БИЛЕТЫ
дисьмецньщ щрщщц
ЭКЗАМЕНОВ В ДОФТЦ A999 г.)
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Москва
Издательство МФТИ
2Q00

УДК 53@75)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A999 г.) — М.: Изда-
Издательство МФТИ, 2000. 40 с. ISBN 5-89155-052-0.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах аби-
абитуриентам Московского физико-технического института в 1999 г. Все задачи снабже-
снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указаниями к
решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
© Коллектив авторов, 2000
ISBN 5-89155-052-0 © Издательстио МФТИ, оформление, 2000

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
т
_ Г.,
К задаче I
БИЛЕТ 1
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри же-
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соеди- ш
нен с неподвижной опорой (см. рис.). Бру-
Брусок отводят к противоположной стороне
рамы и отпускают. В результате упругих
столкновений брусок и рама совершают
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бру-
бруском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным рель-
рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной пло-
плоскости трубка в форме кольца
(см. рис. — вид сверху). Внутри трубки
может двигаться без трения шарик мас-
массой т. Масса тележки с трубкой М,
массой колес тележки пренебречь. Ша-
Шарику, при неподвижной тележке, сооб-
сообщают в точке А скорость Vo, направ-
направленную параллельно рельсам.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки
В тележки, диаметрально противоположной точке А.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется
тележка через время /0, когда шарик совершит несколько оборотов
и окажется в точке В тележки? 3. _
3. Моль гелия сжимают в адиабатиче-
адиабатическом процессе так, что относительные из-
изменения давления АР/Р, объема AV/V и
температуры АТ/Т газа малы. Найти отно-
относительное изменение давления газа, если
над ним была совершена работа Л.= 15 Дж.
Начальная температура газа Т = 300 К.
4. В схеме, изображенной на рис., при
разомкнутых ключах Кх и Кг конденса-
конденсаторы с емкостями С, и С2 не заряжены.
ЭДС батареи <f, внутреннее сопротивление — г. Сначала замы-
замыкают ключ Кх, а после установления стационарного состояния в
схеме замыкают ключ К2.
К задаче 2
С,
С,
К задаче 4

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1) Чему равен ток через источник сразу после замыкания
ключа К^
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после за-
замыкания ключа К?
5. В комнате на горизонтальной поверхности стола лежит плоское
стеклянное зеркало толщиной Н — 7 мм с показателем преломления
стекла л = 1,4. Над зеркалом висит электрическая лампочка. Опре-
Определите расстояние между двумя соседними изображениями светя-
светящейся нити лампочки, возникающими из-за многократных отраже-
отражений от двух поверхностей зеркала.
БИЛЕТ 2
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью
легкого стержня и пружины
^ ^ т k ! жесткостью к соединен с не-
ЯЧУШУШ— т\ ШЖШ-| подвижной опорой 1. Рама
L пружиной жесткостью к сое-
соеL
пружиной жесткостью к сое-
соединена с неподвижной опорой
задаче 2 (см. рис.). В начальном по-
положении брусок касался пра-
правой стенки рамы, а пружины не были деформированы. Брусок
отводят к противоположной стенке рамы и отпускают. В резуль-
результате упругих столкновений брусок и рама совершают периодиче-
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения
с бруском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без
трения по горизонтальной поверхности стола. К
тележке прикреплена горизонтальная ось О,
\п перпендикулярная возможному направлению
движения тележки (см. рис.). Вокруг оси О, в
плоскости, перпендикулярной ей, может вра-
—^ щаться без трения на стержне длиной L неболь-
//////////////////?////, шой по размерам шарик массой т. Масса те-
К задаче 2 лежки, оси О и ее крепления — Am. Массами
стержня и колес тележки пренебречь. Вначале
тележка покоилась, а стержень удерживался под углом |3 = 30" к
вертикали. Затем стержень отпустили.

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней
точки своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину рассто-
расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями
тележки.
3. Моль гелия расширяется в процессе P2V = const так, что изме-
изменение температуры газа составило ДТ = 0,3 градуса. Какую по ве-
величине работу совершил газ, если относитель-
относительные изменения его давления АР/Р, объема
А V/ V и температуры А Т/Т малы?
4. В схеме, изображенной на рис., при разо-
разомкнутом ключе К конденсатор емкостью
С = 20 мкФ заряжен до напряжения Uo =
= 12 В. ЭДС аккумулятора ^ = 5 В. Индук-
Индуктивность катушки L = 2 Гн.
1) Чему равен ток, установившийся в цепи
после замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим сопротив-
сопротивлением катушки пренебречь, D — идеальный диод.
5. На столе под стеклянной пластиной толщиной Я = 12 мм распо-
расположен кусок газеты, которая рассматривается с помощью микроско-
микроскопа. На какое расстояние нужно передвинуть тубус микроскопа, чтобы
настроиться на буквы текста в отсутствие стеклянной пластинки? По-
Показатель преломления стекла п = 1,5.
БИЛЕТ 3
1. Небольшой брусок массой m лежит на гладкой столе внутри же-
жесткой рамы, касаясь ее правой стенки. Длина рамы L, масса — т. Ра-
Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой
(см. рис.). Раму отводят направо так, что брусок касается ее левой
стенки, и отпускают. В результате упругих столкновений брусок и ра-
рама совершают периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после
первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Брусок может двигаться поступатель- К задаче I
но без трения по прямолинейным горизон-
горизонтальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске укреплен в верти-
вертикальной плоскости, параллельной салазкам, желоб радиусом R, по

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
которому может скользить без трения небольшой по размерам шарик
массой т (см. рис.)- Масса бруска с желобом 6т. Вначале брусок по-
покоился. Шарику в верхней точки же-
желоба сообщили горизонтальную ско-
скорость Ко.
1) Найти скорость бруска при про-
. хождении шариком нижней точки
Ц—[ |-|— pfJ желоба.
u '-^ u ' 2) На каком расстоянии от перво-
К задаче 2 начального положения окажется бру-
брусок через время t0, когда шарик со-
совершит несколько оборотов и окажется в нижней точке желоба?
3. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К
расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные из-
изменения давления АР/Р, объема А VIV и температуры газа АТ/Т
малы. Найти работу А, совершенную газом, если относительное из-
изменение его давления АР/Р = —1/120.
й (. Со 4. В схеме, изображенной на рис., при ра-
разомкнутых ключах Ку и К2 конденсаторы с
емкостями С! и С2 не заряжены. ЭДС бата-
батареи *?, внутреннее сопротивление — г. Сна-
Сначала замыкают ключ К{, а после установле-
установления стационарного состояния в схеме замы-
с.
/к.
к-,
кают ключ К2.
1) Чему равен ток через батарею сразу no-
note задаче 4 сле замыкания ключа Kt'!
2) Какое количество теплоты выделится во
всей схеме после замыкания ключа K^l
5. Если рассматривать свое изображение в плоскопараллельной
стеклянной пластинке толщиной Н— 10 см, то можно увидеть ряд
последовательных изображений лица, отстоящих друг от друга на
расстоянии L=14cm. Чему равен показатель преломления стекла
пластинки?
БИЛЕТ 4
I. Небольшой брусок массой m лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы длиной L и массой ш. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опо-
опорой /. Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
f+3"'t".—
К задаче 2
опорой 2 (см. рис.). В начальном положении брусок касался ле-
левой стороны рамы, а пружины не были деформированы. Раму
отводят налево до соприкосно-
соприкосновения бруска с правой стенкой
рамы и отпускают. В резуль-
результате упругих столкновений
брусок и рама совершают пе-
периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с ра-
рамой.
2) Найти период колебаний рамы.
2. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль гори-
горизонтальной направляющей ЕЕУ (см. рис.). К
муфте перпендикулярно ЕЕУ прикреплена го-
горизонтальная ось О, вокруг которой может
вращаться без трения обруч радиусом R с за-
закрепленным на нем небольшим по размерам
грузом массой т. Масса муфты, оси О и ее
крепления Ът. Массой обруча пренебречь.
Вначале муфта неподвижна и обруч удержи-
удерживают в положении, когда ОР составляет угол а = 30° с горизонтом.
Затем обруч отпускают.
1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки
своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину расстояния
между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты.
3. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что от-
относительные изменения давления АР/Р, объема А V/ V и температу-
температуры АТ/Т таза малы. На сколько процентов изменяется давление га-
газа, если относительное изменение температу-
температуры АТ/Т = 0,0032?
4. В схеме, изображенной на рис., при ра-
разомкнутом ключе К конденсатор емкостью
С = 10 мкФ заряжен до напряжения
Uo = 10 В. ЭДС аккумулятора ? = 15 В, ин-
индуктивность катушки L = 0,1 Гн. 1) Чему ра-
равен установившийся ток в цепи после замы-
замыкания ключа? 2) Чему равен максимальный
ток в цепи после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением
аккумулятора и омическим сопротивлением катушки пренебречь,
D — идеальный диод.

8
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
5. Стакан с тонким дном, наполненный прозрачной жидкостью,
ставится на монету, лежащую на столе. Если сверху через жидкость
нормально к ее поверхности рассматривать монету, то изображение
монеты наблюдается на расстоянии А. = 2,6 см от дна стакана. Опре-
Определите показатель преломления жидкости, если толщина слоя жид-
жидкости в стакане Н = 8 см.
К задаче I
БИЛЕТ 5
1. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту
в точке О прикреплена нить длиной /. К другому концу нити привя-
привязан небольшой шарик (см. рис.). В
начальный момент шарик находится
в положении равновесия в точке А,
Какую минимальную скорость надо
сообщить шарику в точке А вдоль
наклонной плоскости в горизонталь-
горизонтальном направлении, чтобы шарик со-
совершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. Летним днем перед грозой плотность влажного воздуха (масса
пара и воздуха в м3) р = 1140 г/м3 при давлении Р = 100 кПа и тем-
температуре 30 "С. Найти отношение пар-
парциального давления водяного пара,
содержащегося в воздухе, к парциаль-
парциальному давлению воздуха. Принять, что
молярные массы воздуха и пара \ав =
= 29 г/моль, цп = 18 г/моль, газовая
постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К),
3. В электрической схеме, состоящей
из батареи с ЭДС & = 15 В, резисторов
R} = 10 Ом и R2 = 30 Ом (см. рис.) замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе равно ^/3. Внутренним сопротивлением
пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности
стола лежит проводящая жесткая тонкая рамка из одно-
однородного куска проволоки в виде равностороннего тре-
треугольника со стороной, равной а. Рамка находится в од-
It задаче 4 нородном горизонтальном магнитном поле, линии ин-
К задаче 3

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
дукции которого перпендикулярны одной из сторон рамки (см. рис.).
Масса рамки М, величина индукции — В. Какой силы ток нужно про-
пропустить по рамке (против часовой стрелки), чтобы она начала при-
приподниматься относительно одной из вершин треугольника?
5. Часовщику необходимо рассматривать детали часов, размеры
которых в N = 3 раза меньше, чем то минимальное расстояние меж-
между двумя точками, которое он может рассмотреть с расстояния наи-
наилучшего зрения L = 25cm, Чему равно максимальное фокусное рас-
расстояние лупы (собирающая линза), которую он должен использо-
использовать, чтобы рассмотреть эти детали? При использовании лупы глаз
наблюдателя аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые
предметы расположены в фокальной плоскости лупы.
К задаче 1
БИЛЕТ 6
1. Обруч в форме окружности закреплен на столе в положении,
когда его плоскость наклонена под углом а к горизонтальной поверх-
поверхности Р стола (см. рис.). По обручу
может скользить без трения неболь-
небольшое колечко массой т. Вначале ко-
колечко удерживают в верхней точке
С обруча. В результате незначитель-
незначительного толчка колечко приходит в дви-
движение. Найти модуль силы, с кото-
которой колечко действует на обруч в
точке А, находящейся на горизон-
горизонтальном диаметре обруча.
2. В парной бани относительная влажность воздуха составляла
а, =50% при температуре 100 °С. После того, как температура
уменьшилась до 97 °С и пар
«осел», относительная влажность
воздуха стала равной а, = 45 %.
Какая масса воды выделилась из
влажного воздуха парной, если ее
объем V = 30 м3? Известно, что
при температуре 97°С давление
насыщенного пара на 80 мм рт. ст.
меньше, чем при 100 °С.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС *ё — 30 В,
резисторов Я, = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом и конденсатора, за-
замыкают ключ К.
К задаче 3

10
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
Вид сбоку
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в тот момент времени, когда ток
через резистор R3 равен / = 0,3 А. Внутренним сопротивлением ба-
батареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска
проволоки со стороной, равной а. Рамка на-
находится в магнитном поле длинного гори-
горизонтального провода с током, расположен-
расположенного симметрично над рамкой (см. рис.).
Масса рамки М, индукция магнитного поля
у боковых сторон рамки У и 2 равна В. Ко-
Коэффициент трения скольжения рамки о по-
поверхность стола равен ц([х<1/3). Какой
силы ток нужно пропустить по рамке, что-
чтобы она начала скользить по столу, не отры-
отрываясь от него?
5. Пожилой человек хорошо видит уда-
удаленные предметы, начиная с бесконечности
и до минимального расстояния / = 2 м (хру-
(хрусталик глаза этого человека не в состоянии
сфокусировать на сетчатке предметы, распо-
К задаче 4 ложенные ближе / = 2 м). В каких очках (с
минимальной оптической силой линз) этот
человек сможет читать газету с расстояния наилучшего зрения
L — 25 см? Расстоянием между глазами и линзами очков пренебречь.
Вид сверху
БИЛЕТ 7
1. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной / к гвоз-
гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной
под углом а к горизонту (см. рис.). Вначале шарик удерживают на до-
доске в точке А, слабо натянув нить горизонтально вдоль доски. Какую
минимальную скорость V надо сооб-
сообщить шарику в точке А вдоль доски
перпендикулярно нити, чтобы шарик
совершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. После теплого летнего дождя
относительная влажность воздуха у
К задаче 1 поверхности земли достигла 100%.

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
11
К
К задаче 3
При этом плотность влажного воздуха (масса пара и воздуха в 1 м3)
оказалась равной р = 1171 г/м3, его давление Р = 100 кПа и темпе-
температура 22 °С. Найти по этим данным давление насыщенного водяно-
водяного пара Рнас при температуре 22 °С. Принять, что молярные массы
воздуха и пара цв = 29 г/моль, цп = 18 г/моль, газовая постоянная
R = 8,31 Дж/моль-К.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС № = 10 В,
резисторов R{ = 50 Ом, R2 = 100 Ом и конденсатора (см. рис.), замы-
замыкают ключ К.
1) Найти напряжение на конденсаторе
в установившемся режиме.
2) Найти ток через батарею в тот мо-
момент, когда напряжение на конденсаторе
достигло значения <f/2. Внутренним со-
сопротивлением пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной
поверхности стола лежит проводящая
жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска проволоки
со стороной, равной а. Рамка находится в однородном горизонталь-
горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого параллельны одной
из диагоналей квадрата рамки (см. рис.). Масса рамки М, величина
индукции В. Какой силы ток нужно пропустить по
рамке, чтобы она начала приподниматься относи-
относительно одной из вершин квадрата?
5. Коллекционер марок, вооруженный лупой
(собирающая линза с фокусным расстоянием
/¦=10см), в состоянии рассмотреть фрагменты
марки с минимальным размером / = 0,1 мм. Какого
размера фрагменты марки он сможет рассмотреть
без лупы с расстояния наилучшего зрения
L — 25 см? При использовании лупы глаз наблюдателя аккомодиро-
аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые предметы расположены в
фокальной плоскости лупы.
К задаче 4
БИЛЕТ 8
1. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R за-
закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
(см. рис.). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии
2R от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной ско-
скорости маленький шарик массой т. Шарик скользит внутри трубки

12
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку
в точке А, находящейся на горизонтальном диаметре петли?
К задаче 1
К задаче 3
Вид сбоку
2. В жарко натопленной парилке объемом V = 20 м3 при тем-
температуре 100 "С относительная влажность воздуха составляет
а, = 20%. Посетители плеснули на печку т = 1 кг воды, которая
вся испарилась и температура воздуха в парилке упала до 90 "С.
Какая относительная влажность воздуха установилась в парилке?
Известно, что уменьшение температуры от 100 °С до 90 "С вызы-
вызывает уменьшение давления насыщенного пара на 234 мм рт. ст.
Считать, что весь пар остался в воздухе парилки.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС "? = 20 В,
резисторов с сопротивлениями R{ = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом
и конденсатора, замыкают ключ К (см. рис.).
1) Найти ток через резистор R3 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в момент
времени, когда напряжение на конденсато-
конденсаторе равно 0,6$". Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной по-
поверхности стола лежит проводящая жесткая
тонкая квадратная рамка со стороной, рав-
равной а. Рамка находится в магнитном поле
длинного горизонтального провода с током,
расположенного симметрично над рамкой
(см. рис.). Масса рамки М, индукция маг-
магнитного поля у боковых сторон рамки 1 и 2
равна В. Коэффициент трения скольжения
рамки о стол таков, что при некоторой ве-
величине тока, пропущенного через рамку,
она начинает приподниматься (без сколь-
скольжения) относительно одной из своих сто-
К задаче 4 рон. Найти величину этого тока.
Dili) сверху

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ 13
5. Близорукий человек хорошо видит близко расположенные от
него предметы вплоть до расстояния I = 60 см. Хрусталик глаза это-
этого человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы,
расположенные дальше расстояния I = 60 см. Ему предложили вос-
воспользоваться очками с оптической силой D = —1,5 диоптрий A/м).
На каком максимальном удалении он сможет отчетливо видеть пред-
предметы в этих очках? Расстоянием между глазами и линзами очков
можно пренебречь.

14 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
БИЛЕТ 1
1. Найти действительные решения системы уравнений
f л-2 - 4л - 2у -1=0,
\у2-2х + 6у + 14 = 0.
2. Решить уравнение
cos За— sin х
cos5.v — sin 3-v
3. Решить неравенство
= 1.
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто-
стороны параллелограмма, если его площадь S = V7, a LBAC =
= arcsin i
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Зу - х < 5, х + у > 26, За- - 2у < 46.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — середи-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1 : 2, точка
F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, рассто-
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки
А, В, Е и F.
БИЛЕТ 2
1. Найти действительные решения системы уравнений
2. Решить уравнение
sin 3-V —cos x
cos 3.v — sin 5x
3. Решить неравенство
= 1.

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 15
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 2V5, a
LBAC = arctg ^=
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Зу — 5.x > 16, Зу — х < 44, Зх — у>\.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — сере-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1:3, точ-
точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей че-
через точки А, В, Е и F.
БИЛЕТ 3
1. Найти действительные решения системы уравнений
\хг-Ьх-Зу-\=Ъ,
2 + 2х + 9у+ 14 = 0.
2. Решить уравнение
cos Sx + sin Зх
cos 3* +sin .х
3. Решить неравенство
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 4, a LBAC =
= arccos т-
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Зу-2л:<45, х + у>24, Зх-у<3.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, а точка К — се-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 2:1,
точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и
КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей
через точки А, В, Е и F.

18 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сто-
стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти РМ и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.
5. Дана система неравенств
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos -jr. На ре-
ребрах SA и SD расположены точки Ей F так, что AE = 2ES,
DF = %SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная
АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC-
БИЛЕТ 7
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log3 (Юу - х - 2) - log, (x - 2уJ = 1,
которые удовлетцоряют неравенству х — 2у < 0.
2. Решить уравнение
2 + V3" sin х + | cos x | =4 cps2 x.
3. Решить неравенство
=
5? Зх - 12.
4. Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного треугольника
ABC (АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, пррходящая че-
через М параллельно АС, пересекает стороны АВ. и ВС в точках Р и

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 19
Q соответственно. Найти EQ и радиус окружности, описанной около
треугольника PQB, если АВ = 4, a LCAB = arccos j.
5. Дана система неравенств
'\х\+\у\*4,
(Ту-х- 4)Cу- 5х + 12) ^0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, длина бокового ребра равна VTQ. На ребрах SA и SD расположе-
расположены точки Е и F так, что SE = 5АЕ, DF = 2SF. Через точки ? и F
проведена плоскость а, параллельная CD. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC.
БИЛЕТ 8
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
Iog2(l-|-3x)-log4x2=l,
которые удовлетворяют неравенству х — у < 0.
2. Решить уравнение
V2" + cos х — | sin х | = 2V2" sin2 x.
3. Решить неравенство
4. В треугольнике ABC, где АВ = ВС = 5, LABC = 2 arcsin |,
проведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке
М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая
стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти АР и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.

20 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
5. Дана система неравенств:
\ + \у\*5,
+ у25>5BХ-2у-5),
х + Ъу+ \5){х + 4у-5)< = 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, двугранный угол между основанием и боковой гранью равен
arccos -. На ребрах SA и SD расположены точки Е'и F так, что
АЕ = .8?5, DF = 2SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, па-
параллельная АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC.

Физика • ответы и решения 21
БИЛЕТ 1
1. При отклонении бруска влево на расстояние L и отпускании
его, он приходит в движение, совершая гармонические колебания с
периодом
В момент прохождения им положения равновесия и упругого стол-
столкновения с рамой брусок останавливается, передав всю свою энергию
тон\угщ уг \то/2щ у г
* »ч-* *•** >+< *•**
К задаче 1
и импульс раме. При этом брусок и рама обмениваются скоростями.
Тогда энергия упругой деформации пружины переходит в кинетиче-
кинетическую энергию бруска
KL2 _mv2
2 "" 2 '
Откуда
Через время tY = Т/4 брусок останавливается, а рама двигается по-
поступательно со скоростью V. Через время
рама вновь взаимодействует с бруском, передавая ему свой импульс,
и брусок совершает часть колебания в течение времени
до следующего удара о раму. При этом он снова останавливается
на время _
°
после чего приводится в движение рамой и т. д. Очевидно, что период
колебаний бруска равен
5

22 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2. Из закона сохранения энергии и импульса
mvp _ mv\ M V2
2 ~ 2 ¦ 2 ¦ '
mv0 = mvy + MV,
где vi и F — скорости шарика и тележки в момент прохождения ша-
шариком точки В. Совместное решение уравнений дает
_
Скорость центра масс системы шарик—тележка определяется из
условия
или
mv0
' II. УЛ.
ц-м- т+М'
Следовательно, путь, пройденный тележкой в момент прохождения
шариком точки В, равен
3. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона (PV = RT A))
в приращениях (считаем, что состояние гелия незначительно изме-
изменилось)
Р AV + V AP = R AT. B)
Из первого начала термодинамики в случае адиабатического процесса
следует, что
6Q = АА + 6U
или
O = PAV + CVAT. C)
Работа, совершаемая газом,
Ay = P AV.
Тогда из уравнения B) следует, что
КАР _RAT-A1 D)

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 23
Выразив Р из уравнения A) и подставив в D), получим
*? = *!_ А E)
Р т RT к '
Согласно C), работа газа равна
Р AV = Ах = -Су AT,
откуда
АГ = -7Г-
v
Учитывая, что А = — Аи окончательно получаем
др _А_ Cv+R _а_ Ср . 01
Р RT Су RT Су '
4. Сразу после замыкания ключа К^ заряды на конденсаторах Cj
и С2 равны нулю. Следовательно, разности потенциалов на них
UCx = иСг = 0. Поэтому ток через батарею
В стационарном состоянии после замыкания ключа Ку начальная
энергия системы равна
После замыкания ключа К-z и установления нового стационарного со-
состояния UCj = 0. Тогда энергия системы
Начальный заряд на левой пластине конденсатора
Ц конечном состоянии заряд левой пластины конденсатора Ct равен
Изменение ее заряда
Из закона сохранения энергии
Ч Ад = Wi - Wo + ft

26 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из рисунка видно, что
F= mg sin a.
Тогда
'¦^-j— = Т + mg sin a.
Из закона сохранения энергии следует, что
Чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности,
необходимо, чтобы в точке В нить не провисала, то есть Т > 0. Тогда
искомая минимальная скорость, сообщенная шарику, определяется из
условия равенства нулю силы натяжения нити Т.
Решая систему уравнений при Т = 0, находим
v = i/5gl sin a.
2. Давление влажного воздуха складывается из парциальных дав-
давлений воздуха и пара
Р = РВ + Р„. A)
Кроме того, очевидно, что плотность влажного воздуха равна
Р = Рв + Рп- . B)
Из уравнений Менделеева—Клапейрона следует, что
Для давления Р имеем
Плотность водяного пара равна
Рп = Р - Рв-
Подставляя рп в уравнение D), получим
— = -Е- + {—
откуда
Рв = —
Р
Рп= N-

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 27
Из уравнения C)
^п_]*в Рп
Рв N Рв
Подставляя полученные значения для плотностей воздуха и пара,
окончательно получаем
RT p
3. Так как конденсатор мгновенно зарядиться не может, то в мо-
момент замыкания ключа К разность потенциалов на нем равна нулю.
Тогда разность потенциалов на резисторе R равна Ч. Ток через рези-
резистор равен
Ч = | = 0,5 А.
Обозначим токи через резисторы /?t и R2 через /i и /2 соответст-
соответственно. Эти токи меняются в рассматриваемом переходном процессе
данной цепи.
Согласно закону Ома
Ч = I2R2 + Uс.
Когда Uс = т> ток 1г равен
О
— IjL
Ток через батарею
4. На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действу-
действует сила Ампера ОБО'
F = IBl sin a,
где а — угол между направлением вектора
индукции магнитного поля В и направлени-
направлением тока. На сторону АВ действует сила
Fi = IBa,
направленная перпендикулярно плоскости
треугольной рамки. На стороны АС и ВС
действуют аналогичные силы, направленные в противоположную

28 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
сторону
Эти силы совместно с силой тяжести рамки создают момент относи-
относительно оси 00', проходящей через вершину С параллельно прямой
АВ. Запишем условие равенства моментов
- ау[Ъ л, - а у[Ъ . aV3
Fi — = 2F21^- + mg —
или
Тогда для искомого тока / получаем
. _ 4 mg
3 аВ'
5. Изображение рассматриваемого глазом предмета через хруста-
хрусталик глаза попадает на сетчатку. Если / — минимальный размер пред-
предмета, видимого глазом, a L — расстояние от хрусталика до предмета,
то минимальный угловой размер предметов, которые часовщик может
рассмотреть без линзы, равен
При использовании лупы, рассматривая предмет размером гт, поме-
помещенный в ее фокальной плоскости, угловой размер предмета равен
где F — фокусное расстояние лупы. Приравнивая /ф и ij>' получим
БИЛЕТ 6
1. F = mgVT+3 sin2 a.
2. А,п = т1-т2 = Щ^-Щ «1,6кг.
3.1)^-^-1,5 А; 2)/. = ?-^ + ?-^«4,0 А.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 29
4 / >
=
2аВ cos а аВ '
5. D = -^j- = 3,5 дптр.
БИЛЕТ 7
1. V = V3g/ sin а.
2- Рн. п. = ^ff * 2668 Па * 2,7 кПа.
4. / =
_ Mg
ТГаВ'
5. /' = Ш = 0,25 мм.
БИЛЕТ 8
1. F = mg V15 sin2 a + 1.
"• <
5- l-

30 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 1
1. C;-2).
Решение. Сложив уравнения системы, получим
(х-3J + (у + 2J = 0,
откуда
х = Ъ, у = —2.
Пара чисел х = 3, у = — 2, как показывает проверка, образует реше-
решение системы.
2. х = лп, х = ^+?у, nGZ.
Решение. Уравнение равносильно каждому из уравнений
sin (f-3x] -sin x cos (j-x) sin (f-
sin - — 5x I— sin 3* cos 7—* sin [7—'
/ \ / \ / \
откуда sin \4x — 7 + sin - — 2x\ =0 или sin x cos \3x — 7 =0.
Корни последнего уравнения удовлетворяют условию
3. -VT5 <х< ^—^, 5<х<6.
Решение. Исходное неравенство равносильно следующему
i2 ^о
<2' A)
а) Пусть х > 0, тогда х2 — \х\ — 12 = (х — 4)(х + 3) и неравенст-
неравенство A) примет вид 1 < х — 4 < 2, откуда 5 < .* < 6.
б) Пусть х < 0, тогда неравенство A) записывается в виде
<2' B)
Если —3 < х < 0, то неравенство B) равносильно неравенству
х + 3<х2 + .х:— 12<2(х + 3) или системе неравенств
\х2-х- 18 < 0, fxi < х< х2,
| 0ТКУда{
1-V73" 1+V73"
где ху = —»—, х2 = —s—•

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 31
Система неравенств
"|х| >VT5,
1 -3 < х < О
несовместна.
Если х < — 3, то система B) равносильна системе
\(x-Xi)(x-x2)>0,
\х\ <VT5,
откуда — VT5 <-*<*!, так как х\ > —VT5.
Решение. Пусть О — центр окружности, R — ее радиус; F —
основание перпендикуляра, опу-
опущенного из точки О на прямую АВ;
LBAC = LACD= а (рис).
Тогда
OF = ОС = OD = R, sin а = |,
А
cosa=?--
Если АВ = CD = х, ВС = AD = у, S — площадь параллелограмма
ABCD, то
S = 2--= х-AC sin a = V2~,
где
х = 2ОС cos a = 2R cos a, AC = АО + ОС = -?-^ + R = 4R.
Следовательно,
V2~ = 2Rcos a-4Rcos a = ^,
откуда R = ^, x = V2.
Из AACD по теореме косинусов
откуда у = V3.
5. х = 20,у = 8.
Решение. Умножая первое неравенство на 3 и складывая с треть-
третьим, получаем 7у < 61, откуда у < 5 j. Умножая второе неравенство на

32
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
на —3 и складывая с третьим, получаем — 5у< —32, откуда у> 6 -т.
Итак, 6 < у < 9. Исходной системе удовлетворяет только значение
у = 8 и тогда х = 20.
Решение, а) Пусть М — середина
AC, LDCF = а, (р — угол между пря-
прямыми ВС и КЕ (рис.). Тогда
Из треугольников КЕМ, СЕМ и КЕС
по теореме косинусов получаем
ЕМ2 = КЕ2 + КМ2 - 2KE-KM-COS (р,
откуда следует, что
7а2 19а2 , а2 ~
36 ~~ 36 ~|~ 4 6
За2
19а2
36 '
, sin ф = f-^.
б) Расстояние р между прямыми ВС и КЕ равно расстоянию от
точки С до плоскости КЕМ, так как прямая ВС параллельна этой
плоскости.
Вычислим двумя способами объем V пирамиды КЕМС:
V = ±pSl = ±hS2,
где Si и S2 — площади треугольников КЕМ и КМС соответственно,
h = EL(LG КС, EL\\DF), h = \
a2V3
—.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33
в) Пусть О — центр сферы, проходящей через точки А, В, Е и F.
Точка О лежит на перпендикуляре к плоскости ABF, проведенном че-
через центр N окружности, описанной около треугольника ABF (рис.).
Если R — радиус этой окружности, ах — радиус сферы, то
ОВ=ОЕ = х, R = NF = -^- = 4? = NA.
sin — VJ
Пусть ON = у, LONE = LNEL — р. Тогда из треугольника ON A
по теореме Пифагора имеем
D)
а из треугольника ONE по теореме косинусов находим
х2 = у2 + NE2 - 2у NE-cos р,
где
а , 2 а 5а . п 5
+ tgP
_ EL _
cos p
Следовательно,
2 2 i 2 о flv2
* -у +а ~2аУШ- E)
Из D) и E) находим у = а"^, л: = а"у-т--
БИЛЕТ 2
1. A;-6).
2. х = f + яп, х = - 7 + ли, * = (-1)" Т7 + 1Г. « е Z-
3. 1 -
5. х = 6, у= 16.
6.

34 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 3
1. B; -3).
2. х=я.п,х=^ + я.п, х = (-1)п? + ^, n?Z
3.
4 2^
' 3 '
5. х = 1, у =19.
6.
БИЛЕТ 4
1. X
2. x
3. -
4. 2
е у.
я
= -5,
= ? +
1+V5C
3
8
' з-
= 1,У
а а
У=1-
пп,х
х
= 21.
./209
БИЛЕТ 5
1. A-V2;V2).
Решение. Потенцируя, получаем систему
|з|
Зз'|*|, F)
являющуюся следствием исходной системы.
а) Пусть х > 0, тогда \х\ = х и, с учетом условия х < у из первого
уравнения системы F) получаем у = 1 — х.
Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к ввду
Ту2 - 6у - 2 = О,

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 35
откуда
_3 + У23~ _3-У23~ _ 4-V23" _ 4 + V23"
^1 т ' ^2 ~~ 7 ' Xi ~ 7 ' *2 ~~ —^7 '
При х = х2, У = Уг не выполняется условие х < у, а при x = xb
у = >>1 выражение под знаком логарифма в первом слагаемом левой
части второго уравнения исходной системы отрицательно.
б) Пусть х < О, тогда из системы F), с учетом условия у > х, по-
получаем у = 1 — х , а из второго уравнения следует, что у2 = 2,
откуда
Пара чисел (х3- у3) не удовлетворяет условию х < у, а пара чисел
(*4; У*) удовлетворяет этому условию и исходной системе.
2. х = — ^ + Ink, х = -»- л; + 2лк; х = „ л + 2лк, х = •_ л, + 2л,к,
kGZ.
Решение, а) Пусть cos 2x > 0, тогда уравнение можно последо-
последовательно преобразовать так:
ГХ 1
2 + VJ sin 2х — cos 2х = 2 — 2 cos х, -=- sin 2х — -т cos 2х = — cos x,
cos f2* + у] - cos л: = 0, 2 sin fe + fl sin (f + f] = 0,
откуда получаем две серии корней
х = — -д + -~ тт., х = — -j + 2пп, п G Z.
Корни первой серии при п = ЗА + 1 не удовлетворяют условию
cos 2.v 5г 0 и удовлетворяют .этому условию при п = ЗА и п = Зк + 2.
Для корней второй серии условие cos 2x 5= 0 не выполняется
б) Пусть cos 2x < 0, тогда уравнение можно записать в виде
cos \lx - |] + cos x = 0 или 2 cos fe - ^ cos (§-§)= 0,
откуда
4i , 2 4it 1
x = -g- + g irn, x = -j- +
Корни первой из этих двух серий удовлетворяют условию
cos 2х < 0 только при п = Зк, а корни второй серии не удовлетворяют
условию cos 2x < 0.
3. 0<.xr<|,.v = y, 4<x*i5.

36
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями
Зх3 - 22х2 + 40 = Зх (х - у] (х - 4) 5= 0, х Ф 4,
откуда
0 < х «S у, х > 4.
Обозначим /(х) = 3 х —~- (x — 4).
а) Пусть х > 4, тогда /(х) > 0. В этом случае исходное неравенство
равносильно каждому из следующих неравенств
VX /(Х) Э= /(Х), Vx Э= V/(X) , X 5= /(Х),
Зх2 - 23х + 40 = 3 fx -4) (* - 5) < 0,
откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 < л: < 5.
10
б) Пусть 0 < х < -=-, тоща л: — 4 < 0, /(х) > 0 и исходное неравен-
10
ство равносильно неравенству Vx f(x) < /(х). Значение х = у явля-
является решением этого неравенства, а если 0 < х < у, то /(х) > 0 и не-
неравенство примет вид
Зх2 - 23х + 40 = 3 (х - |] (х - 5) Z 0,
откуда, с учетом условия 0 < х < -=-, получаем 0 < х < т-.
4.
12 45VT
7 ' 28 *
Решение. Пусть L АСВ = а, тогда
tg a = 2V2, cos а = ¦?, sin а = -^-, ЛБ = ВС =
в
= 6 (см. рис.).
К задаче 4
а) По свойству биссектрисы в треугольнике
АСЕ имеем
ME _ ЕС _ 3
МА~ АС ~ 4'
ME 3
откуда -ж = 1.
Из подобия треугольников MEQ и ЛЕС следу-
следует, что
MQ _ ME _ 3
ЛС ~~ Л? "" 7'
12
откуда MQ = —.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
37
б) Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника
BPQ, тогда
р_ BQ _ 3 Rn
К - 2ita? ~ 272 ЛУ'
где
BQ = BE + EQ = 3 + EQ, EQ = ^EC = ^, ?Q = y, * =
5. a) 8; 6) 10-л; в) 6 - л.
Р е ш е н и е. а) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежа-
лежащие в квадрате (рис.) с вершинами А(—1;0), В@; 1), СA; 0),
?>@; —1). Площадь этого квадрата Sj = 8.
б) Второму неравенству, которое можно Д =
записать в виде
(х-2J+(у-2J>4,
К задаче 5
удовлетворяют точки, лежащие вне круга
радиуса 2 с центром в точке ЕB; 2).
Площадь заштрихованного на рис. сег-
сегмента равна л; — 2, а площадь фигуры,
координаты точек которой удовлетворяют
первым двум неравенствам, равна S2 =
= 8 -(р- 2) = 10- л.
в) Прямые у — Ъх — 2 = 0 и
Ъу — х + 2 = 0 пересекаются в точке F(—1; 1) и проходят соответст-
соответственно через точки В и С.
Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных уг-
углов с вершиной F, один из этих углов — угол, образуемый лучами
FB и FC и содержащий точку О.
Пусть S3 — площадь фигуры, координаты точек которой удовлет-
удовлетворяют всем трем неравенствам системы, S4 — сумма площадей тре-
треугольников ABF и CDF. Тогда S4 = ^ St = 4, S3 = S2 — S4 = 6 — 31.
6.
5; 2)
33
3) arccos —.
Решение. При пересечении пирамиды плоскостью а получается
равнобедренная трапеция ENMF (рис.), где EN\\FM\\CD.
а) Пусть Р и Q — середины сторон FM и EN, a — площадь сече-
сечения. Тогда
а = \ (EN + FM)PQ,
где
¦¦\ав = \, fm = 5-cd = 5-.

38
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Если О — центр основания ABCD, L —точка пересечения SO и
PQ, (р = LQSL = LPSL , К — середина CD, то
SK =
' OK I
2VT
sin <p = j, cos 2(p = ^, sin 2(p = -jp
Из ASPQ по теореме косинусов нахо-
PC дим
i2=14- — — 21-- = —
^4 2 9 36 '
тогда
12 ,5 И
77
б) Искомый радиус г сферы равен расстоянию от точки А до
плоскости а, а г = 2х, где х — расстояние от точки S до плоскости а.
Но л: — высота SG в треугольнике SPQ, проведенная из вершины S.
Пусть ал — площадь треугольника SPQ, тогда
-SP sin 2Ф = ?,х = ^ =
1 — 2 ~ ¦ — 9 ' — PQ — 33 — — 33 '
в) Угол C между плоскостью а и плоскостью ABCD равен углу
между SG и SL, так как SG± a, SL± ABCD; cos |3 = ^-. Для вычисле-
вычисления SL воспользуемся формулой для биссектрисы в треугольнике
SPQ.
Получим
откуда cos P = зу-
21
2 х- — -
БИЛЕТ 6
= -^ + 2л;п, х = jj л; + 2л;п,

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 39
3. О < х < 4, х = 5, 6 < х < -у.
4- 11' 55 •
5. а) 18; б) |A0-л);в) |F-л)
6. 1)
БИЛЕТ 7
1. (l-V2;?).
2. х = — y + 2ля, л: = ? + 2лл, л: = -? + 2ля, л: = -?¦ + 2лл,
О У « V
3. О < х < у, х = 4, 5 < х < 6.
4 4OVT
3' 63 '
5. а) 32; б) 4A0 - я); в) 4F - я).
БИЛЕТ 8
1 х — — -
3. 0 < х < л, х = 6, -у < х < 9.
. 10 7У6
4. 9 . 27 "
5. а) 50; б) Ц- A0 - я); в) Ц- F - я).

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A999 г.)
Авторы задач
по физике: доценты Можаев В. В., Чешев Ю. В., Чивилев В. И., Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М: И.,
доценты: Трушин В. Б., Коновалов С. П., асе. Балашов М. В., Константинов Р. В.
Компьютерный набор. Сдано в производство 10.12.99.
Подписано в печать с оригинал-макета 10.03.2000. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «Тайме». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,33. Уч. изд. л. 2,5.
Оператор верстки Я. В. Дзюба
Художник М. В. Ивановский
Корректор Я. В. Болотина
Тираж 2000. Заказ № /3
Издательство МФТИ. ЛР № 064290 от 14-11-95
141700 г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9.
Тел. @95) 408-76-81-
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412 Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. @95) 485-93-09