пягаюмпмш
Аркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович, Михаил Якир
Задачи, примеры, решения
Аркадий Мерзляк, Виталий Полонский, Ефим Рабинович,
Михаил Якир
ЗАДАЧНИК
К ШКОЛЬНОМУ
КУРСУ
«Магистр-S»
Москва
1998
«АСТ-ПРЕСС»
УДК 51
ББК 22
М52
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С.
М 52 Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. — М.:
АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998. - 656 с.
ISBN 5-7805-0212-9
ISBN 966-557-035-8
Задачник, составленный в форме конспекта опытного учителя,
содержит более 4000 задач с большим числом примеров, их решени-
ями и разбором. На разнообразном материале авторам удалось сис-
тематизировать по методам решений все типы задач по тригономет-
рии, взяв за основу принцип от простого к сложному.
Адресован учащимся 8—11-х классов, абитуриентам, преподава-
телям математики.
м 16020^0QQQ-005
8Ш9(03)-98
УДК 51
ББК 22
© А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский,
ISBN 5-7805-0212-9
ISBN 966-557-011-0
Е.М. Рабинович, М.С. Якир, 1997
© «АСТ-ПРЕСС», 1998
© «Магистр-S», 1998
От авторов
Это не сборник задач, хотя в книге их более
4000. Несмотря на большое число решенных при-
меров, это и не решебник, наличие которого у
ученика так раздражает учителя. Скорее всего, это
добротный конспект, написанный учителем не толь-
ко для «служебного пользования», но и дидакти-
ческий материал, который удобно положить на пар-
ту каждому ученику.
Известно, что задача может служить не только
целью, но и средством обучения. Учиться решать
задачи с помощью ключевых (опорных, базис-
ных) — идея древняя. Именно по схеме «ключевая
задача + упражнения» построено предлагаемое по-
собие. Этой книгой авторы продолжают серию
«Учимся решать задачи по...».
Кратко остановимся на содержании каждой
главы. Материал главы I адресован прежде всего
новичкам, потому что ее значительную часть со-
ставляет «азбука» тригонометрии. Правда, и опыт-
ный читатель сможет найти свои задачи в пунктах
«тождества с дополнительными условиями», «дока-
зательства неравенств», «суммирования» и т.д.
з
Глава II посвящена периодическим функци-
ям — одному из наиболее трудных и тонких по-
нятий школьной математики. В главе III авторы
помимо традиционных задач на функции рассмат-
ривают общие вопросы, связанные с понятием об-
ратимости.
Обширнейший материал главы IV преследует
цель сформировать основы графической культуры,
способствует активизации умений и навыков в по-
строении графических образов, связанных с триго-
нометрическими функциями. Тригонометрическим
уравнениям, неравенствам и их системам посвящены
главы V и VI.
Не секрет, что задачи с параметрами вызывают
у учащихся, по меньшей мере, робость. Мы наде-
емся, что преодолеть ее поможет глава VII. Одному
оригинальному, возможно экзотическому, приему
посвящена глава VIII.
Авторы выражают искреннюю благодарность
всем своим ученикам, участвовавшим в апробации
рукописи этой книги.
Г лава I
Преобразования тригонометрических выражений
§1. Азбука тригонометрии
Советуем читателю эту таблицу знать наизусть.
a	0°=0	Л ла 30’= T- o	450 =7 4	60° = J	90’ =y	180°= л	270°=T	360°= 271
sin a	0	2	1 = vT vT 2	vT 2	1	0	-1	0
cos a	1	Уз~ 2	1 _ V2~ ^2	2	1_ 2	0	-1	0	1
tg«	0	_1	'/3’ 3	1	vr	—	0	—	0
ctg a	—	vr	1	1 _ Уз~ VT 3	0	—	0	—
Пример 1.1. Найти значение выражения
cosy + 2siny + уtg у + 4 cos л - ctg — + 6 Sin Л.
о	At о о	4
Решение, cos ^ + 2 sin tg2^ + 4 cos я - ctg v +
J	Z J 3	4
+ 6 sin л = у+ 2 •1+y • (V3)2 + 4 • (-1) -1+6-0 =
Z	3
= y + 2 + 1 — 4 — 1 = — 1,5.
Ответ: -1,5.
5
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.2.	Найти значение выражения:
а)	2 cos 0° + 3 sin 90° + 4 tg 180°;
б)	5 sin 270° - 2 cos 0° + 3 ctg 90°;
e)	sin л + cos л + tg л;
г)	cos 90° - cos 180° + sin 270° + tg 360°;
d)	2 tg 0° + 8 cos 270° - 6 sin 90°;
e)	tg 45° • sin 60° • ctg 30°;
ж)	2 sin2 — + cos — + sin2 — + tg — - ctg —;
6	3	4	3	6
2	л j
0,3 - sin — - cos — + 4 tg —
v	О	J	4
з)----------------------------;
2 sin — + 1
О
•	2	~	2
1,5 - sin — + 3cos2v
\	о	4 e
w)----------------------;
2 sin —
О
sin — - cos л + tg —
\	2	4
*)---------------5^;
2 sin — - sin —
О	2
л) V(2 sin 45° - I)2 - V(1 - 2cos45°)2;
m) V(ctg 30° + 2)2 + V(tg 60° - 2)2;
h) 2 sin 2a + 3 cos (180°— 3a) + ctg (75°— a) при a = 45°;
o) 2 sin (3a + 15°) + 3 ctg (90° - 2a) - tg (4a - 15°) +
+ 2 cos 2a при a = 15°.
1.3.	Найти значение выражения
sin (a + 45°) + 2 sin (a - 45°) + 4 cos 2a + 2 cos (a + 135°)
при a) a = 45°; 6) a = 135°.
1.4.	Найти значение выражения
sin a - cos 2a - cos 3a + sin 2a
л
при a) a — 30 ; 6) a — —.
6
Преобразования тригонометрических выражений
1.5.	Найти значение выражения sin (а + /3) sin (а - р) при
а) а = 45°, уЗ = 15°; б) а = ^, /3 =
о
1.6.	Найти значение выражения:
a)	(sin а + sin /З)2 — (sin а - sin /б)2 при а =
б)	2 cos (а - 3/3) + 3 ctg 03 + 10°) - tg (а - 75°) +
+ sin 03 — 5°) при а = 135°, /3 = 35°;
в)	tg (2а - р) + cos а ctg (6а + 6/3) при а = 20°, Р = - 5°.
1.7.	Верно ли неравенство:
а)	sin 30° + cos 45° > 1;	б) sin v + sin % > 1?
4	3
* * *
Свойство 1. Областью значений синуса и косинуса яв-
ляется промежуток [-1; 1], областью значений тангенса и
котангенса — множество всех действительных чисел.
Пример 1.8. Возможно ли равенство:
7	8
a)	cos а = - ;	в) tg а =
О	/
8	7
б)	cos а =	г) cos а = а - а — 1?
7
Решение, а) Да, так как -1 < — < 1.
О
g
б) Нет, так как — > 1.
в)	Да, так как тангенс может быть равен любому дей-
ствительному числу.
г)	Да, если — 1 < а2 — а — 1 < 1. Найдем, при каких зна-
чениях а выполняется это неравенство:
а2-а-1«1,	(а2- а- 2^ О,
а2- а— 1^-1,	|а2-а^0,
(а + 1)(а- 2) £ 0,
а(а-1)^0, [alt L1 а * 21
Ответ; да, если -1 5 а =£ 0 или 1 < а ? 2,
7
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.9. Возможно ли равенство:
ч	4 a) cos а = —;	.	fa” и) cos а =
VT б) sin а = —; о	к) cosa = sin 18°’
уТЗ"— у/2~ в) cosa = ^2”-! ;	ч	т - п л) sin а =	,	, т + п где m > 0 и п > 0;
< . \	 г) sin а = - VI,7;	х	я м) cos а =	., где а > 1; а — 1
д) cos а = - у'У;	н) sin а = —; 4
е) cos а = VT- 2;	v	л о) cos а = —; О
ж) sin а = \ГГ— 1;	п) sin а = а + где а # 0? а
г___
з) cos а = 728”— 710
1.10. При каких значениях а (а и Ь) возможно равенство:
a) cos х = а2 + 1;	г) cos х = 2а — а2 — 2;
б) sin х = а2 - 1;	л. +	а + 1 » is' = a-i-
х	а в) cos х =	.; а — 1	ч	а + 6	, _ е) sinx =	,, где а* о! а — b
Пример 1.11. Найти наибольшее и наименьшее значения
выражения
. ( л	cos а (2 - sin а)
а)	1 - 4 cos а; б) -------51-------
cos а
Решение, а) Так как - 1 < cos а 1, то
-4 < - 4 cos а г? 4, - 3 =£ 1 - 4 COS а < 5.
8
Преобразования тригонометрических выражений
Следовательно, наименьшее значение равно -3 и достигается
при cos а = 1, наибольшее значение равно 5 и достигается
при cos а = - 1.
Ответ: 5; -3.
cos а (2 - sin а)	т,
б)	-------------- = 2 - sin а. Наименьшее значение вы-
cos а
ражения 2-sin а, равное 1, достигается при sina = l, но
Л	cos а (2 - sin а)
при этом cos а = 0 и выражение---------------- не опреде-
лено. Следовательно, наименьшего значения не существует.
Аналогично наибольшее значение выражение 2 - sin а
достигает при sin а = -1, но при этом также cos а = 0. Сле-
довательно, и наибольшего значения нет.
Ответ: не существуют.
Пример 1.12. Найти область значений выражения
)	1	б) 1
а 2-cos2x’	3sinx —2‘
Решение, а) Имеем -1 cos 2х 1, -1	- cos 2х 1,
1	2 - cos 2х 3,
1 .
2 - cos 2х 3
Ответ:
1
б) Имеем -1 sin х 1, — 3	3 sin х 3,
- 5 3sinx - 2	1.
Далее воспользуемся тем фактом, что если числа а и b
оба положительные или оба отрицательные, то из неравенства
, 1^1
а < о следует, что — > р
При 0 < 3 sin х - 2	1 получаем, что	i,
3 SIH X Z
причем равенство достигается при sinx = 1.
При -5^3 sin х - 2 < 0 получаем, что
____1___S-1
3 sin х - 2	5’
9
Преобразования тригонометрических выражений
причем равенство достигается при sinx=-l. Следова-
тельно, область значений данного выражения — множество
С оо; -1 (J [1; оо).
1
Ответ: | - оо; -	и [1; оо). Упражнения
1.13» Найти наибольшее и наименьшее значения выра-
жения:
а) 5 + sin а;	з) 			’ 7 1 + sin а’
б) 5 - sin а;	и)		—г; cos а - 2
в) 2 sin а + 3;	„ cos’а к) 	; cos а’
г) sin2 а;	. sin а cos а Л) sina ;
д) cos2 а - 2;	. sin а (1 + cos а) м) 	Ц	 sin а
е) 0,25 + 2 cos2 а;	ч .	sin a cos а н) sin а + cos а	; cos а
ж) 10-9 sin2 За;	2 cos2 а о) 2 cos а + 3 sin а	. cos а
1.14. Найти область значений выражения:
а) 1 + sin2*;	е) 5 — 3 sin х‘,
б) I cos х |;	ж) 1 — 2 cos2*;
в) 1 - 2 I sin Зх |;	3) 	I	 ’ 1 -2cos*’
г)	; 1 - COS X	2 и) 4sin*-3’
д) tg4x + 1;
10
Преобразования тригонометрических выражений
Свойство 2. sin а > 0, если а является углом I или II
четверти; sin а < О, если а является углом III или IV четверти;
cos а > О, если а является углом I или IV четверти; и
cos а < О, если а является углом II или III четверти;
tg а > 0 и ctg а > О, если а является углом I или III четверти;
tg а < 0 и ctg а < 0, если а является углом II или IV четверти.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой
из четвертей показаны на рис. 1.
Рис. 1
Пример 1.15. Какой знак имеет
a)	sin 280°; б) tg(- 140°); в) tg 2?
Решение, a) sin 280° < 0, так как угол 280° является углом
IV четверти;
б)	tg(-140°)>0, так как угол -140° является углом III
четверти;
в)	tg2<0, так как угол 2 радиана является углом II
четверти.
Упражнения
1.16.	Положительным или отрицательным числом явля-
ется следующее значение тригонометрической функции:
a)	sin 110°; б)	cos 200°; в)	tg 160°; г)	ctg 220°; д) sin (-280°);	е)	cos 340°; ж)	tg (- 75°); з)	ctg (- 230°); и) sin(— 130°); к) cos 2;
11
Преобразования тригонометрических выражений
л) sin (- 3);	2л p) cos—; «J
м) ctg 1,7;	c) cos 600°;
h) tg 1;	m) ctg 500°;
.	, 7л о) ctg-r; 4	y) tg670°;
n) tg—;	Ф) tglO?
Пример 1.17. Определить знак выражения
cos 123° tg 231° sin 312°.
Решение. 123° — угол второй четверти, 231° — угол
третьей четверти, 312° — угол четвертой четверти. Тогда
cos 123° < 0, tg231°>0, sin 312° < 0 и их произведение боль-
ше 0.
Ответ: cos 123° tg 231° sin 312° > 0.
Упражнения
1.18.	Определить знак выражения:
a)	sin 100° sin 132°;	е) ctg 300° sin 220°;
6)	cos 210° sin 115°;	ж) sin 1 cos 2;
в)	cos 285° cos (-316°); a) sin 5 tg 5;
г)	tg 112° sin 165°; u) sin3cos4tg5;
d) cos 318° tg(-214°); к) sin (-118°) cos 118° tg 118°;
д)	sin 98° cos 100° tg 250° ctg (- 230°) sin (-160°);
1	7
m) sin - cos - tg 4 ctg 5,7.
d о
12
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.19. Сравнить sin 200° и sin (- 200°).
Решение. Так как угол 200° — угол III четверти, угол
-200° — угол II четверти, то sin 200° < 0, sin (— 200°) > 0.
Следовательно, sin 200° < sin (- 200°).
Ответ: sin 200° < sin (- 200°).
Упражнения
1.20. Сравнить:
а)	tg 130°	и tg(-130°);	ж)	sin 160° и sin 240°;
б)	tgU0°	и tg 193°;	3)	sin 100° и sin (—100°);
в)	sin 200'	' и sin (- 250°);	u)	•	• 8л sin60 и sin—;
г)	cos 80°	и sin 330°;	к)	2л ctg — и cos 280°;
д)	ctg 100'	и ctg 80°;	Л)	ctg 6 и ctg 6°;
е)	cos 250'	’ и cos 290°;	m)	cos 3,2 и sin 5.
1.21.	Углом какой четверти является угол а, если известно,
что:
а)	sin а > О и cos а < 0;
б)	cos а > 0 и tg а > 0;
в)	sin а < 0, cos а < О и tg а > 0;
г)	sin а > 0, cos а < 0 и tg а > 0;
д)	|sin«| = sin а;
е)	| cos а | = - cos а;
ж)	| tg а | - tg а = 0;
з)	ctg а + | ctg а | = О?
♦ ♦ ♦
Определение 1. Функция y = f(x) называется четной,
если область ее определения симметрична относительно
нуля и для любого значения аргумента х верно равенство
f(-x) =f(x).
Определение 2. Функция у = f(x) называется нечетной,
если область ее определения симметрична относительно
нуля и для любого значения аргумента х верно равенство
/(-х) = -/(х).
13
Преобразования тригонометрических выражений
Свойство 3. Синус, тангенс и котангенс являются не-
четными функциями, а косинус является четной функцией:
sin (- а) = — sin a,	tg (- а) = - tg а,
ctg (-«) = - ctg а,	cos (- а) = cos а.
Пример L22o Является ли функция четной или нечетной:
ч - z к 1 + cos X	Ч Z / \ sin х
a)	f(x) = -----г—;	в) f(x) = —
X	COS X
б)	f(x) = 1 + sinx;	г) f(x) = c°s *?
Решение, а) Область определения данной функции
В(/) = (-«; 0) U (0; оо)
симметрична относительно нуля.
. l + cos(-x) 1+cosx ...
-----------------------= /w-
Следовательно, данная функция является четной»
Ответ: функция четная.
б)	Область определения данной функции £>(/) = (-оо; оо)
симметрична относительно нуля.
/(- х) = 1 + sin (- х) = 1 - sin х,
/(-*) #/(х), /(- х) * -/(х).
Следовательно, данная функция является ни четной, ни
нечетной.
Ответ: функция ни четная, ни нечетная.
в)	Область определения данной функции — все дейст-
вительные числа, кроме чисел вида + лЛ, к G Z, — сим-
метрична относительно нуля.
sin (- х)	sinx	-z ч
/(-*) = —27—Т =------------г~ = “/(*)•
cos (—х)	cos2x
Следовательно, данная функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.
14
Преобразования тригонометрических выражений
г)	Область определения данной функции
£(/) = (- °°; OU(1; «)
несимметрична относительно нуля. Следовательно, данная
функция является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция ни четная, ни нечетная.
1.23. Является ли функция четной или нечетной:
a) f(x) = sin2x;	4 . , .	X sin X n) f(x) = ,	; 'v 7	1 - cos X
б) /(*) =	. .. . cosx P> /(*) =2 J x - 1
в) f(x) = tg3x;	Cl fW =
г) f(x) = tgx + ctgx;	w) f (x) = x Vl — sin4 x ;
d) f(x) = x + sinx;	y) /(x) = cos ^x -	;
e) f(x) = tgx + cosx;	Ф) f(x) = sin |x + ?|;
. ., .	1 - cos X ж) f(x) = , ,	; ' '	1 + cosx . ,z ч X + sinx J,/W= tg’x • sinx + tgx ‘ sin«-tgx; x) /(x) = sinx + tgx; л) /(x) = - . 3 ; sin X . ,, 4	1 + sin2x •">'<’> = tg3x ;	X) f(x) = tg(x + 2); ц) f(x) = sinx - 7Г «) /(x) = cosx + -j; ш) /(x) = tgx + 1; .... (x - l)cosx ш> /(x) = ; . .. 4 x’sinx f(x) = x ;
»> fW = 4 7	1 + sin2x	(	4. X-J tgx «)/(*)= v $r-; x 4
o) /(x) = x3 + cosx;	Я) /(X) = CieXx2('^2~	?
15
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.24. Вычислить sin (- 45°) + cos (- 45°) +
+ 2 sin (- 30°) - 4 cos (- 60°) + 5 ctg (- 45°).
Решение, sin (- 45°) + cos (- 45°) + 2 sin (- 30°) -
- 4 cos (- 60°) + 5 ctg (- 45°) =
= - sin 45° + cos 45° - 2 sin 30° - 4 cos 60° - 5 ctg 45° =
Ответ: -8.
1.25.	Найти значение выражения:
a)	sin (- 30°) - 2 tg (- 45°) + cos (- 45°);
6)	5 tg 0 + 2 sin I - I - 3 ctg I - v I + 4 cos
I О J	I 4 1
e sin3 (- 30°) - 2 ctg (- 30°) - 1.
2 - tg 45° + 4 cos2 (- 60°) ’
1,5 + sin - — - cos - —
\ О/	\ o.
2 cos I - -71
\ /
i л 	(	_	(	7C\
- — ctg - — +3 sin - — + 5cos “TH
4 1 I О J	I 2 J	I О J
6 tg2 (- ctg4 f- + sin (- л) + 2 cos (-	+
1	/	1 О /	I X /
+ 3 cos (- л) + 5 sin3 I - — j.
Свойство 4. При изменении угла на целое число оборотов
значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изме-
няются.
Пример L26° Найти значение выражения:
(1
----¥~| •
«3 /
16
Преобразования тригонометрических выражений
Решение, a) sin 660° = sin (720° - 60°) =
vT
= sin (- 60° + 360° • 2) = sin (- 60°) = - Sin 60° = - —.
vT
Ответ: —
ЛЛ
6) sin
L „ , л\ . я V3"
= - sin 12 • 2л + —I = - sin— = - —.
i	/	J	Z
VT
Ответ: —
1.27.	Найти значение выражения:
a)	sin 750°;
6)	cos 420°;
в)	tg810°;
г)	sin 540°;
d)	cos 1260°;
e)	ctg (- 450°);
ж)	cos (- 390°);
з)	sin (- 405°);
и)	ctg (-405°);
к)	cos (- 780°);
л) tg(-1110°);
м) tg(—900°);
н)	. 11л: Sin — о
о)	х 23л: tg—;
n)	25л tg7T;
р)	, 5л cigT;
c) cos
m) tg
y) sin
Ф) ctg
I —	|.
I TP
' 17л\.
3 /’
f 13 л\
< 3 /
/ 37л)
\ 6 /
Свойство 5. Если а и /? — углы I четверти и а >/?, то
sin а > sin/?, cos а <cos/?, tga>tg^, ctg а < ctg/3. Если а и
/3 — углы II четверти и а>(3, то sin а < sin/2, cos а < cos /3,
tga>tg/?, ctg а < ctg Д Если <х и /? — углы III четверти и
а >/?, то sin а < sin/?, cos а >cos/?, tga > tg/?, ctg а < ctg/?. Если
17
Преобразования тригонометрических выражений
а и р — углы IV четверти и а>/?, то sin а > sin /8,
cos а > cos/3, tga>tg/3, ctg а < ctg /?.
Пример 1.28. Сравнить:
a)	sin 0,7л и sin 0,71л;	б) cos 324° и cos 340°.
Решение, а) Так как 0,7л и 0,71л — углы II четверти
и 0,7л < 0,71л, то sin 0,7л > sin 0,71л.
б)	Так как 324° и 340° — углы IV четверти и 324° < 340°,
то cos 324° < cos 340°.
Пример 1.29. Определить знак разности cos 35° - cos 40°.
Решение. Так как 35° и 40° — углы I четверти и 35° <
40°, то cos 35° > cos 40° и разность cos 35° — cos 40° имеет знак
плюс.
Пример 1.30. Сравнить sin 40° и cos 40°.
vT
Решение. Так как sin 40° < sin 45° = —,
VT
cos 40° > cos 45° = -г-, то cos 40° > sin 40*.
Пример 1.31. Возможно ли равенство sina = 2sin31°?
Решение. Так как sin 31° > sin 30° = то 2 sin 31° >1.
Следовательно, данное равенство невозможно.
Упражнения
1.32. Сравнить:
а)	cos 1,6 л и cos 1,68л;	e)	cos 200° и cos 250°;
б)	tg 7,2 л и tg 7,25л;	ж) ctg 200° и ctg 250°;	
в)	sin 20° и sin 21°;	3)	cos 5,1 и cos 5;
г)	cos 20° и cos 2Г;	u)	sin 2 и sin 2,1;
д)	sin 200° и sin 250°;	к)	ctg 6 и ctg 6,2.
L33. Определить знак разности:			
а)	sin 123° - sin 132°;	в)	ctg 304° - ctg 316°;
б)	tg 220° - tg 217°;	г)	cos 1,6 - cos 1,5;
18
Преобразования тригонометрических выражений
д') sin 190° - sin 19Г;
„ 5п 1л
е) cos -5— cos -5-;
о	У
3	7
ж) tg 2 — л - tg 2 тутг;
10	10
з) cos 130° - cos 110°.
1.34. Сравнить:	
a) sin 58° и cos 58°;	г)	sin 20° и cos 20°;
б) sin 18° и cos 18°;	д)	sin 40° и ctg 20°;
в) sin 81° и tg81°;	е)	cos 80° и sin 70°.
1.35. Возможно ли равенство:	
a) cos а = 2 sin 20°;	в)	cos ce = ctg 10°;
'У б) since = ^tg80°;	г) 0	л „ sin a = tg — ?
§2. Основные формулы тригонометрии
1.	Соотношения между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента
sin2 а + cos2се = 1;
tga =
since
cos а’
tg a • ctg a = 1
1 + tg2 а = —V";
coscc
cos а
ctg а = —-----;
° sin ct
ctg a = —— I;
tgcej’
1 + ctg2 а = . \ .
Since
Пример 1.36. Могут ли одновременно выполняться ра-
венства:
2	V5*
a)	sin а = — и cos а =
б)	tg се = 4 и ctg се = 0,25;
V5”	,_____
в)	cos се = — и ctg се = v2,5 ?
•J
19
Преобразования тригонометрических выражений
Решение, а) Проверим выполнение тождества sin2 а +
+ cos2 а = 1:
(2V+ Ш2,4 + s = ’ _ 1.
(3j	3 )	9	9	9
Следовательно, данные равенства одновременно выпол-
няться могут.
Ответ: да.
б) Проверим выполнение тождества tgactga = 1:
4 • 0,25= 1.
Ответ: да.
в) Из тождества ctg а =
cos a	cos а _
—----имеем sin а = ——. Тогда
sin a	ctg а
sin а =
<2~
3 •
Проверим выполнение тождества sin2 а + cos2 а = 1:
Ответ: нет.
Упражнения
1.37.	Могут ли одновременно выполняться равенства:
б)	sin а = 0,4 и cos а = 0,87;
. .	2	.	1
в)	sin а = - и tga =
•э	о
„ . 6VT	7	6vT
г)	sin а = -у, cos а = - у, tg а =-------у;
д)	cos а = ур tg а = 4,95;
. .	а	b
ё) sin а = ,	, cos а = 	;
Ча2 + Ь2	V а2 + Ь2
20
_______Преобразования тригонометрических выражений
. • a	2VT+T	„
ж)	since = -^2' cosct = а + 2 ’ где а * ~ 2;
з)	tgee = 2,4 и ctg а = 0,5;
и)	tg ct = V2~- 1 и ctg а = V2~ + 1;
. .	1 - а2	2а
к)	sin а = ---ж и cos а = ----
1 + а2	1 + а2
Л	V16 — 7Г2
л)	sin а = — и cos а = -------;
4	4
Л	736 - 7Г2 „
м) cos ct = — и sin а ---------?
о	о
1.38. Могут ли sin а и cos а: одновременно равняться нулю?
1.39. Могут ли tg а и ctg ct по абсолютной величине быть:
а) оба больше 1; б) оба меньше 1?
Пример 1.40. Упростить выражение
sin2t + cos2t + tg2x.
Решение, sin21 + cos21 + tg2x = 1 + tg2x = —5—.
cosx
Ответ: —K~.
COS X
_ т 4. ,,	cos22a -1
Пример 1.41. Упростить выражение--------;—.
1	- sin 2ct
cos2 2a - 1	- sin2 2a -
Решение. ------. 2n =-------5-— = - tg22a.
1 - sin2 2a cos 2a
Ответ: — tg2 2a.
Пример 1.42. Упростить выражение sin a + cos ct tg ct.
т»	,	since
Решение, sin ct + cos at tg at = sin ct + cos ct •- =
cosct
= sin a + sin ct = 2 sin a.
Ответ: 2 sin at.
21
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.43. Упростить выражение
—-------tg2p - sin2y>.
cos2^
Решение. —К-------- sin2a> =
cos2 <f>
= 1 + tg2y> - tg2^> - sin2y> = 1 - sin2y> = cos2p.
Ответ: cos2y>.
. a
sin у
Пример 1.44. Упростить выражение ——.
tg2
a
cos2
sin 2
Ct Ct	Ct
= sin у ctg- = sin •
. a
sin2
Решение.----
a
tg2
_ a
Ответ: cos у.
Пример 1.45. Упростить выражение
sin2x	cos2x	tgx
tg2X	Ctg2X	Ctgx'
_	sin2 x . cos2 x . tg x
Решение. —$— + —?— +	— =
tg2x ctg2x ctgx
= sin2x • ctg2x + cos2x • tg2x + tg x • tg x =
. 2 cos2x .	2 sin2x . . 2
= Sin X •	--1- cos x • —5—I- tg X =
snrx	COS X
а
cos2-

= cos2x + sin2x + tg2x = 1 + tg2x = —K—
cos x
Ответ: —.
COS X
Пример 1.46. Упростить выражение
____1___ + _____1____
1 + tg2 a 1 + ctg2 a
Решение. ----^-5--1- ---^—5— = cos2 a + sin2 a = 1.
l+tg2a l+ctg2a
Ответ: 1.
22
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Упростить выражения:
1.47.	1 - sin2а.	1.48. 1 - cos2 а.
1.49. sin2/? - 1.	1.50. cos2 2а - 1.
1.51. sin2 у» + cos2y> + 1.	1.52. 1 — sin2 3a - cos2 3a.
1.53. sin22a + cos22a + ctg25a,	_ _. 1 - sin2a 1.54.	2 . 1 - cos a
j sin a cos 2a cos a sin 2a*	_ sin 3a sin a cos 3a cos a
1.57. cosatga.	- -o . a _ a 1.58. sin — • ctg x. О	о
1.59. sin/? ctg/9 + cos (J.	1.60. —~2	1.
i.6i. i — sin у 1.63. ctg a cos(a-/3) °5* ctg(a-jS)* L67' ctg у + tg^ ‘ ctg^’ Т	Sin2<Z ~ 1 L . 1.69.	2	+ tg a ctg a. cos a - 1	cos a 1.62. 1 — sin2 a + ctg2 a sin2 a. sin(a+/3) tg(a+/?)’ 1-66.	+ctgy tgy. 1.68. cos2 a + ctg2 a -	2 • sin a 1-70-1 Smsif2/i ’ctg2^ 1 — sin p
1.71. (tg a cos a)2+ (ctg a sin a)2.	1.12. sin a
1.73.	sin^«	 1 + ctg2 a (cos2 a - 1) 1 - cos2 a + tg2a cos2 a 2	* sin a	_ _. sin2a + 2cos2a - 1 1.74. 	5	 ctg a 1.76. 1 + tg22CT . 1 + ctg2 a
1.77. cos2 a +	, - 1. 1 + ctg a	,	sin2 a . cos2 a 1.78. 	j- + 	5— > 1+tga 1 + ctg a
23
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.79. Упростить выражение
(	х Л (	х , Л
I cos - - 1 cos -г + 1 .
\ / \ /
Решение. Применяя формулу произведения разности двух
(X \ ( X \
cos - - 1 cos - + 1 =
2	х л	. 2 Х
= cos2 - - 1 = - sin2 -.
Ответ: - sin2
Пример L80. Упростить выражение
(1 - cos2/?) tg2/? + 1 - tg2/?.
Решение. (1 - cos2/?) tg2/? 4- 1 - tg2/? =
= tg2/? - cos2/? \g2ft 4- 1 - tg2/? =
= tg2/? - cos2£ • S*"2-q + 1 - tg2/? = - sin2/? + 1 = cos2/?,
cos p
Ответ: cos2/?.
Пример 1.81. Доказать тождество
(1 \ г /	1 \2
sin a 4- —--- + cos a + ----- - (tg a 4- ctg2 a) = 7.
sin a I I cos a I 4 b b '
Решение. Применяя формулу квадрата суммы, имеем:
(1	\ 2	/	1	\2
sin а + —--- + cos a + ----- - (tg а + ctg а) =
sin a I I	cos al v	7
= sin2 a + 2 sin a • -4— +	— + cos2 a 4-
sin a sin2 a
1	1	?	э
+ 2 cos a --- + ---z---tg2 a - ctg2 a =
cos a cos2 a
= sin2 a + 2 4-	4- cos2 a 4- 2 4- —--tg2 a - ctg2 a =
sin2 a	cos a
= 4 + (sin2a 4- cos2a) 4- l-y-^-ctg2a| 4- |—-------tg2a| =
I sin2 a I I cos a I
= 4 4-1 + 14-1=7,
что и требовалось доказать.
24
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.82. Доказать тождество
cos а (1 4- cos"1 а + tg а)(1 - cos"1 а 4- tg а) = 2 sin а.
Решение. Перепишем левую часть данного равенства в
таком виде:
COS а 11 4- tg а 4- —-—| 11 4- tg а--—|.
I	cos all	cos a I
Умножив выражения, стоящие в скобках, с помощью
формулы произведения суммы двух выражений и их разности,
получаем:
cos а 11 4- tg а 4- —-—| [1 4- tg а--—| =
I ь cos a I I ь cos а I
= cos а |(1 4- tg а)2-V-1 =
I	coszal
/	о	1	\
= cos а 1 4- tgz а 4- 2 tg а-г— =
I	cos а I
= cos а |—з---F 2 tg а---I = 2 tg а • cos а = 2 sin а,
I cos a	qqs а\
что и требовалось доказать.
Пример 1.83. Упростить выражение * + с0$ла'
Л	sin2 ла 1 — со$2ла
Решение. —--------= —------------=
14- cos ла 14- cos ла
(1 - cos ла)(14- cos ла)
=  -------—------------ = 1 - cos ла.
1 4- cos ла
Ответ: 1 — cos ла.
Пример 1.84. Доказать тождество
(1 4- tg2a)(l 4- ctg2 a) tg2a - (1 - tg2a)2 = 4 tg2a.
Решение. (1 4- tg2a)(l 4- ctg2 a) tg2a - (1 - tg2a)2 =
= (14- tg2a)(tg2a 4- ctg2 a tg2a) - (1 - tg2a)2 =
25
Преобразования тригонометрических выражений_________
= (1 + tg2a)(tg2a + 1) - (1 - tg2a)2 =
= (1 + tg2a)2 - (1 - tg2a)2 =
= 1+ 2 tg2a + tg4a - 1 + 2 tg2a - tg4a = 4 tg2a,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
1.85.	11 + sin 7Ч 11 - sin |.
L86. I— ---1- tg а | I— -tg a L
Icosa 6 I Icosa 6 I
1.87.	—К— - tg2a (cos2a + 1).
cos a
1.88.	(1+sin20)ctg20 -
sin p
1.90.	(sin a + cos a)2 + (sin a — cos a)2.
1.91.	(tg/3 + ctg/9)2 - (tg/3 - ctg/9)2,
1.92.	(1 + tga)2 + (l — tga)2.
1.93.	(1 + ctg/?)2 + (1 - ctg/?)2.
1.94.	sin4 a + 2 sin2 a cos2 a + cos4 a.
Доказать тождества:
1.95.	(sin a + sin/3) (sin a - sin/3) +
+ (cos a + cos/9) (cos a - cos/3) = 0.
1.96.	(tga + tg/?)(tga - tgfi) -
1 1 \ / 1_______________1
cos a	cos /3 I I cos a	cos/9
= 0.
26
Преобразования тригонометрических выражений
1.97.
1.98.
1.99.
(1 + sin at + cos a)(l — sin a + cos at) X
(1 + sin a - cos at)(sin a + cos a - 1) = 4 sin2 a cos2 a,
cos3 a - sin3 a
—-—.---------- = cos at — sin at.
1 + sin a cos a
sin2 a (1 + sin-1 a: + ctgat)(l - sin-1 a: + ctg a) =
= 2 sin a cos a.
х
Пример 1.100. Упростить выражение
sin a cos a (tg a + ctg a).
Решение, sin a cos at (tg a + ctg a) =
(sin a	cos a
-------1- —:-
cos a sin a
sin2a + cos2a
= sin a cos a • —:-------- =
sin a cos a
1.
Ответ: 1.
Пример 1.101. Упростить выражение
sin о:_________________________sin a:
1 + cosa 1 - cosa”
_	sin a sin a
Решение. —-;------------------- =
1 + cos a 1 - cos a
_ sin a (1 - cos a) - sin a (1 + cos a) _
~	(1 + cos a)(l - cos a) “
sin a - sin a cos a - sin a — sin a cos a _	2 sin a cos a
1	— cos2 a	sin2 a
2-----cos a
=	-- = - 2 ctg a.
sin a	°
Ответ: - 2 ctg a.
Пример 1.102. Доказать тождество	= tgactg/3.
_	tga + ctgj3 (sina , cos/?\ (cosa sin/3\
ctga + tgp Icosa snip I Isina cospl
_ sin a sin Д + cos a cos Д	cos a cos Д + sin a sin Д _
—	cos a sin Д	' sin a cos /3	—
27
Преобразования тригонометрических выражений
_ sin a sin + cos a cos (3	sin a cos /3
” cos a sin (3	cos a cos /3 4- sin a sin (3
= -------—= tgactg/3,
cos a sinр	b
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
1.103.	sin2 a cos2 a (tg2« + ctg2 а + 2).
1.104.	sin а + sina 1 + cos а 1 - cos а*
1.105.	cos/?	cos/? 1 4- sinyS	1 - sin/?'
1.106.	, sin x c’8’ + 1+cosx'
1.107.	tg* + ios* . ®	1 + sin X
1.108.	1 — sin x	cosx cosx	1 + sinx'
1.109.	sing?	1 + cos 1 - cos <p	sin <p
1.110.	sin а	1 + cos а 1 + cos a	sin а '
1.111.	sin а	1 — cos a 1 - cos a	sin a
1.112.	cos/?	1 - sin/? 1 — sin/?	cosj3
1.113.	« .	+ tg a. 1 + sin a
1.114.	tga + tg/? ctg a + ctg/3‘
1.115.	tga - tg/? ctg a - ctg/3'
28
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.116. Упростить выражение
sin4 а - sin2 а + cos2 а.
Решение, sin4 а - sin2 а + cos2 а =
= sin2 а (sin2 а — 1) + cos2 а =
= - sin2 а cos2 а + cos2 а = cos2 а (1 - sin2 а) =
= cos2 а • cos2 а = cos4 а.
Ответ: cos4 а.
Пример 1.117. Доказать тождество
cos2 а + sin2 a sin2 fi + sin2 a cos2 (i = 1.
Решение, cos2 а + sin2 a sin2 (} + sin2 a cos2 ft =
= cos2а + sin2а (sin2/? + cos2/?) = cos2 а + sin2а = 1,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
1.118.	cos4 а - cos2 а + sin2 а.
1.119.	sin4 а + sin2 а cos2 а + cos2 а.
1.120.	sin2 а + sin2 а cos2 а + cos4 а.
1.121.	sin4а - cos4a + cos2а.
1.122.	cos4 а + sin2 a cos2 а — cos2 а - 1.
1.123.	sin2 a cos2/? + sin2 a sin2 + cos2 a sin2/? +
+ cos2 a cos2/?.
Доказать тождества:
1.124.	sin4 a cos2 a + sin2 a cos4 a = sin2 a cos2 a.
125 cos4/? - sin2» sin2/? + sin2/? cos2/? - sin2a cos2/?
sin2» sin2/? - sin2» cos2a - cos4» + cos2a sin2/?
1.126.
cos/? + sin/? - cos2/? sin/? - sin2/? cos/?
sin/? tg/? + cos/? ctg/?
= sin/? cos/?.
29
Преобразования тригонометрических выражений_____________
1.127.		4-----5-----1-------2-------2~ - COS2 Л.
cos а + cos a sin а + sin а + tg а
1.128.	cos2 а + 2 sin2 а + sin2 а tg2 а = —V-.
cos а
1.129.	sin4 а + cos4а - sin6а - cos6 а = sin2 а cos2 а.
Пример 1.130. Доказать тождество
1 - ctg2 За _
ctg За ~
1 - ctg2 За _
ctg За -
tg3a
tg2 3a - 1
tg 3a
Решение. —--------- •
tg2 3a - 1
_ tg 3a - tg 3a ctg2 3a _ tg 3a - ctg 3a _
tg2 3a ctg 3a - ctg 3a ” tg 3a - ctg 3a
что и требовалось доказать.
1,
Пример 1.131. Доказать тождество	= sin2 а.
Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби, сто-
ящей в левой части данного равенства, на ctg а, получаем:
tga _ ctga • tga _	1	=
tga + ctga ctga (tga + ctga) l+ctg2a	’
что и требовалось доказать.
tg4 а — tg6 а
Пример 1.132. Упростить выражение —----------=—.
ctg а - ctg а
Решение. Умножив числитель и знаменатель данной дро-
би на tg4a, получаем:
tg4a - tg6a _ tg4 a (tg4 а - tg6 a) _
ctg4 a — ctg2 a	tg4 a (ctg4 a - ctg2 a)
_ ^4<а ' С1 ~	_ tg8« (1 ~ tg2»,) _ ( 8a
tg4 a ctg4 a — tg4 a ctg2 a l-tg2a ® °"
Ответ: tg*a.
30
Преобразования тригонометрических выражений
1 + ctg2 а 2
2	— tg Ct.
Ctg а
1.135.
Упражнения
Доказать тождества:
2
1.133.	tg а2
1 + tg2a
ж	Ctga	2
1.134.	-	-— = cos а.
tg а + ctg а
1 + tg а
1 + ctg а ~ ® а'
1-ctgy
1.136.
1.137
1.138.
1 + tg <Z 4 2
tg2a + ctg2a 8 а‘
1+tga + tg22CT = tg2a.
1 + ctg а + ctg a
Пример 1.139. Доказать тождество
1 - sin6 a - cos6 a _ 3
1 — sin4 a — cos4 a	2'
„	1 — sin6 a — cos6 a	1 - (sin6 a + cos6 a)
Решение.--------—j------t~ —--------j----------i~S
1 - sin a — cos a 1 — (sin a + cos a)
Применив к выражению sin6 a + cos6 а формулу суммы
-	1 - (sin6 a + cos6 a)
кубов, имеем:-------7—7--------т-4- =
1	1 - (sin4 a + cos4 a)
_ 1 - (sin2 a + cos2 a) (sin4 a - sin2 a cos2 a + cos4 a) _
1 - (sin4 a + cos4 a)
_ 1 - (sin4 a - sin2 a cos2 a + cos4 a)
1 - (sin4 a + cos4 a)
Выделяя из выражения sin4 a + cos4 а квадрат суммы,
1 - (sin4 a - sin2 a cos2 a + cos4 a)
получаем:	~ ; 7 л к	—
1	- (sin4 a + cos4 a)
31
Преобразования тригонометрических выражений
_ 1 - ((sin2 а + cos2 а)2 - 3 sin2 а cos2 а) _
1 - ((sin2 а + cos2 а)2 - 2 sin2 а cos2 а)
_ 1 - (1 - 3 sin2а cos2а) _ 1 - 1 + 3sin2«cos2a _
1 — (1 - 2 sin2 а cos2 а) 1 — 1+2 sin2 а cos2 а
_ 3 sin2 а cos2 а _ 3
2 sin2 а cos2 а	2’
что и требовалось доказать.
Пример 1.140. Доказать тождество
sin8 а + cos8 а + 4 sin2 a cos2 а = 1 + 2 sin4 a cos4 а.
Решение. Применяя дважды для преобразования левой ча-
сти данного равенства выделение квадрата суммы, получаем:
sin8 а + cos8 а + 4 sin2 a cos2 а =
= (sin4 а + cos4 а)2 - 2 sin4 a cos4 а + 4 sin2 a cos2 а =
= ((sin2 а + cos2 а)2 - 2 sin2a cos2 а)2 - 2 sin4 a cos4 а +
+ 4 sin2 a cos2 а = (1 - 2 sin2 a cos2 а)2 - 2 sin4 a cos4 а +
+ 4sin2acos2a = 1 - 4 sin2 « cos2 « + 4 sin4 a cos4 a —
—	2 sin4 a cos4 a + 4 sin2 a cos2 a = 1 + 2 sin4 a cos4 a,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.141.	sin6a + cos6a + 3sin2«cos2а = 1.
1.142.	2 (sin6 а + cos6 а) - 3 (sin4 а + cos4 а) = -1.
1.143.	_ 2cos.^
tg/3
1.144.	(sin6 а + cos6 а — I)3 + 27 sin6a cos6 а = 0.
1.145.	2(1 — sin2acos2d)2 — (sin8 а + cos8a) = 1.
32
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.146. Доказать тождество
ctg2 а - cos2 а = ctg2 a cos2 а.
„	22 cos2a 2
Решение, ctg а — cos а =	---cos а =
sura
= cos2 а |-тД--11 = cos2 a (1 + ctg2 a — 1) = cos2 a ctg2 a,
I sin2 a I
что и требовалось доказать.
Пример 1.147. Доказать тождество
(sin a + cos a)2 — 1	„ x ,
:---L---- = 2tg a.
ctg a - sin a cos a
Решение.
(sin a + cos a)2 — 1
ctg a - sin a cos a
sin2 a + 2 sin a cos a + cos2 a - 1
cos a
—--------sin a cos a
sin a
_ 1 + 2 sin a cos a — 1_______2 sin a cos a
cos a ” sina1 cos a ’ - "-1—
(Sin a )	sin a
2	sin a • sin a 2 sin2 a „ 2
= —;------------ = ---2— = 2tg2a,
1 — sin2 a cos2 a
что и требовалось доказать.
Пример 1.148. Доказать тождество
cos-6a - tg6a = 3 tg2a cos-2a + 1.
Решение. cos-6a-tg6a =
1	_ sin6 a _ 1 — sin6 a
cos6 a cos6 a cos6 a
(1 — sin2a)(l + sin2 a + sin4 a)
cos6 a
cos2 a (sin2 a + cos2 a + sin2 a + sin2 a (1 — cos2 a))
cos6 a
2 Тригонометрия
33
Преобразования тригонометрических выражений
_ sin2 а + cos2 а + sin2 а + sin2 а — sin2 a cos2 а
cos4 а
_ 3 sin2 а + cos2 а — sin2 a cos2 а _
cos4 а
3 sin2а + cos2а (1 — sin2а) _ 3sin2a + cos4a
cos4 a	cos4 а
3sin2a cos4» _ 3tg2a
л '	4	2
cos a cos a	cos' a
1 = 3 tg2a cos‘2a + 1,
что и требовалось доказать.
Пример 1.149. Доказать тождество
УТ- 2 sin а _ 1 + 2 cos а
2 cos а — 1 — 2 sin а + УТ ’
Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей
УТ— 2 sin а 1 + 2 cos а
данного равенства: -z------:----:------:—=
2 cos а - 1	2 sin а + УТ
(УТ- 2 sin а)(2 sin а + УТ) — (2 cos а - 1)(1 + 2 cos а)
(2 cos а — 1)(2 sin а + УТ)
3 - 4 sin2 а - (4 cos2ст - 1) _ 3-4 sin2 ст - 4 cos2 a + 1
(2 cos a — 1)(2 sin a + УТ) ~ (2 cos a — 1)(2 sin a + УТ)
_	4-4 (sin2 а + cos2 а)
~ (2 cos a — 1)(2 sin a + УТ)
Следовательно, данное тождество верное.
Упражнения
Доказать тождества:
1.150. tg2a - sin2 а = tg2a sin2 а.
2	2
1.151.
sin a - tg a
- ctg6 a.
34
Преобразования тригонометрических выражений
1.152. tg4a + tg2a =
sin2 а
cos4 а
1.153. 1 + sin а + cos а + ctga = (1 + sina)(l + ctga).
sin a + tg a
1 + cos a - % a'
cosatg2a _	1
1 + cos a ~ cos a'
1	+ (ctg2 a - tg2a) cos2 a = ctg2 a.
(sin a + cos a)2 — 1	„2
-4-------;--------- = 2 ctg a.
tg a - sin a cos a °
sin’a (1 + ctg a) + cos’a (1 + tg a) = sin a + cos a.
sin a_______________cos	a_______tg2 a + 1
cos a + sin a cos a — sin a ~ tg2 a — 1
2	sin2 a - cos2 a (tg2 a + ctg2 a) + (tg a — ctg a)2 =
= tg2a - 1.
1.154.
1.155.
1.156.
1.157.
1.158.
1.159.
1.160.
1.161
1.162
1.163.
1.164.
1.165.
1.166.
1.167.
. ?	-24 ctg2 a
(tg a - sin a) • —— = 1.
sin a
,	. 2„ cos2a-cos2/3
ctg a - ctg £ = ——--------
sin asm p
cos2 a - ctg2a +1	, 2
—7-5------2------- = ctg «•
sin2 a + tg2 a — 1
cos a ctg a — sin a tg a _	1
(sin a + cos a)2 - sin a cos a sin a
sin2 a - sin2/J = cos2/? - cos2 a.
sin a - cos/3 _ sin /3 - cos a
sin/3 + cos a ~ sin a + cos/3'
sin a _ 1 — cos a
1 + cos a ~ sin a '
1
cos а*
1168 ctg cos a _ ctg a - cos a
ctg a + cos a ~ ctg a cos a ’
35
Преобразования тригонометрических выражений
Упростить выражения:
1.169. clg^ - “s ,^ C,«f sin p — tg p	
1.170. 1.171.	< 2	4 2	tg a	ctg a tg a ctg a - . ,	+	, . sin a	cos a cos2a~sin2/3	2	2q .2	.2o	Ctg «Ctg P- sin a sin fl
1.172. 1.173.				5 + sin2 a. (sin a tg a + cos a) /tg a + ctg a _ tg a - ctg a\ / 1	1 ' tga- ctg a tga + ctgaj ^sin2a	cos2 a sin2 a	, sin a + cos a
1.174.	.		+		 о sin a - cos a	1 — tg2 a
1.175.	(tg a + ctg a)2 - (tg a - ctg a)2 1	2	2 . 2	2	tg a ctg a sin a cos a
Пример 1.176. Упростить выражение
sin (а - /?) - sin Q3 - а)
cos (а - /3) + cos (fl - а)’
Решение. Так как синус — нечетная функция, а коси-
sin (а - fl) - sin (fl - а)
нус — четная, то имеем: ----)--( =
J	’	cos (а - fl) + cos (fl - а)
sin (а -/3) + sin (а -/3) = 2 sin (а - р) _	,	~
cos (a - p) + cos (a - p) 2 cos (a - P) g
Ответ: tg (a - p).
Пример 1.177. Упростить выражение
1 - ctg2(-a)	. .	.	,	.
-----т—rz— \ " sin (— a) + ctg (— a),
cos a + sin (— a) v '	“v '
36
Преобразования тригонометрических выражений
_	1 - ctg2(-a)	. ,	. , . ,	.
Решение.---------, . ,—• sin (- a) + ctg (- a) =
cos a + sin (- a) v 7	®v 7
1- ctg2 a
= ---------;---- • (- sin a) — ctg a =
cos a - sin a v 7	°
_ cos2 a:
• 2
sin a
= —------------- • sin a - ctg a =
sin a - cos a	°
sin2 а - cos2 ст
sin2 a
= —:------------ • sin a - ctg a =
sin a - cos a
(sin2 a - cos2 a) sin a
= -2 / •--------L----C - ctg a =
sin a (sin a - cos a)
_ (sin « - cos a:)(sin ст + cos a)	_
~ sin a (sin a — cos a)	® a ~
sin a + cos a cosa _ sin a + cos a — cos a _ sin a _
sin a ~ sin a	— sin a ”
sin a
Ответ: 1.
Упражнения
Упростить выражения:
T17R tg (2а - /3) - tg (ft - 2а)
ctg 08 - 2a) - ctg (2a - 0)'
! 179 cos3 (-ct) + sin3 (-ct)
cos a 4-sin (—a)
L180, ctgf-^)S'+v2 + sin("«)cos(-a)ctg(-a).
1.181.	cos (— a) + cos a tg2 (— a).
1.182.	tg (- a) ctg a + sin2 (- a).
1.184.	cos2(~^) -cos4(-^).
sin2(-/3)
37
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.185. Доказать тождество
1 + sin а
1 — sin а
1 — sin а
1 + sin а
- 2 tgg,
если 90е < а < 180°.
Решение. Так как |sing| 1 и а * 90° + 180%, 1GZ,
то 1 + sin а > 0 и 1 — sin а > 0. Тогда
VI + sin а _ д/1 — sina _ VI + sing _ VI - sing _
1 — sin g V 1 + sin g ~ Vl - sin g	Vl + sin g ~
_ (Vl + sin g )2 — (Vl — sin a )2 _ 1 + sin g — 1 + sin g _
V1 — sing • V1 + sing	Vl - sin2g
_ 2sing _ 2sing
Vcos2g	I cos g Г
Так как 90°<g<180°, то cosg<0 и |cosg| = —cosg.
_	2 sin g 2 sin g
Тогда -----г = ------- = - 2 tg g.
I cos g I - cos g
Следовательно, данное тождество верное.
Пример 1.186. Упростить выражение
Vsin2g (1 - etgg) + cos2g (1 - tgg),
если < a < 2л.
Решение. Vsin2g (1 - ctga) + cos2g (1 - tgg) =
V. ,	. , cosg 12	2 sing
sin g — sinzg • —:-f- cos a — cos a  -- =
sin a	cos g
= Vsin2 g — sin g cos a + cos2 a — cos a sin a =
= Vsin2g - 2 singcosg + cos2g =
= V(sin g — cos g)2 = I sin a - cos a |.
38
Преобразования тригонометрических выражений
Так как — < а < 2тг, то sin а < О, cos а > 0, -cosa<0
и sin а - cos а < О, Следовательно,
I sin а - cos а I = cos а - sin а,
Ответ: cos а - sin а,
Упражнения
Упростить выражения:
1.187.	— sin2у +	1 - cos2— , если Зл<а<4л,
1.188.	Vcos2/3 (1 + tg/3) + sin2/3 (1 + ctg/3) , если
л Зл
л < /3 < —.
1.189.	sin а - Vctg2a - cos2 а , если 180’ < а < 360°,
1.190.
1 - cos а
1 + cos а
VI + cos а
1 - cos а ’
Зл
если л < а < —.
1.191.	V4 cos2 а + 4 cos а + 1 — V4 - 4 sin2 а , если
2л
3 " а ’
1.192.	V2 - 2 cos2/3 + V2 sin2jS - 2 v^sin/J + 1 , если
Зл
2 ’
Vl - sin2а — cos2а cos25
1.193. -------, д -------------, если л < а
tgpctga
Пример 1Л94. Известно, что cos а = -7. Вычислить sin а.
4
Решение. Имеем sin2 а = 1 - cos2 а = 1 - тг = -И,
10 1о
39
Преобразования тригонометрических выражений
ЛГ	ЛУ
sin а = —— или sin а =--—.
4	4
Л	/ТУ	/ТУ
Ответ: sin а = —— или sin а =-—
4	4
Пример 1.195. Найти cos a, tga, ctgа, если
sina = -~ ия<а<
Зя
2 '
Решение. Имеем
2	,	-2	,	(	7 \2	,	49	576
cos!«=l-s,n «=1-
__	Зя
Так как я < а < —, то cosa<0 и, следовательно,
24
cos а = - — .
sin а 7
tg а ~ cos а -	25 ’
7	1	24
24’ Ctga = tga “ Т'
„	24 .	7	.	24
Ответ: cos а = - —, tg а = —, ctg а = —.
25	24	/
Зтт, 90°<а<270°. Опреде-
16
Пример 1.196. Дано: tga =
лить sin a, cos a, ctg а.
«	J5 63
Решение, tg а = 3 — = —,
1О 10
ctg a =
1 = 16
tga 63'
1	... 2	. . 3969
—— = 1 + tg2a = 1 + -yzr-
cos2a	256
4225
256
2	256
C0S а ~ 4225'
Так как tga>0 и 90° <a< 270°, то 180° <a < 270°. Сле-
довательно, cos a < О, cos а = — —.
60
63
sin a = tg a • cos a = —
10
16
65
63
65'
Л	63
Ответ: sin a = - 77» cos а — ~
60
16 t _ 16
65’ Ctga 63'
40
Преобразования тригонометрических выражений
2
Пример 1.197. Зная, что ctg а = аЬ & 0 и sina<0,
найти значения остальных тригонометрических функций
угла а.
2
Решение. > 0. Следовательно, а — угол I или III
четвертей. Так как sin а < 0, то а — угол III четверти.
t	ь2
fa ct = ---
°	a2
1	2	a2 a2 + b2
. 2	= 1 + ct8 a = 1 + T2 = ----------12--
sin2 a	b2 b2
b2
siira = -5—-j.
a + b2
Если b > 0,
то sin а =
- 2 ; если b < 0, to sin a =
+ b2
- b
Ча2 + Ь2 '
cos а = sin a ctg а =
b
= a2
b2	b 4 a2 + b2
при 6>0 или cosa =
а2
при д<0.
b____
' + b2'
. b2
tga = -5;
»	a
если b < 0, to sin a =
Ответ: если 6>0,
то sin a =
cosa =
а2_____
i2 + b'
Л ’
cosa
2	A2
a	.	b
2	'2,	tg« = ~2-
z2 + b2	a
Упражнения
1.198. Вычислить значения тригонометрических функций
угла а, зная, что:
a)	cosa =
45.
53;
б)	tga =0,225;
41
Преобразования тригонометрических выражений
в)	2	„ Зл sin а =	л < а < —;
г)	3 # ctg а = - 3 л, ~ < а < л;
д)	VT л cos а = —— < а < л; 3’2	’
е)	20 sina =	90’<а<180°;
ж)	Зл cos а = 0,28, у < а < 2л;
з)	2	jt sin а = —, 0 < а < у •J	X
и)	.		Зл tga = v2, л < а < —;
к)	Зл ctg а = - 2, -у < а < 2л; £
л)	sin а = —, 0< т < п; п
м)	tga =	180°<а<270°;
н)	Ча2-Ьг cos а = 	, 270° < а < 360°; а
о)	sin а =		=-, а>0; Va2 + b2
п>	sin а = а , 1, Q<b<a, 0’<а<90°; а 4- о
р) cosa =	т	Зл <i + m2’ 2 <й<2л’
с) cos а =	к+г W>1!
ч * Л “ 1	,	' Зл
m) tga = -----5—, л<а <
2а	2
v	2 Vo"	л
у) ctga = -—О < а < у;
С* * £	X
..	а — 1
ф) cos а = ------, а>1.
а
42
Преобразования тригонометрических выражений
L199* * Найти cosa, если sin a = — Vl — а2. Каким должно
быть значение а?
L200. Найти sin а, если cos a = 1 + а. Каким должно быть
значение а?
I.20L Найти cos^, если sin^> =	а>Ь>0 и угол
(р не является углом I четверти.
L202. Найти cos^>, если tg</? = а2 — 1, |а\ 1 и угол <р
не является углом II четверти.
L203. Зная, что sin a = —U и cos a > 0, найти значения
т
остальных тригонометрических функций угла а.
Пример 1.204. Найти значение выражения
3 sin a — cos а
sin a + 2 cosa’
если tg a = 5.
Решение. Преобразуем данное выражение:
/ sina _ Л
3 sin a — cos a _ cosct cosa / _ 3 tg a - 1
sin a + 2 cos a ~	(sin a , \	~ tg a + 2
cosa ------ +2
I cos a I
гг °	-	3 tg а - 1
При tg а — 5 имеем: —-—г-т-
к e	tg а + 2
3 5-1
5 + 2	2
Ответ: 2.
Пример 1.205° Найти значение выражения
2 cos2 a — 7 sin2 a
3 cos2a + 4 sina cos a’
если ctg a = — 2.
Решение. Преобразуем данное выражение:
. 2 /	cos2 a	\
sura 12 •	-rs----71
_________\	sina	/
• 2 L cos2a , , cosa
sin a 3 • .- > ~ + 4 • —-
I sin2 a sina
__2 cos2 a - 7 sin2 a
3 cos2a + 4 sina cos a
43
Преобразования тригонометрических выражений
_	2 ctg* I 2 а - 7
3ctg2a + 4 ctg а*
При ctg а = - 2 имеем:
2 ctg2 а - 7	= 2^4-7	= I
3 ctg2а + 4 ctg а 3 4 + 4 • (- 2)	4’
Ответ: 4.
4
Пример 1.206. Найти значение выражения
sin3 а - 2 cos3 а
cos а + 2 sin а ’
если ctg а = 4.
Решение. Преобразуем данное выражение:
sin3 а — 2 cos3 а _ _______sin3 а - 2 cos3 а
cos а + 2 sin а (cos а + 2 sin a)(sin2 а + cos2 а)
___________________sin3 а - 2 cos3 а
2 sin3 а + sin2 a cos а + 2 sin а cos2 а + cos3 а
. з L	_ cos3a\
_ ________________\________sin а/__________ _
• з L . cos а . ~ cos2 а , cos3a\
sin3 а 2 + —----- + 2 •	з
I sin a sinz a sin3 a I
_ ________1-2 ctg3 a_________
2 + ctg а + 2 ctg2 a + ctg3 a’
Подставив в полученное выражение значение ctga = 4,
1 - 128	127
имеем: 2 + 4 + 32 + 64 “	102’
127
Ответ:
Упражнения
1.207. Найти значения выражений:
а)
tga + ctg а
tga - ctgа’
если tga
2 ’
б)
sin а — cos а
sin а + cos а’
„ 1
если tga = —;
«3
44
Преобразования тригонометрических выражений
в)
5 cos а + 6 sin а
—:--------------, если tga =
3 sin a —7 cos a
1.
2’
. 4 sin a — cos a
г) ------, . .—, если ctga не определен;
cos a + 4 sin a &	’
d)
5 sin a + 4 cos a A 1
---------:----, если ctga =
cos a —sin a	2
e)
sin a cos a
sin2 a — cos2 a
, если ctga =
3.
4’
„ 3 sin2 a + 12 sin a cos a + cos2 a
ж) ------5----------------------5—, если tg a = 2;
sin a + sin a cos a - 2 cos a
„ 2 sm2 a - sin a cos a
з) -----2--------5—, если tg a = 3;
3 sin a + 2 cos a
«)
8 sin a — 3 cos a
—5-----------2---------------j—, если tg a = - 3
sin a + 5 sin a cos a — 8 cos a
к)
2 sin3 a + 3 cos3 a
5 sin a - cos a ’
если tga = - 4;
4.3	4
4 sm a + 5 sin a cos a — cos a A
л) -----z-----z----, если ctg a = 2.
2 sin a - 3 cos a
Пример L208' Найти sin a cos a, если sin a + cos a = a.
Решение. Возведя обе части равенства sin а + cos а = а в
квадрат, получаем: (sin а + cos a)2 = a2,
sin2 a + cos2 a 4- 2 sin a cos a = a2,
2	a2 - 1
1 + 2 sin a cos a = a , sin a cos a = —-—,
At
_ fl2_ 1
Ответ: —z—.
At
Пример 1.209. Дано: tg a + ctg a = а. Найти:
a)	tg2a + ctg2a;	6) tga —ctga.
45
Преобразования тригонометрических выражений
Решение, а) Возведя обе части равенства tg а + ctg а =
= а в квадрат, получаем: (tg а + ctg а)2 = а2,
tg2a + ctg2 a + 2 tga ctg a = a2, tg2a + ctg2a = a2 - 2.
Ответ: a2 - 2.
б)	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи,
находим: (tg a - ctg a)2 = tg2 a + ctg2 a - 2 tg a ctg a =
= a2 - 2 - 2 = a2 - 4;
tg a - ctg a = ± Va2 - 4.
Ответ: ± Va2 - 4.
Пример 1.210. Вычислить значение выражения
tg2y + -4— • —-— + ctg2 у,
sin у cosy
если tg у + ctg у = 5.
„	m	sin у cos у
Решение. Так как tg у + ctg у = --- + —- =
'	' cos у sin у
_ sin2 у + cos2 у _	1
“ sin у cos у ~ sin у cos у*
1
то ---------- = 5.
sin у cos у
tg2y + ctg2y = (tgy + etgy)2 - 2tgyctgy = 25 - 2 = 23.
Следовательно,
tg2y + -— ------ + ctg2y = 23 + 5 = 28.
° ' sin у cos у ° '
Ответ: 28.
Упражнения
1.211.	Дано: sin a + cos a = a. Найти:
a)	sina-cosa;
6)	sin3a + cos3a;
e) sin4 a + cos4 a;
. 4	4"	4 »
sin a cos a
d) sin‘a + cos6a;
e) sin2 a —cos2 a.
46
________Преобразования тригонометрических выражений
1.212.	Дано: tga + ctg а = а. Найти:
a) tg’a + ctg’a; б) tg4a + ctg4a; в) cos а + sina.
1.213.	Вычислить sin1 2 а - sin4 а, если
tg2a + ctg2 а +	\ + —К— = 7.
snr a cos а
 10	10
T-t. „ „ sin a cos а	. 2	2
1.214.	Наити-----т—I---------з—, если sin a cos а = а.
1 — tg а 1 — ctg а
,	sin а + cos а	2
1.215.	Вычислить —-----------, если sin a cos а = т-
sin a-cos а’	5
Пример 1.216. Исключить угол а из системы равенств
(т.е. составить соотношение, связывающее х и у и не содер-
жащее а):
cosa’
у = 2 tga.
Решение. Имеем —-— = tga =
cosa 3	2
1	х?
Так как 1 + tg2 a = —z—, то 1 + v = тг,
cos2 a	4	9’
36 + 9у2 = 4х2, 4х2 -9у2 = 36.
Ответ: 4х2 - 9у2 = 36.
Пример 1.217. Исключить углы а и ft из системы равенств
xcosa + у sinft = а,
 х sin/? — у cosa = b,
(х2 + y2)(sin2a + cos2/?) = 2ab.
Решение. Возведем обе части первых двух равенств си-
стемы в квадрат:
(х cos a + у sin/3)2 = a2,
(х sin/? - у cos a)2 = b2,
47
Преобразования тригонометрических выражений
х2 cos2 а + у2 sin2/? + 2 ху cos a sin /3 = а2,
х2 sin2/? + у2 cos2 а — 2 ху cos a sin 0 - Ь2.
Сложим полученные равенства:
х2 cos2 а + х2 sin2/? + у2 sin2/? +• у2 cos2 а = а2 + Ь2,
х2 (cos2 а + sin2/?) + у2 (sin2/? + cos2 а) = а2 + й2,
(х2 + y2)(cos2a +• sin2/?) = а2 + b2,	(1)
Теперь сложим равенство (1) с последним равенством
исходной системы:
(х2 + у2) (cos2 a + sin2/?) + (х2 + y2)(sin2a + cos2/?) =
= а2 + b2 + 2ab,
(x2 + у2) (cos2 а 1- sin2/? 4 sin2 а + cos2/?) = (a + b)2,
2 (x2 + y2) = (a + b)2.	(2)
Равенство (2) связывает между собой переменные х, у,
а, b и не содержит а и /?.
Ответ; 2 (х2 + у2) = (а + Ь)2,
Упражнения
1.218. Исключить угол а из системы равенств:
Гх = 2 cos а,
а) iy = 2sina;
х = 5 tg а,
6)	1 4
|у = -zCtga:
I 5
. fx = 3cosa,
в' у = 5 sin а;
Jx = (/2~+ VT)tga,
iy = (2 - vT)ctgа;
{х = sin а + cos а,
у = sin а cos а;
sin а + cos а = х,
sin3 а + cos3 а = у;
х = tg4 а + ctg4 а,
у = tg2 а - ctg2 а.
д)
х = ——,
sin а
у = VTctga;
48
Преобразования тригонометрических выражений
1.219. Исключить а и fl из системы равенств:
а)
б)
в)
2	2	»2 . 2	2	2 п
a cos а - о sm а = a cos р,
a2 sin2 а - Z>2cos2a = aZ>cos2/3,
atg2a = tg2/?;
tga + tg/? = a,
ctga + ctg)3 = b,
a + fl = x;
a sin2 a + b cos2 a = 1,
a cos2/? + 6 sin2/? = 1,
atga = fttg/?, где 0<b< 1, a> 1,
Пример 1.220. Найти наибольшее и наименьшее значения
выражения: а) 3 cos2 a — 4 sin2 a; б) 2 cos2 a — 3 sin a;
e) 2 sin2 a + 3 tg a ctg a.
Решение, a) 3 cos2 a — 4 sin2 a =
= 3 cos2 a — 4 (1 — cos2 a) =
= 3 cos2 a — 4 + 4 cos2 a = 7 cos2 a — 4.
Так как -1 < cos a 1, то 0 cos2 a	1,
OS 7 cos2a «7, - 4 < 7 cos2a -4^3.
Следовательно, наибольшее значение 3, наименьшее рав-
но -4.
Ответ: 3; -4.
б) 2 cos2 a - 3 sin a = 2 (1 — sin2 a) — 3 sin a =
= — 2 sin2a — 3 sin a + 2.
Обозначим sina = t и рассмотрим функцию f(t) =
= — 2t2 — 3t + 2, определенную на отрезке [-1; 1 ]. Это квад-
ратичная функция со старшим отрицательным коэффициен-
том a = — 2. Следовательно, она принимает наибольшее зна-
чение в
ку [-1;
„	-3	з
точке tn = — -——тг = - —, принадлежащей отрез-
2 • (- 2)	4
1 ]. Значит, наибольшее значение
49
Преобразования тригонометрических выражений
-Ip-2' (4) -3’ (-4)+2 = 38-
Для нахождения наименьшего значения вычислим зна-
чения функции /(/) на концах отрезка [-1; 1 ]:
/(-1) = -2 + 3 + 2 = 3, /(1) = — 2 — 3 + 2= — 3.
Следовательно, /mjn = - 3.
Ответ: 3	- 3.
о
в) 2 sin2 а + 3 tg a ctg а = 2 sin2 а + 3. Очевидно выражение
2 sin2 а + 3 принимает наименьшее значение при sin а = О, но
при этом ctg а не существует и исходное выражение
2 sin2 а + 3 tg a ctg а не определено.
Наибольшее значение 2 sin2 а + 3 принимает при sin а =
= 1 или sin а = -1, но в этом случае tg а нс существует и
исходное выражение также не определено.
Ответ: наибольшего и наименьшего значений
не существует.
Упражнения
1.221.	Найти наибольшее и наименьшее значения выра-
жений:
a)	sin2 а + 2 cos2 а;
б)	3 sin2 а — 2 cos2 а;
в)	3cos2а — tgactgа;
г)	3sin2а + 2cosa;
д)	2 sin а - sin2 а + 2 cos2 а;
е)	1 - Vcos2a - 2 sin2 а;
ж)	1 + Vsin2a + 2 cos2 а;
з)	sin2a cos2а (2 - sin2а);
и)	tg2a + —-—;
cosa’
к)	—\-----tg2a.
cos а
50
Преобразования тригонометрических выражений
2. Формулы приведения
X	л + a	л — a	2л 4- a	2л - a
sinx	— sin a	sin a	sin a	- sin a
cosx	- cos a	- cos a	cos a	cos a
tgx	tga	- tga	tga	- tga
ctgx	ctga	- ctga	ctga	- ctga
X	Л 2+“	Л 2 ~a	|л + а	3 -7T-a
sinx	cos a	cos a	- cos a	- cos a
cosx	- sin a	sin a	sin a	— sin a
tgx	- ctga	ctga	- ctga	ctga
ctgx	- tga	tga	- tga	tga
Обратим внимание на закономерности в формулах при-
ведения: функция в правой части равенства берется с тем
же знаком, какой имеет исходная функция, если считать,
что угол а является углом I четверти; для углов л ± а,
2л ± а, Зл ± а,... название исходной функции сохраняется;
л Зл 5л	v «
для углов — ± а, — ± а, — ± а,... название исходной фун-
XXX
кции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс
на котангенс, котангенс на тангенс). В частности, если а и
/5 такие, что а + /3 = то sin а = cos/2, tga = ctg^S.
Пример 1.222. Привести к тригонометрической функции
угла а:
. . fn \	ч 2 /Зл \
a)	sin — 4- а ;	в) cos I — - a I;
1 X J	I Лл	I
6)	tg (л - a);	г) ctg (a - 90°).
51
Преобразования тригонометрических выражении
Решение» а) Если считать, что а — угол I четверти, то
— 4- а будет углом II четверти. Во II четверти синус поло-
жителен, значит, в правой части равенства следует поставить
-	ТС	.
знак «плюс». Для угла — 4- а название функции заменяется.
ГТ	 (л ,	\
Поэтому sin — + а = cos а.
IX J
Ответ: cosa.
б) Если считать, что a — угол I четверти, то л — а будет
углом II четверти. Во II четверти тангенс отрицателен, значит
в правой части равенства следует поставить знак «минус».
Для угла л - а название функции сохраняется. Поэтому
tg (л - a) = - tg а.
Ответ: - tg а.
в) Так как тригонометрическая функция стоит в четной
степени, то в правой части равенства следует поставить знак
«плюс» независимо от четверти, которой принадлежит аргу-
тт	Зл	.	_
мент. Для угла —-----а название функции заменяется. По-
2 (ЗТС	\	, 2
этому cos I—----a = sura.
Ответ: sin2 a.
г) ctg (a - 90°) = - ctg (90° - a), 90° - a — угол I чет-
верти (котангенс положителен) и для него название функции
заменяется. Следовательно,
ctg (a - 90°) = - ctg (90° - a) = - tg a.
Ответ: - tg a.
Замечание. Рассматривая угол -90° как границу III и IV
четвертей, получаем, что a — 90° — угол IV четверти,
где котангенс отрицателен. Тогда сразу можем записать
ctg (a - 90°) = “ tg a.
52
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.223.	Привести к тригонометрической функции угла а:
а)	(л 1	н)	cos (- а + 270°);
б)	cos	+ а]; 1 АЛ	1	о)	sin (180° + а);
в)	. (Зл \	п)	cos (а - 180°);
г)	* (Зл \ Ctg	Р>	2 (бЛ	\ sin -т- + а ; 1 X	J
д)	sin (л - а);	с)	cos2 (Зл - а);
е)	cos (л — а);	т)	. 4 ( 9л \ tg [«"тр
ж) tg (180° + а);		У)	ctg2 (90° + а);
з)	ctg (270° - а);	Ф)	sin2 (а + 7л);
и)	sin (360° + а);	х)	/л	\ cos — + а ; 1 АЛ	1
к)	cos (360° - а);	Ц>	(Зл \ cos — + а 1;
л)	tg (а - 360°);	ч)	(Зл \ sm
м)	ctg (а - 270°);		
Пример 1.224. Привести к значению тригонометрической
функции наименьшего положительного аргумента:
a)	sin 78°;	г) tg(-325°);
б)	cosj^;	д') ctg 213°.
. 8л
в) cos—;
Замечание. Наименьший положительный угол меньше 45°.
53
Преобразования тригонометрических выражений
Решение, a) sin 78° = sin (90° - 12°) = cos 12".
Ответ: cos 12°.
л	9 л	( л\	л
б)	cos— = C0S^--j =-cos10.
_	л
Ответ: - cos —.
8^г I л \ л
в) cos— = COS IЛ + у = - COS у.
_	л
Ответ: - cos у.
г) tg (- 325°) = - tg 325° = - tg (360° - 35°) =
= — (—tg 35°) = tg 35°.
Ответ: tg35°.
d)	ctg 213° = ctg (180° + 33°) = ctg 33°.
Ответ: ctg 33°.
Упражнения
1.225. Привести к значению тригонометрической функции
наименьшего положительного аргумента:
а)	cos 123°;	л) sin (-317°);
б)	tg 174°;	м) cos 400°;
в)	sin 216°;	h) ctg (- 0,7л);
г)	ctg 194°;	.	5л о) cos-у-;
б)	cos (- 218°);	.	14л л) sin j ;
ё)	tg 1,2л;	р) sin 2,1л;
ж)	sin 175°;	ч	17л с) cos — ; 14
з)	ctg 310°;	т) ctg 2;
й)	tg 256°;	у) sin 5;
к)	sin 1,9л;	Ф) tg 4.
54
Преобразования тригонометрических выражений
Пример L226. Привести к значению тригонометрической
/ лА
функции положительного аргумента, меньшего 45е I или — :
( 41л\
d) cos 1501°; б) sin(-824°); в) tg—z-; г) ctg ——I.
О	I У I
Решение, а) Выделим целое число полных оборотов:
1501° = 360° • 4 + 61°. Тогда cos 1501° = cos (360° • 4 + 61°) =
= cos 61° = cos (90° - 29°) = sin 29°.
Ответ: sin 29°.
6) sin (- 824°) = - sin 824° = - sin (360° • 2 + 104°) =
= - sin 104° = - sin (90° + 14°) = - cos 14°.
Ответ: - cos 14°.
.	29л
e)	tg-j- = tg
Ответ: - tg -=•
О
я
— tg 5*
г) ctg
41л\	41л	/ 5л
- -^-1 = " ctg— = - ctg 14л + —
/тг i Jt \ JT
= “Ctg-y = - ctg [2 + li] =tg 18*
_	л
Ответ: tg—.
Io
sin 1914°;
cos 1914°;
cos (- 1570°);
sin (- 1570°);
tg 23,7л;
Упражнения
1.227.	Привести к значению тригонометрической функции
(7t\
или ^1:
ё) cos (- 1961°);
ж)	sin 5000°;
з)	cos 8;
и)	tg (- 580°);
к)	cos 2420°;
d)
6)
e)
г)
8)
55
Преобразования тригонометрических выражений
л) ctg (- 1253°);
м) tg (— 1346°);
н) sin 1242°;
о) sin 4,3л;
р) cos
с) tg
29л
12 ’
21л
5 ’
т) cos
ч . 43л
У) tg -уу;
• 34л
ф) sin —.
Пример 1.228. Вычислить:
d) sin 930°; б) cos (-480°); в) tg2—; г) ctg .
Решение, a) sin 930° = sin (360° • 2 + 210°) =
= sin 210° = sin (180° + 30°) = - sin 30° = - |.
л	1
Ответ: -
6) cos (- 480°) = COS 480° = cos (360° + 120°) =
= cos 120° = cos (90° + 30°) = - sin 30° = - |.
Ответ: -
. x 5л x ( л\ A л 73”
e) tg— =tg^--j =-tg- = -—.
VT
Ответ: —
О
\	Sjt	(	л \ л V3
--y = - ctg —= - ctg 12л -2 ] =ctg j = -3-.
Ответ: -75-.
56
Преобразования тригонометрических выражений
	Упражнения
1.229. Вычислить: а) sin 120°;	п) cos - -7- ;
б) ctg (- 330°);	. . ( 5л\ р) sin -— ;
в) cos 225°;	с) tg—;
г) tg (- 240°);	т) cos 10л;
д) cos (- 150°);	у) sin 7л;
е) ctg 300°;	ф) sin 1110°;
ж) sin 240°;	х) ctg (— 1200°);
з) tg210°;	ц) tg 1050°;
и) cos 135°;	ч) cos 855°;
к) ctg 315°;	ш) sin (-3810°);
„ 7л л) tg—;	ч	47л щ) cos—т-; О
.	5л м) cos—; 4	ч . 57л э) sm—; 4
ч	117Г и) ctg——; о	ч , 74л ю) tg^“5
ч	13л о) cos—т-; 0	. 4 ( 20л\ я) ctg	— . I	0 /
Пример 1.230. Упростить выражение
tg (360° - а) + ctg (270° - а) + tg (180° - а) + ctg (90° - а).
Решение, tg (360° -а) + ctg (270° - а) + tg (180° - а) +
+ ctg (90° - а) = - tg а + tg а - tg а + tg а = 0.
Ответ: 0.
57
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.231» Доказать тождество
(Зл:	\
tg -г— а] - cos (л - a) sin (Зя + а)
\ 2	/	I . 2
, '	,---L—-------------—-----=	9ctg* 2a.
/	/	\	\	2
cos I——al + sin (1,5л + a)I -1
1	I X	у	/
tg - aj - cos (я - a) sin (Зя + a)
Решение. —'-------------------------------=
(/ \
cos I—— al 4- sin (1,5л: + a) I - 1
_ ctga — (— cosa)(- sin a) _
(- sin a - cos a)2 - 1
ctg a - sin a cos a ctg a - sin a cos a
sin2 a + 2 sin a cos a + cos2 a — 1	2 sin a cos a
_ £ /__ctga_ _ sin a cos a \ _ j_ /	cos a_______
— 2 I sin a cos a sin a cos a I ~ 2 I sin a sin a cos a
= о H“2------1	= о ctg2 a,
2 I sin2 a	I 2
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
1.232. sin I? — «I + cos |^ — a].
1.233. tg (у + a'i - ctg - a) •
1 X J	IX f
1.234. sin (я + a) - tg (я — a).
1.235. cos (я - a) + ctg (я + a).
1.236. sin (270° - a) + cos (270° + a)
1.237. tg (a - 360°) - ctg (270* - a).
1.238. sin (я + 1) + cos |^ — 11.
1.239. sin2 2 (я + 1) + cos2 2 (я - 1).
Преобразования тригонометрических выражений
(л	\	(Зя	\
— 4- а + cos (я 4- а) 4- tg —— а 4-
XI	< X I
+ ctg (2л - а).
1.241.	sin а - sin (а - 90°) - sin (а - 180°) -
- sin (а - 270°) - sin (а - 360°).
1.242.	sin (90° 4- а) • sin (180° - а) (tg (180° + а) +
+ tg (270° - а)).
1.243.	sin la - у I sin la + у I - sin2 (a - л) sin2 (a + л) -
i X I I XI
2 , . .	2 (	Зл\
— cos (a + л) cos la —— I.
I	XI
(Зя\
x —2~J ~
(3л	\	2
-=--------X - 2 cos (л + x).
X	J
1.245.	sin2 (л — x) + tg2 (л - x) • tg2 |	+ x | +
IX I
/тг \
+ sin I — + xl cos (x - 2л).
T24, tg (180° - a) cos (180° - a) tg (90° - a)
sin (90° + a) ctg (90° + a) tg (90° + a) ’
1.247.	sin (90° - a) - cos (180° - a) + tg (180° - a) -
- ctg (270° + a).
a + —I cos(Зтг — a) +
(5л\
a + -z- sin (3л + a).
Zt I
(Зл	\	(	5л\	,
1.249.	cos -z- + al cos a —— I +
i X	I	I	x /
+ sin (a — 3л) cos (a + -^ |.
. ___ . (5л	\	. (	Зл\	,
1.250. sin ——al sin a —z- +
I At	I	I	X	j
+ cos (a — 4jt) cos (Зтг - a).
59
Преобразования тригонометрических выражений
1.251.
1.252.
1.253.
1.254.
1.255.
1.256.
sin
. z ч • (Эл .
tg (л - х) sin I — + X
\ *
cos
+ cos
 2 I । i
sin2 — + X I
\ X J
I X /
sin2 (- х)
cos (6л + а).
ctg I у - al I sin I —— al + sin (я + a) I
ctg (?l+ a) (cos (2л + a) - sin (2тг - aj) '
sinfer — a) cos (л + a) tg (л - a)
sin
sin —+ a ctg -
\Z /_________\ 4
sin2 (a - тг)
-tg
Доказать тождества:
1.257.	^sin - xj + sin (л - x)j +
/	/	\	\ 2
+ cos —— x + cos (2л - x) =2.
I	I X I	J
—----И - COS (<p - Л) -
X J
- sin (y> - л) = sin <p.
j „О sin (ft - я) cos Q3 - 2я) sin (2л - 0) =	2
(jr	\	/ Orr	\	• *
ctg(л -/3)ctg — +/3
X	I	I X	f
. , , .	(Зл \ ( И
sin (л + a) cos I—— al tg a — —
L260. ------------r----Л \= ctg2 a.
cos I -z + a cos I + a tg (л + a)
I X у I X	I
60
Преобразования тригонометрических выражений
л (л \V
tg 4+tg 2
1.261.
1.262.
1.263.
1.264.
1.265.
1.266.
1.267.
1.268.
(5тг	\2	2
ctg — + ctg (7t - x) = . 2
4	J sinx
Г 13<7Г	\
ctg - д- + ctg (7л: - х) +
17л: , x (7л	)\2	2
A + ^8 I ^11	* 2
4 I 2	J J Sin X
/ (jt \	\2
I sin I у + a I + sin (тг - a) I - 1
V V к—L---------------------L-------- = 2tg2a.
tg — - a - sin (jt + a) cos (n - a)
\ x /
1-2 sin2 (л + a)
/л \
sin "2 + a + s'n ~
1-2 cos2 (л - a)
-1- -------------------------- = 2 cos a.
+ cos (л + a)
(ctg (6,5л - a) cos (- a) + cos (л - a))2 +
2 sin2 (л — a) _
+ tg (a - л) ~ 1
(cos (2,5л + a)	..	.	(5л	\' 2
—\ ~ sin (— a) tg -z- + a I
I ctg (3л: + a) v	' b 2	j
, tga
cos
1.
1.
tg
(sin2 (9л: + 0,5) + sin2 (0,5 - 7,5 л:;
—— 0,51 tg (0,5 — 0,5л:)
= — tg0,5.
• ( ।	। • z । \ । • ( ।	.
sin la + — + sm (a + л:) + sm a + — +
1 X /	I X J
61
Преобразования тригонометрических выражений
+ sin (а + 2л) = cos \а + — + cos (а + л) 4-
(Зл \
а +	+ cos (а + 2л).
(71	\ /Зл \
у - a cos Hr— al cos (2л - а)
------L-----------zv-------------- =-sina.
.	. . /Зл \
ctg (л - а) sin -у + а I
/Зл \
, sin (л + а) ® \ 2	/	/	.
1.270. ---А------4--------V-------f- + tg (л - а) = -1.
I Зл \ ctg (л - а) v 7
sm I —— а 1	7
/Зл	\
cos Ну + а\
1.271. —г—*-=--------I---- +
5л
tg —— cos (л - а)
.	. /Зл \	. /л \
tg a tg I — - a I + sin I — + a I	2
sin л + sin (л - a) - sin a
1.272.
cos
+ cos (л - а) sin (- а) +
. cos (л + а) cos
cos2 а.
1.273.
cos4 (а - л)
1.274.
1.275.
1.276.
’ Зл\ . • * f . Зл\
a —— + sin a + —
2	2
* /______________\ /
, — 2 { Зл\ -2 {	. 5Л
sin la - — + cos la + —
\ / \ **
Vsin-1 ((л/2) — a) + sin (a — (л/2))
cos-1 (a + (Зл)/2) + cos (a - (Зл)/2)
« ( л\ . 6 ( Зл\
cos la - — + sin la——I -
cos
-2
+ sin'
-1 ctg2 a.
= * 1
I sin a cos a |'
= tga.
- 1
j (sin2
4 I
л\ 2/ . Зл\\2	1
- -cos a + T =-.
62
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.277. Вычислить:
a)	sin (- 300°) cos (- 135°) tg (- 210°) ctg (- 120°);
( 23л\	1	23л
6)	cos —т------------+ ctg-т-.
I 6 J 2 16л	4
' f cos
3
Решение, а) Имеем: sin (- 300°) = - sin 300° =
vT
= - sin (270° + 30°) = cos 30° =
cos (- 135°) = cos 135° = cos (180° - 45°) = - cos 45‘
2 ’
tg (- 210°) = - tg 210° = - tg (180° + 30°) = - tg 30° = -
О
VT
ctg (- 120°) = - ctg 120° = - Ctg (90° + 30°) = tg 30° =
3
Следовательно,
sin (- 300°) cos (- 135°) tg (- 210°) ctg (- 120°) =
2	2	3 Г 3 " 12’
Ответ: —,
б) Имеем: cos
23л
cos——
о
cos
л VT
cos 6 = T’
2 1бЛ 2 н\ 2^	1
COS^r- = cos |5л + — I = cos1 2 3— = -,
3	1	31	3	4
23л	( л\ л
ctg-4- = ctg 16л - - I = - ctg— = - L
Следовательно, cos
1	, t 23л
2 16л + Ctg 4
COS —T”
3
63
Преобразования тригонометрических выражений
<3" , ,	VT-10
= V4"1-------------2~~ *
п VT-10
Ответ: ------.
Упражнения
Вычислить:
_ sin2 315° cos 300° i tg (- 315°)
L278- ----sin(- 120°) COS 150°----'
I279 6 COS2 (— 240°) ctg 210°
sin (- 300°) cos2 180° *
1.280.	sin 810° cos 900° + tg 585° ctg 1845° +
+ cos 135° sin 405°.
1.281.	sin 225° cos 120° tg 300° ctg 240°.
1.282.	3 ctg 135° + 2 cos 120° + tg 420° + 2 sin 330°. .
1.283.	2 sin 210° + tg 240° + ctg 120° + cos 450°.
т„о. .7л 7я	4л
1.284.	sin -г- cos-т- tg — ctg—.
4	6	3	3
,	. (	11л\	(	13л\	x (	5л\	х (	5л\
1.285.	sin---— cos------tg - — ctg - — .
\	6 /	\ V I X	4 I I	3 J
1.286.	tg2 -^ + ctg (- 7,25л) + 4 cos2
3	о
. ( 14л\	1	23л
1.287.	sm I з I +	29л tg 4 ’
\	' sin ——
4
1.288.	tg 1290° + cos 1470° + cos 1590°.
I289 sin 1470° - sin 1770° - ctg 1755°
ctg 1665 + CQS 660« + sin 87Qo
64
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.290. Вычислить:
a)	tg 41° tg 42° tg 43° tg44°... tg49°;
6)	cos 20° + cos 40° + cos 60° +... + cos 140° +
+ cos 160° + cos 180°.
Решение, a) tg 49° = ctg 41°, tg 48° = ctg 42° и т.д. Тогда,
объединив попарно множители, равноотстоящие от концов
произведения, получим четыре произведения, равных 1:
tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48° = tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1.
Девятый множитель исходного произведения tg 45° = 1.
Следовательно, tg 41° tg 42° tg 43° tg 44°... tg 49° = 1.
Ответ: 1.
б) Имеем cos 160° = cos (180° - 20°) = - cos 20°,
COS 140° = cos (180° - 40°) = - cos 40°,...,
cos 100° = cos (180° - 80°) = - cos 80°.
Следовательно, cos 20° + cos 40° + cos 60° +... + cos 140° +
+ cos 160° + cos 180° = cos 20° + cos 40° + ... -
- cos 40° - cos 20° - 1 = - 1.
Ответ: -1.
Упражнения
Вычислить:
1.291.	ctg 5° ctg 15° ctg 25° ... • ctg 75° ctg 85°.
1.292.	(sin 10° + sin 20° + sin 30° + sin 40°) -
- (cos 50° + cos 60° + cos 70° + cos 80°).
1.293.	tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg 160° + tg 180°.
1.294.	sin0° + sin Г + sin 2° + ... + sin 359° + sin 360°.
1.295.	ctg 15° + ctg30° + ctg45° + ... + ctg 165°.
1.296.	sin 110° + sin 130° + sin 150° +... +
+ sin 230° + sin 250° + sin 270°.
1.297.	tg 10° tg 20° tg 30° tg 40°... tg 70° tg 80°.
3 Тригонометрия
65
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.298. Упростить выражение:
a) sin (- 523°) cos (- 287°) - ctg (- 296°) tg (- 604°);
+ ctg (л +/3) ctg —-/3 .
i X	J
Решение, а) Приведем каждую из тригонометрических
функций, входящих в данное выражение, к функции поло-
жительного аргумента, меньшего 45°:
sin (- 523°) = - sin 523° = - sin (360° + 163°) =
= - sin 163° = - sin (180° - 17°) = - sin 17°,
cos (- 287°) = cos 287° = cos (270° + 17°) = sin 17°,
ctg (- 296°) = - ctg 296° = - ctg (270° + 26°) = tg 26°,
tg (- 604°) = - tg 604° = - tg (720° -116°) =
= - tg (- 116°) = tg 116° = tg (90° + 26°) = - Ctg 26°.
Тогда sin (- 523°) cos (- 287°) - ctg (- 296°) tg (- 604°) =
= - sin 17° sin 17° - tg 26° • (- ctg 26°) =
= 1 - sin2 17° = cos2 17°.
Ответ: cos2 17°.
6) sin (y _ ct2 + cos Pt +	+
10 I 10	/	\i
+ ctg (л + /3) ctg
\
66
Преобразования тригонометрических выражений
9 I
= 1 - cos I v - а
1 0
2	\
Ответ: sin I— - а .
\ о I
= sin2
Упражнения
Упростить выражения:
1.299.	sin 20° cos 70° + sin2 110° cos2 250° +
+ sin2 290° cos2 340°.
1.300.	(sin 75° + sin 100°) (sin 260° - sin 285°) +
+ (sin 165° + sin 190°) (cos 75° - cos 100°).
W’1- ,g 100’ + i?sin640-
1.302.	ctgO,4n - t “So1s’‘;fo.
1.303.	sin 395° sin 505°+ cos 575° cos 865°+ tg 606° tg 1104°.
1.304.	sin 405° cos 675° + tg 562° tg 788° +
+ ----------------
cos 660° cos 1200°’
I.30S.	sin 245’ cos 203° + ,,
1.306.	cos 105° - sin 195° + sin (- 135°).
L307- (sin 260°‘sin 620° - '* 18Г <g 8°5') (.WSOO’ - *) •
L308- (ssW~sinl72’ctg262j x
x(cos2 100° + cos2 350°) - cos 8°.
1.309.	2 cos 140°cos 220°+ sin 230°sin 320°(tg 130°+tg 400°).
1.310.	cos2 230° (1 + ctg 220°) + sin2 310° (1 - ctg 50°).
13П ( tg2590° + sin 111°^ /cos 279° Ctg2 950°)
^cos2 320° cos 159° J ^sin 549° + sin2 400°J *
67
Преобразования тригонометрических выражений
1.312.	cos (- 7,9л) tg (- 1,1л) - sin 5,6л ctg 4,4л.
1.313.	sin 5,9л tg (— 0,6л) + cos 3,6л ctg (- 4,9л).
1.314.	sin (— 1,3л) cos (- 1,7л) tg (— 0,7л) +
+ sin 0,8л cos 1,8л tg 1,2л.
1.315.	ctg 2,2л sin 2,7л sin (- 3,2л) +
+ ctg (- 2,3л) cos (- 3,7л) cos 1,2л.
1.316.	cos (а + 45°) + cos (а + 135°) + cos (а + 225°) +
+ cos (а + 315°).
1.317.	sin tg	cos	+
+ tg (л + /3) tg	- Р j .
1.318.	cos (20° - а) + sin (250° + а).
1.319.	sin (112° - а) + cos (а + 158°).
1.320.	sin2 (30° + а) + sin2 (240° - а).
cos(- 228’)ctg_72° _
1д2Ь tg (- 162°) sin 108’ tg 18 '
1.322.	tg2910° + sin2(- 1090°) + cos2(- 1450°).
1.323.
sin (- 234°)-cos 216’ t „„
sin 144’- cos 126’	’tg36’
Пример L324. Упростить выражение
sin
sin
Решение, sin la - — = - sin I- a . Так как -- - a +
\	4/	\4	/	4
Л	Л	(Л	।	IJC	।	л,
+ — + a = —, to sin I — + al = cos I — - a . Следовательно,
4	2	\4	/	\4	/
68
Преобразования тригонометрических выражений
= 1 - sin2 а = cos2 а.
жх	2
Ответ: cos а.
Пример 1.325. Упростить выражение
(Зл \ (. 5л л\
tg ~2~”а sin—-cosу .
__	__	5л тс	7 тс	л	, 5л	л
Решение. Так	как	— + —	=	—	=	—,	то	sin —	=	cos
£ w /	1. *т	/
Отсюда получаем
Ответ: 0.
Пример 1.326. Известно, что
ctg (60° - 2а) + ctg (30° + 2а) = а.
Найти ctg2 (60° - 2а) + ctg2 (30° + 2а).
Решение. Так как 60° — 2а + 30° + 2а = 90°, то
ctg (60° - 2а) = tg (30° + 2а). Тогда
ctg2 (60° - 2а) + ctg2 (30° + 2а) =
= (ctg (60° - 2а) + ctg (30° + 2а))2 -
- 2 ctg (60° - 2а) ctg (30° + 2а) =
= а2 - 2 tg (30° + 2а) ctg (30° + 2а) = а2 - 2.
Ответ: а2 - 2.
69
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.327» Упростить выражения:
v . 2 (?С \	>2 /’ТГ \	.	(тС	\
a)	sin — - al	+ sin — + al	+	sin	—	- a	x
14 j	14 j	12	1
(7C	\
— + a tg (л + a);
АЛ	J
2 (ft . \
cos — + a	/_	\ i \
_	\4	/	. 2 ITC \ 2 ( Я	I
6)	---/-----A	+ sin	I — + a tg	— — a ;
.„г	(я 1	14 I	14 J
tg	14"“a I	V '	' '
e) sin2 - aj (tg2 a - 1) ctg	sin"2 + aj ;
dSw^) + ,8(a+10=)c,8(80=-“,;
d)
2 тс 2 Зтс 2 Зтс 2
cos - + cos — + cos — + cos
о	11	о	ZZ
L328o Известно, что cos (45° + a) + cos (45° — a) = m.
Найти:
a)	cos2 (45° + a) + cos2 (45° - a);
6)	cos (45° + a) - cos (45° - a).
Пример 1.329. Известно, что a, fl, у — углы треугольника.
Доказать, что
. а + 0 у
sm--- - cos 2.
Решение. Так как а, (}, у — углы треугольника, то
О .	г . а + в . 180° -у
а + [} + у = 180 . Тогда sin —-— = sin---=
z	z
(y\	у
90° -	= cos
что и требовалось доказать.
70
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.330.	Известно, что a, ft, у — углы треугольника. До-
казать:
a)	sin (а + уЗ) = sin у;
б)	cos у = - cos (а + Д);
„	У^ а
в)	tg -2 + 2 =Ctg2‘
Пример 1.331. Найти cos (270° - а) и tg (90° + а), если
sin (180° - а) = 0,3 и 90° < а < 180°.
Решение, sin (180° - а) = sin а = 0,3. Тогда
cos (270° - а) = - sin а — — 0,3.
tg (90° + а) = - ctg а = -
Так как 90°<а<180°, то
cos а = - V1 - sin2 а = - V0,91.
- Vo,91	V91"	/
Тогда tg (90° + а) = -	J
V/ ) J	J
V9T
Ответ: cos (270° - a) = - 0,3; tg (90° + a) =	.
О
Упражнения
1.332. Найти значения выражений:
1 - sin (2а + 1,5л)
——-----------:— ' -. , если а =
sin (л - За) - sin (- а)
sin а - sin в	о	л
cos а + cos р	Г	2
а)
б)
в)
sin (а — 270°) и tg (360° - а), если
г)
cos (180° + а) и ctg (90° + а), если
6’
2
sin а = -
270° < а < 360°;
+	3
tg« =
90°<«< 180°;
71
Преобразования тригонометрических выражений
д) cos (а - 270°) и tg (а - 180°), если ctga = 2,
180°<a<270°;
е) sin (90° + а), если tg (270° + a) = - 4, 180° < a < 270°;
ж) tg (180° - a), если cos (180° - a) = 0,6, 180°< a'< 270°;
cos (a - 270°) sin (a + 270°)
tg(a+180°)
если
2
sin (a - 180°) = - yy;
. ( Зл\
sin la —— I sin (a - я)
u) ----*—.	, если ctg (a - я) = —,
ctg(2?r-a)	bV '	4
я
0<a<
tg (я + a) ctg (я - a) + 2 sin —
к) ------------7-----z—г---------, если
/ Зл \
sin la - —
(	3 Л л
cos la ——I = - — и 0<a < —;
i X J 0	X
/3л	\
ctg I — + al cos (л + a)	4
л) ----*-------—7T--------г- , если cos a = —, 0 < a < 2л.
. z \	(3л	1	5
ctg (л - a) cos —— a
1 АЛ	I
Пример 1.333. Исследовать на четность функцию
(л
2 + х
Решение. Область определения данной функции D(f) =
/л \
= (- со; оо). Так как cos I — + х I = - sinx, то /(х) =
= - sin (- х) = sinx = — /(х). Следовательно, данная функ-
ция нечетная.
Ответ: функция нечетная.
72
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.334.	Исследовать на четность функцию:
а)	/ (х) = sin + х
б)	/(x) = tg(^-x);
v z ч	(7л \
в)	/(х) = Ctg у + X
г)	/(х) = sin — - Зх
.	(13л	'
д)	f (х) = cos + х
\ **
е)	f(x) = tg (тг - х2).
tg (« + £) =
3. Формулы сложения
sin (a + p) = sin a cos p + cos a sin P;
sin (a — P) = sin a cos P - cos a sin P;
cos (a + P) = cos a cos p — sin a sin P;
cos (a - P) = cos a cos/? + sin a sin/?;
tga + tgP .
1 - IgatgP '
tga - tgj8 .
1 + tgatg/? ’
ctga ctg/? - 1 ,
ctg/? + ctga ’
ctg a ctg/? + 1
ctg/?-ctga
Пример 1.335. Упростить выражение:
tg(a-£) =
ctg (а + p) =
ctg (« - /3) =
a) sin
6) cos а + cos (120° - а) + cos (120° + а).
Решение, а) Применяя формулы синуса суммы и синуса
\	. (л	\
— + a -sin — — a =
/	I	J
= sin — cos a + cos — sin a - sin — cos a - cos — sin a
«J	«j	I «J	«э
73
Преобразования тригонометрических выражений
V3"	i . VT	i .
= — cos а + — sin а--------— cos а + — sin а - sin а.
L	L	L	L
Ответ: sina.
б)	Применяя формулы косинуса разности, косинуса сум-
мы, приведения, получаем:
cos a + cos (120° - a) + cos (120° + a) =
= cos a + cos 120° cos a + sin 120° sin a +
+ cos 120° cos a - sin 120° sin a = cos a + 2 cos 120’ cos a =
= cos a + 2 cos (180° - 60°) cos a =
= cos a - 2 cos 60° cos a = cos a - cos a = 0.
Ответ: 0.
Упражнения
Упростить выражения:
1.336.	cos (60° - a) + cos (60° + a).
(JT \	(	71/
a + — - cos a - —
о J	l	о
1.338.	sin (30° + a) + sin (30° - a).
1.339.	sin (a + /3) + sin (a — /3).
1.340.	sin (a + p) - sin (a - p).
1.341.	cos (a - p) + cos (a + p).
1.342.	cos (a - p) - cos (a + /3).
1.343.	cos a + cos (240° + a) + cos (240° - a).
(71	\
— + a - cos a - sin a.
4	1
1.345.	2 cos (60° - a) - V3~sin a - cos a.
1.346.	VYsin (a - 45°) — sin a + cos a.
1.347.	'Ti cos a - 2 cos (a - 30°) + sin a.
74
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.348. Упростить выражение:
a)	sin (а + 45°) cos (а - 45°) - cos (а + 45°) sin (а - 45°);
sin 56° sin 124° - sin 34° cos 236°
6)	cos 28° cos 88° + cos 178° sin 208”
Решение, а) Заменяя данное выражение синусом разности
аргументов а + 45° и а — 45°, получаем:
sin (а + 45°) cos (а - 45°) — cos (а + 45°) sin (а - 45°) =
= sin (а + 45° — (а — 45°)) = sin (а + 45° — а + 45°) =
= sin 90° = 1.
Ответ: 1.
б) Применяя формулы приведения, получаем:
sin 124° = sin (90° + 34°) = cos 34°;
cos 236° = cos (180° + 56°) = - cos 56°;
cos 178° = cos (90° + 88°) = - sin 88°;
sin 208° = sin (180° + 28°) = - sin 28°.
sin 56° sin 124° - sin 34° cos 236° _
югдэ cos 28. cos 88. + cos 178o sin 208»
_ sin 56° cos 34° - sin 34° • (-cos 56°) _
“ cos 28° cos 88° - sin 88° • (- sin 28°) -
sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34°
" cos 28° cos 88° + sin 28° sin 88° ‘
Следовательно, числитель дроби — синус суммы углов
56° и 34°, знаменатель — косинус разности 28° и 88°:
sin 56° cos 34° + cos 56° sin 34° sin (56° + 34°)
cos 28° cos 88° + sin 28° sin 88° “ cos (88° - 28°)
_ sin 90°
cos 60°	2‘
Ответ: 2.
75
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Упростить выражения:
1.349.	sin 12° cos 18° + sin 18° cos 12°.
1.350.	sin 65° sin 55° + cos 65° cos 55°.
1.351.	sin 4,25 cos 1,11 - sin 1,11 cos 4,25.
»чм . Зл: . 5л:	Зл 5л
1.352.	sm -=- sin -г-— cos-у cos—.
1.353.	sin <f> cos 2<p + cos <p sin 2<p.
1.354.	sin a sin (a + p) + cos a cos (a + /3).
1.355.	sin (15°+ a) cos (15°- a) + sin (15°- a) cos (15°+ a).
1.356.	cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°.
1.357.	sin 3° sin 42° - cos 3° cos 42°.
1.358.	cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°.
. Im Зл: л . Зл . л
1.359.	cos —cos-- - sin —sin—.
О О	о о
т Ч£Л - Зя 7л . 1л Зл
1.360.	sin —cos-у + sin — COS -у.
0	0	0	0
1.361.	sin 53° cos 7° — cos 53° sin (- 7°).
1.362.	sin (- 15°) cos 75° + cos 15° sin 75°.
1.363.	cos	(36°+ a) cos (24°- a)	+	sin (36°+ a) sin (a - 24°).
т 'I £ 4	*	(я \ • (ft । \	(ft i \ (ft \
L364. sin — - a sin — + a - cos -r + al cos -7 - a .
14 I 14 I	14 I 14 1
1.365.	cos	(25°+ a) sin (15°- a)	+	sin (25°+ a) cos (15°- a).
1.366.	sin	(96° - a) cos (36°+ a)	—	cos (96° - a) sin (36°+ a).
1.367.	sin (a + p) cos (a — j8) — sin (a — /3) cos (a + p).
1.368.	sin 200° sin 310° + cos 340° cos 50°.
1.369.	sin 113° cos 323° + cos 247° cos 307°.
1.370.	sin 463° cos 373° + cos 823° sin 193°.
1.371.	cos (- 53°) sin (- 337°) + sin 307° sin 113°.
1.372.	cos (a + p) cos (a — /3) + sin (a + p) sin (a - p).
76
Преобразования тригонометрических выражений
1.373.	(sin a cos р + cos a sin р)2 +
+ (cos a cos р - sin a sin /З)2.
1.374.	cos (a + p) sin p - cos (a + y) sin у -
- sin (a + p) cos /3 + sin (a + y) cos y.
1.375. sin (a + p) (cos a cos /3 + sin a sin p) +
+ sin (a - p) (cos a cos P — sin a sin/J).
1.376. cos (a - p) (sin ct cos /3 + cos a sin p) -
- cos (a + p) (sin a cos P - cos a sin/J).
1.377. - cos 10° + cos 1Г cos 21’ + cos 69’ cos 79’.
1.378. sin 20’ + sin 13’ sin 57’ - sin 33’ sin 77°.
sin 20° cos 5° - cos 20° sin 5°
,379’ cos 10’ cos 5’ - sin 10’ sin 5”
1.380.
Л/ , ТС , TC
c°smc°sT? + sin35sinI?
. 7л 4л 7л . 4л
Sin W C0ST5 + C0S 30 Sml5
cos 18° cos 28° + cos 108° sin 208°
" sin 34’ sin 146’ + sin 236’ sin 304”
sin 20° cos 10° + cos 160° cos 100°
1,3S2' sin 21’ cos 9’ + cos 159’ cos 99’ ‘
- cos 63° cos 3° - cos 87° cos 27°
383, cos 132’ cos 72’ - cos 42’ cos 18”
3„ . cos 64’ cos 4’ - cos 86’ cos 26’
’384’ cos 71’ cos 41’ - cos 49’ cos 19”
cos 66’ cos 6’ + cos 84’ cos 24’
L385’ cos 65’ cos 5’ + cos 85’ cos 25”
sin 22’ cos 8° + cos 158’ cos 98’
L38&* sin 23’ cos 7° + cos 157’ cos 97”
77
Преобразования тригонометрических выражений
sin (- 1,8тг) cos 0,3л + cos 0,2л sin (- 1,7л)
л	( 43л\ Зл . 5л
cos 0,125л cos —— - cos — sin —
I 24 I	о 24
1.388.
sin 0,3л cos (- 2,8л) + cos 0,3л sin (- 2,8л)
cos 0,3л cos 2,3л - sin 0,3л sin (-4,3л)
1.389.	cos (a +0) + 2 sin a sin /3.
1.390.	cos (a - /3) - 2 sin a sin ft.
1.391.	sin (2x - л) cos (x — 3л) + sin ^2x - cos (x +
(7лД
2x —2) +
.	(3л	\ • К 5л\
4- sin —— x sin \2x ——
2 I I 2 1
Пример 1.393. Упростить выражения:
cos (g 4- /?) 4- sin a sin/3
cos (a - P) - sin a sin/T
73~sin a 4- 2 cos (60° + a)
2 sin (60° + g) - VTcos a'
cos 12л 4- — I sin I —— 3x1 - cos (2x - 5л) cos 13x +
, (5л	।	/ 5л>
sin —— x cos 4x 4- sin x cos — 4- 4x
1 ЛЛ	I	l ЛЛ
Решение, a)
cos (g 4- /3) 4- sin a sin P
cos (a - p) - sin a sin P
cos a cos P — sin a sin P + sin a sin P
cosa cos P 4- sina sinp - sing sin/3
__ cos g cos P _
” cos a cos p ~
Ответ: 1.
У3~sin g 4- 2 cos (60° + a)
2 sin (60° 4- g) - <3cos a
78
cos a
—---- = ctga.
sin a °
________Преобразования тригонометрических выражений
_ Уз"sin a + 2 (cos 60° cos a - sin 60° sin a) _
~ 2 (sin 60° cos a + cos 60° sin a) - Уз"cos a ~
(1	V3~	\
- cos a —г- sin a
лл	L	j  
-	/-/з	i ;	\	~
2 — cos a + — sin a — Уз”cos a
\	**	I
_ У3~sin a + cos a — У3~sin a _
~ Уз”cos a + sin a - Уз”cos a ~
Ответ: ctga.
в) Применяя формулы приведения, получаем:
- sin 2л, sin - Зл | = - cos Зл,
l Ал	I
cos
cos (2x - 5л) = - cos 2x, cos
= sin 3л,
sin
(5л	\
— + 4x I = - sin 4x.
Лл	I
Тогда данная дробь принимает вид:
- sin 2л • (- cos Зл) - (- cos 2л) sin Зх _
cos х cos 4л + sin л • (- sin 4л)	~
_ sin 2л cos Зл + cos 2л sin Зл _
~ cos л cos 4л - sin л sin 4л ~
_ sin (2л + Зл) _ sin 5л _
~ cos (л + 4л) — cos 5л ~ & X
Ответ: tg5л.
Упражнения
Доказать тождества:
т-„. sin (а +Д) - sin/? cos a _
sin (a — p) + sin /? cos a
, sin (a + B) + sin (a - 8)	n
1.395. —<(--------= tga ctg8.
sin (a + p) — sin (a — p) b
sin (45° + a) - cos (45° + a) _
sin (45 + a) + cos (45 + a) 6
79
Преобразования тригонометрических выражений
1397 sin(3Q°+«)-cos (60° +а) _
sin (30° + а) + cos (60° + a) J g
sin(a-fl + 2cosaSin/3 =
2 cos a cos р — cos (а - р) °v
т sin (а + в) - 2 cos a sin в z Оч
1399' 2 cos а cos/3 -cos (а +й ' 'Е<~
нот. ^co,s°-2c°s(^+°) = Ч«.
2 sin (45 + а) - v2 sin а
. ... sin а + 2 sin (60° -а)	/— х
1.401.  ----—5-—= V3 ctg а.
2 cos (30 - а) - v3 cos а
VTcosa - 2 sin (4£-а) _ _
2 sin (60° + а) - 73~cos a
, c°s (30° - a) - cos 330° cos a
>•403. —:—-------------------- = tgQ-
sin (30 - a) + sin 120 sin a
f . sin (a + p) cos (a — p) + cos (a + p) sin (a - p) _
cos (a + p) cos (a — p) — sin (a + /3) sin (a — /3)
= tg2a.
1.405.	= )е(а+й.
cos (a + p)	v r/
sin (2a + p) + sin (2a - p) — cos I — 2a ]
1.406. ---------------------------------------<- = tg 2a.
cos (2a + p) + cos (2a — /3) — sin I — + 2a I
1.407.
1.408.
_	i л. л ।	/70— . ( 5tt
2 cos I — — 2a I — v 3 sin —— 2a
_______\6_______[___________\ z
/9я	\	(л	\
cos -z—	2a I	+ 2 cos	I —	+	2a I
i	I	I v	I
sin (2a - Зтг) + 2 cos
2 cos - 2a j + V3~cos (2a - Зтг)
tg2a
= "7Г-
= - V3-ctg 2a.
80
Преобразования тригонометрических выражений
( . ЗлЛ ,	(11л	)
cos la + — I + 2cos I—--al
1.409. --Ц---------------^-4----4- = VTctga.
2 sin | + a | + VTsin |—— a |
1.410.
cos a sin (а - 3) - sin a cos (3 - а)
(JT1
3 - — - 0,5 sin 3
о /
+ jtg3 = 0.
Пример 1.411. Доказать тождества:
sin a - cos a tg у = tg y;
X	A*
cos 75° ctg 30° + sin 75° = vT;
a (a'
ctg— - cos 12л + —
a
а)
б)
в)
г)
sin
(a	O I x а .	I
cos т ~ Зя ctg — + cos ПГ
i Я	J О	l &
t 4 a cos (a + /3)
ctg a - tg/3 = -----s-----—
sin a cos /3 ’
Решение, a) sin
a
a — cos a tg — =
что и
a
- - tg
sin а -
a	. a
sin a cos — - cos a sin —
X	X
a
cos 2
требовалось доказать,
cos 75’ ctg 30° + sin 75’ = -s75° gg 30
b	sin 30
a
cos-
. a
cos a sin —
a ~
cos —
X
. a
Sin2 _ . a
a tg 2’
c°Sy
б)
+ sin 75° =
cos 75° cos 30° + sin 75° sin 30° _ cos (75° - 30°) _
sin 30°	“ sin 30°	“
что и
_ cos 45°	V2 1
sin 30°	2 : 2
требовалось доказать.
81
Преобразования тригонометрических выражений
а (а
2л:	+	— I	ctg —	~ cos 12л + —
_______4/	о	\	4j
fa	л \	а	,_/7л	а
- - Зл ctg - + cos — - -
4	Jo	12	4
. а а а
sin - ctg -- - cos -
4 о 4
а а .а
- cos - ctg - - sm -
. а а
sin — cos —
4 о
. а
Sin8
а а
COS4COS8 . а
+ Sm4
sm-
а
cos—
4
.а	а	а . а
sin v cos — - cos - sin —
4	о	4 о
а а . а .
cos cos „ + sm — sm
4 о 4

. а
sin8
. а
Sin8
что и требовалось доказать.
г)
a
sin8
a
cos ¥
л о	cos a	sin/?
ctga - tgp = —--------------=
r	sina	cos/?
cos a cos - sin a sin _ cos (a + /3)
sin a cos P “ sin a cos ’
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
L412. sin 6а ctg За - cos 6a.
L413. cos — ctg — + sin —.
1.414.	cos 2a + sin 2a tg a.
1.415.	cos 2a - sin 2a ctg a.
1.416.	sin 2a + cos 2a ctg a.
82
Преобразования тригонометрических выражений
1.417.	sin 2а - cos 2а tga.
1.418.	ctg а - ctg 2а.
1.419.	i+tgatg2a'
1.420.	cos 4а - sin 4а ctg 2а.
,	2л:	л . 2л
1.421.	cos-у- ctgу + sin—.
,	. 4л 2л 4л
1.422.	sin— ctgуу - COSуу.
1.423.	(cos 8а tg 4а - sin 8a)(cos 8а ctg 4а + sin 8а).
,	. cos 2а sin 2а
1.424.	---------------.
cos a sin а
Доказать тождества:
1.425.	1 + tga tg/J =
cos (a - Д)
cos a cos P'
1.426.	tga - tg/3 =
sin (a - P)
cos a cos P'
1.427.
ctg a + tgP =
cos (a - P)
sin a cos P'
1.428.	ctga + ctg/3 =
sin (a + P)
sin a sin P'
1.429.	sin 15’ + tg 30’ cos 15’ =
О
!430 tge + tgfi = sin (a +Д)
’tga - tg/3 sin (a -/?)’
I 441 1 + tSatzP = cos (a -P)
1 - tg a tg/? cos (a + /?)*
j 432 cos tg 2a " sin —
cos 4a ctg 2a + sin 4a “
oo|R
83
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.434. Доказать тождества:
a)	sin (а	+	/3) sin (а - /3) =	sin2 а - sin2/?;
б)	cos2 а	+	cos2 (60° 4- а) 4-	cos2 (60° - а) =
в)	sin2а	+	sin2(3 - 2 sin а sin/? cos (а - /?) = sin2 (а - /?);
г)	sin (а	4-	/?) - sin a cos3 4[3	- cos a sin3/? =
= sin/3 cos/?cos (a - /?);
3)
sin2 (a 4- /3) 4- sin2 (a - (3)
2 cos2 a cos2 /?
= tg2a 4- tg2/?.
Решение, a) sin (a + /?) sin (a — /?) =
= (sin a cos /? 4- cos a sin /?)(sin a cos /? - cos a sin /3) =
= sin2 a cos2/? - cos2 a sin2/?.
Дальнейшие действия «подсказывает» структура правой
части доказываемого тождества. Она не содержит cosa и
cos /?. Следовательно, их требуется исключить из полученного
выражения. Имеем:
sin2 a cos2/? - cos2 a sin2/? =
= sin2 a (1 - sin2/?) - sin2/3 (1 - sin2 a) =
= sin2 a - sin2 a sin2/? - sin2^ 4- sin2 a sin2/3 = sin2 a - sin2/3,
что и требовалось доказать.
б) cos2 a 4- cos2 (60° 4- a) 4- cos2 (60° - a) =
= cos2 a 4- (cos 60’ cos a — sin 60° sin a)2 4-
4- (cos 60’ cos a 4- sin 60’ sin a)2 = cos2 a 4-
x /1 vT . f Jl x vT . V
4- — cos a-— sin a 4- — cos a 4- sin a =
\2	2	/	\2	2 I
2	. 1	2	3 .	.3.2,
= cos a 4- — cos a —sin a cos a 4- - sin a 4-
4	Z	4
1	2	,	, 3 . 2	3	2 l 3 • 2	3
— cos a 4- sin a cos a 4- — sin a = — cos a 4- — sin a = —
4	2	4	2	2	2
что и требовалось доказать.
84
Преобразования тригонометрических выражений
в) sin2 а + sin2/? - 2 sin а sin /f cos (a - fi) =
= sin2 a + sin2/? - 2 sin a sin /3 (cos a cos (3 + sin a sinfi) =
= sin2 а + sin2/? - 2 sin a sin(3 cos a cos/3-2 sin2 a sin2/? =
= sin2 а - sin2 a sin2 /3 + sin2/3 — sin2 a sin2 /3 -
- 2 sin a sin/3 cos a cos /3 = sin2a (1 - sin2/?) +
+ sin2/? (1 - sin2 a) - 2 sin a sin/3 cos a cos/3 =
= sin2 a cos2/3 + sin2/? cos2 а - 2 (sin a cos/3)(sin/3 cos a) =
= (sin a cos/3 - sin/3 cos a)2 = sin2 (a - /3),
что и требовалось доказать.
г) sin (а + /3) - sin a cos3/? - cos a sin3/? =
= sin a cos/3 + cos a sin/3 - sin a cos3/? - cos a sin3/? =
= (sin a cos- sin a cos3/3) + (cos a sin/3 - cos a sin3/?) =
= sin a cos/3(1 - cos2/?) + cos a sin/3 (1 — sin2/?) =
= sin a cos /3 sin2 /3 + cos a sin /3 cos2 /3 =
= sin/3 cos /3 (sin a sin/3 + cos a cos/3) = sin/3 cos/3 cos (a - /3),
что и требовалось доказать.
sin2 («+/?) + sin2 (a - ft) _
2 cos2 a cos2/3
_ (sin a cos /3 + cos a sin /3)2 + (sin a cos /3 - cos a sin /3)2 _
2 cos2 a cos2/3
_ sin2 a cos2/3 + 2 sin a cos /3 cos a sin /3 + cos2 a sin2/?
2 cos2 a cos2/3
sin2 a cos2/? - 2 sin a cos /3 cos ct sin/? + cos2 a sin2/? _
2 cos2 a cos2/3
sin2 a cos2 В , sin2/3 cos2 a , ,
= —2--------2З + —2 ---------ГЗ = tg « + tg2/3,
cos a cos p cos2 a cos /3
что и требовалось доказать.
85
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.435.	cos (а + Р) cos (а - р) = cos2 а - sin2/?.
1.436.	cos2 а - cos (60° + a) cos (60° - а) = 0,75.
1.437.	0,5 sin2 а + sin + a I sin I~ I = 0,5 cos2 а.
14 I 14 I
1.438. sin2 (а - 30°) + sin2 (а + 30°) - sin2 а = 0,5.
1.439. cos2 (а - 30°) + cos2 (а + 30°) + sin2 а = 1,5.
1.440. sin2 (30° + а) - sin2 (30° - а) = VTsin a cos а.
! 442	+ sin (ft - у) * sin (у - а) =
cos a cos Р	cos р cos у	cos у cos а
1.443.	sin (а + р) cos (а - р) = sin a cos а + sin Р cos р.
1.444.	(sin а + cos a)(sin/3 - cos/?) =
= sin (P - a) - cos (P + a).
т лле sin (a + /0 sin (a ~ P)	-a
1.445.	 —г^~о—— = sin a - sin p.
sin a + sin P	r
T ... sin/? sin (a + p) t
1*446. ---o .—, д. .--------- = tg (a + p).
cos P sin (a + p) - sin a v
cos2 (a + p) + cos2 (a - P)
2 sin2 a sin2 P
= ctg2 a ctg2 P + 1.
1.448.	sin (a - p) sin (a + p) = cos2P - cos2 a.
1.449.	sin a sin (P + y) - sin P sin (y + a) +
+ sin у sin (a H- P) = 2 sin a cos P sin y.
1.450.	cos a cos (P + y) - cos P cos (y + a) +
+ cos у cos (a - P) = cos (a - p - y).
1.451.	cos (a - P) - sin a sin3 p - cos a cos3 P =
= sin p cosP sin (a + p).
1.452.	cos2 a + cos2 P - 2 cos a cos P cos (a - P) =
= sin2 (a — p).
86
Преобразования тригонометрических выражений
1.453. sin2/? - cos2(a - /3)4- 2 cos a cos/3 cos (a - /3) - cos2a.
1.454. (sin a - sin/3)2 4- (cos a 4- /3)2 -2 = 2 cos (a - /3).
455 sin2 (a 4- /3) - sin2 a - sin2/3 _
sin2 (a 4- /3) - cos2 a - cos2 /3
- tgatg/3.
Пример 1.456. Найти значение выражения:
1 - tg 70° tg 65°	ctg 40° - tg 20°
a)	tg 70° 4- tg 65° ’	’ ctg 40’ tg 20° 4- 1 •
Решение, а) Данная дробь есть величина, обратная тан-
«о т- 1 — tg 70° tg 65°
генсу суммы углов 70 и 65 . Тогда 	. ,	=
1g /и т 1g ОЭ
= 1 _ 1 =
tg (70° 4- 65°) tg 135°
= ctg 135° = ctg (180° - 45°) = - ctg 45’ = - 1.
Ответ: -1.
б)	Учитывая, что ctg 40° = tg50°, можем применить фор-
ctg 40’ - tg 20’
мулу тангенса разности: ctg404g20o + 1 =
= ,tg50:-_tg201	_	= VT
tg 50° tg 20° 4- 1 g U ' Tg Л 3 ‘
V3-
Ответ: —.
Пример 1.457. Упростить выражение
sin 90° - tg (45° + a) tg (45° 4- 3a)
tg (45° 4- a) 4- ctg (45° - 3a) g
Решение. Так как сумма аргументов 45° 4- За и 45’- За
равна 90°, то ctg (45° - За) = tg (45’ 4- За). Тогда
sin 90’ - tg (45’ 4- a) tg (45° 4- За)
tg (45° 4- а) 4- ctg (45’ - За) + tg 4а “
1 -tg(45° + a)tg(45’ + 3a)	_
tg (45’ 4- а) 4- tg (45’ 4- За) lg “
87
Преобразования тригонометрических выражений
= tg (45° + а + 45’ + За) + tg 4<* = Ctg ('9° +	+
4- tg 4а = — tg 4а + tg 4а = О.
Ответ: 0.
Упражнения
Упростить выражения:
tg 13° 4-tg 47°
1 - tg 13° tg47”
tgl° —tg46°
1 4-tgl°tg46”
1 - tg 27° tg 33°
tg 27° + tg 33° ’
1 + tg 4° tg 49°
tg 49° - tg 4° •
1 + tg 2,4л tg 0,15л
tg2^ - tg 0,15л
tg 9 + tg 36
Ъл 5л*
+ tgV tg 36
ctg 78° - ctg 303°
1.460.
1.461.
1.462.
1.463.
1
1.464. ! + tg (_ 192°) ctg 237°'
tg 225° - ctg 81° ctg 69°
ctg 261’+ tg 201°	’
(4	л>	7 л । I	5jt л ।
sin — cos - - sin - cos -Ц1 + tg - tg
x 5л	.л
tg 12	lg 12
tg (45° + a) - tg а
1.465.
1.466.
1.467.	j +	4- а) tg а’
(л	\ (Л \
- + а 4-tg 1--а|
8 , ' х—V---------'
(л 1 (л
1 - tg & + a tg - - а
88
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.469. Доказать тождества:
Ctf ~ 1 = Ctg (a + Ctg (a " ^);
ctg /3 - ctg a
tg (a —/3) — tga + tg/3 _ _
tg(a-/3)tg/3	tga’
(1 + tga) sin (45’- a) .
-----s-------------- = sin (45 + a).
а)
б)
в)
1 - tga
Решение, а) Применяя формулы разности квадратов, ко-
тангенса суммы и котангенса разности, получаем:
ctg2 a ctg2 /3 - 1 _ ctg a ctg /3 - 1 ctg a ctg/3 + 1 _
ctg2 /3 - ctg2 a	ctg/3 + ctga ‘ ctg/3-ctga
= ctg (a + /3) ctg (a - /3),
что и требовалось доказать.
б) Из формулы тангенса разности получаем
tga - tg/3 = tg (a - /3)(1 + tg a tg /3).
Tn™ tg(a-fi) - tga + tg/3 _ tg (a-/3) - (tga - tg/3)
1Огда tg(a-/3)tg/3	"	tg(a-/3)tg/3
_ tg (а - /3) - tg (a - /3)(1 + tg a tg /3) _
tg (a — /3) tg/3
_ tg(a —/3)(1 - 1 - tgatg/3) _ - tgatg/3 _
tg(a-/3)tg/3	tg/3	8 ’
что и требовалось доказать.
(1 + tga) sin (45°-a)	tg45’ + tga .
fl) 1-----, '	-------- =	....°---sin (45- a) =
1 - tg a	1 - tg 45 tg a v ’
= tg (45’ + a) sin (45° - a) = ^^^’a) ‘ C0S (45’ + a) =
= sin (45’ + a),
что и требовалось доказать.
89
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1-470. У* Г = tg (а + р) tg (а - Р).
1 - tg a tg р
1.471.	ctg (45° + а) + *-~-C*g0; = О.
64	'	1 + ctg а
1.472.	tg a tgР + (tg а + tg/3) • ctg (а + Д) = 1.
1.473.	tg (а + р) - (tg а + tg/?) - tg (а + Р) tg a tgР = О.
1.474.
(ctg а - ctg Р) ctg (а - Р) -
- (ctg а + ctgР) ctg (а 4- р) = 2.
(1 - tg a) cos (45° -а)	.
------ ,-	= cos (45 + а).
1 4- tg а	v 7
tg а + tg/? + tg а tg/? tg (а + /?) _
tg(« +/3)
= ctg 15°.
3 - ctg2 15°
tga + tg/? .	O •	• Zjx • /	.
1-tg'atgfi ‘ <cos a C0S^ " Sin a S,n^ = Sin (a + ft’
1.475.
1.476.
1.
1.477.
1.478.
1.479.	tg (a + P) tg (a - p)---2	.	= 0.
cos a cos p - sin a sin p
1480.	+	+ 2tg’» = --2-
tg(a+/3)	tg(a-/3)	6 cos2a
Пример 1.481. Пользуясь формулами сложения, найти
cos 15°.
Решение, cos 15° = cos (60° - 45°) =
= cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45’ =
_ j. VT V3~ _ vT _ V2~+ V6~
2 ’ 2 + 2 ’ 2	4
_ vT+V6"
Ответ: --------.
4
90
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.482. Пользуясь формулами сложения, найти:
а)	sin 15°;	d) ctg 105°;
б)	tg 15°;	e) cos 105°;
в)	cos 75°;	ж) sin 105°.
г)	sin 75°;	
15
Пример 1.483. Дано: sin а = - —, 270° < а < 360°. Найти
cos (60° + а).
Решение, cos2 а = 1 - sin2 а = 1 -
2_	225 _
1	189
64	'	'	я
= Так как 270° < а < 360°, то cos a > 0 и cos a = —.
17
Тогда cos (60° + a) = cos 60° cos a - sin 60° sin a =
_ 1 8 _ УЗ" ( 15\	8 + 15 V3~
” 2 ’ 17	2 Д 17J	34
_	8+ 15 УЗ"
Ответ: ----—-----.
34
Q	7
Пример 1.484. Дано: ctga = -r-т, ctg/З = - тг-т, 0°<а < 180°,
1 о
0° </3 < 180°. Найти sin (а + /3).
Решение. Так как 0°<а<180° и ctg а > О, то 0°<а<90°,
sina>0. = 1 + ctg2 а = 1 +
Sin а	225	225
.2	225	.
sm а = sin а =
15
17’
+	8	15	8
cos а = ctg a sin а = — • — = —
1Э 1 /	1/
Так как 0°</3<180° и ctg/S<0, то 90°<Д<180°,
si^>o-^h = i+ctg^ = 1 +Д =
91
Преобразования тригонометрических выражений
. 2 а 576	. а 24
81П	= 625’ 8Ш^ = 25'
о . п . п 7	24	7
cos^ = ctg^sm^=-i?— =-Т5.
Следовательно, sin (a 4- р) = sin a cos /9 4- cos a sin /? =
= 87
425*
15
17
_7_] , Л 24
25	17 * 25
87
Ответ! 425’
12
Пример 1.485. Дано: sin а = - —,
1 о
( л\
tgr“4 *
.	. Зл „ “
л < а < Наити
V/ |2\
1 - I - —
I	1J f
tga =
sina
cosa
144
169
5
13’
_5_\ = 12
13	5 ’
12 .
13 '
Тогда tg
Л
tga - tg 4
1 + tgatg^
12 -1
5 = 12-5 = 7
12	5+12	17'
5
7
Ответ: —.
Упражнения
sin а = 0,6, sin /3 =- 0,28, 0°<а<90°,
1.486.	Дано:
180° </? < 270°. Найти cos (а - р).
1.487.	Дано: tga = -3^, tg£ = ^, 90° <а<180°,
10	Оо
0° </3 < 180°. Найти cos (а 4- /7).
1.488.	Дано: ctga= 180° <a < 270°. Найти
cos (30° - a).
92
Преобразования тригонометрических выражений
1.489.	Дано: sin а = 0,8, sin/3 = O,96,	0°<а<90°,
0° <(3 < 90°. Найти sin (а — /3).
а
1.490.	Дано: sin а = —, 90°< а < 180°. Найти sin (а + 45°).
1.491.	Дано: sina=^p 0°<а<90°. Найти sin(30°+а).
1.492.	Дано: cos а = -0,6,	180°<а<270°. Найти
sin (60° - а).
1.493.	Найти sin(a+/J), если tga = ^, ctg/J=-l^,
0°<а<90°, 90°</?< 180°.
2
1.494.	Известно, что tga = — • Найти tg(45° 4- a).
J
7 V2~
1.495.	Дано: sina =-----j-^-,	180°<a<270°. Найти
ctg (a + 45°).
1.496.	Дано: tga = sin/J = ^, 0 < Д < ^. Найти
X	О	x
tg(a + /3).
Пример 1.497. Синусы двух острых углов треугольника
7	4 о
равны соответственно — и —. Наити косинус третьего угла
хо о
треугольника.
Решение. Пусть а, /7, у — углы данного треугольника,
7	4	!	24
sin а = -т-z, sin/? = Тогда cos а = V1 - sin2 а = —,
ХО	О	ХО
cos(3 - V1 - sin2/? = 4, у = 180° - (а + /3).
0
Следовательно, cosy = cos (180° - (a 4-/7)) =
= - cos (a 4- /9) = - (cos a cos - sin a sin/7) =
= _ /3	24 __ 7	4\	44
^5	25	25	5)	125*
44
Ответ: -
93
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.498.	Синусы двух острых углов треугольника равны
соответственно — и ут. Наити косинус внешнего угла тре-
ХУ/	х о
угольника, не смежного с двумя данными углами.
L499. Косинусы двух углов треугольника равны соответ-
12	20 тт „
ственно — и ут—. Наити синус третьего угла.
Пример L500. Упростить выражение
sin 20° + 2 sin 40° - sin 100°.
Решение, sin 20° 4- 2 sin 40° — sin 100° =
= sin (30° - 10°) + 2 sin (30° + 10°) - sin (90° + 10°) =
= sin 30° cos 10° - cos 30° sin 10° 4- 2 sin 30° cos 10° +
+ 2 cos 30° sin 10° - cos 10° = sin 30° cos 10° + cos 30° sin 10° +
+ 2 • | cos 10° - cos 10° = sin (30° + 10°) = sin 40°.
Ответ: sin 40°.
Пример 1.501. Найти tg/J, если tga = 2, tg(a + /3) =-l.
1-й способ. Подставляя в формулу тангенса суммы
tg(a + ft) =	значения tg(a +/J) и tga, получа-
ж о ,	2 + tg /3
ем уравнение для нахождения tgp: — 1 =	— 2tgj3‘
Тогда 2 + tg Д = 2 tg /3 - 1, tg/3 = 3.
2-й способ. tg^ = tg((z+j8) — а). Применяя формулу
тангенса разности, получаем:
=3.
Ответ: 3.
94
Преобразования тригонометрических выражений
(л	\	2
Пример 1.502. Дано: cos — - а = - —,
Iз	/	о
Найти sin а.
5л 4л
Т с “ 4 т-
5л	4л
Так как — < а < -т-, то
о	3
4л:	5л
Т а 6 ’
(л	\
^-а <0,
3	/
тт	-	• Л \
Подставляя найденное значение sin — — а , данное зна-
< *3 I
чение cos
и табличные значения
в выражение для
sin а, получаем:
sin а =
У21~- 2УЗ~
10
Ответ:
У21~- 2УЗ~
10
Упражнения
1.503.	Упростить выражение cos 10° - 2 cos 50° - cos 70°.
1.504.	Дано:	tg	(а -	45°)	= 3. Найти	tg а.
, тт	.	(л	\	V2~	Зл:	„
1.505.	Дано: sin — - а = - ——, л < а < —. Наити sin а.
14	I 10	2
- глг тт	 ( л\ 2 5л11л „
1.506.	Дано: sin а — — = —, — < а < —7—. Наити cos а.
I 31	5 о о
1.507.	Дано: tg/S = 3, tg (а -/3) = 1. Найти tga.
95
Преобразования тригонометрических выражений
1.508.	Дано: tg -z- + а =2. Найти
I О 1
1.509.	Дано: cos (25° — а) = -
Найти sin (55° - а).
л \
tg(8+aJ-
- 125° <а< - 100°.
1.510.	Дано: cos (5° + а) = 0,6,	0° < а < 55°. Найти
tg (35° + а).
1.511.	Дано: tg(5° + a)=	0°<а<40°. Найти
cos (50° + а).
1	2
1.512.	Дано: cosa = —, cos (а + р) = -	0°<а<90°,
0°</?<90°. Найти cos/?.
1.513.	Дано: sin 10° = а. Найти sin 35°.
1.514.	Дано: sin (40° + а) = а, 0°<а< 45°. Найти
cos (70° + а).
1.515.	Дано: sin (а + р) = a, sin (а + у) = Ь, 0 < а <
0 < Р <	0 < у < —. Найти sin (Р — у).
1.516.
тт «	.	[\	/5л	\
Наити	tg -—1-х	+ tg	-----х I,
14 I	14	I
если
1.517.	Дано: tg (а + р) = 5, tg (а — /?) = 3. Найти tg 2а и
tg#.
2
Пример 1.518. Дано: sin а =
0° < а < 90°, 0° <р < 90°. Найти а + р.
C0S^ = 7TF’
Решение. Так как 0° < а < 90°, 0° < /3 < 90°, то
0°<а + /3< 180°. На интервале (0°; 180°) (I и II четверти)
синус принимает каждое свое значение из интервала (0; 1 ]
дважды, а косинус каждое свое значение из интервала
(-1; 1) — один раз. Следовательно, найдя cos (а + /?), можно
определить и значение а + Имеем
96
Преобразования тригонометрических выражений
cosa = Vl — sin2a =	sin/? = V1 - cos2/? = -^|=.
Тогда cos (a + /3) = cos a cos ft - sin a sin ft =
_ J_____1_____2____3 ______5_ _	5	1
<5~-/To~ VT’/io'	V50- 5VT VT'
Итак, учитывая, что 0°<a+/?< 180°, получаем
a+fi = 135°.
Ответ: 135°.
Пример 1.519. Дано: tga
0 < /3 < у. Найти a — /?.
Решение. Так как 0 < /3
Л*	л ТС _
-у<а-р< у. На интервале
X	X
тангенс принимает каждое свое
=	tg/3 = f, О < a < I
<%, то -у < -/3 < 0 и
X	X
(Я	/7\Г	Т	V
- у; J (IV и 1 четверти)
значение один раз.
1 _ 5
tn, дч _ tga - tg/3 _	4___3	_	,
g(	1 + tgatg/3 £ 5
4 ' 3
Учитывая, что < а -/9 < получаем а - ft = -
Ответ: -
4
Упражнения
1.520.	Дано: 0 < а < у, О < ^ < ^, cosa = тт?^,
X	XV ои
tg/3 = i Доказать, что a + 2/3 = у.
«Э	4
1.521.	Дано: tga = 5, ctg/3 =^,	О^/З^у.
Л	L	L
тт	, о Зя
Доказать, что a + р = —.
4 Тригонометрия
97
Преобразования тригонометрических выражений
V2T
1.522.	Дано: sin а = ——, sin в = ——-, 0°<а<90°,
7	14
0° < fl < 90°. Найти а 4- /3.
1.523.	Дано: tga = |, tg/3 =	0°<a<90°, 0°<j3<90°.
Найти а + fl.
1.524.	Дано: tga = 2, tg£ = 3, 0°<a<90°, 0°<£<90°.
Найти a 4- /3.
1.525.	Дано: tga = ± tg/3 =	0°<a<90°, 0°<^3<90°.
Найти a — /3.
1.526.	Дано: tga = ^, tg/? = j, tgy = ^, 0°<a<90°,
0° <(3 < 90°, 0° < у < 90°. Доказать, что а + /3 + у = 45°.
3 у/3~ + 4
1.527.	Дано: sin a = --——, sin/? = 0,6, 0°<a<90°,
0° </3 < 90°. Доказать, что a — (3 = 30°.
1.528.	Дано: tga = - 0,5, tg/3 = 3, 90° < a < 180°,
0° < (3 < 90°. Найти a + /3.
4	t
1.529.	Дано: ctga= ctgjS =	0°<a<90°, 0°<jS<90°.
О	9
Найти a 4-
40	9
1.530.	Дано:	sin a = —, sin/3 = - —, 0 < a <
41	41
— ~ < fl < 0. Найти a -
ь»|
1.531.	Дано: tga = 7-^“, tg/3 =	, 0 < a < y,
4 — a	V3	2
0 < f3 < —. Доказать, что a — [3 = —.
О
0<a< —, 0</?<—, 0<y<y. Доказать, что a + /3 + у = —.
L	L	L	L
98
Преобразования тригонометрических выражений
Пример L533. Найти наибольшее и наименьшее значения
выражения:
a)	cos а 4- 73~sin а;	б) 2 sin а - 5 cos а.
Решение, а) Представим данное выражение в виде синуса
суммы. Для этого умножим и разделим данное выражение
г—.	/1	7з” .	\
на 2: cos а 4- v 3 sin а = 2 I cos а + "уSln а I *
1	V 3
Обозначим - = sin 30°, — = cos 30°. Тогда
cos а 4- 7з~sin а = 2 (sin 30° cos а 4- cos 30° sin а) =
= 2 sin (30° 4- а).
Следовательно, наибольшее значение данного выражения
равно 2 (достигается при sin (30° 4- а) = 1), наименьшее зна-
чение равно -2 (достигается при sin (30° 4- а) = -1).
Ответ: 2; -2.
б)	Для представления выражения a sin а 4- b cos а в виде
синуса суммы или разности умножим и разделим его на число
М = Va2 4- b2. Тогда т? = cos #>, тт = sin ф, где ф — некото-
м	М г г
(	\ 2	/ £ \ 2
—I +	=
В данном случае а = 2, 6 = — 5, М = V224- (—5)2 = 729,
.---------------------( 2	5	\
2 sin а - 5 cos а = V29 sin а - cos a =
= 729"(sin a cos р - cos a sin <р) = 729"sin (a - <p).
Следовательно, наибольшее значение данного выражения
равно 729 , а наименьшее значение равно - 729 .
Ответ: 729”, - 729".
Упражнения
1.534. Найти наибольшее значение выражения:
a) 73"cosa - sin а;	г) 72~sina 4- TtFcosa;
6) sin a — 7з”cos a;	3) 3 sin a 4- 4 cos a;
в) sina4-cosa;	e) 3 sin a 4-cos a.
99
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.535. Исключить а из системы равенств
{cos (а 4- а) = т,
cos (а - а) = п.
Решение, (а + а) 4- (а - а) = 2а. Найдем cos 2а.
sin (а 4- а) = Vl - т2 или sin (а 4- а) = - Vl - m2, | т |	1.
sin {а - а) = V1 - п2 или sin (а - а) = - V1 - п2.
cos 2а = cos ((а 4- а) 4- (а - а)) =
= cos (а 4- а) cos (а — а) — sin (а 4- а) sin (а — а).
Если sin (а - а) sin (а 4- а) > 0, то
cos 2а = тп - V(1 - /п2)(1 - п2).
Если sin (а — а) sin (а 4- а) < 0, то
cos 2а = тп 4- 7(1- т2)(1 - п2).
Ответ: cos 2а = тп ± V(1 — т2)(1 — п2).
Упражнения
1.536.	Исключить а из системы равенств:
а) 	tg (а + х) = а, tg (« - У) = Ь;	в) 	ста	оч ' ft '	"w| 1	+ ft II	II о	й
	tg (22,5° + а) = а,	J	sin (а 4- а) = т,
Of -	tg (22,5° - а) = Ь’,	V / Л	sin (а - а) = п.
Пример 1.537. Выразить: a) sin 2а и cos 2а; б) sin За
через тригонометрические функции аргумента а.
Решение, а) Положив в формулах sin (а 4- /3) и
cos (а 4- /3) /3 = а, получаем:
sin 2а = sin (а 4- а) = sin а cos а 4- cos а sin а = 2 sin а cos а,
100
Преобразования тригонометрических выражений
cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а — sin а sin а = cos2 а - sin2 а.
Ответ: sin 2а = 2 sin а cos а,
cos 2а = cos2 а — sin2 а.
б)	sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а.
Далее воспользуемся выражениями для sin 2а и cos 2а,
полученными выше:
sin За = 2 sin а cos а cos а + (cos2 а - sin2 а) sin а =
= 2 sin а cos2 а + sin а cos2 а - sin3 а =
= 3 sin а cos2 а - sin3 а = 3 sin а (1 - sin2 а) - sin3 а =
= 3 sin а - 3 sin3 а - sin3 а = 3 sin а - 4 sin3 а.
Ответ: sin За = 3 sin а - 4 sin3 а.
Пример 1,538. Выразить cos (а + /в + у) через тригономет-
рические функции аргументов а, /3, у.
Решение, cos (а + /3 + у) = cos ((а + /3) + у) =
= cos (а + /3) cos у - sin (а + р) sin у =
= (cos а cos /3 - sin а sin р) cos у -
- (sin а cos /3 + cos а sin р) sin у =
= cos а cos Р cos у - sin а sin Р cos у -
- sin а cos Р sin у — cos а sin Р sin у.
Ответ: cos (а + /3 + у) = cos а cos Р cos у - sin а sin р cos у -
- sin а cos Р sin у - cos а sin р sin у.
Упражнения
1.539. Выразить через тригонометрические функции ар-
гумента a: d) tg 2а; б) cos За; в) tg За.
1.540. Выразить через тригонометрические функции ар-
гументов а, /3, у:
a) sin (а + р + у); б) tg (а + р + у).
L541. Доказать, что
sin 5а = 16 sin5a — 20 sin3a + 5 sin a.
101
Преобразования тригонометрических выражений_____________
4. Формулы двойного и тройного аргументов
sin 2а = 2 sin a cos а;
cos 2а = cos2 а — sin2 а = 2 cos2 а — 1 = 1 — 2 sin2 а;
. _	2tga
sin За = 3 sin а — 4 sin3 а;
cos За = 4 cos3 а - 3 cos а;
l-3tg2a
Пример L542. Выразить данные тригонометрические фун-
кции через функции вдвое меньшего аргумента:
a)	sin а;
б)	sin 4а;
в)	cos 5а;
а
г)	cosy;
Ju
3) sin—;
4
ч (Л>	\
е) tg j + а ;
(
ж) tg 14а -
\	JHJ
Решение, а) а = 2 • —; sin а = 2 sin — cos —;
2	2	2
б)	4а = 2	• 2а;	sin 4а = 2 sin 2а cos 2а;
ч	_ Л	5а	2 . 2	За
в)	5а = 2	• -у;	cos 5а = cos  sin	—;
ч а	Л	а	а 2а . 2а
г)	=	2	•	—;	cos — = cos -т - sin —;
2	4	2 4 4
За Л За .За Л . За За
3) — = 2 • —; sm — = 2 sm — cos —;
4	а	4	о о
/	\	/	\	2 tg — 4—
ч л, ,	_ (л ,а\ (л , \	° 16	21
е) 3 +а = 2' 6 + 2 : tg 3+а = ^.з/я^а
g 6	2
102
Преобразования тригонометрических выражений
5	/ В\ / В\ ё 6
ж) 4а - £ = 2- 2а - £ ; tg 4а -	= -----U-----Ц?-.
J I V / I J I *	. о I л Р \
\	/	\	/	1-tg2 2а-Я
I	О ]
Упражнения
1.543. Выразить данные тригонометрические функции че-
рез функции вдвое меньшего аргумента:
d) cos а; б) sin За;	и) sin 8а; к) tg54°;
а в) tg—;	л) sin	- 30°^
г) sin 10 а;	м) cos — + х ;
д) cos 6а;	. . (л \ н) sm — - 4у ;
е) tg7a;	о) tg6a;
ж) sin (а + /3);	. • х п) sin-;
з) cos 1;	ч	х р) cos
Пример 1.544. Упростить выражения:
ч sin 2а а) „	; 2 cos а	sin2 a ctg а sin 2а ’
б) 2 cos2 а - cos 2а;	ах	cos 70° ? cos 35° + sin 35°’
„	cos а 0	. а	а’ sin2"COS2	ч sin а 2 cos2у
Решение, а) Применяя формулу синуса двойного аргу-
мента sin 2 а = 2 sin a cos а, получаем:
103
Преобразования тригонометрических выражений
sin 2а	2 sin a cos а
------ = —----------- = sina.
2 cos a 2 cos a
Ответ: sina.
б)	Применяя формулу косинуса двойного аргумента
cos 2a = 2 cos2 a - 1, получаем: 2 cos2 a - cos 2a =
= 2 cos2 a - (2 cos2 a - 1) = 2 cos2 a - 2 cos2 a + 1 = 1.
Ответ: 1.
в)	Применяя формулы косинуса двойного аргумента
cos 2a = cos2 a - sin2 a и разности квадратов, получаем:
2a . 2a
cosa = cos 2~Sm 2
.a a .a a
sin — - cos — sin — - cos —
a .	a .a
cos — - sin — I cos -z- + sin —
£	L / \ L	&
. a a
sin2 " C0S 2
a . a
cos - + sin -
Ответ: — cos — + sin — .
IX	XI
г)	Применяя формулу синуса двойного аргумента и вы-
ражая тангенс через синус и косинус, получаем:
.2 cos a
sinz a ctg a _ sina _ sin a cos a _ 1
sin 2a ~ 2 sin a cos a ” 2 sin a cos a “ 2’
1
Ответ: —.
X
5) Применяя формулу косинуса двойного аргумента для
угла 70°, получаем:
cos 70°	_ cos2 35° - sin2 35°
cos 35° + sin 35° ~ cos 35° + sin 35° ”
(cos 35° - sin 35°) (cos 35° + sin 35°)
cos 35° + sin 35°
= cos 35° - sin 35°.
Ответ: cos 35° - sin 35°.
104
Преобразования тригонометрических выражений
е) Примени формулу синуса двойного аргумента для угла
Л . а а	.а
2 sin — cos —	sin —
sin а	2	2	2	a
а, получаем:	=	=	= tg . Л	?	Л	?	“ 2 cos —	2 cos —	cos — 2	2	2
~ а
Ответ: tg—.
Упражнения
1.545.	Упростить выражения:
a)	sin 2a ° sin a ’	u)	. 2 & 1 - 2 sin2-; 4
6)	sin 2a		„ 2 Ha , 2 cos — 1;
	2	• 2	’ cos a - sin a	K)	
e)	cos 2a + sin2 a;	л)	cos + sin2 2fi;
г)	sin 50°	м)	2 sin 20° cos 20°;
	2 cos 25° ’		
d)	sin 80°. COS 40”	H)	cos210p - sin2 10^>;
	cos 44° + sin2 22°	o)	sin 2a
e)	cos2 22°		cos2 a tg a ’
Ж)	sin a		
	о ° 2«’ 2sm	n)	cos 6a + 2 sin2 3a.
3)	cos 2a cos a - sin a’		
Пример 1.546. Упростить выражения:
1 -г ЪШ ZU	.	/2	'2ч
а)		<з) sin a cos a (cos а - sin а);
(sin а + cos а)
б)	cos4 а - sin4 а; г) 1 - 8 sin2/3 cos2/8.
105
Преобразования тригонометрических выражений
_	ч 1 4- sin 2а
Решение, а) —-------------=
(sin а 4- cos ay
1 4- sin 2а 1 4- sin 2а _
sin2 а 4- 2 sin a cos а 4- cos2 а	1 4- sin 2а
Ответ: 1.
б)	cos4a - sin4a = (cos2a - sin2a)(cos2a 4- sin2 a) = cos 2a.
Ответ: cos 2a.
в)	Из тождества sin 2a = 2 sin a cos а следует
sin a cos a = sin 2a.
Тогда, применяя дважды это равенство, имеем:
sin a cos a (cos2 а - sin2 a) = sin 2a cos 2a =
1 1 . A 1 . л
= — • — sin 4a = — sin 4a.
L L	4
Ответ: - sin 4a.
4
г)	1 - 8 sin2/? cos2/? =1-2*4 sin2/? cos2/? =
= 1-2 sin2 2fi = cos 4/3.
Ответ: cos 4/3.
Упражнения
1.547.	Упростить выражения:
a)	(sin (f> - cos <p)2 4- sin 2<p;
6)	- cos2 у 4- cos4 у;
о
(cos 0,75a - sin 0,75a)2.
1 - sin 1,5a	’
.	1 - sin 2a
г) -------;—;
cos a — sma
d) 2 sin2 (45° + 1,5a) - 1;
e) 4 sin4 a + sin2 2a;
106
Преобразования тригонометрических выражений
ж)
. a	a\	. a	a\
sin — +	cos	—	sin —	- cos	—	;
4	4]	I 4	4 )
з)
. а а
sin — cos — cosa;
2	2	’
и)
2	.	.	2 Л 2®
cos a - 4 sin — cos -у;
X X
к)
sin a cos a .
1-2 sin* 1 2a’
л)
cos
м)
sin 4a
cos4a - sin4a’
и)
о)
(sin a + cos a)2 — sin 2a
cos 2a + 2 sin2 a
1-4 sin2a cos2at
cos2 a - sin2 a
4 sin4
»> —
1 - cos2 -r
p) cos2 2a + 4 sin2 a cos2 a;
(Tt \	(7V
— - al cos -r - a
4 J 14
m) sin2 03 - 45°) - cos2 (fi - 45°);
tg (45° + a) .
У 1 — tg2(45° + a)’
ф) 4 sin a cos3 4 a — 4 sin3 a cos a;
x) 4 sin sin 190° - sin (270° - a).
X i	X 1
107
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.548. Вычислить:
а)
cos2 15’ - cos2 75°;
2 Sin 24 COS 24 ^COS 24 " Sm 24 J ;
2
1 - tg Я
о
Л
18 8
Решение, а) Заменяя по формулам приведения
cos 75° = sin 15°, получаем: cos2 15° - cos2 75° =
VT
= cos2 15° - sin2 15° = cos (2 • 15°) = cos 30° = —.
Ответ: —.
б) Применяя формулы синуса и косинуса двойного ар-
л
гумента к углу —, получаем:
, Л Л ( о Л/ , о л \	, л	л
2 Sln 24 C0S 24 [C0S 24 ” Sln 24J = S1Q П C0S 12‘
Теперь применим формулу синуса двойного аргумента к
л л л 1 . 7 л \	1 . л 1 1	1
углу S,n Т2 С“ Т2 = 2 5Ш (2 ' T2J - 2	6 = 2 ' 2 - 4'
Ответ:
4
в) Применяя формулу тангенса двойного аргумента, по-
1 “tg2I
лучаем: --------- = 2
Ответ: 2.
б)
в)
1	4. 2
1 “tg 8
2tgi
2
tg (2 * I
l о
= 2.
А Я
tg4
Упражнения
1.549. Вычислить:
2 tg 75’
а) 2sin 15’cos 15°;	в) -—
1	- tg 75
2	Л	2 Л	о
б) cos2 - - sin2-;	г) 1 - 2 sin2 15°;
о	о
108
Преобразования тригонометрических выражений
д) 2 cos2 ? - 1;
О
е) sin 22°30' cos 22°30';
ж) cos2 22’30' - sin2 22’30';
ч tg 22’30'
З)	2 а >
1 - tg2 22 30
м) sin 75° cos 75°;
ч 1—2 sin2 22,5’
н) --------------;
2 cos 15’ - 1
.	. 4 Зл:	д Зл
о) sin —— cos —;
О	о
ч 2tgl65°
п) — 2—;;
1 - tg2 165’
_ . 2 15л	2 11л
8 sm —-cos —7- - 1;
10	16
к) sin 75° sin 15°;
\ io ( • 4 Л>	д Л
л) v 2 sin — - COS —
10	о
. 4 23л;	4
sin —— cos
13л
12 Ф
Пример 1.550. Упростить выражения:
sin За cos За
sin а cos а *
б) tga - ctga;
в) 2 sin ~ tg22a).
1 + ctg2 + 2а)
1g2 а + ctg2 а - 6
tg2 а + ctg2 а + 2
Решение, а)
sin За cos За
sin a cos а
sin За cos а - cos За sin а
sin a cos а
_ s*n 2а _
sin a cos а ~
2 sin a cos а
------------- = 2.
sin a cos а
Ответ: 2.
б) tg а - ctg а
sin а
cos а
cos а
sin а
109
Преобразования тригонометрических выражений
_ sin2 а - cos2 _ cos 2а _
sin a cos a sin a cos а
2 cos 2а „ .
. — = - 2 ctg 2а.
sin 2а
- _ 2 cos 2а _
~	2 sin а cos а “
Ответ: — 2 ctg 2а.
2 sin 4а (1 - tg2 2а) _ 2 sin 4а (1 - tg22a) _
’ l+ctg‘|'’ + 2«|	1+'S22“
2 sin 4а (1 — tg2 2а)	-  .	. 2-> \	2 т
= ----------------------- = 2 sin 4а (1 — tg2 2а) cos2 2а =
cos2 2а
= 2 sin 4а (cos2 2а - tg2 2а cos2 2а) =
/	, sin2 2а	, „
= 2 sin 4а cos 2а------------5— • cos 2а
I	cos 2а
= 2 sin 4а (cos2 2а - sin2 2а) = 2 sin 4а cos 4а = sin 8а.
Ответ: sin 8а.
2	, -Д— 1 + -А— 1-6
гу tg а + ctg2 а — 6 _ cos а_____sin а_______
tg2a + ctg2 а + 2 (tg2 « + 1) + (ctg2 а + 1)
1	1	sin2 а + cos2 а - 8 sin2 a cos2 а
cos2 a sin2 а________	sin2 a cos2 а______
1	+	1	sin2 а + cos2 а
cos2 a sin2 a	sin2 a cos2 а
_ 1-2'4 sin2 a cos2 а .1_______________
sin2 a cos2 а ’ sin2 a cos2 а
1 “ L SIH za .9	2	„ л . 2 л	л
=	-----х— • sura cos а = 1-2 sur 2а = cos 4а.
sinz a cos а
Ответ: cos 4а.
110
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Упростить выражения:			
1.551.	sin За sin a	+	cos 3a cos a *
1.552.	cos 3a	+	sin 3a
1.553.	sin a sin 9a		cos a ' cos 9a 	=	2.
1.554.	sin 3a cos 6a cos 2a	—	cos 3a sin 6a , л sin 2a
1.556.	,2cos2° .
ctg а — tg а
,.5S7. «v-rga.
ctg a + tg a
1 + tg a tg у
1.558.		
Ct	Ct
Ctgz + tg 2
1.559.	(ctg а - tg a)2 (1 - 2 tg 2a ctg 4a).
1.560.	(tg a 4- ctg a) sin 2a.
т	* a a\ 2a
1.561.	ctg- - tg- tg—.
i	/ о
L562. tg 0,5a + ctg 0,5a.
1.563.	7-^--------—--------.
1 - tg a 1 + tg a
1.564.	7—----------—Ц—.
1 + ctg a 1 — ctg a
1.565.
2tg 1,5a
1 + tg2l,5a’
111
Преобразования тригонометрических выражений
1.566.
ctg (45° - а)
ctg2 (45° - а) - 1'
1.568.
______ _ £
tg2a) 4'
1.569.
1.570.
1.571.
1.572.
1.567. -^12- +
1 + tg а 1 — tg а
Доказать тождества:
-----------cos 2а
sin2 2а (ctg2 а —
4tga(l-tg2a) .
------------—=—5—= sin 4а.
(1 +tg2a)2
sin2 За	cos2 За
---2---------2— = 8 cos 2а.
sin a	cos а
ctg2a + tg2a 1 .
-—$------5— + -- sin 2а tg 2а =
ctg a-tga 2
cos а	1.2
------------- = - — sin а.
2 а 2«	4
tg ~ ctg
1
cos 2а’
cte 2а — 1
1.573.	„------cos 8а ctg 4а = sin 8а.
2 ctg 2а	е
1.574.
1.575.
1.576.
tg2a _
tg 4а — tg 2а —
= - sin 4а.
tg 2а tg а
tg 2а - tg а
= sin 2а.
1.577.
tga _
tg 2а - tg а ~
1.578.	tg 15’ + ctg 15’ = 4.
1.579.	tg 55’ - tg 35’ = 2 tg 20’.
1.580.	tg a + 2 ctg 2a = ctg a.
1.581.	(ctg a - ctg 2a) sin 2a = 1.
112
Преобразования тригонометрических выражений
1.582.
1.583.
1 + tg a tg у
a
2
2
ctg^ + tg-
14
= 2 tga.
= cos 2а.
1.584.
1.585.
1.586.
-Г + a + ctg 7 + a
4 I \^	/
cos2 a
1 + tga
1____ _ ______
1—tgza 1- ctg2 a cos 2a’
4tgg(l-lg2a) _
1 - 6 tg a + tg a
1
sin2 a
1 + ctg a
1
 .2
= sin 2а.
£
1
Пример 1.587. Упростить выражение
sin2 2a - 4 sin2 a
sin2 2a + 4 sin2 a - 4 ’
„	sin2 2a - 4 sin2 a
Решение, ------------r->------
sin 2a + 4 sin a — 4
_	4 sin2 a cos2 a - 4 sin2 a _	4 sin2 a (cos2 a — 1)
4 sin2 a cos2 a + 4 (sin2 a — 1)	4 sin2 a cos2 a — 4 cos2 a
_ 4 sin2 a (- sin2 a) _	4 sin4 a
4 cos2 a (sin2 a -1)	4 cos2 a (- cos2 a)
Ответ: tg4a.
sin4 a	4
—— = tg4a.
cos4 a
Упражнения
Упростить выражения:
, еоо sin2 2a - 4 cos2 a
1«ЭОО» 2	2	•
sin 2a + 4 cos a — 4
sin2 2a + 4 sin4 a — 4 sin2 a cos2 a
4 - sin2 2a - 4 sin2 a
113
Преобразования тригонометрических выражений
I 590 sin2 2а - 4 sin2 а
sin2 2а — 4 + 4 sin4 а
0 sin2 2а + 4 sin4 а
4 — sin2 2а - 4 sin2а'
4 cos2 (а - я) — 4 sin2 - у) + 3 cos2
1.592. -----------------7-----Ц-----------------А=-
, . 2 (Л . а\ 2 (7я	1
4sin 2 + 2 -cos
9	о / ЗЛ	\
sin	(Зл -	4а) + 4 cos	I ——	2а — 4
1.593. -------7---------г-----Ц-----------А—.
2 ( Л	.1	.	2 1л	I
cos — - 4а - 4 cos 2а ——
\2 / \ 2 /
sin2 (а - я) - 4 cos2 - у]
1.594. -----7-----z Z/ v .
2 ( 5Л i	2 №
cos а —Z- - 4 + 4 COS у +
1 X I	I £ I
Пример 1.595. Доказать тождество
sin 2а - tg а = cos 2а tg а.
_	• „	„ •	sin а
Решение, sin 2а - tg а = 2 sin а cos а-----
cos а
_ sina (2 cos2 а — 1) _ sin а cos 2а
~ cos а — cos а
= cos 2а tga,
что
и требовалось доказать.
Пример 1.596. Доказать тождество
2 cos2 a cos2Р + 2 sin2 a sin2 Д — 1 = cos 2a cos 2/3.
Решение. 2 cos2 a cos2/3 + 2 sin2 a sin2/3 - 1 =
= 2 cos2 a cos2/3 + 2 sin2 a sin2/3 - (cos2 a + sin2 a) =
= 2 cos2 a cos2/3 - cos2 a + 2 sin2 a sin2/3 — sin2 a =
= cos2 a (2 cos2/3 - 1) + sin2 a (2 sin2/3 - 1) =
114
Преобразования тригонометрических выражений
= cos2 a cos 2/3 — sin2 a cos 2/3 = cos 2/8 (cos2 a — sin2 a) =
= cos 2/3 cos 2a,
что и требовалось доказать.
Пример 1.597. Доказать тождество
8 cos4 а — 8 cos2 а + 1 = cos 4а.
Решение. 8 cos4a - 8 cos2a + 1=8 cos2a (cos2 а - 1) + 1 =
= 1-8 cos2 a sin2 a = 1 - 2 • 4 cos2 a sin2 a =
= 1-2 sin2 2a = cos 4a,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.598. ctg a - sin 2a = cos 2a ctg a.
1.599. 8 sin4 a - 8 sin2 a + 1 = cos 4 a.
1.600. cos4 a - 6 sin2 a cos2 a + sin4 a = cos 4a.
1.601.
2 f 5л _ |	 2 15a _ ।
cos —— 2a — sin — 2a
___________\ 4____ /_______\ 4_____[	
a ,	. a\ (	(_	a\	, /л , a\\	.
cos — + sin — cos 2л - — +cos — + — sin a
2	2 I	I	2	[22
= 4 cos 2a.
1602	_ ctg(a +P) =
ctga + ctg/3 ctga-ctg/3
sin 2a sin 2/3
~ 2 sin (a + P) sin (a — /3)*
T cos 2a + 1 - cos2 a 1
1.603. --------------c---- = - - ctg a.
I	ft , Л i	2
cos — + 2a I
т ,	2 sin (л - a) + sin 2a
1.604.		----------------------- = sina,
2	cos a + 1 + cos2 -z- + sin2 —
2	2
1.605. ,cos to, -	= o.
1 — sin 2a 1 - tg a
115
Преобразования тригонометрических выражений
т ,л, sin (180° - a) cos (360° - а)
l.OllO. о	о
cos (180° + а) - cos (270° - а)
ctg (270° - а)
tg2(180° - а) - 1
= tg2a.
1.607. 1 - sin4 а - cos4 а = sin2 2а.
1.608. ------------2---= 1.
4 sin a cos а 4 tg а
V	cos 2а cos4 а + sin4 а
1.609. —д----------------------:------- = 0.
cos а-sin а i - lsin22a
1.610.
1.611.
2 а . 2 а
- cos — + sin — = 1.
4	4
cos а cos а \	_
——:-----1-  ---:-- sm 2а = 4 sin а.
1 + sin а 1 — sm а I
1.612.
cos 2а
-------------- = tg а.
ctg а - sin 2а °
Пример 1.615. Упростить выражение
2 cos2 а - 1
(<7Г	\	\
— - а sinz — + а
4	114/
УГ	ТС
Решение. Так как сумма аргументов — - а и — + а равна
\	гр
—, то sin — + а = cos -г - а . Тогда
2	14 I \ 4	|
116
Преобразования тригонометрических выражений
2 cos2 а - 1
(Л	I «91^
-Г - a sinz —
4	/	\ 4
__________2 cos* 2 а — 1_________
J 4.	\	2 (
4 tg — - a cos2 -г - а
14 J 14
____________cos	2а
. (л '
sin — - а
4-------------<
/я
cos — - а
I 4
___________cos 2а	
. (л_______\	(л	'
4 sin — — а cos — — а
14	/	14
2 I
• cos2 -г - а
I 4
Применив формулу синуса двойного аргумента к углу
л	cos 2а
— - а, получаем------7------г----7----с =
4	Л . (л \ (л \
4 sin — - а cos — - а
cos 2а
2 sin |у - 2а
cos 2а _ ]_
2 cos 2а ~ 2*
~ 1
Ответ: —.
Пример L616. Доказать тождество
Ctg у + а) tg(2?r - 2а)	,
---I2,. / .--------------2V3~sin
IЗл ।	14
ctg -Т- - 2а I - tg а	\
_ . Л,
= 2sin 2а - —I.
Решение.
-----------2 VTsin + а I sm - а
♦	И	/	И
- tg а	\	/	\
- tga • (- tg2a)	. (л \ (л
= ——z—--------- — 2 v3 sin — + a cos -т + а
tg 2а - tg а	14 I 14
117
Преобразования тригонометрических выражений
sing sin 2а
tgatg2a г— . (тс ,	\ cos a cos 2а
tg2a — tga	12 I sm 2a sina
cos 2a cos a
- V3~cos 2a =
sin a sin 2a
cos a cos 2a
sin 2a cos a - cos 2a sin a
cos 2a cos a
- V3~cos 2a =
sin a sin 2a . sina
cos a cos 2a * cos 2a cos a
- V3~cos 2a
sin a sin 2a cos 2a cos a r—
----------— • -------:---------v3 cos 2a =
cos a cos 2a sin a
fl	V3~
— sin 2a----— cos 2a
= 2 I sin 2a cos - cos 2a sin ^1=2 sin [ 2a — I,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Упростить выражения:
т	(л а) (л а\
1.617.	2 cos -г - cos -т + х .
14	21	14	2 1
1.618.	(sin 10° + sin 80°)(cos 80° - cos 10°).
1.619.	(sin (45° + a) — sin (45° — a)) X
X (cos (45° + a) + cos (45° — a)).
1.620.
\ (n w
— + 2a + cos — — 2a - cos 4a.
4 I 14 II
1.621
2 cos2 a — 1
_ .	* 2
2 ctg -r - a sin -г - a
14 I 14
sin
1.622.
sin 3a cos a - cos 3a sin a
118
Преобразования тригонометрических выражений
1.623.
2 sin2 4а - 1
1.624.
—	t л \	2 (^ТС
2 ctg — + 4а cos	—— 4а
14	)	14
/ <5тг \	2 ($тс \
tg —------4а sin — + 4а
\ 4________/	\ 4________!_
1-2 cos2 4а
Доказать тождества:
1.625. tg (а + 45°) + tg (а - 45°) - 2 tg 2а = 0.
1.626.
1.627.
sin (480° + а)
(а\	(	а
20° + - sin 70° ——
4 1	I	4
(ЗТГ	\
tg (тс + 2а) ctg — + а
------- —_А_±----L +
tg 2а - tg а
40 + -
(Л	।	\ ТС	।	। тс
— - а cos — + а = V 2 sm — - 2а
4	I	14	I	14
Пример L628. Доказать тождество
. б . б 3 cos2 2а + 1
sin0 а + cos0 а = ----------------------.
4
Решение. Применив формулу суммы кубов, получаем:
sin6a + cos6a = (sin2a + cos2a)(sin4a - sin2a cos2a + cos4a) =
= sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a.
Выделяя в выражении sin4 a + cos4 a квадрат разности, а
затем применяя формулы косинуса и синуса двойного аргу-
мента, имеем: sin4 a + cos4 a — sin2 a cos2 a =
= (cos2 a - sin2 a)2 + sin2 a cos2 a =
= cos2 2a + 4 • 4 sin2 a cos2 a = cos2 2a + 4 sin2 2a =
4	4
_ 4 cos2 2a + sin2 2a _ 4 cos2 2a + 1 - cos2 2a _ 3 cos2 2a + 1
4	4	”	4	’
что и требовалось доказать.
119
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.629. Доказать тождество
\	• а (5л	\ f\ (7'л
— + 4а - sin0 — + 2а + cos —— 2а
\ / \ ~
1 . о . А
= — sin 8а sm 4а.
о
Решение.
= cos 4а — cos6 2а + sin6 2а = cos 4а — (cos6 2а - sin6 2а) =
= cos 4а - (cos2 2а - sin2 2а) х
X (cos4 2а + cos2 2а sin2 2а + sin4 2а) =
= cos 4а - cos 4а ((cos2 2а + sin2 2а)2— sin2 2а cos2 2а) =
(	1 . , \
= cos 4а - cos 4а 1 - — sin* 4а =
I	4 I
1	. 2
= cos 4а - cos 4а + — smz 4а cos 4а =
4
=	• sin 4а • 2 sin 4а cos 4а = sin 4а sin 8а,
о	о
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.630. sin6a + cos6a =
5 + 3 cos 4a
8
т . б«	б«	sin2a
1.631. sin — - cos — = --------
2	2	4
120
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.634. Упростить выражение
' sin 4а
ctg а - tg а
sin 2а
Зя
если — < а < х
4
Решение. Преобразуя выражение,
Vsin 4а	1
—----;— * ~
ctg а - tg а sin 2а
стоящее под знаком
4- 1 =
Vsin 4а
cosa sina
sin a cos а
Vsin 4а
cos2 а - sin2 а
sin a cos а
Vsin 4а sin a cos а
cos2 а - sin2 а
sin 2а
1
sin 2а
# 1
sin 2а
2 sin 2а cos 2а sin a cos а 1
cos 2а	sin 2а
__ Vsin2 2а +	_ | sin 2а |
sin 2а ” sin 2а
Так как < a < я, то — < 2a < 2я и sin 2a < 0. Тогда
4	2
I sin 2a | +	_ - sin 2a
sin 2a “ sin 2a
Ответ: 0.
Упражнения
Упростить выражения:
1.635. V(ctg2 a - tg2 a) cos 2a • tg 2a, если < a <
1.636. V(ctg a -- tg a) 2 ctg 2a • tg 2a 4- 2, если у < a <
121
Преобразования тригонометрических выражений
1.639. V(1 + tg2a)(ctg2a + 1) sin 2а, если < а < —.
Пример 1.640. Дано: cos ^ = - -у, sin — > 0. Найти
sin a, cos а, tga.
„	гт.	а	а	а
Решение. Так как cos — < 0 и sin — > 0, то — — угол II
X	XX
четверти, sin — =
2а
- COS у =
_ . a	a	15
sin a = 2 sin — cos — = 2 • —
2	2	17
64 _ 15
1	289	17'
_	240
17	289'
„ 2а ,	„	64	,	161
cos« = 2cos2- - 1 = 2.—	.
= sina = _ 240 . ( 161А = 240
tga cos a 289 Ц 289]	16Г
„	240	161 „	240
Ответ: sin a = - —, cosa = - tga =
Пример 1.641. Дано: tg/? = 2. Найти tg - 2^j.
d	.	^я\	l-tg2(S
Решение. 1(	= —=
^ = т^ = тЪ=4-
/л	\	1 + з
Тогда tg j - 2/? = --- = - 7.
k	j	^—3
Ответ: -7.
122
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.642. Дано: sin У = 4- Найти cos 4у.
О
. ,	17
Решение, cos 2у =1-2 siny = 1 - 2 • ~
cos 4у = 2 cos2 2у - 1 = 2 •	- 1 = 44.
17
Ответ: —.
О 1
2?т
Пример 1.643. Дано: cos a = ——
Найти sin 2а и tg 2а.
Решение, sin2 а = 1 - cos2 а = 1
n4 + 2n2 + 1 - 4n2 _ n'
(n2 + I)2
n2 - 1
(и2 + I)2
Следовательно, sina
,2
4n2	_
(n2 + I)2
'.4 - 2n2 + 1 = (n2 - I)2
(n2 + I)2'
1 - n2 „
или sina = —5---------. Тогда
n + 1
sina
tga = -----
° cos a
n2 - 1
n2+ 1
2n
n2 + 1
и2 !	। M2
71—1	1 — П
—z--- или tg a = —--.
2n	2n
Если sina
п2 - 1
п2+ 1’
n2 — 1
tg0= = “2Й-’ To:
1
sin 2a = 2 sin a cos a = 2 • \—-
n2+ 1
* „	2 tg a „ n2 - 1
tg 2a = ---= 2---------z—
6	1—tg2a	2n
2n _ 4n(n2 - 1)
n2 + 1	(n2 + I)2
f _ (n2 — l)2^ =
\	4n2 /
_ n2 - 1 . 4n2 - n4 + 2n2 - 1 _ 4n (n2 - 1)
-	n 	4n2	- 6n2 - n4 - 1'
_	1 - n2	1 - n2
Если sina = —z----, tga = —-—, to
n2+l 6 2n
sin 2a =
4n (1 - n2)
(n2 + I)2 1
tg2a =
4n (1 — n2)
6n2 - n4 - 1 *
123
Преобразования тригонометрических выражений
„	. „ Ап (п2 - 1) t „ 4п (п2 - 1)
Ответ: sin 2а = ----tg 2а = ——л—~
(п2 + I)2	6п2 - и4 - 1
или
sin 2а =
4п (1 — п2)
(п2+1)2
tg2a =
4п (1 - п2)
6п2 — п4 — 1
Упражнения
1.644.	Дано: sin а = 0,96, 0° < а < 90°. Найти sin 2а,
- os 2а, tg 2а.
1.645.	Дано: tga = — 2,4, 90°<а<180°. Найти sin2а,
cos 2а.
1.646. Дано:
1.647. Дано:
1.648. Дано:
tg a = - 2. Найти tg 2a и tg 4a.
tg^ = 0,5. Найти tg
О
45° -
cos— = 0,1. Найти cosa.
<£_
3
1.649.	Дано: sin— =	< a < л. Найти sina,
x Э Z
cosa, tga.
1.650.	Дано: tgy = tg^ = ± Найти tg(/3-a).
X / X X
1.651.	Дано: sina= sin/3 = -^, 0°<a<90°, 0°</3<90°.
Найти sin (2a + 2/3).
1.652.	Дано: sin a = 0,8, cos/5 = -	90° < a < 180°,
90°</3<180°. Найти:
a) sin (a + 2/3); 6) cos (2a — /3\в) tg (2 (a — /8)).
1.653.	Дано: tga = - 0,75, tg/3 = 2,4, 90° <a < 180°,
0° </3 < 90°. Найти: a) sin (a - 2/3); 6) cos (2a + /3).
1.654.	Дано: cos a =	a > 0, b > 0, a не является
a + b
углом первой четверти. Найти sin 2a и cos 2a.
Пример 1.655. Дано: sin a + cos a = Найти sin 2a.
124
Преобразования тригонометрических выражений
Решение. Возведя обе части данного равенства в квадрат,
имеем: (sin а 4- cos а)2 = sin2 а 4- 2 sin a cos а 4- cos2 а =
4	4
1 4- sin 2а = sin 2а = -
4	4
3
Ответ: - —.
4
a	l-2sin2^
Пример 1.656. Дано: tg — = а. Найти — 	.---.
2л	X I sin а
а
1 — 2 sin у Решение, -г-;—•	 = 1 4- sin а 2а	• 2а	( cosz — - snr —	1 сс	cosa , а	. , а	.а	а cos + sm4 у + 2 sin — cos -z- Zt	L	L	L a	. a\ (	a	. a\ >s — + sin — 1 cos — — sin — 2	21 \	2	21
(	a	. a\2	( cos — + sin —	cos \	2 2/	\ a	. a	a [	o' cos--sin- cost’ll - tg- a	. a ~	a (	a"' cos + sin - cos 2 1 + tg 2 л	1 - a Ответ: , , . 1 + a Пример 1.657. Вычислить • А Л*	А 3л*	• A S’ sin4— + cos — + sin4 — о	о	с n	4 3^	4 (ТС TC\ Решение, cos — = cos — - — о	1 2 о J 4 5тс . 4 (тс тс\ sm-T = sm- (2 + «J 4 iTC	4 (	Tc\ COS — = COS 7Г - — 0	I	0 1	. a\2 — + sin — 2	21 [ =	_ 1-a 1	. a 1 + а 1	1+tg2 n ,	4 7л: Г + cos T = sin4¥, = cos4 0 4 л: = cos4¥.
125
Преобразования тригонометрических выражений
• 4 Я ,	4 ЗЛ . д 5jt	д 7Л
Следовательно, sin4— + cos4— + sin4— + cos — =
8	8	8	8
(• А Л*	А \	, о |Л^	о \	«О	о \
sin4 — 4- cos — I = 2 snr — + cosz — I - 2 sinz — cos2 — =
о	о I ll о	о I	о 8 1
_ /	1	.	2	2	/-* (-t 1	• 2
=21--* 4 sin2-cos2- =2 1 - 77 sm2- =
12	8	8 I 12	4 1
= 2 —sin2—= 2 — f-p=-V = 2 — — =
2 sin 4 2 |VT| 2 2	2’
„	3
Ответ: —.
Упражнения
1.658. Дано: sin — - cos-r = 1,4. Найти sina.
T xCn D	2 Sin a + Sin	1
1.659.	Вычислить ——-----;——, если cos a = —.
2 sina — sin 2a	5
T T>	4«	. да	13
1.660.	Вычислить cos — - sin —, если sm a = — —,
900°<a<990°.
/7л	\
1.661.	Вычислить sin l~— 2a cos (3л — a) sina при
3л
^"16’
1.662.	Вычислить ctg 7,5° + tg 67,5° - tg 7,5° - ctg 67,5°.
1.663. Дано: cos
— <а<л, 0</?<—. Найти cos (a +/?).
£	X
1.664.
„	1 vT
Вычислить---------------
. Л	Л
sini8	C0S18
126
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.665. Доказать тождество
4 sin 20° sin 50° sin 70° _
sin 80°	" le
Решение. Применяя формулы приведения, получаем:
4 sin 20° sin 50° sin 70° _ 4 sin 20° cos 40° cos 20°
sin 80°	“	sin 80°
Далее, дважды применив формулу синуса двойного ар-
4 sin 20° cos 40° cos 20°
гумента, получаем:---------s'irf80°------ =
_ 2 sin 40° cos 40° _ sin 80° _ .
sin 80° sin 80°	’
что и требовалось доказать.
Пример 1.666. Доказать тождество
„ л о << sin 32а
cos a cos 2а cos 4а cos 8а cos 16а =	.
32 sin а
Решение. Умножив и разделив левую часть данного ра-
венства на sina, применим многократно формулу синуса
двойного аргумента: cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a =
_ sin a cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a _
—	sin a	—
sin 2a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a
2 sina
sin 4a cos 4a cos 8a cos 16a
4 sina
sin 8a cos 8a cos 16a
8 sina
sin 16a cos 16a _ sin 32a
16 sina “ 32 sina ’
что и требовалось доказать.
Пример 1.667. Доказать тождество
16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.
Решение. Умножив и разделив левую часть данного ра-
венства на sin 20°, применим многократно формулу синуса
двойного аргумента:
127
Преобразования тригонометрических выражений
16 cos 20° cos 40° cos 60’ cos 80° =
16 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80° cos 60°
sin 20°
8 sin 40° cos 40° cos 80° •
sin 20°
2 sin 80° cos 80°
sin 20°
= sin 160°
sin 20°
что и требовалось доказать.
Пример 1.668. Доказать
_	л 2л
Решение, cos — cos— =
О 0
. 2л 2л . 4л
sin — cos — sin —
0	0	О
2 sin —	4 sin —
0	0
что и требовалось доказать.
_ sin 20°
sin 20°
л	2л	1
тождество cos —cos— =
0	0	4
~ . л л	2л
2 sin — cos — cos —
ОО	о
- • л
2 sin
О
• । л |	, тс
sin л - — sin —
_____\_____0 / __	0
4 . л " Л . л
4 sin —	4 sin —
5	5
Упражнения
Доказать тождества:
1.669.
4 sin 25° sin 65°
cos 40°
= 2.
1.670.
10 sin 40° sin 50°
cos 10°
1.671. 8 cos 10° cos 20° cos 40° = ctg 10°.
1.672. cos 3a cos 6a cos 12a =
sin 24a
8 sin 3a'
1.673. cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a cos 32a =	—.
64 sin a
1.674. sin 10° cos 20° cos 40° =
О
128
Преобразования тригонометрических выражений
1.675.
. л 2л 1 л
sin 7 COS ~7~ = Ttg —
О О т1 о
1.676.
«тт 4л>
cos — cos — cos —
1
8'
1.677.
. Зл . л 1
sin 10Sin 10 = 4’
1.678.
л 2л Зл
COS -ГТ COS 77 COS TT .
1Э i о 10
7я
C0S15
_ 1
128’
1.679
sin 6° sin 42° cos 12° cos 24'
1
16
1.680.
4 sin 18° sin 306'
, JE JV TC JV JV
1.681.	96 v3 sm — coscos — cos 777cos — = 9.
48	48	24	12	6
_ 'ЛЛ
1.682.	cos — cos — cos —... cos —
4	8	16	2
1
2"’1sin 4
2
Пример 1.683. Исключить а из системы равенств
а а
,x = tg2-ctg-,
у = sin а.
. а а
а a sin2	C0S2
Решение, х = tg у - ctg - = -------— =
cos у sin у
. о а
= sin I~cos 2 = -cos а =	2 cos а
.а а .а а ~ . а а
sin — cos — sm — cos —	2 sm — cos —
2	2	2	2	2	2
2 cos а
sin а
= — 2 ctga,
ctga=-2-
5 Тригонометрия
129
Преобразования тригонометрических выражений
= 1 = 1 _ 4
1 + ctg2 а	х2 4 + х2‘
4
л	2	4
Ответ: у = -----
4 + х2
Упражнения
Исключить а из системы равенств:
1.684.	sina + cosa = х, sin 2а = у.
1.685. |	[х = sina, |у = cos 2а.
1.686. ]	[х = tga + ctg а, I у = sin 2а + cos 2а.
1.687. |	|х = tga - ctgа, ly = tg 2а 4- ctg 2а.
1.688. .	х = sina + cosa, у = sin За + cos За.
Пример 1.689. Доказать тождество
sin За sin3 а + cos За cos3 а = cos3 2а.
Решение. Применяя формулы синуса и косинуса тройного
аргумента, имеем: sin За sin3а + cos За cos3а =
= (3 sin а - 4 sin3 a) sin3 а + (4 cos3 а - 3 cos a) cos3 а =
= 3 sin4 а - 4 sin6 а + 4 cos6 а — 3 cos4 а =
= 3 (sin4 а - cos4 а) + 4 (cos6 а - sin6 а) =
= 3 (sin2 а + cos2 a) (sin2 а — cos2 а) +
+ 4 (cos2 а — sin2«)(cos4a + cos2 а sin2 а + sin4 а) =
= - 3 cos 2а + 4 cos 2а ((cos2 а + sin2 а)2 - cos2 а sin2 а) =
130
Преобразования тригонометрических выражений
= cos 2а (- 3 + 4 (1 - cos2a sin2a)) =
= cos 2a (- 3 + 4 - 4 cos2a sin2a) = cos 2a (1 - sin2 2a) =
= cos 2a cos2 2a = cos3 2a,
что и требовалось доказать.
Пример 1.690. Вычислить sin 18°.
Решение. Имеем sin 36° = cos 54°. Тогда
sin (2 • 18°) = cos (3 • 18°),
2 sin 18° cos 18° = 4 cos318° - 3 cos 18°,
2 sin 18° cos 18° = cos 18° (4 cos2 18° - 3),
2 sin 18° = 4 cos2 18° - 3,	2 sin 18° = 4 (1 - sin2 18°) - 3,
2 sin 18° = 4 - 4 sin218° - 3,	4 sin218° + 2 sin 18° - 1 = 0.
Рассматривая последнее равенство как квадратное урав-
нение относительно sin 18° и учитывая, что sin 18° > 0, по-
лучаем sin 18° = —д—.
ТУ- 1
Ответ: sin 18° = —.
Упражнения
Доказать тождества:
т ,n. cos3 a - cos 3a , sin3 a + sin 3a
1.691. --------------- +------:-------- =
cos a	sin a
_ sin 3a + 4 sin3 a cos 3a - cos3 a
cos 3a - 4 cos a sin 3a + sin a
з	з	3
1.693. sin 2a cos 6a + cos 2a sin 6a = — sin 8a.
4
1.694.
sin3 a + sin 3a
—з--------— =
cos a - cos 3a
L695.	= 3tg3actga
tg2a-ctg260°
131
Преобразования тригонометрических выражений
1.696.	3 sin a cos За + 9 sin а cos а — sin За cos За —
- 3 sin За cos а = 2 sin3 2а.
1.697.	sin 18° cos 36° = -j.
4
1.698.	tg2 18° tg254° = 4
О
1.699.	= .T+ 1.
Л* tg 7
Пример 1.700. Доказать тождество
4 cos a cos (60° — a) cos (60° + a) = cos 3a.
Решение. Применив формулы косинуса разности и коси-
нуса суммы, получаем: 4 cos a cos (60° — a) cos (60° + a) =
= 4 cos a (cos 60° cos a + sin 60° sin a) x
x (cos 60° cos a - sin 60° sin a) =
= 4 cos a (cos2 60° cos2 a - sin2 60° sin2 a) =
= 4 cos a |-7 cos2 a - ^sin2a| = cos’a - 3cosa sin2a =
14	4 J
= cos3 a - 3 cos a (1 - cos2a) = cos3 a - 3 cos a + 3 cos3 a =
= 4 cos3 a — 3 cos a — cos 3a,
что и требовалось доказать.
Пример 1.701. Доказать тождество
16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.
Решение. Имеем 16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° =
= 16 • cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20° cos 40° cos 80°.
Так как 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можем при-
менить тождество, доказанное в номере 1.700 (при a = 20°):
8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos (3 • 20°) = 1,
что и требовалось доказать.
132
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.702.	4 sin a sin (60° - a) sin (60° + а) = sin За.
1.703.	tg a tg (60° - a) tg (60° + а) = tg За.
1.704.	16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3.
1.705.	tg 20° tg 40° tg 80° = VT
Пример 1.706. Пользуясь формулой косинуса двойного
аргумента, вывести формулу понижения степени для квадрата
синуса.
Решение. Из формулы cos 2а = 1 - 2 sin2 а получаем
„ . ,	, п ,	1 - cos 2а
2 sin2 а = 1 — cos 2а, sm2a = ----------.
.2	1 - cos 2а
Ответ: sin а = ------г-----.
ЛА
Пример 1.707. Пользуясь формулой синуса тройного ар-
гумента, вывести формулу понижения степени для куба си-
нуса.
Решение. Из формулы sin За = 3 sin а - 4 sin3 а имеем:
л . з „ .	. о .3	3 sin а - sin За
4 sinJ а = 3 sin а - sin За, snr а =
4
Ответ: sin3 а =
3 sin а — sin За
4
Упражнения
1.708. Вывести формулы понижения степени для:
а) квадрата косинуса;
б) квадрата тангенса;
в) куба косинуса.
133
Преобразования тригонометрических выражений
5. Формулы понижения степени
. ,	1 - cos 2а ,	„	„ . ,
sin а = ------------или 1 — cos 2а = 2 sin а;
2	1 + cos 2а	„	2
cos а = -------------или 1 + cos 2а = 2 cos а;
. 2	1 - cos 2а
® а ~ 1 + cos 2а
. ,	3 sin а — sm За
sura = --------;
4
з 3 cos а + cos За
cos а = ---------------.
Пример 1.709. Применить формулы понижения степени
к следующим выражениям:
a) cos2 1,5а; б) sin2(a-/3); в) sin2^; г) tg2 |Зу + ^|.
2	I о I
Решение. Применяя формулы понижения степени, по-
лучаем:
2,	_	1 + cos За
cos 1,5а = ----------5
2, д. 1 - cos (2а - 2/3)
sin (а - р) = -------*----
а)
б)
в)
. 2«
sm —
2
1 - cosa.
2	’
1 - cos
(л
бу +
о
Упражнения
1.710. Применить формулы понижения степени к следу-
ющим выражениям:
а)	соз2лх;
б)	sin2 [40° +
.	2 I	Л
в) tg 2a - —
\	°
\	2 (
г) cos a - —
134
Преобразования тригонометрических выражений
д)	sin2 За;
е)	cos2 7а;
ж)	tg2^;
•з) ctg У2“а
ч . г За
и) sin —;
4
2 (0	\
К) COS 2+p
Пример 1.711. Представить в виде произведения выра-
жение:
а)	1 + cos 4а; б) 1 - cos 6а; в) 1 + cos а; г) 1 - sin а.
Решение, а) Применяя формулу 1 + cos 2а = 2 cos2 а, по-
лучаем 1 + cos 4а = 2 cos2 2а.
б)	Применяя формулу 1 — cos 2а = 2 sin2 а, получаем
1 - cos 6а = 2 sin2 За.
, а
в)	1 + cos а = 2 cos2-у.
Л*
г)	Заменив с помощью формул приведения синус коси-
нусом, применим формулу 1 - cos 2а = 2 sin2 а:
4	4	Л • 2
1	- sin а = 1 - cos I — - а I =2 snr —
l z J	14
Упражнения
1.712.	Представить в виде произведения выражение:
а
2
а)	1	+	cos	ж)
£
б)	1	-	cos 10а;	з)
в)	1	+	cos 30;	и)
г)	1	+	cos 4;	к)
д)	1	-	cos 70’;	л)
.	,	,	6л	.
е)	1	+	cos —;	м)
1 + sm 2а;
< • а
1 - sm —;
4
а
1 - cos —;
о
, , За
1 + cos —;
1 - sin 40’;
,	. 7л
i+sm—.
135
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.713. Упростить выражение
2	sin2 (45° - а) + sin 2а.
Решение. Применив формулу понижения степени для
синуса, а затем формулу приведения, получим:
2 sin2 (45° - а) + sin 2а = 1 - cos (90° - 2а) + sin 2а =
= 1 — sin 2а + sin 2а = 1.
Ответ: 1.
Пример 1.714. Упростить выражение
Решение. Применив формулу понижения степени для
косинуса, а затем формулы приведения, получаем:
1 + cos -z— 4а I 1 + cos -у + 4а
2	“	2
1 + sin 4а 1 — sin 4а 1 + sin 4а — 1 + sin 4а
= ----2--------------2--- = ----------2----------= Sin4a>
Ответ: sin 4а.
Пример 1.715. Доказать тождество
113
cos4 а = — cos 4а + — cos 2а + —.
о	2	о
Решение. Так как cos4а = (cos2а)2, то применив к
cos2 а формулу понижения степени, имеем:
.	(1 + cos 2а\ 2	1 + 2 cos 2а + cos2 2а
cos4a=	j = ------------------ =
= т + т? cos 2а + v cos2 2а.
4	2	4
Далее применим формулу понижения степени к cos2 2а:
136
Преобразования тригонометрических выражений
1 , 1	0,1 2о	1-1.1	, . 1 1+COS 4а
— + - cos 2а + - cos 2а = — + cos 2а + — •-------------- =
4	2	4	4	2	4	2
1.1 о .
= -г + cos 2а +
4	2
1 + cos 4а
8
= 4 4-1 cos 2а + cos 4а = ± cos 4а + cos 2а +
4	2	о о	о	2	о
что и требовалось доказать.
Пример 1.716. Доказать тождество
sin2 (а - 30°) + sin2 (а + 30°) - sin2 а = 0,5.
Решение, sin2 (а - 30°) + sin2 (а + 30°) - sin2 а =
1 - cos (2а - 60°)	1 — cos (2а + 60°)	. ,
= --------\---------------------------- - sin2 а =
1 — cos 2а cos 60° - sin 2а sin 60°
2
1 - cos 2а cos 60° + sin 2а sin 60°
. ,	2 - 2 cos 60°cos 2а . ,	1	. ,
- sin а =----------------------sin a = 1 — — cos 2а - sin а =
2
= 1 - у (1 - 2 sin2 а) - sin2 а = 1 - ^ + sin2 а — sin2 а = 0,5,
л*	L
что и требовалось доказать.
Пример 1.717. Доказать тождество
2 cos2 a cos2/3 + 2 sin2 а sin2/? — 1 = cos 2а cos 2/3.
Решение. 2 cos2 а cos2/3 + 2 sin2 а sin2/3 - 1 =
Л 1 + cos 2а 1 + cos 2/3
= 2'-----2----------2	+
, „ 1 - cos 2а 1 - cos 28
+ 2-------2---------F-2-1'
= (1 + cos 2а cos 2/3 + cos 2а + cos 2/3 + 1 +
+ cos 2а cos 2/3 - cos 2а - cos 2/3) - 1 =
137
Преобразования тригонометрических выражений
= (2 + 2 cos 2а cos 20) - 1 = 1 + cos 2а cos 20 - 1 =
= cos 2а cos 20,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.718.	2 sin2 ? + cos а = 1.
1.719.	2 cos2 а - cos 2а = 1,
1.720.	2 cos2 (45° - а) - sin 2а = 1,
_	2 ।	1	2 ।	1
1.721.	sin —4а - sin —+ 4а =-sin8a,
14 I 14 I
1.722.	sin4 а = ± cos 4а - ? cos 2а +
о	Z	о
1 + sina - 2 sin2 |45° - ? |	Л
1.723.	-----------------------У- = sin?.
. а	2
4 cos
1.724.	sin2 а + sin2 Й? + а] + sin2 - al = ?.
1 О /	I О I £
1.725.	4 sin4 а + 4 cos4 а + cos 4а — 1 = 4 cos2 2а.
1.726.	sin2 (а + 0) + cos2 (а - 0) - sin 2а sin 20 = 1.
1.727.	2 (1 - sin2 a cos2 а)2 - sin8 а - cos’а = 1.
Пример 1.728. Доказать тождество
ctg 2a (1 - cos 4a) = sin 4a,
Решение, ctg 2a (1 - COS 4a) = cos^- , 2 sin2 2a =
v	7 sm 2a
= cos 2a • 2 sin 2a = sin 4a,
что и требовалось доказать,
138
Преобразования тригонометрических выражений
Пример L729. Доказать тождество
а а
1 + cos — - sin -г
£	Ла
л а . а
1 - cos у - Sin у
л»	L
а
= -ctg^-.
о, и
1	+ cos у - sin —
Решение.----------------
, а . а
1 — cos— — sin —
~ 2а п . а а
2 cos'1 — - 2 sin — cos —
4 4	4
2 sin2 — - 2 sin — cos —
4	4	4
„ а I а	.а)
2	cos — cos — -	sin —
_______4(4__________4/	_ .ex
~ . а / . а	а\	4
2 sin — sin — -	cos -г
4 14	4 J
что и требовалось доказать.
Пример 1.730. Доказать тождество
(sin а + sin fl)2 + (cos а + cos fl)2 = 4 cos2 ^-уА
л»
Решение, (sin а + sin fl)2 + (cos а + cos/3)2 =
= sin2a + 2 sin a sin fl + sin2/? + cos2a + 2 cos a cos fl + cos2/? =
= 2 + 2 (cos a cos/? + sin a sin/?) = 2 (1 + cos (a - fl)) =
n n 2a~P . 2a ~ ft
= 2-2 cos2 —= 4 cos2 —y2-,
£ £
что и требовалось доказать.
Пример 1.731. Доказать тождество
2 cos 2a-sin 4a 2
2 cos 2a + sin 4a ®	a^‘
_	2 cos 2а — sin 4а
Решение.  -------—;——— =
2 cos 2а + sin 4а
_ 2 cos 2а — 2 sin 2а cos 2а _
~ 2 cos 2а + 2 sin 2а cos 2а ~
_ 2 cos 2а (1 - sin 2а) _ 1 - sin 2а _
— 2 cos 2а (1 + sin 2а) — 1 + sin 2а —
139
Преобразования тригонометрических выражений
1 - cos (90° - 2а)
1 + cos (90° - 2а)
= tg2 (45° - а),
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.732.	tg а (1 + cos 2а) = sin 2а.
1.733.	1^2 = 2.
sin а
1.734.	1 + 2 cos 2а + cos 4а = 4 cos2 a cos 2а.
2
1.735.	1 - 2 cos За + cos 6а = - 4 sin — cos За.
1.736.
1.737.
1.738.
1.739.
1.740.
1.741.
1 - cos а + cos 2а
sin 2а — sin а - с 8 а-
1-sin (30°-а) = 2 ( «
1 + sin(30°#а) ё 2)'
. "а
sin а 4- sm — а
а = tgT
1 + cos а + cos —
1 - cos 4а 1 + cos 4а
---~2------ + ~^2-------- = 2-
cos 2а - 1 sin 2а — 1
cos 4а + 1
ctg а - tg а
1	• л
= — sin 4а.
1.742.
1 + cos а
1 - cos а
.2 <2	2	.2
tg — - cos а = sin а.
&
2 sin а — sin 2а _	2 а
2 sin а + sin 2а ~ tg 2 ’
т _	1 + sin 2а - cos 2а
1.743. --7—:-------------— = tga
1 + sin 2а + cos 2а
1.744. sin a (sin а + sin/3) + cos a (cos а + cos /3) =
Г, 2а~ Р
= 2 cos —у5-.
1.745. sin a (sin а — sin /3) + cos a (cos а — cos /3) =
_ . 2 а ~ Р
= 2 sin2 —y~.
140
Преобразования тригонометрических выражений
1.746.	(sin а + sin /З)* 2 * + (cos а — cos /З)2 = 4 sin2 а
Л*
sin22a + 4 sin2a - 4	1,4
1.747.		~2---------------- = yCtga.
1 — 8 sin a — cos 4а *
cos 14а — у I sin ly + 2а I
1.748.	+ cQS 2a)(i + cos 4a)	“
Пример 1.749. Доказать тождество
3 + 4 cos 4a + cos 8a = 8 cos4 2a.
Решение. 3 + 4 cos 4a + cos 8a =
= 3 + 4 cos 4a + 2 cos2 4a - 1 = 2 + 4 cos 4a + 2 cos2 4a =
= 2 (1 + 2 cos 4a + cos2 4a) = 2 (1 + cos 4a)2 =
= 2 (2 cos2 2a)2 = 2’4 cos4 2a = 8 cos4 2a,
что и требовалось доказать.
Пример 1.750. Доказать тождество
4 cos2 (a - л) - 4 sin2	+ 3 cos2 - а)
U 2/	(2	) = tg4
Решение.
.	2 /	\ л • 2 (/* о (
4 cos2 (а - л) - 4 sin2 I у - у I + 3 cos2 I — - а
ы| £
4 Sin2 у + у - cos2 — - а
1 X XI	1 X
4 cos2a - 4 cos2 у + 3 sin2а
4 cos y - sin2 а
4 cos2a - 2 (1 + cos а) + 3 (1 - cos2а)
. га	л • 2а 2а
4 cos2 у- - 4 sin2 у cos2 у
X	XX
141
Преобразования тригонометрических выражений
4 cos2 a -2-2cosa + 3- 3 cos2 а	1 - 2 cos а + cos2 а
2а L
4 cos2 — 1 - sin2 —
А 4а
4 C0S4 —
/	\ 2
Ь» • 2а! А • 4а
/1	2 sin2 —	4sin4 —
(1 — cos а) _ \	2 / _ 2^
4 cos4 —	4 cos4 —	4 cos4 —
ал	L	L
что и требовалось доказать.
В этом примере формулы понижения степени были при-
менены дважды с противоположной целью: первый раз для
замены квадрата косинуса функцией первой степени
(4 cos2^ = 2 (1 + cosa)], второй раз — для замены выраже-
ния 1 - cos а произведением 2 sin2
Упражнения
Доказать тождества:
1.751. 3 + 4 sin [ 4а	+	+ sin 18а +	=	8	sin42а.
3 + 4 cos а +	cos 2а	_ 4а
*752, 3 - 4 cos а +	cos 2а	“ Ctg 2’
cos2 (4а - Зл) - 4 cos2 (2а - л) + 3 _	4
!»/□□•	2 х	ч	2 ,	ч	—	2а.
cos (4а + Зл) + 4 cos (2а + л) - 1
4	<4	2
т -*а cos а - sin а - cos а 2«
L754. ----------------г---- = cos —.
2 (cos а - 1)	2
Пример 1.755* Дано:
Я
tg3a = 3y,
60°<а<90°. Найти
. За За
sinT’ C0ST
За
2
Решение.
1
cos2 За
= 1 +tg23a = 1 +
24)2_ 625
7 )	49 *
142
Преобразования тригонометрических выражений
~	49
cos За = 777.
_ .За -\ / 1 — cos За
Тогда sm — = у------------
Так как 60°<а<90°, то 180°<За<270°. Следовательно,
7
cos За < 0 и cos За = - 77.
Так как 90° < с 135°, то sin-^ > О, a cos^- < О.
1 + 7/25	4
2	“ 5’
За
cos-у =
1 + cos За
= _ 3
5’
2
. За
tg 2
. За
sinT
За
cosT
_ 4
3'
* За
tg 2
Пример 1.756. Дано: cos а = 7, 45° <^<90°. Найти ctg v-
5	4	4
Решение. Так как 45°<^<90°, то 90°<7 <180° и
4	2
_	. За	4	За
Ответ: sin — = 7, cos — =
х	О	х
3
5'
4
3'
cos'- < О. Тогда
а 1 / 1 + cos а
cos2 “ “ V 2
1 + 3/5
2
2
/5
Так как 45°<^<90°, то ctg 7 > 0 и
4	4
а = д /1 + cos (а/2) д /1 - (2/УЗ~)~_ д/УЗ~- 2
Ctg 4 ” V 1 - cos (а/2) “ V 1 4- (2/vT) V vT + 2
= V (7У+2)(УТ^2) =	2>2 =	2-
Ответ: ctg = V5*- 2.
143
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.757. Дано: sin 2а = 0,25. Найти ctg + а
(л * \
/	\	1	+	cos	кг	+ 2а
„	>	(я	\	\2	/
Решение, ctg I — + а = ---------)-------(- =
14	I	(л	I
\	/	1	-	cos	I —	+ 2а I
1	/
1	-	sin 2а	1 - 0,25	0,75	3
1	+	sin 2а "	1 + 0,25	“ 1,25	”	5’
ctg	= V0,6	или ctg	+ aj =	-	V0,6.
Ответ:	V0,6 или — V0,6.
Упражнения
1.758.
Дано: cos a = 75^, О’ < a < 90°. Найти sin 77, cos 77
£07	L	L
а
и^2*
1.759.	Дано: sin2a = -777, 180°<a<225°. Найти sina и
169
cosa.
1.760.
527
Дано: cos 2a = - 7777, 45° < a < 90°. Найти
ozo
a
ctg 2 И
a
ctg-.
1.761.	Дано: ctga = - 2,4, 270°<a<360°. Найти tg—.
1.762.	Дано: cos 2a = - 0,6. Найти sina и cosa.
гт	3	Jr TT u . a a
1.763.	Дано: cos a =	0 < a < —. Наити sin cos — и
4	2	2	2
*
тт	Л 1 я	л тт „	. За
L764. Дано: cos За = - —, — < а < —. Наити sin — и
О О	J	2
1.765.
V3”
Дано: sin2a = —135°<a<180°. Найти sina.
144
Преобразования тригонометрических выражений
1.766.	Дано: sina = -	90° < — <135°. Найти cos у.
X	Ал	Ал
1	(\
1.767.	Дано: sin 2а = - Найти tg2 -z— а I •
3	I 4 J
1.768.	Дано: sin а = а , f, а*; — b, 0 < а < Найти
а + о	2
4 Г
Пример 1.769. Пользуясь формулами понижения степени,
найти sin 22° 30' и cos 22° 30'.
Решение, sin 22° 30' = у------ =
VI - (УТ/ 2) _ 1/2-VT V2 - vT
2 V 4	“	2
VI + cos 45° д/(1 + (vT/ 2)
------3----- = V ---о------ =
Ал	*	£
V2 + VT _ ^2 + VT
4	~	2
V2 —	V2 + V2~
Ответ: sin 22° 30' = -z- , cos 22° 30' = ----
Пример 1.770. Дано: cos 20° = m. Найти cos 5°.
cos 5'
1 + cos 10
V2 + V2 (1 + m)
2
Решение, cos 10
1 + cos 20° n / 1 + m
2	“ V 2
_ V2 (1 + m)
Л V2 + vTTrTTnJ
Ответ: --------------
2
145
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.771. Пользуясь формулами понижения степени, найти:
a) sin 15°;	г) cos 75°;
б) cos 15°;	д) tg 112°30';
в) tg 75°;	е) tg
О
1.772. Дано: sin 22° = а. Найти sin 34°.
Пример 1.773. Упростить выражение
Vo,5 +0,570,5 +0,5 cos а ,
если О =6 а < я.
Решение. V0,5 + 0,5 70,5 + 0,5 cos а =
у/ 0,5 + 0,5
0,5 4- 0,5 cos
Так как О < а =£ л,
cos
а
= cosT
a	л
—	— и
2	2
0,5 + 0,5 cos
0,5 + 0,5 cos j
ос	Л
Так как 0	—,	то
4	4
а
cos —
4
а
= cos
4
Ответ: cos—.
4
Пример 1.774. Упростить выражение
VI — cos а д /1 + cosa
1 + cos а у 1 _ cos а
146
Преобразования тригонометрических выражений
1
. 2а , 2а
sin* 2 I — + cos —
2	2
а а
sin - cos —
. а а
sm — cos —
2	2
. а а
sin — cos —
2	2
2
I sin а Г
Ответ:
2
I sin а Г
Пример 1.775. Упростить выражение
VI + sin — VI -- sinp,
если 0<у><-у.
Решение. VI + sinp - VI - sin р =
_	7Г	ф 71	71 ф
Так как О < <р < то 0 <	— ~т < —	< О,
71	Ф	Л_.
О <	—	- уг	<	—, Следовательно,
4	2	4
147
Преобразования тригонометрических выражений
Ответ: 2sin^.
Пример 1.776. Упростить выражение V2 + у/2~+ 2cos4а=,
л
если 0 а .
Решение. V2 + \^2~+ 2 cos 4а= = V2 + V2~(l + cos 4а) =
= V2 + VTcos22а = V2 + 2 |cos2a| = V2 (1 + |cos2a|) .
Я
Так как 0 а , то 0 2a я и cos 2а 0 при
О 2а ~, cos 2а < 0 при у < 2а я.
X	X
При О $ 2a 7^ [оS aS
JL 1	Ч I
V2 (1 + |cos 2a |) = V2 (1 + cos 2a) = V4 cos2 a = 2 cos a.
„ я	/я	я\
При — < 2a я — <а :
X	\ '	X /
V2 (1 + |cos 2a |) = V2 (1 - cos 2a) = V4 sin2 a = 2 sin a.
Я
Ответ: если 0 а , то 2 cos а\
4
я	я	.
если — < а , то 2 sin а.
4	2
148
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Упростить выражения:
1.777.	V2 (1 + cos 2а) , если < а < л.
1.778.	V0,5 - 0,5 cos 4а , если — < а < —.
4	2
1.779.	”\/| - jsina .
1.780.	V2sin2a + 2.
1.781.	VO,5 - 0,5 VO,5 + 0,5 cos a .
1.782.	^0,5 + 0,5 Vo,5 + 0,5 Vo,5 + 0,5 cos a , если
0 a S л.
т 7ЯЧ cosa _ sina
V1 — cos 2a	V1 + cos 2a
если 0° < a < 90°.
sin 145° + sin |45° - 7Я
I 21 I 21
1.784. —7^---------------т-i—------1- , если 0° < a < 180°.
vl - sina vl + sina
1.785. 4 cos2 ^45° -	+ V4 sift4 a + sin2 2a , если
180°<a<270°.
1.786. 4 sin2 у
4
если 180°<a<270°.
1.787. V1 + sin — V1 — sin , если
<p < л.
1.788. Vl + cos <f> - Vl — cosp , если
1.789.
2 sin a + sin 2a x a , *
---;--------;---- • tg-----F 1.
2 sin a — sm 2a 2
3л
если — < a < 2л.
1.790.
1 + cos 2a
1 - cos 2a
1 - cos 2a
1 + cos 2a
tg 2a + 2, если
2

/
л
2
149
Преобразования тригонометрических выражений
1.791.
1 + sin а
1 - sin а
1 - sin а
1 + sin а ’
если — < а < 2л.
1.792.
если 2л < а 4л.
Пример 1.793. Доказать тождество
□
sin3 2а cos 6а + cos3 2а sin 6а = -т sin 8а.
4
Решение. Применив формулы понижения степени для
куба синуса и куба косинуса, получаем:
. з „	, , з „	. ,	3 sin 2а - sin 6а
sin3 2а cos 6а + cos 2а sin 6а = ---------------cos 6а +
4
, 3 cos 2а + cos 6а . ,
+----------------• sin 6а =
4
= 4 (3 sin 2а cos 6а - sin 6а cos 6а + 3 cos 2а sin 6а +
4
3	3
+ cos 6а sin 6а) = — (sin 2а cos 6а + cos 2а sin 6а) = — sin 8а,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
L794. sin3 a cos3 а = sin 2а- sin 6а.
ч	ч (2Л	\ ч (4л
1.795, sin а + sin — + а + sin — + а
I	1	I J
L796o sin За sin3 а + cos За cos3 а = cos3 2а.
3 • о
— — sm За.
4
т-т	т тт	,а sin а
Пример L797* Доказать, что tg— = у—-----------------.
2	1 т" cos а
150
Преобразования тригонометрических выражений
sina
1 + cos a ’
.а . а л а
a smy
Решение. tgy-------- ------—------------
COS -у	cos — • 2	cos —
Лл	ЛЛ	Лл
sina
=
2 COS у
Лл
что и требовалось доказать.
Упражнения
a 1 - с
1.798. Доказать, что tg— = ——
l sm
6. Выражение тангенса и котангенса половинного
аргумента через синус и косинус целого
аргумента
a sin а .1 - cos a
tg — = ---------- = ---:----- ,
2	1 + cos a sin a
x a 1 + cos a sin a
Ctg — = ----:---- = ---------.
2	sin a	1 - cos a
Пример 1.799. Дано: sin 2a = - 0,8, 135° < a < 180°. Найти
ctg a.
Решение, cos2 2a = 1 - sin2 2a = 1 - 0,64 = 0,36. Так как
135° < a < 180°, то 270° < 2a < 360° и cos 2a > 0. Следовательно,
„ Л . .г *	1 + cos 2a 1 + 0,6
cos 2a = 0,6. Тогда ctga =	-------= " 2-
Ответ: -2,
9П2 ~ ft2	CC
Пример 1,800. Дано: sin a = —55 , Найти tg —, если
nr 4-	2
mn 0,
/^2 _ n2\ 2
Решение, cos2 a = 1 - sin2 a = 1 - I —z-?
\m + n )
151
Преобразования тригонометрических выражений
(т2 + п2)2 - (тг ~ п2)2	4т2п2	2 | тп\
(т2 + п2)2	(т2 + п2)2 ’	т2 + п2 ’
тт . л	2тп ct 1 - cos а
При тп > 0 cos а = —z----z , tg — = —;---- =
т2 + п2 2 sin а
_ 2тп
_ т2 + п2 _ т2 + п2 — 2тп _
т2 - п2	т2 - п2
т2 + п2
_	(т — п)2	_ т - п
~ (т — п)(т + п) ~ т + п*
тт	л	2тп а 1 - cos а
При тп < 0 cos а =---=---г tg -z- = —;------ =
F	т2 + п2 2 sin а
1 + 2тп
_ т2 + п2 _ т2 + п2 + 2тп _
т2 — п2	т2 — п2
т2 + п2
_ (т + п)2	_	т + п
”	(т — п)(т + п)	""	т - п	'
л	л ct	т	— п
Ответ: если тп >0, то tg — = —;—;
° 2 т + п
Л а т + п
если тп <0, то tg — = -----.
2 т - п
Упражнения
12
L80L Дано: sin а = — , а не является углом I четверти.
1 о
„ „ а
Наити tg у.
1.802,	Дано: sin 2а = Найти tg а.
О
1.803.	Дано: sin а =	, О < а < Найти tg
ю| £
ООО
152
Преобразования тригонометрических выражений
cos 12°
Пример 1.804. Представить дробь * _ s-n в виде тан-
генса некоторого угла.
Решение. Применив формулы приведения, представим
.	sin а
данную дробь в виде -т-г-----> где а — некоторый угол:
1 । cos а
COS 12°	_ COS (102° - 90°)
1 - sin 12° ~ 1 - sin (102° - 90°)
sin 102°
1 + cos 102°
t 102
= tgT
= tg51°.
_ cos 12
Ответ:  -----:——;
1 - sin 12
= tg51°.
Пример 1.805. Упростить выражение
sin 2a 1 - cos a
1 - cos 2a cos a
Решение. Применив к дроби —2------т— формулу котан-
1 cos za
генса половинного аргумента, получаем:
sin 2a 1 - cos a	1 - cos a
1 - cos 2a cos a ° cos a
_ cosa 1 - cos a _ 1 - cos a _ a
- sina cosa ”. sina ~ tg 2*
_	a
Ответ: tg
Упражнения
1.806. Представить данные дроби в виде тангенса неко-
торого	аргумента:		
а)	cosa	г)	1 - sin (30° + 2a).
	1 - sina’		cos (30° + 2a) ’
б)	cos 2a	d)	sin (a + я/3)
	1 + sin 2a’		1 + cos (a + я/3)'
	cos 40°		
в/	1 + sin 40°’		
153
Преобразования тригонометрических выражений
1.807. Упростить выражения:
а)	sin 2а	cos а	СЛ О CJ
	1 + cos 2а	1 + cos а	а 9 1 + COS у
б)	sin 4а	cos 2а	sin 2а
	1 + cos 4а	1 + cos 2а	1 - cos 2а ’
в)	1 cos а sin 2а	1 + cos 2а cos а	
Пример 1.808. Доказать тождество
(1	(5л	\\ ^ (5л	\
+ с18 (т+)с,е |т -а) = *•
Решение.
( 1	(5л , „	х (5л	\
----z- + ctg Нс + 2а ctg — а =
I cos 2а 6 I 2	/ J \ 4	/
1
cos 2а
. _ \ х (5л
- tg2al ctg -^--а
1 - sin 2а х
cos 2а С ®
ctg Hj—а I рассмотрим как котангенс половинного ар-
„ .	а 1 + cos а х a sin а
гумента. Из формул ctg у =	 „	и ctg у =	_
At	*3111 vv	At	X	W
выберем ту, в которой сумма (разность) стоит в знаменателе,
в «противовес» первому множителю полученного выражения,
где разность стоит в числителе. Имеем
\ _ 1 - sin 2а
I - cos 2а „	(5л п
/	1 - cos — - 2а
1 — sin 2а cos 2а _
cos 2а 1 - sin 2а “ ’
1 - sin 2а х (5л
cos 2а С * I 4 ~ а
что и требовалось доказать.
154
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
tg
1.809. —
2 I (1 + sina)
—f—--------- = ctg a.
sina
1.810. tg I j
a\	1 — sin a _
2 J cos a ~
.... Sin (l + За) (5л 3a
LSil. x _ sin	ctg I 4 + 2
1.812
( ЗлЛ
ctg 1а ——I (1 + sin 2а) = cos 2а.
1.813.
(	л\	(	тс\	(	5л\
tg 2а - — sin 4а + — + cos 4а + — = - 1.
\	41	I	2 1	I	2 I
1.814.
(5л
cos I—— 2а
+ sin 2а)
—г-------- = ctg 2а.
cos
1.815.
----77------г-)--------H-------w = tg4a.
15л	\(	(5л	\\	b
ctg Hr + 2a 1 - cos Hr- + 4a
14	II	12	II
1.816.
(л	\ (	(Зл
ctg — + all1 + cos — + 2а
____у ___у у	у _______
/	5л\
cos 2а ——I
ctg 2а.
155
Преобразования тригонометрических выражений
7.	Формулы преобразования суммы и разности
тригонометрических функций в произведение
, . Л	~ • а+Р	а — Р
sm а + sin р	=	2 sm —cos	—;
• а	'	г, • а ~ Р	а + Р
sm а - sm р	=	2 sm —г-2-	cos	—г-2-	;
г	2	2
_	а +/3 а -Р
cos а + cos р = 2 cos —--£- cos —;
г	2	2
а г, • а+Р . <х~Р . а+Р . Р - а
cos а - cos р = - 2 sin —sm —~ - 2 sm —у2- sm —-—
£	Z	L	L
2
tga + tgp =
sin (a + P)
cos a cos P ’
tga - tgP =
sin (a — p)
cos a cos p ’
ctga + ctg/3 =
sin (a + P) .
sin a sin p ’
ctga - ctg/3 =
sin (/3 - a)
sin a sin p
Пример 1.817. Преобразовать в произведение:
a) sin 26° + sin 14°;
6)
•
smg-sm-
e) cos 6a + cos 4a;
г) cos a - cos 8a;
d) tg25° + tg 15°;
„ Я	71
e) ctgyj-ctg^.
Решение, а) Применяя формулу суммы синусов, имеем:
• ^=, • ,,,	„  26°+14’	26°—14°	„ . „ЛО
sin 26 + sin 14 =2 sin---cos--z---= 2 sm 20 cos 6 .
б)	Применяя формулу разности синусов, имеем:
Л	7U Л
.л;	. л . 8”“18	1+18
Sin8 ”SinT8=2Sm—2~ C°S—2~ =
156
Преобразования тригонометрических выражений
5л	13л
„ .	72	72	„ .	5л	13л
= 2 Sin-7- COS—Z— = 2 Sin 777 COS 777.
2	2	144	144
в)	Применяя формулу суммы косинусов, имеем:
, ,	,	~ 6а + 4а 6а - 4а
cos 6а + cos 4а = 2 cos-----cos----------= 2 cos 5а cos а.
&
г)	Применяя формулу разности косинусов
а а + р . /3 - а
cos а - cos р = 2 sm —г-2- sm !—z—,
r	2	2
„	~ , а + 8а . 8а - а
имеем: cos а - cos 8а = 2 sm —-— sin —-— =
„ . 9а . 7а
= 2 sm — sm -у.
д') Применяя формулу суммы тангенсов, имеем:
tg 23° + tg 15° = Sin(2i'+1J') = —sl" I»'
8	6 1 cos 25° cos 15° cos 25° cos 15° '
e) Применяя формулу разности котангенсов, имеем:
ТС	ТС
। ТС ТС А	, 7Г
Sin (15 ~ 12/ = Sin60
.	•» ТС , ТС , ТС
Smi2SmiO Sm12SmiO
Упражнения
1.818. Преобразовать в произведение:
а)	cos 50° + cos 20°;	3)	sin 12° + sin 20°
б)	cos 16° - cos 36°;	и)	. тс . тс Sinl0-Sin20;
в)	sin 28° + sin 12°;	к)	тс	тс coSli + cos-;
г)	sin 5° - sin 3°;	л)	cos 2а - cos 4а;
S)	sin 105° - sin 75°;	м)	sin 7а - sin За;
е)	cos За + cos 5а;	н)	sin /3 + sin 4уЗ;
ж)	Пл , . 5л sm “Гт- + sin 7— ;	о)	cos 6а - cos За;
157
Преобразования тригонометрических выражений
п) sin 2а — sin 10а;
р) cos Зу + cos 8у;
с) tg 15’ + tg 17’;
. х 5л 2л
т) tg— -tgT;
у) ctg 24’+ ctg 16°;
ф) ctg 55’ - ctg 15’;
. . 1л * л
X) tg 24 tg 24;
10 tg За + tg 4а;
ч) ctg5a-ctga;
ш) ctg 2y + ctg 3/5;
u0 tg 3x + tg x,
Пример 1.819. Преобразовать в произведение:
a) cos (a + p) + cos (a - /3);
6) sin (60° + a) - sin (60’ - a);
Решение, а) Применяя формулу суммы косинусов, имеем:
cos (a + р) + cos (а - р) =
Л а+В+а-В	а+В-а+В	„	_
= 2 cos---—т----—cos-----—=-----— = 2 cos a cosp.
&	L
Ответ: 2 cos a cos/3.
б)	Применяя формулу разности синусов, имеем:
sin (60° + a) - sin (60° - a) =
n . 60’ + a - 60’ + a 60’ + a + 60’ - a
= 2 sm-------г-------cos--------------- =
2	2
= 2 sin a cos 60’ = 2 sin a • ^ = sin a.
Ответ: sina.
в)	Применяя формулу разности косинусов, имеем:
158
Преобразования тригонометрических выражений
= 2 sin
(а л\ . (За л
— - — SIH — + —
4 121 14 4
г)	Применяя формулу разности тангенсов, имеем:
Тогда
2 sin а
о •
2 sin —
I 4
2 sin а
Sbl[2
Ответ: 2tga.
(л а\
2)СОЦ4- 2)
2 sin а
- = -------= 2 tg а.
cos а
159
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
1.820.	Преобразовать в произведение:
a)	sin (х + а) + sin (х - а);
б)	cos (а — р) — cos (а + /3);
\	(zt\ /	л-)
в)	sin 2а - т I _ sin 2а - — I;
I о / I 3 1
г)	ctg (45° - а) - ctg (45° + а);
д)	tg (х + а) - tg (х - а);
е)	tg а - tg (а - 30°);
ж)	sin (а + /3) - sin (а - р)-
Пример 1.821. Преобразовать в произведение:
a)	sin 50° + cos 20°;
„ л . л
б)	cos - - sm
О	/
в)	tg 25° - ctg 55°;
г) sin а + cos а;
д) sin а - cos р,
е) ctg а - tg/3.
Решение, а) Формулы преобразования суммы тригоно-
метрических функций в произведение содержат одноименные
функции, а в данной сумме присутствуют и синус, и косинус.
С помощью формул приведения данную сумму можно пре-
образовать в сумму синусов или сумму косинусов, при этом,
в зависимости от выбора вида суммы, будут получаться, на
первый взгляд, разные ответы, в действительности же равные
между собой. Перейдя в данном примере к сумме синусов,
имеем: sin 50° + cos 20° =
= sin 50° + sin 70° = 2 sin 60° cos 10° = vTcos 10°.
Ответ: V3~cos 10°.
160
Преобразования тригонометрических выражений
б) В данном примере перейдем к разности косинусов:
Л , Л л
cos — - sin — = cos — - cos
о	/	о
л
2
7
л
“COSj-COS^
л 5л 5л _ л
о . i + T4 . T4“i
= 2 sin --- sin ---
2	2
27л 13jt
.	56 .56
= 2 sin —— sin ——
2	2
л . 27я . 13тг
= 25Ш—3,„—.
Ответ: 2 sin yjy s^n П2 *
в) Перейдя к разности тангенсов, имеем:
tg 25° - ctg 55° = tg 25° - tg 35° =
= sin (25° - 35°) = sin 10°
cos 25° cos 35° cos 25° cos 35° ’
„	sin 10
Ответ:--------—a-----
cos 25 cos 35
г) sin a + cos a = sin a + sin
Л	Л
a + — — a a — — + a
2	2
= 2 sin-------------cos-------z------ =
ЛЛ	L
_ •	( Лг\ i •	( Л
= 2 sin — cos la - — I = v2 cos la - —
4	I 41 «	I 4
Ответ: ТУcos
d) sin a - cos /3 = sin a — sin
2	r 2
= 2 sin-----------cos-------—
2	2
(а+в л\	(a — в л\
= 2sn4~2_"4jCOS|^-+4j-
Ответ: 2 sin (a	cos o + J'') •
12	41	\2	41
6 Тригонометрия
161
Преобразования тригонометрических выражений
sin a sin
е) ctga - tg/S = ctga - ctg
sin
sin a cos p
cos (a + 0)
sin a cos 0'
cos (a + /3)
sin a cos 0'
Ответ:
Отметим, что в последнем примере можно было получить
ответ иначе, представив ctga и tg/? в виде дробей, приве-
денных затем к общему знаменателю.
Упражнения
1.822. Преобразовать в произведение:
a) sin 20° + cos 20°;
, Л,
б) cos g- - Sin-;
в) sin 25° + cos 55°;
г) cos 22° - sin 66°;
d) sin— + cos—;
о	Э
„ . л	2л
e) sin -z - cos—;
ж) sin a —cos a;
s) sina + cos/3;
u)	tg 12° - ctg 40°;
. 5л , 3л
к)	ctg 24 + tg-g-;
л)	sin a — cos (a — 60°);
Пример 1.823. Преобразовать в произведение:
а)	0,5 + cos а;	в) V3" — 2 sin a;
6)	1 + tga;	г) V3~tga - 1.
Решение, a) 0,5 + cos a = cos + cos a =
„	3+“	¥~a	„ (л , a\ (ла
= 2 cos —z— cos —z— = 2 cos -z + — cos H- - -z-
Z	Z	i О Z I i О z
(л a\	(ла
— + — I cos v - w
О Z J	i о z
162
Преобразования тригонометрических выражений
б) 1 + tg а = tg + tg а =
4
. (л Л \
sin -г + а\
\4	/
7Г
cos — cos а
4
ТУ sin
cos а
Ответ;
ТУ sin [у + а
\4 t
cos а
в) ТУ- 2 sina = 2 sina^ = 2 fsin^ - sina
1	f	1	«J
г) vTtg a - 1 = vT ^tg a -	= vT
V3~sin (a —	V3~sin [a -
_ ______\ О/ _ _________\ О/ __
л ~	ТУ
cos a cos — cos a - —
Ответ:
cos a
Упражнения
1.824. Преобразовать в произведение:
a)	1 - 2 cos a;	ж)	V3” + 2 cos a;
б)	1 + 2 sin а;	3)	1 - VFsina;
в)	1 — 2 sin a;	и)	V3" + ctg a;
г)	1 - tg a;	к)	V2~ + 2 cos a;
3)	1 + ctg a;	л)	^3"- 2 cos a;
е)	1 - ctg a;	м)	VT- tga.
163
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.825. Доказать тождество
. а .	. 11а
sm 4а — sin 5а - sin 6а + sin 7а = — 4 sin -z sin а sin —z—.
X	it
Решение. Объединив первое и четвертое, второе и третье
слагаемые, преобразуем суммы синусов в произведение:
sin 4а — sin 5а — sin 6а + sin 7а =
= (sin 4а + sin 7а) — (sin 5а + sin 6а) =
„ . Па За	~ . 11а а
= 2 sin -у- COS у----2 Sin -у COS у =
„ . Па /	За	а)
= 2 sin cos -z— cos -z- .
ЛЛ 1	X	A ]
Преобразовав разность косинусов, стоящую в скобках, в
_ . Па (	За	а\
произведение, получаем: 2 sin —— cos -z— cos -z- =
X 1 At	Z /
„ . Па
= 2 sin — •
За а
„ . 2 + 2
- 2 sin—-—
За а
. T~2
A . Па . .а
= — 4 sin sin a sin —,
что и требовалось доказать.
Пример 1.826. Доказать тождество
Решение. Объединив первое и четвертое, второе и третье
слагаемые, имеем:
164
Преобразования тригонометрических выражений
3л
„	10
= 2 cos —
Л
+ 1о
2
Зл л
То ~а “То ~а
cos-------------
3л
„	10
- 2 cos —
л
+ 10
2
Зл л
1о+“-1о + “
cos-----г---
ТЕ	( ТЕ	।	ТЕ	। ТЕ
= 2 cos — cos — - а - 2 cos — cos — + а
0	I lv	f	0	1 lv
л
= 2 cos -=
О
10
ТЕ	ТЕ
_ л 10	10
= 2 cos — • 2 sin------------------
5	2
ТЕ
sin “
10
2
>Л ,	, ТЕ
= 4 cos — sin a sin —<
О	Ю
Так как sincos v = т (докажите самостоятельно), то
10 Э 4
. . Л	л .	1 .
4 sin -77 cos — sin а = 4 • — sin a = sin a,
10	0	4
что и требовалось доказать.
Пример 1.827. Доказать тождество
sin а + sin Д + sin у — sin (а + Д + у) =
= 4 sin—y21sint-yAsin —
Решение, sin а + sin (i + sin у - sin (а + /3 + у) =
„ . a+fl a—fl . у - a — fl — у у + a + fl + у
= 2 sin —~~~ cos —3х- + 2 sin L-—- cos L--------—- =
2	2	2	2
a + 8 a - ft _ . a + 8 a + 8 + 2y
= 2 Sin —z-2- COS —z-2- - 2 Sin —T-2- COS-- =
2	2	2	2
n . cc + 8 ( a — fl a + fl + 2y\
- 2 Sin —z-2- cos —z-2- - cos--- ~
2^2	2	/
165
Преобразования тригонометрических выражений
„ • « + £ _ . 1 (а + В + 2у а — в\
= 2 sin —• 2sinv -------------х-Я х
1 (а - в а + В + 2у\
X sin- —--------------Я =
XIX	X /
, . а + В . а + в + 2у-а + В . а-В + а+в + 2у
= 4 sin —т-2- • sin---7-------- sin-------—------ =
2	4	4
, . а+0 . 2Р + 2у . 2а + 2у
= 4 sin—rJ- sin =!—.—-sin--—- =
2	4	4
„ . а + В . В + у . а + у
= 4 sin —sin sin —
что и требовалось доказать.
Пример 1.828. Доказать тождество sin a sin /3 cos у =
= (cos (а -р + у) + соз(Р + у - а) -
-	cos (а + р - у) - cos (а + р + у)).
Решение. Преобразуем правую часть данного тождества:
i (cos (а - р + у) + cos (Р + у - а) -
-	(cos (а + р - у) + cos (а + Р + у)) =
1 а—Р + у+Р + у — а а—Р + у — Р~ у+ <х
= - 2 cos-----—— ----------cos----——£-----------
п а+Р~у + а+Р + у а+Р — у — а— Р — у\
- 2 cos----—----------—-cos----——z--------—- =
it	At	I
= (2 cos у cos (a - P) -2 cos (a + p) cos y) =
= cos у (cos (a - P) - cos (a + P)) =
1	_ . a—p+a+p . a+p—a+p
= 2 cos у • 2 sm-------- sm------------ =
= cos у sin a. sin p,
что и требовалось доказать.
166
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.829.	sin а + sin За + sin 5а + sin 7а =
= 4 cos a cos 2а sin 4а.
1.830.	sin 5а + sin 6а + sin 7а + sin 8а =
. а . 13а
= 4 cos — cos а sin -z— .
X	it
1.831.	cos 5a + cos 8а + cos 9а + cos 12а =
t За „	17а
= 4 cos — cos 2а cos —z— .
X	X
1.832.	sin 5a - sin 6а — sin 7а + sin 8а =
. . a .	. 13а
= - 4 sin — sin a sin -г- .
X	X
1.833.	cos За - cos 4а - cos 5a + cos 6а =
. . a . 9а
= - 4 sin — sin a cos —.
2	2
(2тг	\	( 3jk	\	(тс	\
— - 2а I - sin — - 2а - cos -z - 2а I +
О	J	i1V	J	IO	J
(JT	\
— - 2а I = - cos 2a.
1.835.	cos a + cos Д + cos у + cos (a + /3 + y) =
, a + 8 a + у 8 + y
= 4 cos —z-1- cos —z-2- cos _	.
XXX
1.836.	cos a cos Д cos у = (cos (a + /3 + y) +
+*cos 08 + y-a) + cos(y + a- /J) + cos(a+^ - y)).
1.837.	sin a sin /3 sin у = ^- (sin (fi + y — a) +
+ sin (a — /3 + y) + sin (a + /3 — y) — sin (a + /3 + y)).
1.838.	sin a cos /3 cos у = (sin (a + /3 + y) +
+ sin (a - /3 + y) + sin (a + /3 - y) - sin + у - a)).
ее*
167
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.839. Доказать тождество
. _	. ,	.а в а — в
sin а + sin р + sin (а - р) = 4 sin -% cos cos —.
Решение. Преобразовав сумму sin а + sin /3 в произведе-
ние, a sin (а — /3) расписав как синус двойного аргумента,
имеем: sin а + sin р + sin (а — /3) =
. а+Р ct~P . a - р а - ft
- 2 sin —cos —+ 2 sin —у*- cos —r-£- =
L	L	L	L
a — P ( . a +в . a-B\
= 2 cos —y*- sin —+ sin —rJ- =
XI X	XI
_ ct~P „ . i(a+p a~p\ i(a+P a - p\
=2 cos 2	‘ 2 Sm 2	2 + 2 C0S 2	2----2	=
a ~P . a fi
- 4 cos —y*- sin — cos
X	XX
что и требовалось доказать.
Пример 1.840. Преобразовать в произведение выражение
sin За + sin 5а + sin 7а.
Решение. Преобразовав сумму sin За + sin 7а в произве-
дение, получаем: sin За + sin 7а + sin 5а =
= 2 sin 5а cos 2а + sin 5а — 2 sin 5а (cos 2а +	.
I	XI
_	1	JT
Представив — как косинус —, имеем:
X	«э
/	1\	.	(	л\
2 sin 5а cos 2а + I =2 sin 5а cos 2а + cos у =
I	XI	I	J I
= 4 sin 5а cos (а + у | cos [а -
I О I I о
Ответ? 4 sin 5а cos
168
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.84 L Преобразовать в произведение выражение
1 + sin а + cos а.
Решениво Применив к сумме 1 + cos а формулу пониже-
ния степени, а к sin а формулу синуса двойного аргумента,
получаем: 1 + cos а + sin а = 2 cos2 у 4- 2 sin cos у =
X	XX
а а . а\
= 2 cos cos у + sin у .
XI X	XI
Представив выражение, стоящее в скобках, в виде суммы
косинусов и преобразовав ее в произведение, имеем:
а ( а . а\ ala 1л а
2 cos — I cos — + sin — I =2 cos у cos у + cos I у - у
XI X	XI	X I X	I X X
ала
„ а п 2+2~2
= 2 cos — 2 cos--
ала
2 ~2 + 2
cos-2--
л а
4 " 2
„ ал (а л\ , a V2~ (л а
= 4 cos у cos — cos ^2-jJ =4cos-—cos
= 2 VTcos у COS fy - yV
Z (4 Z)
Ответ: 2v2cos — cos
X
Пример 1.842. Доказать тождество
.	’	,	,	la a
8 cos a + 4 cos a - 8cos a - 3cosa + 1 = 2cos — cosy,
z z
Решение. 8 cos4 a + 4 cos3 a - 8 cos2 a - 3 cos a + 1 =
= 8 cos2 a (cos2 a - 1) + (4 cos3 a - 3 cos a) + 1 —
= 1-8 cos2 a sin2a + cos 3a = 1 - 2 sin22a + cos 3a =
= cos 4a + cos 3a = 2 cos -y^ cos у,
z z
что и требовалось доказать.
169
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.843.	1 - sina - cosa = 2 V2~sinsin [у - 45°
X	I z
1.844.	1 + sina - cosa = 2 V2~sin^ sin I? + т
2	12	4
2
1.845.	1 - 2 cos a + cos 2a = - 4 cos a sin
2 (
1.846.	1 - 2 sina - cos 2a = — 4 sin a sin 45° - у I.
\	f
1.847.	sin 16° + sin 24° + sin 40° = 4 sin 20° cos 22° cos 18°.
1.848.	cos 16° + sin 56° + sin 50° = 4 cos 25° sin 53° cos 28°.
1.849.	cos (54° + a) + cos (18° - a) + sin (36° + 2a) =
= 4 cos (18° + a) sin 136° + у ] cos 118° —	.
\	** /	I	** /
1.850.	sin a + cos 2a + sin 3a + cos 4a =
= 4 cos a sin 145° - y] cos |45° -
\	** J 1	“
1.851.	cos a + sin 2a + cos 3a + sin 4a =
= 4 cos a cos 45° - — cos 45° —r-
I	*“ /	\	X f
1.852.	1 + cos a + cos (5 + cos (a — p) =
a /3 a -fi
= 4 cos — cos cos —
XX X
1.853.	1 + cos a + cos 2a =
= 4 cos a cos 130° + “ ] cos 130° - |.
1.854.	sin a + sin 3a - sin 2a = 4 sin cos a cos
1.855.	sin a + sin (a + p) + sin /3 = 4 sin a cos £ cos ~.
1.856.	cos a + cos 2a + cos 3a =
170
Преобразования тригонометрических выражений
1.857» sin (а - 2/3) + sin (fi - 2а) — sin (а + /3) =
t а — 2в . а + в 2а — В
= - 4 cos —sin —COS-----------------------------r-!- .
L	L
1.858.	sin 10° + sin 50° - cos 20° = 0.
1.859.	cos 85° + cos 35° -	cos 25° = 0.
1.860.	sin a + cos a — sin	I а — ? | + cos	[a	—	v I	=
\ О /	\	оJ
= V6”cos ^a -
1.861.	cos — + 4a + sin (Зл: - 8a) - sin (4л - 12a) =
1 £	I
= 4 cos 2a cos 4a sin 6a.
1.862.	cos a + cos (240° + a) + cos (240° - a) = 0.
1.863.	sin a + sin 60° + sin (a + 60°) =
____ a fee
— 2 VsTcos —sin I— + 30
At	1 At
1.864.	sin (5a + /3) + sin (За + (3) + sin 2a =
л . 5a + В За + в
= 4 cos a sin —z-^- cos —z-*-
1.865.
2 I	1	к	f OifV	1
4 cos 2a —z- + cos (2a — л) + sin -z— 6a =
IX/	I X	/
= 32 siriAt cos Ac.
1.866. cos 1 la + 3 cos 9a + 3 cos 7a + cos 5a =
= 8 cos 8a cos3 a.
1.867. 1 + 2cos 2a + 2cos 4a + cos 6a + cos 8a +
+ cos 10a = 8 cos a cos 2a cos 3a cos 4a.
Пример 1.868. Доказать тождество
tg 6a - tg 4a - tg 2a = tg 6a tg 4a tg 2a.
sin 2a
Решение, tg 6a - tg 4a - tg 2a = cos6a cos^ - tg 2a =
171
Преобразования тригонометрических выражений
_ sin 2а sin 2а _
" cos 6а cos 4а cos 2а “
_ sin 2а cos 2а - sin 2а cos 6а cos 4а
- cos 6а cos 4а cos 2а
_ sin 2а (cos 2а - cos 6а cos 4а) _
~ cos 6а cos 4а cos 2а ~
_ sin 2а (cos (6а - 4а) — cos 6а cos 4а) _
~	cos 6а cos 4а cos 2а	-
sin 2а (cos 6а cos 4а + sin 6а sin 4а — cos 6а cos 4а)
cos 6а cos 4а cos 2а
sin 2а sin 6а sin 4а
cos 6а cos 4а cos 2а
- tg 6а tg 4а tg 2а,
что и требовалось доказать.
Пример 1.869. Доказать тождество
tg 9° - tg 63° + tg 81° - tg 27° = 4.
Решение, tg 9° - tg 63° + tg 81° - tg 27° =
= (tg 9° + tg 81°) - (tg 63° + tg 27°) =
= sin 90°sin 90°	_	1
cos 9° cos 81° cos 63° cos 27° cos 9° sin 9°
1	_	2 2
sin 27° cos 27°	2 cos 9° sin 9°	2 sin 27° cos 27°
_	2	_	2	_	2 (sin 54° - sin 18°)	_
“	sin 18°	~	sin 54°	“ sin 18° sin 54°
_ 2 • 2 sin 18° cos 36° _ 4 cos 36° _
sin 18° sin 54°	“ sin 54° ” 4’
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.870.
tg2a
tg 4a - tg 2a
= cos 4a.
1.871. ctg 6a - ctg 4a + tg 2a = - ctg 6a ctg 4a tg 2a.
172
_______Преобразования тригонометрических выражений
1.872. tg За - tg 2а - tg а = tg a tg 2а tg За.
(л . \ ,	( л\
tg I j + а\ + tg la - —I
1.873.		)---е-------Ч-------= Sin 2a.
. I I	. I 3T I
ctg a + — + ctg — - a
I 41	14 I
1.874.	. . \ .---------— -	:— = ctg 4a.
tg 3a + tg a	ctg 3a + ctg a
1.875.	tg 30° + tg 40° + tg 50° + tg 60° = 8c<^j°° .
1.876.	.	-	j--.----. ,	—	=	sin 2a.
tg 3a + tg a tg 5a - tg a
2
8 cos 2a
1.877.	tg a + ctg a + tg 3a + ctg 3a = ——-—.
Пример 1.878. Доказать тождество
sin2 (a + /3) — sin2 (a — /3) = sin 2a sin 2/3.
Решение. 1-й способ. Разложив левую часть данного
равенства как разность квадратов на множители, преобразо-
вываем полученные разность и сумму синусов в произведение,
а затем применяем формулу синуса двойного аргумента:
sin2 (a + р) - sin2 (a — /3) =
= (sin (a + /3) - sin (a - /3))(sin (a + /3) + sin (a - /3)) =
*	. a+B-a+B	a+B+a-B
= 2 sin----------- cos------------ x
„ . a+B+a—В	a+B—a+B
x 2 sin--— -------- cos---—z------- =
= 2sin/3cosa • 2sinacos/3 =
= 2 sin a cos a • 2 sin/J cos /3 = sin 2a sin 2/3,
что и требовалось доказать.
2-й способ. Применить формулы понижения степени,
затем преобразовать полученную разность косинусов в про-
изведение: sin2 (a + /3) — sin2 (a — /3) =
173
Преобразования тригонометрических выражений
1 - cos (2а + 2/3)	1 - cos (2а - 2/3)
2	2
_ 1 - cos (2а + 2/3) - 1 + cos (2а - 2/3) _
2
_ cos (2а - 2/3) - cos (2а + 2/3) _
-2-
. 2а-2В + 2а + 2В . 2а + 2В-2а + 2В	. лО
= sin-----Z!—=-----— sin----------------— = sin 2a sm 2/3,
что и требовалось доказать.
Пример 1.879. Доказать тождество
1-4 siirа = 4 sin I — - al sin — + aL
lo } 1о I
Решение. 1-4 sin2 a = 4 Н-- sin2 a I =
(4	I
(• 2^	• 2	л ( •	•	\ ( •	*% t	\
sur—-sural =4 sin — — sinal sin —4-sina =
O	j l О	J I О	/
(л a\	(л	, a\	Л	. /л	а\ {л
12 " 2jC0S	(12	+ г]	2sin (12	+ 2jcos (12	-
(л а\	(л	а\	~	. f л	а\ (л
12 - г] C0S	(12	- l)	2	S,n (12	+ 2/“S (12	+
. . /л	\ . (л , \
= 4 sin 17- — a sin — + а ,
Io	J (о I
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.880.	sin2 a - sin2/3 = sin (a + /3) sin (a - /3).
1.881.	cos2a — cos2/3 = sin (a + /3) sin (/3 - a).
1.882.	cos2 (a - /3) - cos2 (a + /3) = sin 2a sin 2fl.

174
Преобразования тригонометрических выражений
1.883.	lg2 « - tg2,? =	.
cos a cos р
1.884.	а^а-аец = sin (° +f>sin^ - “1 .
sin a sin p
1.885»	sin2 а — 0,75 = sin (a — 60°) sin (a + 60c).
1.886.	4 cos2a - 3 = 4 sin Hr + a I sin — a I.
Io J Io I
I.S87.	3 - <g2« = 4 sin (604 a) sin (60'-a)
cos a
1.888.	1 — 3cig2a = 4 sin (a + 60~) sin (a - 60~)
sin a
Пример 1.889. Доказать тождество
sin a + sin в a + в a — в
sin a-sin = ** 2 И» 2 '
Решение. Преобразовав числитель и знаменатель данной
-	sin a + sin в
дроби в произведение, получаем: s-n а _ s-^ =
а + Д а - Д
2sin — cos— а+р а_р
~	. а-p а+р ~ tg 2 Ctg 2 ’
2 sin —~~ cos —
At	At
что и требовалось доказать.
Пример 1.890. Упростить выражение
cos (45° + a) + cos (45* - а)
cos (45° + а) — cos (45° - а) ’
Решение. Преобразовав числитель и знаменатель данной
дроби в произведение, получаем:
cos (45° 4-«) + COS (45° - а) _
cos (45° + а) — cos (45° — а) ~
175
Преобразования тригонометрических выражений
45° + а + 45° - а 45° + а - 45° + а
2 cos--------2--------cos---------2--------
=	. 45° + а + 45° - а . 45° + а - 45° + а
- 2 sin----------------- sin---------~--------
cos 45° cos a
—-----•' ~ „v.—- = - ctg a.
sin 45 sin a
Ответ: - ctg a.
Пример 1.891. Упростить выражение
2 cos 10а + 2 cos 6а + 4 cos 2а
sin 6а + sin 2а
Решение.
2 cos 10а + 2 cos 6а + 4 cos 2а
sin 6а + sin 2а
2 (cos 10а + cos 6а) + 4 cos 2а _ 4 cos 8а cos 2а + 4 cos 2а
2 sin 4а cos 2а “	2 sin 4а cos 2а
4 cos 2а (cos 8а + 1) _ 2 (cos 8а + 1)
2 sin 4а cos 2а - sin 4а
4 cos2 4а
sin 4а
= 4 ctg 4а cos 4а.
Ответ: 4 ctg 4а cos 4а.
Пример 1.892. Упростить выражение
sin а — sin За — sin 5а + sin 7а
cos а — cos За + cos 5а - cos 7а
„	sin а — sin За — sin 5а + sin 7а
Решение.-------------z—:--------------—
cos а - cos За + cos 5а - cos 7а
_ (sin а — sin За) + (sin 7а - sin 5а) _
~ (cos а - cos За) + (cos 5а — cos 7а) -
- 2 sin а cos 2а + 2 sin а cos 6а _ 2 sin а (cos 6а - cos 2а)
2 sin 2а sin а + 2 sin 6а sin а — 2 sin а (sin 2а + sin 6а)
176
Преобразования тригонометрических выражений
	__ — 2 sin 4а sin 2а _ ~ 2 sin 4а cos 2а ”
Ответ: - tg 2а.
Упражнения
Доказать тождества:
1.893.	sin 2а - sin 40	. ,	_л„. „	.	._о = tg (а - 20 ). cos 2а + cos 40	4	'
1.894.	cos а - cos Д _ fl - a sin a + sin Д “ g 2
1.895.	sin a + sin 3a ,	_	= tg 2a. cos a + cos 3a
1.896.	sin 19° - sin 37° =	1 cos 65° — cos 47° ~ 2 sin 18° ’
1.897.	cos 2a - cos 4a , „ , ,	.	.	= tg3atga. cos 2a + cos 4a °	° 3a
1.898.	sin 2a + sin a _ g 2 sin 2a — sin a ~ a ,e2
1.899.	sin (45° + a) + sin (45° - a) _ sin (45° + a) - sin (45° - a) Ctg a‘
1.900.	sin (a + Д) + sin (a —/3) cos (a + /?) + cos (a - p) 6 ’
1.901.	sin (a + fl) - sin (a - fl) cos (a + fl) - cos (a - p) ~ ctg a‘
1.902.	cos a + sin a	(л \ cosa - sina	14	1
1.903.	tg (a + 15°) + tg (a — 15°) _ tg (a + 15°) - tg (a - 15°) “ Z ~
1.904.	tg (45° + a) — tg (45° — a) ctg (45° + a) + ctg (45° - a)	Z
1.905.	sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a 	 = tfi 4a. cos a + cos 3a + cos 5a 4- cos 7a
177
Преобразования тригонометрических выражений
1.906.
1.907.
1.908.
1.909.
1.910.
1.911.
1.912.
1.913.
1.914.
1.915.
1.916.
1.917.
cos a — cos 3a + cos 5a — cos 7a
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a
= tga.
cos a - cos 2a - cos 4a + cos 5a
sin a — sin 2a — sin 4a + sin 5a
sin a + sin/? - siny - sin (a + /? + y) _
cos a + cos P + cos у + cos (a + /? + y) —
«+/3 ft+ У
I©
= ctg За.
= tg
sin a 4- 2 sin 3a + sin 5a
sin 3a + 2 sin 5a + sin 7a
sin a — 2 sin 2a + sin 3a
cos a - 2 cos 2a + cos 3a
2	® 2
sin 3a
sin 5a *
= tg2a
«2
a
CIS 2
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
------------------=----------- = 2 cos a.
cos a + 2 cos a - 1
2 (sin 2a + 2 cos2 a - 1)1
cos a — sin a — cos 3a + sin 3a — sin a
sin a + sin /3 + sin (a + p) _	a+ fi
sin a - sin/? + sin (a + /3) “	2
tg 2a 4- tg 2/3___________cos (a + /3)_______
sin 2a 4- sin 2/3 - cos 2a cos 2/3 cos (a - /3) ’
sin 2a + sin 4a - sin 6a
— ------—---------—z------ = — 4 cos a cos 2a cos 3a.
tg a + tg 2a - tg 3a
sin (a 4- /3) - sin a cos (a 4- /3) 4- cos a _
sin (a + p) + sin a cos (a + /?) - cos a ~
cos (a + p) - cos a
2ctg la 4
- sin/3
(л
cos 2a - — — cos 2a + —
\	6/	\ о/
cos a--------*------±=
2 cos a
= V2*cos
178
Преобразования тригонометрических выражений
8.	Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
sin a cos /3 = (sin (а - /3) + sin (а + /3));
sin a sin/3 =	(cos (а - р) - cos (а + /3));
cos a cos /3 =	(cos (а - /3) + cos (а + р)).
лл
Пример 1.918. Преобразовать в сумму произведение:
a)	sin 15° cos 10°;	г) 2 sin (а + /3)cos(a — р)\
б)	sin sin	д) 2 sin 2а cos 5а.
в)	cos a cos За;
Решение.
a) sin 15° cos 10° = | (sin (15° - 10°) + sin (15° + 10°)) =
= (sin 5° + sin 25°)
61 sinl2 Sm 8
Л
8
1 I l л
^cas- —
2 I I 24
5tc i 1 ( тг 5tc
"COS24 =2 COS24-COS24
в) cos a cos 3a = (cos (a - 3a) + cos (a + 3a)) =
= (cos 2a + cos 4a).
£
г) 2 sin (a + /3) cos (a - p) =
= 2 • 4 (sin (a + p — a + p) + sin (a + /3 + a — /3)) =
£
= sin 2/3 + sin 2a.
d) 2 sin 2a cos 5a =
179
Преобразования тригонометрических выражений
= 2 • (sin (2а — 5а) + sin (2а + 5а)) =
= sin (— За) + sin 7а = sin 7а - sin За.
Упражнения
Преобразовать данные произведения в сумму:
1.919. cos 15° cos 5°.
1.920.	2 cos 18° cos 66°.
1.921.	2 cos -г- cos —.
О 5
1.922.	2 cos За cos 2а.
1.923.	2 cos (2а + /3) cos (а - 3/3).
/	л\	/а	л\
1.924.	cos а-- cos k + Т •
I	о 1	Iz	о!
1.925.	2 cos а cos (а + 2).
1.926.	2 cos (а + /3) cos (а - /3).
1.927.	sin 15° cos 40°.
1.928.	2 sin тх cos .
10	40
1.929.	sin 6а cos 4а.
1.930.	2 sin 8а cos 20а.
1.931.	sin (а - /3) cos (а + /3).
1.932.	sin 28° sin 24°.
1.933.	sin 48° sin 74°.
1.934.	2 sin a sin 2а.
1.935.	2 sin (a + /3) sin (a - /3).
1.936.	sin 5a sin 3a.
1.937.	sin (60° + a) sin (60° - a).
1.938.	sin + «I sin — a I.
180
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.939. Преобразовать в сумму произведение:
a)	sin 10° sin 8° cos 6°;
- . а .За
б)	4 cos — cos a sin —;
в)	cos (а - р) cos (а - у) cos (у - р).
Решение, а) Преобразовав произведение sin 8° cos 6° в
сумму, получаем: sin 10° sin 8° cos 6° =
= sin 10° • (sin 2° + sin 14°) =
= | (sin 10° sin 2° + sin 14° sin 10°).
Применив повторно формулы преобразования произведения
в сумму (теперь для произведения синусов), имеем:
(sin 10° sin 2° 4- sin 14° sin 10°) =
= 4 | x- (cos 8° - cos 12°) + (cos 4° - cos 24°) | =
= (cos 8° - cos 12° + cos 4° - cos 24°).
Ответ: i (cos 8° - cos 12° + cos 4° - cos 24°).
б) Применив дважды формулы преобразования произве-
дения в сумму, а также формулу синуса двойного аргумента,
, .а .За ... За 1 / а , За)
получаем: 4 cos -г cos а sin — = 4 sin — • — cos -г + cos -г- =
£	£	£	£ \	£	£ I
За	а , _ . За	За	.
= 2 sin — cos у + 2 sin — cos — = sin а + sin 2а + sin За.
м	X	L	L
Ответ: sin а + sin 2а + sin За.
e) cos (а - р) cos (а - у) cos (у - р) =
= cos (а - р) (cos (а - у - у + р) + cos (а - у + у - р)) =
= cos (а - р) (cos (а + /3 - 2у) + cos (а - р>) =
= (cos (а - р) cos (а + /3 - 2у) + cos2 (а — /?)) =
181
Преобразования тригонометрических выражений
= х т- [cos (а - /3 - a -ft + 2у) + cos (а -/3 + а + (3 - 2у)| +
л/ I X V	/
+ I (1 + cos (2а - 2/3)Й = | fcos (2у - 2/3) +
+ cos (2а - 2у) + 1 + cos (2а — 2/3) j j =
= | (cos (2y - 2/3) + cos (2а - 2y) + cos (2а - 2/3) + 1).
Отметим, что была использована также формула пони-
жения степени для квадрата косинуса.
Ответ: | (cos (2у - 2/3) + cos (2а - 2у) + cos (2а - 2/3) + 1).
Пример 1.940. Доказать тождество
4 cos — cos a cos -г- = cos а + cos 2а + cos За + cos 4а.
X	X
„	„а	Sa
Решение. 4 cos -г- cos a cos =
п ( (а 5а\ , (а , 5а
= 2 cos а cos — —— + cos — + —
1 IX X /	\
= 2 cos a (cos 2а + cos За) = 2 cos 2а cos а + 2 cos За cos a =
= cos (2а — а) + cos (2а + а) + cos (За - а) + cos (За + а) =
= cos а + cos За + cos 2а + cos 4а,
что и требовалось доказать.
Пример 1.941. Доказать тождество
4 cos a cos (60° - a) cos (60’ + а) = cos За.
Решение. Дважды применяя формулу преобразования
произведения косинусов в сумму, получаем:
4 cos a cos (60’ - a) cos (60’ + а) =
= 2 cos а (cos (60° - а - 60’ — а) + cos (60° - а + 60’ + а)) =
= 2 cos а (cos 2а + cos 120°) = 2 cos а fcos 2а - 11 =
= 2 cos а cos 2а - cos а = cos а + cos За - cos а = cos За,
что и требовалось доказать.
182
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.942. Доказать тождество sin a sin Р cos у =
= (cos (а - /? + у) + cos ()3 + у - а) -
- cos (а + Р — у) - cos (а + /3 + у)).
Решение, sin а sin /3 cos у =
= sin a (sin (fl — у) + sin (fl + у)) =
= ~ (sin a sin (p - y) + sin a sin (fl + y)) =
=	(cos (a - fl + y) - cos (a + fl - y) + cos (a — fl	-	y)	-
- cos	(a + fl + y)) = i (cos (a - fl + y) — cos(a + fl	-	y)	+
+ cos (fl + у - а) - cos (a + fl + y)),
что и требовалось доказать.
Пример 1.943. Упростить выражение
sin 2а + 2 sin	- aj cos (5л	\ Решение,	sin 2а +	2 sin	1— - а	1 cos • а	/ 5л	5л	।	, ( = sin 2а + sin 4— — а	- —	- а 1	+	sin 1 LX	LZ	у	i = sin 2а + sin (- 2а) + sin .	.	. ( л\ = sin 2а — sin 2а + sm 1л — — = \ о ) Ответ: 0,5. Пример 1.944. Доказать тождество _ .*	- 2sin70° = 2 sin 10 Решение. 2<?1(Г	2 sin 70“ =	f2+“J' (5л , \ Iй J  5л	.	5л	,	\ 12 “ a + L2 + a) ~ 5л _ ~6~ sin = 0,5. О 1. 4 sin 70° sin 10° _ 2 sin 10°
183
Преобразования тригонометрических выражений
1 - 2 (cos 60° - cos 80°) _ 1	2 ^2 Sir
2 sin 10°	“	2 sin 10°
1 - 1 + 2 sin 10°
2 sin 10°
что и требовалось доказать.
Упражнения
Преобразовать в сумму произведения:
1.945. 4 sin 10° cos 8° cos 6°.
1.946.	4 sin 25° cos 15° sin 5°.
1.947.	4 sin 12° sin 14° sin 16°.
1.948.	2 cos 25° cos 35° cos 15°.
1.949.	sin a sin/? cos (a + fi).
1.950.	sin a sin 2a sin 3a.
1.951.	sin (45° + a) sin (45° - a) cos 2a.
Доказать тождества:
1.952.	4 sin 20° cos 50° cos 80° =
= ^ - sin 10° - cos 20° + sin 50°.
1.953.	4 cos 15° sin 20° sin 40° =
vT
= cos 5° - cos 75° + cos 35° ——.
1.954.	4 sin a sin (60° — a) sin (60° + a) = sin 3a.
1.955.	16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.
1.956.	16 sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = 3.
1.957.
1.958.
4 sin cos (30° - sin |б0° - у | = sin^p
cos 55° cos 65° cos 175° = -	.
1.959.	cos a cos /? cos у = -^ (cos (a+/? + y) +
+ cos ()3 + у - a) + cos (y + a - /?) + cos (a + /? - y)).
184
Преобразования тригонометрических выражений
1.960.	sin a sin Р sin у = (sin (Р + у — а) +
+ sin (а - Р + у) + sin (а + /? - у) - sin (а	+	/3	+	у)).
1.961.	sin а cos/3 cos у = j (sin (а + /3 + у) +
+ sin (а — р + у) + sin (а + р - у) - sin (fi	+	у	-	а)).
3 V3”
1.962.	6 cos 80° - 2 CQS J0» = - 3.
1.963.	8 sin 10° sin 50° sin 70° = 1.
1.964.	4 cos 2а cos (у + 30° | cos |y - 30° | =
= cos а + cos 2а + cos За.
1.965.	4 cos у cos a sin	= sin а+sin 2а+sin За+sin 4а.
1.966.	tg 20° tg 40° tg 60° tg 80° = 3.
Упростить выражения:
1.967.	2 sin 10° sin 40° + cos 50°.
1.968.	2 cos 20° cos 40° - cos 20°.
1.969.	sin а (1 + 2 cos 2а).
1.970.	2 cos a cos 2а - cos За.
/ л\
а + — sin I а — — I.
61 I 61
1.972.	2 sin 2а sin а + cos За.
1.973.	sin а - 2 sin - 15° | cos | у + 15° |.
1 X	J I X	I
1.974.	sin a sin 03 - y) + sin /3 sin (у - a) + sin у sin (a - p).
1.975.	sin (a + p) sin (a - p) + sin (P + y) sin (ft -y) +
+ sin (y + a) sin (y — a).
♦ ♦ ♦
Пример 1.976. Преобразовать в сумму произведение
8 cos Г cos 2° cos 4° cos 8°.
185
Преобразования тригонометрических выражений
Решение. 8 cos Г cos 2° cos 4’ cos 8° -
= 4 cos Г cos 2° (cos 4° + cos 12°) =
= 2 cos Г (2 cos 2° cos 4° + 2 cos 2° cos 12°) =
= 2 cos Г (cos 2° + cos 6е + cos 10° + cos 14°) =
= 2 cos Г cos 2° + 2 cos Г cos 6° + 2 cos Г cos 10° +
+ 2 cos 1° cos 14° = cos Г + cos 3° + cos 5° + cos 7° + cos 9° +
+ cos 11° + cos 13° + cos 15°.
Ответ: cos Г + cos 3° + cos 5° + cos 7° + cos 9° +
+ cos 1Г + cos 13° + cos 15°.
Пример 1.977. Доказать тождество
sin За — sin 2a cos a = sin a cos 2a.
Решение, sin 3a - sin 2a cos a =
= sin 3a - ~ (sin a + sin 3a) = sin 3a - ~ sin a - sin 3a =
= sin 3a — ~ sin a = ~ (sin 3a — sin a) = sin a cos 2a.
лл	L	L
Пример 1*978. Доказать тождество
1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a = S1?	.
sina
Решение. Рассмотрим разность левой и правой частей
данного равенства:
1 +2 cos2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a - S1.n7a =
sina
_ sin a+2 sin a cos 2a+2 sin a cos 4a+2 sin a cos 6a - sin 7a _
~	sin a	”
_ sin a — sin a + sin 3a — sin 3a
~	sina
186
Преобразования тригонометрических выражений
sin 5а — sin 5а 4- sin 7а — sin 7а
+----------------:-------------- = 0.
sina
Следовательно, данное тождество верно.
Упражнения
Преобразовать в сумму произведения:
1.979.	8 sin 9° cos 4° cos 2° cos Г.
1.980.	8 sin a cos 2a sin 3a cos 4a.
1.981.	4 sin a sin 2a sin 3a sin 4a.
Доказать тождества:
1.982.	cos 2a cos a — sin 4a sin a = cos 3a cos 2a.
1.983.	sin Г + sin 91° + 2 sin 203° (sin 112° + sin 158°) = 0.
1.984.	cos 35° + cos 125° + 2 sin 185° (sin 130° +
+ sin 140°) = 0.
__o_	«	« , „	a	3a
1.985.	cos — cos 2a - cos a cos — + 2 cos — = cos a	cos —.
2	2	2	2
_	11JC Зл: . 5л . 2л	1 л	1
1.986. cos — cos — - sm — sm —	- - cos -	=	-.
1.988. 1 - 2 cos 2a + 2 cos 4a — 2 cos 6a = - C0S7a.
cos a
9. Формулы, выражающие sina, cos a, tga через tg^
2tgy	l-tg2|	2tgy
sina = -cos a = --tga = ----.
l+tg2y	l + tg2?	l“tg2y
X	XX
Пример 1.989. Дано: tgy =3. Найти sina + cos a.
X
187
Преобразования тригонометрических выражений
2tg^
Решение, sina = ----------
1 + tg2 j
COS a = --------- :
1 + tg2l
2 • 3
T+9 =°’6’
^ = -0,8.
sin а + cos а = 0,6 — 0,8 = - 0,2.
Ответ: -0,2.
Пример 1.990. Дано: ctg а = 2. Найти sin 4а.
Решение, tg а =	—
ctg а
х ~	2tga
tg 2а = ---у-
1 - tg2a
= 0,5,
2 • 0,5	1	= 4
1 - 0,25	0,75	3’
8
. л 2tg2a 3	24
SU14a	l + tg22a	1 + 16	25*
9
Пример 1.991. Дано: tgy = Найти sin4 a - cos4 а.
Решение.
sin4 a - cos4 a = (sin2 a + cos2 a) (sin2 a - cos2 a) = - cos 2a.
4
-I
2tgy
tga= ------
1 -tg22
_ 4
3’
1—tg2a
cos 2а = , , 4 2
1 + tg а
*¥
л 24
Ответ: —.
7
25 ’
188
Преобразования тригонометрических выражений
sin4 а - cos4 а = - cos 2а =
7
25’
~	7
Ответ: —.
хо
Пример 1.992. Дано: tg а = 0,2. Найти
„	. _	2tga 2-0,2	5
Решение, sin 2a =	= -,
5	=	5	= 65
6 + 7sin2a г 5	113'
6 + 7Тз
„	65
Ответ:
Пример 1.993. Найти cos 2a, если известно, что
,	Зл 7л
2 ctg2a + 7ctga + 3 = 0 и — < a < — .
Решение. Рассматривая данное равенство как квадратное
уравнение относительно ctga, находим ctga=-— или
ctg a = - 3.
Зл	7л	7л	/тт
Так как — < а < —, то ctga > ctg — = - 1. (Напом-
2	4	4
ним, что если а и /? — углы IV четверти и а>/8, то
ctg а < ctg/?). Следовательно, в данном случае ctga = -^,
.	о	гг	о	1 ” ^2а	1-4	3
tg a =	-	2.	Тогда	cos	2a =	———	=	——-	= -
1 + tgza	1+4	5
3
Ответ: - -.
О
Упражнения
1.994. Найти sin a, cos a, tg a, если tg = 5.
1.995. Найти cos2a, если tga = — 3.
1.996. Найти cos 4a, если tg a = — 4.
189
Преобразования тригонометрических выражений_____________
1.997.	Найти sin a cos a cos 2а, если tga = 3.
1.998.	Дано: tg = 6. Найти sin a - cos a.
- nnn г.	2 sin 2a - 3 cos 2a *	„
1.999.	Вычислить . . .—— -----—, если tg a = 3.
4 sm 2a + 5 cos 2a
1.1000.	Дано: sin a + cos a = -L Найти tg^.
3
1.1001.	Вычислить 1 + 5 sin 2a---—, если tg a = — 2.
cos 2a 6
1.1002.	Вычислить 2 - 13 cos 2a + sin-12a, если
ctga = -|.
2
1.1003.	Дано: tga = 0,3. Найти
1.1004.	Найти sin 2a, если известно, что
о	5л	Зл
2 tg2a - 7 tga + 3 = О и — <а<—.
4	Z
190
Преобразования тригонометрических выражений
§3. Применение всех формул
Пример 1.1005. Упростить выражение
sin 4а cos 2а (1 — cos 2а)
(sin За - sin a)(cos За - cos 5а) *
Решение. Применяя формулы понижения степени и пре-
образования разности тригонометрических функций в произ-
ведение, получаем:
sin 4a cos 2a (1 — cos 2a)	_
(sin 3a — sin a)(cos 3a — cos 5a) ~
_____sin 4a cos 2a • 2 sin2 a_
— 2 sin a cos 2a • 2 sin a sin 4a — 2 *
Ответ: .
Пример 1.1006. Упростить выражение
(1	1 \ /cos 2a _ sin 2a\
cos 3a cos al I sin a cos a I*
Решение. Применяя формулы сложения, преобразования
суммы в произведение, двойного аргумента, получаем:
' 1	1 \ /cos 2a _ sin 2a’
cos 3a	cos a | I sin a cos a
cos a + cos 3a
cos 3a cos a
2 cos 2a cos a
cos 3a cos a
cos 2a cos a - sin 2a sin a
sin a cos a
cos 3a _ 2 cos 2a
sin a cos a ~ sin a cos a
4 cos 2a
sin 2a
= 4 ctg 2a.
Ответ: 4 ctg 2a.
Упражнения
Упростить выражения:
. < (sin a ~ cos a)2 - 1 + sin 4a
1.1007. ------T—з:  -----------.
cos 2a + cos 4a
j IMS sin 2a cos 4a (1 + cos 2a)
(sin 3a + sin a)(cos 3a + cos 5a) ‘
191
Преобразования тригонометрических выражений
1.1009
, o 2» . 2«) „	2«
1 - 8 cos — sin — I 12COS у
cos 3a + cos a
1.1010.
sina _ cos a \ cos a - cos 7a
sin 2a cos 2a I sin a
1.1011.
1 - cos 4a 1 + cos 4a
cos-2 2a - 1 sin-2 2a - 1
-2
1.1012
(cos а - cos За) (sin а + sin За)
1 - cos 4а
1.1013
sin 4a
sina
cos 4a) ( 1	1
cos a I sin 3a sin a
1.1014.
1
sin 2a
1 \ cos 7a - cos 5a
sin 6a I Sin2 2a — cos2 2a
1.1015.
sin 2а
1 - cos 2a
sin 3a - sin a cos a — cos 3a '
Пример 1.1016. Доказать тождество
(cos а — cos fl)2 — (sin а — sin j8)2 = — 4 sin2
y^cos(a +/3).
Решение, (cos а - cos/3)2 - (sin а - sin/J)2 =
a -fl . a +
- 2 sm —г-2- sin —-
2	2
л . a — fl a +
2 sin —z-2- cos —-
2	2
2
. . 2<X-fl . 2a + fl , . 2a~fl 2a +
= 4 sin ——— sin ——21 - 4 sin2 ——— cos —-
2	2	2	2
. . 2a ~ P ( 2a + ft -2
= - 4 sin2—cos2—- sin2
, 9 CC ~~ и . n
= - 4 sin2 —z-2- cos (a + fl)
&
что и требовалось доказать.
192
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.1017»	(cosа - cos/?)2 + (sinа - sin/?)2 = 4 sin2 .
1.1018.	(sinа + sin/?)2 + (cos а + cos/?)2 = 4 cos2 а •
1.1019. sin а (sin а + sin/?) +
+ cos a (cos а + cos /?) = 2 cos2 •
1.1020. sin а (sin а - sin/?) +
+ cos a (cos a - cos /?) = 2 sin2 а .
1.1021.	(cosа + cos/?)2 - (sinа + sin/?)2 =
= 4 cos2 a 2^ cos (a + /?)•
1.1022.	(cos а - cos 2/?)2 + (sin a + sin 2fl)2 = 4 sin .
X
Пример 1.1023. Упростить выражение
cos — 6а^ + sin (л + 4а) + sin (Зл — а)
(5jc	\
-% + 6а I + cos (4а - 2л) + cos (а + 2л)
Решение. Применив формулы приведения, преобразова-
ния суммы и разности в произведение, получаем:
cos I —— 6а I + sin (л + 4а) + sin (Зл — а)
(5л	\	—
sin I — + 6а I + cos (4а — 2л) + cos (а + 2л)
_ sin 6а — sin 4а + sin а _ 2 sin a cos 5а + sin а _
~ cos 6а + cos 4а + cos а ~ 2 cos a cos 5а + cos а —
_ sin а (2 cos 5а + 1) _
- cos а (2 cos 5а + 1) ~ g а'
Ответ: tga.
7 Тригонометрия
193
Преобразования тригонометрических выражений
Пример L1024, Упростить выражение
1 4- cos (4а - 2л) 4- cos ^4а -
(Зл\
4а 4- —
X /
Решение» Применив формулы приведения, понижения
степени, двойного аргумента, получаем:
___________________________2 / _ 1 4- cos 4а 4- sin 4а _
.	, л	ч , Л , Зл\ "" 1 - cos 4а + sin 4а “
1 4- cos (4а 4- л) 4- cos 4а + —
\	Ху
_ 2 cos2!# + 2 sin 2а cos 2а _
2 sin2 2а + 2 sin 2а cos 2а
2 cos 2а (cos 2а + sin 2а) л „
2 sin 2а (sin 2а + cos 2а)
Ответ: ctg 2а.
Упражнения
Доказать тождества:
(Зл	\
— + 4а I + sin (Зя - 8а) - sin (4я - 12а) =
= 4 cos 2а cos 4а sin 6а.
I , sin (2а + 2я) + 2 sin (4а — л) + sin (6а + 4л) _
cos (6л - 2а) + 2 cos (4а - л) + cos (6а — 4л) —
= tg4a.
sin (2а + fl) + sin (2а - fl)— cos - 2a I
1.1027.--------------------------/3^—V=2a'
cos (2a + fl) + cos (2a - fl)- sin I-r- + 2a I
l ЛЛ	J
1	+	cos	(2a	+	630°) + sin (2a + 810°) _
u °'	1	-	cos	(2a	-	630°) + sin (2a + 990°) ”	s
1020	1	+	cos	(2a	-	2л) + cos (4a + 2л) - cos	(6a - л) _
cos (2л	- 2a) + 2 cos2 (2a + л) -	1
= 2 cos 2a.
194
Преобразования тригонометрических выражений
1.1030с 1 + sin | За + cos 2а +
I	л» I
+ 2 sin За cos (Зтг — a) sin (а - л) = 2 sin2^-.
£
1.1031. с°»;(^-М-4ео?(2«-«)4-3 _
cos (4а + Зл;) + 4 cos (2а + л) - 1
/. лЛ . (5л , п )
cos 14а - у I sin l-у + 2а I
1.1032, —.Л z< 2---------. . ' = tga.
(1 + cos 2а) (1 + cos 4а)	6
• г, ч .	2 /Зтг а\
sin (а - л) - 4 cos — - у
1.1033. ---7---Z-V---------Х ,	7 ч = tg4£.
cos а—— -4 + 4cos —+ -z-
\ 2/ \2 2/
Пример 1.1034. Упростить выражение
Решение.*
л21	2 I
Ctg « + у cos2 а --
______у_____£ /____\_____Лл f
о \	।	о ( ТС
ctgz а - zj - cos2 а +
tg2a sin2 а
tg2a - sin2 а
______tg2 a sin2 а______tg2 a sin2 а
“ sin2a f-V - 1) ” si<tg2<*
I cos a I
Ответ; 1.
Пример 1.1035. Упростить выражение
195
Преобразования тригонометрических выражений
Решение»
cos2 а - sin2 а
ctg2 а - tg2a
cos 2а cos 2а sin2 а cos2 а
cos2 а sin2 а cos4 а - sin4 а
sin2 а cos2 а
1	.	5
cos 2а • — sin2 2а
= "/	2	• 2 \ /	2 Т • 2 7 = ~А
(cos2 а - sm2 a) (cos2 а + sin2 а) 4
Ответ; 4 sin2 2а.
4
Пример 1.1036. Упростить выражение
____________cos4 (а - х)_____________
4 ( ЗлЛ , . 4 ( , ЗлЛ
cos а —— + sin* а + — - 1
\ 2 / \ 2 /
_	cos4 (а - я)
Решение.-------------—v— ------/-----г—г----- =
4 I	*41	.
cos4 а —— + sin4 а + — - 1
\ 2 / \ 2 /
______cos4 а_________________________cos4 а_______________
sin4 а + cos4 а - 1 (sin2 а + cos2 а)2 - 2 sin2 а cos2 а - 1
cos4 а	cos2 а 1 . 2
“	*» ’ 2	2	а • 2	О ^g
- 2 Sin2 а cos2 а	2 sin2 а	2
1	2
Ответ; — — ctg а.
X
Упражнения
Упростить выражения:
т 1 лят 5*п4 а ~ cos4 а + cos2 а
1о1и«Э/о	_	ч
2(1 - cos а)
U038. +
sin-2 (а + 90°) - 1	1
sin2 (а + 270°)
cos-2 (а - 90°) - 1
196
Преобразования тригонометрических выражений
1.1040.
cos 4а + 1
ctg а - tg а ’
1.Ю41.
tg 2а - ctg 2а
Пример L1044' Преобразовать в произведение выражение
.	•	а „ \	2а . • 2а
1 - sin — - Згс - cos — + sin —.
12 I	4	4
_ • . (& л \
Решение» 1 - sin — - Зя - cos — + snr — =
l 2 I	4	4
. , . a	( 2a	• 2a\	a t . a
= 1 + sin — -	cos —	-	sin^ —	= 1	- cos — + sin —	=
2	14	4l	2	2
.	.a	a	. a , a	a
= 2 sinz —	+ 2	sin — cos	—	= 2	sin —	sin — +	cos —
4	4	4	4	14	4
л . a I . a , .	л a
= 2 sin — sin — + sin — - —
4	4	(24
л . a ,jt	(a 7i\ л , a	(ti a
= 2 sin —	• 2 sin — cos	-r ” “7	= 2 v2	sin -7cos	-r - —
4	4	(441	4	(44
л ~	• a ла
Ответ? 2 v2 sin — cos — - —
4	14	4
197
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1045. Преобразовать в произведение выражение
1 - cos (л - 8а) - cos (я + 4а).
Решение. 1 — cos (лг - 8а) - cos (л + 4а) =
= 1 + cos 8а + cos 4а = 2 cos2 4а + cos 4а =
Упражнения
Преобразовать в произведение выражения:
1.1046. cos4 а - sin4 а + sin 2а.
1.1047.	sin 4а - 2 cos2 2а + 1.
1.1048.	1 + cos (2а + 270°) + sin (2а + 450°).
1.1049.	1 - cos (2а - 270°) + sin (2а + 270°).
1.1050.	1 - cos (2а - л) + cos (4а - 2л).
1.1051. 2 cos2 (у -	+ VTcos - а] - 1.
IZ It I	I Z /
Пример 1.1053. Доказать тождество
. , (15л	\	2 (17л ~ ) cos 4а
sin - 2а) -cos " 2а)-----------------•
Решение. Применив формулы понижения степени, пре-
образования суммы в произведение, получаем:
- cos2
sin2
, (17л:
1 + cos --------4а
_________\ 4________£
2
198
_________ Преобразования тригонометрических выражений
.	(15л  . \	(Пл	, )
1 - cos — -----4а I - 1 - cos —----4а
_ _________\ 4___ /____________\ 4_______!_ _
2
(17л	\	(15л	, \
cos —------4а \ + cos —------4а
_________\ 4_____ / _____\ 4_______1_ _
2
,,	„ . л cos 4а
- - cos (4л - 4а) cos — =----,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.1054. sin2 a — sin2 /3	= sin (a + /3) sin (a - /3).
1.1055. sin2	+ a | Io	1	. 2 /17л	\ sin 2a "Sin 8 ~а] = VT •
1.1056. cos2 + a)	. 2 (15л t \	V2” . „ - sin -г— + a = — sin 2a. 1 о	j	2
1.1057. cos2 № - 2a I 4	\	2 (SJt	\	. - cos — + 2a = sin 4a. / \ /
1.1058. sin2 [у + 2/3]	2 (CC	\ -sin — — 2/3 = sin a sin 4)8. 1 Лл	I
1.1059. cos2 (а + 2fl) + sin2 (а - 2/3) - 1 = - sin 2а sin 4/3.
1.1060. sin2 (а + 2/3) + sin2 (а - 2/3) - 1 = - cos 2а cos 4/3.
1.1061.	sin2 f/3 + ^1 - cos2 f/3 + -^1 = -^cos 2/3.
1.1062.	cos4x + sin2 у + 4sin22x - 1 =
4
= sin (y + x) sin (y - x).
1.1063.	sin2 а + sin2 (120° - a) + sin2 (120° + a) = |.
199
Преобразования тригонометрических выражений______________
Пример L1064» Доказать тождество
. о л	г»	ъ 3t\	1
sin2 2а - cos — - 2а sin 2а - — = — 9
13	1 I 6 14
Решение» Применив формулы понижения степени и пре-
образования произведения в сумму, получаем:
что и требовалось доказать.
Пример L1065» Упростить выражение
cos2 (а + /3) + cos2 (а - /3) - cos 2а cos 2/3.
Решение» cos2 (а + /3) + cos2 (а - р) - cos 2а cos 2/3 =
1 + cos (2а + 2/3)	1 + cos (2а - 2р)
“	2	+	2
- | (cos (2а - 2/3) + cos (2а + 2/3)) = | (1 + cos (2а + 2/3) +
+ 1 + cos (2а - 2/3) - cos (2а - 2/3) - cos (2а + 2/3)) = 1.
Ответ: 1.
Пример 1.1066. Упростить выражение
cos2 (45° - а) - cos2 (60° + а) - cos 75° sin (75° - 2а).
Решение.
cos2 (45° - а) - cos2 (60° + а) - cos 75° sin (75° - 2а) -
_ 1 + cos (90° - 2а) _ 1 + cos (120° + 2а) _
2	2
200
Преобразования тригонометрических выражений
_ sin (75° - 2а - 75°) + sin (75° - 2а + 75°)
2
1+sin 2а -1 - cos (90°+(30°+2а))+sin 2а - sin (150° - 2а) _
2
2 sin 2а + sin (30° + 2а) - sin (180° - (30° + 2а))
2
_ 2 sin 2а + sin (30° + 2а) — sin (30° + 2а) _
2
Ответ: sin 2а.
Упражнения
Упростить выражения:
«2	I	I	I	1
1.1067. sin a + cos — - al cos I — + a .
l О	у	i О	/
1.1068. cos2(45°— a) - cos2 (60°+ a) - cos 75°sin (75° - 2a).
1.1069. cos2 a+ cos2/? - cos (a + p) cos (a - p).
1.1070.
1.1071.
sin* l 2 а + sin2/? + cos (а + р) cos (а - /3).
sin2 (а + р) + cos2 (а - /3) - sin 2а sin
. 2( Л\ • 2 (
sin la + — + sin la - — +
1.1072.
:-2
• I 7Г \ , I Jt\ .2
*	+ sin a + -г sin la - -7 — sin a.
\	) I 4 J
2 (0	\
1.1073. sin a sin (P - a) + sin I — a I.
_ . л .2 ( Л*	|	.21	i •	л i
L1074. sm I — + а I - sm — - a - sm — cos — + 2a .
14 I Io I 12 I 12 I
1.1075. cos2 (45° + a) - cos2 (30° - a) +
+ sin 15° sin (75° - 2a).
1.1076.
sin2 (135° - a) - sin2 (210° — a) — sin 195° cos (165° — 2a)
cos2 (225° + a) - cos2 (210° + a) + sin 15° sin (75° - 2a) '
201
- cos2 2/3 =
cos2 23 =
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1077. Доказать тождество
sin2 (а — 2/3) - cos2 а - cos2 2/3 = - 2 cos a cos 2/3 cos (a - 2fi).
Решение, sin2 (a -2/3) - cos2 a - cos2 2/3 =
1 - cos (2a — 4/3)	1 + cos 2a , ~o
2	2
_ 1 - cos (2a - 4/3) - 1 - cos 2a
2
_ cos (2a - 4/3) + cos 2a
2
= - cos (2a - 2/3) cos 2/3 - cos2 2/3 =
= - cos 2/3 (cos (2a - 2/3) + cos 2/3) =
= - cos 3/3 • 2 cos a cos (a - 2/3) =
= - 2 cos a cos 2/3 cos (a - 2/3),
что и требовалось доказать.
Пример 1.1078. Доказать тождество
4 cos a cos /3 cos (a - /3) - 2 cos2 (a - /3) - cos 2/3 = cos 2a.
Решение.
4 cos a cos /3 cos (a - /3) - 2 cos2 (a - /3) - cos 2/3 =
= 2 cos (a - /3)(2 cos a cos/3 - cos (a -/3)) - cos 2/3 =
= 2 cos (a - /3)(2 cos a cos /3 - cos a cos /3 - sin a sin /3) -
- cos 2/3 — 2 cos (a - /3)(cos a cos/3 - sin a sin/3) - cos 2/3 =
= 2 cos (a - /3) cos (a + /3) - cos 3/8 =
= cos 2a + cos 3/8 - cos 2/3 = cos 2a,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.1079. sin2 (2a - /3) - sin2 2a - sin2/3 =
= - 2 sin 2a sin/3 cos (2a — /3).
202
Преобразования тригонометрических выражений
1.1080. cos2 (а — 20) - cos2 (а - у | - cos2 (20 - я) =
= 2 sin а sin (20 — а) cos 20.
sin2 (а + 0) - sin2 а - sin2 0 л л о
• 2 / .L	2	2 о ~
sin (а + 0) — cos а — cos 0
cos2 а + cos2 0 — 2 cos а cos 0 cos (а — 0) =
= sin2 (а + 0).
sin2a - cos2 (a - 0) + 2 cos a cos0 cos (a - 0) =
2 &
— cos a.
cos2 a - sin2/3 + 2 sin a sin/3 cos (a - 0) =
= cos2 (a - 0).
1.1081.
1.1082.
1.1083.
1.1084.
Пример 1.1085. Упростить выражение
2 sin2 4а — 1
2 ctg
„	2 sin2 4а - 1
Решение.----------------г------77------<
[ТС \	9 / оТС
2 ctg Н- + 4а cos -;— 4а
-	14 I 4
______________- cos 8a____________
2 ctg I v + 4aI cos2 pr +	- 4a
l4	) I 14
- cos 8а
2 ctg
(ТС	\	[ 7C	A	TC
— + 4a + -r - 4a = — , to
4	I	14	1	2
cos
203
Преобразования тригонометрических выражений
cos 8а
fjr
у + 8а
cos 8а
cos 8а
Ответ: -1.
Пример 1Л086. Упростить выражение
204
Преобразования тригонометрических выражений
. (я a\ .
sm - + у tg -
\4	2/ у
(л a
“S |4 + 2
2 л , a\
= — tg---h — .
6 4	2
л	2 (л a\
Ответ: - tg I — + — .
I 4	2 1
Упражнения
Упростить выражения:
1-2 cos2 2a
1.1087.
1.1090.
2tg
ctg
1.1088.
1.1089.
ctg
tg
1-2 cos2 4a
Зя , n
— + 2a
1.1091.
_________2 cos2 2a - 1___________
(л „ \ . 2 (ЗЛ „ \
2 tg -г - 2a sin —— 2a
14	]	14 J
- tg a + cos 2a - sin 2a.
1.1092.
1 — 2 sin2 a
2 tg
— tg a + sin у + a — cos I a —

205
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1093. Доказать тождество
2 cos sin |v + 15°I cos |v_ 15°
214 j 14
За
= sin 45 + -7 cos 45 —T-
l 4 J I 4
Решение. 2cossin |^+ 15° ] cos R- 15°
2	(4	)	(4
= 2C0Sy-
1 a , . a a 1 a , 1 .
= 2 cos-+ siny cos- = 2C0S 2 + 2 sina =
sin 190° -77] + sina] = sin |45° + cos 145° -
I Z I	I I 4 11	4
что и требовалось доказать.
Пример 1.1094. Доказать тождество
sin 6a sin За - sin 9а sin 2а = 4 sin a sin 2а sin За sin 5а.
Решение, sin 6а sin За — sin 9а sin 2а =
= (cos За - cos 9а) - (cos 7а - cos 1 la) =
z	z
= (cos 3a - cos 9a - cos 7a + cos 1 la) =
= у ((cos 3a - cos 7a) + (cos 1 la - cos 9a)) =
= 4 (2 sin 2a sin 5a — 2 sin 10a sin a) =
ЛЛ
= sin 2a sin 5a — sin 10a sin a = 2 sin a cos a sin 5a —
- 2 sin 5a cos 5a sin a = 2 sin 5a sin a (cos a - cos 5a) =
= 2 sin 5a sin a • 2 sin 3a sin 2a = 4 sin a sin 2a sin 3a sin 5a,
что и требовалось доказать.
206
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать тождества:
1.1095.	sin 2а cos 130° + cos 130° - £ | =
1	I	1	АЛ I
а . За
= cos a cos — sin —,
At	At
1.1096.	cos cos - sin a sin 3a - sin 2a sin 3a =
a 9a
= cos-cos —.
1.1097.	sin a sin 3a + sin 4a sin 8a = sin 7a sin 5a.
1.1098.	sin |^ + al sin 4- 4a 1 +
14 J 14 I
(Зл	\	/ 7я	\
— + 4a cos —— 5a - cos a cos 2a = sin 2a cos 7a.
4	I	I 4	J
1.1099. sin + 5a | cos I v + 2a 1 -
14 J 14 J
— sin I v + a I sin | v — 6a I = sin 4a cos a.
14 I 14 J
т лл .7a	3a , . a	5a , . л
1.1100. sin — cos — + sin — cos — + sm 2a cos 7a =
At	А»	A	L
2
= 2 sm 3a cos 3a.
1.1101. cos 3a cos 6a — cos 4a cos 7a = sin 10a sin a.
Пример 1.1102. Доказать, что
sin5a = ^sina - sin 3a + sin 5a.
8	16	16
„	.5	.	.4	/1 — cos 2a'
Решение, sin a = sinasin a = sina • I-----------
= sin a (1 - 2 cos 2a + cos2 2a) =
1 . L _	„ , 1 + cos 4a\
= -j sin a 1 - 2 cos 2a +---r---- =
4 I	Z I
207
Преобразования тригонометрических выражений
1 .	3	„	, 1 л \
= — sm а — - 2 cos 2а + — cos 4а =
4	12	2	1
3 .	1 .	п . 1 •
= — sin а - — sin a cos 2а + — sin a cos 4а =
о	2	о
3	1	1
= — sin а — — (sin За - sin а) + — (sin 5а - sin За) =
о	4	10
3.	1 . „	1 .	1 •	1'0
= — sin а - — sin За + — sin а + — sm 5а — — sin За =
8	4	4	16	16
5 .	5 . *	1 . .
= — sin а - — sin За + — sin 5а.
8	16	16
Упражнения
Доказать тождества:
3	1	1
1.1103.	cos4 а = -г- + - cos 2а + cos 4а.
8	2	8
3	1	1
1.1104.	sin4а = — — ;rcos2a+ —cos 4а.
8	2	8
2	1
1.1105.	sin а cos а = — (cos а - cos За).
1.1106.	sin2 a cos3 а = 4 cos а - тт cos За — cos 5а.
8	16	16
з	1	1
1.1107.	sin а cos а = — sin 2а - sin 4а.
4	8
2	2	11	1	1
1.1108. sin а sin 2а = - - — cos 2а - - cos 4а + cos 6а.
1.1110.
1.1109.
. в 5	15	„	. 3	.	1
sm а = — - — cos 2а + — cos 4а - — cos 6а.
10 J2	10	J2
Пример 1.1111. Доказать тождество
sin 5а = 16 sin5 а - 20 sin3 а + 5 sin а.
208
Преобразования тригонометрических выражений
Решение, sin 5а = sin (4а + а) =
= sin 4а cos а + cos 4а sin а = 2 sin 2а cos 2а cos а +
+ sin а (1 - 2 sin2 2а) = 4 sin а cos2 а (1 - 2 sin2 а) +
+ sin а (1 - 8 sin2 а cos2 а) = 4 sin а cos2 а — 8 sin3 а cos2 а +
+ sina — 8 sin3a cos2а = 4 sina cos2а + sina —
- 16 sin3 a cos2 a = 4 sin a (1 — sin2 a) + sin a —
— 16 sin3a (1 — sin2a) = 4 sina — 4 sin3a + sina — 16 sin3a +
+ 16 sin5a = 16 sin5a — 20 sin3 a + 5sina,
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать тождества:
1.1112.	cos 4* = 8 cos4* - 8 cos2* + 1.
1.1113.	cos 4* = 8 sin4* - 8 sin2* + 1.
1.1114.	cos5* = 16sin4*cos* - 12sin2*cos* + cos*.
1.1115.	sin 6* = 32 sin5* cos * — 32 sin3 * cos * +
+ 6 sin * cos *.
1.1116.	sin 7* = -64 sin7* + 112 sin5* - 56 sin3* + 7 sin*.
о о
Пример I.H17. Доказать, что если а+Д + у = я, то
„	За ЗВ Зу
sin За + sin Зр + sin Зу = - 4 cos — cos 2 cos 2 ’
Решение, sin За + sin 3/3	+ sin Зу =
п . 3(а+0)	3(а-р)	,	.	„
= 2 sin — 2 cos — 2~	+ sin ЗУ =
„ . 3 (я - у)	3 (а - Д)
= 2 sin — --	— cos 	2	+	sin	Зу	=
„ . /Зя Зу) 3 (а - р) . .
= 2 sin —----1 cos — ~2	' + sin Зу =
„ Зу За - ЗВ . Зу Зу
= - 2 cos ~ cos----г—— + 2 sin cos =
209
Преобразования тригонометрических выражений___________
„ Зу ( За - 30	. 3 (л - (а + 0))\
= - 2 cos -у- cos —г-2- - sm —--------£-2А =
Ал I	АЛ	Ал	I
п Зу ( За-30	. (Зл За + 30\ \
= - 2cosy ^cos— ---------sin ---------—] J =
п Зу ( За-ЗВ За + 30\
= - 2 cos	cos —Z—— + cos —Z—— =
Ал 1	АЛ	АЛ	I
„ Зу „ За-30 +За+ 30 За - 30 - За - 30
= - 2 cos • 2 cos--------------— cos-----:--------— =
2	4	4
, Зу	За	30
= - 4 COS ~ COS — cos -%-.
Лл	Лл
Пример L1118. Доказать, что если а + /3 + у = л, то
sin2 а + sin2 /3 + sin2 у = 2 4- 2 cos a cos 0 cos у.
Решение.
 2	,  2 о ,  2	1 - cos 2а , 1 - cos 20 ,	. ,
sin а + sin 0 + sin у = -------1- -----—— + sin у =
£	Лл
„ cos 2a + cos 20 , . ,
= 1---------------- + sin2 у =
= 1 - cos (а + 0) cos (a - 0) + 1 - cos2y =
= 2 - cos (л - у) cos (a - 0) - cos2y =
= 2 + cos у cos (a — 0) — cos2y =
= 2 + cos у (cos (a — 0) — cos y) =
= 2 + cos у (cos (a — 0) — cos (л — (a + 0)) =
= 2 + cosy (cos (a - 0) + cos (a + 0)) = 2 + 2 cos у cos a cos/3.
Пример 1.1119. Доказать, что если а + 0 + у = л, то
tga + tg0 + tgy = tgatgjStgy.
Решение.
tg a + tg/J + tg у = tg (a + /3) (1 - tg a tg^3) + tg у =
= tg (л - у) (1 - tg a tg/3) + tgу = - tgу (1 - tga tg/3) + tgу =
= - tgy + tgatg/3tgy + tgy = tgatg/3tgy.
210
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать, что если а + 0 + у = тг, то имеют место тож-
дества:
1.1120. sina + sin/3 = 2cos - • 	cos^-.
АЛ	L
1.1121.
1.1122.
1.1123.
1.1124.
1.1125.
sin2 a - sin2/3 = sin (a - /3) sin y.
2«-/3	2у	о
cos—- cos cosacosp.
АЛ	АЛ
. 2«	. 20“У	a
sin — — sin -	= cospcosy.
sina + sin/3 _ у
cos a + cos/3 ~ C S 2 *
sin2 a - sin2/3
sin (a - /3) ’
= ctg/3 + ctgy.
sin у =
sina
sin 0 sin у
1.1127.	sina + sin/3 + sin у = 4 cos cos ~ cos.
r '	2	2	2
T , sina + sin/? + sin у .	^0
1.1128.		-----:  <---= ctg - Ctg 77.
sina + snip - sin у 2	2
1.1129.	sin 2a + sin 2/3 + sin 2y = 4 sin a sin/3 sin y.
1.1130.	—&1ПУ д = tga + tg/3.
cosacosp e
1.1131.	sin 4a + sin 4/3 + sin 4y = - 4 sin 2a sin 2/3 sin 2y.
1.1132.
1.1126.
cos a + cos /3 + cos у =
1.1133.
1.1134.
1.1135.
= 1 + 4 cos —cos —cos
L	L	L
•a , •	. • a 0 • У
sina - sinp + siny = 4 sin— cos7? sin4r.
1	'	2	2	2
cos a + cos в + cos у = 1 + 4 sin sin sin .
r '	2	2	2
n	(X	в	V
1 - cos a + cosp + cos у = 4 sin — cos ~ cos £.
'	2	2	2
1.1136.	cos 2a + cos 20 + cos 2y = — 1 — 4 cos a cos /3 cos y.
211
Преобразования тригонометрических выражений_________________
1.1137.	sin (2n + 1) а + sin (2n + 1)/3 + sin (2n + 1) у =
. _. _ , 2п + 1 2п + 1 о 2п + 1	_ „
= (-1) • 4cos—z—а • cos—z—р • cos—z—у, nGZ.
L	L	L
1.1138.	sin 2na + sin 2nfi + sin 2ny =
= (-l)n+1 • 4 sin na sin n/3 sin ny, nEZ.
1.1139.	sin2a + sin2/3 - sin2y = 2 sin a sinft cos y.
1.1140.	cos2 a + cos2/3 + cos2 у = 1 - 2 cos a cos /3 cos y.
1.1141.	ctg у + ctg^ + ctg,~ = ctg ~ ctg £ ctg—.
X	X	X	X a X
1.1142.	ctga + ctg/3 + ctgу = ctgactg/3ctgу +
+ ____________________________________________I_______.
sin a sin (5 sin у
1.1143.	ctgactg/3 + ctgactgy + ctg/3ctgy = 1.
1.1144.	tg 2a + tg 2/3 + tg 2y = tg 2a tg 2/3 tg 2y.
1.1145.	tga - ctg/3 - ctgу = tga ctg/3ctgy.
1.1146.	tg^ + tg| - ctg| = - tg^ tg| ctg|.
= 1 + 4 sin -z
14
Пример 1.1147. Доказать, что если a+/3 + y = -z-, то
sin a + sin/3 + sin у =
a
2
Решение, sin a + sin/3 + sin у =
„ . a + /3 а-В . (л , ±й.
= 2 sin —z-2- cos —y2- + sin — - (a + p)
. а + в a-В
= 2 sin —z-2- cos —z-2- + cos (a + p) =
. a+/3 a-Д . 2a+^ . ,
= 2 sin —z-2- cos —y2- - 2 sin2 —z-2- + 1 =
. a + В ( a — В . a + ft
= 2 sin —cos —- sin-—
Лл 1	X
2
212
Преобразования тригонометрических выражений
. a + в ( a — в (л a +
= 2 sin~2~ cos" C0S 2 “ ~2
л
. 2~V( a — В л — a — B\
= 2 sin —-— cos —y-1- - cos-----— I + 1 =
X I	Ал	Z I
Л . (л y\ ~ . л—а—В—а+В . л—а—В+а—В
= 2 sin I — - z-1 • 2 sin---— sin----------—
14	21
4
4
. (л Н . а\ . (л Р\
= 4sin[4"2)Sin(4"2)Sin|<4"2j +L
Пример 1.1148. Доказать, что если а + /3 + у = 2л, то
cos2 a + cos2/? - cos2y = 2 sin a sin/3 cos у + 1.
Решение, cos2 a + cos2/3 - cos2 у =
1 + cos 2a , 1 + cos 3/3	,	.
=-----2--- + ---2^ “ C°S (^~(a+ ^)) =
, , cos 2a + cos 2/3	2 .
- 1	---------— - cos2 (a + P) -
2
= 1 + cos (а + /3) cos (а - /3) - cos2 (а + /3) =
= 1 + cos (а + р) (cos (а - р) - cos (а + р)) =
= 1 + cos (2тг - у) • 2 sina sin /3 = 1 + 2 sin a sin ft cos у.
Пример 1.1149. Дано: а + {3 + у + <р = 2л. Доказать, что
sin a + sin /3 + sin у + sin <p = 4 sin —sin K 2 sin —%-
Решение. sin a + sin /3 + sin у + sin <p =
. a+/3 a—/3	. y + <P У - <(>
- 2 sin —y*- cos —y'- + 2 sin cos -	-
a +/3	a—(3	. ( a + P\ У — <f>
= 2 sin —T-2- cos —+ 2 sin 1л-cos =
2	2	^2^2
_ . a+/3	a-/3	. a+/3 y-y>
= 2 sin —cos —+ 2 sin —2^ cos ' 2	=
_.a+/3/ a-B , у-«Л
= 2 sin—I cos—+ cos 2 I =
213
Преобразования тригонометрических выражений
. а + В а — В + у — а — В — у + <р
= 2 sin —т-2- • 2 cos-—-г1—— cos-—— =
2	4	4
. а+В а+ у - (В+ <?) а + <р - (В + у)
= 4 sm —cos------—у£-—— cos--	.—— -
2	4	4
„ , а+В а + у-(2л-а — у)	2л — В — у—(В + у)
= 4 Sin —~ COS--—:------— COS---------4——-— =
2	4	4
. a+B (<х + У л\ (л В + v\
= 4sin^cos^—-yjcos^"—j =
, . a+B . a + y . В + У
= 4sin—у21 sin—у2- sm^y2-.
Пример 1.1150. а и В — острые углы прямоугольного
треугольника. Доказать, что
cos (v “ tgf - cos (л + В) а
---------------------/- 	+ tgy = 0.
sin |-z- - a I + sin (a - л) tg [-7 - у I
i 2 I	I 4	2 J
__	__	« тс « тс В тс a
Решение. Так как a + p = —, то p = — - a, = — - —.
2	2	2	4	2
cos	- В) tg у	- cos	(л + В)
Тогда---/я?	\	7—----------------7^—
sin I —— a + sin (a - тг) tg I — -
12	I	14
+ ,g2 =
(Зл л , \ ^ a ( . л i
C0Sh~~2+QJ tgy-cos^ + --aj + i a =
fл л a\ +	2
— - — + —
4	4	2 J
cos (л + a) tg — - cos I —— a
\
- cos a - sin a tg —
- cos a tg у + sin a
cos a + sin a tg —
X f
214
Преобразования тригонометрических выражений
. а
cos a sin —
------------sin а
а
cos2
. <х
sin a sin —
cos а + ----------
а
cos2
+ tgy
. а	а
cos a sin — - sm a cos —
а
cos2
а , . .а
cos ct cos у + sin а sin у
что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать, что при а + ft + у = у имеют место тождества:
1.1151. cos2 a + cos2/3 + cos2 у = 2 + 2 sina sin/3 sin у.
1.1152. sin2 аЧ- sin2/3 - sin2у = 1 - 2 cos a cos/3 cos y.
1.1153. sin2a + sin2/3 + sin2 у =1 — 2 sin a sin/3 sin y.
1.1154. sin/3 + sin у — cos a = 4 sin
. p . у
sin x sin x.
2	2
1.1155. cos2 a + cos2/3 - cos2 у = 2 cos a cos /3 sin y.
1.1156. tga tg/3 + tg/3 tgy + tga tgy = 1.
1.1157.	+	= dnte.
ctg a + ctg у sin 2/3
1.1158.
tga + tg/3 _ cos2у
tg/3 + tgy cos2 a'
215
Преобразования тригонометрических выражений________________
1Л159, cosa + cos/3 + cosy =
(тс	a\ /тг В\ (л у\
4 "г) 008 (4 "2) “ЦТ" г)’
Li 160, cosa - cos/3 + cosy =
(л a\ (л 8\	(л y\
4 + 2) C0S |4 " 2| C0S |7 + 2) •
1.1161.	tga + tg/3 - ctgy = - tga tg/3ctgy.
1.1162.	cos a sin/3 sin у + sin a cos/3 sin у +
+ sin a sin/3 cos у = cos a cos/3 cos y.
1.1163.	sin a cos j8 cos у + cosasin/3cosy +
+ cos a cos/3 sin у = 1 + sina sin/3 sin у.
Доказать, что при а + /3 + у = 2л имеют место тождества:
1.1164.	tgy + tg| + tg^ = tgytg|tg^.
1.1165.	cos2a + cos2/3 + cos2y - 2 cos a cos/3 cos у = 1.
Доказать, что при а+(3 + у + <р = 2л имеют место тож-
дества:
1.1166.	cos a + cos/3 + cos у + cos <p =
, a + /3 В + у у + a
= 4 cos —z-1- cos -	cos —z—.
2	2	2
1.1167. cos a + cos/3 - cos у - cos <p =
, a + В . 8 + у . y + a
= 4 cos —~ sin —sin —-—.
2	2	2
1.1168.	sina + sin/3 - sin у - sin <p =
. a + В В + у y + a
= 4 sin —cos - cos 1—z—.
L	L	L
1.1169.	cos2 a + cos2/8 + cos2 у + cos2y> =
= 2 (1 + cos (a + /3) cos (fi + y) cos (y + a)).
1.1170.	sin2a + sin2/3 + sin2y + sin2y> =
= 2 (1 - cos (a + fi) cos (fi + y) cos (y + a)).
1.1171.	sin2a + sin2/3 - sin2y - sin2y> =
= - 2 cos (a + /3) sin (fi + y) sin (y + a).
216
Преобразования тригонометрических выражений
1.1172» tga + tg/3 + tgy + tgy> =
_ sin (a + P) sin (a + y) sin (a + <p)
~ cos a cos P cos у cosy?
1.1173.	ctga + ctg/3 + ctgy + ctgy> =
_ sin (a + p) sin Q3 + y) sin (y + <p)
~ sin a sin/3 sin у sin y>
Доказать, что если a и p — острые углы прямоугольного
треугольника, то имеют место тождества:
1.1174.	sin2a + sin2/3 = 4sinasin/3.
• 2 ।	, л ।	.	213л a \
..... S'" l,2+<ir4C°4 2-2j	. Л	в
Ul75’	2« л + л	’8	2	4)'
COS P - 4 + 4 COS у + ^-1	\	/
Пример 1.1176. Доказать, что если а =/3 + у, то
cos2 Р + cos2 у - 2 cos a cos /3 cos у = sin2 a.
Решение, cos2 /3 + cos2 у - 2 cos a cos/3 cos у =
1 + cos 2/3 , 1 + cos 2y	„ o
= -----2—~ + ------2—'— 2 cos a cos/3 cos у =
, , cos 2/3 + cos 2y	_
= 1 + -----z------------2 cos a cos/3 cos у =
= 1 + cos (P + y) cos (p - y) - 2 cos a cos /3 cos у =
= 1 + cos a cos (P — y) — 2 cos a cos/3 cos у =
= 1 + cos a (cos (P - y) - 2 cos/3 cos y) =
= 1 + cos a (cos P cos у + sin /3 sin у — 2 cos P cos y) =
= 1 + cosa (- cospcosy + sin/?siny) =
= 1 + cos a • (— cos (P + y)) = 1 - cos2 a — sin2 a,
что и требовалось доказать.
217
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать, что при а = /3 + у имеют место тождества:
1.1177. ctga(tga + tg/3) + tg/3tgy = 1.
1.1178.	sin a + sin /3 + sin у = 4 sin cos ~ cos .
X	АЛ	Ал
1.1179.	cos 2a + cos 2/3 + cos 2y = 4 cosacosp cos у — 1.
1.1180.	sin2a + sin2/J + sin2y = 2 (1 - cosacosp cosy).
1.1181.	cos2a + cos2/? + cos2y - 2 cos a cos/3 cos у = 1.
1.1182.	cos a + cos В + cos у = 4 cos cos cos £ - 1.
r '	2	2	2
1.1183.	cos у - cos /3 - cos a = 4 sin cos sin - 1.
L L L
1.1184.	sina + cos/3 + cosy =
(л:	B\	(я	y\
v - «	COS	— - I.
4	2	1	14	2 J
1.1185.	cosy - cos/3 + sina =
.	.	a	.	(я	y\	(я	B\
= 4sinysm	(4	zj	C0S	(Z	zj*
L1186. sina - cos/? -I- sin у =
(л a\ в . (л y\
4"2jCOS2Sm[4"2j-
1.1187. sin2a + cos2a + cos2/3 = 2 (1 + cos a sinsiny).
1.1188. sin2 /3 + sin2 у - sin2 a + 2 cos a sin/? sin у = 0.
* * *
Пример 1.1189. Дано: sina + sin/3 + sin у = 0. Доказать,
что sin 3a + sin 3/3 + sin 3y = - 12 sin a sin /3 sin y.
Решение, sin 3a + sin ^8 + sin 3y =
= 3 sin a - 4 sin’ a + 3 sin/3 — 4 sin’/3 + 3 sin у - 4 sin’ у =
= 3 (sina + sinjS + siny) — 4 (sin’a + sin’/? + sin’y) =
= - 4 (sin’a + sin’/? + sin’y).
218
___________Преобразования тригонометрических выражений
Из формулы куба суммы {а + Ь)3 = а3 + Ь3 + ЗаЬ (а + Ь)
получаем а3 + & = (а + Ь)3 - ЗаЬ (а + Ь).
Тогда - 4 (sin3a+ sin3/? + sin3у) =
= - 4 ((sin а + sin fi)3 - 3 sin a sin fi (sin a + sin fi) + sin3 y) =
= - 4 ((sin y)3 - 3 sin a sin fi (— sin y) + sin3y) =
= — 4 (— sin’y + 3 sin a sin fi sin у + sin3у) =
= - 12 sin a sin/3 sin y,
что и требовалось доказать.
Пример 1.1190. Дано:	sin а + sin/З = 2 sin (a + fi),
a+fi * 2лп, nEZ. Найти tg tg .
Решение. Преобразуем данное соотношение:
sin а + sin/3 = 2 sin (a + fi),
. a+fi a-fi . a+fi a+fi ,14
2 sin—cos—z^- = 4sm—cos—z^-.	(1)
2	2	2	2
m	n - a +/3	 <*+fi ~
Так как a + /3 # 2лп, то —z-4- # лп и sin —& 0.
Тогда, разделив обе части равенства (1) на 2 sin a , по-
лучаем:
a—fi _ a+fi (a fi\ (a fi\
cos —^4 = 2 cos , cos I 2 “ 2 I = 2 cos (2 + 2 I ’
a fi	a fi a fi	a fi
cos — cos +	sin — sin ~	=	2 cos — cos z- - 2	sin — sin	,
L L	L L	L	L	it L
n . a . fi a fi a fi a fi 1
3 sin — sin ^-= cos 2COS2’ 3t%2tg2 = 1, tg2tg2 = 3‘
Ответ: j.
Упражнения
1.1191. Дано: cos 2a = cos 2/3 cos 2y. Доказать, что
1 + ctg (a +fi) ctg (a -fi) =	.
219
Преобразования тригонометрических выражений_____________
1.1192.	Дано: cos <р = cos а cos/З. Доказать, что
х да + а * <р - а ,/3
tg 2	' tg 2	“ tg 2 ’
1.1193. Дано: cos (а + /3) = 0. Доказать, что
sin (а + 2/3) = sin а.
1.1194. Дано: tgy = 4tgy. Доказать, что
а -/3 _	3 since
g 2	~ 3 cos а — S'
1.1195.	Дано: cos а + cos/3 + cosy = 0. Доказать, что
cos За + cos 3/3 + cos Зу = 12 cos a cos /3 cos у.
1.1196.	Дано: cos (2а + /3) = 1. Доказать, что
tg(a +/3) - tga = 2tgy.
1.1197.	Дано: sin2/3 = sin a cos а. Доказать, что
cos 2/3 = 2 cos2 l^r + a I.
I 4 I
1.1198.	Дано: tg (a + /3) = 3 tg a. Доказать:
sin (2a + 2/3) + sin 2a = 2 sin 2fi.
1.1199.	Дано:
sin (2a + /3) = 2 sin [}, cos a # O,cos (a + /3) # 0.
Доказать: 3 tg a = tg (a + /3).
1.1200.	Дано: tga = 2tg/3. Доказать, что
sin (a + /3) = 3 sin (a - /3).
1.1201.	Дано: 3 sin/3 = sin (2a +/3). Доказать, что
tg (a + /3) = 2 tg a.
1.1202.	Дано: a tga + Z> tg /3 = (a + b) • tg .
Доказать, что a cos /3 = b cos a.
220
Преобразования тригонометрических выражений
Ы203о Дано: sin а = a sin (а + /3). Доказать, что
1	— Л
1.1204.	Дано: tg(/3-a) = -г" . tga. Доказать:
1 т К
sin (2a - р) = k sin/3.
1.1205.	Дано: т sin/3 = п sin (2a + /3). Доказать:
1 +
tga _ 1 - tga tg/3
т + п ~ т — п
„	_	sin(a+/3) п „
1.1206.	Дано: s-n	. Доказать, что
ctg В = Р + g ctga.
Р - Q
,	_	cos(a+/3) р „
1.1207.	Дано: cos(a_^ = Доказать, что
= ’ + ₽ с,е“
Пример 1.1208. Вычислить (1 + tga)(l + tg/З), если
a+/J = ^.
Решение. Из равенства tg (a + /3) =
tga + tg/3
1 - tga tg/3
следует
tga + tg/3 = tg (a + /3) (1 - tga tg/3). Тогда
(1 + tg a)(l + tg/3) = 1 + tg a + tg/3 + tg a tg/3 =
= 1 + tg (a+ /3) (1 - tg a tg/8) + tga tg/3 =
= 1 + tg j (1 - tga tg/3) + tg a tg/3 =
= 1 + 1 - tg a tg/3 + tg a tg/3 = 2.
Ответ: 2.
221
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1209. Дано: sina - sin/3 = т, cos a + cos/3 = n.
Найти sin (a - /$) и cos (a - /3).
Решение. Из условия следует, что
. a-/3	a+/3
2	Sin—cos—7Г- = wi,	(1)
Разделив равенство (1) на равенство (2), имеем:
*4^ = 5-
Тогда sin (a - /3) =
2т
п _ 2тп
, т2 т2 + п2'
п2
“sfo-^;+lg^ =
п2 _ п2 — т2
1 4. т2 п2 + т2 °
п2
2	2
„ 2тп п — т
Ответ: ------z; —z----
п + т п + т
Упражнения
Зтг
1.1210.	Вычислить (1 + ctga)(l + ctg/З), если a +/3 = —.
г,	ctgactg/3
1.1211.	Вычислить у——-—ч/, , . Дч , если
(1 + ctga)(l + ctg р)
а + fl = 225°.
21	27
1.1212.	Дано: sin a + sin/3 = - —, cos a + cos/3 = - ^7,
00	00
5л	a	- .a+B a + B
— <	a < 3л, - — < /3	< 0. Наити	sin —-1-	и cos —.
27 a + В 7
1.1213. Дано: sina + sin/3 , tg—= -z,
ОО	л»	j
5л n л o Л TT „ a — В
-z- < a < Зл и — -r < p < Q. Наити cos —у2-.
222
Преобразования тригонометрических выражений
1.1214. Дано: sin а + sin fi = a, cos а + cos /3 = b. Найти
cos (а + fi) и sin (а + /3).
* * *
Пример 1.1215. Найти острые углы а и fl прямоугольного
треугольника, если sin 2а = 1 + sin (За — fi).
Решение. Так как fl = 90° — а, то
sin 2а = 1 + sin (За - 90° + a), sin 2а = 1 + sin (4а — 90°),
sin 2а = 1 - cos 4а, sin 2а = 2 sin2 2а.
Так как 0° < а < 90°, то 0° < 2а < 180° и sin 2а # 0.
Тогда 2 sin 2а = 1, sin 2а =	, 2а = 30° или 2а = 150°,
а = 15° или а = 75°.
Ответ; а = 15°, /3 = 75° или а = 75°, /3 = 15°.
Пример 1.1216. Доказать, что для того, чтобы в тре-
угольнике АВС один из углов а, fi или у был равен 36° или
108°, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Sin 5а + sin 5/3 + sin 5у = 0.
Решение. Докажем вначале, что если а = 36° или
а = 108°, то sin 5а + sin 5/3 + sin 5у = 0.
Имеем: sin 5а + sin 5/3 + sin 5у =
= sin 5а + 2 sin —-+— cos 5	=
Ал	L
. е , п . 5(180°— а) 503 — у)
= sin 5а + 2 sin —-— ---cos  -	.
При а = 36°:
• с .ио • 5 (180° - а) 503-у)
sin 5а + 2 sin ——£------ cos	2—- =
• < ozo-co  5(180°-36°)	503-у)
= sin 5 • 36 +2 sin —*---------- cos —- - -— =
Ал	А
= sin 180° + 2 sin 360° cos - —	= 0.
223
Преобразования тригонометрических выражений
При а = 108°:
. с . 5(180°-а)	5(0-у)
sin 5а + 2 sin ——z------- cos _  =
АЛ	L
= sin 540° + 2 sin 180° cos	= о.
Необходимость доказана.
Покажем теперь, что если sin 5а + sin 50 + sin 5у = 0, то
а = 36° или а = 108°. sin 5а + sin 50 + sin 5у =
5а За 5(0 + у) 5 03 - у)
= 2 sin — cos — + 2 sin о cos  0	=
АЛ	АЛ	АЛ	А
п . 5а 5а , п . 5(180°-а)	5(0 -у)
= 2 sin — cos — + 2 sin ——----------- cos - =
Ал	Ал	АЛ	АЛ
л . 5а	5а , „ . (5а\	5(0-у)
= 2 sin -z- cos -у- + 2 sin 450 —z- cos — "-z—Л =
Ал	Ал	1	Ал I	АЛ
п . 5а 5а , _ 5а 5(0 - у) 1
= 2 sin — cos — + 2 cos — cos — .	=
2	2	2	2
= 2 cos (sin (180° - 03 + y)) + cos	=
5a (	(	. 5 03 + y)\	50 — 5y\
= 2 cos I sin 450°-------+ cos -%- y =
Ал I	I	Ал	I	A I
n 5a (	50 + 5y ,	50 — 5y\
= 2 cos — COS -s—z—- + cos -J—z—- =
Ал l	Ал	Ал I
, 5a 5ft 5y
= 4COS-Z- COS~ COS-y.
АЛ	АЛ	АЛ
_	л 5а 50 5у Л „
Следовательно, 4 cos — cos cos = 0, Тогда
X	Ал	Ал
5<х	п	5/3	5у
cos— = 0 или cos-Е- = 0, или cos-^ = 0.
L	L	L
гт	5а
Предположим, что cos-^- = 0.
224
Преобразования тригонометрических выражений
Так как 0° < а < 180°, то 0° < у < 90°, 0° < ^ < 450°. Сле-
довательно, = 90° или = 270°, а = 36° или а = 108°,
что и требовалось доказать.
Пример L1217. Дано: 0<а<у, 0</3<^, 0<у<у и
cos 2а + cos 2fi + cos 2у = - 1 - 4 cos a cos fi cos у. Доказать,
что а + (3 + у = л.
Решение. По условию
1 + cos 2а + cos 2/3 + cos 2у + 4 cos a cos/3 cos у = 0.
Тогда 2 cos2 а + 2 cos (/3 + у) cos (fi - у) +
+ 2 cos a (cos (fi - у) + cos (fi + у)) = 0,
cos2 a + cos (fi + y) cos (fi - y) + cos a cos (fi - y) +
+ cos a cos (fi + y) = 0, (cos2 a + cos a cos (fi — y)) +
+ (cos (fi + y) cos (fi - y) + cos a cos (fi + y)) = 0,
cos a (cos a + cos (fi - y)) + cos (fi + y)(cos (fi - y) + cos a) = 0,
(cos a + cos (fi — y))(cos a + cos (fi + y)) = 0,
a + B —у a+y — B a + B + y B+y—a
cos-----—- cos-----—— cos-------—- cos -—z------ = 0.
L »	L	L	L
Так как 0 < у < , то 0 < — у < — .
Складывая неравенства 0 < а < у, 0 < /8 <	0 < -у < —
получаем 0<а+/? — у<ув
m л^«+/3-у л а + 8-у
Тогда 0<-----—L<~a и cos-----о—L *
.	a+y—fi Л fi+y—a
Аналогично cos----—— * 0 и cosc— -------- # 0.
Л»	Z
, о , Ззг л а 4-/3 4-"/ Зтг
0<а+/34-у< —, 0<-------.
Л»	ЛЛ	Ч
8 Тригонометрия
225
Преобразования тригонометрических выражений_____________
гм Л + М 7 _ л _____________ а + /3 + 7 _ л „
Тогда cos----—- = 0 если --------—- = —. Следова-
тельно, а + /3 + у = л, что и требовалось доказать.
Упражнения
L1218. Найти острые углы а и (3 прямоугольного треу-
гольника, если cos а + sin (а - р) = 1.
L1219. Углы а, /3, у треугольника связаны соотношением
sin2 а + sin2/? - cos (а - р) cos у - cos2 у =	. Найти угол у.
L1220. Доказать, что для того, чтобы в треугольнике
АВС один из углов а, (3 или у был равен 60°, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство
sin За + sin + sin Зу = 0.
L122L Дано: а, Р у — острые углы,
се в у
cos а + cos Р + cos у = 1 + 4 sin — sin sin .
XXX
Доказать, что а + р + у = л.
1.1222.	Дано: а и /2 — острые углы,
3 sin2 а + 2 sin2 /3 = 1, 3 sin 2а = 2 sin2/?.
Доказать, что а +	.
1.1223.	Дано: а, /3, у — острые углы,
tga + tg/3 + tgy = tgatgjStgy.
Доказать, что а + р + у = л.
1.1224.	Дано: 0° < а < 90°, 0° < /3 < 90°, 0° < у < 90°,
ctg a ctg Р + ctg a ctg у + ctg /3 ctg у = 1. Доказать, что
а + Р + у = 180°.
1.1225.	Найти зависимость между острыми углами а, р
и у, если sin2 а + sin2 Р - sin2 у = 2 sin a sin р cos у.
1.1226.	При каком соотношении между острыми углами
а, р и у выполняется равенство
+ tgy tg| + tg(tg| =1?
226
___________Преобразования тригонометрических выражений
1.1227. Дано: tgatg/3 + tg/Stgу + tgytga = 1. Доказать,
что a + /3 + у = y (2n +1), n G Z,
1.1228. Дано: 0<a<^, 0<fl<~^, 0<y<^,
b	Li	L
tg (a + fl) sin у = cos y.
__	л	Л
Доказать, что a + p + у = -r.
£
1.1229» Найти зависимость между острыми углами а и
fl, если sin (а - fl) = sin* 2a - sin 2/3.
1.1230» Найти зависимость между острыми углами a, fl
и у, если ctga + ctgfl + ctgу = ctga ctg^3ctgy.
Пример 1.1231. Доказать равенство
л Зл 5л , 7л , 9л 1 ,
cos — + cos — + cos — + cos — + cos — = -z .
11	11	11	11	11	It
Решениво Домножим и разделим левую часть данного
. Л _-
тождества на 2 sm —. Получаем
, л л _ , тс	, зъ
2 sm — cos — + 2 sm — cos — + 2 sm — cos —
2sm-
~ . л 7л _ . л 9л
2 sin —cos — + 2 sin —cos —
+ 31
2s,nn
Применяя формулу
sin a cos fl = (sin (a - /3) + sin (a + /3)),
X
.2л	. 2л .4л	. 4л . 6л
sin — - sm — + sm — - sm -тт- + sin — -
имеем: --------------------------------------
2smn
227
Преобразования тригонометрических выражений
.8л	.8л	107Г Юл	л
Sin — ~ Sin — + Sin -jj- Sin — Sin —	1
_ , тс	, jr	jr 2
2 sin —	2 sin —	2 sin —
Упражнения
Доказать равенства:
„2л , 4л , 6л 1
1.1232. cos — + cos — + cos -у- = — —
1.1233. sin 10’ + sin20° + ... + sin50’ = y?.
2 sin 5
-	л . 3л ,	,	17л:	1
1.1234.	cos+	cos+	...+	cos-jj-	=
2л	4л	20л	1
1.1235.	COS ул + COS yr + ... + COS^yy =-y.
лл 1	XI	XI	X
4 z*** x* 4	4 ЗЛ	4 5ТС	4 7Л 3
LI236. cos — + cos — + cos — + cos -z- = —.
о	о	о	о Z
_. алм 4	«4 ЗЛ,	4 5ТС	4 7«Л	3
1.1237.	sin — + sin — + sin — + sin — =
о	о	о	о 2
_		4 ^С	• 4 ЗЛ	. 4 ^ТС	, 4 7Л	3
1.1238.	sin —	+	sin —	+	sin —	+	sin —	=	-9
16	16	16	16	2
« * *
Пример LI239. Вычислить сумму
S = sin a + sin 2a + 9 9 0 + sin na.
Решение. Рассмотрим два случая:
1) а = 2лЛ, где к е Z. В этом случае очевидно S = 0.
2) а # 2лЛ, где к G Z, Тогда перепишем данную сумму
2 sin sin а + 2 sin sin 2а + ...
так. с =	2______________2___________
ldK5 о —	।
• а
2 sin 2
2 sin sin (и — 1) а + 2 sin sin п а
+ -----------------------------------.
• а
2 sm у
228
Преобразования тригонометрических выражений
а За , За 5а,
cos ~ - cos — 4- cos —— cos — 4-.,,
тл	с	* 2 * * S	2	2	2	,
Имеем S = ------------------------------------ 4-
2 sin у
(2п—3)а	(2п—1)а ,	(2п—1)а	(2п+1)а
COS ---т-2---COS д4- COS д-------Z-2----COS 1--z"^—
z z z z 
2 sin —
a (2n + l)a . na . (n + l)a
cos- - cos-----2 sin — sin -—
~	.a	~	.a
2 sin -z-	sm —
Ответ: если a = 2лЛ, k e Z, to S = 0;
. na . (n + l)a
sm-т- sin-——
2	2
если a # 2лк, то S = ------------------.
. a
sin-
Пример LI240. Вычислить сумму
S = cos2 a + cos2 2a + ... + cos2 na.
Решение. Понизив степень каждого слагаемого данной
_ п + (cos 2а + cos 4а + ... + cos 2па)
суммы, получаем S =------ь----------------------------.
Теперь, если а — лк, kEZ, то
cos 2а 4- cos 4а 4-... 4- cos 2па = п.
Для случая а # лк, kGZ, рассмотрим сумму
Sj = cos 2 а 4- cos 4 а 4-... 4- cos 2п а =
_ 2 sin a cos 2а 4- 2 sin a cos 4а 4-... 4- 2 sin а cos 2па
~	2 sin а
тг „	— sin а 4- sin За — sin За 4- sin 5а — ...
Имеем S. =---------------г--------------------4-
1	2 sin а
— sin (2п — 1)а 4- sin (2п 4- 1)а _
2 sin а	“
_ sin (2п 4- 1) а - sina _ sin па cos (n 4- 1) а
~	2 sin а ~ sin а
229
Преобразования тригонометрических выражений
Тогда S = J + »in
2	2 sin а
Ответ: если а = лк, к& Z, то S = п;
. ,	„	„ п sin па cos (п + 1) а
если а лк, к G Z, то S =	4---------z—Р--------—.
2	2 sin а
Упражнения
Доказать равенства:
т	271 . 4л .	,	2 (п - 1)л
1.1241. cos---1- cos--->-...+ cos—ь--------— = - 1.
п п	п
л , Зл, ,	(2п-1)л
п п	п
,	. л , . Зл ,	, . (2п-1)л
1.1243.	sin— + sin-----Ь... + sm-------— = 0.
п п	п
Вычислить суммы:
1.1244. S = cos а + cos 2а + ... + cos па.
1.1245.	S = cos а + cos За + ... + cos (2п - 1) а.
1.1246.	5 = cos 2а + cos 4а + ... + cos 2па.
1.1247.	S = sin а + sin За + ... + sin (2и - 1) а.
1.1248.	S = sin 2а + sin 4а + ... + sin2па.
1.1249.	S = cos а - cos 2а + cos За - ... + (-1)"-1 cos па.
1.1250.	S = sin а - sin 2а + sin За - ... + (-1)"-1 sin па.
1.1251.	5 = sin2a + sin22а + ... + sin2па.
1.1252.	5 = cos2 а + cos2 За + ... + cos2 (2и - 1) а.
1.1253.	Вычислить значение выражения
S = sin х + sin Зх + ... + sin (2п — 1) х,
если известно, что cos2пх + 2sinx = 1.
1.1254.	Найти сумму всех произведений по два следующих
чисел:
a)	sin a, sin 2a,...» sin па, а лк, kGZ;
б)	cos a, cos 2a ,.;., cos па, а * лк, kGZ.
230
Преобразования тригонометрических выражений
L1255. Вычислить суммы:
a)	sin + sin а2 + ... + sin art;
б)	cos а{ + cos а2 + ... + cos ап,
где последовательность ар а2,... ,ап — арифметическая про-
грессия с разностью d & 2лк, Л G Z.
* * *
Пример L1256. Вычислить сумму
с =	1___ + _____I______ +	+ ________I_______
cos a cos 2а cos 2а cos За * * ’ cos (и — 1)а cos па *
Решение. В случае, когда а = 2лЛ, к G Z, очевидно
S = м — 1. Если а=л + 2л£, то S = 1 — п. Пусть а#лти,
т G Z. В этом случае ключом к решению является тождество
---77---т------г— = tg ка — tg (к — 1) а или
cos (к - 1) a cos ка ь	7
________1____________ _ tgka — tg(k — Х)а
cos (к - 1) a cos ка_sin а
Воспользовавшись полученным результатом, запишем
следующие равенства:
1
cos a cos 2а
1
cos 2а cos За
1
cos За cos 4а
tg 2а - tga .
sina ’
tg За - tg 2а
sina
tg 4a - tg 3a
sina
________1_________ _ tgna - tg(n - l)a
cos (n — 1) a cos na ~ sin a
Сложив данные равенства, получим:
_ tg2a - tga+tg3a - tg2a+tg4a - tg3a+...+tgna - tg (n -1 )a
“	sina
231
Преобразования тригонометрических выражений
_ tg па - tg а
“ sin а
Ответ: если а = 2лЛ, к G Z, то S = п - 1;
если а = л 4- 2лк, Ле Z, то S = 1 — п;
г* о tg па - tg а
если а & лт, т е Z, то S = ---:-----.
sm а
Пример Ы257о Вычислить сумму
S = arctg 4 + arctg	.. + arctg	—5.
3	7	1 + п + п
Решение. Заметим, что
t 1	t (k+l)-k
arclg i+T+i2 = arc,g Г+ + i)t =
= arctg (k + 1) - arctg к.
Теперь есть возможность записать такие равенства:
1	2—1
arctg = arctg	= arctg 2 - arctg 1;
&	1 I Ал * X
1	3 — 2
arctg - = arctg	= arctg 3 - arctg 2;
/	1 1 J 0 z
are,E TT7T7? = arc,s = arc,E <a + ') - arc,s "
Складывая полученные равенства, имеем
л
S = arctg (n + 1) - arctg 1 = arctg (n + 1) - —.
л
Ответ: S = arctg (n + 1) -	.
Упражнения
Вычислить суммы:
1.1258.	S = ---^-=- + . , 1 . o + ... +
sin a sin 2a sin 2a sin 3a
+ ;----------------.
sm (n - 1) a sm na
232
Преобразования тригонометрических выражений
I 1259 S = ______-_____ + _______-____ +	+
sin a sin За sin За sin 5а
+ ----------------------------.
sin (2п - 1) а sin (2п + 1) а
1.1260.5= ltg^ + |tg^+... + ibtg^i + ^tg|.
1.1261. S = arcctg3 + arcctg7 + ... + arcctg(n2 + n + 1).
1.1262. 5 = arctg + arctg -Д- + ... + arctg ——Ц-----.
2	11	n + n + 2
1.1263. 5 = arctg— + arctg—--------------+ ... +
e 1 + a2 ° 1 + a2 a3
+ arctg , .	, a.>0, d>0
l + anan+i 1
(здесь alf a2,..., an+l — последовательные члены арифмети-
ческой прогрессии с разностью d).
VS-— VT
1.1264.	5 = arcsin —- + arcsin---7----
Z	О
+ arcsin
Vn2 + 2n - Vn2 - 1
n (n + 1)
233
Преобразования тригонометрических выражений
§4. Доказательство неравенств
Пример 1.1265. Доказать неравенство I sin a cos а I <
Решение, sin a cos а = sin 2а. Так как — 1 sin 2а 1
А
1
то — ~ sin 2а < или
XX	X
доказать.
~ sin 2а , что и требовалось
2
Пример 1.1266. Доказать неравенство
- sin4 а + cos4 а	1.
Решение. Имеем sin4 а + cos4 а =
= (sin2 а + cos2 а)2 - 2 sin2 а cos2 а =
= 1 -	г 1 - |
С другой стороны, 1 — т~ sin2 2а 1.
X
Пример 1.1267. Доказать неравенство ctg а + 1 ctg~,
х
где 0 < а <	.
Решение, ctg а + 1 - ctg f- =
А
sin а sin ~	sin а sin ~
X	X
1
Так как при О < а < — sin а > О, то > 1, откуда
Значит, ctg а + 1 С ctg —, что и требовалось доказать.
А
234
Преобразования тригонометрических выражений
Упражнения
Доказать неравенства:
1.1268.	sina < tga, О < а <	.
1.1269.	cosa < ctga, О < a <
1.1270.	tg а + ctg а > sin а + cos a, 0 < а < —.
1.1271.	| sin4 a - cos4 a | « 1.
1.1272.	sin2 a cos2 a « 0,25.
1.1273.	4 < sin6 a + cos6a « 1.
4
1.1274.	1	—-------г- « 2.
sin a + cos a
1.1275.	« sin8a + cos8a 1.
О
1.1276.	^2 * sin‘°a + cos10a «= 1.
Io
1.1277.	1 « 3 sin2 a + cos 2a « 2.
1.1278.	- 1 < cos2/3 - 2 cos 2/3 < 2.
1.1279.	sin2 a —sin4 a «
4
1.1281.	| sin 2x (tg x - ctg x) |	2.
1.1282.		------------ < 2.
, a
sin a - cos a tg —
1.12S3.	! s । +	°	s 3.
• I	1
sin — + a
I АЛ	1
sin (y +
1.1284.	- VT- 1 sS ------------------4----- sS VT- 1.
V2~cos + /Л - 1
235
Преобразования тригонометрических выражений
1.1285. sin 2а cos 2а cos 4а... cos 2па .
2
1.1286. О cos2 а + cos2 (а + р) -
- 2 cos а cos/? cos (а + /?) ^ 1.
1.1287. sinxtgx 5	;---1.
cos х
Пример 1.1288. Доказать неравенство
|V3~cos/3 - sin/31	2.
1
— cos/3 - —
_ ( . n o	Л . o\ r. •
= 2 sin — cos/3 - cos -г sinp = 2 sin I —
10	0	/	10
Так как -1 sin I—-/31 «1, то
10	/
2 sin
- 2 2 sin I - /91 ^2 или
I 0	/
что и требовалось доказать.
Пример 1.1289. Доказать неравенство
15 sin а - 12 cos а | « 13.
Решение. 5 sin а — 12 cos а = V52 + 122 х
« 2,
12
^	5
X । ,	, sina----г ,  cos а
V52 + 122	V52 + 122
(5 .	12
= 13 —sina - —cosa
I 1 J	1 «J
2	5
= 1, то обозначим — = cos^>,
5
13
Так как
12	„
— = sin <p. Тогда 5 sin a - 12 cos a =
JL«j
= 13 (cos <p sin a — sin <p cos a) = 13 sin (a — <p).
236
Преобразования тригонометрических выражений
Так как -1 sin (а - <р) < 1, то
- 13	13 sin (а - <р) < 13,
откуда и следует доказываемое неравенство.
Упражнения
Доказать неравенства:
1.1290.	| sin а — V3"cos а | S2.
1.1291.	|sina + cosa| < 'ГГ.
1.1292.	lvTsin/3 + V6“cos/3| « 2VT
1.1293.	13 sin а — 4 cos а | ^5.
1.1294.	|2 sin/? - 5cos/?|	V29~.
1.1295.	|5sin£ + VTTcos/31 г» 6.
1.1296.	V3~sinx 2 + cosx.
1.1297.	V3~ | sin x | < 2 + cos x.
Пример 1.1298. Доказать
неравенство
— 3^2 cos2 a - 3 sin a sS 3
О
Решение.
2 cos2 a — 3 sin a =
= 2 (1 - sin?a) - 3 sin a =
= - 2 sin2 a - 3 sin a + 2.
Сделаем замену
sin a = t
и рассмотрим квадратичную
функцию
/(0 = - It2- 3t + 2
на отрезке [-1; 1].

Рис. 2
237
Преобразования тригонометрических выражений
Абсцисса вершины параболы f(t) равна — — и при-
надлежит отрезку [-1; 1] (рис. 2). Следовательно,
-7 =3I-
Чтобы найти наименьшее значение функции, достаточно
сравнить/(-1) и/(1). Имеем:/(-1) = 3, /(1) = - 3. Значит,
max /(0 =/(1) = - 3. Итак, - 3 </(0 3^-.
i-t и	8
Пример 1.1299. Доказать неравенство
4 6 sin х - cos 2х + 9	16.
Решение.
6 sin х - cos 2х + 9 =
= 6 sinх - 1 + 2 sin2x + 9 =
= 2 sin2x + 6 sinx + 8.
Сделаем замену sin x = t
и рассмотрим квадратичную
функцию f(t) = 2(2 + 6( + 8
на отрезке [-1; 1]. Абсцисса
вершины параболы равна
3
— 2, т.е. не принадлежит от-
резку [-1; 1] (рис. 3). По-
этому наибольшее и наимень-
шее значения/(0 достигают-
ся на концах отрезка [-1; 1 ].
Имеем /(-1) = 4, /(1) = 16.
Итак,
max f(t) = 16, min f(t) = 4.
t-t 11	[-1 и
Следовательно,
V)
4 =S 16.
Пример 1.1300. Доказать неравенство
- у 1 - Vcos2a - 2 sin2 а О.
О
23В
Преобразования тригонометрических выражений
Решение. S 1- Icosal - 2 (1 - cos2а) =£ О,
О
9	7
- тг =5 2 cos а - Icosal -1 $ О,
О
9	9
- — « 2 |cosa|2- |cosa| -1^0.
О
Сделаем замену | cos х I = t. Рассмотрим квадратичную
функцию f(t) = 2t2 - t - 1 на отрезке [0; 1 ]. Абсцисса вер-
шины параболы равна и принадлежит отрезку [0; 1]
/1 \ о
(рис. 4). Следовательно, min f(t) = f — = - .
гс я	\4/	8
Для нахождения наибольшего значения осталось срав-
нить/(0) и /(1). Имеем /(0) = — 1, /(1) = 0. Значит,
о
max f(t) = 0. Следовательно, — т-	0.
105 я	8
Пример 1.1301. Доказать неравенство
2^3 sin2 a + 2 sin 2a + 6 cos2 a 7.
Решение. Докажем каждое из неравенств в отдельности.
Для левого неравенства имеем
3 sin2a + 4 sina cos a + 6 cos2a - 2 =
239
Преобразования тригонометрических выражений
= 3 sin2 а + 4 sin a cos а + 6 cos2 а — 2 sin2 а — 2 cos2 а =
= sin2 а + 4 sin а cos а + 4 cos2 а = (sin а + 2 cos а)2 5 О.
Для правого неравенства
3 sin2 а + 4 sin a cos а + 6 cos2 а - 7 =
= - (4 sin2 а - 4 sin а cos а + cos2а) = - (2 sin а - I)2 « О.
Итак, 2 == 3 sin2 а + 2 sin 2а + 6 cos2a < 7.
Упражнения
Доказать неравенства:
1.1302.	- 2 « 3 sin2/? + 2 cos/? « 31.
О
17
L1303. - 4 cos 2a + 3 sina .
о
1.1304.	2 « 1 + Vsin2/? + 2 cos2/? sS з|.
О
7
1.1305.	О < cos 2a + | sin а | < —.
О
7
1.1306.	- — « cos 2a- | cos a |	0.
О
1.1307.	-5^2—3 cos2 a - 2 sin 2a - 6 sin2 a 0.
1.1308.	0^6 cos2 a + 3 sin2 a + 2 sin 2a — 2 < 5.
1.1309.	0$ 4 cos4 a — cos8 a < 3.
1.1310.	sin2 a cos4 a (2 - sin2 a) .
1.1311.	tg2a + —- 1.
cos a
1.1312.	-4;----1 > tg2a.
cos a
T,-.lo sina —1	1	2-sina
i*	Л "l Л 'J ~	*
sin a — 2	2 < 3 - sin a
T , -, .	•	2	6a 27
1.1314.	sin — COS — < -TTT.
2	2	256
3
1.1315.	cos x + cos у - cos (x + y) < -z.
240
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1316. Доказать неравенство |tga + ctga| 5 2.
Решение. I tg а + ctg а | - 2 = tg а +	- 2 =
- itg«i + тА -2 - ts2a-2lt8°l + 1 =
I tg а|	I tga|
= (Itgal — I)2 > n
|tga|
Тем самым мы доказали, что для
а для tg a < 0 tg a +	- 2.
tga>0 tga +	5 2,
Отметим, что здесь мы
воспользовались равенством tg a 4-	= I tg a | +
, 1
t.k. tga и — числа одного знака.
1
Itga| ’
Упражнения
Доказать неравенства:
L1317.
sina 4—4—
sina
5 2, а лк,
kEZ.
1.1318.
о	лк
(tga + ctga) 5 4, a # -r- ,
kEZ.
1.1319.
sin a + cos a + tg a + ctg a +
1
sina
1.1320. tg2a + ctg2 а + —
sin a
1
cos2 a
—т~	6,
cos a
О < a < |.
4.UZ.
1.1321.
___________3___________
(1 + sin2a)(l + cos2 a)
< 1 +tg2a + ctg2a,
0 < a <
1.1322. tga (ctg/? + ctgy) + tg>8 (ctga + ctgy) +
+ tgy (ctga + ctg/?) 5 6, 0<a<j,0</?<j,0<y<j.
1.1323. 3 (tg2a + ctg2a) - 8 (tga + ctga) + 10 5 0,
О ♦
241
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1324. Доказать неравенство
sin (a + /3) < cos a + cos P 0<a<^,0</3<^.
At	At
Решение. 1-й способ. cos a + cos/3 - sin (a + /3) =
= cos a + cos /3 - sin a cos (3 - cos a sin /3 =
= cos a (1 - sin/3) + cos/3 (1 - sin a).
Так как a и j3 — углы I четверти, то cos a > 0,
cos/?>0, 1 - sina>0 и 1- sin/3 >0, откуда
cos a + cos /3 - sin (a + /3) > 0.
2 - й способ, sin a < 1, sin [3 < 1. Умножив обе части
первого неравенства на cos /3, а обе части второго неравенства
на cos a (cos /3 > 0, cos а > 0), и сложив первое и второе полу-
ченные неравенства, имеем sin a cos ft + cos a sin /3 < cos а +
+ cos /3, откуда sin (a + /3) < cos a + cos ft.
Пример 1.1325. Доказать неравенство
+ г	0<«<i
2	2	2_ О
_ ctg a + ctg /3	sin (a + /3)
Решение. —-—~	—-a =
2 sin a sin ft
sin (a + /3)	_
1 - cos (a + /8) “
2
_ ________sin (a + p)_______
~ cos (a - P) - cos (a + p)
2 sin	cos — j
~	. 2 a + ft
2 sin2 —y21
Равенство достигается при a = p
Упражнения
Доказать неравенства:
1.1326. cos (a - /3) < cos a + cos/3, 0 < a
= ctg
2
2 ’
л
2 •
1.1327.	sin (a + p) < sin a + sin P 0 < a < у, 0 < ft < у.
X	X
1.1328.	tg (a + P) > tg a + tg/3, 0 < a < j, 0 </8 < j.
1.1329.	-?<«<?, -?</«?.
Ал	Ал	Ал	Ал	Ал	Ал
2
242
________Преобразования тригонометрических выражений
, ,„л а +/2 sina - sin/З л л лол
1.1330. cos—>-------------2---- > “2 а 2’ ~2	2’
ж . а+5 sina + sin/? л	л о
1.1331.	sin —>-----------z----—, 0 а я, 0 < /3 < л.
1.1332.	&Lpg. ъ tg£^, о«, < 5 о<0 <
1.1333.	ctga + ctg/? + 2tg—S 4, 0<a<y, 0<Д<^.
ал	L	L
1.1334.	ctg a ctg ft ctg а -- , 0<а < у, 0</? <
Ал	Ал	Ал
Пример 1.1335. Доказать неравенство 0,5 < cos(sin а) <1.
Решение. Докажем левое неравенство, sina принимает
значения из отрезка [-1; 1]. Сделаем замену sina = t,
te [-1; 1]. Рассмотрим промежуток [-1; 0]. На этом про-
межутке функция f(t) = cos t возрастает, поэтому свое наи-
меньшее значение она принимает при t = sin а = — 1, а
cos (-1) >0,5.
На промежутке [О; 1] функция /(t) = cos(t) убывает.
Поэтому свое наименьшее значение она принимает при
t = sin а = 1, а cos 1 > 0,5.
Правое неравенство очевидно. Равенство достигается при
a = лк, к G Z.
Пример 1.1336. Доказать неравенство
sin (cos a) < cos (sin a).
Решение,
/я	\
sin (cos a) — cos (sin a) = cos I ~ - cos a I - cos (sin a) =
1 Ал	I
(jr , sina —cos a\ . /тг	cos a + sin a
4 + -----2-----J ' Sm (4-------2-------
Так как Isina ± cosal < V2"< to
At
Л л	cos a ± sin a л
0<4----------2-----<2’
откуда
243
Преобразования тригонометрических выражений
sina - cosa
2
>0 и sin
I 4
cosa 4- sina\
-----2-----J>0’
откуда sin (cos a) - cos (sin a) < 0 или sin (cos a) < cos (sin a)
для любого a, что и требовалось доказать.
Упражнения
Доказать неравенства:
<3"
L1337. | sin (sina)| < — .
£
1.1338. cos (cos x) > 0.
(7Г	\
у - cosa >0.
I
jt	/тг \ \
— + -^sin T-a >0.
4	2	14 J I
1.1341. cos (cos a) > sin (sin a).
Пример 1.1342. Доказать неравенство
. a . p . у 1
sin-sin^ sin-
где a + ft + y = 180°.
Решение. По условию у = л - (a + р). Тогда
. a . В . у . а . В . /л а + в\
sin - sin^ sin- = sin - sin sin  --^-4 =
. a . в a + в i( a—В a + B\ a +
= sin — sin^ cos—2^ = 2 cos—2^- cos—cos —
1 ( a - В a + в 2a + B\
= 2Г~ cos^~ " cos ~2~) =
(1 a-P a+P\1 2 * *\
^2 C0S ~2” — C0S ~2~j J S
1COS.2^£ s i.
4	2	8
ct	В	у	1
Итак, sin -z- sin sin .
Z	2	Z	o
1 11
2 4
2
244
Преобразования тригонометрических выражений
Пример 1.1343. Доказать неравенство
sin2 а + sin2/9 + sin2 у < 2,
где а, /3 и у — углы неостроугольного треугольника.
Решение. Имеем sin2 а + sin2/9 + sin2 у =
1 - cos 2а ,1 - cos 2/9 , .	,
= -----z---- + ----z—— + 1 - cos2 у =
2	2	'
= 2 - (cos 2а + cos 2/9) - cos2 (я — (а + /9)) =
Ал
= 2 - cos (а + /9) cos (а - /9) - cos2 (a + p) =
= 2 - cos (a + /9) (cos (a - /9) + cos (a + /9)) =
= 2 - cos (я - y) • 2 cos a cos = 2 + 2 cos a cos /9 cos y.
Поскольку один из углов неострый, то косинус этого угла
неположительный, откуда cos a cos /9 cos у =s 0, тогда
sin2 a + sin2/9 + sin2 у « 2.
Равенство имеет место для прямоугольного треугольника.
Пример 1.1344. Доказать неравенство tgatg/9<l, где a
и /3 — острые углы тупоугольного треугольника.
Решение. Так как а + fl < у, то tg (a + fl) > О.
Ал
>0.
v	l-tgatg/9
Поскольку tg a > 0 и tg /3 > О, то tg a + tg /9 > О. Значит,
1 — tgatgjS>0, откуда tga tg/9 < 1.
Пример 1.1345. Доказать неравенство
tg2y + tg2| + tg2y =s 1,
где a, P у — углы треугольника.
Решение. Воспользуемся тождеством для углов треуголь-
а	в	сс	v	В	у
ника: tgy	tg^	+	tg-	tg^-	+	tg^-	tg^-	= 1.
At	At	At	At	At	At
Имеем:
tg2y + tg2x + tg2^- [tgytg| + tgytg^ + tg|tg£] =
245
Преобразования тригонометрических выражений
1 (( а В\2	(а у\2 (в	у\2\
~ 2 (д ё У	tg 2у +	д 2	" tg 2 j + ^tg 2 ” tg	2 j j	°*
Отсюда tg2f + tg2^ + tg2^ - ISO или
tg2^ + tg2l + tg2^ ъ 1.
Упражнения
Доказать неравенства (а, ft, у — углы треугольника):
1.1346. cos а + cos /3 + cos у < 1,5.
1.1347. —+ —Ц- + —5 6.
.а	.	р	.у
sin-	sin	ту	sin-у
X	Ал	Ал
1.1348.	tgatg/3>	1,	где	а	и ft — острые.
1.1349.	cos2 a + cos2/3 + cos2 у > 1, где один из углов тупой.
1.1350.	cos a cos /3 cos у <
О
г mt а Р У 3VT
1.1351. cos -z cos cos  -1  .
2	2	2 о
3 1/3”
1.1352. sina + sin/3 + sin у < ——.
3 V3~
1.1353. sina sin/3 sin у €	.
«J
1.1354. sin2^ + sin2^ + sin2 7^ 5 j.
Ал	Ал	Ал	4
1.1355. sin a + sin/3 + sin у 5 sin 2a + sin 2/3 + sin 2y.
<x В у
1.1356.	COS у < cos^ + cos^.
jL	L
246
Г лава II
О периодических функциях
Определение 1. Функция f называется периодической,
если существует такое число Т*0( называемое периодом),
что для любого х из области определения этой функции
числа х - Т и х 4- Т также принадлежат ее области опре-
деления, причем f(x + T) = /(х).
Пример ILL Доказать, что следующее определение рав-
носильно приведенному выше.
Определение 2. Функция/называется периодической, если
существует такое число Т # О, что для любого х из области
определения этой функции /(х) — /(х — Т) = /(х 4- Г).
Решение. Выберем произвольно х из	Пусть
/(х)=Л. Тогда из последнего определения следует, что
/(х — Т) — А и /(х 4- Г) = Л, т.е. функция / определена в
точках х - Т и х 4- Т при произвольных х из D (/)> Следова-
тельно, из определения 2 вытекает определение 1.
Пусть теперь выполнены все требования определения 1.
Имеем /(х) = /((х — Т) + Т). Поскольку аргумент х - Т при-
надлежит D(f), то прибавление к этому аргументу периода
функции не изменит ее значения, т.е.
/((х-Т) + Т)=/(х-Т).
Итак, имеет место равенство /(х) = /(х - Г) = /(х 4- Т).
Упражнения
IL2. Доказать, что следующие определения равносильны
приведенным выше.
а)	Функция / называется периодической, если существует
такое число Т # О, что для любого х из области определения
этой функции числа х - Т и х 4- Т также принадлежат ее
области определения, причем /(х - Т) = /(х).
247
О периодических функциях
б)	Функция /называется периодической, если существует
такое число Т # 0, что для любого х из области определения
число х - Т также принадлежит ее области определения,
причем /(х 4- Т) = /(х).
в)	Функция / называется периодической, если существует
такое число Т # 0, что для любого х из области определения
число х 4- Т также принадлежит ее области определения,
причем f(x — T) = f(x).
IL3. Верны ли следующие определения1:
а)	Функция / называется периодической, если существует
такое число Т, что для любого х из области определения
этой функции f(x) = f(x - Т) = f(x 4- Т).
6)	Функция / называется периодической, если существует
такое число Т # 0, что для любого х из области определения
этой функции число х 4- Т также принадлежит ее области
определения, причем f(x 4- Г) = f(x).
в)	Функция / называется периодической, если существует
такое число Т # О, что для некоторого х из области опреде-
ления этой функции /(х) =f(x — Т) = /(х 4- Т).
г)	Функция / называется периодической, если для любого
х из области определения найдется такое число Т # О, что
/(х)=/(х-Т)=/(* + П-
д)	Функция / называется периодической с периодом Г,
если существует такое число Т # О, что для любого х
из области определения этой функции числа х — Т и
х 4- Т также принадлежат ее области определения, причем
/(х-Т)=/(х4-Т)?
Пример IL4. Доказать, что число Т = V2” является пери-
одом функции /(х) = 5.
Решение. Действительно, поскольку D (f) = R, то для лю-
бого х G D (f) х - G D (f) и х 4- V2"G D (/), причем
/(x)=/(x + vT) = 5.
Пример II.5. Доказать, что число Т = — 5л является пе-
риодом функции f(x) - sin 4х.
1 Под верными будем подразумевать определения, которые равносильны
традиционно принятым в школьном курсе математики.
248
О периодических функциях
Решение. Поскольку D (f) = R, то достаточно показать,
что / (х + Т) =f(x - 5л) = /(х). Имеем
sin 4 (х - 5л) = sin (4х - 20л) = sin 4х.
Упражнения
II.6.	Верно ли, что периодом функции у = с, где с —
константа, является любое действительное число?
IL7ф Показать, что периодом функции у = с, где с —
константа, является любое действительное число Т # 0.
По8. Показать, что число Т является периодом функции /:
a)	f(x) = sin Т = 4л;
Ал
б)	/(x) = tg^, Т= - Зл;
О
a) f(x) = cos 2х, Т = л;
г) f(x) = ctg лх, Т = 2;
d) /(х) = sin (5х - 1), Т =
О
4л
а) /(х) = cos (Зх + 2), Т = ——;
О
ж)	/(х) = cos 2лх, Т = 3;
3)/(x) = sin^, 7 = 8;
АЛ
и)	/(х) = cos (5лх - 1), Т =
0
.	ч	/Злх	л\ 2
к)	/(х) = ctg I—2---yl, 7=
.	«,	cos3x	m _
л)	/(х) = ----7-J-, 7 = 2л.
v 7	1 +sin2x
Пример II.9. Показать, что число 7 = л является пе-
риодом функции /(х) = Vsin2x - 1.
249
О периодических функциях
Решение. Так как sin 2х 1, то областью определения
данной функции f является множество корней уравнения
sin 2х = 1, т.е. х = — 4- ли, п G Z. Итак,
D (/) = G Я | х =	4- ли, п G Z
7Г
Понятно, что если число х вида — + лп, то х — л и х + л
4
такого же вида. Иными словами, если х G D (f), то
(х - л) е D (f) и (х + л) е D (/).
Имеем f (х + л) = Vsin 2 (х + л) - 1 =
= Vsin (2х + 2л) — 1 = Vsin 2х — 1 = / (х).
Упражнения
11.10. Показать, что число Т является периодом функции/:
a)	f(x) = cos2 х, Т = л;
б)	/(х) = sin’x, Т = - 2л;
а) / (х) = | sin х |, Т = л;
г) /(х) =
«8 f , г
d) /(х) = sin (cos х), Т = 2л;
а) /(х) = sin (tg х), Г = л;
ж) /(х) =
2
3 cos х - 4 cos х + 2 _ „
--------5---------------, Т = 2л;
2	cos х - 3 cos х
з)	/(х) = Vcos х, Т — 2л;
и)	f (х) = V sin2 х — 2 sin х + 1, Т = 2л;
к)	/(х) = V- cos2x, Т = л;
л)	/(х) = Д/ 1-----^5— , Т = л;
V	cos х
л) /(х) = У / 1-----, Т = л;
' V	snrx
250
О периодических функциях
н) f(x) =	, Г = 2я;
' ' 7 cosx
о) /(х) = Vtgx + Vctg х, Т = я;
п) /(х) = V|sin |х| |, Т = я.
II. II. Доказать, что если функция / периодическая с
периодом Т, то сложная функция y = g(/(x)) также перио-
дическая с периодом Т, при условии, что D (у) # 0.
Пример ПЛ2. Показать, что периодом функции у = {х}
является любое целое число, кроме нуля.
Напомним читателю следующие определения.
Определение. Целой частью числа х (обозначается
[х]> называется наибольшее целое число, не превышающее
данное. Например, [2,3] в 2; [-1,8] в -2.
Определение. Дробной частью числа х (обозначается
{х}) называется число х — [х].
Решение. Понятно, что областью определения функции
у = {х} является R. Тогда достаточно показать, что
{х + с} = {х}, где с G Z и с # 0. Воспользуемся очевидным
свойством целой части числа: [х + с ] = [х ] + с, где с G Z.
Имеем
{х + с} = х + с - [х + с] = х + с- [х ] - с = х - [х ] = {х}.
Пример 11.13. Показать, что число Т= является пе-
О
риодом функции /(х) = -^у.
Решение. Поскольку {х} = 0 тогда и только тогда, когда
х G Z, то областью определения функции f являются все
числа, кроме чисел вида где п G Z.
О
D(f) = -xG-RIx* nGZl.
э I
Если x G D (f), то числа x ± не представимы в виде
О
п е Z, Т.е. |х ± е D (/).
О	I О I
251
О периодических функциях
Осталось показать, что / [* +	= /(х). Имеем
1	0 1
1= 1 = 1
5х + 1 — [5х + 1 ] 5х - [5х ]	{5х} ’
Упражнения
ПЛ4. Показать, что число Т является периодом функции/:
а)	/(х) = {2х}> Т=
б)	/(х) = {|* - Г = 3;
I О	Z I
в)	fix') = {- 4х + 3}, Т =
г)	fix) = {sin2 х}, Т = л;
d) fix) = {V sin х }, Т = 2л;
*>/(*) = [—М. г = л;
COS X
ж)	fix) = 7bT, Т = 1;
з)	Z(x) = tg{x}, Т=1;
и)	fix) = cos {7х - 2}, Т= у;
к)	fix) = sin {лх}, Т =
Пример ПЛ5. Показать, что число Т = 3,14 не является
периодом функции у = tg х.
Решение. Если Т = 3,14 — период, то для любого х из
области определения функции у = tg х необходимо выполне-
ние равенства tg(х + 3,14) = tgx. Поскольку OGD(y), то
tg (0 + 3,14) = tg 0, т.е. tg 3,14 = 0, что очевидно неверно.
252
О периодических функциях
Упражнения
ПЛ 6. Показать, что число Т не является периодом функ-
ции /:
й) /(л) = sinx, Т = — л;
б)	/(х) = tgx, Т = у;
в)	/(х) = ctgx, Т = 2;
г)	/(х) = {ctgx}, Т = 1;
d) /(х) = ctg {х}, Т = л;
ё) f(x) = cos
Т = 6;
О I
ж) /(х) — sin лх, Т = 2л.
Пример П.17. Доказать,
что функция /(х) = х^_ 2 не"
периодическая.
Решение. Заметим, что D (f) = (- оо; 2) U (2; 00) =
= R \ {2}. Пусть функция / периодическая с периодом
Г # 0. Очевидно, что х0 = 2 - Т G D (f), тогда
x0 + T = 2- T + TED(f), т.е. 2 G D (f) — противоречие.
Упражнения
П.18. Доказать, что функция/не является периодической:
a)	f(x) =
б)	/ (х) = sin
в)	/ (х) = cos|;
г)	= |х};
х2.
3)	f(x) = • —
е) /(х) = cos
IL 19. Доказать, что если область определения функции
f — множество R \ М, где М — конечное непустое множество
действительных чисел, то функция / — непериодическая.
IL20. Доказать, что если область определения функции
f — множество R \ М, где М — объединение конечного числа
отрезков, то функция f — непериодическая.
« « *
253
О периодических функциях
Пример 11.21 о Доказать, что функция /(х) = х2 — непе-
риодическая.
Решение. Данная функция имеет единственный корень
х = О. Если она периодическая с периодом Т, то
/(0) = /(0 + пТ) = 0, где п G Z, т.е. функция / имеет беско-
нечно много корней, что явно не так.
Упражнения
П.22. Доказать, что функция/не является периодической:
а)	/(х) = х2 - 4;
б)	/ (х) = х3 + 8;
” /W =
г) /(х) = х (cos2x + 1);
3) / (х) = (х - 2)(1 + tg2x); л) f(x) = 2х - cos vTx + 1;
е) /(Л) = х2 + 9;	л) f(x) = cosх + cos V2x.
11.23.	Доказать, что если функция / некоторое свое зна-
чение а принимает в конечном числе точек, то / — непери-
одическая.
Ж) J 7 ““	2	>
х2 + 5х + 8
.	_ х2+ 1 .
3)/(Х)- / + x2+f
и) /(х) = х2 + sinx;
к) /(х) = х — cos 2лх;
Пример 11.24. Доказать, что функция / (х) = sin (Vx-)2 —
непериодическая.
Решение. На первый взгляд может показаться, что число
Т = 2л: — период данной функции. Действительно, для любого
х из D(f) х + 2n;ED(f), причем sin(Vx + 2л )2 = sin(Vx-)2.
Однако, например, для х = 1 Е D(f), 1 —	& D (f).
Вообще, если предположить, что данная функция пери-
одическая с периодом Т, то обязательно одно из чисел
О — Т или 0 + Г не будет принадлежать области определения,
в то время, как О 6 D (f).
254
О периодических функциях
Упражнения
П.25. Доказать, что функция/не является периодической:
a)	f(x) =	Vx~- W;	д) f(x) = tg Vx - 1;
6)	/(x) =	(Vx - 1 )2 - x; e) /(x) = {Vx + 2 };
e) /(x) =	cos Vx-;	x)/(x) = sinx, D(f) = [3; <»).
г) f(x) =	cos (Vx-)2;
П.26. Доказать, что если функция / не определена для
всех х а (х < а), то она непериодическая.
Пример П.27.1 Доказать, что функция /(х) = х + sinx —
непериодическая.
Решение. Имеем /' (х) = 1 + cos х 5 0 при всех х. Сле-
довательно, функция / возрастает на R. Отсюда если
х, # х2, то / (xj # / (xj. Пусть / — периодическая с периодом
Т. Тогда /(х + Т) = f(x). Однако х + Т * х, так как Т # 0.
Получили противоречие.
Упражнения
П.28. Доказать, что функция/не является периодической:
а)	/ (х) = vT;	г)	/(х) = sin 2х - Зх;
б)	/ (х) = 2х3 — 11;	д)	/ (х) = ^х"+Зх - 1;
в)	/(х) = 2х - cos х;	е)	/(х) = х3 + х + sin х.
П.29. Доказать, что если функция / монотонна на D (f),
то она непериодическая.
Пример П.30. Доказать, что функция / (х) = cos х2 не
является периодической.
1 При решении этого цикла задач желательно уметь определять характер
монотонности функции с помощью производной.
255
О периодических функциях
Решение. Заметим, что ни один из перечисленных выше
критериев непериодичности (упражнения IL19, 11.20, 11.23,
11.26, 11.29) к данной функции неприменим.
Пусть функция / периодическая с периодом Г. Тогда
равенство cos (х + Т)2 = cos х2 должно выполняться для любого
действительного х, а значит, и для х = 0. Получаем
cos Т2 = 1, Т2 = 2лп, где n€N, Итак, если период есть, то
он имеет вид V2tth, n G N. Запишем
cos (х + Т)2 - cos х2 = 0,
(гр 2\	/	р 2\
х2 + Тх + -Г- sin Тх + — = О.
Лл 1	1	Ал 1
Последнее равенство справедливо при всех х. Подставим
х = 1 и Т = 72лп. Получаем
sin (1 + У2лп + лп) sin (72лп + лп) = 0,
sin (1 + у/2пп ) sin 72лп = 0.
Понятно, что последнее равенство противоречиво.
Упражнения
П.31. Доказать, что функция/не является периодической:
a)	f(x) = sin х2;	г) f(x) = cos (х2 — 2х);
б)	/(х) = cosх3;	д) /(х) = sin |х|.
в)	f(x) = sin (х2 + х);
Пример 11.32. Доказать, что если функция /(х) = sinx +
+ cos bx — периодическая, то b — рациональное число.
Решение. Пусть период функции / равен Т. Тогда для
любого действительного х имеет место равенство
sin (х + Т) + cos b (х + Т) = sin х + cos bx.
Положим в этом равенстве х = 0 и х - - Т. Получим
систему
256
О периодических функциях
sin Т + cos ЬТ = 1,	|cosAT=l,
— sin Т + cos ЪТ = 1, |sin Т = О,
ЬТ = 2л/и, m G Z,
' Т = лк, kEZ.
Так как Т * 0, то к * О. Отсюда b = S Q.
ft
Упражнения
11.33.	Доказать, что если функция / — периодическая,
то число b — рациональное:
а)	/(х) = cos х + cos bx;	г) f(x) = tg x + cos bx;
6)	/(*) = cos x + sin bx;	3) f(x) = cos x + ctg bx.
в)	f(x) = cos x + tg bx;
Пример 11.34. Доказать, что функция / (х) = {х} + sin х
не является периодической.
Решение. Пусть функция f периодическая с периодом
Т. Тогда для любого действительного х
{х + Т} + sin (х + Т) = {х} + sin х.
При х = 0 имеем {7} + sin Т = 0, а при х = — Т получаем
{- 7} - sin Т = 0. Отсюда {7} + {- Т} = 0. Так как дробная
часть числа всегда неотрицательна, то из последнего равенства
запишем {7} = {— Г} = 0. Следовательно, Т — целое число.
Вместе с тем из равенства {7} + sin Т = 0 получаем
sin Т = О, Т = лк, где к G Z и к * О (ведь Т & 0), т.е. Т —
иррациональное число. Получили противоречие.
Упражнения
П.35. Доказать, что функция/не является периодической:
a) f(x) = cos х + cos V2"x;
б> /(x) = sin x + cos V2~x;
a) /(x) = sinx + sinjrx;
г) / (x) = {x} + cos x;
d) / (x) = cos x + cos {x}
a) /(x) = sin x + sin {x};
9 Тригонометрия
257
О периодических функциях
ж) /(х) = © (х) + cos х
з) /(х) = © (х) + sin х.
Пример IL36. Доказать, что функция /(x)=xcosx не
является периодической.
Решение» Пусть функция f периодическая с периодом
Т. Разберем случай, когда Т>0 (если Т<0, рассуждения
будут аналогичными). Рассмотрим функцию f на промежутке
[О, Т], т.е. на отрезке длиной в период. Понятно, что f
ограничена на этом отрезке, например, сверху числом Т,
снизу числом — Г. Итак, функция f ограничена на отрезке
длиной в период, а следовательно, ограничена на каждом из
отрезков [пТ, (п 4- 1) Г], т.е. вообще ограничена на
D(f) = R.
С другой стороны, для любого М > 0 можно указать такое
x0GD(/), например, х0 = 2тг [Л/], что |/(х0)| >М. А это оз-
начает, что функция / — неограниченная.
Заметим, что таким же методом можно решить упраж-
нения 11.22 (и, к, л).
Упражнения
IL37. Доказать, что функция/не является периодической:
а)	/(х) =	x2cosx;	д)	f(x) = |х|	- cos 2х;
б)	f(x) =	x sin х;	е)	f (х) = 2х2	- sin пх\
в)	f(x) =	-2xsinx2; ,	ж)/(х) = 3х	+{х -
г)	/(х) =	|х| + sin?rx;
1 ®(х) — это функция (функция Дирихле), которая задается по следую-
щему правилу:
®(х) =
1, если х — рациональное, х G <?,
О, если х — иррациональное, х Е R \ Q.
Интересно отметить, что любое рациональное число является ее периодом,
вместе с тем, как каждое иррациональное, ее периодом не является.
Действительно, пусть TEQ. Если х Е £?, то ®(х) = 1. Но х ± Т Е Q (сумма
двух рациональных чисел — число рациональное), тогда © (х ± Т) = 1,
т.е. Т — период. Пусть Т Е R \ Qt тогда - Т Е R \ Qt а следовательно,
® (- Т) = 0. Однако ® (- Т 4- Т) = ® (0) = L Значит, Т — не период.
258
О периодических функциях
IL38? Доказать, что если функция / дифференцируема,
а ее производная — непериодическая функция, то f — не-
периодическая.
Решение. Здесь удобно доказать равносильное утвержде-
ние: если функция f дифференцируема и периодическая, то
функция f — периодическая.
Если функция f дифференцируема в точке х, то
lim
Дх->0	^Х
= /'(*)•
Запишем
!im +	+	_ Пт /(, + A,)-/W =/,w
Д.х->0	/аХ	Дх->0	ДХ
Другими словами, функция f также дифференцируема в
точке х + Т, причем /'(х + Т) =/'(х). Аналогично дока-
зываем, что /'(х) = /'(х — Г). Итак, х ± TGDff'), причем
f'(x — Т) =f (x) —f'(x + Г), следовательно, /' — периодиче-
ская функция.
Покажем еще одно решение задачи 11.30. Имеем
/ (х) = cos х1 2, /'(х) = - 2х sin х2,
а это есть упражнение 11.37 (в) из предыдущего цикла
задач.
Упражнения
11.39.	Доказать, что функция/не является периодической:
2	х2
a)	f(x) = sinх ;	в) /(х) = у - cos х;
х3	1
б)	/(х) = у - cos х; г) /(х) = sinх + ^y-sinх у/2~.
Л *	«
Пример IL40. Доказать, что главным периодом2 функ-
ции /(х) = sin х является Т = 2л.
1 Этот пример адресован тем, кто знаком с производной.
2 Определение. Наименьший из положительных периодов функции f на-
зывается главным (основным) периодом.
259
О периодических функциях
Решение» То, что Т = 2л есть период функции /, это
почти очевидно, (х ± 2л G D (/), sin (х + 2л) = sin х). Пусть
функция / имеет период Т такой, что 0 < Т < 2л.
Имеем для любого действительного х sin (х + Т) = sin х.
Т ( Т\
Отсюда 2 sin — cos х + — =0. Поскольку не для любого дей-
\ ~ !
\
ствительного х cos (х + — = 0, то мы вынуждены потребо-
J7	\	/
вать, чтобы sin у = 0, т.е. Т = 2лп, п G Z, но, так как Т > 0,
то n&N. Следовательно, Т 2л. Получили противоречие.
	Упражнения
11.41. Показать, что число Т — главный период функции/:
а) /(х) = cosх, Т = 2л; б) /(х) = tgх, Т = л;
в) /(х) = ctgx, Т = л; г) /(х) = {х}, Т= 1;
д) f(x) =	Ь, если х = а + b V2-, Т = 1; 0, если х & а + b V2-, где а и b — целые,
в) /(х) =	й, если х = а + b T = VT; 0, если х а + b V2~, где а и Ь — целые,
11.42. Доказать, что функция/(х) = с, где с — константа,
не имеет главного периода.
11.43. Доказать, что функция Дирихле не имеет главного
периода.
* ♦ ♦
Пример П.44. Доказать, что главным периодом функции
2л
/(х) = sin (ох 4- </>), о > 0, является Т = —.
Решение. Для любого действительного х числа
2л
X ± — е D(f). Далее,
260
О периодических функциях
= sin (сох + <р + 2л) = sin (сох + </>) = f(x)<
2л
Следовательно, Т = —-----период функции /.
Пусть функция / имеет еще такой период Т, что
О < Т < Тогда sin (со (х + Т ) + <р) = sin (сох + <р), отсюда
	(	(°Т\	_ „
sin -у cos Icox + <р + -у = 0. Отметим, что полученное ра-
ЛА	I	ЛА 1
венство должно выполняться для любого действительного х.
.	• °>Т Л гтт 2лЛ
А это возможно лишь при условии sm = 0, т.е. Т =
2л
где к G N (ведь Т>0). Следовательно, Т —. Получили
противоречие.
Упражнения
11.45. Доказать, что число Т — главный период функции/:
2л
a)	f(x) = cos (сох + <р), где со > О, Т = —;
б)	/(х) = tg (сох + />), где со > О, Т =
л
в)	f(x) = ctg (сох + <f>), где со > О, Т = — ;
г)	f(x) = {кх + Ь}, где к > О, Т = у
К
IL46. Используя результаты задач IL44 и IL45, найти
главный период функции /:
a) f(x) = cos (Зх + 1);	в) /(х) = tg (4лх - 3);	
б) f(x) = tg (2х + 1);	ж) /(х) =	6х + ik о I
в) /(х) = ctg (- 7х + 2);	з) f(x) = 	- V2"x};
г) /(х) = sin 2лх;	и) /(х) = •	лх + М. Л I
д) f(x) = cos 1/3~х;		
261
О периодических функциях
Пример 11.47. Доказать, что если Т\ и Т2 — периоды
функции /, причем 7\ + Т2 # 0, то 7\ + Т2 — также период
функции /.
Решение. Если xED(f), то x + TteD(f) (ведь Г, —
период). Но Т2 — также период, тогда х + Т\ + Т2 G D (f).
Аналогично доказывается, что х - (Т^ + е D (f). Далее,
/(х + Tt + TJ =f((x + Т) + TJ = /(х + Г,) = /(х).
Упражнения
11.48	. Доказать, что если Т — период функции /, то
пТ, где п G Z и п * О, также период функции /.
11.49	. Доказать, что если 7\ и Т2 — периоды функции
/, то пТ[ + кТ2, где п и к — целые, также период функции
f при условии, что пТ, + кТ2 * 0.
11.50	. Доказать, что если Т — главный период функции
/, то любой период функции f имеет вид пТ, где п G Z и
п * 0.
11.51	. Если Т, — период функции fv Т2 — период функции
т
f2, причем -=г = —, где mGZ\{0},	т.е. периоды
I 2 М
7\ и Т2 соизмеримы, то найдется такое число Г, которое
будет периодом, как для функции так и для функции /2.
Доказать.
11.52	. Если у функций fx и f2 не существуют соизмеримые
периоды, то не найдется такое число Т, которое будет пери-
одом, как для функции /р так и для функции /2. Дока-
зать.
11.53	. Существуют ли функции f и g, главные периоды
которых несоизмеримы, такие, что функция f+g имеет глав-
ный период?
11.54	. Доказать, что если Т — период функции /, то
Т
— — период функции /(ах), где a Е R и а & 0.
11.55	. Функции / и /2 — периодические. Верно ли, что
функция + f2 — периодическая?
262
О периодических функциях
11.56	. Функции /i и /2 — периодические, причем
D (Q П D (Q * 0* Верно ли, что функция + f2 — перио-
дическая?
11.57	. Верно ли, что сумма двух любых периодических
функций есть функция непериодическая?
11.58	. Может ли сумма периодической и непериодической
функций быть периодической функцией?
П.59. Верно ли, что если функции f и g имеют главный
период Г, причем D (f) П D (g) * 0, то функция / + g также
имеет своим главным периодом число 7?
11.60	. Верно ли, что если функции / и g имеют главный
период Т, причем D (f) П D (g) * 0, то функция f+g имеет
главный период?
П.61. Что можно сказать о периодичности функции
№=/(#(*)), Р(у) *0 и a) g — периодическая функция;
б) f — периодическая функция, a g — непериодическая;
в) f и g — непериодические функции?
П.62. Функция g — периодическая с главным периодом
Т. Верно ли, что функция y=/(g(x)) также имеет главный
период 7?
П.63. Существует ли функция, для которой любое раци-
ональное число, отличное от нуля, является периодом и ни
одно иррациональное число периодом не является?
П.64. Существует ли функция, для которой каждое ир-
рациональное число является ее периодом, но не существует
рационального числа, являющегося ее периодом?
♦ ♦ ♦
Пример 11.65. Пусть /р /2,..., fk — периодические фун-
кции соответственно с периодами Тр Т2,..., Тк. Если каждый
период Т{ (i = 1, 2,..., к) возможно представить в виде
п.	ni	пк	...
Т. = — t, Т,= — t,... ,Тк= —t, где п. 6Z\0,
1 ш[ ’	2 пг2 к тк	1	1 J 1
(i = 1, 2, ... , к), t G R \ {0}, то число
НОК(п„ п„ ..., пк)
Т = ЯОД(тр т2,..., тк) f
есть общим периодом всех данных функций. Доказать.
263
О периодических функциях
Решение. Поскольку
HOK(nv п2,, nk) : Ир a mi : НОД(т^ т2,..., тк),
где 4=1,2,..., к, то T:Tz = Zp ZzGZ\{0}, т.е. Т=Т\1Р
Т = Т212,... , Т = Tklk. Следовательно (см. 11.48), Т — общий
период данных функций.
Замечание. Если ввести ограничение
^(Л)ПР(/2)П...ПР(/л)*0,
то пример 11.65 можно рассматривать как алгоритм нахож-
дения периодов функций вида
F (х) = k\f\ (*) ± М2 (,x)±--±knfn (х),
где к2,..., кп — некоторые действительные числа. Дейст-
вительно, покажем, как найти период функции
f(x) = sin 2х - 3 cos + j) + 4 tg у.
I Z 4 1	X
Рассмотрим функции (x) = sin 2x, f2 (x) = - 3 cos fv + “71,
1 X 4 I
X	1
/3(*) = 4tg—. Их периоды соответственно равны 7\ = —я,
Т2 = ^я, Т3 = ^л. Тогда общий период этих функций (а
О	А
значит, и период функции f) равен
„	НОК (1,4,2)	4
Т	ЯОД(1,3,2) Л ~ 1Л~4Л'
Упражнения
11.66.	Пользуясь результатом задачи 11.65, найти период
функции /:
Зх
a)	f(x) = sin + tg 7х;
б)	f(x) = cos х + 2 sin	;
I о о I
в)	/(х) = ctg (х - 1) - 3 sin Зх;
г)	/(х) = sin Зх + cos — + ^tg-z-;
264
О периодических функциях
ч 5х ,	7х лЛ .	_
д)	f(x)	= cos ь + 5 tg	—	- —	- sin	(6x - 3);
о	111	4 j
ё) f (х) = sin лх — 2 cos 4г;
О
х .z х 4лх	9лх
Ж) f(x) = tg — + Ctg—;
з)
и)
f (х) = sin лх +
13ях
7 ’
f (х) = 2 sin 5лх + 4 {2х} — ctg
«J
. ,, .	* Злх ,	10тх , (х
к) f(x) = tg— + Ctg-у- +  J
Пример IL67. При каких значениях параметра а функ-
№ — а
ция f(x) = -3--является периодической?
х - а
Решение. Если а 0, то функция f имеет конечное число
точек, в которых она не определена (при а = 0 это х = О,
при а > 0 это х = ± yfa), следовательно, она непериодическая.
Если а<0, то f(x) = 1 при любом действительном х, т.е. она
периодическая.
Упражнения
11.68.	При каких значениях параметра а функция f
является периодической?
a)	f(x) = ах 4- 2;	ё) f(x) = (а + 1) Vx2 - а;
б)	ft*) = (*2 + О*;	/(*)= О*2 + 2а)	“ я;
|x|“i2	\^/\	1---
в)	= |х| - а'	3)	= cos
г)	/(х) = (а - 1) Vx2 +	а;	м)	/(х) = a cos х2;
д)	f (х) = (а — 1) Vx2 -	а;	к)	/(х) = cos ах2.
♦ о *
265
О периодических функциях
Пример 11.69. При каких значениях параметра а функция
/(х) = a cos х + (а2 - а) х имеет главный период?
Решение. Понятно, что периодичности «мешает» слагае-
мое (а2 — а)х.
Если а2 - а * 0, то функция/не является периодической.
Если а = 1, то /(х) = cos х и Т = 2л — ее главный период.
Если а = 0, то функция / периодическая, однако главного
периода не имеет.
Упражнения
11.70. При каких значениях параметра а функция / име-
ет главный период:
а)	/(х) = sin ох;
б)	f (х) = tg (а2 + 1)х;
в)	/(х) = cos (х + а);
г)	f(x) = {ах};
3) /(х) = cos ах + (а2+ а) х
е) /(х) = Va’sinx;
ж) /(х) = aVsinx ?
Пример 11.71. При каких значениях параметра а число
л является периодом функции / (х) = —— ?
a cosx
Решение. Чтобы число л являлось периодом функции /,
необходимо выполнение равенства / (х) = / (х + л) при всех
допустимых х. Имеем
sinx_______sin(x + л )
а - cosx “ а — cos(x + л ) ’
sinx _ sinx
a — cosx ~ - a — cosx ’
Последнее равенство становится тождеством только при
a = 0. Следовательно, функция / приобретает вид
/ (х) = - tgx. Перед тем как записать ответ, заметим, что
если х G D (/), то ( х + л ) GD (/) и ( х - л ) G D (f).
Ответ: a = 0 .
266
О периодических функциях
Пример 11.72. При каких значениях параметра а функ-
ция
/(л) = (^з7с“т+ (° +а ~4»~4) -^-2<! + 1
является периодической и имеет наименьший положитель-
4л:
ныи период — ?
О
Решение.
Рассмотрим функцию g (х) =
д2 - 1
(а + 3)2
Зх
2
Если а2 = 1, то эта функция периодическая, но главного
периода не имеет. Вместе с тем при а = 1 функция f ста-
новится дробно-рациональной, но не константой, следователь-
но, непериодической. Если же а = - 1, то f(x ) = 0, т.е.
функция f периодическая. Дальнейшие рассуждения будем
строить для случая а2 # 1.
Вернемся к функции g. Она периодическая с главным
периодом —. Такой же период должна иметь функция /.
о
Для этого необходимо, чтобы функция Л(х) = (а+1)х
х ( а2 - 4 )
х2 + а - 5
х2 - 2а + 1
была периодической. Нетрудно заме-
тить, что искомые значения а должны удовлетворять нера-
венству а < ~ . Иначе уравнение х2 — 2а +1=0 имело бы
корни, а значит, функция h не была бы периодической.
Далее, если а2 - 4 # 0 , то Л — дробно-рациональная фун-
кция, опять-таки отличная от константы. Остается проверить
значение а = - 2 . Проверка дает положительный результат.
Ответ: Если а = - 1 , то функция f периоди-
ческая, но главного периода не имеет;
если а = - 2 , то главным периодом
функции f будет —;
при остальных а функция f
непериодическая.
267
О периодических функциях
Упражнения
11.73.	При каких значениях параметра а число Т является
периодом функции f:
а)	/(х) = cos (2х + а), Т = 2л;
б)	f (х) = sin ах, Т = л;
в)/(х) = {ах}, 7 = 2;
г) /(х) = ®(ах), 7 = л (®(х) — функция Дирихле);
3) /(х) = sin {ах}, Т = 3;
е) / (х) = sin {ах}, Т = Зл;
ж) /(х) = . c°s2x 7 = ^ ?
v ’ За + sin 2х 2
II. 74. При каких а функция
... а2 - 1 . 5х , . з 2 п , х2 + а + 1
/(х) =	---- sin — + (а - а - 9а + 9) —---------
v ’ а2 + 1	2 v	’ х2 + За + 5
является периодической и имеет наименьший положитель-
4л
ныи период —?
О
Пример П.75. Найти все рациональные значения пара-
метра а, при которых функции
/ (^ ) = COSV5-+ а2 и «	/125 - 4а + 1
имеют одинаковые периоды.
Решение. Требование соизмеримости периодов функций
f и g равносильно требованию задачи.
.	2л
Периоды функций f и g соответственно Т{ =--------,
V5”+а2
Т2 =	1	• ИмееМ Т. = /12?-4а + 1 =	’ Где
VT25” - 4а + 1
пг и п — целые числа, m * 0, п * 0.
268
О периодических функциях
Отсюда п V5~ + а2п = 5у/5~т — Дат + /п,
а2п + Дат - т = V5~(5m - и).
Левая часть последнего равенства принимает только рацио-
нальные значения. Значит, равенство возможно лишь при
п = 5т. Тогда получаем 5та2 + Дат — т = 0. Поскольку
т * 0, переходим к равенству 5а2 + Да - 1 = 0. Отсюда
, 1
а = - 1 или а = — .
О
Ответ: а = — 1 или а =	.
Упражнения
11.76.	При каких значениях параметра а среди периодов
функций f и g найдутся одинаковые:
a)	f(x) = а sinx, g(x) = {х};
б)	/(х) = sinx, g(x) = а {х};
в)	/(х) = sinax, g(x) = {х};
г)	/(х) = sinx, g(x) = {ах};
д)	/(х) = sin ах, g (х) = cos {х};
е)	/(х) = ® (х), g (х) = cos ах;
ж)	/(х) = © (ах), g(x) = sinx;
з)	/(х) = © (ах), #(х) = cos та;
а) /(х) = © (та), g (х) = sin ах;
к)	f(x) = © (та), g(x) = {ах};
л)	= s,n Twit's w = lg i-20 + лог7
Пример IL77. При каких значениях параметра а урав-
нение 2 cosax - 3 tg2x -2 = 0 имеет единственное решение?
269
О периодических функциях
Решение. Легко заметить, что х = 0 — корень этого
уравнения при любом а. Следовательно, данное уравнение
не должно иметь больше корней. Сразу отметим, что
а # 0. В противном случае корней бесконечно много. Рас-
смотрим функции
/(х) = 2 cos ах и g (х) = - 3 tg2x - 2.
Эти функции имеют основные периоды. Если функция
У = f (*) + 8 (*) будет периодической, то исходное уравнение
имеет бесконечно много корней (ведь один корень х = 0 уже
есть). Поэтому мы вынуждены потребовать от функции
у = f (х) + g (х) быть непериодической. А это возможно лишь
тогда, когда функции fug имеют несоизмеримые периоды,
что в свою очередь влечет за собой иррациональность а.
Несомненно, этот вывод — ключевой. Однако важно пони-
мать, что решение не завершено, поскольку нами еще не
установлено, сколько корней имеет исходное уравнение для
иррациональных а. Перепишем данное уравнение в таком
виде: 2 cos ах = 3 tg2x + 2. Этот шаг приносит заметную
пользу — левую и правую части уравнения легко оценить.
Переходим к равносильной системе
{cosax = 1,	[ах = 2я£,
tgx = 0,	1 х = яп, к и п — целые.
2к
Если х О, то а = —, что противоречит выводу об ир-
п
рациональности а. Таким образом, полученная система, а
следовательно, и исходное уравнение при иррациональных а
не может иметь решений, отличных от х = 0 .
Ответ: а — любое иррациональное число.
Упражнения
11.78. При каких значения параметра а уравнение имеет
единственное решение:
a)	sin х — Vcos ах - 1=0;
б)	1 + sin2 ах = cos х;
в)	cos2 ах + cos х = 2 (cos ах + cos х - 1)?
270
Глава III
Обратимые функции
Функции у = arcsin х, у = arccos х,
у = arctg х, у = arcctg х.
Определение 1. Функция y = f(x) называется обрати-
мой, если для любого yQf=E(f) найдется единственное
x0ED(f) такое, что yQ = f (х0).
Иначе: функция / называется обратимой, если она при-
нимает каждое свое значение ровно один раз.
Определение 2. Функция у = f(x) называется обратимой
на множестве М, если для любых xtEM и х26М, х^ х2,
f(x) *f(xj.
Пример III.1. Доказать, что функция /(х) = sinx не яв-
ляется обратимой.
Решение. В качестве у0 (элемента области значений)
выберем число 0. Такое значение данная функция принимает
в бесконечном числе точек вида х = лп, п G Z. Следовательно,
функция /(х) - sinx обратимой не является.
Упражнения
III.2. Доказать, что следующие функции не являются обратимыми:		
а) у = х2;	д)	У = 5;
б) у = 1x1;	ё)	у= [х ];
в) у = Vx2 + 1;	ж)	у = W;
. 1 г) у= —; X	з)	у = cos х;
271
Обратимые функции
и) у = tg*;
JV*", если х О,
1 - *, если *<0;
к) у = ctg*;	м)
Ш.З. Может ли периодиче-
ская функция быть обратимой?
III.4. Может ли нечетная
функция быть обратимой?
III. 5. Может ли четная фун-
кция быть обратимой?
IIL6. Верно ли, что всякая
линейная функция обратима?
III. 7. Может ли обратимая
функция иметь экстремум?
- —, если * < О,
*
*, если * ^ 0.
Пример III.8. Доказать, что график обратимой функции
горизонтальные прямые пересекают не более, чем в одной
точке.
Решение. Пусть какая-то прямая пересекает график об-
ратимой функции f в двух точках (рис. 5). Тогда данная
функция свои значения принимает дважды: в точках *j и
*2. Следовательно, функция f обратимой не является.
Упражнения
IIL9. Какие из графиков, изображенных на рис. 6-13,
являются графиками обратимых функций?
272
Обратимые функции
Теорема (достаточное условие обратимости). Если функ-
ция/возрастает (убывает) на множестве М9 то она обратима
на этом множестве.
Доказательство. Пусть функция / возрастает (убывает),
но необратима. Тогда существуют, по крайней мере, два
неравных аргумента х{ G М и х2 Е М такие, что
/(*i) =/(*2)* Это противоречит условию монотонности функ-
ции /.
273
Обратимые функции
Упражнения
III. 10. Какие из следующих функций являются обрати-
мыми:1
а)	y = Vx~-	е)	у = х2л+1, nEN;
б)	у = v'x";	ж)	у = уГх, nEN,
в)	?/ 2 у = Vx ;	3)	у = х2п, nEN;
г)	у = V7;	и)	у = <7, nEN;
д)	У = х3-,	к)	У = х I х |;
		л)	У = х2 |х|;
п> 1;
м) у = х2, D (у) = [1; со), D (у) = [-2; -1 ],
£>(у)= [-2;1];
н) у = sin х, D (у) =
D(y) =
о) y = cosx, D(y)= [0; яг], D(y)= [-я; О],
. а	гч / ч ( к	/ ч /я Зя'
п) у = tgx, D (у) = I “ 2; 2 I ’ Л = I 2’ Т ’
р) у = ctgx, D (у) = (0; я), D (у) = ^я;	?
Определение (описательное). Пусть у = /(х) — обрати-
мая функция. Для каждого х из области определения найдем
соответствующее значение у функции. Рассмотрим множество
упорядоченных пар вида (х; у), т.е. (х; /(х)). Множество
первых компонентов пар — это область определения функции,
множество вторых компонентов — это область значений фун-
кции. Среди этих пар нет таких, у которых равны первые
компоненты, потому что / — функция. Среди этих пар нет
1 Если в задаче не указано множество D (у), то будем считать, что функция
рассматривается на естественной области определения, т.е. на максималь-
ном множестве, на котором она определена.
274
Обратимые функции
и таких, у которых равны вторые компоненты, потому что
f — обратимая функция. Поменяем местами компоненты пар,
получим множество пар вида (у; х) с неравными первыми
компонентами. Тогда это множество, в свою очередь, задает
функцию. Эту функцию будем называть обратной данной.
Также вновь построенную функцию и данную будем называть
взаимно обратными.
Итак, чтобы из данной обратимой функции / получить
обратную ей, надо поменять местами компоненты упорядо-
ченных пар вида (х; /(х)).
Теперь становится совершенно очевидно, что если фун-
кции f и g взаимно обратны, то D (f) = Е (g) и Е (f) = D (g),
т.е. при переходе от данной функции к обратной области
определения и значения меняются местами.
Установим еще одно ключевое свойство взаимно-обрат-
ных функций. Пусть (х0; у0) — упорядоченная пара, кото-
рую задает обратимая функция /, т.е. Уо=/(*<))• Тогда пара
(у0; *о) определяется функцией g, обратной функции /, т.е.
х0 = g(y0). Итак, если f и g — взаимно обратные функции и
Уо = /(хо)> т0 хо = #(Уо)- Этот факт можно записать иначе:
f(s(yQ)) = У о и g(f(xQ)) = хо- Другими словами, если f и g —
взаимно обратные функции, то для любого х G D (/)
= х и для любого х е D (g)	/(g(x)) = х.
Найденные свойства взаимно обратных функций являются
свойствами-признаками. Поэтому в литературе можно встре-
тить и такое
Определение. Функции fug называются взаимно об-
ратными, если D(f) = Е (g), Е (f) = D(g), а также для любого
х G D(f) g(f(x)) -хи для любого х G D(g) f(g (х)) = х.
Пример IIL1L Доказать, что функции /(х) = 2х - 1 и
х 1
g (*) = тг + тг являются взаимно обратными.
Решение. Очевидно, что D (f) = Е (f) = D (g) = Е (g) = R.
Далее,
/(g(x)) = 2g(x)-l = 2	+ I) -1=х,
,,, ч. /(х) ,1 2х — 1	1
а также g(/(x)) =	— + 2 = х'
275
Обратимые функции
Пример Ш.12. Докажите, что функции /(х) = х2+1,
D (f) = [0; оо) и g (х) = Vx — 1 являются взаимно обратными.
Решение. Поскольку E(f) = [1; °0), D(g) = [1; оо),
E(g) = [О; оо), то D(f) = E(g), E(f) = D(g).
Имеем для любого х Е D(g) = [1; оо)
f(8(x)) = g2 (х) + 1 = (Vx - 1 )2 + 1 = х.
Для любого х Е D (f) = [0; оо)
8 (f (*)) = V/(x) - 1 = Vx2 + 1 - 1 =	= х.
Упражнения
III. 13. Доказать, что функции / и g — взаимно обратные:
а) /(х) = 2х и g(x) =
б)	/(х) = 4х + 2 и g (х) =
в)	= з + з и g(x) = Зх - 1;
. ч 1	, . 2х + 1
г)	= 7^2 и = Y ;
Л л*	А
3) /(х) = и g(x) =
. ,. .	1-х	1 - 2х
й “ 7+2 “ »W =
ж) /(х) = Vx + 2 И g (х) = х2 - 2, D (g) = [0; оо);
а) /(х) = (х - З)2, D (f) = [3; оо) и g(х) = Vx" + 3;
и)	f(x) = х2 - 2х + 3, D (f) = (- °°; 1 ] и
g(х) = 1 - Vx - 2;
к)	/(х) = v'x + 4 и g (х) = х3 - 4;
л)	/(х) = Vx3 - 1 и g(x) = Vx3 + 1.
276
Обратимые функции
Нахождение функции, обратной данной,
заданной аналитически
Выше мы описали построение обратной функции путем
перемены мест компонентов упорядоченных пар. Очевидно,
что таким методом удобно пользоваться, если данная функция
задана таблично и области определения и значений функ-
ции — конечные множества. Для случая аналитического за-
дания функции (задание функции с помощью уравнения с
двумя переменными вида y = f (х)) способ построения обрат-
ной функции позволяет множествам и E(f) быть бес-
конечными. Надо в уравнении у=/(х) выразить перемен-
ную х через переменную у, т.е. получить уравнение вида
x = g(y). Последнее и может задать функцию g, обратную
функции /. При желании, или придерживаясь традиции в
обозначении аргумента и значения функции, можно считать,
что уравнение у — g(x) задает функцию g, обратную функции
/ при условии, что D(f) = E(g) и E(f) = D (g).
Пример III. 14. Найти функцию, обратную функции
у = 3 + V2 - х и проверить, действительно ли найденная
функция является обратной данной.
Решение. Прежде всего заметим, что данная функция
является убывающей, а следовательно, обратимой. Выразим
в уравнении переменную х через переменную у. Имеем
V2 - х = У - 3,	2 - х = (у - З)2,	2 - х = у2 - бу + 9,
х = - у2 + бу - 7.
Переходя к традиционным обозначениям, получаем
у = - х2 + бх - 7. Здесь важно понимать, что найденная квад-
ратичная функция g (х) = - х2 + бх - 7 не является обратной
для функции / (х) = 3 + V2 - х хотя бы в силу того, что
квадратичная функция не является обратимой. Понятно, что
необходимо наложить ограничения на область определения
функции g. Имеем £>(/) = (- оо; 2), E(f) = [3; <»). Поэтому,
если мы рассмотрим функцию g (х) = - х2 + бх - 7 на области
определения D (g) = E(f) = [3; <»), то это и будет функция,
обратная функции /.
277
Обратимые функции
Сделаем проверку, как требует условие задачи. Поскольку
координаты вершины параболы g(x) равны (3; 2) и ветви
параболы направлены вниз, то Е (#) = (— оо; 2]. Тогда имеем
D(/) = E(g), E(f) — D(g).
Далее, для любого x6D(f) = (- «о; 2]
g(f(x)) = -f2(x) + 6f(x)-7 =
= - (3 + V2 — х )2 +18 + 6 V2 -х - 7 =
= - 9 - 6 V2 — х - 2 + х+18 + 6 V2 - х - 7 = х.
Для любого х G D (g) = [3; оо)
f(g (Л)) = 3 + у/2-g (х) = 3 + V2 + х2 - 6х + 7 =
= 3 + V (х — З)2 = 3+ |х - 31 = 3 + х- 3 = х.
Упражнения
Ш.15. Найти функцию, обратную данной, и убедиться,
что полученные функции	являются взаимно	обратными:
а)	у = 2х + 4;	з)	у = Vx~;
б)	у = 3 - 5х;	и)	у = Vx - 3;
в)	У =	к)	у = (х + 2)2,	D(y)	=	(-oo;	-2];
г)	У = х 2’	У = л2 - 4х + 6, D (у) = [2; оо);
д)	у = —-^т-;	м) у = 1 + Vx + 3;
7 х + 3
е)	у = vT;	и) у = 2 - V3 -х.
з._____
ж)	у = V2x + 1;
Теорема. Графики взаимно обратных функций симмет-
ричны относительно прямой у = х.
Доказательство. Пусть точка М(а; Ь) принадлежит гра-
фику функции у = /(х). Тогда b = f (а). Если функция g об-
278
Обратимые функции
ратная функции/, то g (b) = а, т.е. точка N (J; а) принадлежит
графику функции y = g(x). Осталось показать, что точки
М и N симметричны отно-
сительно прямой у = х. Име-
ем (рис. 14)
ON = V а2 + V,
ОМ = >/а2 + Ь2,
т.е. точка О равноудалена
от концов отрезка MN, а
следовательно, принадле-
жит срединному перпенди-
куляру к отрезку MN. Се-
редина К отрезка MN имеет
(а + b а + Ь\
координаты —-—; —-— ,
I X	£	1
т.е. принадлежит прямой
у = х. Значит, прямая у = х и есть срединный перпендикуляр
к отрезку MN.
Упражнения
Ш.16. С помощью графика функции / построить график
функции g, обратной функции / (рис. 15-20).
Рис. 16
Рис. 15
279
Обратимые функции
Рис. 20
III. 17. Для функции у = х2 найти
какое-нибудь множество М из обла-
сти определения, на котором данная
функция обратима.
III. 18. Для каждой из функций
у = sin X, у = COS X, у = tg X, у = Ctg X
указать какой-нибудь промежуток, на котором она обратима.
Построить график обратной функции.
Пример III. 19. Нечетная функция/имеет обратную функ-
цию g. Известно, что неравенство /(х) > ^х — 1 выполняется
для всех х€Л, а уравнение |g(x)| = 119-х2 имеет два
решения. Найти эти решения приближенно с абсолютной
погрешностью 0,2.
280
Обратимые функции
Решение. Из условия следует, что график функции
у = /(х) лежит выше прямой у = ^х - 1. Поскольку функция
f— нечетная, то ее график лежит ниже прямой, симметричной
1
прямой у = —х - 1 относительно начала координат, т.е. ниже
прямой у = ~х+ 1. Следовательно, график функции / лежит
X
1	1	1	1
в полосе, ограниченной прямыми у = — х — 1 и у = —х+1.
281
Обратимые функции
Поскольку функция g — обратная функции /, то их
графики симметричны относительно прямой у = х. Тогда гра-
фик функции g лежит в полосе, симметричной выше-
указанной, относительно прямой у = х. Функции, обратные
функциям у = ^- х + 1 и у =	- 1, соответственно будут
у = 2х - 2 и у = 2х + 2. Следовательно, график функции g
лежит в полосе, ограниченной этими прямыми, а график
у = |g(x)| содержится в фигуре, ограниченной жирными ли-
ниями на рис. 21.
Пусть хр х2, х3, х4 — абсциссы точек пересечения гра-
фика у = 119 — х2 соответственно с прямыми у = — 2х — 2,
у = - 2х + 2, у = 2х + 2, у = 2х — 2. Из соображений симмет-
рии достаточно найти х{ и х2. Эти значения найдем, решив
следующие две системы:
у = - 2х - 2,
а) • у = 119 - х2,
х<0;
б)
у = - 2х + 2,
у= 119-х2,
х<0.
Отсюда х{ = 1 - /122, х2 = 1 - /118. Тогда
х3 = /Г18- 1, х4 = /122" - 1.
Заметим, что каждый из двух корней уравнения
|g(x)| = 119-х2 принадлежит соответственно каждому из
промежутков (Хр xj и (х3; х4). Имеем
I %2
= /122" - /118"=
4
10+ 10
= 0,2.
Аналогично можно показать, что |х3 - х4| <0,2. Следо-
вательно, каждое число из указанных промежутков может
служить приближенным значением корня уравнения
|/(х) | = 119 - х2 с абсолютной погрешностью 0,2.
Ответ: каждое из двух приближенных решений
принадлежит соответственно промежуткам
(1 —/122"; 1 -/П8") и (/118”- 1; /12Г- 1).
Упражнения
III.20. Четная функция f на промежутке [0; <») имеет
обратную функцию g. Неравенство /(х) < 2х - 6 выполняется
при всех положительных х, а уравнение g(x) = (х - 6)2 + 1
282
Обратимые функции
имеет два положительных решения. Найти эти решения при-
ближенно с абсолютной погрешностью 0,25.
Теорема. Общие точки возрастающих взаимно обратных
функций лежат на прямой у = х.
Доказательство. Пусть возрастающие взаимно обратные
функции f и g имеют общую точку (а; й). Поскольку графики
функций f и g симметричны относительно прямой у = х, то
точка (й; а) является общей точкой. Не нарушая общности,
положим а < й. В силу возрастания функции f запишем
/(а) </(й) (ведь числа а и й принадлежат области определения
функции /). Имеем f(d) = й, /(й) = а (ведь точки (а; й) и
(й; а) принадлежат графику функции f). Отсюда Ь<а. Пол-
учили противоречие. Следовательно, а = й, что и доказывает
теорему.
Важное замечание. Обратим внимание читателя на обя-
зательность условия возрастания в формулировке теоремы:
функции у = — ? и у = - Vx", например, взаимно обратные,
однако не все точки пересечения их графиков лежат на
прямой у = х.
Следствие. Если функции f и g взаимно обратные и
возрастающие, то уравнение/(х) = g(x) равносильно каждому
из уравнений /(х) = х или g(x) = х.
Пример Ш.21. Решить уравнение х3 + 1 = 2 ^2х - 1.
Решение. Представим исходное уравнение в таком виде:
х3 + 1	з/_-----
—-— = V2x - 1.
Рассмотрим функцию /(х) = (х3 + 1). Она является мо-
нотонной наР(/), а следовательно, обратимой. Легко пока-
зать, что функция g (х) = ^2х - 1 будет обратной для функ-
ции /. Поскольку функции / и g — возрастающие, то общие
точки их графиков лежат на прямой у = х. Итак, данное
уравнение равносильно такому:
283
Обратимые функции
—2— = х> х3 - 2х + 1 = О, (х - 1)(х2 4- х - 1) = 0.
л ,	- 1 - V5-	- 1 + VT
Ответ: х = 1 или х = ---z---, или х = ----х---.
Упражнения
III.22.	Решить уравнение
у/х + 22 = х3 - 6х2 + 12х - 32.
Ш.23. Решить уравнение V3x + 9 = 27 (х + I)3 - 6.
III.24.	Решить уравнение а5+ х = v'a — х (а — параметр).
л л
2: 2 ’
На этом
обратная функции /(*) = sin*,
называется арксинусом и обозначается
7Г. Л
2’ 2
Л Л
2’ 2 ’
Определение (описательное)* Функция f(x) = sin* обра-
тимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусст-
венной области определения D(f) =
множестве функция f — возрастающая, следовательно,
обратимая. Функция,
D(f) =
g (*) = arcsin *.
Итак, g(x) = arcsin* — это функция, обратная функции
/(*) = sin* на промежутке
Найдем ключевые свойства арксинуса, исходя из свойств
взаимно обратных функций.
Поскольку £(/)=[- 1; 1 ], то D (g) = [- 1; 1]. Так как
<7Г Л»	z .
2; г]’ то £(г)= u
Итак, область определения арксинуса — это отрезок
[-1; 1 ], а область значений — это отрезок
Поскольку для любого * е D (g) /(g(*)) = *, то
sin (arcsin *) = * для любого * е [- 1; 1 ].
Найденные свойства арксинуса оправдывают следующее
л л
~ 2’ 2 ’

7Г 7Г
2 ’ 2
284
Обратимые функции
, синус которого равен а.
Определение. Арксинусом числа а называется такое
число b из отрезка
Отсюда
Если b = arcsin а, то b G
л. л
2’ 2
и sin Ъ = а.
Исходя из свойств графиков взаимно обратных функций,
построим график функции у = arcsin х — рис. 22.
л
4
то доказываемое равенство верно.
Пример III.26. Доказать, что arcsin (- х) = - arcsin х.
. Отсюда
арксинуса). Имеем
_	л	л	_	_	л
5	,	то	-	-г	<	— а	<	—.
2	2	2
арксинуса	-	а	=	arcsin х,
Решение. Пусть arcsin (~х) = а, а е
sin а = -х (по определению
л
sin (— а) = х. Поскольку — — С а
Тогда опять-таки по определению
т.е. а = - arcsin х.
285
Обратимые функции
Упражнения
Ш.27« Доказать, что
-7Г
a)	arcsin 0 = 0;	д) arcsin 1 =
. 1	л;	.
б)	arcsin — =	е) arcsin
2	О
	. V2"	Лв	. • (	- jr.
в)	arcsin -z- = X	7;	ж) arcsin I —2~	“ “ з;
	. V3-	л.		л
г)	arcsin — = X	з;	з) arcsin(-l) = —	2*
Пример IIL28. Верно ли равенство
2	. 6
arcsin - + arcsin = = л?
J	/
п	т-г	2 л	,	6 л
Решение. Поскольку arcsin — < — и arcsin — < —, то
«3	2	/2
. 2	. 6
arcsin — 4- arcsin у < л,
и равенство неверно.
Упражнения
IIL29. Верно ли равенство:
a)	arcsin 0 = л;
б)	агс5тл = 0;
в)	arcsin (-1) = —;
it
.	. я	1
г)	arcsin— =
О	2
,х . л у/Т
д) arcsin — = —;
4	2
е) arcsin 1 + arcsin
л.
6;
ж)	arcsin^ + arcsin I -= 0;
.	. 1 ,	. vT л
з)	arcsin — + arcsin — = —;
i*	L L
arcsin 0 + arcsin =
2
Чл
6 ’
.	. ,	.1 я
к) arcsin 1 • arcsm -z - —г;
it IX
286
Обратимые функции
. Уз“
arcsin — • arcsin
Ал
2 )	36’
л)
8	оо	л:
и)	arcsin — - arcsin — = - - ?
1 О	Lvv	£
Определение (описательное). Функция f(x) = cos* обра-
тимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусст-
венной области определения D (/) = [0; л]. На этом интервале
функция / — убывающая, а следовательно, обратима. Функ-
ция, обратная функции /(*) = cos*, D(f)— [0; л:], называ-
ется арккосинусом и обозначается g (*) = arccos х.
Итак, g (*) = arccos х — это функция, обратная функции
/(*) = cos* на промежутке [0; л].
Поскольку E(f) = [-1; 1], то Z)(g) = [-1; 1]. Так как
D(f) = [0; лг], то E(g) = [0; л].
Поскольку для любого * G D (g) f(g (*)) = *, то
cos (arccos *) = * для любого * G [-1; 1 ].
Найденные свойства арккосинуса оправдывают следующее
Определение. Арккосинусом числа а называется такое
число b из отрезка [0; тг], косинус которого равен а.
Отсюда
Если arccos а = й, то b G [0; л ] и cos b = а.
Исходя из свойств графиков взаимно обратных функций,
построим график функции у = arccos * (рис. 23).
Пример Ш.ЗО. Доказать, что
( 73~\	5л
arccos ——	= —.
I	Z ]	о
287
Обратимые функции
доказываемое равенство верно.
Пример III.3L Доказать, что arccos (- х) = л - arccos х.
Решение. Пусть arccos (~х) = a, a G [0; л]. Отсюда
cos а = - х, - cos а = х, cos (л - а) = х.
Поскольку О С а С л, то - л С - аСОиО^л-аСл.
Тогда по определению арккосинуса л - а = arccos х, т.е.
а = л - arccos х.
Упражнения
IIL32. Доказать, что
п.
a)	arccos 0 = —;	5) arccos 1=0;
1	71
б)	arccos- = —;	е)	arccos
At <D
.	V2~ л
в)	arccos-^- = ~т',	ж)	arccos
Z	4
.	VT	л	.	.
г)	arccos -т- = —;	з) arccos (-1) = л.
Z	о
288
Обратимые функции
Пример III.33. Верно ли равенство
( 2}	3\	л
arccos - т + arccos - -7 = - 7- ?
I О I	4	о
Решение. Поскольку арккосинус принимает только неот-
рицательные значения, то равенство неверно.
Упражнения
III.34. Верно ли равенство:
. 1 л
a) arccos — = —
ал	О
я
б) arccos О = - -г;
ал
< я
в) arccos -т = 0;
АЛ
г) arccos 1 = 2л;
ах	Л 1
д) arccos— =
О	ЛЛ
. 2л 1
е) arccos — = - ;
. V2
+ arccos ~2~ = л;
VT 1 л
arccos -у + arccos тг = у;
Ал	Ал	Ал
Определение (описательное). Функция f(x) = tgx обра-
тимой не является. Рассмотрим эту функцию на искусст-
венной области определения D(f)= у; . На этом мно-
жестве функция / возрастает, а следовательно, обратима.
Функция, обратная функции /(х) = tgx, D(f) = yj,
называется арктангенсом и обозначается g(x) = arctgx.
Итак, g (х) = arctg х — это функция, обратная функции
/ (х) = tg х на промежутке D(f)= I — у; у |.
10 Тригонометрия
289
Обратимые функции
Так как D (f) = (- ?
\ **
Поскольку Е (f) = R, то D (g) = R.
л
’ 2
что tg (arctg х) = х для любого х G R.
, то Е (g) = I — -г-; -т . Понятно,
\ /
Определение. Арктангенсом числа а называется та-
(TV TV ।
— —; — , тангенс которого
равен а.
Отсюда
Если arctg а = Ъ, то Ь G - —; — и tg Ь = а.
I £
Исходя из свойств графиков взаимно обратных функций,
построим график функции у = arctg х — рис. 24.
Определение. Функция, обратная функции f(x) = ctgx,
2) (f) = (0; л), называется арккотангенсом и обозначается
g (х) = arcctg х.
290
Обратимые функции
Имеем D (g) = R, Е (g) = (О; л), ctg (arcctg х) = х для лю-
бого х е R.
Определение. Арккотангенсом числа а называется
такое число Ь из промежутка (О; л), котангенс которого
равен а.
Отсюда
Если arcctg а = Ь, то b G (0; л) и ctg b = а.
График функции у = arcctg х изображен на рис. 25.
называемое равенство верно.
Упражнения
III.36. Доказать, что
/ Уз"\
a) arctg 0 = 0;	в) arctg ——
\ *^ /
„	, VT л	— л
б) arctg — = -г-;	г) arctg v3 = -z-;
Jo	J
291
Обратимые функции
д)	arctg (- VT) = - ?; л) arcctg VT = %;
О	о
е)	arctg 1 =	м)	arcctg (-1)=
ж)	arctg (-1) = -	н)	arcctg (- VT) =
з)	arcctg 0 =	о)	arctg (- х) = - arctg х;
и)	arcctg ~	п)	arcctg (-х) = л -	arcctg х.
О о
л
к)	arcctg 1 = —;
О *	«
Пример Ш.37. Верно ли равенство
4 11 .	. 24 Зл
arctg— +arcctg — = -у?
Решение. Поскольку arctg и arcctg ~ < л, то ра-
венство неверно.
Упражнения
IIL38. Верно ли равенство:
л у/ 3
a)	arcctg 0 = л; д) arctg — = —;
6 о
б)	arctg 0 = у ё) arctg 1 + arctg
в)	arctg (-1) =	ж) arctg V3” + arcctg (-1) =
г)	arcctg -г = 0;	з) arctg — + arcctg — = — ?
Z	J	u X
292
Обратимые функции
Пример III.38. Вычислить sin ^3 arctg 73~ + 2 arccos
Решение. Имеем
sin
Упражнения
Ш.39. Вычислить
а)
б)
в)
г)
t f	*2
tg arccos -z- ;
\ * /
t (	. V3\
ctg arcsin — ;
sin I arccos ~ ;
I	~ 1
cos (2 arctg 1);
ж) ctg 2 arcsin-75=-
з) ctg (2 arcctg (- V3”));
d)
e)
cos
cos
2 arccos ~x~ ;
X f
'1 .
2 arcsin— ;
u) tg (2 arccos (-1));
к) cos (2 arctg (-1));
h)
o)
n)
p)
tg
+?);
.	. -3” 1	. V3"
tg 5 arctg -z— — arcsin -z-
I	3	4	2
L . VT (
cos 3 arcsin — + arccos —
i	2	l
/	. V2"	\
sin arcsin — + 2 arctg 1 ;
l	Ал	I
c) tg ^arctg V3"- arctg ;
m) cos (arcctg(- VT) + arctg(- VT) + arcsin^
\ *
(	(	V3~\	/	i\	\
y) tg arcsin —z- + arccos I - x + arctg 1 .
i	i	2 /	I	21	I
Обратимые функции
Пример Ш.39. Найти область определения функции
у = arcsin-"-.
Решение. Понятно, что достаточно решить двойное не-
71
равенство - 1	3	1, т.е. систему
71
х43
71
х 4- 3
1,
£ - 1,
х 4- 3 - л
х + 3
£ О,
х 4- 71 4- 3 _ Л
-----гз;— О
{X < - 3 ИЛИ X Л - 3,
X —71 — 3 ИЛИ X > — 3.
Отсюда х С -71 — 3 или х л — 3.
Ответ? D (у) = (— оо; — л — 3 ] U [л — 3; оо).
Пример IIL40. Найти область определения функции
у = arccos (х - 3) 4- arcctg Vx - 2.
Решение. Достаточно решить систему
'- 1 х — 3	1,	j2^x^4,
х^2,	1x^2.
Ответ: D (у) = [2; 4 ].
Упражнения
Ш.41. Найти область определения функции:
а) у = arcsin (х - 1);	е) у = arccos (х + 2);
. ( л\ б) у = arcsin х + — ;	ж) у = arccos (х + я);
ч	•	1 в) у = arcsin —; '	2х	ч	Л з) у = arccos . .; х + 4
г) у = arcsin Vx"	.	2 и) у = arccos
д) у = arcsin V2 - х;	к) у = arccos Vxl
294
Обратимые функции
л) у = arccos V3 - х;	р) у = arcctg ^qpy;
м) у = arctg(4-х);	с) у = arcctgVx + 2;
н) у = arctg	т) у = arcsin (х - 1) + arctg Vx”;
X т о
о) у = arctg Vx - 3;	у) у = arcsini + arcctg Vx - 1;
n) у = arcctg (5 - x);	ф) у = arccos x 2 + arct8 v'x + 1.
Пример III.42. Найти область значений функции
у = 4 - arccos Зх.
Решение. Поскольку 0 arccos Зх л, то
- л < - arccos х =5 0 и 4 - л « 4 - arccos х « 4. Тогда
Ответ: Е (у) = [4 - я; 4 ]*.
Пример Ш.43. Найти область значений функции
у = arcsin Vx — 1 + 2.
Решение. Поскольку Vx - 1 5 0, то
______________________________ JT
О « arcsin Vx - 1_____________-г.
Тогда 2 arcsin Vx - 1 + 2 « — + 2.
Ответ: Е (у) =
2; ? + 1 2
1 Строго говоря, надо показать, что данная функция принимает каждое
значение из отрезка [ 4 - тг, 4]. Схематично покажем, как это можно
сделать. Легко установить, что при х = - ~ и х = у данная функция
принимает значения соответственно 4 и 4 - х Дальше достаточна ссылка
на непрерывность функции.
295
Обратимые функции
Упражнения
IIL44. Найти область значений функций:
а) у = arcsin х + —;	ч 1 л) у =	.	; z arcsin х’
б) у = arccos х + л;	ч 1 •и) у =	; ' arccosх
в) у = arcsin х + 1;	н)	1 Н У Varcsin х ’
г) у = arccos х + 2;	. 1 о) у = .	; Varccos х
д) у = arcsin х - 2; е) у = arccos х - 3;	п) у = arctg х + 2; р) у = arcctg х + 4;
ж) у = arcsin Vx" + 4;	. 1 с) V = 	: z arctg х
з) у = arccos V- х + 2;	. 1 т) у =	; arcctg х
и) у — Varcsin х; к) у = V- arccos х;	у) у = Varctg х; ф) у = V- arcctg х.
Пример IIL45. Решить неравенство arcsin х > -
Решение. Поскольку область значения арксинуса — это
отрезок
данного неравенства будет промежуток (—1; 1].
Пример III.46. Решить неравенство arccos х л.
л. л
2’ 2 ’
причем sin
— 1, то решением
Решение. Поскольку область значения арккосинуса —
это отрезок [0; л ], то данное неравенство имеет единственное
решение х = -1.
Упражнения
Ш.47о Решить неравенства:
d) arcsin х	- у;	в) arcsin х ;
б) arcsin х>
г) arcsin х<
296
Обратимые функции
д)	arcsin х £ —;
е)	arccos х<0;
ж)	arccosx=s 0;
з)	arccos х > 0;
и)	arccos х > 0;
к)	arccos х л;
л)	arccos х<л-
м) arccos х > л.
Пример Ш.48. Решить уравнение
2 arcsin х = — л — (х + I)2.
Решение. Перепишем исходное уравнение в таком виде:
71	1
arcsin х ~ ~ 2 ~ 2	+
Поскольку - ? - 4(х + I)2 ’S — у, вместе с тем, как
Ал	Ал	L
7t
arcsin х — —, то данное уравнение имеет решение тогда и
только тогда, когда и правая, и левая части уравнения ДО-
ЛГ
стигают значения — Это происходит только при х = — 1.
АЛ
Пример III.49. Найти область определения функции
2 'Гх
у = arcsin ——.
z	1 + х
2 х
Решение. Очевидно, что х 2 0. Тогда 5 0. Пока-
2 Vx
жем, что при х 0	+ х 1. Действительно,
2 Ух~ __	_ 2 Vx~- 1 - х _ - (Vx~- I)2 <
1+х	1	1 + X ~ X + 1	"°*
Следовательно, D (у) = [0; оо).
297
Обратимые функции
у = Ул - arcctg х;
у = V- arcctg х;
у = arcsin (Vx" + 1);
у = arccos (-1 - х2);
у = arccos (х2 - 2х + 2);
х2+ 1
у = arccos —г—.
Упражнения
IIL50. Решить уравнения:
a)	arcsin х = у + Vx — 1;	в) arccos х — - (х — I)2;
б)	arccos х = л + (х + I)4;	г) arctg х = у + х2.
IIL51. Найти область определения функции:
а)	у = Ул - arccos х	з)
б)	у = Varccos х — л;	и)
в)	у = Varccos х	к)
г)	у = V- arccos х	л)
5)	У = у т “ arcsin * > •«>
V71	.
arcsin х - — ; н)
ж) у = Varcctgx;
(	з\
Пример IIL52. Вычислить sin arcsin — .
I /
Решение. Воспользуемся свойством взаимно обратных
функций / и g, а именно, для любого х е D (g) f(g(x)) — х,
f3\	3
arcsin— = —.
DI D
Упражнения
III.53. Вычислить:
. I	1
a) cos arccos
1	J
Л . з\
6) sin arcsin —
в) tg (arctg 4);
г) ctg (arcctg 5);
d) cos arccosv
I 4
ж) tg arctg-
I
a) ctg (arcctg л).
298
Обратимые функции
Пример Ш.54. Решить уравнение
cos (arccos (4х - 9)) = х2 - 5х + 5.
Решение. Важно понимать, что
cos (arccos (4х - 9)) = 4х - 9
только при условии |4х-9| < 1. Не накладывая последнее
ограничение, мы получим уравнение 4х — 9 = х2 - 5х + 5,
которое является следствием данного. Поэтому такой пере-
ход грозит приобретением посторонних корней. Лучше по-
ступить так: записать систему, равносильную данному урав-
нению:
|4х - 91 « 1,
4х - 9 = х2 - 5х + 5,
|4х - 91 « 1,
х - 2,
х = 7.
Ответ: х — 2.
Упражнения
Ш.55. Решить уравнения:
a)	sin (arcsin х) = —;
б)	cos (arccos (х - 1)) =
в)	tg (arctg 2х) = 5;
г)	ctg (arcctg (4 - Зх) = 2;
д)	sin (arcsin х) = Зх + 2;
е)	cos (arccos (х + 1)) = 2х;
ж)	sin (arcsin (х + 2)) = х + 2;
з)	cos (arccos (х - 1)) = х - 1;
и)	sin (arcsin 2х) = х + 1;
к)	cos (arccos (4х - 1)) = Зх2;
299
Обратимые функции________________________________
л)	sin (arcsin (х - 1)) = хг — 4х + 5;
\ Г Г 2 с- >	\	-	15
м) cos arccos х - 5х + ~ 11 = 2х —
\ I	** I I
Пример IIL56. Решить неравенство
sin (arcsin (х + 5)) > х — 1.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
|х + 5| « 1,	Г-1 sS х + 5« 1,
х + 5>х —1,	|5>— 1.
Ответ; - 6 S х $ - 4.
Упражнения
IIL57. Решить неравенства:
a)	sin (arcsin х2) Ss 1;
б)	cos (arccos Vx”) > 1;
. t ( t 1) 1
в)	tg larctg —I >
г)	sin (arcsin x) < x + 1;
d)	cos (arccos (x + 1)) < x + 2;
e)	sin (arcsin (x + 3)) x + 3;
ж)	cos (arccos (x + 5)) x + 5;
з)	tg (arctg Vx”) 5 Vx".
* * *
Пример 111.58. Вычислить arccos ^cos^.
Решение. Воспользуемся свойством взаимно обратных
функций / и g для любого х из D(f) g(f(x)) = х, т.е.
arccos (cos х) = х при х е [0; л ].
Отсюда сразу получаем
Ответ:
300
Обратимые функции
л. л
2’ 2
, а следовательно,
Л Л
2’ 2
Пример III.59. Вычислить arcsin (sin 6).
Решение. Казалось бы, ответ можно получить сразу —
это 6. Однако более внимательный анализ показывает, что
число 6 не принадлежит отрезку
и не может служить ответом. В подобных примерах выгодно
поступить так: с помощью формул приведения «загнать» ар-
гумент «внутренней функции» (в данном случае синуса) в
необходимые границы ^в данном случае
Итак, arcsin (sin 6) = arcsin (sin (6 - 2л)) = 6 - 2л. Заме-
тим, что 6 - 2л Е
л. л
2’ 2 *
Упражнения
IIL60. Вычислить:
a)	I . Я) arcsin Ismyl;	u)	/ llJT) arccos Icos-y- ;
6)	( 2лЛ arccos Icos-g- ;	K)	arctg 1 tg -jj-l;
e)	* /* arctg tgl3 ;	л)	4	( .	15л^ arcctg ctg-jy p
г)	*	( 4	4л^ arcctg ctgffH	м)	arcsin (sin 3);
3)	arccos (cos 3,14);	h)	arccos (cos 6,28);
e)	arctg (tg 1);	0)	arctg (tg 5);
X	.	.	2 V3 1 ж) arcctg ctg	; \	J /		n)	arcctg (ctg 15).
3)	/ . 4л\ arcsin Ism —1;		
Пример III.6L Вычислить arccos (sin 10).
/ /л '
Решение. Имеем arccos (sin 10) = arccos cos I — - 10
l I JL
301
Обратимые функции
_	Л
эаметим, что число — — 10 не принадлежит отрезку
[0; л]. Тогда следует поступить так:
f/ л	\ \	г» 1 ।	5л
cos — - 10 = arccos cos 10 - — - 2л 11= 10 - —<
1 X	11	ll	Za	11	ЛА
Ответ: 10 -
Упражнения
III.62. Вычислить:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
arcsin
( . 3\
arccos sin — ;
1	141
(
arctg ctg— ;
* (t
arcctg tg ——
arcsin
ж) arctg ctg-—
\ £ 1
.	* L 15Л\
з) arcctg tg-j^-
u) arcsin (cos 8);
к) arccos (sin 12);
л) arctg (ctg 17);
m) arcctg (tg 11).
e e e
(31
arccos — .
О I
3
Решение. Пусть arccos—= а, тогда ае[0;л] и
О
3
cos а = —. Задача свелась к тому, чтобы найти sin а. Запишем
о
sin2а = 1 - cos2а, I sin а | = Vl - cos2a.
Поскольку a G [0; я ], то | sin а | = sin а. Имеем:
------г— л /	о	4
sina = VI - cosa = V 1 _	= т-
V	25	5
л  (	3)	4
Ответ: sin I arccos —I = —.
1	V I	V
302
Обратимые функции
Пример IIL64. Вычислить cos arcsin^
Решение. Пусть arcsin = а. Задача свелась к вычисле-
нию cos Поскольку G [0; 1 ], то a G 0;
л
2
Заметим, что sina = ^. Учитывая ограничение для а,
запишем cos а = Vl - sin2а
Л	(	л	I
0; - даже 0; -у ,
2	\ L 4J/
1 -\/9 + 4 VT 1
“ 3 V 2	“ 3
Упражнения
III.65.	Вычислить:
a) cos	/	4\	(	1\ arcsin - ;	б) sin arccos - . 1	о >	\	I
III.66.	Доказать, что при |х|	1 sin (arccos х) = V1 - х2.
Ш.67.	Доказать, что при |х| < 1 cos (arcsinл) = Vl - х2.
Ш.68.	Вычислить:
a) cos	( . 3	5\ arcsin - - arccos — ; 1	/
б) sin	(	1	2\ arccos — + arccos -z ; \	1
в) sin	(	. 4	1 \ arcsin — + arccos	; 1	Э	VO 1
г) cos	(	• ( 5\ ,	. 20\ arcsin - — + arcsin — ; i	i	i	ХУ j
д) sin	/	з\ 2 arcsin — ; i	О/
303
Обратимые функции
е) cos [2arccos4|;
I	0 1
ж) sin 2 arccos —
I	1J
.	 3\
a) cos 2 arcsin -z ;
„ fl . 5\
к) cos — arcsin — .
i	A J I
Пример III.69. Вычислить sin (arcctg (-3)).
Решение. Имеем
sin (arcctg (- 3)) = sin (л - arcctg 3) = sin (arcctg 3).
0; у , ctga = 3. Запишем
1 + ctg2 a = .A, , тогда sin2 a =	*	=
sin2 a	1+9	10
Поскольку a G
1
, то sin a = -7=.
/КГ
Ответ: -7==-
Пример III.70. Вычислить cos 12arctg
Решение. Имеем
cos 2
= cos
= cos
- 1.
Пусть arctg I = a, a e
.	1 о
и tga = Запишем
О
„ 1 o
1 + tg2 a = -----, cos2 a =
cos a
9
10*
304
Обратимые функции
9	4
Тогда cos 2а = 2 • — - 1 =
1 v	О
Упражнения
III.71. Вычислить:
a) sin (arctg 2);
0) cos (arctg 2);
г) sin (arctg (-3));
♦ ( 7
д) cos - arcctg -
I	I о
в) sin (arcctg (-2));
III.72. Доказать, что sin (arctg x) =
III.73. Доказать, что cos (arctg x) =
III.74.	Вычислить:
.	(	. 3 ,	+ ( 12'
a)	cos arcctg + arcctg —
I 4	I 3
6)	cos (arctg - arcctg 31;
г) sin (arctg + arctg
d)	sin (2 arctg 3);
e)	cos (2 arctg 2);
ж)	sin (2 arctg 0,3);
з)	cos 12 arctg | -
з) cos 12 arctg |
1	1	J
/1	4\
u) cos I-arctg-I ;
305
Обратимые функции
л)
м)
н)
о)
cos
sin
cos
sin
t 1	3\
2 arctg	+ arccos	;
C . 1	1	3\
2 arctg - - - arccos ;
I	Z Z	41
fl . 4 „	, ( 1\
- arcsin - - 2 arcctg I - -
i z a	i z j
'13	\
— arccos 7-2 arctg (- 2) I.
z a	j
(( 40
arccos - —
I 41
Решение. Имеем
t I 40П * f	40
ctg arccos - тг = ctg тг - arccos тг
। I 41 I I I	41
(	40\
= - ctg arccos — .
I	41 I
40
Пусть arccos — = а. Тогда a G 0:
Запишем | sin a | = V1 - cos2 a =
~	40
Ответ: —
40
и cos a = —.
41
л
2
9
41’
cos а	40
c,g“ =	= т
(1	5 \
- arcsin — .
z	la j
S	~ jI
Решение. Пусть arcsin 77 = «• Тогда a G 0; 7
sin a = Задача свелась к тому, чтобы найти tg у.
1 a	z
л
2
и
Поскольку — G О; —
Z	4
а
ТО tg - =
VI - cos а
1 + cos а
Учитывая ограничения для а, запишем
306
Обратимые функции
V25
1 “ vzx
lo9
- 12
13*
Имеем tg — =
~ 1
Ответ: —.
о
Упражнения
Ш.77. Вычислить:
. t ( 1\
a) tg arccos - ;
I	J I
^ . (	• 3 , Зя\
6) tg arcsin -г + -z- ;
I 4	2	1
в) tg arccos
1
4
г) ctg (arcsin (- -7
l I 4
III.78. Доказать, что tg (arcsin x) = x при
Vl -x2
x
IIL79. Доказать, что tg (arccos x) =
и x 0.
III.80. Вычислить:
f3\
2 arcsin - ;
при
3 I-
Тот
, (1 I 4\\
6) ctg к, arccos “ 7 ;
•34 X (1
3) tg — + -arccos
I 4
e) ctg kr arccos
I X
. t (3л	1
tg	arcsm
I 4 Z
4
5
/	/ 2\	/	1
e) tg arcsin - — + arccos - -z
1	<	J J	I	о
. 4 (	.12\ ,	. 3\
ж) tg arcsin - — + arcsin 7 ;
1	i U J	01
/13	\
з) tg - arccos 7-2 arctg (- 2) I.
I Z	О	J
307
Обратимые функции
Пример IIL81. Доказать, что
.4	2	2
arcsin — + arccos -7^ = arcctg —.
0	V 3	11
4	2
Решение. Поскольку — > 0 и > 0, то
3	V 3
4 л	2 л
О < arcsin — < — и 0 < arccos -т-р- < -т .
3 лл	У и	L
_	.4	2
Тогда 0 < arcsin - + arccos -r^- < л.
3	V 3
„	2	„
С другой стороны, О < arcctg — < л. Следовательно, левая
и правая части доказываемого равенства принадлежат про-
межутку (О; л), т.е. промежутку, на котором функция
у = cos х убывает, а значит, принимает каждое свое значение
только один раз.
Итак, для доказательства достаточно показать, что ко-
синусы левой и правой частей доказываемого равенства равны.
гт	/	. 4	2 \
Имеем cos arcsin — + arccos =
(	. 4\	(	2\
= cos arcsin - cos arccos -7^4 -
i 3 । I	V 3 I
	• 4\ . (	2 1
-sin arcsinI sin Iarccos=
16 . _2_ 4 Л/ _ £
25 V5” 5 ' V 5
6 4	=	2
5V5" 5VT 5vT
2
и ctga = —. Запишем
•2	121	2	4
Sin a " 125’ C0S a 125’
4
(2 \
arcctg —I. Пусть
2	™
arcctg— = а. Тогда a e
1 + ctg2 a = V >
sura
4
Так как a G
V4	2
125 =5VT-
308
Обратимые функции
Упражнения
IIL82. Доказать, что:
. 3 ,	.5	.56
arcsm — + arcsin —z = arcsin -zz;
5	13	65
1	1	Л
arctg -z + arctg - =
Z	3	4
. 3 .	4 1 3л
arcctg-r + arcctg- = —;
4	/4
. 5 ,	.12 л
arcsin — + arcsin — =
arcsin 4 + arcsin -^z + arcsin 44 =
J	1 «3	UJ
.3	.4	.7
arcsin -z - arcsin -z = - arcsin —;
О	О	XO
.	15	. 4	36
ж) arccos —= - arcsin- = arccosyz
1 /	3	o3
а)
б)
в)
г)
д)
е)
я.
2’
л
2
Пример IIL83. Доказать, что при |х|	1
л
arcsin х + arccos х = —.
Решение. Достаточно доказать, что
л
arcsin х = — - arccos х.
Имеем - у arcsin х С другой стороны,
О arccos х =£ л, — л < - arccos х $ О,
«7Г	Л	Л
2 $ 2"arCC0S*	2-
Следовательно, левая и правая части доказываемого равен-
ства принадлежат промежутку возрастания функции
у = sin х. Поэтому достаточно показать, что синусы этих
частей равны. Запишем sin (arcsin х) = х. Вместе с тем
(л
— - arccos х
= cos (arccos х) = х.
309
Обратимые функции
Упражнения
Ш.84. Доказать, что arctg х + arcctg х = у.
Ш.85. Вычислить:
11	2	2
a) arcsin— + arccos—;	б) arctg— + arcctg—.
О	О
Ш.86. Решить уравнения:
a)	arcsin Vx” + arccos Vx- = у;
~	1	1	Л
6)	arctg—	+	arcctg—	=	3;
X	X
в)	sin (arcsin x + arccos x) = 1;
г)	cos (arccos Vx - 1 + arcsin Vx - 1 ) = 0;
d) x2 (arcsin x + arccos x) = лх.
Пример Ш.87. Доказать, что
arcsin х =
arccos Vl - х2, если 0 S x S 1,
- arccos Vl - x2, если -1 < x < 0.
Решение. Пусть arcsin x = а. Если 0 < x < 1, to
0 a « y, sin a = x, cos a = V1 — sin2 a = Vl — x2.
Так как 0 a у, то a = arccos Vl - x2.
_	7Г
Если -1 x 0, to - — a 0, sina = x,
cos a = V1 - sin2a = Vl - x2.
Имеем — ? < a 0, 0	- a S cos (— a) = Vl — x2.
л»	L
Тогда - a = arccos Vl - x2, a = - arccos Vl - x2.
310
Обратимые функции
Пример III.88. Доказать, что
arccos х =
Vl - X2
arctg---------, если 0<x S 1,
Vl - x2
л + arctg —-—, если -1 S x < 0.
к>| a
Решение. Пусть arccos x = а. Если О < х S 1, то О S а <
1	1 — х2
cos а = х. Имеем 1 4- tg2a = —7—, tg2a = -5—. Учитывая
cos а	х
— х2
—---. Отсюда
ограничения для х и а, запишем tga =
V1 -х2
а = arctg-----------
Если -1 S x < О, то у < a S л и tg2
- л S - a < ~ у, OS л — a < %. Тогда
а =
1 — х2
—5—. Имеем
х
1 — х2
tg2 (л - а) =  --2 -, tg (л - а) = -
Vl -х2
х
Vi - х2	VT=
л — а = - arctg —-—, а = л + arctg ——
.2
Упражнения
III.89. Доказать, что:
a) arccos х =
arcsin Vl — х2, если О S х < 1,
л - arcsin Vl - х2, если -1 S х S 0;
б) arctg х =
arccos—7=^—х-, если х г О,
V1 +х2
- arccos	, если х S О;
V1 +х2
311
Обратимые функции
в) arctg х = •	arcctg р если х > 0, arcctg - л, если х < 0;
г) arcsin х = -	V1 -х2 arcctg х , если 0 < х < 1, V1 -х2 arcctg х — л, если — 1 х < 0;
д) arcctg х =	arcsin 		если х 5 0, V1 +х2 л - arcsin 		если х С 0; VI +х2
е) arcctg х = «	arctg р если х > 0, л + arctg р если х < 0.
„	. X “ 1 7L
Пример IIL90. Решить уравнение arcsin—-— = —.
о
Решение. Поскольку функция арксинус является моно-
л
тонной, то она свое значение — принимает лишь в одной
«э
 л m
точке, а именно sin —. Следовательно, данное уравнение рав-
&
X - 1 vT _
посильно такому: —-— = —. Отсюда
Ответ: х = V3” + 1.
Пример Ш.91. Решить уравнение
23 arctg (1 - 6х) = - Юл.
10иг
Решение. Запишем arctg (1 - 6х) = - Поскольку
функция арктангенс является монотонной, то каждое свое
312
Обратимые функции
значение она принимает только один раз. Поэтому данное
< z- х ( Юл\ _
уравнение равносильно такому: 1 - 6х = tg —— . Отсюда
Упражнения		
Ш.92. Решить уравнения:		
а)	Л arcsin х = - —; О л arccos х = —; о	Л м) arccos (2х - 3) = у; н) arctg (4х + 9) = -
б)		
в)	л arctg х = —; 4	2л о) arcctg (5 - 8х) = О
г)	л	Зл arcctg х = —;	п) 3 arcsin 2х = - —;
д)	1 arccos х = &	р) 7 arccos (Зх + 4) = 2л;
е)	arctg х = 1;	с) -2 arcctg (4 - 5х) = -
ж)	arcctg х = - 1;	т) 7 arcsin (х + 4) + 2 = 0;
з)	5л arcsin х = -г-; О	у) 3 arccos (7 - Зх) - 4 = 0;
«)	л arccos х = - —; о	ф) 4 arcsin (12 - х) + 11 = 0;
к)	х	Зл arctg х = —; 4	х) 6 arccos (10 - 11х) - 25 = 0.
л)	Л arcctg х = - 4	
Пример III.93. Решить уравнение
arcsin (2х - 15) = arcsin (х2 - 6х - 8).
313
Обратимые функции
Решение. Учитывая, что функция арксинус является мо-
нотонной, то данное уравнение равносильно системе
1х - 15 = х2 — бх - 8,	(х2- 8х + 7 = О,
' |2х - 15| « 1,	I |2х - 15| «£ 1,
Г Гх = 7,
х = 1,
12х - 15| « 1.
Ответ: х = 7.
Упражнения
Ш.94. Решить уравнения:
a)	arcsin (Зх - 2) = arcsin (- х + 2<);
б)	arccos (Зх + 2) = arccos (5х + 3);
в)	arctg (бх - 1) = arctg (12 - 5х);
г)	arcctg (3 - 4х) = arcctg (11 + 8х);
д)	arcsin (х2 - 4) = arcsin (2х + 4);
е)	arccos (Зх — 16) = arccos (х2 - 26);
ж)	arctg (4х — 2) = arctg (х2 + х);
з)	arcctg (х2 + 2х) = arcctg (8х — 5).
♦ ♦ *
Пример Ш.95. Решить уравнение
(arccos х)2 - 6 arccos х + 8 = 0.
Решение. Пусть arccos х = t, t е [0; л ]. Тогда получаем
уравнение t2 — 6t + 8 = 0. Отсюда t = 2 или t = 4. Учитывая
ограничения для t, запишем arccos х = 2, х = cos 2.
Ответ: х = cos 2.
314
Обратимые функции
Упражнения
III.96.	Решить уравнения:
а)	2 (arcsin х)2 - 5 arcsin х + 2 = 0;.
б)	3 (arccos х)2 - 10 arccos х + 3 = 0;
в)	6 (arctg х)2 - 5 arctg х + 1 = 0;
г)	2 (arcctg х)2 - 3 arcctg х - 2 = 0.
* ♦ ♦
Пример Ш.97. Решить уравнение
5л2
(arcsin х)2 + (arccos х)2 =

Решение. Здесь тождество arcsin х 4- arccos х =
ляет нам перейти к системе
5л>2
(arcsin х)2 + (arccos х)2 =
л
arcsin х + arccos х = у.
После очевидной замены arcsin х = t, arccos х = z получаем
t2 + z2= —,
36 ’
t + z = у,
7Г	JT
“2
0
Отсюда
тс
arcsin x = —,
о
Jt
arccos x = —
О
Г,	1
Ответ: x = т- или х =
X
2
л.
л
arcsin х = —.
л
arccos х = —
о
или
Уз"
2 *
315
Обратимые функции
Упражнения
IIL98o Решить уравнения:
7t2
a)	(arcsin х)2 - (arccos х)2 = —;
б)	(arctg х)2 4- (arcctg х)2 =
о
arcsin х arccos х =
Зл2
16 5
arctg х arcctg х =
5лг
18 '
Пример Ш.99. Решить уравнение
arcsin х = arccos (1 - 2х).
Решение. Заметим, что если х < 0, то левая часть данного
уравнения принимает отрицательное значение, при этом
arccos (1 - 2х) 5 О
для любых х из области определения. В то же время при
1 —2х<0 arccos (1 — 2х) > у и равенство между левой и
правой частью также невозможно. Таким образом, исходно-
му уравнению равносильна система
sin (arcsin х) = sin (arccos (1 — 2х)),
х 5 О,
1 - 2х Э: 0.
Отсюда
х = V1 — (1 — 2х)2,
х 5= 0,
Ответ: х = 0.
316
Обратимые функции
Упражнения
IIL100. Решить уравнения:
a)	arcsin Зх = arccos 4х;
б)	arcsin 6х = arccos 8х;
в)	arcsin х = arccos Vl - х;
г)	arcsin (х2 - 2х) = arccos Vl -х2;
5) arcsin х = arcctg х;
е) arccos х = arctg х.
Пример IIL10L Решить уравнение
х2
5
arcsin —.
0
Решение. Перейдем к уравнению-следствию
Получим
Решая последнее уравнение, несложно получить х
или х = ± 2. Остается проверкой убедиться, что лишь х
II II
удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 0.
Упражнения
III. 102. Решить уравнения:
а) 2 arcsin х = arcsin 2х; б) 2 arcsin Зх = arcsin 2х;
в)	2 arccos V1 — х2 = arcsin 2х;
317
Обратимые функции___________________________________________
г)	3 arccos х = arccos (2х - 1);
д)	2 arccos V1 - 16х2 = arccos V1 — 12х2.
♦ ♦ ♦
Пример III. 103. Решить уравнение
arccos (xV3) + arccos х — у.
Решение. Заметим, что при х 0 левая часть уравнения
больше правой. Поэтому достаточно ограничиться случаем,
когда х > 0. Имеем arccos (xV3) = у - arccos х. Это уравнение
еще равносильно исходному. Теперь запишем следствие
cos (arccos (xV3)) = cos I — arccos x 1,
I X	J
x /3” = sin (arccos x).
Легко показать, что при 0 х 1 sin (arccos х) =
= V1 - х2. Тогда получаем, что уравнение х VT = V1 - х2
является следствием первоначального. Оно, в свою очередь,
равносильно системе
Зх2 = 1 - х2,
4 х 0.
Отсюда х = ~. Полученный корень, естественно, подлежит
X
проверке. Она дает такой
Ответ: х =
Пример III. 104. Решить уравнение
л
arcsin 2х + arcsin х = —.
Решение. Это уравнение выгодно переписать так:
arcsin 2х = - arcsin х.	(*)
О
318
Обратимые функции
Его следствием будет уравнение
/л	\
sin (arcsin 2х) = sin kr - arcsin x .
1 J	/
Отсюда 2x =	• Vl - x2 - xx, 5x = V3 — 3x2.
X	X
Это уравнение равносильно системе
25х2 = 3 - Зх2,
х 5 0.
, причем
n / з
Решив систему, получим х = V Чо" • Понятно, что «ло-
¥ 2о
бовая» проверка такого корня — работа не из легких. Пока-
жем, как можно обойти технические трудности.
„	1/3	1	<
Поскольку х0 = V oq < х, то при * = *0 °®е части урав-
▼ 2о 2
нения (#) принимают значения из промежутка ^0
в ходе решения было установлено, что
. . . „ ч . /л	\
sin (arcsin 2х0) = sin — - arcsin х0 .
I w	1
Следовательно, учитывая то, что функция у = sin х возраста-
ет на [0; у |, получаем arcsin 2х0 = - arcsin х0. А это и
Л/ 3
означает, что х = V -гт- является корнем исходного уравне-
’ 2о
НИЯ.
1/3
Ответ: х = у ~ .
V 2о
Пример III. 105. Решить уравнение
л
arcsin (1 + 2cos х) + arccos (1 + 3tg х) = -z-.
X
Решение. Имеем
7Г
arcsin (1 + 2cos х) = -z- - arccos (1 + 3tg x).
Переходив к следствию
319
Обратимые функции________________________________________
(Л	\
-г - arccos (1 4- 3tg х) .
&	/
Отсюда 1 + 2 cos х = 1 + 3 tg х. Далее 2 cos2x = 3 sin х,
2 sin2x + 3 sin х - 2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sinx,
1	л
получим sinx = —, т.е. х = (-1)т— + лт, т G Z.
£	о
Для проверки полученное множество корней удобно раз-
бить на два подмножества
х = + 2лк,
о
5л
х = — + 2лп, пик - целые,
о
Нетрудно обнаружить, что первая серия вообще не входит
в область определения исходного уравнения. Вторая же этому
уравнению удовлетворяет.
Ответ: х =	+ 2лп, п € Z.
о
Упражнения
III.	106. Решить уравнения:
х л
a) arcsin х + arcsin — = у;
2л
б) arcsin 2х + arcsin х =
О
.	. _	. л
в)	arcsin 2х - arcsin х = -т-;
О
.		,	. X л
г)	arcsin х + arcsin — = х;
л
д)	arccos 4х + arccos 2х = —;
О
е)	arctg (х - 1) + arctg (2 - х) =
ж)	arctg 2х + arctg Зх = -
4
320
Обратимые функции
fJt	\	/6
— + ctg х + arccos — + tg х
6	1	ITT
л
2'
Пример III. 107. Решить неравенство
arccos (2х - 1) >
Решение. Перепишем данное неравенство
arccos (2х - 1) > arccos
Поскольку функция арккосинус является убывающей, то
данное неравенство равносильно
в таком виде:
системе
2х - 1 <
3\
Ответ? 0; — .
4 I
Упражнения
III.	108. Решить неравенства:
V .	Л
a)	arcsin 2х > —;
о
в)
г 0.
arctg (5х + 3) > -
О
б)	arccos (Ах - 1) > —;
г)
2Л
arcctg (Зх -7) > -Z-.
х
х
Пример III. 109. Решить неравенство
arcsin (5 — Зх) < — ?•
О
Решение. Перепишем данное неравенство в таком виде:
. ( vT\
arcsin (5 - Зх) < arcsin —— .
\ X /
Поскольку функция арксинус является возрастающей, то
это неравенство равносильно системе
11 Тригонометрия
321
Обратимые функции
5 — Зх -1,
V3"	5
Ответ; — + - < х 2.
о J
х 2.
Упражнения
Ш.110. Решить неравенства:
a)	arcsin (2 - Зх) < в) arctg (х + 11) <
5л	5л
б)	arccos (4 - 7х) < г) arcctg (х - 2) <
Пример III. 111. Решить неравенство
arccos (2х - 1) < arccos р
Решение.
Данное неравенство равносильно системе
2х - 1	> X	г**-*-1 >о, X	-	< X < 0 ИЛИ X > 1,
— -	1,		2 X 5 -1 ИЛИ X > 0,
X		X	X « 1.
2х - 1	1»	X 1,	
Ответ; нет решений.
Упражнения
II	I. 112. Решить неравенства:
a)	arcsin (Зх - 2) > arcsin (5х - 3);
б)	arcsin (х2 - х) > arcsin (Зх - 4);
в)	arccos (1 - 2х) < arccos х 1 р
г) arctg (5х2 - Зх) > arctg (5х - 3);
д) arcctg^- arcctgх.
322
Г лава IV
Построение графических образов
Функция	Правило преобра- зования графика y = f(x)	Графическая иллюстра- ция правила		
у = /(х + а)	Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на | а| единиц: в положи- тельном направлении, если а < 0; в отрицатель- ном направлении, если а>0.	У' y = f(x) /		1	а<0 / / |«| /
				•' / Ху=фгм
		/	0 /	х ! kl . /		
		/ /		
у=Дх)+а	Параллельный перенос вдоль оси ординат на | а| единиц: в положи- тельном направлении, если а > 0; в отрицатель- ном, если а<0.	У у=фг>л^.		S а>0 ы/ «.
				
		/ /		0	X
У = /(-х)	Симметричное отраже- ние относительно оси ординат.	У у=Г(-х)^^		ly = fM
				0	X
323
Построение графических образов
y=~f(x)	Симметричное отраже- ние относительно оси абсцисс.	У	y*-f(x)
			X / III 4
y = f(kx), к>1	Сжатие к оси ординат в к раз (расстояние от каждой точки графика У = f (*) Д° оси ординат уменьшается в к раз).	У У-Чкх)Л \/7~	J	 k = 2 -^''у^Цх)
		/ / /	/	 1	I 		0	x
y—fCkx), 0<к<1	Растяжение от оси ор- 1 динат в раз (расстоя- ние от каждой точки графика у = /(х) до оси ординат увеличивается в Iраз)-	У1 У = Л	' k=J ~^y^ f(^x)
		f— I	 Z	i	 t	1	0	X
У = kf(x), к>1	Растяжение от оси абс- цисс в к раз (расстояние от каждой точки графи- ка у = /(х) до оси абс- цисс увеличивается в к раз).	У	f	\yskf(x)
		vj	X
324
Построение графических образов
y = kf(x), 0<к<1.	Сжатие к оси абсцисс в 1 -j- раз (расстояние от каждой точки графика у=/(х) до оси абсцисс 1 уменьшается в раз).	У ! 1 Г,	1 y=g*} г	ч y-kf(x) \	
			X	
y = f(\x\)	Часть графика, лежа- щую в полуплоскости х £ 0, оставляем без из- менений, затем ее же симметрично отражаем относительно оси орди- нат. График функции представляет собой объ- единение двух кри- вых: y=f(x\ х^О и У = /(-*).			)
		0 У = f(x)		X
у = 1 / 0)1	Часть графика, лежа- щую над осью абсцисс, оставляем без измене- ний. Ту часть, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отражаем относительно оси абс- цисс.	У	у* ИМ	
		х	' 0	\ X у  f(x)\	
Пример IV. 1. Построить график функции
у = sin J .
Решение. Искомый график получается из графика фун-
кции у = sin х в результате параллельного переноса последнего
доль оси абсцисс в отрицательном направлении на у еди-
[иц — рис. 26.
325
Построение графических образов
Упражнения
IV.2. Построить графики функций:
у = sin х — — ;
б) у = cos (х + 1);	д')
.	. (	л\	.
в) у = tg х - -т ;	е)
I 4 I
у = arccos (х + 2);
у = arcsin (х - 1).
Пример IV.3. Построить график функции
/	лЛ
у = COS X + — I +1.
\	4)
Решение. Вначале перенесем график у = cos х параллель-
но вдоль оси абсцисс на единиц в отрицательном направ-
326
Построение графических образов
лении. Получим график функции у = cos Jx + — j (рис. 27).
Затем последний перенесем параллельно вдоль оси ординат
на 1 единицу в положительном направлении (рис. 27).
Упражнения
IV.4. Построить графики функций:
а)	у = sin х - 1;
п
б)	у = arctg х +
„	л
в)	у = arccos х — —;
г) у = sin
д) у = cos
+ 2;
- 2.
Пример ГУЛ. Построить график функции
у = sin - X + — I — 1.
\	* )
Решение. Перенесем график функции у = sin х парал-
лельно вдоль оси абсцисс на единицы в отрицательном
направлении. Получим график функции у = sin ^х +	. За-
тем этот график симметрично отразим относительно оси ор-
динат. Это будет график функции у = sin I — х +	. Теперь
Рис. 28
327
Построение графических образов
осталось последний график параллельно перенести вдоль оси
ординат в отрицательном направлении на 1 единицу
(рис. 28).
Предостережем читателя от распространенной ошибки.
Казалось бы, естественней вначале подвергнуть график
у = sin х симметрии относительно оси ординат, т.е. построить
график функции у = sin (- х), а затем совершить параллель-
ный перенос последнего вдоль оси абсцисс в отрицательном
направлении на единиц. Однако с помощью этого преоб-
разования получится график у = sin I — I х + I I. Действи-
тельно, ведь правило 1 (см. таблицу) работает лишь тогда,
когда число а непосредственно прибавляется к аргументу х
(а не к -х). Поэтому, если последовательность шагов пре-
образований — это симметрия, параллельный перенос, то
график функции у = sin (- х) следует параллельно перенести
вдоль оси абсцисс в положительном направлении на еди-
. • ( (
ницы, т.е. получить график у = sin I - I х - — I I, а значит,
. (
у = sin I - х + — I.
Упражнения
IV.6. Построить графики функций:
а)	у = tg(-x);
б)	у = arccos (- х);
в)	у = arcsin (- х);
г)	у = arctg (- х + 2);
д)
е)
у = cos
у = sin
Пример IV.7. Построить график функции
( я
у = - cos х - —
I 4
328
Построение графических образов
Решение. Строим график функции у = cos lx - — I с по-
мощью известного преобразования. Затем полученный график
симметрично отразим относительно оси абсцисс (рис. 29).
Упражнения
IV.8. Построить графики функций:
/
а) у = - sin (х + 1); в) у = - cos х + — ;
1 /
б) у = - arccos х; г) у = - arcctg (х — 1).
Пример IV.9. Построить график функции
_ . ( , л\
У = - 2 sin х + — .
\ /
Решение. Первый шаг — параллельный перенос вдоль
оси абсцисс в отрицательном направлении на единиц. Вто-
рой — симметрия относительно оси абсцисс. Получим график
/
функции у = - sin х + — . Теперь растянем последний гра-
фик от оси абсцисс в два раза (увеличим расстояния от
каждой точки графика у = - sin ^х + до оси абсцисс в два
раза). Эти преобразования и приведут к искомому графику
(рис. 30).
329
Построение графических образов
Рис. 30
Упражнения
IV. 10. Построить графики функций:
(7Г\	1
х - — ; г) у = — — arcsin х;
4 1	2
б) у = sin х;	3) у = - 3 cos ^х -
в) у = 2 arccos х;
Пример IV. 11. Построить график функции
у = — sin 2х.
Решение. Сожмем график функции у = sin х к оси ординат
в два раза, т.е. уменьшим в два раза расстояния от каждой
точки графика функции у = sin х до оси ординат. Получим
график у = sin 2х. Затем последний график сожмем в два раза
к оси абсцисс. Это и будет искомый график (рис. 31).
330
Построение графических образов
Упражнения
IV.12. Построить графики функции:
X
а)	у = cos Зх;	г) у = 2 sin —;
«3
б)	у = - 3 sin	д) у = ctg 2х;
АЛ
X
в)	у = arccos -г;	е) у = arcsin 2х.
Пример IV. 13. Построить график функции
у = 1 - arcsin (1 - 2х).
Решение. Опишем построение по следующей схеме:
1)	у = arcsin х -* у = arcsin (х + 1) — параллельный пе-
ренос вдоль оси абсцисс;
2)	у = arcsin (х + 1) -* у = arcsin (- х + 1) — симметрия
относительно оси ординат (рис. 32);
3)	у = arcsin (- х + 1) -* у = arcsin (- 2х + 1) — сжатие
к оси ординат в два раза (рис. 33);
4) у = arcsin (— 2х + 1) -» у = - arcsin (- 2х + 1) — сим-
метрия относительно оси абсцисс;
331
Построение графических образов
5) у = - arcsin (-2х + 1) у = 1 - arcsin (- 2х 4- 1) —
параллельный перенос вдоль оси ординат — рис. 33.
Заметим, что построение можно провести и по другой
схеме:
1)	у = arcsin х у = arcsin 2х — сжатие к оси ординат
в два раза;
2)	у = arcsin 2х -* у = arcsin 121 х 4-	| = arcsin (2х 4- 1) —
параллельный перенос вдоль оси абсцисс в отрицательном
1
направлении на —.
Сразу обратим внимание на распространенную ошибку:
подвергнуть график функции у = arcsin 2х параллельному пе-
реносу на 1 единицу. Это преобразование приведет к графику
у = arcsin (2 (х 4- 1)) = arcsin (2х 4- 2).
3)	у = arcsin (2х 4- 1) у = arcsin (- 2х 4- 1) — симмет-
рия относительно оси ординат и т.д.
Пример ГУЛ 4. Построить график функции
1	. ( „ . лЛ
у = - х sin — 2х + — .
2	\ 3/
Решение. 1) у = sin х -* у = sin 2х — сжатие к оси ординат
в два раза;
I
2)	у = sin 2х -* у = sin 2 х + — — параллельный пере-
нос вдоль оси абсцисс в отрицательном направлении на
о
единиц;
2х 4- — I у = sin I — 2х 4- —
О /	I	«3
симметрия
относительно оси ординат (рис. 34).
Заметим, что здесь построение можно провести и в
такой последовательности: у = sin 2х у = sin (- 2х), затем
(	( л\
у = sin (- 2х) -* у = sin I - 2 х - -т II.
4)	у = sin I- 2х + ^-| -* у = ^-sin [- 2х + ^| — сжатие
к оси абсцисс в два раза (рис. 35);
332
Построение графических образов
1	(	лЛ	1	(	7Г\
5)	у = -z sin -	2х	+ — I	у = -	- sin - 2х	+	—	—	сим-
XI	и 1	XI	d	I
метрия относительно оси абсцисс (рис. 35).
Упражнения
IV. 15. Построить графики функций:
а)	у = 2 cos “ т);
I X	О ]
б)	у = sin (Зх — 1) — 2;
1	/ лА
в)	у = — ~ cos Зх - — +1;
2 I 4 J
г)	у = — 3 sin (2х + 1);
д)	y = tg (гх
I о
333
Построение графических образов
7Г
ж)	у = arccos (2х + 3) — -у;
At
7Г
з)	у = - arcsin (1 - Зх) +
7Г
и)	у = arctg (1 - 2х) + —.
Пример IV. 16. Построить график функции
у = I sin 12х |.
Решение. Сжав график у = sin х к оси ординат в два
раза, получим график у = sin 2х. Отразим симметрично от-
носительно оси ординат ту часть графика у = sin 2х, которая
лежит в полуплоскости х ? О. Это преобразование построит
график у = sin 12х |. Затем полученную кривую сожмем к оси
абсцисс в два раза (рис. 36).
Упражнения
IV. 17. Построить график функции:
а)	у = - 2 sin | х |;
б)	у = tg |х|;
в)	у = ctg | х |;
г)	у = arccos I х |;
X
д)	у = arcsin
1
334
Построение графических образов
У =
Пример IV. 18. Построить график функции
у = sin X + — .
Решение. Строим график функции у = sin | х |. Затем его
параллельно перенесем вдоль оси абсцисс на единиц в
4
отрицательном направлении. В результате получим искомый
график (рис. 37).
Упражнения
IV. 19. Построить графики функций:
а)	у = 2 sin | х - 11; г) у = arcsin | х - 11;
л
б)	у = tg х + - ; д) у = - 2 arccos | х + 11.
в)	у = | cos IX + 11;
Пример IV.20. Построить график функции
. (. , л\
у = sin |х| -- .
Решение. Подвергнем график функции у = sin х парал-
лельному переносу вдоль оси абсцисс на единиц в поло-
_	г	. ( л\
жительном направлении. Получим график у = sin х — — .
335
Построение графических образов
Затем ту часть графика, которая лежит в полуплоскости
х 0, симметрично отразим относительно оси ординат. Объ-
единение симметричных частей и будет искомым графиком
(рис. 38).
Замечаниео Широко распространена следующая ошибка:
вначале построить график функции у = sin | х |. Затем считать,
что искомый график получается в результате параллельного
переноса графика у = sin | х | вдоль оси абсцисс в по-
л
направлении на —
4
ложительном
единицы. На самом
деле такие преобразования приведут к графику функции
у = sin
Упражнения
IVo21o Построить графики функций:
а)	у = sin (| х | 4- 1);	г) у = arcsin (| х | - 1);
1 (
б)	у = — ^sin |х| + — ; д) у = arccos (|х| + 1).
в)	y = 2cos I |х| -^| - 1;
1 /
Пример IV.22. Построить график функции
- Л
у = sin 2х - -т- .
Решение. Проведем следующие преобразования:
1) у = sin х -» у = sin | х |;
336
Построение графических образов
2) у = sin | х | -* у = sin 12х | — сжатие к оси ординат в
два раза;
(л\
х — — I	— параллельный
о ]
3) у = sin 12х | -» у = sin 2
перенос вдоль оси абсцисс в положительном направлении на
Упражнения
IV.23. Построить графики функций:
а)
п . 1
у = — 2 sin -zx - 1 ;
X
г)
у = arccos 12х + 11;
б)
у = 2 cos | Зх + 21;
3)
у = arcsin ±х - 1 ;
в)
1	Л, . Л
у = 2 cos 2х + J ;
е)
л
у = - 3 Sin 2х +	+ 1.
О
1
2
Пример IV. 24. Построить график функции
(Л I I	I
2 |х|	.
О /
Решение. 1) у = sinx у = sin2x — сжатие к оси ор-
динат в два раза;
337
Построение графических образов
II	Л \ \
2) у = sin 2х -* у = sin 12 I х - —	— параллельный пе-
\ \	6 / /
ренос вдоль оси абсцисс в положительном направлении на
л
— единиц;
о
3) у = sin \2х - —I -» у = sin 2 |х| — — — симметрия
\ О /	\	О /
относительно оси ординат части графика, лежащей в полу-
плоскости х О. Искомый график состоит из двух симмет-
ричных частей (рис. 40).
Рис. 40
Упражнения
. 1
в) у = -Т cos
IV. 25. Построить графики функций:
а)	у = - 2 sin |х| - 1
б)	y = 2cos(3 |х| +2);
. л
2 |х| +-Т-
О
г) у = arccos (2 lx| +1);
д) у = arcsin k~ |х| - 1
I X
2 |х| + -z- + 1;
О I
ж) у = arctg (2 | х | - 3).
Пример IV.26. Построить график функции у = | cos х |.
338
Построение графических образов
Решение. Часть графика у = cos х, лежащую в полупло-
скости у < 0, симметрично отразим относительно оси абсцисс.
Искомый график — это объединение двух кривых: у = cos х
при у^0иу= — cosx при у $ 0 (рис. 41).
Упражнения
IV.27. Построить графики функций:
а)	у = I sin х I;
б)	у= Itgxl;
в)	у = I ctg х I;
г)	у = | arcsin х |;
д)	у = | arctg х|;
ё) у =
ж)	у =
sin
cos
з)	у = | arcsin (х - 1)|;
. 1
и)	у = cos х - -
At
к)	у = sin X - —
О
Пример IV. 28. Построить график функции
У =
1	, л
sin — х 4- —
Решение. 1) у = sinx у = sin |х — симметрия отно-
сительно оси ординат кривой у = sin х при х 0;
2) у = sin | х | у = sin
динат в два раза;
1
2Х
— растяжение от оси ор-
339
Построение графических образов
3) у = sin
перенос вдоль
л
- единиц;
1
2х =
оси абсцисс
sin
— параллельный
в отрицательном направлении на
4) у = sin
относительно
осью (рис. 42).
1
2Х
оси абсцисс
sin
1 л
2Х + 6
— симметрия
части графика, находящейся под
Упражнения
л
6
У =
IV.29. Построить графики функций:
а) у =
Л л
cos 2х - —
О
г) у = arcsin х + 1
в) у = 3 I cos | Зх - 111 - 1;
Пример IV.30. Построить график функции
у = cos |2 |х| - —
Решение. 1) y = cosx -» y = cos2x — сжатие к оси ор-
динат в два раза;
340
Построение графических образов
2) у = cos 2х -* у = cos 12 х - —II — параллельный пе-
\ \ о/ /
ренос вдоль оси абсцисс в положительном направлении на
л
— единиц;
3) у = cos [2х -	-» у = cos [2 |х| - ^| — симметрия
относительно оси ординат части графика, лежащей в полу-
плоскости х 0;
СИМ-
п
-L-
3,
4) у = cos ^2 | х | - —J -» у = cos ^2 I х I -
метрия относительно оси абсцисс части графика, лежащей
под осью (рис. 43).
Упражнения
IV.3L Построить графики функций:
(1	л'
77 |Х| + -
Z	о
в) у = COS |х|
IX о
б) у = sin 2 | х
г) у = Iarcsin(2 |х| - 1)1.
Пример IVo32o Дан график функции у = /(х) (рис. 44).
С помощью этого графика построить график функции
г(х)=ж*
341
Построение графических образов
Решение. Проведем горизонтальные прямые у = 1 и
у = - 1. В тех точках, в которых эти прямые пересекают
график функции /, проходит и график функции g. Заметим,
что функции/и g имеют одинаковые промежутки постоянного
знака, т.е. если на некотором промежутке график / находится
над осью, то график g на этом промежутке обладает тем же
свойством. Очевидно, что функция g корней не имеет. В тех
точках, где функция f имеет корни, функция g не определена.
При этом, если /(х) -> О, то g(x) <». Следовательно, верти-
кальные прямые, проходящие через корни функции /, явля-
ются вертикальными асимптотами для функции g.
Схема построения графика функции g показана на
рис. IV.32.
Пример IV.33. Построить график функции у =	.
Решение. Прежде всего заметим, что эта функция пери-
одическая с периодом 2л. Поэтому будем строить ее график
на отрезке [0; 2л ] длиной в период. Понятно, что построение
будем вести с помощью графика у = sin х. Обратим внимание,
. 1
что значения функции у = sin х и у = в точках
л
х = у + лЛ, А 6 Z, совпадают (на рассматриваемом проме-
гл	л Зл
жутке [0; 2л] это будут точки — и —
X X
342
Построение графических образов
Если хб [0; л], причем х->0 или х->л, то
«п ->4-оо. Если х G [л; 2л], причем х -> л или х -> 2л, то
1
—;  — 00.
sinx
Искомый график изображен на рис. 45.
Пример IV.34. Построить график функции
=	2
у cos х - I COS X Г
Решение. Если cos х 0, то данная функция не опреде-
лена. Областью ее определения является объединение проме-
(л	Зл	\
— 4- 2л£; — 4- 2лЛ , где к G Z.
X	X	j
Раскрыв модуль, получаем у = —-—. Рассматривая фун-
COS X
кцию у = cos х лишь на тех промежутках, где она принимает
отрицательные значения, строим искомый график с помощью
алгоритма, описанного в двух предыдущих примерах
(рис. 46).
343
Построение графических образов
Упражнения
IV.35. Построить графики функций:
ч 1
а) у = -----;
cos х
б) у= ------*—;
z arcsin х
ч 1
в) у = ---------;
arccos х
ч 1
г) у = —-—;
arctg х
д) у = -----~;
arcctg х
sin х - | sin x | ’
ж)	= 1
	sin х + | sin х Г
з)	_ 1	
	У COS X + I COS X Г
и)	4 1 у = ctg х •	; COSX
к)	у = tg х • . sin X
Пример IV.36. Построить график функции
у = cos2 х - cos 2х.
Решение. Имеем
2	3	_	1 + cos 2х 3	1
cos х - - cos 2х = ------------- cos 2х = тг - cos 2х.
2	2	2	2
Заметим, что эти тождественные преобразования не из-
менили область определения данной функции. Поэтому до-
344
Построение графических образов
статочно построить график функции у =	- cos 2х
(рис. 47).
Пример IV.37. Построить график функции
у = cos х - VTsin х.
Решение. Следующие тождественные преобразования не
изменяют область определения данной функции. Имеем
cos х - VTsin х = 2
1	VT . ’
- cos х —— sin X
£	L
= 2 cos
I
Строим график функции у = 2 cos lx + — (рис. 48).
\	I
345
Построение графических образов
Упражнения
IV.38. Построить графики функции:
а)	-	2 X у = 2 cos 2;	з)	у = sin х cos х',
б)	- . 2 X у = 2 sin	и)	у = sin4 х - cos4 х + 2;
в)	у = cos2x;	К)	у = cos х + sin x;
г)	у = sin2x;	л)	у = sin x — cos x;
д)	у = sin2 х - cos 2х;	м)	у = V3*cos x + sin x;
е)	у = sin4x + cos4x;	н)	у = cos x + V3~ sin x.
ж) у = sin2x cos2x;
Пример IV.39. Построить график функции
у = | sin х | + sin | х |.
Решение. Если 2лк х л + 2лк, к G Z, и х 5 О, то
у = sin х + sin х, т.е. у = 2 sin х.
Если л + 2л к	х < 2л + 2лк, к G Z, и х 3= О, то
у = - sin х + sin х, т.е. у = О.
Если 2лк =£ х л + 2лк, kGZ, и х « О, то у = sin х —
— sin х, т.е. у = 0.
Если л + 2лк =5 х « 2л + 2л к, kEZ, и х « О, то
у = - sin х - sin х, т.е. у = - 2 sin х.
Искомый график изображен на рис. 49.
346
Построение графических образов
Рис. 50
Пример IV.40. Построить график функции
у = VI + sin 2х.
Решение. Имеем VI + sin 2х = V(sinх + cos х)2 =
= | sin х + cos х | = V2~ sin
Строим график функции
y = VT
• I . л
sin х + —
I 4
(рис. 50).
Упражнения
IV.41. Построить графики функций:
а) у = (Vsin х )2;
б)	у = (Vcos х )2;
в)	у = V1 — sin2 х;
г)	у = V1 — cos2 х;
VI - cos х
1 + cos х
VI + cos x
1 - cos x ’
и) у = sin x + sin | x |
к) у = Itgx| + tg |x|
л) у = 2 | sin x | cos x;
м) y= IcosxI sinx;
347
Построение графических образов
н) у = sin х | sin х | + cos x I cos x I;
о) у = sin x + V sin2 x;
n) у = sin x - Vsin2x;
p) у = cosx + Vcos2x;
с) у = cos x - Vcos2x;
m) у = V1 - sin 2x;
у) у = Vsin2x - 4 |sinx| +4;
ф) у = Vcos2x - 2 | cos x | + 1.
Пример IV.42. Построить график функции
у = I ctg XI tg X.
Решение. Областью определения данной функции ЯВЛЯ-
ются все числа, кроме х = п G Z:
D(y) =	|	nezl.
X	I
7Г
Если лк < х < у + лк, kGZ, то ctg х > 0 и у = 1.
X
Если — + лк<х<л + лк, k&Z, то ctg х < 0 и у = -1.
Искомый график состоит из отдельных отрезков с «выколо-
тыми» концами (рис. 51).
Пример IV.43. Построить график функции
I arcsin х |
V = J;-----------------------~.
arcsin I х I
348
Построение графических образов
Решение. Если -1 < х < О,
то arcsin х< О и
I arcsin х| = - arcsin х,
arcsin |х| = arcsin (- х) =
= - arcsin х.
Тоща у = 1.
Если О < х 1, то
У		
1 1 1 1 1 1 1 1		1	! । । । । । ।
-1		О	1 х
	Р]	ис. 52
arcsin х > 0 и I arcsin х I = arcsin х,
arcsin |х| = arcsinх.
Тогда у = 1.
На рис. 52 изображен искомый график.
Упражнения
IV.44. Построить графики функций:
а)	у = tg х ctg х;	к)	у = Vsin х - 1;
б)	у = tg 2х ctg 2х;	л)	у = Vcos 2х - 1;
в)		м)	1 cos х |.
	у tgx ctg х'		у cos х ’
г)	у = 1 tg х I ctg х;	н)	_ sinx
			у ~ | sin х Г sin |х| У = —	; sm х sin 1 х 1. у I sin х Г . 2	1
			
д)	у = V — sin2 х;	о)	
е)	у = V- cos2x;	п)	
	у = tg2x;	Р)	
ж)			У = tg х -	2 ; cos X 1	2 У= — 2	Ctg Х'>
			
з)	у = V - ctg2 х;	с)	
			Sin X 1 sin x 1 , у =	(x - 2); z sinx 4	7
			
и)	у = Vcos х - 1;	т)	
349
Построение графических образов
ч I COS XI , ,
У> У = '	' (х + 2);
UKJO А
ф) у = sin2 (Vl — х2) + cos2 (Vl — x2 ).
sin 2х
Пример IV.45. Построить график функции у = .
Решение. Если sin х > О, т.е. 2лк < х < л + 2лк, kG Z, то
у = 2 cos х.
Если sin х < О, т.е. л + 2лк < х < 2л + 2лк, k&Z, то
у = - 2 cos х.
График изображен на рис. 53.
у = I tg X Ctg X | COS X.
Решение. Очевидно, что | tg х ctg х I cos x = cos x. Однако
при переходе к функции у = cos х происходит расширение
области определения исходной. Следовательно, на графике
у = cos х надо «выколоть» точки с абсциссами х = —, п G Z,
(рис. 54).
Пример IV.47. Построить график функции
2tg^
У = -----х
i-tg^
350
Построение графических образов
Решение. Казалось бы, достаточно построить график
функции у = tg х. Однако при таком переходе «исчезает»
tg —, что в свою очередь ведет к расширению области опре-
деления исходной функции ровно на множество, на котором
cos = 0. Следовательно, на графике у = tg х надо «выколоть»
точки с абсциссами л + 2лк, к G Z, (рис. 55).
351
Построение графических образов
Пример IV.48. Построить график функции
________________________sin 2х
у ” sin х - | sin х Г
Решение. Если sin х 0, то данная функция не опреде-
лена.
Т7  Л	sin 2х
Если sin х < 0, то у = —-, т.е. у = cos х.
z sin х + sin х z
Искомый график изображен на рис. 56.
Упражнения
IV.49. Построить графики функций:
а) у = tgxcosх;	.	sm 2х ж) у =	; cos X
б) у = ctgx sinx;	ч	sin 2х 3 У | cos х Г
в) у = tg х I cos х |;	ч	cos х - I cos х 1 и) v = 	* sin х — | sin х г
г) у = ctg х | sin х |;	_ cos х + | cos х | к У ~ sin х + 1 sin х | ’
qx	sin2x д) У - vsin X	ч	cos х - | cos х | л) у =	, , .	,; sin х + I sin х г
ч	cos2 X е) у = .——; Vcos х	ч	cos х + | cos х | z sin х - I sin х г
352
Построение графических образов
Ф) У =
У3~+ 3tgx.
3-V3"tgx;
х) у =
1 - COSX.
sinx ’
_ tg х + tg Зх
- 1 - tgxtg3x’
1 + cosx
sinx ’
1 -tg2I
ч) у =
sinx
1 - cosx’
2tg|
1 - tg X
w) y = T+lgx;
V3” + tg x
у у ~ i - VTtgx’
с)
У =
. sinx
ш) у = тз--------;
1 + cosx
.	sin 2x
Ul) у = ---------;----
' COS X - | COS X |
У
Пример IV. 50. Построить гра-
фик функции у = sin (arcsin х).
Решение. По свойству взаимно
обратных функций
sin (arcsin х) = х,
но при условии, что |х|	1. Сле-
довательно, искомым графиком
является отрезок (рис. 57).
Упражнения
IV.51. Построить графики функций:
а) у = cos (arccos х); б) у = tg (arctg х);
в) у = ctg (arcctg х).
12 Тригонометрия
Построение графических образов
Пример IV.52. Построить график функции
у = cos (2 arcsin х).
Решение. Прежде всего отметим, что D(y)= [- 1; 1 ].
Запишем
cos (2 arcsin х) = 1 - 2 sin2 (arcsin х) = 1 - 2х2.
Следовательно, искомым графи-
ком является «кусочек» параболы
у = - 2х2 + 1 (рис. 58).
Пример IV.53. Построить гра-
фик функции
у = sin2 (arcctg х).
Решение. Пусть arcctg х = а,
а е (0; л). Тогда ctg а = х.
„	9	1
Запишем 1 + ctg а =
sin2 а
Отсюда sin2 а = ----~
1 + х2
Следовательно, достаточно по-
строить график функции
Это можно сде-
лать, например, с
помощью параболы
у = х2 + 1 методом,
описанным в IV.32
(рис. 59).
Рис. 59
354
Построение графических образов
Упражнения
IV.54. Построить графики функций:
а)	у = sin (arccos х);
б)	у = cos (arcsin х);
в)	У = tg (arcctg х);
г)	у = ctg (arctg х);
д)	у = cos (2 arccos х)
е)	у = cos2 (arctg х).
Пример IV.55. Построить график функции
у = sin (arcsin х + arccos х).
__	I I
Решение. Поскольку arcsin х + arccos х = — , то у = 1. Од-
нако искомый график — это не прямая у = 1, а лишь ее
отрезок, так как D(y) = [- 1; 1].
Упражнения
IV.56. Построить графики функций:
а)	у = arcsin х + arccos х;
б)	у = arctg х + arcctg х;
в)	у = cos (arcsin х + arccos х);
г)	у = ctg (arcsin х + arccos х);
д)	у = sin (arctg х + arcctg х);
е)	у = cos (arctg х + arcctg х);
ж)	у = ctg (arctg х + arcctg х);
з)	у = arcsin х - arccos х;
й) у = arccos х - arcsin х.
♦ ♦ ♦
Пример IV.57. Построить график функции
у = arcsin (sin х).
Решение. Очевидно, что данная функция является пери-
одической с периодом Т = 2л. Поэтому достаточно построить
355
Построение графических образов
ее график на промежутке [0; 2л ] длиной в период. Напомним,
71
что arcsin (sin х) = х лишь при условии, что | х |	—.
жутке 0; — искомый график — это отрезок прямой у = х.
Зя
2
искомый график — это
Если 0 х 'j, т0 arcsin (sin х) = х. Поэтому на проме-
ли
2 XXVX^VTIVXXXXXX 1 Д/СХЪД/ХХХЪ.	»71V W X £/ VJVn lipAlU Ч/ХХ у —“ Л •
Л	ЗЛ	Я	71
Если — < х —, то - —	л - х < у, следовательно,
arcsin (sin х) = arcsin (sin (я - х)) = л — х.
„	(л Зя'
Поэтому на промежутке —; —
отрезок прямой у = л — х.
Зя	я
Если -z- < х < 2л, то -у<х-2я<0, следовательно,
arcsin (sin х) = arcsin (sin (х - 2л)) = х — 2л.
гт	/Зл \	.
Поэтому на промежутке —; 2л искомый график — это
I X I
отрезок прямой у = х — 2л.
Искомый график изображен на рис. 60.
Упражнения
IV.58. Построить графики функций:
а) у = arccos (cos х); б) у = arctg (tg х);
в) у = arcctg (ctg х).
356
Построение графических образов
Пример IV.59. Построить
график функции
у = arcsin Vx” + arcsin Vl - х.
Решение. Напомним (см.
III	.87), что при 0 < а < 1
arcsin а = arccos Vl - а2.
Следовательно,
arcsin Vx” = arccos Vl - х.
Значит,
у = arccos Vl — х + arcsin Vl - x, т.е. у = у.
Однако надо учесть, что D (у) = [0; 1 ].
График изображен на рис. 61.
Упражнения
IV	.60. Построить графики функций:
а)	у = arctg Vx~ + arctg
б)	у = arcctg Vx” + arcctg ^=-;
в)	у = arccos Vx” + arccos Vl - х.
Напомним следующее
Определение 1. Целой частью действительного числа
х (обозначается [х ]) называется наибольшее целое число,
не превосходящее х. Например, [л] = 3,
л'
2
[-л] = - 4,
- 2.
= 0,
л
= 1
л
4
Определение 2. Дробной частью числа х (обозначается
{х}) называется разность х - [х].
357
Построение графических образов
Пример IV.6L По-
строить график функ-
ции у = [х ].
Решение, Разобьем
ось ординат на проме-
жутки вида [Л; k + 1),
где к — произвольное
целое число. Если
О х < 1, то у = 0; если
1^х<2, тоу=1и т.д.
Если - 1 х < 0,
то у = -1;
если -2^х<-1,
то у = - 2 и т.д.
Искомый график изображен на рис. 62.
Пример IV.62. Построить график функции у= {х}.
Решение. Данная
функция является пери-
одической с главным пе-
риодом Т = 1. Строим ее
график на промежутке
[0; 1) длиной в период.
Если 0^х<1, то
[х ] = 0. Тогда
Рис. 63
{х} = х - [х ] = х.
Следовательно, на промежутке [0; 1) искомый график — это
отрезок прямой у = х. Далее — понятно (рис. 63).
Пример IVo63. Построить график функции
у = [^Усозх].
Решение. Область значений функции у = vGFcosx — это
отрезок [-	]. Этому отрезку принадлежат три целых
числа: -1, 0, 1. Построим график функции y = V2~cosx
и проведем горизонтальные прямые у=-1, у = 0, у=1
(рис. 64).
Если 0 vGFcos х < 1, то [V2"cos х ] = 0. Чтобы определить
значения аргумента х, для которых |У2Гсозх] = 0, выделим
точки графика у = vGFcos х, лежащие в полосе между прямыми
Построение графических образов
у = 0 и у = 1. Затем выделенные участки графика спроекти-
руем на ось абсцисс.
Если 1 ТУcos х ТУ, то [ТУcos х ] = 1. Для этого слу-
чая следует рассмотреть полосу, определяемую прямыми
у = 1 и у = ТУ.
Если -1 ТУcosx < 0, то [ТУcosx] = -1.
Если - ТУ^ ТУcosx< -1, то [ТУcosx] = - 2. Искомый
график изображен на рис. 64.
Пример IV.64. Построить график функции у = [arctg х ].
Решение. Если O^arctgx<l, то [arctgx] = O. Следова-
тельно, при 0 х < tg 1 у = 0. Если 1 arctg х < —, то
[arctg*] = 1. Следовательно, при х 5 tg 1 у=1. Если
-1 arctg* < 0, то [arctg*] =-1. Следовательно, при
-tgl<*<0 у=—1.
359
Построение графических образов
Если — с arctg х < — 1, то [arctg х ] = — 2. Следователь-
но, при х < - tg 1 у = -2.
Искомый график изображен на рис. 65.
Упражнения
IV.65. Построить графики функций:
а)	у = [cos х ];
б)	у = [sin х ];
в)	у = [vTsin х ];
г)	у = [arcctg х ];
д)	у = [arcsin х ];
е)	у = [arccos х ];
ж)	у = [tgx];
з)	у = [ctg х ].
Пример IV.66. Построить график функции у= {sinx}.
Решение. Построим график на отрезке [0; 2л) длиной в
период. Если 0 х < у или < х л, то 0 sin х < 1 и
[sin х ] = 0. Следовательно, у = sin х — [sin х ] = sin х, т.е. на
искомый график совпадает с
ТС j (тс
промежутках 0; — и —; л
X / IX
графиком функции у = sinx. Если х = —, то sinx = l,
[sin х ] = 1, тогда у = 0.
Если тс < х < 2л, то -1 sin х < 0. Тогда [sin х ] = -1 и
у = sinx - [sinx] = sinx + 1. Следовательно, на промежутке
(л; 2л) искомый график совпадает с графиком функции
у = sinx + 1.
График изображен на рис. 66.
360
Построение графических образов
Пример IV.67. Построить график функции у = {arcsin х}.
Решение. Если 0 arcsin х < 1, то {arcsin х} = arcsin х и
на промежутке [0; sin 1) искомый график совпадает с гра-
7Г
фиком функции у = arcsin х. Если 1 « arcsin х < —, то
{arcsin х} = arcsin х - [arcsin х ] = arcsin х - 1.
Следовательно, на промежутке [sin 1; 1 ] искомый график
совпадает с графиком функции у = arcsin х — 1.
Если — 1 $ arcsin х < 0, то
{arcsin х] = arcsin х - [arcsin х ] = arcsin х + 1.
Следовательно, на промежутке [sin(—1); 0) искомый график
совпадает с графиком у = arcsin х + 1.
Л
Если — — arcsin х < — 1, то
X
{arcsin х} = arcsin х — [arcsin х ] = arcsin х + 2.
Следовательно, на промежутке [—1; sin(—l)) искомый гра-
фик совпадает с графиком
y = arcsinx + 2.	ум
График изображен на
рис. 67.
Упражнения
IV.68. Построить графики
функций:
а)	у = {cos х};
б)	у = {arccos х};
в)	у = {tgx};
г)	у = {ctg х};
д)	у = {arctg х};
е)	у = {arcctg х}.
361
Построение графических образов
Пример IV.69. Построить график функции у = cos [х ].
Решение. Разобьем область определения функции
у = cos х на промежутки вида [Л; к + 1), к €= Z.
Если 0 х< 1, то [х] = 0 и у = cos0, т.е. у=1; если
1 х < 2, то [х ] = 1 и у = cos 1; если 2 х < 3, то [х ] = 2 и
у = cos 2 и т.д.
Если - 1 х < 0, то [х] = - 1 и у = cos 1; если
- 2 х < -1, то [х ] = - 2 и у = cos 2 и т.д.
График изображен на рис. 68.
Упражнения
IV.70. Построить графики функций:
а)	у = sin [х ];
б)	у = tg [х ];
в)	у = ctg [х ];
г)	у = arcsin [х];
д)	у = arccos [х ];
е)	у = arctg [х ];
ж)	у = arcctg [- х].
Пример IV.71. Построить график функции у = arcsin {х}.
Решение. Данная функция является периодической. Бу-
дем строить ее график на промежутке [0; 1) длиной в период.
Если 0^х<1, то {х} = х. Следовательно, на промежутке
[0; 1) искомый график совпадает с графиком у = arcsin х.
График изображен на рис. 69.
362
Построение графических образов
ум
1Ш1
-2	‘
-1
0	12	3
п
у = {sin х};
у = cos {х};
У = tg {*};
у = ctg{x};
Рис. 69
Упражнения
IV.72. Построить графики функций:
а)
б)
в)
г)
д) у = arccos {х};
ё) у = arcctg {х};
ж) у = arctg {х}.
Пример IVo73o Построить график уравнения х = cos у.
Решение» Очевидно, что если пара (а; Ь) является реше-
нием уравнения у = cos х, то пара (6; а) является решением
уравнения х = cos у. Следовательно, искомый график симмет-
ричен графику функции у = cos х относительно прямой
у = х. Этот факт и определяет построение (рис. 70).
	Упражнения
1У»74» Построить графики уравнений:
а) х = sin у;	д) х = arccos у;
б) х = tg у;	е) х = arctg у;
в) х = ctg у;	ж) х = arcctg у.
г) х = arcsin у;
363
Построение графических образов
Рис. 70
Пример IVo75o Построить график уравнения -S1^ x = о.
Решение» Данное уравнение равносильно системе
sin х = 0,
у * 0.
Отсюда
х = лп, пЕ Z,
у 0.
Графиком урав-
нения системы яв-
ляется семейство
вертикальных пря-
мых. Неравенство
системы говорит,
что из этого семей-
ства следует исключить точки, ординаты которых равны
нулю (рис. 71).
364
Построение графических образов
Графиком первого уравнения совокупности является ось
ординат. Графиком второго уравнения — семейство горизон-
тальных прямых. Неравенство системы требует исключить из
этих графиков точки с ординатами вида тгп, n G Z. График
изображен на рис. 72.
Упражнения
IVo77o Построить графики уравнений:
а)	sin х = 0;	ж)	®inx=0; X
б)	sin у = 0;	з)	cosy _ 0. X	’
в)	у sin х = 0;	и)	= 0; sin у
г)	х sin у = 0;	к)	у tg х = 0;
д)	sin х sin у = 0;	л)	х tg х = 0;
е)	sin х cos у = 0;	м)	tg х tg у = 0:
365
Построение графических образов
и) = 0;
tgy
о) = 0;
tgx
” ah= 0;
р) = 0.
tgy
Пример IV.78. Построить график уравнения
sin л (х2 4- у2) = 0.
Решение. Имеем
л (х2 + у2) = ЛИ, п G Z,
х2 + у2 = и.
Очевидно, что
и = 0, 1, 2,....
Если п = 0, то графиком
является точка (0; 0); ес-
ли n&N, то графиком
является семейство кон-
Рис. 73
центрических окружностей с центром в начале координат и
радиусом у/п~ (рис. 73).
Пример IV.79. Построить график уравнения
cos л (у2 - х) = 1.
Решение. Имеем
л (у2 - х) = 2лп, у2 - х = 2и, у2 = х + 2n, п G Z.
Искомым графиком является семейство парабол, порож-
денное параболой у2 = х в результате параллельного переноса
вдоль оси абсцисс и в положительном, и в отрицательном
направлении на 2п единиц, где п = 0, 1, 2,... (рис. 74).
Упражнения
IV.80. Построить графики уравнений:
d) sin (х 4- у) = 0;	в) tg (х2 - у) = 0;
б) sin л (х - у) = 1;	г) ctg л (у - Vx") = 0;
366
Построение графических образов
д) cos л(х2 + у2) = 1;
е) tg тг (х - у) = 1;
ж) tg;r(2x - у) = —;
з) ctg (х + 2у) = V3”
и) cos яху = 1.
Пример IV.81. Построить график уравнения
tg (sin х + sin у) = 0.
367
Построение графических образов
Решение. Имеем sin х + sin у = лп, nEZ.
Поскольку | sin х + sin у |	2, то уравнение имеет реше-
ние только при п = 0. Запишем sin х + sin у = 0. Отсюда
Ф = *к,
у - X л .
2— = ~2 + Jrw’ * и w — целые,
‘у = - х + 2лЛ,
у = х + л + 2лт.
Графиками уравнений совокупности является семейство
параллельных прямых, а искомым графиком — объединение
этих прямых (рис. 75).
Пример IV.82. Построить график уравнения tg х = tg у.
sinx _ sin у __ о sin (х - у) _
cosх cosy " ’ COSX cos у ~
у = X + лп9
Л
х # — + лт,
X
7Г
у # — + лк, п,т,к — целые.
Решение. Имеем
Отсюда
sin (у - х) = О,
« cos х * О,
cos у О,
Первое уравнение системы — это семейство параллельных
прямых. Неравенства системы требуют, чтобы на этих прямых
были «выколоты» точки с определенными кооординатами
(рис. 76).
Упражнения
IV.83. Построить графики уравнений:
a) sin х = sin у;	д) ctg х = tg у;
б) cos х = cos у;	е) sin (cos х + cos у) = 0;
в) ctg х = ctg у;	ж) cos (sin х + sin у) = 1;
г) tgx = ctgу;	з) tg (cos x — cos у) = 0.
368
Построение графических образов
Пример IV.84. Построить гра-
фик уравнения х2 + sin2 у = 0.
У
Решение. Данное уравнение
равносильно системе
г	г	п2п
fx = O,	jx =	O,
] sin у = 0, I у = ли, п G Z.
1	1	о те
Отсюда следует, что искомый
график — это множество точек
оси ординат вида лп, n € Z -	о----
(рис. 77).	°
Пример IV.85. Построить гра- -те < *
фик уравнения cos х 4- cos у = 2.
Решение. Поскольку	>
I COS X |	1 и Icosyl 1,
Рис. 77
то данное уравнение равносильно
системе
369
Построение графических образов
COSX = 1, (х = 2ЛП,
cosy =1; [у = 2л т, пит — целые.
Искомый график — это множество точек, изображенных
на рис. 78.
Упражнения
IV.86. Построить графики уравнений:
а)	2	. 2 х + sin х = 0;	ж)	sinx + sin у = 2;
б)	у2 + cos2 х = 0;	з)	sin х + sin у = - 2;
в)	у2 + sin2 у = 0;	и)	cos х + cos у = — 2;
г)	x2 + tg2y = 0;	к)	tg2x + tg2y = 0;
д)	у2 + ctg2 х = 0;	л)	sin x cos у = 1;
е)	sin2 х + sin2 у = 0;	м)	cosx sin у = - 1.
Пример IV.87. Построить график уравнения |у| =sinx.
Решение. Это уравнение имеет решение лишь при условии
sin х 0. Поэтому данное уравнение равносильно системе
370
Построение графических образов
Sin х О,
- Гу = sinx,
у = - sin х.
Искомый график изображен на рис. 79.
Упражнения
IV.88. Построить графики уравнений:
а)	|у| =cosx;	г) |у| =arcsinx;
б)	|у| =tgx;	д) |у| =arctgx.
в)	lyl = ctgx;
Пример IV.89. Построить график уравнения |у| = |sinх|.
Решение. Данное уравнение равносильно совокупности
у = sinx,
у = - sin х.
Искомый график изображен на рис. 80.
371
Построение графических образов
Упражнения
IV.90. Построить графики уравнений:
а)	|у| = |cosx|;	г) |у| = larcsinxl;
б)	|у| = |tgx|;	д) |у| = |arccosх|;
в) |у| = Ictgxl;
ё) |у| = |arctgх|.
ООО
Пример IVo91o Построить график уравнения
1у - sin л: | = у»
Решение. Очевидно, что у 0. Поэтому данное уравнение
равносильно системе
у £ О,
У = У “ sin х,
у = sin х - у,
у £ О,
х = лп, n G Z,
1 .
у = -sinx.
Искомый график изображен на рис. 81.
Упражнения
IV.92. Построить графики уравнений:
a) |y-cosx|=y;	в) |y-ctgx|=y;
® ly-tgx|=y;	г) |у - sinxl = sinx;
372
Построение графических образов
д) |у - cosxl = cosx;	ж) |у - ctgxl = ctgx.
е) |у - tgx| = tgx;
♦ ♦ ♦
Пример IV.93. Построить график уравнения
|у - sinxl = у — sinx.
Решение. Поскольку | а | = а только при а О, то данное
уравнение равносильно неравенству у — sin х 0, т.е.
у 5 sin х. Искомый график — это множество точек коорди-
натной плоскости ху, лежащих не ниже графика у = sin х
(рис. 82).
Упражнения
IV.94. Построить графики уравнений:
a)	I cos	х + у I	=	cos х + у;
б)	I cos	х - у |	=	cos х - у;
в)	| у -	sin х |	=	sin х - у;
г)	| у +	sin х |	=	у + sin х;
5) |у - tgх| = у - tgx;
е) |у - tgх| = tgx - у;
ж) | у + ctg х | = у + ctg х.
Пример IV.95. Построить график уравнения
Isinx sin у | = 1.
373
Построение графических образов
Решение* Поскольку | sin х |	1 и | sin у |	1, то данное
уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда
sinx = ± 1 и sin у = ± L Следовательно, данное уравнение
равносильно системе
л у
х = — + ля,
ЛА
л .
у = — + лп, к и п — целые.
Искомый график — это множество точек, изображенных
на рис. 83.
Упражнения
IV.96. Построить графики уравнений:
а)	| sin х |	+	| sin у |	= О;
б)	| sin х |	+	| sin у |	— 2;
в)	| cos х |	+	| cos у |	= О;
г)	| cos х |	+	I cos у |	= 2;
д)	Isinx + sinyl = 2;
е)	Icosx + cos у I = 2;
ж) | cos x + sin у | =2;
s) | cos у + sinx| = 2
u) |cosx cos у| = 1;
к) I cosx sin у I = 1;
л) |cos у sinx| = 1;
м) I sin x I sin у = 1;
н) IcosxI cosy = 1.
374
Построение графических образов
Пример IV.97. Построить график уравнения
sin л (2 |х| + |у|) = 0.
Решение. Имеем л (2 |х| + |у|)=лп, п G Z. Отсюда
2 |х| + |у| = и. Понятно, что п = 0, 1, 2, .... Если п = 0, то
графиком является точка
(0; 0). Построим график
уравнения 2 |х| + |у| = п
для nEN.
Очевидно, что если
(х0; Уо) “ решение этого
уравнения, то и каждая из
пар (- х0; у0), (х0; - у0),
(- х0; - у0) также является
его решением. Следова--
тельно, достаточно постро-
ить график при х 0 и
у 0, а затем произвести
симметрию относительно
начала и каждой из осей
координат. В результате
при фиксированном п по-
лучим ромб с центром в
начале координат и диаго-
налями, принадлежащими
графиком является семейство ромбов (рис. 84).
Упражнения
IV.98. Построить графики уравнений:
a) sin (л |х + у|) = 0;	д) sin# (|у| - х) = 0;
б)	cos л (|х| + |у|) = 0;	е) ctg (|у| - |х|) = 0;
в)	tgл (2 |х| + |у|) = 0; ж) cos*0*1 9 2	= О.
ЛА
г)	sin л (| х I — у) = 1;
осям координат. Итак, искомым
Пример IV.99. Найти множество точек координатной пло-
скости, координаты которых удовлетворяют неравенству
tgx Э: 1.
375
Рис. 85
Построение графических образов
Решение. Найдем аб-
сциссы искомого множе-
ства точек. Имеем
Л	Л
— + лп^х< — + л:п,
4	2
MGZ.
Поскольку ординаты
этих точек могут быть
любыми, то искомым мно-
жеством является объеди-
нение вертикальных по-
лос (рис. 85), причем вер-
тикальные прямые вида
л
х = — + лп в это множе-
ство не входят.
Упражнения
IV. 100. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а)	sin х > 0;	з)	cos х	1;
б)	• - sin х > —z-;	и)	tgx>VT;
в)	1 sinx < =; л*	к)	tgx < - 1;
г)	sin х 1;	л)	V2 igx
д)	sinx > -1;	м)	ctg x VT;
ё)	cos х « 0;	н)	ctgx & 1;
ж)	1 cos х > — -г;	о)	^4 1 A\ X £0 О
Пример IV.101. Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
cosy - 1.
376
Построение графических образов
Решение. Найдем орди-
наты искомого множества
точек. Имеем
cos у = -1, у = я 4- 2 ли.
Поскольку абсциссы
этих точек могут быть лю-
быми, то искомым множе-
ством является семейство
горизонтальных прямых
(рис. 86).
Упражнения
IV. 102. Найти множест-
во точек координатной пло-
скости ху, координаты ко-
торых удовлетворяют нера-
венства:
a)	siny<0;
V3“
б)	siny> —;
/2"
в) sin у ;
г)	sin у 1;
У	
л	
0	X
-л	
Ри	re. 86
д)	cosy>-^;
е)	cos у 0;
ж)	tgy> -1;
з)	ctg у - VX
Пример IV. 103. Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
у COS X.
Решение. Искомое множество — это все точки, лежащие
не выше графика функции у = cos х (рис. 87).
Упражнения
IV. 104. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а) у sin х;	б) у < sin
X
377
Построение графических образов
г) у 5 ctg х', ё) у - cos х.
Пример IV. 105. Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
|у| <sinx.
Решение. Имеем - sin х < у < sin х. Следовательно, иско-
мое множество — это точки, лежащие одновременно ниже
графика у = sinx, но выше графика у = - sinx (рис. 88).
Рис. 88
Упражнения
IV. 106. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а.) |у| >sinx;
б)	|у| < cosx;
в)	|у| < - sinx;
г)	lyl =£ tgx;
д)	lyl Ssctgx.
378
Построение графических образов
Пример IVol07o Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
у | sin х | *
Решение. Искомое множество — это все точки, лежащие
не выше графика функции у = | sin х | (рис. 89).
Упражнения
IV.108. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а)	у 5 |sinх|;	в) у & |tgx|;
б)	у < I cos х |;	г) у < | ctg х |.
Пример IV.109. Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
|у| « |sinх|.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
— | sin х | у | sin х |.
y=|s/nx|
У = - |s/n х|
Рис. 90
379
Построение графических образов
Следовательно, искомое множество — это точки, лежащие
между графиками функций у= |sinx| и y=-|sinx|
(рис. 90).
Упражнения
IV. 110. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
а)	|у| 5 Isinxl;	в) |у| < |tgхI;
б)	|у| Icosxl;	г) |у| Ictgxl.
Пример IV. 111. Найти множество точек координатной
плоскости ху, координаты которых удовлетворяют неравенству
tg2y + ctg2 у 2.
У
Решение. Поскольку %
сумма двух положитель-
ных взаимно обратных
чисел всегда не меньше
двух, то решением дан-
ного неравенства являет-
ся его область определе-
ния. Следовательно, ис-
комое множество точек —
вся координатная плоско-
сть за исключением мно-
жества
прямых
горизонтальных
вида
ЛП - ~
~2^n^Z
(рис. 91).
Рис. 91
У =
Упражнения
IV. 112. Найти множество точек координатной плоскости
ху, координаты которых удовлетворяют неравенствам:
a)	tg2x^0;
б)	tg х ctg х 1;
в)
sinx
sin у
> 0; д) tg2x + y2^0.
г) tg2x + tg2у 0;
« о
380
Г лава V
Тригонометрические уравнения и неравенства
§1. Тригонометрические уравнения
1. Простейшие уравнения и уравнения,
непосредственно сводящиеся к простейшим
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят
следующие: sin х = a, cos х = a, tg х = a, ctg х = а.
Уравнения sin х = а и cos х = а имеют решения
только при | а\ 1, при этом для первого уравнения
х = (-1)* arcsin а + лк, кЕ. Z,
а для второго — х = ± arccos а + 2лк, kSZ.
Для уравнений sin х = -1, sin х = О и sin х = 1 решения
определяются соответственно следующими формулами:
х = - + 1лк, k£Z, х = лк, к& Z, и х = ^ + 2лк, к€= Z,
а для уравнений cosx = -l, cosx = О и cosx = l — фор-
л
мулами х = л + 2лк, кЕ Z, х = -^ + лк, kGZ, и х = 2лк,
£
Ле Z, соответственно.
Решения уравнений tg х = а и ctg х = а определяются со-
ответственно следующими формулами:
х = arctg а 4- лк, Ле Z, и х = arcctg а 4- лк, k€Z.
Пример Vol» Решить уравнение sin5x= —.
2	л
Решение. 5х = (-1)* arcsin — + лк, 5х = (-1)* + лк,
£	о
381
Тригонометрические уравнения и неравенства
* = (-i)‘n + T’*ez-
Ответ: (— 1)*	k G Z.
10	0
Пример V.2. Решить уравнение tg — = - VT.
О
Решение. х = arctg (- V3~) + лк, %х = - ? + лк,
и	и	и
х = — “ 4- лк, к €= Z.
X X
л я
Ответ: - — + лк, ке Z.
v2
Пример V.3. Решить уравнение sin (2х - 1) = —— .
р	(
Решение. 2х — 1 = (—1) arcsin —— + лк,
2х - 1 = (-1У+1^ + лк, х = (-1)*+1^ +1 к е Z.
Ответ: (-1)**11 + | + ^, Л е Z.
(л \	1
— - 2х I = —.
Решение. Учитывая четность функции/(х) = cosx, име-
(л\ 1 л	1
2х - —I = —, 2х - — = ± arccos -т + 2лк,
и I J	«3
х = ± arccos 4 + ? + лк, к &Z.
L	J О
1	1 Л
Ответ: ± — arccos — + — + лк, к е Z.
2	Jo
(2тг	\
—— *1 = — х*
0	/
Решение. Учитывая нечетность функции /(x) = ctgx,
(2л\	2л
х —— I =1, х —— = arcctg 1 4- лк,
J /	о
х = -Ц- л + лк, к GZ.
1X
Ответ:	л 4- лк, к G-Z.
382
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
. 2	1 V.6. sin — х = —.		V.26. ctg x = л.	
л. _ . 3	VT V.7. sin — х = —х-. 4	Z		¥.27. ctg|x = 5.	
V.8. sin 2х = 4		¥.28. sin (2x - 3) =	V2~ 2 *
V.9. sinx = Vl,01.		¥.29. 2 sin (y - x)	+ vT= o.
V.10.	VT sin лх = ——. X	¥.30. 3 sin (2x +	)=°.
¥.11.	n 1 cos 2x = -г.	¥.31. sin (x —	=	= 1.
V.12.	cos 3x = - .	¥.32. cos (2x - 1) =	- 2 ‘
V.13.	5	V3- cos6* = ~r-	V.33. cos (2 — 3x) =	y/2 2 ‘
V.14.	cos x = - VT.	¥.34. cos (x -	=	_ 3 " 4*
¥.15.	5 л cosyx=3.	¥.35. cos	1 =o.
V.16.	7л cosx = ~22.	¥.36. cos (лх + 2) =	= 1.
V.17.	22 cos x = —. 7л	¥.37. tg (x + y) =	1.
V.18.	1 cos лх = - —. X	¥.38. tg (x - 1) = 7.	
¥.19.	2лх COS -T— = 0. о	¥.39. tg (3 - 2x) =	2.
¥.20.	X cos — = 1. Л	¥.40. 3 tg (3x + 1) •	-¥3"=0.
¥.21.	tg2x = ^ГЗ.	¥.41. V3*ctg ^5x +	yl + 3 = °. J f
¥.22.	«—+ OQ -f) I CO X II p	¥.42. ctg (|x + 2)	= 0.
¥.23. ¥.24.	tg лх = ¥3". ¥3“ ctg 3x = - -y-.	¥.43. ctg (4 — 2x) = V.44. clgQ-|h	«1. VT 3 ‘
¥.25.	ctg | = - vT		
ООО
383
Тригонометрические уравнения и неравенства
2	1
Пример V.45. Решить уравнение sin — = —.
X L
Решение. = (-1)*	+ лк, kEZ. Так как при всех це-
лых к (-1)*	+ лк * О, то имеем: £ = ---------,
6	2	, ,.*л	,
(—1)	+ лк
х = -—------------, kez.
(—1)* л + 6л к
12
Ответ: -----т-------, к G Z.
(-1) л + блк
Упражнения
Решить уравнения:
. 2л у/Т	..	. л <3~
V.46. sin— = —.	V.49. tg- =
X	Li	АО
2л	V3-	2л
V.47. cos —~ =	.	V.50. ctg— = 1.
х	2	5х
2
V.48. tg^-=-l.
Пример V.51. Решить уравнение sin л Vx~ = - 1.
Решение, л Vx~ = — + 2лк, Vx~ = - + 2к, kG.Z.
Получаем систему
/ \2
X = | - + 2Л| ,
\ 2	)	откуда
- | + 2к =5 О, к е Z,
х = 12к - | ,
I	Ху
к £ 4» *ez.
I 4
/	1V
Ответ: x = \2k - — , к G N,
I	XI
384
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
„ ел	Г— ^3*
V.52. cos п nx = ——.
£
V.53. sin Vx" = О.
¥.56.
¥.57.
¥.58.
17 ее  3лГ
¥.55. sin-7== ——
NX 2
Пример ¥.59. Решить уравнение sin?rx2 = 1.
7Г	1
Решение, л х2 = — + 2лк, х2 = — 4- 2к. Получаем систему:
| + 2к =5 О,
Jtez,
откуда х = ± А/+ 2к , к e/VlJ {0}.
Ответ: х = ± ^/^ + 2к , к 6 N U {О}.
Упражнения
Решить уравнения:
¥.60. sin?rx2 = 0.	¥.62. tg?rx2 = 0.
¥.61. cos х2 = |.	¥.63. sin х2 = ?.
2	2
13 Триюпомстрня
385
Тригонометрические уравнения	и неравенства
V.64. | sin /| =1.	„ ,, . 2л	1 ¥.66. Sin —-г = - 77 • X	2
..2л	VT V.65. cos —у = —т-. X	2	4 Л	V3" ¥.67. ctg^= - —.
Пример V.68. Решить уравнение sin costtx| =^.
I »J	I А»
__	5	z \ L-	1
Решение. — л cos юс = (-1) ~7 + лк,
о	о
cos лх = (-1/ • -—г + Л, t Е Z.
Ю 0
Так как уравнение cos лх = а имеет решения при
|а|	1, то Л={0;1;-1} при других целых к
	L j. Получаем совокупность 1 cos лх = — , 1 cos лх = —,	откуда 7 cos лх = - — ,
г 1 1
х = ± — arccos — + 2Z, IG Z,
л 10
х = ± | + 2т, m&Z,
/	1	7 \
I х = ± 1----arccos — I + 2п, n£Z.
I	л	101
Ответ: ± — arccos 77- + 21, IG.Z, ± 77 + 2т, mEZ,
л 10	3
(	1	7 \
±11-----arccos тх + 2п, n&Z.
I	л	101
386
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
¥.69. sin (тг sin х) = — 1.
¥.70. sin (sin (sin x)) = 0.
¥.71. sin (cos x) = 0,5.
vT
¥.72. cos (cos x) = —.
X
¥.73. sin (sin (cos x)) = 0.
¥.74. sin (sin (sin x)) = p.
X
¥.75. sin I^ttcos^X] =
l	IX
¥.76. tg (л sin лх) = Vx
Пример ¥.77. Решить уравнение sin
л (x2 + 1) _ 1
11 +x2 “ 2 '
Решение. - P = (—1)к^ + лк, k&Z, откуда
11 + xz	6
x2 + 1	1 , „	„
2 , ,, = 7 + 2m, m e Z,
x + 11	6
*2 + 1 -5 . n(Z7
2	„ - 7 + 2n, n e Z.
x2 4- 11	6
X2 + 1
Учитывая, что -------
X2 4- 11
1, получаем, что n = 0 или т = 0.
Тогда запишем:
~х2+ 1 = j_
х2+ 11 “ 6’
х2+ 1 _ 5
х2+ 11 - 6’
Ответ: ±1; ±7.
откуда х = ± 1 или х = ± 7.
Упражнения
Решить уравнения:
¥.78. sin-^Ц = 1.
1 + х2
„ „ лх2
¥.79. cos----5 = 1.
1 + х2
_Л л (х2 +1)	VT
¥.80. cos—з-----= —.
х2+11	2
¥.81. tg-2^ = 1.
1 +х2
„„ 2ях
¥.82. sin-----X = 0.
1 + х2
387
Тригонометрические уравнения и неравенства
2. Уравнения, решаемые с помощью формул
преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение
Пример V.83. Решить уравнение sin Зх + sin х = sin 2х.
Решение. 2 sin 2х cos х — sin 2х = О,
2 sin 2х [cos х - | = 0.
I	Z I
Получаем совокупность
‘sin 2л = О,
1
COS X = - ,
X
откуда
лп
х = п е Z,
£
х = ±-т + 2лк, kGZ.
О
Ответ:	п е Z, ± ? + 2лЛ, к е Z.
Пример V.8^ Решить уравнение
cos 9х — cos 7х + cos Зх — cos х = О.
Решение. - 2 sin 8х sin х - 2 sin 2х sin х = О,
2 sin х (sin 8х + sin 2х) = О,
4 sin х sin 5х cos Зх = 0.
Получаем совокупность
sin х = О,
cos Зх = 0, откуда
sin 5х = О,
х = тгЛ, к G Z,
л лп п
X = —+ —, n€Z,
О 3
лт ~
х = —— , т G Z.
<э
Так как при т = 5р, р €= Z, решения первого и третьего
уравнений совокупности совпадают, то получаем решения
х =
л . лп ~ „	лиг _ „
— + —, п G Z, и х = —Z7-, т е Z.
О	<3
Л л лп _ ~ лт _
Ответ: — + —, п G Z; ——, т G Z.
о 3	5
388
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
¥.84.	. (	л\ SHI X + Sin X + “7 =0. \	41
¥.85. V.86. V.87.	sin x + 2 sin 2x = - sin 3x. cos 5x + cos 7x = cos (n + 6x). cos 5x = cos 4x.
V.88.	• ( 71 i	• i71	1 sin — + X + sin — - X =1. 112 j	14 j
V.89.	. ( л\ . (	2л\	( л\ sin x - — - sin x + — = cos x + — . 1	6 J	1	3 1	1	4 1
¥.90.	• '( л\ , ( Sin bt+y + Sin X + — = sin X + — . 1	6 J	1	3 I	I 41
¥.91.	( л\	( л\ , ( Jt\ cos x - — - cos x - — = sin x - — . \	3)	I 6)	I 41
¥.92.	sin (3x + 5) — sin (x + 1) = 2 sin (x + 2).
¥.93.	sin (15° + x) + cos (45° + x) + 0,5 = 0.
¥.94.	/9	\ sin (x — 6?r) + cos — я — 5x =0. 1 Z	f
¥.95. ¥.96. ¥.97. ¥.98.	vT sin 2x + cos 5x = cos 9x. sin 2x 4- sin (я — 8x) = V2~cos 3x. cos x 4- cos 5x = cos 3x 4- cos 7x. sin x 4- sin 5x = sin 3x 4- sin 7x.
¥.99.	sin |x 4- vl - sinx = sin |2x 4- vl _ sin2x. 1	4 J	l	4 J
V	.100. cos Зх 4- — - cos Зх = cos I х 4- — I — cos х.
\ / \ *^ /
V	.101. 1 + cos х + cos 2х + cos Зх = О.
V	.102. cos х - cos Зх = 2 V3~sin2 х.
V	.103. cos 5х + cos 7х + 2 sin2x = 2 cos2x.
V	.104. sin t2 - sin t = 0.
V	.105. sin лх2 = sin я (x2 + 2x).
389
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример ¥.106. Решить уравнение sinx 4- cosx = 1.
Решение, sinx + sin I? - х| =1, 2sin^-cos lx -	= 1,
12 J	4	14 1
l
v2 cos x - — = I, cos x - — = -7^-,
(	41	I 4 J VZ
X = ± v + т + Ink, kEZ.
4	4
Ответ: ± — + — + 2тг£, к G Z.
4	4
Упражнения
Решить уравнения:
vT
V	.107. cosx - sinx = —.
V2"
V	.108. cosx + sinx = -г-.
V	.109. cosx - sinx = I.
V	.llO. sin 2x + cos 2x = 0.
V.H4. sin 3x + cos I lx = 0.
V.H5. sin 4x + cos lOx = 0.
3.	Уравнения, решаемые с помощью
замены переменной
Пример V.H6. Решить уравнение
2 cos2 х — 5 cos х + 2 = 0.
390
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение. Сделаем замену: cos х = t. Тогда уравнение при-
мет вид: 2t2 - St + 2 = 0.	= 2 — не подходит, так как
I cos х I С 1, t2 = cos t =	t = ± + 2лк, kEZ,
£	L	о
Ответ: ± ? + 2лЛ, kEZ,
О
Пример ¥.117. Решить уравнение
8 cos2x + 6 sinх - 3 = 0.
Решение. 8 (1 - sin2x) + 6 sin х - 3 = 0,
8 sin2x - 6 sinx - 5 = 0.
Пусть sin x = t. Запишем 8i2 - 6t - 5 = 0. не под-
ходит, так как | sin х | С 1. t2= — 0,5, отсюда
sinx = -0,5, х = (-1)‘+1 ~ +лЛ, 1GZ.
Ответ: (-1)*+1^ + лк, kf=Z.
Пример ¥.118. Решить уравнение sin Зх - 3 cos 6х = 2.
Решение, sin Зх - 3 (1 - 2 sin2 Зх) - 2 = О,
6 sin2 Зх + sin Зх - 5 = 0.
Пусть sin Зх = t, IZI Cl. Запишем квадратное уравнение
6t2 + t - 5 = 0, t. = — 1, L = у. Получаем совокупность
о
"sin Зх = - 1,
. .	5 откуда
sm Зх = v, J
О
л; , 2лк , _ ~
х = — — +	, к G Z,
о 3
х = (- 1)п • arcsin + лп, п G Z.
3 о
Ответ: - т + k&Z, (- 1)п • arcsin + лп, nEZ.
0	3	3	0
391
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V	.119. sin2 Зх - 3 sin Зх + 2 = 0.
V	.120. 4 cos2x — 4 cos х + 1 = 0.
V	.121. cos2 2х + cos 2х - 6 = 0.
V	.122. 2 cos2 х - cos x - 1 = 0.
V	.123. 2 sin2x + sinx - 1 = 0.
V	.124. 6cos2x + 5sinx - 7 = 0.
V	.125. sinx + 2cos2x = 1.
V	.126. 1 + cosx = 2 sin2x.
V	.127. 2 cos2 3x + sin 3x - 1 = 0.
V	.128. 2 sin2 2x - 7 cos 2x - 5 = 0.
V	.129. 4sin2x + cosx - 3,5 = 0.
V	.130. 2 cos2 x + 2 V2~sin x - 3 = 0.
V	.131. tg2x — 2 tg x — 3 = 0.
V	.132. 3tg2x + tgx = 0.
V	.133. 2 tg4 3x - 3 tg2 3x + 1 = 0.
V	.134. 3 ctg2 2x + ctg 2x - 4 = 0.
V	.135. | ctg2 3x + vTctg 3x + 1 = 0.
V	.136. cos 2x + 3 sin x = 2.
V	.137. cos2x + sin2x + sinx = 0,25.
V	.138. 5 sin 7 - cos + 3 = 0.
О d
V	.139. 2 cos x — cos 2x - cos2x = 0.
V	.140. 1+2 cos2x + 2 '/У sin x + cos 2x = 0.
\	(	лЛ
2x + — + 4 sin x +	= 2,5.
d /	1	d I
392
Тригонометрические уравнения и неравенства
V	.142. 2 cos2 12х +	- sin2 (х +	= 2.
\	•* /	\
/те	\	/3	\
V	.143. sin — + 2х - 3cos l-гл - л = 2sinx + 1.
1 Z	I	i Z	i
V	.144. cos (lOx + 12) + 4 VTsin (5x + 6) = 4.
Пример V.145. Решить уравнение tgx +	- = 3.
Решение, tgx + (1 + tg2x) = 3, tg2x + tgx - 2 = 0. Пусть
tgx = t. Запишем t2 + t - 2 = 0, tx= 1, t2 — — 2.
"tg x = 1,
tg x = - 2,
x = -7 + лк, k&Z,
4
x = - arctg 2 + лп, nEZ.
Ответ: — + лк, k&Z, — arctg 2 + лп, n G Z.
4
Упражнения
Решить уравнения:
V	.146. vTtgx + 3 = -Л-.
COS X
V	.147. - tg2 (2л - x) + -5-^----17 = 0.
4	’ cos2(tt + x)
V	.148. -V* = ctgx + 3.
sin x
ъ
V	.149. ~2---2vTctgx-6 = 0.
sin x
V	.150. 2tg2x + 3 =
°	cosx
V	.151. tg2x----— +7 = 0.
COSX
V	.152. tg3x - 1 + —2-----3 ctg | J - x | = 3.
COS X	I2 I
393
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.153. Решить уравнение tg2x + ctg2 л = 2.
Решение. Пусть tg2 х = у, тогда ctg2 х = у. Получаем
уравнение у + у =2, откуда у = 1. Тогда tg2x = 1. Переходим
к совокупности
tgx = 1,
tgx = -1,
х = — + лк, kEZ,
4
Л
х = — — + ли, п G Z.
4
Ответ: ± — + лк, kEZ.
4
Упражнения
Решить уравнения:
V	.154. tg 2х + ctg 2х = 2.
V	.155. 2 tg х - 2 ctg х = 3.
V	.156. tg2x + 3ctg2x = 4.
V	.157. tg [x +	+3 ctg (x + ?) = 4.
V	.158. ctg x--T = -4-3tg3|x- —
I 4 I	14
Пример V.159. Решить уравнение
tg2 x + ctg2 x + 3 tg x + 3 ctg x + 4 = 0.
Решение. tg2x + ctg2x + 3 (tgx + ctgx) + 4 = 0. Пусть
tg x + ctg x = у. Тогда, возведя обе части полученного равен-
ства в квадрат, запишем
tg2 х + ctg2 х + 2 = у2 или tg2 х + ctg2 х = у2 — 2.
Исходное уравнение принимает вид:
у2 - 2 + Зу + 4 = 0, у2 + Зу + 2 = О,
394
Тригонометрические уравнения и неравенства
У1= -1’ у2= “2.
Получаем совокупность
tg х + ctg х = -1,
tgx + ctgx = - 2.
Решая уравнения совокупности, получаем tg х = — 1, от-
куда х = — ^ + лк, к Е Z.
Ответ: — v + kEZ.
4
Упражнения
Решить уравнения:
V	.160. tg4* + ctg4* + tg2x + ctg2* = 4.
V	.161. tg4* + tg2* + ctg4* - ctg2* =	.
V	.162. tg3* + tg2* + ctg2* + ctg3* = 4.
V	.163. tg* + ctg* + tg2* + ctg2* + tg3* + ctg3* = 6.
V	.164. 18 cos2 * + 5 (3 cos * + cos-1 *) + 2 cos'2 * + 5 = 0.
V	.165. 2 sin2 * + sin * + sin-1 * + 2 sin'2 * = 6.
♦ ♦ ♦
Пример V.166. Решить уравнение
sin x + cos x + sin x cos x = 1.
Решение. Сделаем замену: sin x + cos x = t, тогда
l2 — i
sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = t2, sin x cos x = —-— .
t2 - 1
Исходное уравнение примет вид: t + —-— = 1 или
t2 + It - 3 = 0, откуда = - 3, t2 = 1. Получаем совокупность
395
Тригонометрические уравнения и неравенства
sinx + cosx = - 3,
sin х + cos x = 1,
откуда
Первое уравнение совокупности решений не имеет, для
ЗТ t t _
второго уравнения х = — ± — + 2лх, к G Z, или
х = J к G Z,
х = 2тги, п G Z.
ТС
Ответ: -у + 2лк, k&Z, 2лп, nGZ.
Упражнения
Решить уравнения:
¥.167. 5 (1 - sin 2х) - 16 (sin х - cos х) + 3 = О.
¥.168. sin х + cos х = 1 + sin х cos х.
¥.169. sin’x + cos3x = 1.
¥.170. 2 sin 2x = 3 (sin x + cos x).
V.171. 2 (1 — sinx — cosx) + tgx + ctgx = 0.
¥.172. sin x + cos x = 3 (tg x + ctg x).
¥.173. 4 (cos x — sin x) = 4 — sin 2x.
V.174. (sin x + cos x) VT = tg x + ctg x.
¥.175. 11 sin x + 11 cos x - 5 sin 2x = 7.
¥.176. 2 (tg x - sin x) + 3 (ctg x — cos x) + 5 = 0.
¥.178. sin 2x + 5 (sin x + cos x) = 0.
¥.179. 5 (sin x + cos x) + sin 3x - cos 3x = 2V2~(2 + sin 2x).
396
Тригонометрические уравнения и неравенства
4. Однородные уравнения
Определение. Уравнения вида
а0 sinn х + at sin"-1 х cos х +...+ ап-1 sin х cos'1-1 х + ап cos'1 х = О,
где а0, а{...ап — действительные числа, ао*О, п 5 1,
п G N, называются однородными тригонометрическими
уравнениями п-й степени относительно sin х и cos х. Сумма
показателей степеней при sinx и cosx у всех слагаемых
такого уравнения равна п.
Заметим, что cosx не может быть равен нулю, так как
при cos х = 0 исходное уравнение примет вид: а0 sin" х = О,
откуда sin х = 0, что невозможно, поскольку sin х и cos х не
могут одновременно равняться нулю.
Разделив исходное уравнение на cos^x, получим:
aotg"x + а^^х + ... + an_jtgx + ап = 0.
Теперь, сделав замену tgx = t, получаем алгебраическое
уравнение: а01п + at t п~1 + ... + ап_{ t + а„ = 0.
Пример V.180. Решить уравнение sinx - 2cosx = 0.
Решение. Разделим обе части уравнения на cos х. Имеем
tg х = 2, х = arctg 2 + лк, kEZ.
Ответ: arctg2 + лк, kEZ.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.181. sinx + cosx = 0.
V	.182. sin х - cos х = 0.
V	.183. V3~sin x — cos x = 0.
V	184. sin x + V3”cos x = 0.
V	.185. 3 sin x = 2 cos x.
V	.186. 2 sin x + cos x = 0.
V	.187. 2,5 sin 2x - 8,75 cos 2x = 0.
V	.188. 5 sin 3x = 2 cos 3x.
V	.189. cos (x + 30°) - sin (x + 30°) = 0.
V	.190. V3~sin |x + ~| - sin 1“ — x| = 0.
I 4 I 14 J
397
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.191. Решить уравнение
7 sin2 х — 8 sin х cos х — 15 cos2 х = 0.
Решение. Разделив исходное уравнение на cos2x, по-
лучаем 7 tg2x — 8 tgx — 15 = 0. Замена: tgx = t. Имеем:
7/2 — 8i — 15 = 0,
откуда = -1, t2 = Решив совокупность
'tgx = -1,
тс	15
получаем х = - — + лк, k&Z, х = arctg + лп, n€Z.
тс	15
Ответ: — — + лк, k&Z, arctg — + лп, n£Z.
4	7
Упражнения
Решить уравнения:
V	. 192. sin2 х - 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0.
V	.193. 2 sin2 х - 5 sin х cos х + 3 cos2 x = 0.
V	.194. 2 sin2 x + 3 sin x cos x + cos2 x = 0.
V	.195. sin2 2x + sin 2x cos 2x - 2 cos2 2x = 0.
V	.196. sin2 - 3 sin cos + 2 cos2 £ = 0.
V	.197. 4 sin2 Зх + 3 sin Зх cos Зх - 7 cos2 Зх = 0.
V	.198. 3 sin2x - 2 VTsin x cos x + cos2x = 0.
V	.199. cos2 * - 3 sin2 | = 0.
О	о
V	.200. sin2 x + 3 cos2 x — 2 sin 2x = 0.
V	.20L 6 sin2x - 7 sin 2x + 8 cos2x = 0.
V	.202. sin2 x + 0,5 sin 2x - 2 cos2 x = 0.
V	.203. cos2 5x + 7 sin25x = 4 sin lOx.
398
Тригонометрические уравнения и неравенства
V	.204. sin 2х + sin2 х = 4 cos2 х.
V	.205. 3 sin2 х + sin х cos х = 5 cos2 х — sin 2х.
V	.206. (cos'* х — sin4 х)2 = sin2 2х.
Пример V.207. Решить уравнение
3 sin2 х + 2 sin х cos х = 2.
Решение. 3 sin2 х + 2 sin х cos х = 2 (sin2 х + cos2 х),
sin2 х + 2 sin х cos x — 2 cos2 x = 0.
Разделив полученное уравнение на cos2 х и сделав замену
tg х = t, получим t2 + 2t - 2 = 0, откуда
х = arctg (— 1 ± vT) + лк, кЕ Z.
Ответ: arctg (- 1 ± V3") + лк, к £Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.208. 3 sin2x - 7 sin х cos х + 14 cos2x -2 = 0.
V	.209. 4 sin2 х + sin 2x = 3.
V	.210. 5 соз2 x — 3 sin2x - sin 2x = 2.
V	.211. 22 sin2 lx - 3 sin 14x + 10 cos2 lx - 10 = 0.
V	.212. 22 cos2x + 4 sin 2x = 7.
V	.213. cos2x + 2 sin 2x = 2.
V	.214. 2 cos2x + sin 2x - 2 = 0.
V	.215. 6 sin2x - 1,5 sin 2x - 5 cos2x = 2.
2	1	1
V	.216. sin x — sin x cos x = —.
V	.217. 3 sin2 x - 2 V3~sin x cos x + 5 cos2 x = 2.
V	.218. (VT- 1) cos2x + (V3~ + 1) sin 2x = — 1.
£
399
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.219. Решить уравнение
sin4 2х + sin3 2х cos 2х - 8 sin 2х cos3 2х - 8 cos4 2х = О.
Решение. Разделив уравнение на cos4 2х и сделав замену
tg2х = t, получим t4 + t3-8t-8 = O,
t3 (t + 1) - 8 (t + 1) = 0, (t3 - 8) (t + 1) = 0,
(t - 2)(t + l)(t2 + 2t + 4) = 0,
откуда tj = 2, t2 = -1,
|arctg2 + ^y, t£Z, x2=-| + y, neZ.
L	L	О Z
~	1	лк	ti Tin _ „
Ответ: -arctg2 + —, teZ, - у + —, n e Z.
Z	Z	о Z
Упражнения
Решить уравнения:
V	.220. sin6 x + sin4 x cos2 x = sin3 x cos3 x + sin x cos5 x.
V	.221. sin2 x cos2 x - 10 sin x cos3 x + 21 cos4 x = 0.
,	/3	\	, /3	\
V	.222. sin 2x cos 1-л-2х1 + 3sin2xsin I-л+ 2x| +
+ 2 cos3 2x = 0.
V	.223. sin5 3x + sin3 3x cos2 3x + 8 sin2 3x cos3 3x +
+ 8 cos5 3x = 0.
V	.224. cos3 x sin x + cos2 x sin2 x - 3 cos x sin2 x -
- 3 sin4 x = 0.
V.225. 3 sin2 cos л +	+3 sin2 cos —
. x 2X • 2 (n , x\ x
-sm2C0S 2 = Sm ^2 + 2|COS2*
V.226. VTsin2 x cos x — 4 sin x cos2 x + 73”cos3 x = 0.
400
 Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.227. Решить уравнение
4 sin3x - sinx + cosх = 0.
Решение. Это уравнение не является однородным. Пере-
пишем его иначе: sin х - cos х = 4 sin3 х. Умножим теперь ле-
вую часть на (sin2x + cos2x). После приведения подобных
слагаемых имеем:
3 sin3 х + sin2 х cos х - sin х cos2 х + cos3 х = 0.
Разделив обе части на cos3x и приняв tgx за Z, получаем:
ЗР + t2 — t+l=0. Легко заметить, что t=-l является
корнем полученного уравнения. Теперь уже несложно по-
лучить 3t3 + t2 - t + 1 = (t + 1) (3t2 - 2t + 1). Так как урав-
нение 3t2 - 2t + 1 = 0 не имеет действительных корней, то
tg х = -1, х = - + лЛ, Л G Z.
Л
Ответ: — + лк, k&Z.
4
Упражнения
Решить уравнения:
¥.228. 2 cos2 х + sin2 2х + sin4 х + cos 2х = 0.
V.229. 5 sin4 2х + 4 cos 4х = 4 sin2 2х cos2 2х + cos4 2х.
¥.230. sin3 х = sin х + cos х.
¥.231. cos3 2х - cos 2х + sin 2х = 0.
¥.232. sin3 2х + cos3 2х - sin 2х = 0.
¥.233. sin6x + cos6x = (sin4x + cos4x).
Пример ¥.234. Решить уравнение 2 sin х - 3 cos х = 2.
Решение. Воспользуемся формулами двойного аргумента:
. . X X „ ( 2Х . 2х\ п ( 2 х . • 2 •’Л
4 sincos X - 3 cos -z — smz^ = 2 cos -z + sin ^l,
XX IX	XI IX	XI
401
Тригонометрические уравнения и неравенства
S1I1 + 4 Sin^-COS^ - 5C0Sz^ = 0.
X	L L	L
Разделив обе части уравнения на cos2^ и сделав замену
tg = t, получим: t2 + At - 5 = 0, откуда = 1, t2 = - 5,
х = л + 2лк, k^Z,
х = — 2 arctg 5 + 2тги, п G Z.
Ответ: л + 2лк, kEZ, —2 arctg 5 + 2лп, nf-Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.235. 2 sin х — 3 cos х = 3.
V	.236. 4 sin х - 6 cos х = 1.
V	.237. sinx + cosx = 1,4.
V	.238. 3 sin | + VTcos = 3.
V	.239. VTsin 2x + cos 2x = V2~.
¥.240. sin 5x = ¥з”(1 + cos 5x).
¥.241. vTsin (x - 45’) + sin (x + 45’) = VT
¥.242. cos	~	" 2j =
♦ ♦ ♦
5. Уравнения, решаемые с помощью формул
понижения степени
В этом пункте будут рассмотрены уравнения, при реше-
нии которых используются следующие формулы:
,	1 + cos 2а . ,	1 - cos 2а
cos а = -----т----, sin a = ----------.
Пример ¥.243. Решить уравнение
sin2x + sin22x + sin23x = 1,5.
402
Тригонометрические уравнения и неравенства
1 - cos 2х , 1 - cos 4х , 1 - cos 6х 3
Решение.------z-----1-----z----+ ------z----= z-
2	2	2	2
cos 4x + (cos 2x + cos 6x) = 0, cos 4x + 2 cos 4x cos 2x = 0,
2 cos 4x I cos 2x +	= 0.
I	XI
Получаем совокупность
cos 4x = 0,
_	1 откуда
cos 2x = - z-,	“
X
7Г Лк .. ________ —
Я = g" + “д”, t G Z,
X = ± — + Л71, П G Z,
3
Л JI Лк ,	„ Л	n
Ответ: — + — , Л e Z, ± — + лп, n G Z.
8	4	3
Пример V.244. Решить уравнение
2 sin2x + cos 4x - 2 = 0.
Решение. 1 - cos 2x + cos 4x - 2 = 0,
cos 4x - cos 2x - 1 = 0, 2 cos2 2x - cos 2x - 2 = 0.
Сделаем замену cos 2x = t, тогда уравнение примет вид:
. , п Л	,	1 -•/17’ u 1+VT7"
2t - t - 2 = 0, откуда /1 = -, t2 = ---------.
„	1 + vT7 ,	п 1 -/ТУ
Так как--------> 1, то имеем cos 2х = ---, откуда
1	1 — VTT
х = ± z- arccos-----1- лк, ке Z.
2	4
1	1 - 717"
Ответ: ± — arccos--л-----+ лк, ke.Z.
2	4
Упражнения
Решить уравнения:
V	.245. sin2|x = %.
3	4
V	.246. cos2^x =
2	4
V	.247. cos2x + cos22x + cos23x = 1,5.
403
Тригонометрические уравнения и неравенства
¥.248.
V.249.
¥.250.
V.251.
V.252.
V.253.
V.254.
¥.255.
V.256.
¥.257.
¥.258.
¥.259.
¥.260.
¥.261.
¥.262.
¥.263.
¥.264.
¥-265.
¥.266.
¥.267.
¥.268.
¥.269.
¥.270.
6sin2x + 2sin22x = 5.
cos2 x + 3 sin2 x = 2.
sin2x + sin25x = 1.
. 2 x , . 2 3x
sin -z + sm — = 1.
X	X
2	1.2
sin 3x + sin 6x = 1.
2 (I	• 2 (i
4 cos kz + x +4 sin — - x = 5.
I <D I	i О I
x + yzj - cos (X-Jzj =0,5.
2 sin2 x + cos 4x = 0.
2 cos2 2x + cos lOx -1=0.
sin2
2 sin2 + cos 2x = 0.
X
2 cos2^ + cos 2x = 1.
1—2 sin2 8x = sin 4x.
sin2 x - sin2 2x + sin2 3x = 0,5.
2 4	2	1	2 3
sin 1 -z x - sin 1 -z x + sin -z x = 0,5.
О	oo
2 X ,	2 2X 2 3X
COS -Z + COS -z- = COS —.
ООО
sin2x + cos2 2x + sin2 3x = 1,5.
sin2x + sin2 2x - sin2 3x - sin2 4x = 0.
sin2 (2 + 3x) + cos2 ^2x +	+ sin2 (бх -	-
— cos2 (5x — 2) = 0.
cos2 2x + cos2 x + cos2 3x + cos2 4x = 2.
sin2 3x + sin2 4x = sin2 5x + sin2 6x.
sin2 x + sin2 2x = cos2 3x + cos2 4x.
sin2 x + sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x + sin2 5x = 2,5.
sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x + sin2 5x = 2.
404
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.271. Решить уравнение sin4x + cos4x = cos 4х.
„	/1 - cos 2х\2	/1 + cos 2х\2
Решение. -------х--- + ------------ = cos4x,
1	X	f i	X	f
2 + 2 cos2 2х = 4 cos 4х, 2 + (1 + cos 4х) = 4 cos 4х,
cos4x = l, х = Лб/.
X
Ответ:	Л G Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V.272. 4 sin4x + cos 4x = 1 + 12 cos4x.
V.273. sin4x + sin4 fx + vl = v .
\	4 I 4
V	.274. sin4 x + cos4 x =	.
О
¥.275. sin4x + sin4pc + vl + sin4 Iх ~ Tl =
\	41	\	* )
V	.276. sin4 ~ + cos4 4= f •
J	Jo
V	.277. cos43x + cos4 |3x - vl = 4 -
I 4 1	4
* * *
6. Уравнения, решаемые с помощью преобразования
произведения тригонометрических функций в сумму
Для преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму используются следующие формулы:
sin a cos(3 = v (sin (а + /3) + sin (а — р)),
cos a cosp = (cos (а — р) + cos (а + /9)),
sin a sin/3 = (cos (а - р) - cos (а + /3)).
Покажем, как они применяются при решении уравнений.
405
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.278. Решить уравнение
cos Зх + sin х sin 2х = 0.
= у + лк, к Е Z,
£
л лп ~
= 4+Т- пег.
х
Решение, cos Зх + (cos х - cos 3x)=0, cos Зх + cos х = 0.
Преобразуем в произведение: 2 cos 2х cos х = 0. Перейдем к
совокупности:
cos х = 0,
cos 2х = 0,
ТС
Ответ: — + лк, к Е Z,
Пример V.279. Решить уравнение
sin 6х cos 2х = sin 5х cos Зх - sin 2х.
х
тс
лп
nEZ.
Решение. (sin 8х + sin 4х) = (sin 8л + sin 2х) - sin 2х,
sin 4х + sin 2х = 0, 2 sin Зх cos х — 0.
Перейдем к совокупности:
cos х = 0,
sin Зх = 0,
х = ~ + лк, кЕ Z,
ЛП _
х = ~, n^Z.
J
Л
Ответ: — + лк, кЕ Z,
лп
з , nez.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.280. 2 sin х sin 2х + cos Зх = 0.
V	.281. cos 7х cos Зх - cos 4х.
V	.282. sin Зх cos 2х = sin 5х.
¥.283. sin 14х + | sin 6х = sin 110х — v
\	41	I 4
V	.284. 2 cos (х + 20е) cos х = cos 40е.
406
Тригонометрические уравнения и неравенства
¥.285. sin (х + 45°) sin (х - 15°) = 0,5.
¥.286. cos (х + 70°) cos (х + 10°) = 0,5.
(<7г\	( Тс\ л
X + — I cos I X + — I = 0,^.
3 J I о I
. _ . / 2лА . 13л:	2л:
sin 5х sin 15х + -9- = sm -у cos .
cos Зх cos бх = cos 4х cos 7х.
sin х sin 7х = sin Зх sin 5х.
sin 5х cos Зх = sin 9х cos 7х.
sin (х + 1) cos 2 (х + 1) = sin 3 (х + 1) cos 4 (х + 1).
sin х sin Зх + cos 2х + 0,5 = 0.
. ,	. 2 л. •	(	<7г\ ,	/ТЕ \
(sin х +cosx) = 2sin X + — sin — - X .
2 sin 2x sin x + cos 2x = 2 sin 5x sin 4x + cos 8x.
0,25 - 0,5 cos 2x = cos x cos 3x.
¥.287.
¥.288.
¥.289.
¥.290.
¥.291.
¥.292.
¥.293.
V.294.
¥.295.
¥.296.
Пример ¥.297. Решить уравнение
(дЛ . ( 1jt\
X + 7Z- Sin X + -z- + COS Зх = 1.
J J \ О /
Решение. 2 sin х ^cos - cos (2х + л:)^ + cos Зх = 1,
sin х + 2 sin х cos 2x + cos 3x = 1,
sin x + sin 3x - sin x 4- cos 3x = 1, sin 3x + sin
= 1
/ _	।	I	ТЕ ।	1
v2 cos 3x - -7 =1, cos 3x - -7 = -tx=
\ J	\	41	V2
Зх - У = ± у + 2л:Л, к e Z,
'	4	4
’=±л+п+¥'iez'
л л 2лк , _ „ 2лп
Ответ: -z + -г-, k&Z; -г-
О О	о
о 3
2л:п _
х = —г- , п е Z.
«J
nez.
407
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V.298. sin 2х sin 6х cos 4х + -7 cos 12х = О.
4
V.299. 4 sin 2х sin 5х sin 7х — sin 4х = О.
V.300. 4 cos х cos 2х cos Зх = cos 6х.
V.301
V.302,
fjr	\	(л	\	1
— - 3x sin I — + 3x1 = —.
3	/	13	/о
pt \ .	71	1
8 cos X COS hr + х sin — + X = 1
I J / I О /
V.303. sin x sin 2x sin 3x = -7 sin 4x.
4
Пример V.304. Решить уравнение
12cos2^ = 9 - 4cos^cos^x.
Решение. 12 cos2 | = 9-2 (cos 2x + cos x). Воспользуемся
формулой понижения степени:
6 (1 + cos х) = 9 - 2 cos 2х - 2 cos х,
2 cos 2х + 8 cos х - 3 = О,
2 (2 cos2 х — 1) + 8 cos x - 3 = О,
4 cos2x + 8 cos x - 5 = О.
Сделав подстановку cos х = t, получаем уравнение
4Г2 + 8< - 5 = О,
„	1	,	5 гг
откуда , t2 = - — . Далее имеем:
1 я
cos х = -г , х = ±-г + 2лк, kG Z.
£
Ответ: ± — + 2лк, k&Z.
О
408
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
^л_	.	X	. 3	2Х	1
V.305. sin -z sin — х	+ cos „	=	-г	.
2	2	2	4
2	2 X
V.306. cos х + sin x sin 2x = 2 cos -z - 0,5.
X
¥.307. sin2 x + 4 sin2 3x = sin x sin 3x.
4
= 1,5 - sin
sin 3x.
_ . 2 I . Л
2 Sin X + 77
i о
¥.308.
¥.309.
• 2	1
sin 2x - - = cos 2x cos 6x.
4
9	/ 3	\
¥.310. 12 cos (Зх — л) + 4 cos (л — Зх) sin — л - 9* I =9.
\	I
cos2x-sin22x . ( л\ . ( л\
¥.311.--------5----- = sm lx + —I sin lx- — .
4cosx	\ о/ o)
¥.312. sin 2x sin x + cos2 x = sin 5x sin 4x + cos2 4x.
7. Уравнения, при решении которых используются
формулы тройного аргумента
При решении задач в этом пункте будут использоваться
следующие соотношения:
sin За = 3 sin а - 4 sin3 а,
cos За = 4 cos3 а - 3 cos «,
3tga-tg3a
6	l-3tg2«
Пример ¥.313. Решить уравнение
sin Зх + 3 sin 2х = 3 sin х.
Решение. 3 sin х - 4 sin3 х + 6 sin х cos х = 3 sin х,
2 sinх (2 sin2x - 3 cosх) = О,
409
Тригонометрические уравнения и неравенства
2 sin х (2 (1 - cos2 х) - 3 cos х) = О,
2 sin х (2 cos2 х + 3 cos х - 2) = О.
Переходим к совокупности
sin х = О,
2 cos2 х + 3 cos х - 2 = 0, 0ТКуДа
х = лк, kEZ,
л
х = ± — + 2лп, nEZ.
л
Ответ; лк, к Z, ± — + 2л п, nEZ,
J
Пример ¥.314. Решить уравнение
,	. , vT
cos* х cos Зх + sin* х sm Зх = -г-•
4
Решение. Из формул для синуса и косинуса тройного
аргумента найдем sin3x и cos3x:
.о 3 sin х - sin Зх з 3 cos х + cos Зх
sin* х = -------------, cos х = --------------.
4	4
Тогда данное уравнение примет вид:
cos Зх + 3 cos х „ , 3 sin х - sin Зх . Л V2"
-------А-----------------------• cos Зх + --------------• sin Зх = — ,
4------------------------------------4-4
(cos2 Зх - sin2 Зх) + 3 (cos х cos Зх - sin х sin Зх) = VT,
cos 6х + 3 cos 2х = V2”, 4 cos3 2х - 3 cos 2х + 3 cos 2х = V2”,
cos3 2х =
1	п	1	—1— Л _L 1
COS 2х = X = ± - + лк,
kEZ.
Ответ: ± тг + лк, kEZ.
О
Упражнения
Решить уравнения:
V	.315. cos Зх + 2 cos х = О.
V	.316. sin 9х = 2 sin Зх.
410
Тригонометрические уравнения и неравенства
V	.317. 3 sin = sin х.
V	.318. sin бх + 2 = 2 cos 4х.
¥.319. cos 9х - 2 cos бх - 2.
V	.320. sin Зх - 4 sin х cos 2х = 0.
V	.321. 3 cos х + 3 sin х + sin Зх — cos Зх = 0.
3	х
V.322. sin — х + 3 sin х = 3 sin .
3 VT
V	.323. sin x + sin Зх = —— sin 2x.
4
V	.324. cos 3x - cos3 л + ~ sin 2x = 0.
4
V	.325. cos 4x = cos2 3x.
V	.326. cos 2x = cos2 x.
V	.327. cos 3x - 1 = cos 2x.
V	.328. cos 6x + 8 cos 2x - 4 cos 4x — 5 = 0.
¥.329. sin3 x sin 3x + cos3 x cos 3x = cos3 4x.
V.330. sin3 4 cos x + cos3 4 sin x = —
Z Z	Z Z	о
¥.331. 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x = 3 sin 2x.
¥.332. cos 3x — cos 2x = sin 3x.
¥.333. cos 8x + 3 cos 4x + 3 cos 2x = 8 cos x cos3 3x — 0,5.
voo.	, ЗаЛ _ . (Зл x\
¥.334. sin — +	= 2 sin — + x •
14	2 1	14	21
3	x
¥.335. 37tg^x = lltg^.
8. Уравнения, при решении которых используется
универсальная тригонометрическая подстановка
Под универсальной тригонометрической подстановкой по-
нимается выражение тригонометрических функций через тан-
411
Тригонометрические уравнения и неравенства
гене половинного аргумента. Напомним формулы, позволяю-
щие выполнять подобные преобразования:
 ~	2 tga „	2 tga
sin 2a = , , , 2 > cos 2a = ———j—,
l+tg2a	l + tgza
x	2 tg a
420 =
Не следует забывать, что при использовании этих фор-
мул область определения уравнения сужается на множество
у + л£, к G Z. Поэтому, выбрав указанный способ решения,
следует проверить, не являются ли числа из множества
л
у + лЛ, к G Z, корнями уравнения.
Пример ¥.336. Решить уравнение 2 sin 2х + 3 tg х = 5.
Решение. Областью определения уравнения являются все
Л
действительные числа, кроме чисел вида у + л Л, к G Z.
4tg* +3 tgx —5 = 0,
1 + tg2x ь
3 tg3 х — 5 tg2 x + 7 tg x — 5 = 0.
Сделав замену tg x = t, получаем 3t3 - 5t2 + It - 5 = 0.
Одним из корней этого уравнения является t = 1. Разделив
многочлен 3t3 — 5t2 + It — 5 на t — 1, имеем:
(3t2 — 2t + 5)(t- 1) = 0.
Так как уравнение 3t2 — 2t + 5 = О не имеет действи-
Л
тельных корней, то получаем tgx = l, откуда х = —+ л£,
tez.
Заметим, что в данном случае нет надобности проверять,
л
не являются ли числа из множества — + лЛ, к Е Z, корнями
уравнения, поскольку эти числа не входят в область опреде-
ления уравнения.
412
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V	.337. sin 2х + tg х = 2.
V	.338. sin 2х + tg х = О.
V	.339. 2 (1 - cos 2х) = tgx.
V.340. I5ctgx + 130 sin 2x = ~tgx.
0
¥.341. 1 + cos x + tg =0.
¥.342. 2 + sin x = 3 tg p
¥.343. cos x + 6 sin x tg £ = 4 tg x ctg £ .
4	Z	Z
¥.344. tg2x + 2 cos 2x - 5 - 0.
in.r l-cos2x + tgx	. _
¥.345. ---;— -----— = 1 + sin 2x.
1 - tgx
¥.346. (1 + cos x) tg ~ - 2 + sin x = 2 cos x.
¥.347. 3 sin 4x = (cos 2x — 1) tg x.
Пример ¥.348. Решить уравнение sin x + 5 cos x + 5 = 0.
2tg^ 5 l-tg2z
Решение.--------- + —\------4- +5 = 0,
1+tg2^	14-tg2^
X	X
2tg^ + 5 (1 - tg2|) + 5 (1 + tg2^ = 0, tg^ = - 5,
x = - 2 arctg 5 + Ink, kEZ.
Теперь необходимо проверить, являются ли числа из
множества л + 2яп, п Е Z, корнями исходного уравнения.
Проверка: sin (л + 2яп) + 5 cos (л + 2ли) + 5 = 0-5 +
+ 5 = 0. Следовательно, все числа вида л + 2яп, п Е Z, яв-
ляются решениями исходного уравнения.
Ответ: - 2 arctg 5 + 2лк, kEZ, л + 2ли, п Е Z.
413
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V	.349. tg 2х + sin 2х = -|^ ctg х.
1 0
V	.350. ctg ~ = V2"(l + cos х).
V	.351. 2 cos х + sin х = - 2.
V	.352. sin x — V2~cos x = 3.
¥.353. 4 sin 2x — 3 cos 2x = 3.
V.354. 4 sin x — 6 cos x = 1.
¥.355. cos2 x — 2 cos x = 4 sin x — sin 2x.
¥.356. 1 — cos (л + x) + sin —* = 0.
¥.357. 1 - sin x = (sin x + cos x) cos x.
¥.358. 2 sin2 lx - vl = 2 sin2x - tgx.
\	4 1
¥.359. (cos x - sin x) 12 tg x 4--—I +2 = 0.
v	I cosx I
¥.360. ctg I v - * I - 5 tg 2x - 7 = 0.
14 I
¥.361. 2 sin2 lx - vl =2 sin2x - tgx.
I 4 1
,,	5sinx — 5tgx , .,,	.
¥.362. —;-----——— + 4 (1 - cos x) = 0.
sin x + tg x v '
¥.363. ctgx — ^cos2xj = 1.
♦ ♦ ♦
9. Уравнения, решаемые с помощью введения
вспомогательного угла
Пример ¥.364. Решить уравнение V3"sinx + cosx-2 = 0.
Решение. Перенесем число 2 в правую часть и разделим
обе части уравнения на два. Имеем:
414
Тригонометрические уравнения и неравенства
vT .	1
— sin х + - COS X = 1.
„	т/з” Л 1	. Л гг
Заменим -г- на cos—, а — на sin—. Получим
Z	О Z	о
i7Z> ,	, i7Z>	,	( 7С \
COS —sin Л + sin —cosx =1, sin lx + — = 1,
О	О	l О I
* + T = ? + Л G Z, x = + 2тгЛ, k G Z.
о Z	3
Ответ: — + 2лЛ, k G Z.
Пример V.365. Решить уравнение
cos Зх — sin 5x = i/3~(cos 5x - sin 3x).
Решение, cos 3x + 73"sin 3x = sin 5x + V3~cos 5x. Разде-
лим обе части уравнения на два. Получим:
1	vT .	1 . VT
-т cos Зх + -z- sm Зх = -т sin 5х + cos 5х.
L	L	L	L
„	1	. л V3”
Далее, заменив в правой части — на sin—, а —-на
Z	о 2
л	„1	л VT . л
cos у, а в левой части - — на cos — и --на sin имеем:
О	Z	3	2	3
cos -т cos Зх + sin — sin Зх = sin — sin 5х + cos -т cos 5х,
о	3	О	О
- 2 sin х + -у sin 4х - — I =0, откуда
sin (х + ух) = о, L = _ 2L + nk kez
\	12
(7г\	'ТГ Jtft
4х — — I = 0, Х ~ Тб + ~4~’ П
Ответ: -	+ лк, kez,	п £ Z.
1Z	1о 4
415
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V	.366. sin 15х + V3~cos 15х -2 = 0.
V	.367. VTsin х + cos х — V2~ = 0.
V	.368. V2~sin 2x — ’/Уcos 2x — УТ = 0.
V	.369. vTsin (x - 45°) + sin (x + 45°) = VT
¥.370. sin 3x — cos 3x =
V	.371. VTcos x - sin x = 2 cos 3x.
V.372. sin5x + cos 5x = VTcos 13x.
¥.373. 2 sin 1 lx + cos 7x + VTsin x = 0.
¥.374. 2 cos 41x = V2~(cos llx - sin llx).
¥.375. 2 - V3~cos 2x + sin 2x = 4 cos2 3x.
¥.376. sin 7x — VTcos 5x + V3~cos 7x — VTsin 5x = 0.
¥.377. cos 3x — sin x = - VT(sin 3x — cos x).
¥.378. sin 8x — cos 6x = VT(sin 6x + cos 8x).
¥.379. (sin 2x + V3~cos 2x)2 — 5 = cos — 2x^.
¥.380. cos (7x + 2л) — sin (л — 5x) =
¥.381. V3~(2 — cos x) + 4 sin 2x = sin x.
¥.382. 3 ¥3~ + 2 sin x = 6 sin 2x + 2 ¥3~cos x.
¥.383. 2 sin 3x + sin x — cos 2x = ¥3~(sin 2x — cos x).
¥.384. 20 cos2 x — 5 = sin x + VTcos x.
Пример ¥.385. Решить уравнение 2 sin x — 3 cos x = 0,5.
, Уравнения подобного типа мы уже рассматривали (смот-
рите пункты 4 и 8 этого параграфа). Предложим еще один
способ решения таких уравнений.
Решение. Разделим обе части уравнения на V22 + З2.
2	3	1
Имеем: Tjysinx - ^cosx =
416
Тригонометрические уравнения и неравенства
(2 \2 / 3 \2	2
71Т + 7ТТ = 1 ’ т0 пРимем за косинус
з
некоторого угла а ---------за синус этого же угла. Теперь
уравнение примет вид: cos <р sin х - sin <р cos х =	.
Далее, sin (х - <р) =	’
х = (-1/ arcsin 2 Jyy + <р + лк, kE.Z,
3
где <р = arcsin туу •
Ответ: (-1)* arcsin Jyy + arcsin яЛ, kEZ.
Упражнения
Решить уравнения:
V.386. 3 sin х + 4 cos х = 2.
V.387. 3 sin 2х + 4 cos 2х = 5.
V.388. 5 sin х - 12 cos x = 13.
V.389. 5sinx + 12cosx = 6,5.
¥.390. 2 sin - 3 cos = 0,8.
V.391. sin x — V5~cos x =
V.392. 3 sin 3x + 5 cos 3x = 4.
¥.393. 4 sin 5x + 3 cos 5x = 5,2.
¥.394.
¥.395.
¥.396.
1	л \
3 sin x - 5	sin	\ lx	+	—	= 4 cos x.
I	6 1
3 sin lx - vl +4 sin lx + vl + 5sin
l	3 J	I	6 1
5 sin 2x	+	12 cos 2x	+ 13 sin 6x = 0.
= 0.
¥.397. 2sin x + vl + 2 cos (v + vl =
I 31	12	4 J
= 3sin +	+¥3~cos fj +J'
1481	148
14 Тригонометрия
417
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.398. V2"cos [7 - 77Й - V6~sin	=
„ . (х , 2я\	_ . (Зх , л\
— 2 Sin	+ — - 2 sin — + -71 •
\ I	13	о )
V.399. 2 sin f-v -	- 2 cos + 7] =
12 о J	I J	оj
= V2sinfe-^| -V6"sinfe + ^.
I J J I	lO 3 j
10. Уравнения, решаемые с помощью умножения
на некоторую тригонометрическую функцию
При решении уравнений иногда требуется умножить обе
его части на выражение с переменной (обозначим его /(х)).
Ясно, что такое преобразование не всегда является тождест-
венным. Если область определения / (х) уже области опреде-
ления уравнения, то возможна потеря корней. Если же об-
ласть определения /(х) шире области определения уравне-
ния, или они совпадают, то возможно приобретение
посторонних корней за счет корней уравнения /(х) = 0.
Рассмотрим примеры.
Пример V.400. Решить уравнение
4 cos х cos 2х cos Зх = cos 6х.
Решение. Умножим обе части уравнения на sinx. По-
лучаем уравнение-следствие:
4 sin х cos х cos 2х cos Зх = cos 6х sin х,
sin 4х cos Зх = cos 6х sin х,
(sin 7х + sin х) = (sin 7х - sin 5х), sin х + sin 5х = О,
2 sin Зх cos 2х = О,
'sin Зх = О,
cos 2х = О,
418
Тригонометрические уравнения и неравенства
лк , - г,
X = у, ke.Z,
л лп _ „
х = 7 + -7-, «GZ.
4 Z
Так как корни уравнения sin х = 0 не являются корнями
исходного уравнения, то из полученных решений необходимо
исключить все числа вида х = лт, m£Z.
* лт, откуда к* Зр, p&Z.
Т +	4 (1 + 2п) # m, 1 + 2n # 4m.
4	2	4
Очевидно, что при целых т и п в правой части нера-
венства стоит четное число, а в левой — нечетное. Поэтому
неравенство выполняется для всех целых тип.
ответ:	к е Z, к * Зр, р е z,	п е Z.
3	4	2
Пример V.401. Решить уравнение
cos 2х + cos 4х + cos 6х + cos 8х = - 0,5.
Решение. Умножим обе части уравнения на 2 sin х.
Имеем:
2 sin х cos 2х + 2 sin х cos 4х + 2 sin х cos 6х +
+ 2 sin х cos 8х = - sin х.
Преобразуем произведение тригонометрических функций
в сумму:
sin Зх - sin х + sin 5х - sin Зх + sin 7х - sin 5х +
лк
-I- sin 9х - sin lx + sin х = 0, sin 9х = 0, х =	, к G Z.
Корни уравнения sin х = 0 не являются корнями исход-
ного уравнения. Поэтому исключим из полученного решения
числа вида лт, т GZ, т.е. из значений к необходимо иск-
лючить числа, кратные 9.
Ответ:	, к G Z, к 9р, р G Z.
419
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
¥.402. cos х cos 2х cos 4х cos 8.x = 77.
1О
V	.403. cos х cos 2х cos 4х = .
О
V	.404. cos х cos 2х cos 4.x cos 8х = cos 15х.
О
V	.405. cos х cos 2х sin Зх = 0,5 sin2 х.
V	.406. cos х + cos 2.x + cos Зх + cos 4.x = 0,5.
V.407. cos2x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 1 -7.
4
¥.408. cos x + cos 2x + cos 3.x = - 0,5.
¥.409. sin x + sin 2.x + sin 3.x = cos x + cos 2.x + cos 3x.
1 X
¥.410. sin x + sin 2x + sin 3x = -r ctg —.
¥.411. 3tg£ + ctgx =
& 2	sin x
11. Уравнения, решаемые разложением
на множители
С разложением на множители при решении тригономет-
рических уравнений мы уже встречались в предыдущих пунк-
тах этого параграфа. Рассмотрим теперь более сложные урав-
нения.
Пример ¥.412. Решить уравнение
sinx + sin2x + cos’x = О.
Решение, sin х (sin х + 1) + cos2x • cos х = 0,
sin х (1 + sin x) + (1 + sin x)(l - sin x) cos x = 0,
(1 + sin x)(sin x + cos x — sin x cos x) = 0.
420
Тригонометрические уравнения и неравенства
Переходим к совокупности
sin х + 1 = О,
sin х + cos х - sin х cos х = 0.
Решением первого уравнения являются числа вида
- ? + 2лк, k&Z. Для решения второго уравнения сделаем
замену: sin х + cos х = t, тогда 1 + 2 sin х cos х = t1 2 *,
sinxcosx = (t2 - 1).
X
Уравнение примет вид t — (t2 - 1) = О, t2 - 2t — 1 = О, от-
куда t{ = 1 + V2-, <2=1- ypl. Имеем:
Г . ( , л\ 1 + VT
_	,__ sin I х + — I = —7=— ,
sin х + cos х = 1 + РГ,	\	4/	*2
sin х + cos х = 1 - V2~,	/	я\	i _ y/Y
[sin[* + 4j =~7Г"-
Первое уравнение совокупности не имеет корней, из
второго уравнения:
1 — у/2~ 71
х = (-1)" arcsin —7=----- + лп, nGZ.
V L	4
Ответ: - у + 2лк, k&Z,
.	. 1 - V2” л ,	_ „
(-1) arcsin —------— + лп, nEZ.
Пример V.413. Решить уравнение
1 + sin х + cos х + sin 2х + cos 2х = О,
Решение. 1 + cos 2х + sin 2х + sin х + cos х = О,
2 cos2 х + 2 sin х cos х + (sin x + cos x) = 0,
2 cos x (sin x + cos x) + (sin x + cos x) = 0,
(2 cos x + l)(sin x + cos x) = 0.
421
Тригонометрические уравнения и неравенства
Получаем совокупность
cos х = - 0,5,
sin х + cos х = О,
откуда
х = ± — + 2лЛ, к G Z,
О
Tt	г,
X = - -г + ли, n G Z.
4
2л	л
Ответ: ± — + 2лк, kez, - — + лп, n&Z.
3	4
Упражнения
Решить уравнения:
V	.414. 16 sin х — sin 2х = 1 - cos 2х.
V	.415. sin Зх + sin х - sin 2х = 2 cos2x — 2 cos х.
V	.416. sin 2х + sin х + 2 cos х = cos 2х.
V	.417. sin3 4х + cos3 4х = 1 - 0,5 sin 8х.
V	.418. 2 cos 2х + sin Зх — 2 = О.
V	.419. (cos х — sin х)2 — 0,5 sin 4х = sin4 х — cos4 х.
V	.420. cos 2х + sin 2х = VT(cos4 2x - sin4 2x).
V	.421. cos3x + sinx cos x - x sin2x sin 2x + 4 sin x + 4= 0.
V	.422. sin4 x + 4 sin x - 1 = 0.
Пример V.423. Решить уравнение
4 sin2 - - 1
---------- = tg x - 2 sin x.
cosx °
2(l-cosx)-l sinx (1 - 2cosx)
Решение. —--------
cos x	sin x
422
______________Тригонометрические уравнения и неравенства
1 — 2 cos х _ sin х (1 — 2 cos х)
COS X ~	COS X ’
sin х (1 - 2 cos x) - (1 - 2 cos x) _
COS X	~	’
(1-2 cosx)(sinx - 1) _
COS X	~	'
Переходим к системе
cosx = |,
• sinx = 1,
cos x # 0.
Так как при sin x = 1 cos x = О, то имеем cos x =	,
откуда x = ± + 2лк, k&Z.
Ответ: ± + 2лк, kEZ.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.424. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.
2	1
V	.425. sin x + 1 — cos x - sin x + — sin 2x + ctg x = 0.
V	.426. sin 2x — 1 - cos 2x + 4 (sin x — cos x + tg x - 1) = 0.
V	.427. sin3x (1 + ctgx) + cos’x (1 + tgx) = cos 2x.
V	.428. (1 + sin 2x)(ctgx - 1) = 1 + ctgx.
V	.429. sin x tg x + 1 = sin x + tg x.
V	.430. sin 2x + 2 sin 4x - tg 6x cos 2x = 0.
423
Тригонометрические уравнения и неравенства
,	, ... sinx 4- 1	л . z
V	.431.---------1- cos х = 2 - sin х (cos х — 2).
cos х	v 7
V	.432.	= rfi.
1 + sin’ x
У.433.	= 1 + sin 2x.
ctg x - 1
12. Уравнения, содержащие дополнительные условия
Пример ¥.434. Найти наибольший отрицательный корень
уравнения sin2 х + sin2 2х = sin2 Зх.
1 - cos 2х . -	1 - cos бх
Решение.------z---- + sm2 2х------z----= О,
cos бх - cos 2x4-2 sin2 2х = О,
- 2 sin 2х sin 4х 4- 2 sin2 2х = О,
2 sin 2х (sin 2х - sin 4х) = О,
Получаем совокупность
sin х = О,
sin 2х = 0, откуда
cos Зх = О,
- 4 sm 2х sin х cos Зх = 0.
х = лгЛ, к G Z,
лгп „
х = -у, п е z,
л . лт „
6 4- 3 , т е Z.
х =
Наибольшим отрицательным корнем из множества лк,
kf=Z, является число —л (при к= -1), из множества ,
X
_ „	л ,	л , лт
nSZ. — число - — (при п = -1), а из множества — 4-
2	о 3
ТС	„
т G Z, — число - — (при т = -1). Наибольшим среди чисел
о
Л/	ТС	ТС
- л, - — и - — является число “ —,
2	О	О
Л	Л
Ответ: - — 0
6
424
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.435. Найти все
sin х 4- tg х =
корни уравнения
1
—------COS X,
cosx
удовлетворяющие неравенству
т%	, sin х
Решение, sin х 4- ---
cosx
_ 10л <
9
1 - COS2 X
COSX
8л
sin х (cos х + 1) - (1 - cos х)(1 4- cos х) _ о
cosx
(sin X + cos х - 1)(1 4- cos x) _ 0
COS X	""
Перейдем к системе
1 4- COS X = 0,
sin x 4- cos x - 1 = 0,
откуда
‘cosx = -1,
( л\ ТУ
C0S *"4 =^~’
cos х # О,
cos х # О,
x = л + 2л£, к G Z,
Л Л
= -7 ± — + 2лп, n£Z,
4	4
Л
# — 4- лт,
mGZ,
х
х
x = Л 4- 2л£, к G Z,
Г л
x = - 4- 2л/?, n G Z,
. x = 2лп, nGZ,
L л
x # у + nm, mEZ,
£
x = л 4- 2л£, k G Z,
x = 2лп, n G Ze
Объединяя полученные решения, имеем х = л/, IG Z. Из
1 г,	10jr	8л
множества х = л/, IG Z неравенству — —— < х < — — удов-
летворяет лишь одно значение: х = — л.
Ответ: — л.
425
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Найти наибольший отрицательный корень уравнения:
V	.436. sin2 х + cos х + 1 = О.
V	.437. cos4x - sin4x = О.
V	.438. sin4 х - cos4 x = 0,5.
V	.439. sin4 x + cos4 x = .
О
V	.440. sin2x + 0,5 sin 2x = 1.
2 X
V	.441. cos 2x - 3 cos x = 4 cos —.
V	.442. 4 sin3 x + 4 sin2 x — 3 sin x = 3.
V	.443. sin2x - 3 cos2x + 2 sin 2x = 1.
V	.444. sin x + cos x =	.
sinx
4
V.445. tg x - ctg x = - sin 2x.
J
Найти наименьший положительный корень уравнения:
V.446. sin 6х — sin 4х = 0.
V.447. sin Зх = cos х.
V.448. cos Зх - sin 2х = V3”(cos 2х - sin Зх).
V.449. sin2 2.x + sin2x = 1.
V.450. sin х + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
V.451. sin 2x + tg x - 2 = 0.
V.452. sin3 x cos x = 0,25 + cos3 x sin x.
V.453. (1 - tg x)(l + sin 2x) = 1 + tg x.
V.454. tg lx + tg 3x = 0.
V.455. sin’x (1 + ctgx) + cos3x (1 + tgx) = cos 2x.
426
Тригонометрические уравнения и неравенства
Найти все решения уравнения, удовлетворяющие нера-
венству - Зл < х < — у л:
V	.456. tg 12х -	=	VX
V	.457. sin 14х + S =1.
\ IX/
/	4л\
V	.458. cos 1-5х —= 1.
V	.459. ctg fe + ?! “ 2 ’
I Z t / X
V	.460. sin 67 - 1) = 0.
14	I
V	.461. cos R- 11 = 0,9.
14	I
Найти все решения уравнения, удовлетворяющие задан-
ному неравенству:
V	.462. 2cos2x = sinx, < х < л.
2	1	3
V	.463. sin х + cos х = — , л < х < — л.
4	2
5	Л
NAM. sin х — 5 sin х = 0, — у < х < л.
Л*
V	.465. VXsin х + cos х = 1, - у < х < у .
X	X
V	.466. sinx + cosx = 1, 0<х<л.
V	.467. cos 7х - V3~sin 7х = - V2~, - л < х < ^л.
V	.468. VTcos 8х - V2”sin 8х = - V3~,	< х < -^л.
Э	о
2л	л
V	.469. cos х cos 2х = cos Зх, —— < х < —.
&	«J
427
Тригонометрические уравнения и неравенства____________
V	.470. tg2x - 2 sin2x = 0, - ^л х 2л.
V	.471. sin х + sin 5х + VTsin Зх = О, у х л.
V	.472. 3 + cos 2х + 3 V2~cos х = О, у < х л.
V	.473. 4 sin2x (1 + cos 2х) = 1 - cos 2х, |х| <2.
V	.474. cos 7х + cos2 2х = sin2 2х — cos х, | х | < 2.
V	.475. sin 4х + cos2 х = sin2 х, | х | < 2.
V	.476. tg (4 sin х) = VT, < х < л.
Л*	L
Пример V.477. Найти все решения уравнения
2 + cos 4 х + У3~sin — х = 4 sin2 4 ,
2	2	4
(	X Л\
удовлетворяющие условию sin — 4- — >0.
IX • /
1	3	VT	3 \	х
х cos х + — sin — х I =4 sin2 — .
2	2	2	2)	4
„1л	V3”	. л
Заменив — на cos^-, а — на sin—, получаем
х	ох	о
_ , п I 3 л , . 3	. л\ л . 2х
2 + 2 cos — х cos — + sin — х sm — I =4 sin2 —,
12	3	2	31	4
(3 jt \
-zx - —I =2 sin2 — ,
2 o I	4
1 + COS
,	x	(3	л\	x
= 1 -	COS —,	COS	hr X	-	— I	+	COS x = 0,
X	i X	0 1	X
2 COS
= 0.
Следовательно, исходное уравнение равносильно сово-
купности
428
Тригонометрические уравнения и неравенства
решением которой является объединение двух множеств
2	4
х = — л + лЛ, fcGZ, и х = — л + 2л я,
«3	«3
п G Z. Выберем теперь
решения, удовлетворяющие условию
2
х = —л + ля, тогда
О
(лс	. (л лк , л*
-^ + -z =sin kj + -^- + -T
241	1324
_	. (1л лк\
Определим знак sin тг + -z- .
I хХ X f
fx л \
-т + — >0. Пусть
X л I
= sin
При к = 4р, pEZ,
. (1л лк\ . (1л , ~ \	. 1л л
sin l-jj + -у I = sin Уз + 2лр1 = sin — > О»
при к = 4р + 1
. (1л , лк\ . (1л	л\ . 13
sin [12+т) =5Ш 1^12+ 2лр+2) =sinTi-7i<°;
при к = 4р + 2
sin	= sin	+ я) = sin л < 0;
I 1Z X /	1 xX	J	AX
при к = 4p + 3
. (1л , лк\ . (1л	, 3 \	.25	 л
sin 72+Т =Sin 12+2?Гр+2^ = sinl2 Л = Sinl2 > °'
Условию задачи удовлетворяют решения, получающиеся
2
при к = 4р и к = 4р + 3. Получаем х = -гл + 4рл, pEZ,
«3
2	2	11
х = ~л + (4р + 3) л — -^л + Зл + 4рл = -г-л + 4лр, pG Z.
ООО
429
Тригонометрические уравнения и неравенства
4
Пусть х = — л 4- 2л п, тогда
sin
,	\	. 2тг . 2тг .
1-	ЛП\ = sin — COS ЛП 4- cos — sin лп =
I	и	и
. 2л
= sin cos лп.
3
Легко заметить, что при четном п (п = 2ди, mEZ)
(х л\	2л	2л
— 4- - = sin — cos 2лт = sin — > О,
2	4)	3	3
а при нечетном п (п = 2т 4- 1)
(х л\	2л	2л
— 4- — = sin — cos (л 4- 2лт) = - sin —- < 0.
2	4)	3	3
Условию задачи удовлетворяют решения, соответствую-
4	4
щие четным п, т.е. х = — л 4- 2л • 2т = — л 4- 4лт.
чЗ	О
2	11	4
Ответ: - л 4- 4лр, -~л + 4лр, pEZ, -л + 4лт, m€:Z.
и	и	J
Упражнения
Найти все решения уравнения, удовлетворяющие задан-
ному неравенству:
V	.478. 2 cos 2х - 4 cos х = 1, sin х > О.
(я	л\	/ 9	лА
4х + Л + cos + т =
2	31	12	0 1
п . /3	лА . (5	3	\	. 3
= 2 sin — х - -г- sin — л - — х I, sm — х < О.
12	о)	I о	2	)	2
V	.480. 2 + cos+ V3~sin^х = 4sin2^, sin [4 + т1 >°-
2	2	2124)
V	.481. 2 - V3"cos 2х + sin 2х = 4 cos2Зх, cos 12х — vl >О.
\	4 J
V	.482. sin (7 - 7) + sin (7 + ^х] =
14	21	14	2 J
_	/тс	л\	(тс	л\	(тс	л\
= 2 v2	cos	hr	-	-т	cos	hr +	т ,	cos	hr +	<	0.
12	41	12	4)	12	3)
V	.483. sin2 x + sin2	2x = sin2	3x,	cos x	< -	0,5.
V	.484. (1 + tg2 x) sin x - tg2 x + 1 = 0, tg x < 0.
430
Тригонометрические уравнения и неравенства
§2. Системы тригонометрических уравнений
1. Системы уравнений, в которых одно уравнение —
алгебраическое, а другое содержит
тригонометрические функции
Пример V.485. Решить систему уравнений
х + у=з.
sinx + sin у = 1.
Решение.
л
х+У=3>
„ . х + у х - у
2 sin —— COS —Г— = 1.
£	+Л
Подставляем
х 4- у. Имеем:
л
во второе уравнение системы — вместо
О
*+У=3«
2 sin	cos -—-
6
2	15
, Л
+ У=3’
- у = 4лк,
х+у=з»
х - у
cos— =1;
kez.
X
X
Складывая и вычитая первое и второе уравнения системы,
получаем
л
х =	+ 2л£,
о
у = ~ — 2л£, к Е Z.
о
Ответ: |^ + 2лЛ; ^-2Tr£L£GZ.
16	6 I
Пример V.486. Решить систему уравнений
л
х~у=~э’
cos2x - sin2 у = 0,25.
431
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение.
1 + cos 2х 1 - cos 2у 1
2	2	” 4 ’
л
х~у = ~з'
cos 2х + cos 2у = 0,5,
л
^-у = -з>
2 cos (х + у) cos (х — у) = 0,5,
х-У=-3>
2 cos (х + у) cos
= 0,5,
л
х~у=:~з'
cos (х + у) = 0,5,
х + у = ± — + 2лк, k&Z.
и
Отсюда
х = лк,
7Г
у=з+^,
х = — — 4- лк,
у = лк, Ле Z.
Ответ:
— 4- лк; лк , t G Z.
О	/
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.487.
3
cos х + cos у = —.
л*
V.488.
1л,
+ У = Т
cos 6х + cos бу = 2.
432
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.489.	л X +у = у, VT+ 1 Sin X 4- sin у =
V.490.	2л: 2х-у=Т,	• У	1
	sin х - sin	.
V.491.	х - у = 60°, cos х + cos у = 1,5.
V.492.	£ |О II 1 .	К
	sin х - cos у = 0,5.
V.493.	л х+у= 2>
	sin х 4- cos у = V2~.
V.494.	[ .	5 х 4- у = — 7Г, о 2,2	1 cos х 4- cos у = —.
V.495.	х - у = 60°,  2	.2	3 sin х - sin у = —.
V.496.	л х+У =4» sin2x + sin2 у = 1.
V.497.	5 х + у=^л, -2.-2	3 sin х 4- sin у = —.
V.498.	г II 1 к
	cos х - cos у = - -. 4
V.499.	1 х~у=~з' cos лх — sin лу = 0,5.
433
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.500.
V.501.
, 1
х + У=3'
sin лх + sin лу = 1.
л
х + у=6'
5 (sin 2х + sin 2у) = 2 (1 + cos2 (х - у)).
Пример V.502. Решить систему уравнений
л
х~у=6'
1
cos х sin у = —.
4
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
| (sin (у — х) + sin (у + х)) = |,
1 / f л\	\	1
— sin - — + sin (х + у) = - , sin (х + у) = 1,
х + у = 5 + 2 лк, k£Z.
£
Теперь система примет вид:
х + у = у + 2лЛ, к 6 Z,
л
х-у=?.
Складывая и вычитая уравнения системы, после упро-
щений получаем:
х =	+ лк, kGZ,
л ,
у = — + лк.
О
Ответ: 1^ + лк, + лк I, ke.Z.
I □	О I
434
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:
¥.503.
х-у= 3’
1
cos х cos у = 2 *
¥.507
5л
Х + У= 12’
COS X cos у = —
4
¥.504.
х + у= J,
sinx sin у = 0,25.
V.508.
*-у=12’
sin х sin у = —.
¥.505.
4
х + у = -л,
о
3
sin х sin у = —.
4
¥.509.
, 5л
х + У = Т,
3
sin X cos у = —.
4
¥.506.
л
х-У= р
1
Sin X cos у = — .
X
sin
¥.510
18/
л 7
*-у=18-
sin
V.511.
х - у = 150°,
1
sm х cos у = - - .
4
х - у = 10°,
sin (х + 10°) sin (у + 20°) = 0,5.
Пример V.513. Решить систему уравнений
sin х - 2 sin у = 0.
435
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение*
2тг

sin х — 2 sin у = 0.
гт	2л
Подставим во второе уравнение вместо у —— хи пре-
(2л	\
“— х I =0,
/
2л	2л
sin х - 2 sin cos х + 2 cos -5- sin x = 0, cos x = 0,
«Э	«J
x = — + лк, k&Z.
Подставляя найденные значения x в первое уравнение,
находим у: у = — лк, kG Z.
О
Ответ:
k<=Z.
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.514.	5 Х-У = ^л, sin х = 2 sin у.
V.515.	л х + у=з' cos х — 2 cos у = 0.
V.516.	3 х + у = -л, sin 2х + cos у = 0.
V.517. •	2л х + у = Т’ 2 cos х + 4 cos у = 3.
V.518.	л х+у=6’ 2 V3*cos у - 4 cos х = 1.
436
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.519.	,	5 х + у = 2^, cos 2х + sin у = 2. [ .	5
V.520.	х + У=бл> 2 sin х - cos у = 1,5. [	13
V.521.	х-у = -тл, 3 COS2 X - 12 COS у + 4 = 0. л
V.522.	Х~У=2' cos 2х + 5 cos у - 3 = 0.
Пример V.523. Решить систему уравнений
71
Л+У = 7>
tgx + tgy = 1.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
sin (х + у) _
COS X cos у
rr	, Л	т/Т
Так как х 4- у = — , то имеем: cos х cos у = —,
4	2
1	у/2~
2	(cos (х + у) + cos (х - у)) = —,	+ cos (х - у) = VT,
7С
х - у = ± — + 2лк, kG Z,
4
х — у = — + 2лк,
4
х — у = - ~ + 2лк, ке Z.
4
Исходная система принимает вид
437
Тригонометрические уравнения и неравенства
х+у=,
х - у = у + 2лк,
4
х — у = — — + 2лк,
4
откуда
х = — + лк,
4
у = - лк,
х = лк,
у = - лк, kEZ,
Ответ: — 4- лк, — лк , лк, — — лк , к G Z.
14	I I 4 I
Пример V.524. Решить систему уравнений
л
\	2
tgx + tgy =
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
sin (х + у)___2
cosx cos у - УТ’
______2 sin (х + у)______2_
cos (х + у) + cos (х - у) — УТ'
Учитывая, что х — у = -т, имеем
О
sin (х + у) 1 /тг • / . х z , х , УТ
-----= УТ’ ™Sltl (Х + у) = C0S (* + у) + ~2 ’
cos (х + у) + —
7з”	1	7з”
sin (х + у) - 2 cos (х + у) = —,
л	л	УТ
cos sin (х + у) — sin — cos (х + у) = —,
. Л, . X
sin l(x + y)--d = ^-,
х + у = (-1)* arcsin — + — + лк, kGZ.
Исходная система принимает вид:
438
Тригонометрические уравнения и неравенства
л
Х~У=6'
VT л	откуда
х + у = (— 1/ arcsin — + — + лк, kG Z,
1 ,	. V3" . л лк
^ = 2(-1) arcsin—+ - + т,
1 , ,.1	. VT лк ,	_
у = -т (-1/ arcsin — + —, к е Z.
л Л .-л 1	. V3” л лк
Ответ: (-1) л arcsin — + — + —,
I	Т’ О ЛЛ
(-1)* |arcsin, Л е Z.
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.525. •	х+У=2-	V.530. 	х+У=д,
	tg х + tg у = 2.		tg лх - tg лу = 2.
V.526.	2л х + у = Т’ tg х + tg у = 2 vT.	V.531.	7 tg лх + tgлy = VT+1.
V.527. 	2л Х’У = Т’ tg х - tg у = - 2 VT.	V.532.	л У~Х=6' 2 tgx + ctgy = ^.
V.528.	л Х~У=3’ Ctg X - ctg у = - >Гз.	V.533. <	tg х + ctg у = 3, ।	i	Л Р’-Я’з-
V.529. <	х + у = 135°, tg х - tg у = 2.		
Пример V.534. Решить систему уравнений
*-*=6’
Ctg X ctg у = 1.
439
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение.
л
у=х-6'
tgx tgy = 1.
Преобразуем второе уравнение системы:
, 1
tgх VT
tgx---------f = 1 ,
1 + tgx‘VT
V3~tg2x - tgx
tgx + V3~
Полученное уравнение равносильно системе
V3"tg2x - 2 tgx - V3"= О,
' tg х + VT# О,
откуда, решая первое уравнение системы как квадратное
относительно tgx, получаем:
tg х = VT,
tg х # - Vx
Отсюда
х = — + тгЛ,
у = + лЛ, ЛЕ Z,
о
x = -z- + лк, kGZ, откуда
«э
7Г	г»
х = — — 4- лтг, п Е Z,
о
X = - — + 7ГИ,
О
Л
у = — — + лп, n&Z.
«э
Ответ:	+лк, +яЛ|, к G Z, (— + лп, - ^ + лп], п G Z.
[3 о J	I о	3	)
440
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:		
		7Г
	х+у=-,	* “ У3 >
V.535.	4 t	V.539. <	J 1
	tgxtgy = -.	ctgxctgy = -.
	л	
V.536.	Х~У=2' 2	V.540. •	л x + y = ^,
	tgxctgy=	Ctg X ctg у = 6.
	л	5
V.537. •	х + у ~ 2 ’	V.541. •	x+y=6'
	tgx ctg у = 1.	tgлxtgлy= — 1.
	х + у = 60°,	2 X-y = 4>
V.538. •	„ t	1	V.542. <	□
	tgxtgy = -.	tgTTXtgTTy = - ^ о
Пример V.543.
Решить систему уравнений
Х-у=-?,
cosx___1
cosy ~ V3-’
Решение.
л
х = у~б’
cosx _ 1
cosy ~ V3~*
Подставим во второе уравнение вместо х у — — и пре-
о
I Л\
cosly- — I
образуем второе уравнение:-----
у - -г - cosy
\ .Az------- _ q
v3cosy
441
Тригонометрические уравнения и неравенства
VTIcosycos^ + sin у sin - cosy
V 6	V = О,
V3~cosy
3	,	
— cos у + — sin у - cos у
--------Г?’------------ = °>
v3cosy
1	V3- .
-cosy + — sin у
= о,
cosy
cos cos у + sin sin у
--------7з=---------- = °>
v3 cos у
Переходим к системе:
COS у --I
_________~jL — Q
V3~cos у
cos
cos у * О,
откуда
у =	+ лк, kEZ,
О
я	— ~
у # — + лп, пб Z.
5л
Так как множества — + лк и
о
Я
— + лп при целых п и к
5л
не пересекаются, то значения у = — + лк, kEZf полностью
о
входят во множество решений системы уравнений. Из первого
2л
уравнения исходной системы находим х: х = — + лк, к G Z.
О
(2	5	\
—л + лк, ~тл + лЛ, к Е Z.
О	О	J
Для решений уравнений подобного типа может быть пред-
ложен и другой способ, основывающийся на применении про-
«	а с а + Ь с + d
изводнои пропорции: равенства и д = с _ д при
а * b и с d равносильны. Рассмотрим пример.
Пример V.544. Решить систему уравнений
л
х+У=3>
'sin* = з
sin у
Решение. Поскольку sin х * sin у, то ко второму уравне-
нию системы применим производную пропорцию. Имеем:
442
Тригонометрические уравнения и неравенства
_ . X + у	x - у
sin x +sin у _ 3+ 1	2 sin 2 C0S 2	_ 2
sin x - sin у “ 3 - 1 ’ ~ . x-y	x + y	’
2 sin cos
АЛ	АЛ
x + у + X - у
tg 2 Ctg 2	“2'
Л
Учитывая, что x + у = , получаем
«j
-	= 2. ctg-"-"-’= 2v3;
VOX	X
откуда x - у = 2 arcctg 2 V3~ + 2лк, kEZ.
Исходная система принимает вид
л
,^ + у=з»
х - у = 2 arcctg 2 V3” + 2лк, kGZ.
Решая эту систему, получаем
х = ^ + arcctg 2 VT + лк,
б
у = т~ arcctg 2 VT- лк, k&Z.
о
Ответ:	4- arcctg 2 V3” + лк, - arcctg 2 VT- лк |, к G Z,
16	б	j
Пример V.545. Решить систему уравнений
2л
ctgx = 2
. tgy
Решение. Переписав второе уравнение системы в виде
ctgx ctgу = 2, мы сможем решить ее уже известным способом
(смотрите пример V.534). Рассмотрим решение системы с
помощью производной пропорции. Преобразуем второе урав-
нение:
cos х cos у _ 2 cos х cos у + sin х sin у _ 2 + 1
sin х sin у - Г cos x cos у - sin x sin у - 2 - 1 ’
443
Тригонометрические уравнения и неравенства
cos (х - у) =
cos (х + у)
2тг
Учитывая, что х — у = —, имеем
О
2л
C0ST	1
----;—г = 3, COS (х + у) = - - ,
COS (X + у)	4	”	6
откуда х + у = ±	- arccos + 2лк, k&Z,
х + у = я - arccos у + 2тгЛ,
о
х + у = - л + arccos у + к G Z.
О
Исходная система принимает вид
х + у = л - arccos у + 2л к,
о
х + у = - л + arccos 7- + 2лк, kGZ,
О
5	1	1	7
х = - тс - - arccos — + лк,
о	2	о
Л	1	1 ,	,
у = — - - arccos - + лк,
О	2	О
л 1	|
х = - — + — arccos — + лк,
о 2 о
5л	1	1
у = —— +	-г arccos - + лк,	kGZ.
О	2 о
Ответ: | л - ~ arccos 7- + лк,	- 4	arccos + лЛ],
I о 2 О	О 2 О I
- т + arccos 7- + лк, + л arccos 7- + лк |, к G Z.
О 2	О	О 2	О I
444
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.546. •	X + у = л, COSX _ „ | sin у	¥.550. 	7Г Х~У=6' tgx _ , .tgy
¥.547. 	2. 2.	* S »	+ •С х	ч: II	И к>	¥.551.	GQ IgQ * ve |x + « 'i «I*- tola
¥.548.	2 2 * o’ в + с х ч. II II < ю|а А	¥.552. 	.	3 x + у = о ctgx _ _ ctgy
¥.549. •	Н|« II К к 1 .S о х из (J,	¥.553. 	7Г Х"У=3’ tgx _ _ 1 ctgy	6’
Пример ¥.554. Решить систему уравнений
1x1 + lyl = 1,
sin х + sin у = sin (х + у).
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
л . х + у х-у _ . х + у х+у
2 sin - cos -	= 2sm - cos—~
L	L	L	L
x + у
2
X + у
2
2 sin
X - у
COS-y-
- cos
= 0,
. . X + у . /	y\ . X
4 sin —sin I - 2 I sin 2 = °*
Исходная система принимает вид
Ix| + |у| = 1,
. X . у . х + у л
sin — sin sin —-— = 0.
2	2	2
445
Тригонометрические уравнения и неравенства
Переходим к совокупности
[1x1 + |у| = 1,
. X
|sm- = 0,
[|х| + |у| = 1,
sin^ = O, ОТКуда
[|х| + |у| = 1,
1x1 + |у| = 1,
х = 2лк, kf= Z,
|Х| + |у| = 1,
у = 2лп, п G Z,
1х| + |у| = 1,
х + у = 2лт, mGZ.
Первая система совокупности имеет решения только при
к = 0 (при других к |х| >1), и ее решениями будут пары
(О; 1) и (О; -1). Аналогично получаем решения второй системы
совокупности: (1; О) и (-1; О).
Третья система совокупности имеет решения только при
т = О, так как при других т
12лт| >6 и |х| + |у| 5 |х + у| = |2лтп| >6.
Имеем
|х| + |у| = 1,
х + у = О,
У = - х,
2 |х| = 1,
Решениями третьей системы будут пары
Ответ: (0; 1), (0; -1), (1; 0), (-1; О),
Упражнения
Решить системы уравнений:
|х| + 1у1 =^.
sin (х + у) = cos х - cos у.
V.555.
V.556.
|х| + |у| =3,
sin— =1.
У = - х,
М. _ 1\ /_ X С
|2’ 2р 2’ 2}'
446
Тригонометрические уравнения и неравенства
Переходим к совокупности
'[|Х| + |у| = 1,
sin у = О,
Л*
[|Х| + |у| = 1,
sin^ = O, 0ТКУда
[|х| + |у| = 1,
1х| + |у| = 1,
х = "Ык, кЕ Z,
||х| + |у| = 1,
| у = 2лтг, п Е Z,
|Х| + |у| = 1,
х + у = 2л т, mEZ.
Первая система совокупности имеет решения только при
к = 0 (при других к |х| >1), и ее решениями будут пары
(О; 1) и (О; -1). Аналогично получаем решения второй системы
совокупности: (1; О) и (-1; О).
Третья система совокупности имеет решения только при
т = О, так как при других т
|2л/п| >6 и | х | + | у | 5 | х + у I = 12л т | >6.
Имеем
1x1 + |у| = 1,
х + у = О,
У = -х,
2 |х| = 1,
у= - х,
|х| = ^.
Решениями третьей системы будут пары
Ответ: (0; 1), (О; -1), (1; О), (-1; О),
I Z XI 1 аы £ I
V.555.
V.556.
Упражнения
Решить системы уравнений:
1x1 + |у| =^,
sin (х + у) = cos х - cos у.
|Х| + |у| =3,
. лх2
sin— =1.
446
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.557. •	|х| + |у| = 1,4, cos лх2 = 1. sin (л (х - у) + V3cos (л (х - у)) = - 2,
V.558.	2 , 2_ 25 Х +У 72' sin (л (х + у)) + cos (л (х + у)) + V2” = 0,
V.559.	х2 + у2 =	. у 16
V.560.	tg (л (х - у)) = 1, х2 + у2 = 16.
2. Системы, в которых оба уравнения содержат
тригонометрические функции
Пример V.561. Решить систему уравнений
sin х cos у = 0,25,
cos х sin у = 0,75.
Решение. Запишем систему, равносильную исходной:
sin х cos у + cos х sin у = 1,
' sin х cos у - cos x sin у = - 0,5,
Jsin(x + y) = 1,
' sin (x — y) = — 0,5,
откуда
x + у = ? + 2лк, kEZ,
2	(2)
x — у = (—1)“+1	+ лп, n G Z,
x + у = — + 2лк,
л
x — у = - — + 2лтг,
о
Я ,
х + у = — + 2лк,
5л
х — у = —т + 2лп, kG Z, n€Z,
о
447
Тригонометрические уравнения и неравенства
х = + л (к + п),
У = Т + я (к - П),
О
х = - — + я (к + п),
у =	+ л (к — п), к G Z, п G Z.
Ответ: — + я (к + п), — + я (к — и) ,
1 О	О	I
/ л	2л	\
I - — + л: (Л + п), — + л: (к - п) 1, кЕ Z, п G Z.
Заметим, что при переходе от системы (1) к системе (2)
при записи решений первого уравнения системы мы исполь-
зовали параметр к, а при записи решений второго уравне-
ния — параметр п. Употребление только одного параметра
привело бы к потере решений. Действительно, решим систему
(2), заменив во втором уравнении параметр п на параметр
к. Получаем совокупность
х + у = — + 2лЛ,
Л - ,
х - у = - — + 2лк,
О
откуда
л
* + У = у +
&
х - у = —	+ 2лк, кЕ Z,
О
л
х = -т + Тлк,
О
л
х = - -г + 1лк,
О
2л
y = v, k&Z.
О
448
Тригонометрические уравнения и неравенства
Теперь видно, что решения полученной совокупности
являются подмножеством множества решений исходной сис-
_	/7л 4л\
темы. Так, например, пара —, — является решением
I о J I
системы уравнений, но не является решением полученной
совокупности.
Пример V.562. Решить систему уравнений
1 + VT
cos х cos у = —-— ,
4
ctg х ctg у = 3 + 2 ^2.
Решение.
1 + VT
COS X cos у =------
4
cos X cos у =	+ 2
sin x sin у
1 + vT
COS X cos у = —-— ,
1 + V2~
--------- = 3 + 2 y/2,
sin x sin у
1 + VT
COS X cos у = —-—,
4
1 + VT
Sin X Sin у =	/7^-4 .
z 4(3 + 2v2)
Нетрудно заметить, что 3 + 2 VT = (1 + vT*)2. Тогда си-
стема примет вид
1 + vT
COS X cos у = --— ,
SinXSinyx: ^^y
COS X cos у =
sin x sin у =
1 + V2~
4
V2~- 1
4	’
откуда
I / x v2
cos (x - y) = — ,
cos (x + y) = |,
x - у = ± + 2лк, k€Z,
л
x + у = ± — + 2лп, n&Z.
&
15 Тригонометрия
449
Тригонометрические уравнения и неравенства
Переходим к совокупности
Г Г я
х - у = — + 2тг£,
л
X + у = — + 2ЛТ1,
о
х - у = — + 2лк,
ТС
X + у = - -Z- + 2лТ1,
о
7Г
х - у = - -г + 2лк,
I	4
л
х + у = -т- + 2тсп,
О
х - у = - -г + 2лк,
4
х + у = — + Члк, k&Z, n€Z,
’[	7
X = 777 Л + л(п + к).
24
У = § + * (и - к),
7С
х = -^ + л(п + к),
1л
|У = - 24 + п (п - Л)>
х =	+ я (п + к),
У = 24 + ^ (« - *)>
7л
X = - 7Г7 + л (п + к),
24
у = — -^7 + л (п — к), nGZ, kGZ.
450
Тригонометрические уравнения и неравенства
Ответ:	(7 тс	тс	\ к^- + я(п + Л), — + jr(n-£)J, + л (п + к), -	+ л (п - £)) , / 71	7тс	\ 24+л: (« + *)’ 24+7Г(Л-Л) ’
(7тг	тс	А
— — + тс (п + Л), — — + тс (п — k) , п G Z, ЛЕИ.
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.563.	Г .	.	V3" sin х sin у = —, VT COS X cos у = —.
V.564. •	sin х cos у = - 0,5, cos x sin у = 0,5.
V.565. 	.	3 sin x sin у = — , 4 1 COS X cos у = -. 4
V.566.	cos (x - y) = 2 cos (x + y), 3 COS X cos у = —. 4
V.567. •	sin (x — y) = 3 sin x cos у - 1, sin (x + y) = - 2 cos x sin y.
V.568.	| sin x sin у = 4VT, tgxtgy =
V.569.	VT COS X cos у = —, tgx tgy = 1.
V.570.	1 Sin ЛХ COS ?ry = - —, tgjrxctgjry = - 1.
451
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.571. Решить систему уравнений
sin х - sin у = 0,5,
V3
COS X + cos у =	.
Решение.
= 0,5,
2 ’
Разделим первое уравнение системы на второе. Получим
tg Х	откуда х - у = у + 2лк, к G Z. Тогда исходная
система принимает вид
х — у = + 2тгЛ, кЕ Z,
О
sinx — sin у = 0,5;
х = у + — + 2лк, k£Z,
(71	\
у + тг + 2лк — sin у = 0,5.
J	/
Решим второе уравнение системы:
cos У + т = 0,5, у = ± ~	+ 2лп, п 6 Z,
lol	□ о
л
у = -т + 2лп,
О
7Г
у = -	+ 2тгп, п Е Z.
Для каждого значения у находим х:
х = — + 2л (Л + п),
л
у = -т + 2лп,
О
х = — + 2л (к + п),
у = - у + 2тгп, п Е Z, кЕ Z.
452
Тригонометрические уравнения и неравенства
Так как для любого п Е Z к + п может принимать любое
целое значение, то в данном случае можно заменить к + п
на /и, mEZ, Тогда решение принимает вид:
’[ л
х = — + 2лт,
л
у = - + 2лп;
Г л
х = - — + 2л/п,
о
л	„	„
у = — — + 2лп, п Е Z, т Е Z.
(Л	ТС \ ( Л	л \
— + 2л т, — + 2лп , - — + 2лт, - — + 2лп ,
2	6	)	6	2 Г
п Е Z, т Е Z.
Упражнения
Решить системы уравнений:
sinx + sin у = 1,
cos х - cos у = Vx
sin лх + sin лу = 1,5,
COS ЛХ + cos лу = —.
sin лх - sin лу = 0,5,
V3"
V.572.
V.573.
V.574.
V.575.
V.576.
sin x - sin 2y = ~z~ ,
cos x + cos 2y =	.
1 + VT
sin x + sin у = —-— ,
1 + VT
COS X + cos у = —-—
453
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.577. Решить систему уравнений
tgx + tgy = 2,
‘ 2 cosx cos у = 1.
Решение.
sin (х + у) =
COS X cos у ’
cos х cos у = 0,5,
sin (х + у) = 1,
cos х cos у = 0,5,
х + у = + 2лЛ, леи,
cos х cos у = 0,5,
7Г
у = — + 2тгЛ - х,	я
л 2	у = -г + 2лк - х,
/л	\	’
cos х cos — + Ink - х I = 0,5, I cos x sin x = 0,5,
IX	f
7Г ,
71 , _ 1	X = — + 7ГП,
у = — + 2тгЛ - x, 4
'	71
sin 2x = 1,	у = — + л (2k — и), Л e И, n e И.
Ответ:	+ Tin,	+ 7t (2k -	, Л e И, n e И.
Пример V.578. Решить систему уравнений
sinx-^b=sin*
1
cos x----------------------= cos у.
cosx л
Решение.
sin2x - 1
sinx
cos2x - 1
cosx
= sin y,
= cosy,
- cos2 x = sin x sin y,
- sin2x = cosxcosy,
sin x * 0,
cos x * 0.
(1)
454
Тригонометрические уравнения и неравенства
Сложим первое и второе уравнения системы. Имеем:
- (cos2 х + sin2 х) = cos х cos у + sin х sin у,
cos (х — у) = — 1, х — у = л + 2лЛ, к Е Z, х = л + 2лк + у.
Подставив это значение х в первое уравнение системы
(I), получаем: — cos2 у = — sin2 у, cos2 у — sin2 у = О,
л лп п	5л / , п\
cos 2у = О, у = — + — , п е Z, откуда х = — + л 12к + — .
Так как при найденных значениях х и у cos х # 0 и
•dn х # 0, то запишем
f5jt	(	п\	л	лк \	_
— + л 2£ + — , т + — , n е z, kez.
4	I	ZI	4	2 1
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.579.	tgx - tgy = 1, V2" COS X COS у = -j- .
V.580.	sin x cos у = 0,25, 3 tg x - tg у = 0.
V.581.	sin2x = - cos y, cosx cos2 X = - sin y. sin X
V.582. 	sin2 x = cos x cos y, cos2 x = sin x sin y.
V.583. 	sin2y - 2 sin x cos у = 1, cos2 у + 2 cos x sin у = 0.
Пример V.584. Решить систему уравнений
X + у х - у л
cos —cos —= 0,25,
cos х cos у = - 0,5.
455
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение.
1 , ч 1
— (cos X + cos у) = —,
X	Я*
1
cos х cos у = - —;
X
COS X + cos у = ,
X
COS X cos у = — —.
X
cosx и cosy являются корнями квадратного уравнения
t2 - “у = О, корни которого = 1, t2 = - . Получаем
XX	X
совокупность
COS X = 1,
1
cos у = - - ,
откуда
1
cos х = “ у ,
X
cos у = 1,
х =
2тг
у = ± — + 2лп,
или
2л
х = ± — + 2лк,
у = 2лп, nGZ, k^Z,
х = Тлк,
2тг . ~
у = — + 2лтг,
О
х = 2лк,
2л . „
у = - — + 2лп,
•J
2л
х = — + 2тгЛ,
у = 2лп,
2л
х = —— + 2лк,
у = 2лп, nEZ, kG Z.
2лк, +
•Э
2л	\
2лЛ, —— + 2лп ,
J	/
2л
— + 2лЛ, 2лп
£
2л	\
— + 2л:£, 2лп , и 6 Z, к G Z.
I
456
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.585. Решить систему уравнений
cos х + cos у = 0,5,
' sin2x + sin2 у = 1,75.
Решение. Преобразуем второе уравнение системы:
1 - cos2x + 1 - cos2 у = 1,75, cos2x + cos2 у = 0,25.
Из первого уравнения cos у = 0,5 — cos х Тогда имеем
cos2x + (0,5 - cos х)2 = 0,25, 2 cos2x - cos х = 0, откуда
cos х = 0,
1
cos X = - ,
ЛЛ
cos х = 0,
cos у = 0,5,
cos у = 0,5 - cos х,
cos х = 0,5,
cos у = 0,
х = ~ + лк,
л
У = ± д' + 2ЛП,
л
х = ± — + 2лк,
тс
у = — + тгп, k G Z, п G Z.
ТС	\
— + 2тсп ,
J	/
’, ? + тсп |, I “ ? + 2я£, у + тсп |, п Е Z, к Е Z.
— + лк, — + 2лп
X	О
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.586.
cos х cos у = 0,25,
х + у х- у л,
COS —Z— COS —z— = 0,5.
V.587.
sinx + cosy = 1,
sin x cos у = 0,25.
457
Тригонометрические уравнения и неравенства
	. X + у	х - у 1 sin _ COS _	==	,
V.588. 	2	2	4 ’ 1 sm X sin у = - —. X sin (x + y) sin (x - y) = - 7 ,
V.589.	4 О	Г,	1 cos 2x cos 2y =	•
V.590.	sin x + cos у = 0, sin2 x + cos2 у = 0,5. cos x + cos у = 1,
V.591.	x . у	VT—2 cos „ + cos n = 2	2	2
V.592.	sinx + cos у = 1, cos 2x + cos 2y = 2.
V.593.	cos (2x + 2y) + 2 sin (x + y) = 0, 2 cos (x — y) = sin2 (x — y) + 1.
V.594.	2	2	3 sin x + cos у = ^ , cos 2x + 2 cos у = 1. 2 sin x +	=2,
V.595.	cosy = 0,5. cosy
Пример V.596. Решить систему уравнений
tgy + tg| = 2,
9
Ctg X + ctg у = - -.
о
Решение.
lg| + tg| - 2,
^Г + ^Г=-'-
458
Тригонометрические уравнения и неравенства
X	V
Сделаем замену tg — = z, tg 4- = t Имеем
X	X
z + t = 2,
1 - z2 1 - t2 _ _ 9
2z + 2t ~	5 ’
t — te2 + z — zt2 = — zt.
о
z + t = 2
IS
z + t — zt(z + t) = —— zt,
z + t = 2,
2 - 2zt = -^-zt,
zt= —
-^1^1 ю
z + t = 2
z и t являются корнями квадратного
u2 — 2u — — = О» Получаем
уравнения
1
2
*= 2 ’
z = —
tg — = - -
6 2	2
tg2=
g2 2 ’
5
Z"2’
'=4
tg- =
B2 2 ’
tg^=-±
6 2	2
1
x = - 2 arctg — + 2nk,
у = 2 arctg + 2лп,
x = 2 arctg ~ + 2лк,
	1
у = - 2 arctg — + 2лп, k^Z, nGZ.
(1	5	\
- 2 arctg — + 2лЛ, 2 arctg — + 2лп ,
Лл	X	f
12 arctg+ 2лк, - 2 arctg+ 2лЛ|,
IX	X	f
kez, nez.
459
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.597»
V.598.
. х , . у 2
tg 2 + tg 2 “ V3*’
tg х + tg у = 2 V3*.
tgx + tgy = 2,
ctgx + 2 ctgу = 3.
V.599.
V.600.
cos (x + y) = 2 cos (x - y)
3
COS X COS у = -7 .
4
—— = 2,
cosx
1
2 ’
sinx
sinx
cosx
V.601
cosx + cosy = 1,
x^ у VT-2
cos 2+COS | = —2—
V.602.
sin x cos (x + y) + sin (x + y) = 3 cos (x + y),
4 sin x = 5 ctg (x + y).
V.603
cos2 у + 3 sin x sin у = 0,
21 cos 2x - cos 2y = 10.
V.604.
'	. 2	_
3 Sin X - COS X cos у = 0,
11 cos 2x + cos 2y = 6.
Пример V.605. Решить систему уравнений
\[2 sin x = sin у,
VTcosx = VTcos y.
Решение. Возведем обе части каждого уравнения в квад-
рат и сложим. Получим уравнение-следствие данной системы:
2 sin2 х + 2 cos2 х = sin2 у + 5 cos2 у, sin2 у + 5 cos2 у = 2,
460
Тригонометрические уравнения и неравенства
5	О	1
1 + 4 cosz у = 2, cosz у = - ,
4
cosy = |,
1
cos у = - -.
а)	Если cos у = —, то из второго уравнения системы
/10"	/10"	1
cos х = —— . Если cos х = —— , cos у = — , то для sin х и
4	4	2
sin у получаем совокупности
/6"
sin X = — ,
4
/Г
4 ’
sin х = -
/3"
siny = —,
/3"
siny=- —.
/6"	VT
пары sin х = — и sin у = -у-
X
Проверкой убеждаемся,
/6"
4
ЧТО
Va-
sin х = —— и sin у = —— удовлетворяют первому уравне-
X
/б-	/З-	/б-
нию системы, a sin х = —— и sin у = -т-, sin х = —— и
4	2	4
sin у = —— первому уравнению системы не удовлетворяют.
X
/То-	/б-
COS X = —— , sin х = —,
4	4
/То". - ,
то х = arccos —+ 2лк.
4
Если
Лег.
Если
Если
1	V3
cos у = - , sin у = — , то
X	X
/То-	/б"
COS X = —— , sin х = ——, то
4	4
Л	~
у = — + 2л п, л G Z<
о
Если
х = - arccos —+ 2лЛ, Лег.
4
1	/З-	л , „	_
cos у = —, sin у = ——то у = — — + 2лп, п G Z.
X	X	о
б)	Если cos у = — , то из второго уравнения системы
cosx = -	. Тогда получаем
461
Тригонометрические уравнения и неравенства
Тб"
sin х = —,
4
sin х = —— >
4
ТУ
siny = —,
ТУ
sin у-----г.
Проверкой убеждаемся, что первому уравнению системы
-	. ТУ . ТУ . Тб"
удовлетворяют наборы: sm х = и sm у = —, sm х = ——
и sin у = - —
Если
Если
Если
Если
ТТо"	Тб"
cosх =-----—, sinx = ——, то
4	4
ТТо”
х = л - arccos —-—I- 2лк, kEZ.
4
1	73~ 2л
cos у = - — , sin у = — , то у = — + 2лп, пЕ Z.
710"	Тб"
cos х =----—, sin х = —— , то
4	4
х = - л + arccos + 2лЛ, к S Z.
4
1	ТУ	2л
cos у = —х, sm у = —у, то у = —у + 2л п, п S Z
Лл	Л*
Ответ: (arccos + 2лА, + 2лп\,
\	4	3	/
arccos + 2л£, -	+ 2лл^ ,
(	710” 2л \
л — arccos —-—I- 2л£, — + 2лп ,
\	3	)
(	710”	, 2л \
- л + arccos ——I- 2лк, —т- + 2лп ,
\	3	/
k^Z, neZ.
Упражнения
Решить системы уравнений:
ТУsinx = sin у,
ТУcos х = Тз”cos у.
2 sin х + sin у = 0,
2 cos х - ТУ cos у = 0.
V.606,
V.607.
462
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.608. V.609. .	sin2 х = sin у, cos4 х = cos у. sinx _ sin у	’ cosx _ Д12
¥.610.	cosy " V з Ф .3	1 . sin х = 2 sin у, з	1 COS X = — COS ye
¥.611.	5 sin x = sin y, 3 cos x + cos у = 2.
V.612.	6 cos x + 4 cos у = 5, 3 sin x + 2 sin у = 0.
V.613.	V2~cos x = 1 + cos y, V2”sinx = sin y.
¥.614.	V2”sin x + cos у = 1, 2 sin x - 3 cos у = V2". sin x - .	= sin y, sinx 1
¥.615.	
	COS X -	= COS ye COS X 5 sin x sin у + “ cos x cos у = 2,
¥.616. <	.	6 COS X sin у - 2 sin X cos у = — ,
	О^х^тг, O^y^Tto
	♦ * *
Пример ¥.617. Решить систему уравнений	
'/2 sin (х + у) - 3 sin (у - х) = О,
3 cos (4х - 2у) - Vicos (2х — 2у) = О.
Решение.
{Т2~sin (х + у) = 3 sin (у — х),
3 cos (4х - 2у) = V2~cos (2х - 2у).
463
Тригонометрические уравнения и неравенства
Перемножим соответственно левые и правые части урав-
нений. Имеем
3 72”sin (х + у) cos (4х - 2у) = 3 vT”sin (у - х) cos (2х - 2у),
~ (sin (5х - у) + sin (Зу - Зх)) = ~ (sin (х - у) + sin (Зу - Зх)),
X	X
sin (5х - у) - sin (х - у) = 0, 2 sin 2х cos (у - Зх) = 0, откуда
Лк , г,
х = -г-, k е z,
X
у - Зх = — + лп, п G Z.
X
Рассмотрим возможные случаи:
jtk
1. х = —, iGZ. Подставив это значение х во второе
X
уравнение системы, имеем
3 cos {2лк — 2у) - V2~cos {лк — 2у) = 0.
а) Если к = 2т, m£Z, то получаем
3 cos 2у - V2~cos 2у = 0, откуда
JT л/
cos 2у = 0, у - — + -г-, IGZ.
4	2
Подставим найденные значения х = лт, т G Z, и
л tcI j
у = — + —, IG Z, в первое уравнение системы:
X
,— . ( Л л1\	. I л л/ \
v2 sin \лт + — + — - 3 sin — + — - лт = 0.
V *	)	14	2 I
т	•	(	Л[\	, (jt Jll )
Так	как sin I лт	+ — + — I	и sin I — + —	-лт1	при
т G Z и I G Z принимают значения ±	, то
— . ( л л1\	(л л1 \ Зу/Т
v 2 sin лт + — + -т- = ± 1, 3 sin — + — - лт = ± —— ,
1421	142 J 2
Л» Л» I	о
т.е. х = лт и у = — + — не являются корнями исходной
системы.
464
Тригонометрические уравнения и неравенства
б) Если к = 2т + 1, т G Z, то получаем
3 cos 2у + T2”cos 2у = О,
откуда опять получаем cos 2у = О и у =	I G Z. И в
4	2
этом случае система уравнений не имеет решений.
л	л
2. у - Зх = — + лп, п G Z; у = -т- + лп + Зх. Подставляем
2	2
это значение у во второе уравнение системы:
3 cos (4х - л - 2ли - 6х) - VTcos (2х - л - 2л п - 6х) = О,
- 3 cos 2х + V2~cos 4х = О, х (*)
V2“
2 VTcos2 2х - 3 cos 2х - V2~ = 0, cos 2х --т >
4
(л 1 VT\ ,	_ _
х = ± х - — arccos — + лр, pGZ.
12	2	4 J
Л
Подставим теперь у = — + лп + Зх, п G Z, в первое урав-
нение исходной системы:
VTsin 14х + ^ + лп | - 3 sin 1^- + лп + 2х | = О,
I	1	IX	I
VTcos (лп + 4х) - 3 cos (лп + 2х) = О,
V2~cos 4х - 3 cos 2х = 0.
Мы опять получили уравнение (»). Найдем у для
л 1 VT,
х = — - х arccos — + лр и
2	2	4
К	1	ТУ	„
х = - — + — arccos — + лр, р G Z.
2	2	4
11олучаем
/л 1 ТУ 3 ТУ	\
Ответ: -у - — arccos — + лр, - — arccos — + Злр+2л+лп ,
I X X	X	I
( Я . 1 VT ,	3 vT , .	,	\
- -г- + — arccos — + лр, - arccos — + Злр - л + лп\,
12	2	4	2	4	1
pEZ, nEZ.
465
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.618.
V.619.
V.620.
sin (4х - 2у) + Vi’sin (Зх - у) = О,
VF sin (2х - у) + sin (Зх - 2у) - О.
4 sin (Зх + 2у) + sin х = О,
4 sin (2х + Зу) + sin у = О.
cos у = VTcos (х + 2у),
V2~sin х = sin (2х + Зу).
Пример V.621. Решить систему уравнений
cos (х - у) - 2у = — 1,5,
' 3 cos (х — у) + у = 2,5;
Решение. Умножим первое уравнение системы на -3 и
сложим со вторым уравнением. Имеем: 7у = 7, у = 1.
Подставив найденное значение у в первое уравнение си-
стемы, получаем cos (х - 1) - 2 = - 1,5, cos (х - 1) = 0,5,
X = 1 ±	+ 2лк, kEZ.
О
Ответ: 11 + ^ + 2лк, 11, (1-^4- 2як, 11
I О	1 I о	/
Пример V.622. Решить систему уравнений
kEZ.
sin (2х + sin2 у) = О,
х - 3 sin2y = - 2.
Решение.
2х + sin2 у = як, кЕ Z,
х = 3 sin2 у - 2.
Так как sin2ye [0; 1], то значения выражения 3 sin2 у —2
находятся в промежутке [-2; 1 ], т.е. х G [— 2; 1 ].
sin2y = як - 2х, кЕ Z,
sin2 у =
х + 2
3 ’
466
Тригонометрические уравнения и неравенства
Приравнивая правые части уравнений, получаем
х = Злк-2
Найдем целые значения А, при которых х G [- 2; 1 ]:
2	-Ь2
к = 0, к = -1. При к = 0 имеем х = - у , sin2 у = ----,
. 2	4 1 — cos 2у 4
s.n у = -, -----------,
cos 2у = - ту, у = ± ту | л - arccos | + лп, п G Z.
/	X I	fl
При к = -1:
Зл + 2	4 —л „ 2л - 1
у—, Sin2y = —у—, Cos2y =—?—,
X = -
1 2л - 1 ,	_ „
у = ± — arccos —-— + лп, nG Z.
ЛЛ	9
гч (	2 1 (	1 \	\
Ответ: - ту, ту р - arccos ту + лп ,
( 2	1 (	1Г	\
- —, - — л - arccos — + лп ,
\ 7	2 \	7)	/
( Зл + 2 1 2л — 1	\
-----=—, 77 arccos —=— + лп ,
\----/ X	/	1
/ Зл + 2	1 2л - 1	\	_ „
----=—, - т- arccos —-— + лп , п е Z.
\	/	X	/	/
Пример V.623. Решить систему уравнений
tg х + у2 = 5,
2 sin х - у cos х = 0.
Решение. Так как множество х = у + лк, kG Z, не яв-
ляется решением системы, то из второго уравнения системы
имеем 2 tg х — у = 0, tg х = у. Тогда первое уравнение примет
пид 2у2 + у - 10 = 0, откуда
У = 2,
467
Тригонометрические уравнения и неравенства
При у =2 tgx=l, х = — + тгп, n G Z.
т-т	5	5	5
При у = - — tgx=“~,x=“ arctg — + тгп, п Е Z.
2	4	4
Ответ: (4 + лп, 21, [ - arctg 4 + яп, - 41, n G Z.
14	II	4	2 }
Упражнения
Решить системы уравнений: V 624 J* + Sin (х + у) = 1,5, |3х - sin (х + у) = 2,5.	
V.625.	'4у - 2 cos (х - у) = 3, 6 cos (х - у) + 2у = 5.
V.626.	'5х - tg (х + у) = 9, 5 tg (х + у) + х = 7.
V.627. J	Г2у - ctg (х - у) = 3, 1 Зу + 2 ctg (х - у) = 8.
V.628. <	V3"cos х + 4у = - 0,5, 4 VTcosx + 28у = 1.
V.629. <	cos (2х + sin2 у) = 1, 3 sin2 у - Зх = 10.
V.630.	tg (5cos2x - Зу) = - 1, 1	Я Зу - 10 cos х = — - 1.
V.631.	ctg (cos2x - 2у) = - 1, 2у - 5 cos2 х = у - . /	4	3
У.632. J	[tgx + 2у = 3, |2ctgx - у = 1.
V.633. ]	[2 cos х - 3 sin х + у = 6, 15 cos х - sin х + у = 4.
468
Тригонометрические уравнения и неравенства
3. Системы уравнений с тремя неизвестными
Пример V.634. Решить систему уравнений
sin х : sin у: sin z = 2:3:4,
х + у + z = я.
Решение. Пусть sin х = 2/, тогда sin у = 3t, sin z = 4t.
Так как х + у + z = я, то
sin х = sin (я - (z + у)) = sin (z + у),
sin у = sin (х + z), sin z = sin (x + y).
Получаем
X + у + z = я,
sin у cos 2 + cos у sin 2 = sin x,
sin X COS 2 + COS X sin 2 = sin y,
sin x cos у + cos x sin у = sin 2,
X + У + 2 — Я,
3t cos 2 + 4t cos у = 2t,
2t cos 2 + 4t cos x = 3t,
2t cos у + 3t cos x = 4t.
Сократив на t (t # 0), получаем систему трех линейных
уравнений относительно cos х, cos х, cos 2:
X + у + 2 = я,
3 COS 2 + 4 cos у = 2,
2 cos 2 + 4 cos х = 3,
2 cos у + 3 cos х = 4.
Решив систему, имеем:
7
cos х = —,
о
11
cos? =
COS Z = - — ,
4
X + у + z = ТС,
откуда получаем
469
Тригонометрические уравнения и неравенства
’[	7
х = arccos 7 + 2лк,
О
11 , „
 у = arccos — + 2лп,
1О
z = тг - arccos - arccos — - 2л (к + п),
о	1О
7
х = arccos 7 + 2лгЛ,
О
И , „
• у = — arccos — + 2лп,
1О
7	11
z = л - arccos — + arccos 77 - 2л (к + п),
о	10
х = - arccos 7 + Ink,
О
11 . „
у = arccos — + 2лп,
1О
7	11
z = л + arccos 7 - arccos — - 2л (к + п),
о	1о
х = - arccos 7 + 2лк,
О
И , о
у = - arccos 77 + 2лп,
1О
7	11
z = л + arccos — + arccos — - 2л (к + n), п G Z, k&Z<
о	1О
(7	11
arccos 7 + 2лк, arccos — + 2лп,
о	1О
7	11
л - arccos * - arccos 77 - 2л (к + п)
о	1О
(7	11
arccos — + 2тгЛ, - arccos 77 + 2тгп,
о	16
7	11
л - arccos — + arccos 77 - 2л (к + п)
о	1О
(7	11
- arccos yr + 2лк, arccos — + 2лп,
о	1о
7	11
л + arccos - - arccos — - 2л (к + п)
о	1О
470
Тригонометрические уравнения и неравенства
7	,	11 О
- arccos - + 2тгЛ, - arccos — + 2л;п,
о	1О
7	11	\
л + arccos - + arccos — - 2л (к + п) , к G Z, п G Z.
о	10	1
Пример V.635. Решить систему уравнений
tg х tg у tg z = 6,
tg x + tg у = 5,
x + у + z = л.
Решение. Воспользуемся тем, что при х + у + z = л вы-
полняется тождество
tg х + tg у + tg z = tg x tg у tg z.	(*)
Тогда система принимает вид
tg х + tg у + tg z = 6,
 tg x + tg у = 5,
x + у + z = л.
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем
tgz= 1. Опять воспользовавшись тождеством (♦), получаем
tg х tg у = 6,
tg х + tg у = 5,
х + у + z = л.
tgx и tgy являются корнями квадратного уравнения
t2 — St + 6 = 0, откуда
[tgx = 2,
•tgy = 3,
X + у + Z = л,
[tgx = 3,
•tgy = 2,
X + у + Z = л.
[х = arctg 2 + лк,
 у = arctg 3 + лп,
г = л — arctg 2 - arctg 3 - л {к + п),
х = arctg 3 + лк,
у = arctg 2 + лп,
z — л — arctg 2 - arctg 3 - л (к + п), к G, п е Z.
471
Тригонометрические уравнения и неравенства
Ответ:
(arctg 2 + лк, arctg 3 + лп, л - arctg 2 - arctg 3 - л (к + ri)),
(arctg 3 + лк, arctg 2 + лп, л - arctg 2 - arctg 3 - л (к + и)),
k^Z, n&Z.
Решить	Упражнения системы уравнений:
¥.636.	sin х : sin у: sin z = 4 : 3 :5, X + у + Z = 7Г0
¥.637.	3 sinx = VTsin у, sin х = 0,5 sin z, X + у + Z = 71, x £ 0, у £ 0, z £ 0.
V.638.	VTsin у = sin z, sin x = 2 sin y, x + у + z = тг.
V.639.	cos x : cos у: cos z = 3 : 4 : 5, л x + y + z = ~.
¥.640.	tg X + tg у + tg z = 6, tg X tg у = 2, X + у + Z = Л.
¥.641.	tg x tg z = 2, tgytgz = 18, x + у + z = Л.
¥.642.	X + у + Z = Л, tg x + tg у + tg z = 3, tg x + tg z = 2.
V.643.	t£x = 2 tgy tgy - tgz ’ X + у + Z = Л,
V.644.	tgxtgz = 3, tg у tg z = 6, X + у + Z = Л.
472
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.645. Решить систему уравнений
cos2x + cos2y + cos2z = 1,
cos x + cos у + cos z = 1,
X + у + Z = Л.
Решение. Преобразуем первое уравнение:
1	+ cos 2х , 1 + cos 2y ,	,
-----~~ + cos2z = 1,
2	2
cos 2x + cos 2y + 2 cos2 (я — (x + y)) = 0,
2	cos (x + y) (cos (x — y) + cos (x + y) = 0,
4 cos (x + y) COS X cos у = 0, 4 COS (я - z) COS X cos у = 0,
- 4 COS X cos у cos z = 0.
Рассмотрим возможные случаи.
cos x — 0. Тогда из первого и второго уравнений системы
имеем
cos2 у + cos2 z = 1, cos z = 1 — cos у,
cos у + cos z = 1,	' cos2y + (1 - cos y)2 = 1,
cos z = 1 - cos y,
2 cos у (cos у - 1) = 0,
cos у = 0.
cos z = 1
cosy = 1,
cos z = 0.
Аналогично рассмотрев случаи cos у = 0 и cos z = 0, с
учетом третьего уравнения исходной системы получаем со-
вокупность:
cos х = 0,
cos у = 0,
cos z = 1,
х + у + z = я,
cos х = 0,
cosy = 1,
cos z = 0,
X + у + Z = я,
COS X = 1,
cos у = 0,
cos z = О,
X + у + Z = я,
473
Тригонометрические уравнения и неравенства
Г[ я
х = — + яЛ,
л
Ь = у + Л71,
ЛЛ
z — Ътт,
X + у + Z = Я,
Я
х = — + я£,
у = 2яп,
Я
z = — + лт,
X + у + Z = Я,
Гх = 2я£,
Л
у = - + ЛП,
л
z = — + лт,
х + у + z = л, k&Z, nEZ, mEZ.
Для первой системы совокупности имеем
<Я _ ТЕ
— + лк + — + лп + Ълт — л,
откуда к = — (2m + п). Аналогично для второй системы
к = - (2п + т), для третьей п = - (2к + т).
(л	л	।
—	- л (2m + п), у + лп, 2лт ,
ЛЛ	£	I
—	я (2п + т), 2лп, + лт^,
12лк, -л - л (2к + т),	+ лт I,
и Е Z, п G Z, к G Z.
Пример ¥.646. Решить систему уравнений
2 cos х = 3 tg у,
• 2 cos у = 3 tg z,
2 cos z = 3 tg x.
474
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение. Преобразуем первое и второе уравнения сис-
3	3 sin у
темы: cos у = — tg z, 2 cos х =-- ,
z 2 ь	cosy
2
sin у = — cos у COS X = COS X tg Z.
о
cos2у + sin2у = 4tg2z + cos2* tg2z = 4tg2z 11 + 4cos2*
4	4 l У
9 1 - cos2 z /	4	2 \
= т-------2---- 1 + л cos * .
4 cos z I 9	)
3
Из третьего уравнения системы находим cos z = — tg х.
9 fl — jtg2*)	/	4	\
Тогда cos2 у + sin2 у = —*—т---♦ 11 + ^cos2*|,
4-|tg2*	I	9	/
4
(4-9 tg2 *)(9 + 4 cos2 *) _
36 tg2*
36 + 16 cos2* - 81 tg2* - 36 sin2* = 36 tg2*,
„	2	,	2 л 2	9(1-cos2*)
52 cos2* = 117 tg *, 4 cos * = —Л-5----L,
cos2*
4 cos4* + 9 cos2* -9 = 0,
2	3	_	1	Л 1 1
откуда cos x = — , cos 2x = —, x = ± — + л/, I G Z.
4	Z	О
Рассмотрим возможные случаи,
л
1.1 = 2&, к G Z, тогда * = ± — + 1лк.
О
Для x = — ~ + 2лк из третьего уравнения исходной сис-
о
/3~	5л , _	_
темы cos z = ——, z = ± — + 2лт, m&Z.
Z	О
тт	Л	п
Для * = — + 2лк cos z = —, z = ± — + 2лт.
О	z	о
475
Тригонометрические уравнения и неравенства
Из первого уравнения исходной системы
7з" л
tgy=-у. у = -^ + лр, pez.
Заметим, что из второго уравнения исходной системы
следует, что cos у и tg z должны быть одного знака. Поэтому
_	л
для z = — + 2лт и z = — — + 2лт имеем:
о	о
7л
р = 2п + 1, У =	+ 2лп, п G Z,
о
5л	л
а для z = —— + 2лт и z = — + 2лт
о	о
л
р = 2п, у = — + 2лn, п G Z.
о
Получаем следующие решения системы:
— -у + 2лЛ, + 2лп, 7-л 4- 2лт
ООО
л	л	5
— — 4- 2лЛ, — 4- 2лп, — — л 4- 2лт
о	о	о
— 4- 2л£, — + 2л п, — + 2лт
ООО
— + 2л£, — + 2лп, — — + 2лт , к G Z, п G Z, т G Z.
О	О	О	I
2. I = 2к + 1, к G Z, тогда х = ± — + л + 2лк или
о
7л: л ,
х = — + 2лЛ,
о
5л
х = — + 2лЛ, к G Z.
о
Из первоначальной системы для х =	+ 2лк из третьего
о
V3~	5я , Л _
уравнения: cos z = ——, z = ± — + 2тгт, т £ Z; из первого
2	О
V3"	л	п
уравнения: tg у = —— , у = - — + лр, р е Z.
3	о
476
Тригонометрические уравнения и неравенства
Так как cosy и tgz должны быть одного знака, то для
5тс	5л	__	5л
z = —	+ 2л т	у = — + 2л п,	п G Z,	а для z = —— +	2лт
о	о	о
7Г
у = - — + 2л м, п £ Z.
о
Получаем решения
5л	_ у 5тс	5тс	\
— + 2л Л, — + 2л м, — + 2лт ,
о	о	о	I
5тс _ тс	5тс \
— + 2л£, - — + 2лп, —— + 2лт , к G Z, т G Z, п G Z.
о	о	о )
7л
Аналогично для х = — + 2л£, к е Z получаем еще два
/7л	, л	л л \
решения: — + 2лЛ, - — + 2лп, — + 2лт ,
10	О	О	I
1л , л , 5л , ~
— + 2лк, -т- + 2лп,
О	о
(л
— — + 2лЛ,
о
( ТС ,
— — 4- 2лк,
\ ®
(тс
— + 2лЛ,
о
л	\
— — + 2лт , k G Z, т Е Z, n G Z.
о	I
+ 2лп, 4 л + 2лт] ,
0	0/
л л 5	\
—	+ 2лп, - —л + 2л/и ,
о	о	/
ТС	ТС	\
-	т + 2лп, — + Тлт. ,
о	о	)
7я	л	~ \
—	+ 2яп, - — + 1лт ,
о	о /
'5тс - ,
— + 2л£,
k о
'5л . „ ,
— + 2я£,
j о
'1л . „ ,
— + 2лк,
. о
5л:	5л	\
— + 2лп, 0	— + 2лт , о	/
л — — + 2л и, 0	5л , „ —т- + 2лт О
л — — + 2лп, 0	л	\ — + 2лт , о	/
5л — + 2л и, 0	л	\ — — + 2лт , 0	/
iEZ, т G Z, п G Z.
477
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить системы уравнений:
V.647.	sin2x + sin2 у + sin2z = 2, sin х + sin у + sin z = — 1, X + у + Z = Я.
V.648.	sin2 x + sin2 у + sin2 z — 1, cos2x + cos2 у - cos2z = 1, tg2x - tg2y + tg2z = 1.
V.649.	sin x = cos y, ¥б"sin у = tg z, 2 sin z = ¥3~ctg x.
V.650.	8 cos (x - y) + 4 cos (x + y) = 3, 8 cos (y — z) + 4 cos (y + z) = 3, 2 cos (z - x) + 10 cos (z + x) = - 3.
¥.651.	sin x + sin z = cos y, cos x + cos z = V2~ sin y, cos 2y + cos 2z = sin 2x.
¥.652.	'	sin z , _ ~ cosx cos у	’ tgytgz = . sinx- _ 6/6	cos у cos z x x	sin у tg x tg z =	— 3. °	°	COS X cos z
478
Тригонометрические уравнения и неравенства
§3. Тригонометрические неравенства
1. Простейшие тригонометрические неравенства
и неравенства, непосредственно сводящиеся
к простейшим
Пример ¥.653. Решить неравенство sinx >
Решение. Воспользуемся
определением синуса. Выде-
лим на единичной окружно-
сти множество точек, орди-
наты которых больше
(рис. 92). Используя пе-
риодичность функции
/(х) = sinx, запишем
~ + 2лк < х <	+ 2лЛ,
о	о
Рис. 92
*GZ.
Ответ:
/Л , 5л , \
— + 2лк", — + 2лк ,
I О	о I
JtGZ.1
Пример V.654. Решить
неравенство sin 2х < —
О
Решение. Заменив 2х на
2
/, получим sin — —. Вы-
О
делим на единичной окруж-
ности множество точек, ор-
Рис. 93
динаты которых меньше или
। Эту форму записи ответа следует понимать как объединение
и f^ + 2^ ^ +
te z I6 6
। . (л _ 5л _ '
= ... U т — 2л\ -z— 2л
1о	О
5л '
+ 2л; -т- + 2л:
о
479
Тригонометрические уравнения и неравенства
2
равны — — (рис. 93). Используя периодичность функции
О
f(f) = sin t, запишем
2	2
- л + arcsin — + 2лк - arcsin — + 2лЛ, к G Z,
О	о
Ответ:
л	1 2	12
откуда	- —	+	— arcsin —	+ лЛ х	- — arcsin —	+ л&, к G Z.
X	X О	х	о
л 1	.2	,	1	.2
- — + — arcsin — + лк; - — arcsin — + лк ,
Z Zt	<D	Z
z.
v2
Пример V.655. Решить неравенство cos (Зх + 1)	——.
Решение. Заменив Зх + 1 на t,
Выделим на единичной окружности
получим cos t .
X
множество точек, абс-
Ответ:
л	1^2. 5л	1^2, j
4	3 + 3 Кк' 12	3 + 3 Лк ♦’ к е Z>
Пример V.656. Решить неравенство
(л \	4
cos I - - 4х > -.
\ <D	If
480
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение. Учитывая чет-
ность функции /(х) = cosx,
Л	4 q
имеем cos 4х - — > — . За-
Л
менив 4х — — на t, получаем
О
4
cos t > Выделим на еди-
ничной окружности мно-
жество точек, абсциссы ко-
4
торых больше — (рис. 95).
Имеем
Рис. 95
4	4
- arccos — + 2лк < t < arccos — + 2лЛ, к G Z,
4	л	4
- arccos -= + 2л к < 4х - -г- < arccos = + 2лк,
9	О	/
л	4	л;	4
— - arccos — + 2лк < 4х < — + arccos — + 2лк,
3	7	3	7
— - - arccos 7 + —<х<-рг + - arccos -= + —, к е Z.
12	4	/2	12	4	7	2
~ (л 1	4 л£ л 1	4 , лк\
Ответ: — - -arccos- + — ; — + -arccosy + — ,
*ez.
Пример V.657. Решить неравенство cosx>l.
Решение. Так как | cos х |	1, то исходное неравенство
решений не имеет.
Ответ: 0.
Упражнения
Решить неравенства:
1	V3"
V.658. sinx <	V.660. sinx > —.
1
V.659. sinx > - — .	V.661. sin2x <—
z	2
!<• l'pni опометрия
481
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.662. sin Зх -т-.
V	.663. sinx - 1.
V	.664. sin (х - 1) < 0,4.
V	.665. sin (1 - 2х) <	.
V	.666. sin | х + v I I •
I 4 1	2
V	.667. «п^т + ^< -у.
V	.668. sin |2х -?| <0,2.
\ о /
V	.669. 3 sin х + 1 > 0.
V	.670. sin х cos х > 0.
X	X	1
V	.671. sinx cos— +cosxsin —	—.
V	.672. sin- =s 0.
X
( x ъ
V	.673. cos — - sin - < sin x.
I £	L ]
V	.674. cos x -z-.
VT
V	.675. cos 2x > —z-.
V	.676. cos x |.
V	.677. cos 2x < -
V	.678. cos (2x - 2) > |.
V	.679. 2 cos 4x + VT«S 0.
V	.680. cos x > "z.
J
V	.681. cosx 5 1.
V	.682. cos |x-?| 2=
\ D
V	.683. cos + |'| «
N.&A. cos (3 - 2x) >
V	.685. cos2 2x - sin2 2x
L
Пример V.686. Решить неравенство tgx 2= 1.
Решение. Построим график функции у = tgx (ограничим-
ся промежутком длиной в период —	— у» • Проведем
прямую у= 1 (рис. 96).
482
Тригонометрические уравнения и неравенства
Найдем промежу-
ток оси абсцисс, на ко-
тором график проходит
нс ниже построенной
прямой. Этот промежу-
ток и будет решением
неравенства на рассмат-
риваемом интервале. С
учетом периодичности
функции у = tg х по-
лучаем
л	л
- + як х < — + лЛ,
jfcez.
Ответ:
Л у л f । _	__
— + ля; — + ля , к Е Z.
Пример V.687. Решить неравенство ctg х > - .
О
Решение. Построим
график функции у = ctg х на
промежутке длиной в пери-
од — (0; л) и проведем пря-
мую У = ~ 4 (рис. 97).
О
На оси абсцисс найдем
промежуток, на котором
график проходит выше по-
строенной прямой. С учетом
11 сриодичности функции
у “ ctg х получаем
Рис. 97
як < х < л - arcctg -jj + як, kEZ.
Ответ: (як; я — arcctg + як |, kEZ.
I	о I
483
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решит	ь неравенства:		
V.688.	tgX - 1.	¥.696.	ctg х 3
V.689.	tg- < - 1.	¥.697.	ctg 2х < - 1.
V.690.	tg х < 2.	¥.698.	ctg х < 0.
V.691.	tg 2х > 0.	¥.699.	/	?г\ Ctg lx - —1 3; 1.
¥.692.	. х л tg-<0.	¥.700.	Ctg |2х + ^] < - 2. \	о /
¥.693.	/	лА tg х + - £ 1. \ /	¥.701.	ctg (2 - Зх) < - 4.
¥.694.	tg (2 - зх) > vt:	¥.702.	tg 4 (х + 1) L
¥.695.		ъД/ I	/ tg х - - < - vT. 1	0 I		
Ответ:
-^ + 2яЛ;	U 5 + 2**; ^- + 2лк
О	3 I I о	о
леи.
484
Тригонометрические уравнения и неравенства
v2
Пример V.704. Решить неравенство I sin х | > — .
Решение. Это неравен-
ство равносильно совокуп-
ности
у/Т
sin X > -г- ,
X
sin х < ——.
Выделим на единич-
ной окружности множество
гоч ек, ординаты которых
больше — или меньше
- — (рис. 99).
&
Учитывая периодичность функции sinx, запишем
— 4 л + 2л к < х < v + 2лЛ,
4	4
V + 2лк < х <	+ 2лЛ, к е Z.
4	4
Так как выделенные дуги симметричны относительно
начала координат, то ответ можно записать так:
__	(» ЗЛ - | w _
Ответ: — + лЛ; — + л£ , kEZ.
14	4 I
Упражнения
Решить неравенства:
V	.705. - sinx <|.
V	.706. -^<cosx <
V	.707. sinx<|.
3	2
V	.708. - |<cosx ss -J--
2	4
V	.709. - 2 < tg x < 3.
V	.710. - 4<ctgx< 1,5,
V	.711. 1 < tgx «= 2.
V	.712. |cosx| 55^.
485
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.713.	. । - 1 Icosxl < 2 •	У.121.	V2 IsmЗх| & — X
¥.714.	vT 1 cos Зх | < -т- . АЛ	¥.722.	1 tg х | < vT
¥.715.	I cos 2х |	¥.723.	Itgxl 1.
¥.716.	¥з" I cos 4х | > —. Ал	¥.724.	1 tg x | > 2.
¥.717.	1	. -	1 1 cos х 1 > -. О	¥.725.	1 ctg x | < VT.
¥.718.	।	।	2 Icosxl -Z. о	¥.726.	I Ctg X | & 1.
¥.719.	1 	1^1 Isinx| > -.	¥.727.	1 ctg x I >5.
¥.720.	VT 1 sin 2х| < -у. £л		
_	1 + cos 4х
Решение.-----------
2 + V3”
Пример ¥.728. Решить неравенство cos2 2x > —-—
4
h V3" л vT
-—, cos 4x > —,
4	2
— + 2лк < 4x <	+ 2тгЛ, t G Z.
о	о
_	( л лк л лк\ t ~
Ответ: [~2i + T; j4 + T)’ kGZ'
Пример V.729. Решить неравенство
(л\
х - -г I > 0.
4 I
Решение, cos x + cos I —
l
ла \
х-- >0,
4 J I
/Зл \ л „ Зл: ( Зл\ Л
cos х + cos -з— х >0, 2 cos cos x —7-1 > 0.
I 4 I	о I о 1
486
Тригонометрические уравнения и неравенства
f3^\ Я л , ЗЯ Я л	_
х —— > 0, - — + 2лк < х —— < — + 2яЛ, к G Z,
о I	2	о 2
Я	7я
— зг + 2як < х <-£- + 2лк.
О	о
Упражнения
Решить неравенства:
V	.730. 2cos2x =s 1,5-
V	.731. sin2x < |.
4
V	.732. cos2 2х < О.
V	.733. sin2 Зх > 4 •
4
V	.734. sin2 (lx - vl < т.
I 4 1	4
V	.735. sin x & cos x.
V	.736. sin | v ~ xI + cos Iv _ x| V3~.
13 j Io J
V	.737. sinx + cos x < Vl'.
V	.738. "n* + c°s* > V3.
sin x - COS X
(	7t\
V	.739. cosлх + sin \лх + — >0.
I	4 J
V.740.
sin2x - 0,25
VT - (sin x + cos x)
Пример V.74L Решить неравенство sin4x + cos4x
00|O|
Решение, (sin2 x + cos2 x)2 - 2 sin2 x cos2 x ,
о
487
Тригонометрические уравнения и неравенства
— + 2лк 4х « — + 2л А, к е Z,
	л: лк	л лк , _ „ - + — < х < - + —, иг. 6	2	3	2’
Ответ:	лк л лк . т + -^-; -z- + ^- , иг. 6	2’3	2
Пример V.742. Решить неравенство
3 cos2 х sin х - sin3 х < 0,5.
Решение. 3(1- sin2 х) sin х - sin3 х < 0,5,
3 sin х — 3 sin3 х — sin3 x < 0,5, 3 sin x - 4 sin3 x < 0,5,
7тг	Л
sin 3x < 0,5, —— + 2л к < 3x < — + 2тгЛ, к G Z,
о	о
7тг 2лк л . 2лк
-18+-3~ Х 16+~3~'
Ответ:	+ i + лег.
Упражнения
Решить неравенства:
V	.743. sin4 х + cos4 х < -7.
4
V	.744. sin4^ + cos4^ >
О ох
V	.745. sin4x + cos4x sin 2х - .
V	.746. sin6x + cos6x &
О
V	.747. sin7 х cos3 х - cos7 х sin3 х S cos 2х.
3	з 3
V.748. cos х sin Зх + cos Зх sin х < —.
О
V.749. cos3 х cos Зх + sin’x sin Зх < ^.
О
488
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.750. Решить неравенство
/ лЛ	.—
4 cos х cos х + — > v3Z
\	®)
(f	7l\	/	7t\\	.—
COS X + X + — + cos x - x - —	> V 3,
\	b I	l	о I j
2 cos [ 2x + I + V3"> V3~, cos 12x + | >0,
— X + 2лг£ < 2x +	+ 2лк, kEZ,
L	О Z
2тг	л	л	л
—— + 2лк	< 2х <	~	+ 2лк,	- — +	лк<х<—	+ лк.
3	з	з	ь
— + лк', ~ + лк |, к G Z.
3	6
Упражнения
Решить неравенства:
V.751. 3 + 2 sin Зх sin х > 3 cos 2х.
_	(л \
¥.752. sinxsin — - х <1.
v met (	V3"
V.753. cos x + — cos x — —	——.
I 4 1 I 41	4
{
¥.754. 2 sin x + — cosx < v3.
i о}
Пример V.755. Решить неравенство
cos 7х (sin 5х - 1) 0.
Решение. Так как sin 5х — 1	0, то данное неравенство
равносильно совокупности
sin 5х - 1 = 0,
cos 7х 0.
489
Тригонометрические уравнения и неравенства
Имеем
sin 5х = 1
л 2л к
14 + 7
3^ + ^ ,GZ
14 + 7 » Л е Z,
л . 2лп _ „
х ~ 10 + 5 ’ П е z’
х ^.?лк
14 + 7 '-x''14+7-*eZ'
Ответ:
л 2лк ф Зя
14 + 7 ’ 14
п е z, к е z.
л 2лп
10+ 5
Упражнения
Решить неравенства:
V	.756. (1 + cos 4х) sin 2х cos2x.
V	.757. (1 + cos 2л)(tg х — VT) > 0.
V	.758. 2 cos x tg x > sin x - 1.
V	.759. 2 sin4x 3= sin2 л.
2. Решение тригонометрических неравенств
заменой переменной
Пример V.760. Решить неравенство — 5 sin х + cos 2х < 3.
Решение. - 5 sin х + 1 - 2 sin2 л < 3,
2 sin2 х + 5 sin х + 2 > 0.
Сделаем замену sinx = t (I 11	1). Имеем
2t2 + 5t + 2>0, 2(t + 2)|t + -|| >0.
i X I
Так как | 11	1, to t + 2 >0. Тогда
t + 77 > 0, sin x > — 77, -y- + 2лк < x < -^ + 2лк, k^Z.
2	2	6	6
/	Jjt	\
Ответ: - — + 2яЛ; -т~ + 2лк , kGZ.
490
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить неравенства:
V	.761. 2 cos2 х + 3 cos х - 2 < 0.
V	.762. 2 sin2 x - 7 sin x + 3 > 0.
V	.763. 2 sin2 x + V3~sin x - 3 0.
V	.764. V3”tg2x - 4 tgx + VT>0.
Vo765, tg2x + (2 - VT) tgx - 2 VT< 0.
V	.766. ctg2 x + ctg x 3= 0«
V	.767. 2 cos4 x - 3 cos2 x - 1 > 0.
V	.768. cos2 x - sin x < 0.
V	.769. 3 sin2 2x + 7 cos 2x - 3 > 0.
V	.770. 2cos2x + 5sinx - 4>0.
V	.771. 2 cos2x - sin x > 1.
V	.772. 4 sin4 x + 12 cos2 x — 7 < 0.
V	.773. 3 cos 2x + 2 cos x 5 5.
V	.774. 2 cos 2x + cos x -1.
V	.775. cos 2x + 4 VTsin x «S 2.
V	.776. sin x + cos 2x > 1.
Vo777. cos 2x + 3 sin x > -1.
V	.778. 2 (V2-- 1) sin x - 2 cos 2x + 2 - V2~< 0.
V	.779. 2 cos2 lx + “I - 3 sin |? - x 1 > - 1.
\	f	i «Э у
V	.780. 2 cos x (cos x — V8”tg x) < 5.
V	.78L sin 2x > sin4x + cos4x.
V	.782. 4 cos 2x - 5 sin2 x - sin2 2x < 0.
ООО
Пример V.783. Решить неравенство
tg 2x + ctg 2x < -
491
Тригонометрические уравнения и неравенства
4
Решение, tg 2х + .
tg2x
Сделаем замену tg 2х = t. Имеем
4 vTt2 + 4t +VT Л
7Т’--------'t----< 0;
Рис. 100
Применив метод интервалов (рис» 100), получаем сово-
купность
- 4^ < t < о,
V3	или
t< - VT,
-	< tg 2x < О,
V3 °	откуда
tg 2x < - vT,
—	+ Jtk <
О
Jt
— — + лк <
2х <
2x < — ? + як, kEZ.
«J
(7Г 7tk	Л Лк
-7 + ^-;- 7 + ^-
4 Z	О Z
7Г тск тск \	_
12+T; T ’ ^ez
3x
Пример V.784. Решить неравенство 2cosx — cos-^~< 1.
Решение. 2 |2cos2^- 1] - 14 cos3 - 3 cos | - 1<O,
\	4Ь I I	qj	Xi
.	3 X Л 2	Л X I Л л
4 cos 5-4 cos x - 3 cos — + 3 > 0.
X	XX
Заменив cos на Z, получаем 3 - 4t2 - 3t + 3 > О,
£
4t2(t- 1) - 3(t- 1)>0, (t- l)(2t- <3)(2t + VT)>0,
492
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решая это неравенство методом интервалов (рис. 101),
получаем совокупность
уз;
2
уз;
2 ’
Поскольку cos —
1, то второе неравенство совокуп-
пости не имеет решении. Тогда —— < cos — < —,
X	XX
л	х	5л
-	+ лк	<	<	-т- + лк,	keZ,
О	2	О
+	2лк	<	х <	+	2лк.
3	3
Ответ:	+ 2тгЛ; + 2лк |, k G Z.
IV	J	j
Пример V.785. Решить неравенство
cos x + sin x < 3 sin lx - 1.
Решение, cos x + sin x < 3 (sin x + cos x)2 - 4. Сделаем за-
мену sin x + cos x = t. Имеем
3t2 — t- 4>0,
t-^ \(t + 1)>0.
О 1
Получаем совокупность
[(>1
3 или
К -1,
(	л
cos х - —
I	4
COS
4
sin X + COS X > - ,
о
sin* + cosx< -1,
4
откуда
vT’
493
Тригонометрические уравнения и неравенства
л	4	л	4
— - arccos „ 2лк < х < — + arccos  -7^-+ 2тгЛ,
4	3 V 2	4	3 V2
3
л + 2лк < л < - л + 2тг£, к G Z.
X
Ответ: | v - arccos „ 4/=-+ 2яЛ; -7 + arccos „ %-+ 2яЛ| U
14	3 V2	4	3 V2 I
U р + 2тг£;	4- 2лк |, к G Z.
Упражнения
Решить неравенства:
V	.786. tg х S 2 ctg х.
2
V	.787. 4 \ , < 2 - tgx.
tg х + 1
V	.788. tgx + ctgx > VT +
V	.789. tg | > jg-* \.
2 tg x + 2
-1 Y 1 — VY
V	.790. cos x cos - 1 > —-— cos x.
2	2	2
V	.791. 3 cos3 x - 6 cos x + V2* 0.
V	.792. cos’x cos 3x - sin3 x sin 3x >
О
V	.793. 8 sin4 x — 8 sin2 x + sin x — 1 < 0.
V.794.
cos x + 2 cos2 x + cos 3x
2cos2x + cosx - 1
V	.795. 2 cos 2x + sin 2x > tg x.
V	.796. tg x + sin 2x > 2.
V.797.
15
1 + sin x
< 11 - 2 sin x.
V	.798. 2 sin 2x < 5 (1 + cos x - sin x).
494
Тригонометрические уравнения и неравенства
2	2
V.799. 4 sin2x + 3tgx---------=5- > О.
cos х
олл cos2 2х .
V.800. ----> 3tgx.
cos х
3. Решение тригонометрических неравенств
методом интервалов
Пример V.801. Решить неравенство sin 2х + sin х > О.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = sin 2х + sin х. Она
определена и непрерывна на множестве всех действительных
чисел. Функции sin 2х и sin х имеют периоды л и 2л соот-
ветственно. Следовательно, период /(х) равен 2л.
Найдем нули функции: sin 2х + sin х = О,
2 sin х | cos х + j =0, откуда
sin х = 0, Гх = лти, m G Z,
1	2тг
cos х = — —,	х = ± — + 2лп, nGZ.
Выберем промежуток [—л; л), длина которого равна пе-
риоду 2л. Нетрудно заметить, что его концы являются нулями
функции (вообще говоря, мы могли выбрать любой проме-
жуток длины 2л, но такой выбор позволит записать ответ в
более компактном виде).
-я _2я о 2я я *
3	3
Рис. 102
Найдем решения исходного неравенства на выбранном
интервале. Для этого отметим на промежутке [—л; л) нули
функции и определим знак /(х) на каждом из получившихся
интервалов (рис. 102). /(х) принимает положительные зна-
(2л\ /	2л\
-л; —— , 0; — .
<Э / \	«Э /
495
Тригонометрические уравнения и неравенства
С учетом периодичности /(х) запишем
(2л \ . (	7л	\
- л + 2яЛ; —— + 2лк\ U 1лк', — + 2лк1, kG Z.
у I	<Э	у
Пример V.802. Решить неравенство cos 2х ctg х < 0.
Решение. Рассмотрим функцию / (л) = cos 2х ctg х. Она
определена и непрерывна на множестве всех действительных
чисел, кроме чисел вида л/, где IG Z.
Период функций cos 2х и ctg х равен л, поэтому и период
/(х) равен л. Найдем нули функции: cos2xctgx = 0, откуда
л , лт
'cos 2х = О, х - 4 + 2 ’ т ~ z’
с'8х = °,	„sz.
л
"Г
л\
— , длина которого равна
X /
периоду. На нем функция не определена в точке 0 и имеет
Рассмотрим
промежуток
л
нули в точках — — ,
из интервалов -
- —, —. Определим знак / (х) на каждом
(рис. 103). С учетом периодичности /(х) имеем
Ответ: I — ~г + лк I U I v + лк', + лк |, к G Z.
I 4	)	14	2	1
Пример V.803. Решить неравенство
cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х 2.
Решение. Рассмотрим функцию
f(x) = cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х - 2.
Она определена и непрерывна на множестве всех действи-
тельных чисел. Функции cos2x, cos22x, cos23x, cos24x име-
496
Тригонометрические уравнения и неравенства
ТС тс	тс	__
ют периоды тс, —, — и — соответственно. Поэтому период
X	о	ч
/ (х) равен тс. Найдем нули функции:
cos2 х + cos2 2х + cos2 Зх + cos2 4х - 2 = О,
1 + cos 2х 1 + cos 4х 1 + cos бх 1 + cos 8х
—2— + —г— + —г— + —г-------------------------------2"0'
cos 2х + cos 4х + cos бх + cos 8х = О,
2 cos х cos Зх + 2 cos 7х cos х = О,
2 cos х (cos Зх + cos 7х) = О,
4 cos х cos 2х cos 5х = 0, откуда
cos х = О,
cos 2х = О,
cos 5х = О,
= ^- + л1, IE.Z,
ТС ЛМ _ ~
= 7 + -5- , m Е Z,
4 Z
= А + ** *ez
Ю 5 ’
X
X
X
я я Зя	я	7я Зя	9я	11п	X
10 4 10	2	10 Т	10 Ю
Рис. 104
на
«	л
Рассмотрим промежуток —,
тс. На этом промежутке /(х)
ПлЛ
1, длина которого рав-
тс
имеет нули в точках —,
л	Зтс	тс	7тс	Зтс	9тс	_
. ,	—»	77 >	777,	—,	тт?.	Таким	образом, промежуток
4	10	2	10	4	10
тс 11лЛ
10 ’ Ло~/ разделен на семь интервалов, на каждом из ко-
торых / (х) сохраняет знак. Определим знак / (х) на каждом
интервале (рис. 104).
Учитывая периодичность /(х), имеем
л
х Е — + тск;
4
Зл 1 | | Г7л; , ,
Зд . I.
— + лк U
4
497
Тригонометрические уравнения и неравенства
Ответ:
у + лк',
4
11л
-Ц^ + л£ U‘? + wfcL kEZ.
1U	XI
10
+ лк U
4
и
U 9л ,	11л _ , . [ л	1	. _
— + лк; -гг- + лк + kEZ.
lv	IV	I ЛЛ	I
10 ' """ 10
Упражнения
Решить неравенства:
V	.804. sin 2х + 2 sin х > 0.
V	.805. sin 2х - sin Зх > 0.
V	.806. cos2xtgx<0.
V	.807. 1 -sin3x | sin - cos^j .
IX	X J
V	.808. sin x cos x cos 2x cos 8x -7 cos 12x.
4
V	.809. (2 sin x - cos x)(l - cos x) < sin2 x.
V	.810. 1 — sin 2л 5 cos x — sin x.
V	.811. sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x < 0.
V	.812. sin x + sin 2x + sin 3x > 0.
V	.813. sin2 x + sin2 2x — sin2 3x > 0.
V	.814. cos x cos 3x < cos 5x cos lx.
V	.815. cos 2x < cos 3x - cos 4x.
V	.816. cos x cos 2x cos 3x 0.
V	.817. sin x tg x < cos x + tg x.
V	.818. cos 3x sinx + 2 cos2 - xI > 1.
14 I
498
Тригонометрические уравнения и неравенства
§4. Посторонние корни
В предыдущих параграфах вы уже познакомились с ос-
новными методами решения тригонометрических уравнений
и неравенств. Однако внутри каждого метода есть свои тон-
кости, нюансы, «подводные рифы». Мы надеемся, что мате-
риал настоящего параграфа поможет вам научиться обходить
некоторые наиболее опасные из них.
Пример V.819. Решить уравнение
2-2 sin2 х - cos х
----5--------з— = 0.
6х + 5лх + л2
Решение. Данное уравнение равносильно системе
2-2 sin2x - cosx = О,
6х2 + 5лх + л2 * 0.
Имеем
2 cos2 х - cos х = 0,
л
Л * - 2 ’
Л
I* # “ 3 *
Отсюда несложно получить
х =	+ лк, к Е Z,
Л
х = ± — + Олп, nEZ,
л
“ 2 ’
Л
"з •
Заметим, что при к = - 1 корень первого уравнения, а
при п = 0 один из корней второго уравнения совокупности
не удовлетворяют системе,
л	л
Ответ: х = — + Олп или х = - — + Олт, или
О	о
х = 2+ як, где п6wiGZ, kf=.Z, m # 0, А # -1.
499
Тригонометрические уравнения и неравенства
Упражнения
Решить уравнения:
V.820.	sinx , - = 0. х + 2л
V.821.	COS лх 1 =°- Х 2
V.822.	sin х - cos х —;	= °- 4х - л
V.823.	2 - 3 sin х - cos 2х 2	2	= °- бх — лх - Л
V.824.	cos 2х - 2 cos х 4- 1 2	2	= °- 12х — 8лх + л
V.825.	2 sin2 х - cos 2х 2	2 = °- 12х - 4лх — л
V.826.	cos 2х - sin х 2	2 = °' л2 + 8лх + 12х
V.827.	sin2 Зх — 3 cos2 Зх 2	2 = °* 4тг - А5лх 4- 81х
V.828.	cos 2х - 5 sin х - 3 2	2	= °- бх — 5лх — л
V.829.	8 sin4 х + 8 cos4 х - 5 2	2	= °* л — 9тгх 4- 8х
V.830.	1 - 5 sin лх 4- 2 cos2 лх 2	= °- бх + х - 5
V.831.	(1 + cos 4тгх) sin 2лх - cos2 2лх _ 4х2 - 9х + 2
V.832.	3 sin2 2лх + 7 cos 2лх — 3 2	= °* 4х2 - 7х 4- 3
V.833.	cos лх - V3”sin лх - cos Зтгх 2	= °' х2 - 4х + 3
500
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.834.
sin Злх 4- sin 5лх — sin 4лх
= О»
V.835.
V.836.
9х2 - 1
sin Злх — sin 1лх — VT sin 2лх
------------;------------------- = О.
6х - 5х - 1
cos лх - cos 2тсх - sin Злх
= 0.
2х2 + х
V.837.
sin Злх - 4 sin лх cos 2лх
= 0.
V.838.
6х2 - 19х + 3
sin 2лх sin Ьлх — cos лх cos Злх
------------2------------------ = °-
60х - 16х + 1
Пример V.839. Решить уравнение С° $ * s«^S Х = 0.
Решение. Перейдем к равносильной системе
cos х = О,
cos х = 1,
х = + лк, k£Z,
Л*
х = 2л и, п G Z,
sin х # 1,
х # - 4- 2л/, IG Z.
Очевидно, что при четных значениях к решения первого
уравнения совокупности не удовлетворяют системе»
Зл
Ответ: х = 2лп или х = — 4- 2лЛ, п G. Z, к G Z.
Пример V.840. Решить уравнение
sin Зх - 2 sin х _	2
cos3x "" ё
Решение. Применив формулы для синуса и косинуса
тройных углов, получаем
3 sin х - 4 sin3 4 х - 2 sin х _ — 2
4 cos3 х - 3 cos х
501
Тригонометрические уравнения и неравенства
_ sinx (1 - 4sin2x) _ 2	_
Отсюда ----т------. , ; = v3 tg х. Понятно, что no-
cos х (1 - 4snrx)
следнее уравнение равносильно системе
tgx = VTtg2x,
sin х # ± ,
или
tgx = O,
t V3"
tgx= т
sin х # ± .
X = лп,
л
х = — + лк,
о
х # ± зг + лт, где т Е Z, пЕ Z, kEZ.
о
Ответ: х = ли, где и 6 Z.
Пример V.841. Решить уравнение
(tg х — ctg х + 2 tg 2х)(1 + cos Зх) = 4 sin Зх.
Решение. Преобразуем выражение, стоящее в левой части:
(tg х — ctg х + 2 tg 2х)(1 + cos Зх) =
fsin2x-cos2x ,	„ V. .	„ .
= ----:--------- + 2 tg 2х (1 + COS Зх) =
( sin х cos х	/
= (2tg2x - 2Ctg2х)2cos2 — = — 8ctg4xcos2.
3x
Получаем sin 3x + 2 ctg 4x cos2 — = 0,
X
_ . 3x 3x . „ . .	23x n
2 sm — cos -z- + 2 ctg 4x cos “ = 0.
Последнее уравнение равносильно системе
Г Зх _
cos— = О,
. Зх
cos 4л cos -
Iм" Т + sin 4,	- °’
sin 4х * О,
502
Тригонометрические уравнения и неравенства
Зх п
cos — = О,
. Зх . . .	. Зх л
sin — sin 4х + cos 4х cos — = О.
Зх
cosT =
5х
cosT =
о,
о,
sin 4х # О,
sin 4х * 0.
Отсюда
’ Г л	2л к
х ~ з +~Г'
л t 2лп
 Х “ 5 + 5 ’
х *	, где k Е Z, пЕ Z, т Е Z.
4
Проверим, при каких кип решения совокупности имеют
лт
вид —.
4
1.	? 4-	= ~г~, kEZ, п Е Z. Отсюда 3m = 8£ 4-4.
3	3	4
Рассмотрим случаи, соответствующие каждому из трех ос-
татков при делении числа к на 3.
а)	к = 31, IE Z. Тогда 3m = 241 4- 4.
б)	к = 31 4- 1. Отсюда 3m = 241 4- 12, т = 81 4- 4.
в)	к = 31 4-2. Отсюда 3m = 241 4- 20, IЕ Z.
Ясно, что равенство возможно лишь в случае б).
Л л , 2лп лт ~	Л . г»
2.	— + —— = -г-. Отсюда 5т = 8п 4- 4. Здесь уже не-
0	0	4
обходимо рассмотреть пять случаев:
а)	п =	51, IE Z, 5т	= 40Z + 4;
б)	п =	51 + 1, 5т =	40Z + 12;
в)	п = 51 + 2, 5т =	40Z + 20,	т = 8Z + 4;
г)	п = 51 + 3, 5т =	40Z + 28;
д)	п = 51+4, 5т =	40Z + 36.
Понятно, что в случаях а), б), г), д') равенства невозможны.
_	л , 2лк	л 2л п
Ответ: х = ~ + -г- или х = — + ——
О О	о о
к # 31 + 1, п 51 + 2, к G Z, Z G Z, п G Z.
503
Тригонометрические уравнения и неравенства
	Упражнения
Решить уравнения:
V.842.	cos 2л _ 0 1 — sin 2л
V.843.	cos 2л _ 1 + sin 2л ~
V.844.	sin 2л _ 1 - cos 2л -
V.845.	sin 2л _ 0 1 + cos 2л
V.846.	sin2 х 4- sin х ——	= 0. 1 + cos л
V.847.	sin х + sin Зх _ q COS X + cos 3л ~
V.848.	COS 3л - COS Л _ Q sin 3л - sin x ~
V.849.	2 sin2 л + 3 sin л _ 1 - cos л ~
V.850.	sin л - sin 3л I L	=0. 1 + COS X
V.851.	sin 2x cos 3x - cos 2x sin 3x _ 1 + COS Л	~
V.852.	cos 3л cos 2л + sin 3л sin 2л 	;		= °- 1 - sin л
V.853.	cos л - 4 sin2 л cos л _ Q sin 3л + 1	~
V.854.	4 sin л cos2 л — sin л _ & cos Зл - 1	~ '
V.855.	cos2 2л - 8Ш2Л _ sin Зл — 1	~
V.856.	sin2 2л - sin2 x _ cos 3л + 1	~
504
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.857.	1 - cos х - sin X = 0. cosx
V.858.	1 - cos x + sin x = 0. cosx
V.859.	cos 4x + 2 cos2 x — 1 _ (sinx 4- l)(sin3x - 1) "
V.860.	cos 4x + 2 sin2x - 1 _ (cos x - l)(cos 3x + 1) ~
V.861.	8 sin x cos x sin 2x - 1 	7=	;	 = 0. VT + 2 sin 4x
V.862.	4 (cos2 x - sin2 x) cos 2x - 1 _ Q V3~- 2 sin 4x	—
V.863.	sin x + cos 4x - 2 _ & 2 cos - VT
V.864.	cos x + cos 3x + 2 . x _ 1	= °- 2	2
V.865.	sin 2x	„ , ,	= - 2 cos x. 1 4- sm x
V.866.	sinx	, , ,	= 1 cosx. 1 + cos X
V.867.	sin 2x	_ . ,	= 2 sinx. 1 - COS X
V.868.	sin 2x	- . ,	= - 2 sin x. 1 — COS X
V.869.	1 - COS X = - 2. . X sin2
V.870.	sin4x _ sin 6x -
V.871.	sin2x _ _ j cos 3x ~
V.872.	1+2 sin2 x — 3 V2~sin x + sin 2x _ sin 2x - 1	~
505
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.873.
V.874.
V.875.
V.876.
V.877.
V.878.
cos x (3 V2~ - 2 cos x) - sin 2x - 1 _
1 - sin 2x	~
2 sin2 x + 3 V2~sin x - sin 2x + 1 _ _
1 + sin 2x	~
cos x (2 sinx + 3 V2~) - 2 cos2x - 1 _
sin 2x + 1	-
1 1 _ 1
sin x sin 2x sin 4x *
1 + sin 2x + cos 2x , .	(	x\
1 + sin 2x — cos 2x + slnJ1 (1 + ts^‘8 2] = -2.
sin x	2
V.879.
V.880.
V.881.
V.882.
V.883.
cos х — cos х
Sin X + tg X = ----—:---------.
e	2 sin X
3 sin 4x + 2 sin 2x
3 cos 4x + 2 cos 2x + 3 S* — •
sin 2x + 2 cos2 x - 1
------------т :—:—~-------:---- = — 2 COS X COS 2x.
cos x - cos 3x + sin 3x - sin X
3 (cos 2x + ctg 2x)	_ . . _ , , s n
.  -------—- - 2 (sin 2x + 1) = 0.
ctg 2x - cos 2x	'
3 (1 - sin 3x)	,	„	_
= 2 cos 2x — 7.
sm x — cos 2x
Пример V.884. Решить уравнение
(1 + tg2x) sinx + tg2x -1=0.
Решение. Записав данное уравнение в виде
(1 + tg2x) sinx = 1 - tg2x,
несложно догадаться, что обе части следует разделить на
1 + tg2 х. Ясно, что такое преобразование не нарушает рав-
1 — tg2 х
носильность. Имеем sinx = -------Замена правой части
1 + tg2x	F
этого уравнения на cos 2х расширит его область определения
506
Тригонометрические уравнения и неравенства
я
ровно на множество — 4- тгА, где к G Z. Следовательно, дан-
ное уравнение равносильно системе
sinx = cos 2х,
cos х # 0.
[sinx = -1,
sinx=
cos x # 0.
2 sin2 х 4- sin х - 1 = О,
cos x # О,
1
Отсюда sin x = — e
X
Ответ: x = (-1)" — + лп, nEZ.
Упражнения
Решить уравнения:
v яв< tg2x - tgx _
v-885. 1+tgxtg2x
sin 3x (tg x + tg 3x) _	**
V.886.
1.
1 - tg x tg 3x
« x x
2 tgy
V.887. sinx----------
1 +tg2|
+ cosx = - 1.
1
V.888. cos x + sin x = -
-tg2*
8 2
+ tg2f
V.889. cos 6x + tg2x + cos 6x tg2 x = 1.
Пример V.890. Решить уравнение
V9 - x2 (2 sin 2лх + 5 cos лх) = 0.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
Гх2 — 9 = О,
2 sin 2лх + 5 cos лх = О,
9 - х2 5s 0.
507
Тригонометрические уравнения и неравенства
Отсюда
Гх = 3,
х = - 3,
 х = | + л, kez,
-3=Sx=S 3.
Решив относительно к систему
| + з,
 | + к * - 3,
hz,
получаем
Ответ: х = 3 или х = — 3, или х = + к, где
ке {- 3; - 2; - 1; О; 1; 2}.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.891. Vx - 2 зшлх = О.
V	.892. V3 — х cos лх = 0.
V	.893. Vx + 4 ctg Зх = 0.
V	.894. V7 -х ctg 2x = 0.
V	.895. V25 - 4x2 (3 sin 2лх + 8 cos лх) = 0.
V	.896. V49 - 4x2 ^3 sin лх + 3 cos = 0.
V	.897. Vl - x2 (cos лх — sin лх) = 0.
V	.898. V4-X2 (cos лх + sin лх) = 0.
V	.899. V2 + x - x2 (2 cos лх - VF) = 0.
V	.900. V2 - x - x2 (2 sin лх - VT) = 0.
V	.90L -у-05-4*	= 0.
Vx2 —6
508
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.902.
sin 2лх
Vx - 3
V.903.
• 2	2
8 sin х - 7 cos х - 8
V	.904. Sin 7x ~ Jin~ Sin 2X = 0.
V	905 cos x - 2 cos 3x + cos 5x _
V5-x2
„ sin4x + cos4x - cos 4x
V	.906. ----. ,	------ = 0.
у/л2 - 4x2
„	sin x + sin 2x + sin 3x
V	.907. ---- .	,----- = 0.
ул2 - x2
Y9Qg cos x + cos 2x + cos 3x _ Q
Vjt2 - x2
* ♦ ♦
Пример V.909. Решить уравнение Vcos 2x cos x = 0.
Решение. Перейдем к равносильной системе
cos 2х 0,
cos 2х 0.
При х = — 4- лк cos 2х = cos (л 4- 2лг£) = -1 < 0.
Ответ: х = — 4- — , n G Z.
4	2
Пример V.910. Решить уравнение
sin 2х - У3~cos 2х — 2 cos 6х
= 0.
cos \ 2х - —
I 4
509
Тригонометрические уравнения и неравенства
„	_	_ ч sin 2х — V3~cos 2х — 2 cos 6х
Решение. Функция f (х) =
периодическая с периодом Т = л. Поэтому для решения ис-
ходного уравнения достаточно найти все его корни, принад-
лежащие промежутку [0; л). Имеем
sin 2х - cos 2х - 2 cos 6х = 0,
fjr\
2х “ ~ >0,
4 I
VT 1
cos 6х + -т- cos 2л — — sm 2л = 0,
(
cos 12х — -г >0,
I 4 1
2х + — I =0,
о I
(л\
2х - — > 0,
4 I
2 cos 4л + — cos \ 2х — -rz- = 0,
(лЛ
2л - т >0.
4 I
Получаем
Г Л	л\
cos 4х + — = 0,
\ /
л \
 cos 12л - — I = 0,
L / л\
cos 12х - -т >0.
\
Отсюда
= + tsz,
1л , лп. _ „
 х	= — +	— , п G Z,
24	2 ’	’
L	/ л\
COS	\ 2х - “Т	>0.
I	4 I
510
Тригонометрические уравнения и неравенства
Нетрудно определить, что из всех решений совокупности
5л 17л 29л 41л 7л 19л
системы лишь числа —,	- при-
надлежит промежутку [0; л).
Остается проверить, какие из них удовлетворяют нера-
венству системы.
При x =	5л 48	COS	^2x •	л\ ’ 4J	= cos	/5л _ ^24	Л 4	\	(л' ) “ C0S [ 24	] >0:
при X =	17л 48	COS	^2x	л' “7	= cos	/17л \ 24	—	л\	Пл 4) “COS1T	> 0;
при X =	29л 48	cos	^2x	Л5	= cos	/29л \ 24	—	л\	23л =смтг	< 0;
при X =	41л 48	cos	^2x	л^ 4?	= cos	/41л \24	—	л\	35л 4] “ COS'24"	< 0;
при X =	7л 24	cos	2x -	л\ ' 4/	= cos I	7л 12 ”	л? 4?	1	л = cos-т- > 0; 1	м	
при X =	19л 24	cos	l2x	_ — 4	= cos	/19л 1 12	—	л\	4л	л У = cos — < 0. 4 /	3	
_	5л . ,	17л	,
Ответ: х = — + лк или х = —4- лЛ, или
48	48
х = — + лк, к& Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V.911. Vsinxcosx = 0.
V.912. Vcosx sin х = 0.
V.913. Vsinx sin 2x = 0.
V.914. Vsinxcos 2x = 0.
V.915. Vtg x - 1 sin x = 0.
V.916. Vctgx - V3~ cos x = 0.
VV2”
cos x----— sin x = 0.
511
Тригонометрические уравнения и неравенства
V.918. Vcosx (8 sin х + 5 - 2 cos 2х) = 0.
V.919. Vsinx (4 - 5 cos х - 2 sin2x) = 0.
V.920. Vsinx (2 cos 2x - 4 cos x - 1) = 0.
Пример V.924. Решить уравнение
V5 — 2 sinx = 6 sinx - 1.
Решение. Произведя замену sin x = у, получаем уравне-
ние V5 — 2t = 6t — 1. Перейдем к равносильной системе
5 - 2t = (fit - I)2,
6t - 1 sS 0,
Отсюда t = Имеем sinx =
Ответ: x = (-1)* + лк, kEZ.
О
Пример V.925. Решить уравнение
V1 + 8 sin 2х cos2 2х = 2 sin | Зх + v
I 4
512
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение. Перейдем к равносильной системе
1 4- 8 sin 2х cos2 2х = 4 sin2
Гл\
Зх 4- — О,
4 /
1 + 4 sin 4х cos 2х = 2 + 2 sin 6х
. л\
sin Зх + v О,
I 41
2 sin 2х + 2 sin 6х - 2 sin 6х = 1
Гл\
Зх + — О,
41
sin 2х = ^ ,
sin I Зх + I О,
I 4 I
У \ Л, Л/k у	_—
х = (“0 -£2	~2^ ’
К	л\
sin Зх 4- — I ^0.
I	41
Решим последнюю систему на промежутке [0; 2л) (2л —
период функции
/(х) = V1 4- 8 sin 2х cos2 2х - 2 sin IЗх 4-	.
Имеем
л 5л 13л Пл
12 ’ 12 ’ 12 ’ 12
sin
„	Л
ПРИ х = и
•	( J-»	л ।	л
sin Зх + -т = sin — > 0;
I	4 1	2
5л
ирн X = —
л\ . Зл
Зх + — I = sin — < 0;
41	2
13л
прн X = —
. 1~ л\ . 7л
sin Зх + -г = sin — < О;
I 4 1	2
• ' I pin онометрия
513
Тригонометрические уравнения и неравенства
17л:	/	, лЛ . 9тг л
при * = -гт- sin Зл + — = sin — > 0.
12 I 4 1	2
л:	17л:
Ответ: х = — + 2лп или х =	+ n G Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V.926. V10 - 18cosx = 6cosх - 2.
V	.927. V37 - 48 ctg х = 8 ctg х - 5.
V	.928. V13 - 18 tgx = 6tgx - 3.
V	.929. Vcos 2x = - V2*sinx.
V	.930. V- cos 2x = — V2~cosx.
V3
— sin x = - cos x.
V3
— cos x = — sin x.
V	.933. V 3 cos 2x - 1 = V2~sin x.
V	.934. V3 cos 2x - 1 = V2~cos x.
V	.935. V1 — 2 cos2x = cosx + sinx.
V	.936. V2sin2x - 1 = cosx - sinx.
V	.937. V5cosx - cos2x + 2 sin x = 0.
V	.938. Vcos 2x — sin x + 8 cos x = 0.
V	.939. V5 sin x + cos 2x + 2 cos x = 0.
V	.940. VI - 2 sin 4x + V6~cos 2x = 0.
V	.941. VI + tg x = sin x + cos x.
514
Тригонометрические уравнения и неравенства
5.2	/ лЛ	1
— - sm х + cos х + — I = cos x + —
4	I	3l	2
V.943. а/з — 5 cos x - 7 sin2 x + cos x = 0.
V.942.
V.944.
V.945.
V.946.
"\/y + 6 sin2 sin	= V3~cos^.
V 4	2	12	2 1	4
Vl - 4 cos2 3x	/ лА
8 cos (2x - (2л)/3) “ COS " 6J •
V4 sin2 (Зх/4 - л/4) - 1 _ fx _
2sin(x/2 -л/3)	~ C0S ^2	3)
Пример V.947. Решить уравнение
V2 cos x sin 2x = V5 sin x + 4 sin 2x .
Решение. Решим данное уравнение на
|0; 2л:). Имеем
J2 cos х sin 2х = 5 sin х + 4 sin 2х,
1 cos х sin 2х S 0,
промежутке
sin x + sin Зх = 5 sin x + 4 sin 2x,
cos x sin 2x S 0,
4 sin’x + sinx + 8 sinx cosx = 0,
cos x sin 2x S 0,
'sin x = 0,
4 cos2 x — 8 cos x - 5 = 0,
cos x sin 2x S 0,
sinx = 0,
cos x = - ,
cos x sin 2x S 0,
x = лк, к e Z,
2тг
x = ± -у + 2лп, nGZ,
О
cos x sin 2x S 0.
515
Тригонометрические уравнения и неравенства
тт л 2л 4л
Числа 0, л, —, — являются решениями совокупности,
О о
принадлежащими промежутку [0; 2л). Выясним, какие из
них удовлетворяют неравенству системы.
При х = 0 cos х sin 2х = 0;
при х = л cos х sin 2х = 0;
2л	VT .
при х = — cos х sin 2х = — > 0;
4л .	V3" Л
при x = ~z~ cos х sin 2х = —т- < 0.
J	4
Ответ: х = лк или х = — + 2лп, к € Z, n£Z.
Упражнения
Решить уравнения:
V	.948. Vtgx = V2 sin х.
V	.949. Vctgx = V2 cos x.
V	.950. V2 — 3 cos 2x — Vsin x.
V	.951. V3 + 4 cos 2x = V2 cos x.
V	.952. VI + 4 cos 2x = V1 — 4 cosx.
V	.953. VI - 4 sinx = VI - 4 cos 2x.
V	.954. V2 sinx sin 2x = V5cosx + 4sin2x.
V	.955. Vsin 3x + sin 5x = Vsin 4x.
V	.956. Vcos 5x + cos 7x = Vcos 6x.
V	.957. Vcos 3x — sin 2x = Vcosx.
V	.958. Vsinx sin Зх = V- cos 4x.
516
Тригонометрические уравнения и неравенства
§5. Потеря решений
Пример V.959. Решить уравнение V2~(l + cosx) = ctg^.
Решение. Один из возможных способов решения данного
.	*	1 + cos х
уравнения — это применение формулы ctg — = —,
сужающей область определения уравнения ровно на множе-
ство л + 2лЛ, kGZ. Поэтому, выбрав такой путь решения,
следует проверить, являются ли числа из указанного множе-
ства корнями данного уравнения. Проверка покажет, что
х = л + 2як — корни исходного уравнения. Итак, первона-
чальное уравнение равносильно совокупности
х = л + 2лЛ, к G Z,
г..	\	1 + COS X
v2 (1 + COSX) = ---;---.
'	' sin X
Отсюда
x = л + 2лк, kGZ,
V2
smx = —.
Ответ: x = л + 2лЛ или х = (-1)" + ли, k&Z, n€Z,
Пример V.960. Решить уравнение
tg 2х + sin 2х = ctg х.
Решение. Применив формулы
tg 2х =	, sin 2х =	и ctSx - 7^—,
l-tg2x	l+tg2x	tgx’
данное уравнение удобно свести к алгебраическому относи-
тельно tgx. Однако такие преобразования сужают область
определения уравнения и приводят (в этом несложно убе-
Л
литься) к потере корней вида — + тск, k^Z.
п	2 tgx .	2 tgx 16
|-еша« уравнение	+ —-j-»—, получаем
к " ± arctg ' + ~п, не Z.
л	1
Ответ: х = -г + пк или х = ± arctg 7 + лп, к 6 Z, п G Z.
517
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.961. Решить уравнение
Решение. Убедившись, что числа вида -г + лЛ, к G Z, —
корни данного уравнения, перейдем к совокупности
л
х = + лк, kEZ,
1 +tgx _	___5
1-tgx	tgx*
Отсюда
Г
х = — + лк, kEZ,
tgx= 4-
□
Ответ: х = у + лк или х - arctg + лк, kGZ.
Zt	О
Упражнения
Решить уравнения:
V	.962. sin х - ctg =0.
V.	963. 2 (1 - cos 2х) = tgx.
Q
V.964. tg 2х + sin 2х = — ctg x.
О
V.965. tg fzx +	= 2 ctg 2x + 4 ctg	•
V	.966. tg ^2x — V	.967. 2 tg 14 + 14 V	.968. ctg ~~~ 0	3 \	□	0 tc\	4jt - = ctg — + 3 ctg 2x. Of	0 x| +5V3"tg |4 + *| = - 7. _ 2 ctg x + 3 ~ x , лЛ
518
Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример V.969. Решить неравенство
sin2 х - 4 sin х cos х + 3 cos2 х > 0.
Решение. Представляется естественным сделать такой
шаг: разделить обе части неравенства на cos2x (по аналогии
с методом решения соответствующих уравнений). Однако та-
кая операция сужает область определения данного неравенства
на множество чисел вида — + лк, kEZ, а следовательно,
возникает угроза потери решений. Поэтому надо установить,
являются ли числа указанного вида решениями исходного
неравенства.
Проверка дает положительный результат. Тогда данное
в условии неравенство равносильно совокупности
Л
х = — + лЛ, леи,
tg2x - 4 tgx + 3>0,
л
х = у + лЛ, Л е И,
tgx>3,
tgx< 1.
arctg 3 + лк‘, у + лк
Л»
Упражнения
Решить неравенства:
V.9	70. sin2 х + sin 2х - 3 cos2 х > 0.
V.97	1. 4 sin2 х - 3 sin х cos х - 7 cos2 х О.
V.	972. 6 sin2 х - 5 sin х cos х + cos2 х 0.
V	.973. sin2 х + sin х cos х - 2 cos2 х > О.
V.	974. 2 sin2 х — sin х cos х — cos2 х 5 0.
V.9	75. 3 sin2 х + 4 sin х cos х + cos2 х > 0.
Пример V.976. Решить неравенство
sin х---------------------------— 5 О.
519
Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение. Наиболее распространенной ошибкой при ре-
шении подобных задач является переход к неравенству
/2^
sinx----—	0. Такой путь грозит потерей тех решений
неравенства, при которых выражение (2 cos х - VT)2 обраща-
ется в нуль. Наиболее безопасным здесь является переход к
совокупности
(2 cos х - V3”)2 sin х-------— = О,
1	X /
___ J v2 \
(2 cos х - v3 ) sinх--> °-
Предлагаем читателю завершить решение самостоятельно.
J It	III
Ответ: хе -т + 2лк, — + 2л к UH ± т + 2лпк
4	4	6
kez, nez.
Упражнения
Решить неравенства:
/	1 \2
V.97	7. cos х - -т=- (2 sin х - V3”) J О.
I	’	/
V.9	78. cos2x (4 sin2x - 1)^0.
/	1V
V.	979. sinx-— (2 cosx-1)^0.
\	/
V.9	80. (1 - sin х) ^cos х +	<0.
V.98	1. (1 + sinx)(- х2 + х + 6) > 0.
V.982	. V5 + 9х - 2х2 (ctg2 х + ctgx) S 0.
520
Глава VI
Применение ограниченности
тригонометрических функций
В настоящей главе будут рассмотрены упражнения, в
основе решения которых лежит следующее несложное сооб-
ражение: если при решении уравнения f (х) = g (х) удалось
установить, что для всех допустимых значений переменной
/ (х) а и g (х) а (а — константа), то данное уравнение
[/ (х) = а,
равносильно системе -	_ а
Пример VL 1. Решить уравнение cos-—= х2+ 1.
Решение. Так как cos |-—тДн	1, а х2 + 1^1, то
данное уравнение равносильно системе
х2+ 1 = 1,
имеющей единственное решение х = 0.
Ответ: х = 0.
Пример VL2. Решить уравнение х2 = - cos х.
Решение. Ясно, что корни данного уравнения следует
искать на отрезке [-1; 1 ]. Однако на этом множестве функция
у = — cos х принимает только отрицательные значения, а сле-
довательно, исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: решений нет.
Упражнения
Решить уравнения:
VL3. 2 cos х + 4х = х2 + 4х + 6.
О
521
Применение ограниченности тригонометрических функций
VI.	4. sin2^-g-^ = 2х - х2 - 1.
VI	.5. sin -г- = х2 - Ах + 5.
4
VI.	6. 2 cos Злх - х + —.
X
VI.7	. —— = 1 - Vx^T
COS ЛХ
VI.8.	3 cos х + 4 sin х = х2 - 6х + 14.
VI.9.
2
sin х + cos х
= у/1-х2 .
VI.1	0. 2sinx = 5х2 + 2х + 3.
VL1	1. sinx = х2 + х + 1.
VI.1	2. Зх2 = 1 - 2 cos х.
VI.13	. cos х — у2 — Vy - х2 - 1 - 0.
VI.14.	tg2 л (х + у) + ctg2 л (х + у) =	+ 1.
Пример VI.15. Решить уравнение х2 - 2х sin + 1 = 0.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное
относительно х. Потребовав от дискриминанта этого урав-
нения быть неотрицательным, получим sin2 Отсюда
. ЛХ - . лх , _
sm — = 1, либо sin — = - 1. Теперь ясно, что исходное урав-
ЛЛ	ЛЛ
нение равносильно совокупности двух систем:
Г[ . лх -
sin—= 1,
х2 - 2х + 1 = О,
. лх
sinT=-l,
х2 + 2х + 1 = О.
Ответ: х = 1 или х = — 1.
522
Применение ограниченности тригонометрических функций
Пример VI. 16. Решить уравнение
3
COS X + cos у - cos (х + у) = z-.
Решение. Воспользуемся тем, что
,	„ х + у	х-у
cos х + cos у = 2 cos —-— cos —z— и
X	X
(x + y\
COS (x + у) = 2 COS —z— - 1.
1 ЛЛ I
_	„ х + у х-у., „	2 1х + У1 3
Получаем 2 cos - cos _ +1-2 cos _	= —.
X	X	I X j X
X — V X + V
- 4 cos - л cos —z-2- +1 = 0. Теперь
X 4- у
уравнение стало квадратным относительно cos —z-^-. Его
X
D . 2 (х~у\ л
дискриминант — = 4 cos —z— - 4.
4	I X I
Отсюда 4 cos2
Рассуждая аналогично предыдущему примеру, получаем
совокупность
X - у
cos—z— = 1,
х + у 1
cos 2 “Г
2 ’
X - у
cos —
= - 1,
cos-^
2 *
Ответ: x =
± + 2л (п + к) и у=±^ + 2л(п-к)
2л
или х = ± — + л (2п + 2k + 1) и
«э
2л
у = ± -z- + л (2п - 2к - 1),
«э
lez, nez.
523
Применение ограниченности тригонометрических функций
Упражнения
Решить уравнения:
V	I. 17. 4у2 - 4у cos х + 1 = 0.
V	I. 18. х2 + 8х sin (ху) + 16 = 0.
V	I. 19. 9у2 + бу cos (х - у) + 1 = 0.
V	I.20. х2 - 2х cos ———Ь 1 = О.
х -у
V	I.21. (х + у)2 + 10 (х + у) cos (лху) + 25 = 0.
V	I.22. у2 - 3 V2”(cos х - sin х) у + 9 = О.
V	I.23. z2 - V2~(cos х + sin х) z + 1 = 0.
V	I.24. tg2 х + 2 tg х (sin у + cos y) + 2 = 0.
V	I.25. sin2 x + -7 sin2 3x = sin x sin2 3x.
4
V	I.26. 4 cos4 4 = cos 4 + 2 cos2 4 cos 2x.
4	2	4
V	I.27. Решить систему уравнений
sin x cos у sin (x + у) + 4 = 0,
О
X = у + Z.
V	I.28. Решить систему уравнений
(2 sin х cos у + (<3~- 1) sin z) sin (x + y) + ^ = 0,
Z = X - y.
♦ ♦ ♦
5x
Пример VI.29. Решить уравнение cos бх + sin — = 2.
5x
Решение. Так как cos6x 1 и sin —1, то равенство
между левой и правой частями уравнения возможно лишь
5х
тогда, когда cos бх = 1 и sin -т- = 1 одновременно.
£
Другими словами, исходное уравнение равносильно сис-
теме
524
Применение ограниченности тригонометрических функций
Отсюда
cos 6х = 1,
. 5х ,
sin у =1-
6х = 2лА, к G Z,
5х л	г,
-т- = — + 2лп, п € Z.
L L
Имеем
Чтобы найти общие решения уравнений системы, запи-
лк	зт	4лп	_	_
шем равенство —	=	—	+	——	или	5к — 12п = 3,	где	к G Z,
«э	о	о
«6Z.
Рассмотрим пять случаев:
а)	п = 51, 5к — 60Z = 3;
б)	n = 5l + 1, к — 12Z=3;
в)	п = 51 + 2, 5к - 601 = 27;
г)	п = 51 + 3, 5к- 601 = 39;
д)	п-51 + 4, 5к — 601 = 51, Ze Z.
Здесь каждый из случаев соответствует одному из воз-
можных остатков при делении числа п на 5. Ясно, что в
случаях а), в), г), д) полученные равенства выполняться не
могут (левая часть делится на 5, а правая — нет).
Для случая б) имеем к = 121 + 3 и х = л + 4л1.
Ответ: х = л + 4л1, IGZ.
Пример VI.30. Решить уравнение
(sin х + V3"cos х) sin Зх = 2.
Решение. Перепишем уравнение в виде
1	V3”	\
— sin х + -z- cos х sin Зх = 1,
2	2	I
525
Применение ограниченности тригонометрических функций
Преобразуя левую часть полученного уравнения в сумму,
получаем
1 ( L л\ (	л\\
- COS 2Х - тт I - COS 4Х + 77	=1,
COS
= 2.
Так как cos 12х -	1 и — cos [ 4х +	< 1, то по-
I 3 I	I 3 1
лученное уравнение равносильно системе
cos |2х - — I =1,
1 О /
(л\
4Х + 77I = - 1
3 /
71
2x - -r = 2лк, kGZ,
3
Л
4х + — = л + 2л n, nGZ,
u
ТС
x = — + nk, k^Z,
О
тс , тсп ~ _
х ~ 6 + 2 ’
Так же, как в предыдущем примере, запишем
тс _ тс тсп
_+Jrt = _ + _
Отсюда n = 2k.
л
Ответ: x = + лк, k&Z.
О
Упражнения
Решить уравнения:
VI.31
VI.32.
VI.33.
VI.34,
VI.35,
Зх
cos 2х + cos —т- = 2.
4
5х
cos Зх + cos — = 2.
sin 2х - sin бх = - 2.
sin 4 + 2cosx = 3.
4	3
_	/ 2х	тс\	(	тс \
2sin I—----—	- 3cos	12л	+	— I	= 5.
\ 3	о J	I	31
526
Применение ограниченности тригонометрических функций
V	I.36. 3 sin2 * + 5 sin2 х = 8
О
V	I.37. cos2 |2х +	+ cos2 rpj - х| = О.
VL38. cosTrVx"cos л Vx - 4 = 1.
V	I.39. sin 9х (sin х + V3~cos х) = - 2.
VL40. sinх + sin77 + ... + sin-7-7 = n, nEN, n> 1.
2	2
Решить системы уравнений:
V	T4. [c°s 4x + sin 2y = - 2,
V1’41, |x - у = 2л.
2 cos 6x - cos 2y = - 3,
VI.42.  o „ л
3x-2y= 2-
3 cos 4x + sin 3y = 4,
V	I.43. 	± „ 3л
2x + 3y = -y.
♦ ♦ ♦
Пример VL44. Решить уравнение cos7* + sin4* = 1.
Решение. Запишем два очевидных неравенства:
cos7* cos2*, sin4* sin2*.
Складывая почленно данные неравенства, получаем
cos7* + sin4* 1. Теперь очевидно, что исходное уравнение
равносильно системе
cos7* = cos2*,
sin4* = sin2*.
Завершить решение мы предлагаем читателю самостоя-
тельно.
тс
Ответ: х = — + тсЛ или х = 2лк, k^Z.
527
Применение ограниченности тригонометрических функций
Упражнения
Решить уравнения:
V	I.45. sin’x + cos’x = 1.
V	I.46. sinsx + cossx = 1.
VL47. cos122x + sin132x = 1.
V	I.48. cos4x - sin’x = 1.
V	I.49. sin2" x + cos2" x = 1, n e N.
V	L50. Vsinx + Vcosx » 1.
V	I.5L Vsin2x + Vcos2x = vT.
♦ ♦ ♦
Пример VL52. Решить уравнение
sin5x + cos5x = 2 - sin4x.
Решение. Запишем очевидные неравенства
sin5x < sin2x, cos5x < cos2x.
Отсюда sin5x + cossx sin2x + cos2x = 1. Вместе с тем
понятно, что 2 - sin4x 1.
Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
sinsx = sin2x,
 cos5x = cos2x,
2 - sin4x = 1.
Ответ здесь проще всего получить, выяснив, какие из
71
чисел вида — + л£ (решения третьего уравнения системы)
удовлетворяют первому и второму уравнениям.
л
Ответ: х = -г + 2яА, к е Z.
ЛЛ
Пример VI.53. Решить уравнение
sin Зх + cos Зх = 3 V2~ + 2 sin 18х sin х + 2 cos х.
528
Применение ограниченности тригонометрических функций
Решение. Оценим выражение Л = sin 18х sin х + cos х. Пе-
репишем его так:
,г——*2.о ( sin 18х	1	\
VI + sin 18х	/	. , sinx + >	" cosx .
1 + sin2 18x	V1 + sin2x )
„	( sin 18x V. (	1 V ,
Так как ।	,	+ —==»==== = 1, то мож-
+ sin2 18x )	^V1 + sin218x )
sin 18x	1
но положить j 	. ,--- = sina,  r---. ,  - = cos a,
V1 + sin2 18x	V1 + sin218x
где a e [0; 2л).
При таких обозначениях А = Vl + sin218х cos (х - a).
Теперь уже очевидно, что |Л|	V2\ Но тогда
3 V2" + 2 sin 18х sin х 4- 2 cos х = 3 VT+.Л VT.
(л	\
--3x1^ v 2,
и ясно, что данное в условии уравнение равносильно системе
J sin Зх + cos Зх = V2”,
13 >12 + 2 sin 18х sin х + 2 cos х = V2^
Л
Из первого уравнения полученной системы Зх = — + 2л£,
л	Зл
к €= Z. Отсюда 18х = — + 12лк и sin 18х = — 1.
Подставляя найденное значение во второе уравнение си-
стемы, получаем
Зх = v + 2лЛ,
4
cos х - sin х = - VT",
k&Z,
nEZ.
„	л , 2як Зл ' n
Теперь, рассмотрев равенство — + —т- = — + 2лп, лег-
IX О 4
ко установить, что к = Зп + 1.
_	Зл
Ответ: x = — + 2лn, n G Z.
4
529
Применение ограниченности тригонометрических функций
Упражнения
Решить уравнения:
V	I.54. tg2 Зх = cos 2х - 1.
V	I.55. cos6 *x = 1 + si *n4x.
VL56. ctg4x = cos2 2л — 1.
V	I.57. sin x + cos x = V2- + sin4 x.
V	I.58. sin 5x + sin x = 2 + cos2 x.
V	I.59. cos x cos 4x = —Ц-.
cos5x
V	I.60. 1 - 1^’2, = ^.
V	I.61. sin 18x + sin lOx + sin 2x = 3 + cos22x.
V	L62. cos ^x -	(1 - 4 cos2 2x) - 2 cos 4x = 3.
V	I.63. V2 + cos2 2x = sin 3x — cos 3x.
V	I.64. V 5 + sin2 3x = sin x + 2 cos x.
VL65. (sin x + V3”cos x)2 = 5 + cos I + 4x|.
I W	f
4	1	2
VI.66. cos x + —7— = 1 + cos 2x - 2 sin 2x.
cos x
VI.67. 2 cos6 x cos10 2x = tg8 * x + ctg8 x.
VI.68. 1 + V3"(1 + cos x) = cos (2 (x + 2 tg x)).
VI.69. V 3 - tg2-^^ sinjrx - cosrcx = 2.
VI.70. V1 - ctg2 2л:х cos лх + sin лх = y/T.
♦ ♦ ♦
Пример VI.71. Решить уравнение
15 + . 3, I (2 - sin6x) = 7 + cos 2y.
I sm2 x I
530
Применение ограниченности тригонометрических функций
Решение. Оценим каждый из множителей, стоящих в
левой части данного уравнения. Имеем
5 + . Э £8 и 2- sin6x > 1.
sirrx
Тогда |5 Ч—гЯ-1 (2 — sin6x) 8.
I sin2xl
С другой стороны, очевидно, что 7 + cos 2у 8. Следо-
вательно, исходное уравнение равносильно системе
2 - sin6x = 1,
7 + cos 2у = 8.
Отсюда
sin2x = 1,
‘ cos2y = 1.
Ответ: х = + лк, у = лп, kGZ, nGZ.
Пример VI.72. Решить уравнение
3 + 2c°2S(*-y) = <34-2»-^
Решение. Воспользовавшись соотношением
cos (х - у) = 2 cos2 * . У - 1,
преобразуем данное в условии уравнение. Имеем
3 + 4 cos2 -2 = 2 V4 — (х — I)2 cos2 * У + sin2 (х - у)
или cos2 (х - у) = 2COS2*;.— (V4 - (х - I)2 - 2).
Заметим, что V4 - (х - I)2 S 2 и, следовательно,
V4 - (х - I)2 - 2 « 0.
Тогда полученное уравнение равносильно совокупности
дпух систем
531
Применение ограниченности тригонометрических функций
cos2 (х - у) = О,
, X — у
C0S2 = О, или
АЛ
4 — (х — I)2 Js О
V4 - (х - I)2 -2 = 0,
cos2 (х - у) = 0.
Легко убедиться, что первая система решений не имеет.
Решая вторую систему, получаем
Ответ: х = 1, у = 1 + + лк, к G Z.
Упражнения
Решить уравнения:
VI.73. (sin (х - у) + 1)(2 cos (2х - у) + 1) = 6.
13
VI.74. (4 - cos 2х)(2 + 3 sin у) = 12 +	.
v	cos23x
V	I.75. | cos2x + -А-1 (1 + tg2 2y)(3 + sin 3z) = 4.
COS X J
V	I.76. 12 + -A-1 (4-2 cos4 x) = 1 + 5 sin 3y.
COS X)
V	I.77. (3 - sinx)14----Al = 12 + cos2y.
sin x)
V	I.78. |sin2x4-Al + I cos2 x 4---Al =12+ Ainy.
I sin xi	cos x) *•
V	I.79. tg4x + tg4y + 2 ctg2xctg2у = 3 + sin2(x + y).
V	I.80. arccos (x (x2 + y2)) + arccos (у (x2 + у2)) = 2л.
V	I.81. 4 13 Ax-x2 sin2Ap + 2 cos (x + y) | =
1	Al
= 13 + 4 cos2 (x + y).
532
Глава VII
Задачи с параметрами
Пример VII. 1. При каких значениях параметра а урав-
нение sin |2х — тИ = а2 + а - 1 имеет решения?
\ О/
Решение. Очевидно, что искомые значения параметра —
это решения неравенства I а2 + а — 11 < 1. Имеем
а2 + а-1«1, Г(а + 2)(а-1)С0, ГА\
д2 + а-1^-1, [а (а+1)3! О,	а^-1.
Ответ: - 2 £ а £ - 1 или 0 < a S 1.
Пример УП.2. Определить, при каких целых к система
(arctg х)2 + (arccos у)2 = л2 к,
л
arctg х + arccos у = -г
L
имеет решения.
2
Решение. Имеем 0 (arctg х)2 < —, 0 (arccos у)2 л2.
5тс2
Отсюда 0 (arctg х)2 + (arccos у)2 <	.
5тг2
Тогда 0 л2к < Значит, для к допустимые значения
О или 1. Проверим их.
При к = 0 исходная система очевидно решений не имеет.
При к = 1 запишем
(arctg х)2 + (arccos у)2 = л2,
л
arctg х + arccos у = —.
533
Задачи с параметрами
/ \2
Пусть arctg х = t. Тогда t2 4- I — — Г = л2. Отсюда
_ (1 - V7~)	_ л (1 + V7")
ч “	4	> *2 “	4
Из этих двух значений подходит лишь tx 112 > у I, т.е. при
к = 1 система имеет решения.
Ответ: к = 1.
Упражнения
VII.3. Определить, при
уравнение имеет решения:
a)	sin х = а + 2;
б)	cos 2х = За — 1;
г)	ctg^ = Va + 5 ;
д)	arcsin х = (а - 1) л;
каких значениях параметра а
ё)	arccos (х + 1) = а + л;
л
ж)	arctg х = — + а;
л»
з)	cos4x + sin4x = а;
u)	sin6x + cos6x = а.
VII.4. Найти все целые а, при которых уравнение
1 + a cos х = (а + I)2 имеет решения.
VII.5. Определить, при каких целых к система
кл2
arccos х + (arcsin у)2 =	,
/		\2 п4
arccos х (arcsin уу = —
имеет решения.
Пример VII.6. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение sin х = tg а имеет решения.
534
_________________________________Задачи с параметрами
Решение. Понятно, что следует потребовать
-1 tg а 1. Отсюда
Ответ: -7 + ^057 + лп, nEZ,
4	4
Пример VII.7. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение arcctg х = sin а имеет решения.
Решение. Имеем 0 < sin а < л. Ясно, что достаточно решить
неравенство sina>0. Отсюда
Ответ: 2лп<а<л + 2лп, nGZ.
Упражнения
VII.8. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение имеет решения:
а)	sin х = cos а;	ж)	arccos х = cos а;
б)	cos х = sin а;	3)	sin х = arcsin a;
в)	tg х = sin а;	и)	cos x = arccos a;
г)	ctg x = cos а;	к)	arctg x = cos a;
д)	cos x = tg а;	л)	arctg x = tg a;
е)	arcsin x = sin a;	м)	arcctg x = ctg a.
Пример УП.9. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение (а2 — 4) cos х = а + 2 имеет решения.
Решение. Если а = 2, то данное уравнение имеет вид
О • cos х = 4, и, естественно, решений не имеет.
Если а = — 2, то получаем 0 • cos х = О, и любое дейст-
вительное х является корнем.
Если а # ± 2, то запишем cos х = --.
а-2
Теперь доста-
точно решить неравенство
1
а-2
$ 1. Имеем
а-2 3= 1,
а-2£ -1.
Ответ: а =6 1 или а 3.
535
Задачи с параметрами
Упражнения
VIL10. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения имеют решения:
а)	(а + 1) sinx = а - 1;
б)	За cos х = 2а + 2;
в)	(а + 2) tgx = 4;
г)	(За - 5) ctg х = 2 + а;
д)	(а2 - 1) sin2x = а + 1;
ё) (а2 — 6а + 5) tg 2х = а - 5;
ж) (а - 3) ctg ^2х —	= а2 — 5а + 6;
з) (а + 4) sin2 2х = а2 — 16;
й) (а - 1) cos2 ^х -	= а2 - 8а + 7;
к) у tg^ = Iа| - 1;
л) Vctg 2х = а2 + а + 1.
Пример VIL11. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение sin х + a cos х = 1 имеет решения.
Решение. Имеем
sin х + a cos х = Va2 + 1 I sin х 4—, f cos x
Va2 + 1 Va2 + 1
Поскольку I 2 + 1 I + IV 2 + i I = 1’ то можно no"
1	a
дожить -7=^5-- = sin a, —r=^-- = cos a.
yJa2+ 1	Va + 1
Итак, исходное уравнение можно записать в таком виде:
Va2 + 1 sin (х + а) = 1, sin (х + а) =	+ •
536
Задачи с параметрами
решения при любом а.
Ответ: а — любое.
Упражнения
VII. 12. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения имеют решения:
a)	sin х + cos х = а;
б)	sinx - ТУ cosx = а + 1;
в)	sin х + 2 cos х = а - 1;
г)	a sin х + cos х = 2а;
д)	a sin х - 2а cos х = 1.
♦ * ♦
Пример VII. 13. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение
cos2 х + (2а + 6) cos х + (2а - 7)(1 - 4а) = О
имеет решения.
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное
относительно cosx. Отсюда
cos х = 2а - 7,
cos х = 1 - 4а.
Тогда искомые значения параметра а — это решения
совокупности
12а — 7| 1,
|1 - 4а| 1.
Отсюда
3 а^ 4,
О < а <
537
Задачи с параметрами
Упражнения
VII. 14. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения имеют решения:
a)	sin2x - (За + 1) sinx + а (2а + 1) = 0;
б)	cos2 х - (а + 7) cos х + (4 - а) (2а + 3) = 0;
в)	sin2x - (4а - 9) sinx + (а - 5)(3а - 4) = 0;
г)	arcsin2 х + (За - 3) arcsin х + (а - 2)(5 - 4а) = 0;
д)	arccos2 х - (7а - 7) arccos х + 2а (5а - 7) = 0.
Пример VII.15. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение
cos х — а
Vcos х — За + 1
= 0 имеет решения.
Решение. Данное уравнение равносильно системе
cos х = а,
' cosx >За - 1.
Следовательно, наличие решений обеспечит следующая
система:
|а| С 1,
а>3а - 1,
Ответ: - 1 а < .
X
- 1 « а« 1,
Пример VII. 16. Определить, при каких значениях пара-
arccos х - а
метра а уравнение-------------— = 0 имеет решения,
arcsin х + v
О
Решение. Переходим к системе, равносильной данному
уравнению:
arccos х = а,
•	л
arcsin х .
о
Понятно, что 0 а л. Однако при х = — уравнение
. ( 1\	л
не определено, поскольку arcsin I - — I = - —.
I	L I	О
538
Задачи с параметрами
Следовательно, а — arccos
2л
-г- не подходит,
«э
2тг	2тг
Ответ: 0 а < -г- или -т- < a S л
«э	о
Упражнения
VII.17. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения имеют решения:
а)	cos х - а 1 ~ °’ COSX + “	Л)	sin x - а _ 3tg2x- 1	 0;
б)	sin х - а _		cos x — а _ ctg2x - 3	
	Д/ sin х -	m)		o;
в)	sin х + а _	h)	cos x - а _	0;
	sin х - 2а + 1 ~ ’		tg2x- 1	
г)	arctg х — 2а _	o)	sin x + а _	0*
	Varctg х - 4а + 1 ~ ’		ctg2x - 3	V,
3)	arcsin х — а л = 0;	n)	arcsin x + а 7Г	= 0;
	arcsin х + —		arccos x - — О	
гЛ	arccos х + а _		Л arccos x - — 		
С/	-% /	л	p)		= 0;
	W arccos х — — V	*		arcsin x - a	
ж)	. X sin- - а —=— — п*	c)	arcsin x + — 	4_	= 0;
	COS X - 1		arccos x + a	
з)	X . cos - + а —3	 = 0; smx	m)	arctg x - а л arcctg x - -7 4	= 0;
и)	tgx-а _ ctgx + 3	y)	arcctg x + а arctg x -- «Э	= 0.
к)	ctgx + a _ tgx-2			
539
Задачи с параметрами
Пример VII. 18. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение cos 2х = — 4а2 + 4а — 2 имеет решение.
Решение. Перепишем это уравнение в таком виде:
cos 2х = - (2а - I)2 - 1.
Поскольку cos 2х 5 -1, тогда, как - (2а - I)2 - 1	-1,
то исходное уравнение имеет решение только при а —
~ 1
Ответ: <2 = —.
Пример УП.19. Определить, при каких значениях пара-
(	л\	1 + а2
метра а уравнение sin х — — = ------имеет решения.
(	3)	1 — (Г
Решение. Очевидно, что 11 + а2| > 11 - а2|. Следователь-
1 + а2
1 - а2
1. Значит, исходное уравнение имеет решения,
?_
1 - а2
Ответ: а = 0.
но,
если
= 1, т.е. при а = 0.
Упражнения
VII.20. Определить, при
уравнения имеют решения:
каких значениях параметра а
a) sinx = а2 + 1;
(Л \	2
х - Ч" = “ а ~ 1!
м у
в) sin £ = а2 + 2а + 2;
\ (х Л 1 + а4
г) cos j + l = -J-;
д)	tgl = Va- 1;
О
е)	ctg 5х = — - 3;
а______________
ж)	cos х = V1 — а2;
з)
и)
к)
• * - 1~°2
3	1 + а2 ’
. (л	_ \	2а
sin Н- - 2х =-------,;
)	1 + а2
л	.—
arcsin х = — + V а ;
л) arccos х = л + а2;
м) arccos х = - а2;
н) arcctg х = - а2.
540
Задачи с параметрами
Пример VII.21. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение 2 sin Зх + sin 5х = а2 - 4а + 7 имеет реше-
ния.
Решение. С одной стороны, 2 sin Зх + sin 5х € 3, с дру-
гой — а2 - 4а + 7 = а2 - 4а + 4 + 3 = (а - 2)2 + 3 5 3. Следо-
вательно, чтобы исходное уравнение имело решение, необ-
ходимо а = 2. Проверим, является ли это условие достаточ-
ным. Имеем при а = 2: 2 sin Зх + sin 5х = 3. Это уравнение
равносильно системе
X —
л , 2лп _ _
б + ~Г' nez’
я , 2лк , _ _
Х ~ Ю + 5 ’ * G Z‘
„ л 2л п л 2л к	„
Пусть —	+ ——	= -777	+ -г-.	Тогда	5 + 20п = 3 + 12к,
О 3 IV 3
Юн = - 1 + б£. Это равенство противоречиво, т.к. левая
часть — число четное, правая — нечетное. Итак, а = 2 не
подходит.
Ответ: таких а не существует.
Упражнения
VIL22. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения имеют решения:
a)	cos х + cos 5х = а2 — 2а + 3;
б)	sin х - cos 2х = 4а2 + 4а + 3;
в)	cos + cos 1х = 2 + Va - 1 ;
з
г)	3 cos 2х + б cos 8х = 9 + V3 — а ;
12	,
д)	— sin 4х + — sin 12х = 2а - а - 2.
О	о
Пример VII.22. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение
(2а2 + 10а + 13) sin2x + 2 (а + 2) sin х + 1 = 0
имеет решения.
541
Задачи с параметрами
Решение. Поскольку 2а2 + 10а + 13 # О, то можем рас-
сматривать данное уравнение как квадратное относительно
sin х. Имеем D = (а + 2)2 - 2а2 - 10а - 13 = - (а + З)2 О.
Следовательно, если данное уравнение и имеет решения, то
только при а = - 3. Тогда получаем
sin2x - 2 sinх + 1 = О, (sinх - I)2 = О.
Понятно, что это уравнение имеет решения.
Ответ: а = — 3.
Упражнения
VII.23. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение имеет решения:
a)	cos2 х - cos х + а - а + = 0;
б)	sin2x + 2аsinx + 2а2 - 4а + 4 = 0;
в)	(5а2 - 4а + 1) cos2x - 2 (а - 1) cosх + 2 = 0;
г)	5 cos2 х — 2 (2а — 1) cos х + а2 — 2а + 2 = 0.
в зависимости от пара-
Пример VII.24. Определить количество корней уравнения
fyr 2л"1
- —; —
о 3
метра а.
Решение. Изобразим график функции у = sin х на ука-
/ л 2лГ
занном промежутке — т-; -г-
1 О о
(рис. 105). Число корней
Рис. 105
542
Задачи с параметрами
определяется количеством точек пересечения горизонтальных
прямых у = а с выделенной частью графика у = sin х. Обратим
(л 1\
— —; — — I не принадлежит вы-
о 21
„	„	(2л
деленной кривой, а точка — — принадлежит.
Будем двигать горизонтальную прямую снизу вверх, «сни-
мая» следующий результат.
1	1	V3"
Если а - —, то корней нет; если - — < а < — , то урав-
2	XX
V3"
нение имеет один корень; если — а < 1, то два корня;
если а = 1, то имеем один корень; если а > 1, то корней нет.
Ответ: если а или а > 1, то корней нет;
X
1	VT
если — — <а<— или а — 1, то имеем один корень;
X	X
если — $ а < 1, то имеем два корня.
X
Упражнения
VIL25. Определить количество корней уравнения на
заданном промежутке в зависимости от значений парамет-
ра а\
sinx =	а,	0;	Пл 6
sinx =			5л"
	а,	0;	Т
			
sinx =		(л_.	7л"
	а,	\ л ’	А
4’ 4
г)	cos х = а,	—	лв 2’	Зл т
			5л	
д)	cos х = а,	0;	т	
			Лв	11Я
ё)	cos х = а,	—	4’	6
Пример VIL26. Определить, при каких значениях пара-
метра а промежуток [0; а] содержит не менее двух корней
1
уравнения cos х = —.
4
543
Задачи с параметрами
Решение. Понятно, что следует искать положительные
корни данного уравнения. Наименьшим будет х = arccos ,
следующий — это х = 2л — arccos — . Следовательно, если
а 2л — arccos , то данное уравнение имеет не менее двух
корней на указанном промежутке.
Ответ: а 2л - arccos -7.
4
Пример VII.27. Определить, при каких значениях пара-
метра а промежуток [0; а] содержит не менее трех корней
уравнения 2 cos 2х - 11 + 2 sin х | =1.
Решение. Перепишем это уравнение в таком виде:
(1-2 sin х) (1 + 2 sin х) - 11 + 2 sin х | =0.
Последнее равносильно совокупности
1
sin х = - —,
X
Г .	1
sin х > - -,
1 - 2 sin х - 1 = 0,
. 1
sin X < - -,
1 - 2 sin х + 1 = 0.
Отсюда
1
sin х = —,
X
[ • - 1
sm х > - —,
sin x = 0,
f • x 1
sin X < - —,
sinx = 1.
Далее
sinx = -|,
sin x = 0.
Указанный в условии промежуток вынуждает нас рас-
сматривать лишь неотрицательные решения совокупности.
Наименьший положительный корень первого уравнения со-
°Л1
7л _
вокупности равен —. Заметим, что отрезок
уже
содержит два неотрицательных корня уравнения sin х = 0.
544
Задачиспараметрами
Это Ойл. Следовательно,
— промежуток наимень-
шей длины, удовлетворяющий требованию задачи. Отсюда
Ответ: а .
о
Упражнения
VIL28. Определить, при каких значениях параметра а
промежуток [0; а] содержит не менее п корней уравнения:
ч •	1
a)	sinx = -, п = 3;
лл
б)	sin х = - , п = 2;
•J
в)	sin х = - , п = 3;
X	1
г)	cos х = - —, п = 2;
О
д)	2 sin2x - sinх = 0, п = 3;
е)	2 sin2 х + V2~sin х = 0, п = 3,
ж)	2 sin2x + sin х = 0, п = 4;
з)	2 cos2 х - V3”cos х = 0, п = 3;
и)	2 cos2 х + cos х = 0, п = 3.
VII.29. Определить, при каких значениях параметра а
промежуток [0; а ] содержит не менее трех корней уравнения
2 cos 2х - 12 cos х - 11 = - 1.
Пример VIL30. Определить, при каких значениях пара-
•9	(	1\	а
метра а уравнение sinzЗх - \а + — sin Зх + — =0 имеет на
I	Ал I	Ал
2л "I
отрезке —; л ровно а) два корня; б) три корня.
О
Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное
относительно sin Зх. Тогда получим совокупность, равносиль-
ную исходному уравнению:
IH Тригонометрия
545
Задачи с параметрами
 о 1
sin Зх = -,
sin Зх = а.
совокупности имеет на отрезке
(в этом можно убедиться непосред-
Первое уравнение
2я 1
—; тг ровно два корня
ственно, найдя эти кор-
ни, или графически
(рис. 106). Поэтому для
задачи а) надо потребо-
вать, чтобы второе урав-
нение совокупности не
давало новых корней
или, вообще, не имело
корней на рассматривае-
мом промежутке.
тт	1
При а = — очевидно корни уравнении совокупности сов-
падают. При а > 1 или а < 0 уравнение sin Зх = а не имеет
корней на промежутке
убедиться графически ( см. рис. 106).
Для задачи б) второе уравнение совокупности должно
иметь лишь один корень на рассматриваемом промежутке.
Это, понятно, будет только при а= 1.
Ответ: а) а>1 или а<0; б) а= 1.
2л _
—; л . В этом опять-таки можно
О
а) один корень; б) два корня; в) не меньше одного
Упражнения
V	II.3L Определить, при каких значениях параметра а
• 9	(	1 \	а
уравнение sin x - а + — I sinx + — = 0 имеет на промежутке
"л 5л 1
2’ 4
корня.
V	II.32. Определить, при каких значениях параметра а
• г ( , V2”\ .	, aVT Л
уравнение sm х — 1а + — sin х Н—-— = О имеет на про-
I	л* I	X
4л 1
межутке 0; -z- а) два корня; б) три корня; в) не меньше
О
трех корней.
546
Задачи с параметрами
V	II.33. Определить, при каких значениях параметра а
.9	(	1\	а
уравнение sinz х — la-—Isinx- — = 0 имеет на промежутке
। X J	X
л; а) один корень; б) два корня; в) не меньше одного
корня.
VII.34. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение [sinx — (sinx — а) = 0 имеет на промежутке
а) один корень; б) два корня; в) не меньше четырех
корней.
¥11.35. Определить, при каких значениях параметра а
2	( 7 . \ . Id Л
уравнение cos х — — + а +1о = Q имеет на промежутке
а) один корень; б) два корня.
л. 7л\
3’ ~6~)
Л. 11л
3; 6
VIL36. Определить, при каких значениях параметра а
2	(	1\	а
уравнение cos х — а - т cos х - - = 0 имеет на промежут-
I «3 /	«з
л 5л । .
—; — а) два корня; б) три корня; в) не меньше трех
4	3 /
ке
ке
корней.
VII.37. Определить, при каких значениях параметра а
9	(	1 \	Cl
уравнение cos х + а + — cos х + — = 0 имеет на промежут-
\	ЛЛ I	Zt
л 5л
б; т
а) два корня; б) три корня; в) четыре корня.
VIL38. Определить, при каких значениях парамет-
ра
"л
8
а уравнение cos2 4х - (а - 3) cos 4х = 0 имеет на отрезке
5л
; т
ровно четыре корня.
VIL39. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение 2 cos 2х + 2а sin х + а — 1 = 0 имеет единственное
( л Л
решение на промежутке I — —; 0
\ *
547
Задачи с параметрами
VIL40. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение cos2 Зх + 12а2- cos Зх + а2 - 2 = О имеет ровно
„	Л, Л,
пять корней на отрезке — —; — .
Пример VIL4L Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение (х — a) sin х = О имеет единственный ко-
рень на промежутке
Решение» Данное уравнение равносильно совокупности
Л* Л* ।
2’ 2 Г
sin х = О,
х = а.
Первое уравнение совокупности имеет единственный ко-
рень на указанном промежутке, а именно х = О. Следова-
тельно, второе уравнение совокупности не должно иметь кор-
ней, отличных от нуля, или не иметь корней на промежутке
Л л\ л
" 2 ’ 2 Г Отсюда
Ответ: а < - — или а = О, или а — о
Упражнения
VII.42. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение имеет единственный корень на указанном проме-
жутке:
а)
б)
(х + a) I sin х +
в)
sinx -
' л л
<“б: 2
Зл
2.
2л
~3
г)
(х + a) cos х —
д)
(х — a) Icosx +
л\
Зл
~2 *
л I;
548
Задачи с параметрами
Пример VII.43. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнение (х — a) arcsin (х - 1) = О имеет единствен-
ный корень.
Решение. Очевидно, что х = 1 — единственный корень
уравнения arcsin (х — 1) = 0. Однако множитель х - а «пред-
лагает» еще один корень — это х = а. Теперь понятно, что
а = 1 удовлетворяет требованию задачи. Казалось бы, решение
завершено. Однако областью определения данного уравнения
— у+1, ?+1 • Следовательно, если а
L	L
является отрезок
не принадлежит указанному промежутку, то х = а — не
корень. Отсюда
Ответ: а < — у + 1 или а = 1, или а > — + 1.
Пример УП.44. Определить, при каких значениях пара-
метра а система
Г(tg х - V3~)(x - а) = О,
имеет только одно решение.
Решение. Легко установить, что уравнение tg х = 7з”име-
ТЕ
ст на промежутке [1; 2) лишь один корень х = —. Следо-
43
вательно, уравнение системы имеет не более двух различных
корней на промежутке [1; 2). Задача свелась к тому, чтобы
найти те значения а, которые не «позволяют» уравнению
л
х = а иметь корни, отличные от х = — и удовлетворяющие
О
исходной системе. Понятно, что а =	— одно из искомых
«з
значений. Далее, с учетом условия 1 х < 2 значение х = а
не будет являться решением системы, если а < 1 или а 2.
На этом этапе важно не упустить, что найденные зна-
чения параметра не составляют окончательный ответ. В самом
деле, область определения исходной системы — все чис-
л
ла, кроме х = — + лп, п G Z. В силу этого замечания, если
л
а “ -, то х = а не является решением системы.
X
Ответ: а < 1 или а = , или а = , или а 5 2.
«3	л»
549
Задачи с параметрами
Упражнения
VII.45. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение имеет единственный корень:
а)	(х — а) arccos х = 0;
б)	(х + a) arccos (х + 3) = 0;
в)	(х - a) arcsin (2х - 1) = 0.
VII.46. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение имеет единственный корень на заданном проме-
жутке:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
(х - a) tgx = 0,
(х + a) tgx = О,
(х - a) (tgx - 1) = О, (б; у
О
л
2
VII.47. Определить, при каких значениях параметра а
система имеет единственное решение:
(ctgx - 1) (х + а) = О,
J (ctg х + VT)(x + а) = О,
|2 х<4.
Пример VII.48. Определить количество корней уравнения
cosxctgx - sinx — acos2x на отрезке [О; 2л] в зависимости
от значений параметра а.
Решение. После преобразования левой части получим
cos2x-sm2x „ cos2x
-----г----- = acos2x, —;--- = acos2x.
sin X	’ sin X
550
Задачи с параметрами
Это уравнение равносильно совокупности
cos 2х = О,
1
—— = а.
sinx
Первое уравнение на отрезке [0; 2л ] имеет четыре корня:
л Зл 5л 7л	11^1*
Второе уравнение при |а\ < 1 вообще корней
4	4	4	4
не имеет. Если | а\ = 1, то на рассматриваемом отрезке урав-
1
нсние sin— = а имеет только один корень: при а = 1 — это
л
х = -г , при а = - 1 — это х = —. Если | а\ >1, то, перейдя
к уравнению sin х = , получаем, что на отрезке [0; 2л ] оно
имеет два корня (в этом легко убедиться, например, графи-
чески).
Итак, ответ... Но при этом следует учесть, что при
а = ± V2* корни второго уравнения совокупности содержатся
среди корней первого уравнения.
Ответ: если | <з| < 1 или а = ± V2~, то уравнение
имеет четыре корня;
если |а\ =1, то корней пять;
если |а| > 1 и а # ± V2~, то корней — шесть.
Упражнения
VII.49. Определить количество корней уравнения на за-
данном промежутке:
a)	cos 2х (sinx - а) = 0, [0; 2л];
б)	| cos х + (sin х - а) = 0, [0; 2л ];
I	XI
в)	| cos х - | (sin х - а) = 0, [0; 2л ];
1	XI
г)	(cos 2х + l)(sinx - а) = 0, [тг; 2л];
fV2~\
sin х —— (cos х - а) = 0, [0; 2л ];
X I
551
Задачи с параметрами
Гтг
е) (sin 2х - l)(cos х - а) = 0, у; 2л
ж) I sin х - -^ | (cos х - а) = О, [0; 2тг ].
Пример VIL50. Определить, при каких значениях пара-
метра а уравнения sin 2х (sin 2х - 1) = 0 и (а + 3) sin2 2х -
- sin 2х cos 4х - (а + 4) sin 2х = 0 равносильны.
Решение. Первое уравнение равносильно совокупности
sin 2х = О,
sin2x = 1.
Легко преобразовать второе уравнение к виду
( а + 5\
sin 2х (sin 2х - 1) sin 2х 4------— = °*
Оно, в свою очередь, равносильно совокупности
sin 2х = О,
sin 2х = 1,
а + 5
sm 2х =-------—.
Сравним полученные совокупности. Сразу заметно, что
их равносильности «мешает» уравнение sin 2х =-----—. Сле-
довательно, надо найти такие значения параметра а, при
которых это уравнение или не дает новых корней, или вообще
их не имеет. Отсюда
а + 5
— = °.
а + 5 _
2	”
> 1
Ответ: а < — 7 или а = — 5, или а > - 3.
552
Задачи с параметрами
Упражнения
VIL51. Определить, при каких значениях параметра а
уравнения равносильны:
4) = ° и
X /
sin х sin х -
а)
sinx (sinx - (sinx + a + 3) = 0;
i	Z I
б)
в)
( .	, 1 \ ( . а\ Л
и sin х + — sin х - — I = 0;
\ ^ / \ /
( а — 2\
cos х - - cos х 4—-— = 0;
2/ \ 2 /
cos 2х - 1 = 0 и (cos 2х - l)(sin х + а) = 0;
2	<2—1
2 sin х = а + 3 и 1 + cos 2х = —-— ;
4
sin x + ^ = 0
cos x - - = 0
г)
д)
2	•
е)	sin х = 1 и а cos х = sm 2х;
ж)	sin х = 2 sin2 х и
sin Зх = (а + 1) sinx — 2 (а - 1) sin2x;
з)	4cos2x - cos Зх — а cos х — {а — 4)(1 + cos 2х) и
2 cos х cos 2х = 1 + cos 2х + cos Зх;
. .	2	2	_ а
и)	4 cos х = а - би 1 - cos 2х = —.
о
553
Глава VIII
Тригонометрическая подстановка
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраиче-
ским, применение известных неравенств и т.п. — такие «чисто
алгебраические» методы встречаются часто.
Здесь мы рассмотрим задачи, при решении которых ис-
пользуется в определенном смысле обратный прием, т.е. не-
которое алгебраическое выражение заменяется тригонометри-
ческим.
Пример VIII.1. Известно, что т2 + п2 = 1, р2 + q2 = 1,
тр + nq = О. Вычислить тп + pq.
Решение. Поскольку /и2 + и2 = 1, р2 + q2 = 1, то сущест-
вуют такие а и р, что т = cos a, n = sina, р = cos/3,
q — sin P Тогда
тр + nq = cos a cos P + sin a sin ft = cos (a - p) = 0.
Теперь выражение тп + pq запишем так:
cos a sina + cos/3 sin/3 = (sin 2a + sin 2p) =
= sin (a + p) cos (a - p) = 0.
Ответ: 0.
Пример VIII.2. Решить систему уравнений
х2 + у2 = 1,
4ху (2у2 - 1) = 1.
Решение. Присутствие уравнения х2 + у2 = 1 позволяет
сделать такую замену: х = sin а, у = cos а, где a € [0; 2л).
554
Тригонометрическая подстановка
Тогда из второго уравнения системы имеем
4 sin a cos а (2 cos2 а - 1) = 1,
Л	7tk	г .
Sin 4а = 1, а = — + — , k G Z.
о	Z
Из найденной серии в промежуток [0; 2д) попадают
л 5л 9л 13л „ л
чисда т, т и—.Дляа=¥:
. л д /1 - cos (л/4) V2 - V2”
х - sm 8 - у 2	“	2
л -\ /1 + cos (л/4) V2 + V2-
y=cos_ = V—-— —
Аналогично можно найти и остальные три пары решений.
~	V2-VT V2 + VT
Ответ: х =-----, у =------- или
V2 +VT V2-V2"
X =---2--’ У =----2--’ ИЛИ
V2 - VT V2 +V2"
X =-----2--’ У =----2---’ н™
V2 +V2-	V2-V2-
х =--------, у =-----.
2 z 2
Пример VIIL3. Решить уравнение
V1 - х2 = 4х3 - Зх.
Решение. В данном уравнении |х|	1. Положив
х = cosa, a£ [0; л], приходим к уравнению
Vl - cos2a = 4 cos3а - 3 cos а.
Отсюда I sin а | = cos 3a.
Так как при a G [0; л] sina 0, имеем sina = cos 3a.
Решая последнее уравнение, получаем
Г Зтг	_
a = — + лп, п G Z,
4
л тгк _ ______
a = ~ +	, к G Z.
О L
555
Тригонометрическая подстановка_______________________
Из полученных серий выберем лишь корни, удовлетво-
л 5л	Зл _
ряющие условию О а =6 л. Это числа -т-, — и —. Тогда
о	о	4
исходное уравнение равносильно совокупности
л V2 +V2"
х = cos-----------------------?---,
5л	V2-VT
х - cos 8 -	2	’
Зл	V2"
х = cosT = - —.
л V2 + vT	V2-V2"
Ответ: х = ------- или х =-------z---,
£	х
V2"
или X =--Т- .
X
Пример У1П.4. Решить уравнение
8х (1 - 2х2)(8х4 - 8х2 + 1) = 1.
Решение. Докажем, что все корни данного уравнения
принадлежат промежутку (-1; 1). Действительно, при
|х| 5 1 |8х| 5 8, II — 2х2| 5 1,
|8х4 —8х2+ 1| = |8х2(х2— 1) + 115 1,
а следовательно, 18х (1 - 2х2)(8х4 - 8х2 +1)1 5 8.
Таким образом, возможна замена х = cos a, a G (0; л).
Теперь Достаточно решить систему:
8 cos а (1 - 2 cos2a)(8 cos4 а - 8 cos2 а + 1) = 1,
О < а < л,
- 8 cos а cos 2а (1 - 8 sin2a cos2а) = 1,
0<а < л,
- 8 cos a cos 2а cos 4а = 1,
О < а < л.
Последняя система равносильна такой:
- 8 sin a cos a cos 2a cos 4a = sin a,
0<а<л
или
556
Тригонометрическая подстановка
sin 8а + sin а = 0,
0<а<л,	отсюда
2лк , _ _
а —	, kEZ,
л , 2лп ~ „
а = — + nGZ,
О < а < л.
Л	2л	4л	1
Ответ: х = cos или х = cos , или х = - — ,
-Г	7	Л»
%л	л
ИЛИ X = COS -д- , или X = COS у ,
Зл	5л
ниш х = cos —, или х = cos —.
Пример VIII.5. Последовательность чисел ап задана
условиями
Доказать,
ше 1,03.
1	1 /1 - V1 - а2
aj = - и для всех n.E.N ап+1 = у------.
что сумма любого количества чисел ап мень-
7t
Решение. Заметим, что а. = sin —. Тогда
О
Л2
- sin2 (л/6)	.л	.л
—------------ = sin -—-, а. = sm -5-----
2	2 • 6	3	22 ° 6
7t
Ясно, что an+i = sin ——-. Рассмотрим сумму
2 • о
5 = 2 + Sin 2^6 + Sin 2^7 + •” + 5 * * 8*П2"Хб
Воспользуемся известным неравенством x>sinx (х>0)
Тогда S < | + ^Ч- + ^- + ... + -Л- + - =
2	2 • 6	22 • 6	2-6
в1 + * (1 + X
2	6 [2	22
_1
2"
= | + ^<1,03.
Z о
557
Тригонометрическая подстановка
Пример VIII.6. Действительные числа х19 х29... 9хп при-
надлежат отрезку [-1; 1], причем сумма кубов этих чисел
_	п
равна 0. Доказать, что х{ + х2 + ... + хп .
о
Решение. Пусть х{ = cos at, х2 = cos а2...., хп = cos ап,
где а( € [0; л], i = 1, 2,. , п. Имеем
4 cos3 а. - cos За.
cos а, + cos а, + ... + cos а. = --- +
12	п	3
4 cos3 а, - cos За,	4 cos3 ая - cos За.
+ з	3	“
= - 4 (cos За, + cos За2 + ... + cos Зап) .
Предлагаем читателю убедиться самостоятельно, что знак
равенства может достигаться при п = 9k, kGZ.
Пример VHI.7. Последовательность at, ..., ак,... действи-
тельных чисел удовлетворяет условиям: а0 = 1, а500 = 0 и для
всех натуральных п ап+1 = 2а,ая - ал_(. Найти а2000.
Решение. Докажем, что I 4*,|	1. Пусть I <2,1 >1. Покажем,
что в этом случае последовательность bn = | ап | монотонно
возрастает. Действительно, при п= 1 |а2| = |2а2- II > |а,|
(в справедливости этого неравенства, при а, >1, читатель
может убедиться самостоятельно).
Теперь предположим, что \ак\ > Тогда
“ ak~i\2 la,I • \ак\ — |ал_,| >2 \ак\ — |at_,l =
= l«*l + (lej “ le*-il)> \ак\,
а следовательно, по индукции, последовательность Ъп возра-
стает И 14*5001 > I <201, чт0 противоречит условию.
Положим а, = cos а, тогда а2 = 2 cos2 а - 1 = cos 2а. Снова
используя метод математической индукции, несложно пока-
зать, что ап = cos па. Тогда
л
4*500 = cos ^00® и = у + Л'ОТ» wt G Z.
558
Тригонометрическая подстановка
Отсюда 2000а = 2л + 4л т и cos 2000а =	= 1.
Ответ: 1.
Пример VIII.8. Среди всех решений (a; b; с; d) системы
а2 + Ь2 = 9,
с2 + d2 = 16,
ad + Ьс 5 12
найти такие, при которых выражение b + d принимает наи-
меньшее значение.
Решение. Два уравнения системы подсказывают сде-
лать следующие замены: a = 3cosa, Z> = 3sina, c = 4cos/3,
d = 4sin/3, где aS [0; 2л), 0E [0; 2л). Тогда неравенство
системы становится таким:
12 cos a sin/3 + 12 cos/3 sin a 5 12, т.е. sin (a + p) 1.
Отсюда с учетом ограничений для a и /3 запишем
a + /3 = или а + /3 —	. Далее,
i + d = 3sina + 4 sin/8 = 3 cos/3 + 4 sin/3 =
/3	4
= 5 I-z cos/3 + -z sin/3
I э	о
= 5 sin (<p + /3),
3	4
где sin <p = —, cos <p = —. Следовательно, b + d — 5.
О	о
Нетрудно установить, что 3 cos/8 + 4 sin/3 = — 5 лишь при
условии cos/3 =-|, sin/3 =—С учетом cos/3 = sina и
sin/3 = cos а получаем
n „	12 i 9	12	,	16
Ответ: a = —z-, b= - -z, c = —z-, d= —
ООО	о
Пример УП1.9. Доказать, что при любых действительных
х, у
1 < (х + У)(1 ~ ху) < 1
2 " (1 + х2)(1 + у2) " 2'
aG
Решение. Сделаем замену: х = tg a,
“ 2’ У] ’	2) ’ Имеем
У -
где
559
Тригонометрическая подстановка____________________________
(х + у)(1 - ху) _ (tga + tg/3)(l -tga tg/3) =
(1 + x2)(l + y2)	(1 + tg2a)(l + tg2/3) -
= sin (a + 0) cos (a + /3) = sin 2 (a + /3).
Отсюда следует справедливость доказываемого нера-
венства.
Пример УШЛО. Доказать, что
a - b Ь — с с — а____________{а — Ь)(Ь — с)(с — а)
1 + ab 1 + be 1 + ас (1 + ob)(l + йс)(1 + ас) ’
Решение. Воспользуемся заменой a = tga, А = tg/3,
c = tgp, где а,/3, <р принадлежат промежутку
Доказываемое тождество становится таким:
tg (а-0) + tg Q3 - <р) + tg (<f> - а) =
= tg (а - 0) tg (/3 - <р) tg (<p - a).
Заметим, что a-0+0-<p + <p-a = Q. Таким образом,
задача свелась к доказательству равенства
tg х + tg у + tg z = tg x tg у tg z
при x + у + z = О. Предлагаем читателю завершить решение
самостоятельно.
Пример VIII. 11. Положительные числа а, Ь, с таковы,
что abc = a + b + с. Доказать тождество
1	.	1	.	1	. ___________2__________ =
1 + a2 1 + b2 1 + с2 /(1 + а2)(1 + й2)(1 + с2)
Решение. Пусть а = tga, b = tg/3, с = tg^>, где а, 0, <р —
острые углы. Имеем
tg а + tg/3 + tg <р = tg a tg/3 tg <р.
Покажем, что а, 0, </> — углы одного треугольника. Дей-
ствительно, tga + tg/3 + tgp - tgatg/3tgy> = О,
tg a + tg/3 + tg<p (1 - tg a tg/3) = 0.
Поскольку a, 0, <p -— острые, то (tga + tg/3) tgp # 0. По-
ЛуЧаеМ t^ + igaYtg^ = °’ Ctg + Ctg5P = °’
560
Тригонометрическая подстановка
sin (а + /? + у>)
sin (а + р} sin <р
= 0, sin (а + Р + <р) = О,
и с учетом ограничений для а, /?, <р можно записать
а + /3 + <р = л.
Доказываемое тождество принимает вид
1
1 + tg* 2 * а
------5-т + ------?— + 2 Vcos2 а cos2/? cos2 = 1
1 + tg2/3	l+tg2^>	r r
или cos2a + cos2/? + cos2<p + 2 cos a cos/3 cos <p = 1, где a, p,
<p — углы остроугольного треугольника. Запишем
2	.	2 0,	2	,	1 + cos 2a l + cos Й
cos а + cos р + cos <р - 1 = -----г---- + ------z—— +
,	2	, cos 2а + cos 2Р ,	2 ,	. ,	.
+ cos <p - 1 = ---------------— + cos2 (л - (a + РУ) =
= cos (a + /3) cos (a - /3) + cos2 (a + /3) =
= cos (a + P) (cos (a + /3) + cos (a - /3)) =
= 2 cos (a + p) cos a cos/3 = 2 cos (л - <p) cos a cos/3 =
= - 2 cos a cos p cos <p.
Пример VIII. 12. Пусть / (t) = V1 + t2 —t. Вычислить
значение выражения f (x) f (y) + f (y) f (z) + f (z) f (x), если
xy + yz + zt = 1, x > О, у > 0, z > 0.
Решение. Произведем следующую замену: x = ctga,
( п\
У = ctg/3, z = Ctgp, где a, /3, <p G 0; — .
\
Из условия следует, что
ctg a ctg/? + ctg/? ctg <p + ctg <p ctg a = 1 или
tg a + tg /3 + tg <p = tg a tg/3 tg <p,
а значит, a, p, <p — углы одного треугольника (смотрите
предыдущую задачу).
/ (х) = V1 + ctg2 a — ctg a = —Д---C?S a =
1 4 ’	* sina	sina
561
Тригонометрическая подстановка
_______2	. а
“	. а а “ g 2 ‘
2 sin — COS у
В	ф
Аналогично / (у) = tg у, f (z) = tg у. Имеем
лл	L
/(x)/(y)+/(y)/(z)+/(z)/(x) =
а В В ф ф а
- tgy tg- + tgy tgy + tgy tgy -
= tg|	(tgy +	tg^	+	tg^	tgy	- 1 + 1.
а 7Г	Ф	7Г	<p	CC
Так как 0<y< — иО<у<—, Totgytg—*1. Тогда
X 4	л»	4	X	X
tg2 (tgI + tgf) + tg|tgy-l + l =
2	2 I	x <p * a
'	1	tg^- tgy - 1
\ /
( ф а Л ( В (a + <p\ Л
=	+ 1J + 1 =
/ <p a	\ (	В	В	\
= tg^tgy-1 -tg^ctg^+l +1 = 1.
(XX	Ji	X	X	f
Ответ: 1.
Пример VIII. 13. Доказать, что из любых 13 чисел всегда
можно выбрать два числа х и у таких, что
1 +*у V2 + VT
Решение, а^, а2,...,а^ — числа, о которых говорится в
условии задачи. Пусть ^ = tgap где azG |-у; у I, i=l.
2,..., 13. Разобьем промежуток I —у; у] на 12 равных
\	**	** I
562
Тригонометрическая подстановка
частей. Тогда из 13 углов at найдутся, по крайней мере, два
л _
угла ат и ап такие, что 0 < ат - ап < —. Отсюда
1. X
0<tg(am-an)<tg^.
Обозначим tg ат = х, tg ап = у, получим О <	< tg •
л -\ /2 -73”
Осталось заметить, что tg — = у у—- .
IX » Z Т
Упражнения
VIII. 14. Числа a, b, с, d удовлетворяют условиям
а2 + b2 = 1, с2 + d2 = 1. Доказать, что | ас - bd\ $ 1.
VIII. 15. Доказать, что при n&N, п^2 и |х| < 1 имеет
место неравенство (1 + х)” + (1 - х)" < 2".
VI — I х I
—-------- = 2х2 - 1.
VIII.17. Решить уравнение
VI - х = 2х2 - 1 + 2х V1 - х2 .
VIII. 18. Решить уравнение |х + V1 — х2 | = V2~(2x2 — 1).
VI + 2х V1 — х2
---------------- + 2х2 = 1.
X
V	III.20. Решить уравнение
х2V1 -х2 = |х3| - |х| +
х 35
V	III.21. Решить уравнение х +	.
V	III.22. При каких а неравенство VT- х2 > а - х имеет
решение?
V	IH.23. Сколько решений имеет система уравнений
х + Зу = Ду3,
 у + 3z = 4г3,
z + 3x = 4x3?
563
Тригонометрическая подстановка
V	III.24. При каких а и b система
х2 + у2 = 1,
' ах + by = 1
имеет единственное решение?
V	III.25. Сколько корней имеет уравнение
4VT|x| (х2- 1) (2х4 — 4х2 + 1) = 1?
V	III.26. При каких а система уравнений
х2 + у2 = а2,
ху (2х2 - а2) = 1
имеет решение?
V	III.27. Среди всех решений (х; у; z; f) системы
х2 + у2 = 4,
z2 + t2 = 9,
xt + yz = 6
найти такие, при которых выражение х + z принимает наи-
большее значение.
VIIL28. Известно, что 1 х2 + у2 $ 2. Найти наибольшее
и наименьшее значения выражения z = х2 + ху + у2.
VIII.29. Найти наибольшее и наименьшее значения вы-
. Зху — 4х2
ражения А = *2 - у2 .
VIH.30. При каких а неравенство Зху — 4х2 <а(х2 + у2)
имеет решение?
VIII.31. Существует ли множество, состоящее из 100
действительных чисел, обладающее следующим свойством:
вместе с каждым числом х оно содержит число 2х2 — 1?
VHI.32. Решить систему уравнений
2х + х2у = у,
• 2у + у2 z = z,
2z + z2 х = х.
564
Тригонометрическая подстановка
VIIL33. Доказать, что для любых действительных чисел
а. Ъ, с выполняется неравенство
|<2 —Л>|	|Л> —с| >	|а-с|
У(1 + а*)(1 + Ь2)	У(1 + ^(1 + с2) " У(1 + а2)(1 + с2) ’
VIIL34. Решить систему уравнений
3 [х + -| = 4 [у + -| = 5 \z + -|,
\ х) \	у) \ z)
xy + yz + zx = 1.
VIII.35. Решить систему уравнений
ху + yz + zx = 1,
 1 ~ *2 _ 2у _ 1 — z2
1 + х2 ~ 1 + у2 " 1 + Z2
(х, у, z — положительные числа).
VIII.36. Числа х, у, z таковы, что ху + yz + zx = 1. До-
казать, что
X . У . Z _ ____________________4xyz________
1-х2	1 - у2 1 - z2 (1 - х2)^ - у2)(1 - z2) *
VIII.37. Положительные числа х, у, z таковы, что
ху + yz + zx = 1. Доказать неравенство
2х (1 - х2) 2у (1 - у2) 2z (1 - z2) <
(1 + х2)2	(1 + у2)2	(1 + z2)2
« Х  + у + 2 .
1 + х2 1+у2	1 + Z2
VIII.38. Положительные числа а, Ь, с таковы, что
а + b + с = abc. Доказать тождество
1 .  1 . _ 1 _
Vl + a2 V1 + Ь2 <1 + с2
1/ (V1 + а2 - 1)(У1 + Ь2 - 1)(У1 + с2 - 1)
+	(У1 + а2 + 1)(У 1 +Ь2 + 1)(У 1 + с2 + 1) '
565
з)
о)
б)
Ответы. Указания. Решения.
Глава I
1.2. а) 5; б) -7; в) -1; г) 0; б) -6; е) 1,5; ж) 1
4
v 11VT ч ч Л ч ч 4 + 3VT+2V3"
1,9; и) ; к) 1,5; л) О; м) 4; и) -------------г-------;
1 X	£
3V3-- 1. 1.3. а) -1: б) 4 1.4. а) б) 2. 1.5. а)
±. 1.6. a) V2"; б) 5,5 - /3~; в) 1. 1.7. а) да; б) да. 1.9. а) да;
б) да; в) да; г) нет; д) нет; е) да; ж) да; з) да; и) нет; к) нет;
л) да; м) нет; н) да; о)
б)	a^V2- в) а
числа разных знаков. 1.13. а)
д) -1; -2; ё) 2,25; 0,25; ж) 10; 1; з) наибольшего значения
не существует; — наименьшее; и) - ; -1; к) наибольшее
значение 1; наименьшего не существует; л) наибольшего и
наименьшего значений не существует; м) наибольшего и на-
именьшего значений не существует; н) 1; -1; о) наибольшего
и наименьшего значений не существует. 1.14. а) 2]; б)
[0; 1]; в) [-1; 1 ]; г) [0,5; оо); д) [1; оо); е) [2; 8]; ж) [-1; 1];
; ОО |; и) I — оо; —
,_3	/	\	7
ложительные: а); г); 3); е); н); ф). Отрицательные: б); в);
ж); з); и); к); л); м); о); и); р); с); пг); у). 1.18. Положи-
тельные: а); в); в); з); и). Отрицательные: б); г); 3); ж); к);
л); м). 1.20. a) tgl30°<tg(-130°); б) tg 110°<tg 193°; в)
sin 200° < sin (- 250°); г) cos 80’ > sin 330°; 3) ctg 100°< ctg 80°:
e) cos 250° < cos 290°; ж) sin 160° > sin 240°; з) sin 100’ >
> sin (-100°); и) sin 60° > sin —; к) ctg— < cos 280°; л)
ctg 6 < ctg 6°; m) col 3 2 > sin 5. 1.21. a) II четверть; б) I чет-
верть; e) III четверть; г) такого быть не может; 3) I или II
четверть; ё) II или III четверть; ж) I или III четверть; з)
II или IV четверть. 1.23. а) четная; б) четная; в) нечетная;
г) нечетная; 3) нечетная; е) ни четная, ни нечетная;
ж) четная; з) четная; и) четная; к) нечетная; л) четная; м)
нечетная; н) четная; о) ни четная, ни нечетная; п) четная;
нет; п) нет. 1.10. а) а = 0:
6; 4; б> 6; 4; в) 5; 1; г) 1; О;
з) (- оо; -1] U
ОО
U [2; оо). 1.16. По-
566
Ответы. Указания. Решения.
р) четная; с) ни четная, ни нечетная; т) нечетная; у) ни
четная, ни нечетная; ф) ни четная, ни нечетная; х) ни
четная, ни нечетная; ц) ни четная, ни нечетная; ч) четная;
ш) ни четная, ни нечетная; щ) ни четная, ни нечетная; э)
нечетная; ю) ни четная, ни нечетная; я) нечетная.
1.27.	а) б) в) не существует; г) 0; д) -1; ё) 0;
X X
1.25. а)
158|.
ж)
V2	1 v3	1
з) и) -1; к) л) м) 0; н) -^; о) -1; п) 1; р)
Z	Zu	z
~-zf; с) т) V3”; у) Ф) - V37 1.32. a) cos 1,6л <
u Z	Z
< cos 1,68л; б) tg 7,2л < tg 7,25л; в) sin 20° < sin 21°; г)
cos 20° > cos 21°; д) sin 200° > sin 250°; е) cos 200° < cos 250°;
ж) ctg 200° > ctg 250°; з) cos 5,1> cos 5; u) sin 2 > sin 2,1; к)
ctg6>ctg6,2. 1.33. Положительные: а); б); в); e). Отрица-
тельные: г); д); ж); з). 1.34. a) sin 58° > cos 58°; б) sin 18° <
< cos 18°; в) sin 81° <tg 81°; г) sin 20° < cos 20°; d) sin 40° <
< ctg 20°; e) cos 80° < sin 70°. 1.35. а) да; б) нет. Указание.
2 VT
tg 80° > tg 60° = V3",	- > 1; в) нет. Указание, ctg 10° >
и
> ctg 45°; г) да. 1.47. cos2 a. 1.48. sin2 a. 1.49. - cos2/J. 1.50.
-sin22a. 1.51. 2. 1.52. 0. 1.53.	♦ 1.54. ctg2a. 1.55.
sin2 5a
tgactg2a. 1.56. tg3atga. 1.57. sina. 1.58. cos — . 1.59.
2 cos/3. 1.60. tg2a. 1.61. -ctg2y. 1.62. 2 cos2a. 1.63. tg2a. 1.64.
cos(a+/3). 1.65. sin(a-/3). 1.66. -ry-. 1.67. —1.68.
v	v ' sirrx cos2/
-sin2a. 1.69. -Д— • 1-70. 1. 1.71. 1. 1.72. -Д-. 1.73. 1.
sin2 a	sina
1.74.	sin2 a. 1.75. 2. 1.76. tg2a. 1.77. 0. 1.78. 2 sin2 a cos2 a.
1.85.	cos2 J. 1.86. 1. 1.87. cos2 a. 1.88. -sin2/3. 1.89.
z
- |sin^ + 1|. 1.90. 2. 1.91. 4. 1.92. —1.93.	1.94.
\	2	/	cos2 a sirrp
1. 1.103. 1. 1.104. -Л-. 1.105. -Ц. 1.106. -Л-.
sin a	cos p	sin x
567
Ответы. Указания. Решения.
1.107.
1
-Д- . 1.111.
sina
2
sina *
1.112.
1.118.
. 1.108. 0. 1.109. 0. 1.110.
COS X
-^-5. 1.113. —J—. 1.114. tga tg/3. 1.115. -tga tg/3.
COS/3	COS a	о er	ь Ы
Sin4 a. 1.119. 1. 1.120. 1. 1.121. sin2 a. 1.122. -1. 1.123. 1.
1.165. Указание. Рассмотреть разность левой и правой частей
данного равенства. 1.169. 0.1.170. 0.1.171. -1.1.172. 1.1.173.
-4. 1.174. sin a + cos a. 1.175. 2. 1.178. -tg2(2a-/3). 1.179.
1+sinacosa. J.180. — sin2a. 1.181. —-—. 1.182. -cos2a.
cos a
1.183. -^-5 .1.184. cos2/?. 1.187. cos 7-sin 7. 1.188. -sin/3-
COS p	L	L
-cos/3. L189. -Д—. 1.190. 2ctga. 1.191. -1. Указание. Так
r sin a
как a л, to cos^ cos a, cosa^ —	1.192. 1.
J	О	x
- ---- .	28 x 28 t
53, .ga-45, ctga =
28	28	45	_
или sina = ——,	tga=- —,	ctga =	- —;	6)
OJ	40	Zo
9	40	,	40	9
sin a = — , cos a = — , ctg a = — или sin a = - —, cos a =
41	41	9	41
40	40	3^5" +	2
= - 77 , ctg a = — ; e) cos a =--—, tg a = 77^, ctg a =
41	Yf	/	J V J
3 75"	.	7	24	7
= ~Г' г) sina = —, cosa=- —, tga = - —; d)
VT x TIT x vTT 4	99
sina = —, tga =------—, ctga =------—; e) cosa = - —,
20	99	24
—, ctg a = - —; ж) sin a = - 0,96, tg a = - ~,
7	73"	273"	73"
ctg a = - —; 3) cos a = —, tg a = —— , ctg a = —; и)
24	J	О	Z
Тб"	7з" , 7Г 4 .	73"
sin a = ——, cos a = ——, ctg a = —; к) sm a = ——,
2'15'	1	7n2 — m2
= —7“, tga = -7; л) cosa = --------------tga =
m	7n2 - m2
i---5=, ctg a = --------- или cos a = —
-m2	m _______
m	Vn2 -m2
—I ,	, , ctg a =--------; m) cost a = —
Vn - m	m
1.193. -sin a cos/?. 1.198. a) sina = —, tga = —
_ 45
28
tga = -
tga =
cos a
tga =
m2
n ’
к____
1 + к2 ’
568
Ответы. Указания. Решения.
1	.	1*1
sin а = —7  7 , ctg а = Л; н) sin а =-, tg а =
V1 + к	л
|»|	.	,	ь
= ~7^гр’ с,8“-----14, ’ °’ С““ = 7?ТУ’
tga = f, ctga = £ или cosa = -	, tga = -f,
b „	lylaF 24afi~ . a — b
ctga = --; n) cosa = ^TJ) tga=—=
. . 1	1
p) sm a = —,	, , tg a =-------
Vl + m2	m
ctga = — m; c) sin a =
2x . 2x . x2 — 1	2x
------5 , tg a = —z	, ctg a = —— или sin a =-------з
1 + x2 6 x2 - 1-----------------------------------------6 2x	1 + x2
. 2x .	1 -x2
*a = rZ72’ ctga = ^T;
1 - a4
1 + a4 ’
+	2a2	.
ctga = fl4 _ t ? 4>
„	2a2
m) cos a ---------7, sina =
1 + a
a — 1	2 4~a
sin a = ——-, cos a = ——,
a + 1	a + 1 ’
a — 1	, „	V2a — 1	a — 1
tga = T77; ф) sina= a ’ tgCT = T2r-T’ ctga =
V2a — Г	V2a- 1	,	1 - a
=-----— или sm a =-----------, tg a = -r=--=•, cig a =
a - 1	a	V2a - 1	°
=	. 1.199. cosa= ja|, |a| $ 1. 1.200. sina =
1 — a
= ± 42a - a2, - 2 «S a ss 0. 1.201. cos Ф =----------—-j—. 1.202.
r a + b
cos <p = -t-i---5-----.	1.203. cos a =---------5—, tg a =
r Va4 - 2a2 + 2	m2
= —! }......,	ctg a = - V/n4 — 1 . 1.207. a) 5; 6) —77; в)
4 nr — 1	2
16 ч	4	ЯХ	, 4	ч	12	\	л 1	1	15	4	m	X	125
-TT? г)	-1:	d)	-14;	e)	7.-;	x)	9т;	з)	—;	И	-27;	к)	^-==\
11	/	4	Z9	JD1
. 5 --»<< ч ------------2	a(3-a2)	. 1 + 2a2 - a4
л) -?. 1.211. a) ± 42 - a2 ; 6) —----L ; в) --------; г)
2	2
8 (1 + 2a2 - a4)	„ 1 + 6a2 - За4 ч л/-----------T
(^-1)-	: 9 ------4------; e>
569
Ответы. Указания. Решения.
1.212. а) а (а2 - 3); б) а4 - 4a2 + 2; в) ±
1.214. а3 - а2.
у + ё = 1;й	® f
. 1.213. |.
а	9
1.215. ±3. 1.218. а) х2 + у2 = 4; б) ху = 1; а)
= 1; е) ху = 1; ж)
х = у2 - 2; з) 2у -X - х3; и) х = у2 + 2. 1.219. а) а3 - Ь3 =
= ab (2а - Ь); б) = tgx; в) а = b или а + b = 2ab. 1.221.
а) 2; 1; б) 3; -2; в) не существует; г) з4; -2; д) 2 4; -3;
О	о
ё) О; - 1 1; ж) 31; 2; и) наибольшего не существует; -1 —
наименьшее. 1.223. a) cos а; б) sina; в) ctg а; г) tga; д)
sina; ё) -cos а; ж) tga; з) tga; и) sina; к) cos а; л) tga;
м) -tga;
cos2 а; т)
ч) — cos а.
ctg 14°; б)
ctg 14°; к)
7Г	yv
-sin т^; и) sin—; р) sin 0,1л; с) - sin --
1о	10	/
и) -sina; о) -sina; и) -cosa; р) cos2a; с)
ctg4a; у) tg2a; ф) sin2а; х) -sina; ц) sina;
1.225.	a) -sin33°; б) -tg6
- cos 38
-sin0,1л; л) sin43°; м) cos40'
. . л ...
в) - sin 36°; г)
е) tg0,2?r; ж) sin 5°; з) -tg40°; и)
°; н) tgO,2r; о)
v ( Л\
т) — tg[2 — — 1;
15’ ‘
.	I е Зл\
у) - cos 15 - -у I Ф) ctg
-sin24°; в) - sin40°; г)-cos40°; д) -ctg0,2л;
( 5jc\
ж) -sin40°; з) -sin 8—г- ; й) -tg40°; к)
1.227. a) cos 24°; б)
е) - cos 19°;
- sin 10°; л)
х Зл
~ISh! р>
. 2л ____
ctg7°; м) -ctg4°; н) sin 18°; о) cos0,2л; п)
sin^-; с) tgy; m) -sin^; у) -ctg-^ ф) -sin у. 1.229.
а) б) V3"; в) -	; г) - V31 д) - ё) - ж)
V3"	V3" VT	V2" Г-
з) -т-; и) - -г-; к) -1; л) -1; м)	н) - VT;
. V3" .	1	.1 . V3" . , . л ,. 1	. vT .
о) -у; п) р) с) у-; т) 1; у) 0; ф) -; х) у-; Ц)
“
3 ’
1.232.
+ tga.
26 ’ ”	12 *"	9
/2" .	„	V3" ч	V3"
_ , V,	w _ ; г, . ; ж)
2	2	3
V3"	ч	V2"	ч	.	ч	ч	V2"	ч
3 ’	w	2	’	*’	w	х’	т'	2 ’	п'
1	х 1	\ ^3”	. , . Л ,. 1	. vT .
2	’ р 2 ’ с) Т: w 1; у) 0; ф) -; х) —; ц)
\	\	1	\	3	.	V2	.	.	V3
ч)	- у ; ш)	-;	щ) у;	э)	—;	ю)	- V3;	я)	—.
cos а + sin а. 1.233. - ctg а - tg а. 1.234. - sin а +
1.235. - cosa + ctg а. 1.236. sin a-cos а. 1.237. 0.
570
Ответы. Указания. Решения.
1.238.	0. 1.239. 1. 1.240. 0. 1.241. sina. 1.242. 1. 1.243. -1.
1.244. 3sin* 2x. 1.245. 2. 1.246. 1. 1.247. 2 cos a. 1.248. 0. 1.249.
0. 1.250. 0. 1.251. 0. 1.252. 1. 1.253. 1. 1.254. 1. 1.255Г1. 1.256.
sina. 1.278. -1. 1.279. 3. 1.280.	1.281. -	1.282.
Z	4
V3~- 5. 1.283.	. 1.284. -	1.285." 1.1.286. 5. 1.287.
3	4	4
1.288. VT 1.289. |. 1.291. 1. 1.292. 0. 1.293. 0. 1.294.
2	5
0. 1.295. 0. 1.296. -1. 1.297. 1. 1.299. 1. 1.300. 0. 1.301.
. 1.302.	*	. 1.303. 2. 1.304. -2,5. 1.305. 1. 1.306.
sin 10	cos 0,1лг
-yk 1.307. 1. 1.308. 0. 1.309. 1. 1.310. 1. 1.311. 1. 1.312.
0.1.313. — 2 cos 0,1л. 1.314. 1. 1.315. 1. 1.316. 0. 1.317.
cos2|4-/3|. 1.318. 0. 1.319. 0. 1.320. 1. 1.321. —.
(3 r)	cos2 40
1.322. —1.323. 2. 1.327. a) cos2 a; 6) 1; в) 2; г)
cos210
—; 3) 2. 1.328. a) 1; 6) ± V2 - m2. 1.332. a) 1;
cos2 (a + 10 )
_ , . V5" 2	.4 3-,. 11.	4	,	4 .
® 15 0) V’ VT; г) $’ 4; d) 75’ 2’ e) "VTT’ Ж) "3’
з) 4; и) “; к) 0; л) ± 4. 1.334. а) четная; б) нечетная; в)
5	25	4
нечетная; г) четная; д) нечетная; е) четная. 1.336.
cosa. 1.337. -sina. 1.338. cosa. 1.339. 2 sin a cos/3. 1.340.
2 cos a sin/3. 1.341. 2 cos a cos/3. 1.342. 2 sin a sin/3. 1.343. 0.
1.344. 0. 1.345. 0. 1.346. 0. 1.347. 0. 1.349. |. 1.350. cos 10’.
1.351. sin 3,14. L352. |. 1.353. sin3y>. 1.354. cos/3. 1.355. |.
z	z
1.356. |. 1.357. -^. 1.358.	1.359. 0. 1.360. 0. 1.361.
X	It L
1.362.	1.363. |. 1.364. 0. 1.365. sin 40°. 1.366.
L	L
75
sin (60’-2a). 1.367. sin 2/3. 1.368. -y-. 1.369. 0,5. 1.370. 1.
1.371. -0,5. 1.372. cos 2a. 1.373. 1. 1.374. 0. 1.375. sin 2a. 1.376.
sin 2/8. 1.377. 0. Указание, cos 69’ = sin 2Г, cos 79’ = sin 1Г.
571
Ответы. Указания. Решения.
1.378.	0. 1.379. tg 15’. 1.380. cos~ 1.381. cos 10’. 1.382. 1.
Указание. Свести каждую функцию к наименьшему положи-
тельному аргументу. 1.383. — tg24°. 1.384. -1. 1.385. 1. 1.386.
1. 1.387. 2. 1.388. -1. 1.389. cos (а-/9). 1.390. cos (а +/9).
1.391.	sin3x. 1.392. cos3x. 1.412. 1. 1.413. ctgj. 1.414. 1.
1.415.	1. 1.416. ctga. 1.417. tga. 1.418. pAj-. 1-419. cos2a.
Sill
1.420.	-1.1.421. tgv- 1-422. 1.1.423. -1. 1.424.--—. 1.458.
7	cos a
Vx 1.459. -1.1.460.	1.461. 1.1.462. 1.1.463. 1. Указание.
tg^~ = tg	=-tg^-. 1.464. 1. 1.465. VX 1.466.
1.467.	1. 1.468. 1. 1.477. Указание. 3 = ctg2 30’. 1.482. a)
YEsVT. 2_v3-..0) Y^vr. г) yr+VF. d) 2.,vT; e)
ж) yfT. 1.486. -0,936. 1.487.	1-488.
^~"3. 1.489. -0,352. 1.490. -4^". 1-491. “’ 492.
o	oZ	О
1.493.	1.494. 5.1.495. -0,75. 1.496. ~. 1.498.
i.}	4225	5
. 1.499. 1288 . 1,503. — sin 40’. Указание. Углы в
145	131 «3
10’ и
50° представить соответственно в виде 30’ - 20’ и 30’ + 20’.
1.504.' 2. 1.505. -0,6. Указание, а =	^-a^. 1.506.
_VT(V7JL2) Г50г _2 L508> 1 указание =
/Зл , \	л	24VT-7
= -т- + а — —. 1.509. -------zt---. Указание. 55 — а =
\ о /	4	50
= (25’- а) + 30’. 1.510. 48+25vT указание 35« + а =
= 30’ + (5’ + а).	1.511.	1.512.	1.513.
_____
^(Vl - а2 - а). Указание. 35’= 45’- 10’.	1.514.
па~—“. 1.515. aVl — i2 — dVl — а2. Указание.
572
Ответы. Указания. Решения.
/3-у = (а+/3)-(а + у). 1.516.	1-517. tg2a = -|,
tg 2/3 = ^-. Указание. 2а = (а + р) + (а — р), 2fl = (a+p) —
-(а-р). 1.522. 60’. 1.523. 45е. 1.524. 135’. 1.525. 45’. 1.528.
225’. 1.529. 135°. 1.530. у. Указание. Найти cos (а— р).
1.534. а) 2; б) 2; в) V2; г) 2VT; д') 5; е) <ТсГ 1.536. а)
а — b
tg (х + У) = * +	• Указание, х + у = (а + х) — (а — у). 6)
= 1. Указание. 45’ = (22,5’ + а) + (22,5’ - а), в)
ta. = V3~; г) sin 2а = ± т Vl - n2 ± п V1 - т2. 1.539. а)
1 + ао
tg2а = 1	cos3a = 4cos3a - 3cosa; в) tg3a =
3tga-tg3a _	.	a ,	. a
= —------f-—. 1.540. a) sin a cos p cos у + cos a sin p cos у +
1 - 3 tg2 a
+ cos a cos P sin у — sin a sin P sin y; 6) tg (a + P + y) =
tga + tg/3 + tgy - tga tg/3tgy
1 - tga tg/3 - tga tgy - tg/3tgy ’
1.543. a) cos2 - sin2 £;
За 3a tg о
6) 2 sin — cos -r-; в) -—; г) 2 sin 5a cos 5a; d) cos2 3a —
Z Z -	. 2
i-tg g-
. 2 _	.	2tg3,5a	. a + /3 a + /3
- sin2 3a; e) --~ 2 ~	5 ж) 2 sm —cos —5 3>
1 - tg2 3,5a	2	2
2 t£ 27°
cos2 0,5 - sin2 0,5; u) 2 sin 4a cos 4a; к) -* * 6 * * * * ii) ,_. ; л)
1 - tg2 27
_ (x _Q\ (x ,	4	2 (^ . x\ • 2 t x\
2 sin = - 15 I cos H- - 15 ; m) cos2 у + ~ - sin2 — + -z ;
.	/n:\.2tg3a	. x x
ii) 2 sin — - 2y cos — - 2y ; o) --5——; n) 2 sin -7 cos —;
\6	'/	(6	') l-tg23a	6	6
p) cos2- sin2; 1.545. a) 2 cos a; 6) tg2a; в) cos2 а; г)
cc	cc
sin 25°; d) 2 sin 40’; e) 1; ж) ctg-z-; 3) cos a + sin a; u) cos^-;
573
Ответы. Указания. Решения.
к) cos Па; л) cos2 2^3; м) sin 40°; н) cos20p; о) 2; и) 1. 1.547.
а) 1; б) 4cos4y; в) 1; г) cosa —sina; д) sin За; е) 4 sin2а;
О
а 1	1
ж) -cosу; з) -гsin2а; и) cos2а; к) xtg2a; л) sin2а; м)
ал	L
2sin2а; «) 1; о) cos2a; n) tg2j; р) 1; с) -^cos2a; m)
Т*	Ал
— sin 2/3; у) — ctg 2a; ф) sin 4a; x)	— sin	2a.	1.549. a) ±;	6)
VT .	V3" . V3" я. V2 .	>f2	.	VT . 1	.
V; e) "“з"; г) V; d) T; e)	V;	Ж)	V; 3) 2	U)
2VT. xl x, ч 1 x V6"	. VT . vT .
—g-; к) д! Л) -1; м) -; н) -у; о) п) -у-; р)
yfl VT
- -у; с) - —. 1.551. 4 cos 2а. 1.552. 2 ctg 2а. 1.553. 0. 1.554.
0. 1.555. ~ tg а. 1.556. sin 2а. 1.557. cos 2а. 1.558. tg а. 1.559.
At	X
2
4. 1.560. 2. 1.561. 2. 1.562.	. 1.563. tg2a. 1.564. tg2a.
sin а	°	°
1.565. sin За. 1.566. 0,5 ctg 2а. 1.567. tg2a. 1.588. ctg4 а. 1.589.
tg4a. 1.590. tg2asin2a. 1.591.	1.592. tg4^. 1.593.
cos2 a	2
ctg4 2a. 1.594. tg4f. 1.617. cosa. 1.618. -cos20°. 1.619.
At
sin 2a. 1.620. 1. 1.621. 1. 1.622. | ctg 2a. 1.623. -1. 1.624.
At
1.635. -2. 1.636. 4. 1.637. 2ctga. 1.638. sin2a. 1.639.
X	X
-2. 1.644. sin 2a = 0,5376, cos 2a = - 0,8432, tg 2a = - Щ.
1.645. sin 2a = -	, cos 2a = - Щ. 1.646. tg 2a = 4 >
107	lOz	О
tg4a = -3|. 1.647. -i L648. -0,98. 1.649. sina = ||,
/	/	xo
7	*	24 т,.Лч 3 T,_. 4vT+17V3~ T,„
cosa = —, tga = -y-. 1.650. —. 1.651. -------------—------. 1.652.
116. л	253	. 2016 T . 837 -	253 T
a) 845 ’ ®	325 ’ 6 3713 ’ L653' й) 845 ’	325 ’ L654‘
sin 2a = -	C0S 2a = “ ° /	’ I,658> “ °’96-
(a + by	(a + by
574
Ответы. Указания. Решения.
1.059. 1,5. 1.660.	1.661.	1.662. 2(3 + VT). 1.663.
14	а
239 л/	(	0\ (а а а +0 т ААЛ
/29 . Указание. [« ~ 2] ~ [2 ~	= 2 + 2 = ~2~' L664‘
*1. Указание. Приведя к общему знаменателю, преобразо-
т zaz xr	ЗТС
иать числитель в синус разности. 1.676. Указание, cos— =
- cos (л -	. 1.684. у = х2 - 1. 1.685. у = 1 - 2х2. 1.686.
	у2 _1_ А
ху = 2 ± Vx2 - 4 . 1.687. у = -	. 1.688. у 2 = - 4х6 +
+ 12х4 — 9х2 + 5. 1.698. Указание. Вычислив cos 18° и tg 18°,
выразить tg54° через tg 18°. 1.710. а) 1 + C°S ; б)
1 _
1 - cos (80° + <р)	. 1 C0S 1401 4 /	. 1 + sin 2а
-----2----- ’ вУ ------------------г) -----------2----5 д)
1	+ cos 4а - т
\	4/
I - cos 6а 1 + cos 14а	1 “ cos у 1+сО!5(б ~ 2ст)
”2------; е) ----2------; Ж) ------а’ 3) --------(л-----V
1+cos- 1-cos --2а
X	\О /
За
ч 1 C0S 2 ч 1 + cos (fi + 2<р) т„,„ ч „	2 а Л
и)	— ; к) ----------------—. 1.712. а) 2cos2-у; б)
L	La
2 sin'5а; о) 2cos2-^-; г) 2cos22; д) 2sin235°; е) 2cos2—;
X	11
.	ч „ • 2^л	Ч ~ . 2 а ч г. 2 За
ж) 2cos2 т-а ; з) 2sinz —; и) 2sinz—; к) 2cosz—;
\4	/	\4	8/	10	4
л) 2sin225°; м) 2cos2-^?. 1.758. sin^ = ^, cos^- = y^,
lv	X L f	X 1 /
a	8	5	12	(X
(g 9	. L759. sin a = - —, cos a = - —. L760. ctg =
X Ю	Ю	Ю	X
2	ct	1	ct	9
- z	,	Ctg-	=	|.	1.761.	tg¥ =	- 0,2. 1.762.	sina = ±
J	О	X	Vu
. 1 т • а	a Л4” x a V7”
cosa = ±^. 1.763. siny = —, cos- = —tg^ = y~.
,	.За Тб" 3a VT T	1	T1
1.764.	sin—	= —,	cos—	= —. 1.765.	-.	1.766.
X	X
575
Ответы. Указания. Решения.
1.767, |. 1.768. А/- , где ai>0. 1.771. а) , V5~; б)
л»	• CL	2
V2 + Уз" ч г- V2 - VT	_
-----—---; в) 2 + VT; г) ---------=----; д) - (1 + VF); е)
VT- 1. 1.772. V	♦ L777’ “2 cos а. 1.778. sin 2а. 1.779.
sin [45° — ?] . 1.780. 2 I cos (45°-а) |. 1.781. sin?. 1.782.
cos?. 1.783. VTctg2a. 1.784. V2“tga. 1.785. 2. 1.786. 2. 1.787.
О
А-2 cos?. 1.788. 2 sin [?- ?|. 1.789. 0. 1.790. 0. 1.791.
2	\4	2/
2 tg a. 1.792. - cos ?, если 2л < a =£ Зл; sin ?, если Зл
4	4
a
«£ a *£ 4л. 1.801. f. 1.802. 3 + 2 VT или 3 - 2 <2. 1.803. Va",
если O^a^l; , если a>l. 1.806. a) tg [? + ?); 6)
a	\4	2/
tg [? - a); в) tg 25°; г) tg (30° - a); d) tg [? + ?)• L807. a)
\ t*	j	у X О /
tg?; 6) 1; в) ctg?. 1.818. a) 2 cos 35° cos 15°; 6)~2sinl0°x
x sin 26°; в) 2 sin 20° cos 8°; г) 2 sin Г cos 4°; d) 0; e)
2 cos 4a cos а; ж) з) 2 sin 16° cos 4°; u) 2 sin 4? cos ??; к)
2	40	40
5тс	7t	,
2 cos — cos — ; л) — 2 sin 3a sin a; m) 2 sin 2a cos 5a; h)
I £	I £
 sfi 3/3	.	„ . 9a . 3a .	„ . Л
2 sin cos ; o) - 2 sin — sin —; n) - 2 sin 4a cos 6a; p)
£ £ £ £
л
_	11/ 5y . sin 32°	. Sin60
2 cos 2 cos 2 ; c) cos 15«	17» »	5л 2л'
C0SnC0ST
sin 40°	. ,._______sin 40°	. . ______V2~_____
sin 24° sin 16° ’ Ф> sin 55° sin 15° ’ X) Л 7л л ’
2 C°S 24 C°S 24
sin 7a	sin 4a	sin (2y + 3/3)
cos 3a cos 4a ’ sin 5a sin a ’ sin 2y sin 3/3 ’
У)
Ц)
576
Ответы. Указания. Решения.
щ) . Sln —. 1.820. а) 2 sinx cos а; 6) 2 sin a sin 8; в)
sin Зх sinx	г’
(л\	sin 2а
2»-4р г> 2,g2“' ® cos(x + a)cos(x-«); е)
2 cos а cos (а — 30°) ’ ж> 2 sin с“ * ^“sa; «> cosa; й
-V3~sina. 1.822. a) vTcos25°; б) VTsin —; в) cos 5’; г)
. о
_ .	. 17л 7л _ Зл . л
2sinl sin23; д) 2sin—-cos —; ё) 2cos —sin —; ж)
oU oU	ZU ZU
.— . ( л\ „	. (л 8 a\ (л 8 a\
V2sin [a-— ; з) 2 sin—- т-+—cosy - v; u)
\	4/	\4	2	2/	\4	2	^/
sin 38°	' Vj	4 -	1 z-o . z
COS12°COS50° '	. *r .	; Л> 2cosl5 smfa l5);
2s,n24S,n8
ч	„ . За	Ы a\	_ o_.	ч	Л .	(a ,	Jt\	.	(а	тг\
м)	2 sin — cos	Hr - — .	1.824.	a)	4 sin	— +	—	sin	—	- t h
4	\3	4/	\2	О/	\Z	о/
Л . (л a\ (7t a\ . Л . (тс a\ ( ti a\
® 4SU412 + 2jC°412" 2Г 6) 4SU4l2 "2012 + 2?
V2”sin - a) VTsin + V2"sin (a - y)
г)------d)---------------e)---------------Д----ж)
cosa	sina	sina
1
-z (cos 20° + cos 10°). 1.920. cos 48° + cos 84°. 1.921. cos +
+ cos . 1.922. cos a + cos 5a.	1.923. cos (a + 4fl) +
+ cos (3a - 20).	1.924.	| (cos + cos (^ -	.	1.925.
Лл у X	\ X	О j /
cos 2 + cos (2a + 2). 1.926. cos 2a + cos 20. 1.927. (sin 55° —
37t	71	1
- sin 25°). 1.928. sin + sin -z-. 1.929. x (sin 2a + sin 10a).
4U	o	2
19 Тригонометрия
577
Ответы. Указания. Решения
1.930. sin 28° - sin 12а. 1.931. 7 (sin 2а - sin 2/3). 1.932.
(cos 4° - cos 52°). 1.933. 7 (cos 26° - cos 122°). 1.934. cos а -
— cos За. 1.935. cos 2/3 - cos 2а. 1.936. (cos 2а - cos 8а).
1.937. 2cos2at-1-. 1.938.	. 1.945. sin 8° + sin 12° -
4	4
•	уГГ
- sin 4° + sin 24°. 1.946. cos 5° + cos 35° - cos 15° ——. 1.947.
sin 10°+ sin 14°+ sin 18°— sin 42°. 1.948. | (cos 25°+ cos 75°+
+ cos 5° +	]. 1.949. j (cos 2а + cos 2/3 — cos (2а + 2/3) - 1).
1.950. | (sin 2а + sin 4а - sin 6а). 1.951. 1 + C°S ** . 1.967.
1.968. |. 1.969. sin За. 1.970. cosa. 1.971. 0,5. 1.972.
X	X
cos a. 1.973. |. 1.974. 0. 1.975. 0. 1.979. sin 2° + sin 4° +
+ sin 6° + sin 8° + sin 10° + sin 12° + sin 14° + sin 16°. 1.980.
2 cos 4a - 2 cos 2a - cos 6a + cos 8a - cos 10a + 1. 1.981.
(1 - cos 6a - cos 8a + cos 10a). 1.994. sin a = -Д-, cos a =
= -Ц, tga = -4- 1-995. -0,8. 1.996.	1.997. -0,24.
1.998.	. 1.999. -1. 1.1000. 2 или -1. 1.1001. 2. 1.1002.
37	4	3
. 1.1003.	. 1.1004. 1. 1.1007. tg 3a. 1.1008. |. 1.1009.
J	691	J	2
L1010. -4sin3a. L1011. 2. L1012. sin2a. 1.1013. 4ctga.
X
1.1014. 4 sin a. 1.1015. 2.S1°a. 1.1037. cos2|. 1.1038. 1.
sin 4a	2
1.1039. - | sin 8a. 1.1040. | sin 4a. 1.1041. sin 8a. 1.1042.
4	X	X
sin2 a. 1.1043. -2 ctg2 2a. 1.1046. VTcos (2a.—	. 1.1047.
V2~sin (4a - 45°). 1.1048.	2 VTcos a cos (45° - a). 1.1049.
2 ^2~sin a cos (45° — a). 1.1050. 4 cos 2a cos [7 + al cos It — al.
\6	)	16 I
578
Ответы. Указания. Решения.
(	\	2 VF cos2 sin ( у - За ]
1.1051. 2 sin а - - . 1.1052. ------------------—.
\	6)	cos За
1.1067. 4. 1.1068. sin 2а. 1.1069. 1. 1.1070. 1. 1.1071. 1. 1.1072.
4
|. 1.1073. sin2^ 1.1074. sin 2а. 1.1075. - sin 2а. 1.1076. -1.
X	л»
1.1087. 1. 1.1088. ctg2а. 1.1089. tg4a. 1.1090.	1.1091.
2 V2~ sin (v ~ 2а I cos2a	2 V2~ cos Гт + « cos2 x'
-----------4 „	7-------. 1.1092.------------------>------
cos 2a	cos a
1.1106. Указание. Воспользоваться формулами понижения
степени для sin2 а и cos3 a. 1.1210. 2. 1.1211.	1.1212.
. а + В 7 а + В 9	_	27
ИП 2	" /ТЗОГ’ C0S 2	”	713Г* 1Л213, 7<130“’
1.1214. cos (а + В) =	, sin (а + В) = Jab-,. 1.1218.
k	62 + a2 4	' Ь2 + а2
а = 60°, ft = 30°. 1.1219. у = 30’ или у = 150’. 1.1225.
а + у = Р или (5 + у = а, или а +Р + у = л. 1.1226. а +0 +
+ у=л. 1.1229. a+fi = ^. 1.1230. а+/3 + у=^. 1.1236.
Указание. Применить формулы понижения степени. 1.1241.
Указание. Умножить и разделить левую часть равенства на
л
2 sin —. 1.1244. Если а = 2як, кЕ Z, то S = п; если а # 2лк,
п
. па (п + 1) а
sin — cos -———
то S = ------------------. 1.1245. Если а = лк, kEZ, то
sinI
, г» sin2na
S = л; если а # ля, то S = -z—;---. Указание. Умножить и
2 sin a
разделить левую часть на 2 sin a. 1.1246. Если а=лЛ,
г	о sin па cos (n + 1) а
kG Z. то S = л; если а лк. то S = ---------------—-------—.
sin а
1.1247. Если а = лк, kGZ, то S = 0; если а лк, то
о sin2 ла т	„
S = —:----. 1.1248. Если а=лЛ, teZ, то 5 = 0; если
sin а
579
Ответы. Указания. Решения.
,	„	sin	па sm (п +	1) а	т _
а *	лк, то	5 =	------------- —.	1.1249. Если
sina
а =	л +	2лк,	kG Z,	то	S = — п;	если	a # л + 2лк, то
a .	,	(2п + 1)а
cos — + ( -1) cos Л--z——
S = ----------------------------. 1.1250. Если а=я + 2я£,
2cos?
к G Z, то 5 = 0; если а # л + 2лЛ, то
• а . / .ч» 1 . f2n + 1\
sin- + (-1)" 'sin —-— la
5 =----------------
2cos?
1.1251. Если а = лк, k£Z, то S = 0; если а # лк, то S = у —
sin па cos (п + 1) а т _	, , _ „
---------~ .	‘. 1.1252. Если а = лк, к GZ, то 5 = п;
2 sin а
, sin
лк _ n ,
если a # —, to 5 = — +
X	&
Если x = лЛ, к G Z, то <
ние. Доказать, что
. 2 na . 2 (n + 1) a
sin2— sin2-—-
—?------------г— +
о • 2a
2sin 2
а
-. 1.1253,
2 sin 2а
5 = 0; если х * лк, то S = 1. Указа-
25 sin х = 1 - cos 2nx.
1.1254. а)
sin na cos (n + 1) a n
----------------i-----r. Указание.
4 sin a	4
Искомая сумма равна ((sin a + sin 2a + ... + sin na)2 —
. 2 ПСС 2 fa + 1) a
Sin2 —cos2 —T-^—
— (sin2a + sin22a + ... + sin2na)); 6)----------------------
2sin2^
£
sin na cos (n + 1) a n
4 sin a	4 ‘
2a. + d (n — 1)
sin--------------sin dn
1.1255. a) S = ----------------Указание. При
sin-
. d _	_ . d . d .	d .
sin —	# 0	2S sin —	= 2 sin — sin a,	+ 2 sin — sin	a2 + ... +
580
Ответы. Указания. Решения.
+ 2 sin у sin ап; б) S =
1,1258. Ctg° ~ Ct8TO
sina
. nd 2at + d (n - 1)
sm^-.cos------------------
. d
sin-
1
. Указание. —.—4— =
sin ka sin (A + 1) a
1 i * n . . \ x T	ctg a - ctg (2n + 1) a
= —-----(ctg ka - ctg (k + 1) a). 1.1259. — ---z—.
sin av &	v ' '	sin 2a
1.1260.	S = ctg^ — ctga. Указание. Воспользоваться тем,
1	Jt
что ctg 2x = -r (ctg x - tg x). 1.1261. S = arctg (n + 1) - —.
Указание. Воспользоваться формулой arcctg x = arctg
1.1262.	S = arctg (n2 + n + 1) — Указание.	—- =
»	k “t* kt “t* 2
= 2Л = (V + A + 1) - (ifc2 - + 1)
1 + (Л4 + A2 + 1)	1 + (Л2 + 1)(£2 - k + 1) '
1.1263.	S = arctg an+1 - arctg at. 1.1264. S = у - arcsin	.
Z»	H t 1
Указание.
,i .i . va2 + гл - Va2 - i
arcsinу - arcsin - = arcsin------------<-------------.
k	k +1	k (k +1)
L1275. Указание.
sin8 a + cos8 a = (sin4 a + cos4 a)2 — 2 sin4 a cos4 a.
Далее воспользоваться результатами примера 1.1266. 1.1280.
Указание. Воспользоваться формулой
sin За = 4 sin a sin I ? - а I sin I ^~ + а I.
\ чЭ	/	\ чЭ	/
1.1286. Указание.
cos2 а + cos2(a + р) - 2 cos a cos /3 cos (a +/3) =
= cos2a + cos2(a + /3) — (cos (a + p) + cos (a — /3)) cos (a + P) =
2	z , о-. z	1 + cos 2a
= cos2 a - cos (a + p) cos (a - p) =--------------
— i (cos 2a - cos 2/3) = i (1 + cos 2p) = cos2/3.
581
Ответы. Указания. Решения.
1.1309. Указание. Сделать замену cos4 а = t, рассмотреть
функцию f(f) = At — t2. 1.1310. Указание.
(1 - cos2 a) cos2 а (1 + cos2 а) . cos2 а = t и т.д.
1.1315. Указание.
х + у х - у _ 2х + У
2 cos —z— cos —z-------2 cos —-—
3
2
.	2* + У . x~ У * + У . . Л
4 cos —тт- - 4 cos —cos —z^" +1^0.
2	2	2
„	x + y ..
Сделать замену cos —-— = t,
рассмотреть функцию
/(t) = 4Г2-	+ 1.
Л*
i
1.1321. Указание. Так как (1 + sin2a)(l + cos2a)>l, то
(1 + sin2a)(l + cos2 а)
1.1333. Указание. Воспользоваться результатами примеров
1.1325 и 1.1316. 1.1334. Указание.
Vctgactg/3 =
cosa cos /3
sin a sin fl
Vcos (a + fl) + cos (a — fl
cos (a - fl) - cos (a + fl)
______2 cos (a + Д)_____
cos (a - fl) - cos (a + fl)
2 cos (a + p)
1 - cos (a + p)
и т.д.
1.1347. Указание. Воспользоваться неравенством Коши и
результатом примера 1.1342. 1.1351. Указание. Воспользо-
ваться тождеством для углов треугольника:
(X п у
cos а + cos fl + cos у = 1 + 4 sin — sin — sin ~.
г '	2	2	2
582
Ответы. Указания. Решения.
Глава II
IL3. а) Определение неверное: отсутствует требование
Т # О; б) определение неверное: функция в точке х — Т
может быть не определена. Например, для /(x) = sin —
/(х) =/(х + 2л), однако для x = 2jtGD(f) x — 2jt&D(f);
в) определение неверное. Например, функция
, \ - Г1, если * G Z,
?	“ ] х, если х G R \ Z
удовлетворяет всем требованиям «определения», но периоди-
ческой не является; г) определение неверное. Рассмотрим
функцию, определенную только в целых точках вида 2п и
4л + 1, где п G Z, причем пусть /(2л) = 0, /(4л + 1) = 1. Для
четных аргументов Т = 2, для аргументов вида 4л + 1
Т = 4. Понятно, что функция / непериодическая; д) функция
/, действительно, периодическая. Однако она может и не
иметь своим периодом число Т. Мы можем лишь утверж-
дать, что 2Т — всегда ее период. Например, /(x) = cosx,
f(x - л) = f(x + л), но Т = л — не период функции /. П.6.
Неверно. Т = 0 периодом не является. П.11. Пусть D(y) =
= М#0. Тогда для любого xGD(y) /(х)=/(х-Т) =
= /(х + Т), причем функция g определена в каждой из точек
/(х), f(x - Г), f(x + Г). Отсюда g(f(x)) -g(f(x - Т)) =
= g(f(x + Г))* П.20. Решение. В силу конструкции множест-
ва М можно из всех правых концов отрезков выбрать самый
правый. Пусть его координата х0. Если предположить, что
функция / периодическая с периодом Т, то очевидно, что
Xj = х0+Т GD(f). Тогда также х-Т GD(f), т.е. х0 G D (f) —
противоречие. П.22, е) Указание. Функция / свое значение
9 принимает только в одной точке х = 0; ж) Указание.
Поскольку уравнение
х2 + 2
х2 + 5х + 8
= а имеет не более двух
корней, то функция / каждое свое значение принимает не
более, чем в двух точках; и) Указание, х = 0 — корень
функции /. Понятно, что при | х | > 1 корней нет; м) Реше-
ние. 1-й способ. Покажем, что уравнение/(х) = 2 имеет
583
Ответы. Указания. Решения.
единственный корень х = 0. Имеем cosx + cosV2~x = 2. По-
скольку I cos* I	1, то это уравнение равносильно системе
{cosx = l, jx = 2лп, nGZ,
cosV2~x=l, ' V2~x = 2лА, kEZ.
Если n = к = О, то x = 0 — корень. Если n # 0 и Л # О, то
к	к
получаем V2~' 2лп = 2лк, V2" = —. Так как — G О, то по-
п	п
следнее равенство противоречиво. IL35. а) Указание. 2-й
способ. Если / имеет период Г, то
cos (х + Т) + cos V2~(х + Т) = cos х + cos VTx.
Подставим х = 0, получаем cos Т + cos V2~Т =2 и т.д. (см.
пример 11.22, м); в) Решение. Пусть функция / периодиче-
ская с периодом Т. Тогда для любого действительного х
sin (х + Т) + sin л (х + Т) = sin х + sin лх. (*)
Подставив в (*) х = 0, получаем sin Т + sin лТ = 0. Отсюда
лТ = (-1)*+1Г + лк. Т =
лк
------—-г-?. Теперь последователь-
л - (-1)
но подставим в (*) х = 1 и х = 3. Имеем
sin 1 = sin (1 + Т) — sin лТ, sin 3 = sin (3 + 7) - sin лТ.
Отсюда sin 3 - sin 1 = sin (3 + T) - sin (1 + 7),
2 sin 1 cos 2 = 2 sin 1 • cos (2 + T), cos 2 = cos (2 + T).
гт.	~	лк
Теперь понятно, что при Т = --------—~т—т последнее равен-
л - (-1)
ство противоречиво; г) Решение. Пусть функция f периоди-
ческая с периодом Т. Тогда для любого действительного х
имеет место равенство {х + 7} + cos (х + Т) = {х} + cos х.
Подставляем в это равенство х = 0, затем х = - Т. Получаем
{7} + cos7 = 1,
' {- Т] + cos Т = 1.
Отсюда {— 7} = {7}. Теперь возможны два случая:
1) 7 — целое. Тогда {7} = 0 и cos 7 = 1 - {7} = 1,
7 = 2лк, kEZ и к* О, то есть 7 — иррациональное.
584
Ответы. Указания. Решения
2) Т — нецелое. Пусть [7] = с, тогда [— 7] = — с - 1.
Имеем {7} = Т - [7] = Т - с, {-7} = -7-[-7]=-7 +
+ с + 1 = - (Т — с) + 1 = 1 — {7}. Таким образом, если
{7} = {— 7}, то {7} = 1 — {7}, {7} =	, т.е. Т — число вида
Ал
с -г ~, где с — целое. Значит, Т — рациональное число.
1	JT
Имеем cos 7=1 — {7}, cos 7 = —, 7 = ± — 4- 2лп. Опять-та-
ки получили, что Т — иррациональное;
д) Указание. В равенство cos (х + Г) + cos {х + 7} =
= cos х + cos {х} подставим х = О. Имеем cos Т + cos {7} = 2.
Отсюда
cos Т = 1,
' cos {7} = 1,
Т = 2лп, n.G.Z,
{7} = 2лк, k^Z.
Поскольку 0 < {7} < 1, то к = 0, а значит, Т — целое. С
другой стороны, Т = 2лп, п * О и п € Z, т.е. Т — иррацио-
нальное; е) Решение. Пусть функция f периодическая с
периодом Т. Имеем sin (х + Т) + sin {х + 7} = sin х + sin {х}.
Подставим последовательно х = 0, затем х = — Т. Получим
sin Т + sin {7} = 0 и — sin 7 + sin {— 7} = О. Отсюда
sin {7} + sin {— 7} = 0, sin {7} = sin (- {- 7}),
{7} = (-1)*+1 {- 7} + лк, к e Z.
Рассмотрим два случая:
1)4 = 2/, IG Z. Получаем {7} + {- 7} = 2л/, а поскольку
0	{7} < 1, то последнее равенство возможно только при
I = 0. Имеем {7} + {— 7} = 0. Если 7 — нецелое, то из задачи
П.35, г) {- 7} = 1 — {7}, т.е. {7} + 1 - {7} = 0 — противо-
речие. Пусть 7 = с, где с — целое и с # О. Тогда для любого
действительного х sin (х + с) + sin {х + с} = sin х + sin {х}.
Отсюда sin (х+с) + sin {х} = sin х + sin {х}, sin (х + с) = sin х.
Подчеркнем, что это равенство должно выполняться для лю-
бого х, а значит, и для х = - с # О. Получаем sin (— с) = О,
sin с = 0. Это уравнение при с # О целых корней не имеет.
2) 4 = 2/+1, /GZ. Получаем {7} - {-7} = 2л/+ л.
Опять-таки в силу ограниченности {7} приходим к противо-
речию;
585
Ответы. Указания. Решения.
ж) Решение. Пусть f — периодическая с периодом Т.
Тогда для любого действительного х
D (х + Т) + cos (х + Т) = D (х) + cos х.
Подставим х = 0, получаем D (Г) + cos Т = 2. Поскольку
D (Г)	1 и cos Т 1, то последнее равенство справедливо
тогда и только тогда, когда
Р(Т) = 1,
cos Т = 1.
Из первого уравнения системы Т — рационально, из второ-
го — иррационально; з) Решение. Пусть / — периодическая
с периодом Т. Тогда для любого действительного х
D (х + Т) + sin (х + Г) = D (х) + sin х.
Т
Положим в этом равенстве х = — —. Имеем
л*
Очевидно, что D
Т Т
Тогда sin — = - sin —,
Т = 2л£, к G Z и £ # 0. Подставим найденное значение Т в
исходное равенство. Получаем
D (х + 2л£) + sin (х + 2лЛ) = D (х) + sin х,
D (х + 2лк) = D (х).
Следовательно, иррациональное число 2л£ является перио-
дом функции D(x), что невозможно. IL39. а) Указание.
/'(х) = 2xcosx. Если /' — периодическая, то она будет
ограниченной на отрезке длиной в период, т.е. вообще
ограниченной; на самом деле это не так; б) Указание. См.
пример IL22, и); в) Указание. См. пример IL27; г) Указание.
См. пример IL22, м). IL4L д) Указание. Покажите, что
любое целое число (кроме нуля) является периодом функции
/; е) Указание. Покажите, что любое число вида nV2", где
п G Z и п О, является периодом. IL45. г) Указание. Пусть
О < Г < и Т — период функции /. Тогда {А(х + Г) + 4} =
586
Ответы. Указания. Решения.
= {кх + Ь}. Положим в этом равенстве х = О, получаем
{ЛТ+ £} = {£}. Отсюда кТ — целое, а так как кТ>0, то
кТ = п, гдеn6N. Т =	, т.е. Т & у — противоречие. 11.46.
/С	К
2л л л	2л 111
а) т; б) у; в) у; г) 1; б) е) ж) з)
и) ±. П.48. Указание. Положить в примере 11.47 Т, = Т2.
11.50. Решение. Пусть Tt — период не указанного вида. Тогда
можно подобрать такое целое п и такое действительное
a G (О; 1), что Т, = пТ + аТ. Имеем
f(x) = /(х + TJ = f(x + пТ + аТ) = f(x + aT),
f(x)=f(x - Tj) = f(x - nT-aT) = f(x-aT).
Следовательно, аТ — период. Однако 0 < аТ < Т. Получили
противоречие (ведь Т — основной период). П.51. Указание.
Тр = Tjn — Т. Далее воспользуйтесь примером П.48. П.53.
Существует. Рассмотрим функции
,, . _ [Ь, если х = а + b V2”,
?— io, если х * а + b V2;
. , _ Г— а, если х = а + b'ГГ,
8(х) - если х а + &
где а и b — целые. Эти функции периодические (см. П.41,
д, ё). Легко показать, что главные периоды функций f и g
соответственно равны 1 и V2-, а функция f + g имеет период
1 + V2~. Указание. Из условия следует, что ах G D (f), тогда
ах ± Т G D (f). Имеем
7(«х) = /(ах + Т) =f (а (х +	.
Т
Отсюда — — период функции f(ax). П.55. Нет, неверно.
Например, функции /(х) = Vsinx - 1 и g(x) = tgx — пери-
одические. Но функция / + g не определена. П.56. Нет,
неверно. Например, /(х) = {х} и g(x) = sinx. Однако функ-
ция /(х) + g(x) = sinx + {х} — непериодическая (см. П.34).
П.57. Нет, неверно. Например, функции /(х) = — х + sinx и
587
Ответы, Указания. Решения._______________________________
g(x)=x + sinx периодическими не являются (см. IL27).
Вместе с тем, функция /(х) + g(x) = 2sinx — периодиче-
ская. 11.58. Может. Функция /(х) = cosx + cos (V2"x) — не-
периодическая (см. 11.22, м), g(x) = l-cos(V2"x) — перио-
дическая. /(х) + g(х) = 1 + cosx — периодическая. 11.59. Не
всегда. Функции /(х) = cos х + cos 2х и g (х) = 1 — cos х
имеют главные периоды, равные 2л. Однако функция
/(*) + #(х) = 1 + cos 2х имеет главный период л. П.60. Не
всегда. Функции /(х) = 1 + cosx и g(x) = 1 - cosx имеют
главный период л. Но функция f (х) 4- g (х) = 2 вообще глав-
ного периода не имеет. П.61, а) Функция у — периодическая
(при условии, что / (g (х)) существует); © Функция у может
быть как периодической, так и непериодической. Например,
/(х) = sin х, g (х) = Vx", функция f(g (х)) = sin Vx" — непери-
одическая (см. П.25, в); в) Понятно, что функция у может
быть непериодической. Однако можно привести пример, ког-
да она будет периодической. Пусть
/(*) = х2, g(x) =
1, если х £ О,
- 1, если х < 0.
Функции f и g — непериодические. Вместе с тем, функция
/(g(x)) = l — периодическая. П.62. Неверно. Например,
/(х) = х2, g(x) = sinx. Функция g имеет период 2л, функция
/(&(*)) = sin2x имеет своим периодом число л. П.63. Да. Это
функция Дирихле. П.64. Пусть такая функция существует.
Тогда ее периодами будут два иррациональных числа
Т\ = V2" и Т2 = 1 - V2^ С другой стороны, Т{ + Т2 = 1 —
также период. Получили противоречие. П.66, а) 4л; б) 10л;
в) 2л; г) ; д) 176л;; е) 6; ж) 36; з) 2; и) 14; к) 60. 11.68.
а) а = 0; б) а = О. Указание. Если а # О, то функция f свое
значение 1 принимает только в одной точке х = 0; в) а<0.
Указание. Если а 0, то функция / не определена в конеч-
ном числе точек; г) а = 1. Указание. Если а # 1, то доказать
непериодичность функции / можно, например, из соображе-
ний неограниченности функции /; д) при любом а функция
/ является непериодической. (Казалось бы, подходит а= 1,
но тогда функция / будет неопределена лишь на одном
588
Ответы. Указания. Решения.
промежутке (-1; 1)); е) а= —1; ж) а = - 2; з) а = 0.
Указание. Если а # 0, то непериодичность функции f можно
доказать, опираясь на ее область определения; и) а = 0.
Указание. Если а # О, рассуждения аналогичны примеру
11.30; к) <2 = 0. IL70. а) а — любое, кроме нуля; б) а —
любое. Указание. Казалось бы, а = 0 не подходит. Однако
обратите внимание на область определения функции /; в)
а — любое; г) а — любое, кроме нуля; д) а = -1; е) а>0;
ж) а -— любое. ПЛЗ. а) а — любое; б) а = 2м, где п G Z.
Указание. Задача не требует, чтобы Т = л являлось главным
периодом. Если а = 0, то любое число — период. Если
а 0, то главный период имеет вид Т =
2л
а
где

п е Z; г) а = , где q — рациональное. Указание. Если л —
период, то для любого действительного х D(a(x + л)) —
- D (ах). Положим х = 0, получаем D (ал) = D(Q) = 1. Сле-
довательно, ал — рациональное число, т.е. ал = q.t а = —,
где q G Q. Пусть теперь а = . Тогда D(a(x + л)) =
= В ^(х + л) = D + =D = D(ax),
ведь периодом функции Дирихле является любое рациональ-
ное число; д) а = ^ , где n G Z; е) , где п G Z; ж) а = 0.
3	Зл
Указание. См. 11.71. 11.76. а) а = 0. Указание. Если а # 0, то
любые периоды функций f и q несоизмеримы; б) а = 0; в)
а = 2л#, где q G Q. Указание. Главный период функции /
2л
равен — (случай а = 0 проверяется отдельно), главный
период функции g равен 1. Следовательно, для соизмеримо-
сти периодов необходимо и достаточно, чтобы = qi9 где
G Q и # О; г) а- где q G Q; д) а = 2л q, где q G Q;
ё) а = 2л</, где q G Q; ж) а =	, где q G Q; з) а = q, где
589
Ответы. Указания. Решения.
q е Q; и) а = 2x2q, где q €= Q; к) а = nq, где q G Q-, л)
а = --1, О, . Указание. См. П.75. П.78, а £ Q.
О
Глава Ш
Ш.3. Нет. Ш.4. Может. На- У
пример, у = х. IIL5. Может
(как ни странно). Например,
у = V — х2. Ш.б. Нет, не всякая.
Например, функция у = с, где
с = const, будучи линейной, об-
ратимой не является. Ш.7. Мо-----
жет. См. рис. 107. Здесь х0 —
точка максимума, и по графику
видно, что функция принимает
каждое свое значение только один
10, 12. ШЛО. а); б); г); д); е); ж); и), если п
ное; к); м), если D(y) = [1; <») или D(y
JT л
2’ 2
О
*о
Рис. 107
раз. Ш.9. Рис. 6, 8, 9,
нечет-
или D (у) =
= [- 2
л. Зл
2; Т
о), если
и), если D (у) =
D(y) = [0; л] или Z>(y)J= [—л; 0]; ri); р). Jni.l5. а)
х	х . 3	.	1	.	3 - 2х
У =2-2; б) У= -? + ?; «)>--; г) у = ^—; Ф
у =	; е) у = х3; ж) у = у -1; з) у = х2, D (у) = [0; <»);
и) у = х2+ 3, D (у) = [О; оо); к) у = '/х'— 2; л) у = 2 + Ух - 2.
Указание. Перепишем данную функцию в таком виде:
у = (х — 2)2 + 2. Отсюда (х — 2)2 = у - 2. С учетом того, что
х 5 2, запишем х — 2 = Уу - 2, х = 2 + Уу — 2; м) у = х2 —
- 2х - 2, D (у) = [1; <»); н) у = - х2 + 4х - 1, D (у) =
= (_ оо; — 2]. Ш.22, х = 5. Указание. Перепишем исходное
уравнение в таком виде: У(х — 2) + 24 = (х - 2)’ - 24. Функ-
ам_____________
ции у = Уг + 24 и у = t - 24 — возрастающие и взаимно
обратные. III.23. х = — — . Указание. Перепишем исходное
о
3___________
уравнение в таком виде: У(3х + 3) + 6 = (Зх + 3) - 6. Функ-
з______________
ции у = У^ + 6 и y = t —6 — возрастающие и взаимно
590
Ответы. Указания. Решения.
обратные. IIL24. х = а - а5. Указание. Рассмотрим функцию
f(a) = а5 + х, обратная ей будет g(a) = Va - х, причем f и
g — возрастающие функции. Тогда исходное уравнение
равносильно такому: а5 + х = а. III.29. а) нет; б) нет, выра-
жение arcsin л не имеет смысла; в) нет, несмотря на то, что
sin—= - 1; г) нет; д) нет; е) да; ж) да; з) да; и) нет; к)
Ал
да; л) нет; л) да; и) нет. IIL34. а) нет; б) нет; в) нет; г)
нет; д) нет; ё) нет; ж) да; з) да; и) нет; к) да. IIL38. а) нет;
б)
1;
к)
нет; в) нет; г) нет; д) нет; е) да: ж) нет; з) да. IIL39. а)
б> б) Т’’» г)	0; ®	1’ е)	ж)	0;
уГЗ	1
0; л) 0; м) -1; н) —— ; о) -1; п) -г; р)
__________________	Л/
т) у)	Ш.41, а) [О; 2]; б) -
П и Г
з) и) 0;
2 ’ С) 3 ’
-- 1; 1
2	1,1	2 ’
1
°’ 1	-•	2.	.	.
ж) [-1-л; 1-л]; з) (-
— 00?
оо]; г) [0; 1]; д) [1; 2]; е) [-3; -1];
X /
- Л - 4 ] (J [л - 4; оо); и)
оо;
2
3
-	5) U (- 5; оо); о)
-	7) U (- 7; оо); с) |
[1; оо). Ш.44, а) [0; л]; б)
Н-*
л
2; 2 + 2 ;
скольку arccos х < О, то
функции состоит из одной
— 00

[2;
[2; 2 +л]; д')
4; -z + 4 ; з)
Ал
И; л)
оо); п) х
3]; м) R;
— любое;
н)
Р>
[О;
[3;
[-2; оо); т) [0; 2]; у) {1}; ф)
[л; 2л]; в) - * + 1; * + 1 ; г)
*_21.
2 ZJ’
и) £(у) = {0}. Указание. По-
область определения данной
ч (	2"1
точки х = 1; л)
л л
|_ 2	’ 2	]'
е) [-3; л - 3]; ж)
; м)
; ф) 0. IIL47. а) х = - 1; б) нет
2-%; 2 + ^1; р) (4; л + 4); с)
т)
и
; п)
решений; в) [-1; 1]; г) [-1; 1); д) [-1; 1]; е) нет решений;
591
Ответы. Указания. Решения.
ж) х = 1; з) [-1; 1]; и) [-1; 1); к) [-1; 1]; л) (-1; 1]; м)
нет решений. Ш.50, а) х = 1; б) х = - 1; в) х = 1; г) нет
решений. Ш.51. d) D(y) = [-1; 1 ]; б) Р(у) = {-1}; в)
Р(у)=[-1;И; г) £>(у) = {1}; б) Р(у)-[-1;1]; в)
Р(у) = {1}; ж) £>(?) = Я; з) Р(у) = Я; и) D(y) = 0; к)
D(y) = {О}; л) D(y) = {0}; м) D(y) = {1}; н) D(y) = {-1; 1}.
х2 + 1
Указание. Если х>0, то —т— 9= 1, причем равенство до-
XX
х2 + 1
стигается только при х = 1; если х <0, то ———	-1,
причем равенство достигается только при х = - 1.
III.53.	<z)	~;	б)	~;	в)	4;	г)	5;	3) ~;	в)	~;	ж)	~;	з)	л.	Ш.55.
3	4	4	6	2
1	5	5	2
а)	-;	6)	-;	в)	-;	г)	-;	d)	-1;	г)	нет	решений;	ж)	[-3;	-1 ].
X	Я*	X	О
Указание. Решением данного уравнения является его область
определения; з) [0; 2 ]; и) нет решений; к) . Указание.
Данное уравнение равносильно системе
4х - II « 1,
х = 1,
л) 2; м) 4. Ш.57, а) -1 или 1; б) 1; в) х<0 или х>0; г)
- 1 $ л $ 1; 3) - 2 х «= 0; е) -4^х^-2‘, ж) - 6 « х <
; и)
л	2л	5л	4л
- 4; з) х =s 0. Ш.60, a) =; б) —; в) -г; г) —; 3) 3,14;
/«	У	1 <3	11
. ,	. 2 V3- Зл	. 4л ( Зл\
е) 1; ж) ; з) —. Указание, sin —= sin л—— I
J	/	/	\	/ /
7л	11л	/	11л\	. Зл ч 4л
—. Указание, cos —— = cos 2л-----— I; к) - — ; л) —; м)
-7	-7	у	-7 /	1 «3	1 1
jr 2
л — 3; н) 2л — 3,14; о) 5 — 2л; п) 15 - 4л. IIL62. а) — - — ;
X 1 /
_ л	3	„ л V2- „ л V10 л л ч л л
® 2 - 14 ;	2~2’ г) i-j-‘ ® 2-8: Й 2~ П '
ч л 13л ч л 15л 5л „ ч9л . „	„ Пл
2	21 ’	2	19 ’	2	8’	2	12;	2	17’
592
Ответы. Указания. Решения.
. 9л	3	2 VT	56	-
м) -z—11. III.65. а)	б) —г—. III.68. а) —; б)
Z	5	о	05
2VF+2V5" .22	.352 ,.24 ..
----9--------; в) 25’ г} 377 ’ д) 25' Указание.
sin 12arcsin^] = 2sin
\	5 /
25 ’ Ж) 169 ’ 3> 25 ’ W) 4 ’	V26"' Ш’71’ а) V5-’ ®
а) Vs' г) -VTO’ д) -7ПГ- ш’74’ а) "В’’ &
7 . . 61	. 1 . ,. 3 .	3 . . 60. . 4	.2
V50-’ в) 289’ г) V50-’ 3) 5 ’ е)	5 ’ ж) 109 ’ 3> 5 ’ u) vT’
. д /vT6~- 1	37. . 41/Т+ 3 . .22. . 1 ТТ1,-
К V 2/ПГ ’ л 85’	10 VT ’ Н> 25’ ° V5-’ Ш’77’
_ ,_________________ ,_______
а) 2V2; б) --т-; в) - vTT; г) - vTT. Ш.80, а) 3VT; б)
О
л/ 3	. ГГ7Г, , .	2	. 2 + 2VT6-	.	33
V ТГ $ в) + 3; г) - -; д) 2; е)	ж) -	;
»11	О	4V2—V0	52
з)	- . Ш.82о а) Указание. Выгодно доказать следующее
равенство:
.3	.56	.5
arcsin -7 = arcsin — - arcsin — <
5	О О	15
Левая и правая
л л
"2’2
, т.е. проме-
части его принадлежат промежутку
жутку, на котором функция у = sin х возрастает, поэтому
достаточно доказать, что синусы левой и правой частей
последнего равенства равны. III.860 a)	б)
(- оо; 0) и (0; оо); в) -1 < X « 1; г) х Ss 1; д) х = 0. Ш.92.
1	V3~	1
а)	б) -z-; в) 1; г) -1; д) cosx; е) tg 1; ж) -ctgl;
Z	Z	Z
. . Л..	.3	.	27 + VT . 15 + VT .	1 . я
з)-л) 0; м) н)------——; о) ———; и) --sin — ;
Z	1Z	24	2	15
. 1 2я 4	. 1 . 25л 4	.	.	. 2	.
pl 3C0S —с) jctg-^- + -; т) -4-sin-; у)
J - |cos|; ф) 0; х) 0. Ш.94. а) 1; б) в) ||;
ООО	Z 11
20 Тригонометрия
593
Ответы. Указания. Решения.
1	1
г) - -z; д') -2; е) 5; ж) 1 или 2; з) 1 и 5. Ш.96, a) sin ±;
о	**
б)	cos или cos 3; в)
Ш.98, а) б) 1;
ЛЛ
tg | или tg ; г) ctg 2 или ctg (-1).
лл	\ лл /
ё) г) -vT Ш.100, а) б)
ЛЛ	О
в) 0 или 1; г)
0; д')
—— . Указание. Корни
ЛЛ
. Ш.102.
следует искать при условии 0 < х < 1; ё) у ——
2 -/2	2
а) О', б) 0 или ± ——; в) 0; г) 1; д) 0. Ш.106, а) -г?-; б)
7	VO
1	1	V3”	1
—; в) —; г) -z-; д) —; ё) 1 или 2; ж) -1. Решение. Здесь
2	2	Z	4
удобно перейти к уравнению-следствию
tg (arctg 2х +
tg arctg 2х + tg arctg Зх _ 5х _
1 - tg arctg 2х tg arctg Зх ~ ’ 1 - f>x2 ~
Отсюда x = 4 или x = -l. Осталось завершить решение
О
. П	1
проверкой. Легко заметить, что при х = — левая часть исход-
о
ного уравнения принимает положительное значение. Это
сразу позволяет нам сделать вывод, что х = корнем
о
не является. При х = -1 - ? < arctg (-2) < — ^ и
Л.
- у < arctg (- 3) < - у. Отсюда -л < arctg (-2) + arctg (-3) <
Л
< — —. Последнее неравенство означает, что х = — 1 — ко-
ЛЛ
рень; з) - arctg — + тск, kEZ. Решение. Переписав данное
л
•	t л. \	I л \
уравнение в виде arcsin I — + ctg х I — — - arccos — + tg х I,
Io J 2	IJT I
перейдем к уравнению-следствию
594
Ответы. Указания. Решения.
. (л	\	. (л	/6	и
sin arcsin — + ctg х = sin — - arccos — 4- tg x ,
16	I 12	v*	/ /
ЛГ	6
6+ctgx = - + tgx.
Решая последнее уравнение относительно tgx, получаем
совокупность
Проверка показывает, что ни один корень первого уравнения
не входит в область определения исходного.
1	1	\/Т~	1	Q уГъ"
III. 108. а)	7<х « |;	б) 0 $ х < -	-f- + |;	в) х > -	4 -	;
4	2	о	4	о о
г) х<\-^. ШЛЮ. а) |-^<х^1; б) |«х<
< 4 +	! в) х <	- 11; г) х > 2 - VT. III. 112. а) 7 < х <
7	14	3	О
<^; б) 1 х < *	; в) нет решений; г) х < или
х> 1; д) х $ - 1 или 0<х < 1.
Глава IV
IV.35. и) Указание. В графике у = -Д— надо «выколоть»
sin X
точки с абсциссами 4 + лк, kEZ. IV.38. а)-г) Указание.
Применить формулы понижения степени; е) Указание.
sin4 х + cos4 х = (cos2 х + sin2 x)2 — 2 sin2 x cos2 x =
,	1 • 2 n ,	1 - cos 4x 1	. , 3
= 1 - — sin2 2x = 1------- = — cos 4x + —;
2	4	4	4
к) Указание, sin л + cosx = V2~sin lx + 41 • ГУ.41. а) Указа-
ние. (Vsin x )2 = sin x только при sin x > 0; д) Указание.
595
Ответы. Указания. Решения.
VI - COS х
2
sin
ЛЛ
у) Указание, т/sin2 х - 4 I sin х | +4 = V (| sin х | - 2)2 =
= 11 sin х | - 21 = 2 - | sin х I.
IV.44. а) Указание, у = 1,
D(y) = lxG.R I х#^, nezl;
I	I
3) график — это множество точек вида (ли; 0), п G Z; й)
у = 0, при этом D (у) = {х G R | х = 2лп, п G Z}; р) у = -1,
но при этом следует учесть область определения функции;
т) Указание. График функции состоит из отрезков прямых
у = х-2 и у = 2 - х; ф) у = 1, D(y)=[-1; 1]. IV.49. а)
Указание.
у = sin х, D (у) = • х G R | х # 5 + лк, к G ZI;
I
н) Указание, у = I cos х |,
D (у) = •! х G Я I х * у + лк, kG. Z
I	«
п) У = tg 4х,
. .	, л	, л	лк	л	лк	.
D(y)=x£R\x*-r + лк, х * — + —- их *7 + —, к G Z •;
2	О	4	О	о
р) у = cosx, Р(у) = {хСЯ | х#л + 2лЛ, kGZ}; tri)
У = tg I -7 “ x I» D (y) = lx G R | x # 77 + лк th. x # - v + як,
\4	/	I	2	4
kGZr; ф) y = tg[~ + xj, Z>(y) =  x G Я | x *	+ лЛ и
J	у О /	J
х * у + лк, к G z|; х) у = tg , D (у) = {х G R | х * лк,
kGZ}. IV.50. б) Указание, tg (arctg х) = х при любом х.
IV.54. а) Указание, sin (arccos х) = V1 - х2 ; в) Указание.
tg (arcctg х) = ; д) Указание, cos (2 arccos х) = 2х2 - 1 при
условии |х|	1. IV.60. а) Указание, arctgVx” = arcctg
596
Ответы. Указания. Решения.
Глава V
V.6. (-1)*7 + kGZ. ¥.7. (-1)‘+1	+ л лк, k Е. Z. ¥.8.
4	2	У «J
(-1/1 arcsinу + $, kEZ. ¥.9. 0. V.10. (-1)‘+11 + к,
'242	4
*ez. V.11. ±^ + тск, kEZ. V.12. ±=^ + тск, kEZ. V.13.
7Г	127ГЛ	/	7лА
±-= + nEZ. V.14. 0. V.15. 0. V.16. ± k-arccos +
О	О	\	лллл /
2	Я Як
+ лк, kEZ. ¥.17. 0. V.18. + 2к, к G Z. ¥.19. ; + у Д GZ.
О	ЛЛ
¥.20. 2тгЧ, iGZ. ¥.21. J , к G Z. ¥.22. ^лк, kEZ.
о 2	3
¥.23. | + Л, kEZ. ¥.24.	+ kEZ. ¥.25. § + 2л к,
О	-/ О	о
2	2
kEZ. ¥.26. arcctg л + лк, kEZ. ¥.27. arcctg 5 + лк,
3	О
1 ТС Я тск	1 тс тс
kEZ. ¥.28. (-1/ъ- + ^ + -^. kEZ. ¥.29. (-1/ - + у +
822	3	4
тс	тск	Зтс
+ тск, кЕ Z. V.30. - - 4-	, к G Z. V.31. 5» 4- 2тск. kEZ.
О	2	4
¥.32. \±~ + лк, kEZ. ¥.33.	+ kEZ. ¥.34.
2	8	3	12	3
т ± arccos 4 + 2rot, к G Z. ¥.35Г? + 2лк, kGZ. ¥.36. - - +
6	4	3	л
+ 2к, kG Z. V.31. лк, kGZ. ¥.38. arctg 7 + 1 + лк, к G Z.
¥.39. - |arctg2 + |	, k^Z. NAQ. + *GZ.
тс	тск	Зтс	Зтс
¥.41. — +	, к G Z. ¥.42.	- 6 + Злк, к е Z. ¥.43.	+
IV	Э	Z	8
+ 2 + ^, k^Z. ¥.44. -^ + 3лк, kGZ. ¥.46.	,
kGZ. ¥.47. ттМ-г, kGZ. ¥.48.	-,8 о , к е Z. ¥.49.
12Л ± 1	12тЛ - Зл:
ЙТТ’ *sz- v-!0- ЙГ+5’ ftez- v-52- (W
('тс \ 2
I - - + 2n| , к G N U {0}, n e Z. ¥.53. л2кг, £ G AT U {0}.
\ О /
597
Ответы. Указания. Решения.
у.54.	kSN. V.55.	k^N. V.56.
(ЙТ7Р’ ^)!'te'vU|01’'ieA'v57(J-.,r
k&N. ¥.58.	(4^^ jp >	^G2VU{0}.	¥.60.	± VF,
к e N u {0}. ¥.61. ± V ? +^k » — v - ? + nn > л e iv U
U {0}, n e N. ¥.62. ± IV4£ + 1, к e N и {о}. V.63. 0. ¥.64.
ЛЛ
V2m+1 -„игл. v	Fsinx2=l,
—-—л , m G N (J {0}. Указание. .	2_
z	sm x — “ 1.
x2 = + htk, kEZ,	л
_	x2 = -r + лт, mEZ,
х2=-% + лп, n£Z,	2
ЛЛ
+• 2	+ 2 л/Т”	. .
V,65° <5 + 12 А: ’ V-5+ 12n ’ k e N U » neN-
±3Ven + (-i)n+1 ’ neN' v,67‘ ±У/г + зк ’
И т.д.
Vo66.
к e N и {о}. V.69. (-1)*+1^ + лк, ke. Z. V.70. лк, k^Z.
¥.71. ± arccos 5 +2л*, t£Z. ¥.72. 0. ¥.73. ^ + лк, к GZ.
О	z
¥.74. (-1)*arcsin (arcsin+ лк, kEZ. ¥.75. ±+ 2k,
\ О /	J
ktZ. N.I6. (-l/-arcsin| + F k^Z. ¥.78. ±1. ¥.79. 0.
¥.80. ±1. ¥.81.	¥.82. ±1. Решение, -^-^-лк,
3	1 + x2
----5 = к. Так как
1 +х2
2х
1 + х2
1 (докажите самостоятельно},
то получаем совокупность
— =1
+ X2 f
^-=-1
J. v2 1
598
Ответы. Указания. Решения.
7Т	ЧТ]?
откуда х = ± 1. V.84. - + лк, к е Z. V.85.	, к е. Z. V.86.
о	Z
тг	лк	2л	лк
77 +	, к е Z, ±	+ 2лп, nEZ. V.87.	, к е Z. V.88.
12	о	3	у
+ 2лк, к 6 Z. V.89. -V j + лк, kGZ. V.90. - J + лк,
к е Z. V.91. - + лк, к е Z. V.92. - 2 + лк, к е Z, - £ + лп,
4	2
п е Z. V.93. ± 120° + 15’ + 3604, к е Z. V.94.	, к е Z,
о
j + nez. V.95.	k(=Z, (-1)"+1^- + ^, nGZ.
v.96. £ + лег, (-1)"^ + ^, nez. v.97.
*О О	Лл\) 0	*Г
Лег. Указание. Преобразовав уравнение к виду
sin х sin 4х cos 2х = 0, получаем совокупность
х = лк, Ле Z,
ЯП _ г,
х = —, пег,
4
л . лт ~
- + — ,mez.
4 Z
X =
При п = 4р, р G Z, решения второго уравнения являются
решениями первого, а при п = 21 + 1, IG Z, решения второго
__ ЛО л лк
уравнения являются решениями третьего. V.98. — + —,
л	лт	л
kEZ, лп, nEZ, - + —, т е Z. V.99. 2лк, kGZ, - - +
8	4	2
+ ^, nez. v.ioo. лк, ke.z, + nez. v.ioi.
3	О 2
— + лк, k&Z, — + —, nez, л + 2лт, mez. Указание.
2	3	3
Учитывая, что 1 + cos 2х = 2 cos2 х, имеем: 2 cos2 х + cos х +
+ cosЗх = 0; 2cos2x + 2cosx cos2x = 0; 2cosx (cosx +
+ cos 2x) = 0 и т.д. V.102. лк, k^Z, ± + 2лп, nG.Z.
О
Указание. 2 sin x sin 2x = 2 V3” sin2 x, sin x * 2 sin x cos x =
«о л • 2 ( V3 \ Л	, Л— л лк
= v3smzx; 2sin2xlcosx—— I = 0 и т.д. V.103. т^ + -т-,
\	2 /	12 О
599
Ответы. Указания. Решения.
к €= Z. Указание. Воспользоваться формулой cos2 а - sin2 а =
= cos2a. ¥.104. у(1 ± VI + 8л* ), fc€JVU{0}, у(-1 ±
± 74л; + 1 + Злп),	ne2VU{0}.	¥.105. к, kGZ,
-1 ±V2tt + 3	rt€jV(J{0}. ¥.107. (-1)*+1 J + y + лк,
2	о 4
k<=Z. ¥.108. ±^ + ^ + 2лЛ, Ле И. ¥.109. ±^-^ + 2лк,
3	4	4	4
Ле И. ¥.110. - J + Леи. ¥.111. у + л*, Леи. ¥.112.
о Z	Z
.тс	тск	тг	2тск	тс	тск
(-1) т + k^Z. ¥.113. т + ^, леи. ¥.114.— + -7-,
О	2	О	3	1о 4
,	„ Зл лп _ „ ..,, _ -л	лк .	Зл лп
k&Z, —+ —, пен. ¥.115.	—, Леи, —+ —,
’ 28	7 ’	12	3	’ 28	7
тс	тт
nEZ. ¥.119. т + “, леи. ¥.120. ±т- + 2яЛ, к е Z.
о 3	3
¥.121. 0. ¥.122. ±	+ 2л*, к е И. ¥.123. - £ + 2лк, к е Z,
(- 1)"	+ лп, nGZ. ¥.124.	(- 1)*	+ лк, kEZ,
(- 1)" arcsin у + лп, nEZ. ¥.125. у + 2л*, к е Z,
3	2
(-1)"*1	+ лп, nEZ. ¥.126. л + 2лк, kEZ, ± + 2лп,
тс 2тск	. 1 тс тсп
nEZ. ¥.127.	+ =£-, кеИ, (-1)п+1уу + v, nez. ¥.128.
г О 3	1о 3
±	+ тск, kEZ. V.129. ± [л — arccos-у] + 2тск, k^Z,
3	\	4/
±% + 2тсп, nEZ. V.130. (-1)*? + л£, к G Z. V.131.	+
3	О	4
+ лк, kGZ, arctg3 + лп, пег. ¥.132. лк, kGZ,
-arctg 7 + лп, nGZ. ¥.133. ± 7 arctg, kGZ,
± ту + -л-, п е Z. Указание. Сделать замену tg2 Зх = t.
1Z о
тс	тск	ТС	1	4	тсп
¥.134. у + “, Леи, у - у arcctg 4 +	, «ей. ¥.135.
о	2	2	2	3	2
У arcctg (1 - VT) +	, Леи, у (я - arcctg (1 + V3-)) +	,
О	о	о	о
600
Ответы. Указания. Решения.
HGZ. ¥.136. ^ + 2л£, *6Z> (-1)"£ + ггп, nEZ. ¥.137.
о
(-l)*+1J + wt, kEZ. ¥.138. (~1)к+1л + блк, kEZ. ¥.139.
Ink, kEZ, ^ + лп, raGZ. ¥.140. (-l)*+lj + лк, kEZ.
V.141. (-l)*T“? + rat, kEZ. ¥.142. -7 + лЛ, к G Z.
ОО	о
V.143. kEZ, (-1)" J+лп, nGZ. ¥.144. -| + (-l)*^+
О	3	XU
b7^, AGZ. ¥.146. ^ + лк, kEZ, Злп, nEZ. ¥.147.
3	О
х-4-тгЛ, AGZ. ¥.148. - — + лк, kEZ. arcctg 2 + лп,
3	4
mGZ. ¥.149. ^ + лк, kEZ, + nEZ. ¥.150. 2лк,
6	3
к G Z. ¥.151. ± т + ?лк, kEZ,± arccos+ 2лп, nEZ. Ука-
J	J
аание.
1
cos2x
1----— + 7 = 0, —^2-----— + 6 = 0
COSX	COS X cosx
*— = t и т.д. ¥.152. — ^ + лк, kEZ, ±^ + лп, nEZ.
cos x	4	3
¥.154. J +	, к G Z. ¥.155. - arctg | + лк, к G Z, arctg 2 +
o 2	2
+ лп, nE Z. ¥.156. ± -7 + kEZ, ± ? + лп, nEZ. ¥.157.
4	3
-у^ + лгЛ, kEZ, - + arctg 3 + лп, nEZ. ¥.158. лк,
kEZ, у- arctg X+ лп, nEZ. ¥.160. ? + $, к E Z. ¥.161.
4 V3	4	2
± + тгЛ, к G Z, ± arctg	——— +л:п, n G Z. V.162.
3	“ о
+ лк, kEZ. Указание, (tg3x + ctg3x) + (tg2x + ctg2x) —
-4 = 0, (tgx + ctgx) (tg2x - 1 + ctg2x) + (tgx + ctgx)2 - 6 =
= 0, tgx + ctgx = у а т.д. ¥.163. ^ + лк, kEZ. ¥.164.
4
2tt	(	2^
f + 2лк, ± 17Г - arccos — I + 2rcn, n G Z. Указание.
J	\	/
601
Ответы. Указания. Решения»_______________________________
(1 \ / 0 1 \ _
3cosх +------- + 2 9cos2x + —5— +5 = 0. Сделать за-
cos х) \	cos2*/
1	О	1	О
мену 3 cos х +---= у, тогда 9 cos х Ч-----= у - 6 и т.д.
J	cosx	cos2*
¥.165. у + 2лЛ, к е Z, (“1)п+1т + лп, nEZ. Указание. Сде-
о
1	V2~
лать замену sinx + —— = t и т.д. V.167. (-1)*arcsin — +
sin X	ю
+ т + ^, JtCZ. V.168. Ш, kEZ, ^ + 2лп, nEZ. V.169.
4	Z
Л
2лк, kEZ, — + 2лп, пЕ Z. Указание, (sin х + cos х) (1 -
ЛЛ
1 7Г
-sinxcosx) = l и т.д. V.170. (-1)**1 arcsin -г + лк,
'	2V2	4
Л
kEZ. Указание, sinx + cosx = t и т.д. V.171. --т + лк,
4
, л	yfZ — V10
kEZ, — ± arccos-------------1- 2лп, п Е Z. Указание. 2 —
4	4
„ , .	.	\ , 'sin х , cos х - _ _, .	,	. ,
- 2 (sinx + cosx) +	=0, 2-2 (sinx + cosx) +
+	=°, sinx + cosx = t и т.д. V.172. 0. V.173.
oLLl Л Luo Л
- ? + 2лк, kEZ. V.174. ? + 2лк, kEZ. V.175.
Z	4
л	Vz”	з
— ± arccos — + 2лк, kEZ, ¥.176. - arctg- + лк, kEZ,
Я*	lv	X
л	1	-	VT
— ± arccos —7^“—I- 2лп, nEZ. Указание. 2 (tg x — sin x +
4	V2	'
+ 1) = 3 (ctg x - cos x + 1) = 0,
(sin x-sin x cos x+cos x)	3 (cos x - sin x cos x + sin x) _
cos x	sin x	“ ’
(sin x + cosx - sin x cos x)(2 tg x + 3) • -3— = 0 и т.д.
sm x
V.177. лк, kEZ, arctg2 4-Trn, n E Z. Указание. Сделать
sin x + cos x ,r. л ,	,	„
замену -т---------- = t. V.178. - — + лк, kEZ. V.179.
J sin X - COS X		4
602
Ответы. Указания. Решения.
+ 2лк, к е Z. ¥.181. - V + як, к е Z. ¥.182. 7+ к 6 Z.
4	4	4
V.183. т + лк, к € Z. V.184. - ? + лк, к G Z. ¥.185. arctg | +
О	3	3
+ лк, к EZ. ¥.186. - arctg 7 + лк, к G Z. NA81. 7 arctg 3,5 +
Л*	L
+ kez. ¥.188. |arctg7 + ^, kez. ¥.189. -75’ +
лл	ООО
+ 180%, к €= Z. ¥.190. - 77 + як, к GZ, Указание.
1X
.	I	.	(я	(я II	(я . I
sin — - л! = sm	— -	— + л	= cos	-г + х .
\4	/	\Z	\4	/ /	\4 /
¥.192. arctg2 + rc£, kez, arctg 3 + лп, nez. ¥.193.
д. + лк, kez, arctg + лп, nEZ. ¥.194. — v + як, ке Z,
4	2	4
- arctg7 + лп, п G Z. ¥.195. ? + kez, arctg2 +
Z	о Z	Z
тсп	тс
I- —, п €= Z. ¥.196. 7 + 2лк, ке Z, 2 arctg 2 + 2лп, nez.
А	£
¥.197. 77 + ?. -|arctS7 + V> «ez V.198. ? +
12	3	3	4	3	О
+ лк, ke Z. NA99. ±% + Злк, kez. ¥.200. 7 + як, kez,
arctg3 + лп, nez. Указание, sin2x = 2sinxcosx. ¥.201.
Д + лк, kez, arctg~ + лп, nez. NA&2.	+ лк, kez,
- arctg 2 + лп,, nez. ¥.203.	~kez, 7 arctg 7 +
+ Л_-, nez. ¥.204. arctg(-1 ±V5) + tcA, kez. ¥.205.
О
arctg	+ kez. ¥.206. ± ? + ^, kez. Указа-
О	о Z
ние. cos4x — sin4x = (cos2x — sin2x)(cos2x + sin2x)s = cos2x.
V.208. arctg3 + лк, kez, arctg4 + лп, nez. ¥.209.	+ лк,
«03
Ответы. Указания. Решения.
kEZ,	- arctg 3 + лп, nEZ.	V.210. -	+ лк,	kEZ,
arctg+ лп, nEZ. ¥.211.	,	kEZ, arctg,	nEZ.
V.212.	arctg + лк, kEZ,	- ^ + лп,	nEZ.	V.213.
7	4
( VT\	Л
arctg 11 ± — I 4- лк, kEZ. V.214. лк, kEZ, — + лп, nEZ.
¥.215. ^ + лк, kEZ, - arctg ^ + лп, nEZ. V.216. -^ +
4	4	6
+ ^t, kEZ, ^ + лп, nEZ. ¥.217. ~ + лк, kEZ. ¥.218.
О	о
- “ + л;к, kEZ, — — + лп, nEZ. V.219. лк, kEZ, + лп,
4	3	4
nEZ. V.220. у + лк, kEZ, arctg 7 + лп, nEZ,
arctg 3 4 лт, m E Z. Указание.
cos2 x (sin2 x - 10 sin x cos x + 21 cos2 x) = 0,
cos x = 0,
sin2 x - 10 sin x cos x 4- 21 cos2 x = 0 И Т’Д*
¥.222.	+ kEZ, |arctg2 + ^, nEZ. ¥.223.
о Z	Z	Z
- arctg 2 + лк, kEZ. ¥.224. — -у + лк, kEZ, ± 77 + лп,
3	4	о
nEZ. ¥.225. -у + 2лЛ, к Е Z, ±^ + 2лп, nEZ. ¥.226.
Z	3
? 4- лк, kEZ, ^4- лп, nEZ. У.228. ± 5 4- лк, kEZ. Указа-
з	о	3
ние. 2 cos2 х + 5 sin2 х cos2 х + sin4 х + cos2 х - sin2 х = 0,
sin2 х — 3 cos2 х = 5 sin2 x cos2 x + sin4 x. Домножить левую
часть на (sin2x + cos2x) и т.д. ¥.229.	, kEZ, ± +
+	, п Е Z. ¥.230. J + лк, к Е Z. ¥.231.	, к Е Z. ¥.232.
Z	Z	Z
л лк	л лп ~	___ 1	2
Т + -5-» kEZ, 7 + —, nEZ. ¥.233. ± ± arcsin -гр- +
A’ Z	о Z	Z	V О
604
Ответы. Указания. Решения.
• Л^-, ке Z. V.235. л + 2лк, ке Z, 2 arctg + 2лп, nSZ,
X	X
V.236. 2 arctg—4 ~ V^~+ 2лк, kez. V.237. 2 arctg 1 + 2лк,
О	2
kez, 2arctg| + 2лп, nez. V.238. л + Алк, kez, | +
3	3
I- Алп, nez. У.239. £; +лк, kez, + лп, nez. ¥.240.
24	24
л	2л к	2л	2л п
-7 + =^, keZ, =^ + =^-, nez. ¥.241. 150° + 360%,
J	0	lv	О
к e Z, 60’ + 360% nez. ¥.242. £ + 4л%, к e Z, + Алп,
О	о
л Злк	2л 2л к
п е Z. V.245. ± 77 +	> * € z. V.246. ±	, к е Z.
2	2’	93
 г т * лк	у __	тс	__ — . —	тс	>лк
V.247.	— + -у-,	к G Z,	± —	4- лп, н 6Z.	V.248.	—	4-	-т- ,
8	4	3	4	2
л	лк	л	лк	л	лп
kEZ. У.249. у + 5^ , к G Z. V.250.	+	, к G Z, ±+ -^,
4	2	12	о	8	4
тс лк	л	л	лк
п G Z. V.251. у +	, к G Z, тг + лп, п G Z. V.252. - +	,
4	2	2	о	3
kez, + nez. ¥.253. (-l)*+l | arcsin	,
1X0	X	О X
kez. ¥.254. ± (j-1 arccos^) + лк, kez. ¥.255. у +
\2	2 o /	4
лк у __ л	— __	лк у — л
4- -т- , к G Z, ± т 4- лп, nEZ, У.256. — 4- -т- , к € Z, —т 4-
2	о	о 3	14
+ ^, nez. ¥.257. +лк, kez, ± + 2лп, nez. ¥.258.
/	X	о
л	л	лк
л 4- 2л£, к G Z, ± - + 2лтг, п G Z. V.259. - — + — , к G Z,
3	24	о
jr< ЛП	г-я	_ _	. _	 .	j -
, nez.	Указание,	cos 16х = sin Ах,	cos 16х -
ИО 10
- cos - 4x1 = 0, 2 sin [ 10х - vl sin 16х +	=0 и т.д. ¥.260.
\2	/	\	4/	\	4/
л	„ л лп	5л . 5лк .
t t 4- лк, к G Z, — 4-	, п Z, V.261. угу 4- о , к G Z,
6	8	4	24	12
5л 5лп _	5л , 5лк	,	_	^5
i|li+^_, nez. V.262. ±т + —, kez, ±jX
60S
Ответы. Указания. Решения.
х arccos-—т~ + 5лп, nEZ. ¥.263. х +	, Лег, ± -у +
4	8	4	6
лк	л
+ лп, nEZ. ¥.264. —, Лег, — + лп, nEZ. Указание.
3	2
1 - cos 2х 1 - cos 4х 1 - cos 6х 1 - cos 8х
-----2-----+-------2------------2-------------2-------°'
(cos 6х + cos 8х) - (cos 2х + cos 4х) = 0,
2 cos 7х cos х - 2 cos Зх cos х = 0,
2 cos х (cos 7х - cos 3.x) = 0 и т.д.
л	лк	л п t	„ л 2 ,	лт
¥.265. уу + уг »	kEZ,	— — 2 + лп,	nEZ, уу + ~z +	-z~.
1О	8	4	12 3	о
лк	, _ „	лп	лк , г,	лп
—,	лег,	—, пег.	¥.267. —, лег,	—,
ЭХ	Э	7
л лк у — ТС ЛП —	ТС
у +	» Лег, уу + -у-, «GZ. ¥.269. — +
4	2	10	3	12
л ,	_ ~ . л , лт _ ~
± — 4- ЛП) nEZ, ± — 4—~, т G Z.
3	4	2
лег, у +	, пег, ^- + лт, mEZ.
4	2	2
? + tez.
Лег. ¥.275. лк, kEZ. ¥.276. ± £
т е Z. V.266.
ftSZ. V.268.
¥.270
¥.272.
+ ?, lez,
О
л , лк
14+Т’
±^ + лк, kEZ. ¥.273. (-1)*+1 ~
3	о
тс	лк v __ __ ш t • -	—_	__	~ тс Злк _	__
± — 4-	-г- , к € Z. V.275. лк) к Ez.	Z.	V.276.	± 4- - , к €Е	Z.
1X2	2 X
жт лмм тс лк у	л ли,	—	__ ап/ъ тс у
V.277. — + -т- , к G Z, — —т- + ~т~, л G Z. V.280. — 4- лк)
О 3	12	3	2
лег. ¥.281. лег, ±5 + ^, nEZ. ¥.282. J +
лег, лп, nEZ. ¥.283. 777 + $, лег, + nEZ.
12 О	10	4
¥.284. - 60° + 180°Л, Лег, 40° + 180°п, nEZ. ¥.285.
45° + 180°Л, Лег, - 75° + 180°п, п Е Z. ¥.286. -10° + 180°Л,
Лег, - 70’ + 180°п, пег. ¥.287. ±+ лк, kEZ. ¥.288.
б
, к Е Z. ¥.289.	, Л е Z. ¥.290.	, Л е Z. ¥.291.
36	10	10	4
¥.274.
606
Ответы. Указания. Решения.
kez, i + nez. V.292. -1 + ^, kez,
4	24	12	2
- 1 +	, nez. V.293. ±+ лк, kez. V.294. лк,
1V О	J
kez, - J + лп, nez. V.295. ±^ + лк, kez, -^ + ^,
Я*	«Э	1111
ft eZ. V.296. ± + лк, kez. V.298.	, кez,
о	8	4
± 75- +	, n G Z. Указание. (cos 4x - cos 8x) cos 4x +
1 X	Ал	A
+ 7 cos 12x =0, cos24x - cos 8x cos 4x + 77 cos 12x = 0, cos24x -
4	2
- | cos 12x - 1 cos 4x + 1 cos 12x = 0, cos2 4x - ± cos 4x = 0 и
£	L	L	L
wr ллл лк .	л лп
т.д. V.299. —, kez, 777 + — , nez. V.300. -7 + 71-,
2 ’	24	12	4	2’
kez, ±^ + лп, nez. v.301. (-1)*-^- + ^, kez. v.302.
3	J4 9
7C	__ __	Jlk y	__ 7C JlH	__ _ _ _
± — + — , к G Z. V.303. -г- , к G Z, — + -7-, n G Z. V.305.
9	3	2	8	4
± У + 2тгЛ, к e Z. V.306. ± + 2rat, kez,^ + ™, nez.
1 + cos 2x , 1 .	_	1 + cos2x 1
Указание. -z-+ — (cos x — cos 3x) = 2 •-z-77;
2	2	>22
cos 2x + 1 + cos x - cos 3x = 2 + 2 cos x - 1, cos 2x - (cos 3x +
+ cos x) = 0, cos 2x — 2 cos 2x cos x = 0, 2 cos 2x Icos x — j =0
и т.д. V-307. лк, keZ, ± — + лп, nez. V.308. лк, keZ,
О
-^ + лп, nez. V.309. ±-£r + ^, kez. V.310. ±^- +
3	12	2	18
n-~, kez. V.311. ±^ + лк, kez. Указание.
3	о
1 + cos 2x - 1 + cos 4x
4 + 4 cos 2x
cos 4x + cos 2x
2 (1 + cos 2x)
= 1 - cos 2x,
= — cos — - cos 2x ,
2(3	)
2 cos2 2x + cos 2x - 1 _ J_
2 (1 + cos 2x)	~ 2
607
Ответы. Указания. Решения.
2 cos 2х — 1	1	„	_	1
- cos 2х, -----= - - cos 2х, cos 2х = - и т.д.
XX	X
V.312. kez, 2лп, nez, ~ + mez. V.315.
О	1111
~ + лк, kez, ±% + лп, nez. V.316. kez, ±~ +
2	3	3	lo
+ ^, n G Z. ¥.317. ЗтгЛ, к G Z. V.318.	, к G Z,
3	2
(-Г'^Л, nez. v.319. kez, ±%+^,
1X X	О О	7	0
nez. ¥.320. лк, kez, ±^ + лп, пе Z. ¥.321. - ? + лк,
о	4
к е Z. ¥.322. 2лк, keZ, ± — + Алп, neZ. V.323.
О
—, к G Z, ± — + 2лп, nez. Указание,	sin3 х + 3 sin х —
2	о
- 4 sin3 х —
3sinx
¥.324.
3VT .	„ .	/¥з"
—— sinxCOSX, 3sinx -T-cosx
x	\ x
3	(
= 0, — sin2x [cosx
kez, (-1)п^ + лп, nez. V.325. лк, kez,
+ sin2 x - 1 = 0
'VT 2 '
-г- COS X - COS X
L X
лк
2
,2
И т.д.
Л ЛП _ „ „	A 1+C0S6X	.
± — + — , nez. Указание, cosAx =------z---, 4cos 2x -
1X X	it
-2 = 1 + 4 cos3 2x - 3 cos x, 4 cos3 2x - 4 cos2 2x - 3 cos 2x +
+ 3 = 0, 4 cos2 2x (cos 2x - 1) - 3 (cos 2x - 1) = 0, (4 cos2 2x -
- 3)(cos 2x - 1) = 0 и т.д. V.326. 2яЛ, к e Z, ± -т + лп,
______________________________________________ о
i — Vi3
n e Z. ¥.327. -г + лк, kez, ± arccos-----------1- 2лп, nez.
2	4
¥.328. лк, kez, ±^ + лп, neZ. ¥.329. $, kez.
o	3
¥.330. (-i)*+1^ + ?> kez. ¥.331. лк, kez, y +
12	2	О 3
nez. ¥.332. -^г + лк, kez, -^ + 2лп, nez, (-l)mx
4	2
¥2~ л
x v2 arcsin-7- + — + лт, mez, 2л1, lez. Указание.
4	4
608
Ответы. Указания. Решения.
4cos3x -3 cos х -(cos2x - sin2x)- 3 sin x + 4 sin3x = 0,
(4 cos3 x + 4 sin3 x) - 3 (cos x + sin x) - (cos x - sin x) x
x (cos x + sin x) = 0, (cos x + sin x)(4 cos2 x - 4 sin x cos x +
»• 4 sin2 x - 3 - cos x + sin x) = 0, (cos x + sin x)(l - 2 sin 2x -
- (cos x - sin x)) = 0, (cos x + sin x)(2 (1 - sin 2x) - (cos x -
- sin x) - 1) = 0, (cos x + sin x)(2 (cos x - sin x)2 - (cos x -
- sin x) - 1) = 0 и т.д. V.333. ± + ? > k e z- V°334-
(-l/J + лгА, tGZ, ^ + 2nn, nez. V.335. 2лк, kEZ,
± 2arctg5 + 2nn, nez. V.337.	+ лк, kez. V.338. лк,
kEZ. V.339. лк, kez, (- 1)" J + ^, n e Z. V.340.
± arctg5 + лк, kez. V.341. ~? + 2n£, kez. V.342. у +
X	X
1/3
+ тгЛ, Ле Z. V.343. ± 2arctg3 + 2яЛ, к G Z, ± 2arctg у — +
4- 2тш, n G Z. Vo344o ± + тгЛ, k G Z, V«345<» “ ~ + яЛ,
к G Z, arctg	nG Z, V«346«	+ 2лк, kEZ< V.347.
± arctg V2” + лк, kez, ± 5 + лп, nez, лт, mEZ. V.349.
J
+ лк, kez, ± arctg+ лп, nEZ. V.350. л + 2лк, kez,
2arctg(V2~ + 1) + 2лп, nez, 2arctg(V2~- 1) + 2лт, mez.
2
V.35L л + 2лк, keZ, 2arccosл + 2лп, nez. V.352.
+ arctgV2” + 2лк, kez. V.353.	+ лк, kez, arctg4 +
2	2	4
- 4 ± V51”
+ лп. n€-Z9 Vo354o 2 arctg-т------F2jt^ ^GZ,
609
Ответы. Указания. Решения,___________________________
V.355. 2arctg(2 ± V3”) + 2лк, kEZ. У.356. л + 2лк, kEZ,
± “ + 4лт1, п Е Z. У.357. лк, kEZ, % + 2лп, nEZ. У.358.
±^- + лк, kEZ. У.359. ±^ + 2лк, kEZ. У.360. arctg 4 +
4	3	2
+ лк, kEZ, - arctg + лп, nEZ. Указание. Проверить
Ал
значения х = + лт, т €= Z. V.361. ±~г + лк, к € Z. V.362.
2	4
± 2arctgЛ/4 + 2лк, kEZ. У.363. J + лк, kEZ. У.366.
» 3	4
+ kez‘ v’367’ + kez-
У.368. (-l)*J + y + ^, kEZ. V.369. 150°+ 3604, kEZ,
6 о 2
60’ + 360’n, n E Z. V.370. (-1)* x + y? + ? . к E Z. Указа-
7	1 it
^2
ние. Умножить обе части уравнения на —. V.371. — — +
Ал
kEZ, ~^ + лп, nEZ. V.372. -уг + ^у, kEZ,
L	12	32	4
i + ?,„ez.v.373.-i + ^,tez,’’ + -,„ez.
V-374- - 2Й + Й’ teZ- V-375- 5 + T' *eZ' Й +
лп	_ __ л я» z*	л t ,	__ л 7л лп
+ -у, п Е Z. У.376. ~ — + лк, kEZ, ±ту_47’ + ^у,
2	24	12	36	3
п Е Z. У.377. ^ + ^-, kEZ, £ + лп, nEZ. V.378.	+ лк,
о 2	12	4
kEZ, ^r + ^-, nEZ. У.379. ~^ +лк, kEZ. Указание.
1 л»	/	1^
4
п. V х- (л (Л , л
-у cos 2x1 -5 = COS у- у + 2х
2	/	\ 2	\ 3
4 sin2 [2х + у I - sin |2х + у] - 5 = 0 и т.д.
\	** / \ ** /
610
Ответы. Указания. Решения.
V.380. ~ + лк, kez, + nez. V.381. ~+лк,
12	12 О	0
1 Л
keZ, (-1)"arcsin-т - -т + лп, kez. Указание.
4 О
V.382. ^ + лк, к ez, (- l)n+I arcsin | + J + лп, п е Z. ¥.383.
3	0	0
^+.лк, kez, ^±^ + 2лп, nez. ¥.384. ^- + лк, kez,
о	о 3	3
±arccos - ^+2лп, nez. ¥.386. (-1)* arcsin - arcsin ~ 4-
lv О	0	3
+ лк, kez. ¥.387. — 4arcsin4 + ? + лк, kez. ¥.388.
2	5	4
arcsin -|4 + 4 + к е Z. ¥.389. (-1)* 4 - arcsin + лк,
13	2	О	10
Л е И. V.390. 2 • (-1/arcsin+ 2arcsin+ 2тгЛ, ЛЕИ.
¥.391. (-1)*arcsin 4-arcsin у +лк, kez. ¥.392.
| (-1)* arcsin | arcsin	kez. ¥.393. 0.
¥.394. - ^arcsm^- gg 4--у, kez, -arcsin-+ — +т,
nez. ¥.395. arcsin44-^, kez, + ±arcsin44-
Зо о о 3	24	4 J
7ГП 1 Г, хг
—, ЛЕИ. Указание.
ЛЛ
. i л\
3sin x - — I + 4 cos
\	0/
+ 5 sin 15x +
611
Ответы. Указания. Решения.
• I к .
sin X “ — + <р
\ !
. 4
= 0, где <р = arcsin — и т.д.
О
V	.396. - 1 arcsin	к е Z, ± arcsin тх + ^ > п G Z.
8	13	4	4	4	13	2
„ „„„	„ 2л л , Злп г,	-,г
V	.397.	—7- +	4лк, ке Z,	± —— — 4——,	nez.	Указа-
О	У	1о	3
(	I	iTT |	(ТС	1ТС	X ]	]	]
sinx	+ —+ cos — —	— — —	=
\	3/	.	\2	\4	2/	/	/
г-^-1 3	. (х . л\ vT (х ,л\\
= ^Цттг5111 [4 + в) + VTTC0S (4 + в) J ’
sin^+ -J +sin^- - -J = ^-sin^- + gJ + 2 cos [у + gj j -V3-,
2Sin (4 + 24) COS (T+ 24J = Vysin[4 + 8 + 6j’
sin	(2 cos (7? + 77) “	= 0 и т.д.
14	241 I 14	24 J J
V	.398.	+ 5лк, к G Z, — 777 + 5тгп, n G Z, — ^ + 5nm,
4	12	3
m G Z. ¥.399. л +	, к G Z, (-1)"	, n G Z. ¥.402.
1 и о
Ълк	, _ „	,	. _	_ г,	л .	2л п	„
—,	к G Z,	к* 15р,	p^Z,	х = ” +	—— ,	neZ,
Ю	1 /	1 /
п * 15т + 8, mEZ. V.403.	, к е Z, к*7р, peZ, j +
+	, п е Z, п * 9т + 4, т е Z. V.404.	, к е Z, к # 14р,
peZ. V.405. ^ + лк, kez, nez. V.406. kez,
к* 9р, ре Z. Указание. Умножить обе части уравнения на
2 sin £. V.407.	, keZ, к 9р, р е Z. Указание. Восполь-
л»	У
2лк
зоваться формулой понижения степени. ¥.408. -у-, к G Z,
к 7р, р е Z. V.409.	, kez, к*3р, р е Z, +
3	о 2
612
Ответы. Указания. Решения.
nez. V.410. у + ^, kez. ¥.411. 0. V.414. лк, kez.
V.415. 2лк, keZ, — v + яп, nez, 77 + лт, т е Z. Указа-
4	2
ние. 2 sin 2х cos х - 2 sin х cos х - 2 cos х (cos х - 1) = О,
2 cos х (sin 2х - sin х — cos х + 1) = 0, 2 cos х ((1 + sin 2х) —
-(sinх + cos х)) = 0, 2 cos x((sinх + cos х)2- (sin х + cos х)) =
= 0, 2 cos х (sin х + cos x)(sin x + cos x - 1) = 0 и т,д.
V	.416. - ? + 2лк, kez, ~ -7 + (“ О* arcsin
2	4
2vT+ ЛП’ nGZ‘
Указание, sin x + 2 sin x cos x + 2 cos x + 1 - 2 cos2 x = 0,
(sin x + 1) + 2 cos x (sin x + 1) - 2 (1 - sin x)(l + sin x) = 0,
(sin x + 1)(1 + 2 cos x - 2 + 2 sin x) = 0,
(sin x + 1)(2 sin x + 2 cos x — 1) = 0 и т.д.
JCk	7t	Jtn
V	.417. -^,£GZ, - + — ,nGZ. Указание,
L	о	2»
(sin 4x + cos 4x)(sin2 4x + cos2 4x — sin 4x cos 4x) —
- (1 - sin 4x cos 4x) = 0,
(sin 4x + cos 4x - 1)(1 - sin 4x cos 4x) = 0 и т.д.
V	.418. лк, kez, (— l)n ~ лп, neZ. Указание.
2 (1 - 2 sin2x) + 3 sinx - 4 sin’x - 2 = 0 и т.д.
V	.419. v + лк, к е Z, £ + лп, nez. V.420. - ? +	, к е Z,
4	2	о 2
+ nez. У.421. -% + 2лк, kez. У.422.
О о	Z
z . V2 VT- 1 - 1 , , , _ „ „
(-1) arcsin--------т=------l-jrx, kez. Указание.
sin4 х + 2 sin2 х + 1 — 2 sin2 x + 4 sin x — 2 = 0,
(sin2x + I)2 - 2 (sinx - I)2 = 0,
613
Ответы. Указания. Решения._______________________________
(sin2x + 1+ VTsinx - VT)(sin2x +1- V2~sinx + V2)= О и т.д.
л	2
V.424. 2лЛ, k&Z, (-1)" -г + лп, п G Z, - 2 arccos-j^+ 2лт,
О	V0
„	4sinxcosx + 2cos2x — 2cosx — 3sinx
m G Z. Указание.-------------------------------------= 0,
cos x
2 cos x (2 sin x - 1) + 2 (1 - sin2 x) - 3 sin x _
cos x	~	’
2cosx (2 sinx - 1) — (2 sin2x 4- 3sinx - 2) _
cos x	—	’
2cosx (2 sinx - 1) - 2(sinx - (sinx + 2)
----------------------------------------  =	0,
cosx
(2 sin x - 1)(2 cos x - sin x - 2) Л
1= 0 и т.д.
cos x
V.425. - v + лЛ, k G Z. Указание. sin2x + 1 — cos x — sin x +
4
	•	। COS X л / • 2	•	। я\ ।	•
+ sinxcosx + — = 0, (sin x - sinx + 1) + sinXcosx -
sinx '	z
- cos x + C?S * = 0, (sin2x — sin x + 1) (1 — C?S*] = 0 и т.д.
sinX v	71 sinx I
V.426. — + лк, kEZ. Указание. 2 sin x cos x - 2 cos x +
. . ( .	, sin x - cos x\
+ 4 I sin x - cos x +----------- = 0,
t	cos x 1
2 cosx (sinx - cosx) + 4 (sinx - cosx)	= 0»
2 (sinx - cos x).|cosx + 2 11 + 1 | |=0,
\ I cos x) I
(sin x - cos x)(cos2x + 2 cos x + 2) •	= 0 и т.д.
V.427. - + лк, kez. У.428. ~ + лк, к G Z. V.429. £ + nk,
4	4	4
614
Ответы. Указания. Решения.
kez. ¥.430.	, р £ Z, ±, nez. Указание.
Z	1о 3
2 sin 4х =
sin бх cos 2х - cos бх sin 2х
cos бх
sin4x
cos бх
- 2 sin 4х = О,
sin 4х = О,
cos бх # О,
cos бх = 0,5,
sin4x I—Ц—
I cos бх
лк
Х-Т’
Я
я
Х ~ ± 18 ‘
-21 =0, откуда
kez,
„лк л . лт
mSZ- Т’12 + -Г'
nez,
, 1 + 2т & Зк, т
12	6	4
т.е. к — четное число, к = 2р, х =
ят
"б"’
яп
н 3 ’
3£ — 1
-— , к * 1 + 2р, р е Z,
я • 2р _ яр
4	“ ‘
2лк, keZ. V.432. л + 2лк,
kez,
2 , реz. V.431.
л
— + лп, nez,
4
v2 — 2 я	я
± arccos —г------1- — + 2лт, те Z. V.433. — — + лк, keZ.
2	4	4
V.436. -л. У.437. -%. ¥.438.	V.439. - J. V.440.
4	3	6
-7. V.441.	V.442.	V.443.	V.444. -7.
2	3	3	2	2
V.445.	V.446.	V.447.	V.448.	V.449. j.
2я	я	Зя	Зя	я
V.450.	V.451. v- ¥.452.	V.453.	V.454. 77г.
5	4	8	4	1U
V.455.	V.456.	V.457. -	. V.458. -^77^.
4	48	48	4э
V.459. 2 arctg |	. V.460. 4 - 4л. V.461. 0. ¥.462.	.
2	2	6
7я	я	35я 53я
У.463.	У.464. 0. ¥.465. 0. ¥.466. -г. ¥.467. =~;
6	2	84	84
V468 —• —• — ¥469 -- ¥470 О’
84 '	96 ’ 96 ’ 96 ’ V 0V’	2 ' V 47U	4 ’ °’
615
Ответы. Указания. Решения.
л Зл
4’ Т’
7Г ~
"з; °:
5л
?; ? • V.471
4	4
ТС
± V.474. ±
«э
____  Л_ ф	л
12 ’ ~ 4 ’	12 ’
— arcsin —. Решение.
1 ЛЛ
тывая, что | sin х |
л;;
7i7P	_ лшял 5л	лшшл
—; л. NATL ¥.473.
1Z	4
+	4-±£	V475
" 8 ’ ~ 9 ’ ~ 9 • V’4/X
Л
NA16. л + arcsin — , л -
о
—. Учи-
4
2л
3
— . Зя
8; ± 8 ’
л. 1л
4 ’ Г2 '
4 sin х = + лк, sin х -
<D	1Z
1 и к €= Z, получаем:
sinx = — , х = (-1)"arcsin— + лп, nEZ,
sinx=-^, х = (-l)m+1 arcsin+ лт, mEZ.
6	v z	6
_ л 3л
Так как — < x < — , то имеем
2	2
х = л - arcsin — ,
х = л + arcsin —.
о
V.478.	+ 2лк, к е Z. V.479. у + Д 6 Z,	,
3	4	3	12	3
nez, “7? + ^, ZeZ. V.480. ^ + 4лк, kez, +
1о 3	13	3
+ 4яи, п е Z, -	+ Ал1, I е Z. V.481.	+ лк, kez,
10	48
17я ,	_ 1л ,
+ лп, nez, — + лт,
48	24
mez. V.482. л + Алк, keZ,
— + Алп, neZ, — + Алт, те Z. V.483. л + 2лк, ке Z,
Z	Z
-^- + 2лп, nez, + 2л1, lez. V.484. - + Тлк, keZ.
6	6	6
V.487.	% + 2лк;2лк
1 о
(л . лк л лк\
з *Т; з"“з” ’
kez.
- 5 + 2лк |, к е Z. V.488.
О	у
V.489.	+ 2лк; - 2я^.
13	о I
616
Ответы. Указания. Решения.
keZ. V.490. f^ + 2л*; 5+4яЛ|,
I л.	О	I
1Л
— + 2лк;
6
- ^ + 2лк; - я + 4лк), keZ. V.491. (60° + 360%; 360%),
(360%; - 60° + 360%), к е Z. V.492. (^ + 2л*;	+ 2л* |,
16	3	/
л	А
- — + 2тгЛ; 2лк , t G Z. Указание, sin х — cos у = sin х -
6	/
х + у л\
~2-----4 ИТ-Д-
V.493. |(-1)*5 + я*; (-1)*+15 + ?-л*|, kez.
Р 4	v/42 I
V.494. | у + лк; - лк |, bj + лк;	— лк |, к G Z.
I Z	«J I I	Z J
V.495. ((-1)* 30’ + 30’ + 90%; (-1)* 30’ - 30’ + 90%), к 6 Z.
__ .Л?	(^Л , 7lk Л лк\ .	— — - ЖГ\ЖЧ (I 1
V.496. -r- + ^-;	> kez- v-497- 7 + я*;7“
IoZoZJ	14	6
)/ л л 1	(	1 л л лк
, т + ^; i kez. N.A93. I(-1/7 + -г + -х-;
16	4 I	Р 6	6 Z
+ ^ez- v-499- + *ez-
6621	16	61
V.500. fl + 2k-,\-2k\, ke Z. ¥.501. f? + лк\ -	- лк],
16	6 I	14	1Z I
+ лк\ 5 - Jtfcj, к e Z. Указание. Преобразуем второе
уравнение системы: 10 sin (х+у) cos (х—у) = 2 + 2 cos2 (х — у),
10 sin — cos (х - у) = 2 + 2 cos2 (х - у),
6
2 cos2 (х - у) - 5 cos (х - у) + 2 = 0,
617
Ответы. Указания. Решения.
откуда cos (х — у) = 0,5 и т.д. V.503. — + лк; лк ,
1 J	/	\
+ keZ. V.504.	+	*6Z' V.505.
3 I	l о о J
(^ + лк; ^-лк], kez. V.506. ((-1)* | arcsin 2	+
I J	JI	i	X	X
Jtk тс . i 2 — VT тск tc\
+ -=- + t; (-1) I arcsin —z— + -= - -r I, к e Z. V.507.
О	лл	L	Z О I
+ лк; — лк\,	+ лк; , к e Z. V.508. (^ + лк;
14 о J Io 4 I	13
+ лк; - j , keZ. V.509.	+ лк;
7--Л&], keZ. V.510. (77 + лк; + f— ±^г- + лк;
о I	19 3o j I 3o
- 4^- + лк , kez. V.511. (30° + 180%; - 120° + 180%),
к e Z. V.512.	(35° + 90%; 25’ + 90%), к e Z. V.514.
+ лк; -	+ тгЛ |, к e Z. V.515. (лк; ^-лк
2	o J	J 3
.	fлк;	,
.co lljr	n I
+ 2лп; —z.--2лп\,
о )
л ,
з+Т
+ лк I, к e Z. V.519,
о I
kez.
V.516.
kez,
/ л
I
(-1)*
nez. V.517.
к e Z. V.518.
«Tt	l7t	\
-г + 2jrn; —— 2тгп ,
3	O	j
(-1)* ^л + лк;
&
(-1У
[? + (-1)‘+4 + л*; (-1)*? + ял), kez.
Jo	О	О J
~6 .
2лк; arccos
+ arccos —5—
V57“ - 6
- arccos----------
2лк; — arccos
+ лк;
, kez. V.526.	+ лк;
\
kez. V.520.
V.521.
i X
2лк
+ 2лк , kez.
, kez.
3
3
618
Ответы. Указания. Решения.
V.527.	+ лк; % + тгЛ |, k G Z. V.528.
I «э	«J I
[-5 + лк; -% + лк\, kGZ. V.529.
16	2	1
(75° + 1804; 60’ -
- 180%), (75’ - 180%; 60’ + 180%), к G Z. V.530.	+ к;
1
12
2
3
V.531
’ 4
kGZ. V.532.
— лк;
It I
; — — Ttk
О
, kGZ. V.533. (~£ + (-1)*|
i О	2
. 2-3 VT , лк л . i .2-3 VT , лк\
x arcsin--------+ -г-; — + (-1)- arcsin---------+ -r-1,
О 2 О	2	О	2 /
kGZ. V.535. [arctg ~ + лк; % - arctg
I 2	4	2
[arctg ± + лп; - arctg - лп |, п е Z. V.536. [(-1)***	+
1	J	4	«Э	I	1	л. л»
+ ^ + ^; (-1)*+1^"7 + т]’ kez- v<537‘	+
kGZ,
- лк |, к G Z, (- v + лп; + лп |, п G Z. V.538. (30’ +
4	1	I 4	4 I
+ 180%; 30’ - 180%), kGZ. У.539. [arctg(2vT+ /15*) +
+ лк; arctg (2 /З- + V15~) -	+ тгЙ, [arctg (2 i/з"- 715”) +
+ лк; arctg (2 VT- V15”) -	+ ял!, к G Z. V.540.	+ лк;
kGZ. V.541. [1 + *;| + л1, kGZ, [-| + п;
О I	10 о J	I J
l + n], nGZ. V.542. [^ + к; , к G Z. V.546. [- +
б Г	16	6	1	\ 4
+ лк; ^-тгл|, kGZ. V.547. [$ + лк; - лк|, kGZ.
4 j	\2 v I
У.548.	+ лк; ^г-лк\, kG Z. У.549. [^ + лк;	,
13	41	12	3 I
619
Ответы. Указания. Решения.
£GZ. V.550. fc + лк; у + л*|, keZ. ¥.551. |у+(-1)*+'х
13	61	^4
X12’T; (-1) 12 + 4+ Tp k&Z‘ V-552* [б+Л*5
2тг	i	i ^--пк , kez. ¥.553.	(л 1	, л 1 — + — arccos 0,7 + лк\ - у + у х .Ох	Ох
\ (л х arccos 0,7 + лк , у - /	\ О	1	, я 1 - arccos 0,7 4- лк\ - т “ х X	ОХ
х arccos 0,7 +	, к G Z.	¥555	-1 |^8’	8^’	8’ 8)*
¥.556. (1; 2), (1; -2), (-	1; 2), (-1; -2), (vT; 3 - V5),
(V5--3 + V5-), (- VT; 3 - V5), (-vT; - 3 + vT), (3; 0),
(-3; 0). ¥.557. (0; 1,4), <0; -1,4), (1; 0,4), (1; -0,4),
(-1; 0,4), (-1; -0,4). ¥.558. I —ту; ту|. Указание. Преоб-
разовать первое уравнение системы: sin (тг (х — у)) 4-
X
2	JT
+ — cos (л (х - у)) = -1, sin (л (х-у)) cos-г + cos (л (х-у))Х
X	о
. 7Г „
х sin — = -1, sin
о
= -1, X-y + у = -у+ 2fc,
О X
5	25
к G Z, х-у = - — + 2к. Так как х2 + у2 = —, то х и у нахо-
О	72
дятся в промежутке
25. 25'
72 ’ 72
откуда к = 0 и система при-
нимает вид
¥.560.
где к = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, всего 22 решения. ¥.563.
(% + %(п+2к); % + y(n-2*)j,	+ %(п+2к); % + |(п-2*)],
620
Ответы. Указания. Решения.
п G Z, kGZ. ¥.564.
kGZ, nGZ. ¥.565.
4
л , (п .
; - + л + *|j,
0; ^ + л(к- и)'|,
7 + л (к - п)
О
лег. ¥.566.
’ 6
nez, kez. ¥.567.
+ л(к+п); —	+ л(к—n)j,
2	. л\
i" arcsin - + (-!)* arcsin — +
О	3 1
(-1)“ arcsin 7 - (-1)* arcsin 7] + 7 (n - k) j,
О	О I X	J
nGZ, kGZ. ¥.568. I у + 2 (к + и) л; + 2 (к — п) л j,
2
+ 2 (к + п) л; + 2 (к - п) л |, kGZ, nGZ. ¥.569. I 7 +
i О	X	1	i j
+ у (£+2n); - + - (k-2n) I, I - + (k+2riy, 3 + (k-2n) I,
к G Z, n G Z. ¥.570.	+	+ £ + nGZ, kGZ.
¥.572. [(-1)п^-^ + л(2п + Л); (-l)ny + + л (2n - *)],
iXO	X О	J
к G Z, nGZ. ¥.573. 11 + 2n + к; к
i о
12п + к; 7 + к
О
1	1	\	/7
| + 2 (п + к); | + 2 (п - к) , - + 2 С
7 + 2 (п + к); | + 2 (п - *)],	+ 2 (г
О	X	J I X
л 6Z, к G Z. ¥.575. Н7 + 2лк; лп
kGZ, nGZ. ¥.576.	± arccos (- 1)п	+ л (п + 2к);
+ arccos (- 1)п ^2^ + 71 (” “	* v,579#	+ 71 (п + Q»
;; ± + к , kGZ, nGZ. ¥.574.
| + 2 (п-к) |,
л
3
621
Ответы. Указания. Решения.
л (к - n)j, (к + п); - J + л {к - n)j. V.580.	- (-1)"х
хту+ +	7 + (-1)п-^-+ (b|)Anez,tez.
12	1	2 1	4	12	1	2 11
Указание.
3 sin х cos у — cos х sin у
cos хcos у
sin (x - у) + 2 sin x cos у _ Q sin (x - y) + 0,5 _
cos x cos у “ ’ cos x cos у ~
sin (x - y) = - 0,5,
sin x cos у = 0,25, и т.д.
cos x # 0, cos у * 0
'л лп. 5л лп
4 + ~2 : ~4+~2
1т + т(^ + «); ? + ?(«-ЗА)1, nez, kez. ¥.583. (^ +
142'42	I	12
+ л (2к+п\, + лп 'ctg + л(2к+п); - arctg + лп |,
2	2 J
arctg + л + л (2к+п); arctg +
2	2
¥.581.
nez, kez. ¥.582.
+ лп , n G Z, A G Z. ¥.586.
kez,
-	+ 2лп
О
:; ?• + 2лп
О
nez.
¥.587.
Л
-т + 2л п
О
ТС w ТС \
- -т- + 2лк; — -г +2лп I,
О	Оу
(-1)* 7 + лк', + 2лп |,
О	О	j
[(-1/? + ^; ~^ + 2лп}, nez, kez. ¥.588. 1^ + 2лк;
(-if’^ + nn), ((-1/+1^ + лЛ; ^ + 2яп), nez, kez.
О	J у	О	X	I
ТС _ JT \
— + 2л к; — — + лп I,
¥.589.
; — + лп , kez, nez.
О /
622
Ответы. Указания. Решения.
(. тс	2jt \	, тс
(-1)* -7- + Лк-, — + 2лп\,	[(-1/— + лЛ;
-	+ 2лп], f(-l)*+1j7 + лк', + 2лп^ , ((-1)*+1^ + лк-,
2jc	\	(тс	\
----— + 2лп[, kGZ, n£Z. V.591.	— + Алк-, 2л + 4лп ,
J	/	IX	у
(- 5 + 4лк; 2л + 4лп|,	[2л + 4лк;	+ 4лп|,	[2л + 4лк;
-	тг + 4тсп I, п G Z, к G Z. Указание. Преобразовать первое
X	у
уравнение: 2 cos2x -1 + 2 cos2 у -1 = 1, cos2x + cos2 у =1,5
и т.д. V.592. (лк; 2л п), kGZ, nez. V.593. [^-arccos (V3*—
-	1) + (- l)n+11 arcsin	-1 + у (2k + n); (-I)"*1 | x
XXX	X
V3" — 1	1	__ л	\
X arcsin —z-----zarccos (v3 - 1) + -z- (n - 2k) ,
XX	X	I
(- i arccos (V3"- 1) + (- 1)я+14- arcsin	1 + % (2k + n);
IX	XXX
(-1)”*1 arcsin 1 + у arccos (VT- 1) + (n - 2£)^ ,
X	X X	X	J
n G Z, keZ. V.594. (у + лк; + 2лп), (- у + лк; +
14	3	}	\ 4	3
+ 2лп|, lv + тгЛ; -^ + 2лп],	l-^ + лк; ~^ + 2лп],
/	14	3 J \ 4	3 J
nGZ, *GZ. V.595. ^(-1/^ + яЛ; 2лп}, к E Z, nSZ.
V.597.	+ 2лк; j + 2лп^, (г arctg -—+ 2лк;
2 arctg 1	+ 2лп^,	^2 arctg —+ 2лк;
2 arctg *	+2лп), n G Z, к G Z. V.598. | v + лк; + лп|,
V3	I	(4	4	\
/	о	4	\	(тс
[arctg- + лк; arctg— + лп\, &GZ, nGZ. V.599.	-7 +
l	О	О	f	l о
+ л (п+к); -	+ л (п—+ л (п + к);	+ л (п -	,
к G Z, nGZ. Указание. Для'второго уравнения
623
Ответы. Указания. Решения.
13	3
-= (cos (х + у) + cos (х - у)) = —, cos (х + у) + cos (х - у) = —.
X	Т1	Л*
( l I V2 \	,_	\
V.600.	(-1)* arcsin 1 —— + лк; arccos (2 - VF) + 2лп ,
\	I	X у	у
/	(	V2"\	\
I (-1/arcsin 1—; - arccos (2-VT)+ 2лп1, к G Z, n£Z.
V.601.	+ 4лк; 2л + 4лп I, I — у + 4лЛ; 2л + 4лп],
1 X	I	I X	j
|2л4-4л&;	4-4лп |, |2л4-4л&; - у 4- 4л п |, к G Z, nGZ.
Указание. Получить систему уравнений относительно
z = cos^ и t = cos^. ¥.602. ((-!)* т +(_1)*+1 т +
X	X	I о	о
4- arctg ~ 4- л (п - к) | у nGZ, kGZ. Указание. Разделить
X	у
первое уравнение на sin (х + у) и сделать замену sin х = z,
ctg (х+у)= t. ¥.603.	+ лк; — + лп], I - т +	+ лп],
I о	о I I о о I
к G Z, nGZ. Указание. Преобразовать систему к виду
sin2y - 3 sin х sin у = 1,
21 sin2x — sin2 у = 5.
Сделать замену sin х = t, sin у = z, тогда получим
z2-3zZ=l,	о, lZ1l 2 с
4z4 — 29z2 + 7 = 0 и т.д.
¥.604. (y + 2лк; + 2лп\,	+ 2лк; - v + 2лп) , f — v +
lo	о J Io	6 I I 6
+ 2л&;	+ 2лп) , (- т + 2лЛ; - ^ + 2лп\,	+ 2л&;
0 I l О	О J	16
5л )	(5л	5л \	( 5л , „ , 5л
-г- + 2лп ,	— + 2л£; - — + 2лп ,	- — + 2лА; — +
о / \О	/	\ 6 о
\ ( 5я	5л \
+ 2лп I, —— + 2л£; —— + 2лп , к 6 Z, nGZ. Указание.
624
Ответы. Указания. Решения.
Сделать замену cos х = z, cos у = t.
+ 2лп
Л _ , ТС
— 4- 2лЛ; — 4-
О	4
'1тс	Л , 5тс	Л \
— 4- 2тск\ — 4- Тдсп ,
о	4 I
V.
V.607. 0. V.608. (лк-,
2л п),
— + лп I, к G Z, п G Z.
О J
, тс	\
— + 2л к; - ~т + 2лп ,
о	4	j
5тс	Зтс	\
— + 2лк; — + 2лп , к G Z, nez.
о	4	I
; ? + 2лп) , к G Z, neZ, V.609. (v +
Z I	14
'л	, „	,	л , „	\	(Зл	,
-т + 2лк‘, -т + 2лп , ~г +
4	4	/	\ 4
,	„	,	Зл	,	„	\	(5л	,	„	,	5л ,	п	\	(1л	,	„	,	1л	,
+	2лЛ;	—	+	2лп ,	—	+	2лк',	— +	2лп	, —	+	2лЛ; —	+
4	I I 4	4	I I 4	4
+ 2лп], keZ, neZ. V.611. (2лк;л + 2лп), keZ, neZ.
3	1	\	(	3
arccos -т + 2лк; - arccos т- + 2лп , - arccos т + 2лк-,
4	8	114
V.
arccos + 2лп], keZ, neZ. Указание.
О	J
6 cos х = 5 - 4 cos у,
6 sin х = - 4 sin у,
возвести оба уравнения в квадрат и сложить и т.д.
п G Z.
V.613.	4- 2лЛ; 4- 2тсп\, | - у + 2тск; 4- 2лп|,
14	2	/	\ 4	2 I
+	| + лп), kez, neZ.
1л , „ , Зл . „ \	( л , „ , Зл , „ \ (Зл
— + 2лА; —— + 2лп , - -т + 2лк\ — + 2лп , —
14	4	/\4	4	/\4
тс	\	(	Зтс	тс	\
- — 4- 2лп ,-------— + 2тск; — 4- 2лп , к G Z, п G Z.
4	/	\	4	4	I
(	4	5\ (	4	\
arccos —; тс - arccos — , л - arccos —; тс . Указание.
I	А «3 /	I	О I
kez,
V.615.
+ 2лк\
¥.616.
21 I ['in "Пиме । рия
2 ,	. ч
cos х = — (2 cos у + 3 sm у),
О
sin х = (2 sin у — 3 cos у).
О
625
Ответы. Указания. Решения.
Возвести обе части уравнений в квадрат и сложить. V.618.
(лк; лп), [2лк;	+ 2лп|,	12я£; — + 2л п
л + 2лк;
\	/	Ятг	\
— + 2лп]9 [те 4- 2лк; —— + 2лп]9 к G Z9 nGZ. V.619.
4 J I	4 J
/7 ч fl	1	,	7 1	1	,	\	(	1	1	.
(лк; лп)9 - arccos — 4- лк; arccos — 4- лп , - 77 arccos — +
12	4 Z	4	112	4
1	1\/1	3 Я 1	3
+ лк; — -г arccos -т + лп , Ьг arccos — + + лк; arccos — +
Z 4	112	4	2	2	4
, л ,	/1	3 , л , ,	1	3 . л ,	\
+ -Т-+ лп ,	- х arccos 7 + — + лк; - arccos — + — + лп1,
£ I I X	X	X	X у
к G Z, nGZ. V.620.	+ лк + 2лп; лк], (—^ + лк + 2лп;
14	I I 4
+ arctg 2 + 2лп + лк', - arctg 2 + лЛ ,
Зл
4
л
3
1 + 2лк; 1 , к е Z. V.
V.627.
5л
т
- arctg 2 4- 2лп 4- лк; arctg 2 4- лк I, к G Z, nGZ. V.624.
fl; (-1/ % + лк- 1|, keZ. ¥.625. (% + 1 + 2лк; 1),
\	О	у	I J	I
2; т + лк - 21, kez.
4	I
(т + лк + 2; г], к е Z. ¥.628.	+ 2лк; ||,
\	/	\ 6	4 J
+ 2лк; kez. ¥.629.	(- Л +. 10; | х
4 1	14	2
„ Зл - 4	( л + 10	1 Зл - 4 , ,\
х arccos —-— + лк ,---—; - — arccos —-— + лк I,
6	114	2	6 I
(if	2\	\	(	1 /	2\
- 2,5; — 1л - arccos — 4- лп , (- 2,5; - — pr - arccos — 4-
“ \	/	/	I	2 1	ОI
'	3\ , , Л + 4\
л - arccos-z + лк; ,
О I	12 J
( 1 (	3\,,л + 4\	/1 2л -3
- тг I л - arccos -z + лк; I, I - -г arccos ——
12 1	0 1	12 1^2	О
Зл1\ /1 2л - 3 , Зл
Т+а » глarccos—z— + лп; —
43112	5	4
+ лп , к G Z, п е Z. ¥.1
+ лп;
GZ,
nez.
626
Ответы. Указания. Решения.
..	(1 (	5\ .	. Зл+ 1
V.631. Иг 1л - arccos -т + лк; —гт—
12 1	ОI	24
, , Зл+ 1\	/1 2л — 5 .	18n + 1
+ лк; ——— ,	hr arccos —-— + лп; ———
24 I 12	о	24
2л — 5 ,	18л + 1\
х arccos —-— + лп; ——— ,
о	Z4 J
(у- + лк; 11, (arctg 4+ лп; -41» к е Z, neZ. ¥.633.
14	JI	2 J
|-^ + 2ли;3|, |л - arccosЦ- + лк; 1, [-л+arccos |4+
I Z	II	13	13 у I	13
л - arccos-I +
_1Х
2
к е z, п е z.	У.632.
+ лк;
G Z, nGZ. Указание. Вычитая из второго
уравнения первое, получаем 3 cos х + 2 sin х = - 2,
3 cos х + 2 = - 2 V1 - cos2 х ,
________________________ и т.д.
3 cos Л + 2 = 2 Vl - cos2*
¥.636. 14 + arccos 4 - л (2к + п); — arccos 4 + 2лк;
I Z	3	3
14 - arccos 4 - л (2к + п); arccos 4 + 2лк; 4 + яп | >
12	3	3	Z I
nez. ¥.637. (О; 0; 0), (0; л; 0), (0; 0; л),
Указание, sin х: sin у: sin z = 1: VT: 2. ¥.638. (лк;
— л (к + п)), [4 + 2л£; 4 + 2лп! 4 “ (к + п) |,
12	О	3	у
-4 + 2лп; ^-2л(Л + п)\ keZ, nez. ¥.639.
6	О	j
arcsin 4 +	4 ~ (_ 0* arcsin 4 ~ л	+ п) I > kez,
3	Z	3	у
¥.640.	+ arct8 2 + лп’ - arct8 2 “ л (^+n)j >
keZ, neZ. ¥.641. | arctg 4 + лк; arctg 4,5+ лп, л — arctg — -
I z	z
л L	1
1 + ™ >
keZ,
л .
3 :
лп;
7Г\
2/
7Г —
+ 2л&;
л
nez.
- arctg 4,5 -
arctg 4 + лк; - arctg 4,5 + лп;
ЛЛ
627
Ответы. Указания. Решения.
л + arctg + arctg 4,5 — л (к + п) I, к G Z, nEZ. ¥.642. 0.
V.643. (arctg 2 V5" + лк', arctg V5 + лп; л - arctg 2 V5*-
- arctg V5"- л (k + nJ), (arctg 2 V5~- лк; arctg V5~- лп; л -
- arctg 2 V5~— arctg V5~+ л (к + n)), kEZ, nEZ. Указание.
tg(x + y) = -tgz, tg(y + z) = -tgx, tg(x + z) = -tgy,
tg x : tg у: tg z = 3 : 6: 2. Свести систему к рациональной от-
носительно tg х, tg у, tg z. V.644.	+ лк; arctg 2 + лп;
Зл	\	(л	5л
—— arctg 2 - л (& 4- n) ,	- т + лк; “ arctg 2 4- лп; — 4-
4	J	\	4
)/ Зл	л
, kEZ, nEZ. ¥.647. -т- + 2лк; — +
I X	*т
Зл	\ (л Зл	Зл
+ лп;---— л (2к + п) , т + лп; -т- + 2лк; —-— л х
4)14	2	4
X (2к + и)),	+ 2лк; - л (2к + п); 7 + ля),	+
/12	4	4	114
l Зл	. Зл , п ,\ ( Зл	, Зл ,
+ лп; —-—л(2к+п); — + 2лк1, I—-—л(2к+п); — +
л	\	( Зл	л	Зл	\
4- 2лк; — 4- лп\, --— л (2к 4-м); — 4- лп; — 4- 2л к ,
4	1	14	4	2	I
kEZ, nEZ. ¥.648. (7 + лк; % + лп; 7 +	, | - 7 + лк;
16	о	42116
л	,	л	,	лт\	(л	,	л	,	л лт\	( л
—	4- лп;	— 4-	-т- ,	— 4- лк;	- —	4- лп; — 4- -т- ,	- — 4- лк;
о	4	2	1	16	6	4	2 J	I 6
л	л	лт\	(л
“	4" лп; — 4- —г— I, т G Z, nGZ, к G Z. V.649. I — 4- 2тгЛ;
о	4 z I	12
2лт; лт], I - ? 4- 2лк; л 4- 2лп; лт\, Iv 4- 2лк; 4- 2лп;
/ l z	j 14	4
л , Л \	(л.	1 7л ~	2л Л \	(Зл
— 4- 2лт ,	— 4- 2лк; — 4- 2лп; — 4- 2лт ,	— 4- 2лк;
4	3	/
л	4л Л \ (Зл Л 1 1л	5л \
— 4- 2лп; — 4- 2лт1, — 4- 2лк; — 4- 2лп; — 4- 2лт ,
(5л	Зл	t л	Л \	(5л	Л , 5л
— 4- 2лк; — 4- 2лп; — 4- 2лт ,	— 4- 2лк; — + 2лп;
4	4	3 I	[ 4	4
628
Ответы. Указания. Решения.
2л	, „	\	/7л	. п . Зл	ta	, „	\	/7л	Л ,
г- + 2лпг ,	— + 2л&; — + 2лп; + 2лш ,	— + 2л£;
3	)	( 4	4	3 I	I4
— + 2лп; + 2лт |, k G Z, mGZ, nGZ. Указание. Воз-
4	3 J
вести в квадрат обе части каждого уравнения. Сделать
замену u = sin2x, v = sin2 у, Z = sin2z. Решив систему, пол-
учаем совокупность систем
sin2x = 1,
sin2 у = 0, или
sin2 z = О,
•	2	1
sm2x=
•	2	1
sin2y=
•	2	3
sin2 z = -.
4
каждого случая проверку.
л , л \ (л 1
 3 • "“"'J ’ (з
[-^ + 2лА; - £+;
I О	о
Далее, найдя х, у и z, сделать для
(л	л	VT	..
— + 2лА; — + arccos — + 2л п; — + 2лш
3	6	4	а
л	V3" , „ л , _ \
— - arccos — + 2лп; - -г + 2лт ,
о	4	3	1
л:	\
+ arccos —— 4- 2тгм; - — 4- 2лт ,
4	J	I
(	л	, ~ , л	VT ,	„ л	, „ \
^	3	6	4	3 j
( 2л , „ , 5л , VT , _ 2л	\
—т- + 2л£; —— + arccos -г- + 2лп; —— + 2лт ,
13	о	4	3	1
( 2л „ , 5л	уГЗ~ , _ 2л , _ \ , _ „
—— + 2лА; —-— arccos — + 2лп; —г- + 2л т I, к G Z,
13	о	4	3	1
th € Z, nGZ. Указание. Вычитая из первого уравнения вто-
рое, после упрощения получаем:
. х - z . х - 2у + z . х + 2у + z\
sin —-— 2 sin-------------Ь sin----------- = О.
I	£ I
Рассмотреть два случая: 1) sin	= °!	2 s^n ~+
+ sin X + +-Z- = 0. ¥.651.	+ лш; л (2n + m); ^+
+ л (2k + m) |, I — ? + лт‘, + л (2n + m); 7 + (Zk + m) I,
629
Ответы. Указания. Решения.
1	1 лт Зл , 1	1 , Л m\ л
-2arctgi + ^-; —+2arctg- + ^ 2n-y ; -y
1 . 1 .
- 2 arctg ^ + л
Возвести в квадрат обе части первого и второго уравнений
и сложить. После упрощения получим cos (х - г) = О,
JT til	1Г	1	'П'
х - z = — + л1. l^Z и т.д. V*652e — + ля; — + тгп; — — +
2	1о 3	3
^ + лк; —^г + лп; +л(2/п-п-Л+1)|.
О	3	3	f
Указание. Перенести константы в каждом уравнении в ле-
вую часть и попарно перемножить уравнения. Сделать заме-
+ 2лк; ^ + 2лк], kEZ. V.659.	+ 2лк; ^-+ 2лк},
о j	I о	о у
^+2лк; ^+2лЛ|, kEZ. V.66L | - +лк;
/ \ ®
2л 2лк. 7л 2лк
9 + 3 ’ 9 + 3
, т G Z, nEZ, kEZ. Указание.
+ л(2т-п
ну tgxtgy = и, tgxtgz = u, tgytgz = t. V.
kEZ. V,
- ^ + лЛ|, kEZ. V.662.
О I
kEZ.
V.663. — 77 + 2лк, kEZ. V.664. (1 - л - arcsin 0,4 + 2лк;
X
5л
т
1 + arcsin 0,4 + 2лк), kEZ. V.665.
+ I + лк I, к e Z. V.666.
* /
V.
5л
12
*+l
8	2
-	+ 2лк; —+ 2лк[, kE Z.
IX	IX
4jtA	13л 4лЛ\ , _ _ „	/
-3- ; -g- + -3-1, к E Z. V.668.
- arcsin 0,2 + лк; -£7 + 77 arcsin 0,2 + лк |, к E Z. V.669
X	ix X	I
I - arcsin + 2лк; л + arcsin + 2лк |, kEZ. V.
\	«j	3 J
2	. 1 , 4л& 2л 2	. 1 .
-arcsin- + —; — --arcsin —+
лк;
? + лк I, kEZ. V.671
X /
630
Ответы. Указания. Решения.
Алк
3
iteZ. V.672.
1 1
2Л + 1 ’ 2Л
, лег. V.674.
лег, л# о. V.673.
Л t , 1 17Г	„ ,
— + 2тгЛ; —— + 2лк ,
О	о
лег.
+ 2ттЛ;
V.678.
V.675. I - § + Лк-, ~ + лк], лег. ¥.676.
IX	IX I
kGZ. У.617. № + лк;
f-яЛ; ;£•
о
7F
— + 2лк ,
О
лк ф
2 ’
7л лк'
24 +~2
я
6
лег.
5л
24 +
, Лег. V.680. |- arccos+ 2яЛ; arccos
~^ + 2лк; 1 +
О	х
+ 2л:Л), лег. ¥.681. 2я:Л, лег. ¥.682.
+ 2лк , kGZ. ¥.683. (? -1 + Алк;
? + лк; 2 +V + л
О	X о
7Г
- -г + лк;
4
¥.684. [у-
I X
11тг лк
24 + 2
, л е г. ¥.688.
— л + 2лЛ;
+ лк , Лег. ¥.691
V.679.
, лег.
лег. ¥.685.
тг Лк .
24+Т;
, л е г. v.689.
, Л е г. ¥.690. | - х + лк; arctg 2 +
I л»
'лк
Т
+ 4тгЛ; 47гА), к G Z. V.693.
л 2 лк л
6 + 3+Т; ~9
¥.694.
л
 6
Зл
Т
J , Лег. ¥.692. (- 2л +
7Г f Л , Л
~12+^; 6+7Г*)’
1-1 + ^1, л е г. ¥.695.
О О I
+ лк; лк), к G Z. ¥.696.	+ лк , kGZ. ¥.697.
+	лег. ¥.698. (% + лк; я + лл\
X Z X /	\ Z	I
(л 1
2 arcctg 2 +
лк\ , _ _	_л, (2 . лк 2 ,	. . , лк\
— , Лег. ¥.701. k + -x-; ^ + arcctg4 + — ,
¥.699.
;^ + лк , kGZ. ¥.700.
лк
~2
631
Ответы. Указания. Решения.
(4к + 1 4к + 2\	, _ _ ,	_ „
---77—; -	, kez, к*0. У.705.
4к 4к+ 11
- + 2яЛ; arcsin -7 + 2лк ] U I л — arcsin 7- + 2л к;	+
О	4/1	4	О
2л 1
+ 2лк), kez. У.706. (•
I о
5л , „ ,	2л , „ ,1 . । Г2тг ,
- гт~ + 2яЛ; —— + 2лк U ~т~ +
о	3	3
+ 2лк;
, kez. ¥.707.
3
arcsin 4 +2тсЛ; + 2лЛ1 U
3 о I
+ 2лк; л - arcsin + 2лк ,
и
kez.	У.708.
1	2тг ill/ 4тг	1
тс - arccos -г + 2тгЛ; — + 2лк U — + 2дск; тг + arccos - +
4	3 j 13	4
+ 2лк ], к е Z. V.709. (- arctg 2 + лк', arctg 3 + лк), kez.
V.710. (arcctg 1,5 + лк;л - arcctg4 + лк), kez. ¥.711.
л
4
— -т + лк; ^г + лк ,
4	4
к е Z. ¥.713. [% + лк; ^ + лк), ке Z. ¥.714.	;
\ 3	3	j	у 1X 3
л тък л ттк
б+Т: б+Т
+ лк; arctg 2 + лк ], к е Z.	У.712.
, к е z. у.715.
4	3 1
( тс	тс к	тс тск\ .	_	__ _. f	1
-7-;	+ -7- , Леи. V.717.	- arccos — + ^Л;
4	24	4 )	I	3
2	,	2
arccos 7 + тск; тс - arccos 7 +
Э	3
'Л	5л	\
— + лк; — + лк ,
О	О	I
\ 24
arccos + лк I, к е Z.
& /
V.718.
+ л:А], kez.
¥.719.
, kez. У.716.
kez. ¥.720.
л t лк л
6+Т; 6
лк
~2
kez. ¥.722. I - + лк; ^ + лк\, к ez. ¥.723.
13	3 j
- у + лк и т + л*; ? + л* |, к е Z. ¥.724.
4	4	2	1
к е Z. ¥.721
Зтс
— + тск; — + тск ,
4	4
4
— arctg 2 +
4
"г+лк;
~^ + лк;
arctg2 + лк; +лк], kez. У.725. \+
z I	I о
2
632
Ответы. Указания. Решения.
4- лЛ; 4- лк|, ^GZ. V.726. \лк; у + лк U “г 4- лк;
о I	\	4	4
л 4- 2лЛ), Леи. V.727. (лк; arcctg5 4- лк) U (л - arcctg5 +
+ лк; л 4- лк). Ле И. V.730.
л , , л , ,
- — 4- лк; — + лк
о о
леи.
V.731. |-^ + лЛ; ^ + ллк kez. V.732. ? +	+
I 3	3 I	о 2 о
+ ^ , Л е И. V.733.	, леи. ¥.734.
(-^ + V5 S + v1’AeZ- V-735- (? + 2^Л; ^ + 2лл\
I 24	2	24	2 j	14	4 г
keZ. V.736. x = 2лк, k&Z. V.737. x * v + 2лЛ, к e Z. V.738.
4
(Л	5л	\	/	7	1	\
— + лк; — + лк , Леи. V.739.	- Г + 2Л; - | 4- 2Л ,
4	12	J	I	о	о	I
(л 5л \
— 4- лк; — 4- лк , Леи. Указание, sinх +
о оу
/ vr _ .	f л тск 5л^ лЛ\ «	__ __ я* л *
4- cos х	VT.	V.743.	— 4- — ;	—	4- — ,	Ле И. V.744.
I о Z о 2 1
ЗЛ	ЗлЛ	«	_	_7 ЯЧАС	п	ЖГ	। лк л
х	4——	,	Леи.	V.745. х е	R.	V.746.	— — + -z- ; — 4-
4	2	о 2 о
, Леи. V.747. №- + лк; + лк|, Леи. V.748.
14	4 I
лк
5л , лк 13л: , лк\	,	о
— + — ; -г- + — , Леи. Указание. Воспользоваться
24	2	24	2 1
формулой тройного угла. V.749.	4- лк; 4- лк j, к е И.
¥.751. х*лк, kez. У.152. х*^ + лк, kez. ¥.753.
О
- т + лЛ; + лк , к е И. ¥.754. I -	+ лк‘, лк , к е Z.
о	3	I о	у
¥.756. +лЛ; +л:л) U + лп}, к е Z, п е И. ¥.757.
+ лк-, J + лл] , Ле И. ¥.758. х * ~ + лк, kez. ¥.759.
I 3	Z I	Z
633
Ответы. Указания. Решения.
я , Зя , ,
-т + як; — + як ,
4	4
, kez.
f
kez, лп, nez.
V.761. kj + 2лк;
I w
V.763.
л
3
ке z.
V.768.
V.769.
kez.
kez.
kez.
V.775.
V.762. |-^ + 2яА;
\ о
jr	2я
— + 2тгЛ; — + 2лк
О	о
I (л ,	, Я ,	/
J — + лк; — + лк
\ О	jw
, kez. v.766,
V.767. | v + лк-,
I 4
, kez.
, kez.
— + 2лк], kez.
О /
V.764. (-% + лк; J +
I z о
V.765. I - arctg 2 + лк;
Я
яЛ; — + яЛ
+ лк\, kGZ.
4 I
U —л + лк\ л + лк],
4	I
+ 2тг£; л - arcsin —------F лк |, к е Z.
’ ______________ 1л
arcsin ——
I
-% + лк; % + лк , kez. V.770. 1^ + лк-, + л:Л],
44	loo]
5л
б
V.771
6	Г
Зя	।
;-^-+2лк ,
*	/
’ 6
V.772. 1% + лк;^ +
14	4
Зя	Зя	1
- arccos — + 2л*; arccos-т- + 2лк , keZ.
4	4
kez. V.773. х = 2лк,
V.774,
л- arcsin (272"-6)+2тгЛ; 2л + arcsin (2V2--7б”)+
+ 2л*), kez. V.776. 12лк;	+ 2лк |, к Е Z. У.771.
I о I
+ 2тгЛ; + 2лк , keZ. V.778.
О
U +2тг£;
\ О
5л	,\
— +2л*
4 I
kez.
kez.
+ лк),
Зя \
у- +2лк],
J + 2л:Л;	,
l z	4 I
+ лк-, у - 1 arcsin (VT-1) +
JW Zt
5jt \
— + лк\ — + лк , kez. Указание.
О	о I
, к е Z. V.779.
I Л .о / Л .
( 4 + 2?г*; 2 +
arcsin (V3~ -1)
к е Z. V.782.	'
I
V.781.
634
Ответы. Указания. Решения.
1 — cos 2jc
4 cos 2х - 5--------------(1 - cos2 2х) < 0 и т.д.
V	.786. arctg V2”+лк;	+лЛ}U [- arctg VF+лк; лк), kez.
**	f
V	.787. - ? + лк; - ? + л*1 U (лк; v + л*|, к G Z. V.788.
Z	4	/	\	*	/
;	+ лк| U I? + лк; + лк|, к G Z.
о j Id	Z J
V	.789. 12 arcctg —+ 2лк; л + 2л&1 U (-2 arcctg - +
i	Z	Ji	z
лк
Л
+ 2лк; - +
V.790. (^ + 2лк;
У ®
л 2л£
4 + 3
7л , ,
12+Л
, kez.
, kez.
, kez. Указание. Сделать замену tg — = t.
Лл
4 +Т;
1^12 + Лк''
keZ. V«794. (~5 +
-Ц^ + 2л£|, kez.
О	1
V.792
V.793
( л , ,
(- 2+яА;
х # -г + 2лк,
Z
л I
+ 2лЛ; — + 2лк ,
U (— т + як; у + лк
14	4
tg х = t. V.796. (^- + лк; +лк
I 4	Z
keZ.
+ 2лЛ|, kez. V.798.
О
fl
-z arcsin
I z
v.m
+ лк; — arctg 2+лЛ
e Z. Указание. Сделать замену
keZ. V.797. 1^ + 2лк;
[ о
г	5?г	\
л + 2лк; — + 2лА|, к е Z. V«799<
. <?Г-3 , , Л 1
-----------+ лк; -z--z arcsin
Z Z
-----V лк
4
kez.
Указание. Сделать замену sin 2х = t. V.
7л , ,
— + лк\
12
- % + лА | U I - ? + як; + лк I, к е Z. V.804. (2лА; л +
Z I I Z	JL Z	I
тс	Зл	\
у + 2лк; + 2лк]
О	О	I
2л + 2лкI, к G Z. Vo806* [у + лк\ + лк
/	\ 4	Z
+ Ink), kez. V.
9л , _ ,
~ + 2лА;
О
(Зл _1_ /
— + лк;
4
635
Ответы. Указания. Решения.
л + лк), kez. NM1.	2лк; + 2лк 4	и	4- 2лк; л 4- _ 4
+ 2лк
Зл
8
лк л лк
Т’ 7 + Т
и ~ + Ш; + 2лк . ¥.808.
4	4
kez. V.809.	+ 2лк; л + 2лЛ1 U (л +
2 1	I О
+ 2лк; + 2лк|, kez. ¥.810.
О	)
и Т + 2лк; +2лк , kez. ¥.811.
L4	4 J
U + 2лЛ;	U + 2лЛ;
Зтг	\	/
^ + 2лк , kez. ¥.812. 2л
JL	I	I
+ 2лЛ;
- ^ + 2лк', 2лк U
2л	\  .
—— + 2лк; 2лк U
1	0	I
. \ । । (6л
л	+ 2тгЛ	U	+
/ \
w \	I	।	(2л
с;	у + 2лк\	U	1у +
2	I	1 3
+ 2лЛ;
V.813.
V.814.
л + 2лЛ) U + 2лк; + 2л кj, kez.
\ О	2	1
) U + як',	, к е Z.
/V	О	I
лк\ । I (л лк Зл лк\
Т и 4+Т; Т + Т ’ 1
V.815.
Я 7. Л .	1
— 4- лк; — + лк
лк t л
Т’ 4 +
4- 2тгЛ; - 4- 2тгЛ U - 4-2тгА; - + 2лк U
2	3	О
6
"Т
е z.
и ? + 2лЛ;
О
3	’	6
+ 2лк U ? + 2лк; + 2лк , kez.
□	2	О
и
и
л
3
V.816.
— — + лк; - — + лк U т + лк; -г + лк U
4	о	о	4
и 1? + ллк kez. ¥.817. (~^ + 2лк; ? + 2л*| (J
12 J	I О	2	)
U + 2ТГ&;	+ 2тг^ , к G Z. ¥.818.	+ jrJfcj U
U 1^ + лк; + л*|, к е Z. ¥.820. х = лк, kez, к^-2.
¥.821. х = | + Л, kez, к^О. ¥.822. х = ^ + лк, kez,
2	4
к 0. ¥.823. х = + 2лк или х = (-1)"	+ лп, keZ,
о
636
Ответы. Указания. Решения.
rt 6 Z, к # 0. V.824. х = 2лк или х — -^ + лп, kGZ, nGZ,
n # 0. V.825. х = + лк или х = - т + лп, kGZ, nGZ,
о	о
п # 0. ¥.826. х = — + 2лк или х = (— 1)"	+ лп, kGZ,
о
nGZ, к*Ъ. V.827. х = -	или * = ;< + "тт » kGZ,
У О	У «j
nGZ, п*0, п*1. V.828. х = (-1)*+1^ + лк, kGZ, к*0.
тк	Jijk	tv	ли
У .829. х = ^ + ^ или х = -т + -^, kGZ, nGZ, к * 0,
О	2	О Л»
n*l. V.830. х = (-1)* I + к, kGZ, к * 1. ¥.831. х = | |
О	4	2
или х = (-1)’	+ £ , kGZ, nGZ, к*0. ¥.832. х = ± +
12	2	4
к	1	п
+ £, к G Z, к # 1. ¥.833. х = к или х = (-1)"	, к G Z,
2	о	2
к	1
nGZ, Л # 1, к * 3. ¥.834. х = — или х = ± -г + 2п, kGZ,
4	3
nGZ, п*0. ¥.835. х = | или х = ±	, kGZ, nGZ,
2	Jv О
2к	1	1
к * 2. ¥.836. х = — или х = -г + п, или х = - ~ + 2т,
3	4	2
kGZ, nGZ, mGZ, к*0, т*0. ¥.837. х = к или х = у +
! 6
+ п, или х = — 4 +/и, kGZ, nGZ, mGZ, к^З, п * 1.
О
¥.838. x = i + | или х = ± + ^, kGZ, nGZ, к* 0, п^О.
10 Э	О 3
¥.842. х = - т + лк, kGZ. ¥.843. х = ^ + лк, kGZ. ¥.844.
4	4
х = + лк, kGZ. ¥.845. х = лк, kGZ. ¥.846. х = - +
+ Ш, kGZ. ¥.847. х = лк, kGZ. ¥.848. х = у + лк, kGZ.
637
Ответы. Указания. Решения.
¥.849. х = л + 2лЛ, к G Z. ¥.850. х = л + 2лк или х = — +
+ ^, kez. ¥.851. х = 2лк, kez. ¥.852. х = -+ 2лк,
kez. ¥.853. х = ^ + 2л£ или х = (-1/ 7 + лк, kez.
ЛЛ	О
¥.854. х = ± + 2лк или х — л + 2лк, kez. ¥.855.
О
х = 77 + 2лк или х =	+ 2лк, или х = ~ + 2лк, ке Z.
L	о	о
¥.856. х = 2лк или х = ± — + 2лк, ке Z. ¥.857. х = 2лк,
ке z.
¥.860.
kez.
¥.858. х = 2лк, kez. ¥.859.
х = ^, kez, кФ31, lez.
о
¥.862. х = - J + ^, kez.
О Z
л , 2лк , _ „
”2+^-’ *SZ-
V.861. х=-^ + ^,
12	2 ’
¥.863. х = ^ + 2лА,
4
kez. Указание. Данное уравнение равносильно системе
sinx = 1,
cos4x = 1,
L X _ vT
“г' 2
jr *2jtk
¥.864. x = — +	, kez, кФбп, к Ф 6n + 2, neZ. ¥.865.
x = (-1)*+1 + лк или х = у + 2лЛ, keZ. ¥.866. х = 2лк
или х = у + 2лк, kez. ¥.867. х = л + 2лк или х = ± +
+ 2лк, keZ. ¥.868. х = л + 2лк или х = ±	+ 2лк, ке Z.
О
¥.869. х = - л + 2лк, kez. ¥Л70. х = ^ + ^, kez,
1V	D
кФ5п + 2, nez. ¥.871. * =	+ kez, кФ5п + 3,
1 v	D
nez. ¥.872. х = ^ + 2лЛ, kez. ¥.873. x =	+ 2лк,
4	4
638
Ответы. Указания. Решения.
к е Z. V.874. х = -	+ 2л*, к 6 Z. V.875. х = 7 + 2лЛ,
4	4
к G Z. V.876. х = у + у Д GZ, Л * 7/ + 3, IGZ. V.877.
Нет решений. V.878. х = - ^	+ 2лк,	kGZ.	V.879.
X = ± -у + Ш, kGZ. V.880. X = лк, kGZ.	V.881. Нет ре-
шений. V.882. х = (-1)*+1-^-+	+^,	kGZ.	V.883.
X = (-1)*+1 ~ + лк, kGZ. V.885.	Нет решений.	V.886.
х = ~ , kGZ, к *41+ 2, IGZ. V.887. Нет решений. V.888.
4
х = 2л*, kGZ. V.889. х = лк или х = 7 +	> *GZ- V.891.
4	2
х = к, к G N, к * 1. V.892. х = Зилих = | + Л, kGZ, к ^2.
АЛ
Ч.9№>. х = 7 + или х = - 4, к G Z, к 5 - 4. V.894. х = 7
6	3
или х = +	к^ 4. V.895. х = 0 или х = ± 1, или
5	7
х = ± 2, или х = ± —. V.896» х = ± тг или х = ± 3, или
X	X
1	3
х = ± 1. V.897. х = ±1 или х = -т, или х = -~. V.898.
4	4
,	„	1	3	7	5
X =	±	2	или х = -	— ,	ИЛИ	X = -	, ИЛИ X	= -7 ,	или X = -	7	.
4	4	4	4
1	7
V	.899* х = ± — или х = — , или х = -1, или х = 2. V.900.
4	4
X = V ИЛИ X = 4 > ИЛИ X = - 7 , ИЛИ X = - 7 , или х = - 2,
4	4	4	4
или х = 1. V.90L х = ^ + -^р, ЛЕИ, к^—4 или к 3.
8	4
V	.902. х = |, ЛЕ^ k^l. V.903. х = у + к е N, к*1.
х	х
V	.904. х = или х = ± ^. + 2л и, kGZ, nGZ, к — 1,
X	о
639
Ответы. Указания. Решения.
п 5 О. V.905. х = О или х = ± —, или х = ± —. V.906. х = О.
о	2
V	.907. х = 0 или х = ± 77, или х = ± —. V.908. х = ± или
2	3	»
х - ± —, или х = ± —. V.911. х = лк или х — — + 2лк,
4	3	2
к G Z. V.912. х = 77 + лк или х = 2л£, к е Z. V.913. х = лк
£
или х = 77 + 2лк, kez. V.914. х = лк или х = (-1)*	+ лк,
kez. V.915. х = ^- + лк, kez. V.916. х = ^ + лк, kez.
4	3
V	.917. х = ±^ + 2лк или х = 2лк, keZ. V.918.
4
х = — + 2л к или х = 77 + лк, keZ. V.919. х = 77 + 2лк или
о	2	3
х = лк, kez. V.920. х =	+ 2лк или х = лк, kez. V.921.
О
2л ,, ,	4л	, . ,	11л	,	, ,	, _ „
х = -77- + Алк	или	х = — + Алк,	или х	- -г-	+ Алк,	kez.
3	3	3
V.922.
Зл , Алк
Х~ А + 3
ИЛИ X —
13л Алк
12 + 3
ИЛИ X —
7л Алк
18 + 3 ’
kez. V.923. х = л + Алк или х = — + Алк, или
Лл
X =	+ Алк, kez. V.926. х = ± + 2лЛ, kez. V.927.
3
3	2
х = arctg- + лк, kez. V.928. х = arctgj + лк, kez.
V	.929. х = (-1/+1^ + лЛ, kez. V.930. х = ±^- + 2лк,
О	3
kez. V.931. х =	+ 2лк, keZ. V.932. х = - + 2лк,
о	3
kez. V.933. X~?r + 2nk, kez. V.934. х = ±^ + 2лк,
о	4
kez. V.935. х = - j + лк или х = + 2лЛ, к е Z. V.936.
•г	£
640
Ответы. Указания. Решения.
х = -т + лк или х = — — + 2лк, ке Z. V.937. х = - — + 2лк,
4	2	3
kEZ. V.938. х - - 5 + 2лк, kez. V.939. х = ~ + 2лк,
2	о
kez. V.940. х =	+ лк или х = + 5 arctg 5 + лк, к е Z.
о	2	2
V	.941. х = 2лк или х = — 5 + лк, или х = 5 + 2лк, kez.
4	4
V	.942. х = - 5 + 2лк, kez. V.943. х = ±~ + 2лк, к е Z.
о	3
V	.944. х = ± — + 4л + 8лк, kez. V.945. х = лк, keZ.
<D
V.946. х = л 4- 4тгЛ, kEZ. V.948. х = лк или х = + 2л£,
keZ. V.949. х = % + лк или х = 5 + 2лк, ке Z. V.950.
2	о
х = (-1/J + лк, kez. V.951. х = ±^ + 2лк, kez. V.952.
О	з
х = л + 2лк, kez. V.953. х = - + ?лк, kez. V.954.
х = + лк или х = —	+ 2лЛ, к G Z. V.955. х = или
2	6	4
х = - + 2лк, kEZ. V.956. х = ± + 2л к	или
3	3
х -	+ ^-, keZ. V.957. х = + лк или х = 2лк, или
12	6	2
х = ±*5 + 2лк, kez. V.958. х = ± 5 + 2л*, к е Z.
О	3
V.962. х — ^: + лк или х = л + 2лк, ке Z. V.963. х = лк
£
или х = (-1/ трг +	, к Е Z. V.964. х = тг +	+ лк
12	2	2
V2*	,	,	„	л лк
или х = ± arctg — + лк, ке Z. V.965. х = + —
1	.	, лк ,	п,. л , лк
или х = — — arctg — + — , kez. V.966. х =	или
641
Ответы. Указания. Решения.
1	3V3 , Jit	47	Пк
x =——arctg—тт—+ — ,& G Z. V.967. x = ~ или
j*	1 «3	£
x = arctg 3	+ лк, kGZ. ¥.968. x = + лк или
11	At
x - — arctg 6	+ лк, kGZ.
¥.970. x G
7 3л
— arctg 3 + л (k + 1)), kGZ. ¥.971. xG arctg + лк', — +
x G — + лк; arctg 1 + лк U
U arctg^-4-лЛ; ^ + лЛ), kGZ. ¥.973. xGl^ +лк;
- arctg 2 + я (k + 1)^ , к G Z. V.974. x G + яА; - arctg +
+ тг (k + 1) , к G Z. V.975. x G | - arctg +лк; 4- лк |,
J	I 3 ।	4 I
U I± “7 + 2лД,
4
+ лк , kGZ. ¥.972.
kGZ.
тг	2л:
x G — + 2лк; — + 2лк
•J	<D
¥.978. x G - ^ + 2лк; + 2лк U
О	о
V.977.
kGZ.
¥.979. х G	— + 1лк;	+ 2лк
		
¥.980. х G	>2/Л у + 2л£;	+ 2лк
		
¥.981. хе - 2;
¥.982.
- + лкk kGZ.
U |(-1/ ^ + л*|, kGZ.
U + 2лД, kGZ.
I Лл	I
л: ।  * / л । в Г л 1
-7 U -7; 3 и -7 + Ш , kGZ.
I \	I At	I
Зл'
4
и 1т: 51 и |-11-
1^1
642
Ответы. Указания. Решения.
Глава VI
VI.3. Решений нет. VI.4. х = 1. VI.5. х = 2. VI.6. х = 1.
VI.7. х = 2. VI.8. Решений нет. VI.9. Решений нет. VI. 10.
Решений нет. VI. 11. Решений нет. Указание. Если х>0 или
х< -1, то х2 + х + 1 > 1. При х е [-1; О] sinx =£ О, а х2 +
+ х + 1 >0. VI. 12. Решений нет. VI. 13. х = 0, у = 1. Указание.
Данное уравнение определено при условии у — х2 — 1 2= 0.
Отсюда у 5	1 Я. Тогда, переписав уравнение в виде
cos х = у2 + Vy — х2 — 1, несложно заметить, что
	 	О L-
у2 + Vy - х2 - 1 2= 1. VI.14. х=1, y=-~ + ^,keZ. Указа-
__________________________ 4	2
V2x	1
--	2	1- VI. 17. х = 2яЛ, у = — или
1 4" X---2
х = л + 2лк, у = — 77 , keZ. VI. 18. х = - 4, У = - тг +
2	8	4
или х = 4, У = ? + ~г» keZ.	VI. 19. х = — 77 + 2лк,
8	4	3
у=— тг или х = т? + я + 2яЛ, у = 4, kez. VI.20. х = 1,
о	о	о
2к + 1	„	2п я г, г, 1
У = ^Г~ н™ х = -1> у="2^+1’ nez, Л*о.
—5 - V25 - 8к
У =------2------
VI.21.
- 5 + V25 - 8Л
или
- 5 ~ \f25 - 8к	— 5 + V25 - 8к
х = -----------------, у = ---------------’ !НЛИ
5 + V21 - 8п 5 - V21 - 8п	5 - V21 - 8п
х=-------, У-------------------2------, или х =--------------,
у =	( k € z> nez, к 3, п 2. VI.22.
х = ~~ + 2лк, у = — 3 или х = — ^ + 2лк, у = 3, к е Z. VI.23.
4	4
х = v + 2лЛ, z = 1 или х = ^ + 2лк, z = — 1, к е Z. VI.24.
4	4
х = - arctg V2” + лк, у = + 2лп или х = arctg V2~ + лк,
у = ^ + 2лп, Леи, neZ. VI.25. х = лк или х = (-1)*^ +
+ лк, kez. Указание. Переписать данное уравнение в виде
4 sin2 х - 4 sin х sin2 Зх + sin2 Зх = 0. Рассматривая это урав-
643
Ответы. Указания. Решения.________________________________
нение как квадратное относительно sin*, получаем
D = 16 sin43x - 16 sin23x = 16 sin2 Зх (sin2 Зх - 1) О.
Отсюда sin2 Зх = О или	sin2 Зх = 1.	VI.26. х = + л (п + к),
у = - ^ + л (п - к), z	= ^ + 2лк	или х =	-	+ л (п + к),
2л z . ч л .	тс z 1 »\
у=—— + л(п~к), z	= — + 2ick,	или * =	- —+ л(п + к),
у = ^ + л (и - Л), z =	- ^ + 2лЛ,	или х	= ^	+ л (п + £),
2л	л
у = — + тс (п — к), z = — — + 2тск, kGZ, nGZ. Указание.
Преобразовать первое уравнение системы. Имеем
| (sin (х + у) + sin (х - у)) sin (х + у) + | = О.
Отсюда 4 sin2 (х + у) + 4 sin (х + у) sin (х - у) + 1 = О. Теперь
полученное уравнение рассмотреть как квадратное относи-
тельно sin (х + у). VI.27. х = ту + л (п + к), у = — т? +
+ л (п - к), z = у + 2лп или х = - уу + л (п + к),
Z	1Z
У = - -^ + л (п — к), z = у + 2лп, или х = - -^ + л (п + к),
1Z	Z	1Z
У =	+ л (п - к), z = — ~ + 2лк, или х = ту + л (п + к),
AZ	Z	1Z
У = ту + л (п - £), z = - у + 2лк, kEZ, nEZ. VI.30.
i z	z
x = 8л/, / 6 Z. VI.31. x = 4л/, IEZ. VI.32. x = - ^ + л/,
4
l E Z. VL33. x = 18л + 24л/, IE Z. VI.34. Решений нет. VI.35.
х = ^ + 3л/, IEZ. VL36. x =	+ л/, IEZ. VI.37. x = 4.
Z	12
Указание. Преобразовав уравнение к виду
cos л (Vx“ + Vx - 4 ) + cos л (Vx”- Vx - 4 ) = 2,
перейдем к равносильной системе
644
Ответы. Указания. Решения.
j cos л (Vx” + Vx - 4 ) = 1,
[COS Л (Vx”- Vx — 4 ) = 1.
Отсюда
JVx” + Vx - 4 = 2k, [Vx” = k + n,
1 Vx”— Vx - 4 = 2n, i Vx - 4 = к — n, где к e N, ne N.
Возводя обе части каждого из уравнений системы в квадрат
и исключая х из полученных равенств, имеем кп = 1. С
учетом к е N и л 6 N последнее равенство возможно лишь
при к = 1 и п = 1. VI.38. х = у- + л1, le Z. VI.39. Решений
О
нет. Указание. Для решения задачи достаточно показать, что
система
sinx = 1,
. х
sin 2 = 1
7л	л
не имеет решений. VL40. х = — + лЛ, у = — — + л£, к G Z.
4	4
VI.41. х = ^-лк, у = лк, keZ. VI.42. х = ^ + л1, у = ^~
о	2	6
-	, kez. VI.44. х = + 2лк или х = 2л£, к е Z. N\A5.
3	2
х = + 2лк или х = 2л£, к G Z. ¥1.46. х = 4- лк или
х = , к G Z. VL47. х = - ^ + 2лк или х = лк, kEZ. Ука-
зание. Переписать уравнение в виде cos4x + sin7 (л + х) = 1.
VI.48. Если п = 1, то х — любое; если п 1, то х = — + лк
или х = лк, kGZ. VL49. х = + 2лк или х = 2лк, k^Z.
Указание. Показать, что при всех допустимых значениях х
выполняются неравенства Vcosx cos2 х и Vsin2x sin2 х.
VI.50. Решений нет. Указание. Воспользоваться неравенства-
ми у/sin2 х sin х и ^со82х cos х. VL53. Решений нет.
645
Ответы. Указания. Решения.
VI.54. х = лк, kez. VI.55. х = % + лк, kez. VI.56. Реше-
ний нет. VL57o х = + 2як, k€Z, VL58o х = лк, к G Z.
Указание. Данное уравнение равносильно совокупности двух
систем
cos3x = l, Jcos3x = —1,
cos 5х = 1 или |cos 5х — — 1.
VI.59. х = лк, к £ Z. VL60. х = ^ + лк, kez. VL61. х = +
4	4
+ 2лк, kez. VL62 х = v + 2лЛ, kez. VL63. Решений нет.
4
Указание. Показать, что sin х + 2 cos х <	VL64. х = +
О
+ лк, keZ. VL65. х = лк, kez. VI.66. Решений нет.
2
VL67. х = л + 2лк, kez. VI.68. -т + 2к, kez. Указание.
О
Преобразовать уравнение к виду
V.	, 2 ЗЛХ . .	\ л
4 - tgz-r- sin (лх - а) = 2, где
1
sin а = —т	=-, cos а =
\ Л 4 23ЛХ
v4-tg
Теперь нужно заметить, что левая часть полученного урав-
нения не превосходит 2. VI.69. х = ~ + 2Л, к G Z. VI.72.
4
л
х = - — + 2л (п - к), у = — л + 2л (п - 2к), keZ, neZ.
VI.73. х = у + лк, у = ? + 2лп, keZ, nez. VL74. х = лк,
лл	L
7tn	Л	27Г7П
y = ^-,z=-v +	, kez, nez, mez. VI.75. x = лк,
z	о	о
„	* 2^Х
3~^
646
Ответы. Указания. Решения.
jr , *2тс ci .	—	_ _ __ _ £	тс _ тс
у = — 4- —— , к G Z, п G Z. VI.76. х = - — + 2тгЛ, у = — +
О/ О	Z	2
J7* Тг1г
+ лп, kez, nez. VI.77. х = - + ~, у = - + 27Г«> k е z>
п е Z. Указание. Для любых действительных чисел а и b
верно неравенство а2 + Ьг 5 у (а + Ь)г. Тогда
1 \2 (
sin2 х + —7- + cos2 х +
sin2 X 1 I
2
1 / . 2	.	2.1.1
— sin2X + COS X + ; 2~ +-2~
2 I	sin2* COS X
2
VI. 78. * = 7 + у > У = 4 + л In “ 2 J ’
ние. Воспользоваться неравенством
1
COS2 Л
I f1+	4_V 25
2 sin2 2x)	2 •
kez, nez. Указа-
a + b^2 VaT (a 5 0,
J^O). Тогда tg4x + tg4 у 5 2tg2xctgzy и tg4x + ctg4x +
+ 2 ctg2 x ctg2 у 2 (tg2 x tg2 у + tg2 x ctg2 y) 5
S 2 • 2 Vtg2 x tg2 у ctg2 x ctg2 у - 4.
VI.79. x = у-, у = у-. Указание. Воспользоваться ограни-
VT VT
2тг
ценностью функции у = arccos х. VI.80. х = 2, у = ± ——
— 2 + 2тгЛ, к G Z.
Глава VII
2
VII.3. а) - 3^ а^ -1; б) O«Sa<|; в) а<1 или а>1;
О
q
г) а > - 5; д) О =£ а < х; е) - л а 0; ж) - л < а < О; з)
Указание. sin4x + cos4x = 1 - ^sin22x; и) - <
< а £ 1. VII.4. а = - 3, -2, -1. VII.5. k = 2. VII.8. а)-г) а —
любое; д) — — + лп а — + лп, n6Z; е) а — любое;
4	4
647
Ответы» Указания. Решения.
7Г	71
ж) - — +	+ Tin, nEZ; з) - sin 1 а sin 1; и)
ЛЛ	Лл
cosl<a^l;K) а — любое; л) - arctg + лп<а<
Лл
< arctg ^ + лл, nGZ; м) arcctg7t<x<^. VII.10. а) а 5 О; б)
л»	л»
2	5
— или а 2; в) а< — 2 или а> —2; г) а< — или
о	3
й > 3 ’ а 2 или а = — 1; ё) а< 1 или а > 1; ж) а — любое;
з) а = — 4 или 4 а < 5; и) а = 1 или 7 =£ а 8; к) <2^-1
или а 5:1; л) а — любое. VII.12. a)	б)
VT
-V3"-l<a«V3“-l; в) l-VT^a^vT+l; г) --f-
« а д) а =£ - или а 5 VIL14. а) -1 < а « 1;
б) — 2 < а < — 1 или 3 а 5; в) 1 $ a € | или 4 € а 6;
О
5 71	71	71 7
г)	+ д)	+	VII.17. а) -1^а<
4	8	2	5 5
< — 4 или - ^ < а < 1; б) < а < 1; в) -1 a < | или
3	3	2	з
1 . ч ч 71	71	.	71	71	71
3<а^ 1; г) - — <а<-; д) ~2^а<~$ или ~ з < а 2 ’
ё) -л<а<-^;ж) -1^а<0 или 0<а«5 1; з) -1<а<0
ЛЛ
или 0 < а < 1; и) а< - или - < а < О, или а > О; к)
3	3
а< - | или - < а < О, или а>0; л) -1 <а< -	или
2	2	2
11	1	уГЗ~
~2<а<2' 011 2<Й<1’	“1<а< “ “jГ 117111 ~~2<а<
3	уз	V2	V2
< “х~, или — < а < 1; н) — 1	а< —— или —— < а < О, или
L	L	2	2
V2"	V2"	1	1
0<а< —, или —	1; о) -1 « а<-~ или -^<а<0,
L	2	2
648
Ответы. Указания. Решения.
11	л, тг
или	0	< а <	-	,	или	-	< а	1;	п)	- —	а <	- —	или
L	L	Z	О
л	", л	.	л	Зл	ч
— — < а € —;	р)	а< —	или	а> —; с)	а< —т~	или	а> —	;	т)
о Z	о	о	4	4
а < — или а > — ; у) а < - — или а > - —. VIL20. а) а = 0; б)
4	4	о	о
а = 0; в) а = -1; г) а = ± 1; д) 0; е) а<0 или а > 0; ж)
-1 а 1; з) а — любое; и) а — любое; к)-н) а = 0. VIL22.
а) а = 1; б) а = - |; в) а = 1; г) а = 3; д) а = 1. VII.23. а)
л = у; б) таких а не существует; в) а = --; г) а = 3. VIL25.
Z	о
а) Если а<—1 или а>1, то корней нет; если а = -1 или
— < а < 0, или а = 1, то один корень; если -1 < а $ — или
О а< 1, то два корня; б) если а< -1 или а> 1, то корней
7з"
нет; если а = ± 1 или —— а < О, то один корень; если
£
— 1 < а < —— или О а < 1, то два корня; в) если а < -1 или
V2~	72“
а>1, то корней нет; если а=±1 или —— <а^ —, то
Z	Z
V2~	72“
один корень; если -1<а^ —— или — <а<1, то два
72“
корня; г) если а<—— или а>1, то корней нет; если
7F
—— а < О или а = 1, то один корень; если О < а < 1, то два
корня; д) если а< -1 или а> 1, то корней нет; если а = — 1
72“	72"
или —— а 1, то один корень; если -1 < а < —— , то
Z	Z
или а > —, то корней нет; если
два корня; е) если а < -1
72“	7з“
а = -1 или — а ,
V2
то один корень; если — 1 < а <
£
то два корня. VII.28. а)
а 3:	; б) а Э= 2л - arcsin ;
о	3
649
Ответы. Указания. Решения.
.	19» ч	,	1 ач 5л ч - 5л ч
в)	а 5 -г-; г)	a J л + arccos -=; 5)	а 5 -т~; е) а Э= -т~; ж)
О	5	6	4
Пл
6
з) a S $; и) а Э= . VII.29. а « -	. VII.3L а)
L	J	<о
v2	1	„ V2	1
а < —— или а > 1, или а = z; б) —г-	а < -z или
2	2	2	2
1	уГл	уГ1
7 < а 1; в) —— =S а 1. VII.32. а) а < —у- или а = —,
2	2	2	2
VT	V2”
или а>1; б) а=1 или ——^а<0\ в) -z~<a^l или
2	2
v3	v2	1	v3
—— € а < —. VII.33. а) а > 0 или а = - —, или а < ——;
2	2	2	2
1	V3~	1
б) - z < а О или —z- <a<--z\ в) а — любое. VII.34. а)
X	Лл	лл
а > 1 или а = тг, или а ; б) а = 1 или < а <	, или
«Э	О	2Ы
1	1	у/3~	7
— — < а < —; в) — а < 1. VII.35. а) а < — 1 или а — — , или
2	«Э	2	IV
7	у/зГ	1	7
а> — ;	б)	77-< а	— или	-< а< —,	или а = - 1. VII.36.
2	IV	2	2	1V
V5"	1	1	V5"
а) а>— или a=--z, или а<-1; б) z^a^~ или
2	J	2	2
1	V2”	1
а = -1; в) - — < а « — или -1 « а< - —. VII.37. а) а> 1
«Э	2	J
1	V3"
или а = -z, или а<-1; б) а = 1 или а = -1; в) -г-<а<1
2
или — 1 < а < . VII.38. а = 2 или а = 4. VIL39. а — 3 или
а = - 2, или а - 1. VII.40. а = ± vT VII.42. а) а - у
»	ч»	^ч	Зл	5л
или а = —, или а > -z; б) а < —— или а = —-г-, или
0	2	2	О
.	ч 2»	Зл	ч Зл
а> - л;	в)	a<-z-	или а = — ,	или а 5 л; г)	а —z-	или
J	4	4
л	4л	Зтг
а = — , или а ; д) а<п или а = — , или а> —.
650
Ответы. Указания. Решения.
VII.45. а) а < — 1 или а 5 1; 6) а < 2 или а > 4; в) а < О или
1	л
а = — , или а> 1* VIL46. а) а< — — или а = О,
Ал	Ал
п
а = О, или а ; в) а 0 или
о
л	Л	Л
или а = —, или а ; д) а< —
3	2	4
а < - у или а = - , или а О. VII.47. а)
X	<3
_ л
б) а - — или
о
а ; г) а О
Л*
_ 2л
или а ; е)
О
п
или а > -г ;
X
7Г
а = — , или
4
Л
или а = — ,
Л
—, или а = О, или а J 1; б)
4
5л
а = — л, или а = — — , или а > = 2. VIL49O а)
о
VT
или а= ±-т-, то корней — четыре; если |а|
Л»
а -1 или а =
а — 4 или
Если \а\ > 1
= 1, то кор-
v2
ней — пять; если |а| < 1 и а * ± —, то корней — шесть;
л»
б), в), ж) если |а| >1, то корней — два; если |а| = 1 или
V3*	V3"
|а| — -z~, то корней — три; если |а| <1 и |а| #-г, то
корней — четыре; г) если | а I > 1 или 0 < а < 1, то корень
один; если -1 < а О, то корней — три; д') если | а I > 1, то
V2"
корней — два; если |<г| = 1 или |а\ = -z-, то корней — три;
Л»
V2~
если |а| < 1 и |а| = —, то корней четыре; ё) если |а| >1,
X
уГ1
то корень один; если |а\ = 1 или 0 < а< 1, или а = —— , то
vT
корней — два; если - 1 < а О и а# —z-, то корней —
X
7
три. VII.52. а) а < - 4 или а = - —, или а = -3, или а > -2;
X
6) а< — 2 или а=-1, или а>2; в) а<0 или а=1, или
а>4; г) а<-1 или а = 0, или а>1; д) а<-3 или
— 1 < а < 1, или а > 9. Указание. Уравнения / (х) = 0 и
g (х) = 0, не имеющие решений, считаются равносильными;
651
Ответы. Указания. Решения.
ё) а - 2 или а - 2; ж) а < 0 или а = 2, или а = 3, или
а>4; з) а = 3 или а = 4, или а<1, или а>5. Указание.
Несложно показать, что второе из данных в условии урав-
нений равносильно совокупности
cos х = О,
cosx = |.
Преобразуя первое уравнение, получаем 4 cos2 х - 4 cos3 х +
+ 3 cos х = a cos х - 2 (а - 4) cos2x, откуда
cos х = О,
4 cos х - 2 (а - 2) cos х + а - 3 = О
cos х = О,
1
COS X = — ,
а — 3
COS X = —z—
Искомые значения параметра — это решения совокупности
а - 3	1
2	2 ’
и) а < - V10 или — VfF< а < 0, или а > 12, или а = 3.
Глава VIII
VIII.16. х = ±	1 . VIII.17. х = cos . VIII. 18.
4	10
vT	V6"+VT	VT
х = - ~2	117111 х =---4---• VIII.19. х = - — или
у/ А — V 2	д/2	<	<
х =---------. VIII.20. х = ±	. VIII.21. х — ~ ил и х = ~.
4	2	3	4
Указание. Заметьте, что все решения данного уравнения на-
ходятся на промежутке (1; оо). Теперь возможна замена:
1	/	Jt\	_
х = .	, где а е 0; -г- . VIII.22. а < v2. Указание. После
Ъ1Х1 ОС	\	* /
замены x = cosa, где а€[0;я], несложно получить
652
Ответы. Указания. Решения.
z =
а < ТУsin [а + т1- Это неравенство имеет решение, если а
\	4/
меньше наибольшего значения выражения Vysinla + ^l.
\	4/
VIII.23. 27 решений. Указание. Следует показать, что х, у,
z по модулю не больше 1. Действительно, если х 5 у z и
х > 1, то z = 4хэ - Зх > х. Аналогично можно рассмотреть слу-
чай xCy^z и х<-1. Теперь, после замены x = cosa
(О а С я), получаем z = cos За, у = cos 9а, х = cos 27а. Ясно,
что число решений системы равно числу решений уравнения
cos а = cos 27а, где а G [0; я]. VIII.24. а2 + b2 = 1. Указание.
После замены х = sin а, у = cos а (а G [0; 2я)) получаем
а sin а + 6 cos а = 1. Теперь достаточно выяснить, при каких
а и b последнее уравнение имеет единственное решение на
промежутке [0; 2я). VIII.25. Шесть корней. Указание. Дока-
зать, что |х| =£ 'ГГ. Сделать замену x = y[2cosa. VIII.26.
I а\ S ТУ Указание. Если а = 0, то система решений не имеет.
При а^О возможна замена x=|a|cosa, y=|a|sina,
___________ ч	4 TIT 6 ТТТ 9 713”
где a G [0; 2я). VIII.27. х = 13 , у = 13 , z =	,
t = 6^*3 vill.28. min z = , шах z = 3. Указание. Для любых
у е R существуют такие г^0 и a G [0; 2л), что
* = rcosa, y = rsina. Из условия следует, что 1^г2^2,
z = г2 (1 + |sin 2a) . VIII.29. minA = - |
зание. Произвести замену х = г cos а, у = г sin a.
о
а > - -. Указание. Неравенство имеет решение при
ЛЛ
Зху - 4л2
шем наименьшего значения выражения *2 ?2- .
Существует. Указание. Примером такого множества могут
_	^99
служить числа cosa, cos 2a,..., cos 2 a, где a = —<
f 3л
VIIL32. x = tga, y = tg2a, z = tg4a, где a G |;
я.я2яЗя]т,	_
- -= ; 0; =; -=-; f. Указание. Положив x = tga,
7	7	7	7 J
л 1 хг
max А = —. Ука-
VIII.30.
а боль-
VIIL31.
:w + 1 
_ —.
7 ’
- — <
2
653
Ответы. Указания. Решения.
<а< —, получим y = tg2a, z = tg4a, x = tg8a. Тогда
ЛЛ
tg а = tg 8а и я = у. VIII.33. Указание. Произвести замену
а = tga, b = tg/5, с = tgp, где а, /3, <р е ; у). Получим
|sin(a-|8)| + |sin(j(3-p)|	|sin(a-p)|. Заметив, что
а — /3 + /3 — <р=а — <р, остается доказать неравенство
I sin х | + 1 sin у | Э= | sin (х + у) |. VIII.34. х = 4,у = ^, z = 1
«Э X
или х = — Jr, у=—z=—1. Указание. Числа х, у, z
о	х
имеют одинаковые знаки, причем если (х0; у0; zQ) — реше-
ние, то и (- х0; - у0; - z0) — решение. Поэтому достаточно
наити положительные решения. Сделав замену х = tg —,
х
у = tg, z = tg у, a, /3, ср е (О; л), показать, что a, (3, <р —
X	X
т_	sina sin В sina?
углы треугольника. Кроме того, —-— = —т2- = —р2-, а
3	4 о
значит, стороны этого треугольника пропорциональны чис-
лам 3, 4, 5. VIIL35. x = 2-V3",y = V3;z = 2- V3: VIII.36.
cl В ф
Указание, х = tg —, у = tg т-, z = tg . Показать, что a +
XXX
+ Р + <Р = л. Тогда доказываемое тождество примет вид
tga + tg/3 + tgp = tgatg/3tgy>. VIII.37. Указание. После за-
a	В	ф	ct В ф
мены x = tgy, y = tg^-, z = tg^, где -,	— острые
X	X	X	XXX
углы, задача сводится к доказательству неравенства
sin 2a + sin 2/J + sin 2<p sin a + sin /8 + sin <p, где a, j3, <p —
углы треугольника. VIII.38. Указание. Замена а - tg a,
b = tg/3, c = tgy>, где a, /3, <f> — острые углы. Доказать, что
a + p =я. Тогда задача сведется к доказательству тож-
дества cos a + cos /3 + cos <p = 1 + 4 sin у sin sin , где a, Д,
p — углы треугольника.
654
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА L Преобразования тригонометрических
выражений.......................................... 5
51. Азбука тригонометрии........................... 5
§2. Основные формулы тригонометрии ............... 19
§3. Применение всех формул....................... 191
§4. Доказательство неравенств ................... 234
ГЛАВА II. О периодических функциях............... 247
ГЛАВА III. Обратимые функции..................... 271
ГЛАВА IV. Построение графических образов ........ 323
ГЛАВА V. Тригонометрические уравнения и
неравенства ..................................... 381
g 1. Тригонометрические уравнения ............... 381
Й2. Системы тригонометрических уравнений........	433
§3. Тригонометрические неравенства .............. 479
g4. Посторонние корни............................ 499
§5. Потеря решений............................... 517
ГЛАВА VI. Применение ограниченности тригонометри-
ческих функций................................... 521
ГЛАВА VII. Задачи с параметрами.................. 533
ГЛАВА VIII. Тригонометрическая подстановка ....	554
Ответы. Указания. Решения........................ 566
По вопросам покупки книг «АСТ-ПРЕСС» обращайтесь
в Москве: «КЛУБ 36'6» — эксклюзивный дистрибьютор «АСТ-ПРЕСС»	Офис: Москва, Рязанский пер., д. 3 (ст.м. «Комсомольская») Тел./факс: (095) 261 -24-90, 267-28-33, 265-20-38, 267-29-69
Склад:	г. Балашиха, Звездный бульвар, д, 11 Тел.: (095) 523-92-63, 523-11-10
Магазин (розница и мелкий опт):	Москва, Рязанский пер., д. 3, ст. м. «Комсомольская» Тел.:(095)265-81-93
Переписка и книги—почтой: 107078, Москва, а/я 245, «КЛУБ 36'6»
в Санкт-Петербурге
и Северо-Западном регионе:
«Невская книга»	Тел. (812) 567-47-55, 567-53-30
Мерзляк Аркадий Григорьевич
Полонский Виталий Борисович
Рабинович Ефим Михайлович
Якир Михаил Семенович
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Задачник к школьному курсу
Компьютерная верстка А. Вербовикова
ЛР № 064267 от 24.10.95.
Качество печати соответствует диапозитивам, предоставленным
издательством.
Подписано в печать 17.11.97. Формат 84x108/32.
Бумага типографская. Печать высокая. Печ. л. 20,5.
Тираж 25 000 экз. Зак. № 1802. С-005.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор
продукции ОК-005-93, том 2 — 953 000.
Гигиенический сертификат № Д-773 от 27.05.97.
«ACT - ПРЕСС»
107078, Москва, а/я 5.
«Магистр-S»
252047, Киев, проспект Победы, 50.
Тверской ордена Трудового Красного Знамени
полиграфкомбинат детской литературы им. 50-летия СССР
Государственного комитета Российской Федерации по печати.
170040, Тверь, проспект 50-летия Октября, 46.
£