БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ A998г.)
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Москва
Издательство МФТИ
1999

УДК 53@75)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A998 г.) — М.: Издатель-
Издательство МФТИ, 1999. 36 с. ISBN 5-89155-042-3.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах абиту-
абитуриентам Московского физико-технического института в 1998 г. Все задачи снабжены
ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указаниями к ре-
решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A998 г.)
Авторы задач
по физике: доценты Можаев В. В., Чешев Ю. В., Чивилев В. И., Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М. И., проф. Сидоров Ю. В.,
доценты' Трушин В. Б., Коновалов С. П., Иванов Г. Е., асе. Карлов М. И.
Компьютерный набор. Сдано в производство 10.12.98.
Подписано в печать с оригинал-макета 01.02.99. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «Тайме». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,1. Уч. изд. л. 2,1.
Оператор верстки А. К. Розанов
Художник М. В. Ивановский
Корректоры Д. В. Бойцов, Н. В. Болотина
Доп. тираж 1500. Заказ №
Издательство МФТИ. ЛР № 064290 от 14.11.95
141700. г. Долгопрудный Московской обл.. Институтский пер., 9.
Тел. @95) 408-76-81.
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412, Москва, Ижорская ул.. 13/19.
Тел. @95) 485-93-09.
© Коллектив авторов, 1999
ISBN 5-891554L2-3 © Издательство МФТИ, оформление, 1999

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1
к задаче
БИЛЕТ 1
1. Человеку массой т требуется подтянуть к стене ящик массой
М = Зт с помощью каната, перекинутого через блок. Если человек
стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему надо тянуть
канат с минимальной силой Fl = 600 Н. С ка-
какой минимальной силой F2 придется тянуть
этому человеку канат, если он упрется в
ящик ногами? Части каната, не соприкасаю-
соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами
блока и каната пренебречь.
2. «Тройник» с двумя открытыми в атмос-
атмосферу вертикальными трубками и одной за-
закрытой горизонтальной, полностью запол-
заполнен водой (см. рис.) После того, как «трой-
«тройник» стали двигать по горизонтали (в пло-
плоскости рисунка влево) с некоторым посто-
постоянным ускорением, из него вылилось 1/16
массы всей воды. Чему при этом равно дав-
давление в жидкости у закрытого конца (точка
О) горизонтальной трубки? Трубки имеют
одинаковое внутреннее сечение и длину I.
3. Найти величину работы А, которую совершает моль гелия в зам-
замкнутом цикле, состоящем из адиабатического процесса 1-2, изобары
2-3 и изохоры 3-1. В адиабатическом процессе разность максимальной
и минимальной температур газа равна Д7\ В изобарическом процессе
от газа отвели количество тепла Q.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи Kt и К2 разомкнуты. Сначала замыкают
ключ Kv и когда напряжение на конденсаторе достигает значения
Uo = %/2, замыкают ключ Кг. Определить: 1) напряжение на катушке
индуктивности сразу после замыкания ключа Кг; 2) напряжение на
О
I
к задаче 2
к задаче 3
к задаче 4

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
конденсаторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление ба-
батареи не учитывать.
5. Изображение точечного источника, расположенного на главной
оптической оси собирающей линзы на расстоянии а = 60 см от нее, по-
получено на экране. Между линзой и источником вставили плоскопарал-
плоскопараллельную прозрачную пластинку толщиной d = 3 см перпендикулярно
главной оптической оси линзы. Чтобы снова получить изображение ис-
источника, экран пришлось передвинуть вдоль оптической оси на рассто-
расстояние А = 1 см. Определить показатель преломления пластинки, если
фокусное расстояние линзы F = 30 см.
т
БИЛЕТ 2
1. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с
массами т и М = 4т, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона а = 30° (см. рис.). При каком
минимальном значении коэффициента тре-
трения к между брусками они будут покоиться?
2. «Тройник» из трех вертикальных от-
открытых в атмосферу трубок полностью запол-
заполнен водой (см. рис.). После того, как «трой-
к задаче I ник» стали двигать в горизонтальном направ-
». лении (в плоскости рисунка) с некоторым ус-
ускорением а, из него вылилось 9/32 всей массы содер-
содержавшейся в нем воды. Чему равна величина ускоре-
ния а? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины
трубок равны /.
3. Моль гелия совершает работу величиной А в
^ замкнутом цикле (см. рис.). состоящем из адиабаты
/ 1-2, изотермы 2-3, изобары 3-1. Найти величину ра-
к задаче 2 боты, совершенной в изотермическом процессе, если
р>
к задаче 3
к задаче 4

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
разность максимальной и минимальной температуры газа в цикле равна
AT градусов.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке, в
начальный момент ключи К1 и К2 разомкнуты. Вначале замыкают ключ
Kv Когда ток через катушку индуктивности
достигает значения /0, замыкают ключ К2.
Определить: 1) напряжение на катушке ин-
индуктивности сразу после замыкания ключа
Кг\ 2) напряжение на конденсаторе в устано-
установившемся режиме. Внутреннее сопротивле-
сопротивление батарей не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают к задаче 5
главную оптическую ось собирающей линзы
на расстоянии а = 7,5 см от линзы под углом а = 4° (см. рис.). Опре-
Определить угол между этими лучами после прохождения ими линзы, если
фокусное расстояние линзы F = 10 см.
т
к задаче 1
БИЛЕТ 3
1. Человек массой т, упираясь ногами в ящик массой М, подтягивает
его с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной плоскости
с углом наклона а. С какой минимальной си-
силой надо тянуть канат человеку, чтобы подтя-
подтянуть ящик к блоку? Коэффициент трения
скольжения между ящиком и наклонной плог-
костью — к. Части каната, не соприкасающи-
соприкасающиеся с блоком, параллельны наклонной плоско-
плоскости. Массами блока и каната пренебречь.
2. «Тройник» с двумя открытыми в ат-
атмосферу вертикальными трубками и одной
закрытой горизонтальной, полностью за-
заполнен водой (см. рис.). После того как
«тройник» стали двигать по горизонтали (в
плоскости рисунка направо) с некоторым
ускорением, из «тройника» вылилось 1/8
массы всей содержавшейся в нем воды. Че-
Чему при этом равно давление Р в жидкости
у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки? Внутреннее
сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна L.
3. Моль гелия совершает работу величиной А в замкнутом цикле, со-
состоящем из изобары 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1
о
к задаче 2

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
к задаче 3
(см. рис.). Сколько тепла Q было подведено к
газу в изобарическом процессе, если разность
максимальной и минимальной температур
гелия в цикле равна ДГ?
4. В электрической схеме, параметры ко-
которой указаны на рисунке, в начальный мо-
момент ключи К{ и Кг разомкнуты. Сначала
замыкают ключ Kv Когда напряжение на
конденсаторе достигает величины Uo = <f/2,
замыкают ключ К2. Определить: 1) на-
напряжение на катушке индуктивности
сразу после замыкания ключа Кг; 2)
напряжение на конденсаторе в устано-
установившемся режиме. Внутреннее сопро-
сопротивление батарей не учитывать.
5. Сходящийся пучок света, падаю-
падающий на рассеивающую линзу симмет-
симметрично относительно главной оптиче-
оптической оси, собирается в точку на экра-
экране, находящемся на расстоянии Ъ = 90 см от линзы. Если перед линзой
перпендикулярно главной оптической оси, разместить плоскопараллель-
плоскопараллельную оптически прозрачную пластинку, то из линзы будет выходить па-
параллельный пучок света. Чему равна толщина пластинки d, если ее
показатель преломления п — 1,5? Фокусное расстояние линзы F = 10 см.
к задаче 4
БИЛЕТ 4
1. Бруски с массами т и М = 2т привязаны к концам нити, пере-
перекинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости с уг-
углом наклона а = 60°. При ка-
каком минимальном значении
коэффициента трения к между
нижним бруском и наклонной
плоскостью бруски будут поко-
покоиться? Трением между бруска-
брусками пренебречь.
2. «Тройник» с двумя откры-
открытыми в атмосферу вертикаль-
вертикальными трубками и одной закры-
закрытой целиком заполнен водой
(см. рис.). Когда «тройник»
'SSS/S/SSS/S/S////S//
к задаче 1
к задаче 2

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости ри-
рисунка), то из него вылилось 1/8 всей массы содержавшейся в нем воды.
Чему равно давление в жидкости в нижней час-
части (точка О) закрытой трубки? Внутреннее р
сечение всех трубок одинаково, длина трубок
равна L.
3. Моль гелия расширяется в изотермиче-
изотермическом процессе 7—2, совершая работу величи-
величиной А12. Затем газ охлаждается в изобариче-
изобарическом процессе 2-3 и, наконец, в адиабатиче-
адиабатическом процессе 3-1 возвращается в исходное
состояние. Какую работу совершил газ в замк-
замкнутом цикле, если разность максимальной и
минимальной температур газа в нем составила величину А71 градусов?
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи К1 и Кг разомкнуты. Сначала замыкают
ключ Kv Когда ток через катушку индуктивности достигает значения
к задаче 3
к задаче 4
к задаче 5
/0, замыкают ключ К2. Определить: 1) напряжение на катушке индук-
индуктивности сразу после замыкания ключа Кг; 2) напряжение на конден-
конденсаторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление батарей
не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось рас-
рассеивающей линзы на расстоянии а = 24 см от линзы под углом а = 6°
(см. рис.). Определить угол между этими лучами после прохождения
ими линзы, если фокусное расстояние линзы F = 12 см.
БИЛЕТ 5
1. На доске, наклоненной под углом а = 30° к горизонту, удерживают
в покое однородную гибкую веревку длиной / = 40 см так, что на доске
лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 висит вертикально (см. рис.). Трение

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
к задаче 1
К
. d .
. d ..
к задаче 3
веревки о доску и направляющий желоб Р пренебрежи-
пренебрежимо мало. Веревку отпускают, и она движется, остава-
оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти
ускорение веревки в начальный момент движения. 2)
Найти скорость веревки в момент, когда она соскольз-
соскользнет с доски и примет вертикальное положение.
2. Чему равна масса т азота, который содержится в
воздухе комнаты объема V = 75 м3? Средняя квадратич-
квадратичная скорость молекул азота v = 500 м/с. Считать, что
воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация мо-
молекул азота в р = 4 раза больше концентрации молекул
кислорода. Атмосферное давление Р= 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
<f (см. рис.). Пластине 1 сообщили заряд q0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине 1 заряда д0. 2) Определить
заряд пластины 3 после замыкания клю-
ключа К.
4. В схеме, изображенной на рис., ка-
тушки Lx и L2 закорочены через идеаль-
идеальный диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости С
заряжен до напряжения UQ. Через неко-
некоторое время после замыкания ключа К
напряжение на конденсаторе станет рав-
равным нулю. 1) Найти ток через катушку
Z,j в этот момент времени. Затем конден-
конденсатор перезарядится до некоторого мак-
максимального напряжения. 2) Чему будут
равны в этот момент токи в катушках?
5. В комнате на столе лежит плоское
зеркало, на котором находится тонкая
плоско-выпуклая линза с фокусным
расстоянием F = 40 см. По потолку АВ ползет муха со скоростью
v = 2 см /с. Расстояние от потолка до зеркала А = 220 см. 1) На каком
расстоянии от зеркала находится изображение мухи в данной оптической
системе? 2) Чему равна скорость изображения мухи в тот-момент, когда
она пересекает главную оптическую ось линзы (точка С)?
к задаче 4
///////////////////77777///////////.
к задаче 5

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
БИЛЕТ 6
1. Однородный гибкий канат массой т и длиной L — 75 см прикреп-
прикреплен к бруску массой 2т, находящемуся на горизонтальной поверхности
стола (см. рис.). Со стола свешивается половина длины 2;
каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол
(а = 0,15. Трением каната о стол и направляющий же-
желоб Р пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем
отпускают. 1) Найти ускорение бруска в начале движе-
движения. 2) Найти скорость бруска в момент, когда канат
соскользнет со стола.
к задаче 1
d ..
_ d .
2. Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Концентрация мо-
молекул азота при этом в а = 4 раза больше концентрации молекул кисло-
кислорода. Чему равна суммарная кинетическая энергия вра-
вращения всех молекул азота, содержащегося в комнате объ-
объемом V = 60 м3? Атмосферное давление Р =¦ 105 Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного
газа равна 5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — темпе-
температура), она возрастает по сравнению с энергией одно-
одноатомного газа за счет кинетической энергии вращения
молекул.
3. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг
от друга, причем d много меньше размеров пластин. К
пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС *? к задаче 3
(см. рис.). Пластины 7 и 2 через ключ К можно подсое-
подсоединить к батарее с ЭДС *?. Пластине 7 сообщили заряд д0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине 7
заряда qQ. 2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рис., сверхпроводящие катушки с
индуктивностями Ll и L2 соединены последо-
последовательно с конденсатором емкости С. В на-
начальный момент ключи К1 и К2 разомкнуты, а
конденсатор заряжен до напряжения Uo. Сна-
Сначала замыкают ключ Kv а после того, как на-
напряжение на конденсаторе станет равным ну-
нулю, замыкают ключ К2. Через некоторое вре-
время после замыкания ключа К2 конденсатор
перезарядится до некоторого максимального
напряжения Um. 1) Найти ток через катушки к задаче 4

10
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
индуктивности непосредственно перед замыканием ключа Кг. 2) Найти
напряжение Um.
5. Маленький грузик массой т на пружине
жесткости К совершает гармонические колебания
относительно главной оптической оси тонкой
плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием
—F(F>0). Линза плотно прижата к вертикаль-
вертикально расположенному плоскому зеркалу (см. рис.).
Расстояние от грузика до зеркала L = 4,5F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
к задаче 5 изображение грузика в приведенной оптической
системе? 2) С какой скоростью изображение
грузика пересекает главную оптическую ось линзы, если амплитуда
его колебаний равна Л?
I
к задаче 1
БИЛЕТ 7
1. Цепочку длиной / = 20 см удерживают в покое на клине так, что
на наклоненной под углом a (sin а = 3/5) к горизонту поверхности кли-
клина лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит (см. рис.). Тре-
Трение цепочки о клин и направляющий желоб Р пре-
пренебрежимо мало. Цепочку отпускают, и она «запол-
«заползает» на клин, оставаясь в одной и той же верти-
вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение цепочки в
начальный момент движения. 2) Найти скорость це-
цепочки в момент, когда она полностью окажется на
клине.
2. В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится т = 20 кг
кислорода. Найти величину средней квадратичной скорости молекул
кислорода. Воздух в комнате состоит из кислорода и азо-
азота. Концентрация молекул кислорода в р = 4 раза мень-
меньше концентрации молекул азота. Атмосферное давление
Р = 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
^ (см. рис.). Пластине / сообщили заряд q0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине / заряда д0. 2) Определить заряд пластины 3
к задаче 3 после замыкания ключа К.
l
2
С
3
, d ,
—li-

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
11
4. В схеме, изображенной на рисун-
рисунке, катушки с индуктивностями Lt и
L2 и пренебрежимо малыми сопротив-
сопротивлениями закорочены через идеальный
диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости
С заряжен до неизвестного напряже-
напряжения Ux. Через некоторое время г по-
к задаче 4
еле замыкания ключа напряжение на
конденсаторе станет равным нулю, а затем конденсатор перезарядит-
перезарядится до некоторого максимального напряжения и в этот момент через
диод D будет течь ток, равный /0.
1) Определить т. 2) Определить начальное
напряжение Ux.
5. На столе лежит плоское зеркало, к
которому плотно прилегает тонкая плоско-
плосковогнутая линза с фокусным расстоянием
F = 45 см. Над оптической системой па-
параллельно плоскости зеркала на высоте
h = 4F пролетает комар со скоростью
v — 9 см/с. 1) На каком расстоянии от
зеркала находится изображение комара в данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения комара в тот момент, когда
комар будет пересекать главную оптическую ось линзы?
к задаче 5
БИЛЕТ 8
1. Однородный гибкий канат длиной L=1m и массой т=1кг
удерживают в покое за верхний конец так, что 1/3 каната находится
на столе, а 2/3 свисает (см. рис.). В некоторый момент канат пере-
перестают удерживать и начинают втаскивать на стол, прикладывая силу
F=8H вдоль горизонтальной поверхности стола пер-
перпендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и р , F
направляющий желоб Р пренебречь. 1) Найти ускоре-
ускорение каната в начальный момент его движения. 2) Най-
Найти скорость каната в момент, когда он полностью ока-
окажется на столе.
2. Воздух состоит в основном из кислорода и азота, к задаче 1
Концентрация молекул кислорода при этом в а = 4 ра-
раза меньше концентрации молекул азота. Чему равна суммарная
кинетическая энергия вращения всех молекул кислорода, который

12
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
л:
. d .
содержится в воздухе комнаты объемом V = 60 м3? Атмосферное дав-
давление Р= 105Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — температура), она возрастает по
сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинети-
кинетической энергии вращения молекул.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях
d друг от друга, причем d много меньше размеров
пластин. К пластинам У и 3 подсоединили батарею с
ЭДС Ч. Пластине 2 сообщили заряд qQ и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине 2 заряда д0. 2) Определить заряд пластины
3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рисунке, сверхпрово-
к задаче 3 дящие катушки с индуктивностями Ьх и L2 соединены
последовательно с конденсатором емкостью С через
ключ Kv В начальный момент ключи К} и
Кг разомкнуты, а конденсатор заряжен до
некоторого неизвестного напряжения Ux.
Сначала замыкают ключ Kv Через время
т напряжение на конденсаторе равно нулю
и в этот момент замыкают ключ Кг. Через
некоторое время после замыкания ключа
Кг конденсатор перезарядится до макси-
максимального напряжения Um. 1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Ux.
5. Маленький шарик массой m на пружине
жесткостью к совершает гармонические колеба-
колебания с амплитудой А относительно главной опти-
оптической оси тонкой плоско-выпуклой линзы с фо-
[А кусным расстоянием F. Линза плотно прилегает
к задаче 4
t
к задаче 5
к плоскому вертикально расположенному зерка-
зеркалу. Расстояние от шарика до зеркала L — 3F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
изображение шарика в приведенной оптической
системе? 2) С какой скоростью изображение ша-
шарика пересекает главную оптическую ось линзы?

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 13
БИЛЕТ 1
1. Решить уравнение
sin Зх . 3sin х
I sin x | sin 3x
2. Решить неравенство
- 7л: - 4 > -л: - 7-
3. В прямоугольном треугольнике ЛВС из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами окружнос-
окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если ВС = 4, а радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, равен =•
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = Зеах и у = 7 — 2е~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у — 9х + 3. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания ЛВС правильной треугольной призмы
ABCAlBlCl равна 6, а высота равна -тт. На ребрах АС, А{С{ и AS,
расположены соответственно точки Р, F и К так, что ЛР = 1, AlF = 3
и ВК = KBv Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и К. Найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти вес пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - 6х2 - ху + Ш + Ъу +1 = 0.
БИЛЕТ 2
1. Решить уравнение
cosЪх . 2cos*
| cos х |
2. Решить неравенство
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность, а око-
около треугольника BCD описана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС — 3, а радиус описанной около
треугольника ABC окружности равен ^.

14 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 9е~ах и у = 15 — 4еах и имеет единственную общую точку с прямой
у = — 18х + 9. Найти а и площадь фигуры М.
5. Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плос-
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, AXCV BBV Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол мезкду плос-
плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания
равна 2, а высота призмы равна —.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - ху - 1х + 2у + 23 = 0.
БИЛЕТ 3
1. Решить уравнение
sin Зд , 31 sin д: |
sin x sin Зх ~
2. Решить неравенство
Ч2хг + Ix - 4 > x - i.
3. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найти
расстояние между центрами окружностей, вписанными в треугольники
АОВ и ВОС, если ВС = 8, BD = 10.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 2еах и у = 7 — Ъё~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у = 4х + 2. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы
АВСА)ВКСХ равна 12, а высота равна -Хг-. На ребрах AC, AtCt и АВ
расположены соответственно точки Р, F и Е так, что АР = 2, AtF = 6
и АЕ = 6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и Е, найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 — х2 - ху - Пх — Ъу + 8 = 0.

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 15
БИЛЕТ 4
1. Решить уравнение
cos3:c , 21 cos х | _ ,
cos х cos Зх ~~
2. Решить неравенство
+ 8х - 3 >
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность,
а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около
треугольника ABC окружности равен ^.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 4е~ах и у = 12 — 5е°* и имеет единственную общую точку с прямой
у = — 12х + 4. Найти а и площадь фигуры М.
5. Правильная треугольная призма ABCAlBlCl пересечена плос-
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А{С{, BBV Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плос-
плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания
равна 4, а высота призмы равна -=-.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - Зх2 -ху-Ъх-2у + 27 = 0.
БИЛЕТ 5
1. Решить систему уравнений
log
= 0.
2. Решить неравенство
5 + 3 cos Лх
I 5 > —Sin x.
3. Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами ок-
окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD, равно 8. Най-
тч радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = Dа — 2J
имеет корни, а числа т- являются целыми.
27в4

16 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
5. Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды
SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна V5. В
основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD
(AD = BC), описанная около окружности и такая, что АВ — Ь,
LBAD = -j. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
6. График функции y = x3 + ax2 + bx + c,c<0 пересекает ось орди-
ординат в точке Л и имеет ровно две общие точки М и N с осью абсцисс. Пря-
Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
Найти а, Ь, с если площадь треугольника AMN равна 1.
БИЛЕТ 6
1. Решить систему уравнений
2. Решить неравенство
4J7
> ~2 cos jc.
2
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
треугольников ABD и ACD, равны 3 и 4. Найти расстояние между цент-
центрами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cosx = Fa —2J
имеет корни, а числа j- являются целыми.
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что
KN = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми KN и LM равен ^. Две
противоположные боковые грани этой пирамиды перпендикулярны осно-
основанию и SM =12. Найти расстояние от точки М до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у = —х3 + ах2 + Ъх + с, с < 0 пересекает ось ор-
ординат в точке М и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс.

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 17
Прямая, касающаяся этого графика в точке А, проходит через точку
М. Найти a, by с если площадь треугольника АВМ равна 1.
БИЛЕТ 7
1. Решить систему уравнений
= 0.
2. Решить неравенство
r-cos4*>-2sin;c.
2
3. Сторона ромба ABCD равна 4. Расстояние между центрами ок-
окружностей, описанных около треугольников ACD и ABD, равно 3. Най-
Найти радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = Bа — 2J
16A — 2а)
имеет корни, а числа -.— являются целыми.
27я
5. В четырехугольной пирамиде SABCD две противоположные боко-
боковые грани перпендикулярны основанию, расстояние от вершины 5 до
прямой АВ равно 4V2. В основании пирамиды лежит равнобедренная
трапеция ABCD (AD = BC), описанная около окружности и такая, что
CD = 2, LADC = -—. Найти расстояние от точки С до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
6. График функции у = х3 + ах2 + Ъх + с, с > 0 пересекает ось орди-
ординат в точке А и имеет ровно две общие точки М и N с осью абсцисс. Пря-
Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
Найти а, Ъ, с если площадь треугольника AMN равна 1.
БИЛЕТ 8
1. Решить систему уравнений
g3 I-— х\ + logi \y — ^-| =2,
g2 \x-y\ = 1.

18 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
2. Решить неравенство
>coSx.
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
треугольников ABC и BCD, равны 1 и 2. Найти расстояние между цент-
центрами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cos x = (За — 4J
имеет корни, а числа ^- являются целыми.
4а
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
равнобедренная трапеция KLMN (LM = KN), описанная около окружности ра-
радиуса VJ, LMLK — —. Две противоположные боковые грани этой пи-
пирамиды перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна 6VJ.
Найти расстояние от точки N до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у = —х3 + ах2 + Ъх + с, с > 0 пересекает ось ор-
ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс.
Прямая, касающаяся этого графика в точке В, проходит через точку
D. Найти а, Ъ, с, если площадь треугольника ABD равна 1.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 19
БИЛЕТ 1
2. Ро = -Ратм + \ Pgl-
4. 1. UL = 2% - Uo = | Sf; 2. Uс =
5. п = §}=1,48.
БИЛЕТ 2
1. Решение.
Пусть нижний брусок с массой М движется вниз вдоль наклонной
плоскости с ускорением а. Введем систему координат: ось X направим
вдоль наклонной плоскости, ось У перпендикулярно ей. Рассмотрим си-
силы, действующие на нижний брусок. Это сила тяжести Mg, сила реак-
реакции N, сила натяжения нити Т, сила давления со стороны верхнего брус-
бруска/и сила трения, действующая со стороны верхнего бруска. Уравнение
движения бруска по оси X имеет вид:
Ma = Mg sin a — FTPi — Т.
Вдоль оси У сумма всех сил, действую-
действующих на нижний брусок, равна нулю. Сле-
Следовательно:
N = Mg cos a + /. к задаче 1
В силу того, что трос нерастяжим, вер-
верхний брусок движется с тем же ускорением а вверх по наклонной пло-
плоскости под действием силы веса mg, силы реакции Nx, силы натяжения
Т и силы трения со стороны нижнего бруска FTP2. Уравнение движения
для него по оси X имеет вид:
та = Т — mg sin a — FiPi (F^ = FTp2 = F).
По оси У имеем:
Ni = mg cos a (Nt == /).
Поскольку система двух брусков покоится, то их ускорения равны ну-
нулю, и система написанных уравнений примет вид:
Т — Mg sin1 a — kmg cos а и Т = kmg cos a + mg sin а.

20 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решая систему полученных уравнений для искомого коэффициента
трения, получаем:
, м-т з VJ
2. Решение.
Очевидно, что при движении «тройника» с ускорением а вправо вода
будет выливаться из левой трубки. Уровни воды, оставшейся в средней
и правой трубках, обозначим через X и У. Из условия задачи следует
что:
L-X + L-Y = 9/32-4L.
Следовательно,
X+Y = 7/SL. A)
Давление жидкости у дна левой трубки равно Pl = PQ + pgL, где Ро —
атмосферное давление. Давление у дна средней трубки равно Р2 —
= ро + Р8%> а у дна правой трубки Р3 = Ро + pgY.
Запишем уравнение движения горизонтальной части жидкости, за-
заключенной между левой и правой трубками:
pgLS - pgYS = pLSa. B)
Для горизонтальной части жидкости, заключенной между средней и
правой трубками, уравнение движения имеет вид:
pgXS - pgYS = pSLa/2. C)
Совместное решение уравнений A), B), C) дает искомое ускорение:
а = 3/4 g.
3. Решение.
Пусть температура гелия на диаграмме Р, V в точке 1 равна Тх. Так
как точки 2 и 3 лежат на изотерме, то Т2 = Т3. Точка 1 лежит выше то-
точек 2 и 3. Следовательно AT = Tt — Тг. Запишем уравнение первого на-
начала термодинамики для адиабатического процесса 1-2:
0 = А12-СуАТ. A)
Соответствующее уравнение для изотермы (участок 2-3):
Qi3 = A23. B)
Наконец для изобары 3-1 имеем:
RAT = A3i. ¦ C)

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
21
В силу того, что работа газа в замкнутом цикле 1-2-3-1 равна А =
= Ах2 + Лгз + Аъъ из уравнений A), B), C) получим:
А23 = А-5/2 R ЛТ.
4. Решение.
Сразу после замыкания ключа К2 ток через катушку индуктивности
сохраняется и равен /0. Напряжение на конденсаторе сразу после замы-
замыкания ключа К2 равно нулю. Обозна-
Обозначим через /i ток, протекающий через 2г
резистор Ru а ток через резистор
R2 — соответсвенно 12. Согласно пер-
первому закону Кирхгофа -±-у R,
/о = Л + h-
Запишем закон Ома для замкну-
замкнутой цепи 3-4-5-6-3 1
з h
4
к задаче 4
Из совместного решения приведенных уравнений находим ток 1и ко-
который равен
Для нахождения напряжения на катушке индуктивности запишем за-
закон Ома для замкнутой цепи 1-2-3-4-1
Отсюда
А'
к задаче 5
В установившемся режиме напряжение на катушке равно нулю, ток
через резистор R2 равен нулю. Рассмотрим контур 1-2-3-6-5-4-1. От-
Откуда U с = 2%.

22 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5. Решение.
Через оптический центр линзы проведем вспомогательный луч ОС
параллельно лучу АВ. Преломленный луч ВС пересекается с лучом
ОС в точке С, принадлежащей фокальной плоскости линзы. Продолжим
луч ВС влево до пересечения с главной оптической осью линзы в точке
А'. Угол СА'О является половиной искомого угла 6. Проведем линию
BD параллельно OF. Угол CBD равен 8/2. Из треугольника CBD
g 2
IF F
Отсюда
6 = 1,7-10 рад.
БИЛЕТ 3
1. F = —y^- g(k cos a + sin a).
3. Q = A + j vR AT, где v = 1 моль.
4. 1. Uj. = Э + f/n = ^2f, Z. l/r =
^ + ^2 '
БИЛЕТ 4
3. А — А1г — -у </R AT, где v = 1 моль.
4.1.1//.- ^г^ , 2.ис-
5. tgf = ^tgf = 3tg|. 6 = 2arctg f 3 tg f^ « 0,3 рад.
БИЛЕТ 5
1. 1. a = | C-4 sin a) =y=l,4 м/с2;
2. и = | V2g/E - 2 sin a) = 1,6 м/с.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 23
2- т =
з. 1.<73о = ^; 2.^^ + f.
5. 1. Л'= ^7 = 22 см; 2. и = v ^ = 0,2 см/с.
БИЛЕТ 6
1. 1. а = § A-4ц)=-^ = 0,65 м/с2; 2. 7 = ^^gL ^ 1 м/с.
БИЛЕТ 7
1. 1. Уравнение движения цепочки в начальный момент имеет вид:
2 . 1
^ mg sin a — ^ mg = та.
Отсюда с учетом значения sin a
а = ^0,65.
2. За нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести возь-
возьмем уровень расположения вершины клина. Тогда потенциальная энер-
энергия висящей части цепочки равна
Потенциальная энергия части цепочки, расположенной на клине,
?п2 ~ ~ "ъ mS "g" sin а. Полная энергия цепочки в момент, когда она
полностью находится на клине, равна
Из закона сохранения энергии имеем:
-mg j sin a + -j- = - j mg ^ - j mg ^ sin a.

24
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Откуда v = -zVEsin a— l)gl «0,66м/с.
2. Атмосферное давление в комнате равно
или Р = POj + p^Oj. Откуда парциальное давление кислорода />o2 =
= у^-р. С другой стороны, РОг = ^ пОгтОгУг, где по2 — концентрация, а
то2 — масса молекулы кислорода.
Р =- — v2="
Теперь для и получим
3. l.ft = ?ir.
I ЪРУ
I(l+P)m
1+Р"
= 474 м/с.
2. Пусть заряды на пластинах после замыкания ключа К равны
Яи Яг и Яг- По закону сохранения заряда
Яг-
A)
Заряды каждой пластины создают между пластинами однородные
электрические поля с напряженностями
12
__?§_
Между пластинами 2 и 3 поддерживается по-
постоянная разность потенциалов, равная <?:
»)=*• B)
Условие эквипотенциальное™ пластин / и J:
к задаче 3
C)
Совместно решая систему уравнений A), B),
C), получим, что:
00
4. 1. После замыкания ключа К конденсатор начинает разряжаться
и отдавать свою энергию катушке Ьг, так как диод D закрыт. Имеем

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
25
h
h
-M
D
к задаче 4
колебательный контур, состоящий из
катушки индуктивности L2 и кон-
конденсатора С. Период колебаний
Т{ = 2uVL2C. Полный разряд конден-
конденсатора произойдет через четверть
периода. Следовательно, х =
2. Когда конденсатор начинает пере-
перезаряжаться, открывается диод D и через
катушку индуктивности Lv начинает протекать ток /^ При этом через
Lt течет ток /2. Согласно закону Ома
д/i д/2
или L{I0 + L2(/0 — /20) = 0, где /20 — ток через катушку Ьг в момент
начала перезарядки конденсатора. Из закона сохранения энергии
Qlp-
= —^-. Решая систему, получим ток /0
/о =
Отсюда
5. Положение изображения комара, даваемое линзой и равное а, _ _
определяется из формулы линзы
с\ ку !а
!
Л
!
F'
При учете зеркала оно снова является
предметом для линзы, которая дает новое
изображение на расстоянии Ь, так что
а ^ b F'
Складывая эти уравнения, получаем
Л ^ Ь F'
Откуда Ъ = — 2h + F ~~~9F = ~^'^ M" Изображение .ниже зеркала
на 0,2 м.
к задаче 5

26 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из подобия треугольников ABC и AiBCi j^ = j и u = vj-
= 1 см/с.
БИЛЕТ 8
2. ?вр = ^
4. 1. т = f i/(L, + L2)C; 2. t/x =
f i/(L, + L2)C; 2. t/x
5. 1. й = 0,6/-; 2. vH3 = 0,2^.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 27
БИЛЕТ 1
1. х = — ¦=• + 2л.п, п Е Z.
Лш 12 •
. ,, 7 In 6-10
4. Л, g .
39 я
6. D; 27),"B; -17), B2; 423), (-16; 307).
БИЛЕТ 2
1 г < —
- 85
•*" 48"
4. 2, 15 In 2-9.
й* 12' 6'
6. C; 29), A; -17), A3; 397), (-15; 191).
БИЛЕТ 3
1. х = - | + 2лп, х = - ^ + 2пп, п G Z.
2 v<-4 jo^2^-15
3. ^.
5. -^, arccos ^.
6. (-2; 30), (-4; 4), B0; 316), (-26; 774).
БИЛЕТ 4
1. х = ±y + 2jr"' x = n + 2nn, n e Z.
Решение.
,-, , cos Зх
Пусть < = .
3 COS X

28
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
а) Если cos х > О, то t + - = — 1 или t2 + t + 2 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней.
б) Если cos х < 0, то t — - = —l или t2 + t — 2 = 0, откуда t{ = —2,
¦л . п COS З.Х ,-, 4 COS3* — 3 COS X n
Пусть t = -2, тогда -33^ = -2 или ^ = -2.
Так как cos *=*=(), то 4 cos2 x — 3 = 2, cos2 x= 1/4, cos x = —1/2,
4cos2x —3=1, cos2x=l, cosx=—
x = л + 2n.n.
X -> v< 4 Y^ 3OVT-34
Пусть t — 1, тогда
_i
,-^
;+&*
2. х<-;
Решение.
Так как уравнение
Зх2 + 8х — 3 = 0 имеет корни xi = —3,
х2 = -г, то область Е допустимых зна-
значений неравенства — совокупность
интервалов Е1 = (—°°, — 3),
1 ,
Решить данное неравенство — это значит найти все значения х G Е,
при которых график функции у = V3x2 + 8х — 3 лежит выше прямой
у = —=~^ (рис. 1). Значения x6?j является решением неравенства,
\+2х
так как V3x2 + 8-3.=s 0 при х < -3, а ±^ < 0 при х « -3 (рис. 1).
Пусть х г» тг, тогда V3x2 + 8х — 3 ^ 0, —=-^ > 0 и исходное неравен-
неравенство равносильно каждому из неравенств Зх2 + 8х — 3> [—=-^| ,
V /
23х2 + 68х - 28 > 0. Уравнение 23х2 + 68х - 28 = 0 имеет корни ху и
х2, где xl = ^з— < 0, х2 = 2~ (рис. 1), х2 > ^.
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве -Е2 являют-
являются все точки интервала (х2, +<»).
•*• 12 -
Решение.
Пусть О! — центр окружности радиуса R, описанной около тре-
треугольника ACD; О2 — центр окружности радиуса г, вписанной в

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
29
треугольник BCD, E — середина ВС. Тогда А
DELBC, AB = 5, CD-BD = ^,
АС = 4, sin А = 4, R = -^Ф-А = ? = O,D.
' 5' 2 sin А 12 ^i*"
Пусть S — площадь треугольника BCD, р — его °i
полупериметр. Тогда S = j АС • ВС = 3, р = 4,
S = гр, откуда г = - = О2?, ?>? = -=- = 2,
?Ю2 = D? — О2Е = -. Искомое расстояние
Д
5V34
12 *
4. 4 In 5-^.
Решение.
Точка Л@; 4) при любом а является общей точкой прямой
у=— 12х + 4и фигуры М. Поэтому эта прямая должна быть касатель-
касательной к графику функции ^ = Ле~ах в точке х = 0. Так как }»i@) = —4а,
то —12 = —4а, откуда а = 3.
Найдем общие точки кривых yi = 4е~3х и з»2 = 12 — 5е3х, решив урав-
уравнение - = 12 — 5<, где < = е3х. Это уравнение имеет корни t\ = у, t2 — 2.
"У О 10
Если t = -, то е3х = j, откуда %! = ^ In j, а если t = 2, то е3х = 2, откуда
%2 = ч In 2. Искомая площадь
S = J (у2 - У1) dx = \ A2 - 5е3х - 4<Г3х) rfx =
5. arccos •y^,
Решение.
а) Построение сечения. Пусть Е, Fn К — середина ребер АВ, А^С\ и
ВВХ соответственно. Проведем:
а) прямые КЕ и АА\ пересекающиеся в точке М;
б) прямую FM, пересекающую отрезок АС в точке Р;
в) прямую АуВу, пересекающую прямую КЕ в точке L;
г) прямую FL, пересекающую ребро В^С\ в точке N (рис. 3).

30
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Рис.3
Тогда EPFNK — пятиугольник,
получаемый в сечении призмы плос-
плоскостью, проходящей через точки Е,
FviK.
б) Вычисление угла между плос-
плоскостью основания и плоскостью
сечения а.
Пусть Fi — середина AC, G —
основание перпендикуляра опущен-
опущенного из точки Fi на РЕ. Так FFi —
перпендикуляр к плоскости ABC, a
прямая РЕ перпендикулярна проек-
проекции FiG наклонной FG, то FGLPE
(теорема о трех перпендикулярах).
Итак, прямые GF и GFU лежащие в плоскостях а и ABC соответствен-
соответственно, перпендикулярные РЕ — линия пересечения этих плоскостей. По-
Поэтому /.FGFi = ф — линейный угол двугранного угла между плоскостя-
ми а и ABC, a tg ф = jr?.
Найдем FiG.
Пусть АВ = а, ВВг = А. Тогда из равенства треугольников АМЕ и
КВЕ следует, что AM = -j, а из подобия треугольников MAP и
= ^ = \, откуда АР = \a^F = |.
находим: ^ =
Из треугольника АРЕ, в котором
реме косинусов получаем
= ^~, АЕ = ^, /.РАЕ = j, по тео-
тео36 ' 4 6 2 2'
откуда РЕ = :1~ = ^-.
Пусть S, Si и S2 — площадь треугольников ABC, AEFi и PEFi соот-
соответственно. Так как EFX — средняя линия в треугольнике ABC, то
= -zAF{). С другой стороны,
= ^ РЕ-
!>2 - з Л1 - 6 Л
откуда
РЕ
V4T
=-^с=-J?=hcos * = iff' *=arccos iff-

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 31
в) Вычисление площади сечения.
Пусть ст и ffi — площади соответственно сечения и его проекции на
плоскости ABC. Тогда а = ——.
COS ф
Заметим, что проекцией сечения на плоскость ABC является пятиу-
пятиугольник PFyNyBE (N[ — проекция точки N на плоскость ABC), в кото-
котором FiNi\\PE, так как F^^FN, a FN\\PE.
Если Q — середина PFV, то PQ = QFY = AP = ^,PE — средняя линия
в треугольнике ABQ и поэтому PE\\BQ, откуда следует, что
так как F^N^PE.
Из подобия треугольников CFyNi и CQB следует, что
откуда находим CNi = - а.
Пусть S3 и S4 — площади треугольников АРЕ и CFj^Ni соответственно.
Тогда
S3 = з Sl = Тг S'54 ~ 4 2 = ? S)
с /'с J. с Л 13 с 13 аУТ 13VT-
откуда а = с^ =
6. (-1; 31), (-3; 3), B1; 339), (-25; 751).
Р ешение.
Выразим у через х, получим:
_ хЗх
У~ х + 2
Выделим целую часть, преобразовав дробь:
_
У-
_ г
23
7+2-
Целые значения у примет при целых х тогда и только тогда, когда
23
——_- примет целые значения, т. е. в следующих случаях: х + 2 = 1,
х + 2 = — 1, х + 2 = 23, х + 2 = —23. Отсюда находим xt = — 1, хг = —3,
х3 = 21, х4 = —25, а затем соответствующие значения у.

32 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 5
1. B; -3), (-6; 1).
Решение.
Первые уравнения системы можно записать в виде
г 1 Т«
log2 [xy(x + 2y)]+ log2 *±f- = 4,
а множество допустимых значений х, у определяется условием
ху(х + 2у)>0. A)
При выполнении условия A) исходная система равносильна системе
а система A)—B) равносильна совокупности двух систем
Х + 2Г4' C)
ху = 6 v '
Исключая х из системы C), получаем уравнение уг — 2у + 3 = 0, не
имеющее действительных корней. Поэтому система C) не имеет дейст-
действительных решений.
Из системы D) получаем уравнение у2 + 2у — 3 = 0, имеющее корни
Поэтому исходная система имеет два решения: B; —3) и (—6; 1).
2. - | + 2-л.п <х<^ + 2лп, п S Z.
Решение.
Найдем решения неравенства на отрезке длиной 2л;. Все значения х
из интервала @, л) — решения неравенства, так как sin x > 0 при
О < х < л, а левая часть неравенства определена и неотрицательна при
всех х.
Пусть sin х < 0, тогда исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
5+3gOs4jc > sin4 x, 5 + 3 cos 4x > 2A - 2 cos 2x + cos2 2x),
cos 2% A +cos2x) >0, cos2%>0, sin2x<|, |sinx|<^-.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33
Так как sin х < 0, то — -^ < sin х а* О,
откуда — ^< х<0, л; < * < -^.
Итак, на отрезке — ~, -у решениями
а яляю
исходного неравенства являются все чис-
(л 5л\
— -г, -г- . /
4 4/ А
3. /ГО, 3/10. Рис. 4
Решение.
Пусть К — середина ВС, О — точка пересечения AC и Ж), Оу и О2 —
центры окружностей, описанных около треугольников BCD и ABC соот-
соответственно (рис. 4).
Тогда Oi и О2 — точки пересечения перпендикуляра к ВС в точке ЛГ
с прямыми СО и ВО соответственно.
Пусть Лиг — радиусы окружностей, описанных около треугольников
ABC и BCD соответственно, /.ВАС = LCAD = а, тоща LBO2K=a,
Так как ОС = ООУ + С^С, то 6 cos a = 8 sin а + -^-^,
8 sin а cos а + 3 = 6 cos2 а, 3 sin2 а — 3 cos2 а + 8 sin а cos а = 0.
Полагая tg a = t, получаем 3t2 + 8 Г — 3 = 0, откуда ty = j, h — —3.
Так как 0 < a < ^, то tg a = j, cos a = ^, sin a = ^-, r = VTO,
4 I I
Решение.
Уравнение sin x = Da — 2J имеет корни тогда и только тогда, когда
Dа-2J<1,т. е.
.-!
\, откуда j^a^j.
Задача сводится к нахождению всех значений а, при которых функ-
функция /(a) = —-J- принимает целые значения на отрезке пр 4 •
Уравнение f'(a) = ^ (-4a + 12a) = ^ a~5Ca - 1) = 0 имеет на
отрезке Г^, |1 единственный корень a = -z, причем /'(a) < 0 при a < j и
/'(a) > 0 при a > ^. Следовательно, функция /(а) убывает при
а е Гг. j) и возрастает при a e (j, j \.

34
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так как
/ft
( ъ\ v
— 1 < / —-г = 7
чисел -г и -г.
= 0 и /Ж =~1 — целые числа, а
искомое множество значений а состоит из
5" 4 ' 28 '
Решение.
Пусть Е — точка пересечения ВС и AD, M и N — середина отрезков
CD и АВ соответственно (рис. 5).
Тогда ABE — правильный треугольник, NE = -~- АВ = 3v3,
MN = -z NE = 2V3\ ME = V3\ так как MN — диаметр вписанной в тре-
треугольник ABE окружности, радиус которой равен -г NE.
О
Заметим, что перпендикулярными основанию пирамиды являются
грани SBC и SAD, а линия их пересечения (прямая SE) — перпендику-
перпендикуляр к основанию и SE = V5.
Пусть МК — высота в треугольнике
SMN, тогда МК — перпендикуляр к
плоскости ABS (KMJ.SN и KM LAB,
так как АВ — перпендикуляр к плоско-
плоскости SNE). Прямая CD параллельна пло-
vE скости SAB и поэтому расстояние от точ-
точки D до плоскости SAB равно МК.
Если LSNM = Ф, то КМ = MN sin ф,
SE V5 . V5
где tg ф = jjz = fff, откуда sin ф = -щ,
Рис. 5
2) Пусть О — центр окружности, впи-
вписанной в треугольник SCD, P — точка
пересечения отрезка SN с перпендикуля-
перпендикуляром к стороне SM треугольника SMN, проведенным через точку О.
Радиус г этой окружности равен радиусу основания конуса, высота
Н конуса равна ОР, а его объем V = ^ лг2Н.
Если а — площадь треугольника SCD, p — его полупериметр, то
где CD = | АВ = 2,
' = V8TT = 3,
sm =
= 2VI, sz> =
p = 4, a = 2VI и поэтому г = - = ^, SO = SM - r = 2V2 - Ц- = Щ-.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35
Пусть ANSM = а, тогда Н = SO tg a = -у- tg а. Найдем cos а, при-
применив теорему косинусов к треугольнику SMN. Получим MN2 =
SM2-2SN-SM cos а, где SN = у/SE2 + NE2 = V5 + 27 =
= 4V2, SM = 2V2, откуда cos a = |, tga = ^, Я = ^^ = ^^.
6. a = —4, b — 5, c = —2.
Решение.
Пусть Xi и x2 — абсциссы точек, в которых график функции
у = /(х) = х3 + ах2 + Ьх + с, где с < 0, пересекает ось Ох. Тогда хх и
х2 — корни многочлена /(х), а /(х) делится на (х — Xj)(x — х2), откуда
следует, что /(х) = (х — х,)(х — х2)(х — а), где
а — одно из чисел хь х2 (уравнение /(х) = 0 по
условию имеет ровно два различных корня). Та-
Таким образом, многочлен f(x) имеет вид
= (х-х,J0с-х2),
откуда
находим
= 0 и касательная к графику функции в
точке (xi, 0) совпадает с осью Ох.
По условию ордината точки А равна с, где
с < 0, а касательная к графику функции у = /(х)
в точке М проходит через точку А. Поэтому абс-
абсцисса точки М равна х2, а абсцисса точки N равна
xi (рис. 6). Задача сводится к нахождению чисел Рис. 6
х, и х2. Так как f'(x2)= =(x2 — xlJ=k, то
уравнение прямой, касающейся в точке М графика функции у = /(х),
имеет вид у — к{х — х2). Эта прямая проходит через точку А@, с), где
с = — кхг и х2х2 = х2(х2 — х^2, откуда х2 = 2xi (х2 ^ 0) и с = —2xf.
Пусть S — площадь треугольника AMN, тогда S = 1 =
_ 1 1 20з
/(х) = (х - 1J(х - 2) = х3 - 4х2 + 5х - 2.
БИЛЕТ 6
1.
2. -
Ч-
^ + 2лп < х < ^ + 2пп, п Е

36 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
12ЛТТ 48^13"
5' 37 ' 65 *
6. а = -А, Ъ = -5, с = -2.
БИЛЕТ 7
1. A; -6), (-3; 2).
2. - J + 2лл < х < ~ + 2лп, п Е Z.
3. 2V5, V5.
4 - -
** 3' 2-
_ V3ff W30"
э- 4 ' 28 *
6. а = 4, i = 5, с = 2.
БИЛЕТ 8
1 I— -• -I С\- \\
. —т- + Zjw < x < — + 2лп, п '
л. s .
4. f, 1.
_ 12\ШТ
37 ' 65 *
ИЗДАТЕЛЬСТВО МФТИ
¦у\ высылает книги наложенным платежом
Интернет-магазин Издательства www.fizmatlit.ru

БИЛЕТЫ
ДИСЬМЕЦНЬЩ ЩЩ
ЭКЗАМЕНОВ В ДОФТЦ <1Й9г.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДДЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Москва
Издательство МФТИ
2Q00

УДК 53@75)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A999 г.) — М.: Изда-
Издательство МФТИ, 2000. 40 с. ISBN 5-89155-052-0.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах аби-
абитуриентам Московского физико-технического института в 1999 г. Все задачи снабже-
снабжены ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указаниями к
решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
© Коллектив авторов, 2000
ISBN 5-89155-052-0 © Издательств МФТИ, оформление, 2000

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
, L .
БИЛЕТ 1
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри же-
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соеди-
соединен с неподвижной опорой (см. рис.). Бру-
Брусок отводят к противоположной стороне
рамы и отпускают. В результате упругих
столкновений брусок и рама совершают к задаче I
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения с бру-
бруском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. На тележке, которая может двигаться по горизонтальным рель-
рельсам прямолинейно и без трения, укреплена в горизонтальной пло-
плоскости трубка в форме кольца
(см. рис. — вид сверху). Внутри трубки
может двигаться без трения шарик мас-
массой т. Масса тележки с трубкой М,
массой колес тележки пренебречь. Ша-
Шарику, при неподвижной тележке, сооб-
сообщают в точке А скорость Vo, направ- К задаче 2
ленную параллельно рельсам.
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком точки
В тележки, диаметрально противоположной точке А.
2) На каком расстоянии от первоначального положения окажется
тележка через время /0, когда шарик совершит несколько оборотов
и окажется в точке В тележки? ^ f
3. Моль гелия сжимают в адиабатиче- L_
ском процессе так, что относительные из-
изменения давления ДР/Р, объема AV/V и
температуры Д7771 газа малы. Найти отно- /К\ С
сительное изменение давления газа, если с,
над ним была совершена работа Л = 15 Дж. I IL
Начальная температура газа Т — 300 К.
4. В схеме, изображенной на рис., при
разомкнутых ключах Кх и Кг конденса- к задаче 4
торы с емкостями Сги С2 не заряжены.
ЭДС батареи $, внутреннее сопротивление — г. Сначала замы-
замыкают ключ Kv а после установления стационарного состояния в
схеме замыкают ключ К7.

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1) Чему равен ток через источник сразу после замыкания
ключа К{1
2) Какое количество теплоты выделится во всей схеме после за-
замыкания ключа К21
5. В комнате на горизонтальной поверхности стола лежит плоское
стеклянное зеркало толщиной Я = 7 мм с показателем преломления
стекла п = 1,4. Над зеркалом висит электрическая лампочка. Опре-
Определите расстояние между двумя соседними изображениями светя-
светящейся нити лампочки, возникающими из-за многократных отраже-
отражений от двух поверхностей зеркала.
БИЛЕТ 2
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы. Длина рамы L, масса — т. Брусок с помощью
легкого стержня и пружины
\ к m к ! жесткостью к соединен с не-
4-ЩЩШ— «| ШШШ-| подвижной опорой 1. Рама
L пружиной жесткостью к сое-
соединена с неподвижной опорой
задаче ' 2 (см. рис.). В начальном по-
положении брусок касался пра-
правой стенки рамы, а пружины не были деформированы. Брусок
отводят к противоположной стенке рамы и отпускают. В резуль-
результате упругих столкновений брусок и рама совершают периодиче-
периодические движения.
1) Найти скорость рамы сразу после первого столкновения
с бруском.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Тележка может двигаться прямолинейно поступательно без
трения по горизонтальной поверхности стола. К
тележке прикреплена горизонтальная ось О,
перпендикулярная возможному направлению
движения тележки (см. рис.). Вокруг оси О, в
плоскости, перпендикулярной ей, может вра-
i '" щаться без трения на стержне длиной L неболь-
////)/////////////%///, шой п0 размерам шарик массой т. Масса те-
К задаче 2 лежки, оси О и ее крепления — 4/п. Массами
стержня и колес тележки пренебречь. Вначале
тележка покоилась, а стержень удерживался под углом |3 = 30" к
вертикали. Затем стержень отпустили.

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
1) Найти скорость тележки при прохождении шариком нижней
точки своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний тележки, т. е. половину рассто-
расстояния между наиболее удаленными друг от друга положениями
тележки.
3. Моль гелия расширяется в процессе P2V = const так, что изме-
изменение температуры газа составило AT = 0,3 градуса. Какую по ве-
величине работу совершил газ, если относитель-
относительные изменения его давления &.Р/Р, объема
А V/V и температуры АТ/Т малы?
4. В схеме, изображенной на рис., при разо-
разомкнутом ключе К конденсатор емкостью
С — 20 мкФ заряжен до напряжения Uo =
= 12 В. ЭДС аккумулятора % = 5В. Индук-
Индуктивность катушки L = 2 Гн.
1) Чему равен ток, установившийся в цепи
после замыкания ключа?
2) Чему равен максимальный ток в цепи после замыкания ключа?
Внутренним сопротивлением аккумулятора и омическим сопротив-
сопротивлением катушки пренебречь, D — идеальный диод.
5. На столе под стеклянной пластиной толщиной Я = 12 мм распо-
расположен кусок газеты, которая рассматривается с помощью микроско-
микроскопа. На какое расстояние нужно передвинуть тубус микроскопа, чтобы
настроиться на буквы текста в отсутствие стеклянной пластинки? По-
Показатель преломления стекла п = 1,5.
БИЛЕТ 3
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладкой столе внутри же-
жесткой рамы, касаясь ее правой стенки. Длина рамы L, масса — т. Ра-
Рама пружиной жесткостью к соединена с неподвижной опорой
(см. рис.). Раму отводят направо так, что брусок касается ее левой
стенки, и отпускают. В результате упругих столкновений брусок и ра-
рама совершают периодические движения. „,
1) Найти скорость бруска сразу после
первого столкновения с рамой.
2) Найти период колебаний бруска.
2. Брусок может двигаться поступатель- к задаче 1
но без трения по прямолинейным горизон-
горизонтальным салазкам, не отрываясь от них. На бруске укреплен в верти-
вертикальной плоскости, параллельной салазкам, желоб радиусом R, по

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
К задаче 2
которому может скользить без трения небольшой по размерам шарик
массой т (см. рис.). Масса бруска с желобом Ьт. Вначале брусок по-
покоился. Шарику в верхней точки же-
желоба сообщили горизонтальную ско-
скорость Ко.
1) Найти скорость бруска при про-
прохождении шариком нижней точки
желоба.
2) На каком расстоянии от перво-
первоначального положения окажется бру-
брусок через время t0, когда шарик со-
совершит несколько оборотов и окажется в нижней точке желоба?
3. Моль гелия из начального состояния с температурой Т = 300 К
расширяется в адиабатическом процессе так, что относительные из-
изменения давления АР/Р, объема AV/V и температуры газа АТ/Т
малы. Найти работу А, совершенную газом, если относительное из-
изменение его давления АР/Р — —1/120.
4. В схеме, изображенной на рис., при ра-
разомкнутых ключах Ку и К2 конденсаторы с
емкостями С, и С2 не заряжены. ЭДС бата-
батареи ^, внутреннее сопротивление — г. Сна-
Сначала замыкают ключ KY, а после установле-
установления стационарного состояния в схеме замы-
замыкают ключ К2.
1) Чему равен ток через батарею сразу по-
после замыкания ключа К{'?
2) Какое количество теплоты выделится во
всей схеме после замыкания ключа K-J
5. Если рассматривать свое изображение в плоскопараллельной
стеклянной пластинке толщиной Н— 10 см, то можно увидеть ряд
последовательных изображений лица, отстоящих друг от друга на
расстоянии L=14cm. Чему равен показатель преломления стекла
пластинки?
С,
С,
/К,
К задаче 4
БИЛЕТ 4
1. Небольшой брусок массой т лежит на гладком столе внутри
жесткой рамы длиной L и массой т. Брусок с помощью легкого
стержня и пружины жесткостью к соединен с неподвижной опо-
опорой /. Рима пружиной жесткостью к соединена с неподвижной

ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
К задаче 1
К задаче 2
опорой 2 (см. рис.)- В начальном положении брусок касался ле-
левой стороны рамы, а пружины не были деформированы. Раму
отводят налево до соприкосно-
соприкосновения бруска с правой стенкой
рамы и отпускают. В резуль-
результате упругих столкновений
брусок и рама совершают пе-
периодические движения.
1) Найти скорость бруска сразу после первого столкновения с ра-
рамой.
2) Найти период колебаний рамы.
2. Муфта может двигаться поступательно без трения вдоль гори-
горизонтальной направляющей ЕЕУ (см. рис.). К
муфте перпендикулярно ЕЕУ прикреплена го-
горизонтальная ось О, вокруг которой может
вращаться без трения обруч радиусом R с за-
закрепленным на нем небольшим по размерам
грузом массой т. Масса муфты, оси О и ее
крепления Ът. Массой обруча пренебречь.
Вначале муфта неподвижна и обруч удержи-
удерживают в положении, когда ОР составляет угол а = 30° с горизонтом.
Затем обруч отпускают.
1) Найти скорость муфты при прохождении грузом нижней точки
своей траектории.
2) Найти амплитуду колебаний муфты, т. е. половину расстояния
между наиболее удаленными друг от друга положениями муфты.
3. Моль гелия сжимают в адиабатическом процессе так, что от-
относительные изменения давления АР/Р, объема А V/ V и температу-
температуры АТ/Т газа малы. На сколько процентов изменяется давление га-
газа, если относительное изменение температу-
температуры АТ/Т = 0,0032?
4. В схеме, изображенной на рис., при ра-
разомкнутом ключе К конденсатор емкостью
С = 10 мкФ заряжен до напряжения
Uo = 10 В. ЭДС аккумулятора $ = 15 В, ин-
индуктивность катушки L = 0,1 Гн. 1) Чему ра-
равен установившийся ток в цепи после замы-
замыкания ключа? 2) Чему равен максимальный
ток в цепи после замыкания ключа? Внутренним сопротивлением
аккумулятора и омическим сопротивлением катушки пренебречь,
D — идеальный диод.

ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
5. Стакан с тонким дном, наполненный прозрачной жидкостью,
ставится на монету, лежащую на столе. Если сверху через жидкость
нормально к ее поверхности рассматривать монету, то изображение
монеты наблюдается на расстоянии А. = 2,6 см от дна стакана. Опре-
Определите показатель преломления жидкости, если толщина слоя жид-
жидкости в стакане Н — 8 см.
К задаче 1
К
БИЛЕТ 5
1. На гладкой наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту
в точке О прикреплена нить длиной /. К другому концу нити привя-
привязан небольшой шарик (см. рис.). В
начальный момент шарик находится
в положении равновесия в точке А.
Какую минимальную скорость надо
сообщить шарику в точке А вдоль
наклонной плоскости в горизонталь-
горизонтальном направлении, чтобы шарик со-
совершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. Летним днем перед грозой плотность влажного воздуха (масса
пара и воздуха в м3) р = 1140 г/м3 при давлении Р = 100 кПа и тем-
температуре 30 "С. Найти отношение пар-
парциального давления водяного пара,
содержащегося в воздухе, к парциаль-
парциальному давлению воздуха. Принять, что
молярные массы воздуха и пара \ав =
= 29 г/моль, цп = 18 г/моль, газовая
постоянная R = 8,31 Дж/(моль-К).
3. В электрической схеме, состоящей
из батареи с ЭДС f = 15 В, резисторов
Rl = 10 Ом и R2 = 30 Ом (см. рис.) замыкают ключ К.
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток через батарею в тот момент, когда напряжение на
конденсаторе равно ^/3. Внутренним сопротивлением
пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности
стола лежит проводящая жесткая тонкая рамка из одно-
однородного куска проволоки в виде равностороннего тре-
треугольника со стороной, равной а. Рамка находится в од-
К задаче 4 нородном горизонтальном магнитном поле, линии ин-
?]_
К задаче 3

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
дукции которого перпендикулярны одной из сторон рамки (см. рис.).
Масса рамки М, величина индукции — В. Какой силы ток нужно про-
пропустить по рамке (против часовой стрелки), чтобы она начала при-
приподниматься относительно одной из вершин треугольника?
5. Часовщику необходимо рассматривать детали часов, размеры
которых в N = 3 раза меньше, чем то минимальное расстояние меж-
между двумя точками, которое он может рассмотреть с расстояния наи-
наилучшего зрения L = 25 см. Чему равно максимальное фокусное рас-
расстояние лупы (собирающая линза), которую он должен использо-
использовать, чтобы рассмотреть эти детали? При использовании лупы глаз
наблюдателя аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые
предметы расположены в фокальной плоскости лупы.
К задаче
БИЛЕТ 6
1. Обруч в форме окружности закреплен на столе в положении,
когда его плоскость наклонена под углом а к горизонтальной поверх-
поверхности Р стола (см. рис.). По обручу
может скользить без трения неболь-
небольшое колечко массой т. Вначале ко-
колечко удерживают в верхней точке
С обруча. В результате незначитель-
незначительного толчка колечко приходит в дви-
движение. Найти модуль силы, с кото-
которой колечко действует на обруч в
точке А, находящейся на горизон-
горизонтальном диаметре обруча.
2. В парной бани относительная влажность воздуха составляла
а, =50% при температуре 100 °С. После того, как температура
уменьшилась до 97 °С и пар
«осел», относительная влажность
воздуха стала равной а, = 45 %.
Какая масса воды выделилась из
влажного воздуха парной, если ее
объем V = 30 м3? Известно, что
при температуре 97°С давление
насыщенного пара на 80 мм рт. ст.
меньше, чем при 100 "С.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС # = 30 В,
резисторов Rt = 10 Ом, R2 = 20 Ом, /?3 = 30 Ом и конденсатора, за-
замыкают ключ К.
К задаче 3

10
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
Вид сбоку
1) Найти ток через резистор R2 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в тот момент времени, когда ток
через резистор R3 равен / = 0,3 А. Внутренним сопротивлением ба-
батареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит
проводящая жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска
проволоки со стороной, равной а. Рамка на-
находится в магнитном поле длинного гори-
горизонтального провода с током, расположен-
расположенного симметрично над рамкой (см. рис.).
Масса рамки М, индукция магнитного поля
у боковых сторон рамки / и 2 равна В. Ко-
Коэффициент трения скольжения рамки о по-
поверхность стола равен [д. ([д. < 1/3). Какой
силы ток нужно пропустить по рамке, что-
чтобы она начала скользить по столу, не отры-
отрываясь от него?
5. Пожилой человек хорошо видит уда-
удаленные предметы, начиная с бесконечности
и до минимального расстояния / = 2 м (хру-
(хрусталик глаза этого человека не в состоянии
сфокусировать на сетчатке предметы, распо-
расположенные ближе 1 — 2 м). В каких очках (с
минимальной оптической силой линз) этот
человек сможет читать газету с расстояния наилучшего зрения
Вид сверху
К задаче 4
L = 25 см? Расстоянием между глазами и линзами очков пренебречь.
БИЛЕТ 7
1. Небольшой шарик прикреплен с помощью нити длиной / к гвоз-
гвоздю, вбитому в доску с гладкой плоской поверхностью, наклоненной
под углом а к горизонту (см. рис.). Вначале шарик удерживают на до-
доске в точке А, слабо натянув нить горизонтально вдоль доски. Какую
минимальную скорость V надо сооб-
сообщить шарику в точке А вдоль доски
перпендикулярно нити, чтобы шарик
совершил полный оборот, двигаясь по
окружности?
2. После теплого летнего дождя
относительная влажность воздуха у
К задаче 1 поверхности земли достигла 100%.

ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
11
При этом плотность влажного воздуха (масса пара и воздуха в 1 м3)
оказалась равной р= 1171 г/м3, его давление Р= 100 кПа и темпе-
температура 22 °С. Найти по этим данным давление насыщенного водяно-
водяного пара Рнас при температуре 22 °С. Принять, что молярные массы
воздуха и пара [д.в = 29 г/моль, \ап = 18 г/моль, газовая постоянная
R = 8,31 Дж/моль-К.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС № = 10 В,
резисторов Rl = 50 Ом, R2= 100 Ом и конденсатора (см. рис.), замы-
замыкают ключ К.
1) Найти напряжение на конденсаторе
в установившемся режиме.
2) Найти ток через батарею в тот мо- ^U к,П ? -
мент, когда напряжение на конденсаторе
достигло значения <f/2. Внутренним со-
сопротивлением пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной К задаче 3
поверхности стола лежит проводящая
жесткая тонкая квадратная рамка из однородного куска проволоки
со стороной, равной а. Рамка находится в однородном горизонталь-
горизонтальном магнитном поле, линии индукции которого параллельны одной
из диагоналей квадрата рамки (см. рис.). Масса рамки М, величина
индукции В. Какой силы ток нужно пропустить по
рамке, чтобы она начала приподниматься относи-
относительно одной из вершин квадрата?
5. Коллекционер марок, вооруженный лупой
(собирающая линза с фокусным расстоянием
У7 =10 см), в состоянии рассмотреть фрагменты
марки с минимальным размером / = 0,1 мм. Какого
размера фрагменты марки он сможет рассмотреть
без лупы с расстояния наилучшего зрения
L = 25 см? При использовании лупы глаз наблюдателя аккомодиро-
аккомодирован на бесконечность, а рассматриваемые предметы расположены в
фокальной плоскости лупы.
К задаче 4
БИЛЕТ 8
1. Тонкая трубка с петлей в форме окружности радиусом R за-
закреплена на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту а
(см. рис.). В верхний конец трубки, находящийся на расстоянии
27? от горизонтального диаметра петли, опускают без начальной ско-
скорости маленький шарик массой т. Шарик скользит внутри трубки

12
ФИЗИКА•ЗАДАЧИ
без трения. С какой силой (по модулю) действует шарик на трубку
в точке А, находящейся на горизонтальном диаметре петли?
К задаче 1
К задаче 3
Вид сбоку
2. В жарко натопленной парилке объемом V = 20 м3 при тем-
температуре 100 "С относительная влажность воздуха составляет
а, = 20%. Посетители плеснули на печку т = 1 кг воды, которая
вся испарилась и температура воздуха в парилке упала до 90 "С.
Какая относительная влажность воздуха установилась в парилке?
Известно, что уменьшение температуры от 100 °С до 90 "С вызы-
вызывает уменьшение давления насыщенного пара на 234 мм рт. ст.
Считать, что весь пар остался в воздухе парилки.
3. В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС ?' = 20 В,
резисторов с сопротивлениями Rl = 10 Ом, R2 = 20 Ом, 7?3 = 30 Ом
и конденсатора, замыкают ключ К (см. рис.).
1) Найти ток через резистор 7?3 сразу после замыкания ключа К.
2) Найти ток через батарею в момент
времени, когда напряжение на конденсато-
конденсаторе равно 0,6$". Внутренним сопротивлением
батареи пренебречь.
4. На непроводящей горизонтальной по-
поверхности стола лежит проводящая жесткая
тонкая квадратная рамка со стороной, рав-
равной а. Рамка находится в магнитном поле
длинного горизонтального провода с током,
расположенного симметрично над рамкой
(см. рис.). Масса рамки М, индукция маг-
магнитного поля у боковых сторон рамки 1 и 2
равна В. Коэффициент трения скольжения
рамки о стол таков, что при некоторой ве-
величине тока, пропущенного через рамку,
она начинает приподниматься (без сколь-
скольжения) относительно одной из своих сто-
К задаче 4 рон. Найти величину этого тока.
Ви<) сверху

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ 13
5. Близорукий человек хорошо видит близко расположенные от
него предметы вплоть до расстояния / = 60 см. Хрусталик глаза это-
этого человека не в состоянии сфокусировать на сетчатке предметы,
расположенные дальше расстояния / = 60 см. Ему предложили вос-
воспользоваться очками с оптической силой D = —1,5 диоптрий A/м).
На каком максимальном удалении он сможет отчетливо видеть пред-
предметы в этих очках? Расстоянием между глазами и линзами очков
можно пренебречь.

14 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
БИЛЕТ 1
1. Найти действительные решения системы уравнений
f а-2 - Ах - 2у -1=0,
= 1.
2. Решить уравнение
cos3.v — sin х
cos 5.x — sin 3.v
3- Решить неравенство
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти сто-
стороны параллелограмма, если его площадь S = V2, a ABAC =
= arcsin -.
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Зу-х<5, х + у>26, Зх-2у<А6.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — середи-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1:2, точка
F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ, рассто-
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки
А, В, Е и F.
БИЛЕТ 2
1. Найти действительные решения системы уравнений
Ja-2 - Ах + Ау + 27 = 0,
,
2. Решить уравнение
sin Зл" — cos л"
cos 3.v — sin 5x
3. Решить неравенство
а-2 + | .г | — 30
л+6

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 15
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь S = 2V5, a
LBAC = arctg ^=.
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Ъу — 5х>16, Ъу — х<44, Ъх — у>1.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, точка К — сере-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED =1:3, точ-
точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и КЕ,
расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей че-
через точки А, В, Е и F. . .
БИЛЕТ 3
1. Найти действительные решения системы уравнений
\х2 - 6х - Ъу - 1 = О,
_ .
2. Решить уравнение
cos5.T+sin За-
cos Зл + sin х
3. Решить неравенство
2 | —13
log.log4
4. Окружность с центром на диагонали АС параллелограмма
ABCD касается прямой АВ и проходит через точки С и D. Найти
стороны параллелограмма, если его площадь 5 = 4, a LBAC =
= arccos j.
5. Найти все пары целых чисел х, у, для которых верны нера-
неравенства
Зу-2д:<45, х + у>24, Зх-у<3.
6. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а, а точка К — се-
середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и ЕС : ED = 2:1,
точка F — центр грани ABC. Найти угол между прямыми ВС и
КЕ, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей
через точки А, В, Е и F.

18 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сто-
стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти РМ и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.
5. Дана система неравенств
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos -jw. На ре-
ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что AE = 2ES,
DF = 8SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, параллельная
АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC.
БИЛЕТ 7
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
[toft (Юу - х - 2) - log, (х - 2уJ = 1,
g3(l
которые удрвлетэрряют неравенству х — 2у < 0.
2. Решить уравнение
2 + V3" sin х + | cos x | =4 cps2 x.
3. Решить неравенство
V3*3-27*2 + 60* „
—-= > Зх - 12.
4. Медиана АЕ и биссектриса CD равнобедренного треугольника
ABC (АВ = ВС) пересекаются в точке М. Прямая, пррходящая че-
через М параллельно АС, пересекает стороны АВ. и ВС в точках Р и

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 19
Q соответственно. Найти EQ и радиус окружности, описанной около
треугольника PQB, если АВ = 4, a L CAB = arccos v
о
5. Дана система неравенств
уЦ у ),
Aу - х - 4) (Зу - 5л: + 12) < 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, длина бокового ребра равна VTQ. На ребрах SA и SD расположе-
расположены точки Е и F так, что SE = 5AE, DF = 2SF. Через точки ? и F
проведена плоскость а, параллельная CD. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды
плоскостью а;
2) радиус сферы с центром в точке А, касающейся плоскости а;
3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC.
БИЛЕТ 8
1. Найти решения (х, у) системы уравнений
log2 (у - Зх + 1) - log4 (х - уJ = 1,
Iog2(l-y-3x)-log4x2=l,
которые удовлетворяют неравенству х — у < 0.
2. Решить уравнение
V2" + cos х — | sin х | = 2V2~ sin2 x.
3. Решить неравенство
4. В треугольнике ABC, где АВ = ВС = 5, LABC = 2 arcsin \,
проведены медиана AD и биссектриса СЕ, пересекающиеся в точке
М. Через М проведена прямая, параллельная АС и пересекающая
стороны АВ и ВС в точках Р и Q соответственно. Найти АР и радиус
окружности, вписанной в треугольник PQB.

20 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
5. Дана система неравенств:
G* + Зу + 15)(х + 4у-5)< = 0.
Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:
а) первому неравенству системы;
б) первым двум неравенствам системы;
в) всем трем неравенствам системы.
6. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна
2, двугранный угол между основанием и боковой гранью равен
arccos -т. На ребрах SA и SD расположены точки Е и F так, что
ЛЕ =$ES>, DF = 2SF. Через точки Е и F проведена плоскость а, па-
параллельная АВ. Найти:
1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды пло-
плоскостью а; .
2) радиус сферы с центром в точке Л, касающейся плоскости а;
. 3) угол между плоскостью а и плоскостью ABC.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 21
БИЛЕТ 1
1. При отклонении бруска влево на расстояние L и отпускании
его, он приходит в движение, совершая гармонические колебания с
периодом
В момент прохождения им положения равновесия и упругого стол-
столкновения с рамой брусок останавливается, передав всю свою энергию
I ly^/l I I
V4 \тйПщ уг \то/2щ уг !
« »ч-« »ч-« **•+ *л+ »ч
К задаче 1
и импульс раме. При этом брусок и рама обмениваются скоростями.
Тогда энергия упругой деформации пружины переходит в кинетиче-
кинетическую энергию бруска
KL2 _ mV2
~2 Г"'
Откуда
Через время ti = Т/4 брусок останавливается, а рама двигается по-
поступательно со скоростью V. Через время
L
рама вновь взаимодействует с бруском, передавая ему свой импульс,
и брусок совершает часть колебания в течение времени
до следующего удара о раму. При этом он снова останавливается
на время
после чего приводится в движение рамой и т. д. Очевидно, что период
колебаний бруска равен

22 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2. Из закона сохранения энергии и импульса
mvp _ mv2 MV2
2 ¦ ~ 2 ¦ 2 ¦ ' •
mvQ = mv\ + MV,
где vi и V — скорости шарика и тележки в момент прохождения ша-
шариком точки В. Совместное решение уравнений дает
2mv0
т+М'
Скорость центра масс системы шарик—тележка определяется из
условия
или
у Z
Следовательно, путь, пройденный тележкой в момент прохождения
шариком точки В, равен
3. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона (PV = RT A))
в приращениях (считаем, что состояние гелия незначительно изме-
изменилось)
Р AV + V AP = RAT. B)
Из первого начала термодинамики в случае адиабатического процесса
следует, что
или
0 = Р AV + Cy AT. C)
Работа, совершаемая газом,
А1 = Р AV.
Тогда из уравнения B) следует, что
у АР _RAT-A1 D)

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 23
Выразив Р из уравнения A) и подставив в D), получим
Р ~ Т Rr K '
Согласно C), работа газа равна
Р AV = Ах = -Су AT,
откуда
АТ = -^-
Су
Учитывая, что А = —А\, окончательно получаем
др _А_ Cy+R _а_ Ср _ . .
Р RT Су RT Су '
4. Сразу после замыкания ключа Kv заряды на конденсаторах С\
и С2 равны нулю. Следовательно, разности потенциалов на них
UCl = UCl = 0. Поэтому ток через батарею
В стационарном состоянии после замыкания ключа К^ начальная
энергия системы равна
После замыкания ключа К2 и установления нового стационарного со-
состояния 11Сг = 0. Тогда энергия системы
w -
Начальный заряд на левой пластине конденсатора
Ц конечном состоянии заряд левой пластины конденсатора Су равен
#1 = С$.
Щменение ее заряда
Из закона сохранения энергии

26 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из рисунка видно, что
F = mg sin a.
Тогда
-у- = Т + mg sin a.
Из закона сохранения энергии следует, что
mv2 mV2 , _ . .
-у- = -у- + 2я!#/ sin a.
Чтобы шарик совершил полный оборот, двигаясь по окружности,
необходимо, чтобы в точке В нить не провисала, то есть Т > 0. Тогда
искомая минимальная скорость, сообщенная шарику, определяется из
условия равенства нулю силы натяжения нити Т.
Решая систему уравнений при Т = 0, находим
v = \ogl sin a.
2. Давление влажного воздуха складывается из парциальных дав-
давлений воздуха и пара
Р = Р, + Р„. A)
Кроме того, очевидно, что плотность влажного воздуха равна
Р = Рв + Рп- . B)
Из уравнений Менделеева—Клапейрона следует, что
Для давления Р имеем
Плотность водяного пара равна
Рп = Р ~ Рв-
Подставляя рп в уравнение D), получим'
откуда
p .
Рв =
РМи — -fif

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 27
Из уравнения C)
Ръ Ит1 Рв
Подставляя полученные значения для плотностей воздуха и пара,
окончательно получаем
3. Так как конденсатор мгновенно зарядиться не может, то в мо-
момент замыкания ключа К разность потенциалов на нем равна нулю.
Тогда разность потенциалов на резисторе R равна %. Ток через рези-
резистор равен
7 — — ЛСД
Обозначим токи через резисторы R{ и R2 через /i и /2 соответст-
соответственно. Эти токи меняются в рассматриваемом переходном процессе
данной цепи.
Согласно закону Ома
э — 12к2 -f- ис.
Когда Uс = ¦=¦> ток 12 равен
Ток через батарею
I = Ii + I2 = % щкг = -j А.
4. На проводник с током, помещенный в магнитное поле, действу-
действует сила Ампера о в О'
F = IBl sin a,
где а — угол между направлением вектора
индукции магнитного поля В и направлени-
направлением тока. На сторону АВ действует сила
Fi = IBa,
направленная перпендикулярно плоскости
треугольной рамки. На стороны АС и ВС
действуют аналогичные силы, направленные в противоположную

28 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
сторону
С г. in '
-Г2 — -^3 — I** т'*
Эти силы совместно с силой тяжести рамки создают момент относи-
относительно оси ОО', проходящей через вершину С параллельно прямой
АВ. Запишем условие равенства моментов
F ^^- = 2F - — + т ^-
2 2 2 3
или
rDaV3 _orDQ2VT . qVT
Тогда для искомого тока / получаем
. _ 4 mg
1 ~ 3 аВ'
5. Изображение рассматриваемого глазом предмета через хруста-
хрусталик глаза попадает на сетчатку. Если / — минимальный размер пред-
предмета, видимого глазом, a L — расстояние от хрусталика до предмета,
то минимальный угловой размер предметов, которые часовщик может
рассмотреть без линзы, равен
При использовании лупы, рассматривая предмет размером -гт, поме-
помещенный в ее фокальной плоскости, угловой размер предмета равен
где F — фокусное расстояние лупы. Приравнивая /ф и у* получим
БИЛЕТ 6
1. F = mgVT+3 sin2 a.
2. А,п = т1-т2 = Щ^-Щ «1,6кг.
3- !)/*«?= 1.5A;

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 29
Л г
2аВ cos а аВ '
5. D — -jj- = 3,5 дптр.
БИЛЕТ 7
1. V = V3g/ sin а.
2. Л, п = ^в~рДГ * 2668 Па » 2,7 кПа.
3-D ^с = ^ = б,7В; 2)/ = ^ = 0,1 А.
4- / = 72«в-
5. Г = Ш = 0,25 мм.
БИЛЕТ 8
1. F = mg V15 sin2 a + 1.
5^| = 0,44 А;
5. t =

30 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 1
1. C; -2).
Решение. Сложив уравнения системы, получим
откуда
х — Ъ, у = -2.
Пара чисел х = 3, у = —2, как показывает проверка, образует реше-
решение системы.
2. х = л/г, х = -г + -~-, п Е Z.
Решение. Уравнение равносильно каждому из уравнений
sin (%-Зх) -sin х cos (%~x\ sin U-2x\
\ 2 I __ i ^4 / 14 I __ i
sin (j-5x) -sin3^ cos (f-
откуда sin 4x — т + sin ^ — 2x =0 или sin x cos 3x — j =0.
Корни последнего уравнения удовлетворяют условию
cos f J - xl sin f J - 4xj ^ 0.
3. -\05 < x < ^^, 5 < x < 6.
Решение. Исходное неравенство равносильно следующему
а) Пусть х > 0, тогда х2 — \х\ — 12 = (х — 4)(х + 3) и неравенст-
неравенство A) примет вид 1 < х — 4 < 2, откуда 5 < х < 6.
б) Пусть х < 0, тогда неравенство A) записывается в виде
<2' B)
Если — 3 < х < 0, то неравенство B) равносильно неравенству
х + 3 < х2 + х — 12 < 2(х + 3) или системе неравенств
-*-18<0, \xl<x<x2,
\х2-15>0, mKyna[
\-yfT3 1+V73"
где xi = —5—> *2 = —i—•

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 31
Система неравенств
|-3<х<0
несовместна.
Если х < —3, то система B) равносильна системе
(х — х1)(х — х2) >0,
откуда — VT5 <*<*b так как ху > —VT5.
4. уП и V3".
Решение. Пусть О — центр окружности, R — ее радиус; F —
основание перпендикуляра, опу- р
щенного из точки О на прямую АВ;
LBAC = Z.ACD= а (рис).
Тогда
OF=OC=OD= R, sin a = |,
2^2"
cos а = -г-.
Если АВ = CD = х, ВС — AD = у, S — площадь параллелограмма
ABCD, то
S = 2-^ х-AC sin <z = V2,
где
х = 2ОС cos a = 2R cos a, AC = АО + ОС = ^ + R = 4Д.
Следовательно,
VI = 2Д cos a • 4R cos a =
откуда R = -^,x = V2~.
Из Л Л CD по теореме косинусов
откуда у = V3".
5. л: = 20, з> = 8.
Решение. Умножая первое неравенство на 3 и складывая с треть-
третьим, получаем Ту < 61, откуда у < 5 j. Умножая второе неравенство на

32
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
на —3 и складывая с третьим, получаем — 5у < —32, откуда у > 6 т-
Итак, 6 < у < 9. Исходной системе удовлетворяет только значение
у = 8 и тогда х = 20.
Р е ш е н и е. а) Пусть М — середина
AC, LDCF = а, <р — угол между пря-
прямыми ВС и КЕ (рис.). Тогда
Из треугольников КЕМ, СЕМ и КЕС
по теореме косинусов получаем
ЕМ2 =
+ КМ2 - 2KE-KM-COS <р,
МС2 - 2EC-MC-cos | = ^ + ^ - 2 |-|-i = ^ а2,
36 '
откуда следует, что
2?_
36
19а2
36
aV\9 а
б) Расстояние р между прямыми ВС и КЕ равно расстоянию от
точки С до плоскости КЕМ, так как прямая ВС параллельна этой
плоскости.
Вычислим двумя способами объем V пирамиды КЕМС:
где Sj и S2 — площади треугольников КЕМ и КМС соответственно,
h = EL(LG КС, EL\\DF), h = \ DF = 5 Wf = ^Г'
Так как Sj =^ KE-KM-sm У = ~2
аУз~
Тб~'
4 4
16
9'

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33
в) Пусть О — центр сферы, проходящей через точки А, В, Е и F.
Точка О лежит на перпендикуляре к плоскости ABF, проведенном че-
через центр ./V окружности, описанной около треугольника ABF (рис.).
Если R — радиус этой окружности, ах- радиус сферы, то
sin у »"
Пусть ON=y, LONE— LNEL— p. Тогда из треугольника ON A
по теореме Пифагора имеем
*-* + $ D,
а из треугольника ONE по теореме косинусов находим
х2=у2 + NE2 - 2yNE-cos р,
где
г. а , 2 а 5а . о 5
cos 6 = ^ i/f, NE = -^ = а.
г 3 13' cos p
Следовательно,
Из D) и E) находим у = a"^r, л: = aV-г.
БИЛЕТ 2
2. х = у + лп, х = - 7 + ли, х = (-1)" Y2 + -у-, п
3. 1 - т—гля-
4 2^
' 2 '
5. х = 6, у =16.
6.

34 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 3
1. B; -3).
' 4 ' ^ 12 2 '
3. 5~^ < х < 1 - VT9, 4<х<7.
4. 2, ^-.
5. х = 1, >>= 19.
БИЛЕТ 4
1. х = —5, у= 1.
2. х = | + яп, х = | + яп, х = (-l)n+1 yj + ™, п
3. -i
4.2,1.
5. л: = 7, у = 21.
, я а ? /209
°* 3'V6'
БИЛЕТ 5
1. A-V2;V2).
Решение. Потенцируя, получаем систему
\5у — х — 2 = Ъ\х-у\,
\у-2-4ху = Зу\х\, F)
являющуюся следствием исходной системы.
а) Пусть х > 0, тогда \х\ = х и, с учетом условия х < у из первого
уравнения системы F) получаем у — 1 — х.
Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к виду
7у2-6у-2 = 0,

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 35
откуда
_ 3 + V23" _ 3-V23" _ 4-V23" _ 4 + V23"
У1 т ' У2-—, . Х1 — т ' Х2~ 7 •
При х = х2, у = уг не выполняется условие х < у, а при л: = xb
у = )>i выражение под знаком логарифма в первом слагаемом левой
части второго уравнения исходной системы отрицательно.
б) Пусть х < 0, тогда из системы F), с учетом условия у > х, по-
получаем у = 1 — х , а из второго уравнения следует, что у2 =¦ 2,
откуда
Пара чисел (x3; Уз) не удовлетворяет условию х < у, а пара чисел
*4; >ч) удовлетворяет этому условию и исходной системе.
2. х = - | + 2л;&, х = уп + 2л;&; л = | л + 2л&, л: = | or + 2жк,
k<=Z.
Решение, а) Пусть cos 2x > 0, тогда уравнение можно последо-
последовательно преобразовать так:
2 + V5 sin 2х — cos 2х = 2 — 2 cos х, -у sin 2д: — - cos 2х = — cos x,
cos f2x + f ] - cos х = 0, 2 sin fe + |j sin (f + f ] = 0,
откуда получаем две серии корней
х = ~'о~Ъ~~г жп> х ~ ~ Т "*" ^Jrrt' rt G ^*
Корни первой серии при п = ЗА + 1 не удовлетворяют условию
cos 2.v > 0 и удовлетворяют .этому условию при п = Ъктл. п = Ък + 2.
Для корней второй серии условие cos 2x > 0 не выполняется
б) Пусть cos 2х < 0, тоща уравнение можно записать в виде
cos [2х -1) + cos х = 0 или 2 cos fe - j) cos (f - f) = 0,
откуда
4я . 2 4я , т
Корни первой из этих двух серий удовлетворяют условию
cos 2х < 0 только при п = Зк, а корни второй серии не удовлетворяют
условию cos 2x < 0.
3. O*Sjc*s|, * = y,4<**s5.

36
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решение. ОДЗ неравенства определяется условиями
Зх3 - 22л;2 + 40 = Зх [х - у j (х - 4) > 0, х Ф 4,
0 «S х «? у, л- > 4.
откуда
Обозначим /(а-) = 3 х - 4г\{х - 4).
V /
а) Пусть х > 4, тогда /(х) > 0. В этом случае исходное неравенство
равносильно каждому из следующих неравенств
Vx f(x) > /(a-), Va > V/(a), a > /(a),
3a2 - 23a + 40 = 3 (x -.f) (x - 5) < 0,
откуда, учитывая условие х > 4, получаем 4 < д: ^ 5.
Ш
б) Пусть 0 < х < -г-, тогда х — 4 < 0, /(х) > 0 и исходное неравен-
10
ство равносильно неравенству Va /(a) < /(x). Значение х = у явля-
является решением этого неравенства, а если 0 ^ х < у, то /(х) > 0 и не-
неравенство примет вид
Зх2 - 23х + 40 = 3 [х - f 1 (х - 5) > 0,
10 R
откуда, с учетом условия 0 < х < у, получаем 0 ^ х ^ ^.
П 45V2
*• 7 ' 28 •
Решение. Пусть LACB = а, тогда
tg а = 2V2", cos а = т, sin а = —г-, АВ = ВС = = 6 (см. рис.).
о о cos ct
а) По свойству биссектрисы в треугольнике
АСЕ имеем
ME _ ЕС _ 3
МЛ ~~ ЛС — 4'
М? 3
откуда -jj;- = ^-.
Из подобия треугольников MEQ и ЛЕС следу-
следует, что
MQ__ME__ 3_
К задаче 4
откуда MQ = -=-.
ЛС ~ АЕ ~ V
12

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
37
б) Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника
BPQ, тогда
= 2^=272 В&
где
BQ = BE + EQ = 3 + EQ, EQ = ±EC = j, BQ = ^-, R =
5. a) 8; б) 10-я; в) 6 - л.
P e ш е н и е. а) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежа-
лежащие в квадрате (рис.) с вершинами А(—1; 0), 5@; 1), СA;0),
D@; —1). Площадь этого квадрата SY = 8.
б) Второму неравенству, которое можно
записать в виде
удовлетворяют точки, лежащие вне круга
радиуса 2 с центром в точке ?B; 2).
Площадь заштрихованного на рис. сег-
сегмента равна я — 2, а площадь фигуры,
координаты точек которой удовлетворяют
первым двум неравенствам, равна S2 =
= 8 - (л - 2) = 10 - л. к 3a«a4e 5
в) Прямые у — Зх — 2 = 0 и
Ъу — х + 2 = 0 пересекаются в точке F(—1; 1) и проходят соответст-
соответственно через точки В и С.
Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных уг-
углов с вершиной F, один из этих углов — угол, образуемый лучами
FB и FC и содержащий точку О.
Пусть S3 — площадь фигуры, координаты точек которой удовлет-
удовлетворяют всем трем неравенствам системы, S4 — сумма площадей тре-
треугольников ABF и CDF. Тогда S4 = ^ Si = 4, S3 = S2 — S4 = 6 — л.
, 1Ч 77 ~s 40V2" ON 7
6. l) ^т; 2) ,, ; 3) arccos-гг.
JO OJ 1 1
Решение. При пересечении пирамиды плоскостью а получается
равнобедренная трапеция ENMF (рис.), где EN\\FM\\CD.
а) Пусть Р и Q — середины сторон FM и EN, a — площадь сече-
сечения. Тогда
а = \ (EN + FM)PQ,
где

38
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Если О — центр основания ABCD, L —точка пересечения SO и
PQ, «р = LQSL = LPSL , К — середина CD, то
SK =
+ OK2 = VJT+T = 3, SP = ^SK=:1,
' OK 1
2/2
Из Л SPQ по теореме косинусов нахо-
находим
5 7 _ 121
4 ~ ^2-9~ 36'
-.2 _ , , 25 _ .
тогда
-2 3+3 T-36-
б) Искомый радиус г сферы равен расстоянию от точки А до
плоскости а, а г = 2х, где х — расстояние от точки S до плоскости а.
Но х — высота SG в треугольнике SPQ, проведенная из вершины S.
Пусть о?! — площадь треугольника SPQ, тогда
_ 5VT _ 2^ _ 20vT _ т _ 40v'2~
<Р - 9 , X - pQ
33
33 '
в) Угол |3 между плоскостью а и плоскостью ABCD равен углу
между SG и SL, так как SG± a, SL±ABCD; cos fi = j?- Для вычисле-
вычисления SL воспользуемся формулой для биссектрисы в треугольнике
SPQ.
Получим
г г _ 2SQ-SP-cos>p _ 40VT
SQ + SP ~ 21 '
откуда cos р = -jj.
1. I-'
2. х = -
neZ.
БИЛЕТ 6

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 39
3. О < х sS 4, х = 5, 6 < х < -у-
- Ьб 14V5
4* 11'
11' 55 "
4
5. а) 18; б) ?A0-я); в) {F-л).
6. l)^)^
БИЛЕТ 7
2. x = — ¦=¦ + 2лл, х = -5 ¦
л G Z.
3. 0<x<y,x = 4,5<x<6.
4 40/Г
4" 3' 63 #
5. a) 32; 6) 4A0 - л); в) 4F - л).
6- 1)§-.2IГ!3)ал»*?.
БИЛЕТ 8
1. A-V3";V3").
2. х = т-
3. 0 sS x < л, х = 6, -у < х < 9.
4- 9 ' 27 *
5. а) 50; б) ^A0-л); в) Ц- F-л).
6.

Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A999 г.)
Авторы задач
по физике: доценты Можаев В. В., Чешев Ю. В., Чивилев В. И., Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М. И.,
доценты: Трушин В. Б., Коновалов С. П., асе. Балашов М. В., Константинов Р. В.
Компьютерный набор. Сдано в производство 10.12.99.
Подписано в печать с оригинал-макета 10.03.2000. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «Тайме». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,33. Уч. изд. л. 2,5.
Оператор верстки Я. В. Дзюба
Художник М. В. Ивановский
Корректор Я. В. Болотина
Тираж 2000. Заказ № /3
Издательство МФТИ. ЛР № 064290 от 14.11.95
141700 г. Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., д. 9.
Тел. @95) 408-76-81.
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412 Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. @95) 485-93-09