Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (1996 г.) — М.: Издательство МФТИ, 1997. 40 с.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах абитуриентам Московского физико-технического института в 1996 г. Все задачи снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указаниями к решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей школ с углубленным изучением физики и математики.
Ил. 45
1704010000-004 „	_
-----------‘— Без объявл, 97
© Коллектив авторов
© Издательство МФТИ, оформление 1997
ISBN 5-89155-015-6
ФИЗИКА
Билет 1
1. Из бункера с высоты Н = 1 м высыпалась порция песка массой т = 100 кг и попала в вагонетку массой 2т, движущуюся горизонтально со скоростью v = 3 м/с. Сопротивление движению ваго-нетки со стороны рельсов не учитывать.	g
1)	Найти скорость вагонетки с песком.
2)	На сколько увеличилась суммарная внутренняя энер- S гия вагонетки, песка и окружающих тел?
2.	Пружина жесткостью к прикреплена к потолку и бру- Гт] ску массой т (см. рис.). Брусок лежит на подставке так, что	| ,
ось пружины вертикальна и она сжата на величину L. Под- к 2 ставку быстро убирают. Найти амплитуду колебаний бруска.
3.	В отверстие радиусом R = 1,5 см в тонкой непрозрачной перегородке вставлена тонкая собирающая линза. Точечный источник света расположен на главной оптической оси линзы по одну сторону перегородки. По другую сторону перегородки находится экран. Экран, соприкасавшийся вначале с линзой, отодвигают от линзы. В результате радиус светлого пятна на экране плавно увеличивается и на расстоянии L = 18 см от перегородки достигает значения fj = 3 см. Если линзу убрать, оставив экран на месте, то радиус пятна на экране станет г2 = 4,5 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы.
4. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и
изобары (см. рис.). На изобаре 1—2 газ со-	к задаче 4
вершил работу А и его температура увеличи-
лась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Точки 2 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через начало координат.
1) Определить температуру Т\ в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл.
5. Два одинаковых проводящих диска радиусами г вращаются с угловыми скоростями a>j и <о2 (“i > “г) в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярной их плоскостям (см. рис.). Центры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью
Ср а ободы — через скользящие контакты к конденсатору емкостью С2. Найти напряжения, которые установятся в конденсаторах.
з
ФИЗИКА
Билет 2
1. Кусок пластилина массой т = 32 г (см. рис.) по-
падает в брусок массой 6m, двигающийся по гладкой
горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему.
v/4 Перед ударом скорость куска пластилина равна
v — 7 м/с и направлена под углом а = 60° к горизонту,
| 6т I— 777777777777777777
к задаче 1 а скорость бруска равна v/4 и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска, пластилина и окружающих тел?
2. На пружине жесткостью к висят два груза, связанные нитью (см. рис.). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с амплитудой А. Найти массу нижнего груза.
3. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом Л = 2,5 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света расположен на расстоянии d = 15 см от линзы на ее главной оптической оси. Экран, находящийся по другую сторону ширмы, чем источник, отодвигают от линзы. В результате радиус светлого пятна на экране плавно уменьшает-
ся и на расстоянии L = 12 см от линзы становится равным г = 1,5 см.
1) На каком расстоянии от линзы надо поместить экран, чтобы получить четкое изображение источника?
2) Найти фокусное расстояние линзы.
4. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изохоры (см. рис.). В изохорическом процессе 1—2 газу сообщили количество теплоты Q и его темпера-
тура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через начало координат.
1) Найти температуру в точке 1.
2) Найти работу газа за цикл.
5. В простейшей схеме магнитного гидродинамического генератора плоский конденсатор с площадью
пластин 5 и расстоянием d между ними помещен в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением р, движущейся с постоянной ско-
ростью v параллельно пластинам (см. рис.). Конденсатор находится в магнитном поле с ин-
=5-ВФс- ==-L=3-r-. h в дукцией В, направленной вдоль пластин и пер-
-е	-_Л“-	Н* _____________ ________ _________ тт v __
пендикулярно скорости жидкости. Найти полезную мощность, которая выделяется в виде тепла на внешней нагрузке сопротивлением R.
4
ФИЗИКА
Билет 3
I. Камень массой т = 1 кг подняли на некоторую высоту и отпустили без начальной скорости. Через время t = 1 с практически свободного падения камень попал в ящик с песком массой 5 т, скользивший по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v = 6 м/с.
1)	Найти скорость ящика с камнем.
2)	На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия ящика, песка, камня и окружающих тел?
2.	Груз массой т привязан нитью, перекинутой через блок, к другому грузу, который удерживается на гладком горизонтальном столе пружиной, прикрепленной к стене (см. рис.). Нить пережигают, и груз на столе начинает колебаться с амплитудой А. Найти жесткость пружины.
3.	В отверстие радиусом R — 1 см в тонкой непрозрачной перегородке вставлена тонкая рассеивающая линза. По одну сторону перегородки на к задаче 2 главной оптической оси линзы расположен точечный источник света. По другую сторону перегородки на расстоянии L = 24 см от нее находится экран. Радиус светлого пятна на экране  rj = 4 см. Если линзу убрать, то радиус пятна на экране станет г2 = 2 см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы.
4. На рисунке для v молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изобары (см. рис.). На изобаре 3—1 над газом совершили работу А {А > 0) и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 7 и 2 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через начало координат.
1) Определить температуру в точке 1.
2) Определить работу газа за цикл.
5. Два проводящих диска радиусами и г2 вращаются с одинаковыми (по модулю) угловыми скоростям^ со в противоположных направлениях (см. рис.). Перпендикулярно плоскостям дисков направлено однородное магнитное поле с индукцией В. Центры дисков с помощью провод
ников присоединены к конденсатору емкостью Ср ободы — через скользящие контакты к обкладкам конденсатора емкостью С2. Определить со, если известно, что на конденсаторе Сг установилось напряжение U.
5
ФИЗИКА
Билет 4
т	1. Кусок пластилина массой т = 200 г (см. рис.) по-
“У” падает в брусок массой 2т, двигавшийся по главой vr	горизонтальной поверхности стола, и прилипает к нему.
____v/2 Перед ударом скорость куска пластилина и = бм/с и направлена под углом а = 60° к горизонту, а скорость к задаче 1 бруска равна и/2 и лежит в одной вертикальной плоскости со скоростью пластилина.
1) Определить скорость бруска с пластилином после удара.
2) На сколько увеличилась суммарная внутренняя энергия бруска, пластилина и окружающих тел?
i2. Чашка с гирями пружинных весов покоится. На чашку поставили еще одну гирю массой т. Найти амплитуду колебаний чашки. Жесткость пружины к.
3. Тонкая собирающая линза вставлена в отверстие радиусом R = 2 см в тонкой непрозрачной ширме. Точечный источник света расположен слева от ширмы на расстоянии d = 30 см от линзы на ее главной оптической оси. На экра-------не, находящемся справа от ширмы, получено резкое изо-к задаче 2 бражение источника. После перемещения экрана вправо вдоль главной оптической оси на расстояние L = 15 см на нем появи-
лось светлое пятно радиусом г — 0,5 см.
1) На каком расстоянии от линзы находился экран вначале?
2) Найти фокусное расстояние линзы.
к задаче 4
4. Цикл для v молей гелия состоит из двух участков линейной зависимости давления Р от объема V и изохоры (см. рис.). В изохорическом процессе 1—2 от газа отведено количество теплоты Q (Q > 0) и его температура уменьшилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на диаграмме PV лежат на прямой, проходящей через начало координат.
1) Найти температуру 7\ в точке 1.
2) Найти работу газа за цикл.
5. Между закороченными пластинами плоского
конденсатора с площадью пластин 5 и расстоянием d между ними дви-
жется параллельно пластинам с постоянной скоростью v проводящая
th Вф 'i
к задаче 5
лента толщиной h (см. рис.). Ширина ленты больше размеров конденсатора. Конденсатор находится в магнитном поле с индукцией В, направленной вдоль пластин и перпендикулярно скорости ленты. Найти наведенный заряд на пластинах конденсатора.
6
ФИЗИКА
Билет 5
1. На наклонной плоскости с углом наклона /\Л'^ а = 30° удерживаются неподвижно тележка и бру-сок, расположенные рядом (см. рис.). Их отпуска-ют. Какое расстояние будет между тележкой и бру- _______
ском к моменту, когда тележка пройдет расстояние к задаче 1 L = 50 см? Коэффициент трения скольжения между
бруском и наклонной плоскостью ц = 0,3. Массу колес тележки и трение качения не учитывать.
2. Высота комнаты Ht = 3,3 м. На расстоянии Н2 = 2,2 м от пола висит лампа. Нить накала лампы можно считать точечным источником света. На полу лежит плоское зеркальце прямоугольной формы размерами 4x6 см2.
1)	На каком расстоянии X от потолка находится изображение нити накала лампы в зеркальце?
2)	Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркальца на потолке.
3.	Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается и заполня-
ет полностью горизонтальное колено трубки (см. рис.). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке. Атмосферное давление Ро, плотность ртути р.
1) Найти давление ртути в месте изгиба трубки.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки.
4. В сосуде находится жидкость и ее
насыщенный пар. В процессе изотерми-
ческого расширения объем, занимаемый паром, увеличивается в р = 3
раза, а давление пара уменьшается в а = 2 раза. Найти отношение
массы жидкости т2 к массе пара которые первоначально содержались в сосуде.
5. В схеме, изображенной на рисунке, сначала замыкают ключ и после того, как конденсатор емкостью С2 полностью зарядится от батареи с ЭДС ®, ключ размыкают и замыкают ключ К2. После замыкания ключа К2 в схеме происходят свободные незатухающие ко
к задаче 5
7
ФИЗИКА
лебания. Когда напряжение на конденсаторе емкостью Ct достигает максимального значения, в него быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют диэлектрическую пластину, что приводит к увеличению его емкости е раз.
1) Чему равен начальный ток в цепи после замыкания ключа К2?
2) Определить максимальный ток в цепи после вставки пластины.
1.
Билет 6
По горизонтальной поверхности стола скользит брусок массой т и сталкивается неупруго с неподвижным бруском массой 2т, имея перед ударом скорость и=2м/с. Какое расстояние пройдут слипшиеся бруски до остановки? Коэффициент трения скольжения между брусками и столом р. = 1/18.
2. На стене в комнате висит плоское зеркало в форме ромба с диагоналями 16 см и 12 см. Лампочка висит на расстояниях Sj — 2 м от стены с зеркалом и S2 = 1 м от противоположной стены. Нить накала лампочки можно считать точечным источником света.
1)	На каком расстоянии X от противоположной стены находится изображение нити накала лампочки в зеркале?
2)	Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на противоположной стене.
3.	Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью вокруг вертикальной оси (см. рис.). Открытое и запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление Ро, плотность воды р.
1) Найти давление воды в месте изгиба
,, =	~ |l~fo трубки, расположенном на оси вращения.
ин । ।	।		। II 2) Найти давление воды у запаянного
<-!_>	конца трубки.
к задаче 3	4. В сосуде находится водяной пар и
вода при температуре 100 °C. В процессе изотермического расширения вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объем пара увеличился в 0 = 10 раз. Найти отношение объемов пара и воды в начале опыта.
5. В колебательном контуре, состоящем из двух последовательно соединенных катушек с индуктивностями Lr и L2 и конденсатора емкостью С, происходят свободные незатухающие колебания, при которых
8
физика
амплитуда колебаний тока равна 10 (см. ______________ц£________
рис.). Когда сила тока в катушке Ly макси-	'•
мальна, в нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) вставляют
сердечник, что приводит к увеличению ее ин-	—. 1 2 .---. L2 ,—
дуктивности в ц раз.	luuuu
1) Определить максимальное напряжение	к задаче 5
на конденсаторе до вставки сердечника.
2) Определить максимальное напряжение на конденсаторе после вставки сердечника.
Билет 7
1. На наклонной плоскости с углом наклона а = 30° удерживаются неподвижно тележка и бру-сок, расположенные рядом (см. рис.). Их отпуска-ют. На каком расстоянии друг от друга окажутся ______
тележка и брусок к моменту, когда брусок пройдет к задаче 1 расстояние X = 31 см? Коэффициент трения сколь-
жения между бруском и наклонной плоскостью ц = 0,4. Массу колес
тележки и трение качения не учитывать.
2. Лампочка настольной лампы находится на расстояниях L[ = 0,6 м от поверхности стола и L2 — 1,8 м от потолка. Нить накала лампочки
можно считать точечным источником света. На столе лежит осколок
плоского в форме треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см.
1)	На каком расстоянии X от потолка находится изображение нити накала лампочки в зеркале?
2)	Найти форму и размеры «зайчика», полученного от осколка зеркала на потолке.
3.	Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена жидкостью и закреп-
лена на горизонтальной платформе, вра-
щающейся с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси (см. рис.).
Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке. Атмосферное давление Ро, плотность жидкости р.
1) Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости у запаянного конца трубки.
4. В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотермического сжатия объем, занимаемый паром, уменьшается в 0 = 4 раза,
9
ФИЗИКА
а давление возрастает в а = 3 раза. Найти долю пара, которая сконден-
сировалась в этом процессе.
5. В колебательном контуре, состоящем из двух параллельно соединенных конденсаторов с емкостями Cj и С2 и катушки с индуктивностью L (см. рис.), происходят свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда колебаний заряда на конденсаторе С2 равна <?0. В конденсаторе С( расположена диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью е, которая полностью заполняет его пространство. Когда заряд на конденсаторе Ct достигает максимального значения, пластину быстро (за время,
малое по сравнению с периодом колебаний) удаляют из конденсатора.
1) Определить новый период колебаний.
2) Определить амплитуду новых колебаний тока в катушке.
Билет 8
1. Слипшиеся брусок и тележка движутся по горизонтальной поверхности стола (см. __________ v	рис.). В некоторый момент, когда скорость I I - - I >	равна v = 1 м/с, брусок отлипает от тележ-
ки. На каком расстоянии друг от друга ока-к задаче 1	жутся тележка и брусок к моменту останов-
ки бруска? Коэффициент трения скольжения бруска о стол ц = 0,1. Трением качения пренебречь.
2. В комнате на стене висит плоское зеркало в форме эллипса, большая и малая оси которого равны 15 см и 10 см. Стена с зеркалом находится на расстояниях Х{ = 1 м от висящей лампочки и Хг = 3 м от
противоположной стены. Нить накала лампочки можно считать точеч-
ным источником света.
1)	На каком расстоянии X от противоположной стены находится изображение нити накала лампочки в зеркале?
2)	Найти форму и размеры «зайчика», полученного от зеркала на противоположной стене.
3.	Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью со вокруг верти
10
ФИЗИКА
кальной оси так, что масло не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рис.). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление Ро, плотность масла р.
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки.
4. В сосуде находится насыщенный водяной пар при температуре 100 °C. В процессе изотермического сжатия пар начинает конденсироваться. Найти отношение объемов пара и воды к моменту, когда объем пара уменьшится в а = 7 раз.
5. В схеме (см. рис.) конденсатор емкостью С заряжен до некоторого напряжения. После замыкания ключа К в схеме происходят свободные, практически незатухающие колебания, при которых амплитудное значение тока в катушке
с индуктивностью Ьг равно 70. Когда ток в катушке с индуктивностью достигает макси
мального значения, из нее быстро (за время, малое по сравнению с периодом колебаний) выдвигают сердечник, что приводит к уменьшению ее индуктивности в ц раз.
1) Найти ток через катушку Ьг сразу после замыкания ключа.
2) Найти максимальное напряжение на конденсаторе после выдвигания сердечника.
с к
ii

Li
к задаче 5
Билет 9
1. На схему подано постоянное напряжение V = 70 В (см. рис.). Найти пределы изменения напряжения на конденсаторе при медленных изменениях сопротивления резистора в пределах от Д/4 до 6R. Сопротивление резистора R2 постоянно и равно R.
2. Гелий из состояния с температурой
— 200 К расширяется в процессе РУг = const (Р — давление, V —
объем газа) с постоянной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты 415 Дж, и конечный объем газа стал вдвое больше начального.
1)	Определить конечную температуру гелия.
2)	Определить теплоемкость С.
3.	В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны) плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останутся на плаву и уровень воды
11
ФИЗИКА
в сосуде увеличится на ДА. На сколько изменится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку бросить на дно сосуда? Плотность стекла рс, плотность воды рв.
П2
к задаче 4
4.	Тонкая собирающая линза диаметром D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя зеркальными полуплоскостями ГЦ и П2,
параллельными оси ОО' и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО' расположен точечный монохроматический источник света S.
1) Найти угол между пучками лучей, вышедших из половинок линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (около оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей,
предварительно прошедших половинки линзы?
5.	Металлический прут в форме дуги окружности Z/CZ радиусом L висит на двух легких нитях длины L каж-дая (см. рис.). Масса прута т, его поперечное сечение /	\ постоянно. Угол между нитями 2<р.
/	\	1) Найти силу натяжения нитей в положении равно-
весия.
к задаче 5	2) Найти период малых колебаний такой «дуги» в вер-
тикальной плоскости, совпадающей с плоскостью «дуги».
Билет 10
СщХ	|.с2	1. На схему (см. рис.) подано постоянное
ЛГ	IH напряжение V = 36 В. В каких пределах
____,	можно изменять напряжение на конденсато-*-Зд-*	ре Cj при медленных изменениях емкости в
+	_	__ пределах от С/2 до 8 С? Емкость конденса-
v 0 L-g-J	тора С2 постоянна и равна С.
к задаче 1	2. Гелий в количестве v = 2 моля расши-
ряется в процессе с постоянной теплоемкостью С. В результате к газу подвели количество теплоты 3000 Дж, и внутренняя энергия газа уменьшилась на 2490 Дж.
1) Чему равна работа, совершенная газом?
2) Определить теплоемкость С.
3. В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В ре-
12
ФИЗИКА
зультате уровень воды в сосуде поднялся на hx = 11 мм, а лед стал плавать, целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния всего льда? Плотности стекла рс = 2,0 г/см3, воды рв = 1 г/см3, льда р = 0,9 г/см3.
4. Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 4,5 см с фокусным расстоянием F = 100 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО' на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя зеркальными полуплоскостями и П2, параллельными оси ОО' и друг другу. В фокальной плоскости линзы на оси ОО' расположен точечный монохроматический источник света S.
1) Найти расстояние между изображениями источника S в половинках линзы.
2) При каком минимальном расстоянии L в центре экрана Э (около оси ОО') можно наблюдать интерференционную картину от лучей, предварительно прошедших половинки линзы?
5. Конструкция из жестко соединенных
легкого стержня и небольшого по размерам	s
шарика массой т может совершать колебания в вертикальной плоскости под действием пружины с жесткостью к, двигаясь при вра-
щении без трения вокруг горизонтальной оси	к задаче 5
О. Пружина легкая, ее точка прикрепления к
стержню делит его длину в отношении 1:2, считая от шарика. В положении равновесия стержень горизонтален, а ось пружины вертикальна.
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период малых колебаний конструкции.
Билет 11
1. На схему (см. рис.) подано постоянное напряжение V = 60 В. Сопротивление резистора постоянно и равно R. Найти пределы изменения напряжения на конденсаторе при медленных изменениях сопротивления резистора 7?2 от R/3 до 5R.
13
ФИЗИКА
2. Гелий из состояния с температурой Т{ = 100 К расширяется в процессе P2V = const (Р — давление, V — объем газа) с постоянной теплоемкостью С. К газу подвели количество теплоты 2910 Дж. Конечное
э
О'
F/2 к задаче 4
давление газа вдвое меньше начального.
1)	Определить конечную температуру гелия.
2)	Определить теплоемкость С.
3.	В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальны) плавает деревянная дощечка, на которой сверху лежит стеклянная пластинка. На какую величину АЛ изменится уровень воды в сосуде, если стеклянная пластинка свалится с дощечки и окажется на дне сосуда? Известно, что если стеклянную пластинку бросить на дно сосуда с плавающей дощечкой, то уровень воды в нем увеличится на h. Плотность стекла рс, плотность воды рв.
S
О*
4.	Тонкая собирающая линза диаметром D — 4 см с фокусным расстоянием Р = 60 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО’ на расстояние а = 0,5 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя зеркальными полуплоскостями П, и П2, §	параллельными оси ОО’ и друг другу. На расстоянии Р/2
на оси ОО' расположен точечный монохроматический источник света 5.
1) Найти расстояние между изображениями источника 0	5 в половинках линзы.
|	2) При каком минимальном расстоянии L в центре
П т экрана Э (около оси ОО') можно наблюдать интерферен-*—'	ционную картину от лучей, предварительно прошедших
к задаче 5 половинки линзы?
5. Груз массой т подвешен с помощью пружины жесткостью к, легких нитей и невесомого блока (см. рис.).
1) Найти удлинение пружины в положении равновесия системы.
2) Найти период вертикальных колебаний груза при условии непровисания нитей.
к задаче 1
Билет 12
1. На схему (см. рис.) подано постоянное напряжение V = 120 В. В каких пределах
будет изменяться напряжение на конденса-
14
ФИЗИКА
торе Cj с постоянной емкостью С при медленных изменениях емкости С2 в пределах от С/4 до 7С?
2. Гелий в количестве v = 4 моля сжимают в процессе с постоянной теплоемкостью С. От газа отвели количество теплоты, равное изменению его внутренней энергии, и температура газа увеличилась на 100 К.
1)	Чему равна работа, совершенная газом?
2)	Определить теплоемкость С.
3.	В цилиндрический сосуд с водой (стенки сосуда вертикальны) опустили кусок льда, в который была вморожена металлическая проволока. В результате уровень воды в сосуде поднялся на - 36 мм, а лед с проволокой стал плавать, целиком погрузившись в воду. За время таяния всего льда уровень воды опустился на Л2= 3,4 мм, и проволока оказалась на дне сосуда. Найти плотность материала проволоки. Плотность воды рв = 1 г/см3, льда — р = 0,9 г/см3.
4. Тонкая рассеивающая линза диаметром D = 7 см с фокусным расстоянием F — 70 см разрезана по диаметру, и ее половинки раздвинуты симметрично относительно ее главной оптической оси ОО’ на расстояние а = 1 см. Сверху и снизу половинки линзы ограничены двумя зеркальными полуплоскостями П, и П2, параллельными оси ОО’ и друг другу. На
половинки линзы падает парал-
лельный пучок монохроматического света от удаленного источника S.
1) Найти расстояние между изображениями источника S в^половинках линзы.
2) При каком минймальном расстоянии L в центре экрана Э (около оси ОО) можно наблюдать интерференционную картину от лучей, предварительно прошедших половинки линзы?
к задаче 5
5. Конструкция из жестко соединенных легкого стержня и небольшого шарика массой т может совершать колебания под действием двух пружин с жесткостями и кг, двигаясь при вращении без трения вокруг вер-
тикальной оси О по гладкой горизонтальной поверхности стола. Пружи-
ны легкие, их оси горизонтальны, а точки прикрепления к стержню делят его на три равные части. В положении равновесия оси пружин перпендикулярны стержню и пружина с жесткостью кх растянута на величину Lv
1) Найти деформацию второй пружины в положении равновесия.
2) Найти период малых колебаний конструкции.
15
МАТЕМАТИКА

Билет 1
1.	Решить уравнение
V4 + 3 cos х — cos 2х = V5 sin х.
2.	Решить неравенство
log|j+21 (4“х - 1) < log|.r+2! (2"х + 1) +log|x+2| (2-х-1 + 1).
3.	Равнобедренный треугольник АВС (АВ - ВС) вписан в окружность. Прямая CD, перпендикулярная АВ, пересекает окружность в точке Р. Касательная к окружности, проходящая через точку Р, пересекает прямую АВ в точке Q. Найти длины отрезков РА и PQ, если АС 5, /.АВС — 2 агссоз т)~.
4-	График функции y = f(x), где f(x) = — 2х3 — 8ах2 — 4а2х + 5, а < 0, и прямая I, заданная уравнением у = 4а2х + 5, имеют ровно две общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции
27
у = f (х) и прямой I, равна
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = /(х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
5. В основании призмы АВСОА^В/С^ лежит прямоугольник ABCD. Острые углы D,DA и D,DC равны между собой, угол между ребром DtD и плоскостью основания призмы равен arccos a CD = 5V5. Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину ВС, угол между плоскостями D}DC и АВС, а также расстояние от точки D до центра сферы.
Билет 2
1.	Решить уравнение
V4 sin х + cos 2х + 5 = 2V2 cos х.
2.	Решить неравенство
log|x-2| (9х - 4х) < log|x-2| (3х + 2х) + 10g|x_2| (3х-2 + 2х).
3.	Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) описана окружность. Биссектриса угла ВАС пересекает окружность в точке D. Касательная к окружности, проходящая через точку D, пересекает пря-
16
’ ШЯШШММКЯМ МАТЕМАТИКА
мую АС в точке Е. Найти длины отрезков CD и DE, если АВ = 8, ЕВ АС = 2 arcsin
4.	График функции у = /(х), где /(х) = х3 + 2ах2 + а2х + 1,
2
а < 0, и прямая /, заданная уравнением у =	+ 1, имеют ровно две
общие точки.
1)	Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции 27
у = /(х) и прямой I, равна
2)	Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = /(х) в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.
5.	Все грани призмы ABCDA^C^ касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат ABCD со стороной, равной 5. Угол CtCD — острый, а ЕС^В = arctg у Найти ECyCD, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки С до точки касания шара с плоскостью AAlD.
Билет 3
1.	Решить уравнение
V7 — cos х — 6 cos 2х = 4 sin х.
2.	Решить неравенство
10g12х + 2| (1 - 9Х) < 10g12х+2| О + 3*) + 10g|2l+2|	+ З*"1) .
3.	Равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан в окружность. Прямая AD, перпендикулярная ВС, пересекает окружность в точке М. Касательная к окружности, проходящая через точку М, пересекает прямую ВС в точке N. Найти длины отрезков МС и MN, если АС = 8, ЕАВС = 2 arccos
4.	График функции у=/(х), где /(х) = 6х3 + 12ах2 + 1а2х — 2, а > 0, и прямая I, заданная уравнением у = а2х — 2, имеют ровно две общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = /(х) и прямой I, равна
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = /(х) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих пря
17
МАТЕМАТИКА
мых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
5. В основании призмы ABCDAlBlClDl лежит параллелограмм ABCD. Длина АВ равна 8, a ABAD = л/3. Острые углы А, АВ и A,AD равны между собой, а угол между ребром А,А и плоскостью основания призмы равен arcsin Все грани призмы касаются некоторой сферы. Найти длину ребра AD, угол между плоскостями АА,В и АВС, а также расстояние от точки А до центра сферы.
Билет 4
1.	Решить уравнение
V5 — 2 sin х + 3 cos 2х = 2V3 cos х.
2.	Решить неравенство
log|3x_3| (25- - 9х) < log|3x_3| (5х + 3*) + log|3x_3| (5—1 + З’"1).
3.	Около равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) описана окружность. Биссектриса угла ВСА пересекает окружность в точке К. Касательная к окружности, проходящая через точку К, пересекает прямую АС в точке L. Найти длины отрезков КА и KL, если АВ — 12, А ВС А — 2 arcsin
4.	График функции у = /(х), где f(x) = — х3 — 4ах2 — За2х + 2, а > 0, и прямая I, заданная уравнением у = а2х + 2, имеют ровно две общие точки.
1) Найти а, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(x) и прямой I, равна
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции у = /(х) в точке с отрицательной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось Оу в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.
5. Все грани призмы ABCDAlBlClDl касаются некоторого шара. Основанием призмы служит ромб ABCD. Угол ВГВС — острый, АВ^ВА = arctg А АВС = у, а АВ — Найти ABtBC, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки В до точки касания шара с плоскостью Dj.DC.
18
'	..'	МАТЕМАТИКА
Билет 5
1.	Решить уравнение
1оё49(х-1)2 + |1о^^±|| =0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 —20х + 16
--2--------а
4х -10Х + 7
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектрисы AM и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОМ и СОМ соответственно равны 25 и 30. Найти площадь треугольника АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую ВС.
4.	Решить систему уравнений
| cos ^Зх +	| = —V2 cos у,
cos 2 у + 2 sin 2х + = 2 sin3 2х
5.	В кубе ABCDA^B^CJ)^ ребро которого равно 6, точки М и N — середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка К расположена на ребре DC так, что DK - 2 КС. Найти:
1)	расстояние от точки N до прямой АК;
2)	расстояние между прямыми MN и АК;
3)	расстояние от точки А{ до плоскости треугольника MNK.
Билет 6
1.	Решить уравнение
log9 (х - 4)2 +1 logyj = 0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
6х2 —2х + 1
—,-------> а
9х —Зх + 1
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектрисы AM и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника СОК равна 3, угол ВС А равен arccos Найти площадь треугольника СОМ и проекцию отрезка AM на прямую ВС.
19
МАТЕМАТИКА
4.	Решить систему уравнений
| sin Зх | = — уП sin у, cos 2у + 2 cos 2х sin2 2х =
5.	В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точки Е и F — середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка Р расположена на ребре CD так, что СР = 3 PD. Найти:
1)	расстояние от точки F до прямой АР;
2)	расстояние между прямыми EF и АР;
3)	расстояние от точки до плоскости треугольника EFP.
Билет 7
1.	Решить уравнение
log4 (х - 8)2 + 1 log^	= 0.
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
8х2 — 4х+3 —--------« а
4х -2х + 1
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС {АВ = ВС) биссектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОМ и АОМ соответственно равны 25 и 40. Найти площадь треугольника АВС и проекцию отрезка ОМ на прямую АВ.
4.	Решить систему уравнений
sin ^Зх +	= sin у — cos у,
sin 2у + 2 sin 2х = ^ + 2 sin3 2х.
5.	В кубе ABCDAyB^CyD^ ребро которого равно 6, точки М и N — середины ребер АВ и ВХС} соответственно, а точка К расположена на ребре DC так, что СК = 2KD. Найти:
1)	расстояние от точки N до прямой АК;
2)	расстояние между прямыми MN и АК;
3)	расстояние от точки тЦ до плоскости треугольника MKN.
Билет 8
1.	Решить уравнение
log25 (х - 2)2 + log^ = о.
20
МАТЕМАТИКА
2.	Найти все значения а, при которых неравенство
Зх2 — 4x4-8 .
—2---------> а
9х -12x4-16
является верным при всех значениях х.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) биссектрисы СМ и ВК пересекаются в точке О. Площадь треугольника АОК равна
12
10, угол ВСА равен arccos уу. Найти площадь треугольника АОМ и проекцию отрезка СМ на прямую АВ.
4. Решить систему уравнений
| cos Зх | = sin у + cos у, 2 sin2 2х cos 2х + = —sin 2у.
5. В кубе ABC-D.AjBjCj.Dj, ребро которого равно 4, точки Е и F — середины ребер АВ и В1С1 соответственно, а точка Р расположена на ребре CD так, что PD = 3 PC. Найти:
1)	расстояние от точки F до прямой АР;
2)	расстояние между прямыми EF и АР;
3)	расстояние от точки А{ до плоскости треугольника EFP.
Билет 9
1.	Окружность с центром на стороне АС равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) касается сторон АВ и ВС. Найти радиус окружности, если площадь треугольника АВС равна 25, а отношение
3
высоты BD к стороне АС равно
2.	Выразить log600 9 00 через а и Ь, где а = log5 2 и b = log2 3.
- тт л.	J-Z \ sin4x4-cos4x
3.	Дана функция f(x) = —g-——g—.
sin x4-cos х
Найти:
1)	корни уравнения /(х) = ^;
2)	наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
4.	Решить систему уравнений
х2 + ху — 2 у2 + 8х + 10у + 12 = 0, х2 + Зху + 2у2 —х + у — 6 = 0.
5.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основа
21
МАТЕМАТИКА
ния которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка О, лежащая на высоте BE треугольника АВС так, что ВЕ:ОВ = 3. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой В.
Билет 10
1.	Центр окружности, касающейся катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС, лежит на гипотенузе АВ. Найти радиус окружности, если он в шесть раз меньше суммы катетов, а площадь треугольника АВС равна 27.
2.	Выразить log140 350 через а и Ь, где а = log7 5 и b = log5 2.
4	2
3.	Дана функция 7(х) = 2sin 4* + 3со^ х.
2 cos х + sin х
Найти:
1)	корни уравнения /(х) —
2)	наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
4. Решить систему уравнений
8х2 - 2ху -у2- ЗОх - 9у - 8 = 0, 8х2 + бху + у2 — 2у — 8 = 0.
5. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ABD, а вершина конуса расположена на средней линии треугольника АВС, параллельной стороне АВ. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С.
Билет 11
1.	Окружность с центром на стороне АС равнобедренного треугольника АВС {АВ = ВС) касается сторон АВ и ВС, а сторону АС делит на три равные части. Найти радиус окружности, если площадь треугольника АВС равна 9V2.
2.	Выразить log300 1 20 через а и Ь, где а = log2 3 и b = log3 5. . б б
3.	Дана функция /(х) = 8111 х cos х.
sin x + cos х
Найти:
1)	корни уравнения /(х) = ^;
2)	наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
22
-	МАТЕМАТИКА
4.	Решить систему уравнений
2х2 — ху — у2, — 10х — 8у — 12 = О, 2х2 + Зху + у2 + х — у — 6 = О.
5.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ACD, а вершиной конуса является точка О, где OD — высота пирамиды. Найти радиус основания конуса и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой В.
Билет 12
1-	Центр окружности, касающейся катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС, лежит на гипотенузе АВ. Найти диаметр окружности, если он в четыре раза меньше суммы катетов, а площадь треугольника АВС равна 16.
2.	Выразить log490 700 через а и Ь, где a — log2 7 и b = log, 5.
3.	Дана функция /(х) = 2co,s x + sin * .
2 sin х + 3 cos2 х
Найти:
1)	корни уравнения /(х) =-jy
2)	наибольшее и наименьшее значения функции /(х).
4.	Решить систему уравнений
х2 + 2ху - 8у2 + 9х + ЗОу + 8 = 0, х2 + бху + 8у2 — 2х — 8 = 0.
5.	В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания АВС равна а. Внутри пирамиды расположен конус, окружность основания которого вписана в треугольник ABD, а вершиной конуса является точка О, лежащая на медиане СЕ треугольника АВС так, что СЕ:ОЕ = 4. Найти боковое ребро пирамиды и радиус шара, касающегося конуса и трех граней пирамиды с общей точкой С.
23
ФИЗИКА (ответы)
Билет 1
1.	1) Я v = 2 м/с. 2) т (X- + gFt\ «1,3 кДж.
2.	i + ?.	1	'
3.	1) d = 9 см. 2) F = 18 см.
4.	1) Т,-^.2)4/4.
_	_	_Вг2(<01-<02)
3' Ui 2(1 +CVC2) ’ U2 Ъ(Г+С21С1') •
Билет 2
1. 1) | v = 2 м/с. 2) ^^ = 0,63 Дж.
- kA
‘ T'
3.	1)	= 30 cm. 2) F = 10 cm.
4-	*) Т'=5Л-2>Л = Т
Билет 3
1.	1) u = | v = 5 м/с. 2) IT = j v2 +	= 63 Дж.
P e ш e н и e. За время падения камня и его взаимодействия с песком все внешние силы, действующие на систему из камня и ящика с песком, были направлены вертикально. Поэтому проекция импульса системы на направление скорости ящика сохраняется:
5mv = (5m + т) и.
Отсюда скорость ящика с камнем
и = v = 5 м/с.
Обратите внимание на то, что и не зависит от скорости камня vi = gt перед падением в песок! Это связано с тем, что скорость vj направлена вертикально и ее проекция на горизонтальное направление равна нулю.
Увеличение внутренней энергии ящика, песка, камня и окружающих тел равно уменьшению кинетической энергии камня и ящика с песком за время движения камня в песке (время удара):
TI,	(5mv2 ।	(5m + т)и2
W= Н- + -2" “----------2----•
24
ФИЗИКА (ответы)
С учетом выражений для и и имеем
W = %-	+	=63 Дж.
L,A_ А
С О Ц х
к задаче 2
2.	к = ^.
Решение. Направим ось х вдоль направления возможного перемещения груза на столе (см. рис.). До пережигания нити груз на столе (какая-нибудь точка груза, например, его центр масс) находился в точке С и удлинение пружины L = mg/к (здесь к — жесткость пружины). После пережигания нити равновесное положение груза на столе ока
жется в точке О на расстоянии L от точки С и будет соответствовать ненапряженной пружине. Груз на столе будет совершать гармонические колебания около своего положения равновесия (точка О), периодически возвращаясь в точку С с нулевой скоростью и перемещаясь между точками С и Ср Амплитуда А = ОС = OCi = L = mg/к. Отсюда к = mg/А.
3.	1) d = 24 см. 2) F = —12 см.
Решение. Пусть источник S расположен на расстоянии d от линзы (см. рис.), а его мнимое изображение Si находится на расстоянии |/| от
линзы. Из подобия треугольников SCB и SAO (d + L)/d = rJR. Отсюда с учетом численных значений L, гг и R имеем d = 24 см. Из подобия треугольников SiKB и ЗцАО (|/[ +L)/|/1 = rJR. Зная численные значения L, rt и R, находим | /1 = 8 см. По формуле линзы
1 Ч- 1 - 1
7 + у _ Т’
где f = — 8 см. Отсюда фокусное расстояние линзы F =	= —12 см.
25
' ” '	ФИЗИКА (ответы)
4.	1) 7, —	2) Л1231 = 2-
Решение. Если температура в точке 1 равна 7,, то в точках 2 и 3 температура будет 47\. Пусть Р3 — давление в точках 1 и 3, Р2 — давление в точке 2, Vlt V2 и V3 — объемы в точках /, 2 и 3. Работа газа на участке 3—/ Л31 = —А —	— И3). Поскольку Р^ = vRTi и
Р,И3 = vR-4Tlt т0 —И = vR(Ti ~~ 4Т1). Отсюда Tj = A/(3vR~).
Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей цикл на диаграмме зависимости Р от V:
An3i=^P2-Pt)(V3-Vl').
Выразим Р2 через Р]. Имеем
P2==P1 PiV2 = PlVl v~2 vp TTj тг
Из последних двух уравнений Р2 = 2РГ Тогда выражение для Л1231 принимает вид
^1231 = A(V3 — ^1)-
Из записанного выше следует, что Р1(И3 — Ki) = А. Итак, Л123| = А/2.
с 2U(i+C1/C2)
5.	оэ ------ 	,	_...
5^+d)	-------------
Решение. Эквивалентная схема дана на ри-	2
сунке. Можно показать, что	± -
^1 = у B(X>rl, ^2 = у В<ЛГ2.	_____+| |-_
С1П
Заряды на конденсаторах одинаковы и равны q, к задаче 5 где q = CiU. Имеем
^1 + ^2-£--£ = 0.
Из записанных уравнений находим выражение для со.
Билет 4
1.	1) ;=1м/с. 2)lZmv2 = 5,l Дж. z о	z Z4
2.
3.	1)	= 60 см. 2) F =	= 20 см.
« 1)Т,-|^.2)Л = «
_ tnSvBh
5- <7 = ^-
26
Билет 5
1.	Lp ctg a « 26 см.
2.	1) H{ + H2 = 5,5 m. 2) Форма «зайчика» подобна форме зеркальца, 10 х 15 см2.
3.	1) Р, = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + pgH - 4рсо2Р2.
4.	21= ₽-1=0,5.
т1 а	1
= n Т — П ЭЛ т — С уД|4С1С2 + е<С2-С1)2 _	1
5.	1) /нач - О. 2) /тах С2®	(еС1 + егИ.
Билет 6
1.	-Л—« 41 см.
18|Ag
2.	1) X = 251 + S2= 5 м. 2) Ромб с диагоналями 40 см и 30 см.
3.	1) Л = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + pg(H - Л) +1 Р«2£2.
4.	х = —Jff.2 « 191. Здесь р = 1 г/см3, ц = 18 г/моль, Р « 105 Па.
<р 1)
5-	1) /of----с--- 2) !o(Li +
Билет 7
1.	«70 см.
tg a —|А
2.	1) L2 + 2/^1 = 3 м. 2) Треугольник со сторонами 25 см, 30 см и 35 см.
3.	1) Pj = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + pgH + 12рсо2Р2.
4.	1-к=4
Р 4 ,___________ ___________________
- n Т 9-n-J£(C1 + eC2) 'П ^Cl+C2>9oJ ё
5.	1) Т = 2л1/---. 2)-------VL(f1+et'2l-
Билет 8
„2
1.	" «0,51 м.
2.	1) X = Xt + Х2 = 4 м. 2) Эллипс с осями 60 см и 40 см.
3.	1) Р, = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + pgH-1 рс?/2.
4.	р « 287. Здесь р= 1 г/см3, ц= 18 г/моль, Р« 105 Па rpP(a— 1)	г _______ г
5. 1) /нач = 0,2. 2) t/max = /О^2(1УЬ2)-
2'-
шшввшЕшжтшшяшятшташттатштёшяш физика (ответы)
4. 1) Т1 —	2) ^41231 = Y'
Решение. Если температура в точке 1 равна Т[, то в точках 2 и 3 температура будет 4Tt. Пусть Р] — давление в точках 1 и 3, Р2 — давление в точке 2, Vi, Vi и F3 — объемы в точках /, 2 и 3. Работа газа на участке 3—1 Л31 = — А = РД^ — V3). Поскольку P[Vi = vRT\ и Р,К3 = vR ATi, то —А = vR(7\ — 4TJ). Отсюда Т3 = A/(3vR).
Работа газа за цикл равна площади внутри кривой, изображающей цикл на диаграмме зависимости Р от V:
Ат^^Рг-РМУз-Уг).
Выразим Pi через Р,. Имеем
Р2_Р1	Р1Р2_Р]У1
т7^ Т7’ ~ZTi
Из последних двух уравнений Р2 — 2Р]. Тогда выражение для Л1231 принимает вид
Л231=|А(К3-И1).
Из записанного выше следует, что Pi(V3 — И|) = А. Итак, Л123| = AJ2.
в 2Ь(\+СХ1С2)
5« со	"А_ - •
Я(г? + г^
Решение. Эквивалентная схема дана на рисунке. Можно показать, что ^! = У Б<ог1, ^2 — \ В<яг%.
. 0111
Заряды на конденсаторах одинаковы и равны q,	к задаче 5
где q = CiU. Имеем ^1 + ^2-Л-Л = о.
С1 С2
Из записанных уравнений находим выражение для со.
Билет 4
1.	1) ” = 1м/с. 2)11 mv2 = 5,1 Дж. О	' Z4
2.
3.	1)	= 60 см. 2) F =	= 20 см.
4-	п=
26
Билет 5
1.	Ly. ctg a « 26 см.
2.	1) Hi + H2 = 5,5 м. 2) Форма «зайчика» подобна форме зеркальца, 10 х 15 см2.
3.	1) Pi = Ро + pgH. 2) Рг = Ро + pgH - 4рсо2Р2.
4.	21= ₽- 1=0,5. т1 а	1
5.	1) /нач = 0.2) /тах = С2Г
4CiC2 + e(C2-Ci)2 eC2L(Ci + C2)2
1
(eCj + t’zlT-
Билет 6
1-	Жй41 см-
2.	1) X = 25] + 52 = 5 м. 2) Ромб с диагоналями 40 см и 30 см.
3.	1) Л = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + pg(H - й) +1 pa>2L2.
4.	х =	191. Здесь р = 1 г/см3, ц = 18 г/моль, Р~ 105 Па.
5.	1) /of-'-’c--- 2) Л>(Ь1 +
Билет 7
1.	t 5|Х » 70 см. tg а-|х
2.	1) L2 + 2Lj = 3 м. 2) Треугольник со сторонами 25 см, 30 см и 35 см.
3.	1) Pi = Ро + pgH. 2) Р2 = PQ + pgH + 12р<о2Р2.
4.	1-^-т
5.	1) Т = 2я]
L(Ci + eC2) (С]+С2)<7о / с •	~~~С2------VHCj + eCy
е
Билет 8
„2
1.	” «0,51 м.
2.	1) X = Xi + Хг = 4 м. 2) Эллипс с осями 60 см и 40 см.
3.	1) Pi = Ро + pgH. 2) Р2 = Ро + PSH ~ | P<»2L2-
4.	р кг « 287. Здесь р = 1 г/см3, ц = 18 г/моль, Р « 105 Па rj4P(a —1)	г ________ г
5. 1) /нач = 0,2. 2) t/max = Zo^2(l^2)-
2"
Билет 9
1.	От у = 14 В до у У = 60 В.
2.	1) Г2 = ^=100К. 2) С = 4,15Дж/К.
3.	АЛ.
Рс
4.	1) Ф я» “=0,02. 2) £ = ^±^ = 300 см.
5.	1) f =	2) Т =
' /.cos <р	! g sin <р
Билет 10
1. От = 18 В до = 3 В.
2. 1) 5490 Дж. 2) -30 Дж/К.
4. 1)4 = 0,5см. 2) £«<£±^£ = 55см. '2	'	2D + O
5. 1) L =	2) Т = Зл<^.
Билет 11
1.	От | V = 45 В до * = 10 В.
2.	1) Т2 = 2Ti = 200 К. 2) 29,1 Дж///
3.	=
Рв
4.	1) а = 0,5см. 2) L = (”tyf = 54см. z	' D + 2a
5.	1)™. 2)Г-*&
Билет 12
1.	От Л. V= 16 В до ’ У = 70В.
2.	1) А = —3v7?AT = -10 кДж. 2) С = -1 vR « -50 Дж/К < 0.
3 О - Р»/(Л1М2)<Рв-р)-р] _ э 7 / ,3
3-	рм--(ВД(рв-р)-рв--2,7 г/см^.
4.	1)а=1см. 2) £ = У = 80 см.
5.	1)£2-^2)Г>б4~”^.
28
МАТЕМАТИКА (ответы)
Билет 1
1.	л + 2лп, arccos + 2пп, п G Z.
2.	(-3, -2) U (-1,0).
Указание. Неравенство равносильно совокупности следующих систем неравенств:
2~х - 1 < 2~х-
4"х>1,
2~х - 1 > 2-*-1 + 4~*>1,
0< |х + 2| < 1.
где р = arccos
3.	РА =^,PQ = 6.
Решение. Пусть К — середина отрезка АС, М — точка пересечения АВ и PC (рис. 1), ААВК = АСВК — р, Тогда А АВС = А АР С = 2£ (эти углы опираются на одну дугу), ААСР = ААВК = £ (углы со взаимно перпендикулярными сторонами), AAPQ = ААСР = р (угол между касательной и хордой), APAQ = 2$-t-^ (внешний угол в треугольнике АРМ) и поэтому AAQP = ^ — Зр. Применяя теорему синусов к треугольникам АР С и APQ, получаем: АР —	= тг>
PQ = АР- S-° ^+2Р) = АР-^Ц|. Т. к. cos р = 41, sin (|-3₽)	«»3₽	’®
= cos 2р = 2 cos2 р — 1 = |, cos Зр = =cos р (4 cos2 р — 3) = то АР = PQ = 6.
4.	а= - |,'ую1п =-11-
Решение. 1) Т. к. уравнение — 2х3 — 8ах2 — 4а2х + 5 = 4а2х + 5 равносильно уравнению х(х + 2а) = 0, то точки Л(0; 5) и В(—2а; 5 — 8а3) являются общими точками графика функции у = /(х) и прямой I, заданной уравнением у = g(x), где g(x) = 4а2х + 5.
Площадь S рассматриваемой фигуры определяется формулой -2а
J (2х3 + 8 ах2 + 8й2х) dx о
sin
—2а
\ (g(x) - f(x)) dx = о
8а4
S =
29
МАТЕМАТИКА (ответы)
27	з
По условию S = -у и поэтому а — т. к. а < 0, a f (х) = =s —2х3 + 6х2 — 9х + 5.
2) Касательная к графику функции у = f(x) в точке х0, задаваемая
уравнением у = /(х0) + /'(х0) (* ~ *0) > пересекает ось Оу в точке с ординатой Zj(x0) = /(х0) — /'(х0)х0. В задаче требуется найти наимень
шее значение bmi„ функции й(х) = /(х) — x-f'(x). Т. к.
й'(х) = —х /"(х) = —х(—6х + 12), то уравнение Z>'(x) = 0 имеет един
ственный положительный корень х = 2, причем Z>'(x) < 0 при х < 2 и
Ь'(х) > 0 при х > 2. Следовательно, Z>min = Z>(2) = —11.
5.	ВС = 5V5, угол между плоскостями DiDC и АВС равен
arccos у, расстояние от точки D до центра сферы равно 12.
Решение. Пусть /.DiDА= = ADiDC = а, где а — острый угол (рис. 2). Тогда двугранные углы при ребрах DA и DC равны между собой и являются острыми (каждый из этих углов углов обозначим Р).
Для доказательства этого утверждения достаточно построить проекцию L точки Di на плоскость ABCD, затем опустить из точки L перпен-
дикуляры на AD и CD и воспользоваться равенством соответствующих прямоугольных треугольников.
Пусть О — центр вписанной в призму сферы, Oj и О2 — проекции точки О на грани Л1В1Q Di и ABCD. Тогда OOj = ОО2 = R, где R — радиус сферы. Рассмотрим сечения и Ф2 призмы плоскостями, перпендикулярными ребрам AD и DC. Фигуры и Ф2 являются параллелограммами, каждый из которых описан около окружности радиуса Л. Поэтому фигуры Ф1 и Ф2 — ромбы, высота каждого из них равна 2R, а острый угол равен р. Стороны этих ромбов равны соответствующим сторонам прямоугольника ABCD и из равенства ромбов следует, что ABCD — квадрат.
Пусть D2 — проекция точки Dt на плоскость ABCD, тогда DLD2 = 2R. Проведем через DXD2 плоскость, перпендикулярную DC и пересекающую DC в точке К. Тогда DYD2K, DiD2D и DVDK — прямоугольные треугольники, /.О{ОО2 = у = arccos (по условию), /-DYKD2= р. Т. к. отрезок DYK равен стороне ромба, т. е. D{K — CD, то
30
МАТЕМАТИКА (ответы)
DrD2 = 1R = DlK-sin 0 = CD- sin 0. Последнее равенство в этой цепочке равенств равно высоте ромба ФР DjD2 = D^-sin 0 = DD^sin a sin 0 и DtD2 = DDj sin у. Заметим еще, что точка D2 лежит на диагонали квадрата ABCD и поэтому Z.D2DX = i, DtD2 = DD2-tg у, где DD2 = -^, 4	cos
4 DK = DDlcosa, и поэтому D1D2 = DD1-	Отсюда получаем
sin a sin 0 = sin у = V2 tg у cos a, где cos у = sin у = 2^^, « t - 2V3, cos a =	sln a = sin ₽ - £1 = co, f> =
0 = arccos |, R =	= 6.
Рассмотрим, наконец, прямоугольные треугольники DOO2, DMO2 и DMO (M — точка, в которой одно из проведенных сечений пересекает ребро AD, т. е. является вершиной одного из построенных ромбов, см. рис. 2). Т. к. сфера касается граней двугранного угла при ребре DC, то Z. ОМО2 = DO2 = R ctg -ОО = V/?2 + DO2. Подставляя найденные значения 0 и Л, находим DO = 12.
Билет 2
1.	— + 2Лл, arcsin у + 2кл, к 6 Z.
2.	(О, 1) U (2,3).
3.	CD = 2V5\ DE = 5.
4.	Й = 3, Утах = 9.
5.	Z.CtCD = arctg у, угол между боковым ребром и плоскостью осно-з
вания призмы равен arccos , расстояние от точки С до точки касания шара с плоскостью AA^D равно 4V3.
Билет 3
1.	2Лге, arccos (— ^) + 2Лл, к G Z.
2.	U (-уО).
3.	МС = 2V5, MN = 15.
.	1	34
4.	а — 1, Ушш —	“д_>
5.	AD = 8, угол между плоскостями АА^В и АВС равен 60°, расстояние от точки А до центра сферы равно 3VU.
31
МАТЕМАТИКА (ответы)
Билет 4
1.	+ 2кп, —arcsin + 2кп, к Е Z.
.2. (o.J) U (1,4).
3.	КА = 2/15, KL = 7.
4.	а = р утах = 2
5.	Z-BjBC = 60°, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы равен arccos ^L, расстояние от точки В до точки касания шара с плоскостью DiDC = равно VTU.
Билет 5
1. Xi = —7, х2 = 0, х3 = 3.
Указание. Исходное уравнение равносильно уравнению: log7 | х — 11 + log7 = 0, которое равносильно совокупности двух систем:
х> 1,	Гх < 1,
(2х + 9)(х — 1) = 7х + 9 и 1 (2х + 9)(1 — х) = 7х + 9.
л 14 2.
Указание. Исходное неравенство, равносильное неравенству (4а — 8)х2 + (20 — 10а)х + 1а — 16 > 0, при а = 2 не является верным, а при а Ф 2 справедливо при всех х 6 R тогда и только тогда, когда а > 2 и D = [10(2 - а)]2 - 16(а - 2) (1а - 16) < 0.
3. Площадь треугольника АВС равна 176, проекция отрезка ОМ на прямую ВС равна 2"^^.
Решение. 1) Пусть S2, S3 и S — площади в	треугольников BOM, СОМ, СОК и АВС соот-
/ \	ветственно (рис. 3). Тогда	С другой
/	\	стороны, по свойству биссектрисы угла тре-
/ \о угольника,	Пусть АК = КС = а,
/	\\	LBAO = Z. О АС = LBCO = L ОСА = а. Тогда
/у' °	а = АВ‘cos 2а и поэтому COs ^а> откуда
х----SC cos а = -лт- Пусть D G ВС и OD перпендикулярно
Рис. 3	V
32
МАТЕМАТИКА (ответы)
ВС, тогда OD = ОК = г, где г — радиус вписанной в треугольник АВС окружности, поэтому S3 — j'KC- г, Sj + S2 = ^-ВС-r и, следовательно,
= cos 2а = откуда S3 '= 33 и S = 2(Si + S2 + S3) = 176.
О j Т 02	□
2) По построению DM — проекция ОМ на ВС. Заметим, что точка D расположена либо на отрезке ВМ, либо на отрезке МС. В первом случае DM = ODctg ААМС = OD-ctg (л — За) = —ODctg За, во втором случае DM = OD ctg (3, где £ = ОМВ = За (по свойству внешнего угла в треугольнике АМС). Т. е. DM = OD-1ctg За|, где ctg За = =	= 4- т- к- * « = Т * 2а = I ПоэтомУ DM =	= 4 г.
Радиус вписанной окружности найдем из треугольника СОК: S3 = j-OK KC = j г КС = г2 ctg а, т. е. 33 = г2-2 и г = V33, таким образом, DM =
4.	+	±| л + 2лп), к е Z, п € Z.
Решение. Возводя в квадрат обе части первого уравнения и исключая из полученной системы у с помощью формулы 2 cos2 у = cos 2у + 1, придем к уравнению cos2 ^Зх +	= i- — 2 sin 2х cos2 2х, которое сво-
дится к уравнению sin 2х = — являющемуся следствием исходной системы. Тогда из второго уравнения исходной системы получим cos 2у = О, откуда cos у = — т. к. cos у =£ 0 в силу первого уравнения системы.
Итак, sin 2х = — и cos у = —	Из последних равенств находим х и у.
Решение. 1) Пусть — проекция точки N на плоскость ABCD (рис. 4), Е — основание перпендикуляра, опущенного из точки Ni на АК, Si — площадь треугольника AN [К, hi — расстояние от точки N до АК (NE перпендикулярен АК по теореме о трех перпендикулярах). Используя условия задачи, найдем площади S2, S3, S4 треугольников ADKlt KCNt и N{BA и тог-
да Sj = 36 - (S2 + S3 + S4) = 12, NiE = где
5 6VAZ-4®- “
3 ° i зз ’ VST’ VT7
AK = 6^1	= 2vT3, NiE = hi = У/NNl + ENj = 6^.
33
МАТЕМАТИКА (ответы)
2) Для нахождения расстояния г между MN и АК воспользуемся формулой
Г АК-А/Л?-sin <р’	(1)
где v — объем пирамиды AMNK, (р — угол между MN и АК. Введем систему координат, указанную на рис. 4. Тогда Л(0; 0; 0), М(0; 3; 0), #=(3;6;6), К(6; 4; 0), MN = (3; 3; 6), АК(6; 4; 0), cos<p =
|(MV, АК)|	3-6 + 3-4	5	.	J53 с
= T^iWi =	=Ж’ ф =	0 " площадь т₽е'
угольника AM К, то 50 = ^-3-6 = 9, v = |-50-6 = 18 и по формуле (1) 18
находим, что г ~	,
3) Если плоскость перпендикулярна вектору п = (а; Ь; с) и проходит через точку MQ(xQ; у0; z0), то уравнение плоскости записывается в виде
п(х-хо)+й(у-Уо)+c(z-z0) =0,	(2)
а расстояние h от точки уь zj) до этой плоскости выражается формулой
|a(xi —х0)+5(у1 —у0)+c(z —z0) |
VaW+ci •	(3)
Вектор п, перпендикулярный плоскости МНК, найдем, пользуясь тем, что п±МК и nJ-MN. Т. к. МК = (6; 1; 0), А/ЛГ= 3(1; 1; 2), то
(п, МК) = 6а + b = 0, (7, МН) = Ъ(а + Ъ + 2с) = 0.
Полагая а = 2, из этой системы найдем b = —12, с == 5, и поэтому п = (2; —12; 5). Взяв в качестве Мо точку М(0; 3; 0), запишем уравнение (2) в виде 2х — 12у + 5z + 36 = 0, а затем по формуле (3) найдем расстояние h от точки Л1(0; 0; 6) до плоскости MNK.
1 _	5-6+36	_ 66
~ V4 +144 + 25 “ТТтТ
Замечание. Эти задачи проще решать с привлечением понятия «проекция вектора а на направление вектора Ь». Пусть угол между вектором а и вектором b равен а, тогда проекция р вектора а на направление вектора Ъ равна р = | а | cos а, а т. к. (а, Ь) = | а | • | b | • cos а, то р — |6|
Покажем, как решается задача № 5 при помощи нахождения проекции. 34
МАТЕМАТИКА (ответы)
1') Найдем проекцию Рх вектора AN на вектор АК\ Рх =	, т. к.
AN = 3(1; 2; 2), АК = 2(3; 2; 0), то Pl =	ТОГда по тео’
реме Пифагора hx = Va№ — р? = ^81 —
2') Расстояние между скрещивающимися прямыми MN и АК равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые. Такое расстояние равно модулю проекции вектора AM на направление нормали к указанным плоскостям (вместо вектора AM можно брать любой другой вектор с началом на одной и концом на другой плоскости). Вектор п — (а;Ь;с) нормали найдем из условия пААК и nAMN, т. е.
(2(3а + 26) = 0, |3(а + b + 2с) = 0.
Отметим, что AM = (0; 3; 0), АК = 2(3; 2; 0) и MN = 3(1; 1; 2). Полагая с .= 1, получим йз системы а = 4, b = —6, т. е. п = (4; —6; 1), тог-
|(п,АМ)| _ Зр| _ 18
д Ы 7F+F+?'- ’Лэ’
3') Расстояние h от точки А] до плоскости MNK равно модулю проекции вектора МА{ на направление нормали п к плоскости MNK (вместо вектора МАХ можно взять любой другой вектор с концом в точке А] и началом, лежащим на плоскости MNK). Вектор п — (2; —12; 5) (см. (3)), ГГ. _ /л. о. „ |(п,лйр|	36 + 6-5	66
МАх = (0; -3; 6), т. е. h = —= V4+im25 =
Билет 6
1. X] = 0; Хг = 2; х3 = 5.
2.
3.
4.
5.
о _ 78.	_ 324
° ~ 15’ Р ~ !&)
х = ±	+ лк, у = (—l)rt+1
Л.[Гз. 16 . 36
° VT7 > 777’ 75Г
+ лп, Z, nG Z.
35
МАТЕМАТИКА (ответы)
Билет 7
1.	Xi = 0; хг = 7; х3 = 10.
2.	а^^.
3.	S = 234; р = б{^.
4.	х= (-1)к^ + %к, у = £+(-1)п£ + лп, к<Е Z,пЕ Z.
5	За/11- 9 - 78
5> дГТ’ 7ТГ ТТ97-
Билет 8
1. X! = —2; хг = 0; х3 = 3.
2.
- г. _ 260.	_ 5500
~ д “ ~ЗТ’ р ~ TST-
4.	х = ±	+ лк, у = -	+ (-1)" + лп, к G Z, п G Z.
5-	* 2 *^тЙг^
Билет 9
1.	2V3.
2(flb + а +1)
* ab + 3a+2 *
3.	1) х= ±’+ ® nez; 2) /шах = 2, /min = 1.
Решение. Используя тождества sin6 х + cos6 х = sin4 * х + cos4 х — .2	2	,->-2	2	,3.2т	'4.	4
— sm х cos х = 1 — 3 sni х cos х = 1 — sin 2х, sin х + cos х = = 1—^sin22x и полагая sin22x = t, получаем /(х) =	=
Г?~^7Г2/3=|-|г^=^), где 0^1. Функция g( t) является возрастающей на отрезке [0; 1 ], и поэтому gmin = g(0) = 1, ftnax = S(l) = 2. Если /(x) = ^, то g(t) = т. e.	откуда
t = |. Следовательно, sin2 2x = | или cos 4x = — откуда
x = ±	« G Z.
4. (-2; 0); (-3; 3); (-4; 2).
Указание. Решить каждое из уравнений системы как квадратное относительно х или у. Тогда исходная система преобразуется к виду
(х + 2у + 2)(х — у + 6) =,0, ' (х + 2у-3)(х + у + 2) = 0. и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнений.
36
МАТЕМАТИКА (ответы)
5. Радиус основания конуса г = %, радиус шара R = av^(8 _3^.
4	74V3
Решение. 1) Пусть Oj — центр основания конуса, О2 — центр грани АВС, Е — середина AC, F — точка пересечения окружности основания конуса с DE (см. рис. 5), ADAC = 2ц, ABED = 0. Тогда OOr ±DE, DO2ABE,O2E = BO = ^, OF=OE = ^-, AOFE=f>, AOvAE=a, r = O£-cos 0 = Л-cos 0 = ^.tg a, = a tg2a = ° --U, откуда tg 2a= =	tga = ^-cos0, tg2atga = 2,
4 tg2 a = 1, tg a = |, cos 0 = sin 0 = ctg0 = ^,r = “ tga = “.
2) Центр P вписанного шара лежит в плоскости BDE. Точка Р равноудалена от OF и ОВ и принадлежит плоскости, делящей пополам двугранный угол при ребре АВ.
Пусть R — радиус шара, М и К — проекции точки Р на BE и АВ соответственно (рис. 5). Тогда АРКМ = ^, АВОР = = APOF =0 (ABOF = 2(j по свойству
треугольника FOE). Поэтому ОМ = R ctg 0, R ctg ВМ — 2КМ = 2R ctg С другой стороны, ВМ = ВО —
— ОМ =	— R ctg 0. Следовательно, 2R ctg — R ctg 0, откуда
д — а 2V5(2 ctg |+ctg р)
Тк ctg2P_l+coSp_4+VT_(4+VT)2	ct„P_4+VT и
1	.К. ctg i_Cosp-77773-----------гз—’	то ctgl~_7TT-
2	CtE £ + CtE В -	R -	- аЛЗ(8-3/Т)
Z Ctg 11- Ctg P	Vfir> K 2?3(8 + 3/3)------74?3---’
внешнего угла
КМ = Р г+<г ₽	-
Билет 10
1. 3.
2 1 + 2й -\-Q-b
1 + й +
3.	х = ±	+ лк, к G Z, /тах = -у-, /min = £.
4.	(0,5; -3), (2; -4),	-5^.
5.	Боковое ребро пирамиды равно радиус шара R =
37
Билет 11
1.	2.
2	З+й+йд
2+й 4-2л/>*
3.	Х=±ф +£t6Z, /тах= 1, /min = T
4.	(3; -3), (2; -4), (0; -2).
5.	Радиус основания конуса г = радиус шара R = 20 2 |——
Билет 12
1. 4.
о 2+a+2ab k+la+ab"
3.	Х= ±	+ п.к, kel, faax = j, /min = ^-
4.	(-3; 0,5), (-4; 2), (-5; 1,5).
„	„	5а	а/33(2—-/3")
5.	Боковое ребро пирамиды равно радиус шара Л =------------------
38
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ (1996 г.)
Авторы задач
по физике: Можаев В. В. (12 задач.), Чивилев В. И. (32 задачи),
Шеронов А. А. (16 задач),
по математике: проф. Шабунин М. И., проф. Сидоров Ю. В., доценты: Трушин В. Б., Коновалов С. П., Букин К А., ст. преп. Иванов Г. Е.
Компьютерный набор. Сдано в производство 06.03.97.
Подписано в печать с оригинал-макета 17.03.97. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «тайме». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,3
Оператор верстки Л. Г. Быканова
Художник М. В. Ивановский
Тираж 2000. Заказ №
Издательство МФТИ. ЛР № 064290 от 14.11.95
141700, г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9.
Тел. (095) 408-76-81,.
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412, Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. (095) 485-93-09.