/
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра
ISBN: 5-09-010371-2
Текст
ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
У y=cos2(^tgx)+sin2(/tgx)
О 0 1-0 О О
—।--1---1--1-----1--1--1---1---*
-2ft -3% -ft .А 0 я «я, 2ft х
f'(x) = -£2
а(о;<), _________
В(2хо;О)
S.AM-2k
A
О Xo
М(хо;уо)
AC=b, BC=a
Dc-Цр*
S(x) = ^«a-x)x
maxS(x)=S(|)
D x К
С E
В
ЗЖЖИ И© ДОйШрЕ
и
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
10—11 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Рекомендовано
Департаментом общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации
3-е издание
Москва
«Просвещение»
2001
УДК 373.167.1: [5124-517]
ББК 22.14я72
С12
Рецензенты: В. В. Гузеев, учитель школы № 5 г. Люберцы Московской
области;
Л. И. Звавич, учите ль-методист школы № 67 г. Москвы
Саакян С. М.
С12 Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для
учащихся 10—11 кл. общеобразоват. учреждений/С. М. Са-
акян, А. М. Гольдман, Д. В. Денисов.— 3-е изд.— М.: Про-
свещение, 2001.— 286 с.: ил.— ISBN 5-09-010371-2.
Книга содержит упражнения по всем разделам школьного курса ал-
гебры и начал анализа. Задания, составленные в трех вариантах трудно-
сти, помогут учителю в осуществлении индивидуального подхода к уча-
щимся.
1-е издание вышло в 1990 г.
УДК 373.167.1:1512+517]
ББК 22.14я72+22.161я72
ISBN 5-09-010371-2
© Издательство «Просвещение», 1997
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1997
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач написан в соответствии с действу-
ющими программами по алгебре и началам анализа для старших
классов общеобразовательных учреждений.
Книга состоит из шести глав. В главах I—IV даны задачи по
всем темам программы X—XI классов. Каждая из этих глав содер-
жит задачи трех уровней сложности (I, II, III).
Первый уровень — несложные упражнения по теме раздела,
в результате выполнения которых учащиеся овладевают умениями
и навыками, необходимыми для успешного изучения этого и после-
дующих разделов курса математики. Эти упражнения адресованы
всем учащимся.
Второй уровень — упражнения, направленные на выработку
умений и навыков на высоком уровне программных требований.
Третий уровень — упражнения, для решения которых необхо-
димо проявить элементы творчества. Эти упражнения адресованы
учащимся, проявляющим повышенный интерес к изучению матема-
тики. Упражнения этой группы могут быть использованы учителем
для организации индивидуальной работы на уроках с сильными
учащимися, на факультативных занятиях, а также в работе матема-
тического кружка.
Во всех трех группах имеются упражнения, решение которых
способствует развитию логического мышления учащихся. Каждый
номер содержит два аналогичных задания (пункты а и б), одно из
которых можно решить в классе, а другое — дома.
Глава V содержит задачи для учащихся, посещающих матема-
тические кружки. Эти задания охватывают весь материал програм-
мы старших классов. При подготовке материалов главы V учитыва-
лись требования к поступающим в высшие учебные заведения.
Глава VI предлагает задачи на повторение всего курса. Упраж-
нения этой главы предназначены для уроков заключительного по-
вторения и подготовки учащихся к выпускным экзаменам в школе.
Наличие в книге задач трех уровней поможет учителю в осуще-
ствлении дифференциации обучения учащихся. Учитель сможет вы-
брать упражнения для индивидуальных заданий учащимся в классе
и дома, а также для проведения семинаров и зачетов в случае, если
учитель работает по лекционно-семинарской системе.
К большинству задач помимо ответов даны краткие указания,
а к некоторым — решения.
Глава I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Зависимость между тригонометрическими
функциями одного аргумента.
Формулы приведения
I
1. Найдите:
ч . 5 л _
a) sina и ctg а, если cosa=——, -<п<л;
б) cos а и tg а, если sina=—0,8, ^-<Са<с2л.
Упростите выражения (2—6).
9 2
2. а) _sin_l_ ; б) —os tt .
cos a— 1 sin a-|- 1
3. а) 1—cos2 a4-tg2 a cos2 a;
б) 1—sin2 a + ctg2 a. sin2 a.
4. a) 1_cos2o + tgaetg Д;
6) (1 — cos2 a) tg2 a+1 — tg2 a.
5. a) V1 — sin2 p ; б) Д/1 — cos2 0 .
6. a) tg(n4-a)tg^ — a) — sin (л + a) cos 0-+a);
6) ctg (л — a) ctg + a.) — tg (2л + a) ctg + a,).
7. Вычислите:
a) tg 225° cos 330° ctg 120° sin 240°;
. 5л . Зл . 5л 4л
б) ctgsin — tg — cos.
Докажите тождества (8—9).
8. а) 2 sin2 a cos2 a + cos4 a + sin4 a= 1;
6) sin4 a—sin2 a = cos4 a — cos2 a.
9. a) 4-|-(ctg a —tg a)2 = (ctg a + tg a)2; 6) —^-^ = ctg6a.
tg a —sin a
II
10. Найдите:
a) cos а и sin а, если
б) sin а и cos а, если
. 5 ~
tga= — — и cosa<0;
ctga = — и sin а<0.
О
Упростите выражения (11 —13).
cos а ^4 1
11. а) ——-----Mg а; б) ctg а
1 + sin а
cos2 (— + а
12. а) —4^---------
tg2 (а —2л)
cos а
1 4-sin а
б) 1
1 + tg a + tg2 а
1 ч- ctg a + ctg2 а
cos2 (л — а)
13. а) ffl+^У+Л
' \\ sin а / /
1 + cos «-
sin2 а
Докажите тождества (14—17
14. а) ctg2 a —cos2 a = ctg2 a cos2
15. а)----!----= '+ctg2(t;
sin2 a —cos2 a 1— ctg2 a
le. a)_!q_.5!ldirL=1;
1—tg a ctg a
17. a) tg0p-4-a) tg(5n —a) + si
a; 6) tg2 a sin2 a = tg2 a —sin2 a.
sin a cos a _________ tg a
2 • 2 i a 2
cos a —sin a 1—tg a
1 +tg2 a + 14-ctg2 a
n (a — 2л) cos — a) +
" +cos2(y— a) = 1;
6) ctg a)- sin (7 — a) + tg (y— a) cos (^+ a) = tg a.
18. а) Найдите sin a cos a, если sin a + cos a=4 .
О
б) Найдите sina + cosa, если sin a cos a =
О
v IT „ 2 sin a —3 cos a . 2
19. а) Найдите -------------, если tga = —.
3 cos a 4- 2 sin a 3
тт о 4 sin a 4-3 cos a , 3
б) Найдите -------------, если ctga=—.
3 cos a —4 sin a 4
III
Докажите тождества (20—22).
20. a) sin6 a + cos6 a= 1—3 sin2 a cos2 a;
1 — sin4 a —cos4 a
6) 1--------
cos a
2 tg2 a.
21. a) 1 + sin a + cos a + tg a = (l + cos a)(l + tg a);
6) (sin a + tg a) (cos a + ctg a) = (l -|- sin a)(l+cos a).
22.
sin2 a-j-tg2 a
1
sin2 a
6)+^
sin a
sin a cos a
4-ctg2
ctg3 a
9
cos a
= tg3 a-|-ctg3 a.
Вычислите (23—25).
23. a) tg 1° tg 3° tg 5° ... tg 89°; 6) ctg 2° ctg 4° ctg 6° ... ctg 88°.
24. a) sin 160° cos 110° + sin 250° cos 340° + tg 110° tg 340°;
sin 110° sin 250° +cos 540° cos 290° cos 430°
' cos2 1620°
25. a) —, если sina =—4 и ctga>0;
1 — cos a о
, 1 ctg a 3 , . n
6)----5---, если cosa=—г и ctga<0.
1+sina 4
Упростите выражения (26—28).
26.
a) (sin a + cos a)2
1;
28.
6) tg2 a
27.
1 + ctg2 a
ctg2 a
2
tg a + ctg a
tg2 a
1 +tg2 a
6) Vsin2 a (1 + ctg a) + cos2 a (1 + tg a).
1— 2sin2(n + a) 1 1—2 cos2 (л —a)
sin (^- + a^ + sin (л —a) cos (n + a) + cos (y—°
sin (л + a) cos (n — a)—tg — a )
6) —-----------------------y
1 —(sin (y + a^ + sin (л —a))
§ 2. Формулы сложения
Вычислите (29—34).
29. a) sin(y+a), если cosa = 0,5, 0<a<-y;
6) cos (у— p), если sinp=^, 0<p<j.
a
I
30. a) sin — a J , если cosa=—0,6, n<Ca<C-^-;
6) cos если sin p=—0,8, -^<0<2n.
31. a) cos(a + P), если sina=4, cos0=—4» -^-<а<л,
o 4 z
у <Р<Л,
6)sin(a —0), если sina=—4» cos0 = 4-, -^-<a<2n,
D о z
^-<Р<2л.
з2- a> sin(^+2(9sin(^~2a)~cos(‘^+2a)cosGi—2a);
6) — sin 0P--|-3a) COS(y+3a)+sinG+3a)cos(-^ + 3a).
, л 5л 33. a) g 18 g ; 7л л , . л 7л COs —cos-+sin- sin — 34. а) 5 V ; . л Зя , л . Зя Sin —- cos ——4-cos —- sin —- 10 20 10 20 , 9л , л . g 28 g 14 6 i > » л 9л ' 1+‘gl4tg28 . 7л л 7л . л sin —— cos ——cos —— sin —— 24 24 24 24 f л 4л . л . 4л cos — cos — sin — sin —— 7 21 7 21
Упростите выражения (35—36).
35. a) sin a sin (2a + 3p) + cos (Зр + 2а) cos a;
6) cos 2a sin (a —P) —cos (P— a) sin 2a.
. cos a cos 0 —cos (a+ 0) sin a cos 0 —sin (a +0)
36. а) ----------------- , о) .
sin a sin 0 —cos (a—0) sin (a —0)4-cos a sin 0
Докажите тождества (37—38).
37. a) cos a cos p (tg a —tg P) = sin (a —P);
6) sin a sin p (ctg a4-ctg P) = sin (a-|-P).
38. a) cos (y-|-a)4-cos (y — a)— cosa = 0;
6) sin (^4-a) —cos a —cos (a—Д) = 0.
II
39. Вычислите:
tg2 52,5° - tg2 7,5° .
11 1 — tg2 7,5° tg2 52,5° ’
tg2 37,5° tg2 7,5° - 1
tg2 37,5° — tg2 7,5°
40. Найдите:
1 4 я
a)sin(20 — а), если sina = —, tg2p= — — , — <а<л,
О О Z
7<₽
я
Т’’
19 1
6)cos(2a + P), если ctgP =—— , cos2a = — , л<2р<2л,
D 4
Зя
~4~
л.
Докажите тождества (41—44).
б)
cos a — sina=y2 cos
42. а)
б)
43. а
2 sin a cos 0 —sin (a+0) . .
----------------------= tg (a — В);
cos (a + 0) + 2 sin a sin 0
2 cos a sin 0 + sin (a-0) = _ * , , .
cos (a —0) —2 cos a cos 0
„\ctga-l . xx
44.
а)
lK7 — — — ,
\4 / ctga+1
sin (a —P) _ tg a —tg p
sin (a + p) tg a + tg p ’
1 — tg a
1 +tg a
sin (a + p)ctg a + ctg p
sin (a — 0) ctg 0 —ctg a
45. Упростите выражение:
а) ctg (a — P) (tg p — tg a) + tg a tg p + cos2 y;
6) ctg (a+ P) (tg a + tg P)+ tg a tg P + ctg2 y.
46. Докажите, что:
a) sin (a-h0)<cos a + cos p, если 0<a<~, 0<p<y ;
6) cos(a —P)<cos a + sin p, если 0<a<y, 0<p<y.
Ill
Докажите тождества (47—49).
47. a) ctg a sin 2a —cos 2a= 1. 6) sin 4a —tg 2a cos 4a = tg 2a.
При каких значениях a данное равенство не выполняется?
. sin (a — 0) sin (a+0) . cos2a — sin2 0 f
48. a) ----+-------—- = — 1; 6) ---------------= 1.
sin 0 —sin" a cos (a + 0) cos (a — 0)
49. a) cos (a-f-P)(1 + tg a tg P)-f-(tg a tg p—1) cos (a —P) = 0;
6) cos (a—p)(ctg a ctg p—1 ) = (ctg a ctg P+1) cos (a-f-P)-
Упростите выражения (50—52).
_ 2 cos (a—P) 2 sin (a + P)
50. a)------------—------ctg a; 6) ---------1---—------tga.
sin (a —0)+sin (a + 0) cos (a+0) + cos (a—0)
51.
52.
a)
б)
a)
б)
cl,,=(p-.>+~-(.+l.) _с|,ос|,
2 sin2 a sin2 0
tg2p sin2(a + p) + sin2(p —а)
2 cos2 a cos2 0
cos2 (у -f- a) + cos2 0- — a) 4- cos2 a;
sin20^—a) 4-sin2 0^-4-a) 4-sin2 a.
53. Докажите, что:
a) a4-p=j, если tga = -|, tgp=|, 0<a<y, 0<p<^;
6) a4-0=j, если ctga=y, ctg0=—2, 0<a<j,
-j<0<O.
54. Докажите, что:
a) tg a tg ₽4-tg P tg y4-tg T tg a = 1, если a4-P4-y=-^;
6) tg 2a4-tg 2p4-tg 2y = tg 2a tg 2p tg 2у, если a4-P4-y=y.
§ 3. Формулы двойного и половинного аргумента
I
Найдите (55—57).
55. а) tg 2a, если tga=— 0,4; б) ctg 20, если ctg 0 = 6.
56. а) sin 2a и tg 2a, если sin a = 0,6, у<а<л;
6) sin 2a и ctg 2a, если cosa = ]|, —-^-<a<0.
1 О Z
„ 4 0 . 0 . o у/з o 3л
57. a) cos^- и ctg^-, если sin 0=-—, л<0<—;
\ . a * a 1 л
6) sin— и tg—, если cosa=——, -<a<n.
Вычислите (58—60).
i- о \ сь Л . 7 Л \ 9 Л 9 5 л
58. а) 2 cos — sin — ; 6) cos —— cos —.
о о 12 12
tg
59‘ а)-^ ; б) 2-4 sin2§ .
60. a) 6cos2-^- —3; 6) -----— .
e 8
61. Докажите тождество:
/ . a a\2
( sin —4-cos — 1 . л
\ \ 2 2 / . sin 4a— 1
а)--------------— = 1; 6) ----------------
sina+1 (cos 2a —sin 2a)2
Упростите выражения (62—63).
62.
63.
а) 4 sin — a) cos (у + a) cos (л + 2a);
6) cos4 (20+^)-Sin4 (20-
1 — tg2 a . ЛЧ 2 tg a
14-tg2a ’ l+tg2a '
II
Вычислите (64—66).
24 jt
64. a) sin 2a и cos 2a, если sin 0=^5 , — <а<л;
6) sin 20 и cos 20, если cos0=—, n<0<:-^-.
10 z
65. a) sin 0 и tg 0, если cos 20=—n<20<:-^-;
О Z
\ d t 1 3л
6) cos — , если tga = —, n<a<— .
66. a) tg2^- + a), если sin2a=-^-;
б) с^20£"— ₽)> если sin 20= — .
Докажите (67—69).
67. a) ctg 0 —sin 20 = ctg 0 cos 20; 6) sin 2a —tg a = tg a cos 2a.
68. a) sin 3a = 3 sin a —4 sin3 a;
6) cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a.
69. a) sin2a<2sina, если 0<а<л ;
6) sin2a<2cosa, если — y<a<y.
Упростите выражения (70—71).
70. а । cos ; б) sin33acos3a — cos33asin3a.
cos p sin p
71. a) sin 2a + 2 sin2 ; 6) cos2 —a)+4 sin 2a.
Вычислите (72—74).
*70 1 О „;,_2 17л 9 15л ч 4 23л . 4 13л
72. а) 1-8 sin -jg-cos — ; б) cos4 ——sin4—.
73. a) (sin £+sin (cos cos
6) (COs--cos-i?)(sin-ir + s1n-[I).
74. a) ctg^-Hg^; б) ctg-^-4-ctg-^.
III
Найдите (75—80).
75. a) tg а, если tg2a = 2, -у-<а<2л;
б) ctg а, если tg2a=—2, -^-<а<2л.
76. a) tg22a, если cosa = ^-; б) tg2 20, если sin0=—
О о
77. а) sin 4a и cos 4a, если tga = 3;
б) sin 40 и cos 40, если ctg0=—2.
_о о 2 cos a+ 3 sin a o
78. a) sin 2a, если ---------=—2;
3 cos a — 2 sin a
~ 4 sin a —cos a o
6) cos 2a, если ---------=3.
2 sin a + cos a
1 3
79. a) sin 2a, если cos 2a и sinai>—;
8 4
• a o 7 1
6) sin у, если cos 2a5^— — и cosa^- — .
80. a) cos 2a, если 2 cos 3a = cos a; 6) cos 2a, если sin 3a = 2 sin a.
Вычислите (81—83).
82. a) sinsin; 6) cos 20° cos 40° cos 80°.
83. а) sin 75° - sin 7,5° cos3 67,5° - cos 7,5° sin3 67,5°;
6) sin 105° - sin 82,5° cos3 22,5° - cos 82,5° sin3 22,5°.
84. Упростите:
a) V2+V2 + 2 cos 4a , где O^a^y;
б) Д/4-4 A/4+4cosa *где 2л<а<4л-
н
§ 4. Преобразование суммы
тригонометрических функций в произведение
I
85. Докажите:
a) cos 22° — cos 38° = sin$°; б) sin 5° + sin 55° = cos 25°.
Преобразуйте в произведение (86—89).
86. a) cos 65° + cos 55°; б) sin 12° — sin 78°.
87. a) cos (a+j) + cos(a—j) ; 6) sin (a —-y)— sin(a-f--y
88. a) cos(a — P) — cos(a + P); 6) sin (a-|- P) + sin (a — P).
89. a) sin (a—-j^)-f-sin (a—;
6) cos (2a—^) + cos0J-2a).
90.
91.
92.
Упростите выражения (90—91).
а)
а)
sin 35° +sin 85°
cos 25°
sin a —sin 0
cos a + cos 0
б)
б)
cos 24° — cos 84°
sin 54°
sin a + sin 0
cos a —cos 0
Докажите:
a) sinP~sin5p = -tg2P;
cos p + cos 50
б)
cos 2a — cos 6a . ~
--------------=tg 2a.
sin 6a-|- sin 2a
Преобразуйте в произведение (93—94).
93. a) cos 2a + cos 14a + cos 6a + cos 10a;
6) sin4p + sin 10p + sin 22p + sin 16p.
94. a) 4 sin у coscos 3a + sin 2a;
6) sin 4p + 4 cos p cos 8p sin p.
II
Вычислите (95—96).
95. a) cos 47° +sin 77° — д/3 cos 17°;
6) sin 56° +cos 26° — д/3 cos 4°.
sin 37° — sin 53° cos 41° — cos 79°
1—2 cos2 41° ’ 1—2 sin2 35,5°
Докажите тождества (97—100).
97. а) +2 cos 0 = 4 cos (-^ + |) cos (-^-|);
б) 1 — sin a = 2"\/2"sin 0 cos (j+y
98. a)
6)
99. a)
sin (2a+0 — cos (y- — 4a) = —2 sin a cos (3a+y
cos (30—0 + sin 0j^ — 50) = 2 cos 0 cos (40—0.
2 cos2 20 +cos 50—1 90
sin 50 + 2 cos 20 sin 20 2
2 sin 3a cos 3a —sin 5a , Ha
6) -------------------- = ctg —z- •
2 sin2 3a + cos 5a—1 2
x sin 4a + sin 9a —sin a . .
100. a) -------------------= tg4a;
cos a + cos 4a + cos 9a
6)
cos 150 +cos 70 +cos 0
sin 70 —sin 0 + sin 150
= ctg70.
Преобразуйте в произведение (101 —104).
101. а) 1—2 cos 2a;
102. a) sin 0 + 2 sin 50 + sin 90;
103. а) 1—2 sin a —cos 2a;
104. a) sin a + sin 0 —sin (a +0);
б) д/2 +2 sin 20.
6) cos a + 2 cos 7a + cos 13a
б) 1 +2 cos 0 + cos 20.
6) sin (a —0)+sin a— sin 0.
Ill
Вычислите (105—106).
105. a) sin 13° cos 3° — sin 5° sin 85° — cos 8° cos 82°;
6) sin 20° sin 70° — sin 14° cos 26° — cos 6° cos 84°.
/х/ч \ • 5л 7 л л л л
106. a) sin — cos — cos — cos — cos — ;
7 24 16 8 16 24
x . л . л . 7л. Зл . 7 л
б) sin — sin — sin — sin — sin — .
Докажите (107—108).
107. a) cos (2a—0 cos (^ — 2a)cos (4a—-50:
6) sin (^-30) sin (30-50=1 cos (60-Z0.
108. a) 2-8 cos2 0 = 8 sin (0—0 sin (0+0;
6) 3 —6 sin2 a = 6 sin (-^-—a)sin(j+a).
Упростите выражения (109—НО).
109. a) cos2 a + cos2 0 —cos (a + 0) cos (a — 0);
6) sin2 a +sin2 0 + cos (a +0) cos (a —0).
110. a) cos2 -|-а) — sin2 0^-— а);
б) sin4^-p)-cos2GHp)-
111. Преобразуйте в произведение:
a) sin 2а — 2 sin sin 5а + sin 8а;
б) cos 4а+ 2 cos sin 7а —cos 10а.
112. Докажите:
2 л/2 sin cos2 у
а) 1+sin a + cos a + tg а =---------------
cos a
2 Д/$Г cos cos2 у
б) 1—sin a + cos a — tga =----------------
cos a
Вычислите (113—115).
113. а) —!------4 sin 50°;
cos 20°
114. a) cos 10° cos 50° cos 70°:
115. a) ---!-------=-!------;
cos 670° V3 cos 220°
6) —-------1-8 sin 10°.
sin 50°
6) sin 20° sin 40° sin 80°.
6) ----!----h-r=—-------
sin 920° sin 470°
§ 5. Основные свойства тригонометрических функций
Определите, какие функции являются четными, нечетными и
какие не являются ни четными, ни нечетными (116—121)
116. a) f (x) = sin Зх;
117. a) f (x) = ctg 7х;
118. a) /(x) = xtg2x;
119. а) /(х) = х3 —sin 2х;
120. a ) f (x) = 2 + xcos х;
121. a) /(x)=|tg 10х|;
б) f (x) = cos 4х.
б) /(x) = tg8x.
б) f (х) = х sin 5х.
б) /(x) = ctg 6х —х5.
б) /(х) = 3 —xctg 2х.
б) f (х)= |sin 9х|.
Представьте следующие выражения в виде значений тригоно-
метрических функций аргумента, лежащего в промежутке
[О; (122—124).
122. a) sin 1990°; б) cos 2000°.
123. a) tg(----д-); б) ctg — .
. / 1011л\ . / 8001л\
124. a) cos ---ig-J; б) sin ------—
Найдите наименьший положительный период каждой из функ-
ций (125—128).
125. a) # = 5sinx; б) у=— 6 cos %.
126. а) у=^--\-2\ б) j/ = 3ctgx—5.
127. a) t/= 1 —2 cos (х —б) у = 4 sin (х-|-у)—1.
128. a) // = cos 2х cos x + sin х sin 2х;
б) z/ = sin 4х cos Зх —cos 4х sin Зх.
129. а) Докажите, что числа 6л и —12л являются периодами
функции у = 2 sin 4-
О
б) Докажите, что числа и —4л являются периодами
ж 1 О
функции // = — cos Зх.
Найдите область определения каждой из функций (130—133).
130, а) /(х) = cos 2х —3 б) /(х)=—4—. sin Зх—2
131. а) /(х) = 2 sin-i б) f(x)=—. cos 2х
132. а) f(x) = 4 4х; б) f(x)=3ctg|.
133. a) f (х)= C°s б) /(х)=—4—г sin (x+i)
Найдите область значений каждой из функций. Укажите, при
каких значениях аргумента функция на своей области определе-
ния достигает наибольшего и наименьшего значения (если тако-
вые существуют) (134—137).
134. a) f/ = 3sinx; б) # = 3cosx.
135. а) у=— 2 cos х; б) у=— 2 sin х.
136. а) # = 0,01 tg 100х; б) у= - 100 ctg 0,01х.
137. а) у = Ь — sin 2х; б) # = 5 + cos2x.
Найдите нули функций, промежутки знакопостоянства, воз-
растания и убывания (138—140).
138. а) у = 3 cos ( — 2х);
139. а) у = 2 sin (х+^;
140. a) f/ = tg(2x~);
б) у = 5 cos
б) t/ = 4sin(x—
б) */ = tg (Зх4-|).
Решите неравенства (141 —142).
141. a) xcos3<sin6; б) xsin4^sin8.
142. а) (х — cos 3)(х — cos 5)<0; б) (x + sin 2)(x + sin 6)>0.
вычислений,
Не выполняя
(143—146).
143. a) sin 134° —sin 154°;
144. a) ctg 13° — ctg 113°;
145. a) cos 1 — cos 2;
146. a) sin 1 — sin 1°;
определите знак разности
6) cos 91° — cos 119°.
6) tg71° — tg 117°.
6) tg 2 — tg 1.
6) cos 1° — cos 1.
Постройте графики функций (147—151).
147. а) у = 3 sin х; б) у= 2 cos х.
148. а) д/ = 2 sin ( — х); б) у= — 3 cos х.
149. а) б) у= — ctg (л — х).
150. а) У = sin 0р-4-2х); б) У = c°s(-^—2х).
151. а) i/ = sin2 —+cos2 —; 57 X X б) у= cos - -j— sin X— 1
Какие из указанных ниже функций являются четными, какие
нече1 тными и какие не являютс» I ни четными, ни нечетными
(152 — 156)?
152. f . 24-4 cos 2х а)/м- ?_4 ; ,-з^з« -
153. а) /(«)-,38i"2'
1 — cos 5х 2 tg 2х
154. a) /(x) = 2sin2x — 3 cos 5х; б) /(х) = 4 tg х + 2 cos 2х.
155. a) f (х)=д/х^ cos 2х tg Зх; б) /(x) = V*^sin 3xctg 2х.
156. a) f (х) = (х6 + 2х2—15)ctg4x; б) f (х) = (х4 —2x2 + 3)tg4x.
157. а) Докажите, что у—наименьший положительный период
функции у=—5 cos.^4х — yj.
б) Докажите, что 4л — наименьший положительный период
функции j/ = 3sin (4+т\
Найдите наименьший положительный период функций (158—
161).
158. а) у=— 3 tg 5х; б) у = 3 ctgj.
159. a) // = 2 cos ^2x —; 6) y= — sin (бх-Ьу)-
160. a) // = 3sin^— 1); 6) y = ^ cos ( — -^+ 1).
161. a) // = sin (— 2x) cos 2x;
6) # = sin2 (Зх —y) —cos2 (y —3x).
162. а) Известно, что если Го— наименьший положительный пе-
риод функции /, то любой период Т функции f представим
в виде T = kTQ, где k£Z, Верно ли, что если функция
не имеет наименьшего положительного периода, то она не
является периодической?
б) Верно ли, что любая периодическая функция имеет наи-
меньший положительный период?
Найдите область определения функций (163—167).
163. а) /(*)=—4—; sin (Зх—2) 6) /(*) = ' cos (2x—3)
164. a) f(x)=^sin(x4-j) i; 6) /(x)=^cos(x—-J).
165. a) f(x) = |tg(2x —J)| ; 6) f (x)=| ctg (4x4-J) |
166. a)f(x)=^±l; ctg^ 6) /U)=t4t- 2 tg 2x
167. a) f (*) = Vsi° 2x 4- V? — 2 sin2 x ;
б) f (х) = д/cos лх — д/sin лх .
Найдите область значений функций. Укажите, при каких
значениях аргумента функция достигает наибольшего и наи-
меньшего значения (если таковые существуют) (168—171).
168. а) у= — 1990 sin у cos у ; б) у = 4 sin (— 1990х) cos (— 1990х).
169. а) у= 1 4-3 sin (х+ 1); б) // = 2 — 3 cos (х4-2).
170. a) // = 4sin2y; б) // = ycos23x.
171. а) л/= 0,51cos 2х|; б) // = 2|sin 0,5х|.
Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, воз-
растания и убывания (172—174).
172. а) // = 2 cos 2x4-3;
173. a) «/=-^ sin (-^—Зх) ;
174. a) = 4х);
б) «/ = 3 sin 3x4-4.
б) r/ = lsing-2х).
б) f/ = tg(£-3x).
Не выполняя вычислений, определите знак разности (175—
177).
175. a) cos 3,1— sin 3,1; б) tg3,3 — cos 3.
176. a) sin 3,5 — sin 4; 6) cos 2,9 —cos 2.
177. a) tg 10° — ctg 20°; 6) ctg43° — tg20°.
178. Решите неравенство:
a) |x|-ctg3<cos 3; 6) |x|-tg 5>sin 5.
Постройте графики функций (179—183).
179. a) r/=14-sin2x; 6) r/ = cos2x—1.
180. a) t/ = tg(x—-0; 6) t/ = tg(x+£).
181. a) y = 2 cos (x—— 1; 6) y = 2 sin (x++ 1.
182. a) t/ = sin |x|;_ 6) y = tg |x|.
183. a) r/ = sin2 (Д/ — x ) + cos2 (Д/ — x);
б) у = cos2 (Д/1 — x) + sin2 (Д/1 — x).
Ill
Какие из указанных ниже функций являются четными, какие
нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными
(184—188)?
,о. \ \ X* + sin Зх . . cos 4х—х*
184. а) /(х)=—----; б) -----— .
sin Зх—х хг — cos 2х
185. a) f (х) = х2 — sin2 x+sin х2; б) f (х) = х3 — tg33xsin32x.
186. а) / (х)=Д/cos х +5х2 —2; б) f (x) = "\/sTn7r — 5х2 + 2.
187. a) f (х) = 5 tg55x|tg 5х| ; б) /(х) = 6 ctg66x |ctg6x|.
188. a) f (x) = sin (лх4—l) + cos5-^—|х4—1+V^I;
6) 7(^)=sin (лх5+ 1) —cos4 i _[_ lx5 — 1 + Д/х*~I-
Какие из следующих функций являются периодическими?
Укажите для них наименьший положительный период (189—
192).
189. а) 7(х)= |3 cos х|; б) 7(х) = т lsin *1-
О
190. а) /(х)=8 sin2-^cos2-^—Г, б) /(x)=siny cos-^cos xcos2x.
191. a) /(x) = sin22x; б) /(x)=cos23x.
192. a) f (х) = 3 cos^x+j ; б) f (х)=^/з cos (*+•
Найдите область определения функции (193—196).
193. а) / (х) = ' ; б) / (х)=—-!----------- .
sin 2%4-cos 2х sin Зх— cos Зх
194. a) f (х) = 3 д/sin 2х — 2 д/ctg 2х ;
6) f (х) = 5 д/cos Зх +2 Д/tg Зх .
195. а) /(х)=—б) f(x)=—J——.
tg (2ЛХ2) ctg (Злх2)
196. a) f (х) = д/cos х — д/Зх — 1 ; б) f (х) = 2 Д/sin х +Д/2х —5 .
Найдите область значений функций. Укажите, при каких зна-
чениях аргумента функция достигает наибольшего и наименьше-
го значений (если таковые существуют) (197—200).
197. а) у= 1 —Д/sin (х—0 ; б) # = 2-|-Д/со5 (х-|--0 .
198. а) у= 1 4-"^sin2-^cos2 j ; б) у= 11 — 2 sin2 Зх| 4-0,5.
199. а) у = 24-2 cos 8х-|-7 sin2 4х;
б) у = 3 cos2-^4-8 sin2 j cos2.
200. а) у = sin2 2x4-4 cos 2х cos х sin х —0,5 cos 4х —0,5;
б) i/ = 0,5— 16 sin2 х cos2 х cos2 2х —2 sin 4х cos 4х-|-0,5 cos 8х.
Найдите нули функций, промежутки знакопостоянства, воз-
растания и убывания (201—203).
201. а) /(х) = 2 (1 4-sincos-0 ;
6) f (х) = 2 (1 — cos Зх sin Зх).
202. a) f (х) = -^- cos2 2х; б) f (х)= — 2 sin2-^.
203. a) f (x) = Vsin х; б) f (х) = Д/cos х .
Не выполняя вычислений, определите знак разности (204—
206).
204. а) 0,5-sin б) tg^~ 1.
205. a) ctgy-V3; б) ^f-cos^-.
206. a) sin 1 —sin 2; б) sin 1 —sin (1 4"-у-) •
207. Докажите, что функция:
a) f (x) = cos (sin х) убывает на ^0; -|j;
б) f (x) = sin (cos х) убывает на ^0; у| .
208. Докажите, что функция:
a) f (x) = cos (sin х) возрастает на
6) f (x) = sin (cos х) возрастает на
Постройте графики функций (209—216).
209. а) у = 1 —sin2 2х ; 6) t/="\/l — cos2 2x .
210. а) y = tg у Ctg у; 6) f/ = tg( — 2x)ctg2x.
211. а) У=~"^ёх> sin х 6) f/=-y-ctgx. COS X
212. а) У = —.—г; |sin х| 6) y=- |cos x|
213. а) r/ = cos х + |cos х|; sin (y+lxl) 6) i/ = sin x— |sin x|. cos (v+|x|) 6) y=— L. sin X
214. а) и=— COS X
215. а) у = 5ху[х-У] — sin2 х ; б) у = Зх3 V—cos2 X .
216. а) i/ = sin2C\/l — х? )-|-cos2 (V> -x2);
б) y = cos2(\lxt—1 )4-sin2 (Vx2-!).
§ 6. Арксинус, арккосинус, арктангенс
I
217. Может ли arcsin а принимать значения:
\ л 5л /л \ Зл л Д/З
а) 4--8-’ -v2; б)-, V?
218. Может ли arccos а принимать значения:
л
7’
а)
Л
"б
\ л 5л
б) з.
-Д/5 ?
219. Может ли arctga
принимать значения:
а) 0,
5;
б)
л 7л
Т’ 75 ’
При каких значениях а имеет смысл каждое из выражений
(220—221)?
220. a) arcsin (2а + 1); б) arccos (За —2).
221. a) arccos (5 —4а); б) arcsin (1—6а).
Решите уравнения (222—223).
222. a) 3 arcsin х=л; б) — arccos х = 0,5.
л
223. a) arctg х= — б) arcsin (х—1 )=^-.
Решите неравенства
224. a) arccos
225. a) arctg х^—у;
(224—225).
б) arcsin х^ —- .
4
2л
б) arccos .
О
226.
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
237.
Вычислите (226—237).
a) arctg( — 1) — arctg 1; б) arcsin 0 —arccos 0.
a) arctg(—-^=) + arccosб) arcsin (—у)— arctg д/У.
--2 /’
,, о / Д/з”\ । • W
б) 2 arccos I —^-1 +arcsin-у-.
а) 2 arccos-^- — 3 arctgб)
Z о
a) tg (л + arcsin (—0,5));
a) cos (л — arcsin ( —1));
a) sin (3 arctg (— д/jT));
2 . . 1 1
— arcsin 1----arccos —= .
л Л Y2
б) cos ^arccos •
б) tg (arctg д/3).
б) cos
б) sin (arccos (—0,5)).
б) tg (у + arctg д/з) .
б) sin (у--arccos (— 1
б) ctg (2 arccos
б) cos (3 arctg (
w))'
. Д/3
arcsin -~-
II
Вычислите (238—254).
238. a) arcctg 1 —arctgд/3~— arccos(—0,5);
6) arcsin
arccos 1 — 2 arctg-^=);
/ . 3 . . /
I arctg-=+arcsin —
240. a) sin (2 arcsin arctg (—Д/зГ));
6) tg (2 arcctg 1 +3 arctg 0 +arcsin ( — 1)).
241. a) ctg (arcsin 1+2 arccos (—y-)
6) tg(2 arccos 1 —2 arctg(—д/З^)).
242. \ . /я V3 Д a) sin (-—arccos-—-); \ Л о / 6) cos (y + arcsin^).
243. a) cos (n + arccos ( —y))’ 6) sin (n —arcsin y).
244. a) tg(^—arcctg?); 6) ctg +arctg (— 5)
245. a) cos (arcsin-j^-); 6) sin (arccos 0,6).
246. a) sin (arcctg 0,25); 6) cos (arctg-|) .
247. a) tg (arccos-0 ; 6) ctg (arcsin 0,4).
248. a) sin (2 arcsin 0,8); 6) cos (2 arccos -j|-) .
249. a) sin (2 arctg 2); 6) cos (2 arctg 3).
250. a) tg (arctg 3 — arctg |) ; 6) tg (arctg 5 +arctg у
251. . . / . 3n\ a) arcsin (sin — \ \ 6) arccos (cos -y) .
252. a) arctg (tg-yy); 6) arcctg (ctg ^) .
253. a) arccos (sin y) ; 6) arcsin (cos y) .
254. a) arctg (ctg-y-) ; 6) arcctg (tg^)-
255. Сравните: a) tg 1 и arctg 1; 6) sin 1 и arcsin 1.
Решите уравнения (256—257).
256. a) arctg 2x = y; 6) arcctg (— 3x) = y .
257. a) 2 arcsin (5x—1)=—j ; 6) 3 arccos (2x + 3) = -^.
Ill
258. Докажите, что:
a) arcsin (— а)= — arcsin а, где |а| 1;
б) arccos (— а) = л — arccos а, г де | а | 1 •
259. Докажите, что:
a) arctg (— а)= — arctg а\ б) arcctg( — а) = л — arcctg а.
Вычислите (260—268).
260. а) . 9 sin (y arcsin 7) — cos2 (y arcsin y) ;
б) sin | (y arccos -^-) cos (y arccos -^-) .
261. а) sin | (arccos -Ц- — arcsin 0,6^ ;
б) cos (arcsin 0,28 + arccos .
262. а) sin | (a rctg у + a rccos ( — |)) ;
б) cos (arcsin у — arcctg ( —0,5)) .
263. а) arcsin (—j§) + arccos 0,8) ;
б) ctg (arccos (—^)— arcsin y) .
264. а) cos (y arccos 0,375) ; 6) sin (y arcsin-^) .
265. а) sin (y arctg (—7)) ; 6) cos (y arcctg-у) .
266. а) sin | (\ . зд/т" . o . 1\ arcsin 4-2 arctg ); \ z 0 a /
б) cos (0,5 arccos 0,25 — 2 arcctg 2). 0X2-7 \ / 10л\ / . 6л \ 267. a) arccos (cos; б) arcsin (sin— 1.
268. a) arctg (tg 7 ) ; 6) arcctg (ctg ( 8
Решите уравнения (269—270).
269. а) 4 arctg (х2 —4х + 4) = л; б) 6 arcctg (Зх2 + х+д/з') = я-
270. а) arccos (х3 — 2х2 + Зх —5,5) = tg
б) -^-arcsin (4,5 —2х+15Х2 —6х3) = -~ ctg ( —.
271. Решите неравенство:
a) sin (arccos (|х|—2))>0; б) cos (arcsin (х2 —2х))>0.
§ 7. Простейшие тригонометрические уравнения
и неравенства
I
Решите уравнения (272—279).
272. а) 3 sin | = 0;
273. а) 4 cos Зх4-4 = 0;
274. a) tg(x+2) = 0;
275. а) 2 sin Зле-|- 1 = 0;
276. а) д/3 — tg2x = 0;
277. a) sin (|+|) + 1 =0 ;
278. а) д/2 cos (2х-£)- 1 =0;
279. a) 2sin(|+^) = V3;
б) 0,5 cos 2х = 0.
б) 5 sin 5х —5 = 0.
б) ctg(x —3) = 0.
б) 2 cos ^—1=0.
б) l+ctg4x=0.
6) cos(|+|)-1=0.
б) д/2 — 2 sin (бх —-0 = 0.
б) 2 cos (£-£)=-!.
Решите неравенства (280—284).
280. а) 2 sin х< — 1;
281. а) —3tgx>V3;
282. а) д/2 sin(-^—2х)>1 ;
283. а) 2 sin (л + 3х)^д/3^;
284. a)ctg(^-i)<V3;
б) 2 cos х^д/3^.
б) -Д/З tgx<3.
б) 2cos(^ + 3x)<-Д/2.
б) 2 cos (л —2х)> 1.
б) tg(n+|)+l>0.
II
Решите уравнения (285—291).
285. а) 4Д/3 sin (Зх--^)-6=0;
286. а) Д/З+3ctg(^-3x) = 0;
287. a) д/3 tgg-2x) = 3;
288. а) -—- = 2;
cos (3%-0
289. а) 4 sin2Зх-1=0;
290. a) 3tg25x—9 = 0;
б) 6 д/3" cos (2х+-^) + 9=0.
б) З + Д/З tg(£—0 = 0.
б) Д/З ctg(j-4х) = 3.
б) ---А--\ =2’
sin (4х+0
б) 4 cos2-^— 3 = 0.
б) 3 —ctg2 Зх=0.
291. а) —Ц- = 2;
cos ~2
Решите неравенства (292—298).
3 .
б)------5- = 4-
. о 2х
S1D —
292. а) О у/ 7 * |см + tuD Ч—• CJ б) tg(n — 2х)^д/3~
293. а) ND S’ ю| 1 Я V 1 б) 2cos(3x—у)< д/з.
294. а) tg(4x + ^-)+l<0; в) V3tB (!+£)- 1 >0.
295. а) cos —4х) 4- 0,5 > 0; б) 2 sin (j—2х) — \/2 <
296. а) sin2 х+2 sin х<0; б) cos2 х—2cosx> -0.
297. а) sin xZ>cos х; б) sin х^ —cos х.
298. а) 4 sin -^^3; б) 3 cos 2x^2.
Ill
Решите уравнения (299—305).
299. а) sin 2х=-^-; 6) cos 3x= — О
300. а) cos 2х= — 4 6) • Q 71 sin 3x= —. о
301. а) 2 cos х2 = 1; 6) 2 sin х2 = д/3^.
302. а) о II К |со + tuD -ч—• 6) ctg (x2 4-^) 4-1=0.
303. а) 4ctg(^-l)-3 = 0; 6) 3tg(^ + 2)4-4 = 0.
304. а) 3sin(-^ + 2)-V3 =0; 6) д/З cos (^— l)4-2 = 0.
305. а) 2sin(V^ + y)-V3=0; 6) 2 cos (y/x + я) + 1 = 0.
Решите неравенства (306—310).
306. а) y2 _ УЗ ^-<cosx<^-; 6) — <sin x<-^-.
307. а) — 0,5<sin x^-^; 6) Д/з ^-2 2 <C°S*<3-
308. а) 2 tg2 2x—l>0; 6) 3tg23x-2<0.
309. а) cos2 sin2 — 0,5;
б) s,n (3 2x)cos(3 2x)>- T 1 *
310. а) sin 2х + д/3^cos 2xZ> 1; 6) Л /7Г • X X pr y3 sin — — cos — y3 .
§ 8. Тригонометрические уравнения
и системы уравнений
I
Решите уравнения, преобразовав их к квадратным относи-
тельно какой-либо тригонометрической функции (311—319).
311. а) 3 cos2 х+10 cos *4-3 = 0; б) 2 sin2 х-|-5 sin х-|-2 = 0.
312. а) 24-cos2 х=2 sin х; б) 3 — 3 cos х=2 sin2 х.
313. а) 5 sin2 х-|-4 sin (у-|-*) = 4;
б) 6 cos2 х 4-5 cos — х) = 7.
314. a) cos2 2х-|-5 cos 2х=2 sin2 2х;
б) sin2i—5 sin у=2 cos2-^.
315. а) 2 cos244-3 sin 4 = 0; б) 2sin23x—5cos3x—4 = 0.
О о
316. а) 2 cos2 5х—l = sin5x; б) 3 sin ^4-3 = 2 cos2-^ .
317. a) tg2x-(14-V3)tgx-|-V3 =0;
б) ctg2x—(Д/З^—1) ctg х—д/У=0.
318. a) tg х-|-3 ctg х=4; б) tgx—4ctgx = 3.
319. a) tg(2(x+n))4-4 = 5tg(-^—2х);
б) ctg-^-^4-2ctg(n—0=1.
Решите уравнения, однородные относительно синуса и коси-
нуса (320—325).
320. a) sin х — д/з" cos х = 0; б) д/З^ sin x + cos х = 0.
321. а) 3 sin х + 4 sin ^- + х) = 0;
б) cos (^ + х)-5 cos х = 0.
322. а) 6 sin х cos х = 5 cos 2х;
б) 7 sin2 х + 4 sin 2х=7 cos2 х.
323. a) sin2 х+14 sin х cos х= 15 cos2 х;
б) cos2 х— 12 sin х cos х= 13 sin2 х.
324. a) cos2 х — 7 sin2 х = 3 sin 2х;
б) sin2 х+9 cos2 х = 5 sin 2х.
325. а) 4 sin 2х = 3 cos2 —х) + 4 sin2 0р-4-х);
б) 1,5 sin 2х=2 sin2 0р- + х) —9 cos2 (-5- + *) •
Решите уравнения методом разложения на множители (326-
337).
326. а) д/jT cos x = sin2 x cos x; 6) y/2 sin x = cos2 x sin x.
327. a) 2 sin — = 3 sinz — ; 6) 3 cos4 + 4 cos24 = 0. о O
328. a) sin 2x=^/2 sin x; 6) sin 2х=л]3 cos x.
329. a) у/2 cos2 4x+cos 4x = 0; б) 2 sin2 Зх=д/3^ sin 3x.
330. a) cos 7x+cos x = 0; 6) sin 7x=sin x.
331. a) cos x = cos 5x; 6) sin x+sin 5x = 0.
332. a) sin2 x + sin 2x= 1; 6) cos2 x—sin 2x= 1.
333. a) ctg 2x cos2 x=ctg 2x sin2 x; 6) sin 3x sin2 x=sin 3x cos2 x.
334. a) cos 3x= 1 + cos 6x; 6) sin 4= 1 —cos •
335. a) cos2 x —sin2 x=2 cos2 2x; 6) sin2 x —cos2 x=sin 4x.
336. a) sin2 x + 0,5 sin 2x = 0; 6) cos2 x —0,5 sin 2x = 0.
337. a) sin x —2 cos x=2; 6) sin x + 2 cos x= —2.
Решите уравнения методом введения вспомогательного аргу-
мента (338—340).
338. a) sin х — cosx=l; б) sin x+cos х=1.
339. a) sin х+д/З^ cos х = 2; б) д/з" sin х — cos х = 2.
340. a) cos 2х—sin 2х = д/3^, б) д/з" cos -^ + sin 1.
Решите системы уравнений (341—343).
341. a) I f/-x=£,
( cos x+sin у= Г,
б)
। я
*+У=2'
sin x + cos у = у/2.
342. a) f х + у = л,
( sin x + sin у = у/3 \
343. а)
sin х—cos у= 1,
sin x + cos у = 0\
б) Г — х + у = л,
( cos х —cos у= 1.
б) ( cos x+sin у = 0,5,
( cos х —sin у = 0,5.
Решите уравнения, преобразовав их к квадратным от-
носительно какой-либо тригонометрической функции (344—353).
344. а) 15 (sin2 2x+sin x + cos2 2х)2= 17 + 31 sin х;
б) 12 fcos х —cos2y—sin2-02= 10— 13 cos x.
345. a) cos 2x=3 + 7 cos x;
346. a) 3 + 5 sin 3x=cos 6x;
347. a) cos*~ 2=2;
' X
C0S ~2
6) cos 2x = 11 sin x— 5.
6) cos 2x4-2 cos 4x= 1.
cos %+1
6)——
s,n 2
4.
348. a) 12 cos2(2 —3x) + 4 sin (2 —3x)—11 =0;
6) 20sin2(3x+2) + 8cos(3x+2)—19 = 0.
sin —5--4
349. a) 3cos4d---4----=0; 6) sin 2x= 1
7 2 x~ 4л , t 7
I 3 —7sin (5n + 2x)
4 cos 0p- + 2x)
350. a) 4 sin4-^—1 =5 cos2-^ ; 6) 4 cos4 3x4-8= 11 sin2 3x.
351. a) cos 2x4-sin2 x = cos x4-2; 6) cos2 x —cos 2x=2 —sin x.
352. a) 2 cos (y- + 2x) = 3 ctg (3n + 2x);
3S3. a) 6 +l+ctgx= -!^^-;
6 — ctg X 6tg^x — tg X
6)--------1- 1 + tg x=—2^tgx~2— .
4 — 3 tg x 4 ctg2 x—3 ctg x
Решите уравнения, преобразовав их к однородным от-
носительно синуса и косинуса (354—358).
354. а) 2 sin2 2x4-3 cos2 2х = 2,5 sin 4х;
б) 3 sin2 2х —0,5 sin 4х=4 cos2 2х.
355. а) 3 sin21 + 2 cos23,5 sin ^ = 0;
б) 2 cos2 3x4-sin2 Зх= 1,5 sin 6x.
356. a) 10 sin2 x—12 sin x cos x—11 cos2 x= 1;
6) 4 sin2 x —3 sin x cos x4-5 cos2 x = 3.
357. a) 6 sin2 x=44-sin 2x; 6) 3 sin 2x4-8 cos2 x = 7.
358. a) 6 sin2 1) + 0,5 sin (x-^) = 2 + cos2
6) 8 sin2 0- — 2x) —cos2 (2x—-^-) = 0,5 sin (4x—-^-) + 3.
Решите уравнения методом разложения на множители (359—
373).
359. а) (1 — cos 6х) cos 2х= sin2 Зх;
б) (1 4-cos 4х) sin 3х = д/3^ cos2 2х.
360. a) sin 4— 3 cos 4=3; б) sin 44-3 cos 4= —3.
z z z z
361. a) sin ^2x—y^ = cos (бх—у);
6) cos ^3x-f-y) = sin ^9x-|--y-).
362. a) 1-f-sin 2xcos x=sin 2x-|-cos x;
б) л/З sin x+tg 2x sin x=tg 2х-|-д/з\
363. a) sin 3x—sin x+2 cos2 x= 1;
6) cos x-f-cos 3x+2 sin2 x= 1.
364. a) sin x-|-sin 5x-f-cos x-f-cos 5x=0;
6) cos Зх-f-cos 7x=sin 3x-f-sin 7x.
365. a) sin 5x-f-cos (х-р-у-) — sin 3x=0;
6) cos x-|-sin 0p--f-7x) — cos4x=0.
366. a) 1-|-sin 3x=(sin-y-—cos-y-J2;
6) (cos-y-|-sin-^02= 1—sin 7x.
367. a) sin2 2x-f-sin2 4x= 1; 6) cos2 x-f-cos2 3x= 1.
368. a) cos2 x 4- cos2 2x=cos2 3x 4- cos2 4x;
6) sin2 x-f-sin2 3x4-sin2 5x= 1,5.
369. a) siny—V^cos-y—siny=0;
6) sin—— y2 sin—4-sin—= 0.
о и о
370. a) 4 sin3 х-ЬЗд/^Г cos —2x)= 10 sin (5л —x);
6) ^3 sin 2x-f-4 cos 0p--|-x) = 2 sin x sin ^2x—.
371. a) sin x—cos x="\/2^ cos 3x;
6) sin^-4-cossin l,5x.
372. a) V^sin x-f-cos x) = sin (y-f-2x) ;
б) д/З^ (cos x—sin х)=д/2^ sin (2x—-y-
373. a) 1-f-cos 4x=sin 3x—sin x;
б) 1—cos4x= sin 3x-f-sin x.
Решите уравнения методом введения вспомогательного аргу-
мента (374—376).
374. а) 2 sin Зх-|-2 cos Зх=“\/2^; б)Д/2*со5-|— д/2* sin-|-= 1.
375. a) 3 sin-i—Д/З cos4 = 3; 6) 2 д/3~ cos 2x + 6 sin 2x=Д/Т^-
О о
376. a) 9 cos (1 —2x) — y/27 sin (2x — 1 ) = —6 д/3~;
6) 3 sin (y-2) + д/3 cos (2-0 = - W-
Решите системы уравнений (377—379).
377. a) | x—y=\, [ cos лх+УГ = cos лу; б) 1 [ y — X = 3, [ sin лх—yr=sin лу.
378. a) JI y~x=&' 6) Л
2 cos y = y/3 cos x; sin x = 2 sin y.
379. a) 3л Х~У = ~2-< 6) 5л У~х=^
5 cos2 x = 6 sin у—1; 3 sin2 x= 10 cos y — 3.
Ill
Решите уравнения, преобразовав их к квадратным от-
носительно какой-либо тригонометрической функции (380—388).
380. a) cos 4х = 6 cos2 х — 5; б) 0,5 cos 4x = sin xcos х.
381. a) sin4 % + cos4 x = sin x cos x;
6) cos4 %+sin4 x=sin 2x — 0,5.
382. a) 4 sin2 2x4-3 = 4 cos2 x; 6) sin4 j4-5 cos x4-4 = 0.
383. a) 2 cos ^2x —y) = 8 sin (x —-^04-5;
6)2c»s’(^ + ^) + 3Sin1(i + |) = 2.
384. a) 2 cos 4x —2 cos 2x = 4 cos2 x—1;
6) 2 cos 4x4-2 cos 2x = 4 sin2 x— 1.
385. a) (sin 2x4-cos 2x)2 = 54~cos —2x^ ;
б) (д/3 sin-£—cos02 = 5 + sin(£—0.
386. a) 3cos(2n (5x + 3)2) —7 = 4cos(n(5x + 3)2);
6) 4 —cos (2л (13x-f-9)2) = 5 sin (л (13x-f-9)2).
387. a) 2cos22x—2 cos 4x-f-4 sin2 x-f-2 cos 2x — 5=
=5 cos (^- — 2x) ;
6) 2 cos2 2x— 12 cos2 x-f-cos 4x— 1 =8 sin (-^--|-2x) .
388. а)
sin x [ 4 __ 18
sin x — 3 cos x tgx+3 tg2 x —9 ’
5 । 3 sin x—3 cos x_8 cos2 x+2 sin2 x
tg x—1 2cosx4-2sinx sin2 x —cos2 x
389. а) Из всех решений уравнения
5 cos 2x4-7 cos 1 =0
укажите те значения х, при которых cosx^O.
б) Из всех решений уравнения
3 sin 0^-4-2x^ — 5 sin 1 =0
укажите те значения х, при которых sinx^O.
390. а) Из всех решений уравнения
2 cos2 2x4-5 sin 2х —4 = 0
укажите те значения х, которые принадлежат промежутку
[л 3л1
т; т] •
б) Из всех решений уравнения
2 sin2 2х —5 cos 2x4- 1 =0
укажите те значения х, которые принадлежат промежутку
[л; 2л].
391. а) Из всех решений уравнения
10 sin х —5 = 3 cos2 х
укажите те значения х, при которых cosx<0.
б) Из всех решений уравнения
14 cos х —2 = 3 sin2 х
укажите те значения х, при которых sinx<0.
Решите уравнения (392—394).
392. а) 6 sin х —sin xcos х = 6(1 4-cos х);
б) 74-sin 2х=7 sin х4-7 cos х.
393. a) tg2 х — 3 tg х+4 = 3 ctg х—ctg2x;
б) ctg2 x + ctg х=4 — tg2x+tgx.
394. а) Ц-+1 ; 6)
cos2 X I COS X | cos X
+-3
7|sin x|
cos x .
Решите уравнения, преобразовав их к однородным от-
носительно синуса и косинуса (395—399).
395. а) 2 sin2 2x4-3 cos 4х —4 = 5 sin 4х;
б) 3 cos2 7^ —5 cos х — 2 sin x=4.
396. a) cos4-^4-3— 4 sin x=sin4^;
6) 2 sin4 2x — 34-5 sin 4x=2 cos4 2x.
397. a) 2 cos x — 3 sin x = |sin x|; 6) 2 cos x — 3 sin x= |cos x|.
398. a) 3 cos x-j-4 sin x=sin |x|; 6) 4 cos |x| — 3 sin x=sin |x|.
399. a) 3 sin2 x=24-0,5 | sin 2x|; 6) 5 cos2 x — 2,5 | sin 2x| =3.
400. а) Из всех решений уравнения
4 sin2 х(1 4-cos 2х)= 1 —cos 2х
укажите те значения х, которые принадлежат промежутку
Г л 3л1
L2’ Tj *
б) Из всех решений уравнения
sin Зх(1 4-cos 4x) = cos22x
укажите те значения х, которые принадлежат промежутку
Решите уравнения методом разложения на множители (401 —
409).
401. а) 2 sin 7x4-sin 3x4"V^ cos Зх = 0;
б) 2 cos 12x4-cos 2х—д/3 sin 2х = 0.
402. a) sin x4-cos х= 1 4-sin 2х; б) cos х —sin х= 1 —sin 2х.
403. a) sin* = -2 cos 4; б) sin 4* = 2 sin 2х.
l + sin| 2 '-cos^
404. а) (1 — tg 2х)(1-|-sin 4х)= 1-f-tg 2х;
б) (14-tg-0(l— sinx)=l — tg|.
405. a) sin2 x4-sin2 3x4-sin2 5x4-sin2 7x = 2;
6) cos2 2x4-cos2 3x4-cos2 4x4-cos2 5x = 2.
406. a) sin 2x sin 5x = sin 3x sin 4x;
6) cos 2x cos 3x = cos x cos 4x.
407. a) sin4 2x4-sin4 ^2x--^-^ = 0,25;
4 * i 4 / x । 3л \ 1
6) cos4-4-cos Q—4-—J=—.
408. a) cos 2x= sin3 x4-cos3 x;
6) cos2x = sin3x — cos3 x.
409. a) cos 2x4-cos 6x= |cos 4x|;
6) sin 12x — sin 4х = д/3^ |cos8x|.
Решите уравнения методом введения вспомогательного аргу-
мента или с помощью формул, выражающих синус и косинус че-
рез тангенс половинного аргумента (410—412).
410. а) 3 sin х — 4 cos х = 5;
Alt \ i+c08* о
411. а) ------= 3;
1 — sin х
412. а) 3 cos 2х-{-5 sin 2х=-^р-;
6) 5 sin x-f- 12 cos x= — 13.
1 —cos x 1
6) TV-— = 3’-
I + sin X &
g> \ Q X . x 1 06
6) 2cos- —7 sm-=-^—.
413. а) При каких значениях а уравнение 5 sin Зх—6cos3x = a
имеет решение?
б) При каких значениях b уравнение 7cos-^ — 3sin-^ = b
имеет решение?
414. а) При каких значениях а уравнение
Г- (х Зл\ . . /Зл х\ с
5 C0S (4 —8) + а S,n (-8—4) = 6
имеет решение?
б ) При каких значениях b уравнение
3 sin (4х—cos (tF4x)=4
имеет решение?
Решите системы уравнений (415—417).
415. a) . 3 Sin X Sin y = -^ , 6) 3 Sin XCOS U=T , 4
1 1
cos x cos u = — ; 4 COS X Sin y = -r . 4
416. a) x + y = ^, 6) . 3л x4-z/=v,
. tgx —tg// = 2; . tgi/ — tgx=2.
417. a) "\/cos 2x cos x=0,
2 sin2 x—cos (%y — y) = 0;
б) Д/sin 2у — 1 sin z/ = 0,
cos2 (2 0-——2 sin 3x = 0.
2 Саакян
Глава II
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 9. Приближенное вычисление значений функций.
Пределы
I
418. а) Дан прямоугольник со сторонами а = 20 см и 6 = 30 см.
Найдите погрешность в вычислении периметра этого прямо-
угольника, если сторона а измерена с погрешностью 0,1 см,
а сторона b — с погрешностью 0,5 см.
б) При измерении катетов а и b прямоугольного треуголь-
ника были допущены погрешности 0,2 и 0,3 см соответст-
венно. Найдите погрешность при вычислении площади тре-
угольника, если а=10 см и 6 = 40 см.
419. а) Для вычисления площади круга S радиуса R = 2 см уче-
ник применил формулу S = 3,14/?2. Какова абсолютная по-
грешность полученного результата?
б) Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
равны а = 5 см. Чему равна погрешность при вычислении
гипотенузы с, если ее вычислять по формуле с= 1,41 а?
420. а) При измерении скорости автомобиля, движущегося рав-
номерно, была допущена погрешность в 0,5 км/ч. Какова
будет абсолютная погрешность при вычислении длины пу-
ти, пройденного автомобилем за 40 мин?
б) Поезд, движущийся равномерно, за 1 ч 45 мин прошел
на 1 км меньше, чем требуется по графику движения. Ка-
кую ошибку допустил машинист при выборе скорости?
421. а) Как выбрать 6>0, чтобы для всех х, таких, что
|х— 2|<6, имело место неравенство |/(х)— 8| <0,03, если:
a) f(x) = 3x + 2; б) f(x)=18-5x?
422. а) На рисунке 1 изображены графики функций
<р(х) =
х2 —4 . о
—2 при х=/=2,
0 при х = 2;
g(x) =
x2 -|- 1 при x^O,
x— 1 при x<0.
Какие из пределов lim f (x), lim <p(x), lim g(x) существуют
x-^1 x-»-2 x + O
и чему они равны?
б) На рисунке 2 изображены графики функций
Нх)=4тт’ ч>(х)=
X2 —4 о
Т+2 ПРИ Х*“2’
2 при х= —2;
g(X) =
х2 —2х при х^О,
х+ 1 при х<0.
Какие из пределов lim f (х), lim <р (х), lim g (х) существу-
х —— 1 х —— 2 х-^0
ют и чему они равны?
423. а) Дана функция y = f(x). Найдите область определения
функции; постройте ее график; найдите lim f(x),
х-^ О
lim f (х); назовите 2 точки, в одной из которых функция не-
прерывна, а в другой — разрывна:
X2 — X . .
—j- при хУ=1,
О при х= Г,
при х=#1,
а) /(*) =
б) /(Х)=
— 1 при х= 1.
Пользуясь определением предела, докажите равенства (424— 426).
424. a) lim (2х+1) = 3; х-> 1 б) lim х —► 2 (3x—2) = 4.
425. a) lim ^1 = 0; х-1 *4-1 б) lim х->3 CO О CO 1 1
426. a) lim ^±г=1; х+-1 х+1 б) lim x-> 1 cd 1 7 *
Найдите пределы (427—430).
ло_ ч .. х2 —25 427. a) lim ; х->5 5(х —5) б) lim x-» 2 x2 —4 4 (x — 2) *
428. a) lim x^-i 3 (х2— 1) б) lim 2x (x + 3) з x2 —9
9 г 429. a) lim —±; х_^2 X—2 б) lim x-»-3 3x —x2 x—3
лоп \ г 4Х2—16х-|-16 430. a) lim !— ; х+2 3(х—2) б) lim x-> 1 2 л2 —4x4-2 3x —3 *
Докажите, что не существует предела функции y = f(x) при
х-+а. Постройте график этой функции (431—433).
431. a) /(x) = tgx, а=^;
432. а) /(х)=у, а = 0;
433.
а) /(*) = {
б) /(%) = {
х, х^О,
х+ 1, х<0,
х+ 1, х>0,
— х, х<0,
б) f (x) = ctg х, а = 0.
б) /(х)=±, а = 0.
а = 0; ’
а = 0.
II
434. а) Требуется изготовить квадратную плиту со стороной а =
= 15 см. В каких пределах можно изменять сторону х этой
плиты, чтобы ее площадь отличалась от заданной площади
Х = 225 см2 не более чем на 4 см2?
б) Требуется соорудить круглый бассейн радиуса а = 25 м.
В каких пределах можно изменять радиус бассейна а, что-
бы площадь его поверхности отличалась от заданной не бо-
лее чем на 2л м2?
435. а) По техническому заданию в сплаве меди и цинка медь
должна составлять 20%. В каких пределах допустимо оши-
баться при изменении количества меди для изготовления
10 кг сплава, чтобы процентное содержание ее отличалось
от заданного не более чем на 0,1 %?
б) По рецепту нужно иметь водяной раствор уксуса, в кото-
ром процентное содержание уксуса должно быть в преде-
лах от 15 до 20%. Сколько нужно брать уксуса для раство-
рения его в 10 л воды?
Пользуясь определением предела, докажите равенства (436—
438).
436. а) lim х-»4 \х=2; б) lim х —9 Vx=3.
437. а) lim Х-к 1 =2; ух — 1 б) lim х—2 X 1 1 < ю N3] ю ^1
438. а) lim х->9 б) lim х—8 1 — 1 Д/х+ 1 3 ’
439. а) Пусть /(х)=-^-г . Каково должно быть й>*0, чтобы для
всех х, таких, что |х — 21 <А, имело место неравенство
|/(х) —2| <0,1?
б) Как следует выбрать й>*0, чтобы из условия |х— 11 <Zh
вытекало неравенство
1 1
3(х+1) 6
<0,01?
Вычислите пределы (440—445).
440. а) lim х-> 1 х2-|-2х— 3 х2-5х + 4 ; б) .. X2 — х— 6 lim — . х-.3 Зх2 — 5х—12
441. а) lim X 1 х3-1 б> .. 8-х3 lim . х-^2 ^—2
442. а) lim _i_ 2^+х~* ; б) .. Зх2 —х —2 1ГП2 бх2 + 1 Ох + 4
~2 3
443. а) lim х —► 4 —б) с 4х—1 lim —= . 1 2 ух — 1 X—*- —
ур*_Q Y
444. a) lim ————;
х^-з (x+3)(x-l)
445. a) lim (Д/1+х —1);
x-»-0
1- 4x —x3
6) lim —3.
’ x^-2 2x2+3x-2
6) lim (V24-x — Д/2 ).
x —► 0
Докажите, что не существует предела функции y = f(x) при
х-+а. Постройте график этой функции (446—447).
446. а) Дх) = 2-^, а = 0; б) /(х)=2 (1 —, а = 0.
447. а) /(х)=-}=, а = 0; б) f(x)=^—, а=1.
III
448. а) Известно, что с точностью до 0,01 площадь квадрата
равна 6,26. Со сколькими верными знаками можно опреде-
лить сторону квадрата?
6) Известно, что площадь S равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника удовлетворяет неравенствам 1,6<S<1,62.
Со сколькими верными знаками можно определить катеты
треугольника?
449. а) Тело сброшено с крыши здания. Известно, что высота
здания Н заключена в пределах 10,15g м<//< 10,2g м
(g — ускорение свободного падения). Можно ли время паде-
ния тела вычислить с точностью до 0,01 с?
6) Велосипедист движется по окружности с ускорением
4 м/с2. Начальная скорость движения равна нулю. Длина
окружности с точностью до 0,2 м равна 400 м. Можно ли
время, потраченное велосипедистом на первый круг, опре-
делить с точностью до 0,01 с?
450. а) Каково должно быть й>0, чтобы для всех х, таких, что
|х|<й, имело место неравенство |/(х) —й| <р:
a) 6=1, Р=0,01;
6)/(х)=^.о=4.р-о.1?
Пользуясь определением предела, докажите равенства (451
453).
451. a) lim xsin—= 0;
х-»-0 х
452. a) lim *~^- =—4;
х-1
453. a) lim -#т = 0;
х-о 1*1
б) limVj7 cos (х+ 1) = 0.
х —0
1 у3
б) lim ------= 3.
б) lim ^^ = 0.
х^о VET
Найдите пределы (454—458).
454. а) lim х —* 1 7 7 б) lim х —► 1 Xе—1 х3—1 ’
455. а) lim х—* 1 х6— 1 . х3-! ’ б) lim х —* 1 х7-1 Xе—1 '
456. а) lim х—4 У1+2х —3 . л[х — 2 з б) lim х—9 Vx+7 -4 V* -3 3 Г-
457. а) lim х —► 0 yi+x-l . X ’ б) lim х —* 1 ух — 1 д/х" — 1
458. а) lim х —► 1 I-X2-2х+3| . |х- 11 б) lim X—2 lx2 —6х + 8| |х-21 ’
459. а) Существует ли lim f (х)? Постройте график функции f,
х —► а
если:
\ Г/ \ |2 — х—X2! < г/ \ lx2 —6х+8| о
а) /(*) = х-| , а=1; б) f(x)=---------, а = 2.
§10. Определение производной.
Вычисление производной
I
Для функции y = f(x) заполните таблицу, указав для данного
приращения Ах=х—а соответствующее приращение функции
by = f(x)-f(a) (460-461).
Лх 0,5 -0,5 0,1 — 0,1 0,01 — 0,01
А//
А</ Дх
460. а) /(х) = 3х—х2, а=Г, б) /(х) = х2 —4х, а = 2.
461. а) /(х) = х3 —2х, а = 2; б) f (х)= х3-)-2х2, а= — 1.
Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции
y = f(x), проходящей через точки (х0; у0) и (х04-Ах; «/04-А«/)
(462—463).
462. a) f(x) = x2 + x, х0=—Ах=|;
б) /(х)=х—х2, х0=— \х=^.
463. а) /(х)=у—х, х0 = 2, Ах= — 0,1;
б) /(х) = х—2Х3, х0=1, Ах=—у.
Пользуясь определением производной, найдите значение про-
изводной функции y = f(x) в точке х=а (464—467).
464. а) /(х) = 4х — 5, а = 2; 6) f(x) = 3x + 2, а = 0.
465. a) f(x) = 2 + x2, а = - 1; б) f(x) = 34-x2, а=-1.
466. а) /(х)=(х—I)2, а = 3; б) f (х) = (х-Ь2)2, а=1.
467. a) f (х)=(х+ I)3, а = 2; б) Цх) = (х+2)3, а=—2.
Найдите производные функций (468—473).
468. а) /(х) = х2(х-Ь2); б) f (х) = х(х+2)2.
469. a) / (х) = х(х-рЗ)°; б) / (х)=(х+1)2(х-4)3.
470. а) /(х)=Ух^Т (2хЧ~ 1); б) f (x)=Vx-j-2 (Зх— 1).
471. а) /(х) = х4Ух+Т; б) /(х) = х3Д/х— 1 .
472. a) /W=^±l; б)/(х) = ^£.
473. a)/W = ^; 6)/W=<£lZ.
Решите уравнения f (х) = 0 (474—475).
474. а) /(х) = х3 + Зх24-Зх + 2; б) /(х) = х3-6х2+12х-1.
475. а) /(х)=1х3-|х24-2х-1; б) /(х)=у-|х2-4х+2.
Решите неравенства f' (х)>0 (476—477).
476. а) /(х)=12х3+18х2-7х4-1; б) f (х) = х3+^— 4х+2.
477. а) /(х) = Зх-х2-4; б) /(х) = 2х+4~4-
о Z о
Найдите производные функций (478—481).
478. a) / (х) = sin (x-f-у); б) / (x) = cos (х—у).
479. a) /(x) = cos (у —х); б) f (x) = sin (у —х).
480. a) /(x) = ctg(x-^); б) f (x) = tg (х+^).
481. а) / (x) = sin 4x + cos (х+у);
б) /(x)=cos 5x+sin (х+у).
Решите уравнения f'(х)=0 (482—483).
482. а) / (х) = 2 cos х-рх; б) f(x) = 3cosx—3^~ х.
483. a) /(x) = sin х —-^у-х; б) f(x) = sinx—у.
Вычислите значение производной каждой функции в точке х=а
(484—486).
484. a) fix)= sinx— 2 cos х, а—^;
6) f (x) = 3 sin x + cos x, a = y.
485. a) f(x) = 3xsinx, a=-^-; 6) f(x) = 4xcosx, a=-^-.
486. a) f (x) = 2 sin ^x+-^y a=y i
6) f(x)= — 3cos(x — -J), a=^.
Решите неравенства f' (x)>0 (487—489).
487. a) f(x)= cosx-|-l; 6) /(x) = sinx — 2.
488. a) /(x) = sin x+-£; 6) f(x) = cosx—j.
489. a) /(x) = cos x+-^-x; 6) /(x) = sin x+-^- x.
Напишите уравнение секущей к графику функции y = fix),
проходящей через точки (х0; у0) и (х04-Ах; i/04~ Az/) (490 —492).
490. а) /(х)=х2—2х, х0 = 2, Ах=0,25;
б) f (х) = х2 + 3х, х0= —1, Ах = 0,5.
491. a) /(x)=sinx, х0=у, Ах=-^-;
б) f (x) = cos х, x0=j, Ах= — .
492. a) fix)=y[x, х0=1,96, Ах = 0,29;
б) fix) = ~\[x, х0=1,44, Ах = 0,25.
Вычислите значение производной функции y = fix) в точке
х=а, пользуясь определением производной (493—495).
493. a) f (х) = (2х+ I)2, а = 0; б) f (х)=(Зх+2)2, о=-1.
494. а) f(x)=±^-, д=1; б) f(x)=j±±, а = 1.
495. a) f(x) = V2x+l, а = 0; б) f (х)=Д/3-2х, а= 1.
Существует ли производная в точке х = 0 у следующих функ-
ций? Постройте графики этих функций (496—498).
496. a) f (х) = х|х|; 6) /(х) = х2|х|.
497. а) /(х) = д/х;
498. a) /(x)=Vx(l-x);
б) /(х)=д/хГ.
б) f(x)=Vx(l+x).
Решите уравнения f' (х) = 0 (499—502).
499. a) f (х)=л[х (х-2); б) f (х)=Д/х-1 (x-f- 1).
500. а) /(х)=4±^; б)/(х)=^^.
501. а) Нх)=4+4—Р-3*6) /(х)=4+|^3-4-2х
502. а) /(х) = (х-1)3(х + 2)4; б) f (х) = (х+3)5 (х-2)4.
По правилу нахождения производной сложной функции най
дите производные функций
503. а) /(х) = Д/4 —Зх;
504. а) Цх) = (Ух+3)4;
505. а) /(х) = (х + д/х)3;
506. а)
5O7'a)/w=77h;
(503—507).
б) /(x) = V9 —2х.
б) f(x) = (4-V^)5-
б) / (х) = (х—2д/х )4
о»/«=(1-4)’.
Найдите производные функций (508—513).
508. a) f (х) = sin х( 1 — sin х);
509. a) /(x) = sin (7х —4);
510. a) f (x) = sin (х24-3х);
511. a) f (х) = х sin (2х — 3);
512. a) /(x) = sin2 х;
513. a) f(x)=(2x+l)sin(|+|);
б) / (х) = COS X ( 1 + cos х).
б) f (x) = cos (2x4-3).
б) f(x) = cos (х2 —4х).
б) f (x) = xcos(3x — 2).
б) f (x) = cos2 х.
6) f(x)=(l—3x)cos(|—у).
Вычислите значение производной функции y = f(x) в точке
х = а (514—520).
514. а) Цх)=-^, о=|; б) f (x)=^±i , а = ^.
Sin X 4 COS X 4
515. a) f(x) = tg3x, a =
6) /(x) = ctg(3x+j), a = -^.
516. a) /(x) = x sin (Зх—y), a =
6) /(x) = xcos(2x+j), «=•£-•
517. a) /(x) = (x-f-x2) sin (x-|-y), a = 0;
6) f(x) = (2x — x2) cos —x), a = 0.
518. a) f (x)=“\/sin x. a=T’ 6) f (х) = Д/соз x, «=?•
519. a) f (x) = sin ~\/x, a=^-; 6) f (x) = cos л/х, a = ^.
520. a) / (x) = sin x +2 cos2 x, a=—
О
6) /(x) = 3cos2x—2 sin2 x, a =—
Решите уравнения f' (x) = 0 (521—523).
Б21. a) /(x)=jsin2x—sin x4-5; 6) f (x) = cos x—2 sin2 x+ 1.
522. a) /(x) = 3 cos x + 4 sin x— 3x;
" 6) /(x) = 3sinx—4 cos x — 2x.
523. a) /(x)=\^(sin x —cos x) —sin2 x—x;
6) f (x)=\^(sin x + cos x) + x —sin2x.
Ill
524. Найдите уравнение секущей к графику функции y = f(x),
проходящей через точки (х0; yQ) и (х0 + Лх; #0 + Л#), и вычис-
лите площадь S треугольника, образованного этой секущей,
осью Ох и прямой х = а:
a) f(x)=l—х2, х^ = ^, Лх = -^, а= — 2,9;
б) f (х) = 2х + х2, х0=1, Лх=— а = -у--
525. Пользуясь определением производной, найдите значение
производной функции y = f(x) в точке х = а:
a) f(x) = ^fx, а = 8; б) f(x) = x\ а=1.
Применяя правило нахождения производной сложной функ-
ции, найдите производные функций (526—529).
526. a) f(x) = (x2 + 3x + 2)4; б) f (х) = (4-х2 + 3х)5.
527. а) / (х) = ( — х3 + 4х—1 )3; б) f (х) = (2х + х3-2)4.
528. а) / (х) = Д/^ —Зх+1 ; б) f (х)=\/2-Зх2 + 2х.
529. a) f(x) = (V7+4)3; б) /(х)=(х2-2Д/7)4.
Найдите производные следующих функций (530—533).
530. a) /(x) = sin(2x2 —Зх+1); б) f(x) = cos(3x2 — 4х + 2).
531. a) f (х) = tg (2х —Зх2); б) f (x) = ctg (х2 — Зх).
532. a) f (x) = cos3(2x-1); б) f (x) = sin3 (2 —Зх).
533. a) f (х) = д/2 —sin х; б) f (x)=^/3 + cos х.
Укажите, в каких точках существуют производные следующих
функций, и найдите эти производные. Постройте графики
(534—537).
534. а) / (х) = х2 + х|х —2|; б) f (х) = х?— |х|(х — 2).
535. а) f(x)=|x2-2x-3|; б) /(х)= |4х2 + 4х-3|.
536. a) f(x)=V2-|x| ; б) /(х)=Д/24- Ix| .
537. a) /(x) = sin |x| —1; 6) f(x)=|sinx|.
Найдите значения x, для которых f' (x) = 0 (538—542).
538. a) f (x) = cos x — д/JT sin x — cos 2x;
6) f (x) = cos x — д/зГ sin x — x + -^- sin ^2x4--^).
539. a) / (x) = sin 4x4--j cos 4x—ax;
6) f(x) = sin 3x4-a cos Зх — дЩГх.
540. a) /(x)=V^4-2ax + 3 ; 6) f (x)=Д/х2-Зах-|-4.
541. a) /(x) = sin x-|4 sin 2x+4 sin 3x;
Л о
6) f (x) = cos x—4* cos 2x4-4- cos 3x.
542. a) f(x)=4+4-2x; 6> fU)=4—
/□ U * Xr
§ 11. Метод интервалов
I
Укажите промежутки непрерывности функций (543—547).
543. а) /(х) =
2, если х^О,
0, если х<0;
544. a)
545. a) f (х) = tg х;
546. а) /(х)=^1;
547. а) f(x) = x3 + 5x2;
Ai f / х f — Ь если x>2,
6) f(x)=l
[ 1, если x<2
б) нх)=т4з-
б) /(x) = ctgx.
б)/(х)=<51.
б) /(х) = х3 —4х.
Решите неравенства методом интервалов (548—554).
548. а) _3 <Г 5* х+1 ’ О\ . 1 ю V оо
549Лд) 1 1 Зх — 2 ЗхН-4 * 1 -> 1 ' 2x4-3 ^2х-5 ’
550. а) 3 2 . х— 1 X 2 3 ) х-|- 1 х ’
551. а) (3х+4)(х-1)(х + 2)>0;б) (5х+7)(х-2)(х+1
552. а) Зх2 + 2х—5^0; б) 5х2 + 7х—6<0.
553. а) 2Х3 — х2 — Зх<0; 6) Зх3+х2—10х>0.
554. а) 2 2х+3 ’ б)
II
Укажите промежутки непрерывности функций (555—556).
ББ5. a)
6) f(x)
_ Зх+1
х+2
556. a) f{x) =
—, если х=/=0,
X
1, если х = 0;
б) f(x) =
|х| х'
О, если
если х=/=0,
х = 0,
Постройте графики функций (557—560).
557. a) f (x)=sin(2x+-^-
558. aJ/W-jJ,;
559. а) /(х)=-!^.(х2+ 1);
560. а) /(х)={1 —х};
6) f(x)=cos(^—^y
б) /(^)=ттт-
б) /(х)=-^-(1-х2).
6) /(х)={ —2х}.
Решите неравенства методом интервалов (561—568).
561. а) |х| (х+ 1)>0; 6) |х| (х-2)<0.
562Уа) Дх-1 (х-2)(х+1)< СО;б) д/х+3 (х + 4)(х-1)>0
илп \ 2Х2 Зх 2 « 6в3- а) з/-,-2 <0' б) 5^~9х+4>о. ’ бх2 —7х + 2
564. а) 2;:5-0, д/х б) х2+1~6^0. Д/Х
565. а) (х34-8)(х- 1 )<0; б) (х34-27)(х—2)>0.
б66‘ а> 2x+>4xt3’ б) х~‘ < *+1 ’ Зх+З^2х—3
567. а) (9х2-1)(8х3+1)>0; 6) (27Х3-1)(х2-4)<0.
б (х + 2) утл
' х —5
кйй оА (х—1)Д/х-2
б68’ а> ---2^Г~ > °’
III
Укажите промежутки непрерывности функций (569—570).
569. a) f(x) =
sin |х|, если х=/=0,
1, если х = 0;
б) f(x) =
sin х
-г-г-» если х=/=0,
I х|
1, если х = 0.
570. a) f(x) = \GT;
3 /—
б) /(х) = Дх.
571. При каком значении параметра а функция y = f(x) непре-
рывна на /?, если:
a) f(x) =
1 —х2, если х^О,
х-)-а, если х<0;
6) f(x) =
3 —х, если xj>2,
ах24-5%+ 1, если
х<2?
Решите неравенства методом интервалов (572—578).
х —2 х + 1
Зх —2 > 2х —3 ‘
572. a) - б)
573. .а) (х24-2х4-1)(х2 + 2х-3)<5;
б) (х2 + 3х+ 1)(х2 + 3х-3)>5.
574. a) lx3 —2х| <д/2 —х; б)
575. а) <2~|х1Г12>2х; б)
х — о
576. а) --V>2; б)
7 х—2а 7
lx3 —Зх| >х+д/з".
х2 + 2 |х|-2
577. а) (х — 2)(х2 — ах—х+а)>0;
б) (х+IJ^ + Sx-f-ax-f-SaJcO.
578. а) ^-+Ч-У^+2х.^0; (
7 х + 3
—— <Г 1.
2х—а
(х+2)-Ух2 + 4х+3 0
хЦ-4 •
§12. Касательная к графику функции
I
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функ
ции у = Нх) в точке М (579—584).
579. а) /(х) = х3 —Зх, М (0; 0);
580. а) /(х)=4х2—7х, М (2; 2);
58В а) /(х) = х34-2х, Л1(1; 3);
582. а) / (х) = 3х2 —х3, М (2; 4);
583. a) /(x) = 2sinx, М (0; 0);
584. a) /(x) = cosx, М (-у;
б) /(х) = х24-2х, М (1; 3).
б) /(х)=3х—бх2, М (2; -14).
б) /(х) = 2х3 —бх, М (2; 6).
б) /(х) = 4х2 —2Х3, Af (2; 0).
б) /(x) = cosx, о)-
б) /(x) = sin х, М(1-, 1).
Найдите углы, которые образуют кривые с осью абсцисс в
каждой из точек их пересечения (585—588).
585. а) у = х*-\-х\ 6) у = х? — х.
586. а) г/ = х3 + ^у-х2; б) у = х3 + л/3х?.
587. а) ^ = х3 + х2; б) ^ = х3 —х2.
588. а) ^ = х3 — 4х; б) ^ = х3 — 9х.
Составьте уравнение касательной к графику функции
y = f(x) в указанной точке М (589—592). Постройте графики
функции и соответствующей касательной (589—590).
589. a) f (х) = х2 + Зх+1, М (1; 5); б) f (х) = х2 — 2х+5, М (4; 13);
590^) a) f(x) = 2x—х2, М(О; 0); б) /(х) = 3х—2Х2, М (1; 1).
691. а) /(х)=у-4х, М (3; —3); б) /(х) = 2х-х3, М (2; -4).
592ja) f(x)=sin(x+£), м(^-, 1);
б) f(x)=cos(x-|), М&, 1).
В какой точке графика функции y = f(x) касательная накло-
нена к оси Ох под углом а (593—595)?
593. a) f(x)=x? + 4x+3, a=-J;
б) /(x) = 2x2+V3x+l, а=-£.
594. а) /(х) = 2д/3х —Зх2^!, а = ^'-
О
6) f (*) = 3х — 4х24-2, =
595. а) /(х)=УЗх-4,
О о
II
Составьте уравнение касательной к графику функции y = f(x)
в точке (a; f (а)) (596—600).
596^а) f (х) = х3 — 4х2 + 7х — 2, а=1;
б) /(х) = 2х3-2х2-10х+10, а = 2.
597. а) /(х)=^, а=1; б) /(х)=^|, а = 4.
598. а) 7(х)=Д/3-х, а= — 1; б) /(х)=Д/Зх-2 , а = 6.
599. a) f (x) = cos2x, а = ^; б) /(x) = sin3x, а = -^-
600. a) f(x) = tg(2x+|), а=|; б) f (x)=ctg (|-Зх), а=%.
601. Под каким углом пересекается с осью Ох кривая:
5 — Зх
2х —3 *
а)
б) У
602. В каких точках касательная к графику функции y = f(x)o6-
. разует с осью Ох угол 45°, если:
а) /(х)=Д/2х-1 ; б) f (х)=Д/Зх4-2?
603. а) Найдите точки, в которых касательная к
функции у= параллельна прямой ^ = х4-5.
X-|- Z
графику
6) В каких точках касательная к графику функции
z/ = sin2x параллельна прямой у = х—3?
604.
а) В какой точке нужно
функции у= хj~5 , ЧТобы
X -р о
нат?
провести касательную к графику
она прошла через начало коорди-
6) В какой точке нужно провести касательную к графику
з
функции у = х-\—, чтобы она пересекла ось ординат в точ-
ке (0; 6)?
605. а) Найдите такое значение а, что касательные к графикам
функций /(х) = х4— х3 — х и g(x) = 3x — х3, проведенные в
точках (а; /(а)) и (а; g(a)), параллельны. Напишите уравне-
ния этих касательных.
б) Найдите точки, в которых касательные к графику
х3 3
функции у = -х—— х2 + параллельны прямой у=—х. Вы-
о Z
числите расстояние между этими касательными.
606. а) В какой точке пересекаются касательные к параболе
у = ^(х — I)2, проведенные в точках ( — Г, 2) и ^2; -0?
б) Найдите площадь треугольника, образованного прямой
у = 2 — х, осью Ох и касательной, проведенной к графику
функции //=14-2х — х2 в точке пересечения его с осью Оу.
607. а) Найдите точки, в которых касательная к графику
функции // = д/3 sin 2х—cos 2х4-2х параллельна оси
абсцисс.
б) В каких точках тангенс угла наклона касательной к гра-
фику функции // = sinx—<cosx наибольший?
608. а) На кривой у = sin х взяты две точки с абсциссами xi=^
и х2=^г. Через эти точки проведена секущая. В какой точке
О
с абсциссой хС |^0; yj следует провести касательную, чтобы
она была параллельна секущей?
б) В какой точке с абсциссой х£ [о, у| нужно провести ка-
сательную к графику функции y = cos х, чтобы она была па-
раллельна секущей, проведенной через точки (0; 1) и
III
609. а) Найдите тангенс угла между касательными, проведен-
ными к параболе // = 3 + 2х — х2 в точках пересечения ее с
осью Ох.
б) Найдите косинус угла между касательными, проведен-
ными к параболе у = х* и пересекающимися в точке (0; —2).
ею. в какой точке с абсциссой х£[0; л] следует провести каса-
тельную к графику функции £/ = sinx, чтобы она была пер-
пендикулярна прямой у=у/3х?
6) В точке 0; -^-) проведена касательная к графику функ-
ции £/= cos х. Через точку (0; 1) перпендикулярно касатель-
ной проведена прямая. В какой точке она пересе-
кается с касательной?
611. а) Найдите расстояние от начала координат до касатель-
ной, проведенной к графику функции у=у]~х в точке (1; 1).
б) На каком расстоянии от начала координат проходит ка-
сательная, проведенная к графику функции у = ^2— х в
точке его пересечения с осью Оу?
612. а) В каких точках кривые у = ^ — 7х— 2, у = (х—I)2 каса-
ются друг друга?
б) Напишите уравнение общей касательной к графикам
X3
функций £/ = sinx и у = х-{~—.
о
£
613. а) При каком значении параметра а кривая У=-^—4х + а
касается оси абсцисс?
б) При каком значении параметра а прямая у = х-\-а каса-
ется кривой у = 2^[х?
614. а) При каких значениях b и с парабола у = х?-\-Ьх-\-с каса-
ется прямой // = 4x4-1 в точке с абсциссой х=1?
б) В какой точке и при каком значении а прямая
у = х— 1 касается параболы £/ = ах2?
§ 13. Формулы для приближенных вычислений
Найдите приближенные значения (615—628).
615. a) cos 91°; б) sin 46°. 89л 6) cos —. 616. a) sin 44°; 618. a) tg2°; б) cos 89° б) ctg 89°.
617. х . 19л a) sin —;
619. a) sin 04-0,01); б) cos 0— 0,02)
620. a) cos 0— 0,01); б) sin 0-4-0,02)
621. а) 1.995; б) 3,013. 622. а) д/50; б) д/82.
623. а) 2,014; б) 3,0123. 624. а)Л/37; б) У35\
625. а) 1,001'°; б) 0,9924. 626‘ а> i.oL ’
627. а) 5,014; б) 4.0363. 628. а) УТоГ; б) Д/80.
II
Найдите приближенные значения (629—638).
629. ч . 29л а> ^-90- ’ 1 31Л б» ‘е-й- 630. х . 5л a) sin-; б) cos^
631. a) sin£; б) sin-^. 632. \ л 7л 3> 'К»!
633. а) У4,01 ; б) д/8,99. 634. а) д/2,26у б) д/1,22.
635. а) “\/0,82; б) д/оХ 636. а) —Цо ; 1.OO220 6) —• 0,999 °
637. a) sin2 46°; б) cos2 44°. 638. a) tg4 44°; б) tg646°.
III
Найдите приближенные значения (639—644).
639. а)-=L=; б) , 1 . 640. а)---!--; б)-----!----.
Д/0,94 Д/1,003 l-f-sin 1° tg44° + 0,003
64L а) ; 6> ' 642'а) ^' + si"29°; б> VI-еозбг.
/ О_д/Т \3
643. а) (- + sin 614 ;
644. a) V3 + tg44°;
б) (cos 29° 4- 1 )3.
б) Д10 —tg46°.
§ 14. Производная в физике и технике
1
645. а) Снаряд массой т выпущен вертикально вверх из зенит-
ного орудия с начальной скоростью и0. Найдите кинетиче-
скую энергию снаряда в момент времени /0. На какой высо-
те кинетическая энергия равна нулю?
б) Тело массой т = 2 кг движется прямолинейно по закону
х(/) = 2— 3/4-2/2. Найдите скорость тела и его кинетиче-
скую энергию через 3 с после начала движения. Какая сила
действует на тело в этот момент? (/ измеряется в секундах,
х — в метрах).
646. а) Точка движется по закону s(t) = 4t — t2. Какой путь
пройдет точка за время от t= 1 с до t= 1,5 с? Какова сред-
няя скорость точки на этом отрезке времени? Каковы ее
скорость и ускорение в момент /=1,25 с? (s измеряется в
метрах.)
б) Высота Л, на которой находится брошенное вертикально
вверх тело, изменяется по закону h = 10 + 15/—. Найдите
начальную скорость движения тела и скорость через 5 с
после начала движения. Какова средняя скорость тела на
отрезке времени от / = 1 с до / = 4с? Чему равно ускорение
тела в момент / = 2 с? С какой высоты брошено тело?
647. а) Точка совершает колебательное движение по закону
x(/) = 2sin3Z. Докажите, что ее ускорение пропорциональ-
но координате х.
б) Закон движения точки определяется формулой
x(/) = 3cos2/. При каких t ускорение точки положительно?
648. а) По оси абсцисс движутся две точки по законам x(t) = t2
и х(/) = 4 + 3/. В какой момент времени произойдет их
встреча? С какой скоростью они удаляются друг от друга
в этот момент?
б) Из пункта А выходит мотоцикл, движущийся равноуско-
ренно с ускорением а = 3 м/с2 и нулевой начальной скоро-
стью. В какой момент времени мотоцикл догонит автомаши-
ну, которая вышла из А одной минутой ранее мотоцикла и
движется в том же направлении со скоростью 15 м/с? С ка-
кой скоростью мотоцикл удаляется от автомашины в мо-
мент их встречи?
649. а) В период разгона маховик вращается по закону
I3
ф (/) = —, где ф — угол в радианах, t — время в секундах.
Через сколько времени от начала движения угловая ско-
рость маховика будет равна 3 рад/с? Чему равно угловое
ускорение в этот момент?
6) Круг радиуса /? = 0,5 м вращается вокруг центра так,
что за время t он поворачивается на угол ф (/)= 16/2 —З/3.
(ф измеряется в радианах, t — в секундах). Найдите длину
дуги, пройденной точкой, находящейся на окружности, в те-
чение первых двух секунд. Вычислите угловое ускорение
круга в конце второй секунды.
660. а) Общая длина стержня, сделанного из неоднородного ма-
териала, равна 3. Изменение массы т куска стержня в за-
висимости от / (/ — длина куска, считая от начала стержня)
описывается формулой m (/) = 20/ —5/2. Чему равна средняя
плотность стержня? При каком значении I плотность равна
средней плотности?
б) Масса т(1) куска длины / неоднородного стержня равна
/3
50/—у. При каком значении / плотность вдвое меньше, чем
в начале стержня (т. е. при / = 0)?
651. а) Тело с высоты 20 м брошено вертикально вверх с
начальной скоростью 50 м/с. В какой момент времени ско-
рость изменения высоты тела равна нулю? Чему равна при
этом высота тела над поверхностью земли?
б) Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростью и0
под углом а к горизонту, изменяется по закону Л(/) =
= (и0 sin a) t — . Известно, что ио = 5ОО м/с, а через 1 с
скорость изменения высоты снаряда была равна 24g м/с.
Под каким углом к горизонту вылетел снаряд?
II
652. а) Тело движется по оси абсцисс, подчиняясь закону
х(/) = /4-/2. С какой скоростью оно удаляется от точки
А (0; 1) в момент / = ^-?
б) Расстояние от точки А (0; 1) до тела, движущегося по оси
абсцисс, изменяется по закону s Вычислите ско-
рость движения тела при t=\.
653. а) Колесо радиуса R= 10 см катится по прямой. Угол по-
ворота колеса за время t определяется по закону
/2
ф(/) = /4-—. Найдите скорость и ускорение движения цент-
ра колеса через 10 с после начала движения, (ф измеряется
в радианах, t — в секундах.)
б) Движение центра колеса определяется уравнением
s(/) = 2/4-y - (Расстояние s измеряется в метрах, время
t — в секундах). Найдите угловую скорость и угловое уско-
рение колеса при / = 4 с, если радиус колеса равен 20 см.
654. а) Угол поворота колеса подчиняется закону ф (/) = /-|-а/2.
(ф измеряется в радианах, время t — в секундах). Угловая
скорость колеса через 16 с после начала вращения равна
33 рад/с. За сколько времени колесо сделало первый
оборот?
б) Колесо вращается так, что угол поворота пропорциона-
лен кубу времени. Первые два оборота сделаны колесом за
2 с. Найдите угловое ускорение через 7 с после начала вра-
щения. (Угол измеряется в радианах, время — в секундах.)
655. а) Сторона квадрата увеличивается со скоростью v =
= 0,1 м/с. С какой скоростью увеличивается его площадь
в тот момент, когда она равна 4 м2?
б) При нагревании круглый металлический диск расширя-
ется, причем его радиус увеличивается равномерно со ско-
ростью 0,2 см/ч. Вычислите начальный радиус диска, если
известно, что через 15 мин после начала нагревания ско-
рость увеличения площади диска равна 2,02л см2/ч.
656. а) Точка движется по прямой таким образом, что величина
пройденного пути х и скорость точки v связаны уравнением
х = 0,1и2. Найдите ускорение движения точки, (х измеряется
в метрах, v — в метрах в секунду.)
б) Скорость v точки, двигающейся прямолинейно, и прой-
денный ею путь х связаны уравнением и = ±х2. Найдите
ускорение движения точки в тот момент, когда значе-
ние х = 4.
657. а) Точка движется по параболе у= 12% — х2 так, что ее абс-
цисса изменяется по закону х = л]Т. (х измеряется в метрах,
t — в секундах). Какова скорость изменения ординаты точки
через 4 с после начала движения?
б) Точка движется по кривой у = у/х\ причем ее ордината
изменяется по закону y=y/t3 + 2t. (у измеряется в метрах,
t — в секундах.) Найдите ускорение изменения абсциссы че-
рез 3 с после начала движения.
658. а) Лестница длиной 5 м приставлена к стене таким образом,
что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый
момент времени лестница начинает падать, при этом верх-
ний конец приближается к поверхности земли с постоянным
ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены
нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец
находится на высоте 2 м?
б) Концы отрезка АВ = 5 м скользят по координатным осям
так, что конец А приближается к началу координат О с по-
стоянной скоростью 2 м/с. Найдите скорость изменения
площади треугольника АО В в момент, когда АО = 4 м.
Ill
659. а) Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг
воды от О °C до /°C, определяется формулой Q = t-\~
4-2- 10“5/2-|-3a-10-7/3. Теплоемкость воды при /=100 °C
равна 1,013. Найдите значение параметра а.
6) Для нагревания 1 кг жидкости от 0 °C до / °C необходи-
мо Q Дж теплоты, где Q= 1,7/-}-а/2 + 6/3. Известно, что
теплоемкость жидкости при температуре 100 °C равна
1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости от
0 °C до 50 °C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите значе-
ния величин а и Ь.
660. а) При деформации одна из сторон прямоугольника увели-
чивается с постоянной скоростью 1 см/ч, а другая уменьша-
ется со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения
площади прямоугольника через 45 мин после начала дефор-
мации, если известно, что в этот момент его площадь равна
20 см2, а первоначальная площадь прямоугольника равна
17 см2.
б) Прямоугольник со сторонами а= 10 см и 6 = 20 см начи-
нает подвергаться деформации, при этом его стороны изме-
няются с постоянными скоростями и сторона а уменьшает-
ся. Известно, что через 30 мин после начала деформации
площадь прямоугольника стала равной 150 см2, а скорость
изменения площади равна 200 см2/ч. Найдите скорости из-
менения сторон прямоугольника.
661. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который
наматывается на ворот со скоростью 40 м/мин. Ворот нахо-
дится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найдите:
а) скорость движения парома в тот момент, когда он нахо-
дится в 30 м от берега; б) скорость движения парома в тот
момент, когда длина натянутого каната равна 50 м.
662. а) Диски фрикционной передачи имеют радиусы г = 3 см
и /?= 12 см. После пуска угловое перемещение дисков про-
порционально кубу времени. Через сколько времени боль-
ший диск будет иметь такую же угловую скорость, какую
имел меньший через 2 с после момента пуска?
б) Отношение радиусов дисков фрикционной передачи рав-
но 1 : 2. После пуска передачи угловое перемещение дисков
пропорционально кубу времени. Чему равна угловая ско-
рость большего диска через 1 с после пуска, если угловое
ускорение меньшего диска в этот момент равно 6 рад/с2?
663. Осветительная ракета запускается вертикально вверх с по-
верхности Земли и движется по закону Л (/) = 80/ — 4/2. (Вы-
сота h измеряется в метрах, t — в секундах.) Труба высотой
40 м находится в 18 м от места запуска. Найдите: а) ско-
рость изменения длины тени от трубы в тот момент, когда
длина тени равна 10 м; б) скорость удлинения тени в мо-
мент, когда от ракеты до поверхности Земли остается 256 м.
§ 15. Признак возрастания (убывания) функции
I
Определите промежутки возрастания и убывания функций
(664—672).
664. а) /(х) = 5х—1; б) /(х) = 8х-|-3.
665. а) /(х) = 2 —Зх; б) /(х) = 5-6х.
666. а) /(х) = 2х2-3x4-1; б) /(х) = х2-2х-|-|.
667. a) f (х) = х24-2х-|-3; б) /(х) = 3х24-5x4-4.
668. а) /(х)= — Зх2-!- 13х— 12; б) /(х) = 4-8х-5х2.
669. а) /(х) = х3 — 2х~ б) / (х) = 2Х34-х2.
670. а) /(х) = х3-2х; б) /(х) = Зх-2х3.
671. а) /(х)=4х34-9х2-12х4-6; б) /(х) = х3-х2—х-2.
672. а) f(x) = x4 —4х; б) f(x) = x44-4x.
II
Определите промежутки возрастания и убывания функций
(673—683).
673. a) f (х)=4 х34- 1 lx2 — 6x4-4; б) / (х)= 16Х3-15Х2-18x4-6.
О
• 74. a) f(x)=l+|x2-x-2x3;
• 75. a) f(x) = 3x4 — 4x3 — 12*2;
• 76. a) /(x)=1+3x2-4-4-
• 77. a)/(x)=l-^rr;
• 78. a)/(x) = £±|;
• 79. а)/(х)=^;
• 80. a) /(x) = sin (2x—j);
• 81. a) /(x) = sin x-J-cos x —x;
• 82. a) /(x)= sin x — л/3 cos x — x;
• 83. a) /(x) = cos x—;
б) /(x)=4 + 6x—Эх2 — 20X3.
6) f (x) = 3x4— 4X3 — 36x2 + 5.
6) /(x) = 2 + x2-4—|x4.
6)/(x) = 2+t^.
бп<х)Ч£т-
6)f(x)=4-
6) /(x) = cos (2x+j).
6) /(x) = sinx—cos x—x.
6) f (x)=sin х+Л/з" cos x—x.
6) /(x) = sin x+^.
Ill
Определите промежутки
(684—688).
возрастания и убывания функций
• 84. a) /(x) = tgx—2х; б) / (x) = ctg х+2х.
• 85. a) f(x) = |sin(jx)~^^cos0-x) — х;
д/з" 1 I—
б) f (х) = ^“ s^n + —COS лх—уЗх.
• 86. а /(х)=±-х; б) /(х)=|-х2.
• 87. а) /(х)=|х‘-3х|; б) /(х)= |2х—х3!.
• 89. При каких значениях а функция y = f(x) убывает на проме-
жутке (1; оо), если:
а) /(х) = ах3-|-х; б) /(х) =—х34-ах?
690. При каких значениях а функция y = f (х) возрастает на всей
числовой прямой, если:
a) f (х) = ((а-|-2)'\/^2 + 2а— 15 ) х*-\-х—4;
б) /(х)=((а + 3)Д/а2-а-20)х24-2х-1?
Докажите неравенства (691—692).
•91. a) sinx>xcosx, х^(0; -0; б) cos х> 1—4 > у)-
•92. а) (1 4-х)7>1+7х, х£(0; оо);б) 2д/х>3—х€(1; оо).
§ 16. Критические точки функции,
ее максимумы и минимумы
I
Найдите критические точки функции y = f(x). Выясните, ка-
кие из них являются точками минимума, а какие — точками
максимума (693—700).
693. а) /(х) = 3%4-4; б) /(х) = 2 — х.
694. а) /(х) = х2-2х+6; б) f (х) = Зх2 + 6х-7.
695. а) /(х) = 5-4х-4х2; б) /(х) = 3-2х-х2.
696. a) f (х) = 2х34-9х2-24х+ 1; б) f (х) = 2х3 — бх2- 18х-|-5.
697. a) f (х) = 4х3+ Зх2— 18x4- 12; б) f (х) = 2х3 4-бх2-4x4-3.
698. а) /(х) = 24-18х- 15х2-4х3; б) f (х)= 1 4- 12х—Эх2-Юх3.
699. а) /(х)=24-54х-27х2-8х3; б) f (х)=3 — 36Х4-51Х2-Юх3.
700. а) /(х) = х4 —32x4-1; б) f (х)= -х4-|-4х-|-3.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему-
мы и постройте ее график (701—709).
701. а) /(х) = 3-2х; б) f (х)=| х-Ь 1.
702. а) /(х) = х2 —4х-|-5; б) /(х) = х24-6х-Ь8.
703. а) / (х) = 3 —2х —х2; б) f (х)= 12 — 4х—х2.
704. а) /(х) = х —х3; б) /(х) = х3 — 9х.
705. а) /(х) = х3 —-| х2; б) /(х) = 3х2 —х3.
706. a) f(x)=^ + ^-2x-\-, б) /(х)=у — х2 —3x4-5.
707. a) f(x) = 6x + 4-j^-l; б) /(х)=14-х-4+|х3.
708. а) /(х) = х4-8х24-8; б) /(х) = х4 —4х34-9.
709. а) f(x) = 2x4 —х; б) /(х) = х4-|-|.
Найдите число действительных корней уравнений (710—711).
710. а) у4-х2-Зх-)-2 = 0; б) у4-|х^х- 1 =0.
711. а) 64-Збх — Зх2 — 2х3 = 0; б) Ю-|-12х —Зх2 —2х3=0.
II
Найдите критические точки функции y = f(x). Выясните, ка-
кие из них являются точками минимума, а какие — точками
максимума (712—720).
712. а) /(х) = |-12х2; б) f (х) = х2-|.
713. a)/(x) = it^; б)/(х)-1^.
714. a) f (x) = sin x—•£; 6) /(x) = cos *+y •
7t5. a) /(x) = sin2x; 6) f (x) = cos2x.
716. a) f (x) = sin(x+-^)—^-x; 6) /(x) = cos (x-|-0 —
717. a) f (x) = cos(x—0+j; 6) f (x)=sin (x—j) + ^r x.
718. а) /(х) = х2Д/1 -x; 6) f (x) = (x-2)2 д/х.
719. a) /(x) = (x-l)5(x + 3)4; 6) f (x)=(2x- l)6(x+ I)5.
720. a) /(x)=l—3x4-x24-x3—y; 6) f (x)=2—6x-b9x24-4x3—9x4.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему-
мы и постройте ее график (721—727).
721. а) /(х) = х64-3х4 —Эх2; б) f (х) = 24х24-9х4 —2х6.
722. а) /(х)=|+х2; 6) /(х)=1—4Х2.
723. а) /(х)=х2д/2 —х; б) /(х)=(1 — х)Д/х.
724. а) /(х)=14-4х; б) /(х) = х4-|.
725. а) /(х)=^±^ ; б)/(х)=<^.
д/о" 720. a) /(x) = sinx—% х'< Л/2* б) f(x) = cosxH—X.
727. a) f (x) = cos 2х — д/3~х; б) f (x) = sin 2х—х.
Найдите число действительных корней уравнений (728—729).
728. а) х3-12x4-10 = 0 на [ — 3;
б) х3 — Зх 4-1=0 на [1; 2^.
729. а) х4 —2х34-| = 0; б) 12х4—16х3+3 = 0.
Ill
Найдите критические точки функции y = f(x). Выясните, ка-
кие из них являются точками минимума, а какие — точками
максимума (730—735).
730. a) f (х) = х sin x-hcos х; 6) f (х) = х cos х — sin х.
731. a) f (x)=sin 2х-|-6 sin х—2х; 6) f (x)=sin 2х+ Ю cos х+4х.
732. a) f (х) = 2Д/х 4-1; б) /(х)=д/х-2х2.
?33. а)/(х)_^_11; 6)/W_^.
734. а) / (х) = | х3 — Зх2 4~ 21; б) f(x)= |х(х-|-2)(х- 1)|.
735. а) / (х)=~\[3 cos х—sin х — х; б) f (x)=cos х4-Д/з" sin х-^х.
Исследуйте функцию на возрастание (убывание) и экстрему-
мы и постройте ее график (736—740).
736. а) /(х) = (х-1)2(х+2)2; б) f(x) = (x+ 1 )2(х-2)2.
737. а) / (х)=^= i б) /
738. a) f(x)= lx3 — 4х|; б) /(х) = 116х — х31.
739. a) /(x) = sinx—cosx-|-x; б) /(x)=sin x-|-cos х—х.
740. a) f (x) = 2x-|-ctg х, xg(0; л);
б) /(х)=2х—tgx, х€(-у; у)-
Найдите число действительных корней уравнений (741—742).
741. а) |х| (х2-3)= — 1; б) х2(|х| — 6)= - 15.
742. а) х3^-!—2х=0; б) х5+Дг-2х = 0.
§17. Наибольшее и наименьшее значения функции
I
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = f (х) на соответствующем отрезке (743—747).
743. а) /(х) = 4х+5, [-1; 2]; б) /(х) = 3-2х, [-2; 1].
744. а) / (х)=х2—2х—3, [-5; -|];б) f (х) = х2-5х + 6, [0; 3].
745. a) f(x)=*?-27x, [-5; 1|; б) /(х)=12х-х3, [-1; 3].
746. а) Нх)=4+|-^ + 2х+3, [-3; 0];
О Z
б) /(х)=у-2х24-Зх+1, [2; 4].
747. а) /(х) = 2х3 + 9х2 —24x4-1, [ — 2; 1];
б) /(х) = х34- 12х24-45х-Ь20, [-4; -2].
748. а) Найдите два числа, сумма которых равна 82, а произве-
дение наибольшее из возможных.
б) Найдите два числа, разность которых равна 20, а произ-
ведение наименьшее из возможных.
749. а) Число 121 разложили на два положительных множителя
таким образом, что сумма их оказалась наименьшей из воз-
можных. Найдите эти множители.
6) Число 144 разложили на два отрицательных множителя
таким образом, что сумма их оказалась наибольшей из воз-
можных. Найдите эти множители.
7Б0. а) Число 4 представьте в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы произведение первого слагаемого и куба второго бы-
ло наибольшим.
б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и
второго, возведенного в четвертую степень, было наи-
большим.
761. а) Найдите положительное число, после вычитания из кото-
рого куба этого числа получается наибольшая разность,
б) Какое положительное число при вычитании его из утро-
енного куба этого числа дает наименьшую разность?
762. Рассматривается множество прямоугольников, у которых
две вершины лежат на осях Ох и Оу прямоугольной систе-
мы координат, третья — в точке (0; 0), а четвертая — на
параболе //=— — х2. Какой иэ этих прямоугольников имеет:
а) наибольшую площадь;
б) наибольший периметр?
763. Как разрезать отрезок длиной 10 см на две части так, что-
бы, взяв их за катеты, получить: а) прямоугольный треуголь-
ник с наименьшей гипотенузой; б) прямоугольный треуголь-
ник наибольшей площади?
764. а) Забором длиной 80 м нужно огородить прямоугольную
площадку наибольшей площади. Найдите размеры этой
площадки.
б) Забором длиной 16 м требуется огородить с трех сторон
прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите
размеры палисадника.
765. а) Найдите острые углы прямоугольного треугольника,
имеющего наибольшую площадь среди всех треугольни-
ков, у которых сумма длин гипотенузы и одного из катетов
равна 21.
б) Среди всех прямоугольных треугольников с заданной ги-
потенузой с = у/2 найдите треугольник наибольшего пери-
метра.
766. а) Материальная точка движется прямолинейно по закону
/3 t2
х(/) = у—у —2/ + 3. (х измеряется в метрах, t — в секун-
дах.) Найдите наибольшее и наименьшее значения х(/) за
первые 3 с движения.
б) Расстояние от точки до наблюдателя подчиняется закону
/3
s = — — t2 — 3/+ 10. (s измеряется в метрах,/ — в секундах.)
О
Найдите наименьшее и наибольшее расстояния в течение
первых четырех секунд.
757. а) При каком значении высоты прямоугольная трапеция с
острым углом 45° и периметром Р = 4 (1имеет наи-
большую площадь?
б) Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются
под прямым углом, сумма их длин равна 10. Каково наи-
большее значение площади этого четырехугольника?
II
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x)
на указанном промежутке (758—761).
758. a) f (х) = х4 —4х-|-5, [-3; 2]; б) /(х) = х4—%+ 1, [-1; 1].
759. а) /(х)=2х3—х2-|-2, [0; 3];
б) /(х) = 2х34-Зх24-|х4-30, [ — 3; 3].
76О. а) /(х) = д/Ух —cos 2х, ур
б) / (х) = \/3~х4-sin 2х, [0; л].
761) a) f (х) = х2Д/3-х, [Г, 3]; б) f (х) = (х- 1) д/х + 2, [-2; 0].
762. а) Найдите точки экстремумов функции i/ = x3 + 6x2 на ин-
тервале — 5; —-0.
б) Найдите точки экстремумов функции у = —х3 — Зх2-|- 18х—
— 2 на интервале (—4; 0).
763. а) Число л представьте в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и утро-
енного второго слагаемого была наименьшей.
б) Представьте число л в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы произведение первого слагаемого и куба второго бы-
ло наибольшим.
764. а) Число 147 разложите на два положительных слагаемых
так, чтобы произведение одного из них на квадратный ко-
рень из другого было наибольшим.
б) Число 32 разложите на два положительных множителя
так, чтобы сумма первого множителя и квадратного корня
из второго множителя оказалась наименьшей.
765. а) В равнобедренный прямоугольный треугольник с кате-
том а = 2 вписан прямоугольник наибольшей площади так,
что две его вершины лежат на катетах, одна — на гипотену-
зе и последняя совпадает с вершиной прямого угла тре-
угольника. Найдите стороны прямоугольника.
б) В равнобедренный прямоугольный треугольник с кате-
том а = 2д/2~ вписан прямоугольник наибольшей площади
так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две — на
катетах треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
УМ. а) В равносторонний треугольник АВС со стороной а = 4
вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две
его вершины лежат на стороне АС, одна вершина — на АВ
и одна — на ВС. Найдите стороны прямоугольника.
б) В равносторонний треугольник АВС со стороной а = 6
вписан треугольник наибольшей площади так, что две его
вершины М и N лежат на сторонах АВ и ВС, причем MN
параллельна АС, а третья вершина К лежит на основании
АС. Найдите площадь треугольника MNK.
767. а) Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб
с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции.
При каком угле наклона боковых стенок площадь попереч-
ного сечения желоба будет наибольшей?
б) Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в
данную окружность, найдите треугольник с наибольшим пе-
' лриметром.
768. а) Вокруг прямоугольного поля площадью 5 = 400 га дол-
/жны быть посажены со всех сторон деревья в виде полосы
шириной / = 10 м. Каковы должны быть линейные размеры
поля, чтобы площадь, занимаемая деревьями, была наи-
меньшей?
б) Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на
странице книги 363 см2. Ширина полей вверху и внизу стра-
ницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей По
1,5 см. Каковы должны быть размеры книжной страницы,
чтобы площадь ее была наименьшей?
769. а) Дождевая капля падает под действием силы тяжести,
равномерно испаряясь так, что ее масса т изменяется по
2
закону m(t)=\——t. (т измеряется в граммах, / — в се-
кундах.) Через сколько времени после начала падения ки-
нетическая энергия капли будет наибольшей?
б) Источник тока с электродвижущей силой £ = 220 В и
внутренним сопротивлением г = 50 Ом подключен к прибо-
ру с сопротивлением R. Чему должно быть равно сопротив-
ление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность бы-
ла наибольшей? (По закону Ома сила тока в цепи есть
/ = -^4—, выделяемая в потребителе мощность равна /2£.)
770. На кривой y = f (х) найдите точку, ближайшую к началу ко-
ординат, если: а) f(x) =—б) = 1.
2 ух
771. а) Два тела начинают двигаться одновременно по прямым
Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первое тело
движется со скоростью 10 м/с по прямой Ох от точки А к
точке О, причем ЛО=ЮО м; второе тело движется со
скоростью 5 м/с по прямой Оу от точки В к точке О, причем
£0 = 200 м. Найдите наименьшее расстояние между телами
во время движения.
б) Два корабля плывут с постоянными скоростями Uj =
= 20 км/ч и и2 = 30 км/ч по прямым, угол между ко-
торыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых.
Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в
начальный момент времени расстояния кораблей от точки
пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.
772. Через точку М (1; 3) проведена прямая, пересекающая оси
Ох и Оу в точках А (а; 0) и В (0; Ь) соответственно (а>0,
Ь>0). Под каким углом прямая должна быть наклонена к
оси Ох, чтобы:
а) площадь полученного ДОЛВ была наименьшей;
б) длина отрезка АВ была наименьшей?
Ill
Найдите наибольшее и наименьшее значения данных функ-
ций на указанных промежутках (773—776).
773. а) у = 2 sin x + cos 2х, [0; л];
б) у=2 cos х—sin 2х, [ —у, у].
774. а) у = —cos х, [— у; у|.
б) у=У/\ Ч- sin х, |0; л].
775. а) у = х5-5х4 + 5^ + 2, [-1; 2];
б) у = 2х5+5/- 1 Ох34-3, [-2; 2].
776. а) i/ = х3 —2х | х—21, [0; 3];
б) у= — 5х3Н~х |х— 11, [0; 2].
777. а) Над центром круглой площадки нужно повесить фонарь.
Радиус площадки 10 м. На какой высоте должен быть фо-
нарь, чтобы он наилучшим образом освещал дорожку, окай-
мляющую площадку? (По закону Ламберта освещенность
прямо пропорциональна силе света источника, синусу угла
между направлением распространения световых лучей и
рассматриваемой поверхностью и обратно пропорциональна
квадрату расстояния от этой поверхности до источника.)
б) Два источника света расположены в 30 м друг от друга.
На прямой, соединяющей их, найдите наименее освещенную
точку, если силы света источников относятся как 27:8.
778. а) На стене висит картина. Нижний конец ее на 75 см, а
верхний на 3 м выше глаз наблюдателя. На каком расстоя-
нии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмот-
реть картину под наибольшим углом?
б) На окружности радиуса /? = 4 см дана точка А. Как про-
вести хорду ВС параллельно касательной в точке А, чтобы
площадь треугольника АВС была наибольшей? Чему равна
высота треугольника, опущенная на ВС?
779. Через какую точку графика функции y = f(x) следует
провести касательную, чтобы площадь треугольника, со-
ставленного этой касательной и осями координат, была
наименьшей, если:
а) /(х)=Д/2 —х; б) /(х) = 2 —х2, х>0?
7ML а) На координатной плоскости дана точка А (2; 2). Рас-
сматриваются треугольники, у которых две вершины сим-
метричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы
^ = х2, определяемой условием —а точка А явля-
ется серединой одной из сторон. Среди всех таких треуголь-
ников выбран тот, который имеет наибольшую площадь.
Найдите эту площадь.
б) На координатной плоскости даны точки А (3; 4) и
В (5; 4). Рассматриваются трапеции, в которых отрезок АВ
является верхним основанием, а вершины нижнего осно-
вания лежат на дуге параболы у = (х—2)2, определяемой усло-
вием 1^х^3. Среди всех этих трапеций выбрана та, ко-
торая имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь.
Глава III
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 18. Первообразная
I
Проверьте, что функция F есть первообразная для функции
f на указанном промежутке (781—787).
781. a) F(x)=2x2 + x-l, /(х) = 4х+1, х£/?;
б) F(x) = ± х2 — х+ 1, /(х)=х—1, x£R.
782. a) F (х) = 3 sin х+—, /(x) = 3cosx—j , х£(—оо; 0);
X хг
б) F (х) = 2 cos х—— , f (х) = ±- 2 sin х, х£(0; оо).
X х
783. a) F(x) = Vx + l, f(x)=—х£(0; оо);
2 \х
б) F(x)=3 — 2д/х, f(x)=---!=, хС(0; оо).
Vх
784. a) F(x)=2tgx, f(x)=-L-, ;
cos2 X \ /
б) F (х)= — 3 ctg х, /(х) = —, х£(0; л),
sin X
785. a) F(x) = xsinx, f (x) = sin x-|-xcos x, x£/?;
6) F(x) = xcosx, f (x) = cos x—xsinx, xg/?.
786. a) F(x)=sin3x, f(x) = 3cos3x, x£R\
6) F(x) = cos4x, f (x) = — 4 sin 4x, x£R.
787. a) F(x)=sin x —cos 2x, f (x) = cos x-f-2 sin 2x, x£/?;
6) F (x) = cos x + sin 2x, f (x) = 2 cos 2x— sin x, x£/?.
Найдите общий вид первообразных для функций (788—794).
788. а) /(%)=!—х; б) f(x) = 2x—1.
789. a) f (х) = Зх2 + 2х-1; б) f (х) = 2-4х-2х2.
790. a) f (х) = 2 cos х—3 sin х; б) f (х) = 4 sin х+3 cos х.
791. a) f (х) = 5х4 — Зх2; б) f (х) = 4х3-6х5.
792. a) f (х) = (2х + 3)3; б) f (х) = (Зх-2)4.
793. a) /(x)=sin (Зх—4);
794. a) / (x) = 2 —cos (-£ —x) ;
6) /(x) —cos (2x+y).
6) f (x)= 1 4- sin (1 — x).
Для функции f найдите первообразную F, принимающую за-
данное значение в указанной точке (795—798).
795. а) /(х)=1+^, F(l) = 3; б) /(х) = 2 + 4х, Л(-1)=1.
796. а) /(х)=х —Зх2, F(0)=2; б) /(х)=2х+6х2, F (1 )=5.
797. a) f(x) = cos(x-^, F^=\;
б) f(x)=sin(x—=-), f(^) = 2.
798. а) /(х)=Ц-, = б) /(х)=-^, F (£) = 3.
cos2 х \4/ sin2 х \4/
799. Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по за-
кону v (/) = /-|-3/2. (Время t измеряется в секундах, ско-
рость v — в метрах в секунду.) Найдите зависимость изме-
нения координаты точки, если в момент t = Q:
а) точка находилась в начале координат;
б) координата точки равна 1.
800. Зависимость скорости точки, движущейся прямолинейно,
выражается формулой v = cos л/. (и — скорость в метрах в
секунду, t — время в секундах.) Найдите:
а) координату точки в момент времени г = —, если при
/ = 2 она равна 2;
б) координату точки при / = 3,5, если в момент /=1 она
равнялась 1.
801. Имеется неоднородный стержень длины /. Какова масса кус-
ка стержня длины х, считая от начала, если линейная плот-
ность р стержня выражается законом:
а) р (х) = 3х —sin 2х, х£[0; /];
б) р (x) = 2x + cos Зх, х£[0; /]?
802. а) Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания
высотой 20 м. Какова начальная скорость камня, если через
1 с он находился на высоте 30 м?
б) Камень подброшен вертикально вверх с крыши здания
с начальной скоростью и0=15 м/с. Какова высота здания,
если через 2 с после начала полета камень находился на
высоте 30 м?
II
Проверьте, что функция F есть первообразная для функции
/ на указанном промежутке (803—809).
803. a) F(x)=^ + 2x, f(x) = 2—^, х£(0; оо);
2 6
6) F(x) = 3x-^, f(x)=34-^, x€(0; oo).
804. a) F(x)=V2x-3, /(x)=-=L=, x(e(|; co);
6) F(x)=V2-3x, /W--2V23_3x «(-<»;
805. a) F(x)=(x-1)V2-x, /(х)=Д/2-х ~2^L-, x£(-oo; 2);
6) F(x)=(2 —х)Д/х—1 J (x)=—Д/х—1 +7^=7’x^,; 00 )•
806. a) F(x) = sin ^2x4-y) , /(x)=2 cos (2x+y), xg/?;
6) F(x) = cos(-^-—3x) , /(x)=3sin0- — 3x) , xg/?.
807.
a) F(x) = y[x sin x, f (x)
sin x . A г~ x
=—F+vxcosx, xhO; oo);
2 yx
6) F (x)=V~x sin x, f (x)=
xg( — 00; 0).
sin x
2 yj—x
808.
\ Z7Z X 3x —2 pz 4 23
— X COS X,
Найдите общий вид первообразных для функций (809—813).
809. a) f(x)=-=L=; б) /(x)=-7J=. Д/2 — х VI- 2х
810. а)/(х)- ; б) /(х)- cos2 (j + 2x) sin2 (з%+у)
811. а> 'w=vir+sin(3-7); «>f«-iv=r+“s(2-£)-
812. a) /(x) = sin2 х; б) f (x)=cos2 х.
813. a) /(x)=cos24—sin2^; б) /(x)=sin ^cos^- О О о о
Для функции f найдите первообразную F, принимающую за-
данное значение в указанной точке (814—816).
8|4' а> 'г*-2»=^ 6> /W=77hf Г| -4’"3'
8|5-а>'м-уг-Тг- F<4>=5; б> fw= уг=57 • F(0H-
*16. a) /(x)=------Д
cos2 ( 2j
1;
6)/(^= nVF(ihiV3.
sin21 3x ——)
Й17. Найдите путь, пройденный телом за первые 3 с после нача-
ла движения, если:
а) закон изменения скорости дается формулой v (/)=—=!
б) скорость тела дается формулой
v(0 =
. (Ско-
рость в обоих случаях измеряется
RI8. При гармоническом колебательном
в метрах в секунду.)
движении по оси Ох
около начала координат скорость v (t) подчиняется закону
v = cos (^- Найдите положение точки:
о \ о о /
а) в момент времени / = если в момент /=1 она находи-
лась в точке х=1;
б) в момент / = 0,5, если х(3) = д/з\
Ill
Является ли функция F первообразной для функции f на ука-
В1ННОМ промежутке (819—822)?
RI9. a) F(x) = tgx, f(x) = —, х£[0; 2л];
COS X
б) F(x)=ctgx, f(x)=-—L-, xe(-i; у).
( 1, x>0,
H20. a) F(x) = ] f(x) = 0, x£/?;
( — 1, x<0,
( x+ 1, x^ 0,
6) nx)=LT f(x)=\, xtR.
( 24-x, x<0,
R2I. a) F (x)= |x—2|, /(x)=l, x£(0; 3);
6) F(x)=|3x+H, /(x)=—3, x€( —1; 0).
*22. a) F(x)=x|x2 + 2x|, f (x)= — Зх2 — 4x, xg( — -|; — -0;
6) F(x) = x|x2— 3x—4|, /(x) = 3x2 — 6x—4, xg(4; 5).
Найдите общий вид первообразных для функций (823—826).
Н23. a) f(x)=|x-l|; б) /(х)= |х+ 11.
Н24. a) /(x)=sin4x; б) f (x) = cos4 х.
825. a) /(x) = sin у cos x; 6) f (x) = cos у sin x.
826. a) f(x) = x |x —2|; 6) f(x)=\x\ (x —2).
Для функции f найдите первообразную F, принимающую за-
данное значение в указанной точке (827—828).
827. а) /(х) = х|х+И, F(-l)=-|;
6) f(x)= |х| (х + 2), F(-2)=-l
О
828. a) f (x) = sin cos х, F(n)=l;
б) / (x) = sin х cos
829. а) Обязательно ли первообразная для периодической функ-
ции является периодической?
б) Любая ли первообразная для нечетной функции, непре-
рывной на /?, является четной функцией? Обязательно ли
первообразная для четной функции, непрерывной на /?, яв-
ляется функцией нечетной?
830. Ускорение прямолинейно движущейся точки меняется по
закону a = 2t. (Время t измеряется в секундах, ускорение
а — в метрах в секунду в квадрате.) Найдите закон движе-
ния тела, если:
а) к концу первой секунды точка прошла Юми скорость ее
была равна 4 м/с;
б) к концу второй секунды скорость точки была равна
6 м/с, а к концу третьей секунды точка прошла 40 м.
831. В момент времени / = 0 тело массой 1 кг покоится в начале
координат. Найдите закон движения тела под действием си-
лы F, если:
а) /7 = 2Н; б) F = 2 — cos t. (t измеряется в секундах, F —
в ньютонах.)
§ 19. Интеграл
1
Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной
заданными линиями. Сделайте рисунок (832—837).
832. а) £/= х2-|- 1, у = 0, х=0, х= 1;
б) // = х2—1, г/= 0, х= 1, х = 2.
833. а) у = 4х — х2, у = 0\ б) у = х — х2, у = 0.
834. а) у = —-—7, г/= 0, х= 1, х=2;
7 * (х+1)2
б) / = —!—й, д/ = 0, х= — 1, х=0.
7 ' (х-1)2
•35. a) y = xl—4x, z/ = 0, x=—^, x=—1;
6) y = 3x— x2, // = 0, x = 0, x=l.
IjlB. a) y = cosx, y = 0, x= — * = -^;
6) z/ = sinx, y = 0, x = y, x = n.
•87. a) t/ = sin-£, i/ = 0, x=j, x=^-,
6) // = cos2x, y = 0, x= — , x = -^-.
Вычислите интегралы (838—843).
з
•KN. a) $(2x— \)dx;
2
2
<39. a) ^(2x —x2)dx;
i
з
MO. a) (x —2)2 dx\
о
2
Ml. a) J (2 sin x + 3 cos x) dx\
л
T
Л
"з
М2, a) $ sin (x+y)dx;
JI
*6
М3, a) 2 ;
’ J (x-2)2
3
1
6) J (3x4-2) dx.
0
0
6) $ (2x+ x?) dx.
— 2
4
6) $ (x+ 1 )2 dx.
2
л
T
6) $ (2 cos x — 5 sin x) dx.
л
T
Л
~2
6) $ cos (x—dx.
— i
Г dx
J (x + 3)3 ’
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными лини-
ями (844—848).
М4. а) // = х2, у = х\ б) у = (х-\-1)2, д/= 0, х = 0.
М5. а) // = х3, х = 0, //=1; б) // = х3, у = х, х=0, х=1.
1 3
Mil. а) у= .-= , х= — -г, х=0, «=1;
б) 9-vrb'’=2' х-°-
1 1 2
847. a) у = x, У=-^, x=2-, б) x=-, y = 2x, У=~^-
ОАО \ • /2 \2 K. 1 /3 \2
848. a) £/ = sin x, // = ( — x) ; 6) y = cos x, У = ~2\—х) •
849. При каких значениях параметра а значение интеграла
а
а) ^(1— 2x)dx максимально;
о
а
б) ^(4 — 2х) dx не превосходит 2?
о
Вычислите интегралы (850—854).
2
2
850. a) $(2x+l)3dx;
1
¥
л
~2
851. а) $ cos2-^- dx\
о
852.
з
б) J(3x + 2)3dx.
о
Зл
~2
б) sin2jdx.
л
~2
2
б) .
J Д/Зх + 4
4
а
1 —%4
1 —X
dx\
853.
854.
III
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными лини-
ями (855—858).
855. а) у=1 — |х— 1|, у=1—-£; б) у = 2— |х|, у — х^.
856. а) 4/ = 0, парабола г/ = 2х —я2 и касательная к этой парабо-
/1 3\
ле, проведенная в точке ( —; —к
б) кубическая парабола // = 2х3 и касательная к ней, прове-
денная в точке (Г, 2).
•67. а) х =—г, х=—, y = cosx и касательные к этой линии.
7 4 4 27
-г П П
проведенные в точках с абсциссами х=—— и х=-^;
б) у — £ и касательные к этой линии, проходящие через
точку (0; —4).
•58. а) у = -ъ, х=~х и касательная к линии у = —, проведенная
л X
и ___ « / 3 \
в точке с абсциссой х= 1 (х^—к
б) у = cos х, х = 0 и касательная, проведенная к линии
/л 1 \
y = cosx в точке ( —; —
у О Z /
Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси
абсцисс фигуры, ограниченной заданными линиями (859—861).
•59. а) // = д/cos х, // = 0, х= — х =
б) y = yjsin х, у = 0, х = 0, х = -^-.
•60. а) // = Д/3 —Зх2, у=\х\, х = 0;
б) у = х\ у = ^]2 — х, х = 0.
МИ. а) У = ^. У = 0, ^ = 2, у = х\
1 1
б) У = ^> х==21 у = х'
Mi2. По заданной площади криволинейной трапеции найдите
значение параметра а:
а
а) (sin х + д/З^ cos х) dx = 2
о
л
~2
б) (cos х—"\/3^ sin х) dx— 1 ( — у<а<о).
Глава IV
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 20. Корень п-й степени и его свойства
I
863. Найдите значение числового выражения:
а) ^(-З)4, A/2F;
б) Д/71 , Д/0,343, V(-3)5, у322.
Вынесите множители за знак корня (864—865).
864. а) ^27Ь4, д/б4а6, где а^О; д/98а2, где а^О;
б) д/бОа6, где а^О; Д/24364, где Ь^О; у/45Ь&, где
865. а) у/80а2Ь4, где а<0; Д/б00а668;
б) у/\47а&Ь\ где а>0; Д/- Ю8а4612.
866. Внесите множители под знак корня:
4 6
а) —4 у 3, а у4, где а^О; —а у 3, где а^О;
4 _
— ab у6 , где а О, b 0;
б) — бд/2\ ЬУ/2, где аЬЛ/5, где а^О, fe^O;
4 __
ab\3, где Ь^О.
3 4 3 г-
867. Что больше: а) у5 или уЗ ; б) у4 или у3 ?
868. Что больше: а ) или 'VuT; б) 'Ve д/2 или Д/З ?
869. Что больше: а) Д/2 д/2^ или д/2^; б) ^2 д/б~ или Д/б д/2^?
870. Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содер-
жит знака корня, следующие числа:
Найдите значение числового
871.
872.
873.
874.
а) ЗД/8 — 5д/Т^4-12д/50";
а) (Д/5-Д/З)2.^^^;
4 + 2 д/з
4-2 Д/З
выражения (871—875).
б) д/320 — 2 д/Т35~ 4-ЗД/40.
б) (2 д/2 —3)2-"\/8.
б) Д/11-Д/2Г-Vii4-A^r•
875.
а)
а) д/3 4-24--Ц=;
2+д/У
Упростите выражения (876—879).
876. a) (y/cfb —’ где ^>0;
б) (a ~ 2 y[ab^ л/аЬ, где a>0t b>0.
Верно ли каждое из
равенств (880—881)?
880. a) Д/94-Д/32 = 1 4~Д/8; б) Д/11 —бд/2 =д/2" —3.
3 ___ 3
881. а) Д/бд/З 4-10 = Д/З 4-1; б) Д/16 —8д/5 = 1 -д/5 .
882. Вынесите множители за знак корня:
4 ______ 4
а) ~\]\8а2Ь, Д/32а664, где а^О; ^48а4Ь*с]2, где с^О;
б) Д/24а364, д/32а664, где а^О; ~\/27а3Ь2сь, где Ь^О.
883. Внесите множители под знак корня:
4 .— 4 .— 4 .--- 4
а) а \а, а\2, —ab\a; б) b\ — b3, —b\3, abyb.
Расположите числа в порядке возрастания (884—885).
_ 3 6 --- 5 3 15 __
884. а) Д/3, Д/4, Д/18; б) Д/3, д/2, Д/30.
Найдите значения числовых выражений (886—889).
888. a) + 4 Уй5)-2Д/| ;
6) (а/075 -V67S)-V3.
889. а) Д/0,25 -(Д/4 + 2Д/32 — 4 д/108);
б) (ЛДОО +2Д/5 +2Л/2)(у/\0— д/4).
Сократите дроби при а>0, Ь>0 (890—892).
892.
890. а)
891. а)
Ь — а
Представьте в виде дроби, знаменатель которой не содержит
знака корня (893—896).
893. а)
д/2~ .
2 л/зГ + 4 д/2~ ’
б)
2 д/5-3 Vf
3 Д/5-5 V7 '
894. a)
896. a)
. 2 —; 6) - 3 .
у/4-2У/з узд/2-д/б
. ‘~.a , где О а < 1;
Д/1-Д/7
895. а) —; б) —
2-VF З+Д/б"
б) —у -° , где а^О.
VI+W
Упростите выражения (897—901).
898.
899.
900.
901.
а> (|+дО):(1-дО)' ™е “>,,>о;
где а>Ь>0;
6)
а)
б)
а-^-Л]а2 — 4а a — ^Ja2 — 4a .
------Т" ---------------, , где а Ф 0:
а— уа2 — 4а а-j- \а2 — 4а
а + 2 + Д/а2 —4 । a-j-2 — Д/«2 —4
а 4- 2 — Л]а2 —4 а + 2 + Л]а2 — 4
где а>0, Ь>0, а=/=Ь.
где а< — 2, а ^2.
Ill
Найдите значения числовых выражений (902—908).
902. а) 4^^;
М3, а) а|^+^)’ ;
д/з”+2 д/зГ 4-1
904. а) Д/4-2Д/2 -Д/б + 4Д/2 ;
. (Д/24+Д/6)2
} 4Д/3+ЗД/6 ‘
б) ,-2^+уГ
(д/Г-д/^)2
6) ^74-4Д/3 -V2-V3
905. a) -W-А/5 + 2 УТТ -VV5+А/52;
б) VV*2”+д/2-VW-^Т^-^+гд/з .
906. a) -+=------5=-----7=---i=;
5—Vi7 4+VkT VT7—д/1з
6) (—^7=----^=+ Д2 ^(11+д/б)-0,2.
\1+Д/б 2-Д/б Д/б-3/' ’______
907. а) Д/в —д/28 — Д/8 + д/28 ; б) Д/б + 4д/2 +Д/б —4Д/2 .
908. a) Д/| 12Д/5-291 -Д/12Д/5+29;
б) Д/|20д/7-53| -Д/20д/7 +53.
909. Докажите:
a) + ДМР^
910. Докажите, что число А — целое, если:
а) Л =Д/26+ 15д/3 +Д/26-15Д/3 ;
з ________ з
б) Л=Д/29Д/2 —45 -Д/29д/2+45.
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби (911—913).
9,,-а)д/Е1;
912.
913.
Д/1+а +Vl-a .
' УГ+Т-УГ^”
v “+1 + Д/д2 — 1 .
а+ I —Д/а2— 1
6)
б)
б)
Д/2Д/3~
д/уу+утг'
Ь4 4- а2 + а Д/а2 + ^4+ 1 + 1
д/а2 + *4+1 +а
а + Д/а2 —4а
а —2 + Д/«2—4а
Упростите выражения (914—918).
6) (cV“ -V» Г' +(^ + V* -
918. а)
б)
§ 21. Иррациональные уравнения,
системы уравнений, неравенства
1
Решите уравнения (919—928).
919. а) У4х24-5х-2 =2; з б) д/гз+Зх-бх2 =з. з
920. a) W + 4X-50 =3; б) v^+ux-ie = -4.
921. а) х+Д/Зх + 7 =7; б) Д15 —Зх — 1=х.
922. а) 19 —5 = 3х; б) V49-15X +3х= 11.
923. а) У(3х—1)(4х+3)+ 1=3х; б) У(4х+5)(3х—2) — 4х=5.
924. а) Д/х2—36 ="\/2х—1 ; б) д/8 —5х ='\/х2—16.
925. \ । 1 9—х а) %+ 1 =—;= ; б) -1^ = 8-х.
V* 4-3 2 + V?
926. а) (х+2)Д/23х-14-Зх2 =0; б) (х+1)Д/5х2 + 22х-15 =0.
927. а) УЗх-5 =-^L; У/х-2 б) 4±L=V3x + 4. Vx+l
928. al 2 -У*+6 • л /л • г-1-4 ’ б) *+1 =У2х+1.
— X
Решите системы уравнений (929—932).
929. а)
дДИ
V1/ + 2
ху=6;
6)
ху = 36.
930. а) | Д/х-1 4-Vf/+ 1 =Ю, 1 У/у+ 1 -Д/х-1 = 16; б) [Д/х4-2 4-Vl/-2=8, [ Д/х4-2 -Д/г/ —2 = 15.
931. а) ’ 3 \у — \х=7, -д/Г=18; б) со l" II I?) , 11 1* 1 *< СО
932. а) | х—у= 16, 1V7—д/7=2; Решите неравенства (933—938). б) 1 \у — х= —7, [д/х-|-Д/7 = 7.
933. а) д/2х+3 <5; б) Д/Зх—2 >5.
934. а) Д/х2-6х-Ь8 >-1; б) 34-Д/12—х-х2 >0.
935. а) Д/4х2Н-5х—6 >0; б) Д/Зх24-7х-6 <0.
936. а) (4х—6)Д/х24-4 >0; б) (2x4-7) Д/х24-9 <0.
937. а) Д/Зх24- 10x4-7 >2; б) Д/2Х2 —5x4-11 >з.
938. а) Д/х2— 10x4-9 <3; б) Д/х2-!-Юх4-16 <4.
ii
Решите уравнения (939—950).
939. а) х=5-Д/2х2-|-13-14х; б) Д/1 +8Х+2Х2 —3 = х.
940. а) Д/2х-|-3 + д/2х-|-5 = . 4 ;
у2*+5
б) ,27 — Л/х+2 = Д/бх—6.
941. а) Д/З |х| +3 = Vх2-25; б) Д/х2-^ = Д/14-|- |х| .
942. а) Д/х—9 4- 2 =Д/х—1 ; б) Д/х+16 — 3=Д/х —5.
943. а) Д/13 —4х + Д/1 — х =3; б) Д/Зх—2 + Д/2х4-5 = 5.
944. а) (х+2)Д/х^х-20 =6х+ 12;
б) (х—ОД/х2 — х—6 = 6х— 6.
945. а) Д/х-|-1 +20=Д/х4-1 ; б) Д/З—2х= 10—3 ^3—2х.
946-а» зд/зИ1“зд/11й+2-5.
д/Ш+д/1Ц|=2'5-
947. а) Д/1 4-cos х =sin х; б) Д/1 +sin х 4-cos х = 0.
948. а) д/х + 4 = я —2; б) 0,5д/8 — х =а+\.
949. a) _a = 3-Д/х; б) -=2—=д/х +5.
ух -|-3 ух —5
950. а) Ух4-а = д/4 —х; б) Д/7 + 2х = Д/а — х.
Решите системы уравнений (951—955).
951. а) у* \у ,дТ+У7=4; б) ' J У7 Ух 6 ’ Ух—У7=1.
952. а) [ 9х + у 4- 6 л/ху = 100, б) f х 4~ 25г/ 4- 10 УхУ = 100,
1 У7 —УУ = 2; 1 Ух —УУ = 4.
953. а) а/7+а/7=2, . х4- у = 26; б) 1 1 У* — \У =2, [ х—«/ = 56.
954. а) (УТ УТ-1- х —1/ = 4; б) (УТ+УТ-2'5' . х + у=12.
955. а) 1 [ VxH~3j/-]-5 =2, б) 1 [Ух-«/ + 2=3,
[У2х—у + 3 =7у+ 1; 1. У^4-у —4 = 13 —2х.
Решите неравенства (956—961).
956. а) Д/5х + 7 <Д/2 —Зх; б) УЗ —7х >Д/бх —8.
957. а) Ух2 4-3 <х+3; б) Ух2 4-2 >х — 2.
958. а) Ух 4-15 =С5 — х; б) х + 2>Д/14 —5х.
959. а) 1 —2х>Д/4х2 —Зх—1 ; б) У9х2-х-10 >3х-2.
960. а) (Зх2-16х+21)У2х+5 <0;
б) (5x2H-17x+14)V4-3x <0.
961. а) . 6~2* <0; б) 3*+15 >0.
ух24-7х4-12 ух2 —5х —24
III
Решите уравнения (962—972).
962. а) Ух —2 + Ух 4-3 = Убх— 11 ;
б) У7х+1 — У2х+7 = УЗх—18.
963. а) Ух 4-15 -Ух-1 =Ух + 6 -Ух-6;
б) Ух+ 12 —Ух4-5 +Ух—3 =д/х.
964. а) Ух+ 1 — 1 =Ух —Ух+Т; б) Ух 4-Д/х—УГТх = 1.
965. a) Ух—4 +4 = х+Д/8 —2x;
б) УЗх— 15 — 2х=3—У5 —х.
966. а) Ух +х=3-Д/5х-16; б) У13-5х4-2 = х-Уб-Зх.
пс-7 \ 1 I 1 2 л/2
967. а) ----------===-=^=;
1-Vl-x 1+V1—х Д/1-х
fi) 1 I 1 .Уз
' 2-Д/4-Х -Г 2 + Д/4-Х V4-*
968. а) х2Н-6 — Д/2х2 —3x4-2 = 1,5(хН-6);
б) 15х-|-Зх2 = 2 (1 4- Д/х24-5х4- 1) •
П£2П \ пл/------- 4cos2x-f-3 5 — 9 cos 2х „ _ г~.--
969. a) 2 Д/cos х =--------- ; б) ----------==—= 6 ysinx
— Д/cos х ysin х
970. a) У1 4-4 cos 2х = УГ— 4 cos х;
б) д/1 —4 sin х =У1 —4 cos 2х.
971. а) "^/cos 0-4-х) — sin2 х-|- 1,25 = 0,54-cos х;
б) ycos 04-х) —cos2 х-|-1,25 =0,5 —sin х.
972. а) Д/б sin х cos 2х =У— 7 sin 2х;
б) Д/ — 4 cos х cos 2х ="\/7 sin 2х.
Решите системы уравнений (973—977).
973. а) (х + у — л/х — У/у +2у[ху = \2,
I У[х— V7 = 2 ;
б) ( х+у — у[х + У[у — 2 у/ху=2,
I = 8.
974. а) (Ух + </ +V2x + i/ + 3 =7,
1 Зх4-2«/ = 22;
б) ( У4-Х4-1/ 4-Д/9-2х + г/ =7,
12г/ —Зх=12.
975. а)
976. а)
|i/| Vl/2 —4Х2 =0, б) | |х| Д/4Х2 —i/2 =0,
х+у — Vt/2 —4Х2 =5; | х—Г/4-Д/4Х2 —z/2 = 1.
у2 4- У/^у2 — 2х-|-3 = — х 4* 5,
Зх —2z/ = 5;
6) f 9хг+У/9хг+2у+\ = 1 -2у,
I 6х+«/ = 2.
977. а)
12
х+у ’
x2 + i/2 = 41;
б)
х2Н-1/2 = 34.
Решите неравенства (978—’
978. а) у/х—\ <а;
979. а) V^ + 2x—8 < 12 — 2х;
980. а) Д/^Ц- >У15х-8 ;
' у 2х — 1 v
981. а) ^7-^ —2 >3;
982. а) Д/5х2+6х+1
983. а) (|х|-1)Д-х2Н-х+6 С
б) Дх4-1 >а.
б) Дх2—10x4-16 <2x4-4.
б)
61 х 3 ЛI с 1
' 2-х 4 V 2 —х 4 ’
б) Д1+6х-7х2+^<0.
I; б) (|х| — 2) Д—х24-2x4-3 >0.
§ 22. Показательная функция
I
984. а) Постройте график функции у = У. Как изменяется у,
когда х возрастает от —3 до 4?
б) Постройте график функции У = (^ • Как изменяется у,
когда х возрастает от —2 до 3?
985. Постройте график функции:
а) у = 2х+ 1; б) у = Зх — 1.
Решите уравнения (986—997).
2
986. а) Д<Г=8 3 ; __з
987. а) 1.Дз3х-'=81 4 ;
988. а) 16 *-Д/б4Г = 2х;
989. а) 4х.5х-' = 0,2.203-2х
990. а) 4|х-" = 8;
991. а) 4-2СО5Х=Д8;
992. а) Зх-2-Зх-2 = 7;
_3
б) Д/37 = 9 2
б) 8”' -Д4х+1 =(0,25)-°5.
б) 8-|-Д167=2°-5х.
б) Зх+1 -4х = 0,25- 123х“'.
б) 9|х+,, = 3.
б) 9-3sinx=V27.
б) 4х —3-4Х~2=13.
993. a) 4-3x-'+3x+l = 117;
994. a) 5x+1 —3*5X~2= 122;
995. a) 4x+14-4x-2 = 260;
996. a) 32x—4-3x=45;
997. а) 2х —8-2~x = 7;
6) 2x+l + 5-2x~2=104.
6) 3x+1-4-3x-2 = 69.
6) 5x+l+5x~2 = 630.
6) 4x4-2x+3 = 20.
6) 3x-9-3’x = 8.
Решите неравенства (998—1006).
998. a) 6)
x+i
999. a) 3 x >3;
2x—1
6) 2 Jx <4.
1000. а) 2х2 '<23;
1001. a) 8-2x2~3x<(0,5)-1;
1002. а) Зб05"2-1^^)-2 ;
1003. a) (0,25)3-05x2<8;
1004. a) 3|xl+2>27;
1005. a) 32x-?<9;
,006- a) 5Й>0:
б) з2х2-«>±.
6) 9-3x2-4x<3-'.
6) (0,36)05x2-3>(|) 3.
6) 4°-5x2-25>(0,5)-4.
6) 2|x|_|<8.
6) 23x-x2<8.
6)
0,5'—0,25
— Зх2 —7
1007. а) Постройте график функции z/ = 3lxl. Как изменяется уу
когда х возрастает от —3 до 4?
б) Постройте график функции // = 2|х|. Как изменяется уу
когда х возрастает от —2 до 3?
1008. Постройте график функции:
а) 0 = 2|х, + 1; б) £/ = 3|х, + 1.
Решите уравнения (1009—1015).
1 1 5 W УГ-1
1009. а) 2х+1 -8х2-' = 28 ; б) Зх-^ =9
1010. a) 31+2sinxcosx = 3V3; б) 3si"x+™sx=i.
1011. а) 4х2+'-9-2? + 2 = 0; б) 3-81х-10-9х+ 3 = 0.
1012. а) 9-42х“1 — 0,5-44х=Г, б) 9 —2Х = 23“Х.
1013. а) 4х+' + 4'-х-10 = 0; б) 31+х-2.3'-х=7.
1014. а) 4^х+3 —32 = 4-2л/х+3; б) 4Х+_5.2х-1+V/-2 = 6
1015. а) 2х2-'-Зх2 = Зх2-,-2х2+2; б) 5х2-Зх2+| =2(5х2-'-3х2”2).
Решите неравенства (1016—1024).
1016. a)
1017. а) Д/32 -2~4х2>83х;
1018. а) 25-0,042х>0,2х<3~х';
1019. а) 4х + 2х+3>20;
1020. а) 0,7|х+2|>0,7°’5;
*+5
1021. а) 6х2-9>1;
1022. а) (10х2-3х+2)зТх< 1;
1023. а) -4<Зх2~2х-'-5<4;
6>4-Gr'«Gj"
б) д/27-3~6x2>94x.
б) 4-0,5х(х+3)<0,252х.
б) 9х+1-2-Зх<7.
б) 0,6|х-3|<0,6°’5.
?-4
б) 5Х~' <1.
I
б) (0,4х2_2х-3)6~х> 1
б)
б) 64 ~4'
' 4^+12x4-9
>0.
III
1025. а) Постройте график функции 1/ = 3|х-11. Как изменяется
у, когда х возрастает от —2 до 3?
б) Постройте график функции у = 2|х+11. Как изменяется
у, когда х возрастает от —3 до 2?
1026. Постройте график функции:
a) t/ = 2lx-"4- 1; б) у = 3|х+11 - 1.
Решите уравнения (1027—1030).
1027. а) х-Зх~'-|-3-За/зТ7=Зх + х-3^::7;
б) х2-4а/5Гх-|-42+х=16-22А/®::х4-х2-22х.
1028. а) х2-6-х + 6^+2=х2.6^4-62-х;
б) х2-2^+22-1 = 2^+2 + х2-2-х.
1029. a) 2cos2x=3-2cos2x—4; б) 3C0S 2x.(4-3si"2 х —9)= 1.
1030. а) 4х+1-6х = 2-32х+2; б) 5-32х-|- 15-52х~' =8- 15х.
Решите неравенства (1031 —1034).
Зхг + 2 2>?+1
1031. а) 3-9 х —272х>0; б) 2-8 х —43х<0.
1032. а) 7х-5х+2<2-7х-1 —118.5х-';
б) 5х-Зх+1 >2-(5х-1 -3х-2).
1033. а) Зх2+2-5х2-1>5х2+,-ЬЗх2-1;
б) 2^х’+|—3^х">3А^-‘ —2^”.
1034. а) ^1ух-°^^2|2х-|0|+х; б) (^)x~0'5x2^3I3x“I2|+2j4
1035. а) Решите неравенство f (g (x))<Zg (f (x)), если f(x)=2x—1,
g(x) = 2x+ 1.
б) Решите неравенство f (g (x))<Zg (f (x)), если f(x) = 2x,
g(x)=2x.
§ 23. Определение логарифма
I
Вычислите (1036—1037).
1036. a) log<4V2; 6) log^S^S.
1037. a) 42-'0823; 6) 25l+'°g53.
Решите уравнения (1038—1040).
1038. a) log4x=—j; 6) log^ x= —|.
1039. a) log,4=|; 6) log,9=|.
1040. a) x2 + 2log2X= 12; б) x2 + з'°Вз x = 20.
II
Вычислите (1041 —1042).
1041. a) log4log981; 6) log9log464.
1042 a) 4 ,Og25 + 2 ,Og0-25 3. 6) 3,OS9 16~1ОИ278
Решите уравнения (1043—1045).
1043. a) log4 sin x= — ; 6) log8cosx=—y.
1044. a) log2x_, (4,5x) = 2; 6) logj,..! (3x+1 ) = 2.
1045. a) 2x2 + 51°B5X = 25log5 б) Зх2 + О.б"’805 x = Зб'°Вб
III
Вычислите (1046—1047).
J046. a) log4 logu 121 4-logl6V2;
1047. a) 2
loe^- 5+2 bg0.s 5
6) log8logl4 196—log?V7.
Iog\/r7-2 Iobi 7
6) 3 .
Решите уравнения (1048—1050).
1048. a) log^(tg x+4) = 2;
1049. a) log sin x= 1;
6) logvr(tg x+ 1 )=2.
6) log cos x)= 1.
sin x
1050. a) cos2 x —0,25-3log3 cos x = 0,125; 6) sin2 x—|-71оВ7 sin x=-^.
o 1 b
§ 24. Логарифмическая функция
I
1051. а) Постройте график функции f/ = log3%. Как изменяется у,
когда х возрастает от ± до 27?
б) Постройте график функции z/ = log2x. Как изменяется у,
когда х возрастает от до 32?
Найдите область определения каждой из функций (1052—
1055).
1052. а) I/=Д/2х—5 + log3(3 — х); б) «/ = ^/3x4-6 + log2(1 — х).
1053. a) i/ = log4-^|; б) i/ = log2-^^.
1054. a) #=log3sinx; б) z/ = log2cosx.
1055. a) y = lg(tgx—1); б) у = lg( — tg х+ 1).
Постройте графики функций (1056—1058).
1056. а) у = log0,5 х+ 1;
1057. а) у = 2"*2Х-,
1058. a) i/ = log3x— 1;
б) .V = logos х— 1.
б) t/ = 0,5loeo-5<x-,>.
б) i/ = log3x+ 1.
II
Найдите область определения каждой из функций (1059—
1063).
1059. а) г/ = Д/9 —х2 -1g х2; б) г/ = Д/4 —х2 • lg (х— 1 )2.
1060. а) I/ = V16 — х2 • log2(х2 — 5х + 6);
б) г/ = Д/25 —х2 • logos (х24-2х — 3).
1061. a) // = Vlg(x+2); б) f/ = Vlg(x-3).
1062. а) у = logo,5(x2 — 2х)-|-Д/9 — х2;
б) У = logo,3 (х2 + Зх) + Д/49 — х2.
1063. a) j/ = log03(2 sin х—1); б) i/ = log05(l — 2 cos х).
Постройте графики функций (1064—1067).
1064. а) «/ = logo,5(х+ 1); б) t/ = log2(x— 1).
1065. а) г/ = з'°Вз‘'“Л б) г/= О,з'°Во-3 <х2|).
1066. a) t/ = log2 |х|; б) у = log0.5 Iх|.
1067. а) у — |log2 х|; б) у= Ilog0.5 х|.
III Найдите область определения 1073). 1068. а) у = У]х— 1x1 -log3(x —2); 1069. а) у=у/(хг — 3x)-lg2(x— 1); 6) i/=V(*24-3x)-lg2(x4-2). 1070. a) t/ = lg sin x-|- - * 1071. a) «/ = logo,5(lg2x—Igx); каждой из функций (1068— б) у=Л]х—\х\ -Iog2(x4-1). з б) У= lg COS х . 2 cos х— 1
6) j/=log2(lg2*+lgx)-
1072. a) i/ = Vcos * +Vi-ig2*;
б) у = Д/5>п * + V1 — I g2 х•
1073. a) z/ = lgsinx-bV —х2-|-7х;
б) »/ = lgtgx + V —-^Н-16.
Постройте графики функций (1074—1079).
1074. а) у = |log2 х— 11; б) у= |log2 %+ 11.
1075. а) у-= log05 I*— 11: б) v = log05 |х-|- 11.
1076. a) i/ = lg sin х; б) у = log0, sin х.
1077. а) у = logo5 tgx; б) i/=log2tgx.
1078. a) i/ = log2cosx; б) у = logoscosx.
1079. а) у = log2 log2x; б) у = log0.s log3x.
§ 25. Основные теоремы о логарифмах
I
1080. Прологарифмируйте х по основанию 10:
. Д/10 y[\0a а>х 0,1 ; Х/юаД/од" б) *- 10
Найдите х (1081 — 1083). 1081. a) 1g х=| 1g 9-4 lg 8; Z 0 б) lg х=4 1g 25 —-| 1g 9.
1082. a) lgx=lg 12-Ь 1g 15-1g 18; б) 1g х= 1g 8 + lg 20-lg 40.
1083. a) log0 | x = 4 log0J 3 — | logo,( 27 — 2 log0>l 6;
3 ______________________________________________________
6) logo,! x=2 logo i 6 — 0,5 logo., 1004-3 logo i \20.
1084. Постройте график функции:
a) f/ = log2(2x); 6) i/ = log2(0,5x).
II
1085. Прологарифмируйте х по
основанию 10:
б) х
УюД/юООаД/а’
100 У/а
1086. Найдите х:
ч , log5 27 — 2 log5 3
a) lg х=—-------— ;
logs 45 +logs 0,2
, 2l°go,3 4 + |оёо.з °-5
б) 1g Х =---------------------
logos6 — |овоз 12
Упростите выражения (1087—1088).
1087. а) 3 log72 '°g7 24 ; б) +----------— .
Iog7 3 + log; 9 log4 75 — log4 3
,088. a) '"fe'2-2tob2 ; 6) + .
log, I8 + I«B.,O.S Ig7-IBH
1089. Постройте график функции:
a) i/ = log2x2; 6) y = log3x3.
Ill
1090. Прологарифмируйте x no основанию 10:
Определите, какое из чисел больше (1091 —1093).
1091. a) 2log73+0,l или 3,og72; б) 7,ОВб 2-0,1 или 2,ОВ57.
1092. а) 71оВ52+6У'°еб15 или 2'°В5 7 + д/б;
б) 51оВз7 + д/7 или 7,овз5_|_7 з |ОВ719
1093. a) 5log34-|-cos 1 или 4'°Вз5 + cos 2;
б) 13'°В9 4-|-sin 3 или 4l0B9 l3-|-sin 4.
1094. Постройте график функции:
а) # = 0,5 log2 sin2 х; б) # = 0,5 log05 cos2 х.
Определите, какое из чисел больше (1095—1096).
1095. a) log23 + log32 или log5 5 д/5~;
б) log! з 1,7 +logj 7 1,3 или tg^-.
О
1096. a) log2 7- log7 9- log9 16 или л;
6) log5 7-log7 9-log9 11 -logu 23 или д/гГ.
1097. а) Выразите log69 через а, если log62 = a.
б) Выразите log369 через а, если log36 8 = a.
§ 26. Логарифмические уравнения
Решите уравнения (1098—1112).
1098. a) log3(x2-l)=l; б) log5(x2+1)= 1.
1099. a) log2(V7-2)=l; б) log3(УГ+1 )= 1.
1100. a) lg(3x — 17) — lg(x-h 1)=0; б) lg(4%+5)— 1g(5х4-2)=0
1101. a) lg(х2 —2х)= 1g(2x4-12); б) lg(2х2-|-Зх)= 1g(6х-|-2)
1102. a) log4 (х-1 -2) = 1; б) log6(x-2 + 2)= 1.
1103. a) log05(x2 —х)= — 1; б) log0, (х24-3х)= — 1.
1104. a) log2(х-|- 1)—log2(х— 1 )= 1;
б) log5(7x + 4)-log5(2x-l)=l.
1105. а) 2 1g (х—l)=lg (1,5х-|-1);
б) lg(12x—х2—19)=2 lg(x—
1106. a) log2 х-|-log2 х2= — 1;
1107. а) хе х= 10;
1108. а) Vх+ 2 -log3 х=0;
1109. а) 22 '°g3 х• 5log3 х = 400;
1110. a) lg(10x2)-lgx=l;
НИ. a) log3(3x-l4-6) = x;
1112. a) log4 х-|-3 log2 х = 7;
1).
б) log|x-Mog4 Ух = 1,5.
б) xlgx=10 000.
б) Ух-log3(x-|-2) = 0.
б) 3'°e5x2.2,og5X = 324.
б) 1g (0,1 х2)-lg х = 1.
б) log5(5x+'-20) = x.
б) log9x-|-2 log3x = 5.
II
Решите уравнения (1113—1117).
1113. a) log243х“1 = 25log52; б) log3 92x-3 = 3'°g9 4.
1114. a) logo,5(l — х2) = 4; б) log4(l 4-х2) = 0,25.
1115. a) log4 (sin2 х-Ь 1,5) = 0,5; б) log9 (cos2 х4-2,5) = 0,5.
1116. a) log2(x2 + 4x+l)+l=log2(6x4-2);
б) log2(x2 — 3)4- 1 =log2(6x—10).
1117. a) log3(3 — х)+ log3 (4 — х)= 1 +2 log3 2;
б) Iogo,5<x + 2)+log0,5(x+3)=log0,53-l.
1118. а) Найдите больший корень уравнения
lg(x + 6)-2=l|g(2x-3)-lg25.
б) Найдите меньший корень уравнения
lg(x+9)-2=|lg(2x+3)-lg25.
Решите уравнения (1119—1124).
1119. a) 4log2 'gx = lg х-lg2 x+ 1; 6) 9log3'g x = lg x-2 lg2 x + 4.
1120. a) x'°g5X = 625; 6) x'°g3X = 81.
1121. a) logx+2 (3x2—12) = 2; 6) log2x_, (3,5x2-2,5x) = 2.
1122. a) xlog3X=9x-'; 6) x0’5 'K * = 0,01 x2.
1123. a) log3 x-log9(3x) = 2 log9 3; 6) log2 x-log4 x-log8 x = 36.
1124. a) log3(2x— 1)+ log3(2x — 3) = 1;
6) log2(3x — l)+log2(3x-2) = 1.
Ill
Решите уравнения (1125—1132).
1125. a) logs(6 — 5X)= 1 — x; 6) log3 (4-3x-1 — 1 ) = 2x—1.
1126. a) |x—3|-lgx = 2(x—3); 6) |x —5|-lgx=x—5.
logA/-(*-3) logr-(x— 2)
1127. a) x v7 =4; 6) x =9.
1128. a) log05(log^x —3 log2x4-4)= — 1;
6) log3(log^5x — 3 logos x4-5) = 2.
1129. a) 3 log3x x = 2 log9x x2; 6) 2 log4x x* = 5 log2x x.
1130. a) log3 ( — cos x)—log9 sin x + -^-= — log9 2;
6) log2( —sinx) —log4cosx + j=log2'\/3’.
1131. a) у sin x—j-log3(x— 2) = 0;
б) V1 +tgx -logos(3 — x) = 0.
1132. a) x2 + 7 = 6x-log8x-logx 16; 6) x2-logx 27-log9 x=x + 4.
§ 27. Логарифмические неравенства
I
Решите неравенства (1133—1139).
1133. a) log2(2 — 5x)> 1; 6) log3(3 —4x)< 1.
1134. a) log0-2(4 —2x)> — 1; 6) log0,5(3x-2)< - 1.
5 — x
x — 2
1135. a) log0,3^-|<0;
6) log3
1136. a) log04(2x—5)>log04(x+l);
1137. a) log2(x—l) + log2x<l;
1138. a) ^t3>0;
log4x
6) log4(3x—l)<log4 (2x4-3).
6) log3x-|-log3(x—8)>2.
6)
log2 COS X-|- 1
2?+3
1139. a)
log2 sin x+ 1
зТ+2
II
Решите неравенства (1140—1146).
1140. a) 4log4<4-9x’< 16; б) 0,32>0У’к°-3<3“2х).
1141. a) lg2 x-|-6<5 lg x; 6) lg2 x-|-lg x>2.
1142. a)log,£|>l; 6) log.^c-l.
1143. a) log2x—2 logx 2-|-1 ^0; 6) lg x-|-6 logx 10^5.
1144. a) Iog3x4-log3(x— 1)— 1 s^log32;
6) logo.i *4-logo.i (x —2)4- 1> log0J 0,3.
1145. a) ^>0; 6) 3x~2 <0.
Iog2 X log05 X
1146. a) 4 — x<Jog2(6-|-2x); 6) x4-3>log3(264-3~*).
Ill
Решите неравенства (1147—1153).
1147. a) lg2 ( -x)4- lg x2-3<0;
6) lg2( —x)—Igx2 —3>0.
1148. a) log2 x4- I log2 x| — 4>0;
6) logs x—|log5 x|—2<0.
1149. a) logy5 (x2 — x — 20) — logy5(x-|-4)>0;
6) logo.5 (3 - x2) +1 < log0,s (0,5x-|- 0,5).
1150. a) >0; 6) ^Q.
log4 x2 log2 x2
П51. a)i^>0; 6) ^^<0.
x2 —2 ’ x2-9
1152. a) log2|l+l|>l; 6) log0.5| 2-||<2.
1153. a) log0>5 l°g4^yr< 1; 6) logo.3log3-^-j->0.
§ 28. Нелинейны» системы уравнений
I
Решите системы уравнений (1154—1159).
1154. а) 1 5^_|_5^ = 3) 5х+* = 2; 6)! 1 2-3х-4»= 14, [3х 4-4»= 13.
1155. а) ; •og4x+log4z/= 1, Л — 2х=7; 6) 1 [ log3x+log3y= 1, l у — Зх=8.
1156. а) ( ху = 5х+6, [ logx36 = t/; 6) 1 [ 2 + log2(x + z/) = log28, [ x2 — y2 = 16.
1157. а) 1 [ IgVx — lgy = 0, [ х+у2 = 18; б) 1 [ log2x-Mog24/ = 3, [ log2 x2 = 4.
1158. а) log3(2x) — log3l=l, У 4x—z/=l; 6) log2(2x)4-log2|= — 1, 7 x-y=--i.
1159. а) 1 [ log3x —log3i/ = 2, [x(f/-2) = 27; 6) 1 [ log2x—log2y = 1, [ у (x+2) = 40.
II
Решите системы уравнений (1160—1165).
1160. a) 1 [ W+ lg ^ = 2, 6) . t// + 21gx=14; 7log7!/-21gx=6, .lg^ = 8.
1161. a) 1 [ log4(x2 + //2)=2, б) 1 [ log3(x2 + //2) = 2,
[x—~\/Зу = 0; | [ y — 2~\/2x = 0.
1162. a) 1 [ log5(4x2 — 4xy + y2) = 0, б) 1 [ log2(x2 + 4xz/ + 4y2) = 4,
[ log^(2x4-i/) = 2; | [ log2 x = log2(2t/ — 4).
1163. a) 27х = 37-у, 6) ’ 2х-* = 4»,
1+2=-!°; X ' у °+±=l. X 5y
1164. a) 2i+iog2 (x~y)
log2 (х—у)+ log2 (х +j/) = 2 + log2 3;
б) | jo'+'e (x+») = 40j
I lg(x —z/) + lg(x+«/)=3 lg2.
1165. a) 1 2 Igx—cosz/ = 4,5, 6) |log2x sint/=l,
{ lg x + 6 cos y = — 1; I 3 log2 x + 2 sin у = 0,5.
Ill
Решите системы уравнений (1166—1170).
1166. а) |Зж-2»=972, 6) lg x-lg(xf/) = 2,
( log^(x —z/) = log981; lg-=3.
1167. a) | log, x +log, у = 2,5, 6) iog /б_|_5. Г) = 4- log2 x,
(xz/=125; V XJ
log4x+log2V7=2 •
1168. a) f x+log2i/ = ^ + log2x,
1 x log2 32 4- log2 x=2y + log2 y.
6)
3x + log4 // = t/ + log4 x,
2x+log4x=| + log4i/.
1169. a)
6)
9-x_9-y =
зж+*=з д/з.
2
9 '
1170. a) | log|(x+t/)= 1 4-log2x— log^,
( log2(x + //)=log2x-log2 y,
6)
log| x + log| у = log| (X 4- y) 4- 1,
3 3 3
log^ X- log2 у = log 2 (x4- y).
3 3 3
§ 29. Производная показательной
и логарифмической функций
I
Найдите производную
хо = О (1171 — 1172).
1171. а) /(х) = ех;
1172. a) f (x) = ex-cos х;
функции и ее значение в точке
б) /(х) = 2х.
б) f (x) = ex-sin х.
1173. Найдите производную функции ф(х) и ее значение в точке
х0=1:
а) ср(х)=—; б)<р(х)=^г.
1174. Постройте график функции:
ч In sin х g' \ In (4 —х2)
а) у = е ; б) у = е
1175. а) Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = ex в точке с абсциссой х() = 0.
б) Напишите уравнение касательной к графику функции
/г(х) = 1пх в точке с абсциссой х0=1.
Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстре-
мумов функций (1176—1177).
1176. a) f (х) = х2-ех+1; б) f (х) = 4х2-ех.
1177. а) /(х) = х-2х; б) /(х) = х-Зх.
1178. Найдите наименьшее значение функции на множестве дей-
ствительных чисел:
а) / (х) = е0,5х —0,5х; б) /(х) = е2х-2х.
Вычислите интегралы (1179—1180).
1179. a) ^(x“'+2x)dx;
1
1180. а)
J х In 2
б) \ (х 1 —4х) dx.
dx
х In 3
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (1181 —
1184).
1181. а) у = ех, х=0, х = 2, у = 0\
б) у = е~х, х=0, х= — 1, у = 0.
1182. а) у = Зх, х=0, у = 0, х=1;
б) £/ = 2х, х=0, у = 0, х = 2.
1183. а) у=1-}-ех, х=0, х= — 3, у = (У,
б) i/ = 2e0’5x, t/ = 0, х=-1, х = 2.
1184. а) У=^ х=1, х = 2, t/ = 0;
б) У=— х= — 4, х= — 1, £/ = 0.
Решите уравнения (1185—1187).
1185. а) е?~2х=1; б) е* + 6е~х = 5.
1186. а) 91п2х— 121пх + 4 = 0; б) 4 In2 х + 20 1п х + 25 = 0.
1187. a) ln(x—l)=0,51n(21—x);
6) 0,51n(2x2+l)=ln(2x-l).
Решите неравенства (1188—1190).
1188. а) б) е-°-5?+2< 1.
1189. a) In (3 — 6x)>0; 6) ln(6x—12)<0.
1190. a) In2 x—In x—2>0; 6) In2 x—2 In x—3<0.
Найдите значение функции 1195). 1191. a) /(x) = 32x-tg0,5x, хо = О; /' (х) в точке х0 (11
б) /(x)=23x-ctg|х, х()=1. 1192. а) /(х)=^, х0= —1; б) f(x)=£, Хо=-1.
1193. а) / (х) = 8 In 2,3х, х0 = 2; б) /(х) = 6 1п 2,5х, х0=3.
1194. а) /(х) = -!^±^, х0 = 0; б) f(x)=lni(L~X)’ х« = 0.
1195. a) /(x)=log2(3— 2x), x0 = 1;
6) f (x)=log3(5 — 4x), x0=l.
1196.
Постройте график функции:
)1п (2 cos x)
y = e \ 6)
{ex — 1 при x^O,
— sin x при x<0.
1197. а) В какой точке кривой у = е2х + 1 касательная парал-
лельна прямой у = 2х—1?
б) В какой точке кривой y = eQ,5x касательная параллельна
прямой # = 0,5х — 2?
1198. а) Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = 2ех~' в точке его с абсциссой х0= 1. Выполните схе-
матический рисунок.
б) Напишите уравнение касательной к графику функции
f (x) = 0,5ex+1 в точке его с абсциссой х0= — 1. Выполните
схематический рисунок.
Найдите промежутки
(1199—1200).
1199. а) у = 2ех(х3 + 2х2)-
1200. a) i/ = x2 — 2 In х;
возрастания и убывания функций
б) z/ = 3ex(x3 — ^х2).
6) у — —х2-)-8 In х.
1201. Найдите промежутки возрастания, убывания, экстремумы,
нули, интервалы знакопостоянства функции и изобразите
схематически ее график:
а) / (х) = 2хе-0,5х; б) / (х) = 4хе°’5х.
1202. а) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
/(х) = ех + е-х на отрезке [—1; 1].
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
= — на отрезке [—1; 2].
1203. а) Найдите для функции /(х) = —-|~4е“2х первообразную,
график которой проходит через точку М (— 1; —2е2).
б) Найдите для функции /(х) = — + 32х первообразную,
(9 \
1; —I.
In 9/
1204. Вычислите интеграл:
2 х 1
a) J (54 — sin лх) dx; б) $ •
— 2 0 '
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (1205—
1207).
1205. а) у=—ех, х = 0, z/ = 0, х=1;
б) у=— 2х, х=0, t/ = 0, х=1.
1206. а) у = ех, у = е, х= — 1;
б) у = 2х, у = 1, х = 3.
1207. a) «/=|, f/ = 3, х=3;
б) У=— У=\, х= —1.
Решите уравнения (1208—1210).
1208. a) In In (2х—1) = 0; б) In (х+1,5)= — In х.
1209. а) 1пх24-0,51п д/7 = 2,25;
б) 0,51п(2х — 3)—1п(х—3) = 0.
1210. а) е"2 х + х1п х = 2е4; б) 2е1п2 х - х1п х = е4.
Решите неравенства (1211 —1213).
1211. а)
1212. a) In (х+5)2>1п (Зх-I)2;
б) In (х2 —2х—3)< In (— 2х-)-22).
1213. а) —------!—< 1; б) —!-------------1-4>—5—
In х In х— 1 In х-|-2 5 In х — 2
Ill
1214. а) Дана функция f(x) = es,n x4-ecos x. Найдите f'\^-
б) Докажите, что f' (x)—2x-/(x) + 4-f (0) — /'(0)= 1, если
О
/(х) = 3е?
1215. Постройте график функции:
In I * I In (2 sin2 —
a) y = e x ; 6) y = e v 2<
1216. а) Напишите уравнение касательной к графику функции
/ (х) = 6 ^ех + -| е“3х^ в точке с абсциссой хо = О.
б) Напишите уравнение касательной к графику функции
f (х) = 2х2-4х—1 в точках его пересечения с осью абсцисс.
1217. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе У = -^> за-
ключенный между осями координат, делится в точке каса-
ния пополам при:
а) а = 4; б) а= — 4.
1218. а) Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = х-ех~**.
б) Найдите промежуток убывания функции f (х) = -^^ , по-
сле чего сравните числа ел и ле.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (1219—
1220).
1219. а) у = ех, у = е~х, у = е\ б) у = 2х, у = 2~\ у = 2.
1220. a) t/ = elxl — 1, у = е — Г, б) z/ = 2|xl — 1, t/ = 3.
Глава V
ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КРУЖКОВ
И ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ
§ 30. Модуль числа.
Решение уравнений, неравенств.
Построение графиков
Решите уравнения (1221 —1225).
1221. |х+И + |х—2|=3. 1222. |х-11 + |х + 3| =6.
1223. |х-1| + |2х+5| 4-|х4-4|=7.
1224. (х—I)2 —2|х—11 =3. 1225. х2 + 2х=2 |х+Н+7.
1226. Найдите все решения уравнения -----------= 0, при-
Зх
надлежащие области определения функции у =------
Решите неравенства (1227—1230).
1227. 3|х- 11 <х + 3. 1228. |х+ 11 <3х- |х-2|.
1229. (2х + 3)2- 12х + 3| <30. 1230. > |х- 11.
Постройте графики функций (1231 —1235).
1231. у = |2х+ 11 + |х— 11. 1232. ^=Д/4х2— 12х + 9 +2х.
1233. у = |х—2| + |х—3|. 1234. у = 2х+|х+11+-^|к
1235. у= lx2-4| - lx2-9|.
1236. Постройте график функции £/ = 2|х — 3| + |3х — 2| и ука-
жите ее наименьшее значение.
1237. Сколько решений в зависимости от параметра а имеет
уравнение |х+ 11 =ах?
1238. Решите уравнение
Д/х2 —4х + 4 = а — Д/^ + 6х + 9.
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют соотношениям (1239—1243).
1239. \^-ycl\+(\-y-x^ = Q.
4 Саакян
97
1240. |х — 2| + |#| ^2. Найдите площадь полученной фигуры.
1241. |х—11 + |#+11 *^5. Найдите площадь полученной фи-
гуры.
1242. |х| + |#| <20. Сколько целочисленных решений имеет дан-
ное неравенство?
1243. |2z/ + x + 11 + |х + 115^4. Найдите площадь полученной
фигуры.
Постройте графики функций (1244—1247).
1244. £/ = х2— |х|-(х + 4) + 2. 1245. г/= (3 — х) -1 х + 11.
1246. у= |0,5х2 — 2-|х| |. 1247. у = х- |х| + 2-|х —2| + 1.
§ 31. Преобразование тригонометрических выражений
2
1248. Вычислите —-------— , если ctg а=—0,5.
sin4 а + cos4 а
1249. Докажите тождество "^5 —8 д/2~ sin xcos х — sin 8х+9л?_[_
+Уб + 4Д/2 sin 2х —2 cos2 2х =4.
1250. Вычислите д/7 — 4 д/зГ sin — 4 cos2 +
у lb lb
+Д/7 + 4Д/3 sin^- —4cos2^-.
1251. Вычислите
Д/4 cos4 4 + 3 — 6 cos 8 + Д/4 sin4 4 + 3 + 6 cos 8.
1252. Вычислите
4 Л . 4 7л . 4 9Л . 4 15л
COS 32+COS 32+COS 32+COS "32" •
1253. Упростите -—4-sin 2а, если -^СаСл, а=/=-^-.
1 -Mg а * 4
1254. Докажите, что ДДВС прямоугольный тогда и только тог-
да, когда cos2 A + cos2 B + cos2 С= 1.
1255. Докажите, что в ДДВС один из углов Z_C = 90° тогда и
только тогда, когда cos A +cos В = sin А + sin В.
1256. Докажите
2 sin 5а cos За + sin 5а + sin 11а — sin а . _
------------------------------------------- = tg5a.
2 cos а — 2 sin 4а + cos a-|-cos 5а + cos 1 la
1257. Вычислите cos 24° — cos 84° — cos 12° + sin 42°.
1258. Вычислите cos у cos cos -y.
1259.
г, 2л . 4л . 6л
Вычислите cos — + cos — + cos — .
1260. Докажите
sin a + sin 2a + ... + sin na
na (n-hl)a
sin —— sin----------
2 2
a
sin —
2
1261. Докажите
na (n-|- 1) a
sin —— cos----------------------------------------
2 2
cos a + cos 2a + ... + cos na =-----------
a
sin —
2
1262. Найдите сумму
S = cos a + cos (a + q)) + cos (а + 2ф)+... + соз (а + лф).
1263. Найдите сумму
S = sin a + sin (a + q>) + sin (а + 2ф) + ... + зт (а + лф).
§ 32. Свойства тригонометрических функций
Найдите область значений функций (1264—1268).
1264. f (x) = cos (sin х). 1265. / (x) = cos.
1266. f (х)= 1 — 2 sin2 ^ + ( 1 +ctg2 х) sin2 х.
1267. 12 sin х —5 cos х+1. 1268. 2 sin2 x —6 sin x cos x + 4 cos2 x.
1269. Укажите наименьшее значение функции
/(х) = 4 cos2 х + Зл/з" sin х + 7 sin2 х
и все значения х, при которых оно достигается.
Постройте графики функций (1270—1276).
1270. i/ = cos2(Vtg х ) + sin2 (Д/tg х ). 1271. у=——22UL . COS X
1272. y = sin x~\ —!- 1 . 1273. y = |sin x| —sin |x|. у sin2 x
1274. । I i I I sin |2x| y= |cos x|-tg |x|. 1275. y=- -. I sin x|
1276. sin x-|-sin 3x y~ ^1 у 2 cos 2x4-2
Укажите множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнениям (1277—1280).
1277. I#I = C°S * . 1278. sin2 лх+ 1 =cos2 лу.
|cos х|
1279. cos(л (|xl + li/|)) = 0. 1280. |x| = x cos 2л#.
1281. Представьте функцию f (x) = 2x cos (2x—1) в виде суммы
четной и нечетной функций.
1282. Докажите, что любая функция, область определения кото-
рой симметрична относительно нуля, представима в виде
суммы четной и нечетной функций.
Является ли периодической каждая из функций? Если
является, то укажите ее период (1283—1286).
1283. f (х) = Д/$ cos4 х —8 cos2 х+ 1 .
1284. f (х) = 2 cos (2х —у^ + 3 sin (Зх + у).
1285. /(x) = x+sinx. 1286. f (x) = cos лх-j-cos x.
1287. Может ли быть периодической сумма двух функций, если:
а) каждая из них непериодическая; б) одна из них перио-
дическая, а другая непериодическая?
1288. Существует ли периодическая функция, для которой лю-
бое рациональное число является периодом, а любое ирра-
циональное число периодом не является?
1289. Существует ли периодическая функция, для которой лю-
бое иррациональное число является периодом, а любое ра-
циональное число периодом не является?
§ 33. Арксинус, арккосинус, арктангенс
Постройте графики функций (1290—1296).
1290. у = sin (arcsin у).
1292. у = sin (arccos х).
1294. у = arcsin (sin х).
1296. у = arcsin х-ЬД/х2— 1 .
1291. у = cos (arccos х2).
1293. у = arccos (cos х).
1295. у = arccos (х2+ 1)+1х|.
1297. Докажите:
a) arcsin х+arccos х = у, х£[—Г, 1];
б) arctg х+arcctg х = у .
л2
1298. Докажите, что arcsin х-arccos х^— , х£[ — 1; 11.
1о
Решите уравнения (1299—1302).
л2
1299. arcsin х = 2 arccos х. 1300. arcsin х- arccos х = — .
1301. arctg(l — x)4-arctg (1 4-х) = ^-.
1302. arcsin x + arcsin у = y •
Решите неравенства (1303—1305).
1303. arcsin x> arccos x. 1304. arcsin (x2 —2x + 0,5)^ .
1305. x2 — 4x+arccos (x2 — 4x + 5)<C0.
§ 34. Тригонометрические уравнения
Решите уравнения, используя ограниченность функций синус
и косинус (1306—1311).
1306. cos x + cos 5х = 2. 1307. cos4 Зх —sin2 2х= 1.
1308. 2 sin . 1309. cos х cos (д/2х) = 1.
1310. cos1990 x+sin1989 x= 1. 131 1. sin x sin 2x sin 3x = 0,8.
1312. Решите уравнение
Д/25 —4X2 (3 sin 2лх + 8 sin лх) = 0.
1313. Найдите решения уравнения
sin 4x=sin у (cos 2х —2 sin2 х+ 1),
удовлетворяющие неравенству л]~х + Д/л — х >0.
1314. Найдите решения уравнения
(sin (х + —J + cos (х + у И =sinzx+sm —,
удовлетворяющие неравенству х2 —2лх^0.
1315. Решите уравнение tg x + 8|ctg х| +ctg 2х = 0.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение имеет решение. Найдите все эти решения (1316—
1318).
1316. 1317. cos4x-(a + 2)cos2x-(a + 3) = 0.
sin 4
2
1318. sin (х + а) — sin x=sin a.
Решите уравнения методом замены переменной (1319—1324).
i о 1 n 2 cos х 4 2 / . Л \
1319. ---------- = cos2(x + -).
sin Зх+ sin х 3 \ 4 /
1320. Itg2xsin2x = tgx-----------.
3 4 sin 2х
1321. sin2x-10sin2^+j) + 7 = 0.
1322. 2 sin 2x-|-3 tg x = 5. 1323. 2tgx(2sin2x— cos2x)=l.
1324. sin x(l — cos x)24-cos x(l — sin x)2 = 2.
Решите уравнения, используя метод разложения на множите-
ли (1325—1331).
1325. tgх — tg2x=sinx. 1326. sin5x = 5sinx.
1327. tg 5х — 2 tg 3x = tg 5x tg2 Зх.
1328. 3 ctg 2x — 4 ctg 3x = tg 2x.
1329. V2 sin \'6 sin (^ + ^) =
1330. 14-sin 2x4-2 cos 3x sin ^x4-^ =
= 2 sin x-f-2 cos 3x-|-cos 2x.
1331. sin x-f-2 cos x = cos 2x — sin 2x.
Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие каждому из
уравнений (1332—1334).
с ♦ х
о 1 _f р-2 у
1332. — = 3^2-|-12^4-15. 1333. % = 12у—19 —2г/2.
i + ‘g2| > + ‘g х
1334. 12 sin х — 5cosx = 2j/2 — 4j/-|-15.
§ 35. Системы тригонометрических уравнений
Решите системы уравнений (1335—1340).
1335. 2 cos 6х — sin у = —3, 2х + у=-^.
1336. 1 [ tg(4z/ —sin2 х) = 1, [ 12у — 15 sin2 х+ 1 =6,75л .
1337. 1 [ sin2 x + sin2 # = 0,5, [ cos (x + y) sin2(x —#) + cos (x — y) sin2 (x + #) = 0,75.
1338. 1 [ ctg x + sin 2# = sin 2x, [ 2 sin (x + y) sin # = cos x.
1339. 1 f tg x + ctg x = 2 sin z, [ sin #H~cos3 z cos x = 0,5.
1340. f sin2 у — cos2 2x = 1,
( 2 cos z — cos у sin2 2z = д/З?
1341. Найдите все значения а. при которых имеет решение
( cos х — cos 2у = 2а2 + 2а.
система уравнений <
[ 2 cos у cos х — cos х=3а -|-6а-|-4.
Найдите все эти решения.
§ 36. Тригонометрические неравенства
Решите неравенства (1342—1348).
1342. 2 sin4 2x^sin2 2х. 1343. 2 cos x(cos х — д/fT tg х)<5.
1344. 2cos 2x4-4 |cos х| > 1. 1345. sin 2x— sin3x<0.
1346. |sin x| |cos x|. 1347. |sin x| + |cos x| > 1.
1348. sin |x| cosx>0,25.
1349. Докажите, что если Зх2 — 31х + 80<0, то cos 6_х<0.
1350. Найдите целые решения системы неравенств
Л
cos — <0.
§ 37. Предел функции
I х I
1351. Постройте график функции у = ——-(х — 1 )Ч~2. Назовите ее
промежутки непрерывности. Имеет ли функция предел в
точке х = 0?
1352. Постройте график функции
f(x) =
£ — 4 о
-[7+21 ПРИ х*-2’
0 при х= —2.
Назовите точку разрыва функции, объясните.
1353. Постройте графики функций, назовите точки их разрыва,
объясните:
а) у = х — [х]; б) z/ = x —{х};
в) i/ = {sin х}; г)0=-^.
1354. Если функция f имеет предел в точке а. а функция g не
имеет предела в этой точке, то можно ли утверждать, что
их сумма и произведение не имеют предела в точке а?
Найдите пределы (1355—1361).
1355. limf-^-тЧ—Ц-Y
Х_1 \ 1 — X3 Х-1/
3 —
1356. lim .
1-V?
1358. lim 4^, n£N, k£N.
х-+\ X*—1
1360. lim 2А/х2+х±1-~2~.х .
х —► 0 Л
iOe- г yjb — x — 1
1357. lim —----== .
х-»-5 3—V4 + x
1359. lim(—Цг + ^—!--------1
Х_^2\2х —х2 х2 —3x4-2/
1361. Существует ли limtg — ?
х—»-0 х
§ 38. Производная
1362. Вычислите производную функции
, J^sin — , если х=/=0,
/(*) =
k 0, если х = 0,
в точке х = 0. Существует ли lim/'(х)?
х-»-0 .
1363. Докажите, что если существует предел выражения ——
при х-^0 и f (0) = 0, то lim--= /' (0). Вычислите значе-
х-кО х
ние /'(0) для функции /(х) = х(х+1)... (х+10).
1364. Докажите, что если функции f и g имеют производные при
f (х)
х = а, причем g'(a)=/=0, f(a) = g(a) = 0, то lim- =
g(x)
/'(а) о г (14-х)100—1 u /1Ч
=-----. Вычислите lim-------------. Найдите / (1) для
g' (а) х-»о х
/ (х) = (х—1) (х —2)... (х—10).
1365. Верно ли утверждение: если функция f не имеет производ-
ной в некоторой точке, то и функция /2 также не имеет про-
изводной в этой точке?
Докажите или опровергните следующие утверждения
(1366—1368).
1366. Если функции f и g не имеют производных в некото-
рой точке, то функции f-g и f + g также не имеют
производных в этой точке.
1367. Если функция f имеет, а функция g не имеет произ-
водной в некоторой точке, то функции cp = /g, h = f-\-g не
имеют производных в этой точке.
1368. Докажите, что производная четной функции есть нечет-
ная функция, а производная нечетной функции — четная.
Решите неравенство /' (х)^0 (1369—1370).
1369. f (х) = 4- sin3 х— 1 sin2 sin х.
3 4 4
1370. f (х) = ^- cos3 х — -i- cos х.
о 4
1371. Найдите все действительные решения уравнения /'(х) = 0,
если / (х) = л/3~ cos (я —х) —cos х —х, где a£R.
Докажите равенства (1372—1373).
1. arcsin х , .. arctg х
1372. lim-------=1. 1373. lim-----— =
х-иО х Х-.0 х
1.
Найдите пределы (1374—1379).
1374. lim-^Д. 1375. lim(l-x)tg^.
X —► Л Л Х-ь 1 *
1376. lim-*^-.
х^о х+2*2
1378. lim
sin х
х —► о sin бх —sin 8х
1377.
§ 39. Касательная к графику функции
1380. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку
М I— ; 21, касающейся графика функции у = 2—— и пере-
секающей в двух различных точках график функции
f/ = V4 —х2.
1381. При каком значении параметра а прямая У = ~^ касается
кривой у = у[х—а?
1382. Докажите, что кривые у= 1 + sin2 х и у = sin Зх+sin Зх sin2 х
имеют общие касательные.
1383. При каком значении параметра а>0 касательная, прове-
денная к кривой г/ = д/1 +ах и параллельная прямой
У = ^, находится на минимальном расстоянии от начала
координат?
1384. Найдите расстояние между прямой «/=—4—1 и другой
прямой, параллельной ей и касающейся графика функции
ц=— в точке с абсциссой с4>0.
X
1385. При каком значении а>0 касательные к параболе у = ах?\
проходящие через точку 4(0; —1), перпендикулярны?
§ 40. Возрастание и убывание функции.
Экстремумы
1386. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
z/ = sin если х>0.
1387. Верно ли утверждение, что если функция f (х) имеет мак-
симум в точке а, то в некоторой достаточно малой окрест-
ности этой точки слева от точки а функция f (х) возраста-
ет, а справа от нее убывает?
Докажите неравенства (1388—1390).
1388. —>4. 0<fr<a<4-
tg b b 2
1389. sin x + tg x>2x, 0<x<y.
1390. sinx^4x, 0<x<4.
л 2
1391. При каких действительных значениях а и с все экстрему-
мы функции f (х) = 2а2х3-|-7ах2 + 4х + с неположительны и
максимум находится в точке х= — ~?
о
1392. При каком значении а функция f (х) = а sin х + ^- sin Зх
о
имеет экстремум при х = у? Будет ли это максимум или
минимум?
§ 41. Наибольшее и наименьшее значения функции
1393. Полоса жести шириной а должна быть согнута в виде от-
крытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет
форму дуги кругового сегмента). Найти значение цент-
рального угла, опирающегося на эту дугу, при котором
вместимость желоба будет наибольшей.
1394. Пункт А находится в поле на некотором расстоянии от до-
роги. На дороге, которая является прямой линией, нахо-
дится пункт В так, что расстояние от А до В равно
10 км. Скорость движения автомобиля по дороге в три ра-
за больше, чем по полю. Известно, что если ехать из А по
прямой до некоторой находящейся на дороге точки С, от-
личной от В, а затем по дороге до В, то при любом выборе
точки С на это уйдет не меньше времени, чем потребуется,
если ехать из А в В напрямик по полю. Найдите расстоя-
ние от пункта А до дороги.
1395. Докажите, что для функции f (x) = sin х sin 2х выполняет-
ся неравенство max /(х)<0,77.
[ — я; я]
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y = f(x) на указанных промежутках (1396—1397).
1396. f(x)=-|x3-6x2 + 9x-3|, [-1; 4].
1397. /(х) = 2 tgx —tg2x, [О; |].
1398. Касательная к графику функции # = cosx такова, что абс-
цисса с точки касания принадлежит отрезку При
каком значении с площадь трапеции, ограниченной осями
координат, касательной и прямой х = -^> будет наимень-
шей?
§ 42. Первообразная
Найдите общий вид первообразных для функции y = f(x)
(1399—1402).
1399. /(х) = (2х —3) |х —2|. 1400. /(x) = xsinx.
1401. f(х) = (х4-2)д/М?3. 1402. /(х) = хД/1 — 2x.
1403. Найдите /(x), если f' (cos2 x) = sin2 x.
§ 43. Интеграл
1404. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ-
ции £/=|х2 —4|, отрезком [—1; 2] оси Ох и прямой
х= — 1.
1405. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
2
у = COS X и у=—— • |х|.
1406. Изобразите множество точек плоскости, задаваемых усло-
виями
0уIх2 + Зх|, |х+1| ^3,
и найдите площадь полученной фигуры.
1407. Найдите площадь фигуры,
// = х2 —2х + 2 и касательными к
ках (0; 2) и (3; 5).
ограниченной линией
ней, проведенными в точ-
1408. Определите площадь фигуры, ограниченной кривыми
//2 = 2х и х2 = 2//.
1409. При каких а>0 справедливо равенство
а
(х2 —Зх—dx=0?
— а
1410. Для каких а>1 имеет место равенство
а
^2х + ^) dx = a2?
। х
1411. Определите, при каких а>0 функция
а
f (а) = ^ (cos 2х—д/jf sin 2х) dx
о
принимает свое наибольшее значение.
1412. Найдите все решения уравнения
и
\ cos(x + 2u2 — u)dx=—sin 2u,
принадлежащие отрезку
§ 44. Иррациональные уравнения и неравенства
Решите уравнения (1413—1424).
1413. Д/х2 —6x4-9 4-х=Д/9—12Х4-4Х2.
1414. Д/х4-3 —4 Д/х— 1 4-Д/х-|-8 —6 д/х—1 = 1.
1415. х-Ь’\/2х24-6х4- 12 —Д/4Х2—20х4-2Г = 2.
1416. Vx24-2x4- 1 4-'\/4х24-8х4- 13 =Д/Зх24-6х-|- 12.
31---- 3 /------- 6 I-----
1417. Д/54-х — 2Д/5 —х =Д/25 —х2.
1418. ЗХ4-2Д/2Х2 —3x4-1 = 4—Д/х—1 -Д/2х-1 .
1419. Д/7х-6 4-Д/5х-|- 17 =5. 1420. Д/х4-34 —Д/х-3 = 1.
1421. Д/х-2 =^54-х - 1. 1422. Д/77-Ьх 4-^629-х =8.
1423. Д/х2 —4х-|-5 4-Д/х2 —4x4-13 = -х24-4х.
1424. Д/бх2 —20x4-21 4-Д/Зх2-12x4-28 = 8х-2Х2-3.
Решите неравенства (1425—1431).
1425. Д/Зх+1 -Д/х—4 >3.
,426- ч-lJ 1 <1 +—г-2 •1427' 4-V*+>3 <6.
5+_ ___5-У1+хг-2х
1428. V^ + 3-W-l ^у/х^Т.
1429.
1430.
Д/б—2х—х2 Д/в —2х —х2
х+10 2x4-9
д/?+7<(х+з).д/КГ.
1431. У2~х4-4х-3
X
§ 45. Показательные уравнения и неравенства
Решите уравнения (1432—1439).
1432. (Д/9-4 д/5 )х+(Д/9-|-4 д/5 )х = 18.
1433. Д/бх-х2-5 -(3-52 si" х“1 -2• 5sin х~1 -0,2) = 0.
1434 25COS ^-б-гб^2 ЯХ-Ь 125 _ Q
х4 —Зх2 —4 —
1435. 12х+(Д/б)2х = 13х.
1436. (Д/5-2д/3 )х + (Д/5 + 2Д/3 )x = (V10)x.
1437. 2х4-3х4-4х = 9х. 1438. 2 х2 = Д/2 - 3х—32х.
. 9 пх 9 пх
sin - COS --- I-------------
1439.4 4 4-4 4 =Д/13-|-6х — Зх2.
Решите неравенства (1440—1443).
х + 1
1440. 0,4х —2,5х+1> 1,5. 1441. 9 2 + 32“х<2-27'-х.
1442. Д/9х-|-24 —2>Зх+‘.
1443. arccos 2х+|.(Ю1+х2— Ю'-*2—99)<0.
§ 46. Логарифмические уравнения и неравенства
Решите уравнения (1444—1455).
1444. lg(lgx)4-lg(lgx4 —7,5) = 0.
(а/s' \ / а/б” А
sin х + 1 + log! (sin х—^-1 = 2.
з "з
1446. 1 + log3(4 cos 2х —2 cos x + 3) = log3(2-|-8 cos x).
1447. ^/log2(2x2)-log4(16x) =log4x3.
1448. Д/ctg х —д/з" -log, (Зх— 1) = 0.
"2
1449. д/log^-. (7Х2) • log7 х= —6. 1450. 10lg2 x + x,g x=20.
1451. Vlog2 sin x + 2 tg 2x = cos x. 1452. з'°84 *g x+3,og4 c‘g x=2.
1453. log|_2x(6x2 —5x+ 1) —log|_3x(4x2 —4x+ 1) = 2.
1454. log4(6 + VT— \ y[x—21) — 0,5 + log2 |д/х"— lV*—2| |.
1455. log2(x —3) = 31og^(14 —x).
1456. Известно, что x = 9 — корень уравнения log„(x2+15a2) —
— log„(a —2) = log„-^^-. Найдите другие корни уравнения.
Решите неравенства (1457—1468).
1457. ^2*------->0.
— Зх + З)
1458. (х2-2,8х+ 1,8) V log, |х-2| >0.
1459. logx+3(0,2x2+l,2x + 2,5)<l. 1460. logx log9(Зх-9)< 1.
1461. log224x+'°e29>log2(9-22x+,-5).
1462. i logx+4(x24-2x+ l) + log_x_, (-x2-5x-4)<3.
1463. 1 x2 '°82 ">24 '°82 X 1464. -2 > -0,5.
4 4 — 31g x4
1465. log4(3x— l).logl^=l<4.
4
1466. log2log3^-<logilog1-^-.
2 3
1467. log (x2-8x+23)>-----------.
Is,n log2 |sin x|
1468. —-------<1.
log3 (9-39-3
1469. Найдите все решения уравнения
cos2 3лх + cos2 5лх=cos 8лх + 1,
удовлетворяющие неравенству
10glO-4x(6X~у)<1-
§ 47. Нелинейные системы уравнений
Решите системы уравнений (1470—1487).
1470.
х3 + //3 = 28,
(ху — 2)(х + </) = 4.
1471. |2х24/2-3«/2 + 5хг/-6 = 0,
( Зх2^2 — 4у2 + Зхг/ — 2 = 0.
по
1472. Х? + 6 = х + у, —^Ц- = 2х2 — ху. х — 3
1474. [ 10(// —х) —х4 = 9, i W+V«/-2x=V2.
1476. 1 Д/З# —х + х+</ = 2, л/8у — х 4-х=2.
1478. 1 4х + 6-2х-2* + 4'-2* = 20, 2х + 2‘-2у + 2х“2у = 6.
1479. 1 (х+ I)4- 16-*+ 15 = 0, (х+ 1)3-2-*-(х+ 1)-8-*
1481. 1 [ log|X|(2 —log2f/)=l, [у2 + 22~м = 2.
1483. •og8(xf/) = 3 log8x-log8f/, 4log.i = ^ у log. у
1475.
1484.
1473. (у2 — Xf/+l=0
( х2 + 2х+1+у2 + 2у = 0.
1477. (22х+‘ —2х-3*+' + 9* = 3,
( 4х + 2х+‘-3* + 8-9* = 16.
1480. ( хх+у = у24,
1482.
( ух + у = х6.
yjx log2 4/ =8,
2^-у = 4°'5 <log*g+x)
5
log„ * 2
ух * —X,
log4 z/-logv(z/ —Зх)= 1.
1485. X log2 у • log± 2 = у л/у (1 — log, 2), logj/32.1ogV5-x=l.
1486. 1 [ 8-2“х-2* + 2*2 = 3 у/2, [ lg(x+4</) = 2 lg (2 — x — 2y)— Igx.
1487. 4x2+(*+1)2 —32 = 31 •2x2+<*+I)2 cos(n(x2 + f/2)) = 1,
§ 48. Нестандартные задачи
1488. Найдите функцию f (х), удовлетворяющую уравнению
2/ (х) —/ 0-^ = 6 У/х при х>0.
1
1489. Вычислите х2 In (х + д/l + я2) ^х.
-1
2 1
1490. Докажите, что sin xdx + ^ arcsin xdx=^ .
о о
Решите уравнения (1491 —1497).
1491. sin2 4%+cos2 х = 2 sin 4х cos4 х.
1492. л tgx=|2x-y|-|2x-^|.
1493. V1—х2 -(x+Vl—х2)=-^.
1494. 2х6 + 2х2 = 2?+1.
1495. log2 (17 — | sin 0,5лх| )="\/2х+ 15 — х2.
1496. х'°82 9 = х2 • з'°в2 * — x'°g2 3.
\12
1497. Xх=-^-, (х>0).
1498. Сколько корней имеет уравнение 1п(х+е) = 2х?
Решите неравенства (1499—1500).
1499. (x2 + 2x+2)cos(x+l)>2x2 + 4x+3.
1500. sin |х —2|-(4 log3 х + х —5)^sin (2 —х).
Докажите неравенства (1501 —1502).
1501. sin х cos у cos 2 + cos x sin у sin 1.
1502. + ^a + b, где a>l, b>\.
1503. Докажите, что для любых действительных чисел а>1,
Ь>\, с>\, таких, что выполнено неравенство
In а > In с
In b In a
Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие уравнениям
(1504—1505).
1504. (х^-^Ц + sin2(x+i/))= 1+7 cos2(x+</).
1505. 12 "\/бх—х2—5• cos2 х~2у = 17+8 cos (х—2у)—4 sin2 (х—2у).
1506. Решите систему уравнений
V* — V7=iog3-p
2х+2 + 8х=5-4!'.
1507. Среди всех решений (х; у\ z\ и) системы
| х2 + </2 = 4>
I z2 + «2=9,
( XU + yz 6
найдите такие, при которых выражение x-\-z принимает
наибольшее значение.
1508. При каких значениях параметра а отрезок [1; 2] принадле-
X I 1
жит области значений функции f (х)=—--------?
1509. Найдите все действительные значения а, для каждого из
которых существует целое нечетное число и, удовлетворяю-
щее уравнению п2-За — За—16п = 9-3-а —п2-32-а.
1510. При симметрии относительно прямой х = точка А, при-
надлежащая графику функции // = -^-(n + 2x + cos 2х), пе-
реходит в точку В, принадлежащую графику функции
// = sinx—— cosx + —, причем касательная в точке А к
первому графику переходит в касательную ко второму гра-
фику, проведенную в точке В. Найдите абсциссу точки А.
Глава VI
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА
1511. Выберите среди данных чисел натуральные, целые, рацио-
нальные, иррациональные:
7; —3; 0,83; д/4; Л/7; 3,(5); -Д/З; -УГГ;
2,3(15); 0; л; ; е; 1g 3; sin 30°; sin 45°; sin 90°;
tg45°; ctg 60°; 3-|; 15; 0,3030030003....
1512. Представьте в виде десятичной дроби рациональные числа
1 2 _22 2_
2’3’ 7 ’ 15 ’
1513. Представьте в виде обыкновенной дроби числа
4,125; 0,(15); 3,1(23); -2,15(7).
1514. Докажите, что "\/б" — иррациональное число.
1521. а)
б)
1522. а)
б)
Решите уравнения (1515—1522).
1515. а) |х|=5; б) |х + 3| = 1.
1516. а) 3 |х—П + 1 = |х—1|+7; б) 2 |х+2|+3 = 2 + 5 |х+2|.
1517. а) |х + 4|=х+4; б) \х—5|=5 — х.
1518. а) |х+7| = |х —7|; б) 11 — 2х| = |2х— 11.
____________ 4 .— 3 _ 3
1519. а) хух +2 = 3 ух3; б) хух+4 = 4 ух2.
1520. а) (х—3)2 — 7(х—3)+12=0; б)(2х—1^ — 3 (2х—1)—10=0.
х2-3 X _ 2,5х—6 .
(х —2)(х —4) ' 2х—4 — х2-6х + 8 ’
5х . 2х ________ 4х—9
х2—1 ' х2 — 2х — 3~ (х— 1)(х—3) ’
х2 — 5 I* х _______ ^х—9,5
(х— 1) (х — 2) + 2х —2 — (Х— 1) (х —2) ’
1 1 _ 2
1-8Х+16Х2 1+8Х+16Х2-64Х3—16х2-4х4-1 ’
1523. Решите уравнение заменой переменной:
) 1 I 2 = 6 •
х2 —2x4-2 х2 —2x4-3 х2 —2x4-4
1 I 18 _ 18
х24-2х—3 Х24-2Х4-2 х24-2х4-1
Решите уравнения (1524—1527).
1524. а) х’ + х2 —9х—9 = 0; б) 2х3 + х2 —8х—4 = 0.
1525. а) (х2-5)2 + х2-5 = 0; б) (х2-12)2=х2.
1526. а) х3-Зх+2 = 0; б) х3-4х + 3 = 0.
1527. а) 2х4 + хэ—16х—8 = 0; б) Зх4 —2х3 + 24х—16 = 0.
1528. Решите уравнение аналитически и графически:
a) lx2- 1| = 1; б) |-х2 + 2х| = 1.
Решите неравенства (1529—1530).
1529. а) |х| <2,1;
1530. а) |3х—1|<2;
б) |х| >1,9.
б) |4х+2| >6.
1531. Решите систему неравенств:
а) (-_l-xC-___- — -_- б)
7 J 4 2 3 ’ 7
( 2 —х>2х—8;
Вычислите (1532—1533).
1532. а)
2х — 11 , 19-2х
2х,
4
2
1533. а) (16-°’25-(2д/2)3)(16-0>25 + (2д/2)3);
«) (<з^з)4-^)((зУз-р+^).
1534. Упростите выражение и вычислите его значение при за-
данном значении т:
X / 1 1 9 2 \ / 4m2 + 9\ _ 1
а \2т —3'9 —4m2 2т + з) ‘ V + 4т2-9/’ 1580’
т3 — 27 / т — 3 т-^-3 3m-|-3\ _д_
3m3-j- 18га2 4~ 27га \ Зт 4- 9 га2 —Зга 9 — т2/
Упростите выражения (1535—1537).
1535.
1536.
ного
а)
а)
1 А
a3b — ab3
з _ з _ ’
Уа-уЬ
а 4-1
6)
з з
а-°’5+1
fl°’5+l
(a— 16)°. Может ли значение дан-
выражения равняться 1,5; 3?
6) —f—!--Q+1 H~(Q — 8)°. Может ли значение данного
а3 — 1 а3 + 1
выражения равняться 5; 3?
1 cq7 "ЬУ ХА~У \ YIJ— • •
153/. а) /—у—7 т—tVx# ’
W+*2 у2+х2/
(a2 — b2 а — Ь \ /а\-1
ч—I—“Yw
2 . „.2 2. <2 /
а + ab а -\-Ь /
Найдите область определения функции (1538—1542).
1538. a) f/=Vx2 —4;
1539.
1540.
1541.
1542.
а) У
х+6
lx-H-2 ’
а)
а)
а)
у=у/\х\-3-,
4х
у= I—=-------;
Д/х-1 -2,5
"\ Л Г
ц= \ cos х— 1;
V Л/з
6) // = Д/ — 2х2 + Зх.
6) У= |2х4-1|-1 ’
б) //=д/б— I Зх I .
хх 2х—1
б) . Л/'7Т •
3,5—у%4- 1
6) у = Л/1 +2 sin х.
1543. а) Докажите, что сумма двух возрастающих функций так-
же является возрастающей функцией.
6) Докажите, что сумма двух убывающих функций также
является убывающей функцией.
1544. а) Докажите, что если функция y = f(x) возрастает на не-
котором промежутке, то функция у =—f (х) убывает на
этом промежутке.
6) Докажите, что если функция y = f(x) возрастает и
/(х)>0 на некотором промежутке, то функция //=—!—
убывает на этом промежутке.
Запишите, какие из следующих функций четные, какие нечет-
ные, а какие не являются ни четными, ни нечетными (1545—
1547).
1545. а) //=12, // = х6 —Зх4 + 2, //=—, У = У/*?\
6) //=11, у — 4х—Зх2, у=— 7 y = (\[xf.
1546. a) </ = 3x2 + sin х: 6) // = 5х3 —cos х.
( —3 при х<0, 1547. а) // = { ’ б) у= — 2 при х<0, 0 при х = 0,
( 3 при х^О; 2 при х>0.
1548. а) Подберите значения а и b так, чтобы функция
у = ах-\-Ь была четной; нечетной; и четной, и нечетной од-
новременно.
6) Подберите значения а, Ь, с так, чтобы функция
у = ах*-\-Ьх-\-с
была четной; ни четной, ни нечетной.
Постройте графики функций (1549—1550).
1549. а) б)у=ф.
1550. а) # = д/х2 + 2х+1 — х+1; 6) у = х — 2 + д/х2 + 4х + 4 .
1551. Решите графически неравенство:
a) lx2-4х|^5; 6) lx2 — 2х|<х.
Постройте графики функций (1552—1561).
1552. а) У=\х — Г, 6) У= \х +2.
1553. а) у=у/х— 1 ; б) f/=Vx+l.
1554. а) //=4+1; б) </=-—!•
1555. а) X У~х-Х' х~ 1 б> ^=7+Т-
1556. а) 1/=Ух-1 +1; б) У = У]х+ 1 — 1-
1557. а) у = 3 sin 2х; 6) у = 1,5 cos 2х.
1558. а) у = 2 cos 0,5х; 6) у = 0,5 sin 0,5х.
1559. а) у = sin x+cos х; б) z/ = sin х — л/з” cos х.
1560. а) п 2 * </ = 2cos g-; б) t/ = 2sin2-£.
1561. а) t/ = lnl+ln'\/x; б) </ = lg^+2 Igx2.
1562. а) При каких значениях а графики функций f (х) = 2ах-\- 1
и ф(х) = (д — 6) х2 — 2 не пересекаются?
6) При каких значениях а прямая у = х-\-а является каса-
тельной к параболе у = х?-\-ах?
1563. Найдите область определения функции:
a) f(x)=log (sin х—б) / (х) = log tg х.
1 s,n X ' sin X--—
2
1564. а) При каких значениях а и b равенство (х + 7)(х + 8) =
= x2+(4a + fe) х+2а — fe + 56 является верным для всех х?
6) При каких значениях а и b равенство (х—1)(х + 6) =
= (3а — 2b) x2 + (a + 4fe) х — 6 является верным для всех х?
1565. а) Квадратное уравнение ах2 + ^х+с = 0 не имеет корней,
причем а-\-Ь-{-с<0. Определите знак с.
6) В уравнении ах2 + Ьх-}- с = 0 известно, что а>0,
a-\-c<Zb. Имеет ли корни данное уравнение?
1566. а) Корни квадратного трехчлена х2 —2х —9 равны и х2.
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями ко-
1 1
торого являются числа —7 и —
XjX^ %2Х1
б) Корни квадратного трехчлена + х—8 равны и х2.
Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями ко-
торого являются числа и .
*2 *1
1567. Найдите сумму:
а) 4+1 + 9 + |+14+± + ... + (5и-1)+±;
б) 4+4 + 7+1+ Ю+1+...+(Зи+ 1)+±.
1568. Решите уравнение:
а) х+1+х-, + ... + х2~п + ...=4;
О
1 — п
б) 1+-|=+7+-^=+...4-х~+... = 2.
ух х х \Jx
1569. При каких значениях х три числа ah а2, а3, взятые в ука-
занном порядке, образуют: а) арифметическую про-
грессию, если aj = cos2x, a2 = cosx, a3 = cos2x—4; б) гео-
метрическую прогрессию, если aj = sinx, a2 = cosx,
а3 = 4 cos х —3 sin х?
1570. Определите, при каких значениях х три числа ah а2, а3,
взятые в указанном порядке, образуют арифметическую
прогрессию, если:
a) al = lg4, а2 = lg (9х-|-5), а3= lg(9х + 13);
б) a, = lg2, a2 = lg(2x —6), a3 = lg(2x + 34).
1571. Пусть х, и х2— корни уравнения f (х) = А, х3 и х4— корни
уравнения g(x) = B. Известно, что последовательность хь
х2, х3, х4 является геометрической прогрессией, все члены
которой положительны. Найдите значения А и В, если:
а) /(х) = 4х —х2, g(x) = 36x—х2;
б) f(x) = 3x —х2, g(x)=12x — х2.
Решите неравенства (1572—1578).
1572. а) 4 —х>—!—
X— 1
1573.
1574.
1575.
1576.
1577.
а) (х+1)(х + 3)2(2х-3)<0;
а) 2х(4х2 — 1)>0;
а) (2х1 + х—6)(4 — х)>0;
б) 2"+1>ТТТ-
б) (х—2)(х—3)2(2х+5)>0.
б) (х2-4)(х+2)>0.
б) (2х2-5х-7)(3-х)<0.
(Зх-7)(х+2)
. 4Х2-12x4-9
а) —s-----1—^0;
7 2х? + х— 1
94-24x 4-16Х2 „
Ю-Зх-х2
1578. a)
'\[x —2
(x—1) (x-f-3)
>0;
6) —VE_!—<o.
(x+2)(x-5)
Изобразите на координатной плоскости множество точек,
координаты которых удовлетворяют условию (1579—1586).
1579. а) (2?+*2-16)(х2-у2) = 0; б) (|z/|-х2) log2(х2-Ь^)=0.
1580. a) |уКД/|хГ; б) |j/| <4-х2.
1581. а) х2 + //2^4х. Вычислите площадь полученной фигуры.
б) х2 + //2^2//. Вычислите площадь полученной фигуры.
1582. а) (ху— I)3-|// + х| =0; б) (1 — ху)2-]- |х—у\ =0.
1583. a) sin (х—у) = 0; б) cos(x+</)=0. ‘
1584. а) 2-4x-1 = 2fi'+,og°’54; б) 3*+2 '°g32 = 4.9*+1.
1585. a) loglx| 1; б) loglxl у< 1.
1586. а) (х + 2)(//2 + 3//-4) = 0; б) (у- 11)(х2-//-3) = 0.
1587. а) Постройте график уравнения х-|-Д/л2— У2 =0- Опреде-
лите площадь фигуры, ограниченной этим графиком и
осью ординат.
б) Постройте график уравнения д/э— у2—х=0. Опреде-
лите площадь фигуры, ограниченной этим графиком и
осью ординат.
Решите уравнения (1588—1594).
1588. а) Д/Зх+4 = 2 —х; б) д/7 —Зх = 1 — х.
1589. а) Д/2х2-Зх4-2 = 2х—2; б) Д/2х24-5х-|-4 =2x4-2.
1590. а) Д/Зх-Н = 24-Д/х— 1 ; б) Д/2х—6 4-Д/х-Ь 1 = 2.
1591. а) Д/З —х 4—Д= = Д/9 —5х; б) Д/2х-|- 1 4-Д/х—3 =2д/х.
уЗ — х
1592. а) д/ЦЦ + (|х+2)д/9х2-25 =0.
6) 2 +(Зх + 4)Д/Збх2 —25 =0.
1593. а) д/4 cos х4- 1 =2 sin х; б) д/3 sin х+ 1,5 =2 cos х.
1594. а) Д/25'пх-1 4-V5-5'nx2 =2.
б) Д/27,пх4-3 4-Д1-3'пх3 =2.
1595. а) При каких значениях т система
| бх —Зг/ = т-|-3,
( 5х + 2// = 2/п
имеет решение, удовлетворяющее неравенствам х<2
и //>0?
б) При каких значениях т система
4х—5у = т-\- 1,
5х—6у = 3т — 2
имеет решение, удовлетворяющее неравенствам х>\
и у< 1?
1596. а) Найдите значение а, при котором будет наименьшей
сумма чисел, составляющих решение системы уравнений
Г х-\-2у = а2,
( 2х — у = 1 —а.
б) Найдите значение Ь, при котором будет наибольшим
произведение чисел, составляющих решение системы урав-
нений
Г 2x+y = b+ 1,
(х—Зу = 2Ь.
Решите системы уравнений (1597—1610).
1597. а) х2 4-3x1/ — у2 = 92, б) 1 [ 2х —у = 1,
х4-3у=18; 1 ( х2 4- 2x1/ — у2 = 2.
1598. а) 1 [ х2 -Ь У2 = 2ху 4- 4, б) 1 [ х24-1/2 = 9 — 2ху,
[х-|-1/ = 6; | [ х — у = 5.
1599. а) 1 \х + у = 2ху, б) 1 [ х24-у2 = 2 — х—у.
[ х-\-ух2 у2— 4; | l х14- у2 4- ху = 1.
1600. а) 1 [х2 — 3x1/= 18, б) 1 [ х2 4- ху = 15,
[Зу2 — ху = 6; I IV + ху= 10.
1601. а) 4=0.5. 6) У ty х-1 ’
0,5л2 = у — х; у — 2х = х2— 1.
1602. а) 1 [ д/х 4- 2у = 5, б) 1 [ 2 Д/х 4-у=1,
[y(34-V^) = 2(x4-2); | [ 4х— 15 = 2у д/V.
1603. а) 1 [ 5-х-25х+!/ = 5, б) 1 [ Зх+у-81х = 81,
[ У2 — х= —2; | | 3t/2 — х=2.
1604. а) 1 [2х4-г/ = 5, б) 1 [ 3*4-х= 10,
[х—2 = log2y; | (у — 2 = log3x.
1605. а) 1 Г 2 log3 х= log3 (у — 1)— 1,
х2 + у = 2х + 3;
б) Г х=4у — 2у2,
( 2 log2 (2 — у) — 2 = log2 (х+ 1).
1606. а) [ х2—2х=4 — 4у, б) ( у2—2у=9 —6х,
^2 log2 (1 — х)= 1 — log2 2//; ( log32x+2 log3(1 — y)=l
1607. а) б)| [ log2(2x—y) = — 1,
log2 (2i/ —х)=2; । [9x+2-32s'=1.
1608. а) Зе"* х—2 tg i/= — 1, б) 1 [ 2 sin x4-ln if=4,
tg г/4-5е“* х=7; ' (5 In у — sin x= 11.
х+у х+у x—y
1609. а) 2 4 +2 2 =6, б> . 3 2 +Зх-*=12,
2х+2*=17; зх+з_*= 10.
1610. а) 1 [Д/х2+у=х—у, б) 1 [ V2X-I-1/2 =y — x,
[2у+4=9-2х; 1 [3Х+3=28-3\
1611. В какой полуплоскости расположен график функции:
a) i/ = x2sin5 — cos 6; б) i/ = x2cos5 — sin 6?
1612. а) Дано: sina=—л<а<-^. Найдите
1 о Z
sin 2а, tg(j — а).
15 л
б) Дано: cosa =—— , — <а<л. Найдите
cos 2а, tgfj+aV
К |сч к Iсо
1613. а) Вычислите cos (а+₽), если sin a sin 0 = 0,5 и а— 0 =
б) Вычислите cos (а—0), если sin a sin 0 = 0,25 иа+0 =
1614.
1615.
а) Вычислите cos а, если
б) Вычислите sin а, если
Упростите выражение:
cos а 4-cos (2,5л 4-а) sin а — sin (1,5л — а)
2 cos2 a —sin 2а 2 sin2 а 4-sin 2а
Укажите, при каких значениях а данное выражение не
имеет смысла.
ч жг sin a4-sin 3a
1616. а) Упростите выражение -------------. Имеет ли смысл
cos За 4~ cos а
данное выражение при а = 0,5л?
sin За —sin а
о) Упростите выражение --------------. Имеет ли смысл
cos За — cos а
данное выражение при а = 0,25л?
1617. Упростите выражение:
. sin а + sin 2а — sin (Зя 4- За) sin (5я —a)-|-sin 5а —sin За
a) ---------------------- j о) ------------------------
1 4- 2 cos а 2 cos 2а — 1
Докажите тождества (1618—1619).
1618.
1619.
а)
б)
а)
б)
2
COS X
1 4-cos (1,5л 4-х)
. 9
sin X
1 — sin (1,5л 4-х)
sin (2л — х) = Г,
j-cos (2л — х) = 1.
cos2 а — sin2 (а+^+Д/з”
sin а cos
cos2 — sin2 а -|-Д/3^ s*n (a + '£’) sin a = 0»75.
(«-^) = 0.5;
1620. Докажите неравенство:
a) cos (a —9°) cos (a —45°)>sin (a + 40°) cos (a —4°);
6) cos (₽+ 19°) sin (0 + l°)<sin (0 + 4°) sin (0+106°).
Решите уравнения (1621 —1631).
1621. а) 2 cos2 x = 1 + sin x; 6) 2 sin2x = 3 cos x.
1622. a) 3 sin j + cos ^ = 0; 6) 4 cos 2x —5 sin 2x = 0.
1623. a) 2 sin2 x+1 =2 sin 2x; 6) sin 2x + 5 cos2 x= 1,5.
1624. a) 4 sin 2x — 3 cos 2x = 3; 6) sinx — cos x=—!—.
sin x
1625. a) sin 3x— sin 7х = л/3 sin 2x;
6) cos 2x + cos 6x= 1 + cos 8x.
1626. a) sin 2x+sin x = cos x + 0,5;
б) (1—2 sin x) sin x=2 cos 2x—1.
1627. a) 3 + 2 sin 2x=tg x + ctg x;
6) 3 ctg x — 3 tg x + 4 sin 2x=0.
1628. a) ctg2 x—tg2 x=4 д/2" ctg 2x;
6) ctg2 x — tg2 x= 16 cos3 2x.
1629. a) sin (л In x) + sin (л In x^ + sin (л In x3) = 0;
6) 1 —cos (л In x) = 2 sin (0,5л In x).
1630. a) cos 4x+0,5 —cos2 4x + cos (2,5л+ 4x+o,5) = 0;
6) ctg 2х = tg 2x + 2 tg 2x+1.
1631. a) 2 sin2x—4 sin x cos x + 6 cos2 x=a—1;
6) 4 sin2 x + 2 sin x cos x —2 cos2 x = a+1.
1632.
1633.
1634.
1635.
На рисунке 3 изображен график функции y = f(x) на от-
резке [0; 6]. Используя график, назовите: а) интервалы, на
которых f'(х)>0; б) интервалы, на которых /'(х)<0;
в) точки, в которых /' (х) = 0; г) точки, в которых производ-
ная не существует; д) точки максимума функции; е) точки
минимума функции.
На рисунке 4 изображен график y = f' (х) некоторой функ-
ции f (х) на отрезке [ — 2; 6]. Используя этот график, назо-
вите: а) промежутки, на которых функция f (х) постоянна;
б) промежутки, на которых функция f (х) линейна; в) про-
межутки возрастания функции /(х); г) промежутки убыва-
ния функции /(х); д) точки максимума функции f (х);
е) точки минимума функции /(х).
Решите уравнение:
а) /' (х) + (/(2х))' = 0, если f (х) = 4х2 + 2х + 27;
б) (/(5<))'=6, если f(x)=10-3x-5x2.
5f (х)
Решите неравенство [' (х)<0, если:
а)/(х)=^±1; б)/(х)=-^-.
3 (х-Ь 1) 3 (х— 1)
Решите уравнения (1636—1637).
8 (f г-
1636. a) v v 0/7 =1, если f (x) = x + 4Vx;
f'(x)+2 v
6) (f(4x))' + f'(x) + 20 = 0, если /(х) = 3д/х-5х+ 1.
1637. a) f'(x)+±.f(x)=—L—, если
х х(%4-2) х
б) . если f(x)=-^.
Л Л Л
1638. Решите уравнение /' (х) = 0, если:
a) / (х) = 3 — sin (зт-|-х) —2 cos + х ;
б) f (x) = sin х-|-0,5 sin 2х-|--|- sin Зх.
1639. При каких значениях х обратится в нуль производная функ-
ции:
а) // = 5Х4-3-5Х“2—140х In 5; б) у = 20-2х —4Х-З2х In 2?
1640. Через точки (0; 0) и Д2(х0; Уо) кривой у=^ х? проведена
секущая А1А2. Найдите угловой коэффициент:
а) секущей, если х0 = 2, х0=1, хо = 0,1, хо = О,ОГ,
б) касательной к данной кривой в точке
1641. Напишите уравнение касательной к параболе у = л2 — 2х—8
в точках:
а) с абсциссой хо = 0, с абсциссой х0= — 1, с ординатой
Уо =
б) пересечения ее с осью абсцисс, пересечения ее с прямой
У = —2х+ 1.
1642.-Докажите, что функция y = f(x) возрастает на множестве
действительных чисел, если:
a) f (x)=jx3 + -|x2 +7х+4; б) f (х) = sin x-|-3x-|-2.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции, ее
экстремумы (1643—1647).
1643. а) /(х) = 2х(х—I)3; 1644. a) f(x) = 4jt — Зх-|-4 б) f(x)=l(x+l)2(x-l)2 б) f(x) = 3x+^.
1645. а) f(x)=~; б) f (х) = 3к?е2х. з
1646. a) f(x) = Vex2—1 ; б) /(x)=W + 2.
1647. а) Дх) = (1 -х) Ini; б) f(x)= —xln(l— х).
Исследуйте функции и постройте их графики (1648—1650).
1648. a) f (x)=jx34-2x2 —-У-; б) g(x)=^x3 — х^б.
1649. a) f(x) = x4— 2х2+1; б) g(x) =—х4 + 5х2 —4.
1650. a) f(x) = ; б) f(x)=f+'2x .
' ' ' ’ О.бх2 —Зх-|-6 > I \ ! х2 + 2х + 2
Найдите наибольшее и наименьшее значения функций
(1651 — 1653).
1651. а) у = х—4Д/х"-|-5 на отрезке [Г, 9];
б) у = х — 4 д/х-|-2 -|-8 на отрезке [— 1; 7].
1652. a) / (x) = 2 cos x-|-3 sin x на отрезке |0;
6) f (x) = 2 cos x+ sin 2x на отрезке [—у; 2л
1653. a) f (х) = Зх+24-3-х_| на отрезке [ — 2; 0];
б) f (х) = 2х-|-22_х на отрезке [0; 2].
1654. а) Найдите, при каких значениях а функция
#=^-х3 + ах2 + х
О
возрастает на R.
б) Найдите все значения а, при которых функции
f (х) = 2х3 + Зах2 + 6а+ 1 и g (х) = 2х3Ч-Зх2-|-6ах—1
имеют хотя бы одну общую критическую точку.
1655. Сколько действительных корней имеет уравнение./(х) = 0,
если: а) /(х) = х/ + 2х5 + 3; б) /(х) = х3 —х2 + 2х + 4?
Найдите корни этих уравнений.
1656. а) В прямоугольный треугольник с катетами, равными
4 см и 8 см, вписан прямоугольник, стороны которого па-
раллельны катетам данного треугольника. Найдите сторо-
ны прямоугольника, при которых его площадь наи-
большая.
б) Разрежьте отрезок длиной 12 см на две части так, что-
бы, взяв их за катеты, получить прямоугольный треуголь-
ник с наименьшей гипотенузой.
1657. а) Число 28 представьте в виде суммы двух положитель-
ных слагаемых так, чтобы сумма куба первого и квадрата
второго слагаемого была наименьшей.
б) Число 21 представьте в виде суммы трех положитель-
ных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в 6 раз
меньше другого, а произведение всех трех слагаемых было
наибольшим.
1658. а) Найдите наибольший объем правильной треугольной
призмы, у которой диагональ боковой грани равна д/З^ м.
б) В основании прямой призмы лежит прямоугольный
равнобедренный треугольник. Диагональ большей боковой
грани равна 2д/3^ м. Найдите наибольший объем призмы.
1659. а) Найдите наибольший объем правильной треугольной
пирамиды, апофема которой равна 4д/3^ дм.
б) Найдите наибольший объем правильной треугольной
пирамиды, боковое ребро которой равно 3 дм.
1660. а) Найдите образующую конуса, имеющего наибольший
объем, если сумма высоты конуса и радиуса основания
равна 3 дм.
б) Найдите длину образующей конуса, имеющего наиболь-
шую боковую поверхность, если сумма образующей и диа-
метра основания равна 4 дм.
Решите уравнения (1661 —1667).
1661. а) 0,032х = (-^=)х2-45; б) 2х2-5х2 = ( 103—х)2-10—3.
1662. а) (4)2 Х—6-9~4-2-Зх“6=29;
б) 0,5'-2х-0,25'-х + 0,53-2х=48.
1663. а) Зх = ЗН-2-(УЗ)х; б) 2х+' = 3 —4х.
1664. а) 144|х| —2-12|х| = 3; б) 521x1 + 1— 5|х1+2 = 30.
1665. a) 4sin 2х4-2sin 2х = 2; б) 9C0S х4-2-Зс°5 х= 15.
1666. а) 4-31+^хГГ-9л/х~Г = 27; б) 25^ + 125 = 6-51чл/*-Г.
х + 2 1 _1_ 2 + х _1_ _2
1667. a) 5~4-3-10x=2-4x ; б) 9 2х + 15х = 10• 5х.
Решите неравенства (1668—1673).
6 —5х х+1
1668. а) (|)2+5х>6,25; б) 0,5х-'>32-'.
1669. а) 2-Зх+1 -6-Зх-'>94-Зх; б) 33х+1 — 4-27х-|<80-915х-‘.
1670. а) 9х-6-Зх<27; б) 4х+,5>4-2х+2.
1671. а) (3-2х)(Зх24-2х-1)>0; б) (5х-6)(3х2-2х—1)<0.
’ 2х—1 1—2х-1 9х —25 3х —2
1673. а) ^-у.‘+±Зх>0. б) 91-ЗХ+.2 0
Постройте графики приведенных ниже функций. Используя
свойство графиков взаимно обратных функций, постройте графи-
ки обратных им функций. Найдите область определения и об-
ласть значений обратных функций (1674—1675).
1674. а) f(x) = | — 0,5х-|-1 при х^О, — 2х + 1 при х>0;
б) ф(х)= [ 2^+ 1 при х^О, [ —(Хбх2 + 1 при х<0. f ех— 1 при xJ>0,
1675. а) g(x)= [ — Д/~х при х<0;
б) Л(х) = [ In (х+ 1) при х^О, [ 3,5х при х<0.
1676. Вычислите:
lg2 5 —2 lg 5-lg 2 —3 lg2 2 Iog2 10-|-log2 10• log2 5 — 2 log2 5
a) ; 6) ------------------------------------------------
2(lg5-3 1g 2) 7 log2 10 + 2 log2 5
1677. Докажите неравенство:
a) logo,2 6— sin 5 > log5 36 • cos 7 — cos2 7;
6) In2 3 > log2 0,9 4- 3 sin 1 — In 9 — 1.
Решите уравнения (1678—1687).
1678. a) log3(x—2)= 1 — log3 x; 6) log2(x—3) = 2 —log2 x.
1679. a) 21og3(x-2)=l+log3(x+l);
6) 2 log8(x—2) —log8(x—3)=-|.
1680. a) lg2x+lgx2= —1; 6) lg2x—lgV*=0,5.
1681. a) log3(l + log2(l+31og2x))=l;
6) log (4log3(2 —|og0.5x))=—0,5.
1682. a) llog3(x+l)-log3V^T4 = -2 + log34,5;
6) 4 log7(x—6) —log7 Д/х—3 =log7 24,5 — 2.
1683. а) 1п(Д/2х—3 4-2) —In (x— l) = 0;
б) 1п(Д/Зх—2 4-3)— In (7 — x) = 0.
1684. a) x4lgx=10; 6) xlgx=0,lx2.
1685. a) 2 logsV* =2-|-logx0,2; 6) log4x 2-|-log2 x=0.
1686. a) |x|lnx=x; 6) |x—2|-lnx=3(x — 2).
1687. a) log6(54-6-x) = x-|- 1; 6) log2(2x —7) = 3 —x.
Решите неравенства (1688—1695).
1688. a) lg(x2-4x4-13)< 1; 6) log5(x24-6x-|-10)> 1.
1689. a) log32+>0; 6) |Og05-^<0.
1690. a) log03 7-log07(3 —2x)>0; б) <0.
log0J (2—3*)
1691. a) log2 x-p4 log3 x-|-3<0; 6) log£5 x-(- log0>5 x>2.
1692. a) log0l(7-2x)<log0l(3 + x); 6) log4 (3-|-5x)>log4 (Зх- 1).
1693. a) ^^>0; 3„ О ^^<0.
s,n V !
1694. a) log2(3 —x)—log2 >--|-log2(x4-7);
o — Л x
6) logo,2 (2x4- 5) < logo,2 (16 — x2) 4- tg .
1695. a) log05 (1 4-x-V^ —4 )<0;
6) log3^V^ —9 — ~ L
1696. Для функции у = f (х) найдите первообразную, график ко-
торой проходит через точку М(а\ Ь) с заданными коорди-
натами:
a) ZU)=4 + 2sin£x, М(1; 2)’
б) / (х) = 6 д/л^ + 5 cos лх, Л4(1; 3).
1697. Вычислите интеграл:
л
Т
а) (cos2sin2-0dx;
л
"з
б) (—!-—|-2sinxAdx.
J \ COS X /
л
--з
4
Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными лини-
ями (1698—1713).
1698. а) у —4 — х2, у — х-\-2\ б) i/ = x2H-2, у = 4 —х.
1699. a) t/ = x2-|-5, i/ = 2x-|-8, х=0, z/ = 0;
б) у = х2-|-3, у——2х-)-6, х=0, у = 0.
1700. a) # = sinx, у = 2, х = 0, х=-^-;
О
б) z/ = cosx, у = 2, х=—х==—.
1701. a) f/ = 2sinx, у=\, ОСхСл;
б) у = 2 cos х, у=\, —j<x<y.
1702. a) £/ = sin , у — 0, х=0, х = 4;
б) y = cos^-, у = 0, х= — 1, х=2.
1703. a) j/ = 2sinx, i/=—sin х, х=0, х=у;
б) z/ = cosx, у=—2 cos х, х = 0, х=—.
1704. а) (/ = 2Д/х—1 , х = 2, х = 5, г/ = 0;
б) £/=Д/2 —х, х=1, х= — 2, у = 0.
1705. а) у = е\ у = е, х— — 1; б) у = е~х, у = е, х= 1.
1706. а) £/ = (х—I)3, t/ = 8, х = 2; б) у = (2 — х)3, г/ = 8, х=1.
1707. а) У=~^ > У = 0. х=1, х=4; б) У=^, у — G, х=1, х=2.
1708. а) У=±, 4/=1, х = е; б) «/=— , у = 1, х= — е.
1709. а) у = 2\ у = 4, х = 0; б) у = У, у = 3, х = 0.
1710. а) I/= х2 + 2х + 2, у= — х; б) 1/=х2 — 2x4-3, у = 3х— 1.
1711. a) z/ = 4 —х2, у = х2 —4; б) у= — 2х2-|-8, t/ = 2x2—8.
1712. a) t/ = 9 —х2, у = 2(6 —х—х2); б) у = х24-3, t/ = 2x2 — х4-1-
1713. а) г/ = 4,5 —О.бх2, у= — х24-х4-6;
б) у = 0,8 4- 0,2Х2, £/= х24-4х4-4.
1714. а) Вычислите площадь фигуры, задаваемой неравенством:
а) 1*/К— х2 + 2х; б) |t/K — г^ + бх —8.
1715. а) Двузначное число в девять раз больше суммы своих
цифр, а квадрат этой суммы равен самому числу. Найдите
это двузначное число.
б) Двузначное число в четыре раза больше суммы своих
цифр, а квадрат этой суммы равен утроенному двузначно-
му числу. Найдите это двузначное число.
1716. а) Разность квадратов двух целых положительных чисел
равна 253. Найдите эти числа.
б) Разность квадратов двух целых положительных чисел
равна 133. Найдите эти числа.
1717. а) Тоннель длиной 450 м поезд проехал с постоянной ско-
ростью за 27 с. Найдите длину и скорость поезда, если из-
вестно, что он за 9 с проехал с той же скоростью светофор
у въезда в тоннель.
б) Поезд прошел с постоянной скоростью мимо всей плат-
формы длиной 360 м за 24 с, а мимо наблюдателя, стояще-
го на этой платформе, поезд прошел за 8 с. Найдите длину
и скорость поезда.
1718. а) Цена на товар была повышена на 25%. На сколько
процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить перво-
начальную цену товара?
б) В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюми-
ния, добавили 15 кг магния, после чего содержание магния
в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав перво-
начально?
1719. а) Докажите, что последовательность, общий член которой
выражается формулой ал = 3-2л, является геометрической
прогрессией. Найдите сумму первых двенадцати членов
этой прогрессии.
б) Докажите, что последовательность, общий член которой
выражается формулой ал = 4п + 7, является арифметиче-
ской прогрессией. Найдите сумму первых тридцати членов
этой прогрессии.
1720. а) Два крана, работая одновременно, разгрузили баржу
за 6 ч. За какое время может разгрузить эту баржу каж-
дый кран, работая отдельно, если один из них может ее
разгрузить на 5 ч быстрее, чем другой?
б) После улучшения технологии производства на обработ-
ку одной детали тратится времени на 20 мин меньше, чем
прежде. Теперь 40 деталей обрабатываются за то же вре-
мя, за которое ранее обрабатывалось 36 деталей. Сколько
времени теперь уходит на обработку одной детали?
1721. а) Моторная лодка прошла по течению реки 28 км и тот-
час же вернулась назад; на путь туда и обратно ей потре-
бовалось 7 ч. Найдите скорость движения лодки в стоячей
воде, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.
б) Из пункта А по течению реки отправляется плот, а че-
рез 5 ч 20 мин из того же пункта отправляется лодка, ко-
торая догоняет плот, пройдя 20 км. Найдите скорость пло-
та, если его скорость на 12 км/ч меньше скорости лодки.
1722. а) После встречи двух пароходов один из них пошел на юг,
а другой — на запад. Через 2 ч после встречи расстояние
между ними было 60 км. Найдите скорость каждого паро-
хода, если известно, что скорость одного из них была на
6 км/ч больше скорости второго.
б) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу
друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми
равно 28 км. Через час езды они встретились и, не оста-
навливаясь, продолжали ехать с той же скоростью. Пер-
вый прибыл в пункт В на 35 мин раньше, чем второй в
пункт А. Какова скорость каждого велосипедиста?
1723. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
функции у= $ tdt и прямой #=1,5.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком
х+1
функции у= и прямой #=1.
1724. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — х2 = 0, у2 — х = 0.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у — х2=о, у2 + х = 0.
1725. а) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = —и прямыми # = 0, х = 4, х = р (при
х \х
р>4), меньше 1.
б) Докажите, что площадь фигуры, ограниченной графи-
ком функции у = 2е2х и прямыми # = 0, х= —0,5, x = t (при
t<Z— 0,5), меньше 1.
1726. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) х-1#| =2, х=1, х = 3;
б) х-1#| =3, х=1, х = 2.
1727. а) Фигура ограничена линиями #=-^-х2 и у = х. Отрезок
наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры и
принадлежащий прямой х = а, делит фигуру на две части.
Докажите, что площади этих частей равны.
б) Фигура ограничена линиями у = ^х? и у=— Зх.Отре-
зок наибольшей длины, заключенный внутри этой фигуры
и принадлежащий прямой х = а, делит фигуру на две
части. Докажите, что площади этих частей равны.
1728.
1729.
1730.
1731.
1732.
а) Найдите все такие значения а, что функция
y = (xt — 3)-е|-х
возрастает на интервале (а; а + 2).
б) Найдите все такие значения Ь, что функция
</=(8 — х?)-ех+'
убывает на интервале (ft; fe + 3).
а) При каких значениях а точка х0 = а является точкой ми-
нимума функции
# = 2х3 —3 (а+ 1) + 1?
б) При каких значениях b точка xQ = b является точкой
максимума функции
у=| х3- (b - 2) з?- 4Ьх + 3?
а) При каких значениях параметра а наименьшее значе-
ние функции у = х-\-еа~х равно 4?
б) При каких значениях параметра b наименьшее значе-
ние функции у = ех~ь— х равно —3?
а) При каких положительных значениях параметра а мак-
симум функции у = \п х — ах равен 2?
б) При каких положительных значениях параметра Ь ми-
нимум функции у = Ьх—In х равен 2?
Найдите множество значений функции:
1733. а) Какие целые значения принимает функция
у= — 9хД/2х-РГ на промежутке [ — 0,5; 0]?
б) Какие целые отрицательные значения принимает функ-
ция у = 2х— д/16х — 4 на промежутке оо)?
1734. а) На промежутке [ — 2; 2] исследуйте функцию
g (х) = х-е~0,5х2 и постройте ее график.
б) На промежутке [—Г, 3] исследуйте функцию
f (х) = х2-е~х и постройте ее график.
1735.
1736.
а) Исследуйте функцию f (x) = cos 2х — 2 cos х на возрас-
тание и убывание на промежутке —у; л|.
б) Исследуйте функцию f (x) = sin2 х — sin х на возраста-
ние и убывание на промежутке
а) Найдите максимумы функции y = cos 2x-cos х на ин-
/ л 2л \
тервале
б) Найдите минимумы функции y = cos 2x-sin х на ин-
(л л \
—6; g-}
1737. а) Сколько корней имеет уравнение
cos 2х — cos х = 2 — sin2 х
на отрезке [—100л; ГООл]?
б) Сколько корней имеет уравнение
cos2 x-[-sin x = cos 2х + 2
на отрезке [ — 50л; 50л]?
1738. а) Решите уравнение 0,5 sin 2x + cos2x = 4 cos 2х. Укажите
какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству
лх —х2>0.
б) Решите уравнение 0,5 sin 2х — 4 cos 2x = cos2 х. Укажите
какое-нибудь его решение, удовлетворяющее неравенству
лх-|-х2с0.
1739. а) Решите уравнение:
a) V|2x+ 11 = 1—2 |х|;
б) VI 1-3x1 =1-3 |х|.
1740. Решите уравнение:
а) Vx2 + 4x = Д5 |х+2|+2;
б) Vx2-6x=V10 lx-3| +2 .
1741. Решите уравнение:
а) 3-Д/4х + 4 —2х+2 = 3-2х+1 — 22х —2;
б) Д/1 -2-Зх + 9х =32х+1 + 3-Зх-|.
1742. При каких значениях параметра а уравнение
х2 —(За — 1 )• | х| + 2а2 —а = 0
имеет четыре различных решения?
б) При каких значениях параметра Ь уравнение
х2 —(46 —2)-1х| + 362 —26 = 0
имеет два различных решения?
1743. Найдите все корни уравнения:
24-х 14-х
а) 5х-2 х =40; б) 2х.5 х =50.
1744. а) При каких значениях параметра а уравнение
4х —(5а —3)-2х4~4а2 —За = 0
имеет единственное решение?
б) При каких значениях параметра b уравнение
9х-2 (36-2)»Зх + 562-46 = 0
имеет два различных решения?
1745. а) При каких значениях параметра а уравнение
х + 2 = а |х — 11
имеет единственное решение? Найдите это решение.
б) При каких значениях параметра 6 уравнение
6 |х —3| =х+ 1
имеет единственное решение? Найдите это решение.
1746. Решите систему уравнений:
а) ( 2 yJSy + x — у]бу — х = х,
1 У]3у + х + ~\]бу — х - Зу;
б) | У1х+у —^2у — 5х = х,
I yjx+y + У/2у — 5х = у.
1747. Решите неравенство:
а) х24-25>8Д/5 —х 4-10х; б) 27 Д/4 —х — IG^x2 —8х.
1748. а) Найдите все значения х, при которых выражение
д/б —X —X2
имеет смысл и не обращается в нуль.
б) Найдите все значения х, при которых выражение
Д/3 —2х —х2 • ctg (у х2)
имеет смысл и не обращается в нуль.
1749. а) Диагональ боковой грани правильной четырехугольной
призмы равна d. Найдите длину бокового ребра, при кото-
рой объем призмы наибольший.
б) Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна
р. Найдите высоту пирамиды, при которой ее объем наи-
больший.
1750. а) Рассматриваются всевозможные правильные треуголь-
ные призмы, каждая боковая грань каждой из которых
имеет периметр, равный а(а>0). Найдите среди них приз-
му с наибольшим объемом (в ответе укажите боковое реб-
ро такой призмы).
б) Рассматриваются всевозможные правильные четырех-
угольные призмы, сумма всех ребер каждой из которых
равна b(b>0). Найдите среди них призму с наибольшим
объемом (в ответе укажите сторону основания такой
призмы).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
ГЛАВА 1
§ •
1. a) sina=—, ctga =——; 6) cosa = 0,6, tga= — 1 у. 2. а) — 1— cos a;
6) 1 — sin a. 3. а) 2 sin2 a; 6) 2 cos2a. 4. a) —!-— ; 6)cos2 a. 5. a) |cos ₽l; 6) |sin 0|.
sin a
6.
1 V2
a) cos2 a; 6) --— . 7. a) 0,25; 6) —7—- .9. 6) Решение,
cos a 12
ctg2 a(l — sin2 a)
tg2 a (1 — cos2 a)
. 4 cos2 a . 6 ч 12 5
ctg4 a—-y—= ctg6a. 10. a) ——, — ;
sura 13 13
ctg2 a —cos2 a _
tg2 a —sin2 a
6)
' 13 ’ 13
И. а) —t—;б)
cos a 1 -|- sin a
н и e. Возвести в квадрат
12. а) 1; 6) tg a. 13. а) 2; 6) tg2 a. 18. а) .Указа-
18
д/15
обе части исходного равенства; б) — • Реше-
О
2 5 <5
н и e. 2 sin a cos a=—, sin2 a 4- cos2 a 4- 2 sin a cos a=— , (sin a-|-cos a)2=—,
О о о
л/Ts" 5
sin a-|-cos a = . 19. a) —. Указание. Разделить числитель и
О 1 о
4
знаменатель дроби на cos а; б) — Зу.
20. Решение, a) sin6 a 4~ cos6 a =
= (sin2 a 4-cos2 a)-(sin4 a —sin2 a cos2 a4~cos4 a) = (sin2 a4-cos2 a)2 —
o - 2 2 io-2 2 1—sin4 a —cos4 a
— 3 sin a cos a = 1 — 3 sin acos a; 6) -------------------=
cos4 a
(1—sin2 a)(1 4-sin2 a) —cos4 a cos2 a (1 4-sin2 a —cos2 a) 2
= --------——!—-------------=------—------------- = 2 tg2 a. 21. P e ш e-
cos a cos a
н и e. а) 1 4-sin a-j-cos a4-tg a = ( 1 4-cos a)4-tg a (cos a4-1 ) = ( 1 4~cos a)X
X(1 4-tg a); 6) (sin a4~ tg a) (cos a 4~ ctg a) = tg a (cos a 4~ 1) ctg a (sin a4~ 1 ) =
= (1 4-sin a)-(l 4-cos a).
22. а) Решение.
sin a 4- tg a
-------1-ctg a
sin a
Htg a (cos a4~ 1)
1 4-cos a
sin a
= tg2 a sin2 a,
sin2 a4-tg2 a
1
sin2 a
4-ctg2 a
= tg a(cos 1 =tg2 a sin2 a. 23. а) 1. Указание, tg a = ctg(90° —a),
1 4-cos a
sin2 a
tgactga=l; 6) 1. 24. a) 0; 6) —1. 25. a) ——. Указание. Из
4(7 — 4 л/7~)
условий sina<0 и ctga>0 следует, что cosa<0; б) —-—yj—-—
26. а) 0; б) 0. 27. а) + Icos а|. ; б) |sin a 4-cos a|. 28. а) Решение.
|cos a I
1—2sin2(n-|-a) j 1—2 cos2 (л— a) _ 1—2sin2a
(n , \ . . z . z.vi /л \ cos a4-sin a
— 4~a ) + sin (л — a) cos (л 4-a)4-cos 1 —— a)
, 1—2 cos2 a cos2 a —sin2 a . sin2 a — cos2 a
4--------------------------------1-------------= cos a — sin a 4-
— cos a 4- sin a cos a 4- sin a sina — cos a
4-sin a 4-cos a = 2 cos a; 6) -^-ctg2a.
§ 2
29. а) . Указание. a = -^-; 6)
Z о
1. Указание. ₽ = -£•• 30. >a) ——’
4 + ЗД/3 3^-2 VT 2(V42-1) . n. i qq яч a/T-
6) --jo---. 31. a) ---—-----, 6) -----. 32. a) 0; 6) — 1. 33. а) y3 ;
6) 1. 34. a) ; 6) д/2~- 35. a) cos(a4~3p); 6) — sin (a4-P). 36. a) — tg a tg 0;
6) — ctgatgp. 39. а) Д/3; б) -Д/3. 40. a) ; 6) 5Vt5~12
__ . _ 1 4~ tg a tg В
45. а) Решение. ----- ---
tga-tg₽
(tg ₽ — tg a) 4- tg a tg ₽ 4- cos2 Y = —(1 4-
4-tg a tg P)4-tg a tg P4-cos2 T = — 1 4-cos2 y= —sin2 y; 6)--— . 46. Решение.
sin2 у
sin (a4- ₽) — cos a —cos p = sin a cos P4~cos a sin p —cos a —cos p = cos a (sin p —
— l)4-cos p (sin a—l)<0, поскольку cosa>0, sin p— 1 <0, cosp>0
sina—l<0 ^так как по условию 0<a<-^-, 0<р<-^-^. Значит,
sin (a4-Р)<cos a4-cos р. 47. a) a£/?, а=/=л&, k^Z; б) a = -^-4"—— , k£Z.
4 2
48. а) Решение.
sin (a —P) sin (a4~P) _ sin2 a cos2 p —cos2 a sin2 p _
sin2 p —sin2 a
sin2 p — sin2 a
sin2 a(l —sin2 P) —(1 —sin2 a) sin2 P sin2a — sin2 P , v
----------£----------------- =-------= — 1. 49. а) P e ш e н и e.
sin p —sin a sin p —sin a
cos(a4-p)(l 4-tga tg P)4-(tg a tg p — 1) cos (a — P) = cos (a 4-P) —cos (a — P)4-
4"tg a tg p (cos (a4- P)4-cos (a — P))= — 2 sin a sin P4- tg a tg p - 2 cos a cos p =
= —2 sin a sin p4-2 sin a sin p = 0. 50. а) Решение. -2cos^a—P)--
sin (a — P)4- sin (a 4- P)
. 2 cos (a —P) x cos (a —P) —cos a cos P sin a sin P к n
— ctg a = —-----—----ctg a =-------—---------— =--------— = tg P;
2 sin a cos p sin a cos p sin a cos p
6) tg p. 51. а) 1; 6) — tg2 a. 52. a) 1,5; 6) 1,5. 53. а) Решение. tg(a4~P) =
2+з
2^3 = 0<'n + P < л. Значит, a + p = -^-. 54. Решение.
'~5’7
a) tgatgp + tgptgy 4- tgytga = tgatgp + tgv(tgp + tga) = tgatgp +
+ ctg(a + p) (tgp + tga) = tgatgp + ‘ ~tg,a.(tg P + tg a)= 1; 6) tg2a +
tga-l-tgP
+ tg 2p + tg 2-y = tg 2a + .^t**2* •(!-tg2p tg 2T) = tg 2a + tg(2p + 2V)X
1 — tg 2p tg Zy
X(l—tg2ptg2T)=tg2a + tg(n — 2a)(l—tg2ptg2T)=tg2a — tg2a(l —
— tg2ptg2y) = tg 2a tg 2p tg 2y.
§ 3
55. a) ~5T; 6) 2 77 Указание- ctg2P=7~9S-= ‘о/Х/ • 56- a) sin2a =
21 12 tg 2p 2 tg 0
q 120 119 R
= -0,96, tg 2a = - 3- ; 6) sin 2a = - — , ctg 2a= - — . 57. a) cos4= -0,5,
/ 1ОУ 1 £\) £
. 0 1 v
ctg -^-=-= . Указа
н и e. sin 0=-и л<0<-$-,
4л
т. е. 0=—-, тогда
<5
0 2 л .. . a y3
2 3 7 2 2
. 7л . л ..
н и е. sin-— = sin — ; 6)
8 8 7
3 Д/2
2
tg -^ = д/з^. Указание. а=-^-. 58. а) .Указа-
уЗ 5л . л
. Указание, cos—— = sin—— . 59. а) —
2 12 12 7
6) 4. 62. Решение, а) 4 sin
X
Xcos (л-|-2a) = 4 ( —cos a)( — sin a)( —cos 2a) = —2 sin 2a cos 2a = —sin 4a;
336 527
6) —cos 40. 63. a) cos 2a; 6) sin 2a. 64. a) sin2a=——— , cos2a=-;
7 н 7 * 7 j 625 625
6) sin 2P=-^ , cos 2P=^ • 65. a) sin P = -y-. tg ₽= —W’. 6) cos у-.
66. а) Решение. По формуле тангенса половинного аргумента имеем
‘82(т + “) =
1 — cos f-^--h2a^ 1+4-
\2 /_l-|-sin2a_ 5
it . о \ 1 — sin 2a 1
l+cos(— -|-2a ) 1—-
\ Z / D
Q
-= 1,5; 6) 1,5. Ука-
зание.
ctg2(^-p) =
1 — sin 20
1 4- sin 20
. 67. а) Решение, ctg 0 —sin 20 = ctg 0 —
— 2 sin 0 cos 0 = ctg 0 (1 — 2 sin2 0) = ctg 0 cos 20. 69. а) Решение.
sin 2a — 2 sin a = 2 sin a cos a — 2 sin a = 2 sin a (cos a—l)<0, так как sina>0
и cosa<l (по условию 0<а<л). Значит, sin2a<2sina. 70. а) P e-
cos 30 sin 30 sin 0 cos 30 —cos 0 sin 30 sin (0 — 30) o
ш e н и e. ----;—— =--------—:— ------=—;--------= —
cos 0 sin 0 cos 0 sin 0 1
— sin zp
6) —- sin 12a. 71. а) 1; 6) 0,5. 72. а) Решение. 1 — 8 sin2 cos2 -^r- =
4 lo Io
• л 9 ft 9 Л , _ . о ft Л Д/2" Д/З" __ . n
= 1 — 8 sin2 — cos — = 1 — 2 sin — = cos—=-^—~ ; 6) —— . 73. а) Решение.
16 16 8 4 z z
/ . ft . Зл \ / Зл л \ /.ft., /ft л\\/ /л л\
(s,n 8 +SmТ) (cosI—cos 8И8'" 8 +Sln (2 - s)) (C°S (2 - 8)“
л \ / . л , л \/ . л л \ ,9Л 9Л
"C0S 8? = V,n 8+COS8)(S'n 8“C0S 8) = Sm 8"C0S 8 =
л V2 v A/3 «w 5л . л . 11 л . л
= —cos—----——- ; 6) -2—. Указание, cos—— = sin —sin ——— = sin —— ,
4 2 2 12 12 12 12
• 5 л л . . 7 л . 7 л .л .л
sin— = cos— 74. а) Решение, ctg—+ tg—= —ctg—— tg—=
1 Z 1Z 00 00
l+tg2^
о
* л
tg8
----=—2Д/У; б) 2. 75.
л
sin —
4
— 1 —У^Г
2
Указание. Выразив tg 2а через tg а, найти tg а из полученного квадрат-
ного уравнения и учесть, что tga<0; 6)
_1__Д/5
---2~-— . 76. а) Решение.
1 7
cos 2a = 2 cos2 a — 1 = 2 • —— 1 = —— , tg22a =
_!______1 = 8£_1 = 32 . . 32
cos2 2а 49 49 ’ ' 49'
77. а) —0,96; 0,28. Указание. Выразив синус и косинус через тангенс по-
. . « . « « « 2 tg a 1—tg2 a
ловинного аргумента, получим sin 4a = 2 sin 2a cos 2a = 2---5:— ,
l+t^a 1+tg2»
cos 4a= 1 — 2 sin2 2a= 1 — 2 f ; 6) —0,96; —0,28. 78. а) Решение.
M+tg2a/
Из условия следует, что cos a=/=0 (если cos a = 0, то данное равенство примет вид
—1,5=—2 — противоречие). Поэтому, разделив числитель и знаменатель дан-
ной в условии дроби на cos а, получим
о n a = — 2» откуда tga = 8. Зна-
3 — 2 tg a
чит, sin 2a = -= -^-; 6) —0,6. 79. Решение, а) cos 2a
1 -|- tg2 a 65 8
1 .9.93 3
1—2sin2a^—— , 2sin2a^—, sin2a^-^-,-^sina^—. По условию
8 8 16 4 4 J
3 3 I---77— v 7
sin a^> — . Значит, sin a = — . Тогда |cos a| = yl —sin2 a =-^— . откуда cos a =
4 4 4
sin 2a = 2 >in a cos a =
зУГ
8
6) 2 cos2 a — 1
8
cos2a<—,
lb
-----^Ccos a^ — . По условию cos a^ —- . Значит, cos a = —- . Тогда I sin — 1 =
4----4 4 4 I 2 I
УНГ . a VlO- on . n
= -L-—, откуда sin— = zb-2-—. 80. а) Решение.
4 2 4
По формуле cos 3a = 4 cos3 a — 3 cos a получим 2 (4 cos3 a — 3 cos a) = cos a,
cos a (8 cos2 a — 7) = 0. Если cosa = 0, to cos2a= — 1; если cosa=#=0, to
7 , 7
cos2 a=— , t. e. cos 2a = 2 cos2 a— 1 = 2«—— 1 =0,75; 6) 1 или 0,5. Указание.
8 8
Использовать известную формулу
sin За = 3 siri а —4 sin3 а. 81. а) — Уз~;
6)
Уз
з '
82. Решение, а)
л Зл
s,nTo sin7o -
л л . л . Зл
2 cos —- sin —- sin ——
10 10 10
а л
2C°S-
2 cos —— 2 cos —— 4 cos —— 4 cos —
10 10 10 10
л
C0S 10 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
=----------= 0,25; 6) cos 20° cos 40° cos 80°=----------—-----------=
. л ' 2 sin 20°
4 cos-
_ sin 40° cos 40° cos 80° _ sin 80° cos 80° _ sin 160° _ sin (180° —20°) _
2 sin 20° 4 sin 20° 8 sin 20° 8 sin 20°
— — 0,125. 83. а) Решение, sin 75° — sin 7,5° cos3 67,5° —
8 sin 20° ’
— cos 7,5° sin3 67,5° = cos 15° — sin 7,5° sin3 22,5° —cos 7,5° cos3 22,5° = cos (22,5° —
— 7,5°)—sin 7,5° sin3 22,5° —cos 7,5° cos3 22,5° = cos 22,5° cos 7,5° 4- sin 22,5° sin 7,5° —
— sin 7,5° sin3 22,5° — cos 7,5° cos322,5° = cos 22,5° cos 7,5° (1 — cos2 22,5°)4-
4- sin 22,5° sin 7,5° (1 - sin2 22,5°) = cos 22,5° cos 7,5° sin2 22,5° 4-
4- sin 22,5° sin 7,5° cos2 22,5° = sin 22,5° cos 22,5° (sin 22,5° cos 7,5° 4-
1 1 Л/2~ л/F
4-cos 22,5° sin 7,5°)=-sin 45° sin (22,5°4-7,5°) = --^—-sin 30°=-^-; 6) .
\ 2 2 2 о о
84. a) P e ш e н и e. Обозначим искомое выражение буквой А и преобразуем его:
А =Д/24-Д/2 4-2 cos 4а = Д/24~Д/2 (I 4-cos 4а) = ^24-\^4 cos2 2а~ =
=№+21cos 2а| . По условию О^а^-^-, поэтому 0^2а^ л, т. е. cos 2а принима-
ет как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим два случая:
1) 0^2а^-^ ^т. е. О^а^-^, откуда cos 2а ^0 и А = Д/24~2 cos 2а =
= Д/4 cos2 а =2 |cos а| =2 cos а. 2) -^-<2а^л ^т. е. откУла
cos2a<0 и А =^2 — 2 cos 2а = Д/4 sin2 а =2 | sin а| =2 sin а; б) — cosпри
а
~4
§ 4
86. a) cos 5°; б) —д/2~ sin 33°. 87. а) д/2~ cos a; б) —Л/3~ cos a. 88. а) 2 sin a sin p;
6) 2 sin a cos p. 89. а) д/з" sin ^a —б) Дб~ cos ^2a — 90. а) Л/3~; 6) 1.
a — 6 6 — a
91° a) tg —"2— * C°S C°S 4a C°S $а’ C°S C°S $0 S*n 130’
94. a) sin 4а; 6) 4 sin 2p cos 3p cos 5p. 95. a) Решение, cos 47° 4-sin 77°—
— Д/з” cos 17° = cos 47°4- cos 13°—cos 17° = 2 cos 30° cos \7° —Л/з cos 17° =
=д/3~cos 17° — д/з” cos 17° = 0; 6) 0. 96. a) Дб~; б) Д/з”. 97. a) Решение.
Д/У + 2 cos ₽ = 2 4- cos = 2 (cos + cos p) = 4 cos (-^ + -|-) X
Xcos fjTj-—Можно также, по формуле преобразования произведе-
ния функций в сумму, преобразовать правую часть тождества. 98. а) Р е ш е-
и и e. sin
— 4а
sin
2 sin (— а) cos
—2 sin a cos
о 9p p
у cos - - COS
__ 2 cos2 2p4-cos 5p — 1 cos5p-|-cos4p 2 2
99. а) Решение. ------------—----------=------—---------- =-----------
sin 5p4-2 cos 2p sin 2p sin5p-|-sin4p 2 sin cos A
Sln ~2~ C0S "2
t 9P v sin 4a 4-sin 9a — sin a sin 4a 4-2 sin 4a cos 5a
= ctg .100. а) Решен ие.----------------— ----—=--------——------------—
2 cos a 4- cos 4a 4- cos 9a cos 4a 4- 2 cos 5a cos 4a
sin 4a (1 4-2 cos 5a) л л
— ter 4a.
cos 4a (1 4-2 cos 5a)
101. a) 4 sin
6) 4 sin
102. a) 4 sin 5p cos2 2p; 6) 4 cos 7а cos2 За.
103. a) Решение. 1 —2 sin a —cos 2а= 1 —cos 2а —2 sin а = 2 sin2 а —
— 2 sin а = 2 sin a (sin a — 1 )= —2 sin а
*= —4 sin a sin2
D
; 6) 4 cos p cos2-^-.
104. а) Решение, sin a4~sin p — sin (a4- P) = 2 sin cos
_ . a 4“ P a- 4~ P
-2s,n—2 C°S—2
Xsin sin у; 6) 4 sin
= 2 sin —
a — p a
cos —— cos —
a — p
~~2
л • a+₽
4s,n^~
a 2 cos у cos у. 105. а) Решение, sin 13° cos 3° —
— sin 5° sin 85° — cos 8° cos 82°=-^- (sin 16° + sin 10°)—sin 5° cos 5° — cos 8° sin 8° =
=-^- sin 16° 4--^- sin 10° — -i- sin 10° — -^- sin 16°=0; 6) 0. 106. а) P e ш e н и e. sin -|^-X
7л л л л / . 5л
Xcos— cos-cos—cos —= /sin— cos
л\ л л
sin—1 cos —sin -—cos
6 / 8 16
л .
• cos — sin
8
л
C0ST6_
Л 1 . Л
cos • -2S,n J-
Д/2" 4-1 1 . я y[2-
4 ’ 4 s,n 4 “ 4
8
"oo— ’ 6) —— • 107* Указание. Пре-
oZ oZ
образовать произведение функций в сумму. 108. а) Решение. 1-й с п о-
с о 6. 2 —8 cos2 p = 8
— cos2
л
cos — — cos
= 8• 2 sin
8 sin
X sin
. 2-й способ. 8 sin
2л
cos —----cos
cos2 p
2 —8 cos2 p. 109. а) Решение, cos2 a 4- cos2 p —
= 4
— cos (a + fl) cos (a — fl) = C-°-S — d~ -- — C^S—- — cos (a d~ fl) cos (a — fl) = 1 +
. cos 2a + cos 2fl . , D. . o4 . , 2 cos (a d-fl) cos (a —fl)
d----------2----------- - cos (a + fl) cos (a - fl)= 1 d---------*-------------------— -
— cos (a-j-fl) cos (a —fl)= 1; 6) 1. 110. а) Решение, cos2 *
1 d"COS
1 — cos
— sin2
_ Зл _
2 cos —— cos 2a
4
2
2
2
v2 Л/3 2л
---У— cos 2a; 6) cos 2fl. 111. а) Решение, sin 2a — 2 sin — sin 5a +
XX О
d-sin 8a = 2 sin 5a cos 3a —д/З^ sin 5a = 2 sin 5a
Q л
cos 3a — cos —
о
= 4 sin 5a sin (^+^) sin 6) 4 sin 7a sin cos 1)
\ 1 Z Z / \ 1 Z Z / \ Z о / \ Z О /
112. 6) Решение. 1—sina-|-cosa — tga = (l—tga)d~(cosa — sin a) =
cos a — sin a . . . / 1 . . \
-- |-cos a — sin a=(cos a — sin a) I-(- I 1 =
cos a-------------------------------------\ cos a /
2 д/2~ cos f a d--y-^ cos2
л/о" ( . я\ 1 -h cos a \ 4/ 2
= Д/2 cos I a d- т I------=-----------------------• ИЗ. а) Решение.
\ 4 / cos a cos a
1 s-n _ 1 — 4 sin 50° cos 20° _ 1 — 2 (sin 70° d- sin 30°) _
cos 20° Sin cos 20° cos 20°
О * 7ГЛО ~\ / Q
—-----81П^о~ = — 2; 6) 4. 114. a) ; 6) Решение, sin 20° sin 40° sin 80° =
sin 70° 7 7 8 7
=l(cos 20°-cos 60°) sin 80°=1 sin 80° cos 20°-1 sin 80°=1 (sin 100°d-sin 60°)-
—sin 80°=-^-
4 8
115. а) Решение. --——----------=-----7—-d"
cos 670° cos 220° s,n 40
'3 cos 40°
Д/з” cos 40° d-sin 40°
Л/з~ sin 40° cos 40°
2 cos 40° d—sin 40°
д/Т
sin 80°
4 cos (40°-30°) 4 д/з” 4 д/з”
---7=-------=—o~; 6' T~
Д/З cos 10°-3 3
§ 5
116. а) Нечетная; 6) четная. 117. а) Нечетная; 6) нечетная. 118. а) Четная; 6) чет-
ная. 119. а) Нечетная; 6) нечетная. 120. а) Ни четная, ни нечетная. Решение.
D(f) = * симметрична относительно О, но /(— x) = 2d-( — х) cos (—х) = 2 —
— xcosx. Значит, ни равенство/(— х) = /(х), ни равенство/(—х)=—f (х) для
всех x£R не выполняются (например, если , то f (х) = 2 + -^,
3 о
/(-x)=2-J, т. e. и б) ни четная,
ни нечетная. 121. а) Четная; б) четная. 122. a) —sin 10°; б) —cos 20°.
оо \ п ♦ / 788л \ 788л / 5л \ 5л
123. а) Решение, tgf---_j= —tg-y-= —tgf 87л+—1= —tg —=
. /я . л \ . л ж. . л . n / 1011л\
---tg V2+T87 = Ctg-i8 ’ б) tg 26- ,24‘ а) Решение- cos(-15-)=
1011л / 2л \ / 2л\ 2л /л л\
-cos —1Г- =С0Ч + =C0SV+-d = - cos" “ С0Ч 2 —“Го/=
= —sin-j^-; 6) cos-|^-. '^5- 2я’ 2п *2®' а) П’ 6) п' а) %л' б) 2л.
128. а) 2л; б) 2л. 130. а) Л; б) Я. 131. а) х=#2л£, k£Z; б) x#=j + ^-, k£Z.
132. а) х=#-£+-^, k£Z; б) х=#ЗлА, k£Z. 133. а) х^^ + лп, n^Z\
8 4 6
б) х#= --у 4-ли, n£Z. 134. а) [ —3; 3]; наибольшее значение при х=-^-4"2ли, n£Z\
о 2
наименьшее значение при х= —-^-4-2ли, n£Z\ б) [ — 3; 3]; 2л£, k£Z\ л-|-2л£, k£Z.
135. а) [ — 2; 2]; л + 2лй, k£Z; 2лА, k£Z; б) [ — 2; 2]; — j + 2n*. *€Z; -^ + 2лА:, k£Z.
136. а) Я; б) Я. 137. а) [4; 6]; -у + л*, k£Z; -^4-nfe, k£Z. Указание.
— I^sin2x^l. Значит, — 1^—sin 2x^1, 4^5 —sin 2x^6, причем
5 —sin2x = 6 при sin 2х= — 1, 5—sin2x = 4 при sin2x=l; б) [4; 6];
ли, n£Z\ -^- + ли, n£Z. 138. а) + » k£Z — нули функции; 3 cos ( —2х)>0 на
—-^- +л£; -J-4- л^у k£Z\ 3 cos ( — 2х)<0 на ^- +л£; -^--|-л£^, k£Z\ возрастает
на I--^-+л£; л£ I , ££Z; убывает на I лЛ; у + лЛ I , k^Z\ 6) л-|-2ли, n^Z—нули
функции; 5 cos
на (—л + 4ли; л-|-4ли), n^Z\
5 cos
(л-|-4ли; Зл + 4ли), n^Z\ возрастает на [ —2л-|-4ли; 4ли], n^Z; убывает на
[4ли; 2л + 4ли], n^Z. 139. а) —-^--|-ли, n^Z — нули функции; 2 sin (х-|-— )>0
6 \ 6/
на —-^4-2ли;-^-4-2ли^, n£Z; 2 sin fx-|--^A<0 на Л^-4~2ли;-^р-4-2ли\ n£Z;
возрастает на
2л । л
---— 4-2ли; -4- 2ли
О о
, n£Z; убывает на
у + 2л„; -^ + 2лЛ
n£Z; б) у4-яи, n£Z — нули функции; 4 sin
(у+2л"; Т"1-2"")’
n£Z; 4 sin
-^-4-2ли; -^-4-2ли^, h£Z; возрастает на
Г —-^-4-2ли; -^-4-2ли1
L о о J
, n^Z;
убывает на
р^-4-2ли; -!-^4-2nnj , nEZ.
1 ЛЛ \ I L. X- rf . L. (Cl Л V A ( ^ \ 5Л I \
140’ a) 16+T ’ kEZ ~ НуЛИ ФуНКЦИИ; tg \2x~“8)>0 Ha V6 “*" T : Тб ’
k£Z\
, л\ „ / 3л , nk л , nk\
le(2,--)<° _ + _). »«;
возрастает на
/ Зл nk 5л л£\
(—16+V; -i6+V> *eZ;
6) —Пт+“7Г» — нули функции;
18 3
(o , л\ / л , лп л , лп\
3'+б)>0 " (“Ts+—: 9+t)'"6Z:
|8(зх+|)<°
на
(2л , пп л , пп\ _ / 2л . лл л , лл\
~Г*—; ~18+—)’ П^'’ возРастает Ha(-V + V; Э+Т/ "€Z-
141. а) (2 sin 3; оо); б) (— оо; 2 cos 4]. 142. a) (cos 3; cos 5); б) ( — оо; —sin 2)U
U( — sin 6; оо). 143. а) Плюс; б) плюс. 144. а) Плюс; б) плюс. 145. а) Плюс;
б) минус. 146. а) Плюс; б) плюс. 149. a) y = tgx; б) i/ = ctgx. 150. а) у=— cos 2х;
б) у=— sin 2х. 151. а) г/=1, х#=0; б) г/=1, х#=1. 152. а) Решение.
D (/) = ( — оо; —2)U( — 2; 2)U(2; оо ) симметрична относительно О, f( — x) =
2 4-4 cos (— 2х) 24-4cos2x g/ . .
=---------т—;—=------т— ----= /(*)• Итак, /( — х)=/(х) для всех *€£>(/),
(— х) — 4 jt — 4
т. е. функция f (х) четная по определению; б) нечетная. 153. а) Нечетная;
б) нечетная. Указание. Область определения функции — все действитель-
Л£ . "Г
ные числа, кроме точек вида , k£Z—множество, симметричное относитель-
но О. 154. а) Ни четная, ни нечетная; б) ни четная, ни нечетная. 155. а) Нечетная;
б) четная. 156. а) Нечетная; б) нечетная. 157. а) Решение. Проверим, что —
является периодом данной
— 5 cos
= — 5 cos ^4х-|-2л —
cos
т. е.
f(x). Дока-
жем, что является наименьшим положительным периодом функции. Пусть Т —
произвольный период функции /(х), тогда по определению f (х-|- T)=f (х) для
всех x£D(f),
е.
4x4-47’-
cos
Если в этом
равенстве х=-^-, то cos 47=1. Значит, Тно наименьшее положи-
тельное число такого вида равно i. 158. а) ; б) 4л. 159. а) л; б) . 160. а) 4;
2 5 5
б) 12. 161. а) б) у. У к а з а н и е. у= — cos
|. 162. а) Нет; например,
/(х) = 5— периодическая функция, так как любое действительное число, отлич-
ное от 0, является ее периодом; однако наименьшего положительного периода
2 nk
функция не имеет; б) нет. 163. a) x£R и х#=—4--т-, k£Z; б) x£R и
О о
у I 3 . лЛ —
Х^-4 + 2+~2~’ kEZ-
164. а) -^ + 2nk; -^ + 2nfe , *GZ;
б) [— ^-+2nk; ^•+2яй1> 165. a) x£R и , kEZ; 6) xER и
I * * J о Z
jc= —+ . k£Z. 166. a) x£R и х=#ли, n£Z\ 6) x£R и x=#-^-, n£Z.
24 4 4
167. а) |jrdfe; k£Z\ 6) ^2Ar, -i--|-2&J, k^Z. 168. a) [ — 995; 995]; наибольшее
значение при x=—n-j-4nn, n£Z; наименьшее значение при х=л-}-4лп, n£Z\
б) [ — 2; 2]; наибольшее значение при х— — , k£Z\ наименьшее при
7960 1990
х=— ------1—, k£Z\ 169. а) 1 — 2; 41; наибольшее значение при х=-^- — 1 -|-2л£,
7960 1990 71 2
k£Z\ наименьшее значение при х=——1 -|-2л£, k^Z\ б) [—1; 5]; наибольшее
значение при х=л — 2-|-2лЛ, k£Z\ наименьшее значение при х= —2-|-2л£, k£Z.
170. а) [0; 4]; наибольшее значение при х=л + 2л£, k£Z\ наименьшее значение
при х=2лЛ, k£Z\ б) Го; -^-1; наибольшее значение при х=-^-, k£Z\ наименьшее
L 6 J з
значение при х=-^--|--^-, k£Z. 171. а) [0; 0,5]; наибольшее значение при х=Д^-,
6 3 2
л , лп
n£Z\ наименьшее значение при х= —-]-,
n£Z. Указание. 0^ |cos 2х| 1.
Значит, 0^0,5 |cos 2х| ^0,5, причем 0,5 |cos 2х| =0,5 при cos2x=±l,
0,5|cos2x|=0 при cos2x=0; б) [0; 2]; наибольшее значение при х = л-|-2ли,
n£Z\ наименьшее значение при х=2ли, n£Z. 172. а) Нулей нет; 2 cos 2х-]-3>• 0
л ।
— ~\-лп\ лп
при всех х^/?; возрастает на
вает на
лп\ —-\-лп I, n^Z;
б) нулей нет; 3 sin Зх+4>>0 при всех x^R\ возрастает на
[л , 2 ли л , 2ли1 _ Г л . 2 ли л , 2ли1 _
— д-4—5~; т-Ч—5-1. убывает на — Ч—— ; — Ч—— , «GZ.
о о о 3 J LO о £ 3 J
т л , лЛ _ / 5л , 2л£ л , 2л£\
•73. а) — + —, k£Z — нули функции; у>0 на (—— Ч—5-; —Ч—5-),
1о о \ 1о о 1о о /
^<7 /л 7я I 2лЛ\
г/<0 на (—4—; -rzH—5—). возрастает на
\ 1О о 1О о /
[2л 2л£ 5л 2л£1
v+—: v+—]
убывает на
[л , 2л£ 2л , 2л£1
~9+—; V+— ]’
Указание. г/>0, если sin^3x—-^<0; y<Z0, если sin (зх—-^Л>0; воз-
растает при условии, что функция sin
убывает; убывает при условии,
что функция sin
(-1)
возрастает; б) + — нули функции; t/>0 на
—^-Ч-лА; -£-Ч-яа\ k£Z; у<0 на
3 6 /
4-лЛ^, k£Z\ возрастает на
-т?-4-лЛ; -пг+л^1’ убывает на [—+ лл], k£Z.
174. а) —нули функции; tg^y — 4х^>0 на
(л , nk л . л£ X f _ , / л и\гч / л , nk 5л , лЛ \ , _
-24+Т; Т2+Т> ‘EZ: ‘'(з-’')<0 "ЧТ2+“; й+-> Кг'
/ п nk 5n nk\ n nk
убывает на ( —— + —; —+-— *€Z; б) —+ —, k£Z — нули функции;
У ТГ ^Т1 ж J 10 О
(л „X / л,л£ я , лЛ \ . /я „X л / л , nk
_-Зх)>0на (-9+-; -.в +-).^Z; tg(--3x)<0 на
2л , nk\ / л , nk 2л , л£Х v жд
-тг-Ч—х- I, k^Z\ убывает на I ——+ -— 5 “о”"!—Т" 1» <75. а) Минус; б) плюс.
У 3 / \ У о У о /
176. а) Плюс; б) минус. 177. а) Минус; б) плюс. 178. а) (— оо; — sin 3)U(sin 3; оо);
б) (—оо; —cos5]U[cos5; оо). 179. а) График изображен на рисунке 5.
180. а) График функции y = tgx, смещенный на вправо; б) график y = tgx,
О
смещенный на влево. 181. а) График изображен на рисунке 6. 182. а) График
изображен на рисунке 7. 183. а) у = 1, х^О; б) у= 1, 1. 184. а) Решение.
D (/)—все действительные числа, кроме корней уравнения sin3x=x. Однако
корни данного уравнения — точки, симметричные относительно О, так как
i/ = sin3x и у = х—нечетные функции. Значит, D (/) симметрична относитель-
„ £/ v (— x)34-sin (— Зх) — х3 — sin Зх x3-|-sin3x .
но О; f ( — х)=--/ '----------7 =-----------=-----Ц-----= f (х), поэтому
sin (— Зх) —(— х) — sin Зх4-х sin Зх—х
функция четная; б) четная. Указание. При доказательстве симметричности
области определения функции относительно О использовать четность функций
у=х? и i/ = cos2x. 185. а) Четная; б) ни четная, ни нечетная. Указание.
Доказав, что D (/) симметрична относительно О, проводим следующие рассужде-
ния: /(—х)=(—х)3 —tg3(—Зх) sin3( —2х)= — х3—(— tg3x)3( — sin 2х)3= —х3—
— tg33xsin3 2х. Ни равенство/(—х)=/(х), ни равенство/(— х)= —f (х) не выпол-
няются для всех x£D(f)\ например: -)=-—4-1> f(—-г)=—-?г4-1» т- е-
у 4 / 64 \ 4 / 64
f ( — Ф f и f 186- а) Четная; б) Решение. Область
определения функции — множество, несимметричное относительно О; например:
ED (f), —т- е- функция ни четная, ни нечетная. 187. а) Нечетная;
е (^>0,
б) четная. 188. а) Решение. Найдем D (/) из условия < откуда
(х2—1=#0,
D (/) = [0; 1)Щ1; оо); D(f) несимметрична относительно О; например: 5£D (/),
— 5$!£)(/); функция ни четная, ни нечетная; б) ни четная, ни нечетная. Указа-
ние. £)(/) = ( —оо; 1)11(1; 4-°°)- 18®- а) л; б) л. 190. а) л. Указание.
7(х)=— cos 2х; б) Указание, f (х) = -^- sin 4х. 191. а) . Указание.
2 8 2
• 2а 1— c°s4x Л 2q 1-I-COS6X . __
sin 2х=---------; б) — . Указание, cos Зх=--------. 192. а) Р е ш е-
2 7 3 2 7
н и е. Пусть Т =#0 — период функции f (х) = 3 cos "^х4-у • П° определению для
любого x£D(f) должны выполняться условия x-\-T£D (/) и x—T£D(f)\
л
D (/)=[-
если же Т <0,
оо), --^-££)(/), но в случае, когда 7>0, — T^D(f)\
/и О
то — угТ£ D (f) — противоречие. Функция не является
О
периодической;
б) 2л.
/(*)=
193. а) х£Я, х#= — — 4—-77-, k£Z. Указание.
8 2
б) x£R, х#=-^-4--;г-. k£Z. 194. a) ink; -^-4-л£|, k£Z.
12? <5 \ 4 J
Указание. Область
определения функции задается системой нера-
венств
sin 2x^0, л Г2л£
откуда 2лЛ<2x^ — 4-2лЛ, k£Z\ б) I-
ctg2х>0, 2 7 [ 3
195. а
,£ = 0, 1, 2, ... . Указание. tg(2nx?) определен и от-
Jlk
личен от 0 при условии 2лх2#=-^-, k£Z\ б) x£R, х
, Л = 0, 1, 2,
196. а)
[г у]и[4+^ 1+Ч
k^N\ б) [2,5; л]0[2л£; л4-2л£], k£N.
; кг.
О 6 /
197. а) [0; 1 ]; наибольшее значение при х=-^-4-^» k£Z\ наименьшее значение
1; б) [2; 3]; наиболь-
2л
при х=—--|-2лЛ, k^Z. Указание. 0^
О
шее значение при х= —k£Z\ наименьшее значение при x=^--^-nk, k£Z.
3 6
198. а) [1; 1,5]; наибольшее значение при х=-^--|-л£, k£Z\ наименьшее значение
при х=л£, k£Z. Указание.
. , ”\ / . 2 % 2 % ill'
1+ Y Sin2 у COS у =1+ sin
X X
— cos
2 2
= 1 4~ Isin х|, 0^-^-|sin х| , 1 1 +-i- |sin x| 1,5; 6) [0,5; 1,5]; наиболь-
шее
199.
Л Al , „ Л - Л Al Lr ’J
значение при х=-^-, k^Z\ наименьшее значение при х= —4--$-, k£Z.
a) [4; 7]; наибольшее значение при x=-^-4"-j-. k£Z\ наименьшее значение
при х=—£- , k£Z. Указание. 2 4- 2 cos 8х 4- 7 sin2 4х = 2 (1 cos 8х) 4-
+ 7 sin2 4х=4 cos2 4х-|-7 sin2 4х = 44-3 sin2 4х, 0^sin24x^l, т. е. 4^44-
+ 3 sin24x^7; б) [2; 3]; наибольшее значение при х = 2лАг, k^Z\ наименьшее
значение при х=л4~2лАг, k£Z. Указание. 3 cos2 4-8 sin2 cos2
2 4 4
= 3 cos2-^4-2 sin2Tf=24-cos2. 200. a) [— д/2~; наибольшее значение
ЗЛ ЛЬ Я I W
при х=——4——, k£Z\ наименьшее значение при х=---— 4--^-, У к а-
10 х* 10 2*
з а н и е. sin2 2x4-4 cos 2х cos х sin х —0,5 cos 4х—0,5 = sin2 2x4- sin 4х —
— cos2 2х = sin 4х — (cos2 2х — sin2 2х) = sin 4х — cos 4х =^/2 sin ^4х —
откуда — V2~ sin ^4х —б) [—д/2~; наибольшее значение
л . лЛ , ъ Зл nk
при х= ——4—, k£Z\ наименьшее значение при х = —
Указание. 0,5—16 sin2 х cos2 х cos2 2х — 2 sin 4х cos 4х 4- 0,5 cos 8х =
= cos2 4х—sin2 4х—sin 8х= cos 8х—sin 8х = \б~ cos f8x4--^V 201. а) 2(1-|-
4-sin — cos
О
всех хЕ/?; возрастает на
[-v+3"*
^ + 3лй],
k^Z\ убывает на |-^-4-Зл£; -^-4-ЗлА^, k^Z. Указание. 2^1-|- sin у cos =
2х
= 24-sin —; б) 2(1—cos Зх sin Зх)>0 при всех х£/?; возрастает на
О
[л , nk л , л£1 . Г л nk л л£1
-12+—; т+т]’ fteZ; убывает на 1“ 12+“Г 72 +~] *€Z- Указа'
н и е. Если y — f(x) возрастает на промежутке X, то у= —f(x) убывает на проме-
жутке X. 202. а) * k£Z—нули функции; -^-cos22x>0 для
л , nk ,
всех х#=—4—— , k£Z\ возрастает на
nk 1 , „_
“2“|, убывает на
л
~4
лЛ1
— I, k£Z. Указание. Для определения промежутков монотонно-
сти представить функцию в виде / (х) = -^-4-—cos 4х; б) 2л£, k£Z—нули
о о
функции; —2sin2-^-<0 для всех х#=2лЛ, k£Z\ возрастает на [ — л + 2л£; 2л£],
k£Z\ убывает на [2л£; л + 2л£], k£Z. 203. a) nk, k£Z — нули функции; д/sin х >0
для всех x£(2nk\ л-|-2лЛ), k^Z\ возрастает на
, k£Z\ убывает
на
[у + 2лй; л + 2л*|, k£Z. У
к а з а н и е. Учесть область определения и возра-
стание функции у=У/Т на [0; оо); б) -^4-лЛ, k£Z—нули функции; "\/cos х >0
для всех хЕ^—-^-4-2лЛ; -^- + 2л£у k£Z\ возрастает на
-^-4-2л£; 2лЛ^, k£Z\
убывает на
I+2"1]
5л
, k£Z. 204. а) Плюс. Указание. 0,5 = sin —->
6
11л
ТГ
5 л 11 л
—, и функция i/ = sin х убывает на
6 12
; б) минус.
5л
Указание. 1 = . 205. а) Плюс; б) минус. 206. а) Минус. Указание.
sin 2 = sin (л — 2)>sin 1, так как л —2>1, и функция i/ = sinx возрастает на
б) плюс. Указание, sin
= sin
1 Зл . . , •
<sin 1, так как —----1<1, и функция ^ = sinx возрастает на
5
’. а) Решение. Пусть х1<х2, хх£
тогда
sinx1<sinx2 ввиду возрастания функции i/ = sinx на
; sin %!ЕЮ; 1],
sin х2£[0; I], но 1<-^-. Значит, cos (sin хх)>cos (sin х2) ввиду убывания функ-
ции г/= cos х на [0; 1]. Итак, функция убывает на
(по определению).
208. б) Решение. Пусть xx<Zx2, х,Е
тогда cos %! < cos х2
ввиду возрастания функции y = cosx на
cos XjEl — 1; 0], cos x2C[ — 1; 0]»
Рис. 9
л
но — — < — 1.
2
Значит, sin (cos x1)<sin (cos х2) ввиду возрастания функции
Итак, f (х) возрастает на
(по определению).
209. а) у= |cos 2х| (рис. 8); б) у= |sin 2х|. 210. а) у= 1, х=#= лЛ, k£Z\ б) у = —
jtk
хф——, k£Z. 211. a) y = tg х при х>0, у= — tg х при х<0 (рис. 9); б) i/ = ctg х
4
при х>0, у= —ctg х при х<0. 212. а) у= 1 при х£(2л£; л-|-2лЛ), k£Z\ у= — 1
при хС(л4-2лЛ; 2л + 2лЛ), k£Z (рис. 10); б) у= \ при хЕ^ —у + 2лЛ; -^--|-2лЛу
k£Z\ у= — \ при х6^-^-4“2лЛ; -^-4-2лЛ^, k£Z. 213. a) i/ = 2cosx при
х£^— -^-4-2лЛ; y4-2n^y k£Z\ у = 0 при х6^у + 2лЛ; -^- + 2:1^, £Е7(рис. 11);
б) i/ = 2sinx при х£[л-|-2л6; 2л-|-2л£], k^Z\ у = 0 при х£[2л£; л-|-2л£], k£Z.
214. а) г/=1, х^—4-лЛ, k£Z. Указание. Учесть, что cos|x|=cosx;
б) у= — \ при х>0, х=#=лЛ, k£N\ у=\ при х<0, х=#= — лЛ, k£N. 215. а) у = 0
при х=л£, k£Z, при других х функция не определена; б) y = Q
— 1<х<1; б) y=\t х< —1, х>1.
§ 6
217. а) Да; нет; да. Указание. , т. е. — У/2 >—, поэтому
—д/2^Е -^-j. Значит, существует такое а£[— 1; 1], что arcsin а = —\ б) нет;
да; да. 218. а) Нет; да; да. Указание. д/fT <3<л; б) да; нет; нет. 219. а) Да;
да; нет. Указание. -^-<2<д/{Г; б) нет; да; да. 220. а) — l^a^O;
1 I д/Т л/Т
б) 221. а) 1 <а< 1,5; б) 0<а<-. 222. а) ; б) 0. 223. а)-У—;
3 3 2 3
д/з” д/о"
б) нет решений. 224. а) б) — 1<х<----. 225. а) х< — Д/З ;
тг тг тг тг 9.4 л
б) -0,5<хС 1 226. а) —б) - - 227. а)—; б) -^-.228. а) -л; б) -±-.
229. а) б) 0,75. 230. а) -0,5; б) . 231. а) ; б) Дз’. 232. а) ;
д/т д/Г д/Т д/Т д/Т
б) 0,5 233. а) -У— ; б) -Д— . 234. а) —; б) —. 235. а) 0; б) 1. 236. а) -У— ;
z z 3 3 3
б) 0. 237. а) 0; б) 0. 238. а) —; б) 239. а) — д/З; б) 1. 240. а) 0,5,
б) 0. 241. а) д/з”; б) —д/з”. 242. а) ; б) Р е ш е н и е. cos arcsin =
= — sin
1 2
---= (по определению арксинуса числа). 243. а) —;
Д/3 3
5 5
б) 0,4. 244. а) 7; б) 5. 245. а) Решение. Пусть arcsin — = а, тогда sin а =—
13 13
и а£
. Значит, cos
25 12
169 13’
б) 0,8. 246. а) Решение. Пусть arcctg 0,25 = а, тогда ctga = 0,25 и а£(0; л);
1 1 . ♦ 2 I , , 1 17 . . . 4
--5—= 1 4~ ctg а, -—=1+ —=— , I sin а| = — , но sina>0, поскольку
sin a sin а 16 16 Д/17
4 3 1
а£(0; л). Значит, sin а =—==; б) —==. 247. а)Решение. Пусть arccos—= а,
V17 Д/13 3
тогда cosa=— и а£|0; л], но cosa>0. Значит, а£ 10; —tg2a =---5---1=8,
3 L 2 / cos2 а
I tg аI = 2Д/$Г, но tga^O, поскольку а£
0; yj. Значит, tg а = 2Д/$Г; б) —•
248. а) Р е ш е н и е. Пусть arcsin 0,8 = а, тогда sin а = 0,8, а£
л л]
—; —I. Значит,
2 2]
cosa^O, cos а = ДД — s’r2 a =0,6; sin 2a = 2 sin a cos a, sin 2a = 2 «0,8-0,6 = 0,96;
б) -7777. 249. а) Решение. Пусть arctg 2 = a, тогда tga = 2 и a^f ——; — Y
169 \ 2 2/
2 tg a 2-2 4
sin2a=------—= , . , =—=0,8; 6) —0,8. Указание. Использовать фор-
14-tg2 a 1+45'’ * н
мулу cos2a=-—a. 250. а) 1; б) 18. 251. а) Решение, arcsin fsin-^A =
14-tg a \ 7 /
Зл л Зл л _ 8л .5л 7л ___ . „
=—, так как б) —. 252. а) —; б) —. 253. а) Реше-
/ 11ч/
л Зл . 7л -j Л .7л л 7л Л пел \
б) —. Указание. cos-=SIn —, 254. а)
Указание. ctg^- = tg-^- • — 5’<Т7<‘7’ б> T7V ’ у к а 3 а н и е-
tg—=ctg-^-, 0<-^-<л. 255. а) Решение, arctg 1=-^-; функция i/ = tgx
5 10 10 4
/" Л Л \ , Л - , л ,л . л . .
возрастает на ( — тру L 1 • Значит, tg l>tg — , но tg у = 1 >—= arctg 1.
Итак, tg l>arctg 1; б) sin l<arcsin 1. Указание, sin 1<1<у= arcsin 1.
256. а) Решение. По определению арктангенса числа имеем 2x=tg —,
д/3 д/з 1 9_д/2
2х=——, х=-^— ; б) —— . 257. а) -——; б) Решение, arccos (2x4-3)=
3 6 3 10
=^г-, 2x4-3 = cos-^-, 2x4-3= — » откуда х= — • 258. Решение.
а) Пусть arcsin a = a, тогда sina = a и
——. Значит, sin( —a) =
л
¥
л
7
=—sina =—a, причем
т. е. по определению arcsin (— а) =
= —а. Итак, arcsin (— а)= — arcsin а\ б) пусть arccos а = а, тогда cosa = a и
О^а^л. Значит, cos (л — а) = — cos а = — а, причем — л^—а^О, О^л —
— а^л, т. е. по определению arccos (— а) = л — а. Итак, arccos (—а) =
= л — arccos а. 260. Решение, a) sin2 arcsin —cos2 fy arcsin y) =
( • 3
= — cos 1 arcsin —
3 3
arcsin — = а, тогда sina=y и
л
~2
л
~2'
Значит, cosa^O, cosa =
sin2 a =
1 9 2V10 ..
1—— =—-—. Итак, —cosa =
arccos
3 \ 1 .
arccos — ]=~2 s,n
2
2
2 ylO
7
1 121 2' H
11
12
. 261. а) Решение. Пусть arccos—= a,
„„ „ 12
arcsin 0,6 = ₽, тогда cosa=—,
a€[0;
sin p = 0,6,
sin a = V1 — cos2 a =~^ »
cos p=Vl— sin2 p =0,8; sin (a —P) = sin a cos p —
— cos a sin p =
5 4 12
13 5 13 5
2|; 6) 262. а) 2V7 3 ; 6)
65 325 4 Д/5 5y5
3
263. а) Решение. Пусть arcsin
4 12
a, arccos—=p, тогда sin a=----—
5 13
и
4
; COSP=—,
Э
и
ctg2 a=—-Sj—
sin a
f 169 f 25
-1=Й4-1=Й4 И
„ . 5 . 12 ,
. Значит, ctga= —777, tga=--------—, tg2₽ =
12 Э
3
. Значит, tgp=—, tg(a + P) =
4
12
“5"
1
cos2 p
4
-1 = 25_1=A
16 16
12 2
5 ’4
6)
56 7 63
3
264. а) Решение. Пусть arccos 0,375 = а, тогда cosa = — и О^а^л. Значит,
8
a . л a . a
— и cos—^0. Имеем cos —
2 2 2 2
2
8
у 11 1 5
6) —-—. 265. а)-==; б) —== . 266. а) Решение. Пусть arcsin
6 У1О д/26^
. 1 o 3\7
arctg-T=P> тогда sina=—— и a£
3 8
; _yii
’ 4~’
з д/т”
8 -a’
cos a =
; tg₽=-i-.
О
—— д /. 63 1
S,n a= V'-64=8
a л „ a „ a _
y<—. Значит, sin-y>0 и cos-y>0;
arctg(x2— 4x4-4)=-^-; по определению арктангенса имеем x2 — 4x-|-4 = tg4-,
4 4
x2 —4x4-3 = 0, x, = 1, x2 = 3; 6) 0; — 1 270. a)
О
Решение. Поскольку
уравнение примет
вид arccos(х3-2х2-|-
-|-Зх—5,5)=—. Значит, по определению арккосинуса х3 —2х2-|-Зх—5,5 = cos —,
х2(х —2)-|-3(х—2) = 0, (х —2)(х24-3) = 0, откуда х = 2; б) 2,5. Указание.
Привести уравнение к виду 5 — 2Х4-15Х2 — 6х3 = 0, далее сгруппировать первое
слагаемое со вторым и третье с четвертым. 271. а) [ — 3; — 3]. Указа-
ние. arccos а£[0; л], т. е. sin а^О для всех а,Е[0; л]; поэтому исходное неравен-
ство выполняется при всех х, для которых определен arccos (|х|—2), т. е.
— 1 |х| — 2^ 1, 1 | х| ^3; б) [1 —Л/2', 1 4-Д/з”]- Указание. Неравенство
равносильно системе
х2 —2х^ — 1,
о в которой первое неравенство выполняется
х2 —2х^ 1,
для всех x£R.
§ 7
272. a) 3nk. k& б) 4 + -V-- k^Z 273’ а> 4+^’ *€Z; б) -4+^'
4 Z oo 1U о
274. а) -24-лЛ, б) З+^-Ч-я*. k£Z. 275. а) (-1)*+1 ’ *€Z;
Я 1 о О
б) ±^ + 4лЛ, k£Z. 276. а) £+-^, k£Z-. б) ^+-^, k£Z. 277. а) --^+4яй,
3 о 2 1о 4 3
*€Z; б) —^+6яЛ, k£Z. 278. а) ^-+л*. б)
nk
Т’
k£Z.
можно
гл 7 л , 2лЛ 13л . 2лЛ
k£Z. Замечание. Ответ можно записать в виде -gg-n—» '~дд~ ~1—g” *
279. а) ( — 1 )k~^ —+ 2 nt, k£Z. Замечание. Ответ
записать в виде 4лЛ, -^--|-4лЛ, k£Z\ б) 4л-|-8л£, —-^--|-8лЛ, k£Z.
280. a) (-^-+2nk; -^-+2ял\ fegZ; б)
—£+2лЛ; £ + 2лЛ
О о
, k£Z.
281. а) f-^+яЛ; -^ + лА:1, k£Z.
Указание. Для решения неравенства
жж * / Л л\
построим график функции i/ = tgx на ( — у и пРовеДем ПРЯ-
уЗ / л
мую у=-----— ; неравенству удовлетворяют значения хц ——;
3 \ 2
л]
——I, а учиты-
6J
< 1 л . Л
вая периодичность функции j/ = tgx, окончательно имеем — — 4-ля<х^ ——-f-
4-л£, fegZ (рис. 12); б) J—^-4-лй; + 282. а) —-^--|-лй; -^--|-яЛ^,
keZ; б) Г-А+^.; _ " +-^1, feCZ. 283. а) Г-^ + ^-;
[ 4 3 12 3 J [ 9 3 9 3J
k^Z; б) (у + л*; -у- + лЛ)> k^Z- 284- а) ( —л + 2лЛ; ^- + 2л^, kEZ;
б) [—^+ЗяЛ;^+Злл\ fe€Z.285. а)(-1)‘^-+^+^-, fceZ;6) —^+nfe.
-^-4"nk, k£Z. 286. а) Решение, л/з — 3 ctg ^3x—-^-J = 0, ctg ^Зх—,
tg(3x~)=^3, Зх—^-=у+л*. kez; x=-^+-y-, kez- б) -у+4л*. kez.
287. a) —^+^-. *€Z; 6) , k£Z. 288. a)
б) ( — 1)*—--— 4-—, k£Z. Замечание. Ответ можно записать в виде
24 24 4
nk Л nk , — пол \ Л 3lk , — -. .«
—, 289- а) ±—4--^-, k^Z. Указание. Можно привести
. 1— cos 6х _ 1
уравнение к виду 4----------1=0, откуда cosox=—. Иначе можно решить
уравнение, преобразовав его к виду sin Зх= ±-^-, Зх= /, sin t = ±-i-, t = ±-^-4"
4 - nk, k£Z (рис. 13); х= ±-^-4“-тг-, k£Z. Замечание. Полезно знать, что
18 3
если sin х= ±яг (ОсгмС 1), то х= ± arcsin т 4- nk, k£Z\ б) Решение.
л 1 х п 2хЗ х Д/3 х
4 cos — — 3 = 0, откуда cos—=—, cos— = . Пусть ~2=^ тогда решим
, уз
уравнение cos /= ±-^-
пары точек Рп и Р 5л,
"б б"
с помощью единичной окружности (рис. 13). Поскольку
Р п и Р5я симметричны относительно начала коорди-
~~ь ~
нат, ответ удобно записать в виде /= ±-^-4~лЛ, k£Z, откуда х= ±-^-4~2лЛ, k£Z.
6 3
Замечание 1. Решая уравнения по общим формулам, ответ можно получить
в виде ±-^-4"4лЛ, ±-^--4-4лЛ, k£Z. Замечание 2. Полезно знать, что, ре-
шая уравнение вида cos2x = a, где 0<о<1, ответ удобно записывать в виде
х= ±arccos yfa 4-nk, k£Z. Доказательство этого факта проводится аналогично
решению данного уравнения. 290. а) Решение. tg25x = 3, tg5x=±V3">
откуда 5x=arctg ( ±Д/з")4-лЛ, k^Z\ 5х= ±-^-4~ лЛ, k£Z; х= ±-^4~
3 15
. лЛ . л . nk , v л . 2лЛ , л . ЗлЛ , __
4--Z-* б) ±—— 4~-^~, k£Z. 291. а) ±-т-4—х—, k£Z\ б) ±—4—5—, k£Z.
э 18 о о о z 2
292. а) 1-у+2л*; л + 2лЛ *€Z; б) f-^.4-^., + , ftgz. 293. Ре-
4-2л£</<—4-2л£, k^Z',
6
1 ТЛ Х п 4 1 Л I
——. Пусть sin/>—— , откуда —g +
—^-4-2л£<^-—-^-<^-4-2л£, k£Z-, -^-4-4л£<х^
6 2 4 6 6
V3
= /, cos К , откуда
^-^^-4-4лЛ, k£Z-, б) cos ^Зх—2“ ’ Пусть Зх—у
-^-+2лЛ</<-^Д + 2лЛ, -£ + 2лЛ<Зх—£-<-Ц^ + 2лЛ, k£Z; -£ + 2л*<Зх<
6 6 6 3 6 2
6 63 18 3 \ 16 4 8 4 J
t \ ГП в » ГЧ в X t F9 ЛЛЯ' \ f Л » Л^ 1 7 Л Л^
k£Z; б) [ЗлЛ; n + 3nfe), k£Z. 295. а) (-^+7-; -48"*"т)’ k^Z’
б) ^-^-4-л£; k£Z. 2®®' а) Решение, sin x(sin х+2)<0, но
sin х4-2>0 при всех x£R. Значит, sin х<0, откуда л 4-2лЛ<х<2л-|-2лЛ, k£Z\
б) ^-^-4-2лЛ;-55-4-2лл\ k£Z. 297. a) f^--j-2nk; -^-}-2jik\k€Z. Указание.
\2 2 / \4 4 /
Преобразовать неравенство к виду sin х—cos х>0, ^2 (—^=rsin х-J=cos х\>0
Д/2~ sin ^х——^>0; б) [“^“ + 2лЛ; -^-4-2лл], k£Z. Указание. sin x-f-
-|-cos x=VF sin ^x-|--^. 298. а) Решение. Пусть f=i, тогда sin/^-^-,
3 3 3
откуда (рис. 14) arcsin —4-2лЛ^/^л — arcsin —4-2лЛ, k^Z; arcsin —-|-2лЛ^
4 4 4
x 3 3 3
— л — arcsin —|-2лЛ, k^Z\ 2 arcsin —-|-4л£^х^2л —2 arcsin —4-4лЛ, k^Z\
2 4 4 4
1 2 , . 1
— a rccos — 4- ля; л—— a rccos
2 3 2
, k£Z. Указание. Пусть / = 2х,
2 2 2
тогда cos/^—, откуда arccos —4-2лЛ^x^2л — arccos —+2лk, k£Z. 299. а) Нет
О о о
решений. Указание. -z->k б) нет решений. Указание. ——< — 1.
X о
300. а) arccos (— -7-^ + лЛ, k£Z\ б) ( —1)*-^-arcsin-^-4--^-, k£Z.
2 \ 4 / 3 b 3
1, 2,
-|-2л£,
п
±Д/±^_|-2лЛ, fc = 0, 1, 2, .... 302. а) ±Д/^. * = 0, 1, 2, ...; б) ±V^. ^ = 0,
9 9 4 9яЬ Ч 4 Чттб
1, 2.... 303. а) ±+-arctg-+—, fe£Z; б) -3-f arctg-+—. k£Z.
о о о о Z о X
5 д/з" 5лЛ
304. а) (—1 )*•—arcsin-------54——, k£Z\ 6) нет решений. 305. а) Реше-
н и е. 2 sin (v^+у)-— 0, cos д/х~="^Г" » V^~ = ±^г4-2лЛ, k£Z, но Дх~^0
при всех х^О, для которых корень определен. Значит,
Д7=-^-4-2лЛ, Л = 0,
6
1, 2, ... или Дх~=—^г4-2лл, n£N\ х=0^4“2л£^ , Л = 0, 1, 2, или
л \2
——4-2лл ) , n£N. Заметим, что
6 /
(_|+2„у.(л_2л„^(|+му.
где k——л, и поскольку n£N, k= — 1, —2, —3, .... Таким образом, объединяя
обе полученные серии, имеем х = Л^--|-2л^ , k£Z\6) Л^--|-2л^ , Л = 0,1, 2,... ;
у + 2лп)2> n^N-
Замечание. Ответ можно записать в виде
(W-
k(;Z. 306. а)
б)
—-r+2nfe; —-тг-|-2лЛ), (-^- + 2nfe; ^•4-2лл|, k£Z (рис. 15);
4 6 / \6 4 I
j + 2nd, |-^ + 2л*; -^- + 2лА k£Z. 307. а)
(-1+2»»;
arcsin у 4-2лл1, Гл — arcsin у 4~2лЛ; -^--|-2n^y k£Z (рис. 16); б) Г—-^- + 2лЛ;
— arccosу+2л^, ^arccosу4-2лЛ; -^-4-2л^, k£Z. 308. а) ^-^-4-2^.;
——arctg -^r4-—^, ^arctgw+-;T+-^, k^Z. Указание.
2tg22x>l, tg22x>-^-, |tg2x|>—!=r, откуда tg2x<-!=r или tg2x>—.
Введя новую переменную 2х=/, построить график y = tgt на
(л л \
27
и провести прямые у=-------^=- и у=—!=- (рис. 17). Из рисунка видно, что нера-
V2 Д/2
венствам удовлетворяют значения
б) (—4-arctg д/^- +-V- ; 4arctg Д/-| 4--^-), k^Z. 309. а)[л4-ЗлЛ; 2л4-ЗлЛ],
\ О у о ОО у о о /
kez.
Указание. Привести
неравенство к виду cos——0,5;
л nk л nk
б+Т; Т“1”Т
, k£Z.
Указание. Преобразовать неравенство к ви-
а)
, k£Z. Указание.
Привести неравенство к виду
sin ^2х + у 1>0,5; б)
---— 4~4лЛ; л4-4лЛ
k£Z.
Указание.
Преобразовать неравенство к виду sin
§ 8
311. а) ±arccos
+ 2л£, k£Z-, б) (—1)*+1^-4-лЛ, k£Z. 312. а) -£ + 2лЛ.
6 2
k£Z-, б) 2лЛ, ±4+2л*> k£Z. 313. а) 2лЛ,
О
б) (— 1)*-^-4-лЛ, ( —1)* arcsin-i-4-лЛ, k£Z. 314.
± arccos + 2лЛ,
х 1 1 . К
а) ±—arccos—4-ля,
2 3
kez\
k£Z\
6) (—1)*+’.2 arcsin 1+2л£, k£Z. 315. а) (— 1)*+* -^- + 3л£, k£Z\ б) ±-у- +
4-3^., ktz. 316. а) —£-4-22*, (_l)»2L4-2£, fcGZ; б) - 2л4-8л*,
3 10 5 30 5
(_!)* + •-?2.4-4лЛ, k£Z. 317. а) ^-4-лЛ, 4 + б) ~т+лЛ- ir + nk<
3 4 3 4 о
k£Z. 318. а) -^--|-лЛ, arctg 34-лЛ, k£Z; б) —-^--|-лЛ, arctg 44-лЛ, k£Z. 319. а) ^-4--тг-,
4 4 о 2
—1 arctg 54-^-. k£Z; б) — у4-2лЛ, 2 arctg 24-2лЛ, k£Z. 320. а) у+лЛ,
л 4
k£Z\ б) ——4-лЛ, k£Z. 321. а) —arctg —4-лЛ, k£Z\ б) arctg 54-лЛ, k£Z.
6 3
1 5 Ttk 1 7
322. а) — arctg — 4—— , k^Z; б) — arctg ‘^ + “2“ » Указание. Привести
уравнение к виду 4 sin 2х=7 cos 2х. 323. а) —4-лЛ, — arctg 154-лЛ, k£Z\
4
б) —-^-4"л^» arctg-^-4-k£Z. 324. а) —-^4~^fc, arctg4-4-^, k£Z. б)
4 13 4 7 4
2 2
arctg 94-nfc, k£Z. 325. a) arctg 2 4- nk, arctg —4-л/г, k£Z\ 6) — arctg— + л/г,
о о
arctg ± +л*, k£Z. 326. a) -^-H-л/г, k£Z\ б) л/г, k£Z. 327. а) 2л£, ( — !)*• 2 arcsin -^-4~
u £ u
4-2л£, k$Z\ б) -^--|-Зл£, ±3 arccos f4-6л£, k£Z. 328. a) nk, ±—4~2л/г,
2 \ 4/ 4
/гег; б) £+л/г, (-1)*-^ + л*, k£Z. 329. a) £+-^, ±^-+-^, *EZ; 6) ,
Z О О 4 10 Z и
(_1^+^,feeZ.330.a)^,^.fe€Z;6)^,2 + ^,feeZ.33..a)^,
л/г
k£Z. Замечание. В данной записи ответа два указанных множества
имеют общие элементы; чтобы избежать такие «повторы», ответ лучше записать
л/г л . . __ . л/г л л/г . __ л . . л.
в виде — , ±—4-л/г, k£Z\ б) — , — Ч—— , k£Z. 332. а) -4-л/г, arctg 0,54-л/г,
Zu и 4 Z Z
k£Z\ б) л/г, —arctg 24-л/г, k£Z. 333. а) -^-4--^-. ^€Z; б) —, — Ч—— , k£Z.
пп л \ л/с л 2л/с f __ „. _ - . л 1 л л « _ пп\ л/с
334. а) —Ч—— , ±-^-Ч—. ^€Z; б) 4л/г, ( — 1) —-Ч-4л/г, k£Z. 335. а) — Ч—5- ,
6 3 9 3 3 4 2
±£+лЛ. feEZ; б) j+^-, *€Z. 336. а) лЛ, -у+лЛ,
k£Z\ б) уЧ~л/г, -—Ч-л/г, k£Z. 337. а) лЧ-2лл, 2 arctg 24-2лл, n£Z; б) лЧ-2лл,
— 2 arctg 2Ч-2лл, n£Z. 338. а) Решение. (—!=- sin х--^=-cosxA=l,
W W /
, rz~ . л л . .. / Л \ 1 Л Л , л „
\J2 (cos — sin x— sin — cos x)= 1, sin I x—- )=—— , x—- = — Ч-2л/г, k£Z, отку-
4 4 \ 4 / д/2 4 4
да х=-^-Ч~2л/г, k^Z, или x—-^- = -^-4-2 л/г, k^Z, откуда х = лЧ~2л/г, k£Z. 3 а-
2 4 4
мечание 1. Ответ можно записать в виде (—1)* —Ч-—Ч-л/г, k£Z. 3 а м е-
4 4
ч а н и е 2. Данное уравнение удобно также решать методом разложения на мно-
1. л п 2 Х п Х Х л п Х ( Х Х\ п
жители: 1 4-cos х—sin х=0, 2 cos ——2 sin — cos —=0, 2 cos — I cos — — sin — 1=0,
2 22 2 \ 2 2/
откуда cos-^ = 0, х = л4-2л/г, k£Zt или cos—sin-^- = 0, tg-^=l, х = -^-4~2л/г,
£ Zi Zi Zi
k£Z; б) 2лЛ, y + 2nfe, k£Z.
Указание. Привести уравнение к виду
cos или sin^x4---^= 7^= • 339. а) -^-4~2л/г, k£Z. Указа-
ние. Разделив обе части уравнения на 2, получим sin
k^Z. Указание. Разделив обе части уравнения на 2, получим
sin/x—-^Л=1. 340. а) ——^Z-
Указание. Разделив обе
части уравнения на 2, получим cos
б) л4-4л/г, —-^-4~4л/г,
U
k£Z. Указание. Разделив обе части уравнения на 2, получим
cosf4-^=l. 341. а) ^+2яЛ; -^- + 2ял), (— ^- + 2яЛ; -^- + 2я/г), k£Z.
\z о/ z уо о / у 3 о /
Указание. Из первого уравнения у=^-{-х. Подставив это выражение во вто-
рое уравнение, получим cosx-|-sin
1, откуда
2cosx=l, cos х=—,
2
х= ±~-|-2л/г, k£Z. Далее найдем у\ б) (4-4-2л/г; 2л/г|, (—^4~2л/г;
3 У4 4 / У 4
—у—2я*у k£Z-, 342. а) 0- + 2яЛ; -у—2ял), (± + 2nfe; у —2ял),
k£Z; б) (у+2яЛ; ± + 2я^, (_1 + 2яЛ; ± + 2я^, k£Z.
343. a) f( — 1)*-^-4-лАг, ±-^-4-2лп\ k, n£Z. Указание. Почленно скла-
У 6 3 /
дывая и вычитая уравнения системы, получаем fsinx = 0,5,
( cos у= —0,5. Замеча-
ние. Употребление в ответе одного параметра k или п является ошибкой!
б) ( ±у4-2л£;лл
k£Z, n£Z. 344. а)( — 1 )k arcsin 0,44-nk, ( — 1 )*+1 arcsin -i-4~
u
2 2л
4-л/г, k£Z-, 6) ± arccos 0,25 4-2лЛ, ± arccos-4- 2nk, k£Z. 345. a) ±-—4-2 л/г,
О u
k£Z\ Указание, cos 2x = 2 cos2 x— 1; 6) (— 1 )*-^4~ л/г, k£Z. Указание.
6
cos 2x= 1 — 2 sin2 x. 346. a) (— l)*+l •-^-4"-^-» k£Z. Указание. cos6x=
18 3
= 1—2sin23x; 6) 4-4-л/г, ±4-arccos 4-4-л/г, k£Z. Указание, cos 4x=
2 2 4
= 2cos22x— 1. 347. a) ±2 arccos-!—3^4-4л/г, k£Z\ 6) (-I)*-2 arcsin (^2 — 1)4-
+ 2яй, k£Z. 348. a) (- 1)*+1-2L+| + ± , (_ 1 )‘.l arcsin 1+| + Д£ ,
18 3 3 3 о 3 3
т 2 2j\k 1 2 2jt.A’ 2
ktz-, 6) ±±.--+ ™ ± — arccos (—0,1)——+——, ktz. 349. a) ±2arccos- +
У 3 3 3 3 3 3
X
4-4л/г, k£Z. Указание. Используя формулы приведения и положив cos—=£/,
У — 4 о 2
получим Зг/4--2---Г = 0’ откуда 2>у +4у — 4 = 0, у= —2 или £/ = — , но
У~\~ 1 3
1. Значит, cos 4’=='Т » б) (— 1 )*"*”1 ’Jr arcsin 350. а) ±4?-4-4л/г,
хи х 4 х о
k£Z. Указание, sin2— = w; б) ±4--|--4г’» k£Z. Указание. cos23x = i/.
4 9 3
351. а) л4-2л/г, k£Z. Указание. 2 cos2 х— 1 4- 1 — cos2 x = cos x-j-2. Пусть
cosx=i/, тогда у2 — у — 2 = 0, откуда у= — 1 или £/ = 2, но |cosx| 1. Значит,
cos х= — 1; б) -^-4-2л£, k£Z. Указание. sinx=£/. 352. а) ±-^-4-л/г, k£Z.
Указание. Применив формулы приведения, получить 2 sin 2x = 3-ctg 2х, от-
куда 2 sin2 2х = 3 cos 2х (при условии, что sin 2х=#0). Далее, 2 — 2cos22x =
= 3cos2x, cos2x = i/, 2у24-Зу — 2 = 0, у=—2 или £/ = 0,5, но |cos2x|<l. Зна-
чит, cos2x = 0,5 (заметим, что sin2x=/=0 при данных значениях х);
1 х
б) ±2 arccos —=--|-4л/г, k£Z. Указание. Положив cos— = у, получить
уЗ 2
уравнение Д/3~£/24-2г/— Д/3 =0. 353. a) arctg-^-4-л/г, arctg у 4-л/г, k£Z. У к а-
и 4
з а н и е. Заменив ctg х на —!— и положив tgx=£/, получить уравнение
tg х
-—^—-4“ 1 б) arctg 2 4~ л/г, — arctg 3 4- лАг, k£Z. Указание. Ре
б£/—1 у бу2 —у
2у , , . 1 2у — 2 ± пг.л v л , л/г
шить уравнение -------4- 1 4—=—?—— . где £/ = ctgx. 354. а) — 4~~z-,
4у — 3 у 4у* — 3у 8 2
1 nk
— arctg 1,54——, k£Z. Указание. В уравнении 2sin22x— 5 sin 2х cos 2x4-
4-3cos22x=0, очевидно, что cos 2х=/=0 (в противном случае из этого уравнения по-
лучим sin2x=0, что противоречит основному тригонометрическому тождест-
ву). Разделить левую и правую части уравнения на cos22x и обозначить tg2x=//,
*т зт/? 1 4 зт/? 1
откуда 21/2—5у + 3 = 0; б) —^-+—, -х-arctg — + —, k£Z. 355. а) 3 arctg —+ ЗлЛ,
о Z Z о Z о
3 arctg 24- 3nk, k£Z. Указание. Разделить обе части уравнения на cos2-^,
О
х зтЛ 1 Jtk
доказав, что cos— =#0; б) 4——, —arctg 24——, k£Z. 356. a) arctg 24- nk,
u lx 00 u
2
— arctg у 4- nk, k£Z. Указание. Заменив в правой части 1 на sin2 x4-cos2 х,
решать как однородное уравнение второй степени; б) -^--|-л/г, arctg 24-nk, k£Z.
Указание. 3 = 3 sin2 х-|-3 cos2 х. 357. а) — -^4-л/г, arctg 24- nk, k£Z\ б) -^-4-
4-л/г, — arctg-i-4-nk, k£Z. 358. a) —-^--|-2л/г, 2 arctg-^-4--тт4~2л/г, k£Z.
7 6 4 3
w c 2/X n\ I • /X (X n -2/* л\,
Указание. 6 sin ( — — — 14-sin I — — — 1-cos I ——— 1 = 2 sin I ——— l-k
\2 6/ \2 6/ \2 6/ \2 6/
. n г/х . 2 (x л\ a • г/х , • (x /x n\
4-2 cos ( ——— 14-cos 1 — — — 1, 4 sin (——— l4-sin(——— 1 cos ( ——— l —
\2 6/ \2 6/ \2 6/ \2 6/ \2 6/
« ч(х л\ Зл , л/г 1 к 4 . л . nk
— 3 cos I———1 = 0; 6) tz-4--^, — 7? arctg-4--—4——, k£Z. Указание.
\2 6/ 7 16 2 2 e 5 16 2
Разделить на cos2
(так как cos I 2x—— j=/=0), предварительно предста-
вив 3 в виде 3 sin2
(2x-|) + 3cos2(2x-|)
nk
359. a)
О
±^+nk, k^z-.
6) ?—(— П*-7г4-Дг-. k£Z. 360. а) 2я + 4л«, 4arctg3 + 4nn, n£Z; б) 2n +
4 x У и
+ 4лл, —4 arctg 3+4ЛЛ, n£Z. 361. a) , k£Z. Указание.
32 2 64 4
Известно, что cos а = sin
поэтому cos
. Ре-
шая уравнение sin
Xsin
7л\ п
_ ) = 0, откуда
1Ь/
— sin^-^p- — 6x^ = 0, получить 2 cos — 2х^Х
2х—-|^ = -^Ч~ л/г, k£Z, или 4х —-^- = л/г, k£Z;
16 2 16
. Л л/j Л л/j tr Т \/
б) —Ч—7-» Ч—— , k£Z. Указание, cos
’ 120 6 20 3
362. a) 2 л/г, h л/г, k£Z. Указание. Привести уравнение к виду
4
(1 — cos х)(1 — sin 2х) = 0; б) -^-4-2л/г, — ^*4--у- • k£Z. Указание. Привести
уравнение к виду (sin х— 1) (tg 2хЧ-Д/з") = 0. 363. а) ( — 1 )Л+1 ~Ч~ л/г,
k£Z. Указание. Преобразуя разность синусов в произведение и исполь-
зуя формулу понижения степени, получить уравнение 2 sin х cos 2x-f-
4-cos2x = 0, откуда cos 2х(2 sin х-j-1) = 0; б) '7'4"“7Г» ±-уЧ~2л/г,
4 Z о
k£Z. 364. а) -т-Ч-Дт-, —Г7т+”7Г* k£Z. Указание. По формулам пре-
4 Z 1л о
образования суммы одноименных тригонометрических функций в произ-
ведение получить уравнение 2 sin Зх cos 2х-|-2 cos Зх cos 2х = 0, откуда
лу.л гч \ \ л . л/г л . л/г . __ . л/г л . .
cos 2x(sin ЗхЧ-cos Зх) = 0; б) —Ч—— , — Ч—365. а) — , ± —Ч~л/г,
4 л ZU э о О
л , л/г л , 2л/г v л/г л , л/г л/г л , л/г
6) ±д+— *Z. 366. а) т+-. *GZ; 6) -+-,
k£Z. 367. а) —Ч—2”. — 4--g-» Указание. По формуле понижения
1— cos 4х , 1— cos 8х , . ,
степени синуса получить уравнение ----1---------=1, откуда cos4x-|-
тг пЬ ТГ Ttk Ttk.
Ч-COS 8х = 0, т. е. 2 cos бх cos 2х = 0; б) v + ^Г’ v+"3T’ k^Z- 368« а) ’
4 2 8 4 и
Jlk
, k£Z. Замечание. Для исключения «повторов» в записи ответа его можно
представить
в виде -^-Ч-л/г, k£Z\
^-,kez.
О
Указание. По формуле пониже-
ния степени косинуса получить уравнение
1 4- cos 2х | 1 Ч- cos 4х _ 1 -j- cos бх (
2 1 2 “ 2 Н
Ч—1 4~ cos 8х , ОТКуда cos 2x-|-cos'4x=cos 6x-|-cos 8х, 2 cos Зх cos х—2 cos 7х cos х=0,
л t п л гг\ л л/г , л , л/г . 4л , 8л/г
т. е. 4 cos х sin 5х sin 2х = 0; б) —Ч—— , ±—Ч—» k^Z. 369. а)--1----,
12 6 6 2 3 3
(-l)*+'~+8nfe, feGZ.
О
Указание. Преобразуя разность синусов в произ-
Зх. х , бл/г л .
ведение, привести уравнение к виду cos —(2 sin—|- Д/З ) = 0; б) ------, ±—Ь
8 8 5 2
4-4л/г, k£Z. 370. а) л/г, ±-^-4-2л/г, k£Z. Указание. По формуле приведения
б
преобразовать уравнение к виду 2 sin х(2 sin2 х4~3 cos х— 5) = 0; б) л/г,
±-^-4~2л/г, k£Z. 371. a) » -^-4" л/г, k£Z. Указание. Преобразовать
уравнение к виду
'2 cos Зх,
= cos Зх, cos 3x4-cos
(х + -^ = 0, откуда 2 cos ^2x4--^-) cos (х—-^ = 0; б) -^- +
4-2л/г, -4-л/г, k£Z.
8
Указание. Привести уравнение к виду sin
Зх
— sin—= 0 и преобразовать разность синусов в произведение. 372. а) Реше-
ние. VF(sin x4-cos x) = cos2x, ^/^(sin x4-cos x) = (cos x—sin x)(cos x-j-sin x),
откуда sin x-|-cos x = 0 или cos x—sin х=д/2~; в первом случае tgx =— 1, х=
= -~4-л/г, ££Z; во втором случае д/F cos f x-|--^-j = '\/F, cos ( х4~)= 1,
л
x= ——-|-2л/г, k£Z. Полученные во втором случае корни содержатся в серии
л , . . л . , л । гч f 5 л . л »
—— 4~л/г, fcEZ, которая и является ответом; б) —-|-л/г, — "г^л/г, -у^-рЗл/г,
k£Z. Замечание. Ответ может быть записан в виде л/г, ( — 1)*-?-——+
4 3 4
4-л/г, k£Z. 373. а) * —-^-4-2л/г, (— 1)*-^-4~л/г,/s^Z. Указание. Преоб-
разовать уравнение к виду 2 cos2 2х=2 sin х cos 2х, cos2x(cos2x — sin х) = 0,
откуда cos2x = 0 или 2 sin2 x4-sin х—1 =0; б) , ( — 1 )*-^-4-л/г,
м е ч а н и е. Кроме этих двух, в процессе решения получается еще
-^-4-л/г, k£Z, который является частью множества точек вида
k£Z. 3 а-
один ответ
*ez-
374. а)
’ 36 3 36 3
Указание. Разделив левую и правую
части уравнения
на 2 д/2~, получить —sin 3x4—!=
'2
'2
cos Зх=—, откуда
cos
0,5;
б) -^-4~4л/г, —-^-4-4л/г, k£Z. Указание. Разделив обе
6 6
части уравнения на 2, получить cos
0,5. 375. a) ^- + 6nfe, -^+6nfe,
k£Z. Указание. Разделив обе части уравнения на 2 Д/З, получить
sin
/3 л
—; б) л/г, — 4-л/г, k£Z. Указание. Разделив обе части
А и
уравнения на 4 Д/З, получить cos
0,5. 376. а) ^-+1 + ^, feez.
Указание. Разделив обе части уравнения на 6 Д/з” и используя четность коси-
нуса, получить
— 1, откуда cos
=— 1; б) —2л4-6-|-6лk, k£Z. Указание. Разделив на 2Д/з” обе части
уравнения,
получить
sir,(|-2+i)=
1. 377. а)
(| + 2fe; -| + 2л), k£Z; б) (| + 2Л; 3^ + 2^, (| + 2Л; з| + 2*), k£Z.
nk\ -^-4-л/г
к а з а н и е. Из первого уравнения у = х-\-^-.
6
Подставив полученное выражение во второе уравнение, получить 2 cos
(-+i)=
= Д/3^ cos х, откуда sin х=0; б) 0^-4-л/г; -^-4- nk^, k£Z. 379. а) ^2л4~2л/г; -^--|-2л/г^,
f( — 1)* arcsin 1+^L4-nk, (— 1)* arcsin -^-4~ л/гY /г£Z; 6) f( — 1 )*+1 arcsin 4-л/г;
\ Ь z b / \ 3
(— 1 )*+1 arcsin -74--7Г- + л/г Y k£Z. 380. a) nk, ±~4-л/г, k£Z. Указание.
3 2/ 6
Понизив степень косинуса в правой части уравнения и используя формулу коси-
нуса двойного аргумента в левой части, получить 2 cos2 2х— 1 =34-3 cos 2х — 5,
л л nk
откуда cos 2х= 1 или cos 2х = 0,5; б) —у4-л/г, (— 1)*— Ч--^- , k£Z. Указа-
н и е. Преобразовать уравнение к виду 2 sin22x-|-sin 2х— 1 =0. 381. а) —4~
4
4-л/г, k£Z. Указание. Преобразовать уравнение к виду (sin2x)2-|-
4-2 sin2 х cos2 %4-(cos2 xf—2 sin2 x cos2 x=sin x cos x, (sin2 x 4-cos2 xf—2 sin2 x cos2 x=
= sinxcosx, 2 sin2 xcos2 x4-sin xcos x—1 =0. Введя новую переменную
sinxcosx = #, получить 2#2-|-#—1=0, откуда #= — 1 или # = 0,5; если
sinxcosx= — 1, то sin 2х=—2 (что противоречит требованию |sin 2х| 1).
Значит, sin х cos х=0,5, т. е. sin 2х= 1; б) -^-4-л/г, k£Z Указание. Преоб-
разовать уравнение к виду sin2 2х-|-2 sin 2х — 3 = 0. 382. а) Решение.
1 I cos 2х
1-й с п о с о б. 4 (1 — cos2 2х)4-3 = 4---------. Пусть cos2x = #, тогда
__1 ±Л/21
4#24-2# —5 = 0, у=---------, но |cos2x|^l. Значит,
1 Л12Л — 1
куда х= + — arccos —— -----|-л/г, k£Z. 2-й способ.
= 4cos2x, 16 (1 —cos2 х) cos2 х4-3 = 4 cos2 х. Пусть
16^- 12f/ — 3 = 0, у 3±Л^
О у21 — 1
cos 2х = —-------, от-
4
4-4 sin2 х cos2 х4-3 =
COS2 х=у,
откуда х=± arccos
2
COS х =
, тогда
з+д^Г
8
4"л/г, k£Z', б) л4-2л/г, k£Z. Указание.
sin2-^- = #, тогда уравнение примет вид у2—10#-|-9 = 0. Иначе можно обозначить
. 4 X ( 1 — COS х\2
cos х = # и, учитывая, что sin — = 1---2----/ ’ УРавнение пРивести к виду
4 л
#2 4- 18# 4-17 = 0. 383. а) 2л/г, —-4-2л/г, k£Z. Указание. Используя формулу
О
косинуса двойного аргумента, получить 2(1 —2 sin2
(*-0)=8sin
(жЧ)+5
Пусть
тогда
4#2 + 8i/+ 3 = 0, у =—0,5 или £/= — 1,5, но
sin (х—Значит, sin (х—‘^=—0,5. Замечание. Ответ можно
записать в виде ( — 1 )Л+1 -77+-“ + k£Z\ б) — -^--|-4л6, ±2 arccos
6 6 2
—-^--|-4л6, k£Z.
Указание. Понизить степень синуса и положить
cos 384’ а) ±y+nfe’ k^Z'
Указание. Приведя все функции
1 I cos 2х
к аргументу 2х, получить 2(2cos22x—1) — 2cos2x = 4----------1, откуда
4 cos2 2х —4 cos 2х —3 = 0; б) 4~л6, k£Z.
6
Указание. Преобразовать
уравнение к квадратному относительно cos 2х. 385. а) -^-4-лб, k£Z. Указа-
ние.
^2 sin 2х-|--^-cos 2х^ = 5 4-cos — 2х
откуда 4 cos2
= 54-cos^2x— -^0. Пусть cos ^2х—-^ = £/, тогда 4//2— у — 5 = 0, у= — 1 или
5 f л \ 4 л
£/=—, но |cos а| 1. Значит, cos (2х—— 1 = — 1; б) -$-4-4л6, k£Z. Указа-
\7 Л 2 / * | . / X л\ С Л
н и е. Уравнение привести к виду 4 sin ( — ——J4-s,n ()— 5 = 0.
386. а) Решение. Используя формулу косинуса двойного аргумента и пола-
5
гая cos (л (5х-|-3)2)= г/, получим 3 (2у2—1)—7 = 4у, у= — 1 или У=-~, но
I cos а | 1 • Значит, cos (л (5х-|-3)2) =— 1, л (5x4-3)2 = л 4~2л6, k£Z\ (5х4-3)2 =
= 14-26, где 6 = 0, 1, 2, ... (ввиду того что (5х4-3)2^0 при всех х); 5x4-3 =
= ±V>+2fe, где k = 0, 1, 2, ; х= —^±-^- Д/1 +2* , где Л = 0, I, 2, ...;
5 5
»> к~°- '1
Указание, sin (л (13х4-9)2) = £/.
387. а) ( — !)*+* + *€*•
Указание. Применив формулу приведения
и понизив степень синуса, получить 2 cos2 2х — 2 cos 4х-|-2 — 2 cos 2x4-2 cos 2х—
— 5 = 5 sin 2х и выразить все функции через sin 2х; уравнение примет вид
2 (1 —sin2 2х) —2 (1 —2 sin2 2х) —3 = 5 sin 2х; б) +-у 4-^6, k£Z. Указа-
ние. Привести данное уравнение к квадратному относительно cos 2х.
388. а) —arctg 104-лб, 6£Z. Указание. Разделив числитель и знаменатель
первой дроби на cos х (cos х=/=0, так как существует tg х), получить
tgx
tgx—3
1 4 18 П У , 4 18
П!'"ь ™ Т^з+т+з-ТТ?'
у =— 10 (у = 3 не подходит, так как один из знаменателей обращается в 0),
tgx= —10; б) arctg3 + лЛг, k£Z. Указание. Разделив числитель и знаме-
натель второй дроби на cos х, третьей дроби — на cos2 х, получить уравнение от-
носительно tg х. 389. а) Решение. Преобразуем уравнение к виду 5(1 —
— 2 sin2 х)—7 sin х+1 =0. Пусть sinx = £/, тогда 10£/24-7*/ —6 = 0, £/ = 0,5 или
£/= — 1,2, но |sinx|^l. Значит sin х = 0,5, откуда х=-^-4~2л/г, k£Z, или
6
х=-^-4-2лЛ, k^Z\ условию cos х^0 удовлетворяют лишь числа вида -^-4~2л/г,
k£Z\ б) — — 4“2лЛ, k£Z. Указание. Положив cos х = £/, из квадратного урав-
нения 6//2 4-5//— 4 = 0 получим cosx = 0,5. 390. а) Решение. 2 (1 — sin2 2х)-|-
-|-5 sin 2х—4 = 0. Пусть sin2x=£/, тогда 2г/2 — 5у4-2 = 0, £/ = 2 или £/ = 0,5,
но |sin 2х| 1. Значит, sin 2х = 0,5, откуда 2х=-^-4~2лЛ, k£Z, или 2х=-^-4~2л/г,
6 6
k^Z; х = -^-4-^» k£Z, или х=-^-4~лЛг» k£Z\ при k= \ из первого множества ре-
13л Гл Зл] ,
шении х=——-€ — ; —— I, при k=l
12 [2 2 J н
17л
из второго множества решении х==~^2~^
[л 3л1 7л 11л л , , . „
— ; ——I; б) —— . Указание: cos2x = £/, х= ± — + nk, k£Z—все
2 2 J 6 6 6
корни уравнения. 391. Решение, а) 10 sin х —5 = 3 (1 —sin2 х). Пусть
2 2
sinx=£/, 3£/24-10£/ — 8 = 0, У=~г или У =—4, но |sin х| 1. Значит, sin х = — ,
3 3
откуда
2
х= arcsin у 4-2лЛ, k^Z, или
2
х = л — arcsin — 4-2л£, k£Z\ условию
О
cos х<с0 удовлетворяют точки второго множества решений; б) пусть cosx=£/,
тогда 3£/24- 14// — 5 = 0, откуда cos -« = 4-, iarccos -^-4-2л/г, k^Z, но sin х<0.
□ о
Значит, х= — arccos-4-2л/г, k£Z. 392. а) Решение. 6 sin х — 6 cos х—
О
— sin х cos х —6 = 0. Пусть sinx — cosx = £/, тогда 1—2 sin х cos х= £/2, откуда
sinx cos х=—-—; уравнение приобретает вид 6//-----------6 = 0, £/24-12//—
— 13 = 0, £/=1 или £/= — 13, но |sinx — cosxl^V^" (столь точная оценка,
вообще говоря, не нужна; в данном случае достаточно использовать оче-
видное утверждение, что |sinx — cosx|^2). Значит, sinx — cosx=l,
V—/ 1 1 \ , / л\ 1 л л . л „
2 I ——sinx----— cos х 1=1, sin I х—x—-= — 4-2ля, k£Z или
\у2 у2 / X 4/ Д/2 44
х-^=-^ + 2л*, k^Z, х = -^-4“2л/г, k£Z или х = л4-2лЛ, k£Z‘, б) 2л/г, -^-4-2л/г,
4 4 2 2
k£Z. Указание. Пусть sin x4-cos х = £/, тогда у2 — 7//4~6 = 0. 393. а) Ре-
шение. tg2 x4-ctg2 х — 3 (tg x-j-ctg x)4-4 = 0. Пусть tg x-j-ctg x= £/, тогда
tg2 x4-ctg2 x=£/2 —2, £/2 —2 —3//-|-4 = 0, £/2 —3//4-2 = 0, £/= 1 или £/ = 2; уравнение
tgx4--r-—=1 не имеет решений; tgx-j-v-—=2, tgx=l, х = -?-4-лЛ, k^Z,
tgx tgx 4
6) arctg (1 ±^2") + arctg -----—-—j + nk, k£Z. Указание. Положив
tgx—ctgx = £/, получим уI 2 — у — 2 = 0, откуда tgx —ctgx = 2 или tgx —ctg x=
= —1. 394. а) -^- + 2л/г, -^- + 2л/г, arctg^ +2 л/г, л — arctg -^- + 2nk, k£Z. P e-
4 4 3 3
(1 Л , , 7 sin x o . о . . 7 sin x __
--- 1 ) + 4=-----r, 3tgzx + 4=—---г. На основании onpe-
cos2 x------------------------------f Icosxl |cosx|
деления модуля возможны два случая. 1) Пусть cosx>>0, тогда |cosx|=cosx,
4
3 tg2 х —7 tg х + 4 = 0, tgx = y, Зу2 — 7i/4-4 = 0, у=1 или у = —; при tgx=l
О
x=^--{-nk, k£Z, но
4
х=-^- + 2лл, n£Z\ при
cos х>>0, что выполняется лишь при четных k, т. е.
4 4
tgx=— х= arctg — 4-nk, k£Z, но cosx>>0, что выполни-
О о
4
ется лишь при четных k, т. е. x=arctg — + 2лл, n£Z. 2) Пусть cosx<0, тогда
О
4
|cos х| = — cos х, 3 tg2 *4-7 tg х + 4 = 0, откуда tg х— — 1 или tgx=——; при
О
Л
tg х= — 1 х=—--f-nk, k£Z, но cosx<0, что выполняется лишь при нечетных
Зл 4 4
k, т. е. х=—— 4~2лл, n£Z\ при tgx=—— х=—arctg— 4-nk, k£Z, но cosx<0,
4 о о
что выполняется лишь при нечетных k,
4
е. х=л — arctg —+ 2лл, n£Z;
О
б) ±-^-4~2л/г, ± arctg 2,54-2л/г, /г EZ. Указание. При sin х^О
л . л ,
х=—4-2лЛ,
4
k£Z или х= arctg 2,5 + 2nk, k£Z\ при sinxCO х=——+ 2л/г, k£Z или
х=—arctg 2,5+ 2л/г, k£Z. 395. а) Решение. Преобразуем уравнение
к виду 2 sin2 2х + 3 cos2 2х —3 sin2 2х—4 sin2 2х —4 cos2 2х= 10 sin 2х cos 2х, от-
куда 5 sin2 2х+10 sin 2х cos 2x+cos2 2х=0. Разделим обе части уравнения на
cos22x=/=0 и положим tg2x = y, тогда из уравнения 5i/2 + 10i/ +1 =0 имеем
У= — 1±—откуда х = -^-arctg f — 1±-^\+-^-, k£Z', б) 2arctg(2±
Л/5 \ Л/5 /
± \/То~) + 2 л/г, k£Z. Указание. Выразите все слагаемые через sin и
cos . 396. а) 2 arctg (2±д/^) + 2лЛ, k£Z. Указание. (cos2^) —
(• 2 х\2 IO л . л 2х • 2 Х I о • 2 Х I о 2Х о-Х Х
sin2 — I +3 — 4 sin х=0, cos ——sin —+ 3 sin — + 3 cos — — 8 sin — cos — =
2/ 2 2 2 2 22
=0, sin2-^- —4 sin-^-cos-^ + 2 cos2-^ = 0; 6) arctg (5±2 V^)+-y-,
I 5л
397. a) arctg- + 2лАг. — + 2лЛ, k^Z.
Указание. Если sin x^0, то 4 sin x=
= 2cosx, tgx=-^-, x= arctg-^- + 2л/г, k^Z (с учетом того, что sinx^O); если
sin x<0, то 2sinx=2cosx, tgx=l, х=-^-4-2л/г, k£Z (с учетом того, что
sin x<0); 6) arctg4_4~2л/г, -^-4-2л/г, k£Z. 398. a) --^-4-л/г, k£N\ —arctg-^- +
3 4 4 5
-|- л/г, k = Q, —1, —2, .... Указание. Если x^O, то 3 sin x =—3 cos x,
tg x= — 1, x=—-^-4“ л/г, k£N (с учетом того, что x^O); если x<0, то
3 3
5 sin x=—3 cos x, tgx=—— , x=—arctg—4-л/г, k = 0, —1, —2, ... (с учетом
5 5
того, что x<0); б) -^-4“ л/г, /г=0, 1, 2,...; arctg 24-л/г, /г= — 1, —2, .... Указание.
cos|x|=cosx. 399. a) ±arctg 24- л/г, k£Z. Указание. 1. Если sin 2x^0,
т. е. л/г^ х<-^-4- л/г, k£Z, то 3 sin2 х = 2 sin2 х4-2 cos2 х4-sin х cos х, sin2x—
—sin х cos х—2 cos2 x=0, откуда tg x=2 (tg x=#= — 1, так как tg x>0). Указа-
ние 2. Если sin2x<0, т. e. 4-л/г < x < л 4-л/г, k£Z, то sin2 x4-sin x cos x —
— 2cos2x = 0, откуда tgx=—2 (tgx=#l, так как tgx<0); 6) ± arctg-^-4-л/г,
О
k£Z. 400. a) , л, 4^-. Указание. Привести уравнение к виду 4 sin2 х (1 4~
и и
4-cos2x) — 2sin2x=0, откуда sinx = 0, х = л/г, k£Z, или 1 4-cos 2х = 0,5, откуда
cos2x=—0,5, 2х= ±-^--|-2л/г, k£Z, х= ±~4-л/г, k£Z\ из двух полученных
и о
множеств решений выбрать те, которые принадлежат
б)
13л 17л л , л/г л , 2л/г 5л , 2л/г
— , — . Указание. - + —, - + —, —+— , *6Z - корни данного
уравнения. 401. а) — т + "Г’ k£Z. Указание. Преобразовать
oU Э u Z
4 sin
(1 д/з
— sin 3x4--^— cos
0, 2 sin 7x4-2 sin
0,
0, откуда sin
0 или cos
0;
л л/г 2 л л/г в _ _. ,
б) -4--=-. тгН—Указание. Привести уравнение к виду
21 7 15 5
2 cos 12x4-2 cos
0, а далее левую часть его разложить на множители.
402. а) 2л£, -^-4-2л/г, —-^-4-л/г, k£Z. Указание, sin х 4-cos x=(sin х4~
4-cosx)2, откуда sinx4~cosx = 0 или sin х 4-cos х= 1, т. е. sin
403. а) л4-4л/г, ( — 1 )k+1 ~ 4~2л/г, k£Z. Указание. 2 sin cos -^- =
= — 2 cos
х X л . X
при условии sin—=#= —1, откуда cos—=0, sin—=
, x f x x 1
= 1 или sin — = — 1 — sin —, t. e. sin — = ——; при найденных значениях x вы-
X . t \ Л f Л I t « Л Л Л \ Л Л k
полняется условие sin—=#=— 1; o) — 4- ля, ±—4-ля, k£Z. 404. a) ——4——,
Tlk
, k£Z. Указание. На множестве чисел, для которых cos 2х=#=0, уравнение
равносильно (cos 2х — sin 2x)(cos 2x4-sin 2x)2 = cos 2x4-sin 2x, t. e. cos 2x4-
-|-sin 2x=0, откуда tg 2x = — 1, или (cos 2x — sin 2x)(cos 2x-|-sin 2x)= 1, откуда
cos4x=l; при найденных значениях x выполняется условие cos2x=/=0; б) -^-4"
« Л . \ Л л/f Л лЛ Л лЛ - .
4-2лЛ, 2л£, k£Z. 405. а) —4—, —4—j-» -^4—, k£Z. Указание.
_ 1— cos 2х , 1— cos 6х , 1—cos Юх ,
Понижая степени синусов, получить -----------1----------1----------1-
1 —cos 14х
2
= 0, cos 2x4-cos 6x4-cos Юх4-cos 14х = 0. Разложив левую часть
уравнения, получить 4 cos 2х cos 4x-cos 8х=0; б)
л I
2+"*’
л Tik л лЛ
Т4+“
k£Z. 406. а) —, k£Z.
Указание. Преобразуя произведение синусов в сумму,
получить уравнение -^-(cos Зх — cos 7x) = -^-(cos х — cos 7х), т. е. cos х — cos Зх=0,
откуда х=^~, k£Z или х = лЛ, k£Z\ заметим, что все числа вида лЛ, k£Z
Tlk Tlk
содержатся в множестве чисел вида , k£Z\ б) —, k£Z. 407. а) Решение.
/1 (л Зл \2
/1 л 4 9 f !—cos(4x-------—) \
„ /1 — cos 4х\2 , I 2 11
Понижая степень синусов, получим 1------I 4-\---------------J =—,
откуда 1 —2 cos 4x4-cos2 4x4-1 4-2 sin 4x4-sin2 4х= 1, — sin 4x4-cos 4x= 1, т. e.
ДАТ cos ^4х4--г^= 1, откуда 4x4--?-= :±~4-2лЛ, k^Z, т. e. x=^~, k£Z или
\ 4 / 4 4 2
x—— g'4--^-. k£Z\ б) 2л4-4л£, —л4-4лЛ, k£Z. 408. a) —-^-4-лЛ, —-^-4-2лЛ,
2л&, k£Z. Решение. (cosx-sinx)(cosx4-sinx) = (sinx4-cosx)(sin2x —
— sin x cos x4-cos2 x), откуда sin x4-cos x = 0, sin (x4--?- ) = 0, x= — -?-4-
\ 4 / 4
4-лЛ, k£Z, или cos x—sin x= 1—sinxcosx, cos x—14-sinx(cosx—l) = 0,
(cos x— l)(sin x4-1) = 0, х = 2лЛ, k£Z или x=—-^-4-2лЛ, k£Z\ б) -^-4-лЛ,
л4-2лЛ, —-^-4-2лЛ, k£Z. 409. a) » =Ь у 4- лЛ, k£Z. Указание 1. Если
cos 4x^0, то 2 cos 4x cos 2x=cos 4x, откуда cos4x = 0 или cos2x=-^-(bo втором
случае cos 4x = 2 cos2 2x—1 =2~—1 = —-i-<0, т. e. условие cos 4x^0 не вы-
полняется). Указание. 2. Если cos4x<0, то 2 cos 4х cos 2х= — cos 4х,
cos 2х=—у (c°s 4х=/=0 в рассматриваемом случае); отметим, что в данном случае
cos 4x = 2 cos2 2x — 1 =2-
— 1 = —— <0, т- е- условие cos 4х<0 выполня-
\ । . Ь —1— 1 Л . л£ , — л . zx \ гч t о
ется; б) —4—— , (—1) + а) Решение. 1-и спо-
co б. Разделив левую и
с 3 •
правую части уравнения на 5, получим — sin х—
5
4
—— cosx=l. Поскольку
5
= 1, найдется такое число ф, для которо-
3 4
ГО СО8ф=—, 51Пф = —,
5 5
3
например ф= arccos —; уравнение приобретает вид
5
cos ф sin х — sin ф cos х= 1, sin(x — ф)= 1, откуда х=-^--|-ф-|-2л£, k£Z, т. е. х =
=-^-+ arccos -5-4-2лЛ, k£Z. 2-й способ. Используя формулы sin х =
Z О
2tg^
s 2
1+tg2-^
i-tg24
s 2 . х
cos х=------- и введя новую переменную tg— = у, имеем
i+tg2!
Ьу
1+*/2
————т-^ = 5, откуда у2 — бу 4-9 = 0, r/ = 3, tg-^- = 3, х = 2 arctg 3-|-2лЛ, k£Z.
\-\-y 2
Известно, что примененные формулы верны для х=#=л-|-2л&, k£Z. Значит, необ-
ходимо подстановкой этих чисел в исходное уравнение убедиться, являются ли
они корнями данного уравнения. В данном случае эти числа уравнению не удов-
летворяют. Поэтому х = 2 arctg 3-|-2лЛ, k£Z. Замечание 1. Учащиеся, не-
знакомые с формулами, выражающими синус и косинус через тангенс половин-
ного аргумента, могут получить квадратное уравнение относительно tg—, сведя
исходное уравнение к однородному второй степени относительно синуса и косину-
а Х Х л 2 Х I А • 2 Х Г • 2 Х I Г 2Х о гл
са: 6 sin — cos — — 4 cos —4-4 sin —=5 sin —4-5 cos — . Замечание 2. От-
22 2 2 2 2
веты, полученные двумя разными способами, записаны по-разному, но на са-
12
мом деле содержат одни и те же числа; б) л-|-arccos—4-2 лЛ, k£Z. Замеча-
ние. Ответ может быть записан в виде — 2 arctg 5-|-2лЛ, k£Z. 411. а) (— 1)*Х
2 1
X arcsin __— arcsin __-|-л£, k£Z. Замечание. Ответ может быть запи-
10
10
сан так: 2 arctg (1 )-|-2л&, k^Z\ б) (
\ О /
2 3
)* arcsin —arcsin -|-nfe,
10
10
k£Z. Замечание. Ответ может иметь другой вид: 2 arctg-—-|-2лЛ,
5
k£Z. 412. a) arccos 2—k£Z. Указание. Разделив на Д/34~»
6 2 Д/34
получить —== cos 2x4—== sin 2х=—; поскольку
д/зГ д/зГ 2
3 . 5
существует такое число ф, что cos ф= _________, sin ф =—==, например ф =
Д/34 V34
3 1
= arccos —==; тогда уравнение примет вид cos (2х— ф) = — . Замечание. Ре-
А/34 2
шая уравнение сведением его к квадратному относительно y = tgx, получим
С\^Й”+6) у2—20i/+('^34~—6)=0, откуда у= Ю^рД/з", %—arctg |-л/г,
V34 4-6 у34 4-6
k£Z. В данном случае очевидно преимущество 1-го способа; б) ±——
2
— 2аrccos L 4~4л&, k£Z.
V53
Указание. Разделив обе части уравнения на
ЪЗ
, получить cos
2
где ф = arccos _____
д/бУ
Замечание. Реше-
ние другим способом приводит к квадратному уравнению, ответ имеет в этом
случае вид 4 arctg-4-4лА>, k£Z. 413. а) Решение. Разделив обе
Д/106 4-4
части уравнения на у61 , получим ______sin Зх----==-cos3x =—==; поскольку
V61 Д/61 V61
2 5.6
= 1, существует такое число ф, что cos ф=—==, sin ф— _-
^61
tei
5 о о
например ф= arccos—==; уравнение примет вид cos ф sin Зх—sin ф cos Зх =
V61
а а
1 ___, sin (Зх — ф) = —7= » Данное уравнение имеет решение тогда и только тог-
Д/61 V61
да, когда I 1^1, т. е. — д/бГаб) — д/58~bд/58~. 414. а) Ре-
I Л/бГ |
шен ие. Разделив обе части уравнения на Д/б2 + “2 и учитывая нечетность сину-
5 /х Зл\ а . /х Зл\ 6
са, имеем —. cos I ------------— I----. . - -sin i ---— 1 =—. ; по-
Д/25 + а2 \4 8 / Д/25 + а2 \4 8 ' Д/25 + а2
скольку
существует такое число ф, что
5 а
cos ф = —==^=-, s 1 п ф = —-====
V254-a2 V254-a2
тогда уравнение примет вид созфХ
Xcos (4
\4
Зл \
—J —sin ф sin
Зл \ 6
8 / V254-Q2 ’
ввиду того что — >»Опри всеха£/?, данное уравнение имеет решение тог-
^25 4-а2
да и только тогда, когда — 1, ^25-^-а2 ^6, 254-а2^36, а2^11,
У254-а2
т. е. УГГ или а>УГГ; б) Ь^—Л/Т, Ь^у[Т. 415. а) Решение. Сло-
жим и вычтем уравнения системы (полученная таким образом система равно-
сильна исходной), имеем
cos(x — у)=\,
cos (х + у)= — 0,5, откуда
х — y = 2nk, k£Z,
2^1
*+//= ±-^-4-2лп, n£Z,
О
Л ,
х = ±— + ля-|-ли,
О
у = ±-у — л&4-лп, k£Z, n£Z\
о
\ (л 1 I I L I / 1 “1“ 1 I । >_ ЗТП \ f ~
б) ((-) 12+Т+л*+Т; (-1) ‘12+Т+п*—Г/ *€Z’ "€Z-
416. а) (у+л*;
—— л/Л, ( —^ + лЛ; —— лАм; k£Z. Указание. Из пер-
12, / \ о 1Z /
Л
вого уравнения У=~^—*, подставив во второе уравнение, получить tg х —
_ tg(j_ *)=2, tg*~; -i-tg х=2, tgjc+tg2jc~i+tgx==2+2tg*’ tg2jc=3-
tgx=±V3, х=±-^-4-лЛ, k£Z. Далее найдем у\ б)
<5
(у+л*; §-"*)’
(л , . 1 Зл ,\ . „ / Л , Tlk л , \ , _
—— 4-——-------л& ), k£Z. 417. а) ( —-|—— ; — + ли I, fc, n£Z. Решение.
3 12 / \4 2 6 /
Из первого уравнения следует, что если cos х=0, то cos 2х = 2 cos2 х— 1 = — 1 <0,
т. е. Vcos 2х в этом случае не определен. Значит, cosx=#=0, тогда cos2x = 0.
Для отыскания у во втором уравнении, понизив степень синуса, получить 1 —
—cos 2х—cos
но cos 2х=0, тогда cos
((-if 2L+2^;
V ’ 18 3
-^- + ли\ k£Z, n£Z.
Указание. Из первого уравнения следует sin2i/=l.
ГЛАВА II
§ 9
418. а) 1,2 см; б) 11,06 см2. 419. а) (л —3,14)-4 см2 «0,0063 см2; б) «0,02 см2.
420. а) 1 км; б) км/ч. 421. а) й€(0; 0,01); б) й€(0; 0,006). 427. а) 2; б) 1.
<5 /
428. а) 1; б) 1. 429. а) 2; б) —3. 430. а) 0; б) 0. 434. а) х^[У/22\-, ^/229"].
6
Указание. Сторона х плиты должна удовлетворять условию lx2 — а2| ^4, кото-
рое равносильно системе неравенств а2 — 4х2а2 + 4. Из последней системы еле-
дует Д/а2-4 <х<Д/а2 + 4, т. е. л/221 б) ге\у/б23-, Уб27"].
/30 5\
\17; 2)
435. а) В пределах 10 г; б) количество уксуса хЕ
Указание. Условие
3x1 1
задачи равносильно требованию —- Сттг-—<— 439. а) й = — . У к аза-
20 10 4-х 5 11
х
н и е. Неравенство |/(х) — 21 <0,1 равносильно условию — 0,1 < ——।—2<0,1,
,/21 19\ о 1 _ о 1 ,1^.6
откуда хН —; — Значит, —— <х — 2<—, т. е. h = —\ б) Л=—.
\ 1 1 У / 11 У 11 DO
440. а) —б) A 44L а> 3; б) ~12- 442’ а> б)
о lo Z Z
1 9 8
443. а)----; б) 2. 444. а) — —; б) —. 445. а) 0; б) 0. 448. а) Решение.
4 2 5
Сторона квадрата а удовлетворяет условию 6,25<а2<6,27, что равносильно усло-
вию 2,5 < а < Д/б,27 . Поскольку 2,62>6,27, то а = 2,5х2х3х4..., где х, —i-й деся-
тичный знак. Кроме того, (2,5 +х2-10~2)2 = 6,25 + 5х210~2 + х^-10 —4>6,27, если
х2>0. Значит цифра х2 определяется однозначно: х2 = 0, т. е. а = 2,50х3х4... . В вы-
боре х3 имеется произвол, так как (2,50х3)2=(2,5 + х3-10-3)2<6,27 при х3, равном
0, 1, 2, 3. Значит, площадь можно определить лишь с двумя верными знаками;
б) с двумя верными знаками: а «1,79. 449. а) Можно; /«4,51 с. Решение.
Если / — время падения, то по условиям задачи 10,15g<-^-< 10,2g, т. е. 20,3</2<
<20,4. Отсюда десятичная запись / есть / = 4,5х2х3... . Далее, поскольку (4,52)2 =
= (4,5 + 2-10“2)2>20, 43, а (4,51)2 = 20,3401, то значение х2 может быть равным
лишь 1. Следовательно /«4,51 с; б) можно; /« 14,14 с. 450. а) Решение. Не-
II I I 2x2-l-1 1 I Эх2
f (х) — — I < 0,01 в данном случае есть I—--— 1 =--- <
5 I | >г + 5 5 | 5(х2-^)
1 5 -\ Г~5 Д/21
<т™ . откуда х2<——-, отсюда h = A ; б) /z= v . 451. Указание.
I kzkz 1 / W 1 / £ 1
Поскольку | sin ^|<1, то из условия |х|<й автоматически следует, что
| х sin |<Л ЛЛЯ л1°®010 452. а) Указание. 1 — х4 = ( 1 — х) (1 + х +
+?+Л 453. б) I 2х| = | = |х—2|-I +==1= 1х—2| —^L= |х—2| X
I VbT I I Vi^T I I VwTI
___ ___ 5
X Vlx| <3 \h , если |x| <Л, а значение Л< 1. 454. a) 2; б) 2. 455. a) —-. Указа-
<5
ние. x"—1 =(x—1)(1+х + х2+... + хл-1); 6) . 456. a) . Указание.
О О
~\/l+2x -3 (Vl+2x-3) (Vl+2x +3)(V7+2) _
V7 —2 (Vx— 2) (Д/1 4-2x +3)(\Д+2)
(1+2x-9)(V7 + 2) _2 V*+2 ±
(x-4)(V1+2x +3) Vl+2x +3 3
3 1
при x->4; 6) —. 457. а)—. Указание.
4 о
3,____
Vl+x -1 1+x-l 1 n
——'----------------------------при x-»-0;
X 3I-------Г 3!--- 3
x(V(l+*)2 +V1+* + •)
AX 2 ХА V |—х2 —2х —3| |х-1|.|х + 3| . .
б) у . 458. а) 4. Указание. -----j---—---=------।---—------4 при x—1;
б) 2. 459. He существует. Указание.
12-х—х2! |(1 -х)(х4-2)| |х— 1|-|х+2|
-----------=-------------=---------------, т. е.
х— 1 х— 1 х — 1
( |х + 2|, х>1,
I — Iх-|-21, х< 1. Следовательно, при всех х£(0; 1) значение дроби-1-
меньше —2, а при всех х> 1 больше 3; б) не существует.
§ ю
460. а)
Ax 0,5 -0,5 0,1 -0,1 0,01 -0,01
^y 0,25 -0,75 0,09 -0,11 0,0099 — 0,0101
by Ax 0,5 1,5 0,9 1,1 0,99 1,01
7 241
462. а) 0,25; б) 3-. 463. а) 2 — ; б) —2,5. 464. а) 4; б) 3. 465. а) — 2; б) —2.
466. а) 4; б) 6. 467. а) 27; б) 0. 468. а) Зх2 + 4х; б) Зх2-|-8х + 4. 469. а) (х + 3)5 +
-|-5х(х4-3)4; 6) 2(х+1)(х—4)34-3(х+ 1 j2(х—4)2. 470. а) :.L; б) 9<t.!L .
2 \/х-1 2 \/х4-2
471. а)
9х44-8г3
2 V*4-> ’
7х’-6х2
2Д/х—1 '
472. а)----------; б)
(х-1)2
5
(%4-1)2 '
473. а) 2(-*2 + *+|) . б) 3^—2х 1 474 _ 2 475 _ 4
(2x4-I)2 (Зх—I)2
476. а) (-оо; -1; оо\ б) (-оо; -|)u(l; оо). 477. а) (-3; 1);
б)( —1; 2). 478. a) cos(x-|--^-J; б) sin (^-— х\ 479. a) sin (у — х
б) —cos (-?—х\ 480. а)--------!——- ; б)----—!—т—- . 481. а) 4 cos 4х —
\ 4 / . о / 5л \ 2 / । 5 л \
S,n ( X--— J cos 1 х-|——j
— sin^x-f-y^; б) —5 sin 5x+cos ^х + -^0. 482. a) ( — 1 )*-g- +л&,
6) (_ 1)*+|Л + яй, kez. 483. a) ±£4-2л*, k£Z- б) ±-£-4-2л*, k£Z. 484. a)
3 6 3 2.
6) 3~V^ . 485. a) 6 + ^^~ ; 6) 2^/2 — . 486. a) 0; 6) 0. 487. a) (л 4-2л*;
2n4-2n*),*£Z;6) (-у4-2лЛ; у4-2лл), k£Z. 488. a) y--f-2n*;
^4-2лЛ; ^4-2лл),
3 3 /
JfeeZ; б) (-^ + 2лЛ; --^- + 2л*у *£Z. 489. a)
б) (~^+2п*; v+2n*)’ *€Z-49°- а)
Указание. Угловой
.. . . Ьу (Хо + Л*)2 — 2(ло+Д*)—-*о + 2хо 9 v
коэффициент секущей r=-^—=------------------------------= — . Уравнение се-
9
кущей имеет вид у=— х-^-b. Для определения b взять в качестве х и у значения х0
9 9 3 1
и у0, т. е. |/0 = х£ —2*0 = 4 —4 = 0, т. е. — + * = 0, откуда Ь= — —; б)у=—х——.
491. а) у=-—*^х+
Л
ЗД/З-4
2
3 3 10 21
б) У= ~я х+2 • 492- а) У= 29 х+29 ; б) У=
=£x+-ZL. 493. а) 4; б) —6. 494. а) — ; 6) — 495. а) 1; б) —1. 496. а) Су-
5 125 34
ществует = | Ах|. Значит, f' (0) = 0. График функции изображен на ри-
Ах
сунке 18; б) существует /(х)=| х3, х^О,
График функции изображен на рисунке 19. 497. а) Не существует
График функции изображен на рисунке 20; б) не существует. 498. а) Не существует,
так как функция не определена при х<0; б) не существует. График функции изоб-
2
ражен на рисунке 21. 499. а) —.
О
\7 С/z V X — 2
Указание, f (х) =--—
2 ух
х-2 + 2х
2 Д/х"
б) решений нет. 500. а) 1 iVT; б) -2±дД(Г. 501. а) — 1; —д/з", д/з"; б) —2, — 1, 1.
9 9 __3 _1
502. а) -2, 1; б) -3, 2. 503. а) ---== ; б) -г - .
7 9 2Д/4-3* Д/9-2*
504. a) 2<V\+3>3 6) —V^)4 505. a) 3(x + V*)2flH-
\x 2 аД" \ 2 \x J
6) 4 (x-2 У?)3 (1-!=\ 506. a) — зА+—)2--L; 6) з(1-1У~.
507. a)
8x3V?+3 . 6
2(3^/x +x4)2V* ’
б^УГ —2
(2x3 — 4 Ух" )2 Ух"
508. a) cos x— sin 2x;
6) —sin x—sin 2x. 509. a) 7 cos (7x — 4); 6) —2 sin (2x4-3). 510. a) (2x4-3) cos (**+
4-3x); 6) —(2x—4) sin (x2 —4x). 511. a) sin (2x — 3)4-2x cos (2x —3); 6) cos (3x —2)—
— 3x sin (3x—2). 512. a) sin 2x; 6) — sin 2x. 513. a) 2 sin ^4-y^ + ^* + -^X
xcosG+06) -НгМЧМИ5и-a)
w r// x 2 sin x —(2x —3)cos x CA/T, л/o’ C1C 4 a
Указание. [' (x)=-—----; б) 5у2-|-лу2. 515. a) 6;
sin x
q ria 2-f-nV^~
o) —3. 51b. a) ----------
Указание, f' (x) = sin
^3x — -j- 3x cos ^3x — ;
6) _nV^+3 517 a) j\^. 6) 518 a
Указание, f' (x) =
cos x
2 ysin x
. 519. a) 0; 6)
л 1
521. a) — 4-nfc, k£Z. Указание. /' (x) = — -2 sin x cos x — cos x = cos x (sin x —
— 1); f' (x) = 0, если cos x = 0 (условие sin x = 1 влечет за собой cos x = 0); 6) nk,
zbarccos
н и e. Использовать формулы sin x =
2 arctg у-|-2л&, k£Z. Указа-
2/ 1 x
cosx=——J, где / = tg —. Уравне-
4-1 14-1 z
X X
ние можно решить приведением его к однородному заменой sin х = 2 sin — cos — ,
2 • 2 % о о ( 2 I 2 \ \ п 4 —L "у 21 _ , . „
cos x = cos2—sin2 — , 3 = 3 ( Sin — 4-COS2— 1; 6) 2 arctg--|-2л£, k^Z.
2 2 \ 2 2 / 5
523. a) — -^- + лЛ, -^- + 2лЛ, k£Z. Указание. /'(х)=д/1Г (cos х-|-sin х) —
— 2 sin x cos x— 1 =^2 (sin % + cos x) — (sin2 x-|-2 sin x cos % + cos2 x) = (sin x-|-
-|-cos х)(Д/2~ — (sin x-|-cos x)), откуда либо sin x-|-cos x = 0, либо sin x-|-cos x =
=W; 6) j + лЛ, ^ + 2n*. kEZ. 524. a) £/=-|х4--У-, S=10; 6) i/=|x-l,
3____________________________________ 3
S = 7. 525. Решение, a) ^-= V^ + Ax—=
Ax Ax
____________Ax 4-8 —8 ___1____________ 1
Дх (Д/б4+V8 (8 + Дх) + V(8 + Ax)2)___________________________4 + 4^1+-^- -H ^/(1
n_u »„ n- (И-Л*)4-1 ((1 +Дх)2- 1)(1 +(1 +Дх)2)
при Ax->-U; 6) ---------=-----------------------=
Ax Ax
= Дх(2+Дх)(1+(14-Дх)2) =(2 + дх)(i _|_(। + Дх)2)_ 4 при Дх0. 526. a) 4 (x2 +
Ax
+ 3x+2)3(2x4-3); 6) 5(4 —x2 + 3x)4(3 —2x). 527. a) 3 (4x-x3—1 )2 (4 —Зх2);
б) 4(2x + x3 —2)3(2 + 3x2). 528. a) -,2*~~3 ; 6) — .1~3*=^ .
2 Vx2-3x4-1 V2-3x24-2x
529. a) 3^Vx 4-^.y.^4-—L=y, 6) 4 (x2-2‘\/x )3 0x-^=). 530. a) (4x-
9___________________________________________________________6x
— 3)cos(2x2 — 3x4- 1); 6) (4 —6x)-sin (Зх2 —4x-|-2). 531. a) ---— ;
cos2(2x —Зх2)
6) —---------532. a) — 6 cos2 (2x—1) sin (2x—1); 6) — 9 sin2 (2 —3x) cos (2 —3x).
sin2(x2 —3x)
533. a)-----C0S X ; 6)----S*n X . 534. a) 4x —2 при x>2 и 2 при x<2.
2 Д/2 —sin x 2 Д/34-cos x
Указание.
2X2 —2x,
4,
2x,
x>2,
x = 2,
x<2.
Рассмотреть точку x = 2. При Ax>0 отношение
/ (24-Ax)-/(2) _ 2 (24-Ax)2-2 (24-Ax)-4
Ax Ax
= 64-2Ax>6.
При Ax<0 отношение
/(2 + Ax)-/(2) _2(2 + Ax)-4^
Ax Ax
2 (независимо от Ax). Зна-
А/
чит, предела —— при
Ах
Ах-0 не существует, так как при всех Ах>0 значение
-^->6, а при Ах<с0 отношение -^-=2; б) 2 при х>0, 2 (2х— 1) при х<0 (в точке
Ах Ах
х = 0 производная не существует). Эскиз графика изображен на рисунке 22.
535. а) 2(х—1) при х^( — оо; — 1)(J(3; 00), 2(1—х) при х£(— 1; 3) (в точках
х= — 1 и х=3 производная не существует); б) 8х-|-4 при х£
—8х—4 при
_3
2
---?___при 0<х<2
2Д/2-Х
_____1
2Д/2 +
при
и
— 2<х<0 (в точке х = 0 производная не существует); б)
О и
-----1 при х<0 (в точке х=0 производная не существует.) 537. a) cos х при
2 у2 —х
х>*0 и —cosx при х<0 (в точке х = 0 производная не существует). Эскиз гра-
фика изображен на рисунке 23; б) cosx при х£(2л£; л-|-2л£) и —cosx при
х£(—л4~2л&; 2л£), k^Z (в точках х = лЛ, k£Z производная не существует. 538. а)
Решение, f' (x) = —sin x — y3 cos x-|-2 sin 2x=
• V3
sin cos x
4-2 sin 2х = 2 sin 2х —2 sin ^х-к-^. Преобразуя разность в произведение, полу-
чим 2 sin
(3
—
-^-) = 0, откуда либо
6/
Л 3 , л л , ,
О, ТГ *4~ТГ = Тс + пЛ,
2 6 2
sin
О, х=-^+2л£,
О
2 2
k£Z, x=-n+-nk, k£Z,
У о
6) —y+n/t,
— 5л
-|-2лЛ, k^Z. Указание.
/' (х) = — sin х — уЗ cos %+
6
4- cos
1 =
2 C0S%
= —2 sin
2 sin2|
— 2 sin
539. а) ( — 1 )*+1 -i- arcsin -7-+-Т- + -7 arcsin при а£[ — 5; 5]. При других а
4 5 4 4 5
решений нет. Указ
а н и e. f' (x) = 4cos4x—3 sin 4x—a
cos 4x—
3 .
—— sin
5
а. Вводя
/'(x) = 5 sin (cp — 4x) — a.
. 4
вспомогательный угол ф= arcsin —, получить
5
а
Следовательно, зт(ф — 4х)=— , если |а| <15;
5
1 vio . 2 x. 1 a i
6) ±—arccos--1 - - 4~nfe—--arcsin— при |
3 3\l+a2 3 3 Vl+a2
решений нет. Указание.
f' (x) = 3 cos Зх—3a sin Зх — УНГ =
i При других a
О
- cos Зх----------. °. sin 3x
_1_ Л/ 1 Zj2
10.
Вводя вспомогательный угол <p = arcsin
L получить /' (x)=3 Vl +fl2 X
X cos (<p-|-3x) —V10~» откуда cos(<p + 3x) =—, если
ЗД/1+a2
10
для таких а, что 10^9 + 9a2, a2^ — , |a| ^4- • 540. a) x = —а при a£( — V$j-
У u
При других а решений нет. Указание. /'(х) =— —г- при х2-!-
Ух24-2ах4-3
+ 2ах+3>>0. При решении системы
х2+ 2ах+3>>0 получить из уравнения
= 3
х=—а и, подставив в неравенство, получить а2 — 2а2+ 3>0, 3 — а2>0, откуда
________________________ з /4 4\
а2<3, а значит, |а| < уЗ ; 6) — а при он ——•; --1. При других а решений нет.
Л \ О О /
541. а) Решение, f' (х) = cos x+cos 2х+cos Зх=cos 2x^-2 cos 2х cos х=
= cos 2х(1 +2 cos х), т. е. cos 2х(1 +2 cos х) = 0. Отсюда либо cos 2х=0, значит,
л . лЛ „ 1 2л , _ , , _ nk
х=—4—— , k£Z, либо cos х= — — , а значит, х= zb —+ 2ля, k£Z\ б) — ,
=Ь-^- + 2л£, k£Z. 542. a) zb 1. У к а з а н и е. /'(х)=х6 + х2 —2 = (х2 — 1)(х4 + х2 +
О
+ 2), т. е. /'(х) = 0 в том и только том случае, когда х2=1; б) 3; 0.
§ II
543. а) (— оо ; 0), (0; оо). У к а з а н и е. На каждом из промежутков ( — оо; 0) и
(0;оо) функция постоянна. Значит, на обоих промежутках существует ее произ-
водная, причем /' (х) = 0. Из дифференцируемости функции вытекает ее непре-
рывность на каждом из этих промежутков. Рассмотрим теперь точку х=0. Для
всех х^0 справедливо равенство /(х) = /(0) = 2. Если же х<0, то /(х) = 0; сле-
довательно, при всех х<0 абсолютная погрешность |/(х) — /(0)| будет не мень-
ше 2. Значит, в точке х=0 функция не является непрерывной; б) (—оо; 2) и
(2; оо). 544. а) (—оо; —2), (—2; оо). Указание. На обоих промежутках
(— оо; —2) и (—2; оо) функция дифференцируема; следовательно, непрерывна.
В точке х= —2 функция не определена; б)(— оо; 3) и (3; оо). 545. а) — -^- +лЛ;
-^- + лл\ k£Z\ б) (л/r, л + лЛ), k£Z. 546. а)(—оо; — 1) и ( — 1; оо);б)( — оо; 1)и
(1; оо). 547. а)Я; б)Я. 548. а)( — оо; -1)U|—|
),6) (Ц].М9.а) (-I;®);
б) (~4; 4)- 55°- а) (-2; о)и(|; °°); б) (-3; -1)и(°; °0)-
551. а) [ — 2; -|1и[1; оо); б)
(-оо; -1] (J[- 1; 2]. 552. а)
(О; j); 6) .-4 0)и(|; оо).
и(|; г]. 555. а) (-oo; -1)
и (— 1; оо). Указание. В точке х= — 1 функция не определена. В других
точках она дифференцируема и, следовательно, непрерывна; б) (— оо; —2) и
( — 2; оо). 556. а) (—оо; 0) и (0; оо). Указание. /(х) =
б) (—оо; 0) и (0; оо). 559. а) График изображен на рисунке 24.
560. а) График изображен на рисунке 25. 561. а) (—1; 0) U (0; оо).
Указание. Поскольку неравенство строгое, х=#=0; следовательно, х+ 1 >0;
б) (-оо; 0)(J(0; 2). 562. а) (1; 2); б) (1; оо). 563. а) (-?; —-lA(j(l; 2).
у о /
2(х+1)(х-2)
Указание. Найти интервалы знакопостоянства /(х) =— ------—------;
з(х+-)(х-1)
б) (-оо; 4)и(4; 4)и(1; °°)-5в4’а) |2; °°); б) (0; 2|-565- а) |-2; 1|;
б) ( —оо; — 3|U(2; оо). 566. а) ( — оо; —^U[9; оо). Указание.
х — 2 х + 2 _ 2л2— 18х _ 2х(х — 9)
27+3 ~ 47=3 “ (2х+3)(4х —3) “ 8(%+3) 1
б)(—оо; - 11]U( — 1; 0]U(l,5; оо). 567. а) [-1
(9л2— 1)(8х3+ 1) = (Зх-|- 1)(3х — 1)(2х-|- 1)(4х2 — 2х-|- 1). Поскольку 4л2 — 2x4-
+ I =4х2-2х+1 + | = (^-|У + | ’
4 4 \ 2/ 4
то исходное неравенство равносильно
|8('+?)(’-у)('+|)>0; ” 2111 [s 2]
568. а) (3; оо); 2;
б) (5; оо); 1. 569. а) (— оо; 0) и (0; оо). б) У к а з а н и е. Если х>0, то / (х) = Sin *;
следовательно, в промежутке (0; оо) функция дифференцируема, а значит, непре-
рывна. Аналогично в промежутке (—оо; 0), где /(х) =— Sm * . Поскольку
sin х
-------->-1 при х —0,
то при всех х<0, достаточно малых по модулю,
/(*)=-
sin х
X
2'
Поэтому для таких х величина |/(х) — f (0)| >
Это
2 '
означает, что в точке х = 0 функция не является непрерывной. (— оо; 0) и (0; оо).
570. а) (0; оо); б) R. 571. а) а= 1. Указание. Если а= 1, то при х<0 раз-
ность f (х)— /(0) = х4-1— 1=х может быть сделана сколь угодно малой
за счет уменьшения |х|. Аналогично при х>0 разность f (х) — f (0)= 1 —х2— 1 =
= —х2. Таким образом, при а = 1 функция непрерывна в точке х=0. В промежутках
(—оо; 0) и (0; оо) функция дифференцируема, а стало быть, непрерывна. Возь-
мем а<1. Тогда при х<0 разность /(х) —/(0) = х-|-ц—1<а—1<0; следова-
тельно, точность Л<1—а в приближенном равенстве f (х)» f (0) не может быть
достигнута.
Аналогично
рассматривается
случай
а>1; б) а= — .
572. а) (-оо; —|)и(7 ; оо). У к а з а н и е. Пре-
образовать разность
9 (, 7 + W\ / 7—Л/55~\
х—1 х4-2 _ 2Х2—14х—3 \ 2 / \ 2 /
2х+3 “ 4х—3 “ (2х + 3)(4х-3) (2х-|-3)(4х-3) ’
б) —4 —2Д/б”; у U ^2 Д/б” — 4; Указание.
х—2 х+1 _ —х2 — 8x4-8 _ — (х4-4 4-V2T)( jc4-4 — )
Зх—2 2х— 3“ (Зх —2) (2х —3) ~ 6
573. a) [—1—Д/tT; — l+V^l- Указание. Обозначив х2Ч-2х-|- 1 = (x-|- 1 )2
через у, получить неравенство у(у — 4)^5, у2 — 4у — 5<0, откуда
(!/+ !)(*/ — 5)<0, т. е. //€[ — 1; 5], а так как i/>0, то </€[0; 5]. Это означает, что
|х+1КД/5~; 6) (—°°; —4)U[ —2; — 1]U[1; +<»). Указание. Пусть
х2Ч-Зх +1 — У- 574. а) Решение. Исходное неравенство запишем в виде
|(х-|-Д/1Г) х(х — ^2)\ <д/5Г — х. Решая методом интервалов неравенство
(х + У2)х(х-Д/2)>О, заметим, что
„ f(x+W)x(x-V2),ecJIHx€[-^’; 0]U[W; ~).
I(x+Д/2 )х(х—Д/2 )| = {
[(х-|-Д/2 ) х(Д/2 — х), если хЕ( — сю; — у2 ]U[0; Д/2 ]. Рас-
смотрим случай, когда х£[—д/2~; 0]11[Д/2"; оо). Тогда (х-|-Д/2~) х(х —д/2~) +
(л/2~ \2
хЧ—— J +
+-“^-“>>0, то последнее неравенство дает хсД/2~, откуда х£[ — д/2~; 0]. Пусть те-
перь х£( —оо; -Д/2-]U[0;Д/2-]. В этом случае (Д/2~ — х)(х2-|-х д/$Г — 1)<0. Корни
, , . -Д/б -Д/2- д/б- —Д/2"
квадратного трехчлена х^-|-хД/2—1 равны: х{=-—-—-—, х2=——.
Поэтому, решая последнее неравенство методом интервалов, получим
. _д/2^и[о; б) (-оо; -V3)u(-A/3;
°о). 575. а) (-оо; 3); б) | - 2; -1)и[-|; 4-оо).
576. а) х£(2а;4а] при а>0, х£[4а; 2а) при о<0, решений нет при а = 0. Ука-
зание. Если а = 0, то исходное неравенство примет вид —^2. Но при х=#=0 от-
х । „
ношение —=1, поэтому последнее неравенство решении не имеет. Поскольку
__2х-4-4а 4а— х
---- 2= - =---—, то естественно рассмотреть два случая. Если а>>0,
х—2а-----------------------------х—2а-х—2а
то неравенство
^0 выполнено тогда и только тогда, когда х£(2а; 4а], а ес-
ли а<0, то хС[4а; 2а); б) (— оо; 0)U(0; оо) при а = 0, хн — оо;
у) и [а; оо) при
а>0, хЕ(— оо; a]U
при а<0.
Указание. Преобразовать неравен-
ство к виду —7——— ^0. 577. а)хЕ(2; оо ) при а=1,х£(1; 2)0(и; оо ) при а>2,
г(‘4)
х£(а\ 1)11(2; оо) при а< 1, х£(1; a)U(2; оо) при а£(1; 2]. Указа ние. х2 — ах —
— х-|-а = х(х—а)—(х—а)=(х—а)(х—1). Пусть /(х)=(х—2)(х—1)(х—а)>0.
Рассмотрим случаи: 1) а<1, тогда /(х)>>0 при а<х<1, х>2; 2) а=1,
(х— 2)(х— 1)2>0, /(х)>0 при х>2; 3) 1<а<2, /(х)>0 при 1<х<а, х>2;
4) а = 2, (х—2)2(х— 1)>0 при х> 1, х=#=2; 5) а>2, /(х)>0 при 1 <х<2, х>а;
б) хЕ(—оо; —3)U( —3; —1) при а = 3, х£(—оо; —а)0( —3; —1) при а>3,
хС(—оо; —3)U( —1; —а) при а<1, х£(—оо; — 3)U(— а; —1) "ри а£(1; 3),
хЕ(-оо; —3) при а=1. 578. а) (—3; —2]; 0; б) ( — 4; —3]; -1.
§ 12
579. a) -3; б) 4. 580. a) 9; б) — 17. 581. a) 5; б) 19. 582. a) 0; б) —8. 583. a) 2;
б) —1. 584. a) — ; 6) . 585. a) -2- в точке (0; 0), —в точке (—1; 0);
б) —в точке (0; 0), в точке (1; 0). 586. а) 0 в точке (0; 0), arctg-i- в точке
4 4 и
—; Оу; б) 0 в точке (0; 0), arctg 3 в точке ( —Д/з”; 0). 587. а) в точке ( — 1; 0),
0 в точке (0; 0); б) — в точке (1; 0), 0 в точке (0; 0). 588. a) arctg(—4) в точке
(0; 0), arctg 8 в точках (— 2; 0) и (2; 0); б) arctg (— 9) в точке (0; 0), arctg 18 в точках
( —3; 0) и (3; 0). 589. а) у = Ьх\ б) # = 6х— 11. 590. а) i/ = 2x; б) у = — х-|-2. 591. а) у=
= 5х— 18; б) </=16— Юх. 592. а)у= 1; б)у= П^+2 — ^х. 593. а)
б) (0; 1). 594. a) б) (1; 595. а) (0; 0); б) (-1; Д/З) и
\ О 4/ 2/
/— S 1
(1; — Д/3). 596. а) у = 2х\ б) у = 6х—14. 597. а) i/ = —х-|-—; б) у=\9 — 4х.
ч 7 — х Зх+14 л 4 д/Г + Зл ^2
598. а) £/ = ——, б) у =-------. 599. а) у = — — 2х; б) у = —----------
4 о 2 о
х. 600. а) х- ; б) у= 12х-2л-у/3.601. а) 135°. У к а-
Z о У
1 — X
займе. (1; 0) — точка пересечения кривой у=-с осью Ох; уравнение касатель-
ной к графику функции в этой точке у=1 — х; б) л — arctg9. 602. а) (1; 1). Ука-
зание. Абсцисса х искомой точки определяется из уравнения /'(х)= 1, откуда
= 1, а значит, 2х— 1 = 1, т. е. х= 1; б) 603. а) ( — 1; 0) и ( — 3; 2);
б) (^+nk-,^-\keZ-, (-^ + nk; -3^Yfc6z,604.a) fVTo~—5; и
(._________ 5____д/ю \
— 5 — Д/10; --------I. Указание. Уравнение касательной к графику
О /
. * + 5 2 *о + 5
функции у=—— В точке (х0; у0) есть у = у0-~-----(х—х0), у =-------— -
(х0-|-3)
2 (jc—jc0)
(х0-|-3)2
Поскольку точка (0; 0) лежит на касательной, то, подставляя ее коор-
х | 5 2 х
динаты, получим ° _ Ч--------—9=0, откуда (х0 +5)(хо + 3) + 2хо = О,
хо + 3 (х0 + 3)2
.— ___ 5 д/10 I
х0=—5± у!0 . Если х0=—5 —Д/10, то у0 =-------, а если хо = Д/1О —5, то
у0= . б) (i; 4) 605 а) а= 1, i/= — 1 и у = 2. Указание. По условию
о
/' (a)=gz (а), отсюда 4a3 — За2— 1 =3 —За2. Значит, а= 1. При этом /' (l)=gz (1)=0.
Поэтому уравнения касательных y = f (1) и y = g (1); б) ^1;——у и ^2; ——J ,
—!-=. Указание. По условию задачи необходимо найти точки х, в которых
6 Д/2
х2 — 3x4-1 =— 1, откуда х,= 1, х2 = 2; следовательно, касательные нужно провести
в точках графика
внения этих касательных соответст-
венно у = ——
5 2
х=—- — х и у=— — х; следовательно, касательные перпенди-
6 3
кулярны прямой у = х, проходят через точки
а значит, рассто-
яние между ними равно —. 606. а
6Д/2
Указание. Уравнение ка-
сательных, проведенных в точках (—1; 2) и
соответственно у =—2х
3 А.
и у = х——. Абсцисса точки пересечения этих прямых определяется из уравне-
3 25
ния х——=— 2х; б) — . Указание. (0; 1) — точка пересечения графика
функции у= 1 4-2х—х2 с осью Оу, уравнение касательной в этой точке у = 1 -|-2х.
Абсцисса х=^- точки пересечения этой касательной с прямой у = 2— х определи-
и
5
ется из уравнения 2 — х= 1 -|-2х, а ордината точки пересечения у=—, т. е. высо-
о
5
та искомого треугольника равна —. Вершины треугольника, лежащие на оси Ох\
О
Их абсциссы определяются из уравнений 2 — х=0 и
14-2х = 0 соответственно. Следовательно, площадь треугольника равна S =
.А.А=^. .6О7. a) (nk —
3 2 12 ' \
' nk —; 2nk + Д/3 k£Z.
Указание. Абсцисса искомой точки определяется из уравнения 2 д/з~ cos 2x4-
д/3 । ।
4-2 sin 2x4-2 = 0, откуда cos 2x4-—sin 2х= — —
следовательно,
sin(2x+y)=-4
1) 2х4~-т7= — -^-4-2лЛ, x=-^--\-nk, k£Z, откуда
3 6 4
г/ = д/з^ sin 2х —cos 2х4-2х= — д/зГ —-^-4-2лЛ, k£Z. 2) 2x4--^- =-^-4-2лЛ,
z о О
х=—^-4-jifc, k^Z, откуда у=—^-4—4-2 л£ = д/з" —-^4-2л6, k£Z\
12 2 2 о о
б) Решение. Тангенс угла наклона касательной к графику функции
k = cos х4-Д/з~ sin х=2 sin
^x4--g-^. Поскольку —1 ^sin ^x4--g-^^ 1
то макси-
мальное значение k = 2 тогда и только тогда, когда sin
(-I)-'-
т. е. при
х=-^--|-2лЛ, k£Z. 608. a) arccos
О
Указание. Тангенс угла на
л л
Sin ——sin —
„ , 3 6
клона секущей k =-------------, а абсцисса искомой точки определяется из
л л
3~6
2
уравнения cosx = fc; б) arcsin — . 609. Решение, а) Поскольку 3-|-2х —х2 =
л
= (1 -|-х)(3— х), то точки пересечения графика функций г/ = 3-|-2х—х2 с осью Ох
есть А ( — 1; 0) и С (3; 0). Уравнение касательной, проведенной к параболе в точке
A, i/=4(x-|-l), а в точке С уравнение у=— 4(х—3). Абсцисса точки пересечения
этих касательных определяется из уравнения 4(х-|-1)=—4(х — 3), т. е. х=1;
следовательно, точка их пересечения В(1; 8). Рассмотрев ДАВС, полупим
Z.BAC= Z.ACB = arctg 4, откуда ААВС = п — 2 arctg 4. Тогда tg^ —2 arctg 4)=
g
= —tg (2 arctg 4) = — ; б) уравнение касательной, проведенной к графику функ-
15
ции i/ = x2 в точке (х0; х^), есть f/ = xj-f-2xo (х—х0). Поскольку обе касательные
проходят через точку А (0; —2), то, подставляя сюда значение х=0, у= —2, на-
ходим х0 из уравнения — 2 = xJ —2х^, откуда х0= ±Д/2”; следовательно, эти каса-
тельные
18,
проходят через точки В(—\^2~; 2) и 2). Поскольку АВ = АС =
вг олЛГ АВ2 + АС2-ВС2 7
пС = 2у2, по теореме косинусов cos Z.ВАС =----- ----------=—.
£ /1D • zi (_> У
610. а)
наклонена к оси Ох под углом —,
о
перпендикулярная ей прямая должна быть на-
клонена к оси абсцисс под углом
5л х 5л Д/3
—- , а так как tg-—=-------, то задача сво-
6 6 3
д/3
дится к нахождению точки х£[0; л], для которой (sinx)' =--, т. е. cos х=
О
л-6(2-д/3~)
30
Указание. Уравнение
касательной в данном случае У =
х л-|-6Д/3^
Т- е- У=-2+—12—
Значит, угол наклона касательной к оси Ох равен л — arctg -i-, а угол наклона
к оси Ох прямой, перпендикулярной касательной, равен — arctg Поскольку
— а
то уравнение этой прямой i/ = 2x-|-l. Абс-
цисса точки пересечения этой прямой и касательной определяется из уравнения
о , , л + 6\Т х .. __
2х-|-1=----—------—. 611. a) . Указание. Касательная определяется
1Л £ О
х 1 л
уравнением у = — -\-— и пересекает оси координат в точках А
и Я(-1; 0).
Если OD — высота ДА/Ю, то ее длина определяется из равенства AB-OD =
4
= ОВ-ОЛ; б) —. 612. а) (— 1; 4). Указание. Абсцисса х точки касания дол-
[ х3 — 7х— 2 = (х— I)1 2,
жна удовлетворять системе уравнений <
( Зх2 —7 = 2 (х—1). Из второго уравне-
5
ния X] = — 1, х2=—. Подставляя xt и х2 в первое уравнение, убеждаемся в том,
О
что Xj удовлетворяет ему, а х2 нет; б) (0; 0). Абсцисса общей точки касания опре-
деляется из системы уравнений
sin х=х+у,
cos х= 14-х2. Из второго уравнения следует,
что х = 0, поскольку |cosx|^l, 1 4-х21, и равенство возможно тогда и только
тогда, когда х=0. Значение х = 0 удовлетворяет и первому уравнению.
16
613. а) • Указание. Абсцисса х точки касания определяется из систе-
о
мы уравнений
3
х2 —4 = 0.
Из второго уравнения следует, что х= ±2. Если х= —2 под-
ставить в первое уравнение, то значение а определяется из равенства —-|-4-84-
о
g
4-а = 0; если х=2, то — — 8-|-а = 0; б) 1. Указание. Абсцисса точки каса-
О
ния определяется из системы
2 ух = х4~а,
-U=i
Из второго уравнения х=1; под-
ставляя это значение в первое уравнение, получить а=\. 614. а)
Указание. Поскольку точка касания (1; 5), то в этой точке должны
Ь = с = 2.
быть вы-
полнены равенства <
24-6 = 4 (первое уравнение есть равенство
значений
функций у = х24-Ьх4-с и i/ = 4x-|- 1 в точке х= 1, а второе — равенство производ-
ных функций при х=1); б) х=2, а=±. Указание. Абсцисса точки каса-
( ах2 = х— 1,
ния и искомое значение а определяются из системы <
(2ах=1. Из второго
1 X
уравнения ах=—; подставляя это значение в первое уравнение, получить — =
= х — 1,
откуда х=2,
§ 13
615. а)
Указа
— 0,0175. Указание, cos 91° = cos (90°-|-1°)= —sin 1°; б) 0,8225.
ние. sin 46°«sin 45° +cos 45°616. а) 0,6825; б) 0,0175.
180
617. a) ^«0,157. б) -1. 618. a) 0,035. Указание. tg2°=tg-^«
~1В°+—б) -^-«0,0175. 619. а) 0,50866. Указание
cos 0 У" УО I 80
sinf7‘+°,01)?asin7’+cos7"0,0l=4’+^; б) °-5173- 620. а) 0,871; б) 0,867
621. а) Решение. (1,99)5 = 2s- (1 — 0,005)s « 32 — 0,8 = 31,2; б) 27,27
622. а) Решение. Д/50’=1/49+Г=7Л/1+± «7(1+1.±)=7-!-; 6)9-1-
623. а) 16,32; б) 27,324. 624. a) 6-jL; б) 5-^. 625. а) 1,01; б) 0,76
626. а) 0,9985; б) 1,01. 627. а) 630; б) 65,728. 628. а) 10-^; б) 8-1|. 629. а) Р е
ш е н и е. tg A^Vtg|+—!—.(-2L)=V3 --g« 1,7321 -0,14= 1,5921;
\ Уи / о о л \ УО / УО
х cos2 — '
о
б) 1,8721. 630. а) 36~”^ «0,424; б) 0,424. 631. Решение, a) sin^-=
• Зл . л л / л\ 1 л д/3~ _ ____ .. ,3л . л ,
= S,n24^S,n6+c°S6\“24 ) = 2“Т~°’3867; б) s'"-8-~S'n3 +
+ сО5Т'(^_'1)==‘^"+П~0’93' 632’ а) Решение- tgl§’*atg7’+
+— " "«0,577 +0,116= 0,693; б) 0,661. 633. а) 2-1-;
9 Л ОО 3 о ОО 800
COS —
о
о 599 дчл 564 • 243 163 • 99
б) 2 600 - 634‘ а) 376’ б) 220- ®35’ а) 180’ б) "ЙО 636’
а) 0,96; 6) 1,01.
637. а) Решение, sin2 46°«sin2 45°+2 sin 45° cos 45°-^—=-1+—^--«0,5175;
180 2 180
б) 0,5175. 638. а) Решение, tg4 44° «tg4 45° + 4 tg3 45°-;-( —— ) =
cos2 45° \ 1о0/
= 1—^«0,86; б) 1,21. 639. а) Решение. ! -= , * «
180 Д/0.94 V 1—0,06
«---1—- « 1+0,03=1,03; б) 0,9985. 640. Решение, а) -
1—0,03 1+sinl
да1+^-(Т^?-П0да1-°’0175 = 0’9825; б) tg44° + 0.003~
\45.+ ' 1.003-2.0.0175= 1,ооз1о,о35 =
cos 45 \ 180/
=—1— «1+0,032=1,032. 641. а) Решение, sin“644°«sin-645°-
0,968 т • - '
-6sin-745° cos45°-.1Л=8-6-8 (—^r)»8,84; б) 4,28. 642. Ре-
\ 180 / \ 180 /
Ш е н и е. а) "^1 4-sin 29° at V + sin 30’ Ч----cos ------ . /---л \
2^1+sin 30’ \ 180 /
----2д/1н— --------------------------------0,3535-0,0175 ss
V2 4 \ 1807 V 4 180 ’V 1.44
* 1,2 • (1 + — 0,006 = 1,219; б) Д/1 — cos 61’ » - cos 60’ +
sin 60°
2 Д/l — cos 60°
Я ,.W . " 25 д/. 0.25
180 2 “l'720‘ ’ ‘ V 6,25
» 0,707 + 4-0,0175 • 2,5 X
4
х(1-4те)=0.707+10,0175.2,45»
\ 2 6,25 / 4
0,72. 643.
P e ш e н и e. a)
)з / л/ч” \з / aIT \2 tt □
«( 1—V+sin60’l +3(1—+-+sin60’) cos60°-+-=-i-+-«
\ 2 ) \ 2 / 180 2 180
» 1,026; 6) (cos 29’+I)3»(cos 30’+I)3+ 3(cos 30’+I)2( — sin 30’)
»(l,866)3 + 3(l,866)2f—0-(—0,0175)=(2-0,134)3 + 3 (2 — 0,134 f-~ 0,0175 =
_ 0IU4)3+3 4 _ 0^4у | Q0,75ss8 _ 3 0 134)+6(1 _0 134)x
X0,0175«6,392+0,09=6,482. 644. а) Решение. V3 + tg44’ »V3 + tg45’ +
+ 2cos245’V3+tg45’ ‘(-Т8о)=2+2"(-Л8о)=2-360 6) 2’"4‘
§ 14
g/2
645. а) Р е ш е н и е. Высота h снаряда подчиняется закону Л(/)=о0/— ,
/Е
, g — ускорение свободного падения. Следовательно, скорость сна-
ряда в любой момент / равна Л'(/) = о0— g/; кинетическая энергия в момент /0
m(v0 — gt0Y
равна
2
>2 ы
- . Известно, что кинетическая энергия равна нулю тогда и
только тогда,
о0
когда скорость равна нулю, т. е. при о0— g/ = 0, откуда /=—.
g
энергия нулевая в тот момент, когда высота снаряда равна
2 о2
—=-^-; б) о = 9 м/с, Е=81 Дж, F=8H. Указание. Ско-
2 g2 2g
Кинетическая
00
Л(О=^о-у-
рость о (/) = %'(/) = 4/— 3; следовательно, при / = 3 с значение о = 9 м/с. Уско-
2
рение a(t) = v' (/) = 4 м/с2. Кинетическая энергия Ек=——, а сила F = ma.
646. а) 0,75 м, 1,5 м/с, 1,5 м/с, —2 м/с2. Указание. Величина пройденного
пути
за время от /=1 с до /=1,5 с равна s(1,5) —s(1) = (4« 1,5—1,52 —4« 1 4-
л °,75 м „
м, средняя скорость равна $— =1,5 м/с. Скорость в мо-
мент /=1,25 с равна s'(1,25), ускорение а= — 2 м/с2 при любом /; б) 15 м/с,
(15 — 5g) м/с, (15 —2,5g) м/с, —g, 10 м. 647. а) Решение, о (/) = %'(/) =
=6 cos 3/, a (t)=u'(t)= -18 sin 3/= —9x(/> б) /£0-4-nfe; -^-4-лй), k£Z. 648. P e-
ше н и e. а) Момент встречи определяется из условия /2 = 3/-j-4, откуда
/2 —3/ —4 = 0, / = 4 (поскольку /^0). В момент времени / = 4 скорость первой точ-
ки t>i = 8, а скорость второй точки v2 = 3. Следовательно, скорость первой точки
относительно второй в этот момент есть v = vt — v2 = 5; 6) за одну минуту машина
прошла (15-60) м = 900 м. Поэтому расстояние между машиной и мотоциклом в
любой момент времени / после выхода мотоцикла до момента встречи равно
15/4-900-t2
м. В момент встречи это расстояние равно нулю, т. е. имеем
3
уравнение — t2 — 15/ — 900 = 0;
отсюда, учитывая, что /^>0, получаем / =
154-^2254-5400
3
, / = 30 с. Следовательно, встреча произошла через 30 с после
выхода мотоцикла. В этот момент скорость мотоцикла равна at=90 м/с, а скорость
удаления его равна 90 м/с—15 м/с = 75 м/с. 649. а) 3 с, 2 рад/с2. Указа-
/2
н и е. (о (/) = ф' (/) = —-угловая скорость маховика в момент /. Если со (/) = 3, то
/2
— = 3. Угловое ускорение а = (/); б) 20 м, —4 рад/с2. Указание. За две
О
первые секунды угол поворота равен ф(2)=16-4— 3-8, т. е. 40 рад. Поскольку
длина дуги, проведенной точкой на окружности, при повороте круга на угол ср
равна 4R, то в данном случае искомая длина дуги / = 0,5 м-40. Угловая скорость
круга (о (/) = ф' (/) = 32/ — 9/2, а угловое ускорение равно а(/) = <о'(/). 650. 5;
2,5. Указание. Средняя плотность стержня пропорциональна отношению
массы стержня к его длине. При / = 3 масса равна 20-3 — 5-9= 15, поэтому сред-
15 с гт
няя плотность стержня равна — = 5. Плотность каждого участка, находящегося
О
на расстоянии / от начала стержня, равна 20— 10/. Поэтому для ответа на второй
вопрос задачи следует решить уравнение 20—10/= 5, из которого / = 2,5;
б) / = 5. 651. а) /=— с, А = ^20-|-——А м (g — ускорение свободного падения).
g X g /
Указание. Высота над поверхностью земли в зависимости от времени изме-
сг/2
няется по закону h (/) = 20-|-50/— , СК0Р0СТЬ тела Д° падения у (/) = &'(/) =
= 50 — gt, т. е. при / = — значение и(/) = 0. Высота тела при этом равна значе-
g
нию h ; б) sin а = -^-. 652. а) —. Указание. Расстояние $ (/) от тела
до точки А (0; 1) в момент времени / по теореме Пифагора равно
s(/)=Vl+(/ +/2)2 . Следовательно, тело удаляется от точки А со скоростью
. Далее найти s‘
Указание. Абс-
5/(<)= 2/ + 6/24~4/3
2 V14- /2 + 2/3 4- /"
цисса х(/) тела по теореме Пифагора равна x(/) = Vs2(/)—1 =У/24-4/-|-3.
2/4-4 /4-2
Значит, скорость и(/) = х'(/) =- — = — — . 653. а) 1,1 м/с.
гу/24-4/4-3 у/24-4/4-3
0,1 м/с2. Указание. За время / длина дуги, пройденной точкой на окружно-
сти колеса, равна ср (/)-R, что равно расстоянию $ (/), пройденному центром ко-
леса за это время. Таким образом, закон движения центра колеса есть
/ /2\
$ (/) = R f/-|-—-1 откуда скорость движения центра колеса в момент t равна
v (t) = s' (/) = R (1 4-/), а ускорение движения центра колеса a(t)=v' (/) = R при
всех /^0; б) 90 рад/с, 40 рад/с. 654. Решение, а) Угловая скорость
v (/) = ф' (/) = 1 4-2а/. Следовательно, при /=16 значение v (16)= 1 4-32а = 33,
откуда а=1. Следовательно, угол поворота <р(/) = /4-/2- Первый оборот соответ-
ствует значению ф(/) = 2л. Отсюда /4-/2 = 2л, т. е. /=--- . Учиты-
вая, что />0, получим /=—------------с; б) по условию угол поворота <р(/)=а/3,
при / = 2 угол ф(2) = 4л. Значит, 4л = 8а, т. е. а=-^-, и формула для ф (/) имеет
вид ф(/)=-^-/3- Угловая скорость а (/) = ф'(/) = -?-л/2, угловое ускорение
а (/)= v' (/) = 3л/, что соответствует при / = 7 с значению 21л рад/с2. 655. Ре-
шение. а) Пусть при / = 0 сторона квадрата равна а. Тогда в момент времени
/ сторона будет равна а 4- vt, а значит, площадь s (/) = (а4- vt)2. Скорость увели-
чения площади в момент / есть vs(t) = s' (t) = 2v (a-^-vt). Если площадь
s(/)=(a+v/)2=4 м2, то сторона квадрата в этот момент a-j-vi = 2 м; следова-
тельно, при этом vs (/) = 2«0,1 -2, т. е. искомая скорость 0,4 м2/с; б) пусть началь-
ный радиус диска равен г. Тогда в момент времени / радиус равен r-j-vt, пло-
щадь $ (/) = л (r + vt)2. Скорость увеличения площади v (t) = s' (/) = 2ли (r-^-vt),
а при /=— 4 скорость v f4"^ = 2n •0,2г4-2л’0,04«-1- = 2,02л, откуда г = 3- ,
4 у 4 / 4 0,4л
г = 5 см. 656. а) Решение. Скорость v (t) = xf (/) = 0,1 -2v-v' (/) (по правилу
вычисления производной сложной функции (0,1d2)' = 0,1 -2v-v'). Поскольку
v' (t) = a (/) — ускорение точки в момент /, то из равенства v (/) = 0,2и (/)-а (/) по-
лучаем а(/) = 5 м/с; б) Решение. Ускорение а(/)=и'(/) = -^--2х(/)-х'(/) =
= %(/)• v (/)=-!-х3(/). Значит, если х(/) = 4, то а(/) = 32. 657. а) 2 м/с. Ука-
зание. Изменение ординаты у в зависимости от / описывается равенством
г 12
£/(/)= 12 у/ —/, откуда скорость изменения ординаты у (/) = £/'(/) =-— — 1 =
2 у/
=——— 1; б) 18 м/с2. Указание. Абсцисса х(/) движения точки есть
х(/) = £/2(/) = /34-2/. Скорость изменения абсциссы и (/) = %'(/) = 3/24-2, а уско-
рение а (/)=&'(/) = 6/. 658. Решение, а) Пусть верхний конец лестницы на-
ходится в момент времени / на высоте £/(/), i/(0)=4, а нижний конец находится
на расстоянии x(t) от основания стены. Тогда высота y(t) описывается формулой
у (/) = 4— -^- = 4 — /2. Для нахождения момента времени /, когда г/(/) = 2, имеем
уравнение 4 — /2 = 2, из которого / = ^2~. По теореме Пифагора расстояние
х(/)=Д/25 —(4 —/* 2 *)2 = Д/94-8/2 —/4 , скорость его изменения v (t) = x'(t) =
i_________________________ 4 д/2”
=——==. При /=Д/2 эта скорость равна —^=- м/с; б) пусть конец А сколь-
V9 + 8/2 —/4 у21
зит по оси Ох, а конец В — по оси Оу и в начальный момент времени АО = а.
Тогда в момент времени t значение АО = а — 2i. По теореме Пифаго-
ра ВО =Д/25 — (а — 2/)2 . Формула площади АЛОВ такова: S(t) =
=-i- (a — 2t) ^25 — (а — 2/)2 ; скорость изменения площади v (i) = S' (t) =
Ц-2Д/25
24 О2 —25
2 у 25—(a—2tf ) \25—(a—2tf
2. j g_25
— -. В тот момент, когда AO = 4, скорость v(i)=— ,
Д/25-ЛО2 Д/25-42
v = 2-^- м/с2. 659.
О
Решение, а) Теплоемкость с (/) = Q' (/) = I 4-4-Ю 5 */4-
4-9а- Ю 7 3/2. Так как при / = 100 значение с (/) = 1,013, отсюда получаем уравне-
ние относительно а: 1 4-4-10—5-1004-9а-10—7-1002= 1,013, из которого а=1;
б) теплоемкость с (/) = 1,7 4-2а/4-36/2, по условию при /=100 значение c(t) рав-
но 1,71; отсюда 1,7 4-2а-1004-36- 1002= 1,71. Значит, 2а 4-3006= 10“4. Кроме то-
го, значение Q (/) при / = 50 равно 85,025. Следовательно, 1,7• 504-2500а4-
4- 125 0006 = 85,025, откуда 2500а4- 125 0006 = 0,025, т. е. 2а4- 1006 = 2-10~5. Та-
ким образом, для определения а и 6 имеем систему
2а 4- 3006= 10“4,
2а 4-1006 = 2-10-5;
решая ее, получим а= — 10 5, 6 = 4-10 7. 660. Решение, а) Пусть а и 6 —
стороны прямоугольника до деформации. Тогда через время / после деформации
стороны будут равны а 4-/ и 6—а площадь
а64-
/2
— (время измеряется в часах, стороны — в сантиметрах). Скорость
изменения площади v(i) = S' (/)
/, поэтому для решения задачи тре-
буется найти разность
3
—. Величины а и 6 удовлетворяют системе
а6=17.
Первое уравнение этой системы приводится к виду ab-\-
9
32
= 20. По-
скольку ab= 17, то 6 —
а
2
о
20 4- -^--17
32
3
35
8 '
Следовательно, искомая разность
4
= — см2/ч; б) через / часов после начала деформации стороны пря-
моугольника равны a — vxi и b — v2tt где d, и
v2—искомые скорости, измеряемые в санти-
метрах в час. Площадь прямоугольника в этот
момент равна S = — vxt) (b — d2/) = 200 —
— 10/ (2d, 4- ^2)4" viv2^2f a скорость изменения
площади v (t) = S' (/) = — 10 (2o, + v2) + 2vxv2t.
При / = — П0ЛУчаем систему относительно d,
и d2:
V,Vn
200 - 5 (2d, -J- d2) 4—= 150,
— 10 (2d, 4- *>2)+ »P2= —200.
Преобразовав уравнения системы, получим
200 — 20 (2d, 4-d2)4- d,d2 = 0,
200— 10 (2d, 4- w2) + =
отсюда
2d, 4-^2 =
d,d2= —200.
Из первого уравнения v2= —2d,, подставив это выражение во второе уравнение,
получим —2v2 =—200, dJ=100. Поскольку по условию сторона а уменьшается,
то d, = 10 см/ч, а значит, d2 =—20 см/ч (знак минус означает, что сторона
b увеличивается). 661. Решение, а) Пусть х(/) — расстояние от парома до
берега (паром находится в точке В, а ворот — в точке А, рис. 26). Расстояние АВ
задается формулой по теореме Пифагора s (Г) = У]аО2+ ВО2 = Д/1004-*2 (О •
По условию S'(/)=—40, так как расстояние АВ сокращается.
2х (I)* х' (/)
С другой стороны, s' (/) =----- ---------- и в момент времени /, когда х(/) = 30,
2УЮ0 + х2(/)
значение дроби равно -—=——rz(/) Следовательно, скорость d(/) =
V100 4-900 V10
3 40 .____
= xf (/) удовлетворяет равенству —40= ; х' (/), откуда v (/) =-— у10 м/мин
V10 3
(знак минус означает, что паром приближается к берегу, т. е. х(/) уменьшается);
б) воспользуемся обозначениями предыдущей задачи. Если в некоторый момент
времени / значение $(/) = 50, то %(/) = ^2500—100 = 20\^Г. Из формулы для
S' (/) предыдущей задачи имеем — 40 = ^9 , т. е. ^У/бх' (/)= —40, от-
□0 5
50 ._
куда х' (/)=—— 662. а)
о
Решение. Пусть больший диск вращается по
закону ф (/) = а/3, а меньший — по закону ф (/) = а,/3, где ф (/), ф (/) — углы пово-
рота дисков за первые / секунд вращения, измеренные в радианах. Поскольку
при любом / справедливо равенство ф(/)К = ф(/)г (слева и справа длины дуг,
пройденные точками на большой и малой окружностях соответственно за время /),
<р (/) at3 а г 1
отсюда ——-=—- =—=—=— ; следователь
axt3 a, R 4
но, а(=4а и законы вращения имеют вид
ф(/) = а/3, ф(/) = 4а/3. Угловые скорости дисков
в момент времени / равны ф'(/) = 3а/2 и
ф'(/)=12а/2. Через 2 с после пуска меньший
диск будет иметь угловую скорость 12а-22 = 48а.
Поэтому для решения задачи следует решить
уравнение За/2 = 48а, откуда / = 4 с; б) — рад/с.
Указание. Аналогично решению предыдущей
задачи нетрудно показать, что законы вращения
большого и малого дисков имеют вид ф(/) = а/3,
ф(/) = 2а/3. По условию задачи ф"(1)=12а = 6,
1 т 1
откуда а=—. Теперь остается подставить а = — \
/=1 в выражение ф'(/) = 3а/2. 663. а) Реше-
ние. Место запуска ракеты — точка О, точка
D — основание трубы, С — верх трубы. Если ра-
кета находится в точке В, то конец тени от трубы находится в точке А (рис. 27).
Расстояние О£)=18 м, высота трубы С£) = 40 м, OB = h(i), BM = h(t) — 40.
Длина тени от трубы равна длине отрезка AD. Обозначив AD через х(/), из подо-
720
h (/)-40 ’
бия треугольников ВМС и CDA получим
Л(/)-40 40
--------=77п ’ 0ТКУда х(0=
18
720
по правилу дифференцирования сложной функции х'(/) =— рц/)—40)2
В этом выражении неизвестен момент времени /, который соответствует значе-
нию х(/)=10. Для определения этого значения / рассмотрим уравнение
720
————=10, из которого h (/)—40 = 72, А(/)=112, т. е. получилось квадратное
уравнение 4Z2 — 80/112 = 0. Корни этого уравнения /j=10 — 6л/2 и /2= 10-J-6 д/2^
соответствуют подъему (/J и спуску ракеты (/2). Рассмотрим для определенности зна-
чение Zj = 10 — 6 Д/2~. Для него h' (/j) = 80 — 8^ = 80 — 80-J-48 Д/1Г=48 Л/2~, разность
A(/j) — 40 = 72; поэтому значение х/(/1)= — -^--48 VT, т. е. искомая скорость равна
20 Л/2~
-------— м/с. Знак «минус» скорости изменения величины х (/) говорит о том, что дли-
3
на тени при подъеме ракеты уменьшается. Нетрудно убедиться в том, что если вместо
/j взять t2, то значение х'(t2) будет равно —-—, т. е. — х' (/Д поскольку при спуске
О
20
ракеты тень от трубы увеличивается; б) — м/с. Указание. Сначала нужно
выяснить, при каких значениях t высота Л (0 = 256. Для этого необходимо решить
квадратное уравнение 80/ —4/2 = 256; его корни: /j=4, /2=16. Поскольку нас ин-
тересует момент спуска ракеты, то искомое значение /, при котором А(/) = 256,
720 20
равно 16 с. Для /= 16 величина h' (/) = —48, а значит, (/) = —— 2 -48, т. е. — .
§ 15
664. а) Возрастает на /?; б) возрастает на R. 665. а) Убывает на /?; 6) убывает
на /?. 666. а) Убывает на оо; j, возрастает на ; оо^; б) убывает на
(—оо; 1], возрастает на [1; оо). 667. а) Убывает на ( —оо; —1], возрастает на
[—1; оо); б) убывает на f—оо; —-|-1, возрастает на ; оо\ 668. а) Воз-
растает на
, убывает на
Г13 \ / 41
I — ; оо j ; б)возрастает на f—оо;—— I,
. 669. а) Возрастает на ( — оо; 0] и на
убывает на
убывает на —^-;оо^
, убывает на
и на [0; оо), убывает на
. 670. а) Воз-
[-VPVFT
б) убывает на
,возрастает на
671. а) Возрастает на (—оо; —2] и на
-2; -Л; б) воз-
и на [1; оо), убывает на
. 672. а) Убывает на
(— оо; 1 ], возрастает на [ 1; оо ). 673. а) Возрастает на ( — оо; — 3] и на
убывает на
возрастает на
. 674. а) Убывает на
и на [1; оо), убывает на
и на
I]
возрастает на
возрастает на
Н4]
675. а) Убывает на (—оо; — Г| и на [0; 2|, возрастает на [—1; 0] и на [2; оо).
Указание. /'(%)= 12*3—12х2 — 24х= 12х(х2 — х — 2)= 12х(%4-1) (х —2). Да-
лее решаем соответствующие неравенства методом интервалов; б) убывает на
(—оо; — 2] и на [0; 3], возрастает на [ — 2; 0] и на [3; оо]. 676. а) Убывает на
[ — 3; 0] и на [2; -|-оо), возрастает на (— оо; —3] и на [0; 2]; б) убывает на [— 1; 0] и на
, возрастает на (— оо; — 1 ] и на
. 677. а) Возрастает на
(-"4)
и на
3 1
|. Указание. /' (х) = —------— >0при всех х=/=у; 5) возрастает
на оо;-^ина ; оо^. 678. а) Убывает на
Указание./' (х) =
растает на —
2(5х4-1)-5(2х4-3) -13 <Q
(5x4-1)2 (5x4-1)2 ’
и на у; ооу 679. а) Убывает
1
—; б) воз-
5
на (3; оо), возрастает
2
на (— оо; 3). Указание./' (х) =----<0 ПРИ *>3 и /' (х)>0 при х<3;
(3 —х)
б) убывает при х>0, возрастает при х<0. 680. а) Решение. /'(х) =
= 2 cos
поэтому для нахождения промежутков возрастания функции
решим неравенство cos
>0, из которого —-^-4-2лЛ<2х —-^-<-^-4-2лЛ,
О Z
k£Z’, отсюда —~4-nk<ZлЛ, k£Z. Все остальные точки действительной
прямой, для которых cos
=#0, удовлетворяют условию cos
Поэтому функция возрастает на
k£Z и убывает на
k^Z\ б) убывает на -^-4-лЛ; -^-4-^j, k£Z\ возрастает
на
, k£Z. 681. а) Убывает на
-^р-4-2лЛ^, k£Z\ воз-
растает на
, k£Z. Указание, /' (x) = cos х— sin х— 1 =
'2
1
COS X-----= sin X
Д/2
1. Для определения про-
межутков возрастания решим неравенство у2 cos
1>0. На осталь-
ных промежутках функция убывает; б) убывает на
k£Z-, возрастает на
:; , k£Z. 682. а) Убывает на
-^-4-2лЛ; 2л4-2лЛ
‘2
— л -|- 2лЛ; 2л 4" 2лЛ
о
k Е Z; возрастает на
4-2лЛj , k Е Z. Указание. /'(х) =
(1 м3 \
— cos х 4—sin х j — 1 = 2 cos
2 2 /
1. Отсюда
следует, что функция возрастает на тех промежутках, где cos
Функция убывает на остальных промежутках; б) убывает на
k£Z\ возрастает на -^4-2л/г; 2лЛj, k£Z. 683. а) Убывает на
л \ 1
->)>!
т+2”4
Н+2“*
-^•4-2лЛ^, k^Z\ возрастает на р^-4-2лЛ; ~р4-2лЛ^, k£Z. Указание.
(х)= —sin х—-i-. Следовательно, если sin х> —-i-, то функция убывает, а ес-
1
ли sin x<Z —— , то возрастает; б) возрастает на
[-^ + 2лЛ; ^ + 2лй]
, k£Z\
убывает на
[^ + 2 л/г; ^ + 2л*]
, k£Z. 684. а) Убывает на
k£Z\ возрастает на
4- nk\
, k£Z. У к а-
з а н и е. /'(х)=—------2. Функция убывает, если ——
cos х cos2 х
2
А/2 1
куда |cos х| . Если же------------—>2, то функция возрастает. Это то же самое,
2 cos х
; б) убывает на
, k£Z и
k£Z’, возрастает на
, k£Z. 685. а) Убывает
на
возрастает на
4+«
Указа-
н и е. /' (x) = cos
, V3 .
+—s,n
— 1
л\ . ж /л
х—— \—1. Функция возрастает на промежутках, где cos 1 — х —
Л> - —. в Л Л Л> , —. в в
уда —— 4-2лЛ«<— х——< —-|-2лл, k^Z. Напротив, она убывает на
О X о о
/л
интервалах, на которых cos 1 — х —
вает на
, k£Z\
” 3
возрастает на у-|-2Л;2Л^
, k£Z. 686. а) Убывает на (—оо; —2] и на (0; оо),
g
возрастает на [ — 2; 0). Указание. /'(х) =----j — 1. На промежутках, где
__g __g
—-----1 <0, функция убывает. Неравенство —-----1 <0 эквивалентно неравенству
(2\з 2 24-х
— 1 > — 1,из которого —> — 1;отсюда ----->0; б) убывает на промежутках
[— 1; 0) и (0; оо), возрастает на ( — оо; — 1]. 687. а) Убывает на (— оо; — на
[— 1; 0] и на [1; д/э"]’» возрастает на [ — Л/3~; — 1], на [0; 1] и на [ Л/3~; оо). У к а-
з а н и е. lx3 —Зх| =
х3 —Зх, если х3 — Зх>0,
— (х3 —Зх), еслих3 — Зх<0. Решив неравенство х3 — Зх<0,
х(х-|-Д/з")(х—д/3~)<0 методом интервалов, получить х£( — оо; —V$")U(O; V$")-
Следовательно,
lx3 —Зх| =
— х3-|-Зх, если х£(—оо; -A/3)U(0; V3).
Выяснить, какие знаки имеет производная f' (х) на полученных четырех проме-
жутках. 1) х£(—оо; —УГ). Здесь / (х)= — х3-]-Зх, т. е. f'(x) = 3 — 3x2 =
= 3(1-х2)<3(1-3)=-6<0; 2) хЕ(-Уз"; 0)- Здесь /(х) = х3-Зх, f' (х) =
= 3(х2 — 1)>0 при хЕ( — УГ; — О и /' (х)<0 при %С( — 1; 0); 3) х£(0; л/3~). На
этом интервале f(x) = 3x —х2, f' (х) = 3 (1 — х2)>0 при х£(0; 1) и /' (х)<0 при
x€(l; V3 ); 4) xe(V3“; оо). На данном промежутке f(x) = x3 —Зх, f' (х) = 3(х2 —
—1)>0; б) убывает на (— оо; — УГ], на
и на оо). 688. а) Воз
растает на
-VH- "• [о; VI]
растает на (—оо; 1) и на
убывает на
и на (2; оо). Указа-
... . 2х —3 2х—3
н и е. г (х) =---------- =----------------
(х2-Зх + 2)2 ((х—1)(х —2))2
. В точках х= 1 и х = 2 функ-
ция /(х) и ее производная не определены. Если х£(—оо;
то
[' (х)>0; если же х£
оо), то (х)<0; б) убывает на (— оо; — 1) и на
возрастает на
оо). 689. а)
Решение. (х) =
= Зах2-|-1, поэтому если а^О, то (х)^>1>0 и функция возрастает на /?. Рас-
смотрим а<0. В этом случае (х) = 3а ^х2-!--^-^ = 3а ^х2-----L—=
□ / , 1 \ / / 1 1\
= 3а ( хН—;----1«( х------- I. Следовательно, на I- ; 1
\ У-За / \ У-За / \ У-За У-За )
функция f (х) возрастает, а на промежутках I — оо ;- j и ( ; оо i
\ У-За / \У-За /
убывает. Таким образом, если — 1, то функция /(х) на промежутке (1; оо)
У-За
убывает. С другой стороны, если >> 1, то в промежутке (1; оо) содер-
У —За
жится интервал возрастания функции f (х). Если-1, то этот интервал
У-За
есть ( 1; —___ 1; если же------ > 1, то весь интервал возрас-
\ У-За / У-За
тания (---- ;— i содержится в промежутке (1; оо). Значит, только
\ У-За У-За /
те а удовлетворяют условию задачи, для которых — 1, т. е. У — За 1,
У-За
откуда а^ —; б) а£( — оо; 3]. 690. а) При а = — 5 и а = 3. Указание. Из
о
свойств квадратичной функции следует, что условию задачи удовлетворяют только
те а, для которых коэффициент при х2 равен нулю, т. е. (а-|-2)Д/а2-|-2а — 15 =0.
При этом а2-|-2а—15 = (а —3)(а-|-5)^0, т. е. а£(— оо; —5]U[3; оо). Значение
а = —2 не входит в это объединение. Следовательно, только а = 3, а= —5 явля-
ются решением уравнения; б) а=—4 и а = 5. 691. а) Производная функции
/(x) = sin х— х cos х равна xsinx при всех х£^0; -^0. Значит, на всем
промежутке ^0; функция f возрастает. Кроме того,/(0) = 0. Отсюда и из не-
прерывности функции f следует справедливость неравенства f (х)>0 при
х£^0; у); б) Указание. Рассмотреть функцию f (x) = cos х—1.
692. а) Указание. Рассмотреть функцию f (х) = (1 4-Jf)7—1 — 7х и показать,
что при всех х>0 производная (х)>0; б) Указание. Показать, что при
х£(1; оо ) производная функции /(х) = 2^*" + “—3 положительна.
§ 16
694. а) Минимум в точке 1; б) минимум в точке —1. 695. а) Максимум в точке
— у ; б) максимум в точке — 1. 696. а) Максимум в точке —4, минимум в точке 1;
3
б) максимум в точке — 1, минимум в точке 3. 697. а) Максимум в точке ——, ми-
нимум в точке 1; б) максимум в точке —2, минимум в точке —. 698. а) Минимум
1 2
в точке —3, максимум в точке —; б) минимум в точке — 1, максимум в точке —.
X и
3 2
699. а) Минимум в точке —3, максимум в точке —; б) минимум в точке —,
4 5
максимум в точке 3. 700. а) Минимум в точке 2; б) максимум в точке 1. 701. а) Убы-
вает на /?; 6) возрастает на /?. 702. а) Убывает на (— оо; 2], возрастает на [2; оо),
минимум в точке 2. 703. а) Возрастает на (— оо; — 1], убывает на [ — 1; оо), мак-
симум в точке —1. 704. а) Убывает на
растает на
V3 V3 г
, минимум в точке--, максимум в точке -2—- . Гра-
о о
фик изображен на рисунке 28. 705. а) Возрастает на (— оо; 0] и на [1; оо), убыва-
ет на [0; 1], максимум в точке 0, минимум в точке 1. График функции изображен
на рисунке 29. 706. а) Возрастает на (— оо; —2] и на [1; оо), убывает на [ — 2; 1],
максимум в точке —2, минимум в точке 1. График функции изображен на рисун-
(3
— оо; ——
и на [2; оо), возрастает на
ми-
__3
нимум в точке — - , максимум в точке 2. График функции изображен на рисунке
31. 708. а) Убывает на (—оо; —2] и на [0; 2], возрастает на [ — 2; 0] и на [2; оо),
минимум в точках —2 и 2, максимум в точке 0. График функции изображен на
рисунке 32. 709. а) Убывает на
, возрастает на
1 \
—; оо 1, минимум в
2
точке ±. График изображен на рисунке 33. 710. а) Решение. Пусть
/(л)=----1-л2 — Зл + 2. Для отыскания критических точек функции / найдем ее
О
производную /'(л) = л2-|-2л — 3. Производная обращается в нуль в точках л=1 и
л= —3. Точка —3 является точкой максимума, точка 1 — минимума. На проме-
жутке (— оо; —3] функция возрастает от —оо до 11; следовательно, на этом
промежутке уравнение /(л) = 0 имеет один корень. На промежутке [ — 3; 1] функ-
ция убывает от 11 до -i-. Значит, на этом промежутке корней нет. На промежутке
О
[1; оо) функция возрастает от до оо; следовательно, здесь корней также нет.
О
Итак, уравнение имеет один корень; б) один корень. 711. а) 3 корня; б) 3 кор-
1 3
ня. 712. а). Максимум в точке —— . Указание. /' (л)=—— (1 -|-(2л)3) =
— 24
_1_
2 ’
значение f' (л)>0, а при
I; оо) значение /' (л)<0, т. е. в точке л=—производная ме-
няет знак с плюса на минус; б) минимум в точке —1. 713. а) Максимум в точке
2-Vio" 2+ViO- v . 4x(x-l)-(3+2xi)
-------, минимум в точке---• Указание. / (л)=-------рр----- =
4л2—4х—3 — 2л2 2л2—4л—3
(х-1)2
2-V10
(х-1)2
-. Корни квадратного трехчлена g (л)=2л2 — 4л—3
равны Л| =-------и л2 =
2 + УЙГ „
-------. В точке Xi производная меняет знак с плю-
са на минус, а в точке л2 — наоборот; б) минимум в точке —3—у5 , максимум в
точке —З + д/б”. 714. а) Минимум в точках —-^--|-2л/г, k^Z\ максимум в точках
О
~+2л/г, k£Z. Указание, /'(x) = cos х—. Критические точки ±-^--j-2nfc,
о Z о
л
k£Z. В точках —— -|-2nfc, k£Z производная меняет знак с минуса на плюс, а в
О
точках -^--|-2л/г, k£Z — с плюса на минус; б) минимум в точках -^--|-2л/г, k£Z\
3 6
максимум в точках -^--|-2nfc, k£Z. 715. а) Минимум в точках nk, k£Z\ максимум
6
в точках nk, k£Z. Указание, f' (х) = 2 sin х cos х= sin 2х, поэтому кри-
тические точки х = . n£Z. Если n = 2k, k£Z, т. е. х = л/г, то в этих точках sin 2х
меняет знак с минуса на плюс; если же x=~-]-nk, k£Z (при нечетном п), то
sin 2х меняет знак с плюса на минус; б) минимум в точках k£Z; макси-
мум в точках л/г, k£Z. 716. а) Максимум в точках —-^--|-2л/г, k^Z\ минимум в
точках —-^--|-2л/г, k^Z\ б) максимум в точках —-^--|-2л/г, k^Z\ минимум в точ-
6 3
ках л-|-2л/г, k£Z. 717. а) Максимум в точках -^--|-2л/г, k£Z; минимум в
-^--|-2л/г, k^Z\ б) максимум в точках -1^р--|-2л/г, k^Z\ минимум в
-!^--|-2л/г, k£Z. 718. а) Минимум в точке 0, максимум в точке . Указ
1Z о
точках
точках
а н и е.
f(x)=2xVT7T----=
2уТ—
4Х(1—х) —х2 5*V5-*)
=------------=---- Критические точки
2\\—х
2УГ^
4
л1 = 0, х2=— . В точке Xi производная меняет знак с минуса на плюс, в точке х2—
5
2
с плюса на минус; б) максимум в точке —, минимум в точке 2. 719. а) Максимум
5
в точке —3, минимум в точке —. Критическая точка х=1 не является точ-
кой экстремума. Указание. /' (х) = 5 (х— 1 )4 (х-|-3)4-|-4 (х— I)5(х-|-3)3 =
=(х— I)4(х-|-3)3 (5 (х+3)+4 (х— 1))=(х— I)4(x-j-З)3 (9х+ 11). Критические точ-
ки Х|=—3, х2=—У», х3=1. В точке х, производная меняет знак с плюса на
минус, в точке х2 — с минуса на плюс, в точке х3 знака не меняет; б) максимум
7 1 iz
в точке ——, минимум в точке —. Критическая точка х= — 1 не является точ-
3
кой экстремума. 720. а) Максимум в точках — 1 и —, минимум в точке 1. Ука-
зание. f' (х)= —3 + 2х + 3х? — 2х3 = (2х — 3)( \ — х2) = ( 1 + х) (1 — х)(2х — 3);
Д/2 Д/2 1
б) максимум в точках----- и -, минимум в точке —.
X Л о
721. а) Убывает на
(— оо; — 1] и на [0; 1 ], возрастает на [ — 1; 0] и на [1, оо), минимум в точках — 1 и
1, максимум в точке 0. График функции изображен на рисунке 34. 722. а) Воз-
растает на |1; оо), убывает на (— оо, 0) и на (0; 1], минимум в точке 1. График функ-
ции изображен на рисунке 35. 723. а) Убывает на ( — оо; 0] и на
, воз-
растает на
g
, минимум в точке 0, максимум в точке —. График функции изоб-
5
ражен на рисунке 36. 724. а) Возрастает на —
вает
на
растает на ( — оо; — 1]
точке —1, минимум
37. 726. а) Убывает на
, максимум в точке —, минимум в точке . 725. а) Воз-
и на [3; оо), убывает на (— 1; 1) и на (1; 3), максимум в
в точке 3. График функции изображен на рисунке
[Л + 2.»; ^ + 2„»]. «Z; .озрает.е, нз [-2+«
—-|-2nfcl, k^Z\ минимум в точках —-^--|-2nfc, k£Z, максимум в точках -^--|-2л£,
4 J 4 4
k£Z. График функции изображен на рисунке 38. 727. а) Возрастает на промежут-
ках
, k£Z‘, убывает на промежутках
k^Z\ минимум в точках —k£Z‘, максимум в точках —k£Z. График
изображен на рисунке 39. 728. а) Решение. Найдем критические точки функ-
ции f (х) = х3 — 12л-|- 10, для которой /' (х) = 3х2 — 12 = 3 (* + 2) (х — 2), поэтому
критическая точка —2 есть точка максимума, а критическая точка 2 есть точка
минимума. На промежутке [ — 3; —2] функция возрастает от 19 до 26, поэтому
здесь уравнение корней не имеет. На промежутке
функция убывает от
5
26 до —4 —, поэтому на этом промежутке уравнение имеет один корень. Таким
образом, на всем промежутке
уравнение имеет один корень; б) один ко-
3
рень. 729. а) Два корня. Указание. Пусть f (х) = х4 — 2Х3-!-—. На проме-
жутке
функция убывает от оо до —, а на промежутке
16
3
возрастает от ——• до оо; б) 2 корня. 730. а) Минимум в точках 0, ±
16
fc = 0, 1, 2, ..., максимум в точках ±
Указание.
/' (х) = х cos х. Критические точки х = 0 и х=-^--|-л£, k£Z. В точке х = 0 произ-
Зл 7л Ил
водная меняет знак с минуса на плюс, также и в точках , zb—,
л 5 л _
в точках ±—, " — с плюса на МИНУС» б) максимум в точках 2ля, k£Zt
л
fc=#=0, минимум в точках л-|-2л£, k£Z. 731. а) Минимум в точках ——-|-2л£, k^Z;
О
максимум в точках -^--|-2л£, k£Z. Указание. /' (х) = 2 cos 2х-|-6 cos х — 2 =
О
= 4cos2x— 4-|-6cosx. Решив уравнение 4 cos2 х + 6 cos х — 4 = 0, записать
/' (х) = 4 ^cos х—(cos х-|-2); так как cos х-|-2>>0, то в точках —-^--|-2л£, k£Z
л
производная меняет знак с минуса на плюс, а в точках — -|-2л£, k£Z — наоборот;
б) максимум в точках -^--|-2л£, k£Z\ минимум в точках -^--|-2лА?, k£Z. 732. а) Ми-
6 6
з_
1 W £// X 1 1 X2 —VT х2 —1
нимум в точке 1. Указание. / (х) =—;=-7=-----/=“ =--о— J б) макси-
ух Jr х2 ух Jr
мум в точке -i-. 733. а) Максимум в точке Указание. /'(х) =
4 о
ЗД/2—х | 3x11
2V2-X 6 (2-х)+3х-11 I—Зх
=-------------------=--------------=-------—; б) критических точек нет.
2(2 —х)2 2 (2-х)2
734. а) Решение. Обозначим х3 — Зх2-|-2 через g(x). Точка х= 1 является
корнем уравнения g(x) = 0. Следовательно, g (х) = х3 — х2 — 2х2 + 2х — 2х-|-2 =
= (х— !)(•?-2х — 2) = (х— 1)(х — (1 +<))• (х — (1 — д/sj). Пользуясь методом
интервалов, отсюда получим
/w=(«w *€11-Уз; 1]Щ1+А/з’; ~).
I -g(x). х€(-оо; 1-V3)U(1; 1+V3).
В точках х= 1, х= 1—Д/з" и х= 1-|-Д/з" функция f не имеет производной. При
этом производная функции f отрицательна слева от каждой из этих точек и поло-
жительна справа. Например, при х<1—Д/з" производная /' (х)= — g' (х) =
= —Зх2-|-6х= — Зх-(х —2)< —3 (1 — Д/з")( — 1 — д/з") = 3 (1 — 3) = -6,
х£(1—Д/з”; 0) значение /' (x) = g' (х) = 3х2 — 6х = 3х(х— 2)>0.
Таким образом, критические точки х=1, х= 1—д/з" и х=1-|-Д/з" i
а при
являются
точками минимума. Если х£(1 — д/з"; 1)и(1+Д/з"; оо), то производная f'(х) =
= g'(х)=3х(х —2); следовательно, точка х = 0— критическая точка функции /,
принадлежащая данному объединению. В этой точке производная функции f ме-
няет знак с плюса на минус. Значит, х = 0— точка максимума. Если же
хе(-оо; 1 — Д/з")11( 1; 1 + Д/з”), то /' (х)= — g' (х)= — Зх (х —2) и здесь критиче-
ская х=2 — точка минимума; б) максимум в точках ------------—-— , минимум в точ-
О
ках —2, 0 и 1. 735. а) Минимум в точках n-|-2nfc, k^Z\ максимум в
точках — -^--j-2nfc, k£Z. Указание. /'(х)= — д/з" sin х—cos х—1 = —2Х
О
— 1 = — 2 cos
1. Критические точки найти из
уравнения cos
1 л
-, откуда х—у=
= ±-^--|-2nfc, k£Z. Значит, х, = —
о 3
x2 = n-|-2nfc, k£Z\ б) максимум в точках
-^--|-2nfc, k£Z\ минимум в точках — -^--|-2nfc,
2 6
k£Z. 736. а) График на рисунке 40.
737.
вает
а) Убывает на
возрастает на
|, минимум в точке . 738. а) Убы-
на (—оо; —2], на
-2
и на
, возрастает на
2
О 1
х
Рис. 40
на
и на [2; оо), минимум в точ-
2
ках —2, 0 и 2, максимум в точках----—,
2
—=. График изображен на рисунке 41.
Д/З
— -^--|-2л£; л-|-2л£
739. а) Возрастает на
, k^Z\ убывает на
-|+2я*].
k£Z. Точки минимума —-^--|-2л£, k^Z\ точки максимума л-|-2л£, k£Z.
Указание./' (x) = cos х + sin х-|- 1 = у2 cos
+ 1, поэтому критические
точки находятся из уравнения cos
V2
——; график изображен
на рисунке 42. б) возрастает на —-|-2лАг; 2л/гj, k^Z\ убывает на
|^2лАг; -^--|-2л^, k^Z. Точки минимума — -^-+2л£, k£Z\ точки максимума 2л£,
(л л ] Г Зл \ Г л Зл 1
0; — I ина I-4-; лк возрастает на I — ; -^-1, точка ми-
л Зл / л л 1 Г л л \
нимума —, точка максимума —; б) убывает на ( — —; ——I и I — ; —у
[л л1 л л
——; — I, точка минимума ——, точка максимума —.
741. а) 4 корня; б) 4 корня. 742. а) Решение. Пусть /(л) = х3-|--—2х. Тогда
Зх*________2л2__1 Х
Г (х)=-----—---- и критические точки функции / есть х= — 1 и х= 1. На про-
межутке (—оо; —1] функция f возрастает от — оо до 0, на промежутке [ —1; 0)
убывает от 0 до — оо, на промежутке (0; 1] убывает от оо до 0 и на промежут-
ке [1; оо) возрастает от 0 до оо. Таким образом, два корня уравнения; б) 2 корня.
§ И
743. а) 13 и 1; б) 7 и 1. 744. а) 32 и — 1,75; б) 6 и —0,25. 745. а) 160 и —26;
Q 1
б) 16 и -И. 746. а) 3 и -; б) 2- и 1. 747. а) 69 и —12; б) -30 и -34.
Л о
748. a) 41 и 41; б) 10 и -10. 749. а) 11 и 11; б) -12 и -12. 750. а) 3 и 1; б) 1
л/з~ 1 1 2
и 4. 751. а) ; б) —. 752. а) Стороны прямоугольника равны — и —; б) сторо-
оо о У
1
ны прямоугольника равны — и
—. 753. а) На две равные части; б) на две рав-
ные части. 754. а) 20X20 м, 4X8 м. 755. а) Решение. Если х — длина кате-
та, составляющая с длиной гипотенузы в сумме 21, то длина гипотенузы
с = 21—х, длина другого катета равна Д/(21 — х)2 —х2 = Д/441 — 42х. Площадь
5(х)=1хД/441-42х, тогда
1 /т----777- 42х 441—42х —21х 441—63х
S (х)=— у 441 — 42х--==== =-------- — =----------==._ .ц:-:— ;
2 4 Д/441—42х 2 Д/441 — 42х 2 Д/441-42х
S'(x) = 0 при х=7. В точке х=7 производная функция меняет знак с плюса на
минус, значит, х=7 — точка максимума. В таком случае с=14, а поскольку
х 1 1 л
—=— , то синус одного из острых углов равен — , т. е. этот угол равен —, а другой
б) равнобедренный прямоугольный треугольник. 756. а) 3 и —при / = 0 и
О о
/ = 2 соответственно; б) 1 и 10 при / = 3 и / = 0 соответственно. 757. а) Реше-
ние. Если х—меньшее основание прямоугольной трапеции, h — ее высота, то
периметр Р = х+ h + x+h + hy[2 =2x+h(\l2+2), так как большее основание
равно x-j-Л, а боковые стороны трапеции равны h и h^/2. Следовательно 2х =
= 4(14-V2‘)-ft(2 + VF), а площадь трапеции S
x+h h_ 2x+/t h
2 2
ft + 4(l+VF)-h(2 + VF) h =
2
4 (1 Ч-Д/2~) ft —Л2 (1 Ч-Д/2~) _ 1-I-V2
(4Л-Л2).
Функция /(Л) = 4Л —Л2 принимает свое наибольшее значение при Л = 2; б) 12,5.
Указание. Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведе-
5 13
ния длин диагоналей на синус угла между ними. 758. а) 98 и 2; б) — и —.
759. а) 42 4- и б) 115 4- и —5-. 760. а) 1 + ^-^~ и 1 —
' 2 8 ' 2 2 ' 2
н и е. /' (х) = Д/з” + 2 sin 2х = 0, sin2x=—2х=(—1)‘/
+ л£, k£Z.
Принадлежат
л Л _
только х= —— и х= —— . Сравнить значения
3 6 н
, г л л л л
функции f в точках ——, ——, —— и —, подсчитав
। л v$
2~
761. а)
л
“У
л уЗ 1
“~6 2 ’
—+ 1; б) лД/з" и 0.
и —2.762. а) —4 — точка максимума; б) —1—у7 —
2
2
4—. Указа-
2
точка минимума. 763. а) л—1 и 1; б) и . 764. а) 98 и 49; б) 2 и 16.
765. а) Прямоугольник является квадратом со стороной, равной 1. Указа-
ние. Рассмотреть прямоугольную систему координат. Равнобедренный прямо-
угольный треугольник поместить так, чтобы вершина прямого угла совпадала с
началом координат О, а две другие вершины — точки А (2; 0) и В (0; 2) (рис. 43).
Гипотенуза АВ лежит на прямой у = 2— х. Следовательно, если сторона искомого
прямоугольника, лежащая на оси Ох, равна х, то другая сторона равна 2 — х,
площадь S = x(2— х) = 2х—у?. Функция /(х) = 2х— х2 достигает своего наиболь-
шего значения в точке х= 1; б) сторона, лежащая на гипотенузе, равна 2, другая
сторона равна 1. Указание. В прямоугольной системе координат рас-
смотреть треугольник ОАВ с вершинами 0(0; 0), А(2У$2\ 0) и В (0; 2У[2) и
прямоугольник MNKP, вписанный в него. Если ОР = х, то 0М = х, МР =
>— I— 2 Д/2~_х
= х\2, АР = 2\2 — х, MN = РК =—^-=—. Площадь прямоугольника MNPK
V2
2\[2—х t— г- г-
равна MN-MP =—^—=------х у2 = х(2у2 — х). Функция f(x) = x(2 у2 — х) до-
V2
стигает своего наибольшего значения в точке х—д/F. При х = Л/2 стороны прямо-
угольника равны МР = 2 и РК=1. 766. а) Сторона, лежащая на АС, равна 2,
другая сторона равна Указание. Пусть MNPQ — прямоугольник, впи-
санный в треугольник АВС. Если AM = QC = x, то MN = хЛ/з, MQ = 4— 2х и пло-
щадь прямоугольника MNPQ равна хД/3^(4 —2х) = 2Д/Зх(2 —х). Функция
/(х)=2д/3х(2 — х) принимает свое наибольшее значение при х=1. б) Ре-
шение. Пусть в треугольник АВС со стороной а = 6 вписан треугольник
д/Т
MNK, MNWAC (рис. 44). Если MN = x, то ВР = х-^~, PD = BD-BP =
д/з" д/з"
= 6-~----% 2~’ ТЗК КЗК — выстота ДДВС, а ВР — высота &MBN,
। । / _ д/з" \ д/з"
х (3 уЗ —хх (6 —х). Наибольшее значение
д/з" 9 ____
функция /(х) = -^— х(6 — х) принимает при х = 3. Тогда v3 •
767. а) Решение. Пусть ABCD — ломаная, представляющая собой попереч-
ное сечение желоба (рис. 45). При этом AB = BC=CD = a, высота АО трапеции
ABCD равна a sin а, длина AD = BCA~^PO = a — 2а cos а, площадь поперечного
сечения S=~a sin a(a-|-a — 2a cos a) = a2 sin a(l —cos a). Найдем наибольшее
значение функции f (a)=a2 sin a (1 —cos a), f' (a)=a2 (cos a — cos 2a)=a2 (cos a —
—2 cos2 a+ l)=0, если cos a= 1 или —-i-. Значит, критические точки функции f есть
2л
2лЛ, k£Z и ±-—-|-2л/г, k£Z. Так как а по смыслу задачи принадлежит (0; л), то
О
единственная критическая точка а£ [0; л] здесь есть а=—-. Производная в точке
2л 2л
— меняет знак с плюса на минус; следовательно, а=—----------точка максимума;
б) правильный треугольник. 768. а) Поле квадратное со стороной 2 км; б) 26 и
19,5 см. 769. а) Через 1с. Указание. Скорость капли v(t) = gt, кинетичес-
кая энергия ее в момент t равна (dk =
= ±g2Z2 ' g2/3
2 6 3 s
2
e2r
6) R = r = 50 Ом. Указание. Потребляемая мощность равна уг •
/1 л/2" \ / 1 1 \ I 5 л/91
770. а) ; б) ( ±-у=; “^)- 77>- а) 60 W м; б) ——км. Ука-
зание. Расстояние между кораблями в момент времени t по теореме ко-
синусов равно V(>0-20/)2 + (20-30/)2-(10 —200(20 —30/) =10Д/7/2 —9/4-3.
772. а) Решение. Пусть уравнение искомой прямой есть y = kx-\-b. Посколь-
ку прямая проходит через точку М(1; 3), то величины k и b связаны равенством
3 = k + b. Точки пересечения прямой с осями координат А 0^ и В (0; Ь).
Q Q { I./ b\ ~Ь2 -<3-*)2 г
Значит, тогда = — b I —-1 = =-----—----. Следовательно, требует-
£ R J
(3__
ся найти наименьшее значение функции f (k)=------на промежутке (— оо ; 0).
Производная f' (k) = —
(fe + 3)(fe-3)
k2
в критической точке —3 меняет знак с ми-
нуса на плюс, откуда k= —3 — искомая точка минимума функции f. При этом
-62
площадь S=----— = 6, а уравнение прямой есть у= —Зх-|-6. Значит, угол накло-
на данной прямой л — arctg 3; б) л — arctg(Д/з~). Указание. Если искомая
прямая задана уравнением y = kxA~b, то, как было получено в предыдущей зада-
че, Ь = 2> — k. Длина отрезка АВ =
(3-fe)2
k2
. Следова-
тельно, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции
f (£) = (3 — k)2+——5^-=(3 — k)2 (14—на промежутке (—оо; 0). Точка ми-
Zr \ к J
I IV- • / 2
— 9; б) 99 и 0. 776. а) 21 и
40 3
— — ; б) — и —38. 777. а) Решение. Пусть точка О — центр площадки, В —
27 25
точка, в которой находится фонарь, точка А находится на дорожке на расстоянии
г=10м от точки О. Тогда освещенность в точке А равна Е
k sin а
. , *>0.
АВ2
Если ОВ = х, то
k sin а_ kx ___________ kx
Х2+г2-(л2+г2)Д/^+г2 ~yj(j?+r2}3 '
Таким
образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции
/(%)=—, Производная
V^ + r2)3
Г(Х)=
Vfr' + r2)3
3 (х2-}-г2)2-2х
2^^ +г2)3
(х^г2)3
(х2 + г2)3 —Зх2 (х2^-/2)2 _ г2 —2л2 _ (гх) (г— ^[2 х)
(x2 + r2)3V(x2 + r2)3 ~ V(x2 + r2)5 ~ У(х2 + г2)5
следовательно, критическая точка функции f есть х=—^= = 5~\[2. В этой точке
V2
производная меняет знак с плюса на минус, а значит, точка х=5^2 —точка
максимума функции /; б) в 18 м от более мощного источника. Указание.
Если х— расстояние от точки отрезка АВ до более мощного источника, то осве-
с 27k , 8k
щенность в этой точке равна Е = —
6>>0. Таким образом, задача
сводится к нахождению точки максимума функции / (х)=—+ jF на от’
резке [0; 30]. 778. а) Решение. Пусть глаз наблюдателя находится в точке
С(х; 0), верхний край картины — в точке В (0; а), нижний край — в точке
А (0; Ь) (рис. 46), а = 3 м, 6 = 0,75 м. Тогда ДС=Д/*2 + &2 , BC = V*2 + fl2 » по
теореме косинусов АВ2 = (а — Ь)2 = АС2А~ ВС2 — 2АС-ВС cos а^х2-!-62) + (х2-|-
+ а2)—2 \(^+a2)(^+b2) cos а, откуда
х2b2л2a2—(a — bf x? + ab
cos a=----- — — — =—====== .
Поскольку a£(0; л), а на этом промежутке cos а убывает, то задача сводится к
ж п ч x24-afr
нахождению точки минимума функции f(x)=— на промежутке
(0; oo). Производная f'(x) =
QrA.V I -(.t2 I 4*+2*<a +fc)
_______________________________gV^ + aW + fc2) =
(j^+^X-^+fc2)
_ 2x(x2 + a2)(x24-Z>2) —(x24-a&)(2x3 + x(a24-ft2)) _
((x2 + a2)(x2 + 62))2
=------------------- • (2x4 4- 2 x2 (a2 4- b2) + 2a2 b2 — 2x4 —
((x2 + a2)(x2 + ^2))2
— 2x?ab — х2 • (а2 + b2) — ab (а2 + Ь2))=---X
((хЧ^НхЧб2))2
X(xi(a — b)2—ab(a — 6)2)=-———--------- X
((r’+^X^ + ft2))2
XC-v2 ab)
((x’+aW+ft2))2
Критическая точка x=\ab —точка минимума, так как в ней производная меня-
ет знак с минуса на плюс. Таким образом, наблюдатель должен стоять на рас-
стоянии ^0,75-3 м = 1,5 м от стены; б) на расстоянии 6 см от касательной.
Указание. Радиус ОА _LBC, AD = h — искомая высота /\АВС (рис. 47). По
теореме Пифагора BD=y/R2—OD2 =y]R2 — (R — hf = yj2Rh — h2. Поскольку
△ ЛВС равнобедренный, его площадь S(h)= BD-h = h^2Rh — li2. Найти точки
максимума функции S (Л). Производная
S' (й)=У2/?л—л2 + Н2/?—2й)^
2 \2Rh-h2
= 2/?й-й2 + ₽й-й2 3/?й-2й2 = 2\2/? /
У2/?й —й2 У2ЯЙ-Й2 Д/2ЯЛ-Й2
Критическая точка h=— R = 6 является, как не-
трудно проверить, точкой максимума функции S.
™- > «> (VF 4) ’»• > I Vf; »>
70 + 26 УГГ
27
ГЛАВА III
§ 18
х2 9
788. а) х-—+С; б) х*-х+С. 789. a) xt + ^-x+C; б) 2х-2х?~ ? + С.
о
790. а) 2 sin % + 3 cos %+С; б) 3 sin х — 4 cos х+С. 791. а) х5 — х3+С; б) х4 —
— х6+С. 792. а) |(2х+3)4 + С; б) ±.(Зх-2)6+С. 793. a) _cos(3* 4) + С;
sin(2x+-^J
б) ----——+С. 794. а) 2х+sin (х) + С; б) х +cos(1 — х)+С.
х2 7 1
795. а) — 4-х+-; б)2х2 + 2х+1. 796. а)-х2-х3 + 2; б)х2 + 2х3 + 2.
4 4 2
797.
799.
801.
а)
4+sin
(х—-2-^ ; б) 2 — cos ^х—. 798. а) 3 tg х— 1; б) —2 ctg х-|-5.
а) х(/)=-£ + /3; б) x(/)=l+-f + t3. 800. а) А——А м; б) 6--) м.
Z Z ул/ \ п /
. Зх2—l+cos2x 9 , I . _ ___ . 20+ g .
а) ------------; б) х2 + — sin Зх. 802. а) ——~ м (g— ускорение сво-
Л о -Z
бодного падения); б) 2g«19,6 м. 809. а) — 2 д/2 —х + С; 6) — д/1 — 2х + С.
810. a) ltg(2x+-0 + C; б) -1 ctg (зх+^ +С. 811. а) 2Д/х+2 +
+ 4 cos (з--0 + С; б) Д/х —3 -3sin(2—0 + С. 812. a) j — 1 sin 2х+ С.
11 х I 3 2
Указание, f (х)=— — — cos 2х; б) — + — sin 2х+С. 813. а) — sin — х+С. У к а-
Л Л ^4 о
. 2 3 2 t. . 1 . 2
з а н и е. f(x)=cos —х; б) ——cos —х+С. Указание. f(x) — — sin — х.
о 4 о 2 3
8|4' •> -2»Ь) +-(о.5,‘+ЗУ '4 8,5 •>+2:” -4+
+|. 816. a)ltg(2x—^+1;б) -1 ctg (зх-^+д/з". 817. а) 2 м. Указа-
н и е. $ (0 = 2 УГн + С, причем С определяется из условия $(0) = 0; б) (6 —
-2Д/3) м. 818. а) х(-0=1; 6) х^ = д/3. 819. а) Нет; б) нет. 820. а) Ре-
ш е н и е. Нет. Если F — первообразная для f на /?, то функция F должна быть
непрерывной на /?, поскольку она на R имеет производную F' (х) = f (х); б) нет.
821. а) Решение. Нет. На интервале (0; 2) значение F(x) = 2 —х, а значит,
F' (х)= — 1 на (0; 2); б) нет. 822. а) Решение. Да. На интервале ( — 2; 0) зна-
чение F(x)=—х3 — 2Х2, следовательно, на этом интервале F' (х)=—Зх2 — 4х;
б) да. 823. а) Решение. На промежутке ( — оо; 1) значение f (х) = 1 — %, по-
х2
этому здесь F(x) = x—— 4-С, а на пРомежутке (1; оо) значение /(%) = %—1, а
значит, F (х)=——%+С|. Так как первообразная F непрерывна на /?, а значит,
и в точке х=1, то /*'(l)=lim
F(x). Отсюда I —I Ч-С|, т. е.
Cj = C4-l, и функцию F можно записать:
х-^-4-С, х<1,
у-х+1 + С, х>1;
б) F(x)=
Qr I 1
824. а) —-- sin 2х + — sin 4х+ С.
о 4
I—2 cos 2x4-cos2 2х 1
—^ — x + C—l, х< —1,
у + х+С, х>-1.
Указание.
— cos 2х\2
-2 )
cos 2% , I 4-cos 4x 3 cos 2% , cos 4% 3
---8--= 8--—+-8“; 6) 8 X+
, sin 2x , sin 4x , „ . 3 4,3 2 , _ %
4-------1--™----PC- 825. a) — — cos — x4~—cos — x4-С. У к а з а н и e. sin —X
4 32 8 3 4 3 3
vz 1 / • 4 2 '
Xcos x=~^ ( s,n 3- x~ sin 3- x
6)
cos 2x
4
СОЯ X
—----1-C. 826. а) Решение.
F(x) =
4 4
На промежутке (—co; 2) значение f(x) = 2x — x\ поэтому здесь /;(х) = х2 —
—z-4-С,. Для %e(2;
О
оо) значение /(х) = х2 —2х, поэтому на данном промежутке
F (х)=——х24~С. Поскольку F непрерывна на /?, то F (2)= lim F (х), откуда
3 х—2
8 8 8
4 —|+С,=|--4 + С. Значит, С, = С—
3 1 3 1 3
Следовательно,
F(x) =
х2 — 4 + С.
3 3
4—J^ + C, х>2;
О
б) F(x)=
-4 + ^ + С. х<0,
О
4-х2 + С, х>0.
О
827. a) F(x) = . 1 . 1 * /Л । б) F(x)=. —4—1. *<0, О
+ 1 ы| - * V £ 4-+-«2+1. -«>о. о
ООО \ X 1 3 .. . 1 3 1.Х
828. a) cos— — — cos —х4~1- Указание. /(х) = — sin — х-sin — ;
7 2 3 2' 7 v 7 2 2 2 2
б)
4" COS -4 X — cos^+^/2. 829. а) Нет.
3 2 2 v ’
Указание. Рассмотрите функцию
/(x) = cos х4" L x^R\ б) да. Указание. Пусть f — нечетная функция, опре-
деленная на /?, и непрерывная. Это означает, что f(—х)= —f (х) для всех x£R.
Поскольку —/(х)= —F' (х), а /(— x)=(F( — х))'= — F' ( — х), то F' (x)=F' ( — х).
Отсюда следует, что (F (х)—F ( — х))' = 0, т. е. F (%)—F ( — х)= С. Поскольку
первообразная F непрерывна в нуле, С = 0. Значит, F(x) = F(—х) для любой
первообразной F. Аналогично разбирается случай с нечетной функцией f.
830. а) Решение. Скорость точки v = С. Так как v (I ) = С + I =4, то
С = 3. Значит, скорость точки изменяется по формуле v (Z) = /2 + 3. Отсюда фор-
i3 1
мула для изменения пути есть $ (/)=—+ 3/ +С,. Поскольку $(!)=— + 3 +
О о
9 /3 9 /3
+ С, = 10, то С| = 6—-. Таким образом, s (/)=—+ 3/+ 6 —-; б)s (/)=—+ 2/ + 25.
О ООО
831. a) s(t) = t2; б) s (0=<2 + cos t- 1.
§ 19
4 4 2 11 I
832. a) —; б) —. 833. a) 106) -. 834. a) 6) 0,5. 835. a) 5 —;
3 3 3 о о 12
I г— г— 2 4
б) 1 -.836. а) у2;б) 1,5. 837. а)2\2 ; б) 1.838. а) 4; 6)3,5. 839. а)-; б)
6 3 3
840. а) 3; б) 32^- 841. а) 6~^ ; 6) . 842. а) 0,5; б) ~ ‘
о Л Л Л
Q 11 3 1 II
843. а) 0,5; б) -. 844. а) -; б) -. 845. а) -; 6) -. 846. а) -; 6) -. 847. а) 1;
О О о 4 4 4 2
б) 848. а) I—Д; б)
4 6
849. а) а = 0,5; б) а<2 — ^/2, а>2 + \Т.
850. а) 30; б) 5-р-. 851. a) —j— • Указание. cos2^-= * - ; б) —у—
1 Ж £ £ £
1 I I 4 I— 4 2
852. а) 26—; б) 13-. 853. а) - ; б) — Д/З . 854. а) - ; б) 855. а) Реше
1Л О L О ОО
н и е. Точки пересечения линий у=\
1 2
Ч(х“('“£))М((2“х)“
и В (2; 0). Поэтому искомая площадь S
2
7
1 2
2 1
Указание. Искомая
1
площадь S = 2 ( (2 — х — х2) dx=^~ . 856. а) ; 6) 13-^-.
J 3 Уо 2
0
Указание. Урав-
нение касательной i/ = 6x—4. Кубическая парабола пересекается с этой прямой
1 г—
Sv2
(2Х3 — 6х+4) dx. 857. а) (л2+
-2
+ 8л — 32). Указание. Касательные к графику кривой y = cosx в точках с
лл у[2 л д/2~+4 д/2~
абсциссами Xj= ——, есть прямые 1/=-^— х-|-----— -----—
/2
2
, лУ/2+4Л[2
8
соответственно. Поэтому искомая площадь S = 2
о
х ) dx\ б) 5 .
Указание. Касательные задаются уравнениями
2
у = 4х—4 и у= — 4х — 4. Искомая площадь S = 2 J (х2-|-4 — 4%) dx. Из равенства
о
треугольников замечаем, что искомая площадь может быть вычислена также по
2 Г~ 2 Г~
формуле S = 2 х2 dx. 858. а) ; б) — Л —18 Д/З 859. а) л д/^" Указа-
J -Z4 оО
о
л
Т
/. __ 32л Л/2
н и е. Искомый объем v— \ лсоэ xdx = л у2 ; б) л. 860. а) v .
Указание. Объем тела
861. а) Решение. Объем
V2 W
v = 2 t (8 — 3x2)dx—2 ( пх2 dx', б) I — л.
J J 15
о о
1 2
f о . . Г Лб/Х Л Л , Л
тела равен лх2dx-^ ——+
19
- 24
49 л
6) л. 862. a) -
Л
~2
б) — у. Указание. J (cos x — д/3~ sin x) dx =
5
dx=2 sin — л — 2 sin
6
— 2 sin
откуда
sin
0, a= —-^-Н-л/г, k£Z. Поскольку a£ —
TO ПОДХОДИТ
= 2
4
2
a
только случай k = 0.
ГЛАВА IV
§ 20
863. a) 10, -,3, 3; 6) 2^-,0,7, -3,2. 864. a) З^д/Э,2аУ/2а, — 7a V?; 6)5a^;
О о
4 3 --- 3 ____________________
36 Д/JT, —З63 Д/Г. 865. а) — 4ab2\5, 5d2b2\4b2\ 6) 7a3b4 Д/3 , — 3ab4 \4a .
,_ 4 ---- 6 --- 4 ---- 3 ________ 4 ----- ----- 4 ------
866. а) -дЖ \4a4, -Д/За6 , \6a4b4; б) Д/-250, -\2b4, Д/5а262, -Д/За464.
4 i--------------------------------------- я
3 г- 4—3— -у /5.- 10 -- « /----— 4
867. а) Д/,бГ<Д/3 ; б) Д/4 <Д/3. 868. а) \Д/99 < Д/10; б) убД/2 <Д/3.
869. а) Д/гд/Г = д/2; б) У/ъу/б <Д/бД/2’. 870. а) ЗД/2б", бД/г”, 2 + д/7;
б) 2 Х/Зб”, 2Д/з”, 3 —Д/3". 871. а) 51 ДГ; б) 4Д/б. 872. а) вУЛГ-ЗО;
б) 17 Д/2” —24. 873. а) 2; б) 10. 874. а) 2; б) 3. 875. а) 4; б) 4. 876. a) ab + b2 — 1;
— 3 — 3 — 3 -- 3 __
б) (а — Ь)2. 877. а) уа; б) уа + yb . 878. а) Д/а2 + уб2. Указание, а — Ь =
3 — 31— Г- 1— 3/- 3 /-
= (Д/а )3-(Д/Г)3; 6)а + 6- 879. а) Ь^Ь-Л/а; б) \Ь2а -Д/а2.880. а) Да; б) нет.
4 4
881. а) Да; б) да. 882. а) 3\а\Л/2Ь, 2а \Ь\у/2-Л/а, -2 |а|62с3д/3; б) 2а&2д/б7,
-2а |ft| \/2-\—а, ЗаЬ |с3| УИа. 883. а) Д/аД Д/га2" при а^О, — Д/2а2 при
4 ___________ 4 __________ 4 ______________________ 4 _ 4 __________
а<С0, — уа564 при 6^0, уаьЬ4 при 6<0; б) — у — Ь7, — уЗЬ4 при Ь^О, уЗЬ4
при b<0j\Jd2b3 при а^О, — а2 Ь3 при а<0. 884. а) д/4~, Д/18~, д/3~; б) Д/Г,
6 --------------------- 6 ----------------------------------------
15._ з л / 5 5 ю._____ л / 5
Д/30, Д/2 . 885. а) уЗ Д/3 , Д/4 , Д/25 . Указание. Показать, что уЗ уЗ =
5 4 10 Г~4-- 16 16 8 10 Г~4- 8
= Уз”; б) Д/2УГ25Д Ард/Г, Д/бГ. Указание. д/бГ=д/в", V 7 VT = д/7,
У2Д/1.25 = д/б’<. 886. а) —27; б) 30. 887. а) 6; б) 12. 888. а) бу; б) —2.
3 ._ 4— 4— — 3 -- 12 --------- —
889. а) —7; 6)6. 890. а) Д/а —Д/ft; б) -\a-byb. 891. а) \а2 + Д/aV + УГ;
6,-------- 3— — — 4 4 3— ь -------
б) а— \а3Ь +Д/Г. 892. а) (Д/h+Д/а )(Д/б — Д/а ); б) а Д/а - 6 Д/а463+63.
893. а) 4~-)^ ; б) 75. 894. а) д/з + 1; б) 0,5 Дэ д/2 + 3 д/б .
895. а) 0,5(44-2 Д^ + Д/Т); б) 0,25 (9-3 д/б' + Д/^б’). 896. а) (1 -ЬД/а’) Д/l-Д/а";
б) (1 - Д/а") Д/ц-Д/а". 897. а) а + А/а2~<’ 6) 1 898 а) । _а. 6) 2ft (а_6)
f> Д/а-Н
4 6
899. a) б) д/а~ (I—Д/Г), а=#=1. Указание. Обратить
уа
внимание на изменение области определения выражения в процессе его
преобразований, в результате чего появляется условие а=#=1.
д/п__________________а 4 — 4__ 4_ ______
900. а) —=---;—-=---------==- ; 6) а Д/Г (Д/а+д/Г). 901. а) Д/а2-4а;
(Д/7 + д/Г+Г) (Д/7-Д/а-д)
б) а. 902. а) — I; б) 1. 903. а) 3; б) 1.904. а) 2; б) I. 905. а) Решение. Обо-
О
значив выражение буквой А, получим А = ^/5 Н- 2 д/Тз~ -У]}/52 —5 = Л]52 — 25 =
з_____
= у27 =3; б) —2. 906. а) I; 6) —23. 907. а) Решение. 1-й способ.
Д/в-Д/28"-Д/в+Д^в- = Д/в-2Д/Г -Д/8 + 2Д/Г = Д/(Д/Г—I)2 — д/(д/г +lf =
= |Д/Г — 11 — |Д/Г + 11 =Д/Г — I — д/Г — 1 = —2. 2-й с п о с о б. Пусть данное
выражение равно Д, тогда Д2 = 8 — Д/ЙГ — 2 д/б4 — 28 + 8Д-Д/ЙГ =16-2-6 = 4.
Итак, Д2 = 4 и А <0. Значит, А = —2; б) 4. 908. а) —6; б) — 10. 909. а) Реше-
н и е. Левая и правая части доказываемого тождества неотрицательны. Значит,
для доказательства тождества необходимо и достаточно доказать равенство
квадратов левой и правой частей:
910. а) Решение. При возведении А в куб воспользуемся формулой (а-|-6)3=
= а3 + Ь3 + ЗаЬ (а + Ь), откуда Л3 = 26-Ь 15 д/з" + 26 — 15 д/з*4-3 Д/262 —3-152 • А,
Л3 = 52-|-ЗЛ, А3 —ЗА — 52 = 0, Л3-64-ЗЛ + 12 = 0, (Л —4) (Л24-4Л 4-16)-
— 3(Д — 4) = 0, (Д — 4) (А2А~4А + 13) = 0, откуда Д=4; б) Указание.
(а — Ь)3 = а3 — Ь3 — ЗаЬ (а — Ь); данное число равно —6. 911. а) у2-р\/з .
□ о (з+^)А/б-
Замечание. Возможно получение ответа ----; легко проверить, что
это число совпадает с V2 + V3 ;
б) Д/а2-|-Ь44-1 • Указание.
о> У?<У?-1) 9|2 а)
Разложить числитель на
913. а)
Решение.
а А- । Ч-Д/я2— 1
« + I — V«2— *
(a+l+V^T)j
(a+l)2-(Va2-l I2
a
множители.
a2 + 2a+ 1 4-2 (a+ 1) Д/a2 — I -|-a2— 1 _ 2 (a24-a-|-(a4- 1) Д/а2 — 1 )
a2 4-2a-И-a2 4-1 2(a-H)
^(a+l)(a + V^F)=a + A/7Zi
a+ 1
при a=# — I.
Замечание. При a — — I знаменатель исходной дроби равен 0, в то же
время окончательный ответ при а— — 1 определен; б) 0,5 (а —\а2 — 4а ).
914. а) 2, а>0, 6>0, а^=Ь\
б) a — b, а>0,
Ь>0. 915. а) Л-
62
б) 0, — I <а< 1, а=#=0.
значениях а, для которых
Указание. Данное выражение определено при тех
1 + а >0 и а=#=0, т. е. при — 1<Са<1, а=#=0. Но при
I —а
найденных значениях а выполняются неравенства 1Д-а>0 и 1—а>0. Значит,
в области определения исходного выражения
д /1Д-а _ Д/i
VI-a yj\~a
Ч-а _д/1—д
*+a Vl+a
.916. а)
д>0, 6>0;б)
\ab
b2
4 (a — b2) ’
a>b2, 6=#=0. 917. а) Решение. Исходное выражение (обозначаемое в даль-
нейшем через Д) определено при а>0, 6>0, а^=6; дальнейшие преобразования
проводятся с учетом этих условий:
Заметим, что из полученного ответа следуют условия а^О, Ь^О. Значит, в окон-
чательном ответе необходимо потребовать лишь ограничения: аУ=6, аУ=0, 6=/=0;
б) , а^Ь. 918. а) а, а^О; б) 4(a —ft), а=£0.
\а
§ 21
919. а) —2; 0,75. Указание. Уравнение, полученное путем почленного воз-
ведения в квадрат исходного уравнения, равносильно ему; проверка корней не
нужна; б) —1,4; 2. 920. а) —11; 7; б) —8; —6. 921. а) 3. У к а з а н и е. По
определению квадратного корня уравнение Д/Зх4-7 =7 — х равносильно системе
( 3x4-7 = (7— х)2, 2 2
< 7 >0 решая которую, найти х = 3; б) 2. 922. а) —у , — 1; б) 2 —, 3.
923. а) б) —1,25. 924. а) 7; б) —8. 925. а) 1. Указание. Сократить
О
2
дробь в правой части уравнения; б) 9. 926. а) —; 7. Указание. х = —2 не
является корнем уравнения, так как при данном значении х не определено вы-
ражение Д/23х—14—Зх2; б) —5; 0,6. 927. а) 3; б) 0. 928. а) -2; б) 0. 929. а) (6; 1),
( — I; — 6); б) ( — 9; —4), (4; 9). 930. а) (65; 3), (5; 63). Указание. Ввести пере-
менные и = Д/х—1 , v=^/y+~l ; б) (23; 11), (7; 27). 931. а) (4; 729). Указание.
3 —
Ввести переменные и=\у, v=\x; учесть, что и^0; б) (125; 16). 932. а) (25; 9).
{Д/х~+W = 8,
Д/х—V7 = 2;
б) (16; 9). 933. а) — 1,5^х< II. Указание. Неравенство равносильно усло-
вию 0<2х + 3<25; б) х>9. 934. а) х<2, х>4; б) — 4<х<3. 935. а) х< —2,
2
х^0,75; б) х= —3, х = —. Указание. Неравенство равносильно уравнению
О
Зх24-7х —6 = 0. 936. а) х^а 1,5. Указание. У]х? + 4 >0 для всех x£R. Зна-
чит, исходное неравенство равносильно неравенству 4х— 6^0; б) x<Z— 3,5.
937. а) х^ —3, х^5 —. Указание. Неравенство равносильно системе не-
3
( Зх2+10х + 7>4,
равенств <
( Зх24- 10x4-7^0, в которой второе неравенство есть следствие перво-
го. Значит, Зх24-10х4-7>4, б) х<0,5; х>2. 938. а) 0<х<1, 9<х<10.
v „ ( x2-10x+9>0.
Указание. Неравенство равносильно системе неравенств J
б) — 10<х<-8, —2<х<0. 939. а) —2; б) 2. 940. а) —11; б) 7. 941. а) Ре-
6
ш е н и е. Исходное уравнение равносильно уравнению 3|х| 4-3 = х2 — 25 (по-
скольку 3|х|4~3>0 для всех полагая |х| =у, имеем у2 — Зу — 28 = 0, отку-
да у = 7 (у= —4 не подходит, так как i/>0). Значит, х= ±7; б) ±6. 942. а) 10;
б) 9. 943. а) Решение. Уравнение имеет не более одного корня, поскольку
в левой части убывающая функция, а в правой части постоянная; легко видеть
(догадаться), что х= 1 — корень уравнения; б) 2. 944. а) —7; 8. Указание.
х=—2 не является корнем уравнения, поскольку в этом случае не определено
выражение }Jx? — x — 20; б) —6; 7. 945. а) 624. Указание. Ввести пере-
4/---- 11
менную у=\х+\\ б) —6,5. 946. а) — 1 —. Указание. Положив
/ 2х 3~
Л/ То получить уравнение б^2 —5i/-|-6 = 0; б)—2,8; 1,1. 947. а) Р е ш е-
V Зх-|-2
{1 4-cos x=sin2 х,
sin х^О; решая уравнение, име-
ем cos2 x4-cos х=0, cosx=0 или cos х= — 1, cosx = 0 при х=-^-4"я^» k£Z, но
условию sinx^O удовлетворяют лишь значения x=-^--j-2jik, k£Z; cos х= — 1
при х=л4-2лЛ, k£Z (при этих значениях аргумента sin х = 0). Решениями явля-
ются числа вида -^-4-2лЛ, л4"2лА’, k£Z; б) —-^-4-2лЛг, л4-2лЛ, k£Z. 948. а) о?—4а
при а^2, нет корней при а<2; б) —4а2 —8а4-4 при — 1, нет корней при
а< — 1. 949. а) 9 —а при а^9, нет решений при а >9. Указание. Уравне-
( а = 9— х, ( х=9 — а,
ние равносильно системе < <
I х^О, I х^О. Условие х^О выполняется
при 9 — а^О, т. е. при а^9. Значит, при а>9 уравнение решений не имеет;
б) а 4-25 при а^—25, а=/=0; нет корней при ас—25, а = 0. 950. а) 2—— при
а^>—4; нет корней при с<—4. Указание. Уравнение равносильно систе-
( х4~а = 4 — х,
ме < откуда
I 4 —х>0,
—-—^4 при —4.
Значит, при с<—4 уравнение решений не имеет; б) ° ? при —3,5; нет
О
корней при а< —3,5. 951. а) (4; 4). Указание. Приведя к общему знамена-
телю левую часть первого уравнения системы, заменить + на 4; б) (9; 4).
952. а) (4; 16). Указание. Из второго уравнения системы следует, что
х^0 и у 7^0. Значит, первое уравнение системы можно записать в виде
(V7+3V^j2=ioo, откуда W 4-3 10 или VT4-3V7=-io (что не-
возможно, так как W>0 и Итак,
W+зд/7=ю,
W—V*=2; б) (25; L).
953. а) Решение. Используя формулу суммы кубов в левой части второго
уравнения, получим
3 3
V7+V7=2,
3 __ 3 __ 3 3 . з _— 3 __ 3 __
(ух 4- \у )( ух2 — уху 4- у у2 ) = 26. Далее полагая ух —иу \у =v, имеем
и 4-и = 2,
и2- uu4-^2=13,
u4- и = 2,
(u4-u)2 — 3uu = 13,
u4-u = 2,
uv =—3, откуда
u = 3,
или
v= — 1
u = — 1,
0 = 3,
тогда
x = 27, ( x= —1,
или {
У=~1 1^ = 27; 6) (64; 8). (-8; -64).
954. а) Решение. Пусть —-— = z, тогда первое уравнение системы при-
мет вид z—— = 1,5, 2г2 —3z —2 = 0, z}=2, z2= — 0,5 (z2 не подходит, так как
z^O). Значит,
= 2, что равносильно уравнению х+2 = 4у. Итак, исход-
( x4-2 = 4i/, ( х=6,
ная система равносильна системе { откуда {
I х — у = 4, I у = 2\ б) (1; 11). (7; 5).
955. а) (— 1; 0). Указание. Исходная система равносильна системе
х 4-3i/4-5 = 4,
2х-г/4-3 = (7г/4-1)2,
7^+1^0; б) (6; —1). 956. а) —1,4 <х<—0,625. Указа-
( 5x4-7<2 — Зх,
н и е. Неравенство равносильно системе неравенств {
I 5x4-7^0; б) нет ре-
шений. 957. а) х> — 1. Указание. Неравенство равносильно системе не-
( х2+3<(х+3)2,
равенств <
( х 4-3^0; б) х£/?. 958. а) Решение. 1-й способ. Не-
равенство равносильно системе неравенств
5 —х^0,
х4- 15С(5-х)2
х4-15>0, решая которую,
получим —15^х^1. 2-й способ (методом интервалов). Пусть /(х) =
= Д/*+15 —х—5, тогда D (/) = [ — 15; оо), причем функция непрерывна на D (/),
что дает возможность использовать метод интервалов для решения неравенства.
Уравнение /(х) = 0 равносильно системе
х4- 15 = (5-х)2,
5 —х^0, откуда х= 1. Расста-
вив знаки значений функции на полученных промежутках, заключаем, что
f (х)С0 при — 15^х^1. 3-й способ. Пусть Д/*+ 15 =у, тогда неравен-
ство примет вид у5 — (у2—15), откуда*-у2 + у — 20^0, —5^i/^4. Таким
образом, — 5^Д/* +15 ^4, 0^x4-15^16, — 15^х^1; б) 1^х^2,8.
959. а) х^—0,25; б) Решение. 1-й способ. Неравенство равносильно
совокупности двух систем
9х2-х-10>0,
Эх2 —х—10>(Зх-2)2,
Зх —2>0,
9х2-х-10>0,
Зх—2<0.
Решая первую из систем, заметим, что первое ее неравенство есть следствие вто-
рого. Значит, ( Эх2 —х—10>(Зх —2)2,
1 3
( Зх—2^0, откуда х^1 —. Решая вторую
систему, получим х^ — 1. 2-й способ (методом интервалов). Пусть
/(х)=Д/9х2 —х—10 —Зх-|-2, тогда D (/) = (— оо; — Ijjpl; оо^. Уравнение
Л ( 9x2-х-10 = (Зх-2)2,
f(x) = 0 равносильно системе < 3
( Зх —2^0, откуда х= 1 — . Расста-
вив знаки значений функций на полученных промежутках, заключаем, что
3
/(х)2>0 при х^ — 1 и при х^1 —. 960. а) Решение. Пусть /(х) =
= (3x2— 16x4-21) 4-5 , тогда D (/) = [ — 2,5; оо), /(х) = 0 при х = 2-^-, х = 3,
х=—2,5. Расставив знаки значений функций на полученных промежутках, за-
ключаем, что f (х)^0 при х= — 2,5 и при 2-^-^х^З; б) —2^х^ —1,4, х=
О
= 11 961. а) х>3. Указание. Неравенство равносильно системе нера-
венств
6 —2х<0,
>? + 7х+ 12>0; б) — 5<х<—3, х>8.
962. а) Решение. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим
х-2 + 2\(х — 2)(х + 3) +% + 3 = 6х- 11, Vx24-x —6 = 2х —6, х24-х —6 =
= (2х—б)2, Зх2 — 25x4-42 = 0, откуда х,=6, х2 = 2 —. Проверкой убеждаем-
О
ся, что х = 6—корень уравнения,
а х = 2±-—посторонний
О
корень; б) 9.
963. а) Решение. Возведя в квадрат обе части уравнения, получим
х+15—2Д/(*4-15)(х-1) 4-х— 1 =х4-6—гД/^-Зб 4-х—6, 74-Д/*2 —36 =
=V^4- Их- 15 , 494-14^-36 4-х2-36=х24-14х-15, Д/^-36 =2-х,
х2 —36 = (2 —х)2, откуда х=10. Проверкой убеждаемся, что х=10 является кор-
нем уравнения; б) 4. 964. а) 8; б) 0,64. 965. а) Решение. Область определе-
( х—4^0,
ния данного уравнения задается системой <
I 8 — 2x^0, откуда х = 4. Подставляя
единственное значение х = 4 из области определения в условие, убеждаемся, что
это корень уравнения; б) нет корней. 966. а) Решение. Область определе-
ния уравнения задается системой
I 5х—16>0, откуда х^3,2. Записав уравне-
ние в виде дСГ+Д^х—16 =3—х, заметим, что 3 — х^О (поскольку сумма двух
неотрицательных величин неотрицательна), тогда х^З. Значит, уравнение кор-
ней не имеет; б) нет корней. 967. а) 0,5. Указание. Положив ^1 —х = у, по-
f— I— 2
лучить уравнение у2 у2-\-у—у2 =0; б) 2 — . 968. а) Решение. Умножим
левую и правую части уравнения на 2 и запишем его в виде 2Х2 — Зх — 6 —
— 2 Д/2Х2 —Зх+2 = 0. Пусть Д/2*2 —Зх+2 = у, тогда уравнение примет вид
у2 — 2у — 8 = 0, откуда У = 4(у =—2 не подходит, так как i/^О.) Имеем
Д/2Х2 —Зх+2 =4, откуда 2Х2 —Зх—14 = 0, xt = —2, х2 = 3,5. Заметим, что все пре-
* г 1 1
образования равносильны, поэтому проверка не нужна; б) —5 — ; 3* *
969. а) Решение. Уравнение равносильно системе
| —2 cos х = 4 cos 2х+3,
I cosx>0. Решая уравнение, получим —2 cos х = 4 (2 cos2 х—
— 1) + 3, 8 cos2 х+2 cos х—1 =0, откуда cos х=0,25 (cos х=—0,5 не подходит,
2
так как cosx>0). Итак, х= ±arccos 0,25 + 2 л/г, k£Z\ б) ( — 1 )* arcsin — +
О
+ л/г, k£Z. 970. а) л + 2л/г, k£Z. Указание. Уравнение равносильно системе
f l+4cos2x=l—4 cos х,
( 1—4cosx^0. Решая уравнение системы, получить 2cos2x +
+ cos х— 1 =0, откуда cos х= — 1 или cos х=0,5, что не удовлетворяет условию
1 —4 cos х^0; б) —-^- + 2л/г, k£Z. 971. а) Решение. Уравнение равносильно
системе
cos
sin2 х + 1,25 = (0,5cos х)2,
решая уравнение системы, имеем cos
sin2 x-t-1,25=0,25 +cos x+cos2 x,
cos
cosx=0, 2 sin
0, откуда sin
0,
x= —*^ + л/г, k£Z, но при нечетных /г = 2л + 1 получаем х=-^- + 2лл, n£Z, кото-
6 6
рые не удовлетворяют условию cos х^ —0,5. Значит, решением уравнения явля-
ются числа — -^-+2лл, n£Z (полученные при четных /г = 2л); б) —-^- + 2л/г, k£Z.
о 3
972. а) л/г,— arccos —+ 2л/г, k£Z. Решение. Уравнение равносильно системе
О
( 6 sin х cos 2х= — 7 sin 2х,
X sin 2x^0; решая уравнение системы, имеем 6sinxcos2x=
= — 14 sin xcos х,— откуда, во-первых, sinx = 0, х = л/г, k£Z (в этом случае
sin2x=0, т. е. полученные значения удовлетворяют системе); во-вторых,
3 cos 2х= — 7 cos х, откуда 6 cos2 х + 7 cos х — 3 = 0, cos х= — 1,5 (не удовлетво-
ряют условию |cosx|^l) или cosx=-^-; отберем корни уравнения cos х=-^- ,
О о
удовлетворяющие условию sin 2x^0: sin 2х=2 sin х cos х. Значит, необходимо
выполнение условия sinx^O, так как sin 2x^0, a cosx=-^->>0. Итак
х=—arccos у2л/г, k£Z (в случае х= arccos-^-4-2л/г, k£Z имеем sin х>0);
б) л-|-arcsin 0,25-|-2л/г, k£Z. 973. а) (9; 1). Указание. Записав пер-
вое уравнение системы в виде +V7)2-(V^+W )= 12, положить
Д/х~=t> тогда /2 — I— 12 = 0, откуда / = 4 (/= —3 не подходит, так как /^0).
Итак,
(ух-\у=Ъ б) (25; 9), (12,25; 20,25). 974. а) Решение.
Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы, получим
x+i/ + 2 У(х + «/)(2х+«/ + 3) +2х + у + 3 = 49, откуда 3x4-2г/4"
+ 2 У(х+у)(2х+«/ + 3) = 46, но 3x+2i/ = 22 (второе уравнение системы). Зна-
чит, 22+2V(x+i/)(2x+i/ + 3) =46, Л](х+у)(2х+у + 3) =12, (х+у)(2х+у +
22______________________________________________________Зх
-|-3)= 144; выражая у через х из второго уравнения у=----♦ получим
22-Зх
2
22-Зх
2
144, откуда x24~6x —40 = 0, xt= — 10, х2 = 4,
тогда i/i=26, 1/2 = 5; 5) (—2; 3), (12; 24). 975. а
У к а-
з а н и е. Из первого уравнения системы следует, что если у = 0, то у2 — 4х2^0,
откуда —х2^©, т. е. х = 0, но пара (0; 0) не удовлетворяет второму уравнению
о 2 л J2 гч ( У2~ 4х2 = 0,
системы. Значит, у —4x^ = 0, система принимает вид <
I x4-i/ = 5,
откуда
у — 2х=0, ( г/4-2х = 0,
или {
х4-^/ = 5 ( х-|-г/ = 5; б) ( —1;
976. а) (3; 2).
Указание. Переписать первое уравнение системы
в виде
3j/2 — 2х— 15 + 3 V3j/2 —2х+3 =0 и, положив Уз«/2-2х+3 = г, получить
z2—184~3z = 0, откуда z = 3 (z=—6 не подходит, так как z^0). Значит, исход-
{Зу2-2х+3 = 9,
Зх—2i/ = 5;
. 977. а) Р е-
ш е н и е. Запишем первое уравнение системы в виде х2— г/24-(х4-^)Х
X — у
-------12 = 0. Для внесения (х4-£/) под знак корня рассмотрим два случая.
х । У
1) Пусть х4-^/>0, тогда
——— — 12 = 0; положим у/xP—y2 =z,
х4-!/
4
получим z2-pz—12 = 0, откуда z = 3 (z—— 4 не подходит, так как z^O). Итак,
, 2 о f Jt2—!/2=9 ( х2=25,
л —у = 9, и система примет вид < <
( x2-j-y2 = 4l, ( i/2=16. Последняя система
имеет 4 решения, из которых условию х-}-у>0 удовлетворяют лишь два из них:
(5; 4), (5; —4). 2) Пусть х-Pry С О, тогда
(* + #)2‘ Х , У — 12 = 0; поло-
*+у
жим У/х^ — у2 = z, получим z2 — z— 12 = 0, откуда z = 4 (z = —3 не подходит, так
как z^O). Итак, х2—i/2=16, и система примет вид
X2 — У2 =16,
х2 + «/2 = 41
№=28,5,
!/2= 12,5.
Последняя система имеет 4 решения, из которых по условию % + i/<0 удовлетво-
ряют лишь два: (— д/28,5 ; д/12.5 ), (— ^28,5 ; — д/12,5 ); б) (5; 3), (5; —3),
(—Д/29,5; V4T), (—У29,5; —У^ЁГ). 978. а) 1<х<а2+1 при а>0, нет реше-
ний при а^О; б) х^а2 — 1 при а>0, х^ — 1 при а^О. 979. а) Решение.
Пусть /(х) = Ух2 + 2х—8 +2х— 12, тогда D(/) = (— оо; —4]U[2; оо). Уравнение
/(х) = 0 равносильно системе
х2 + 2х — 8 = (12 —2х)2,
12 —2х>0, решая которую получим х=4. Расставляя знаки значе-
ний функций на полученных промежутках, заключаем, что /(х)<0 при х^ — 4,
2^х<4; б) 0<х^2, х^8. 980. а) 1,6^х^2. Указание. Неравенство
равносильно системе неравенств
х-р4
2х—1
>5х-8,
5х — 8^0;
6) 1. 981. а) 0<х<у.
Указание. Ввести переменную £/= у----------- и» учитывая, что у^0, по-
лучить i/^З; б) 0^х^1. Указание. После введения переменной у =
Л Г~х
= \ /—---- и решения квадратичного относительно у неравенства получить
—. / х х
\ —----1, что равносильно условию 0^—-------1- 982. а) Решение. Не-
V X £ X
( х>0,
равенство равносильно совокупности двух систем <
5х2-р6х-р1^1 или
{х<0,
5х2-рбх-р 1 >0, решая которые находим х>0 (из первой системы), х^ — 1,
— 0,2^х<0 (из второй системы); б) —у^х<0. 983. а) — l^x^l, х= — 2,
хт=3. Указание. Целесообразно при решении использовать метод интервалов;
6) 2<х<3, х= —1.
§ 22
984. а) Возрастает от — до 81; б) убывает от 9 до —. 986. а) —4; б) —6.
987. а) —1; б) 3. 988. а) 2; б) 2. 989. а) 1; б) 1. 990. а) 2,5; —0,5; б) —0,5; — 1,5.
О
991 а) ±^- + 2лп, ngZ; б) (— 1 )*+1 ^-+nk, k£Z. 992. а) 2; б) 2. 993. а) 3; б) 5.
3 6
994. а) 2; б) 3. 995. а) 3; б) 3. 996. а) 2; б) 1. 997. а) 3; б) 2. 998. а) (— оо; 1);
б) (1; оо). 999. а) (0; оо); б) (0; оо). 1000. а) ( — 2; 2); б) (— оо; —1)11(1; оо).
1001. а) (1; 2); б) (1; 3). 1002. а)(-оо; -2]U[2; оо);б)[-3; 3]. 1003. а) [ — 3; 3];
б)( —оо; — 3]ЩЗ; оо). 1004. а)(-оо; —1)11(1; «>); б) ( - 4; 4). 1005. а)х —лю-
бое действительное число; б) х— любое действительное число. 1006. а) (2; оо);
б) (2; оо).1007. а) Убывает от 27 до 1, затем возрастает от 1 до 81; б) убывает от
7
4 до 1, затем возрастает от 1 до 8. 1009. а) 3; — —; б) 0,25; 4. 1010. а) ( — 1 )ПХ
X-j^+yn, б) —^-Ч-лл, ngz. 1011. а)±1;б)±2. 1012. а) 0,5;—0,25; б) 3; 0.
1013. а) 0,5; —0,5; б) I. 1014. а) 6; б) 1,5. 1015. а) ±Д/3; б) ±VT.
1016. а) (—оо; —3]U |^-; оо); б) ( —оо; —2]U(0,2; оо). 1017. а) |— 2,5; 0,25];
б)
[41]
. 1018. а) (— 2; 1); б)( —оо; — 1)1_1<2; оо). 1019. а)(1; оо); б)( —оо; 0).
1020.а)]—2,5; —l,5];6)(-oo;2,5|U[3,5; оо). 1021.а)(—5; — 3)(J(3; оо);б)(—оо; —2)(J
(1; 2). 1022. а) (1; 2)U(5; оо); б) (— 1; 3)(J(6; оо). 1023. а) [— 1; 1 — у/2 ](J[1 Ч-W; 3|;
б)(—1; 1—Д/2]U114-^2”; 3]. 1024. а)( —oo;2)U(2; 3]; б)(— оо; — 1,5)U( — 1.5; 3|.
1025. а) Когда х возрастает от —2 до \,у убывает от 27 до 1; когда х возрастает
от 1 до 3, у возрастает от 1 до 9; б) когда х возрастает от —3 до — 1, у убывает
от 4 до 1; когда х возрастает от — 1 до 2, у возрастает от 1 до 8. 1026. а) График
изображен на рисунке 48; б) график изображен на рисунке 49. 1027. а) 2;
Рис. 49
3. Указание. Преобразуйте к виду (х — 3)(3* * — З^3 х) = 0; б) —4; 4;
2. 1028. а) 0; 6; б) 0; 2. 1029. а) лп, n£Z. Указание. Уравнение привести к
виду 22cos х~* — 3-2C0S *4-4 = 0 и решить заменой переменной 2C0S х = у\ б)
4- лп, n£Z. 1030. а) —2. Указание. Разделить обе части уравнения на 9х=^=0 и
заменой переменной =у привести его к квадратному; 6)0; 1. 1031. а)(— оо;
— 4)11(0; оо); б) ( — 3; 0). 1032. а) (-оо; 2); б) (3; оо). 1033. а) ( — 1; 1). У к а-
зание. Зх2+2-Зх2-|>5л2+14-5х2_|, 3х2-1 (З3- 1)>5?_1 -(52+ 1),
>5?~', (4)?_|>3О. х2—КО; б) |0;4). 1034. а)(-оо; —2](J
и[5; оо). Указание. Решение свести к рассмотрению двух систем
х>5 ( х<5
/-7*+10>0 и I ?-Зх-10>0;
б) (—оо; —3]U[4; оо). 1035. а) (—оо;
g (f (х)) = 2«2х; исходное неравенство
2х<2, х< 1.
0); б) Решение. /(g(x)) = 22x,
равносильно 22х<2-2х, откуда
§ 23
2 7 V2
1036. а) 1±; б) 5. 1037. а) 1 — ; б) 225. 1038. а) 0,5; б) . 1039. а) 64; б) 27.
1040. а) 3; б) 4. 1041. а) 0,5; б) 0,5. 1042. а) б) 2. 1043. а) (- 1)*-£- + лЛ,
У о
б) ±^ + 2лЛ, 1044. а) 2; б) 1. 1045. а) 2; б) 3. 1046. а) 4;
б) —1. 1047. а) 1; б) 2401. 1048. а) — j + nfe, ££Z; б) -^- + nfe, k^Z-
1049. а) — -|-2л/г, k£Z. Указание. Из данного уравнения находим sin х=
4
= cosx, tgx=l, k£Z. Для того чтобы обеспечить условия sinx>0,
cosx>0, необходимо записать х=^--}-2л1г, k£Z\ б) ^--\-2лк, k£Z.
4 3
1050. а) ±4+2л*. k$z-
О
системе
Указание. Исходное уравнение равносильно
2 1 1
cos х—— cos х=— ,
cos х>0, из которой cos x=-i-;
б) k£2-
О
§ 24
1051. а) у возрастает от —2 до 3; б) у возрастает от —2 до 5. 1052. а) [2,5; 3].
б) [-2; 1). 1053. а) (-оо; -3)U(2; оо); б) (-1; 3). 1054. а) (2лЛ; л + 2лА>),
k£Z\ б) 1 + 2лЛ; у + 2лл), k£Z. 1055. а) (j + лЛ; у + лл),
б) 1057. Указание, а) у = х, х>0; б) у = х— 1,
х>1. 1059. а) [-3; 0)U(0; 3]; б) [-2; 1)Щ1; 2]. 1060. а) [-4; 2)U(3; 4]. У к а-
з а н и е. Область определения данной функции — множество решений системы
( 16—№>0,
неравенств {
I х2-5х + 6>0; б) [-5; —3)(J(1; 5]. 1061. а) [-1; оо). Ука-
зание.
lg(x+2)>0,
х+2>0;
х+2> 1,
х+2>0;б)[4; оо). 1062. а) [-3; 0)11(2; 3];б)[-7;
— 3)11(0; 7]. 1063. а)
^• + 2лл; -^- + 2лл) , ngZ; б) 0^ + 2лп; -у- + 2лл) , n£Z.
1065. а) График изображен на рисунке 50. Указание. у= 1 —л2, причем
— 1 <Zx<Z 1; б) график изображен на рисунке 51. Указание. у = £— 1, при-
х— Iх| >0,
х—2 > 0;
чем х< — 1, х> 1. 1068. а) (2; оо). Указание. Решить систему
б) [0; оо). 1069. а) [3; оо), 2. Указание. Арифметический квадратный
корень определен на множестве неотрицательных чисел; следовательно,
(х2 — 3x)-lg2(х—1)^0. Чтобы решить неравенство, рассмотрим два случая.
1. (х2— 3x)-lg2(x—1)>0. Это неравенство равносильно системе
х<0, х>3,
х2 —Зх>0,
х—1>0,
х-1=^1,
2. (х2 — Зх)-lg2(х— 1 ) = 0, откуда х=2, х = 3; б) [0; оо); — 1.
1070. а) ^2лЛ; -^ + 2лл)и(-^- + 2лЛ; ^-4-2n^U^ + 2nfe; n + 2nk^, k£Z;
6) (—£ + 2лй;-у + 2лл)и(-у + 2лй; у+2лл)и(у+2лй; 2 + 2nfeY ftgZ.
1071. a) (0; 1)U (Ю; 00)• Решение. Для нахождения области определения
. . ( lg2*—lgx>0,
данной функции рассмотрим систему <
( х>0. Поскольку lg2 x—lg х=
— lg х (lg х— 1)» то следует рассмотреть два случая. 1.
lgx<0,
*>0, откуда 0<х<1.
2 Г lgx>l,
’ I х>0, откуда х> 10; б) (0; 0,l)U( 1; оо). 1072. а) [о,1; у] ;
б) [0,1; л](_|[2л; Зл]. 1073. а) (0; л)Щ2л; 7]; б) (-л; -у)и(о; y)ll(*; 4].
1074. б) График изображен на рисунке 52. 1076. а) График изображен на рисун-
ке 53. Указание. Исключить из рассмотрения участки графика i/ = sin х, для
которых sin х^0, так как 1g у не существует при г/^0. Если х возрастает от 0 до
Рис. 55
y = log2x
y=log2log2x
(т. e. Igx) возрастают от —оо до 0 (см. график функции ^/=lgx). Если х воз-
растает от до л, то sin х убывает от 1 до 0. Но если числа убывают от 1 до 0, их
логарифмы (т. е. Igx) убывает от 0 до —оо. Рассуждения для промежутков
(2л; Зл), (—2л; —л) и других аналогичны. 1077. б) График изображен на рисунке 54.
1079. а) График изображен на рисунке 55. Указание. Построив сначала
график функции ^ = log2x, исключить из рассмотрения часть графика, для кото-
рой log2x^0, т. е. часть графика на промежутке 0<х^ 1. Если х возрастает от
1 до 2, то log2 х возрастает от 0 до 1. Но если х возрастает от 0 до 1, то log2 хъоз-
растает от —оо до 0. Для промежутка [2; оо) рассуждения аналогичны.
§ 25
1080.a)lgx=| + l|ga;6)lgx=|lga-|. 1081. а) |; б) А . 1082. а) 10; 6)4.
1 3 1
1083. а) - ; б) 72. 1085. a) lg х=--- lg a; б) lg х=
3 1 __
---Iga. 1086. а) УЙГ;
б) 0,001. 1087. а) — у; б) у. 1088. а) ±; б) —5. 1089. Указание.
5 2 8 2
а) i/ = 2log2|x|; б) j/ = 3log3x. 1090. а) lgx=-—— — Iga; б) lgx=———— Iga.
1 О kJ kJ
1091. а) Первое; б) второе. 1092. а) Первое. Решение. 7,og5 2 * * = 2,og5 7; следо-
T ,о£б 15 logfi 15 T "o'
вательно, необходимо сравнить вторые слагаемые; 6 = (6 ) =15 =
3 __ 3______________ 6_____ 6________ 3________________
= у!5; заметим, что у15 = у225 , уб = у216 ; следовательно у 15 > уб ; б) вто-
рое. 1093. а) Первое; б) первое. 1094. а) График изображен на рисунке 56.
Указание. ^ = log2 |sin х|; б) график изображен на рисунке 57. Указа-
ние. у = log05|cos х|. 1095. а) Первое. Указание. Iog2 3-|-log3 2 =
= log234——!— >2, log5 5”^5~= logs 51,5=: 1,5; б) первое. 1096. а) Первое.
Указание. 4>л; б) второе. 1097. а) 2 —2a. Решение. Iog6 9 = log6-— =
4
2
= log6 36 —log6 4 = 2 —2 log6 2 = 2 —2a; 6) 1—— a.
□
§ 26
1098. a) ±2; б) ±2. 1099. a) 16; б) 4. 1100. a) 9; б) 3. 1101. a) 6; —2; б) 2.
1102. a) 6) +^. 1103. a) —1; 2; 6) —5; 2. 1104. a) 3; 6) 3. 1105. a) 3,5; 6) 2; 5.
1106. a) 0,5; 6) 4; 1. 1107. a) 10; -J-; 6) 100; 0,01. 1108. a) 1; 6) 0. 1109. a) 9;
8 10
6) 25. 1110. a) 0,1, VuT; 6) 10; —. 1111. a) 2; 6) 1. 1112. a) 4; 6) 9. 1113. a) 1;
V10
6) 2. 1114. a) 6) ± 1. 1115. a) j + y*. k£z'< 6) y + j*. ,H6- a> 0;
3,------ 1 1
6) 2. 1117. a) 0; 6) 0. 1118. a) 14; 6) 3. 1119. a) 10; б) Д/Ю000.1120. a) 25; — ; 6) 9; - .
25 9
1121. a) 4; 6) 2. 1122. a) 3; ; 6) 100. 1123. a) ; 3; 6) 64. 1124. a) 2; 6) 1. 1125. a) 0; 1;
6) 0; 1. 1126. а) Решение. Заметим, что x=3— корень уравнения. Если
х>>3, то уравнение примет вид (х—3)(lgx—2) = 0, откуда х= 100. Если
0<х<3, то уравнение примет вид (х—3) (1g х-|-2)=0, откуда х=0,01; б) 10; 0,1; 5.
1127. а) 5; б) 5. 1128. а) 4; 2; б) -L; 2. 1129. а) 1; 9; б) 1; 16. ИЗО. а) -^- + 2лл,
16 о
n£Z. Указание. Привести уравнение к виду 21og3( — cos х) — log3 sin х =
=———log94. Преобразовав правую часть ———log94 =—log93 — log94 =
in i in—05 xr (—COS x)2 1
= — 12 = Iog3 12 далее необходимо решить уравнение ---------—=—\
sin х Д/12
и выбрать множество значений х, для которых выполняются условия sinx>0,
cos х<0; б) —-^-4-2лп, n£Z. 1131. а) -^-4-2ли, п= 1, 2, 3 ...; -^- + 2ли, и = 0, 1,2,
Зоб
3 ...; б) —-^-4-ли, п= 1, 0, — 1, — 2 ... . 1132. а) 7. Указание. Iog8 х-logx 16 =
_ iog2x iog2 16 4 2
log2 8 log2 x 3 ’
§ 27
1133. a) ( —oo; 0); 6) (0; 0,75).
6) (2; 3,5). 1136. a) (2,5; 6); 6)
1134. a) (-0,5; 2); 6) 01; oo). 1135. a) (1; 2);
fl; 4). 1137. a)(l; 2]; 6) (9; 00). 1138. a) (1; 00);
6) (0; 1). 1139. a) ^ + 2nfe; -^-+2nfe), ft£Z; б) (-у + 2лЛ; y+2nft), k£Z.
1140. a) f — 11; 1); 6) (1,455; 1,5). 1141. a) (100; 1000); 6) (0; 0,01)(J(10; 00).
1142. a) (-3; - 1)U(3; 00); 6) (-10; —4)(J(6; 00). 1143. a) [0,25; 1)U[2; 00);
6) (0; l)(J[100; 1000]. 1144. a) (1; 3]; 6) (2; 3]. 1145. a)(0; 1 )U( 1,5; 00); 6)
U(l; ею). 1146. a) (1; 00). У к a 3 а н и e. Данное неравенство равносильно нера-
венству 24“х<64-2ж, откуда 22х4-6-2х —16>0. Пусть 2х = у, тогда у2-\-Ъу—
—16>0, £/<—8 или i/>2, 2х>2, х>1, 2Х<—8; неравенство не имеет реше-
ний; б) (0; оо). 1147. а) ( — 10; —0,001). Указание. Учитывая, что
lgx2 = 2lg(—х) в области х<0, и записывая неравенство в виде
lg2( — х) + 2 1g ( — х) — 3<0, получаем 0,001 < —х< 10; б) ( — оо; —1000)U
U( — 0,1; 0). 1148. а) (4; оо ); б) (0; оо ). 1149. а) (5; 6). У к а з а н и е. Неравен
ство равносильно системе Г х2 —х —20<х + 4, б) (— 1; 1). 1150. а) [ — 3; —1)11
( х2 — х — 20>0;
U(l; оо); б) [0,3; 1). 1151. а) х=1, х>д/2; б) (0; 1 )U(Г, 3). 1152. а
U
U(0; 1). Указание. Неравенство равносильно совокупности двух неравенств
Ц-1>2 и 14-1<-2; б) (-оо; O)U0; l)l)(y: °°) ,|53- аН-°°; -•)
Указание. Неравенство равносильно неравенству
2х— 1
——>2; б) [1,5; оо).
Л I 1
Указание. Неравенство равносильно системе
l°g3 ——р^1, Первое нера-
log3-^-j->0.
X
X — 1
венство системы равносильно условию
0<
^3, откуда х<0, х^ 1,5. Второе
неравенство системы равносильно неравенству
х
х— 1
> 1, откуда х>> 1.
§ 28
1154. a) (log6 2; 0), (0; log6 ?); б) (2; 1). 1155. а) (0,5; 8); б) (1 ;9^. 1156. а) Ре-
ш е н и е. Из второго уравнения х^ = 36; следовательно, 5x4-6 = 36, откуда х = 6,
у = 2; б) (5; —3). 1157. а) (9; 3); б) (4; 2). 1158. а) (1; 3); б) (0,25; 2). 1159. а) (27; 3);
б) (8; 4). 1160. а)(0,1; 16); б)(10; 8). 1161. а) (2Д/3; 2), (— 2 Д/з"; — 2); б) (1; 2 ^2),
(— 1; —2 д/2”). 1162. а) (1,5; 2), (I; 3). Указами е. Данная система уравне-
ний равносильна системе ( (2х—у)2=1, б) нет решений. 1163. а) (—1; 10),
I 2х 4-^ = 5;
(1 ± ; 3,б); б) (6,6; 2,2). 1164. а) (4; 2); б) (3; 1). 1165. а) 000; ±^+2япу n£Z.
Указание. Обозначим lgx=u, cos# = u, тогда данная система примет вид
{2и— и = 4,5, откуда и = 2, и=— ; следовательно, lg х=2, cosy=—у ;
и -|- би = — 1,
б) (VF; (— 1 )*+'^--1-k£Z. 1166. а) (5; 2); б) (100; 0,1), ; -д=).
1167. а) (25; 5), (5; 25). Указание. Заменой log^ х=/ первое уравнение при-
вести к виду /4-у=2,5; б) (1; 2), ^1 ; 1,2^. 1168. а) (1; 2). Указание. Почлен-
но сложив первое и второе уравнения, получить у = 2х\ б) (1; 4). 1169. а) (3; 0,5),
(VT7 — 1 1 \
——-л----; — ). Указание. Заменой
4 2/
log2x=u, log2# = u получить u2v2 = 1 4- и2 — у2, откуда (1 4- и2)-( 1 — и2) = 0,
г. е. и2=1, log2#=±l, у = 2 или ^/ = 0,5. Подставляя значение у = 2 во второе
уравнение, получить уравнение log2(x4-2) = log2 х, которое не имеет решений.
Подставляя значение i/ = 0,5 во второе уравнение системы,’получить уравнение
1°&г (х4~0,5)= —log2x, решая которое найти х= ; б) (0,5; 1,5), (1,5; 0,5).
§ 29
1171. а) ех, 1; б) 2х-In 2, In 2. 1172. a) ex-(cos х —sin х), 1; б) ex-(sin x4-cos х), 1.
.ч 1— In х , 2(1 — In х) 2 „
1173. а) ----— , 1; б) —-------- , — . 1174. Указание. # = sin х, sin х>0;
х2 Зх2 3
б) ^ = 4 —х2, 4 —х2>0. 1175. а) ^ = х4-1; б) у = х— 1. 1176. а) Возрастает на
(—оо; —2] и на [0; оо), убывает на [ — 2; 0], х= — 2 — точка максимума,
х = 0 — точка минимума; б) возрастает на (—оо; —2] и на [0; оо), убывает на
[ — 2; 0], х=—2 — точка максимума, х = 0 — точка минимума. 1177. Указа-
ние. /' (х) = 2х( 1 4-х In 2); б) f'(x) = 3x-(14-xln3). 1178. a) f(0)=l; б) /(0)=1.
6) JL 1183. а) 4---------б) 4 (е----------!=\ 1184. а) 4 In 2; б) 2 In 4. 1185. а) 1;
In 2 е3 V Л/е /
б) In 2, In 3. 1186. . 1187. а)5; б) 2. 1188. а) (- оо; — 2)Щ2; оо);
е2 уе
б)(— оо; —2)U(2; оо). 1189. а) (-оо;-0;б) ^2; 21). 1190. а) (в;-0U(e2; оо);
б) Q; е’У 1191. а) 0,5; б) -4л. 1192. а) ; б) ~3~^~1п4 <<93. а) 4;
2 4
б) 2. 1194. а) 1; б) — 1. 1195. а) — -—- ; б) — -—- . 1196. а) График изображен на
In 2 In 3
рисунке 58; б) график изображен на рисунке 59. 1197. а) (0; 2); б) (0; 1).
1198. а) у = 2х, рис. 60; б) ^/ = 0,5x4-1, рис. 61. 1199. а) Возрастает на [ — 4; — 1|
232
и на [0; оо), убывает на (— оо; —4] и на | — 1; 0]; б) возрастает на
на [Г, оо), убывает на
и на [0; 1]. 1200. а) Возрастает на проме-
жутке [1; оо), убывает на промежутке [0; 1J; б) возрастает на (0; 2], убывает на
[2; оо). 1201. а) Возрастает на промежутке (—оо; 2|, убывает на промежутке
4
[2; оо), х=2 — точка максимума, /(2) = —«1,5, f(x) = O при х = 0, /(х)>0 при
е
х>0, f (х)<0 при х<0. График изображен на рисунке 62; б) убывает на проме-
жутке (—оо; — 2|, возрастает на промежутке [— 2; оо), х= — 2 — точка миниму-
ма, f ( — 2)= — —« — 2,9 f(x) = O при х = 0, f(x)>0 при х>0, f(x)<0 при
е
х<0. График изображен на рисунке 63. 1202. min f(x) = f (0) = 2, max f (х)=
[-1; 1] (—; i]
=/(•)=/(- 1)=е+-; б) max f(x)=f (- 1)=-^ • min f(*)=W)=A
e [-1; 2) In 2 [-1; 2] In 2
1203. F (x) = 3 In (— x) — 2e~2x. Указание. Общий вид первообразных есть
F (х) = 3 1п (— х) — 2е~2х+ С. Из условия F ( — 1)= — 2е2 находим —2е2 =
= 3 In 1 — 2е2 + С, откуда
9х
= 4 1п%+-—— . 1204. а)
In 9
С = 0; б)
16 .
5 In 5 ’
F(x) =
«> 1
1205. а) е— 1. Указание. Отразить
трапецию симметрично относительно
1
оси абсцисс, S = ^exdx = ex\lQ = e—1
о
(рис. 64); б) Указание. Отра-
зим трапецию симметрично относитель-
1
С 2х I 1
но оси абсцисс, S = \2xdx=-—— =
J In 2 I о
о
9* _ 9° I 1 7
= 1206. a) e-|-\ б) 3. 1207. a) 6-3 In 3; 6) 4 In 4-3.
1208. a) ei~ * ; 6) 0,5. 1209. a) e\ 6) 6. 1210. e2; . Указание. Пусть x'nx=y,
2 e
тогда e’n x=(e,nx)’nx=x,nx = ^. Уравнение примет вид 2^/ = 2e4, откуда y = e\
Далее имеем xlnx=e4, ln2x = 4, 1пх=±2; б) е2; . 1211. а) (; 11;
-a/5")U(V5; оо ). 1212. а
б) ( — оо;
) (-1; з); б) ( — 5; - 1)0(3; 5).
1213. а) (0; 1 )0(е; оо); б) (o;-L)u^: e^U(e3; оо). 1214. а)-1. 1215.а)Гра-
фик изображен на рисунке 65. Указание. ^ = |1-|-—|, х=/= — 1; б) Ука-
зание. у=\— cosx, х=/=2л£, k£Z. 1216. а) у=— 6x4-10; б) у=— 4 In 2-х;
у=4 1п 2-х— 16 In 2. 1217. а) Указание. Пусть а = 4. Уравнение касатель-
4 1 8
нои у =-----х4---* где хо— абсцисса точки касания. Координаты точки пересе-
Xq Xq
чения касательной с осью абсцисс (2х0; 0). Далее используется теорема Фалеса
(рис. 66). 1218. а) Функция возрастает на —; 1J , убывает на оо; — — j и
на [1; оо); б) функция убывает на [е; оо). Достаточно заметить, что
f (e)>f (^) f—\ откуда ея>л‘?. 1219. а) 2; б) 4— —(рис. 67).
уел/ In 2
1 1
1220. Решение, a) S = 2 ((е— 1) — (ех— 1)) dx=2 $ (е — ех) dx=2 (рис. 68);
о о
2 2
б) S = 2(3-(2'~ 1))dx = 2\(4-2')dx=2 (tx--^-) I *=2
J J \ Ill X J । О у 1П £ J
о о
ГЛАВА V
§ 30
1221. | —1; 2|. 1222. 2, —4. Указание. Рассмотреть три промежутка:
1) х^ 1, тогда х— 1 -|-х-|-3 = 6, х = 2; 2) — 3<х< 1, тогда 0-х = 2, нет решений;
3) х^ —3, тогда —2х = 8, х= —4. 1223. — 1,5; —3,5. Указание. Необходи-
мо рассмотреть четыре промежутка. 1224. 4, —2. Указание. Данное урав-
нение можно записать в виде |х—112 —2 |х—11 —3 = 0, откуда а) |х— 1|=3,
х—1=3, х=4, х—1 = —3, х= — 2; б) |х — 1| = — 1, нет решений. 1225. 3,
— 5. Указание. Уравнение привести к виду х24-2х4~ 1 =2 |х4- 11 4-8, отку-
да |х4-И2 —2 1x4-11—8 = 0. 1226. 2. 1227. [0; 3]. 1228. (1; оо). 1229. [ — 4,5; 1,5].
1230. [—д/б"; —1)U(1; 3]. Знаменатель дроби равен нулю в точках х=1,
х= — 1. Рассмотреть промежутки х>1, 0^х<1, — 1<х<0, х< — 1.
1231. График изображен на рисунке 69. У к а з а н и е. х^ 1, # = 3х, —0,5<х< 1,
# = х4-2, х^ —0,5, у= —Зх. 1232. График изображен на рисунке 70. Указа-
ние. у = |2х—3|4"2х. 1233. График изображен на рисунке 71. 1234. График
изображен на рисунке 72. Указание. х>3, # = 3x4-2, — 1^х<3, # = 3х,
х< — 1, # = х —2. 1235. График изображен на рисунке 73. Указание. Вве-
сти новую переменную х2 = и, тогда у=\и — 4| — \и — 9|. 1. Если и^4, то
у = — u-j-4-j-u — 9, у=— 5; х?^.4 при — 2^х^2. Таким образом, у=— 5 при
— 2^х^2. 2. Если 4<и<9, то у = и — 4-j-u — 9, у = 2и — 13; 4<х2<9; если
— 3<х<—2, 2<х<3. Таким образом, г/ = 2х2—13 при — 3<х<—2,
2<х<3. 3. Если и^9, то у = и — 4 — ц-|-9, у = Ь\ х2^9, х^—3, х^З. Таким
образом, у = 5 при х^ — 3, х>3. 1236. График изображен на рисунке 74.
у ^^ = 4 — наименьшее значение функции. 1237. Уравнение имеет одно реше-
ние при а = 0, а> 1, — 1; два решения при — 1 <а<0; не имеет решений при
0<а^1 (рис. 75). 1238. Если а<5, то уравнение не имеет решений. Если а = 5,
точек изображено на рисунке 77.
Указание. J х2 — г/2 = 0, | = =Ь х,
( 1— у — х2 = 0, li/=— х2^-!.
Прямые # = х, у=—х имеют четыре общие точки с параболой у=—х21.
1240. 8. 1241. Искомая фигура есть квадрат, площадь которого равна 50 (рис. 78).
1242. Искомая фигура есть квадрат. Целочисленных решений 761. 1243. Искомая
фигура есть параллелограмм, площадь которого равна 16 (рис. 79). Указа-
ние. Необходимо рассмотреть четыре системы неравенств:
a) f2j/ + x+l>0,
< х4-1>0,
. 2^/Н-х+ 1 4-х+ 1 <4;
2j/ + x+ 1 <0,
х+ 1 >0,
— 2у — х— 1 4-х+ 1 ^4;
2j/ + x+l<0,
х+ 1 <0,
— 2у — х— 1 — х — 1 ^4;
г) 2i/ + x+ 1 >0,
’ х+1<0,
2#-|-х+1— х — 1^4.
1244. График изображен на рисунке 80. Указание.
( — 4*4-2
I 2(х+ I)2 *
при х^О,
при х<сО.
1245. График изображен на рисунке 81. 1246. График изображен на рисунке 82.
1247. График изображен на рисунке 83.
§ 31
1248. Решение. ------------— =--------------— =-----------—
sin а4-cos а sin а4-sin а ctg а sin а (1 4- ctg а)
2-—
2 / 1 у =_____16 = 2 16
l-f-ctg4 5a \sin2a/ 14-ctg4 a t _l__L
16
Решение.
5 —вд/F sin xcos x —sin =5 — 4^/2 sin 2x —cos 4x = 5 —4 У/2 sin 2x —
— (1—2 sin2 2x) = 2 sin2 2x — 4 ^2 sin 2% + 4=(Д/2~ sin 2x — 2)2, 6 + 4 д/2" sin 2x —
— 2 cos2 2x = 6 + 4 sin 2x — 2 + 2 sin2 2x = 2 sin2 2x + 4 У/2 sin 2% + 4 =
= (Д/2~ sin 2% + 2)2. Таким образом, левая часть тождества имеет вид
1^2" sin 2х — 2| + |^2~ sin 2х + 21, но Д/2~ sin 2х — 2<0 для всех x£R, д/2~ sin 2% +
+ 2>0 для всех x£R. Значит, |Д/2~ sin 2х — 2| + |Д/2" sin 2% + 21 = — д/2~ sin 2% +
+ 2 + Д/2" sin 2% + 2 = 4. 1250. Решение. Обозначим данное выражение че-
рез Л; после преобразований получим А =
2ii”TK-*|+|
2sin-^ + V3 |,
4л
Т5
5л уЗ
15=~'
Значит,
4 л г~
2sin-4+—Д/3 <0,
15
4=-2sin4^ + V3 +
4-2 sin 4^-+'\/з'=2 д/з”. 1251. Р е ш е н и е. Обозначим данное выражение через Л;
15
далее 4 cos4 4 + 3 —6 cos 8 = 4 cos4 4 + 3 —6 (2 cos2 4— 1 )=4 cos4 4— 12 cos2 4+9 =
= (2 cos2 4 —3)2, 4 sin4 4 + 3 + 6 cos 8 = 4 sin4 4 + 3 + 6(1 —2 sin2 4) = 4 sin4 4 —
— 12 sin2 4+9=(2 sin2 4 —З)2. Итак, A = |2 cos2 4 — 3| + |2 sin2 4 — 3|, но 2 cos2 4 —
— 3<0, 2sin24 — 3<0. Значит, Л =—2 cos2 4 + 3 —2 sin2 4 + 3 = 6 —2 = 4.
1252. Решение. Используя формулы приведения и тождество cos4 a + sin4 а =
in-2 2 4 Л 4 7 Л 4 ^Л 4 15л 4 Л
= 1—2 sin a cos а, получим cos — + cos — + cos — + cos —— = cos — +
ox ox ox ox ox
4 7 л . 4 7 л . 4 л , r»-2^ 2^11 n • 2 7л о 7л _
+ cos ——+ sin4—- + sin4 —= 1 —2 sin —— cos — + 1 —2 sin2—— cos —— = 2 —
32 32 32 32 32 32 32
— 4- sin2-^—4 sin2-^- = 2— -i- fsin2-^- + cos2-^/\= 1,5. 1253. Решение.
2 16 2 16 2 \ 16 16/
После преобразований д/1 + sin 2a =V(s>n a + cos a)2 = |sin a + cos a| =
ясно, что sin
л
~2
Зл
V
Зл
при —
Отсюда следует: а) -!--Д/1 +sin 2a =----—-
1+^а
'2 cos
л
~2
'2 cos
^;б)1^утт^2Г=
4 1+tga
ПРИ —г-<а<Сл. 1254. Р е-
4 / 4
xV^sin
1
X
ш e н и e. Для определенности положим, что угол Л — больший угол АЛВС.
1) Пусть ДЛВС прямоугольный, тогда
откуда cos2 Л +
+ cos2 B + cos2 C = cos2 В + cos2 (90° — B) = cos2 B + sin2 B= 1. 2) Пусть соз2Л +
+ cos2 В + cos2 C= 1, тогда cos2 B + cos2 C = sin2 Л, откуда .£41225---------
-+C^S2C = sin2 (л-(В 4- С)),
cos 2B + cos 2С
+ 1— sin2(B + C) = 0,
2
cos (В + С) cos (В — C) + cos2(B + C) = 0, cos (В + С) (cos (В — С) + cos (В + С)) = 0,
2 cos (В + С) cos В cos С =
ХС<90° (поскольку ХЛ— боль-
ший угол ДЛВС). Значит, cos(B + C) = 0, Z6+ ХС = 90°, тогда ХЛ=90°.
1255. Решение. 1) Пусть Z.C = 90°. Рассмотрим pa3HOCTb(cos4-|-cosB) —
/ • л . • ox « Л + Я Л — В о . Л + Я А —В п А —В
— (sin Д 4-sin В) = 2 cos —-— cos — ---2 sin —-— cos —-—= 2 cos —-— X
v ' 2 2 2 2 2
X(cos 45° —sin 45°)=0. Значит, cos A -|-cos B = sin A -|-sin B. 2) Пусть cos4-|-
. n л । о о — & ( A-f-B Д-|-В\ A — В_
4-cos o=sin A -|-sin о, тогда 2 cos —-—I cos — -sin —-—1=0, но cos —-—>
\ £ J
A___R
>0, поскольку 0°<Д<180о, 00<B<1800, откуда —90°<—-—<90°. Значит,
А+В . А+В п . А+В f
—i-sin—— = 0, tg—i—=1,
2 2*2
j~Zg =45°, Z A + Z В = 90°,
пло о 2 sin 5a cos За4-sin 5a-ksin 1 la —sin a
ZC=90 . 1256. Решение. -------------------—!-------!--------------
2 cos a — 2 sin 4a4-cos a 4-cos 5a4-cos 11 a
__ 2 sin 5a cos 3a4-sin 5a-|-sin 1 la — sin a _
(1 4- cos 2a) — (1 — cos 8a)4- cos 5a-|-cos a 4-cos 11 a
2 sin 5a cos 3a4- sin 5a 4-2 sin 5a cos 6a sin 5a (2 cos 3a 4- 1 4- 2 cos 6a)
2 cos 5a cos 3a -|-cos 5a -|- 2 cos 6a cos 5a cos 5a (2 cos За -|- 1 -|- 2 cos 6a)
= tg5a. 1257. Решение, cos 24° — cos 84° — cos 12° 4- sin 42° = cos 24° —
— cos 84°—(cos 12° — cos 48°)=2 sin 54° sin 30°—2 sin 30° sin 18° = sin 54° — sin 18° =
n • юс nzo 2 cos 18 sin 18 cos 36° sin 36 cos 36 sin 72° __
2 sin 18° cos 36° =----------— ------- =--------—-— =—--------— =0,5.
cos 18 cos 18 2 cos 18°
1258.
e ш e н и e. cos
л 4л 5л
_ . л л 4л 5л
2 sin — cos — cos — cos —
— cos —- cos —- =
7 7 7
a • л
2 sin у
4л 4л
— Sin cos ——
7 7
8л
— sin —
— sin
a • я
2 sin у
A • Л
4 sin у
О . я
8 Sin у
8 sin у
1 Ainr men П 2л 4л 6л
— = 0,125. 1259. Решение, cos-—4-cos-—-kcos-— =
8 7 7 7
a • Л
2 SIH у
л 2л _ . л 4л _ . л 6л \ 1
sin у cos —4-2 sin у cos —4“2 sin у cos — 1=-X
7 2 sin у
л , . Зл Зл , . 5л
sin - 4-sin —---sin - 4-sin ——sin
7 7 7 7
= —0,5. 1260. Решение, sin a4-sin 2a4-sin За4-...4-sin ла =--------X
a • a
2s,n-
a a a a
sin у sin a4-2 sin — sin 2a4-2 sin — sin 3a4-.-.4“2 sin — sin ла
-------X
2 sin
2
(а За , 3a 5a . 5a 7a , / a'
C0S ~2 ~ C°S C°S ~2-C0S T C°S ~2-cos -Tj- + • + cos ( na—y
P
a - я
2 Sin у
—cos
1 / а
-------1 cos — — cos
o . а V 2
2 sin-
па (n4-l)a
sin — sin -----—
а
Sin —
2
2
1261. Указание. Вынести за скобки --!--. 1262. Решение.
2 sin у
Если
. (л+1) ф / Лф\
sin---_!—COs(a+—}
=-------------------- . Если ф = 2лЛ, k£Z, то S = (n+1) cos а.
• Ф
sin —
2
. (л+1)ф . / . л<р\
sin--—-t-sinfa+—j
1263. -------------------- при <р=#2лЛ, k^Z\ (п+ 1) sin а при ф = 2лЛ, k£Z.
Ф
Sin —
2
Указание. Вынести за скобки --5--.
2 sin -5£-
2
§ 32
1264. Решение. Пусть f (x) = cos (sin х); при изменении sinx от —1 до
О значение f (х) возрастает от cos (— 1) до cos 0=1, при изменении sin х от 0 до
1 значение f (х) убывает от cos 0=1 до cos Г, кроме того, cos (— l) = cos 1. Зна-
чит, E(/) = [cos 1; 1]. 1265.
[cosl; *)
Указание. 0<
2 2
зсз
x£R. 1266. Решение. х=/=лЛ, k£Z—область определения функции; /(х) =
= 1—2 sin2 —+(1 +ctg2 х) sin2 x = cos х-|- 1, 0^cosx4-1^2 для всех x£R, но,
поскольку х=#=лЛ, k£Z, из отрезка [0; 2] необходимо исключить значения
cosn^4-l, k£Z, cosn^4-l=2 при четном k, cos Jtk 4-1=0 при нечетном k. Зна-
чит, Е(/) = (0; 2). 1267. Решение. / (х) = 12 sin х—5 cos хЧ- 1 =Л/122 Ч-52 X
12 .
5
sin х—— cos х
= 1, существует такое число
12 5 / 12\ ч
<р, что cos <р=—— и sin ф=— (например, <p = arccos—I. Значит, /(х) =
io 1 о \ 1 о /
= 13 sin (x— ф)4- 1, — 1 sin (x — ф)^ 1 для всех x£R\ — 12<U3 sin (x—ф)4-
4- 1 14, т. e. E(/) = [ — 12; 14]. 1268. Решение, f (x) = 2 sin2 x— 6 sin xX
Xcos x4-4 cos2 x=l—cos 2x —3 sin 2x4-24-2 cos 2x=cos 2x —3 sin 2x-]-3 =
= д/То~ (~ cos 2x---^== sin 2x\-|-3. Поскольку (—-\-(—Д=Л = 1, cy-
\УПГ УЙГ / \Vio/ \Vio/
1 3 о г/ ч
ществует такое число ф, что cos ф = —и sin ф= _______ Значит, f (х) =
Д/10 Д/10
= д/кГ cos (2х4-ф)4-3, £ (/) = [3 —УТо”; 3-|-УТ(Г]. 1269. Решение. /(х) =
= 3 sin2 х + 3 V3 sin х-|-4 = (УУ sin х)2 -|-2 • 1,5*УУ sin х-|-( 1,5)2 —(1,5)2-|-4 =
= (Уз~ sin х-|-1,5)2-|-1,75^ 1,75 при всех x£R, причем /(х)=1,75 при
Уз” sin х+1,5 = 0; sin х= — , т. е. х= — -^-4-2лЛ или х=-^-4-2лЛ, k^Z.
X О о
1270. График изображен на рисунке 84. Указание. у=1 при условии
tgx^O, т. е. при лЛ^х<С-^- + лЛ, k£Z. 1271. График изображен на рисунке 85.
Vsin2 х |sinx| . . _ .
Указание. —---------=-------, т. е. w = tgx при sinx^O, w= — tg х при
cos х cos х
sin х<сО. 1272. График изображен на рисунке 86. Указание, sin x^ctg2 х =
= sin х |ctg х|, т. е. y = cos х при ctg х^О, у = —cos х при ctg х<сО, причем х=#=лЛ,
k£Z. Функция нечетная, поэтому график можно строить только в правой полуплос-
кости, а затем отображать относительно начала координат в левую полуплос-
кость. 1273. График изображен на рисунке 87. Указание. Функция четная,
т. е. достаточно рассмотреть лишь случай х^О, поскольку график симметричен
относительно оси Оу. При х^О функция t/=|sin х|—sin х, т. е. у = 0 при
sinx^O, у=—2 sin х при sin х<0. 1274. График изображен на рисунке 88.
Указание. Функция четная. Если х^О, то у= |cos х| tg х, т. е. f/ = sinx
при cosx>0, у=—sin х при cosx<0. 1275. График изображен на рисунке 89.
жт г- sin 2х
Указание. Функция четная. Если х>0, то и=-----------, т. е. w = 2cosx
* |sinx| *
при sin х>0, у= —2 cos х при sin х<0. 1276. График изображен на рисунке 90.
Указание, у = |S * » J/ = sin2x при cosx>0, у=— sin 2х при
cosx<0; функция нечетная. 1277. Множество точек изображено на рисунке
91. Указание. Если cosx>0, то |j/| = l; если cosx<0, то |j/| = —1, что
противоречит свойству модуля: |а| ^0 при всех a£R. 1278. Точки плоскости с це-
лочисленными координатами. Указание. Поскольку sin2 лх4-1^1 при
всех x£R, a cos2 1 при всех уравнение sin2 лх4- 1 =cos2 лу равносильно
системе [sin2nx=0, ( лх = лЬ, k£Z, (x = k, k£Z, 1279. Множество точек
(cos2ju/=1; I лу = лп, n£Z\ \у = п, n£Z.
изображено на рисунке 92. Указание, л (|х| 4- | £/1 )=-^-4~ лЛ, k£Z,
|х| 4-|f/| =-^-4-Л, где Л = 0, 1, 2, ..., поскольку |х|4~1«/1^0 при всех x£R, yER-
Имеем объединение квадратов AkBkCkDk, где Гб; +
Ck — 0^» k = Q, 1, 2 ... . 1280. Множество точек изображе-
но на рисунке 93. Указание. При х^О имеем х = 0 или cos2ju/=1,
т. е. 2ny = 2nk, k£Z\ y = k, k£Z\ при x<0 cos2ju/= —1, т. e. 2ny = л-|-2лЛ, k£Z\
y = 0,5 + k, k£Z. 1281. f (x) = g(x) + h(x), где g (x) = 2 x cos 2x cos 1 нечетная,
h (x) = 2x sin 2x sin 1 четная. 1282. Решение. Пусть D (/) симметрична отно-
сительно нуля, тогда для всех x£D (/) можно записать, что f (x) = g (х) + h (х), где
g(x)=--------------четная функция, п(х)=-------------нечетная функ-
ция. 1283. Решение. 8 cos4 х — 8 cos2*4- 1 =2(4 cos4 х — 4 cos2х+1)-1 =
= 2 (2 cos2 х — 1 )2 — 1 =2 cos2 2х— 1 =cos 4х. Итак, f (x) = Vcos 4х —функция
периодическая, /=—.
Замечание. Если функция f (х) периодическая с пе-
риодом Т, то функция g(f(x)) также периодическая с периодом Т. 1284. Ре-
шение. f (х) = /, (х)4-/2 (х), где /j (х) = 2 cos (2х — ) периодическая с перио-
дом = л, f2(x) = 3 sin
2л
периодическая с периодом 7'2 = -—. Тогда
О
f (х) периодическая с периодом Т, равным наименьшему общему кратному 7\ и
Т2, т. е. 7' = 2л. 1285. Функция непериодическая. Указание. Доказать мето-
дом от противного. Пусть Г#:0—период функции /(х), тогда для любого x£R
Т
f (x) = f (х-\-Т), т. е. x-|-sin х = х-|- Т + sin (х-|- Г), откуда Т=— 2sin— X
Xcos
что невозможно для каждого х^К, поскольку в правой части равенст-
ва — функция от х, не являющаяся постоянной, а в левой части — число Г, от х
не зависящее. Замечание. Другое доказательство может быть основано на
использовании производной: функция /(х) возрастает на /?, поскольку
f' (х)= 1 -|-cos х^О для всех x£R, и f (х) непрерывна в критических точках. Зна-
чит, функция не является периодической, поскольку возрастающая на R функция
каждое свое значение принимает ровно при одном значении аргумента, а любая
периодическая функция, определенная на /?, каждое свое значение принимает
бесконечно много раз. 1286. Решение. Докажем, что функция непериодиче-
ская, методом от противного. Пусть Т#=0 — период функции, тогда для всех x£R
справедливо равенство cos x-|-cos лх = соз (х-|-TJ-f-cos (лх + пТ). Положим
х = 0; тогда cos Т4-cos лГ = 2, но |cos а| 1 для всех а. Значит, последнее равен-
ство равносильно системе
cos 7'=!, откуда
cos яГ = 1,
Т=2zik, k£Z, Значит, сущест-
Т = 2п, n£Z.
вуют целые kun, для которых 2nk = 2n\ если Л = 0, то л = 0, т. е. Т = 0 —
противоречие; если Л=#0, то л =
k
т. е. л—рациональное число — противоре-
чие. 1287. а) Да; например, (x) = x-|-sin х, /2(х)= — х — непериодические функ-
ции, a f(x) = fi (х) + /2 (x) = sin х периодическая; б) да; например, Ц(х) =
= cos лх-f-cos х непериодическая, /2(х)=—cos х периодическая, /(х) = Д(х) +
+ f2 (*) = cos пх периодическая. 1288. Да. Классический пример — функция
Дирихле
D(x) =
1, если
О, если
х рационально,
х иррационально.
Действительно, поскольку сумма рационального и иррационального числа есть
число иррациональное и сумма рациональных чисел всегда рациональна, имеем,
что любое рациональное число является периодом D (х), а любое иррациональное
число периодом D (х) не является. 1289. Нет. Допустим, что такая функция суще-
ствует, тогда числа б + и 5 — "\[2 —ее периоды как иррациональные числа,
но сумма периодов функции также является ее периодом. Значит, 10 — период
функции, что противоречит требованию задачи, так как 10 — рациональное
число.
§ 33
1290. График изображен на рисунке 94. Указание. у=— при условии
— 1 —1. 1291. График изображен на рисунке 95. Указание. у = х% при
О^х2^!. 1292. График изображен на рисунке 96. Указание. Пусть
arccos x=z, тогда cosz = x, O^z^.n; у = sin z = —cos2 z = Д/1 —x2. Итак,
у=Л]\ —)? , т. e. x2-j-y2=l, y^O — уравнение верхней полуокружности радиуса
1 с центром в начале координат. 1293. График изображен на рисунке 97. Ука-
зание. Функция у = arccos (cos х) четная с периодом 2л. Значит, достаточно по-
строить график, например на |0; л], после чего симметрично отобразить относи-
тельно оси Оу ввиду четности; таким образом получим график на [ — л; л]; далее,
используя периодичность, строим весь график; при О^х^л имеем
arccos (cos x) = x. Итак, y = x при x£[0; л|. 1294. График изображен на рисунке 98.
Указание. Функция у = arcsin (sin х) нечетная, с периодом 2л. Рассмот-
рим ее на [0; л] (на [ — л; 0] график будет получен отображением относительно на-
чала координат ввиду нечетности); весь график строим, используя периодичность
функции; при О^х^-^- имеем arcsin (sin х) = х, т. е. у = х’, при -^-<Сх^ л имеем
arcsin (sin x) = arcsin (sin (л — х)) = л— х, поскольку О^л— х<С—, т- е- У =
= л— х. 1295. Графиком является одна точка — начало координат. Ука-
зание. Найти D (у) из условия — 1 №-|- 1 1, откуда №^0, т. е. х = 0. у (0) =
= arccos 1 4- 101 =0. 1296. Графиком являются две точки
Указание. Найти D (у) из условия
— 1<х<1,
х2- 1 >0,
т. е. х= ± 1; у(± 1) =
= arcsin (±1)+V(±1)2—• =±у- ,297‘ ре ш е н и е. При —l^x^l имеем
sin (arcsin х) = х,
sin
——arccos х
.2
cos (arccos x) = x.
Итак, sin (arcsin x) =
= sin 0^-—arccos x^, причем
Л _ . _ Л
— — ^arcsin x^C—
2 2
Л _ Л
^ — —arccos
(следует из 0arccos x^ л); функция j/ = sinx возрастает на
Значит, arcsin х=^- — arccos х, arcsin х4- arccos x=-^-. 1298. Решение.
2'2
л2 л2 / л \
При xE| —1; 1] имеем 4т- — агс8’п ^-arccos x=— —arcsin x-( —— arcsin x ) =
16 16 \2 /
л л2 /
= (arcsin х)2—— arcsin х-|- — = (arcsin х—
2
— . 1299. Решение. —— arccos х=2 arccos х, arccos х = —, откуда х=
16 2 6
Л/3
. 1300. Решение. Преобразуем уравнение к
— arccos x
2 2
к. Л П 9 Л . л л Л
Xarccos х=—. Пусть arccos х=у, тогда у— — //4~ 777=0, откуда У = ~г или у= —
18 2 18 6 3
л
arccos x=—,
6
— или arccos х=-?-, х=4-. 1301. Решение. Пусть
2 3 2 7
arctg (1—х) = а, arctg(1 4-х) =р, тогда tga=l—х, — y<a<y, tgP=l-|-x,
л л л fcr a, 4- tgf В
—• Из условия имеем а-|-Р = — • Значит, tg(a-|-P)= 1, -j jj—- =
= 1, т. e. —=1, x2 = 2, x=±W- 1302. Решение. Из усло-
1— (1 —x) (1 4-х)
вия следует, что 0<х^1 (в противном случае, если —l^x^O, левая часть
к г-. . . х
уравнения неположительна). Пусть arcsin x = a, arcsin—=р, тогда sina = x,
. Из условия a4-P = -^-. Значит, sin p =
= sin
cos а = Д/1 —sin2 а =Д/1 ~ , т. e. Д/l —, откуда x2=-^-,
x О
2
x=—=, так как x>0. 1303.
V5
Указание. ——arccos x> arccos x,
л
arccos x<—. 1304.
4
Решение. —1 ^x2 — 2x4-0,5^ —0,5, откуда (x— 1 )20,
x=l. 1305. Решение. Область определения неравенства находим из усло-
вия — l^x2 — 4х4-5^1, откуда (х — 2)2^0, т. е. х = 2. Проверкой убеждаемся,
что при х=2 неравенство выполняется, т. е. х = 2 — решение неравенства.
§ 34
1306. Решение. Поскольку |cos а| 1 при всех уравнение равносильно
системе
cos х= 1,
cos 5х= 1;
х = 2л£,
2лп
п откуда х = 2л£, k£Z. 1307. Решение.
л . _ x
— , sin P = — ,
2 H 2
cos4 Зх= 1 4- sin2 2х. Поскольку cos4 Зх^ 1 и 1sin2 2x^1 при всех х£1?, урав-
нение равносильно системе
cos4 Зх= 1,
sin2 2х=0;
Зх = л£,
2х = ли
пп г-г
х=—, пег.
k^Z,
n^Z;
откуда х=л£, k^Z. 1308. Решение.
причем равенство
достигается при х=1;--------—2 при х<0, причем равенство достигается при
х= — 1. С другой стороны
sin
для всех x£R. Значит, уравнение
равносильно совокупности двух систем
. лх
s,nV= ’
или
. лх
sin—— = — I,
2 отку-
х= — 1
да х=±1. 1309. 0. Решение. Уравнение равносильно
совокупности двух
систем
cos х = 1,
f— или
cos (Д/2х)=1
cos х= — I,
!— Из первой системы имеем
cos (Д/2х)= -1
х = 2л£, k£Z,
2пп
2лп _ откуда 2л£ =—= . Если k = 0 и п = 0, то х=0; если
х = -^=, n^Z, д/2
1г=#=0, то Д/2"=^~— противоречие с иррациональностью Д/2". Из второй системы
k
х=л-|-2л£, k£Z,
имеем
л-|-2лл откуда Д/2~ = ! + —противоречие с иррацио-
1 X/v
2
нальностью д/2". 1310. Решение, cos1990
9 1984 - . 9
гх, sin x<sin х для всех
x£R. Значит, cos1990 x-|-sin1989 x^cos2 x+ sin2x= I, причем равенство достигается
1990 9 • 1989 • 9
тогда и только тогда, когда cos x = cos х, и sin x=sin х; из второго
условия sin х=0 или sin х= 1, т. е. х = л£, k£Z, или х = у-|-2л£, k£Z, оба ответа
удовлетворяют первому условию. 1311. Решение. Преобразуя произведение
8 16
в сумму, получим cos2xsin2x — sin 2х cos 4х=— , sin 4х-|-sin 2х — sin 6х = — ,
5 5
поскольку |sina|^l для всех a£R, левая часть уравнения не превосходит 3,
т. е. уравнение не имеет корней. 1312. 0, ± 1, ±2, ±2,5. Указание. Полу-
чив х=±2,5, решить уравнение 3 sin 2лх-|-8 sin лх=0 при условии х£[ — 2,5;
2,5], 6 sin лх cos лх + 8 sin лх = 0, sin лх (3 cos лх-|-4) = 0, откуда з1плх = 0
(Зсо8лх4-4>0 для всех x£R), n,x = nk, k£Z, т. е. x = k, k£Z, но х£[ — 2,5;
— 2,5]. Значит, х=0, х
1313. Решение. Неравенство
Д/х" + Д/я — х >0 выполняется для всех х£[0; л], поскольку сумма двух неотрица-
тельных величин, которые одновременно в 0 не обращаются, положительна. Ре-
шая уравнение, получим sin 4х=-^- (cos 2x-|-cos 2х), cos 2х(2 sin 2х —д/з~) = 0,
_ Л । Л^2 , Л Зл z г/л "1 \
откуда cos2x=0, х=—-|——, k£Z, х=—, х = -^- (поскольку х£[0; л]) или
sin 2х=-~5- , х=-^-4-лЛ, k£Z’, х = -^-± л&, k£Z, т. е. x=_g’ > (КОРНИ отобра-
ны из отрезка [0; л]). 1314. Решение. Решая неравенство х2 — 2лх^0 (напри-
мер, методом интервалов), получим 0^х^2л. Заменив в уравнении sin(x-|--^-j
на cos
по формуле приведения, имеем
л \2 .2|1
COS — COS Х) =Sin х4“—,
3 / 2
cos2 x—sin2 x=l , cos2x =
[0; 2л], находим ответ:
_1_
2 ’
5л
х= ±-т--|-л/г, k£Z. Отбирая корни из отрезка
6
7л
-ЦД. 1315. Решение.
6
л
6 ’ 6 ’ 6 ’
sin x sin 2x4-cos x cos 2x , O1 . . o cos x , ol . . Л
------------4—о----------h8 Ictg x| = 0, ——h8 |ctg x| = 0,
cos x sin 2x------------cos x sin 2x
1
sin 2x
4-8|ctgx|=0; если ctgx>0, то
8 cos х
2 sin х cos х sin х
= 0, откуда
16 cos2 % +
, , „ i 1 8 cos x
4-1=0 — нет решении; если ctgx<0, то —---------------------:---= 0, откуда
2 sinx cos x sinx
16 cos2 x—1=0, cosx=±4"» x= zfcarccos 4-4-лЛ, k£Z; условию ctgx<0 удов-
4 4
летворяют
значения x=—arccos 14-яЛ, k£Z. 1316. Решение.
4
o . 2 x
2sm2-
------= a,
x
Sin —
2
n • x
2 sin —=a
i Л v . x a
при a=#=0. Уравнение sin—=— имеет решение при
т. е. при —2^а^2, -^-=(— !)*• arcsin-^-4-л£, k£Z, откуда х=( — 1)*Х
Х2 arcsin -|-4-2л£, k£Z, при условии, что —2^а^2, а=#=0. 1317. — — 2;
х= ±arccos4-3 4-лД k£Z. Указание. Решая квадратное относительно
cos2x уравнение, получить cos2 х= — 1 (нет решений) или cos2 х= а 4-3, что воз-
можно при условии 0^а4~3^ 1, т. е. при ——2. 1318. При а = 2л£, k£Z,
x£R; при а=#=2л£, k£Z, х=2яп, n£Z\ х=—а-|-2лл, n£Z. Указание. Разло-
жив на множители левую часть уравнения, получить 2 sin
x-L-a х4-а
—-— cos —-—
_ . х4-а х — а ~ . х4-а . х . а _ „ . а
— 2 sin-----cos —-— = 0, sin —-— sin — sin —=0. Если sin — = 0, т. e. а = 2ля,
2 2 2 2 2 2
k£Z, то x£R-, если а=#=2л£, k£Z, то sin —sin -^-=0, откуда найти остальное ре-
шение. 1319. ( —1)*~ arcsin-?-4-Дг-, k£Z. Указание. -------C°S Х------— =
7 2 3 2 2sin2xcosx 3
1 Ч-cos
2
1 4 _ 1 — sin 2х
sin 2х 3 2
Пусть sin2x=i/, тогда
1—1
У 3
откуда Зу2—11у4-6 = 0. 1320. ±-у+лЛ, k£Z. Указание. Пусть
Z о
tgxsin2x=i/, тогда, умножив левую и правую части уравнения на 12 sin 2х, по-
лучить 4у2=12// —9, (2у — 3)2 = 0, у=1,5. Итак, tg х sin 2х= 1,5, откуда полу-
чить sin2x=l. 1321. (— 1 )*•? 4—т 4- лЛ, k£Z. Указание, sin 2х — 54-
4 6 4
4-5 cos ^4- 4- 7 = 0, sin 2х-|-5 sin х^4-2 = 0, 1 4- cos 2x^4-
4-5 sin 1 =0, 2 cos2 — + 5 sin ^- — x^-|-1 =0, 2—2 sin2 ^-—x^4-
4-5 sin f-^-—дЛ 4-1 =0. 1322. Решение. 1-й способ. 2—*—|-
\4 / 14-tg2x
-|-3tgx = 5. Пусть tgx=y, тогда после преобразований получим уравнение
З//3 — 5//2-|-7^ — 5 = 0; замечая корень у=1, группировкой выделяем множитель
в левой части (у— 1), получив З//3 — 3>у2 — 2у2-\-2у + §у — 5 = 0, 3>у2(у—\) —
— 2у (у— 1)4-5 (у— 1) = 0, (у— 1) (3i/2 — 2i/4-5) = 0, откуда //=1 (трехчлен
Зу2— 2//-J-5 не имеет корней), tgx=l, x=^--\-nk, k£Z. 2-й способ. Запишем
о а ооо*о о Sin X— COS X oz . .2
уравнение в виде 3 tg х— 3 = 2 — 2 sin 2х, 3------= 2 (sin х— cos х),
cos х
откуда sin х — cosx=0, tgx=l, x=^--i-nk, k£Z, или —5— = 2 (sin x —cos x),
4 cos x
3 sin2 x 4- 3 cos2 x = 2 sin x cos x — 2 cos2 x, 3 sin2 x — 2 sin x cos x 4- 5 cos2 x =
= 0, 3 tg2 x —2 tg x-|-5 = 0. Это квадратное относительно tgx уравнение корней
не имеет. 1323. Решение. Разделив левую и правую части уравнения на
cos2 x(cos х=#=0, поскольку определен tgx), получим 2 tg х(2 tg2 х—1 )=——,
cos2 х
4 tg3 х — 2 tg х= 1 -|-tg2 х. Пусть tgx = y, тогда 4#3 — у2 — 2у— 1 =0; замечая ко-
рень 4/=1, группировкой выделяем множитель (у—1), получив 4у3— ^у2-]-
+ 3уг-3у + у- 1=0, ^(у-\) + Ъу(у- !) + («/- 1) = 0, (I/-1) (4^ + 3// +
4-1) = 0, откуда i/=l, tgx=l, х = -^--|-л£, k£Z. 1324. Решение. Приведя
уравнение к виду cos x-|-sin х — 4 sin хcos x-|-sin хcos x(sin x-|-cos x) = 2, поло-
w2— 1
жим sin x4-cos x= i/, тогда sin xcos x = —-—. После преобразований имеем
у3 — 4i/24-// = 0, откуда z/ = 0 или y = 2±\Jb, но |у\ =1 л/2 sin (х-|-^-J 1^Д/2^.
Значит, i/ = 24-V^~ не подходит;
sin x-|-cos х = 0, Д/2 sin
О, откуда
х=—-^-4-лД k£Z, или sinx-|-cosx = 2 — д/з", Д/$Г sin ^х4--^ = 2 —д/з", откуда
. . 2 —д/з" л sin( —х)
х = ( — 1) arcsin-==----1-nk, k£Z. 1325. Решение. --------— = sin х,
д/2 4 cos х cos 2х
sin х (1 4--------?г-^ = 0, откУДа sinx = 0, x = nk, k£Z, или cosxcos2x= — 1,
\ cos x cos 2x/
x = n-|-2n£, k£Z,
{cos x= — 1,
cos 3x= — 1;
л . 2nn
* = —4—5“’
О о
x = n-j-2nk, k^Z. Полученные значения x содержатся среди значений nk, k^Z,
которые и являются окончательным ответом. 1326. Решение, sin 5х—sin х=
= 4 sin х, 2 sin 2х cos Зх—4 sin х=0, 4 sin х (cos х cos Зх— 1)=0, sin х=0, x=nk,
{cos 4х = 1,
cos 2х = 1,
_nk
2 ’ x=3ik, k£Z. 1327. Решение, tg 5x(l — tg2 3x) = 2 tg Зх, если
х=яп, n£Z,
tg2 3x—1=0,то уравнение решений не имеет, поскольку левая часть обращается
в 0, а правая часть принимает значение ±2. Значит, tg23x—1=#=0, и, разделив
левую и правую части уравнения на tg23x—1, получим tg5x=tg6x, откуда
---— ------= 0, sinx = 0, х = л&, k£Z. 1328. Решение. 4 ctg 2х —4 ctg Зх=
cos 5х cos бх
. о . . о 4 sin х 1 2 2
= tg 2х 4- ctg 2х, . -:—— = . ----—- , ---:—— = —:—— , sin 4х =
sin2xsin3x sin2xcos2x cos х sin Зх sin 4х
= cos х sin Зх, sin 4x = -i- (sin 4x sin 2x), sin 4x—sin 2x = 0, 2 sin 2x cos 2x —
— sin2x=0, sin2x=#=0 (в противном случае не определен ctg 2х). Значит,
2 cos 2х—1=0, cos2x = 0,5, х= ±-^-4-лЛ, k£Z. 1329. Решение. Приме-
6
. /2х л\ /л /2х л\\
няя формулы приведения, получим sin 1 — 4--g ) = cos ( ~2~ ( “jj—• )) =
1330. Решение. 1 — cos 2х 4- sin 2х — 2 sin х 4- 2 cos Зх (sin х 4~ cos х) —
— 2cos3x=0, sin2 х4-sin х cos х—sin х4-cos Зх(sin х4-cos х)—cos Зх=0, sin xX
X(sin x4-cos x— 1)4-cos 3x(sin x4-cos x— l) = 0, (sin x4-cos x — l)(sin x4-
4-cos 3x) = 0, откуда sinx4-cosx—1=0, sin
jt
=—4-2n£, k£Z, или sin x4-cos 3x = 0, cos
^Л = -4=, х = 2л&, k£Z, x=
4/ y/2
4- cos 3x = 0, 2 cos f v 4" x ) X
Xcos (-y-— 2x) = 0, х = -^-4-л/г, k£Z\ х=-^4~“тг, k£Z. 1331. Решение.
\4 / 4 8 2
sin x—cos 2x4-2 cos x4- sin 2x = 0, sin x4-2 sin2 x—14-2 cos x (1 4- sin x) = 0. Раз-
ложив на множители 2sin2x4-sinx—1 (как квадратный трехчлен относительно
sin х), получим (sin х4-!)• (2 sin х—1)4-2 cos х (sin х4-1) = 0, (sinx4-l)X
Х(2 sin х— 14-2 cos х) = 0, откуда sin х= — 1, х= —-^--|-2лЛ, k£Z, или 2 sin х-|-
4-2cosx=l, sin
—х=( —l)ft arcsin—!—--^-4-лЛ, k£Z.
2 V2 2 V2 4
6tgi
1332. (—4-2лЛ, — 2 ), k£Z. Указание. -----= 3 sin х^З для всех х=#=
'2 1 1+tfi
=#=л4-2лЛ, k£Z\ с другой стороны, 3i/24- 12//4- 15 = 3 (i/4-2)24-3>3 для всех y£R.
{sin х= 1,
1333. Решение.
1 t g2 X п . Л . , , _ и
-----®— = cos2x> — 1 для всех х=#=—4-ля, k^Z; с другой стороны,
1 4- tg2 х 2
12// — 19 — 2у2 = — 2(у — З)2 — 1 < — 1 для всех y£R. Значит, уравнение равно-
сильно системе
cos 2х= — 1,
// = 3;
х=-^-4-л£, k£Z,
У = ?>.
Полученные значения х не удовлетворяют условию, поскольку при них не
определен tgx. Значит, уравнение решений не имеет, искомых пар чисел нет.
1334. -J- arccos 4- 2л£; 1^ , k£Z. Указание. 12 sin х — 5 cos х =
= 13
/12 . 5
( — sinx ——cos х
\ 1 О 1 о
13 sin (х — <р)^ 13
для
всех x£R (здесь ф =
12
= arccos — = arcsin
1 о
13
с другой стороны, 2у2 — 4//4- 15 = 2(у— 1)2-|- 13^ 13
5
для всех y£R. Значит, уравнение равносильно системе
§ 35
sin (х— ф)= 1,
1/=1.
------2л£), k£Z. Указание. При рассмотрении первого
1335. (у+лЛ;
уравнения системы использовать ограниченность функций косинус или синус.
n£Z. Указание. Из второго
. 2 9л 1
4w — 5 sin х=— — ; использовав
* 4 3
уравнения системы следует уравнение
его и записав первое уравнение системы в
виде tg (4// —5 sin2 х4-4 sin2 х)= 1,
получить
/9л 1 . 2 \
--j-|-4sin2 xj=l,
откуда
. 2 Л 1 лА?
S,n Х=-2+Л2+-’
k£Z, но, поскольку 0^sin2x^l, подходят лишь значе-
ния k = 2 и £ = 3; при k = 2 sin2x = —. Далее найти из уравнения 4у — 5Х
V 1 9л 1 14-27л , _ . 2 Зл4-1 14-42л о
Х-[2=—“3 ’ У=—48~; ПрИ * = 3 S,n X=-i2“’ У---------48“ • Ш7' Р е’
ш е н и е. Преобразовав второе уравнение системы, получим cos(x-|-//)(l —
— cos2 (х—i/))4-cos (х—у) (1 — cos2 (х-|-4/)) = О,75, cos (x4-//)4-cos (х—у) — cos (х-|-
4-i/)cos(x —i/)(cos(x —i/)4-cos(x4-i/)) = 0,75, (cos (x + y)4-cos (x — //))(! —
— cos (x + y) cos (x — у)) = 0,75, 2 cos x cos у 1 —— cos 2x —— cos 2yj = 0,75,
2 cos x cos у Tf cos 2x^ 4- cos 2//^ =0,75, 2 cos x cos // (sin2 x4-
-|-sin2 y) = 0,75. Используя первое уравнение, заменим sin2 x-|-sin2 у на 0,5 и полу-
( sin2 х4-sin2 и = 0,5, „
чим систему, равносильную исходной, < Почленно сложив
( 2 cos х cos у= 1,5.
уравнения полученной системы и применив основное тригонометрическое тож-
дество, получим 2 — cos2 х — cos2 у 4-2 cos х cos у = 2, откуда (cos х — cosz/)2 = 0,
cosx=cosi/; тогда
д/3
2 cos2 х = 1,5, cos х=
имеем два случая: cos х=
д/3 д/з
= cos//=—— или cosx = cos// =---—, откуда
х= ±-тг + 2л£, k£Z,
6
или
x=±-^-4-2nfe,
6
5л
»/=±—+ 2лп, ngZ.
О
У= ±^-4-2 ля, n£Z
о
1338. (у + л(л
, k£Z, n£Z. Указа-
н и е. Из второго уравнения системы следует, что cos х — cos (х4-2i/) = cos х,
л
cos (х4-2//) = 0, х— —2у 4- — 4- ли, n£Z. Подставляя выражение х через у в пер-
вое уравнение системы и используя периодичность и формулы приведения, по-
лучить tg 2у 4- sin 2// = sin 4//, sin 2у (2 cos 2у— 1-!——\ = о, откуда sin 2// = 0,
\ cos 2yJ
У—~2~’ k£Z, или 2 cos2 2у — cos 2у— 1 =0, cos 2у= 1 (при этом sin 2// = 0, значит,
л
эти решения уже получены), cos2i/=—0,5, 1/= ±— + nk, k£Z. Далее найти
О
значения х, соответствующие полученным значениям у.
4 + лЛ;
( — 1 )”£•+-пт; —^- + 2лп
4-лЛ; ( — If-^ + nm;
О Z
, k£Z, m£Z, n£Z.
Указание. Поскольку а + — ^2 при а>0 и я-|-——2 при а<0, |tgx4-
а а
4-ctgx|^2; с другой стороны, 12 sin z| 2. Значит, первое уравнение систе-
мы равносильно условиям
( tgx=l, ( tgx= —1,
< или <
(sinz=l (sinz= — 1.
В обоих случаях из второго уравнения системы получаем sin // = 0,5. Итак,
л л л
х= ±у4-лЛ, k£Z\ у = ( — 1)т —4-лги, m£Z; z= zfc—4~2лл, n£Z (причем у пере-
менных x и z одновременно берем знак «4-» или «—»
nk л
Т; ~2
±—-|-2nnl, k£Z, m£Z, n£Z. Указание. Из первого уравнения получить
Ь /
sin2//=l и cos2x=0 (используя ограниченность функций). 1341. а= — 1,
(2л£; лп), ^л4-2л£; k£Z, n£Z. Указание. Записав второе уравне-
ние в виде cos х cos 2у = 2> (а-|- 1)24- 1, замечаем, что cos х cos 2//<1 для всех
x£R, y£R\ 3 (а4- I )2+ 1 > 1 для всех a£R. Значит, уравнение (следовательно, и
система) имеет решение тогда и только тогда, когда а= — 1. В этом случае
{cos х—cos 2// = 0,
откуда cos x = cos 2//= 1 или cosx=cos2w =— 1.
cos x cos 2y = 1,
§ 36
1342. ^ + -7^ +-77- , x==“7r-> k£Z. Указание. 2 sin2 2x (2 sin2 2x —
8 2 8 2 2
— 1)^0, откуда sin22x=0, x=~^~ > k£Z, или 2 sin2 2x—1^0, sin2 2x^0,5,
I sin 2x| , — 4- лЛ^2х^-5^-4-nk, k£Z (см. рис. 99). 1343. Решение.
Д/2 4 4
2 cos2 x —2 \^8* sin x—5 <0, cosx=#=0; 2 sin2 x4~2 \^8* sin x4~3>0, x=#=-^-4-
k£Z\ решая неравенство как квадратное относительно sin х, получим
3 ^2 . Л/2~ л 5 л
sin х<-----— (нет решении) или sin х>--2—, —-4-2ля<х<—— 4-2ля,
2 2 4 4
k$Z\
из полученных интервалов
исключаем
значения
х=-^-4"2л£, k£Z.
1344. Решение. 2 (2 cos2 х—1)4-4 |cos х| — 1 >0. Пусть |cosx|=//, тогда
4//2 + 4// — 3>0, откуда //< — 1,5 (нет решений) или i/>0,5, |cosx|>0,5,
л л
—— 4-л£<х<—4-л&, k£Z (см. рис. 100). 1345. Решение. Пусть
О о
/ (x) = sin 2х—sin Зх, D(f) = R, f (х) непрерывна на R, нечетная и имеет период
Г = 2л. Значит, можно найти решение неравенства /(х)<0 на [0; л], затем из
соображений нечетности получить решения на [—л; 0] и, используя периодич-
ность, найти все решения неравенства. Решая уравнение /(х) = 0, имеем
—, . х 5х ~ I I п л 2лА? , — ,, гл I
2 sin — cos— = 0, х = 2ля, k£Z или х=—-|—— , k£Z. На [0; л] попадают корни
2 2 5 5
0, , л. Определив знаки на полученных интервалах, заключаем, что
5 5
/ (х)<0 на [0; л], если 0<х<-^-, -^-СхСл. Учитывая нечетность функции f (х),
5 5
на [ — л; 0] получим f (х)<0, если —-^-СхС —. Таким образом, все решения
5 5
неравенства f (х)<0 имеют вид —4~ 2 л£ < х < —-^-4-2лЛ, 2 л Л <х <-^-4-2 л/г,
5 5 5
-^-4-2лЛ<Х’<л4-2л£, k^,Z. 1346. Решение. Обе части неравенства неотрица-
5
тельны. Значит, возведя обе части неравенства в квадрат, получаем неравенство,
равносильное исходному, т. е. sin2x^cos2x, откуда cos2 х—sin2x^0, cos 2x^0,
-^-4" л/г^х^-^-4" k£Z. 1347. x£R, х=/=^-, k£Z\ Указание. Для всех
4 4 2
х=#=-^-, k£Z имеет место |sin х| >>sin2 х и |cos х| >>cos2 х, откуда |sinx|4-
4- |cos х| >>sin2 x4-cos2 х= 1; если же х=-^-, то |sin х| 4- Icos х| = 1, т. е.
неравенство не выполняется. 1348. Решение. Учитывая, что cosx = cos|x|,
имеем sin |2х| >>0,5, откуда -^4-2лЛ<С |2х| <-^-4"2л£, где £ = 0, 1, 2 ... (посколь-
6 6
ку |а| ^0 для всех а€Л). Значит, + л^СхС-у^-Н-где /г = 0, 1, 2 ..., или
—л/г<х«< —^-4-л/г, где £ = 0, — 1, —2 ... . 1349. Решение. Решая не-
16 2
равенство Зх2 — 31х + 80<с0, получим 5<х<—• Значит, — <6— х<1, тогда
О о
6 — х 2
з
cos —--< 0.
6 —х
3 9л
6^7<2 Н0 2
9 Зл л
, откуда -
1350. Решение. Решая неравенство cos-^-cO,
Зл
~2'
имеем —+
3
6 — х
_|_2лЛ<^-<-^-|-2лЛ, k£Z, 1+4£<х<3 + 4£, k£Z. Решая
3
^х (методом интервалов), получим х^ — 1 или 2<х^3. В
неравенство
промежутке
х —2
(2; 3] существует единственное целое число 3, которое не является решением нера-
лх л
венства cos-^-cO. Таким образом, ответами являются все целые числа из про-
межутков (1 -|-4Аг; 3-|-4fc), k£Z, удовлетворяющие неравенству х^ — 1, т. е. зна-
чения х =—2-|-4£, где £ = 0, —1, —2 ... .
§ 37.
1353. а) у = {х}\ б) i/ = [x]; в) рис. 101; г) рис 102. 1354. Относительно суммы мож-
но; относительно произведения нельзя. Указание. Пусть <р(x) = f(x)-|-g(х).
Если предположить, что <р имеет предел в точке а, то функция £ = <р — f также
Рис. 102
должна иметь предел в этой точке. Пусть g(x)—
1, х>0,
-1, х<0.
f(x)=xt.
а = 0.
Тогда q(x) = f(x)g(x) =
х>0,
— х2, х<0
lim гр (х) = 0.
1355. 1. Указание.
31. х+2
1 —х3 X— 1 1 -f-X-j-X2
3 _ 5 5 __ 5 __ 5 __
1356 5 Указание ' (1 ~^)( 1 + W+V?+W + W )
I odd. . «у к а з d н и г. 5-— - -- ~ з . .
1-д/7 (i-x)(i+V7+V?)
1357. 3. Указание.
Д/б-х -1 3+Д/4 + х
З-Д/4 + х Д/6 —х 4-1 ’
1358. 4-
К
Указание.
Z—1 (х—1)(х"~1+х"~2 + ...+ 1)
1 2
1359. —— . Указание. ----
2 2х —х2
X*—1 (х—1)(х*-' + х*-2 + ...+ 1) ’
х2 — Зх + 2
(1____— \
(2 —х) \х х — 1 /
1
_ х(х—1)'
з „ 2Д/^4-^4-1 —2 —X
1360. —. Указание. —-----------------
4 х2
1361. Не
с 4
существует. Если взять х=------------—,
1 -|- 4k
k£N, то tg-^-=tg + а
при
------, k£N значение tg—=tg ( — Д-J-nk
4k — 1 x \ 4
. Значит, в любой окрестности
. Л । 1 л ।
нуля есть точки, где tg—=1 и tg—= —1.
§ 38
1362. Решение, f' (0)= lim I ^-=lim xsin—=0. При х=#=0 имеем
х-»-0 X х-»-0 X
/' (х) = 2х sin -—cos — , при этом lim 2xsin—= 0, а предел функции g(x) =
X X х-»-0 X
= cos — не существует. 1363. Решение, lim — = lim -—£121 =£' (0) (по
х х + 0 X х + 0 X
£ (%)
определению производной). Если f (х) = х(х+ 1)...(х+ 10), то —— = (х-|-1)Х
Дх
Х(х-|-2)...(х+ 10) и lim = 1 »2»...» 10= 10! 1364. Решение. Пусть
х-^0 х
л т г г f(a + bx) — f(a) Ьх f'(a)
x-^ag(x) дх-^о Av £(а + Дх) — g(a) g' (а)
Если /(х)=(1-1-х)100—1, g(x) = x, то lim ^Х^ = 100. Для f (х) = (х— 1) (х—
х^о g(x)
— 2)...(х—10) пусть g(x) = x
тогда /z(l)=lim = lim (х—2) (х—
х—»~ 1 X— 1 х — 1
— 3)...(x—10) =—9! 1365. Неверно. Указание. Возьмите /(x)=|x|, тогда
f2(x) = x2. 1366. Решение. Если /(х)=|х|, g(x)= — |х|, то f (x)-g (х) = — х2,
/ (x)-|-g (х) = 0. Таким образом, утверждение неверно. 1367. Утверждение невер-
но для fg и верно для f + g. Указание. Возьмите /(х) = х, g(x) = |х|, тогда
/(x)g(x) = x |х|. Если предположить, что h имеет производную в точке, то функ-
ция g = h — f также должна ее иметь. 1368. Указание. По условию
/(—х) = /(х). Следовательно, — /'(— х) = /' (х). 1369.
+ 2л£; у -|- 2nkj
U
и [j+2nfe; ^ + 2лй]и[5
. 2 W+l -
/' (х)= I sin х——-— sin x-F
-|-2л/г; -^--|-2л^ ,
k£Z. Указание.
^ + 2л*; -4 + 2л*
О о
( {\( V3 \
cos х= I sin х—"2/1 sln х 2 ) C°S Х'
2л£; + 2nk
, k£Z.
Указание. /'(х)= — sin х ^cos2 х—-1^. 1371. При
[-^--|-2л/г, arccos + 2лаЛ J( — arccos + 2nk\ —-^--|-2лАг1
L6 з / \ з 6 j
x=arcsin
3 sin a
4 —2 Д/З cos а
— л + ( — 1)" arcsin
=^=- 4- лл, п Е Z;
cos а
1
при
arccos+2л£; 2л (1 + k)— arccos
(Д/З sin а \ . z . ui 1 „
—. : 1 + (— 1) arcsiп —--- ------+ ял, пЕZ.
у4 —2Д/3~соза / у4 —2^3^ cos а
При остальных а решений нет. Указание. /' (х)=л/3 sin (a — x)-|-sin х— 1 =
=Д/з" sin a cos х—cos a sin x-|-sin х— 1 = \^3~ sin a cos х-|-( 1 —^3~ cos a) sin х—
— 1 = — 2 д/3~ cos a sin(x-|-<p)—1, где угол ф определяется из условий
Д/З sin а 1— Д/З cos а х
sin ф=—— ___________, cos Ф=—- —.......... Отсюда 5ш(х-|-ф)=
у4 —2Д/3~со5а у4 — 2Д/зГсоза
=— 1- — - Последнее уравнение имеет решения, если 4 — 2 \^3~ cos 1,
у4 — 2 Д/З cos а
т.
, k£Z. При этом х= — ф +
— 1)" arcsin— + n£Z. Если 1 — д/3~ cos а О, т. е.
у4 —2 д/!Г cos а
arccos ~^--|-2nfc; 2л (k-f-1) — arccos -^у-
, k£Z, то в качестве угла ф можно
Д/З sin а
взять ф = arcsin —=====
у4— 2 Д/з” cos а
если же 1 — Д/з" cos а<С 0, т. е.
Rr + 2nfc; arccos-^- + 2( — arccos~|- + 2nfc; —Ц--|-2пЛг1 , k£Z, то в ка-
Lo 3 / \ 3 о J
честве ф можно взять л — arcsin
Д/З sin а
^4— 2 \^3~ cos а
. 1372. 1. Указание. Пусть
arcsin х ф __ .
® = arcsinx, тогда х=8Шф, ----------=—1—. 1373. Решение. ф = arctg х,
х sin ф
, arctg х ф cos ф . Л „ sin 2х
тогда х = 1£ф, ----—=—-------—1 при ф —0. 1374. Решение. — -------------- -
х sin ф х2 —л2
2 sin (х — л) cos (%+л) 1
(х — л)(х-|-л) л
х-+л. 1375. Решение. (1— x)tg —=
. лх 2 2 2
= sin —--------------— при х—*• 1. 1376. 1. Указание.
2 - “
x-j-2x2
sin x
x(l+2x)COS X
. 1377. Решение, lim
1 — д/iT cos x
cos 0
Д/2^ sin
4
1 (см. зада-
чу 1364). 1378. — — . Указание, sin 6x— sin 8x= — 2 sin x cos lx. 1379. Ре-
шение. Пусть /(x) = sin
тогда
§ 39
1380. Решение. Если прямая касается графика функции у = 2—— в точке
(с2\ с2
с\ 2—— к то ее уравнение имеет вид у = 2——+ (— с)(х — с) = — сх+с2 +
с2 с2 1 с2
+ 2—— сх' Подставляя сюда значения х=—, у = 2, получим 2=—+
£
-|-2——, откуда Ci = 0, с2=1. При с = 0 уравнение касательной имеет вид
у = 2. Прямая у = 2 касается полуокружности у=у]4 — х* в точке (0; 2) и других
общих точек с ней не имеет. Если с= 1, то уравнение касательной есть У=~^—х'
Решая уравнение — х=^4— х2 «легко убедиться, что эта прямая пересекает
кривую // = ^4 —х2 в точках с абсциссами х=—— • 1381. Решение. Если
X - Л Г"
прямая У=~2 касается кривой y=\Jx —а в точке с абсциссой х, то для х получа-
ем систему уравнений
2
1
2“
Fx —а,
1
2Д/х
, 1
откуда х=1, а=—.
1383. Решение.
Пусть некоторая прямая касается кривой £/=д/1 -j-ax в точке
да уравнение ее y=\i +ас -|--г--.(г—г). Поскольку
2 УН-ас
с абсциссой с, тог-
а 1
---F-- ~ - . то
2 V1 2
---- 1 „ . х—с х
\\-\-ac = а, с = а-и уравнение касательной у = а-\--— , // = —
Так как при а>0 сумма a-f-^-^2, то искомое значение а=1. 1384. Реше-
а
V 1 1 / ч Х 1 2
н и е. Уравнение касательной у=-------(х—с), т. е. у=----Н—; поскольку
с с2 с с
X
касательная параллельна прямой у = --г—1, то значение с=уЗ. Расстояние
О
х х 2 2 Л/З I 3
между прямыми у=———\ и у=——~\—== равно —. 1385. Р е ш ё-
3 3 Д/3 Д/10
н и е. Уравнения прямых, касающихся кривой у = ах? в точках (с; ас2) и ( — с; ас2),
есть у = ас2 + 2ас (х — с) и у = ас2 — 2ac(x-j-c) соответственно (с>0). Подставляя
в эти уравнения х = 0, у= — 1, получим ас2 = 1. Прямые будут перпендикулярны,
{ас2 = 1,
2ас=1, решая которую получим
а=-~, с = 2.
4
§ 40
1386. Промежутки возрастания:
f—1
|_3-|-4Лг 1-|_4AiJ
, k = 0t 1...,
промежутки убывания: [1;
00).
F—; —1
[l+4fc 4k — 1J
k = 1, 2 ... . Указание.
/(*)={
1387. Нет. Указание. Рассмотрите функцию
х2, х=#=0,
1, х=0
. Так как /' (х)
1388. Решение. Пусть f (х) = , х£
то на интервале
tf? о
функция f возрастает, т. е. ——
а
_ 2х —sin 2х
2Х2 cos2 х
tg b
, если а
b
Отсюда а 1389. Если f (x) = sin х+ tg х — 2х, то
tgb b
. (1— cosx)(l+cosx — cos2 %) / л\
f (*)=-------------2----------->° ПРИ ХЧО; Т
cos^ х \ 2 /
1390. Указание.
Пусть f (x) = sin х —— х. Тогда /' (х)>0 при x^fo; arccos
л \
xE^arccos —; yj ; f = f (0) = 0. 1391. Решение. /'(x) = 6a2x2-|-14ax-|-4,
откуда при a>0 точка максимума x=-----=——, т. e. a = 6; при a<0 точка
a 3
максимума x= —-Д- не может быть равна —
За
—. Итак, остается решить нера-
венство f
где/(х) = 72х3 + 42х2 + 4х+с. Отсюда —-|-
1392. а = 2;
максимум. Указание.
л
—1=0, откуда а = 2. В точке х=— произ-
О
водная меняет знак с плюса на минус.
§ 41
1393. Решение. Площадь сегмента S=-^- а I2—-^-/2sina, где а — централь-
Так как
sin х
при х£(0; л), то из уравнения S'(a) = 0
следует а = л; легко проверить, что а = л — точка максимума функции S.
1394. Решение. Пусть точка О — ближайшая к А точка на дороге; АО = а,
ОВ=у. Если х€[0; у], ОС=х, то ЛО=У100-1/2, ЛС=У100-«/24-л2 •
У100 —1/2-f-х2 у — х 10
По условию задачи —------------— при всех х€[0; у\. (1) Рассмот-
V oV V
рим функцию /(х) = ЗД/100— у2 + х? + // — * —30, найдем ее точку минимума:
Зх—Д/100 —д /100 —I/2
f (х) =-- ---------—, откуда х0= \/------—---точка минимума. По-
Д/ЮО-^ + х2 V 8
скольку f(y) = 0, то из условия (1) вытекает 2 возможных случая: 1) у^х0, от-
100 —t/2
а =
/€[-1, 1].
у. Тогда а = Д/100 —I/2,
з^10
т. е. 8
+ у30. Решая это неравенство, получим //=-!—. Значит,
О
1395. Указание. /(x) = 2(cosx— cos3 х); пусть / = cosx,
1396. 0 и —19. Указание. Найдите критические точки функ-
ции g (х) = х3 — 6х2 + 9х — 3. 1397. 1 и 0. Указание. Пусть i/ = tgx,
0Е[О; Уз“|. Тогда задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего
значений функций g(y) = 2y— у2 на отрезке (0; д/3~]. 1398. с=у. Указание.
Уравнение касательной есть y = cosc — (х — с) sin с, площадь трапеции
S (с)=— Г cos с + с sin с—уsin с Y
§ 42
1399. F(x) =
x3—x24-6x-|-C, x>2,
1400. F (x) = sin x — x cos x-|-C.
-p+p-ex+^+c.x^.
о X о
Указание. Используйте равенство (х cos x)' = (sin х)' —х sin х. 1401. F (х) =
=|У(^+3)5 —^V(x4-3)3 4-С. Указание. (х-Ь2) УТ+З =(х4-3)Х
5 3
хУ(х-|-3) -У(х4-3) =(х4-3)?-(х-|-3)2 1402. _L(1-2х)2-|(1-2х)24-С.
Указание. хУ1-2х------^-(1 -2х)У1-2х 4- lyi-2x . 1403. /(х) =
= х-^х2 + С.
Рис. 103
§ 43
у=|х2+зх|
2
1404. 9. Указание. Площадь S= (4 — ^)dx.
-1
1405. —— (рис. 103).
О
9
1406. 15 (рис. 104). 1407.
у = 2— 2х и у = 4х—7. Касательные
Указание. Уравнения касательных
пересекаются в точке ; — 1Y 1408. у.
Указание.
Искомая площадь равна
1409. Решение.
2 /
2 3
dx=— a3 — 3a = 0, откуда a=—=. 1410. a = 2. 1411. Реше-
3 V2
н и е. cos 2х— уЗ sin2x = 2cos
; отсюда \
о
dx =
= sin
sin
— sin-^-; следовательно, f (а) принимает наибольшее значение, если
О
JI ТГ JT
1, т. е. 2а=—--|-2nfc, а=— + л£, fc = 0, 1, 2 .... В решении
ОХ 1 X
можно использовать формулу ( \f(x)dx j =f(a). 1412. Решение. Вычис-
\o /
лив интеграл в левой части уравнения, получим sin (2u2 3) — sin (2u2— 2u) =
= — 2 sin u cos и, откуда 4 sin a cos a2 cos (а2 —и). Так как
[-4-4]
ТО
sinacO и, значит, либо cosu2 = 0, либо cos (а2 — а) = 0. Это означает, что либо
. Л [я", Т U П 1 П к 1 dzV1 Ч-2л-|-4лЛ , А .
и= ± Л = 0, 1, 2 .... либо и=-----------------------, fc = 0, 1 ... . Из всех
этих решений в отрезок
„ _ 1 -V«+2n
“*------2----•
—1
[ 2 2j
попадают только и^ = —
§ 44
1413. Решение. Записав уравнение в виде |х — 3| + х = |2х — 3|, рассмот-
рим три случая: при х^1,5 имеем — х-|-3-|-х = — 2х-|-3, х=0; при 1,5<х<:3
имеем — х-|-3-|-х=2х — 3, х=3, но 3ff(l,5; 3); при х^З имеем х — 3-|-х = 2х — 3,
что выполняется для всех х из рассматриваемого промежутка [3; сю). Итак, х = 0,
х^З. 1414. Решение Пусть д/х— 1 = //, тогда х + 3 — 4 Д/х — 1 + 4 —
— 4у=(у — 2)2, х-|-8 — 6 Д/х — 1 = //2 + 9 — 6у = (у~ З)2, уравнение имеет вид
\у — 21 + 1// — 31 = 1, где i/>0; при 0^у<2 получим —z/-|-2 —z/-}-3=l, у = 2,
но 2i[0; 2); при 2<1 у<13 получим у — 2 — //-|-3=1, что выполняется для всех у из
рассматриваемого промежутка [2; 3]; при //>3 получим у — 2-|-i/ —3=1, i/ = 3,
но 3£(3; сю). Итак, 2^i/^З, откуда 2<1Д/х—1 =СЗ, 5^х^10. 1415. — 6±Д^ЗЗ~.
1416. Решение. Пусть х2-|-2х=1/, тогда д/^+Т + д/4//-|- 13 = Д/3//-|- 12 .
Возводя в квадрат левую и правую части уравнения, получим
у + 1 +2\(y+l)(4y+l3) +4I/+ 13 = 31/+12, V(</+>)(4у+13) =— у — 1, отку-
да следует, что —у— 1^0, т. е. — 1; с другой стороны, у^ — 1, поскольку
определен Д/^-f- 1 . Проверкой убеждаемся, что у= — 1, действительно, является
корнем уравнения. Итак, х2-|-2х = — 1, (х+ 1)2 = 0, х = — 1. 1417. Решение.
Разделим левую и правую части уравнения на ~\j5 — x (очевидно, что х=5 не яв-
ляется корнем уравнения). Заметим, что областью определения уравнения явля-
3______ G --------
ется отрезок [ — 5; 5]. Значит, 5 —х^О и Д/5 —х =Д/(5 —х)2 . Таким образом,
-д /5 + х _ -д /5-1-х _ -д /5-1-х 2 о п
имеем \/——- — 2 = \ /——- . Пусть \/——- = у, тогда у — у — 2 = 0,
у = 2 (у= — 1 не подходит, так как z/^0), = 2, * =64, х = 4 -J-i-. По-
у о — X о — X 1 о
скольку все проделанные преобразования на области определения уравнения
приводили к равносильным уравнениям, проверка не нужна. 1418. 1. Реше-
ние. Пусть д/х— 1 4-Д/2х— 1 = //, тогда Зх — 2-|-2 Д/2Х2 — Зх + 1 = у2,уравнение
приобретает вид у2 + 2 = 4 — у, у2 + у — 2 = 0, //=1, (у=—2 не подходит,
так как z/^О). Итак, д/х— 1’+V2X-1 =1, очевидно, что х=1, других корней
быть не может, поскольку в левой части уравнения возрастающая функция, а в
правой части уравнения постоянная. Значит, уравнение имеет не более одного ре-
шения. 1419. Решение. Легко угадать, что х = 2 — корень уравнения.
В правой части уравнения постоянная, а в левой части возрастающая функция.
Значит, уравнение имеет не более одного решения. 1420. Решение. 1-й
способ. Возведем обе части уравнения в куб и, используя формулу
з_______________________________________________________________________
(а — Ь)3 = а3— Ь3 — ЗаЬ(а— b)t получим х + 34 — х-|-3 — 3 Д/(х-|-34) (х —3) X
Х(Д/х-|-34 —д/х —3)=1; поскольку выражение в скобках равно 1,
имеем 3 Д/(*+34) (х —3) =36, откуда х2-}- 31 х — 102= 1728, х2^-
4-31х—1830 = 0, Xj=— 61, х2 = 30. Проверкой убеждаемся, что оба корня удов-
летворяют исходному уравнению. Замечание. В данном случае проверка
3/----- 3/-------
необходима ввиду замены выражения ух-|-34 —ух—3 на 1, что, вообще говоря,
может привести к появлению посторонних корней. 2-й способ.
з .----- 3 -------- ( и — V = 1,
Пусть ух-|-34 = и, ух—3 = v, тогда получим систему уравнений <
( u=V-j- 1,
решая которую имеем <
( ir-j-uv + tr = 37. Решая систему способом подстановки,
получим (w+ 1)2-|-(i> + 1) ^4-у2 = 37, и2-|-и — 12 = 0, 1^!=—4, и2 = 3; если
з_____ з_____
у/х — 3 = —4, то х=—61; если \х — 3 =3, то х = 30. 1421. Решение.
Пусть Л]х — 2 =и, д/5 + х —тогда имеем систему уравнений
u = v— 1,
v3 — и2 = 7,
ре-
шая которую получим и3 — (и — 1)2 = 7, и3 — u2 + 2i> — 8 = 0, (v — 2) (и2-|-2и-|-4)—
3 .________________________________________________________
— v(v — 2) = 0, (и —2)(и2+и-|-4) = 0, откуда и = 2. Значит, у5 + х=2, х = 3.
4 ______________________________ 4 _________
1422. Решение. Пусть ^77+ х = и, ^629 — х = и, тогда имеем систему
Ги-|-0 = 8, р-|-и = 8,
уравнений Решая которую получим
( u-|-i> = 8,
< „ „ „ Рассматривая второе
1 (64 — 2uw)2 —2и2и2 = 706.
( и + и = 8,
(((u-f- v)2 — 2uvf — 2u2w2 = 706;
уравнение полученной системы как квадратное относительно uv, имеем
(uo)2-128ut>+1695 = 0, откуда ии=113 или ии=15. Таким образом, система
{u-|-u = 8, (и-|-о = 8,
или < первая из
но =113, (ио =15,
которых не имеет решений, а вторая имеет решения (5; 3), (3; 5). Значит
Д/77-|-х =5 или Д/?7-|-х =3, откуда Xj =548, х2 = 4. 1423. 15. 1424. Решение.
Д/бх2 —20х-|-21 4-Д/Зх2-12x4-28 = Д/5(х-2)24-1 4-Д/3(х-2)24-16 4-
4-У1б"=5 для всех x£R, причем равенство достигается при х = 2; с другой сторо-
ны, 8х—2Х2 — 3= — 2(х — 2)2-|-5^5 для всех x£R, причем равенство дости-
гается при х=2. Значит, уравнение имеет единственный корень х = 2.
1425. [4; 5)U(8; сю). 1426. 1<х<26, х>82. Указание. ^1 -рх2 — 2j7 =
4 ______
= у(х— I)2 = д/|х— 11 =У]х— 1 , так как х^ 1 в области определения неравенст-
ва; положить д/х — 1 =у и решать полученное рациональное неравенство мето-
дом интервалов. 1427. Решение. Пусть f (х)=д/х+ 1 +Д/х+ 1$ • Заметим,
что f (х) возрастает на [—1; оо) и /(3)=6; /(х)<1/(3) тогда и только тогда, когда
— 1 <1 х<13. 1428. Решение. Пусть f (х)=д/х+3 — Д/2х — 1 — д/х — 1 »
D(/) = [l; оо). Решая уравнение /(х) = 0, получим д/2х—1 1 = Д/х+3,
после почленного возведения в квадрат получим 2 Д/(2х—1) (х—1) = 5 —2х,
4 (2Х2 —Зх+1 ) = (5 —2х)2, 4х2 + 8х—21=0, откуда %! =1,5, х2= — 3,5, но
— 3,5^£)(/). Проверкой убеждаемся, что х=1,5— корень уравнения f (х) = 0.
Расставляя знаки значений функции f (х) на полученных промежутках, за-
ключаем, что /(х)^0 при 1<1х<11,5. 1429. Решение. После очевид-
ных преобразований неравенство можно записать в виде f (х)<10, где
"\/8—2х—х2 -(х— 1) „ . п.п
/(Х)= (х+10)(2х+9) • НаИДе“ D(/) И3 УСЛ°ВИЯ
8 —2х-х2>0,
х+10=#=0,
2х+9=#=0,
откуда D (/) = [ — 4; 2]; f (х) = 0 при х= —4, х=2, х= 1. Расставляя знаки значе-
ний функции /(х) на полученных промежутках, заключаем, что /(х)^0 при
— 4^х^1, х = 2. 1430. [—1,5; — l]U(0; оо). 1431. Решение. Запишем нера-
венство в виде /(х)>0, где /(х)=——“* ^ (/) = (“ °°'* 0)U(0; 2]. Ре-
шая уравнение /(х) = 0, получим Д/2— х =3 — 2х, что равносильно сис-
( 2 —х = (3 —2х)2,
теме < откуда х=1. Расставляя знаки значении функции
^х^ 1,5
f (х) на полученных промежутках, заключаем, что f (х)^0 при х<0, 1<1х<12.
§ 45
1432. ±2. Указание. = 1--= , (\4) — 4 д/б" )Х = У- 1433. 1;
Д/9 _|_4 д/5
5; л. Указание. 6х —х2 —5^0, 1<1х^5; 5s,nx = i/, У\= — //2= 1,
О
sin х = 0, х=ли, 1 <1 лл<15, п = 1, х = л. 1434. Решение. 252 cos лх 1 —
-6-25cos2"x+ 125 = 0, 25cos2"x=f/, </, = 125, </2=25; cos2nx=l, x=n, n£Z,
x4 — Зх2 — 4=#=0, x=#= ±2. 1435. 2. У к а з а н и е. 13х=#=0,
ма убывающих функций //(
есть убывающая функция.
Уравнение имеет единственный корень
5 —2 Д/З
10
<1, 0<
54-2 Д/З”
10
<1.
убывающая функция. Если уравнение имеет
х=2. 1436. 2. Указание.
Сумма убывающих функций есть
корень, то он единственный. Заме-
тим, что х=2. 1437. Решение. 2Х+3Х = 9Х-4Х, 3х + 2х = (3х + 2х)(3х-2х),
(3Х+2Х)(3х-2х- 1 ) = 0, Зх + 2х=#0, 3х —2х— 1 =0, 2Х+1=3Х,
GM)--'-
х=1. 1438. 0. Рассмотрим левую и правую части данного уравнения. сле-
довательно, 2х2^1. Пусть z = 2-3x—32х и 3x=f/Z>0, тогда z = 2y — у2 —
= —(у2 —2i/+l)+! = —(//—1)2+1. Рассмотрим 0<lz<ll. Наибольшее значе-
ние квадратной функции z = 1 при у= 1. Таким образом, 2Х*^ 1, у2-Зх—32х 1.
Данное равенство справедливо при 2х2=^2«Зж —32х =1, что возможно при
х = 0. 1439. Решение. Левую часть уравнения можно привести к виду
о ЛХ , . 9 пх . 2 пх . 2 пх
sin - 1— sm ---- sin ---- 4 sin —-
4 4 +4 4 =4 4 Н---------. Пусть 4 = а>0, тогда левая
4 sinz~—
4
часть уравнения примет вид а-|—. Известно, что
а
^2^аЬ, если а>0, 6>0, а-\~ — >2"\/а-— или a-j-—>4, Д/13-|-бх — Зх2 =
а \ а а
= Д/ —3 (х2 —2х+1)+16 = Д/—3(х—1)2+16 ^лУТб~=4- Итак, левая часть урав-
нения при различных значениях х принимает значения, большие или равные 4,
а правая часть — меньшие или равные 4. Равенство возможно при условии, что
. 2 п 2 п 1 1
Sin — COS — — —
обе части уравнения равны 4, т. е. при х= 1 (4 4 +4 4 =42 -|-42 =4).
1440. (—оо; —1). 1441. (—оо; 0,5). 1442. (— оо; 0). 1443. Решение.
0< arccos 2х+'<я, — 1<2х+'<1, х< — 1, 101 + х2 — 101-*2 — 99<0. Пусть
Юх2 = (/>0, 10i/—IOjF1—99<0, 0<t/< 10, 0<10х2< 10, х2^ 1, — 1<х<1.
Итак, имеем систему
х< — 1,
— 1<х<1, откуда х= — 1.
§ 46
1444. 100. 1445. (— 1)‘-^- + яй, k^Z.
6
Указание. Уравнение равносильно
системе
sin2 х —
А-1
36 “9 ’
W
sin х>——.
о
1446.
Решение. Уравнение равносильно системе
3 (4 cos 2х —2 cos х + 3) = 2 + 8 cos х.
2-|-8 cos х>0. Заменив cos 2х на 2cos2x—1, получим
уравнение, квадратное относительно cosx, т. е. 24 cos2 х—14 cos х —5 = 0, отку-
да
5 z 1
cos х=— (cos х= —- не
6 4
удовлетворяет условию 2 + 8cosx>0).
Таким
5
образом, х= zbarccos—+ 2nfc, k£Z. 1447. 16.
6
Указание. Уравнение равно-
сильно системе
log2 (2Х2) • log4 (1 бх) = log4 х3,
log4 х3^0.
Решить уравнение системы (1+2 log2 х) ^2 + -i-log2 х^ =-—log2 х, откуда
5 log2 х— 18 log2 х — 8 = 0. 1448. Решение. Уравнение равносильно совокуп-
ности двух систем
Зх—1 = 1,
г- и
ctg х> Д/3
Зх—1>0. Первая система не имеет
2
решении, так как корень уравнения системы х=— не удовлетворяет нера-
О
(2 л
— >т-, функция £/ = ctgx убывает на (0; л); зна-
3 6
чит, ctg-^-Cctg -77 = Решая вторую систему, имеем x=-^--|-nfc, fc = 0, 1,
3 6/ 6
2 так как х>у. 1449. Решение. Уравнение равносильно системе
( 6 logx(7x2)-log| х=36,
| log7 х<0.
Решая уравнение системы, имеем (logx 7-|-2)* log2 х=6, 2 log2 х-|-log7 х—6 = 0,
откуда log7x=—2 (log7x=l,5 не удовлетворяет условию log7x<0). Таким
образом, *=-^- И50. °.'; 10- Указание. 10lg2 *=( 10lg x)lg x=jclg *
1451. Решение. Области определения уравнения принадлежат значения не-
известного, для которых log2 sin х^О, т. е. sin х^ 1, но Е (sin) = [— 1; 1], поэтому
sinx=l, х=-^-4-2л£, k£Z. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все
указанные значения являются корнями уравнения. 1452. Решение,
log. tg X л log. ctg X л log. tg X л — log. tgx л
3 4 -|-3 4 =3 4 -}-3 4 ^2 как сумма двух взаимно обратных
положительных чисел, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда
о,ок4^х , л
3 = 1, т. е. Iog4 tg х = 0, tg х= 1, х=—4-лА:, k£Z. 1453. Решение. Запи-
сав исходное уравнение в виде log, _2х ((1 — 2х) (1 — Зх)) — logj _3х (1 — 2х)2 = 2,
получим систему, равносильную данному уравнению,
l°g|_2x(1 -Зх) — 2 log,_3х(1 -2х) = 1,
х=/=0.
Введем новую переменную / = log|_2x(l—Зх). Тогда уравнение примет вид
2 1
/ = 1 4— , откуда /,= — 1, /2 = 2. Если iog|_2х(1 —Зх)= — 1, то 1 — 2х=-——- ,
t 1 — Зх
5
бх2 —5х=0, х, = 0, х2 = — (оба
6
корня не удовлетворяют неравенствам
сис-
темы). Если log, _2х(1 — Зх) = 2, то (1 —2х)2= 1 —Зх, 4Х2 —х = 0, х, = 0,25, х2 = 0
(не удовлетворяет условию х=/=0). Таким образом, х = 0,25. 1454. х=-^-,
х^4. Указание. Если д/х~^2, т. е. х^4, то уравнение принимает
вид log4 8=0,5-|- l°g2 2, что является верным числовым равенством. Если
д/х”<2, то уравнение примет вид log4 (4-|-2 = log2 |2 Vх—2|; тогда
log2(4 + 2 Vx)=l+2iog2 |2Д/х-2|, откуда 4 + 2V? = 2(2 у/х -2)2,
(\J~x =2 не удовлетворяет условию "\]~х <2). Итак, х=—. 1455. Решение.
Легко заметить, что х= 11 является корнем уравнения. Других корней нет, так
как левая часть уравнения функция возрастающая, а правая часть уравнения
функция убывающая на области определения уравнения. 1456. Указание.
Подставив х=9 в уравнение, получим а = 3. 1457. х=1,5, х>2. 1458. х=1,
1,8<х<2, 2<х<3. 1459. -3<х< -^LL±1, -2<хС^Р^~' . у к а.
з а н и е. Неравенство равносильно совокупности двух систем
х> —2,
0,2х2+1,2х+2,5<х+3;
—3<х< —2,
0,2х1+1,2х+2,5'^х+3.
1460. Решение. В области определения неравенства выполняется условие
3' — 9>0, т. е. х>2. Значит, исходное неравенство равносильно неравенству
0<log9(3x— 9)<х, откуда 1<3Х— 9<32х. Неравенство 32х— Зх + 9>0
выполняется для всех x£R-, следовательно, x>log310.
5
U61. Iog4 —<х<
<log4l. x>log4|.
Указание. Неравенство равносильно системе
.9 г 5
=-18 ;
!4._2-22* + |
1462.
— 4<х<—3, х= — 2,5, — 2<х<1. 1463. 0<х<
^2— v , х^2 . Указание. Прологарифмировав обе части неравенства
по основанию 2, получить неравенство iog2 х^8, равносильное исходному на ин-
тервале (0; оо). 1464. Решение. Пусть lgx2 = i/, тогда неравенство принима-
У__2 2
ет вид ——— >—0,5, решая которое методом интервалов получим £/<0, £/> —.
Решая неравенство 1g х^^сО, имеем ОСх2*^ 1, т. е. — 1 <х<0, 0<х< 1. Решая
2
>3
2
3
з____ з
дДо"» х>д/То~- 1465. Решение.
3
Записав неравенство в виде —log4(3x—1 )-(log4 (3х—1)— 2)^—, положим
1 3
log4(3x — \) = у, тогда 4у2 — 8i/ + 3>0, откуда . Если log4(3x—1)<
2
4' т° у~
х — 1
1466. Р е ш е н и е. Ввиду того что log j log j-----------------------
— — x-|- 1
2 3
= logj log3---j-=—log2 log3----j-, исходное неравенство равносильно неравенст-
7
ву log2 log3——j-<0, откуда 0<log3^—у
-----<3. Решая последнее
х— 1
неравенство методом интервалов, получим х>2. 1467. 3<х<л, лСхС-^-,
—-<х<5. Указание. Неравенство равносильно системе
0<х2 —8х-|-23<8,
1468. Решение. Заметим, что для всех х<2 выполняется неравенство
l°g3(9 — 3х) — 3<Jog39— 3= — 1<0. Значит, исходное неравенство равносильно
неравенству х— 1 log3 (9 — 3х) — 3, решая которое находим log3 (9 —Зх)^х-|-2,
О <9 — Зх^Зх+2, откуда log3 0,9 *Сх< 2. 1469. , 2, .Указание.
16 16 16 16
.. 1-|-cos6jix , 1-|-cos10jix о , .
Уравнение решим понижением степени -------------1----------= cos8nx-|-l,
1 k
cos 8nx-cos 2nx = cos 8лх, откуда cos8nx=0, х=— + — , k£Zt или cos2nx=l,
16 8
x = k, k£Z. Неравенство logI0_4x^6x—“^<1 равносильно совокупности двух
систем
' 10-4х> 1, ( 0< 10 — 4х<1,
44 I 45
6х--^-< 10 —4х, 6х----Г-> Ю-4х,
4 и 4
6х—^>0 I 6х—-^->0,
4 (4
30 34 36 40
первая из которых имеет решение — Сх<—» а ВТ0Рая <х< —' Отбираем
корни уравнения, удовлетворяющие полученным решениям системы неравенств.
§ 47
1470. (Г, 3), (3; 1).
Указание. Ввести новые переменные
хЧ-£/ = и,
xy=v.
1471.(1; 2), ( —1; -2), (-2== ;Уб7), ( —^=;—Д/бТ). Указание. Ум-
ножив обе части первого уравнения на 4, обе части второго на —3 и сложив по-
членно, получить квадратное относительно ху уравнение х*у2—1 lxi/-|-18 = 0.
1472. (1; 6), (2; 8). Указание. Выразим у из первого уравнения
£/ = х2 —х—6; подставляя во второе уравнение, получим
8
х —3
= 3х2_/_
— 6х, откуда х4 —бх3-}-Юх2—18х-|-8 = 0. Непосредственной проверкой убеж-
даемся, что х= 1 является решением этого уравнения. Следовательно,
(х—IHx3 — Бх2-}- Юх—8) = 0. Поскольку х=2 является корнем многочле-
на х3 —5х2-|-10х—8, то последнее уравнение равносильно уравнению (х—1)Х
Х(х—2)-(х2 —Зх-|-4) = 0. 1473. (—2; —1). Указание. Вычитая почлен-
но из второго уравнения первое и разложив левую часть полученного уравне-
ния на множители, получить (х-|-2)(х-|-£/) = 0. 1474. (2; 4,5), (— 2; -^-Y (Г, 2),
(— 1; 0). Указание. Умножив и разделив левую часть второго уравнения на
— ^/у— 2х, можно рассмотреть систему
W—Vj/ —2х =л/2х.
откуда
у ~ • >475. (9; 4), (4; 9), (— 9; — 4), (— 4; — 9). Указание. В области
Х + У _ 7
х>0, £/>0 данная система равносильна системе
ху \ХУ Эта систе-
^ХУ (*+«/) = 78.
ма решается подстановками х+у = и, \ху =v. 1476. (— 1; 1). Указание.
Ввести новые переменные У]3у — х =и, ^JSy — x = v. 1477. (1; 0). Указание.
Пусть 2х = и, 3y = v, тогда получится система уравнений, левые части которых
одновременно многочлены относительно и и v. 1478. Решение. Обозначим
2х = а, 21 2у = Ь, тогда данная
система примет вид
а + Ь + -у- = 6,
a2 + 3ab + b2 = 20.
откуда
2(а + 6) + а6=12,
„ Пусть aA-b = u, ab = v, тогда последняя система бу-
(а + 6)2 + а£ = 20.
{2u-|- v= 12,
Поскольку u>0, и>0, то (4; 4) — единствен-
и -|- и = 20.
ное решение последней системы; отсюда а = 2, Ь = 2. Значит, х=1, у = 0.
1479. (0; — 1). Указание. х+ 1 =ut 2~y = v. 1480. Решение. Логариф-
мируя в области х>0, у>0 уравнения системы, получим равносильную первой
{(х + у) In х=24 In у,
из которой следует, что если х= 1, то у= 1 и нао-
(х+у) In у = 6 In х,
борот. Значит, (1; 1) — решение исходной системы. Если же х=/= 1, у=£ 1, то разде-
/inxV л
лив в последней системе первое уравнение на второе, получим ) =4,
in х . _ „ in х _ 2
откуда -----= ±2. Если ------= 2, то х = у , подставляя это выражение в исход-
in у In у
ную систему, получим £/ = 3, т. е. (9; 3)— решение системы. Если же * = —2,
то из исходной системы имеем у у =у2\ откуда у3-|- 12i/2-|- 1 =0. Поскольку
£/>0, то полученное уравнение решений не имеет. 1481. (2; 1), (—2; 1). Ука-
зание. Исходная система равносильна системе
|х| =2 —iog2 у,
2 4 которую мож-
У ' ~lrl
но записать в виде
2 4 1482. (8; 256), (— 8; —Указание.
* +^7Г = 2- V 2567
64
Из первого уравнения найти у = 2 х и подставить во второе уравнение системы.
1483. (8; 2Д/^), (0,5; д/2~). Указание. Iog8x=u, log8£/=D. 1484. (4; 16).
Указание. Второе уравнение после перехода к основанию 4 примет вид
iog4(£/ — Зх)=1; первое уравнение прологарифмировать по основанию у, получив
5 1 5 г— 5 г—
уравнение 1 4~ log2 х=—log„ х, откуда log1,x = 2 или logyx=— . 1485. ( Д/8 ; Д/4 ).
Н86- w) --г) 'т- <1; > '>
\ 2 Д/2 / \ 2 Д/2 /
(2; 0), (—2; 0).
§ 48
1488. Решение. Заменяя в исходном уравнении х на —, полу-
чим 2/
fl
— ; далее решая систему
2/(х)-/(1) = 6У7.
как
/1\ 4х-|-2
линейную относительно f (х) и f находим /(х)= . 1489. Реше-
ние. Пусть /(х)=х2 In (х4-Д/1 4-х2 ), D(f)=Rt т. е. область определения
симметрична относительно нуля, f (— х) = ( — х)2 In (Д/1 -|-( — х)2 — х) =
= х2 In — = х2 In--------1 = — x^ln (х4-Д/1 4-х2 )= — /(х). Значит,
Д/14-х2 4-х х-I-Д/1 4-х2
1
/(х) — нечетная функция; следовательно, /(x)dx=0. 1490. Решение.
-1
л
2 п
sin xdx= — cos х | 2 = 1. Для вычисления второго
о °
интеграла используем геометрические соображения:
STI
arcsin xdx=S0AB (рис. 105), но 50Лв=1- ——
о
— для нахождения SOy4C отразим график
функции у = arcsin х симметрично относительно
прямой
фигуры
Значит,
у = х, площадь полученной таким образом
2
равна ^sinxdx=l. Итак, S0AB = ^—1.
п 0
2
о
S, 11^ 1 Л
arcsin xdx= 1 4-—— 1 =— .
2 2
о
1491. Решение, sin2 4х— 2 sin 4х cos4 x-|-cos8 x-|-cos2 x — cos8 x = 0, (sin4x —
cos4 x)2 + (cos2 x —cos8 x)=0. Поскольку cos2 x^s cos8 x для всех x£R, последнее
{sin 4x = cos4 x,
решая которую имеем
cos2 x=cos8 x,
{sin 4x = cos4 x
Из второго уравнения системы cosx=0 или cosx=±l,
cos2 x (1 — cos6 x) = 0.
корни уравнения cosx=0 удовлетворяют первому уравнению системы, а кор-
ни уравнения cos х= ± 1 ему не удовлетворяют. Таким образом, х=-^--|-лАг,
k£Z. 1492. — + k = 0, —1, —2...; -т+лб, k£N. Решение.
4 4
Запишем уравнение в виде tg х=
Зл
и рассмотрим три
случая. 1) Если х<—, то I х—-1 —I х-—1 = — х-|-|-х--— =
4 I 4 I I 4 I 4 4
л
ние имеет вид tgx= — 1, откуда х=—--J-лб, Л = 0, —1, —2
4
—уравне-
(так как
с л Зл I л| I Зл I л Зл _
*<т) 2> Если то * V - *---Н = х— — + х —=2х— л,
4/ 4 4 4 Ч 4 4
уравнение имеет вид tg х=
Покажем, что данное уравнение не имеет
решений на
то tg х>0, в то же время
, то tgx<0, — (х—^>0- 3) Если х>-^-, то
л у 2 / 4
|л I I Зл | л , Зл л
х—— — х-----—1 = х— — — х-|——=— , уравнение имеет
да х=-^--|-лАг, k£N (так как х>-^\ 1493. Решение.
4 \ 4/
вид tgx=l, отку-
Пу сть Д/1 —— У*
тогда уравнение равносильно системе
ху(х + у)=\2,
х2-|-£/2=1, Положив х + у = и, ху= и,
*/>0.
получим { ’ откуда — = 12, и3 — и — 24 = 0, (и3 — 27) — (и — 3) = 0,
(и—2и=1, *
(и — 3) (и2 + Зи-|-8)=0, и = 3 Значит, v = 4. Итак,
х4-£/ = 3,
ху = 4, Эта система не име-
У>0-
ет решения, поэтому не имеет решения и данное уравнение. 1494. Решение.
Последовательно используя неравенство Коши между средним арифметическим
и средним геометрическим и учитывая возрастание функции у = 2‘, имеем
2х6_|-2х2^2- у2*6-2** =2 1 2 ^2 *х +1 =2Х +'. Равенство достигается
2 х 2х
тогда и только тогда, когда < ’(поскольку неравенство Коши обращается
I х6 = №
в равенство в случае совпадения величин, к которым неравенство применяется).
Итак, х6=х2, откуда Xj=0, х2 = 1, х3 = — 1. 1495. Решение. Учитывая огра-
ниченность функции синус, имеем log2(17 — |sin 0,5лх| )^ log2 (17 — 1) = 4 для
всех x£R’, с другой стороны, V^x-h 15 —х2 = V16 —(х — I)2 = 4 Для всех
{I sin 0,5лх| = 1,
откуда х=1.
х= 1,
log. с log. а
1496.2. Указание. Используя свойство а =с при соответствующих
значениях а, Ь и с, записать уравнение в виде 9*°е2 Х = 3*062 Х-(х2 — 1). Разделив
О,0&2 х о,0^2 х 2 1 гт
левую и правую части уравнения на 3 , получить 3 =лг—1. Пусть
jog2x=i/, тогда х = 2у и х2 = 4\ уравнение приобретает вид 3^ = 4*—1, откуда
= 1 • Полученное уравнение имеет единственный корень £/=1, по-
скольку левая часть функция убывающая, а правая постоянная. 1497. Р е-
ш е н и е. Исследуем функцию у = х* на монотонность: (x*)' = (ex ,п х)' =
= ех 1п Х(х 1п х)' = Xх(In х-|- 1). На промежутке ^0; —j функция у = хх убывает.
Значит, на этом промежутке исходное уравнение имеет не более одного корня; за-
1 II
метим, что х=—. На промежутке
нкция £/ = хх возрастает. Значит,
* 1
на этом промежутке исходное уравнение имеет не более одного корня: —К0‘
рень данного уравнения. 1498. Решение. Рассмотрим функцию /(х) =
= 1п (х-\-е) — 2х. Очевидно, что х=0 является корнем уравнения f (х) = 0.
Кроме того, f ( — 1)>0, f (1 — е)= —2*—е<0. Значит, ввиду непрерывности фун-
кции f (х) на интервале (1—е; —1) существует, по крайней мере, один корень
уравнения. Так как f'(х) = —!--2х-1п 2 убывает на промежутке (—е\ оо ) как
сумма двух убывающих функций, причем f' (х)>0 при х^ — 1, то на интервале
(1—е; —1) этот корень единственный; поскольку /' (0)<0, то на промежутке
[—1; 0) корней нет. Следовательно, уравнение имеет два корня. 1499. Реше-
ние. Поскольку х2 + 2х + 2>0 для всех x£R, данное неравенство равносильно
2Х24х-|-3
cos(x-|-l)^—т---------. Заметим, что cos(x-|-l)^l для всех x£R\ с другой
х* + 2х + 2
2х24-4х+3 2(х+1)24-1
стороны, --------= — ----------
х2 + 2х+2 (х+1)24-1
(х4-1)2
---------для всех x£Jt Зна-
(х+1)2+1^
чит, неравенство (точнее, случай равенства) возможно тогда и только тог-
(cos(x+l)=l, .
да, когда 1 । q откуда х= — 1 — решение данного неравенства.
1500. (0; 2], [2 + л + 2лАг, 2 4- 2л 4- 2лАг], k = 0, 1, 2 ... . Указание. 1) Если
0<х^2, то неравенство примет вид sin (2 — х)«(4 log3 x-j-x— 6)^0; заметим, что
для всех х£(0; 2] имеют место неравенства sin (2 — х)^0, 4 log3 x-j-x — 6^
^4 iog32-f-2 — 6 = log3 16 — 4<0 (использовано возрастание функции y =
= 4 log3x-|-x). 2) Если x>2, неравенство имеет вид sin (х—2)-(4 log3 x-f-x—4)^0;
поскольку для всех х£(2; оо) выполняется условие 4 log3 x-j-x—4>4 log3 2-|-
4-2—4 = log3 16—2>0, т. е. неравенство равносильно неравенству sin (х—2)^0.
1501. Решение. Пусть a=(sinx; cos х), b =(cos y-cos z; sin£/-sinz), тогда
a • b =sin x cos у cos z-|-cos x sin у sin z; | a | = 1, | b | =^cos2 у cos2 z-|-sin2 у sin2 z
< Д/cos2 £/4-sin2 £/ =1, но a • b = | a | • | b | -cos <p< | a | • | b |< 1. Неравенство доказано.
1502. Решение. Используя неравенство Коши и учитывая возрастание функ-
______________________________________ _____ Iogflb4-1 logfca+l
ции y=d при а>1, имеем a vlogflb -\-b*logfcа 2 -±Ь 2 =а°Ва^ 4-
_|_£,ogfc V^”_21503. Решение. Из условия имеем d2^bc. Значит,
In а2>1п Ьс, т. е. 2 In In b + In с. Поскольку In д>0 и In с>0, используя не-
равенство Коши, получим In b-±- In с^2-^ln 1п с. Из двух полученных нера-
венств заключаем, что 2 In а^2У1\п 6*1п с , откуда . 1504. Р е ш е-
In b In а
н и е. В силу неравенства
<2 16 _
зг—— =8, причем равенство до-
9 16
стирается при хг=—-
т. е. при х = ±2; кроме того, 1 -|-sin2(х-|-у)^ 1 для всех
x£R, y£R. Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения равно
8. С другой стороны, 1 4-7 cos2(x-|-£/X8 для всех x£R, y£R. Значит, уравнение
равносильно системе
х= ±2,
sin2 (х-|-£/) = 0,
cos2(x-|-£/)= 1,
откуда
х = 2,
у = — 2-|-л&,
k£Z
или
( х= —2, I---------
1 п - 1505. Решение. Записав уравнение в виде 6 убх —X2—5 X
{y=2+nk, k£Z.
Х(1 4-cos (х — 2у))= 174-8 cos (х — 2у) — 44-4 cos2(x —2#) и разделив левую
и правую части уравнения на l-|-cos(x — 2у) (очевидно, что cos(x— 2у)=£
t 1Х --у—” 4(cos(x —2£/)4-1)24-9 л/т----------—-
=/= — 1), получим 6 \6х— хг — 5 =-----------——— ----- , 6V6x—х2 —5 =
У cos(x—2^)4-1
д
=4 (cos (x-2j/) + 1)+--------——-
cos (х—2i/)4- 1
Оценим левую и правую части получен-
ного уравнения: бЛ]бх—х2— 5 = 6^4— (х —З)2 ^6^4~ = 12, причем равенство
достигается при х=3; положив cos(x — 2^)4- 1=/, используем неравенство Ко-
9 I 9~
ши, поскольку />0, и получим 4t-\~ — ^2 \ 4t—=12, причем равенство до-
стигается при 4/=—, /=1,5. Таким образом, это уравнение равносильно системе
х=3,
откуда
cos (х—2у) + 1 = 1,5,
х=3,
У= ±—4~л&, k£Z.
1506.
Решение.
Рассмотрим первое уравнение системы: в области определения уравнения
х>0,
£/>0
оно равносильно уравнению У[х—^[у =\og3y—log3x, т. е. л]~х -f-l°g3 х=
=Л/у~4-10g3 у. Поскольку функция f (t) = y[74-iog31 возрастает на (0; оо) как сум-
ма двух возрастающих функций, уравнение f (х) = f (у) равносильно уравнению
х=у. Таким образом, первое уравнение системы равносильно х=у. Подставляя
полученный результат во второе уравнение системы, получим 2х+2-|-8х = 5-4х и
после деления на 2х имеем 4х — 5-2х-|-4 = 0, откуда 2Х= 1 или 2Х=4. Итак,
х=2 (х=0 не входит в область определения), «/ = 2. 1507. Решение. По-
скольку х2-|-£/2 = 4, то точка (х; у) лежит на окружности с центром 0(0; 0)
и радиусом 2. Значит, существует такое число а, что x = 2cosa, у = 2 sin а.
Аналогично: существует такое число 0, что z = 3 cos 0, u = 3sin0. Неравенство
xu-|-£/2 = 6 приобретает вид 6 cos a sin 0-|-6 sin a cos 0^6, т. e. sin (a-|-0)^ 1,
но, поскольку |sin/|^l при всех заключаем, что sin (a-|-0)= 1, a-|-0 =
=-^4~2л&, k£Z\ x-|-2 = 2 cos a-|-3 cos 0 = 2 cos — 04-2nk^ 4-3 cos 0 = 2 sin 04-
-|-3 cos 0= у 13 sin
arccos—Д=Д. Наибольшее значение x-\-z
, О .
достига-
ется тогда и только тогда, когда sin ( 04-arccos
= 1, т. e.
p-2
— arccos .___-|-2л&, k£Z\ 0 = arcsin -.x^4~2nfe, k£Z. Решение системы при полу-
УТз УТз
ченном значении 0 имеет вид
3 6
= 2 sin а = 2 cos 0 = 2-—. =—==•,
Л/13 V13
2 6
=3. . 1508. Решение.
У13 V13
2 4
х=2 cos а = 2 sin 0 = 2• =—^=-, у =
УТУ УТз
3 9
2 = 3 cos 0 = 3-—==•=—==•, u = 3sin0 =
угг угг
Искомыми значениями параметра а явля-
ются те и только те значения, при которых для любого £/£[1; 2] существует значение
х,
удовлетворяющее уравнению у =
*+1
4х2 — а
Запишем
уравнение в виде
4Х2---х— |а4—1 = 0» где х2^-^-. Условие будет выполненотогда и только тог-
У \ У/ 4
да, когда для любого */€[1; 2] дискриминант уравнения неотрицате-
лен: £) = ^—4-16^а-|-—-^4- —> —16а. Это неравенство выполняется при
1 16
всех £/€[1; 2], если наименьшее значение функции f(y) = —74-на отрезке
£/2 У
[1; 2] не меньше чем — 16а. Наименьшее значение f (у) на [1; 2], очевидно, достига-
ется при у = 2 и равно 8,25 (так как f (у) убывает на |1; 2]). Итак, — 16а ^8,25,
33 D У7
откуда — —. Выясним, при каких значениях а числа х= являются
л а
корнями уравнения: 4-—
a+l=0, -1
У У
от-
т
куда ya =2, а = 4 (для у=/=0). Заметим, что при а = 4 исходная функция
f (х) приобретает вид -—!—— при х=/= — 1; условие задачи в данном случае, оче-
4 (х 1)
видно, выполняется, поскольку £(/) = ^—оо;
8
т. е. отрезок [1; 2] принадлежит Е (/). 1509. Решение. Записав уравнение в
виде (3°-|-32—а)(л2 — 1)= 16л, заметим, что л=/= ± 1, и, разделив левую и правую
части уравнения на л2—1, получим 3°-|-32—а=—. Поскольку в силу нера-
п — 1
венства Коши За-|-32 а
а =6 условию задачи удовлетворяют те и
1 6
только те значения л, для которых —-------^6, умножая на л2—1 (л2
л — 1
как л=/= ± 1, п — целое и нечетное), получим Зл2 — 8п — 3^0, откуда — — п^3
О
и, значит, л = 3. При найденном значении л имеем 3°-|-32 а = 6,
откуда
a=l. 1510.
1 . 3
= sin x—— cos x4—-
2 4
Решение. Пусть Д (х) = -^-(л-|-2х-|-cos 2х),
и А (х,; £/)), В (х2 \ у2). Поскольку точки А и В
/г(*)=
симмет-
ричны относительно
л х1±х2 л
прямой х = —, имеем ух = у2 и —-— = —,
-|-х2 = л. Найдем угловые коэффициенты касательных к графику функций
/1 (х) в точке А и /2(х) в точке В: (х,)=-^-—-i-sin 2х,; /2(x2) = cos х2-|~ sin х2.
Касательные в точке А к графику (х) и в точке В к графику функции /2(х) сим-
л
метричны относительно прямой х=—, которая параллельна оси Оу. Значит, уг-
ловые коэффициенты этих прямых противоположны, т. е. f'i(xl) =—/2(х2), 7^—
1 • о 1
— —sin 2х,= —cos х2 — — sin х2; решая полученное уравнение, находим х, так:
1 • 1 л
Sin X, COS X, + COS Xj — — sin x, —— = 0,
cos Xj (sin х,-|- 1) — 7j-(sin х,-|- 1) = 0, (sin х,-|- l)^cos xt— -^-^ = 0,
Xj= —-^-|-2л&, k£Z или х, = ±-у4-2лАг, k£Z. Условию удовлетворяют те и только
Л о
те значения х,, для которых ух = у2, т. е. (xl) = f2(x2). Отберем значения xt в со-
ответствии с данным требованием. 1) При х, = — -^--|-2лАг, k£Z (xj =
=-^-(л— л-\-4лк—1) = л6 — , /2 (^2)==/2 — xi)— — =—7 ’ — J==
= — при k = 0. Значит, х1=—у- 2) При х, = 4-2лАг, k£Z /х(х1) =
1 / , 2л , . . 1\ Зл±2л , . 1 . . . f / л „А , Л/З
= 4(П±Т+4п*-2)=—12“ ±--2лЛ)= ±—-
1 / 1X , з , W , , т , , . . , , Зя±2л ,
—— 1 ——)+—= ±-^—h 1. Тогда условие fx (x,)=f2 (xj) принимает вид ——-h
_|_ _1_ t k£Z. Покажем, что полученное относительно k уравнение не имеет
8 2
целых решений: при k>0 левая часть уравнения больше правой; при 6<с0 левая
часть уравнения отрицательна, а правая положительна; при k = 0 равенство так-
/ 5л 9 31 9 । Л/з” \ ч
же не достигается I ясно, что -----г- , -тг<С—Ч—)• Итак, в данном
\ 12 8 2 12 8 2/
случае искомых значений xt не существует.
ГЛАВА VI
1515. б) — 2; — 4. 1516. а) — 2; 4. 1517. б) (— оо; 5]. 1518. а) 0; б) х — любое дей-
з
ствительное число. 1519. а) 2 у2, 1. 1520. а) 6; 7. 1521. а) 1; б) нет корней.
1522. а) 3; б) нет корней. 1523. а) 1; б) — 1±2Д/2\ 2, —4. 1524. а) —1, ±3;
6) —1, ±2. 1525. а) ±2, ±У5"; б) ±3, ±4. 1526. а) 1, —2; б) 1,
12 I— I—
1527. а) --i 2; б) , -2. 1528. а) 0, ± Д/2; б) 1, 1 ± у2. 1529. а) (—2,1; 2,1);
Z о
б) ( —оо; —1.9)U(1,9; оо). 1530. а) Г-1; 11; б) ( —оо; —2)Ufl; оо).
1531. а)
(~2tt;3v); б> <2’7;б>-,532- а>5;б) —й-,533- а> -4;б> -4
\ 11 3 / 72 4 36
1534. а)-----—, —395; б) ——?, 0,94. 1535. a) ab\ б) m + rfnn+n.
4т m-f-3
2
1536. а) —=•+ 1. Значение данного выражения не может равняться 1,5, но может
\а £
равняться 3; б) 2а34-1. Значение данного выражения не может равняться
5, а также не может равняться 3. 1537. а) "\[у — Л]~Х', б) "\[а
1538. а) (-оо; -2|0[2; оо); б) [0; 1,5]. 1539. а) (-оо; - 1)U(1; 3)U(3; оо);
б) (-оо; - 1)U( — 1; 0)0(0; оо). 1540. а) (-оо; - 3]0[3; оо); б) [ — 2; 2].
1541. а) [1; 7,25)0(7,25;
оо); б) [-1; 11,25)0(11,25; оо). 1542. а)
4-2л&; -^-4-2лЛ
6
, k£Z\ б)
—-^-4-2лА’; -^- + 2лА’
о о
, k£Z. 1543. а) Решение.
Пусть f (х) и ф(х) возрастают на некотором промежутке / и х^/, х2£/, xl<Zx2.
Тогда по условию задачи f (х2) и Ф (х,)«<Ф (х2); тогда f (XJ + ф (Xj)<c
<С/(*2) + ф (х2). 1545. а) Четная, четная, нечетная, четная; б) четная, не является
ни четной, ни нечетной, нечетная, не является ни четной, ни нечетной. 1546. а) Не
является ни четной, ни нечетной; б) не является ни четной, ни нечетной.
1547. а) Функция нечетная; б) нечетная. 1548. а) а = 0, Ь = 0\ а=£0, а = Ь = 0;
6) Ь = 0; £=/=0, а=#0.
( 1 при х>0, ( 2 при х>0,
1549. Указание, а) 1/=^ лб)^=1 о
(—1 при х<0; ( —2 при х<0.
( 2 при х^ — 1,
1550. Указание. а) # = |х+ 11 — х + 1 или у=1
( — 2х при х< — 1;
б) У=х—2Ч-|х+2|. 1551. а) [—1; 5]; 6) (1; 3). 1555. Указание, а) у= *_
!/=1 +
x+1-2 2
y= Ll-i-
; 6) у —
1559. Указание, a) у
A/3 \
sin X----— COS X I,
л
sin х cos — — cos x sin
2 sin
|. 1560. Указание, a) y =
= 1 4-cos x; 6) y= 1 — cos x. 1561. Указание, a) y= — In x; 6) y = 2 In |x|.
1562. a) (—6; 3); 6) —1. 1563. a) (j + 2n£; y+2n*)u(y+2n£; -^ + 2nk)
k£Z;6) (y + 2nfe; у+2лл), k£Z. 1564. a) a = 2,5, 5 = 5; 6) a= 1. b= 1. 1565. а) Из
условия задачи следует, что а=/=0. Так как уравнение не имеет корней, парабола
/(х) = ах24-ftx-|-с расположена целиком в верхней, либо в нижней полуплос-
кости. Но /(1)<0; следовательно, парабола расположена в нижней полуплос-
кости, с<0; б) уравнение имеет два действительных различных корня. Ука-
зание. а>0, а 4-с — 6<0, /( —1)<0. 1566. а)
25 1 (5« + 3)«+l-(lY
б) 22+^2-| = °- ,567' а) -2-— ; б)
2 । । 1
Z +729 2+656?
0;
(L^+1_(iy.
1568. а) 4, 4-; б) 4. 1569. а) л-|-2лЛ, k£Z\ б) arctg4- + л&, k£Z.
3 4 3
1570. а) 0,5; б) 4. 1571. а) Решение. Из условия [(х) = А получаем
х2 — 4х4-Л=0, корни его х, и х2, а из условия q(x) = B получаем х2 — 36х + В = 0,
корни его х3 и х4. Числа хь х2, х3, х4 последовательные члены геометрической про-
грессии. Знаменатель прогрессии </>>0:
|Xi + x2 = 4, |х1Ч-х1^ = 4,
|х3 + х4 = 36; (х14724-х1473 = 36,
откуда </ = 3. Из первого уравнения системы находим х, = 1 и составляем геомет-
рическую прогрессию: 1, 3, 9, 27; Л = Х]-х2, Л=3, В = х3-х4, В = 243; б) Л =2,
В = 32. 1572. а) (-со; 1)и(5~; 5+2^); б) (—1.5; — l)(J(0; со).
1573. а) [ — I; 1,5], -3; б)(-оо; — 2,5]U[2; со). 1574. а) [—1; °j (J ; «>);
б) [2; оо), —2. 1575. а) (-со; -2)U(1,5; 4); б) ( — 1; 3)U(3,5; оо).
1576.а)(—оо; -2] U(-2; OJU Ь; г|\ б) |-5; 2)(J(3; оо).1577.а) 1Д
б) ( — 5; —2^. 1578. a) (0; 1 )U(4; оо); б) (1; 5). 1579. а) Объединение
точек окружности х2-)-у2 = 4 и биссектрис координатных углов г/=±х;
б) объединение точек окружности х2-}-у2=1 и двух парабол у = х\ у =—X2.
( */>0,
1580. а) Указание. Рассмотреть два случая: 1) | _
{#<0, (#<0, оо
-------------------- < -- 1581. а) £ = 4л. У каза н ие. (x-2)2 + i/2<4;
—---------------------— vl*l;
6) S = n. Указание. x? + (y—I)2<11. 1582. а) Объединение точек гиперболы
у—— и прямой у= — х; б) точки с координатами (1; 1) и ( — 1; — 1). 1583. а) Объ-
единение точек прямых y = x-^-nk, k£Z\ б) объединение точек прямых
у=—х-|- — 4-лЛ, k£Z. 1584. а) Множество точек прямой # = 2х-|-1; б) множе-
ство точек прямой # = 0,5х—1. 1585. Указание. Рассмотреть два случая:
’ 1x1 > 1
I*1;
1)
’2)
0< |х| < 1,
0<z/< |х|.
1586. а) Объединение трех прямых х= —2, у= —4,
у=\', б) объединение точек прямой у=\ и параболы у = х* — 3. 1587. а) 0,5л3;
б) 4,5л. 1588. а) 0; б) -3. 1589. а) 2; б) 0. 1590. а) 1; 5; б) 3. 1591. а) —3;
б) 4. 1592. а) 4; б) 4. 1593. а) -£+2лй, б) ^- + 2л*:, k£Z. 1594. а) 1, Ve;
3 6 3 6
б) 1. 1595. а) ^2у , б); б) (1^, 2^. 1596. а) 1; б) . 1597. а) (6; 4),
(192; -58); б) (— 3; -7), (1; 1). 1598. а) (4; 2), (2; 4); б) (4; —1). (1; -4).
1599. а) (1; 1), ( —l+VT; — l-W), (—1—— l+V^); 6) (1; -1),
(—1; 1)(1; 0); (О, 1). 1600.а)( —3; 1),(3; - 1); б) (3; 2), (—3; —2). 1601. а) (— 1; —0,5);
б) ( — 1; —2). 1602. а) (1,96; 1,8); б) (2,25; —2). 1603. а) (3; —1); б) (1; —1),
16О4.а)(2; 1); б)(1; 2). 1605. а) (1; 4); б) (0; 0). 1606.а)(0; 1), 1; -1);
б) (1,5; 0), (1; — 2^. 1607. а) ( — 1; 1,5); б) (—0,5; —1,5). 1608. a) (j-f-лЛ;
arctg 2 +nfe), ftgZ; б) Г-^ + 2лй;еЧ k£Z. 1609. а) (4; 0), (0; 4); б) (2; 0); (0; -2).
1610. а)( —Г, —1); б) ( — 2; —2). 1611. а) В нижней полуплоскости; б) в верхней
полуплоскости. 1612. а)
- 5+ 12 Д/З 120 7
26 ’ 169 ’ 17 ’
— 15 —8Д/з" 161 7
34 ’ 289 ’ 23 '
1613. а) — 1; б) 1. 1614. а)
Решение, cos а = cos
/ , л\ л / л\ . л 3 1 4 д/з~
= cos I а-k— 1 cos — 4-sin I а-k— j sin —— —-Цт—
\ 3/ 3 \ 3/ 3 52 52
3-4У3-;б)
10 ’
4Д/3"-3
10
1615. a) ——!--------, -^--|-л&, -^--|-лЛ, k£Z\ б) ——!----------, nk, — -v + лЛ, k£Z.
2 cos а 2 4 2,sin а 4
1616. a) tg 2а; при а = -^- данное выражение не имеет смысла, так как знамена-
тель дроби обращается в нуль; б) —ctg 2а; данное выражение имеет смысл при
а = 0,25л. 1617. a) sin 2а; б) sin За. 1621. а) — -^-4-2л&, ( — 1 )*+ nk, k£Z\
б) ±-у+2л£, k£Z. 1622. а) 2 arctg
О
(-|) + 2лЛ, *6Z; б) 1 arctg |+-, k£Z.
\ о / 2 э 2
1623. а) Д-|-л£, arctg-^- + nk, k£Z\ б) — Д-|-л£, arctg-^-4-л£, k£Z. 1624. а) Д-|-
4 О 4 О Z
f . 3 . t в \ । t । t t \ л^ л
4-лЛ, arctg —Н-лЛ, k£Z\ б) — + л£, — — + л£, k£Z. 1625. а) — , ± —Ч—— ,
4 ^4 о о
k^Z, б) , ^-+^-, k£Z. 1626. a)(-l)‘^- + n*, ±^+2nk,k^Z-,6) —£+2лЛ,
«5 8 4 О о 2
( —l)‘^- + nfe, k£Z. 1627. а)(-1)‘-^-+-^-. k^Z- б) ±4+"*. ktz. 1628. а) £+
О 12 2 о 4
+“7Г . (~ !)*•?• 4"-^-» k£Z. Указание. Записав уравнение в виде (ctg х—tg х)Х
2 8 2
. 14 Ч лл/т 4 0 2 cos 2х 2 4Д/2~с05 2х
X(ctg х+tg х) = 4 Д/2 ctg 2х, получить —= sj„ 2х , откуда
k 2 . OL
1 Л. nk Л. Л k о о I 2*
cos 2х=0 или sin 2х=—— ; б) — 4—— ; — 4—— , k£Z. 1629. а) е2, е , k£Z.
д/2 4 2 8 4
Указание. Ввести переменную у = п In х; б) e2k, е4*-*"1, k£Z. 1630. Реше-
ние. Пусть 4х=г/, yZ>6. Тогда уравнение примет вид cos 2у — cos2 у— sin 2у =
= 0, откуда sin2 f/H-sin 2у = 0, sin у (2 cos у + sin у) = 0. Если sin у = 0, то
y = nk, k£N (так как £/>»0), 4х = лЛ, k£N и x=log4n&, k£N. Если
2 cos #-|-sin у = 0, то tgi/=—2, у= — arctg 2 + nk, k£N (#>»0); 4х = л& —
— arctg 2, k^N\ x=log4 (nk — arctg 2), k£N\ 6)
(jt , nk \ ~ л
* = °. 1. 2
(n nk Д . _ , «о. \ 1 a 5 л ( t —
—— 4—— ), k^Z. 1631. a) x= = ±—arccos--———-|-л&, k^Z при
8 2 / 2 2 Д/2 °
a£[5 — 2 Д/F; 5-|-2 Д^]; решений нет при а$?[5 — 2 д/2~; 54-2 Д^]. Указание. По-
нижая степень синуса и косинуса и используя формулу синуса двойного аргу-
мента, получим уравнение 2 cos 2х—2 sin 2х=а — 5, откуда cos (2х-^~— ^=——Д-.
X 4/ 2Д/Г
Последнее уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда I--==-1^1,
I 2 Д/2 I
т. е. 5 — 2 д/2~а 5-|-2 Д/5Г. При найденных значениях а имеем
х = ± -i- arccos ——Д — Д 4- ^k, k С Z\ б) при а £ [ — д/То~; хДо~1 х —
2 2 Д/2 8
=( —1)*Д arcsin 4~4-arctg 34~-^-, k^Z\ при a£[ — Д/Гб”; дДо"] решений нет.
2 Д/10 2 2
1632. а)(0; 1). (1; 2), (4; 5); б) (3; 4). (5; 6); в) х=1, 2<х<3; г) х=0, х=2, х = 3.
х=4, х=5, х=6; д) 2<х<3, х = 5; е) 2<х<3, х=4. 1633. а) [-1; 0]; б) [1; 2];
В) [-2; -1], [3; 5]; г) [0; 3], [5; 6]; д) — 1<х<0, х=5; е) — 1<х<0, х=3.
1634. а) -0,15; б) -1Д 1635. а) (-3; - 1)U( — 1; IX 6) (-1; 1)U(1; ЗХ 1636. а) 0,64;
б) 0,81. 1637. а) -1; б) 1, е. 1638. а) ^+^., fegZ; б) ^-+^-, ±-^- + 2лй,
оо 4 z о
k£Z. 1639. a) 3; 6) 1; 3. 1640. a) 2; 0,5; 0,005; 0,00005; 6) 0. 1641. a) y= -2x-8,
y—— 4x— 9, y=—9; б) в точках пересечения с осью абсцисс уравнения
£/ = 6х — 24, у= —6х— 12; в точках пересечения с прямой у= —2%+ 1 уравнения
у — 4х—17, у=—8х—17. 1643. а) Возрастает на [0,25; оо), убывает на
27
( —оо; 0,25], f (0,25)=——- — минимум; б) возрастает на [—1; 0] и на [1; оо),
128
убывает на (—оо; —1] и на [0; 1], /(±1) = 0—минимум, /(0)=-^-—макси-
мум функции. 1644. а) Возрастает на [—1; 1], убывает на (— оо; —1] и на
[1; оо),/( — 1)= —-минимум, /(1) = 0,2 — максимум функции; б) возрастает
на ( — оо; — 1] и на [1; оо ), убывает на [— 1; 0) и на (0; 1], f ( — 1 )= —4 — макси-
мум, f (1 ) = 4 — минимум. 1645. а) Возрастает на [0; 2J, убывает на (— оо; 0] и на
g
[2; оо),/(0) = 0—минимум,/(2)=——максимум; б) возрастает на ( —оо; — 1]
е
3
и на [0; оо), убывает на [—1; 0], /( —1)=——максимум, /(0) = 0— минимум
е
функции. 1646. а) Возрастает на [0; оо), убывает на ( — оо; 0], f (0) = 0 — мини-
мум функции. Указание. /' (0) не существует; х = 0 — критическая точка,
для которой выполняется достаточное условие минимума функции: в точке
х=0 функция непрерывна, f' (х)<0 для всех х£(—оо; 0), /' (х)>0 для всех
3
х£(0; оо); б) возрастает на [0; оо), убывает на (—оо ; 0], f (0)=уЗ —ми-
нимум функции. 1641. а) Возрастает на 11; оо), убывает на (0; 11, /(!) =
= 0—минимум функции. Указание. Отыскивая критические точки функ-
ции, получим уравнение 1пх-|-1=—, которое имеет не более одного решения,
поскольку на (0; оо) левая часть уравнения — возрастающая функция, а
правая часть — убывающая, один корень х= 1 легко угадать; б) возрас-
тает на [0; 1), убывает на (— оо ; 0], f (0) = 0 — минимум функции. 1649. a) D (/) =
= /?, функция четная, возрастает на [— 1; 0] и на [1; оо), убывает на (— оо ; — Г|
и на [0; 1], /(±1) = 0 — минимум, /(0)=1—максимум функции; б) D(g) = R,
функция четная, возрастает на
(-“• -д/F]ина [°VF]
, убывает на
и на
[VF »)'(*VFH
— максимум, /(0)=—4 —
минимум функции. 1650. a) D(f) = R, /(0) = /(6) = 0, возрастает на |3; оо),
убывает на (—оо; 3], f (3)=—3—минимум функции. Заметим, что /(х)<1
при любом х; б) D(f) = R, f (— 2) = /(0) = 0, возрастает на [—1; оо), убыва-
ет на (— оо; — 1], /( — 1) = — 1 — минимум функции. 1651. a) maxу(х) = #(!) =
П; 9]
= #(9) = 2, min г/(х)=г/(4)=1; б) max у (х) = у ( — 1 ) = у (7) = 3, min у(х) =
[1; 9] [ —1; 7] 1 —1; 7J
= г/(2) = 2. 1652. a) max f(x) = f (arctg -^Л = УНГ, min f (x) = f (0) =
[»fl k 1 h Я
= 2, 6) max M = min f = .
[44 k 7 [4 4 k 7
1653. a) max f(x) = f (0) = 9 i , min f (x) = f (— 1,5) = 2 У/3; 6) max/(x) =
( — 2; 0] 3 [-2; 0| [0; 2)
= /(0) = f (2) = 5, min f (x) = f (1 ) = 4. 1654. Решение. Функция возрастает
[0; 2]
на R тогда и только тогда, когда i/, = x2-|-2ax-|-1 >0 для всех x£R, т. е.
D = d*— 1<0, откуда — 1<а<1;.б) а = 0. Указание. Задача сводится к
нахождению таких значений параметра а, при которых уравнения 6х2-|-6ах=0 и
6х24-6х4-6а = 0 имеют хотя бы один корень. 1655. а) Решение. Функция
/(х) возрастает на R (как сумма возрастающих на R функций). Значит, уравне-
ние f (х) = 0 имеет не более одного решения; легко угадать один корень х= — 1;
б) уравнение имеет один корень х= — 1. Указание. /' (х) = 3х2 — 2х-|-2>>0
при любом x£R. 1656. а) 2 см, 4 см; б) 6 см, 6 см. 1657. а) 28 = 44-24; б) 21 = 2-|-
л/з" г— I—
4-12 4-7. 1658. а) м3; 6)4 м3. 1659. а) 128 уЗ дм3; б) 4,5 дм3. 1660. а) Д/5 дм;
б) 2 дм. 1661. а) —9; 5; б) —3; 1. 1662. а) 6; б) 3,5. 1663. а) 2; б) 0. 1664. a) ±log12 3;
тг Ь
б) ±logs 6. 1665. а) k£Z; б) 2nft, k£Z. 1666. а) 2; 5, б) 6; 9.
1667. а) —1; б) —1. 1668. а) (—2; —0,4); б)(-оо; 1)Щ 1,5; со). 1669. а) [1; оо);
б) (—оо; 1). 1670. а) ( — со; 2); б) | —1; оо). 1671. а) (—оо; — 1)и(у; log2з);
б) (-оо; -|)U(1: log56). 1672. а) (в; log2|)u(l; °°); б) (log32; log35)U
[J(log3 12,5; oo). 1673. a) (— 1; 0]и[1°£з2; 1); 6) ( — oo; 0]U|log3 2; 2). 1674. а) Область
определения и область значений обратной функции R; б) область определения и
область значений обратной функции R. 1675. а) Область определения и область
значений обратной функции J?; б) область определения и область значений обрат-
„ . _ 1g2 5 —21g 5-1g 2—31g2 2
нои функции R. 1676. а) Решение. —----------2(15—31—2)—”— =
_(lg 5 —1g 2)2 —4 1g2 2 _ (lg5 —3 Ig2)(lg5 + lg2) lg 10 укд
2(lg5 —3 lg 2) 2(lg5 —3 lg 2) 2 •
з а н и e. a2 + ab — 2ft2 = (a 4-2ft) (a — b). 1677. Решение a) logg26 — sin 5 —
— Iog5 36-cos 7-|-cos2 7 = log^ 6—2 log5 6-cos 7-|-cos2 7—sin 5=(log5 6—cos 7f—sin 5>
>0, так как 1,5л<с5<с2л, sin5<0, —sin 5>0; 6) In23-|-ln9-|-l=(ln3-|-l)2>»
>(ln e4-lf=4>3 sin 1 >3 sin 1-|-log2 0,9, так как log20,9<0. Доказанное не-
равенство равносильно неравенству, которое требовалось доказать. 1678. а) 3;
б) 4. 1679. а) 7+3^ ; б) 4. 1680. а) 0,1; б) у=> 10- |681- а) 2’- б) 2. 1682. а) 0;
б) 7. 1683. а) 6; б) 2. 1684. а) -1= , УГо"; б) 10. 1685. а) 5; б) 0,5. 1686. а) е; б) е~3,
ую
2, е3. 1687. а) 0; б) 3. 1688. а) (1; 3); б) (-со; -5)U(-1; оо). «689. а) (1; 2);
б) (0; 1). 1690. а) (- оо; 1); б) (^; 1691. а) (-^; б) (0; 0,5)U(4; оо).
1692. а) ( —3; -Я; 6) (1; оо\ 1693. а) (3; 3,5)U(4; оо); б) ( —оо; 5)0(6; 7).
1694. a) ( — 7; 1); б) (— 1; 4). 1695. a) [2; оо). Указание. Данное неравенство
равносильно неравенству х^ Д/х1 2 3— 4 ; б) (—оо; —3]. 1696. a) F(x)=— ——
—A cos-^ + 5; б) F(x) = 4xV* -+~ sin лх-1. 1697. a) б)2Д/з"- 1698. а) 4,5;
о
б) 4,5. 1699. а) 14А-. Указание. S = -—3-6 + t (x2-|-5)dx; б) ?А
о х J о
-1
1700. а) 6) 1. 1701. а) 2^3"—б) 2^ — ^-. 1702. а) —.
3 2 3 3 3 Л
2
Указание. S = 2^sin-^dx; б) —. 1703. а) 3; б) 3. 1704. а) 9-1; б) 4%.
J 2 л 3 3
о
1705. а) е+Л б) <?+-!-. 1706. а) 4,25; б) 4,25. 1707. а) 21п 2; б) 2 In 2.
е е
3 2 I
1708. а) е-2; б) е-2. 1709. а) 8--^-; б) 3--=—. 1710. а) 1; б) 4,5.
In 2 In 3 6
1711. а) 21 1
Указание. S = 4
2
S2 2
(4-x2)dx; б) 42—. 1712. а) 10-=-
О о
0
Указа-
1
S1 Я
(2(6 — х—х2)—(9 —Jt2))dx, 6)4,5. 1713. а) 5-; 6)3,6. 1714.а)-у . У ка-
3 3
-з
2
зание. S = 2 (2х—х2) dx\ б) . 1715. а) 81; 6)48. 1716. а) 17 и 6 или 127 и 126;
о
б) 13 и 6 или 67 и 66. 1717. а) 225 м, 25 м/с; б) 180 м, 22,5 м/с. 1718. а) 20%;
б) 25 кг. 1719. а) 24 570; б) 2070. 1720. а) 15 ч и 10 ч; б) 3 ч. 1721 а) 9 км/ч;
б) 3 км/ч. 1722. а) 18 км/ч и 24 км/ч; б) 12 км/ч и 16 км/ч. 1723. а) 1 А; б) А.
1 1 2
1724. а) —; б) —. 1725. a) S=1-------------— < 1
3 3 Д/5
при р>4; б) S = -—е2/<А<] НрИ
/< —0,5. 1726. а) 4 In 3; б) 6 In 2. 1727. а) Наибольшая длина отрезка достига-
ется при
а = 2, S1=S2=1 —; б) наибольшая длина отрезка достигается при
а=— 3, S,=S2 = 9. 1728. а) а£| —1; 11; б) К(— оо; —7]; &€|2; оо).
1729. а) а>1; 6) 6<-2. 1730. а) а = 3; 6) 6 = 4. 1731. а) а = Д-;
ел
6) Ь = е. 1732. а) Е(у) = |-0,5; 2,5); 6) Е(«/) = |0; 11]. 1733. а) 0; 1; 6) —1.
О
1735. а) Функция возрастает на каждом из промежутков
Н°]" [Н-
убывает на промежутке
; 6) функция возрастает на промежутке
вает на каждом из промежутков
л л| Гл 5л I
~2 ’ 6] И 1/2 ’ “б” ]
1737. a) 100 корней; б) 50 корней. 1738. а) ——-|-л&, arctg — + k£Z\ напри-
мер, ; б) -^-4-яп,— arctg-|-4-яп, n£Z\ например, —• 1739. а) 0; —0,5; 6)0;
1740. а) —8; 4; 6) 14; —8. 1741. а) 0; 2; б) —1. 1742. а) а>0,5, а=#= 1; б) й= 1,
О
9 3 4
0<*<-. 1743. а) 1; log54; б) log2 5; 1. 1744. а) 0<а<у; а=/=1; б) Ь>^-,
о 4 о
6^=1. 1745. а) — 1<а<1; х=^4; б) - 1 <й< 1, х=^~} . 1746. а) (0; 0).
а+1 04-1
(—3; 1), (6; 1), (3; 2); б) (0; 0), (-7; 7), (1; 3), (—4; 8). 1747. (-оо; 1], 5;
б) ( —оо; —5], 4. 1748. а) х£(— 3; 2), х=£ — 2\^~, х=£ — д/б", х=£ —2, х=£ — л/2,
х=/=0, х^Д/F; б) х£(—3; 1), х=^0, х=^—Л/1,5 , х=#=—Л/3~. х=#=—Д/4,5 ,
х^-Д/б. х^-Д/лГ. 1749. а) ^1; б) . 1750. а) £ ; б) -L Ь.
О О О 1Z
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .....................3
Глава 1. Тригонометрические функ-
ции .............................4
§ 1 Зависимость между тригоно-
метрическими функциями од-
ного аргумента. Формулы при-
ведения ..................... .....
§ 2. Формулы сложения . . . 6
§ 3. Формулы двойного и поло-
винного аргумента ... 9
§ 4. Преобразование суммы триго-
нометрических функций в про-
изведение ......................12
§ 5. Основные свойства тригоно-
метрических функций . . 14
§ 6. Арксинус, арккосинус, арк-
тангенс ........................20
§ 7. Простейшие тригонометриче-
ские уравнения и неравенст-
ва .............................24
§ 8. Тригонометрические уравне-
ния и системы уравнений . 26
Г лава //. Производная и ее при-
менения ........................34
§ 9. Приближенное вычисление
значений функций. Пределы —
§ 10. Определение производной.
Вычисление производной . 39
§ 11. Метод интервалов .... 44
§ 12. Касательная к графику функ-
ции ............................46
§ 13. Формулы для приближенных
вычислений .....................49
§ 14. Производная в физике и тех-
нике ...........................50
§ 15. Признак возрастания (убыва-
ния) функции ...................54
§ 16. Критические точки функции,
ее максимумы и минимумы 56
§ 17. Наибольшее и наименьшее
значения функции ... 58
Глава Ш. Первообразная и интег-
рал . . .64
§ 18. Первообразная ... _____
§ 19. Интеграл ...............68
Глава IV. Показательная и лога-
рифмическая функции 72
§ 20. Корень п — й степени и его
свойства ....................... ..
§ 21. Иррациональные уравнения,
системы уравнений, неравен-
ства ... 77
§ 22. Показательная функция . 81
§ 23. Определение логарифма . 84
§ 24. Логарифмическая функция 85
§ 25. Основные теоремы о логариф-
мах ...........................86
§ 26. Логарифмические уравнения 88
§ 27. Логарифмические неравенства 89
§ 28. Нелинейные системы уравне-
ний ...........................91
§ 29. Производная показательной
и логарифмической функций 92
Г лава V. Задачи для математичес-
ких кружков и факуль-
тативных занятий . . 97
§ 30. Модуль числа. Решение урав-
нений, неравенств. Построе-
ние графиков ......................
§ 31. Преобразование тригономет-
рических выражений ... 98
§ 32. Свойства тригонометрических
функций .......................99
§ 33. Арксинус, арккосинус, арк-
тангенс .... ... 100
§ 34. Тригонометрические уравне-
ния ..........................101
§ 35. Системы тригонометрических
уравнений.....................102
§ 36. Тригонометрические неравен-
ства .... .103
§ 37. Предел функции .... ________
§ 38. Производная..............104
§ 39. Касательная к графику функ-
ции ..........................105
§ 40. Возрастание и убывание функ-
ции. Экстремумы .... 106
§ 41. Наибольшее и наименьшее
значения функции .... ____________
§ 42. Первообразная............107
§ 43. Интеграл ...................
§ 44. Иррациональные уравнения
и неравенства ............... 108
§ 45. Показательные уравнения и
неравенства ..................109
§ 46. Логарифмические уравнения
и неравенства ................. ..
§ 47. Нелинейные системы уравне-
ний ...........................110
§ 48. Нестандартные задачи . .111
Глава VI. Задачи на повторение
всего курса . . . .114
Ответы, указания, решения . .134
Учебное издание
Саакян Самвел Манасович
Гольдман Александр Михайлович
Денисов Дмитрий Витальевич
ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Белоновская
Младший редактор Л. И. Заседателева
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Художник Е. П. Титков
Технический редактор М. В. Коновалова
Корректор Т. А. Казанская
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. № 010001 от 10.10.96. Подписано к печати с диапозитивов
20.11.2000. Формат бОХЭО1/^. Бумага офсетная № 1. Гарнитура Литератур-
ная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18. Усл. кр.-отт. 18,75. Уч.-изд. л. 16,27.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 71.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
Издательство «Просвещение» Министерства Российской Федерации по делам
печати, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 127521, Москва,
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Государственное унитарное предприятие ордена Трудового Красного Знамени
полиграфический комбинат Министерства Российской Федерации по делам печа-
ти, телерадиовещания и средств массовых коммуникаций. 410004, Саратов,
ул. Чернышевского, 59.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
« Просвещение »
МЫ ПРЕДЛАГАЕМ:
книги крупным и мелким оптом
со складов издательства;
контейнерную отгрузку во все регионы России
и страны СНГ;
Книгу—почтой:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41,
издательство «Просвещение», «Книга—почтой».
Телефон: 289 50 26
E-mail: prosv@online.ru
http://www. prosv. ru
Информационный центр учебного книгоиздания:
http://www.bookstore.tversu.ru/
ПРОЕЗД: ст. метро «Белорусская»,
далее трол. 18 до ост.
«Гостиница «Северная»;
авт. 12 до ост. «1-й Стрелецкий пер.»;
ст. метро «Рижская»,
далее трол. 18, 42, авт. 84
до ост. «Гостиница «Северная».
Нашу литературу оптом
и в розницу
можно приобрести
в магазине
«Книги «Просвещения»
127521, Москва,
ул. Октябрьская, 89
Телефоны: (095) 289 44 44,
289 60 44
Факс: (095) 289 60 26, 289 62 35
Торговый дом «Просвещение»:
129626, Москва,
ул. Новоалексеевская, 8.
Тел./факс: (095) 287 08 69
Торговый дом «Просвещение»:
193024, Санкт-Петербург,
ул. Тележная, 17, офис 3,4.
Тел.: (812) 275 3511
Факс: (812) 275 31 12
y= gln s*nx
-о—•—О—1—Cb—1—О—1—о—।—о-
-2si -st -у 0 у 51 у 2ft у^ 3ft х
q Ьо9п1Ь= |^1од ,а
а>0, b>0, т>0, т*1
5lO934+cos1 > 4lO935+cos2
3>7k>g3z5+l/5 > 2,5l°933’7+tgf
I • Задачи по всему курсу
I алгебры и начал анализа
трех уровней сложности.
I Каждое упражнение
I состоит из двух
| аналогичных заданий.
• Задачи для
поступающих в вузы
(МГУ, МФТИ, МИФИ,
МАИ, МАДИ и др.).
• Задачи для подготовки
к выпускным экзаменам.