Задание по теме «Численное решение обыкновенных
дифференциальных уравнений»
Задание 1
Численно решить дифференциальное уравнение у' = f (x,y) с начальным
условием у0 = у(х0) на отрезке [x0, b] с шагом h = 0,2 методом Эйлера,
модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти
аналитическое решение у = у(х) заданного уравнения и сравнить значения
точного и приближенных решений в точке x = b. Вычислить абсолютную и
относительную погрешности в этой точке для каждого метода. Вычисления
вести с четырьмя десятичными знаками.
Варианты задания
1.

y 

2.

y 

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

y
 x3
2x

y(2x  1)
x 1

y
y  2 x
x
y  2 xy  2 x 3
xy
y  2
x 1
y
y  3  1
x
y
y  2  x
x
y 

y( x  1)
x 1

y 3
y  2  2
x x
y  6 x3 y 2
y
y  2 x 
x
y 2
y   2
x x
xy
y  x  2
x 1

у (1)=1

x  [1,2]

у (0)= -1

x  [0,1]

у (1)=0

x  [1,2]

у (0)=-1

x  [0,1]

у (2)=3

x  [2,3]

у (1)=0,5

x  [1,2]

у (1)=0

x  [1,2]

у (0)=1

x  [0,1]

у (1)=1

x  [1,2]

у (0)=1

x  [0,1]

у (1)=3

x  [1,2]

у (1)=0

x  [1,2]

у (2)=3

x  [2,3]

14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

2 xy
x2  1
y
y  2 
x
y  y  x 2
y   xy  x 3
y  4 xy  4 x 3
2x 1
y  2 y  1
x
y
y  3x 
x
y 12
y   3
x x
2 xy
y 
 1  x2
2
1 x
2
y  x 3  y
x
2x  5
y 
y5
2
x
y
y  x 2 
2x
2
y  x  y2
y 
x
1 y 2
y 
xy
1 x 2
y  2
2x y
y  y2  x2
y 
x
y 

y 

y( y  1)
x

у (0)=1

x  [0,1]

у (1)=2

x  [1,2]

у (1)=2

x  [1,2]

у (0)=3

x  [0,1]

у (0)=0,5

x  [0,1]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=4

x  [1,2]

у (1)=3

x  [1,2]

у (1)=-5/6

x  [1,2]

у (2)=4

x  [2,3]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=0

x  [1,2]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=1

x  [1,2]

у (1)=0,5

x  [1,2]

Задание 2
Методом Рунге-Кутта найти с точностью до ε = 10-3 решение
дифференциального уравнения 𝑦 = 𝑓 (𝑥; 𝑦) с начальным условием 𝑦(0) = 0
на отрезке [0;0,2] с выбором шага интегрирования. Для определения
правильности выбора шага выполнить двойной просчет с шагом ℎ и с шагом
ℎ⁄2. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой
погрешности, то шаг для следующей точки удваивается, в противном случае
берут половинный шаг.
Варианты задания
1.
2.
3.
4.
5.

1
2
x  y2 1
1
y  2
x  y2  3
3
y  2
x  y2 1
3
y  2
x  y2  3
y  e  x  y 2  x 
y 

16.

y  1  sin  x  2 y  

17.

cos y
 y2
1 x
cos y
y 
 y2
3 x
cos 3 y
y 
 y2
1 x
cos 3 y
y 
 y2
3 x
y  1  y sin x  y 2
y  1  y sin x  3 y 2
y  1  3 y sin x  y 2
y  1  3 y sin x  3 y 2
cos x
y 
1 y2
cos x
y 
3  y2
cos 2 x
y 
1 y2

18.
19.
20.

10.

y  e  x  y 2  3x 
y  e 3 x  y 2  x 
y  e 3 x  y 2  3x 
y  cosx  y   x  y
y  cosx  y   x  2 y

11.

y  cos3x  y   x  y

26.

12.

y  cos3x  y   x  2 y

27.

6.
7.
8.
9.

13.
14.
15.

21.
22.
23.
24.
25.

28.
y
2 x
29.
2y
y  1  sin  x  y  
2 x
2 y 30.
y  1  sin  x  2 y  
2 x

y  1  sin  x  y  

y 

y 

cos 2 x
3  y2

ch x  y 
2
ch x  2 y 
y 
2

y 

y
2 x

Задание 3
Методом Рунге-Кутта найти решение дифференциального уравнения
y'' = f(x, y, z) c начальными условиями у(х0) = у0, ух0   у0 на отрезке
[0;0,3] и с шагом h = 0,1. Найти аналитическое решение у(х) = у заданного
уравнения и составить таблицу точного и приближенного решений заданного
уравнения во всех точках х1, х2, х3. Все вычисления вести с шестью
десятичными знаками.
Варианты задания
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.

у  2 у  у  е х
у  6 у  18 у  sin x
у  4 у  x 2
у  6 у  9 у  е х
у  9 у  x
у   у  x 2  x
у  5 у  6 у  12 sin x
у  9 у  е х cos 3x
у  4 у  4 у  xe 2 x
у  у  е х sin x
у  2 у  у  x 3
у  3 у  2 у  е 2 х
у  4 у  3 у  e 2 x sin x
у   у  x 2  1
у  3 у  2 у  е 2 х
у  2 у  xе  х
у  4 у  5е х
у  6 у  9 у  10 sin x
у  2 у  у  x 2
у  16 у  sin x
у  2 у  у  x 3
у  3 у  3х  x 2
у  5 у  6 у  2е х
у  2 у  4х  1
у  9 у  15 sin 2 x
у  3 у  2 у  3 х

у(0)=1

у  (0)=1

у(0)=1
у(0)=1

у  (0)=2
у  (0)=2

у(0)=1

у  (0)=-2

у(0)=1

у  (0)=-1

у(0)=1

у  (0)=3

у(0)=5
у(0)=1

у  (0)=0,5
у  (0)=2

у(0)=-1

у  (0)=1

у(0)=1

у  (0)=2

у(0)=1

у  (0)=1

у(0)=1

у  (0)=-1

у(0)=1

у  (0)=-1

у(0)=1

у  (0)=1

у(0)=1

у  (0)=-1

у(0)=2

у  (0)=1

у(0)=1

у  (0)=2

у(0)=1
у(0)=1

у  (0)=-1
у  (0)=2

у(0)=1
у(0)=1

у  (0)=-2
у  (0)=-1

у(0)=0

у  (0)=0,5

у(0)=1

у  (0)=-1,5

у(0)=2
у(0)=-7
у(0)=4

у  (0)=1
у  (0)=0
у  (0)=-1

27.
28.
29.
30.

у  4 у  3 у  е 2 х
у  2 у  2 у  2е  х
у  3 у  5 х 2  2 x  1
у  2 у  х 2  2

у(0)=3

у  (0)=1

у(0)=-2

у  (0)=1

у(0)=3

у  (0)=2

у(0)=1

у  (0)=3