/
Текст
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Федеральное агентство по образованию
Удмуртский государственный университет
Кафедра физики твердого тела
ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Методическое пособие к лабораторной работе
Ижевск 2006
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
ББК 22.37
Составители:
канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой ФТТ П. рылов,
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ФТТ А.С. Алалыкин,
канд. физ.-мат. наук, инженер кафедры ФТТ, научный сотрудник
ФТИ УрО РАН Р.Г. Валеев.
Температурная зависимость электропроводности полупровод-
Т32 ников: Метод, пособие к лаб. работе/ Сост. П. Н. Крылов, А. С.
Алалыкин, Р. Г. Валеев. Ижевск, 2006. 42 с.
В методическом пособии изложены вопросы по элементам зонной теории
кристаллов, температурной зависимости электропроводности и подвижности
полупроводников. В практической части приведена методика определения
ширины запрещенной зоны полупроводников, энергии ионизации примесей,
температурной зависимости подвижности полупроводников.
Методическое пособие предназначено для студентов, изучающих курсы
“Физика твердого тела” и “Физика полупроводников”.
ББК 22.37
© Сост. П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев, 2006
© Удмуртский государственный университет, 2006.
© И. И. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Цель работы: Построить температурную зависимость удельной
электропроводности полупроводников, рассчитать ширину запрещенной зоны,
энергию ионизации примесей. Исследовать температурную зависимость
подвижности полупроводника, определить механизм рассеяния носителей
заряда в области полной ионизации примеси, а также показатель степени
температурной зависимости в этой области.
ВВЕДЕНИЕ
В отсутствие внешнего электрического поля электроны в зоне проводимости
полупроводника совершают только тепловое движение со скоростями VT.
Характер этого движения таков, что электрон некоторое время (время
свободного пробега) движется приблизительно прямолинейно и равномерно, но
затем, в результате взаимодействия с кристаллической решеткой, резко
изменяет направление своего движения. Такие процессы называются
процессами рассеяния импульса. Они аналогичны соударениям атомов,
рассматриваемым в кинетической теории газов. Вследствие беспорядочности
теплового движения в таком “электронном газе” в состоянии теплового
равновесия нет преимущественных направлений движения, и поэтому среднее
значение тепловой скорости равно нулю. Это означает, что средний поток
электронов, а, следовательно, и средняя плотность тока для любого
направления равны нулю.
Под действием внешнего приложенного электрического поля электроны
получают дополнительные скорости V. Результирующее движение электронов
в этом случае уже не является совершенно беспорядочным, возникает
направленный поток электрического заряда (электрический ток). Среднее
значение скорости упорядоченного движения для одного электрона
(вычисленное для промежутка времени, охватывающего большое число
соударений) обозначим через г, а среднее значение этой скорости для всей
совокупности электронов - через (у'''} = Fd. Это дрейфовая скорость.
Определение скорости дрейфа электронов проведем с учетом следующих
3
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
предположений. Пусть dt/т есть вероятность того, что электрон за время dt
испытывает столкновение (рассеяние). Кроме того, будем считать, что
вероятность столкновения в единицу времени 1/т не зависит от времени. Это
значит, что т - некоторая постоянная величина. Вероятность столкновений п
частиц за время dt соответственно равно ndt/т. Следовательно, за время dt
число носителей заряда, движущихся в данном направлении, уменьшается в
результате рассеяния на величину -dn = ndt/т. Решая это уравнение, получим
количество электронов, не испытавших к моменту времени t соударения:
\ (1)
Если п0 электронов имеют среднее время свободного пробега </>, то по
определению среднего
1 г ndt 1 г t - dt
<t>= — I/---=— I ти0 — e T — = t .
«0 0 7 W0 0 7 7
Таким образом, г это среднее время свободного пробега, т.е. среднее время
между двумя соударениями.
Электрическое поле напряженности Ё, приложенное к электрону с массой т,
сообщит ему ускорение
еЁ
а = — . (3)
т
За среднее время свободного пробега т электрон приобретет скорость
Vd = ат = — Ё = цЕ . (4)
т
Величину ц, связывающую дрейфовую скорость носителей заряда с
напряженностью электрического поля, называют подвижностью носителей
заряда'.
^=v=-’ (5)
Е т
для электронов подвижность д отрицательна, для положительных частиц -
положительна. Если имеются заряженные частицы только одного типа, то
плотность электрического тока равна
4
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
j = enVd = епцЕ ,
(6)
где е - заряд одной частицы, ап - концентрация подвижных частиц. С другой
стороны, согласно закону Ома
находим
Так как при изменении знака е одновременно изменяется и знак
подвижности, то <7 не зависит от знака заряда частиц. В общем случае для
анизотропных веществ о является тензором 2-го ранга - тензором
электропроводности.
По величине электропроводности твердые тела принято подразделять на три
основных класса:
1) диэлектрики, для которых <7<10'12 Ом^м’1;
2) полупроводники, 105> о > 10'12 Ом^м1;
3) металлы, <7>105Ом^м'1.
Полупроводники, таким образом, представляют промежуточный по
электропроводности класс веществ, весьма разнообразных по химической
природе. К ним относят атомарные, или элементарные, полупроводники
(германий - Ge, кремний - Si, селен - Se, теллур - Те); химические соединения,
или интерметаллиды (GaAs - арсенид галлия, CdS -сульфид кадмия и т.д.);
фазы переменного состава, так называемые твердые растворы (GaxIni.xSb,
PbxSni.xTe и т.п.); ряд органических соединений и др. Электропроводность всех
этих твердых тел существенно зависит от внешних условий: от температуры
образца, внешнего давления, освещения, облучения потоком частиц и т. д.
Более того, электропроводность (и другие электронные свойства
полупроводников) сильно зависят от предыстории образца: способа получения,
сорта и количества примесей в нем.
5
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Исследование температурной зависимости полупроводников о- дает
возможность получать важную информацию о параметрах энергетического
спектра носителей заряда, таких как ширина запрещенной зоны, энергия
ионизации примесей, а также о механизмах рассеяния носителей заряда.
Для того чтобы понять причины такой зависимости, необходимо
рассмотреть электронную структуру твердых тел (зонную структуру). Основы
зонной теории твердых тел были заложены еще в 20 - 30-е годы XX века, когда
для описания поведения электронов в кристаллах были применены принципы
квантовой механики.
§1. ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
1.1. Собственный полупроводник
Как известно из квантовой механики, для теоретического исследования
любой системы частиц, в частности для вычисления возможных значений ее
энергии, надо решить соответствующее уравнение Шредингера. Последнее
представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных,
содержащее столько переменных, сколько степеней свободы имеет
рассматриваемая система. В физике твердого тела в эту систему входят, строго
говоря, все электроны и атомные ядра атомов, составляющих кристалл. Таким
образом, число степеней свободы, а с ним и число переменных в уравнении
Шредингера, оказывается макроскопически большим - порядка 10“ + 1023.
Прямое решение ее в настоящее время невозможно. По этим причинам
современная квантовая теория твердого тела вынуждена основываться на ряде
упрощений.
Зонная теория представляет собой, по-видимому, самую простую
квантомеханическую систему, учитывающую наиболее важные особенности
движения электронов во многих кристаллах. Она базируется на следующих
основных принципах:
1) при изучении движения электронов атомные ядра, ввиду их большой
массы, рассматриваются как неподвижные источники поля,
6
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
действующего на электроны (адиабатическое приближение);
2) расположение ядер в пространстве считается точно периодическим; они
размещаются в узлах идеальной решетки данного кристалла;
3) взаимодействие электронов друг с другом заменяется некоторым
эффективным внешним полем. Иначе говоря, система электронов,
взаимодействующих с атомными ядрами и друг с другом по закону
Кулона, заменяется системой независимых электронов, движущихся в
некотором заданном поле. Последнее складывается из поля атомных ядер
и эффективного поля, приближенно описывающего взаимодействие
между электронами (самосогласованное поле).
Согласно зонной теории структура энергетических зон идеального, чистого
полупроводника такова, что в полупроводниках присутствует энергетическая
щель, которая отделяет верхний разрешенный уровень энергии валентной зоны
от наинизшего уровня энергии зоны проводимости. При Т=0 К валентная зона
полностью заполнена, а зона проводимости пуста. По этой причине кристаллы
большинства полупроводников при абсолютном нуле были бы идеальными
диэлектриками.
С повышением температуры появляется конечная вероятность того, что
электрон в валентной зоне может получить от решетки энергию, достаточную
для перехода в разрешенные состояния зоны проводимости. В этом случае
валентная зона не является больше полностью заполненной. В валентной зоне
появляется свободный уровень - уровень, с которого ушел электрон, и
существует возможность движения электронов валентной зоны способом
последовательного заполнения этого свободного уровня. Для описания такого
движения удобно воспользоваться формализмом “дырки”, т.е. описывать
движение по кристаллу этого свободного, не занятого электроном, состояния.
Такому состоянию приписываются свойства частицы с положительным
зарядом +е. Для описания движения заряженных частиц - электронов и дырок
под действием внешних полей (электрического, магнитного, теплового) -
частицам следует приписать не только заряд, но и динамическую
7
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
характеристику: массу, которая, вообще говоря, не совпадает с массой
свободного электрона и носит название “эффективной массы”. Причина
введения вместо массы частицы - эффективной массы заключается в том, что
помимо внешних полей на заряженные частицы действуют
внутрикристаллические поля, создаваемые ионами, расположенными в узлах
кристаллической решетки. Учет влияния этих полей чрезвычайно усложняет
уравнения движения заряженных частиц. Чтобы избежать такого усложнения,
выполняется процедура “перенормировки массы”: вместо массы свободного
электрона т0 вводится эффективная масса электронов т„ и дырок тр. В
приближении эффективной массы дырки ведут себя точно так же, как
электроны с положительной массой, имеющие положительный заряд.
Использование концепции дырок значительно удобнее, чем описание
валентной зоны с помощью оставшихся электронов.
Важнейшей задачей, которая ставится при описании кинетических явлений в
полупроводниках, является определение числа частиц, энергия которых лежит
в определенном интервале. Для ее решения необходимо знать число квантовых
состояний и вероятность нахождения частиц в этих состояниях. Эта задача
может быть решена в рамках статистической физики.
Согласно основным положениям статистики полупроводников плотность
электронов оказавшихся в зоне проводимости задается выражением
n = ]NA£Vo(s)ds, (i°)
Бс
где A„(e) - плотность состояний электронов в зоне проводимости, /Де) -
функция распределения Ферми-Дирака (вероятность заселения электроном
уровня с энергией £). В соответствии с общепринятой полупроводниковой
терминологией индекс “н” используется для обозначения плотности состояний
зоны проводимости, т.е. зоны с отрицательно (negative) заряженными
носителями. Индекс “р” используется для обозначения характеристик
валентной зоны. Плотность положительно заряженных (positive) дырок
8
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
(П)
Для определения плотности состояний (количества подуровней) в зоне
необходимо решить уравнение Шредингера в целях нахождения спектра
энергий электрона в кристалле s(k) с волновой функцией электрона или дырки
в периодическом поле кристаллической решетки. Среди многих методов
решения уравнения Шредингера наилучшие результаты дают методы, в той или
иной степени, базирующиеся на приближении сильной связи - методе
линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО). В случае строго
периодического изотропного поля кристаллической решетки этот метод
позволяет ограничиться рамками первой зоны Бриллюэна и рассматривать
изменения волнового вектора в пределах - л/а < к < л/а. Спектр энергий s
(закон дисперсии) в пределах этой зоны имеет гораздо больше общих черт с
законом дисперсии для свободного электрона, чем с «атомным»
энергетическим уровнем, и может быть описан квадратичной зависимостью
(рис. 1)
_ m0v2 _ Р2 _ Тгк2 ,
2 2т0 2т0
здесь т0 - масса свободного электрона; и - его скорость; Р = тои - импульс.
Рис. 1. Зависимость энергии от волнового
вектора для электрона в кристалле в пределах
первой зоны Бриллюэна (сплошная линия); для
электрона в вакууме (штрих-пунктир);
штриховой линией показан “атомный”
энергетический уровень
В этом случае поверхности равной энергии зоны проводимости и валентной
зоны в пространстве векторов кх, kv, kz являются сферами.
9
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Определим плотность состояний у нижнего края зоны проводимости.
Энергия электронов у дна зоны может быть записана в виде
s = 8с + tkk1 /2т п . (13)
Выделим шаровой слой в к пространстве, заключенный между двумя
изоэнергетическими поверхностями, соответствующими энергии efy= const и
е(л)+ ds = const. Объем этого слоя составляет
dV = Artk'dk . (14)
Объем элементарной ячейки зоны Бриллюэна кристалла единичного объема в
^-пространстве равен (2л)3. В каждой ячейке могут находиться два электрона с
противоположно направленными спинами. С учетом этого число состояний в
объеме dV равно
dZ = 2-^ = ^dk. (15)
(2л)3 п-
Обозначая через N„(s) плотность состояний в зоне проводимости (число
состояний в единичном интервале энергии для единичного объема кристалла),
получим с учетом выражений (13)и(15)
АГ / ч dZ dZ dk (2тУ/2 i--------
<(s) = — =-------= -—'^-Js-s,. (16)
ds dk ds 2 л У
Аналогично определению (16) плотность состояний дырок вблизи потолка
валентной зоны имеет вид
^(£) =
(2^Z
2л2Й3
(17)
-8 .
Функция распределения Ферми-Дирака [1] равна А (£) = [ехр((£ - d)/кТ) +1 ] '
(рис. 2).
Таким образом, подставив выражение для функции Ферми-Дирака и
определения (16), (17) в выражения (10) и (11) соответственно, найдем
концентрации носителей заряда в зонах. В физике полупроводников
концентрации носителей заряда в зонах принято выражать через так
называемые однопараметрические интегралы Ферми
10
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
зоне проводимости и в валентной
, p = Nv0JJ (18)
7 X У 1/ Z I '
Рис. 2. Распределение Ферми-Дирака:
ступенчатое при температуре абсолютного нуля
и “размытое” при конечных температурах.
Здесь т| - уровень Ферми
- эффективные плотности состояний в
. , . 2r x^'dx
не соответственно, Ф1/Дг)=-;=------- -
1Л +
о ТТ 1 //-> £ — Л — £
однопараметрическии интеграл Ферми-Дирака порядка 1/2, х =----------z = ------
кТ кТ
s., ~£ ~ г)
- для электронов в зоне проводимости, х = ' , z = ' - для дырок в
валентной зоне. Интегралы Ферми протабулированы. Функция имеет
простые асимптотики в двух предельных случаях:
Ф1/2(г) = е* при z« -1,
Ф1Л(г) = ^Д3/2
V- при z»l.
(19)
Первый случай отвечает невырожденному состоянию, второй -
вырожденному.
Для полупроводника, в составе которого отсутствуют примеси, так
называемого собственного полупроводника, концентрация электронов в зоне
проводимости должна быть равна концентрации дырок в валентной зоне. Это
условие определяет состояние электрической нейтральности в каждом
бесконечно малом объеме полупроводника (условие электронейтралъностпи) и
может быть выражено в виде
11
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
п = р .
(20)
Из условия электронейтральности, а также с учетом выражений (18) можно
найти уровень Ферми.
В общем виде уравнение (20) не позволяет найти аналитическое выражение
для г[ и приходится прибегать к таблице функций Ферми. Однако во многих
случаях справедливо “классическое” приближение: при конечной температуре
вероятность заселения электронами уровней с энергией е >г/ уже не равна
нулю и при exp(s -г)/кТ)»1 газ становится классическим или невырожденным.
Это возможно в том случае, когда число разрешенных энергетических
состояний значительно больше числа электронов: влияние принципа Паули на
электронную функцию распределения становится несущественным. Тогда в
знаменателе функции Ферми-Дирака можно пренебречь единицей и записать
функцию распределения, весьма близкую к распределению Максвелла-
Больцмана классической статистики
Наоборот, при выполнении условия exp(s - р/кТ)«1 газ считается
вырожденным. Таким образом, для невырожденного состояния
где N = 2
эффективная плотность
состояний в зоне проводимости и валентной зоне соответственно. Приравнивая
концентрации электронов и дырок в собственном полупроводнике для уровня
Ферми, получим
'т
(23)
) - энергия середины запрещенной зоны. Из выражения (23)
12
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
видно, что при Т=0К уровень Ферми расположен точно посередине между
границами валентной зоны и зоны проводимости. Он остается в этом
положении и при увеличении температуры, если только тп = тр. В случае,
когда эффективные массы двух зон не равны друг другу, уровень Ферми
изменяется с температурой и сдвигается в сторону с меньшей эффективной
массой. Физическая причина этого сдвига состоит в том, что плотность
состояний 7V(s) пропорциональна да3/2, так что малой эффективной массе
отвечает малая плотность состояний. Для поддержания электронейтральности
относительное уменьшение числа имеющихся в распоряжении состояний
должно компенсироваться соответствующим увеличением вероятности того,
что электрон (или дырка) занимает данный энергетический уровень.
Из формул (22) следует полезное соотношение
где //, - концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике,
8g=8c-8v - ширина запрещенной зоны. Оно демонстрирует тот факт, что
произведение п и р для данного материала есть функция только температуры.
Если примеси не меняют зонную структуру, то введение, скажем, доноров
увеличивает число электронов в зоне проводимости и приводит к
соответствующему уменьшению числа дырок, сохраняя неизменным
произведение пр. Это, конечно, остается справедливым лишь постольку,
поскольку применимо классическое описание для обоих типов носителей.
Теперь, подставляя выражение (23) в (22), для концентрации электронов и
дырок получим
(7) = л (7) = 2 \—^ (VJ3/4(^)3/2exp^-^;j. (25)
Формула (25) с хорошей точностью позволяет рассчитать концентрации
носителей заряда в собственном полупроводнике. Значения концентрации,
вычисленные по этим соотношениям, называются собственными
концентрациями. Например, для германия Ge, кремния Si и арсенида галлия
13
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
GaAs при 7=300 К они составляют ~ 2,6-1013;1,5-10' ";107с-.г/' соответственно.
Практически же для изготовления полупроводниковых приборов применяются
полупроводники со значительно более высокими концентрациями носителей
заряда («1015 4-1019сл/"3). Экспериментально, как правило, из формулы (25) по
известным значениям концентраций собственных носителей заряда находят
значения энергии ширины запрещенной зоны.
При этом следует отметить, что если между металлами, с одной стороны, и
полупроводниками и диэлектриками - с другой, существует принципиальная
разница в заполнении электронами энергетических зон (для металлов
обязательно наличие частично заполненной зоны), то между полупроводниками
и диэлектриками разница только “количественная” - в ширине запрещенной
зоны. К полупроводникам принято относить вещества, ширина запрещенной
зоны которых 0<sg<3 эВ. Если же ширина запрещенной зоны больше 3 эВ,
вещество считают диэлектриком.
Ширина запрещенной зоны большинства важнейших полупроводниковых
материалов составляет «1 эВ. Так, для германия sg = 0,69 эВ, кремния - 1,09
эВ, арсенида галлия - 1,43 эВ. Ширина запрещенной зоны - важнейшая
характеристика полупроводника. Кроме всего прочего, по ширине запрещенной
зоны определяется и область применения полупроводникового материала.
Например, приборы на основе контактных явлений будут работоспособны при
комнатной температуре (7= 300 К), только если eg> 0,5эВ. Приборы на основе
полупроводников с меньшей шириной запрещенной зоны (арсенид и
антимонид индия, теллурид свинца и т.д.) требуют для нормальной работы
охлаждения.
Кроме ширины запрещенной зоны важное значение имеет и тип зонной
структуры. В зависимости от взаимного расположения экстремумов
разрешенных зон (“потолка” валентной зоны и “дна” зоны проводимости) в
“пространстве волновых векторов” энергетическая структура полупроводников
может быть прямозонной - экстремумы зон находятся в одной точке к-
пространства и непрямозонной, когда экстремумам разрешенных
14
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
энергетических зон соответствуют разные значения волнового вектора. Тип
зонной структуры также требуется учитывать при изготовлении
полупроводниковых приборов, например для изготовления полупроводниковых
инжекционных лазеров подходят только прямозонные полупроводники.
1.2. Примесный полупроводник
Некоторые виды примесей и дефектов решетки могут весьма существенным
образом влиять на электрические свойства полупроводников. Например,
добавление в кремний бора в количестве одного атома на 105 атомов кремния
увеличивает проводимость при комнатной температуре в тысячу раз по
сравнению с чистым кремнием. В сложных полупроводниках недостаток (по
сравнению со стехиометрическим составом) одного из компонентов может
давать тот же эффект, что и примесь. Такие полупроводники называют
полупроводниками с нарушенным стехиометрическим составом. Рассмотрим
пример влияния примесей на свойства полупроводника.
Германий, кремний и многие интерметаллические полупроводниковые
соединения в соответствии с тем, что основными силами связи таких
кристаллов являются гомеополярные силы, кристаллизуются в структуре
цинковой обманки. Например, для германия, каждый из четырех валентных
электронов каждого атома идет на образование одной из четырех связей с
четырьмя ближайшими соседями. Если атом германия заменить атомом
пятивалентной примеси, например атомом мышьяка, то четыре из пяти его
валентных электронов примут участие в образовании этих связей. Оставшийся
пятый валентный электрон будет связан с примесью только посредством
кулоновского притяжения между ним и положительно заряженным ионом
примеси. Электрическая поляризуемость среды и, как правило, малая
эффективная масса электрона в кристаллической решетке приводят к
уменьшению кулоновского взаимодействия. Тогда энергия ионизации такой
примеси будет намного меньше энергии ионизации атома водорода. Энергии
ионизации различных доноров и акцепторов в кремнии и германии приведены в
табл. 1.
15
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Приведенные в табл. 1 значения энергии ионизации ясно показывают, почему
некоторые примеси в германии и кремнии могут поставлять свободные
носители при температурах, значительно более низких, чем те, которые
требуются для собственных полупроводников.
Вычисление концентрации носителей заряда в полупроводнике с учетом
примесных электронных состояний - задача достаточно непростая и
аналитическое решение её можно получить только в некоторых частных
случаях.
Таблица 1
Энергии ионизации доноров и акцепторов в Ge и Si
Примесь Энергия ионизации, эВ
Германий Кремний
Доноры
Li 0,033
Р 0,0120^ 0,044
As 0,0127 0,049
Sb ^0,096 0,039
Акцепторы
В 0,0104 0,045
А1 к 0,01 ОТ 0,057
Ga 0,0108 0,065
In 0,0112 0,16
Рассмотрим полупроводник, содержащий донорную примесь с
концентрацией Nd. Донор, удерживающий электрон, электрически нейтрален.
Это соответствует случаю, например германию, легированному мышьяком,
описанному выше (рис. За). Поскольку у данной донорной примеси имеется
только один электрон, который может принимать участие в проводимости, то
полное число состояний для примеси должно быть равно количеству атомов
введенной примеси на единицу объема кристалла, т.е. равно Nd. При любой
конечной температуре часть примеси остается нейтральной, а часть -
ионизованной.
16
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Пусть число электронов, находящихся на уровне донорной примеси, равно
Nd. В этом случае концентрация ионизованных донорных атомов Nd,
образовавшихся в результате тепловых переходов электронов с донорных
уровней в зону проводимости и имеющих положительный заряд, равна
(26)
Рис. 3. Энергетические диаграммы электронного (а) и дырочного (б) полупроводников.
Показано положение уровней Ферми при температурах, близких к абсолютному нулю
Если бы на примесном донорном уровне, согласно принципу Паули, могли
расположиться два электрона с противоположными спинами, то вероятность
его заполнения определялась бы функцией Ферми-Дирака, в которой вместо s
следовало поставить sd - энергию электрона на уровне примеси. Но на уровне
sd может быть только один электрон, который может быть захвачен двояким
образом в зависимости от направления спина. Следовательно, нейтральное
состояние донорной примеси имеет вдвое больший статистический вес по
сравнению с ионизованным состоянием. Кроме того, так как вероятность
отсутствия электрона на уровне донорной примеси для ионизованного
состояния равна 1, то, исходя из принципа Больцмана, можно записать:
Используя определение (26), это равенство можно записать в виде
17
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
(28)
Отсюда найдем концентрацию электронов, находящихся на донорном уровне:
e^d-ri }/кТ
(29)
а концентрация положительных ионов донорной примеси на основании
равенств (27) и (29) будет выражаться соотношением вида
(30)
Рассматривая аналогичным образом концентрации дырок на акцепторных
уровнях, получим
(31)
где N" - концентрация дырок на акцепторной примеси, Na - концентрация
электронов на акцепторной примеси (или концентрация отрицательных ионов),
n: =<-<•
Если полупроводник электрически нейтрален, то условие
электронейтральности для полупроводника с Nd донорами и Na акцепторами,
согласно уравнению (20), запишется
n + Na = p + Nd.
(32)
Как и в собственном полупроводнике, вероятность того, что уровень с
данной энергией занят электроном, задается распределением Ферми. Однако
статистическое рассмотрение локализованных примесных состояний
оказывается несколько более сложным, чем состояний непрерывного спектра.
Хотя ионизованный донор и может захватить электрон с любым направлением
спина, это состояние, будучи занятым, не сможет принять второй электрон с
противоположным направлением спина из-за значительного кулоновского
взаимодействия между двумя локализованными зарядами.
Из выражений (22), (30), (31) и (32) получаем
18
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
4, (£Т)3/2 ехр
// -8
~kf
1+24-.»г =AAkTf^
gy-'V
кТ
________ (33)
1 + 2^-^ ’ 1 ’
где 4, = 2
™п
2лТг2
3/2
>Л = 2
™Р
2лТг2
3/2
В общем случае уравнение (33) для энергии Ферми не имеет аналитического
решения, поэтому для ее нахождения часто используют графический или
численный методы. Для пояснения основных физических черт достаточно
рассмотреть некоторые специальные ситуации, которые, к счастью,
представляют и значительный практический интерес.
§2. УРОВЕНЬ ФЕРМИ И РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ
НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
2.1. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках, содержащих доноры
Рассмотрим полупроводник, содержащий только однозарядные доноры и
Na = 0. Также ограничимся пока областью температур, при которых имеет
место лишь ионизация примесных центров, а собственная проводимость
отсутствует. При низкой температуре вероятность переброса электронов через
запрещенную зону значительно меньше, чем вероятность переброса с уровней
доноров в зону проводимости, т.е. р«и . Также при низких температурах
единицей в выражении для N+d можно пренебречь. Тогда условие
электронейтральности (33) перепишется в виде
Д (кТ)3/2 ехр |% ехр |• (34)
I К1 \ Л I К1 J
Решая это уравнение, найдем выражение для уровня Ферми и концентрацию
носителей заряда в полупроводнике:
sc+8d кТ
Г) =—--- +—In
2 2
24.' ’
z . м \1/2
п = [ "2 d j (^)ЗМ ехр{_ ^sdl2kT\
(35)
где ksd =8c-8d.
19
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
При более высокой температуре вероятность переброса через запрещенную
зону возрастает, а примеси могут истощаться, т.е. все ионизируются. Но в
таком случае, как будет видно, полупроводник за областью истощения
примесей из электронного превращается в собственный.
Запишем условие электронейтральности в виде
« = + р , (36)
тогда в области истощения все доноры ионизированы, поэтому N+d = Nd. И с
учетом закона действующих масс
п = jf+A,. \
п
Решение этого уравнения имеет вид
,г < I—Г-"'. ( 1
п =—- 1 + J1H-- =А (кТ] ехр------к
2 V A 7 1 кТ J
Отсюда находим
г] =sc + кТ In
Рассмотрим два предельных случая. Вначале будем считать
(37)
(38)
(39)
(40)
Это соответствует области средних температур, точнее, области истощения
примесей, так как по формулам (38) и (39) получаем
Л л = kTin^f- (41)
Таким образом, низкие и высокие температуры перекрылись в области
истощения примесей. В случае выполнения неравенства 4д2 /Nd »1 получим
формулу для /у, совпадающую с формулой (23).
2.2. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках, содержащих акцепторы
На основании полученных выше результатов можно найти концентрации и
уровень Ферми для невырожденного полупроводника, содержащего акцепторы.
20
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
В этом случае для дырочного полупроводника имеем Nd = 0. При низкой
температуре основным механизмом образования дырок является захват
акцепторами электронов, возбуждаемых тепловым движением, из валентной
зоны. При этом п « р и условие электронейтральности можно записать в виде
Следовательно, аналогично формулам (35), получим
где Леа =8а ~8V .
Для высоких температур с учетом условия электронейтральности p = n+Na
получим
С условием
найдем область истощения примесей
p = Na, 7]=8v-kTln^. (46)
4и2
В случае выполнения неравенства —»1 формула для уровня Ферми г/
совпадает с формулой (23).
2.3. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках с частично компенсированной
примесью
Рассмотренные случаи только донорного и только акцепторного
полупроводников обычно не реализуются на практике. Как бы тщательно ни
проводилась очистка материала, в нем обычно остаются примеси нескольких
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
видов. Остановимся более подробно на случае, когда наряду с одноэлектронной
донорной примесью в полупроводнике имеется некоторое количество
акцепторных центров.
Рассмотрим случай, когда доноры и акцепторы введены в полупроводник в
равных количествах, т.е. Nd=Na. При температуре абсолютного нуля
электроны занимают наиболее низкие энергетические состояния. Это означает,
что в зоне проводимости нет электронов, а в валентной зоне все состояния
заняты. Поскольку есть свободные состояния на акцепторной примеси, то
электроны с донорной примеси заполнят все состояния акцепторов. В
результате образуются в равных количествах положительные и отрицательные
ионы. Условие электронейтральности выполняется, поскольку Nd =Na и имеет
место полная взаимная компенсация примесей. Вследствие этого примеси не
могут являться поставщиками электронов и дырок.
С ростом температуры свободные носители заряда возникают только
благодаря ионизации атомов основного вещества, и полупроводник ведет себя
как собственный. Однако в компенсированном полупроводнике периодичность
поля нарушена. Это будет сказываться на эффектах, связанных с рассеянием
носителей заряда, в частности на их подвижности.
Будем теперь считать, что Nd>Na и во всей рассматриваемой области
температур уровень Ферми лежит значительно выше sa. При этом условии все
акцепторные состояния заполнены электронами, перешедшими с донорных
уровней. В результате этого общее количество электронов на донорных
уровнях равно Nd = Nd - Na. Пока не наступит собственная проводимость, как
будет показано ниже, полупроводник ведет себя как чисто донорный. Такой
полупроводник называется частично компенсированным. Степень компенсации
определяется отношением Na/Nd.
В случае, когда Nd<Na и уровень Ферми проходит значительно ниже sd,
донорная примесь полностью ионизована. Все электроны с донорных уровней
переходят на уровни акцепторной примеси, поэтому при 7 = 0 на атомах
22
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
акцепторной примеси будет N'a = Na - Nd дырок. С ростом температуры
электроны из валентной зоны переходят к атомам акцепторной примеси,
очевидно, что полупроводник будет себя вести как дырочный.
Найдем зависимость концентрации свободных электронов и уровня Ферми от
температуры в полупроводнике с частично компенсированной примесью для
случая Nd>Na.
При низких температурах, когда р«п«Na, влияние акцепторов
существенно. Положение уровня Ферми в этой области сильно отличается
оттого, что имеет место в чистом донорном полупроводнике. Действительно,
согласно уравнению (33) уравнение электронейтральности запишем как
Nd = Я ,или
Я Nd
\ + 2е{Ба^}1кт l + 2e^Sd}/kT '
Производя простые преобразования, для уровня Ферми находим
п = 8, + кТ1п——^—. (47)
2<
Подставим это выражение в формулу для концентрации электронов (22)
n = Nс^е кт . (48)
Таким образом, и ту, и п в данном случае отличаются от электронного
полупроводника при 7 —> 0. Согласно выражению (47) при 7 = 0 имеем ту =ed, а
в формуле (48) показатель степени содержит кт вместо 2кТ.
Аналогичным путем можно провести расчет для случая Nd < Na при 7^-0:
р = N ——е кт .
v2Nd
При повышении температуры в полупроводнике, где Nd>Na, появляются в
достаточно большом количестве электроны проводимости, так что в условие
электронейтральности войдет и выражение для п. Но в этом случае для
разрешения системы мы должны воспользоваться описанным выше
23
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
определением, что во всей рассматриваемой области температур уровень
Ферми лежит значительно выше sa. Тогда =Na и вместо Nd =N~ имеем
Отсюда ^ = N'd~N]=N';. Величину N'd+ вычисляют аналогично концентрации
дырок на донорах по формуле
Таким образом, расчет уравнения (50) проводится аналогично уравнения (34)
с заменой Nd на N'd
При условии Nd <Na аналогичным путем вместо выражений (43) получим
Следовательно, при низких температурах, но не вблизи абсолютного нуля
частично скомпенсированные полупроводники подобны полупроводникам с
донорами при Nd>Na и полупроводникам с акцепторами при Nd<Na.
Практическое применение полупроводников в основном ограничено не очень
низкими температурами, поэтому ход функций 77(F), «(т), р(т) ПРИ
температурах, близких к нулю, представляет главным образом теоретический
интерес. Для практики важно, что частично скомпенсированные
полупроводники подобны примесным нескомпенсированным, а полностью
скомпенсированные - собственным полупроводникам.
Суммируя вышесказанное, можно представить графически температурную
24
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
зависимость носителей заряда в полупроводнике. Наиболее наглядно эта
зависимость представляется в координатах ln/? = для электронов или
In р = f (1/7) для дырок. В этом случае она будет выглядеть в виде кривой,
состоящей из трех отрезков, соответствующих рассмотренным выше
температурным диапазонам: область примесной проводимости (а), область
истощения примесных уровней (область насыщения) (б) и область собственной
проводимости (в) (рис. 4).
Рис. 4. Температурная зависимость
концентрации электронов в полупроводнике
п-типа
В заключение отметим, что концентрация примесей также влияет и на
состояние вырождения полупроводника. При очень высоких концентрациях
примесей (~1018 + 1О20 см'3) полупроводник переходит в вырожденное
состояние. Примесные уровни расщепляются в примесную зону, которая может
частично перекрыться с зоной проводимости (в электронных полупроводниках)
или с валентной зоной (в дырочных). При этом концентрация носителей заряда
практически перестает зависеть от температуры вплоть до очень высоких
температур, т.е. полупроводник ведет себя как металл (квазиметаллическая
проводимость). Уровень Ферми в таких вырожденных полупроводниках будет
располагаться или очень близко от края соответствующей зоны или даже
заходить внутрь разрешенной энергетической зоны, так, что и зонная
диаграмма такого полупроводника будет похожа на зонную диаграмму металла.
Для расчета концентрации носителей заряда в таких полупроводниках функцию
распределения следует брать не в виде формулы (21), как это делалось выше, а
в виде квантовой функции Ферми-Дирака. При rilkT>\QkT степень
вырождения электронного (дырочного) газа настолько высока, что
25
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
концентрация носителей не зависит от температуры вплоть до температуры
плавления полупроводника. Такие “вырожденные” полупроводники
используются в технике для изготовления ряда электронных приборов, среди
которых важнейшими являются инжекционные лазеры и туннельные диоды.
§3. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПОДВИЖНОСТИ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Определенный, хотя и менее существенный вклад, в температурную
зависимость электропроводности вносит и температурная зависимость
подвижности носителей заряда. Подвижность, “макроскопическое”
определение которой дано формулой (5), выражена через “микроскопические”
параметры - массу электрона и время т - среднее время свободного пробега
электрона (дырки). Как было показано выше, вместо массы электрона в
полупроводнике необходимо ее эффективную массу.
Время т, в отличие от элементарной электронной теории, в данном случае
должно определяться как время релаксации, характеризующее процесс
восстановления равновесного состояния, нарушенного электрическим полем,
после снятия последнего.
При наложении электрического поля и создания дрейфа носителей заряда
нарушается равновесное состояние, соответствующее заданной температуре.
Если выключить электрическое поле, то через некоторое время система частиц
приходит в равновесное состояние.
Приближенно можно считать, что время релаксации после выключения поля,
вызвавшего отклонение от равновесного состояния, равно среднему времени
свободного пробега. Действительно, если скорость направленного движения
носителем заряда теряется в результате единичного столкновения, то это
предположение приемлемо. Однако и более строгий подход приводит к тому,
что время релаксации и среднее время свободного пробега являются
величинами одного порядка.
Рассеяние электронов и дырок проводимости может происходить на ионах и
нейтральных атомах примеси, точечных дефектах структуры, дислокациях,
26
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
границах кристалла, плоскостях спайности, границах зерен, электронах и
дырках, тепловых колебаниях решетки (фононах). Поэтому можно выделить
несколько механизмов рассеяния с разной температурной зависимостью:
1) на тепловых колебаниях атомов кристаллической решётки;
2) на ионизированных примесях (ионы примеси);
3) на нейтральных примесях (атомы примеси);
4) на дефектах решётки (вакансии, точечные дефекты, дислокации, границы
кристаллитов и др.);
5) на носителях заряда.
Очевидно, что роль указанных рассеивающих центров различна. Для ее
оценки необходимо найти вероятность рассеяния на каждом из перечисленных
видов рассеивающих центров. Для этого достаточно оценить эффективное
сечение величиной некоторой площадки, в пределах которой возможно
взаимодействие между носителем заряда и рассеивающим центром. Другими
словами, вероятность рассеяния должна быть пронормирована на некоторую
величину 5* - эффективное сечение или интегральное эффективное сечение
рассеяния, определяемое как вероятность того, что частица рассеется,
отклонится на любой произвольный угол от направления первоначального
движения.
Рассеяние носителей заряда друг на друге не должно играть большой роли,
поскольку их взаимодействие было учтено введением самосогласованного
поля. Самосогласованное поле позволило рассматривать носители заряда как
невзаимодействующие. Это не означает, конечно, что электроны не
подчиняются, например, закону Кулона. Взаимодействие происходит на основе
обычных законов электродинамики, однако в силу большого числа
взаимодействующих частиц и их волновых свойств реальное движение
протекает так, как если бы фактически взаимодействия не было, т.е. имеет
место своеобразная динамическая устойчивость самого движения, что
заложено в функциях Блоха и в сохранении квазиимпулъса. Из сказанного
можно сделать вывод, что рассеяние на носителях заряда не может являться
27
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
основным механизмом, определяющим характер протекания кинетических
явлений.
Рассеяние на ионах примеси возникает как результат взаимодействия
зарядов. Рассеивающие ионы данного знака отклоняют своим полем как
электроны, так и дырки; причем отклонение тем сильнее, чем медленнее
движется носитель заряда и чем ближе проходит он мимо иона примеси.
Математически отклонение рассчитывают путем нахождения траектории
движения заряженной частицы в центральном поле иона, подобно задаче
определения рассеяния ос-частиц, решенной Резерфордом. Далее находят
вероятность рассеяния и выводят формулу для времени релаксации, где видно,
что при рассеянии на ионах примеси (при не очень низких температурах) в
невырожденных полупроводниках подвижность пропорциональна 7'3/2:
/ (54)
где Nj - концентрация ионизированных примесей любого типа.
Для ионов примеси S*, вероятно, должна быть больше 5* для дефектов и
нейтральных примесных атомов, по крайней мере, на два порядка. В таком
случае при Л^«1016 см'3 и 5*»3-10 13 см2 длина свободного пробега носителя
заряда может быть рассчитана как
/ = 5*’Х1, (55)
и равна «3 мкм. С учетом соотношения (55) можно найти величину т из
выражения для д в определении (5) на основании очевидной формулы т = l/Vd .
Рассеяние на ионах примеси в монокристаллах может быть основным
механизмом в области низких температур. При этом для верхнего интервала
низких температур используется приближенная формула (54).
Однако для интервала рабочих температур, при которых в большинстве
случаев применяют полупроводниковые материалы и приборы, подвижность с
ростом температуры обычно уменьшается. При рассеянии на тепловых
колебаниях решетки в невырожденных полупроводниках подвижность
пропорциональна 7 3/2:
28
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
^=Г-3/2. (56)
При средних и относительно высоких температурах подвижность может
убывать вследствие превалирующего влияния рассеяния на тепловых
колебаниях решетки.
Оценивая роль тепловых колебаний решетки, необходимо иметь в виду, что
под 5* надо понимать не площадь сечения атома основного вещества, а
площадь той области, которую он занимает, совершая колебания, т.е. надо
учитывать амплитуду колебаний. Очевидно, что амплитуда колебаний должна
быть тем больше, чем больше температура. Если считать, что амплитуда
колебаний порядка 1 А, то площадь сечения области, занимаемой атомом
вследствие колебаний (за вычетом площади сечения самого атома), будет равна
произведению диаметра атома на удвоенную амплитуду, Л'*~Ю|Й см2. Мы
видим, что эффективное сечение рассеяния на тепловых колебаниях меньше,
чем предыдущая рассмотренная оценка рассеивающих центров. Однако число
колеблющихся атомов велико: NT «1022 см'3 и, следовательно, /«100 А.
При рассеянии на дислокациях получают
Дислокации захватывают большие области кристалла, поэтому они должны
иметь очень большое эффективное сечение. Если считать, что линейная
дислокация имеет длину 1 мм и ее диаметр измеряется сотней периодов
решетки, то площадь ее осевого сечения составит величину порядка 5 10 7 см2.
Если объемная плотность дислокаций равна А«108 см'3, то /«2-Ю"2 см. Эта
величина достаточно большая, и для ряда явлений кристалл со столь большой
плотностью дислокаций не может быть использован.
Рассеяние на границах кристалла, на границах кристаллитов или зерен
должно играть важную роль в монокристаллических и поликристаллических
пленках. В объеме монокристалла этот фактор несуществен.
При рассеянии на нейтральных центрах (примесях) подвижность в явном
виде от температуры не зависит. Влияние температуры сказывается лишь на
концентрации примеси, которая остается не ионизированной (электрически не
29
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
активной). Данная концентрация с увеличением температуры в области
высоких температур может уменьшаться и тогда соответствующая
подвижность увеличивается.
Приведенные оценки являются сугубо качественными, однако они
достаточно верно передают соотношение между длинами свободного пробега
при рассеянии на центрах различной природы.
При одновременном действии различных механизмов рассеяния независимо
друг от друга полная вероятность рассеяния равна сумме вероятностей
рассеяния на каждом типе рассеивающих центров. Следовательно, полное
время релаксации
(58)
где г, - парциальное (z-e) время релаксации.
Типичная зависимость подвижности электронов (дырок) в полупроводнике
от температуры показана на рис.5. При очень низких температурах (в районе
абсолютного нуля) примеси еще не ионизированы, рассеяние происходит на
нейтральных примесных центрах и подвижность практически не зависит от
температуры (участок а-б). С повышением температуры концентрация
ионизированных примесей растет по экспоненциальному закону, а
подвижность падает (участок б-в). В области истощения примесей
концентрация ионизированных примесных центров уже не изменяется и
подвижность растет, как Г'/2 (в-г). При дальнейшем повышении температуры
начинает преобладать рассеяние на акустических и оптических фононах и
подвижность снова падает (г-д).
Поскольку температурная зависимость подвижности является в основном
степенной функцией температуры, а температурная зависимость концентрации
- в основном экспоненциальной, то и температурный ход электропроводности
будет повторять температурную зависимость концентрации носителей заряда.
Это дает возможность достаточно точно определять по температурной
зависимости электропроводности важнейший параметр полупроводника -
ширину его запрещенной зоны, что и предлагается проделать в данной работе.
30
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Рис. 5. Типичная зависимость подвижности
носителей заряда в полупроводнике от
температуры
§4. ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Учитывая зависимость концентрации и подвижности носителей заряда от
температуры, удельную электропроводность собственного полупроводника
можно записать в виде
(р I
• (59)
2кТ)
Множитель АТ±3/' медленно меняется с температурой, тогда как множитель
( 8 ")
ехр —— сильно зависит от температуры, когда sg »кТ. Следовательно, для
не слишком высоких температур можно считать, что Д7'’/: = сг0; и выражение
(59) заменить более простым
О', =о-0,ехр . (60)
2/с/ J
Рассмотрим поведение электропроводности полупроводника при переходе от
низких температур к высоким. В донорном или акцепторном полупроводнике
проводимость при низких температурах является примесной. Так как
температура низка, то ионизованных примесей мало и преобладает рассеяние
на нейтральных атомах, при котором ц не меняется с температурой. Поэтому
температурная зависимость су будет определяться зависимостью концентрации
от температуры. Для электропроводности донорного полупроводника, согласно
выражениям (35), можно записать
31
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
\ ^sd\
о-и =о-0иехр £ ,
2kl J
. ( \ 1
Infer I = const--------
V 2к Т
(61)
Соответственно для электропроводности акцепторного полупроводника (см.
(43))
I Л£И
а „ = сг0„ ехр------ ,
р >р Ч 2кт)
In (ст) = const - —
V р’ 2к Т
(62)
Очевидно, если уравнения (61) или (62) построить графически в координатах
1п(сг) от 1/7, то из наклонов этих зависимостей (рис. 6) можно определить
энергию ионизации донорной или акцепторной примеси:
^(1п(^„))
41/7)
Ду, = 2к tg(a) = 2к
(63)
Будем повышать температуру и попадем в область истощения примеси, в
которой концентрация основных носителей остается постоянной и
проводимость меняется вследствие изменения подвижности ц с температурой.
Зависимость удельной
полупроводника от
а - собственный
б - примесный
° =eNd^n или а = eNaVP,
(64)
электропроводность растет незначительно с температурой, т.к. преобладает
рассеяние на ионах примеси, при котором д ~ 73/2. Далее с ростом температуры
32
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
<7(1п(сг))
<7(1/7)
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
электропроводность уменьшается, т.к. преобладает рассеяние на тепловых
колебаниях решетки, при котором д ~ 7 3/2 (рис. 6, участок 3).
Наконец, при достаточно высоких температурах проводимость
полупроводника становится собственной, и в этом случае можно определить
ширину запрещенной зоны полупроводника sg.
, / \ 1
1п|сг) = const—--,
2£ 7
8g = 2k-tg(cp) = 2k-
где к = 1,38-10 23 Дж/К = 8,6-Ю"5 эВ/К.
МЕТОДИКА И ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Функциональная схема установки для измерения температурной зависимости
электропроводности полупроводников, в которой используется импульсный
компенсационный метод измерения сопротивления образца, изображена на
рис. 7.
Схема работает следующим образом. Напряжение от источника питания
через переключатель Пк1, изменяющий полярность напряжения, подается на
прямоугольный образец и включенное последовательно с ним сопротивление,
представляющее собой магазин сопротивлений РЗЗ. Напряжения, падающие на
сопротивлении РЗЗ и сопротивлении образца между зондами 1-2, заряжают до
соответствующих потенциалов конденсаторы С1 и С2 соответственно.
Конденсатор С2 при помощи переключателя ПкЗ, подключаясь поочередно к
сопротивлению РЗЗ и образцу, определяет ток зарядки - разрядки конденсатора
через гальванометр G при несоответствии сравниваемых потенциалов. Таким
образом, конденсатор С2 можно охарактеризовать как “измерительный”.
Конденсатор С1, переключаемый Пк2, задает ток компенсации в цепи образца в
момент подключения конденсатора С2 к сопротивлению РЗЗ. Конденсатор С1
является “компенсационным”.
33
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Вк1
образец
ПкЗ
Рис. 7. Функциональная схема импульсного компенсационного метода
измерения сопротивления образца
Изменяя величину сопротивления РЗЗ, можно подобрать его равным
сопротивлению образца, заключенного между зондами 1 и 2. При этом условии
падение напряжения на сопротивлении РЗЗ будет равно напряжению на
измерительных зондах образца и гальванометр покажет отсутствие тока.
Отсутствие тока в измерительной цепи в момент “измерения” сопротивления
образца является весьма существенным обстоятельством, так как исключает
влияние сопротивлений зондов на результаты измерений.
Переключатели Пк1, Пк2, ПкЗ собраны на микросхемах К176КТ1,
представляющих собой четыре независимых двунаправленных аналоговых
ключа, выполненных по КМОП технологии. Момент переключения задается
генератором, выполненным на микросхеме К561ЛН1 (шесть инверторов со
стробированием, КМОП). Переключатели Пк1, Пк2, ПкЗ работают синхронно и
в определенном фазовом соотношении (Пк2 и ПкЗ - в противофазе).
При выполнении измерений на образце полупроводника может возникнуть
градиент температуры. Градиент температуры на образце вызовет появление
термо-ЭДС, которая в течение измерений будет сохранять свою величину и
34
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
направление. Чтобы устранить влияние этой термо-ЭДС, в схему введен
конденсатор СЗ, который при балансе схемы заряжается до потенциала,
компенсирующего термо-ЭДС. Причем ток через измерительные зонды
отсутствует и в том случае, если ток через образец и сопротивление РЗЗ будет
различен при разной полярности приложенного напряжения.
Точный баланс схемы контролируется гальванометром G при нажатой
кнопке Кн1, закарачивающей ограничительное сопротивление R2. При сильной
разбалансировке схемы кнопку Кн1 нажимать нельзя! Это может вывести из
строя гальванометр G.
Температура образца контролируется термопарой алюмель - хромель,
имеющей погрешность измерения 0,16 мВ. Для измерения ЭДС термопары
используется вольтметр В7-16. Зонды 1, 2 и токопроводящие контакты
припаяны к германиевому образцу оловянным припоем, невыдерживающим
разогрев в печи выше 200 °C.
Лабораторная установка состоит из:
- лабораторного стенда;
- источника питания схемы ЛИПСШ-10;
- универсального вольтметра В7-16;
- магазина сопротивлений РЗЗ;
- электрической печи, в которую помещен образец;
- источника питания электрической печи Б5-48.
В качестве образца используется Si n-типа прямоугольной формы, шириной
а = 3,5 мм, толщиной Z> = 4,2 мм. Расстояние между зондами / = 7,2 мм.
Порядок выполнения работы
Перед началом работы необходимо:
1. Установить соответствие экспериментального стенда с предложенной
схемой лабораторной установки.
2. Включить вольтметр В7-16. По истечении 15 + 20 мин установить “0”
прибора и произвести калибровку вольтметра в соответствии с
инструкцией по эксплуатации.
35
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
3. Установить сопротивление магазина сопротивлений РЗЗ в соответствии
предполагаемым сопротивлением образца для начальной минимизации
отклонений гальванометра (по согласованию с преподавателем).
4. Переменный резистор R1 выставить в положение максимального
сопротивления (крайне левое положение - против часовой стрелки).
Порядок проведения эксперимента
5. Включить источник питания стенда ЛИПСШ-10, включить питание
лабораторного стенда (Вк1).
6. Установить ток, текущий через образец при помощи сопротивления R1
по показаниям миллиамперметра на стенде до заданного значения.
7. При помощи магазина сопротивлений РЗЗ установить в “0” стрелку
гальванометра не нажимая кнопку Кн1 (грубая балансировка).
8. Установить в “0” стрелку гальванометра при нажатой кнопке Кн1 (тонкая
балансировка).
Внимание: Устанавливаемое значение тока не должно превышать
максимальное значение тока через образец, равное 2 мА! Устанавливая ток,
текущий через образец, внимательно следите за отклонением стрелки
гальванометра! Выбранное вами значение тока должно быть неизменным в
течение всего хода работы!
9. Определив сопротивление по показаниям РЗЗ, занесите это значение в
табл. 2 как сопротивление образца при комнатной температуре.
10. Включить источник питания электрической цепи Б5-48.
11. При каждом выбранном значении вольтметра В7-16, показывающем ЭДС
термопары, произвести балансировку схемы. Показания вольтметра UT и
значения сопротивления РЗЗ (R) занести в табл. 2.
Количество измерений и максимальное значение ЭДС термопары по
показаниям вольтметра необходимо согласовать с преподавателем.
12. По окончании эксперимента выключить все приборы, привести в порядок
рабочее место.
36
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Таблица 2
Обработка результатов измерений
№ изм. UT, мВ Л, Ом сг, Ом^м'1 т, К 1/7 1п(Г) 1пИ
1 2
Обработка результатов измерений
13. По измеренным значениям сопротивлений R таблицы, найти значения
электропроводности а по формуле
14. Используя калибровочную кривую термопары (рис. 8), найти значения
температуры образца по измеренным значениям ЭДС термопары UT с
учетом комнатной температуры
Т = Т + ЛТ. (67)
ком \ 7
37
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
15. Построить график зависимости 1п(сг) от 1/7'. Указать области примесной
и собственной проводимости. Указать область истощения примесей.
16. По прямолинейному участку графика в области собственной
проводимости определить ширину запрещенной зоны s,; по формуле (65).
17. По прямолинейному участку графика в области примесной проводимости
определить энергию ионизации примеси Asd(Asa) по формуле (63).
18. Для температур, при которых наблюдается полная ионизация примесей
(плато концентрации), построить график зависимости 1п(д) от 1п(т), с
учетом того, что 1п(д) с точностью до аддитивной постоянной равен
In(o-).
19. Определить показатель степени г температурной зависимости
подвижности носителей заряда по формуле
20. По значению г сделать заключение о преобладающем типе рассеяния
носителей заряда.
21. Все рассчитанные выше значения занести в табл. 2 в системе СИ.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Уравнение Шредингера для кристалла. Какие операторы включает в себя
оператор Гамильтона?
2. Адиабатическое приближение и валентная аппроксимация. В чем суть
этих приближений?
3. Одноэлектронное приближение. Приближение сильно связанных
электронов.
4. Как и по каким критериям могут быть классифицированы материалы по
электропроводности?
5. В чем состоит физический смысл понятия “подвижность” носителей
заряда?
6. Объясните механизмы собственной проводимости полупроводника.
38
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
7. Каковы механизмы примесной проводимости полупроводников?
8. Как ведет себя электропроводность примесного полупроводника с ростом
температуры? Обозначьте основные области температурной зависимости
электропроводности.
9. Расскажите об импульсном компенсационном методе измерения,
используемом в настоящей работе. Какие методы существуют для
измерения электропроводности полупроводников?
10. Выпишите основные формулы для определения энергии ширины
запрещенной зоны, энергии ионизации примеси, показателя степени
подвижности носителей заряда.
11. В каких случаях эффективная масса электрона в полупроводнике может
стать отрицательной?
12. Выведите формулу плотности состояний электронов и дырок в
собственном полупроводнике.
13. Как ведет себя уровень Ферми в полупроводниках с ростом температуры?
14. Выведите формулу зависимости концентрации носителей заряда от
температуры в собственном полупроводнике.
15. Выведите формулу зависимости концентрации носителей заряда от
температуры в донорном полупроводнике.
16. Выведите формулу зависимости концентрации носителей заряда от
температуры в частично компенсированном полупроводнике.
17. Расскажите о некоторых механизмах рассеяния носителей заряда с разной
температурной зависимостью (не менее 3-х).
39
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М.:
Наука, 1977. 672 с.
2. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. М.: Высш, шк.,
1977. 448 с.
3. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М.: Энергия, 1976. 416 с.
4. Зеегер К. Физика полупроводников/ Пер. с. англ. М.: Мир, 1977. 616 с.
5. Блат Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Мир,
1971.470 с.
6. Фистуль В.И. Введение в физику полупроводников. М.: Высш, шк., 1984.
352 с.
7. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высш, шк., 2003.
494 с.
40
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................3
§Е Элементы зонной теории полупроводников......................6
ЕЕ Собственный полупроводник................................6
Е2. Примесный полупроводник.................................15
§2 . Уровень ферми и равновесная концентрация носителей заряда.19
2.1. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках, содержащих доноры.........19
2.2. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках, содержащих акцепторы......20
2.3. Уровень Ферми и равновесная концентрация носителей заряда
в невырожденных полупроводниках с частично компенсированной
примесью................................................21
§3 . Температурная зависимость подвижности полупроводников.....26
§4 . Температурная зависимость электропроводности полупроводников.31
Методика и оборудование для проведения измерений...............33
Контрольные вопросы............................................38
Список рекомендуемой литературы................................40
41
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Составители:
Петр Николаевич Крылов
Александр Сергеевич Алалыкин
Ришат Галеевич Валеев
ТЕМПЕРАТ
АЯ ЗАВИСИМОСТЬ
ЭЛЕКТРОПРОВ
Методиче
ОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
е указания к лабораторной работе
Подписано в печать 05.09.06 Формат 60 х 84
Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,44. Уч.-изд. л. 2,24.
Тираж 50 экз. Заказ №1854
Редакционно-издательский отдел УдГУ.
Типография ГОУ ВПО “Удмуртский госуниверситет”
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, кори.4.
© П. Н. Крылов, А. С. Алалыкин, Р. Г. Валеев
Температурная зависимость электропроводности полупроводников