МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра ФН-4 «Физика»
Андреев Александр Григорьевич,
Зимина Светлана Валерьевна,
Козырев Александр Валентинович,
Юрченко Станислав Олегович
«дифракция электронов», К 6 5
Электронное учебное издание
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине
«Физика»
Москва
(С) 20)0 МГТУ им. Н Э. БАУМАНА
Введение
Достижения современной микроэлектроники и обуслов-
ленное ими бурное развитие информационных техноло-
гий базируются на известном для изучающих физиче-
скую науку факте, а именно наличии у потока микро-
частиц (например, у электронов) волновых признаков.
Утверждение о наличии у частиц, имеющих отличную
от нуля массу покоя, волновых признаков трудно себе
представить в привычных нам повседневных понятиях.
Причинами могут служить и невозможность непосред-
ственной визуализации микроскопической частицы, и труд-
ности наблюдения волновых процессов (за исключением;
пожалуй, поверхностных волн) при распространении ме-
ханических возмущений в упругих средах или электро-
магнитных возмущений в средах или вакууме. Как из-
вестно, основная характеристика волнового процесса -
длина волны А - косвенно доказывает волновую природ}'
явления в опытах по наблюдению и изучению простран-
ственной периодичности некоторой характеристики про-
цесса (смещению, давлению, объемной плотности энергии
и т.п.) при образовании стоячей волны (интерференцион-
ная картина, резонатор и т.п.).
Исторически сложилось так, что первым материаль-
ным объектом двойственной природы явился свет - элек-
тромагнитная волна, у которой по мере уменьшения дли-
ны А (или увеличения циклической частоты ш = 2яс/А)
стали проявляться свойства, подобные свойствам частиц,
корпускул. Такие, достаточно локализованные распростра-
няющиеся от источника порции энергии электромагнит-
ного поля, обладающие определенным импульсом и мас-
2
сой, были названы М. Планком квантами. В области длин
волн электромагнитного излучения от инфракрасного диа-
пазона до мягкого рентгена эти кванты называют фото-
нами.
Таким образом, в некоторых явлениях мы рассматрива-
ем монохроматический свет как электромагнитную вол-
ну, характеризуемую длиной А, круговой частотой ш, на-
правлением (или видом) поляризации, величиной напря-
женности электрического вектора. В иных явлениях объ-
яснить наблюдаемое нельзя, если не наделить это элек-
тромагнитное излучение корпускулярными признаками
Волновая оптика и квантовая оптика - это два научных
подхода к одному сложному объекту, которым является,
свет.
Идея о неразрывном единстве материального мира, об
отсутствии резкой границы между полем и веществом
легла в основу гипотезы Луи де Бройля (1924) о наличии
и у частиц, имеющих ненулевую массу покоя, т.е. пред-
ставляющих материю в виде вещества, волновых призна-
ков.
В частности, если использовать формулу квантовой оп-
тики, определяющую импульс фотона через длину волны
излучения pj — h/X и для частицы с известным импуль-
сом р вычислить соответствующую величину А, то это и
будет характеристикой пространственной периодичности
волнового процесса, “приписываемого” частице. Рассчи-
танная по формуле А = h/p величина в честь де Брой-
ля называется длиной волны де Вройля. Напомним, что
используемая в приведенных формулах величина /1 - по-
стоянная Планка.
Гипотеза де Бройля была блестяще подтверждена в
з
классическом опыте К. Девиссона и’Л. Джермера по ди-
фракцииэлектронов на,- монокристалле л послужила от-
правной точкой для разработки квантовой механики.
.При движении микроскопической частицы в области
малых размеров (порядка 1Сг8 м) невозможно исполь-
зовать понятие траектории движения, и результат "на-
блюдения” за отдельной частицей оказывается случай-
ным- Но если опыт в одинаковых условиях повторяется
многократно или мы имеем дело с потоком одинаковых
частиц, то начинают работать законы статистики, и ре-
зультат наблюдения оказывается таким, как его предска-
зывает квантово-механическая теория. Поэтому волну де
Бройля часто называют волной вероятности.
1. Теоретическая часть
А. Проверка гипотезы де Бройля.
В настоящей лабораторной работе ставится задача иа
экспериментальной установке найти подтверждение нали-
чия у частиц волновых признаков.
Проведем анализ соотношения, определяющего длину,
волны де Бройля
где т, v - масса'и модуль скорости частицы.
Надежно убедиться в том, что изучаемый -процесс со-
держит волновые признаки, можно по фиксируемой ин-
терференционной (или дифракционной) картине. Опыт
показывает, что доступнее являются дифракционные опы-
ты, но для их осуществления нужны Периодические струн
туры (дифракционные решетки) с периодами пОрядка.Л.
4
Учитывая численное значение h и минимальные значения
периодов естественных “решёток” в виде пространствен-
ных периодических структур кристаллов порядка (1 - ">
10"10 м, мы получаем ограничение сверху на величину им-
пульса частицы:
R 69 ► 1П“34
Ртах < (i чч Ш-io U'3 • • 6-6) • Ю-®4 кг/м • с
• AU
В первом приближении скорость v в (1) совпадает со
скоростью движений потока частиц. Создать направлен-
ный поток можно ускорителем заряженных частиц, но та-
кой малый импульс направленного движения можно со-
общить лишь частицам с массой менее 10-26 кг, например,
электронам. Поэтому в качестве источника исследуемых
микрочастиц в опытах по дифракции используют элек-
тронные пушки.
Электронная пушка (рис. 1) состоит из катода, нагрева-
емого нитью накаливания (напряжение накала(J В), си-
стемы фокусирующих электродов и анода, питаемого ре-
гулируемым постоянным напряжением (Г/ = (3 .6) кВ).
Электронная пушка, расположена в цилиндрической ча-
сти вакуумной колбы, расширенная часть которой име-
ет форму сферы. Внутренняя часть сферической поверх-
ности колбы, удаленная от электронной пушки, покрыта
люминофором, который начинает светиться при попада-
нии на него ускоренных анодным напряжением электро-
нов.
В непосредственной близости за анодом расположена
прозрачная пластинка с нанесенным на нее тонким слоем'
поликристаллического графита.
В широком диапазоне изменения ускоряющего напря-
жения связь импульса электрона на выходе из электрон-
ной пушки с запасом его кинетической энергии дается
формулой
p = iv'7’(71 + 2m0c2),	(2)
с
где с - скорость света в вакууме; Т, то - кинетическая
энергия и масса покоя частицы.
Кинетическая энергия Т складывается из энергии теп-
лового движения электрона Th в области пространствен-
ного заряда у катода (среднее значение менее 10 эВ) и
энергии eU, сообщенной электрону ускоряющим полем
при напряжении между анодом и катодом U. Поскольку
m0c2 » eU » Th, формула (2) упрощается:
р = y/2emoU	(3)’.
Подставляя (3) в (1), находим
где X измеряется в пикометрах, a U в киловольтах,
В диапазоне ускоряющего напряжения (3.0... 6.5) кВ
длина волны де Бройля электронов лежит в диапазоне
от 23 до 16 пм, 1 пм—10'12 м
Рис. 1. Схема установки для изучения дифракции электронов
6
В отличие от опыта, проведенного Девиссоном и Джер-
мером, который достаточно сложен технически для про-
ведения его в студенческой лаборатории, в данной :»
боте используется метод Дебая-Шеррера,. разработанный
для исследования дифракции рентгеновского излучения
на кристаллическом порошке. Метод основан на условии
брэгговского отражения рентгеновских лучей от группы
параллельных плоскостей кристаллов (рис. 2).
Рис. 2. Схема Брегооиского отражения рсншшноискнх лучей
от крис1 ал л и ческ их и j юс кос» ей
При выполнении условия
2d. sin & = пХ
возникает интенсивный дифракционный максимум отра-
женной волны. Здесь d - межплоскостное расстояние d
- угол скольжения (брэгговский угол), п - порядок ди-
фракционного максимума, А - длина волны рентгенов-
ского излучения.
7
Дебай и Шеррер предложили использовать в качестве
дифракционного объекта поликристаллический образец
состоящий из большого числа монокристаллических зе-
рен малых размеров кристаллитов, произвольным обра-
зом ориентированных в пространстве (рис. 3) На рис. 3
наклонными линиями внутри кристаллитов вь1деленя на-
правления в пространстве тех плоскостей, расстояние d
между которыми одно и то же.
Рис. 3. Структура иол и кристалл и*|ССКО|Ч) образца
Рассмотрим один из кристаллитов (рис. 4), на который
под углом г? к его плоскостям падает рентгеновское излу-
чение.
Из чертежа видно, что на экране на расстоянии L от
кристаллита высветится точка, которая будет наблюдать-
ся, пока есть излучение. В силу того, что пучок падаю-
щих лучей обладает осевой симметрией, для других кри-
сталлитов из множества их в образце будет выполняться
условие (5) для одного значения п, и система светящихся
точек образует дифракционное кольцо диаметром D.
Длины волн де Бройля, соответствующие электронам
при напряжении U = (3.. .6) кВ соизмеримы с хараккр-
8
ними межатомными расстояниями в кристаллах и, ка-
залось бы, метод Дебая-Шеррера можно легко использо-
вать, расположив поли кристаллическую пластинку сразу
за анодом вакуумной трубки.
Найдем соотношение, позволяющее по измерению диа-
метра дифракционного кольца на экране трубки при из-
вестном напряжении U рассчитать длину волны Ае для
электронов по методу Дебая-Шеррера и сравнить ее с
длиной А, определенной по формуле (4).
Из рис. 4 и (5) видно, что
здесь принято п = 1 и не учитывается преломление
пучка электронов при переходе из вакуума в графит
Значения А определяют для нескольких значений U и
при каждом значении ускоряющего напряжения величи-
ны наносят на график (рис. 6)
Здесь, однако, возникают некоторые ограничения, ко-
торые нужно учитывать.
1.	Поликристалл должен быть достаточно тонким, что-
9
бы не поглощать поток электронов (чего не наблюда-
ется с рентгеновским излучением).
2.	При малой толщине поликристаллического образца
количество кристаллитов, участвующих в засвечива-
нии экрана (для которых выполняется условие Вульфа-
Брэггов) мало, и увеличить контрастность картины
можно лишь увеличением сечения пучка электронов
ю
(рис. 5).
3.	Пучок электронов Дает яркое “прямое” пятно (рис. 5)
на экране, что мешает наблюдать картину колец.
4.	Теоретически для получения колец порядка п > I
нужно увеличивать V, чтобы на том же размереэкра-
на уместилось несколько колец. Однако, увеличение
напряжения приводит к возникновению мягкого рент-
геновского увеличения, что опасно для эксперимента-
тора. Также, размер кольца при этом становится со-
измерим с размером пятна от пучка электронов.
5.	Кольца на экране оказываются достаточно размыты-
ми, что в первую очередь связано с конечной шириной
пучка электронов, различной скоростью электронов
в пучке и наличием аморфной структуры материала
подложки, на которую в вакууме наносился порошок
графита
Графит имеет кристаллическую структуру с двумя раз-
ными расстояниями между плоскостями кристаллической
решетки di = 0.123 нм и d2 = 0.213 нм (рис. 7). Поэтому
дифракционная картина первого порядка состоит из двух
дифракционных колец диаметром Dx и D%. Множест во
иных направлений периодических плоскостей в кристал-
ле приводит к фоновой засветке на экране.
Б. Проверка соотношения неопределенности Гай-
зенберга в опыте по дифракции электронов.
Классическая механика при исследовании движения объ-
ектов пользуется кинематическими уравнениями, кото-
рые получают решением дифференциальных уравнений
динамики. При этом, для нахождения постоянных ин-
11
Рис, 7. «Структура кристалла графита
тегрирования нужно знать коориднаты и скорость (им-
пульс) частицы в начальный момент времени. Естествен-
но точность решения задач по изучению движения объ -
ектов зависит от точности задания начальных условий, и
к определению значений координат и скорости предъяв-
ляются достаточно жесткие, но разумные требования, и
серьезных ограничений на точность одновременного из-
мерения координат и импульса не некладывалось.
Иное дело в механике микромира. В 1924 году В Гай-
зенберг показал, что одновременное точное измерение ко-
ординаты и проекции импульса на эту координату имеет
ограничения, определяемые выражениями, называемыми
соотношениями неопределенности Гейзенберга:
ДжДрх > | ДрДру > | ДгДрг > |	(7)
Здесь под Дж, Др, Дг понимают среднеквадратические
погрешности при измерении координат, а Др;с, Дру, Дрг
- соответственно, среднеквадратические погрешности из-
мерения проекций импульса. Соотношения неопределен-
ности, по существу, являются условной границей, разде-
ляющей механику классическую и квантовую.
12
В квантовой механике существует способ определения
пар физических величин, произведение неопределенно-
стей которых при одновременном измерении оказывает-
ся порядка величины Л. Это, к примеру, энергия части-
цы (или системы частиц) и время наблюдения (или жиз-
ни) системы, проекции момента импульса системы на оси
х, z; х, у, у, z.
Качественное подтверждение существования соотноше-
ний неопределенности дает известная схема дифракции
пучка электронов на непрозрачной щели (Рис. 8).
Рис. 8. Схема дифракции пучка электронов на щели
Слева от щели электроны имеют импульс р, опреде-
ленный очень точно по направлению, так что Ар,- = '•)
но, обладая свойствами волны с плоским фронтом, име-
ют полную неопределенность координаты Дх —> оэ
В плоскости щели неопределенность координаты умень-
шается до 6/2 и появляется неопределенность проекции
импульса Лр:с, благодаря чему пучок электронов оказыва-
13
ется размытым по экрану, и распределение мест попада-
ния отдельных частиц в различные точки экрана описы-
вается известной формулой дифракции на щели fcsin =*
nA Подавляющая часть электронов оказывается на экране
в пределах центрального максимума (п - номер миниму-
ма, равен единице), тогда с учетом малости угла у? пол; -
чаем:
А А
АтЛр3 « -
(И
Соотношения неопределенностей Гайзенберга являют-
ся следствием общих положений квантовой механики и,
естественно, если наблюдается факт дифракции микрона-,
стиц на кристаллических образованиях, то соотношения
(7) и (8) автоматически выполняются.
В лабораторной работе убедиться в этом предлагается
следующим способом. При прохождении пучка электро-
нов'через поликристаллическую графитовую пластинку
можно считать, что неопределенность координаты элек-
трона для двух из множества возможных направлений
расположения кристаллических плоскостей принимает зна-
чения Axi = и Аад =
Полагая неопределенность импульсов электронов в про-
екции на ось х равным, соотствественно
д ft ft	. ft Di
Лр*1 = А^=А2Г Арг2 = А2Д’
(9)
можно рассчитать произведения AziAp^i и АтгАру?, ис-
пользуя в качестве значения длины волны де Бройля А
среднее значение из таблицы 1 и сравнить полученные
величины с
14
2. Экспериментальная часть
Установка состоит из блока питания (БП), вырабатываю-
щего стабильное напряжение накала» 6 В (нерегулиру-
емое) и постоянное стабилизированное регулируемое вы-
сокое напряжение, величина которого измеряется внут-
ренним вольтметром и в киловольтах индицируется па
дисплее блока и вакуумной трубки.
Внимание! Напряжение 6 кВ опасно для жизни! Хо-
тя источник высокого напряжения автоматически огра-
ничивает ток до значений ~ 1 мА, в работе с прибором
необходимо быть осторожным и внимательным.
Рис. S- Вид установки ио изучению дифракции электродов
Вакуумная стеклянная трубка закреплена на подстав-
ке, накрыта кожухом для защиты от внешней засветки
экрана и касания высоковольтных проводов.
Порядок работы с установкой
15
1.	Убедиться, что блок питания установки выключен (.ин-
дикатор “Сеть” не светится). Вывести регулировку U
против часовой стрелки до упора. Проверить юдсо-
единение проводов.
2.	Вставить вилку в розетку 220 В.
3.	Включить БП нажатием кнопки “Сеть”. Выждать 1
мин.
4.	Поворачивая регулировку U по часовой стрелке и сле-
дя за индикатором напряжения, убедиться, что при
U > 2 кВ экран начинает светиться зеленым светом.
Ь.	Выставить О' = 3... 4 кВ и измерить диаметры светя-
щихся колец Di и Z?2- Результаты измерений занести
в Табл. 2.
6.	Меняя U через 0.5 кВ до 6.5 кВ, повторить измерения
диаметров светящихся колец Dt и Di.
7.	Подставить найденные в эксперименте значения диа-
метров в формулу, провести расчету^ построить гра-
фики. забиилмеегч	"•‘Г’’*
8	Сделать анализ графических зависимостей.
9.	Для 2-3-х значений V из Табл. 1 по формуле (9) про-
верить справедливость соотношения неопределенно-
сти Гайзенберга.
Длины ноли Де Бройля для электронов различных энергий Табл 1
и, кВ	3.0	3.5	4.0	4.5	5.0	5-5	6.0
А, пм							
16
Диаметры колец дифракции и длины волн злектронор
и, кВ	3.0	3.5	>4.0	4.5	5.0	5.5	61.
D\, мм							
£?2>. ММ							
Ао1> пм							
Ас2, пм							
Контрольные вопросы
1.	Сформулируйте суть корпускулярно-волнового дуа-
лизма материи.
2.	При движении в каких областях пространства элек-
трон выступает как частица, а в каких - как волна7
3.	Почему опыты по дифракции частиц легче осуще-
ствить, используя электроны?
4.	Рассчитайте, при каких ускоряющих напряжениях U
в расчетных формулах нужно использовать реляти-
вистские поправки.
5.	Каковы причины “размытия” дифракционных-колец
на экране?
6.	Как повлияет на результат опыта увеличение толщи-
ны графитового слоя?
Список литературы
[1] Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика
,М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 528 с
17