ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Министерство образования Российской Федерации
Удмуртский государственный университет
Кафедра физики твердого тела
Ижевск 2002
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
ББК 531.91
Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент, зав. кафедрой ФТТ П. Н. Крылов,
канд. физ.-мат. наук, доцент И. В. Федотова,
инженер кафедры ФТТ А. С. Алалыкин,
инженер УНИ ЭЕ Р. М. Закирова.
П 96 Пьезоэлектрические свойства кристаллов: Метод, указания к
лаб. работе / Сост. П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Ала-
лыкин, Р. М. Закирова. Ижевск, 2002. 28 с.
В методическом указании к лабораторной работе рассмотрены электрические
силы в твердых телах, матрицы пьезомодулей, применение резонанса пьезо-
электрического кристалла и практическое применение пьезоэлектриков.
Методические указания рекомендованы для студентов, изучающих курс "Фи-
зика твердого тела".
ББК 531.91
© Сост. П. Н. Крылов, И. В. Федотова,
А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова, 2002.
© Удмуртский государственный университет, 2002
2
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
ВВЕДЕНИЕ
Во многих кристаллах при растяжении и сжатии в определенных
направлениях возникает электрическая поляризация, на поверхностях
кристаллов при этом появляются заряды обоих знаков. Это явление
было открыто в 1880 г. Пьером и Жаком Кюри и называется прямым
пьезоэлектрическим эффектом. Эффект наблюдается на ионных кри-
сталлах, когда кристаллические решетки положительных и отрица-
тельных ионов деформируются по-разному. Если деформация одно-
родная, то пьезоэлектрический эффект наблюдается у кристаллов, не
имеющих центра симметрии. В частности, пьезоэффект наблюдается
на кристаллах турмалина, цинковой обманки, хлората натрия, сегне-
товой соли, титаната бария, тростникового сахара.
Наряду с прямым пьезоэффектом имеется и обратный, при кото-
ром деформирование пьезоэлектрика происходит под действием при-
ложенного к кристаллу электрического поля. Этот эффект был пред-
сказан в 1881 г. Липпманом на основании термодинамических сооб-
ражений и подтвержден в этом же году братьями Кюри.
§1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ.
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ
Внутренние напряжения, появляющиеся в изотропном диэлектри-
ке в электрическом поле, представляют собой эффект, квадратичный
по полю. Однако внутренние напряжения в пьезоэлектрике под дей-
ствием электрического поля пропорциональны первой степени поля.
Состояние слабо деформированного тела можно описать тензором
деформации:
з
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
1	(5и; Эик	*	/1 \
uik =-	+	’	V1)
2	ох к <уХ ।
где и(х, у, z)- вектор смещения точек тела.
Деформация нарушает изотропию тела, в результате чего скаляр-
ная диэлектрическая проницаемость s заменяется тензором деформа-
ции 8ik. Диэлектрический тензор деформированного тела можно
представить в виде:
Sik = S0^ik aiUik 012Ucl^ik 5	(^)
где So - диэлектрическая проницаемость недеформированного тела,
cci и ot2 - скалярные постоянные.
Два последних члена в (2) представляют собой наиболее общий
вид тензора второго ранга, который можно составить линейным обра-
зом из компонент тензора и^. В твердом теле свободная энергия F,
отнесенная к единице объема тела, зависит от всех компонент тензора
деформации и для изотермической вариации 8F можно записать
5F = -—D5E+—8uik,	(3)
4л Эи1к
где Ё и D - напряженность и индукция электрического поля.
Для однородной деформации вектор U выражается в виде
Г	(4)
п
где z - расстояние от верхней поверхности,
h - единица площади поверхности слоя,
£ - бесконечно малый вектор, характеризующий смещение.
Поэтому для тензора деформации записываем
uik =дг&пк +^kni)-	(5)
4
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Подставив это выражение в 8F и учитывая симметрию тензора и
Тензор напряжений анизотропных твердых тел выражается как
/ЭР 1
'’k=F8lk+ — + — (Е|Ок+ЕкО,).	(8)
<>11 ik $71
Интересуясь в пьезоэлектрике лишь основным, линейным эффектом,
в (8) можно пренебречь квадратичными по полю членами и записать:
'Лк^.к+СС 	(9)
Однако поскольку мы используем термодинамические величины, от-
несенные к количеству вещества, заключенному в единице объема
недеформированного тела, то можно записать более простое выраже-
ние:
(10)
Соответственно термодинамическое соотношение для дифференциа-
ла dF будет
dF = —S dT + cylkdulk —^DdE.	(11)
4л
По поводу последнего члена следует сделать замечание: в таком
виде этот член относится, строго говоря, к единице объема деформи-
5
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
рованного тела. Не учитывая этого, мы допускаем ошибку, которая,
однако, в данном случае (для пьезоэлектрика) является величиной
более высокого порядка малости, чем остальные члены в (11).
В (11) роль независимых переменных играют компоненты тензора
Uik. Иногда бывает удобно пользоваться в качестве таковых компо-
нентами Git. Для этого надо ввести термодинамический потенциал,
определяемый как
Ф = ₽-иЛ.	/	(12)
Для дифференциала этой величины будем иметь
аФ =-SdT-ulkdcylk- — DdE.	(13)
4л
Подчеркнем, что введение в электродинамике термодинамическо-
го потенциала Ф согласно формулам (12) и (13) связано со справед-
ливостью соотношения (10) и потому возможно лишь для пьезоэлек-
трических тел.
Определив, таким образом, нужные термодинамические величи-
ны, можно перейти к описанию пьезоэлектрических свойств кристал-
лов. Выбрав величины и в качестве независимых переменных,
мы должны рассматривать индукцию D как их функцию, а в разло-
жении этой функции надо сохранить члены первого порядка по ним.
Линейные члены разложения компонент вектора по степеням компо-
нент тензора второго ранга в наиболее общем случае могут быть на-
писаны в виде 47idikiGki, где совокупность постоянных dy-i составляет
тензор третьего ранга (множитель 4л введен для удобства). Посколь-
ку тензор он симметричен по своим индексам, то ясно, что и тензор
6
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
diki можно считать симметричным по соответствующим двум индек-
сам:
di,ki = diik,	(14)
для наглядности мы отделяем запятой симметричную пару индексов
kl от третьего индекса. Тензор diki будем называть пьезоэлектриче-
ским. Его заданием полностью определяются пьезоэлектрические
свойства кристалла.
Добавив пьезоэлектрические члены к выражению для электриче-
ской индукции в кристалле, напишем:
Di =Di0 +£,kEk +47tdiJdakl.	(15)
Соответствующие дополнительные члены появятся и в термоди-
намических величинах. У не пьезоэлектрического кристалла в отсут-
ствие поля термодинамический потенциал
Ф = Ф = Ф0 -ykl|k|mO|kOlm ,	(16)
где Фо относится к недеформированному телу, а второй член пред-
ставляет собой обычную упругую энергию, определяющуюся тензо-
ром упругих постоянных gikim. Тензор gikim определяет связь между
напряжениями и деформацией согласно ulk = —= p.iklm(ylni. Для пье-
3(У1к
зоэлектрика же будем иметь
Ф = Ф|) - ~ kliklmOik°lm “ ~ SikE^k ~~ EjDi0 - dj ИЕ;ОИ .	(17)
2	8л 4л	v 7
Вид последних трех членов определяется тем, что производные от Ф
по Ei (при заданных внутренних напряжениях и температуре) соглас-
но формуле dx = -4л— должны дать выражения (15). Зная ф, можно
7
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
получить согласно (13) формулу, выражающую тензор деформации
через напряжения и поле Ё:
Следует отметить, что смысл величин рщщ и как упругих посто-
янных и диэлектрической проницаемости в пьезоэлектрике в опреде-
ленном смысле условен. При выбранном нами определении они дают
соответственно зависимость деформации от упругих напряжений при
заданной напряженности поля и зависимость индукции от напряжен-
ности при заданных напряжениях. Если же деформирование проис-
ходит при заданной индукции поля или же мы рассматриваем зави-
симость индукции от напряженности при заданной деформации, то
роль упругих коэффициентов и диэлектрической проницаемости бу-
дут играть другие величины, которые могут быть выражены (хотя и
довольно сложным образом) через компоненты тензоров р, в и d.
Определение поля в пьезоэлектрическом теле должно произво-
диться одновременно с определением его деформации и представляет
собой совместную задачу электростатики и теории упругости. Следу-
ет искать совместное решение электростатических уравнений
div В = 0, rot Ё = 0	(19)
с В из (15) и уравнений упругого равновесия
с соответствующими граничными условиями на поверхности тела и с
учетом связи между и деформацией, даваемой формулами (18). В
общем случае такая постановка задачи весьма сложна.
8
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Задача значительно упрощается для тела эллипсоидальной формы
со свободной поверхностью (т.е. к которой не приложены никакие
внешние механические силы). В этом случае поле внутри тела и его
деформация однородны, а все упругие напряжения Oik = 0.
Наконец, займемся вопросом о том, какие типы кристаллической
симметрии допускают существование пьезоэлектричества. Другими
словами, надо рассмотреть ограничения, накладываемые условиями
симметрии на компоненты тензора diki- В общем случае этот тензор
(симметричный по индексам к и 1) имеет 18 отличных от нуля незави-
симых компонент, фактически же число независимых компонент
обычно значительно меньше.
При всех преобразованиях симметрии данного кристалла все ком-
поненты его тензора dya должны оставаться неизменными по величи-
не. Отсюда сразу следует, что, во всяком случае, не может быть пье-
зоэлектриком тело, обладающее центром симметрии (в том числе
изотропное тело). Действительно, при отражении в центре (измене-
ние знака всех трех координат) меняют знак все компоненты тензора
третьего ранга.
Из 32 кристаллических классов допускают пьезоэлектричество
всего 20. Сюда относятся, прежде всего, 10 классов, допускающих
пироэлектричество (все пироэлектрики являются в то же время и пье-
зоэлектриками). Кроме того, пьезоэлектрическими являются кристал-
лы следующих 10 классов:
-	ромбическая система: D2;
-	тетрагональная система: D4, D2a, S4;
-	ромбоэдрическая система: D3;
9
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
-	гексагональная система: D6, С3ь D3h;
-	кубическая система: Т, Tj.
§2. МАТРИЦЫ ПЬЕЗОМОДУЛЕЙ ДЛЯ КРИСТАЛЛОВ КВАРЦА И
НИОБАТА ЛИТИЯ
Для низкосимметричного кристалла связь между напряжениями и
деформациями (закон Гука) имеет вид:
£jj SykjCTkl ИЛИ Gjj CyuEjj.
Величины Сун называются модулями упругости. При матричной
записи двойное сочетание ij = m (ij=l, 2, 3) и kl = n (kl=l, 2, 3) заменя-
ется одним индексом от 1 до 6 по следующей схеме: 11 —>1; 22^2;
33^3; 23,32^4; 31,13 —>5; 12,21 —>6. Тогда закон Гука будет выгля-
деть так:
£i= SyGj (i, j = 1, 2,..., 6); Oi= Cij£j (i, j = 1, 2,..., 6).
Как уже было сказано, явление пьезоэлектричества заключается в
электрической поляризации кристалла под действием механических
напряжений. Наложенное на кристалл механическое напряжение мо-
жет быть растяжением или сжатием, а также напряжением сдвига.
Поляризация вызывается только некоторыми типами напряжений,
имеющими определенную ориентацию относительно кристаллогра-
фических осей. Так как существует 6 возможных компонент напря-
жения и 3 компоненты электрической поляризации (Pi, Р2 и Р3), то,
очевидно, существует 18 коэффициентов связи dy, называемых пье-
зоэлектрическими модулями, между механическими и электрически-
ми параметрами кристалла. В общем случае уравнение прямого пье-
зоэффекта имеет вид:
ю
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Pi =d11a1 +d12cy2 +d13cy3 +d14(y4 +d15cy5 +d16a6;
P2 =d21a1 +d22a2 + d23a3 + d24a4 + d25a5 + d26a6;
P3 = d31o1 + d32o2 +d33a3 + d34o4 + d35o5 + d36o6.
Уравнение обратного пьезоэффекта связывают механические де-
формации с приложенным к кристаллу электрическим полем Е:
S1 =dllE1 +d21E2 +d3iE3,
s2 = di2Ei +d22E2 +d32E3,
83=di3E1+d23E2+d33E3,	(21)
s4 =d14Ej +d24E2 + d34E3,
s5 =d15E! +d25E2 +d35E3,
s6 = di6Ei +d26E2 +d36E3.
Матрица пьезоэлектрических модулей имеет свой собственный
специфический вид для каждого кристаллографического класса и оп-
ределяется симметрией кристалла, причем, чем более симметричны
кристаллы, тем большее число коэффициентов обращается в нуль.
Для кристаллов кварца (рис.1, а), например, матрица пьезомодулей
имеет вид:
dn	-dn	0	d14	О	О
О	О	О	О	-d14	-2dn-	(22)
0	0	0	0	0	0
Следовательно, система уравнений прямого пьезоэффекта для кварца
состоит из двух уравнений:
Pi = d11a1 -dna2 +d14cy4;
Р2 = -d14a5 -2dna6.
п
© П. H. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Рис. 1. Кристалл кварца: а) внешний вид и расположение кристаллографических осей; б)
пластинка Х-среза
Из этих уравнений можно определить, какой именно системой на-
пряжений, накладываемых на пластину кварца, вырезанную перпен-
дикулярно одной из кристаллографических осей можно вызвать по-
ляризацию по осям X и Y. В частности, видно что поляризацию по
оси Z нельзя вызвать никакой системой однородных механических
напряжений.
Для кристаллов ниобата лития матрица пьезомодулей имеет вид:
О	0	0	0 d15 - d22
- d22	d22	0	d15	0	0 •
d31 d31 d33 ООО
Следовательно, систему уравнений прямого пьезоэффекта ниобата
лития можно записать в следующем виде:
Pi = d15cy5 -d22cy6;
Р2 = -d22a! + d22cy2 + d15ty4;
P3 =d31cy1 +d31cy2 +d33cy3.
В настоящей работе используется пластинка, вырезанная перпен-
дикулярно оси Y (Y - срез), на которой определяется пьезомодуль 622-
12
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Если к кварцевой пластинке, вырезанной перпендикулярно оси X
- электрической оси (рис. 1, б), приложено переменное электрическое
поле, то в соответствии с фазой этого поля кристалл будет попере-
менно сжиматься или разжиматься (обратный пьезоэлектрический
эффект). Другими словами, в такт с переменным полем в кварце воз-
буждаются упругие механические колебания, амплитуда которых
достигает максимума, когда частота внешнего электрического поля
окажется равной одной из собственных частот механических колеба-
ний пластинки.
Например, для колебаний по толщине собственная частота резона-
тора
(23)
2t V Р
где t - толщина пластинки, Сц - модуль упругости, р - плотность
кварца. Для кварца р=2,65 г/см3, а Сц=86,О51О10 дин/см2. Произведе-
ние резонансной частоты на размер кристалла, вдоль которого рас-
пространяется упругая волна, зависит от типа деформаций. Так, для
колебаний кварцевого стержня Х-среза по толщине имеем:
Mt= t ft= 285 кГц см,
где t - толщина пластинки (в см). Сдвиговые колебания удаётся воз-
будить с помощью кварцевой пластинки, ориентированной перпен-
дикулярно оси Y. Согласно уравнениям обратного пьезоэффекта (21)
s6 = ФбЕ1 + ^26^2 + d36E3.
С учетом вида матрицы пьезомодулей для кварца (22), имеем:
£б = _2dnE3.
13
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Если приложить к пластинке Y-среза (нормаль к пластинке совпа-
дает с осью Y) поле Е3, то возникнут сдвиговые деформации £6, соб-
ственные частоты, соответствующие деформации £6, при этом рас-
считываются по формуле:
причем Ms= t fs= 192 кГц-см.
§3. ПРИМЕНЕНИЕ РЕЗОНАНСА
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КРИСТАЛЛА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ
Рассмотрим особенности резонанса пьезоэлектрического кристал-
ла и его применение для определения физических констант кристал-
ла. Пока частота возбуждающего поля много меньше частоты собст-
венных колебаний данного резонатора, деформации резонатора близ-
ки к статическим, и пьезоэлектрическая реакция соответственно мала.
По мере приближения частоты возбуждающего поля к соответст-
вующей частоте резонатора амплитуда механических колебаний воз-
растает и, следовательно, увеличивается пьезоэлектрический ток. Та-
ким образом, при изменении частоты возбуждающего поля меняется
и общее электрическое сопротивление, а также влияние резонатора на
электрическую цепь, в которой он находится.
Поведение резонатора в электрической цепи теоретически можно
описать, заменив резонатор эквивалентной схемой. Эквивалентной
электрической схемой резонатора называется группа элементов R, L,
С, Со (сопротивление, индуктивность, динамическая и статическая
14
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
емкость), соединенных друг с другом так, что, подставив вместо ре-
ального кристалла эту группу R, L, С, Со, мы увидим, что её воздей-
ствие на внешнюю цепь будет таким же, как воздействие самого кри-
сталла (рис. 2).
Качество резонаторов обычно принято характеризовать добротно-
стью Q и ёмкостным отношением г, причем:
Q = ^,	(25)
К
Г=%	(26)
О
где со - частота подаваемого на резонатор электрического напряже-
ния. Чем больше добротность и чем меньше емкостное отношение,
тем лучше резонатор, т.е. тем острее частотная характеристика.
С L R
Со
Рис. 2. Эквивалентная электрическая схема колеблющегося вблизи резонанса пьезоэлектри-
ческого кристалла
Для определения эквивалентных параметров и физических кон-
стант кристалла необходимо измерить резонансную fp и антирезо-
нансную 1д частоты резонатора. Они имеют следующий смысл. Когда
частота задающего генератора такова (со=сор), что выполняется усло-
вие:
cd L---— = О
р ®рс
для пьезоэлектрической ветви контура, сопротивление контура ста-
15
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
новится минимальным (равным R), через кристалл течет большой
ток. Эта частота называется резонансной:
При дальнейшем повышении частоты задающего генератора на-
ступает момент (со=соа), когда выполняется условие:
1 1
©aL------=----•
©АС0 ©АС
Сопротивление контура внешнее току становится максимальным. Эта
частота называется антирезонансной:
фа=2яЛа= ,	1	(28)
L С-Со
V С + Со
Из выражений (27) и (28) легко получить связь между измеренны-
ми частотами и эквивалентным параметром С:
Ы с0
Статическая ёмкость Со может быть измерена с помощью моста
для измерения емкостей или рассчитана по обычной формуле:
гу £S
° 4tiL ’
(30)
где £ - диэлектрическая проницаемость,
S - площадь обкладок кристалла,
С - расстояние между обкладками.
Эквивалентный параметр L вычисляется как
16
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Эквивалентный параметр R можно определить методом замеще-
ния. Известно, что на резонансной частоте сопротивление резонатора
равно сопротивлению эквивалентной цепи. Поэтому, заменив резона-
тор магазином сопротивлений и подобрав сопротивление, равное то-
му, которое имел резонатор в момент резонанса, можно определить
сопротивление R. Зная эквивалентные параметры, можно по форму-
лам (25) и (26) определить добротность Q и ёмкостное отношение г.
f
Для проверки можно вычислить добротность по формуле: q = _₽_, где
К
Af* - ширина резонансной кривой на высоте 0,7 максимума.
Кроме того, зная эквивалентные параметры, можно определить
физические константы кристалла: диэлектрическую электромехани-
ческой связи К, представляющую собой проницаемость, пьезоэлек-
трические коэффициенты, а также коэффициент отношения запасае-
мой в кристалле электрической энергии We и энергии упругих де-
формаций Wm, возникающих вследствие пьезоэффекта. Действитель-
но, электрическая энергия на единицу объема кристалла wE = ——
8я
(при колебаниях по толщине), запасаемая механическая энергия
WM =^-сп -х2 =|--с11 -d2 Е2, корень квадратный из их отношения назы-
вают коэффициентом электромеханической связи:
к2 = 4к-с11-ф21 .	(32)
8
С другой стороны,
Af 4 К2	4-К2 IZ2_K2 Af
‘ (I - кД=	' К =T?
17
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
т.е., зная величины fp и 1д. можно рассчитать коэффициент электро-
механической связи К и затем величину пьезомодуля йц. Величина
упругого модуля рассчитывается по формуле (23) с учетом известных
размеров кристалла и его плотности р. При отсутствии информации о
диэлектрической проницаемости г последняя может быть определена
по замеренной емкости Со с учетом соотношения (30).
§4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА
Известны сотни веществ, которые в принципе могли бы быть ис-
пользованы для практического применения пьезоэлектричества. Од-
нако дополнительные требования (большая величина пьезоэффекта,
механическая и электрическая прочность, устойчивость к влаге и пр.)
резко ограничивают список практически пригодных кристаллов. Из
них на первом месте стоит кварц. Он превосходный изолятор, поэто-
му в нем можно возбуждать сильные поля, порядка 30000 В/см.
Научно-техническое применение пьезоэлектрического эффекта
(прямого и обратного) весьма многочисленно и разнообразно. На-
пример, пьезоэлектрический манометр широко применяется для из-
мерения быстропеременных давлений. В этом приборе кварцевая
пластинка, вырезанная определенным образом, помещается внутри
исследуемого газа. О давлении газа судят по величине пьезоэлектри-
ческих зарядов, появляющихся на пластинке.
Укажем далее на разнообразнейшие пьезоэлектрические преобра-
зователи'. пьезоэлектрические стабилизаторы и фильтры в радио-
технике, пьезоэлектрические датчики в автоматике и телемеханике,
18
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
виброметры, звукосниматели в технике звукозаписи, микрофоны,
телефоны, гидрофоны в акустике и т.д.
Особо важное значение имеют кварцевые излучатели ультразвука,
предложенные во время первой мировой войны французским физи-
ком Ланжевеном (1872 - 1946). Смещения, возникающие в кварцевой
пластинке при наложении на нее статического электрического поля,
ничтожны. Однако их можно увеличить в тысячи, а энергию колеба-
ний - в миллионы раз, если воспользоваться переменным электриче-
ским полем. Для этого следует использовать явление резонанса, т.е.
подобрать частоту наложенного электрического поля равной одной из
собственных частот механических колебаний кварца. Собственные
частоты кварца определяются соотношением л = А/2-», где X - длина
ультразвуковой волны в кварце, ап- целое число. При п = 1 получа-
ется основное колебание пластинки, при п = 2, 3, 4, ... - соответст-
вующие ему обертоны. При резонансной частоте электрического поля
кварцевая пластинка, как показал Ланжевен, является мощным ис-
точником ультразвука. Такие источники ультразвука и были предло-
жены Ланжевеном для измерения морских глубин и подводной сиг-
нализации. С этого времени началось бурное развитие практических
применений пьезоэлектричества.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Цель работы: изучение пьезоэлектрических свойств кристаллов
кварца и ниобата лития, определение эквивалентных параметров пье-
зо электричеких систем.
19
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Блок-схема установки для определения эквивалентных параметров
резонатора и физических констант кристалла в динамическом режиме
приведена на рис. 3. Переменное напряжение с генератора 1 подается
на цепочку кристалл 2 - сопротивление R. Частота подаваемого элек-
трического напряжения плавно меняется до тех пор, пока её значение
не совпадёт с одной из собственных частот исследуемого пьезоэлек-
трика.
Рис. 3. Схема для определения резонансной и антирезонансной частот: 1 - генератор, 2 - ис-
следуемый кристалл, 3 - осциллограф, 4 - частотомер
В момент совпадения частот наступает резонанс, амплитуда коле-
баний кристалла сильно возрастает, электрическое сопротивление па-
дает, вследствие чего увеличивается ток через кристалл и сопротив-
ление R, включенное последовательно с кристаллом. Напряжение на
сопротивлении R резко возрастает, что и фиксируется вольтметром 3.
При дальнейшем увеличении частоты генератора сопротивление кри-
сталла увеличивается, т.е. наступает антирезонанс и напряжение на
сопротивлении R резко падает. Частоту резонанса и антирезонанса
измеряют частотомером 4. Использование последнего вызвано тем,
что частоты fp и 1 д (особенно для кристалла с малым коэффициентом
электромеханической связи К, например кварца) различаются
настолько мало, что измерить разницу между ними только по поло-
20
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
жению лимба частоты генератора невозможно. В то же время это из-
мерение должно быть выполнено с максимально возможной точно-
стью.
В работе используются кристалл кварца, вырезанный под углом у
к оси Z (образец Н1), и Y-срез кристалла ниобата лития LiNbO3 (об-
разец Н2).
Порядок выполнения работы
1.	Проверить правильно ли собрана электрическая схема, включить
приборы в сеть, дать им прогреться в течение 5 мин.
2.	Для каждого образца выполнить следующие измерения:
-	определить резонансную и антирезонансную частоты,
-	записать частотную зависимость амплитуды сигнала (АЧХ), сни-
маемого осциллографом с образца (не менее 30 точек на канал) (из-
менение 2011 г.),
-	измерить эквивалентное сопротивление R. Для чего настроить ре-
зонатор на резонансную частоту. Затем вместо резонатора включить
магазин сопротивлений и подобрать сопротивление, равное сопро-
тивлению резонатора на резонансной частоте (контролировать по
вольтметру).
3.	Рассчитать и сравнить коэффициенты электромеханической связи
К для кварца и ниобата лития, пользуясь отношением (33).
4.	Вычислить эквивалентные параметры контуров L и С, рассчитав
предварительно Со, по формулам (29), (30), (31), для расчета Со ис-
пользовать следующие данные:
а)	кристалл ниобата лития: -размер пластины (20 х 1.45 х 31.25) мм,
21
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
-диэлектрическая проницаемость 8= 1800;
б)	кристалл кварца:	-размеры пластины (1.8 х 0.8 х 2.5) мм,
где размер 0.8 мм - толщина ,
-диэлектрическая проницаемость е = 4.63,
-статическая емкость Со = 7-10'12 Ф.
5.	По рассчитанным эквивалентным параметрам L, С, R определить,
пользуясь соотношениями (25), (26), добротность, емкостное отно-
шение контуров.
6.	Определить пьезоэлектрический модуль 622 для кристалла ниоба-
та лития из соотношения К =	22 22 , где значение диэлектриче-
£22
ской проницаемости принять равным 1800, а модуль упругости рас-
считать по формуле (23). Плотность ниобата лития р=5 г/см3, раз-
мерность модуля упругости [дин/см2]. Найти бц для кварца.
7.	Построить частотные характеристики резонаторов. Сравнить зна-
чения Q, полученное в п.5 с вычисленными по ширине резонансной
кривой.
8.	Все расчеты приводятся в системе единиц СГСЭ.
Примечания
1.	На лабораторном столе собрана электрическая схема (рис. 4).
Кристаллы кварца и ниобата лития смонтированы и укреплены на не-
большой монтажной плате. К этой плате присоединены при помощи
разъемов все измерительные приборы, используемые в данной рабо-
те. Кристаллы кварца и ниобата лития заключены в герметизирован-
ные кожуха, во избежание их повреждения; кожуха снаружи отмар-
кированы: для кварца с заводской откалиброванной резонансной час-
22
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
тотой 1000 кГц - «Н1», для ниобата лития LiNbOs - «Н2». Оба кри-
сталла разделены между собой разделительным тумблером на три по-
ложения. Первое положение - тумблер включен влево на позицию
«Н1», т.е. подключен кристалл кварца. Второе положение - тумблер
Рис. 4. Монтажная плата переключения от (Н1) к (Н2) и для R3KB. - в среднем положении
находится в середине, в этом случае проводится измерение эквива-
лентного сопротивления R3KB контура при резонансе. Когда
тумблер переключают в среднее положение для измерения R3KB., то
монтажную плату подключают к РЗЗ - магазину сопротивлений в
крайние клеммы, к двум крайним клеммам. Если тумблер находится в
одном из крайних положений, то плату отключают от магазина сопротив-
лений РЗЗ. Третье положение тумблера - правое положение «Н2», т.е.
подключен кристалл ниобата лития LiNbOs. Особенность пьезоэлек-
трических кристаллов кварца и ниобата лития в данной работе за-
ключается в том, что кварц входит в резонанс только при одной оп-
ределенной частоте в диапазоне около 1000 кГц (на 4-м канале шкалы
23
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
частот генератора, ручка 2, рис. 6). А кристалл ниобата лития входит
в резонанс при нескольких частотах (на 6-м и 7-м канале частот, руч-
ка 2, рис. 6).
Рис. 5. Определение резонанса на экране осциллографа С1-55
2. Частотомер электронно-счетный ЧЗ-34А включается при помо-
щи двух тумблеров: первый тумблер "сеть", а второй рядом справа -
это тумблер включения цифрового табло на частотомере. Эти тумб-
леры включаются один раз и до окончания работы.
3. Для определения резонансной и антирезонанс ной частот ис-
пользуется осциллограф С1-55.
Выставить максимум, плавно и медленно вращая ручку 1 (рис. 6). Ко-
гда на экране осциллографа появится максимальная резонансная ам-
плитуда, то необходимо вместо осциллографа подключить вольтметр
и записать его показания.
Затем установить тумблер монтажной платы в среднее положение
и подключить ее к магазину сопротивлений РЗЗ. При помощи ручек
магазина сопротивлений РЗЗ выставить на вольтметре такое же зна-
чение, что было снято при резонансе. Полученное на РЗЗ значение
24
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
сопротивления будет соответствовать R3KB - эквивалентному сопро-
тивлению при резонансе.
4. Генератор частот ГСС-6А включается тумблером 4, находящим-
ся в правой нижней части прибора (рис. 6). Генератор имеет 8 кана-
лов частот (ручка 2 переключает эти каналы). При переключении с
канала на канал убедитесь в том, что ручка 2 установилась в строго
фиксированное положение. Изменение частоты в пределах одного
канала производится вращением ручки 1. Установка резонансной ам-
плитуды требует медленного, плавного ее вращения. Работая с 6-м и
7-м каналами, сначала просмотрите весь диапазон 6-го, а затем 7-го
канала частот. А потом вернитесь к тем значениям частот, при кото-
рых на экране осциллографа наблюдались максимумы амплитуды.
ГСС-6А
Рис. 6. Генератор частот типа ГСС-6А
Внимание! Ручку, которая находится перед шкалой частот 3, от руки
не вращать, а пользоваться только ручками 1 и 2.
5. Необходимо выполнить следующую последовательность дейст-
вий для измерений значений fP, 1 д и R3KB для кварца:
- установить тумблер на монтажной плате в положение «Вкл. Н1»;
25
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
-	переключатель каналов генератора установить в строго фикси-
рованное положение канала 4;
-	медленно вращая ручку 1, сместить стрелку лимба 3 на шкале
каналов в одно из крайних положений;
-	начиная с этого крайнего положения, пройти весь диапазон час-
тот данного 4-го канала для кварца (или 6-го и 7-го каналов для
ниобата лития LiNbOs), наблюдая за резкими всплесками ампли-
туды на экране осциллографа С1-55;
-	при достижении частоты —1000 кГц на 4-м канале для кварца на
экране осциллографа произойдет увеличение амплитуды - это и
есть fP - частота резонанса и его амплитуда;
-	в момент резонанса при небольшом сдвиге ручки 1 в сторону
увеличения частоты происходит резкий спад амплитуды - это
появляется 1 д - антирезонансная частота, почти сплошная линия
(или минимальная амплитуда для LiNbOs);
-	если частоту и дальше увеличивать, вращая ручку 1, то антире-
зонансная частота исчезнет и появится собственная частота ге-
нератора.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1.	Дайте определение пьезоэффекту.
2.	Назовите необходимое условие существования пьезоэффекта.
3.	У скольких кристаллографических классов наблюдаются пьезо-
электрические свойства?
4.	В чем заключается обратный пьезоэлектрический эффект?
5.	Как выглядит закон Гука в общем случае для низкосимметрич-
ного кристалла?
26
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
6.	Напишите уравнения прямого пьезоэлектрического эффекта для
кварца и ниобата лития.
7.	Приведите количественные характеристики пьезоэффекта.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Блектор Дж. Физика твердого телаю М.: Мир, 1988.
2.	Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1969.
3.	Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.
4.	Павлов П. В., Хохлов А. Ф. Физика твердого тела. М.: Высш,
шк., 1985.
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение.........................................................3
§1	. Электрические силы в твердых телах. Пьезоэлектрики..........3
§2	. Матрицы пьезомодулей для кристаллов кварца и ниобата лития.10
§3	. Применение резонанса пьезоэлектрического кристалла для определения
некоторых физических констант...................................14
§4	. Практическое применение пьезоэлектричества.................18
Лабораторная работа.............................................19
Порядок выполнения работы.......................................21
Примечания......................................................22
Контрольные вопросы и задания...................................26
Рекомендуемая литература........................................27
27
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов
ЭЛЕКТРОННЫЙ ВАРИАНТ
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97
Подписано в печать 26.03.02. Формат 60 х 84
Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,27.
Тираж экз.	Заказ № 1280
Редакционно-издательский отдел УдГУ.
Типография УдГУ.
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1, кори.4.
© П. Н. Крылов, И. В. Федотова, А. С. Алалыкин, Р. М. Закирова
Пьезоэлектрические свойства кристаллов