/
Текст
БИЛЕТЫ ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (1991-92 гт.) ИЗДАТЕЛЬСТВО МФТИ МОСКВА 1993
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ за 1991—1992 г.—М Издательство МФТИ, 1993 72 с. В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах абитуриентам Московского физико-технического института в 1991 и 1992 годах Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые — основными указаниями к решению ра ты давалось 4,5 часа. На выполнение каждой экзаменационной Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей школ с углубленным изучением физики и математики. Ил. 100 Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ за 1991—1992 г. Компьютерный набор Сдано в производство 25.04 93 Подписано в печать с оригинал-макета 25.05 93 Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура тип «тайме* Печать офсетная Усл. печ л. 4,07 Уч -изд л 4,3 Верстка А К. Розанов Художник С Ю Орлов Корректор Н Ю Захарова Издательство МФТИ благодарит НПВП «Макет» за помощь в подготовке сборника. Тираж 2000 Заказ № 488 Издательство МФТИ 141700, г. Долгопрудный Московской обл , Институтский пер , 9 Тел (095) 408-51-22 Отпечатано предприятием «Шанс» 127412, Москва, Ижорская ул , 13/19 1704010000 1Т4(03)—93 без объявления © Издательство МФТИ, 1993
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧИ . . ...... ................... .4 Билеты письменных вступительных экзаменов по физике в 1991 г . . 4 Билеты письменных вступительных экзаменов по математике в 1991 г. . , 16 Билеты письменных вступительных экзаменов по физике в 1992 г . . 25 Билеты письменных вступительных экзаменов по математике в 1992 г. . 36 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ................................................... 44 Физика, 1991 . .... . . . 44 Математика, 1991 . ............. . . ... 47 Физика, 1992 . . ... . ... 61 Математика, 1992 . . . ... . . . ... 70
ФИЗИКА 1991 Билет № 1 1. Сани с седоком и собакой общей массой М съезжают с постоянной скоростью н0 с горы (см. рис.), имеющей уклон a (cosа = 6/7). Собака массой т спрыгивает с саней по хо- ду их движения и приземляется, имея скорость v, направленную под углом fl (cosfl = 3/7) к горизонту. Сани после этого продолжают дви- гаться по горе вниз. Найти скорость саней с седоком после прыжка соба- ки. 2. Резиновый шарик массой т = 2 г надувается гелием при темпе- ратуре t= 17°С. По достижении в шарике давления, равного 1,1 атм, он лопается. Какая масса гелия была в шарике, если перед тем, как лопнуть, он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка рвется при толщине Д = 2-Ю’3 см. Плотность резины р = 1,1 г/см3, молярная масса гелия и = 4 г/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(мольК). 3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени ключи К} и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за- ряжен. Через некоторое время после замыкания ключа Кг амперметр А показывает величину силы тока 2, = 1 мкА. В этот момент замыкают ключ К2. Какую величину силы тока по- кажет амперметр сразу после замыкания ключа К2, если известно, что R2 = 27? t = 104 * * * 8 Ом, а э.д.с. батареи £ = 100 В? Внутренними сопротивления- ми амперметра и батареи пренебречь. 4. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения пока- зателя преломления газов. Для этого на пути одного из интерфериру- ющих лучей ставится кювета Г прямоугольной формы и длиной L = 10 см с исследуемым газом, а на пути другого — стеклянный ком- пенсатор К, с помощью которого добиваются, чтобы в центральном
максимуме разность хода между интерферирующими лучами равнялась нулю. Чему равен показатель преломления газообразного азота, если после замены в кювете воздуха на азот интерференционная картина в плоскости наблюдения Р сместилась ровно на одну полосу в сторону, что соответствовало увеличению по- казателя преломления? Показатель преломления воздуха пв - 1,000292. Измерения проводились на длине волны света А = 500 нм. Билет № 2 1. Мальчик массой т съезжает на санках массой М с постоянной скоростью Vj (см. рис.) с горы, имеющей уклон a (cosа = 8/9). Другой мальчик такой же массы т бежит за санками и запрыгивает в них, имея в начале прыжка скорость, направленную под углом у (cosy = 7/9) к горизонту. В ре- зультате этого санки с мальчика- ми движутся по горе со скоростью v2. Найти скорость прыгнувшего мальчика в начале прыжка. 2. В кастрюлю-скороварку залили небольшое количество воды при температуре t0 - 20°С, причем занимаемый водой объем намного мень- ше объема кастрюли. После этого ее герметично закрыли крышкой и медленно нагрели. Когда температура в кастрюле достигла tr = 115°С, а давление трех атмосфер, вся вода испарилась. Оценить по этим дан- ным, какую часть объема кастрюли занимала вода до начала нагрева. Давлением водяных паров в кастрюле при 20° С можно пренебречь. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К), молярная масса воды р = 18 г/моль, плотность во- ДЫ р = 1 г/см3. К1 I 3. В схеме, изображенной на рисунке, Д. в начальный момент времени ключи Кг " с в и К2 разомкнуты, а конденсатор С U (большой емкости) не заряжен. После I замыкания ключа Кг амперметр А пока- ----------‘---
зывает постоянный ток силой = 3 мкА. Затем замыкают ключ Кг. Чему будет равно показание амперметра сразу после замыкания ключа К2, если известно,что R2/Rx = 2? Внутренним сопротивлением батареи и сопротивлением амперметра пренебречь. 4. При нормальном падении света на бипризму Френеля (см. рис.) пуч- ки света, преломленные каждой из половинок бипризмы, интерферируют между собой. На каком максимальном расстоянии от бипризмы еще будет наблюдаться интерференционная кар- тина? Расстояние между вершинами бипризмы 5 = 4 см, показатель пре- ломления материала бипризмы п = 1,4; преломляющий угол а — 10-3 рад. Считать а ~ sina ~ tga. Билет № 3 1. С горы с уклоном a (cos ст = 5/6) съезжают с постоянной скоро- стью сани с седоком общей массой М. Навстречу саням бежит и запры- гивает в них собака массой т, имеющая при прыжке в момент отрыва от поверхности горы скорость v, направленную под углом fl (cos/3 = 2/3) к горизонту (см. рис.). В результате этого сани продолжают двигаться по горе вниз со скоростью и. Найти скорость саней до прыжка собаки. 1ли закачан азот при температуре массу оболочки газгольдера, если 2. В сферический газгольдер из стг 17°С и давлении р = 100 атм. Найти известно, что она вдвое больше массы закачанного азота. Плотность стали р = 7,8 г/см3, толщина стенки газгольдера Д = 1 см много мень- ше его радиуса. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж-К~1 -моль-1 Молярная масса азота р = 28 г/моль. 3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени ключи Кх и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не заряжен. Через
некоторое время после замыкания ключа амперметр А показывает величину силы тока 1 = 2 мкА. В этот момент замыкают ключ К2. Сра- зу после замыкания ключа К2 амперметр показывает нулевое значение силы тока. Чему равна э.д.с. батареи, если известно, что Aj = R2 = 108 Ом? Внутренними сопротивлениями амперметра и бата- реи пренебречь. 4. Интерферометр Рэлея используется для точного измерения зави- симости показателя преломления газов от давления по смещению ин- терференционной картины. Для этого на пути одного из интерферирующих * ~1 I—”—[Ь'х ] лучей ставится кювета Г прямоуголь- г р ной формы и длиной L = 10 см с ис- г к I 1 следуемым газом, а на пути друго- I I * * । го — стеклянный компенсатор К, с помощью которого добиваются, чтобы в центре интерференционной картины разность хода между интерферирующими лучами равнялась нулю. Какое минимальное изменение показателя преломления Ан можно измерить в таком приборе? Считать, что минимальное надежно регистрируемое смещение интерференционной картины в плоскости на- блюдения Р соответствует появлению на месте центрального максиму- ма первого минимума. Наблюдение ведется на длине волны А = 600 нм. Билет № 4 1. Девочка со снежным комом в руках съезжает на санках с постоянной скоро- стью v1 с горы, имеющей уклон а (cos а = 7/8). Снежный ком выбрасыва- ется через голову в направлении, обрат- ном движению (см. рис.), и падает на склон горы, имея скорость v, направлен- ную под углом у (cosy = 3/4) к горизонту. В результате этого санки с девочкой продолжают двигаться по горе со скоростью v2. Найти массу снежного кома. Общая масса девочки, санок и кома М. 2. В герметичный сосуд, содержащий сухой воздух при температуре 17°С и некотором давлении, впрыснули немного воды и стали медленно нагревать. Определить давление воздуха в сосуде до впрыскивания во- ды, если к тому моменту, когда испарилась вся вода, давление воздуха составляло 46% от общего давления в сосуде. Начальный объем воды составил 1/1200 от объема сосуда. Универсальная газовая постоянная
R - 8,31 Дж/(моль-К), молярная масса и плотность воды соответствен- но д = 18 г/моль и р = 1 г/см3. 3. В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент времени ключи и К2 разомкнуты, а конденсатор С (большой емкости) не за- ряжен. После замыкания ключа ампер- метр А показывает некоторое постоянное значение силы тока. Если теперь замкнуть ключ К2, то показание амперметра сразу после этого возрастет в 3 раза. Исходя из этого факта, найти отношение R2/Rl. Внут- ренними сопротивлениями амперметра и ба- тареи пренебречь. 4. Пучки света, преломленные каждой из половинок бипризмы, Фре- неля, интерферируют между собой. При каком расстоянии между би- призмой и экраном Р на нем будет наблю- даться интерференционная картина макси- мального размера при нормальном падении света на боковую грань бипризмы? Расстоя- ние между вершинами бипризмы 2а — 5 см, показатель преломления материала биприз- мы п = 1,5; преломляющий угол а = 10~3 рад. Считать, что а ~ sin а = tga. Билет № 5 1. Тележка и ящик с равными массами удерживаются упором А (см. рис.) на поверхности горки, наклоненной под углом a (tga = 0,4) к го- ризонту. Упор убирают, ящик и те- лежка приходят в движение. Во сколь- г~""х ко Р33 ПРИ этом уменьшается сила Л давления тележки на ящик? Коэффи- циент трения скольжения между ящи- ком и поверхностью горки р = 0,2. Со- прикасающиеся поверхности стенок ящика и тележки считать гладки- ми и расположенными перпендикулярно поверхности горки. 2. В цилиндре под поршнем находится смесь v молей жидкости и v молей ее насыщенного пара при температуре То. К содержимому ци- линдра подвели количество теплоты Q, медленно и изобарически на-
гревая его, и температура внутри цилиндра увеличилась на АГ. Найти изменение внутренней энергии содержимого цилиндра. Начальным объемом жидкости пренебречь. 3. В схеме, изображенной на рисунке, после замыкания ключа К че- рез некоторое время т установится стационарный режим. Какая мощ- ность будет выделяться в резисторе R, если начать изменять емкость конденсатора по за- кону С(7) = Со(1 + A siricul), А < 1? Рассмот- реть случай медленных изменений емкости, т.е. когда 2л/ш » т. Заданными параметра- ми считать: Со, R, А, ш. Внутренним со- противлением батареи пренебречь. 4. Булавка расположена на прямой, параллельной главной оптиче- ской оси тонкой отрицательной линзы, так, что ее ближний конец А находится на расстоянии d = 19 мм от плоскости линзы (см. рис.). Рас- стояние между главной оптической осью линзы и булавкой b = 8 мм. Известно, что длинаизображения булавки в линзе в 8 раз меньше длины самой булавки. Найти длину булавки, если фокусное расстояние линзы F — 15 мм. Билет № 6 1. На наклонной плоскости (см. рис.) с углом на- клона а - 60° неподвижно удерживают доску. На вер- хней гладкой поверхности доски лежит брусок, при- крепленный с помощью нити к гвоздю, вбитому в до- ску. Нить параллельна наклонной плоскости. Если до- ску отпустить, то она начинает скользить по наклон- ной плоскости, и сила натяжения нити уменьшается в 10 раз. Найти значение коэффициента трения сколь- жения между доской и наклонной плоскостью. 2 Жидкость и ее насыщенный пар находятся в цилиндре под порш- нем при некоторой температуре. При медленном изобарическом нагре- ве температура системы повысилась до 100°С, а объем увеличился на 54%. На сколько градусов нагрели соержимое цилиндра, если масса па- ра вначале составляла 2/3 от полной массы смеси? Начальным объемом жидкости по сравнению с объемом системы пренебречь.
3. В схеме, изображенной на рисунке, —— после замыкания ключа К через некото- Lo I рое время т установится стационарный ___L П режим. Если теперь начать изменять ин- ЛI I дуктивность по закону к J L = £0(1 + Летай), где А < 1, то ток че- ----------Xх.-------- рез резистОр r будет также меняться. Найти амплитуду переменной составляю- щей силы тока с частотой аз. Рассмотреть случай медленных изменений индуктивности, т.е. когда 2л/ш » т. Заданными параметрами считать Lo, A, R, аз. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. 4. Спичка расположена на прямой, параллельной главной оптиче- ской оси тонкой положительной линзы, так, что ее ближний конец В находится на расстоянии а = 81 мм от плоскости линзы (см. рис.). Расстояние между главной оптической В_____А _ _ осью линзы и спичкой Ь = 9 мм. Извест- но, что длина изображения спички в лин- р ~ зе в два раза меньше длины самой спич- /Л ки. Найти длину спички, если фокусное расстояние линзы F = 40 мм. Билет № 7 1. Брусок и тележка с равными массами связаны легкой нитью (см. рис.) и удерживаются неподвижно за брусок на наклонной плоско- сти с углом наклона a (tga = 3/7). Бру- сок отпускают. Система приходит в дви- ^^^3****^ жение, и сила натяжения нити умень- шается в 3 раза. Найти коэффициент трения скольжения бруска о наклонную ----------1——------------- плоскость. Нить параллельна наклонной плоскости. 2. В цилиндре под поршнем содержится v молей ненасыщенного во- дяного пара при темпертуре Го. При медленном изобарическом охлаж- дении цилиндра половина пара сконденсировалась, а внутренняя энер- гия содержимого в цилиндре уменьшилась на At/. Какое количество теплоты пришлось при этом отвести от содержимого цилиндра, если температура в цилиндре уменьшилась на АГ? Объемом воды по срав- нению с объемом пара пренебречь. 10
3. В схеме, изображенной на рисунке, по- сле замыкания ключа К через некоторое вре- мя т установится стационарный режим. Какая мощность будет выделяться в резисторе R, ес- ли начать изменять расстояние между пла- стинами конденсатора по закону d(t) = d0(l + A sinaf), А < 1? Рассмотреть случай быстрых изменений емкости, т.е. когда Ъг/ш « т. Заданными параметрами считать A, R. Внутренним со- противлением батареи пренебречь. 4. Небольшой кусок проволоки длиной х = 8 мм расположен на пря- мой, параллельной главной оптической оси тонкой рассеивающей лин- зы, так, что его ближний конец В лежит в фокальной плоскости линзы (см. рис.). в_____А Расстояние между проволокой и главной [ Г” оптической осью линзы b = 28 мм. Най-। | ти фокусное расстояние линзы, если из- в вестно, что длина изображения куска проволоки в линзе в 4 раза меньше его собственной длины. Билет № 8 1. Ящик прямоугольной формы с шаром удерживается на наклонной плоскости с углом наклона а = 30° (см. рис.). Ящик отпускают, и он начинает скользить. Во сколько раз умень- шится сила давления шара на переднюю / стенку ящика? Внутренние поверхности ^***’>^_ ящика гладкие. Коэффициент трения скольжения ящика о наклонную плоскость В = 0,25. ----- 2. Смесь воды и ее насыщенного пара занимает некоторый объем при температуре 90°С. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода ис- паряется при увеличении температуры на 10°С. Чему равно давление насыщенного водяного пара при 90°С, если в начальном состоянии мас- са воды составляла 29% от массы всей смеси? Объемом воды по срав- нению с объемом смеси пренебречь. 3. В схеме, изображенной на рисунке, после замыкания ключа К че- рез некоторое время т установится стационарный режим. Если теперь начать изменять индуктивность по закону L(t) = L0(l + ЛзшоЧ), где А « 1, то в цепи появится переменная составляющая тока с частотой аз.
Найти амплитуду этой составляющей. Рас- смотреть случай быстрых изменений ин- дуктивности, т.е. когда Ъс/ш « г. Задан- ными параметрами считать A, R. Внут- ренним сопротивлением батареи пренеб- речь. Указание: при а « 1 можно считать, что (1 + а)" ~ I + па. 4. Граммофонная игла расположена на прямой, параллельной глав- ной оптической оси тонкой собирающей линзы, так, что ее ближний конец А находится на расстоянии d = 8 см от плоскости линзы (см. рис.). Расстояние между глав- ной оптической осью и иглой b - 5 см. Известно, что длина изо- бражения иглы в линзе в 13 раз больше длины самой иглы. Найти длину иглы, если фокусное расстоя- ние линзы F = 12 см. Билет № 9 1. Космический аппарат массы М = 40 кг движется по круговой ор- бите радиуса R = 6800 км вокруг Марса. В аппарат попадает и застре- вает в нем метеорит, летевший со скоростью V = 50 км/с перпендику- лярно направлению движения аппарата. При какой массе метеорита отклонение в направлении движения аппарата не превысит угол а = = 10’4 рад? Масса Марса Мо = 6,4-1023 кг. Гравитационная постоян- ная у = 6,67- 10~п м3/(кг-с2). 2. Моль идеального одноатомного газа из начального состояния 1 расширяется сначала изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема (см. рис.). Известно, что У3/Г2 = V2/V1, Т2 — Т3. Най- ти отношение V2/Vv если количество тепло- 43 ты, подведенное к газу на участке 1 -» 2, в два раза больше величины работы, совер- шейной газом на участке 2 -» 3. 12
3. Положительно заряженная частица пролетает через три плоские металличе- ские сетки, между которыми с помощью двух источников постоянной э.д.с. = 250 В и = 200 В поддерживаются постоянные разности потенциалов (см. рис.). На каком расстоянии х от пер- вой сетки скорость частицы будет равна скорости, которую она имела вдали от се- ток? Расстояние d между сетками мног меньше размеров сеток. 4. Падающий на тонкую линзу луч пересекает главную оптическую ось под углом а — 4° (tga ~ 0,07) на расстоянии а - 12 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы F, если известно, что преломленный линзой луч пересекает главную оп- тическую ось под углом /3 = 8° (tg/З = 0,14). Билет № 10 1. После разрыва неподвижного снаряда образовались четыре оскол- ка. Осколок массы т, = 4 кг полетел вертикально вниз со скоростью = 150 м/с, осколок массы т2 = 3 кг — горизонтально на юг со ско- ростью v2 = 100 м/с, осколок массы т3 = 1 кг — горизонтально на во- сток. Осколок массы т4 = 3,5 кг — полетел со скоростью v4 ~ 200 м/с. Найти скорость осколка с массой т3. 2. Моль идеального одноатомного газа расширяется сначала изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давле- ния от объема (см. рис.). Известно, что И2/У2 = ^3^2’ а прямая 2 -» 3 проходит че- рез начало координат. Найти отношение объемов V2/Vv если количество теплоты Ql2, подведенное к газу на участке 1 -» 2, в четыре раза меньше величины работы Л23, совершенной газом на участке 2 -* 3. 3. Через два последовательно соединен- ных проводника одинакового сечения S, но с разными удельными сопротивлениями р, и р2, (р2> р{) течет ток I. Определить знак и 13
величину поверхностной плотности заряда, возникающего на границе раздела проводников. 4. На тонкую рассеивающую линзу падает луч под углом а = 8° (tga = 0,14) к главной оптической оси, пересекая ее на расстоянии а = 4 см от плоскости линзы. Найти фокусное расстояние линзы, если преломленный линзой луч идет под углом fl = 12° (tg/З = 0,21) к глав- ной оптической оси. Билет № 11 1. Искусственный спутник Луны массой М = 8 кг движется вблизи ее поверхности по круговой орбите. Метеорит массой т = 0,1 г, летя- щий со скоростью v = 40 км/с, перпендикулярной скорости спутника, попадает в спутник и застревает в нем. На какой угол повернется из-за этого вектор скорости спутника? Радиус Луны R — 1740 км. Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. 2. Моль идеального одноатомного газа сжимают сначала изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема (см. рис.). Известно, что Т2 — Т3 и V3/V2 = V2/V3. Найти отношение V3/V2, ес- ли количество теплоты, отведенное от газа на участке 1 -» 2, в три раза больше величи- ны работы сжатия на участке 2 -* 3. 3. Протон с удельным зарядом q/m = 0,96-108 Кл/кг налетает на систему из трех плоских металлических сеток, между которыми с помощью двух источников с э.д.с. = 500 В и <£2 = 200 В поддержива- ются постоянные разности потенциалов (см. рис.). В точке, находящейся на расстоянии <7/4 справа от второй сетки, скорость протона оказалась равной нулю. Чему была равна скорость протона на большом удалении от сеток? Расстояние между сетками d равны и много меньше поперечных размеров сеток. 4. Луч, падающий на тонкую собирающую линзу под углом а = 23° (tga = 0,42) к главной оптической оси, пересекает ось на расстоянии а = 14 см от плоскости линзы. Под каким углом к главной оптической оси пойдет преломленный линзой луч? Фокусное расстояние линзы 21 см. 14
Билет № 12 1. Неподвижный снаряд разорвался на четыре осколка. Осколки мас- сами = 3 кг, т2 — 2 кг, ш3 ~4 кг полетели соответственно со ско- ростями = 200 м/с вертикально вверх, v2 — 150 м/с горизонтально на север и ~ 100 м/с горизонтально на восток. Под каким углом к горизонту полетел четвертый осколок? 2. Моль идеального одноатомного газа сжимают сначала изобарически, а затем в процессе с линейной зависимостью давления от объема (см. рис.). Известно, что Vj/Vz “ а прямая 2 -> 3 проходит че- рез начало координат. Найти отношение объемов У^/У2, если количество теплоты Q12, отведенное от газа на участке 1 -* 2, в 16 раз больше величины работы сжатия Л23 на участке 2 -* 3. 3 Между пластинами 1 и 3 плоского кон- денсатора помещена тонкая металлическая пластина 2 параллельно обкладкам конденса- тора. Образовавшиеся объемы заполнены ди- электрическими жидкостями с одинаковой диэлектрической проницаемостью с, но с раз- ными удельными сопротивлениями pL и р2 (р2 > pL). Найти величину и направление си- лы, действующей на пластину 2 со стороны электрического поля, когда через конденсатор течет постоянный ток 1. Площади всех трех пластин одинаковы и равны 5 4. Луч, падающий на тонкую рассеивающую линзу под углом а — 4° (tga ~ 0,07) к главной оптической оси, пересекает ось на рассто- янии а ~ 12 см о г плоскости линзы. Под каким углом к главной опти- ческой оси пойдет преломленный линзой луч, если ее фокусное рассто- яние 2 см? 1 >
МАТЕМАТИКА 1991 Билет № 1 1. Решить уравнение л/ 8sinx + ~ = 2cosx + 2tgx. 2. При каких значениях параметра а уравнение log5x + 4(1 - a2) log25x5 — 2 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми больше 24/5? 3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж- ность. Через точку М, лежащую на стороне АВ, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке N. Найти боковую сторону треугольника АВС, если АС = CN = а, МВ = 4. Решить систему уравнений f 6xz + Зх = 2z - 2, j ху + zy = 2(z —x + 1), zy — 6xz + у = 3x + 3. 5. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пира- миды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти обьем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, AABS = у, ABSC = ASCB = Билет № 2 1. Решить уравнение V5tgx + 10 = ^sinx + . ° 2 cosx 2. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между корнями уравнения 21ogax + 31og^2a + 5 = 0 меньше 6/25. 16
3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж- ность, Прямая, параллельная стороне АВ и касающаяся окружности, 2 пересекает сторону АС в точке М такой, что МС = ~=АС. Найти радиус окружности, если периметр треугольника АВС равен 20. 4. Решить систему уравнений (4х 4- y)(z + 1) 4- 4z — 0, . ху 4- у — х = — 1, ху — zy + 2z ~ 14- х. 5. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду KLMN, касается од- ной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности. Найти объем пирамиды, если МК — ~, LNMK == ", LKML = 3arcig~, LNML = “ arctg|. Билет № 3 1. Решить уравнение Vl — 4VTsinx - 2cosx - v2~tgx. 2. При каких значениях параметра а уравнение logjX + (а2 - 4)log3x| -3 = 0 имеет два корня, расстояние между которыми боль е 8? и 3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж- ность. Через точку Л/, лежащую на стороне ВС, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую АС в точке К. Найти АК, если Л С ~ а, АВ ~ "П, МВ — «J 1 V 4. Решить систему уравнений 3xz 4- 1 = 4х 4“ 3z, < 4ху — 3xz = 4у — 3z 4- 9, ху " zy = х 4- 3 " 2z. 5. Конус расположен внутри треугольной пирамиды SABC так, что плоскость его основания совпадает с плоскостью одной из граней пира- миды, а три других грани касаются его боковой поверхности. Найти объем пирамиды, если длина образующей конуса равна 1, /.ВАС = /SB А = /ASB = 2 о 4 2 Заказ 488 17
Билет № 4 1. Решить уравнение V12 ~ 6V2tgx = 3sinx------- cosx 2. Найти все значения параметра а, при которых расстояние между корнями уравнения log^x 4- 81oga*3x “3 = 0 меньше 3/2. 3. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписана окруж- ность. Прямая, параллельная стороне ВС и касающаяся окружности, пересекает сторону АВ в точке N такой, что AN = (3/8) АВ. Найти ра- диус окружности, если площадь треугольника АВС равна 12. 4. Решить систему уравнений: (х 4- 2y)(3z 4 1) = 11 4 8у, - ху - zy 4 3 = 2х 4 z, ху “ 2х = у — 1. 5. Сфера, вписанная в треугольную пирамиду EFGH, касается одной из граней пирамиды в центре вписанной в эту грань окружности. Найти объем пирамиды, если FG ~ 3/5, AHFG = Хи1 AEFG = “ 3arctg/5, A.EFH = arctg/5. Билет № 5 1. Решить уравнение log7(3 “ 2x)4ogx(3 “ 2х) = log7(3 “ 2х) 4 log?x2. 2. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника АВС (АС ~ 90°). Окружность радиуса /Г5 проходит через точки Л, С, D и пересекает сторону АВ в точке Е так, что АЕ: АВ ==3:5. Найти площадь треугольника АВС. 3. Числа “Sinx, 4sinx ctg2x, cosx являются членами арифметиче- ской прогрессии с номерами к, к 4 1, к 4 2 соответственно. Найти все значения х и к, если седьмой член этой прогрессии равен 1/5. 18
4. На координатной плоскости рассматривается фигура Л/, состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера- венств: 3 Изобразить фигуру М и найти ее площадь. 5. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является трапе- ция ABCD (BCWAD), ВС = (4/5)AD, LACD = LCDS = л/2. Все вер- шины пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота ко- торого равна 2, а радиус основания равен 5/3. Найти объем пирамиды. Билет № 6 Решить уравнение 2 2. Отрезок BD является медианой равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС). Окружность радиуса 4 проходит через точки В, A, D и пересекает сторону ВС в точке Е так, что BE: ВС = 7: 8. Найти пе- риметр треугольника АВС. 3. Числа VTcosx, Tcos2х, ^cos(x + ~) являются членами геометри- £ Я ческой прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно. Найти , 16V2 все значения х и к, если пятый член этой прогрессии равен 4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера- венств: 4 4 , - У 6 2 Изобразить фигуру М и найти ее площадь. 5. В четырехугольной пирамиде SABCD основанием является парал- лелограмм ABCD, LBSC — LASB = л/2. Все вершины пирамиды лежат 19
на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна 4/3, а радиусы оснований равны 1/2 и 5/6. Найти объем пирамиды. Билет № 7 Решить уравнение 2 log (4 “ x)log (4 - х) - 31og (4 — х) ~ log 2х . О £Х j Отрезок БЕ является биссектрисой прямоугольного треугольника (/.Л = 90°). Окружность проходит через точки В, А, Е и пересс- АВС кает сторону ВС в точке D так, что BD : ВС “5: 13. Найти отношение площади треугольника АВС к площади круга. 3. Числа 2cosx. —sinx, (16/7) cosx ctg2x являются членами арифме- тической прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно. Найти все значения х и к, если пятнадцатый член этой прогрессии равен 2. 4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера- венств: Дм? > 2х - у, Изобразить фигуру М и найти ее площадь. 5. В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием является трапе- ция KLMN (LM WKN), LM — ~KN, Z-KSN “ LMNS = л/2. Все верши- •Л ны пирамиды лежат на окружностях оснований цилиндра, высота кото- рого равна 3, а радиус основания равен 5/2. Найти объем пирамиды. Билет № 8 I. Решить уравнение log + log (21 х - 2) = 2 log 2 8. 2. Отрезок АЕ является высотой равнобедренного треугольника АВС {АВ “ АС). Окружность проходит через точки А, С, Ей пересе- кает сторону АВ в точке D так, что AD: АВ — 7:9. Найти отношение длины окружности к периметру треугольника АВС. 4 рической прогрессии с номерами к, к + 1, к + 2 соответственно. 3. Числа 4fShix, ^—cos2x, 3cos(x V2 ) являются членами геом ст- 20
Найти все значения х и к, если четвертый член этой прогрессии 4^2 Равен 4. На координатной плоскости рассматривается фигура М, состоящая из всех точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют системе нера- венств: _________ у/ i (у4 ~ *4) ” 2хУ- х2 + у2 + 4у < О, у2 “ 16 < х2 “ 8х. Изобразить фигуру М и найти ее площадь. 5. В четырехугольной пирамиде SKLMN основанием является парал- лелограмм KLMN, LLSM = AKSL “ Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований усеченного конуса, высота которого равна 3/2, а радиусы оснований равны 1 и 5/4. Найти объем пирамиды. Билет № 9 1, Решить неравенство х*3 iog»^<16^ 8x2 + j) 1 3 При каких значениях параметра а вер ина параболы п у(х) = х2 - (2\/3'Cosа — 3)\ ——cos4а лежит на прямой у — Зх, причем парабола пересекает ось ОУ в точке с отрицательной ординатой? 3. На диагонали BD прямоугольной трапеции A BCD (ZZ) = 90°, ВСIIЛ2» взята точка Q гак, что BQ \QD = 1.3. Окружность с центром в точке Q касается прямой AD и пересекает прямую ВС в точках Р и М. Найти длину стороны АВ, если Л С ~ 9, ~ 3, РМ — 4 4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а; й) которых таковы что система /равнений ах 4- (Ь ~ 4)у - 2, , (ii -- 4) v +* Ду — 3, bx — t а + 6)у — 3\ имеет единственное решение.
Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (0; 7) и имеет с фигурой Ф единст- венную общую точку. 5. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине Л. Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией верши- ны S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от 2VT центра сферы до прямой АС равно —АВ. 1. Решить неравенство Билет № 10 2. Найти все значения параметра сх, при которых парабола у (х) — х2 " 8 ctg а * х 4- 5 cos 2а касается прямой у - — 7, причем абсцисса точки касания отрицательна. 3. Точки А/ и являются серединами боковых сторон АС и СВ рав- нобедренного треугольника АВС. Точка L расположена на медиане ВМ так, что BL : ВМ — 4:9. Окружность с центром в точке L касается пря- мой МЫ и пересекает прямую АВ в точках Q и Т. Найти периметр треугольника MNCy если QT = 2, АВ ~ 8. 4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что система уравнений ах + 4у — 2, . Ьх + ау — — 1, (Ь 4- 3)х 4- (а 4- 8)у — — 3, имеет решение. Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (—6; 4) и имеет с фигурой Ф един- ственную общую точку. 5. В сферу радиуса 5/8 вписана четырехугольная пирамида SABCD, основанием которой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вер- шины 5 на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды каса- ется второй сферы, расстояние от центра которой до прямой AD вдвое 22
больше расстояния до прямой ВС. Найти радиус второй сферы и рас- стояние от ее центра до вершины 5, если AD : АВ = 5 : 3. Билет №11 1. Решить неравенство 2 log4(25x* - 10х2 + 1) > 4х. 2. При каких значениях параметра а вершина параболы у(х) “ х2 + (2sin<x — ^У)х + cos4<x лежит на прямой у = —v3x, причем парабола пересекает ось OY в точ- ке с положительной ординатой? 3. На диагонали АС параллелограмма ABCD взята точка Р так, что АР : PC = 3:5. Окружность с центром в точке Р касается прямой ВС и пересекает отрезок AD в точках К и L. Точка К лежит между точками А и L. А К = 9, KL = 3, LD ~ 12. Найти периметр параллелограмма ABCD. 4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоя из всех точек, координаты (а; Ь) которых таковы, что система уравнений (а + 2)х + Ьу = 1, . ах + (Ь “ 2)у = 2, (Ь + 4)х — ау “ 2, имеет единственное решение. Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (10; 0) и имеет с фигурой Ф единст- венную общую точку. 5. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с тупым углом при вершине Л* Высота ромба равна 2, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией верши- ны 5 на плоскость основания. Сфера радиуса 1 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найти объем пирамиды, если расстояние от vT4 центра сферы до прямой BD равно —г-АВ Билет №12 1. Решить неравенство
2. Найти все значения параметра при которых парабола yfx) “ ~х2 - 6tgcr-x — 10cos2a. О касается прямой у = -11, причем абсцисса точки касания положи- тельна. 3. Точки К и L являются серединами боковых сторон АВ и ВС рав- нобедренного треугольника АВС. Точка М расположена на медиане AL так, что AM: ML = 13 : 12 Окружность с центром в точке М касается прямой АС и пересекает прямую KL в точках Р и Q. Найти периметр треугольника А PC, если KL =10, PQ = 4. 4. На координатной плоскости рассматривается фигура Ф, состоящая из всех точек, координаты (а; Л) которых таковы, что система уравнений йх + by = 1, Зх 1 ау = “ 1, (а - 1)х + (й + 2)у = -2, имеет решение. Изобразить фигуру Ф и составить уравнения всех прямых, каждая из которых проходит через точку (4; 3) и имеет с фигурой Ф единст- венную общую точку. 5. В сферу радиуса 13/3 вписана четырехугольная пирамида SABCD, основанием кторой служит параллелограмм ABCD. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является ортогональной проекцией вер- шины 5 на плоскость ABCD. Плоскость каждой грани пирамиды каса- ется второй сферы, расстояние от центра которой до прямой АВ втрое больше расстояния до прямой CD. Найти радиус второй сферы и рас- стояние от ее центра до вершины 5, если АВ : AD = 1 : 4. 24
ФИЗИКА 1992 Билет № 1 1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости вниз, скользит по ней, ударяясь об упор, отскакива- ет от него и возвращается к месту броска. График зависимости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к гори- зонту. 2. Колокол для подводных работ объемом 10 м3 опускается вверх дном с борта корабля на дно водо- ема глубиной 20 м. Зашедшая в колокол вода вытесняется из него с помощью баллонов со сжатым воздухом. Объем одного баллона 40 л, давление внутри 200 атм. Найти минимальное количество баллонов, которое нужно подсоединить к колоколу с помощью шланга, чтобы вы- теснить из него воду. Газовая постоянная R = 8,31 Лж/(моль К), тем- пературу считать постоянной. 3. Заряженная частица движется в однород- ных взаимноперпендикулярных электрическом и магнитном полях. В некоторый к^оме^т времени ее скорость перпендикулярна Е и В. Чему бу- дет равно отношение изменения кинетической энергии к начальной кинетической энергии час- тицы в те моменты, когда вектор ее скорости бу- дет перпендикулярен г^, если известно, что Е/(уоВ)=0«М 4. Трапеция ABCD расположена так, что ее параллельные стороны АВ и CD перпендику- лярны оптической оси тонкой линзы. Линза со- здает мнимое изображение трапеции ABCD в виде трапеции с теми же самыми углами. Если повернуть трапецию ABCD на 180° вокруг сто- роны АВ, то линза создает ее изображение в ви- де прямоугольника. С каким увеличением изо- бражается сторона АВ? Ов 25
Билет № 2 1. По плоскости с углом наклона к горизонту a (sinа — 4/9) соскальзывает брусок. Коэффици- ент трения скольжения р между бруском и пло- скостью меняется вдоль плоскости. График зави- симости скорости бруска от времени представлен на рисунке. Найти минимальное значение 2. Аквалангист берет с собой для подводного плавания баллоны со сжатым воздухом объемом V ” 20 л. Найти разность времени пребываня аквалангиста на глубинах 5 и 25 м. считая, что масса воздуха, потребляемая им в этих условиях, остается такой же, как и без акваланга. В обычных условиях человек делает 20 вздохов в минуту, потребляя при каждом вздохе V1 = 2,5 л № воздуха. Газовая постоянная равна К = 8,31 Дж/(моль-К), температу- ру считать постоянной. 3. Три одинаковых оцноимено заряженных шарика, каждый с заря- дом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а. Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонталь- ной поверхности. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут иметь шарики в тог момент, когда они будут располагаться на одной прямой? Радиус шарика мал по сравнению с длиной нити. 4. На оси тонкой отрицательной линзы расположена трапеция таким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной опти- ческой оси. Линза создает изображение трапеции, имеющее вид прямо- угольника. При этом меньшая из параллельных сторон изображается с увеличением = 1/3. Если трапецию передвинуть вдоль главной оси на некоторое расстояние, то получается изображение в виде трапеции с теми же самыми углами. Найти, с каким увеличением изображается та же самая меньшая сторона в этом случае. Билет № 3 1. Шайба, брошенная вдоль наклонной плоскости, скользит по ней, двигаясь вверх, а затем возвращается к месту броска. График зависи- мости модуля скорости шайбы от времени дан на рисунке. Найти угол наклона плоскости к горизонту. 2. Цилиндрический колокол для подводных работ высотой 2 м опускается вверх дном с бор- та катера на дно водоема глубиной 3 м. Найти толщину воздух ной подушки, образовав^ ейся 26
у «потолка» колокола к моменту его касания дна водоема. Температуру считать постоянной. 3. Заряженная частица движется в однородных взаимноперпендику- лярных электрическом и магнитном пол^х. ^некоторый момент вре- мени ее скорость перпендикулярна Е и В, при этом выполняется соотношение £/(т»0Л) « I (см. рисунок). В те моменты вре- мени, когда скорость частицы направлена в противоположную сторону к отношение из- менения кинетической энергии частицы к ее начальной кинетической энергии равно /?. Оп- ределить отношение Е/(yQB). (+)в > Е 4. Трапеция ABCD располложена так, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы. Линза создает действительное изображение трапеции ABCD в виде прямоугольника. Если повернуть тра- пецию ABCD на 180° вокруг стороны АВ. то линза создает ее изображение в виде трапе- ции с теми же самыми углами. С каким уве- личением изображается сторона АВ! Билет № 4 1. Брусок соскальзывает с плоскости с углом наклона к горизонту a (since = 1/7). Коэффици- ент трения скольжения в между бруском и пло- скостью меняется вдоль плоскости. График зави- симости скорости бруска от времени представлен ца рисунке. Найти максимальное значение 2. Пустой сосуд наполняется через вентильное устройство путем подсоединения к нему баллонов со сжатым воздухом. После выравнивания давлений в сосуде и баллоне вентиль перекрыва- ется, затем подсоединяется следующий баллон и т.д. Найти отношение давлений в сосуде после подсоединения одного и двух баллонов со сжа- тым воздухом. Известно, что объем сосуда втрое больше объема одного баллона. Считать, что в процессе выравнивания давлений выравнива- ется и температура газа в сосуде и баллоне. 3. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый заря- дом q и массой т, связаны нерастяжимыми нитями, каждая длиной а. 27
чтобы при дальнейшем дви- образовать равносторонний ариков мал по сравнению с и и расположена трапеция та- Все три шарика неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). Ка- кую минимальную скорость и необходимо сообщить центральному шарику, жении шарики смогли треугольник? Радиус i длиной нити. 4. На оси тонкой положительной линзы ким образом, что ее параллельные стороны перпендикулярны главной оптической оси. Линза создает изображение в виде трапеции с теми же самыми углами. При этом меньшая из параллельных сторон трапеции изображается с увеличением 1\ = 0,8. Если теперь передвинуть трапе- цию вдоль главной оптической оси к линзе на некоторое расстояние, трапеция будет изображаться в виде прямоугольника. С каким увели - чением будет изображаться меньшая из параллельных сторон трапеции в этом случае? Билет № 5 1. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизон- тальной поверхности стола (см. рис.). Брусок в пять раз тяжелее доски. Система совершает колебания с амплитудой А == 8 см и периодом Т = 0,8 с по поверхности стола под действием пружины, прикрепленной к бруску. Доска и брусок при колебаниях не- подвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и бруском такие колебания возможны? 2. Равные массы гелия Не и водорода Н2 находятся в теплоизолиро- ванном цилиндре под поршнем. Объем цилиндра Ко = 1 л, давление в нем PQ — 9 атм. При адиабатическом расширении смесь газов соверша- ет работу Л - 650 Дж. Найти относительное изменение температуры смеси. Внутренняя энергия моля гелия равна -zRT, водорода — -^RT, Т — абсолютная температура, 2? — газовая постоян- ная. Молярные массы гелия и водорода равны соот- ветственно 4 г/моль и 2 г/мол. 3. Неподвижное проволочное кольцо расположено в однородном магнитном поле, линии индукции В ко- торого перпендикулярны плоскости кольца. По коль- цу скользит со скоростью гГ (без нарушения электри- 28
ческою контакта) проволочная пермычка РР* (у -L РР'). Определить направление и силу индукционного тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда перемычка пересекает центр кольца, как это изображено на рисунке. Кольцо и перемычка выполнены из одного куска проволоки l удельным электрическим сопротивлением р и площадью поперечного сечения 5. 4, На плоскую поверхность тонкой плоско-вогнутой отрицательной линзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На вогнутую повер- хность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией W ~ 5 Дж и длительностью г ~ 10“8 с. Падающий луч распро- страняется параллельно главной оптической оси линзы на расстоянии F/2 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина лазерно- го излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхости линзы (без покрытия) пренебречь. Билет № 6 1. Два груза общей массой т ~ 1 кг, соединенные упру- гой пружиной жесткостью к~ 100 Н/м, висят на нити. Найти все возможные расстояния, на которые следует от- тянуть вертикально вниз и затем отпустить нижний груз, LJ чтобы при последующих его колебаниях верхний груз ос- та в алея неподвижным? Ц ? 2. В цилиндре под давлением Р = 2 атм находится смесь | | гелия Не и водорода Н2. Изобарический нагрев смеси газов приводит к увеличению объема цилиндра на ДУ ~ 1 л. На сколько из- менилась при этом внутренняя энергия смеси газов? Масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна а водорода — где — абсолютная температура, 2? — газо- вая постоянная. Молярные массы гелия и водорода равны соответствен- но 4 г/моль и 2 г/моль. 3. Неподвижная проволочная перемычка РР1 расположен^ в однородном магнитном поле, линии индукции В которого перпендикулярны к плоско- сти рисунка. По пермычке скользит в плоскости рисунка проволочное кольцо со скоростью v (с*Л PPf) без нарушения электрического контак- та. Определить направление и силу индукционного тока в кольце и в перемычке в тот момент, когда центр кольца пересекает перемычку. Кольцо и пе- 29
ремычка выполнены из одного куска проволоки с удельным электриче- ским сопротивлением р и плошадью поперечного сечения 5. 4. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией Ж = - 0,5 Дж и длительностью т ~ 10”9с падает на рассеивающую линзу параллельно ее главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси равно где F — фокусное расстояние линзы. Найти величину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от по- верхности линзы пренебречь. Билет № 7 1. Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизон- тальной поверхности стола. Система совершает колебания под действи- ем упругой пружины вдоль прямой с периодом Т “ 1 с и максимальным значением скорости 0,5 м/с. При этом доска и брусок непод- вижны друг относительно друга. При каких значениях коэффициента трения скольжения между доской и бруском такие колебания воз- можны? 2. Гелий Не и водород Н2 находятся в теплоизолированном цилиндре под поршнем. Объем, занимаемый смесью газов, — Уо — 1 л, давление Ро ~ 37 атм. При адиабатическом расширении смеси газов относитель- ное уменьшение температуры составило 75%. Найти работу, соверша- емую при этом смесью газов, если масса водорода в 1,5 раза больше массы гелия. Внутренняя энергия моля гелия равна а водорода — ~RT, где Т — абсолютная температура, R — газовая постоянная. Мо- лярные массы водорода и гелия равны соответственно 2 г/моль и 4 г/моль. 3. Неподвижная проволочная квадратная рамка расположена в однородном магнитном поле, лин индукции которого перпендикулярны к плоскости рамки. По рамке скользит без нару] ения электри- и ческого контакта проволочная перемычка РР’ со скоростью v* (v* -L РР'). В тот момент, когда пере- мычка пересекает центр квадрата, по ней течет ток силой /. Определить величину и направление ин- дукции магнитного поля. Рамка и перемычка вы- 30
полнены из одного куска проволоки с удельным электрическим сопро- тивлением р и плогцадыю поперечного сечения 4. На плоскую поверхность тонкой плоско-выпуклой положительной лцнзы нанесено абсолютно отражающее покрытие. На выпуклую по- верхность линзы падает узкий пучок импульсного лазерного излучения с энергией W = 4 Дж и длительностью импульса г = 10”8 с. Падающий пучок распространяется параллельно главной оптической оси линзы на расстоянии F/2V3 от оси (F — фокусное расстояние линзы). Найти ве- личину средней силы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отраже- нием от поверхности линзы (без покрытия) пренебречь. Билет № 8 о 1. Два груза общей массой т — 1 кг, связанные нитью, висят на упругой пружине жесткостью к ~ 100 Н/м. Най- ти все возможные расстояния, на которые следует оття- нуть вертикально вниз грузы и затем отпустить их, чтобы при последующих колебаниях грузов нить не провисала. 2. В сосуде объемом V = 1 л находится смесь гелия Не и водорода Н2. При изохорическом нагреве смеси к ней подвели количество теплоты Q = 220 Дж. При этом давле- ние в сосуде возросло на ДР — 1 атм. Найти отношение числа молей водорода к числу молей гелия в сосуде. Внутренняя энергия моля гелия равна ~АТ, а водорода ~АТ, где Т — абсолютная температура, А — м 2d газовая постоянная. 3. Неподвижная проволочная перемычка РР' расположена в одно- родном магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны к плоскости рисунка. По перемычке скользит в плоско- сти рисунка проволочная квадратная рамка со скоро- стью v* (v* л РР!) без нарушения электрического кон- такта. В тот момент, когда центр рамки пересекает перемычку, по ней течет ток силой /. Определить на- правление и величину индукции магнитного поля. Рамка и перемычка выполнены из одного куска про- волоки с удельным электрическим сопротивлением р и площадью поперечного сечения 5. 4. Узкий пучок импульсного лазерного излучения с IF = 0,4 Дж и длительностью т — 10“9с падает на собирающую линзу параллельно главной оптической оси. Расстояние от пучка до оси лин~ энергией 31
зы F (F — । кусное расстояние линзы). Найти величину средней си- лы, действующей на линзу со стороны света, если половина энергии лазерного излучения поглощается в линзе. Отражением от поверхности линзы пренебречь. ьилет № 9 1. Между шариками массой т и связанными нитью, вставлена легкая пружина жесткостью к, сжатая на некоторую величину. Система шариков движется со скоростью vQ вдоль прямой, проходя- щей через центры шариков. Нить пережигают, и один из шариков останавливается. Найти начале- ную величину сжатия пружины. 2. В горизонтально расположенном теплопроводящем цилиндре под подвижным пор! и нем заперт воздух при атмосферном давлении и ком- натной температуре. В объем под поршнем впрыснули т = 5 г легко ис- паряющейся жидкости. После того, как жидкость испарилась, оказа- лось, что объем, занятый воздухом и парами жидкости, увеличился на AF ” 0,6 л. Найти по этим данным молярную массу жидкости. Наруж- ное давление равно атмосферному, газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К), t = 27°С. Объемом, занимаемым жидкостью в начале опыта, можно пренебречь. 3. Три одинаковые неподвижные металлические пластины располо- жены в воздухе на расстояниях и d2 друг от друга. Пло- щадь каждой из пластин равна 5. На средней пластине 2 находится положительный заряд Q Пластины 1 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке самоиндукции с индуктивно- стью L. Определить максимальное значение силы тока через катушку после замыкания ключа К, Расстояния d{ и d2 между пластинами малы по сравнению с их размерами. Омическим сопротив- лением катушки пренебречь. 4. За линзой с фокусным расстоянием F ~ -5 см расположена линза с фокусным расстоянием F2 - 25 см так, что их главные иш ические оси совпадают. Эта оптическая система со- здает изображение предмета, расположенного перпендикулярно глав- ной оптической оси. Как изменится величина изображения, если линзы поменять местами? Расстояние между линзами L— 20 см. 32
Билет № 10 1. Два груза массой т каждый связаны нитью. Между грузами вставлена легкая упругая пружина, сжатая на величину х. Система движется со скоростью v вдоль пря- мой, перпендикулярной ее оси. Нить пережигают, и гру- зы разлетаются под углом 90°. Найти коэффициент упру- гости пружины. 2. Легкая подвижная перегородка делит герметичный теплопроводящий сосуд на две неравные части, в которых находится воздух при атмосферном давлении и комнатной температу- ре. В меньшую часть сосуда впрыскивается легко испаряющаяся жид- кость, давление насыщенного пара которой при комнатной температуре равно 3,5 атм. Спустя некоторое время перегородка перестала двигать- ся, а жидкость почти вся испарилась. Объем части сосуда, в которой находятся воздух и пары, увеличился при этом вдвое по сравнению с первоначальным. Найти, какую часть объема сосуда составляла внача- ле его меньшая часть? Объемом, занимаемым жидкостью в начале и конце опыта, можно пренебречь. 3. Три одинаковые неподвижные металличе- ские пластины расположены в воздухе на рав- ных расстояниях d друг от друга. Площадь каждой пластины равна S. На пластине 1 нахо- дится положительный заряд Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к ка- тушке самоиндукции с индуктивностью L. Оп- ределить максимальное значение силы тока через катушку после замы- кания ключа К. Расстояние между пластинами мало по сравнению с их размерами. Омическим сопротивлением катушки пренебречь. 4. Математический маятник раскачивается с амплитудой А = 1 см в плоскости рисунка. Равновесное положение нити маятника нахо- дится на расстоянии L - -/5 см от переднего фокуса тонкой положительной линзы. Рассто- яние между изображениями маятника, лежа- щими на главной оптической оси линзы, равно Д - 2 см. Найти фокусное расстояние линзы. 3 Заказ 488
Билет № 11 1. Шарики массами т и 3m связаны нитью; между ними вставлена легкая пружина жестко- стью к, сжатая на величину х0. Система движет- ся с некоторой скоростью вдоль прямой, проходя- щей через центры шариков. Нить пережигают, и скорость шарика массой т увеличивается в 7 раз. Найти начальную скорость шариков. 2. При «зарядке» сифонов углекислотой часть ее растворяется в воде. Определить эту часть при зарядке сифона одним баллончиком, содер- жащим 10 г углекислоты. Объем сифона, не занятый водой, равен V = 0,2 л, температура 24°С. Конечное давление в сифоне после рас- творения углекислого газа в роде устанавливается равным 4 атм. Газо- вая постоянная 7? = 8,31 Дж/(моль*К). Объемом баллончика и измене- нием температуры в сифоне при растворении углекислоты пренебречь. 3. Три одинаковые неподвижные металлические пластины расположены в воздухе на расстояниях dv и d2 (d2 > d{) друг от друга. На средней пласти- не 2 находится положительный заряд Q. Пластины 1 и 3 не заряжены и подключены через ключ К к катушке самоиндукции. 1) Определить максималь- ную величину и знак заряда на пластинах 1 и 3 после замыкания ключа К. Расстояние между dt и d2 малы по сравнению с размерами пластины. Омическим сопротивле- нием катушки пренебречь. 2) Какие заряды установятся на пластинах 1 и 3 при наличии в цепи омических потерь? 4. Две тонкие положительные линзы расположены друг за другом так, что их главные оптические оси совпадают. Расстояние между линзами 14 см. Фокусное расстояние первой линзы - 10 см, второй — F2 = 4 см. Эта система создает изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Величина изображения h{ - 4 мм. Какова будет величина изображения Л2, если линзы поменять местами? Билет № 12 1. Грузы с одинаковыми массами свя- заны нитью. Между ними вставлена лег- кая пружина жесткостью к, сжатая на ве- личину х0. Грузы движутся со скоростью 34
v вдоль прямой, составляющей угол а с осью системы. После пережи- гания нити один из грузов полетел перпендикулярно первоначальному направлению движения. Найти массу груза. 2. Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем. Изотерми- ческое увеличение давления в /3 = 2 раза уменьшает объем цилиндра в у ~ 2,5 раза. Какую часть конечного давления составляет давление па- ра, если начальная относительная влажность воздуха равна а = 0,64 (объемом сконцентрировавшейся воды пренебречь). 3. Три одинаковые неподвижные металлические пластины располо- жены в воздухе на равных расстояниях d друг от друга. Площадь каж- дой из пластин равна S. На пластине 1 находится отрицательный заряд —Q. Пластины 2 и 3 не заряжены и подклю- аЗ| чены через ключ К к катушке самоиндукции d J с индуктивностью L. 1) Определить макси- ” Ч мальную величину и знак заряда на пласти- нах 2 и 3 после замыкания ключа. 2) Найти L К\ di производную в этот момент времени (при максимальном заряде на пластинах 2 и 3), где I —- сила тока через катушку. Расстояние d мало по сравнению с раз- мерами пластин. Омическим сопротивлением катушки пренебречь. 4. Математический маятник колеблется в плоскости рисунка с амп- литудой А = 1 см. Равновесное положение нити маятника находится на расстоянии а = 4 см от тонкой отрицательной линзы с фокусным расстоянием 2 см. Найти рассто яние между изображениями маятника, ле- жащими на главной оптической оси систе- мы. 35
МАТЕМАТИКА 1992 Билет № 1 1. Решить уравнение log4 ^cos 2х — + 1 = log2tgx. 2. В прямоугольном треугольнике АВС из точки Е, расположенной в середине катета ВС, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу АВ. Найти углы треугольника АВС, если АЕ = /П) EL и ВС > АС. 3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ- лены вверх, симметричные относительно прямой х = — 2 и касающиеся прямой у = I - 8х. Найти уравнение той из них, которая пересекает ось ОУ в точке с наименьшей ординатой. 4. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки fl и £ являются серединами ребер АС и ВС соответственно. Через точ- ку Е проведена плоскость ft, пересекающая ребра АВ и SB и удаленная от точек D и В на одинаковое расстояние, равное 1/2. Найти длины отрезков, на которые плоскость делит ребро SB, если ВС = 4, SC = 3. 5. Два велосипедиста движутся по кольцевой велотрассе длины 5, 1/5 часть которой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по го- родским улицам. Скорость первого велосипедиста на стадионе равна и, а на городских улицах равна 16и/3. Скорость второго велосипедиста на стадионе равна 4», а на городских улицах равна 16v/5. Велосипедисты одновременно въезжают на стадион. Через какое время после этого один из них впервые совершит обгон другого? Билет № 2 1 Решить уравнение logi2S(sin2x - sinx) + | = logs(-2 sinx). 2. В ромбе ABCD из вершины В на сторону AD опущен перпенди- куляр BE. Найти углы ромба, если 2V3CE = АС. 3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ- лены вниз, касающиеся оси ОХ и прямой у = х/2 - 3. Найти уравне- ние той из них, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат минимальна 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина) AD = 1/5 и SD = 1. Через точку В проведена плоскость «, пересекаю- щая ребро SC и удаленная от точек А и С на одинаковое расстояние, 36
равное 1/10. Найти длины отрезков, на которые плоскость а делит ре- бро SC, если известно, что а не параллельна прямой АС. 5. Автомобили «Вольво» и «Мерседес» движутся по кольцевой дороге, 1/3 часть которой проходит по городу. Скорость «Вольво» в городе рав- на v, а за пределами города равна 3v/2. Скорость «Мерседеса» в городе равна Зи/4, а за пределами города равна 5v/3. Автомобили одновре- менно въезжают в город. Через какое время один из них впервые со- вершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S7 Билет № 3 (3 \ - — cos 2х). 2. В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона в V2 раз мень- ше меньшего основания ВС, СЕ — высота. Найти периметр трапеции, если БЕ = <5, BD = /10. 3 Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ- лены вниз симметричные относительно прямой х = 1 и касающиеся прямой у” - 3 Найти уравнение той из них, которая пересекает ось О1 в точке с наиболь ей ординатой. и 4 В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) точки К и L являются серединами ребер АВ и АС соответственно. Через точ- ку L проведена плоскость /3, пересекающая ребра ВС и SC и удаленная от точек К и С на одинаковое расстояние, равное 1/3. Найти длины отрезков, на которые плоскость /3 делит ребро SC, если АВ = 4/3, SB - 4/5 5. Два лыжника бегут по кольцевой лыжне длины S, 1/6 часть ко- торой проходит по стадиону, а оставшаяся часть — по лесу. Скорость первого лыжника на стадионе равна и, а в лесу равна 5v. Скорость вто- рого лыжника на стадионе равна 8ь/5, а в лесу равна 4п. Лыжники одновременно вбегают на стадион^ Через какое время после этого один из ник впервые совершит обгон другого? Билет № 4 I Решить уравнение log_^[sin2x - ™cosx] = - + log.(-cosx). i7 1 3 I □ 2 В ромбе ABCD из вершины D на сторону ВС оггущен перпеяди куляр DK Найти длину стороны ромба, если АС = 2\/6, АК = VT4". 37
3. Рассматриваются всевозможные параболы, ветви которых направ- лены вверх, касающиеся оси ОХ и прямой у = ~ х 4~ 8. Найти уравне- ние той из них, для которой сумма расстояний от начала координат до точек пересечения параболы с осями координат минимальна. 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — вершина) АВ = 5, = 4. Через точку А проведена плоскость а, пересекающая ребро SD и удаленная от точек В и D на одинаковое расстояние, равное 5/4. Найти длины отрезков, на которые плоскость а делит ребро SD, если известно, что а не параллельна прямой BD. 5. Автомобили «Рено» и «Крайслер» движутся по кольцевой дороге, 1/4 часть которой проходит по городу. Скорость «Рено» в городе равна 2v, а за пределами города равна 9v/4. Скорость «Крайслера» в городе равна vf а за пределами города равна 3v. Автомобили одновременно въез- жают в город. Через какое время один из них впервые совершит обгон другого, если длина городского участка кольцевой дороги равна S? Билет № 5 1. Решить уравнение arctg3x = arccos8x. 2. Найти все ре и ения уравнения Vlog2(8x2 + 8х) = log^ (х2 + х) удовлетворяющие неравенству cosx < tg3x. 3. Числа х и у являются решениями системы уравнений ах 4- у = а 4- 1, х 4- 4ау = 3, где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выражение х2 — бу2? При каком а это происходит? 4. В остроугольном треугольнике АВС точка D выбрана на стороне АВ так, что Z.DCA = 45°. Точка D' симметрична точке D относительно прямой ВС, а точка D" симметрична точке Dr относительно прямой АС и лежит на продолжении отрезка ВС за точку С. Найти площадь тре- угольника АВС, если ВС = v3CDn, АВ = 4. 5. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SABCD, основанием которой является трапеция ABCD, а также вписана в правильный тет- раэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SABCD. Найти радиус сферы, если объем пирамиды SABCD равен 64. 38
Билет № 6 1. Решить уравнение 2 arcsin 2х = arccos 7х. 2. Найти все ре iij ения уравнения летворяющие неравенству sinx > ctg2x. V1Og4x‘ - Х5 • 10g5 = 1, удов- 3. Числа х и у являются ре: ениями системы уравнений № -X + ау = 2а, ах — у ~ За — 5, где а — параметр. Какое наимень ее значение принимает выражение № х2 + у2? При каком а это происходит? 4. В параллелограмме ABCD угол А тупой, AD > АВ, AD ~ 7. Точка А' симметрична точке А относительно прямой BD, а точка А" симмет- рична точке А* относительно прямой АС и лежит на диагонали BD. Найти площадь параллелограмма ABCD, если В А" ~ 4 BD. 5. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SABC (S — вершина), а KLMK’L’M1, у также вписана в прямую треугольную призму которой KL “ КМ — у/6 , а боковое ребро КК' лежит на прямой АВ. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SC парал- лельна плоскости LL'M’M. Билет № 7 1. Решить уравнение arcsin 5х = arcctg6x. 2. Найти все решения уравнения vz7 - log^- (Зх^ - 24х) - iog9 (х2 - 8х), удовлетворяющие неравенству sinx < tg2x. 3. Числа х и у являются решениями системы уравнений {ах + 9у = а + 3, х 4- ау = 2, где а — параметр. Какое наибольшее значение принимает выражение Зу2 - х2? При каком а это происходит? 4. В треугольнике АВС угол С тупой, а точка D выбрана на продол- жении стороны АВ за точку В так, что LACD = 135°. Точка Df сим- метрична точке D относительно прямой ВС, точка D” симметрична точке Df относительно прямой АС и лежит на прямой ВС. Найти пло- щадь треугольника АВС, если '/ЗВС ~ CD”, АС ~ 6. 39
5. Сфера вписана в четырехугольную пирамиду SKLMN, основанием которой является трапеция KLMN, а также вписана в правильный тет- раэдр, одна из граней которого совпадает с боковой гранью пирамиды SKLMN. Найти радиус сферы, если площадь трапеции KLMN равна 3V3. Билет № 8 1. Решить уравнение 2 arccosx ~ arccos ~х. 2. Найти все решения уравнения Vlog1/6(x^ + ’ ^°ёзбх2 + бх удовлетворяющие неравенству sinx > tg6x. 3. Числа х и у являются решениями системы уравнений где а — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение 2хг 4- у2? При каком а это происходит? 4. В параллелограмме ABCD угол Л острый, АВ > AD, АВ = 14. Точ- ка С' симметрична точке С относительно прямой BD, а точка С" сим- метрична точке С относительно прямой АС и лежит на продолжении диагонали BD за точку D. Найти площадь параллелограмма ABCD, ес~ лр ВС" = | BD. 5. Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду SKLM (S — вершина), а также вписана в прямую треугольную призму АВСА'В'С', у которой АВ = АС, ВС = 4VT, а боковое ребро АА' лежит на прямой KL. Найти радиус сферы, если известно, что прямая SM параллельна плоскости ВВ’СС. Билет № 9 1. Высоты равнобедренного остроугольного треугольника АВС, в ко- тором АВ ~ ВС, пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника АВС, если АО ~ 5, а длина высоты AD равна 8. 2. Решить неравенство "log^™ — 2-7"х^ > 1. 3. Решить систему уравнений 10 cos2л:2 ~ 7 cosx cos2y, sinx = Vcos х sin у. 40
4. Основание прямой призмы АВСА'В'С — равнобедренный треу- гольник АВС, в котором АВ -- ВС - 5, А АВС — 2 arcsin('3/5). Плоско- сть, перпендикулярная прямой Л'С. пересекает ребра ЛС и А'С1 в точ ках D и Е соответственно, причем AD - АС/3, ЕС' — А'С’/З. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью. 5. На берегу реки шириной 8/ вниз по течению на расстоянии I друз от друга расположены пункты По, П,, П100. От По до П100 со ско- ростью би и с остановками только в пунктах По, П100 идут автобусы, которые отправляются из По один за другим с интервалом времени i/10v. Турист, находящийся на противоположном берегу реки напро- тив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из Пу очеред- ного автобуса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, турист доби- рается до П100 на автобусе. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны v. В какой пункт должен доплыть турист, чтобы затратить на весь путь до П(оо наименьшее время? Найти все решения. (Временем стоянки автобусов пренебречь). Билет № 10 1. Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит ha основании AD. Найти площадь трапеции, если АВ = 3/4, АС = 1 2. Решить неравенство 21/х^ >1. 3. Решить систему уравнений: V2 tgx -^Tctgx = 3 tgy, pt . п 4 . v2 sm2x - sinx cosy . 4. Основание прямой призмы ABCDA' B'C D' — равнобедренная тра- пеция ABCD, в которой ВС II AD, ВС-1, AD - 5, ABAD — arctg(3/2). Плоскость, перпендикулярная прямой A'D, пере- секает ребра AD и A'D' в точках Е и F соответственно, причем АЕ - FD' = 5/3. Найти площадь сечения призмы этой плоскостью. 5. На берегу реки шириной 9/ вниз по течению на расстоянии I друг от друга расположены пункты По, Пр ..., П40. От П40 до По со скоро- стью 8п и с остановками только в пунктах П40, ..., По идут дилижансы, которые отправляются из П40 один за другим с интервалом времени l/Av. Путешественник, находящийся на противоположном берегу реки напротив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П40
очередного дилижанса. Доплыв по прямой до одного из пунктов, путе- шественник добирается до По в дилижансе, Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны v. В какой пункт должен плыть путешественник, чтобы затратить на весь путь до По наименьшее вре- мя? Найти все решения, (Временем стоянки дилижансов пренебречь). 16 Билет № 11 1, В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диа- гонали пересекаются в точке О. Найти периметр трапеции, если ВО = 7/8, OD = 25/8, /-ABD = 90°, 2, Решить неравенство I I /10 —jA 1 X10g5 У “ 5 I > I' 3. Решить систему уравнений 17 cos 2х — 7 = 21 sin х cos 2у, cosx = V3 sinx* cosy. 4. Основание прямой призмы АВСА'В'С* — равнобедренный треу- гольник ЛВС, в котором ЛС = СВ — 2, LACB = 2 arcsin (4/5). Плос- кость, перпендикулярная прямой Л'В, пересекает ребра ЛВ и А(В* в 7 точках К и L соответственно, причем АК — — площадь сечения призмы этой плоскостью. 5. На берегу реки шириной 6/ вниз по течению на расстоянии I друг от друга расположены пункты По, Пр П100. От По до П100 со ско- ростью 5v и с остановками в пунктах Пр П100 идут электрички, которые отправляются из По одна за другой с интервалом времени 21/ Ии. Студент, находящийся на противоположном берегу реки напро- тив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из По очеред- ной электрички. Доплыв по прямой до одного из пунктов, студент до- бирается до П100 в электричке. Скорость течения реки и скорость лодки в стоячей воде равны v. В какой пункт должен плыть студент, чтобы затратить на весь путь до П1оо наименьшее время? Найти все решения. (Временем стоянки электричек пренебречь). Билет 12 1, В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ является диа- метром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в 42
точках D и Е соответственно. Найти периметр треугольника АВС, если AD = 2, АЕ - 8/3. 2. Решить неравенство x!og1/3 3. Решить систему уравнений Vctgх - 3 tgx = 4 ctgy, V(4/3) sin2x = cos x -sin у. 4. Основание прямой призмы ABC DA 'В' C,'D' — равнобедренная тра- пеция ABCD, в которой ВС II AD, ВС = 5, AD = 10, ABAD = arctg2. Плоскость, перпендикулярная прямой AD', пересекает ребра AD и A'Dr в точках М и N соответственно, причем MD — AfN — 1. Найти пе- риметр сечения призмы этой плоскостью. 5. На берегу реки шириной 11Z вниз по течению на расстоянии I друг от друга расположены пункты По, Пр ..., П25. От П25 до По со скоро- стью 4v и с остановками только в пунктах П25, ..., По вдут кабриолеты, которые отправляются из П25 один за другим с интервалом времени l/Зи, Курьер, находя и ;ийся на противоположном берегу реки напротив По, отплывает в лодке одновременно с отправлением из П25 очередного кабриолета. Доплыв по прямой до одного из пунктов, курьер добираем- ся до По в кабриолете. Скорость течения реки и скорость лодки в сто- ячей воде равны и. В какой пункт должен плыть курьер, чтобы затра- тить на весь путь до По наименьшее время? Найти все решения. (Вре- менем стоянки кабриолетов пренебречь). 43
ФИЗИКА 1991 (ОТВЕТЫ) Билет № 1 Mv0cosa - mvcosfi 2Mv0 — mv (M- m)cosa “ 2(M - m) 2. M = f‘mp / m _ 6RTpA V лрЛ 0,47 г 4. na = nB + I = 1,000297 Билет № 2 1. и = (M 4 2т)1Л - (M 4 m)v1 cosa g (M + 2m)i>2 - (M 4 m)u1 m cosy 7 m 2 й -_______° P " p/J(rt + 273) [, _ ^ + 273)1 [ Co + 273)J = 9.3-10"4 3 . 1 - /j 1 + j = 9 мкА 4 - L ~ 2(n - l)a “ 50 M Билет № 3 I v - 4 "Qk cosh + OTL'cosff _ 5(M + m)u + 4mv ' 1,0 Л/cosa 5M 2,m = e 990 3 g, = + = 4o0 B /J P 4 Ли = -- » 3-10~6 Билет № 4 M(y2 - vj cosa 7M(y2 - vj v2 cosa + v cosy 7v2 + 6v 44
О 46 1 Р^о 2^0 = 1^46'1200 —°’95 а™ - = 2. 4. L = 25 м 1 2 tga 1. —— ~ 4 (раза) Р 3. W - | (ЙМсА. Билет № 5 2. ДГ/ = О - vRTn - 2vR&T 4. х “ 26 мм. Билет № 6 tga V3 1. и = -£— = — «017 1 м 10 10 ' £?ft)ALn 3- Л.о - ЛХ 2. ДТ = 10° 4. х = 39 мм Билет № 7 1* д — (&4)2 3. Ж « 2. Q = &U + %R(Tq + ДТ) 4. Р ~ 96 мм. 1. ~ ~~ « 2,3 (раза) Билет № 8 ri 2. р{ = 0,71 р2 ~~ = 0,69 агм 1 2 4, х = 1 см 1. m < = 0,2 г Билет № 9 2- V, 2- 45
4. F — 4 см. Билет № 10 _ 200 I, е0{(р2~Рд 2. тг = 4 3. а = ——-------i- >0 4. F = 8 см И < (J Билет №11 . ти g0C “ MVgRTg 3 v2 2‘ 3-10 \ а 3*10 4 рад ” 1,96* 105 м/с 4. р 8° Билет № 12 4б
МАТЕМАТИКА 1991 (ОТВЕТЫ) Билет № 1 1. Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем 8sinx 4- ~ = 4 cos2x + 8 sin х + 4 tg2х, 12cos4x — 25cos2x 4-12 = 0, 0ТКУДа 2324 cos х ~ -, cos x = - 4 3 Поскольку cos2x < 1, TO COST = ± x-= ±~ + лк, к € Z Непосредственная проверка показывает, что при х = ± ~ + 1л к правая часть исходного уравнения отрицательна, и решениями являются пишь 2. Область определения уравнения задается условиями Преобразуем уравнение, переходя к логарифмам по основанию 5 4Г1-а2) log5x + |og -2=0, откуда log5x = ±2а, х, = 5Ъ\ Хг = 5-2" Из (1) следует, что уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда а* 0, а * ±1 Выясним, при каких значениях параметра а выполняется неравенство I cla е—2а I 24 “ 5 | Т (12) Рели а 0, то 51а 5-2а и неравенство (2) равносильно каждому из сле- дующих неравенств s2a _ 5-2а > ^2 _ И s2a _ , (52а - 5) (52а + }) > 0, 52а > 5, откуда а > у 47
i то неравенство (2) равносильно каждому из следующих нера- венств 2а 24 24 О, откуда а < — ~ Ju м Рис* 1 3. Пусть окружность касается АВ, АС и MN соответственно в точ- ках Р, S и 7 (рис. 1) Обозначим АВ ~ х, /.ВАС = а, тогда ВМ = “X. По свойству касатель- MP — MT = (АР г 8М) ~ х — а 2 8 8 а NT = NS = NC + CS а £ 2 8 (еореме косинусов MN1 = AM2 + AN / >у\2 Г + 8х = 8х 4 — 2 AM ’AN' cos а, 4а — 2f“x*2a*cosa, или “X — За ~~ ~х cosa AS где cosa ~ — а 2х‘ Следовательно, ~х ~ ~ / а э За — откуда х = —а 2 2х 7 4. Складывая первое уравнение системы с третьим, перепишем систему в виде ху Выразив из первого уравнения х через z, а из третьего — у через z, подставим эти выражения во второе уравнение. - у — 48
Решая полученное квадратное уравнение относительно z, по гц чаем z = —z2 = Затем находим два решения системы 1 3 Л 2 (5 л 3\ (б’ ’ 2) 5. Так как вершина конуса должна принадлежать всем трем плоскостям, касающимся его боковой поверхности, то она совпадает с одной из вершин пи- рамиды. Основание конуса принадле- жит противолежащей этой вершине гра- ни, а высота конуса совпадает с высотой пирамиды, опущенной па эту грань По- скольку Z.A0S ~ Z. SBC ~ = я - (Z.BSC + Z.SCB) = ~ ТО в Рис. 2 ршина конуса совпадет с точкой В (рис 2) Образующие конуса, по которым происходит касание боковой поверхности конуса с гранями пирамиды, являются апофемами ВК, ВМ и BL соответству- ющих граней, при этом ASBL = t-SBM - ~ - ZBSC = ~v, 2 12 АКВА = AM В А = ASBA - ASBM = 5- - — - ~ 2 12 12 L.KBC - ALBC = ? - ILCB = - 2 4 Так как ВМ — BL - ВК — 1, то AS = AM + SM = Ig(AABM) + tg(ZMBS) = tg-T + tg^ г 12 12 Аналогично, Заметим, что откуда л 5л зт 1 tg 12 Ctg 12 2-т/З ~ 2 + ЛЗ + ЛС + SC 2 Поэтому AS = 4, АС = 3 - <3, SC = 3 + <3, р = = 5, где р — полупериметр AASC По формуле Терона Smsc = Vp (р - AS)(p - AC)Q> - SCj =V5 4 Заказ 488 49
Окружность основания конуса вписана в треугольник AS С, поэтому ее радиус МО = = ~ р v5 Из прямоугольного треугольника ВМО находим высоту ВО = ^ВМг - Л/61 = ~ . Билет № 2 Ответы —arccos5= v5 + х ~ arccos~7= v5 U Корни уравнения: хА = ~ а Билет № 3 Ответы Корни уравнения- х{ = З1 х2 = З1 а, (а # ±2) 3. АК = ~-а 4. f-|, -1; (1 з, г) 5. 2/35/4. о 7 Z Л j ^Z j Билет № 4 Ответы arccos“7= + nkt х ~ л — arccos-^ V3 V3 а -3, | 5. 20/2 4MF I Билет № 5 1. Заметим, что функции, входящие в уравнение, определены при 0 < V < 4 х & 1 <5 if 5Q
Переходя к логарифмам по основанию х, преобразуем уравнение к виду откуда В первом случае Во втором случае Условиям (5.1) удовлетворяет лишь х = — 2. Поскольку по условию Z4CD = то AD — диаметр и LAED — ~ (рис 3) Так как AD — биссектриса, то треугольники ACD и AED равные Пусть АС — Зх, тогда АЕ = Зх, АВ = 5х, ЕВ = 2х, СВ ~ 4х (по теореме Пи- фагора) Из подобия треугольников АВС и EDB вытекает, что Рис. 3 AD = УЛС2 + CD1 DB ЕВ „ лв = св Откуда - 2VT5 Значит, х ~ а искомая площадь 5 = ±АСВС = 6х 32 3. Воспользовавшись прогрессии, получим свойством последовательных членов арифметической 8 sinx ctg2x = cosx — sinx, откуда В первом случае sinx — cosx — ctg2x ~ 0 , и разность арифметической прогрессии d “ 4- Далее имеем- а а 51
Поскольку “Sinx = то ±у/2 ~ (fc — 8)-5> k 6 Nt что невозможно в силу иррациональ- носги числа V2 а1 Во втором случае существуют две возможности- тогда sinx == ctg2x = £г*т 10* Отсюда к — 10 и 3 3 7 1 aictg— + 2тгп, и Е Z, тогда sinx = v , ctg2x -• , d - ~ ГА. 1 «J 4Сг*т А1/ 4. Второе неравенство системы равносильно неравенству (х - 13)2 + / - 144 х2 + уг - 625 Точки, координаты которых ему удовлетворяют, лежат внутри круга радиуса 25 с центром в точке (0 0) , но вне круга радиуса 12 с центром в точке (13, 0). Множество всех этих точек указано штриховкой на рис. 4 Неравенство имеет смысл, если ху £ 0, то есть для точек (х, у), лежащих в первом или треть- ем квадрантах При у < 2х правая часть неравенства (5 2) отрицательна, поэтому все точки (х; у) такие, что «у > 0 v < 2х являются его решениями
Если ху > 0, у > 2х, то неравенство (5.2) равносильно каждому из следую- щих неравенств а У2 - 4ху + 4Х2, откуда 2х < у < —х при х 0 и 2х < у < |х при х < О Таким образом, неравенству (5 2) удовлетворяют точки, отмеченные штриховкой на рис 5. о 12 Заметим, что прямая у = —х име- ет единственную общую точку л (25 60 ) Л = —, yr с окружностью 1 □ 10 у (х - 13)2 + у2 = 144. i >’ Поэтому фигура Л/ имеет вид, указанный штриховкой на рис 6 Площадь фигуры М равна сумме площадей двух секторов (соответствующие цен- 12 5 тральные утлы равны arctg—~ и arctg^) минус площадь полукруга радиуса 12 и О 5. Заметим сначала, что если гипотенуза прямоугольного треугольника яв- ляется хордой круга радиуса R, то расстояние р от вершины прямого угла этого треугольника до плоскости круга не превосходит R В самом деле, р < h < I £ R, где h — перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, 21 — длина гипотенузы. По условию задачи /5ASD прямоугольный, а рас- стояние между плоскостями оснований цилиндра рав- 5 но 2 и больше радиуса оснований, равного Поэтому, О либо вершины А и D находятся на разных основаниях цилиндра, либо ДЛ5£> лежит в плоскости одного из оснований Первый случай невозможен, так как тогда плоско- сть ABCD пересекает плоскости оснований цилиндра по параллельным прямым, то есть АВ || CD и ABCD — параллелограмм, а не трапеция. Таким образом, вершины прямоугольного треу- гольника ASD находятся на окружности одного из ос- нований цилиндра, причем AD — диаметр (рис 7), а точки В и С на окружности другого основания Рис. 7 53
Рис. 8 Пусть В' и С' — проекции точек В и С на плоско- сть ASD (рис. 8). Совпадение точек С* и D' невоз- можно, так как условие ВС || AD влечет за собой в этом случае равенство ВС = AD, что противоречит условию задачи. Л Так как /-CDS = —, то по теореме о трех перпен- дикулярах С'О ± SD. Но тогда AS DC* —- прямо- угольник и AS " C'D. Трапеция АВ'CD вписана в окружность, следовательно АВ' = C'D. Таким обра- зом, АВ1 = AS и B'S -L AD. Обозначим через К точ- ку пересечения АО и SB' Тогда В1 К = SK. Ю 4 8 По условию задачи АО ~ “, В'С == ВС — -AD = — О О Из равнобедренного треугольника В'ОС (OB' и ОС1 — радиусы) находим SK = OL = VOC'2 - LC2 = 1 Поскольку ВВ' перпендикулярна плоскости ASD, то плоскости SBB’ и ASD перпендикулярны. Так как АО _L SB', то AD _1_ КВ, тогда КВ — высота трапеции ABCD, и ЛВКВ' является углом между плоскостями ABCD и ASD. Пусть h — высота пирамиды, опущенная из вершины S, тогда V = ^SABCD‘h - + BC)BK-SK sin LBKB' = ±(AD + BC)SK-BB' = 2 Билет № 6 Ответы. 2. p = 20. 3. x = —arctg— + 2ли, k = 7, 2И/10 V3 1 ~ 2775' 4 “ 2?2 • Рис. 9 4. S = 25arctg^7 + 20 + =~ = o = - arctg2V2) + 20 + О Фигура M заштрихована (рис. 9), А(—2, 4), „/ 10 10VT Д-Т- Г“ 5. 8/39 54
Ответы Билет № 7 2 216 65я* я — arctg- + 2ян, и Е Z, к - 18 Фигура М заштрихована (рис 10), 12 16\ . _ точка касания. Билет № 8 Ответы 7 ОКР -- ‘ РД " & * а 16 с2/1’ на (рис 11), А(2, —2), ВI- 5. 48/73 ' i А Э 1 + 4 = 2arctg— 2V5 10\ + 4. Фигура М заштрихова- Рис. 10 Рис. 11 55
Билет № 9 1. Так как 16х4 - 8х2 + 1 = (4х2 - I)2, то ункции, входящие в нера- । 1 венство, определены при | х | # тг, а само неравенство равносильно каждому из следующих: Их2 - II 14х2 — 11 > Зх (9 1) Левая часть (9.1) неотрицательна, поэтому все значения х такие, что х S О, являются решениями неравенства. При х > 0 возникают две возможности, связанные со знаком числа 4Х2 — 1. 1) х > ~, тогда 4Х2 — 1 > 0, и неравенство (9 1) эквивалентно 4х2 - 1 > Зх, или (х - 1)(4х + 1) > О, откуда с учетом условия х > ~ получаем х > 1 2) 0 < х < у, тогда 4Х2 - 1 < 0, и 1 - 4Х2 > Зх, или 1 (х + 1)(4х — 1) < 0, откуда 0 < х < ~ 2. Вершиной параболы является точка (х0, у0), где 3 2 г— 9 25 х0 = v5 cosa ~ 5 > у0 = — (5 cos a — 3v5cosa + ~) —у-cos4a По условию 25 2 9 2 задачи у0 — Зх0, поэтому — cos 4a + 5 cos a — — = 0, или 50 cos 2a + 4 3 + 10 cos 2a - 24 = 0, откуда cos 2a — — -, cos 2a = ~ Рис. 12 По условию y(°) ~ ——cos4a < 0, то есть 2 1 cos 4a > 0 или cos 2a > — Этому неравенст- ву удовлетворяют лишь значения а, для кото- 4 рых cos 2a = — у 3. Пусть CD — х (рис 12), В' и Q' — про- екции точек В и Q на прямую AD, а Q * — проекция точки Q на прямую ВС. Тогда 56
QQ' = QM «= QQ" = I*. = V(QM)2 - (QQ")2 = ^, PM = = 2Q”M ~ x/2 = 4, откуда x = 2/2. Поэтому AB = V(BB')2 + (В'Л)2 = V(CO)2 + (BC - AD)2 = 3. 4. Найдем x и у из первых двух уравнений системы. С этой целью вычтем из первого уравнения, умноженного на Ь, второе, умноженное на (Ь — 4)- 4(а + b - 4)х = 12 - b (9.2) Кроме того, вычтем из второго уравнения, умноженного на а, первое, умно- женное на (а “ 4): 4(а + b - 4)у = а + 8. (9.3) Рассмотрим случай а + b 5й 4. Тогда система, состоящая из первых двух уравнений исходной, имеет единственное решение 12-d (z+8 Х 4(а + Л-4): У 4(а + Ь — 4)' Подставляя выражения для х и у в третье уравнение, после преобразований получаем уравнение окружности (а + 13)2 + Ь2 — 169. Условие а + b з* 4 означает, что из этой окружности необходимо исключить точки (—8; 12) и (— 1; 5). В случае а + b = 4 из соотношений (9.2) и (9.3) вытекает, что решение си- стемы может существовать лишь для а = —8, Л — 12. При этих значениях а и b исходная система принимает вид “8х + 8у — 2, . — 12х + 12у — 3, 12х + 2у “ 3 и имеет единственное решение. Итак, фигура Ф является окружностью (а + 13)2 + 52 — 169 с исключенной точкой ( — 1; 5) (рис. 13). Легко видеть, что искомыми прямыми будут: 1) й - — 4 7, а “ 0 — касатель- ные к окружности, проведенные из точки (0; 7), 2) b = 2а + 7 — прямая, проходящая через точку (0; 7) и исключенную точку ("1; 5). 5. Заметив, что центр сферы, касаю- щейся двух пересекающихся плоскостей, лежит в биссекторной плоскости одного из kb Рис. 13 57
двугранных углов, образованных этими плоскостями, найдем сначала множе- ство точек, равноудаленных от плоско- стей граней AS В, DSC и ABCD (рис 14). Для этого проведем через апофемы SK и SN граней AS В и DSC плоскость а Тогда DC la и АВ J. а, поэтому а перпендикулярна плоскостям ABS, DSC и ABCD Рассматриваемые биссекторные плоскости пересекают а по биссектри- сам внутренних и внешних углов рав- нобедренного треугольника KSN (рис 15) Проведем все эти биссект- рисы Тогда в каждой из точек Ор О2, О3, О4, и только в них, пересе- каются три биссектрисы (по одной из каждой вершины), причем О,О2 II KN, S е OjO2, O2S = SN » SK = SO, Отсюда следует, что точки, равноудаленные от плоскостей граней AS В, DSC и ABCD, находятся на прямых, проходящих через точки О,, О2, О3, О4 и параллельных ребрам АВ и CD Отметим, что точки прямой, Проходящей через О4, не удовлетворяют усло- виям задачи, так как О4Н = 2, HN = ^KN = 2, а, следовательно, 2-HNS — что невозможно Это же утверждение справедливо и для точки О3 Таким образом, центр сферы может находиться только на пря- мых А'В ' и CD' (рис 15), при- чем высота пирамиды SH равна радиусу сферы, то есть SH ~ 2 Те же рассуждения, применен- ные к плоскостям граней SBC, SAD и ABCD, показывают, Рис 15 что центр сферы может находить- ся только в вершинах ромба А'В'СD' (A1 D' || В'С || AD), а точка 5 является центром этого ромба, А'В'C’D' со ABCD с коэффициентом подобия = V2 Точки А' и С не подходят, т к когда - 2 и АВ = ™ < 4 = KN 58
Для точек В' и D' внг = |в'х2 = |(в'я2 - sh2) = ^ав2 - г, внг = -'bd2 = 7 I {ав - Vas2 - 16 ) + 16) = 4 4 \ \ / / ~ LAB2 - abJab1 - 16 Отсюда получаем АВ = 3VT, V ~ ^АВ-KN*SH = 8VT. Билет № 10 Ответы U и Е Z. 16ctg2a — 5cosa — 7 = 0, 2. а = —arctg2 + тги, (tg2a)j = -2, (tg2a)2 ш 4- 3. Pmnc ~ 2(2 + V13). (рис. 16). — парабола с исключенной точкой P = r 3 2’ 16/ / Прямые: a ~ —6 — параллель- ная оси, Ь = 13 12a — каса- t 11 . 5 тельная, b = — -z-та + - —- про- 24 4 ходит через искомую точку. Рис. 16 Билет № 11 Ответы 59
~arccos 2а — cos 4а — 7 = 0, (cos2a)j = — (cos2a)2 = 3- Pabcd ~ 5° 4. Ф = ш + (д + 5) — 25 \ {(“3; -1J) — окружность с исключенном точкой Р = (—3; —1) (рис. 18) Прямые. b = 0 — касательная, b - - (а - 10) — касательная, Ъ = -“(а - 10) проходит через искомую точку У=Д(а -10) Рис. 18 -10) Рис. 19 Билет № 12 2. а = arctg- + лк, О 2 3’ 4. Ф — = — (а — а — 2)} \ {(—6, 12)| — парабола с исключенной точ- кой Р = (—6, 12) (рис 19). Прямые, а — 4 — параллельная оси, 21 27 9 33 b - — а —~-----касательная, b - ~~[да + ~5--проходит через исключенную точку. 5. R - 3, d = V35. 60
ФИЗИКА 1992 (ОТВЕТЫ) Билет № 1 1. При движении вниз: гпат = mgsina - kmgcosa-, вверх: maBB - = mgsina + kmgcosa. Отсюда sina = e 0.3; a ° 18°. 2. Давление на дне водоема р = 3 атм Поэтому масса воздуха в колоколе т ~ = 2 ~ e 36 кг. На поверхности при р ~ 1 атм в колоколе Кл o,31'Z9U было -j’36 = 12 кг воздуха. Значит, из баллонов в колокол надо перекачать 24 кг воздуха. В одном баллоне объемом V\ = 40 л при р — 200 атм содержится 29*10-3*2*107*40*10-3 т1 — ------8~31~290--------“ в03дУха* Таким образом, необходимое ко- личество баллонов равно 24/9,7 — 2,5, т.е. достаточно трех баллонов. 3. При условии <к 1 можно считать, что частицы движутся по окружности радиуса R = гласно закону сохранения энергии, mv^/2 + EqR = тиг/2, следовательно, ДК = EqR. Отсюда, учитывая, что Е/(у0В) = получим ДК7/С0 = 2/J 4. Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в оптическом центре линзы. Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в фокусе линзы. Таким образом, сторона АВ находится на рас- стоянии d = F/2, |/| = F и Г = — = 2 Билет № 2 1 Ят» = Gsin« " a^/^cosa) = (10*^ - 4)* 10*| = &,04. > 2 Разница во времени определяется различием в массах воздуха, остающих- ся в баллонах на глубине 5 м (под давлением 1,5 атм) и на глубине 25 м (3,5 атм) Разность этих масс Дщ = fiApV/(RT) ~ 29* 10~3*2* 105,20* 10~3/(8,31 *290) « 0,05 кг. 61
Расход воздуха для дыхания аквалангиста л - ™ „„ V /(ч'Г\ - 29’КГЧоЧ,5 10-3 20 _ Л Л. . Amt = 20 - ppQV ^/{Rr) = ------- 31-290----- кг/мин Разность времени Ат/Апц » 50 сек 3 По закону сохранения импульса скорость центрального шарика равна а крайних — — и72. По закону сохранения энергии имеем = + + , W2.2. т(цЛ)2 4ле0 а 4л£0 а а 2а) 2 2 Отсюда v — Q V&tEQma что перемещение А = F Для отрицательной линзы 4 Достаточно очевидно, г2 = 7ТТ+7 = Т+г7 ’ тогда Г = г" “ откуда Билет № 3 1 sina = (лвверх + aBHH3)/2g = (2 + 8/9)/20 « 0,15, а « 9“ 2 (См рис ) Я = 3 м, h = 2 м. По закону Бойля-Мариотта Pq^S = = (р0 + pgH — pg[h — x)) xS (S — площадь осно- вания колокола, pQ — атмосферное давление), от- куда х2 + (Я + (p0/pg) - h)x - pQh/(pg) - 0 и -11,5 + Vn,52 + 84 х = ----------м- 3 Частица движется по окружности радиуса R = Когда ее скорость и ||t>0, она перемещается по полю Е nd расстояние 2R По закону сохранения энергии + qE*2R — mu2/2, откуда АК/К0 = 4Я/(и0В) = /3 и Я/(и0В) = /3/4 4 Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в фокусе линзы Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке, соот- ветствующей двойному фокусу линзы Таким образом, АВ находится на расстоянии d = 3F/2 от линзы, f — ЗРиГ=//йГ = 2 62
Билет № 4 1 Коэффициент трения р максимален на участке 2—3, когда ускорение от- рицательно (а — —2), откуда I^max (ffslna " aj/^cosa = (10/7 + 2)/(10V48/7) » 0,3 2 Пусть V — объем сосуда; и — объем баллона, р0 — давление в нем и V/v = 3. Тогда Р\(У + и) ~ Pov’ Рг(У + и) = Piv + Pov> Pj. v + v 4 откуда - = = - 3 Когда шарики образовали равносторонний треугольник, все они движутся с одной и той же скоростью и/3. По закону сохранения энергии имеем 1 5 wv2 _ 1 3^+3 4л^0 2 а 2 4ле0 а 2 откуда и = (д/2) • V3/(2л£0та). 4 . Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются на расстоянии 2F от линзы. Второе положение: продолжения боковых сторон пересекаются в фокусе линзы Пусть во втором положении расстояние от линзы до трапеции равно йГ, тогда в первом положении оно равно d + F Для положительной линзы имеем 'Г2 = j ~ • а Г1 ~ d + F-F ~ d ’ откуда Г2 ~ 1 - г ” 1 - 0,8 ~ 3 4 Билет № 5 1 л pMg г-г Л/ - . 4лг2Л т _ Л - 1 НН А < '—~ Так как — = 5, то а > —— ~ ~ 0,1 (Тj т т М А = (-Зг^Я/2 - 5у2Я/2)(Тг - То), Ро^О ~ + Р2)Я^0, откуда А - ~PqV0 6 А 13 Р0У0 3 Рассмотрим эквивалентную схему (см. рис ) Здесь = Bv • 2а, г = р R - Р тогда = 4 vBS 1 2 vBS Jn г + R/2 4 + л р ИУк 2Уп 4 + я р 3 63
4 Рассмотрим ход лучей в линзе (см рис ) Из рисунка видно, что АЛОВ — прямоугольный, АО == ОВ, поэтому а = 45° Пусть теперь р0 = W/c — начальный импульс пучка света, р0/2 — имульс отраженного от зеркала пучка света. Так как Ft яи ________ Ар. то F V5 + 2A = 2,3 Н Билет № 6 1 Пусть масса верхнего груза равна mt, нижнего — т2 (Wj + т2 = т), х0 — удлинение пружины в состоянии равновесия. Максимальное расстояние «оття- гивания» — это амплитуда колебаний системы А Верхний груз будет оставаться в покое, если к(А ~ х0) < rppxQ удовлетворяет условию kxQ = m2g Отсюда ^=0,1м X [АС/ = (З^Я/2 + 5v2R/2)AT, 2- рЬУ = (?1 + V^RAT. 3 Отсюда At/ » рАК ~ vl \ = 9 + г, 1 4 £ J 3 Рассмотрим эквивалентную схему (см рис ) Здесь & — vB-Za.a — радиус кольца, я 4 4 + я яа 2л _ %? r ~ Р 5 * — Р g . тогда /п — + г//2 ри/к 2 7п 4 + я р 4 (См реш задачи 4 из билета № 5) Пусть pQ — W/c — импульс падающего пучка света, р0/2 — импульс прошедшего пучка, а = 30°. Так как Ft = то F = 15 V5- 2V3 = 1 Н X L-* 64
Билет № 7 1. Из уравнения колебаний следует, что v = ~j^A, где А — амплитуда коле- 4л2 баний. Совместные колебания доски и бруска возможны, если — А < fig, от- 2тг v сюда д > — - « 0,3 2 (См. решение задачи 2 в билете № 5) л = -РоИэ (t + = Ро^о-(9/4)-(3/4) = = 37 -105 10^3-(27/16) = 6250 Дж. а = 30°, р0 = W/c — импульс падающего пучка света, рр/2 — импульс прошедших» пучка света Таким образом, F = |^V5 + 2^T« 1,9 Н. Билет № 8 2 I. Нить не будет провисать при условии ш А < g, откуда — А < g и [е = (3*./г/2 + 5v,R/2)AT. ДрК-^+^ДГ. V&P 220 3 IO-3 10s 2 65
3 Рассмотрим эквивалентную схему (см рис.) Здесь & = BvaVl, а — длина стороны 2а „ aVT _ %? BvSVl Г - р R - р s , J - R + r/2~ р(1 + V2)’ о - 'Р({ + да В - VZvS Тогда отку- Г "% 4 (См решение задачи 4 из билета 5). р0 = W/c — импульс падающего пучка света, р0/2 — импульс прошедшего пучка света, а = 45° Таким образом, F = -—V5 - 2/2 ** 1 Н. £ сг Билет № 9 1. Остановиться может только шарик массой т Согласно законам сохране- ния импульса и энергии, кх*72 + (т + M)vl/2 = Mv2/2, г?—/ГТ/гт—7т v 70 откуда х — v у/{т/к) (\+т/М) (т + A/)v0 = Mv, ключа возникнут колебания » dl л 1 = 'max’ имеем * = ° И 3. После замыкания (£С-контур) Когда эдс = — £ ~ = О, т.е. напряжение между пластина- ми 1—3 равно нулю. Если заряды на пластинах 1, 3 в этот момент равны — q и 4-</, то поле между ними складывается из постоянного поля Яо заряда Q и поля зарядов — <7 и Итак, t/13 = 0 = E0(d2 " ^1) “ ^1(^1 + ^2) ^2 + ^1 Отсюда — Яо Так как полная энергия поля сохраняется, то (Й1 + dJS = (Ео + Ef dtS + у (£0 - ^)2 d2S + L^ откуда Лпах ” 4" rfj) ^1) ^1) ' 66
4. По условию система — телескопическая и останется таковой и после перестановки линз* Увеличение в обоих случаях не зависит от поло- жения предмета (см рис.) и равно в первом слу- чае 1\ = , а во втором Г2 — Отноше- ние увеличений Г2/1\ = ^/^2 = 1/25 Билет № 10 1. В системе координат, движущейся со скоростью и, грузы покоятся, а после отрыва разлетятся с одинаковыми скоростями в противоположны направлениях. Так как в неподвижной си- стеме угол разлета 90°, то в силу теоремы Пифагора (см рис ) = v Тогда fcx2/2 = 2mv2/2 = mv2 и к = 2mv2/x2 2. Пусть Kj и У2“ объемы вначале, К/ и V2 — в конце Имеем. + Уг = И' + Уъ = уй> У1 = У1' = 0УО- Из условия механического равновесия следует, что давления в обеих частях сосуда равны, т.е + Рп ~ Po^l^v следовательно, рп — = Ро(Р “ «)/(1 “ По условию рп/р0 = 3,5, р = 2а. Тогда а — 3/7 3. (См решение задачи 3 в билете № 9). Когда 7 = /шах, — Eq По закону сохранения энергии (е0/2)Е^ • 2d = (e0/2)£^d + Д/* ах/2) Отсюда 7шах ~ ~ ^£QSd/L. Так как = Q/(2e0S), to Лпах = (Q/2)Vd/(e0S£y. (См рис 67
Билет № 11 1 Решим задачу в системе координат, движущейся вместе с шариками с искомой скоростью v. Пусть в этой системе скорости шариков массами Зт и т равны соответственно и Vj. Тогда кх^/2 = 3mvJ/2 4- и Зти^ = nw2, откуда v2 ~ 6v и v = х^к/48m. 2 Масса углекислоты в одном баллоне т — 10 г, — количество раство- ренной в воде рУ = (1 -Д)^ят, углекислоты, /х = 44 — ее молярный вес Тогда , a (4>v 4410"3-3 105 0,2 10-3 откуда 1 - р = -^= =-------------------------- =0Д и mRT 10 10 3-8,31-297 3. После замыкания ключа возникнут колебания (£С — контур). Когда заряды на пластинах 1, 3 макси- г/д г *шах л мальны, ток через катушку равен / = - « 0, а ее маг- нитная энергия — нулевая. По закону сохранения энер- гии имеем (£0/2)JE^(d1 4- d2) = (с0/2)(Я0 4- E^d^ 4- + (ео/2)(Е0 — Ely,d2, откуда находим два возможных значения Er. Et = 0 и Е} = 2E0(d^ ~ + ^i)- Так как Ео — постоянное поле заряда Q и Ео = Q/(2e0S), а Е, = то: d~ — d, 1) = Q Г ГТ" > 0 ^max d2 4 d} 2) При наличии омических потерь на пластинах 1, 3 установится заряд который находится из условия равенства нулю напряжения между пластинами. E0(rf2 - rfj - E*(rf2 + dj) = 0, поэтому Е* = E0(d2 - dt)/(d2 + d,) и Я = ?max/2 № 9). По условию система — телеско- 2,5 см 4 (См решение задачи 4 из билета 100 16 пическая, и = Л Билет № 12 1. В системе к рдинат, движущейся с шариками со скоростью и, шарики разлетятся с одинаковыми скоро- стями в противоположные стороны. Так как vi — v/cosa, то Лх^/2 = 2mv^/2 и т = kx?cos2a/2v2. 68
2. Для воздуха имеем: Р0 ~ “Рг РРо - Рп PV1 т„оз откуда д— РРо X, Г, уг2 и X 12 3. На пластинах 2, 3 заряд <7тах создает поле Е1 = ^ах/^О5)' КогДа <72,3 = ±?л>ах’ 7 = ° И ПО закону сохранения энергии £0^/2 = = е0(Е0 - Ej)2/2. Для поля Et имеем Е1 = 0 и Et = 2Е0 или 9шах = Q. В этот момент э.д.с. = 2dl/dt = Eod = £M/(2£0S), откуда dl/dt = Qd/(2E0SL). 4. (См. рис.) 1 + 1 = -1, -fi21 = = b ь = р(.. а + А _ ._«-Л \ = 2 1 I а + А + F a-A + Fl _ 2AF2 _ 21 4 = 8 (F + a)2~A2 (2 + 4)2-1 35‘ 69
МАТЕМАТИКА 1992 (ОТВЕТЫ) Билет № 1 1. х = arccos-^ + лк - arctgViy + лк 2. /.ВАС = arctg2, /.ABC - у - arctg2. 3. у = 2(х + 2)2 + 25. 4. SE = у, BE = |, Е = 0 Л SB 5 fl Второй велосипедист обгонит первого впервые, проехав 5 полных кругов и еще у S Билет № 2 1 х = arccos| + (2и + 1>. 2 LA = /.В = |тг 3. у = -^(х - 8)2. 4 SE — СЕ = |, Е = а Л SC. 5 «Вольво» совершит обгон «Мер- 2 седеса», пройдя 12 полных кругов и еще -5. Билет № 3 1. х = arccosj + лп = arcctgVS” + лп. 2. 6 + 2/2. 3 у = —(х - I)2 — 6 4. SE = |, СЕ = ||, Е = 0 Л SC 5 у у Второй лыжник обгонит первого впервые, проехав 14 полных кругов и еще S. Билет № 4 1. X = arcsinj + (2и + 1)я. 2 АВ = 2/2. 3. у = |(х + 9)2. 4. SE - DE = Е = а Л SD 5. у «Рено» совершит обгон «Крайс- лера», пройдя 10 полных кругов и еще S.
Билет № 5 1. 2. -2. 3. 27, а = у |х + 2у - 3j Локальный максимум — 3, * = 4-< Билет № 6 1. у 2. у 3. 2, а — 1. (у — х — 2}. Локальный минимум — у\ а — 5, {x = ^Vr у==ттт}- 4-15V3- 5./3-1 Билет № 7 1. 2. -1. 3. 2, а - 3, |х + Зу = 2}. Локальный максимум — у « = = у=ггз1-4-3^-5- Билет № 8 1. Нет решений 2 у 3 6, а — —1, {у = х + 3} Локальный минимум — Ц, а = 4, (х = —у = ^±1. 4. 60/3 5. 2/3 - 2 о I а — 1 а — 1 J Билет № 9 1. 40 2. log, | < х < log, у 0 <х <log, 4 2 х = — arccos- 4- 2лк, у + (-l)m+ Bresin + лт 4. Сечение — пятиугольник. 5 П9, П10, Пп. Турист должен сесть в ав- тобус № 66, если в момент отплытия отправляется автобус № 0 71
Билет № 10 1 || 2 logJ/2 2 < х < 1, х < -1 1х = arctg4 + 2лк, lx = arctg4 + (2Jt + 1)л, arccos| -+ 2л m, = arccos| + (2m + l)?r 4 12 Сечение — шестиугольник 5 П7, П8, П9 Путешественник должен сесть в дилижанс № 21, если в мо- мент отплытия отправляется дилижанс № О Билет № 11 1 f 2 logA < х < logs|, 0 < х < logs3 Ix = arcsin| + 2л к, x = -arcsin| + (2k + 1).t, vTY I VL5 у - ±arccos-^y + 2л m, |^= ±arccos-^y + (2m + 1)jt 27 4 — Сечение — пятиугольник 5 П7, П8, П9 Студент должен сесть в электричку № 26, если в момент от- тлытия отправляется электричка № О Билет № 12 1 —. 2 logM/93 < х < 1, х < —j 3 lx = arctg| + 2лт, I arctg| + (2т + 1)зт, |у = arctg2/2 + 2тгп, |^,= arctg2/2 + (2и + 1)лг 4 31. Сечение — шестиугольник 5 . П8, П9, П)о. Курьер должен сесть в кабриолег № 22, если в момент от- плытия отправляется кабриолет № 0.