Текст
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................«
I. Предеды........................ ;.......* * * 5
II. Дифференцирование ....................... ’ 22
III. Графики . . . . >ч. . с.....................' -*Я
IV. Интегралы ........х ....... 1 ... . в 47
V. Дифференциальные уравнения . .... • R8/
VI. Ряды..............Л ....... ....... ' 80
VII. Кратные интегралы . . . . к............ . 102
VIII. Векторный анализ............................. 125
IX. Аналитическая геометрия . ......... Г". . . . . 140
X. ' Линейная алгебра........................... 152
Приложение е в ! s в s в е t s s t 9 S = « е г « в 167
Л. А. КУЗНЕЦОВ
ШИК ЗАДАНИЙ
Ю ВЫСШЕЙ
АТЕМАТИКЕ
(ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ^
Допущено
стсрством высшего и среднего
щалиного образования СССР
качестве учебного пособия
для студентов
высших технических
учебных заведений
А «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1983
ББ-К 22.11
К 89 ?
УДК 51
Рецензенты •
Кафедра высшей математики Московского инженерно-физиш
института; доц. Б, Ю. Стернин
Кузнецов Л. А. л
К, 89 Сборник заданий по высшей
расчеты): Учеб, пособие для втузов.— М.
школа, 1983.—175. с.
35 к. ‘
Пособие написано в соответствии с. действующей программ*
курсу высшей математики для инженерно-технических спецйальп
вузов. Оно содержит типовые расчеты (ТР)по основным разделами'
пределы, дифференцирование, интегрирование, ряды и др. Задачи,
дящие в ТР, представлены 31 вариантом. Кроме задач ТР привс
также теоретические вопросы и теоретические упражнения,
1702000000—035
К 001 (01) - 83 ' 52 ~ 83 ББК
математике (типо*
Вы
© ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»,
Предисловие
l
Важным фактором усвоения математики и овладения ее ме-
рами .является самостоятельная работа учащёгося. Система ти>
5ых расчетов (ТР)гкак показал опыт целого ряда вузов нашей
аны, активизирует самостоятельную работу студентов и. спо-
>ствует более глубокому изучению курса высшей математики,
вменение системы ТР рекомендовано программой по высшей
тематике для втузов, утвержденной УМУ по высшему образо-
фю Минвуза СССР в 1979 г.
Каждый ТР содержит теоретические вопросы, теоретические
ражнения и расчетную часть — задачи. Теоретические вопросы
Теоретические упражнения являются общими для всех студен-
задачи—для каждого студента группы индивидуальные (каж<>
i задача составлена в 31 варианте).
fl Выполнение студентами ТР контролируется преподавателем,
гедваритейьно проверяется правильность решения теоретических
ражнений и задач. Завершающим этапом является защита ТР.
время защиты студент должен уметь правильно отвечать на
фетические вопросы, пояснять решения теоретических упраж-
няй и задач, решать задачи аналогичного типа.
^Настоящий сборник отражает опыт работы Московского энер-
лческого института, в котором предлагаемая система расчетов
/высшей математике успешно используется Начиная с 1971/72
Лбного года. Наряду с традиционными текущими заданиями
математике студенты. МЭИ в течение каждого семестра выпол-
ет два ТР по математическому анализу, а в первом семестре,
Ьме того, два ТР по аналитической герйетрии и линейной ал-
^ре. Задачи сдаются студентами на проверку по частям по мере
/□движения в изучении курса. Защита осуществляется в пись-
яной форме в часы занятий по расписанию (как правило, за-
?/та занимает один учебный час). Повторная защита проводится
"je сетки расписания в письменной форме или в виде собеседо-
Л шя (по усмотрению преподавателя). >
i Работой по созданию типовых расчетов руководил автор сбор-
|ка доцент Л. А. Кузнецов. Большую помощь в этой работе
! / оказали старшие преподаватели А. Ф. Леферова, В. П. Пику-
А. С. Калинин. В составлении задач принимали участие
Ще преподаватели кафедры высшей математики МЭИ. С боль-
энтузиазмом и наиболее плодотворно работали В. В. Жари-
ф, В. А. Илюшкин,» Н. К- Козлова, Р. Ф. Салихджанов,
1 А. Соколов? Внедрение системы типовых расчетов, во многом
обязано вниманию заведующего кафедрой высшей математики
МЭИ профессора С. И. Похожаева.
При подготовке к изданию большую помощь автору оказав
старший преподаватель В. П. Пикулин, любезно предоставивший
материалы по аналитической геометрии и линейной алгебре. Abtoj
весьма признателен доценту П. А. Шмелеву за сделанные заме-
чания и предложения по пересмотру ряда теоретических упраж-
нений, доценту А. И. Плису за составление приложения.
Профессору А. И. Прилепко, доцентам С. М. Пономареву и
Б. Ю. Стернину автор благодарен за рецензирование рукописи
и полезные" замечания.
I. ПРЕДЕЛЫ
Теоретические вопросы
1. Понятия числовой последовательности и ее предела. Тео-
рема об ограниченности сходящейся последовательности.
2. Понятие предела функции в точке. Понятие функции, огра-
ниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функ-
ции, имеющей предел.
3. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
4. Теорема о пределе промежуточной функции.
5. Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность
функции cosx.
6. Первый замечательный предел -i=l.
х -> о х
7; Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между
функцией, ее пределом ^'бесконечно малой.
8. Теорема о сумме бесконечно малых функций.
9. Теорема о произведении бесконечно малой функции на
ограниченную функцию.
10. Теорема об отношении бесконечно малой функции к функ-
ции, имеющей предел, отличный от нуля..
11. Теорема о пределе суммы.
12. Теорема о пределе произведения.
13. Теорема о пределе частного.
14. Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной
фуцкции.
15. Непрерывность суммы, произведения и частного.
16. Непрерывность сложной функции.
17. Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи
бесконечно больших функций с бесконечно малыми.
18. Сравнение бесконечно малых функций.
19. Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о за-
менд бесконечно малых функций эквивалентными.
!0. Условие эквивалентности бесконечно малых функций.
Теоретические упражнения
1. Доказать, что если lini ап — ау то lim .| ап |== | а |. Вытекает
. П —> 00 п -> ОО
ли 13 существования lim |й„| существование lira ал?
П -> ОО п -> <Х
казакие. Доказать и использовать неравенство
|Р1-|а||«|6—а|.
2. Доказать, что последовательность {п2\ расходится.
3. Сформулировать на языке «8—-6» утверждение: «Число А
не. является пределом в точке Д'о функции f (х), определенной
в окрестности точки х0».
,4. Доказать, что если f (х) непрерывная функция, то F(x)==
— I f (х) | есть также непрерывная функция. Верно ли обратное
утверждение?
5. Сформулировать на языке "«8—S» утверждение: «Функция
f(x), определенная в окрестности точки х0, не является, непре-
рывной в этой точке». - х
6. Пусть lim /(х)#=0, a lim ср(х) не существует. Доказать,
X -> ха х->- х0
что lim f (х) ср (х) не существует.
х ;
Указание. Допустить противное и использовать теорему о пределе
частного. >
7. Пусть, функция, /(х) имеет предел в* точке х0, а функция,
ф(х) не имеет предела. Будут ли существовать пределы.
1) Нт [/(х) + ф(х)]; 2) Пт / (х)ф(х)?
X -> Ло • X -> %о / х .
1
Рассмотреть пример: lim х sin—.
х -> О х
8. Пусть, lim / (х/=#= О, а функция <р(х) бесконечно большая
/ х-+х0
при х—^х0. Доказать', что произведение /(х)ф(х) является бес-
конечно большой функцией при х—>х0.
9. ✓ Является ли бесконечно большой при х-—>0 функция
10. Пусть а' (х)
1 • а' (х)
что если km -ят-тЧ-
х-+х0 ₽ W
%ует.
-а(х) и Р'(х)~Р(х) при х—>х0. Доказать, /
не существует, то lim тоже не сущест- ‘
x-^Xq Р W
Задача 1. Доказать,
1.1. 3/z.—2 "2/1—1 ’ 3 а~^ 2 •
1.3. 7л+ 4 Си"'2«+1 ’ 7 а~ 2
З.о, 7 л—1 /7 а = 7.
п п+1 1
1.7. 9—п3 /7 а~ — 1
п ~1-|'-2/г3’ -у.
1.9. 1 —2и2 .
°" Д2-|-4л2’ и = — 2 ’
3.1!. а " 1—2//’ а = — 1 2 *
Расчетные задания
что
I'
lima„ = « (указать ЛГ(е)).
1.2. — 1 61^2.
ап~2п-\-1 ’
1.4. / 2 л —5 2
Яп~ Зл-|-1 ’ “"3-
1.6. _4л2+1 °'n-3fl2 + 2' 4 а~~з-
1.8. 4л— 3
ап~2п+Г а~2.
1.10. 5п п , а = —5.
" «4-1
1.12. 2я-И а"~3л— 2 а-3-
б’
, 1—2д2 1.13.. «И-Я2+3-. «- ~ 1.15., a-3- , „ 44-2/г ' 2 ’•17. «- 3- > 1« „'.З-д* 1 1Л9. а„ 1_|_2л2’ °— 2’ . о. Зя—1 3 !-21. a«-5n+1 > а~ 5 • - • ~ 1 —2я2 1 1.23. яп-2+4й2, а 2-^ , 2—2и . 1 1-25. с„ 3 + 4№> ° 2:, 1.27. а„ = 4±^, <г = —3. ’ " ь—п , оп Зп2 + 2 3 1.29. ап — -л « — пг. п 4/г2— 1 4 . ' № п 1.31. «„ = -=—н, «=--2. п п3— 2 г 1.14. я„= -^_, а = _3. 2—яг 1.1-8. *„=~, а=3. 1.18. а„ = 52±1? а = —5. 6—п . on 2п— 1 2 ~ 1.20. «и-2_3я, а—— t nn 4/г— 3 1-22. а„-2п+1 > о-2. И ОЛ “F 1 1 1-24. сп-10/г_3> «-у. 1.26. а„=~±?, я = 4. 1.28. а-2. . „ 2—Зя2 3 , 1-30. о«-4+5п2> 5-
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.
2.1. Ura „^оо (3 —n)2 —(ЗН-n)2 23- Лсль-т^-.а+и)3' 9 K lim (6-Я)2-(6 + n)2 " П > ~(6 + я>2-(1-я)2- 9 7 1im (l-+2n)8-8n* z-‘- Дтю(1+2п)«+4п2* 2-s- ,,1™.(»+l)"-(»-l I)1' 2.„. llm я2Н-2я—3 •!3,„1Л(я+3)1-(я-г4)*- о • 8п3—2я *-15-Лгаоо(п+1Г--(«-1)4' f 9 S7 lim (2я-3)2-(я + 5)2 Z,J/- п“т„(Зя-1):Ч-(2« + 3):!’ 9 10 Нт (2гс+1)8 + (Зп+2)3 2Л9, П ~ (2«+3)3 —(я—7)3 • 221 Цт.^+0!-^±^ п ™оо (2я+ 1)2+ (2я + З)2' 9 23 lim (n+2)^-(n-2? • я1Д„(я-Н5)2+(я-5)2- . ,. (я+1)3-(я-1)3 5' (я~Н1)2-(/г-1)2' - О27 Кт (» + 2)3+(О-2)3 нЧ-2/^-1 * 2.2. lim £3-”>_-(2-»)4 2.4.„ п ->оо (1 + «)’ — (1 — Я)11 .. (я+1)3 — (я+1)2 У 2.6. 11П1 ~) Г“ГЛ‘‘ п-> со (я —1)- —(н+ !)J 2‘8\ г'!:Л (.-З)1— г.»: в. (4 —я)3 . 2Л2< lim \ п -> о» (п -|- 4)" (я + 5) о» 1- («+1)4-(я-1)4 4- Л“ («+.1),'1 2.1». JtLfcta. п -> оо (2/г --J- о) - (п -1- 4)* 2.18. .lim -2.20. Вт п_>«,(Зягр2)2-|-(4я-!-1)2 2 22 Пт »3-(о—; )3 2.24. lim Ek'gTy-jg. п -> оо (п -|- 1 )3 -7- (п — 1 2,к ltafca^E±ir я^то(я-1-1)24-(я—I)2 2.28Г ит'^Ч+Ч2^ п оо И
2.28. „„ <?+!)•+(«->’.
П + «> n3 + 1
2.31. lim
,n-»~ я2+яу1
2.30.
(n+2)2— (n—2)2
(n + 3)2
Задача 3. Вычислить пределы с числовых последователь-
ностёй.
3,1. lim п 1/ 5п2 + 9ft8 + 1 3.2. lim Zn2+i
П ос (n-f-^n) К7—п+п2 П oo У 3fts_|_3-|_ yn6^i'
3.3. lim Г1 оо У_ я8-|-1 —Уя—1 3.4. lim y_ n2—1+7»3
|/пз+1_ т n -> OO ft124-ft+l —n
3.5. lim п -> со , 3.7. Пт п -> ОО УЗя—1~У 125я8 + я 5/— • У ft — ft У«+2— Z»2+2 3.6. 3.8. lim n -> OO lim n -> oo пу^п — yZ27ft64~ ft2 (n+^n)Z9+n2 y«4+2+K«—2
V^4n4-|-1 — У я4—1* р/п4+2+Уп—2
3.9. lim п оо 6ft3—У~/г5 +1 3.10. lim 8п?-У5
У4ft64-3—ft ’ n -* OO у/ «4-7—ft
3.11. lim n ^3/1+1+У 81я4—я2+1 . 3.12. lim Уя+з—Zw2—3 3 / д г •
п -+ ос 1 Ch- j/k) V5—w+n2 n OO У п^~4— у /г4-р 1
3.13. lim П -> оо У re5+3—У я—3 3.14. lim « —9ft^
У я5 + 3-|-Уя—3 fl —> oo Зя — У 9n«+ 1 - ft 7 п—у/ 81/г8—1 (n 4~ 4 К ft ) У n2 — 5
3.15. lim П -»• оо /~4re+i_|/27n3+4 4/“ 3/ - у п — у ft5 + ft > 3.16. lim n -> OO
3.17. lim П -> оо ft3 — 7 4- yz ft2 + 4 3.18. lim У я6 + 4+ У я—4
Уп^+5+Уу tl -> OO У я6 + 6 —Уя=6
3.19. lim 4 Z— 4«2— у 1У i 3.20. lim Уя+З-У 8я8 + 3
п -> оо y7riG -H ft3 1 — 5« П -> oo у. 5 У" —' 9 у «4-4—у «*+5
3.21. lim n/ 1U+ У 25я4—81 3.22. lim у я2 —у я2+5
П оо (/г—7 V n) K«2—«4-1* f ГI -► OO у п1- — У п 4-1
3.23. lim П оо n‘ 5—У n—5 J/n’+5+У n—5 3.24. lim f l oo \/ «24-2—5«2 «— У п4—«-)- 1 *
3.25.’ lim У я4~2—Iх я3 4-2 3.26. lim « У71п— р/<64«64-9
fl -> оо 3.27. lim п “> ОО {/n+2— У n^+2' V «4-6—У я2—5 y^ + 3+ у/ ft3 +1 3.28. n -> OO lim n -> oo (п-Уп) Kll + ft2 у ws-|-6—Уя—6 «§4-б-|- Уп 6
3.29. lim 11 -*• оо 8 Я2 — У Я3 4~ 1 \/ n64~2—ft \ 3.30. lim n oo У «4-1 — у/ «34~ 1 У «4-1—У n!yi )
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательно-
стей:
4.1. lim n ( |/"п2+1 j/’n2 — 0. 4.2. Пт п [ (п—2) —Vп2 — З].
п -> оо п -> оо
4.3. lim (п—у/ л3—$}пУп.
П -+ оо
. ^4.4. lim [ У(«2+ 1) (п2— 4)— Кп«—9].
П -* оо
4.5. lim +5\ , Vo, цт ( J/+2—3«+2—и).
п -i - оо */ *1 п -J оо
^4.7. lim (n+]/4—+). И-8. Пт [ Кп («+2)- j/7i2—2«+3].
* п -* оо '* п -> ОО
^4.9. lim [К(«+2) (п+1) - К(Л-1) (п + 3)]-
п -* ОО
4.10. lim п2Г]/’п(дг4—1)—|Лг5— 8].
4.11. lim п(р^5 + 8п3 — 2п). . 4.12. lim п2 (у 5 + «3 — f/s-j-n8)*
П -> оо п -> оо
4.13. 1т,'[У + („_3)"]..
4.14. в„ ^етт?-Гд<;-1><—а.
п -> оо У п
\/4.15. lim (угп2+Зп—2—Уп2—3). ^<4.16. lim Уп (]/"п-р2—pGi —3).’<
п -> ОО п -* оо
4 „ lim v „л8 ,|тп (к-1-га_
п -> оо 11 tl -> ОО
4.19. lim ]Л?+8 ( К/Р + 2 — . ''
- 4.20,- lim 1Лп3 + !) (п2 + 3) - Кп (п4 + 2),
п -* “ 2 У п
4.21. lim [УЙ+1) (п2 + 2)'— У(+— 1) («3—j2)].
tl -> оо
4.22. lim К(п6+1)(па-1)—п У» («*+!).
п -t- оо fl
4.23. Г(в‘ + 1>^--1)-Г^. </«4. 1™1«-Гм1=Ч1.
п -> ОО ' fl п ос
4.25. lim /г3 [ п2 (/г6 -|- 4) — (п8 — 1)].
п -> .00
4.26. lim [fi Уп—Уп (п-}~ 1) (/г4-2)].
П -> оо
4.27. lim у/п [1/п2 — f/п (п— 1)]. 4.28. lim У п+2 (]/п + 3—]Лг—4).
/1 -* ОО fl _> ОО
4.29. lim ге(Кп4 + 3— Уп^+>).
п -> оо **
4.30. Пт Кп(п+1) (п + 2)()<п3 —3— УИ+^2}.
п со
9
4.81. * lim 5) 2)-У'»«-3^ +5f
ft -> оо fl
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательно-
стей.
5.1
lim
5.3.
+++ + •••+^4+ - 5.2- Um CTW + T+2)!
n2 ' n2 1 /I2 1 +/22 J ft
1 + 3 + 5 + 7+.'.. + (2n—l) 2n+l
/2+1 2
5.5.
5.7.
5.9.
lim
n -> a
1+2 + 3+...+/1
lim ----f
n У 9ft4 I
[1+3+5+... +(2/г—1)
L n + s .
(/1 + 4)!-(n + 2)!
„Т. (^+3)!
lim
n -> «
— n
5.11.
2«—5« + 1
Л™2«+'Ч-5«+2
(2/г + З)!
к. .. 2п+1+3«+1
5Л- 2-.+3-
5.,. ,lm +3+S+
ft->oo 1 + 2 + 3 + ... + /г
1. 5.3. Вт I-H+7+. .+<3—2)
J П -> ОО У + 72 + 1
5.,о. к,,, р"-'),!+;+1“-
Zi->oo (3/2)! (/2 — 1)
512 Г 1+^+^+’”+^'"
5.12. lim --;---;---:-----.
rt->o°i 1_|_] I
; 5 1 52 1 "•’’"o'1 /
Riq ,. 1-3+5-7 + 9-11+ ...+(4/i-3)-(4/i-l) f.'_
И -> оо У n2 I j l у n2 I n I I
5.14. lim !-2±3-4+...+(2n\l)-2/1
n
/13 + 5 —К 3n4-|-2
5.15. lim _______________
п-«.1+3+5+...+(2я—1)
Г п + 2 2
[1 у 2-4-3+ ... +п 3
2—5+4—7+...+2/г--(2п+3)
5.17. lim
n -> «
5.19. lim
ft -> <x
/2 + 3
3«— 2?г
iiz
3 - . 3"+2"\
5-Г---+ 6" )’
5.20.
ft _> оо (2/2 —р- 3)! — (2/2 4~j2)1
5 '8'„‘” (т+а
5.21. lim
n -> «
n—n2 + 3
5.23. lim
n -> «X
5.25. lim
П -> a
II, у II, — 1
Т> 2+7+12+... + (5/1—3)’
R94 цт 2 + 4 + 6+...+2/г
5.24. .lim t—PVT" с ।-->~7о--Tv*
ft-><x>l+3 + 5+ ...-|- (2/2 —-1)
5.22.
n
Г1+5+9+13+...+(4/i—3) 4/1-4-1]
L ——'——— - 2 J .
2^ + 7"
5’27+1Imoo2'2-^7«-V
S.?9. 11,п
П СО
2 J*
k2R lim 1 -2 + 3-44- . .. -2п
5.2и. lim ------- -..— —--------
nJ*°° V //'' + 2/1 + 2
__о .. п! + (/г+2)!'
5.28. lim Z----, ь-7.
ft _> оо (п— 1)! + (/2+ 2)!
5.31
n2+4
/24-4+...
5.30. lim
n -><X
л+з J9
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательнос-
тей. ' ’
6.1. lim
П ->o
n 6,2. lim.
П ->o
s
10
6.3. lim ( П ->oo \ ft2—1 ft2 J ' 6.4. lim ( 72 ->оо \ ' n—1 V + 2 . » + 3 )
6.5. lim ( 2я2 + 2 \пг 6.6. lim / • 3n2—6n4-7 Х-Л+1
П ->oo X 2/i2 + 1 / / 72 ->оо \ 3n2 4- 20n — 1J
6.7. lim ( П ->-«3 \ n2—Зп-1-6 Y»/2 6.8. lim ( 72'->оо \ n —10 \ 3/2+1
n2-j--5n+l / * , ^4~ 1 / /"*•
. 6.9. lim I 6ft—7 372 + 2 6.10. lim 1 / 3/l24“4/l —1\ 2/2 + 5
П -> oo \ 6/i 4-4 ) 72 ->оо 3n24-2«4-7 )
6.11. lim ( ' n2+/z4-1 \ ~nz - 6.12. lim 1 ( 2«g4-5n4-7\n
n2-\-fi — 1 ) 72 ->оо < 2n24-5n4-3 J *
6.13. lim ( > n—1 y* 6.14. lim | ( 5/i2-f-3n — 1
n 4“ 1 / 72 -> 00 < 5n24-3/i4-3 J *
6Л5. lim ( ' 3ft 4“ 1 \ 2П+3 ‘ ' 6.16. lim | t 2/г24~7/г — 1 \-na
3n— 1 J <2n2-|-3n —1 ) *
6.17. lim ( ' \ 72+4. 6.18. lim I ( /I3 4~ 1 \ 2/2-728
n 4” 5 / 72 ->оо < /I3 — 1 )
6.19. lim ( tl-*<*> \ ' 2n2+2U—7 ~\2n+1 , 2n2+18n4-9 ) 6.20. lim I /г-4оо ( 10n — 3 \ 5П < 10ft-4 ) •
6.21. lim ( n —> oo \ 3n2—5ti \ n+1 6.22. lim ( 72 ->oo <ft4-3 \
. 3n2—5»4-7 J <ft4- l )
6.23. lim ( ' П2 6/14-5 X 372 + 2 n2—5ft 4-5 j 6.24. lim ( ft 4~4 Xn ,ft4-2 ) ’
6.25. lim ( ' 7n24-18n—15 V+2 . 7n24-lht4-J5 ) 6.26. lim 72 -> 00 ' f 2ft—1 ^ft+1 4 2/14-1;
6.27. lim ( л34-п4-1 \ 2zi2 6.28. lim ( ' 13n4-3 \«~3- •
n ->oo \ ft3 4-2 ) * 72-*co ' 13/г—10 /
6.29. lim ( 72 -4 oo \ 2/г24-2/14-3 \ 3722- ? 2/i-24-2/i4-i ; 6.30. lim ( 72->oo \ ( ft4-5 \ /2/6 + 1
6.31. lim • 4ft2 4-'^— 1 \ l-2/г X ,\
n ->00 \ 4«24-2я4-3 )
3 ад a ча 7. Доказать (найти 6(e)),. что:
7.1. lim - !х24-5х—3 7.2. Iim =6.
X ->-3 х 4~ 3 А. X -> 1 ' X— 1.
3x24-5x—2 7.3. lira —-Ц-x =—7. X^-2 «4-2 4x2 — 14x4-6 ' , _ /7.4. lim —— X -* 3 X 0 ,
7.5. lim 6*24-х—1 . . .......— —# в 7.6. lim 6x2—x— 1 r ' —7;——5.
X -> —1/2 *4-1/2 X -> 1/2 1/2 j
7.7. lim 9х2—1 ' „ 3л ;2—5x—-2
7-7-777- =—о. 7.8. lim —
X ->+1/3 х —п 1/3 x -* 2 x—2 '
7.9. lim Зх2—2х—1 . 7-Т-ТТ — —4. 7.10. lim. 7x2 4-8x4-1 = —0.
x->—i/з xH-1/3 X ->-1 “ *+l
< 7.11. lim' - 2—-4х-|-3 __2 7.12. lim 2x24-3x—2
X -> 3 х—3 X-*l/2 x—1/2 -
7.13. lim 6х2—5%4- 1 7.14. lim 10x24-9x—7
X -> 1/3 х—1/3 ,t^-7/5 *4-7/5
7.15. lim 2%2 4-13x4-21 1_ 7.16. lim4 , 2x2—9x-|- 10 _ 1
’x->-7/2 2*4-7 2 • X 2x—5 2 ‘
7.17. lim 6х24~Х—1 £. • = 5 , 7.18. lim 6x2—75x—39 :—7—— rxx —0 d .
' X -> 1/3 х—1/3 •» X^-l/2 *4-1/2 1
„ 2х?—21х—11
7.19. lim - -=23.
X-.ll х—11
7.21. lim .2--+Л^+7 =—13.
х^_7 х+7
7 00 г ^-6х2 —X—1 5 3«+1 3'
7.25. 1» ^-403+128 =е
х—8
_ 2х2 — 5x 4-2 _
7.27. lim г-4— — —3•
х_1/2 х—1/2
7.29. lim Зх2+17'Х~~6 =19.
х-> 1/з х—1/3
_ 15х2—2х—1 о 7.31. lim =5—=8.
14 1/3 X—1/3
7.20. lim - = 26.
X -+ 5 x—5
7.22. lim 2x24-6x—8 _ =—10.
X -»—4 x4-4
7.24. lim x24-2x—15 _ =—8.
х ->-5 x-|-5
7.26. lim 5x2—51x4-10 =49.
X 10 x—10
7.28. lim 3x2+17x—6 =—19.
X—|- 6
15x2—2x—1
7.30. lim -=—8
Задача 8. Доказать, что функция [(х) непрерывна в точке х0
(найти 6 (s)).
8.1. /(х) = 5х2— 1, х0 = 6.
8.3. /(х) = 3х2—3, х0=4.
8.5. f (х) ——2х2— 5, х0 = 2.
8.7. f (х) = -—4х2—7, х0—1.
8.9. f (х) =—5х2— 9, х0=3.
8.2. Д(х) = 4х2—2, х0 = 5.
f (*) = 2х2+6, х0 = 7.
f (х) = 4х2 + 4, х0 — 9.
/(х) = 5х2+1, х0=7.
/(х) = 3х2—2, х0 = 5.
8.11. f (х) ——Зх24~8, х0 = 5.
8.13.
8.15.
8.17.
8.19.
8.21. f(x) = — 2х2 — 4, х0 = 3.
8.23. f(x) — — 4х2 — 6, х0=1.
8.25. /(х) = —4х2—8, х0 = 2.
8.27. f (х) = —2х2 4-9, х0 = 4.
8.29. f (х) = Зх24~7, х0 = 6.
8.31. /(х) = 5х24-6, х0 = 8.
Задача 9/ Вычислить
9 1 lim
а ь Л-i х4+4х2-5
„„ (х2+Зх+2)2
9.3. lim ’ , ' —!—Цг .
8.4. / (х) = 2х2—4, х0=3.
8.6. f(x) = — Зх2—6, х0=~1.
8.8. /(х) = —5х2 —8, х0 = 2.
8.10. / (х) = —4х2 4~ 9, х0 = 4.
8.12. f(x)== — 2х34-7, х0 = 6.
8.14. / (х) == Зх2 4-5, х0 = 8.
8.16. f (х)=5х24-3, х0 —8.
8.18. /(х)=4х2 —1, х0 = 6.
8.20. /(х) = 2х2 —3, х0 = 4.
8.22. f(x)=~ Зх2— 5, х0 = 2.
8.24. / (х) =—5х2 — 7, х0=1.
8.26. f (х) = —Зх2 — 9, х0 — 3.
8.28. f (х) = 2х24т8, х0 = 5.
8.30. f (х) = 4х2 4-6, х0 = 7?
пределы
9.2.
функций.
X3—Зх—2
hm ——г-о—
9.5.
9.7.
9.9.
х-^-1 х3-|-2х2—х—2
(х2-|-2х—З)2
хЛ’з х3 + 4х2+Зх '
lim (l + x)37(l+3x)
х-о/ Х4-Х5
х3—Зх—2
htn п------ft . A
%->-i х2—х —2
9.4.
9.6.
9.8.
9.10.
9.11.
х3—3x4-2
lim —---о---г-г .
х _> i х3—х2—х4- 1
9.12.
(2х2-^х-1)2
х11™! х34~2х2—х—2 ’
(х3—2х—I)2
Л-1 х4 + 2х+1 ’
х2—2x4-1
2х2 —х—1
хз +5*2 4-7x4-3
x L™i х34-4х24-5х4-2
*з4-х2 —5x4-3
Вт —х—-о—-t-г-*
9.13.
х« + 4х2+5х+2
Л”.!- хЗ-Зх-2—
9.14.
lim
4—1
9.15.
lim
Х-*-2
х34-5х24-8х4-4
х3 4" Зх2 — 4
9.16.
lim
2х4—х2—1
х3 —5х24-6х—4
х3 —Зх2-р4
12*
9.17. ,. х® —6х24-12х-8 xs4-5x24-8x4-.4 111П Т7 X Ч - , л . 9.18. 11Ш ч о-;- ГТо ; Х-+2 х3—Зх24~4 2 х3 + 7х2+ 16%+12
9.19. х8—Зх—2 ПОЛ х3 —Зх—2 hm —s . 9.20. lim . Х-+-1 (X2 —X —2)2 X _>2 X — 2
9.21. x3—3x—2 _oo x2 —2x4-1 X__1 x2-|-2x4-1 x3—x2—x+1
9.23. Оол Г x2+3x+2 х'™1 2x«—x2—1 ' 9’“4‘ x»+2x2-x-2 •
9.25. lim o' • 9-26. lim Го • x_! x®-|-2x2—x—2 х--з x3-|-4x24-3x
9.27. . Xs—2x-l OOQ .. (l-f-x)3 —(1 + 3X) *—1 X4 + 2x+l • r x-o x2 + rf>
9.29. X2— 1 non , ' x34-7x2d-15x+9 lim 7- . 9.30. hm ~v f o-9--rKi—гто x_>i 2x2—x—1 л->-з x3 + 8x2 + 21x4-18
9.31. x3—4x2-—3x4-18 /Тз х^-бл*+3x-|-9 *
Задача 10. Вычислить пределы функций.
10.1. lim - X -> 4 у 14-2X—3 V~x— 2 10.2. lim X-+—3 у 1—x—3 2-}- p^x
10.3. lim - Vx—1 ' 10.4. lim - |/~x-J-13 — 2 У x/-1 ♦
X -+ 1 p/.x2—1 X -> 3 x2—9
10.5. lim . X ->-2 p/Zx-6 4-2 xs4-8 10.6. lim X -* 16 j/x—2
10.7. lim - X -* 8 У9 + 2х —5 У7-2 ’ 10.8. lim - X -> 0 V1 —2x-\-x2 —(1 + x) / x
10.9. lim - X -+ 0 8-4-3x-}-x2 —2 x-(-x2 " 10.10. lim X -> c j%27 -p x. — f/ 27—x 1 x4-2 р^У.
10.11. lim X -+ 1 ]A14-x — )/2x 10.12. lim X -> c У 14-х — У 1—x 'J z О Г ° 1 у 14-Х — у 1—X
10.13. lim X -> 2 y/_ 4x —2 , j/’f+x—У2х ‘ 10.14. lim X -> 1 Ух —1 х2—1
* > 10.15. lim X -+ 3 pX 9x —3 У 34-Х — yir * 10.16. lim j/ х—6 4" 2 2 х 4~ 2
• pX 16x —4 V44-x — У2х
10.17. lim X -+ 4 10.18. lim X->8 X со S 1 1 4~ т сл /
10.19. lim X 1; 'j/_ x/4_ —1/2 *10.20. lim x -> L р/ х/9 —1/3
'2 Y1/24-x — Y2x 'з у 1/34-х — У2х
10.21. lim *-> b У^/16-1/4 10.22. lim X -> 0 \ У 14-х—У 1—х •
4 -^ + x—Y2x р^х
13
10.23. lira X -> 0 J/27-|-x—1/27—x 10.24. lim1 Л -> 0 j/8+Зх— x2 —2 p/ X24“X®
10.25. lim У 1—2x+3x2 —(1-£х) . j/ x j/x--2 10.26. lim У 9-|-2x—5
Л' -> с 10.27. lim ' X -> 8 10.28. lim \/ X —2 ^/7=6+2
X -> 16 10.29. lim X •+ 4 10.31. lim X -> 3 ' У(У x-4)’ Ух—2 j/x2 —1.6 У x-l-13—2Ух+~Т f/x2 — 9 x - 10.30. lim x->- ; - 2 jj/%3 _j_ g 10—x — 6]/ 1—x в 2-1- j/x
Задача 11. Вычислить пределы функций.
In (1 + s'n x) 11.1 lim —. x-+$ sm4x l 3x2 — 5x 7 11.3. hm , . у —Q Ь.П ОЛ 4x л 11.5^ lim j—7^-?—;—• л--, otg (л(2-|-х)) 1-COS3X П.7. hmo 4?- • ' 2* —1 J‘”oln(l +27)- , ln(l—7x) 11.11. lim —7—7 Г-757Г « • x 0 sin (л(х-|-7)) ,. 91n(l—2x) 1!-I34“o 4arotg3x * ' sin 7x 11.15. .hmdx2+jix. ~ 2 sin [n •(%+1)] 11.17. hm, ln(i+2x) * Vl+x-1 11.19. 'lim - . e x -+ о sin [л (x-|-.2)j , 1 — 1/ COS X 11.21. hm vor>v X b 11! Л '] J* 11.2«. („(x/2-1-1)) ’ sin2x — tg2x 11.25. lim •. x -* о Л tg x — sin X 1г.27. hm. x _cos • {1 29 lim tgfoO+x/2)) lUMim ]n(x+1) , „ 2x sin x 11.31. lim 7 A © 1 — cos X n V 1—COS 10 X 11.2. hm . x^o eA'2—1 ... v 1— cos 2x НЛ lim = —7— . x _> о cos;7x—cos Зх л f2^c 11.6. lim .—^—7—, . yf>., . jc^otg 12л (x+l/2)J Л arc Sin Зх 11.8. lim \ . X ->0 у2+x— У 2 arctg 2x 11.10. Jimo S.n (2я(х+10))' nJ2. ]im ^(х+бл^^х, о arcsin 2х“< 11.14. lira x^0cos [л(х+1)/2] 11.16. lim Ч--—• 3arctgx ti r cos2x — cos x 11.18. hm -г-; — . . x 0 1—cps x 11.20. hm X 0 e3* — 1 ,, „„ arcsin 2x 11.22. hm nZsP—г ln X -> 0 2 3X — 1 1 —cos X 11.24. hm -7^7 yrs-* x^o (езх —1)- ,. arcsin 2x 11.26. hm 7—7 ;—7 . 1 x_oln(e—x) — 1 , In (x2-j- 1) 11 .28. lira v ..-2—_. x o’l — Ух2 + 1 2(em— 1) 11.30., lim x -> о 3 ( p/1 -[ - x —1)
Задача 12. Вычислить пределы функций.
.12.1. Нт
X 1
X2 — 1
In X
12.2.
12.4.
lim
x -> i
У*x2 —x4-1 — 1
In X
12.3. lim
x -> л
14-cos Зх
sin2 7Jc
1 — sin 2x
lim -7----•
(я—4x)-
io к т 1 + c°s ЯХ 12.5. lim —г-» . x-i _tg2nx 12.6; lim Х-^Л/2 igX-
12.7. Ura - X -> Л (% ~ я) _ т cos 5x—7 .COS 3x 12.9. hm г-5 . х->л sin2 x \,oo г у\2—*+l— 1 12.8. hm - г ! X 1 tg nx т sin 7x— sin 3x 12.10. hm — — . x -+ 2Л ex“—e 4Jl
Ю v 8Ш'7ЯХ 12.12. lim _J-n/5~2x) _ .
x _> 2 Sin 8лх —- X -+2 У 10—Зх — 2
12.13. lim X -> 1 Sin ЯХ q5X—3 o2x2 12.15. lim — . X_ 1 tg nx ,. In2r—In я 12.17. hm ——-—. x Л/2 sin (5x/2) cos x e71—ex 12.1.9. lim . x -+ n sin 5x — sin 3x *'1__24-xZ 12.21. -lim .— . ,. Xs— ЭТ2 12.14. hm . Х-+Л smx 12116. lim 2*~16 . x ->'4 Sin ЯХ io In tg X 12.18. hm . Х-^Л/4 COS 2x 12.20. lim -n (9~2%8>. ' X -> 2 Si.n 2ях 12.22. lim . X->1 7x-l no «л- т 1 — sin (x/2) 12.24,- hm . x -4- Л Я—X ' 12.26. lim . x -> 2 Sin Зях
x-22()/2x— V 3x2 — 5x4-2) „„ „„ ,. tg nx 12.23. hm -~-7г . x->-2x4-2 mne т 1—2cosx A 12.25. hm . *• \ Х->Л/3 Я — OX 4
1 12.27. lim 4 . X -> 1 Sin ЯХ ' • ' tn no т СОЗ (ях/2) 12.28. hm , X -> 1 1—. у X
12.29. lim 3~У *0~~* . x -»i sin Зях ' in ОЛ V sin 5x 12.30. hm ~. X - л tg 3x
T cos 3x — COS X 12.31. hm 7—777 . x_»n tg2 2x ' • • • \
Задач a 13; Вычислить пределы функций.
13.1.4 lim X -> Л/2 gCOS2 X | 13.2. lim X -> 1/2 (2x— I)2 /
In sfh x , gSin six sin зля
In (x— ;/2x—3) 13.3. lim 7—-th;—•—F7—4-;. X^2 sin (ях/2) —sin [(x—l)n] 13.4. lim X -> 2 tg x—tg2 Sjsir^ln (x— 1) ’
13.5. lim etg 2X e- Sin 2x 13.6.. lim In sin Зх ч
sin x— 1
X -> Л/2 Х->Л/6 (6x— л)2 '
14 7 Hm sin(]/r2xa — Зх— 5— Kl + x)
•• i™3 1П(Х—1)—ln(x+l)4-ln2 •
13.8. lim .
7l Х-»2Л tgfcosx—l)t
15
13.9. lim X ->1/! ln(4x—1)
2 У'1—COSKX—1
13.11. 13ЛЗ. lim х з lim X -> 2 2sin six । In (x3— 6x—8) tg In (3x— 5) е*+з ex2 +1 ’
13.15. lim X -> 1 j/ 1-Hn2x—1 1 + COS ПХ
13.17. lim X -> 3 In (2x—5) gSin 3TV j"’
13.19. lim X -► esin 2x etg 2X
>2 In (2x/n) •
13.21. lim. X -> 1 у 2*4-7— У.2*+*4-5 x3 —1
13.23. lim X 3T (x3—л3) sin 5x eS.Vx_l •
13.25. lim X -> 3t In cos 2x In cos 4x *
13.27. lim x-> a q*2~a2 —1 tg In (x/a)
13.29. lim X -► Ш1 In (cos (x/a) 4-2) u qCiPhP/x2 - an/x aan/x-1
13.31. lim X -> 3T sin (х2/л) 2^ sin x+i 2
13.10. lim arcsin (x~p 2)/2
x -> - 2 3V2+X + X2 g
13.12. lim X -> 3 In cos 2x т (1 — л/х)2 *
13.14. lim X-> 2, In COS X
я 3sin 2X — 1 ’
13.16. lim X -> л cos (x/2)
esin x esin 4x esin2 ex esin2 3X
13.18. lim X ЭТ j
f3 log3cos6x
13.20. lim x-> - tg (ex*2 e*2~4) 2 tgx4-tg2
13.22. lim X -> Л In (2 4-cos x) (3s<n 1)2 •
13.24. lim X -> - tg(x+l)
3 /- 1 i/ X3-4X2+6 er —e
13.26. . In Sin X hm -2. х» л/2 (2x—л)2
1Я 9Я lim f 3/x— Z? y-x [ \er —er
X -» - 3 arctg (x+3)
13.30. lim X -> Л 3) 3COS (3X/2) । *
Задача 14. Вычислить пределы функций.
14.1. 72X—53X * e3x e~ 2-V
hm —~ , x->o2x~ arctg 3x 14.2. lim x -> 0 2 arcsin x—sin x
14.3. g2x 7~2x' lim ~ 7Г-. x -> 0 SID 3x — 2x 14.4. lim x 0 e5x e3x sin2x-—sinx’ !
14.5. 32X—53X hm —7 ;—r . A.->0 arctg x-f-x^ 14.6. lim x -+ 0 e2x e3x Г arctg x—x2
14.7. 3&x—2х , e - 2x .
lim r—— . 14.8. lim
я 0 x—sin 9x x -> 0 2 arctg x—sinx ’
14.9. ,. 12*—5-s* hm 73 :. 14.10. lim e7x_e-2x
x 0 2 arcsinx—x X -> 0 sin x—2x ’
14.11. 35X — 27x lim —x . 14.12. lim e5x_eX v ,
x 0 arcsin 2x—x X -> 0 arcsin x-|-x3 *
4x__27x 14.14. lim ex_e-x
14.13. lim 7—77 . r
x^o tg 3x—x x-> 0 tg2x-«sinx
Ю2х__7-х e2x_ ex
14.15. lim . x-> 0 2tgx—arctg x 14.16. lim ' x -> 0 sin 3x—sin 5x *
16
14.17. lim X -* 0 73x 32.V tg X + X3 ’
14.19. lim X -> 0 32л; qx arcsin 3x—5x'
14.21. lim x -> о 4$x 9~2x sin x — tg x3 ‘
14.23. lim X -> 0 52х_2зл- sin x+ sin x2
1'4.25. lim X -> 0 2-<x- arctg 2x—7x ’
14.27. lim Л -> 0 35л;__2^Л’ 2x—tgx
14.29. lim X -> 0 e2x_ex x-|- tgx2 ’
14.31. lim x о 2^x—з&х sin 7x—2x ’
e2x
14.18. lim X -> 0 2 tg x — sin x * — 5x
14.20. lim X ->0 2 sin x—tg x e3x q2x
14.22. lim X -> 0 sin3x—tg 2хл ех.Р_езх
14.24. lim x -> 0 sin 3x—tg 2x ’ ex _e~2x
14.26. lim x -> 0 x~P sin x2 ‘ e2x „ eX
14.28. lim x -> 0 sin2x—-sinx * 28Х—32*
34.39. lim x -> 0 x+arcsin x3 ’
Задача 15. Вычислить пределы функций.
15.1. lim er-pe~^—2
X “> 0 sin2x
15.3. lim
0 -1 sin (x+ 1-) *
15.5. lim Vl-ptgx—l-p.sinx
X -> 0 X3
15.2.
15.4,
15.6.
1 -Р х s п х—cos 2хй
sin2 х
X™fllnx-lna’
eav—
15.9.
lim
X о
V 1-j-xsinx—l
e*2—i
1 —2 cos x
15.8.
Ji и ax — sin [Зх
' e-*)
hm -------------
X -> о
lim .
х»л/з sin (л —Зх)
.. sinx—cosx
15.11. . hm —j—7------.
X -> Я/4 in tg X
litn 1~~ cos%*+tg2*
x -> о x sin 3x
lim *n(x+ft) + 1n (x—/i)—-21nx
h->o h2
esin 2x_esinx
lim —----г------
X -> 0 tg x
lim s*n (*+fy —sin(x—ft)
/г-> о ft
hm —------1---
h -> о
15.13.
15.15.
15.17.
15.19.
15.21.
h2
15.23.
15.25.
lim
X -> 3
lim
15.10.
lim
1 —x2
sin.nr
ax—ab
15.12. lim -----j—<
x-* b X — &
„„ sin2x —2 sinx
15.14. hm -----;----?—.
X _> о X in cos ЭХ
x > 0. 15.16. lim p——
X»ilog2x
2х—2
lim --.
x->l Inx
15.18.
15,20.
15.22.
15.27.
sin лх
lg*—1
Л х—9—1
.. l/’cosx— 1
hm ---------,
х » о sin2 2х
15.24.
15.26.
lim -----—о----—•
x _ о sin 3x
1 — 1/ COS X .
hm ---------.
x -> q 1 — cos у x
2 sin2x+ sin x—1
x 6 2 sin2 x—3 s>n x + 1
3-v+i__3
hm —..........-...-...
• ‘ sinZ>x—sin ах
15.28. hm----—т-7™?—т;-
й->о1п (tg^/4~p ах))
17
15.29. lim ~-sin3 *
X -> Л/2 COS2 X
15.31. lim .... e*~-—
x-»isin(*2 —I)1
15.30. lim
x ->• 3 tg nx
Задача 16. Вычислить пределы функций.
.1.
16.3.
16.5.
lim (1 «-In (1 -l-x3))3/^2 arcsin x) *
nmV’+f^y^.
’X -> 0 \ 1 4“х 3х/
lim (+ x cos ax \ctg3 x
о \ 14-sin xcos px/ *
16.7. lim[l - In (1+ У~х)]х1slai V~x
Х-У о ' ' ( /J *
16.9. lim (cos nx) l^x sIn
x-+ 0
.«Л.,
16.13. lim (2—5arcsinJ:3)(cosec2 х)/П'
16.15. lim (2— esin x)ctg лх
x -> 0 7
16.17. lim (2—e^2)1/!!! (1+tg2 (лл-/3))
x-y 0
16.19. lim [2 — 3’ln2*]l/lncosx
x<-> 0
16.21.
16.23.
16.25.
16.27.
lim
X ->o
„ 5 \ ctg2 x
6---------
COS X J
lim + s^n xcos 1/sln x8
x-> о \1 + sin % cos 3xJ
lim (1 -J-In ± arctg6 /* xA !/* ,
X-* 0 \ о ' 7
lim
X -> 0
1 + x.3*y /tg2
i+x-7x;
16.29. lim (l-lncosx)1^.
x-> 0
16.31. lim
X 0
1 +*22x\ l/sin3 x
l-|-x25xy
16.2. lim (cos j/"x)^x
x-y 0
16.4. lim (2 __garctg2 Vx^2/sin x
x-y- 0 7
16.6. lim (5______4_\ l/sin2 3*
X -> 0 \ cos X J *
16.8. lim [2—earesin2 V^/x
16.10. lim (1+ sm23x)I/Incosx
x-> 0 '
16.12. lim (1—x sin2 +nx*)
x-^ 0 7
16.14. lim (2—cos 3x)l/ln<l+*2)
x -У- 0 '
16.16. lim (cos x) +sta2x)
Х-уО
16.18. lim (3—2cosx)~cosec2x
x ° 2 a
16.20. lim j/2—cos x,
x~^ 0
16.22. lim (3_____
X -> 0 \ cos X J
16 24. lim (2—ex2)1 /(1 - cos лх)
х~у0 ч 7
16.26. lim /1-+ fg x cos 2x\
x b \ 1 + tg x cos 5xу *
16.28; lim (1 -]-tg2x) VMi+Sx2)
( x->0 7
16.30. lim (1—sin2 £y/In<I+1s23-v)
x->o \ 2 у
Задача 17. Вычислить пределы функций.
17.1.
17.3.
17.5, lim (cos х)х+з#
17.7. lim f^L(Li^\x/(x+2) -
x ->o V J)X J •
17.9. lim /eJc8—
X- -> о \ X2 J ' .. ® A .
17.2.
17.4.
17.6.
17.8.
<x + 2\cosx
x+l)
, 17.10. lim
x -y o
18-
17.11. iitn /sin 6лЛ2+*
x о \ 2x у *
17.13. lim (^2*}хг
X -> 0 \ Sin 3x J *
17.15. lim f-*3 + 8 y+2
x-^0 \3x2+l0j •
17.17. lim (^Lnl\x+l
x-+ 0 \ X J •
17.19?'lim fn*+8\ cos2.r
x -> о \ 12x~l~ l J *
17.21. lim /М+^)\3/(л:+8’
x->0 V x2 J •
17.23. ЦШ f^fcsinxy u+5)
X~>0 \ x J •
*7.25. lim (e^-pjt)C0SA;-
17.27.
17.29. lim ( 1+&у/(х‘+1)
x -> о \2~l~ Их J *
17.31. lim / ^ + 4 \1/(лг+2)
х^о\.х8-|-9/ «
Задача/ 18. Вычислить
18.1. lim
х->1 к *+1 J f
18-3. lim
X-*1\ X J
18.5. lim
x->8 к X+1 J
18.7. iira
x-^l к X )
18.9. Um (cos x\cts 2X/Sia 3x
x-^-in ' * •<
18.11. lim (6~^-\tg W6)
x->3 \ 3 J •
18.13. lim (3-^~2x)tg^W2)
X -> 1 4 7
*8.15. lim A9~-^yg W6)
x -> з \ 3 ) f *
*8.17. lim (2e^~J—i^/U~i)
Зл;-1
18.19.,. lim (2e-v~1— n x~i
. A'-^i z ’
3x+2
18.21. lim (2еЛ'“2—ij x-2
17.12. йт /'^ziy/d+x)
X~+O \ X2 J *
17Л6- Jim^fsin (x+2)]3/<3+^
17.18. lim <^!+5.V/(x+2>
x~*O\X-|^lQy ..л»
17.20. lim Л^~Н Wx-H)
' x -> о \ x3 8 I * •
17.22. lim (cosS\i+x
x-*o \ nJ •
17.24. lim (arc*g3*V+2
л -> о \ x J •
17.26. lim (sin 5*2 \ l/(x+6)
*-»Л sin x J •
,7’28’ J2TO <6 —5/C0S JC)(8S X
17.30. lim ( arcsin^xX 2^+i
x-*o \arcsin24xj ‘
пределы функций. 7"
18.2. lim (sinxYi/U-o
x -> a ksin a J *
18.4. Um (^22. *7 l^x~2)
x 2 \cos 2/ •
18J?, у (fg 1 /cos (Зл/4 - X)
^•8. lim (2~~~x/a)tg^
x а '
18.10. lim (cos x) 1/Sirj2 2лг
18.12. lim (cbs x)ctz x/sii^ ^x
X-^4JT 7 '
18.14. lim. (cosx')^^nJr
^~х' 4Л ’ 7 *
18.16. ИпГ (sln%\6tgx-tg3x
x 31/2 7
*8.18. lim
X->3l/2 \ ё 2j
*8.20. lim (1 cos 3 sec x
X~>3t/2 f
18.22. lim
x 1 \ X-— 1 J
19
18.23. Ito
х->1 \ x J
sin (jtx/2}
18.25. lim (2—x)ln(2~x>.
X-> 1
In (x+2)
18.27. lim fi+lW-*).
x-> i \ 2x J
In (x+o
18.29. lim 0.yn(2-*>.
ln(3+2x)
18.31. lim f2x—1\ ln(2-x)<
X.-+1 \ X j
18.24. lim (ctg4Y/C0s*.
X -» Л/2 \ 2 )
18.26. lim f5!^y/(x~3)
x-> 3 \sin3/
18 sin x
418.28. lim (sinxVctg* e
X Л/2
18.30. lim (ctg4y/C°S(*/2)
х-^л \ b 4 J •
Задача 19. Вычислить
пределы функций.
19.1. lim (!^YIn£\
19.3. lim f
Х->Л/4 CtgX/
E V /sin ЗзТхХ sin2 (X-2)
19.5. lim —:----- .
A-> 2 \ Sin ЛХ J
19.7. lim (2 *Vin^.
X 3 \ о )
sin лх
19.9. lim (H-e*) 1“x‘.
x-> 1
19.11. lim fgiggin (^-3) V8-8
X->3\ sin Злх j
in IQ V ( t X —3/4V+1
19.13. hm arctg -------
x-+i \ (x—I)2/
19.15. lim fs.inx.-sina)y2/a2/
x-+ a\ x—a J
19.17. lim (sin % +cos x)1//(g\
X-> 31/4
19.19. lim (arcsin x)tg7£*.
x —> i
19.21. lim (In2 ex)1^*2*1).
x±>- 1
19.23. lim (^-ЛУ/хг.
x-* i \ X—1 )
19.25. lim (coso)tg^~2\
x -> 2
19.27. c lim (cos x+l)sin \
X-> Л/2
19.29.
.. f x2 + 2x— 3 X 1/(2—x)
Л” (,x"+4^5 )
19.31. lim ((e2*~e2)/(x—l))x+*.
19.2. lim (tgx)cfs*
x -> Л/4
19.4. lim (sinx)3^1+x\
x-> 2
19.6. lim (sinx)6*/71.
19.8. lim
\2H-x/
19.10. lim
x-> 1 \sin 4лх/
Х2-Л2/16
19.12. lim (sin 2x) ^~^/4 e
X -> Л/4
19.14. lim (с124ГП(Ж-Я).
1»,16. Ito
X->2\ X2—4 )
19.18. lim (tg2x)sin(n/8+x>.
Х->Л/8
19.20. lim (x4~sin x)sin x+x.
x -> л . /
19.22. lim (К*+Ол/а0\
x -> i
(psin six 1 \x2+I
-------?—
X—1 /
19.26. lim (arcsin x-|-arccos х)1/лх
X 1/2
19/28. lim (I^X+x—l)sin(Itx/4).
X -> 1
/1П DO T /1+cos 3TX\X®
19.30. lim -4-5------ 9
j X -> 1 \ tg2 ПХ )
20
Задача 20. Вычислить ^предел функции или. числовой по-
следовательности.
20.1.
lim
V-> 0
]/"4 cos 3x4-л; arctg (1/x).
20.2. lim
X Л/2
20.3.
< lim
n -> <
2n — sin n
20.5.
lim-
П -> oc
n3 —7
е1/л 4- sin
cos n
20.4.
у 3 sin x 4- (2x—л) sin
Hm (l/x)4-lg(2-|-x)
lg(44-*)
20.7.
lim
X ->-Л/4
1 + cos (1 /n)
Vtg *+(4x—л) cos
20.6.
lim
П -> ’00 (n + sin n) у In
20.9.'
20.11.
20.13.
lg(2-4-tg*)
- 20.8.
lim ( sin prn2+ 1 arctg -
П -> co \ "T 1
n2-—]<3/z5—7
(n2—n cos n 4- 1) n
(1 —COS n) 1/ n
«->oo у 2/14-1 — 1
lim
n '
20.10. lim
n oo
20.12.
x
lim
1 4-cos ЛХ
4+(x+2) sin ^2
. 1
x-sin —
X
n
20.14. lim a z-—.................
rt -> 06 j/ n4 — 3 4~ sin n
о -----------•____________
9П1Ч Htn V «2-|-cos «+ Кз«2 + 2
*-v< 15c lim f ....
jXtg xarctg -—1-3
20.16. lim - s x^
x 2—-1g (1 4~sin x)
20.17. lim
х sin2-i-4“5 cos х.
X ->0
г 1\ • 1
;X — j) sin —
20.19. lim Т/ 2cos2;
с -> о V
lim In [(e*2 —cos x) cos (l/x)4-tg (x4~ jt/3)].
i'-> 0
4 cos x+sin -1- • In (1 4-x).
2+In /e + xsin J-Л
20.20. lim ------.
x->0 cosx + sinx'
20.21.
20 22 lim cos x4~ln (14~x) pZ~24-cos (1/x)
24-e*
20.23.
lim
cos 2nx_________
-1 —1) arctg •
X— 1
20.24. lim
x -+ 0
:sinx — 1) cos --р cosx
20.25.
lim
X 0
COS (1 4- A_
14n(1+x)+2
21
20.27.
2
2 4- cos x sin -jr-
2x—л
hm -----o :---------
х-*-тЦ% 3“}~2х51П%
20.29.
lim
x -> о
sin
20.31.
lim
n O>
lf~A-9 X~}~2
sin У 4—%2 cos—.
x—2
20.28. lim tg fees x-|-sin*-- ! cos *— P
x-i к *+l x—1/
. . . 1 -p X
----- sin tf+sin n^-arctgy~—-
)sx . - 20.30. lim r—-----------------*
X-+1 ' 1 + COS X
У~ n^-\- 3n — 1 + 2/z^ +1
n--|-2 sin n
И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Теоретические вопросы
1. Понятие производной. Производная функции хп.
2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной
и нормали к графику, функции..
3. Понятие дифференцируемости функции и дифференциала.
Условие дифференцируемости. Связь дифференциала с произ-
водной. х \-
' 4. Геометрический смысл дифференциала.
, 5. Непрерывность дифференцируемой функции.
6. Дифференцирование постоянной и суммы, произведения и
частного.
7. Производная сложной функции. ‘
8. Инвариантность формы дифференциала.
9. Производная обратной функции.
10. Производные обратных тригонометрических функций.
11. Гиперболические функции, их производные.
12. Производные высщих порядков. Формула Лейбница.
13. Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность
дифференциалов порядка выше первого.
-14. Дифференцирование функций, Заданных параметрически.
' Теоретические упражнения
1. Исходя из определения производной, доказать, что
а) производная периодической дифференцируемой функции
есть функция ^периодическая;
б) производная четной дифференцируемой функции есть функ-
ция нечетная;
в) производная нечетной дифференцируемой функции есть
функция четная.
2. Доказать, что если функция / (я) дифференцируема в точке
х = (Г и f(0) = 0, то f' (0) = lira )
х *-* 0 х
2Й
3. Доказать, что производная f (0) не существует, если
J xsin(l/x), х#=0,
К*)=(0, х=0. )
4. Доказать, что производная от функции
( x2sin(l/x), хУ=0,
«Ыо, \_о '
разрывна в точке х = 0.
5. Доказать приближенную формулу
х Va? + z ж a-{-z/(2a), \z\<^a.
6. Что можно сказать о дифференцируемости суммы f (x) + g(x)
в точке х = х0, если, в этой точке:
а) функция f(x) дифференцируема, а функция g(x) не диффе-
ренцируема;
б) обе функции /(х) и g(x) не. дифференцируемы.
7. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0 и f(xf}) #=0,
а функция g(x) не дифференцируема в этой точке. Доказать, чтб
произведение f/(x)g(x) является недифференцируемым в точке х0.
8. Что можно, сказать о дифференцируемости произведения
/(x)g(x) в предположениях задачи 6?
Рассмотреть примеры:
a) /(х)==х, g(x) = |x|, хо = О;
( sin(l/x)-, х^=0,
f(x) = x, g(x) = < n „ n
' ' ' ’ v ( 0, . x = 0, xo=O;
6) f(x) = |x|, g(x) = |x|, xo = O;
f(x) = |x|, gW = |xl + b xo = O.
9. Найти f’ (0), если /(x) = x(x.-|-1) . ?. (x +1 234 567).
10. Выразить дифференциал d3z/ от сложной функции у=у[и (х)]
через производные от функции у (и) и дифференциалы от функ-
ции w(x).
11. Пусть у (х) и х (г/) дважды дифференцируемые взаимно
обратные функции. Выразить х" через у' и у".
Расчетные задания
Задача 1. Исходя из определения производной, найти /' (0).
( ( 2 \ *
tg I x54-x2sin—), х/0;
1.1. /(х)=
0, х=0.
( arcsih fx2 cos * Ф 0;
I,2./(x)=t \ z9xy^3
0, х=0,
23
{arctg ( x cos , x 0;
к 5x;
0, x=0.
( In (1 — sin (x* sin , x # 0;
1.4. f(x)=<
( 0, x-0.
( sin (xsinV x / 0;
1.5. /(*)= < V *)
(. 0, x=0.
1.6./(x)==f j/l + ln (l+^sin±y-l, x/0;
4 0, x=0.
(( x2 sin \
sin\e x—l/-^x, x 7= 0;
О, x=0.
( 2 4 X2
e . x 2cos^t4—5-, x^O;
1.8. f(x)=< 3^*2
( 0, x=0.
1.9. f(x) =
f ~ 1 \
arctg lx3—x2sin^), x/0,
0, x=0.
1.10? /(x) =
5
sinxcos—, x 0,
X
0, x=0.
1.11.
1.13.
1.15.
1.17.
1.19.
1.21.
x-|-arcsin
0, x = 0.
X2sin-^ j x/0,
1.12. /(%) = /
tg(2^COS(l/8X)„1+x)>
0, x = 0.
x/0,
f (*)=1 ( 7 1 arctgx-sin—, x 56 0, 1 1.14. f 2x24~x2cos x^°’
1 L 0, x=o. X2 COS2 “ , X 7= 0, 1 i 0, x = 0. f. 2x2 + x2cos -7 > x °>
f(x) = X 4 0, x=0. 1.16. /(*)= 1 [ 0, x—0. X
1 f x^Qt 1.18. /«= 6x+xsin — » X 7^ 0,
i x L o, x=o. ( e*2—cos x , л X ч 0, x = 0. .
f (x)= - , x t= 0; x ; 0, X = 0. 1 n . 2 • xz sm — 1.20. /(x)=j ex sin 5X -j 0, x==0. x 7^ 0;. 7 к
f(x) = 3 A—14-2x, x/0; k 0, x=0.
1.22./ (*)=•{ ^1 + 1п(1+Зх2соз(2/л-)) —1, x/0;
24
1.23.
( „X sin (3/5Х)_1
/(х)=-’ е
х = 0.
1.25.
1.26. /(х) =
1.27.
1.29.
1.31.
2 . Г
— X2 sin —
X
, х ф 0;
0, х=0.
х = 0.
/(*) =
х Ф 0;
.30. /(х) =
О, х=0.
1—COS' ( J
х —0.
х^°’ 1.24. / (х)=-
3/2
2s,n х
X2
О, х = 0.
х # 0;
sin
.28. f(x)=^<
х 0;
f x2e^xl sin^,
> • х2
[ О, х=0.
( cosx—cos3x . Л
I ----------, х^0,
1о. х = 0.
xg-0;
(в вариантах
\ 0, х —0.
. Задача 2. Составить уравнение нормали
2.1—2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13—2.31)
к данной кривой в точке с
2.1.
2.3.
2.5.
У = (4х—х2)/4, х0 = 2.
у — х—х3, х0 = —1.
у=х+Ух?, х0=1.
абсциссой х,
2.2.
2.4.
2.6.
2.7.
У =
х0 = 4.
2.8.
О’
г/ = 2х24-3х — 1, х0==—2.
г/ = х24-3 У' х—32, х0 = 4.
у ~ х2—20. х0 = —8.
4 /“
y = S у х—70; х0— 16.
2.9.
2.11
2.13.
2.15.
2.17.
z/ — 2x2—3x4-1, х0—1.
j/ х, х0 = 64.
х0 = —1. .
ХО==Ь
Ха=1.
г/ = 2х24-3,
у=2х-\- 1/х,
У < х*+1 ’’
2.10.
2.12.
2.19.
2.21.
2.23.
2.25.
У = ^\У х—2 у х), х0 = 1.
г/ = х/(х24-1), х0 = —2.
у = 2х/(х2+1), х0=1.
14-Зх2 ,
у~" 3+х2 ’ х°-1’
2.27.
2.29.
2.31.
У=.3 у х— У х, х0=1.
у — х2/10 + 3, Хр —2.
у=§у^ х—16^ х/з, х0 = 1.
х29 + 6
У = - ~
2.16. у~
2.18.
2.14.
2.20.
2.22.
2.24.
2.26.
2.28.
2.30.
у — (х2—Зх-|-6)/х2, х0 = 3.
//—(х34~2)/(х3 —2), х0 —2.
х0== 1.
-2 (х3 + 2)/(3 (х4+1)), х0=1.
;i6-|-9
У = 1--Е-7 , Хо = 1.
1—5х2 °
г/=1/(Зх + 2), х0-2.
у=(х2— 3х4~3)/3, х0 = 3.
У=— 2(p/Zx+3 Ух), х0 = 1.
у=14]А*—15 у/~х+2, х0=1.
у~(3х—2х3)/3, х0—1.
у—(х,^.—2х—3)/4, х0=4.
25
Задача 3. Найти дифференциал Ау.
3.1. у = х arcsin (l/x) + ln I х+ ]Лх2-11, х>0!
3.27 у — tg (2 arccos У1—2х2), х> 0.
3.3. у=У 1+2х— ln(%+J< 1+2х).
3.4. у=х2 arctg Ух2— 1 — Ух2—1.
3.5. t/ = arccos (1/У 1-j-2х2), х > 0. 3.6. r/ = xln | х+ Ух2-)-3 ] — У х23~
3,7. у— arctg (sh х) + (sh х) In ch х. 3.8. у = arccos ((х2 — 1)/(х2 У 2)).
3.9. у — In (cos2 хф- У 1+cos4 х).
‘ 3.10. у= In (х + У 1 -j-x2)—yi-j-x2 arctg х.
8Л1. У= 1+^ ~Т 1п 14-5? • • 3’12, ^=1п(еА: + Ke2jc—p+arcsinc-* ,
3.13. у = х У4—л>2-}-4 arcsin (х/2).
3.15. # = 2x4-ln | sin х4~2 cos хф
3.,7. .
у2__г I
3.19. // —arctg—.
3.21. г/= arctg (tg-^-j-l'j,
3.23. 0=1п | cos V x|+K xtg у >
3.25. y~x (sin In x—cos In x).
3.14. y= In tg (x/2)—x/sin x.
3.16. i/='/'ctgx~yig^x/3.
3.'18. ' A
3.20. y = 1x2-11-;^-,
3.22. y= lip 2x+2 Prx2-|-x+ l |.
3.24. ^“ex(cos 2x4-2 sin 2x).
3.26; ^=(г^=Т-4)е2^.
* X
3.27. у— cos x-ln tg x— 1n tg
3.28. r/=]/‘3 + x2—xln|x + )<34-x2! .
3.29. у=У x~(l +*) arctg У x.
3.31. у — хУх2 — 1 4-In j x4“ У*2,— И-
3.30. г/= x arctg x—-In У'14-Л
^Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифферен-
циала.
4,1. у= у/ х, х — 7,73.
4.3. у= (%4- УЬ^)/2, х= 0,98.
4.5. у — arcsin х, х = 0,08.
4.7. у— у/ xt х = 26,46.
4.9. у — х11, х= 1,021.
4.11. у = х21, х = 0,998в
4.13. y = xQ, х===2,01.
4.15. у — х1, х— 1,996.
4.17. у^У4х^1, х = 2,5б.
4.19. у=д/ х, х = 8,3б..
4.21. у=х1, х=2,оЬ2.
4.23. у= Ух*, х = 0,98.
4.25. у—}/х2, х— 1,03.
4.2. у~ У х* 1,012.
4.4. у= у^ х, х~27,34.
4.6. у~ \Ух2 4-2x4-5, х = 0,97.
4.8. у= ух2 + х+3, х=1,97.
4.10. у—}/ х, х=1,21.
4.12. у=}/ х2, х=Л,03.
-4.14. р= х, х = 8,24.
4.16. у= х, х —7,64.
4.18. у = }/У2х24-х+1, х=1,01б:
4.20. >у=\/У х, х = 4,16.
4.J2. у= У4х—3, х=1,78<.
4.24. у — х"3, х'= 2,997.
4.26. у — х^, х = 3,998.
26
z/ = y^Sx-j-cos x, x—0,01
x=l,97.
4.27. y — prl-|-x4-sirix, x = 0,01._ 4.28.
4.29. у = у/2x—si n (nx/2), x = 1,02. 4.30.
4.31. y=\!V2x4-1, jc=l,58.
V Задача 5. Найти производную
2(3х84-4х2—х—2) 5 2 и = -
5.3. j 15 у 14-х _ х4—8х2 5.4. У = -
/-2(х2—4) '
5.5. { (14- х3) У 14- хв 5.6. z/ = -
12х12
5.7. (х2 —6) У (4 4-х2)3
У ~ 120х» .. о.о. у —
'5.9. 4 -н Зх3 < у = 3 Z х V (2 4-х3)2 5.10. // =
5.11. х«4-х8—2 5 12 и —
У У1-*3
5.13. . '14-Х2 п R 1 Л
2 У14- 2х2 ’ 5.14. у=
5.15% у (14- л-2)3 5.16. у =
У ' Зх3 - •
5.17. _ у2Х-+-3 (х—2) ~ X2 5.18. у=
5.19. (2x2-j- 3) Ух‘2—3 ~ 9х3 5.20. у=
5.21. 5.23. (2x4-1) Ух2ч-х у- х^ 1 £7 — 5.22. у = 5.24. 4/ =
" (х-|-2) У х24-4х4-5*
5.25. 4/=зУ (х-Н)/(х-1)2. 5.26. у =
5.27. 4/ = (х Ух4-1)/(х24-х4-1).‘ 5.28. у =
5.29. t/-((x4-3) У2х-1)/(2х+7). 5.30. у =
X2).
у =±z (3x6 4- 4x4—x2 —
(2х2—1) V Г-^х2
Зх3
2х2—х—1
3 У2+4х'
х2
2 У“3х* ’
_(х2—8) Ух2—8
6х3
i/n+zs?
V х3/2 *
(х2—2) У44-х2
24х3
Ух=Л (3x4-2)
4х2 .
Xs 4- 8Х8 —128
У8—х;‘
(1-х2) 1/Лх34-
X— 1
(x24~5) ]/~x2 + 5‘
2
„ jZx24-x 4-1
3 x4-l -
(x+7)/(6 Vx2-I-2x'4-7).
(x24-2)/(2 УГ=7*).
:(3x+K*)/( K^+2).
5.31.
v Задача 6. Найти производную.
y—x—In (24-ex +2 ]/*e2*4~e*4- 1).
у = e2x (2 — s i n 2%—cos 2x)/8.
,1 x e^— 3
z/ = _arclg-2—.
о i/"ox । u in V е*4~ 1 1
6.1.
6.2.
6.3.
> 6.5.
6.7.
у = ~ In (e2x 4~1) — 2 arctg e*.
1 , 14-2* .•
У~ In 4 П1—2* •
i/=4 y(arctge*)3.
О
co , , K , n f 18e2*4-27e*4-ll
6.8. у = 1п(е* + 1)4--6(fi+1^ -
4 6.4.
6.6.
27
6.9. г/ = 2(У'2л—1—arctg 1)/In2.
6.10. у=2 (х—2) V 14-е*—2 In ((V 14-е*—1)/(/Т+ё*+0)-
6.11. £/ = еах (a sin [Зя—Р cos Р%)/(а24- Р2).
6.12. у — ^х ф sin px-|-acos рх)/(а2 + Р2)*
6 13 » - е«* Г 1 I flC0S 2to+26 sin 2tol
J [2а‘ 2(a2 + 4fe2) ]’
6.14. i/=x+l/(l + ex) —1п(1+еж).
6.15. y=x—3 In [(14-exy(i) ]/"l~|-ex/3]—3arctge*/e.
'6.16. y=x+~—j .
6.17. z/ = In (ex+ ]/"e2x —1)4-arcsin e~*.
6.18. y=x—e~x arcsin e* — In (1 4- У 1 — e2x).
6.19. y — x—ln(l -|-е*)—2e~*/2 arctg ex/2—(arctge*/2)2.
6-20- # = пг4. 6-21- */=—arctg/e®*. l/-^)
l-px* m V ab \ V b J
6.22. y=3e^x (%/ x2—2 j/ x + 2).
6.23. ^in Vl+e*+e2*-e*-l
/14-e*4-e2*—e*4-l ’
* 6.25. y~ 4j-[(x'2—l)cosx4“(% — l)2sinx].
1
6.24. y — eSinx(x —
к cos x
6.26. r/.= arctg (ex —e~x). <
6.27. у=3<У x [j/x3 — 5 j/x*4-20x—60 j/x2 4-120 j/x—12o].
6.28. y=— e3*/(3sh3x).
6.29. у = arcsin e* — /1 — c2*. ’ 6.30. y = — e~x2 (хг + 2х2 4-2).
6.31. t/=e*2/(l-f-x2).
Задача 7. Найти производную.
7.1. y~ Ух In (]Лк4~ Ух~га)—Ух~^а.
7.2. у == In (xУ a2-j-x2). -»
— — ' JK2
7.3. y — 2 У x—4 In (2-f-/ x). 7.4. r/ —In —...
У 1 — 4U4
7.5. y= In (j/^+ /Я7*)- 7.6. r/=jnj±^ .
7.7. у — In2 (x4-cos x),
_ _ . x2
7.9. y = inj—^.
'TH 11 /" 1
7.11. r/=ln 1/ t *
v V 1 — 2x
4 O 1 • 2x 4~ 4
7.13.. у — In sin —т-р «
%4~ 1
7.15. t/=log4 log2 tgx.
~ 1 1 2x4~3
7.17. y = In cos 2—-p
7.8. y~In3 (1 -f-cos x).
»-T < Л Лк/ I X \
7.10. j/==ln tg (p-t-2 j •
„ , 1 . /X— /2\, „У~2
7.12. t/=x-]—— ln( ---г |4-a"
/2 \x+)<2/
7.14. у = logle logs tgx.
7.16. // = x(cos Inx4~sin ln*)/2«
7.18. у = 1g Jnctgx.
28
7.19. y=logay=r. .
7.21. у= In arcsin У' 1 — e2x.
7.20. y = -/=-ln(K 2tgx+ -[-2 tg2 x)‘
7122. y = In arccos 1 — е4л-
7.23. у — In (bx + У~a2 + b2x2).
7.24.
y=m<±L1+<^-.
- )/\2+ 1-* К 2
7.25.
7.27.
у = In ( arccos - )
\ _ V x /
fJ_ In 5 + fg <*/2)
y ]/" 5 —tg(x/2) ’
7.26. ^ = 1п(е*+ У1 + е2л).
7.29. у In In sin (1 + 1/x),
7.31. y = In In2 In3 x.
, In X
7.28. y~~ In — - Z1 . .
u sin (1/x)
7.30. у = In In3 In2 x,
х/ Задача 8. Найти производную
'f
8.1.
8.3.
8.5.
. 8.7.
8.2.
* 8.4.
. 8.6.
' 8.8.
r- . 1 sin2 3x
«'=s,n Г З+-3 7^.
. , 1 . 1 sin24x
i/ = tglg-3-+4-7ro.
cos sin 5-sin2 2x
2 cos 4x
_/os In 7-sin2 lx
7 cos 14x
л l n 1 k sin26x
8.9. у — ctg cos 2 -- -777- .
J b 6 cos 12x
1 ,1.1 sin210x
8.11. tj—-3 cos gy+jQ cos20x’
'»8.13. у—8 sin ctg 34-4- 5'П |77~-
J 5 cos lOx
__cos tg (1/3)-sin2 15x
15cos30x
8.10.
8.12.
‘ 8.14.
8.15.
8.16.
° 8.17.
*• 8.19.
8.21.
8.23.
8?25.
> 8.27.
4 8.29.
8.31.
ctg sin (1/3) • sin2 17x
lJ= 17 cos 34x ’
tg In 2- sin2 19x
19cos38x •
,/-7—т . sin221x
y-У tg4+21cOs42x'
1 • sin223x
у — 1П COS — + ™.
J 3 '23cos46x
1 sin225x
y~ Sin In 77 + ^--Е7Г
J < 2 1 25cos50x
7 /+ о I sin2 27x
У= V tgcps 2 4—----—-.
1 27 cos 54x
2 . sin2 29x
у = cos2 S. n 3 + 747;-=7— .
29 cos 58x
1 ----77-77- . sin2 3 lx
^=^Гс05(1/3)+зПБЖ
*8.18.
. _ 1 cos23x
J 3 sin 6x
, 3/— 1 cos24x
у = ctg 1/ 5 — r— ——77— .
v & v 8 sin8x
__ sin cos 3-cos2 2x 4 .
4sin4x
, _ 1 cos2 8x
Z/==COS Ctg 2— T77—T7- .
16 sin 16x
3 П 1 COS2 lOx
, y=/Ctg 2-20—Ж-
. . 1 1 cos212x
. z/ = ln sin -7- — — ——.
2 24 sin 24x
_ cos ctg 3 • cos2 14x
28 sin 28x
__ sin tg (1/7) - cos2 16x
’ У~ 32 sin 32x *
iX ctg2-cos218x
. y^x—--------------
36 sin 36x
c. no x r 1 cos2 20x
* 8.20. У —CtgCOS 5 — 77г —:--77— .
J * 40 sin 40x
о « 1 1 n 1 cos2 22x
8.22. y —cos In 13—— —-——- .
v 44 sin 44x
Г 1 cos224x
z/getg sin 13 — 48 sfn48x ’
-----1 cos2 26x
cos JZ 2 —E7- • ---—— .
52 srn 52x
3/7 ~ cos2 28x
у — sm у tg 2 — —~,
56 sin 56x
. ., o cos2 30x
у = sin5 cos 2 — .
60 sin 60x
8.24.
8.26.
8.28.
8.30.
У =
29
-> Задача 9.. Найти, производную.
01 п — яп-to fgX~ct2X - по V х — 2
93. у—arctg -ж ф 9.2. у = arcsin г__
V 2 у 5х-
а« „ 2х^‘1 i<o~i----г, 9 . 2х—1
9.3. у——— у 2-|-х—х2+— arcsin —,
_ . - УГ+х2—1
9.4. //= arctg--'--.
X <
’5's-”CC0SF$W- - »-/т«*тс-
_ _ 1 . X — 1 1 .
9-7. i/ = TlnjTT—j arctg х,
9.8. у = (х—4) ]<8х—х2—7/2— 9 arccos У(х—1)/6.
(1+;х) arctg Г х _J__
х2 П Зх V~х
9-1 h У=~ +M^-arctg У"х.
2 У । х хх
9.12.
уЗ j_ ^2 ______
9.10. у- arocos х——~Д у1—х2.
ч о \ У
\
У'х (2—х)4-3 arccos у .
9.13. у= arctg 4г+у • 9.14. z/ = arcsin j/^_±-4-arctg V х •
9.15. г/=у Т/^Л— 1 — • 9.16. z/ = 6 arcsin 12Г—Н1Г Ух (4—х).
9.17. у—~^ |<6х—х2 —8 +arcsin j/" — — 1 .
9.18. „=JL±^.tg.K*-K*,
rf 2 1/" 1—x arcsin У x . 2
9Л9. -----------------—.
J x у x y _________
л «л 2x—5 ,/-=---------A--5. 9 .. -ъ/^х—Л
9.20. у — —-j—у 5x~4 —x24- — arcsm 1/ —-? •
4 4 _ r □
) 5 x2 1 I X—^2
9.21. = arctg In v-' • „ 9.22. y = arcsin— -----1
6 x24-4 z (x— 1) V2
9,23. у=У1— x2—x arcsin У1 — x2.
9.24. >= fx4-| arctg У~х—arctg .
' о о X
1/” 1 _ V . V -I- 1
9.2.5. y — arctg —-7=^-. 9.26. zy = (2x2-j-6x [-5) arctg—Hs-"*-
1 — у X y x-j-z
9.27. у = X= arcsin 2x 4- ± In (1 — 4x2).
- 2 К1 — 4x2 8
9.28. +
9,29. t y~(ж-}-# У x + 2) arctg ((У х)/У x-|-2))—У x.
9.30. у— У1 -}~2x— х2 arcsin У 2'In (1 -|-х)*
Л ~р X
30
9.31, ^=arctgf^
’ 4
Задача 10. Найти производную.
1
10.1.
1 - , 2+У 5 thx
y— —r^ln L—---•
4/5 2—У 5 thx
„ л л sh x . 3 sh x , 3 . , . f .
10.2. у = 7—[-7-h7~Г5—нarctg (sh x).
J 4 ch4 x 1 8 ch2 x 1 8' 'v z
10.3.
I . l + fth x ,
У = v In--Z7==- ~ arctS У th x.
2 i — у th x
10.5.-
10.7.
10.9.
„ ' з , У 24-th x
10.4. .y——-==rIn -=-------.
8}<2 У 2— thx 4(2—th2x)
1 ,, , 1 . , l+f2ttx
у=v th x 4------ !n '
2 4 У 2 .1 — У 2 th x
10.6. —4-lnth-g- —o > i .
\ 2 2 2 sh2 x j i
10.8. y=--In 1Cth - .
18 У 2 , 1 —У 2cthx
• 1.1 — sh2x
10.10. у =~ In ——r^r- .
* 6 2-j-sh2^
shx
10.12. # = 7-1—i“ •
J 1 + ch x>
. л sh Зх
10.14. ,
]^ch 6x
10.16. </=—,
J 3 sh3 x
. ... ч 1 . " 3 4-ch x
-2dF7-i-Tarcs1n(thx)!, 10.18. ^—arcsin^-3^-.
4+y8th| • fl I x
# = —ln~;----------.10.20. #= ±In th4
Г8 4-K8th| L4 2
1 . 54-3 ch x oo 1—8 ch2 x
------- arcsin 5-7-c-v.* 10.22. #-——----
y 4 v34-5chx J 4ch4x
2 1 . sh x . 5 , ,
' l-2d^+Tarctgshx
J=,„«±n+£JL>
2a У1 + a2 a—/1ill x
, У sh 2x
y= arctg —-r— .
J chx—shx
10,11.
10.13.
10.15.
10.17.
10.19.
10.21
10.23.
th х
ch x
,J= V T=urx-
ch x
y—-—•-^=-,
' sh 2x
1 4- 8 ch2 x In ch x
2 ch2 x
sh x .3
У^
У==
1 , 3 + ch’xl
~ hi —4------к .
4 sh x J
sh х 3 sh3 х
8 1
Ю.24. у — vcth2x — .
J 3 3 ch x • sh3 x
10.25. &=larctg(shx)-2^. 10.26. £=|ln th|+ch x-^..
10.27. 3. arotg sh x. 10.28.' j,=?*2X_+y arctg (sh x).
1 Г sh x . , . t 1 ch x 1 , x
10.29. у=т +arctg(shx)j. 10.30. {/=- in th У ’
in о<1 2 ch x z
lO.SL-^-cthx-^^.
Задача 11. Найти производную.
ИЛ. ^=(arctgxj(1/^lnarc>\
11.3. у— (sin х)5е*.
11.5. #=(1пх)3*
11.7. у — (ctg Зх)2еАГ.
11.9. £/--(tg х)4еА?.
11.11. t/ = (xsin x)81n sInxl*
11.13. z/ = (xs4-4)tgx-
11.15. y = (x2— l)sh*-
11.17. y— (sin x)^2.
11.19. t/= 19л'19 x19.
11.21. r/=(sin /7)el/*.
11.23. y=x^°SX.
11 ok esln x
11.25. y~ Xе
a-? e arctg я
11.27. —Xе
11.29. y = xMX-29x.
11.2. {/ = (sinpr x)’ns‘“r\
'11.4. y—(arcsin х)еЖ.
11.6. ^=xaFcsin\
11.8. y^x^X.
11.10. y= (cos 5x)e*.
11.12. y=(x—5)chjc.
11.14. (/=xsilix3.
11.16. ^=(х4+5)с,8А‘.
11.18. z/ = (x2+l)cosx.
11.20. y=x?x-2x.
11.22. y=x^X.
М.24, у=x2X-5х.
11.26. t/=(tgx)lntg*/4.
11.28. i/ = (x8-|*l)th<
11.30. // = (cos2x)lncos2^4.
11.31. y = xeXx9.
Задача 12. Найти производную.
12-1. г/=х3(х2+8)1лха-44-уйarcsin — , х > 0.
х IО X
to о 4x4-1 .1 . 4x4-1
,12.2. г/=——Е——4— ai-Ctg—-L-.
16х2-(-8х-}-3 1 2 у 2
12.3. у=2х—In (1 + У1—ё4х)—е"2х arcsin (е2х).
12.4. у== /Ох2—12x4-5 arctg (Зх—2) —In (Зх—2-Н У9х2—12х'4-5).
«ок 2 ----2 I 1 14~)/Г2х — X2
12.5. у =---г у 2х—х24-1п —— ----7--
* х—1 х—1
Q 1 ___1 4.
12.6. у = -- arcsin-НоТ (х2 4~ 18) Ух2—9, х > 0.
oL X о1
1 * Зх—1 , 1 Зх—1
12.7. у=—=- arctg —-——.
У 2 У 2 3 Зх2—2х-|-1
12.8. у— Зх—In (1 У1 —ебл)—ё~3л' arcsin (е3*).
12.9. r/= In (4х— 14- уг16х2—8x4-2— /16х2—8x4-2-arctg (4х— 1).
ю in 1 1+2К— х — х2 . 4 у---------к
12.10. -‘-Л. ----------Но--, -г У —X—х2.
2х-|- 1 2x-J- 1
12.11. (2x4-З)4.arcsin ^—4-4 (4х2-|-12x4-11) Кх24-3x4-2, 2х-]-3 > 0.
хх 4~ 9 о
«о «о х4~2 . 1 , х4-2
12.12. у^ -^-: —j—с4~ " arctg —^=г .
________ х24-4х4-6 1 2 у 2
12.13. у~ 5х—In (b-|- У1 —е10л)—arcsin (с5л')-
12.14. z/-yrx2—8x4-17arctg (х—4) —In (х—44- Кх2—8x4-17).
12.15. In 2 - ]Z—ЗЧ-4Х—X2.
J ' 2—x 1 2—x r 1
32
12.16. y=(3x2 —4x -]-2)yr9x2 —12x43+(3x—2)4arcsin Д—г5) 3x—2 > 0.
oX—z
1 , X— 1 . ' X—1
12.17. y = -==- arctg —5—o ,-л-
}<2 K2 x2—2x4-3
12.18. y= In (e5JC-f- Уe1(IA—1)4 arcsin (e~Sx).
12.19. y = ln (2x—3+ V4x2—12x4-10) —^x2—12x+10arctg (2x—3).
, 1 4 У—3—4x—x2 2 —--------
12.20. y = ln —!—_л.__2--^-j-g У —3—4x—x-.
9 ____ *
12.21. y=~(4x2—4x4~3) P x2—x+(2x —I)4 arcsingj—у , 2x— 1 > 0.
nn 2^—1 . 1 , 2x—1
12.22. y = -r-x—z—arctg .
y 4x2—4x4-3 1 у 2 У 2
12.23. у = arcsin e“4*-f- In (e4x+ Уе8х— 1).
. 12.24. # = In (5x + К25x2 +1) — У25x2 4-1 arctg 5*.
12.25. У =ЗГ=2 K-34-12x-9x24- In ^ к^Ч-^х-Эх2.
12.26. у = (Зх 4-1) ’ arcsin (Зх2 4- 2x 41) У9x2 4 6x, 3x4-1 >0-
oX —|- 1
Q-7 1 I . 2%4-l
12.27. у = -у— arctg ..? , ; ,-5.
У2 у 2 4x24-4x4-3
12.28. # = ln (e3x 4- У—1) + arcsin e-3x.
12.29. y= K49x2 + tarctg 7x—In (7x4- У49x24-1).
12.30. z/=— /~1—4x24-ln1+ .
J X r ‘ 2x
12,31. // = arcsin e-"2*4-ln(e2x4~ Уе4х—1).
Задача 13. Найти производную.
13.1. у == in|<iTZ72. 13.2. y4=41n---/ —
Zl-x2 1 + |Л1-4х2
13.3. у=х(2х24-5) Угх2+Т4-31п(х4-Уг^2+1).
х2 1 2
13.4. у—х3 arcsin х4-v I—%2-
о
13.5. у = S^arcsln ^---4-2 V~4x2-|-2x—2, 4x4-1 >0.
13.6. J<14-х2 arctg х —In (x+Z'l 4-х2).
13.7. y=2 arcsin 4“ 1/Г9х24-24х-|-12, 3x4~4 > 0.
oX “p 4
13.8. y=x (2x24-l)/'x247T— In (x-|- Ух* + 1).
13.9. у = In (x4- j/T+x2) — •
13.10. y= У1—3x—2x2~l----arcsin4хД1 .
2У2 K17
13.11. у=У(44-х) (1+х)4-31п(КГН4 УТр)- .
13.12. In -И-х2~x4:14- V^arctg^l
* -
2 л. А. Кузнецов ' . 33
J ____%2_|_ j j j/* 3
13.13. £ = l2,n'(x2+l)2 2/3arc{g.2x2 —1 •
4 z--------_
13.14. f/=4arcsin5-V5+]/4x2+12x—7, 2x+3 > 0.
ZX о
13Л&, у — 2 arcsin 5-^~т+]/’9х2 + 6х~--3, 3x+l >0.
<jX -j-1
13.16. i/=(2 + 3x) /7=T+-|-arctg Vx—L.
13.17. ^=4-(«-2) ГЯТ+М/ЯЯ-н).
О
- 13.19. у = In |Л-2-1 (4 arctg X-
13.20. t/=xln(]/'l—%+ -f-x)-]—i(arcsinx—x)
13.21. #=arctg УЯ=Т--------Jn x ..
У x2 — 1
13.22. z/=3arcsin -|~)Я24-4х-5.
X “P" J
13.23. t/== K(3—x) (2 ^*) + 5 arcsin /(x 4- 2)/5.
13,24. y~x (arcsin x)24- 2K 1—x3 arcsinx—2x.
if 1—X2
13.25. ------------j-arcsin x.
Ш7,
13.31.
13.26. (/—x3 arccos x—j/1 —x4
о
„_К^ЯР2 1 У2+ГЯ+2
У~ x2 y~2
13,28. y= (x/4) (10—x2) arcsin (x/2).
y= arcsin a -\-x-|~2 Vx24-3x+2, 2x-\-3 > 0.
2,X -p о
13.30. y=x arcsin
arcsin x . 1\ 1—x
y ~ - __— -----Нтг In 7~i-e
jAj__x2 2 1+*
x
*+l
54Л.
14Д
Задача 14. Найти производную.
1
у — -г— In (tg х + ctg а). 14.2. у = х cos а + sin а In sin (х—а).
у~.—2_ [sinlnx—(]/" 2 — 1)-;COS In х] Х^ 2+1в
14.4. у= arctg (cosх/р^cos2x.
14Д
cos2x cos4x
14,6, (a24-ft2)-1/2-arcsin
34
j4 7- 7^ (3 sin 3% + cos 3x-In 7)
(9 + In2 7)
sinx
14.8. ln----------------г_________
cos x-j- у cos 2x
14.9. y-~ (l/(a (14~ a2))) [arctg (a cos x)4~a In tg (x/2)].
i. 1 1,1, ,14-sin.x
14.10. y=-—-7-------------In------------
_ 3sm3x sinx 1 2 1 —smx
14.11. t/—(l+x2)earctg v. 14.12. г/=£^А+±.
1 ’ Л C Л
14.13.
14.15.
л • a
j 2x sin
^2sin(a/2) arctg 1—x2 ,
__ 6х (sin 4x In 6 — 4 cos 4x)
14.14. y =
arctg
^-|-1~х2
~, x>0«
14,17.
J 164-in2 6
, ~ 2 sin x
у = arctg ========.
)^9cos2x—4
14.18.
114.16. y~ arctg
1 & 1—tgx
У _ 5х (2 s; n 2x 4~ cos 2x In 5)
14,19. //= ln »
К 2—thx
14 21 r __4* ((In 4) sin 4x— 4cos4x)
. • - У — ' . 164-In2 4
5х (sin 3x In 5—3 cos 3x)
14.20.
4 4- In2 5
3х (4 si n 4x In 3 cos. 4x)
y~~ IG-J-ln2 3—~
,4-22- ^=ж-2созх-3lntgf •
14.23.
14.25.
J 9 4-In2 5
У 2 х (sinx -|~ cos x 1 n 2)
14.24. y~x
14.27.
1 |-(hl2)2
л cos X . o cos X
Z/~ 2 —-3 —
Sir^X'1 SaH2X
— In (1 4-e*)—2e 2 arctge2.
иге.
sin a'
14.29.
—£os.x arctg 2 ЦЖ+1
У 3 (2 + sinx)^3 y-3 ar9’g
y — ^X (0 n 3) si n 2x — 2 cos 2x)
14.28.
14.31
In2 34-4
, . OA 1 t 1 4-COS X 1
14.30. y~ -x-In-----------------——
2 1—cosx cos 4 3cos3x
1
У 2tgx+l
/2tg^+l -
Задача 15. Найти производную y'x.
15.1.
15.3.
15.5.
15.7.
- 3/2+l
3Z3
f/ = sin(Z3/3'4-0.
X=y2t—t2, -
y= mV (z-i)2.
x=ln(Z+V/2+l),
t/=z/’zqri.
x = ctg (2e<),
z/4'lntge*.
15.2.
15.4.
15.6.
15.8.
x= V1— t2.
y=^V'\+i.
.x — arosin (sin /),
y~ arccos (cos /).
x= j/~ 2t —
y= arcsin (/—1).
x=ln ctg /,
^==l/cos24#
2*
' 35
15.9.
x— arctg ef/2,
1 — t
15.11.
x=ln(l/K I—/4),
i/=arcsin(l —Z2)/(l-H2).
15.10. j V T+T
15.12,
I y^t/V'Y-tK
15.13.
15.15.
15.17.
15.19.
15.21.
15.23.
15.25.
15,27.
x = arcsin( У I — /2),
# = (arccos /)2.
X — (1 -|-COS2 0%
y—cost /sin2t.
15.14.
15.16.
f X = t/Vl —1\
I ^lS((l+Kl=^j)/t
f x=in((i-o/(l + O),!
I y=V\-t\
x=arccos (l/0f 15.18. J / x=l/lnO
y = У t2—1 + arcsin (1 /0. t t
x—arcsin У t i 15.20. J [ x— (arcsin 0?»
y=V 1 + KT. 1 y = t/V\-t\
х==1У/2+Ь f x — arctg 0
15.22. , KT+T *-In +1 •
X=ln (I — /2), y — arcsin У 1 — t2. 15.24. < f X^arctg ((Z+ !)/(<-!)), 1 y~ arcsin У 1—t2,
x= In K(l— sin 0/(1 + sin t)i 2e f x== У t—/2—arctgl/l—I .
# = (l/2)tg2 Z + lncos t ’ j ,—
У ' .( г/= К arcsin^.
, . ' x==^^4-ln TT^T
x-lntgZ, 15.28. < 1
у — 1/sin t. y arcsjny+ ]n yj—^2.
15.29;
15.31.
x=esec8<,
y=tg t Ineos f + tg t —
x^in^+VT+T2)»
15.30. <
t ,----
x—--rz==i arcsin /+ In V I —t2,
/1 —za
t
y— -7^_=z.
Ki—
s_n+?~ini±m£
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали
к кривой в точке, соответствующей значению параметра /== tQ.
( x=asin3t, ( х= Уз cost
16Л. 4 16.2, J Г <5 cos г,
( y=acosHt /0 = л/3. I i/ = sin t, /0 = л/3.
( x~a(t—sin Of - я ( x — 2t—1\
16.3. 16.4» {
( #=a(l—cos 0, ^о=л/3. I y — 3t—t3, 70=K
f x=(2t+^)/(l + ^),
16.5. <
I ^==(2f-/2)/d + ^). .
,„c f x= arcsin (?/+ <2).,
‘ 10.0. < ___
a. . r 1 z/ = arccos (l/p^l+ ^2), /0==—1.
36
16.7. -j [ х— /(/cos/— 2sin/), 16.8. J f х=За//(14-/2),
| у — Z(/sin/-[-2cos/), | y=3aZ2/(14-i2), /0=2.
16.9. J f x=2 In ctg /+ 1, 16.10. J f х = (1/2) /2—(1/4) tl,
l f/ = tg <4-ctg/, Z0 = n/4. | г/ = (1/2)/24-(1/3)/3, /в = 0.
f x—at cos /, (jc — sin2 t,
16.11. J 16.12. J
| z/ = €z/sin Z, tQ — n/2. | у = COS2 t, to — Л/б.
16.13. J 1 x —arcsin (t/ V" 1+72), 16.14. f x=(l-|-ln/)/Z2,'
[ i/ —arccos’(l/}/14-/2),/O=1‘ [ ^ = (34-2 In/)/;, <0 = 1.
16.15. < f x=(l+t)/t2, 16.16. f x = a sin3 t,
y = 3/(2t2) + 2/t, to = 2. | y — acos3t, Z0 = ji/6.
16.17. < ( x = a (t sin /J-cos /), 16.18. < f x = (t+l)/t,
I r/ = 6z(sin t—t cos /), tQ~n/4. | y = (t—l)/t, t0=—1.
( X=l—Z2, f x=ln(l -H2),
16.19. < 16.20. ч
| y=zt — t\ tG~2. | y^=t — arctg/, /0—1.
16.21. < f x=/(l—sin/), 16.22. < f x^(l + /3)/(/2-l),
| y — t cos /, /0 = 0. I Z/ = //(/2-l), /0=^.
। x — 3 cos /, | X=i=/—/4,
16.23. < 16.24. <
| r/ = 4sin/, /0=я/4. 1 y=t2 — /3, /0=l.' >
f x—f3-j~lf f x—2 cos /,
16.25. < 16.26. <
1 у=/!+Ж, Zo = 1. | r/=?=sin /, /0= —л/3. -
1 x = 2 tg /, | x — /3-|-l,
16.27. ч 16.28. <
| // = 2 sin2/4* sin 2/, /0 = зт/4. 1 Z/ = /2, /o = -2-
j x=sin/, f x=sin/,
16.29. < 16.30. <
1 </=«', 4 = 0. ( z/ = cos 2/, ’ Zo = 3T/6. -
| x=2e*, ,
16.31. < I y=e~t, 4 = 0. ' ' 1 : ' -У z,
Задача 17. Найти производную п-го порядка.
17.1. у- —xeax. 17.2. у. = sin 2x-|-cos (x+ 1).
17.3. у. = у/ e7*-1. . 17.4. у = (4x4-7)/(2x4-3).
17.5. у- = lg (5x+2). 17.6. у = cfix.
17.7. у- = x/(2 (3x4-2)). 17.8. у~- = lg(x+4).
17.9. у = /x. 17.10. у- = (2x4-5)/(13(3x4-l)).
17.11. у = 23л; + б. 17.12. у~- = sin (x-|-l)4-cos2x.
17.13. у — e2x+1. 17.14. у- = (4+15x)/(5x4-l).
17.15. у-- = lg(3x+l). 17.16. у = 7§A:.
17.17. у. = x/(9 (4x+9)). 17.18. у- = lg(14-AT).
17.19. у = 4/x. 17.20. у -(5x+l)/(13(2x+3)j.
17.21. у _ a2x +3. 17.22. у = sjn (3x +1)+c°s 5x.
17.23. у = / e3*+*. 17.24. у = (11 + 12x)/(6x+5).
17.25. у- =lg (2x4-7). 17.26. у = 2^.
17.27. у =x/(x4-l). * • - 17.28. у- = logs (X 4-5).
17.29. у = (14-x)/(l-x). 17.30. у. = (7x-p 1)/(17,(4x4-3)).
17.31. у. — 32X 4-
37
Задача 18. Найти производную указанного порядка.
18.1. у = (2х2 —7) 1п(х— 1), yV = f 18,2. j/ = (3—х2) 1п2х, 4/Ш = ?
18.3. y=xcosx2, //П1 = ? , 18.4; »=—712) . »ш — ?
. у х— 1
18.51 у^-^^,уЩ-^
18.7, у=х2 sin (5х—3), /ДИ —?
18.9. # = (2%+3) 1п2х, ^ш = ?
18.11. у = (In х)/х3, #tv=?
18.13. = sin (2 + Зх), yiv-?
18.15. у = (2х3 + l/cos х, yv ~ ?
18.17. £/ —(1 — х~ х2) е(х“1)/2, //IV —?
18.19. У — (х-\-7) In (х+4), = ?
18.21. ^lng^5), ^11 = ?
18.23. у = (In х)/х6, {Д11 = ?
18.25. у = (х2 + Зх+1) е»х + 2, ум = ?
18.27. y=^Sr, ^ = ?
18.6. у = (4х3 + 5) е2*+1, yv — ?
18.8. #=(lnx)/x2, yiv = ?
18.10. у = (1 +%2) arctg x, ylU-=?
18.12. г/ = (4х+3)2-^, yv = ? ‘
18.14. y=1.".(3+x), £in = ?
J 3+x °
18.16. </ = (x24-3) ln(x—3), yW=?
18.18. r/ = (l/x) sin 2x, 4/111 = ?
18.20. y=(3x—7) 3~x,. yiv=?
18.22. z/ = e*/2sin2x, #iv = ?
18.24. £=xln(l— 3x), j/iv = ?
18.26. y = (5x— 8)-2~*, z/iv = ?
18.28. y=e~x (cos2x—3sin2x), t/iv = ?
18.29. y= (5x— l)ln2x, r/Hi;==? 18.30./
18.31. j/ = (r,+2)e4jc+3! . J/‘v=?
V Задача 19. Найти производную второго порядка yfxx от
функции, заданной параметрически.
f x=cos2Z, 19.1. < 19.2. < [ х=У 1—/2,
| // = 2 sec2/. I y^=^lt.
[ х — e*cosf, 19.4. < f x — sh2 /,
19.3. < t . | y — eTsiVit. | 1/ch2/.
( x— /4-sin 19,5. < 19.6. f x= 1//,
| y = 2—cos/. I //-1/(1 + Z2).
( X— У tt 19.8. J f x = sin/,
19.7. <!
I y=\lVi-t. [ yz=sect.
19.10. J [ X = )<r=T,
19.9.
( y= l/sin2/. t y=t/vr=i.
f^-ГТ ' 19.12. Г x'=cos //(1+2cos/),
\ y^Vt-Л.
. z/ = sin //(1 +2cos /). ( x = sh /,
19.13. f —1> 19.14. ,
I y^ In /. | y~ th21.
f x=/7=7i, 19.16. < f X = COS2*/f
19.15. <
1 y=l/Kl. ( {/=tg2 t.
19.17. / x=Vt— 3, 19.18. < ( x — sin /,
1 In (/-2). | y = In cos /.
( X = /-l-sln/, 19.20. J x=t — s'n /,
19.19. < r ( у = 2 — cos t.
( y~2-\^ cos /.
38
19.21.
19.23.
19.25.
19.27.
19.29.
x = cos /,
у — In sin tv
х — е\
y~ arcsin t.
x — ch /,
г/—']/4sb2 t.
x — 2 (t—sin /),
г/= 4 (2cos t).
x= I//2,
{x~ cos /4-/ sin /,
r
r/^sin / — /cos /t
я f x —cos /,
19.24. {
| # = sin4(//2).
( x~ arctg /,
19.26. <
y= /2/2.
x= sin t—t cos /J
y~ cos /-]-1 sin t.
l».30./*-C“' + 10.31.
| y~ sin 2/. I y~ arctg /.
19.28.
Задача 20. Показать,
нению (1).
20.1. у —хе“л2^2,
X/=-(l—X2) //. (1)
20.3. f/ = 5e“2A’ + ex/3,
г/' + 2г/ = ел'. (1)
20.5. y~x У'\ — x2,
yyr ~x — 2x3. (1)
20.7. y = — l/(3x+c),
У'=3у\ (1)
20.9. — ex,
(x2 | z/~) dx — 2xydy=0. (1)
20.11. y = №x/2),
yr sin x— у In у. (1)
20.13. ^=(Z?+x)/(l+ bx), \
y—xy' = b(\+x2y'). (1)
20.15. y±=. |ZIn
(l-pe*)w'=e*. (1)
20.17. j/=- ]/4-l,
что функция tj удовлетворяет урав-
sinx
20.2.
20.4.
20.6.
20.8.
xy- +//.== cos x. (1)
у=2+суТ^х2,
(1 —x2}y' 4-хг/=2х. (1)
с
Ц —----
cos X
^—tgx-z/^O. (1)
г/ — ln'(c-[-eA'),
у’-^^-у^ 0)
20.10. у — х (с—In х)\
(х—у) dx + x d// = 0. (1)
20.12. r/-(i+x)/(l-x),
20.14. t/= /^2+ Зх—Зх2.
уу'~^— 2х)/у; (1).
20.16. у~ tg In Зх,
0+ г/2) dx = xdv? (1)
20.J8. у—}/х — In х—Г,-
l+^+xW'=0. (1)
20.19. «/=«+7x/(gx+1),
у—ху' = а (1+х2/)., (1)
20.21. у= Vх /х + -[-1,
bs'“9"?WT'(|)
20.23. 0 = -зДгг + -.
Xd+ 1 4 X
x(x=> + l)/ + (2x3-l)z/=^^. (1)
lux-}-?/3 — Зху2у'~Ь. (1)
20.20. 0= fl tg J/4--1, '
а2+д2Н-2х У ах—х2 у'—0. (1)
20.22. t/ = (x2+l)e*2,
г/'—2xz/ = 2xe^. (J)
20.24, у = ех+х2-]-2ех',
у’—у=2--ех+х\ (j)
20.25. у=—х cos х + Зх,
•*#=#+х2 sin х. (1)
20.27. y=x!(x— l) + x2,
x (x—1) у'у = x2 £2x—1). (1)
20.29. r/ = (x-|-l)n (ex —1),
(I).
X-f- 1 1
20.31. y=— Kx4—x2,
, xyy'—у*—х\ (1)
20.26. y=l/Vsinx+x,
2 (sin x) у' + У cos x=
= #3(%cosx—sinx). (1)
20.28. y — x/cos x,
y'-~ #tgx = secx. (1)
sin у
20.30. # =2cos x,
x (sinx) ^4-(sinx—xcos x)у =
= sinxcosx—x. (1)
III. ГРАФИКИ
*
Теоретические вопросы
1. Условия возрастания функции на отрезке.
2. Условия убывания функции на отрезке.
3. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.
4. Достаточные признаки максимума и минимума функции
(изменение знака первой производной).
5. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной
на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные
условия выпуклости и вогнутости.
7. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие
перегиба. Дбстаточные условия перегиба.
8. Исследование функций на экстремум с помощью высших
производных.
9. Асимптоты графика функции.
Теоретические упражнения
1. Доказать, что функция f (х) == х—sin х монотонно возрастает
на отрезке: а) [0, 2л]; б) [0,4л]. Следует ли из монотонности диф-
ференцируемой функции монотонность ее производной?
2. Доказать теорему: если функции ф(х) и ф(х) дифференци-
руемы на отрезке [а, Ь] и ф' (х) > ф' (х) у х € (а, ft), а ф (а) — ф (а),
то ф (х) > ф (х) У х С (#, &].
Дать геометрическую интерпретацию теоремы.
Указание. При доказательстве теоремы установить и использовать
монотонность функции f (х) = <р (х)—ф(х).
3. Доказать неравенство 2x/ji<sinx для трех случаев:
а) arccos-^-] ; б) ^arccos ;
в)¥*ф -J)- ...
40
Дать геометрическую интерпретацию неравенства. •
4. Исходя из определений минимума и максимума, доказать,
что функция
( е-1/*2
= { 0/
х=£0,
х — 0
имеет в точке х = 0 минимум, а функция
( хе-1/*2, х=^0,
«М=| 0, х = 0
не имеет в точке х = 0 экстремума.
5. Исследовать на экстремум в точке х0 функцию f(x) =
= (х—х0)"<р(х), считая, что производная <р' (х) не существует, но
функция <р(х) непрерывна в точке х0 и. ф(хо)#=О, п—натураль-
ное число.
6. Исследовать знаки максимума и минимума функции х8—
— 3x-{-q и выяснить условия, при которых уравнение х3—Зх +
+ q = 0 имеет а) три различных действительных корня; б) один
действительный корень.
7. Определить «отклонение от нуля» многочлена р(х) = Бх3-—
— 27х2ф;36х—14 на отрезке [0, 3], т. е. найти на этом отрезке
наибольшее значение., функции |р(х)|.
8. Установить условия существования асимптот у графика ра-
циональной функции.
Расчетные задания
Задача 1. Построить графики функций с помощью произ'
водной первого порядка.
1.1. у = 2х3—9х2-|-12х—9.
1.3. у- х2(х—2)2.
1.5. у=2—Зх2—х3.
1.7. </=2х3—Зх2—4.
1.9., г/ = (х — 1)2(х — З)2.
1.11. у = 6х—вх3.
1.13. z/ = 2x34-3x2—5.
1.15. z/ = (2x-p I)2 (2х — I)2.
1.17. г/=12х2—8x3 — 2.
1.19. (/ = 27 (x3—x2)/4—4.
1.21. // = x2(x—4)2/16.
1.23. // = (16—6x2—x3)/8.
1.25. //=16x8—36x24-24x—9,
1.27. y = — (x—2)2(x-6)2/16^
1.29. j/ = (ll-|-9x—3x2-x3)/8.
1.31. //=16x3 + 12x2—5.
1.2. у=3х—Xs.
1.4. г/ = (х®—9х2)/4-]-6х—9.
1.6. i/ = (x+l)2(x-l)2,
1.8. z/ = 3x2—2—x3.
1.10. i/ = (x3 + 3x2)/4—5.
1.12. i/=16x2(x—I)2.
1.14. z/ = 2— 12x2—8x®,
1.16. t/ = 2x3+9x24-12x.
1.18. j/=(2x—I)2 (2x—3)2.
1.20. z/=x(12—x2)/8.
1.22. i/=27(x3+x2)/4—5.
1.24. y= — (x2—4)2/16.
1.26. у=(6x2—Xs — 16)/8,
1.28. z/= 16X3—-12x2—4.
1.30.. у = — (x +1 )2 (x—3)2/16.
41
Задача 2. Построить граф
водной первого порядка.
2.1. у=\~ j/х2—2х.
2.3. 0=12 j/6(х—2)2/(х2-}-8).
2.5. 0=1 —j/х2+2х.
2.7. у = бУ6 (х—3)2/(х2—2х+9).
2.9. 0 = 3 Ц (х—З)2—2х + 6.
2.11. 0 = 4х + 8—6 Ц(х+2)2.
2.13. 0=j/х(х-|-2).
2.15. 0 = — 3 У6(х+1)2/(х2+6х+'17).
2.17. 0 = 3 У6 (х—5)2/(х2—6х-]-17).
2.19. 0=6х—6—9}/(х —I)2.
2.21. 0=)/4х (х—1).
2.23; 0= j/x(x —2).
2.25. 0=9)/(х+1)2 —6х —6.
2.27. 0 = 8х — 16 — 12 j/(x—2)2.
2.29. 0= 12 //(х-|-2)2—8х—16.
2.31. 0 = 3 У(х+4)2—2х—8.
V Задача 3. Найти паи
ций на заданных отрезках.
> 3.1. 0 = х2+^-16, [1, 4].
ики функций с помощью произ<1
2.2. г/ = 2х— 3 }/х2.
2.4. 0=—12)/б (х—1)2/(х2+2х-}-9).
2.6. 0 = 2х + 6—3yZ(x+3)2.
2.8. 0=1—]/x2-p4x-j-3.
2.10. 0 = —6}/6х2/(х2+4х4-12)|
2.12. 0=3 j/6 (х—4)2/(х2 — 4х+ 1'2).
2.14. 0=р/х2 + 4х+3.
2.16. 0 = 6}/(х-2)2-4х-]-8.'
2.18. 0 = 2-)- У8x(x-f-2).
2.20. у = Ух2 + 6x4 8.
2.22. 0=—3 j/б (х+2р/(х2-|-8х+24).
2.24. 0=1 —f/Zx2—4x4-31
2.26. 0 = 6 у/6 (х4-3)2/(х2 4- 10х+33).
2.28. 0=—6 )/б (х—6)2/ (х3—8х 4-24).
2.30. 0 = 3 У6(х—1)2/(2 (х24-2х4-9)).
’ j
see и наименьшее значения функ-’
4
3.2. 0 = 4-х—-г , [1, 4].
Л
13. 0=/2(х-2)2(8-х)-1, [0, 6]. 3.4. [—3, 3].
3.5. 0=2/х—х, [0, 4]J 3.6. 0=l-f-j/2(x-l)2(x—7), [-1, 5].'
3.7. 0 = х—4 Кх+5, [1, 9]. . 3.8. 0=1Ох/(14-х2), [0, 3].
3.9. 0= j/2(x4-l)2 (5-х)-2, [-3, 3]. 3.10. 0 = 2х2ф-——59, [2, 4].
X
3.11. 0—3—х—-(x_|_2)2 > [ 1. 2].
3.13. 0=2 (—х24-7х-7)/(х2—2x4-2),
3.15. 0= j/2(x—2)2(5 —х), П, 5].
3.17. 0 = -±-4-А+.8> [-4, -1].
I-2- Ч-
3.12. 0=^2х2(х—3), [—1, 6].
И> 4]. ____
3.14. 0 = х-4 ]Лхф-24-8, [—1, 7].
3.16. 0 = 4х/(44-х2), [—4, 2J.
3.18. 0=yZ2x2(x—6), [—2, 4].
3.20. 0 =-'^_2^+)5 > I-5’ Ч- '
3.21. 0= У2(х—I)2 (х—4), [0, 4].
3.22. у~х2—2x-]-W(*—1)-—13, [2, 5].
42
3.23. у—2 V~x— 1— x-f-2, [1, 5]. 3.24. y=j/2 (x-j-2)2 (1—х), [—3, 4].
3.25. у=—х-/2 Ц-2х-|-8/(х—2)-|-5, [—2, 1].
3.26. у=8х+4/х2 —15, [1/2, 2]. '
3.27. г/=у/2(х-|-2)2(х-4) + 3, [—4, 2].
3.28. # = х2 + 4х+16/(х+2)— 9, [—1, 2].
3.29. j/ = 4/x2—8х—15, [—2, —1/2].
3.30. у= V2(хЧ-1)2(х—2), [—2, 5].
3-31. ^=тЙгК2 ’ t-1, 2Ь
Л/ I
Задача 4. Варианты 1—10
Рыбаку нужно переправиться с острова А на остров В (рис. 1).
Чтобы пополнить свои запасы, он должен попасть на участок
берега MN. Найти наикратчайший путь
рыбака s = s1 + s2..
*4.1. а=200, 6 = 300, // = 400, 6 = 300, £ = 700.
4.2. а=400, 6 = 600, // = 800, 6 = 600, £=1400.
4.3. а= 600, 6 = 900, Н = 1200, h = 900,’ £ = 2100.
4.4. а=800, 6 = 1200, //='1600, 6=1200,
£ = 2800.
4.5. а = 1000, 6=1500, //=2000, 6=1500,
£ = 3500.
4.6. а=400, 6 = 500, // = 300, 6 = 400, £ = 700.
4.7. а=800, 6 = 1000, //=600, 6 = 800,
£=1400.
4.8. а?=1200, 6=1500, // = 900, 6=1200, £ = 2100.
4.9. а=1600, 6 = 2000, £7=1200, 6=1600, £=2800.
4.10. а=2000, 6 = 2500, //=1500, 6 = 2000, £ = 3500.
Варианты 11—20
При подготовке к экзамену студент за't дней изучает у^д-ю
часть курса, а забывает а/-ю часть. Сколько дней нужно затра-
тить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?
4.11. 6=1/2, а = 2/49. 4.12. 6=1/2, а = 2/81.
4.13. 6=1/2, а= 2/121. ' 4.14. k= 1/2, а = 2/169.
4.15. 6=1, а=1/25. • 4.16. 6=1, а=1/16.
4.17. 6=1, а= 1/36. 4.18. 6=1, а= 1/49.
4.19. 6=2, сх—1/18. 4.20. 6=2, а = 2/49.
Варианты 21—31
Тело массой. /п0 = 3000 кг падает с высоты Н м и теряет массу
(сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропор-
циональности k = 100 кг/с. Считая, что начальная скорость vv = 0,
ускорение £ = 10 м/с2, и пренебрегая сопротивлением воздуха найти
наибольшую кинетическую энергию тела.
43
4.21. Я = 500.
4.24. Н = 845.
4.27. Н = 1280.
4.30. Я = 1805.
4.22. Н = 605.
4.25. Я = 980.
4.28. Я =1445.
4.31. Я = 2000.
4.23. Я = 720.
4.26. Я=1125.
4.29. Я = 1620.
Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях
заданных точек с помощью производных высших порядков.
5.1. у — х2— 4х—(х — 2) In (х—1), х0 = 2.
5.2. у—4х—х2 —2cos(x—2), х0 = 2.
5.3. y~Qex-2 — хз_|_з%2 — %о = 2.
5.4. у = 2 In (х-|-1) — 2% + х2+1, хо = О.
5.5. z/ = 2x—х2 — 2cos(x—1), х0 = К
5.6. z/ = cos2 (x-f-1) + *2 + 2х, х0 =— 1.
5.7. # = 2 1пх-|-х2— 4х-|-3} х0=1.
5.8. у— 1—2х—х2 — 2 cos (хЦ- 1), х0=.—1.
5.9. z/ = x2 + 6x+8 — 2ех + 2,' х0= —2.
5.10. у-4х~\-х2— 2е*+3, х0 =—1.
5.11. у== (х+ 1) sin (х'+ 1) — 2х— х2, х0 = —1.
5.12. у — 6ех~1 — Зх — х3, х0 = 1. *
5.13. у — 2х-\-х2—(х+1) In (2-|-х), х0 =—1.
5.14. z/ = sin2(x+l) — 2х—х2, х0 =—1.
5.15. z/ = x2 + 4x-J-cos2 (х-|-2), х0 = —2.
5.16. у= х2 + 2 1п-(х4-2), х0 = —1.
5.17. у = 4х—х2 + (х—2) sin (х — 2), х0 = 2.
5.18. z/=6ex — х3 — Зх2 — 6х—5, хо = 0.
5.19. у — х2 — 2х—2ех~2, х0 = 2.
5.20. r/= sin2 (х-|-2) — х2 — 4х—4, х0 = —2.
5.21. z/ = cos2(x—1)4-х2 — 2х, х0=1.
5.22. у—х2—2х—(х—1)1пх, х0=1.
5.23. у — (х— 1) sin (х—1)4-2х—х2, х0=1.
5.24. # = х2 —4x + cos2/(x —2), х0 = 2.
5.25. # = х4 + 4х3+12х2 + 24(х+1—е*), хо=0.
5.26. z/=sin2(x—2) —х2 + 4х—4, х0 = 2.
5.27. #=6ex + 1 — х3 — 6х2 — 15х—16, х0=—1
5.28. # = sin x-f-sh х —2х, х0=0.
5.29. z/ = sin2(x—1)—х2 + 2х, х0 = 1.
5.30. z/ = cosx+chx, х0=0.
5.31. у=х2—2ех-1, х0=1. ч
Задач а. 6. Найти асимптоты и построить графики функций.
6.1. у=(17—х2)/(4х—5).
6.3. г/=(х3—4х)/(3х2—4).
6.5. j/ = (4x3-]-3x2—8х—2)/(2—Зх2).
6.7. у = (2х2—6)/(х—2).
6.9. у — (х3—5х) /(5—Зх2).
6.11. {/ = (2—х2)/К9х2 —4.
6.13. у = (Зх2—7)/(2х +1).
6.15. y=(xs + 3x2—2х—2)/(2—Зх2).
6.17. </ = (2х2—1)//х=2.
6.2. </ = (х2+1)/К4х2—3.
6.4. </=(4х2Ч-9)/(4х+8).
6.6. // = (х2—3)//Зх2—2.
6.8. {/=(2х3 + 2х2—Зх—1)/(2—4х2).
6.10. i/ = (x2—6х+4)/(Зх—2).
6.12. i/=(4x3—Зх)/(4х2—1).
6.14. j/ = (x2+16)/ Vr9x2—8.
6.16. </ = (21—х2)/(7х+9).
6.18. г/^х3—Зх2—2х+1)/(1 — Зх2).
44
«.19. 0=(х2-11)/(4х-3).
0.21. у = ЦР — 2x2 — 3x+2)/(l— x2).
«.23. 0 = (x34-x2-3x-l)/(2x2-2).
0.25. 0=(3x2 — 10)//4x2— 1.
0.27. г/= (2X3 + 2x2 —-9x—3)/(2x2 —3).
0.29. z/ = (—x2—4x4-13)/(4x+3).
0.31. </=(9 —10x2)/]<4x2—f.
6.20. 0 = (2x2—9)/Vx3 — 1.
6.22. (/ = (x24-2x—l)/(2x+l).
6.24. <7 = (x2 + 6x+9)/(x+4).
6.26. y = (x2 —2x+2)/(x+3).
6.28. (/= (3x2 —10)/(3—2x).
6.30. 0 = (—8—х2)/У~х2—4.
Задача 7. Провести
строить их графики.
7.1. у==(х3 + 4)/х2.
7.3. 0=2/(х24-2х).
7.5. 0= 12х/(9-|-х2).
7.7. у=(4—х8)/х2.
7.9. 0=(2х34-1)/х2.
7.11. 0=х2/(х—I)2. ’
7.13. j/=(12—Зх2)/(х2+12).
7.15. у=— 8х/(х2+4).
7.17, 0 = (Зх44-1)/х3.
7.19. у=8(х— 1)/(х+1)2.
7.21. у=4/(х2+2х—3).
7.23. z/=(xz4-2x—7)/(х2 + 2х—3).
7.25. </ = -(x/(x+2))2.
7.27. у—4 (х+1)2/(х2 + 2х-|-4).
7.29. 0 = (х2—6х-|-9)/(х— I)2.
7.31. у —(х3—4)/х2.
полное исследование функций и по-
7.2. 0=(х2-х+1)/(х-1).>
7.4. z/ = 4x2/(3+xz).
7.6. у = (х2—3х+3)/(х— 1).
в 7.8. у = (х2—4х+1)/(х—4).
7.10. у={х— 1)2/х2.
7.12. 0 = (/4-1/х)2.
7.14. г/=(9 + 6х—Зх2)/(х2—2х+13).
7.16. z/ = ((x-l)/(x+l))2.
7.18. 0=4х/(х4-1)2.
7.20. 0 = (1—2х®)/х2.
7.22. г/ = 4/(3 + 2х—х2).
7.24. 0=1/(х4—1).
7.26. у = (х3 — 32)/х2.
7.28. у = (3х~2)/х3.
7.30. // = (х3—27х+54)/х3.
\ Задача 8. Провести строить их графики. полное исследование функций и по-
> 8.1. 0 = (2х4-3)е~2 <*+»>. 8.3. £/ = 3111-^-1. Л - о е2~* 8.5. £/=-х , а 2—х ч е2(х+1) 8'2’ У 2(х+1)- 8.4. // —(3 — х)ех~\ ‘ °- ^=ln^+L
8.7. 0 = (х—2)е3~*. 8.9. 0=3—3 In—- е2(хг+а) ^-2(х+2) - 8.13. 0=(2х+5)е-'2Ь + 2>. ' е2 (Х-1) 8-8’ *-2(х-1) ’ 8.10. 0 = — (2x4-1) ё2(х+1). 8.12. 0 = 1п -^-х-2. * х—2 рЗ — X 8.14. 0-^_х.
8.15. 0=21п-4-г-1. ' е~2(х+2> ' У~ 2(х.-ф2),._‘ ' 8.16. 0 = (4— х) е*-8. 8.18. 0 = 2 ln^i^—3. X
8.19. 0=(2х—; ' e-U + 2) .. - 8-20-^- х+2 •
45
8.21. у=21п^^— 3,
8.25. у=— (2х-РЗ) е2<*+2>.
8.27. у==1п
£Х-3
8.29. у=__.
X__1
8.31. t/ = 21n----J-1.
ъ х
Задача 9. Провести
строить их графики.
9.1. (2 —х) (х2 —4x4-1).
9.3. у = У(х4-2) (х2+4х + 1).
9.5. у = j/(х—1) (х2—2х-2).
9.7. у=д/(х2 —4х + 3)2.
9.9. У=У^х2(х—2)2.
9.11. у= ]/х2 (х4-4)2ж
9.13. у—^/(х4~3)х2.
9.15. у= д/(х— I)2 — \/х2.
9.17. у=У(х—4) (х4-2)2.
9.19. у=]/(х4-1) (х—2)2.
9.21. у—у/(х—2)2—у/(х — З)2.
9.23. у=}/(х—6) х2.
9.25. у~ х(х— З)2.
9.27. //= ^/(х4-2)2— VZ(x4-3)2>
9.29. у=%/х(х + 6)2,
9.31. у— у' х (х—I)2.
Задача 10. Провести
строить их графики.
10.1. ^-esin^cos€
10.3. z/= In (cos x-J-sin x)«
10.5. y=eV^siY-
10.7. f/ = ln(]<2 sin x).
10.9. ^ = esinx~cos%.
10.11. y — In (sin x—cos x).
10.13. z/=e-rrcos*.
10.15. (/ = 1п (— V~2 cosx).
10.17. ^e~sinA'-cos*.-
8.22. г/ = — (х-)-1) е<ж+2\
8.24. у — In -4т —1-
а х-|-5 •
2(Х-1)
8.26. у = — 2(х_0 *
8.28. у~(х4~4) е“<*+3>.
8.30. = 1.
X
полное исследование функции и по-
9.2. у — — f/(х4- 3) (х2 4- 6х4- 6).
9.4. у ==, |/(х 4- 1) (х2 4- 2х—2).
9.6. у — j/(х—3) (х2—— 6x4-6).
9.8. у= уЛх2(х4-2)2.- .
9.10. z/= р/(х2—2х —З)2,
9.12. у~]/х2(х — 4)2.
9.14. у^ У(х— Г) (х4-2Д
946. у=]/(х4~6)х2.
9.18. ~у~ f/(x—1)^ — У(х—2)2.-
9.20. у== fX(х— 3) х2:
9.22. y=f/(х4-2)(х — 4)2.
9.24. у=]/х2 — (х—1)29
9.26. у— х(х4-3)2.
9.28. у^1/х (х—6)2.
9.30. i/=^Z(x4-l)2— (х4-2)2.
полное исследование функций и по-
10.2. у = arctg [(sin x4~ cos x)/
10.4. у — 1 /(sin x4-cos x).
10.6. /;'= arctg sin x.
10.8. f/ = l/(sinx—cosx).
1040. y — arctg [(sinx — cosx)/1^2] ,
1042. y — l/(sin x4-cos x)2,
104,4. y— — arctgcosx.
1046. y= l/(sin x—cos x)2t
1048. i/—p/sinx.
46
10.19. = In (—sinx—cosx),
10.21. «/ = e-1/"2'sinx'.
10.23. у = 1п(—V 2sinx).
10.25. (/==ecosr~sinx.
10.27. y= In (cos x—.sin x),
10.29. y = e^cosx.
10.31. y= In (/"2 cos x).
10.20. У — ]/(sinx—cos%)/]/*2.
10.22. r/=|/cosx.
10.24. //-“K'cosx.
10.26. у— 'i/(sin xJr cos х)/У 2.
10.28. y— У sin %.
10.30; #="K(sin x-|-cos х)!У 2.
IV. ИНТЕГРАЛЫ
; Теоретические вопросы
1. Понятие первообразной функции. Теоремы о первообразных.
2. Неопределенный интеграл, его свойства.
3. Таблица неопределенных интегралов.
4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопре-
деленном интеграле.
5. Разложение дробной рациональной функции на простей-
шие дроби.
6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рацио-
нальных функций.
7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометриче-
ские функции,
8. Интегрирование иррациональных выражений.
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
10. Основные свойства определенного интеграла.
11. Теорема о среднем.
12. Производная определенного интеграла по верхнему пре-
делу. Формула Ньютона—Лейбница.
13. Замена переменной и интегрирование по частям в опре-
деленном интеграле. '
14. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
15. Вычисление площадей плоских фигур.
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал
длины дуги кривой.
Теоретические упражнения
1. Считая, что- функция равна 1 при х = 0, доказать,
что она интегрируема на отрезке [0, 1].
2. Какой из интегралов больше:
1 1
KsinxX 2 , fsinx j .
-j- j dx или \ -у- dx?
о * о
47
3. Пусть f (/)—непрерывная функция, а функции ф(х) и ф(х)
дифференцируемые. Доказать, что
Ф (х)
j /(0^ = /[Ф(х)]ф'(х) —/[ф(х)]ф'(х).
<p(,v)
X2
4. Найти ~ С е/г d/.
dx J
V~x
5. Найти точки экстремума функции'
f(x) = $(/— 1)(Z—2)e-*2d/.
6
6. Пусть f(x)— непрерывная периодическая функция с перио-
дом Т. Доказать, что
а + Т Т
J f (х) dx = f (%) dx у а.
а О
7. Доказать, что если f(x) — четная функция, то
О + а + а
J /(x)dx= У f(x)dx = y J f(x)dx.
-а 0 - а
8. Доказать, что для нечетной функции f(x) справедливы
равенства
^/(x)dx = —§f(x)dxH ^f(x)dx = 0.-
___ -а 0 -а
+1
Чему равен интеграл Г sin2xln|i^ dx?
-1
9. При каком условии, связывающем коэффициенты а9 Ь9 с9
интеграл J dx является рациональной функцией?
10. При каких целых значениях п интеграл У V1 Д хп dx
выражается элементарными функциями?
Расчетные задания
\/ Задача. 1. Найти неопределенные интегралы.
1.1.1 (4—Зх) е~3л' dx. 1.2. ’ 1 arctg)/ 4х—1 dx.
1.3. 1 С (Зх+4) e3x dx. ; / . 1.4. ' i (4х—2)cos 2x dx.
1.5. 1 £ (4— 16х) sin 4х dx. 1,6. ’ f (5x—2)e3* dx.
1.7. ! И1 ~6х) е2л; dx. • 1.8. ’ * ln(x2+4) dx.
48
1.9. J ln(4x2J-l) dx. 1.10. * (2—4x)sin2xdx.
1.11. arctg]/ 6x—1 dx. 1.12. ^e-2* (4x—3) dx.
1.13. e-8*(2—9x) dx. 1.14. J arctg]/2x — l dx.
1J5^ arctg У Зх — 1 d %. 1.16. J arctg У5x—1 dx.
1.17. (5x4~6) cos 2x dx. 1.18. J (3x—2) cos 5x dx.
1.19. (xl/~ 2 — 3)cos2xdx. 1.20. (4x4-7) cos 3x dx.
1.21. (2x—5) cos 4x dx. ’ 1.22. ^(8—3x)cos5xdx.
1.23. (x-j-5) sin3xdx. 1.24. (2—3x) sin 2x dx.
1.25. (4x4-3) sin 5x dr. 1.26. j (7x —10) sin 4x dx.
1.27. j (У 2 — 8x) sin3xdx. 1.23. C -^-4-
1.29. C-^-. J COS2 X 1.30. j x sin2 xdx.
J sin2 X
¥ C XCOS X dx /-
1.31. 1 —-T . J sm3 x
Задача 2. Вычислить определенные интегралы.
0 0
2.1.' (х2Ц-5х+6) cos 2x dx. 2.2. (x2—4)cos3xdx.
-2 -2
0 0
2.3. (x2 + 4x+3) cos x dx. 2.4. C (x4~2)2cos 3x dx.
-1
0
2.5. Г (x2 + 7x +12)J cos x dx. 2.6. (2x24-4x4-7) cos 2x dx.
-4 0
Jt л
2.7. (9x2 9x -|-11) cos 3x dx. 2.8. (8x2-|- 16x4-17) cos 4x dx.
0 , 0
2Л 2Jt
2.9. j (3x2+5) cos 2x dx. 2.10. (2x2 — 15)cos3xdx.
0 0
2JC 23T
2.11. (3—7x2) cos 2x dx. 2.12. J (1 —8x2) cos 4x dx.
0 0
0 3
2.13. J (x2+2x+l),sin3x dx. 2.14. (x2—3x) sin 2x dx.
-1 0
Л Л/2 . /
2.15. I (x2—3x4-2) sin xdx. 2.16. | (x2—5x4’6) sin 3x dx.
о J ” ’ : ' f в ” ‘
49
0 Я/4
2,17. j (x2 + 6x+9)sin2xdx, 2.18. \ (x2+17,5) sin 2x dx. *•
-3 0
Л/2 3
2.19. (1—5x2)sinxdxa 2.20. ’ (3x—x2) sin 2x dx.
0 Jl/4
2 P In2X dx
2.21. J х In2 х dx, ’ 2.22.
1 i V~x • >
2.23. 8 СХ J У X2 * 1 г 2.24. 1 J (x+l)ln2(x+l) dx. 0 Л •
3 0
2.25. (х— I)3 In2 (%— 1) dx. 2.26. J (x+2)3 In2 (x+2) dx.
2 — 1
2.27. 2 (х+ I)2 In2 (х+1) dx. 2 2.28. e J j/* x In2 x dx. 1
I 1
2.29, J x2e~^2 dxe 2.30. x2e3* dx.
» Л 0 0
2.31. J (х24-2)ех/2 dx. -9
У Задача 3. Найти неопределенные интегралы.
3.1. 1 Р dx 3.2. ‘ [4+lnx , dx.
, хУх2 + 1 ) X
з.зч I 3.4. ( X2+ln X2 . L L dx.
1 - г г я
J ХК X2 —1 ) X
3.5. | Г xdx L. 3.6. । ^(arccosx)3 — 1 .
1 ]<х4+х2 + 1 I Г1-Х2
3.7. ' tg х In cos х dx. 3.8. ( ; tg(*+i) ri,. |cos2(x-H) • }
3.9. ( X3 . h(xa+f)2 3.10. P 1 — cos X j I — dx. J (x—sinx)2
3.11. P sin X — COS X j \ T i J (cos x+sin х)9 3.12. P xcos'x+sin x У <«»;? d’-
3.13. p x3+x , J хЧ-l dX< 3.14. P x dx
J VX4 —X2—1
3.15. p x dx > 3.16.
J ’ J X— 1
3.17, P (x2 +1) dx 3.18. P 4 aretg x—x .
J (х3+Зх+1)Г \ J • H-X2 dX'
3.19. P X3 \ I dx. J x2 + 4 3.20. P x + cosx , \ о , o-r"— dx. J x- 2 sm x
3.21. P 2 cos x-}-3 sin x J (2 sin x—3 cos x)3- j 3.22. P 8x—aretg 2x . J i+4x2 dx‘
50
J. (/x+%)2 3.24. J хЯ-l dX>
3.25. С -у-~Ь1/Х dx. 3-M ^-2-TT dX‘ J Kx2 + 1 - J Kx2 + 1 3.77. f J d«. »-28. j <” 329 C1 3.30. Cdx. - J xa+l- x- J Kl-x2 3.31. C dx. J x(x-|-l) Задача А. Вычислить определенные интегралы. e2f’ l+ln(x-l) . л О f (*2+l)dx
J X— 1 e +1 1 . o P 4 arctg x — x ~~ M Ц-x2 Cix- 0 23Г ' P x + cos X t 4.5. \ .— dx. J r+2sinx Л " ‘ J (X3 + 3x4-1 )2’- 0 . 2 44 C 4Л-]Х2 + 4- 0 Л/4 4.6. C 2c°s^+3sinx . J (2 sin x—3 cos x)3 n
1/2 4.7. f ^=^g2x J l-J-4x2 0 1 49 f xd* 4.8. ’ i 4.10. . 4Л2. 4.14. 4 _ ' ’ (K-»H-x)“ Vs f 4±l^dx.. j Kx2 + 1 V з •P arctg x-f-x , t *2 J J 1-hx2 0 1 f Xs J x2+T dx“. 0
°- J ?+l* (\ y's A 11 C X—l/X 4.11. \ ~r~ dx. J Vx2+r V~S V~3 4.13. с *-<aict.r)4 dx. J 1 4~x2 0
sin 1 4.15. f ^in^+ldy. 4.16. 4.18. 4.20. 3 r- f l-/x ,
J Kl-x2 Vs ‘ 4 17 C J Гх(х+1) dX- P 1 + In X I — dx. J x 1 Px2-|-lnx2 - I ! J X i
‘ ‘ <bx>G2+r 2 4.19. C
J хУX1 — 1
4 21 C 4.22. 1 C x3
• J/x<+x2+l* J (x2+l)2*' 0
51
л/4 0
4.23. j tg x In cos x dx. 4.24. , С АД+У dx.
0 J* COS2 (х+1)
1/У~2 231
4.25. f (arceosx)3-l 4.26. С 1—COSX f
J П-Х2 J (X—Sinx)2 л
Л/4 л/2
ло- C sinx—cos x , 4.27. i - — - d#» J (COS%+ sin X)$ 4.28. С хcosх+ sinx J (xsinx)2 dX*
0 Л". Л/4
1
4.29. C4±£dx. 4.30. С Х(^х •
J x4+l 0 3 X4 — X2—1 V 2
9
. C x dx
Д Ql I
J ?/x — 1 2 r
Задача 5. Найти неопределенные интегралы.
_ . С х® + 1 Л 5.1. \ ~— dx. 5.2. СЗх3+ 1 ,
J X2 —X J х2—1
5.4. JX2_X—2 •
__ С ЙХ3 —1 . 5.5. 1 т , х dx. 5.6; ’ Г Зх3 + 25 —г— — dx.
J Х2 + х—6 ) х2 + Зх+2 .
С х« + 2х2 + 3 J (х—1) (х—2)(х—3) ' 5.8. 1 " Зх® + 2х2+1 ) (х+2)(х-^2)(х-1) •
е„ е х3 . 5.10. Г х3—Зх2—12
5*9* 1 . !\ / 1 1 1\ "/ 1 1 J (х—1) (х+1)(х+2) J (х—4)(х—3)(х—2)
, ,, С х3—Зх2—12 . 5.11. 777 dx. 5.12. С ^х3 ~ь *2+л
J (х—4) (х—3)х J х (х—— 1) (х—2) х*
- <•> С з*3-2 я 5.13. » —о dx. J X3— X 5.14. Р х3 —Зх2—12 J (х—4) (х—2)xdX"
... Сх6—х3+1 5.15. \ к dx. 5,16. (*х6 + 3х3 — 1 . \ —4-^ dx.
J X2—X J х2+х
Г2х5—8х3 + 3 , 5.17. \ 5—г——dx. 5.18г ОЗх6—12Х3—7 . \ 0 -7- X dx.
J х2—2х J х2 2х
5J9. f=^±’a. V X ОЛ г 5 21 Г х8—5х2+5х+23 5-2L J (x-l)(x+l) (x-5)d^ 5.20. 5.22. ( f —х5 + 25х3Ч-1 t J х2 + 5х ‘ х5 + 2х4—2х34-5х2—7х+9
(х+3)(х— 1) х йХ'
5.23. С 2х^~5х2—8х—8 5.24. С4х4+2х2—х—3 ,
J х(х—2)(х-Ь2) . J X (х—1) (х+1)
5 25 C3x<+3x3^-5x2-F2d 5.26. Г2х4+2х3—41х2+20
5Z5- J х(х-1),(х+2) “•/ J х(х-4)(х+5) йХ-
5.27. С 5.28. С Зх3—х2^—12х—2,
J х(х—3)(х+2) ; ’ J x(x-hl)(x—2)
5 29 С2х*+2х3^ЗхЦ2х-Я • J х(х—1)(х+31 / ш 5.30. С %xs—х^—7х — 12 . J х(х—3)(хЧ-1) dX* ;
52
5.31. Р 2х3— 40х—8 т - dv J х (х + 4) (х—2)
Задача 6. Найти неопределенные интегралы.
0.1. Р х3 + 6х2 + 13х + 9 6.2. P x3 + 6x2+ 13x+8
J (х+1)(х-Н2)^ J x(x+2)3 dX‘
к ч Р х3 — 6х2+ 13х — 6 . 6; 4. Px3 + 6x2+14x+ 10
J (х+2) (х—2)3 Х' J (x + l)(x+2)3 /•
6.5. Р х3 — 6х2 + Их —10 , J (х4-2)(х—2)3 Х‘ Р 2х3 + 6х2 + 7х+1 , \ 7 14 / T"lA UX- J (х—1)(х 4-1)3 6.6. p3 + 6x2+llx+7 J (x+D(x+2)3 • рхз+6х2+10х+10
6.7. 6.8.
J , (x-l)(x+2)3 ax-
6.9. f 2x3-f-6x2 + 7x+2 ’ 6.10. Px3 — 6x2+13x—8 , i ; ~ dx.
J x(x+l)3 ' J x(x—2)3
6.11. P x3 — 6x2+ 13x — 7 . 6.12. C x3 — 6x2 + 14x — 6
J (x-H)(x-2)3 J (x+l)(x-2)3 dX‘
6.13. Px3 — 6x2+ lOx— 10 , 6.14. P x3 + x + 2 . 1 —-i—- dx.
J (x+l)(x-2)3 J (x + 2)x3
6.15. p 3x3 + 9x2+10x+2 6.16. P2x3 + x+l , i ———ax.
J (x-l)(x+l)3 J (x+l)x3
6.17. f2x3 + 6x2 + 7x + 4^_ 6.18. P 2x-3 + 6x2 + 5x
J (x + 2) (x+ I)3 ' • J (x+2) (x+I)3 dX-
6.19. P 2x3 + 6x2 + 7x 6.20. P2x3 + 6x2+5x+4
J(x-2)(x+l)3 x- J (x-2)(x+D3 '•
6.21. P x3 + 6x2 + 4x +24 . J (х-2)(х+2)з 6.22. Px3 + 6x2+ 14x + 4 , ) <x-2)(« + 2). dX-
6.23. P x3 + 6x2 + 18x—4 ж 6.24. (.»'-|-в«Ч-10х+12
J (x— 2) (x+2)3 * J (x—2)(x+2)3
6.25. (* Xs—6x2+ 14x—4 6.26. P x® + 6x2+ 15x+2 j 1 ТгА dx.
J (x+2) (x—2)3 cx‘ J (x-2)(x+2)3
6.27. P 2x3 — 6x2 + 7x—4 . \ —7 z—z r~;— dx. 6;28. P2X3—6x2+7x
J (x—2)(x—I)3 J (x+2)(x-l)3dX- ’
6.29. P x3 + 6x2 — 10x+ 52 6.30. Px3--6x2+13x — 6 . , 1 dx.
J (x—2)(x+2)3 dx‘ Px® + 6x2-l-13x+6 , j (x+2)(x-2)3
6.31.
J (x-2)(x+2)3 ,
V Задача 7. Найти неопределенные интегралы.
7.1. P x3 + 4x2 + 4x+2 J (x+l)2(x2+x+ l) dx- 7.2. Px3 + 4x2 + 3x+2 J (x+l)2(x2+i) dx-
7.3. P 2x3 + 7x2+7x —1 J (x+2)2(x2+kM) <X' 7.4. P 2x® + 4x2+2x—1 ' J (x+l)2(x2+2x+2)dx‘
7.5. P x3 + 6x2 +9x+6 J (x+l)2(x2+2x+2)dX- 7.6. P 2x® + llx2+ 16x+ 10 J (x+2)2(x2+2x+3) dX’
7.7. P3x3 + 6x2+5x—1 J (x+l)2(x2+2) ' 1Я. Px3+9x2+21x+21 J (x+3)2(x2+3) dX
7.9. Px® + 6x2+8x+8 J (x+2)2(x2+4) dx> 7.10. Px3 + 5x2+12x+4 J (x+2)2(x2 + 4) dX>
7.11. P 2X3—4x2—16x—12 . J (x—I)2 (x2+4x + 5)d*‘ 7.12. f —3л?+13х2—13x+l J (x—2)2(x2—x+1)
53
7.13. Р х34~2х24~10х , J (x+l)2(xs-x+l) .
7.15. С 4х34-24х24-20х—28 J (х-1-3)2 (х2+2х4-2) dX’
7.17. С х3 + %+1 d J (х24~*+1)(х2+1) Х'
7.19. О 2х»4-4х2+2х+2 J (х2+х4-1)(х2+х+2) dX'
7.21. Г 4х2 + Зх+4 J (х2 + 1) (х2+х+1) вХ- -
7.23. е 2х2—х+1 J (х2_х+1)(х2+1) dX-
7.25. Г х» + х+1 J (х2-х+1)(х2+1)ах-
7.27. С х34-2х2 + х+1 J (х2+х+1) (x2+l)dX'
7.29. С 2х3+2х24-2х+ 1 J (х2+х+1)(х2+1) dX-
7.31. (* 2х34-Зх2 + Зх+2 J(x2+x+l)(x2+l)dx-
7.14. С Зх3 + х+46 j(x-l)2(x2 + 9)aX-
7.16. С 2х34-Зх2 + Зх-|-2 , J (х2+%+1) (х2+1)
7.18. Р х2 + х+3 - , \ — ! ! dx.
J (х2+х+1)(х2-Н)
7.20. (* 2х3 + 7х2+7х + 9 J (х2 + х.+ 1)(х2-|-х+2) ’
7.22. f Зх« + 4х2 + 6х J (х2+2)(х2 + 2х + 2) Я-
7.24. с х3 4-х2 4-1
J (х2—х+1)(х2+1)
7.26. С 2х?+2х+1 J (х2—х-|-1)(х2+1) *
7.28. С х+4 -dx J (х2+х+2) (х2+2) ах-
7.30. г Зх3 4-7х2+12х+6 J (х2+х4-3) (х24-2x4-3) d;<'
Задача 8. Вычислить определенные интегралы.
2 arc tg 2 я/2
8.1. 8.3. 8.5. 8.7. 8.9. 8.11. 8.13. 8.15. C d,x 8.2. 8.4. 8.6. 8.8. 8.10. 8.12. 8.14. 8.16. P cos x dx
J sin2x(l—cos x) ’ j , Л/2 . 2 arc tg 2 P dx i J 24- cos x’ 0 Я/2 P cosxdx
J sin2x(14-cosx) * л/2 Л/2 P cosx—sinx . / \ —-dx, J (l + sinx)2 ( 0 \ 2 arc tg (1/2) P dx J (1—cosxp* 2 arc tg (1/2) 2 arc tg 3 P dx
J cosx(l—cosx)’ 2 arc tg 2 Я/2 P dx
J sinx(l — sinx) * 2 arc tg (1/3) Л/2 P cos x dx • • 'J (14-sin x—cos x)2’ 2 arc tg (1/2) 2я/3 P 14-sinx v , \ -r-n : dx. J 14-COS x4“S:nx 0 Я/2 P (14-cosx)dx
0 я/2 54-4 cos x * , cosxdx 4
л/з Я/2 14-sinx—cosxe i i sin x dx . J 14- cos x4- sin x ’ 0 2 aretg (1/2) 14-sinx , \ ' 77 7—-5 dx. J (1 — smx)2 0. 2 arc tg (1/3) P cos x dx
0 2 14-cos x + sin x * cos x dx \ J -
0 4~cos x4-sin x ’ J J (1 -H cos x) (Г — sin x) *
54
о
C cos x dx
II 17
J l-|-cosx—sinx
-2Я/3
Л/ 2
8.19. C cos x dx
J . (1 + COS x+Sinx)2 ° 0
л/2
W p sin x dx
J (l-Hsinx)2’ 0
0
8.23. C sin x dx
J (1 + cos x — sinx)2*
- л/2
л/2
8.25. p sin2 x dx
J (l-J-cos x-|-sin x)2‘ 0
2 arc tg 2
К 97 f dx
o.z. z e J sin x (1+sin x)’
л/2
л/2
p sinxdx
B.29. J 2 + sinx*
0
л/2
C sin x dx
8.3J. J 5+3sinx* 0
о
8.18. p cos x dx
J (1 + cos x—sin x)2 ‘
~л/2 2 arc tg (1/2) ч
8.20. P (1 — sin x) dx
J cosx(l + cosx) 0
Л/ 2
8.22. P sin x dx
J (1 -psin xTpcos x)2‘ 0
0
8.24. C cos2 x dx -
J (l-pcosx—sinx)2’
-2л/3 2л/3
8.26. P cos2 x dx
J (1 + cos x’+ sin x)2 ’
0
л/2
8.28. P dx
J (1-j-sinxcosx)2’
0
Л/4
8.30. C
j cosx (1-j-cosx) * 0
Задача 9. Вычислить определенные интегралы.
arc tg 3 л/4 .
С d* 92; С 2ctgx+1 dr
J (3tgx-|-5) sin2x* J _____(2sinx-]-cos x)2 ’
л/4 arc ecs ( 4/V17)
arc cos ( 1/УП - 3 + 2 tgx
j 2 sin2 x+3 cos2 x—1 X*
* Q
arc tg3
' 9-4- t 1----------4 PT 2
J 1 —sm2x-|-4cos2x
Л/4
0.5.
0.7.
0.0.
arc tg (1/3)
f 4+tg± dx. 9.6,
J 18 sirr x-|-2cos2x
0
л/4
C 6 tg x'dx j
J 3 sin 2x-|-5 cos2 x
arc sin (1/Г37)
0
C ______3tg*+i______
J 2sin2x—5cos2x+l
- arc tg (1 /3)
arc cos У 2/ 3
f tgx+2 at-
J> sin2 x-p2 cos2 x—3°
0
Л/4
P 2 tg2x— 11 tg x—22 ,
\ ~---------------dx.
J 4—tgx
0
55
arc tg 3
9.Ю. f — J (sin x + 2 cos x)2 Л/4 arc cos ( I /V 3 ) л/ 4
9.11. C t&x 1 C 6 sin2 X \ —5 =•———— dx. 9.12. \ -dx, J sin2x—5cos-x+4 J 3cos2x—4 Л/4 0 arc tg 3 , arc tg 2
9.13. C _dx 9 14 C 12 + tgx J 2 sin2 х-f-18 cos2 x* ‘ J 3sin2x+12cos2x о о arc tg (2/3) arc sin VTjl
9.15. C e+te* dx -9 16 C tg2*d* J 9sm2x4-4cos2x ’ * * J 3 sin2 x-j-4cos2 x—7‘ о 0 Jt/4 arc sin ( 3/(Vl o)
9.17. C 7+3tgx P 2tgx+5 J (sinx+2cosx)2 J-v" J _ (5-tgx)sin2x ® ' arc sin ( 2/V5) 0 ^/4
9.19. f 3tg2x-50 P 5tgx+2 J _ 2tgx+7 • 'Ж J 2S1n2x+5dX- - arc cos ( 1 /V1 0) 0 arc sin ( 2/V5 ) arc sin V7/ 8
9.21. C 4fg*-5 . 999 C 6sin2xdx J 4cos2x-sin2x+l “*• ' J 4+3cos2x- 3T/4 0
9.23. S 1 1 Q +rv v arC Sin 3/VTo) 1 ~ /У«х. 9.24. C 2fg*~5 dx J . _ tg*~h3 j (4cosx—sinx)2 - arc cos ( 1 / V5 ) 0 arc cos ( 1/V26) я/ 4
9.25. C 36 d* 9 26 C 4~7tg*dx J (6—tg x) sin 2x * * °’ J 2 + 3tg x л/4 0 o . arc sin V2/3
9.27. C dx 0 9R C 8tgxdx J _(sinx+3cosx)2 y-‘£S- J 3cos2x+8sin2x—7‘ -arc sin ( 2/V 5) n/4
. — arc cos ( 1 /V26) зт/ 3
9.29. Г 12dx C tg2X . J _ (6+5tgx)sin 2x' U* J 4 + 3cos 2xaX' arc cos ( 1/V 10) P arc cos ( 1/V6 )
9.31. f VC^dx. J tg2x+5 0 адача 10. Вычислить определенные интегралы. <п'
10.1. л л’. Г 28sin8xdx. 10.2. 24sin6xcos2xdx, Л/2 о 2л 2Я
10.3. V sin4 х cos4 х dx.. . Ю.4. sin2 (x/4)cos6 (х/4) dx. . o' o'
56
Л 0
10.5. 24 cos8 (x/2) dx. 10.6. 28 sin8 x dx.
0 ~ Л/2
л Л
10.7. \ 28 sin6 xcos2 x dx. 10.8. J 24 sin4x cos4 x dx.
л/2 0
2л 2 л
10.9. J sin2x cos6xdx. 10.10. cos8 (x/4) dx.
0 0
Л 0
10.11. f 24 sin8 (x/2) dx. 10.12. 28 sin6 x cos2 x dx.
0 - 4 л
Л л'
10.13. 28 sin4xcos4xdx. 10.14. j 24 sin2 x cos6 x dx.
Л/2 0
2л 2л
10.15. cos8xdx. 10.16. sin8 (x/4) dx.
0 0
л 0
10.17. 24 sin6 (x/2) cos2 x/2) dx. 10.18. ? 2s sin4 x cos 4 x dx.
0 - л/2
л Л
10.19. J 28 sin2 x cos6 x dx. 10.20. j 24 cos8 x dx.
Л/2 0
2л 2 л .
10.21. sin8xdx. 10.22. J sin6 (x/4) cos2 (x/4) dx.
0 0
л 0
10.23. J 24 sin4 (x/2) cos4(x/2) dx. 10.24? 28 sin2 x cos6 x dx.
0 - Л/2
л Л
10.25. C 28cos8xdx. 10.26. 24 sin8x dx.
Л/2 0
2л 2Л
10.27. Г sin6 x cos2 x dx. 10.28. sin4 (x/4) cos4 (x/4) dx.
0 0
Л 0
10.29. J 24 sin2 (x/2) cos6 (x/2) dx. 10.30. 28 cos8xdx.
0 - Л/2
2Л
10.31. sin4 3x cos4 3x dx."
0
3 а д а ч a 11. Вычислить определенные интегралы.
11.1. i _ Г ; 4/4—a:—V3x+1 .' (v 3x+1 + 4 y~ 1 — x) (3x+ I)2 V 64 в z— z— •dx. 11.2. f 1 — J' x-4-2 Vx^ + y xi
57
-7/8 9 11.3. C 6 ^X-+2_^ dx. 11.4. C ]/"f=^dx. -rU<'+2> '^+‘ J 1 2*-2! " • 5 12 11.5. Cef S+* ^T==5- П.6. f iZ-^=Zdx. J (5-[~x) V 25—x2 J V x—14 0 8 1 ./-y—J Ю/3 Г l/ттт dx ,, „ f У х+2+Уx-2 •, J (l+x)Vl~x2 j ( V X-P2— У r--2) (x—2)- 0 5/2 8 2 Г 5]/x+24 я , lft Г Х4-УЗХ-2-10 - 11.9. 1 —— dx. .,11.W. 1 zz— dx. J (x-J-24)2 Ух J J/Зх—2+7 11 11 C -. AZ-x dx 11 12 Г (4_V2-x-y2x + 2) dx
‘ L J V x—12 1 2' J ({/2x4-24-4/2— x)(2x4-2)2’ 6 0 о 4 • nn f 1J14 dx
‘ ‘ J 24- /2x4-1* J ' (44-x) /16—x2* -1/2 0 плз. f. 15Kj+L,dx. иле: f И^+2+g.dx. J8(x+3)2/x - _J/31 +/3x4-5 3 7 Il 17 f dx 11 18 1 У + ^5 dx
J V 2x—7 J (X4-25)2 /x-j-l nl9 f /4/2^-/3x4-2) dx n20 J
J (/3x4-24-4/2—x)(3x-p-2)2 J. (24-x). / 4—x2 ' 0 0 5 ' 1/3 11.21. f l/^dx. 11.22. ( _£2^±L_dx. j r + («-НС V -
15 ____
J /fen*-
9
n,25. f _ -
J (j/ x+2 j/ x+ V x) У x
p e У(6-х)/(6+х) dx
11,27' J (6+x) /36-x«'*
0
11 29 f <4 /*+!) dx
‘ J (/^+l+4/l-x)(x+l)2
24 f (4/1 —x—/2x4-1) dx
J ( У2х 4-1 4- 4 /1 —x) (2x4-1 )«*
4№ r- ' ' \
11.26. ( —........dx,
J x2 Vx — 1
16/15
64 r~ 4/~
f 6—
11.28. I —--------- Z-7=r dx.
/ Ух3—7x—6 у л3
з ____________
Н 30 f ey,-3-*>/<3-^dx >
‘J (34-x))/9=^
58
2
им 1 0 ' 3; i 12.fl. 0 • i fl 2 Л. С I 0 2.5. i I2.X 12.9. ( 0 112.U. < 12.113, i 02.Й5. i 12.fl 7. 2 Г2.И9. 1 IBM 1 ц?. 1 1 \25. и ' (4 У 2—х—]/х + 2) dx
Г(У х+2 + 4]/~2^-х) (х+2)2 1 .дача 12. Вычислить определенные интегралы. е . 1 ! У 256 — х2 dx. 12.2. х2 У 1 — х2 dx. 0 5 3 124 С —
1 (25+ха) /25 + х2. - ' J (9+х2)»/2’ । 0 г5~/2 : 2 I V.±L=. u... J У (5— х2)2 J *4 о. ; I Л-2/2 У"3 Г х4 dx С \ dx . f У(1 —х2)« * J У (4—х2)3 0 о [ 2 ” И Яг Г х2 dx х их 19 1П 1 . —_
; (2—х2у.а9 • J ) .0 2 г ’ У4—x2dx. 12.12. D 0 4 5- С х2 У 16 —х2 dx. 12.14. 5 . " । 5 ч . 4 1 х2 У25—x2dx9 12.16. j 0 0 4 ГГ - 2 1 С dA 12.18. J У (64—х2)3 0 . V : т/"2 3 С —=•. 12.20. С .1 (16—х2) }<16 —х2 J, 0 "I 2 С 12.22. 1 j К(1+хТ’ j 2 6 Г 12 24 С у 16—X2 i dx
(16+х2)3/2‘ f *2 J У 25— х2’ D У16 —x2dx. ^~2 С Ух2-2 ) V dx* г-2 х2 У 9 — x2dx, J dx у (16—Х2Р ‘ £^dx.
.) У(8-х2)-? ’ J 1) ' з 1 ' f yi-x^dx. 12.26. 1 2 X4 't±^dx, Х^
59
2 C dx 12 27 i V 2 f x4dx
" J (4Ц-х2) K4+ x2‘ 0 12.28. j (4__x2)3/2« b
1 12 20 C dx- _ 1 л C x2dx
J (1 X2) ]/ 1 — X2 0 12. > =z . J /4 — x2 0
3/2 Г x2dx 19 Qt 1
J K9— x2' 0
V 3 а д a -4 a 13. Найти неопределенные интегралы.
CEi+KZ, 13.1. i . 4Z— dx. • J X / x3 13.2. CKl+jf x dx. J X f/ x2
13.3. f 1 J x К x i3.5. J X д/ X4
f 1/ 1 + t/x2 13.5. 1 — _ dx. 9/~r J X j/ X8 г У(1+Ух)2 13.6. - I L \1+Х_Л2 dx. J X j/ x5
,3,. J X2 j/4 X 1ЧЙ Г /о+^)2 , 13.8. 1 6/ gx« J X у X5,
. C т/Ь+V~x% ,3s у * 13.10. С r2~tlx dx. J х2У X
J X / X7 13.12. f l/~(l + ^ x)3 dx. j х'У72
13.13. С r (i + i/x2)3 j*. J x2 у x 13.14. f У l + v£x3 dx, j X2y^ X
13.15. f + ;4/x3 dx. J X2 13.Й7 C (l + v^X3)2 1 9 4/~ J X2 у X
13 17 f YL(1+Kx)4dx J X*^. 13.18. f (l + j/_x)4dx J X X3
13.19. Г + dx. I 9. ® /" " J Xz у X 13.20. f (1+ ]/x3) J хг2р/ X1-
г У (r+ y^) A 13.21. 1 J_AL±_L_±2—dx. J x2 У x^. 13.22. f dx. J X2 |Л X
dx
dx.
60
Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных
1 рафиками функций.
14.2. у — х'/'Ч — х2, // — О,
М.1. у = (х~2)3, у—4х —8,
М.З. у — 4 — х2,
у — х2— 2х.
14.5, у = У'4 — х2, // = 0,
х —0, х— 1.
U.7. у = cos х sin2 х, y — Q
(О < х аС л/2).
•<». //=—
X УI + in X
//=0, х —1, х = е3.
11.11. //=(х+1)2,
//2 = х+1. ;
11.13. у=х /36—х2, у=0
(0<х<6). . '
I 1,15, // = xaictgx, // = 0,
х= у~з.
Н,17. х= УёУ—1, х=0?
// = 1п2.
Н.П». // = x/(l + yrx).j/ = 0,
X = 1 . . \; ;
1»?1, х (//—2)3," ' / ;
х 4у—8.
‘ ‘ 2;’' у ’ Х=Л-.
(0<х<3).
14.4. у = sinх cos2х, y==Q
(О <: х л/2).
14.6. у — х2 У4—х2, у = 0
(0<х<2).
14.8. у~ Уех — 1, у— О»
чх==1п2.
14.10. t/ = arccosx, (/ = 0,
х = 0.
14.12. у=2х—х2+3,
у = х2 — 4х + 3.
14.14. х — аг с cos//, х = 0,
// = 0.
14.16. // = х2рг8^х2, // = 0
(0<х<2 /*2).
14.18. у~xj/~4 — х2, у = 0
(О 2).
14.20. у= 1/ (1 H-cosx), у~О,
х = Л/2, х.~—л/2.
14.22. z/ = cos5 х sin 2х, // — О
(О^х^ л/2).
14.24. х = 4—//2, х = //2—2yt ,
6!
14,25. х~-----====- , х~0, у=1}
, yV^l + lny
уЦ&-
14е27. у — х2 рС16 —х2, у = О
(0<х<4).
14.29. у = (х— I)2-,
//2 = х—1.'*
14.31. х = 4—(i/—I)2, х = //2—4z/-[-3.
ei/x
14.26. у — —g-} //==0, х=2, х
14.28. х~ ]/'4=V, х=О,
У = в, у= 1.
1.4.30. # = x2'cosx, у~0,
(О х л/2).
Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных ли
ниями, заданными уравнениями.
х — 4 У 2 cos3 Z, 15.2. | x= У 2 cos Z,
15.1. । у= 2У 2 sin3 Z, 1 y~2У 2 sin Z,
х—2 (х^2). y^2 (y^2).
15.3. х — 4 (Z—sin Z), 15.4. x~ 16 cos3 Z,
//=4(1—cos Z), y~2 sin3 Z,
у —4 (0 < х < 8л, z/^4). x —2 (X^S:2).
15.5. х=2 cos Z, 15.6. J x~ 2 (Z —sin Z),
z/= 6 sin Z, // = 2(1 — cos Z),
У = 3 (r/^3). // = 3 (0 < x < 4л, у 3).
15.7. ( x=?16 cos3 Z, 15.8. J x = 6 cos Z,
// = sin3 Z, y~2 sin Z,
х=бК'3 (x>6/~3). x/-/”3_G^K3).
15.9. f x=3 (Z — sin Z), 15.10. f х=8У 2 cos3 Z,
// — 3 (1 —cos Z), у = 8 (0 < x < 6л, y^3)» ( y~ У 2 si n3 ti x —4 (x^4).
15.11. J x —2]/' 2 cos Z, 15.12. | x= 6 (Z — sin Z),
{ у—ЗУ 2 sin it y = 3 (z/^3). //= 6(1 —cos Z), // = 9 (0 < x < 12л, //^9). ‘ 1
15.13. J x—32 cos3 Z, 15.14. J x —3 cos Z,
| y~ sin3 Z, I y~S sin Z,
x=4 (X^-4). J/=4 (z/Ss4).
15.15. ( x —6 (Z— sin Z), 15.16. J x — 8 cos3 Z,
( у— 6 (1 —cos Z), ( y~4 sin3 Z,
y — 8 (0 < x < 12л, //^6). x = 3/”3 (xSs3/3).
15.17. ( x = 6 cos t, 15.18. ( x= 10 (Z—sin Z),
( y~ 4 sin Z, ( y —10 (1 —cos Z),
(/ = 2)<3 (r/^2K3). у = 15 (0 < x < 20л, y^. 15),
15.19. / x-2/2cos3 t, 15.20. J x— У 2 cos Z-,
1 y= У 2 sin3 tt [ y — 4y 2 sin Z,
x— 1 (x> 1). f z/ = 4(//^4).
15.21. ( x— t — sin Z, 15.22. j x=8 cos3 /,
| y~ 1 —cos Z, 1 // = 8 sin3 /,
//=1 (0 < x < 2л, z/^1). x=l (x^l).
62
I . /3, J x~9 cos t,
I y—4 sin t,
У—2 (y^2).
I " ( x = 24 cos3 t,
( y~2 sin3 t
x=9]<3 (^9)/l)-
I .,27, J x = 2(/— sin /),
| y — 2 (1 —cos /),
y~2 (0 < x < 4л, у ^2).
1^,29. f x~%y~ 2 cos/,
I У — &У 2 sin /,
У=Ь (y^b).
I ».31. x = 32 cos3 /,
</=3 sin3 /,
х=12/'з (x^ 12]<3).
15.24. J x = 8(t — sin /) | у —8(1 — cos /) у= 12 (0 < х < 16л, у^ 12)
15.26. ( х—.3 cos /, j у —8 sin /,
z/ = 4K3_G/^4/'3).
15.28. У х= 4У 2 cos3 /, 1 У= У 2 sin3 /, х=2 (Х^:2).
15.30. J х= 4 (/ —sin/), 1 г/ = 4(1 —cos /j, у~6 (0 < х < 8л, у>s6).
Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных ли-
ниями, заданными уравнениями в полярных координатах.
НМ. r = 4cos3cp, г —2 (г^2).
10.3. г—У* 3cos<p, r=sin<p,
(0*Сф=^ л/2).
|Н,5. г —2 cos <р, г==2К Зэтф
(ОСфСл/2).
10.7. г==б8’тЗф, г—3 (г^З).
Ю.О. Л == COS ф,
г—У 2 cos (ф— л/4)
(~л/4<ф<л/2).
Ю. П, г=6сО8 3ф, г = 3 (г^З).
НМЗ. r = cos ф,
г = sin ф
(0<Ф*С л/2).
НМ 5. r = cos ф, г = 2 cos ф.
IИ 117. г = 1 + V* 2 cos ф<
lb 10. г = 1 У 2этф.
Hi М. г = (3/2) cos ф, г— (5/2) cos ф,
10,23. г = sin 6ф.
Ю •!). r = cos ф + sin ф.
10,27. г — 2 cos 6ф.
Н. 21). г — 3 sintp, г = 5 sin ф.
10.31. Г — ббШф, Г = 4 5Шф.
16.2. Г=СО8 2ф.
16.4. г = 4 зтЗф, г —2 (г ^=2).
16.6. г = 5тЗф.
16.8. Г = СО8 3ф.
16.10. r = sin ф,
Г — У 2 cos (ф —л/4)
(0 ф Зл/4).
16.12. г== 1/2 +sin ф.
16.14. г==У 2 cos (ф—л/4),
г — У 2 sin (ф —л/4)
(л/4 ^ф^ Зл/4).
16.16. г = 8Шф, г = 2 sin ф.
16.18. г— l/2 + cos ф.
16.20. г ==(5/2) sin ф, г = (3/2) sinw.
16.22. r = 4 cos 4ф.
16.24. г = 2 cos ф, > = 3cos ф.
16.26. r = 2 sin 4ф.
16.28. г = созф—sin ф.
16.30. г = 2 sin ф, г = 4 sin ф.
Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных урав-
11ГППЯМИ в прямоугольной системе координат.
L3. //=inx, >л3^х^‘|/'15,
х2 1пх
17.2.
1 <х<2.
63
к __ _
3n 2x’ 8-
17.3. 1 —x2+arcsin x, 0^x^7/9.
17.4. y-±
17,5. ^z^ — Jn cosx, 0^х<л/6. 17.6. z/ —e-^ + 6, In / 8< x< In/15.
17.7. y = 2+arcsinV x+/x—x2, l/4^x^l.
17.8. f/~ln (x2--l), 2^x<3.
17.9. #==/1—x2+arccosx, 0^x^8/9.
17.10. z/p= In (1— x2), 0^Сх^1/4.
17.11. !y — 2+chx, O^x^l. 17.12. y=l — Incosx, О^х^л/6.
17.13. z/ = e* +13, 1n/15=s^x=C In/24.
17.14, y=z — arccos /x+ /x—x2, 0^x^l/4.
17.15. y=.2—ex, In/3^Cx^ln/8.
17,16. y = arcsin x— /1 — x2, O^x^ ||.
16
17.17. y—\ — In sin x, ’л/З^х^л/2. 17.18.г/—1—In (x2—1), 3-Cx<l
17.19. z/= /x—x2—arccos / x + 5, 1/9^ x^ 1.
17.20. y~ — arccos x + /1 — x2 + 1, O^x^ 9/16.
17,21. y — In sin x, л/З^С x^ л/2. - 17.22. z/ = In 7— Inx, / 3sCx=c/"8.
17.23. z/ = chx+3, 0<x^ 1.
17.24. y~ 1 + arcsin x— /1.—x2, 0x^ 3/4.
17.25; y = In cos x + 2, 0<х<л/6.
17.26. z/==ex +26, in/“8<x< ln/24.
Px I p —x
17.27. У=~^---И, 0<x<2.
17.28. y = arccos/x—/x—x2 + 4, 0^x^l/2.
17.29. r/ = (e2^ + e“2x + 3)/4, 0<x<2.
17.30. r/ = ex + e, In/3x^ ln/15.
17.31. z/ = (1—ex—e~x)/2, О^х^З.
Задача 18^ Вычислить метрическими уравнениями. 18.1.P = J(+Sin/i’ | y~b (1 —cos /), 0 t л too J *=4(cos/+*sin t)9 * [ = 4 (sin/ —/ cos/), 0<Z<2 1 ( x— 10 cos3 Z, 10 sin3 Z, 0<Z^.^/2. длины дуг кривых, заданных пара- Jx=3(2c°sZ—cos 2Z), | — 3(2sinZ — sin 2Z), 0 Z =< 2л IS 4 J x = sin Z + 2f C0S f’ ( y—(2^ Z2) cos t+2Z sin t , 0=C Z«С л «Rfi /x=e*(cosZ+sin<), ( y — ^ (cos Z— sin Z), ' О^/^Сл.
18.1P=3!+si+’ I y~ 3 (1—cos Z)# Л^/агр2л { ( 1 . 1 j 2 4cos 2Z, 18.$, < j 14, | /7=™ sin Z ~ sin2Z, 1^2 4 л/2=сЛ «^2л/3.
.64
18.9. < х=3 (cos t^t sin /), 18.10. [ x ~ (/2—2) sin /4-2/ cos t9
у — 3 (sin t — t cos /), ( у = (2 — /2) cos / 4- 2/ sin t,
0=С/^л/3. 0 < / < л/3.
18.11. ( x~6 cos3 /, 18.12. <j [ x~et (cos /4-sin /),
|r/=6sin3/, [ # = ef (cos / — sin /),
л/3. л/2=с ж
18.13. J x=2,5 (t—sin/), 18.14. J ( x = 3,5 (2 cos /—cos 2/J
| у=2,5(1—cos /), ( # = 3,5 (2 sin /—sin 2/),
л/2 ^ / л. 0 /=С л/2.
18.15. J x~ 6 (cos t-}-t sin /), 18.16. < ( x = (/2—2) sin/4-2/cos /,
( y~Q (sin t—/cos /), ( # = (2—/2) cos /4-2/ sin /,
0</<л. - 0 л/2.
18.17. / x = 8 cos3 /, ( # = 8sin3/, 18.18. f x — e1 (cos /4-sin /), ( # = e^ (cos /—sin /),
0</^л/6. 0 ^ / 2л.
18.19. J x = 4 (t—sin /), (# = 4(1 —cos /), 18.20. [ x=2(2cos/—cos 2/), ( #=2(2 sin / — sin 2/),
л/2 / <: 2л/3. 0 ^ / ^ л/3.
18.21. J x — 8 (cos /4-^ sin Of 18.22. < | x = (/2—2) sin/4-2/ cos/,
( у=8 (sin /—/ cos /), # = (2—/2) cos /4-2/ sin /,
0 ^ / <: л/4. 0 ^ / ^ 2 л.
18.23. j x = 4 cos3 /, ( # = 4 sin3/, 18.24. < ( x = et (cos / 4- sin /), ) # = ef (cos / — sin /),
л/6 / ^ л/4/ 0 ^ / =C Зл/2.
18.25. J x=2 (/ — sin/), | #=2 (1 —cos /), 18.26. < ( x = 4(2cos/ — cos 2/), # = 4 (2 sin /—sin 2/),
OsC /<; л/2. 0 <: / <; л.
18.27. f x = 2 (cos / + / sin /), • 18.28. ( x=(^2—2) sin/4-2/ cos /,
( # = 2(sin / — t cos /), 1 #= (2 — /2) cos /4-2/ sin /,
0^ /^ л/2. 0</<Зл.
18.29. f x=2 cos3 /, ( y — 2 sin3 /, 18.30. - f x—et (cqs / + sin /), ( # = e* (cos / — sin /),
О^/Сл/4. ' л/Q^t ^л/4.
х— (/2—2) sin t-\-2t cos t,
y==(2—t2) cos t~\-2t sin t,
0</<л. -
Задача 19. Вычислить, длины дуг кривых, заданных урав*
нениями в полярных координатах.
19.1. р=Зе3ф/4, —л/2 <:ср <л/2.
19.3. р==/2е<Р, —л/2<ф<л/2.
19.5. р = 6е12ф/б, — л/2<ср<л/2.
19.7. р=4е4ф/3, 0<(р<л/3.
19.9. р = 5е5ф/12, 0<ф<л/3.
19.11. р=1—sin ср, —л/2<(р<—л/6.
19.13. р=3(1+siiicp), — л/6=Сф^0.
19.15. р=5(1—созф), —л/3^ф^0.
19.2. р = 2е4<₽/3, —л/2 =s^ ф «С л/2.
19.4. р = 5е5<₽/12, —л/2 =с ф =С л/2#
19.6. р = Зе3<р/4, 0<ф<л/3.
19.8. р=К2еФ, 0^ср<л/3.
19.10. р= 12е12<р/5, 0<ф<л/3^
19.12. р=2(1—coscp), —л<ф^—л/2.
19.14. р —4(1—simp), 0^ф^л/6.
19.16. р = 6 (1 4~sinф), —л/2^ф^0.
^5
3 Л. А. Кузнецов
19.17. р —7(1 —sing)), —л/б^Сф^я/б**
19.19. р = 2ф, ОгСфаСЗ/4. л
19.21. р = 2ф, 0^ф^5/12.
19.23. р==4ф, О^ф^З/4.
19.25. р==5ф, 0 <; ф 12/5.
19.27. р = 8 cos ф, О «С ф <: я/4.
19.29. р = 2 sin ф, 0^ф<:я/6«
19.31. р = 6 sin ф, 0<?ф<:л/3.
19.18. р—8(1—соэф),—2л/3«<ф<;0л
19.20. р=2ф, 0 < ф< 4/3.
19.22. р = 2ф, О ф 12/5.
19.24. р=3ф, 0^Сф^4/3.
19.26. р = 2 cos ф, О^ф^зт/6.
19.28. р=6со5ф, 0<ф<1л/3.
19.30. р = 8 sin ф, 0^ф^л/4.
\
Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверх-
ностями.
20.1. ^-+«/2 = 1,2=(/, 2 = 0 (у^О).
¥% /72
20.3. A_L^--Z2=1, z = 0, z = 3.
9*4
20.2. z = x24-4z/2, z=2<
20.4.
X2 . Z/2 Z2
Т+Т-Зб^
1, 2=12.
у2 <>2
20-5. ie+v+T^1’ г = 1’.г=0'
20.7. г=х2+9/, 2=3.
Г.,2 ~2
v+i-a—'г=,в-
20.6. х24-^2 = 9, 2= у, 2 = 0, (г/^0),
X2
20.8. ^+#2--z2=I, 2=0, 2=3,
T«j2 «2
_+i+£_=,. г_2, г_0.
20.11. ^-+£-=1, г = уКЗ, г=0, (</5s0). 20.12. 2=4.
о 4 .
ifi X2 /V2 Z2
голз. _+ J__?2==I, г==0, 2 = 2. 20.14. _+JL_-=_l, г=12.
ЛЛ \ У* I 2:2 1 о ' ''
20-15- '1б'+’9""^36—z—3> 2~°*
20.16,4-4-4^=1, 2=г/^з, г=о (у^о).
о Ю
20.17. г = х24-5у2, г=5. 20.18. ^-4~^-—г2 = 1( 2=0, 2=4.
20.19. г—20. 20.20. -^+^.= 1, г_4, г=0.
X2 £/2 И
20.21. 2у-4--^- = 1, г=у=-, г = 0 (у^0). 20.22. г = 4ха4-9г/2, г = 6.
Fv.2
20.23. х24~-^* — 22= 1> г=0, г = 3. 20.24. -----1, г=20.
X2 /72 Z2
20.25.-й-+4-+и=|,г_5,г_о.
20.20. 4+’’“'- 2--Л-’г-°
-б/ у з
X2 /'2
20.27. г = 2х24-18г/а, 2=6. 20.28. ^4--%--г2 = 1, 2=0, г=2.
х2 г/2 z2
2-16-
' X2 /72 Z2
г„.3„._+^+та.=1,г=6,;_0.
_ _ _. X2 , у2 i f - :Л-
2О<,31о "iqtI 196 w 2 -—0^1
66
Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных враще-
нием фигур, ограниченных графиками функций. В вариантах
1—16 ось вращения Ох, в вариантах 17—31 ось вращения Оу.
21.1.
21.3.
21.5.
21.7.
21.9.
21.11. # = х2, у2-
21.13. х2,
21.15.
21Л7.
у ——х2 + 5х—6, у= 0.
# = 3sinx, z/ = sinx,
#=sin2x, х — тс/2, y — Q. ч
y=xex, y~Oy x— 1.
y—2x—x2, y ——x-[-2.
x = 0.
17—31 ось вращения Оу.
2x—x2—y = 0, 2x2—4x-H/=0.
y — 5cosx, z/ = cosx, x—0, x^O.
x = y—Ъ , x=l, y — \.
y~2x—x2, y —— x4-2, x = 0o
z/ = e1~^, r/ = 0, x = 0, x=l.
x2+(z/-2)2=l.
21.14. y —x2, */ = 1, x—2.
21.16./^= sin (jix/2), y — x2.
= 0.
21.19.
21.21.
21.23.
21.25.
21.2.
21.4.
21.6.
21.8.
21.10.
21.12
x=0. х—Уу—2 , x=l.
У=х\ y^= Vx9
у = arccos (x/3), у—arccos x, у
21.18. у—arcsin (x/5), # = arcsinx, z/ = 5t/2.
y — x2, x=2, z/=0, • 21.20. y — x24-l, y = x, x=0, x=l.
у=Ух—1 , y — 0, y~l, x=0,5. ’ 21.22. z/ = lnx, x = 2, г/=0.
^ = (x—I)2, y—l. 21.24. z/2=x—2, y=0, y~x\ z/=L
z/=x3, y—x2. 21.26. j/=arccos , #—arccos--, y—Q<
21.27. z/=arcsinx, z/ = arc.cosx, y—0. 21.28. y~x2—2x4-1, x = 2, // = 0.
21.29. y—x3, y = x. 21.30. y— arccos x, // = arasinx, x~0,
21.31. Z/ = (x—l)2^ x=0, x = 2, !/=0.
Задача 22
Варианты 1—10
Вычислить силу, с которой вода-давит
на плотину, сечение которой имеет форму
равнобочной трапеции (рис. 2). Плотность
воды р== 1000 кг/м3, ускорение свободно-
го падения g положить равным 10 м/с2.
Указание. Давление на глубине х
равно pgx. Рцс. 2 .
22.1. а—4,5 м, Ь — 6,6 м, Л?=3,0 м. 22.2. а==4,8 м, 6 — 7,2 м, 6 = 3,0 м.
22.3. а=5,1 м, 6 = 7,8 м, 6=3,0 м. 22.4. а = 5,4 м, 6=^8,4 м, 6 = 3,0 м.
22.5. а=5,7 м, 6—9,0 м, 6 = 4,0 м. 22.6. а —6,0 м, 6 = 9,6 м, 6 = 4,0 м.
22.7. а=6,3 м, 6 — 10,2 м, 6=±4,0 м. 22.8. а —6,6 м, 6 = 10,8 м, 6 = 4,0м.
22.9. а=6,9 м, 6 = 11,4 6 = 5,0 м. 22.10. а = 7,2 м, 6 = 12,0 м, 6 = 5,0 м.
Варианты И—20
Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме
спутника с поверхности Земли на высоту /7, км. Масса спутника
равна m т, радиус Земли 7?3 = 6380 км. Ускорение свободного
падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с2.
3*
-67
22Л1. tn <^7,0 т, Я—200 км.
22.13. /п=6,0 т, Я = 300 км.
22.15. т = 5,0 т, Н — 400 км.
22.17. т = 4,0 т, Н =500 км.
22.19. яг=3,0 т, Н = 600 км.
22.12. /тг = 7,0 т, Н = 250 км.
22.14. т=6,0 т, Н = 350 км.
22.16. /77 = 5,0 т, Я = 450 км.
22.18. /?г = 4,0 т, Н = 550 км.
22.20. т=3,0 т, Я = 650 км.
. - . -> < ’ ?• '
Варна нты 21—31
Рис. з
Цилиндр наполнен газом под атмосфер-
ным давлением (103,3кПа). Считая газ
идеальным, определить работу (в джоу-
лях) при изотермическом сжатии газа
поршнем, переместившимся внутрь ци-
линдра на h м (рис. 3).
Указание. Уравнение состояния
газа pV = const, где р — давление, V —
объем.
22.21. Я = 0,4 м, Л = 0,35 м,/? = 0,1 м.
22.22. Я = 0,4 м, Д = 0,3 м, Я —0,1 м.
22.23. Я = 0,4 м, h = 0,2 м, 7?-=0,1 м.
22.25. Я =0,8 м, Л = 0,6 м, Я —0,2 м.
22.27. Я=1,6 м, h = 1,4 м, Я = 0,3 м.
22.29. Я =1,6 м, Л = 0,8 м, Я = 0,3 м.
22.31. Я = 2,0 м, h~ 1,0 м, Я = 0,4 м.
22.24. Я = 0,8 м, h=0,7 м, Я=0,2 м.
22.26. Я=0,8 м, Л = 0,4 м, Я = 0,2 м.
22.28. Я =1,6 м, h = 1,2 м, Я=0,Зм.
22.30. Я =2,0 м, h = 1,5м, Я = 0,4 м.
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теоретические вопросы
1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Формулировка теоремы существования и единственности решения
задачи Коши.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разде-
ляющимися переменными, однородные и приводящиеся к одно-
родным.
3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравне-
ний первого порядка методом изоклин.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача
Коши. Формулировка теоремы существования и единственности
решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и част-
ный интегралы.
7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение по-
рядка.
8. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линей-
ное однородное дифференциальное уравнение, свойства его ре-
шений. ' \
9. Линейно-зависимые и Линейно-независимые системы функ-
68
ций. Необходимое условие линейной зависимости системы функ-
ций.
10. Условие линейной независимости решений линейного одно-
родного дифференциального уравнения.
11. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фун-
даментальная система решений. Структура общего решения.
12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Струк-
тура общего решения.
• 13. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
стоянными коэффициентами (случай простых корней характери-
стического уравнения). : .
15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по-
стоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристи-
ческого уравнения). t .
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по-
стоянными коэффициентами. Метод подбора.
Теоретические упражнения
1. Пусть /ф—решение дифференциального уравнения L [z/] = 0.
' Показать, что введение новой искомой функции и = у!ух приводит
к. дифференциальному уравнению, допускающему понижение по-
рядка.
2. Написать уравнение линии, на которой могут находиться
точки перегиба графиков решений уравнения y'=f(x, у). /
3. Написать уравнение линии,- на которой могут находиться;
точки графиков решений уравнения y'=f(xt у), соответствующие*
максимумам и минимумам.
Как отличить максимум от минимума?
4. Линейное дифференциальное уравнение останется лйнейным
при замене независимой переменной х = ф(/), где функция ф(/)
произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз. Дока-
зать это утверждение для линейного дифференциального, уравне-
ния второго порядка.
5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается
линейным при преобразовании искомой функции
z/ = a(x)z + P(x).
Здесь 2—новая искомая функция, а(х) .и [3 (х) — произвольные,
* но достаточное число раз дифференцируемые функции.
6. Составить общее решение уравнения у' +р (х) у = 0, . если
известно ненулевое частное решение ух этого уравнения,
7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые
функции /л(х) и у2(х) являются, решениями линейного дифферен-
циального уравнения. ,
У Уг у2
У’ У[ У2
ff ff ft
У У1 У2
0.
69
8. Составить однородное линейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка, имеющее решения t^ — x, #2—х2.
Показать, что функции х и х2 линейно независимы в интер-
вале (—оо, —оо).
^• Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функ-
ций равен нулю в точке х = 0. Почему это не противоречит не-
обходимому условию линейной независимости системы решений
линейного однородного дифференциального уравнения?
9. Найти общее решение неоднородного линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка, если известны три ли-
' нейно-независ$мые частные его решения у2 и у3.
10. Доказать, что для того чтобы любое решение линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэф-
фициентами удовлетворяло условию lim z/(x) —0, необходимо
X -> + СО
й Достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения
имели отрицательные действительные части.
< -
Расчетные задания
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального урав-
S7 йения. (Ответ представить в виде ф(х, у) = С.)
1.1, 4xdx—Зуdy — 3x2y dy—2ху2 dx.
ИД V^+y2 dx—ydy~x2y dy. v
1.5, 6х dx—6y dy — 2x2y dy — 3xy2 dx.
.1.6, #V3+z/2 dx-]ry У2-\-x2 dy — 0.
1.7, (e2x~p5) d//4-r/e2x dx — 0.
* 1.9, 6xdx—6y dy= 3x2y dy—2xy2 dx.
1.10. хУ^+у2 dx^-y У4-+-Х2 d# = 0. ’
1.11. */ (44-ex) dy—e*dx = 0.
1.13. 2x dx—2y dy — x2y dy—2xy2 dx.
1.14. x У4+У2 dx+y УТ+^ dy = O,
1.15, (ex J- 8) dy—yexdx^0.
1.17, 6x dx—у dy=yx2 dy—3xy2 dx.
1.19. (14-е*) у' = *уех.
1.21, 6xdx—2y dy — 2yx2 dy—3xy2 dx.
4 1.23. (3 -j- e^) yyf = e^.
1.25. xdx—ydy — yx2dy—xy2 dx.
1.26. /б+F dx+4(x2«/.+i,)d{/ = 0.
1.27. (1 +ex) yy'—ex.
_ 1.29. 2x dx—у dy—yx2 dy—xy2 dx.
1.30. 2x+2xz/2 + /2—x2 y' = o.
1.31. 20x dx—3y dy=3x\dy—5x</2 dx.
76
‘ 1.2, x V 1+f/2 +yy' Уl+x2 =0.
1.4.. |^3-[-i/2 dx—у dy = x2y dy.
y'y
f 1
1.12. V4—x2' ^'-|-х^2+х=0.
1.16. л-у'уУ\^^,
1.18. у lnj/-|-xz/' = O.
1.20. У1—x2 </'4-хг/2-|-х = 0.
1.22. z/(l-|-lnz/)+x«/' = 0.
1.24. 1кг3+р' + yy'=0.
9
1.28. 3 (x2y+y) dz/+ У2+^ dx=0.
Задача" 2.. Найти общий интеграл дифференциального урав-
нения. z 2-’- У'=-$-+4т+2* . ?У . X • - - у оо , Зг/3 + 2?/х2 2.2. ху' = - , ~~ . е 2//2 + х2
*2.3. - *— У | 2.4. ху' — ]/x2+z/2 -\-у.
2-5. 2у'=^&^: 2 6 w_3^34-4«/x2 ху 2у2+2х2
2.7. г/'==£±±£, 2х—у а 2.8. xy'=2 V х2+у*+у,
2.9. 3/=-g-+8|+4. (? о !Л Г 3z/3-|-6z/X2 2ло: ху ~ 2у^ •
2П х2+х</-</2' V х2—2ху 2.12. ху' = У2х2-\-у^ +у.
2.13. y'=-g.+6^+6. п 1л S 3у2-^3ух2 . 2.14. ху' = , У , » 2у2 + 4х2
2.15. у> . у 2х2—2ху 2Л6. ху' — 3 угх2 + у2 -f-y.
2.17. 2у' =-5-4-8^+8. 2 18 х../ 3У34-Ю«/х2 2.18. ху 2г/2 + 5х2 .
Л г Х2-}-Зху— у2 2.19. у Зх2_2ху * 2.20. ху' = 3 ]/"2х2+у2 4-у.
2.21. «/' = -5-4-8^4-12. Л Л l»2 — 1— Y1 / - - 3 / *2 *2 22 х»'- 3У34-12.^2 • У 2г/2+6х2 •
1 9 9о / 1 ХУ . 12.23. У хй—4ху ‘ 2.24, ху' = 2 j/”Зх2-|- г/2 4-у.
2.25. V =-5-4-10^4-5. 2 26 ху'- ху 2у? + 7х2 *
2 27 ,/ = *24-х«/-5^ z z • у х2—6ху 2.28. ху = 4 ]/х2+У-р-«/,
2.29. 3«/' = -5-4-10f4-10. 2.30. ху' — 4 У 2х2-}-у2 -\-у*
.. q. , _ хЧ-2х£—5у2 4 2х3—бхг/ * t ' ,
Задача 3. Найти общий интеграл .дифференциального уран-*
пения. к
У 2г— 2 9 у 3 2 г - *4-у-2 °- У 2х-2 •-
. Зу—х—4 У - Зх+З • 1 л ' —2 у а x-Yy—2
<|К *4-«/-2 3 6 и' — ^х4~«/ —3
’ ‘ ' Зх—у—2 б.о. у - х_х .
х+7у-8 •’7‘ '! дх—у—8 * 3 8 и' — х4- 3«/ + 4 3-8- У Зх-6 •
а„ / = :_^±Ъ, " 2х+«/-1 ’ З.Ю. /=^^+2«/-3 > Л у 4х—у—3
... ,/ .*-2у4-з ',J,< у “ -2Х-2 * 3 12 и' — х + 9 . 3,12‘ У Юх-у-9 *
ft
3 13 у' — 2х 4~ Зг/—5 3 1д z/ _ 4г/-8
5х—5 Зх 4~ 2//—7
3.15. у' = х 4- 3//— 4 5х—у — 4 3.16. у' = .У—^х 4~ 3 X—1
3.17. у' = х 4~ 2//— 3 3.18. //' = 3x4-2//—1
х—1 х+1
5</+ 5 Q 0П х4-4у—5 •
О.1У. у — 4x4-3//— Г 6х—у—5 * *
3.21. у' = х-\гУ-\-% х4-1 * ' 3.22. у' = 2х+у—3 . 4х—4 *.
4 3.23. г/' = 2х -}-//—3 2х—2 * 3.24. у' = . У 2х~\~2у—2
3.25. у х+5у—6 7х—у—6 ' 3.26. //' = х+у—4 х—2 *
3.27. у' — 2х+у—1 2х—2 3.28. yf = 3//—-2x4-1 Зх+З *
3.29. у’ — 6г/ —6 5х4-4</—9 3.30. у' = х+6//—.7 8х—у—7 *
3.31. у'- Z/+2 ’ 2х+у—4 ”
V Задача 4. Найти решение задачи Коши.
4.1. y'—ylx~ *2, У (0 = 0.. 4.2. //'—//ctg х = 2х sinx,//(л/2) = 0.
И.З. //' + //cos x—-g-sin 2х, г/(0) = 0. 4.4. у’ -j- у tg х — cos2 х, у (л/4) = 1/2.
4.5. у'—y(-l) = 3/2.
4.6. у'-1— у=ех (*+1). У (0)= 1-
X “Г *
4.7. у' —^-=xsinx, у 0bJ=l.' 4.8. у' + ±=^.пх, у(л)=-±-._
4.9. г/(1) = 1. 4.10. /4-^//=^^, г/(0) =
со | к>
4.11. у'-—^-у=3, г/ (2)4.
4.13. у'-±=-2-!^, z/(i) = i.
4.15. г/' + у«/=^, г/(1)=—5/6.
4.17. у'—JgL-=l+x^(l)=3.
4.19. //'+—-^Д-, г/(1) = 1.
* 1 X X3 * 4 '
Л . ху х /Л. 2
4-21. У + 2(1—ха) ~"2’ 3 *
4.12. г/(1)=е.
4.14. /-|=—(/(0 = 4.
4.16. у'+^Зх, у (1)^1- '
4.18. у'+1^у=\, ц(1) = 1.
4.20. //'4~2х// = —2х3, //(1)=е~А
4.22. //'4-х// = —х3, у (0) = 3.
44.23. у'-—lj-z/ = e*(x+l)2, z/(0)== 1.
. - 4.24. у' + 2ху — хе~ *2 sin х, у (0) = 1
72
4.2}. у'—2у/(х+1) = (х+1)3, у(0) — 1/2.
4.26. у'—ycosx = —sin2x, */(0) =3.
4.27. /-4х//=—4Х3, z/(0)=--|-. 4.28. У'-^=-^->Д(1) = Ь
4.29. у'— Зй/=х2(1-’-х3)/3, у(0) = 0. 4.30. у' — у cosx = sii)2x, г/(0)=—1,
4.31. у' —у1х=—2/х2, =
Задача 5. Решить задачу Коши.
5.1. </2dx+(x+e2/i/)dz/ = 0, у|х=е=2. , '
5.2. (у%У-]-2х) у' = у, z/|x=o = l-
5.3. ifdx-\-(xy— 1) dz/ = O, z/|x=i=e.
5.4. 2(4j/2+4j/-x)i/' = 1, j/|x=o=O.
5.5. (cos 2y cos2 у—x) y' = sin у cos у, у U=i/4 — л/3.
5.6. (x cos2 у—у2) у' = у cos2 у, у]х^л = п/4.
5.7. ely2(dx—2xydy)=ydy, fz|x=o=O.
5.8. (104рЗ— x)y'=4y, f/lx=8 = 1-
5.9. dx+(xy—y3)dy=0, Z/|x=-t = O.
5.10. (3y cos2y—2y2 sin2y—2x) y' =y, {/|х=1в = л/4.
5.11. 8(4y3+xy—y)y' = f, ylx=a=0. .
5.12. (21nr/—In2//) dy—ydx—xdy, y\x-t,—^2-
5.13. 2(x-\-yi)y'—ih </|x=-2 =—1-
5.14. у3 (у—1) dx+3xz/2 (y— 1) d«/ = (j/4-2) dz/, t/|x=i/4—2.
5.15. 2«/2dx+(*+et/zz)d//=0, f/|x=e.= l-
5.16. (xy+ Vy) dy+y2 dx=0, f/|x=-i/2=4.
5.17. sin 2z/dx=(sin22z/—2sin2z/4-2x) dy, y\x=-iin = nl4.
5.18. (y2 + 2y-x) y' = \,y |x=2=0.
5.19. 2//1Л/ dx—(бх У у +7) dr/ = O, </|x=-4 = l.
5.20, dx = (sin z/-j-3 cos </+3x) dy, у | я/2 = n/2.
5.21. 2 (cos2 у-cos 2y—x) y' = sin 2y, у [x=8/2 =5л/4.
5.22. clij/dxF=(lH-xsh z/) dr/, f/|x_1 = ln2.-
5.23. (13p®-x) if = 4y, у К=Б = 1.
5.24. у2 (y2-\-4) dx-\-2xy (y2+4) dy=2dy, у |х=л/8 =2.
5.25. (x+ln2!/—Iny)y'=y/2, i/|x=2 = l.
5.26. (2ху-\-У~у) dy+^ dx=0, z/|x=_1/2 = l.
5.27. i/dx+(2x—2 sin2!/—у sin 2y) dz/ = O, у |x=3/2 = n/4.'
5.28. 2(!/3— y-\-xy)idi/ = dx, «/|x=-2 = 0.
5.29. (2y+xtg y—y2tg y) dy = dx, i/|x=0 = n.
5.30. 4y?dx-f-(eV(2J!> + A;)d!/=0) J/|x=e = l/2.
5.31. dx+(2x+sin 2y—2cos2y) dy = 0, y|x=-i=0.
v Задача 6. Найти решение задачи Коши.
6.1. {/'+х!/ = (1+х)е-ж!/2, f/(O) = L.
6.2. ху'-\-у = 2у2 inх, {/(!) —1/2.
6.3. 2(ху' -\-у)=ху2, i/(l)=2. »
6.4. у'-\~4х3у = 4 (х3 + 1) e~ixy2, у (0) = 1.
6.5. X//—у — — у2 (lnx+2) In х, у (1)= 1.
6.6. 2(у'+ху) = (\+х)е-ху2, у(0)=2.
6.7. 3(xz/'+f/)={/2lnx, !/(1)=3.
6.8. -,. 2у'-У-усозх = ут1 cos х (1 + sinx), у (0) = 1.
73
6.9. z/'+4xsy = 4f/M* (1 — xs), у (0) =—I.
6.10. 3y'+2xy=2xy-%-Sx2, /y(0)=—1.
6.11. 2xy'— 3y = — (5x2+3) ys, #(l) = l/)<2.
6.12. 3xy'-)-5y=(4x—5) у*, y(l) = l.
6.13. 2/ + 3z/cosx=e2jc (2 + 3cosx) z/~\ z/(0) = l.
6.14. 3(xy'+(/)=xy2, y(l) = 3.
6.15. y'—y=2xy2, у (0) = l/2.
6.16. 2xy'—3y=—(20x2+12)ys, у (1) = 1/2 j/"2 .
6.17. y'+2xy=2xsys, z/(0)=l/2’.
6.18. xy'+y=ys Inx, z/(lj = l.
6.19. 2/H-3ycosx=(8 + 12cosx)e2jcz/-i, z/.(0)=2.
6.20. 4^'+x8f/=(x®+8)e-2V. */(0)=l.
6.21. 8xy’ — 12z/= — (5x2+3){/2, у(1)=У2.,
6.22. 2(y' + y) = xy2, z/(0) = 2.
6.23. y,+xy=(x—l)exys, r/(0)=l.
6.24. 2y'—3z/cosx=— e-2* (2+3 cos x) y~\ y(0)=l.
6.25. y’—y=xy2, z/(0)=l.
6.26. 2(xz/' + z/) = z/2lnx, z/(l) = 2.
6.27. у' + У = ху\ 1/(0)= 1.
6.28. y'+2z/cth x=y2-ch x, . у (1) = 1/sh 1 v %-
6.29. 2(u'+xz/) = (x—l)eV> 1/(0) = 2.
6.30. y'.-y tg x= - (2/3) i/4 sin x, у (0) = 1.
6.31. xy'+y=xy2, 1/(1)= 1. \
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального урав-
нения.
7.2.
*7.3.
Зх2 e^dx + fx3 еУ — 1) dy— 0.
о 1 2 2х\ . 2х 2х
( Зх2+-—cos — ) dx-9 cos —dz/— 0.
\ £/ У J У2 У
(Зх2+4#2) dx + (8xz/+&) dy=0.
(2х=—1—dx—(2у—-^dz/=O.
к х2 J \XJ
7.4.
7.5. (A/2+f/sec2x) dx+(2xA/4“tgx) df/=O.
7.6. (3x2t/ + 2z/+3)dx + (x34-2x+3A/2)dA/-0. ,
X | 1 . i \ J . t У «1 X J ________________ Л
yrx2+^’’“*”^"7) Х^\Угх2+у2 y У2)у~'л
7.8. [sin2x—2cos (*+//)] dx—2cos (x-\-y) dt/=O.
7.9.
7.10.
7.7.
(ху^+х/у2) dx + (x2f/—х2///3) dy = 0.
/ 1 За/2 \ л 2у А
—4* dx----^dy—0.
кх2~х4 J xi J
-^+2г/^ d//=0. „
_Л<Ц/=О.
У2)
7.14.^-^di/=0.
7.16. (xe*+|Adx—i-d//=0.
7.11. Л-cos
Xs :
( *=-+i/Ydx+(x4-
\.y\2+i/2 J \
„ 1+xy J , 1— xy , n
7.13.^dx+-^di/=0.
7.15. idx-^±ldi/=0.
Л Л
7.12.
cos
74
*+ +xSv~y2 sin ’*)dv
7Л8'•
7.19. e^dx+(cos у+хеУ) dv=O. ’
7.20. (^ + cos x) dx+(3xf/2+e^) dr/—0.
7.21. хеУ2 dx-)-(x2i/e^ + tg2//) dz/=O.
7.22. (5xz/2—x3) dx + (5x2# — y) dy—O.
/ 7.23. [cos (x+ y2) + sin x] dx + 2y cos (x+y2) dz/= 0.
7.24. (x2—bxy—2y2) dx+ (.V2—4x$—2x2) d// —0.
7.25. ^sin dx+ ^xcos y—cosx+~'j dr/ — 0.
7.26. (1+ ~ d*+ (1 —dz/=O.
7 27 dx+^c+y) dt/_0
' x24-i/2
7.28. 2 (3xj/2 + 2x3) dx-]-3 (2x2(/+«/2) dr/ = O.
7.29. (Зх3 4-6x2(/+3xz/2) dx-|-(2x3-|-3x2(/) dt/=O.
7.30. xy2dx-}-y (x2+ г/2) dy= 0,
7.31. x dx+z/dz/+(x dy—t/dx)/(x2-f-t/2) = 0.
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения мето*
дом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через
точку М.
8.1. у'=у—X2, М(1,2).
8.3. / = 2+/, Л1(1,2).
8.5. / = ({/—1)х, М (1,3/2).
8.7. / = 3+f/2, М(1, 2).
8.9. у' (x24-2)=j/, 7Й (2, 2).
'8.11. у' = у—х, М (9/2, 1).
8.13. у' — ху, М (0,—1).
8.15. {// = --£, /И (4, 2).
8.17^ /=х+2</, М(3, 0).
8.19. Зуу' = х, М(— 3, — 2).
8.21. х2—y2-\-2xyyf — 0t М (—2, 1).
8.23. у'=у—х, М (2, 1).
8.25. у' —у—х, М (4, 2).
8.27. у' = х2—у, М (0, 1).
8.29. х2—у2-\-2хуу' — О, М(—2, —1).
8.30. у' = х(у—1), М(1, 1/2).
8.2. уу'~—2х, М (0, 5). ]
8.4. \'=g, Л4(1, 1).
13 У
8.6. да'+х=0, Л4(—2, — 3).
8.8. ху' = 2у, М (2, 3).
8.10. х2—y2-Y2xyy' — О, М (2, 1).
8.Г2. у'=х2— у, М (1, 1/2).
8.14. у' = ху, М (0,1).
8.16. 2(г/+^') = х4-3, М (1, 1/2).
8.18. ху' = 2у, Л4(1,3).
8.20. у'=у—х2, М (—3, 4).
8.22. у' = х2—у, 7И(2, 3/2).
8.24. уу' = —х, М (2, 3).
8.26. Зуу' = х, М (1,1),
8.28. у'^Зу2/?, Л4(1,3).
8.31. у' = х+2у, Ж (1,2).
Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М9 и
обладающую/тем свойством, что в любой ее точке М нормальный
вектор MN с концом на оси Оу имеет длину, равную а, и обра-
зует острый угол с положительным направлением оси Оу.
9.1. Л1в (15, 1), а=25. : 9.2. Л40 (12, 2), а =20.
/
75
9.3. Мо (9, 3), а— 15. Ч 9.4. Мо (6, 4), а= 10.
9.5. М0(3, 5), а=5.
Найти линию, проходящую через точку М09 если отрезок
любой ее нормали, заключенный между осями координат, делится
точкой линии в отношении а:Ь (считая от оси Оу).
9.6. Мо(1, 1), а:Ь=1:2. 9.7. Мо (—2, 3), а:&==Г:3.
9.8. Мо(О, 1), а:£> = 2:3. 9.9. MQ (1, 0), а:£ = 3:2.
9.10. М0(2, —1), а:6 = 3:1. ?
Найти линию, проходящую через точку Мо, если отрезок любой
ее касательной между точкой касания и осью Оу делится в точке
пересечения с осью абсцисс в отношении а:Ь (считая от оси Оу).
9.11. Мо (2, —1), 9.12. Мо (1, 2), л:& = 2:1.
9.13. Мо(—1, 1), а:Ь = 3:1. 9.14. Мо (2, 1), а:6=1:2.
9.15. Л10 (1, —1), а:д=1:3.
Найти линию, проходящую через точку 7И0, если отрезок
любой ее касательной, заключенный между осями координат,
делится в точке касания в отношении а:Ь (считая от оси Оу).
9.16. Мо(1,2), а:^==1:1. 9.17. Мо(2, 1), а:Ь=1:2.
9.18. Мо(1,3), а:Ь —2:1. ' 9.19. Мо (2, —3), а:&~3:1.
9.20. Мо(3, —1), а:Ь = 3:2.
Найти линию, проходящую через точку Мо и обладающую
тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор MN
с концом на; оси Ох имеет проекцию на ось Ох, обратно пропор-
циональную абсциссе точки М. Коэффициент пропорциональности
равен а.
9.21. Мо(1, е), а= —1/2. 9.22. Мо (2, е), а=—2. .
9.23. Мо(— 1, КТ), —1. 9.24.;М0'(2, 1/е), а=2.
9.25. Мо(1, а= 1/4.
Найти линию, проходящую через точку Мо и обладающую
тем свойством, что в любой ее точке М касательный вектор MN
с концом на оси Оу имеет проекцию, на ось Оу, равную а.
9.26. Мо(1, 2), ,а = —1. 9.27. Мо(1, 4), а=2. .
9.28. Мо (1, 5), а=— 2. 9.29. Мо (1, 3), 4.
9.30. Мо(1, 6), а=3. ' * 9.31. /Ио(1, 1),
Задача 10.
нения.
10.1. у'"х In х=у”.
10.3. 2xy"’=tf.
Г
10.5. tgx.y/~/ + -^~ = O.
Ь J J ' S.DX
10.7. у"г ctg 2x + 2r/"= 0.
10.9. tg x- //" = 2//'.
10.11. xV+xV-1.
10.13. (1 + x2) #"+2xr/' = x3.
10.15. xtj'"—//"+-1=0.
Найти общее решение дифференциального урав-
10.2. xj/"'+//"=l.
10.4. xy"' + y" = x-[-\.
10.6. ~x2y"+xy'=l.
10.8. x2y'"+x2y"= 1.
10.10. //"cth2x = 2.y".
10.12. xy'"+2y"=6.
10.14. x5z/"'+xV= 1.
10.16. xy"'+y"-\-x=0.
76
10.17. thx-0IV = 0'". 10.18. xy"' +y" = Vx . '
10.19. y'"tgx = y''-]-lt 10.20. y"' tg 5x = 3y",
10.21. /"th7х=7/. 10.22. x3/"+x2/= Vx.
10.23. cthx-0" /+chx —°- 10.24. (x+1) /"+/'= (x-
10.25. (1 + sinx) г/'" = cos *•//". 10.26. x/"+/'^-4=-. у x
10.27. -x/"+2/=^. 10.28. cth xy" + y' = ch x.
л „ 2x
10.29. x40" + x30,=4. 10.30. t/'+-—y' = 2x.
10.31. (l+x2)/+2x/ = 12x3. к ш
Н).
\7 Задача 11, Найти решение задачи Коши.
«м. 4//=/-1, y(O)=V2, /{0) = 1/(2 УТ>. .
11.2. г/'=128г/3, 0(0)= 1, /(0)=8.
11.3. //+64=0, г/(0) = 4, /(0)=2.
11.4. /+2 sin 0 cos3 0=0, /7(0) = 0, у' (0) = 1.
11.5. tf=32 sin3 yjcos у; у (1) = л/2, у' (1) = 4.
11.6. /'=98/, 0(1)= 1, /О) =7.
11.7. //+49=0, 0(3) = -7, _/(3) = -1.
11.8. 4//=16/-U 0(0) =/2/2, /(0) = 1//2.
11.9. у"+8 sin у cos3 # = 0, #(0) = 0, у' (0)=2.
11.10. у” =72^, #(2)=1, ^/'(2) = 6.
11.11. У7/3 + 36 = О, г/(0) = 3, у'(О)—2.
11.12. yv~ 18 sin3 у cos у, y(l) — rt/2, у'(\) = 3.
11.13. 4//=/-16, 0(0) = 2/2, /(0)=1//2.
11.14. / = 50/, 0(3)= 1, /(3)=5. ч
11.15. //+25=0, 0(2) = —5, /(2) = —1.
11.16. /+18 sin </cos3£=0, 0(О)=О, /(0) = 3.
11.17. у”~ 8 sin3 у cos у, 1/(1.) = л/2, ^'(1) = 2.
11.18. ^ = 32^, #(4)=1, */'(4) = 4.
11.19. y”if +16 = 0, £/(1) = 2, #'(1) = 2.
r 11.20. y"+32 sin у cos3 у = 0, у (0) = 0, у' (0) = 4.
11.21. у”~ 50 sin3 у cos у, 1/(Г) = л/2, //'(1) = 5.
11.22. ^"=18^, Н1)=1, /(1)=3.
11.23. #У+9=0, ^-(1)==1, /(£)=3.
11.24. //=4(/-1), 0(О)=УТ, /(0)=/2.
11.25. /+50 sin </cos3 0 = 0, 0(0) =0, 0'(0) = 5.
11.26. /= 8/, 0(О) = 1, /(0) = 2.
11.27. //+4=0, 0(0) =-1, /(0)=-2.
11.28. у"=2 sin3 у cos у, 0(1)=л/2, 0'(1) = 1.
11.29. //=/ —16, 0 (0) = 2 У2 , у' (0) = /2.
11.30. / = 2/, 0(-1) = 1, /(-!) = 1.
11.31ч/ / + 1=0, 0(1) = -1, /(1) = -1,
77
Задача 12, Найти общее решение дифференциального урав-
нения.
12.1. /"4-3/4-2/ = 1—х2. 12.2. /’—/ = 6x24-3x.
12.3. у'"—у'—Х^-\-Х. > , 12.4. /v_3/o+3/_/ = 2x.
12.5. /v—/"=5 (x-}-2)2. 12.6. /V—2/"4-/=2x (1 —x).
12.7. /v-|-2/"4-/'=x24-x—1, 12.8. yv — ylv=2x -]- 3.
12.9. 3/v4-/"=6x—1. z 12.10. /v4-2/"4-/ = 4x2.
12.11. z/"'-|-2/’ = 5x2—1> 12.12. /v4-4/"-|-4/=x—x2.
12.13. 7y"'—f= 12x. 12.14. /"4-3/4-2/ =3x24-2x.;
12.15. </'=3x2—2x4-1. 12.16. /"—/=4x2—3x4-2.
12.17. у1У—Зу'"^^‘ — у'=Х — 3, 12.18. /V+2/" 4- / = 12x2—6x.
12.19. У"—4z/'=32—384x2. 12.20. / V 4- 2j/'" 4- /=2—3x2.
12.21. /"4-/ = 49 —24x2. 12.22. y'"—2/=3x2 4- x—4.
12.23. y'"—13z/"4-12/ = x—1. 12.24. /V4-/"—x.
12.25. y"'—/ = 6x4-5. 12.26. /"4-3/4-2/ = x24-2x4-3.
12.27. /"-5/4-6/ = (x-l)2. 12.28. y^—&y"' -\-9tf=3x—\.
12.29. y'"—13/4-12/ = 18x2—39. 12.30. /V_|_/»= 12x4-6.
12.31. y'"—5tf 4- 6/ = 6x2 4- 2x—5. X
> Задача 13. Найти общее решение дифференциального урав-
нения.
13.1. у'"—4/4-5/—2// = (16 — 12х) е~*. -
13.2. у'"—3/4-2/= (1 — 2х)е*.
13.3. у'"— f—/4-// = (Зх4-7)е2*.
13.4. у"'—2у"+у' = (2х+5) е2*.
13.5. у'"—3/4-4jr = (18x—21)е~ж.
13.6. у"'——4у = (2х—-5)ех.
13.7. у'"—4/4-4/ = (х— 1)е*.
13.8. </'4-2/4-/= (18x4-21) е2*.
13.9. y'"-\-tf—У'—У — (8x4-4) ех.
13.10. у'"—Зу' —2у=— 4хе*. "
13.11. у”—Зу' + 2(/= (4х-|-9) е2*.
13.12. /"-J-4/4-5у'4-2//= (12x4-16) е*.
13.13. у"' — if—2/ = (6х— 11) e~*.
13.14. у"'-\-у"—2у' — (8х4-5) ех. ».
13.15. y'"+W4-4/ =(9x4-15) е*. 1 - , • •'> <
13.16. /"-3/-/4-3// = (4-8х)е*.
13.17. у"’—tf—4y'+4y=(7—6х)е* /
13.18. /"4-3/4-2/ = (1—2х)е~*. .
13.19. у'“—5f+7y' -r3y= (20— 16х)е~*:
13.20. у"—4/4-3/ =—4хех. __
13.21. у'"—5/4-3/4-9#=е-* (32х—32).
13.22. /"—6/4-9/= 4хе*. '
13.23. у"'—7/4-15/—9f/=(8x—12)е«.
13.24. у'"—у"— Зу’— Зу=— (8x4-4)е*.
13.25. //,я4-5У’4-7/4-3(/ч=(16х-|-20)^.
13.26. у'"—2/—3/ = (8х—14) е~*. V
13.27. y"l-\-2f—3/ = (8х4*6)е*.
' 13.28. f/"'4-6/4-9/ = (16x-h24)e^'
78
13.29. у'”— у"—9уг -{- 9// = (12 — 16х) е*.
13.30. #'"+4#"+3#'=4(1—х)е~*.
13.31. y^+ tf—Gy' =,(20x4-14) е‘+ у
lz Задача 14. Найти общее решение дифференциального урав-
нения .
14.1. ч zf+2/ = 4e* (sin x+cos х).
14.3. y”-\-2yr~—2е* (sin x+cos х)
14.5. —|-5//— sin 2x.
14.7. yn-\-2y'ex (sin x+cos x).
14.9. . ^+6/+ 13f/=e^ cos 4\.
14.11. f/" + 2/ + 5r/=—2 sinx.
14.13? #" + 2/ = 10e* (sin x+cos x).
14.15. y"-\-y — 2cos 5x+3 sin 5x.
14.17. #" + 6#'+13// = e~3A; cos x.
14.19. yz+2t/'='6^ (sin x+cos x).
14.21. z/* + 6//' +13# —e~3* cos 5x.
. 14.2, yn—4yr + 4z/==—e2*siri6x.'
14.4. #"+# = 2 cos 7x+3 sin 7x.
14.6. 4#' + 8# = e* (5 sin x—3 cos x).
14.8. 4#' + 4#~e2x sin 3x.
14.10. #"+# = 2 cos 3x—3 sin 3x.
14.12. y"—4yr -}-8y = ex (—3 sin x+4cbs x).
14.14. y"—4yf + 4y = e2x sin 5x.
14.16. y"f2y' + 5# ——17sin2x.
14.18. 'if—4y' -\-8y — ex (3 sin x+5cos x).
v 14.20. y"—4y'-\-4y~—e2*sin4x.
14.22. y,f + y = 2 cos 7x—-3 sin 7x.
14.24. y"—4yf + 8// = ex (2 sin x—cos x).
14.26. y"— 4yr -{-4y ~ e2x sin 4x.
14.28. #" + 2#' + 5#= lOcos x.
14.23. y" + 2#'+5r/ = —cosx.
14.25. if+ 2#' — 3ex (sin x + cos x).
14.27. if+ 6#'+13# = e~3* cos 8x.
14.29. #"+# = 2cos 4x+3 sin 4x.
14.30. y"—4y' -\-8y=ex (— sin x + 2 cos x).
14.31. y"—4#' + 4# = e2* sin 6x.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального урав*
нения.
15.1. у"—2#' = 2ch2x. 15.2. #"+#=2 sm х—6cosx+2e*.
. 15.3. у'"—#' —2ex+cos х. 15.4. у"—3#'=2ch3x.
15.5. у”-[-4у——8sin2x+32cos2х+4е2А:,
» 15.6.. у"’—у' —10 sin x+6cos x+4ex.
' 15.7. у"—4y’,= 16 ch ty. \15.8. y"-}-9y=—18 sin 3x—18e3*.
15.9. #'"—4#' = 24e2*—4cos2x+8sin2x. 15,10. #"—5#' = 50ch 5x.
15.11. #"416#=16cos4x—16e4*.
15.12. if" — 9(/'=—9e3x4-18 sin 3x—9 cos 3x.
15.13. y"—j/'=2chx.
15.14. z/"-[-25(/=20cos 5x—10 sin 5x-|-50e5x.
15.15. y'"—16#' =48e4x4*64cos 4x—64 sin 4x.
15.16. #"4-2#' = 2sh2x.
15.17. #"4-36#=24sin6x—12cos 6x-|-36e6A.
15.18. 25y'—25 (sin 5x-[-cos 5x)—50е6Лг.
15.19. /+3#'=2sh3x.
15.20. #"-J-49#= 14 sin 7x-|-7cos 7x—98e7jc.
15.21. y"’—36#' = 36e6*—72 (cos 6x-|-sin 6r).
15.22. #" + 4#' = 16 sh4x.
15.23. #"+64#-= 16 sin 8x—16cos 8x—64e8*.
15.24. #'"—49/= 14e’*—49 (cos 7x+sin 7x). "
15.25. #"+5#' = 50sh5x. i
15.26. #"+81#=9.sin9x+3cos9x+162e8*. •
15.27. #'"—64#' = 128 cos 8x—64e8JC.
15.28. #"+#'= 2 shx.
15.29. .#"4~ 100# = 20 sin Юх—30 cos 10х—200е10*.
15.30. у'"—81#' = 162.e»*4-81 sin 9x. ‘ < -
15.31. у'" — 1001/' = 20e10x 4- 100 cos 1 Ox.
Задача 16. Найти решение задачи Коши.
16.1. у"+яРу = яР/cos лх, у (0) = 3, у' (0) — 0.
06.2. #"4-3#' = 9е3*/(14-е3*), у.(0) = 1п4, у' (0) = 3(1— 1п2).
16.3. у"+4у=8 ctg 2х, у y'(f)=4.
16.4. #"—6#'4-8#=4/(1-|-е-2*), у (0) = 1 +2 In 2, #'(0) = 61п2.
16.5. у"—9#'4-18#=9е3л/(1 4-е-3х), #(0)=0, у' (0) = 0.
16.6. #"4-n2#=n2/sin лх, #(1/2)=1, у' (1/2) = л2/2.
К.7. 9Ч0)-=0.
16.8. ' /-ЗУ = g-^eelL- > 1/(0) = 41п4, #'(0) = 3 (31п4 —1).
16.9. #"4-# = 4ctg х, #(л/2) = 4, #'(л/2) = 4.
16.10. /—6/ + 8г/==4/(2 + е-2х), у (О) = 1 +3 In 3, у' (0) = 10 In 3.
16.11. #"4-6#'4-8#-4е-2х/(24-е2*), #(0) = 0, у' (0) = 0.
16.12. #"-|-9# = 9/sin Зх, у (л/6)^= 4, у' (л/6) = Зл/2.
16.13. #"4-9#=9/cos Зх, #(0) = 1, у' (0) = 0.
16.14. у"—у' = е-х/(2 + е~х), #(0)==1п27,‘ у' (0) = 1п9— 1.
16.15. #"4-4#=4 ctg 2х, #(л/4) = 3, у' (л/4) = 2.
16.16. У"-Зу'+2y=j^^ , # (0) = 1 4-8 In 2, #'(0) = 141п2.
16.17. #"—6#"4-8#=4е2х/(1 4-е-2А), у(0)=0, #'(0) = 0.
16.18. #"+16#—16/sin 4х, #(л/8)—3, #' (л/8) = 2л.
16.19. #"+16#—16/cos 4х, #(0) — 3, z/(0) = O.
16.20. if—2#'= 4е-2^/(_1-Ь е-2л), #(О) = 1п4, #'(О) = 1п4—2.
16.21. #"4-~=-^-ctg (х/2), #(л) = 2, 1/'(л)=1/2.
16.22. /—3</'+2//=1/(2 + е-*), z/(0)=l+31n3, г/'(0) = 51пЗ.
15.23. г/"+Зг/' + 2г/=е-*/(2 + е*)> г/(0) = 0, у' (0)=0.
16.24. i/'4-4y = 4/sin2x, г/(л/4) = 2, у’ (л/4) = л.
16.25. «/"4-4j/ = 4/cos 2х, 1/(0) = 2, у' (0) = 0.
16.26. г/"+У=е*/(2+е*), г/(0)=1п27, у' (0) = 1 — In9.
16.27. у"+у=2 ctg х, у (л/2) = 1, у' (л/2) = 2.
16.28. */"—3/4-2#= 1/(1 +е-«), у (0) = 14-2 In 2, #'(0) = 31п2.
16.29. /—3/4-2# = е*/(14-е-*), #(0) = 0, у' (0)=0.
16.30. #"4-#== 1/sin х, = #'(л/2) = л/2.
16.31. #"-]-#= 1/cosх, #(0) = 1, у' (0) = 0.
VI. РЯДЫ
Теоретические вопросы
1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходи-
мости ряда.
2. Теоремы сравнения.
80
3. Признаки Даламбера и Коши.
4. Интегральный признак сходимости 'ряда.
5. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося
ряда. . . u
6. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Свой-
ства абсолютно сходящихся рядов.
7. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса.
8. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
9. Теоремы о почленном интегрировании и почленном диффе-
ренцировании функционального ряда.
10. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степен-
ного ряда.
11. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Не-
прерывность суммы ряда.
12. Почленное интегрирование и дифференцирование степен-
ных рядов.
13. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.
14. Разложение по степеням х бинома (1 +х)т.
15. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.
16. Разложение, по степеням х функций ех, cosx, sinx,
In (1 ф-x).
Теоретические упражнения
00 00 00
1. Ряды и 2&» сходятся. Доказать, что ряд 2 е»
n=i п=1 /3=1
сходится, если а„^сп^Ь„.
Указание. Рассмотреть неравенства 0<сга—Ьп—ап.
оо ч 00
2. Ряд У ап (ап 0) сходится. Доказать, что ряд 2 ап тоже
/2=1 /2=1
сходится. Показать, что обратное утверждение неверно,
со оо
3. Ряды' 2 ап и 2 % сходятся. Доказать, что ряд
п = 1 п = 1
00 • • '4
Ьп\ тоже сходится.
/2=1
Указание. Доказать и использовать неравенство | ab | а2 + 62. .
СО 00
4. Ряды 2 ««и 2 Ъ\ сходятся. Доказать, что ряд
/г=1 /2=1
00
2 («»4-^п)2 тоже сходится.
/2=1
00
5. Пусть ряд 2 ап сходится и lim Можно ли утвер-
оо j_
ждать, что сходится ряд У! &„?
/2= 1
81
E( —Ip 5^ П”1)” । 5 1
“тЛп" И xL -Гг-- "+-^ •
п=Г * п=1 *- г -*
*00 »
6. Пусть ряд 2 1 fn (х)1 сходится . равномерно на отрезке
• . П=1
со
[а, 6]. Доказать, что ряд 2 fn(x) также сходится равномерно
Л=1
на этом отрезке.
7. Может ли функциональный ряд на отрезке:
а) сходиться равномерно и не сходиться абсолютно,
б) сходиться абсолютно и не сходиться равномерно?
Рассмотреть примеры:
00
а) У*ц > отрезок [а, &] произвольный;
п-1 ‘
00
б) 2 х(1— х)п, отрезок [О, 1].
П-1
<х>
8. Показать, что функция f (х) = У, всюду непрерывна.
п=к
00
л тт ‘ X? sinn2x
9. Доказать, что ряд —у— сходится равномерно в интер-
.. л - •
п~ 1
вале (—оо, Ч-оо). Можно ли его почленно дифференцировать
в этом интервале? — - .
00
10. Доказать, что если ряд 2 cnQ~nx сходится в точке х0, то
он сходится абсолютно Ух > хе.
Расчетные задания ।
^ Задача 1. Найти сумму ряда.
CD СО
... ______6____ V_________________________24
Ъ1* Х-(9л2+12л-5‘ ДА* - Л=1 " i ,А 21 [9па+6п—8* С1,4* •* S 4..+U-3- 4. ,А п=о а aiwfet- Л=1 " 82 9п2 — 12п—5* гг = 2 00 У1' 9л2 + 21л—8’ п=1 се Vя ' 49л2—28п—45* Л=1в 00 7 21 49п2—7п—12* П = 1 00 14 2-1 49я2 —14п—48* И = 1
S 36n2—24n—5* n= 1 -1 12 У 14 й* Zu 49ft3—84n—13* n= 1
,J3’ S 4na+4n—3' 1 14 У I . 1 Z-/49n2-|-35n—6
15 V 9 - Zj> 9/»2-|-3n—20’ -afeb."-1 'r 1 00 1Л6- S 49n2—42/1—40’ , n-1
X1 17. У 8 4 ’ X-4 16n2—8n—15 n=l J? 1Л8’ Z_i 49n2—21/t—10 * n— I / , /
00 5 ,Л9’ S 25n2+5n—6* 1 20 У 6
№ *. Ъ2°- 2u 4ft3—9" n= 1
GO 4 i-21. ^2 49n2—35n—6* /2=1 oo 4 1.22. У -3-7- x. Xu n3-]-ft—2 n=2
1 23 У 12 • 00 7 ' <-24- 2L 49n2 । 21n —16’ zz= 1
’ Л^36п2 + 12п—35’ 1 '
<•25. 52 9ft2_3ft_2’ ... zz= 1 00 5 ,-26- S 25n2—5n—6* n— 1
00 ft 1 97 V 8 oo ’ ’•28-E 49n2—56n—33’ n= 1
z/’ 2j 16n2+8n—15* n— 1 co 1 29 V 12
°° 7 M®- 52 49n24-7/1—12’ n=l
’ ’ Zu36n2—12/1—35* n— 1 •Z
co 1 31 у 14
1,0 ‘ Zu 49ft2 — 70ft—24* n=l 1 - ' . /
Задача 2. Найти сумму ряда.1
2fV 4~5w ~ j. 22 У « + 6
Z Ie Zu ft (ft—1) (ft—2) ‘ z n=3 ' • <> £ £- П (n+.3) (/i + 2) n’ 7Z= 1
00 , о V 5n-b3 00 л . 'V’ 4ft—2 2-4- Ъ (n2-l)(n-2) * 7Z = 3
z ' Zu ft(ft+l)(ft-f-3)e 17=1 ‘
°° 1 о = . V 1 2 6. у Zu n (ft3—1)‘ /2=3
Zu n(n+I)(n + 3)e n=l
9 7 V 1 00 ’ 2-8’ 24 n(n2—4) * л=3
iA' Z-i n{n-{-2')iri-\-'S) n=l
(£3
00 2.9. У zz— 1 Зп—2 п(»+1) (п+2) • 2.10. У 1+2 + « (п— Г) (п—2)
сю 2.11. £ n=3 5п—2 (п— 1) п (п+2) * < 2.12. £ 2 ~ (п + 2) (п+1) п'
со
глз. £ /1=1 Зп + 2 п (п+1) (п+2)- 2.14. У — ” + 5 £-з (п+2)(п2—1) •
00 2.15. £ п=3 £п—10 (п-1)(п+1)(п-2Г 2.16. У -?»-1 . п—3
00 2-17. £ гг=3 п—4 , п (п— 1) (п—2) ’ оо 2 ig 5п + 9 • п(п+1)(п+з)-
00 г.19. £ л=2 5п—-2 (п— 1)п (п+2)’ 2.20. У п(п+1)(п+2)
00 GO
2.21. £ /2—1 Зп+4 п (п+1) (п+2)’ 2.22. У 2~п Хи п (п +1) (п+2) * Л= 1
ОО оо
2.23. £ п + 6 п(п + 1)(п+2> ’ 2.24. У ”~2 + (п-1)п(п+1)'
/2=1 /г=3
2.25. £ /2=2 1 п(п2—1) ’ 2.26. У -. Хи1 п (п +1) (п+3) п— 1
со 2.27. £ /2 = 3 Зп+1 (п—1) п (п +1) ’ 2 28 V 4~w * + П (п +1) (п+2) • /г= 1
00 2.29. £ 4 п(п—1) (п—2)' 2.30. У • Хи (п+3) (п+1) п*
п=3 Л=1
00 2.31. £ /2=1 Зп+8 п (п+1) (п+2)’ t.
Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.
00 г sin2 пуп 3.1. У _ • — п Y п /2=1 Г 3.2. £.sh,2++>-.. Хи п3 п=1
, 00 3.3. £ - /2=1 cos2(nn/2) п (п+1) (п+2)’ 3.4. £ + Z"’ ' ,
00
3.9. £ )+(_ 1у>
п—inn * X п^+2
/2=1 /г=!
84
оо
q уч п (2 -р- cos ля)
d-7- 2-* 2^zrj 4
п- 1
- 9
39 V sin га
d-9, Zj n2 + l ‘
п-
. п 1
«ю arcsin-—
3.8. У
/2=2 У
3.10. у 11^п2+3га
. У«2-п
( —1)"п
о» arc cos^—А—
з"- £—;2Н
/2=2
3.12. 2 ”C0S2”
/г^ + 5
3.13. £
п-1
п In п
п2—3*
п2+3
п— 1
н3 (2-]-sin(mi/2)
3.15. £
1 . 2+(-1у
47^’sin—----
п=2/ пЛ
Я.
/2=
п— 1
1П П
3.19.
/2=1
3.21. У
п— 1
l+s>n^-
о ям
cos т
н2
sin2 2/z-
и2
3.23.' У
/2 = 3
Ч • . Я
A -Sina?+T
3-25-Е ~Г7~ п
,= 1 П
v 3+(-1)”
2L 2Л+2
п=1
3.29.
arc ctg(—-1)”
Уп (2 + п2) ’
з.з1. у
V п3+2
л2 sin2 п .
п-1
3 а да ч а 4. Исследовать на
3.18. з« _|_2
/2=1
3.20. У,
2+sin^r 1
—7?----ctsy
Inn
]Лл5+ п
3 _____
— arctg У/г2—1
3.24. У
у п^-п
\ i о 2я
со 2 COS -г- -
Зм
3.26. > 4-7==^*
п^2 У
3.28. У ?rCtf-^~1)n]
1п(1'4-и)
п— 1
. 3 + (—1)«
с» arc sin ——<-
4
/2= 1
3.30. у
сходимость ряд.
6
п
1
/. -4‘
2
4-2-
п у п
/2=1 Г
со О. у , П=1 , «8 + 5 In 2 ' . п2+4 4.4. со I 1 5 —7= Sin —,
00 4.S. S /1=2 1 г * 1/ ** * 4.6. у («2+3)8 + in4 Л *
оо 4.7. У п- 1 п3 + 2 n^+sin2n* • > 4.8. 00 уч 2n + cos п 3W+ sinn*
оо «. £ .. п= 1 1 п—cos26n’ \ 410 E+=sin £4+«+i
л
1
г п
4.12. У -+ ...........
п2 — In ял
п— 1
п=2
оо
4.15. У
1 1
— Sin--------г.
и _L S П 1
1' . «Ч-З
— arcts^+T’
1 (е. 1/Г " — 1)
. /« + 3
/?= 1 г ‘
. л
1 —cos —
п
. Т '
4.19. S п3
п—3
4-23-У (е^Л”3- ”-1)
2л
Sins—гт
2п+1
п—2
п=1 V '
00
Et П2 +1
In -о-г , о
п2 + п + 2
/2=1
°° Ч
Е. П3
In -VTT •
П3 +1
/2=1
>00
tM- Е р
h—2 \Р
оо
4.22. \ ’ sin -7. ,
+t К^+2
Л ЛА 2/2 + 1
4.24. У sin -57——75, z
a—J ' /г2(п+1)2 '
n+I
4-25. У
п=1
4.27. У «(eV«—1)8.
«=1
4Л£-гс,г?ч4
/2=1
00 1
4.28. V4 п sin vt=
«1 i/^4
rt= 1 V
оо
4.30. V sin .
л2Уп-
/1= I V
00
YT^
4.31.^ агслш^+фд.
«=1
,/ З'адача 5. Исследовать на сходимость ряд.
оо 5.1, Е п^2 «+1 2« (п—1)!* 5.2. п-1 2
ОЬ 5.3. £ 2«+1(n® + 1 (п+1)! . s-4- L (2„),
72=1, п— 1
00 5.5. £ (2п+2)! 2 Зп + 5 ’ 2«* - =-6-
72=*1 > Н=1 '
00 5.7. V arc tg — п « 00 5.8. У-^. 3«п!
п-1 /г=1
со 5-9. Е п\ 1 (2п)! g 5* ’ 5.10. V 6”(п*-1) ' , п\
72=1 п-1
5.11. Е 72=1 п2 ' 5.12. У . ' («О2 п—1 '
(«+2)1’
00 (2=1 72п / 5.14. У — .
(2п— 1)! •
оо 5.15. £ 1-3-5...(2п—1) 5.16. У -Л* . Х-t пп-1
3»(п + 1)! •
п — 1 п= 1
со 5.17. j; П—1 W (3«+1)‘(2п)! * оо 5.18. Ел|8‘п|? 72= 1
со П— 1 («+1)1., п« * V 5” jXn2 5.20. Е (п+1)1 * 72=1
со 00
5-21. Е п—1. 2”п! ' п« * 5 22 V 5”(га+Г)! ’ ‘ ±1 (2«)' . ‘
00 оо
5.23. Е п-1 3», (л+.2)1'4»* 524 у 3-5-7...(2»+Ц * 2-5.8...(Зп-1)’
5.25. £ 71=1 00 1-4-7...(Зп—2) 7-9.11...(2п + 5)* 5.26. У —2га! . V 2"+3 00 -
5.27-Е 72=1 (Зп+2)1 10"п2 5.28. У 4"-1У«2+5 Хй (»—1)! п=2
00 \ 3/~ ОО
5.29. Е п-1 п! у . п 3rt + 2 * 5.30. У »!<2»-Н)'е
5.3L X
/г= 1
1 «4-7.. .(3n—2)
2” + 1п!
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.
6.1. 00 Е /2 = 1 1 / п у -»г 3«\п+1/ 00 6-2- Е /2= 1 / ' 1 \ «2 1 - (1+7г) 4^7
6.3. 00 Е /2= 1 /2/12+ 1 ^п2 00 6-4- У п~ 1 . [ 2п а ”
\ П2+ 1 ^3«+5j ’
6.5. 00 Е /г= 1 /2п+1\ \3п—2) «2 1 « 00 . 6.6. у п— 1 /2п+2\" . 1И (зп+1) + -
6.7. 00 Е /2=1 (4п—3\ \5«+1/ /23 • 00 6.8. У п= 1 / п \”2 \10п+5/ *
6.9. 00 Е п— 1 п arcsin" Я 4/г * 00 6.10. у я= 1 fn+2 у8 \3n—1 у ’
6.11. i 00 Е /2=1 (М“ 1 п 5«* 00 6.12. У /2=1 72п+3\"г п+1) *
6.13. 00 Е /г= 1 /Зп4-2\ И«—1/ 00 6-14. У /2=2 (n±i V8 : \2п—з)‘ * ’
6.15. оо S /г= 1 f fn \ 2/2 + 1 00 6.16. у /2=1 /2п—
• \ Зп —}~ 1 /
6.П. V 2^2/
Пп
п=1
00
6.18. У n2sin"£-,
2п
п= 1
VI 6.19. У -...Л8 .... •
v (In п)п .
п — 2-
' GQ '
6.21. > ' n3 arctg”
oft
п-\
6 22. У
п— 1
п5-3”
(2/г4-1)«‘
00
00
6.23. 2«“хе“”.
п— 1
6.28.
п+1\«г 1
п J -2п
ft” + 2
О®
6-29. У
п=1
п-3"+2
5й *’
6.30.
6ЖЕ
8Д
6.31. У n* arctg2" >
n— I
Задача?. Исследовать
00
7.i. V________!_____.
n ln2(3»+1)
на сходимость ряд.
co
у _!________.
n In2 (2n + 1)
00
V i
1 7.2.
(2«+3)ln2(2nH-l)
7.4.
Л=1
1
(3/1+4) In2 (5n + 2)’ I
7.6.
(Зя-5) In2 (4n -7)'
00
у_____________1_____.
±1 (2//+1) 1п2(я /5+2) .
(ti К2+1) In2 (п 3+0
7.8.
^5(я-2)1п(я-3)'
7.9. У ______L______
^(2/г—l)ln(2/i)
00
7.11. У _____1
£-2(3n-l) inn
у_______2____
(n+l)ln(2«)
7.12. У ____________
£v2n~1)ln («+0’
у_________1 .... ...
^(2/i-3) ln(3«+l)
у 1 . .
(n+2)ln2n
у 1...........
£-2(n+3), In2 (2/i)
7.16. У_____________________
(2n+3) In2 (n+1)
-.У_____!___
+ «1п(л—1)
V______...1______
^2/1 / In (Зя— 1)
’±l(«-2) /Mn-3)
7.21. У _____________1________-
(n + 5) In2 (n +1)
«=2
oo
Ert2
z2=9 (n3 + l) lnrt *
S (Зя-l) /In (n-2)
CO
7 22 У 1
+2 («/3) ln2(n + 7) *
+ («/3 —1) ln2(n/2)*
00 -v
3n
+,(2n2+3)inn’
7.24. У ______1______'
—) (n2—3) In2 n
1.26. У w ..
,+<n + 5) ln n
00 ( I
7.28. У ______”+1_________
^4(5n2—9)ln (n —2)
1
1
1
1
n = 2
1
1
1
1
У 2д+1
£*(3n2/2 + 2)ln (n/2)
7.30. У —_______________
(/г2— 1) In n
л=2
89'
7.31. V _____ .
^(^-2)1п(2п)
Задача 8. Исследовать
на
сходимость ряд.
8.L \ ( пп4-1 > «(»+!)• 8-2- Е < 1)-« (2„"+1). п—1 \ 1 /
8.з. унг*.. 8.4. У (-1)" . п (In In п) In п
8.5. У Ь.1)”2»2 . " п4—п2+1 п=1 со 8.6. У—(~1)П . ‘ ,^Т3 ("+J)1п «
8.7. £-г*=^Ц- .8.8. У J-П"-
п In («+ 1) п=1п |/ 2я‘+3
ГЛ lITC 8.9. У (~1)П^2У» - 00 8.10. у (-l)«cos " 6га
ГЗп+1 г
8.11. У ’ nl - . 00 Зад «.• 8.12. У ^3nln(2n)
00 ОО
8.13. £ (-l)»tgl. 8.14:у^-
л= 1 г п~1
00 00
8.15.у (-9Г2. (п+1)2*«
'^1C0S3]<n р/3/i+Inn
8.17. У HUrL. («+1) (3/2)" . п— 1 8.18. У (—1)” 2±Z1 . Згг п- 1
8.19. У (-1)в(»+3) 1п(« + 4) 00 8.20. У (— ipldil
» (-l)»tg-J= 8.21. У U_2L . 8.22. У —tllll— . £-о(2«+1)2^+*
2j V 5п —1 П= 1
8.23. У (_l)»si.?.(»X^. п^п 8.24. У n+cos (2/]/'«+4)
00 8.25.У (-l)nsin 8.26. У . n2 + sin2n
п = 1 л= 1
-8.27. у (-1)"^. 8.28. £ (_1)Ип(1+Л) .
л=1 \ п=1 х V 7
90
8.30. V (—1)« /1 —cos -^=-
п=1 \
8.29. У (— l)”sin-l-. tg —.
n & n
/2=1
GO
8.31. V (—1)”----w8— .
(«+!)'•
Задача 9. Вычислить сумму ряда с точностью а.
9.1. ^(-1)»+Л ’ ,а=0,01. / 9.2. У а = 0,01. ' л!
п=1 /г=1
со со
».3. £( “ адш' . п—1 9.4. У (—1)« 1 а= 0,001. > л!(2п + 1)’
со Ес-'гЛЛ1!)' 9.6. У , а= 0,0001. £1 (2га+1>!
9.8. У Ы^.:«2, а = о,1. Х-4 з« »
п— 1 п=1
9.9. V ——(—У4—а—0,001. 9.10. У —, а=0,0001.
(2л-1)*(2л-Н)г £-о(2л+1)1!’ ♦ ’
• °да- п~ 1 9Л2-Е(-|)"’ «=o.oi.- п=0 4 7
9.13. V 1)П - , а=0,0001. 9.u.e (-4У’ а===0>1*
п— 1 /2=0 7
9.15. У, 9” , а=0,001, " (2«Я “=ад1- /2=0
9.17. У а = 0,00001. £^(2">|2/г , ^о,оо>. /2=1 '
оо 00
\/э.19. Е g=^r. а=0,001. Г 9-2°- Е Uni
п=1 /2=1
g »-<*««• -
е-23-£‘"<3”1+')'“=адм- в.24. V а_ п3 /2= 1
«ЕЖ «-<-». , п=0 v ‘ 7 СО 9-26- Е pUVа=0’001- /2=0 к '
00 СО
9.27. У £!E<^±^),a = o,oU п3 +1 п=1 *• Ейф)'
9.29.
Ecos (пл)
л(п3+1)*’
/2=0 ' 7
а= 0,001.
».зо. S nS
1 + /г3
/2=0 *
а=0,01.
9.31
/2=1 '
Задача 10. Доказать справедливость равенства. (Ответом
служит число р, получаемое при применении признака Далам-
бера или признака Коши.)
10.1. Um 0. 10.2. пп lim 7о“п5=0. /?->оо (2/z)! г
10.3. .. (2га)!! п lim -——0. 10.4. (2«)" hm ~—<— = 0е
П^-оо Пп ' ' п->оо (2л— 1)!
10.5. г (2п)> Л hm V4r=0. п->оо 2п2! 10.6. пп lira 7-775=0. п+<*> (п\)2
10.7. Г (2«)!! п hm - 10;8. п2 lim —7=0.
п~>оо 5п2 П-^оо П\
10.9. lim - ^ 0. 10.10. Пп lim —гтг.=0.
„-►оо ПП п->сю (2n-j~ 1)!
10.11. .. (2п—1)!! . hm —=0. 10.12. Г (3«)и • п hm лг1—0.
/i-х» га „^00(2/1—1)1
10.13. г (3«)! л hm -—^-=0, 10.14. г га« . hm 7*тгг=0.
/1—>оо . „-><»(га!)3
/23 ,0Л5-Д”^=°- 03 п 10.16. lim ^т=0. л->« п\
10.17. Um (?А2)!=0. n-оо гал ,0Л8-„^(2«-1)!-°-
10.19. lim ^!!—0. /2 —> оо П? 10.2°. Um • /2->оо \£П-\- 1)1 ,
10.21. Um <^=0. П->оо 2“2 10.22. Um — "”;тй?=0. • П^-со [(«+ 1)!Н
10.23. Um Д-==0. /2->оо 4«2 10.24. Um —„=0: 2п2
10.25. lim (”+п3>! = о. П-^оо ПП 10.26. lim 7х П, (2/1 + 3)!.
10.27. lim (243)!U. /2~>оо П 10.28. lim ;/5гтп=0. „^.оо (2^-Ь 1)!
10.29. Um ^Ф=0. /1->оо 2'г2 / п/г ,0’30’л^1У[(га + 2)!]2 °’
^2 _L 1 10.31 .-Um „^оо (2л)!!
-у Задача 11.-Найти область сходимости функционального ряда.
П 1 V .
, .V
со
из У п -__________!____
£-п+1(Зх2 + 4х+2)«в
н 2 V ЫГ
,I Z- Xu 2n-l \1+*/
п= 1 7
со
пл. У (х2-4х + 6)«.
' /2=1
92
•'* £ jS- ' . ' П — 1 хп- 116 у »+3. 1 . 11 ”• 4^ п +1 (27X2 + 12х 4- 2)« П=1 _ П R У ”2П 1
11.7. j 2„. л=1 1 И »- Zu„+1 (Зх2+8х+6)«•. Л = 1
-• £ „-да)’- ’ /2=1 И ю у ^-ЧтЫ2)".. I, w- Zj 4«(и2+1)
ОО Sfi/s+rTT+o1”1’ 1U2 У-EUl. <x+n)
/2=1 V И j. У (х2—5x4-11)" 5«(п2 + 5) ’
<ю 00
/2=1 п. 16. У . п(п+х)
п-1
п. 1Э. У '--Ц. ' хпк , „да. £ J&.
п-Х . п= 1 п
. 00 со з ,
"•2'-.Е2.(„"+,)(2^+Ч"' 11.22. У ;, -^2 j х2 + «2
И 23 У • 1 n^i "®+2 (Зх2+10х+9)"' '24-£да-
во П'25* Jt (*+«)(*+«+!)’ — ii.zG.f; i*i-+i»r... ’ 72= 1 №
11.27. У 7-* п (п+еху Н 28 У — "(«-eW+1)'
£ Нт»-’’ ^(п-х)М . “-30- £з"Г+2-
11.31. £ *
п+л2
/2=1
Задача 12. Найти область сходимости функционального
ряда.
во
12.1. У, — х2« sin (х + т).
/2 = 1 '
00
12.2. — x4nsirl(2x—яп).
/2= 1
93
со co / 5 \ w I \ (д J y=x?ncos(x— ж)
12.3. V''' 3" / 4 — X4" COS (%+ли). л= 1 12.4.
12.5. 00 23w 7 г -у-— х4иsin‘(3x + 12.6. co 6n Z —x2n sin (5x—лл).
/2=1 У Л n=l ” Й
12.7. 5 5W / 4 х^п cos (%+лл). /2=1 у Зп 12.8. 22 ^x2"sin(3x—ля). , n= 1
12.9. У2 2wx3wsin — • 12.10. s 32"x"sin^’
п— 1 n=l '
12.11. У*4 23zVn sin — 12.12. 00 22 3nx3”sin-^=,
л= I n=i V n
12.13. Л: 3nXntg^. п— 1 12.14. 22 8«x8." tg -Л=. „=! 4.y« ;
со co
1215. Е 12.16. У* 2nxZn arcsin 3n
п— 1 n= 1
12.17. У^ 16"x3w arcsin зу=* 12.18. 22 32«x5n arc sin Z=.
л=1 V п n=l V n
12.19. / со J2 2"х" arc tg п- 1 12.20. ^2^arctg2 . n= 1
12.21. со S 27^«arctg2 . Л=1 12.22. V 8" • Z, -»sin3”*. n2 n-1
со oo .
12.23. У^ 8”л2 sin3” х, Л=1 12.24. / . ~^=sin2«(2x)» n^i Vn
12.25. 12.26. Уи ^Sin«(3x:),
n= 1 •4 n= I
12.27. 22 -2 sin2" я. Hr 12.28. ^^tg«(2x).
n= 1 ' ( л= 1 Л
12.29. S ^Snx> 12.30. S n-3«/2 tg -
n~ 1 n—l
12.31. V" 4-3”/2 . „ . 2^ -- tg«(2x). *"< V n / T '
ZZ=1 г - Задача ,13. Найти область сходимости функционального ряда
13.1. n=l 13.2. у ln«(x+l/n) h *
%
94
СО 13.3. У .5-"A*+’)*. СО 13.4. У n2
Л=1 ' 13.5. У е-О-**'")8. • _. /2=1 со 13.7. У, 5~”° sin (xz-t-l)/r;< n=I п= 1 13.6. У Г14-1У .зп/(*-п, П=1 4 ' со ,3-8- Е1п«(х-1)*
2 5 аГС ^ПХ (Х — n® /2=1. v z «ло. ЁрДд.
«.11. у (1+4)"з~п/*ц* п=1. ' 00 13.13. У ел» sfn (Х2 +1)/Пс п-\ 13.12. У 1п«(л4-е)* п— 1. ' ' 00 13.14. У (— l)«+ie-«/co9*s ’ П=1
14 1ч У (1п (1 + 1/п)+1п1пх)» ,з.16. V tipi.
Vx-^ie 00 13174 511п"<х+1/е)* 00 (—П« + Х 13,19. \ L_22 # п sin X п=1 е • 00 13.21. / (—1)пЗ-л’1п(1+ж/л); п— 1 1« 13.23. / ' гУх arc sin ~а п=1 00 13.25. У (_1)»-1.2-«г(1пп/(х2+1)), п-1 сю 13.27. У Д-. 1п«л; п=1 со 13.29. У e-n‘<sta I/»’**). /2=1 у ! 4 «-In | л: 1 Л= 1 п со 13.18. X sin” в х—п п-1 со 13.20. У (— 1)».5’«‘агс‘8<,/(л1 Л1)), П=1 X > 13.22. У СО5<ПУ=1». i,nV х ч п—l е 00 /— 13.24. У п^х arc tg 1 • п=1 - 00 13.26. У nln (*--У) п— 1 ' со 13.28. У (—I)" 5~n<In "/**>. п— 1 13 30 У Ь1)"4-18 13.30. 2^ (1 в п-1 и
оо
13.31. У (3 + l/rt)«4-«2/*.
n=l
: М Задача 14. Найти область сходимости функционального
ряда. . /
95
t41 У (n~2)3 (*+з)г« ' 2n+3 п=1 1 14.2. у (—1)«(х—3)« («+1)5“ *
п= 1 14.4. У 2«+3 («+1)5х2«-
14.5. £ /г= 1 14.6. у (х—5)2н+* Зп-4- 8 /2=1 1
14 7. У_2Ё±1_.' ^з»(х-2)»* 14.8. 00 V Z-i хпв п— 1
14 9 У (*+5)гп~* 14.10. у (х—7)2»-,1 (2/г2 — 5п) 4п*
14.11 У 7 £- (3«+1)2«’ 14.12. у Зп(х—2)3п £1 <5«-8)3 *
14.13. £ (x+5)Mgl. п— 1 14.14. S sin i (х 2)"- /2= 1 *
00 00
14 15 / - ^n-9«(x—I)2"’ 14.16. „у 3«гх'гг. /2= 1
и.п. £ . п-1 14.18.
14 19 У (3»-2)(х-3)» J“l («+1)22«+1 • 14.20. У (х-5)" (714-4) In (п + 4) •
M21’ §<»+2) 'л <"+2) <*—3)»« ' 14.22. 00 у ! 2пп2 (х-|-2)« '
• .. п— 1 14.24. \гоо п5 Z^ • /2=1
’ 14 25 У |/~,Т+Г Zu1 3«(х+3)« • 14.26. V 4п (*+1)2” п- 1 У п
14.27. У — .Зп + 5 . 14.28. <х> у7 • /г2 +1
(2п + 9)’ (х+2)2« £-5«(х+4)« *
14 29 У >Ч 2)" ’ * (2«+ 1) 3« * / 14.30. - у< п2 (х—3)« £1 (ft4+1)2
14.31. У £1 2п+*
86
Задача 15. Доказать, исходя из определения, равноМерную
сходимость функционального ряда на отрезке [0, 1]. При каких
п абсолютная величина остаточного члена ряда не превосходит
О, IVxgfO, 1]? ’
- п—1 •с 15.2. У(-1)П; п— 1 Ж—6 ’
5.3. п=1 со 15.4. У, ( 0я п—1
?/ —5 к л
15.5. У (—1)” v 7 4п—5 n=l 15.6. У (—1)" g- — а. v ' 5/г —9 * /г=1
Ё< *3^4- •; со , 15.8. У (— 0,г п—1 __ 2
15.9. У (.— 1)« д- Х'г,-.-. v 7 6/г — 11 п — 1 <к> 15.10. У (- 1)» «=1
г у/п^—7
15.11. £(-1)« 7-^5. п-1 со 15.12. У (-1)« п—1 хп
|5ЛЗ-£< ""i/ra- СО 15.14. У (- 1)« п—1 х?г 2н-3'
|5К-Ё< '>-8,Д|2. П — 1 СО 15.16. У (- 1)” п—1 хп 6/г—7*
15.17. У (— v 7 5/г—8 я=1 00 15.18. У (-1)« ' п—1 ху> 6я —16*
15.19. У (— 1)» 7 4п—7 П—1 со 15.20. У (- 1)« п-1 5/1—7 ‘
15.21. £( 1)'>7,Д,3. /2=1 со 15.22. У (5- 1)« п — Х
21
.5,23, £ (. 1). 3Д5. /г=1 СЮ 15.24. У (— ])« п—1
15 25 > (— IF — . 15.26. У (-1)" /2—1 ' х**
( 1) 8п—11 * п—1 - j/8n3 —1J
15.27. V (— 1р ,v- — . СО 15.28. У (- 1)« п— 1
/8п3-12 р/п3—3
15.29. f,( )“9,Д15- ' П=1 00 15.30. У (— 1)” • - п—\ X» 10й—12*
4 Л. А. Кузнецов
15.31. У (-1)”-з Х"
п?—6
rt= 1
Задача 16. Для данного функционального ряда построить
мажорирующий ряд и доказать
занном отрезке.
равномерную сходимость на ука-
16.1.
£ [о, 2|.
п=0
«=1
А £1
“ 2 ’ 2
16.3.
Е£- 1-2-21-
Л=1
3 31
2’ 2 Г
16.5.
1 1
Т’ 2"
16.7.
16-6-
; у.
4/^гхт
оо.
16.9.
n^l
16.10. £ ral (^—.., j-5, -1J
П7=1 ?
16.11.
(Х 2)2п
Л = 1
(п+1)2 1п(п+1)
, [It 3J.
16.12. £ • t-3, 3J.
«=1
16.13.
уч 2й~1х2п-13
у 2
1
ЯЙ-33
16.15.
п=1
16.17.
/2= 1
16.14. У. , [—2, 21.
пЗп Inn L J
• n—2
E^.l-3,-.!
n=l
(п+1)4х2и Г 1
2n4-l ’ 2’1
16.16.
16.18.
п=0
16.19.
л= I
(х—2)2п
п *
FJL
2 ‘
5J
2
18.21. Е - ТЬ 31-
п
16.20. У С-6. -41.
Д=1
16.22. f [-3, 0].
«у «+1
98
'“•grwi't-1' ч-
»6-25- E t~2’ 2ь
n=0 °
16.24. У -37=^iv== • E-6.—Я-
n=Q V
00
16.26. 22 (sin^) ^-2)n, [1. 3].
л=0 4 Z
'«Л Ё 4'^ • № 21- K.2S. S • (-1. 4.
я=0 4 ' n=l
16.29.
n(x+2)n
(«4* n-j-2
1-3, -1].
16.30.
2l -"HjtP [2> 4b
n=i n v «4-1
16.31.
(*4-1)"
(«4-1) in2 («4-1)’ E 2’0b
Задача 17. Найти сумму ряда.
П.'. 17.2.
7.3. £<-.>-(4-^)„л.
л=0 1
17 7 V (-П"-1*"
п(п—1) •
п-2 ' ’
зД ХП
17.9. Д«(«4-1)'
' /1= 1
00
j^2zz4-2
,7 "- ^-0(2«4-1)(2«+2) •
17.13. У (-,1)»-1 П^т-
л ' л (я 4-1)
72=1 ’ \ । л
17.6.
.’о.
72=0
17 ю у
16„ (2га+1) •
±4__!_
Х2/1~1
2п (2п—1)
17.15. У
п- 1
^17.19. 22
«=0
(— 1)«х«+*
(п+1)(п4-2)-
17.12. У (-1)»-
Л= 1'
со
е~ИАГ
17.14. У —-------
1
00
17.16. У Г(-1)"4-11
П— 1 L -•
00
17 18 У -J-1)"-*-.
“Il»(«4-l)*"+i
17.20. У -4^.
X2".
72 = 2
х«.
' С?)
99
4*
17.21. уч ' 17.22. У. Р-Н—М Х«. \п «+1/
2п (2л+1) *
сю оо
17.23. у ,*п+а 17.24. V [2«4-£—У21 х»; «=1 *- " J
^о(«+1)(«+2)-
03 00
17.25. уч Х2п 17.26. У — .
(2п—2) (2п —1) ’
00 со
17.27. V1 0 й*1 cos”*1 Я Я (п +1) ' . 17 2R У (-l)w+1tg”X ”•* £j.T«FFft •
ею 00
17.29. у 3" 37.30, £ 1±±+"«.. ^2 «(«“О
~0(«+1)чи+1'' <ю у, дДп + S
П.31.
(2п+2) (2«+3)‘
Задача 18. Найти сумму ряда.
18.1. 2 (4«4-9rt+5) х«+Ч 18.2. У (Зпг+7п+4)х«. ' л=0
18.3. У (n2+n+l)x«+s. л=0 18.4. У (2п2+4п+3)х«+2. п—0
18.5. У (?га + 5п + 3) хи. л=0 -18.6. У (2и2+5п+3) х«-и. /г=0
18.7. 2 (Зя5+8п + 5)х«+2. л=0 18.8. У (2п2+8п+5)х». л=0
18.9. У (2п*+7п+5)х”+». й=0 18.10. У (Зп2+7/г+5)х«. «=0
18.11. 2 п(2п—1)х«+2. й=© 18.12. У (я2—п+1)х«. «=0
18.13. У (2п2—п— 1)хк. 18.14. У (Зп2+5п+4)х«+». лг = О
18.15. У (я2+7« + 4) х«. 18.16. У (2п2—л—2) х«+». /2—0
18.17. У (2а2+2п+1)хи. п—0 18.18. У (п2+2п—Ох^+Ч /7=0
18Л9. (я2+2я + 2) хп+2. «=о 18.20. У, (n2+4n + 3)x"+i. п=0
18.21, 2 + 4) хП +2о 18.22. J] (2п2—2«+1)хп.
18.23. У (л2 — 2л — 1)х"+г. л = 0 18.25. У (л2 — 2п— 2)х«+®. п=0 . 18.27. 2 (»а-г6/г+5) x'‘+h п—0 18.29. 2 (2ra2+«+1)xn+J!. п=0 <ю 18.24. 2 («2—2л 4-2) Л . п = 0 18.26. 2 (4лг4-6/г4-5)х«„ п=0 18.28. У n(2/i+l)xn+2. п=0 18.30. У (2л24-п—1)х«. /2 = 0
18.31. У (п24-9п + 5) х«+х. п = 0
(/Задача ,19. Разложить функцию в ряд Тейлора по степе-
НЯМ X.- 19.1. 9/(20—х—х2). 19.3. In (1 —х—6х3). 19.5. (sh2x)/x—2. 19.7. х/£/ 27—2х. 19.9. (х—l)sin5x. 19.11. 6/(84~2х—ха). 19.13.1n(l— х—12х2). 19.15. (arcsin х)/х—1. 19.17. х2К4—3%. ; 19.19. 2х sin2 (х/2) — %. 19.21. 5/(6+%—#2)- 19.23. hi (1+%—12х2). 19.25. (aretg %)/%. 19.27. 4/16—5х. 19.29.(2—е*)2. Q ^Задача 20. Вычислить o,i 20.1. j e-6*2dx. о , 1 19.2. x2/p4 —5х. 19.4. 2х cos2 (х/2) —х. 19.6. 7/(124-х—х2). 19.8. In (14-х—6х2). 19.10. (ch3x— 1)/х2. 19.12. l/j/16—Зх. 19.14. (34-е-*)2. 19.16. 7/(12—х—л2). 19.18. In (1 4-2х—8х2). *19.20; (х —l)shx. 19.22. х^/27—2х. 19.24. (sin3x)/x—cos Зх 19.26. 5/(6—%—х2). 19.28.Infl— х—20х2). 19.30. (x-l) chx. интеграл с точностью до 0,001. 0,1 20.2. sin(100x2) dx. б 0,5 л р dx
20.3. ? cos %2 dx. 0 0,1 . 20.5. \ - dx 0 ' 1,5 20.7. f . J )/27+^ * • о » 1 20.4. 1 -т- J ^14-х* . 0 г 1 20.6. C^O+^dx. J % 0 0,2 20.8. e~3A*2dx<, о ’
10!
20.9. \ sin (25х2) dx. 0 1 Г dx
20.11. f p/i6+^ * • 0,4 .j
20.13. С 1п(1-|-х/2) J X
0 0,3
20.15. J e~2*2dx. о -* 0,2 \
20.17. cos (25x2)dx А' о 0,4 С 1—е-х/2
20.19. 20.21. 0 2,5 Г J V 125+х? ‘ 0,5
20.23. 20.25. J sin (4х2) dx, 0 2 Г • dxf J р/256+х4 2,5 ’ A dx
20.27. J 625+*4 0,5
20.29. j e~3*2/26dx. 0 0,1
20.31. j cos (100x2) dx. 0
0,5
20.10. j cos (4x2) dx. 0 0,2
20.12. Г1—e~* J x 0 2 C dx
20.14. J / 64 -|-x? *
0,4
20.16. J sin (5x/2)2 dx. 0 1,5
20.18. C J p/81 +x‘ ’ 0,1
20.20. f H+^d, J X 0 0,4
20.22. j e“3*74dXe 0 0,4
20.24. cos (5x/2)2 dx. 0 0,5
20.26. 20.28. Г dx
J V1 C dx J Ав+х? ‘ 1
20.30. sinx2dx. 0
VII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теоретические вопросы
/ ..
1. Определения двойного и тройного интегралов. Их геометри-
ческий и физический смысл.
2. Основные свойства двойных и тройных интегралов.
3. Теорема о среднем для двойного и тройного ’интегралов.
102
4. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными
интегрированиями (случай прямоугольной области).
5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными
интегрированиями (общий случай).
Замена переменных в двойном интеграле.
7. Якобиан, его геометрический смысл.
8. Двойной интеграл в полярных координатах.
9. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
10. Тройной интеграл в сферических координатах
Теоретические упражнения
1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что
, xmyndxdy — 0, если т и п—натуральные числа и, по
я2+г/2< R2
меньшей мере, одно из них нечетно.
2. С помощью теоремы о среднем найти
11m
о
^2 f ix, y)dxdy,
xz + y2 < R2
где f(x, у)—непрерывная функция.
3. Оценить интеграл
f f Г v===^===, x^yl + zl >
J J J V (x—x0)2+ (y — </o)2+ (2—2o)
x2 + yz+z2< R2
т. e. указать, между какими значениями заключена его величина.
4. Вычислить двойной интеграл f (х, у) dxd у, если область
£> ч
D—прямоугольник {a^Lx^Zb, a f(x, z/) = F^(x, у),
b d
5. Доказать равенство \\f(x)g (у) dxdy=^f (х) dx j g (у) dy,
D ас
если область D—прямоугольник {а^.х^Ь, суА}.
6. Доказать формулу Дирихле ,
ах а а
\dx\f(x, y)dy==\dy\f(x, y)dx, а>0.
0=0 -Оу
7. Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство
а у а
§ dy j f (х) dx = j (a—x) f (x) dx.
оо о
8. Какой из интегралов больше
11 ll-я 1-я-г/
J dx dyj f{x, у, z)dz или dx J dy J fU, У, 2)dz,
ooo обо
если f (x, y, z) > 0?
103
Расчетные задания ,
\/ Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
-10 .0 0
1.1. dy f<dx-{- \ dy fdx.
— У 2 + у ~ 1 — У - г/
1 О УТ О
1.2. • dy fdx-}- dy fdx.
о -УТ 1 -Уг - г/2
1 у УГ УТ^Т
1.3. \dy\fdx^ [ dy \ fdx.
оо 1 о
-1 о о о
1.5. dx j fdy~\~ dx^fdy.
-УТ -УТЛ* -1 *
]/У2 arcsin у 1 arccos у
1.6. dy fdx-{- J dy • fdx*
о о i/УТ 0
-1 У2+1/ О V~J
1.7. \ dy fdx~\~ dy fdx*
-2 О -1 О
1 О е - In У
1.8. С dy С fdx-\-tdy f fdx*
о _УТ 1‘
-1 У 2 -л2 0 х2
1.9» . dx f f dy -j- dx f dy.
-УТ 0 -to
-УТ о oo
1.10. dx- fdy'+ dx fdy.
-2 -УТТс2 -УТ У4 -Л2-2
L' 1 e 1
1.11. ^dx fdy+^dx J fdy.
О 1-л2 1 hi л:
1 у у
1.12. \dy J
0 0
2 2-y
[ dx+ dy fdx.
*1 о
Я./4 sill// Л/2 cosi/
1.13. \ dy ^fdx-\~ \ dy fdx.
О О Я/4' 0
-1 0
dx fdy +
-2 -<2 4-л)
104
1 Vy e 1 ч
1J5. dy f dx+^dy f dx.
0 0 1. in у
V2
I о
о
0 -y ‘
VT 0
1.19. dx
О Г4^~2
-1 0
1.20. dy f c
-2 -(2 4-0
\ j / dx.
1 -Г2 -y*
2 0 .
fdy+ J dx 1 t
1^3 __У 4 _ r2
0 0
it О 2 0
'" 1J6. dy J f d«+ dy 1 J f dx*
® к.
l ?/» 2 2-tj
1.18. . J dy f f dx'+ j dy / dx*
' ' 10
О &
11/ el
1.21. J dy dx-|- dy / dx,
0-6 1 in у
ttj 4 sin r n/2 cos x
Г я?
1.22.
g 0
W V2-x»
О
1.24.
О О УС/4 0
-I 0 0
dy f dx-}- j
-VjF -У2 - 0 ~1
lx’ 2 2-x
О
dy f dx*
у
1.25. \ dx \f dy+ V
о о i
VT 2-lZ4-Jt2’
1.26. - dx
0
fi 0
о
2 - №
0 yr 0
2 0
? dy + dx f dy
б -ГГ 1 ^VT^x
1 x. ^2 У 2 -x2
о о
о
УГ
V2 -у*
1.29. yiy
о о
1;
О
I Vx 2 V2-x
1.30. dx fdy-\-^dx j* f'dy.
0 0 16
-VT V4-x2 0 2-1Z4-x2
1.31. dx j f dy-\- \ dx f dy.
7-2 о _Уз~ о
H 05
^Задача 2. Вычислить.
2.1. (12x2#2+ 16x3f/3) dxdy;
D
D:x—\, y—x2, y — —V'x •
2.3. ? J (36x2i/2—96x3z/3) dx dy;
D
D:x= 1, y— p/x, y~—x3.
D
D:x~l, y—x2, y=—i/x.
2.7. ' \ (18x2«/2+32x3^) dxdy;
D
Z):x=l, y—x?, y ——)^x«
D
Z):x=l, #=x2, г/=—*Ух.
2.11. J J (8xy+9x2#2) dx dy9
D
3
D:x=l, у— у x, y—— x3#
2.13. (\2xy+27x2y2)dxdy*
D
£>:x=l, y—x2, y——]/'x.
2.15. J хг/+~- x2z/2) dx dy,
D
D:x=lt y~x3f у=—У‘х9
2.17. . (24x#— 48x3#3) dx dyt
D
* 5 j $x*y*^-^>xzy3) dxdy;
D
< 2.4. J (18xV+32x3^3) dxdy\
D
D:x=l, f/=x3, y——x.
2.6. j J (18xV+32xV) dxdy;
D
r-^ . 3 /— л
D:x=l, y~ у x, y=^^x\
« 2.8. J (27x2y2+48x3r/3) dx dy;
D
D:x=l, r/— j/X y~—x\
*2.10. J J (12xf/+9x24/2) dxdy;
D
D:x = l, у~У\ y^^x2.
2.12. J J (24x^+ 18xV) dx dyt
D
L>:x=l, y-=^x3t y=^- y Хъ
’ 2.14. J (8xz/+18xV) dxdy,
D
D:x=l, у = x, z/==i —x2,
4 2.16. [^xy-^^xhj^dxdy,
D
2.18. J J (6x$+24X3y3) dx dy,
2.19. * j (4x#+ 16zV) dxdy,
. D
D:x=l, г/=]Иx, y— — x3
2.20. 1‘ (4x#+ 16x3£/3) dx dy,
D
3
D:x~ 1, ^ = x3, y=z— y Xt
2.22. \ f (4хг/+176х3//3) dxdy;
D
D:x=l, y — x2, y — — x»
2.23. (xy — 4x3 y3) dx dy,
D
D:x~l, y=x2, y^=—У*х.
4 3
£>:x = l, r/= у x, y = -—xK
x3.
106
2.25. J J ^6x2#2-|—g-x4#4) dxdy,
D
Dxx~ 1, y— x2, у— — Ух.
2.27., Jj ГзхУ4-у Х*И dxdy,}
D
r\ t Z*”“ *4
D:x= 1, y—v x; y~— x%
2.26. J J (9xiy2^-25xiyi)dxdy,
D:x= 1, у = |^x, у——x2.
2.28. J j{9x^8+25xV)<te dyj
D
3Z~
у Хе
2.29. J (54x2#? + 150x4#4) dx dy;
D
r-> i 2 3 Z~”
D; x=l, y=x2, y~—y x.
2.31. f (54x2z/2 + 150xV) dx dy,
D
Dx x==l, #=x3, y= — Ух®
V Задача 3. Вычислить^-
3.1. J ^yexy/2 dxdy;
D
Dx y — ln2, #=ln3, x=2, x = 4.
D: x—1, #=x? y~
2.30J J (xy—9x5#5) dxdy;
D
Г\ Л 3 A 2
D\ x—1, #= у x, #=—x^®
3.2.
#2 sin^ dxd#;
D
3.3.
3.5.
3.7.
у cos xy dx d#;
D
Dx y=n/2t y—n, x=l, x=2.
#sin xydx dy;
D
Dx y^=n/2; y = sit x = l, x===2.
f Г 4уе2хУ dx dy;
D: # = ln3, #=dn4, x=^>, x—1
J f у cos 2xy dx d#;
"d
Л ' 1 -
D- y=^ x==^ X==L
3.11. Г} 12# sin 2xy dx d#;
D- x = 3.
3.9.
D: x==0, #= У л, #=y.
J $ У2е^ху^ dx dy;
D
D: x=0, # = 2, #=x.
#3 cos dx dy;
£>
- Dx x—0, y= Ул/2, y—x/2..
J \ 4#2 sin xy dx dy;
D
D: x=0, y= j/
3.10. J J y2e -xyls dx dy;
b
D: x=0, #=2, #^-J.
3.12. j y2 cos xy dx dy;
3.4®
3.6.
3.8.
£L, #=x.
2
3.13.
Dx #=ln2, # = 1пЗ, x=4, x~8<
3.14. 4#2 sin 2xy dx dy;
D
Dx x=0, #~У2л, y — 2x.
107
3.15»
ЗЛ7.
3.19.
( 2у cos 2ху dx dy; ~
D
зх ЗТ о _
к==2’
j у sin x^dxdz/;
D
”^А' к
D: у—п9 у — 2л, z==Tp х===&*
J Зуе*хУ dx d//;
D
i t
D: M=ln3, y~ ln-4., x=-r, #=—.
. .» 4 2
3.21.
Jp у cos xy dx dr/;
D
D: y—nf г/=.3л, x=l/2, x=L
j r/sin 2xr/dxd#;
3.2.3,
D: y=n/2t ^=Зя/2, x=l/2, x=2.
3,25. J Qye^ dx dr/;
D
D: £/— in2. y — In3»x = 3,x=6.
3.27. J у cos 2xy dx d$;
D
ЗЛ 6. \ J у-е-хУ*'2 dx dу;
' D
3.18.
3.20.
3.22.
3.24.
3.26.
3.28.
D: y~n/2f # = Зл/2, х== 1/2, х==2.
3.29. J £ Зу sin.xy dx dy;
£)
D: y — zt/2, y — 3nt х==1,х=3»
3.31. 12yeQ*ydxdy;
D
D: r/^ln3, r/=ln4, x=l/6, x=l/3.
Задача 4. Вычислить.
4.1. \ j 2у2ехУ dx dr/ dz;
v
V
4.3. y2 ch (2x//) dx dy dz;
“ v
J x=0, y= —2, r/=4x,
| ? = o; z=2.
4.5, J J x2 sh (3xy) dx dy
x=0, #=!, y^x,
z — 09 z= 1.
и: х = 0, //-= у 2, у — х..
J у2 cos 2ху dx d//;
D
гч л i ATT x
P: x=0, j=}/p f/ = p
$ J 3г/2 sin dx dy; -
D
D: x=0, y= 1/Л?, (/==-
f о
t С у2е~хУ^2 dx dy;
см ко
D
D: x=0, r/=l, r/=y.
J J y2 cos xy dx dy;
D
D: x=0, //= l/“n, z/ = 2x.
j y2 sin dx dy;
D
D: x — 0, y—Уп, y — x..
у2е^хУ^ dx dy;
D
D: x = 0, y~4t y — 2x.
3.30. yzcos^dxdy;
x— 0, у = У2л, у— 2ха
Di
4.2.
4Л,
4.6.
x=2, y—ny z~ 1,
x=0, y — 0, 2=^0;
S 5 5 x^z s*n
J v
V
Sy2ze2xyz dx dy d^;
v
V
[ x— —1, r/ = 2, 2=1»
( x=0, y — 0, 2=0.
s $ $ cos x^z d'v d2’
V J
408 ”
V
x— I, y~2x, #=0,
z=0, z = 36.
1.7. J J J Fcos ( ~xy \ dxdydz
V '
^Jx=O, f/=—i, y-=x/2,
z = 0, z
J x=l, y=n9 z = 29
|x = 0, y — 0, z = 0.
4.8. J. J x2z sin ^5 dx dу dz;
17
J x = l, y~ 2л, -z = 4,
x = 0, y = Q, z =0.
4.9. J у2е~хУ dx dy dz;
v
J x = 0, #=—2, y^4x,
* \z=O, z = l.
4.10. 2y2zexyz dx dy dz;
( x = l, t/ = 1, Z —ij
( x = 0, y~0, z=0.
4.11, ( j У~ ch (2xy) dx dy dz;
V
1 x=0, y = \, y = x,
( z=0, z = 8.
4.13. ^#WMxd//dz,
v'
J x = 0, y==2, y~2x,
I z=0, z=-l.
4.12. x2z sh (xyz) dx dy dz;
у "
( x = 2t y = lt 2=1»
| x=0, z/=0, z = 0.
4.14. j y2z cos dx dy dz;
J x = 3, - ^ = 1, а = 2л»
} x=0, 4/=0, z=0.
4.15. J J y2 cos i dx dy d
v I x=0» y= — l, y~x,
I z =0, Z = 2.TC2.
4.17.
; j J y2 cos (лх//) dx dу dz;
v
J x=0, f/ = l, y=2x,
( z = 0, z-=± л2.
4.19. J * x2 sh (2xz/) dx dу dz;
v *
4.16. Г 2x2z sh (xyz) dx dy dz;
v
V
x = 1, ye^1, z~ 1,
x=0, у-=(), z=0.
4.18. 1 2x2z sh (2xyz) dx dy dz;
v
i x~2, у = 1/2, z = l/2,
^x=0, >/=0, z = O. .
4 ,
4.20. J J J x2z sin dx dy dz;
V
x = —1, z/~x, z/ = 0,
z===0, z = 8.
4.21. J J J y2 ch (xy) dx dy dz;
V
px=0, у — — 1, у == xt
I z=0, z = 2.
4.23.
4.25.
J x2 sin xyj dx dy dz;
v ( x=2, y=x, уШ&
| z = 0; z = n.
J J x2 sin (sixy) dx dу dz;
v
V: x~l, y~2x, y=^0, •
z=0, z = 4ti.
x~ 1, y—4, z ==л,
x—0, y~0, z = 0.
,4.22. ‘ J y2z ch (xyz) dx dy dz;
v
( x = l, 1/ = 1, z=l,
x=0, y=0t z=0.
4.24. y2z cos dx dy dz;
i x=9, y= 1, z = 2;t,
| x=0, y~0t z=0.
4.26. J J J y2z ch (^~ \ dx dy. dz;
vz
V: x=2, y~~~ 1, z=2,
x~0, r/=0, z=0e
V
4.27, S 5Л2 Ch ^ХУ)'
4.29.
4.31.
V: x==0, y—2t y—GXi,
z = 0, z = — 3.
S J x2 s*n dx dy dz;
v
V:; x=l, y—x/2, y = 0,
г — 0, z —8л.
S S x2 dy d'^
V: x = 2, y — x/2, y— Ot z — Ot
4.28.
) ) S eh ^xyz^dxdy dz;>
vd,
W: x=~, y—2, z=—1,
x—0, z/~0, z = 0.
4.30. 8y2zz Xy*dx dy dz;
v J
V: X — 2;. ^-= — 1, z == 2,
x=0, r/=0, z = 0.
Z = 1
Задача 5. Вычислить.
5.1.
5.2.
dx dy dz w
V 11 'r \ *
5.3.
5.5.
5.7.
V: y— lOx, y — O, x— 1,
z = xy, z=O.
J 15(z/2+z2) dxdz/dz;
v
V: z = x+yt x-j-y^l’,
x—0, y=0, z — 01
f И (1+2*3) dxdz/ dz;
V
V: y=9x, y—O, x==I
ydxdydz;
V
5.4.
5.6.
3Г 4 ^8 ъ
x = O, y—O, z — O,
V
V: y—x, y==O, x~J,
z = 5 (x2+/y2), z = O.
(274-54y3)dxdydz;
V
V: y—x, y = 0, x=l,
z — Уху, z = 0.
5.8.
dx d# dz
^Г) dz»
V
Ш
V
V
z
5.9.
V: f/ = 15x, zy = O, x— 1,
z—xyt z = 0.
HS (3x2+^) dxdz/dz;
J v d
V: z — lOy, x+r/—1„
x—0, y — 0, z=0.
±+JL .
16^8^3 ’
x=0, y—0, z — 0.
V
V: z~x2+3y2, z—O,
y — X, y=O, x = l.
V
V: у==х, r/=O, _x~ 1,
z— Уху, z — O.
5.13. J J J 21xz dx dy dz;
V J
v
V: y — 36x, y==0, x— 1
z = Уxyt z — 0.
dx dy dz
V
V: y=x, y—0, x = 2,
z=xy9 z = 0.
V: x/10+y/8+z/3=l
x=O, y=O, z=O.
110
5.15. (x3+3z/2)dxd^dz;
V
V: z = 10x, х+у= 1,
х = 0, г/ = 0, 2 = 0.
=-17-
V
V: у = 9х, у = 0, х=1,
2 — ]/*ХГ/, 2=0;
5.19. Зу2 dx dy dz;
v
5.16.
‘5.18.
5.20.
5 5 5 ^2;
v J
V: y — x, y = 0t x=lr
Z = X2-l-y2, 2 = 0.
v
V: y—4x, y—O, x = l,
2 = УXy, 2 = 0.
mdx dy dz •
/ X . U 7 \ 4
V: y~2x, у—6, х—2,
Z = xyt Z = Q.
5.21. ^^x2dxdr/d2;
V: z = 10(x+3t/), x+?/ = l.
*x = 0, y~0, z = 0.
V: x/2 + Г//4+2/6 = 1,
x = 0, y = 0, 2=0.
5.22. W+12z) dxdz/ dx
V
V: у==х, у = 0, x = l,
и = Зх2-|-2^2, 2 = 0.
v
5,23.
V: у==х, у—О, х=1,
z— V~xy, z=0.
5.25. Ш -_________:d*d?d?.-—-
V
V: y=xt y==0t x=l,
2 = 30x2 + 60r/2, 2 = 0(
5.26. J J J xyz dx dy d2;
V
V: x/6 + y/4+2/16 = 1,
x = 0, r/=0, z = 0.
5.27. y2 dx dy dz;
V: z=10(3x+r/), x+r/ = l,
x = 0, y=0t z = 0.
I/
V: y—x,- y = 0, x = 2,
Z = xy, 2=0.
S-28, 5И (бх+^dxdi/ dz;
V: y—x, y = 0, x=l,
2 = X2+ 15r/2, 2 = 0.
5.30. (И——dxdyfe
Л1+£+<+£.Г
V: 2 = 20 (2x+#), x~\~y=\9
x=0, y~0, 2 = 0. x
5.31. J x2 dr/ dz; (
v
V: y = 3x, y=0, x=2,
Z = Xy, 2 = 0.
'^Задача 6. Найти площадь
линиями.
6.1. у—3/х, у~4ех,,у^=3, у—4:
6.3. х2 + г/2=72, 6г/= —х2(г/<0),
в-5- y — Sext у — 3, у —8,
V: x/8 + r//3 + 2/5 = l,
x=0, r/=0, 2 = 0,
фигуры, ограниченной данными
6.2. x= K36—(/2, x=6—/36—
6.4. x = 8—#2/x=—2r/.
6.6. £=ХЛ-. г/=гг-,х=16.
2 2x
Ш
6.7. х = 5—(/2, х=—4е/. 6.8. х2+«/3=12, — Уб//=х2(г/<0)-
6.9. р=У'12—х«, «/=2 КТ—У12—х2; х=0 (хг>0).
6.10. г/=-|-К^ х=9.
6.11. у=К24—х2, 2j/~3</~x2, х=0 (х^О).
6.12. i/ = sinx, // — cosx, х = 0 (х^О).
6.13. у~ 20—х2, у~~~ 8х.
6.14. уЦ К 13-х2, у = 3 V"2~ yiS—A
6.15. у — 32 — хй, у=—4х. J 6.16. // —2/х, у — 5ех, У~2, у—^9
6.17. х2 + //2 = 36, Зрг2г/='х2 (//^О). 6.18. у — ЗК^> у — 3/х, х=4.
6.19. // = 6—КЗб— х2, у = КЗб—х2, х —
6.20. z/ = 25/£—х2, ^ = х—5/2..
6.21. у = К*, у~ 1/х, х—16.
6.23. х —27— у2, х =—бу.
6.24. х=К?2 — у2, 6х=//2; у = 0 (г/^0).
6.25. у = K^J2, //== Кб'— j/'б^2.
6.27. у~ sinx, у — cosx, х —0 (х*с0).
6.29. у — ЗУ*, //—3/х, х = 9.
6.31. х2 + //2~12, х Кб =z/2 (х^О).
О (х^О).
6.22. у— 2/х, y = 7e.xt у —2, у = 7„
6.26. //=--у Кх, г/^-~,д = 4г
1
6.28. // = -—, у~6ех, у~ 1, у~бь
6.30. у^П—х\ у= — Юх/
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными
линиями.
7.1. у2—2«/+х2=0,
у2—4yJrx2~ О,
// = х/КЗ, КЗх.
7.3. у2—6// + х2-0,
у2—8// + х2-=0,
г/==х/уХ у= КЗх.
7.5. I/2—8/у l-x^^O,
y2~\0y + x2=Q}
у—^>у=^х-
7.7. г/2—4</+х2 = 0,
К—6«/Н-х2 = 0,
у==х, х=0.
7.9. К—6(/+*2=0,
У2 — 10// -|- х2 = О,
у—х, х—0.
7.11. у2—2{/4-х2 = 0, '
j/2-4Z/+x2 = 0,
у— У~3 х, х=0.
7.13. у2—4i/ + x2=0,
у2—6у-|-х2 = 0,
у== КЗ х, х=0.
7.2. х2—4х-}-(/2 = 0.
х2—8х-|-г/2 = 0,
у=0, у^х/Уз.
7А. х2—2х+//2 = 0,
X2— 4x-j- у2 i= О*
f/=0, у — х.
7.6. х2—4x-!-z/2 = 0,
х2—8х-|-г/?=0»
«/=0, // = х.
7.8. х2—2x+i/2=0,
х2—10х+К=0,
у = 0, у = Уз х.
7.10. х2—2х+р2 = 0,
х2—4х-[-у2—0,
у = х/УЗ , у—УЗх.
7.12. х2—2хЧ-г/2=0.
х2—6х-|-г/2=0,
г/ = х/КГ у=УЗх.
7.14. х2—2х+</2 = 0,
х2—8х+//2 = 0,
у^х/УЗ, у=^УЗ х.
112
7.15. у2—2у + х2 = 0, 7.16. х2—2%4-у2 = 0,
у2—6#-}-х2 — 0, х2—4х+у2 = 0,
у — х/1^3 , х = 0. у = 0, </ = х/рЛ3’.
7.17. у2—2z/-|-x3 = 0, 7.18. х2—2х+у2=0,
у2—10г/ + х2 = 0, х2—6х+?/2 = 0^
у=х/уТ, у=У'Зх. у=о, у=х/Уз\
7.19. у2—4у+х2 = 0, 7.20. х2—2х+у2 = 0,
у2— 10г/4-х2 = 0, х2 — 6х-)-#2 = 0,
у=х/У~3~, у=УЗх. у = 0, у^=х.
7.21. у2—2г/4-х2 = 0, 7.22. х2—2х+#2 = 0,
у2—4г/ + х2 = 0# х2—-4х + */2 = 0,
у—х, х — 0. у==0, у=УЗх.
7.23. у2—6г/+х2 = 0, 7.24. х2—4х+</2=0,
“ у2—8#+х2 = 0, х2—8х+#2— 0,
'у—х, х=О. у = 0, у^'УЗх.
7.25. у2—4у + х2=09 7.26. х2—4x-Pz/2 = 0,
у2—8у-\-х2=0, х2—8х+^2 = 0,
у—х, х — 0. у=х/У~3 , у—УЗх.
7.27. у2—4г/+х2 = 0, 7.28. х2 — 4х + ^2 — 0,
у2—8z/ + x2 = 0, х2 — 6х-Р у2 — 0,
у— 1^3х, х = О. у=^х1Уз, у=У~Зх.
7.29. у2—2z/+x2 = 0, 7.30. х2—6х+у2=0,
у2—10r/-f-x2 = 0, х2 —10х + #2 = 0,
y^x/V'S, х = О. . y=zx! к*3 , z/ = ;|^3x.
7.31, у2—4i/+x2 = 0,
г/2-8^+х2 = 0,
у = х/У'З , х = 0. -
Задача 8. Пластинка D задана "ограничивающими „ее кри-
выми, р—поверхностная ‘плотность; Найти массу пластинки.
8.1. D: х — 1, у — 0, //2 = 4х (#^0);
р, —7х2+#.
8.2. D: х2 + г/2=1, х.2 + #2 = 4,
х — 0, у — 0 (х^О, у^О)',
1^(*+у)/(х2+У2)-
8.3. D: х=1, у = О, у2=4х Q/^0);
|1 = 7х2/2 + 5г/.
8.4. D: х2+у2 = 9, х2-|-г/2 = 16,
х—О', у = 0 (х^О, y^G);
p=(2x+5z/)/(x2+z/2j.
8.5. D: х~2, у—О, у2 = 2х (z/^=O);
li = 7x2/8~\-2y.
8.6. D: х2+у2 = 1, х2 + //2-16,
х = 0, у=^0 (х^О, г/^0);
Н= (х-^у)/(х2^у2).
8.7. D: х=2, у=О, if = x/2 (уЭгО);
р, = 7х2/2бу.
8.8. D: х2+г/2=4, х2+у2 = 25,
Х = 0, у = 0 (ХЭ:О, Z/<0)}
р = (2х-3у)/(х2+у2).
5 Л. А. Кузнецов
• пз
8,9» D: x=l, y~0, y2 = 4x (z/^0);<
p = x+3z/2.
8.10. D: x2 + //2 = l, x2+?/2 = 9,
x = 0, y = 0 (x^O, у «СО)$
p. = (x—г/)/(х2+(/2).
8.11. D: х=1, f/ = 0, г/2 = х (z/S&0)j
p = Зх 6r/2.
8,12, D: x2+«/2 = 9, x2 +f/2 = 25,
x=0; y~ 0 (x^O, zy^O);
p,= (2z/—x)/(x2+s/2).
8.13. D: x=2, y = 0, у2=х/2 (y^G)i
|x=2x+3</2.
8.14. D: x24-z/2 = 4, x2+«/2 = 16,
x=0, y=0 (x<0, г/Э=О)}
|i = (2(/—3x)/(x2+«/2).
8.15. D: x=-i , # = 0, </2 = 8x (;/SsO).
p,=7x+3i/2.
8.16. D; x2+/ = 9, x2+t/2=16,
x=0, y — 0 (x<:0,
li=^(2y—5x)/(x2+y2).
8.17. Dt x=l, y=0, y2=4x (//SaO);
p — 7х2+2г/.
8.18, D: x2+«/2=l, x2 + r/2=16,
X —0, y=Q (x^O, r/^:0)3
H=(x+3</)/(x2+f/2).
8.19, D: x=2, y2 = 2xt y~0 (z/^0)$ '
p,= 7x2/4+#/2.
8.20, D: х2+г/2=1, x2+#2 — 4,
x = 0, y = 0 (x^O, i/^O)j
И = (х+2^)/(х2Ч^2). '
8.21, D: x~2f y — Ot y2~2x (^/^0)?
pt=:7x2/4 + z/.
8.22, D: x2 + y2=l> x2 + y2=9,
x = 0, y = 0 (x^O, z/^O);
H=(2x—y)/(xz+y2). '
8.23. D-. x=2, y=0, y2=x/2 (//5=0)}
p, = 7x2/2 3г/.
8.24. D: x2 + #2—1, x2 + r/2 = 25,
x— 0, г/~О(х^О, у^0)}
И=(х—4z/)/(x2+z/2).
8.25, D: x=l, y — 0, y2—4x (#^0)$
p —6x+3z/2.
8,26. D: x2 + r/2 = 4, x2 + z/2 = 16,
x = 0, y — G (x^O, у ^0)j
H = (3x—Z/)/(x2 + z/2).
8,27. I): x=2, y=0, y2 — x/2 (//^0)?
|x=4x+6i/2.
8.28, D: x2+z/2==4, x2+(/2 = 9,
,4 x=Oa y=0 (x<0, ^^0)5
fit
р.= (</—4х)/(х2-Н2).
$.29. D: х=1/2, у=0, у2=2х (у^0)1
___ jx = 4x-|-9z/2.
8.30. D: x2+?/2==4, х2 + у2 = 9,
х— 0, z/=0 (х^О, z/^sO);
у. = (г/—2x)/(x2+i/2).
8.31. £>: х= 1/4, r/==0, t/2= 16х (z/Ss= 0)1
fea? . p=16x+9t/2/2.
Задача 9. Пластинка D задана неравенствами, р—поверхност-
ная плотность. Найти массу пластинки.
9.1. D-. х2+«/2/4<1; 9.2. D: 1<х2./9+г/2/4<2..
2 х <
р.=г/2. //5=0, у<-^х;
p = (//x.
9.3. D-. x2/9+i/2/25<I, // 5= 0; 9.4. D-. x2/9+i/2/25<1, z/3sO; p = 7 x2y/18. L: 1.
P = X2/Z. , 9.5. Р: l<x2/4+/<4, y^Q, y^x/2-, 9.6. D: x2/9+z/2<l, x^O} p = 7xr/6.
\x=8y/x\ 9.7. D: х2/4+у2<.1< P = 4z/4. 9.9. D-. l<x2/16+z/2/4<4, 9.8. D-. \^х214-\-у21^<4, хэ=0, z/^3x/2; g=x/«/. 9.10. D-. x2/4+«/2/9<l,
xSsO, y^x/2, P=x/y. 9.11. D: x2/4+y2<\, x^O, y^O; ц—бх^у3. x50, z/5=0; р=х3г/. 9.12. D: l<x2/4+z/2<25, . xSsO, y^x!2\ p,=x/«^.
9.13. D-. x2/9+j/2/4<1} ч р=х2(/2. 9.14. P: х2/16+г/2<1, x^O, z/5=0;
9.15. D: x2/4+r/2<l, x^O, г/5 0; p=30x3//7. 9.17. D: x2+z/2/25<l, z/S=05 р=5хг/7. 9.16. P: К x2/9 + y2/4 < 3, 2 У 5=0, г/<ух; p=^/x. 9.18. P: x2 + «/2/9<l, y^O;
p.= 7xV p = 35x4r/3.
9.19. D: x2/4+(/2/9<l; p,=x2. 9.21. D: x2/9+z;2<l, p. = 11 xy2. 9.23. D: l<x2/9+//2/4==s5, X5 0, f/^2x/3; p=x/z/. 9.20. P: Kx2+«/2/16<9, i/^0, y<4x; y,=y/x2. 9.22. P: 1 <x2/4-f-(/2/16<5, X3s0, y^2.x\ l^ = X/y. 9.24. P: x2/4+^2/9<l, хЭэО, y^6; у.=^хъу.
5*
115
9.25. £): х2/4 + г/2/25 < 1;
р = х4.
9.27. Р: 1<л2/4+//2/9<36,
3
х^О, 4/^-тгХ;
' 2
p = 9x/z/3. .
9.29. D: х2/16+ у*< 1,
Х^О,' #^О;
р = 105x3z/9.
9.31. D; Кх2/16+г/2<3,
х^О, z/^x/4; -
P = X/t/5.
Задача 10. Найти объем
его поверхностями.
10.1. у=1бУ2х, у=У2х,
z = 0, х+г=2.
10.3. x2+f/2=2, у=Ух, у=0,
2=0, z=15x.
10.5. х=20 ]<2г/, х=5 У 2у,
2 = 0, z+f/=l/2.
10.7. х2+*/2 = 2, х= Уу, х=0/
2=0, z = 30y.
10.9. у= 17 1<2х, у = 2 У2х,
2 = 0, х+? = 1/2.
10.11. x2 + t/2 = 8, у=У2х, у = 0,
2 = 0, z = 15х/11.
10.13. х=^гУу , х~ТяУ’
О 1р
2=°, г=А(з+^).
1о
10.15. xa+z/2=8, х=У2у, х=0,
г~30у/11, 2=0.
10.17. j/=6J<3x. у~-=УЗх,
2=0, х+г=3.
10.19. х2+«/2=18, у=УЗх, у = 0,
2 = 0, г = 5х/11.
10.21. х=7 УЗу, х = 2 УЗу,
2=0, 2-|-«/=3.
10.23. х2+«/2=18, х=УЗу,
Х=0, 2 = 0, 2= 10J//11'.
9.26. D; х2+г/2/4< 1,
хэ=0, у^О;
ц = 15 хъуъ.
9.28. D: х2/100-4-1/2<1,
v Х2&0, г/^0.
|Х = 6х#9.
9.30. Ь: 1Сх2/9+;/2/16<2,
4
i/^O, х;
. р=27 y/jfi. '
тела, заданного ограничивающими
10.2. у=5 Ух, у=5х/3,
z=0, г = 5+5 Ух/3.
10.4. х+г/ = 2, у—Ух,
z=A2y, г—0.
10.6. х=5 Уу~!2, х=5»//6,
2 = 0, г=^(3+Уу),
10.8. х+у — 2, х~= Уу ,
« * z=12x/5, 2 = 0.
10.10. f/=5 V"xl3, y = 3x/0,
2 = 0, 2 = 5 (3+ )<х)/9.
10.12. х+^ = 4, у~ У2х,
z — 3y, 2 = 0.
10.14. х= 19 V2^t х=4 1<2£,
2 = 0, г+г/ = 2.
10.16. х+^=4, х—У2у9
2 = Зх/5, 2 = 0.
10.18. у±=~Ух, У =
2=0, 2=^(3+/7).
10.20. х+у = 6, у=УЗх,
z = 4yt 2 = 0.
10.22. х=5 Уу/3, х=5у/9,
2 = 0, 2 = 5(3+VV)/9.'
10.24. х+у=6, х=УЗу,
г — 4х/5, 2=0.
10.25. у= V 15х, z/= V 15х,
z = 0, z=j/‘l5 (1 + Ух).
10.27. х+у = 8, у=У4х,
2 = 3у, 2 = 0.
10.29. х = 15 У у , х = 15г/,
2 = 0, z = l_5 (1 + И/У
10.31. х=17рг2//, х — 2У2у,
z=0, z+f/ = l/2.
Задача 11. Найти объем‘тела, заданного ограничивающими
его поверхностями.
11.2. х2-\-у2 = у, х2-4-у2 = 4у,
2 = У х2-\~ У2, 2^=0.
11.4. х2+г/24-4х=0,
'2 = 8—у2, 2=0.
11,1. х2 + у2 = 2у,
?_ 5/4—х2, 2 = 0.
11.3. х2+(/2 = 8 У2х,
г—х2-]-у2—64,
2 = 0 (z^ 0).
11.5. х2 + //2 = 6х, х2-|-г/2 = 9х,
2 = Ух2-}-у2, 2 = 0,
у=0 (у^0)..
11.7. х2 + у2 = 2у,
9
Z------X2, 2 = 0.
4
11.9. х2 + г/2Ч-2 V’2f/=0,
z = x2-\-y2—4,
Z = 0 (2^0).
11.11. х2 + г/2 = 7х, х24-г/2= 10х,
2=УХ2 + у2, 2 = 0,
у = 0 (у ^ 0).
11.13. х2-]-у2 = 2у;
13 о
2=-----X2, 2 = 0.
4
11.15. х2+(/2=6 У2х,
z = x2-\-y2—36,
г = 0 (2^0).
11.17. х2 + //2 = 4х,
2 = 12 — у2, 2=0.
11.19. х2+^2=4 У2х,
2 = Х2+г/2 —16,
2 = 0 (2^0).
11.21. х2+у2^4у, х2 + у2 = 7у,
z = Ух2 + у2г 2 = 0.
11.23. х2+г/2Ч-2х = 0,
w z = 17/4—y2, 2 = 0.
10.26. х2-|-(/2 = 50, y—V~5x,
у=0, 2 = 0, 2 = Зх/1.1.
10.28. х=1бУ"21/, х=У2у,-
2-]-у = 2, 2 = 0.
10.30. х2 + у*=50, х=У5у,
Х = 0, 2 = 0, 2 = 6///11.,
11.6. х2 + г/2 = 6 У2у,
z = x2 + y2—36,
2 = 0 (2^0).
11.8. х2 -|- у2 = 2г/, x2-\-y2=byt
z= Ух2-]-у2, 2 = 0. '
11.10. х2-|-г/2=4х,
2 = 10 — г/2, 2 = 0.
11.12. х2 + у2 = 8 У2у,
2 = х2 + г/2 —64,
' г=0 (2^0).
11.14. х2 + г/2 = 3г/, х2-^- у2 = Оу,
z = Ух2 + г/2, 2 = 0.
11.16. х2-\-у2 = 2 У2у,
2 = х2 + у2—4,
2 = 0 (г^0).
11.18? х2+г/2 = 8х, х2-]-г/2=11ха
z — Ух2 4- у2, 2 = 0,
У = 0 (г/<0).
11.20. х2 + у2 = 4у,
2 = 4—X2, 2 = 0.
11.22. х2-|-г/2 = 4 У2у,
Z—X2-]-y2 — 16,
2 = 0 (2^0). . .
11.24. х2 + г/2'—9х, х2-]-^2 = 12х,
2= У х2-]-у2, z= 0,
у = 0 (у^0).
J17
11.25. х2+у2+2 У2х = 0,
г=х2+У—4,
z = 0 (z2ss 0).
11.27. х2+У=10х, х2 + У = 13х,
z = Ух2+у2, z—О,
г/=0 (г/^0).
11.29. х2+У = 2х,
z=21/4—У, z = 0.
11.31. х2+У+2х=0,
z = 25/4—y2, z=0.
Задача 12. Найти объем
его поверхностями.
12.1. z/=5x2+2, у = 7,
г=3у2—7х2—2,
г=Зу2—7х2—5.
12;3. х=— 5У+2, х=—3,
. г = Зх2+У+1,
г = Зх2-\-у2—5.
12.5. 7/=—6х2 + 8, t/=2,
z = x—х2—у2—1,
г=х—х2—у2—5.
12.7, х-Зу2—9, х==4,
Z—х2+4х—у2—4,
г = х24-4х—У+2.
12.9. х=5У—1, х — —ЗУ + 1,
z = 2—Ух2 + 6У,
z = —1 — У x2 у 6z/2.
12.11. z/ = —5x2y3, z/ = —2,
z = 2x2 — 3y—Gy2— 1,
z=2x2—3y—Gy2 у 2.
12.13. х=ЗУ—5, x = —2,
z = 2— /x2+16z/2.
z=8— У x2+16(/2..
12.15. z/=2x2—1, z/=l,
z=x2—5У—3,
z=x2—5y2—6.
12.17. x = —4/+1, x=—3,
z = x2—7У—1,
z=x2—7yy 2.
12.19. z/=l—2x2, z/ =—1,
z=x2+2(/+z/2—2,
. z = x2y2^yyyi.
12.21. x=2yy3, x=5,
z= 1 + У 9x2 + 4z/2,
z=4y У9х2у4у.
118
11.26. x2+y2 = 4y,
z = 6 — x2, z = 0.
11.28. х2УУ=2 У2х,
z—x2-j-y2—4,
z=0 (z^O).
11.30. х2УУ=5г/, x2-\-y2=8y,
г=Ух2УУ, z = 0.
тела, заданного ограничивающими
12.2. j/ = 5x2—2, y~—4x2-|-7,
.z=4+9x2 + 5f/2,
z— — 1 + 9x2 + 5#2.
12.4. x=2^2—3. x=— 7y2+&,
z= 1 + Ух2+ 16z/2,
z=— 3+Ух2+16г/2.
12.6. y=5x2— 1, z/=—3x2H-l„
2=— 2+УЗх2 + //2,
z= — 5+ У Зх2+У
12.8. z/=6x2 — 1, y=5,
z=2x2+x—y2,
z = 2x2-|-x—У + 4.
12.10. x = —3{/2+7, x = 4,
z=2+ y~Gx2-\-y2,
?=з+Убх2+у.
12.12. y = x2—5, y = — x2 + 3,
г=4+Уох2-{-8у,
z=l + У 5x2+8z/2.
12.14. x—y2—2, x=—4У4-3,
z= У16—x2—j/2-|-2,
2= У16—x2—У—1.
12.16. у=х2—2, г/ = —4х2+3,
г=2+ Ух2+У,
2=—1+ ух2+у.
12.18. х=7У—6, х=—2У + 3,
г=3+5х2—8У,
г = -2+5х2-8у.
12.20. у=х2—7, у=— 8х2+2,
2=3— 12У+5х2,
2=— 2— 12у + 5х2.
12.22. z/=3x2+4, г/=7,
г=5—У2х2+ЗУ,
г=1—У 2х2 узу.
12.24. x=—2p2 + 5, x=3,
2=5— У x2+25p2,
z = 2— У x2 + 25p2.
12.26. p=3x2—5, p= — 6x2-|-4,
z=2-|- 10x2—y2,
z=— 2+ 10x2—y2.
12.28. x = 3z/2—2, x=—4У4-5,
z=4—7x2—9z/2,-
z=l —7x2—9z/2.
.12.30. y=2x2—3, z/=—7x2+6,
z = l—5x2—бу2,
г==^—3х2—бу2.
13. Найти объем тела, заданного ограничивающи.
12.23, х=5р2—2, x =—4y2-\-7t
z=4— У2х2+3р2,
z=—1 — У2х2 + 3y2,
12.25, y= — Зх2+5, у=2,
X=3+ V 5x2+p2,
z=—1 + У 5x2+p2.
12.27..x=4p24-2, x=6,.
2=x2-j~ 4y2у-j-1,
z=x2+4p2+p+4.
12.29. p=2x2—5, y=—3,
z=2+Ух24-4ра,
z — —.1+ Ух24~4р2.
12.31. y=— 2x2-|-7, p = 5,
z=l—2x2 + 3pa,
z = 4—2x3+3pa.
Задача
ми его поверхностями.
13.1. z= V9—ха—р2,; '
9z/2=x2+p2.
13.3. г=У4—x2—p2,
z= У (x2+pa)/255.
13.5. z= ^-x2-y2,
2z = x2+//2.
13.7. г=У25—x2—pa,
г=У (xa+pa)/99.
13.9. г=21Ух24-г/2/2,
г=23/2—x2 —г/2.
13.11. г=У9—x2—p2,
г=У (х2 + г/2)/80«
13.13. z= У1—xa—pa,
3z/2=x2 + p2.
13.15. z= У36—xa—pa,
Z = У (xa+p2)/63.
13.17. z= У144—x2—p2,
18z=xa+p2.
13.19. г=У9—x2—p2,
z= у (x2 + p2)/35.
13.21. z= У36 — x2—у2,
9z='X2-|-z/2.
13.2. г=15Ух2+У/2,
z = 17/2—x2—у2.
13.4. г==Уб4—x2—z/2, г = 1,
x2+z/2=60
(внутри цилиндра).
13.6. г = ЗУх2-|-г/2,
V z=10—х2—у2.
13.8. г = У100—х2—у,. г = 6,
х2+р2 = 51
(внутри цилиндра).
13.10. z= У16—х2—р2,
6z = x2+p2.
13.12. 2= У 81— х2— р2, 2=5,
х2+р2=45
(внутри цилиндра).
13.14. г=бУх2+р2,
2= 16 — X2—р2.
13.16. z= У64—х2—р2, z=4,
х24-р2=39 (внутри цилиндра),
13.18. г=ЗУх2+р2/2,
г=5/2—х2—р2,
13.20. г= У49—х2—р2, г=3,
х2+р2 = 33 (внутри цилиндра),
13.22. г = 9Ух2+р2,
г=22—х2—у2.
119
14. Найти объем тела, заданного ограничивающи
13.24. z= V'3&-x2-y\ z=2,
x2y* — 27 (внутри цилиндра
13.26. г=12Ух24-г/2,’
z = 28—x2—г/2.
13.28. г=У25—x2—г/2, г=1,
х24-г/2=21 (внутри цилиндра'
13.30. г=9Ух24-г/2/2.
г— 11/2—х2.—г/2.
13.23. г=У16—x2—i/2,
z= К (x2 + r/2)/I5.
13.25. z= |/4/9—x2—г/2,
z=x24~</2-
13.27. z= 9—x2—г/2,
z= У(х2+г/2)/8.
13.29. z= Уб4—x2—у2,
12г=х24~1/2-
13.31. z= У36—x2—у2,
г=У(х2 + г/2)/3.
Задача
ми его поверхностями.
14.1. 2=2 — 12(x2 + f/2),
z= 24x4-2.
14.3. z = 8(x2+z/2) + 3,
z= 16x-|-3.
14.5. z=4 — 14(x2+</2),
z=4—28x.
14.7. z = 32(x2 + i/2)4-3,
z=3—64x.
14.9. 2=2—4(х2-|-г/2),
z= 8x4-2.
14.11. г=24(х24-г/2)4-1,
z = 48x-[-l.
14.13. z=—16(x24-«/2) —1,
z = —32x— 1.
14.15. z=26 (x2-|-j/2)—2,
2=—52x—2.
14.17. z = —2(x24-{/2) —1,
z = 4y— 1.
14.19. 2=30 (x24-i/2)4-l,
z= 60^4-1.
14.21. z=2—18 (x24-j/2), .
z=2—36г/.
14.23. 2=22 (x2-pi/2)4-3,
2=3—44y,
14.25. 2 = 4 —6(x24-j/2),
z=12i/4~4. »
14.27. z=28(x24-^2)4-3,
z=56«/4-3.
14.29. z=2—20(x24-i/2),
< 2=2—40г/.
14.31. z=10(x24-t/2)4-l,
z = l—20г/.
12Q
14.2. г=10[(х—1)24-г/2]4-1(.
г=21—20Х.
14.4. z=2—20((х4-1)24-г/2],
г = —40х—38.
14.6. г=28[(х4-1)24-г/2]4-3,
,2=56x4-59.
14^8. z=4—6[(х— I)2 j //2|,
z--12x—8.
14.10. г=22((х—1)24-^2]4-3,
г=47—44х. '
14.12. г=2—18[(х-{-1)24-</2],
г = —36х—34. -i’(-
14.14. г=30[(х4-1)24-г/2]4-1,
г = 60х+61. '
14.16. г=:г-2 [(х^-1)2+г/2]-1,
г = 4х—5< J
14.18. г=26[(х=1)24-У]—2,
г = 50— 52х. ,
14.20. г=—16[(x-|-1)2+j/2] —1,
г = —32х—33. /
14.22. 2=24[(x4-1)24-«/2J+1>
2 = 48x4-49.-
14.24. z = 2—4[(х—1)24-г/2],
г = 8х—6.
14.26. г=32[(х—l)24-f/2]-|-3,
Z = 67— 64х. . :
14.23- z^4^14[(x + l)2+i/2J,
г = —28х—24. .
14.30. г^§[(х+1)2+г/2]+-3,
: Z= 1.6Х-Н.9* J ‘ У \|
Задача 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.;
15.1. 1<х‘Ч</2+гЧ49, 15.2. 4<x2 + e/2+z2<64,
Лчр; -./'^+7 1/'к8+Л
- У “35-У ~3~’ У “1У~<г<= у 3 ’
—х<{/<0. — КЗх<«/<0,
15.3. 4<x2-|-z/2+z2<64, 15.4. 4<х2+^2+г2<36,
г<1/Гх —х/Кз<У<0. z;a— 1/*"йЛ> ®<У<~х/Уз.
ГО -Г ОО
15.5. 1 < х2 + У+г2< 36,
— КЗх<//< КЗх.
15.6. 25<х2 + {/2+г2<100,
z<—V(x2+{/2)/99, У3х^у<,-У3х.
15.7. 1<х2+«/2+г2<49,
0<z< V(х2+//2)/24,
у<—х/Уз, У^,— У3х.
15.9. 4<x2+t/2+z2<64,
15.11. 16<x2+i/2+z?<16b,
г< —У3х<у<
15.12. 16<x2+«/2+z2<64,
15.8. 25<х2+^2+г2<121,
— lC(x2+#2)/24 =< z о,
у^-^Уз, у^-Узх.
15.10. 16< х2+t/2+z2 < 100,
УЗх^у^О.
15.13; 4<х2+^2+г2<49,
У<^х-
15.14. 36<x2+t/2+z2<12l,
г<— У^. ^Зх, у^О.
15.15. 4<x24-f/2+z2<64, ' 15.16. 36<x24-«/2+z2< 144,
0<г< У^*2^2’ —/'(х2+Я/24<г<0,
у^УЗх, у<^=. У^УЗх, у5?~=,
15.17. 9<x2 + «/2 + z2<81, • •
- У(х2+у2)/3 < г < у(^+У)]35,
0<у <—%.
15.18. 36 <x2+f/2+z2<144,
- У(У+У)/3 < г <- F (х2 + «/2)/15, z
О^у^— УЗх.
.,121
33.19. 36<x2 + y2 + z2<144,
Z< |/"- . УЗх^уе^-—»
15.20. 36<x2+t/2+z2<100,
у=^у<У^.
15.21. 9<x2+y2+z2<64,
zSs V(x24-«/2)/99, у^х/Уз, у^-х/Уз.
15.22. 49<x2+t/2+z2<144,
z<— K(*2+l/2)/99, у^х/Уз, у^—х/Уз.
15.23. 9<x2+j/2+z2<81, 15.24. 49<x24-i/2^-z2< 169,
i/<0, у^~=У y^O, У^у=.
15.25. 16<x2 + r/24-z2<100, »
r 3 r 3o
0<jr<x.
15.26. 64<x2 + </2+z2<196,
— У(x2+i/2)/3< z<- V(x2 + z/2)/15,
0<г/< УЗх.
15.27. 64<x2+/+z2<196,
z< V (x2+t/2)/3, х/Уз^у^О.
15.28. 64<x2H-t/2+z2<144,
z2&—V(x2H-(/2)/63, 0<,у<х/УЗ.
15.29. 16<x2+«/24-z2<81,
z^= K(x2+</2)/99, z/<0, y<— УЗх.
15.30. 64<x2+i/2+z2<169,
z<— l/y^01 ySz—y^x-
15.31. 16<x24-f/24-z2<100,
^y^-
Задача 16. Тело V задано ограничивающими его поверх-
ностями, р, — плотность. Найти массу тела.
16.1. 64(x2+f/2) = z2, х2 + г/2 = 4,
. у = 0, z=0(i/^0, z^sOJ,
р^Б^+'г/2)^.
;16.2. х2+«/2+га=4, х2 + у2=.1, .
‘ (х2+г/2<1), х=0 (хэ=0);
р=4|г|.
122
16.3. x2-[-r/2 = l, x2+#2 = 2z,
x=0, y=0, z = 0 (x^O, y^O)j
jx= lOx.
16.4. X2 + t/2-^Z2, X2 + ^=yZ,
x=0, y~0 (x^O, t/^0);
p, — 80yz.
16*5. x2+#2+z2=l, x2+t/2 = 4z2,
x=0, y=0 (x^O, t/^0, z&O)?
p, = 20z.
16.6* 36 (x2 + y2) = z2, x2+y2 = 1,
x=0, z = 0 (x^O, zz^O); ;
к
h=6.U2+^- *
16.7. x2+</2+z2=16, xa+y2=4,
(х2+//2<4);
p.=2|z|.'
16.8. x2-|-//2 = 4, x24-£/2=8z,
x—0, y = 0, z=0 (x^O, z/SsO);
p.=5x.
16.9. x2+«/2 = A z2, x2+j,2= j- z,
x = 0, z/ = 0 (x^O, z/^O);
|i = 28xz. ‘
16.10. x2 + ^/2 + z2 —4, x2 + ^/2 = ^2.
x=0, г/ = 0 (x^O, t/^0, z^O);
|i = 6z.
16.11. 25(x2 + ^2) = z2, x2+z/2 = 4,
x=0, «/ = 0, z = 0,
f (x^O, z/^0, z^O);
p, = 2(x2 + t/2).
16.12. x2+t/2-|-z2 —9, x2+#2 = 4,
' (x2 + {/2<4), t/ = 0 (z/^0);
H=121-
16.13. x2+j/2=:1, x2+«/2 = 6z,
x = 0, z/ = 0, z — O (x^O, t/^0);
H = 90^.
16.14. x2 + t/2 = z2/25, x2 + t/2 = z/5,
x=0, y~ 0 (x^O, z/^0);
p,= 14z/z.
16.15. x2+r/2+z2 = 4, x2+#2 = 9z2,
x=0, y — ^ (x^O, i/^0, z^O);
p,= 10z.
16.16. 9(x2 + #2) = z2, x2+t/2 = 4,
x=0, «/ = 0, z = 0,
k (x^O, r/^0, z^O);
pi=5(x2+z/2)/3. ‘ ,
123
16.17. x2 + r/2 + z2 = 4,
x2-j->2^,l, (x24-z/2^i);
p = 6|z|.
16.18. х2-)-г/2=1, x2 + z/2 = z,’ \
x = 0, y=0, zw®>
(x^O, z/^O);
H = 10f/.
16.19. x2+//2 = z2/49, x2-f-z/2 = z/7,
x = O, y = O (x^O, z/^O);
p=10xz.
16.20. x21/2 + z2 = 4, x24-J/2 = 4z2,
x=0, y=0 (x^O, z/^0, z^O);
p = lOz.
16.21. 16 (x2-j-z/2) = z2, x24~z/2=1,
x=0, z/ = 0, z = 0 (x^O, y^02 z^Q)i
ц = 5(х2-Н2').
16.22. х2+</2+г2= 16,
x2 + у2 — 4 (x2 + у2 4);
H==|z|.
16.23. x24-//2 = 4, x2-|-z/2 = 4z,
x = 0, z/ = 0, z —0 (x^O, z/^0);
p = by.
16.24. x24-t/2 = z2, x2+z/2 = z,
x=0, y — 0 (x^O, f/^0);
|л = 35уг.
16.25. x?4- //24-z2= 1, x2-\-y2 — z2t
x — 0, у — 0 (x 0, у 0, z 0);
p, = 32z.
16.26. x24-//2 = z2, x2 + i/2 = 4,
x = 0, y = Of z = 0
(x^O, г/^O, z^O);
p = 5(x2+z/2)/2.
16.27. x2-[-y2-j-z2 = 9, x2-j-y2 = 4
(x2 + ^/2^4), z = 0 (z^O);
p=^2z.
16.28. x2-H/2=l, x2 + y2-^3z.
x—0, y = 0, z = 0,
(x^O, //^0),
u= lox.
16.29. x2 + {/2 = 4z2/49, x2 + y2=2z/7,
x = 0, у = 0 (x^O, z/^0);
p=20xz.
‘16.30. x2H-z/2 + z2=:16,
x2-\-y2 — 9z2,
x=0, г/ —0
(x^-0, y^9, z^O);
p=5z.
/124'
10.31. 4(x2+#2) = 22, x2 + ^2 = 1,
y=Q, 2—0 0/^0, 2^0);
|i^l0(x2 + r/2).
VIII. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Теоретические вопросы
1. Скалярное поле. Производная по направлению.
2. Градиент, его свойства. Инвариантное определение гради-
ента.
3. Векторное поле. Поток векторного поля через поверхность,
его физический смысл. •
4. Формула Остроградского.
5. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инва-
риантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.
6. Соленоидальное поле, его основные свойства.
7. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и фи-
зический смысл.
8. Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.
9. Формула Стокса.
10. Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное опре-
деление ротора.
11. Условия независимости линейного интеграла от формы
пути интегрирования.
12. Потенциальное поле. Условия потенциальности.
Теоретические упражнения
1. Найти производную скалярного поля и = и(х, у, г) по на-
правлению градиента скалярного поля v~v(x, у, г).
2- . Найти градиент скалярного поля w = Cr, где С—постоян-
ный вектор, а г—радиус-вектор. Каковы поверхности уровня
этого поля и как они расположены по отношению к вектору С?
3. Доказать, что если.З—замкнутая кусочно-гладкая поверх-
ность и С—ненулевой постоянный вектор, то
// cos (n, С) dS = 0,
s
где п—вектор, нормальный к поверхности S.
4. Доказать формулу
фф <pan°dS = $ $ $ (<Р div а + a grad <р) dV,
s v
где <р = ф(х, у, z); S—поверхность/ограничивающая объем V;
п®—орт внешней нормали к поверхности S. Установить условия
применимости формулы.
125
5. Доказать, что если функция и (х, у, z) удовлетворяет урав-
нению Лапласа
+ = то //?dS = 0»
дх2 1 ду2 1 dz2 * J J дп *
О
ди
где —производная по направлению нормали к кусочно-глад-
кой замкнутой поверхности S.
6. Доказать, что если функция и(х,у, z) является многочле-
ном второй степени и S—кусочно-гладкая замкнутая поверх-
ность, то интеграл dS пропорционален объему, ограничен-
ному поверхностью S.
7. Пусть а = Pi + Qj+ /?к, где Р, Q, Р—линейные функции
от х, у, z и пусть Г—замкнутая кусочно-гладкая кривая, рас-
положенная в некоторой плоскости. Доказать, что если цирку-,
ляция § adr отлична от нуля, то она пропорциональна площади
г
фигуры, ограниченной контуром Г.
8. , Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат.
Вектор угловой скорости <в = coxi +<»yj -}- <о^к. Определить ротор
и дивергенцию поля линейных скоростей v = [<or] точек тела
(здесь г—радиус-вектор).
Расчетные задания
у Задача 1. Найти производную скалярного поля и(х, у, z)
в точке М по направлению нормали к поверхности S, образую-
щей острый угол с положительным направлением оси Oz.
1.1. и=41п(3+х2)—8xyz, S:'x2—2y2+2z2=l, M(l, 1,1).
1.2. u=xV y-[-yV~2, S: 4z-j-2x2—y2==0, M (2, 4, 4). 5
} 1.3. « = — 21n(x2—5)—4xyz, S: х2-^2у2 —2z2=l, 44(1, 1, 1).
1.4. u = -~ x2y— <x2 + 5z2, S: z2=x2 + 4r/2—4, M (—2, , 1).
1.5. u=xz2— V^y, S: x2—y2— 3z-|-12 = 0, M (2, 2, 4).
1.6. u=xV"y—yz2, S: x2-\-y2—4z, M (2, 1, —1).
1.7. и = 71п (1/13 + x2)— 4xyz, S: 7x2—4y2-\-4z2=7, 44(1, 1, 1).
1.8. и = aretg (*//%>+ xz, S: x2 + //2 —2z = 10, M (2, 2, —1).
1.9. w = In (1-|~x2)—xy V' z, S: 4x2—y2~[~z2 — 16, Af (1, —2, 4).
1.10. u=V'^+y2—z, S: x2 + j/2 = 24z, M (3, 4, 1).
1.11. и = хУ"у~(г-Уу)Ух, S: x2-y2-\-z2 = 4y Л4(1, 1, —2).
1.12. и=Угху—-УЛ—z2, S: z = x2—y2t M (1, 1, 0).
1.13. n = (x2+r/2 + z2)3/2, Sf 2x2— z/2 + z2—1=0, 44(0, —3/4).
1.14. w = ln (1-|-х2 + #2)— yx2 + z2, S: x2 — 6x+9z/24~z2 = 4z + 4, 44(3, 0, — 4)e
126
Найти производную скалярного поля u(x, у, z) в точке M
по направлению вектора 1,
1.15. и=(х2+«/2 + г2)3/2,
l = i-j+k,
М(1, 1, 1).
1.17. и=х2у—У xy-\-z2,
l = 2j —2k,
М (1, 5, —2).
1.19. г/=х(1п у—arotgz),
•l = 8i + 4j + 8k,
- М(—2, 1, —1).
1.21. w=sin (v+2t/) + xyz,
l = 4i + 3j,
M (л/2, 3л/2, 3). .
1.23. и — x" + V У2 + 22,
1.16. W=x+ln(z2 + ^?),
2i + j~k,
М(2, 1, 1).
1.18. м—г/In (14-х2)—arctg
l = 2i—3j—2k,
M (0, 1, 1).
1.20. и — In (3—x2) 4- xy2z,
1 = —i4-2j—2k,
Af(l,3, 2).
1.22. u—x2y2z—In (z—1),
1 = 51-614-2/5^
Л4 (1, 1, 2).
1.24. « =
l = 2i + k,
M (4, 1, —2).
l = j—k,
Af (1, —3, 4).
u~ У xy+ Y 9—z2,
1 = —2i4~2j—k,
Al (1, 1, 0).
u== z2+2arctg (x—y)
l = i_|_2j—2k, *
Al (1, 2, —1).
x
u==xy----,
2 !
i=5i+j—k,
M(—4, 3, —1).
u — x2—arctg (f/ + z),
l=3j — 4k,
M(2, 1, 1).
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей
и(х, у, г) и v(x, у, г) в точке М.
2.1.1)=4+6^+3Г’ёг3, м('У\ -L-, .
z Л \ У 2 J 3 /
о 4 У' 6 '/ 6 3 о Л4 /о 1
2.2. V——-------~—-----, u = x2yz\ М ( А —I
х 9у Г z ’ ? \ 3
23 ( 1
w = т~ ,
ху-1 \ 3
Af f I, 2,
\ • Ув;
1.25.
1.27.
1.29.
1.31.
u~x2yz\
9// ' 2 ’
?.3. v = 9 У lx3---------,
2У 2 У 3
3_д__4____1 _ z
x ' У yUz’ U~x3y2’
2.5. v = ~+&y3-[-3y~6z3, u=2L
z f/z2
2.4. v
1 = 41—3k,
M (3, —2, 1).
1.28. и — In (x2 + y2) + xyz,
l=i-J + 5k,
M (1, —1, 2).
1==—2i—J+k,
M (1, —3, 4).
2.6. v= 3 /,2x2----3 У 2z2, u=-— , , -7Г ,
У 2 xy2 I 3
- 127
2.7. v = 6 К 6х3 — 6 У^ 6г/3-р2z3,
У22
и=— , М
У
1 ’ Г
-т^-, -т=-, 1
У 6 V 6
2.8.
2.9.
Кб /6,2 yz2
t) = -2--75 Ь-о-’ « = - . М
2х 2у 3z х
и=зКЪ?---С
3 V 2г2,
Z2
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.1б.
2.17.
2.24.
2.25.
1
w——— , М
x2yz
, М 2,
и=^_ м л 2 \
2 \. V 6)
___1
+ К’3г’
' . х2
и~~ у2#
3,4 1
V —------,
х У 6г
4]<2 , V~2
V = --—+-^
6,2 ЗКЗ
x У 2 К 2г
у=х2 + 9г/2 + 6г2, u = xyz, М ( 1, —
2,3 V 6 г/3 ,,
v=----1-^----—, и = ^-, М
х 1 2у 4z x2z
v= V 2х2---------бК 2г2, u = xy2z, Al(l, — ,
V 2 \ 3
Уб . Гб 2 х
v =----!_----------и=== м
2х 1 2у Зг
б , 2 3/“3
V —------------zz=r ,
У 2/2?
y2z3
u==:L-r
X2
2.18.
2.19. v
2.20.
2.21.
2.22.
v
V
V
V
1 ~ V 2х 2 У” 2 У з К з 2г ’ y-z* и = , X М (— к т Л 2 У 2,
= 6 K”6x3 -бКб{/8 + 2г3, и =А> м XZ2 / 1 \ Кб 1 Кб ’
= х2—у2- -Зг2, и =^i, м X (Л- 1 V 2 \ 1 К1)'
Зх2 '“KI у2-+ К 2 К'2г2, и= Z2 / =4-2 , А1 х2у2 \ сч |со
X3 К2 г/3 У~2 8г3 л_-, и = К 3 X2 л f = -^-о, М y2z3 (к 2, V2. \
3 /
2^23.. х2 + 3г/2—2г2, u~x2yz3t М (2,
1
3 ’
^эКгх3--«=<
2 К 2 К 3 2®
v=V2xz-^=г— 6 ]/~2г2, ы = -4- , М( 1. -5-
у 2 ХУ2 \ d
, м(4.2,
/, £
х ”3 ’
2.26. и = х24-9г/2-|-- 6г2,
1 Л4 /t 1 1 X
W ~, М f 1, — , —J •
л:#? 3 б /
128
9 07 — i 2K2 зУ 3 г
У 2x у 2z
2.28. 7! 4K2 К 2 1
(j x 9y ~У 3z
2.29. u •— x3 у3 8z3 u —
V 2 V 2 /3 ’
2.30. u = - +2_ЕЗ£+8Кз t/2 3
и^уг, мк ±, -b
1 1 \
К 2 ’ V 3 /
V /1
2.31. u = x2 —y2—3z2, u=——7—
4 \ К 2
Задача 3.
3.1. a — 4z/i—9xj.
3.3. a = 2xi + 4yj.
3.5. a —xi + 4yj.
3.7. a — 4zi —9xk.
3.9. a = 4z/j + 8zk.
3.11. a = 2xi-j-8zk.
3.13. a = 4zj—9yk.
3.15. a=5xi + 10yj.
3.17. a = yj + 4zk.
3.19. a = 9yi — 4xj.
3.21. a — 6xi4-12zk.
3.23. a = 4xi + yj.
3.25. a — xi + zk.
3.27. a — 7yj + 14zk.
3.29. a = 4xi-4~zk.
3.31. a —9zj — 4yk.
Найти векторные. линии. в векторном поле а,
V
3.2. a = 2yi + 3xj.
3.4. a = xi+3yj.
3.6. a = 3xi-[-6zk.
3.8. a~2zi+3xk.
3.16. a = yy -j- 3zk.
3.12. a = xi+3zk.
3.14. a — 2zj + 3yk.
3.16. a —2xi + 6yj.
3.18. a—xi+yj.
3.20. a=5yi+7xj.
3.22. a=2yj + 6zk.
3.24. a —9zi—4xk.
3.26. a — 5zi-j-7xk.
3.28. a — 2x1+6zk.
3.30. a = 5zj-|-7yk.
Задача 4. Найти поток векторного поля а через часть
поверхности S, вырезаемую плоскостями Р±, Р2 (нормаль внеш-
няя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).
4.1. a — xi-J-yj + zk,
5: х2 + у2=1,
Р3: z —0, Р2: г = 2.,
4.3. a = xi + r/j + 2zk,
S: х2+у2=1,
Pi. г —0, Р-2: z = 3.
4.5. a = xi + yj + xyzk,
S: х2-\-у2 = \,
Pi. z~0, Р2. z = 5.
4.7. а = (х+у) i — (х—у) j + xyzk,
5: х2+у2-1,
Р±: z —0, Р2: z — 4.
4.8. а (х3 + ху2) i + (у3 + х2у) j + z2k,
S:x2+y2-l,
Рг: г —0, Р2: z — 3.
4.2. a = xi-|-yj — zk,
S: x2 + y2= 1,
P±: z —0, P2: z = 4.
4.4.'a =--xi-f-yj-]-z3k,
S: x2 + y2 —1,
Pi. z = 0f P2. z = l.
4.6. a = (x—y) i + (x+y) j+z2kt
S: x2 + y2 = l,
z = 0, P2‘- 2=2.
129
4.9. a —xi + ^j + sin zk, 4.10. axi+#j + k,
S: x2+t/2=l, S: x2+^2 = l,
Px: z = 0, P2: z — 5. Pt: z = 0, P2' 2 = 1.
Найти поток векторного поля а через часть поверхности S>
вырезаемую плоскостью Р (нормаль внешняя к замкнутой поверх-
ности, образуемой данными поверхностями).
4.11. а = (х+х&2) i + (*/—^x2)j + (z—3) k, S: x2+^/2 = z2 (z^ 0), P: 2 = 1.
4.12. a=#i—xj + k, 5: x2-j-t/2 = 22(z^0), P: z = 4.
4.13. a = x#i—x2j4-3k, S: x2+#2 = z2(z^O), P: z = l.
4.14. a = xzi + #zj + (z2—1) k, S: x2+#2 = z2 (z^O), P: 2 = 4.
4.15. a = #2xi—#x2j + k, 5: x2+#2 = z2 (z 0), P: z = 5.
y4-16. a = (xz+#) i + (#2—-x)J4-(22—2)k, S: x2+^2=z2 (z 0), P: z—3.
4.17. &~xyzi—x2zj+3k, S: x2+#2 = z2 (z ^sO), P: z=2.
4.18. a = (x+x^)i + (y—x2)j + (z—l)k, Srx2+^2 = z2 (z^ 0), P: z = 3.
4.19. a = (x+#)i + (t/—x) j + (z—2) k, S: x2+#2 = z2 (z^s 0), P: z=2.
4.20. a=xi+^j + (z—2)k, S: x2+^/2 = z2(z^0), P:, z = l.
4.21. a = (x+xz)i + £/J + (z—x2)k, S: x2+^2 + z2 = 4(z^0), P: z = 0.
4.22. a=xi4~(v+*/z2) j + (z—zy2) k, S: x2+#2+z2 = 4, P:z = 0(z^0).
4.23. a = (x+z) i + (r/+z) j + (z —x—y) k, S: x2+#2+z2 = 4, P: z = 0(z^0).
4.24. a = (x4-x#) i + (#—?x2) j + zk, S: x2+$/2+z2 = l, P: z = 0(z^0).
4.25. a = (x+z) i+#j + (z—x) k, S: x2+#2+z2 = l, P: z = 0(z^0).
4.26. a = xi + (#+t/z) j + (z—*/2)k, S: x2+1/2+z2 =^= 1, P: z = 0(z^0).
4.27. a = (x—y) > + (*+#) j+zk, S: x2+#2+z2=l, P: z = 0(z^0).
4.28. a=(x+xz2)i + z/j + (z—zx2)k, S: x2+^2+z2=9, P: z=0(z^0).
4.29. a = (x+#) x) j+zk, S: x2+#2+z2 = 4, P: z—0, (z^ O).
4.30. a = (x+xy2) i + (y—yx2) j + zk, S: x2+y2+z2 = 9, P: z = 0 (z ^0)»
4.31. a = xi + (f/+z) j + (z—y) k, S: xa+#2+z2=9, P: z = 0(z^0)«
Задача 5. Найти поток векторного поля а через часть
плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль обра-
зует острый угол с осью Oz).
5.1. a = xi+#J + zk, 5.2. a = yj + zk,
+•* *+*/+z = l. . Р: x+t/+z=l.
5.3, a = 2xi + ^j + zk, 5.4. a=xi+3«/j+22k,
Р: x+t/+z = l. Р-. x+t/+z=l.
5.5. a=2xi + 3#j, 5.6. a=xi+f/j+zk»
P- x+y+z=l. P: x/2-\-у-\-г= 1.
5.7< a = xi+2#j + zk, 5.8. a = t/j+3zk,
P: x/2 + y+z = L t P: x/2+y+z — 1.
5.9, a = xi+уj + zk, 5.10. a=2xi4-z/j4-zk,
P: x+^/2 + z/3 = L P: x+y/2+z/3 = l.
5.11. a = 3xi + 2zk, 5.12. a=2xi-(-3f/j + 2k,
P: x+^/2 + z/3 = L P: x/3+y+z/2 = l.
5.13. a = xi+3#j—zk, 5.14. a = —2xi-|-«/j4-4zk,
P: x/3+^+z/2 = l. P: x/3+y+z/2 = l.
5.15, a = xi — f/j + 6zk, 5.16. a = 2xi4-5^j + 5zk,
P: x/2+^/3+z=l. P: x/2+j//3 + z = 1.
5.17. a = xi+#j + zk, . 5.18. a=2xi4-J/j—2zk,
, . P: 2x+^/2 + z = L P: 2x+j//2+z = L
130
5.19. a = xi + */j+2zk,
Pi 2х+^/2 + г= Е
5;21. a = xi + 3#j + 8zk,
Pi x+2#+z/2 = 1.
5.23. a = xi + 2t/j + 5zk,
P-. x+2r/+-|- = l.
5.25. a = xi + #j + zk,
, P: 2x -J- 3y “J- z — 1 •
5.27. a = 2xi + 3r/j + zk,
Pi 2x+3y + z = l.
5.29. a = xi+9#j + 8zk,
P: x+2r/+3z=l.
5.31. a=—xi-|-2#j + zk,
Pi x 2у -J- 3z = 1.
5.20. a = —xi -1- y\ + 12zkt
Pi 2x4-t//2 + z==l.
5.22. a = xi— r/j + 6zk,
Pi x-}-2y~\-zl2 — \.
5.24. a = xi + 4z/j-|-5zk,
P: x+2t/ + ^- = l.
5.26. a — 2xi-]-z/j Jrzk,
Pi 2x+3^+z—1.
5.28. a = 2xi + 3f/j + 4zk,
Pi 2x-{~ 3y z — 1.
5.30. a = 8xi+ll^j+17zkt
Pi x+2y+3z = l.
Задача 6. Найти поток
плоскости Р, расположенную в 1 октанте
острый угол с осью Oz).
6.1. а==7х1 + (5лг/+2) j4-4jizkj
P: %+#/2 + 4z= 1.
15.3. а=9лх1 + 1—3zk,
Pi х/3+^+z-l.-
6.5. a = 7xi + 9л^’ + к,
Pi x+yl3+z=\.
6.7. a = xi ~p (jtz — 1) k,
Pi 2x+y/2 + z/3=le
6.9. a = 2i—t/J + ^-zk,
P-. x/3+ j/.+z/4= l.
6.11. a==7^xl4-2n^j + (7z4-2) ke
Pi x+iz+2/2-1.
6.13. а —(Зл —1) х! + (9лг/+ 1) Ц-блгк,
P. А+Л+-^=1
2r3r 9
6.14. а —лх!-|—//j +(4—2z) k>
p--
векторного поля а через .часть
(нормаль образует
6.2. а-2лх1+(7г/+2) |4-7лгк|
Р: x+y/2 + z/3=l.
6.4. a = (2x-j-l)i — r/j + Злгк,
Pi х]3 -j-у *{“2z = 1 •
6.6. a = i + 5z/j+ Hjxzk,
Pi x+y + z/3=l.
6.8. a = 5лxi + (9f/ +1) J + 4лгк*
Pi xl2+yl3+z/2=A.
6.10. а = 9л%1-|-(5i/ +1) 14r2nzk<
Pi 3x-pr/ + z/9=l.
6.12. а^=лг/)* + (4—2z) k,
Pi 2x-\-yl3^z[4=A.
6.15. a = (5H-3) j+llnzk,
Pi %+^/3 + 4z=l.
6.17. a = n#j-|-(l — 2z) к,
Pi x/4^-y/3+z=l.
6.16. а = 9лг/] + (7г+1) k,
P* x+y + z = l.
6.18. а —(27л — 1) ал + (34л# + 3) J4-2(hxzk:
Р: 3x+-|+z=l.
6.19. а=лх1+2/ + 2лгк,
Р: х/2+«//3 + г=1.
'131
6.20. а = 4лх1+7ш/]4-(2г+1) к,
Р: 2*+£//3+2z=1.
6.21. a=3nxi4~6ju/j-(-10к,
Р, 2x4 у~\~ z/3= 1.
6.23. а = (21 л — 1) Xi + 62лу\ + (1 — 2 л z)
Р: 8x+z//2+z/3=l.
6.24. а—лх1 + 2л#}+2к,
Р: x/2 + f//4 + z/3=l.
6.26. а = 7лх1 + (4^+1) }+2лгк,
Р: x/34-2#4-z = I.
6.27. а = 6лх! + Зл£/Л-Юк,
Р: 2x4-у/2 4 z/3 = 1.
6.28. а = (л—1) х1 + 2л^ + (1—лг) к,
р-
4Г 2‘3
6.29. а = у xi + nf/j + (4—2z) к,
P:^+f+l=L
6.30. а — 7лх*1 4л#} + 2 (z +1) к;
. Р: x/3+r//4+z=l.
6.31. а=5лдл-Н(1— 2у) )4-4лгк,
Р: x/24-4*/+z/3 = l.
I
6.22. а—лх!—2//j + k,
Р: 2х+/у/64-2~ 1.
6.25. а = 9лх14-2л^ + 8к,
Р\ 2x48^/4z/3 = 1.
Задача 7. Найти поток векторного поля а через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя).
7.1. а = (ег+2х) i + e^j+eXk, S: x+«/-}-z=l, х—0, г/=0, г = 0.
7.2. а = (3г2+х) i + (ех—2y)j-[-(2z—ху)к, S: x2-j-y2 = z2, z = l, Z—4.
7.3. a = (lnjH-7x) i + (sin z—2z/)j + (eX—2z) k, S: x2+z/2+z2 = 2x-p>2z/ +
+ 2z—2.
7.4. a==(cosz+3x) i + (x—2;/) j+(3z + z/2)k, S: z2 = 36(x2+y2), z = 6.
7.5. а=(е~г—x) i-p(xz+3r/) j+(z+x2)k, S:2x-|-t/4-z=2,x=0, w=0, z=0.
7.6. a = (6x—cos y) i—(ex+z)j — (2z/-|-3z)k, S: x2-\-y2=z2, z— 1, z=2.
7.7. a=(4x—2j/2)i + (lnz—4j/) j+(x+3z/4)k, S: x24-r/2+z2 = 2x+3.
7.8. a=(l+ Kz')i+(4(/-/'x)j,+ x(/k, S: z2 = 4(x2+y2), z = 3.
7.9. a=(Kz'— x) • + (*—У) j + ('/2~ z)k, S: {3x—2z/+z==6, x=0, y-j-O,
г=0.
7Л0. a = (yz + x)i + (x2+y)j + (xy2~]-z)kf 8: x2+y2 + z2 = 2z.
7.11. a — (е2У 4-x) * + (x—2#) j4-(#24-3z) k, 8: x—y-}-z=l, x—0, y — 0, z~Q.
7.12. а=(/'г'—2x) i + (e*+3z/) j+KFFxk. S: x2+y2 = z2, z=2, z = 5.
7.13. а = (ег4-х/4) i-}-(lnx+z//4) j-p'-j-k’ ^2+{*2+z2 = 2x-|-2f/—2z—2.
7.14. a — (3x—2z)i~{~(z—2y) j4 (1 +2z) k, 8: z2 = 4 (x2+*/2), z==2.
7.15. а = (е^4-2х) i +(x—^)j + (2z— 1) k, 8: x-^2y-\-z — 2, x = 0, r/~0, z —0.
7.16. a = (x+iy2) i4 (xz-\-y) j4-(V'*2+1 + г) x2-\-y2 = z2, z —2, z=3.
7.17. a = (e>'4'2x) i4(xz—//) j4(l/4)(^—z)k, 8: x2+y2+z2 = 2y+$.
7.18. a = (V~z+y) i + 3xj + (3z+5x)k, S: z2 = 8(x2+</2), z=2.
7.19. a=(8«/z—x) i4-(x2— 1) j4-(x£/—2z) k, 8: 2x-j-3r/-—z=6, x=0, r/ = 0, z—0.
132
7.20. a = (r/ + 22)i + (x2 + 3z/)j + ^k, S: x2 + y2 + z2 = 2x. ч
7.21. a = (2z/z—x) i + (x? + 2#) j + (x2-|-z) k> 5: //-—x+z = l , x=±=0, y ==0, z=0.
7.22. a = (sinz-|-2x) i-|-(sin x—3y) j + (sin //-|-2z) k, S: x2-|-z/2^z2, z — 3, z — 6.
7.23. a = (cos z-|-x/4) i + (ex + ^//4) j+1J k, S: x2-|-z/2 + z2 = 2z-j-3.
7.24. а=(]Лг +1 +x) i + (2x + #) j + (sin x-j-z) k,
J.22 = x2 + //2>
( z = l.
7.25. a = (5x—f>y) i + (llx2 + 2z/) j + (x2 — 4z) k,
s. f x + y+2z = 2f
( x—0, y=0, z = 0, ;
’ 7.26. a = (z/2 + z2 + 6x)i + (^-2i/+x)j + (x + ?/-z)k,
s. ( x2+y2 = z2,
I z = l, z = 3.
7.27. a=-l<x+z)i-|-i-(x.z+f/)J+(xf/-2)k,
S: x2 + z/2 + z2==4x — 2//4-4z—8.
7.28. a2 = (3yz — x) i -|- (x2—y) j + (6z— 1) k,
J z2 = 9 (x2-H/2),
S: I z = 3.
7.29. a = (yz—2x) i + (sinx+#) j-]-(x~2z) k,
S: f x+2^-3z = 6,
I x = 0, y = 0, z = 0.
7.30. a'= (8x+ 1) i + (zx—4y) j + (ex—z) к,
S: x2-]-y2-]-z2 = 2y.
7.31. a == (2y—5x) i + (x— 1) j -j- (2 V"xy-]- 2z) k,
. ( 2x-l-2y—z = 4, 4 : ‘
| x —0, y=0, z — 0.
Задача 8. Найти поток векторного поля! а через замкну-
тую поверхность S (нормаль внешняя).
8.1. a = (x + z) i + (z+y) k,
I x2+y2 = 9t
1 z = x, z~0 (z^O).
8.3. a — 2xi + 2#j + zk,
s. f y==x\ y = 4x2f y=l (x^0)t
1 z = y, z = Q.
8.5. a = (z + y) i + yj — xk,
Q J x2 + z2 = 2//,
‘ 1 y=2.
8.7. a = 2(z — ^)j + (x~?)k,
f z = x2 + 3t/2+l, z-0,
I x2+//2=l.
8.9. a = zi—4t/j-f-2xkg
f г = х2'+у2,
O. 4 :
Vz=l.
8.2. a=2xi4-zk,
f z = 3x24~2/- + l,
I x2-]-y2=4, z — 0.
8.4. a = 3xi—zj,
( Z—6 — X2—y2,
1 z2 — x2 + y2 (z 0)i
8.6. a=xi —(x+2z/) j + yk,
S / x2-\-y2=\, z — 0,
I x + 2z/-|-3z;==6; , : !
8.8. a = xi-]-zj — z/k, .
S~.'( z=4~2(x2'^^), • ‘ ’
I ,z = 2(x2+j/2).
'8.10. a = 4xi—2//j — zk/ 1
J 3x+2t/ = 12, ' 3x-|i^=6,«/=0,
l.x+.!/+z—6, z=6.
• • ' Kt.rA .. j v
133
8.11. a = 8xi — 2r/i-f-хк,
1 *+£/=1, x = 0, r/ = 0,
| z—x2+^, 2 = 0.
8.13. a = 6xi— 2z/j—zk,
( 2==3-2(x2+//2),
| z2 =*x24"^2 (2 0).
8.15. a = (z/+2г) i — yj + 3xkf
e J 3г = 27—2(х2 + г/2),
I z2=x2 + y2 (z^O).
8.17. a = #i + 5z/J4-zk,
s. / x2+z/2=l,
I z=x, z = 0 (z^O).
8.19. a= yi-\- (x-[-2y) j + xk,
f x2-j-y2 = 2x,
S: г z = x2+y2,
I z = 0.
8.12. a = zi + xj—zk,
( 4z = x2+z/2,
’ I z=4.
8.14. a = (z+«/) i + (x—z) j + zlc,
s f x2+4(/2 = 4,
; 3x+4#+z = 12, z=l.
8.16. a=(z/+6x) i-f-5 (*+z) j4r4^k>
1 y — x, y—2x, y=2f
( z—x2-j-y2, z = 0.
8.18. a = zi + (3z/—~x) j —zk,
f x2~}-y2=lf
) z = x2 + ^2-[-2, z = 0/
8.20. a= (x+^+z) i + (2f/—x) j + (3z+i/)kg
r y=x, y = 2x, x—1,
Si J z=x2 + r/2,
I z = 0.
8.21. a=7xi + zj + (x —z/4-5z) k,
/ z — X2 + //2,
S: < z=x2 + 2r/3,
I r/ = x, t/ = 2x, x = l,
8.23. a=xi—2#j-|-3zk,
- ( x2+y2 = z,
I z = 2x.
8.25. a = (2y—3z) i + (3x+2z) j+(*+ у+z) k,
s. 1 x^+y^ = l,
j 2 = 4—х—f/, z = 0.
a = 17xi + 7z/j + llzk,
z —x2 + ^/2,
z = 2(x2 + r/2),.
y—x2, y — x.
a = (2x+y) i + (d+2z) k,
z=2—4(x2+#2)*
z = 4(x2+«/2).
8.26. a = —2xi+zj+(«+{/) k,
( x2+y2 = 2y,
( z = x2+«/2, z = 0.
8.27. a = (2z/—15x) i + (z—y) j—(x—3y) k,
r z = 3x2+«/2+l, z=0,
S. Ч n . л 1
( X2 + f/2 = -j- .
8.28. а = (г/4-г) i+{x—2i/+z) j+xk,
„ ( x2+(/2=l,
| z — x2-j-y2, z = 0.- ,
8.29. a = (3x—у—z) i + 3i/j4-2zk,
S: {z=x2+'z/2, z — 2y.
8.30. a = (x+i/)i + (f/+z)j + (z+x)k,
{у = 2x, у = 4x, x = 1,
z = y2, z = 0.
4
134
8.31. а = (х+г) i-J-r/к»
f г = 8—х2—i,2,
I 2 = Х2 + #2.
Задача 9. Найти поток векторного поля а через замкнутую
поверхность S (нормаль внешняя).
9.1. a = x2i-hxj + xzk,
5 f 2 = x2+t/2, 2=1,
| x = 0, y = 0 (1 октант).
9.2. а^(х2 + ^)1 + (г/2+х2)з + (г/2+22)к,
( x2+f/2=l,
| 2 = 0, 2=1,
9.3. a=.x2i + ^2j + z2k, '
f x2+r/2+22-4,
I X2-\-y2 = Z2 (2^0).
9.5. a = X2i + 2j-l-#k,
Q. ( X2 + /=l-2,
| 2 = 0.
9.7. a=x2i + t/2j + 22k,’
s. ( x2+y2+z2 = 2t
' * | 2=0 (2^0).
9.4. a = x2i-|-#j + 2k,
5. f x24-t/2+z2 = 1,
I 2 = 0 (z^0).
9.6. a = 3xzi—2xj-}-z/k,
5. ( x+y+z = 2, x=l,
I x = 0, г/ = 0, z = 0.
9.8. a = x3i + z/3j + z3k,
S: x2 _-J-^2-}-22 = 1.
9.9. a = (zx+y) i + (zy —x) j — (x2 + у2) к,
( x2+z/2+z2=l,
’ 1 z = 0 (Z>0).
9.10. a = r/2xi + z2t/j + x2zk,
5: x2+y2 + z2=l.
9.11. a = x2i + //2j + 22k, 9.12. a = x2i + xyj 4- 3zkf
r x2 + z/2 + z2 — 1> - ( x2-\-y2 — z2t
S: < x = 0, y = Q, 2 = 0 | 2 = 4/'
l (первый октант).
9.13. a = (2x+^)i + (x^—z)j + (x2+^z)ka
s. f x2+y2 = 2t
( 2 = 0, Z=l.
9.14. a = xz/2i+x2r/j4-zk,
( X2+f/2=l, 2 = 0, Z—l>
S: г x=0, z/=0
l (первый октант).
9.15. a = xr/i + z/zj + 2xk,
5. f x2 + y2+z2 = 16t
1 x2 + y2 = z2 (z^O).
9.17. a=x2i+^2j + 2zk,
S: / *2+^2=T ’
I 2 = 0, z = 2.
9.19. a=x#i + #2j + zxk,
( X2+z/2-j-22= 1,
S: < x = 0, f/ = 0, z = 0
l (первый октант).
9.16. a = 3x2i—2x2z/j + (2x—l)zkf
5. ( x24-z/2=l,
( 2 = 0, Z=l.
9.18. a = xr/i + yzj-j-xzk,
s. ( x2+z/2 = 4,
( 2 = 0, Z=l.
9.20. a = 2i + #zj—xyk£
s. ( x2+/ = 4,
( 2=0, 2=1.
135
S:
S:
S:
S:
S:
9.24. a—x2i,
5. f z=l—x—y, t
| x = 0, y=0, z~Q
9.28.
5:
9.30.
9.21. a^(zx-|-z/)i — (2y —x) j — (x2+z/2)k,
' x2-|-Z/2+z2—1,
z=0 (z^O). <
9.22. a = (x2+xy) i + (f/2+yz) j + (z2+xz) k,
x2+t/2+z2=l,
x2+//2 —z2 (z^O).
9.23. a — 3x2i—2x2yj + 0 — 2x) к,
x*+tf=l,
z=0, z=l.
9.25. a = (y2+xz) i J- (yx—z) j + (yz+x) k,
x2 + t/2= 1,
2 = 0, z = J^2.
9.26. a = yi + */2j + #zk,
£ 2 = X2 + ^/2, Z—i9
S: J x=0, y=0
l (первый октант).
9.27. a = t/i + 2zr/j + 2z2k<
x2-{- r/2 = 1—z,
z-0.
9.29. a = f/2xi + x2#j -|-z3k/3,
( x2+«/2+z2=1.
J z=0 (z^O).
9.31. a=(</2+z2) i + (x«/4-t/2) j + (x2+z)k,
x24-z/2=l,
z=0, z=l.
Задача 10. Найти работу силы
линии L от точки М к точке
S:
N.
S:
a = |.2xr/i + 2xr/j -j- z2k •
х2+^/2 + г2=У2, '
z = 0 (z^O).
a = — xi + ^/j+Z'zk,
X2-|-f/2 = Z2,
z = 4.
F при перемещении вдоль
10.1. F = (x2-2y)i + (y2-2x)j, L: отрезок MN, М (—4,0), ЛГ (0,2). '* 10.2. . к F = (x2+ 2y) i + (p24- 2x) j, L: отрезок MN, M(—4fl), N(0,2).
10.3. F=(x2+2z/) i-f-(z/2+2x) j, X2 L: 2-^y, 10.4. F = (^+</)'+2xj,. . L: x2-\-y2 — 4 (y^Ojt M (2,0), N (—2,0).
M(—4,0), N(0,2).
10.5. F = %3i—y^t L: x2~\~y2~4 (x^0, z/^0), M (2,0), (0,2). 10.6. F = (x+</)iH-(x—y)j, L: y — x2, A; (—1,1), N(lii).; \
10.7. F = x2«/i—yj, L: отрезок MN, M(—1,0), N (0,1). 10.8. F = (2xy—y) i + (x2+x) j, £: x2+i/2^9 (y^0),. 44(3,0), N(—3,0). ,
10.9. *’ = (>;+'/) i + (*—f/)j. L: x2+-^-=l (xSsO, y^0), M(l, 0), N(P, 3). 10.10. F=j/i—xj, £: x2+t/2=l&Ss6.), 44(1, 0), JV(—1, 0)j ;
. 136
10.11. F = (x2 + z/2) i + (x2-у2) j,
J x, 1;
I 2 — x, 1 «cx<2;
M (2,0), A'(0,0).
10.13. F =xyi +2r/i,
/ Lt x2+#2 = 1 (x^aO, r/^0),
M(1,O), TV (0,1).
•10.15. F-(x2+«/2)(i + 2j),
Lt x2 + y2 = R2fy^Q),
M(R, 0), TV (-R, 0).
10.12. F = z/i—xj,
L: x2 + y2==2(y^0)9^
M^2fi), N(— /2,0).
10.14. F = (/i— xj,
L-. 2x2+y2=l(y^0),-
M (-4=. oY N (-----^=, 0^ .
\У2 / \ /2 )
x/x2 + f/2) j,.
10.20. F = (x+f/)2i—(x2+p2)j.
L: отрезок AfTV,
ТИ(1, O)TV(O, 1). .
10.22. F = x2j,
L:x2-^y2—9(xYsO, z/^sO),
M (3, 0), N(0, 3).
10.24. F = x/i,
L:r/ = sinx,
ч ТИ(л, 0), ^(0, 0).
10;26. F=-xi + (/j,
Lt отрезок MNt
M(l, 0), TV (0, 3).
10.28. F = — xi + f/j,
L:x2+-^-=l(x^0, y^O),
M (1, 0), Л'(0, 3).
10.30. F = (x2—y2) i 4- (x2 + y2) j,
X2
£:^- + ^- = lG^°),
M(3, 0), N (—3, 0);
10.16. F = (x+z//x2+//2) i + G-
L: x2 + f/2=l(t/S&0), .
M(l, 0), TV (— 1, Op'
10.17. f = x-i)i—xy2i.
L:x2 + u2 = 4 (x^ 0, y^ty,
M(2, 0), TV (0, 2).
10.18. F = (x+yV^+^j i + (i/- /x2 + f/2) j,
i,:x2+«/2=16(x5s0, i/^O),
Af (4, 0), W (0, 4).
10.19. F = «/2i— x2i,
L:x2+«/2=’9(xs==0, y^O),
M (3, 6), N (0, 3).-
10.21. F = (x2+«/2) i+/j,
L:отрезок MN,
M(2, 0), N (0, 2).
10.23. F = G2-r/)i + (2xz/+x) j,
L:x2+y2=9(y^0),
M (3, 0), N (—3, 0).
10.25. F = (x//-p-)i+xj,
L:y=2x2,
M(0, 0), N (l, 2).
X2
10.27. F~(xy —x)i + -^-j,
L:y —2j/~x,
M (0, 0), #(1, 2).
10.29. F — —T/* + *b
L:j/=x3,
Л4 (0, 0), N(2, 8).
10.31. F = (x—y) i + j,
i:x2+</2=4((/^0),
M(2, 0), W(—2,0).
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля а вдоль
контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию пара-
метра t). '
11.1. a=yi—xj+z2k,
( /2 . /2 .
Г * | Х~ "~сГ' C0S У ~cos * »
I z = sin t.
4137
П.2. а =—x2#3i + j + zk,
> / х= |/4cos/, #=p/“4sin/,
}z = 3.
П.З. a = (z/—z)i-|-(z —x) J+(x— z/)k,
( x = cos /, z/ = sin /,
z — 2 (1—cos /).
11.4. a = x2i + z/j—zk,
Г f x = cos/, #=(]/" 2 sin t)/2t
’ \ 2 = (/"2cos/)/2.
П.5. a = (z/—z) i + (z—x) j'+(x—z/)k,
Jx = 4cos/, # = 4 sin tt
* | 2 = 1 — cos t.
П.6. a = 2z/i—3xj + xk,
* J x = 2cos t, у=2 sin if
J 2=2 —2cos/—2 sin/.
11.7. a = 2zi—xj + z/k,
( x=2cos/, # = 2sin/,
’ 1 z= 1.
11.9. a=xi+z2j + #k,
_ ( x = cos /, y~ 2sin t,
Г: <
I z = 2cos t—2sin t — 1.
fl .11. a == —x^H- 2j + xzk , ~
? f х^=У 2 cos /, y—У 2 sin/,
( z = l.
11.13. a = zi J-z/2j—xk,
p. J x = У J cos /, z/ = 2siri/,
' ‘ ( 2= У 2 cos /.
11.15. a = xi—i-z2j + #k,
о
? | x = (cos /)/2, у — (sin /)/3,
* ( 2 = cos /—(sin /)/3—/1/4.
11.17. a= —zi—xj + xzk,
jx = 5cosf, ^ = 5 sin/,
(2 = 4.
11.19. a = (z/—z) i + (z—x) j + (x— z/) k,
( x = 3cos/, z/ = 3sin/.
r. J J ’
j z = 2(l—cos /).
11.20. a = 2#i—zj + xk,
{x = cos /, z/ = sin /,
z = 4—cos / — sin /.
11.21. a = xzi + xj + z2k,
| x = cos /, # = sin /,
( z = sin /. * ,
11.23. a = 7zi—xj + z/zk,
(x = 6cos/, z/ = 6sin/.
Г: <
\ z= 1/3.
11.8. a = z/i—xj + zk,
r J X = cos /, у = sjn tt
’ I 2=3.
11.10. a = 3z/i—3xj-|rxk,
lx=3cos/, # = 3sin/,
* (2=3—3cos/—3sin/.
11.12. a = 6zi—xj+xz/k,
F | x=-3cos/, # = 3sin/,
‘ t z=3.
11.14. a = xi + 2z2j-|-z/k,
p. J x = cos /, y^3 sin /,
* ( z = 2 cos/—3 sin/—2.
11.16. a = 4z/i—3xj-|-xk,
( x = 4 cos /, y—4 sin /,
pi , j
(2 = 4—4 cos/—4sin/e
11.18. a = zi+xj + #k,
J x = 2cos /, z/ = 2esin /,
Г: iz = 0.
11.22. a= — x2z/3i + 3j + #k,
j x = cos /, # = sin /,
Г: U = 5.
11.24. a = xz/i + xj +z/2k,
/ x=cos /, zy = sin /,
-Г: 1 • /
( z = sin /.
138
11.25. a = xi—• z2j + Z/k,
Г:
x = cos t, у = 4 sin t,
z — 2 cos t—4 sin /+3.
x = 2.cos/, # = 3sin/,
z = 4cos t—3sin t—3.
11.26. a = (f/—z) i-J-(z—x) j + (x—y)k
{x = 2cos/, #=?sin/,
z/=3(l — cost):
11.27. a=—2zi—xj+x2k,
J x = (cos t)/3t z/ = (sin /)/3,
Г: |z=8.
11.28. a = xi —:3z2j + ^k4
Г:
11.29. a — xi —2z2j + Z/k,
( x = 3cosZ, # = 4 sin/,
| z = 6 cos t—4sin/'-|-l.
11.31. a—z/i/3—3xj + xk,
Г | x=2 cos t, y—2 sin /,
(z —1—2cos/—2 sin/.
Задача 12. Найти модуль* циркуляции векторного поля а
вдоль контура Г.
11.30. a = — x2;/3 i + 4j -f-xk,
J x=2cos/, #=2sin/j
1z = 4.
12.1. а = (х2—о) i+«j+k, 12.2. a —xzi—j+#k,
г. 1 х2+</2=1, r ;p=5(x2+^)-l,
| 2=1. | z = 4.
12.3. а=у г i + 2xzj + хук * . |х24-//2+г2=25, Г‘ lx2+«/2=9(z > 0). 12.4. a —xi + r/zi—xk, r. f x2+y2=l, lx+j/+z=l.
12.5. а — (х—у) i + xj —zk, г. 1 x24-z/2=l, | 2 = 5. 12.6. a — y\—xj + z2k, < ; г. Р=з(х2+//2) + ь ( г = 4.
12.7. а = yzi + 2xzj -j- y2k, 12.8. a = xy\+yz] + xzk,
( x2+</2+z2 = 25, ' Г* I x2+f/2= 16 (z > 0). r. ( x2 + r/2 = 9, 1 x+^+z= L
12.9. a=z/i + (l— x) j—zk, 12.10. a-t/i-xj + z2k,
(x2+«/24-z2 = 4, ‘ | x2-f-z/2= 1 (z > 0). r. f x2 + z/2=l, I z = 4.
12.11. a. (4xi + 2' — xyk, ' r iz = 2(x2+/) + l, ' 1 z = 7. 12.12. a = 2#i-—3xj + z2k, r. f x2 + y2 = zf I z= 1.
12.13. a=—3zi + z/2j4-2z/kt r. ( x2+yz = 4, ( x—3y—2z= 1. 12.14. a = 2f/i + 5zj + 3xk* J 2x2 -j- 2y2 = 1, I x-j-t/-f-z = 3.
12.15. a=:2i/i + j—2r/zk, r. f x2 + y2—z2 = 0, ) z —2. 12.16. a = (x—y) i‘ + xj + z2k, ( x2-]-y2 — 4z2 = 0-, Г: < 1 V “ 2 *
12.17. a = xzi— j + z/k, p /%2 + ^2 + г2==4> I z = l. 12.18. a = 2z/zi + xzj—x2k, . jx2_|_p2_|_22==25, 1 x2 + z/2 = 9 (z > 0) .
139
12.19. a == 4xi — yz j xks
r (x2+4/2=1,
' * 1 + !•
12.21. a —#i + 3xj + z2k,
r / z==x24-i/2—1,
J z = 3.
12.23. a = (2 —xi/)i— #zj —xzk,
. r. + =
l —
12.25. a = yi—xj4~2zk,
/ 22
r. p + ^-^o,
' V = 2.
12.27. a — yi — 2xj|-z2k,
( z = 4(x2 + f/2) + 2,
( z = 6.
12.29. a — (x+#)i—xj-]-6kt
r. ( X2+l/2=l,
„ I z — 2.
12.31. a = yzi—xzj + xt/k,
12.20. a=—£/iJ-2j4-k,
r 4x24-^-z2fc‘O,
(z—1. v,
12.22. a = 2i/zi 4~ xzj-4-&2k,
' J x24-z/24-z2 = 25,
I x24-z/2—16(z > 0).
12.24. a=—z/r-|-xj4-3z2k,
r. fx2+z/2 + *2 = 9?
I x2-|- у2 — 1 (z > 0).
12.26. a == x2i yz j J- 2zk,
. p ( x2+//2 + 22=25,
1’1z = 4
12.28. a = 3zi — 2z/j4-2//k,
r. ( x- + //- = 4,
| 2x—3y—2z=l .'
12.30. a — 4 i + 3xj -J~ 3xzk,
r ( x2-\-y2 — z2=-0,
1 z = 3.
( x2 + J/2 + z2 — 9,
( x2 y2 = 9.
IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Теоретические вопросы
1. Векторы. Линейные операции над векторами.
2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора.
Угол между двумя векторами.
3. Определители, их свойства.
4. Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл.
5. Смешанное произведение, его свойства. Геометрический
смысл. Необходимое• и достаточное условие компланарности трех
векторов.
6. Плоскость. Уравнение плоскости.
7. Расстояние от точки до плоскости.-
8. Уравнения прямой в пространстве. Нахождение точки
пересечения прямой и плоскости.
\
Теоретические упражнения
1. Пусть векторы а и b не коллинеарны и АВ==<а&/2-, ВС =
= 4 (Ра—b), CD=—*4pb, Z)Z ==a + ab. Найти а йф :и доказать
коллинеарность векторов ВС h'DA.
.,;:2. Разложить вектор s ^a |-b + c по трем ^компланарным
векторам т==аД-Ь-^2с, п = а—Ь, р — 2Ь4-Зс.
1:40
3. Найти угол между единичными векторами ех и е2, если
известно, что векторы а = е1 + 2е2 и Ь = 5е,—4е2 взаимно пер-
пендикулярны.
4. Доказать Компланарность векторов а, b и с, зная, что
[ab] + [Ьс] + [са] = 0.
5. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через
точки (xt, р1( zr) и (х2, у2, z2) перпендикулярно плоскости Дх+
+ By+Cz-\-D = 0, можно записать в виде
X—Xi
Х2 Xj
А
У~У1\ z — z1
У2 У1 ^2 '^1 = 0.
В , с
6. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через
пересекающиеся прямые
X — Хх у У2 Z ^1 X Х2 У Уч % ^2
--- — --------—. ------ де — ----------— __
/х тх /гх Z2 m2 л2 1
можно записать в виде
*i У—У1 z—Zi
п1
-Ч12 ^2
7. Доказать, что уравнения прямой, проходящей через точку
(хх, yl9 zL) параллельно плоскостям A1x + B1y+Clz + D1 = 0 и
A^xA-Bsy+CzZ+D^O можно записать в виде
Х — Х! __ у-yr ._д z—zj
IB1C1I „|Лхсх1 |ЛХВХ|-
I ^2^ I I Л2С2 I I Л2В2 I
8. Доказать, что необходимым и достаточным условием при-
надлежности двух прямых
И -----Т-
x—xt У—У1 _ z—z1 О х—х2 __ У—У2 _ ^—^2
11 ГП1
п2
Ш2
одной плоскости является
выполнение равенства
Х2 -^1
~ I2
У2—У1
т1
т2
Z2~Z±
п2
= 0.
9. Доказать, что расстояние от точки А до прямой, проходя-
щей через точку В и имеющей направляющий вектор S, опре-
деляется формулой d — |[S, AB][/|S|.
10. Даны две скрещивающиеся прямые, проходящие соот-
ветственно через точки А(х1г уи zt) и В(х2, у2, z2). Их направ-
ляющие векторы S| и S2 известны. Доказать, что расстояние
между ними определяется формулой d = |S1S2~АВ|/|[S1S2].f
141
Расчетные задания
V Задача 1.‘ Написать разложение вектора х по векторам
р. ч, г-
1.1. х={ —2, 4, 7}, р={0, 1, 2}, q = {l, 0, 1}, r=^ —1, 2, 4}.
1.2. х = {6, 12,-1}, р = {1, 3, 0}, q = {2, —1, 1}, r=={0, —1, 2},
-4, 4}, р = (2, 1, -1}, q'=={0, 3, 2}, г = {1, -1, 1}.
ГлГ^{-9,5, 5}, р = {4, 1, 1}, q = {2, 0, -3}, г=={-1, 2, 1}.
X 1.5. х={ —5, —5, 5}, р = {—2, 0, 1}, q={l, 3, —1}, г = {0, 4, 1}.
jXx={13,2, 7}, р={5, 1, 0}, q = {2, —1, 3}, г = {1, 0, —1}.
’ 1.7. х~=Г— 19;"=Г, 7},’р:7{0, l,1};-q^{ =2;ПТ,-Т)~Т={37 1Г0}.
К £8. Х=М37~^ЗГ4},--рз(1, 0, 2], q = {0,~l , I}, г = {2, —1, 4}."—
1.9. х={3, 3, —1}, р = {3, 1, 0}, q = { —1, 2, 1}, г = { —1, 0, 2}.
(1.10. х—{ — ТГ.7, —4}, р = { —1, 2, 1}, q = {2, 0, 3}, г = {1, 1, —1}.
.НДР х== {6, 5,-14}, р = {1, 1, 4}, q = {0, —3, 2}, r = {2, 1, —1}.
0Л2.1 х={6, —1, 7}, р = {1,— 2, 0}, q {—1, 1, 3}, г={1, 0, 4}.
ЛЖх={5, 1^ 0}f.p^4<0, 5}, q = { —1, 3, 2}, r = {0, -1, 1}.
д;щх={2,.-— 1, И}, р={1, 1, 0}, q=={0, 1, —2}, г = {1, 0, 3}.
• 1.1£х={11, 5, —3}, р={1, о, 2}, q = { —1, О, 1}, г = {2, 5, —3}.
•1Ж£^{8, 0, 5}, р={2, 0, 1}, q = {l, 1, 0}, г = {4, 1^2}.
.1.17? х={ЗПГ8}, р = {0, 1, 3}, q = {l, 2, —1}, г={2, О, —1}.
‘1Жх=^1, 12}, р={1, 2, -t1U«^{31_o,_J}jj^{-i, 1, 1}..
1.19. x={—9, —8,~—3}, p = {l, 4, 1}, q = {—3, 2, 0}, г = {1, —1, 2}.
1.20. x={—5, 9, —13}, p = {0, 1, ^-2}, q = {3, —1, 1}, r = {4, 1, 0}.
1.2t x={—15, 5, 6}, p = {0, 5, 1}, q = {3, 2, —1}, r={—1, 1, 0}.
/П^ х={8, 9, 4}, р={1, 0"'"i},’ q = {0, —2, 1}, r = {l, 3, 0}.
l.gj. x={23, —14, —30}, p = {2, 1, 0}, q = {l, —1, 0}, r = {—3, 2, 5}.
1.24. x={3, 1, 3}, p={2, 1, 0}, q={l, 0, l},'r = {4, 2, 1}.
1.25. x={—1, 7, 0}, p={0, 3, 1}, q = {l, -1, 2}, r = {2, -1, 0}.
1.26. x—{11, -1, 4}, p={l,-l, 2}, q = {3, 2, 0}, г = {-1, 1, 1}.
1.27. x={ —13, 2, 18}, р={1, 1, 4}, q = {—3, 0, 2}, r = {l, 2, — .1}.
1.28. x={0, —8, 9}, p = {0, —2, 1}, q={3, 1, —1}, r = {4, 0, 1}.
1.29. x={8, —7, —13}, p={0, 1, 5}, q = {3, —1, 2}, r={ — 1, 0, 1}.
1.30. x={2, 7, 5}, р = {1, 0, 1}, q = {l, —2, 0}, r = {0, 3, 1}.
1.31. x={15, —20, —1}, p = {0, 2, 1}, q = {0, 1, —1}, r = {5, —3f 2}.
Задача 2. Коллинеарны ли векторы сх и с2, построенные
векторам а и Ь?
ПО
2.1. а = {1, —2, 3}, Ь = {3, О, —1}, с^га-НЬ, с2 = ЗЬ— а.
2.2. а = {1, О, 1}, Ь = {—2, 3, 5}, сх = а-|-2Ь, са = 3а—Ь.
\2.3. а={—2, 4, 1}, Ь={1, —2, 7}, с1 = 5а+ЗЬ, с2 = 2а—Ь.
2.4. а = {1> 2, —3}, b = {2, —1, —1}, сх = 4а4-ЗЬ, с2 = 8а—Ь.
2.5: а = {3, 5, 4}, Ь= {5, 9, 7}, сх=—2a + b, с2 = 3а—2Ь.
Л6- а-^гт2}х Ь =.{1, 1 • — 1}- Ч^а+Ь, с2 = 4а+2Ь.
2.7. а={1, —2, 5}, b = {3, —1, 0}, с1=?а—2Б,~сГ=Ъ^2а:
2.8. а = {3, 4, —1}, Ь —{2, —1, 1}, сх —6а—ЗЬ, с2=Ь—2а.
,2.9. а = {—2, —3, —2}, Ь=={1, 0, 5}, сх = За+9Ь,: с2==—а—ЗЬ.
2.10. а = {—.1, 4, 2}, Ь = {3, —2, 6}, с2=2а—1>, с2 = ЗЬ—6а.
2.11. а=={5, 0, —1}„ Ь = {7, 2, 3}, сх = 2а—Ь, с2 = ЗЬ—6а.
142
<12.?а = {0, 3, —2}, b={l, —2, 1}, q=5a—2b, c2 = 3a+5b.
27T3. a={—2, 7, —1}, b = {—3, 5, 2}, c1=2a+3b, c2=3a+2b.
2.14. a = {3, 7, 0}, b = {l, —3, 4}, Ci = 4a—2b, c2 = b—2a.
2.15. a = { — 1, 2, —1}, b = {2, —7, 1}, ct = 6a—2b, c2 = b—3a.
2.16. a==j[7, 9, —2}, b = {5, 4, 3}, Ci —4a—b, c2 = 4b—a.
2.17. a = {5, 0, —2}, b={6, 4, 3}, cx = 5a—3b, c2 = 6b —10a.
?.18. a = {8, 3, —1}, b = {4, 13}. Ci=2a—b. c2 = 2b—4a.
2.19. a = {3, — 1, 6}, b='{5, 7, 10}, cx=4a—2b7cT=b—2a.
2.20. a=?{l, —2, 4}, b = {7, 3, 5}, ct = 6a—3b, c2 = b—2a.
2.Ц, a = {3, 7, 0}, b = {4, 6, —1}, q = 3a+2b, c2 = 5a—7b.
'2.22^a = {2, —1, 4}, b = {3, —7, ^-6}, c1==2a—3b, c2 = 3a—2b.
S.2& a={5, —1, —2}, b = {6, 0, 7}, cj=3a—2b, c2 = 4b—6a.
2.24. a^t=KV3}, b'=j7, l, — 2},c1 = 2a— b, c2 = 3a^5b.
2.25. a={4, 2, 9}, b = {0, —1, 3}, c1 = 4b—3a, c2 = 4a—3b.
2.26. a = {2, —1, 6}, Ь = { —1.-3, 8}, C1 = 5a—2b, c2=2a—5b.
2.27. a = {5, 0, 8}, b = {—3, 1, 7}, c1=3a—4b, ca = 12b—9a.
2.28. a = { — 1, 3, 4}, b = {2, —1, 0}, ct = 6a—2b, c2 = b—3a.
2.29. a = {4, 2, —7}, b = 5, 0, —3}, Ci = a—3b, c2 = 6b—2a.
2.30. a-{2, 0, —5}, b = {l, —3, 4}, c1 = 2a—5b, c2 = 5a—2b. --
2.31. a = {—1, 2, 8}, b = {3, 7,-1}, Ci = 4a—3b, ca=9b—12a.
’ ’ у
Задача 3. Найти косинус угла между векторами АВ и АС.
3.1. 4(1, —2, 3), В(0, — 1/2), С(3, — 4, 5).
3.2. 4(0, —3, 6), В(—12,— 3, —3), С С—9, —3, —6).
3.3. 4(3, 3, —1), В (5, 5, —2), С (4, 1, 1).
3.4. 4^-1, 2. -3), В (3, 4, -6), С (1, 1, -1), .
•3.5. 4 (—4, —2, 0), В(—1, —2, 4), С(3, —2, 1).
3.6, 4 (5, 3, —1), В (5^ 2, 0), С (6, 4,
з5Г4Т=Д -7, -5), В (0, —1, —2,) С (2, 3,"0).
3.8. 4 (2, —4, 6), В(0, —2, 4), С (6, —8, 10).
3.9. 4(0, 1, —2), В(3, 1, 2), С (4, 1, 1).
3.10. 4(3, 3, —1), В(1, 5, —2), С (4, 1, 1).
3.11. 4(2, 1, —1), В (6, —1, —4), С (4, 2, 1).
34 2 . Л (—1, —2, 1), В (—4, —2, 5), С (—8, —2, 2).
3.13. 4(6, 2, —3), В (6, 3, —2), С (7, 3, —3). '
3.14. 4(0, 0, 4), В(—3, —6, 1), С(—5, —10, —1).
3.15. 4(2, —8, —1), В (4, —6, 0), С (—2, —.5, —1).
3.16. 4(3, —6, 9), В (О, —3, 6), С (9, —12, 15).
347^4(0,^2, -4), В(8Л_2^2), С (6, 2, 4).
3.18. 4 (3, 37^=ЬугВ (5, 1, —2), (Г(?ТТ, 1).
349. 4 (—4, 3, 0), В (0, 1, 3), С (—2, 4,. —2).
3.20. 4(1, —1, 0), В (—2, —1, 4), С (8, —1, —1).
3.21. 4(7, 0, 2), В(7, 1, 3), С (8, —1, 2).
) 3.22. 4(2, 3, 2), В(—1, —3, —1), С (—3, —7, —3).
3.23. 'А (2, 2, 7), В (0, 0, 6), С (—2, 5, 7).
3.24. 4 (—1, 2, —3), В (О, 1, —2), С (—3, 4, —5).
3.25. 4(0, 3, —6), В (9, 3, 6), С (12, 3, 3).
3.26. 4(3; 3, —1), В (5, 1, —2), С (4, 1, —3).
3.27. 4 (-2, 1, 1), В (2, 3, -2), С (О, О, 3).
"143
3.28. Л (1, 4, -1), В (-2, 4, -5), С (8, 4, 0).
3.29. А (0, J, 0), В(0, 2, 1), С (1, 2, 0).
3.30. А (—4, 0, 4), В(— 1, 6, 7), С(1, 10, 9).
3.31. Л (—2, 4, —6), В (О, 2, —4), С (—6, 8, —10).
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного
на векторах а и Ь.
4.1. a=p+2q, b = 3p —q; |р| = 1, | q | - 2, (pq)=jx/6.
4.2. a = 3p + q, b = p—2q; |p| = 4, |q| = l, (pq)=n/4.
4.3. 'a = p—3q, b = p + 2q; Jp| = 1/5, |q | = 1, (pq) = n/2.
4.4Г a = 3p — 2q, b = p + 5q; ]p j = 4, | q [ = 1/2, (pq)=±5ji/6. '
4.5. a = p—2q, b-2p!q; ] p | = 2, | q | = 3, (pq) = 3^/4. *
4.6. a==p+3q, b=p—2q; || = 2» | q | = 3, (рд^=л/3.
*4/7?a 2p— q> b = p + 3qf7P I = 3, | q | = 2, (pq) = л/2.
4.8. a = 4p + q, b^p—q; | p | = 7, | q | = 2, (pq)=JT/4.
4.9. a = p—4q, b = 3p + q; |p| = 1, [ q | = 2, (рч)=л/6.
4.10. a = p+4q, b = 2p —q; | p | = 7, |q| = 2, (pq)==^/3.
—3p + 2q, b = p—-q; | p|= 10, | q | = 1, (й)=л/2.
>4.12. a = 4p —q, b^p!2q; |p|=5, | q | = 4, (pq)=n/4. *
4.13. a = 2p + 3q, b=.p —2q; | p | == 6, |q|—7, (рд) = л/3..
4.14. a —3p—q, b = p-J-2q; | p | = 3, | q |=4, (pq)=Ji/3.
4.15. a = 2p + 3q, b p—2q; |p| = 2, | q | = 3, (м)=л/4.
4.16. a = 2p —3q, b = 3p + q; | p | = 4, |q|=l, (р^)=л/6.
СПГа = 5р+ч, b p — 3q; |p | = 1, |q|=^2, (pq)==Ji/3.
^4ЦgTaU7p—2q,b^=p + 3q;JjlI^ l/2> | q | = 2, (рд)==л/2.
4.19. a = 6p —q, b = p + q; j p | = 3, |q| = 4>, (pq)==Ji/4.
420. а=10р + Ч, Ь Зр — 2q; |p | = 4, |q | = 1, (pq) —л/6.
4.21. a = 6p—q, b = p4~2q; | p | = 8, | q | = 1/2, (pq)=n/3.
>4.22. a = 3p + 4q, b = q — p; | p | = 2,5, | q | = 2, (pq)=- .n/2.
4.23. a = 7p-J-q, b p — 3q; | p | = 3, | q | = 1, (pq) = 3ji/4.
4.24. a = p + 3q, b = 3p — q; |p| = 3, |q| — 5, (pq) = 2.n/3.
4.25. a = 3p+q, b = p—3q; |p|=7, ] q |=2, (pq)=.n/4.
4.26. a = 5p —q, b = p + q; |p|==5, | q |—3, (pq) —5л/6.
4.27. a = 3p—4q, b==p-[-3q; |p |=2, | q | = 3, (pq)=ji/4.
4.28. a = 6p — q, b^5q|p; |p | = 1/2, | q | = 4, (pq) = 5^/6.
4.29. a —2p + 3q, b = p —2q; |p | = 2, *| q | = 1, (pq)=ji/3.
4.30. a = 2p—3q, b 5p ) q; | p | = 2, | q | = 3, (pq) = tt/2.
4.31. a- 3p ! 2q, b 2p—q; |p| = 4, |q| = 3, (рд) = Зл/4. /
Задача 5. Компланарны ли векторы а, Ьдс?.
5.1. а-{2, 3, 1}, b = {—1, 0, -1}, с-{2, 2, 2}.
5.2. а —{3, 2, 1}, Ь = {2, 3, 4}, с = {3, 1, —1}.
*5.3. а = {1, 5, 2}, b = {—1, 1, —1}, с-{1, 1, 1}.
5.4. а = {1, —1, —3}, Ь = {3, 2, 1}, с = {2, 3, 4}. ?
144'
5.5. а = {3, 3, 1}, b = {l, —2, 1}, с = {1, 1, 1}.
5.6. a = {3, 1, —1}, b = {—2, —1, 0}, c={5, 2, —1}.
5.7. a = {4, 3, 1}, b = {l, —2, 1}, c = {2, 2, 2}.
5.8. a = {4, 3, 1}, b = {6, 7, 4}, c = {2, 0, —1}. '
5.9. a={3, 2, 1}, b = {l, -3, —7}, c = {l, 2, 3}.
5.10? a = {3, 7, 2}, b = {—2, 0, — 1}, c={2,~2, !}•
5.11. a={l, —2, 6}, b = {l, 0, 1}, c = {2, —6, 17}.
5.12. a={6, 3, 4}, b = {-l, —2, —1}, c = {2, 1, 2}.
5.13. a = {7, 3, 4}, b = {—1, —2, —1}, c = {4, 2, 4}.
5.14. a={2, 3, 2}, b = {4, 7, 5}, c = {2, 0. —1}.
5.15. a = {5, 3, 4}, b = {—1, 0, —1}, c = {4, 2, 4}.
5.16. a=={3, 10, 5}, b = (—2, —2, —3},'c = {2, 4, 3}.
5.17. a = {—2, —4, —3}, b = {4, 3, 1}, c = {6, 7, 4}.
5.1g. a = {3, 1, —1}, b = {l, 0, —1}, c = {8, 3, —2}.
5-12^а = {4, 2, 2}, Ь = {-3~=ЗГ7Г3}Гс = {2, 1, 2}.
5.20. a = {4, 1, 2}, b = {9, 2, 5}, с = {1, 1, —1}.
5.21. a = {5, 3, 4}, b = {4, 3, 3}, c = {9, 5, 8}.
5.22. a = {3, 4,.2}, b = {l, 1, 0}, c = {8, 11, 6}.
5.23. a = {4, —1, —6}, b = {l, —3, —7}, c {2, —1, —4}.
.5.24. a —{3, 1, 0}, b = {—5, —4, —5}, c = {4, 2, 4}.
5.25. a=i{3, '0, 3}, b = {8, 1, 6}, c = {l, i, —1}.
5.26. а = {1, —1, 4}, b = {l, 0, 3}, c = {l, —3, 8}.
.<27. a = {6, 3, 4}, b = {—1, —2, —1}, c = {2, 1, 2}.
5.28. a = {4, 1, 1}, b = {—9, —4, —9}, c = {6, 2, 6}.
5.29. a = {—3, 3, 3}, b = {—4, 7, 6}, c = {3, 0, —1}.
5.30. a = {—7, 10, —5), b = {0, -2, —1}, c = {—2, 4, —1},
5.31. a —{7, 4, 6}, b = {2, 1, 1}, c={19, 11, 17}.
& Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в теч-
ках Л4, Л2, А3, А4 и его высоту, опущенную из вершины Л4 на
грань AtA2A3.
>6.1. Л1(1, 3, 6), А2(2, 2, 1), Л3(—1, 0, 1), Д4(—4, 6, —3).
«6.2. Лх(—4, 2, 6), Л2(2, —3, 0), Л3(-10, 5, 8), Л4 (—5, 2, -4).
‘6.3. Л1(7, 2, 4), Л2(7, —1, —2), Л3(3, 3, 1), Л4 (—4, 2, 1). (
’6.4. Лх (2, 1, 4), Л2(-1, 5, —2), Л3(—7, ’=-3, 2), Л4(—6, —3, 6). \
•’6.5. Л4(—1, —5, 2), Л2(—6, 6, —3), Л3(3, 6, —3), Л4(—10, 6, 7).
‘OJL.zlUOUz-l, -1), Л2(--2, 3, 5), Л3(1, -5, -9), Дх^К-^З).
6.7. Лх (5, 2, 0), Л3(2, 5, 0), Л3(1, 2, 4), Л4(—1, 1, 1).
6.8. Лх(2, —1, —2), Д2(1, 2, 1), Л3(5, 0, -6), Д4(—10, 9, —7).
6.9. Л! (—2, 0, —4), Л2(— 1; 7, 1), Л3 (4, —8, —4), Д4(1, —4, 6).
6Л0. Лх(14, 4, 5), Ла(—5, -=-3/2), Л3 (—2, ^6, — 3), Л4(—2, 2, -1).
6.11. Л,(1, 2, 0), Л2(3, 0, —3), Л3(5, 2, 6), Л4(8, 4, —9). ~
6.12. Лх (2, —1,2), Л2(1, 2, —1), Л3(3, 2, 1), Л4 (—4, 2, 5).
6.13. Лх(1, 1, 2), Л2(—1, 1, 3)-, Л3(2, —2, 4), Л4(—1, 0, —2).
6.14. Лх(2, 3, 1), Л2(4, 1, —2), Л3(6, 3, 7), Л4 (7, 5, —3).
6.15. Л, (1, 1, —1), Л2(2, 3, 1), Л3 (3, 2, 1), Л4(5, 9, —8).
6.16. Лх (1, 5, —7), Л2(—3, 6, 3), Л3(— 2, 7, 3), Л4 (—4, 8, —12).
6..17 . Лх(—3, 4, —7), Л2(1, 5, —4), Л3(—5, —2, 0), Л4 (2, 5, 4).
6.18. Л,(—1, 2, —3), Да (4, —1, 0), Д3(2, 1, —2), Л4(3, 4, 5).
6.19. Лх(4, -1, 3), Д2(-2, 1, 0), Л3(0, -5, 1), Л4(3, 2, -6),.
6 "Ч’зу ( 14$
6.20. Лх(1, -1, 1), A2(—2, 0, 3), Л3(2, I, —1), At(2, —2, —4).
6.21. Лх(1, 2, 0), Л2(1, —1, 2), Л3(0, 1, —1), Л4(—3, 0, 1).
6.22. Лх(1, 0, 2), Л2(1, 2, —1), Ag (2, —2, 1), Л4 (2, 1, 0).
6.23. Лх (1, 2, —3), Л2(1, О, 1), Л3(—2, —1, 6), Л4(0, —5, —4).
6.24. Лх(3, 10, —1), Л2(—2, 3, —5), Л3(—6, О, —3), Л4(1, —1, 2).
6,25. Лх(—1, 2, 4), Л2(—1, —2, —4), Л3 (3, 0,1), Л4(7, —3, 1).
6.26. Лх (0, —3, 1), Л2(—4, 1, 2), Л3 (2, —1, 5), Л4(3, 1, —4).
6.27. Лх (1, 3, 0), Л2 (4, —1, 2), Л3(3, О, 1), Л4 (—4, 3, 5).
6.28. Лх(—2, —1, —1), Л2(0, 3,'2), Л8 (3, 1, —4), Л4(—4, 7, 3).
6.29. Лх(—3, —5, 6),-Л2(2, 1, —4), Л3 (0, —3, —1), Л4 (—5, 2, —8).
6.30. Лх (2, —4, —3), Л2 (5, —6, 0), Л3(— 1, 3, —3), Л4(—10, —8, 7).
6.31. , Лх (1, —1, 2), Л2 (2, 1, 2), Л3(1, 1, 4), Л4(6, —3, 8).
Задача 7. Найти расстояние от точки Мо до плоскости,
проходящей черёз три точки Mlt Мг, М3.
7.1. 44х(—3, 4, —7), М2(1, 5, —4), М3(—5, —2, 0), Мо(—12, 7, —1).
7:2. Мх(—1, 2, —3),'Л42(4, —1, 0), Л43(2, 1, —2), Мо (1, —6, —5). \
7.3. Л4Х(—3, —1, 1), Л42(—9, 1, —2), М3 (3, —5, 4), Af0(—7, 0, —1)Г
7.4. 44х(1, -1, 1), Л42 (—2, 0, 3), 7И3 (2, 4J2).
7.5. Mi (1, 2, 0), М2 (1, —1, 2), Л43(0, 1,-1), Мо (2, —1, 4).
7.6. Л4Х (1, 0, 2), М2(1, 2, —1), М3 (2, —2, 1) , Л4П(—5, —9, 1).
'2, —3)~, М2 (1, 0, 1), М3(—2, —1, 6), /Ио(3, —2, —9).
7.8. 44х(3, 10, —1), М2(—2, 3, —5), М3 (—6, 0, —3), Л40(~6, 7, —10).
_7.9.Л4х(-1, 2,4), 442(—b — 2, —4), 7И3 (3, 0, — 1), (—2± 3 5).
7.10. 44х (О, —3.V1), Л42(—4, 1Г2у,~?Й7(2Г^47 5),' Л40(—3, 4, —5).
>7 11. 441(1, 3,0), 442(^-l, 2),JW3(3, 0,-1), 44й(4^3, 0).
7~7П2ГЛ?7(—2, —17—3, 2), Л43(3,"1,~-Ч), Мо(—21, 20, —16).
* 7.13. 44х(—3, —5, 6), 442 (2, 1, —4), Ма (0, —3, —1), Мо (3, 6, 68).
. 7Л4. 44х(2, —4, —3), 442(5, —6, 0), 443 (— 1, 3, —3), Мо (2, —10, 8).
7.15. Л4Х(1, —1, 2), 442 (2, 1, 2), 443(1, 1, 4), Л40(—3, 2, 7).
<7.16. 4fx(l, 3, 6), 442 (2, 2, 1), 443(— 1, 0, 1), Мо (5, —4, 5).
г 7.17. 44х(—4, 2, 6), 442 (2, —3, 0), Af3 (—10, 5, 8), 4f0(—12, 1, 8).
; 7.18 Jwx(7, 2, 4), 442(7, -М, —2), 44, 1—5, —2^— 1),
Tlt 4М2- 1. 1)77ТГ7Г77^7м<, (—7?^. 2). ЯрГ1. 8).
7.20. 44х(— 1, —5, 2), 442(—6, 0, -3), Мя (3, 6, —3), 44о(10, —8, —7).
7.21. 44х(0, —1, —1), 44, (—2, 3, 5), 443(1, —5.. —9), Л40(—4, —13, 6).
7.22. Mi (б, 2, 0), Л-/2 (2, 5, 0), Л43(1, 2, 4,) Мо (—3, —6, —8).
7.23. Л1х(2, —1, —2), Л42(1, 2, 1), М3 (5, 0, —6), Л4О(14, --3, 7).
7.24. Л4Х(—2, 0, —4), М2(— 1, 7, 1), М3 (4, —8, —4), Л40(—6, 5, 5).
7.25. Л4Х(14, 4, 5), М2 (—5, —3, 2), М3 (—2, —6, —3), Мо(-1, —8, 7).
7.26. Mi (1, 2, 0), Л42(3, О, —3), М3 (5, 2, 6), Я40(—13, —8, 16).
7.27. “Л4Х (2, —1, 2), Л42(1, 2, —1), Л43(3, 2, 1), Мо (—5, 3, 7).
7.28. Л4Х(1, 1, 2), М2(— 1, 1, 3), М3 (2, —2, 4), Л40 (2, 3, 8).
7.29. Mi (2, 3, 1), М2(4, 1, —2), М3 (6, 3, 7), Л4а (—5, —4, 8).
7.30. Mi (1, 1, —1), М2(2, 3, 1), Л43(3, 2, 1), Д40(—3, —7, 6).
7.31. Л4Х(1, 5, —7), М2(—3, 6, 3), 443(—2, 7, 3), 440(1, —Г, 2).
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через-
точку А перпендикулярно вектору ВС. .
8.1. л (I/O, —2), В (2, —1, 3), С (0, —3, 2).
8.2. Л(-1, 3, 4), В(—1, 5, 0), С (2, 6, 1).
8.3. А (4, — 2/0), В (1, —1, —5), С (—2, 1, —3).
8.4. А (—8, 0, 7), В(—3, 2, 4), С(—1, 4,Д
8.5. Д7, —5, 1), В (5, —1, —3), С(3, 0, —4).
8.6. .ЛХ-3- 5- -2). °. 3), С(-3, 2, 5)
Г7. 8О(-4, -3, 10), С(-1, -177).
8.8. А (—2, 0, —5), В (2, 7, —3), С(1, 10, —1).
8.9. А (1, 9,-4), В (5, 7, 1), С(3, 5, 0).
8.10. А (—7, О, 3), В(1, —5, —4), С (2, —3, 0).
8.Х Д 'О, — 3, 5), В (—7, 2, 6), С (—3, 2, 4).
8.12. Д (5Г-Л 2)ГВ (^ —4, ^7^(4, -Г, 3).
8.13. А(—3, 7, 2), В(3, 5, 1), С (4, 5, 3). :
8.14. Л (0, —2, 8),'В (4, 3, 2), С(1, 4, 3).
8.15. Д(1, —1,5), В (0, 7, 8), С(—1, 3, 8).
8.16. А (—10, 0, 9), В (12, 4, П), С (8, 5, 15).
8.17. Л(3, —3, —6), В (1, 9, —5), С (6, 6, —4). '
8.18. А (2, 1, 7), В (9, 0, 2), С (9, 2, 3).
8.JLS L А (—7, 1, —4), В (8, 11, —3), С (9, 9, —1).
8.20. Л(1, 0, —6), В (—7, 2, 1), С (—9, 6, 1).
8.21. Д(—3, 1, 0), В (6, 3, 3), С (9, 4, —2).
8.22. Л (—4, —2, 5), В(3, —3, —7), С (9, 3, —7).
8.23. Л (0, —8, 10), В (—5, 5, 7), С (—8, 0, 4).
8.24. А (1, —5, —2), В (6, —2, 1), С (2, —2, —2).
8.25. Л (0, 7, —9), В(—1, 8, —11), С (—4, 3, —12).
8.26. Д(—3, —1, 7), В (0, 2, —6), С (2, 3, —5).
8.27. Д(5, 3, —1), В (О, 0, —3), С (5, -1, 0).
8.28. Д(— 1, 2, —2), В (13, 14, 1), С(14, 15, 2).
8.29. А (7, —5, 0), В (8, 3, —1), С (8, 5, 1).
8.30. Д(—3, 6, 4), В (8, —3, 5), С (10, —3, 7).
8.31. А (2, 5, —3), В (7, 8, —1), С (9, 7. 4). '
Задача 9. Найти угол между плоскостями.
9.1 х—3z/+5 = 0, 2х—z/+5z—16 = 0. 9.2. х—3//4-Z—1=0, x4~z—1=0.
9.3. 4х—5//-|-3z—1 = 0, х—4у—z4-9 = Q.
~------ОЯГЗх — </ + 2г+15=0, 5х-(-9//—3z— 1 =0.
9.5. 6х-|-2(/—4x4-17 = 0, 9x4-3//—6г—4 = 0. ,
i 9.6. х—J/K24-2—1=0, x-f-y ]/*2 —г-|-3=0.
< 9.7. Зу—z = 0, 2(/-|-z = 0, ' » 9.8. бх-^Зг/—2z = 0, x4-2//4~6z—12=0.
*9.9. х-|-2//4-2г—3 = 0, 16x4-12//—15z—1=0. x
x 9.10. 2x—//4-5z4-16 =~0;-x 4-2// +3z 4-8=0.
Д9Л1- 2x4-2//-J-z_—! =0, x4-z—r=Q.___»*9.12. 3x+// + z—4 = 0, //4-z-|-5=0.
* 9.13. 3x—2//—2z—'19^оГх4-//-73г^7 = О.
' Д/9.14. 2x4-2//+z-|-9 = 0, x—//4-3z—1=0.
^9.15. x-|-2//4-2z—3 = 0, 2x—//4-2z4-5 = 0.
7 >9.16.3x4-2//—3z—1=0,х4-г/4~г—7 = 0.
’ 9.17. x—Зу—2z—8 = 0, ,x'+,y—z + 3 = 0.
< 9.18. 3x—2//4-3z 4-23 = 0, у 4- z 4- 5 = Of
9.19. x4-//4-3z— 7 = 0,'//4-z—1=0.. 9.20. x—2//4-2z4-17=0, x—2y — 1 =0.
9.21. x+2y—!}^\ x+y+G^O. 9.22. 2x—z4-5 = 0, 2x4-3//—7 = 0.
.! { И7.
§.23. 5x4_3i/4~z—18=0, 2//4_^—9=0.
9.24. 4x4-3z—2=0, x^2^+2z+5’=a.
9.25. x-\-4y—~ z 4-1=0, 2x+y+4z—3=0.
9.26. 2t/+z—9=0, x—у+2г—1=0.
9.27. 2x—6(/4-14z—1=0, 5x—15^4~35z—3 = 0.
9.28. x—y-\-7z—1=0, 2x—2y—5=0.
9.29. 3x—y—5 = 0, 2x-\-y—3=0.
9.30. xA-y+z^Z —3=0, х- 9.31. х4-2</—2z—7 = 0, х+у—35=0. -y+z^2 -1=0.
Задача 10. Найти координаты точки А, от точек В и С. 10.1. А (0, 0, z), В (5, 1, 0), 6(0, 2, 3). 10.2. А (0, 0, z), В(3, 3, 1), С (4, 1, 2). 10.3, . А(0,.0, В(3, L 3), С(1, 4, 2). 10.4. А(0, 0, г), В(— 1, —1, —6), С (2, 3^5). 10.5. -А(0, 0, z),~B (—13, 4^ С(16, —9, 5). . 10.6. А (0, 0, г), В (—5, —5, 6), С (—7, 6, 2). 10.7. А(0, 0, г), В (—18, 1, 0), С (15, —10, 2). 10.8. А (0, 0, г), В (10, 0, —2), С (9, —2, 1). ,10,9._А (0, 0, г), В (—6, 7, 5), С(8, —4, 3). равноудаленной Р-/ДЛ/ 1
10.10. А(0, 0, г), В (6, —7, 1), С(—1, 2, 5). 10.11. А (0, 0, г), В (7, 0, —15), С (2, 10, —12). 10.12. А(0, у, 0), В(3, 0, 3), С(0, 2, 4). 10.13. А (0, у, 0), В(1, 6, 4), С(5, 7, 1). 16.14. А (0, у, 0), В (—2, 8, 10), С (6, 11, —2). 10.15. А (0, у, 0), В (—2, —4, 6), С (7, 2, 5). 10.16. А(0, у, 0), В (2, 2, 4), С(0, 4, 2)., 10.17. А(0, у, 0), В(0, —4, 1), С(1, —3, 5). 10.18. А(0, у, 0), В(0, 5, —9), С (— 1, 0, 5). 10Д9. А(0, у, 0), В (—2, 4, —6), С (8, 5, 1). 10.20. А (0, у, 0), В (7, 3, -4), С(1, 5, 7). 10.21. А(0, у, 0), В (0, -2, 4), С (—4, 0, 4). 10.22. А(х, 0, 0), В(0, 1, 3), С (2, 0, 4). 10.23. А (х, 0, 0), В (4, 0, 5), С (5, 4, 2). 10.24. А(х, 0, 0), В (8, 1, —7), ' С (10, —2, 1). 10.25. А(х, 0, 0), В (3, 5, 6), . С(1, 2, 3). 10.26. А (х, 0, 0), В (4, 5, —2), С (2, 3, 4). 10.27. А (х, 0, 0), В (—2, 0, 6), С (0, —2, —4). 10.28. А (х, 0, 0), В(1, 5, 9), С.(3, 7, 11). 10.29. А (х, 0, 0), В (4, 6, 8), ' С (2, 4, 6). 10.30. А (х, 0, 0), В(1, 2, 3), С (2, 6, 10). 10.31. А (х, 0, 0), В (—2, —4, —6).' С (—!•,. —2, —3). •
Задача 11. Пусть k—коэффициент преобразования подобия
с центром в начале координат. Верно ли, что точка А принад-
лежит образу плоскости а?,
11.1,
11.2.
11.3.
А(1, 2, — 1), а: 2x+3z/4-z—1=0, й = 2.
А (2, 1, 2), а: х—2у4-z4- 1 = 0, k~— 2,
А(—1, 1, 1), а: Зх—z/4-2z4-4=0, &=1/2
148
11.4. Л(—2, 4, 1),
11.5. Л(1, 1/3, —2),
11.6. Л (1/2, 1/3, 1).
11.7. Л (2, 0, —1),
11.8. Л(1, —2, 1),
11.9. Л (2, —5, 4),
НЛО. Л (2, —3, 1),
11.11. Л (—2, 3, —3),
а: 3x+#+2z4-2=0, 6 = 3.
а: х—3//4-*4-6 = 0, k = 1/3.
а: 2х—3//4~3z—2=0, k = \t 5.
а: х—3z/4-5z —1=0, k~—1.
а: 5x4-//—*4-6 = 0, 6 = 2/3.
а: Ъх-\-2у—*4-3 = 0, 6 = 4/3.
а: х-[-у—2*4-2 = 0, 6 = 5/2.
а: Зх-|-2//—z—2 = 0, 6 = 3/2.
11.12. Л (1/4, 1/3, 1), а: 4х —3z/4~5z —10 = 0, 6 = 1/2.
ПЛЗ. Л (0, 1, —1), ос: 6х—5z/4-3z—4 = 0, 6 = —3/4.
11.14. Л (2, 3, —2), ос: Зх—2y4-4z —6 = 0, 6 = — 4/3.
11.15. Л (—2, —1, 1), а: х—2//4-6z —10 = 0, 6 = 3/5.
11.16. Л (5, О, —1), а: 2х—//-[-Зг —1 =0, 6 = 3.
11.17. Л (1, 1, 1), 7х—бг/4-z—5 = 0, 6 = —2.
11.18. Л (1/3, 1, 1), ос: Зх—y-}-5z—6 = 0, 6 = 5/6.
11.19. А (2, 5, 1), а: 5х—2z/+z—3 = 0, й = 1/3. (К J
11.20. А (—1, 2,3), а: х—3z/+z+2 = 0, Л = 2,5. , S’
11.21. Л (4, 3, 1) а: Зх—4z/+5z—6 = 0, 6=5/6.
11.22. А (3, 5, 2), а: 5х—3y-\-z—4=0, k = l/2. $ £ ' .
11.23. . А (4, 0, —3), а: 7х—z;+3z —1=0, й = 3.
11.24. 4(—1, 1, —2), а: 4х —r/+3z—6 = 0, k = — 5/3.
А (2, —5, —1), а: 5x + 2z/—3z—9 = 0, Л = 1/3.
Л (—3, —2, 4), ос: 2х—3//4-Z—5 = 0, 6 = —4/5.
Л (5, 0, —6), а: 6х—у—*4-7 = 0, 6 = 2/7.
Л (1, 2, 2), ос: Зх — z-|- 5 = 0, 6 = — 1/5.
Л (3, 2, 4), а: 2х—3//4-*—6 = 0, 6 = 2/3.
Л (7, 0, —1), а: х—у—г—1=0, 6 = 4.
Л (0, 3, —1), а: 2х—£/4-3z—1=0, 6 = 2.
11.25.
11.26.
11.27.
.11.28.
11.29.
11.30.
11.31.
Задача 12. Написать канонические уравнения, прямой.
<12.1. 2х4-//4~г—2 = 0, 2х—у—3z4~6 = 0.
12.2. х — 3t/4-2z4-2 = 0, x+3z/4-z4-14=0.
12.3. х—2z/4-z—4 = 0, 2x4-2//—z—8 = 0,^
' *12.4. x-\-y-\-z—2 = 0, x—y—2z4-2 = 0. *
12.5. 2x4-3y + * + 6 = 0, x—Зу — 2?4-3 = 0.
12.6. Зх-(-у—z—6 = 0, Зх—#4-2z = 0.
12.7. x+5z/-|-2z-H 11 =0, x—у— г —1=0.
12.8. Зх+4^—2z+l=0, 2х—4//+3z+4 = 0.
*12.9. 5x4*//—3z4~4 = 0, х — z/-p2z4-2 = 0.
Л2.10. x—y—z—2 = 0, X—2//4-z4-4=0.
/12.11; 4x-\-y—3z4~2 = 0, 2x—//+*—8 = 0,
*12.12. 3x4-3//—2z —1=0, 2x—3//4-z4-6=0.
12.13. 6x — 7y — 4z—2 = 0, x4-7.z/-z-^-5 = 0.
^12.14. 8x — y—3z —1=0, x-|-z/4-z4-10=0,
12.15. 6x — 5г/ — 4z-|-8 = 0, 6x4-5//-|-3z4-4 = 0.
12.16. x4-5//—z—5 = 0, 2x — 5// J-2z4-5=0.
12.17. 2x—3//4-z4-6 = 0, x—3// — 2z4-3 = 0.
12.18. 5x-(-//4-2z4-4 = 0, x—y—3z4-2 = 0.
12Л9. 4x4-z/4-z-|-2 = 0, 2x—y—3z—8 = 0.
12.20. 2x-P//—3z—2 = 0, 2x—y-\-z-\rb~Q.
rH9
12.21. х-\-у—2z —2 = 0, х—#+г + 2 = 0.
12.22. х+5у—2+11=0, х—#+2г —1=0.
12.23. х—#+2—2 = 0, х—2# —2 + 4 = 0.
12.24. 6х—7у—2—2 = 0, х-\-7у—4z—5=0.
12.25. x+5# + 2z—5 = 0, 2х—5#—2+5 = 0.
12.26. х—3# + z + 2 = 0, x+3#+2z + 14=0. '
12.27. 2х+3#—2z+6 = 0, х—3#+z+,3=0.
12.28. 3x + 4# + 3z +1 =0, 2x —4#—22 + 4 = 0.
12.29. 3x+3#+z —1=0, 2x—3#—2z + 6 = 0.
12.30. 6x—5# + 3z+8 = 0, 6x+5#—42+4 = 0.
12.31. 2x—3#—2z + 6 = 0, x—3#+z + 3 = 0.
Задач a. 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
13.1. +р=-+р-=-£+-. x+2^+3z-14=0.
1 13.2. x+2iz-5z+20 = 0.
13.3. +^,= ^±^=^=1 , x—3y-j-7z-24=0.
2x-y + 4z = 0.
<13.5. 3x+z/-5z-12=p.
13.6. x+3y—5z+9=0.
13.7. ^-=£=±=+1, х_2у+5г+17 = 0.
.13.8.-^+=-^+=+^-, x-2</+4z-19 = 0.
‘ 13.9. i+=^Z±=I±l. 2x—//+3z-f-23 = 0.
13.10. 2x—3y—5z—7 = 0.
_1 0 0 J
X 1 У~^ Z + 2 л , If a ;
13.11.------—x——j———о—, 4x + 2#—2 — 11=0.
-------------1
13.12. -^+-=-^ii=+p, 3x—2y—4z—8=0.
13.13. x+2y—z— 2 = 0.
13.14. 5x-f/+4z+3 = 0.
</13.15. 2E±£=^Zz2=±Z±) x+3y'+&-42 = 0.
13.16. ^+=^1=^+-, 7x+t/+4z-47 = 0.
13.17. ihl =^=±=±=1, 2x+3//+7z-52 = 0.
z о o
13.18. izI=J!±L=l±£, 3x+4i/+7z—16=0.
Z- О xS
150
13.19. 2=±.=2=£=2±i, 2x—5z/ + 4z-|-24 = 0.
' 13.20. 2=L=2Z±=2^_, x~2</-3z+18 = 0.
13.21. 2=1=2=1=2+1, x+7^+32+11=0.
13.22. 2=1=2+1=2=1, Зх+7(/-5г—11=0.
13.23. 2=1=2=1 = 2=1, 4x+'z/—6z—5 = 0.
13.24. — —=2-11=2=1, 5x+9(/+;4z—25 = 0.
*/13,25. 211=2=2+1, x+4z/+13z-23=0.
/13.26. -2=L=2=1=1+1,’ 3x—2z/+5z—3 = 0.
13.27. 2=2=^d.=£il, 3x=«/+4z=0.
*x -О ~~ Z
*13,28. 2=1=21^=?=^ , % + 2r/—5z+16=0.
* 13.29. i=l=2zl=£ll, 3x-7r/-2z + 7 = 0.
‘ 13.30. 2+8=£z^=£±83 5x+7r/+9z-32=o.
v 13.31. i=l=^=^=2±l, 2x + (/+7z-3 = 0.
О 1 -£
Задача.14. Найти точку М', симметричную точке М отно-
сительно прямой (для вариантов 1—15) или плоскости (для ва-
риантов 16—31). ' „ ' •
14.1. М (0, -3, -2), 2zl=£±Ll=2..... :' .
Х..Г—’ 4,5 у -j- 3 z — 2
14.2. М (2, -1, 1), —j-
14.3. Л4(1, 1,1), 2=|=£±11=£=1Г
14.5. Л4(1, о,,-1), £-^l=Ez_ll=|. ;
14.6. Л4(2, 1, 0), 2=?=Е±11=£±18.
14.7. М (-2, -3, 0), ^±0+^+1,5 z-0,5
1 ~ 0 1
п х 2
—1
х—1,5
14.8. M(— 1, 0,
0 1 ‘
14.9. Л4(0, 2, 1), 2Z===X=£=2.‘
14.to. М (3, — 3, -1), 2zl=l=l’-5—2+ 0,5
4 5 4
0
151
14.11. М (3, 3, 3), ,
14.12. Л4(—1, 2, 0), х+0’5^у_+0°27=^у^-
14.13. 2И(2, —2, -3), ^Z-L^^+b.Н-,5
14.14. Л4(—1, 0, 1), , . . j
14.15. TH (О, —3, —2), 5=?+1.’5.
14.16. М (1, 0, 1), 4x+6i/+4z—25 = 0.
14.17. Л4 (—1, 0, -1), 2х+6У—2г-|-11=0. 14J8. М (0, 2, 1), 2х+40—3 = 0
„ 14.19. Л4(2, 1, 0), y-f-z+2 = 0. 14.20. М (-1, 2, 0), 4х-Ьу—г — 7=0.
14.21. Л4 (2, -1, 1), х-0 + 2г-2 = О. 14.22. М (1, 1, 1), х+404-Зг4-5=0 '
14.23. Af (1,-2, 3), 2*+100+10г—1=0.
14.24. М (О, —3, — 2), 2*+100+Юг— 1=0.
14.25. М (1, 0, —1), 20+4z—l=O.
14.26. Л4(3, —3, —1), 2х—40—4z —13=0.
14.27. Л4(—2, —3, 0), х+50 + 4 = О. 14.28. М (2, —2, —3), 0+г+2=О.
. 14.29. Л4(— 1, 0, 1), 2х+40 —3 = 0. 14.30. М (3, 3, 3), 8x4-604-82—25 = 0.
14.31. М (—2, 0, 3), 2х—20+ 10г+ 1 = 0.
X. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Теоретические вопросы
1. Линейное пространство. Базис. Координаты.
2. Преобразование координат вектора при переходе к новому
базису.
3. Линейный оператор. Матрица оператора;
4. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому
базису.
5. Действия над линейными операторами.
6. Собственные векторы и собственные значения.
7. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского.
8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.
9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица.
10. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Теоретические упражнения
. 1. Найти какой-нибудь базис и размерность подпространства L
пространства R31 если L задано уравнением jq—2х2+*з = 0-
2. Доказать, что все симметрические матрицы третьего поряд-
ка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц
третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.
- 152
3. Найта координаты многочлена Р3 (х) + +
в базисе 1, (х—1), (х—I)2, (х—I)3.
4. Линейный оператор А в базисе (еп е2, е3) имеет матрицу
(—10 1 )
< 2 1 —2 >.
Ill 2>
Найти матрицу этого же оператора в базисе (е1? е1 + е2ке1+е24-е3).
5. Найти ядро и область значений оператора дифференциро-
вания в пространстве многочленов, степени которых меньше или
равны трем.
6. Пусть х и у—собственные векторы оператора Л, относя-
щиеся к различным собственным значениям. Доказать, что век-
тор z = ах + Ру, а 0, р=^=0 не является собственным вектором
оператора" Л.
7. Пусть х = (хь х2, х3), Лх = (а1х1, а2х2, а3х3). Будет ли опе-
ратор Л самосопряженным?
8. Доказать, что есди матрица оператора Л—симметрическая
в некотором базисе, то она является симметрической в любом
базисе (базисы—ортонормированные).
Расчетные задания
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное
множество, в котором определены сумма любых двух элементов
а и & и произведение любого элемента а на любое число а?
1.1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты кото-
рых—целые числа;
сумма а-\-Ь, произведение а-а.
1.2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; ,
сумма а~\~Ь, произведение а-а.
1.3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на
одной из осей;
сумма a-\~bt произведение а-а.
1.4. Множество всех векторов трехмерного пространства;
сумма [а*Ь], произведение а-а.
1.5. Множество всех векторов, лежащих на,одной оси;
сумма а-\~Ь, произведение сс-| а |.
1.6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями век-
торов X, у, г\
сумма а-\-Ь, произведение а-а.
1.7. Множество всех функций a=f (/), b — g(t), принимающих положитель-
ные значения;
'.сумма произведение
1.8. Множество всех непрерывных функций a—f (/), b=g(t), заданных на
[О, 1];
сумма f (/)+& (0, произведение
1.9. Множество всех четных функций a — b=g(t), заданных на от-
резке [—1, 4-1];
сумма /(/)•£ (0 > произведение
1.10. Множество' всех нечетных функций b—g (/), заданных на
отрезке [—
сумма f(t)+g(t), произведение a-f (/).
153
1.11. Множество всех линейных функций a = f(xk, х2), b = g(xb х2);
сумма / (x.j, x2) + g (X, х2), произведение aj(xi, х2).
1.12. Множество всех многочленов третьей степени от переменной х;
сумма а~\-Ьу произведение а-а.
1.13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от
Переменных х, у\
сумма aJrb, произведение а-а.
1.14. Множество всех упорядоченных наборов из п чисел
а={х1, х2.....хп},. b = {ylty2, ...,уп};
сумма {%i+yL, х2-\-у2, хп-\-уп}, произведение {ахъ ах2,.... ахп}.
1..15. Множество всех упорядоченных наборов из п чисел
a = {xlt х2, .... хп}, b = {ylt у2, у,,}-,
сумма {xit/j, х2у2, хпуп], произведение {axj, ax2, ахп}.
1.16. Множество Всех сходящихся последовательностей « = Ь — {,ц„};
сумма {un-f-vn}, произведение {аип}.
1.17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей
или равной п;
сумма a+ &, произведение а-а.
1.18. Множество всех многочленов от одной переменной степени л;
сумма а-\-Ь, произведение а-а.
1.19. Множество всех диагональных матриц
0 = ||«(fe|l, 6 = Ц617г||, *. k=i’ 2.«;
сумма ||+ произведение ||aa,-fe||.
1.20. Множество всех невырожденных матриц
‘ а=ИЛ 6 = 11 Ml, '• 6 = 1, 2, п;
сумма ]|a,-fell-ll II, произведение ||aa,-ft||.
1.21. Множество всех квадратных матриц
h k = l, 2t ..., n;
сумма lla/fe+^felb произведение |] <xaZfc |).
1.22. Множество всех диагональных матриц а==|]я/7г|], 6==||ЗД| размера
nXn:
сумма \\aik[\ \\bik\\, произведение [|aa/fe||.
1.23. Множество всех прямоугольных матриц
a-K-felk 6 = ll6<fell, 2> •••. т'> 6=1, 2, я;
сумма |]a,-fc4-6,-fe||, произведение ||aa;fe||.
1.24. Множество всех симметрических матриц
a=\\aik\\(aki = aik), b = \\bik\\(bki = bik), i, /г == 1, 2, .... я;
сумма |la/ft + &,'fe||, произведение Цаа^Ц.
1.25. Множество всех целых чисел; ,
сумма а-\-Ь, произведение [aal.
1.26. Множество всех действительных чисел;
сумма а-]-Ь, произведение рса.
1.27. Множество всех положительных чисел;
сумма а-Ь, произведение аа.
1.28. Множество всех отрицательных чисел;
сумма —|а|*р|, произведение — |a|a.
1.29. Множество всех действительных чисел;
сумма а-b, произведение аа.
1.30. Множество всех дифференцируемых функций b —
сумма / (0 + ^(0» произведение
1.31. Множество всех дифференцируемых функций b = g (/);
сумма произведение а-/(0-
.154
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему
векторов.
2.1. а = {1, 4. 6}, Ь = {1, — 1, 1}, с = {1, f, 3}.
2.2. sinx, cos х, tgx на (—л/2, л/2).
2.3. а = {2, —3, 1}, b = {3, —1, 5}, с = {1, —4, 3}.
2.4. 2, sinx, sin2x, cos2x на (—оо, + со).
2.5. а —{5, 4, 3}, Ь = {3, 3, 2}, с = {8, 1, 3}.
2.6. 1, х, sin х на (—оо, + оо}.
2.7. а = {1, 1, 1}, b = {0, 1, 1}, с={0, 0, 1}.
2.8. ех,е2х, езх на (—оо, + оо).
2.9. a = {L, —1, 2}, Ь = {—1, 1, —1}, с=={2, —1, 1}.
2.10. х, х2, (1+х)2, на (—оо, +оо).
2.11. а = {1, 2, 3}, b = {4, 5, 6}, с = {7, 8, 9}.
2.12. 1, х, х2, (1 + х)2 на (-—оо, + оо).
2.13. а = {1, 1, 1}, Ь = {1, 2, 3}, с = {1, 3, 6}.
2.14. cos х, sin х, sin 2х, на (— л/2, л/2).
2.15. а = {3, 4, —5}, b = {8, 7, —2}, с = {2, —1, 8}.
2.16. ех, е~х, е2х на (—оо, +оо).
2.17. а = {3, 2, — 4}, b = {4, 1, —2}, с={5, 2, —3}.
2.18. 1 + х+х2, 1+’2х+х2, 1+ 3х + х2 на (—оо, + оо).
2.19. а = {0, 1, 1}, Ь = {1, О, 1}, с = {1, 1, 0}.
2.20. 1, ex, sh х на (—оо, +оо).
2.21. а = {5, —6, 1}, Ь = {3; —5, —2}, с=={2, — I, 3}.
2.22. 1/лг, х, 1 на (О, 1).
2.23. а = {7, 1, —3}, Ь = {2, 2, —4}, с = {3# —3, 5}.
2.24. 1, tgx, ctgх на (0, л/2).
2.25. а = {1, 2, 3}, Ь = {6, 5, 9}, с = {7, 8, 9}.
2.26. х, 1+х, (1 + х)2 на (—оо, +оо).
2.27. а = {2, 1, 0}, Ь = {—5, О, 3}, с = {3, 4, Зр.
2.28. ех, хех, х2ех на (—оо, + оо).
2.29. а = {2, 0, 2}, Ь = {1, —1, 0}, с = {0, —1, —2}.
2.30. ех, shx, ch х на (— оо, +оо).
2.31. а = {—2, 1, 5}, Ь = {4, —3, 0}, с = {0, — Ь, 10}.
Задача 3. Найти какой-нибудь базис и определить размер-
ность линейного пространства решений системы.
3.1. f Зх4 + х2— 8X3+ 2х4 + Х5 — 0, 3.2.
2xi— 2х2— Зх3 — 7х4 + 2х5=0,
V *1+11*2— 12х3 + 34*4—5х5 = 0.
3.4. Г
3.3. ( *1 + х2+ Юх3+ х4— *5— О,
5*1,— х2 —р 8х3 — 2х4 + 2А'5 = О,
V. 3xi — Зх2 — 12х3 — 4х4 —|— 4*5 = 0.
3.5, ( 2*1— х2 + 2х3— х4 + х5 = 0,
| *1 + 1 Ох2 — Зх3 — 2х4—х5 = О,
\ 4хг + 1 9х2 — 4х3—5*4 — х5 = 0.
3.7. ( 12*!— х2+ 7х3+Пх4— х5 = 0,
21хг — 2х2 + 14х3 + 22х4 — 2х5 = О,
xi+>x2+ х3— х4+ х5 = 0.
( 74“ 2*2- *3-^*4 “Ь ^*5 — Q’
< Хц—Зх2 + х3— х4— х5 = 0,
\ 2*1 + 5*2 "Ь 2х3 + х4 + *5=0.
6*1 — 9х2 + 21х3 — Зх4— 12х5 = 0,
| —4*1 Ч- 6х^-— ^4х3 + 2х4 + 8X5 — О,
V 2xj — Зх++~ 7*3 — х4 — 4х5 = 0.
3.6. ( 5*1 — 2х2 + Зх3 — 4х4— Х5 = О,
х4 —р 4х2 — Зх3'+ 2х4—6x5 = О,
V 6xi + 2x2 г —2х4—6х5 = 0.
3.8. ( Xi + 2x2+ х3 + 4х4+ х5 —О,
< 2xi— ха + 3х8+ х4—5х5 = 0,
( Xi + 3x2— х3—6х4— х5 = 0.
3.9. ( 2х4— x2-j- Зх^— x±— x$— 0,
•| хг4- 5x2— x34~ x4-p2x5~0,
x4 4~16x2 — 6X3 -J- 4x4 -j- 7x§ = 0.
3.10.
3.11.
3.13.
3.15.
( 3xi4~ x24~ x3— x44-2x5 — 0,
3x4 — 3x2—2x3 —x4 — 3x5 = 0,
\ ^x4 —J- 4x2 + 3x3—2x4 4“ 6x5 == 0.
( 7xj—14x2-|-3x3— x44~ X5 —0,
1 x4 — 2x2 —|- x3—3x4 4~ 7X5 = 0,
5xj—10x2+ x34~3x4—13x5 — 0.
( xx+ x2+ x3— x4 — x5 —0,
< 2Xi+ x2—2x3— x4—2x5 = 0,
\ xr + 2x2 4- 5x3 — 2x4 — x5 = 0.
3.12.
3.14.
3.16.
3.17. ( x1-[-2x2—Зх34-Юх4—- x5 —0,
I xx— 2x2 4~ 3x3— 10x44~ Х5 0,
\ x4 4- 6x2—9x3 4- 30x4 — ЗХ5 0.
.3.19. ( 2xt— 2x2— 3x3— 7x44~2x5—0,
x4 4~ 1 lx2 — 12x3 4- 34x4—3xtj — 0,
x4— 5x2+ 2x3— 16x44-3x5 —0.
3.20.
3.18.
3.21. [ x4 4~ 3x2—5x3 4~ 9x4— Xg — 0,
-! 2xx — 2x2 — 3x3— 7x44-2x5 = 0,
у xx—5x24~2x3—16x4 4“ 3x5 = 0.
3.23. ( 3x44-2x2 — 2x3— x44-4x5 —0,
I 7x14~3x2—Зх3 —2x44~ X5 0,
\ x44- x24- x3' —7x5 = 0.
3.25. ( 3xx—5x2 4-2x3 4~ 4x4 — 0,
I 7xx—4x2 4~ x34~3x4 = 0,
V 5XX4-7X2—4x3 — 6x4 = 0.
3.27. f.x14-2x24- 3x3—2x44-x5 = 0,
I Xi4~2x24“ 7x3—4x44~x5 = 0,
Xi 4~ 2x2 4~ 11 x3 — 6x44“X5 = 0.
3.29 . ( 3xi 4“ 2x2 4- 4x3 4“ x4 4~ 2X5 = 0,
3xi + 2x2— 2x34-x4 =0,
у 3x4 4“ 2x2 4- 16x3 4“ x4 4“ 6X5 0.
3.31 e ( Xi— x24- x3 — 2x4 4“ X5 = 0,
•< Xi4- x2—2x3— x44-2x5 = 0,
x4—3x2 4“ 4x3—3x4 ~~ 0.
3 .5 .5 . л
*2“xi 4~*4’x2 Ц-"?-x3 + x4 —0,
'5’xi+"2x2+y *3"Ь1Г x4 = 0,
4xi+tx2+Sx3+S *4=0*
f x44~3x2—x34~12x4—X5 = 0,
! 2xt—2x2+x3—10x4+x5— 0,
\ 3x4 4~ x2 4~ 2x4 === 0.
Xj -j- 2x2 -j- 3x3 + — x5=0s
2xx—2x2—5x3—3x4 + x6 — 0,
Зх^—2x2 4~ 3x3 —j- 2x4—X5 = 0.
2xi4-. x2—3x3+ x4— x5 — 0,
Зх^ — x2 4~ 2x3 — x4 4~ 2xg = 0,
x4—2x2 4- 5x3 ' 2x4 4~ ЗХ5 = 0.
2xj 4~ x2 — x3.4~ 7x4 4~ 3xg — 0,
Xi—2x2 4~ 3x3—5x4—7x5 — 0,
3x4— x24~2x34“2x4—2x§ = 0.
( 3x44~ x2--— 8x34~ 2x44~ Х5 — 0,
I x44“11x2—12x3—34x4—5x6 = 0,
\ * x4— 5x24- 2x3 — 16x4 4~ 3x5 = 0.
3.22. Z5XJ4-2X2— x3 4~ 3x4 4~ 4x5 = 0,
•I 3xi4“ x2—2x34-ox44-5x5=0,
\ 6X1-4“ 3x2—2x34“4x44~7xg = 0.
3.24. f 6x4 4“ 3x2 — 2x34-4x44-7x5 —0,
7xi “F ^x2—3x3 4~ 2x4 4“ 4xg=== 0,
\ X] 4~ x2 — x3—2x4—3x5 = 0.
3.26. f X] 4~ x24-3x3—2x4 4- ЗХ5 === 0,
2xj 4“ 2x2 ~{— 4x3 — x4 4“ 3x6 — 0,
\ xj 4~ x2 + 5x3 — 5x4 4~ 6x5 — 0.
3.28. ( 6x1 4~ 3x22x3 4“ 3x4 4~ 4xg — 0,
4xj 4~ 2x2 4~ Х3 4- 2x4 4- ЗХ5 0,
\ 2xi4“ x24~ x34~ x44- x5— 0.
3.30. f Xi4“ x24~ x3472x44-x5 = 0,
j Xi—2x2-—3x3+ x4—x6=0,
2xi—x2 — 2x3'4~ 3x4 =0
Задача 4. Найти координаты вектора х в базисе (ej, е2,
е3), если он задан в базисе (е1У е2, е3).
4.1.
' еГ^е14- е24-2е3,"
e2 = 2ei —е2,
е'=: —ei4-e24-e3, х={6, — J, 3}.
)56.
4.2.
ei ~ ei 4~ е2 +.3е з,
е2 = 0/2) ех е2»
ез — — ©14“ е2 4~ ез» х={1, 2, 4}.
4.3. (Г e”==ef_[_e2_(_4eg?
| е2 = (4/3) ех~ е2,
ii ©g=-—©х4"®24“®з> х—(1, з, 6}.
4.4.
4.6. .
4.5. | е± = + е2 4“ 00) »
I е2==4ех—е2?
е§, — —ei4~®24~e3> 1}.
+ е2 + 0/4) ®39
еа—бех—е2,
©з = —^©14".®2 4"®з> х = {8, 4, 1}.
ei — ех 4~ е2 4~ 0/2) ез,
е2 == Зб] е2,
е3 == — ©1 + е2 + е3,
Г ei = ei + e24-.5e3
J е2 —(5/4)ех — е2,
I е3 ——©i 4“ е2 4~ ез> х — {Ь 8}<
х={2, 4, 1}.
4.7.
4.8.
©I == ®Х 4“ ©2 4“ 6©3>
е2 —(6/5) ©!—е2,
е§ — — ei + «2 + ©з»
х = {2, 5, 10}.
4.9. । ©д = е-£ eg (6/5) е3<
I eg —бех—е2,
е^= — ©t4~ ®2 4~ ез* х={10, 5, 1}.
4.10.
е1 “ ©X ~Ь ©2 ~Ь 7©31
е2^.(7/6) ех —е2,
©з —— ©х,+ е2+:е3,
х = {1, 6, 12}.
4Л1» I (g£ — ex е2 4~ 00) ®з*
е'—7ех —е2,
I ©3 — — ©х + е2 4“ ®3»
х = {—12, 6, I}.
4.12.
ех — ех + ©2 4~ $©з>
ез = (8/7) et —е2,
©з — —©1 + е2 4“ ©з»
х = {-1, 7, 14}.
4.13.
®1 — ®14- ®2 — © Зэ
e2=(l/2)ei—e2,
©з = — ©х 4Н ®2 4“ ®з?
х={—3, 2, 4}.
4.14. / е;.-е1+е2+(1/2)е*
j е2 = —ei—е2,
\ ез = — е14~ез + ез> х = {2, 4, 3}о
. 157
4.15. < вХ = ех 4~ е2— 2е3, ($2— (2/3) СХ “С2>
е3=—ei4"e2 4~^3> х = {2, 6, 3}. 4.16. ех — ех + е2-j- (2/3) е3, . е^ = —2ех— е2, е3—— ех + е2 + ез» {х= 12, 3, 1}. X
4.17. ' ех = ёх -|- е2—Зе3, е2 = (3/4) ех — е2, е3 =—ехЦ-е2-|-е3, х = {1» 4, 8}. 4.18. 7 е1'=ех4-е2 —Зе3, е2 = (3/4) ех—е2, е3 = —ex4-e2~he3> х={1, 4, 8}.
4.19. - ei = е± + е2—4е з, е2 = (4/5) ех—е2, ед = —ех4-е24-е3, х={7, 5, 10}. 4.20. ех __ ejL _]_ g2 (4/5) е3, ei = —4ех—е2, е3 =— ех-]-е2 + е3, х = {5, 5, 4}.
4.21. е1 —е1“Ре2—^ез» е2 = (5/6) ех —е2, е3=—ех4-е2 + ез» * = 6}. 4.22. 7 ei = е1 + е2+(5/6) е3, . е2 = — бе! — е2, е3=—ei + e2+e3t х={6, 6, 2}.
4.23. ех == ех 4~ е2 — ч е2/:= (6/7) ех —е2, е3== — ехе2Сз» х —{1, 7, 7}. 4.24. ех = ех -|- е2 + (6/7) е3, « ei ——6ех —е2, е3 = —ех-4~е2 4"ез» х={7, 7, 2}.
4,25. ei — Ci 4“ 7ез( е2=(7/8)е1-е2, е3 = —ех-[-е2 + е3, х = {3, 8, 8}. 4.26. ' = e; = (8/9)ei—е2) ез——ех+е2+ез> #={Ь 9}.
4.27. ех = ех + е2 + (§/9) ез» е2 — — Зсх е2, ез = —б14-е2 + б3, х = {9, 9, 2}. ч
158
4.28.
ei — ef е2—9e^
e2 = (9/10) ej—e2,
e3 —— ef4~ e2 4“ ез* x—{3, —10, 10}.
4.29.
4.31.
' eI-ei + e2+(9/10) е$,
e2 = — 9ei—e2, \
e3 =— ei~Fe2-{-e3> a:={10, 10, 7}.
4.30.
x = {l, 10, 10}.
ei — e j 4- e2 4- lOeg,
e2 = (10/9) ei—e2,
e3 — — Ci 4“ e2 4" e3i
x={l, 9, 18}.
ei — ei-f" e2 +1 le3,
e2 ==(11/10) ej —e2,
e3 — — et + e2 4~ e3,
Задача 5. Пусть я ==(%!, x2, x3). Являются ли линейными
следующие преобразования:
5.1. == (6%^—&х2—4х3, —ЗаГ]_—2х2—х3, ас24~2х3),
Вх = (6 —5х2—4х3, Зх1—2х2—х3, х2-{-2),
Сх = (хз, Зх£—2х2—х3, х2А~2х3).
5.2..Д х —(5%i—4х2—Зх3, 2xj—х2, х2-[-2),
Вх = (5%i — 4х2—Зх3, 0, х2 4- 2х3),
Сх — (5xt—4х2—Зх3, 2xi—х2^ х2 + 2х3).
5.3. /4x = (4Xj—Зх2—2х3, xlf Xi-j-2x2-}-3x3),
tBx = (4x1 — Зх2—2х3, xlf X!-i-2x2-[-3x3)f
Cx==(4xt—Зх2—2x3, xif x14-2x2 + 3),
5.4, Ax == (Зх, 4“ 2x2 4“ x3t хз> —3x2—4x3), <.
Bx — (3xt 4- 2x2 4- x3, Г, 2x±—3x2—4),
Сх — 4- 2x2 4- x3, x3, 2xi—3x2—4x3).
5.5. Ax — (xlf Xi—2x2—3, 4xl—5x2—6),
Bx =(xlf X} — 2x2—3x3, 4xi—^x2—6x3),
Cx — fxi, Xi — 2x2—3x3, 4xi — ^x2—0x3).
5.6. Ax = (2X] 4- x2i x2—2x3i 3xi—4x2—Sjc3),
Bx — (2xi~]~x2i *2^“2x3,' 3xi — 4x2 — 5л:3),
Cx = (2xi~'rx2, x2—2, 3Xi—4x2 — 5).
5.7, i4x = (%£, Xi4~2x2 + 3x3, 4xi4~3x24~6x3),
Bx = Xi 4- 2x2 4~ 3, 4x^ 4- 5%2 4~ 0),
Cx — (Xj, Xi 4- 2x2 4- 3x3, 4x^ 4- 5x2 4~ 0<v3} t
5.8» = (Зх^—2x2—x3i 1, 4~ 2x2 4~ 3),
Bx === (3X1 —2x2—хз> 0, Xi 4- 2x2 4~ 3x3),
Cx==(3xi—2x2—x3, x3, Xi —2x24~ 3x3).
5.9, Ax — (2xi—x2> ^з> *l4~2#24-3x3),
Bx==(2xi—x2j x3i Xi 4-2x2 4~ 3x3),
Cx=(2xi—x2, 1, x14-2x24-3).
5.10. Ax~(x3, 2x14-3x24-4x3, 3xi~l-6x2~[-7x3)f
T59
к *
* и
ND
ND
* *
ел ел
* *
£
* £9
ND ND to
к
а ы w <w wt
О
? * io гГ *
Э to to to К)
* X
&
*
* * И
ел g1 g»
.Н 3$
S* £ >? и I? н £
?Г 27 й И *
го гГ to “> К»
К 5*
Г .Н F I?
Bx=(2xi4-3x24-4x|, 5xi4-6x24~7x3, О),
Cx~ (2xi 4~ Зх-2 4~ 4х3, 3xi4~5x24~7x3, Sx^-j-Xg).
5.26* Лх = (xi 4~ x3, 2xt Ч- 3x2 4“ 4x3, O),
Bx=(xt+Xg, 2xx + 3x2 + 4x3, 5xt 4- 6x2 + 7x3),
Cx=(xi4-1, 2xi Ч- 3x2 4~ 4 , 5xj4-6x2 4~ 7x3).
5.27. .<4x=(3xi—2x2—x3, x2—}-2x3, 3xi4~4x24“3x3)^
Bx=(3xi—2x2—1, x2+2, 3xi + 4x2 + 5x3),
Cx==(3xi—2x2—x3, x2~|-2xg, 0/.
5.28. Лх—(2хх—x2, Xi -J- 2x2 -}- 3, 4xi4~3x24-6x3),
Bx = (2xi—x2, Xi+2x2 + 3x3, o),
Cx = (2xi—x2, Xj 2x2 -|- 3x3, 4x14~5x24-6x3).
5.29. Лх = (х1 + 2х2+Зх3, 4xi4~5x24"’6x3, 7xi4"3^2)»
Bx — (xi + 2x2+3x3, 4xj + 3x2 + 6x3, 7xx 4- 8x2),
Cx=(Xi 2x2 4- 3, 4xi 4” ^*^2 “4~ 3, 7xi 4- 3x2).
5.30. Лх = (х2+2х3, 3xi 4~ 4x2 4~ Зх3, 6xi4_7x24~'3x3),
Bx = (x24-2, 3xi 4" 4x2 4"*э, 6xi 4“ 7x2 4~ 8x3),
Cx=(x2 + 2x3, 3xi + 4x2 4- 5x3, 6xx 4~ 7x2 4~ 8x3).
5.31. Лх = (х1, Xi—x3, x24-x3),
Bx = (l, Xi—x3, x24-x3),
Cx —(xx, Xi—x3, x24-x3).
Задача 6. Пусть х — {хи х2, х3}, Ах = {х2—ха, хи Хх + Хз}
Вх — {Xg, 2ха, х^}. 6.1. АВх. НайТи: 6.2. А2х.- 6.3. (Л2—В)х.
6.4. Bix. 6.5. В2х. 6.6.' (2Л+ЗВ2)х,
6.7. (Л2+В2)х. 6.8? (В2 + Л)х. • 6.9. ВАх.
6.10. В(2Л — В)х. 6.11. Л (2В — А)х. 6.12. 2(ЛВ+2Л) х.
6.13. (Л—В)2х. 6.14. (В— 2Л2) х. ч 6.15. ВЛ2х.
6.16. (ЗЛ2-рВ)х. 6.17. (Л2 + В)х._ 6.18. (Л2 —В2)х.
6.19. (2В—Л2)х. 6.20. В3х. 6.21. (В2—2Лх).
6.22. (Л (В + Л)) х. 6.23. (ЛВ2)х. ' 6.24. (Л(В—Л))х.
6.25. 2 (В + 2Л2+В2) х. 6.26. (В (Л —В)) х. 6.27. (В—Л + В2)х.
6.28. (В(Л + В)) х2. 6.29. (Л4-ВЛ— В)х. 6.30. (ЗВ4-2Л2)х.
6.31. (В(2Л4-В)) x.
Задача 7. Найти матрицу в базисе (ej, е2, £3), где
^ = ^1—e2 + ^3, е2==—ei + e2—2^3, ^ + 2а2 + е3,
если она задана в базисе (вх, е2, ^з) ’ 1 0 -1 0\ 4 ) 2/. 7.3. /0 ( 4 \2 2 1 —1 3> 0 —2
Ч1- /1 (3 \1 0 —1 1 2\ 0 ) —2/. 7.2. /2 ( 3 \1 -
7.4. /1 2 °\ 7.5. / 2 0 1\ 7.6. /0 3 2'
f 3 0 - -1 ) ( 3’ 0 2 ) ( 2 1 —1
\2 1 -1Л 1 1 2Л \0 —1 2
7.7. /1 3 °\ 7.8. /2 1 2' 7.9. 0 1 2
( 2 1 -14- 3 0 2 4 0 1
\0 2 1Л \1 0 1 ' * -1 - -2 1
161
?ло. /1 1 О' 7.11. /2 1 1\ 7.12. /3 0 1\
( 0 ~ -1 1 ( 0 0 2 1 -1 0 )
\2 3 1. < в \1 3 ~ -Ь \2 1 -1Л
7.13. / 1 2 b 7.14. /1 1 2\ 7.15. /1 1 1
( 0 2 0 ( 0 2 1 1 2 0 1
\—1 1 L ' • \1 —1 0/ \0 1 1
7.16. /1 1 3\ 7.17. /1 0 1\ 7.18. /1 0 2\
( 1 0 1 ) ( 0 —1 2 3 0 —1 )
\2 0 1Л \3 —1 1/ • \1 -2 i/.
7.19. / 2 0 °\ 7.20. /1 1 О' 7.21. ,0 1 b
( 1 —1 1 ) ( 1 1 1 1 1 0
\—1 2 1Л \0 2 1, 42 1 Ь
7.22. / 0 0 14 7.23. 0 1 14 7.24. . <0 2 14
L 2 1 - -1 I 0 2 1 0 3 2 )
\—1 1 1Л -1 2 I/ • 41 1 1/.
7.25. /2 0 b 7.26. /2 0 Ц 7.27. 2 1 —1\
( 0 -1 —1 ( 1 1 1 -1 3 1 )
\1 1 —Ь ' S \0 2 — 12 0 1 0/.
7.28. /2 1 О' 7.29. 2 1 0\
' 1 0 1 0 1 —i )
\1 — -1 1, -1 1 1Л
7.30. / 2 —1 04 7.31. 0 1 !\
( “1 0 1 ) -1 0 1) •
\ 1 1 —1/. 1 —1 1Л
Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу, область
значений и ядро оператора:
8.1. проектирования на ось Ох;
8.2. проектирования на плоскость z —0;
8.3. проектирования на ось Oz;
8.4. зеркального отражения относительно плоскости Oyz;
8.5. проектирования на ось Оу;
8.6. проектирования на плоскость # = 0;
8.7. зеркального отражения относительно плоскости х—у~0;
8.8. зеркального отражения относительно плоскости «/ + z = 0;
8.9. проектирования на плоскость у — z = 0;
8.10. проектирования на плоскость //=]ЛЗх;
8.11. проектирования на плоскость Oyz;
8.12. зеркального отражения относительно плоскости х—z—0; '
8.13. зеркального отражения относительно плоскости Оху;
8.14. поворота относительно оси Ох на угол л/2 в положительном направлении;
8.15. проектирования на плоскость х—у — 0;
8.16. проектирования на плоскость z/ + z = O;
8.17. зеркального отражения относительно плоскости *+# = 0;
8.18. зеркального отражения относительно плоскости у—z = 0;
8.19. проектирования на плоскость x-j-y — 0;
8.20. проектирования на плоскость х—z = 0;
8.21. зеркального отражения относительно плоскости % + z~0;
8.22. поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол л/2;
8.23. проектирования на плоскость ]/*3 y-\-z~ 0;
8.24. зеркального отражения относительно плоскости Oxz;
8.25. поворота в положительном направлении относительно оси Оу на угол л/2;
8.26. проектирования на ш^скость x-|-z=0;
162
8.27. проектирования на плоскость =
8.28. проектирования на плоскость У 3 х + z ~ 0;
8.29. проектирования на плоскость У~ 3 х + у = 0;
8.30. поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол л/4;
8.31 ., проектирования на плоскость х—р^Зг —0.
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы
матрицы.
9.1. / 4 —2 —1\ 9.2. / 2 — 1 0\ 9.3. /3—1 1\
( —1 3.-1) ( —1 2 0 (0 2 —1 )
9.4. V 1 —2 2/» 9.5. \ 1—11/. \0 —1 27,
/5 —1 .—1\ / 6—2 —1\ 9.6. / З^Г—1\
(° 4 ) 1—1 5—1) ( 2 2—1)
\0 —1 4/. \ 1 — 2 ' 4/, \—2 1 4/,
9.7. / 2 ° —1\ 9.8. / 2 1 0\ 9.9. / .4 1 0\
( 1 1 —1 ) Г 12 0) ( 140 J *
\—1 0 2/. \—1 1 3/, \—1 1 5Л
9.10. / 5 1 —1\ 9.11. /5 —4 4\ 9.12. /3 -2 2\
( ~2 4 ) ( 2 v i 2 ) (2—12)
\—2 1 6 Л \2 0 ЗА \2 —2 3/,
9.13. /3 —2 2\ 9.14. /5 —2 2\ 9.15. /7 —4 4\
(о‘г ,з5о ) 10 5 0) ( 2 3 2)
\0 2 1/, \0 2 ЗЛ \2 0 5/.
9.16. /7 —6 6\ 9.17. /7 —6 6\ 9.18. /13 2 — 2\
1 4—14) 12 32 ( 6 9—6
\4 —2 5/. \2 2*3/, \ 2 — 2 5>
9.19. /7 2 2\ 9.20. /3 0 0\ 9.21. /5 0 О'
[ 3 f 3 3 \ /А -L —А. \ I _ 13 4
1 4_ 5 _J2 1 3 а 3 1 13 3 3
\ 3 3 3 1 \ 2 2 5 / \ 2 2 11
'0.0 1 / • ЧГ ~ 3 *3"/ . \з 3 3>
9.22. / 19/3 2/3 — 2/Зх 9.23. /4 ’"'А 9.24. /2 1 —1\
( 2-5—2 (2 3 — 2 ) ( 1 2 —1 )
\ 2/3 —2/3 11/3 / \1 —1 2/, \0 0 1/.
9.25. /3 0 0\ 9.26. /5 0 0\ 9.27. /6 1 —1\
( 1 2 ~1 ) ( Г 4 — 1 ) (2 5 —2 )
\1 —1 2/. \1 —1 4/. \1 —1 4/(
9.28. / 3 —2 —2 > 9.29. / 5/ 3 —2/3 —4/3\
( ->-2/3 5/3 —2/3 ( 0 1 0 )
\—2/3 2/3 —13/3 > \—2/3 2/3 7/3/.
9.30. /7—4 —2\ 9.31. /4 — 3 —3\
—2
> О
—2 1
9/, \1
10. Привести квадратичную
5
о
Задача
виду методом Лагранжа.
10.1. • Xi 4Х]Хз 4X2X3-}- 4хз<
10.2. 4xi “Ь 4x^2 -р 8ххх3—Зх^ Ц- 4х§.
2
1
форму к каноническому
1
2
163
10.3. 4X1+.8х1х2 +4^X3 + 4-
10.4. 4хх 4~ 8ххх2 4~ 4ххх3 4~ Зх2—2х3. ,
10.5/ Xi -J- 4ххх2 4“ 4ххх3 -j- Зх2 4“ 4х2х3 4~ #з»
10.6. xi-|-4x1x2+4х2Хз4-х3.
10.7. Xi 4* 2ххх2 4~ 2ххх3—Зх2 — 6х2х3—2х3.
10.8. xi + 4х1х24-2х1х34- Зх24-2х2х3+х3.
10.9. xi 4- 4ххх3—х2 — 2х2х3+4х3.
10.10. х? 4“ 2ххх2 4- 2xiX3 4- х3.
10.11. xi 4* 4ххх2 4- 4ххх3 4- 8х2 4-1 2х2х3 4* 4х3.
10.12. 4xi 4“ 4xiX2 4“ 8ххх3 4~ 5%2 4" 8х2х3 4~ 4х3 •
10.13. 4xi 4“ 8ххх2 4“ 4xiX34* 8х2 4“ 8х2х3 4~ х3.
10.14, 4xi 4* 8ххх2 4~ 4х]Х3 4" ^-^2 4- 8х2х3 4~ 4хз•
10.15. Xi4-4xiX24“4х1х34-5х24- 12х2х34~7х3.
10.16. Xj 4~ 4ххх2 4- 4ххх3 4" 8х2 4” 16х2х3 ~[~ 7х3.
10.17. Xi 4" 2xiX2 4" 2ххх3 4" 5х2 4~ Г0х2х34“4х3.
10.18. Xi 4~ 4xix2 4- 2ххх3 4- 5х2 -{- 6х2х3 4* х3.
10.19. Xi 4- 4xix3 4~ %2 4~ 2х2х3 4~ 4х3.
10.20. Xi 4~ 2ххх2 4~ 2ххх3 4~ 2х2 —4х2х34* -^з*
10.21. хх 4~ 4ххх24" 4ххх34х2х34~ 2х3.^ <
10.22, 4xi 4“ 4ххх2 4~ 4ххх3—Зх2 4 2х3.
10.23. 4xi4~8ххх24~ 4XjX34~x3.
10.24. 4х148Х1Х24~4х1х34-Зх2—4х3.
10.25. хх 4“ 4ххх24~ 4ххх34~ Зх24“ 4х2х3—х3.
10.26. хх 4~ 4ххх24- 4ххх3—х3.
10.27. хх 4“ 2ххх2 4~ 2ххх3—*3х2—6х2х3 — 4х3.
10.28. xi ~р 4xiX2 4“ 2xix3 4~ 8х2 4" 2х2х3 —х3.
10.29. Xi 4~ 4xiX3—х2 2х2х3 4" 2х3.
10.30. Xi 4- 2xiX2 4- 2xiX3—х3.
10.31. Xi 4- 2xiX2 4~ 2xjX3 4~ 2х2 4~ 4х2х3 4 Зх3.
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому
виду ортогональным преобразованием.
11.1. 4х2 •— Зх3 4* 4xix2 — 4xfx3 4~ 8х2х3.
11.2. 4xi 4~ 4х2 4“ х3—2xjX24“ 2 8х2х3.
11.3. 2xi 4~ 2х2 4~ 2х3 -р 8ххх2 4“ 8ххх3—8х2х3>
11.4, 2xi 4~ 9х2 4~ 2х3—4ххх2 4~ 4х2х3.
11.5. —4хх — 4х2 4” 2х3—4ххх2 4~ 8ххх3 — 8х2х3.
11.6. ' хх 4~ -^2 4” 4х3 4- 2ххх2—2^/” Зх2х3.
11.7. 4xf 4~ 4х2 4“ х3 -р 2Х1Х2 — 4ххх3 4~ 4х2х3.
11.8. Зх14~-^2 2*л:з4_2уг Зххх2—ххх3 4* Зх2хз.
11.9. —хх—х2 — Зх3—2ххх2—6ххх3 4~ 6х2х3.
164
11.10. xl—7xl-I-Хз — 4ххх2—2xxx3—4x^x3.
„ << 5/2 2 । 5/2 2 1 3/2 2 . V2 •
11.11. •—j.Xi 4---j— xa i--— x3 4—*1*2 + *Л + x2x3.
11.12. 3xx — 7x2 —|- 3x3 ~| 8x,x2—8xjX3—8x2x3.
11.13. xx4-5x24~x3—4xxx24~5/" 2ххх34“ У 2x2x3.
ItH 2,2,2 4 8/2
11.14. Xi -j" x2 4~ x3 з xxx2 ’ з x2x3.
11.15. —2xi4~2x2—2x3—4xxx24~3/* 2xiX34~ У 2x2x3.
11.16. — (1 /2) xx 4~ 5x2 — (1 /2) x3—4xxx2 -j- 3xxx3 -{- 4x2x3.
11.17. Xi—}—x2—x3— 4xxx3 4x2x3.
11.18. —2xx —|- 2x2—2x3 4~ 4xjX2 — 6xiX3 4~ 4x2x3.
11.19. 2xi4~3x14~2x3 — 8x1x2— 4/2xxx3-f-2/2x2x3.
11.20. —4xx4- x2 ~— 4x3 4~ 4xxx2 — 4xxx3 4x2x3.
11.21. 10x14- 14x14-7x1 — 10x£X2—/2xxx3— 5/2x2x3.
11.22. (3/2) xx — 5x2 -j- (3/2) x34~ 4xxx2—xxx3 —4x2x3.
11.23. xi2 + x22 4- 2x14- 4x^2 4-2 V2 xLx3—2 У2 x2x3.
11.24. 2x2 — 3x1 —7 2 У3 xxx2—4x, x3 -j- 4 У3 x2x3.
4 81/ЗГ
11.25. Xi 4- x2 -|- x3 4- у ^1^2 4-£— x2x3.
11.26. x? 4“ xl + 8xxx2 4-4/2 xxx3—2 У 2 x2x3.
11.27. 5xf 4- 13x14- 5x14-4xxx2-|- 8x2x3.
. 11.28. 2xi 4" 2x2 4~ 2x3 -{- xxx2 4-x— x2x3.
О О
11.29. 5x14-4x14-2x1 —J4xxx2—2]/'2x1x34-4^2x2x3.
11.30. —2x2 4~ 5x2 — 2x3 -J- 4xxx2 4~ 4x2x3.
11.31. —3xx 4- 9x2 -j- 3x3 -j- 2xxx2 4- 8xxx3 4~ 4x2x3.
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и по-
строить ее.
12.1. —х2—f/2-|-4xi/4-2x—4//4-1 =0.
Г2.2. 2х2 + 2//2—2ху—2х—2у 4-1=0.
12.3. 4хг/4-4х—4г/=0.
12.4. — 2х2—2^2 + 2ху—6х 4- 8у 4-3 = 0.
12.5. — Зх2—Зг/2 4- 4xf/—6х 4- 4// 4- 2 = 0.
12.6. —2ху—2х—2г/-|-1 =0.
12.7. —х2—г/2—4хг/—4х—2г/4-2 = 0.
12.8. —4х2—4г/2-|-2хг/4- 10х— 10z/-|-1 =0.
12.9. 4х//4~4х—4г/—2 = 0.
12.10. х2-\-у2-\-2ху—8х—8г/4-1 = 0.
12.11. х24~У24-4хг/ — 8х—4г/4-1=0.
12.12. х2-|-г/2—2хг/—2х-|-2/у—7 = 0.
12.13. 2хг/4-2х4-2г/—3 = 0.
12.14. 4х24-4//24-2х//4- 12x4- 12г/4- 1 =0.
12.15. Зх2 + Зг/2+.4хг/4-8х4-12г/4-1=0.
165
12.16. х2+#2—8х#—-20х+20#+1 =0.
12.17. 3х2 + 3#2 —2х#~6х4-2#4-1=а<
12.18. 4х# + 4х+4#+1 = 0.
12.19. 3х24-3#2 — 4х# + 6х—4# —7 = 0.
12.20. —4х#—4x4-4#+6 = 0.
12.21. 5х2 + 5#2—2х#+10х—2#+1 =0.
12.22. 2х2 + 2#2 + 4х#+8х+8#+1 =0.
12.23. —х2—#2 + 2х# + 2х—2#+1=0.
12.24. 2х2 + 2#2—4х# — 8х+8#+1=0.
12.25. 3х2 + 3#2 + 2х# —12х—4#+1 =0.
12.26. .—4х# + 8х+8#+ 1 =0.
12.27. 2х2 + 2#2—2х#+6х—6# —6 = 0.
12.28. х2 + #2 + 4х#+4х+2#—5 = 0.
12.29. 4х# + 4х—4#+ 4=0.
12.30. 3х2 + 3#2 — 4х# + 4х + 4#+1=0.
12.31. х2 + #2-—4х# + 4х—2#+1 =0.
ПРИЛОЖЕНИЕ
К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
При решении многих задач линейной алгебры возникает не-
обходимость решать системы линейных уравнений, что зачастую
сопряжено с вычислительными трудностями. В таких случаях
полезно использовать "ЭВМ. В качестве примера ниже приведена
методика решения системы линейных уравнений методом Гаусса
на ЭВМ типа ЕС (язык программирования Фортран) или на
ЭВМ типа «Мир» (язык программирования Аналитик).
Методом Гаусса называют точный метод решения невырож-
денной системы линейных уравнений, состоящий в том, что
последовательным исключением неизвестных система
п
^aijXj = bi, i=l, 2, п,
i=1
приводится к эквивалентной системе с треугольной матрицей
х1Ч-с12х2+ ... +clnxn = d1,
; а2 -J- ... с2пхп = d2,
xn = dn,
решение которой находится по рекуррентным формулам
x~di— S cihxk, xn = dn, i = n—\, n—2, 1.
/2=14-1
Существует много вариантов этого метода.
Рассмотрим схему с выбором главного элемента. Пусть ис-
167
ходная система имеет вид
(«1Л + • • • +а1пхп~Ь1-,
{................................. (О
1«ил + •. =
Предположим, что а^^О, и разделим обе части первого урав-
нения системы на а1г:
Xt + bl2x2+...+Ь1пхп = Ь{1\ (2)
здесь by = ayla^ j = 2, 3, ..., п, b?} = b1/a11. С помощью уравнения
(2) исключим во всех уравнениях системы (1), начиная со вто-
рого, слагаемые, содержащие xv Для этого будем умножать обе
части уравнения (2) последовательно на а21, я31, ..., ani и вы-
читать соответственно из второго, третьего и т. д. из n-го урав-
нения системы (1). В результате получаем систему, порядок
которой на единицу меньше порядка исходной системы:
( а^х2+ ... +ag>x,1 = b(21>,
( а(Л’х2+ • • • +й(,шЧ =%1’;
здесь
afi' — aij—aitb(j i, j = 2, 3, п,
b^^bi—ацЬ^, i — 2, 3...........ti.
С полученной системой проделываем аналогичные преобразова-
ния. После n-кратного повторения этого преобразования можно
записать систему с треугольной матрицей
-Г ^12^2 * • • 4~ нхп — di,
Х2 + ^23*^3 + • • • + С2пХП “
xn = dn,
которая эквивалентна системе (1) и легко решается. В самом
деле, из последнего уравнения находим хп\ подставляя хп в
предпоследнее уравнение, находим xn_lt затем хп_2 и т. д. вплоть
до хп которое находится из первого уравнения системы, когда
уже известны x„, хп_11 хп_2, ..., х2.
Таким образом, вычисления по методу‘ Гаусса распадаются
на два этапа: на первом этапе, называемом прямым ходом метода,
исходная система преобразуется к треугольному виду (3). На
втором этапе, называемом обратным ходом, решается треуголь-
ная система (3), эквивалентная исходной системе.
Коэффициенты ali9 а22, называются ведущими элементами
метода Гаусса. На каждом шаге предполагалось, что
Если окажется, что это не так, то в качестве ведущего элемента
можно использовать любой другой ненулевой коэффициент сис-
темы. Однако, если коэффициент но мал, после деле-
168
ния на этот элемент возникают большие погрешности округления
при вычитаниях. Чтобы избежать этого, на каждом этапе урав-
нения переставляют так, чтобы на главной диагонали оказался
наибольший по модулю элемент k-ro столбца. Если матрица
системы хорошо обусловлена, то в методе Гаусса с выбором
главного элемента погрешности округления невелики.
Замечание. Матрица А плохо обусловлена, если малые
изменения, ее элементов приводят к' существенным изменениям
элементов матрицы Д'"1.
Параллельно с решением системы можно найти определитель
матрицы системы. Нетрудно убедиться в том, что определитель
матрицы системы-равен произведению ведущих элементов, т. е.
ullu22 • • МПП
Описанный алгоритм реализован в виде подпрограммы
(SUBROUTINE) SIMQ(А, В, N, KS).
Подпрограмма SIMQ включена в стандартное математическое
обеспечение ЕС ЭВМ и приводится здесь в справочных целях:
• SUBROUTINE SIMQ(A, В, N, KS)
DIMENSION А(1), В(1)
T0L = 0.0
ks=o
JJ= —N ~
DO 65 J = 1, N
JY = J-f-l
J J = J J + N +1
BIGA = O.
IT J
DO 30 I = J,N
IJ = IT4-I
AA = ABS(A(IJ))
IF(ABS(BIGA)—A A) 20, 30, 30
20 BIGA = A(IJ)
IMAX = I
30 CONTINUE
IF(ABS(BIGA)—TOL) 35, 35, 40
35 KS=1
RETURN
40 I1=J+N*(J—2)
IT = IMAX—J
DO 50 K = J, N
H = I14-N
12 = 11 +IT
169
SAVE = A(I1)
. A(Il)==A(I2)
A(12) = SAVE
50 A(I1) = A(I1)/BIGA
SAVE = B( IMAX)
B(IMAX) = B(J)
B(J) = SAVE/BIGA
IF(J —N) 55,70, 55
55 IQS==N*(J —1)
DO 65 IX = JY,N
IXJ = IQS + IX 7
IT = J—IX
DO 60 JX = JY,N
IXJX = N«(JX — 1) + IX • '
JJX = IXJX-|-IT
60 A(IXJX) = A(IXJX)—(A(,IXJ)*A(JJX))
65 B(IX) = B(IX)—B(J)«A(IXJ))
70 NY = N —1
IT = N*N
DO80KY=l,NY
IA=IT—KY
IB = N—KY
IO = N
DO 80 K=l,KY
B(IB) = B(IB)—A(IA)*B(IO)
IA = IA—N
80 10=10—1
RETURN ,
END
Входные параметры:
N—целое положительное число, равное порядку п системы (1),*
А—массив из NxN действительных чисел, содержащий мат-
рицу коэффициентов системы (1)
(Л(1) = аи, А(2) = а21, A(N) = anl, Л(М + 1) = а12,
A (N XN) = «„„),
В—массив из N действительных чисел, содержащий -столбец
свободных членов системы (1)
. (5(1) = ^, В(2) = Ь2, B(N) = b„).
.1.70
Выходные параметры:
В—массив из N действительных чисел (он же входной) при
выходе из программы содержит решение системы (1)
(В(1) = х1( В(2) = х2, B(N)=xn),
KS—признак правильности решения (код ошибки); если KS~Of
то в массиве В содержится решение системы (1), если KS—1,
исходная система не имеет единственного решения (определитель
системы равен нулю) и в массиве В содержится столбец свобод-
ных членов системы (1).
Перед обращением к подпрограмме SIMQ необходимо:
1) описать массивы А и В. Если система содержит п урав-
нений, то массив А должен содержать и2 элементов, а массив
В—п элементов;
2) присвоить значение параметру М, который равен числу
уравнений системы;
3) присвоить элементам массивов Л и В значения коэффици-
ентов системы следующим образом:
А(1) = аи, А(2) = а^, A(3) = asi, A(N)=ant,
-A(N+l) = ai2, А (М 4-2) == с22, .... A(NxN) = ann,
B(l) = ^, B(2) = &2...B(N) = b„',
4) проверить соответствие фактических параметров по типу
и порядку следования формальным параметрам подпрограммы
SIMQ (Л и В—величины вещественного типа, N и KS—-вели-
чины целого типа).
Порядок решения системы линейных уравнений на ЕС ЭВМ.
1. Составить головную > программу, содержащую обращение .
к SIMQ и, печать результатов.
2. Произвести вычисления на ЕС ЭВМ.
Пример. Решцть систему уравнений
'м + х2 + х3 = 6,
• *i —х3 = —2,
Xi *4“ 2х2 4“ х3 ===: 8.
Программа решения этой системы с использованием SIMQ
может иметь вид
DIMENSION А(9), В(3), Х(3)
READ 1,А, В
CALL SIMQ (А, В, 3, IK)
PRINT 2, В, IK
STOP
171
1 FORMAT (12F3.0)
2 FORMAT (2X,'X(1)—',E13.6,'X(2) =',E13.6,’X(3) =',E13,6,
*'ПРИЗН. ВЫХОДА', 12)
END
Вычисления по программе приводят к следующим результатам:
Х(1) = 0.100000Е 01 Х(2) = 0.200000Е 01 Х(3) = 0.300000Е 01
призн. выхода 0
Для решения этой же задачи на ЭВМ «Мир-2» составляется
универсальная стандартная информатива (yCH)SIMQ:
«ПУСТЬ» SIMQ,TOL = 0;
KS = 0;
JJ = (—(N));
«ДЛЯ»Д = 1«ШАГ»1
«ДО»М«ВЫПОЛНИТЬ»(Л У = J + 1; J J = J J + N +1;
BIGA = 0; IT = JJ—J;
«ДЛЯ»1 = J
«ШАГ» 1«ДО»ХТ«ВЫПОЛНИТЬ» (I J = IT +1;
AA = ABS(A[IJ]);
«EGHH»ABS(BIGA)—АА < 0«TO»(BIGA = А[П];
IMAX = I));
«ЕСЛИ»АВ5(ВЮА)—TOL С 0 «TO»(KS = 1 ;•
«НА»2);
II = J 4-Nx (J —2);
1Т = 1ДОАХ—J;
«ДЛЯ»К = J«ШАГ» 1 «до»к«вы полнить»
(I1 = I1+N;
12 = П + 1Т;
SAVE = A[I1];
А[П] = А[12];
A[I2] = SAVE;
A[I1] = A[I1]/BIGA);
SAVE = Bfl.MAX];
B[IMAX] = B[J];
B[J] = SAVE/BIGA;
«ЕСЛИ» J = N«TO»
«HA»1«HHA4E»IOS = N x (J — 1);
«ДЛЯ»1 X=ЛУ«ШАГ»1«ДО»К«ВЫПОЛНИТЬ»(1ХЛ = IQS+IX;
IT = J —IX;
«ДЛЯ»ЛХ = ЛУ«ШАГ»1«ДО»И«ВЫПОЛНИТЬ»(1ХЛХ = N X
x(JX —1) + IX;
JJX = IXJX + IT;
172
A[I X J X | = Л| I X J X |—A[I X J] x A[J J X]);
B[IX] = B[IXj—В
[J]xA[IXJ]));
l .NY = N —1;
IT = NxN; . .
«ДЛЯ»КУ= 1«ШАГ»1«Д0»ЫУ
«ВЫПОЛНИТЬ^! A = IT—KY;
IB = N—KY;
IO = N; .
«ДЛЯ»К= 1«ШАГ»1«ДО»КУ
<<ВЫПОЛНИТЬ»(В[1В] = B[IB] — A[I A] X B[10];
IA = IA—N; IO—IO—1)); ' -
«ВЫВОД»34, «МАССИ B»B;
2 . «ВЫВОД»34,К5«КОНЕЦ»<>
Перед обращением к УСИ SIMQ .необходимо в рабочей ин-
формативе описать размерность массивов и присвоить фактичес-
кие значения входным параметрам А, В, N (здесь N—размер-
ность системы, А—массив из NxN действительных чисел,
содержащий матрицу коэффициентов исходной системы.) Значение
коэффициентов следует присваивать в таком порядке:
А[1]-ан, А [2] = п21, ..., Д[М] = ая1, А[М + 1] = ап, ....
Л[МхМ]=а„„.
Массив В состоит из N действительных чисел и содержит
столбец свободных членов исходной системы:
В[1]=А, B[2i = b2, ..., Д[М]=&„.
Порядок решения системы линейных уравнений на ЭВМ
«Мир-2».
1. Составить рабочую информативу, в которой описываются
массивы А и В, и их элементам и параметру N присваиваются
фактические значения.
2. Составить директиву, содержащую обращение к УСИ SIMQ.
3. Провести вычисления по программе.
Пример. Решить систему уравнений
- *1—хз = — 2,
ч + 2х2 4~ = 8.
Рабочая информатива имеет вид
«ПУСТЬ»Ы = 3; А[9]=1,1,1,1,0,2,1М; В[3]=-6,—2,8«КОН»О
Директива—вид
«Bbin»«HA»SIMQ«KOH»O
После вычислений по программе будут получены следующие
результаты:
В [3] =;. 1 OOOOOlo 1, ,200000101,.3OOOOOlo 1KS = О О
JVaon гд MiTor )вч1 Кузнецов
СБСРНИГ 3/ |А ГИЙ ПО ВЬ’СиТЕЙ МАТЕМ
(те ’ /вые рас ет/ ’.)
Зат едуюш я редакц ’ей т. Гридасова
Ред; crop А .1. О ли ерстсчн
Младшие редактор я
Т Т. Неперш .на, С. А. Доров кгх, Н ГТ.
• Художник А. И. Ша^ард
Художественный редактор В. И. Нон
Технический ред ктор Т. А. Мура
Корректор Р. И. Косинова
ИВ №?G27
ечать 1 /. 11.8
Изд. № ФМ-731. Сдано в набор 17.06.82. Г’одп. в j
ФорМаг 60Х90/1Д. Бум. газетная. Гарнв ура гл .ера )урнал.
чать высокая. Объём 11 усл. печ. л. 1 1 25 усл. лр -отт. 10»; 1
йзд. л. Тираж 120000 экз. Зак. № .10. Це ш >5 кон.
Издательство «Высшая школах, Москва, К<1,- НеглТняая
Д- 29/Н
Ордена Октябрьской Революции и опдена 5 рудов >го Красного
Знамени Первая Образцовая типография вмени А. д. ?Кдан< вз
Союзполи графи рома при Государствен) ом ко' :итсте GCC1 по де-
лам ’издательств, полиграфии и книжня! торг' ?ли МчСквя, М-54,
Валовая, гд