640 786,130 4906,134^1
786,130 43,699 270,716 .
^ 4906,134 270,716 1687,315j
Ковариационная матрица М2 •
( 0,131 -0,020 0,115^1
-0,020 0,003 -0,018 .
0,115 -0,018 0,100j
Общая ковариационная матрица М:
'14269,710 786,120 4906,190
786,120 43,701 270,707
^4906,191 270,707 1687,365;
Обратная ковариационная матрица М~{:
f 1,211 4,427 -4,232^
4,427 19,873 -16,061
-4,232 -16,061 14,883,
Произведение:
(а, -л2)гЛ/= C,210 -265,810 -11,210).
Второй сомножитель в формуле A0*5):
(\ 18,03Л
2х-(щ+а2) = \
М =
д/-' =
V
-1,33
60,52
Значение логарифма отношения правдоподобия
вычисляется по формуле A0.5):
lnZ = 27,30.
Таким образом, InZ = 27,30 >0, откуда следует, что
исследуемая компания «Siemens AG> является преуспевающей (S\).
Вероятность ошибок диагностики а = C вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d9cba2 и функции
от них вычисляются следующим образом:
d2 =10,473;
а? =0,75;
°2=4,75;
d = 3,236;
Gi =0,866;
а2 =2,179;
166

_d_
a2
4 ' 3,236 л
ехр^
2ст
П""Ч-2ч
2,179
10,473
-,75
= F(-1,499) = 0,067;
= exp{-1,102} =0,187.
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются в
результате подстановки найденных значений параметров d,а,,а2и
функций от них в формулу (9.16):
а = р = 0,067+
4,75
3,236-2,506
•0,187
4,75
4,75-0,75
-1
= 0,0893.
Таким образом, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемая компания «Siemens
AG> является преуспевающей, справедливо с гарантированной
достоверностью.
D = l-a = l-p = l-0,0893 = 0,9107.
Пример 10.2.8. Диагностика кризисного состояния
исследуемого ОАО «Одинцовомежрайгаз» в сопоставлении с
преуспевающими (S\) ОАО «Ступиномежрайгаз», «Мытищимежрайгаз», «По-
дольскмежрайгаз» и кризисными (S2) ОАО «Коломнамежрайгаз»,
«Щелковомежрайгаз» отрасли: эксплуатация газопроводов в
Московской области («Мособлгаз»).
Для диагностики кризисного состояния предприятия
целесообразно выбрать следующие показатели:
1) объем реализации природного газа (выручка);
2) численность персонала;
3) чистая прибыль.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 10.2.8.
Вектор средних ах:
A17.П
а, = 450,3 .
[ 30,3 J
Вектор средних а2
69,2
423,5
6,25
167

Таблица П 10.2.8
Признаки
Объем реализации
природного газа
(выручка),
млн руб.
Численность
персонала, чел.
Чистая прибыль,
млн руб.
Преуспевающие предприятия Кризисные предприятия
(Si) №)
«Ступино-
межрайгаз»
120,1
360
30,9
«Мытищи-
межрайгаз»
101,6
472
25,1
«Подольск- « Коломна -
межрайгаз» межрайгаз»
129,6 86,5
519
540
34,9 6,3
Исследуемое
предприятие
«Щелково- 1 «Одинцово- \
межрайгаз» 1 межрайгаз»
51,9 130,1 !
307 485
6,2 14,9 1

Разность векторов средних:
в, -а2 =
Ковариационная матрица Мх
'47,90^
26,80
24,05 J
Мх =
(02,75 125,75 69,95л
125,75 6672,34 74,50
69,95 74,50 24,28
Ковариационная матрица М2
М2 =
( 458,58 4030,90 1,73]
4030,90 27144,50 11,65
1,73 11,65 0,05 J
Общая ковариационная матрица М :
( 508,47 2813,02 71,100л
М =12813,02 24768,67 82,270
, 71,10 82,27 24,313
Обратная ковариационная матрица М
-1.
М
( 0,0330 -0,0035 0,0847л
0,0035 0,0004 0,0088
0,0847 0,0088 0,0259
Произведение:
{ах-а2)ТМ~х =C,5240 0,0547 4,9158).
Второй сомножитель в формуле A0.5):
/ \ Г73'911
2х-\ах +а2)= 96,212
[-6,751
Значение логарифма отношения правдоподобия
формуле A0.5):
lnZ = 116,25.
169

Таким образом, InZ = 116,25>0, откуда следует, что
исследуемое ОАО «Одинцовомежрайгаз» является преуспевающим.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d,abo2 и функции
от них вычисляются следующим образом:
d1 =288,49;
а? =0,833;
о\ =4,833;
_d_
а2
= F
16,98
2,198
rf = 16,98;
g{ =0,912;
а2 =2,198.
= F(-7,7l)=0,00001;
f d2 1 J 288,49 1 , ooQil-n
exp<^ >- = exp^ > = exp<- 29,83} = 0.
И| 2g22] [ 2-4,833J Fl '
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются
подстановкой найденных значений параметров d9Gl9a2ii функций
от них в формулу (9.16):
а=Р=0,00001 +
2,198
16,98-2,506
•0-
4,833
4,833-0,83
— 1
= 0,00001.
Таким образом, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое ОАО
«Одинцовомежрайгаз» является преуспевающим, справедливо с
гарантированной достоверностью
D=l-a = l-p = l-0,00001=0,99999.
Пример 10.2.9. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия «Куйбышевазот» в сопоставлении с
преуспевающими (SO предприятиями «Каустик», «Саянскхимпласт»,
«Московский НПЗ» и кризисными E2) предприятиями «Балаковорези-
нотехника», «Химпром» (Уфа) отрасли: химическая и
нефтехимическая промышленность.
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выберем следующие показатели (признаки):
1) объем реализации за год;
2) прибыль после налогообложения;
3) производительность труда.
170

Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия за
даются характеристиками, представленными в табл. ШО.2.9.
Таблица 10.2.9
Признаки
Объем
реализации за
год, млн руб.
Прибыль
после
налогообложения,
млн руб.

Производительность
труда, .
1 тыс. руб./чел.
{преуспевающие
предприятия)

«Каустик»
4815,4
755,3
566,2
«Са-
янск-
хим-
пласт»
3276,6
181,1
3391,9


ковский
НПЗ»
3865,3
622,8
948,1
{кризисные
предприятия)
«Бала-
ково-
резино-
техника»
4051,4
341,0
398,4
«Хим-
пром»
2522,3
61,8
646,2

Исследуемое

предприятие |
«Куй- |
бышев-
азот»
4473,1
693,2
1111,6
Вектор средних ах :
C985,77^
а, = 519,73 .
^1642,73j
Разность векторов средних:
а{ -а2 =
Вектор средних а2:
'3286,85")
201,40 [
522,30
698,92^
318,33
1120,43
Ковариационная матрица М{:
Л/, =
602860,52 211582,67 -1015823,27^
211582,67 90393,46 - 458166,29
-1015823,27 -458166,29 2327070,02
171

Ковариационная матрица М2:
f 1169073,41 213462,36 -189455,49>|
213462,36 38976,32 -34592,88
30702,42 J
М2 =
^-189455,49 -34592,88
Общая ковариационная матрица М:
л/=
1382242,79 353890,91 -1142126,93^
353890,91 116377,68 -479228,21
-1142126,93 -479228,21 2347538,30
-1.
2,46
16,02
-2,07
-16,02
14,59
9,66
-2,07
9,66
2,01
Обратная ковариационная матрица М
Л/-1
подпроизведение:
{щ-а2)ТЛ/ =(-0,06 0,40 0,05).
Второй сомножитель в формуле A0.5):
2*-(*i +а2)=
(^1673,58^
665,27
58,17 J
Значение логарифма отношения правдоподобия вычисляется
по формуле A0.5):
In L = 87,139.
Поскольку InL = 87,139>0, исследуемое предприятие «Куйбы-
шевазот» является преуспевающим.
Вероятность ошибок диагностики а = р вьиисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d9a]9a2 и функции
от них вычисляются следующим образом:
d2 =148,78; rf = 12,20;
<з\ =0,833; а, =0,912;
а^ =4,833; а2 =2,198;
172

G2
( 12,20
2,198
= F(-5,545)=0,00001;
eXpj-^Ll = expj-i^ZLl = exp{-15,385} = 0.
F( 2a22\ 1 2-4,833 J PX S
Подставив найденные значения параметров d, gug2 и
функций от них в формулу (9.16), вычисляем вероятность ошибок
диагностики а = р:
а = р = 0,00001 +-
2,198
4,833
4,833-0,83
: 0,00001.
12,20-2,506
Таким образом, полученное в ходе проведенных вычислений
решение о том, что исследуемое предприятие «Куйбышевазот»
является преуспевающим E|), справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-<x = l-p = l- 0,00001 = 0,99999.
Пример 10.2.10. Диагностика кризисного состояния
исследуемого предприятия «Гуковуголь» в сопоставлении с
преуспевающими (S\) предприятиями «Красноярская угольная
фабрика», «Кузнецкуголь», «Якутуголь» и кризисными (S2)
предприятиями шахта «Распадская», «Челябинскуголь».
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выберем следующие показатели:
1) совокупная выручка;
2) средняя численность персонала;
3) расходы на заработанную плату.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. ШО.2.10.
Вектор средних а{:
( 93,07^
а, = 88,00 .
\126fil)
Разность векторов средних:
ах-а2 =
Вектор средних а2:
( 3,96 л
а2=\ 11,00
l^485,00j
89,11
77,00
241,67
173

Таблица П 10.2.10
Признаки

Совокупная
выручка,
млн руб.
Средняя

численность
персонала,
чел.
Расходы
на
заработную
плату, усл.
ед./мес.
S\ I S2 \
(преуспевающие I (кризисные
предприятия) я предприятия)

Красноярская

угольная
фабрика
97,55
79
850

Кузнецк-
уголь
96,87
102
730
Якут-
уголь
84,79
83
600
Шахта
«Распад
екая»
4,41
10
470

Челябинск-
уголь
3,51
12
500

Исследуемое

предприятие 1
Гуков-
уголь
25
50
600
Ковариационная матрица Мх:
( 51,50 27,14 807,00^
М{=\ 27,14 151,00 -215,00
1^807,00 -215,00 15633,3 )
Ковариационная матрица М2:
(169073,41 213462,36 -189455,49
М2=\ 213462,36 38976,32 -34592,88
[-189455,49 -34592,88 30702,42
Общая ковариационная матрица М:
( 51,77 26,54 798,27^1
М = \ 26,54 152,30 -195,15 .
J98,27 -195,15 15933,30 J
174

Обратная ковариационная матрица М 1:
( 0,332 0,080 -0,018л
Л/_1 = 0,080 0,026 -0,004
[-0,018 -0,004 0,001
Произведение:
(а1-а2O'л/=C1,39 8,16 -1,67).
Второй сомножитель в формуле A0.5):
2jc-^aj + а2/=
-47,03
1,00
-11,67
Значение логарифма отношения правдоподобия вьиисляется
по формуле A0.5):
lnZ =-724,35.
Поскольку InL = -724,35<0, исследуемое предприятие «Гу-
ковуголь» находится в глубоком кризисе.
Вероятность ошибок диагностики а = р вьиисляется по
формуле (9.16), параметры, входящие в нее d9Gba2, и функции
от них вьиисляется следующим образом:
d2 =3021,89;
f d^
d = 54,97;
a, =0,912;
a2=4,83; a2 =2,198;
( 54,97^1
of = 0,83;
2
a2
= F\
2,198
F(- 25,01) =0,00001:
4-?H-^}-pM,wi,s'-
Подставив найденные значения параметров d,GUG2 и
функций от них в формулу (9.16), вычисляем вероятность ошибок
диагностики а = р:
а = р = 0,00001 +
2,198
54,97-2,506
-0-
4,833
4,833-0,83
-1
= 0,00001.
175

Таким образом, полученное в ходе проведенных вычислений
решение о том, что исследуемое предприятие «Гуковуголь»/на-
ходится в кризисном состоянии, справедливо с гарантированной
достоверностью
D = l-a = l-p = l- 0,00001 = 0,99999.
10.3. Оценка достоверности диагностики кризисного
состояния предприятия при произвольных
размерности признакового пространства р
и объеме контрольных наблюдений п
над исследуемым предприятием
В восьми рассмотренных примерах для вычисления
вероятности ошибок диагностики a = р использовалась точная
формула (9.8), поскольку везде рассматривался трехпризнаковый
случай (р = 3). В общем случае число признаков может быть
произвольным (р > 3), и тогда для вычисления вероятностей
ошибок диагностики a = р целесообразно воспользоваться (см.
примеры 10.2.4 — 10.2.10) приближенной формулой (9.16),
справедливой для произвольного числа признаков р.
Сравним найденное в примере 10.2.3 по точной формуле
(9.8) значение a = р = 0,007 с вероятностью ошибок
диагностики ав=рв, вычисленной по приближенной формуле (9.16):
aB=pB*F
К а2
1 а2
2о22
°22
р-\
1а2~а1
= 0,0063+-
2,1098
5,267-2,5066
-0,044-
0,45
4,454-0,45
1 =0,0071.
Таким образом, приближенная формула (9.16) дает верхнюю
оценку ав =рв =0,0071, незначительно отличающуюся в
рассмотренном случае р = 3 от точного значения вероятностей
ошибок a = р = 0,0070, полученного по точной формуле (9.8),
что делает целесообразным широкое использование верхней
оценки (9.16) для вычисления вероятностей ошибок
диагностики при произвольной размерности признакового пространства
Р>Ъ (см. примеры 11.1.2 - 11.1.12, 11.1.14 - 11.1.15).
176

^Наиболее важным при диагностике кризисного состояния
предприятия является обеспечение ее гарантированной и
достаточно высокой достоверности. В рассмотренных примерах
количество контрольных наблюдений над исследуемым
предприятием было взято равным единице (п = 1), вследствие чего
достоверность диагностики в примерах 10.1.2, 10.1.3, 10.1.5 и 10.2.1
оказалась ниже, чем 0,9, и составила соответственно 0,8203,
0,87901 0,8509 и 0,8300, тогда как в примерах 10.1.1, 10.1.4,10.2.2,
10.2.3, U0.2.4, 10.2.5, 10.2.6, 10.2.7, 10.2.8 - 10.2.10 она составила
соответственно 0,9999, 0,9023, 0,9607, 0,9930, 0,9999, 0,9941,
0,9545, 0,9107, 0,9999. Изложенные в главе 9 теоретические
положения и результаты расчетов, приведенные, в частности, в
табл. 9.1, показывают, что при фиксированном числе признаков
(в рассмотренных примерах р = Ъ) с увеличением числа
контрольных наблюдений п над исследуемым предприятием
достоверность D = 1 - а = 1 - р быстро увеличивается.
Вследствие этого представляется целесообразным оценить
возможность увеличения достоверности диагностики D в одном
из рассмотренных примеров (в частности, в примере 10.2.1, см.
с. 148, где она составляет D = 0,830) за счет увеличения п от
л = 1 до л = 5. В этом случае для вычисления InZ необходимо
1 п
использовать формулу (9.4), подставив в нее значение—YV , по-
лучаемое усреднением данных работы фотоателье за пять
последующих месяцев работы хь Хъ х3, Х4, Х5 (см. табл. Ш0.2.1,б).
Таким образом, в рассматриваемом случае (п = 5) получаем:
1*/ =
48.12^
1858
62,7
(Ю.9)
Подставив в (9.4) значения параметров из A0.9) и примера
10.2.1, получаем для п = 5:
InZ = --@,04613 0,00503 -0,012729)
-47,9625^
971,479
-3,5805
= 6,81.
177

Поскольку lnZ = 6,81>0, решение о том, что фотоателье/ X
является преуспевающим, подтверждается со значительно
большим превышением порога.
Таблица 1710.2.1,6*
Признаки
Чистая
прибыль,
тыс. руб.
Общий
объем
платных
фотоуслуг,
тыс. руб.
Издержки
по выплате
зарплаты
и премий,
тыс. руб.
*i
35,35
1570
81,49
Х2
40,25
1923
67,42
*3
62,15
2204
53,14
ХА
58,14
2160
42,10
*5
44,70
1725
69,25
Усредненное
значение
1Х_
48,12
1858
62,7
* Табл. П 10.2.1, а см. на с. 146.
Для оценки достоверности полученного решения вычислим
по формуле A0.8) новое значение параметра а2 (остальные
параметры ах и d, как следует из формул (9.6) и (9.7), не
меняются) и функций от него F\
'</Л
а2
> п
а2
И ехр^
2а^
1 14 114
а2 = — + — + - = - + - + - = 1,25; а2 =у1,25 =1,118;
т\ т2 п 4 5 5
^Л
G2J
= F
( 2,215
1,118
= F(l,98l)= 0,9762;
178

a2
= 1-F(l,98l) = 0,0238;
e4^H"^}=exp{"i,964i=o'1403-
Подставив найденные значения а2 и функций от них вместе
с содержащимися в примере 10.2.1 значениями al5 d и функций
от них в (9.8), вьиислим вероятность ошибок диагностики для
рассматриваемого случая п = 5:
a = р = 0,9995 0,0238+ 0,0005 0,9762 + 0,6708-1,118
2,5066 • 2,215 • @,45 -1,25)
х [1,118 • 0,0043 • @,9762 - 0,0238)- 0,6708 • 0,1403@,9995 - 0,0005)] - 0,039.
Следовательно, увеличение контрольной выборки со значения
п = 1 до значения п = 5 позволяет повысить достоверность
полученного решения о том, что исследуемое предприятие
(фотоателье) является преуспевающим со значения D=l-a = l-p=0,830
(при п = 1) до значения (при п = 5)
D = l-a = l-p = 1-0,039 = 0,961.
Таким образом, увеличение объема контрольной выборки п
является эффективным и одновременно наиболее простым
способом повышения гарантированной достоверности
диагностики кризисного состояния предприятия.

Анализ динамики
Глава I I СОСТОЯНИЯ ПрвДПрИЯТИЯ
11.1. Практическая диагностика состояния
предприятия в динамике
В главе 1 было показано, что особую значимость имеет
непрерывный процесс диагностики кризисного состояния
предприятия. Так называемая моментная диагностика
(единовременная диагностика) дает результат, имеющий свое
практическое значение в течение очень короткого периода времени. По
мере старения управленческой информации она нуждается в
обновлении, поэтому, чтобы данные о состоянии предприятия
всегда были свежими, процедуру диагностики нужно
периодически повторять.
Диагностика состояния предприятия учитывает много
различных признаков его деятельности, однако, производится по
единому обобщающему показателю — оценке логарифма
отношения правдоподобия \ni(t). Моментная диагностика
представляет собой единовременную оценку состояния предприятия на
основе вышеуказанного показателя, однако она мало что может
сказать о текущем развитии его деятельности. Менеджеру важно
иметь факты не только наличия или отсутствия кризиса, ему
необходима информация о динамике состояния предприятия,
где он работает. Отслеживая изменения обобщенного показателя
состояния предприятия — оценки логарифма отношения
правдоподобия \nl(t) во времени, можно узнать насколько близко
или далеко находится предприятие от кризиса. В этом состоит
смысл непрерывной диагностики.
В параграфе 1.1 была представлена модель жизненного цикла
предприятия, в рамках которой оценивается результат
деятельности предприятия во времени. Основным недостатком
концепции жизненного цикла является отсутствие такого единого
показателя, по которому можно было бы всесторонне и полно
охарактеризовать деятельность предприятия. Прибыльность —
показатель, который иногда употребляется для данной цели, —
не отражает множества различных экономических процессов
180

внутри предприятия, поэтому эта характеристика недостаточно
хороша, чтобы выступать в роли столь важного обобщающего
показателя. В идеале такой показатель должен был бы учитывать
достоверно и полно абсолютно все результаты
бизнес-деятельности фирмы, отражая при этом ее близость к состоянию
кризиса или удаленность от него. С таким показателем по оси
ординат график жизненного цикла приобрел бы конкретику и мог
быть использован на практике при мониторинге состояния
исследуемого предприятия. Предлагается использовать в качестве
единого обобщающего показателя оценку логарифма отношения
правдоподобия \nL(t), которую для исследования динамики
состояния предприятия будем рассматривать как функцию времени t.
Функция \ni(t) строится таким образом, чтобы через равные
интервалы At вычислять значения \nL(t) по наблюдаемым
значениям lnZ(^), lnZ(/2), lnZ(f3),... в соответствующие моменты
времени *1,*2>'з>- Для исследования поведения функции \nL(t)
пригодны все известные методы анализа основной тенденции
(тренда), в частности метод скользящего среднего, может быть
также осуществлено прогнозирование — экстраполяция тренда.
Отметим, что функция InL(t)определена при *>0 и может
принимать любые положительные и отрицательные значения. При
этом, если lnZ(^)< 0, то в момент времени tk имеет место кризис,
если lnZ(/^)>0, то состояние предприятия нормальное. Прямая
\nL(t) = 0 служит на графике тем «порогом», ниже которого
определяется кризис. О тенденции развития бизнеса предприятия
можно судить по тому, какой характер имеет функция: возрастающий,
что свидетельствует о том, что оно находится на стадии подъема,
или убывающий, что говорит о тенденции спада. Еще точнее: если
d\r\L(t) Л d\nl(t) Л
производная —-"^ < 0, то имеет место спад, если — > 0, то
at dt
наблюдается подъем (рис 11.1). При ситуации равенства нулю
производной ——^- = о фиксируется равномерное развитие.
dt
Наблюдение по t можно начинать с любого момента tk.
Важно лишь проведение измерений lnZ(r) через равные промежутки
времени А*. Если наблюдения по t начать с момента
образования предприятия, то наблюденная за достаточно долгий проме-
181

жуток времени t функция In L(t) фактически будет
соответствовать кривой жизненного цикла. Разница в графике функции
lnZ(/) и кривой жизненного цикла в том, что кривая
жизненного цикла лежит выше нулевого уровня, а функция In/(г) по
сравнению с кривой жизненного цикла имеет область значений
от -оо до +оо. Поэтому по сравнению с графиком кривой
жизненного цикла график \nL(t) несколько сдвинут вниз.
lnL@
Рис. 11.1. Зависимость обобщенного показателя
состояния предприятия In/ от времени
Пример 11.1.1. Продолжим рассмотрение примера 10.2.6,
дополнив его диагностикой изменения состояния исследуемого
предприятия — хлебозавода №25 во времени на основе значений
показателей его деятельности за период с 4-го квартала 1999 г.
по 4-й квартал 2000 г., приведенных в табл. П 11.1.1.
Приведенные в табл. Ш 1.1.1 результаты вычисления вектора
2Хк -\а\ +а2) для к = 1, ..., 5 и —^j -a2) М~] получены с учетом
приведенных в 10.2.6 значений аь а2, М~1 и данных J,,...,J5,
имеющихся в указанной таблице. Оценивая изменение
обобщенного показателя состояния предприятия — оценки
логарифма отношения правдоподобия lnZ(r) во времени, можно
отметить длительное нахождение предприятия в кризисном
состоянии с незначительно выраженной тенденцией улучшения
состояния, объясняемой увеличением объема произведенной
продукции и соответствующим увеличением балансовой прибыли.
182

Таблица ПИ. 1.1
Признаки
1. Объем
произведенной продукции,
тыс. руб.
2. Материальные
затраты, тыс. руб.
3. Балансовая прибыль,
тыс. руб.
4.2Хк-(а]+а2),
? = 1, ..., 5
5- j(«i -h)TM-X
6. \nl{tk)
*i
h
IV кв.1999 г.
4590,33
1003,0
181,1
(~\99207>
-147372
-401144J
*2
h
I кв. 2000 r.
6047,0 j
2922,5
346,0
(-196006)
-146030
-39696 J
Хъ
h
II кв. 2000 r.
5950,0
2722,5
325,90
(- 196488s
-143010
- 39825y
^4
'4
III кв. 2000 r.
5741,0
4024,0
405,6
(-196906)
-141330
-39666 J
*5
h
IV кв. 2000 r.
14623
3173,0
1008,1
Л-179142'
-143032
k -38301 /
(-0,0000441626 0,0000190874 0,0008856138) j
-29,588
-29,400
-29,221
-28,860
-28,745 1

Таблица ПИ. 1.2, а
Признаки
Балансовая
прибыль,
тыс. руб.
Объем
произведенной
продукции,
тыс. руб.
Объем запасов,
тыс. руб.
Преуспевающие
хлебопекарни
*<•>
159438,4
792064
33090
X?
129122,1
649791
17688
Л™
51566,7
288832
9839
лТ>
53652,4
309331
9383
Кризисные I Исследуемая
хлебопекарни \ хлебопекарня
х\ъ
0,00
30876
2435
?22)
0,00
38993
2776
Х\
1996 г.
11152
79864
6981
Х2
h
1997 г.
13890
76441
5494
*з
h
1998 г.
7354
56382
6090
ХА
1999 г.
3596
60701
6750
*5
'5
2000 г.
2134
64365
5840
Таблица ПИ. 1.2,6
2Хк-[ах+а2),
* = 1,....5
lniy
1996 г.
' -93984,1 >
-496493,4
-17313,1,
-7,6267
1997 г.
' -92888,9^
-497862,6
v -17907,9y
-6,513
1998 г.
' -95503,3^
-505886,2
v -17669,5 у
-7,628
1999 г.
f - 97006,5N
-504158,6
v -17405,5y
-8,6121
2000 г.
f -97591,3^
-502693,0
v -17769,5 J
-8,567 ,

Пример 11.1.2. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия X (хлебопекарня) во времени в
сопоставлении с преуспевающими {Sx) хлебопекарнями Х\1\ Х$\ х\]\ Ху
и кризисными (S2 ) хлебопекарнями Х\2\ xf>.
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выберем следующие показатели:
1) балансовая прибыль;
2) объем произведенной продукции;
3) объем запасов.
Преуспевающие, кризисные и исследуемая хлебопекарни
задаются характеристиками, представленными в табл. ПИ. 1.2,я.
Вектор средних а,: Вектор средних а2:
( 98444,9Л
493504,5
V
17500,0j
Разность векторов средних:
а{-а2 =
9844
45857
148S
0,00'
34934,5
ч 2605,5 у
4,9'
0,0
>4,5
Ковариационная матрица Мх:
Л/| =
'2216307833,40 9364508992,33 419842647,83
9364508992,33 39848224370,25 1715039697,25
419842647,83 1715039697,25 91915013,50 J
Ковариационная матрица М:
м<> =
0,00 199769313,33 0,00л
199769313,33 16471422,25 691974,25
0,00 691974,25 29070,25
Общая ковариационная матрица М :
'2216307833,40 9464393648,99 419842647,83^
М = | 9464393648,99 39856460081,38 1715385684,38
^ 419842647,83 1715385684,38 91929548,63
185

Л/
0,0000000174^1
-0,0000000060
0,0000000432
Обратная ковариационная матрица М х:
(- 0,0000000251 0,0000000052
0,000000052 - 0,0000000010
0,000000174 -0,0000000060
Произведение:
\а{-а2)ТМ~1 =@,0001774563 -0,0000138449 -0,0003900802).
Результаты вычисления значений 2Хк -\ах +а2) и логарифма
отношения правдоподобия lnl(^) для различных моментов
времени tk приведены в табл. ПИ. 1.2,5.
Таким образом, lnZ< 0, откуда следует, что исследуемое
предприятие (хлебопекарня) в течение длительного времени
находится в кризисном, усугубляющемся в последние два года,
состоянии, что в первую очередь проявляется в уменьшении
балансовой прибыли предприятия и в меньшей мере в
сокращении объема запасов.
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d,G{,G2 и функции
от них имеют следующие значения:
<Г =17,470;
g\ =0,75;
ai=4,75;
ехр^
d_
g2
2g\
= F
3,161
2,180
d = 3,161;
g{= 0,866;
a2=2,18;
:F(-1,45) = 0,074;
• = exp{-y^l= exp{~ *>84}=°>159 •
Подставив найденные значения параметров d9GhG2 и
функций от них в (9.16) вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,074 +
2,18
2,506-3,161
•0,159
4,75
4,75-0,75
-1
= 0,081.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемая хлебопекарня X в тече-
186

ние длительного периода находится в кризисном состоянии
справедливо с гарантированной достоверностью
D = l-a = l-p = 1-0,081 = 0,919.
Пример 11.1.3. Диагностика изменения состояния булочно-
кондитерского комбината «Российский» во времени в
сопоставлении с преуспевающими х{]\ х$\ х$\ Х^\ Х{^\ Х%\
Х^] и кризисными х\2\ Х{2\ xf\ Х{2\ Х{2) предприятиями
отрасли.
Для диагностики выберем следующие признаки:
1) коэффициент автономии;
2) стоимость основных производственных фондов, млн руб.;
3) объем выпущенной продукции, т;
4) затраты на 1 руб. произведенной продукции, коп.;
5) затраты сырья и материалов на 1 руб. продукции, коп.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. ПИ. 1.3,а.
Преуспевающие предприятия:
Х\ ' — Кондитерско-булочный комбинат «Выхино»;
Х^ — «Рот-Фронт»;
Х^]) — «Черемушки»;
Х^ — Кондитерско-булочный комбинат «Звездный»;
Х^— «Выборгская»;
Х^ — Кондитерский комбинат им. Крупской;
Х^ — Кондитерский комбинат Зарунский.
Кризисные предприятия:
х\ ' — Альметьевский кондитерский комбинат;
Х^ — Заинский кондитерский комбинат;
Х^2) — Буинский кондитерский комбинат;
Х^ — Кондитерский комбинат им. Родниковского;
Х{2) — Юрьевецкий кондитерский комбинат.
187

Таблица ПИ. 1.3,а
№


каза -
теля
1
2
3
4
5
(преуспевающие предприятия)
Х^
0,57
120
2410
98,8
5,98
Х<»
0,70
150
2365
95,4
4,90
хР
0,68
450
3521
87,5
6,70
Щ)
0,54
245
2580
83,4
4,95
хР
0,65
264
1700
90,1
5,10
yd)
Л6
0,72
158
3680
98,7
6,94
хф
0,56
420
1850
94,6
5,84
^1 1 Булочно-кондитерский комбинат
(кризисные предприятия) | «Российский»
\х\2)
1,45
150
1500
94,8
8,50
X?
1,50
85
800
97,6
6,90
J?<2>
1,24
170
1800
80,4
7,35
х?
1,28
90
2100
98,2
7,84
JF<2>
1,30
110
1780
х\
1992 г.
0,70
460
2825
96,3 94,5
9,10 6,97
*г
h
1993 г.
0,67
500
2545
93
6,94
Х3
'3
1994 г.
0,54
560
2010
9,8
6,95
Ха
к
1995 г.
0,68
590
6532
94,2
6,85
х5
>5
1996 г.
0,69
480
3956
94,8
6,85
Хв
mi т.
0,50
495
4890
94,8
6,95
х7
1998 г.
0,56
470
4855
9,4
6,74

Вектор средних ах
0,63^
258,14
2586,57
92,64
. 5,77^
Ковариационная матрица Мх
Вектор средних а2
12,00
1596,00
93,46
7,94
Л/, =
0,01 -1,46 29,11
-1,46 17336,81 -1032,43
29,11 -1032,43 579600,62
0,13 -386,44 165,49
0,02 24,09 475,31
Ковариационная матрица м2
м~>
0,01298
-1,2925
-48,98
0,42945
-0,021515
-1,2925 -48,98
1405,0000 4555
4555,0000 243080
-232,0750 -794,2
3,7775 204,19
0,13 0,02
386,44 24,09
165,49 475,31
34,06 1,77
1,77 0,69у
0,42945 -0,021515
232,075 3,7775
794,2 204,19
55,008 1,74265
1,74265 0,77472
Общая ковариационная матрица М
М
0,01028 -1,664916667 -4,116 0,302875 0,004849167
-1,664916667 12838,26667 1554,8 -386,5458333 18,74908333
4,116 1554,8 527260,4333 - 281,2583333 434,8106667
0,302875 -386,5458333 -281,2583333 51,348 2,110108333
0,004849167 18,74908333 434,8106667 2,110108333 0,872803333
Обратная ковариационная матрица М
-1.
КГ
^121,411969680051 -0,01914387787 -0,00225056910 -1,008003361855 3,29487445 Л
- 0,01914387787 0,00014795776 0,00001112393 0,00182273329 - 0,01302035239
- 0,00225056910 0,00001112393 0,00000451487 0,00024813322 - 0,00307555318
-1,00803361855 0,00182273329 0,00024813322 0,05214033229 -0,2832247128
3,29487445243 -0,01302035239 -0,00307555318 -0,28322437128 3,62402340768
Произведение:
(^-^j М_1 = (-94,66864; -0,0024; 0,0049; -0,0409; -7,5513).
Результаты вычисления значений 2Хк-\^х+а2) и логарифма
отношения правдоподобия \nL(tk) для различных моментов
времени /* приведены в табл. ПИ. 1.3,5.
189

Таблица 1711.1.3,6
2Хк-\ах+а2)
InZfo)
1992 г.
-0,6
540,9
1467,4
2,9
0,2
59,4
Хг
1993 г.
-0,6
620,9
907,4
-0,1
0,2
62,8
Хг
1994 г.
-0,9
740,9
-162,6
3,5
0,2
81,5
Хл
1995 г.
-0,6
800,9
8881,4
2,3
0,0
100,8
х5
1996 г.
-0,6
580,9
3729,4
3,5
0,0
74,1
х6
1997 г.
-1,0
610,9
5597,4
3,5
0,2
117,6
Xi
1998 г.
-0,9
560,9
5527,4
2,7
-0,2
109,3
Таким образом, lnZ(^)>0, откуда следует, что булочно-кон-
дитерский комбинат «Российский» в течение длительного
времени находится в преуспевающем состоянии.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, о\, a2 и функции
от них имеют следующие значения:
d2 = 125,9007;
</= 11,2205;
<*i
= -+-«0,343;
7 5
о, * 0,586;
2 114 Л^„
а? =- + - + -«4,343;
1 1 5 1
а2 * 2,08;
= F(- 5,39; «0,000003;
= ехр(-5,48) = 0,0042.
Подставив найденные значения параметров d, o\, a2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = р.
5-1
а = р = 0,000003 +
2,08 0,0042
2,506 11,22
4,343
4,343-0,343
-1
: 0,0001.
190

Следовательно, полученное в результате приведенных
вычислений решение о том, что булочно-кондитерский комбинат
«Российский» в течение длительного периода находится в
преуспевающем состоянии, справедливо с гарантированной
достоверностью
?> = 1-а = 1-р = 1-0,0001 = 0,9999.
Пример 11.1.4. Диагностика изменения состояния ООО
«Промысел» (отрасль — рыбная промышленность) во времени в
сопоставлении с преуспевающими X
A)
уA)
л2 s
уA)
yd)
и
кризисными х\2), Х^2), Х{2), Х^ предприятиями отрасли.
Для диагностики выберем следующие показатели
(табл. П 11.1.4,я):
1) чистая прибыль;
2) рентабельность оборотных активов;
3) суммарные постоянные издержки (накладные расходы);
4) затраты на материалы и комплектующие;
5) коэффициент текущей ликвидности.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П.11.1.4,я.
Вектор средних 5j: Вектор средних а2:
*i
О 66,4
0,325
77,796
97,3
1,225
а2 =
81,00Л
0,08
141,34
79,44
0,77
Ковариационная матрица мх
М,
м9 =
'1025,770
-0,230
-80,481
22,171
^ -3,655
-0,230
0,007
0,237
-0,402
0,019
юнная матрица i
479,956
0,742
-449,960
128,726
1,384
0,742
0,002
-0,683
-0,013
0,003
-80,481
0,237
63,388
-50,349
1,842
м2\
-449,960
-0,683
516,151
-142,112
-2,054
224,171
-0,402
-50,349
76,306 -
-2,166
128,726
-0,013
-142,112
104,977
0,292
-3,655^1
0,019
1,842 .
-2,166
0,82 J
1,384^
0,003
-2,054
0,292
0,011,
191

Таблица П11.1.4,а
Признаки
Чистая
прибыль, млн руб.

Коэффициент
рентабельности
оборотных
активов
Суммарные
постоянные
издержки
(накладные
расходы), млн руб.
Затраты на
материалы и

комплектующие, млн руб.

Коэффициент текущей
ликвидности
S^
Si
{преуспевающие предприятия) {кризисные предприятия)
Af>
112,95
0.3
80,023
87,818
1,3
X?
174,58
0,4
89,802
90,721
1,6
Х^
197,754
0,2
71,94
110,02
0,8
4!)
180,424
0,4
69,42
100,5
1,2
х{2)
52,183
0,01
103,23
70,014
0,6
X™
33,27
0,02
143,29
48,505
0,41
Х^
63,9
0,1
94,7
50,2
0,7
42)
Исследуемое предприятие
«Промысел»
Х\
I кв.
1999 г.
93,634 32,54
0,1
0,19
82,79 17,6
69,6
0,6
33,15
0,1
Х2
II кв.
1999 г.
43,9
0,35
20,005
27,9
0,03
х3
h
III кв.
1999 г.
40,1
0,2
22,57
35,38
0,02
Ха
Ч
IV кв.
1999 г.
41,2
0,2
22,9
36,5
0,9

Общая ковариационная матрица М :
М
f 1003,817
0,342
-353,628
235,264
-1,514
0,342
0,006
- 0,297
-0,277
0,015
-353,628
-0,297
386,360
-128,307
-0,141
235,264
-0,277
-128,307
120,856
-1,250
-1,514^
0,015
-0,141
-1,250
0,062
М~] =
Обратная ковариационная матрица М 1:
0,0030 -0,8528 0,0001 -0,0060 0,1564^
-0,8528 748,8883 0,5310 2,3788 -150,7536
0,0001 0,5310 0,0055 0,0071 0,0327
-0,0060 2,3788 0,0071 0,0325 -0,0436
0,1564 -150,7536 0,0327 -0,0436 55,2216
Результаты вычисления 2Хк-\^\+а2) и логарифма отношения
правдоподобия lnZ(^) для различных моментов времени tk
приведены в табл. П11.1.4Д
Таблица ПИ 1.4,6
2**-(ei+a2)
!»!(**)
Х\
I кв.
1999 г.
-182,3
0,0
-183,9
-110,4
,8
-3,1564
Хг
II кв.
1999 г.
-159,6
0,3
-179,1
-120,9
-1,9
4,3260
III кв.
1999 г.
-167,2
0,0
-174,0
-105,9
-2,0
-2,3980
Х4
IV кв.
1999 г.
-165,0
0,0
-173,3
-103,7
-0,2
-4,8698
Таким образом, на протяжении трех кварталов из
рассмотренных четырех ООО «Промысел» находилось в кризисном
состоянии. Выход из кризиса во втором квартале связан,
вероятнее всего, с резким увеличением (с 0,19 до 0,35) рентабельности
оборотных активов, которая в последующих двух кварталах
возвращается к своему прежнему значению, что возможно и
явилось основной причиной возвращения ООО «Промысел» в
кризисное состояние.
7 Диагностика кризисного состояния предприятия.
193

Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, аь а2 и функции
от них имеют следующие значения:
</2= 19,61, </=4,42;
02 4 + 1 = 0.5,
4 4
2 1 1 4 ^ ^
а2=Т+7+7 = 4'5;
4 4 1
' d^
о2)
oj* 0,707;
о2*2,12;
F(-2,09) * 0,044;
expi~-
2ai
= ехр(-2,179) = 0Д13.
Подставив найденные значения параметров rf, oj, 02 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = р:
а = р = 0,044 +
2,12-0,113
2,506-4,42
5-1
4,5
4,5-0,5
: 0,0467.
Следовательно, полученные в результате диагностики
изменения состояния ООО «Промысел» во времени справедливы с
гарантированной достоверностью
?> = 1-а = 1-р = 1-0,0467 = 0,9533.
Пример 11.1.5. Диагностика изменения состояния
предприятия ООО «Россиб — Фармацея» во времени в сопоставлении с
преуспевающими X
О)
X
A)
'г{\)
7A) yd)
и кризисными
х\2\ Х^\ xf\ X^ предприятиями фармацевтической
отрасли.
Для диагностики выберем следующие показатели:
1) коэффициент обеспеченности собственными средствами;
2) сумма активов;
3) коэффициент финансовой устойчивости;
4) чистая прибыль.
Предприятия задаются характеристиками,
представленными в таблицах: преуспевающие и кризисные — табл. ПИ. 1.5,я,
исследуемое — табл. ПИ. 1.5,6.
194

Таблица П11Л.5,а
Показатели
Обеспеченность
! собственными
! средствами
' Сумма активов,
млн руб.
1 Коэффициент
финансовой
устойчивости
Чистая прибыль,
млн руб.
Преуспевающие предприятия
х™
ЗАО
«Шрея

Корпорейшн»
0,808
626,67
0,9
140,55
xf
ООО
«Дина —
Меди-
кал»
0,818
508,70
0,855
92,7
Af>
ГУЛ
Фарма-
цея
0,9
362,10
0,708
144,45
4°

«Северная
Звезда —
НКФ»
1,2
354,45
1,05
115,05
хр
ТСФ
Групп
1
Кризисные предприятия
jp>
ооо
«Нова-
фарм»
0,9 1 0,18
544,68
1,065
122,4
193,725
0,18
60,75
JF<2>
ГУЛ

«Аптечный
склад»
0,1575
202,05
0,135
47,655
Jf>
ООО

«Торговый Дом
Мед-
техника»
0,0675
202,3875
0,09
71,325
X™
ДГУП
«Вектор-
фарм»
0,225 |
195,525 j
0,135
74,7

Таблица П11.1.5,6
Показатели
Обеспеченность
собственными
средствами, млн руб.
Сумма активов,
млн руб.
Коэффициент
финансовой устойчивости
Чистая прибыль, (
млн руб.
Исследуемое предприятие ООО «Россиб — Фармацея»
Xi
(февраль
2001 г.)
0,7
314,825
0,245
104,65
Хг
h
(март
2001 г.)
0,8225
341,775
0,343
116,025
Хъ
h
(апрель
2001 г.)
0,8925
307,65
0,33075
121,1875
Х4
и
(май
2001 г.)
0,525
259,875
0,21
81,9
*5
>5
(июнь
2001 г.)
0,7
292,8625
0,2625
100,625
*6
Ч
(июль
2001 г.)
0,8575
313,95
0,32025
107,275

Вектор средних щ : Вектор средних а2:
«i
0,93^
479,32
0,92
{\ 23,03 )
Ковариационная матрица Мх
м,
0,005 -2,673
-2,673 2808,971
0,002 0,662
-0,076 0,004
Ковариационная матрица М2
м2 =
0,001 -0,055
-0,055 4,945
0,0004 -0,032
-0,001 -3,832
а2
0,16^
198,42
0,14
63,61
0,002 -0,076^)
0,662 6,737
0,004 -0,202
-0,202 87,488
0,0004 -0,001 л
-0,032 -3,832
0,0003 -0,0396
-0,0396 37,104
Общая ковариационная матрица М
М
0,004
-1,941
0,002
-0,055
-1,941
2009,234
0,454
2,622
0,002
0,454
0,003
-0,167
-0,055^
2,622
-0,167
83,694
Обратная ковариационная матрица М
-1.
м~1 =
f 1629,665
1,864
-1271,418
-1,526
1,864
0,0026
-1,533
1339,768
-1271,418 -1,526
-1,533 -0,0019
1339,768 1,888
1,888 0,0148 J
Сумма векторов средних [щ +а2) и их разность \а{ -a2j:
а\+а2 =
1,08^1
677,74
1,05
186,64 )
а1-а2 =
0,77л
280,90
0,78
59,42
197

Результаты вычисления 2Хк-[а1+а2) и логарифма
отношения правдоподобия \nb(tk) для различных моментов времени ^
приведены в табл. ПИ. 1.5,* .
Таким образом, на протяжении первых трех месяцев ООО
«Россиб — Фармацея» находилось в преуспевающем состоянии.
Попадание предприятия в кризисное состояние скорее всего
связано с резким уменьшением (с 0,33 до 0,21) коэффициента
финансовой устойчивости предприятия, который в
последующие два месяца (июнь, июль) постепенно увеличивался
практически до своего прежнего значения (до 0,32), что наряду с
увеличением чистой прибыли предприятия, возможно, и явилось
основной причиной возвращения ООО «Россиб — Фармацея» в
преуспевающее состояние в июне — июле месяцах.
Вероятность ошибок диагностики вычисляется по формуле
(9.16), входящие в которую параметры d, <з\, о2 и функции от
них имеют следующие значения:
лГ2 = 617,104; ^ = 24,84;
of =0,45;
ai=4,5;
^=0,67;
а2=2,12;
< </Л
V а2у
= F(-U,16)k 0,0001;
exPl ~ t^j\ г= ехр(-68,5) = 0 .
а = р = 0,0001 +
2,12
2,506-24,84
-0-
4-1
4,5
4,5-0,45
-1
= 0,0001.
Следовательно, гарантированная достоверность проведенной
диагностики изменения состояния ООО «Россиб — Фармацея»
во времени составляет:
D = l-a = l-p = 1-0,0001 = 0,9999.
198

Таблица ПILL 5,в
2Xk-(al+a2)
\nl{tk)
Х\
h
(февраль
2001 г.)
0,317
-48,092
-0,561
22,663
165,936
Х2
t2
(март
2001 г.)
0,562
5,808
-0,365
45,413
256,804
Хз
h
(апрель
2001 г.)
0,702
-62,442
-0,389
55,738
282,106
Ха
(май
2001 г.)
-0,033
-157,992
-0,631
-22,838
-8,360
х5
'5
(июнь
2001 г.)
0,317
-92,017
-0,526
14,613
140,047
Хб
Ч !
(июль !
2001 г.) 1
0,632
-49,842
-0,410
27,913
257,038

Пример 11.1.6. Диагностика изменения состояния ОАО «Ка-
рачаево-Черкесскэлектросвязь» во времени в сопоставлении с
преуспевающими
уA)
уA)
"A)
X?
и кризисными
уB)
X?
"B)
з предприятиями отрасли (местная и междугородная
связь, проводное вещание, передача данных).
Для диагностики выберем следующие показатели:
1) стоимость основных средств;
2) рентабельность собственного капитала по чистой
прибыли;
3) коэффициент покрытия;
4) объем продаж (выручка/число работников);
5) сумма активов (пассивов).
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. ПИ. 1.6,а.
Преуспевающие предприятия:
ОАО «Южная телекоммуникационная компания» —
уО).
л3
ОАО «Центральная телекоммуникационная компания» -
ОАО «Эл. связь» Ростовской обл.
ОАО «МГТС» - X® ;
Кризисные предприятия:
ОАО «Сахалинсвязь» — х\2);
yd)
л2
ОАО «Череповецэлектросвязь» — Х^р;
ОАО «Ямалэлектросвязь» —
Вектор средних ах:
1
«1 =
' 958,78'
1,67
0,7
834,5
6142,9 J
Ковариационная матрица
м,=
A1398,6 53,9
53,9 0,8
29,3 0
12172,3 214,7
1 91895,7
523,1
Ц2\
м{:
29,3
0
17,3
16,3
153,2
Вектор
а2 =
12172,3
214,7
16,3
201216
120408,9
средних а2:
' 197,6 ^
-0,477
0,385
233,33
^2558,2 ,
91895,7"*
523,1
153,2
120408,9
349267,4,
200

Таблица П 11.6.1,а
Признаки
1. Стоимость
основных средств,
млн руб.
2. Рентабельность
собственного
капитала по чистой
прибыли
3. Коэффициент
покрытия
4. Объем продаж
(выручка/число
работников)
5. Сумма активов
(пассивов),
млн руб.
Преуспевающие
предприятия
*{»>
678,2
1,33
0,72
814
6320,2
Х$>
985,1
1,86
0,70
785
6452,8
^>
328,9
1,15
0,86
863
3675,2
*?>
Кризисные
предприятия
X™
1842,9 | 215,6
2,34
0,68
-0,98
0,53
876 238
| 8123,4
2898,6
X™
178,5
0,76
0,42
273
2123,1
уB)
Л3
198,7
-1,21
0,35
189
2652,9
ОАО «Карачаево-Черкесск-
электросвязь»
Хх
1997 г.
145,9
0,81
0,28
76
398,9
Хг
h
1998 г.
156,8
-0,92
0,30
98
548,2
*з
1999 г.
158,9
-1,12
0,43
88
510,8
Х4
'4
2000 г.
160,6
0,96
0,26
114
568,1

Ковариационная матрица М2:
л/,
49835,9 -27,1
-27,1 О
18,4 О
-23525,2 19,3
18,4 -23525,2
О 19,3
О 6,7
6,7 14520,6
22599,8 26,9 -37,4 -28163,7
Общая ковариационная матрица М :
22599,81
26,9
-37,4
-28163,7
182303,6
М =
605432,4
-28,9
19,8
-110769,5
715617,4
-28,9
0,2
О
97,1
431,2
19,8
О
0,00614
1,7
-62,9
-110769,5
97,1
1,7
164693,4
715617,4^1
431,2
-62,9
-68897,9
-68897,9 2913136,4
Обратная ковариационная матрица М~{:
М'
о
0,0198
-0,1
О
О
0,0198
43,9
-135,3
-0,0181
-0,018
-0,1
-135,3
837,01
0,0348
0,0552
О О
-0,0181 -0,018
0,0348 0,0552
О О
О О
Результаты вычисления значений логарифма отношения
правдоподобия In L(tk) для различных моментов времени tk
приведены в табл. П 11.1.6,5.
Таблица П11.1.6,6
2Хк-^+а2)
\nL{tk)
Х\
1997 г.
145,9
0,81
0,28
76
398,9
-15,73
х2
h
1998 г.
156,8
-0,92
0,30
98
548,2
-22,89
*з
h
1999 г.
158,9
-1,12
0,43
88
510,8
-35,33
А-4
2000 г.
160,6
0,96
0,26
114
568,1
-36,53
202

Таким образом, lnZ(^)<0, откуда следует, что исследуемое
предприятие ОАО «Карачаево-Черкесскэлектросвязь» в течение
длительного времени находится в кризисном, усугубляющемся в
последние два года состоянии.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, aj, G2 и функции
от них имеют следующие значения:
d2 = 46,219;
of =0,583;
expi
</* 6,800;
о, * 0,763;
а2 * 2,140;
= F(-3,18)« 0,00075;
46,219
2-4,583
ехр{-5,04} = 0,0065.
Подставив найденные значения параметров </, аь с?2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = C:
5-1
а = р = 0,00075 + 2'140— 0,0065 •
2,506-6,8
4,583
4,583-0,583
: 0,009.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие ОАО
«Карачаево-Черкесскэлектросвязь» в течение длительного периода
времени находится в кризисном состоянии, справедливо с
гарантированной достоверностью
D = l-a = l-p = 1-0,009 = 0,991.
Пример 11.1.7. Диагностика изменения состояния ОАО
«Электросвязь» Оренбургской области во времени в
сопоставлении с преуспевающими (S}) предприятиями ^,A), Х^\ Х{^\ х^
и кризисными (S2) предприятиями х\2), Х{2), Щ2) отрасли
(электросвязь).
Для диагностики кризисного состояния предприятия
выберем следующие показатели:
1) чистая прибыль;
203

2) рентабельность активов;
3) рентабельность собственного капитала;
4) абсолютная ликвидность;
5) соотношение заемных и собственных средств.
Преуспевающие и кризисные предприятия задаются
характеристиками, представленными в табл. Ш1.1.7,д.
Динамика исследуемого предприятия представлена в табл.
ПИ.1.7,6
Вектор средних щ : Вектор средних а2:
щ =
'99,119Л
7,985
11,893
0,159
0,445
а2 =
f 16,899
2,7
3,667
0,087
0,633 J
Ковариационная матрица щ
М\=\
1
'2038,626
46,381
77,525
-2,583
, -0,698
46,381
9,353
16,705
0,137
0,403
77,525
16,705
30,107
0,198
0,726
ационная матрица М2 '¦
М2 =
^130,245
20,765
19,969
0,345
v-6,805
20,765
3,43
3,35
0,068
-1,023
19,969
3,35
3,293
0,07
-0,956
-2,583
0,137
0,198
0,02
0,011
0,345
0,068
0,07
0,002
-0,011
-0,698^
0,403
0,726
0,011
0,021 J
-6,805^
-1,023
-0,956
-0,011
0,388,
Общая ковариационная матрица М
м =
1709,047
49,564
74,001
-1,859
i -4,642
49,564
9,541
15,374
0,150
-0,291
74,001
15,374
26,062
0,201
0,007
-1,859
0,150
0,201
0,017
0,002
-4,642'
-0,291
0,007
0,002
0,250,
204

Таблица П11. L 7,а
Признаки
\ 1. Чистая прибыль, мян руб.
[ 2. Рентабельность активов, %
3. Рентабельность
собственного капитала, %
4. Абсолютная ликвидность
1 5. Соотношение заемных
| и собственных средств
Преуспевающие предприятия (S\)
*<¦>
«Башин-
форм-
связь»
147,217
6,3
8,5
0,08
0,29
*<'>

«Электросвязь»

Ростовской
области
124,620
и,з
18,3
0,08
0,57
*<'>
«Мур-
манск-
электро-
связь»
47,424
4,63
6,31
0,107
0,35
ЗР@

«Новосибирская
городская

телефонная сеть»
77,215
9,71
14,46
0,37
0,57
Кризисные предприятия (Sj) I
Щ2) \

«Электросвязь»

Республика
Карелия
18,749
2,6
3,4
0,05
0,33
Jf
«Киров-
элек-
трос-
вязь»
27,274
4,6
5,6
0,14
0,22
Х<2>

«Тамбовская

электросвязь»
4,675 j
0,9
2,0 j
0,07 j
1,35 1

Таблица П11.1.7,6
Признаки
Чистая прибыль, млн руб.
Рентабельность активов, %
Рентабельность
собственного капитала, %
Абсолютная ликвидность
Соотношение заемных
и собственных средств
ОАО «Электросвязь»
Оренбургской области
Х\
>1
1996 г.
17,015
2,15
2,32
0,068
0,12
Хг
h
1997 г.
39,150
4,98
5,81
0,040
0,22
*з
'з
1998 г.
26,145
3,35
4,20
0,27
0,28
Л4
1999 г.
32,476
3,89
5,00
0,021
0,29
Обратная ковариационная матрица М~
м~1 =
0,002 -0,257 0,138 0,906 -0,267
-0,257 48,314 -26,684 -143,296 53,393
0,138 -26,684 14,795 78,069 -29,552
0,906 -143,296 78,069 510,802 -156,360
-0,267 53,393 -29,552 -156,360 63,296
Сумма векторов средних ах +а2 и их разность ах -а2\
а\ +а2 =
Произведение:
f\ 16,018^1
10,685
15,559
0,246
1,078
а, - ао =
а2
f 82,220^1
5,285
8,226
0,073
-0,188
(aj +a2)M-] = @,85 -5,715 3,249 25,915 -6,139).
Результаты вычисления значений 2Xk-\al +a2) и логарифма
отношения правдоподобия \nL(tk) для различных моментов
времени ^ приведены в табл. ПИ. 1.7,е.
206

Таблица П11.1.7,в
2Хк-{ах +а2)
\nL{tk)
ОАО «Электросвязь» Оренбургской области
Х\
h
1996 г.
-81,988
-6,385
-10,919
-0,110
-0,838
-1,815
Х2
h
1997 г.
-37,718
-0,725
-3,939
-0,166
-0,638
-3,292
*3
h
1998 г.
-63,728
-3,985
-7,159
-0,192
-0,518
-2,153
Х4
1999 г.
-51,066
-2,905
-5,559
-0,204
-0,498
-2,237
Таким образом, lnZ(^)<0, откуда следует, что ОАО
«Электросвязь» Оренбургской области в течение длительного периода
времени находится в кризисном состоянии, попытка выйти из
которого в 1998 г. окончилась неудачно, возможно, из-за
финансового кризиса 1998 г.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, о\, <32 и функции
от них имеют следующие значения:
</2 = 6,521; d* 2,533;
а? =0,583; а, * 0,763;
G2 =4,583; а2« 2,140;
-—\ = F( -1,184; «0,115;
exp^ r4 = exp{-0,71l} = 0,491.
Подставив найденные значения параметров rf, oj, 02 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = |3:
а = C = 0,115 +
2,14
2,506-2,533
•0,491-
5-1
4,583
4,583-0,583
= 0,166.
207

Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие ОАО
«Электросвязь» Оренбургской области в течение длительного периода
времени находится в кризисном состоянии, справедливо с
гарантированной достоверностью
D = l-a = l-p = l-0,166 = 0,834.
Пример 11.1.8. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия ОАО «Асбест» во времени в сопоставлении с
преуспевающими Х}
A)
"A)
yd)
х?
и кризисными Х\
'B)
X™
Х-
\2)
з предприятиями строительной отрасли.
Для диагностики выберем следующие показатели:
1) чистая прибыль;
2) накладные расходы;
3) коэффициент автономии;
4) оборачиваемость активов;
5) объем продаж, выручка.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 11.1.8,0.
Преуспевающие предприятия:
X
О)
ОАО «Крупнопанельное домостроение»;
г(\)
Х\ } — ОАО «Комбинат строительных материалов»;
Х^ — ОАО «Железобетон»;
X
A)
ОАО «Стройконструкция».
Кризисные предприятия:
х\ * — ОАО «Научно-производственный комбинат строительных
материалов»;
х\ ' — ОАО «Марийскстройматериалы»;
"B)
— ОАО «Силикат».
Вектор средних ах
{ 409,45^
54
0,79
416,75
6148,1 j
Вектор средних а2
г 3,63^1
48,3
0,59 |
927,3
,2575,231
208

Таблица П11.1.8,а
Признаки
1. Чистая
прибыль,
млн руб.
{ 2. Накладные
, расходы,
; МЛН руб.
1 3. Коэффициент
, автономии
, 4.
Оборачиваемость активов,
, дни
1 5. Объем
продаж, выручка,
, млн руб.
Преуспевающие предприятия
X®
560,7
50
0,76
156
6318,6
Зг?>
613,6
58
0,81
121
6447,0
X?
210,2
54
0,89
645
3649,6
^>
Кризисные предприятия 1 ОАО «Асбест»
*<2>
253,3 J -22,1
54 | 43
0,7 | 0,5
745
8177,2
996
I 2955,5
х™
14,8
50
0,6
789
2112,6
1 Хх
7<2> 1 1
11997 г.
15,0 J 57,2
52 J 72
0,67 | 0,75
997 J 89
2657,6 | 455,6
*2
h
1998 г.
78
73
0,64
75
647,7
*3
h
1999 г.
102
75
0,68
98
611,6
х4
2000 г.
89
77
0,79
71
762,1

Ковариационная матрица М{
f 32159,3
52,9
Мх=\ -1,58
-4917,7
v 66947,68
52,9
8
0,05
-35
128,4
-1,5815
0,05
0,0048
-1,2
445,42
-4917,7
-35
-1,2
78826,2
66947,68^1
128,4
445,42
-9272,03
-9272,03 2619549,13
Ковариационная матрица М2
м>> =
332,6 67,6
67,6 14,9
1,1 0,3
-987,5 -113,8
1,1
0,3
0
-0,7
-987,5
-113,8
-0,7
9568,2
-5165,3 л
-832,4
-10,8
31949,27
-5165,3 -832,4 -10,8 31949,2 121805,5
Общая ковариационная матрица М:
м =
25927
82,9
-0,6
-39902,7
50459
82,9
15,3
0,2
-96,3
-0,6 -39902,3
0,2
0
-1,4
-96,3
-1,4
68801,9
50459 л
-396,7
349,9
11751,9
-396,7 349,9 11751,9 2168715,4j
Обратная ковариационная матрица М
-1,
м-' =
0,0003 0,0003 -0,059
0,0003 0,0611 0,25
-0,059 0,25 -6,1811
0,0002 0,0003 -0,0345
0
0
0,0026
0,0002 0
0,0003 0
-0,0345 0,0026
0,0001 0
0 О
Сумма векторов средних ах + а2 и их разность ах - а2:
а\ + а2
( 413,08^1
102,33
1,38
1344,08
8723,33
а{-а2
405,82л
5,7
0,2
-510,55
1, 3573,87
Произведение:
\ах-а2)
М =@,0228 -28,2091 84,6903 0,0041 0,015).
210

Результаты вычисления значений 2Xk-\al+a2J и логарифма
отношения правдоподобия \nb(tk) для различных моментов
времени ^приведены в табл. ПИ. 1.8,5.
Таблица ПИ. 1.8,6
2Л^-(а,+а2)
\nL(tk)
ОАО «Асбест»
Х\
1997 г.
-298,6833
41,6667
0,1200
-1166,0833
-7812,1333
-6,547
Х2
h
1998 г.
-257,0833
43,6667
-0,1000
-1194,0833
-7427,9333
-6,088
*з
>з
1999 г.
-209,0833
47,6667
-0,0200
-1148,0833
-7500,1333
-4,566
Х4
2000 г.
-235,0833
51,6667
0,2000
-1202,0833
-7199,1333
-4,306
Таким образом, lnZ(^)<0 , из чего следует, что ОАО
«Асбест» в течение длительного периода времени находится в
кризисном состоянии, однако, начиная с 1999 г., прослеживается
устойчивая тенденция к выходу из кризиса, проявляющаяся в
увеличении объема продаж и, как следствие, в увеличении
чистой прибыли предприятия.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, g\, 02 и функции
от них имеют следующие значения:
d2 = 46,226; rf* 6,797;
af =0,583;
с22= 4,583;
F\
expi
d^_
2gJ
a, * 0,763;
o2* 2,140;
= F(-3,184) * 0,00077;
= exp{- 5,037} = 0,0063.
211

Подставив найденные значения параметров rf, aj, G2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = р:
а = р = 0,00077 + ^^ 0,0063
2,506-6,797
4,583 ^
4,583-0,583
5-[
2 -1
= 0,0091.
Следовательно, полученное в результате проведенных
вычислений решение о том, что исследуемое предприятие ОАО «Асбест» в
течение длительного периода времени находится в кризисном
состоянии, справедливо с гарантированной достоверностью
/>=1 — сх=1 — р=1 — 0,0091 = 0,9909.
Пример 11.1.9. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия ОАО «Пермэнерго» во времени в
сопоставлении с преуспевающими х\х\ Х^\ х\1\ х[1) и кризисными
х\2), Х^2), Хр} предприятиями отрасли (энергетика и
электрификация).
Для диагностики выберем следующие показатели:
1) чистая прибыль;
2) текущая ликвидность;
3) коэффициент автономии;
4) оборачиваемость активов (дни);
5) рентабельность активов по балансовой прибыли.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. ПИ.1.9,я.
Преуспевающие предприятия:
Х\Х) - ОАО энергетики и электрификации «Самараэнерго»;
Х^р — ОАО энергетики и электрификации «Красноярскэнерго»;
Х^р — ОАО «Ростовэнерго»;
хР — ОАО энергетики и электрификации «Иркутскэнерго».
Кризисные предприятия:
Х^ — ОАО «Акционерная компания энергетики и
электрификации «Омскэнерго»»;
— ОАО энергетики и электрификации «Ярэнерго»;
Х^ — ОАО «Акционерная энергетическая компания «Комиэнерго».
212

Таблица ПП.1.9,а
Признаки
1. Чистая
прибыль,
млн руб.
2. Текущая
ликвидность
3.
Коэффициент
автономии
4.
Оборачиваемость
активов,
дни, дни
5.
Рентабельность
активов по
балансовой
прибыли, %
Преуспевающие предприятия (S\)
«Са-
мара-
энер-
го»
щ»
440,70
1,24
0,71
108,00
4,99
«Крас-
но-
ярск-
энер-
го»
X?
2053,64
0,83
0,84
162,00
16,31
«Рос-
тов-
энер-
го»
Jf
190,20
1,13
0,83
912,00
3,24


кутскэнерго»
Х$>
1253,26
1,96
0,76
912,00
13,680
Кризисные предприятия Eг) J ОАО «Пермэнерго»
«Омск-
энерго»
X™
-19,81
0,95
0,56
1006,00
0,07
«Яр-
энер-
го»
ц*
54,77
1,04
0,72
897,00
1,84
«Коми-
энерго»
Ц2)
Х]
'1
1997 г.
-391,03 655,471
0,85
0,60
1102,00
-0,05
1,25
0,70
198,00
8,39
Х2
h
1998 г.
481,56
1,11
0,57
176,40
4,91
*3
'з
1999 г.
469,00
1,10
0,54
183,60
7,89
Х4
2000 г.
269,21
1,08
0,52
180,00
6,97

Вектор средних ах
^984,45л
Вектор средних а
2 *
а\ =
1,29
0,79
523,50
9,56
а2
'-118,69л
0,95
0,63
1001,67
0,62
Ковариационная матрица Мх:
/
м{=\
' 713976,94 -52,49 19,04 -121572,29 5276,38^
-52,49 0,23 -0,02 128,40 0,30
19,04 -0,02 0,00 6,35 0,11
-121572,29 128,40 6,35 201729,00 -465,33
ч 5276,38 0,30 0,11 -465,33 41,12у
Ковариационная матрица М2:
м2 =
( 57017,52 1,42 8,43 -22525,94 169,85'
1,42 0,01 0,01 -9,73 0,09
8,43 0,01 0,01 -6,37 0,08
-22525,94 -9,73 -6,37 10520,33 -98,65
v 169,85 0,09 0,08 -98,65 1,12,
Общая ковариационная матрица М :
м =
( 605392,06 -29,14 20,29 -110773,40 4323,02N
-29,14 0,19 -0,01 96,88 0,29
20,29 -0,01 0,01 1,26 0,14
-110773,40 96,88 1,26 16765,40 -431,45
^ 4323,02 0,29 0,14 -431,45 33,57,
Обратная ковариационная матрица А/1:
й~1 =
( 4,68-Ю-5 Ц8-10 -4,26-Ю-3 8,68-10
1,18-10 1,28-10 1,6610 -4,1910~3
- 4,26 • 10 1,66 -10 1,85 • 102 1,52 • 10~2
8,68-10 -4,19 10~3 -1,52-10 1,20-10
[-6,01-Ю- -1,76 -5,5МО -8,65 К
Г4
\
'
-6,01
-1,76
-5,51
-8,65
8,10
Сумма векторов средних ах + а2 и их разность ах
( 865,76^1 ( 1103,14л
а2\
а\ +а2
2,24
1,41
1525,17
10,18
ах-а2
0,34
0,16
-478,17
8,94
214

Произведение:
(^-^jM-1 =(-0,0028 6,3719 32,6822 -0,0077 0,3316).
Результаты вычисления значений 2Л^-(д1+я2) и логарифма
отношения правдоподобия lnZ(^) для различных моментов
времени ^приведены в табл. П 11.1.9,6.
Таблица П11.19,6
2Хк-(а]+а2)
Inifo)
ОАО «Пермэнерго»
Х\
1997 г.
445,18
0,26
-0,01
-1129,17
6,61
5,50
h
h
1998 г.
97,36
-0,02
-0,27
-1173,17
-0,35
-0,14
*г
h
1999 г.
72,24
-0,04
-0,33
-1157,17
5,61
-0,23
Ь
2000 г.
-327,33
-0,08
-,37
-1165,17
3,77
-0,73
Таким образом, на протяжении последних трех лет из
рассматриваемых четырех ОАО, «Пермэнерго» находилось в
неглубоком кризисном состоянии, попадание в которое из
преуспевающего состояния 1997 г. обусловлено существенным
сокращением в 1998 г. чистой прибыли (с 655,5 до 481,6) и
рентабельности активов по балансовой прибыли (с 8,39 до 4,91).
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, аь а2 и функции
от них имеют следующие значения:
d2 = 10,99;
? 1 1
1 4 3
а2 I + I + ie4,58;
2 4 3 1
rf*3,32;
oj * 0,76;
о2*2,14;
215

=F(-1,55)« 0,061;
c2 I
expi
2a5
= exp{-l,19} = 0,304.
Подставив найденные значения параметров d9 o\, o2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок a = р:
a = р = 0,061+ 2,14° 0,304 •
2,506-3,32
5-1
4,58
4,58-0,58
-1
= 0,093 .
Следовательно, гарантированная достоверность проведенной
диагностики изменения состояния ОАО «Пермэнерго» во
времени составляет:
D = l-a = l-p = l- 0,093 = 0,907.
Пример 11.1.10. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия ОАО «Нижневартовскнефтегаз» во
времени в сопоставлении с преуспевающими х{{), Ш\ х{1), Х^ и
7B)
"B) 7B)
предприятиями нефтедобывающей
кризисными х\ }, Х\}, Х\
отрасли.
Для диагностики выберем следующие показатели:
1) чистая прибыль;
2) текущая ликвидность;
3) коэффициент автономии;
4) оборачиваемость активов;
5) объем продаж, выручка.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. Ш1.1.10,я.
Преуспевающие предприятия:
х\х) - ОАО «Итера»;
Ц]) - ОАО «Лукойл»;
Х$Х) - ОАО «Вахнефть»;
Х^ — ОАО «Сургутнефтегаз».
216

Таблица П11.1.10,а
Признаки
1. Чистая
прибыль, млн руб.
2. Текущая
ликвидность
3. Коэффициент
автономии
4.
Оборачиваемость активов,
дни
5. Объем
продаж, выручка,
млн руб.
Преуспевающие предприятия
XW

«Итера»
340,7
1,160
0,69
119
6415,6
X?

«Лукойл»
2153,6
0,733
0,90
154
6627,0
*<»
«Вах-
нефть»
390,2
1,345
0,82
898
3729,6
xf

«Сургут.
нефте-
газ»
1155,3
1,930
0,79
922
8657,2
Кризисные предприятия
х™
«Оха-
нефть»
-17,6
0,130
0,60
1017
2855,5
зрр
«Ки-
нель-
нефть»
37,8
0,943
0,69
883
2092,6
X™
«Коми-
нефть»
-621,0
0,740
0,63
1200
2627,8
ОАО
«Нижневартовскнефтегаз»
ХХ
h
1997 г.
19,6
0,830
0,81
89
410,3
х2
h
1998 г.
205,1
1,040
0,77
107
551,9
*з
1999 г.
110,3
1,96
0,63
92
523,9
Х4
Ч
2000 г.
78,2 |
1Д28
0,60
ПО
552,6

Кризисные предприятия:
х{2) - ОАО «Оханефть»;
Л^2) — ОАО «Кинельнефть»;
Ц2) - ОАО «Коминефть».
Вектор средних а,: Вектор средних а2:
1009,95 л
1,29
а\ = I 0,8
523,25
,6357,35,
Ковариационная матрица Мх
а2
-200,72")
0,60
0,64
1033,33
2525,30
М,
( 723375,9
-49,2
21
-121688,2
939215,7
-49,2
0,21
0
131,6
556,2
21
0
0
5,9
-55,7
-121688,2
131,6
5,9
201603
-120163,8
939215,7^1
556,2
-55,7
-120163,8
3492568,7
Ковариационная матрица М2
м2 =
f 57518,6
22,3
9,1
-22637,2
-32448,3
22,3
0
0
-8,9
-26,2
9,1
0
0
-7,2
-36,4
•22637,2
-8,9
-7,2
10493,2
29062,2
- 32448,3 "|
-22,6
-36,4
29062,2
182499,3
( 605382,2
-31,2
Общая ковариационная матрица М :
¦31,2 25,3 -110757,8 725409,5^
0,21 0 100,9 421,5
М=\ 25,3 0 0,00698 1,6 -64,9
-110531,8 100,9 1,6 168105,3 -79323,6
725409,5 421,5 -64,9 -79323,6 2933031,3 J
Обратная ковариационная матрица М'{:
м~
0
0,0223
-0,15
0
0
0,0223
43,5
-162,3
-0,0206
-0,012
-0,15
-162,3
826,17
0,0307
0,0705
0
-0,0206
0,0307
0
О
О
-0,012
0,0705
О
О
218

Сумма векторов среднихщ + а2 и их разность ах-а2\
<*\+а2 =
( 809,68^1
1,90
1,44
1556,58
8882,65
ах-а2
( 1210,2 л
0,69
0,16
-510,08
3832,05j
Произведение:
\р\-а2)ТМ-1 =(-0,0234 -29,031 204,6412 0,0032 0,026).
Результаты вычисления значений 2Хк-\а1+а2) и логарифма
отношения правдоподобия \nl(tk) для различных моментов
времени ^приведены в табл. 11.1.10,5.
Таблица ЛШ. 10,6
2Xk-(ai+a2)
\nl{tk)
ОАО «Нижневартовскнефтегаз»
Х\
1997 г.
-770,48
-0,24
0,18
-1378,58
-8062,05
-31,459
Х2
h
1998 г.
410,20
2,08
1,54
214,00
1103,80
15,234
*з
Ь
1999 г.
220,60
3,92
1,26
184,00
1047,80
10,138
Х4
ч
2000 г.
156,40
2,26
1,20
220,00
1105,20
2,458
Таким образом, ОАО «Нижневартовскнефтегаз» находилось
в кризисном состоянии в 1997 г. и вышло из него в 1998 г. в
первую очередь в связи с существенным увеличением чистой
прибыли (с 19,6 до 205,1). В последующие два года предприятие
оставалось в преуспевающем состоянии, однако уменьшение
чистой прибыли к 2000 г. до 78,2 привело к уменьшению
обобщенного интегрального показателя состояния предприятия
\r\L{tk)c 15,234 в 1998 г. до 2,458 в 2000 г.
219

Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в формулу параметры d, оь ©2 и
функции от них имеют следующие значения:
d2 = 48,324;
7 1 1
at =- + -«0,583;
1 4 3
aj= 4,583;
d» 6,950;
о, * 0,760;
<т2*2,14;
' d^
a2
ехрГ^Г
= F(-3,08)* 0,0010;
= exp{-5,297} = 0,0064.
Подставив найденные значения параметров rf, aj, ^ и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок a = р:
a = p = 0,0010 +
2,14
2,506-6,95
•0,0064-
5-1
4,583
4,583-0,583
= 0,0012.
Следовательно, гарантированная достоверность проведенной
диагностики изменения состояния ОАО «Нижневартовскнефте-
газ» во времени составляет:
D = l-a = l-P = l- 0,0012 = 0,9988.
Пример 11.1.11. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия ОАО «Татнефть» во времени в
сопоставлении с преуспевающими Л^1*, Х^, Х^1), Х^ и кризисными х\2),
Х{22), Х{2) предприятиями нефтедобывающей отрасли.
Для диагностики выберем следующие показатели
(в млн руб.):
1) запасы и затраты;
2) дебиторская задолженность;
3) чистая (нераспределенная) прибыль;
4) себестоимость и др. операционные расходы;
5) краткосрочные обязательства.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. П 11.1.11,а.
220

Таблица ПИ. 1.11,а
Номер
1 пока-
! зателя
1
2
3
4
5
Преуспевающие предприятия I Кризисные предприятия
(Si) №)
*<»
2886,233
41648,51
7191
26144,36
35972,74
х<п
13846,56
10271,56
19542,6
71232,84
11509,81
х™
10250,17
53044,06
45685,53
188682,8
39068,27
х^
*Р
2745,546 3119,271
12954,6 3551,258
1759,457
62370,72
3701,912
14572,71
15529,72 3573,096
уB)
А2
1939,814
415,472
399,067
8158,906
2347,149
Х^
1719,385
ОАО «Татнефть»
Хх
1998 г.
2860,488
2146,415 10435,84
4573,297 4798,682
15711,1 21540,06
3248,495 19062,94
х2
h
1999 г.
5384,574
21040,73
12249,1
30041,55
20630,65
Хъ
2000 г.
10491,88
26353,94
23160,22
73326,47
16623,58
Ха
2001 г.
12198,69 1
32341,48
11619,02
53454,38
36645,76

Преуспевающие предприятия:
ОАО «ЮКОС»;
- ОАО «Сургутнефтегаз»;
- ОАО «Лукойл»;
- ОАО «Сибнефть».
Я1)
"(О
"A)
"A)
Кризисные предприятия:
ОАО «Нижнекамскнефтехим»;
Х\2У
7B)
ОАО «Роснефть-Пурнефтегаз»;
7B)
ОАО «Оренбургнефть».
Вектор средних ах:
f 7432Д27Л
29479,68
а{ =
18544,65
87107,68
25520,14
Вектор средних а2:
f 2259,49 л
2037,715
а2 =
2891,425
12814,24
3056,247
Ковариационная матрица М
30571827,34
-11558552,51
71054396,28
192493334,2
-11558552,51
448463550
25321804,9
788469611,2
1-
71054396,28
253201804,9
382757094,5
1282788909
134247516
-17461516,78 2935513118,5
Ковариационная матрица М2:
192493334,2 -17461516,78
788469611,2 2935513118,5
1282788909 134247516
4965986731 402824061,4
402824061,4 196302245,3
566564,762
880599,1269
292600,4414
717742,3888
1^283612,2281
880599,1269
2467150,227
2726368,365
5264242,034
976749,9052
292600,4414
2726368,365
4848715,501
8950059,841
1254780,998
717742,3888
5264242,034
8950059,841
16578065,83
2383432,223
283612,2281
976749,9052
1254780,998
2383432,223
403456,078
Общая ковариационная матрица М :
24797400 ,73
-8718482,528
57019077,29
154425312,8
-13799046,09
-8718482,528
360251130,1
204197265
633934234 ,2
235427104 ,8
57019077,29
204197265
309114904,9
1031601163
108150881,4
154425312,8
633934234 ,2
1031601163
3982736225
323689308,5
-13799046,09'
235427104 ,8
108150881 ,4
323689308 ,5
157283869,9
222

Обратная ковариационная матрица М
>-i
л/-' =
( -6
3,00628 10
- 3,86723 10~6
-1,15491-КГ6
2,9024-10
6
6,24916 10
-3,86723 10
9,84581-10"
7,21963 • 10"
-4,0653-10
-1,47366-10
-6
-1,15491 10
2,9024 10
7,21963 10 J -4,0653 10
-7
,-6
5,90156-10
-1,12823-10"
-1,35559-10"
-7
-1,12823-10
3,01396-10"
6,49522 10"
-7
6,24916 • 10"
- 1,47366 • 10"
-1,35559-10"
6,49522 10"
2,22082-10"
Сумма векторов средних ах + а2 и их разность ах-а2\
ах+а2 =
f 9691,61725^
31517,39525
21436,07108
99921,91825
28576,38367
ах-а2
( 5172,63725^1
27441,96525
15653,22042
74293,44425
22463,89033
Произведение:
fa-a^M'1 =@,015550374 -0,106245 -0,018078136 0,021563 0,140381).
Результаты вычисления значений 2Xk-\zx+a2) и логарифма
отношения правдоподобия \ni(tk) для различных моментов
времени ^ приведены в табл. Ш 1.1.11,5.
Таблица ПП.1.11,6
2ЛТ*-Ц+а2)
|_ М'*)
ОАО «Татнефть»
*1
1998 г.
-3970,641
-10645,71
-11838,71
-56841,8
9549,488
-30,87248
Х2
h
1999 г.
1077,531
10564,06
3062,125
-39838,8
12684,91
8,378003
*з
2000 г.
11292,14
21190,49
24884,37
46731,01
4670,778
87,79854
Х4
и
2001 г.
14705,77
33165,56
1801,969
6986,836
44715,14
114,3401
223

Таким образом, ОАО «Татнефть» находилось в кризисном
состоянии в 1998 г., вышло из него и стало преуспевающим
предприятием в 1999 г., а в последующие два года обобщенный
показатель состояния предприятия \ni(tk) продолжал быстро
увеличиваться, достигнув достаточно большого значения 114,34.
Выход из кризиса и дальнейшее быстрое улучшение состояния
предприятия ОАО «Татнефть» связано в первую очередь с
быстрым ростом чистой прибыли (от 4798,7 до 23160,2),
обусловленным, по-видимому, ростом цен на нефть.
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, g\, а2 и функции
от них имеют следующие значения:
d2 = 1716; d* 41,42;
of =0,583;
а] * 0,760;
о2 = 4,583;
g2 * 2,14;
d_
G2
F(-19,36)« 0,0001;
expj j I = exp{-185,0} = 0.
Подставив найденные значения параметров d, o\, о2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок а = р:
а = C = 0,0001 +
2,14
2,506-41,42
-•О-
5-1
4,583
1,4,583-0,583
= 0,0001.
Следовательно, гарантированная достоверность проведенной
диагностики изменения состояния ОАО «Татнефть» во времени
составляет:
D = l-a = l-p = 1-0,0001 = 0,9999.
Пример 11.1.12. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия издательского дома ЗАО «Евро-адрес Пермь»
70) 70)
7(\)
70)
в сопоставлении с преуспевающими Х\}, Х\ч, Х\}, х\} и
кризисными 1с\2), Х^2), хр>, х[2) предприятиями отрасли (выпуск
справочников «Желтые страницы»).
224

Для диагностики выберем следующие показатели:
1) прибыль;
2) объемы продаж;
3) рентабельность;
4) текущая ликвидность;
5) стоимость основных средств.
Предприятия задаются следующими характеристиками:
преуспевающие и кризисные — табл. П11.1.12,я, а исследуемое —
табл. ПИЛ.12Д
Таблица ПИ 1.12,6
Признаки
Прибыль, тыс. руб.
Объем продаж, тыс. руб.
Рентабельность, %
Текущая ликвидность
Стоимость основных
средств, млн руб.
ЗАО «Евро-адрес Пермь»
Хх
tx
1998 г.
1897,1
1569
16,1
0,01
1,4
Х~2
h
1999 г.
2051,4
2006
17,2
0,012
2,6
*з
'3
2000 г.
2773,9
2114
20,1
0,09
3,78
Х4
Ч
2001 г.
2990,4
2436
21,4
0,91
4,1
Вектор средних я,:
'4293,43^
9403,11
а, =
22,23
1,27
8,02
Вектор средних а2
-91,02")
а2 =
195,45
5,96
0,08
8,10
Ковариационная матрица Мх:
м, =
( 206229,12
5102587,7
2307,32
993,73
1 1872,63
5102587,7
13439638,4
5281,89
2478,14
3412,05
2307,32
5281,89
6,032
0,81
4,11
993,73
2478,14
0,81
0,5
0,75
1872,63
3412,05
4,11
0,75
4,12
8 Диагностика кризисного состояния предприятия.
225

Таблица ПИ. 1.12,а
Признаки
Прибыль, тыс. руб.
Объем продаж,
тыс. руб.
Рентабельность, %
Текущая
ликвидность
Стоимость
основных средств,
млн руб.
Преуспевающие предприятия (S\)
«Евро-
адрес
Казань»
*('>
2970
7425
20,6
0,62
5,1
«Евро-
адрес

Новосибирск»
X?
2833,38
5437,17
21,6
0,51
8,72
«Евро-
адрес
Москва»
Х$>
6181,2
13997,25
26,4
2
10,71
«Евро-
адрес

С.-Петербург»
щ>
5189,13
11653,03
20,31
1,97
7,54
Кризисные предприятия Eг)
«Евро-
адрес
1 Самара»
*.B)
! 50,1
697,1
9,6
0,019
4,61
«Евро-
адрес

Ульяновск»
J<2>
-159,3
16,4
4,06
0,04
12,38
«Евро-
адрес

Тольятти»
ц*
-267,9
13,6
7,1
0,21
7,84
«Евро-
адрес

Саратов»
X?
1,6
56,4
3,1
0,06
7,6 1
226

Ковариационная матрица М2
м2 =
139914,58
5523,58
502,04
-18,21
-768,92
5523,58
324,44
40,43
-0,54
-27,40
592,94
40,43
6,58
0,01
-4,02
-18,21
-0,54
0,01
0,0056
0,0044
-768,92 ^
-27,40
-4,92
0,0044
7,703
Общая ковариационная матрица М :
М =
'1468137,56
3405405,52
1933,51
650,35
735,81
3405405,52
8959975,22
3548,22
1651,73
2256,43
1933,51
3548,22
8,41
0,55
-0,54
Обратная ковариационная матрица М
м~1 =
( 0,00001
0,000002
-0,00099
-0,009
0,00009
-0,000002
0,0000015
0,000037
-0,0038
-0,000013
-0,00099
0,000037
0,248
1,283
0,017
650,35
1651,73
0,55
0,35
0,51
-1.
-0,009
-0,00379
1,283
37,83
-0,35
735,8 О
2256,43
-0,54
0,51
7,88 )
0,00009 ^
-0,000013
0,017
-0,35
0,14
Сумма векторов средних ах + а2 и их разность ах -а2:
'4205 ^| D591 л
9383,53 I I 9202,68 |
ах-а2
а{ +а2
28,19
1,35
16,12
16,26
1,19
-0,09 J
Произведение:
(а, -а2)ТМ~х =(-0,0008 0,002 1,73 -9,6 0,11).
Результаты вычисления значений логарифма отношения
правдоподобия In L(tk) для различных моментов времени fy
приведены в табл. П11.1.12,*.
Таким образом, ЗАО «Евро-адрес Пермь» все эти годы
находилось в преуспевающем состоянии, так как lnZ(^)>0 . При этом
обобщенный показатель состояния предприятия постоянно
возрастал, что связано с увеличением объема продаж, прибыли и,
как следствие, рентабельности.
227

Таблица П11.1.12,в
ini(tk)
ЗАО «Евро-адрес Пермь»
Хх
1998 г.
3,606
Х2
h
1999 г.
7,78
*з
>з
2000 г.
9,525
х\
2001 г.
10,73
Вероятность ошибок диагностики а = р вычисляется по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d, g\, g2 и функции
от них имеют следующие значения:
</2 = 35,98; </*6,00;
of =0,5;
о^=4,5;
а, * 0,707;
о2* 2,121;
Л-—=F(-2,83)« 0,0024;
ехр^
2а 2
> = ехр{- 4,00} = 0,0183.
Подставив найденные значения параметров d, g\, g2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятность ошибок a = р:
a + C = 0,0024 +
2,12
2,506-6,00
0,0183
5-1
4,5
.4,5-0,5 J
-1
= 0,0027.
Следовательно, гарантированная достоверность проведенной
диагностики изменения состояния ЗАО «Евро-адрес Пермь» во
времени составляет:
D = l-a = l-p = 1-0,0027 = 0,9973.
Пример 11.1.13. Диагностика изменения состояния
исследуемого предприятия X во времени в сопоставлении с
преуспевающими (sx) предприятиямиХ{\Щ\Х\1\Ху и кризисными
(S2) предприятиями х\2\ Х^\ ХC2\ х\2) отрасли
(нефтедобывающая и нефтеперерабатывающая промышленность).
228

Для диагностики кризисного состояния предприятия
выбираем следующие показатели:
1) прибыль;
2) рыночная стоимость;
3) рентабельность.
Преуспевающие, кризисные и исследуемое предприятия
задаются характеристиками, представленными в табл. ПИ. 1.13,е.
Таблица П11.1.13,а
Признаки
Прибыль,
млн руб.
Рыночная
стоимость, млн усл. ед.
Рентабельность
Признаки
X?
93,70
338,4
Прибыль,
млн руб.
Рыночная
стоимость, млн усл. ед.
Рентабельность
Признаки
Прибыль,
млн руб.
Рыночная стои-
мость, млн усл. ед.
Рентабельность
0,6
7B)
х\
A)
61,80
274,7
0,57
xf
96,30
241,4
0,59
yd)
76,70
236,3
27,00
86,1
XI
B)
21,1
Ч
h
IV кв.
2000 г.
59,8
179,9
0,14
h
I кв.
2001 г.
66,32
195,3
0,196
Х<
'B)
35,7
89,95
0,62
7B)
33,2
86,9
Ь
II кв.
2001 г.
69,25
175,8
0,189
Ч
III кв.
2001 г.
46,8
148,5
0,12
Вектор средних щ:
' 82,13 Л
а, =| 272,70 [
v 0,601
Вектор средних а2:
/29,25>
а2 =
88,19
0,06
229

Разность векторов средних ах-а2\
( 52>88 Л
ах-а2 = 184,51
I 0,54
Ковариационная матрица Мх:
( 676,96 229577,35 0,32 л
Мх = 229577,35 3387,77 -0,72
[ 0,32 -0,72 0,001
Ковариационная матрица М2:
Г 32,173 -5,685 -0,140 ^
М2= -5,685 2,930 -0,046
[-0,140 -0,046 0,0002
Общая ковариационная матрица М :
м = \
V
Обратная ковариационная матрица М
( 1,55 -123,7 78720^
-123,7 0,363 -19700
v78720 -19700 17748000000
472
153819
0,12
153819
2262
-0,51
0,12
-0,51
0,0008
M~l =5,278 -10'
-1
Произведение:
(^-а2O М-1 =@,00104 -0,00059 497)
Результаты вычисления значений 2Хк-\рх+а2) и логарифма
отношения правдоподобия \nL(tk) для различных моментов
времени fy:
2ArA-(a,+a2),
* = 1,...,5
\nL(tk)
IV кв.
2000 г.
' 8,225'
-1,087
,-0,375,
-93,19
I Кв.
2001 г.
' 21,265'
29,712
,-0,260,
-64,61
II Кв.
2001 г.
' 28,525"
-9,287
t-0,277J
-68,83
III Кв.
2001 г.
f-17,775"
-63,987
ч -0,415;
-103,13
230

Таким образом, lnZ(^)<0, из чего вытекает, что
исследуемое предприятие X отрасли (нефтедобывающая и
нефтеперерабатывающая промышленность) в течение всего наблюдаемого
периода находится в кризисном состоянии. Некоторое
относительное улучшение обобщенного интегрального показателя
состояния предприятия InZ в I и II кварталах 2001 г. не получило
своего развития в III квартале из-за резкого уменьшения
мировых цен на нефть, в результате чего указанный показатель
снизился даже по сравнению с IV кварталом 2000 г.
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d,ouo2 и функции
от них имеют следующие значения:
А
: 9,168;
а? = 0,50;
G2 = 4,50;
°2.
= F
3,028
2,12
d * 3,028;
а, «0,71;
ст2 * 2,12;
¦ F{-1,43) = 0,0764;
e4^H-^bexp|"i'oi9)=w61-
Подставив найденные значения параметров d,vbo2 и
функций от них в (9.16), вычисляем вероятности ошибок а = р:
а = р = 0,0764 +
2,12 0,361
2,506-3,028
3-1
4,50
1^4,50 -0,50 J
-1
= 0,1106.
Таким образом, полученное в результате проведенных
вычислений заключение о том, что исследуемое предприятие X в
течение всего времени наблюдения (IV квартал 2000 г. — III квартал
2001 г.) находится в кризисном состоянии, справедливо с
гарантированной достоверностью
D = 1-а = 1 -р = 1 -0,1106 = 0,8894 .
Пример 11.1.14. Диагностика изменения состояния
исследуемого банка X во времени в сопоставлении с преуспевающи-
231

ми (sx) банками х\Х), Х{2\ Х^\ Х{^ к кризисными (s2) банками
уB) уB) у{2) уB)
А\ >л2 >л3 'Л4 *
Для диагностики изменения состояния банка X во времени
выбираем следующие показатели:
1) капитал;
2) чистые активы;
3) обязательства;
4) кредиты.
Банки задаются следующими характеристиками:
преуспевающие и кризисные — табл. ПИ. 1.14,я, а исследуемый —
табл. П11.1.14Д
Вектор средних ах: Вектор средних а2:
а{ =
f 9707916,7Л
138460967,3
25706316,5
16372180,5у
а2 =
f 388828,75Л
561896
1225254,75
1217619,25,
Разность векторов средних ах - а2:
ах~а2
( 96690338 Л
137899071
24481062
15154561
Ковариационная матрица Мх:
л/, =
21129722165830900 25937778361696600 1712310484350660 576618956321823
25937778361696800 32168038028006900 2480054367010450 1007848866417970
1712310484350660 2480054367010450 589371636149400 403802130438740
578618956321893 10078488666417970 403802130438740 298707863666500
Ковариационная матрица М2:
л/9
f 60123999580
59314036786
-262184431908
-205335400961
59314036786
79447991441
-11190232700
549030215632
-262184431908
-11190232700
2952356793881
1750443334943
-205335400961 л
549330215632
1750443334943
1403692460532 J
232

Таблица П11.1.14,а
Признаки
Капитал,
тыс. руб.
Чистые
активы,
тыс.^руб.

Обязательства,
тыс. руб.
Кредиты,
тыс. руб.
Преуспевающие банки (S[)
щ»
3484606
445687810
44717032
22144334
*<»
17040420
29436040
1376511
236841
Х^
22382904
76423366
54728652
42138558
X?
432744
2296653
2003071
Кризисные банки Eг)
х\2)
284951
338291
68684
968939 168096
ЛГ<2>
783242
1041653
266133
64035
J<2>
369914
384733
370823
1704489
уB)
117208
482907
4195399
2933857

Таблица ПИ. 1.14,6
Приз-
наки
Капитал,
тыс. руб.
Чистые
активы,
тыс. руб.

Обязательства,
тыс. руб.
Кредиты,
тыс. руб.
Исследуемый банк
*\
'1
1.07.99
1543843
7460437
5765290
3166753
Хг
h
1.10.99
1797535
9241316
7385154
4977623
*Ъ
h
1.01.00
1846650
10149574
8220937
6659362
Х4
1.04.00
2058507
10585787
8575870
6659021
Х5
'5
1.07.00
2039611
11933936
10574302
9731793
Х6
1.10.00
2076111
10512136
8393352
6043502
*п
1.01.01
2727291
11356939
9637852
6907793
х%
h
1.04.01
2719004
13045988
11611259
9005168
х9
1.07.01
2734398
12982037
11427448
9579272
"^10
1.10.01
2711758
15511255
13940904
9395508
234

Общая ковариационная матрица М :
Л/ =
14086521525220300
1729189178322300
1141365533279170
384275747280575
17291891783822300
21444078317332300
1653322117851840
672265264422400
1141365533279170
1653322117851840
394882661962188
270368382515789
Обратная ковариационная матрица М
-\,
м~1 =
Г 40297-Ю-12
12
-12
-3139710
.-12
-56950 10
-12
384275747280575
6722652644222400
270368382515789
200074370751355
105058.10"
-31397-10"
-56950-10
х 105058-10
Произведение:
24718-Ю-12 37944-102 -74025-102
11
37944-10
-74025-10
-12
-12
246054-10"
-350616-10"
-350618.10"
521248-10
-и
(- ± V * 1
щ-а2) М =
-(-0,0000023538233 0,0000017983095 0,000003616502 -0,0000073398783)
Сумма векторов средних:
\а1+а2)=
( 97467993 
139022863 1
26931571
ч17589800у
Результаты вычисления значений 2Хк-\а]+а2)п логарифма
отношения правдоподобия \nL(tk) для различных моментов
времени tk:
2Хк-(а]+а2),
* = 1,...,5
In L(tk)
01.07.1999
-94382000
-124100000
-15400000
-11260000
14,4
01.10.1999
-93874000
-120500000
-12160000
-7935000
7,20
01.01.2000
-93806000
-118700000
-8048000
-4272000
5,36
01.04.2000
-93350802
-128410000
-9743000
-4280000
7,49
01.07.2000
-83391000
-115155000
-5780000
1870000
1,40
2Хк-(а1+а2),
it = 6,..., 10
[inZ(/*)
01.10.2000
-93315774
-117992863
-10143571
-5499800
3,68
01.01.2001
-920018000
-116300000
-7630000
-38000000
1,60
01.04.2001
-92000000
-112900000
-4740000
400000
-9,90
01.07.2001
-92010000
-113000000
-4130000
1600000
-16,4
01.10.2001
-92050000
-108000000
950000
1210000
12,6
235

Приведенные результаты вычислений показывают, что
обобщенный интегральный показатель исследуемого банка InL(tk) с
течением времени уменьшается вплоть до достижения банком
кризисного состояния 01.04.2001 г. и 01.07.2001 г. с последующим
выходом из него 01.10.2001 г.
Вероятности ошибок диагностикиа = р вычисляются по
формуле (9.16), входящие в которую параметры d9a\9a2 и функции
от них вычисляются следующим образом:
<Г = 15,938;
а? =0,5;
аЬ4,5;
а2 ;
3,992
2,121
rf* 3,992;
с{ * 0,707;
а2* 2,121;
:F(-1,882) = 0,030;
ехр^
uhp{-lM-M-vi,}-°-m-
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются в
результате подстановки найденных значений параметров d,oba2 и
функций от них в формулу (9.16):
4-1
2,12
а = р = 0,030 +
2,506-3,992
•0,17-
4,5
4,5-0,5
-1
= 0,0644.
Таким образом, гарантированная достоверность проведенной
диагностики составляет
D = l-a = l-p = 1-0,0644 = 0,9356.
Пример 11.1.15. Диагностика изменения состояния
исследуемого банка X во времени в сопоставлении с
преуспевающими (S\) банками х{1\ Х^\ Щ1\ Х^ и кризисными (s2) банками
у{2) уB) уB) рB)
Выберем для диагностики изменения состояния банка X во
времени следующие показатели:
236

1) капитал;
2) чистые активы;
3) обязательства;
4) кредиты.
Банки задаются следующими характеристиками:
преуспевающие и кризисные — табл. ПИ.1.15,а, а исследуемый —
табл. П11.1.15Д
Вектор средних ах: Вектор средних а2:
*i =
( 21306208^1
114944849
55166566
v 36602224
а2
673190Л
2345794
1866027
1239825
Разность векторов средних ах -а2:
f 20633018^1
112599055
53300539
35362399
ах-а2 =
Ковариационная матрица М,:
Л/,=
14
^14
2,1140
8,67Ы014 4,419-101Э -1,34010
14
г*14
-2,932 10
14
8,67Ы0" -2,93210'* -2,042-Ю1
-1,024 10]
15
1,340-1015 4,671-Ю1
1^-2,0421014* -1,02410
Ковариационная матрица М2
,15
V5
^14
3,312-10
3,312-Ю1* 2,46410]
^1,15 МО11
Мо =
4,230 1011 3,620 101
и
4,23010м 3,146101Z 3,09110
J
*12
8,791
1,802-
3,620 1011 3,091 -1012 3,089 1012 1,728
Д79Ы022 1,802-1012 1,728-Ю12 1,107
Общая ковариационная матрица М :
22^
12
12
12
м =
г.14
14
1,409-101-1 5,784-10"* -1,952-Ю1
л14
5,861 10
.14
л!5
,14
5,784-101<f 2,949-101Э -8,910-Ю1* -6,818-1014
-1,952-Ю14 -8,910-1014 3,135-Ю14 2,220-1014
5,86Ы022 -6,818 10
,14
2,220 10
14
1,650 10
14
237

Таблица Ш1.1.15, а
Признаки
Капитал,
тыс. руб.
Чистые
активы,
тыс. руб.

Обязательства,
тыс. руб.
Кредиты,
тыс. руб.
Преуспевающие банки (S\) J Кризисные банки E*2)
х™
2870090
68766210
72271636
46229592
1<"
22382904
76423366
54728652
42138558
*<'>
43274400
229665300
20030710
9689890
уA) уB)
Л4 Л1
16697436 783242
84924518 1041653
73635267
48350854
266133
600435
Ц2)
452479
3174058
2933912
1256912
53»
1172087
4829073
4195399
2933857
X?
284951
398391
68664
168096

Таблица П11.1.15,6
Признаки
Капитал,
тыс. руб.
Чистые
активы,
тыс. руб.

Обязательства,
тыс. руб.
Кредиты,
тыс. руб.
Исследуемый банк
*\
h
1.10.99
502760
2649050
2266217
885559
Х2
h
1.01.00
523192
3029527
2719740
1521814
*3
h
1.04.00
494997
4567242
4360189
1571327
*А
1.07.00
667951
5222258
5024416
2528466
*5
*5
1.10.00
1283214
9396775
8856683
2448731
*ь
1.01.01
1434025
7407506
6530958
2905546
х-,
>7
1.04.01
1425236
8976471
8254097
5725179
*8
h
1.07.01
1667739
12561732
11035715
5709456
х9
'9
1.10.01
2379180
17099312
15885659
11821298
239

Обратная ковариационная матрица М
-к
м~1 =
f - 4,715 -10~34
2,088-Ю-24
- 6,147-10~24
1,706-103
•4-24
2,088 10"^ -6,147-10
2,404 10
6,834-10
-15
-15
6,83410
2,261-10
-24
-15
-14
1,706-10"
-9,614-10"
7,894-101
- 9,614 10~25 7,894 104 - 5,235-10f33
Произведение:
(^1-^2)гм-,=
5,108 хЮ6 6,349 хЮ 1,975 х10~6 6,645 хЮ6
Сумма векторов средних:
(д,+а2)=
( 21979397
117290642
57032593
37842049
\
Результаты вычисления значений 2Хк-\а1+а2) и логарифма
отношения правдоподобия \nL(tk) для различных моментов
времени t?
2Xk-(a]+a2),
* = 1,...,5
inZy
01.10.1999
-21,0-106
-111,1-Ю6
-52,5-106
-36,2-106
-174,2
01.01.2000
-20,9-106
-111,3-106
-51,6- 106
-35,1-106
-172,6
01.04.2000
-21,1-106
-108,0-106
-48,3-Ю6
-35,0-106
-165,7
01.07.2000
-20,7-Ю6
-106,0-106
-47,0-106
-33,6-Ю6
-149,6
01.10.2000
-19,4-106
-98,5-106
-39,0-106
-33,1 • 106
-139,5
2Xk-\ax+a2),
к = 6,..., 9
InZfo)
01.01.2001
-19,2-106
102,5-106
-43,4-106
-32,2-106
-149,7
01.04.2001
-19,2-Ю6
-93,0-Ю6
-40,5-106
-26,6-106
-139,0
01.07.2001
-18,6- 106
-92,3-106
-35,0-106
-25,0-106
-127,7
01.10.2001
-17,2- 106
-83,0-106
-25,0-106
-14,0-106
-102,0
240

Таким образом, на протяжении всего временного интервала
с 01. ГО. 1999 г. по 01.10.2001 г. исследуемый банк находится в
глубоком кризисе (Sj), так как \nL(tk)<0, однако наблюдается
постоянная положительная динамика состояния банка,
обусловленная улучшением его показателей с течением времени.
Вероятности ошибок диагностики состояния исследуемого
банка aUp вычисляются по формуле (9.16), входящие в
которую параметры </, оь с2 и функции от них вычисляются
следующим рбразом:
J2 =176,753;
<т2
rf* 13,295;
cij * 0,707;
о?=4,5; а2* 2,121;
f 13,2951
of =0,5;
2
= F
2,121
= F(-6,27) = 0,00001;
exp^
2aj
^exp|-^} = exp{-19,60}^0.
Вероятности ошибок диагностики а = р вычисляются в
результате подстановки найденных значений параметров d, оь а2
и функций от них в формулу (9.16):
a =p = 0,0001 +
2,121
2,506-13,295
-0-
4,5
4,5-0,5
4-1
2
-1
: 0,00001 .
Следовательно, полученные результаты диагностики
динамики состояния исследуемого банка справедливы с
гарантированной достоверностью
D = l-a = l-p = l- 0,00001 = 0,99999.
1 1.2. Среднее время достижения предприятием
кризисного состояния
В каждый взятый отдельно момент времени tk оценка
логарифма отношения правдоподобия \nL(x) представляет собой, как
241

это следует из глав 8 и 9, случайную величину. Как известно
[27, 16], если некоторая случайная величина ЫЦх) зависит от
изменяющегося параметра, каковым является время, то она
представляет собой случайный процесс lnZ(jt, t) = \nL(t)(
который, поскольку отношение правдоподобия всегда является
скаляром (см. гл. 8 и 9), является скалярной функцией времени —
функцией состояния предприятия lnZ(/). Если на исследуемом
предприятии в течение достаточно длительного интервала
времени Т осуществляется мониторинг его состояния, то
полученные данные (значения функции состояния предприятия \nt(t) в
различные моменты времени /) могут быть использованы для
получения по формуле F.18) несмещенной и состоятельной
оценки функции распределения F{ni(x) случайного процесса
lnZ(f), являющейся одной из главных его вероятностных
характеристик (см. Приложение 1, параграф П. 1.1):
^Z« = ^>' A1Л)
1 к
где Atk — длительность к-го выброса случайного процесса под некоторым
уровнем его значений х [27] (см. интервалы А/ь А/2, Д*з> Д/4
на рис. 11.1).
В качестве оценки плотности вероятности ^^(х) функции
состояния предприятия \nL(t), также представляющей одну из
его главных вероятностных характеристик, целесообразно
использовать оценку Розенблатта F.21), получаемую из оценки
Fln^(jc) функции распределения процесса \nL(t) A1.1) с
использованием методов численного дифференцирования:
Е Ax + h)-R Лх-h)
w, f(x) = -^ ^ -, A1.2)
где h > О — некоторый параметр.
Полученная функция состояния предприятия lnZ(/) является
обобщенной интегральной характеристикой, содержащей всю
242

информацию о предприятии, заключенную в перечисленных в
главе 5 пятидесяти пяти признаках его деятельности,
позволяющей, ^аким образом, свести сложнейшую векторную задачу
оценки состояния предприятия к скалярной задаче о превышении
или непревышении нулевого порога скалярным случайным
процессом! In L(t).
Среднее время Р1п^@) достижения предприятием кризисного
состояния, являющееся важнейшей прогнозной характеристикой
его деятельности, может быть вычислено как частный случай из
среднего времени первого достижения функцией состояния
предприятия In 1@ границ х\ и х2 заданной области р1п/(*ь х2),
выражающегося через функцию распределения ^jn/0) и среднее
число пересечений \{niM случайным процессом lnZ(/)
некоторого уровня х следующим образом [27]:
Р.п^'2)= '*№<№ A1J)
Для вычисления среднего времени Р,п^@) достижения
предприятием кризисного состояния (т.е. среднего времени
достижения нулевого уровня jcj =0 функцией состояния lnZ(/)) с
использованием A1.3) необходимо устремить нижнюю границу х\
области[хьх2) к нулю, а верхнюю х2 — к бесконечности:
1-Я
Z@)
р _.@) = ^— (Ц.4)
2Х
mZ<°)
где ^цп/(°) — среднее число нулевых пересечений (пересечений
процессом lnZ(/) нулевого уровня) функцией состояния
предприятия \nL(t) с заданным знаком производной (в
рассматриваемом случае сверху вниз), выражающееся
через совместную двумерную плотность вероятности
w •. >,{х, у, t) функции lnL(/) и ее первой произ-
243

водной lnZ,'@ в совпадающий момент времени t
следующим образом [27]:
W°W^2 !.?..*<»¦*>*¦ (И.5)
о
Если случайный процесс In L(t) хотя бы в первом
приближении подчиняется нормальному (гауссовскому) закону (например,
при большой размерности признакового пространства р,
делающей возможным применение центральной предельной теоремы
теории вероятностей (см. Приложение 5, параграф П.5.2))
среднее ^11п/@) число нулевых пересечений A1.5) выражается через
вторую производную #|^@) коэффициента корреляции ^1п/(х)
случайного процесса lnZ(>) в точке т = 0 [27]:
^1П/(°) = ^ЧГ-' AL6)

Несмещенность
п и состоятельность оценок
I (риложение
одномерных и многомерных
функций распределения
1
П. 1.1. Несмещенность и состоятельность оценок
одномерных функций распределения
Пусть для обучения используется две (по числу
распознаваемых классов) классифицированные обучающие выборки:
(х{1) х{1))
Для получения оценок условных функций распределения
F(x\S{), F(x\s2)рассмотрим одномерные условные случайные
процессы ?, %)> % (')> относительно которых будем полагать (в
некоторых условиях, быть может, с определенным приближением),
что они удовлетворяют условию эргодичности [16]. Эти
процессы представляют собой случайные изменения во времени
значений признака X при условии, что наблюдаемая совокупность
принадлежит одному из классов S\ или Si. Тогда отношение
суммарного времени ]Г^ пребывания реализации случайного
к
процесса ^(/) под некоторым уровнем х к длительности
реализации Т @< Г<оо):
F(x) = ^tk (П1.1)
1 к
(здесь tk — длительность к-ro выброса ^(/) под уровнем х) может
рассматриваться как оценка F(x) функции распределения F(x)
случайного процесса t{t) [29], которая является несмещенной и
состоятельной. Для доказательства последнего утверждения
перепишем (П1.1) в следующем виде:
1 Т
F(x) = j\Q(y-x)dt, (П1.2)
о
245

1, м>0;
9(м) = jo, «< о. (П1-3)
— функция Хевисайда.
Эквивалентность записи F(x)b виде (П1.1) и (Ш.2) следует
из того факта, что подынтегральное выражение в (Ш.2) равно
единице лишь во время выбросов случайного процесса ^(/) под
уровнем х, а во все остальные моменты времени оно равно
нулю, следовательно (Ш.2) так же, как и (П1.1) представляет
собой отношение суммарного времени пребывания реализации
случайного процесса ^@ под уровнем х к общей длительности
реализации Т.
Запишем теперь математическое ожидание от обеих частей
(Ш.2), используя известную формулу для среднего значения
функции случайной величины
т
ГП\
ад
= -lMy)\Q(y-x)d)>dt (Ш.4)
при условии, что интеграл по dy в (Ш.4) сходится абсолютно.
Меняя порядок интегрирования в (Ш.4) с использованием
независимости одномерной плотности вероятности w\(y) от
времени, являющейся следствием стационарности случайного
процесса ф), вытекающей из его эргодичности, получаем:
г -I j T +со
ЧадЬу! i*\(y)e(y-x)dydt.
0 -оо
Последнее выражение можно представить с использованием
свойства линейности интеграла в виде суммы:
Т х , Т +х
Щ
ад
= jl \МУ)в(У-х)<*уЖ+^1 \w\(y)Q(y-x)dydt.
О -ос У 0 х
Анализируя последнее выражение, можно отметить, что
второй член суммы обращается в нуль, поскольку при
интегрировании по .у в пределах от хдо +ос функция Q(y-x) будет
принимать по определению (Ш.З) только нулевые значения, в первом
же члене суммы, где интегрирование ведется в пределах от - оо
до х, указанная функция будет принимать только единичные
значения и, следовательно,
1 1 т х \т
Why! \ w\(y)dydt = -\Fl(x)dt = F](x\
0 -ос 0
246

т.е. оценка fj(jt) функции распределения (П1.1) является
несмещенной.
Покажем теперь, что оценка Fx(x) является состоятельной. Для
этого рассмотрим дисперсию указанной оценки:
4*i(*)]= b^)few-«i[PiW]F* =
—00
00
= J щ(у)
TJQ(y^x)dt-F{(x)
dy. (Ш.5)
Интеграл (Ш.5) всегда существует, так как выражение в квад-
00
ратных скобках ограничено, а \щ(у) dy = 1. Из определения эр-
-00
годичности [29] следует:
lim
1 Т
-lQ(y-x)dt
= ]0(у-х)щ{уLу= \щ{у)<1у = Рх(х). (Ш.6)
Сопоставление формул (Ш.5) и (Ш.6) показывает, что при
неограниченном увеличении длительности реализации Т (т. е.
времени обучения) выражение в квадратных скобках в (Ш.5)
стремится к нулю и, следовательно,
lim D \F{ (x)\ -> 0.
Т-*со
(П1.7)
Из (Ш.7) следует, что оценка F(x) функции распределения,
определяемая выражением (Ш.1), является состоятельной.
П. 1.2. Несмещенность и состоятельность оценок
многомерных функций распределения
Пусть для обучения используется (по числу распознаваемых
классов 5], *%) две классифицированные обучающие выборки,
каждый элемент которых xt=[xlh x2i,...,xpi\T представляет собой
в рассматриваемом многомерном случае ^-мерный вектор, т.е.
(.0) ЛО "\
#> &)¦
*п
4ml
Jl) vA)
*21
... X.
2т\
r(l) JS)
кр\ -хрт\)
247

№ ?>>¦
Для получения оценок условных многомерных функций
распределения Fp(xu...,xp\Si)9 Fp(xi,...9xp\S2) рассмотрим векторные
/7-мерные условные случайные процессы Ё$'@> \р @> которые,
как и в описанном в П. 1.1 одномерном случае, будем полагать,
хотя бы приближенно, эргодическими.
Тогда отношение суммарного времени Yjk пребывания реа-
к
лизации р-мерного векторного случайного процесса \p(t)
внутри области, ограниченной некоторой гиперплоскостью Q (х\, х2,
..., хр) (т.е. пребывания процесса ^\(t) ниже уровня х\, процесса
^2@ ниже х2, •••> процесса \р (t) ниже хр)9 к длительности
реализации Г@<Г<оо),
Fp(xu хъ ..., xp) = -=;Yjk > (П1.8)
1 к
может рассматриваться как оценка Fp(xb хъ ..., хр)/7-мерной
функции распределения случайного процесса \p{t\ несмещенность
и состоятельность которой может быть доказана путем
обобщения доказательства, приведенного в П. 1.1 для одномерного
случая. Перепишем (П1.8) следующим образом:
Fp(xbx2,^xp) = ^ll\Q[xi-yi (*,+т)] А, (П1.9)
где 0(и) — функция Хевисайда, определяемая (П1.3).
Поскольку подынтегральное выражение в (П1.9) равно
единице лишь во время пребывания /7-мерного векторного
случайного процесса в области G, а во все остальные моменты
времени оно равно нулю, правая часть формулы (П1.9), как и (П1.8),
представляет собой отношение суммарного времени пребывания
реализации векторного случайного процесса \p{j) внутри
области G к длительности реализации Т.
1 А?
B)
К\т2
.B)
гB) „B)
248

Выпишем теперь выражение для математического ожидания
от обеих частей (Ш.9), используя, как и ранее (см. (Ш.4)),
известную формулу для среднего значения функции случайной
величины:
• 00 00 00
Щ [Fp{xhx2,...,xp)] = - \ \ ...\пр{у\,уг,...,ур)х
—00—00 -00
*\X[4xi-yi(t\+*)\dxdyxdy2...dyp, (ШЛО)
o/=i
при условии абсолютной сходимости интегралов по dy\ dy2... dyp
в (ШЛО). Использование стационарности случайного процесса
?p(f) (вытекающей из его эргодичности), следствием которой
является независимость /7-мерной плотности вероятностей
процесса wp (y\, у2, ..., ур) от времени, позволяет изменить порядок
интегрирования в (ШЛО):
- Т 00 00 00
Щ[РР {х\, x2,...,xp)] = jl J J ...jwp(yhy2,...,yp)x
О-оо-оо -оо
хПе[*«• -я-Ci +*)] 4у\ dy2...4ур dx. (ШЛ1)
1=1
Формулу (П1Л1) можно переписать в следующем виде:
Щ[Рр(хьхъ.^хр)] = -\ \ \ ..•lwp(yby2,...,yp)dyldy2...dypdT.
О —оо —оо —оо
Внутренний /?-кратный интеграл от wp (y\, у2, ..., ур) по dy{
dy2... dyp в последнем выражении представляет собой, очевидно,
/ьмерную функцию распределения случайного процесса ^p(t\
следовательно,
1 т
Щ[Рр(х\, х2,..., хр)\ = —\Fp (дг,, хъ ..., Хр) dx = Fp (хь х2,..., хр),
7 О
т.е. оценка Fp(xbx2,...,xp)функции распределения (П1.8)
является несмещенной.
Для установления состоятельности оценки (Ш.8) функции
распределения рассмотрим дисперсию указанной оценки
249

оо сю сю
D[Fp(xux2,...,xp)] = J \ .~\™р(УъУъ~>Ур)*
—сю—сю —оо
т п2
1 С Р
7 J П ^[xi-yi(tx+x)]dx-mx[Fp(<xhx2>...,xp)]
о /=1
dyxdy2.,.dyp. (Ш.12)
/ькратный интеграл по dy\ dy2 ... dyp в правой части (Ш.12)
всегда существует, поскольку выражение в квадратных скобках
всегда ограничено, а
00 00 00
J J ~1™Р(УьУъ->Ур)<*У\<1У2- dyp=\
—00—00 —00
по определению многомерной плотности вероятности. По
определению эргодичности имеем [16, 29]:
\im^j]f[Q[xi-yi(h+T)]dT =
оо оо оо р
-00—00 —00
1=1
откуда следует
гит1}Йв[д%-й (/,+х)]А =
*! *2 */>
= J J ». JwpCVi, }>2> •¦•»УР)] 4У\ dy2 - Фр = *>(*!, *2> - *р) • (П1.13)
-00—00 —00
Как видно из сопоставления формул (Ш.12) и (Ш.13), при
неограниченном увеличении длительности реализации Т (т.е.
времени обучения) выражение в квадратных скобках в правой
части (Ш.12) стремится к нулю, откуда следует, что
lim D[fi(jc,,jc2,...,jcp)]->0. (П1.14)
Из (П1.14) следует, что оценка Fp (хьх2,...,хр) /ьмерной
функции распределения, определяемой выражением (П1.8), является
также состоятельной.
250

Определение количества q
п суммируемых наблюдений,
Приложение обеспечивающего
2 приближенную нормализацию
признакового пространства
Основным вопросом практического применения описанного
в п. 6.2 сведения непараметрической априорной
неопределенности к параметрической является вопрос выбора параметра q.
Поскольку метод основан на суммировании независимых
одинаково распределенных случайных величин, сходимость
функции распределения Fq{x) к нормальной (гауссовской) F(x) с
ростом q как в одномерном, так и в многомерном случае
гарантируется соответствующими центральными предельными
теоремами фактически при единственном требовании конечности
дисперсий суммируемых случайных величин.
Однако ответа на вопрос, какая величина заданного
расстояния \i = \x[Fq{x), F(xj\ является достаточной для того, чтобы
принять Fq(x)» f(jc), в известной литературе найти не удается.
Таким образом, необходимо определить количественный
критерий, по которому можно было бы оценить уровень
нормальности признака х (степень близости его распределения к
нормальному).
Пусть некоторая случайная величина Г, описываемая
функцией /(/), функцией распределения либо плотностью
вероятности, имеет среднее значение а и дисперсию а2 и /(/, я, а2) — ее
нормализованное описание, т.е. описание случайной величины /
в предположении, что она подчинятся нормальному закону.
При проверке статистических гипотез [16] по выборочным
значениям случайной величины t строится эмпирическая оценка
/(/) функции /(f), которая сравнивается по одному из известных
критериев [6] с теоретической функцией f(t,a,o2). Степень бли-
251

зости функций f{i) и f(t,a,o2) описывается некоторой
величиной Р, называемой уровнем нормальности и имеющей
вероятностный характер. При этом Р изменяется в пределах 0 ... 1, и чем
ближе Рк 1, тем с большей уверенностью принимается гипотеза
о нормальности распределения случайной величины /.
Фактически уровень нормальности Р может трактоваться как
вероятность истинности проверяемой гипотезы.
В то же время в функциональном анализе для определения
меры близости функций/(/) nf\(t) вводятся в рассмотрение
различные виды расстояния ц = ц{/@, /i(/)} между функциями,
определенного в выбранном функциональном пространстве.
Именно такой способ сравнения функций используется при оценке
скорости сходимости истинного распределения суммы большого
числа независимых одинаково распределенных случайных
величин к нормальному закону [7, 19].
Для того чтобы при выборе параметра суммирования q можно
было исходить из принятого в математической статистике
подхода, основанного на том, что, задавшись уровнем
нормальности Р, достаточно близким к 1 (например, Р = 0,9 или Р = 0,99),
мы определяем значение исследуемого параметра,
обеспечивающее по выбранному критерию уровень нормальности Р (или
проверяем, обеспечивают ли имеющиеся измерения случайных
величин уровень нормальности Р выбранного критерия),
необходимо установить некоторое взаимно однозначное соответствие
между количественной мерой \х и вероятностной мерой Р. Для
решения этой задачи рассмотрим два нормальных закона: N\ =
= ЛЧ0, 1}hN2=N{8u 1}.
Пусть имеются два класса S\ и S2, характеризующиеся
признаком х, таким, что х е N {0, 1} при х е S\ и х е N {8\9 1}, если
х е 52, 8i>0, и пусть а,у — вероятность принять решение Хп е5/,
когда на самом деле XneSj. При классификации одного
измерения признака в случае принятия решения по критерию макси-
мального правдоподобия вероятности ошибок а12 = а21 =F(—-),
где f(z) — интеграл вероятности [6]. Если теперь Ъ\ = 0, то
классы S\ и 5г неразличимы по признаку х (т.е. распределения
N\ и N2 совпадают в силу того, что дисперсии и средние
значения у них равны) и а12 =a2i =0,5 . Если д\ ф 0, то, чем больше 8j,
тем сильнее отличие распределений N\ и N2 и тем меньше вели-
252

чина вероятности а12 = а21. Таким образом, величину a = a12 =a2i
можно рассматривать как вероятностную характеристику
степени близости распределений N\ и Ni и положить Р = а12 +а21 =2а .
Действительно, при таком определении величины Р мы видим,
что при 5i=0 распределения N{0, 1} и N{8\, 1} совпадают с
уровнем значимости, равным единице, а с ростом 8j P
монотонно убывает и при 8i-»oo стремится к нулю. Теперь, задавшись
некоторым значением Р, нетрудно найти 8j такое, что
F[-8,/2]=P/2,
и вычислить
e»=M{/W>,l),/(/,8,,l)}.
В табл. П.2.1 приведены значения величины 5\ для
некоторых значений уровня нормальности Р.
Таблица П. 2 J
р
8,
...
...
0,90
0,2513
0,95
0,1254
0,97
0,0752
0,99
0,0250
Если теперь мера ц такова, что n{(b\)=\x{NbN2\ непрерывна и
монотонна по 8i и при 8, ->0 ц{/(*,0,1),/(*,81,1)}->0, то с
некоторой долей условности можно считать, что при выполнении
условия
Ц{/@,А',яЖ)} = е,
(П2.1)
с уровнем значимости Р
№=f(t,a9az)9
р
или что случайная величина / имеет уровень нормальности Р.
Иначе говоря, под утверждением, что случайная величина /
имеет уровень нормальности Р по критерию ц, понимается тот
факт, что расстояние ц между истинной функцией/(/) и ее
нормальной аппроксимацией /(/, а, ст2) не больше расстояния jli
между нормальными распределениями Af{0, 1} и TV {5ь 1}, сумма
вероятностей ошибочной классификации которых по критерию
максимального правдоподобия не превышает Р.
253

Если теперь признак х получен методом суммирования
наблюдений и параметр суммирования <?о удовлетворяет условиям
Ц |/^ (*), А*, #Я ?осто) J ^ ?р>
то формирование признака х по #о измерениям случайной
характеристики ? обеспечивает уровень нормальности Р по критерию
|i. При этом, естественно, подразумевается монотонность
расстояния ц по параметру q. Обычно [7, 19] в качестве расстояния
\х между функцией fq (x), описьшающей распределение признака jc,
полученного суммированием наблюдений ?,-, i = \,q9 случайной
характеристики ?, имеющей среднее значение а и дисперсию gq ,
и ее нормальной аппроксимацией /(*, qa9 qol), используют
вариационную меру в метрическом пространстве Lu(u > l)
V Ч 1уд(х\о0л[я+Яа)-/(х\>°>1)\ dx\
Л/и
(П2.2)
принимая при этом в качестве описывающих признак х
функций fg(x) и f(x,qa,qal) соответствующие функции
распределения Fq(x) и f\
( \
x-qa
°0
V?J
и интегрируя модуль разности этих
по нормированной переменной
и
функций в степени
х{ =(x-qa)/(G0y[q).
Положим для простоты вычислений и = 2, откажемся от
извлечения в (П2.2) корня квадратного как не влияющего на
интересующие нас результаты (он необходим при оценке скорости
сходимости меры ц к нулю при q -» оо) и, кроме того, не станем
нормировать признак х, а нормируем на его дисперсию
непосредственно меру jit. Тогда
Hi —J
и —ос
w-n
x-qa
°0
Гя
dx.
(П2.3)
Однако меры (П2.2) и (П2.3) применительно к задачам
распознавания обладают одним существенным недостатком: они
254

мало связаны с правилом распознавания, основанным на
отношении правдоподобия, которое требует знания не функций
распределения Fq(x\sr), r= UК признака х у различных классов, а
плотностей вероятности wq(jtysr). Поэтому наряду с расстоянием
\х\ определим Ц2-
С этой целью введем для плотностей вероятности w(x)
расстояние \im аналогичное (П2.3):
00
Ми*,иъ}= Jta(*)-w2(jt)]2<fc (П2.4)
и положим
И2 = i з (П2.5)
где wg (x) — плотность вероятности нормализуемого методом
суммирования наблюдений признака x,aw (x, qa, qc2) — ее нормаль-
00
ное приближение; при этом интеграл \w2(x)dx, как пра-
—00
вило, сходится.
Знаменатель в дроби (П2.5) обеспечивает нормировку мери
jlx2- Отметим, что аналогичная нормировка меры щ невозможна
dx расходится при любых
°° ( \
из-за того, что интеграл I FL —jLr-
-оо I *h)
00
значениях q, я и а, а сходимость интеграла \Fg(x) dx может быть
—00
обеспечена лишь в некоторых вырожденных случаях.
Теперь можно перейти к вычислению величин гр для
расстояний ш и Ц2 и различных значений уровня нормальности Р.
Согласно (П2.3),
00
sJ,=ji,{F(jr), F(x-8)}= j[F(x)-F(x-b)]2dx =
—00
О оо
= j[F(t) - F(t - b)?dt + \{F(t) - F{t -b)?dt.
255

Представление г1р в виде суммы двух интегралов необходимо
00
в силу расходимости интеграла ^F2(t)dt. Теперь можно преоб-
-00
разовать второй интеграл суммы
00 00
l[F(t) - F(t - b)?dt = J{[1 - F(t - 5)] - [l - F(t)fdt =
0 0
00 0
= J[F(8 - 0 - F(-t)]2 dt = \[F(t + 5) - F(t)]2 dt
0 -oo
и представить ехр в виде
о о
elp= \[F(t)-F(t-6)]2dt+ \[F(t)-F(t + d)]2dt =
—00 -00
О О О
= 2 Jf2(f)A+ { F2(t-b)dt+ \F2{t + b)dt-
-00 -00 -00
о о
- 2 JF(t) F(t-b)dt-l\F(t)F{t + b) dt. (П2.6)
Чтобы найти гхр, необходимо вычислить интегралы
о о
/,F)= $F2(t + b)dt; I2(b)= \F(t)F (t + b)dt.
—00 -00
Выполняя в выражении для 1\{Ь) интегрирование по частям
2 раза, получаем:
о ъ
1хф)= \F2(t + b)dt = \F2(t)dt =
—oo
= bF2(b)-
-00
--== \F(t)c'r/2t dt =
= bF2(b) + J^F(b)e
м учтено
, ЧТО
dF(t)
dt
-b2/2_lF{b^y
= -I_e-'2/2
¦Ля
256
(П2.7)

Интегрируя по частям в 12(b), имеем:
о
12(Ь)= JF(t)F(t + b)dt
Jhi
О 21 О 2/
JF(t + b)e-' >2tdt + \F(t)t'(t+b) /2t
dt
Заменой переменной t\ = t + b во втором интеграле
приводим 12(b) к виду:
I2(b):
4ъ.
JF(t + b) dt''2!2 _ j/r(fl _fe) e 'i /2(/, -fc) <ft,
Продолжая преобразования, находим
I2(b)-
fhi
F(b)-4= [e-'2/2-0^J/2 dt +
b 2 U b 2 U
\F(tx -b)de~'11 +b \F(tx -b)e"'1' dtx
—00
F(b)--L ?е-('+*/2J-ь2/4 Л + 1е-о72
1 Je-'2/2-('-bJ/2rf/ + 6 \F{fx -b)t-'2l2dh
F(b) + U-b2!2-yf2c-b2!4F(b/42) +
4ъ.
л/2^
6 2/
+Z>jF(f,-Z>)e~'l/2<U,
Теперь
I(b) = I2(b) + I2(-b) =
Jbi
l+e-*2/2-V2e-62/4 +
2/ 2/
+ 6 j>(/-b)e~' /2<Л-6 jF(/+6)e~' ,2dt
(П2.8)
257
9 Диагностика кризисного состояния предприятия.

Здесь учтено, что f(z)+f(-z)=1. Дальнейшее упрощение
выражения для / (Ь) основано на замене переменной в последнем
интеграле в (П2.8):
\ Fit + Ъ) е"' /2dt = -\ F(b - tx) е"'11 dtx =
00 2 /
= -JlKF(-b) - JF(/, -6) e"'1 '2Л,
и с учетом этого
1
/(*>) = -
л[2п
Легко показать, что
2/ 2/ °° -Г2 Л
1 + е /2-V2e-6 /4-bj2^F(-b)+ JF(t-b)e >
dt
1 °° -'2 /2
= JF (t-b) e ' А = F (-b/S).
Поэтому
Kb)
4lK
¦bF(b)-bF(bl4l).
(П2.9)
л/2л л/2я л/л
Возвращаясь к выражению (П2.6), перепишем его в виде
е1р=Щ0) + № + 1\(-Ь)-Ш)
и, подставив найденные выше представления (П2.7) и (П2.9),
получим:
+ 8F2(S)-SF2(-8) +
?
-S2/2 .
1 2 _2е^ 2 e-SV4_^5F(8) + VJ8/ 6 Л
л/я V27i >/2я л/я
vV2y
Учитывая, что
F2(8)-F2(-8) = F2E)-[1-FE)]2 = 2FF)-1, (П2.10)
и приводя подобные члены, находим окончательно:
f 8Л
е' =8
2F
Л
-f0--82/4)-
л/л
(П2.11)
258

Поскольку для интересующих нас значений уровня
нормальности Р > 0,85 величина 5 достаточна мала, наряду с
точным выражением (П2.11) можно получить и приближенное.
Раскладывая в ряд функции FE/V2) и е-6 '4 и ограничиваясь
членами, содержащими 5 в степени не вьиде четвертой, находим:
= 5^|[5/^-53/A2Л)]--|
1^/2_54/48)Л ^Д^
V7C
4 32
Таким образом,
е' * 82/Bл/^).
(П2.12)
Перейдем к вычислению
4 =
[iw{w(x, 8,1), w(x,0,l)}
^w{w(x,8,l),0} ц„Мх,0,1),0}'
Найдем сначала
-brw/<2°!4-
1 -<>7°2
(П2.13)
dt-
,2rcaz
2стл/я
Тогда
oVjt
Je-'2/CT2^+Je-('-5>2^2^_2je-'2/Ba2)-(/-6J/Ba2)^
С учетом равенства a = 1 получаем:
4=2-2*
-52/4
.-«-8/2Г
82/4ч
<// = 2 A-е-0 /ч).
(П2.14)
Для е2р так же, как и для е^, при малых значениях 8 легко
находится приближенная формула:
2 82__5^_ 8^_
?"*2 16*2
(П2.15)
9*
259

В табл. П.2.2 приведены значения г1р и е^ для всех 8 = 8\
(см. табл. П.2.1).
Таблица П.2.2
8
Ч
Ч
...
...
0,25130
0,01777
0,03133
0,12540
0,00444
0,00786
0,07520
0,00160
0,00283
0,02500
0,00018
0,00031
Полученные соотношения позволяют определить уровень
нормальности любой функции fq(x). Действительно, пусть
( М
х-да
fq (х) = Fq (х) — функция распределения и \хх = щ< Fq(x\ F\
Подставим ц*в (П2.11) вместо е^ и найдем 5* такое, что
,^4il-|i-«^=
Гя
\°0уч )
(П2.16)
тогда уровень нормальности Р функции fq (x) можно вычислить
по формуле
P = 2F^d*/l) (U2.ll)
Когда m существенно меньше единицы, согласно (П2.12)
8*=д/2ц*л/я. (П2.18)
Аналогично, если fq (x) = wq (х) —: плотность вероятности и
И2 = Й2 К W' w(*> ?*' ^а0))'
то из (П2.14)
e-F*JA=1V2/2
и
и при малом ц2
8*=2>/-Ц-Ц2/2)
260
(П2.19)
(П2.20)

Правомерность принятого определения уровня нормальности
функции fg(x) подтверждается тем, что если случайная
характеристика § имеет нормальное распределение, то, очевидно, при
любом q Fq(x) = F\
x-qa
, wq(x) = w(x,qa,qGQ), меры щ И \х2 ТОЖ-
дественно равны нулю, 8* также равно нулю и из (П2.17)
уровень нормальности признака х при любом q равен единице.
Вычисленные по формуле (П2.17) значения Р для
расстояний \л\ и \xi будем обозначать Рщ и РЦ2 соответственно и называть
уровнями нормальности по критериям щ и Ц2-
Здесь необходимо обратить внимание на один существенный
момент. Рассмотрим функцию:
Ф(б) = 6[2F^/V2 У l]- Я( 1 - е2/4\ (П2.21)
Нетрудно убедиться, что ф@) = 0; ф(8) -> оо при 8 -> оо и
функция ф(8) является непрерывной и монотонно
возрастающей на полуоси [0, оо]. В силу этого она имеет обратную
функцию 8 = ф-1(и) непрерывную, однозначную и монотонно
возрастающую при всех [I е [0, оо]. Следовательно, решение 8*
уравнения (П2.16) существует и единственно при любом ц* > 0.
Поэтому любому значению расстояния щ можно поставить в
соответствие уровень нормальности /^,(ц*) по формуле (П2.17).
В то же время величина е2р в выражении (П2.14) ни при
каком 8 не может быть больше двух. В силу этого и равенство
(П2.19) при нарушении условия
\х\ < 2 (П2.22)
теряет смысл. Однако нетрудно показать, что определенная
согласно (П2.5) мера Ц2 при условии, что все входящие в нее
интегралы вида (П2.4) сходятся, всегда удовлетворяет неравенству
(П2.22), т.е. отображение \ь2 ~^р^2 (цг) ПРИ этом всегда существует
и единственно в силу монотонности функций (П2.19) и (П2.17).
Для определения диапазона значений параметра #,
обеспечивающих нормализацию признака х с уровнем нормальности
Р > 0,85, рассмотрим несколько сильно отличающихся как от
нормального закона, так и друг от друга распределений
случайной характеристики §.
261

Начнем с рассмотрения равномерного распределения
Wj
fe)=
к-1
6 ' при 0 < ?, < Ъ\
(П2.23)
10 при ^<0, ?)>Ь.
Для распределения (П2.23) математическое ожидание а$ = Ь/2\
(з\=Ь21\2 ; коэффициент асимметрии р^ = 0; функция
распределения [1]:
[О при ^<0;
fe)=U/ft при о^^*;
1 при ^>Z?
и, следовательно, как отмечалось выше, быстрая нормализация
суммы обеспечивается симметричностью равномерного
распределения.
Определим уровень нормальности самого равномерного
распределения. Для этого вычислим меры
И21 =\чЫ {& Л*"' «Р { 6fe - А/2J1
Имеем
b =И^2ф+1
ц,12^ '.; i ^
jc/6-F
'х-Ь/2
2-Уз
Лс +
Л.
Произведем замену переменной интегрирования t = 2xfilb.
Тогда
ц„ = }F2(t-S)dt + Y[//MM-^)]2* + + ?^2(/3-rV.
-оо 0 2>/з
Раскрывая скобки во втором интеграле и делая замену
переменной t\ = — tB третьем, получаем
2л/з
2л?
2V?
+ jF2(r-V3")rfr + — }/2Л—L j/,F(r,-V3)rf/i. (П2.24)
о 12 о >/3 о
262

Поскольку
2V3
-гГг
)F2(( + S)dt= JF2((-S)dt;
]F2{-S)dt= ]f2{ + ?)*- JF2{-S)dt,
—oo —oo —oo
то значения первых трех интегралов из (П2.24) находятся при
помощи выражения (П2.7). С учетом этого
^^I^y^Syj^-l^F^y^j- ) t2A<^f/2dtl. (П2.25)
Здесь и далее нам потребуется интеграл
h(b>ch^ti*-{"-bJ/2dt,
(П2.26)
Заменой переменной интегрирования t=t\ — b выражение
(П2.26) преобразуется к виду
\с—Ь 0 / с-Ъ ~ / c—b 0 /
J t2e-'/2dt + 2b J te-'/2dt + b2 J e^dtl
h(hc)-
fhi
c-b , , c-b , ,
- |г-Л-'/2-2й]л-'/2
+ b2 F{c-b) =
V2^
Переписывая теперь (П2.25) в форме
Wi=/,^)b/i(-V3)f^
и используя (П2.7), (П2.10) и (П2.27), находим
Ц11=Ф^)-1]+^1е-^--^ +
+ ^-2^^У^\^У^2-4Р^У^2
(П2.27)
2л
=i^>
е-3/2 г- 1
Z-— -V3—?=«0,06072.
л/2л л/я
263

Решая (П2.16) при щ* = цц, находим 8* = 0,133 и по
формуле (П2.17) вычисляем уровень нормальности распределения
(П2.23) по критерию ц,: Рщ (ц,,) = 0,947 .
Вычислим теперь расстояние Ц21- Для этого найдем
Р*М\0}= \^(t)dt = \b~2dt = b-\
-00 О
= J _6_e-'2(/-*/2JA2^ + |_6_e-12((-6/2JA2^ +
__2
В соответствии с (П2.5),
Ц2!
:.4-
3 +
&<ц
= 0,16861
и степень нормальности /^2(^21) распределения (П2.23) по
критерию Ц2> вычисленная по формулам (П2.17) и (П2.19), равна
0,7835.
Найдем теперь уровень нормальности признака х,
полученного суммированием q наблюдений случайной величины ?,
имеющей распределение (П2.23). В силу того, что полученные
выше значения цц и \х2\ не зависят от Ь, без ограничения
общности положим 6=1, превратив таким образом распределение
(П2.23) в стандартное равномерное распределение, заданное на
отрезке [0, 1].
264

Известно [16], что в этом случае
^b^X^'l*-^ r<x<r + \9
(П2.28)
г = О, q -1.
Здесь с[ = , ^' ч — известное из комбинаторики число со-
l\{q-l)\
четаний из q элементов по /.
Кроме того, у признака х математическое ожидание ах = q/2
и дисперсия а2х =q/\2.
При q = 2
fx при 0 < л: < 1;
w2{x) = < 2 - х при 1 < х < 2;
О при * < 0, х < 2;
ах=Ъ ах=1/6»
функция распределения
F2(*) =
х2/2
при jc < 0;
при 0 < jc < 1;
-дг/2 + 2*-1 при 1 < jc < 2;
11 при х > 2.
В силу очевидной симметрии распределения признака х
относительно его математического ожидания
И12=^ЬD^-1)>/б]}=2л/б \^2{x)-F[f6{x-\)]}dx;
?2 = Hw КD w (*ДЛ/л/б)}= 2 } W2(x)- J-
-3U-1
А.
Вычислим
Й12
/^)= jF2[V6(x-l)]^ + }fxV2-F[V6(^-lJ]Y^.
Раскрывая скобки во втором интеграле и делая замену
переменной интегрирования t = *л/б , получаем
265

ц,2/М)=-^
О / ч л/б 4
jF2(-V6)*+f—Л +
144
+ jV2(-V6)^-i fW(-V6)rf/ (П2.29)
о о J
Суммируя первый интеграл с третьим и интегрируя по
частям в четвертом, находим
-00 О
I W 20 36 18>/2^ J
(П2.30)
Вычислим интеграл
Произведем замену переменной t\ = t— b, тогда
(П2.31)
V27C.
л/2тс
V-oo
с-6
с-6
с-6
с~° 2 U с~° 2 U с~° 2 U
+ ЪЪ J^e"'1 /2dti + 3b2 J^e-'1 >2 dtx +Ьг \ е-'1 " Л
-00 —00 —00 J
Используя соотношение (П2.26) и то обстоятельство, что
)t\-t2l2 dt = - )t2d е-<2/2= -gVs2/2 +2 J* е-'2/* Л,
-00 —00 —00
преобразуем /4F, с) к виду
/4М=-
_(с_*Jе-МO2 -^ +2jfrfe-'2/2
V2rc [
+ 3W3@,c-?>)+fc3F(c-6)
С помощью (П2.27) находим
14{Ь,с) = —j= е-(с-*J/2|с2 - 26с + 4Ь2 +2 + ЗЬ{с-*)]ч
+ ^>3 + 3*)f(c - Ь) = ^ + 3b)F(c -b)-
—^=ic2+b2+bc + 2
V2n
)е-МJ/2.
(П2.32)
266

Учитывая обозначение (П2.31), перепишем (П2.30) в виде
ц12/2 = /,@)-^ + ^[/4^ Лб)-/4(/б,0)]
и с помощью соотношений A12.7) и (П2.32) получим
окончательно
Ц12=л/б^(/б)-+
8е"
2 1 lb/6
9>/2^ 9>/2^ V^ 15
= 0,000488.
В силу малости \х\2 по формуле (П2.18) находим 5ц1 =0,0416,
а затем по формуле (П2.17) находим уровень нормальности
распределения (П2.28) при q = 2 по критерию \хх Рщ (ц12) = 0,983.
Перейдем к вычислению Ц22- Используя (П2.13), находим, что
[iwM4 0}=2\x2dx = 2/3,
о
а также
Mw2
>(х), д/з/тг^е
-з U-i
= 2 J w2{x)-yj3/nQ
-з U-i
п2
Л.
Вообще нетрудно заметить, что, по определению меры |j.w
для двух любых плотностей вероятности w(x) и w*(x),
справедливо соотношение:
\iw{(x\ w*(x)}= \iw{w{x),0}+ixw{v*{x\ 0}-2 Jw{x)w*(x) dx. (П2.33)
—00
Поэтому
Делая замену переменной интегрирования Г = х - 1, имеем:
"з
M+iI-#+i><-J'-I^-«-3HF^-
и в соответствии с определением (П2.5)
\V4
И22
-ffT
0078.
267

И здесь в силу малости величины ^22 Для определения б*
можно воспользоваться приближенной формулой (П2.20):
5*2 =0,125; подставив это значение в (П2.17), найти, что
Р[х2 0^22) = °>950 • Таким образом, суммирование только двух
наблюдений равномерно распределенной характеристики уже
обеспечивает уровень нормальности признака х выше 0,95.
Рассмотрим теперь случай q = 3. Для признака х из (П2.28)
находим ах = з/2, ol = 1/4, а функции м>з(х) и /з(х) на отрезке [0, 3]
\х2/2 при 0 < jc < 1;
-jc2+3jc-3/2 при 1 < jc < 2;
|C-jcJ/2 при 2<jc<3;
w3
W-
*.(*)=
3/6
при 0 < x < 1;
x3 3jc2 Зх 1 ,^ ^
+ + — при 1 < x < 2;
3 2 2 2
! C-хJ
6
при 2<jc<3.
В силу симметричности распределения х имеем:
о 1 , J
ц,3/4= JF2[2(x-3/2)] dx + J^3/б-F[2(д:-3/2)] ) dx-
3/2
1 ( ^2
+ J {-jc3/3 + 3x2/2-3jc/2 + 1/2-F[2(jc-3/2)]} dx.
Произведем замену переменной интегрирования t = 2х Тогда
0 2Г 12
ц13/2 = JF2(/ -3)^ + J[Г3/48-F(/ -3)J Л +
-оо 0
+ J [- ^3/24 -h 3/2/8 - 3//4 -4-1/2 - F(/ - 3)] 2J/.
2
Поскольку
268

то, заменяя переменную интегрирования / на t\ = t - 3 и
учитывая (П2.7), получаем:
Ц13/2 = /Д-3)+][(;1+3^
-3 -1
-з 48 Z4 -з
24 _j _3 ^_j
Раскрывая скобки под интегралами, учитывая, что
7^ = 1/216, fii±^l„ = 1,47/10 080;
_3 482 ^ 242
а также интегрируя по частям в выражениях вида jtkF(t)dt и
используя соотношения (П2.26), (П2.27), (П2.31) и (П2.32),
преобразуем щз к виду:
W3/2-?FCb^ (П2.34)
Ш 16 W 16 W 1б>/2^ 16л/2^ 1680 ^Ы
Производя необходимые вычисления, получаем шз = 0,00018.
При столь малой величине ц13 можно вычислить Рщ по
приближенной формуле. Поскольку известно, что при t, близком к нулю,
F(f)*i/2 + f/V27t, то из (П2.17) и (П2.18) следует, что при щ,
близком к нулю,
Кстати, аналогично находим, что при \х*2, близком к нулю,
П.2D)*1-к~,/4>/Й^А. (П2.36)
По формуле (П2.35) при ц*=Ц|з имеем />И)(ц,3)=0,990.
269

Для вычисления цгз найдем
,1 3/2, ,2
Ци,ЦD 0} = -J*4dc + 2 J ^х2 +3x-3/2J Л = -
2i Г 0
Из (П2.13) следует, что
»w{w{x, 3/2, 1/4 0}= l/V^,
а из (П2.33) и симметрии функций м?з(х) и w(x, 3/2, 1/4)
относительно #з = 3/2 следует, что
ц3 = ^,^D^3/2,1/4)} = 11 + 1 - 2Д}*V2M/2> 2Л-
2U у/п VnJ0
3/2 /—
-4j(-x2 +Ъх-Ъ12р-^*-^2'dx.
Вьщеляя полный квадрат в последнем интеграле, получаем:
' о '1
Производя необходимые замены переменной
интегрирования и используя соотношения (П2.26) и (П2.27), находим
окончательно:
~ 31 1 3
^-l/2_e-9/2)+3F(i)_5FC).
20 4^ 2jhz
И в соответствии с определением (П2.5),
ц23= 2^^3=0,00230.
Подставляя полученные значения ц2з вместо ц2 в (П2.36),
вычисляем Р^2 (ц23) = 0,973.
Прежде чем перейти к анализу результатов, вычислим также
величины РЦ2(ц24), ^2(И25) и />Ц2(ц2б)-
В соответствии с (П2.28) при q = 4 математическое
ожидание признака х ах = 2, дисперсия а* =1/3 и на отрезке [0, 2]
/ ч \х3/б при0<х<1;
[-jc3/6-2(jc-1K/3 при 1<х<2.
270

Используя, как и раньше, симметрию распределений, находим
16 2
Hw{w4(x\0} = 2j— dx + 2j(-x3/2 + 2x2 -2x + l/lfdx =
151
036 -J|v •" ' — -'-/ - 315"
Подставляя а* =1/3 вместо a в (П2.13), получаем
ц„Мх,2,1/3),0} = 1Д
2 \к
а из (П2.23) имеем
_4 f ^/3-2* + 2х2 -х3/2)^х~2J/2 Л.
С помощью замен переменной интегрирования, метода
интегрирования по частям и полученных ранее соотношений (П2.26),
(П2.27), (П2.31) и (П2.32) приводим выражение для ц4 к виду:
Тогда, согласно определению (П2.5),
Ц24Ъ vll^= 0,00117,
и по формуле (П2.36) РЦ2(ц24) = 0,981.
Подобным же образом находим
49639 |Т_ 25/ _15/2 _39е_27/10 +14е.3/10) _
^5 36 288 \5я 72-Лоя^ '
¦^-[265F(/l?)-269F^A/3/5V58F(y375)] ;
Ц25 = t/т УТЖ24^5 = °'00069; * ^ ^2s) = 0,985;
2 276 797 1
ц6= + __ + _*< ?-=B47е"9-432е"+225е)+
1663 200 V5^ 3V^ 120V^V '
+ —[l557FCV2)-1908FBV2)f585FW2
271

ц26 = 60^ A/-g^TT7Jl6 = °'00053; РИ2 (И2б) = 0,987 .
Полученные результаты (зависимость уровня нормальности
суммы независимых значений равномерно распределенной
случайной величины от числа членов этой суммы q) объединены
для наглядности и приведены в табл. П.2.3 и представлены в
виде точечной кривой на рис. 6.1.
Таблица П. 2.3
я
ъ
/Ц2
1
0,947
0,784
2
0,983
0,950
3
0,990
0,973
4
-
0,981
5
-
0,985
6 1
-
0,987
Представленные результаты показывают, что при
нормализации методом суммирования равномерно распределенной
случайной величины % очень высокий уровень нормальности
достигается уже при q = 3, а дальнейшее повышение уровня
нормальности с ростом q происходит достаточно медленно.
То, что уровень нормальности суммы равномерно
распределенных случайных величин 2; при q = 3 является очень
высоким, подтверждается еще двумя фактами. Во-первых, из того,
что wq(x) = 0 при х < 0, следует, что для аппроксимации
функции wg(x) нормальной плотностью w(x, qa9 qal) необходима (но
не достаточна) предельная малость соответствующих «хвостов»
нормального распределения. Конечно, мера Ц2 учитывает это
требование, однако существует более простое правило проверки
данного условия, согласно которому любая случайная величина,
распределенная по нормальному закону w(jc,а,а2), с
вероятностью 0,997 лежит между а-За и а + 3а. В соответствии с этим
правилом необходимо, во-первых, чтобы в нашем случае
выполнялось условие: q/2-3J—>0, откуда q > 3. Во-вторых,
приведенные выше результаты дают простую кусочно-полиномиальную
аппроксимацию функции Лапласа F(x), вытекающую из
приближенных равенств
272

F\y-q/2\ll2fi]* \wq{t)dt9
где плотность вероятности wq (x) — кусочно-полиномиальная
функция (П2.28). Они позволяют после замены переменной
х= |—(y-q/2) аппроксимировать функцию F(x) на каждом из
интервалов
- y[3q + 2Л/з7^г, -fiq + lJiTq(i +1)
/ = 0, q-\
ПОЛИНОМОМ q-й степени. Наиболее простой вид такая аппроксимация
F(x) имеет при q = 3:
[О при х < -3;
(х + 3K/48 при -3<jc<-1;
F(x)«jf(jc) = |[(jc + 3K-3(jc + 1K]/48 при -1<jc<1; (П2.37)
1 + (jc-3K/48 при 1<jc<3;
1 при х > 3.
Сравнение полученных с помощью приближенной формулы
(П2.37) значений функции Лапласа с табличными [6]
показывает, что погрешность е, даваемая формулой (П2.37), не
превышает 0,01.
Необходимо отметить, что, как видно из результатов,
приведенных в табл. П.2.3, один и тот же уровень нормальности
Р по критериям \i\ и \х2 достигается при различных значениях
q = #Ц(Р), и если при Р = 0,98 разность этих значений можно
считать незначительной [^@,98) = 2, <?Ц2 @,98) = 4] , то для
Р= 0,99 ее необходимо признать существенной [q^ =(o,99) = 3,
^2=@,99)sl0].
Можно предположить, что это различие обусловлено
разными способами нормировки щ и Ц2- Нетрудно, однако, убедиться,
что поскольку при q -> <х>
то
273

а значит, и расстояние \x2=^2^q(x)^w(x,qa,qcy2)j, определенное
согласно формуле (П2.5), при q -> оо сходится к расстоянию
ц3 =2o0yfnq\xw\vq(x\ w\c,qa,qol)j. Если теперь положить
[13=[12/ул1п), то расстояние цз окажется полностью
аналогичным расстоянию щ для функций распределения, поскольку оно
является результатом нормировки по дисперсии с2 = qo2
расстояния (П2.4). Находя для меры цз подобно тому, как мы это
сделали для расстояний щ и Ц2, величины в/>=-т= 1-е 'А\ и
8* =2д/-Ц->/яцз), легко проверить, что вычисляемая по
формуле (П2.17) величина ^Згз) Равна ^2г2/ ПРИ ^3=^2/^^).
Действительно, вычисляя ^3r3i) Д™ всех рассмотренных выше
случаев / = 1, 6, убеждаемся, что уже при q = 3 уровни
нормальности ^цзгз/j и р^2 г2/J совпаДают с точностью до трех
значащих цифр.
Следовательно, с ростом q величина уровня нормальности
РЦ2 достаточно быстро перестает зависеть от способа
нормировки. Выбранный способ нормировки (П2.5) расстояния \х2
предпочтительнее в силу того, что позволяет, во-первых, без
дополнительного анализа избавиться от конкретных значений
параметров распределений, а во-вторых, точнее учесть различия в
распределениях wq(x) и w(x, qa, qo2). Таким образом, разные
способы нормировки расстояний щ и Ц2 не являются причиной
того, что при Р > 0,8 #Ц1 (Р) < q^2 (P). Причина этого в другом.
Как известно, для того, чтобы функция w(y) являлась
плотностью вероятности непрерывной случайной величины ?,
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям w(y) >0
00
при любом у и J w(y) dy = \.
—00
Для того, чтобы функция Fy (у) являлась функцией
распределения некоторой случайной величины ?, она должна
удовлетворять условиям Fy (-00) = 0, Fy @0) = 1, Fy (yi) ^ Fy Cvi) всегда, когда
Уг>У\. Кроме того, если распределение случайной величины ?
симметрично относительно значения ? = Ь, то Fy(b) = 0,5. Оче-
274

видно, значительно более жесткие условия, накладываемые на
характер изменения функции Fy(y), приводят к тому, что
функция распределения различных случайных величин (особенно
симметричных) в большей степени похожи друг на друга, чем
соответствующие плотности вероятности. Основываясь на
приведенных результатах и правилах принятия решения при
распознавании, базирующихся на отношении плотностей
вероятности, следует признать критерий \х2 более предпочтительным при
оценке уровня нормальности распределений признаков в задачах
распознавания. В дальнейшем будем использовать только этот
критерий, опуская у него индекс 2.
Рассмотрим нормализацию распределения суммы
независимых значений случайной величины ?, подчиняющейся такому,
сильно отличающемуся от нормального, асимметричному
распределению, каким является экспоненциальное распределение:
н{М = {рехРИ/р) ПРИ ^°; (П2.38)
[О при ^<0, р>0.
Моменты указанного распределения равны согласно [1]:
математическое ожидание а^ = р, дисперсия о^=р2, третий
центральный момент Х$ = 2р3, и, как отмечалось выше,
нормализоваться такое распределение должно значительно медленнее
равномерного.
я
Найдем плотность вероятности случайной величины yq = ]Г^:,
/=1
где ?,- — независимые случайные величины, распределенные
согласно (П2.38). Для q = 2 имеем при уг > 0:
4у2)= /р-2е-и/ре"^-и)/Р </w=ZLe-^/e
о Р
при у2 < 0 w(yi) = 0.
Пусть теперь при q = / - 1
и^мЬ г У1~Х , Л*~У1~Ф при У1_х>0.
р-2)!рм]
Тогда при q = / и yq > 0
/ // ц/ -и/о^У1'и),р , *~У1/Р м
ЩУ1)= —г Iе du=l ч—ТУ1 •
1 [(/-2)!р'-'] Р (/-1)«Р'
275

Таким образом, согласно методу математической индукции,
поскольку формула
4J=7—Т-Г^Г (П2.39)
справедлива при q = 2 и из ее справедливости при q= I — 1
вытекает справедливость при # = /, то формула справедлива при
любом q. Заметим также, что при q = 1 формула (П2.39)
совпадает с распределением (П2.38), поэтому вопрос об уровне
нормальности самого исходного распределения (П2.38) можно
рассмотреть в рамках общего вопроса об уровне нормальности
распределения (П2.39) при произвольном q, для решения которого
необходимо получить соотношение, связывающее расстояние
\Aq)=\i2XAhq)> wYq>4P>4P2)) c параметром q. Для получения
такого соотношения произведем необходимые расчеты.
Подставляя значение а2 = qp2 в выражение (П2.13), находим
Vw M^'^'W2)'0}^
1
2pjnq
Поскольку
00 , .
о с
то при с = 2/р, к = 2q — 2 имеем:
Здесь и далее будем полагать при всех / и к, таких, что / < к,
(/-*)! = (/-*)!! = 1. (П2.40)
Тогда в соответствии с (П2.33)
- I ]y^-y^y-^)iMdy, (П2.41)
и задача определения p сводится к вычислению интеграла
j = J/И e-^/(p-(>-<?pJ)/B9p2) ф, (П2.42)
276

Выполняя в (П2.42) замену переменной t = y/p и раскрывая
скобки в выражении, стоящем в показателе экспоненты,
получаем
J = p^e^/2J^-1e-/2/^k
Известно [10], что
J
tke~c''
dt
где
е(*) = Ш* при *«2*,;
v ; [ 1 при к = 2*! +1,
поэтому, полагая fc=?- 1ис= B0)", находим
y«pV*'2fe-2)n]««'2e(«r-l).
Подставив / в (П2.41), получим
(П2.43)
2р
V™7
и, по определению (П2.5),
\хч-Ы^)]'У
I г- (, 2е-«12д^12 ы Л/Т'
(П2.44)
где
y(q) = Bq-3)»/{2q-2)».
Полагая в (П2.44) q = \ и учитывая определения (П2.40) и
(П2.43), находим
n(l) = ^(l/^ + l-2/Ve~)= 0,467 .
По формулам (П2.19) и (Ш.17) при ц^иОО определяем
уровень нормальности экспоненциального распределения Р}э = 0,606.
Из приведенного на рис.6.1 графика (сплошная линия)
функции P^q) видно, что очень быстрый ее рост при небольших
значениях q приводит к тому, что для экспоненциального
распределения уровень нормальности Р = 0,85 достигается при q = 5, а
более высокий уровень нормальности Р - 0,9 - при q= 8.
277

Считается, что наиболее тяжело поддаются нормализации
многомодальные распределения. Однако возможности
применения метода суммирования и в этом случае абсолютно не
снижаются, оставаясь ограниченными только условием конечности
дисперсий исходных случайных характеристик Е,у [16] и не
зависящими от числа мод плотностей вероятности и>(?,у). При этом
симметричные распределения по-прежнему нормализуются
быстрее несимметричных.
Рассмотрим в качестве примера нормализацию суммы
независимых значений случайной величины, подчиняющейся
четырехмодальному симметричному распределению (рис. П2.1):
^) = Щ^)\-П/\ р>0. (П2.45)
6C
Результаты вычисления уровня нормальности Р^2{^д)
распределения признака х, образуемого суммированием наблюдений
случайной характеристики ?, которая имеет вышеуказанное че-
тырехмодальное распределение, при различных значениях
параметра суммирования q приведены в табл. П.2.4. Способ
получения этих результатов (зависимости уровня нормальности суммы
независимых значений случайной величины, подчиняющейся
четырехмодальному симметричному распределению (П2.45), от
числа членов этой суммы q) совершенно аналогичен
рассмотренному выше способу получения подобных результатов для
равномерного и экспоненциального распределений.
Результаты вычислений показывают, что несмотря на мно-
гомодальность данного симметричного распределения высокий
уровень нормальности Р = 0,9 достигается при небольшом
значении параметра суммирования q (q = 3).
Таблица П.2.4
я
рМ
1
0,598
2
0,828
3
0,919
4
0,961
Таким образом, сведение непараметрической априорной
неопределенности к параметрической путем суммирования не
менее пяти (q > 5) исходных скалярных или векторных произ-
278

вольно распределенных наблюдений позволяет получить
совокупность новых выборок (скалярных или векторных), которые
независимо от вида законов распределения каждого из
признаков всегда оказываются приближенно (с уровнем нормальности
Р > 0,85) распределенными по гауссовскому (нормальному)
закону. Это позволяет при обучении заменить сложнейшую
процедуру непараметрического оценивания неизвестных
многомерных плотностей вероятностей (см. п.6.1) на несравненно более
простую и легко реализуемую процедуру параметрического
обучения: оценивание векторов средних и ковариационных матриц.
М*)
0,116
Рис. П2.1. Платность вероятности четырехмодального
симметричного распределения wfe) = щ/б$4 jx Щ - C2е~'^
279

Вероятность ошибок
п одномерного распознавания
11риложение
состоянии, различающихся
з
средними
П.3.1. Вероятность ошибок одномерного
распознавания состояний с неизвестными
средними и общей известной дисперсией
Пусть на вход распознающей системы поступают
одномерные нормальные наблюдения {jcz }/ = !,«, принадлежащие одному
из двух классов (состояний) S\ и S2, различающихся только
своими неизвестными средними значениями ах и а2 (и,
следовательно, имеющими общую известную дисперсию о2).
Неизвестные средние значения ^и а2 определяются в ходе
обучения [см. (8.1)]:
*i=—1*^*2=—Е*/B). (пзл)
где т\, т2 — объемы обучающих выборок для классов S\ и S2.
Решающее правило сводится (см. (8.4)) к сравнению
среднего арифметического выборочных значений с обобщенным
порогом Аоб!
-^Х1>{а1+а2Ка2\пс/[п{^ -а2)}= Ко6, а,>а2, (П3.2)
ni=\ 2
причем при выполнении неравенства (П3.2) принимается
решение о принадлежности выборки к классу S\, в противном случае —
к классу S2.
При d\ < a2 правило распознавания заключается в
следующем: принимается решение о принадлежности наблюдаемой
выборки к классу S\, если
?Х/ < Ml±?2) _а21пс/^2 _ ^ d]<di (Ш#3)
280
л«=1 2

Достоверность распознавания при использовании
решающего правила (П3.2) или (ПЗ.З) оценивается достаточно просто
лишь в асимптотическом случае неограниченно возрастающих
размеров обучающих выборок, когда оценки ах, а2 сходятся по
вероятности соответственно к а\ и а2, а вероятности ошибок
распознавания аир сходятся к соответствующим вероятностям
ошибок при априорно известных средних а\, а2. Последние лег-
п
ко определяются с учетом того, что сумма 1/«^jcz , представ-
ляющая собой по условию задачи сумму независимых
нормально распределенных случайных величин, имеет нормальное
распределение со средним wij(l/«)X*/|S* \ = <*k и дисперсией
m2\{\/n)YJxi\Sk> = a2/n, к = 1, 2. Это позволяет выразить
вероятности ошибок первого аш и второго р101 рода через
табулированный интеграл вероятности f(z) :
акл = j_ Мч-ъЪк + oInc/[f(ei _а2у;\ а]>а2. (Ш.4)
ркл = J («i -а2)^ +qinc/[f(fli _fl2^t ax>ai, (П3.5)
В реальных задачах распознавания неограниченно
возрастающие размеры обучающих выборок скорее исключение, чем
правило, поэтому основной интерес представляет оценка
достоверности распознавания в общем случае произвольных (и малых
в том числе) размеров т\ и т2 обучающих выборок. Для этого
следует вычислить распределение логарифма отношения
правдоподобия Е в эквивалентной (П3.2), (ПЗ.З) записи
E = [(dl-d2)/a2]
?*i-/i(fli+a2)/2
/=i
>lnc (П3.6)
с учетом того, что входящие в него случайные величины ах и а2
распределены нормально с параметрами соответственно (а\9
п
ъ2/щ), (Ръ ъ2/*П2)> а случайная величина (l/л )]?*,• распределена
/=1
281

также нормально с параметрами (а\, с2/п), если выборка
принадлежит классу S\, и (а2, ъ2/п)> если выборка принадлежит
классу S2.
Для вычисления распределения логарифма отношения
правдоподобия Е представим его в виде произведения, полагая, что
Е = ^yz = 1\ах -d2)/a2 J -?*,. -d{-d2
(П3.7)
где
<у = (а1-а2)/а; z =
2 w
(П3.8)
— зависимые случайные величины, распределенные по
нормальному закону с параметрами соответственно
N[(ax -а2)/о, 1/т{ + 1/т2] И N[-(щ -а2)/а, 4/л +1/т\ + \/т2],
имеющие нормированную корреляционную функцию [29]:
R = {1/щ -1/т2) [D/и + \/т{ + l/^XV^i + У^Р'2 • (П3.9)
Совместная плотность вероятности случайных величин z и у
запишется следующим образом:
Wv(z,y) = Bк<5Х<524\- R2) expj-^l-^j x
х ll/G2)(z-(ai-a2)/oJ+ (l/a^iy-ia.-aM2-
- 2М°1°2) {z ~ («i ~ a2 )/o) {у - (ax - a2 )/a)]}, (П3.10)
где с2 = \/m\ + l/m2 ; g2 = 1/wj + l/m2 + 4/л .
Выражение (П3.9) для нормированной корреляционной
функции R запишется с учетом обозначений (П3.10) в следующем
виде:
R = {a]o2)-[{l/ml-\/m2).
Таким образом, задача нахождения распределения
логарифма отношения правдоподобия Е сводится к вычислению
распределения произведения / = zy двух коррелированных нормаль-
282

ных случайных величин, которое с учетом (П3.10) будет иметь
следующий вид:
-1
A f I
w(/)= J w^(w,//m)jj= 27ia1a2Vl-^2
-00 I I
x JexpUO-^l'l^^/af^//,-.J/^
2/?(W + a)(//W-«)/(a1a2)]}^,
(П3.11)
где a = (ax - a2 )/a.
Вероятность ошибки распознавания первого рода а
находится интегрированием плотности вероятности логарифма
отношения правдоподобия в пределах от -оо до In с, поэтому с учетом
наличия неслучайного сомножителя п/2 в выражении (П3.7) для
Е и формулы (П3.11) указанная вероятность запишется
следующим образом:
lnc • I x-llncoo г г ч i__|
a= I w(l)dl = llno^l-R2 j J expj- 2(l-/?2jJ x
—oo —oo—oo ^
x IJw + aJ/of +(//« - aJ/c22 - 2R{u + a){l/u - a)/(a,a2)j}^y. (П3.12)
Изменение порядка интегрирования в (П3.12) позволяет
выразить внутренний интеграл по переменной t через
табулированный интеграл вероятности f(z) :
a = (y,V2^) J expf(W-a)V^)Wa2|w|Vl-/?21 x
-00 |_^ '
x^w + ^w2a2/a! +Rauo2/G\ -2lnc/n)\ du. (П3.13)
Разбивая интеграл в (П3.13) на два (от -оо до 0 и от 0 до оо)
и проводя необходимые преобразования, получаем:
a = (a,4biY Jexp{{и -af/fa) jF Л u/(a^\-R2)-
-21nc/ яма2\1-Я J —(о-! +а2/?)я/ aja2\l
x Jexp {;(« +a) V^o? ) }f Л «Да, Vb^l - 2 In сДм w a2 Vb^
+ (cti + o2R)a \ oiCT2Vl - Л2
</и.
(П3.14)
283

Аналогично находим вероятность ошибки распознавания
второго рода р:
Р = (а1Л/2л) l Jexp{-(w -af/i^c^l Rutfc^l-R2
о L / V
+ 21ne/| WWO2V1 -R2 j — (ctj +G2R)a/(a\G2'>fi~~
x Jexpf (и + aJ fee2 ^fIrJU^I-R2] + 21nc/( nUG2\^~ R
(П3.15)
Воспользовавшись известным представлением функции
ф(*)=B/7я|ехр{-*2}л в виде ряда [10],
о
ф(г + х)-B/^)|;(-1)*+,(' + х)»-,Л2*-1)(*-1)!] =
= B/^?[(-1ГД2*-1)(*-1) !]] ijck^x'^-1-'-,
можно выразить функцию через полиномы Эрмита Нп (х) (см. F.9)):
ф(^т) = ф(т) + 2(ехр{-т2}/^)х(-1Г1^Яр.1(г)/^. (П3.16)
С учетом (П3.16) входящий в подынтегральное выражение в
(П3.14) и (П3.15) интеграл вероятности F(x), связанный с Ф(х)
известной формулой
^) = 1 + 1ф(хЛ),
может быть также выражен через полиномы Эрмита:
F(t + х)=^(х) + (ехр(т2/2У^)х i(-l)p+lHp_fy^) tp/(^2pi),
P=\
F(/-t) = F(-T)+(exp(t2/2}^)x ±Hjdfi) ''/fc'M
284

в результате чего после ряда преобразований получаются
следующие выражения вероятности ошибки распознавания первого
рода а в виде бесконечного ряда, содержащего полиномы Эрми-
та Нп (х) и функции параболического цилиндра Dn(z):
а = F{- а/а{ )f\ (ах + o2R) а [ а,а2 Vl - R2 1
+ F{a/ai)xf\ -(с{ + g2R)a/[a^Vl-fl2
+ (tiV?) exp{- [/(kif al{ - R2}]x
х^^4а1а2^а^а^2]}хИ4^2))^2
P=\
xHpJ{G]+G2R)a/\alG2p{-R2)
xlD-p-^-a/ajl+t-ir^-p-i^/ai)].
Аналогичное общее выражение можно записать и для
вероятности ошибки второго рода C.
Для выбранного (в качестве наилучшего) критерия
максимального правдоподобия с = 1 (и следовательно, 1пс = 0)
вероятности ошибок первого и второго рода аир становятся, как
нетрудно видеть из (П3.14) и (П3.15), равными и записываются
в следующем виде:
а = Р = \/(ах&) ] ]exp{-{u-aJ/fa) }х
о
R/Ml-R2) [|-(о,+а2Л)в/(о2Л) ]
xF
du +
\l/fp\&) ] ]exp{-{u + af/fa) jx
xF
r/(g^I-R2
[u + {oi+G2R)a/(o2R)]\ du.
Во многих практически важных случаях размеры обучающих
выборок гп\ и /и2 могут быть приняты одинаковыми, т.е. т\ = т2 =
= /и. Тогда, как это видно из (П3.9), R = 0, и случайные вели-
285

чины z и у становятся независимыми, так что последнее
выражение существенно упрощается:
а = р = J/^V^c jF(-a/a2)Jexp{-(tt -aJ/{lafyu +
о
+ t/(a1V^)]p(a/a2)F(a/a2)Jexp^
о
В результате вероятности ошибок распознавания a = р
удается выразить через табулированный интеграл вероятности:
a = р = F(- а/с 2 Mfl/°i)+ F(a/a2 И" а1°\) =
= НФ [Н/^)^/^^)] (П3.17)
Здесь Ф(г) — табулированная функция ошибок:
0(z)=-t=- fexp|-x2 jdx.
л1к0
Легко видеть, что вероятности ошибок a = р являются
функциями двух аргументов:
dm=m(a]-a2) /a -та ; </„ = п{а\ -а2) /сг = лд .
На рис. П3.1 приведены графики зависимости функции
а = 1-|ф(^/2)фН2^,+Мл-р
от rfw при различных значениях */„, из которых следует, что с
ростом dm вероятности ошибок распознавания быстро
уменьшаются, однако уже при достижении dm значений -30 ... 40
скорость уменьшения вероятности а существенно падает.
Аналогичное поведение а имеет место при возрастании аргумента dn.
Приведенные графики позволяют определить объемы
выборок тип, необходимые для достижения требуемого уровня
вероятностей ошибок распознавания а* при любом расстоянии а2
между распознаваемыми совокупностями. Для этого достаточно
найти точку пересечения прямой a = а* с каким-либо графиком
a = cLj\dm9dn j, j = 1,У , определить ее абсциссу dm.(а*) и положить
т= Ма*Ув2К п=^п./а2У\,
где [/] — целая часть L
286

Найдем асимптотические значения вероятности а:
г 1 * J
а„ = lim а = Ф
/и—>оо 2 2
/ /—г\
па
i4i
= F\
1 1А2
ат = lim а = Ф
«—>оо 2 2
а = р
v
/та
~2
V J
0,08
0,06
0,04
0,02
Qfn=10
15
-2ft^^
30
20
40
60
Рис. П3.1. Вероятности ошибок распознавания а = р
одномерных образов, различающихся средними значениями
Сравнение указанных формул с (П3.4), (П3.5) при с = 1
показывает, что, как и следовало ожидать, при т->оо вероятности
ошибок распознавания аир сходятся к вероятностям ошибок
классификации а101 и р кл.
Отметим, что величина ап (аналогично ат) суть минимальная
ошибка распознавания, достижимая при заданном п{т).
Приведенные на рис. П3.2 зависимости ап от dn и ат от dm позволяют
сделать вывод о том, что ошибки распознавания аир
одинаково критичны к объемам обучающих т и контрольной п выборок.
П.3.2. Вероятность ошибок одномерного
распознавания состояний с неизвестными
средними и неизвестной общей дисперсией
Когда кроме средних значений а\ и Qi априорно неизвестна
также общая дисперсия а2, в решающее правило (П3.6)
необходимо подставить ее оценку
287

1
т\ + т2 ~ ^
2fc»-^t2fe»-^
щ
7=1
полученную на этапе обучения одновременно с оценками (П3.1)
средних значений а\ и а2.
(хп , ат
0,2
0,1
I \ \
\ \
Л
а»
Г
>ч
^
d ; d
Рис. П3.2. Асимптотические вероятности ошибок распознавания
одномерных образов, различающихся средними значениями
В этом случае решающее правило (П3.6) имеет следующий
вид: принимается решение {*/}e*Si, если
Ех =(а{ -а2\ -Y*i-ax -а2 /а2 > 2(lnc)//i, (П3.18)
\пы )/
и решение {xfieSj, если справедливо неравенство,
противоположное (П3.18). Для вычисления вероятности ошибки
распознавания а положим {x/leSi и преобразуем (П3.18) к виду
Е2 =^2^\ =(*i -«2l ~1Lxi ~"\ ~ А2 =Е>2{\пс)б2/\пс2),
а Им I
где Ё — не что иное, как статистика (П3.6), условная плотность
распределения которой w(l\S\) определяется формулой (П3.11).
Поскольку известно [4], что а2 подчиняется х2-распределению с
{ш\ + Ш2 —2) степенями свободы a2 g%2 {а2, т\ + аи2 "} и неза-
288

висима от А] и а2, нетрудно найти условную плотность
распределения м>1 (l\\S\) решающей статистики
Es =E2-gG2
при g = 2(ln с)/(па2) ф О, используя известные формулы [16]
ии
g
-,т
dl,
(П3.19)
где плотность вероятности центрального х2-распределения с т
степенями свободы (т = т\ + mj -2)
w 2 ={х,т)=2-Я/2х!Л/2-1ехр{-х/2У[г{т/2)];
T(t) — известная гамма-функция [10].
Вероятность ошибки распознавания а находится
интегрированием плотности вероятности (П3.19) по 1\ от 0 до оо:
а:
2т/2+1~ш/2 г(~/2) Я0]02А/^ГР
^Р5)
:JJJ«p|
0 -оо -оо
2R (t + a) {l/t-a)'
°lCT2
A±а?+(/А-а?_
<*l
«\
*1
(/-A)'
w/2-1 ufr
<//<//,. (П3.20)
Аналогично находится вероятность ошибки p.
Полученная формула позволяет вычислять вероятность
ошибок аир при использовании для распознавания произвольного
критерия вида (П3.6) (либо эквивалентной ему записи (П3.2)).
Для критерия максимального правдоподобия g = 0, и поэтому
решающая статистика Ё2 полностью совпадает с решающей
статистикой (П3.6), из чего следует, что при распознавании по
критерию максимального правдоподобия состояний с
одинаковой дисперсией признака вероятности ошибок аир
вычисляются по формуле (П3.17) независимо от того, известна или
неизвестна априорно общая дисперсия а2.
10 Диагностика кризисного состояния предприятия.
289

п
риложение
4
Вероятность ошибок
одномерного распознавания
состояний, различающихся
средними и дисперсиями
П.4.1. Вероятность ошибок одномерного
распознавания состояний с неизвестными
средними и известными дисперсиями
Пусть на вход распознающей системы поступает
последовательность независимых наблюдений. Рассмотрим задачу
определения принадлежности выборки, состоящей из п независимых
нормально распределенных наблюдений к одному из двух
классов (состояний) S\ и 1%, характеризующихся неизвестными
средними значениями а\ и а2 и разными известными
дисперсиями af и а2. Оценки ах и а2 неизвестных средних значений
получаются в ходе обучения по формулам (8.1). Правило
распознавания в соответствии с (8.25) сводится к проверке неравенства
^ = тЯ-т(*'~Й2J 2"ta-*lJ
2W
2V~z ^/ 2
a2 ах
+ «ln4>lnc,
2 af
при выполнении которого контрольную выборку {*,•}"относят к
S\, в противном случае — к 52.
Вероятности ошибок распознавания аир определяются
следующим образом:
а = Р\р<\пс\х( eSj);
P = p(e>1iic|jc/g5'2).
Для нахождения асимптотических вероятностей ошибок
распознавания а101 и р101, соответствующих случаю известных
параметров а\, #2» о?и С72, воспользуемся преобразованием:
{х-а2J {х-ахJ _ъ\-ъ22
2 2 2 2
а2 <3\ <5\ <72
2 2г / \'
g2ai -flia2 1 1в1-в2Г
*~ 2 2
а1 _а2
2 2
а1 ~ст2
290

С его помощью решающее правило принимает вид:
а1 ~а2 у
ст1 <^2 /=1
2 2 У
а2а\ ~а\E2
гг2 гт2
g] -а2
lni+k^2l
о*
~2 ~2
а] -а2
>1пс. (П4Л)
Если теперь {*,}" eSl, то при а? >а2 вероятность ошибки
= Рг
1 п
°2 i=l
2 2
^2а1 ~д1а2
гт2 гт2
а1 "а2
<ф,
где Д = (l-a2/a2jlnc + w
гт2 гг2
а1 -<*2
а2 а! -
Поскольку jc,- eiVji/, аьа2 }, то
л=—
2 2
гг2 гг2
а1 ~а2
где ал = а2 (а, - а2 )/(а? - aj ), а2. = 1.
Таким образом, случайная величина
1 п
<* 2 i=l
а2а1 ~а\®2
2 2
а1 "а2
•2\
представляет собой сумму квадратов п независимых нормальных
случайных величин со средними значениями а2 (я1~д2 )/(<??-ст2)
и единичными дисперсиями и, следовательно, подчиняется
нецентральному х2-распределению с п степенями свободы и
параметром нецентральности X = л[а2 {ах - я2)/(а2 - а2 J2, благодаря
чему вероятность ошибки классификации а101 выражается через
интеграл вероятности Р {/, п, X} нецентрального х2-распреде-
ления с п степенями свободы и параметром нецентральности X:
а™ = Р {R, л, X).
Очевидно, что при of <ст2 coef (а2 -а2)/(а2а2)<0 и при
умножении на coef знак неравенства меняется. Поскольку при этом
все остальные вышеприведенные выкладки остаются в силе, при
а? < о22 имеем аш = Pr{z < R\SX }= 1 - Pr{z > /?|5, }= 1 - p{r, n, X}. Веро-
ю*
291

ятность ошибки р101 может быть найдена по тем же формулам,
если в них поменять местами а\ и а2, <*i и <з2 и заменить 1пс
на ~ Inc.
Таким образом, для асимптотических вероятностей ошибок
(с = 1) имеем:
|ф«Д} при г>1;
[1-/>{/?, л Д) при г<1; v '
окл fl-P{/?/r,/2,rA.} при г>1;
Р [Р{д/г,л,гА,} при г<1,
где л = я (-г-0к+^2/(г-1)]; ^т^; ^^Ь^11; ГЛ,
(г-1) а2 а2
Для вычисления вероятностей ошибок классификации а° и
р101 по формулам (П4.2) можно пользоваться таблицами
функции мощности нецентрального ^-распределения [6].
В асимптотическом случае неограниченно возрастающих
объемов обучающих выборок т\ -» оо, т2 -> оо оценки ах, а2 сходятся
по вероятности к соответствующим точным значениям
параметров, функция Е сходится по вероятности к Е, а вероятности
ошибок а и р — к вероятностям классификации аш и р кл.
Однако наибольший интерес представляет нахождение
вероятностей ошибок аир при произвольных (в том числе и малых)
объемах обучающих выборок.
Для нахождения аналитических зависимостей вероятностей
ошибок распознавания а и р от объемов обучающих т\, т2 и
контрольной п выборок и параметров
г = о?/с^, (П4.3)
с12={щ-а2J/*22,
характеризующих межклассовое расстояние, сведем Е к сумме
независимых случайных величин, имеющих центральное и
нецентральное х2-распределения. Пусть x/eSj, / = 1,л . Рассмотрим
случайный нормальный вектор длиной 2п: ф = (Г, h)T, где
G\t = {х\-ах,...,хп-а\) , a\h = (x{ -аъ...,хп -a2) .
Ковариационная матрица К вектора ср имеет вид:
292

1 + 1/mj \jm\ ... 1/w]
1/w! 1 + 1/mj ... 1/wj
l/wj 1/mj ... 1 + 1/mJ
l + r/w2 r/m2 ... r/m2 |
r//w2 r + r/m2 ... r/m2
jB == ,
r/w2 r/m2 ... l + r/m2
где матрицы А и В имеют размерность п х п; I — единичная
матрица размерности л х я.
Матрицы А и В имеют следующие собственные значения:
А — X = 1 кратности я — 1 и X = 1 + п/т\ кратности 1; В — X = 1
кратности п — 1 и А, = 1 + га//и2 кратности 1. Подпространство
собственных векторов, соответствующих X = 1, для обеих
матриц определяется уравнением:
/, + /2 + ... + /я = О, (П4.4)
где 1\, /2, ..., 1п — компоненты собственного вектора.
Пусть &,..., ?я — ортонормированный базис этого
собственного подпространства. Собственным значениям X = 1 + я/^1
для А, X = 1 + ги/т2 для 2? соответствует одно и то же
собственное подпространство векторов, пропорциональных вектору
g( =(№,...,l/V4 I *,[ = 1. (П4.5)
Поскольку вектор g\ ортогонален всем остальным gi9 так как
соответствует отличному от X = 1 собственному значению,
система векторов g\9 ..., gn является ортонормированным базисом из
собственных векторов как матрицы А, так и матрицы В.
Матрица R, строками которой являются эти вектора, осуществляя
ортогональное преобразование векторов Г и А одновременно,
сохраняет неизменной квадратичную форму Е , а ковариационную
матрицу К преобразует к виду
К= у D , Da = diag(l + a/i/m,, 1,..., l).
С учетом (П4.4) имеем при / > 1:
<?/ = Х#л*/-*i)=E#4/ = Zs/l*/-^2J=M* • (П4.6)
у=1 7=1 7=1
к =
\\А /
/ ЯГ
А =
293

Уравнение (П4.6) также означает независимость tt от ах и а2
при / = 2,л . Учитывая (П4.6) и определяя согласно (П4.5) t\ = q - и,
h\ = q - w, где q =
но представить Е в виде
Xх/ /\<т1*'2]' u = yjna\la\ , w = Jnd2/<jx , МОЖ-
1=1 J/
? = 0,5 (l-l/^2+^-"J-(lA)(^-wJ , (П4.7)
где ti~N@,l); q~ N\Jnaxl<5X,\)\ и ~ N\Jnax/Gbn/mx},
w~ N\)Jna2/<JX, nr/m2).
Поскольку t\, h\, du d2 независимы от th то q также
независимо от tj при / = 2,w . Таким образом, все случайные величины в
(П4.7) независимы.
Представим разность последних двух квадратов в (П4.7) в
виде разности квадратов независимых нормальных случайных
величин, заменив ее выражением kx(q-$xw-yxuJ + k2(q-fi2w-y2uJ, ко~
эффициенты которого определяются из условий алгебраического
равенства обоих выражений и независимости случайных
величин %\=q-$\w-yiu; x2=q-$2w~y2u- В результате решения
системы шести уравнений с шестью неизвестными получим:
у, = п/т2 +п/тх + 1/г -1 ±
± \{п/т2 + п/тх + 1/г -1) + 4(п/тх + п/т2) / 2(п/тх + п/т2) ,
fc-1-y,, ^/=+[(l-l/^3-/-l]/(yi-Y2l /= 1,2. (П4.8)
Таким образом, Е свелось к линейной комбинации
квадратов п + 1 независимых нормальных случайных величин, которая
в свою очередь является линейной комбинацией трех
независимых случайных величин, имеющих центральные и
нецентральные х2-распределения с различными числами степеней свободы:
Ё = 0,5A- l/r) xln-\ +0,5*, bx %2Cxlhx +0,5*2 Ъ2 x2C2/bir
294

ci=tfn(a]-a2J/o\ , bi=\ + $nr/m2+y}n/ml, /= 1,2,
гДе Xs,* ~ случайная величина, имеющая ^-распределение с числом
степеней свободы к и параметром нецентральности 5.
Используя (П4.1) и инверсную формулу Имхофа [13],
получаем выражение вероятности ошибки первого рода а через
объемы обучающих т\, т2 и контрольной п выборок:
а
1 l°fsin9(t/)
I-
ир{и)
du ,
где
д(и) = — {(«lnr/2 + \пс)и - (и - l)arctg (l-1/r)^
2
•I
1=1
arctg
kfiU
kibi 21'г+ъ$к}ъУ
(П4.9)
p(w) =
l + (l-l/r):
2 и
п-Л
'П
1=1
l + ktf^
1 1 4
ехр<
kt CjbjU
Ъ + 2к}ъ}иг
. (П4.10)
Формулы для вычисления вероятности ошибки второго рода
Р получаются из (П4.9) и формул для входящих в (П4.9)
величин, если с\9 m\n G2, т2 поменять местами, а 1пс взять с
обратным знаком.
На рис. П4.1,я, б приведены графики зависимости
вероятности ошибок а = р от значений параметров d2 и г при с = 1,
п = 10, ш\ = т2 = 10. Их анализ позволяет утверждать: с ростом
расстояния d2 между классами, объемов выборок тип
вероятности ошибок аир убывают; по мере увеличения г вероятности
ошибок аир сначала незначительно возрастают, а затем
начинают быстро уменьшаться (при d2 = 0 — сразу уменьшаются).
Это объяснятся тем, что рост г фактически означает
увеличение дисперсий случайных величин, составляющих обучающие
выборки из классов S\ и 52> что должно приводить при
неизменных значениях других параметров к увеличению
вероятностей ошибок аир, причем р — в большей степени. С другой
стороны, чем больше г, тем сильнее отличие распределений у
классов S\ и 5*2 ДРУГ от друга и тем меньше, следовательно,
295

должны быть вероятности ошибок аир. Таким образом,
характер изменения вероятностей аире ростом г определяется
противоположным влиянием этих двух тенденций. Так,
увеличение гс 1,01 до 1,30 при т = 10, п = 10, rf2=l,0
сопровождается увеличением вероятности ошибки а с 0,105 до 0,114.
Однако при дальнейшем увеличении г до 2,0 вероятность ошибки
а падает до 0,096. Это объясняется тем, что с ростом г
усиливается влияние тенденции, ведущей к уменьшению
вероятностей ошибок а и р, и, начиная с некоторого значения г*, ее
влияние становится доминирующим. При этом величина г*
тем меньше, чем меньше d2. Так, при d2 = 1,0 г* « 1,3, при
d2 = 0,25 г* * 1,1, при d2 < 0,01 г* < 1,01.
а = р
0,4
0,3
0,2
0,1
\ г = 1,3
V \ 2,0
"О^^
3,0^"
а = р
0,4
0,2
0
сУ2 = 0
о.бЧ
1,0
0,2
0 1 d2 1 2 3 г
а) б)
Рис. П4.1. Зависимость вероятности ошибок распознавания а = р
одномерных образов, различающихся неизвестными
средними значениями и известными дисперсиями признака:
а) от межклассового расстояния d2; б) от отношения дисперсий г
П.4.2. Вероятность ошибок одномерного распознавания
состояний с неизвестными средними
и неизвестными дисперсиями
Наиболее общим случаем одномерного распознавания
является определение принадлежности выборки (*,)" = (х\,х2, ..., *„)
из п независимых наблюдений к одному из двух классов S\ и S2,
характеризующихся неизвестными средними а\ и а2 и неизвест-
296

ными дисперсиями of и <з\. В ходе обучения вычисляются
оценки неизвестных средних ах и а2по (8.1) и дисперсий в\ и б\
по формулам:
а, =
да1 -! ,-=i w2-l,ti
Правило распознавания: если
п
/=i
о2
<*1
+ и1п-|- > 21пс,
«1
(П4.11)
(П4.12)
принимается решение (х,^е5,, в противном случае — решение
(х^ eS2. Представив 6J как of =afwi/(mi -l), перепишем (П4.12)
следующим образом:
E = ^t{Xi-a2f-^t{Xi-axf + nXn^^>2Xnc.
G2W2 |=1
G! Wj /=1
wlal (w2 ~ 0
(П4.13)
Поскольку известно [23], что все случайные величины at, щ
/=1,2 независимы, причем at подчиняется нормальному закону
N(ah a? /mi)9 а щ — х2-распределению с /я,- - 1 степенями
свободы, то вероятность ошибки распознавания первого рода а,
состоящей в том, что будет принято решение (х() fe S2, когда на
самом деле (*,-) f e ^, можно записать в виде:
a = pfE < 21пс|(^-) f е sA = ]]pwiW2 [e < 2lncL) 1 esA*
oo
M Pm2-\M^\dw2 ,
где PW]VV2[ ?<21nc|
(П4.14)
K^feSi) — условная вероятность того, что
?<21пс при фиксированных w\, щ и (*,•) feSi; P^-il^i) и
Pm i(w2) — плотности вероятности случайных величин w\ и и>2.
Kjcf-) x e S1! J, зафиксировав в
Для определения PW]W\E<2\пс\(
(П4.13) w\ и w2, сведем Ё к сумме независимых случайных
297

величин, имеющих центральные и нецентральные х2-РаспРе~
деления.
Нетрудно убедиться, что ковариационные матрицы векторов
$ = {x\-al9x2-au...,xn-dl) и ц = (хх -аъх2 -а2,...,хп -а2)Т имеют
общий базис из собственных векторов #ь ..., gm причем
gi = (l/л/й,..., l/yfn) , а остальные gh / = 2,..., п определяются
условиями ортогональности и нормировки. Осуществляя декор-
релирующее компоненты векторов ? и ц линейное
преобразование, матрица которого составлена из векторов g\9..., g„9
приведем (П4.13) к виду
Е =
ТП2 — 1 /Я| — 1
и>2
гщ
ь?
Ш\ -1
rWj
Гп.
q ах
<*1
7=2
У
т2-1
н>2
Гп.
q а2
<т2
\2
+ к0>0 ,
(П4.15)
где
212.7 1 И^Ц-l)
¦21пс.
WjGj (w2 — l)
Выражение, стоящее в (П4.15) в квадратных скобках, можно
представить в виде линейной комбинации кху}+к2у^ квадратов
независимых нормальных случайных величин X\=q-^\z-y\u и
X2=<7-P2Z-Y2W > гДе z = yfndi/a2'9 u = yfnd2/a2.
Коэффициенты fc/, Р/, у/, / = 1, 2, определяемые условиями
алгебраического равенства рассматриваемых выражений и
независимости случайных величин xi и %2, находятся в результате
решения системы уравнений с шестью неизвестными:
у,- = U + А,0 + Ы)Мф + А?0 + 4ftx, Д2/);
Р/ = 1 — Y/» ai~{mi~^)lwi\ t = (a]/m]-\-a2/m2) n; (П4.16)
*,=(-1Г(а1-Уз-Ао)/(У1-У2);
А,0 = -оц+a2/r, / = 1,2.
298

Таким образом, имеем:
Я = ЬоХо,л-1 + ^Д,1 +^2j + *<>> (П4.17)
где ^=^. ; Ь(=а1./а2х. ; a J =«P,2(«i -а2J/о^ \
а = \ + пф} /т2 +пу}/т\ , / = 1, 2; %1м— случайная величина,
подчиняющаяся нецентральному х2-распределению с 7V
степенями свободы и параметром нецентральности Ь.
Воспользовавшись инверсной формулой Имхофа [13],
получаем окончательно
I 1 1 °rsin0(t/)jw
где
(b ^oi I/ \п е ^ 1 1 fSine(MJd«
? < 2\псШ 1 g 5J = -—I —ГГ~"
V I J 2 kj p(w) w
PWlVV2|?<21nc|
1
Ф) = T1 *b« " (" ~ О arctg(?i0w) ~ X
2 I - y=i|
arctgl
;(v)+
bjhu
i+xy
(П4.18)
(П4.19)
р(м)=(+^2)л-')/4П
2
П
7=1
( + xy)V4eJ-^V
1 + ^-w2
(П4.20)
В итоге вероятность ошибки распознавания первого рода а
может быть вычислена по формуле:
1 1
швЫ
2 тс J0 J J up(u)
(П4.21)
где Рт.~\{щ) — плотность вероятности центрального ^-распределения
с mi — 1 степенями свободы.
Легко проверить, что вероятность ошибки распознавания
второго рода
Р = Л ?>21пс
MeS,
(П4.22)
может быть вычислена по той же формуле (П4.21), если в
(П4.16), (П4.17) поменять местами g\ и а2, т\ и т2, щ и щ,
заменить 1пс на - lnc, r на г-1.
Анализ формул (П4.16) и (П4.17) показывает, что
вероятности аир суть функции пяти параметров: объемов выборок
299

m\, ni2, n, расстояния d2
Ц-Д2J
о\
и отношения дисперсий
г = а?/а2 , которое без ограничения общности можно считать
больше 1.
На рис. П4.2 я, б приведены графики зависимости
вероятности ошибок распознавания а = р от значений параметров d2 и г
при п = 10, гп\ = mi = 10, 1пс = 0.
а = р
0,4
0,3
0,2
0,1
\ г= 1,3
\
^з.о4^
\?о ^^
о
d2
а = р
0,4
0,2
0
cf2=0
ч0,2
0,6
а)
3
б)
Рис. П4.2. Зависимость вероятности ошибок распознавания а = р
одномерных образов, различающихся неизвестными
средними и дисперсиями:
а) от межклассового расстояния d2\ б) от отношения дисперсий г
Их анализ показывает, что закономерности, отмеченные в
аналогичных зависимостях в случае априорно известных
дисперсий, справедливы и в случае неизвестных дисперсий, а
сравнение рис. П4.2 с рис. П4.1 позволяет сделать вывод о том, что
при а? * с?2, в отличие от случая равных дисперсий, на
вероятности ошибок распознаваний одинаково существенное влияние
оказывает отсутствие априорных данных как о средних
значениях й] и й2, так и о дисперсиях а? и а].
300

п
риложение
Вероятность ошибок
многомерного распознавания
состояний, различающихся
векторами средних
П.5.1. Точное выражение вероятности ошибок
многомерного распознавания состояний S\ и S2
с неизвестными векторами средних ах и а2
и общей ковариационной матрицей М
Пусть на вход распознающей системы поступают многомерные
(векторные) нормальные наблюдения (*,-)?, принадлежащие
одному из двух классов S\ и S2, различающихся только своими
неизвестными векторами средних й\ и а2 (и, следовательно,
имеющими общую ковариационную матрицу М).
Оценки неизвестных векторов средних ах и а2 определяются
в ходе обучения (см. F.30)):
«,-i-I*1), «2=—1*2)> (П5Л)
по обучающим выборкам х|^ =(*['), х$\...,х%) из класса S\ и
X® = {х\2\ 42),.... *i2]) из класса S2.
Решающее правило выражается формулой (9.4): наблюдаемая
выборка (х^ относится к классу S\, если
i=l(a,-«jM-'
2 п
>1пС, (П5.2)
и к классу Si, если выполняется неравенство, противоположное
(П5.2).
Достоверность распознавания при использовании
решающего правила (П5.2) достаточно просто оценивается лишь в асим-
301

:1-Я
(П5.3)
птотическом случае неограниченно возрастающих объемов
обучающих выборок (т\9 т2 -> оо), когда вероятности ошибок
распознавания первого а и второго р рода сходятся к
соответствующим вероятностям ошибок а™ и.р™ при априорно
известных а\ и а2 [27]:
\1^c+nd2$J^\ ркл=яГ(пС-^2ДУ>/^
где f(z) — табулированный интеграл вероятности;
d2 ={ax-a2J М~\ах-а2)
— расстояние Махаланобиса.
Для реальных распознающих систем основной интерес
представляет оценка достоверности распознавания для произвольных
(а не неограниченно возрастающих) размеров т\ и т2
обучающих выборок.
Получим соотношения для вычисления вероятностей аир
ошибок распознавания для произвольных объемов т\, т2 и п
обучающих и контрольной выборок.
Пусть Np{a,M) — /ъмерное нормальное распределение с
вектором средних а и ковариационной матрицей М\ (xt)x — выборка
п
из S\. Тогда векторы ах, а2, х = B/л)]Г *, распределены по законам:
i=i
Np{ax,M/mx}; Np{a2,M/m2}; Np{2ax,4M/n}
соответственно.
Перепишем решающее правило (П5.2) в виде:
E = yTM~lz>2\nC/n,
где у = ах -а2 eNp\ax -а2,[{1/т1)+A/т2)]м\ z = B/n)J^xt - dx - d2 e
i=l
\мр{ах -а2\{1/тх)+{1/т2)+{4/п)]м\ если {x$eSx;
G[Np{-(ax-d2),[{l/mx)^{\/m2)^{4/n)]Ml если {x$eS2.
Рассмотрим преобразование
х = СА~{/2ФТх , (П5.4)
где Л, Ф — матрицы собственных векторов и значений матрицы М.
302

Ковариационная матрица К вектора х
К= СЛ-'/2фт-М(С:Л-1/2ф7) г= СА-тфЩФА-ШС^ =
= сл-'/2лл-|/2сг=ссг,
и если ССТ= I, то К = I.
Тогда
X = (СЛ~'/2ф7)-1 ? = ФЛ-1/2С-1 J
? = (ФАУ2Сту)тМ-ЧФЛ-1/2Ст?) = ?Г СЛ1/2фГМ-1фЛ1/2Сгг =
= ут ССТ 2 = у I г = f $й = I"/ * 2 lnC/« J
1=1
1=1
/«![)]= щ [СА-У2Фту ] = СЛ-!/2ф7-Ш1[>, ] =
= СЛ-1/2фГ(а]_а2).
Пусть С такая, что
' </||
СЛ-'/2фГ(а1_а2)=
о
о
= </.
Докажем, что матрица С и скаляр </i существуют для любого
ненулевого вектора Ь = Л_1/2ФГ (в) - д2) Имеем матричную
систему:
сст
сь=
= 1
d\
0
0
Поскольку матричное уравнение ССТ=1 распадается на
Р2 "" Р(р ~ 1)/2 независимых скалярных уравнений
относительно ее элементов Су9 /, J = 1,/?, то в скалярном виде имеем
систему /> + р2 — р(р - 1)/2 уравнений с .р2 4- 1 неизвестным.
Рассмотрим разность
A(p)=(p2+l)-[p + p2-Jp(p-l)/2] = (l-/7)(l-p/2).
303

При р > 2 А(р) > 0, т.е. число неизвестных в системе больше
числа уравнений, следовательно, система имеет бесконечное
множество решений. При р = 2 А(р) = 0 и число уравнений в
системе равно числу неизвестных, следовательно, система имеет
два решения (так как имеет второй порядок). Величина d\
находится из следующего соотношения:
d2 = [cA-VWfo -a2)\ Т[сА-1'2Фт{щ -а2)}=
= {щ -а2УФА-1'2СтСА'1'2Фт{а1 -а2) =
= (а]-а2У(^АФт)(а1-а2) = {а1-а2Ум~1(а1-а2)=A2.
Итак,
Щ
K=rf,*K=itilt^^^ (П5.5)
mx\z\ =
d, если {xi}"=leSi,
- d, если {xi}1=leS29
кЩ = 11\1тМЧщ)А*1п)].
Вследствие декоррелирующих свойств преобразования (П5.4)
и независимости наблюдений
R%
i>yt
= Ъ.
R
У» У]
:0
при
ij = !,/?, i*j.
Нетрудно вычислить
%,?/ =[AМ)-AМ)] [(l/mi)+(V«2)+D/n)]-1/2=*.
Следовательно, все щ{1 = \,р) независимы и распределены по
закону
00
4<,)= \fi(«i,ti)dti,
где
/i =
2rta,a2Vl-/J2|f,|l exp{-[l/2^-/?2)] [[*,-rffaf2+
+ ((«,Д1)+с/JсТ22 -2Л(<! +rf)(i<i//1 -</)/c,CT2J}npH <! *0;
при Ц = 0;
304

fi =
-1
2то,а2Vl^F|*,|) exp{-[\/l{-R2] [fa?
+ uf Ц1^1 ~ 2R Щ fax <*2 ]} ПРИ Ч * °;
0
при tt = 0, / = 2,/?.
Рассмотрим
2 -i-l
iKG^yll-R2 | |*2| |r3| :
/(и = м2+"з) =
J J |«ф{-И-Л2)]['22«Г2+Л2-2^2-
-oo—oo—oo
¦2Ru/ala2 + t2a{ 2 +{v-uf t32c2Z -2/?(о-и)/а1СТ2] }<
x Л2 ^'з du =
o2 Vl - Л2 Sit/Bяо,а2л/1 - Л21
x J J fl/^W-H-*2)] [,2V +oV +
-oo-ooV У
+ u2/G2V2 +^з)-2иЛ/а1а2 Щг лз-
Очевидно, что
л^~2 /а / г^-1
/
^ i-=2 ;
Га2л/1-/г2-Ля] /BяСТ]СТ2л/1-Л21
!/Л>2 Н-|1/2^-Л2)
J...J
ty«\)L*i +и7 ст21'2-2иЛ/о,ст2
1=2
i=2
•Л2 •••<#/!
и Е имеет распределение
-у-2/
/(/) = L2Vl-if2 V2nj Bла,о2л/1-Л2
00 00
—00 -00
i/l'.UL'2
f-[l/2(-/?2)][(<1^Jar2 +
305

- ((/ - о)//, + dfaf - 2Л(/, - </)((/ - о)А, + d)lex<52 +
/=2 /
oil'?
V '=2 У
-2иЛ/о!02
•Л] Л2 — dtp.
Проведя необходимые преобразования, получим
/(/)= ехр
хехр{-A/2) [($/о2)-^/о2)]}схр{-
.-оо , -оо
М-*2)]»
.<¦
-1d.2
)Г
х RV^'o V ~ h* ~ a2°i Щ + °2°i *'i</ J J [*i - ЛР.
2 ^2
где fff=2/f.
Сделаем замену переменных в последнем выражении:
/i = г sin ф1,
ti - г cos ф! sin (р2,
*з = г cos (pi cos ф2 sin фз,
tp-\ = Г COS ф! COS ф2 ...COS ф/г-2 Sin ф/r-l,
/р = Г COS ф! COS ф2 ...COS фр_2 COS ф^-ь
это ведет к частичному разделению переменных.
Якобиан данного преобразования
Зр = (- if'1 tP~X COS*7 ф] COSP ф2 ... С08фр_2 ,
и выражение для плотности вероятности/(/) приводится к ви
/(/) = Q{p) ехр {- d2/2о? Ъяо^г^-Л2^ - 3) 111
я
х J J/^7-2 cosp ф ехр \ —\2 - 2(d/v{) f sincpjl х
~~2
х ехр {[- 2(l - R2)o2G2t2 J [/ + daxt simp - ol<j2Rt2
-^-GjRtdsm^] fdt dtp,
где а? =A/т1)+A/т2); а22={4/п)+{\/тх)+{\/т2);
306

eW=
Л = [AМ)-A/т2)]/(СТ,а2);
fl, если р - 2q +1;
/2"
J—, если /? = 2q.
IV я
Интегрируя полученное выражение по / и совершая
необходимые преобразования, приходим к следующему выражению для
вероятности ошибки распознавания 1-го рода а:
а = [е(р)ехр{-^2/2а?Ул/2^(/7-3) и]] ) t^1 x
О-я/2
xcos
хЯ
^_2фехр|(-1/2)[/2-2(^/а1)^тф] 1х
- 0 2dRt$m(p)/oi0 2tyll - R
dt dy,
(П5.6)
где f(z) — табулированный интеграл вероятности (8.13).
Аналогично находится выражение для вероятности ошибки
распознавания 2-го рода р.
Во многих случаях размеры обучающих выборок т\ и т^
удобно выбирать одинаковыми (в этом случае R = 0), тогда для
выбранного нами критерия максимального правдоподобия (С = 1)
вероятности ошибок распознавания принимают вид:
a = p = e(p)exp{-^a?)}[V2^(/7-3)!!]x
xj J f^osp~29expj(-l/2) [f2 - 2^/sin ф] lx
О-л/2 I J
х^[-^8тф/а2] d/ dq>.
(П5.7)
Обозначим
D/,(c/sin9/0,)=[exp^2/2^yV2^]j^
xexp
Ы [
/2-2с/а11/8Шф] jfr.
Тогда
Dp{dsm(p/al) = -[Qxp{-d2/2^)yf2^] \tp~
x exp {(d/aj)/ sin ф }d exp |-11 /2 j=
307

= (р-2)[ехр{-^/2а?Ул/2^]р-3еХр{-102-
О ^
-2(rf/a1)/sin9)}A + (rf/a1)sin9 [exp{-с/2/2a? /л/2ти]х
x \tp~2exp{-1/2)(/2 -2(<//a,)f sinФ)}й =
о
= (p - 2)D/?_2 (rf sin ф/oj)+ (rfsin9/aj jD^dsii^/aj)
Вычислим
D, (rf sin ф/a,) = (exp {- </2/2 а? /л/2л Jk
x fexpj (-1/2) \t2 -2do\Xnmy) \dt =
Л2(?/8тф/а1)=[ехр{-^2сг?/72я]х|^ехр{(-1/2)х
x (f2 -2dGjltsmy)f dt = (-l/yflnjcxp{-d2/2v2 }<
x Jexpj—fsii^lrfexpj l^^/V^)exp{-d2/2a2}+
+ (^тф/а,) (/V2^)exp{-J2/2af)J ехр{(-1/2) (t2 -
-2^аГ18тф)}^ = (/л/2^)ехр{-^2/2а?}+ d<3\ simp D] (^ sin ф/aj).
Вероятность ошибки а = p можно записать в виде, удобном
для численного интегрирования:
я
Г ^
a = p = [e(/>)/(p-3) l\\jcosp-2<p Dp{dsimp/ax)x
х F(- d sin ф/а2) Ар, (П5.8)
где функция Z)^ (г) вычисляется по рекуррентным формулам:
АB)=ехР{~^2/ЫХ22/2}^);
D2(z)=(l/V2^)exp{-c/2/^)}fzD1(z);
308

D/(z)=zDM(z)+(/~2)A_2(z^
D/?(zj = zZ)p_1(zj+(^-2JD/?_2(z)
Аналитически выразить а = p удается при p = 2k + 1, к =1,
2, ..., однако лишь в трехмерном случае (к = 1) получается
сравнительно компактное выражение:
.я/2
a3=p3=A/>/^| I /2exp{-/2/2 + ^ar,/sin9-rf2/^)}<
О-я/2
xcoscp F(-flfsin(p/a2)<fr d(p = \j4^^^tx^Yt2jl^-da^ty-
-d2/^)y^yd/a2)dtdy.
Поскольку
D3(z)=^/V^)exp{-t/V2a?}+^4l)exp|-c/V2af+ — |f(z),
имеем:
a3 = p3 = (exp{- J2/2a?} d/G]^)\yF{-yd/a2) dy +
-l
+ exp{-c/2/2a?^cxp{2d2/20^^/0^-уd/a2) dy +
-1
+ (exp{-rfV2a?}/Vaf)j^2exp{;2c/2/2a?}F(j;rf/a1)x
-1
xF(-yd/a2) dy.
Так как
exp{-^2/2afjjexp{;2J2/2a?JF(>;J/a1M-^^2)^ =
-l
4xp{-rf2/2c?}^
309

xF{-yd/a2)dy-cxp{-d2/2^}il/G^)lyF{yd/a2)dy-
-l
+ [exp{-d2/2ot} d/a242k] jjexpfy2 </2/2) (/<*? -
-l
-l/ol )}рЫ/о,)^,
имеем для аз = Рз:
а3 = р3 = F{d/o{ )F{- d/a2)+ F{- rf/a, M<//a2)+
+ (:xp{- </2/2o2 Lbi\dlo2) }>>ехр{и2 rf2/2)x
-l
xjl/af-l/crlj^/a,)^.
Последний интеграл преобразуется следующим образом:
ехр{- rf2/2a2 ]}j>exp{y2 d2^) (j/a2 - l/o^) jp(^/a, )rfp =
-l
= [\/d2{/af-\/o2)} lF{dl^)-F{-dlo{bxV{-d2l2<522\
-{<s2lax)[F{dlv2)-F{-dlo2)]^{d2l2o2\
Таким образом, получаем окончательное выражение
a3 =p3 =Jp(fi?/a1)F(-rf/o2)+F(-rf/a,)F(rf/a2)+(o1a2)x
X[V2^c/(T2-aO]"'{o2exp{-rf2/^02)}Hrf/a2)-F(-rf/a2)]-
-o,exp{-rf2/^)}[F(rf/o,)-F(-d/o,) ] 1. (П5.9)
Для иллюстрации рассмотрим задачу распознавания
принадлежности выборки (*,•)"= (*i,*2> •¦чХп) к одному из двух
состояний S\ и ^2 с общей ковариационной матрицей
'1 1/2^
и векторами средних
310

Предположим, что указанные векторы средних заранее
неизвестны и определяются по обучающим выборкам объема
т\ = mi = т. В этом случае вероятность ошибки распознавания
а = р, как это следует из (П5.8), имеет вид:
"я/2 |
-я/2
+ -exp)-</2cos2(p/2ajf \f(cIsirup/а}) F(-dsincp/ra2)
</cp. (П5.10)
На рис. П5.1 приведены полученные численным
интегрированием в (П5.10) зависимости a = p от объемов обучающих
выборок m при объемах контрольной выборки п = 20 и п = 10.
а = р
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
V
\
\
20
п=10
20
40
60
80
Рис. П5.1. Вероятности ошибок распознавания
многомерных образов, различающихся векторами средних
Пусть теперь классы S\ и S2 характеризуются неизвестными
векторами средних щ и а2 и, в отличие от рассмотренного
ранее случая, неизвестной общей ковариационной матрицей М.
В ходе обучения определяются оценки неизвестных векторов
средних ах и а2 по формуле (9.1) и неизвестной
ковариационной матрицы М по формуле [28]:
311

1
*-=г^т5Ц^,-*№,-^|Й*-*)Ф-'»У(да„>
Правило распознавания будет выглядеть следующим образом:
наблюдаемая выборка (xi)\ = (xx,x2,...,xn), xt — /ьмерный вектор
относится к классу S\, если
Е = ^{а\~а2)ТМ-
2 п
Ч=\
>1пС,
(П5.12)
и к классу S2, если выполняется противоположное неравенство.
Поскольку при гп\ + гп2 - 2 < р матрица М является вырожденной
и, следовательно, обратная матрица М~{ не существует, на объемы
обучающих выборок следует наложить ограничение
ГП\ + ГП2 "" 2 > р,
(П5.13)
которое легко выполняется на практике.
Анализ входящих в (П5.12) случайных величин показывает
следующее:
а) случайная величина х = щ-а2 распределена по
нормальному закону с параметрами Np[d{ -d2, A/т1)+A/т2)м];
2 п
б) случайная величина y = -Yxi-d{ -d2 распределена также
по нормальному закону с параметрами:
Np[d]-a2,D/n + \/m2+\/ml)M]i если (х$ eSx;
Np[-(d] -e2),D//i + l/m2 +1/т1)м], если (х$ eS2 ;
в) плотность вероятности оценки ковариационной матицы М
выражается распределением Уишарта с ковариационной
матрицей R = М/х и т степенями свободы [4, 30]:
,A/)=2-^/2я-^-1)/4|/?|-т/2)
x|nr[(l/2Xx + l-i)]| |м|(Т"Р)/2х ехр^К/Г'м},
(П5.14)
где т = Ш] + т2 — 2.
Таким образом, для нахождения распределения статистики Ё
необходимо вычислить распределение произведения нормальных
случайных векторов и матрицы М~х, обратной матрице М с рас-
312

пределением Уишарта (П5.14). Получить решение этой задачи в
конечном аналитическом виде в настоящее время
затруднительно.
В качестве оценок вероятностей ошибок аир можно
использовать асимптотические значения ал и Ро> полученные на
основе асимптотической нормализации оценки логарифма
отношения правдоподобия Е при р -> оо, доказанной в [17] для случая
п = 1. Переход от п = 1 к любому п > 1 сопровождается только
изменением параметров распределения входящего в выражение
п
(П5.12) для Е случайного вектора t = B/n)Y,x; и, очевидно, не
может повлиять на качественные закономерности изменения
распределения Ё с ростом р.
Преобразование (П5.4) позволяет выразить Ё через
компоненты введенных при рассмотрении случая известной
ковариационной матрицы М векторов jihz и элементы независимой
от них [4] случайной матрицы # = ||aJ|, такой, что Н~1
подчиняется закону Уишарта с единичной ковариационной матрицей
и числом степеней свободы т = тх + т2 - 2 :
А ЛТ А Д ~ ~ ПХ
E=-yLLyjzrhjr=—Ei.
1 y=lr=l 1
С увеличением р растет число слагаемых в последнем
выражении и, таким образом, нормализация распределения Ё при
/?->оо происходит в рамках центральной предельной теоремы для
зависимых случайных величин. Асимптотическое значение an
легко находится после вычисления среднего значения аЕ и
дисперсии a|j случайной величины Е\ при условии, что {xt}" eS\.
Значения аЕ{ и а2Е] вычисляются с помощью соотношений
(П5.5) и [21, 28]:
т\пА=(т-р-1У1=*о> y=i. р*>
2Г | [[(*-/0 (г-Р-1) {Т~Р-Ц~1 =*ь при j*r,j, r = \,p;
\[(Т-Р-1ХТ-Р~3)]~1 = *2> ПРИ j = r,j, r = l, р.
313

Вычисления значительно упрощаются, если принять, как и
раньше, гп\ = mi = m\
аЕ{ = тх
ge. =m{
¦щ
р Р
y=lr=l
jr
= i,^lyM{zj]m\{hjr]=-d\;
p p p p
Z Z Z IwaV^w
у=1г=1о=1м=1
"в *0 =
P P
:2~2,2
,;4,2
2 ^Y2 4 л
— + dz \\— + - + dz
m
-{P-i){t2
+
tint
2 4
—+ —
\m n)
l+d2 Y2+lU|
m )\m n) m]
if
m n
2 4 Л
—+— + d*
m n
<l +
(p-2)t2
m
В результате значение ao вычисляется по формуле:
a0=F[(-21nc/(nr)-a)/o],
в которой
a = d2/(r-p-l);
(П5.15)
a2 =
4(г-1)
(т-рУг-р-ф-р-З)
d2 \(
—+—
п m \
п ) ml
2d4
{т-р-\У{т-р-3)'
(П5.16)
Нетрудно убедиться, что асимптотическое значение Ро может
быть вычислено по формуле (П5.15) с параметрами (П5.16),
если в ней заменить 1пс на - Inc.
Сравнение результатов вычисления значений ao и Ро по
формулам (П5.15), (П5.16) с оценками вероятностей аир,
полученными методами статистического моделирования [29],
показывает достаточную для практического использования
точность аппроксимации вероятностей а и р их асимптотическими
значениями ao и Ро уже при р > 3 и п, незначительно
превышающем единицу. При неизменном р точность аппроксимации
возрастает с увеличением m и убывает с ростом л.
314

П.5.2. Приближенное выражение вероятности ошибок
многомерного распознавания состояний Si и S2,
различающихся векторами средних
Получим приближенные формулы для вычисления
вероятностей ошибок распознавания в случае общей для классов S\ и S2
ковариационной матрицы М, воспользовавшись
промежуточными результатами из П.5.1.
Для нахождения оценки сверху ав = рв вероятности ошибок
распознавания а = р при р > 3 разобьем в выражении (П5.7)
интервал интегрирования d<p на два: [— к/2, 0] и [0, к/2]. После
замены в первом из двух образовавшихся интегралов
переменной интегрирования ф на —ф с учетом равенства F(sh^/a2i)=
= l-F(-sin<p/a2i) находим:
a = p =
еЫ
оол/2 f , /
J jtp-lcosp-24>cxp\--(t2 +
00 I- 2
л12^{р-Щ
+ 2^шф+1^2)|Л d(p + 2fftP-2cosP-\ exp{-r2/2-l/af,}c
xsh
v
оол/2
jj
0 0
— F(-sinф/а2\)dt d<p
(П5.17)
где a?, = o22/d2 =4/(nd2y2/(md2l gJ{ =oj/d2 =2/ {nd2}
Первый из двойных интегралов в (П5.17) легко берется с
помощью замены переменных х = / cos ф, у = / sin ф:
«Ы
4Г'^~Ч^,2+^Н)Н
h V2^(p-3)!!J
= ^) ]]xP-2exp\-x2/2-(y + 4lJ/2\dx dy = F^il) (П5.18)
V27i(/?-3j!!00 I J
Для второго двойного интеграла в (П5.17) можно получить
оценку сверху, если обратить внимание на то, что во всей
области интегрирования подынтегральная функция
неотрицательна, а со8ф > со^_2ф.
315

оя/2
Поэтому /2 = 2уJ jtp ^os*7 29exp{-r2/2)sh(rsin9/an)x
о о
ооп/2
xF(-sincp/a21)flfr d(p<2yj $tp 1cos9exp{-/2/2jsh|
0 0
ool
fsincp
F(-sin(p/a2i)<ft d(p = 2yfjtpAe\p{-t2/2ph(tz/cu)xF(-z/a2i)dt dz,
oo
где
Y =
M {_„r,V2}
y[bz(p-7>)\\
expl
(П5.19)
Кроме того, очевидно, при любом / > 0
/2@=jsh(/z/an)F(-z/a21Vz<Jsh(/z/a11)F(-z/a21Vz = /3(/). (П5.20)
о о
Далее, интегрируя по частям и учитывая, что
/3@) = 0
и при любом t > 0
lim F(- z/g2\ ) ch(te/ai j) = 0,
находим
2 2
аИ J CT21^
/a21V2KJ0 [ 2ol,J 2/ [2of, J
Таким образом,
/2<^11Kexp{-^-ai1/a?1}2J^ = -^LeXp[ar12/2}<
,(p-0/2
-1
.(l-^./a2,I
поскольку, очевидно, o\x <a\\ при любом /.
316
(П5.22)

Подставляя выражение (П5.18) для 1\ и оценку (П5.22) для
/2 в (П5.17), получаем окончательно:
а = р < F\
f d^
G2J
а2
<*2
djb.
-l)/2
exp{-rf2/M)<
= otB=PB.
(П5.23)
Из вывода соотношения (П5.23) ясно, что точность
приближения вероятности ошибок а = р ее оценкой ав = рв зависит от
двух факторов: от того, насколько подынтегральная функция в
(П5.20) сконцентрирована в отрезке [0, 1], и от числа признаков р.
Поскольку с ростом р растет погрешность замены cosP~2y на
coscp, то и погрешность приближения
dylln
Р-\
°2
а2-°1
(П5.24)
минимальна при р - 3 и возрастает по мере увеличения р.
С ростом п уменьшается ац, что при фиксированных т, d1 и
р и при любых /, z > 0 ведет к увеличению sh!
Г tz^
<*П
и,
следовательно, к росту в результате использования (П5.20) погрешности
приближения (П5.24).
Чтобы оценить погрешность формулы (П5.24) при т -> оо,
получим верхнюю оценку величины
е = ав — а. (П5.25)
Очевидно,
2yltP-lQxp{-t2/2\l3{t)dt-I2.
Возвращаясь в выражении (П5.20) для 7з от переменной z на
интервале [0, 1] снова к переменной ф, получаем
8 = 2yf $tp~lexp\-t2/2pos<p\[-cosp~3<p)sh(( sm(p/ou)x
о о
OOOO f ч
xF(-sin(p/a2i) dt d(p + 2y^tp~l Qxp\-t2/2jsh(tz/(ju)x
0 l
xF(-z/a21) dtdz. (П5.26)
317

Чтобы получить оценку интеграла
I4(p)= 2yj jtp-]Qxp{-t2/l\os(p{-cosp-\)x
о о
xsh(fsi^/an)F(-sin^/a2i) dt d(p, (П5.27)
исследуем поведение функции
/(q>, p)=l-cos'~3<p (П5.28)
на интервале [0, я/2 ] по ср.
Очевидно,
Дф, 3) = 0;
/(ф, 4) = 1 — cos ф < 1 — cosfy = sinfy; (П5.29)
/(ф, 5) = 1 — cosfy = siiAp.
Для получения оценки функции / (ф, р) при р > 6 исследуем
сначала функцию
/,(ф, к)=1~С°" Ф, к>Х фе[0,я/2]. (П5.30)
sin ф
Ее производная по ф:
9/](ф, к) &С08*_1ф sin^-(l-COS%j2sh^ С08ф
дф 8Ш4ф
= i°|![*cos*-V(*-2)cos*q>-2].
sin ф
Докажем методом математической индукции, что ^ '<0
дф
для любого 0 < ф < я/2 . Поскольку в данном интервале знак
производной совпадает со знаком функции
/2 (ф, к) = к cos* ф - (к - 2)cos* ф - 2,
то для этого достаточно доказать, что
/2(фД)<0. (П5.31)
При к = 3 для любого ф имеем
/2(ф, 3)=-СО83ф + ЗсО8ф-2 = -(сО8ф-1ДСО8ф + 2)<0.
318

При к = 4
/2(9^4)=-2cos49 + 4cos29-2 = -2(cos9-lJ<0
при любом ср.
Пусть при к = к\ и любом ср справедливо
/2 (ф, *i) = *, cos*1  ф - (*! - 2)cos^ ф - 2 < 0.
Тогда также при любом ф
/2 (ф, *i + 2) = (*! + 2)cos*1 ф - *! cos*1 +2 ф - 2 =
= cos2 ф [&! cos*1  ф - (*! - 2)cos*1 ф - 2]+ Ц cos*1 ф -
~2с08*1+2ф + 2С082ф-2)=С082ф /2(ф, fcj)-
-2(l- cos2 ф) (l - cos*1 ф) < 0.
Поскольку условие (П5.31) справедливо при fc = 3 и & = 4, а
из его справедливости при к = к\ следует справедливость и при
к = к\ + 2, то согласно методу математической индукции
условие (П5.31) справедливо при любом к > 3. Доказанное
неравенство позволяет сделать вывод о том, что #|(фД)/</ф<0, т.е.
функция /Кф, к) на интервале [0, я/2 ] по ф монотонно убывает
и, следовательно, удовлетворяет неравенству
Жф, ?)</,((),*).
В силу возникающей в выражении (П5.30) при ф = 0
неопределенности, найдем значение/i@, к) при помощи предельного
перехода
/1@Д)=Ит/1(ФД),
ф-»0
воспользовавшись правилом Лопиталя:
/,@, *) = lim ^Ц = Km а/11,(фДУФ =
Ф">° /l2№ *) ф->° df\2 № *)/Зф
?cos*~\sir^ /г *_2 .,-
= 11т 1 b=hm— cos ф = А/2.
Ф->0 2 cos ф sin ф ф-»о2
Таким образом, возвращаясь к (П5.30), имеем
/1(фД) = 1^^<*/2,
sin ф
319

и, объединяя это неравенство с соотношениями (П5.29), получаем
f= 0 при р = 3;
1{%р)
= sin (р при р = 5:
< sin ф при /? = 4;
р-3 . о
<- sin ф при р>6.
(П5.32)
Теперь, чтобы оценить сверху величину Ц(р), достаточно
оценить интеграл
СОК/2 ( л
U{p)~l\ ( tP~ expx-t2/2posysm2q) sh(/sin9/au)x F (-sin ц>/с 2{)dt dip.
О о
Заменой переменной интегрирования z = sirup он
приводится к виду
74{p)=yltp~l^v{-t2/2%{t) dt9
о
00
где 75(t)= Jz2sh{z//an}F(-z/a2i) dz.
О
Выполняя интегрирование по частям 3 раза, после
несложных преобразований с использованием (П5.21) находим
2стп
2oi 1 2t
Подставим полученный результат в равенство для 74(р):
ш=-
о
хехр Lj(l~aljGl)\dt-a3u]tP-4cxp{-t2/2}dt
и, используя равенство
J/" exp( a2t2/2]dt = (и - l)!!/[a"+l9D
(П5.33)
320

находим
7(D) .Щр-Щ/.Р-г Л, o42i[p-l)l\ qiioii(p-3)!tl
e(P-4)
где CTo=l-02i/cTn.
С учетом (П5.19)
U(p)=
exp
k^l
(р-3)л[2^
CTliFo -1/" „_ _„+i ГЙ—
2oii<'
2<-'
(П5.34)
Сравнивая между собой (П5.27), (П5.28), (П5.32) и (П5.34),
имеем окончательно:
/4C) = О,
/4D)<274D)=^exp(ar,2/2}<
а?,A/о0-1)н
За2[ РцСТ21
2сг] ia0 2a0
/4E)<2/4E),
Ц{р)<74Ы(р-3) Для всех р > 6.
Оценим теперь второй двойной интеграл из равенства (П5.26):
ОООО , х
1в{р)=2у\ ^р~у Qxp{-t2/2)sh{xt/an)F(-x/a2i)dt dx. (П5.35)
01
При х > 1 справедливо неравенство [16]:
F(-,/a21)<^exp(xVM.)}
поэтому
/.
I V27T j x
Кроме того, при х > 1 очевидно, что х> \/х, поэтому
/7 <4iL Jjcsh^/aj,)ехр {-*7^а21 )К>
>/2я ,
321
11 Диагностика кризисного состояния предприятия.

и в силу неотрицательности подынтегральной функции на
интервале [0, оо]
/7 <-^2LJjc sh(xf/a»n)exp \-x2/^(j2\)fdx.
л/2к 0
Интегрируя в последнем выражении по частям, после
очевидных упрощений с помощью (П5.21) находим
/7<^«фЙ,12/6о?.)}
Подставим эту оценку в (П5.35). Тогда
°п о <*\\°Ъ ^2п
В итоге, для погрешности е приближения (П5.24) имеем
е < (/2л )"' ехр {- afj2 \l }j{p) = eB,
где
Лр)=
2о21?0 ст11
0 -l|f 6a2ia0 an -a2ia0 an
o?i
k!'-"
-(p-l^a^ao^arf^-^-Sjx
xo2iO0pon/2
при /? = 3;
при р = 4;
при р > 5.
Легко убедиться в быстром росте верхней оценки ев
погрешности б при увеличении р (ев - -рР-аР). Этот вывод становится
особенно очевидным, если учесть, что
а1={\ + п/2т)-]<\
и, следовательно, величина с^р тоже растет с увеличением р.
Поскольку при п» т
о, xd = V2m+4« * V2w^(l + да/4 °о * —* (П5.36)
нетрудно проверить, что при л -> оо ев растет пропорционально
Раскладывая при т -» оо соответствующие выражения в ряды
по степеням 1/т и, ограничиваясь слагаемыми первого порядка,
получаем
322

a, ,rf * -=[l + n/Dm)\ aok * 1 + АиДфи),
л/я
exp {Gif/2}*exp{nd2/8}[ + n2d2/(l6m)].
Подставляя эти приближения в ев, находим, что при т -> оо
верхняя оценка погрешности ев стремится к нулю со скоростью
т~2 при/? = 3 и с скоростью т~х при/? > 3.
Для уточнения скорости увеличения погрешности е с ростом
пир найдем также две нижние оценки величины е. Сначала
воспользуемся известным неравенством
sh (x) > х,
позволяющим для получения оценки eHi разделить переменные
интегрирования в выражении (П5.35)
оо , ч со
/(/?)> 2у (У-1 expf/2/2 Г—*fxF{-x/a2\) <**>
о а" 1
после чего оно легко преобразуется к виду
/,(,)> еХР^|/2 t-fe -lM-a^),^Lexp(ai?/2] = ?Hl.
Сравнивая (П5.35) с (П5.26), нетрудно убедиться, что
е>/6(/?)>ен1. Очевидно, что с увеличением р при неизменных я,
m, </2 оценка eHi растет линейно (eHi ~ р).
Другую оценку снизу eHi величины г можно получить, вновь
вернувшись к выражению (П5.35) и вычислив
оо
/8@= lsh{xt/GU)F{-x/c2l) dx.
1
Интегрируя по частям и выделяя затем в образовавшихся
после подстановки chz = (ez +e"zj/2 двух интегралах полные
квадраты в показателях экспоненты, находим
+ f(- 021 + ст21 t/ox, )j- ch(//o,, )F (- di\)}.
Подставляя полученное выражение в (П5.35) и учитывая, что
323

получаем
- 2 ]tp-2ch (t/ax i) exp (- t2\2)dt
о
Подставляя в это неравенство соотношения (П5.19) и (П5.33)
и учитывая (П5.26), имеем
г>16{р)>гт=°1у1 expfa^AK^i)-
-2yonF(-oIj)f^2exp {-t2/2}ch{t/ou)dt,
о
где, как и раньше, gq = 1 - or^/a2,.
Поскольку ац > G2i, то
00 , n 00
Ao = 2Y^nJ^exp{-^2/2}h(//a11) * = 2of,yJi/pch их
о о
хехр<—-—\du < 2а^у\ир chw exp|-a2i« /2pu=G^A,
где v4 — не зависящая от п константа.
В соответствии с соотношениями (П5.36) величина I\q при
п -> оо ограничена сверху постоянной величиной (при
неизменных п, /я, d2), и, следовательно, еН2 растет пропорционально
gq^) , т.е. со скоростью п(р~1»2.
Обобщая все изложенное и учитывая, что погрешность е
приближения (П5.24) растет не быстрее ев и не медленнее сн и
убывает быстрее, чем ев, можно сделать вывод о том, что
погрешность в приближении (П5.24) убывает при т -> оо не хуже
т~х и возрастает: при р -> оо не медленнее р и не быстрее jP-aP, а
при п -> оо не медленнее п(р~1»2 и не быстрее rSp+]»2.
Таким образом, применение приближенной формулы (П5.24)
для вычисления вероятности ошибок a = р наиболее эффективно
при т» р,т » п, что подтверждается тем, что при т -» оо оценка
ав = |3В сходится к а101 = р101.
324

Приведенные ниже значения а = р, ав= (Зв > е при п = 20,
/?=10и</2=1и различных т иллюстрируют сделанный вывод.
т
а = р
<*в= Рв
s
20
0,105
0,249
0,144
30
0,070
0,110
0,040
40
0,053
0,069
0,016
50
0,043
0,052
0,009
60
0,037
0,042
0,005
80
0,030
0,032
0,002
100
0,026
0,027
0,001
Таким образом, формула (П5.24) дает наиболее точное
приближение вероятности ошибок распознавания при больших
значениях объемов обучающей выборки т, а ее погрешность
возрастает с увеличением пир. Однако нетрудно убедиться, что
величина а = р с увеличением пир зависит от п только через
отношение п/т.
Для больших значений р можно получить другую
приближенную формулу для вероятности ошибки распознавания.
Возвращаясь к полученным в П.5.1 результатам, запишем решающую
статистику (П5.2) при {х,}" sSxb виде
р р
E=I*uj=lLyjzj>
у=1 у=1
(П5.37)
где все случайные величины у^ Zj, j = 1,р независимы:
yjeN{b[j-b2j,2/m }, z,-еЛ^-*2у-,2/т + 4/л },
ь^\ьи-ь2Ьь12-ь229...,ь1р-ь2р\ =1*1*2...*,! =Л~1/2фГ(а1-а2)
Найдем средние значения аи. и ъ\. случайных величин и/.
оо оо
% = J |vA'z;7 *У] dzJ=ayjazj =-*Ь
-оо—оо
°lj = ] j\yj*j+tf]2"bj>zj)<b>j<bj =
—00—00
=2 2+i + 1+1| bl
m\m nl ym n
325

Здесь учтено, что в силу независимости случайных величин
Ур zj их совместная плотность вероятности w (y7, zj)
распадается на произведение маргинальных плотностей.
В силу независимости всех случайных величин uj9 j = \,p и
конечности дисперсий а*. при любых конечных ъ] к сумме (П5.37)
при больших значениях р может быть применена центральная
предельная теорема, дающая возможность приближенно описать
функцию распределения решающей статистики Е нормальным
р 1 7
распределением с математическим ожиданием a = ~2^bj =-d и
Н
дисперсией
7=1 ' т
г1+-
т п
+ 4
1 1
— + —
d\
поскольку d2 =bTb = (ai -a2JM~x{ax -a2) Тогда вероятность
ошибки распознавания а = р может быть приближенно выражена
формулой:
a = p*F
-V\^
(П5.38)
Формула (П5.38) дает возможность достаточно просто
оценить, как должно меняться расстояние Махаланобиса d2 при
увеличении числа признаков для того, чтобы при этом повышалась
достоверность распознавания. Действительно, в силу того, что
выражение под интефалом Лапласа F[t] меньше нуля, вероятность
ошибки распознавания а = р убывает с увеличением числа
признаков р только в том случае, если при этом убывает функция
f{p9 D) = -?-{\/m + 2/n)+U\/m + 2/4
mD
D
где D = d2.
Дифференцируя функцию/(p, D) no p, получаем
df(P,D)_ l
dp
mDz
-(l/m + 2/л)-
i(l/m + 2/^) + -L(l/w + l/«)
mZT
DA
dD_
J dp'
326

Функция /(/?, D) с ростом р убывает тогда и только тогда,
когда df(p,D)/dp<0. Это условие выполняется, если
^> , m~]\2f = 7 * -.(П5Л)
др 2p\(n-l+2n-l)/D + l + mn-1 2p/D^ + mn~l)/\(п'1 +2«-1)
В свою очередь, очевидно, что для выполнения условия
(П5.39) достаточно, чтобы удовлетворялось неравенство
dD/др > D/Bp). (П5.40)
Пусть D = ар\ Тогда условие (П5.40) принимает вид
атрх~1>ахрх-1/2 и т > 1/2 . (П5.41)
Таким образом, вероятность ошибки распознавания а = р
убывает с увеличением числа признаков р, если оно
сопровождается ростом расстояния Махаланобиса d2 со скоростью
не ниже Jp . Если это условие не выполняется, то согласно
(П5.39) вероятность ошибки распознавания а = р может как
возрастать, так и убывать в зависимости от соотношения
значений р, d2, m, п. Так, если снова
D=apx и к 1/2, (П5.42)
то (П5.39) принимает вид
т-1 1
ахр >-
2р/(арх) + у'
где у = т \п~Х + л J \п~Х + 2п~х j= m (l + т/п)/(\ + 2т/п).
После несложных преобразований находим, что условие
(П5.39) выполняется до тех пор, пока
/><[уат/A-2т)ГН
т.е. существует значение р* такое, что если зависимость
расстояния D между классами от числа признаков р определяется в
соответствии с условием (П5.42), то вероятность ошибки
распознавания а = р убывает с ростом р до тех пор, пока число
признаков не достигнет значения р*. При этом происходит как
бы насыщение признакового пространства и дальнейшее
увеличение количества признаков ведет к росту вероятности
ошибки распознавания. Любопытно, что при уах < 1 — 2т р* = 1.
327

Полученный результат полностью согласуется с выводами,
сделанными в [17].
Таким образом, приближенные формулы A15,24) и (П5.38)
не только показывают характер изменения вероятности ошибки
распознавания а = р при увеличении числа признаков р, но и
позволяют сформулировать требования, предъявляемые к
признакам при формировании признакового пространства
возрастающей размерности. Важнейшим достоинством полученных
формул является то, что по ним можно легко определить
максимальное число признаков с совокупной разрешающей
способностью d2, обеспечивающих требуемую достоверность
распознавания D* = 1 - а* = 1 - р* при заданных объемах выборок т
и я. Пусть, например, наши возможности по объемам обучающих
и контрольных выборок ограничены (т < М, п < 7V), а
требования по достоверности заданы величиной D* = 1 - а* = 1 — р*.
Пусть при этом мы рассчитываем на то, что имеющиеся
признаки с неизвестными векторами средних а\ и а^ и известной
общей ковариационной матрицей М обеспечивают расстояние
d2 между распознаваемыми классами S\ и ф- В этом случае
необходимо учитывать, что согласно сделанным выше выводам
существует максимальное число признаков /?*, позволяющее
достигнуть наилучшего значения достоверности распознавания
D* = 1 - а* = 1 - р* при заданных М, N и d2. Из выражения
(П5.24) следует, что при большом граничном значении
обучающей выборки М значение р* можно вычислить по формуле
In
взяв при этом для получения целочисленного р* целую часть от
выражения справа от знака приближенного равенства и положив
а2=2/Л/, gI=2/M+4/N.
При небольшом М формулу для вычисления р* можно
получить из (П5.38):
'¦*\Md2/
(^а'УЪ-М^
(П5.44)
328

при этом для получения целочисленного значения р* снова
необходимо взять целую часть от выражения справа от знака
приближенного равенства. Здесь F~l\^-a*J — функция, обратная
интегралу Лапласа. Необходимо отметить, что если выражение в
правой части (П5.44) меньше нуля, это означает, что р невелико
(в этом случае следует попытаться воспользоваться формулой
(П5.43) либо признать, что задача неразрешима, т.е. при данных
М, Nk d2 достоверность распознавания D* = 1 - а* = 1 - р*
недостижима). В (П5.43) также возможно вырождение выражения в
правой части. Для этого достаточно, чтобы а* = р* было меньше
F (-d/a2). Это имеет место также в том случае, если задача
обеспечения достоверности D* = 1 - а* = 1 - р* при заданных
М, Nu d2 неразрешима.
В силу приближенности формул (П5.43) и (П5.44) вывод о
неразрешимости задачи необходимо проверить. Для этого
достаточно положить р = 1 и вычислить вероятность ошибки
распознавания а = р при m = Mnn = N по формуле (П3.17). Если
а >а*, то задача действительно неразрешима, в противном
случае поиск р* можно продолжить, полагая m = Mnn = Nn
вычисляя а по формуле (П5.8). Очевидно, что р* окажется
недостаточно большим числом и его поиск не потребует долгих
вычислений.
Сравнение количества р имеющихся признаков с величиной р*
дает возможность правильно выбрать направление дальнейших
исследований. Если р > р*, то имеющийся набор признаков,
обеспечивая расстояние d2 между классами S\ и 52, не может
гарантировать достоверность распознавания D* = 1 — а* = 1 - р*
при ограничениях на объемы выборок т < М и п < N.
Необходимо либо понизить требование If = 1 — а* = 1 - р*, либо
увеличить М и (или) N, либо уменьшить число признаков р, стремясь
при этом незначительно уменьшить расстояние d2, либо найти
дополнительные признаки, значительно увеличивающие
предполагаемое расстояние d2, и включить их в исходный набор (быть
может, удалив из него ряд признаков, предполагаемый вклад
которых в d2 незначителен). Если же р < р*, то можно, не
выходя за имеющиеся ограничения, оптимизировать при
условии обеспечения заданной достоверности распознавания
как объемы выборок тип, так и сам набор исходных
признаков, а также все эти параметры в совокупности.
329

Вероятность ошибок
многомерного распознавания
состояний, различающихся
векторами средних
и ковариационными
матрицами
П.6.1. Асимптотическое приближение вероятности
ошибок многомерного распознавания состояний,
различающихся векторами средних
и ковариационными матрицами, при больших
объемах обучающих выборок mi и т2
При большом количестве обучающих предприятий т\ и /»2
полученные по формулам (9.1) и (9.18) оценки векторов средних
«1 и «2 и ковариационных матриц М{ и М2, асимптотически
приближаются к точным значениям этих параметров ах, а2,М\, Mi.
В этом случае правило классификации заключается в
сравнении логарифма отношения правдоподобия Е с порогом In с,
определяемым выбранным критерием качества: принимается
решение S\ о принадлежности выборки 1Х\" ^-мерному
нормальному закону с вектором средних а\ и ковариационной
матрицей М\ (классу S\), если выполняется неравенство
z'=i (П6.1)
и принимается альтернатива S2 о том, что {*,}" е Np{a2,M2}, если
выполняется неравенство, противоположное (П6.1).
П
риложение
330

Для вычисления вероятности ошибки классификации
первого рода аш, состоящей в принятии гипотезы ф, когда в
действительности верна гипотеза S\9 необходимо провести декоррели-
рующее преобразование признакового пространства
у = А(х-щ), (Пб.2)
где матрица А удовлетворяет условиям АМ\АТ = /, АМ^А7 = 2Н,
(\
0^
, D =
0
*PJ
,0 I) [0
после которого решающее правило (П6.1) принимает вид:
1 ™ \-dj)yfj-b]dj/^-dj)+\ndj\-\nc =
Е = -
2
j=u=\
ifi
zj=i
\-dj\j - nh) djfc - dj)+nladj\- lnc > 0,
(П6.3)
nfid!
где . 2 nujuj I , _ независимые случайные вели-
чины; x2{^? я} "" нецентральное х2-распределение с параметром
нецентральности X и с п степенями свободы; b = (b\ ... bp) T =
Л (щ - а2), ytJ e W
1 ] V;
¦Л, / = i, n,
Известно [30], что
А = л-^фг
(П6.4)
В общем случае Ф и /Н — соответственно матрицы
собственных векторов и собственных значений матрицы М = М2ХМХ,
Л = ФтМХФ.
Теперь выражение для вероятности ошибки а101 можно
получить в квадратурной форме [27], воспользовавшись методом ха-
331

рактеристических функций. Несколько другая квадратурная
формула получается после применения свертки Имхофа [13]:
_ 1 1 ?sine(^)
2 n\uf{u)
а~* =-г— I -Hr du\
¦J I n
ew^-^iW^-O^
2 и
l-(dj-l)«2
1 + fc-lJ»
2 rfA
¦\ndj
u> + ulnc;
л/4
72.2.2
(П6.5)
Поскольку известно [6], что у2{Кп) >Nl{l + n9 2{n + 2X)\,
статистика Е асимптотически нормальная при п -> а>, и для
асимптотического значения вероятности ошибки а™ имеем:
<=F
-2\пс/п-а
п/2 ,
(Пб.б)
где F(z) — табулированный интеграл вероятности [6];
7=1
= («!-a2)rMj'(ai-a2)+tr M-ln det Л/-р,
= 2{al-a2fM2lMlM2]{al-a2)+trffTMy2 trM + p.
(П6.7)
Используя известные теоремы сходимости [7], можно
показать, что если
pi=i(dj -0=tr Кч -^-^p*<oo;
y=i
/7-Ю0
p2 = ?*?<// =(«i -a2fM2l(ai -a2) -> p2 <»;
(П6.8)
332

то распределение статистики / = (Е — а)/а сходится к
стандартному нормальному распределению Nl{0, 1} при р -> оо, причем
параметры она задаются теми же формулами (П6.7) и,
следовательно, асимптотическое значение вероятности ошибки а™ и
в этом случае дается выражением (П6.6). Более того, из
представления (П6.3) видно, что с точностью до постоянного
слагаемого статистика Е является суммой N— пр независимых
случайных величин и, следовательно, асимптотически нормальна
при JV-xx), если при этом расстояния pj и р2, определяемые по
формулам (П6.8), остаются конечными. И в этом случае
асимптотическое значение вероятности ошибки а™ вычисляется по
формулам (П6.6) и (П6.7).
На практике нередко ковариационные матрицы
пропорциональны [27]:
М2 = hMx. (IK.9)
Тогда в преобразовании (П6.4) Ф и Л = D~x -
соответственно матрицы собственных векторов и собственных значений
матрицы М\, а решающее правило (П6.3) имеет вид:
й-1 nd2 пр
?= z—7 г——1п/*-1пс>0,
2h 2(A-l) 2
где
Z€X 2\jj?Itf9np Г d2=(al-a2)TM[l{al-a2).
Вероятность ошибки а101 записывается через функцию Fq [/, у]
нецентрального ^-распределения с q степенями свободы и
параметром нецентральности у:
акл={1"-/Г«р[^ {l-hfml2] при А>1;
I^pF (l-hfnd2\ при А<1, (П6.10)
где /? = [2/*1пс + ярh\nh + nhd2/(h-\)\/(h-\) , и для ее вычисления
могут быть использованы таблицы функции мощности
^-распределения [6]. Соответствующим образом упрощаются и
выражения (П6.7) для вычисления параметров а и а в
асимптотической формуле (П6.6), которая при этом совпадает с
асимптотическим выражением для функции Fq [t, у].
333

П.6.2. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний с неизвестными векторами средних
и разными ковариационными матрицами
Поскольку векторы средних а\ и а2 распознаваемых
ансамблей S\ и *% неизвестны, в ходе обучения необходимо вычислить
их оценки ах и а2 по формулам (9.1).
Правило распознавания в этом случае состоит в сравнении
оценки логарифма отношения правдоподобия Ё с зависящим от
выбранного критерия качества порогом 1пс:
1?
? = Щ*.--«2)ГА/2-1(х/-а2)-
zi=l
-{ъ-"\ТмЛх(-*\)
п . det M2
+ — In >lnc ,
2 det Mx
(П6.11)
причем при вьшолнении (П6.11) принимается решение S\9 в
противном случае — решение S2.
Для нахождения вероятностей ошибок распознавания
первого и второго рода аир, получим представление Ё в виде
функций от простых статистик, воспользовавшись инвариантностью
логарифма отношения правдоподобия относительно линейных
преобразований.
Известное декоррелирующее преобразование у = А(х - а\)9
где матрица А удовлетворяет условиям А М\АТ= 1р,А М2 Ат = D~\
jP=
(Л
D =
О
, приводит (Пб.11) к виду:
z/=ly=lL
-lnc>0,
где у-ф i = 1, п , l\j, b2j ,j = l,p — независимые случайные величины,
yiJeNl{09\}9 bjeN1 {о,l/щ}, b2j е N]{bj, l/(djm2)},
b = \bx...bp\ =A{ax-a2).
334

В общем случае А = Л {/2Фт, где Ф и /Н - соответственно
матрицы собственных векторов и собственных значений
матрицы М = МгХМх, Л = ФТМХФ[30].
Поскольку случайные векторы zkj = \yXj -bkj ... ynj -bkj]T,
fc = 1, 2, можно представить в виде z^ = Btkj,
fl;-=[or^o,...,o]r,
*Ь
~Д; 0 "
J
_0 Vl.
, Ri =
' У
1 + n/mx 1
1 l + «/(^ym2)
> У = Ъ/>,
J? = [Oi ... Фп] - матрица собственных векторов матрицы
i+x i... i ,
, o1=-7=[l...l]r, для решающей статистики Е
R
[1 1... 1 + т
получаем:
E = \t\ tb-dAj4-djE<l -» birfy
¦lnc ,
- y=iL <=з
Введем векторы **• =[г17/2у]ги найдем матрицы Bj
размерностью B х 2), такие, что
wj='2, fcOr[o -1.1 fcO-
0 -с2у.
(П6.12)
Полагая
«iy=C/&, »27=^, где Uj=\jXjU2j]7
= B]VjeN%I2}, aj =
a2j
= B',
-J^bj
л+1
и м3у- = Y.H)» получаем
!'=3
окончательное представление решающей статистики
? = --j S[ciy«ly- + c27u2y + (/y -1) и3у- + и lm/, J + 21nc L
при независимых н^-бД^ 1), A: = 1, 2; u3yex2{o,«-l}, j = l,p;
x2{k n) — нецентральное х2-распределение с N степенями сво-
335

боды и параметром нецентральности А,, позволяющее найти
вероятность ошибки распознавания а при помощи свертки Имхо-
фа [13]:
<x(in, л, Ь9 Д р)= ?т{е < 0| {jcf.}e S, }= I-l7™2fcl </„ . (П6.13)
Функции 9(w) и p(w) выражаются через коэффициенты сщ и
параметры Xkj=a2kj, к = 1,2; j = Up, которые можно найти,
решив (П6.12) относительно коэффициентов сщ и элементов
матриц Вр и легко преобразуются к виду
•«-Щ
1 +
arctg
ft/"Si
—-—т\и
(*-l)arctg[(</,-l)M]-
+ 2w lnc
(uhn\fjD+(*j-^«2]n~
1/4
,2 Л
x exp\^-u.g2j+gdj(u)]bj/fj{u)\;
(П6.14)
7=1
fj{uh\ + ^lj+g?-2dj)u2+hj{u)}2,
Ф У(rf) = (?2уЙ _ rf7 j > Slj = dj + и/от2
^=1 + и/т,, Aj = nbjdj.
При л-юои неизменных значениях других параметров все
^*у -> °° (ПРИ fy * 0), и следовательно, в силу известных свойств
Х2-распределения [6] все независимые случайные величины иу,
к = 1,3, j = \,p — асимптотически нормальны, и
асимптотическое значение вероятности ошибки распознавания
<x0=F
ГГ-2^-в]Д^/а]
(П6.15)
336

где F(z) — табулированный интеграл вероятности;
7=1
= (а1 ~агТЩУ{а\ -a2)+tr M-lndet M + />Ц-1 -/п^' _1);
Г f
2/3?/i?+(jy-lJ+2d
а2 = II
н
2 и и
«1 mf m| J
/7^2
fe+^jrfj
= 2(л! -a2jM2xMxM2\ax -a2)-\
tr ^/гм}-2 trM
/
+ fl
4 2л 2л J
—+ —+ —+ 1 +
Щ mx т2 )
tr М + п{ах -а2)Т М21(ах -а2)\.
т2 L J
(П6.16)
Используя теоремы сходимости [7], можно показать, что при
р -> оо распределение статистики l = \p-ajo сходится к
нормальному распределению Л^{0, 1} со скоростью l/Jp9 если
выполняются условия:
f(^-l)=tr{l/-/p}-> pj<oo;
ЁЬК'г=(в1"а2)Г^21(в1-в2) -> Р2<°°-
Таким образом, формула (П6.15) для асимптотического
значения <хо с параметрами а и а, задаваемыми (П6.16),
справедлива в условиях асимптотики N = пр -> оо.
Вероятность ошибки распознавания второго рода р и ее
асимптотическое значение р0 можно найти по формулам (Пб.13)
и (П6.15), если в (П6.14) и (П6.16) заменить 1пс на —lnc и
поменять местами т\ и т2, а\ и а2, М\ и М2, что повлечет за собой
замену Мна АН, 2) на D1, rfy на djl, * на Dl/2b.
337

П.6.3. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний с неизвестными векторами средних
и неизвестными разными ковариационными
матрицами
В наиболее общем случае априори неизвестными
оказываются как векторы средних а\, а2, так и ковариационные матрицы
М\, М2 распознаваемых ансамблей. В ходе обучения
вычисляются оценки ах и а2 неизвестных векторов средних по
формулам (9.1) и оценки Щ и М2 неизвестных ковариационных
матриц по формулам:
1 ^i,
мх =
Мо =
1 ?!l
т2~К
2№-«,№>-tf;
ttel-bW-iJ- (П6.17)
Правило распознавания в рассматриваемом случае
заключается в сравнении с порогом 1пс оценки логарифма отношения
правдоподобия Ё: выборка (х^ относится к классу S\, если
выполняется неравенство
E = \i\{xi-d2fM2%-a2)-
z/=lL
-(xi-axYM^Xi-ax)
п det My
+ - In А>\пс, (Пб.18)
2 det Мх
и к классу S2 в противном случае.
Используя преобразование (П6.2), представим статистику
(П6.18) в виде
\ JLJL
*=т1Е
2y=li=lL
W2i Wxf
П
+ —
2
j=\ Wj7 W\X y=l ^2-1
-lnc>0,
(П6.19)
338

где
w[iex2{Q,ml-p\ w2/gx2{°^2-pI i = ln;
w{Gx2{^mx-j\ w^GX2{0,m2-y}, j = l,p-l\
/ = IT^ 0 = @...of;
Однако все перечисленные случайные величины независимы
при л=1. Для этого случая известны приближенные формулы
для вычисления вероятности ошибки а [22], а также выражения
для асимптотического значения вероятности ошибки ао в
асимптотике Колмогорова [21]:
mr->oo, /?->оо, -Е-->КГ, г = 1, 2, (П6.20)
которая, однако, при небольших значениях р не всегда позволяет
оценить вероятности ошибок распознавания с достаточной
точностью. На практике задачи, в которых число р используемых
признаков невелико, встречаются довольно часто, а в тех
случаях, когда имеется большой набор признаков, практические
соображения нередко диктуют необходимость минимизации их
числа р (см. главу 5). Таким образом, случай малой размерности
пространства признаков практически важен и требует
дополнительных исследований.
При п > 1 случайные величины wj/, / = 1,л зависимы (так же,
как и w>2/, i = l,л), что препятствует обобщению приближенных
формул [22], тем не менее представление (П6.19) позволяет
аппроксимировать асимптотическое значение вероятности ошибки
распознавания ао следующим образом.
Рассмотрим случайные величины:
и = ln^2i/(^2-p), ^Ч/(т2-/).
339

1 Р П
'={11
w2i wu
Нетрудно показать, что при т\9 mi -> оо первая из них с
точностью до случайных величин с нулевыми средними и
дисперсиями порядка \/т2 равна случайной величине
Ц)^1 ]о,?;
7=1
2 2
+
\m\-J Щ-J
равна случайной
Поскольку при т\у nt2-> °°
случайные величины tri = wri/(mr-p\ r = 1,2, сходятся по вероятности
к единице для всех конечных значений р, то / сходится по
вероятности к случайной величине
\2~
1 Р п
2y=1/=iLw2-P Jmx-pXJ
Отметим, что случайные величины и^ вносят свой вклад
только в дисперсию решающей статистики [21] и,
следовательно, замена / на /о несколько занижает асимптотическое
значение вероятности ошибки ао.
Определим статистику k через независимые случайные
величины.
Исследуя случайные векторы zly = (у1у - fyy ... ynj ~b\j) >
z2j = \?\j "*2У --Уп] -i>2jj > находим, что zrj = BVrj ,
VrJ = (vry.v3y-... vn+lJ)T , г = 1, 2, где Vj = faj^j ...vn+lJJ € N"+](a],Rf),
agj =(o,-^y, 0, ...,о)Г,
*J =
r l + «/wi
1
0
0
1 0 0
\ + n/djm2 0 0
0 1 0
0 0 0
Здесь В = (Ф] Ф2 ... Фп)Т "~ матрица собственных векторов
матрицы 7? размером (п х п), причем
Д =
1 + т
1
1 .
1 + т .
1 .
•• 1
1
. 1 + т,
3<
>
ю
ф=44> 1. .... if.
л/л

Если ввести векторы V* =(vyiv2y)rH найти матрицы ?), такие,
что
Wj=i, (е?)т П
О -td
J J
E~l =
f~CXj 0 ^
0 -C2y-
где
R,
1 + njm\ 1
1 l + fl/(flfy7W2)
; t-
l-p/m2*
получим следующее представление статистики:
1 JL\
k=-
A - p/ml) HC[^ + Cl^ + ^J " ^ *>.
через независимые случайные величины
?yex2{0, /2-l}, zrjex2{brj9 l}, y = l,p,
и постоянные
Cj^Dtj+i-ifDj, Kj
п Ц djt
Д./=-
77 2
dj+—
т2
+(-iX
2С„,
ч m\j
1 + (-1^
Dj=^Dl--tdj,
j = hp,
r=l, 2.
Нетрудно ввдеть, что при я -^ да, п/т2^>Кг, г = 1, 2, все
A,vy ->• оо, и, следовательно, статистика /Ь асимптотически
нормальная. Поскольку статистика Ё сходится по вероятности при
т\, mi -> оо к статистике Е0=/0+-
U0 + ^\nd: + p\n^—-
т2 '
асимптотике
пг-><п9 л-»оо, п/тг-+Кг, 0<Kr<co,
-In с В
(П6.21)
для асимптотического значения вероятности ошибки ао
справедлива формула (П6.6), в которой
341

1 р
l-p/wi^ll
A?dy +
1 1
X.JL
Щ)
In
l-7-/»»2
(П6.22)
2 1 f
26J</jf2 + 262<//2 n/m2 + ((dj -1J + n/m2
- nt2/m2 + 2Jmx + 2djt/m2 + (l - p/m, f
1 1 1
^«,-y m2-j)
Если /И| = /иг = m, то / = 1 и
a = lal-a2)TM2l{ai-a2)+
+ tr M-p-(l-p/m) In det M\ (l-p/m)~2 ;
(П6.23)
o2=j 2(а!-д2)ГA/J1M,MJ1(flI-a2)+
+ tr {tfrMJ-2 tr Л/+ />([ +2//и + 2и/>и2 )f
+ A[trM + (a1-a2)rM2-4«,-a2)]+(l-/VmJ?— (l-p/m).
Если выполняется еще и условие (П6.9), то
a = \d2/h + p[l/h-l + (l-p/m) Inh] \ (l-pjmY ;
2d2/h2 + p{h-lf/h2 +2р{/т + п/т2У
Ifp/h + ndyhyil-p/mft-LA (l-p/mT2.
m j=\m~J)
(П6.24)
Поменяв во всех приведенных выше формулах местами т\ и
т2, ci и а2, М\ и Л/г, что повлечет за собой замену М на А/-1, 2)
на D~l, djна </j', In с на — In с, Ь на ?>'/2А, получим те же выра-
342

жения (П6.5) и (П6.10) для ошибки распознавания второго рода
р™ и формулу (П6.6) для асимптотического значения ро.
Ро; Р; Р"
Рис. П6.1. Вероятности ошибок распознавания для многомерных образов,
различающихся векторами средних и ковариационными матрицами:
а) первого рода; б) второго рода
На рис. П6.1, аи б приведены зависимости асимптотических
значений вероятностей ошибок распознавания ао и Ро от объема
контрольной выборки п {штриховые кривые) при различных
значениях объемов обучающих выборок т\ = т^= /и = 20; 40; 80 для
классов S\ и 52 с параметрами
«1
м9 =
'0,45^1
0,35
0,50
а2 =
0
А/,=
1,0 0,5 0^1
0,5 1,0 0,5
0 0,5 1,0.
'1,2 0,6 0}
0,6 1,2 0,6
0 0,6 1,2
при
1пс = 0.
Сравнение ао и Ро со значениями вероятностей ошибок а и
Р, полученными методом статистического моделирования при
числе испытаний 9000 {сплошные кривые) [28] показывает, что
использование асимптотических значений ао и Ро для оценки
343

вероятностей ошибок аир дает приемлемую для практических
применений точность в = max {а - ао, Р — Ро} уже при
достаточно небольших объемах обучающих и контрольной выборок (в
рассмотренном примере т « 40; п « 20).
Анализ теоретических и экспериментальных результатов
позволяет сделать вывод, что использование полученных
асимптотических формул для оценки вероятностей ошибок
распознавания особенно эффективно в наиболее сложном случае близких с
точки зрения расстояний pi и р2 распределений № {а\, М\) и
№ {02, Л^Ь когда снижение вероятностей ошибок
распознавания за счет увеличения числа используемых признаков
невозможно [17], а возможности уменьшения их только путем
увеличения объемов обучающих выборок ограничены значениями а101
и р™ (штрих-пунктирные кривые).
Как и в случае полного априорного знания, можно показать,
что те же асимптотические формулы (П6.6) с параметрами а и
а, задаваемыми выражениями (П6.22) - (П6.24), получаются
для вероятностей ошибок распознавания ао и Ро как в
асимптотике Колмогорова (П6.20), если выполняются условия (П6.8),
так и в асимптотике
mr-»oo, N = л/?-> 00, N/mr->Kr, 0<ЛТг<оо, г = 1,2 , (П6.25)
которую можно условно назвать обобщенной асимптотикой Кол-
могорова, если при этом расстояния pi и р2, определяемые по
формулам (П6.8), остаются конечными.
Зависимость точности е от произведения пр обусловливает
более широкие возможности использования полученной
обобщенной асимптотики по сравнению с классической.

Библиографический список
1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и
основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Акофф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. —
М.: Мир, 1971.
3. Acoff R.E. Management Information System / Management
Science, 1967.
4. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический
анализ. — М.: Физматгиз, 1963.
5. Ансофф И. Стратегическое управление: Сокр. пер. с англ./
Под науч. ред. Л.И.Евенко. — М.: Экономика, 1989.
6. Большее Л.М., Смирнов Н.В. Таблицы математической
статистики. — М.: Наука, 1983.
7. Бхаттачария Р.Н., Рао Ранга Р. Аппроксимация
нормальным распределением и асимптотические разложения: Пер.
с англ. / Под ред. В.В. Сазонова. — М.: Наука, 1982.
8. ВальдА. Последовательный анализ. — М.: Физматгиз, 1960.
9. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. — М.:
Высшая школа, 1984.
10. Градштейн КС, Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. — М.: Наука, 1971.
11. Дойль П. Менеджмент: стратегия и тактика. — СПб.:
Питер, 1999.
12. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению
задач распознавания и классификации // Проблемы
кибернетики. - М.: Наука, 1978. - Вып. 33. - С. 5 - 68.
13. Imhof J.P. Computing the distribution of quadratic forms in
normal variabless // Biometrika. — 1961. — V.48 . — № 3. —
P. 519 - 546.
14. Кендалл М.9 Стьюарт А. Многомерный статистический
анализ и временные ряды: Пер. с англ. / Под ред.
А.Н.Колмогорова, Ю.В. Прохорова. — М.: Наука, 1976.
15. Котлер Ф. Основы маркетинга. — М.: Пресса, 1992.
345

16. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической
радиотехники. — М.: Радио и связь, 1989.
17. Левин Б.Р., Троицкий Е.В. О накоплении признаков в
задачах классификации наблюдений // Радиотехника и
электроника. - 1970. - № 6. - С. 1398 - 1405.
18. Мескон М, Альберт М, Хедоури Ф. Основы менеджмента. -
М.: Дело, 1998.
19. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых
случайных величин. — М.: Наука, 1987.
20. Прохоров Ю.В. Многомерные распределения: неравенства и
предельные теоремы // Итоги науки и техники, 1973. Сер.
«Теория вероятностей, математическая статистика,
теоретическая кибернетика». — Т. 10. — С. 5 — 24.
21. Раудис Ш.Ю. Ошибки классификации дискриминантной
функции: Статистические проблемы управления. —
Вильнюс: АН СССР, 1976. - Вып. 14. - С. 33 - 48.
22. Raudys S.9 Pikelis V.// IEEE Trans., 1980, V.PAMI-2, № 3. -
P. 242.
23. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ /Пер. с англ.
под ред. М.Б.Малютова. — М.: Мир, 1980.
24. Стратегия и тактика антикризисного управления фирмой
/Под ред. А.П. Градова. - СПб., 1996.
25. Томпсон А.9 Стрикленд А. Стратегический менеджмент. -
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.
26. Ту Дж., Тонсалес Р. Принципы распознавания образов /Пер.
с англ. — М.: Мир, 1978.
27. Фомин Я А. Теория выбросов случайных процессов. — М.:
Связь, 1980.
28. Фомин ЯА.9 Савич А.В. Оптимизация распознающих
систем. — М.: Машиностроение, 1993.
29. Фомин Я А., Тарловский LP. Статистическая теория
распознавания образов. — М.: Радио и связь, 1986.
30. Фукунага К. Введение в статистическую теорию
распознавания образов. — М.: Наука, 1979.

Оглавление
Предисловие 3
Введение. Цели предприятия и необходимость диагностики
его кризисного состояния 4
Глава 1. Стратегический анализ деятельности предприятия 9
1.1. Понятие и характеристики кризисного состояния
предприятия 9
1.2. Практическая роль системы диагностики кризисного
состояния в планировании и управленческом контроле 15
1.3. Диагностика состояния предприятия в различных
системах стратегического управления 22
Глава 2. Анализ состояния предприятия 29
2.1. Инструмент SWOT-анализа 29
2.2. Экспресс-диагностика финансового состояния
предприятия 33
2.3. Факторные модели оценки финансового состояния -
предприятия 41
Глава 3. Общая постановка задачи распознавания кризисного
состояния предприятия 52
3.1. Общая схема распознавания состояния предприятия 52
3.2. Основные этапы и параметры распознавания 54
Глава 4.. Анализ различных методов с точки зрения
обеспечения гарантированной достоверности
распознавания 54
4.1. Детерминистские (перцептронные) методы распознавания 57
4.2. Лингвистические (синтаксические) методы распознавания 59
4.3. Логические и алгебраические методы распознавания 62
4.4. Статистический метод распознавания 65
Глава 5. Формирование признакового пространства 70
5.1. Выбор показателей деятельности предприятия 70
5.2. Снижение размерности признакового пространства 78
347

Глава 6. Обучение с целью составления эталонных описаний
состояний предприятия 82
6.1. Непараметрическое обучение (оценивание неизвестных
плотностей вероятностей наблюдений) 82
6.2. Приближенный метод сведения непараметрической
априорной неопределенности к параметрической 89
Глава 7. Оптимальные алгоритмы принятия решения
о состоянии предприятия 95
7.1. Байесовский алгоритм 97
7.2. Алгоритм максимальной апостериорной вероятности 100
7.3. Минимаксный алгоритм 101
7.4. Алгоритм Неймана - Пирсона 103
7.5. Последовательный алгоритм Вальда 114
7.6. Алгоритм максимального правдоподобия 105
Глава 8. Одномерное (однопризнаковое) распознавание
состояний предприятия 107
8.1. Одномерное распознавание состояний, различающихся
средними 107
8.2. Вероятность ошибок одномерного распознавания
состояний предприятия 108
8.3. Одномерное распознавание состояний, различающихся
средними и дисперсиями 111
Глава 9. Многомерное (многопризнаковое) распознавание
состояний предприятия 114
9.1. Многомерное распознавание состояний, различающихся
векторами средних 114
9.2. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний предприятия 115
9.3. Многомерное распознавание состояний, различающихся
векторами средних и ковариационными матрицами 120
Глава 10. Практическая диагностика кризисного состояния
предприятий с оценкой ее гарантированной
достоверности . 122
10.1. Диагностика кризисного состояния банков 122
10.2. Диагностика кризисного состояния разнопрофильных
предприятий 144
10.3. Оценка достоверности диагностики кризисного
состояния предприятия при произвольных размерности
признакового пространства р и объеме контрольных
наблюдений п над исследуемым предприятием 176
348

Глава 11. Анализ динамики состояния предприятия 180
11.1. Практическая диагностика состояния предприятия
в динамике 180
11.2. Среднее время достижения предприятием кризисного
состояния 241
Приложение 1. Несмещенность и состоятельность оценок
одномерных и многомерных функций распределения 245
Приложение 2. Определение количества q суммируемых
наблюдений, обеспечивающего приближенную
нормализацию признакового пространства 251
Приложение 3. Вероятность ошибок одномерного распознавания
состояний, различающихся средними 280
Приложение 4. Вероятность ошибок одномерного распознавания
состояний, различающихся средними и
дисперсиями 290
Приложение 5. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний, различающихся векторами средних 301
Приложение 6. Вероятность ошибок многомерного распознавания
состояний, различающихся векторами средних
и ковариационными матрицами 330
Библиографический список 345

Учебное пособие
Фомин Ярослав Алексеевич
ДИАГНОСТИКА КРИЗИСНОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ
Редактор О.И. Левшина
Корректор ТА. Балашова
Оригинал-макет Н.Г. Шейко
Оформление художника В.А. Лебедева
Лицензия серия ИД № 03562 от 19.12.2000 г.
Подписано в печать с готовых ps-файлов 25.09.2002
Формат 60x88 1/16. Усл. печ. л. 22,0. Уч.-изд. л. 14,5
Тираж 20 000 экз. A-й завод - 5 000). Заказ 2632
ООО «ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА»
Генеральный директор В.Н. Закаидзе
123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1
Тел. @95) 194-00-15. Тел/факс @95) 194-00-14
www.unity-dana.ru E-mail: unity@unity-dana.ru
Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14

«aMe.
ю н и т и
UNITY
ю н и т и
Учебная литература для вузов
¦ Экономика
¦ Финансы. Деньги. Банки. Налоги
¦ Внешнеэкономическая
и коммерческая деятельность
¦ Учет. Анализ. Аудит
¦ Менеджмент. Государственное
управление
¦ Маркетинг. Гостеприимство
¦ PR. Реклама
¦ Математика. Статистика. Эконометрика
¦ Информатика
¦ Юридическая литература
¦ Психология. Конфликтология. Социология
¦ История. Культура. Религиоведение
¦ Философия. Политика
¦ Экология
¦ Английский язык
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА
123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1
Тел.: @95) 194-00-15. Тел./факс: @95) 194-00-14
www.unity-dana.ru E-mail: unity@unity-dana.ru

чй?7 Учебная литература для вузов
¦ Финансы. Денежное обращение. Кредит
Под ред. проф. Г.Б. Поляка
Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. 512 с.
¦ Финансы предприятий
Под ред. проф. Н.В. Кончиной
Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. 512 с.
¦ Экономический анализ
Под ред. Л. Т. Гиляровской
Учебник. 2-е изд., доп. 615 с.
В. П. Грузинов
¦ Экономика предприятия
Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. 795 с.
Н.Н. Селезнева, А.Ф. Ионова
¦ Финансовый анализ
Учебное пособие. 479 с.
В.А. Колемаев
¦ Математическая экономика
Учебник. 2-е изд., перераб. и доп. 399 с.
А.А. Сергеев
¦Экономические основы бизнес-планирования
Учебное пособие. 303 с.
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЮНИТИ-ДАНА
123298, Москва, ул. Ирины Левченко, 1
Jet.: @95) 194-00-15. Тел./факс: @95) 194-00-14
www.unity-dana.ru E-mail: unity@unity-dana.ru