/
Автор: Кловский Д.Д. Сойфер В.А.
Теги: радиотехника цифровая обработка сигналов электрические сигналы передача информации
Год: 1976
Текст
Д Д КЛОВОКИЙ, В А СОЙФЕР
ОБРАБОТКА
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
СИГНАЛОВ "
(В КАНАЛАХ ПЕРЕДАЧИ
ИНФОРМАЦИИ)
\
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА J97§ *
1 »
Основные обозначения
А', В, U, D' — параметры функции обобщенного гауссовского
распределения модуля
Bx(t, f, г, г') — корреляционная функция случайного поля x(t, r)
Вх(%, р) — корреляционная функция стационарного однородного поля
x(t, г)
Dx, Dy, D±. — геометрические размеры пространственной области
анализа поля
Ei
В
^кор
О((0, (Og)
Sit; g; г)
ш t,7)
hit. I r)
h?
К (to,, COg)
M.
М(ш,> aig)
trixh, т-цк
m~, N*; №■
n(t, r)/
F
Ф
■Ri(t, t'\ r, r')
r= (x, y, z)
s(t)
Si(t)'
Го
T
->•
m(t, r)
wN(xi, xNy
— энергия сигнала 1-й позиции
— ширина спектра сигнала
— интервал корреляции по частоте ■
— энергетический спектр характеристики канала
— импульсная переходная характеристика пространственно-
временного фильтра
— передаточная функция канала
— импульсная переходная характеристика канала
— среднестатическое отношение сигиал/шум
— передаточная функция согласованного пространственно-
временного фильтра
— число ортогональных сигналов
— функция, определяющая регуляризующий функционал
— средние значения координат разложения характеристики
канала
— число координат разложения характеристик по
аргументам времени, частоты и пространства
— спектральная плотность мощности белого шумового поля
— шумовое поле
— вероятность ошибочного решения
— статистический параметр канала
— нормированная корреляционная функция поля
— пространственная переменная поля 4>
— сигнал на входе канала
— сигнал 1-й позиции на входе канала
— длительность элемента сигнала на передаче
— интервал анализа поля во времени
— поле в области приема, соответствующее 1-й иозиции
передаваемого сигнала
— многомерная плотность распределения совокупности
случайных величин *
') Величина- г везде векторная за исключением оговоренных в тексте
частных случаев..
4 ■,
*{t> £» r)> y(t, 5.r) — квадратурные компоненты импульсной переходной
характеристики канала
->
г(1, г) — наблюдаемое поле
(I — параметр регуляризации
|1г — статистический параметр канала
Л/манс — ширина энергетического спектра замираний сигнала во
времени
->
с(/, г) — ошибка измерения
ка — среднеквадратичное значение ошибки измерения
>г| (t, £, О1) — импульсная переходная характеристика канала в угломест-
— ных координатах
Л — угломестная переменная
х* — собственные числа интегрального уравнения
Л — пространственно-временная область анализа поля
цт — параметр, характеризующий скорость замираний
v''', vF, Vя — степень селективности канала по переменным: времени,
частоте и пространству
Емакс — память канала
-*■
|)„0р -— интервал корреляции по пространству
агх, ozy — дисперсии квадратурных компонент характеристики канала
Ткор — интервал корреляции параметров канала во времени
~>
Ч'к((, I, г) — собственная функция интегрального уравнения
фр -— статистический параметр канала
i|)(i -— функционалы, вычисляемые устройством оптимальной
обработки поля
ы — циклическая частота
—>■
<i)g — частота пространственного спектра.
Обозначения специальных функций соответствуют принятым в [29].
Символы:
X — среднее значение случайной величины х
s(t) — сигнал, сопряженный по Гильберту s(t)
> -> ->
u(t, r) -— оценка поля и(t, r)
h* — величина, комплексно-сопряженная с h
5(ш, wg) — спектр сигнала (поля) s(t, r)
Сл„ — число сочетаний из N по я
ВВЕДЕНИЕ
Задачи оптимальной обработки пространственно-временных
сигналов в каналах передачи информации привлекают все больше
внимания, и это не случайно. Что же дает оптимальная
пространственно-временная обработка по сравнению с известными
методами пространственной обработки сигналов?
Прежде всего указывается единственный из множества
способов пространственной обработки, позволяющий достигнуть
наилучших характеристик качества передачи информации. Во-вторых^,"
зная, что собой представляет алгоритм оптимальной обработки,
всегда можно предложить большое число субоптимальных
алгоритмов, характеристики которых близки к потенциально
достижимым. В-третьих, разработчик системы получает возможность
сравнивать любой предложенный им алгоритм обработки с
наилучшим. В частности, в каналах коротковолнового и
ультракоротковолнового диапазонов широкое распространение получили методы
пространственного разнесения. Теория пространственно-временной
обработки позволяет для таких каналов обоснованно выбирать
число разнеженных антенн и форму их диаграмм направленности
в каждом конкретном случае. На этапе разработки и
проектирования системы такие данные являются исключительно ценными.
Для каналов оптического диапазона теория обработки
пространственно-временных сигналов является естественным и
объективно необходимым развитием теории обработки сигналов —
функций времени. Методы обработки, подсказываемые этой теорией,
ставят новые задачи перед голографической техникой и открывают
новые возможности перед когерентными оптическими системами
передачи информации (передача в турбулентной атмосфере,
передача за пределы прямой видимости и т. д.).
Большинство каналов связи относится к.разряду волновых, и
в них в той или иной степени приходится учитывать
пространственное распределение передающей и приемной структур, а также
тракта распространения сигнала.
До недавнего времени синтез приемо-передающих антенн и
устройств чисто временной обработки на передаче и приеме
осуществлялся независимо (раздельно), исходя из тех или иных
требований (критериев качества). Большая часть результатов в
теории оптимальных методов передачи дискретных сообщений
получена в предположении того, что антенны на передаче и приеме
фиксированы и система оптимизируется только по отношению к
временной обработке сигнала.
6
Однако ограничения, присущие системе, ее потенциальные
возможности могут быть выявлены лишь в том случае, если,
максимально используя информацию о свойствах среды
распространения и действующих помех в канале, искать оптимальные решения
для построения приемо-передающего комплекса, не предполагая
априори разделение операций временной и пространственной
обработки сигнала и не фиксируя вид пространственной обработки
сигнала.
Можно ожидать, что оптимальная пространственно-временная
обработка сигналов даст по сравнению с чисто временной
оптимальной обработкой тем больший эффект, чем большее влияние
на качество передачи информации оказывают внешние помехи по
сравнению с внутренними шумами аппаратуры: Влияние же
внешних помех на качество связи становится решающим благодаря
успехам в разработке малошумящей приемо-передающей
аппаратуры для космических и наземных каналов.
ГЛАВА 1
МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО КАНАЛА
1.1. Структура систем передачи информация
по пространственным каналам
В любой системе передачи информации можно выделить,
помимо источника и получателя сообщений, следующие основные
блоки: передатчик, канал, приемник [51, 104]. Источник
сообщений и передатчик, включающий в себя кодирующее устройство,
модулятор и передающую антенну, будем считать заданными, и в
дальнейшем будем рассматривать два последних блока — канал
(среду распространения) и приемник. При этом, однако,
предполагаем возможность управления работой передатчика выбором
соответствующего ансамбля сигналов, используемых для
передачи информации.
Остановимся подробнее на понятии непрерывного канала, так
как в настоящей работе оно несколько отличается от
традиционного. Обычно при рассмотрении задач оптимального приема
сообщений в самых различных диапазонах волн под каналом
понимают всю часть системы передачи информации — от входа
антенны передатчика до выхода антенны приемника [30, 51, 104]
(рис. 1.1а). При этом все разновидности моделей каналов мож-
сообщений — Перекшт
If а и а л J
n(ts)
'стоцнщ Ш
29
Jl I
s(t,1)
&fcr) j I \z(t,tr)
tft) Передаю
щт
антенна,
I
Среда.
mcnnocmfii
пения
Приемная
'•антенна
m
Приемник
^j> Попучатт
*~~ сообщений
IfBHOj
Рис. 1.1. Модели временных и пространственно-временных каналов:
и) временной; б) пространственный по входу и выходу; е)
пространственный по выходу
но отнести к категории пространственно-сосредоточенных или
аременных моделей. Они связывают сигналы — функции времени на
иходе s (it) и выходе z (t) = и (t) + n (t) [и (t) полезный сигнал на
ныходе, п (t) — аддитивный шум] канала при помощи некоторого
оператора, обычно линейного [40, 44]. Очень часто в системах
передачи информации сигналы s (t) и z (t) следует считать
векторными процессами той или иной размерности. Например, в
системах связи при параллельном вводе информации в канал и
разнесенном приеме.
Использование модели рис. 1.1а позволяет ставить задачу
поиска оптимальных (с точки зрения эффективности системы)
методов преобразования сообщения в сигнал s{.t) на передаче, а
также сигнала z(t) в сообщение на приеме.
В настоящее время широкое распространение получают
методы оптимальной и субоптимальной обработки пространственно-
иременных сигналов-полей в различных каналах [18, 46, 52, 82].
В оптическом диапазоне такое рассмотрение и обработка
процессов в пространстве и во времени являются единственно
возможными. Пространственными оказываются методы оптимальной и
субоптимальной обработки сигналов и в других диапазонах волн,
например в KB, УКВ и гидроакустическом каналах и т. п. Можно
построить пространственно-распределенную модель канала,
связывающую поля на выходе антенны передатчика s(t, rt), где
rt~ (xuyuzi) —радиус-вектор точки поля на передаче, и на входе
антенны приемника z (t, r) = и (t, г) + п (t, г), где г = (х, у, z) —
радиус-вектор точки поля на приеме, u(i, г) —сигнальное поле
на выходе канала, n(t, г) —шумовое поле (рис. 1.16).
Задание непрерывного пространственно-временного канала в
ииде модели рис. 1.16 требует значительно большей априорной
информации, чем задание временного канала в виде модели
рис. 1.1а. Однако при этом можно, ставить задачу оптимизации
licex устройств преобразования сообщений в сигнал на передаче
и его обратного преобразования в сообщения на приеме, включая
и построение оптимальных преобразователей сигнал-поле на
передаче и поле-сигнал на приеме (передающих и приемных антенн).
В данной работе считаем передающую антенну заданной,
поэтому в дальнейшем откажемся от исследования модели канала с
пространственно-временными сигналами на входе и выходе
(см. рис. 1.16), а сосредоточим внимание на модели канала
(рис. l.le), у которой входной сигнал чисто временной
(сосредоточен в пространстве), а выходной — пространственно-временной. Для
простоты будем считать поля скалярными.
Для векторных полей (например, электромагнитных)
получаемые нами результаты могут применяться к каждой из скалярных
компонент. При наличии корреляции компонент векторного поля
строгое решение требует изучения суммарного векторного поля
(например, путем решений соответствующих векторных
дифференциальных уравнений поля [43, 135]). Однако во многих
практически интересных ситуациях этой корреляцией можно пренеб-
9
— преобразование Фурье соответствующих функций
по переменным г<—►»£.
1.2. Системные характеристики
пространственно-временного канала
и его непрерывные модели
Если считать анализируемый пространственно-временной канал линейной
системой с переменными параметрами, то его можно описать различными
системными характеристиками [40, 47, 132] (рис. 1.2). Среди них:
h(t, \, г) —переходная характеристика канала, т. е. реакция канала в
момент времени t в точке пространства г на дельта-импульс, поданный в момент
t-—£ ко входу. Считаем, что напряженность поля в точке г можно измерить,
помещая в эту точку элементарную антенну.
-> —>-
H(t, f, r) < > h(t, |, r) — передаточная функция канала, связанная zh{t,\,r),
преобразованием Фурье по переменной f.
—»- —5-
t/.(v, |, г)-*—*it{t, i|, f)—спектр реакции канала на частоте v на дельта-
->
импульс, связанный с h(t, %, г) преобразованием Фурье по переменной v.
H{t;f;~ut)~-*H(t, f, 7)
V(v, l,^g)*-*U(v, £,7)
Если рассматривать область приема, достаточно удаленную от области
формирования рассеянного поля, когда принимаемый сигнал сосредоточен в
пределах узких пространственных углов <р, то т| (t, g, ©г) = V| (г, £, <р) имеет смысл
угломестной переходной характеристики [47] и определяет реакцию в антенне,
осуществляющей селекцию сигналов с углом прихода ф в момент времени t
на дельта-импульс, поданный на вход канала в момент i—|: H(t, f, <i>g) =
— H(t, f, ф) имеет смысл угломестной цередаточной функции; V(v, g, <og) =
= V(v, £, ф) определяет на частоте v спектр реакции канала, в которой
выходной сигнал селектирован по углу <р, на дель-
та-импульс, поданный ко входу в момент
времени t—|.
В связи с прогрессом оптических
методов обработки несветовых сигналов [56, 92],
а также в связи с использованием
когерентных оптических сигналов для передачи
информации целесообразно рассмотреть еще
одну группу системных функции канала.
Их МОЖ.ПЮ ввести, используя
преобразование Френеля по пространственной
переменной, описывающее дифракцию волн в ближней зоне. В качестве примера
системной функции этой группы рассмотрим преобразование Френеля функции h(t, \, х),
зависящей от одной пространственной декартовой координаты г, определяемое
соотношением
s(t)
Системная
шцвитерастпй
.ПСА г)
~>t/.(t.t?x)
Рис., 1.2. Описание
пространственно-временного канала системными
характеристиками
P(t, I, дг) = уг2т0|А(/,
I.
X) е
d%-
(1.1)
Функция Ф(х)= V% №0е
1 со х2
называется функцией Френеля.
Из определения преобразования Френеля (1.1) видно, что оно является
сверткой исходной функции h(-, ■, х) с функцией Френеля Ф(х). Каждому
отсчету функции h(-, •, х) в точке х соответствует функция Френеля с весом,
равным значению исходной функции в данной точке — картина Френеля. Фре-
нелевский образ есть сумма непрерывно смещенных картин Френеля.
10
Переходная характеристика канала связана с френелевской системной
функцией обратным преобразованием Френеля
h(t,
х)>
щУ2
Jpcg-ae-'^*-*'-*.
(1.2)
Для функций fi(x) и fi(x), имеющих френелевские образы Pi(%) и Рг(%),
выполняются соотношения
2я
h (*) 9f'2{-x) = — Pi (х) Р\ (- X),
(1.3)
i до ® — символ свертки функций. Следует отметить, что Преобразование
Френеля осуществляется непосредственно по пространственным переменным и фре-
Иелоиский образ рассматривается в тех же пространственных координатах, что
и исходная функция. В этом — основное отличие преобразования Френеля от
преобразования Фурье,
При помощи приведенных выше системных характеристик легко установить
uin:ib между полем сигнала и (i, г) или и {t, <р) на выходе канала и
произвольным входным сигналом 5 (i). Например,
a(t,?)= js(*-£)A(*, g, 7)dl,
— 00
00
u{t, <p) = Js(f — t) r\{t, £, <p)d£,
о
00
u(t, Ф)= Js(/)ff(/, f, <t)tt2ltftdf,
— 00
фье реализации s (tf),
00 0*
(t, Ф) = | js(f—E)V(£, v, V)e-i2ltv^eiv,
где S (/) —спектр Фурье реализации 5 (i),
00 t»
0 —00
во oo 2 s
«М)=Л fs(*-£)P(', g, X^""""0'^ dgd*.
«»V20J_Joo
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Приведенные соотношения позволяют выделять различные модели
непрерывного пространственно-временного канала, допускающие наглядную
физическую трактовку. Так, согласно (1.5) канал можно рассматривать как
многому гевую среду распространения (линию задержки с равномерными отводами),
причем пути различаются как временными сдвигами \, так и углами прихода
к месту приема <р. В каждом пути сигнал подвергается изменению в
соответствии с весом ц (I, %, <р), который в общем случае изменяется во времени.
Согласно (1.7) канал можно рассматривать как многопутевую среду
распространения, причем пути различаются временными сдвигами ,g, частотными
(допплеровскимн) сдвигами v и углами прихода ср. Каждый путь
характеризуется комплексным коэффициентом (весом) У(£, \, <р).
Согласно (1.8) канал можно интерпретировать как многопутевую среду
распространения, в котором отдельные пути различаются временными сдвигами S
и фрепелевскимн смещениями %■ В каждом пути сигнал изменяется в
соответствии с весом P(t, 1, х).
11
При наличии ограничений, наложенных на характеристики канала
(конечная память, ограниченность пространства анализа принимаемого поля и т. д.),
можно от непрерывных моделей перейти к дискретным.
1.3. Различные механизмы
случайного распространения волн
в реальных пространственно-временных каналах
Для плодотворного использования при анализе и синтезе систем связи
приведенных выше системных характеристик и моделей линейного пространственно-
временного канала их следует уточнить с учетом свойств реальных волновых
каналов. Этим термином для краткости будем обозначать произвольный канал,
в котором сообщения передаются посредством свободно распространяющейся
волны.
Как показывает опыт, подавляющее большинство реальных волновых
каналов, передающих информацию, являются случайными (стохастическими), т. е.
представляют собой среды со случайными неоднородностями. Следовательно,
на системные функции, описывающие такой канал, следует смотреть как на
случайные поля, характеризуемые той или иной вероятностной моделью. Круг
вопросов, связанный с решением задач распространения волн при наличии
статистических неоднородностей среды, представляет собой важный для практики
раздел теории распространения волн. Сюда относятся рассеяние радиоволн в
тропосфере и ионосфере, рассеяние оптических волн (объемное и
поверхностное), оптическое и радиомерцание, сверхдальнее распространение УКВ,
отражение радиоволн от морской поверхности и от неровной поверхности суши
(локация с летательных аппаратов и локация Луны), отражение электромагнитных
и оптических волн от искусственных объектов сложной формы (летательных
аппаратов), рассеяние акустических волн в море и т. д. К настоящему времени
теория распространения волн в средах со случайными неоднородностями
достаточно хорошо развита, что является заслугой, в первую очередь, советских
ученых [97, 116, 12]. Большинство указанных выше задач можно формально
разделить на два класса [84].
1. Распространение волн происходит в однородных средах, но граница
между ними обладает случайными свойствами. Либо это случайные неровности
самой граничной поверхности, либо случайным образом распределепы на ней
участки с различными коэффициентами отражения и пропускания. К первому
случаю может быть, например, отнесено отражение волн от поверхности Луны;
ко второму — с некоторыми допущениями — отражение от летательных
аппаратов. Во всех задачах этого типа приходится иметь дело с
детерминированными дифференциальными уравнениями поля, а его вероятностная структура
определяется через стохастические граничные условия.
2. Распространение происходит в среде, свойства которой случайным
образом изменяются в пространстве. Такая ситуация возникает, например, при
дальнем тропосферном распространении УКВ. Здесь сами дифференциальные
уравнения, описывающие процесс распространения волн, содержат случайные
переменные коэффициенты, а граничные условия обычно являются
детерминированными. '
Конечно, возможны и смешанные задачи, когда имеются и объемные и
поверхностные случайные неоднородности. В общем случае неоднородности могут
изменяться во времени.
Примером задачи первого типа является рассеяние на статистически
неровной поверхности, лапример на поверхности z = £,(x, у, t), где | — случайное
двумерное переменное поле. Амплитудно-фазовая характеристика поверхности
А(х, у, z, t)=A(x, у, z, t) е~,'ф(д;' у-г' °.
Если на поверхность падает плоская волна e,«fi)*+*z) и если граница такова,
что на ней <р = 0, то для волновой функции ц>(х, у, z, t), удовлетворяющей в
полупространстве 2>0 детерминированному уравнению
12
имеем граничное условие ц{х, у, ,%(х, у, :t)] = 0.
Пример задачи второго типа — неограниченное пространство (доиупростран-
•ii(i) пли слой), в котором справедливо уравнение
га2 (г, /) д2ф
с2 at*
где и (г, t)—случайное поле, показатель преломления среды.
Стохастичность приведенных дифференциальных уравнений определяется
заданными случайными полями | или п. Статистика этих Физических полей
накапливается в результате их непосредственных измерений и различного рода
моделирования. В настоящее время накоплен и обработан обширный
фактический материал относительно указанных характеристик для различных типов
каналов (см., например, [32]).
При исследовании волновых каналов со случайными неоднородностями (с
рассеянием) большое распространение получил феноменологический подход к
шдяче распространения волн, основанный на лучевых представлениях [16, 49].
Последние основаны на том опытно установленном факте, что в
формировании рассеянного поля в месте приема основную роль играют так называемые
«светящиеся» или «горячие» пятна, занимающие относительно малую часть
рассеивающей поверхности (объема) рассеивателя (рис. 1.3). Как показано
схематично на этом рисунке, принимаемое поле может .формироваться .двумя и
обльшнм числом разнесенных в пространстве областей рассеяния.
Рис. 1.3. Модель формирования рассеянного поля в месте приема
Если рассеивающая поверхность (объем) несколько изменяет во врекгени
свою ориентацию или (и) форму, светящиеся пятна начинают перемещаться и
меняют свою интенсивность. Происхождение светящихся пятен согласуется . с
понятиями геометрической оптики, согласно которой падающая на тело волна
представляет собой пучок лучей. Каждый из лучей отражается от
соответствующей площади, образуя отраженный луч. Если каждый луч прежде чем
попасть в область приема претерпевает более чем одно отражение, имеет место
так называемое многократное рассеяние. Во многих случаях может считаться
справедливой первая аппроксимация Бориа (80, 135], пренебрегающая эффектом
многократного рассеяния. Можно говорить о том, что в случае однократного
рассеяния имеет место модель параллельного распрострагиения волн, а в случае
многократного рассеяния — модель последовательно-параллельного .распростра-
13
нения. Рассмотрим более подробно эти модели распространения и вероятност-
ное описание поля принимаемых сигналов u(t, r) (или, что то же самое, при
детерминированном входном воздействии — вероятностное описание тех или
иных системных характеристик канала), обусловленное той нли иной моделью.
Модель параллельного распространения (однократное рассеянае). Число
лучей, попадающих в область приема, — число «светящихся» пятен —тем больше,
чем сложнее и больше область рассеяния. Если имеет место однократное
рассеяние, лучи, поступающие в область приема, могут считаться независимыми
между собой, а поле на входе приемной антенны может быть записано в
«аддитивной» форме
К (О
u(t, r)= J] и* (Л T,7k), (1.11)
4=1
-*■
где uh — форма колебания k-то случайного луча; vh — вектор случайных и
детерминированных параметров, характеризующих произвольный й-й луч.
Поскольку сигналы связи являются узкополосными процессами (занимаемая
mm полоса частот Fc много меньше средней частоты спектра /о), то (1.1-1)
удобно записать в виде
-* -> -* —> —>
u(t, r) = x(t, г) cos ш0 t + у (t, r) sm®0 t = A(t, r) cos [co0 t — ф (t,r)], (1.12)
где-
K(t)
Sif, r)= J]yft(<,"r, vk)
ft=i
■ квадратурные компоненты; (1ЛЗ)
A(t, r) = у x2(t, r)-\-y2(t, r) — огибающая результирующего поля в точке г;
(1.14)
->
f> (t, r)=arctg '■ — фаза, результирующего поля в точке г; (1.15)
x(t,T)
Ak (t, ~?) = У х\ (t, ~r, o£) + yl(t, ~r, щ) —огибающая сигнала по k-ыу лучу;
-*■ Hk(t> г. Vk)
<fk(t,. r) = arctg — фаза сигнала по й-му лучу.
Xk(t, г, vk)
От записи поля в вещественной форме (1.12) часто удобно перейти к
комплексной:
—>
ИЛ7) = А(/7)е!со<>'=Л(*, Н"е' 1а"(^{(- nl = u(t, 7)+ П? (*,"?), (1.16)
где
A(t,r) = A (t, г) е —комплексная огибающая;
->■ ->
u{t, г) —поле, сопряженног по Гильберту с u(t, г). )
Число «светящихся» точек в каналах, представляющих наибольший
практический, интерес, весьма велико для самых различных диапазонов волн. Так,
14
luiipiiMcp, no экспериментальным данным [76] при отражении от Луны это
число доставляло порядка /С=Ю3. Вклад каждого из слагаемых в суммарный про-
цс'се всегда мал, что вместе с предположением о независимости слагаемых поз-
полнст использовать центральную предельную теорему теории вероятностей и
iмигать иоле на выходе канала гауссовским.
Статистическое описание канала в гауссовском приближении оказывается
наиболее простым и сводится к определению первых двух статистических мо-
Mi-H'i-oi» поля — регулярной компоненты u(t, r) и корреляционной функции
Н„{1. t + &t; г, г+Дг)—пли же сводится к определению математических ожи-
ii.iiiiiii квадратурных компонент — автокорреляционных и взаимокорреляционной,
функций. Имеется большое число работ [32, 33, 80 и др.], относящихся к
определению регулярных составляющих и корреляционных функций полей на
выходе различных по своей физической природе каналов.
Многие авторы теоретических и экспериментальных исследований описьь
ншот в самых различных диапазонах волн корреляцию квадратурных компонент
принимаемого поля гауссовской кривой по обоим измерениям (времени н Прв-
МрЛПСТВу).
Как известно [16, 104, 140], случайный процесс с гауссовской корреляцией
сингулярен н, значит, для него все будущее можно предсказать по известному
прошлому и настоящему методами линейной интерполяции. Следовательно,
шуссовская аппроксимация функции корреляции не может считаться
приемлемом для принципиально непредсказуемого процесса, каким является случайное
иоле сигнала в месте приема.
Очень часто [49, 104] коэффициент корреляции локально-стационарных квад-
рлтурных компонент поля аппроксимируется показательным законом (по
каждой из переменных)
-а, \%\
Я* М = fy (Ь) = е *• , с^>0, Ь=Д/,Дг. (1.18)
Аппроксимация (1.18) не влечет за собой сингулярности поля н при гаус-
с окском распределении означает, что процесс является одномерно-марковским.
Ьолее универсальной функцией для аппроксимации корреляционных характери-
( гик медленно меняющегося стохастического поля на выходе волнового канала
i ледует считать такую, которой соответствует дробно-рациональный
энергетический спектр произвольного порядка. Такой спектр, в частности, может быть
и у многомерного марковского случайного процесса. В дальнейшем анализе
понадобятся параметры, определяющие интервалы корреляции стохастического
ноли по времени тКОр, по частоте >Fkop ч по пространственным координатам
(■пир—(*кор> Укор, Zkoji). Для определенности будем считать, что этн
параметры определяются по методу эквивалентного прямоугольника (энергетический
критерий) [51, 64]. Вопрос о взаимной зависимости (корреляции) флуктуации
ноля но времени, по спектру и пространству будет затронут ниже, прн
изучении стохастических моделей пространственно-временных каналов, основанных
ни корреляционных свойствах.
Модель последовательно-параллельного распространения (многократное рас-
сечние). Значительно более сложно, чем при чнето параллельном
распространении ноли, обстоит дело в случае последовательно-параллельного
распространения, В этом направлении имеются хотя и достаточно многочисленные, но пока
еще далеко ие полные теоретические исследования [45, 67, 97] и не слишком
оошпрные экспериментальные данные [67]. Особый интерес к этой модели рг~-
мростраиения, учитывающей многократное рассеяние сигналов, возник в
последние годы и объясняется широким использованием такого вида распространения
ноли при передаче информации по оптическим каналам как в пределах, так и
i.-i пределами прямой видимости. С многократным рассеянием мы встречаемся
|,чкже при передаче сигналов по многоскачковым KB трассам. Поле в области
приема формально может быть представлено в этом случае, так же как н в
случае однократного рассеяния, в виде суммы определенного числа К
слагаемых (1.11). Однако отличием является то, что слагаемые уже не могут
считаться независимыми. Это объясняется тем, что многократно рассеянные
компоненты суммарного поля сформированы общими «светящимися» пятнами (точ-
15
ками рассеяния), расположенными внутри области пространства, формирующей
принимаемый сигнал.
При учете многократного рассеяния строгое решение волновых
дифференциальных уравнений поля с учетом граничных эффектов и случайных свойств
среды чрезвычайно затруднено. Вероятностные характеристики принимаемого
поля в этом случае проще получить на основе феноменологического подхода
Щф
1
гг
1 Lt
\
h
\
h
"Г
1
\ ^
%
*
L
_
+
+
a(t,r)
Рис. 1.4. Модель канала с последовательно-параллельным
распространением передаваемых сигналов
путем введения модели канала, изображенной на рис. 1.4. Согласно этой
модели канал трактуется как счетный (конечный или бесконечный) набор
пространственно-временных фильтров с характеристиками ,2?i,#2. •■•>£?£ • Каждый
фильтр участвует в формировании поля в области приема как непосредственно,
так и при помощи всех или части остальных фильтров. В общем случае вклад
в принимаемое в точке г поле, поступающий от выхода ifc-ro фильтра, может
быть представлен в виде
uk(t, r) = 2£k{v)
J.-i
L—\
i+YKl)&+ 2^2)(o)-
rL-l
p=l
%\l) (v)
s(t, r).
(1.19)
Характеристики S5k рассматриваются как линейные операторы в
функциональном гильбертовом пространстве. S5t —i-я из числа возможных неповто-
рпющихся композиций / парциальных операторов без \k-vo (/= 1 (£■—1);
«=1, ..., С^-1); Cf~' —число сочетаний из L— 1 по /; ю — совокупность
параметров, определяющих оператор; I—символ единичного оператора; s (t, r) —
входной сигнал, который возбуждает совокупность фильтров, вносящих вклад в
суммарное принимаемое поле в точке г.
Например, при М=3 из (1.19) следует
«• (t.r) = [3?3 (о) + %! (v) 2£ъ (v) + ЗСъ (v) 2£3 (о) + 3d (v) 2СЛ (о) 2СЬ (»)] s(t, г).
(1.20)
16
< \MMiipnoe поле в точке г при последовательно-параллельнсм распространении
щрсделяется суммированием слагаемых Uk(t, r):
и V. г) = 2^И
А=1
L—l C2
р=1 0=1
s(t, r). (1.21)
Г.слн можно пренебречь вкладом, обусловленным взаимодействием опера-
|п|к)ц (т. е. если можно пренебречь многократным рассеянием), то из (1.21)
< '1сдуст модель принимаемого поля при учете только параллельного распро-
I р.'ПК'НИЯ.
Эффект последовательно-параллельного распространения в частных своих
и|и))||1лениях, по-видимому, имеет место не только в каналах с рассеянием.
Например, последовательным механизмом может быть описано распространение
i нггоных волн в прозрачной атмосфере [45, 67]. В световой волне после про-
чрждопия некоторого пути под влиянием турбулентности атмосферы возникают
фиуктуации амплитуды (интенсивности) и фазы. Можно допустить, что турбу-
шчштя атмосфера проявляет себя как некоторая совокупность последовательно
расположенных линз со случайно меняющимися свойствами. Такая последова-
|сл1.ная модель качественно подтверждается тем, что согласно
экспериментальным данным логарифм амплитуды (илн интенсивности) флуктуирующей волны
чисто имеет гауссовское распределение вероятностей [67, 111].
Перейдем к более подробному обсуждению вероятностной модели линейно-
(|р пространственно-временного канала с последовательно-параллельным распро-
i лишением волн, трактуя канал как набор линейных
пространственно-временных фильтров, совместно участвующих в формировании принимаемого поля.
1.4. Одномерная вероятностная модель канала
с последовательно-параллельным распространением
Полной характеристикой стохастического
пространственно-временного канала является многомерное распределение той или
миом его системной функции (или поля на его выходе) по всем
характеризующим ее переменным. На практике, однако, такой
нолпюй априорной информацией разработчик никогда не распола-
i лет. Для задач оптимальной и субоптимальной обработки полей,
рассматриваемых в данной работе, вполне достаточно описать
вероятностную модель канала одномерными распределениями и
корреляционными характеристиками. Корреляционные функции,
■с оотнетствующие различным моделям пространственно-временных
каналов, будут рассмотрены ниже, здесь же сосредоточим
внимание на одномерных распределениях вероятностей сечений тех или
иных системных характеристик канала.
Если линейные операторы £h(v) (или характеристики соот-
пегствующих пространственно-временных фильтров), введенные
а § 1.3, отождествить с передаточными функциями Hh(t, f, r), то
суммарный оператор (результирующая передаточная функция
// (/, /, /-)), соответствующий преобразованию (1.21), может быть
шмпсан так:
H{t, f, т) = Е*М*, А г) + V Hkl (t, f, r) Hk, (t, f, r) +
■Ai=l k1>k2=l
17
+ ...+ V Hkl(t,f,r)Hkl(t,f,r)...
к1>кг>~..>к1=\
.. .Hh (t,f,r) + ...+ HL (t, f, r) HL_X (t.f.r)... Hx (t,. f, r), (1,22)
Как видно из (1.22), результирующая передаточная функция
канала с шоследователыю-параллельным распространением волн
определяется через составляющие системные характеристики в
общем случае довольно сложным выражением. Вместо (1.22) можно-
сконструировать и иные результирующие системные
характеристики для канала с последовательно-параллельным
распределением. Так, например, для результирующей переходной
характеристики можно написать соотношение
А(*.£,/•) = J? hki(t,Z,r) +
4- V
1л
О
со со
+ 2 \ jM'.5i.r)M'.£2-5i,r)a*.('.5-
At>Ai>*e==l6 О
СО СО 00
-\г, г) d i, d i2 +.:. + f j... j й, it, & r) h% #& - ilt r) h3 it, % -
0 0 0
~l2,r)...hL(t,l-lL_vr)dl1...dZL_x , (1.23>
Это соотношение следует из (1.22), если учесть, что операции
умножения системных функций Hi(t, f, r) и H2(t, f, r) эквивалентны
операции свертки соответствующих переходных характеристик
СО
Н1 (t, f, г) Я2 (t, f, /■)-<-> j к, {t, lllT) К (t, I - \ъг) d\x, (1.24).
о
При чисто параллельном распространении (при пренебрежем
Н'ии многократным рассеянием)
H{t,f,r) = ^Hk(t,f,r). (1.25),
В случае только последовательного распространения
Hi$,t,T)=t\Hk(t,f,T). (1.26>
Отдельного рассмотрения заслуживает частная ситуация
последовательно-параллельного распространения, описываемая общим:
членом соотношения (1.22)
18
Я(Л/,г)=2ПЯ;,(АДг). (1.27)
llpii обосновании вероятностной модели замираний в канале
|||||,1чпо полагают [49, 80, 104, 135, 137], что ч'иело рассеивателей
i\, образующих суммарный сигнал в месте приема, велико. Однако
/I 'i*i общей ситуации последовательно-параллельного распростра-
ПГ11ИИ такого предположения недостаточно для нахождения пре-
mviuioro распределения (при N-^co) случайной величины (1.27).
Цело в том, что к настоящему времени в теории вероятностей еще
in- существует предельной теоремы для распределений сумм про-
п шедший случайных величин. Поэтому рассмотрим сначала тео--
|и'1Ичсски две крайние ситуации: чисто аддитивную (1.25) и ч-ис-
ю мультипликативную (1.26), а затем обсудим и промежуточную
.гиигптцо-мультипликативну.ю ситуацию (1.27).
Чисто аддитивная ситуация образования принимаемого поля.
При Л'-э-оо условия Центральной предельной теоремы, как прави-
'|ц, можно считать выполненными. Это позволяет рассматривать
iечеиие (отсчет) передаточной функции канала Н (it, f, r) =
— x(t, f, r)+iy(t,, f, г) как комплексную гауссовскую случайную
иилнчшпу. Ее .квадратурные компоненты x(t, f, г) и y(t, f, r) в
оощем случае зависимы и имеют произвольные (неравные)
математические ожидания тх, ту и неодинаковые дисперсии ох2¥=оу2.
Обсуждаемую модель канала называют четырехпараметрической
или обобщенно-гауссовской [49, 89].
Условия физической осуществимости канала накладывают
определенные ограничения на соотношения между 'квадратурными
компонентами передаточной функции х(а>) и у(а>). Их можно
получить, исходя из условия /г(|)==0 при £<0 или из
равносильного условия
h(l)=h(l).\(l), (1.28)-
где 1 (\) —единичная функция [92].
Выполним преобразование Фурье над правой и левой частями
последнего соотношения. Это позволяет перейти к соотношению
имя передаточи-юй функции физически осуществимого канала
00
Я(сй) = — f Я (©')£/(© — ©') doe', (1.29)
ч де О (и>) = я'б(б>) + 1/ia — спектр единичной функции.
Из полученного интеграла легко получить соотношения, свя-
нлипощие 'Вещественную л;(сй) и мнимую у(<а) части
передаточном (функции физически осуществимого канала:
19
/ \ \ C И (со') , ,
x (со) = — —^-!—I— d со',
XI J CO —CO'
Я J со — <o'
00
(1
Интегралы в (1.30) следует рассматривать как.
д
х(со) = — lim f-J^Lrfe,'.
Л й->*оо J CO — СО'
—й
Для стохастического канала сходимость приведенных интег
лов надо понимать в среднеквадратичном смысле. Полученные
отношения позволяют утверждать, что вещественная и мни*
части передаточной функции реального канала должны быть с
заны преобразованием Гильберта. Для линейных детерминиров
ных фильтров подобный результат не является новым (см.,
пример, [92]).
Используя свойства преобразования Гильберта,, нетрудно
казать, что статистические характеристики функций а(со) и у\
должны удовлетворять некоторым требованиям. В частности, е
допустить, что канал является однородным по частоте в широк
смысле, то л; (со) и у (со) оказываются некогерентными на сов
дающих частотах случайными процессами с одинаковыми кор
ляциониыми функциями.
В рамках гауссовской вероятностной модели канала указ
ные свойства а: (со), у (со) приводят к рэлеевскому или райсовета
распределениям модуля передаточной функции (амплитуд при
маемого сигнала). В случае неоднородного по частоте кана
корреляционные функции процессов х(со) и г/(со) связаны со
ношением
\ С С , d<»\ йсо„
5,К. «2)=~ К К ®2) — — О-
п J J СО, — Щ Щ — С09
00 00 1 -
и в общем случае неодинаковы. Взаимокорреляционные функц
1 с Вх (coj, шЛ
Вху((Оъ С02) = ~d(>\-
п J СО, — Сйк,
— оо ^
1 [• Ви («),, со„)
п J С02 — СО,,
— оо ^
неодинаковы и в общем случае не обращаются в нуль на сов
дающих частотах, т. е. процессы А'(со), у(а>) не являются неко
рентными.
20
30)
pa-
co-
ia я
вя-
эн-
-ra-
то-
ю)
ли
ОМ"
тазе-
ш-
му
ш-
ла
зт-
М р.чмках гауссовской вероятностной модели канала , такие
i imiiiTH.*! процессов приводят к обобщенно-гауссовскому четырех-
пирометрическому [49] или хойтовскому (подрэлеевскому) [135J
р.и предслспию модуля передаточной функции.
Л\ожпо сделать и обратное утверждение о том, что возникно-
|н inn' ml"i ырехпараметрического или подрэлеевского
распределения модуля неизбежно связано с неоднородностью канала по час-
миг. Поскольку многие реальные каналы связи являются
неоднородными но частоте, то возникновение обобщенно-гауссовскои или
ис|Цр)Лсопской модели флуктуации можно ожидать во многих СЛу-
'М ИХ.
Всегда можно путем поворота осей координат (ортогояально-
|ц преобразования) перейти к независимым квадратурным со-
t |.11нля1ощим передаточной функции Н—х и у [26, 49].
Опираясь на эти результаты, в дальнейшем везде будем пола-
iiiiii, что вещественная и мнимая составляющие сечения переда-
)|)41ки"| с|)уикции независимы и имеют параметры тх, ож2 и ту„
||н' соответственно. Рассматривая импульсную переходную харак-
п'рш'гпку канала в комплексной форме записи h(t, |, г) =
\(/, £, r)+\y(t, |, г), будем делать аналогичные предположения
относительно ее вещественной и мнимой составляющих. Итак,
ин.щратурные составляющие передаточной функции (или комп-
к Ki'iioii импульсной переходной характеристики) независимы и
р.определены нормально:
w1 (д) =
wx {у) =
1
Vznol
V^na
exp
•exp
(x-mx)*l
(У ~ niyf
J
(1.32>
Одномерное распределение модуля y= j/x2+#2 в этом случае
ми/кии получить в виде [89]
31)
ив
Wi(Y) = S^a2n
•exp
я=0
y* + m2j+m},
2 a2
-X
rrA -Ь т2,
"i i
ii
(1.33>
ie ннедены обозначения:
m,
Г*
тц =
-my
V2
0" =
<%+'$
R =
2 2
of — oi
al+al
а- Существуют и другие формы записи этого распределения [49„
-е- I 1!)|. При выполнении определенных условий из обобщенного
распределения (1.33) следует ряд частных случаев:
21
1. Распределение Бекмана (или трехпараметрическое [49] р
лределение) следует из (1.33) при определенном фазирован
регулярной составляющей
ту = 0.
т*
--0, ъхгф«зуг. Подчерки
что в рамках обобщенно-гауссовской модели наличие регулярн
составляющей принимаемого сигнала не обязательно связано
гипотезой присутствия «регулярного» луча в канале; регулярк
■составляющая тх2+ту2Ф0 может возникнуть и вследствие о
бенностей рассеяния волн [49, 51, 104, 125].
2. Распределение Раиса (или обобщенно-рэлеевское распре
ление) получается из (1.33) при симметрии канала по диспер
ям квадратурных составляющих ох2=|с>г/2==1о2, R = 0.
3. Распределение Хойта (или подрэлеевское распределен
[49]) следует из (1.33) при ах2фау2 и отсутствии регулярной
ставляющей \тх = ту = 0. Если при этом о*2 = 0, то распределен
амплитуд определяется односторонне-нормальным законом [4
что соответствует наиболее глубоким замираниям в рамках
тырехпараметрической модели.
4. Распределение Рэлея получается из (1.33) при отсутств
как асимметрии ox2=iOj,2 = o2, так « регулярной составляю
тх=ту = 0.
Можно легко проследить условия, при которых илтерферен
ониая сумма (1.25) при независимых компонентах Ни {;t, f, r)
рождает то или иное распределение поля H(i, f, r).
Полагая, что амплитуды и фазы элементарных слагаем
Ук=\Нк\=У"хк2+уь.2 и
^=arctg ML
Xk
независимы, можно
писать.:
тг = .
£=1
=х = 2ykcosе*' т»= у = SY*sin6ft;
L
'°* = 2 [ Y^os26fe- (Y*coseft)2];
k=l
Вху = (х~ тх) (у - ту) = ± £ ч1 sin 2 ®k +
L L
\ <'
+ T! S^ymyisw^cosbt--mxmy.
m=l 1=1
Если элементарные слагаемые имеют одинаковую статиста
то
22
mx = L у cos 6, /n^, = L y • sin 0;
o.t ^=Ly2cos29 — , al=Ly2sin2@- "~y
\c-
ии
ой
с
-о- л" 2 r L
(1.35)
J
ie- Анализируя (1.35), можно сделать некоторые общие выводы
:и- и тмможиой модели канала:
I Пели фазы элементарных слагаемых распределены равно-
ие mi |)ii() и пределах от —я до +л, то тх — ту = 0, ах2=ау2, Вху = 0 и-
:о- |• •!• ссяппоо поле представляет собой вектор Рэлея.
ие 2. При флуктуациях фаз элементарных слагаемых в пределах,
Ц, нычптелыю превышающих л, результирующее поле также пред-
ie- i mii.'iMOT собой вектор Рэлея. Этот вывод следует из того, что для:
периодических функций sin в, cos в вместо функции распределе-
ии пия, ладанной в больших пределах, может использоваться другая,
ей приведенная к интервалу периодичности [64]. Е.сли только исход-
пне распределение фаз элементарных слагаемых не является пе-
И- |||ю/п|чсской функцией, то свернутое в пределах [—л, +п] рас-
[0. пр('цо<мс1Гие будет тем ближе ,к равномерному, чем больше преде-
и.1 флуктуации фазы элементарных компонент.
ях 3. Если флуктуации фаз элементарных слагаемых
симметричны относительно их среднего значения, равного нулю, и диспер-
i нit фазовых флуктуации не слишком велика, то в силу четности
фикций распределения из (1.35) следует тхфО, ту = 0, ах2=/=<5у2г
/1>„ 0, т. е. рассеянное поле образует трехлараметрический век-
м»|| |19, 135].
1. При асимметричных флуктуациях фаз элементарных
слагаемы ч тхФ0, ту=^0, ах2Фау2, ВхуфО, т. е. рассеянное поле пред-
■ i.пишет собой четырехпараметрический вектор.'
Таким образом, при сделанных предположениях обобщенно-
i ,iитонская статистика рассеянного поля является следствием
in пмметрпи, которую в распределении фаз элементарных волн
мп/мю объяснить, исходя из физических процессов, связанных с
*4) распространением волн в случайных средах. Если помимо рассе-
инпого поля в месте приема имеется регулярный луч, то
естественно, что случаи 1 и 4 приводят к результирующему полю в виде
ш'М'ора Рапса, а случаи 2 и 4— к результирующему полю в виде
ш п,1рсхпараметрического вектора,
,'-)кспериментальные данные показывают, что обобщенным
i.ivitohckhm распределением и различными его частными
случаями охватывается весьма широкий класс каналов связи [49, 135].
I'i'ineiii-ie стохастического волнового уравнения поля при различ-
И1.1Ч механизмах распространения волн также приводит к обоб-
'У* uii'iino-гауссовской модели « ряду ее частных случаев [32, 33, 49,
Ml, 116, 80, 124—126, 135]. Вместо параметров тх, ту, ах2, %2
удобно ввести четыре иных параметра, имеющих наглядный фи
•ческий смысл:
— соотношение средних мощностей регулярной и флуктуируют
частей передаточной функции или переходной характеристики
шала;
Ра=а^ (1.
— коэффициент, характеризующий асимметрию по диеперси
.квадратурных составляющих;
ФР = arc tg (my/mx) (1.
— фазовый угол регулярной составляющей;
4*=ml + m2y + al + al (1.
— средний квадрат передаточной функции (переходной характ
.ристики).
Для полного описания канала достаточно рассматривать ел
дующие диапазоны изменения .введенных параметров: 0^<?2^
«0^р2^1; 0^фр^(л/2); 0^y2<°°- Целый ряд полезных фо
мул, относящихся « четырехпараметрическому распределению м
дуля, содержится в литературе [89]. Заметим, что двухпараметр
■ческое 1/п-распределение Накагами [137] удовлетворительно аппро
симирует четырехпараметрическое распределение амплитуд [4
Распределение аргумента передаточной функции <р = arc t'g (у/
для обобщенно-гауссовского канала имеется в литературе [49, 6
Чисто мультипликативная ситуация образования принимаемо
поля. Записывая передаточную функцию k-vo парциального филь
ра в (1.26) в виде Hh = еи е""* , нетрудно получить из (1.26)
Я=е* + 'ф = ^е'ф. (1.4
Для величин
L L
Х = 2х*. Ф=^]фй (1-4
при L-voo выполняются условия центральной предельной теоре
мы, что позволяет считать их гауссовскими случайными величй
нами.
При многократном рассеянии (в частности, для стохастическс
го оптического канала) модуль передаточной функции у = ех и е
-аргумент ф можно считать статистическими независимыми [6/
111]. Одномерное распределение модуля у является логонормаль
дым.
24
ш-
36)
ей
.а-
ш
щ(у) =
. (lnV-mx)2/202
У2п<г*%у
(1.42>
!8)
,9)
е-
е-
э;
э-
э-
I-
с-
Плраметр а^' (дисперсия логарифма модуля у) можно1 связать
i параметром ют Накагами [57, 137]
т = (7УП?--(Ш (1-43).
||||о|)ым, меняясь в пределах от 0,5 до оо, является удобной ме-
I'nii глубины замираний сигнала (глубина замираний растет с
\ мпп.мюлием от). Справедливы соотношения:
ol = — In
X 4
Ы)-
т =
4 о*
(1.44>
1
Ирм малых дисперсиях логарифма амплитуды (all ^0,5) ло-
иннфмальное распределение (1.42) удовлетворительно
аппроксимируется от-распределением Накагами при от>3, а следователь-
ми, и распределением Раиса [49, 57].
I Три больших значениях дисперсии (а2>0,Ъ) указанная выше
птроксимация неудовлетворительна, так как в этих условиях ло-
пиифмальное распределение, в отличие от /-^распределения,
характеризуется весьма медленным убыванием плотности вероятно-
> in n области больших значений аргумента.
Перейдем к рассмотрению вопроса о распределении фаз при
чигто мультипликативной ситуации образования принимаемого по-
ш, Как видно из (1.41), распределение фаз <р на бесконечном
ипнфвале подчиняется гауссовскому распределению.
Однако для задач оптимальной обработки сигналов
наибольший интерес представляет закон распределения фаз на отрезке
| л, +п\, т. е. распределение, приведенное к интервалу перио-
1ПЧмости. Отправляясь от результата [64}г нетрудно показать,
'по распределение случайной величины <р на интервале
периодичное™ [—л, +я] имеет вид
Щ(Ч>) =
1
2я
1
%РЛг)\
coST-qj
г=1
(!.45>
i 'К' В| (и) —характеристическая функция величины кр.
IS данном случае величина <р распределена нормально.
Причем, что ее среднее значение равно нулю (это всегда можно сде-
,/|,и'||, рассматривая распределение начальных фаз относительно
i редисто набега фазы). Тогда из (1.45) нетрудно получить
п",(ф) =
2к
1 + 2''У| е
— а2 г212
Ф
cosrep
1
2я
-о2/2
ф'
(1.46>
I 1С
ih(z, ё) —тэта-функции Якоби [29].
25
Наибольший практический интерес представляет рассмотреь
значений параметра о|>-1. При этом из (1.46) следует, что
ль (<р) = 1/2я, (1.
т. е. имеет место равномерное распределение начальной фазы а
,редаточно.й функции канала на отрезке [—я, + я]. На равномс
ный характер распределения начальной фазы в каналах с пос.
довательным распространением волн неоднократно указывалс
в работах теоретического и экспериментального характера П
97, 111].
Для сопоставления вероятностных моделей канала при чис
аддитивной и чисто мультипликативной ситуации образован
принимаемого поля уместно рассмотреть распределения квадр
турных компонент передаточной функции в обоих случаях. П
независимых логонормально распределенном модуле и равноме
но распределенном аргументе совместное распределение квадр
турных компонент может быть записано в виде
'Щ (х, у) = . . п ■■ ■■ ехр ^—г-—±у i-i- (1Л
2я у2ла1(х* + у») [ 2а\ J
Отправляясь от (1.48), легко заметить, что квадратурные koj
поненты х, у имеют одинаковые законы распределения с одинак»
выми статистическими параметрами, например:
/ч 1 1 f 1 Г {lnV*+!f-m J2"1
w, (х) = , ехр =-£-
} А —ео L А
Распределения эти симметричны относительно оси ордина
Это означает, что логонормальное распределение амплитуд и pai
номерное распределение фаз исключают возможность появлени
.квадратурных компонент с ненулевыми математическими ож>
даниями. При малых значениях параметра а2% распределени
квадратурных компонент являются бимодальными н очень далек
от гауссовского закона.
Аддитивно-мультипликативная ситуация образования прини
маемого поля. Выражение (1.27) представим в виде
N
еде
Ч
Если не накладывать, никаких ограничений на ансамбль
случайных слагаемых Лш, величин Lh и N, найти одномерные
распределения Н чрезвычайно трудно. Можно утверждать, что, в
26
\dy. (1.4
И(
17
ie-
Ф-
ie-
Ch
57,
то
v\
a-
ж
P-
a-
8)
i-
i-
принципе, возможны ситуации, приводящие к самым различным
распределениям для Й. Однако заслуживает внимания хотя бы
качественное рассмотрение соотношений, которые позволят нам.
подчеркнуть особую значимость двух предельных типов распре-
- — С этой
нежчшй: четырехпараметрического и
пелi.in рассмотрим сначала случай,
ми да случайные комплексные
величины
логонормального.
S(i)\
Н,
(1.52)
ГТД.
иыпмопезависимы, а число сомножи-
ir.iH'ii, образующих Н, не зависит от k
и рлипо Lh=Q- На рис. 1.5 показана
рассматриваемая модель последова-
имп.по-параллельного распростране-
нmi полны, включающая QN
линейных фильтров с характеристиками Нщ.
Вследствие независимости парал-
щ'льпых путей модели (рис. 1.5) (сла-
мемых Нк) естественно, что при
N уса распределение стремится к об-
F ^ „„„„_ „^ Рис. 1.5: Канал с нескольким!»
оГицешю-гауссовскому независимо от невавнсимыми ,путЯ|МИ шоследо.
распределения слагаемых. Поэтому вателмюго распространения'
мы рассмотрим случай ограниченного передаваемых сигналов
чпг.па слагаемых N.
Как показывают результаты цифрового моделирования, для
мшкмга рис. 1.5 при условии, что параметры фильтров случайны,
пи неизменны во времени
»п
1
Ии
\
Ия
1
1
1
*
И
г
4
нп
\
нп
\
ия
1
1
"«\
"я
1
И«
\
И*
и»
\
н«,
\
"да
| 1 !
i i i
\ i
%
Ндн
\ - 1
+
и(Ь?)\)
Hlk(t,f,r) = Hlk(f,r),
(1.53>
икон распределения модуля H(t, f, r) в (1.50) при JV<10 скорее
определяется мультипликативным характером связи слагаемых,,
чем аддитивным.
1lo-видимому, можно ожидать, что по мере усиления связей
тлольпых слагаемых Нк в (1.50) (т. е. сигналов в параллельных
путях распространения) доминирующая роль мультипликативного
\.фактора связи возрастает. Что касается распределения <р при
ограничению*! числе слагаемых N в (1.50), то отправляясь от [67],.
можно в качестве характерного считать равномерное
распределение фазы.
Когда параметры пространственных фильтров модели
случайно изменяются во времени на интервале анализа, следует ожидать,
ослабления влияния мультипликативного характера связи.^ Дей-
i иштельио, если ширину энергетического спектра временных
замираний А^макс = 1/ткоР считать ограниченной , (тКор — интервал-
иремеиной корреляции), то функцию Нш (<t, f, r) можно предста-
iviiTb рядом Котельникова с некоррелированными отсчетами,, что
27
.должно привести к росту числа слагаемых при образовании с
марной передаточной функции.
Изложенные результаты могут быть применены и при пои
распределения более сложного аддитивно-мультипликативн
образования (1.25).
Итак, можно утверждать, что обобщенная гауссовская веро
ностная модель поля приемлема для описания широкого кла
реальных каналов как с однократным, так и многократным р
сеянием, однако в последнем случае сфера применения этой
дели безусловно сужается.
1.5. Статистические модели
пространственно-временных каналов,
основанные на корреляционных свойствах
При решении задач оптимальной обработки полей, как буд
доказано ниже, корреляционные характеристики являются опр
.деляющими для описания не только гауссовских, но и стохаст
ческих полей произвольного вида.
В этой связи заслуживает внимания классификация полей
степени их корреляции во времени, по частоте и пространству,
этой целью можно исследовать функцию корреляции любой с
•стемной характеристики канала [47].
Исключительно важное свойство корреляционных функций р
альных пространственных каналов, существенно облегчающее п
•строение оптимальных схем обработки, заключается в том, чт
-они частично или полностью факторизуются, т. е. представляютс
в виде произведений корреляционных функций по отдельным т
ременным. В частности, рассмотрение 'Корреляционных функци!
вычисленных для целого ряда каналов [32, 33, 43, 80], показыва
ет, что во многих случаях о,ни являются простраяственно-отдели
мыми, т. е. факторизуется пространственный коэффициент кор
реляции. Как будет показано ниже, факторизация по простран
ственной переменной позволяет существенно упростить алгоритмь
•оптимальной обработки и разделить пространственную и времен
вую обработку принимаемых полей.
В инженерной практике часто оказывается удобным
характеризовать тот или иной пространственно-временной канал в
зависимости от соотношений между интервалами корреляции поля по
частоте FKop, во времени тКОр и по пространству ipKOp и такими
важными характеристиками системы связи, как длительность
сигналов 7'с, ширина спектра канальных сигналов <FC,
пространственная протяженность анализируемого в месте приема поля R.
Заметим, что используемые для передачи информации
сигналы всегда финитны (Гс ограничено). Но это означает, что, строго
говоря, их спектр не ограничен. Тем не менее, решая ирикладные
задачи, полагаем, что и Fc ограничено. ,
28
Длительность Т и ширину спектра F сигнала на выход канала,
У'м"<>Г)и.чанного входному сигналу с параметрами Тс, Fc, определим
^отношениями [46]:
~ке
>го Т = Тс + £макс) F = FC + А /макс, (1.54)
пи- |макс=1/^«ор — интервал рассеяния сигнала во времени (па-
ят"мять канала), обусловленный неидеалыностью частотных
характера рнсгик или отличием переходной характеристики от дельта-функ-
ас" 11.111[ (из-за многолучевого распространения волн, нелинейности
10* ф.но-частотной характеристики и т. д.); Д/Макс = 1/тКор— интер-
II.1Л рассеяния сигнала по частоте (или ширина-энергетического
i псктра временных замираний), обусловленного изменением
параметров канала во времени или взаимным перемещением областей
формирования сигнала и его приема.
Память канала |Макс может иногда существенно превышать
иип'сльность передаваемых сигналов Тс (при скоростной
последовательной передаче информации короткими посылками), что
эт порождает при отсутствии защитных временных интервалов и
использовании сигналов малой базы {2FcTcm2) явления межсим-
4_ иолыюй интерференции [49, 53].
Для большинства каналов радиосвязи интер1вал частотного
р.юсеяния Д/макс^С^с- При использовании сложных сигналов
о иольшой длительности время корреляции тКОр = 1 /Д/макс может
^ оказаться существенно меньше длительности сигнала Тс.
Введем параметры, характеризующие число степеней свободы
,_ принимаемого стохастического поля
е
vr= 1пЛГг=1п[1+37ткор],
* xF = \nNF =\п[1+F/Fwp],
кор.
v* = In NR= In [l'+R/pBOp],l
(1.55)
»i назовем их соответственно степенью селективности канала во
ирсмени, по частоте и пространству.
Величина >NT = (I + 7/nrKOp] приближенно определяет число
некоррелированных (а следовательно, и независимых для гауссов-
гкпх процессов) временных отсчетов сигнала на интервале Т;
Л"'' -число некоррелированных частотных компонент в спектре
принимаемого поля. Аналогичный смысл имеет величина NR.
Очевидно, чем больше числа vT, vF, vR, тем больше ансамбль
порожных реализаций принимаемого поля, тем сложнее и модель
породившего их канала.
Будем называть канал неселективным (неизбирательным) по
,/i;iиному параметру Р, если vp«0. Если же vp>0, то канал бу-
/И'м считать селективным по параметру. Так, например, если
\''''даО (имеется лишь единственный некоррелированный отсчет на
интервале Т) или
Т<хкор, (1.56)
29
канал называем неселективным во времени. Такой канал часто и
нуют каналом с медленными замираниями, а при невыполне
условия (1.56) —-каналом с быстрыми замираниями.
НС по частоте,
пространству и поВ/,
ни, i\ \>*-jF*B
IIС по времени, а
пространству
If С no Времена,
irrO; \lF, V*=0
КС по частоте и,
пространству
1/ Т=0; \>F, \>**0
НС по частоте
KG ш времени, и.
частоте
НС по пространстЩ
\>%о; tf )lF=a
Иеселективный,
канал
v; я* i>F=a
Рис. 1.6. 'Классификация пространственно-временных каналов
ио признаку селективности
С учетом сказанного можно по степени селективности опре
лить восемь типов пространственно-временного канала (при у
те лишь одной пространственной координаты), схематично сгр
пированных «а рис. 1.6. Из них наиболее простым оказывае
канал, иеселективный по частоте, времени и пространству (vT
«vi?~vfi«0), наиболее сложным — селективный по всем указ
ным параметрам (vr>0, vi?>0, vH>0).
1.6. Модель пространственно-распределенной
аддитивной помехи
Пространственно-распределенная помеха n(t, r), которая,
нейно складываясь с полем сигнала u(t, г), образует доступ!-
для анализа суммарное поле
z(t,r)=u(t,r) + n(t,r), (1.
может быть порождена (множеством факторов, таких, как теп
вые и космические шумы, внутренние шумы аппаратуры, Перес
тайные ко входу системы, сигналы мешающих станций и т. д.
т. п. Имеется значительное количество работ [121, 124, 135],
которых исследуются физические и статистические свойства п
странственно-распределенных помех.
Аддитивные помехи по их действию на принимаемый сигн
можно условно разделить на два больших класса:
т
[И1
ме ц
1) помехи, действующие на всей частотно-временной и про-
флпственной области существования сигнала;
2) помехи локального действия (в пространстве, во времени —
импульсные, по частоте — сосредоточенные).
Многочисленные статистические данные говорят о том, что ад*
цмпшпые помехи, действующие во всей области существования
пиля сигнала, чаще всего могут считаться гауссовскими либо
опп'жпми к гауссовским. Это объясняется тем, что шумовое поле,
I*IIк травило, создается большим числом слабо связанных между
|>Г)<>|"| пространственно-разнесенных источников [103].
11омехи же локального действия часто характеризуются
высокими вероятностями больших амплитуд и плохо описываются га-
V(томским законом. Можно, задавшись некоторой вероятностной
мо/плпыо помехи локального действия [10], в принципе, решить
i.i'iii'iy синтеза оптимального устройства обработки сигналов на
фоне разнородной аддитивной помехи. Устройство это, однако,
■пкллынается довольно сложным. Следует «меть в виду, что
помечи локального действия, как правило, рписываются
нестационарными процессами, статистика которых нётТрёрьТвно меняется и
члгго неизвестна. Методы борьбы с такими помехами часто
своим i ш к изъятию части сигнала, расположенного в частотно-про-
( |рлнственно-временн6й области помехи. При этом эффективность
Linux методов зависит от свойств пространственно-временных
сигналов и растет с ростом частотно-пространственно-временной об-
плетм, занятой сигналом (использование сигналов с большой
байт ,|73, 76]).
ся Иной путь борьбы с помехами локального действия — спецн-
лmi.нос кодирование или использование идей адаптивной компен-
t,innii [133].
15 этой книге решается задача синтеза устройств обработки,
шиималышх по отношению к помехе,„КЩорая_ действует на всей
поллсти существования пространственно-временного сигнала, при-
'И'М па помеха не обязательно рассматривается как гауссовская.
Цлн борьбы с помехами локального действия можно применять
илппческие меры, которые воплощаются в виде некоторых
блоки н приставок iK оптимальному приемному устройству или в виде
< мгппых алгоритмов и программ при обработке сигналов на циф-
рииых машинах. При этом актуальна задача анализа таких ал-
57) и (ритмов и устройств при различных помехах. Эти вопросы,
однако, ио рассматриваются в настоящей книге.
Шумовое поле n(t, r) будем полагать стационарным во
времени и по пространству' со средним значением n(t, r)=0. Такая
в мпдоль согласуется со многими работами как теоретического, так
0_ и (Копсриментального характера.
Кпд корреляционной функции помехи определяется физикой
ал процессов, из которых она образовалась, и может быть весьма
|>.1 (личной в разных каналах. С уверенностью, однако, можно ут-
норждать, что из помехи n(t, r) всегда можно условно выделить
чего -
1H-
1И-
ое
:о-
и-
и
31
составляющую типа белого шума, энергетический спектр которо
равномерен в полосе пропускания приемника. В противном слу
чае приходим к известному парадоксу [140], заключающемуся
возможности безошибочного приема при наличии помех. Объяс
нение этого парадокса дано в работе [16], где показано, что вы
рожденность решения (сингулярность) обязана своим происхож
дением неучету объективно существующей в приемных устрой
ствах помехи типа белого шума. Компонента белого шума
гарантирует устойчивость решающей процедуры.
При решении задач синтеза в настоящей книге не
предполагается гауссовость аддитивной помехи n(t, r). Однако при
решении задач анализа (оценки помехоустойчивости) будем считать
аддитивную помеху белым гауссовским шумовым полем с
корреляционной функцией
Bn{t,t-\-At; r, r + Ar)=^6(At)8(Ar), (1.58]
где N0 — спектральная плотность мощности помехи.
Это сделало исключительно для достижения максимальной
ясности изложения материала и выдвижения на передний план
свойств стохастического канала, а не аддитивной помехи. Во всем
дальнейшем изложении аддитивная помеха n(t, r) считается
независимой, от полезного сигнала и(1, г). Это предположение не
всегда верио [16, 121]. Однако для большинства систем передачи
информации зависимость между сигналом и аддитивной помехой
не настолько вели-ка, чтобы ее было целесообразно учитывать при
построении оптимального алгоритма.
Коснемся теперь вкратце особенностей аддитивных шумов в
оптическом диапазоне волн и связанного с этими особенностями
вопроса применимости дальнейших результатов к обработке
оптических полей.
Известно, что видимый свет имеет двоякую квантово-волновую
природу, т. е. квазигармоническую оптическую волту u(t, r) с
центральной частотой f0 можно рассматривать и как поток
квантов энергии величины hja — фотонов, где h — постоянная Планка.
Поступающий на фотоэлектрический преобразователь (фотоде-
тектор) фотон вызывает эмиссию электрона — квантовый переход.
При исследовании вопросов статистического гориема оптических
сигналов обычно [23, 78, 119] считают, что наблюдаемое
колебание представляет собой последовательность квантовых переходов,
происходящих под действием света, т. е. рассматривается сигнал
на выходе фотодетектора.
Основной статистической характеристикой при таком подходе
является распределение вероятностей числа фотоэлектронов в
фиксированный интервал времени, а приемник представляет собой
счетчик фотонов с последующей логической обработкой. На
данном уровне развития техники, при наличии большого числа
серийных энергочувствительных элементов, такой энергетический
подход к приему оптических сигналов, видимо, является есте-
32.
i шенным, поскольку в его результатах испытывается острая
практическая необходимость. Однако принципиально лучшим с
Н1Ч1Ш зрения помехоустойчивости приема является подход, учи-
i ыиающий как амплитудные, так и фазовые соотношения прнни-
мнемого светового поля при его классическом описании, в предпо-
М1ЖСНИИ, что оно приемлемо [45].
Такие соотношения содержатся, например, в векторе
напряженности электрического поля.
Поставив задачу оптимального выделения информации из век-
юра напряженности электрического поля по какому-либо статис-
i пческому критерию, придем к некоторому алгоритму обработки
питнческого сигнала. Отличительной особенностью подобных ал-
м1|)итмов является то, что обработка сигналов в пространстве, об-
рнОотка во времени, по амплитуде и фазе в общем случае являют-
■ и неразделимыми и требуют для своей реализации некоторого
пространственно-временного фильтра.
Открытие топографического метода обработки сигналов, реа-
'ипация когерентных оптических систем обработки информации
|!i(i, 74, 106] в сочетании с появлением быстродействующих ЭВМ
■ развитым математическим обеспечением [28] придают новым
и/п'оритмам пространственно-временной обработки оптических (и
in" только оптических) сигналов яркую практическую окраску.
I см не менее, многие из синтезируемых в последующих главах ал-
юритмов обработки пространственно-временных сигналов несут
ни себе печать не сегодняшнего, а завтрашнего дня развития
п'хпнки передачи информации.
Аддитивные помехи в оптическом диапазоне разделяются на
ниешние и внутренние. Внешние помехи — естественное фоновое
и мучение обусловлено хаотической эмиссией квантов
источниками, находящимися при повышенной температуре или
отражающими излучение от других источников. Основной вклад в
естественный фон для наземных приемников вносят Солнце, Луна, звезды
и другие планеты. При передаче информации в космосе
источником фона является также и Земля. Естественное фоновое
излучение удовлетворительно описывается моделью гауссовокого шумо-
IKHO поля, спектральную плотность мощности которого можно
■ питать равномерной [78, 119] в полосе пропускания оптического
приемника.
Внутренние помехи «волнового» оптического приемника, как и у
приемника радиоволн, в основном обусловлены тепловыми
шумами и при пересчете ко входу устройства описываются моделью
■полого» гауссовокого шумового поля. В «квантовом» оптическом
приемнике (особенно в гетеродинном), включающем счетчик1 фото-
пни, основную роль обычно играют квантовые шумы [119].
Спектральная плотность белого гауссовского шума я а выходе фотоде-
и'ктора (ее можно пересчитать и ко входу) в этом случае склады-
иистея из спектральной плотности естественного фонового
излучения Л^о.ф и спектральной плотности квантовых шумов Л/e/q-, Тйе
i| квантовая эффективность-—отношение среднего числа1 элект-
И2
33
ронов, эмиттируемых или генерируемых детектором, к среднем
Числу падающих на детектор фотонов. Если Л^0.ф велико по ера
нению с й/о/л» то «волновой» и «квантовый» подходы полность
совпадают, поскольку дополнительными «.квантовыми шумами
можно пренебречь.
С определенной степенью точности можно пренебречь квант
выми эффектами и в более широкой области изменения величи
ft/o/л- Это позволяет распространить на квантовые приемники о
новные (хотя бы качественные) выводы о влиянии стохастическ
го канала «а характеристики систем передачи информации,' к
торые сделаны ниже при анализе некоторых волновых приемн
ков, не использующих фазовых соотношений пространственио-йр
гйенных сигналов.
1.7. Линейная модель сигнального и шумового полей,
полученная методом переменных состояния
Модели пространственно-временного канала и аддитивной п
мехи, которые обсуждались выше, были основаны на учете свойст
реальных физических каналов. Существует, однако, иной, абс
рактно математический подход к построению модели стохастич
ского канала, подсказываемый общей теорией систем [34, 42]. С
основан на понятии пространства состояний, которые определя
поведение системы.
Рассмотрим формальное построение линейной модели кана.г
и помехи на основе уравнений состояний. Линейная модель де
ствительного векторного стохастического процесса y(\t) непреры
ного времени [19] имеет вид
^ = F(f)t(f) + G{f)v(f)
y(t) = H(i)x(t)
t6T, (1.
где х (t) —вектор состояния; F (t), G (t), H (t) —матрицы, в о
щем случае зависящие от времени. Они связаны взаимооднозна
ными соотношениями с корреляционной функцией процесса y(t
Для полного описания модели (1.59) необходимо еще зада
начальные и граничные условия для вектора состояния х (t). Сл
дует подч*ёр'Кнуть,™ что "рассматриваемая модель случайных *фун
ций (1.59) может не иметь ничего общего с физикой процессе
которые этими функциями описываются.
Например, пусть x(t)=h(t)—импульсная переходная хара
теристика линейного стохастического канала. Тогда из физическ
соображений x(t) представляет собой отклик линейного стохас
Чюекого фильтра с. постоянными параметрами, описывающего к
щал,1 на детерминиррванное воздействие в виде дельтагфункщ
34 а
При использовании же модели (1.59) x{t) представляет собой
отклик линейного детерминированного фильтра,с,переменными па-
рам£1рамл на стохастическое воздействие в виде белого шума v (t).
Существенным является то обстоятельство, что модель (1.59)
позволяет формально описать любой стационарный случайный
процесс с дробно-рациональным энергетическим спектром, а
также широкий класс нестационарных случайных процессов. Для
стационарных процессов имеется регулярный метод синтеза
динамической модели по автокорреляционной функции [94]. Для
этого производят факторизацию энергетического спектра
процесса, после чего задача синтеза эквивалентного векторного
марковского процесса вида (1.59) выполняется автоматически.
Для случайных функций нескольких переменных (полей)
подобного регулярного метода синтеза динамических систем с
распределенными параметрами пока не существует [108]. Появлению
такого метода мешает, во-первых, отсутствие теоремы о
факторизации спектров в многомерном случае и, во-вторых, отсутствие
математического метода построения векторного марковского поля
из скалярной модели авторегрессии. Вследствие этого имеются
различные подходы к описанию случайных полей методом пере-
менных состояния. Рассмотрим два основных.
Уравнение состояния и наблюдения, соответствующие функции
двух переменных (времени и пространства), может быть
записано в виде векторного дифференциального уравнения в частных
производных, включающих пространственный интегральный
оператор [4, 18, 19, 143]:
dx(t, r)
dt
= F(r)x(t,r) + G(r)u(t, r),
ix{t,r)] = o, ter, reR,
z{t,r) = H{t, r\x[f,r) + n{t,r),
XL 60)
F(r), G (r)—линейные пространственные операторы
(интегральные, дифференциальные, или интегро-дифференциальнью).
Остальные обозначения аналогичны введенным выше с учетом появления
новой пространственной координаты г. Поле u(t, r) считается
б-коррелированным во времени и в пространстве. Например,
стохастическая система с распределенными параметрами . ,може;г
иметь уравнение состояния вида
dx(t, r)
dt
dx(t, r)
дг
= а2
г=0
d2x(t, r)
дг*
dx(t, r)
дг
Z(t,r)=x{t,r)+n(t,r).
+ bx{t,r)
+ x(t, г)
+ a{t,r\ 0<r<R,
= О,
r=R
, U-SI)
2*
35
Спецификой представления (1.60) является разделение операци
над полем на пространственные и временные. Проектируя это
факт на алгоритм обработки сигналов, представляемых модель
(1.60), можно было бы ожидать, что в этих алгоритмах простран
ствееная и временная обработки также будут разделяться. Одна
ко исследования показывают [19], что в общем случае это не тар
Следует ожидать широкого использования модели (1.60) в оче
редных томах монографин [18].
Отсутствие в модели (1.60) смешанных производных сигнал
ограничивает класс случайных полей, которые могут быть точн
описаны этой моделью. В частности, этой моделью не охватыва
ются поля с корреляционной функцией
' Bu[t — f, г — r'] = a2exp(— at\t~ f\ — ar\r — r'\), (1.65
обладающие марковским свойством и иногда именуемые Марков
скими полями [108]. С практической и теоретической точек зре
ния марковские поля, скалярные и векторные, представляют боль
шой интерес и заслуживают дальнейшего рассмотрения.
Основное уравнение состояний векторного марковского пол
может быть записано в виде
dx(t, r) dx(t, г) , d2x(t, г) „ .. .-*,, s i r-u. \~* и \ /t v
—у 1 L—L ^ _L—' = F(t,r)x(t,r)+G(t,r)u(t,r). (1.6с
dt dr dtdr
Матрицы F(t, r), G(t, r) в общем случае зависят как от простран
ства, так и от времени.
Описание сигналов методами переменных состояния ориенти
ровано на дальнейшее применение фильтров Калмана [18, 19, 42
Фильтры Калмана наиболее приспособлены для реализации н
цифровых вычислительных машинах, так как позволяют получат
оценки сигналов в рекуррентном виде. Ориентируясь «а цифрову
обработку, следует записывать уравнение состояний (1.63) в дис
кретном времени (t = kAt) и с дискретной пространственной пе
ременной (г=/Дг). Дискретная запись уравнения состояния дл
скалярного марковского поля имеет вид
x(k+ l,l+l) = 9lx(k+ l,l) + ptx{k, 1+ l)-~p1p2x(k,l) +
+ K(l-Pf)(l-Pl) « (*, 0- (1-6
Для поля, содержащего NTy^NR элементов, k и I меняются о
1 до ./Vr и /VH соответственно. В (1-64) введены обозначения
р2 = ехр(—atkt), (1.61
рх = ехр(—агАг),
имеющие физический смысл коэффициентов корреляции соседни.
отсчетов поля (соответственного временному и пространственном
аргументам). Модели (1.63), (1.64) будут использованы в следую
щей главе для построения оценок передаточной функции стоха
етического канала.
36
Модель (1.64) является частным случаем авторегрессионной
|.|/п*1|'ц [108], которая для стационарных однородных полей имё-
I И ИД
т. п
и* I ///, 1 + п) = X S Spgx(k + p, l + q)+ginn{k, l)u(k, I) (1.66)
p=0 9=0
(p. Я)Ф(гп, п)
n непрерывном варианте ур-нию (1.66) соответствует дифферен-
m'ii.imo уравнение в частных производных (т + п)-го порядка.
'1,п и описания поля заданными дискретными отсчетами широ-
• и применение, помимо авторегресоионной модели, могут найти
■ "пмш скользящего среднего, авторегрессии скользящего сред-
* *
*
Модель канала, формирующего
пространственно-временное поле в области приема, основана на представлении
канала пространственно-временным стохастическим фильтром
с переменными параметрами. По воздействию на
передаваемые сигналы каналы классифицируются на селективные и не-
'■елективные по аргументам времени, частоты и простран-
riisa. Рассмотрение физических процессов распространения
ноля показывает, что в общем случае наблюдаемое поле
содержит в себе аддитивно-мультипликативную смесь сигналов,
прошедших различные пути распространения. Системные
функции, описывающие канал, должны рассматриваться как
случайные поля. Во многих практически важных случаях
поли эти имеют гауссовскую статистику, однако нередки
ситуации, в частности для оптического канала, когда
вероятностная модель поля будет весьма далека от гауссовской
(логонормальные амплитуды и равномерные фазы).
Вполне приемлемо волновое (классическое) описание
оптического канала и действующих в нем помех, если
алгоритмы обработки полей ориентированы на когерентные
оптические системы, а число фотонов, определяющих сигнал, не
слишком мало.
_ При анализе пространственно-временных каналов
заслуживает внимание подход, основанный на методе переменных
состояния.
ГЛАВА 2
> i
ИЗМЕРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК СТОХАСТИЧЕСКОГО КАНАЛА
2.1, Постановка задачи измерения
пространственно-временных характеристик
стохастического канала
Задаче измерения характеристик линейных каналов со слу
чайно изменяющимися параметрами посвящено значительное чис
ло работ советских и зарубежных авторой [46, 88, 90, 132, 139
141]. В указанных работах основное внимание уделено и основ
ные результаты получены применительно к измерению импульс
ной переходной характеристики /i(|) или передаточной функци
H(f) временного канала с постоянными параметрами три исполь
зовании неинформационных испытательных сигналов. Подчерк
нем, что в большинстве известных работ задача измерения ре
щается без учета аддитивных помех в канале.
Алгоритмы измерения, полученные теоретически при такоь
подходе,, естественно» имеют весьма частный вид* [139], а отно
сительно предложенных ,эвристических практических алгоритма
[46] не сделаны количественные выводы по поводу, их качества
Наиболее фундаментальная работа из опубликованных [139] ас
сит неконструктивный характер. В этой работе, использующей де
терминистский подход к измерению, показано, что тейретичеси
возможно сколь угодно точное измерение характеристики канала
но как эта возможность может быть реализована на практик?
не показано.
Ближе к практике результаты работ [46, 88, 132], однако i
них не уделеночвнимания вопросу воздействия помех на измере
ние, качественно меняющему всю картину. Наиболее . близка в
постановке к данной работе [141],, в которой решен вопро
измерения передаточной функции временного канала с позици
оптимальной фильтрации.
Ниже будут получены и исследованы алгоритмы измерения хг
рактеристик пространственно-временного канала самого общег
вида при наличии аддитивных помех произвольной интенсивное!
н в условиях использования различной априорной информации от
носительно изучаемых характеристик и помех в канале. Рассма1
ривается измерение характеристик канала как при использоваш
специальных зондирующих сигналов, так и при помощи информа
ционных сигналов. Основное внимание уделена изм£рению мгне
венных значений характеристик канала.
за
1 ■ I
Сформулируем задачу измерения мгновенных простраиствен-
ИО-временных характеристик канала. Суммарное поле на выходе
Канала может быть записано в виде <
z(tfr)Lu(t,r,'a)+n(t,r), , ( "■
0<t<T, r£A, (2.1)
ftlW n(t, г) —г-пространственно-распределенная, аддитивная поме-
ii\; u(t, г, «)—отклик линейного канала на входной сигнал
l(U): ' '
■00
u{t,r,a)^-Re\k(t,tr)'s(t-^ta)dl. (2.2)
Линейный пространственно-временной канал полностью*описы-
Щется или, как иногда говорят, идентифицируется [88, 139] ка-
цой-либо системной функцией, в частности h(t, |, г), В общем слу-.
Чае стохастического канала с рассеянием функция fi(t, g, r),
должна рассматриваться как реализация некоторой случайной
функции, т. е.
h(t,l,r)^h(ttl,rt(o), (2.3)
РДС -ю — элемент вероятностного пространства £2. Рассматривая
далее отдельные реализации этой случайной функции, будем
опускать вероятностную переменную to.
Для отдельных реализаций сигналов, помех и системных
функций будем предполагать» как это следует из физических
соображений, что выполняются условия интегрируемости в квадрате:
г г
'\h{t,l, r)\2dtdldr<oo,
П\>
0 А , (2.4)
г г If
J J|n(f, r)|2^dr<oo, J|s(f)|'*<oo.
О А 0
Для случайных функций условия (2.4) должны выполняться с
вероятностью, близкой к единице. ' v
Теперь сформулируем в общем виде задачу измерения
пространственно-временных характеристик канала. Наблюдению
доступны реализации функции z(t, г). Имеется соотношение, .свя-
швающее наблюдаемое колебание с передаваемым сигналом s(t)
II характеристикой канала:
2 (/, г) « Re J h*{t,l, r) s (/-g) d-l+n if, r). ' (2.5)
о
Задача измерения пространственно-временной характеристики
Линейного канала h(t, g, г) сводится к решению интегрального'
уравнения Фредгольма первого рода (2.6). Известно [98, 99], что
38
задача является некорректной в смысле устойчивости решения,
т. е. малым отклонениям в значениях функции z (t, г) могут со^
ответствовать большие отклонения решения h(t, |, r). < t
Действительно, пусть функция h(t, |, г) есть решение ур-ния
(2.5). Тогда функция hi{t, \,r)=h(t, |, r)+sinp£, будет решением
того же уравнения с наблюдаемой функцией
00
«1 С r)~z{t,r)+$s(t-l)sinpIsd%. (2.6)
0
При достаточно больших р значения интеграла в последнем
уравнении могут, стать исчезающе малыми, тогда как значения
функции sinpg представляют собой конечные величины. Это
означает, что малым отклонениям наблюдаемой функции могут
соответствовать большие отклонения решения ур-ния (2.5). На
практике процесс измерения характеристик канала неизбежно
сопровождается действием помех, вносящих существенный вклад в
колебание на выходе, канала, что и делает задачу измерения
характеристик канала некорректной.
Решению некорректных задач посвящены работы советских
математиков [8, 9, 75, 85, 98, 99]. Показано, что рассматриваемая
задача может считаться корректной и решение будет устойчивым,
если его искать в ансамбле гладких функций. . Академиком
А. Н. Тихоновым введено понятие класса регуляризуемых
некорректных задач и разработан общий метод решения, называемый
методом регуляризации. Детальное описание метода
регуляризации можно найти в работах [98—100].
Физическую сущность метода регуляризации легко выявить,
рассматривая ситуацию, когда функция h(t, g, r) на отрезке
времени [О, Т] может считаться неизменной (канал с медленными
во времени замираниями). Использование "метода регуляризации
[8, 9, 99] приводит к следующему регуляризованному спектру
решения (передаточной функции канала):
на , ,. ч 1 Z(a>, со£) . ,0 _.
^ |S (o)ia
где М (со, cog)—четная неотрицательная функция; S (ico) и Z (со,
«(g) —спектры реализаций входного сигнала и наблюдаемого
колебания. '
Из (2.7) видно, что регуляризованное решение На (со, cog)
отличается от «классического» Я (со, icor) = Z (со, mg)IS (ко) множите-
/, , М(а>, соо)\—i
лем (1 + ■ | ,2 ) , значения которого, как подсказывает
здравый смысл, должны быть малы на тех частотах, где
интенсивность полезного сигнала «S(ico) мала. Это достигается
соответствующим выбором вида функции М (со, cog) и значения параметра
регуляризации а.
40
В развитие метода регуляризации А. Н. Тихонова устойчивые
решения интегрального ур-ния (2.5) с учетом стохастических
характеристик изучаемых функций, сигналов и помех, ищутся в ста-
1ИСтичеоком ансамбле гладких функций [75, 101]. Существенным
недостатком изложенного метода поиска устойчивых решений ин-
Iигрального ур-ния (2.5) является отсутствие однозначных
рекомендаций по выбору оптимальных функций регуляризации М(т,
iiif) и параметров регуляризации « в той или иной конкретной си-
|уации. Поэтому ниже будем пользоваться этим методом тогда,
когда отсутствует возможность по тем или иным причинам
пользоваться другими, более конструктивными оптимальными или Ква-
ниоптимальными решениями.
При поиске оптимальных решений возможны два различных
подхода к измерению функций, описывающих характеристики ка-
и ил а:
а) измерение координат разложения функции на выбранном
ft 83 все;
б) измерение текущих значений функции, получае'мое с
позиций фильтрации. . . ,
Первый подход наиболее удобен при измерении
характеристики канала для организации того или иного вида разнесенного
приема в целом, инженерная реализация которого всецело
зависит от прогресса техники обработки сигналов и техники
запоминающих устройств. , , t
Второй подход целесообразно применять, ориентируясь на
процедуры последовательной (рекуррентной) обработки сигналов,
передаваемых по стохастическим каналам. Заметим, что вслед-
(Твие ограниченности пространства, из которого извлекается
сигнал в месте приема, первый подход предпочтительнее для про-
i гранственной обработки сигналов. Рассмотрим специфику обоих
подходов к измерению.
Измерение координат разложения. Будем считать, что
измерить некоторую функцию f (и) одной или нескольких переменных —
нцачит измерить координаты {fh} разложения этой функции в ряд
й! некотором базисе {фь(")}:
/(") = 2]/*Ф*("), "6Л. ( (2.8)
ft
Такое определение измерения функции является достаточно
Широким и охватывает многие практические ситуации измерения
Процессов и полей. Координаты разложения (2.8) fh
представляют собой линейные функционалы
/*= |Д")Ф*Ж«- (2-9)
А
Таким образом, задача измерения пространственно-временных
КИрактеристик канала сводится к задаче оценки параметров —
координат разложения на некотором базисе измеряемых характери-
i ГИК. Статистическая теория оценки параметров к настоящему вре-
41
мени достаточно широко развита [64, 102, 103]. Имеются
эффективные методы, позволяющие получать хорошие оценки
параметров как при наличии большого объема данных об оцениваемых
параметрах, так и в ситуации априорной -неопределенности.
Теперь можно сформулировать задачу измерения характеристик
канала с рассеянием как классическую задачу оценки параметров,
Имеется разложение функции в ряд на некотором базисе
k
Наблюдению доступно поле z (t, г), определяемое
соотношением (2.5) и зависящее от совокупности параметров {кь}.
Требуется наилучшим образом, в соответствии с выбранным критерием,
оценить параметры {h^}, используя для этого известные значения
реализации функции z (t, r). Применяя современные методы
'оценки параметров к рассматриваемой здесь модели, выражаемой
соотношением (2.5), можно построить большое число алгоритмов
оценки координат разложения пространственно-временных
характеристик канала. Введем одно условие, диктуемое соображениями
практической реализации, алгоритмов- оценки. Потребуем, чтобы
Л
оценки параметров А\ представляли собой линейные функционалы
наблюдаемого колебания;"
hk = Ak J J z {t, r) % (t, r)dtdr + Bh, (2,11)
Q A
где Аь, Bk— коэффициенты; i|)ft (t, r) — весовая функция.
Такое измерение характеристик канала |МОжно называть
линейным [139]. Дополнительные веские доводы в пользу линейного
измерения пространственно-временных характеристик линейного
канала с рассеянием приведем ниже. Пока лишь заметим, что для
очень важного случая гауссовских полей линейные оценки
координат разложения являются оптимальными в классе всех
возможных оценок. Итак, при рассматриваемом подходе задача
измерения характеристик канала состоит из двух частей: выбора
способа разложения в ряд измеряемой характеристики и построения
алгоритмов оценки координат разложения.
Измерение с позиций фильтрации. Для решения задач
измерения случайных функций и, в частности, для решения задач
идентификации линейных стохастических фильтров эффективным
является подход, основанный на методах линейной фильтрации. В;
теории линейной фильтрации следует выделить два направления,
соответствующие двум различным подходам к описанию
измеряемых функций и помех в "канале. Если измеряемая функция
задана своими корреляционными характеристиками, приходим к ви-
неровскому фильтру/ При этом оптимальная по среднеквадратич-
л
ному критерию1 линейная оценка h (§, г} является выходной
величиной линейной системы, переходная характеристика которой
42
</(f, jj.) определяется соответствующим уравнением линейной регь
рвссии (для скалярной пространственной переменной): , .
Л(£,■/)= j jz(t, ц)ёа — t, r~-ц)dtdц. ' Г (2.Щ
— 00 —00
При нестационарности процессов и существенно ограниченной
области анализа полей (во времени и в пространстве) решение
1йдачи методами винеровской фильтрации существенно
затрудняется или становится невозможным.
В Этой ситуации большой .Практический'интерес представляет
/фугой подход к линейной (а также нелинейной) фильтрации,
основанный на характеристике принимаемых полей сигналов и
помех не через их корреляционные функции, а через уравнения
состояния системы, которая их порождает будучи возбужденной
белым шумом. В принципе, уравнение состояния "системы при
изучении полей можно было бы задавать уравнениями Максвелла или
урпвнениями Ланжевена [135], и на этой базе "можно было бы
построить соответствующие пространственно-временные фильтры
Шшановского типа для оценки параметров, а на их основе и
соответствующие устройства оптимальной обработки полей. Однако
й настоящее время с трудом просматриваются пути, ведущие к
инженерной реализации таких пространственно-временных устройств
обработки сигналов.. Более практичный путь к построению филь-
ipa калмановского "типа будет рассмотрен ниже. '
2.2. Разложение пространственно-временных характеристик
канала в ряды и дискретные модели канала
Перейдем к рассмотрению различных способов разложения
пространственно временных характеристик в ряды на' заданном базисе. Такое разложение
позволит выделить счетную совокупность координат [64, 139], определяющих
икнмл, а вместе с тем и ввести различные дискретные модели случайного
пространственно-временного канала. * и
Рассмотрим разложение на примере системной функции h(i, %, S).
Представим импульсную переходную характеристику h(<t, \, т) Ъ виде орто-
шнильного разложения на некоторой ограниченной области Л. Это всегда мож-
нн сделать, поскольку передаваемые по каналу связи сигналы могут при
анализе приближенно считаться финитными во времени {0, Те] и по частоте [—Fa, Fe].
Ккивл вызывает практически ограниченное рассеяние во времени и по частоте,
1 область поля, которая учитывается при обработке сигнала, ограничена, 06-
ЛШ'ТЬ Л может определяться из соотношения * " *
Л = [0, Г|Х[0, Т]Х,[0, R]. ' ' (2.17)
(де [О, Г] —интервал анализа поля во временной области, причем Г^Го1';
|1), щ — пространственный интервал анализа принимаемого поля, (для компакт-
'• В принципе, возможно вести анализ принимаемого сигнала во" временной
н Нйгтотной областях, которые уже соответствующих областей переданных сиг-
«яло», Мы, однако, такую ситуацию анализировать не будем и сосредоточим
инимииие на устройствах, которые извлекают всю возможную информацию из
ниллвзируемой области поля.
4ЭГ
ности записи здесь рассматривается скалярная пространственная переменная).
В общем виде разложение импульсной переходной характеристики канал
записывается так:
h"(tr I, r)=x(t, l*r) + lg(t, g. r}^S\xk(Pk(t, g, r}+lykVk(tr £, r).
k
(2.18
f
Вещественные и мнимые составляющие координат разложения (2.18) пред
ставляют собой линейные функционалы, значения которых определяются знач?
инями конкретной реализации функции К (t, %, г) и выбором базиса1:
xk=^x(t, I, r)<pk(t, I, г) did I dr.
л
#ft = j" У (*.£. /■)?*(». , r) did I dr.
(2.19
Выбор функций q>k(tj £, г) может быть продиктован различными
требованиями: к ним относятся требования наилучшего приближения разлагаемой в
ряд функции минимальным числом членов ряда (2.18); некоррелнрованноств
координат разложения; удобства и простоты практической реализации алгорит.
мов разложения и восстановления функции и т. д. В этом выборе большую
роль играет цель, с которой разложение осуществляется. Эта цель определяет
критерий качества разложения. Отметим, что в задачах оптимальной обработки
пространственно-временных сигналов требование минимизации ереднеквадратиЧ'
ного отклонения между правой и левой частями ур-ния (2.18) не является
обязательным н соображения практического характера могут продиктовать выбор
вида функций <рл и числа членов в разложении (2.18), весьма далекий от
наилучшего с точки зрения приближения функции h(i, |, г). Рассмотрим некоторые
конкретные виды разложений характеристик канала, представляющие
наибольший теоретический и практический интерес.
Разложение по теореме Карунен а—Л о э в а. Примем здесь для
сокращения записи, что вещественная н мнимая части импульсной переходной
характеристики канала независимы и имеют одинаковые корреляционные
функции: *
Bx(t, i\ t, g\ г, r')=Byit, Г, I, £', r, r') = Bh(ty Г, I. I', r, г').
(2.20)
Распространение результатов на случай неодинаковых корреляционных
функций квадратурных компонент выполняется просто и будет делаться ниже
по мере необходимости.
Согласно теореме Каруиена—Лоэва [31] можно получить некоррелированные
координаты разложения (2.18), выбирая в качестве ф(/, |, r)—<p(t, £,./•)
собственные функции интегрального уравнения Фредгольма второго рода, ядром
которого является корреляционная функция Bh(>t, t', •£, С", ф, г'}. Интегральное
уравнение записывается в виде
Хф
(/, I, r) = §Bh(t, V, 1,1', г, r')ff(t\l'rr')dt'dl'dr', (2.21>
где* х — собственные числа интегрального ур-ння (2.21).
Используя тот факт, что при подаче на вход канала сигнаша s(t)=s(t)+
+ij(t) комплексное поле на его выходе определяется соотношением" u(t, r) =
= \ s(t—%)h*(t, |, r)d% и учитывая разложение (2.18), получим горедставление-
(наблюдаемой) вещественной части сигнала на выходе канала:
44>; \
и (/, г) = Re^ (xk — i г/й) sft (/, r) =a ^ **** C> '> + УаМЛ r) - '(2.22,)
k k
Комплексный сигнал Sh(t, r)=Sk(b ')+* **(■*' О определяется сверткой
skit, r) = § я(<—6)Ф*(Л Б, г)*£.
(2.23*
Нетрудно показать, что если передаваемые сигналы узкополосиы,, то сиг-
НВЛЫ Sh(t, г) и Sh(i, г) связаны между собой преобразованием Гильберта п«
Переменной t
s, (t,T)
s(t)
ЩЬЛ
№$/)
s2m
-7-
--:>
W*,r)
S/t,r)
5 *.
ii(t,r)
Рис. 2J. Дискретная модель» проетранответно-вре-
меннбго канала
Формула (2.22) получена в предположении; что ряд (2.18) допускает
почленное интегрирование с весом s(i) (что следует из физических соображений).
Согласно модели (2.22), схематически изображенной на рис. 2.1, сигнал в месте
Приема можно рассматривать как сумму пространствеино-времениых сигналов,
прошедших по множеству некоррелированных путей. В каждом из путей сиг-
нял претерпевает регулярные искажения, вносимые пространственно-временным
фильтром с переменными параметрами и (известной) характеристикой ф» {t, g, r)„
П тпкже получает случайный амплитудный множитель ^^^ хгк+угк и
случайный фазовый сдвиг <рь = агсtg(yk/xk), определяемые комплексным коэффициен-
ftiM Ak=^(, ei4)*. Замирания, описываемые моделью (2.22), являются в общем
случае селективными в пространстве, во времени и по частоте.
Как отмечалось в гл. 1, большое распространение в реальных каналах свя-
1И, В соответственно значительное место в анализе систем передачи
информации имеет ситуация пространственно-отделимой корреляционной функции кана-
М, когда
Bh(t, f, g, £', 'г, r') = B\(t, t\ I, i')Bl\r, r'). (2.24)
В этом случае интегральное ур-ние (2.21) распадается на систему двух ин-
1шральиых уравнений:
у> Ф1 (t. i)=jjB^(^, Г. I, Z')tf(t't l')dt'di\
о о
R
ки ср1 (£) = j" ВЦ (г, г') ф" (г') dr',
(2.25
4S
где хЧр'(А |) и ^с11^11 (г),— соответственно собственные функции и собственные
числа интегральных ур-ний (2.25). В условиях пространственно-отделимой
корреляционной функции разложение (2.18) принимает вид
'А (i'l •г)=2 X(хш+i Уш) ф'; (г) ф«{t> ®- (2-26)
Соответственно сигнал в месте приема
« (*, г) = Re ^ Yi {Xltn ~ l yim) 'Sm (<) ф'" (г) = 2 2 k«»An(0+ yimZiit)] ф"С-)-
* «mi i m
(2.27)
Сигнал smf/J = sm('0+i'smC,0 определяется сверткой
( OO
I sm(f)=f i(f-|)9m(M)d|.
(2.28)
s(t)
£w
Ui
^*f/5
^
-_ >.
#to
^*
*i
1>п,Г
hmz
Ki
H
—*
+
^_
4
?
Рис. 2.2. Дискретная модель канала с проегравственно-отде-
. лимой корреляционной функцией
• Модель (2.27), изображенная на рис. 2.2, позволяет рассматривать
пространственно-временной сигнал в месте приема как совокупность
некоррелированных сигналов, переданных множеством «антенн» с диаграммами направленности
Ч>П<СЬ '^Ь 2, ..., причем сигнал, соответствующий каждой из «антенн»,
претерпевает в канале регулярные частотно-временные искажения, вносимые
набором фильтров с переменными параметрами с характеристиками фхт(^, 1), а
также случайные амплитудные и фазовые искажения, определяемые комплексным
коэффициентом him=xlm+i у1ы.
В случае, когда из всего набора «антенн» остается лишь одна «антенна»,
замирания становятся иеселективными по пространству, i Если же из набора
фильтров с переменными параметрами, формирующих сигнал в месте приема,
остается один фильтр, замирания должны рассматриваться как неселективные
во времени и по частоте. Ясно, что степень селективности замираний в данном
канале (с заданными физическими свойствами) определяется как интервалами
корреляции T„oj>, -^кор, Рнор, так и областью анализа поля во времени. Т, по
частоте /'ив пространстве R.
Рассмотренная здесь модель канала, включающая в себя набор фильтров с
переменными параметрами и характеристиками <ргт({, i|), неудобна для
практического использования. Реализация набора фильтров с переменными
параметрами затруднительна. Весьма заманчивой представляется поэтому замена
фильтров с переменными параметрами фильтрами с постоянными параметрами. Ха-
. 46
{ИЬгеристика фильтра с переменными параметрами должна рассматриваться
МШфункция двух переменных: t и ig. Известно [[129], что функция многих пе-
рМЯивых может быть сколь угодно точно аппроксимирована совокупностью
фйшшй с разделяющимися переменными, в частности,
фс. ?)=2ф"ар(0рр(^-
!Що позволяет заменить фильтр с переменными параметрами набором филь-
$ постоянными параметрами и перемножителей. Однако наиболее удобна
И- Доступна для современнбй техники передачи информации замена фильтра с
(ИрШенными параметрами фильтром с постоянными параметрами,
характеристике Которого должна наилучшим образом аппроксимировать характеристику
ИШеняемого фильтра. Если в качестве критерия близости характеристик фильт-
JWf.fB тюстояннымн и переменными параметрами выбран критерий минимума
функционала Ф= |ф(^, £)— ф(£) |2<Ш|, то импульсная .переходная характе-
о о
{ШИЙка физически реализуемого фильтра с постоянными параметрами должна
ЯМделяться из соотношения fl39]
1
(2.29)
' Совершенно очевидно, что подобная аппроксимация допустима лишь в ка-
ИМВХ| параметры которых изменяются во времени не слишком быстро, т. е. в
ИШлах со слабой временной селективностью.
Обратимся к важным для практики каналам с разделимой (факторизуемрй)
НЩией по всем переменным:
• (2.30)
|№Гегральному ур-нию (2.22) в этом случае соответствует система трех инте-
}|ЛЫШХ уравнений:
г
з! it t>\ »i
IBhV. t\ l, l'. r, r') = 4(<, t')Blla, Ъ')В\п(г, f
X1 ф1 (0 :
%(*. t')^(t')dt',
(2.3:1)
x" Фп (I) = j 41 (Б. Е')ф" (£')<*!'.
о
. х"ЧШИ=| Bl"(r,r')<pnl(r')dr'.
о
|||ЛОЖвние (2.18) в этом частном случае принимает вид
h (*,1. г) = V £ ^ (*йя* + ; И»*) ф"! О ф" (I) Ф* W •
l m k
ИГйал В месте приема, соответствующий модели канала (2.32), записывается
(2.32)
U (t, г) = Re £ ^ £ (*йя* — i </im*) «m (0 <p\ С) ф|" С) =
m £
S S 2 [*'**«„ w + »«** ^ 0J "р"1 м ч>* w ■
47 , '
l m k
(2\33)
Сигнал &m(t)sa$T»(t)-{-i sm(t) определяется сверткой
00
Sm№ = jV(*-i><Pm(5)dg. .' (2.34)
■ О
Согласно модели (2.33) пространственно-временной сигнал в месте приема
образуется совокупностью некоррелированных сигналов, переданных набором
антенн, претерпевших в канале частотные искажения в фильтре с постоянными
нараметрами, с характеристикой Фпт(5), промодулированных по известному
закону <flk(t) и получивших случайные амплитудные множители и фазовые
" сдвиги.
Как уже отмечалось выше, многие нз реальных каналов связи с рассеянием
могут, по крайней мере в анализе, считаться однородными по частоте и
пространству. Корреляционная функция импульсной переходной характеристики,
зависящей от угловой координаты, для таких каналов имеет вид
Bh{t, Г, I. Б'.». V) = Blh{t, ПЬ(1~1'\Ь{Ь^-Щ.
Необходимо учесть; что линейные размеры любой реальной антенны
ограничены (70], что и определяет ее разрешающую способность Ш, Например, при
использовании щелевой антенны размера R разрешающая способность '№ = 1/iR.
Это означает, что доступный наблюдению реальной антенной процесс/Цг, 6, ■&)
по переменной ■& (<t, |-параметры) может рассматриваться как результат
фильтрации дельта-коррелированного процесса идеальным фильтром низких частот
ФНЧ с полосой пропускания I—l/26'б', 1/26Ф]. Нормированная корреляционная
, функция такого процесса записывается в виде [64]
тн „ „ sin[(& — %')/5Ц
Собственные функции н собственные числа ф111^} и к111, соответствующие
(2.35), определяются из уравнения
—в
Известно' рв, 113], что собственные функции интегрального ур-ния (2.36)
представляют собой вытянутые сфероидальные функции, которые обозначим
typ(-), P=h 2, ... Аналогично, полагая, что поле сигнала анализируется после
прохождения идеального ФНЧ с граничной частотой F, можно записать
интегральное уравнение, соответствующее разложению характеристики канала по
веременной \ (t и д-параметры);
х%^|)=|ф^Г)^^£^-^', (2-37)
о
определяющее собственные числа х11 и собственные функции фп>(§),
представляющие собой вытянутые волновые сфероидальные функции.
Известно [113], что при выполнении условия fl/fift^l приближенным
решением интегрального ур-ния (2.36) является совокупность функций
,„ л sin (9уб8- — i п)
Ч>(») = —тЖ. = • »"=Ь 2. - • . (2-38)
- 1 Я
Соответственно при выполнении условия TF~^> 1 приближенным решением
интегрального ур-ния (2.37) являются функции
,, . sin (2л£ F — т я)
4S .
%л>
;овия
в/в»>1, TF»l (5.40)
ДЛЯ используемых на практике в каналах с рассеянием .антенн я сигналов с
Подьшой базой обычно можно считать выполненными. Это позволяет записать
(Изложение импульсной переходной характеристики канала с однородными в
пространстве н по частоте замираниями в виде I ,
и г « "WV. , • х' 3"(ft/aft — <я) sjn(2jigF —жя) ,
(2.41.)
« m ft ' ь
Соответственно сигнал в месте приема
sin (ft/6ft — i я)
«(Л ») - Re £ J] J] (JTim* - i Уш) « (< — ^-) Ч (0
, m „ , M sw ft/Sft-in
t /tt ft t f
-2S2 ^(,-£)+«7(,-£)]-*£=и.,} '»■ *«»
i /n ft L
Отлцчне модели )(2.42) от (2.33) заключается в конкретизации вида диа-
I рамм направленности «антенн» н в замене, фильтров с постоянными
параметрами линией задержки с равномерно распределенными (с интервалом 1/iF)
отпадами. Подчеркнем, что отдельные пути, по которым сигнал приходит в
область приема, здесь по-прежнему некоррелированы. Отметим некоторые свон-
П на разложения характеристик канала с рассеянием в ряды по теореме Кару-
нмт—Лоэва. В работе [107] показано, что это разложение обладает
следующими двумя замечательными свойствами: 1) минимизирует средиеквадратиче-
(.кую ошибку, обусловленную удержанием лишь конечного числа членов в бес-
Ионйчном ряде разложения (2.18); б) дает наибольшее по сравнению с любым
другим разложением количество информации относительно представляемой усе-
щнным рядом функции, какое бы число членов ряда (2.18) ни удерживалось.
Отмеченные свойства делают разложение Карунена—Лоэва мощным
инструментам в измерении характеристик каналов с рассеянием. То, что координаты
(Наложения в ряд при этом оказываются некоррелированными, существенно
упрощает дальнейшее использование и анализ результатов измерений. Именно
Нмчтому разложение Карунена—Лоэва' часто именуют 'оптимальным. Однако
|«н (ложение в ряды по теореме Карунена—Лоэва обладает и двумя
существенными недостатками: 1) требует большого объема априорных сведений (знания
Корреляционной функции измеряемой характеристики), которые зачастую отсут-
пнуют или весьма недостоверны; 2) собственные функции разложения
характеристик каналов иногда имеют весьма сложную структуру, а практическая
рянлизацля их в виде пространственно-временных фильтров с переменными
параметрами оказывается затруднительной.
На практике большее распространение получили неоптимальные
разложении в ряды при измерении реализаций случайных процессов и полей.
Рассмотрим некоторые из этих неоптимальных разложений.
Некоторые неоптнмальные разложения в ряды харак-
1еристик канала. Можно предложить очень большое число разложений
функции h(i, %, г)' в ряды при решении задачи ее измерения. Совершенно оче-
йнлно, что не все эти разложения окажутся близкими по свойствам к
«оптимальным» разложениям Карунена—Лоэва. Потеря оптимальности здесь
вызывается отказом от некоторых априорных сведений о канале, вследствие чего
ИиЛранная в качестве базиса система функций может оказаться весьма далекой
ui совокупности собственных, функций интегрального ур-ния (2.21). Как
пример неудачного выбора можно привести попытку разложения импульсной
переходной характеристики многолучевого канала h(t, \, г) по переменной \ в ряд
Тийлора. Поскольку собственные функции разложения при этом суть дельта-
функции, трудно ожидать хорошей сходимости степенного ряда и высокой
информативности-координаты разложения функции h(t, g, r). Анализ схем обра-
Пигки сигналов показывает, что современная практика насчитывает много при-
49;
•SEE [**»■*»('- т)+й**7('-*т)]х
меров удачного выбора базиса прн измерении характеристик канала с
рассеянием, выбора, продиктованного интуицией'н опытом разработчиков.
Для финитных функций, каковыми могут считаться прн анализе
характеристики канала, важно разложение по теореме В. А. Котельннкова [60], например,
',..»■ «ч "V V V ', ■ ч sin (»/fia — i и) sin (2я£ F — m я)
•« *-" t v ' ft/в» — i я 2я£ F — тя
' sin (2rt tF — kn)
Х 2U-fen • l243)
Величины *,mS, J/imj представляют собой равномерные отсчеты функции
k(t, I, •ft) по осям, соответствующим переменным /, g, •ft.
Соответственно (2.43) сигнал в месте приема записывается В виде
.(..«.—^«"--"«ч-т-) "Хт:"' -
£ m ft
sin (2я FT—'fen) ^i V V Г Л m ,\ ~/,
2fiFT — kn
i m к
sin (8/69— in) sin (2я FT — fe я)
X — -' '—'—* — 12 44)
a/69 — in 2я*Т —Ля ' .
Физическая трактовка модели (2.44) такая же, как модели (2.42).
Рассмотрим теперь некоторые разложения в ряд функции h(t, g, г),
учитывающие физику изменения функции по отдельным переменным в реальных
каналах связи. Рассматривая функцию h(i, £. г} вдоль одной из осей, например
вдоль оси t, будем обозначать ее Л(/, •) н соответственно координаты разложения
ее в ряд будем обозначать *&(•) и ук{-}-
Финитная функция h(t, •) может быть разложена в ряд Фурье на отрезке
[0, Т] с использованием приема периодического продолжения:
*('. ■) = 2 [**<■>+ * »<-И«Р (i 2яу /j. (2.45)
Таиая модель трактует замирания сигнала во времени, как следствие доп-
плеровскнх сдвигов частоты передаваемого сигнала (кратных 1/7"), вносимых
каналом с рассеянием. - ■■
Динамические свойства канала с рассеянием характеризуются поведением
функции А(6, •), Можно выделить, по меньшей мере, три категории
математических моделей, применяемых для аппроксимации импульсной переходной
характеристики динамического объекта прн неполной априорной информации (при
отсутствии полных данных о статистических характеристиках наблюдаемых
сигналов и изучаемых функций):
1. Аппроксимация функции А(£, •) рядом ортогональных функций на
-конечном отрезке [0, Т], содержащем согласно имеющимся априорным сведениям
наиболее существенную часть аппроксимируемой функции. В качестве
ортогональных функций прн этом могут использоваться полиномы Чебышева,
степенные и тригонометрические функции (77], дельта-функции. Достоинстве» этого
подхода заключается в возможности обойтись сравнительно небольшим числом
членов ряда при удачном выборе вида функций разложения. Это можно
сделать, лишь располагая определенным объемом априорных сведений.
2. Аппроксимация функции A(i|, •) на отрезке [0, Т] ступенчатой функцией
по методу Гудмена—Резвика 1130]. Прн этом отрезок [0, Т] разбивается на ряд
интервалов длительности Л. Прн таком подходе не требуется большого объема
априорных сведений, однако очевидно, что это сопровождается потерей
оптимальности разложения по сравнению с разложением типа 1 и разложением по
теореме Карунена—Лоэва.
б»
/
f. Представление импульсной переходной характеристики с использованием I
•ШТЗда локальной аппроксимации>, объединяющее достоинства двух первых
представлений и являющееся 'их обобщением; Согласно методу локальной
аппроксимации импульсная переходная характеристика hfe • ) записывается *
якде *■'
р м
*(6. •)-£ 2hpm^)щт(g)- <2-46)
«""Ю"! 0 При1<Др,§>-А(р_1), <2'47)
/' целое число, определяемое величинами отрезка (О, Ц] и интервала А:
ш-
(2.48)
Ч'иОЮ. я>=1| 2, .,.■■•— функции, ортогональные на отрезке величины А.
Как видно из (2.46), отрезок 10, Т] равномерно заполнен интервалами
величины А, на каждом из которых функция fe(|) аппроксимируется суммой орто-
I инальных на данном интервале функций.
При использовании модели' канала (2.46) сигнал в месте приема записы-
Штся в виде • ' - '
Р М Р М
и (*„ г) = Re £ ]g hpn(t,Tr) 'Spn.(t) s= ^ ^ xPth (t, r) spm (t) + ,
+ Ут C,r)£rtW, (2.49)
MI9 spm(t)=-spm(,t)-}-iSpm(t) определяется соотношением ,
Ар
sPm(t)= § s(t-t)<ppm(i)dt. (2.50)
При использовании метода Гудмеиа—Резвика модель (2.49) упрощается:
р ■ t p \
u{tt r^-Re^M*. r)ip(0—'2'"С» 'J'pO.-f-ft'C' ')^№> (2-51)
p=l >=i
те а соответствии с (2.50)
*(0"- J S(*-|) <*?.'" (2.52)
A,0>-a).,.
Метод локальной аппроксимации может быть применен также и для пред-
11«яления функции h(t, ■).
Аналогично (2.46) и используя те же обозначения, получим
При использовании метода Гудмеиа—Резвика модель (2.53) переходит- в
'К '
h{t,t .) = 2Ы-)£*0, i (2.54)
St.
, л_/1чяЛ(*~1)<*«;да, ,255)
£А(0-|опри/<Д(А-1), />Д*. (2'55'
Разложение (2.54) играет важную роль в построения современных устройств
обработки сигналов в каналах с рассеянием. Очевидно, что величина
интервала Д в конечном счете определяется интервалом корреляции тКОр функции
h{t, •). Однако нельзя утверждать, что выбор Д=тКор является наилучшим,
более того, можно показать [104], что это не так и величина Д должна быть
выбрана меньшей интервала корреляции т„ор-
Объединяя различные разложения, приведенные в этом разделе, можно по-
лучить большое число представлений импульсной переходной характеристики
канала.
Приведем лишь одна из таких представлений, имеющее большое
практическое значение. Заменив в разложении (2.43) функции Котельникова (по оси
времени) на ступенчатые функции (2.55), получим
и ,4 t ач "W V , , • * ч sin (fr/6ft — i я) sin(2nfg — mn)
i m k=\
(2.56)
Соответственно поле в месте приема определяется соотношением
vriv • / . "« \ si п (&/&& — in),
I m и
-ses[«-(«- f)+«-.(.- f)] ^^r * «>• <«■*)
i тп h '
Модель (2.57) подразумевает .ступенчатые (скачкообразные) изменения
параметров канала во времени.
Специфика цели измерения характеристики канала—построение
оптимального приемника сигналов, использующего данные этого измерения, может
привести к непривычным с точки зрения традиционных измерений представлениям
(моделям) изучаемых функций.
Яркой иллюстрацией последнего утверждения является представление
импульсной переходной характеристики в виде
>t(t, l,r)=xpqp(t, I, /•) + 1г/„Ф„(М|,[г),
где \хр\= max \ хн |; I Уп I = max | yk | (2.58)
к к
и соответственно представление в месте приема в виде
u(t, r)=xpsp(t, r) + yn7n(t, r). (2.59)
Согласно! модели (2.59) канал считается одиопутевым, причем этот
единственный, учитываемый моделью, путь имеет максимальные значения величины
" I*pI> \Ур\ среди всех путей распространения, существующих в данный момент
времени и в данной области пространства. Отметим, что в общем случае этот
путь может оказаться «гибридным» и содержать р-ю координату разложения
вещественной компоненты импульсной переходной характеристики и я-ю
координату мнимой компоненты.
Развитием модели (2.59), которую назовем адаптивной, поскольку она
изменяется во времени и в пространстве, .можно считать представление канала
двумя,-тремя и так далее наиболее «весомыми» путями распространения.
С позиций традиционных измерений, пожалуй; наиболее непривычно
выглядит модель канала, которая делает ненужными- сами измерения. Это модель,
игнорирующая флуктуации характеристики канала я предполагающая, что
стохастический каиал полностью описывается своей регулярной составляющей, т. е.
разложение характеристики имеет вид /
52
hV> i» г) = ^(тхь+\твк)щ^, \> r).
к
(2.60)
В гл. 4 будет показано, что в ряде ситуаций использование аппроксимации
реального стохастического канала моделью идеального канала является вполне
Оправданным и обеспечивает высокую помехоустойчивость приема дискретных
Сообщений, близкую к потенциально достижимой.
Завершая рассмотрение дискретных моделей канала, коснемся вопроса о
Свойствах среднестатистических характеристик координат разложения.
2.3. Статистика второго порядка координат
' , разложения характеристик канала
Допустим, что (2.18) есть разложение Карунена—Лоэва случайной функции
k(t,t,r), имеющей среднее значение Mi{h(t,%tr)}=Mi{x(t,fe,r)},-t~i Mi{y(t,i£,r)}
О Корреляционными функциями компонент
Вх (f. Г, g, g\ f, r')= 4 (t* t, r)Rx{t, t, \. I', r, r')7
By{t, f, \, I', r, r') = o\{t, I, r)Ry(t,t', lr I', r, r'),
(2.61)
We G2xiV)(t, £, r)=BX{V)(i, t, %, J-, r, f)—дисперсия квадратурной компоненты.
В случае стационарного однородное© поля
°2 <!»('» £' г) = 0*
J* (г,>' 1 (2 621
*x(y)(t,t\l, I', г» r') = Rx(y)(t-t>, |_g%r-r').| 1'°'
Далее, будем в основном рассматривать однородные стационарные поля.
Квадратурные компоненты характеристик канала будем считать некогерент-
Ными в обобщенном смысле, т. е. некоррелированными в совпадающие моменты
времени, на одинаковых частотах, в одних и тех же точках пространства. Это
Не является сильным ограничением используемой статистической модели, поь
икольку не делается допущения о равенстве дисперсий квадратурных компонент
(допускается асимметрия по дисперсиям а2х¥=\(У2у).
Нетрудно вычислить математические ожидания координат разложения (2.18):
mxk = M1{xk}=^M1{x(t, I, r)}<pk(t, £, r)dtdldrt
A
myk = Mi{yk}=:§M1{y(t, g, г)}щу, I, r)dtdldr.
(2.63)
Для стационарного однородного поля в силу ортонормированности функ-
ИНЙ <р и <р из (2.63) следует
mxk = tnx, тук = ту. (2.64)
Дисперсии координат разложения (2.18) равны собственным значениям
colli йетствующих интегральных уравнений:'
xk '
0{хк}=Щ, olk = D{yk} = Xk>
tM {otk} и {Хк} — совокупности собственных чисел уравнений:
«PC S. r) = §Bx(t,.t\ g* g\ r, r')q>(f. g\ r')di'dl'dr't
'»?'(<. Er г)-Jbv(*. *', g. g', г,г')ф>\ E, f)di'dl'dr'
A
(МШветственно. *
(2.65)
(2.66)
53.
. . Нетрудно показать, что координаты разложения Карунена—Лоэва взанмно-
некоррелированы, а в случае гауссовских полей статистически независимы.
Разложение Карунена—Лоэва наиболее полно изучено для случайных
процессов, описываемых функциями одной переменной — времени {18, 31, 44}, однако
имеются развития теории на случай функций нескольких переменных {82, 83, 89].
Здесь уместно отметить ■ некоторые свойства собственных функций н
собственных значений интегральных уравнений типа (2.66), являющиеся характерными
именно для функций нескольких переменных.
Монотонность собственных чисел (82, 83]. Пронумеруем собственные числа
ур-иня (2.66) в порядке убывания и^Хг^5 ■ ■ • =3=0. Подчеркивая зависимость
собственных чисел от области Л, будем писать иь!(Л). Тогда собственное
значение Кь.(Л) есть монотонно возрастающая функция размеров области Л, т. е.
к4(Л)<ка(Л'), Ad Л'. (2.67)
Наибольшее собственное число (18, 82]. Пусть x(t,b)—однородное
стационарное поле со спектральной плотностью [82]:
да
. ■ . ,'. &("»)- [ ВхШ)е~1Ш}а> <$■ .' * < (2-68)
Наибольшее собственное число хЦакЬ(А) удовлетворяет неравенству
Ииакс(Л)'<шах5х(ш)- (2-69)
'• Асимптотическое поведение при расширении области А. Рассмотрим
стационарное однородное поле на бесконечной области' 1 • * ' ' i
Хф
(t, I, г)-JJj Д,(*~<', g-E'. '-г')ф(''у g\ r')dt'dl'dr'„ (2.70)
GO
Решение интегрального уравнения может быть записано в виде -
Ф(^. S» O^explice^+itOg g+iwgr}. . (2.71)
Таким образом, комплексная экспоненциальная функция является
собственной функцией интегрального ур-ния (2.70). Подставляя (2.71) в (2.70),
вычислим значение собственного числа: ,
' ' f Г I
00
и- |^№)е-'2яс2ш dQ^Sx&t (2.72)
00
т. е. собственное значение для данной векторной частоты равно значению спек-
тральйой плотности на этой частоте. Видим, что множество собственных
значений и собственных функций стало несчетным, т. е. вместо разложения в ряд
(2.18) практически имеем дело с интегралом. Соображения удобства
использования собственных функций (2.71) и простоты вычисления собственных чисел
(2.72) заставляют использовать их для приближенного разложения в ряд
выборочных функций однородных стационарных случайных полей, заданных на
ограничений области: —Г/2<^<Г/2; ~-Т/2^£,^Т/2; -J?/i2sgrs£i?/2. Дри этом
можно выбирать собственные функции из соотношения
yk(t. g, r)-exp|i2n —*+12я_-Е+*2в } ^ (2 73)
этношения » | .'
(п m i \
Т'Т'-Т)" ■ (2Л4)
54
В ф-лах (2.73), (2.74) мультииндекс k соответствует' тройному индексу тпЬ.
Промежуточный случай ограниченных областей по одним переменным н
неограниченных (практически) по другим, например —оо^^^оо; —Т/2^%^Т/2'„
KI2^r^R/2, не ведет к принципиально новым .результатам: разложения
функций оказываются комбинированными.
Факторизация, Для сокращения записи будем рассматривать случайное поле
мух переменных х(и, v) с корреляционной функцией Вх(и—и', v—(и')=Вх(х, р)..
вели функция двух переменных Вх(х, р) может быть записана в виде
произведения двух функций одной переменной (факторизована)
Bx{x,9) = Blx{x)Bxl(9), (2.75>
ТО собственные функции и собственные числа также факториэуются:
<pft(u, о)=ф!£ («)({£>), *"=***"* : (2-76>
ГДв собственные функции ф1 и, собственные числа к1 соответствуют
корреляционной функции Вгх(х), а функции фп и числа и11 соответствуют ВП*(Р)«
Свойство факторизации уже использовалось выше. Доказать его можно пу-
т»М подстановки {2.76) в интегральное уравнение общего вида типа (2.66).
Дли иллюстрации рассмотрим пример, имеющий практический смысл Пусть
Нор реляционная функция поля описывается выражением
Bx{u — u't о — о')"=сг|ехр{— аи\и — и'\ — а„|о— о' |}. (2.77)
Корреляционной функции (2.77) соответствует спектральная плотность
SK, ^^^^-г-^т- t (2-78)
К + К %+«!
Интегральное уравнение, определяющее собственные функции-, имеет вид
U V
\ \a2xexp{—a[c\u—u'\-J-av\v--v'\'}<f(u',v\)du'dv'='>«f(ttilv).
Непосредственной подстановкой легко проверить,, что собственные числа и соб-
|цвниые функции факторизуются:
Ф* (и, v) . ф! (и) ф^1 (о), xft - х' $ ахг (2.80)
и
cos b(u
\m {18]
г
m ("):
um[j , *п°М\1/2
\ "' 2btU
sin b{U
i
Sin 6ft/ \l/2
i —- нечетно.
t -*- четно,
„i/» Л -JEM.)
.rdf^l/^ (2.81)
Причем значения bt определяются нз трансцендентного уравнения
(tgbU+^-\(tgbU^—-\^Q ■ (2.82)
N определяют собственные числа
■к] «*2aJ (a2u+tf) , <= 1» 2П . « , . (2.83)
is
55
Аналогично вычисляются собственные числа к11 и собственные функции
<чрп(и), соответствующие второй переменной., Видим, что собственные функции
являются синусоидальными, заданными на части 'плоскости, причем частоты их
не являются кратными друг другу. • Собственное число, соответствующее &-й
собственной функции, равно значению энергетического спектра на частоте
"&-й синусоиды.
/ .
2.4. Измерение характеристик канала Л
при использовании тест-сигналов (гауссовское поле)
Если при обычном измерении процессов вся априорная
информация заключается в многомерном распределении вероятностей
измеряемой функции или в некоторых числовых характеристиках
этого распределения, то при идентификации канала этих сведений
недостаточно. Необходимо также иметь сведения о входном
воздействии канала, по отклику на который можно судить о
параметрах канала. Следует рассматривать три различных класса
входных воздействий — сигналов, по которым осуществляется
измерение канала:
-~ тест-сигналы (они же зондирующие);
— информационные сигналы, соответствующие передаче
дискретных сообщений;
— информационные сигналы, соответствующие передаче
непрерывных сообщений.
В первом случае в последовательность информационных
сигналов вводится с определенным периодом сигнал \s(t) известной
•формь!, не несущий информации и служащий для измерения
параметров стохастического канала и организации работы приемного
устройства (адаптации). Вход канала является
детерминированным процессом.
Во втором* случае на вход канала поступает
последовательность сигналов известной формы si (t), I = 1,М, каждый 'из которых
несет соответствующее дискретное сообщение и одновременно
используется для извлечения информации а состоянии канала. Вход
канала следует рассматривать как квазидетерминированный
процесс вида
м
s(0 = J в,5/(/), 0<t<T, (2.84)
1=1 .
где 6г—случайная величина, принимающая два возможных
значения Йг=|(1, 0), причем
ЗЧо, = 0}=1~р(а,),
«
где p(ai) —априорная вероятность t-то сообщения.
Наконец, в третьем случае на входе канала имеется стохасти
чеокий процесс, в обШ'ем случае 'нестационарный.
(2,85)
5G
Поскольку рассматривается передача дискретной, информации».
ТО измерение параметров канала при стохастическом! входном сиг-
НМле не анализируем. Отметим лишь, что отправным пунктом для
измерения импульсной переходной характеристики канала в этом
случае может служить соотношение [64]
Вхд(?,Г)= ]h{t',l)Bx{t,t)dl, (2.86>
—со
1Д6 Bx(t,' t')—корреляционная функция входного, сигнала;
fl«v('t t')—взаимокорреляционная функция входного и выходного
Процессов.
В этом параграфе будем рассматривать измерение
характеристик канала посредством тест-сигналов. Предположим, что в нашем,
распоряжении имеется полный объем априорной информации
^относительно измеряемых функций. Прежде всего рассмотрим слу- >
1КЙ гауссовской статистики канала.
Рассмотрим задачу измерения координат разложения
характеристик канала с позиций оценки параметров. Наблюдению до~
бтупно пространственно-временное поле
z{t,r) = u(t,r)-\-n(t,r), - (2.87),
1Де n(t, г)—пространственно-распределенная помеха, а
N
и {t, г) = £ xh sh (<„ r) + УгХ (?, г). (2.88).,
*=i
Байесовская оценка координаты разложения при симметричной"
функции потерь и в предположении унимодальности апостериор-
МнА плотности оцениваемого параметра и ее симметрии
относительно моды должна в соответствии с общим подходом [64] вы--
ИЖ'Ляться из соотношения
л
vr = J" —J4 w™ fv 12 С rW dv> (2-89>'
2N
1Д0 v = {vr} ='{хи х2, ...» *n, Уи Уг, --, Уп} —вектор измеряемых па-.
ряметров.
Апостериорная плотность №>2Ar[*v|z(£, r)] вычисляется из
coin ношения
w2n [v I z (t, r)] = ■■ , (2.90>
Со ,, оо
J ... j w2N(y)l[z(t, r)|v]d~v
—со —со
Ik
(ДР M)2jv(v) — априорная плотность; l[z(t, r)v]—отношение
правдоподобия.
57 -
, Пусть оцениваемые параметры (координаты разложения)
представляют собой совместно гауссовские величины с многомерной
плотностью , , ' .'
а>2# (v)
1
2я
N
(det iCv)
1/2
•exp
1 Г-
vf^'lT-
■ v)] . (2.91)
{ рели аддитивный шум также описывается моделью гауссовско-
го случайного поля с нулевым средним и корреляционной
функцией £«,,(& ¥, г, f), то отношение правдоподобия может быть за-
лисано в виде
т я г n
~ X
(2.92)
Цг(t, r)|tj - exp J j' ^xhvh(t, f) + yhvh(t, r)
:x
N
z{t,r)
■%2-*dt. *) + ■%■%<!. Г)
i=l
dtdr
Здесь t)h'(t, г) и vh(i, г) определяются из решения спектрального
уравнения, на котором остановимся лиже. Подставляя (2.91) и
(2.92) в (2.90) и выполняя «ад переменными интегрирования
ортогональные преобразования (поворот осей координат в 2iV-Mep-
ном пространстве), нетрудно аналогично [64] получить
выражение для байесовской оценки координаты разложения в
рассматриваемом общем случае. Здесь это выражение не приводится
ввиду его громоздкости. Отметим только, что алгоритм обработки
сигнала для вычисления оценки является нелинейным, а оценка
координаты, соответствующей >k-uy пути распространения,
определяется из решения системы 2N алгебраических уравнений. Из-за
сложности, оптимальная байесовская оценка вряд ли может
рекомендоваться для практического применения в' устройствах,
измеряющих канал. Для получения практически полезных
результатов целесообразно ввести ограничение, ориентированное на
упрощение алгоритма оценки, и допустить, что корреляционные
свойства тест-сигнала позволяют разделить пути в месте приема:
N N
Т R
Т R
X £ 1фк *с ** j J Si {t' Г) Vh {t> T) M dr + У% Ук 11 *{t' Г)1°к {t' Г) ^ dr +
fc=lft=t 0 0 0 0
f R T R
+xt УьЦ^ V. r)vh(t, r)dtdr + yiXh^ st (t, r)vh(t, r)dtdr^Q.- (2.93)
о о
о о
Хроме того, допустим, что в условиях селективных замираний
сохраняется ортогональность сигнала и его сопряжения по
Гильберту
Т R T R
J J sft (h r) vh (t, r)dtdr^^ 7k (t, r) vk (t, r) dt dr = 0. ., (2.94)
о о
о о
58
Условия (2.93), (2.94) целесообразно заменить несколько
более жестким, однако более ясным конструктивным условием
TR Т Л
J J st (f, r) vk if, r) dt dr = J J 7, (*, r)7ft (*, r) dt dr = 0, (2.95)
о о
о о
Которое для краткости будем именовать условием полного
разделения. Можно сказать,'- что ур-ние (2.95) определяет класс
сигналов, позволяющих оптимально измерять характеристики
пространственно-временного стохастического канала. Действительно,
•wra используемые тест-сигналы не позволяют удовлетворить
(2.95), то алгоритм оптимальной оценки оказывается настолько
Сложным, что техническая реализация алгоритмов должна быть
Поставлена под сомнение. Даже в случае неточного
удовлетворения условия (2.95) целесообразно при построении алгоритма
оценки игнорировать неполное разделение путей. Ниже будут
вычислены и проанализированы характеристики алгоритмов оценки
При невыполнении условий (2.95).
Полагая, что выполняется условие полного разделения путей
(2.95), получим из (2.89) Оптимальную байесовскую оценку
координаты разложения:
т н
л
°** 11г V' г) щ У' T)mdrJf m^
о о
7 R
Л
I+a2*J J**C» r)vk(ttr)dtdr
о о
Т R
°2* J ]"*('» r)7k[t, r)dtdr + myk
о о
Т R
+ <4[ J «С ')»*(<. r)dtdr
(2.96)
о о
Мидим, что в случае разделения путей в месте приема байесовские
оценки гауссовских координат на фоне гауссовских помех
являются линейными.
Остановимся несколько подробнее на величинах и функциях,
«ходящих в оптимальные оценки .(2.96). Функции vk(t, r), >vh(t, r)
ипляются решениями интегральных уравнений:
т «
j | Вп (t, f, г, г') vk (/', г') dt' dr' *= sh {t, г),
о о
т R ~
j J Вп (t, f, г, г') vh (f, г') dt' dr' = 7к (t, г)
о о
(2.97)
59
и определяются выбранной мрделью канала и корреляционной
функцией помехи. В случае «белого» шумового поля, когда
Вп (/, Г, г, г') = -f- а (( - Г) 6 (г- г'), .. , (2.98)
из (2.97) получаем'
он <t, r)-~sk (f, r); Hh(t, r) = -£-7k (t, r). (2.99)
Форма преобразованных опорных сигналов vk(\t, r), вообще
говоря, сложнее, чем форма исходных сигналов Sk(t, г) (это
справедливо и для их гильбертовых преобразований). Действительно,
даже если сигнал Su(t,. r) допускает разделение пространственной
и временной переменных
SK(*,r)~sk(/)<tf'(r), (2Л00)
то сигнал vk(\t, г) аможет не допускать такой факторизации. Для
того чтобы опорный сигнал \Vh(t, г) допускал разделение
пространственно-временных переменных, помимо выполнения условия
(2.100), достаточно, чтобы корреляционная функция поля помехи
была пространственно-отделимой Вп (it, t', r, r) = Вп1 (t,f) BnJI (г,
г'). В этом случае каждому из интегральных компонент (2.97)
соответствуют два интегральных уравнения:
, JB'n(t,t')vk(f)dt'~sh(t),
о
о
и соответственно
«kM = B.N'M. '(2-102)
Здесь индекс к соответствует двойному индексу п и i. Нетрудно
показать, что для узкополосных передаваемых сигналов
sh (t, r) = Ак (t, г) cos [©„ t -f Фь (t, r)J,
где Au(t, г) и фь(/, г) г- медленно меняющиеся функции,
сигналы iUft (t, г) и vu (t, г) так же, как и сигналы sk (t, г) и Sk (U г)
связаны преобразованием Гильберта по переменной t. Поэтому, в
частности, для случая факторизации переменных
Mt,r) = vn{f)^(r). (2.103)
С точки зрения упрощения реализации алгоритмов оценки
разделение временных и пространственных переменных является
исключительно мощным фактором, поскольку позволяет разделить
пространственную и временную обработку. Более подробно
вопросы реализации алгоритмов пространственно-временнен обработки
рассмотрены в следующей главе.
60 *
\
{2ЛЩ
Основной практический интерес представляет рассмотрение
лучая малых значений интервалов, корреляции шума во времени
tiopm и в пространстве ркор.пг по .сравнению :С « интервалом ана-
нин:
.Т1хт9.щЬ> Г, . i?/pK0pi.m t> 1- (2-104)
Выполнение условий (2.104) позволяет [22, 109] перейти в
(ЧЮ) к бесконечным пределам интегрирования и записать
0xfc f Uit, r\vf.(t, r)dtdr-{-mxk.
A "L < i, v ' * < *»
—oo —да ^
j/ft = ; '
A
Ун**
—00 —OO
00 GO
0^ 1 J г С» ^A С - r) <# *■ + "fyft
—OP —<P ""
у О» OO
(2.105)
J
В соответствии с теоремой Парсеваля [92, 109] выполняют-
I условия
to оо во во
J ]sk{t,r)vh{t,r)dtdr~ j" pk(t,r)vk(t,rldtdr, (2.106)
—оэ —да r f —ер — oo . *
I) дальнейшем будем приближенно считать выполненными ус-
l шин (2.106) и при конечной области интегрирования. Введем
Пншпчение
<***- J jM'.^p, r)dfdr.
(2.107)
М i |учае белого шумового толя е4=—■ \ \ s^(i, r) dtdr опреде-
I и I отношение энергии сигнала в k-ы пути распространееия к
ни 1ральной плотности мощности помех. Полезно ввести цара-
М 1рЫ
2Кн^^Л', Ч*в°йЛ> (2.108)
фмкп'ризующие отношение сипнал/шум для ортогональных ком-
1ННИП. ■ I , ■ , . .
Ill (2.105) вкдно, что основной операцией, которую требуется
тиимпить .для вычисления оценок координаты, разложения, яэ-
1Ш(н вычисление взаимной .корреляции между доступным на-
fl tin ii'imio полем и опорным полем.* Эта операция может быть реа-
t
лизована с помощью пространственно-временного согласованно
фильтра. Поскольку такие согласованные фильтры подробно ра
сматриваются в гл. 3, отметим здесь только, что если имеет<
фильтр с характеристикой
gk{t,r)~vh{T-t, R-~r), (2.1C
то при подаче на вход его поля z{t, г) «на выходе в момент вр
мени Т при пространственном интервале наблюдения-./? мож)
получить функцию корреляции (см. рис. 2.3)
h(T,R)= J §z(t,r)vk(t,r)dtdr.
(2.11
z(t,r)
у !„ЪЪ
шю
Это .позволяет изобразить оценив
тель координаты разложения в вщ
показанном на рис. 2.4.
Перейдем к рассмотрению бол
общего подхода к измерению коорд
нат разложения характеристик кан
ла, отбросив жесткое допущение о гауссовском характере изм
ряемых функций и помех. .
Рис. 2-3. Пространетвангаа-
временной фильтр
гЛгУ
Э VH(T-t,R-r)
Отсчет в
момент t*T
-0
м-
Рис, 2.4. Оцанявагель координаты разложения,
построенный ша базе простпраяственио^в-ременябго
согласованного фильтра
2.5. Линейное измерение координат разложения характерист
. канала с использованием тест-сигналов
Задаваясь различными законами распределения координ
разложения характеристик канала, можно получить гамму алг
ритмов оценки из класса байесовских алгоритмов. Каждый
них будет наилучшим в рамках соответствующей ему вероятно
ной модели. Однако практическое использование байесовских а
горитмов измерения характеристик канала вряд ли возможно
ряду причин. Во-первых, обычно вероятностная модель оценива
мых, функций и помех точно.не известна. В этих условиях бол
шую роль играет исследование устойчивости байесовского алг
ритма по отношению к отклонению реальных вероятностных ра
Лределений от модели. И может случиться так, что при мал
отклонениях от модели байесовский алгоритм будет, иметь хара
теристики, далекие от ожидаемых. Во-вторых, как показывают н
которые примеры, байесовские алгоритмы оценки при негауссо
ских оцениваемых параметрах- оказываются весьма и весьма ело
62*
■ кыми jj требующими большого объема априорных данных. ,Ука-
', «иные причины заставляют закладывать в основу
построения'алгоритмов оценки принцип, отличный от используемого при байе-
юиском подходе. В частности, в критерий качества следует ввес-
» 1И простоту реализаций'алгоритма:'Поэтому в первую очередь в
> »гой связи имеет смысл, говорить о линейных алгоритмах оценки.
о Кроме этого,' в гауссовском" случае байесовские оценки являются
Шейными. Поскольку, как показано в предыдущей главе, многие
йвналы имеют вероятностные модели компонент, близкие к гаус-
j i ейским, можно ожидать, что именно линейные опенки окажут-
щ близкими к оптимальным в широком классе каналов.
Нелинейным методом оценки в последнее время уделяется мно-
3 1У внимания [64, 66, 100, 117], и применение нелинейных оценок
е х чадачах „обработки пространственно-временных сигналов требу-
,—щм:ерьезного исследования, которое» выходит за., рамки .данной
4 КНИГИ, it 1 . * S-, i ' ■ , ■
i Линейные оценки координат разложения характеристик кана-
а ал будем искать в виде , ■., ^ ' •
J A >т к, ■ t < ,<
xk^Ak^z{t,r)^k(t,r)dtdr + Bhr
р о - < '
' л т R
х t
Для оптимизации оценок (2.П1) следует найти оптимальные
j И имения коэффициентов Ah и Вь (или 4k и Ви) и вид функций
||(|(^г) (или -tyn(t, г)), доставляющие экстремум показателю
качества. Б условиях решаемой здесь задачи целесообразно исполь-
шнпть критерий минимума среднего риска при симметричной
% функции потерь, т. е. искать указанные величины и функции из
1 10ПИЯ
{2.111)
n(x,x)=*F(x — x), (2.1 J 2)
l If /■' — четная функция; П — функция потерь.
В приложении J показано,, что при наложенных ограничениях
I шнпшые. оценки при симметричной функции потерь) средний
|иик не зависит от вероятностных законов распределения оцени-
и И'мых параметров и помехц. Вид оптимальных линейных оценок
i ишсит лишь от двух первых статистических моментов измеряемой
функции и шума и инвариантен к их законам распределения. Поэ-
тму оптимальные в рамках гаусеовской1 модели байесовские (ли-
и иные) оценки, полученные выше,' остаются оптимальными в
I мисс линейных'бценок и;при,любых* других^ вероятностных мо-
|i ilflX оцениваемых параметров и помех.
Приведенное рассуждение предполагает выполненными усло-
intii полного разделения путей в месте приема, ибо лишь в этом
i мучпе байесовские оценки гауссовских координат линейны. Ис-
пользуя методы функционального анализа, можно также показат
[90], что оценки.
т и
Л
Л
о о
"*A
0 О
М-2/&
. (2.1 К
оптимальны в классе всех возможных линейных оценок и при не
выполнении условия полного разделения путей (2.95).
Подчеркнем еще раз, что отличительной особенностью оцено*
(2.113) является то, что они получены в'не предположений о ка
ком-либо конкретном законе распределения параметров и адди
тивной помехи.. Это означает, что для оптимального линейног
измерения импульсной переходной характеристики канала с рас
сеянием достаточно знания двух первых ее статистических момен
тов и корреляционной функции шума. Значение этого факта дл
теории и практики (передачи сообщений по каналам с рассеяние
трудно переоценить.
В этом разделе говорилось об измерении характеристик кана
ла, отвлекаясь от конечной цели" измерения, заключающейся в ис
пользовании оценок координат для организации работы приемно
го устройства. Однако специфика конечной задачи накладывав
неизбежный отпечаток на алгоритмы измерения. Прежде всег
это связано со скоростью изменения-параметров канала во вре
мени. Нужно так организовать оценку характеристик, чтобы имет
возможность использовать полученную в результате измерения ка
нала информацию в течение интервала времени Т, отведенного н
передачу хотя бы одного информационного сигнала.
Вообще говоря, измерение канала с помощью тест-сигналов
передаваемых последовательно с информационными (параллель
ная передача зондирующих сигналов рассмотрена ниже), имее
смысл лишь в каналах с неселективными (медленными) во вре
мени замираниями, когда
ткор>Г. (2.114
Для канала с медленными замираниями удобными являютс
представления, основанные на модели линии задержки во времена
А«,г> = 2][ж(г)-ИУ(г))в(Б--2-) (2.115
т
и на модели «линии задержки по частоте» (в угломестных
координатах)
. G4
U1f,Q)~x(f, Щ + iyif, ft) «JJ [*(<>)+ W)]d(/-.-£-). (2.116)
то
В первом случае измеряется импульсная переходная
характеристика, во втором--передаточная функция.
Остановимся на линейном измерении в канале, описываемом
Моделью (2.115)г полагая, что выполняются условия (2.104),
Жнволяющие рассматривать пространственно-временную область
Ийблюдения как бесконечную. Сигнал в &-м пути распространения
имеет вид ■■ '
Su(t,r}-Sk(t^^<p»{r), \ (2.117)
Икорное поле может быть записано в виде
vh{hr)~vm(t)<pi'{r), ' (2.118)
N таким образом-пространственная обработка отделяется от
временной. Опорный сигнал v-m (t) определяется из решения
интегрального уравнения
00
|^(*~ОМПЛ'«*('--у). . (2.П9)
— СО
Hlliopoe может быть успешно решено в частотной области [22,
M1IJ]. Наиболее простой путь реализации алгоритма обработки во
измени усматривается в применении обеляющего фильтра'с ха-
(Шкнфистикой 'G(f), определяемой из уравнения
\G(f){*N(f) = Nj2, (2.120)
MP N(f) —энергетический спектр шума; N0/2 — спектральная
II Низость мощности эквивалентного белого шума.
( гцуктурная схема рценивателя приведена на рис. 2.5.
1'пссмотрим подробнее измерение отсчетов передаточной
функции кпнала. Дисперсии квадратурных компонентов передаточной
ф\нкции определяются выражениями
Gx (и, ©g) = Мг { [х (со, cog) -r- x(co, cog)]2} , j
Ga (©, ©g) = M, {[у (©, ©g) — #(©, ©g)l2} , J
I |и *(ш, cog), z/(©, ©g)—средние значения квадратурных компо-
lli и mil,
Иыражения для оптимальных линейных оценок и отсчетов пе-
liPilmочной функции можно получить, действуя так же, как и при
но 1УКЧ1ИИ оценок (2.113), Обозначая для краткости х (,©„*, «jgP) =
I (ш, ©g); у (tow d)gP) = у (<co, <cog), запишем эти оценки:
» НУ 65
Ф,г)
Фг)
IieL
=3
1
0-^j „ | ^2
4 . ^<х)_» и
* вф
Рыс. 2.5. Оцениватель координат, выполяевный на
базе линии задержки
A Re [S (со)] Re [ Z (со, cog)] + Im [ S (to)] Im [ Z (a>, щ)\
х[<в, cog;= — f-
lS(m)l + 6,(A, «*)
JT ((B, COg§
-c>(","<) ls(m)la
^ Af(co, <ag)
А Ке{[ s (со)] Im f Z (со, cog)] + Im [ S ((a)] Re [ Z (m, Wg)J
' ' ,. p N(». *>g)
У(м. <Qg)
GHWjWg)
|5(ш)Р
J
(2.122)
~ iV(co, cog)
Как отмечалось в предыдущей главе, в однородном канале
дисперсии квадратурных компонентов передаточной функции
одинаковы: Gx((a, cog) = Gv(<y, Mg)=G((fl, <og). В этом случае,
объединяя оба уравнения, входящие в (2.122), получим выражение
для оптимальной линейной оценки отсчетов передаточной функции
канала
л
tf(CU,fi>g)>=
1
1 +
N{4>, (Qg)_
G(co, wg)|S(CD)|a
Z((Q, <Bg)
S(co)
H (со, cog)
1 +
G(», u>g)lS(№))2
N {&, mg)
(2.123)
где Я('й), cog) =Jc(cog) + i#(<o, cog) — среднее значение
передаточной функции канала,
-'«Если среднее значение передаточной функции И(хо, u>g)=0, из
(2:123) следует > ,
Д 2* (СО, Wg)
Я (СО, CDg) =
1-
iV(№, COg)
G(cb, <Bg)|S(«>)|2
66
S(»)>
(2.124)
Сопоставляя (2.124) и (2.7), видим, как выбраны функция и па-
риметр регуляризации при линейной оценке передаточной функции
копала. ■
Выражения (2,123) — (2.124) допускают ясную физическую ин-
И'рпретацию. Оптимальная линейная оценка отсчета передаточной
функции на каждой из частот пространственно-временного спект-
р» представляет собой сумму взвешенных априорного среднего
Н[ю, icog) и вычисляемой по наблюдаемым данным «классиче-
i коп» передаточной функции Z{m, (ag)/S(m). На тех спектральных
i оставляющих, где средняя интенсивность помехи по сравнению
hi средней интенсивностью полезной составляющей наблюдаемо-
lii поля велика //(со, cog)/|[G (и, ag)\S (>со)|2]>1, в качестве оцен-
I и передаточной функции принимается ее априорное среднее, в
обратном случае N (со, togJ/fG (a>, icog) |S<(a>) |2]<1 в качестве оцен-.
И 1С передаточной функции принимается вычисляемое по
наблюдаемой реализации «классическое» решение-—отношение спеКтрбв
Плодного и выходного сигналов. Если интенсивность /помех вели-
I и, а среднее значение передаточной функции мало, оценкам
|12 123) —(2.124) может быть дана еще одна физическая трактов-
I i Полагая в (2.123) N(g>, «og)/G(<d, cog) |S(co) ]2>1, получим
Л
Н (a, COg) :
G(co, cog)
N\a,^ Z{P> ®«)5*И + Я(а. «>*)• (2-125)
Запись (2.125) позволяет говорить о том, что оптимальная
оценка передаточной функции может быть получена на цыходе
мшенного пространственно-временного фильтра, согласованного
I передаваемым сигналом. - .л
В заключение'рассмотрим характеристики полученных оценок.
Характеристики' оптимальных линейных оценок. Безусловные
iредкие и дисперсии оценок (2.113) легко могут быть получены
и иидс: t
Ml{4)'*mxk +
I
N
*+2А** h
рФЬ
2А|„«да,
хр
'jr»>-°£*
N
4k +X\r*k '2h*kp{\ + 2hlkp)
N
Л It Ш = тУк + 1 2 > W^k 2&2 yhp m№,
1 + 2hyk *",,
"Ы-"Ь
2hl,
+
N
(2.126)
1 i • <
67
В (2.126) введены обозначения
•2*2» -4
ЪР<*1Р<
2.4*».'
d^alP'
Т R
dkP e J j sft (*, r) up (*, r) dt dr
о о
(2.127)
Анализ (2.126) показывает, что при выполнении условия
полного разделения шутей в месте приема оптимальные линейные
оценки являются несмещенными; дисперсии оценок
асимптотически (при hzXk, h2yh-**oo) стремятся к дисперсиям оцениваемых
величин. При этом, если использовать результат [64], условные
дисперсии оценок
Л Л
D{xh\xh}, D{yh\yh}
стремятся к нулю. При невыполнении условий полного
разделения путей оценки (2,126)'являются смещенными и их дисперсии
не стремятся к дисперсиям оцениваемых величин вне
зависимости от отношений сигнал/шум (величий h2xu, №yh) и условные
дисперсии оценок не стремятся к нулю.
В качестве примера рассмотрим случай m.xh=mx; о2Жй.=1а2ж,
fi =; 1, N, Примем, что величины duP убывают как члены геометри-
ческой прогрессии' с показателем <?<1, причем dk=<d; dfP=dqP;
Из (2.126) получим выражение дл^я смещения
ч-
ч-
2mxdal x^qN
q
l + 2a2xd
2mx d ax
l + 2a2d 1— Я
N.
(2.128)
и дисперсии оценки
D{xh}
40* d?
(l+2crfd)
D{xh}= al
2a\d
1+20^4
I~^"
2 \_ф
2o\d
+
2c* d
4-
2ald
1~9Л
(l+2oxdf 1-Я
' +
+ ■
(1 + 20*0*
l+2a*d (1+2о^)2 1-9
N
(2.129)
68
При увеличении отношения сигнал/шум (d-*-oo) из (2.128),
(2.129) получим (для N=f-oo)
*l = Jr£-m* »W = <4l + Jr^r\ (2Л29)
шкуда видно, что пр:и плохом разделении путей в месте приема,
когда величина q существенно отлична от 0, смещение оценок
может достигать больших значений, а дисперсия оценок может быть
НРСша далекой от дисперсии оцениваемой величины.
Характеристики оценок передаточной функции. Легко видеть,
ЧК) оценки отсчетов передаточной функции (2.123) являются
несмещенными. Безусловная дисперсия оценки передаточной
функции на некоторой частоте ico = 2nf вычисляется несложно и имеет
«ИД
£>{#(*), *)„)} = G(w, *>g) tOC». ^)tS»Pl/^(a.,mg) {2ЛЩ
l+[G((u, o)g)|5(w)P]/.V(a), ©g)
Соответственно условная дисперсия определяется формулой
D {Н (со, cog) | Н (со, ©-)} - Р("'„У—г, (2.131)
1 Wl G(o>, wg)
Из (2.131) видно, что на тех составляющих дространственно-
йррменнбго спектра, где средняя интенсивность полезного сигаа-
1й существенно превышает среднюю интенсивность помехи
</((D, Wg) |5(ico) |W(co, 6og)>l, дисперсии оценок отсчетов переда-
Iникой функции близки к дисперсиям оцениваемых величин.
Далее будем интересоваться интегральной характеристикой
мчсства оценки — среднеквадратической ошибкой оценки переда-
(нчпой функции (в целом). Если измеряются NF отсчетов пере-
Ill тчной функции, по оси со и Ле по оси to^, то (средняя мощ-
»Мн и» ошибки) измерения Определятся из соотношения
NF W8
2 2
NFNek 2j U \ + \N{v>k> (OgP)/jS(cDft)pG{a)ft, wgp)}
If ЛГ
ft»—__p=„_
(2.132)
Песьма распространенным является способ «косвенного» изме-
|Н»ИИН отсчетов импульсной переходной характеристики — через
миц*гы передаточной функции с использованием дискретного пре-
мАриювания Фурье (ДПФ). Причем в последнее время для вы-
MMi Кения ДПФ используется алгоритм Кули-Таки [93],
получивший название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Вычисляя
din НИИ N отсчетов h (|p', <agi) через оценки отсчетов функции
//(«ц, шя«), при ломощй ДПФ можно реализовать вычисление по
•(•мамуле
69
д 2 д к ' — »2rt-£- A
&(£*.<%) = J H^^si)e '" ■ (2-133
~~ I, 2
При этом полагается, что отсчеты по оси частот расположены
равномерно с интервалом Л/.= 1/2Г, а по оси времени-—с интер-
валом At = 1/2F, т. е, %р = pAt, р = —N/2, N/2; iagti=2nkAf, k=
= — N12, Nj2. ' ♦ •
При таком способе измерения отсчетов переходной
характеристики все они, как видно из (2.133), имеют одинаковые дисперсии
D {h (lp, cogi)} - ^ D& (**> ffl*<)>- (2-134)
ft=—iV/2 ч
Из (2.134) следует, что для дисперсии оценок отсчетов
переходной характеристики, вычисляемых из оценок отсчетов
передаточной функции, выполняется соотношение
inf D{h(lp, a>gi)}> sup D{H(<ak, a>gi)}. (2.135)
—N/2<p<N/2 . ~N/2<k<N/2 ,
Неравенство (2.135) говорит о том, что вычисление оценок
отсчетов одной системной функции канала через оценки отсчетов
другой является далеко" не'лучшим способом построения бценок.
Заканчивая "рассмотрение линейных оценок координат с
помощью тест-сигналов, остановимся кратко на вопросах измерения
характеристик канала в условиях априорной неопределенности и
связанных с- -ними вопросах измерения среднестатистических
параметров канала,
2.6. Неполная априорная информация
и измерение среднестатистических параметров канала
Широкому'внедрению в практику результатов теории передачи информации
в большой степени "препятствует' так называемая априорная неопределенность
{64]. Она заключается в отсутствии полной ' априорной информации об оцени
ваемых процессах и помехах. В случае линейного измерения характеристик ка
нала .априорная неопределенность выражается в неполном знании требуемых
для построения оптимальных алгоритмов линейной оценки (2.113) сведений о
первых двух статистических моментах измеряемых функций и помехи. Задачи
определения средних значений и корреляционных функций характеристик ре
шается для многих реальных каналов теоретическим к экспериментальным пу
тем 132, 80, 135]. .Здесь уместно рассмотреть некоторые аспекты этой задачи
обусловленные спецификой канальных измерений. • i ■
Остановимся сначала на оценках математического ожидания
Будем для определенности .говорить об измерении среднего значения передаточ
ной функции. При подаче иа вход канала колебания е12л^ имеем на выход|
полезный сигнал в виде
«(/, t, r) = H(f,,t, r)ei2rt^ . ' (2.136)
70
Предположим, что степень когерентности излучаемого колебания высока и
Можно путем синхронного гетеродинирования выделить на приемном конце
саму передаточную функцию H(f, t, r), конечно, с неизбежной добавкой
аддитивно! о Шума, так что наблюдаемое поле имеет вид f ,
Z(fy t, r) = H(f, t, r) + n(f, t, r). (2.137}
Для оценки среднего значения передаточной функции необходимо допустить,
«lid она на некоторой ограниченной области пространственно-временной плоско-
ПН описывается моделью однородного стационарного поля, например, на прямо-
1илы1ике 0^t^.T°, 0s^.rss:R0. Общее выражение для линейной оценки матема-
тчегкого ожидания поля запишется в виде
т" R°
H(f, t, r)= f \i(f, t, r)a(t, r)dtdr, (2.138)
, о о
|J|» весовая-функция удовлетворяет условию
Т" R°
[[a{t, r)dtdr=\. . (2.139)
0 0>
В работе [20] показано, что при наличии помех выбирать весовую
функцию, отличную от константы! нецелесообразно, т. е. следует использовать средне-
чпнфмвтические «оценки ' ,
т° R"
0 0
Мишка (2.140) является несмещенной. Дисперсия оценки вычисляется из соот-
IIIIIIII ПНЯ
т° R't0 R°
" Vl)" {T°m* №1 U8"^'*'' r~r') + Bn(t^r, г- r')]dtdt'drdr',
1 ' о о о о
(2.141)
Параметр f в ф-ле (2.141) опускаем. Более удобным является вычисление
Aid in цеии в частотной области [20] из соотношения
С» ОО
1){Щ= j j [GH(a>t, togj-f Gn{(ot, £ов)]|Ф(£о<( (oe)\*d(otd<ug, (2.142)
— 00 —00
«I»
Г0 R"
Ф (at> cog) = J [ e"V+*<v dtdr. (2.143) '
0 0
II кичестве примера рассмотрим передаточную функцию, спектральная плот-
IIII и« которой дробно-рациональная:
со? = 2jtv.
. . GH(cot, Og)^a% , а«°* (2.144) '
n*(m|4-es2)^m?+«?)
Шум полагаем белым со спектральной плотностью
' Gn^ — Qg ^ (Bg < Qg,
Gn(at*®g)-- — 2jtF« co^<2jtF, (2.145)
. 0, вне указанной области.
71
Отметим, что величины Gn и о2и безразмерны, Подставляя (2.144), (2,145)
в (2.143), нетрудно получить выражение для дисперсии оценки
— 4сгь q_ 1 1
£>№} = .JL-2- -, . (2.146)
Из (2.146) видно, что дисперсия оценки среднего-значения поля содержит 'две
составляющих. Одна из них определяется характеристиками поля, для которого
строится оценка и тем меньше, чем больше некоррелированных значений
усредняемой функции укладывается на области измерения. Другая составляющая
определяется статистикой шума.
Для многих каналов интервая корреляции шума во времени и в
пространстве существенно меньше соответствующих; интервалов полезного сигнала
Q,-«ag, f««i. (2.147)
Если при этом средняя мощность шума не является чрезмерно высокой по
сравнению со средней мощностью полезного сигнала, то дисперсия оценки
среднего значения передаточной функции будет в основном определяться
характеристиками поля, описывающего передаточную функцию.
Отметим, что можно строить оценку математического ожидания
поля,"'используя только пространственную или только временную переменную
H{f, t,r)=-~ J*Z(/, t, r)dt, H(f,t,r)^~ JZ"(/, trr)<ir. (2.148)
0 9
Исходя из сохранения качества оценки, необходимо потребовать, чтобы
число некоррелированных значений функции, укладывающихся на отрезке JO, Toi] и
[О, R01] в (2.148), было таким же, как на прямоугольнике [О, Г°], [0,^°] в (2.140).
Рассмотрим теперь особенности измерения средних значений координат
разложения характеристик канала. Отправляясь от соотношения
00 *
?К7) = \b(t,l> r)s(tr l)dl (2.149)
Q
и используя разложение характеристик канала, приходим к уравнению,
связывающему между собой среднее значение наблюдаемого сигнала со средними
значениями координат разложения:
' N
*it, r)=2A*s*<'- л>- <2Л50>
fc=t
Если среднее значение z(i, r) известно, то ур-ние (2.150) наиболее просто
решается в случае ортогональности сигналов в отдельных путях распростране
ния (разделение путей). При этом оценка среднего значения k-u. координаты
разложения может вычисляться из уравнения
Т R
bb^Y\l*^7)Sk{t'r)dtdr' (2'15"
о о
Оценку среднего значения принимаемого сигнала наиболее, просто получить,
повторяя Р раз передачу тест-сигнала в течение времени, не превышающего ин
тервала стационарности
РТ<Т\ ■ (2.152)
откуда получаем верхнюю границу для числа повторений l
Р<[Т°/Т+1]. • (2.153)
72
Алгоритм получения оценки среднего значения координаты разложения
запишется В виде , • '
' Р R РТ
**"'"£'S J I ?{f,r)sk{t,r)dtdr. ■ (2.154)
p=l 0 (Р-1) Г
Большим достоинством алгоритма (2.154) является то, что он реализуется
-К* базе пространственно-временного согласованного фильтра, предназначенного
ИЛИ получения оценок координат разложения характеристики канала. Это
означает, что для изучения среднего значения канала не потребуется
дополнительной аппаратуры. Более того, сведения о средних значениях характеристик мож-
МП уточнять в процессе передачи информации, используя для этого тест-сигиа-.
АЫ, предназначенные для построения текущих оценок.
Задача корреляционного анализа случайных полей имеет боль-
Ш"» распространение в различных приложениях |[35.]. Имеется целый ряд
алгоритмов оценки, основанных в основном на спектральных представлениях
наблюдаемых колебаний. Здесь же остановимся на другом подходе к измерению кор-
|)»ЛНЦИоииых характеристик, более соответствующем специфике рассматриваемых
(ядич. Для удобства исключим из рассмотрения среднее значение сигнала, по-
лигяя его условно равным нулю. Если отправляться от разложения
h(t, l, г)-2**"Р*('' ?* г>» (2Л55)
-IU оценку корреляционной функции можно аппроксимировать выражением
BkV^t', Б-S'. r^-r') = [h(t, I, r)h*(t', g\ r')\ «
N N
-£ X (***«) "M'*'6, r)Vg(f, l',r'). (2.156)
*—l g=i
Взаимную корреляцию координат разложения можно вычислить, повторяя
11м|1идачу тест-сигнала так же, как и при оценке средних значений координат:
Алюритм вычисления корреляции имеет вид
р r R рт -.
_ (hkh'g) «-у V! f j z{t, r)sk{t, r)dtdr\x
' R PT 1*
X § § Z(t, r)sp{t, r)dtdr\. (2.157)
0 (p-\)T J
Если функция |фл(/, g, г) выбрана удачно, то ряд (2.156) равномерно схо-
/ihkk к Bh{t, °Р, g, I', r, г') прн N-*-<x>. Конечно, выбор будет наиболее «удачен»,
пли известна корреляционная функция, и функция ф^(/, ig, r) представляют
wtfloU собственные функции интегрального уравнения. В этом случае теорема
Мщиера 08] гарантирует равномерную сходимость, однако сами измерения не
HMi ют смысла. Можно предложить последовательное уточнение оценок
корреляционной функции. Выбирая первоначально из каких-либо априорных предпо-
йпжрпий функции (f'k(i, g, г), строим оценку B'u(t, t\ g, g', r, г') в соответствии
f (2,155), (2.156). Далее аппроксимируем оценку одной нз типовых корреляци-
нннмх функций. В качестве последних целесообразно использовать функции, ко-
ifipUM соответствуют дробио-рацноиальиые спектры. Определяя собственные
функции, соответствующие аппроксимирующей корреляционной функции, исполь-
<V»M их для уточнения оценок (2.157). Здесь целесообразно применить алго-
73
ритм стохастической аппроксимации |[64] и определять на (л+1) 'шаге оценку
коэффициента корреляции <pj~g иа Уравнения
. Р*Г = 9*ы + *« 1М)В- pjj , (2.158)
определяется 1(2.157) « соответствующими л-му шагу функциями
где (hkh*g)
ФЯ»С. I, r)
Коэффициенты а„ удовлетворяют условиям
£а„ = *; ^ а«
< оо.
(2.159)
г?=1
(2.160)
Применение указанной процедуры гарантирует сходимость оценок, однако
практическая реализация алгоритма затруднительна.
Неоспоримым достоинством в смысле требуемого объема априорных
сведений о корреляционной функции обладают линейные оценки (2.113)'. Для их
построения достаточно знать энергетические коэффициенты передачи различных
путей распространения, которые, как следует" из (2.157), можно вычислить из
соотношений
Л , Р К РТ г
°**=т£ J" J z(t'r)sk{t'T)dtdr
p=l 0 (p—1) Г
Оценки дисперсий квадратурных компонент определяются соответственно
выражениями:
Р Г R \РТ
:_Р~2 f J z{t,r)sk(t,r)dtdr
~ ■ 0 (Р-1) Т
- R РТ
J" J z(t, r)7k(t, r)dtdr
.0 (P— 1) T
Оценки (2,157), (2.160), (2.161) так же, как и оценки средних значений
координат, могут вычисляться и уточняться без дополнительной аппаратуры в
процессе передачи информации.
Если к моменту начала передачи информации математические ожидания и
дисперсии коэффициентов передачи не известны, то при построении оценок
целесообразно использовать критерий максимального правдоподобия. При этом
нетрудно получить оценки координат в виде
Т R
uxk
Р=\
р
Jyk
р Л~
р=1
-1« I
(2.161)
Л
.МП
кп
= — j" |"г(/, r)vk{t, r)dtdr,
я о о
1 I R
dk J J
z(t, r) v/, (f, r) dtdr.
о о
(2.162)
В случае медленных во времени замираний выражение оценки координат
передаточной функции, соответствующей (2.162), записывается в виде
Hmu(mk, cog) = Z((Bft> fi>g)/S(Wft) (2.163)
i ~
и совпадает с «классическим» решением в некоторой полосе частот прострап
ственно-временнбго спектра. ,
Оценки (2.162), (2.163) являются несмещенными и асимптотически эффек
тивными. Нетрудно показать, что дисперсии их убывают обратно пропорцио
нальнр отношению сигнал/шум., например:
74
\. " 0{*мп} ^, <2Л64>
Из (2.164) видно,( что при малых значениях dk .дисперсия оценок, неограни-
N lino возрастает. Это является существенным недостатком оценок
максимальному правдоподобия'.- Если статистические хэ-рактеристики измеряемой функции
W Шума на известны, то применяемый здесь статистический подход к
получено оценок 'координат не пригоден. В этих условиях можно использовать
метод регуляризации А. Н. Тихонова, гарантирующий возможность получения
Шичивых решений прн отсутствии априорной информации. Со статистических
1ИЧМИЧИ этот метод можно назвать непараметрическим.
Для канала с медленными во времени замираниями метод регуляризации
|) 05] приводит к следующему регуляризованному решению для координат раз-
11ксмия передаточной функции канала , /
|S(co)|2
< In N Л1(ш, «>g)—заданная четная неотрицательная функция, определяющая
И пнрн'зующий функционал и удовлетворяющая условиям: I) ЛГ(0, шг)^0,
M|tu, 0)^0;' 2} М(<а, ttg)>0 для со, ©g^O; 3) для достаточно больших
|м|, J(,ig| ЛГ(ш, «Bg)^sC>0,
1ч'ЛИ пространственная переменная не рассматривается (сигнал—функция
|i Мечт), аналогом функции (2.165) является
£%)-- 1 ^- (2.166)
l-f-aM(co)/IS(co)Ia S(co) •
II подобных задачах обычно пользуются регуляризаторами тихоновского ти-
t /i ю порядка [9}, задаваясь функцией вида
ЛГ(со) = со2р, , (2.167)
||и имеющей семейство регуляризующих операторов, и, пользуясь каким-либо
н иорпгмом, определяют значение параметра регуляризации а. В работах [98, 99J
никто, что использование регуляризаторов вида (2.167) позволяет получить
юпчшюе решение задачи.
И рассматриваемой ситуации пространственно-распределенных сигна'лов сле-
II 11 применять регуляризаторы тихоновского типа, выбирая
М(а, cog) = co2pco2t. (2.168)
lpvt-ии. часто используемая иа практике возможность заключается' в выборе
Й» mount M(a>, iMg), обеспечивающей усечение спектра пространственна-времен-
ШИ чистит изучаемой функции:
f 0, — 2я F < со < 2я F, — Ое < Юс s£ Qg;
М(со, <Bg)= ^ „ / (2.169)
( оо, со, cog вне указанной области. ,
llhifiop оптимальных значений параметра регуляризации а и порядков ре-
Нирпшторов в (2.168) р и I, a также выбор оптимальных значений Е и Qg в
IV НИЛ должен осуществляться с использованием всей имеющейся в наличии
Обширной информации об изучаемых функциях и помехах.
8,7. Измерение пространственно-временных характеристик
канала с использованием информационных сигналов
П предыдущих разделах были построены алгоритмы измерения
Щим 1|>аиственнд-временных характеристик канала счюмощью спе-
tllin'tiiiiux, предназначенных именно, для этой цели зондирующих
75'-*
сигналов. Отличительной особенностью зондирующего сигнала
является то, что он не несет в себе информации о подлежащем
передаче сообщении, а используется лишь для получения оценок
параметра канала с целью организации работы (адаптации,
самоподстройки) приемного устройства. При этом необходимая
помехоустойчивость достигается за счет неизбежного снижения
скорости передачи информации по каналу связи. Если скорость
замираний параметров канала во времени невелика по сравнению со
скоростью передачи информации, то относительное снижение
скорости передачи данных, вызванное необходимостью посылки
зондирующих сигналов, оказывается вполне приемлемым (на один
зондирующий сигнал приходится большое число
информационных) [49]. Если же передача ведется по каналу с селективными
во времени замираниями, то. в пределе на каждый
информационный приходится один зондирующий сигнал и скорость передачи
информации снижается вдвое, Желание сохранить скорость
передачи информации при условии получения достаточно высокой
помехоустойчивости заставляет использовать для изучения канала
информационные сигналы. Такая возможность обсуждалась
теоретически [58, 131] и практически реализована в системе Рейк
[131]. Если при использовании для измерения канала
зондирующих сигналов мы, зная признак зондирующего сигнала, всегда
можем утверждать, что в доступном наблюдению колебании с
вероятностью 1 содержится (или не содержится) зондирующий
сигнал (идеальная классификация), то при измерении канала по
информационным сигналам имеет место иная ситуация. В этом
случае никогда нельзя заранее знать, какому переданному сигналу
(одному из М возможных) соответствует принимаемое
колебание на выходе канала с рассеянием. Можно лишь с априорной
вероятностью передаваемых сигналов pi I = 1, М утверждать, что
принимаемое колебание соответствует сигналу- /-й позиции, т. е.
имеющаяся в распоряжении выборка является
неклассифицированной [64].
Ситуация еще более усложняется, когда приходится
учитывать межсимвольную интерференцию [53].
Проблеме оценок параметров по неклассифицированным
выборкам посвящено значительное число работ [см. обзор 64], однако
единого метода синтеза алгоритмов оценки в настоящее время не
существует. Рассмотрим эвристический подход к задаче,
позволяющий построить алгоритм оценки параметров в условиях
неклассифицированной выборки, не отличающийся особой
сложностью.
Итак, рассмотрим ситуацию, когда позиция I передаваемого
сигнала si (t) приемнику неизвестна, т. е, канал должен
изучаться по рабочей информационной посылке непосредственно.
Покажем, как в этих условиях могут быть модифицированы алгоритмы
измерения, синтезированные ранее. Оценки, построенные в
предыдущих разделах, здесь могут рассматриваться как условные
76
оценки, полученные в предположении передачи 1-й позиции сиг-
пила. Так, модификацией оценок (2.96) в условиях использования
информационных сигналов будут условные оценки:
*' =
Л
У1
Т R
.0 Q
Т R
0 0
r)Vlk(t,
г) dt dr -j- mxk
r) dt dr -j- Щук
(2.170)
где введены обозначения, аналогично (2.94) для сигнала м(1,
г) Sih{t, r)-f-tsjfc(rf, г) в k-м. пути распространения, соответствую-
ЩОГО 1-й позиции передаваемого сигнала
sikit r) = ]■«,(/ —6)ФЛ(/,Е, r)d£.
(2.171)
Соответственно функции <Oih(t, r) и Vm{t, r) являются
решениями интегральных уравнений-. ,
т r
fj4('. t\T, r')vlh(t', T')dt' dr' = 8lh(t, f),
0 0
T R
f f B„(*. f, r, r')vlh(t', r')dfdr'^slk(t, r).
9 о
Параметры hzxm и h2vui определяются из соотношений:
(2.172)
T R
2 Klkgp = а*Ъ axp\ J S*b Cr Г) УЙР С Г) * dr>
0 0
2 AiUgP = avh вур J J *» С r) ^ С r) * rfr-
0 0
(2.173)
Для совпадающих позиций g ~ t ъ одинаковых путях обозначено
/ИЯ сокращения записи:
А2 _ Ь2 - Л2 _ /,2
Условия полного разделения путей в месте приема по-прежне-
Му считаются выполненными для каждой позиции сигнала. ,
Рассмотрим свойства условных оценок (2.170). Здесь следует
|!(иличить два возможных случая: а) позиция переданного сиг-
Иили Si (t) «угадана» правильно; б) позиция переданного сигнала
♦ ушдана» неправильно. Для первого случая математическое ожи-
Чниие и дисперсии оценок определены выше. Для.второго случая
77
(фактически передавался сигнал r-й позиции, а на приемном конце
считается, что передавался сигнал 1-й позиции) математическое
ожидание и дисперсия условной оценки имеют видг
щ*п
т.
'хЦ.'
i + vitk
4^„+2?i2
х—УРфк2Н> т
l + 2htlk
p=i
D{b = °i^^f
xlkgp
N
D{yi)
l+2h$tk l+2hllklJ^
4hllkgp + 2hllklp
Vr*2№
ylkgp тУР'
Jyk
p=l
(1+2^)2
(2.174)
}
Анализ (2.174) подтверждает тот очевидный факт, что 'если
позиция I ожидаемого сигнала на приемном конце не
соответствует позиции переданного сигнала g, то условные оценки (2.170)
будут обладать весьма плохими характеристиками по
общепринятым показателям качества оценок. Они будут смещены, их
дисперсии не стремятся к дисперсиям оцениваемых величин с» ростом
отношения сигнал/шум. Однако, если, вспомнить, что условные
бценки (2.170) предназначены не для как можно более точного
измерения характеристики канала, а лишь для организации
работы приемного устройства, это заставляет по-иному смотреть на
указанные оценки. Известно, что устройство различений М сигналов
должно содержать М ветвей, в каждой из которых (в 1-й) ведется
обработка принимаемого колебания в предположении, что в нем
содержится сигнал соответствующей,этой ветви (1-й, /= 1, М)
позиции. Если в каждой из ветвей приемного устройства строятся
условные оценки (2.170), то в ветви, соответствующей (позиции
переданного сигнала, получим Оценку характеристики канала,
обладающую оптимальными свойствами, с характеристиками (2.126),
а в (М—1) ветвях, не соответствующих позиции переданного
сигнала,— оценку с характеристиками (2.174). Как видно из (2.174)
при выполнении условия разделения путей, оценки (2.170)
являются асимптотически несмещенными при малых отношениях
сигнал/шум '(42жы-*-0, -Vj/ы-^-О), при больших же отношениях
сигнал/шум *их математическое ожидание и дисперсия стремятся к
нулю. Последнее означает, что в качестве оценки переходной
характеристики в ветвях, не соответствующих переданному колебанию,
будет принят нуль. Очевидно, это совсем неплохая оценка,
поскольку сигнал'такой позиции по каналу действительно не передавался.
78
К количественному обсуждению этого вопроса вернемся ниже при
[КН'смотрении алгоритмов оптимального различения сигналов.
Рассмотрим теперь некоторые возможности повышения каче-
([ на оценок при измерении канала с помощью информационных
сигналов. Пусть в М ветвях-приемника сформировано М уелов*
ных оценок (2.170) и, кроме того, известны априорные вероятво-
(1И передаваемых сигналов ри рг, ,..,* рм. Усредняя выражения
(2.170) для оптимальных оценок координат разложения xlk, ylh,
Построенных в предположении передачи 1-й позиции сигнала по I
С использованием ансамбля априорных вероятностей pi, l=l> M,
определим .некоторую безусловную оценку
а * л л £, -л
** = $>* 4 У*=2р/^. (2.175)
i=i
/=i
Средние значения и дисперсии безусловных оценок (2.175) 3aj
Пишем в предположении вьгаолнения условий полного разделения
ну гей в месте приема:
м
, 1=1
л м
l+2hllk
м
а9- 2=1
"** (14-2к*Л*
и
м
myk + aiykg^S Pg2h2
t—l
ylkgk
мм^
g=i
\+2hl
ykl
M
*M ^PgKlKgk +2hllk
flw-S^,,,^.»
fel
0+2^)2
(2.176)
Если для передачи информации используются ортогональные
М усиленном смысле по каждому из путей распространения сигна-
1Ы, для которых ' '
f f S/n if, r) vgp {t, r)dtdr^H slh {tt r) vgp (f, r) dtdr = 0. (2.177)
и - si
При любых k, p при g^i, то из (2.176) получим
79
м
Мг {xk} = mxk Jj P{
i + KikPi
1 + 2h\
xlk
=1
Af
Б
и
мы
Af
0ft У, Pi
/=1
M
0 + ^tt)8
L + 2ft2
Pi ihllk
1=1
(l + 2^ft)2
(2.178;
Анализ (2.178) показывает, что при использовании
ортогональных в усиленном смысле сигналов оценки (2.175) несмещены
при малых отношениях сигнал/шум. По мере роста отношения
сигнал/шум, возрастает и, линейное смещение, которое тем выше, чем
ближе передаваемые сигналы к равновероятным. В последнем
случае смещение составляет (М— 1)/М долей от среднего значения
оцениваемых величин.
Воспользовавшись методом [58], можно ликвидировать
линейное смещение оценок (2.178), заменяя оценку (2.175) на
VI
м
РГ
1=1
1 + Щ1кп
xlk
Л
м
к Ш-Ч /\
pi
i=i
м
S
й=1
Pi
l + 2hlikPi
ylk
(2.179)
Оценки (2.179) являются несмещенными, однако дисперсии
их возрастают по сравнению с дисперсиями оценок'(2.175).
Наибольшее увеличение дисперсии (в М раз) наблюдается для
равновероятных сигналов. При использовании неравновероятных
сигналов дисперсии оценок (2.179) могут приближаться к
дисперсиям (2.126) оптимальных оценок, построенных по зондирующим
сигналам.
Рассмотренные возможности повышения качества оценок
характеристики канала, основанные На сложении условных оценок,
обладают одним существенным недостатком: применение их ведет
к существенному усложнению процедуры формирования оценок.
Желание сформировать оценки, близкие по простоте построения к
условным оценкам (2.170), а по качеству — к оптимальным оцен-
80
t
«ем (2.113), приводит к построению оценок с использованием
«обратной связи по решению» [46, 49, 58].
Использование обратной связи по решению является
эффективным средством повышения помехоустойчивости дискретных систем
И каналах с медленными изменениями параметров [133] и
позволяет практически реадизовать оптимальную обработку сигналов в
началах с межсимвольной интерференцией [49, 53, 133].
В этой работе ориентируемся на перспективный для простран-
ifпенно-временных каналов с рассеянием ансамбль сигналов,
удовлетворяющий условию разделения путей, следовательно, меж-
(имвольной интерференцией можно пренебречь. Однако обратная
i мязь по решению продолжает оставаться эффективным средством
цяи обеспечения предварительной классификации выборки анали-
I шрусмогО поля до выполнения процедуры оценки параметров про-
(||)Ш!СТвенно-временнбго канала.
В каналах с медленными замираниями и достаточным
отношением сигнал/шум, когда приемное устройство обеспечивает
малую вероятность ошибочного приема символов, обратная связь по
решению позволяет выполнить почти идеальную классификацию
««держанной выборки анализируемого поля (обучение с почти
идеальным учителем ([64]).
Действительно, если вынесенные приемником решения о
перелитых символах на интервале изучения параметров канала Гиз=?
+ КТ (/С=1, 2, 3, ...) считать абсолютно правильными, это позво-
ЧНРТ и при отсутствии специально зондирующего сигнала
выполнить классификацию поля z (/, г), задержанного на время Тш.
t другой стороны, если замирания в канале медленные, то
полученные оценки характеристик канала сохраняются и на интерва-
Jittx анализа последующих посылок.
Поскольку, в принципе, изучать каналы по информационным
Посылкам можно на интервале 1ЖЗ~^>Т, то в оговоренных выше ус-
юниих решающая обратная связь может обеспечить качество
оценок параметра канала более высокое, чем при изучении ка-
НйЛИ только по специальным зондирующим посылкам. Имея это
и ниду, в дальнейшем оценки (2.96), полученные в
предположении передачи специальных зондирующих сигналов, будем
приписывать любому методу изучения канала в условиях идеальной
Мистификации, в частности, при использовании решающей об-
|Н1110Й связи. Заметим, однако, что, поскольку ошибки при реги-
ирлции символов неизбежны (хотя и с очень малой вероятно-
иыо), классификация поля, предшествующая определению
оценок, пополненная посредством решающей обратной связи, все же
Я let не идеальная (обучение с «реальным учителем» [64]).
Разумеется, качество оценки параметров канала, зависящее от
Нринильности его классификации по информационным посылкам,
Ауд^т выше при использовании решающей обратной связи (учи-
1МДИ), чем при ее отсутствии (когда учителя нет, а принимаемая
14 Шорка полностью не классифицирована). В системе с
решающий обратной связью можно, в принципе, улучшить качество оце-
81 '
нок '(классификации входного поля), если использовать
информацию об апостериорной вероятности передачи отдельных позиций
сигнала. Схема, однако, при этом заметно усложняется [53, 58].
Говоря об использовании решающей обратной связи для
классификации анализируемого поля и последующей оценки
параметров, следует иметь в виду, что для получения хороших оценок
необходимо ввести некоторые ограничения на форму
передаваемых сигналов или на их вероятностную структуру. Подробнее эти
вопросы рассматриваются в работе [58].
2.8. Измерение характеристик стохастического канала
с позиций теории линейной фильтрации
Здесь будет рассмотрено измерение характеристик канала,
основанное на теории линейной винеровской и, в, некоторой
степени, калмановской фильтрации.
С самого начала четко огоЁорим дополнительные ограничения,
связанные с тем, что результаты измерения характеристики
канала должны быть использованы для организации работы
устройства обработки с целью извлечения полезной информации из
принимаемого поля.
Представим себе, что в результате измерения уже получена
некоторая оценка характеристики канала, например, передаточной
л
функции Н (/, t, г) на ограниченной области {—If, F], (О, Т], [О, Щ,
и ее нужно использовать в алгоритме обработки анализируемого
поля, содержащего полезное сообщение. Это удается сделать на
интервале анализа длительности Т, непосредственно примыкающем
к интервалу измерения [О, Т], в двух случаях:
а) измерение и обработка соответствуют одному и тому же
интервалу времени, но эти операции разнесены на интервал
длительности Т путем задержки сигнала, несущего информацию, на
это время;
б) параметры канала изменяются настолько медленно, что
результаты измерения в предыдущие моменты времени могут
эффективно использоваться в последующем (на одном или
нескольких интервалах анализа информационных сигналов).
Если при покоординатном измерении, рассмотренном выше,
оба эти случая заслуживают внимания я имеют под собой ясную
реализационную основу, то в случае измерения с позиций фильт
рации наибольший практический интерес на сегодня представля
ет второй из них.
л
Располагая оценкой передаточной функции #(/, /, г), получен I
ной при обработке отклика канала на испытательный сигнал, мож-1
но, в принципе, обработку принимаемого поля u(t, г) на фоне[
аддитивного шума n(t) при передаче дискретных сообщений вес
lii двояко. Во-первых, путем нахождения оценок всех вариантов
л ™ .
Я (оков из k ожидаемых сигналов1) Si(t, г) = I Si(,f)H(f, f,- r) x
~°°Л kTRA
с вя?* d/, i = 1, Afft и вычисления их корреляций Fi = Г fs*(/, r) X
6 6
(i/, r)dtdr и сравнения последних (с учётом энергий
реализации). Во-вторых, путем исправления искажений, вносимых- в пе-
|и дпнаемые сигналы стохастическим каналом, строя фильтр —
I иштивный компенсатор (аналоговый или цифровой), характе-
л
|«н« шка которого зависит от имеющейся оценки H(f, t, г) и позво-
I Н'г производить компенсацию (или коррекцию) по тому или иног
IV критерию [36, 46, 79, 133]. Алгоритмы оптимальной обработки
0\ дуг подробно анализированы в гл. 3.
5десь только заметим, что в каналах с селективными замира-
HIIHMII (по частоте, во времени и по пространству) оптимальная
'(Цшботка сводится к разнесенному приему по той или иной сово-
1 ипости координат). В этих условиях оптимальная обработка не
l|iifiycT измерения характеристик посредством фильтрации, а пред-
Пи тгает получение оценок координат разложения характеристи-
II пи выбранном базисе.
О учетом сказанного, сосредоточим внимание на возможностях
нШ'рений характеристик стохастического канала посредством
I'll Hi грации с дальнейшим использованием результатов для пост-
||||чшя адаптивных компенсаторов.
Построение фильтра с заданной частотной характеристикой на
ищи миом интервале*времени — задача трудная, даже если это
I'll Hi гр с постоянными параметрами. В случае существенно
перемятых параметров задача еще более усложняется. Именно поэ-
Immv основное внимание здесь уделяем ситуации медленных из-
мшгипй параметров канала,'когда передаточная функция H(f, t,
А
t) и соответственно ее оценка H(f, I, г) могут считаться на интер-
Н i if анализа не зависящими от времени, но медленно
меняющими' н от интервала к интервалу, что соответственно и порождает
йппшнную компенсацию. Подчеркнем, что здесь связывается по-
I Mi ипс оценок характеристик канала с построением адаптивного
N iMlli'HicaTdpa, который может быть использован при передаче по
I шилу как цифровой, так и, аналоговой информации.
Рпюсмотрим последовательно алгоритмы измерения, базирую-_
1Ип i я па винеровском и калмановском подходах к фильтрации
Hi и uioB на фоне шумов.
11 Нсли межсимвольной помехой можно пренебречь, код примитивный, а
I м " мшале широкополосный, оптимальным является поэлементный прием {53]
I 'П'лоиптельно, можно говорить не о блоках,, а элементах ожидаемых сиг-
i hi
83
Винеровская фильтрация характеристик канала, Формальнс
при решении задачи измерения характеристик линейного канала
имеем дело с интегральным уравнением первого рода типа
свертки
z{t, г) *= Jfc(f, £, r)s(t — l)dl + n(tt r). (2.180;
— Оо
Отличием ур-ния (2.180) от «классического» уравнения Фред-
гольма первого рода [38] является то, что наблюдаемая функция
и измеряемая характеристика являются функциями двух
переменных (времени и пространства), в то время как входной сигнал —
функция одной переменной (времени). Эта особенность не
является ограничительной в смысле использования результатов теории
линейной фильтрации, однако накладывает неизбежный отпечаток
на алгоритмы вычисления оценок. Желая использовать результаты
винеровской теории, полагаем, что наблюдаемое колебание z{t, г),
измеряемая характеристика h(\, r) и шум n(t, r) являются
реализациями стационарных однородных полей, кроме того,
измеряемая характеристика и шум не коррёлированы. Обозначим
спектральные плотности (со^ —плотности [84]) процессов h{%, /) и
п(£, г) через G(m, cog) и N(co, ag) соответственно.
Следует различать два режима фильтрации [16]: фильтрация
с задержкой (теоретически бесконечной) и фильтрация в
'реальном времени. В первом случае допускаем, что реализация
функции z(.t, r) может быть записана и хранится в памяти некоторого
устройства в течение некоторого времени (теоретически
бесконечного) и далее подвергается обработке по оптимальному алгоритму
линейной фильтрации. Во втором случае обработка производится в
реальном времени — в темпе получения сигнала—линейным фильт
ром. Второй случай, в отличие от первого, требует выполнения
условия физической' реализуемости, выражающегося в том, что
отклик оптимального фильтра не должен опережать воздействия на
его входе. Как известно [16], несмотря на кажущуюся разницу
характеристики фильтров, работающих в обоих режимах, близки
друг к другу. Здесь.же в основном рассмотрим фильтрацию с
задержкой. Математически задача ставится следующим образом.
Обработке доступна смесь полезного сигнала — поля u(t, r)—
и шума
z(ttr) = u{t,r) + n(t,r). (2.181)
Эта смесь обрабатывается линейным пространственно-временным
фильтром» с постоянными параметрами и характеристикой g (g, г)
На выходе фильтра получается результат
h(ttr)~ [ Jg(|, r')z{t^l,r-r')didr'. (2.182)
— 00 —СО
84
Необходимо так подобрать характеристику линейного
оптимального фильтра, чтобы среднеквадратическая ошибка оценки была
минимально возможной
й^Л^йр, r) — h{t, r)|2}^min. (2.183>
Функция h(t, г) в соответствии с (2.180), (2.181) может рассмат-
рииаться как линейное преобразование полезного сигнала u(t, r)
линейным фильтром, характеристика которого обратна спектру
И<*редаваемого сигнала
h{t> r) = _J_ f^JLei^dffl, (2.184>
— ОЭ
IДв и (со, г) и 5 (со) —спектры реализаций и (t, r) и s (\t) соответ-
»I ценно.
Подставляя (2.182) и (2.184) в (2.183), получим уравнение
WIK отыскания характеристики оптимального линейного фильтра-
{да оо '
Г (g{£, r')z{t — t\ r-~r')dldr' —
—1- f 0{ш'г) ei№idJ. (2.185>
У2я J S(co) I
Минимум в (2.185) ищется по всевозможным характеристикам
лисиного фильтра £"(£, г). Решение этой задачи осуществляется
ШНдартным способом и приводит к следующей оптимальной
ицгпке передаточной функции стохастического канала:
Я ю, <ое) = , . ., - —. \ g; , (2.186>
1 , N^m' as) S (со) v '
+ G(«, (Og)|S(co)P
|Д« 2f(i(o, icog) -—спектр реализации наблюдаемого поля. -
л
Оценка импульсной переходной характеристики h(t, r) может
fiMlli вычислена через оценку (2.186)
h $, г) =» J- Г \й(со, cog) е1 <<в'+agr) do>d®t. (2.187V
— ОЬ —00
Оценки (2.186), (2.187) могут быть получены на выходе про-
1|1йИСТвенно-временн6го фильтра с передаточной функцией
К (со, со.) ~ ,f(g(M.Mg)- (2Л88>
85
Выражение для среднеквадратической ошибки оценок (2.186),
^2.187) имеет вид • <
?=Х Г (*£(«>, (og)rf(orfcog, £(«», о,)-, N.&' у , , (2.189)
о о
G (со, cog)
rfte £(©, cog)—энергетический спектр 'погрешности '.винеровской
оценки.
Вопросов реализации алгоритмов оптимальной фильтрации
коснемся ниже.
у. Метод решения интегрального уравнения первого рода типа
свертки (2.180), основанный на подходе с позиций линейной
фильтрации, является весьма частным. Более общим следует считать
подход к решению уравнений первого рода, основанный на
идеях регуляризации [8, 9, 85 86].
Рассмотрим применение метода регуляризации к уравнению типа
свертки в многомерном бдвумерном) случае, записывая
уравнение, несколько более общего, чем (2.180), вида
z(t, г)= j JA(/, 1, r')s{i~l, r^r')dldr! + n{tt r). s' (2.190)
♦—-O0 GO
Уравнение (2.180) является частным случаем (2.190) при s(t, r) =
= s(i):6(r). Это обобщение окажется полезным ниже. Применение
метода регуляризации приводите к следующему регуляризованно-
му решению относительно передаточной функции канала:
' |5(m, «g)|2
где а — параметр регуляризации; М{ы, ©g)—заданная четная
неотрицательная функция, удовлетворяющая условиям: а) М (0, 0)35*0;
б) М((ц, щ)^0 для ад, щфО; в) М{&, cog)^C!>0 для jilu]—voo,
|l(0g|-^OO.
Для самого широкого класса функций показано, что при
использовании регуляризаторов тихоновского типа
М((й, (og) = (o2p(Og (2.192)
существует (в какой-либо метрике) такая зависимость
погрешности р'егуляризованного решения от погрешности наблюдения,
при которой последовательность приближенных регуляризован-
ных решений сходится к точному решению.
В частном случае, когда измеряемые, наблюдаемые функции и
шум описываются моделями стационарных случайных процессов,
а погрешность оценивается в среднеквадратичной метрике,
оптимальная регуляризующая функция, обеспечивающая минимум
погрешности, определяется решением задачи оптимальной, винеров-
•ской фильтрации и имеет вид
М(®, cog)=iV(co, cog)/G(co* cog). (2.193)
86
Вычисляя среднеквадратичную погрешность решения (оценки)
(2.191) для функции М (to, cog) произвольного вида», получим:
л °° °°
D^}^— ("("£"(©, ©g)d©d©g( *
о о } (2.194)
£а ((О со ) = 1^(ю> Mg)l'Af((D, cug)+[«M(co, q>g)]«G(a), a>g)
S f|S((o, Mg)|2 + aM(M, ©g)]2
|де £и(со, с%) — энергетический спектр погрешности тихоновской
оценки.
Опюся результаты к ур-нию (2.180), следует заменять в ф-лах
(2.191), (2.194) 5(ш, cog) на5(ю).
Посмотрим, что должно представлять собой устройство, вычио
»iтощее оценку передаточной функции канала (2.191) при
использовании регуляризатора тихоновского типа (2.192). Оценка
может быть записан-а так:
На (со, соё) = —
1
5*(со, cog)Z(co, cog). (2.195)
15 (со, cog) [4 + a со2? со2/
Линейный фильтр, вычисляющий оценку, можно, представить
4ШК последовательное соединение двух фильтров: согласованного
К передаваемым сигналом, частотная характеристика которого
1&Пряжена со спектром передаваемого сигнала
< ^(со, tog) = S*(co( cog), l (2.196)
II фильтра, не вносящего фазовых искажений, с характеристикой
К*(ю' ^ ~ ,о ■ J ^Г • <2"! 97>
[S (со, щ)\2 + аш2р ш™
Полагая, что выполняется весьма распространенное условие
\S (со, C0g)f = А =* const, (2.198)
1 1
М пишем
Кг (СО, COg) —
(2.199)
1 +
?р ,<?1
wH со;
8
Фильтр с такой характеристикой реализуется просто, как си-
ШМ!1 с обратной связью (рис. 2.6), он устойчив при а>0. Ха-
z(t,n
5> Ш,Ыд)
fi"(b>,b>p)
>
Рис. 2.6. Реализация оценочного фильтра на базе
линейной системы с обратной связью
87
рактеристика К%(ы, ©g) связана с характеристикой разомкнутой
системы L (<а, tag) соотношением
к2 к o>g) ы 1f;(-m;m«). . (2.200)
1 + L (со, Wg)
'Сопоставляя (2.199) и (2.200), можно записать характеристику
фильтра, охваченного цепью обратной связи:.
Фильтр с характеристикой (2.200) осуществляет - 2/)-кратное
интегрирование поля Z(i, г) во времени и 2/-кратное
интегрирование по пространству. Важным является то обстоятельство, что
временная обработка и пространственная в фильтре Kz(a>, <ft>g)
могут быть здесь разделены. Возможность частично разделить
временную и пространственную обработку является достоинством
рёгуляризованных оценок (2.197) по сравнению с винеровскими
(2.186).
Еще одним достоинством оценок (2.197) является то, что они
позволяют обойтись меньшим объемом априорной информации.
Для обоснования последнего утверждения рассмотрим пример,
представляющий практический интерес, — оценку передаточной
функции изотропного канала.'
Рассмотрим только пространственную фильтрацию, полагая,
•что временная фильтрация выполняется отдельно или же в ней
нет необходимости (как, например, в канале с гладкими по
частоте замираниями). На основании (2.195), полагая в данном
случае tog — У <azx+m2y, запишем
Н* К) = -Р 3 яГ • (2-202)
Предположим, что энергетические спектры изотропных полей опи
сываются дробно-рациональными функциями и имеют
асимптотику
N(ag)^N0!«f, G(fflg)«(?0/cu*>. (2.203)
Относительно квадрата модуля сигнала |S(ia>g)|2 также пред
положим, что его асимптотика описывается степенной функцией
|^K)|2«S0/co2s. (2.204)
На первый взгляд предположение (2.204) противоречит ис
пользуемой модели, предполагающей, что зондирующий сигнал
вообще не зависит от пространственной координаты. Однако фак
тически всегда нужно считаться с тем, что реальные сигналы об
ладают практически ограниченным пространственным спектром
Зто обстоятельство и отражается условием (2.204).
88
Стальной информации О функциях N (щ), G (<щ) и \S (mg) \*
ЮТ, а известна лишь асимптотика (2.203) и (2.204). Это весьма
распространенная на (Практике ситуация. В этих условиях можно
Поставить и решить задачу бптимизации порядка регуляризатора
/ и параметра регуляризации а, аналогично тому, как это сделано»
й [8]. Оптимальное (в смысле минимума среднеквадратической
ошибки) значение параметра регуляризации aqpt определяется изь
t потношения
0 t S0G<, 1y(1 —y) sinnniv+ti '
Г»
H= ■■„; , Z г 0<ц<1;
y**-
2(«+i)
2p—1
2(s+0
, 0<Y.
(2.205>
(2.206>
Исследуя среднеквадрэтическую ошибку (2.194) на экстремум,,
можно показать, что она достигнет минимума при
1^2р-~2п:
(2.207>
Последний вывод становится ясным после
(2 193) и (2.203). Значения параметра регуляризации а!
«читанные по ф-ле (2.205), приведены на рис. 2.7
Заканчивая обсуждение винеров-
i коп фильтрации, укажем, что во- e^L
И|и»сы построения фильтров, pai6o- °
I иощих в (реальном времени, рас-
(Мотрены, например, в работах
(III, 18]. '
Спецификой рассматриваемой
% ич:1» пр остр анственжнвремен ной
фильтрации является то, что отказ
in режима реального времени
(melinite задержки) может быть
продиктован, прежде всего,
необходимо» тыо осуществить пространствен-
ПУМ обработку. Это снимает про-
Пдгму использования будущих (во
|>||пмепи) значений наблюдаемого
Иодебшия и позволяет использовать
»»li) в целом для осуществления
фи передни во времени. В ответе на
Н'щрас о том, какой способ филь-
1|1йЦИ'И — в реальном времени или
t «йДсржкой —является лучшим, ре-
Ш нищее слово будет иметь прогресс
сопоставления»
opt ряс-
од
ом
Ц20
0,11
0,08
п
/,
J
А
ж
л
цг, o,k
0,6
0,1
0,6
Щ5-
0,3-
0,2
/=«Г
W
Рис. 2.7, Значения лормироваиного
параметра регуляризации
89
в технике пр'остраесгюенно'Временнбй. фильтрации (шолографиче
«ских фильтров) и технике задерживающих систем (линий за
держки),
Калмановская фильтрация характеристик канала. Для реше
ния задачи оценки пространственно-временной характеристики ка
нала А(|, г) можно использовать обобщение калмановской тео
рии фильтрации на случай систем с распределенными параметра
ми [19, 143]. Анализ результатов этих работ показывает, что оп
л
тимальная линейная оценка ft(£, т) является выходным сигналоь
нестационарной' динамической системы с распределенными пара
метрами, охваченной линией обратной связи.
Уместно задать вопрос, что будет представлять собой устрой
ство обработки, реализующее идею адаптивной компенсации и син
тезированное с позиций калмановской фильтрации. Очевидно, онс
-будет содержать в себе нестационарную динамическую систему <
распределенными параметрами переменной (адаптивно перестраи
л
вающейся в зависимости от получаемых оценок h(t, г)) структу
ры. Реализация подобного устройства в непрерывном варианте—
задача, которую трудно будет назвать выполнимой в обозримоь
-будущем. Ясный путь реализации алгоритмов калмановской
«фильтрации видится в цифровом варианте. Калмановская теорш
ло своей сути наиболее приспособлена к технике цифровых вы
числений.
Для уяснения сущности обработки пространственно-распреде
ленных сигналов общего вида рассмотрим пример, базирующий
ся на результатах (108]. Предположим, что наблюдается про
странственная передаточная функция канала (вещественная)
Л(щх, щ) по реализации Z(u>x, щ), наблюдаемой в плоскост
лространственного спектра сигнала, так, что
Z {шх, оли) = S (ах, олу) Н (сах, ау) + п (ах, а>у), (2.208
где S((nx, №у)—спектр зондирующего сигнала; n(wx, щ) —
спектр реализации белого шума.
Далее, наряду с непрерывной записью полей, будем
использовать дискретную, пола1ая, что по осям юж, \щ проведена
дискретизация с равномерным шагом Аюж = Аюу. Дискретным вари
антом записи (2.208) является
Z{k, l) = S(k, l)H{k, l)-\-n{k, I). (2.209
Смысл обозначений очевиден.
Положим, что корреляционная функция измеряемого поля яв
ляется биэкспоненциальной
BH(Qx,Q„) = a*Hexp{~ax\Qx\ — ay\Qy\}. (2.210
При этом дискретное поле описывается моделью стационарного
источника
H(k+\, l + l) = PlH(k+l, l) + p2H(k, Z + l)-
~PlpzH (k, I) + V(T-~ pi) (1 - pf) П (k, l), (2.2П
90
ИС n(k, I)—некоррелированные отсчеты шума с дисперсией
рх = ехр (— ах | Д (ах |); р2 = ехр (— aff | Д ау |).
Hi (2.211) видно, что каждый элемент поля можно предсказать,
in пользуя три соседние элемента. В непрерывном варианте за*
шк'И (2.211) соответствует дифференциальное уравнение второго
ифидка в частных производных.
Оптимальная калмановская оценка передаточной функции-.мо-
i r г быть получена в рекуррентном виде
-p1p2H(k> l) + P{k, l)[Z{s, l)-S(k, I)H(kt I)}. (2.212)
Функция P(k, l) вычисляется через функцию корреляции ошиб-
i ц фильтрации. В непрерывном варианте дифференциальное
ршшение для оптимальной калмановской оценки передаточной
|i пкции может быть получено в виде
АЛЛ
дН(ах, ту) . дН(ах, Юу) д2Н(сох, соу) _
д (йх "^ д (йу ' . д со* д (Оу ~~~
Л Л
(2.213)
1ДГ . /
*в = а* + а«' —а*а*-
(2.214)
^i,Hl
-^
+)—; 'Н^у
1 ,— OiOftOq}
т
Л -ч
У '
■ Л
И(ах,ай)^
-
1 г
Яас. 2.5. Простраистшенно-щремеиная динамическая
система, реализующая вычисление калмановской оценки
Пространственно-временной фильтр, реализующий
вычисление оценки (2.213), изображен на рис. 2.8. На рисунке введен
inn |жтрр дифференцирования функции двух переменных:
7=-4- + ^-+ £_. " . . • (2.215)
д ах . д фу да>хд ®у
Функция Р(иж, щ) определяется после решения дифферен-
Иннлыюго уравнения второго порядка в частных производных от-
Ц|и шсльно дисперсии оценки Dh (юж, щ) (дисперсионного урав-
91
ления [18]), Это уравнение не содержит наблюдаемого
сигнала. Точное аналитическое решение его получить невозможно,
однако имеются мощные численные методы решения. Дисперсия
калмановской оценки, в отличие от дисперсии винеровской
(2.189), — величина переменная, зависящая, вообще говоря, от
времени и пространственных координат, а в рассматриваемом
л р им ере лишь от пространственных координат. При стремлении
интервалов анализа к бесконечности дисперсия калмановской
•оценки монотонно уменьшается, стремясь к дисперсии
винеровской оценки, и в данном случае определяется соотношением
QO ВО
DA(oo, ^)^T^\\[ ^—- d%d4, (2.216)
G(X> т))
где для рассматриваемого примера
0(Х, 4) = -^ ^—. (2.217)
Для проверки монотонности убывания дисперсии
калмановской оценки в зависимости от увеличения интервала анализа
алгоритм (2.212) моделировался на ЭВМ. при различных значениях
параметров 'измеряемой функции. Машинный эксперимент
подтвердил монотонный характер убывания дисперсии и показал,
•что установившийся режим достигается тем раньше (при меньших
размерах интервала анализа), чем меньше корреляция между
соседними отсчетами измеряемой функции.
Весьма интересным и конструктивным подходом к фильтрации
пространственно-временных полей является подход, основанный на
предположении параметрической зависимости уравнений состояния
от пространственного аргумента. Этот подход конспективно
изложен в статье [19] и, видимо, найдет детальное освещение в
последующих томах монографии [18].
Характеристика канала может быть представлена в виде
разложения в ряд с, разделенными пространственными и
временными переменными
А(Б,г)»2ма(Мг). I2-218)
i
Такое представление позволяет разделить временную и
пространственную обработку. Полагая, что пространственная обработка
выполнена, рассмотрим обработку сигнала — функции времени,
Спецификой такого рассмотрения, в отличие от [18], является
то, что искомый сигнал-—характеристика канала — связан с
полезным сигналом, входящим в наблюдаемое колебание
посредством линейной операции (фильтрации):
00
u(t)^$h(t)s(t-~l)dl. (2.219)
о
92
Индекс пространственного пути i опускаем. Формально для
применения развитой теории калмановской фильтрации можно счи-
1йгь, что «сигнал» h (t) пропущен перед передачей через «фильтр»
< характеристикой s(£), как это изображено на рис. 2.9. Вводя
модифицированный вектор состояния |[18] и записывая для него
модифицированные уравнения, придем к стандартным уравнеииям
Нпблюдения Калмана —Бьюси
о игосительно
модифицированного вектора.
В заключение параграфа h(t)
отметим, что, конечно же,
имейся возможность равтаить по-
ЛУПК'Шые выше результаты на Рис. 2.9. Модель, приводящая к мода- ,
ИУ'ЩЙ измерения (фильтра- фицированному вектору состояния
Пни) х арактер ис тик ic n оад'сяцью
информационных сигналов, а не испытательных, При этом все по-
ьроншы'е здесь оценки должны содержать сигнал l-к позиции и
(Насматриваться как условные. Однако такое обобщение вряд ли
111,'нч'ообразно. Поскольку, если ориентироваться на построение
1/Шптивного компенсатора, то, как правило, используется испыта-
Н'льный сигнал или выполняется • идеальная классификация ана-
Hi шруемого поля посредством решающей обратной связи. Именно
Id к построены существующие системы адаптивной компенсации
|Ш,7!>, 133].
Если же иметь дело с устройством оптимальной обработки
(Приема), то построение оценок с позиций фильтрации нецелесо-
оАрпзио, так как покоординатные оценки здесь более удобны. Не-
|А«одимо отметить, что оценки, получаемые с позиций
фильтрации, имеют большое преимущество перед координатными
оценками, так как для их построения можно использовать более (простые
Шпалы, не обязательно удовлетворяющие условиям разделения
♦iVwfi в месте приема. Действительно, условие разделения путей
И ном параграфе нигде не фигурировало. Однако это не означает,
llu для получения оценок передаточной функции канала с пози-
tllift фильтрации можно использовать какие угодно сигналы.
Анализируя алгоритмы оценки, можно совершенно четко
сформулировать требования, предъявляемые к зондирующим сигна-
1ИМ Это, прежде всего, достаточно широкий пространственно-вре-
МИШ(')(\ спектр, позволяющий охватить все рассматриваемые час-
ЦиHi, и, во-вторых, равномерность амплитудной характеристики
Шнилов в заданной полосе:
J $ (id, iog)| — const, — 2 я F < ю < 2 я F; — Qg < cag < Qg. (2.220)
Последнее требование позволяет резко упростить алгоритмы
| н 1Ы рации и улучшить их характеристики. ,
sm
aft)
-©
9S
2.9. Адаптивные компенсаторы пространственно-временного
канала
Испытательные
сигналы
^>
н(%о,ы)
5"
КОЩСОд)
Информационные сишлн
Рис. 2.10. Адаптивный
компенсатор
пространственно-временного стохастического канала
Строгая теория адаптивных компенсаторов (выравнивателей)
канала должна строиться с позиций, современной теории
управления [34]. При этом компенсирующий линейный фильтр
должен рассматриваться как динамический объект управления,
управляющее воздействие на который
подается с блока оценки
характеристик канала (рис. 2.L0). Такое
рассмотрение позволило бы
наследовать динамический режим
адаптивной компенсации.
Рассмотрим упрощенный анализ
адаптивной комшансации, разбивая
задачу на две части: измерение
канала с помощью испытательного
сигнала и собственно компенсация
Искажений, вносимых каналам в ин
формащионные сигналы. В качестве
оценок медленно изменяющейся ха
■ рактеристики канала' адаптивный
компенсатор использует оценку, построенную с'Позиций теории ли
нейной фильтрации.
Рассмотрим последовательно два типа компенсаторов прост
ранственно-временнбго канала. Компенсатор первого типа пред
назначен для восстановления переданного сигнала — функции вре
мени и представляет собой пространственно-временной фильтр, ня
л
выходе которого получается оценка переданного сигнала Si (t)
Компенсатор второго типа является комбинированным: прострап
ственная обработка выполняется в нем отдельно от временной и
реализует пространственное разнесение. Временная обработка за
ключается в компенсации частотных искажений сигнала в j'-m про
странст.венно1м пути распространения i=l, Nl. Уделим больше1
внимание компенсаторам первого типа, как менее изученным, хо
тя с практической точки зрения компенсаторы второго типа ш
данном уровне развития техники более понятны и удобны. Tea
рия компенсаторов для сигналов — функций времени развита до
статочно широко [36, 48, 79].
Если имеется оценка характеристики стохастического капали
л
например A(g, r), то можно использовать ее для восстановлении
формы переданного сигнала 1-й позиции, отправляясь от соотноик
ния
z(t, r)=»RefA(g, r)s(t — l)dl + n(t, r). (2.221
о
Рассмотрим решение этой задачи с позиций винеровской теп
94
s
piiii фильтрации (допуская бесконечные задержки). Отличием
задний от рассмотренной в предыдущем параграфе является то,
ЧК) ядро уравнения, решение которого ищем, является неточно за-
дщшым. Положим, что истинная характеристика канала Л(§, г)
Л
(кладывается из ее неточной оценки А(|, f) и случайной
погрешности h°(l, г) так, что
А (6, r) = A(g, r) + h°&, r). (2.222)
Полагаем, что погрешность оценки /г°(£, r) описывается стацио-
нирпой однородной функцией с нулевым средним и энергетиче-
«КИм спектром £(<в, mg) (2.189), определяемым видам алгоритма
«тонки характеристики канала. Неточность измерения характерис-
|НКИ канала может быть сведена к появлению дополнительной
аддитивной помехи
е, {t, г) = Re J h° (t, I) Sl (t — \)d 5. (2.223)
Используем прием рандомизации передаваемых сигналов [36],
I е. будем рассматривать последовательность, передаваемых сиг-
1К1Л0В как случайный стационарный процесс с энергетическим
i ноктром ■
м
G,(n) =—^5] PilSiHf, (2.224)
Ifte pi — вероятность появления сигнала 1-й позиции. (
Прием рандомизации позволяет, в частности, избавиться от
ншиоимости дополнительной аддитивной помехи от передаваемо-
III сигнала и считать ее некоррелированным с сигналом стацио-
Няриым однородным случайным полем с энергетическим спеКт-
|тм
NE(w, fflg)=£(co, ©g)Gs(ffl). (2.225)
( уммарная(полная) аддитивная помеха
v(t, r)=e(t, r) + n{t,^r) (2.226)
HMtiT таким образом энергетический спектр
Ny («в, fflg) = N («в, <вя) + Ne («а, cog) (2.227)
И Иг зависит от полезного сигнала.
Используя подход, описанный в предыдущем параграфе,
приводим к следующей форме оптимальной винеровской оценки пе-
рс/ш точной функции адаптивного компенсатора пространственно-
МцрМОИ'ибго канала;
л л .
ЯК (og) = H*«,,,ag) \ {22Щ
|А р Л/ (со, со»)
|#(«, <йй)| +——— Я (со, cog)
Os (со)
95
Фильтр с характеристикой (2.228) является пространственно-
временным. Поэтому и сигнал на выходе этого фильтра при
подаче на вход его поля z(t, r) будет пространственно-временным
Л . л
5(м, fflg)>ZK u)g)/C(ffl, ©g) (2.229)
и-ли
QO CO Д , '
/, If ? J. , v ~-»Ю f — 1 (В-f ,
s (^, r) = l э (со, ft)g) e £ d a d ojg.
—-CO —CO
Дальнейшая обработка при передаче цифровой информации
обычно предопределена и заключается, в вычислении корреляц'ий
между ожидаемым сигналом 1-й позиции si (t) и выходным
сигналом компенсирующего фильтра (2.229). В этом случае
интересуемся лишь усредненным ро пространству сигналом на выходе ,
компенсатора, получаемым интегрированием (2.229) по
пространственной координате
Л j*A
«(О = f s (t, r) dr. (2.23Q)
s
Бели же у сигналов Si(t, r), несущих информацию, учитывается '
пространственный аргумент, ситуация изменяется. В общем слу- "
чае, обработка на выходе компенсатора является
пространственно-временной и заключается в вычислении корреляций
Ft = j j s(t, r) 'Sl (t, r) dtdr, l~ Т77Й. (2.231)
о о
Видимо, в большинстве случаев можно считать, что
зависимость от пространственных координат одинакова для всех
позиций передаваемых сигналов, т. е.
si if, r) = Sl (f) ф (г), / - TJM. ■ (2.232)
Тогда обработка на выходе адаптивного компенсатора
существенно упрощается и сводится к последовательным операциям
усреднения с весом в пространстве
<(/) = j*(f. r)<?(r)dr (2.233) |И
о
и вычисления корреляций во времени
Тл
Ft** (' s (0 si (0 dt, l=*\,M, (2.234)
Q л
Среднеквадратичная погрешность сигнала s(t, r),
восстановленного компенсатором с характеристикой (2.228), определяется
выражением
96
\
о b
б2 (со, cog)' =*
N(a, <og) + Ns,(<>>, ag)
A
.J#(tt>, COg
N(co> cog)
(2.235)
Среднеквадратичная погрешность' (2.235) должна расоцатр^-
ться как условная, при фиксированных параметрах, канала, пб-
ольку она'содержит,-случайную функцию \Н(<й, *Шг) [7 ЭтУ.;"Слу^-
йную функцию содержит _ также знаменатель оценки" (2,228)",
о затрудняет реализацию' оценки. Из практических,<<;ообра'же-
й можно вместо оценки (2.228) предложить субоптим&льную'*''
■-д ' ■' ■ >■•
К {(о, tog) =
Л
Я*(со, cog)
' ..>>
(2.236)
N (со, соя)
О К сог)+-)т7-Г^+2Я(о), тя)
? '«■ , ■ г . ,v . ■ . Gs(co>
.. д . ., • •
? вместо случайной;, функции |Я (со, cog) |2 используется ее^сред-
ё значение' " '' ," *.».,..-..^ „•.,.».
М [\Н (со, to,)] f = С? (со, cog) + £ (ю> cog), , . (2.237)
Субоптимальная оценка (2.236) будет тем ближе к оптималь- ,
(й, чем. меньше погрешность, .измерения передатр.чщш.'функции,
'М слабее амплитудная флуктуация в канале Дче,м медиыпе/.раа-
)ос \Н (to, icog) | относительно ее среднего значения),'.'; ,§,,ы ,-. Д'Д
Рассмотрим ,далее,гддаптивный компенсатор, л характеристика
торого подобрана 'С, использованием метода регуляризации,' и
еет вид
',•'.. -it \ ,''■>,"' А- > , ; ,■ - .1
' Ка(ф, ft,.)V ■ я*(ю' ю'>. , .„ . ,," - (2.238)
|tf(co, cog)! + aAf(o>, cog) ч
еднеквадратичная погрешность сигнала, восстановленного ком-
1сатором е характеристикой (2.238),, определяется выраже-
'М ',■.''•-'
О О
£а (со со ) = 'Н (®' - (°г)'''fiV (со" Юг) + ^ (со' -°^)J
+
Г1Л 12 ., 12, ,»,;..„,,
' [\Н{&, tog)! + аМ (со, tOg)J
fajM(td, tOg)l2G^(co)
32
|Я(со^1соё)г ™i-txM((i>, tog)
97
]'
(2.239)
- _ к, м
/
Другая возможность заключается в вычислении оценки из
соотношения, более простого, чем (2.238):
л
jrtl, ч Я*(со, dig)
Л М», ф8>~ G((a, cog) + £(co, cog) + aM(©, o>g) '
(2.240)
Соображения относительно выбора функций М(<а, <og) и значе-
«и параметра регуляризации а, входящих в оценки (2.238),
$2.240). остаются теми же, что и в предыдущем параграфе.
Перейден к рассмотрению компенсатора, реализующего калма-
аовсквй алгоритм фильтрации пространственного сигнала
(продолжение примера предыдущего параграфа).
Модель наблюдаемого в плоскости пространственного спектра
свтажа имеет вид
2f"W <*J = #К» ®v)SK. °>у) + "е К, ю») + п{(лх, %), (2.241)
гае
«е (й)^, COj,) s Я (СО,., COj,) S (СО,, ©j,)
(2.242)
—Шуя, связанный с неточностью оценки передаточной функции
щашша. В днскретном виде модель наблюдения запишется так:
Z(fr, 1) = Я(А:, Z)S(«, Q + n,(*. 0 + n(*, *)•
(2.243
Особенностью рассматриваемой задачи является, как видим
«рясутепше в .наблюдаемом колебании окрашенного шума
•в{«|& «*»Ь связанного с неточностью измерения. Имеется соответ
етвующее обобщение калмановской теории фильтрации [18],
Уравнение (2.242) может быть записано в виде
Z К, <ду) « С (ф„ <ои) К К, coj,) + п (ю„ eg,
Z(*,. Z) = C(A, J)X(A, /) + л(А, i).
В ур-нии (2.244), присутствует векторная функция
(2.244)
X(k, Z) =
S(*. /) -
"ДМ) Г'
(2.245)
соответствующая переменным состояния системы, моделирующей
измеряемое поле и небелый шум. Матрица С(&х, щ) носит на
зкаине модуляционной
С (tox, (oy) = [H{(oxr (оу), 1],
с {к i) = [H(k, i), 13.3
98
(2.246)
/
Полагаем, что корреляционная функция окрашенного шума имеет
вид ,
BB(QX, П,)«сг*е
и обозначим:
1% = е
' Рлг 1Л шх
Ъ = <Г>^т*
(2.247J
(2^48|
Уравнение оценки в непрерывном виде записывается так:
л ' л ' л
л л
(2.249|
где введены обозначения
»у) = Г
,"— k О
^ 'О — *„
*«•=** + «» — «г«/
'*"'»'
*(5 = P* + Pj/ —P*Pir
(2.250|
Векторное ур-ние (2.249) может быть записано в виде
системы двух скалярных уравнений, дакэщих оценки сигнала т
окрашенного шума
л л л
д S (а>х, а>у) dS(ax,ay) , &S{ax, щ) _
да>х ' д(йу ' д (ох д а у
Л
= ~~kaSi.ax, «>Д+РпК. ®j,)[ZK> ®у)— ,
Л Л Л
->К> Ч}у)Н{(Лх, (Оу)—Пв((0„ ©„)],.
л
дпе (ах, щ)
дах
Л Л
дпе(юх, (йу) <32 пг (а>х, Шу)
да и
дтхд(йу
(2.251>
= ~ h пв К- ш») + p2i К. йу) tz К. «>„) —
Л - Л Л
— 5(«^, &у)Н((Лх, ®у)—Пг{(йх, ©„)].
Пространственно-временной фильтр, реализующий вычисление
зценки (2.251), изображен на рис. 2.11. \
Функции Рц{(йх, щ) и P2i(cosc, щ) определяются в результате
эешения системы двух дифференциальных уравнений второго ио-
зядка (дисперсионного уравнения), не содержащих наблюдаемы!
:игнал. ^В дискретном варианте уравнения оценки (2.251) имеют
зид
99
Zfatty),
(г
ЁВ©=}
: pjw,)
Э £/<Чкйй=л+
V/
<5УЦ
<S}^
£tf
//(fcfcau
%"
ие(их,ац)
<^
, _ , Рис. 2.11. Калмановский компенсатор пространсгветно-вре-
^ ' вденнбго канала
S(A+I, H-l) = PlSA(ft-fl, /)+P»S(ft. /+l)-Plp2S(ft, /) +
Л гл л
+ Pn(k, /)[Z(ft, l)-H(k, l)S(k, [)-~ng(k, 1)1,
ne(k + i, г + i) = pX(A +1, /) + щп.(ft, /+ i)- > (2-252)
-14 ц2 пг (ft, о + p21 (ft, г) [Z (ft, о - н (ft, i) s (ft, о -
- ns (ft, /)]
и могут быть легко реализованы на цифровом вычислителе.
Подведем некоторые итоги, касающиеся двух способов оценки
характеристик (покоординатного и фильтрации),
проектирующихся соответственно на оптимальную обработку (разнесение) и
аддитивную компенсацию. Алгоритмы покоординатной оценки
реализуются относительно просто н позволяют получить предельные
качественные показатели, пока выполняются условия разделения
путей в месте приема и, как следствие, отсутствует
межсимвольная помеха. Алгоритмы оценок с позиций фильтрации
инвариантны к выполнению условий разделения путей и, следовательно,
допускают использование более широкого класса канальных
сигналов. ! 3
Оптимальные алгоритмы фильтрации реализуются трудно и
требуют наличия сложной технической базы (адаптивных
пространственно-временных фильтров). Можно сравнительно просто
реализовать субоптимальные алгоритмы фильтрации
характеристик, в частности алгоритмы с раздельной обработкой в
пространстве и во времени.
. Характеристики качества этих субоптимальных алгоритмов,
последовательно обрабатывающих принимаемое поле, .могут,
однако, существенно уступать характеристикам качества при
оптимальной обработке в целом принимаемого поля (покоординатный
100
иетод). В связи с указанными обстоятельствами напрашивается
|дея комбинированной обработки принимаемого поля с исполь-
Юванием относительно простых сигналов на передаче: частично
Цаптивной компенсации канальных искажений с последующей
)бработкой с позиций разнесенного приема (покоординатный ме-
РОд). Соответствующая структура системы обработки простран-
"Твенно-временнбго поля приведена на рис. 2.12. Перед адаптив-
Решение.
Рис. 2.12, Двухэтажная обработка пространственно-временного
сигнала
1ым компенсатором в данном случае ставится относительно прос-
'ая задача: устранить межсимвольную интерференцию, иначе го-
юря, несколько улучшить канал и облегчить дальнейшую обра-
1отку, реализуемую многоканальным устройством разнесенного
фиема.
Очевидно, в стохастических каналах с высокой степенью се-
активности описанная двухэтапная процедура обработки являет-
я весьма перспективной.
* *
*
Детально рассмотрена задача измерения пространственно-
временных характеристик (идентификации) стохастического
канала. Использованы два подхода к измерению: оценка
координат разложения характеристики по выбранной системе
координатных функций и измерение с позиций теории
линейной фильтрации.
Показано, что линейные оценки координат разложения
инвариантны к вероятностным законам распределений
измеряемых функций и помех и определяются средними
значениями и дисперсиями оцениваемых величин. Вид
линейных оценок и возможность их практической реализации
определяются выбором дискретной модели канала
(координатных функций). Оптимальным является разложение Ка-
рунена — Лоэва, однако оно приводит к сложным
дискретным моделям канала и соответственно к
труднореализуемым алгоритмам оценки. Реализация алгоритмов требует
наличия пространственно-временных фильтров с
переменными параметрами. Упрощения реализации возможны в
•случае факторизации переменных у координатных функций.
Линейные оценки являются несмещенными и эффективными
при выполнении условий разделения путей в месте приема.
Эквивалентный.
s(t)
Канал
H(a),t,r~)
n(t,r)
тшп_
ШптаВиый
компенсатор
канала
р tt(a),t,r) -
WW
r> n[u(t;i
101
При невыполнении этого условия характеристики линейны
оценок резко ухудшаются. .
-Измерение с позиций винеровской • и- • калмановской
фильтрации целесообразно выполнять, ориентируясь и*
дальнейшую обработку в виде адаптивной компенсации кн
нальных искажений. При фильтрации пространственно-врр
меняых полей требование получения оценок в реальном вре
мени, видимо, не является обязательным. Более важным
будет' условие раздельной обработки в пространстве1 и Ш
времени. При отсутствии априорных,, данных о статистичр
ских моментах измеряемых характеристик ^ целесообразш
использовать метод регуляризации некорректных задач I
тихоновские" регулязаторы. ■ Оптимальная характеристик
выравнивающего пространственно-временного фильтра (адип
тивного компенсатора) может быть также синтезирована с гш
зиций теории линейной фильтрации. При этом обеспечиваем
наилучшее (в среднеквадратичном смысле) восстановлен!)!
сигнала. Целесообразно выполнять адаптивную компенсации
канальных искажений как первый этап обработки простратч
венно-временного поля. Вторым этапом должна быть от и
мальная -обработка, которая базируется на теории решений
ГЛАВА 3
ОБРАБОТКА ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СИГНАЛОВ,
СОДЕРЖАЩИХ ДИСКРЕТНЫЕ СООБЩЕНИЯ
♦
3.1. Постановка задачи оптимального приема сообщений
в стохастическом канале
Теория оптимальной пространственно-временной обработки
(HI налов стала развиваться сравнительно недавно, хотя методы
Пространственной обработки уже давно широко использовались
Ни практике. Такое опережение практикой теории встречалось не
jitij в самых различных областях науки и техники. Более того,
|||1йктика и должна ставить" задачи теории. Однако инженер
обычно не только выдвигает новую (даже для теории) задачу, но и
Питается решить ее, используя при этом свой опыт, знания и
интуицию. Когда этих трех компонентов достаточно, полученное ин- /
(Ириерное решение оказывается близким к оптимальному. Но где
Мраптия того, что именно предложенное инженером решение яв-
лнртся наилучшим? Только строгая теория позволяет выявить
точную структуру оптимальной системы, оценить потенциальные
возможности ее или любой другой, субоптимальной системы, а также
Айгь целый ряд новых решений, пригодных в ситуациях настолько
(ложных, что нахождение'их эвристическим методом, хотя и
возможно, но маловероятно.
В этой книге рассматриваем только поэлементные методы,
прижми дискретных сообщений, поскольку n^pjie«_3J^ffi^L_[53.]_iiaj J
Пространственно-временных каналов-в-настоящее время трудноре;
й ипуем.
Исследуя алгоритм поэлементного приема при произвольной
лимита канала, будем пренебрегать межоимвольной
интерференцией, ориентируясь на такой ансамбль сигналов, который
удовлетворительно 'обеспечивает условие разделения путей в
принимаемом поле.
Основное внимание будем уделять исследованию алгоритмов,
(И утествляющих независимую обработку отдельных символов, не
lit Пользующих оценок параметров канала, полученных на преды-
iVIUHX интервалах анализа. Однако в некоторой Степени исследу-
t>UH и противоположная ситуация (использование надежных
оценок параметров канала, полученных на предыдущих интервалах в
)/Иониях идеальной классификации).
В основу построения алгоритмов оптимальной обработки
сигналов в стохастическом канале целесообразно заложить принцип
I кинетической самоподстройки (адаптации) [63]. Суть метода
103
статистической самоподстройки заключается в замене неизвестных
параметров, определяющих сигнал в месте приема и входящих п
правило принятия решения какими-либо оценками этих парамет
ров. В рамках рассматриваемой здесь модели линейного стоха
стического канала этими параметрами являются координаты раз
ложения характеристики канала. Таким образом, метод статисти
ческой самоподстройки подсказывает следующий путь построении
алгоритмов оптимальной обработки сигналов. Сначала канал счи
тается условно идеальным, т. е. характеристика его полагаете»
точно известной на приемном конце. В этих условиях, как извеп
но из фундаментальных работ [60, 68, 95], оптимальной являете»
линейная корреляционная обработка (как в случае гауссовского
так и негауссовского шума). Для негауссовского случая этот pi"
зультат, строго говоря, справедлив при определенных ограничеии
ях [95]. Далее, используя принцип адаптации, следует заменить
координаты разложения характеристики канала, входящие в ал
горитм оптимальной обработки, их оценками. Полученный в ро
зультате этой операции алгоритм обработки, как будет видно m
дальнейшего, может оказаться нелинейным.
При организации оптимальной пространственно-временной об
работки необходимо оценивать координаты разложения характе<
риатики канала для тех путей распространения, которые намечено
использовать для осуществления разнесенного приема. Оцении
амплитудный множитель и фазовый сдвиг в k-ш пути распростри
нения и зная регулярные искажения сигнала в этом пути, опрс
деляемые, например, в (2.10) функцией tyA(t, £, г), нетрудно по
строить оценку сигнала в месте приема, соответствующую любой
1-й из М возможных передаваемых позиций:
4 (/, /•) - Re nk J *, О <pft (t, I, r) d g. (3.1)
о
Построение оптимального приемника в каналах с селективны
ми замираниями при использовании большого числа ветвей разно
сения по пространству (построение многомерного пространствен
но-временного фильтра)—нелегкая задача, хотя на сегодня ин
женерная практика и располагает известным опытом построении
устройств многократного разнесенного - приема (когератороп
[109]). Реализация многомерного пространственно-временною
фильтра становится более реальной, если перейти к цифровому
варианту на базе быстродействующей универсальной или специа
лизированной ЭВМ [28]. Второй возможный путь заключается и
^применении когерентно-оптических систем обработки 'сигнала»
[56]. Более подробно вопросы реализации алгоритмов простраи
ственно-временной обработки сигналов обсуждаются ниже.
В соответствии с постановкой задачи измерения канала гл. 2
рассматриваются устройства обработки сигналов как при иополь
зовании зондирующих посылок, так и при измерении характерис
тик канала с помощью информационных сигналов.-Поскольку, как
104
имечалось выше, использование принципа статистической само-
ницггройки позволяет разбить задачу построения алгоритма оп-
ишллыюй обработки на этапы, целесообразно начать
рассмотрение с первого этапа — оптимального приема известного сигнала
и и фоне пространственно-распределенной помехи.
3.2. Оптимальная обработка пространственно-временных
сигналов в детерминированном канале.
Пространственно-временной согласованный фильтр
Доступное наблюдению пространственно-временное поле пред-
|ццляет собой сумму полезного сигнала и аддитивной помехи:
z(t, г) = «,(/, r) + n{t, r). (3.2)
It iкинем случае пространственно-временные сигналы ui(t, r) по-
|н1/кдпются передаваемыми сигналами известной формы Si(t), 1 =
I, .., М, в соответствии с моделью линейного канала
и,(/, r) = ReJS;(6)A(/, I, r)d\. (3.3)
о
Чпрлктеристика канала h(t, |, г) считается точно известной. • Это
ишиоляет также считать известными сигналы щ (t, r), 1=1, ...,
И, соответствующие каждой из М возможных передаваемых
пошипи сигнала.
Коли аддитивная помеха n(t, r) представляет собой белое га-
\м омское шумовое поле со спектральной плотностью NQ, то ана-
("II ично [62] нетрудно получить алгоритм оптимальной
обработки пространственно-временных сигналов. Решение в пользу сигна-
Н(| / ii позиции si(t) принимается в случае выполнения системы
П'ЧШИСНСТВ
F, — B,>\ncel + Fe — Be, (3.4)
g=l, M; ёф1.
Функционал Fi определяет собой величину корреляции между
ожидаемым сигналом 1-й позиции ui(t, r) и доступным
наблюдению полем
т r
Fl = ^г 11z {t'г) щ {t'r) dt dr- (3,5)
о о
'(пграция, определяемая правой частью (3.5), должна
осуществим п.ея над входным колебанием на каждом из пространственно-
(фгмоиных интервалов наблюдения. Величина Bi определяет
otic иигпие энергии пространственно-временного сигнала в месте
щрнсма и спектральной плотности мощности помехи:
т r
В[ = — Г Г u\{t, r) dtdr. (3.6)
о о
Калинина cgi определяется выбранным критерием приема.
105
При использовании критерия идеального наблюдателя в ел у
чае равновероятных передаваемых сигналов cgi=\.
Поскольку сигнал ui(t, r) может приближенно рассматривать
ся как функция с ограниченной протяженностью во времени [О,
Г] и в пространстве [О, R], алгоритм может быть реализован на
базе пространственно-временных согласованных фильтров с им
пульсными переходными характеристиками
gi(s. x) = n .. m „. ,_ ni (p-n
{ 0 при l и x вне [О, 7j и [О, Щ соответственно.
Выходное напряжение /-го фильтра Ъ момент времени Т в точно
с координатой R пропорционально величине Fi. Структурная схе
ма устройства, выполненного на базе согласованных фильтров,
приведена на рис. 3.1.
z(t,r)
Р li,(T-t,n-r)
$ ujr-W-r)
■->
L—^>UjHf-r)
I
I
в,
-b—G*
i
Bu
Решение
Отсчет В момент .
Времени, Т
Рис. 3.1. Оптимальная обработка в канале С адяитив-
1ным шумом
Остановимся несколько подробнее на структуре пространствен
но-временного согласованного фильтра. "Линейные фильтры, со
гласованные с импульсными сигналами — функциями времени под
робно исследованы в литературе [22, 65]. Открытие голографиче-
ского метода стимулировало развитие методов согласованной
фильтрации пространственных сигналов — неподвижных изображе
ний [61, 71, 74, 96]. Однако согласованная пространственная
фильтрация, в принципе, возможна не только в оптическом, но и
в радиоволновом диапазоне. В частности, антенна с
синтезированной апертурой (7, 70] может рассматриваться как пространствен
ный согласованный фильтр. Обратимся здесь к формальному опи
санию пространственно-временного согласованного фильтра.
Рассмотрим выходной сигнал Fi(t, r) линейного фильтра с им
пульсной переходной характеристикой gi(E„ %) при подаче на вход
его сигнала z(t, r):
оо w
Fi(l, г)= j j"*P-£, r-t)gl&, %)dt d%.
(3.8)
00 00
106
It i лучае, если
gi(l, Х) = Щ{Т-Ъ, R^-y), , (3.9)
mi ii.ui (3.8) примет вид
00 CO
Ft(t, r)= j ^(t~l, г-%)щ{Т-1, R-7i)dld%.
— 00 —00
II момент времени Т в точке с координатой R выходное
напряженки достигает величины
со со
Ft (Т, R) = f J г (t, r) щ (t, r) dt dr = Ft. (3.10)
00 00
Нипрпвляясь от (3 10), можно записать выражение для Ft(Ty R)
ii миде:
00 00
Fi (T, R)= f JZ (©, ©,) Ut (со, cog) dp d cog, (3.11)
CO 00
in' '/(из, a>g), Ui(ti), cog)—спектры реализаций z(t, г) и ub(t, r)
цщ'иотстввнно. Таким образом, величина Fi, определенная ур-нием
(III), может быть получена с точностью до постоянного множи-
h in па выходе согласованного линейного фильтра. Требование
• и p.iничейной протяженности функции Ui(t, r) во времени необ-
iniiiwo для того, чтобы согласованный фильтр был физически
|н .итууемым. Ограниченная протяженность анализируемых сиг-
iiriiiii в пространстве всегда обеспечивается конечными
размерим приемной антенны. Определим передаточную функцию
н|ин гранственно-временнбго согласованного фильтра:
СДсо, o>g)= J ]щ{Т-1, R-X)e~i^~l'°s%dld% =
— со —со
— i со Т— 1 «од R *
= е 8 U;(co, cog), (3.12)
*
i if (А(.со, (x>g) — сопряженный пространственно-временной спектр
и i выходе канала, соответствующий 1-й позиции передаваемого
пинала, а Т и R определяют задержку во времени и смещение
и пространстве соответственно.
Для канала, описываемого .моделью фильтра с постоянными
параметрами с характеристикой #(&>, г), структура устройства
оптимальной пространственно-временной обработки может быть
i \ щтгвенно упрощена. Аналогом соотношения (3.3) в этом
случае является
£/, (со, cog) = Н (со, <йв) S, (со). (3.13)
Передаточная функция фильтра, согласованного с пространствен-
IHi временным сигналом щ(1, г), должна теперь удовлетворять
107
соотношению
Gj(©, юг) = [//(ю, ю#)е
= Я*(со, cog)S;(o)e
— ieor— ii
'«Г*_
— i шГ-
1и,К
(З.Ь
Фильтр с характеристикой (3.14) может быть представлен ка
последовательное соединение двух фильтров. Один из них являет
ся пространственным с характеристикой, не зависящей от перс
даваемых сигналов Я* (со, <%) e~iu>7V~m&R , другой не содержит прс
Странственной переменной и определяется передаточной функцис
S* (ш) е-"шГ* причем выполняется соотношение Ti+T2=T. Проа
ранственный фильтр является одинаковым для всех М ветвей
может быть включен на входе оптимального приемного устройств)
Структурная схема такого устройства изображена на рис. 3.J
Роль интегратора на выходе пространственного фильтра понятп
из соотношения (3.11).
zft,r)
П*(и\ыя)ех^1 (иТ^Н)]
Э
Г* U,(rft)
lljTft)
4uM(rft)
Решение-.
Рис.
Отсчет В момент
Времени £
32. Пр-остранственно-таременной согласованный фильтр
для канала с гладкими во времени замираниями
Несомненным достоинством рассмотренного метода обработк
поля является то, что пространственная и временная обработк
сигналов здесь разделяются. Отметим, что, несмотря на кажущеес
сходство, данный метод приема не совпадает-с методом адаптивно
компенсации искажений в канале, рассмотренным выше.
Опираясь на известные результаты [41, 95] для временных сш
налов, можно отметить, что правило (3.4) сохраняет свои оптн
мальные (или близкие к оптимальным) свойства и в случае не
гауссовских дельта-коррелированных помех с нулевым средним
симметричной функцией распределения.
Нетрудно обобщить задачу оптимального приема точно извест
ного сигнала и решить ее для так называемого «окрашенйого» [К
109] шума с корреляционной функцией Вп (t, t', г, г'). Имеются дв
пути для решения этой задачи: «обеляющий» фильтр, добавляемы,
ко входу приемного устройства [22], и формирование специальн
опорного сигнала, учитывающего корреляционные свойства шум
[64, 109]. Второй способ является более строгим, хотя результат!
108
(3.15)
н обоих случаях во всех практически интересных ситуациях оказы-
|шются одинаковыми1).
Правило обработки сигналов в окрашенном шуме по-прежнему
определяется системой неравенств (3.4), однако величины F; и Bt
должны определяться чз соотношений:
Fl=\\z(t, r)y,{t, f)dtdr,
о о
Т R
Я,= J [и, (Л r)v;tf, г) Л dr.
о 6
Функция vi(t, r) является решением интегрального уравнения
j j Bn (t, f, т, г') yt (Г, г') df dr' = щ (t, r). (3.16)
6 6
1'ешение задачи может быть также получено путем пропускания
i игналов z (t, r) и щ (i, r) через «обеляющие» пространственные
фильтры с последующей корреляционной обработкой. Если
окрашенный шум имеет спектральную плотность N (со, a>g), то квадрат
модуля частотной характеристики К (со, a>g) обеляющего фильтра
должен удовлетворять соотношению
|К(со, со,)|2 =4
2 /V(co, cog)
(3.17)
Коли окрашенный шум n(t, r) подается на бход этого фильтра,
ю на выходе фильтра образуется «белый» шум со спектральной
плотностью мощности No- Структурная схема корреляционного
приемника с фильтрацией входного и эталонного сигналов
изображена на рис. 3.3.
u,(t, г)
Рис. 3.3. Обработка поля с фильтрацией наблюдаемого и
эталонного нолей
') Следует заметить, что переходный процесс на выходе обеляющего фильт-
||Щ может вызвать существенную межсимвольную интерференцию, если не на-
мшдывать никаких ограничений на ансамбль используемых сигналов.
109
Второй возможный вариант построения оптимального устрой
ства «бработки пространственно-временных сигналов при окра
женном шуме заключается в выполнении его на базе согласован
НЬ8Х фиЛЬТрОВ. ' ,
Как видно из рис. 3.3, спектр опорного сигнала в 1-й ветви
«•iff, г) образуется согласно соотношению ■
Q0, (со, cog) ^ £/г (со, cog) К (со, og), (3.18)
где Ui(ia* tag)—спектр сигнала ui(t, r). Передаточная функция
фильтра, согласованного с ti°i{t, г), должна удовлетворять соот
ношению
G, (to, cog) = [V°i (to, ag)}* e
= #(©, a>e)k*(a>, сог)е-1шГ-!^к. (3.19)
Как следует из (3.19), каждый 1-й из М согласованных фильтров
иредставляет собой последовательное соединение фильтра К* (/,
— i to T — i to- R
ia„R
*»«) e
-toT»
4>gRi
, не зависящего от порядкового номера ветви, в
которую он включен (от позиции сигнала), и фильтра Ui( со,
Щдг)е~~*в-»-_иу?'к согласованного с ожидаемым t-м сигналом ui(t, r),
вде T=>Ti+Tz, R—Ri + Rz. Первый фильтр является одинаковым
для всех М ветвей, и его целесообразно сделать общим, включив
на входе приемного устройства.
Последовательные соединения двух фильтров на входе прием
нота устройства—-обеляющего, изображенного на рис. 3.3, и со
гласованного, названного выше, определяет пространственный
фильтр с передаточной функцией
Л (со, cog)A*(co, cog)e
No. 1 -1ш,Г,-
■ i tOg R,
(3.20)
2 TV (CO, COg)
Структурная схема оптимального приемника, выполненного на
согласованных пространстввниых фильтрах, изображена на
рас. 3.4.
Ц, 1
"!
"***"
e3$ifj7?to3xf)}
—\
—?
-^
г^
N
/
и,,(Гг-Щ-г-)
u./Tft.H^r)
uMaft,n{r)
■-&
/'
\вг ,
)
\вн
)
*.
«а
«-а
Решение
Отсчет в момент времени Тг
Рис. 3.4. Оптимальная обработка сипнала ва фоне
окрашенного шума
110
Рассмотрим, как выглядит правило (3.4) при ишользшаняш
рех конкретных систем сигналов, имеющих широкое расяростра-
•пие.
Для системы М равновероятных сигналов равной энергий (ш
ЮТности, для системы ортогональных 'в усиленном смысле [104]
Чгналов) правило решения ло критерию идеального наблюдателя
фипимает вид
JlKOU приемник, по-видимому, наиболее удобен для реализация
(| базе согласованных фильтров. Если для передачи информации
СПользуются два противоположных сигнала: S\(i) и «гСО——*<(*)•
Устройство оптимальной обработки должно принимать решение в
||Ользу сигнала Si(t) при выполнении неравенства
F1 > 0 (3.22)
1)1 пользу сигнала s2(0 яри выполнении обратного неравенства.
* Если же решается задача оптимального по критерию Нейма-
Щ — Пирсона обнаружения сигнала 5(i) с известным временем
прихода, из (3.4) нетрудно получить следующее правило выбора
решения:
F>Q. (3.23|
Порог О определяется по рабочим характеристикам при заданном
ровне вероятности ложной тревоги.
В заключение отметим, что алгоритмы обработки простравст-
иишо-врем энных сигналов ,в угловых координатах имеют вид.
нполне аналогичный рассмотренным.
Например, величины Fi и Bi при обработке поля z(t, ©) в
дальней зоне по углам прихода ■& должны вычисляться из соотношений,,
i оипадающих с (3.8) по своей структуре:
т в
F,= f [ z(t, ®)®i(t, ft)did®,
о —в
г в
(3.2Щ
Bt= | jUl{t, Ъ)Ы*. ®)dtd®,
о—в
i ю функции vi(t, Ф) определяются из решения интегрального
равнения
т " в
f JS„(/, t', •&, G')d,(f', ft')dt'dW = Ul{t, ■&). (3.25&
o-e
3.3. Прием сообщений в условиях идеально
классифицированной выборки, по которой изучается канал.
Как отмечалось в § 2.7, идеальная классификация шадиэируе-
мого поля является условием, гарантирующим получение опта-,
мпльных оценок параметров стохастического канала. Для ее обес-
111
Рассмотрим, как выглядит правило (3.4) при нсподьэовавжк
Iprx конкретных систем сигналов, имеющих широкое расироора-
lifllllC.
Для системы М равновероятных сигналов равной эверпш (ж
Ч к"шости, для системы ортогональных в усиленном смьгсде fllMf
Сигналов) правило решения по критерию идеального на&нщдателж
принимает вид
1лкой приемник, по-видимому, наиболее удобен для реадающш
ил базе согласованных фильтров. Если для передачи иифермадиш
используются два противоположных сигнала: S\(t) и s2(f)~—*i(0»
V фойетво оптимальной обработки должно принимать решение в
пользу сигнала Si(/) при выполнении неравенства
F1 > 0 (3.2^
и и пользу силнала s2(t) при -выполнении обратного неравенства.
Пели же решается задача оптимального по критерию
Неймана — Пирсона обнаружения сигнала s(4) с известным времевок
прихода, из (3.4) нетрудно получить следующее правило выбора
|иЧ1К'ния:
Порог Q определяется по рабочим характеристикам при заданном
ровне вероятности ложной тревоги.
13 заключение отметим, что алгоритмы обработки простраист-
ипцю-времениых сигналов в угловых координатах имеют вид.
мшите аналогичный рассмотренным.
Например, величины Ft и Вг при обработке поля z(t, ©) в
дальней зоне по углам прихода ■& должны вычисляться из соотношений,
i попадающих с (3.8) по своей структуре:
т е
F,= [ f г(/, 0)0, (/, fydtdu,
о—в
г в
Вг= Г (щЦ, Q)ui(t, V)dtdu,
(ЗЩ
о—в
I'll- функции vi(t, ■&) определяются из решения ннтегралыюш
равнения
т е
J JB„(/, /', •&, G')G,(/', V)dt'dW = ц,(/, *). р.25)
о-в
3.3. Прием сообщений в условиях идеально
классифицированной выборки, по которой изучается какал.
Как отмечалось в § 2.7, идеальная классификация аналшзмруе-
ппо поля является условием, гарантирующим получение ©irra-
wuibHbix оценок параметров стохастического канала. Для ее обе£~
ill
печения-могут» использоваться специальные испытательные (зондн
рующие) сигналы или же применяться информационные сигналы
освобожденные от следов манипуляции посредством решающей of)
ратной связи. Примерами функционирующих модемов с испыта
тельными сигналами являются СИИП (53], Adapticom [79] и дру
гае. В таких системах связи зондирующая позиция сигнала s(t)
не несет в себе информации о передаваемом сообщении, а служиi
лишь для измерения параметров стохастического канала и орга
низации работы (Приемного устройства, которое, следовательно,
является адаптивным. Текущие оценки-неизвестных параметром
канала вычисляются, и приемник адаптируется преимущественно
цо тем реализациям входного колебания, . которые порождены
испытательным сигналом, хотя, в принципе, для этой цели можно
в той или иной степени использовать и информационные сигналы
Форма и длительность испытательных сигналов, в принципе, могу!
отличаться от формы и длительности информационных сигналов
., Необходимо отдельно рассмотреть. два возможных случая ис
пользования зондирующих сигналов; нёселективное и селективное
изменение параметров канала во времени. Первый из них доста
точно освещен в работах [46, 49, 53]. Если параметры канала из
меняются медленно (выполняется условие (1.73) так, что на ип
Тервале времени длительности КТ они практически неизменны, то
для измерения параметров канала достаточно передавать один
испытательный сигнал длительности Т на К информационных
(рис. 3.5): По мере увеличения скорости изменения параметре»
Информационные сигналы
КТ
П
Испытательные сигналы
Рис. 35. Передача во времени
информационных и испытательных сигналов:
а) последовательная; б) параллельная
канала-приходится уменьшать число информационных посылок К,
обслуживаемых одним испытательным импульсом. Известен
вариант системы, в которой последовательно чередуются
испытательные и информационные посылки [59].
Вопреки имеющей место точке зрения [46] можно
использовать испытательные сигналы и в ситуации селективных во времени
замираний, когда выполняется соотношение Хко$^Т. Зондирующий
112
in пал должен в данных условиях излучаться непрерывно, парал-
nvii.no с излучением информационных сигналов.
I (араллельная передача испытательных сигналов, по-видимому,
мпиболее оправдана при использовании параллельных модемов
I многочастотных систем [53]). Частный случай параллельной пе-
Илачи испытательного сигнала реализует схема В. И. Сифорова
|Н/|, предназначенная для работы в канале с селективными во
иремепи, но неселективными по частоте замираниями.
Испытательный сигнал в этой схеме представляет собой непрерывно
излучаемую синусоиду определенной частоты. По реакции канала на этот
шпал можно корректировать тракт обработки информационных
щ палов.
Следует подчеркнуть, что использование испытательных
сигмами, предназначенных специально для изучения параметров кана-
II 1'иязи и не несущих полезной информации, обладает тремя не-
мгглтками. Во-первых, часть мощности передатчика расходуется
i пучки зрения источника сообщений и потребителя впустую. Во-
итрых, снижается возможная скорость передачи информации, ио-
i ильку время от времени вместо информационных сигналов тре-
п грея посылать зондирующие (это соображение остается в силе
и при параллельной передаче зондирующих сигналов). В-третьих,
ti'in ориентироваться на оценку параметров канала только по
in питательным сигналам, то в некоторых каналах не будет обес-
И1 чрио нужное качество оценок, а как следствие, требуемая
инмсхоустойчивость связи.
Особенно заметны эти недостатки в каналах с относительно
пыпрыми изменениями параметров канала во времени. Так, если
• мелью зондирования последовательно с каждым двоичным ра-
иич'им сигналом передается один испытательный, то канал недо-
|ц пользуется для передачи информации на 50%- Средняя же энер-
i ич передатчика должна быть распределена между испытательны-
щ п информационными сигналами в соотношении, по крайней ме-
|м, пс меньшем, чем 1:1. '
Указанные недостатки могут заставить разработчика системы
мьгнаться от идей использования только испытательных сигналов
i i i оценок параметров канала. Однако совсем отказаться от изу-
пнпи параметров канала связи и адаптации разработчик совре-
инпой системы передачи информации уже не может — это про-
ннмречит духу времени и всему накопленному в технике связи
■ чьи V
Выходом из положения является построение устройств
обрати mi, адаптирующихся к параметрам канала связи непосредст-
i.i нпо по информационным посылкам сигналов, использующих,
i 'in что возможно, решающую обратную связь [21, 53, 58]. Если
■приятность ошибочного приема символов очень мала и тКор^>7\
i и. и я связь может обеспечить идеальную классификацию выбор-
• и, по которой изучаются параметры канала, иначе говоря, позво-
I'lri сиять в этой выборке следы манипуляции. Качество оценок
н и р. I,метров канала будет определяться всей энергией деманипули-
113
рованного сигнала Еп, участвующего в измерении, и может
оказаться выше, чем в случае измерения параметров только по
зондирующим посылкам, когда их накопление ограничено.
В принципе, для повышения качества оценок можно сочетать
измерение параметров канала по информационным посылкам при
наличии решающей обратной связи (основное звено) с измерением
по редко 'передаваемым испытательным «сигналам (аварийное
звено, которое берет на себя основные функции измерения в условиях
плохого прохождения волн) [53, 133].
Обратимся теперь непосредственно к алгоритмам оптимального
приема дискретных сообщений в условиях идеальной
классификации анализируемого поля. Использование принципа статистической
самоподстройки (адаптации) приводит к алгоритму приема на фане
белого шума, совпадающему по форме с алгоритмом (3.4) приема
в идеальном канале
Л Л Л Л
F^B^XnCgt + Fg — Bg, (3.26)
g=l, М; gфl.
л
Функционалы Fi определяют величину корреляции между
л
оценкой ожидаемого сигнала if-й позиции ui(t, г) и доступным
наблюдению полем
т я
л 2 ,, f. л
Fi =
-f fz(f, r)U[(t, r)dtdr. (3.27)
0 .' J
о о
Л
Величины Bi, 1=1, M, определяют отношение энергии оценки
1-го сигнала в месте приема к спектральной плотности мощности
помехи:
Л | /./.Л
Bl = ~N~\ \U2'{t' Г)йЫГ- (3,28)
о о
л л
Подчеркнем, что в случае приема с адаптацией величины Fi и В;
должны вычисляться по входному колебанию на каждом из
пространственно-временных интервалов наблюдения. Общий вид
структурной схемы адаптивного устройства, различающего М
сигналов, приведен на рис. 3.6. Устройство функционирует по
следующему алгоритму. В блоке измерения параметров канала ЙПК
измеряется импульсная переходная (или какая-либо иная)
характеристика канала по алгоритмам, изложенным в гл. 2. Полученная
в этом блоке оценка характеристики, например, h(t, £, г)
используется в устройстве формирования оценки сигнала 1-й позиции
УФОСг в соответствии С правилом
ut(t, r) = Jh(t, t r)Sl{l)dl. (3.29)
114
Г^:
z(t,r)
КЛ
ИПК
AL
3
уфвс1 —"4 вэо, 1
ft
Е
4
УФОВг
НЕ
J ^
=>
НЕ
5 W*
Решение
Рис 3 6 Адаптивное устройство, различающее М
сигналов
»та оценка, в свою очередь, поступает на коррелятор Ki оценки
/ ft позиции сигнала и входного колебания, вычисляющей величины
л л
/''/, и на вычислитель энергии Bt оценки сигнала 1-й позиции ВЭО*.
Выходной сигнал каждой из М ветвей приемного устройства,
Л Л
представляющий собой разность Fi—Bi, поступает на схему
сравнения и выбора CGB. Ключ на входе ИПК необходим при последо-
плтельном способе передачи испытательных сигналов, когда
измеритель параметров канала должен обрабатывать входную смесь
И'ишь на интервалах времени, отведенных для передачи
испытательных сигналов. Такт работы ключа, а также цепей сравнения
и выбора ССВ задается устройством синхронизации, которое на
|шс. 3.6 не показано.
Приемник, структурная схема которого изображена на рис. 3.6,
итличается от приемника пространственно-временных сигналов в
идеальном канале, показанного на рис. 3.1, прежде всего наличием
блока измерения параметров канала ИПК и устройства
формирования оценок ожидаемых сигналов УФОСг, /= 1, М Блок
измерения параметров стохастического канала ИПК подробно описан в
гл. 2 На выходе этого блока имеется,^в общем случае, вектор
115
оценок координат разложения квадратурных компонент
характеристики канала, например,
л
л
Л Л Л -У- Л Л Л
Величины, образующие этот вектор, должны использоваться в
УФОСг для построения оценки i-ro сигнала в месте приема, кото-
рая с учетом ооотношеиия (3.29) и канечнои размерности вектора
оценок координат может быть записана в виде суммы
щ (t, г) = 2 к slh {t„ r) + УьЪк С г). (3.30)
4=1
Регулярный сигнал &-й позиции в k-м пути распространения
Sm(t, r) определяется соотношением
sih(t, r)= ]yn(t, |, r)st(t-l)dl.
(3.31)
ИПК
^>
~%
э
S Ф
-©=;
э
5
Ufftr)
Получить сигналы sik (t, r), k = 1, 2, ..., JV, / =? 1, 2, ..., ЛГ, можно
двумя различными путями. Во-первых, можно заранее вычислить
все (NX,M) возмож-
ные копии сигналов и
построить
соответствующее число
генераторов пространственно-
временных колебаний,
дающих на своих
выходах соответствующие
функции. Структурная
схема устройства
формирования оценки /-го
сигнала, использующая
генераторы сигналов,
соответствующие
различным путям
распространения, приведе
на на рис. 3.7.
Генератор Гш вырабатывает
сигнал 1-я позиции в
6-м пути
распространения sik(t,r).
Фазовращатель на я/2
осуществляет преобразование
Гильберта сигнала
sik(t, r), на входе его
получается колебание
Sik(t, r). Опорные сиг-
-ж.
=?
<р
-*Чх
Рис. 3.7. Устройство формирования оценки
сигнала 1-Й ПОЗИЦИИ
116
налы Sik(t, г) и sih(t, r) умножатся на оценки квадратурных
компонент характеристики канала в k-u шути распространения, соот-
л л л л
ветственно на величины хн и ук. Величины хь. и ун распределяются
коммутатором. Умножители представляют собой в данном случае
просто усилители с изменяемыми коэффициентами усиления.
Сумма сигналов на выходе этих двух усилителей представляет собой
оценку случайного (вследствие изменения параметров канала)
сигнала 1-й позиции в k-м пути распространения
л Л л ^
Щк {*, г) = хк s,ft (t, r) + yk sik {t, r). (3.32)
Далее выходные колебания всех N ветвей, соответствующих N
путям раапространения, могут быть сложены в сумматоре для
л
формирования оценки /-го сигнала в месте приема Ui(i, r), однако
эта операция не является необходимой, если вести дальнейшую
обработку сигналов не по М, а по Л/ХМ-канальной схеме, т. е.
/-й коррелятор должен состоять из N корреляторов, реализующих
операции
л г r
Flh = ~N~$\Ulk (Л Г) Z {t' Г) dtdr' k==l' N' (3'33>
0 о о
Соответственно устройство вычисления оценки энергии 1-го
сигнала в месте приема ВЭО*, изображенное на рис. 3.6, должно
состоять из N подканалов, в каждом из которых вычисляется
величина
л г r
Вл="^г Иu%ik {t'r) dt dr' k=T^- (3-34>
0 о о
Рассмотренный способ .получения сигналов
*»('. г)> k=l, N, 1=1, М
имеет следующие недостатки.
1. Сложность генерирования колебаний заданной формы. Для
некоторых видов функций <pk(it, lg, r), определяющих необходимую
форму сигнала (3.31), может оказаться просто невозможным
построить генераторы сигналов sm{t, r) на базе известных
электрических или оптических элементов и устройств. Особенно это
замечание относится к случаю использования в качестве функций
щ{&, £, r)y k=\, N, собственных функций интегральных уравнений
вида (2.21). В этом случае единственно возможной оказывается
реализация алгоритма обработки сигнала в цифровом варианте на
базе универсальной или специализированной ЭВМ.
2. Невозможность перестройки схемы при переходе к новой
системе сигналов или к новой модели канала. От этого
недостатка, конечно, свободен цифровой вариант реализации. От указан-
117
ных 'недостатков частично или (полностью свободен второй
возможный путь получения сигналов Sih(<t, r), \l=\, M, k=\, N, не
требующий построения специальных генераторов. Опорный сигнал 1-й
позиции ,в k-м пути распространения может врабатываться на
выходе фильтра с переменными параметрами я характеристикой
<Рй('А & г) в соответствии с соотношением (3.31). Вообще говоря,
каждой .позиции сигнала при таком подходе должно
соответствовать количество N фильтров с переменными параметрами, т. е
общее число фильтров составляет NxM и при использовании
многопозиционных систем в сложных каналах может оказаться
весьма большим. Несмотря на то, что каждая группа из N
различных фильтров повторяется М раз для различных позиций
(сигналов, в общем случае невозможно обойтись одним набором N
фильтров. Конечно, возможности описанного устройства,
содержащего NxM фильтров, здесь используются не полностью^ Имея
индивидуальный набор фильтров для каждой из М позиций
сигнала, можно построить приемное устройство, учитывающее
специфику искажений каналом каждой отдельной позиции
передаваемых сигналов. Например, для некоторой 1-й позиции
существенными могут являться не все N, а лишь Ni<N путей распространения.
Это должно быть учтено при построении приемника.
В частных случаях, представляющих большой практический
интерес, существует возможность создания MxN опорных
колебаний на базе одного набора, включающего N различных
фильтров. Такая возможность имеется, например, если спектры сигналов
различных позиций на выходе канала связи (в некоторой
точке Яо) не перекрываются между собой (рис. 3.8). Тогда можно
подавать на вход каждого из N фильтров tpk(t, £, ,r) суммарный
м
сигнал s(it) = ^st(it), а на выходе разделять сигналы, соответст-
вующие различным позициям с помощью полосовых фильтров
(рис. 3.9).
При использовании для передачи информации сложных
(в частности, составных [2, 73]) сигналов в реальных каналах
связи всегда можно уменьшить необходимое число наборов по N
фильтров. Сложный сигнал произвольной 1-й позиции Si(,t) может
быть представлен известным [22, 109] соотношением
з,(/) = 2%аЛ0, /=ГГм, (3.35)
/Ц(ЦГ)1 ШЦг)1 1й„Ш1
/=1
пппшп п
9
Рис. 3.8 Сигналы с неперекрывающимися ва выходе канала спектрами
118
P^(t,r)
>ЪкЪг)
>%№>
Рис. 39 Генератор эталонных сигналов с
неперекрывающимися спектрами
где a3(t)—элементарные сигналы, образующие ортогоналыньш
Оазис; si3 — координаты разложения сложного сигнала tf-й
позиции на заданном базисе.
Наиболее часто находят применение элементарные сигналы в
ниде сдвинутых во времени импульсов
a,(t) = g(t-ha)> i=TTL, (3.36>
где импульс единичной энергии
g(/) = r (3.37>
( 0, при остальных t.
Используя разложение (3.35) в соотношении (3.31), можно
представить сигнал 1-й позиции т k-u пути раапространения в ниде
L
siu(t, г)=Увиа^,г), (3.38)
где элементарный сигнал на выходе канала a3n{t, r) определяется
соотношением
*,k(t,r)= J a, (/-5)%^, l,r)dl
(3.39)
и может быть получен на выходе линейного -фильтра с
характеристикой (fh(t, £, г). Для получения L элементарных опорных
сигналов ai(t, r), az(t, г), ..., a,b{t, г), вообще говоря, необходимо иметь
/. наборов по N фильтров. При L<M выигрыш в числе фильтров
очевиден. Вычисление элементарных опорных сигналов arh (t, r)
может оказаться целесообразным и в случае L>M, если при этом
учтены свойства используемых входных элементарных сигналов
В важном случае, когда входные элементарные «сигналы
представляют собой функции вида (3.36), а память канала |Макс
меньше длительности сигнала Т и в ю раз превышает длительность
элементарного сигнала
119
бнан* =*«*«. m=l, (L—1), (3.40)
число фильтров может быть уменьшено до величины
А*в = /п^1. (3.41)
При этом каждый фильтр используется на протяжении интервала
времени длительности Тс
R = [L/LMIiH] (3.42)
раз. Например, при т= 1 (память канала равна длительности
элементарного сигнала), L —И (одиннадцатиразрядный код Баркера)
можно обойтись для вычисления из (3.39) элементарных опорных
сигналов a3h{t, г) лишь двумя наборами по N фильтров. Каждый
из этих фильтров будет включаться не более чем шесть раз на
интервале длительности Tt (рис. 3.10). Коммутация входных и
выходных сигналов фильтров должна осуществляться специальным
устройством.
Рис. 310. Вычисление элементарных опорных
сигналов ,
Отметим также, что совсем не обязательно, после вычисления
LN элементарных опорных сигналов a3h(t, r) строить по ним MN
опорных сигналов sm(t, r), соответствующих передаваемым
позициям. Всю линейную -часть приемника можно построить в расчете
на элементарные опорные сигналы a}h(t, \r), что при L<M
позволяет уменьшить 'позиционность ожидаемых сигналов (и число
•Соответствующих ветвей приемника).
Последующее вычисление приемным устройством величин
■коэффициентов корреляций и энергий оценок передаваемых
сигналов выполняется элементарно и может быть возложено на схему
сравнения и выбора ССВ.
В заключение заметим, что наличие окрашенного гауюсовского
шума не вносит в алгоритм оптимальной обработки сигналов в
стохастическом канале какой-либо 'Специфики > по сравнению с
л л •
приемом в идеальном канале. Величины Fi и Bt должны
вычисляться приемником из соотношений
120
T R
о о
Bt = Г [u(t, r)vt(t, r)dtdr.
о о
(3.43)
Функция vj в общем случае определяется из решения
интегрального уравнения
J J Bn (t, Г, г, /) v, {Г, г') df dr' = щ (t, r). (3.44)
о о
'Гак же, как и в идеальном канале, целесообразно использовать,
обеляющие фильтры
Если шум в канале негауоеовокий, интегралы в i(3.27), (3.33),
(3.43) в ряде случаев следует понимать в смысле Ито [19, 95].
С инженерной точки зрения существенно' то, что интегрирование в
смысле Ито успешно выполняется как на цифровой, так и
аналоговой основе.
3.4. Прием сообщений в условиях
неклассифицированной выборки, по которой изучается канал,
и использование априорных данных
Рассмотрим теперь адаптивный алгоритм приема дискретных
сообщений при использовании оценок параметров канала по
информационным сигналам в условиях полностью
неклассифицированной выборки.
Отправляясь от того, что имеется 'некоторая оценка
характеристики канала и используя принцип адаптации, нетрудно
записать алгоритм приема М сигналов в форме, совпадающей с (3.26):
^-В,>1пС„г + ^
■д
S'
g=l,M; %ф1,
(3.45).
где по-прежнему в случае «белого» шума \r—\ M; гф1
Л о Л Р Л
Fi=-~\ *С г)иЛ*> r)dtdr>
о о
Т R,
\
(3.46>
/\ 1 П П Л
Bi=n7j И(Л r)dtdr'
о о
Однако теперь входящие в (3.46) оценки М ожидаемых в месте
приема сигналов строятся по информационным посылкам
сигналов.
Оказывается, что, несмотря на внешнюю идентичность
подходов и алгоритмов (3.26) и (3.45), приемники, адаптирующиеся по
121
f
рабочим (информационным) посылкам сигналов, могут иметь
структуру, совершенно отличную от структуры приемников,
использующих испытательные сигналы или иные средства,
обеспечивающие идеальную (классификацию выборки, по которой изучается
канал. Обратимся к- конкретным алгоритмам построения оценок
характеристик канала по информационным сигналам,
синтезированным в § 2.7, и их использованию в приемнике дискретных
сообщений.
Входящие в (3.46) оценки ожидаемых сигналов щ (t,r),l — 1,М,
определяются оценками координат разложения характеристики
канала. Положим сначала, что для построения оценки /-го
сигнала в месте приема используются условные оценки (2.170)
координат разложения характеристик канала, полученные в
предположении передачи 1-й позиции сигнала:
т r
,——1 \z(t, r)sik(t, r)dtdr + mxk
о о
<&-
vl —.
i + °L
2
No
T R
Я
о о
gjb(t, r)dtdr
Jvk
T R
4 =
~ \ \z{t, rjsiktf, r)dtdr + myk
о о
T R
1 +
о о
gfk(t, r)dldr
(3.47)
л
ut(t, r)
Оценки (3.47) получены, в предположении наличия априорной
информации о канале для случая «белого» шумового толя.
Л
Входящие в ((3.46) оценки m(t, г), 1=1,N, с учетом
сделанного замечания могут быть записаны в виде
■ftij,s^.r) + ylk7lh(t, r), ' (3.48)
4=1
Структурная схема приемника, реализующего алгоритм (3.46) и
использующего условные оценки (3.47), приведена на рис. 3.11.
Схема, изображенная на рис. 3.11, отличается от схемы 3.6
наличием измерителя параметров канала ИПК* ib каждой из М вет-
ей, соответствующих передаваемым позициям сигналов, и
появлением линии задержки ЛЗ, осуществляющей задержку входного
колебания на Т. Работа устройства, структурная схема которого
изображена на рис. 3.11, не нуждается в подробных комментариях.
Входное колебание z{t, г) поступает одновременно на М блоков
измерения параметров канала и на вход линии задержки. В
блоках измерения в течение времени Т вычисляются условные коор-
122
Zftr)
дпнаты оценки (3.47). К моменту времени Т устройство формиро-
л
иания оценки 1-го сигнала УФОСг формирует оценку Ui(,t, r). Эта
оценка подается на коррелятор К.и где за интервал времени
[Т, 2Т) вычисляется
корреляция полученной
оценки с задержанной на
время Т копией входного сиг-
пала. Работа устройства
вычисления энергии
оценки ВЭОг, в принципе,
ничем не отличается от
аналогичного устройства схе;
мы 3.6, описанного выше.
Блок синхронизации «а
рис. 3.11 не показан.
Недостатком
описанного алгоритма, который
реализуется схемой 3.11,
является необходимость
задержки входного
сигнала на длительный
промежуток времени. В
устройстве, содержащем
линию задержки, трудно
обеспечить нужную
стабильность.
Имеется более
удобный путь реализации
алгоритма (3.46),
использующего условные
оценки ожидаемых сигналов (3.46). Подставив выражения оценок
координат (3.47) в (3.46), запишем оценку 1-й позиции ожидаемого
сигнала в виде
"■' - ■■mxk lt ч , 2h'uikVik+myk'
Рис 311
рующееся
Устройство обработки, ащапти-
ио информационным сигналам
Л е-,
»lh
{t, г)
xlk
1 + 2ft*
■slh(t, r), (3.49)
yik
где аналогично гл. 2 введены обозначения:
h2 = E^k р2.
nxlk N uxk'
h2 =-
,ly ik
Evik
T R
°k> V№ = "irfl^^ ')^. (3.50)
о о
Используя (3 49) в (3.46), запишем модифицированный алгоритм
вычисления величины:
т r
1
El vik
о о
s№(r> г)
"salt, r)
dt dr.
\
123
л
Ft
2Е[
Ко
N
2flllk v" Ф1к + т*Ь v'4 Ф'*
+
+
l+2ft»
(3.51)
ylk
-Нетрудно также выписать выражения, определяющие алгоритм
л .
.вычисления величины Вг.
Л Е
Nn
N
4=1
'2hlik<btk + mxk\2 , (2h2ylk$ik + myk
l + Klk
+
l + 2h2u
ylk
v№, (3.52)
л
F,
Соотношение' (3.51), определяющее величину корреляции между
■оценкой /-го сигнала в месте приема и входным колебанием,
может быть записано в виде, допускающем более наглядную
физическую интерпретацию:
(3.53)
Величины tym представляют собой значения корреляций между
сигналом l-н позиции в k-ш пути распространения Sih(<t, ,r) и цент-
о
рированным входным полем z (t, r) — г (t, г) —5; (t, г), т. е.
Ф,
'№
Evik
о о
5№
С,'')
dtdr.
(3.54)
I
Среднее значение ожидаемого i/-ro сигнала представляется в виде
_____ N ^
Si (t, /•) = _] т*ь sib ('■ r) + тУ* ?i V' г)- (3-55)
А=1
Л
Анализ (3.53) показывает, что для вычисления величины Fi
необходимо устройство, содержащее линейную и нелинейную части.
.Линейная обработка входного колебания представляет собой
вычисление корреляции между средним значением ожидаемого
сигнала и входной смесью. Нелинейная квадр этическая обработка
может быть реализована JV-кэнзльной схемой. В каждом из
каналов вычисляется корреляция между центрированным входным и
формируемым опорным сигналами. Опорный (сигнал может быть
получен на выходе любым способом, описанным в предыдущем
параграфе. В идеальном канале должна работать лишь линейная
часть, при отсутствии регулярной составляющей — лишь квадра-
тическая.
Структурная схема устройства, осуществляющего квадратиче-
• скую обработку, изображена на рис 3.12.
124
Рис. 312 Квадратичная обработка наблюдаемого
поля
Величина Bi, как следует из i(3.52), определяет «плавающий»
пороговый уровень в 1-й ветви приемника. Приемники с
'адаптирующимся порогом рассматривались в целом ряде работ [63, 64].
Отметим одно обстоятельство. Объединяя ,(3.52) и (3.51) в
алгоритм (3.45), можно получить алгоритм работы
линейжнквадрэтического приемника с постоянным пороговым уровнем в каждой
n.'i М ветвей. Причем линейная часть алгоритма такого приемника
(овладеет с линейной частью ф-лы (3.53). Выражения (3.45) и
(3 53) отличаются лишь значениями коэффициентов при
величинах ар2№, ap2zfe. Для большинства используемых на практике и
рассматриваемых в дальнейшем систем сигналов алгоритмы
оптимального приема и принимаемые решения не зависят от величин
л
энергий Bi, 1=1, М, сигналов в месте приема. Такое положение,
как показано выше, имеет место для систем с ортогональными
125
сигналами равной энергии, для системы с противоположными сиг
налами, а также в задаче обнаружения по критерию Неймана
Пирсона. Ввиду указанного обстоятельства вопросы, связанные i
л
вычислением величин порогов Ви здесь детально не рассматри
ваются.
Обратимся теперь к наиболее распространенному и важном
для практики случаю обобщенной гаусоовской модели канала i
гауосовокой помехи. В гл. 2 отмечалось, что в «гаустовоком слу
чае» оценки (3.47) являются оптимальными байесовскими оцен
ками. Естественно поставить вопрос, будет ли рассмотренный ал
горитм (3.45) с оценками |(3.47) оптимальным байесовским алго
ритмом приема в обобщенном гауссовском канале на фоне гаус
совской помехи. Оптимальный байесовский алгоритм в условия
разделения путей нетрудно синтезировать в виде
Я,-Л>^-^ + 1пс«. (3.56
Величина Pi определяет пороговый уровень |/-й .ветви и
определяется из соотношения:
Рг=|] 1п(1+2/^)(1+2/^). (3.57
Величины Ни 1—1, М, вычисляются приемником на каждом
пространственно-временном интервале наблюдения из соотношения
(3.58;
Возможно и другое представление величины Hi, позволяющее дать
более наглядную физическую интерпретацию:
г ял т н
Ht=ir J f"'{t-r) z {t' r)dtdr+~ir^ ~*^7) z {t'r) dt dr- (3-59'
0 0 ' 0 0
Условная оценка флуктуапианной части входного колебания
определяется здесь соотношением
"/М = >!,,„.2 suit, r) + . slk{t,r). (3.60)
Сравнение алгоримов (3.45) и ,(3.56) показывает, что в общем
случае они не совпадают. То, что пороги (3.52) и 1(3.57)
совершенно различны, не играет, роли для тех систем сигналов, о которых
говорилось выше. Существенным является то, что, несмотря на
л
большое сходство, величины Fi и Hi также вычисляются по раз-
126
л
личным правилам. Величина Fu как (неоднократно отмечалось,
представляет собой корреляцию между оценкой входного сигнала,
соответствующего 1-й позиции, и наблюдаемой смесью.
Величина Hi, как следует из (3.59), также содержит в себе корреляции
оценки флуктуирующей части ожидаемого сигнала с
центрированным входным полем и детерминированной составляющей
ожидаемого сигнала с полем на входе. Однако веса, с которыми
суммируются эти величины для образования величины Hh
неодинаковы. Вес второй функции корреляции, зависящей от среднего
значения сигнала, выбирается в два раза большим. Именно в
наличии этого весового коэффициента и заключается р!азница между
оптимальным байесовским приемником (3 45) с оценками (3.47) в
обобщенном гауссовском канале с аддитивной гауосовской
помехой. Ясно, что в канале без регулярной составляющей, например
в иодрэлеевоком, алгоритмы^ обоих рассматриваемых приемников
совпадают. При использовании противоположных сигналов оба
алгоритма также являются тождественными.
В обобщенном гауссовском канале с тауссовским шумом
помехоустойчивость байесовского приемника, безусловно, выше.
Однако, как будет показано в гл. 4, даже полное игнорирование
линейной части байесовского приемника (придание ей иулевого
веса при некогерентной обработке) несущественно снижает
помехоустойчивость приема при использовании ортогональных сигналов.
В негауесовском канале с регулярной составляющей при негаус-
совюких помехах невозможно в общем случае указать, какой из
двух алгоритмов будет обладать более высокой
помехоустойчивостью. Тем не менее можно ожидать, что различие в
помехоустойчивости алгоритмов будет незначительным и тем меньшим, чем
меньше отношение q2 средней мощности регулярной составляющей
сигнала к флуктуирующей.
В § 2.7 рассматривались способы улучшения свойств оценок
параметров канала в условиях полностью неклассифицированной
выборки. В частности, обсуждался способ (2.175) взвешенного
сложения условных оценок параметров i(3.47) и его модификация,
позволяющая ликвидировать линейное смещение оценок.
Материал настоящего параграфа заставляет подойти критически к
указанному способу. Так, в обобщенном гауссовском канале
оптимальный байесовский приемник, алгоритм которого синтезирован
строго, использует не «улучшенные», а условные оценки.
Использование «улучшенных» оценок в данном случае неизбежно
приведет к ухудшению характеристик приемника (если только
алгоритмы приема с «улучшенными» и условными оценками не
окажутся тождественными, как в задаче обнаружения, и
соответственно характеристики останутся неизменными). В негауесовском
случае такое сильное утверждение строго обосновать .
затруднительно, однако качественно картина достаточно ясна. При
использовании равновероятных сигналов «улучшенная» оценка
ожидаемого сигнала 1-й позиции запишется в виде
127
M N ,
"'{tt r)=~k S S ** "4 (f*г)+yr*ik {ti r)~ (3'6]}
Пусть передаваемые сигналы имеют одинаковую энергию и
образуют ортогональную систему. Используя (3.61) в" алгоритме
(3.45), нетрудно показать, что «улучшение» оценок в данном
Случае приводит к эквивалентной задаче приема с использованием
испытательного сигнала, причем энергии испытательного и
информационных сигналов равны, а интенсивность эквивалентной
аддитивной помехи в Л£>раз превышает интенсивность помехи, реально
действующей в канале, Закроем глаза на то обстоятельство, что
при равных энергиях испытательного и информационных сигналов
неизбежно влияние неточности оценок параметров канала ' на
помехоустойчивость -приема. Допустим, что канал измеряется
безошибочно и на каждом интервале \анализа- аппроксимируется
идеальным. Эквивалентное отношение сигнал/шум чна входе
рассматриваемого приемника на 10 lg.'M дБ меньше отношения
сигнал/шум реально имеющего место на входе приемника. Практика
убеждает нас в том, что при таиом большом- запасе всегда можно
предложить большое число субоптимальных схем, среди которых
схема с «улучшенными» оценками почти наверняка не окажется
наилучшей как по помехоустойчивости,*та'к и по удобству
практической реализации. ,
Нетрудно обобщить полученные' здесь алгоритмы на случай
л л
небелого шума. Величины Fi ц Ви определяющие (3.45), при
небелом шуме вычисляются из соотношений:
" л т R л 1 -
■ F,= f f z{t, r)vt(t, r)dtdr,
6 о
Л т R Л
Bt= f \ut(t, r)v,(*, r)dtdr.
I 6 6
(3.62)
Л
Функции vi(i, r) являются, вообще говоря, решением
интегрального уравнения
т r
f jXC t\ rx г>,(/', r')dt'd'r=ul{ti r) (3.63)
6 6
и в данном случае должны вычисляться из соотношений
VtV, г) = 2 *»°«*('. г) +У&Ш, г)> , (3-64)
А=1
где условные линейные оценки координат на фоне небелого шума
согласно (2.113) имеют вид
128
Г R
°*А J 1 Z ^' Г) "'* ^' Л) dtdr + "^
0 0
T R
Л
4-
1 + o\k J J s» (f. л) о» (*, r) dtdr
о о
T R
+ 03yk j j SJfe(f, Г) ^ft(*. Г) dWr
о о
(3.65)
Используя (3.65) в (3.64), получаем
N
2a\k ®ik + mxk
2alk®ik + myk ~
ыиr) = y£j~";z; "'~vlk(t;r)+ "г;\;л -vlk(t,r),
4=1
1 + 2hitk
|дс
1+2A1
г Л
(3.66)
(4
2л*« = о|*^«;
2/г2
r «
ст^гь -Е'гА == j* j* *j* (*, r)t»flft</, r)dfdr =
о о
= \\Tlk{t,r)vlk{t,7-)dtdr; (3.67)
о о ,
/ft i J J
о о
O/ftC О
Подставляя (3.66) в (3.62), запишем алгоритм линейно-ювадрата-
нсокой обработки сигналов на фоне окрашенного шума
л
Fi
Г '
4=1
1
Uxlk
1 + 2^ J
1+2^,
l+2fcW*
£/,.
(3.68)
Можно показать, что, как и в случае белого шума, алгоритм
обработки сигналов совладает с алгоритмом оптимальной 'байесовской
обработки в обобщенном гаусоовском канале с точностью до весо-
иых коэффициентов при линейной и квадратичаакой частях. В оа-
шмальном байесовском алгоритме это соотношение, как и в
случив белого шума, составляет 2:1.
Записанные здесь алгоритмы оптимальной обработки проет-
(тиствфно-временных сигналов хорошо смотрятся на бумаге»
однако разработчики системы передачи информации хотят видеть
1-52 129
за ними, прежде всего, качества, облегчающие их реализацию
При реализации рассмотренных алгоритмов основная • трудность
жроется в осуществлении операций пртстраветвенно-нременнбй
фильтрации, которые входят в алгоритмы явно и неявно.
Характеристики пространственно-временных фильтров оггреде
ляются функциями *pkit, I, r), описывающими канал. Вид этих
функций, который, вообще говоря, может быть самым различным,
во многом определяет помехоустойчивость алгоритма приема, со
держащего их. Оптимальный байесовский алгоритм приема и
обобщенном гаусеовеком канале накладывает жесткие ограниче
нйЯ ва вид функций щ(4, |, г). Они должны быть собственными
функциями интегрального ур-ния '(2.21). Качше-либо отклонения
в форме функций ф/г(|/, |, г) приведут к тому, что алгоритм (3.56)
перестанет быть оптимальным и помехоустойчивость его будет
снижена из-за возникновения корреляций между отдельными
ветвями разнесения. В негауюсовошм канале некоррелированность
путей, обеспечиваемая разложением характеристик по теореме Ка-
руеена •—Лоэва и соответствующим выбором функций щ(1, |, г),
является уже не достаточным, а лишь необходимым условием
оптимальности алгоритма приема (3.45). Однако это не меняет
существа дела: функцию щ($, §, г) следует выбирать из решения
интегрального ур-ния (2.21).
В гл. 2, при рассмотрении дискретных моделей каналов, отме
- чалоеь важное место, которое занимает канал с пространственно
отделимыми (корреляционными функциями. Для таких каналов
собственная функция может быть представлена в жиде
Ф*С, S. r) = q>l(t, 9Ф|"(г)
яли
Ф*(и,#) = Ф^,5)?1,(#)- (з.бэ;
Разделение временных и пространственных переменных аначи
тельно упрощает реализацию алгоритмов обработки. Действитель
ио, (сигнал '/-й позиции в k-м пути распространения (индекс k
соответствует двойному индексу i m) записывается так:
*tk(t, r)=<p}4r)sm(f). (3.70)
где сигнал Sim (i) может быть получен иа выходе фильтра, не
включающего пространственных переменных:
*«™(0 = f <«№)«&('. ЕИ5. (3.71)
б
Соответственно величины Ф^, входящие в алгоритм обработки
(3.45), вычисляются из соотношения
Т R
ф,^ 1_ Г fz(/, г)_ф£"(г)*|«(0** 13.72)
• , о о
в могут быть получены на выходе двух последовательга© соединен
вых элементов: , , ; (, ■
130
а) антенны, осуществляющей пространственную фильтрацию,
описываемую соотношением
о
или
в
Zi(/)= j 2{t, 0)<pt"(0)d0;
—в
б) фильтра, осуществляющего временную обработку сигналоа,
г
El Vmi J
О
В качестве примера можно рассмотреть канал, однородный в»
пространству.
В гл. 2 показано, что собственными (функциями,
определяющими диаграммы наиравлашшсти приемных антенн, являются
вытянутые волновые сфероидальные функции, а при 'выполнении
умения узости пространственного (спектра '((выполняющегося,
например, в KB радиоканале) —'функции
фп(т = sin(»/6»-in)
Tj v ' а/аа -in '
Узконаправлевные антенны с подобными диаграммами
направленности уже давно широко применяются на практике [7]. Имеются
регулярные методы (синтеза таких антенн [7, 70]. Интересен тес
факт, что оптимальность антенн с диаграммами направленности в
виде вытянутых волновых сфероидальных функций
'Обосновывались с детерминистских позиций по критерию минимума (боковых
лепестков т максимальной концентрации энергии [7]. Здесь же
использован гораздо -более мощный статистический критерий
минимума вероятности ошибки при приеме дискретных сообщений.
То, что в рассматриваемом частном случае оптимальная по
байесовскому -критерию пространственная обработка совпадает с
широко 'используемой и хорошо себя зарекомендовавшей на практике
обработкой сигналов узконаправленными антеннами, позволяет
сделать два принципиальных (вывода. Во-первых, это коовендо
подтверждает справедливость математической модели
.пространственно-временного канала, заложенной в основу алгоритмов
обработки, и, во-вторых, позволяет рекомендовать ж практическом!
использованию еще целый рад предложенных здесь теоретически
и еще не реализованных оптимальных алгоритмов обработки
пространственно-временных сигналов. Оптимальная временная
обработка сигналов на выходе пространственных фильтров (антенн)'
резко упрощается в случае факторизации функций ц>гт(£, |), '8Х®*
дящих в (3.71):
5* 131 ■'
}
Сигнал Sim(t) может рассматриваться как результат фильтраци
фильтром с постоянными параметрами и умножения на функци)
времени:
00
о
Но и в этих условиях вид собственных функций 'фшщ(|£), опреде
ляющих характеристики фильтров, может быть настолько слож
ным, что реализация фильтров окажется попросту невозможно!
на базе известных электрических элементов. Имеются два реаль
Ных пути синтеза фильтров с заданными характеристиками: пере
ход в оптическую область с использованием методов голография
й цифровые методы. Эти вопросы обсуждаются ниже. Приближен
ный метод реализации фильтров, заданный частотной характерис
тикой, .заключается в использовании линий задержки с регуляр
ными коэффициентами усиления в различных отводах. Этот мето
находит пока наибольшее практическое применение в система,
обработки сигналов на выходе стохастического канала. В случа
однородного по. частоте канала собственные функции <ршт(1|
оказываются дельта-функциями и линия задержки—строго опти
мальным фильтром.
3.5. Субоптимальная обработка сигналов
при отсутствии априорных данных
Алгоритмы, .синтезированные в предыдущем параграфе, мож
но отнести к классу оптимальных, поскольку они используют опти
мальные оценки параметров «канала и структура их оптимальн
в соответствии с принципом статистической самоподстройки. Алго
ритм приема (3.56) является в обобщенном гауосовском канал
оптимальным байесовским алгоритмом. Всегда, при наличии оп
тимального алгоритма, можно предложить большое число боле
или менее близких к нему как по структуре, так и по характерис
тикам субоптим<альных (жвазиоптимальных) алгоритмов. Здес
будут построенные .субоптимальные алгоритмы обработки оигна
лов, отличающиеся от оптимальных выбором функций q>ht(\t, £, г)
определяющих элементы приемника, и видом оценок координа"
разложения характеристик канала. Функции |фл(4 £, г) выбирают
ся здесь уже не из условия обеспечения наибольшей помехоустой
чивости, а из некоторых менее строгих и более близких к прак
тике соображений, учитывающих очень важный фактор — удоб
ство реализации фильтров, характеристики которых <определяютс5
видом указанных функций. В качестве оценок координат буду
рассматриваться субоптимальные линейные оценки, полученные
гл, 2 и требующие меньшего юбъема априорных данных, чем оп
тимальные линейные оценки.
Алгоритм обработки по-щрежнему в общем виде определяете
соотношением (3.45). При рассмотрении алгоритмов субоптималь
132
ной обработки будем полагать, что пространственная и временная
обработка сигналов разделяются. Пространственная обработка
осуществляется набором пространственных фильтров с заданными
характеристиками 'фп»(г) (антенн с заданными диаграммами
направленности). Не будем здесь концентрировать внимание на
вопросах обоснования выбора и реализации таких фильтров. Ясно,
что из условия обеспечения (наибольшей помехоустойчивости вид
функции фпг(г) должен как можно ближе аппроксимировать
собственные функции интегрального уравнения Карунена — Лоэва.
Соображения практического характера могут заставить выбрать
эти характеристики совсем иными. Очевидно, нередки и такие
ситуации, когда используемые на практике и удобные во всех
отношениях характеристики пространственных фметрда
(диаграммы направленности антенн) оказываются совпадающими с
оптимальными или близкими к ним. Так, например, используемые в
системах пространственного разнесения KB и УКВ диапазонов
узконаправленные антенны с диаграммами направленности вида
sin-97"& являются оптимальными в широком классе
пространственно-однородных каналов. В диапазоне оптических волн широко
используются приемники с фотодетекторами — гетеродинами и
прямым детектированием [78, 119]. Оптический приемник с прямым
детектированием представляет собой обычно решетку (набор)
фотодетекторов, электрические сигналы на выходе которых,
пропорциональные мощности, суммируются с определенными весами.
Пространственная обработка здесь сведена к минимуму и
заключается в выборе пространственных участков входного поля,
которые предположительно являются независимыми. Такой алгоритм
пространственно-временной обработки, несмотря на его простоту,
как показывает исследование помехоустойчивости, является
достаточно хорошим и не только для диапазона оптических волн.
Объяснение этого факта заключается в том, что описанный
алгоритм представляет собой пространственно-временное обобщение
известной идеи Дж. Костаса [59], позволяющей обрабатывать
временные сигналы при селективных во времени замираниях.
Пространственно-временной вариант этой идеи выглядит так.
Пространственно-временной сигнал длительности Т и занимающий область
пространства R разбивается на PXQ «подюигналов». Каждый под-
сигнал имеет длительность T\ = TIQ и занимает область
пространства iRi=R/P. Длительность подсигнала Т\ и величина подобласти
R\ выбираются меньшими интервала корреляции параметров
капала во времени и в пространстве соответственно. Это позволяет
осуществлять разнесенный во времени и в пространстве прием по
PXQ ветвям с некогерентным сложением (что и реализует, в
частности, оптический 'приемник с прямым детектированием).
Гетеродинный приемник оптического диапазона также содержит обычно
решетку детекторов. Пространственная линейная обработка,
предшествующая детектированию, осуществляется с помощью гетеро-
динирования — введения опорного поля когерентного источника с
комплексной огибающей Uh>(i, r) ='Un(ir)el2nfkt, Полезный сигнал
133
на выходе t'-ro фотодетектора (/=«=1, 2,...) гетеродинного
приемника представляет собой результат пространственной фильтрации
некоторой части входного пространственно-распределенного
оптического сигнала
zt(t)^Re \Z{t,r)Uh{r)dr,
к ■ -
где Z(it, г)—комплексная огибающая входного поля; Аг —
площадь f-ro фотодетектора. Если поле гетеродина выбрано удачно,
то пространственная обработка поля оказывается близкой к
оптимальной. Пространственная обработка акустических волн
осуществляется с помощью решеток, состоящих из элементарных
приемников волн [69], т. е. аналогично обработке оптических волн
в приемнике с прямым детектированием. Перспективным,
по-видимому, является применение гетеродинирования, однако при этом
можно натолкнуться на трудности ,щрарктического характера,
связанные с построением генераторов акустических волн заданной
формы. Подробные 'Сведения о способах и устройствах,
осуществляющих пространственную обработку сигналов в различных
диапазонах волн, можно найти в литературе [56, 62, 69, 74, 103, ПО,
112, 120]. Некоторые частные вопросы более подробно
рассматриваются ниже. Остановимся теперь на субоптималыных методах
временной обработки сигналов в каналах с селективными во
времени и но частоте замираниями. Считаем, что пространственная
(оптимальная или субоптимальная) обработка уже выполнена и
на выходе i-го устройства пространственной обработки
наблюдается электрический сигнал z(t) (индекс i опускаем для упрощения
записи). В настоящее время проблема помехоустойчивой
обработки сигналов (функций времени) в стохастических каналах в
значительной степени разработана теоретически и в меньшей степени
решена на практике. Ориентируясь на реально действующие
системы обработки сигналов, можно отметить, что наибольшее
распространение получили методы обработки, основанные на
представлении канала моделью -линии задержки с равномерными или
неравномерными отводами, т. е. на аппроксимации
характеристики приемного фильтра решеткой дельта-функций (или функций
отсчетов). Это позволяет избежать -необходимости построения
генераторов опорных сигналов сложной формы и использовать
копии передаваемых сигналов si(t), I — I, M, сдвинутые
относительно момента передачи, т. е. сигналы Sim (t) =si (t — ^m), I = 1, M,
m=l, N. Как правило, рассматриваются линии задержки с
равномерными отводами, когда <lm—>mjFi. Использование линий
задержки зарекомендовало себя как эффективное средство борьбы с
замираниями сищалов по частоте в реальных каналах связи. Тем
более, что в однородных по частоте каналах линия задержки и
служит оптимальным фильтром. Однако нельзя отбрасывать и
другие методы реализации идей разнесенного приема по частоте,
основанные на представлении канала моделью, отличной от моде-
134
ли линии задержки. В частности, при использовании метода
локальной аппроксимации переходной характеристики или метода
Гудмана — Резвика, при удачном выборе аппроксимирующих
функций фрт<0£) (2.46), (Й.47) может оказаться удобным
использование в качестве опорных сигналов взвешенных участков
спектров передаваемых сигналов. Например, приближенной реализацией
метода Гудмана — Резвика будет формирование опорных сигналов
Situi't) путем пропускания передаваемых сигналов через набор
фильтров, передаточные функции /которых Ф^(/) аппроксимируют
функции smA//,A/ (хотя бы основной лепесток) и сдвинуты по
частоте на величину, кратную 2/Л (см. рис. 3.13). Реализация
таких фильтров может оказаться не более сложной, чем реализация
линии -задержки с хорошими характеристиками. В этом убеждает
опыт разработчиков систем автоматического управления, широко
использующих описанные методы для идентификации
динамических объектов.
Рис 313. Возможная реализация метода Гудме-
на — Резвика в частотной области
В технике передачи информации также можно найти примеры
реализации частотно-разнесенного приема указанным способом
[6]. Как уже отмечалось, до последнего времени модель канала
с селективными во времени замираниями имела ограниченное
применение ввиду малой длительности передаваемых сигналов по
сравнению с длительностью интервала корреляции параметров
канала во времени. Однако использование шумоподобных
сигналов в таком канале, как оптический [119], или в космическом
радиоканале [76] заставляет считаться со случайными
изменениями параметров канала за интервал времени длительности Т.
Коли селективность канала во времени игнорируется, то канал
(при фиксированной частоте и координате пространства)
представляется моделью усилителя со случайным постоянным на
интервале времени [kT, (k + \)T] коэффициентом усиления yk. От
интервала к интервалу коэффициент может скачкообразно
изменяться, принимая независимые значения. Пример истинного
изменения функции усиления y\(t) и ее модели приведен на рис. 3.14а,.
Нсли отправляться от положений теории аппроксимации функций,
то в данном случае имеем аппроксимацию полиномом нулевого
135
1
F*"--'
/ i
1 l
i
—-J 1
1
-r—l
■\j
ZT
3T
Рис. 3.14. Иллюстрация аппроксимации
коэффициента передачи:
а) на всем интервале длительности сигнала;
б) на части интервала длительности сигнала
порядка «а отрезках фиксированной длительности. Если модель
медленных во времени замираеии отражает свойства реального
канала, погрешность такой аппроксимации может быть сделана
небольшой. Если же функция y(i) существенно изменяется на
протяжении интервала времени длительности Т (интервала
аппроксимации), то погрешность будет принимать с вероятностью, близкой
к единице, большие значения. Первое, что приходит в голову, —
можно уменьшить интервал аппроксимации, т. е. разбить интервал
длительности Т на Q подынтервалов длйтелыности Ti = T/Q
(рис. 3.146). Именно таким путем можно прийти к схеме Костаса,
описанной выше. Идею аппроксимации функций полиномами на
отрезках можно заложить в основу построения целого класса
алгоритмов обработки сигналов в каналах с селективными по
времени замираниями. Например, можно использовать
кусочно-линейную аппроксимацию изменений параметров канала во времени.
Погрешности аппроксимации при этом могут быть существенно
уменьшены по сравнению со случаем аппроксимации полиномом
нулевого порядка, однако техническая реализация устройств
обработки сигналов при этом заметно усложняется и требует
построения генераторов линейноменяющегося напряжения |(пилы) с
регулируемым коэффициентом .наклона. На нынешнем этапе
развития техники схема Костаса кажется наиболее привлекательной
136
в смысле простоты реализации. Используя результаты гл. 2, легко
предложить целую серию алгоритмов субоптимальной обработки,
базирующихся на различных моделях канала. Такую работу имеет
смысл проделывать, ориентируясь на конкретный канал связи и
имеющуюся в наличии аппаратуру. Перейдем, однако, к
рассмотрению субоптимальных оценок координат разложения
характеристик канала по некоторой ортогональной системе функций,
считая, что эта система уже выбрана. Анализ современных устройств
обработки сигналов убеждает нас в том, что разработчики чаще
всего закладывают в их основу белый шум ,в качестве модели флук-
туационной помехи. И это несмотря на большое число
теоретических работ, рассматривающих модель окрашенного шума,
несмотря на принципиальную ясность того, что нужно делать в том
случае, если шум небелый, и даже несмотря на относительную
несложность реализации схемы с «обеляющим» фильтром.
Принцип такого пренебрежительного отношения к истинным
корреляционным свойствам аддитивной помехи понять нетрудно. Первая
причина заключается в том, что, как отмечалось выше,
компонента белого шума неизбежно присутствует в наблюдаемой
смеси. Вопрос заключается в том, каково соотношение интенсив-
ностей «белой» и «небелой» компонент. Вторая причина неучета
окрашенности аддитивной помехи связана с тем, что при
различных соотношениях интенсивностей окрашенного и белого шума
схема, рассчитанная на белый шум, дает практически ту же
помехоустойчивость, что и оптимальная, при небелом шуме.
Необходимо, однако, заметить, что подобное сравнение производится
обычно в рамках гауосовской модели аддитивной помехи. В
случае негауссовских помех эти выводы действительно часто
оказываются неверными, тогда учет окрашенности шума и
использование оптимального обеляющего фильтра безусловно необходимы
При использовании модели белого шума оценки
максимального правдоподобия координат разложения импульсной
переходной характеристики канала имеют вид
Т R
Г f z (t, г) sik (t, r) dtdr
А 6о
XI =
У{ =
Т R
j j s]k (t, г) dtdr
о о
Т R
j" j Z (t, r)7lk (t, f) dtdr
0 0
T R^
j fi]k(t, r)dtdr
о о
(3.73)
Если используется пространственно-временная модель канала,
описанная выше и приводящая к проетранственно-временнбй схе-
137
ме Костаеа, оценки координат разложения характеристики канала
(3.73) принимают вид
(k+l)Tt V+DR,
(ft+DTi
xlkl=~ J j' z(t,r)Sl{t)dtdr\ f s]{t)dt,
A
АГ, iRi / kTt
(А+1)Г, (i+l)Ri I {k+^Tt
M"i
iRx
kTl
(3.74)
Если же пространственная обработка уже выполнена и
рассматривается сигнал z(t) f— функция времени в некотором i-ы
пространственном пути {индекс i опускаем), указанные оценки
принимают вид
л т "*
xlk = j-\z(t)slk(t)dt,
Vi
^z(t)7lk(t)dt,
о
(3.75)
где
Etk~\ s*k(t)di=$3jk{t)dt.
(3.76)
о б
Функция sik(t) й ее сопряжение по Гильберту sik(t) представляют
собой регулярный сигнал i-й позиции ^= 1, ЛГ в k-m
частотно-временном пути распространения. При заданной системе сигналов на
передаче вид функций sih(t), ад (О определяется выбором модели
канала. Например, если канал описывается моделью линии
задержки с равномерными отводами при неселектввных временных
замираниях, функции ад(<0 определяются из соотношения
stk(0 = si(t- k/Fc), I = 1, M, k=l,M. (3.77)
Если же, кроме того, имеется и учитывается .селективность
замираний во времени, причем для измерения характеристики канала
используется метод локальной аппроксимации ■ (приводящей к
схеме Костаса), то оценки (3.74) принимает вид
Л (m+JJT! / (/гс+ОГ,
A -L
km
(3.78)
z{t)Sl(t-klFc)dt j s](t~klFc)dt,
mft I mTi
Д (m+l)T,. ' J (/71+1)7,
У1т= J z(t)*i(t — k/Fc)dt j l]if-klFu)dt.
Конкретизируем структуру приемника* работающего по
алгоритму ,(3.45), в случае использования некоторых субаптималвных
138
оценок, рассмотренных в этом разделе для наиболее
распространенных систем сигналов. Как уже отмечалось выше, для системы
сигналов равной энергии /(на приемном конце), а также в задаче
обнаружения по критерию Неймана — Пирсона нет необходимое -
л
ти вычислять величины энергий принимаемых сигналов Bi, 1=1, М,
и достаточно определять лишь величины корреляций принимаемо-
л
го колебания и оценки ожидаемого сигнала, т. е. величины Fi. Эти
величины в случае «белого» шума имеют вид (3.46), а при
отсутствии пространственной обработки
г
Ft= — ^z(t)ui(f)dt, 1 = 1,М. (3.79)
о
Причем оценки ожидаемых сигналов всех М позиций строятся на
основании субоптимальных оценок характеристик канала.
Отметим, что множитель перед интегралом в (3.79) и (3.46) сохранен
л
лишь для сохранения размерности величины Fi в различных
алгоритмах. Знание спектральной плотности мощности «белого» шума
для рассматриваемых здесь систем сигналов совсем не является
необходимым при построении алгоритма обработки, поскольку в
л
дальнейшем величины Fi с различными индексами сравниваются
между собой. Если оценки координат разложения
пространственно-временной характеристики канала строятся по алгоритму (3.74),
а алгоритм обработки сигнаиюв в общем виде задан соотношением
(3 45), то нетрудно конкретизировать последний алгоритм,
приведя его к виду
k=\ 1=1
где введены обозначения
*««=—!— Г Г z(t,r)№\dtdr. (3.81)
ftli IKi
Алгоритм обработки сигналов (3.80) достаточно прост и не
нуждается в пояснениях. Несомненным достоинством является
простота реализации операций обработки и в пространстве и во времени.
Совершенно очевидно, что платой за эту простоту является
снижение помехоустойчивости приема дискретных сообщений.
Путем введения более сложной пространственной обработки
можно уменьшить потери помехоустойчивости, однако соображения
практического характера всегда толкают на отделение
пространственной обработки от временной. Рассмотрим некоторые
алгоритмы субоптимальной обработки сигналов — функций времени,
считая, что субоптимальная пространственная обработка уже
выполнена.
139
Вели для описания фильтрующих свойств канала
используется модель линии задержки, а замирания во времени считаются
населективными, используя (3.75) и (3.77) в (3.79), нетрудно
записать субоптимальный алгоритм обработки принимаемого
сигнала в виде, допускающем наглядную физическую интерпретацию.
л .
Оценки корреляции. Fi должны вычисляться по наблюдаемому
колебанию для различных позиций сигналов, 1=1, 2,\..,М, из
соотношения
л
где введены обозначения
N
N,
2j$k-
V
Ik,
(3.82)
$ik
S»v«
k=\
Jz«>
Sl
St
-к)
(3.83)
При использовании широкополосных сигналов можно считать
одинаковыми величины vih при любых значениях k. Тогда, как сле-
л
дует из i(3.82), корреляция Ft может рассматриваться как
величина, пропорциональная сумме квадратов огибающих на выходе
фильтров, согласованных с задержанными на интервал времени,
кратный l/Fc, копиями передаваемого сигнала J-й позиции.
Структурная схема ./-и ветви устройства оптимальной обработки
сигналов изображена на рис. 3.15.
Отметим, что в,схеме, изображенной на рис. 3.15, можно
обойтись одним квадратором, поскольку он должен использоваться
Отсчет д момент Времени.
Рис 3.15 Субоптималыная обработка ва базе линии задержки
140
1
для каждого из каналов в различные моменты времени, кратные
l/Fc- Нетрудно заметить, что 1(3.82) реализует распространенный
на практике алгоритм квадратичного суммирования [49].
Можно получить модификацию алгоритма (3.82), если
заложить в качестве модели канала линию задержки со ступанчато-
Е вменяющимися во времени коэффициентами усиления <в каждом
з отводов. При этом субоптимальными оценками координат
разложения импульсной переходной характеристики канала будут
оценки (3.77), а алгоритм обработки сигналов примет вид
л N Q
Fi=it S S *L*+ *L** (3-84*
где введены обозначения
,1,2 1 (m+Wi
rlmk\ E-ik jTi
«t'-K
dt. (3.85)
Следует помнить, что алгоритм обработки (3.84) до тех пор будет
«хорошим», пока имеется возможность разделять see NQ путей в
месте приема. Если же условия разделения путей нарушаются,
алгоритм (3.84) теряет свои субоптимальные свойства. Это
накладывает ограничения на передаваемые сигналы. Анализ i(3.85)
позволяет сформулировать качественные требования к этим сиг-
палам. Для того чтобы выполнялась условие разделения путей в
месте приема, достаточно, чтобы для отрезки (части) сигнала
длительности Т\ выполнялись условия разделения N путей,
обусловленных фильтрующими свойствами канала (прохождением
линии задержки с отводами). Детальный анализ показывает, что
используемые в настоящее время сложные составные сигналы, в
принципе, могут приближенно удовлетворять указанному
требованию. Однако это не исключает отыскание оптимальных составных
сигналов для конкретного канала с заданной степенью
селективности замираний во времени и по частоте. Эта задача имеет
большой практический интерес, но выходит за рамки данной книги.
Решение ее может -быть получено в результате развития и
обобщения работ [17, 46]. Главным является то, что при решении
задачи синтеза сигнала должен быть использован современный
системный подход и в основу должно быть поставлено требование
обеспечения максимальной эффективности системы передачи
информации в целом.
С практической точки зрения интересны модели каналов,
соответствующие им оценки и алгоритм обработки сигналов,
базирующиеся на адаптивной однопутевой модели многопутевого канала,
рассмотренной в гл. 2 (2.58). Причем в качестве пути на каждом
из пространственно-временных интервалов анализа выбирается
путь с максимальным коэффициентом передачи. Соответствующие
141
алгоритмы обработки (сигналов будут принадлежать к классу ал
горитмов с автовыбором [6, 49, 104]. Дли устройств различент
дискретных сигналов с автовыбором наиболее мощного пути алго
ржж обработки в общем виде задается соотаимйением
л л
g'
g=l,M; %Ф1,
(3.86
где Ft представляет собой величину корреляции наблюдаемого ко
лебания с оценкой сигнала /-й позиции в луга распространения
имеющем наибольшую интенсивность:
л т R
Fi = т Ifz {t'r) lXkSik {t'r)+y^ip (t'r)I mr * (3-87
о о
л
Предполагается, что Хъ, обладает наибольшим модулем среди всех
АЛЛА ЛАЛ
а оценок хи х2,..., xN, a yv —среди оценок yi, у2, ...,уя. Структура
устройства оптимальной обработки с автовыбором изображена на
|М№. 3.16.
Z(tr)
i———S
ипк
1_ \
1——^У
лз1
лзе
1—:—v
i /
"Зм
{=>
всмв
УФ ОС,
ц
НОР,
ypocg
V
iiope
УФ0С„
ц
"ОРм
•*-
_
<*>
Решение
Рис-. 3 16. Оптимальная обработка с выбором
наиболее мощного шут
Блок измерения параметров канала ИПК должен строить
безусловные оценки координат разложения импульсной переходной
характеристики канала. Очевидно, для этого яеобходимо
использовать либо испытательный сигнал, либо схему с решающей об-
142
ратной связью, либо какой-нибудь из методов получения
безусловных оценок из условных, описанных в гл. 2. В блоке сравнений
модулей (БСМО) выбираются оценки 'квадратурных .компонент
Л
путей наибольшей на данном интервале анализа интенсивности х&
л
[ уР '(в частном случае k=p). Далее они используются для
фазирования оценок всех позиций сигналов в пути распространения
аксимальной интенсивности. Корреляции этих М оценок с
входным полем -вычисляются в М пространственно-временных
-корреляторах Кор; я далее сравниваются между собой в схеме
сравнения и выбора ССВ. Линии задержки, осуществляющие задержку
входного сигнала на Т, необходимы лишь при использовании
информационных сигналов для формирования оценок параметров
канала. При использовании испытательного сигнала
необходимость в линиях задержки отпадает. Большим недостатком
описанного алгоритма является то, что он предполагает использование
безусловных оценок параметров канала. Наиболее просто получить
безусловные оценки при использовании испытательных сигнале®.
Описана модификация системы СИИП [53] , осуществляющая
автовыбор луча максимальной интенсивности в KB канале при
измерении канала испытательным сигналом.
При отсутствии испытательных сигналов или решающей
обратной связи возможна реализация идеи автовыбора в виде, не
требующем построения безусловных оценок. При этом алгоритм вы-
л
числения величины Fi, входящей в i (3.86), имеет вид
А Т R д д
f* = ~- J )'г(/, г)[х[slk(t, r) +j£*7P(Л r)\dtdr, (3.88)
в о
т. е. отличие от (3.87) заключается в том, что вместо
безусловных оценок характеристик -канала используются условные. Далее
можно отказаться от «ноквадратурного» автовыбора и испольэо-
нать для приема сигналов лишь один физический путь
распространения, имеющий еа данном интервале анализа наибольший шо~
л /л —
дуль переходной характеристики уи= у х2к+у2ьчзвсех N модулей
ллл
Уь Y2. •••» Ум- В этом случае из (3.88) следует
Т R
Fl = jt J Jz {i'r) [x*s'*{t'r)+yl*Slk {t'r)] dtdr- (3-89)
о о
Л Л
Если в качестве х1к, ylh используются оценки максимального
правдоподобия, то, подставляя (3.73) в (3.89), нетрудно получить
алгоритм вычисления величины
Ft = max (т|з?р +^%) = i|& + ^% ■ (3.90)
р=1,ЛГ
143
Величина Fi может быть получена как квадрат огибающей на
выходе пространственно-временного фильтра, согласованного с
/-ад сигналом в k-u пути распространения, имеющем наибольшую
интенсивность >на данном интервале анализа входного колебания]
Рассмотренные здесь алгоритмы обработки сигналов являются
субоптимальными для системы ортогональных в усиленном смысле
сигналов, могут быть использованы в задаче обнаружения ил$
различения сигналов произвольной формы, но являются
совершенно непригодными для системы противоположных сигналов,
Действительно, анализ всех алгоритмов этого параграфа
показывает, что они предполагают квадратическую обработку
принимаемых колебаний. Ясно, что информация, заложенная в знак !(фазу)
передаваемого по каналу связи сигнала при такой обработке,
теряется. В алгоритме приема противоположных сигналов
обязательно должна присутствовать линейная обработка входного
колебания. Для приема противоположных • сигналов естественно
использовать модель канала, учитывающую регулярные фазовые
искажения передаваемых сигналов. При этом в субоптимальных
алгоритмах хаотические изменения стохастического Канала могут
полностью игнорироваться, что привадит «'детерминированной
модели стохастического канала, описанной в гл. 2 [ф-ла' (12.60)].
л
Величина Fi (представляет собой теперь корреляцию между
средним значением ожидаемого сигнала, </-й позиции и входным
колебанием и вычисляется из соотношения:
м т r т я
fi = ^Y,mxk f ]"*(', r)slk(t> r)dtdr + myk Г {z(t, r)7ik(t,r)dtdr.
k=i о о oo (3.91)
При отсутствии флуктуации параметров канала субоптимальный
алгоритм (3.91) становится оптимальным.
* Отметим, что линейный алгоритм приема (3.91) пригоден, ко-
•нечно, не только для простых противоположных, но и для
сложных сигналов [76]. Возможна модификация алгоритма (3.91) в
случае, если мощность регулярной компоненты какого-либо,
например, k-ro из путей существенно превышает остальные. В этом
случае целесообразно использовать именно этот путь и строить
корреляцию наблюдаемого .колебания С ожидаемыми сигналами,
л
прошедшими по этому пути, т. е. вычислять величину Fi из
соотношения:
Т R T R
Fl ~ ^J fz{u r)Slk(t'r)dtdr + ^f\\z{f'r)7dt'r)Шг- (3"92)
0 0 0 0,
Еще более упростить обработку можно при полном отказе от
информации о канале (или при полном ее отсутствии) и применении
алгоритма приема, когда величины вычисляются из соотношения
144 .
л т R
F,= -f f z(f, r)si(t, r) dtdr. (3.93)
°0 0
Целесообразность использования субоптимальных алгоритмов
в том или ином канале может быть выяснена лишь после
сравнения их помехоустойчивости.
3.6. Некоторые пути реализации алгоритмов
пространственно-временной обработки сигналов
Из всего материала гл. 2 и 3 видно, что оптимальная
пространственно-временная обработка сигналов как при оценке
параметров, так и при приеме дискретных сообщений в качестве
важнейшей операции включает в себя линейную
пространственно-временную фильтрацию входного поля. В результате этой фильтрации
вычисляются некоторые случайные одномерные величины, которые
затем обрабатываются по определенным правилам. Обработка
одномерных величин, сколь велико бы ни было их число,
сравнительно проста. Действительно, построенные на базе интегральной
техники, универсальные или специализированные вычислители
способны обрабатывать большие массивы данных по достаточно
сложным алгоритмам и с высоким быстродействием.
Остановимся «а путях реализации устройств фильтрации
-пространственно-временных сигналов. Рассмотрим подкрепленные
современной техникой способы вычисления величин т|зь, входящих во
все алгоритмы оптимальной обработки сигналов:
т я
' t* = J Jz(f, r)skif, r)dtdr. (3.94)
о о
Как уже отмечалось выше, в силу финитности передаваемых
сигналов и организации размеров приемных антенн, операция типа
(3.94) может быть выполнена на базе пространственно-временного
согласованного фильтра.
Задача построения пространственно-времеинбго фильтра с
заданной импульсной переходной характеристикой произвольного
вида '
gkif, г) =
о<х<£; (395)
О, I вне [О, Г];
%, вне [О, R]
на современном уровне развития техники хотя л не может быть
отнесена к простым, однако является разрешимой. Поскольку вид
функции Sk(t; r) [а следовательно, и gh(t, r)] определяется
выбором модели канала через соотношение
145
sk (t, r) = j s(t-l) <pk it, I, r)d I, (3.96)
6
tq можно утверждать, что характеристика согласованного
фильтра определяется видом функций q>k(t, Е, г). Рассмотрим сначала
случай пространственно-отделимых функций
Ф*С £, г) = Ф|(г)ФРС. £)• (3-97)
При выполнении этого условия величины г[)й вычисляются из
соотношения:
xpk~ ]#}*(', r)<ptir) drL(t-^l)%(t, l)dl, (3.98)
об 6
причем пространственная и временная обработка осуществляются
раздельнр. Здесь интересно рассмотреть пространственную
обработку, поскольку способы реализации временной обработки
сигналов в стохастических .каналах достаточно подробно
рассмотрены в литературе [46, 55, 65].
Операция пространственной фильтрации, т. е. вычисления
/(/)= Jz(f, r)q>(r)dr (3.99)
о
(здесь и далее индекс i опускаем) с использованием средств
современной техники обработки сигналов осуществляется
различными способами. К ним относятся '>: а) синтез антенн; б) применение
когерентных оптических систем (оптическая голография); в)
использование цифровых вычислительных машин (цифровая
голография),
"Несмотря на то, что между всеми тремя способами очень много
общего (иногда все они именуются голографичеокими), имеются,
безусловно, различия, обусловленные физикой процессов.
Рассмотрим последовательно три указанных способа пространственной
фильтрации сигналов.
Синтез ан тенн. Функция f(t) (3.99) может быть получена на
выходе антенны С диаграммой направленности q*(r). Для
определенности рассмотрим одномерную антенну с линейным раакрывом
величины R, расположенную в дальней зоне так, что
пространственная координата представляет собой обобщенную угловую
координату:
, V = ?^-sind) (3.100)
где т0—угол места; Хл— длина волны. Под синтезом антенны
[7, 70] понимается выбор амплитудно-фазового распределения
') Методы некргерентной обработки оптических сигналов с применением
фотодетекторов здесь не рассматриваются Они детально изучены в работах
|78, 116, 119]
146
тока 7(.|) в раскрытое, обеспечивающего получение диаграммы
направленности ф(г) с заданными свойствами.
Расчет параметров конструкции, позволяющей воспроизвести
(амплитудно-фазовое распределение Т(£), представляет собой
(самостоятельную задачу.
В постановке настоящей работы оптимальная диаграмма ф(г)
[должна являться собственной функцией интегрального уравнения
Фредгольма второго рода
l^{r')Bh{r,r')dr' ^^(г), (3.101)
о
где % — собственные числа. Вид собственных функций ф!(г) может
быть достаточно сложным, однако в [70] доказано, что для всякой
заданной непрерывной функции <р(г) и сколь угодно малого в>0
существует диаграмма направленности <р '(г) антенны с ратеры-
вом tR любой, даже смоль угодно малой длины, отличающаяся от
ф(г) не более чем на е:
1ф(0-ФеМ|<е. (3.102)
Таким образом, задача синтеза оптимальной антенны может быть
успешно решена для любого стохастического канала. Рассмотрим
наиболее распространенный метод синтеза антенной диаграммы
направленности — метод парциальных диаграмм. Этот метод
предполагает аппроксимацию сложной диаграммы суммой простых,
соответствующих простейшим излучателям. Покажем, как можно
применять наиболее распространенные на практике парциальные
диаграммы для синтеза оптимальных антенн в стохастическом
канале. Введя нормированную переменную v, перейдем к раскрыву
величины 2я. Ток линейной антенны /i(ig) на интервале —я=^£^я
представим рядом Фурье:
СО
1(1)= У a„einS. (3.103)
П=—00
Это позволяет записать диаграмму направленности в виде
Ф(")=т- Ь(1)е!^!= V. an^^L. (3.104)
2я J Ш я (у — п)
—л п——<о
Покажем, что парциальная диаграмма, соответствующая
гармоническому распределению тока в антенне
фп (и) — sin я (v — n)/n(v—п), (3.105)
является оптимальной в широком классе
пространственно-однородных каналов. Действительно, канал, однородный по
пространственной переменной, является дельта-коррелированным по
угловой переменной, т. е. нормированная корреляционная функция его
характеристики имеет вид
Bh (о, v') = sin я (v — v')ln (v — v'). (3.106)
147
Нетрудно показать, что при выполнении условия 2iR/X^> 1 (что
всегда имеет место на 'практике) функции /(3.105) являются
собственными функциями интегрального ур-ния (3.101) с ядром (3.106).
В общем случае пространственно-неоднородного канала
произвольная функция <р(и) может быть аппроксимирована усеченным
радом (3.104), содержащим 2N парциальных функций
Котельников а.
Рассмотрим еще один пример. Предположим, что
нормированная корреляционная функция характеристики по обобщенной
угловой координате аппроксимируется выражением
Bh(v. £/) = е-а|0'-01 . * (3.107)
Известно [81], что собственные функции интегрального ур-ния
(3.101) с ядром (3.107) имеют вид
<р*w = V-^hzsin(м"и+ тг)' <3-108)
где x„ = 2a/(a2+ico2n), а [Соь ч»2--. положительные корни уравнения
tg2nco=—i2ai©/(a2—со2). Рассмотрим для определенности случай
нечетных значений п, когда из (3.108) следует
фп (V) = ]/2/(2я + кп) cos co„a. (3-109)
Нетрудно заметить, что оптимальная антенна (3.109) принадлежит
к разряду дольф-чебышевских оптимальных • антенн, широко
используемых на практике. Действительно, диаграмма
направленности дольф-чебышевской антенной решетки из 2Л/ эквидистантных
направленных излучателей имеет вид [7]
F2N (#) = Tw-i (a cos — sin ф ) , (3.110)
где Тп:{х)—полином Чебышева; а—масштабный множитель;
R —• расстояние между излучателями.
Диаграмма направленности (3.109) следует из (3.110) как
частный случай при 2N=2, а = У~2Ц2я+кп). Излучатели должны
быть расположены друг от друга на расстоянии
# = Ясоп/я. . (3.1П)
Физическая голография. Открытие голографии и
появление голографичееких методов обработки волновых полей дали
возможность реализовать пространственные фильтры с
практически произвольными характеристиками [56, 74, 92]. Наиболее
эффективно используется голографический метод в диапазоне
оптических воля, в лазерных каналах связи [78], а также в
акустике, при обработке акустических полей [69, 123]. Многочисленные
достоинства когерентных оптических и акустических систем
обработки информации в ряде .случаев заставляют преобразовывать
радиоволны в световые или звуковые для дальнейшей их
обработки. Далее будем для определенности говорить об оптической
голографии, получившей большее распространение. Хотя уместно за-
148
метить, что акустическая голография с ее 'Чрезвычайно
доступными источниками волн стамовится весьма популярной.
Рассмотрим когерентную оптическую систему
пространственной обработки оптического сигнала, основанной на использовании
|феобразования Фурье Если в распоряжении имеется голограмма
(Фурье—образ) функции <q>(,r) =ця(х, у), входящей в ур-ние
(3.99), т. е. функция
Ф
К. ®у) = J J Ф (*, У) е Шх
-ia*x-iayydxdy,
(3.112)
то входное поле z\(x, у) (аргумент t опускаем) может
обрабатываться по классической схеме, изображенной на рис. 3.17.
Физически анализаторы спектра представляют собой линзы с
одинаковыми фокусными расстояниями. В фокальной плоскости между
двумя линзами должен быть расположен транспарант с нанесенной на
него функцией (3.112). Нетрудно показать [56], что на выходе
второго спектроанализатора в фокальной плоскости второй линзы,
в точке с координатой R(x', у') получаем (в момент времени t)
неличину /, определяемую соотношением (3.99).
z(*,y)
-?
Диализатор
спектра.
Пространства
ный. фильтр
Анализатор
спектра
Рис 3.17. Оптимальная пространственная обработка голо-
графической системой ,
Новые перспективы применения голографических методов для
обработки пространственно-временных сигналов в стохастических
каналах открываются с использованием в качестве голограммы
ультразвукового поля, возбуждаемого пьезоэлектрическим
элементом в прозрачной среде [56]. С помощью электрического
колебания, прикладываемого к пьезоэлементу, можно получать
переменную во времени голограмму и осуществлять как
пространственную, так и временную фильтрацию. Рассмотрим этот вопрос
"несколько подробнее. Пусть в качестве модулирующего экрана
(голограммы) используется плоский слой жидкости, в которой
генератором (пьезоэлектрическим преобразователем)
возбуждаются бегущие ультразвуковые волны. Под воздействием этого
генератора показатель преломления жидкости меняется по закону
д(/, г)=л0 + Дл(/, r). (3.113)
Ясно, что эквивалентная передаточная функция голограммы,
соответствующая показателю преломления i(3.113), определенным
образом изменяется во времени и в пространстве. При- достаточно
малой толщине слоя жидкости
п (/, г) = п0 + A„s (x, у, t), (3.114)
14»
где An —индекс модуляции; s(x, у, £) —сигнал генератора (вхо,я
ной сигнал преобразователя).
В этих условиях передаточная функция оказывается чист
фазовой [56] и имеет вид
#(/, х, у, t) = exp[—ias(x, у, /)], (ЗЛИ
где а — индекс фазовой модуляции, определяемый длиной волю
(частотой) ультразвуковых колебаний генератора и свойствам
пьезоэлектрического преобразователя.
Совершенно ясно, что с помощью одного единственного истдч
ника ультразвука получить пространственно-временной фильтр
заданной передаточной функцией в общем случае не удается. Од
нако эту задачу можно решить приближенно, применяя нескольк
(Р) источников, реализующих фильтры с передаточными функ
циями:
НР if, х, у, t) = ехр [— i a,pSp (х, у, t)], р = 1, Р. (3.116
Параллельное соединение этих фильтров при соответствующем вы
боре их характеристик может дать эквивалентный фильтр с тре
-буемой передаточной функцией
р
Н (/. х, #.')=£ ехР [— i <Vp (x, y,t)\. (3.117
p=i
Вопрос исследования свойств построения и применения нестащю
парных пространственно-временных оптических фильтров, к сожа
лению, еще не получил достаточного развития. Поэтому соответ
ствующие рассуждения, проведенные в данном разделе, являютс
скорее не описанием способа реализации нестационарных фильт
ров, а лишь наметками к постановке этой сложной задачи.
Цифровая голография. Как известно, под цифрово'
голографией понимаются анализ и синтез волновых полей с по
мощью ЭВМ. С точки зрения решенных здесь задач возможн
двоякое использование методов цифровой голографии:
— синтез искусственных голограмм [37, 61, 66, 134];
— пространственная цифровая фильтрация сигналов '[28].
Искусственная голограмма представляет собой результат вы
полненного ЭВМ графического отображения некоторой аналити
ческой или табличной зависимости, описывающей голограмму
Пусть, например, подлежащая синтезу голограмма описываете
функцией Ф(сож, <%), являющейся преобразованием Фурье функ
ции ц>(х, у). Задачей является получение пластинки с изображе
«нем Ф(соэс, щ)- В арсенале внешних устройств современных ЭВ
имеются высокоточные рисовальные устройства, обладающие вы
сокой разрешающей способностью. Процедура изготовления н
ЭВМ искусственной голограммы Фурье выглядит следующим об
разом. В ЭВМ вводится функция ц> (х, у). При этом учитываютс
конечная протяженность ее |Хмакс| =Rx/2; \Умакс\ =^Rv/2 (приме
JZx=Ry=R) и конечная разрешающая способность Ах=Ау=
150
:1/соМакс- Воспользовавшись теоремой Котельникова для функции
(х, у), заданной в квадрате ЛХЛ, представим ее преобразование
ср,
Фурье в виде ряда
N ' N
к * "' U U \R Rl R<ox-n Rvy-m f
n=l m=l
Количество N2 отсчетов функции Ф(сож, щ) может быть получен»
из N2 равномерных отсчетов функции ц>(х, у), взятых с шагом
2я/|сомакс, т. е. из матрицы размером NXN
Ф = {ф (£/сомакс, р/сошкс)}дГхлг, (3.119)
где # = [#/Дх+1], (3.120)
с помощью алгоритма быстрого'преобразования Фурье [93].
Применение этого алгоритма для вычисления Фурье — образа
функции одной переменной требует в [N/2logN] р.аз меньше
машинного времени, чем при обычном дискретном преобразовании
Фурье; для функции двух переменных — соответственно в
[/V2/41ogyV] раз
Совокупность Л/2 спектральных отсчетов Ф(п/Л, т/Л),
входящих в (3.118), полностью определяет искусственную голограмму,,
состоящую, таким образом, из Л/2 ячеек. Наибольшую -сложность
» изготовлении искусственных голограмм представляет получение
полутонов на голограмме. Этого удается достигнуть путем
применения специальных устройств отображения [61] Широкое
применение нашли также методы изготовления искусственных голограмм,
основанные на переходе от полутонового изображения к черно-
белому— бинарному [37, 66, 134]. Бинарные искусственные
голограммы синтезируются с высокой скоростью, однако уступают
полутоновым искусственным голограммам. Ка рис. 3.18 приведены
для примера фрагменты бинарных голограмм, синтезированных на
ЭВМ БЭСМ-4, сопряженной с графопостроителем «Вектор».
Перенос искусственной голограммы на фотопленку или
фотопластинку при современном уровне развития техники фотографии
выполняется достаточно просто. Применение искусственных
голограмм открывает новые пути реализации алгоритмов оптимальной
обработки сигналов в стохастических каналах. В перспективе
можно представить себе устройство обработки пространственных
сигналов, располагающее широким набором заранее
синтезированных голограмм, соответствующих различным типам
корреляционных функций стохастического канала и позволяющих выполнять
оптимальную фильтрацию полей. «Библиотека» искусственных
голограмм может обогащаться по мере освоения и исследования
различных каналов связи. Необходимая перестройка устройства
обработки, связанная с переходам на новый тип канала или с
изменением свойств используемого канала при таком «модульном»
характере организации его, может быть легко выполнена.
151
a)
Голограмма мг 005
га ш ^
Е2Э £23 ЕЭ ЕЗ ^ вд да» oa — — — ■—■ вва ш& до га и ^
ИИЙИЕЗИЕИвгага— - - ■. и и И И И
|Цй вв-. — — ш шщщщЩ'
3 1 И 0 и ™ — — ш и и 0 Ц {^ Ц
j | 1 @ В*- -i»Oi@|||
] Ш И й и и — -«"ИййЩ
1100и~ — => ЕЭ Е2 И И 11 И
Н0ИИ- --HB0IIIJ
0 0 0 га ш= — — — ШИИ00Й0ШШ
£23 щ щ иш ■=■ — — вшсаш^^^^^^
Я«с. 5.iS. Фрагменты бинарных голограмм, соответствующих первым
£/=у=,180, а-1и = аг10=б:
Идея реализации устройств обработки сигналов на базе'ун
версальных вычислительных машин возникла сразу же пос,
появления первых ЭВМ. Этот заманчивый путь, который еще
давно казался неприемлемым для большинства каналов переда»
информации в силу ограниченных возможностей компы
теров [48], в настоящее время уже не кажется столь нереальны'
Электронные вычислительные машины третьего поколения, выпо
Ценные на интегральных схемах, отличаются высоким быстроде
сгвием (порядка Ю6~~107 операций в секунду), большим объем*
памяти (миллионы бит) и развитой сетью внешних устройст
Наличие в составе внешних устройств гаммы аналогово-цифровь
преобразователей приближает ЭВМ к задачам обработки сигн
152
If/
Голограмма мг 00k
■ и еэ еэ em E3E2aE2a=» «o>raE3Ea = ет ез ta =-=. «=» са еэ £-э «*--» та ш Е_а ■-»
Ц Щ Щ едд ШШ!!^ ш Ш Ш Ш Е223 Ш Щ Щ егз ш Ш Щ Ш Г7*7* Ш Ш Ш ^
гй! HI Ш К^^ И ^ И И ^ кР КЗ Ш Г^^ ^ И И ^ ^ Р^З [§1 ^й! Е-ЕЭ И И И ЕЗ
ш g n-= ш i ш => ищ™ц|» "iii —1|1 =
га И £3 в»» Q @ Ш » «= ЕВ И ЕЗ ™ Ш 1^ Ш ■» ™» ЕЭ £2 ЕВ «™— EZI ЕЗ КЗ -в
БЕЗ из =» ™ га И Е2Э »«»» еа ЕЭ сэ «» «я-ка^^ ™» ст Е23 еэ — — еа О ез ™
га ет Ш Ш II Ш2а ШШ^*23 ™ й 1 i ^^ ШИШ™ ш i i i ш
и и й Ц Ц еаэ ШШШга Q | | | ^и | Ш И и га р] [Ц Ц и
Е21 =о » q @ q ™. еэ и Ея *= —Еэига ™— gzj ЕЭ ся ™ ™ ка ЕЭ ш ™
•*■ fZ3 И ЕЗ и» Ш @ Ш жг а О Q £Z] вв» 122 £3 £2 _m вв> ЕЗ ^ £3 иавв Q3 ^ ЕЗ а
ш Ш Ш Ш Еш Ш Ц II га гаШШШ Ега ШШШ™ ™0Шй Eaa Ш Ц Ш га
03 ь&¥&\& w*m Ш Ш Ш ^ ^II Ш Ш wT77i ^ Ея Ш ^a ^ Ш И Ш *^^ Ш Ш Ш ^
» 1 | | пиз ^^^Eza ЕЭ Ш Щ 0 ™ | | | в и | | g иея Ц Ц g ей
•в ЕЗ) ЕЗ ЕЭ EZ2 ^ ЕЕ) --> «™ ЕЯ ЕЗ ЕЭ <™=> IZ2 £2 Е2 -*> ™>E23J3E2a <=в= Е23 ЕЭ БЭ =
- ЕЭ Б2Э ЕЯ ■«■ ™ ЕЯ Е2 ВЭ всей Е2Э И EZ3 ™ ™ ЕЯ ЁЭ" ЕЕЗ <™ ЕЭЕЗШ™ — F7^ С^ С?Я —
* Ш Ш ^ га ш Ш 11II Eaza 181= га Ш! 11 .И ^^ ш ^ i ш гаШШШга
a И И И ^ га Ш Ш Р ртття ШШШ^3 ^ШШШ Е2а2э EH §э Ш ^ ^ 1^3 Ш Ш ^
чв> еэ ^ ш —> *-> вз EZ3 вз Еа ^ езз —> >» ш Б2 ш вв ез 03 ез в» *-> ез 03 ея «*■
™ ezi Б2 Ез пава ея £2 вэ в*» = еэ И ея [a EJ sa a « сз Q m " ей бэ ез •«■
■ 1 I i EE3 | I |ш ш Ц Ц Ш ^^ 111И ИЩЩ|1 IW™ | 1 1 Ш
03 Ш 11 ^^ ШШШга иШШШ ^^ ШЩШ^3 ^ ^vh^ ™™ И PI Ш га
183 Ш Ш Ш (СТ21 КЯ К§1 КЯ "^ Е2Э ^ (§9 Ш С21Э ^ М Fgj £23 fZ3 pg] КЯ ^ кл^« £Я КЯ Кр ЕЭ
шв сэ ЕЗ ЕЯ EZJ 133 EZ3 вв> мм Е2 [£3 E2 нож» Е2 ^ Еа «"" мм ESS Е2 ВЗ вивв Е2 И Е23 "™
ми £3 ЕЗ ЕЭ ми — ЕЭ И ЕЭ =«™ Е2Э ЕЭ ЕЗЗ ™ «oi^^E3 вив» ЕЭЕ2Эе2Э— о»ЕЗ^Е35""
'"'ШШШ^ ЕЭШШ^ г7?ття | И Ш Ш И ^ Р ^ |^т7^ ^ ^ И И EZ3^^^E3
йи|У£|3|яЕ2 и Ш М ^ Р^^ И И И И ^ШШШ F7FZ* Ш №>fflt ^ ^ШШШ1^
И 1 Ш ^ Ш ВИШ^Ш EZ23 ^ I ^ и СЗШШ^ GZZZa ^ 1 § И И1^^^ЕЭ
-•ияЕЗез)™. в=ЕаИЕз ™ ЕаИь^™ ■= ш и и ™» езезе^в™ виЕгзиЕэ™
iiuyiM собственным функциям 1интегральиого ур-ния (2.79) ири
и) 9i(a, о); б) <р2(а, о)
'к ш в реальном времени. Большие возможности современных ЭВМ
пин обработки сигналов во многом обусловлены также высоким
У|юинем их алгоритмического и программного обеспечения. К
наиболее эффективным алгоритмам обработки сигналов несомненно
hi носятся упомянутые выше алгоритмы БПФ. В настоящее вре-
мн имеется описание функционирующих систем передачи
информации, приемные части которых представляют собой специализи-
|.пнанные вычислители, реализующие быстрое преобразование
Фурье [28].
В современных обзорах развития ЭВМ отмечается, что маблю-
лиется тенденция к увеличению относительной стоимости матема-
тмеского обеспечения по сравнению со стоимостью оборудования!
153
■(в настоящее время соотношение этих стоимостей составляет по
рядка 6:4).
Очевидно, нечто подобное следует ожидать и в технике обра
Сотка сигналов. Оборудование (аппаратура) должно становитыс
все более компактным, дешевым и универсальным, а его алгорит
мичеокая начинка должна совершенствоваться1 и приобретать вс
больший «удельный вес».
В основу построения алгоритмов обработки целасообраз
но заложить принцип адаптации, согласно которому «еиз
вестные функции заменяются их оценками. Иепользовани
этого принципа и оценок характеристик канала, полученны
в гл. 2, позволило синтезировать гамму алгоритмов обработ
ки полей. При наличии испытательного сигнала или идеаль
ной решающей обратной связи обработка поля ведется ка
ионической адаптивной схемой, содержащей блок оценк
параметров канала и линейные корреляторы," число которы
определяется позиционностью информационных сигналов
В условиях неклассифицированной выборки можно рассмот
реть две различные структуры устройства обработки. Перва
является адаптивной, отличается от только что описанно'
тем, что блок оценки устанавливается в каждой, из ветвей
соответствующих позициям передаваемых сигналов (пр
этом вычисляются условные оценки координат). Втора
структура неадаптивна и реализуется линейно-квадратично'
схемой, в которой оценки параметров канала присутствую
неявно.
Показано, что алгоритмы обработки полей, построенны
с позиций статистической подстройки и использующие линей
ные оценки канала, во многих практически интересных слу
чаях совпадают с байесовскими алгоритмами обработки гаус
совских полей на фоне гаусеовских помех.
Предложен ряд субоптимальных алгоритмов обработки
базирующихся На различных дискретных моделях каналов
Показано, что субоптимальные алгоритмы совпадают с не
которыми уже реализованными на практике. Имеются тр!
пути реализации пространственно-временных фильтров, со
ставляющих основу всех алгоритмов обработки: синтез ан
тенн, оптическая и акустическая голография и цифровая го
лография. Рассмотрение интересных для практики примеро!
показывает, что оптимальные алгоритмы пространственно!
обработки во многих случаях имеют под собой абсолютно
ясную реализационную основу, подкрепленную наличием со
временного арсенала технических средств аналоговой и
цифровой обработки сигналов.
154
ГЛАВА 4
АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
4.1. Характеристики качества систем передачи информации
и их определение
Предыдущие главы относились к задаче моделирования и синтеза систем,
передающих информацию по пространственно-временному каналу В этой главе
рассматривается задача анализа, которая эквивалентна задаче оценки харак-
1еристик синтезированных алгоритмов при заданном ансамбле сигналов и
фиксированных свойствах -канала
Если подходить к задаче определения характеристик алгоритмов и
устройств обработки сигналов с системных позиций, то критерием сравнения
различных систем между собой должно считаться значение некоторой (обычно
довольно сложной) целевой функции, определяемой большим числом
переменных
При всем разнообразии видов целевых функций, используемых
применительно к задачам передачи дискретных сообщений, их объединяет то, что в
каждую непременно входит характеристика помехоустойчивости, определяемая
прежде всего вероятностью ошибочного приема передаваемого сигнала
Разумеется, для каналов с памятью эта-характеристика должна быть
дополнена характеристикой, учитывающей группирование ошибок, а при учете
нестационарности канала на протяженных интервалах времени, частоты и
пространства — также и характеристикой надежности связи (интегральной
функцией распределения вероятности ошибки)
Задача вычисления вероятности ошибки и надежности связи оказывается
часто камнем преткновения при инженерном анализе функционирующих или
проектируемых систем И дело здесь не только в вычислительных трудностях,
хотя даже сейчас при относительно высоком уровне развития вычислительных
средств не любая задача вычисления вероятности ошибки, ее группирования и
надежности связи может быть решена в приемлемые сроки и с заданной
степенью точности, если решать ее «в лоб» Основная трудность заключается в
том, что если при решении задачи синтеза разработчик системы ценой
всяческих ухищрений может так или иначе обойти вопрос о вероятностных законах
распределений сигналов и помех (см работы по непараметрической статистике
и задачах обработки сигналов ([64]), то при решении задачи анализа этого
вопроса обойти не удастся Необходимо принять ту или иную вероятностную
модель канала и аддитивной помехи В гл 2 были построены алгоритмы
линейного измерения характеристики канала, инвариантные к вероятностным
законам сигналов и помех В гл 3 использование принципа адаптации позволило
применить эти оценки для синтеза алгоритмов обработки сигналов на выходе
стохастического канала, содержащих дискретные сообщения Существует
возможность расширения результатов на случай обработки сигналов, содержащих
аналоговую информацию Все указанные алгоритмы являются инвариантными к
вероятностным законам, однако совершенно ясно, что при анализе их
характеристик не использовать какую-либо вероятностную модель нельзя В гл 1
достаточно подробно рассмотрены вероятностные модели линейного стохастического
канала с последовательно-параллельным характером прохождения сигналов,
способные описать очень широкий класс каналов связи
Основное место в этой главе будет уделено рассмотрению обобщенно-гаус-
совской (четырехпараметрической) вероятностной модели канала и ее частным
случаям (бекмановская, райсовская, рэлеевская и подрэлеевская модели) Глав-
155
ная роль уделена обобщенной гауссовской модели не случайно. Во-первых, ви
димо, именно она является наиболее приемлемой для широкого класса линей
ных каналов; основание для такого заключения дают предельные теоремы
теории вероятностей. Во-вторых, даже в тех каналах, физика которых не соответ
ствует условиям центральной предельной теоремы, обобщенная гауссовская мо
дель может оказаться удачной аппроксимацией одномерных распределений ам
плитуд и фаз сигнала в месте приема (для анализа вероятности ошибки потре
буются именно одномерные распределения). Ожидать хороших
аппроксимирующих свойств от обобщенного гауссовского закона можно потому, что он явля
ется четырехпараметрическим, т. е. зависит в явном виде от четырех
параметров Наличие четырех независимых параметров позволяет удачно
аппроксимировать с определенной степенью точности практически любую функцию распреде
ления из заданного класса, например функцию распределения амплитуд или
фаз вектора на плоскости.
В-третьих, как хорошо известно любому исследователю, имеющему дело с
вероятностными расчетами, именно гауссовское предположение обычно
позволяет довести задачу до конца, во всяком случае, до получения инженерных
рекомендаций и выводов. Однако было бы неправильно рекомендовать использо
вание обобщенной гауссовской модели в ситуациях, когда гауссовское
предположение противоречит логике вещей, например в оптическом канале с ярко
выраженным последовательным характером распространения сигналов. Поэтому
далее будем рассматривать также и вероятностные модели канала,
соответствующие существенно неаддитивному характеру формирования рассеянного сигнала
(логонормальное распределение амплитуд, равномерное распределение фаз).
В этих условиях не всегда удается рассмотреть задачу вычисления вероятности
ошибки без введения дополнительных ограничений иа модель канала.
Кроме того, не всегда удается получить удобную расчетную формулу и
приходится указывать лишь числовые результаты, полученные путем расчетов
по сложным формулам или с использованием метода Монте-Карло {14, 15, 27].
В качестве модели аддитивной помехи в этой главе везде рассматривается
белый гауссовский шум Обобщение на случай «окрашенного» шума могло бы
быть выполнено ценой не слишком больших усилий, однако при этом
следовало принести в жертву ясность окончательных результатов с точки зрения иссле
дования влияния стохастического канала на вероятность ошибки. Оценка
помехоустойчивости системы при негауссовских локальных шумах, например, при
импульсных и сосредоточенных помехах, выходит за рамки данной работы
Ввиду сложности рассматриваемых пространственно-временных
стохастических каналов ограничим оценку качества синтезированных алгоритмов
нахождением аналитических соотношений лишь для вероятности ошибочного приема
передаваемого сигнала
Вероятность ошибки в оптимальных и субоптимальных алгоритмах ниже
будет определена (если не оговорено обратное) в предположении, что отдельные
пути, по которым сигнал приходит в место приема, статистически независимы
В рамках обобщенной гауссовской модели это означает, что используется
модель канала, базирующаяся на разложении Карунена—Лоэва. При этом в
окончательные выражения для вероятности ошибки входят собственные ЧИСЛа 'О" xht
агун интегрального ур-ния (2.21) В случае коррелированных путей
распространения формулы для вероятности ошибки не изменятся. Перераспределятся лишь
между отдельными путями величины >агХк, ®гук Более подробнее рассмотрение
этого вопроса содержится в работе |46].
Анализируется качество оптимальных и субоптимальных алгоритмов при
использовании и отсутствии испытательного сигнала как в гауссовской, так и
(в меньшей мере) в негауссовском каналах при использовании для передачи
информации различных систем сигналов, удовлетворяющих требованию
разделения путей в месте приема.
Заметим, что инженерная практика все настойчивее подсказывает
необходимость разработки устройства (или программы), которое можно назвать
цифровым анализатором качества систем передачи информации. Этот анализатор
представляет собой универсальную или специализированную ЭВМ, в память
которой заложены всевозможные операторы преобразования сигнала на передаче,
модели пространственно-временных каналов и аддитивных помех, а также опе-
156
раторы обработки принимаемых сигналов. Быстродействие анализатора должно
позволить оперативно получить наглядные выходные данные, например кривые
зависимости надежности связи от допустимой вероятности ошибки,,
определяющие характеристики качества анализируемых систем при заданных
преобразованиях сигналов на передаче и приеме, в канале и заданных источниках шумов.
Обсуждение реализационных основ этого устройства (или программы)
выходит за рамки настоящей книги
4.2. Вероятность ошибки в условиях
идеальной классификации
Вычислим сначала йижнюю границу вероятности ошибки в
системах передачи информации двоичными сигналами Si(it) и Sz(t) в
предположении того, что выборка, по которой изучается канал, идеально
классифицирование Когда производится идеальная оценка параметров стохастического
канала на интервале принятия решения, а полученные оценки сохраняются неиз-
Л Л
менными, то входящие в линейный алгоритм (3 45) оценки tio(t,r) и u.z(t,r) в
точности равны соответствующим сигналам на выходе жанала. Условная
вероятность ошибки при фиксированных значениях (параметров стохастического
канала h определяется тогда из соотношения
Р {ош I Щ >
1
1—Ф
0 о о л>
(4.1)
где Ф (и) = —^— I e '2 dt — функция Крампа. Безусловная вероятность
ошибся J
ки определяется усреднением (4 1) по совокупности случайных параметров1)
GO ОО
р> [ ... { Рiom \h}w2N(h)dh. (4.2)
—оэ —оо
Рассмотрим сначала канал с обобщенной гауссовской статистикой в
предположении того, что выполняются условия разделения лучей При этом h
представляет собой 2Л?-мерный гауссовский вектор с независимыми компонентами
Интегрирование выполняется способом, описанным в [89], и приводит к
выражению
„2
ехр
я t J 1 + fl ' !
" 0 ft=l
.1+^-
* 1 i 2
COS" фр ft
1 + -
2hH\%:
•ft Hft Л12
0+PD0+4)
- +
1+(! + <») ■
sin2 фр ft
^hlfk
kYk
(i+Pl)0 + *I)
X —
2«ft ^-12
0 + p2)0 + «»
(4.3)
— X
1+ (! + <*)
^12 "ft
•0 + 1*2)0 + 4)
'' Эта формула справедлива и при учете межсимвольной интерференции.
157
Напомним ранее введенные обозначения'
hl =Щ o2xk + a2yk + m\k + ml,); q\ = -
'lxk
+ myk
Jxk
+ °;
:«-
yk
Jxk
Jyk
ФРД, = arc tg
Щук
mxk
При получении (4.3) предполагалось, что сигналы имеют одинаковую энер
гию Ei=E2 = E и, кроме того, dih=dh, 1=1, 2. Параметр Хц определяется
взаимокорреляционными свойствами сигналов Si(t) и sz(i).
т
тЬ
(t)sz(t)dt.
(4 4)
Для противоположных сигналов Кц=—1; для ортогональных сигналов
Xia=0. Формула (4.3) может быть использована для расчетов нижней границы
вероятности ошибки и в случае передачи информации системой «с пассивной
паузой», когда Si(Y)=0 В этом случае следует положить в (43) Xia=l/2
Анализ ф-лы (4 3) показывает, что наименьшую вероятность ошибки при
прочих равных условиях в системе с испытательным сигналом обеспечивает
применение для передачи информации противоположных сигналов. Этот результат
кажется вполне естественным, потому что рассматриваемое устройство
фактически работает по алгоритму В А. Котельникова |[60] в идеальном канале, для
которого оптимальность противоположных сигналов известна давно Не следует,
однако, забывать, что (4 3) есть лишь нижняя граница вероятности ошибки в
системе с испытательным сигналом и минимизация нижней границы (при ки =
=—1) не означает, вообще говоря, минимизации самой вероятности ошибки.
Этот важный вопрос нуждается в дополнительном исследовании
Выражение (4.3) очень удобно для численных расчетов на ЭВМ и
позволяет получить большое число частных результатов Приведем некоторые из них,
представляющие практический интерес.
Например, для рэлеевского канала формула для нижней границы вероят
ности ошибки, как следует из (4 3), принимает вид
N
1 f\n+k 1
Р>
N
-S
4=1
/-
1
А.12"£
П
П=1
hi
h?
(4.5)
а для канала с дискретной многолучевостью (однородного по частоте) и
гладкими во времени замираниями из (4 3)
ехр
JV
О т«=1
(1 + '
W
Х-
1+ (! + *»)
b»*mP;
2
X
cos2 <fptn
(l + P£)(l+£)
sin2 (fpm
X-
!+(! + '
^12 hm Pm
i h2
ft2W, , „2\ ! + (1 + 'а) /, , „2 4/, , 2'
(1+{&)(!+£)
0 + P2i)0 + ^)J
158
X ■
1 + (1 + '2)-
%i2 hm
(4.6)
Граница (4 6) соответствует случаю одинаковых пространственных
корреляционных функций в жаждой из NF лучей Если NF лучей «одинаковы в среднему
т е -у2т=72. Яггя=Цг, |Р2т = Р2;-'фрт = фр, /п = 1, ,NF, из (4 6) следует
ехр — •
(1 + t*)
NF NR №■
ть f
1 +
P> —
dt
л .1 1 + t2
0
cos-1 фр
1+ (! + <»)
%ш Ь? ft2
JVFtf«
(l + P2)(l + 92)_
sin2 фр
l + (l + f»)
Кг h2 P2
(l+P2)(l + ?a)
1+ (! + <»)
(l + P2)(l + 92)
X
1
(1 + П
wFw«
(4.7)
2 (l + p«)(l+,,«)_
На рис 4 1 приведено семейство графиков нижней границы вероятности
ошибки в системе с испытательным сигналом, рассчитанных по ф-ле (4 7).
Интересно рассмотреть область высоких отношений сигнал/шум В этой
области нижние границы приближаются к истинным значениям вероятности
ошибки Полагая в (4 3) h2k, J32feA2ft^> 1, получим в результате интегрирования4
Р>
N
п
2hHk
■ ехр
i; o+P2)(i+*2)
Анализ полученной формулы
и рис. 4 1 позволяют сделать вы-
"воды о влиянии
среднестатистических параметров канала на
помехоустойчивость В частности, из
(4 8) следует, что при отсутствии
регулярной .составляющей в канале
(q2k = 0, k=\l,N) -наличие
асимметрии ($2ь.ф1, k=\,N) всегда ведет
к увеличению вероятности ошибки,
т е шадрэлеенакий иаяал всегда
хуже рэлеевского При наличии
регулярной составляющей дело
обстоит иначе Канал с асимметрией
по дисперсиям квадратурных
составляющих способен
обеспечивать меньшую вероятность
ошибки, чем симметричный (райров-
ский) канал в случае, если слабо-
флу<ктуирующая_ компонента
Р2ь<С1, k=\,N) имеет мощную
регулярную составляющую (фрь =
= 0, k=UN)
4(i + %)
2Pi
(4.8)
(cOS^pft + P^ Sin2^pi,)
Рис. 41 Нижняя граница вероятности
ошибки в системе с испытательным
сигналом
159
В рассматриваемых условиях обеспечивается разнесенный прием по N
ветвям разнесения с асимптотическим убыванием вероятности ошибки (при
Е/М0->-°°), обратно пропорциональным N-и степени отношения сигнал/шум вне
зависимости от значений среднестатистических параметров замираний.
В приложении 2 показано, что подобный асимптотический характер
зависимости нижней границы вероятности ошибки от отношения сигиал/шум (при
E/No-t-oo) не зависит от вероятностной модели замираний. Из ф-л (4.1) и (П.2 5)
следует, что при любом вероятностном законе флуктуации параметров канала,
удовлетворяющем определенным ограничениям для нижней границы
вероятности ошибки в условиях идеальной классификации входного поля, справедливо
соотношение
N
P>C2/-llf\-j-w1(xk = 0)w1(yk = 0), (4.9)
aft
Таким образом, характер зависимости вероятности ошибки от отношения
сигиал/шум в асимптотике (при EjiNo-*oo) вида
p~l/(E/Naf,(Vi^O) (4.10)
является устойчивым к вероятностной модели замираний. Далее будет
показано, что зависимость (4.10) справедлива также при изучении канала по
информационным сигналам в условиях неидеальной классификации.
Для негауссовского (логонормального по амплитудам, равномерного по
фазам) канала из (4 9), как показано в приложении 2,
N
Р>СГ-'П-1^^, (4.11)
r«e aL=OnYft-mvA)2-
Для сравнения между собой результатов, 'Относящихся к гауссовской и
логонормальной моделям, следует зафиксировать параметры у2ь и акк •
Из (4.11) видно, как с ростом a Kk (с увеличением глубины замираний)
увеличивается вероятность ошибки. Сравнивая (4.11) с соответствующей
формулой для рэлеевского канала, следующей из (4 8), приходим к выводу, что
при значениях o£* ^ ~сГ я канал с логонормальной амплитудой лучше, чем
о
рэлеевский В области a^k > -— In 4я наоборот.
о
.Перейдем к рассмотрению верхней границы вероятности
ошибки. Для определения верхней границы удобно записать алгоритм
различения двух сигналов в виде
Т R ТК
[ [ [z(t, t) — Ul(t, r)fdtdr< j §[z(tt г) — ui(t,Tr)]'dtdr. (4.12)
6 6 0 0
Нетрудно показать, что в предположении передачи /-го сигнала Si(i), /=1,2,
вероятность ошибочного решения определяется вероятностью выполнения
неравенства
Т R т R
J" j [Щ (t, r) -u2(t, r)] let (t, r) + n(t, r)](didrl<: — j J [щ (t, r) —
oo e 6
— u2(t, r)]\dtdr, (4.13)
160
где ei(t, r) выражает погрешность оценки J-го сигнала, вызванную неточностью
измерения характеристики канала
et(t, r) = ReJ[A(/, g, r)-h{t, £, /-)]s,(S)dg.
о
Запись (4.13) позволяет сделать качественные выводы о влиянии неточности
измерений характеристики канала на помехоустойчивость Нетрудно заметить,
что влияние неточности измерений на характеристики алгоритма выражается в
появлении дополнительной аддитивной помехи, коррелированной с сигналом.
Для измерения характеристик канала используются линейные несмещенные
оценки, синтезированные в гл. 2. Тогда при гауссовской аддитивной помехе
n(t, r) дополнительная помеха ei(t, r) также оказывается гауссовской с
нулевым средним и корреляционной функцией B*i(t, (', т, г')
Совершенно очевидно, что вероятность выполнения неравенства (4 13)
(вероятность ошибки) будет наибольшей, если дополнительная помеха ei(t, r)
будет представлять собой белый шум, статистически не зависящий от полезного
сигнала со спектральной плотностью мощности-
%(0,0)+Бг2(0,0)
°°' = 2Т^ <4Л4>
Это обстоятельство позволяет записать верхнюю границу вероятности ошибки
в виде
р0 {ош | К) <
2
Ф
V 1^\){^-г)-^-г)]ЫШ
(4.15)
Если для изучения канала вычисляются оптимальные линейные оценки, то
(см. гл. 2) математические ожидания и дисперсии оценок совпадают с
математическими ожиданиями и дисперсиями оцениваемых величин
Л Л
М {xk} = mxk; M {yk} = myk\ %
D{xk}=alk; D{yk}~o2yk.
Отсюда ясно, что верхние границы вероятности ошибки определяются теми
же выражениями, что и нижние границы, полученные выше, с той разницей, что
вместо параметра N0 в верхних границах должен фигурировать параметр
(/Vo+Do), что ведет к уменьшению отношения сигнал/шум в (l-\-D0/N0) раз.
Для хороших линейных оценок, построенных в гл 2, в области больших
отношений снгнал/шум, справедливо соотношение
D0 = -j£Ei, (4.16)
где Еи — энергия сигнала, которым изучается канал
Полагая, что используются сигналы равной энергии (Et = E, 1=1, 2),
заключаем, что неточность линейных оптимальных оценок ведет к снижению
отношения сигнал/шум Л2 в (1+Я/Яи) раз Этот факт позволяет сделать вывод о том,
~"что для исключения влияния неточности измерения характеристик
стохастического канала на помехоустойчивость приема дискретных сообщений практически
достаточно применять для "изучения канала сигнал, энергия которого
приблизительно в 10 раз превышает энергию информационных посылок Отметим, что
совершенно аналогичный вывод о соотношении энергий Е* и Е сделан £46] для
рэлеевского канала в результате нахождения точных формул для вероятности
6—62
161
ошибки Точные значения величины £>о Для различных корреляционных функ
ций канала следует вычислять из соотношений гл 2 Использование их
позволяет построить графики вероятности ошибки для широкого класса каналов с
произвольной вероятностной моделью флуктуации параметров.
В заключение параграфа наглядно поясним, чем обусловлены преимущества
оптимальной пространственной обработки по сравнению с неоптимальной (при
митивной)
Рассмотрим канал с гладкими во времени н по частоте, но селективными
(однородными) в пространстве замираниями Передаточная- функция такого
канала зависит только от пространственной частоты Я(ка, t, <аг) =Н(<лг)
Проведем сравнительный анализ двух схем. Первая из них вычисляет и
использует NR отсчетов передаточной функции (2 124). Вторая осуществляет
примитивную пространственную обработку сигналов и построена в предположс
иии, что канал описывается моделью усилителя со случайным коэффициентом
усиления Щ«>, t, <Лг) ~Н
В первом случае оценка сигнала 1-й позиции вычисляется в виде
„Я
f N .
ui(t, r) = Re j si (*) ^, Яр е
1рДиг г
"р ^
р=1
Л
где Нр — оценка р-го отсчета передаточной функции, Дм,- — расстояние между
отсчетами по оси пространственных частот.
Выражение нижней границы вероятности ошибки для рассматриваемого
примера следует из (4 3)' для оптимальной обработки при подстановке в (4 3)
N=NR, для примитивной Л/= 1 Отсюда ясно, что преимущество оптимальной
пространственной обработки по сравнению с неоптимальной (примитивной) рас
тет с увеличением степени селективности пространственных замираний
Оценим теперь влияние неточности измерения на вероятность ошибки при
оптимальной и примитивной пространственной обработке Прежде всего еде
лаем замечание общего характера. Как следует из (4 14), интенсивность дЬпол
нительиой аддитивной помехи, вызванной неточностью измерения, равна сред
нему квадрату ошиб.ки измерения е2. Оптимальные линейные оценки обеапечн
вают минимизацию этой величины Любые другие оценки дают большие зна
чения е2, и соответственно появляется дополнительная помеха большей интем
сивности. Таким образом, влияние неточности измерения на вероятность ошиб
ки будет при иеоптимальиой обработке большим, чем при оптимальной Ко
нечно, не следует забывать о том, что этот вывод делается не для самой, во
роятности ошибки, а для ее верхней границы Вопрос о близости вероятности
ошибки к ее верхней границе требует в каждом конкретном случае дополни
тельного исследования
Вернемся к рассматриваемому примеру При оптимальной обработке сред
ннй квадрат ошибки измерения сигнала 1-yl позиции на основании (2 132) запи
сывается в виде
2nF NR /2
е' « J |s'(w))a *« L ^г^Т~
P=-^/2|5"(co)l2+ ?B,"f'-
0(ш, югр)
где 5H(to) —спектр сигнала, которым измеряется канал, лежащий в полос*
l-F, F\
При примитивной пространственной обработке на основании (2 164) имеем
2jtF
я J {S" (со)
б
162
При записи последней формулы предполагалось для определенности, что
примитивная схема оценивает передаточную функцию на нулевой
пространственной частоте .Проведем сравнение двух схем в наименее выигрышном для
оптимальной схемы случае равномерных энергетических и амплитудных спектров'I.
N(a, (йг) = Мй; G(u), «v)=»=G0; | S" (со) |2 = Ея \ \ Si (о) |2 = Е, /=1, 2.
В этих услёвиях интеисивиость дополнительной аддитивной помехи при при-
( No \ '•■
митивной обработке в II + - „ I раз больше, чем при- оптимальной.
\ Ь и0 J
4.3. Характеристики устройств обработки ;.
пространст'венно-временных сигналов
в обобщекно-гауссовском канале (гладкие замирания)
Для более тесной привязки результатов расчета помехоустойчивости к
физике реальных каналов целесообразно рассматривать отдельно частный случай
гладких замираний. В этом случае канал представляется моделью
последовательного соединения детерминированного пространственно-временного фильтра и
усилителя со случайным комплексным коэффициентом усиления.
Соответственно устройство оптимальной обработки сигналов каждой из
передаваемых позиций оказывается одиоканальным Алгоритм обработки
пространственно-временных сигналов в канале с гладкими замираниями следует как
частный случай из общих алгоритмов гл 3 при N=1 Здесь же рассмотрим
характеристики устройств пространственно-временной обработки в канале с
обобщенной гауссовской статистикой.
Поскольку исследуется обобщенная гауссовская модель канала,
целесообразно вычислять - помехоустойчивость оптимального в этом канале алгоритма
(3 56). Вычисляемая при этом вероятность ошибки должна рассматриваться как
нижняя граница вероятности ошибки для данного канала. Алгоритм (3.45),
пнварикнтиый к статистике замираний в обобщенном гауссовском канале с
регулярной компонентой сигнала, естественно уступает оптимальному
байесовскому алгоритму (3.56). Однако соответствующий энергетический проигрыш
составляет доли,децибел и практически оба алгоритма обеспечивают одинаковые
всррятностя ошибки. Сравнение оптимальных алгоритмов будем вести с
получившими широкое распространение алгоритмами некогерентной обработки,
следующими из ф-лы (3.82) при N= 1 для задачи обнаружения и различения
/И-ортогоиальных сигналов, и с линейным алгоритмом (3 91) при рассмотрения
.шдачи различения двух противоположных сигналов.
Рассмотрим отдельно три вида сигналов, несущих сообщения: сигналы,
соответствующие задаче обнаружения (двоичные сигналы), сигналы, число
которых М, и они ортогоиальны в усиленном смысле [104]; противоположные
сигналы
Кроме того, решим задачу вычисления помехоустойчивости для двоичных
сигналов произвольной формы и на этой основе найдем оптимальную двоичнуи»
сиетему сигналов в обобщенном гауссовском канале.
Рабочие характеристики оптимального обнаружителя. В обнаружителе,
работающем по алгоритму (3.45), возможны ошибки двух родов —ложной
тревоги и пропуска сигнала. Для определения вероятностей этих ошибок
выражение (3.12) удойно преобразовать к виду
^ V*+ №><*. (4.17)
Величины V и V нормальны и независимы. При наличии во входном колебании
полезного сигнала эти величины имеют параметры: 1
/2Е 1+ 2/£ „ , flE
D(V) = 2h2x, £>(F)=»2ft2 ,
1 + 2^
- - 2Л*
Я4-18)
6*
163
I
При «ясухствии полезного сигнала
/2Е
1
'. 2fc*(l+2fc*)
24 . М, {V}
/IB
\\ Л 2^(1 + 2^)'
B{V}=-
2fcf
ж,
l + 2ft|
» D {V} = •
1+4
(4.19)
Расчет вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала следует вести по
формулам [89| для интегральной функции F(A,B,C,D). В общем случае можно
записать;
Pm~l~FtA. &->> С<-), D<->); Ргш-f U. B<+), C<+), D<+)).(4.20)
Мрисзрсгаращве % ф-лах (4.20) параметры записываются так:
fBMf=g*
1 +
(f+P)(I + ^)
2рЙ2
1+Р+&2)(1+<?2)
S^->f
^(Г-^^-^-)
(1 +ga)(l + P2> + 2P2fa2 . '
cos2 <рр -j zz~ sin2 фр
(l+<7a)(l+P2) + 2fta
1+2
(l + ,72)(l + P2) + 2ft2p2
(l + fl»)(l+P«) + 2tf
P2ft2
(1 + ^)(1+Рг)
2fc2
(l + <f)(l+P2) J J
(1+Pa) (! + ■?')
2p2ft2
COS2 фр +
|><+) = arc tg
d + 4»)(l+(H)+» alrf •
(1+«72)(1 + p2)+2p2/t2
r
V
1
(1 +p2)(l + (?2)
2ft2 p2
2+ (i+p2)(i-M2)
(4.21)
Шраметр А* выражается формулой:
Как следует из ф^л (421), при Ла3>1 выполняются равенства: 5<_>=1,
O-*»0l Вероятность, ложной тревоги при этом определяется соотношением
Лгг = ехр(— со), (4.2)
164
откуда нетрудно вычислить порог
<» = — 1прлт.
Используя результаты [89], выражение для вероятности вроиуска
получить в виде \
1п(1/Рлт)(1 + Р2)(1 + ?г)
Рве-
2Ла р ехр
оа(1+Ва) , ]
2рТР (cos»Tp + P's»tfft)J
(4.25$
Анализ характеристик проведем после рассмотрения показателей качестве
некогерентного обнаружителя.
Рабочие характеристики некогерентного обнаружителя. Определим
вероятности ошибок в обнаружителе, работающем по алгоритму (3.82). В отсутствие
полезного сигнала V и V распределены нормально с нулевыми среддоши и
дисперсиями, равными ENo/2. Следовательно, модуль G— У V^+V1 расиределен и®
закону Рэлея Вероятность превышения порога при отсутствии свгиала
(вероятность ложной тревоги) определится следующим образом.
Рлт = ехр(— со), (4.2Ц
откуда может быть найден пороговый уровень со, обеспечивающий веиревшне-
пие заданной вероятности ложной тревоги.
ю = —1прлт. (4.27)
При наличии полезного сигнала на входе приемника V и V будут
по-прежнему распределены нормально с параметрами M{V)=mxE,. M{V}=tnaE:
0{^^(1т2^);СГг} = ^(1+^.
Модуль в этом случае имеет четырехпараметрнческое распределение.
Вероятность правильного обнаружения (или пропуска цели) оаредеяяется с
немощью интегральной функции
PuP = F(A, В, С, D). (4.28|
В рассматриваемом случае А, В, С, D определяются формулам:
2»Р
л , 2'ДУРлт я 1+(1+И,)(1 + Т*Г .
А = __ / — ; о = з -»
2/ia 2й*
!+ (l + p3)(l + ?s) 1 + (1+Г)(1 + #)
с — Tqr^>" ^ = <Рр-
При расчетах помехоустойчивости весьма полезными могут оказаться ф«ч*-
мулы [89].
Аналогично (4 25) для области малых ошибок и небольших д* приближенно
можно записать.
2/г2 р ехр
о2 (1 -4- В2)
(cos* фр + р* sin» *)
2Р2
Легко заметить, что выражения (4 25) и (4 29) совпадают.
Проанализируем в оговоренных условиях влияние параметров канала иа рабочие
характеристики некогерентного и оптимального обнаружителя. Из (4.15), (4.24) видно.
что вероятность пропуска сигнала уменьшается по экспоиендиалыгому закону с
ростом q2. ' '
165
При отсутствии регулярной части у коэффициента передачи канала
усугубление асимметрии по ортогональным компонентам (уменьшение р2)
увеличивает вероятность пропуска. Наличие асимметрии может обеспечивать выигрыш
по вероятности пропуска, если слабо флуктуирующая компонента
коэффициента передачи (j32<Cl) имеет существенное среднее (^2>0, ^рр=0). Рабочие
характеристики обнаружителей, рассчитанные по формулам и таблицам
III, 49, 89], изображены на рис. 4 2 (пунктирными ливнями нанесены кривые
10° W' Wz Ю3 №i Ws f)z
ч
Рис. 4 2. Рабочие характеристики яекогерентного и оптимального
обнаружителей в канале с гладкими замираниями. Обработка: —
некогердатная; оптимальная
оптимального обнаружения, сплошными — некогереятяого). Сравнение
показывает, что потеря информации о фазе незначительно снижает качество
обнаружения сигнала. Энергетический проигрыш составляет 0 дБ для рэлеевского
распределения амплитуд, поскольку истинное распределение фаз равномерно и
достигает максимума (около 1,4 дБ) для идеального канала (распределение фаз
дельта-функция). В промежуточной области изменения параметров
энергетический проигрыш почти неощутим (доли децибел), но несколько возрастает с
усугублением асимметрии в хороших каналах (<72>0; <рр=0}.
Незначительное снижение помехоустойчивости в сочетании с упрощением
практической реализации и инвариантностью приемника по отношению к
параметрам канала делает некогерентиый метод простого обнаружения в канале с
гладкими замираниями предпочтительнее строго оптимального.
Вероятность ошибки в системе М-ортогональных сигналов при оптимальной
обработке Для расчета вероятностей ошибок алгоритм (3.56) удобно
преобразовать к виду
Gi>Gg, g = 1, М; 8Ф1. (4.30)
аде
Величины Vi, Vi распределены нормально, взаиноиезавистш вследствие
ортогональности сигналов в усиленном смысле н имеют параметры:
166
f2E l + 2h2x _ l/2£ 1 + 2A*
D{V/} = 2ft2, D{Vi}^2hl.
/2£ 1
JVT 2fc»(l + 2fc»)--
2ft!
D {Kg} ■
; D{VS}-
Ж,
(4.31)
l + 2ft2 ' " ' "' l + 2ft2
Вероятность ошибки находится из соотношения
P = Ml{l~[l-F(Gl)]M~1}. (4.32)
В этой формуле величина F(Gi) — вероятность того, что случайная величина Gg
превысит некоторый случайный уровень Gi. Усреднение в (4 32) выполняется
но 'G;.
Заметив, что в общем случае распределение модулей Gi я Gg — обобщенно-
гауссовское, можем (89] записать формулу для вероятности ошибки в двоичной
системе (ЛГ=2)
°° *А Rn Rk д2п д2к \ ' \ / о2+б2
" = U U ^ ~k\ da-dbl • daUbl t Q L К 1 + f =
n=0k=0
Y
''(«? + »?)
1 + r2
*i ""1
1
^•exp
г*(а\+Ь*) + а1+Ь\
2 (1 + r»)
X/0
где r* = 1/(1 +[2ftJ) ;
У~гЦа> + Ь*)(а1+ь1)
l + ra
(4.33)
D{Vp}+D{Vp}
(м, {vPy + Mt {vp}Y
D {VP} + D {%}
1,2.
D{VP}-D{Vp}
D{Vp} + D(Vp}
Из ф-лы (4.33) следуют известные 149] частные случаи Анализируя
параметры (4 31) величины G, стоящей в правой части ф-лы (4 30), нетрудно
заметить, что при выполнении условия h2y, №Х~Ц>\ распределение правой части
становится х2_РаспРеДелением с ДвУмя степенями свободы Это позволяет
получить [89] приближенную формулу для вероятности ошибки
ехр \
У(1+Ра)
М—1
2fS2
■,м—i
1 +
2ft2
(1+Р*)(1+?2)
2f?
1+ (1 + Ра)(1 + <7а)
X
]/Г[1+к
2ft2
(1 + Р2)(1 + а
167
1_+А
2ft2 p2
(1+Р*)(1+.
XP2Sin2(pp-
2p3 ft2
1 + (l + |P)(l + <72)
14- k
2ft2 P2
COS2 фр
(1+Р2)(1 + ?2;
(4.34)
Расчеты показывают, что при небольших q2 (<72^3) ф-лой (4 34) можно
пользоваться практически при ft2^5 Это объясняется тем, что истинное
распределение правой части (4.30) (G.g) при этом весьма близко к
аппроксимирующему ^-распределению.
Для наиболее интересной области малых ошибок из (4 34) нетрудно
получить
М—1
(1+р2)(14-?2)
р=—щ—ехр
<?2(1+Р2)
2Р2
(cos2 фр + Р2 sin2 фр)
124-
k=i
(4.35)
Интересно отметить, что выражение, аналогичное (4 35), можно получить
для области малых ошибок в некогерентном приемнике сигналов
рассматриваемого вида Оно легко следует из общего выражения, полученного в [49]
М—1
ехр
р = J] (-!)*+! С*"'
kq*№
l+q2
COS2(pp
i + M1
ft-'p2
(l + gHl+j
k=l
V
sin2 фр
2ft2 p
(l+P2)(l + <f)
X •
1+A 1
2ft2
(1 + Ю0 + Ф)
)\
(4 36)
— X
1+A 1
2ft2
(i + P2)(i+<?2:
Это еще раз подтверждает отмечавшийся {42] факт, что оптимальный и
субоптимальный (некогерентный) приемники для системы ортогональных сигналов
равной энергии могут обеопечить близкую помехоустойчивость Как следует
из (4.36), при Л4=2 и ограниченных значениях ^параметра q2 характер
убывания вероятности ошибки в зависимости от ft2 аппроксимируется степенной
функцией вида
P~("=-)g; g>0,5, (4.37)
причем g=0,5 при j32=g2 = 0 (усеченно нормальные замирания), 0,5<g<l при
0<С|52<1, <72 = 0 (подрэлеевские замирания), g=l при Р2=1, q2 = 0 (рэлеевские
замирания), g>l при <72>0 (четырехпараметрические замирания).
При больших значениях М удобно применять асимптотическую (М-*-оо)
формулу (16], сводящую формально задачу различения к задаче обнаружения:
U-F(Gi))
"-'<
Gi ^ G0;
Gi>G0.
Уровень Go для оптимальной системы можно определить из условия
F(G0, B<->, C<-\ D<->) = Эгтм-1\ (4.38)
параметры В(-\ С<_), IK-) определены ф-лой (4 21). Для некогерен-тной системы
обработки уровень Go задается соотношением
е-<?. = 1_2-1/<«-1>. (4.39)
168
Соответственно выражение для вероятностей ошибок в оптимальной системе
принимает вид
p = F{G0; B(+); C(+); Di+)) (4.40>
[параметры В<+>, С<+>, £>(+> заданы ф-лой (4 21)], а выражение для вероятности
ошибки при некогерентной обработке
P = F
2In
М-
1
In 2
2ft2
1 + (!+Р2)(1+<
1-
2£2ft2
(1+р2)(! + <?2)
2ft2
(1 + Р2)(1 +
/:
fty
1 + q% + №■
тГ' Фр
(4.41)
В области малых ошибок для расчета помехоустойчивости обеих систе»
можно использовать <ф-лу (4 35)
Кривые вероятности ошибки, построенные по полученным формулам,
приведены на рис 4 3—4.4 Из рисунков и формул видно, что вероятность ошибки
в значительной мере зависит от статистических параметров канала.
Энергетический пронгрыш наихудшего из рассмотренных, подрэлеевского канала р2=0,1
по сравнению с идеальным при М=2, р=10~4 составляет около 30 дБ. Влияние
величины М на это соотношение незначительно. При асимметрии канала по
ортогональным компонентам может иметь место энергетический выигрыш по
сравнению с отсутствием асимметрии, если слабофлуктуирующая компонента
(j32<Sl) имеет ярко выраженную регулярную составляющую (<72»0, фр = 0).
Рис 4 3 Вероятность ошибки при оптимальном
и некогерентном различении (Л4=2)
Обработка — некогерентная, оптимальная
169
г=г,р''1 ^о,рг=1 qtff,piqffr
Рис. 4 4 Вероятность ошибки при невдгерентном
различении ортогональных сигналов
Сумма, входящая в ф-лу (4 35) при АГ>1, может быть аппроксимирована
простым выражением
м— 1
In M.
(4.42)
k=\
Это позволяет утверждать, что рост позиционности М ведет к уменьшению
эквивалентного отношения сигнал/шум в In M раз по сравнению с двоичной
системой и в In АГ/ln М' раз по сравнению с М' позиционной
Оптимальная двоичная система сигналов в канале с гладкими замираниями
В предыдущих параграфах определялась помехоустойчивость алгоритмов для
конкретных систем сигналов
Для передачи информации интересна и другая постановка задачи [60]-
найти систему сигналов, которая при наложенных ограничениях обеспечивает
минимальную вероятность ошибки Такую систему сигналов будем называть
оптимальной.' При поиске оптимальной системы сигналов наложим ограничения,
которые диктуются соображениями удобства реализации и экономии затрат.
А именно потребуем, чтобы система была двоичной, а сигналы si(t) и s2(t)
были равновероятны и имели одинаковые энергии Ei=E2=E.
Взаимокорреляционные коэффициенты сигналов при этом и будут теми параметрами, по которым
следует искать оптимум (минимум вероятности ошибки).
Т 1 Г
ь = y fSl (t) S2 {t) dt = ~F$ £V)£(9dt-
6 6
Г= —j Sl (t)% (t) dt = — j £V) s2 (0 dt,
(4.43)
Х2 = А,2 + ?Л
Для расчета помехоустойчивости алгоритм (3 45) в оговоренных условиях
удобно привести к виду
D>0; D = V\ +V|— V|— V|, (4.44)
где D — квадратичная форма гауссовских переменных.
170
Характеристическая функция квадратичной формы гауссовских переменных
известна [114]-
ехр
)D (!«)=•
- — М/С-1 {/—(/ — i 2uKQ)U2 M}
| / — i 2uKQ |
1/2
(4.45)
Здесь M={Vk} — матрица-столбец средних значений переменных; К—матрица
ковариаций величин Vk, I — единичная матрица того же порядка, что и К;
Q — матрица квадратичной формы.
Статистические параметры переменных V% могут быть легко вычислены 189J.
Рассчитывать вероятность ошибки в общем случае наиболее удобно с
помощью характеристической функции (4 45) по методике, описанной в [89]
Рассчитанные кривые приведены иа рис. 4 5
f-2,pt.HI,\=-1, Ур=
Рис 4 5 Вероятность ошибки в двоичной системе неортого-
нальных сигналов
Если асимметрия по ортогональным компонентам отсутствует (iP2=l),
приходим к известному [142] результату
где а = 1 ■
1 / а-
р = Q(ac, be) — — Ь ехр I — —
!с2 + ,
'.(aW),
/■'
У1 — nv У1 — pW
q* <[2tf/(l + g2)I (1 —Я') -2(1- A.2)}
4/3(1 — i?)/(l+ <f)
ц = -
1 + ft2 + q*
(4 46)
(4.47)
171
Для отыскания оптимальной формы сигналов исследуем (4 46) на
экстремум по X и X2 Необходимые условия существования минимума можно
записать так:
Заметив, что
ехр |
dp дас dp дас
дас дХ2 ~ ' дас дХ
а2с2 + Ьгс2
-)'о« = -~
dQ(acy be)
дас
(4.48>
(4 49)
запишем необходимые условия экстремума
dp b d2Q{ac, be)
дас 2сс д (ас)2
дас дас
Jk"" ' dW= '
,(,-
b \ dQ(ac, be)
2а2сг ) дас
= 0,
(4 50)
Дифференциальное уравнение, стоящее первым в (4 50), решается
элементарно, однако приводит к таким значениям ас и be, которые никогда не могут
быть достигнуты, поскольку лежат вне области определения этих величин
Исследуя (4 50), нетрудно показать, что коэффициент взаимной корреляции X
принимает два оптимальных значения при наличии регулярной составляющей
в канале Х=—1 и Я=0 i(X2 = 0) и одно значение Я=0 .(Я2=0) при отсутствии
регулярной составляющей Ра.счеты показывают, что указанная ситуация
сохраняется и в канале с асимметрией по ортогональным составляющим
Проведенное исследование позволяет утверждать, что в канале с гладкими
замираниями при наличии регулярной составляющей до определенных
пороговых значений отношения сигнал/шум Л2пор оптимальна система с
противоположными сигналами, а при больших значениях — система ортогональных
сигналов.
Пороговое значение Л2ПОр можно определить из условия равенства
вероятностей ошибок в двух указанных системах
р(Х = -1) = р(л = 0),
(4.51)
Выражение для вероятности ошибки в системе с противоположными
сигналами имеет вид {49]
Р =
1—Ф
2q2h2
1 +
2q2
(1 + Р2)(1 + <72)
(cos2 фр+ |J2 sin2 фр)
2ft2 P2 2ft2
(5 + <72) [1 + (1 + ф) (1 + pi) J [ 1 + (i + а2) (1 + р2).
(4.52)
Вероятность ошибки в системе ортогональных сигналов определена выше
(4 33) Сравнительный анализ ф-л (4 33) и (4 52) показывает, что в хороших
каналах система с противоположными сигналами остается оптимальной во всей
представляющей практический интерес области ошибок Существенной чертой
системы с противоположными сигналами является наличие неснижаемой (с
ростом Л2) вероятности ошибки, значение которой определяется параметрами
канала (49]. Это позволяет в каналах с регулярной составляющей, далеких от
идеальных, определить пороговое значение ft2nop из соотношения.
172
(1 + p2)( 1 + <f) exp [ ^^^P (cos2 <Pp + P2 «in8 ФР)]
nop
p { 1 —Ф
/;
p2
(cos^p + p^sin2^)
(4.53)
Диапазон изменения порогового значения Л2ПОр весьма широк. Так, в рая-
совском канале (P2=l, q2=2) AznoP=10, а в обобщенном канале С хорошей
статистикой (q2 = 2, срр = О, |32 = 0,1) й2Пор = 5-103. Рационально построенная
система связи должна менять вид используемых сигналов в зависимости от
состояния среднестатистических параметров канала
4.4. Характеристики обнаружения пространственно-временных
сигналов (обобщенная гауссовская статистика)
Определим вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала для алгоритмов
оптимальной и субоптимальной пространственно-временной обработки сигналов.
Оптимальная обработка. Для расчета рабочих характеристик алгоритм
(3 45) представим в виде
o^v\ + vl>
(4.54)
*=1
Величины Vh, Vh, k=l, N имеют гауссовские распределения и статистически
независимы При наличии в наблюдаемом колебании полезного сигнала эти
величины имеют параметры:
М1 {Vk} = я»х* V'Mk
М1 {Vk} = Щи V^dk
V'
V
1 + 2hU
4k
1 + 2h
yk
4k
D{Vk} = 2hlk; D{Vk}=2k2yk.
При отсутствии полезного сигнала параметрами будут
(4.55)
Mi {Vk}'=mxkV2dk
1
4k
4k
l + 2h2x
xk
M1{Vk}^mykVU
2d»-kV
4k
D{Vk}~
4k
!+2ft|
yk
,D{Vk}=
4k
xk
1 4-2ft2
■yk
(4.56)
В общем случае расчет вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала
удобно вести с помощью характеристической функции, которая легко
вычисляется как для случая наличия полезного сигнала O^+'fiu), так и для случая
отсутствия полезного сигнаяа вд (i и) Обе названные характеристические
функции определяются одинаковыми выражениями
173
N
exp
0G(i")=n
i иМг {Vk}
+
i иЩ {Vk}
\ — \2uD {Vk} 1 _ i 2uD {Vk} .
A=l
V [1 - i 2«D {V*}] [1 - i 2«D {Vft}]
(4.57)
причем для вычисления 8(,+),ра) в (4.57) следует подставлять значение
параметров из (4 55), а для вычисления в^—'(' ") — из (4 56).
Вероятности выражаются через соответствующие характеристические
функции.
/>лт = 1 —
1
2я
I
e<f> (i«)
'«to,
i ч
Рпр
ы J
в&+>(1и)
• du.
(4.58)
Численные расчеты по ф-лам (4 58) удобно вести по методике и
алгоритмам [89]
Рассмотрим область малых ошибок Анализируя выражения, входящие в (4.56),
замечаем, что при h2xk, кгуп~>\ математические ожидания величин Vk, Vn
становятся близкими к нулю, а дисперсии стремятся к 1 Таким образом,
распределение случайной величины G при отсутствии полезного сигнала стягивается
к %2-расшределению с 2iA7 степенями свободы Это позволяет выразить
вероятность ложной тревоги известным [109] соотношением
JV—1 .
1
Рлт —
(N—1)1
Г (со, N) = eT
■Б-:
g=o
со*
(4.59)
Из ур-ния (4 59) должен вычисляться оптимальный по критерию Неймана—
Пирсона пороговый уровень шо Рассматривая выражения'(4 55), можно
заметить, что в области h2x, ft2„»l дисперсии величин Vk, Vk принимают большие
значения Это позволяет получить [89] простое выражение для вероятности
пропуска сигнала
Рпр-
юо
№
1 1 = ехР
k=\
2h2kfa
2PI
X
X (cosacppft+Plsirfcppft)
(4.60)
Из ф-л (4 59), (4 60)' можно получить целый ряд частных результатов при
различных предположениях о модели флуктуации параметров канала
Рассмотрим в качестве числового примера распространенную модель
канала с неселективными во времени и по частоте замираниями Число N в ф-лах
(4.59), (4 60) определяется нз соотношения jV=A?H={J?/lpKop+l]
(рассматривается одна пространственная координата г). Переходная характеристика в данном
случае представлена в виде
А С. 5. г) ='£(') в (В,
(4.61)
где g(r) — случайная комплекснозначная функция пространственной
координаты
174
Примем, что вещественная и мнимая
части функция g,(r) имеют
нормированные корреляционные функции вида
Rg(r-r')~exp(~-lr~r'1). (4.62)
\ Ркор /
Результаты расчетов вероятностей
ошибки по ф-лам (4 58)—1(4.60) для
рассматриваемой модели канала приведены
на ряс. 4 6
Рассмотрим еще одну,
распространенную модель — однородного по
пространству канала с гладкими по частоте и
селективными во времени замираниями.
В данном случае, как показано в гл 3,
оптимальная пространственная
обработка выполняется узконапраплашдами
антеннами с диаграммами направленности
вида sin ■&/■&. Число таких антенн NR.
Оптимальная временная обработка
выполняется многоканальной схемой с
числом каналов NT. Таким образом, в
ф-лах (4 68)—((4 60) в этом случае N~
=NTN*
Из ф-л (4 59), (4 60) следует:
if
»"'
if
Hip
s9*-<
v=j\
Яг"'""'
\A
,N=2
= 1
1
т
да-
Рис. 4 6 Рабочие характеристики
оптимального обнаружения в канале
с селективными по пространству
.замираниями
Рлт =
1
NTI «-.,
(tfTtf«-l)
Г(со, NT NR) = e~
y
и
g=0
Рпр =
aNT NR NR NT
0
nn(i+p'j(i+^)
(NT N*)l , . . . 0hz R
X exp
(С°в,Ч>Р»* + &8"*8фр«)
(4 63)
Простые рассуждения позволяют лрийти к выводу о том, ЧТо различным с
физической точки зрения математическим моделям канала могут
соответствовать одинаковые выражения для вероятностей ошибок. Это произойдет в том
случае, если у моделей совпадут значения параметров различных с физической
точки зрения процессов флуктуации (например, характер замираний сигналов
во времени^ одной модели канала идентичен характеру замираний в простран-
стве другой модели). В частности, ф-лами (4 63) будут описываться
вероятности ошибок для канала, однородного по частоте с гладкими
пространственными замираниями (при этом^ в указанных формулах следует заменить параметр
л на N ). Указанное свойство (которое можно назвать свойством
обратимости) присуще не только устройствам обнаружения, но и всем другим устрой-
ствам обработки пространственно-временных сигналов в каналах с
селективными замираниями.
Субоптимальная обработка Исследовать субоптимальные алгоритмы в
стохастическом канале, вообще говоря, сложнее, чем оптимальные Это прежде
всего, вызвано возможным появлением статистической зависимости между
отдельными путями Вторая трудность заключается в том, что оптимальный
алгоритм является единственным, а субоптнмальных можно предложить множество
что ставит перед исследователем субоптимальных алгоритмов нелегкую задачу
«Лп.Т объекта ^следования. Здесь будут рассмотрены некоторые алгоритмы
обработки пространственных сигналов, хорошо зарекомендовавшие себя на
175
практике или имеющие определенную перспективу Анализ субоптимальных схем
ведется в таких каналах, где онн действительно обеспернвают обработку,
близкую к оптимальной по каким-либо переменным (пространственной, частотной
или временной). Причем, если устройство реализует, например, пространственное
разнесение с помощью узконаправленных антенн, пространственные пути при
анализе (если не оговорено обратное) считаются независимыми Это совсем не
•означает, что общими формулами для вероятностей ошибки, полученными в этом
разделе, нельзя пользоваться в случае статистически зависимых путей.
Действительно, при исследовании вероятности ошибки (как при обнаружении, так и
при различении сигналов) всегда имеем дело с квадратической формой
случайных величин
Q— > akpVkUp,
(4.64)
k, p
тде аир — коэффициенты.
Известно {5], что всегда имеется возможность привести квадратическую
<форму к каноническому виду
Q = 2«^
■Р*</*.
(4 65)
где а&, р\ — коэффициенты, соответствующие новой системе координат, U, V —
переменные, соответствующие преобразованной системе координат
Соответствующим выбором преобразования от (4 64) к (4 65) удается
добиться некоррелированности переменных преобразований формы (4 65). В гаус-
«совском случае некоррелированность тождественна статистической
независимости. Поэтому, в частности, вероятность превышения квадратической формой
(4 64) некоторого уровня, через которую рассчитывается вероятность ошибки в
любой системе, может быть вычислена через соответствующую вероятность Д-1Я
•формы (4 65) после подстановки конкретных значений параметров.
Применительно к коррелированным путям распространения некоторые вычисления
вероятностей ошибки содержатся в работах [6, 46, 104]
Перейдем к рассмотрению конкретных алгоритмов. Рассмотрим
обнаружитель, содержащий набор узконаправленных антенн (пространственная
обработка); линию задержки (обработка по частоте) и согласованный с передаваемым
•сигналом фильтр (обработка во времени), и работающий по алгоритму
F 0
N ЛГ
G=VV
v%-
Vfk > и-
(4.66)
4=1 1=1
где
-0
(sinft/б» — in)
&/63- — i я
1
db \z(t, d)
t— -
dt.
Переменные V,h, V,h являются гауссовскими независимыми величинами
При наличии в анализируемом колебании полезного сигнала эти величины имеют
параметры
Мг. {Vik} = тхШ Y2dk\ Mx {Vik} = myik f2dh,
D {Vik} = I + 2hlk p,7"; D {V,*} = 1
9h2 iiT
Если полезный сигнал отсутствует.
Mi {V,* } = Mi {Vtk} = 0; D {Vik} -= D {Vik} = 1.
(4.67)
(4.68)
176
Параметр \iT в ф-ле (4 67) определяется из соотношения {105]
Г
V.T = y§(l—yJBh(T)dT, (4.69)
о
Где Вл(т)—нормированная корреляционная функция характеристики канала
По временной переменной
Из (469) нетрудно показать, что 0<(хт<1. Параметр цт характеризует
екорость замираний. Чем выше эта скорость, тем меньше величина |лт. Для
цсспоненциальной корреляционной функция Rh(x) = ехр-(—|т|/ткор)
выражение для |ят принимает вид.
^ = "(7VW7 [Т/Тк°Р ~ l + е~Т,%К°Р} ■ * (4-70)
Из (4.68) видно, что в отсутствие полезного сигнала величина G имеет
^-распределение с 2NFAi& степенями свободы. Это позволяет записать
выражение для вероятности ложной тревоги
^=W^ryT{a,'NFN&-l)=*~a £ ir (471)
g=0
Численные расчеты вероятности пропуска следует проводить так же, как и в
случае оптимальной схемы по ф-ле (4 58), используя параметры (4.67).
Рассмотрим случай одинаковых в среднем путей распространения:
mXik = mx, myik = my, i— 1, N@",
altk = °l *mk = °l' k^TTNT ■
При наличии полезного сигнала случайная величина 'G имеет нецентраль-
Ное полусимметричное ^-распределение с 2NEN® степенями свободы (89].
Вероятность пропуска при четных значениях NFN& определяется из соотношения
Рпр = р[«> У т^&• в> У Чг- - агс*еч>р} — J]-^-
п—0
д2п
~дапдЬп Х
62-
X ехр'
NF N@ i
В2 J ^ / ш/2
r=l
/(l + B^+fe2)
, _i Va2 + b2 ,
X/0 —7==- ■ (4-72)
/l + B2
Где введен ряд параметров, зависящих от величин (4 67)
D (V) — D (V)
B* = D{V}/D{V}; R = -
D(V) + D(V)
]/~~NFN® M* (V) — Y^N%ЩЖ
V D(V) + D(vf
j/V N® M\ (V) + Ynf N0 M\ (V)
b = . ■ , _- . (4.73)
У D(V) + D(V)
7—62 177
Формулу (4.72) удобно использовать для расчетов при i/?<Cl.
Рассмотрим область малых ошибок. Пользуясь той же методикой, что и
для. оптимальной схемы, выражение для вероятности пропуска получим в виде
Впр !=
л^-i i/ £!(i+p?j(i + ^)
„F „в
|-| |-| V ■ rik/\J 4tk/ exp х
№№-1)1(чт)" N *=> f=i Я"*?*
UO + Prth 2 ^ft2 • 2 v
(cos29pft+P|sin2{ppA)
X
2 „Г
2Pf^
(4.74)
Сравнение ф-л (4 74) и (4 60) показывает, что преимущество оптимальной
ехемы перед рассмотренной субоптимальной начинает, сказываться; при выеокоА
скорости замираний 7"/тКор^>1.
. В условиях высокой скорости замираний оптимальный обнаружитель обес
нечивает в NT раз большую кратность разнесения, чем субоптимальный. Если
же скорость замираний невелика 7"/тКор~1, то оптимальный обнаружитель пи
имеет видимых преимуществ в помехоустойчивости перед субоптимальным, ни
реализуется гораздо сложнее и требует для построения гораздо большего объе
ма априорных данных. При разработке систем обнаружения пространственных
.еигналов (в частности, в радиоастрономии) было бы весьма полезно использо
вать данные о скорости флуктуации отраженных сигналов для обоснованного
выбора того или иного способа пространственно-временной обработки.
Из выражения (4 74) видно, что при отсутствии регулярной составляющей
(4?2ifc = 0, i=l, N&, k=l, NT) селективность замираний во времени ведет к
увеличению вероятности пропуска в субоптимальном обнаружителе Проигрыш
по вероятности ошибки, вызванный селективностью канала во времени, в обла
ети малых ошибок составляет 10NFN& lg 1/(гт децибел и растет по мере увели
чения числа ветвей разнесения по частоте и в пространстве. Напомним, что в
вптимальном обнаружителе селективность канала во времени всегда ведет к по
вышению качества обнаружения вне зависимости от статистики флуктуации.
В каналах с регулярной составляющей селективность во времени может
привести к улучшению рабочих характеристик субоптимального обнаружителя.
Из- (4 74) нетрудно показать, что выигрыш по вероятности пропуска за счет
временной селективности появляется при выполнении условия
^(l + PfA)(cos2(ppA+p2ASin2(ppfe)> N"N»»T ш /_1_\(4.75)
N» NF
ее
1=1 й=1
И'составляет
N9 NF
4,4 у «1 Ai±±&) (cos2 Фр k + fa sin2«pp k) + 10 OlUlj? lg _1_(4.76)
децибел, и может в хороших каналах достигать весьма высоких значений.
Рассмотрим еще один алгоритм субоптимального обнаружения,
реализующий частотное разнесение и игнорирующий селективность во времени и в
пространстве. В явном виде алгоритм записывается так:
NF
G= H Vl+7l>(0, (4.77)
*=1
178
л т
где
о о
И-к)
i'--k)\
dtdr.
Нетрудно показать, что в этом случае вероятность ложной тревоги,
«определяющая порог <о, записывается формулой
NF-X
Рлт
(А"
^Г(со,^-1)=е- J
р=0
■(4.78)
Выражение вероятности пропуска для области малых ошибок имеет вид
Рпр =
»*" П (1 + P»(1 + ^) «о
""'^'J 2MI
X (cos2(ppft+Pfsir.2<pi.fe)
Г <?20 + Pf)
L 2pJ^
•
X
(4.79)
где параметр
Т R
о о
Нормированная корреляционная функция канала по временной и
пространственной переменной Вл(т, .р) может являться пространственно-отделимой
Тогда параметр
(4.81)
Параметр |лт определен выше (4 69), |лл определяется аналогично
В заключение рассмотрим алгоритм, являющийся пространственным
аналогом временной обработки по схеме Костаса. Для большей наглядности
рассмотрим канал с неселективными по частоте и во времени, но с селективными в
пространстве замираниями. Алгоритм обработки определяется выражением
G=I] Vk+Jl >a>,
(fe+1) Дг Т
(4.82)
где {-*} = ' f \z{t, r) \S У] dtdr; Дг = Ш*.
\Vk J k{r J \s(t)] .
Параметрами величин Vh, Vh при наличии во входном колебании полезного
сигнала будут:
2Е Г 2£
—— , M{Vk} = myy — ;
D{Vk} = l +
2AL
, D {Vk} = 1 -f
20JE_
.(4.83)
179
R Ar
W V***~ f (l-^rWp)dp- '(4.84)
d
При отсутствии полезного сигнала величина G имеет %2-распределение с
%NR степенями свободы,
Считая слагаемые в (4 82) независимыми (это приближенно выполняется
при Лг^ркор), приходим к выводу, что вероятность пропуска определяется
выражением, аналогичным (4.72). Для расчетов необходимо подставить в (4 72)
вместо произведения NFN® параметр NR, а в (4.73) использовать параметр
14 83).
Для области малых ошибок аналогично (4.74) получим
NR-i
Рш, = 5 L__ ехр[ - Ф[[^Р (cos* qV+ рут* <рр) 1 , (4.85)
NRJ
Можно аналогично f104] поставить оптимальную задачу и определить
значение NR, обеспечивающее минимум вероятности ошибки, однако это
исследование при строгом подходе наталкивается на серьезные трудности. В связи с
этим целесообразно выбирать NR из очевидных соображений, принятых выше
-Л^ЧЯ/ркор-Н].
Формула (4 85), в частности, соответствует устройству пространственной
обработки оптических сигналов, выполненному в виде решетки из NR
фотодетекторов.
4.5. Вероятность ошибки при различении
ортогональных сигналов
(обобщенная гауссовская статистика)
Будем рассматривать передачу информации с помощью М сигналов,
ортогональных в усиленном смысле в условиях селективных замираний. Для таких
сигналов должны выполняться соотношения
Т R T R
\ \ sik (t, r) sgk (t, r) dtdr = j J sik (t, r) 7gk (t, r) dtdr = 0; (4.86)
0 0 0 0
k=\, N; g, 1=1, M; ЦФ1.
Рассмотрим последовательно оптимальные и субоптимальные алгоритмы
обработки.
Оптимальная обработка. Для расчета вероятности ошибки запишем
алгоритм (3 56) в виде
Gi>Gg, g=l, M, 8ф1, (4.87)
где
Случайные величины Gt, 1=1, —М представляют собой квадратичные формы
гауссовских переменных. Компоненты квадратичной формы статистически иеза-
180
рисимы. Полагая, что в анализируемом колебании содержится сигнал, 1-й
позиции, нетрудно вычислить математические ожидания и дисперсии переменных
квадратичной формы:
Мг {Vik} = mxk Yldik
M1{Vik} = tnyk Yldik
V
1 + 2Km
2h\lk
l + 2hllk
2hW
1
Mi{^gfe} = mxgk V Щк -
M^ {Vgk} = mnk }f2dgk ■
2/i2
znygk
V1
■2hm
2A-
xgk
■2hm
2ft:
ygk
D {Vgk} =
2hm
i + 2hm
2ht
; D{vgk} =
(4.89)
^+2hygk J
Вероятность ошибки в общем случае следует рассчитывать численными
методами с помощью характеристической функции квадратичной формы гауссов-
ских переменных.
Далее для упрощения формул будем полагать, что энергии разных
сигналов в одинаковых путях одинаковы ft2gft = ft2ijt = ft2A, tg, /=1, М. Для двоичной
системы сигналов (М=2) в рэлеевском канале нетрудно получить
р=\
*=1 ,-х
N
(*J+2)nw^(*2-'U)
(4.90)
т=\
Графики вероятности ошибки, рассчитанные по ф-ле (4 90) для канала с
гладкими во времени и по частоте и селективными по пространству
замираниями, описываемыми процессом с экспоненциальной корреляцией, приведены
ниже (рис. 4 7).
Анализируя (4 89), замечаем, что при возрастании отношения сигиал/шум
h2xk, ft2;,fc->-oo средние значения компонент квадратичной формы исчезают, а
дисперсии выравниваются, т. е. распределение величины G становится %2-рас-
пределением с 2N степенями свободы Воспользовавшись результатом [89],
запишем формулу для вероятности ошибки дл» указанной области значений
отношения сигнал/шум
" 0+P2)0 + fl2) Г «80 +РР , , _,R2.n "
Р =
П
*=i
М— 1
2Р*
, «=1
п (JV-1)
««я'
-U+^(^+g-l)!
(Л/-1)
(4.91)
.Где коэффициенты сг определены в [132J.
181
Из ф-лы (4.91) следует ряд интересных формул для расчета вероятности
ошибки в частных случаях Так, для двоичной системы (А1 = 2) выражение для
вероятности ошибки имеет вид
r2N-l
2h2k$k
N
П-
exp
, 0 + PP, , ^fl2., Л
4k —~ъ (cos *■ * + К sin *Pp*)
(4.92)
2tf
Простое сопоставление формул для вероятности ошнбкн прн различении
сигналов, полученных в этом параграфе, с' характеристиками оптимального
обнаружителя показывает, что структура формул одинакова Поэтому все
качественные выводы, сделанные выше о влиянии стохастического канала на
характеристики оптимального обнаружения, переносятся на случай различения М
сигналов Так же как и для задачи обнаружения, могут быть выписаны формулы
для вероятностей ошибки прн различении М сигналов для частных моделей
канала
Субоптимальная обработка при различении сигналов. Рассмотрим
характеристики устройства обработки при различении сигналов, выполненного на базе
набора узкоиаправленных антенн, линии задержки и набора согласованных с
передаваемыми сигналами фильтров, работающего по алгоритму (4 87) и
вычисляющего величины
NF N@
<*-2
VU+vlk,
V
(4.93)
где
[Vuk \
IV/.fr I '
C7
sin (ft/ба — i n)
db fz(f,
о
K'-t)
-1'-t)I
(4.94)
Переменные квадратичных форм Gi и Gg являются взаимоиезависимыми
• гауссовскими случайными величинами с параметрами'
п /"Ш ~ Т /"2~Е
.{Vuk} = mxtk У -JT ' Miiv4^=myik у jf ,
м.
D {Vuk) = 1 + 2h\lk цТ, D {Vm} = 1 + 2h\lk ,/
(4.95)
Mt {Vetk} = Mt {Velk} = 0, D {Vgtk} = D {Velk} = 1.
Замечая, что величина Gg распределена по закону %2, воспользуемся
результатом {89] и получим выражение для вероятности ошибки при различении
М сигналов в виде
м—\ n(.NP Ne—i)
р= V (-!)"+'Cf-1
ге=1
X
ехр
пп
— п р
1
k=0
„2
4im
. , 2
(~
-IF
im
-If
COS2
n-*
фр im
X
1+Лг
1 + np
1 +
2ft? «2 "r
>PL^
0 + P?»)0 + ^J
" ' У 1+np
1 +
2ALP-
2 Г
(i + PUO + d.)
X-~
182
ир ■
„2
Яхт
i + q]
2
itn
hi
Imsin фр.т
1 -f яр
1-h'
2ft? aT
(i + PDO+'/L) J
X \l + nt
(1+PL)
2рГ 11
4)0 + <L) J J
(4.96)
P=l
где величина цт определена ф-лой (4 96). Если асимметрия по ортогональным
составляющим во всех путях отсутствует (f52lm=l, «=1, Л® ; т=\, NF), а
пути одинаковы в среднем (что, безусловно, является идеализацией), из ф-лы,
(4 96) нетрудно получить
М—1
= J] (- D"+1 с;
п=1
>м—1 Г
" 1
1
Г2 ..Г
1 + « +
«h2 [д.
X ехр
■F м» „гГг
пАГ ЛГ </2/г2
(l + «)(l + <72) + ^V
/Г2[д.г
1 + ff2
A?F JV8
X
s
*=0
Г (^tifi+k)
X
1 +
1 + q2
1 -f п-(- n
■li'
л
A, WFWe,
l + 9a J
(1 -f ?2+ Л2 (iT )[(1 + n) (1 + f) + «ft2 i*T ]
где iFi(a, |J, 4) —вырожденная гипергеометрическая функция.
При больших М расчеты по ф-лам (4 96), (4 97) становятся
затруднительными. В этом случае целесообразно использовать асимптотическую ф-лу (4.37),
позволяющую свести формально задачу различения к задаче "обнаружения.
При этом вероятность ошибки должна рассчитываться по формулам для
вероятности пропуска, приведенным в предыдущем параграфе. Порог <а, входящий
в (4.37) для расчета вероятности ошибки в системе М ортогональных сигналов,'
должен определяться из уравнения
1
(Л^в-1)!
■Г (о, ^Л/в-1)=2-1/<м-1>
или
NF N9-l
я=о
r\
1 _ 2—l/(-M—О
(4.98)
При достаточно большом числе путей целесообразно для вычисления
вероятности ошибки использовать ряды Грам-Шарлье [64, 109].
183
При больших отношениях сигнал/шум из ф-лы (4.96) следует
ПП (I+Hj<1+A> „Г-
2/г2 В- и.7"
m=l i=l "HmVimV' L
X (cos2 фр ml- + Bfm sin2 фр im)
M~\ n(NFNe-i) , F TS
£(-1)"+'^- 2 '*" *
«=1 k=0
(NFNe-k- 1)!
Выражение ((4 99) очень близко по своей структуре к формуле для
вероятности ошибки при оптимальной обработке (4 92) и для вероятности пропуска
в оптимальном (4 60) и субоптимальном обнаружителе (4 74). Все, что
говорилось о, влиянии параметров канала на указанные вероятности, можно
повторить и для рассматриваемой вероятности ошибки при субоптимальном
различении М сигналов В частности, рассматриваемый алгоритм (4 93) обеспечивает
энергетический выигрыш, обусловленный селективными во времени
замираниями прн наличии регулярной составляющей в канале и выполнении условия
(4.75). Значения энергетического выигрыша определены ф-лой (4 76).
При малых отношениях сигнал/шум селективность замираний во времени,
как видно из (4 96), ведет к энергетическому проигрышу, однако значения его
в каналах с регулярной составляющей невелики. Сравнение формул для
вероятности ошибки показывает, что в каналах с временной селективностью
оптимальная обработка имеет большое преимущество по сравнению с рассматриваемой,
не учитывающей селективного характера замираний во времени. Это
преимущество возрастает с уменьшением вероятности ошибки, зависит от статистических
свойств канала и максимально в каналах, близких к рэлеевскому Так, в рэ-
леевском канале с неселектнвными в пространстве и по частоте замираниями
соответствующий энергетический выигрыш при /?=10-4, /И = 2, ,JV7' = 3
(экспоненциальная корреляционная функция Bh(t) составляет 15 дБ, в райсовском при
<72 = 2 он равен 6 дБ, а в подрэлеевском прн fi2 = 0,1 лишь 5 дБ Физически это
объясняется тем, что в достаточно хороших каналах (<?23>1) селективность
замираний во времени играет весьма малую роль Оптимальная обработка
приближается к линейной, преимущество которой перед некогерентной (субоптималь-
иой) в идеальном канале <?2 = оо для рассматриваемой системы сигналов
составляет порядка 3 дБ. В плохих каналах <?2 = 0, (J2<§;1 оптимальное устройство
обработки, как следует из алгоритма (3 45), фактически обрабатывает одну
квадратурную компоненту сигнала, поскольку вторая почти всегда принимает
нулевое значение Но и та компонента, по которой ведется обработка, с
большой вероятностью может принимать нулевые значения на протяжении
интервала анализа длительности Т. В этом случае становится мало эффективным
«выхватывание» и суммирование некоррелированных участков наблюдаемого
поля, как это делается в устройстве оптимальной обработки, ибо почти все
участки будут нести близкую к нулю энергию Достаточно обрабатывать сигнал на
всем интервале анализа длительности Т Некоторые кривые вероятности ошибки
при оптимальной и субоптимальной обработке приведены на рис. 4.7.
Как уже отмечалось выше в рамках принятого здесь подхода к построению
алгоритмов обработки полей, пространственная, временная и частотная
переменные являются равноправными Поэтому можно предложить ряд алгоритмов
субоптимальной обработки полей, примыкающих к рассматриваемому и
построенных с позиций игнорирования селективности замирания по одним
переменным (в рассмотренном алгоритме во времени) и учета селективности
замираний по другим (например, по пространству и частоте).
Проведенный выше анализ характеристик может быть легко
распространен с рассмотренного субоптимального алгоритма на другие алгоритмы того же
класса
184
П" П1 Пг 1B3 ' 1B1 ID* 10s Ю7
Рис. 4 7 Вероятность ошибки при различении ортогональных
сигналов (М=2) в канале с селективными по пространству
замираниями Обработка:
-оптимальная; некогерентная NR = 2
Общим для всех субоптимальных алгоритмов описанного класса является
вывод о том, что с .ростом степени учитываемой селективности (числа ветвей
разнесения) энергетический выигрыш оптимального алгоритма перед
субоптимальным уменьшается в области больших ошибок (малых А2) и увеличивается
в области малых (больших А2)
Рассмотрим далее субоптимальный алгоритм обработки, реализующий идею
Костаса Для канала с неселективными по частоте и во времени, но
селективными в пространстве замираниями случайные величины Vtk = Vik, входящие в
алгоритм обработки (4.87), имеют параметры-
Mi {Vtk} = тх V2E/N* N0, Mt {Vlk} = my VlEjNR N0;
2alElxR
D{Vtk}~l +
2o| E цЛ
NRNe
, D{Vik} = l + -
(4.100)
NRNB
где |як определена ф-лой (4 84).
Квадратичная форма Gg, входящая в (4 87), имеет %2-распределение.
Выражение для вероятности ошибки записывается формулой, аналогичной (4.96)
при замене в этой формуле цт на \iR и N® на NR и при N"=1, №г—№Щн.
Для области малых ошибок нетрудно получить (Л1 = 2)
* (i + fi)(i + rfH«
\ \ . -. „ ехр
20/А2 р*
2Р<|1*
(cos^q^-f tfsitfqbt)
(4.101)
1S5
Рассмотрим далее вероятность ошибки в устройстве обработки сигналов,
алгоритм работы которого базируется на адаптивной однопутевой модели
многолучевого канала (выбор максимального коэффициента передачи),
Для устройства различения М сигналов, реализующего алгоритм (3 86),
вероятность ошибки определим усреднением выражения для вероятности
ошибки в канале без замираний по максимумам квадратурных компонентов
коэффициента передачи Хк и ур. Это можно сделать, пренебрегая неточностью оценок
максимальных значений квадратурных компонент характеристик канала.
Полагая все N путей одинаковыми в среднем, запишем плотности распределений
вероятностей максимальных значений квадратурных компонент:
«А
Wl(xf«c) = w(xk)
щ(у?кс) = щ(у*)
j Wi(xt)dXi
Г?
l-Уо
(yi) dyi
'лг-i
(4.102)
Величины Xk, уР, входящие в (4.102), k=\, N, /7=1, N, распределены
нормально с параметрами (тх, <т2*) и (ту, а2„) соответственно. Выражение для
вероятности ошибки записывается в_ виде
М—1
Р-
(- l)g+1 С
м-
g=l
l + g
1 СО ГО .
-П-4
g£[(^KC)2 + (CKC) 1
{l + g)ff.
X wx ( xfKC) Wl ( yf™) dxf™ dy>
,макс
X
(4.103)
.В общем случае вероятность ошибки следует рассчитывать по ф-ле (4 103)
с иопользованием вычислительных методов на ЭВМ. Рассмотрим для примера
канал без регулярной составляющей тх=ту = 0, N=2. Из (4.103) нетрудно
получить
М-1 |
■Е-
1)£+1CM-i^_Aarctg|/
2№ Р2
(1+£)(1+[32)(1 + 92)
V
2kh? ps
(l + AHl+PTO + fl*)
X
[l-^-arctg-/,
2Ш
(1 + *)(1 + Р»)(1 + д»)
V '
(4.104)
2№
(1+*) (1 + ^(1 + ^)
Для двоичной системы М=2 из (4 104) имеем
1 — — arc tg
л
V
2№№ , 2
1 + £- 1 — — arc tg
1 + Ра я
/"
2Аг
1+Р2
V
(4.105)
2Аг
1 + Р1
Для исследования области малых ошибок используем в (4.104)
разложение [29]
186
\
1
\
2 2 iri 1
\ 1— arctg£/ = > (— 1)* • , 14.106)
\ n ж Ц (2k+l)U2k+l
сохраняя в нем лишь первый член. Из (4.104) следует асимптотическая (при
й2-*-оо) формула
В* (2А*)* LlK И* * К
t £=1
Сравнивая выражение (4 107) с выражением для вероятности ошибки в
©птимальном устройстве обработки (4.91), нетрудно заметить, что характер
убывания вероятности ошибки в зависимости от отношения сигнад/шум в обоих
случаях одинаков- вероятность ошибки убывает обратно пропорционально JV-й
степени отношения сигнал/шум. Можно показать, что энергетический проигрыш
рассматриваемой субоптимальной схемы по сравнению с оптимальной невелик
(не превышает трех децибел) и уменьшается по мере роста числа путей N и
уменьшения интенсивности регулярных компонент.
4.6. Помехоустойчивость двоичной системы
противоположных сигналов
(обобщенная гауссовская статистика)
Большое распространение в наземных и космических каналах [76] получила
передача информации широкополосными противоположными сигналами
Рассмотрим здесь потенциальные возможности этой системы сигналов при
пространственно-временной обработке и сравним их с возможностями линейных
субоптимальных схем, нашедших практическую реализацию
Оптимальная обработка Для вычисления вероятности ошибки алгоритм
(3 56) удобно преобразовать к виду
N
/=Vy4 + V^>0. t (4.108)
Гауссовские случайные величины Vk, У к, A=l, N, взаимонезавнсимы и
имеют параметры.
2£ vk mlk
M1{Vky = D{vk} = —^L —^V;
~ ~ 2Evk mlk
M, {Vk} = D {Vk} = —*- ^— .
N» 1 + 2h2yk
При этом гауссовская величина / имеет параметры
N
Li Na lii 2ft2 ! , 2ft2 I
Выражение для вероятности ошибки в устройстве обработки, работающем
по алгоритму (4 108), описывается достаточно просто как функция
распределения линейной формы независимых гауссовских переменных и имеет вид
187
/» = ■
2...
1—Ф
COS'' фр k
1 + '
2^Р|
(l+ $(!+$)
sin'Фр k
1+-
2/,2
0+й)0 + 92)
(4.110)
Из ф-лы (4 110) видно, что если регулярная составляющая у
принимаемого поля отсутствует q2k = 0, >k=\, N, система с противоположными сигналами
становится неработоспособной —- вероятность ошибки составляет 1/2 прн любых
отношениях сигнал/шум!. При наличии путей распространения с асимметрией по
дисперсиям квадратурных составляющих Р2ь=й=1 вероятность ошибки в сильной
степени зависит от фаз фрь регулярных составляющих в этих путях В
отсутствие асимметрии (райсовские замирания) фазы регулярных составляющих не
влияют на вероятность- ошибки Анализ выражения (4 110) показывает, что
характерной особенностью системы с противоположными сигналами является
наличие неснижаемой с ростом отношения сигнал/шум предельной вероятности
ошибки Полагая в (4 110) й2д=.оо, получим значение неснижаемой вероятности
ошибки
1—Ф
/I.
"1
(cos2 фр k + Р| sin2 фРа)
(4.111)
Расчеты показывают, что значения р°° в каналах с селективными
замираниями и достаточно хорошей статистикой (высокие значения q%k, к=\, N) могут
быть весьма и весьма малыми Например, в канале, описываемом моделью линии
задержки с двумя отводами NF=U с гладкими во времени NT = \ и
селективными в пространстве замираниями NR = 2 (экспоненциальная корреляционная
функция), имеющими райсовскую статистику qzk = 2, £=1,2, предельная
вероятность ошибки имеет порядок 10~6. Достигнуть примерно такой
помехоустойчивости можно уже при Л2»Ч0, когда для расчета вероятности ошибки от
•(4 110) можно приближенно перейти к (4 111) По мере возрастания степени
селективности канала значения предельной вероятности ошибки резко падают
и могут достигать исчезающе малых значений даже при слабовыражеиной
регулярной составляющей передаточной функции стохастического канала Такие
свойства системы с противоположными сигналами не оставляют сомнений в
целесообразности передачи информации противоположными сигналами по
стохастическим каналам Большим достоинством является то, что оптимальная
обработка противоположных сигналов линейна. Некоторые кривые вероятности
ошибки, рассчитанные по ф-ле (4 110), приведены на рис 4 8 Штрих-пунктирной
линией обозначены характеристики системы с испытательным импульсом
(нижняя граница), рассчитанные по ф-ле (4.3).
Субоптимальная обработка Определим вероятность ошибки при обработке
противоположных сигналов по алгоритму (3 91). Вероятность ошибки опреде*
ляется вероятностью выполнения неравенства
N Т R
— V Г Г г if. r) [mxkslk (t, r) + mykZk (<• г] dtdr > 0 (4.112)
ft=l 0 0
188
10'
10z
№
№*■ W5 10s
Ю1
(f=Zi J3=1,N=UN=1
■ h*
10-
\
N=1
10+
N=2
\
Рис. 4.8. Вероятность ошибки при различении двух
противоположных сигналов в канале с гладкими замираниями:
— без испытательного сигнала; с испытательным
сигналом; —• идеальный канал
в предположении, что в наблюдаемом колебании содержится сигнал s2(it). Эта
ь вероятность легко отыскивается в виде
1
1—Ф
1
2h2k ( p| cos2 фр k + sin2 фр k)
(1+ К) (l + tf)
(4.113)
Сравнивая (4.113) и (4.110), видим, что в канале без асимметрии выраже-
| ния для вероятностей ошибки совпадают. Это естественно, поскольку алгоритм
(3 91) в данном случае оптимален
При наличии асимметрии оптимальный алгоритм, конечно же, имеет
преимущество перед субоптимальным, которое возрастает по мере усугубления
асимметрии. Значение предельной вероятности ошибки, получаемое из '(4 113)
при A2ft—>-оо( имеет вид
Р00 = ■
1
1—Ф
f k=\
Р| cos» фр ft + smaqpp fe
(4.114)
Аргумент предельной вероятности ошибки в оптимальном устройстве
обработки превышает соответствующее значение аргумента в (4.114) на величину
189
T]=10Ig
ft=i
Pi
(cos2 <pp k + p| sin2 q>pft)
(4.115)
JJ^o+pJ)
*=i
P| cos3 фР ft + sin2 фр fe
Наиболее наглядно можно увидеть степень преимущества! оптимального
алгоритма1 перед субоптимальным, рассмотрев канал с одинаковыми в среднем
путями распространения Для такого канала из (4 115) следует
Т} =
Ю1§у(С052фр-
■ р2 sin2 фр) ф2 со52фр + sin2 фр|.
(4.116)
Анализ- ф-лы (4 116) показывает, что в каналах с ненулевыми регулярными
составляющими обеих квадратурных компонент (фр=^0, <рр=^я/2) оптимальная
обработка позволяет резко повысить помехоустойчивость
Завершая рассмотрение характеристик оптимальных и субоптимальных
алгоритмов обработки пространственно-временных сигналов в каналах с
обобщенной гауссовской статистикой, резюмируем преимущества, даваемые
оптимальной обработкой. Достоинства такой обработки по сравнению с
субоптимальной заключаются прежде всего в том, что она позволяет в канале со
степенью селективности N организовать iV-кратное накопление.
Некоррелированность всех N ветвей, которая в рассматриваемом гауссов-
еком случае порождает статистическую независимость, достигается выбором
модели канала, основанной на разложении Карунена—Лоэва. Использование
любых других координатных функций дискретной модели канала приведет к тому,
что- появится зависимость между N ветвями приемного устройства и
эффективность накопления снизится. Альтернатива при субоптимальной обработке
заключается в выборе числа независимых ветвей N'<.№ (что часто и
осуществляется на практике).
Вторым достоинством оптимальной обработки является то, что она
позволяет наилучшим образом обрабатывать сигналы в каждой из N ветвей (этот
вопрос достаточно подробно исследовался при рассмотрении канала с гладкими
замираниями).
Говоря только о пространственной обработке, можно утверждать, что
оптимальный алгоритм указывает формы диаграммы направленности антенн,
позволяющие организовать накопление по N независимым ветвям
Оценим на примерах влияние неоптимальности диаграмм направленности
антенн на помехоустойчивость для канала с гладкими во времени и по частоте,
ио сечективными в пространстве замираниями.
Пусть дискретная модель канала имеет вид
к (г) = V hp фр (г),
(4.117)
р=\
где фунвдии (ц>р(г)} образуют ортонормированную систему, но не являются
функциями Карунена—Лоэва
Величины ковариации координат разложения (отдельно для каждой из
квадратурных компонент) определяются соотношениями.
R R ~\
Bxkp = j* j Вх (г-г') щ (г) Фр (г') drdr'; |
6 ° ' \ (4 118)
RR
И
о о
Sfp = J j Ву (г- г') щ (г) фр (/-') drdr'; |
190
k = l, NR ; p = 1, NR
Квадратурные компоненты полагаем некогерентнымн. В^=0, k, /э=Т, Nn.
.Пусть, например, координаты кр в разложении (4.117) представляют собой
равноотстоящие (на Аг) отсчеты по пространственной переменной г (что
соответствует приему на узконаправленные антенны с диаграммой вида sin §/■&)
Тогда величины ковариаций координат с различными индексами на основании
(4 118) определяются соотношениями:
\B*p = Bx[(k-p)Ar}; %=Bg[(k-p)Ar].
Так для экспоненциальных корреляционных функций'
(4.119$
% = <<
Аг
Ркор
|).-^ = ^ехр(-
Аг
Ркор
-)•
k — p\\. (4.12(4
Наличие корреляции между отдельными ветвями по-разному влияет на
вероятность ошибки в ^звнсчыос™ от системы сигналов и статистики замирания в
канале (6, 46].
Рассмотрим примеры, представляющие практический интерес.
1 Для рэлеевского канала с двумя одинаковыми в среднем путями (jV = 2)
при использовании ортогональных сигналов (М=2) на основании [6] запишем
где
Р =
(йг)2(1-|Я|2) + 4йа + 4
(4.123)
i«i = K(W)'+(W)'.
(4.122)
Из (4 121) видно, что корреляции сигналов в ветвях сказываются в
области больших отношений сигнал/шум Если корреляционные коэффициенты
описываются выражением (4.120), то при Лг/рНор = 0,5 из (4 122) получим \iR\~
=0,85. В этих условиях энергетический пронгрыш нз-за неоптимальной
пространственной обработки прн А23> 1 составит около 2,5 дБ
2 Рассмотрим систему с противоположными сигналами, работающими по
алгоритму (4.108). При наличии корреляции между отдельными слагаемыми,
помимо параметров (4 109), линейную форму (4 108) будут также
характеризовать величины ковариаций:
2— VwpB]
В {VkVp} :
B{VkVp}-
N,
2^У^~Рвур
, кфр
(4.123)
Вероятность ошибки будет по-прежнему определена вероятностью выполнения
неравенства (4.108). Величина / является гауссовской со средним значением И
дисперсией, соответственно равными.
191
Mx{/}
D{/} =
X
У (1 + 2hlp) (1 + а&) У (1 + 2^ft) (1 + 2^р)
(4.124)
Квадратичная форма в (4 124) является неотрицательно определенной, что еле
дует из свойства корреляционной функции [64] Поэтому дисперсия (4 124)
всегда не меньше дисперсии (4 109) Отсюда ясно, что вероятность ошибки м
рассматриваемом случае всегда выше, чем при оптимальной пространственной
обработке. Общее выражение для вероятности ошибки при реоптимальной об
работке записывается в виде '
1
Р = "
1—Ф
Mtil}
LVd{I} J
}■
(4.126)
где М1{1} и D{I} определяются ф-лами (4.124)
Предельную вероятность ошибки легко определить в вид^
--И»
-ф
£ ^(l + Pl)(cos2<Pp*4-^sin2<ppft)
ft=i
|/ V j!Ii±P*).(cos»cppft+p8sm»9pft)+.
N
X2
P<k=l
nP/
«20 + P2)
cos-5 фр k
^(1+Pp)
• cos2 фр p
- **„ Y Wk{\ + fk) sin2 Фр ftl [ q2p (1 + PP ) sirt» Фр р]
+ •
(4.126)
Из (4.126) видно, что значение предельных вероятностей ошибки в
рассматриваемом случае неоптимальных форм диаграмм направленностей антенн
увеличивается по сравнению с ранее рассмотренным случаем оптимальных
диаграмм. Например, в райсовском канале с двумя одинаковыми в среднем
путями с корреляционными коэффициентами (4 120) при Ar/pKOp = 0,5 аргумент
функции Крампа в (4.126) в 1,85 раза меньше, чем в (4 111). При этом
предельная вероятность ошибки составляет при q2=A не Ю-6, как при
оптимальной обработке, а Ю-4 и, таким образом, возрастает в 100 раз.
192
4,7. Характеристики устройств обработки сигналов
в каналах с негауссовской статистикой
в условиях неклассифицированной выборки,
по которой изучается канал
При анаиизе устройств обработки сигналов, впрочем так же как и при
синтезе, отход от гауссовской модели замираний ведет к резкому усложнению
рассмотрения.\ В частности, для получения обозримых результатов приходится
предположить I статистическую независимость отдельных путей. Если в случае
гауссовской статистики, как отмечалось выше, 'предположение о
некоррелированности (независимости) могло было быть легко снято и формулы для
вероятностей ошибки, полученные в предположении независимости путей, сохраняли свой
вид (изменялись только параметры) в случае зависимых путей, то в негаус-
совском случае} дело обстоит иначе Поэтому формулы в данном параграфе
имеют более частный вид, чем в предыдущих
В качестве одномерной вероятностной модели канала здесь
рассматривается логонормальное распределение амплитуд и равномерное распределение фаз,
приводящее к бимодальным распределениям квадратурных компонент.
Напомним, что распределения квадратурных компонент оказываются в данном случае
идентичными с нулевыми математическими ожиданиями тХк=<>Пук=10, k=\, N,
И ОдИнаКОВЫМИ ДЙСПерСИЯМИ 02:eft = O"2Hft=*72fc, k=\, N.
Будем интересоваться характеристиками алгоритмов обработки,
синтезированных в гл. 3 в каналах с такой статистикой Прежде всего необходимо
отметить, что «спектр алгоритмов» в данном случае сужается. В частности,
приходится исключить из рассмотрения линейные алгоритмы обработки,
использующие средние значения коэффициентов передачи, так как они в
рассматриваемом канале являются неработоспособными, т. е. по каналу с логонормально-
равномерной статистикой невозможно передавать информацию
противоположными сигналами при независимом приеме отдельных сигналов
Алгоритм оптимальной обработки (3 45) является чисто квадратичным (не
Л
содержит линейной части) Величина Fi в соответствии с (3 53) должна
вычисляться из соотношения
N ZT
Л 2Ei VI hik у1ь /о ~9 \
^° S 1+2*?*
где в данном случае
№}-±\Lt.r)№'-r\)<Ur. ' (4.128)
I W dikJJ '\stk(t, r)f
о о
Будем рассматривать здесь только различение М сигналов одинаковой
энергии (характеристики обнаружения имеют сходные аналитические выражения, как
и в случае гауссовской статистики).
Для расчета вероятности ошибки алгоритм (3 45) преобразуется к виду
Gt>Gs, g=l, М, Цф1, (4.129)
4=1
Дисперсии переменных квадратичных форм Gi и Gg имеют вид:
D{Vik} = D{Vik} = h2lk,
D{Vsk} = D{Vsk}= h=
1+hf
&k
(4.130)
193
Замечая, что при h2gk-+°°t g=l, M, квадратичная форма Gg распределена
по закону х2 и 2jV степенями свободы, и используя результат [89"/, запишем
асимптотическое выражение для вероятности ошибки
N 3о2 М—1 k (N— 1)
^=П-^е **£ (-!)*+' Cf- £ ^-«^^-f. (4.131)
k=l 4яАй *=1 i, g=0
Для двоичной системы М = 2 из (4.131) следует
N
Р = СГ'П-Ц=е3°£*. | (4.132>
*=1 4яЛ*
1 1 + m.k
Полагая a2xfe=— In можно исследовать степень увеличения вероят-
4 mk
ности ошибки в зависимости от увеличения глубины замираний (уменьшения
tnk, k=l,N). Сравнивая выражение (4 131) и (492), приходим к выводу о-
том, что логонормальная статистика приводит к- более высоким вероятностям.
ошибки, чем рэлеевская при выполнении условий ovL ^ -— In 4re.
Рассмотрим далее субоптимальную обработку, ие учитывающую
среднестатистические параметры флуктуации канала, полагая, что входящие в (3.45)
Л
величины Fi определяются из соотношения
N
Ft
=^£^+^- (4лзз>-
Алгоритм различения М сигналов может быть записан в виде (4.119),
причем дисперсии переменных квадратичных форм Gi и Gg определяются
формулами:
D {Vik} = D {Vik} = 1 + 2hjk; D {Vgk} = D {V^*}' =» 1. (4.134 >
Нетрудно показать, что в области высоких отношений сигнал/шум А2-»-оо.
выражение для вероятности ошибки в рассматриваемом субоптимальном
устройстве совпадает с соответствующим выражением для оптимального устройства
(4 131) Это позволяет распространить на негауссовский канал вывод о том, что
характеристики когерентного и некогерентного различения сигналов при
больших отношениях сигнал/шум одинаковы
При произвольных отношениях сигнал/шум вероятности ошибки следует
определять с .помощью расчетов на ЭВМ. Приведем формулу вероятности ошибки1
для однолутевого канала
График, рассчитанный по ф-ле (4 135) при М = 2, приведен на рис. 4 9.
Пунктиром показана соответствующая кривая для канала с гауссовской
статистикой (рэлеевский канал), а штрих-пунктиром — для канала без замираний.
Сравнение их позволяет оценить, насколько изменяются характеристики
различения при переходе от гауссовской статистики к негауссовской
Проведенный анализ показывает, что при изменении значений параметра о&
логонормальные замирания охватывают широкий класс каналов от близких к
идеальному (при а1-+0) до каналов типа подрэлеевских I о^>>—-1п4и) .
194
\ 9 Г * 2l
Лри малых значения с£, разлагая в (4 135) функцию ехр — "7Г Vx
в ряд
Тейлора относительно точки (—«£ ), можно получить удобную расчетную
формулу для вероятности ошибки (М=2)
р=-
ехр
h% -2oi
(14.136)
Из (4Л26) видно, что характер
убывания вероятности ошибки от
отношения сигнал/шум экспоненциален,
т е канал близок к идеальному ,
В заключение рассмотрим субоп-
тимальиую обработку, основанную на
замене модели чиногопутевого
канала однолутавой адаптивной моделью
(автовыбор). Предположим, что ве-
Л
личина Fi, входящая в алгоритм
обработки, вычисляется из соотношения:
Л
Ft = max (г|г
k
*?*)• <4Л37)
т е. выбирается в качестве рабочего .„-
путь с максимальной мощностью
коэффициента передачи |Аь|2.
Распределение модуля коэффициента
передачи |Аь| полагаем лагонормальным,
пути считаем одинаковыми в
среднем. В пренебрежении неточностью
оценок мощности коэффициентов
передачи отдельных путей будем
определять вероятность ошибок из
соотношения
М—1
-Е
(- 1)*+» С*
м—1
k=\
Рис 4 9. Вероятность ошибки при
различении ортогональных сигналов
(М = 2) в негауссовском канале:
— рэлеевский каиал"
канал без замираний
00 г — -1
)exp[-j7pjv*J^(v)dV. (4-138)
•Щ. (7) ='
Y2m\
h
■ exp
0"у+ 4)
2а!
Ф
In-y-
-,N-1
(4.139)
Расчеты по ф-ле (4 138) убеждают в том, что схема с автовыбором в ка-
.нале с иегауссовской статистикой так же, как и оптимальная схема,
обеспечивает при больших отношениях сигнал/шум и больших <з2% убывание вероятности
ошибки, обратно пропорцоинальное N-Й степени этого отношения. При малых
2 I 2
значениях параметра at, a
экспоненциальный характер (канал близок к идеальному) и эффективность ав
товыбора невелика.
<g— In 4я кривые вероятности ошибки носят
Проведен анализ качества оптимальных и субоптимальных
алгоритмов обработки полей, несущих цифровую информацию. Наиболее иитен-
195
сивно использовалась обобщенная гауссовская вероятностная/модель
канала, как наиболее распространенная на практике и, кроме то/о,
обладающая хорошими аппроксимирующими способностями в самьц различных
ситуациях.
Исследованы различные каналы с неселективными и селективными
замираниями Отдельно рассматриваются задачи обнаружения/и различения
сигналов. Показано, что вероятность ошибки существенно зависит от
статистики замираний в канале. Наилучшим будет канал, в котором слабо-
флуктуирующие квадратурные компоненты имеют ярко выраженные регу-
I лярные составляющие (близкий к идеальному асимметричней канал).
Характерная особенность двоичной системы с противоположными
сигналами при независимом приеме символов — наличие предельной, неснн-
жаемой с ростом отношения сигнал/шум вероятности ошибки Значения
' этой предельной вероятности, однако, в хороших каналах весьма малы.
Например, в неселектнвном канале при qz = 2, §2=0, <pp=0 имеем р°° =
= 10~6. Построена оптимальная двоичная система сигналов в канале с
неселективными замираниями и определено пороговое' отношение
сигнал/шум, при котором система противоположных сигналов теряет, а
система ортогональных сигналов приобретает оптимальные свойства.
На конкретных примерах показано, что использование оптимальных
диаграмм направленности позволяет существенно повысить
помехоустойчивость по сравнению с широко используемыми в настоящее время на
практике методами пространственной обработки сигналов.
Исследование субоптимальных алгоритмов показывает, что при
разумном выборе модели канала они обеспечивают значения вероятностей
ошибки почти такие же, как и оптимальные алгоритмы, хотя
реализуются при этом значительно проще Система с испытательными сигналами
наиболее эффективна в канале с гладкими во времени замираниями, где
она способна обеспечить энергетический выигрыш перед системой без
испытательных сигналов до 3 дБ
Рассмотрены некоторые модификации идей автовыбора применительно
к пространственно-временным сигналам и показано, что применение этого
способа субоптимальной обработки является оправданным во многих
случаях (как при гауссовской, так и при негауссовской статистике
замираний)
Исследование асимптотического поведения вероятностей ошибок (при
E/No-^oo) показало, что вне зависимости от статистики канала учет и
использование селективности канала во времени, в пространстве и по
частоте позволяют достигнуть эффекта накопления. При этом вероятность
ошибки убывает как величина, обратная отношению сигнал/шум в степени
учитываемой селективности (EfNe)N.
Заключение
В книге рассмотрены общие принципы построения
оптимальных и субоптимальных^ устройств обработки сигналов в
стохастических пространственно-временных каналах связи.
Оптимальная обработка при этом основывалась, прежде всего,
на получении обновляемых оценок 'координат характеристик
канала и ориентировалась в своей реализационной части на технику
пространственно-временной фильтрации, выполняемой как
классическими методами разнесенного приема, так я методами,
основанными на голографических принципах.
Следует иметь в виду, что практическая реализация многих из
исследованных в данной работе алгоритмов обработки в сильной
степени зависит от успехов интегральной технологии, которая
характеризует развитие электроники наших дней.
196
Заканчивая эту книгу, авторы сознают, что многие вопросы,
интересные для построения*эффективных систем передачи
цифровой информации в стохастических пространственно-временных
каналах, оказались вне ее рамок. Среди них: оптимизация
системы связи в целом путам нахождения оптимальных
пространственно-временных операторов обработки не только на приеме, но и
передаче; эффективность использования канала обратной связи в
пространственно-временных каналах; выбор кодов с учетом
специфики пространственно-временного канала; оценка
реализационных трудностей и помехоустойчивости систем передачи
дискретных сообщений посредством простых сигналов, не
удовлетворяющих условиям разделения путей; применение обратной связи по
решению при построении оптимальных и субоптимальных
устройств обработки сигналов в пространственно-временном
канале; исследование перспектив нелинейной фильтрации при
обработке пространственно-временных сигналов, обработка при
.специфичных распределениях шумовых полей и т. д.
Авторы надеются, что их книга будет стимулировать интерес
широкого 'круга специалистов к проблемам
пространственно-временной обработки сигналов, в том числе .к решению вопросов,
сформулированных выше.
^
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Лииейиая оценка координаты х ищется в виде (2 11)
Л Т R
x = A\[z(t, r)^(t, r)dtdr+B (П.1.1)
о о
или в символическом (операторном) виде
x = A(Z, г|з)+ В. (ПД.2)
Все дальнейшие рассуждения опираются на результаты работы [75]
Выражение для условной функции риска при фиксированном состоянии оцениваемого
(центрированного) параметра в операторной форме записывается так.
О
r(jr, 1)>) = (ЯЧ>, ЧО-Нф —S*tp. z). (П.1.3)
Оператор Rty определяется корреляционной функцией шума Bn(t, t, r, r'):
т R,
R^ = ^Bn(t, Г, г, r')H?(t', r')dt'dr'. (П.1.4)
о о •
Оператор S и соответственно сопряженный ему оператор S* определяются
спектром передаваемого сигнала Выражение для среднего риска можно запи-
о
сать, усредняя (П 1 3) по распределению вероятностей wi(x) оцениваемого
параметра
f о оо
r(4>) = J r(x, ^)w1(x)dx. (П.1.5)
Подставляя (П 1 3) в (П.1 5), получим
г(Ц>) = (ЯЦ>, Ц>) + (Ф*(ф-5*1>). (9-S*H>)), (П.1.6)
где Фх — самосопряженный неотрицательно определенный линейный оператор,
определяемый корреляционной функцией Bx(t, i', т, г', £,, %'):
<ФЛ:Ф, ф)= £(ф, xfw1(x)dx= JJ<P('. 5. r)ff(t', I', r')Bx(t, t',l,l',r, r')X
Xdtdt'dldl' drdr'. (П.1.7)
Можно показать, что минимум среднего риска достигается при
q = (R+SOxS*rl SOx<f. (П. 1.8
Используя (П 1 8) в (П 11) и добавляя известное среднее тх, получим
оптимальную линейную оценку в виде
x=({R+SG>KS*)~l S<t>x4, z) + Rmx(R + SOxS*r1 ■ (П.1 9)
Переходя от операторной формы записи к обычной, нетрудно заметить, что
оптимальная линейная оценка совпадает с байесовской оценкой гауссовскои
координаты на фоне гауссовскои помехи (2 96). '
Линейная оценка (П1 9) получена без ограничений иа форму
передаваемых сигналов
198
Найдем среднее значение функции
F (х) = ехр
N
■2d***
4=1
, dk>0.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
(П.2.1>
Пусть величины Хк, ft=l, N, в (П 2 1) распределены по произвольным
законам и статистически независимы. Искомое среднее значение записываетси в виде
N
Т=Г\Тк, (П.2.2)
где
к-S
^ 2
е Wi(xb)dxk.
(П.2.3>
Рассмотрим область йк^>\. Используя асимптотическую ф-лу [17] для
оценки интеграла типа (П2 3), 'полагая что выполняются необходимые
условия, получим
Vi
а>! (хк = 0)
и соответственно
F = [-l/£■*<*
= 0).
(П.2.4)
(П.2 5)
k=i
Рассмотрим два примера.
1. Величины хк, A=l, N, являются гауссовскими с параметрами mh, <J2s.
Тогда
Щ (п = 0) = •
-mfal
V
2nai
N
р _ -L П l e~m*/2a*.
п
2" JV °l<"
(П 2.6)
(П. 2.7)
! параметрами \ik, oik- Тогда
2 Величины Хн, fe=l, N, распределены по бимодальным законам (149) с
а2
a/j. xft = 0) = — e
2я
--п-£У=
rf*
(n.2.a)
(П.2.&)
*=1
I
199
Список литературы
1. Альперт Я. Л. Распространение радиоволн и ионосфера. М, изд-во АН
СССР, 1960. 480 с.
2 Алексеев А. И. и др. Теория и применение псевдослучайных сигналов. М.,
«Наука», 1969 367 с
3. Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М,
«Советское радио», 1972 416 с.
4. Амосов А. А., Колпаков В. В. Приемник Калмана—Бьюси для линейных
стохастических каналов с распределенными состояниями. — «Вопросы
радиоэлектроники», серия ТПС, 4973, вып 8, с 49—56.
5 Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М, ГИФМЛ,
1963 500 с
6. Андронов А. А., Финк Л. М. Передача сообщений по параллельным
каналам. М, «Советское радио», ,1972. 406 с.
7 Антенны и устройства СВЧ. Под ред. Д. И. Воскресенского М,
«Советское радио», 1972 318 с.
8 Арсенин В. Я., Иванов В. В. О решении некоторых интегральных уравнений
первого рода типа свертки методом регуляризации — «Журнал
вычислительная математика и математическая физика», 1968, т 8, № 2, с 310—321.
9 Арсенин В. Я-, Иванов В. В. Об оптимальной регуляризации. ДАН СССР,
1968, т. 182, № ,11, с 9—15.
10 Вопросы статистической теории радиолокации. Под ред Г. П.. Т а р т а к о в-
ского М, «Советское радио», т 1, 424 с, '1963, т. 2, 1079 с, li964
11. Барк Л. С, Большее Л. Н., Кузнецов П. Н. Таблицы распределения Рэлея—
Раиса. Изд ВЦ АН СССР, 1964. 196 с.
12 Басе Ф. Г., Фукс И. М. Рассеяние волн на статистически неровной
поверхности М., «Наука», 1972 424 с
13. Бочкарев В. А., Кловский Д. Д., Сойфер В. А. Оптимальный прием
сигналов в каналах с частотно-временной селективностью. — «Радиотехника»,
1971, т. XXVI, № 2, с 36—44
14. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.,
«Советское радио», 1971. 326 с.
15. Бусленко Н. П., Голенко Д. И. Метод статистических испытаний. — «СМБ».
М, «Наука», 1962. 331 с
16 Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных
помех. М, «Советское радио», 1960. 447 с
17 Вакман Д. Е. Сложные сигналы и принцип неопределенности в
радиолокации М., «Советское радио», 1965. 304 с.
18. Ван Трис Г. Теория обнаружения оценок и модуляции. [М., «Советское
радио», 1972 744 с.
19 Ван Трис Г. Приложения методов переменных состояний в теории
обнаружения — «ТИИЭР», 1970, т. 58, № 5, с. 55—72.
20. Виленкин С. Я., Дубенко Т. И. Об оптимальных линейных оценках
математического ожидания однородного случайного поля. — «Техническая
кибернетика». АН СССР, 1971, № 1, с. 134—141.
21 Возенкрафт Дж. Последовательный прием при связи через канал с
параметрами,. изменяющимися во времени — В кн: Лекции по теории систем
связи Пер под ред. Б Р Левина. М., «Мир», 1964, с. 241—288
22. Возенкрафт Дж., Джекобе И. Теоретические основы техники связи. Пер. под
ред Р. Л. Д о б р у ш и н а. М , «Мир», 1969. 640 с. ~ '
200
23. Волохатюк В. А., Кочетков В. М., Красовский Р. Р. Вопросы оптической
локации. М, «Советское радио», 197)1!. 256 с.
24. Вьеио Ж.—Ш., Смигильский П., Руайс А. Оптическая голография, развитие
и применение. М., «Мир», 1973. 212 с.
25. Когерентно-оптические устройства для обобщенного спектрального анализа
изображений. — «Автометрия», 1972, № 5, с. 3—9.
26 Гнеденко В. В. Курс теории вероятностей. М, «Наука», 1965 400 с.
27. Голеико Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных
чисел на ЭВМ. М., «Наука», 1965. 227 с.
28. Голд Б., Рейдер К- Цифровая «обработка сигналов М, «Советское радио»,
1973. 368 с.
29 Градштейн И. С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М, «Физматгиз», 1962. 1-100 с.
30. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуацион-
ных помехах. М, «Энергия», 1971. 487 с. •
31. Давеипорт В. Б., Рут В. Л. Введение в теорию случайных сигналов и шу- •
мов Пер с англ. под ред Р. Л. Добрушина. М, «Иностранная
литература», 1960. 468 с.
32. Дальнее тропосферное распространение на УКВ. Под ред Б. А.
Введенского. М, «Советское радио», 1965. 11*5 с.
33. Денисов Н. Г. О дифракции волн на хаотическом экране. — «Известия
вузов Радиофизика», 1961, т. IV, № 4, с 630—638.
34 Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления.
М, «Наука», 4970 620 с
35. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложение. М , «Мир»,
1972, вып. 2. 287 с.
36. Диторо М. Связь в средах с рассеянием во времени и по частоте. —
«ТИИЭР», 1968, т. 56, № ilO, с 15—45. "*"
37'. Об одном подходе к задаче машинного синтеза голограмм. — В и:
Вопросы построения систем сбора и обработки данных. Новосибирск, 1973,
с 64—69.
38. Интегральные уравнения СМБ. М, «Наука», 1966. 448 с.
39 Зюко А. Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи М., Связь-
издат, 1963. 320 с.
40 Кайлат Т. Каналы с параметрами, изменяющимися во времени. Лекции по
теории систем связи М, «Мир», 1964, с. 50—78
41. Кайлат Т. Метод порождающего процесса в применении к теории
обнаружения и оценки. — «ТИИЭР», 1970, т. 58, № 5, с. 82—99.
42. Калмаи Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории
предсказания. — «Техническая механика. Серия Д», 1961, т. 83, № 1, с 95—
108
43 Каиарейкин Д. В. и др. Поляризация радиолокационных сигналов. М,
«Советское радио», 1966 440 с.
44 Кеннеди Р. Каналы связи с замираниями и рассеянием М, «Советское
радио», il973. 302 с
45. Кециеди Р. Введение в теорию передачи сообщений по оптическим каналам
с рассеянием. — «ТИИЭР», 1970, т 58, № 10, с 264—278
46. Кириллов Н. Е. Помехоустойчивая передача, сообщений по линейным
каналам со случайно меняющимися параметрами М, «Связь», 1971 526 с
47. Кириллов Н. Е., Соифер В. А. Пространственно-временные характеристики
линейных каналов с переменными параметрами Проблемы передачи
информации, 1972, т. VIII, № 2, с 40—46.
48. Кловский Д. Д. Построение идеальных приемников сигналов с замираниями
на основе использования электронно-вычислительных устройств. — «Труды
ЛЭИС», 1959, № 6 (43), с. 137—151
49. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М,
«Связь», 1969. 375 с
50. Кловский Д. Д., Клыженко Б. А. Вопросы физического обоснования обоб-
щенно-гауссовской модели канала — «ТУИС»,1971, № 54, с 54—63.
51. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. М, «Связь», 1973. 376 с.
201
52 Кловский Д. Д., Сойфер В. А. Оптимальная обработка
пространственно-временных полей в каналах с селективными замнраниямн. — «Проблемы
передачи информации», 1974, т. X, вып. 1, с. 73—79.
53. Кловский Д. Д., Николаев Б. И. Инженерная реализация радиотехнических
: схем (в системах передачи дискретных сообщений в условиях
межсимвольной интерференции). М, «Связь», 1975 200 с.
54 Кловский Д. Д., Сойфер В. А. Помехоустойчивость широкополосной
системы с противоположными сигналами при оптимальной
пространственно-временной обработке — «Радиотехника и электроника», 11*972, т. 17, № 12,
с 2609—26 М.
55. Коллииз. Реализуемые фильтры для преобразования случайного процесса в
белый шум и их реализация по методу переменных состояний. — «ТИИЭР»,
т 56, № 1, с. ,144—Ц5.
56. Коидратеиков Г. С. Обработка информации когерентными оптическими
системами. М., «Советское радио», 1972. 206 с.
57. Копилович Л. Е. О различимости распределений огибающей радиосигналов. -^
«Радиотехника и электроника», 1966, т. XI, № 2
58. Кораблии М. А. Исследование процессов статистической самоподстройки
(адаптации). Автореф. дис. на соис. учен, степени канд. техн. наук. М,
МЭИС, 1973. 16 с
59 Костас Дж. Пропускная способность каналов с замираниями в условиях
сильных помех. — «ТИИЭР», 1963, т. 51, № 3, с. 478—489.
г60. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М, Госэнер-
гоиздат, 1956 152 с.
>61. Кронрод М. А., Мерзляков И. С, Ярославский Л. П. Опыты по цифровой
голографии — «Автометрия», 1972, № 6, с. 30—40.
<62. Курикша А. А. Об оптимальном использовании пространственно-временных
сигналов — «Радиотехника и электроника», ,1963, № 4, с. 552—563
63. Кузнецов В. П., Левин Б. Р. Оптимизация процедуры статистической
самоподстройки. — «Радиотехника и электроника», 1971, № 1, XVI, с. 184—186.
»64. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М,
«Советское радио», 1966, 1Г968, тт. 1 и 2, с 728, с. 503.
■65. Лезии Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов. М.,
«Советское радио», 1969. 447 с
•66. Липцер Р. Ш., Ширяев А. М Статистика случайных процессов (нелинейная
фильтрация и смежные вопросы). М, «Наука», 1974-. 696 с.
j67. Лоуренс Р., Стробен Дж. Эффекты, существенные для оптической связи,
которые возникают при распространении света (обзор). —■ «ТИИЭР», 1970,
т. 58, № 10, с. 130—153.
•68 Миддлтои Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. под. ред. Б. Р.
Левина. М,«Советское радио», 1961, 1962, тт. 1, 2. 782 с, 831 с
69 Миддлтои Д. Многомерное обнаружение и выделение сигналов в случайных
средах. — «ТИИЭР», 1970, т. 58, № 5, с. 100—ГЦ.
70. Миикович Б. М., Яковлев В. П. Теория синтеза антенн М «Советское
радио», 1969 294 с.
71. Нежевеико Е. С, Потатуркии О. И., Твердохлеб П. Е. Линейные оптические
системы для выполнения интегральных преобразований общего вида. —
«Автометрия», 1972, № 6, с. 88—90.
72 Обухов А. М. Статистическое описание непрерывных полей. Труды
геофизического института АН СССР, 1954, № 24 (15), вып. 3, с. 3—42.
73. Окуиев Ю. Б., Яковлев Л. А. Широкополосные системы связи с составными
сигналами. М., «Связь», 1968. 167 с
74. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. М, «Мир», 197,1.
495 с.
75. Петров А. П. Оценки линейных функционалов при решении некоторых
обратных задач. — «Журнал вычислительная математика и математическая
физика», 1967, т. 7, № 3, с. 648—654.
76. Петрович Н. Т., Размахиии М. К. Системы связи с шумоподобными
сигналами М., «Советское радио», 1969. 232 с.
202
77. Поляков О. А. Идентификация линейного динамического объекта методом
локальной аппроксимации. — «Автоматика и телемеханика», 1971, № 10,
с 154—164.
78. Пратт В. К. Лазерные системы связи. М., «Связь», 1972. 232 с.
79. Проакис, Миллер. Адаптивный приемник для цифровой связи в каналах с
межсимвольной интерференцией. — «Зарубежная радиоэлектроника», 1970, т
№ 2, с. 3—24.
80. Просин А. В. К теории каналов радиосвязи со статистически неровными
поверхностями. — «Труды четвертого коллоквиума по УКВ связи».
Будапешт, ч. I, '1970, с. 28/il—28/9
81. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления М, «ФМ», 1960. 883 с.
82 Рамм А. Г. Различение случайных полей на фоне помех. — «Проблемы
передачи информации», 1973, т. 9, вып. 3, с. 22—35
83. Рамм А. Г. Об одном классе интегральных уравнений. Дифференциальные
уравнения, 1973, т. 9, № 5, с. 931—941.
84 Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику М., «Наука», 1966t
404 с.
85. Савелова Т. И., Тихомиров В. В. О решении интегральных уравнений
первого рода типа свертки в многомерном случае,— «Журнал вычислительной1
математики и математической физики», 1973, т. ГЗ, № 3, с. 555—663
86. Савелова Т. И. О решении уравнений типа свертки с неточно заданным
ядром методом регуляризации. — «Журнал вычислительной математики и ма^
тематической физики», 1972, т. ill2, № 1, с. 212—218
87. Сифоров В. И. О пропускной способности каналов связи со случайными
изменениями поглощения — «Радиотехника», 1958, т. 13, № 5, с. 7—18.
88. Смоляиииов В. М. и др. Принципы отождествления каналов передачи сиг- _/
налов М., «Наука», 1973. 1/1S с
89 Сойфер В. А. Моделирование обобщенного гауссова канала для анализа ш
синтеза систем передачи информации Автореф дис. на соиск. учен, степени
канд техн наук. Л , ЛЭИС, 1971 25 с.
90 Сойфер В. А. Измерение пространственно-временных характеристик
линейных каналов с рассеянием — «Радиотехника», 4973, т. 28, № 10, с 12—17. /
91. Сойфер В. А. Об оптимальной двоичной системе сигналов в канале с
гладкими замираниями. — «Радиотехника», 1972, т. 27, № 4, с. 97—98.
92. Сороко Л. М. Основы голографии и когерентной оптики. М, «Наука», 1971-
&L6 с.
93 Сороко Л. М., Стриж А. П. Спектральные преобразования на ЭВМ. —
«ОИЯИ», Дубна, 1972 136 с.
94 Стратоиович Р. Л. Избранные вопросы флуктуации в радиофизике М,
«Советское радио», 1961. 558 с
95. Стратоиович Р. Л. Обнаружение и оценивание сигналов в шумах, когда об*
или одни из них негауссовские — «ТИИЭР», 1970, т 58, № 5, с. 73—82
96. Строук Дж. Оптические вычисления. — «Автометрия», 1973, № 5, с. 4—12.
97. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере М,
«Наука», 1968.
98. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе
регуляризации. ДАН СССР, 1963, т. 151, № 3, с. 501—504
99. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач. ДАН
СССР, Ш63, т. 153, № 1, с. 49—52.
100. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М, «Советское радио», 1966^
678 с.
101. Турчии В. Ф. Решение уравнения Фредгольма 1-го рода в статистическом
ансамбле гладких функций. — «Журнал вычислительная математика и ма1-
тематическая физика», 1967, т. 7, № 6, с. 1270—1284
102. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов иа фоне флуктуацион-
ных помех. М., «Советское радио». 1961. 3111 с.
203
103. Фалькович С. Е. Оценка параметров сигнала. М, «Советское радио», 1970
332 с.
104. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений М, «Советское
радио», 1970. 728 с
105. Финкельштейн Е. 3. Прием дискретных сигналов при быстрых и
скачкообразных изменениях параметров канала связи Автореф" дис на соиск.
учен степени канд. техн наук Л , 1967, 22 с (ЛЭИС)
106 Франсон М. Голография. М., «Мир», 1972. 246 с
107. Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении
машин М., «Наука», 11971. 225 с
108. Хабиби А. Двумерная байесовская оценка изображений. — «ТИИЭР», 1972,
т 60, № 7, с 153—159
109. Хворостенко Н. П. Статистическая теория демодуляции дискретных
сигналов М , «Связь», 1968. 334 с.
ПО Хелстром К.> Лиу И., Гордон Дж. Квантовомеханическая теория связи —
«ТИИЭР», 1970, т. 58, № 10, с 186—207.
lilll Ховерстен Е., Харджер Р., Халме С. Теория связи в турбулентной
атмосфере. — «ТИИЭР», 1970, т 58, № 10, с 236—263
112. Хомяков 9.vH. К вопросу проектирования пространственно-временных
систем — «Радиотехника», 1969, т XXIV, № 9, с 88—94
113. Хургин Я- И., Яковлев В. П. Финитные функции в физике и технике М,
«Наука», 1971 408 с
114 Цикин И. А. Об одном методе вычисления интегральных функций
распределения вероятностей. — «Радиотехника и электроника», ,1968, т. XIII,
№ 10, с 1887—1889.
115 Цикин И. А. Дискретно-аналоговые методы оптимальной обработки
сигналов — «Радиотехника», 1969, т. 24, № 2, с 1—8
Мб. Чернов Л. А. Распространение волн в среде со (случайными неоднородностя-
ми. Изд-во АН СССР, 1958 '159 с
117 Шахгильдян В. В., Лохвицкий М. С. Методы адаптивного приема сигналов.
М., «Связь», 1974 ,168 с.
118 Шеннон К. Работы по теории информации к кибернетике. М,
«Иностранная литература», 1963. 829 с
119 Шереметьев А. Г. Статистическая теория лазерной связи М, «Связь», 1971.
264 с
120 Шестов Н. С. Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех.
М , «Советское радио», 1967 347 с.
121. Ширман Я- Д. Сжатие и разрешающая способность радиолокационных
сигналов М , «Советское радио», ,1974. 360 с
122 Яглом А. М. Некоторые классы случайных полей в «-мерном пространстве,
родственные стационарным случайным процессам. — «Теория вероятностей
и ее применение», 1957, т 2, вып 3, с. 292—338
123 Acoustical Holography, Plenum-Press Ney-York-London, 1969, v. 1, 294 p.
1970, v 2, 376 p
124. Beckmann P., Sprizzichine A. The Scattering of Electromagnetic waves from
Rough Surface London Pergamon, 1963. 503 p
125 Beckmann P. The statistical distribution of the Amplitude and phase of
a Multiply scattered Field. — «Checoslovenske Academie», VED, VRE, 1961,
41 p
126. Beckmann P. Statistical distribution of the Amplitude and phase of a
Multiply scattered Field. USA (Radio propagation), 1962, N 3, p. 231—240.
127. Bello P. A. Time Frequency Duality, — «IEEE Trans.», 1964, January,
v. IT—10, N 1, p. 18—33.
128. Bello P. A. Characterization raudomly Time — Variant Linear Channel.—
«IEEE Trans», 1963, December, v CS—11, N 4, p. 360—393
129. Golomb M. Approximation by Function of Fewer Variables. — «On Numerical
Approximation». Ed. by R. E. Langer Madison. 1959. The University of
Wisconisin Press, p. 275—327.
130. Goodman P., Reswick I. R. Determination of System Characteristics from
normal operating Record. — «Trans. ASME», 1956, February, p. 259—271.
204
131. Kailath T. Measurement of Time—Variant Communication Channels. — «IRT
Trans, on Inf. Theory», 1969, May, v. IT—15.
132. Linsey W. C. Error Probabilities for Rician Fading Multidiannel Reception
of Rinary and N—ary Signales. — «IEEE Trans.», 1964, October, v. IT—10,
N 4.
133. Lucky R. A servey of the communication theory literature 1968—1973.— ,
«IEEE Trans», J Т., 1973, November, v. 19, N 6, s 171—177.
134. Lohman A. W., Paris D. B. Binary Fraunhofer Holograms by Computer. —
«App. Optic», 1967, N 5, p. 1739—1751.
135. Middleton D. A Statistical Theory of Reverbiration and similar First—order
Seatterd Field — «IEE Trans», 1963, July, v. IT—13, p. 372—414.
136. Musa I. D. Descret Smoothing Filters for Correlated iNoise.—/«The Bell
System Technical Journal», 1963, September, v. XLII, N 5, p. 2121—2151.
137. Nakagami M. On the Intensity Distribution and its Application to Signal
Statics. — «Radio Sciens Journal of Research NES (USNC—URSI)», 1964,
September, v. 68D, p 995—1003.
138. Price P., Green P. A. Communication Technique for Multipath Channels —
«PIRE», 1958, N 9, p. 555—573
139. Root W. L. On the Measurement and Use of Time—variant Communication
Channels —«Inform, and control», 1965, August, v. 8, N 4, p. 390—422.
HO. Slepian D. Some comments on the detection of gaussian signals ingaussian
noise —«IRE Trans.», 1958, v. IT—4, N 2, p. 65—68.
141. Turin G. L. On the Estimation in the presens of the noise of the impuls
response of a random linear filter, — «IRE Trans.», 1957, March, v. IT—3,
p. 5—10
142. Turin G. L. Error Probabilities for Binars Symmetrical Ideal Reception
through Nonselective Siow Fading and Noise, — «PIRE», 1958, September,
v. 46, N 9. p. 1603—1619.
143. Tzafestas S. G., Nightigale I. H. Optimum filtring, smoothing and prediction
in linear distributed parametr systems. — «Pr. IEE», (London), 1968, August,
v. 115, p. 1200—1212.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Основные обозначения . . . . . 4
Введение ..6
Глава II1.
Модель пространственно-временного канала
1.1. Структура систем передачи информации по пространственным
каналам . . . . .... 8
1.2. Системные характеристики пространственно-временного канала и его
непрерывные модели 101
1.3. Различные механизмы случайного распространения волн в реальных
иространетвенио-врвмеаных каналах 12
1 4, Одномерная вероятностная модель канала с
последовательно-параллельным распространением 17
1.5. Статистические модели пространственно-временных каналов,
основанные на корреляционных свойствах 28
1.6. Модель пространственво-распределбняой аддитивной помехи . . 30
1.7. Линейная модель сигнального и шумового полей, полученная методом
переменных состояний 34
Глава 2
Измерение пространственно-временных характеристик
стохастического канала
2.1. Постаяовка задачи измерения 'пространственно-временных
характеристик стохастического канала . . . . 38
2 2. Разложение пространственно-временных характеристик канала в ряды
,н дискретные модели канала 43
2.3. Статистика второго порядка координат разложения характеристик
канала 53
2 4 Измерение характеристик канала прн использовании тест-сигналов
(гауссовское поле) . . 56
2j5. Линейное измерение координат разложения характеристик канала с
использованием тест-сигналов . . . 62
26. Неполная априорная информация и измерение среднестатистических
параметров канала 70
2 7. Измерение пространственно-временных характеристик канала с
использованием информационных сигналов 75
2.8. Измерение характеристик стохастического канала с позиций теории
личейной фильтрации канала 82
2.9. Адаптивные компенсаторы гаросгратаствеяно-временябго канала . . 94
Глава 3
Обработка пространственно-временных сигналов,
содержащих дискретные сообщения
3 1. Постановка задачи оптимального приема сообщений в стохастическом
канале . . . . 103
3J2. Оптимальная обработка пространственно-временных снгналвв в
детерминированном канале. Пространствеяно-врбменнбй согласованный
фильтр 105
206
3.3. Прием сообщений в условиях идеально классифицированной
выборки, по которой изучается канал 1П
3 4 Прием сообщений в условиях неклассифицированной выборки, по
которой изучается канал, и использование априорных данных . . 121
3 5. Субоптимальная обработка сигналов при отсутствии априорных
данных 132
3 6. Некоторые пути реализации алгоритмов пространственно-временной
обработки сигналов 145
Глава 4.
Анализ алгоритмов пространственно-временной обработки сигналов
41. Характеристики качества систем передачи информации и их
определение . .... . 155
4 2 Вероятность ошибки в условиях идеальной классификации . . .157
4.3. Характеристики устройств обработки пространственно-временных
сигналов в обобщенно-гаусеовском канале (гладкие замирания) . . 163
4 4. Характеристики обнаружения простраястввцно-времеяиых сигналов
(обобщенная гауссовская статистика) 173
4 5. Вероятность ошибки при различении ортогональных сигналов
((обобщенная гауссовская статистика) 180
4 6. Помехоустойчивость двоичной системы противоположяых сигналов
(обобщенная гауссовская статистика) 187
4.7. Характеристики устройств обработки сигналов в каналах с негаус-
совской статистикой в условиях неклассифицированной выборки, по
которой изучается канал 193
Заключение 196
Приложение ,1 198
Приложение 2 . 199
Список литературы , : 200