В.С. Владимиров
В.П. Михайлов
Т.В. Михайлова
М.И. Шабунин
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
уравнениям
математической
физики
Издание четвертое,
переработанное и дополненное
Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
высших учебных заведений Российской Федерации
по образованию в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по направлению «Прикладные математика и физика»,
а также по другим математическим и естественно-научным
направлениям и специальностям и смежным направлениям
и специальностям в области техники и технологий
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ®
2016

УДК 517
ББК 22.16
С 23
Авторский коллектив:
Владимиров В.С., Михайлов В.П., Михайлова Т.В.,
Шабунин М. И.
Сборник задач по уравнениям математической физики. —
4-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 520 с. —
ISBN 978-5-9221-1692-3.
Сборник задач, составленный коллективом Московского физико-
технического института, базируется на обновленных курсах уравнений
математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих последних лет.
В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической
физики, в данном сборнике представлены задачи, где широко используются
теория обобщенных функций и методы функционального анализа.
Для студентов физико-математических и инженерно-физических специаль¬
ностей вузов.
Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных за¬
ведений Российской Федерации по образованию в области прикладных ма¬
тематики и физики в качестве учебного пособия для студентов вузов, обу¬
чающихся по направлению «Прикладные математика и физика», а также
по другим математическим и естественно-научным направлениям и специ¬
альностям и смежным направлениям и специальностям в области техники
и технологий.
ISBN 978-5-9221-1692-3
© ФИЗМАТЛИТ, 2016
© Коллектив авторов, 2016

Учебное издание
ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич
МИХАЙЛОВ Валентин Петрович
МИХАЙЛОВА Татьяна Валентиновна
ШАБУНИН Михаил Иванович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор Е.И. Ворошилова
Корректор В.Р. Игнатова
Оригинал-макет: Д.П. Вакуленко
Оформление переплета: А.В. Андросов
Подписано в печать 12.05.2016. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,5. Уч.-изд. л. 37,4. Тираж 1500 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАНК «Наука/Интерпериодика»
117342, Москва, ул. Бутлерова, 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru
Отпечатано с электронных носителей издательства
в АО «ИПК «Чувашия»,
428019, г. Чебоксары, пр-т И. Яковлева, 13
ISBN 978-5-9221-1692-3
9
785922
116923

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому, переработанному	изданию	 5
Основные обозначения и определения	 6
Глава 1. Постановка краевых задач математической фи¬
зики 	 9
§ 1.	Вывод уравнений и постановка краевых задач	 9
§2.	Классификация уравнений второго порядка	 37
Глава 2. Функциональные пространства и интегральные
уравнения	 47
§3.	Измеримые функции. Интеграл Лебега	 47
1.	Измеримые функции	 47
2.	Интеграл Лебега 	 49
§4.	Функциональные пространства	 55
1.	Линейные нормированные пространства 	 55
2.	Гильбертовы пространства 	 59
3.	Гильбертово пространство дифференцируемых функций 65
§ 5.	Интегральные уравнения	 78
Глава 3. Обобщенные функции	 138
§6.	Основные и обобщенные функции	 138
§ 7.	Дифференцирование обобщенных функций	 146
§8.	Прямое произведение и свертка обобщенных функций. . . 156
§ 9.	Преобразование Фурье обобщенных функций медленного
роста	 168
§ 10.	Преобразование Лапласа обобщенных функций	 176
§11.	Фундаментальные решения линейных дифференциальных
операторов	 181
Глава 4. Задача Коши	 191
§12.	Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболи¬
ческого типа	 191
1.	Задача Коши на плоскости 	 191
2.	Задача Коши для	волнового уравнения 	208
3.	Обобщенная задача Коши для волнового уравнения . . 218

4
Оглавление
§ 13.	Задача Коши для уравнения теплопроводности	244
§ 14.	Задача Коши для других уравнений и задача Гурса	266
1.	Задача Коши для уравнения Шредингера 	266
2.	Задача Коши для уравнения utt = -∕∖2u + ∕(⅛,t),
х ∈ Rn, t > 0	270
3.	Задача Коши для уравнения = Р и	271
4.	Задача Коши для уравнения первого порядка 	273
5.	Задача Гурса для гиперболического уравнения на плос¬
кости 	274
6.	Задача Коши для некоторых квазилинейных уравнений 281
Глава 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического
типа	 288
§ 15.	Задача Штурма-Лиувилля	289
§16.	Метод разделения переменных для уравнений Лапласа
и Пуассона	309
§ 17.	Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа 344
§ 18.	Метод потенциалов	351
§ 19.	Обобщенные решения краевых задач	373
Глава 6. Смешанная задача	399
§ 20.	Метод Фурье решения смешанных задач	399
§21.	Другие методы	489
Список литературы	516

Предисловие к пятому, переработанному изданию
Сборник задач составлен коллективом преподавателей Мос¬
ковского физико-технического института (МФТИ). Он базирует¬
ся на читаемых много лет в МФТИ обновленных курсах уравне¬
ний математической физики.
Наряду с классическими решениями основных граничных
задач, рассматриваются их обобщенные решения, в связи с чем
используются методы функционального анализа и в частности
методы обобщенных функций.
Основной массив задач сборника составляют задачи, пред¬
лагавшиеся студентам в письменных итоговых контрольных ра¬
ботах. На этапе подготовки этих задач участвовали многие
преподаватели кафедры высшей математики МФТИ. В рабо¬
тах над первым изданием принимали участие А. А. Вашарин,
X. X. Каримова и Ю. В. Сидоров. Настоящее издание является
переработанным и расширенным по сравнению с предыдущими.
Лишь в первые три главы задачника внесены незначительные
изменения. Остальные главы отличаются не только существен¬
ным увеличением числа задач, но и методикой изложения: вы¬
делены основные сведения теоретического характера, приведены
достаточно подробные решения типовых задач.
Авторы выражают глубокую благодарность коллективу пре¬
подавателей кафедры высшей математики МФТИ за конструк¬
тивную критику, за предложения и замечания, которые способ¬
ствовали улучшению сборника и позволили устранить неточно¬
сти и ошибки в задачах.
В первую очередь авторы признательны заведующему
кафедрой проф. Е. С. Половинкину, а также А. Д. Кутасову,
В. Б. Лидскому, В. И. Чехлову. Неоценимую помощь авторам
оказал А. В. Полозов при подготовке рукописи к печати.
Сборник рассчитан на студентов вузов — математиков, физи¬
ков и инженеров с повышенной математической подготовкой.
Авторы

Основные обозначения и определения
1)	X = (жь z2, xn), У = (У1, У2>	y∏) — ТОЧКИ п-мерного
вещественного евклидова пространства Rn.
2)	dx = dxιdx2 ... dxn,
f(x) dx =
f(x↑,X2,∙ ∙ ∙, x∏)dxι • •. ⅛
Rn
3)	а = («1, «2, ∙ ∙ ∙ 5‰) — мультииндекс (¾∙ ≥ 0, j = 1,..., -
целые),
α! = α1!α2! • • • <‰!, ∣α∣ = cq + ... + αn, za =	... x^ln
4)	(ж, у) = xiyi + Х2У2 + ... + ХпУп,
Г
5)	U(xq, Д) = {ж: \х — xo∣ < R} — открытый шар с центром
в точке xq радиуса R; S(xq; R) = {х: |ж - жо| = Я} — сфера;
Ur = U(0',R), Sr = S(0,R).
6)	Множество А будем называть строго лежащим в области
G С Rn и писать А (⊂ G, если А ограничено и А с G.
7)	Функция /(ж) называется локально интегрируемой в обла¬
сти G, если она абсолютно интегрируема по каждой подобла¬
сти G' (⊂ G. Функции, локально интегрируемые в Rn, будем
называть локально интегрируемыми функциями.
8)	Z>∣α∣ f(x) = ^(га)/(ж1’Ж2,...,жи)
’ Л j ∂xail∂xf ...∂xc^ ■
9)	Cp(G) — класс функций /, непрерывных вместе с произ¬
водными Daf, ∣α∣ ≤ р (р ≥ 0) в области G С Rn. Функции
/ ∈ Cp(G), у которых все производные Daf, ∣α∣ ≤ р, до¬
пускают непрерывное продолжение на замыкание G, обра¬
зуют класс Gp(G), G(G) = G0(G), G(G) = G°(G); функции
/ ∈ Gp(G) при всех р образуют класс Gσo(G).

Основные обозначения и определения
7
10)	Равномерная сходимость последовательности функций {fp}
к функции / на множестве А обозначается
А (ж) =4 /(ж), к —÷ оо.
11)	A U В — объединение множеств А и В; A ∩ В — пересечение
А и В, A × В — прямое произведение А и В (множество пар
(а, Ь) (а ∈ A, b ∈ В)); А \ В — дополнение В до А.
12)	Носителем непрерывной функции /(ж) называется замыка¬
ние множества тех точек х, в которых /(ж) ≠ 0. Носитель
функции / обозначается supp∕. Если измеримая на области
G функция /(ж) обращается в нуль почти всюду в G∖G', где
G' (⊂ G, то / называется финитной в G функцией; функция,
финитная в Rn, называется финитной.
(A	()~	∂%
13)	Δ = —-7 + —-7 + ... + —v — оператор Лапласа; □α = -- -
∂x↑	∂x⅛	∂xz1	∂t
g
— a2∆ — волновой оператор, □ι = □; — — α2∆ — оператор
теплопроводности.
14)	Γ+ = {x,t∖ at > ∣^∣} — конус будущего.
15)	Φ(ξ) = -7U f e~χ2∕2dχ.
√‰ -joo
Г (7 e-ε2∕(≡2-∣≈l2)	|ж| < ε
16)	шг(ж) = <	,	£’ где Cε = хе п,
I 0,	|ж| > ε,
— = ∫ e-1∕(1-∣≈l2)⅛, ωε — ядро усреднения, «шапочка».
x kl<ι
17)	С — плоскость комплексного переменного.
18)	θ(x) — функция Хевисайда: 0(ж) =
2πn∕2
19)	σ∏ = ∫ dx = . .	— площадь поверхности единичной сфе-
S1 ∙L ∖n∕^)
ры Si вР.
20)	В Cp(G) введена норма
∣∣∕∣∣c-(G) = ∑L m^lr*α∕(aj)l∙
∣α∣≤P xEG
21)	Совокупность (измеримых) функций /(ж), для которых ∖f∖p
при р 1 интегрируема на G, обозначается через Lp(G).
1, x≥0,
О, х < 0.

8
Основные обозначения и определения
Норма в Lp(G∂) вводится так:
■ 1/р
∖f∖pdx
ll∕l∣Lp(G) -
ll∕l∣L∞(G) = vraixeGsup|/(a;)|;
Lp(G), 1 ≤ р ≤ ∞, — банахово пространство; функции /(ж)
и g(x) из Lp(G) считаются совпадающими, если /(ж) = р(х)
почти всюду в G;
в Lz(G) вводится скалярное произведение
CΛfiO = fgdx, f, g ∈ L2(G)∙,
G
L2{G) - гильбертово пространство, ∣∣∕∣∣l2(g) = √(∕,∕) •
22)	Пусть р(х) — непрерывная положительная функция в обла¬
сти G. Совокупность (измеримых) функций /(х), для кото¬
рых функция p(x)∣∕(x)∣2 интегрируема на G, обозначим через
^2,p(G); L2,p(G) — гильбертово пространство со скалярным
произведением
(f>9)L2,p(Gy) = ρfgdx.
23)	Цилиндрические функции:
а)	функция Бесселя
= X Γ(fc + ι∕+ l)Γ(fc+ 1) (2)
к=0
б)	функция Неймана
при нецелом z∕
Np(x) =		∖Jp(x) COS7ΓZ∕ — Jr-i√x)^∣,
smπz√
при целом Z/ = п
Nn(x) = - Γ¾^ - (-1)n∂j→(a01.
π L ди	ди J
в)	функция Ханкеля
Яр\ж) = Λ(x) + iNp{x∖ H^∖x) = Λ(rr) - iNjy^x}∖
г)	функции мнимого аргумента
∕i7(x) = e-i→2Ji7(iχ), κv{x) = 7^eiπ^2H^∖ix).

Глава 1
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
Условимся о следующих обозначениях:
p(E) — р — плотность (линейная, поверхностная, объемная);
То — натяжение струны, мембраны;
Е — модуль Юнга;
к — коэффициент упругости упругого закрепления концов
струны, стержня или края мембраны;
S — площадь поперечного сечения стержня, вала и т. д.;
7 = cp∕cv — показатель адиабаты;
p,Po — давление газа, жидкости;
ш, то — масса;
д — ускорение силы тяжести;
ω — угловая скорость;
к, k(x), k(x,u) — коэффициент внутренней теплопровод¬
ности;
а — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент
теплообмена);
D — коэффициент диффузии.
Проведем несколько примеров на составление уравнений.
Пример 1. Задача о поперечных колебаниях струны.
Струна длиной I натянута с силой Tq и находится в прямоли¬
нейном положении равновесия, рис. 1. В момент времени t = О
точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости.
Поставить задачу для определения малых поперечных колебаний
точки струны при к > 0, если концы струны:
а)	закреплены жестко;
б)	свободны, т. е. могут свободно перемещаться по прямым,
параллельным направлению отклонения и;

10
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
в)	закреплены упруго, т. е. каждый конец испытывает со
стороны заделки сопротивление, пропорциональное откло¬
нению и направленное противоположно ему;
г)	двигаются в поперечном направлении по заданным зако¬
нам.
Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.
Решение. Пусть ось х совпадает с направлением струны
в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить,
которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением
ее длины. Это значит, что если мысленно разрезать струну
в точке х, то действие одного участка струны на другой (сила
натяжения Г) будет направлено по касательной к струне в точ¬
ке х. Для вывода уравнения колебаний выделим участок струны
от х до х + Аж и спроектируем все действующие на этот участок
силы (включая и силы инерции) на оси координат. Согласно
принципу Даламбера сумма проекций всех сил должна равнять¬
ся нулю. Мы изучаем только поперечные колебания. Поэтому
можно считать внешние силы и силу инерции направленными
вдоль оси и. Примем во внимание также, что рассматриваются
малые колебания струны. Это значит, что в процессе вывода
уравнения мы будем пренебрегать квадратами величины ux(x,t)∙
Длина S дуги АВ выражается интегралом
ж+Аж
S =	∖ + u1x dx Аж.
X
Это значит, что удлинения участков струны в процессе колеба¬
ния не происходит и, следовательно, по закону Гука величина
натяжения Tq = [Т] не зависит ни от времени t, ни от х. Найдем
проекции всех сил в момент времени t на оси и. Проекции
силы натяжения с точностью до бесконечно малых (б.м.) первого
порядка равна (см. рис. 1)
To[sinα(τ + Аж) — sincφ)] =
= Γ0
tgα(x + Аж)
У1 + tg2 а(ж + Аж)
ux(x + АжД)	‰(x,t)
∙ξ∕l +t⅛O + ΔaU) γ∕l + ιi2(x,t) _
~ T0[ux(x + ∆x, t) - ux(x, t)] ~ 7o‰χ(τ, t)∆τ.

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
И
Пусть p(x,t) — непрерывная линейная плотность внешних сил.
Тогда на участок АВ вдоль оси и действует сила p(x,t)∆x.
Для нахождения силы инерции участка АВ воспользуемся выра¬
жением —mutt, где т — масса участка. Если — непрерыв¬
ная линейная плотность струны, то т = p∆x. Таким образом,
проекция на ось и силы инерции задается выражением —рицАх,
а проекция всех сил на ось и имеет вид
[T0uxx + p(x,t) - p(X)utt∖Δx = 0.	(1)
Следовательно,
Tquxx - p(x)utt + p(x, i) = 0.
Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны. Если
p = const, то уравнение принимает вид
utt = a2uxx + g(x,t),
где a2 =Tq∕p, g(x,t) = p(x,t) / Р- Кроме того, функция ιz(x,t)
удовлетворяет начальным условиям n|t=o = φ(x), ^∣t=o — Ψ(x∖
где φ(x∖ ≠(rr) — заданные функции.
Вывод краевых условий
а)	Если концы струны жестко закреплены, то zu∣rr=o = u∖x=ι = 0.
б)	В случае свободных концов для получения условия при х = 0
спроектируем на ось и силы, действующие на участок КМ
(см. рис. 2). Так как натяжение в точке х = 0 действует
лишь параллельно оси ж, то проекция сил натяжения на
участок КМ равна 7o‰(∆x,t). Проекция внешней силы рав¬
на p(0,t)Δx, а проекция силы инерции равна — putt(0,i)Δx.
Приравнивая нулю их сумму, получаем
7o‰(∆x, t) + p(0, t)∆^ — риц(0, t)Ax = 0-	(2)
Устремим Ах к нулю. Тогда вследствие непрерывности и огра¬
ниченности входящих функций получим условие ‰∣x=o = 0.
Аналогично получается условие на правом конце ux∖x=ι = 0.

12
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
в)	Действие упругих сил заделки на левом конце дается вы¬
ражением —ku(O,t). Приравниваем в этом случае проекции
на ось и всех сил, действующих на участок КМ, к нулю.
К левой части уравнения (2) добавится член — ku(fi, t). Тогда
имеем
To‰(∆x, t) — ku(0, £) + p(0, t)∆x — putt(O, t)∆x = О,
а при ∆x → 0 получаем
hu) |ж—о — θ, h — k∕‰
На правом конце (см. рис. 3) проекция всех сил имеет вид
-Tqux(1 — ∆x, i) — ku(l, i) + p(l, t)∆x — ρutt(l, t}∆x = О,
поскольку
sinα(Z - ∆rr) ~ ux∖u=ι~∆x.
При Кх → 0 получим (‰ + hu)∖x=ι = 0.
г)	Если функции μι(t), μz(t) определяют закон движения кон¬
цов (μι(0) = φ(0), μ2(0) = φ(ty> то п|ж=0 = μι(t), u∖x=ι =
= M2(i)∙
Пример 2. Задачи о колебании стержня. Упругий прямо¬
линейный стержень длиной I выведен из состояния покоя тем,
что его поперечным сечениям в момент t = 0 сообщены малые
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
13
продольные смещения и скорости. Предполагая, что во время
движения поперечные сечения остаются параллельными плос¬
кости, перпендикулярной к оси стержня, поставить задачу для
определения малых продольных колебаний стержня при t > 0.
Рассмотреть случаи, когда концы стержня:
а)	закреплены жестко;
б)	двигаются в произвольном направлении по заданным за¬
конам;
в)	свободны;
г)	закреплены упруго, т. е. каждый из концов испытывает
со стороны заделки продольную силу, пропорциональную
смещению и направленную противоположно смещению.
Решение. Пусть ось х совпадает с направлением оси
стержня (см. рис. 4) и пусть х — координата сечения pq, когда
оно находится в покое. Мы изучаем малые продольные колеба¬
ния стержня. Это значит, что внешние силы и силы инерции
\х
ж + Дж
q
Рис. 4
можно считать направленными вдоль оси стержня. Обозначим
через u(x, £) смещение этого сечения в момент t; тогда в рамках
нашего предложения смещение сечения в точке х + Аж будет
и(х + Аж, i) с± ц(ж, i) + ux(x, f)∆x.
Поэтому относительное удлинение стержня в сечении ж будет
равно ux(x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно
Т — ESux(x,t), где S — площадь поперечного сечения, Е — мо¬
дуль упругости материала стержня. Уравнение колебаний стерж¬
ня получим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая
силы инерции, действующие на участок pq-pιq∖. Равнодейст¬
вующая сил натяжения равна
Т(х + Аж) — Т(ж) = ES[ux(x + Аж, t) — ux(x, t)] ~ ESuxx(x, t)∆x.
Пусть p(x,t) — объемная плотность внешних сил. Тогда на
участок pq-p∖q∖ действует внешняя сила 5р(жД)Аж и сила инер¬
ции —ρ(x)Sutt(x, t)∆x. Сумма всех сил по принципу Даламбера
равна нулю, т. е.
∖ESuxx(x, i) + р(ж, f)S — p(x)SUtt(x, t)] Ах = 0,	(1)
14
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
откуда
ρ(x)utt(x,t) = Euxx(x,t) + p(x,t)∙	(2)
Кроме того, u(x,t) удовлетворяет начальным условиям n∣t=o =
= φ(x),	где φ(x∖ ≠(x) — заданные функции. Если
p(x) = р = const (однородный стержень), то уравнение примет
вид
utt = a2uxx + g(x,t),
ГДе	2 Е ( х р(М)	, .
а = -, g(x,t) =	(3)
Вывод краевых условий
а)	В случае жесткого закрепления отклонения стержня не про¬
исходит и, соответственно, t4∣ic=o = u∖χ=ι = θ∙
б)	п|ж=0 = Ml(0> ^∖χ=l = ∏2^Y где μι(i), μ2(t) - функции,
определяющие закон движения концов (μι(0) = φ(0), μ2(V) —
= ψW-
в)	В случае свободных концов составляем баланс действующих
сил для обоих концов. На левом конце равнодействующая
упругих сил натяжения равна T(∆x) = ESux(Δx,i), внешняя
сила равна ⅛(0, t)∆x и сила инерции есть — pSutt(O, t)∆x.
Сумма всех сил, действующих на выделенный элемент, равна
нулю. Отсюда
ESux(Δx, i) + p(0, t)SΔx — ρSutt(0, t)∆x = 0,	(4)
и при ∆x → 0 получаем ‰∣ζc=o = 0. Аналогично рассуждая,
на правом конце получим условие ux∖x=ι = 0.
г)	В левой части уравнения (4) добавится сила — ku(o, t). И по¬
сле перехода к пределу при ∆x → 0 получим ESux(0, t) —
— fcτz(O,i) = 0 или (‰ — hu)|ж=о = 0, где h = —. На правом
конце
-T(l — ∆x) = -ESux(l — ∆x, £),
S⅛(Z,t)Δx — внешняя сила, —p(x)S¼⅛(Z, t)∆x — сила инер¬
ции. Тогда имеем
—ESux(l — Ах, t) — ku(l, t) + Sp(l, t)Ax — utt(l, i)Sp(x)Ax = 0
и при ∆x → 0 получаем второе граничное условие (их +
+ Z≡)∣,τ=o = 0-
Пример 3. Задача о колебаниях мембраны. Мембраной на¬
зывается натянутая пленка, которая сопротивляется растяжению
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
15
и не сопротивляется изгибу. Работа внешней силы, вызываю¬
щей изменение площади некоторого участка, пропорциональна
этому изменению. Положительный коэффициент пропорциональ¬
ности Т не зависит ни от формы этого участка, ни от его
положения. Он называется натяжением мембраны.
Выведем уравнение равновесия мембраны, предполагая, что
в начальный момент времени в положении равновесия мембрана
совпадала с областью G плоскости (^ι,¾), ограниченной некото¬
рой, достаточно гладкой кривой L. Работа внутренних сил упру¬
гости равна по абсолютной величине работе внешних сил и проти¬
воположна ей по знаку. Пусть /(ж) — плотность силы в точке х,
действующей перпендикулярно к плоскости (x∖,x%). Под действи¬
ем внешней силы мембрана перейдет в новое положение, которое
описывается уравнением и = и(х). Будем считать, что мембрана
не сильно изогнута, так что в рассуждениях будем пренебрегать
членами u2xχ, иХ2. Кроме того, будем считать, что точки мембраны
под действием внешней силы перемещаются только по перпен¬
дикулярам к плоскости (aη,a⅛), a следовательно, координаты
произвольной точки х мембраны при этом не меняются.
Работа внешней силы, вызывающей перемещение мембраны
из первоначального положения (и ≡ 0, х ∈ G) в положение,
задаваемое уравнением и = u(x), х ∈ G, равна
Изменение площади мембраны при этом перемещении равно
1 + u⅛χ + r⅛2 — 1) dx,
-Т
'X↑ 1 ujX2
+ u2r} dx.
Ху |	«Л/у /
а работа внутренних сил упругости равна
Т '
2
G
Следовательно, сумма всех работ равна
A(u) = [-y(⅛+⅛) + ∕^
dx.
(1)
Вариация функционала (1) выражается формулой
δA(u) = [-T(uxιδuxι + ux2δux2) + fδu] dx.

ди Г
—δu dl — ∆uδu dx,
дп
δA(u) =—Т ^δudl +
дп
16 Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
Согласно принципу возможных перемещений в положении рав¬
новесия δA{u) = 0 при всех допустимых δu(z). Так как
(AjX]^^jX∖ Т ^Xz^^Xz) djX =
G	L	G
где п — вектор внешней нормали к контуру L, то
(TΔn + f)δudx = 0.	(2)
L	G
Так как любая непрерывно дифференцируемая в G функ¬
ция, равная нулю на границе, является допустимой функцией,
то, предполагая функции и(х) и /(ж) достаточно гладкими, из
(2) имеем
TΔn = -∕(^), xeG.	(3)
Краевые условия
а)	Закрепленная мембрана. Если край мембраны жестко за¬
креплен, то отклонения точек мембраны на границе L не
происходит и, следовательно, u∖l — 0.
б)	Края мембраны свободны, т. е. они могут свободно переме¬
щаться по вертикальной боковой поверхности цилиндра с ос¬
нованием L. В этом случае δu будет произвольной как в G,
так ина!, и из условия (2) получаем ^-∣ — θ∙
в)	Если к краю мембраны приложена сила с линейной плотно¬
стью /1, то криволинейный интеграл в формуле (2) в этом
случае заменится на
(-T^+Gδudl
\ дп J
и вследствие произвольности δu на L получим
ди
дп
г)	В случае упругого закрепления края мембраны сила, дей¬
ствующая на краю, имеет плотность —ки, где к характеризует
жесткость закрепления мембраны. Для получения гранично¬
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
го условия нужно в граничном условии
заменить ∕ι на —ки. Тогда получим
= 0
= 0, где h =
L	J-
Выведем уравнение движения мембраны. Пусть и = u(x,t) —
уравнение, описывающее положение мембраны в момент вре¬
мени t, Согласно принципу Даламбера функция u(x, t) удо¬
влетворяет дифференциальному уравнению ТАи = — (/ — putt)
(f — /(ЖД) — плотность внешней среды, — p(x)utt — плотность
силы инерции). Таким образом, уравнение колебаний прини¬
мает вид
a2∆u — utt = F(x,t), где a2 = F =	.	(4)
Из физических соображений ясно, что для однозначного опи¬
сания процесса колебаний кроме уравнения (4) и условия на
границе L (одного из условий а-г) нужно задать начальное
положение (форму мембраны при t = 0) и начальные скорости
точек мембраны.
Таким образом, имеем для уравнения (4) задачу:
найти дважды непрерывно дифференцируемое решение u(x,t),
х ∈ G, t 0, такое что
α2∆-u - ua = F(x,t), u∖t=o = φ(χy), ut∖t=o = ≠(rr),
где φ(x), ψ(x) — заданные функции. Кроме того, в зависимости
от условий на краю мембраны функция u(x,t) должна удовле¬
творять одному из условий в-г.
Пример 4. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.
Уравнение акустики. Рассмотрим движение идеальной жидко¬
сти (газа), т. е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязко¬
сти 1). Пусть v = (vι,v2,v3) — вектор скорости движения жидко¬
сти, p(x,t) — ее плотность, f(x,t) — интенсивность источников.
Выделим в жидкости некоторый объем Ω, ограниченный поверх¬
ностью S. Тогда изменение массы жидкости внутри Ω в единицу
времени равно
др
pdx = √- dx.
Ω	Ω
1) Движение жидкости рассматривается в эйлеровых координатах.

18 Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
С другой стороны, это изменение должно равняться прираще¬
нию количества Q∖ жидкости, выделенной источниками, ми¬
нус количество Q2 жидкости, вытекающее через поверхность S.
Очевидно,
Qi = /(ж, t) dt, Q2 = p(y ∙ n) ds = div(pv) dx,
Ω	S
Ω
где п — внешняя нормаль. Таким образом, имеем
[pt + div(pv) — f]dx — 0.
Ω
Вследствие произвольности Ω и непрерывности подынтеграль¬
ного выражения необходимо
Pt + div(pv) = f(x,t).	(1)
Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жид¬
кости.
Рассмотрим задачу об обтекании твердого тела Ω с грани¬
цей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жид¬
кости, имеющей заданную скорость vq на бесконечности при
отсутствии источников. Так как р ≡ const и f ≡ 0, эта задача
приводится к решению уравнения
divv = 0	(2)
при условии
‰∣s = θ,	(3)
где vn = (v, п), п — внешняя нормаль. Пусть и — потенциал
скоростей, т. е. v = gradn. Тогда уравнение (2) принимает вид
div grad и = ∆zα = 0,
ди I п
а граничным условием становится —	= 0, так как
vn = (v, n) = (grad u, n) =
on
Из физических соображений ясно, что v(x) должна стремиться
к vq при ∣x∣ → 00, где vq — скорость потока на бесконечности.
Таким образом, указанная задача свелась к решению задачи
∆ι∕ = 0, х Ω,
I =0, lim grad и = v∏.
dnls H→∞

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
19
Уравнения акустики. Предположим, что находящийся в неко¬
тором объеме идеальный газ под действием внешних сил с плот¬
ностью F(x,t) совершает малые колебания около положения
равновесия и что движение газа адиабатическое, т. е. давле¬
ние p(x,t) и плотность p(x,i) связаны соотношением (уравнени¬
ем состояния)
(4)
Ро \ро/
где ро, Ро — начальные давления и плотность, а постоянная у > 0.
Обозначим через u(x,t) = (tq(x,£),U2(x,t),u3(x,ty) вектор
смещения газа относительно положения равновесия, а
v(x,t) = (щ(х, t), ^2(^, t), г>з(х, t)) — вектор скорости:
через
(5)
малы)
(6)
(7)
находим
В наших предположениях (р — ро, u, v и их производные
уравнение (4) можно переписать в виде
P = Pθ fl +7-—
а уравнение неразрывности (1) — в виде
pt + pQ div v = 0
(считаем, что интенсивность источников равна нулю).
В соответствии с законом Ньютона полный баланс сил, дей¬
ствующих на малый объем газа ΔV, равен нулю, т. е.
∂v
+ gradpΔV = FΔV,
откуда после замены р на ро (в рамках нашего приближения)
получаем
p0li = j1-grad2λ	(8)
Дифференцируя (8) по t и пользуясь соотношениями (6) и (7),
уравнение для вектора скорости v
52v	2 j j∙ . 1 ∂F	zm
_=« g1add1vv+-^-,	(9)
Ро7
Ро
предположить, что в начальный момент времени имеет
место равенство div u = —1, то из (7) и (5) получим, что для
всех последующих моментов времени имеет место равенство р +
2
где αz =
Если

20
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
+ ∕>odivu = 0. Отсюда и из (5), (6) и (8) вытекает уравнение для
вектора смещения
= α2 grad div u + — F.	(10)
∂t	Ро
Наконец, дифференцируя уравнение (7) по t и используя (6)
и (8), получим уравнения для плотности р и давления р
Ptt = a2 Ар — div F, ptt = а2 Ар — a2 div F. (11)
Уравнения (9)-(11) называются уравнениями акустики.
Пример 5. Задача о распространении тепла. Вывод урав¬
нения теплопроводности базируется на законе Фурье, соглас¬
но которому количество тепла, проходящее за время At через
малую площадку AS, лежащую внутри рассматриваемого тела,
определяется формулой
ΔQ = -k(x, u')^^-ASAt,	(1)
где п — нормаль к площадке, направленная в сторону переда¬
чи тепла, k(x,u) — коэффициент внутренней теплопроводности,
u(x,t) — температура тела в точке х — (xi,x2,x3} в момент
времени t. Предположим, что тело изотропно в отношении теп¬
лопроводности. Тогда k(x,u) не зависит от направления площад¬
ки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температу¬
ра u(x,t), выделим внутри тела объем Ω, ограниченный поверх¬
ностью S. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающее
в Ω через поверхность S за промежуток времени [tι,⅛], равно
7,	7 ∂U 7	7,
at k— as = at
(7∏
div(fcgradn) dx.
ti s	ti Ω
Если F(x,t) — плотность тепловых источников, то количе¬
ство тепла, образованное за их счет в Ω за указанный промежу¬
ток времени, равно
⅛
dt F(x,t)dx.
t∖ Ω
Общее количество притекшего в Ω за время от t∖ до ⅛ тепла
можно подсчитать также и через приращение температуры:
ди
J J ' dt
t∖ Ω
cp[u{x, ⅛) — ιz(^,∏)] dx = dt cp—dx,
Cl

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
21
где с(ж) и р(х) — теплоемкость и плотность вещества. Следова¬
тельно,
t↑ Ω
cP^ ~ div(fc grad и) — F(x,1
(2)
= 0
(при этом предполагаем, что подынтегральная функция непре¬
рывна). В силу произвольности Ω и промежутка времени [∕∏,⅛]
из (2) вытекает равенство
срщ — div(fcgradιz) = F(x,t),
(3)
называемое уравнением теплопроводности.
Если коэффициент теплопроводности к не зависит от темпе¬
ратуры и, т. е. k(x,u) = fc(rr), то уравнение (3) становится линей¬
ным. Если тело однородно, то с(ж) = const, р = const, к = const
и уравнение принимает вид
ut = a2∆u + /(ж, t),	(4)
где a2 = —, f(x,t) =	.
ср	ср
Из физических соображений следует, что для однозначно¬
го описания процесса распространения тепла необходимо (кро¬
ме уравнения (3) или (4)) задать начальную температуру,
т. е. u\t=Q — φ(x), и температурный режим на границе. Для
случая когда на границе Г тела D поддерживается заданная
температура, граничное условие выглядит так:
u∣r = ≠∙
Для случая, когда на границе задан тепловой поток q, граничное
условие выглядит так:
?l =h-
on 1г
и Q
где п = -, п — внешняя нормаль.
В частности, если тело G теплоизолировано на границе, то
л =0∙
<Эп 1г
В случае когда окружающее тело G пространство имеет за¬
данную температуру, считаем, что на границе происходит теп¬
лообмен по закону Ньютона, т. е. д|г = а(щ — и)|г, где q —
22
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
тепловой поток, а — коэффициент внешней теплопроводности
(теплообмена), щ — температура окружающего G пространства.
С другой стороны, в единицу времени с единицы площади гра¬
ницы Г внутрь тела G по закону Фурье идет тепловой поток
¢/2 = к—. Эти потоки должны быть равны, т. е.
М = а(щ — ,u)∣r или
on I г
(∣^ + ∕w)l = φl.
\дп /1г
Пример 6. Задачи о диффузии. Требуется вывести урав¬
нение диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей
ограниченную область Ω с границей Г, если задана плот¬
ность источников F(rr,t) и диффузия происходит с поглощени¬
ем (например, частицы диффундирующего вещества вступают
в химическую реакцию с веществом среды), причем скорость по¬
глощения в каждой точке пространства х ∈ Ω пропорциональна
плотности u(x, t) диффундирующего вещества.
Требуется получить краевые условия для следующих случаев:
а) на границе области поддерживается заданная плотность;
б) граница непроницаема;
в) граница полупроницаема, причем диффузия через границу
происходит по закону, подобному закону Ньютона для
конвективного теплообмена.
Вывод уравнения основывается на законе Нернста, согласно
которому количество вещества, проходящее за малый промежу¬
ток времени ∆t через малую площадку Δ5, равно
ΔQ = -D(x)^Δ5Δt,
дп
где D(x) — коэффициент диффузии, п — нормаль к элемен¬
ту ΔSr, направленная в сторону перемещения вещества. Пусть
р(ж) — коэффициент плотности среды. Как и при выводе урав¬
нения теплопроводности, выделим некоторый объем Ω с грани¬
цей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в Ω
за промежуток времени [^ι,⅛]∙
Количество вещества, пришедшего в Ω через границу S,
согласно закону Нэрнста равно
P)∣∣
dt D(x)-ds
J J dn
t↑ S
dt div(D grad и) dx.
t[ Ω

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
23
Количество вещества, образовавшегося в Ω за счет источников,
равно
•* г
dt F(x,t)dx.
tι Ω
Количество вещества в Ω уменьшилось на величину
dt q(x)u(x,t) dx
t[ Ω
за счет поглощения среды (q(x) — коэффициент поглощения).
Поскольку приращение количества вещества в Ω за промежуток
[t[ .⅛] равно также
dt (put — div(D grad n) — F + qu) dx = 0	(5)
t↑ Ω
(подынтегральная функция считается непрерывной).
В силу произвольности Ω и промежутка времени [tι,⅛] из (5)
вытекает равенство
put + qu = div(D grad и) + F.	(6)
Это и есть искомое уравнение диффузии. Из физических со¬
ображений ясно, что для однозначного описания процесса диф¬
фузии необходимо знать начальное распределение плотности
tx∣t=o = φ(%∖ х ∈ Ω, и режим диффузии на границе области.
Как и в случае примера 5, краевые условия имеют вид:
а) «|г = и0;
в) D^-
дп
коэфс
г = α(ttι — u)∣r, где uq, щ — заданные функции, а —
эициент проницаемости границы Г.

24
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
1.1.	Найти статический прогиб струны, закрепленной на кон¬
цах, под действием непрерывно распределенной нагрузки (на еди¬
ницу длины).
1.2.	Вывести уравнение малых поперечных колебаний стру¬
ны с насаженной на нее в некоторой внутренней точке xq бусин¬
кой массы т.
1.3.	Вывести уравнение колебания струны, колеблющейся
в упругой среде.
1.4.	Крутильными колебаниями стержня называют такие ко¬
лебания, при которых его поперечные сечения поворачиваются
одно относительно другого, вращаясь при этом около оси стерж¬
ня. Вывести уравнение малых крутильных колебаний однородно¬
го цилиндрического стержня. Рассмотреть случаи:
а)	концы стержня свободны;
б)	концы стержня жестко закреплены;
в)	концы стержня упруго закреплены.
1.5.	Точкам упругого однородного прямоугольного стержня,
жестко закрепленного на левом конце и свободного на правом,
в начальный момент времени t = 0 сообщены малые поперечные
отклонения и скорости, параллельные продольной вертикальной
плоскости симметрии стержня.
Поставить краевую задачу для определения поперечных от¬
клонений точек стержня при t > 0, предполагая, что стержень
совершает малые поперечные колебания.
1.6.	Труба, заполненная идеальным газом и открытая с одного
конца, движется поступательно в направлении своей оси с посто¬
янной скоростью v. В момент времени t = 0 труба мгновенно оста¬
навливается. Поставить краевую задачу об определении смещения
газа внутри трубы на расстоянии х от закрытого конца.
1.7.	Заключенный в цилиндрической трубе идеальный газ
совершает малые продольные колебания; плоские поперечные
сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются, и все
частицы газа движутся параллельно оси цилиндра. Поставить
краевую задачу для определения смещения u(x,t) частиц газа
в случаях, когда концы трубки:
а)	закрыты жесткими непроницаемыми перегородками;
б)	открыты;
в)	закрыты поршеньками пренебрежимо малой массы, наса¬
женными на пружинки с коэффициентами жесткости у
и скользящими без трения внутри трубки.

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
c2b
1.8.	Начиная с момента времени t = 0 один конец прямоли¬
нейного упругого однородного стержня совершает продольные ко¬
лебания по заданному закону, а к другому приложена сила Φ(i),
направленная по оси стержня. В момент времени t = 0 поперечные
сечения стержня были неподвижны и находились в неотклонен-
ном положении. Поставить краевую задачу для определения ма¬
лых продольных отклонений точек стержня при t > 0.
1.9.	Поставить краевую задачу о малых поперечных колеба¬
ниях струны, закрепленной на обоих концах, в среде с сопротив¬
лением, пропорциональным первой степени скорости.
1.10.	Составить уравнение продольных колебаний стержня,
у которого площадь поперечного сечения есть заданная функция
от х, считая материал стержня однородным.
1.11.	Поставить краевую задачу о продольных колебаниях
упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если
концы стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из
состояния покоя тем, что его точкам в момент времени t = О
сообщены начальные скорости и продольные отклонения. Длина
стержня равна Z, радиусы оснований R, г (R > г), материал
стержня однороден. Деформацией поперечных сечений прене¬
бречь.
1.12.	Находящаяся в горизонтальной плоскости невесомая
струна с постоянной угловой скоростью ω вращается вокруг
вертикальной оси, причем один конец струны прикреплен к неко¬
торой точке оси, а другой свободен. В начальный момент вре¬
мени t = 0 точкам этой струны сообщаются малые отклонения
и скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую
задачу для определения отклонений точек струны от плоскости
равновесного движения.
1.13.	Пусть в точке х = 0 бесконечной однородной струны
находится шарик массы t∏q. Начальные скорости и начальные
отклонения точек струны равны нулю. Поставить краевую задачу
для определения отклонений точек струны от их положения
равновесия в следующих случаях:
а)	начиная с момента t = 0 на шарик действует сила F =
= Fq sin Qi;
б)	в начальный момент времени t = 0 шарик получает им¬
пульс ро в поперечном направлении;
в)	шарик в случае б) закреплен упруго с эффективной жест¬
костью к2.

26 Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
1.14.	Поставить краевую задачу о малых продольных ко¬
лебаниях однородного упругого стержня, один конец которого
жестко закреплен, а другой испытывает сопротивление, пропор¬
циональное скорости. Сопротивлением среды пренебречь.
1.15.	Во внутренних точках х — Xi, i — 1, ..., и, на струне
сосредоточены массы r∏i, i = 1, ..., п. Поставить краевую задачу
для определения малых поперечных колебаний струны при про¬
извольных начальных данных. Концы струны закреплены.
1.16.	Два полуограниченных однородных упругих стержня
с одинаковыми поперечными сечениями соединены жестко тор¬
цами и составляют один неограниченный стержень. Пусть p↑i
Е\ — ПЛОТНОСТЬ И модуль упругости ОДНОГО ИЗ НИХ, а р2, Е% —
другого. Поставить краевую задачу для определения отклонений
поперечных сечений неограниченного стержня от их положе¬
ния равновесия, если в начальный момент времени попереч¬
ным сечениям сообщены некоторые продольные смещения и ско¬
рости.
1.17.	Тяжелая однородная нить длиной Z, закрепленная верх¬
ним концом (ж = Z) на вертикальной оси, вращается вокруг этой
оси с постоянной угловой скоростью ω. Доказать, что уравнение
малых колебаний нити около своего вертикального положения
равновесия имеет вид
∂2u _ д
∂t2	9 дх
ди\ .	2
х— + ω и.
. ох)
1.18.	Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях
тяжелой однородной струны относительно вертикального поло¬
жения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен,
а нижний свободен.
1.19.	Поставить задачу об определении магнитного поля
внутри и вне цилиндрического проводника, по поверхности ко¬
торого течет ток силой I.
1.20.	Кабель, имеющий потенциал г?о, при t = 0 заземляется
на одном конце через сосредоточенную емкость (или индуктив¬
ность); другой конец изолирован. Поставить задачу об определе¬
нии электрического тока в кабеле.
1.21.	Конец х = 0 круглого однородного вала закреплен,
а к концу х = Z жестко прикреплен диск с моментом инер¬
ции Jo. В начальный момент времени диск закручивается на
угол а и отпускается без начальной скорости. Поставить краевую
§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
27
задачу для определения углов поворота поперечных сечений вала
при t > 0.
1.22.	Тяжелый стержень подвешен вертикально и защем¬
лен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент
времени t = 0 стержень освобождается. Поставить краевую за¬
дачу о вынужденных колебаниях стержня.
1.23.	Пусть все условия предыдущей задачи остаются без
изменения, за исключением условия на нижнем конце: к нему
прикреплен груз Q, причем за положение равновесия принима¬
ется ненапряженное состояние стержня (например, в начальный
момент времени из-под груза убирается подставка и груз начи¬
нает растягивать стержень).
1.24.	Поставить задачу о движении полуограниченной стру¬
ны (0 ≤ х < ∞) при t > 0, если при t < 0 по ней бежит волна
u(x,t) = f(x + at), а конец струны х = 0 закреплен жестко.
1.25.	Поставить краевую задачу о малых радиальных колеба¬
ниях идеального однородного газа, заключенного в цилиндриче¬
ской трубке радиуса R, настолько длинной, что ее можно считать
простирающейся в обе стороны до бесконечности. Начальные от¬
клонения и начальные скорости есть заданные функции от г.
1.26.	Поставить задачу об обтекании шара стационарным
потоком идеальной жидкости (потенциальное течение). Привести
электростатическую аналогию.
1.27.	Поставить краевую задачу о малых радиальных коле¬
баниях идеального однородного газа, заключенного в сфериче¬
ском сосуде радиуса R, если начальные скорости и начальные
отклонения заданы как функции от г.
1.28.	Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях
мембраны, к которой приложено нормальное давление Р на еди¬
ницу площади, если в невозмущенном состоянии мембрана явля¬
ется плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления
колебаниям мембраны. Рассмотреть случаи:
а)	мембрана жестко закреплена на границе L;
б)	мембрана свободна на L;
в)	на части Li границы L мембрана закреплена жестко, а на
остальной части L% границы L она свободна.
1.29.	Поставить краевую задачу о колебании круглой одно¬
родной мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление
которой пропорционально первой степени скорости. В момент
28 Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
времени t = 0 к поверхности мембраны приложена внешняя сила
плотности f(r,φ,t), действующая перпендикулярно плоскости
невозмущенной мембраны. Начальные скорости и отклонения
точек мембраны отсутствуют.
1.30.	Закрепленная по краям однородная прямоугольная мем¬
брана в начальный момент времени t = 0 получает удар в окрест¬
ности центральной точки, так что
lim υo(χ}dx = A, x = (xι,x2Y
t→o J
uε
где А — некоторая постоянная, vq(x) — начальная скорость.
Поставить краевую задачу о свободных колебаниях.
1.31.	Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R,
самоиндукции L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь
включается э.д.с. Eq. Показать, что сила тока i(t) в цепи удо¬
влетворяет уравнению
Li,(t) + Ri(t) + г(т) dτ = E⅛,
О
t >0.
1.32.	Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде.
Исходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым
удовлетворяют компоненты векторов напряженности электриче¬
ского и магнитного полей для случаев:
а)	плотность зарядов р = 0, ε = const, λ = const, μ = const,
I = ЛЕ (закон Ома);
б)	среда — вакуум, и токи отсутствуют.
1.33.	Поставить задачу о проникновении магнитного поля
в правое полупространство, заполненное средой с проводимо¬
стью σ, если начиная с момента времени t = 0 на поверх¬
ности х — 0 поддерживается напряженность магнитного поля
Я —HosinΩt, направленная параллельно поверхности.
1.34.	Поставить краевую задачу об определении температу¬
ры стержня 0 ≤ х ≤ I с теплоизолированной боковой поверхно¬
стью. Рассмотреть случаи:
а)	концы стержня поддерживаются при заданной температуре;
б)	на концах стержня поддерживается заданный тепловой
поток;
в)	на концах стержня происходит конвективный теплообмен
по закону Ньютона со средой, температура которой задана.

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
29
1.35.	Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде,
предполагая, что поверхностями равной плотности в каждый мо¬
мент времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси х.
Написать граничные условия, предполагая, что диффузия проис¬
ходит в плоском слое 0 ≤ х ≤ I. Рассмотреть случаи:
а)	на граничных плоскостях концентрация диффундирующе¬
го вещества поддерживается равной нулю;
б)	граничные плоскости непроницаемы;
в)	граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия
через эти плоскости происходит по закону, подобному
закону Ньютона для конвективного теплообмена.
1.36.	Вывести уравнение диффузии распадающегося газа
(количество распавшихся молекул в единицу времени в данной
точке пропорционально плотности с коэффициентом пропорцио¬
нальности а > 0).
1.37.	Дан тонкий однородный стержень длиной Z, началь¬
ная температура которого f(x). Поставить краевую задачу об
определении температуры стержня, если на конце х = 0 поддер¬
живается постоянная температура uq, а на боковой поверхности
и на конце х — I происходит конвективный теплообмен по закону
Ньютона с окружающей средой нулевой температуры.
1.38.	Поставить задачу об определении температуры в беско¬
нечном тонком теплоизолированном стержне, по которому с мо¬
мента t = 0 в положительном направлении со скоростью vq начи¬
нает двигаться точечный тепловой источник, дающий q единиц
тепла в единицу времени.
1.39.	Поставить краевую задачу об остывании тонкого одно¬
родного кольца радиуса R, на поверхности которого происходит
конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей за¬
данную температуру. Неравномерностью распределения темпера¬
туры по толщине кольца пренебречь.
1.40.	Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц
с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызы¬
ваемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит
только от высоты г и от времени t. Написать граничное условие,
соответствующее непроницаемой перегородке.
1.41.	Поставить краевую задачу об остывании равномерно
нагретого стержня формы усеченного конуса (искривлением изо¬
термических поверхностей пренебрегаем), если концы стержня
30
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит тепло¬
обмен со средой нулевой температуры.
1.42.	Растворенное вещество с начальной плотностью со =
= const диффундирует из раствора, заключенного между плос¬
костями ,г = 0 и .г = Л, в растворитель, ограниченный плос¬
костями х = h, х = I. Поставить краевую задачу для процесса
выравнивания плотности, предполагая, что границы х = 0, х = I
непроницаемы для вещества.
1.43.	Внутри однородного шара начиная с момента време¬
ни t = 0 действуют источники тепла с равномерно распределен¬
ной постоянной плотностью Q. Поставить краевую задачу о рас¬
пределении температуры при t > 0 внутри шара, если начальная
температура любой точки шара зависит только от расстояния
этой точки до центра шара. Рассмотреть случаи:
а)	на поверхности шара поддерживается нулевая температура;
б)	на поверхности шара происходит теплообмен (по закону
Ньютона) с окружающей средой нулевой температуры.
1.44.	Дан однородный шар радиуса R с начальной темпера¬
турой, равной нулю. Поставить краевую задачу о распределении
температуры при t > 0 внутри шара, если:
а)	шар нагревается равномерно по всей поверхности посто¬
янным тепловым потоком q;
б)	на поверхности шара происходит конвективный теплооб¬
мен с окружающей средой, температура которой зависит
только от времени.
1.45.	Начальная температура неограниченной пластины тол¬
щины 2h равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении
температуры при t > 0 по толщине пластины, если:
а)	пластина нагревается с обеих сторон равными постоянны¬
ми тепловыми потоками q;
б)	в пластине начиная с момента времени t = 0 действует ис¬
точник тепла с постоянной плотностью Q, а ее основания
поддерживаются при температуре, равной нулю.
1.46.	Неограниченный цилиндр радиуса R имеет начальную
температуру f [r). Поставить краевую задачу о радиальном рас¬
пространении тепла, если:
а)	боковая поверхность поддерживается при постоянной тем¬
пературе;
б)	с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окру¬
жающую среду нулевой температуры.

§ 1. Вывод уравнений и постановка краевых задач
31
1.47.	Дана тонкая прямоугольная пластина со сторонами I, т,
для которой известно начальное распределение температуры.
Поставить краевую задачу о распространении тепла в пластине,
если боковые стороны поддерживаются при температуре
n∣y=o = φι(x∖ u∖y=m = φ2(z),
tt∣≈=θ = ≠ι(y), u∖χ=ι = Ψz(y)-
1.48.	Начальное распределение температуры в однородном
шаре задано функцией f(riθ,φ). Поставить краевую задачу
о распространении тепла в шаре, если поверхность шара поддер¬
живается при постоянной температуре uq.
1.49.	Два полуограниченных стержня, сделанных из разных
материалов, в начальный момент времени приведены в соприкос¬
новение своими концами. Поставить краевую задачу о распро¬
странении тепла в бесконечном стержне, если известны началь¬
ные температуры каждого из двух полуограниченных стержней.
1.50.	Поставить краевую задачу о стационарном распреде¬
лении температуры в тонкой прямоугольной пластине ОАСВ
со сторонами О А = α, ОВ = Ь, если:
а)	на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные
температуры;
б)	на сторонах О А и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны
ВС и АС теплоизолированы.
1.51.	На плоскую мембрану, ограниченную кривой L, дей¬
ствует стационарная поперечная нагрузка с плотностью f(x,y).
Поставить краевую задачу об отклонении точек мембраны от
плоскости, если:
а)	мембрана закреплена на краю;
б)	край мембраны свободен;
в)	край мембраны закреплен упруго.
1.52.	Дан цилиндр с радиусом основания R и высотой h.
Поставить краевую задачу о стационарном распределении темпе¬
ратуры внутри цилиндра, если температура верхнего и нижнего
оснований есть заданная функция от г, а боковая поверхность:
а)	теплоизолирована;
б)	имеет температуру, зависящую только от х;
в)	свободно охлаждается в среде нужной температуры.
1.53.	Поставить краевую задачу о стационарном распреде¬
лении температуры внутренних точек полусферы, если сфери¬
ческая поверхность поддерживается при заданной температу¬
ре ∕(φ, 0), a основание полусферы — при нулевой температуре.

32
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
1.54.	Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным пото¬
ком тепла плотности q, падающим на его поверхность, и отдает
тепло в окружающую среду в соответствии с законом Ньютона.
Поставить краевую задачу о распределении температуры внут¬
ренних точек шара.
1.55.	Пусть u(x, s,t) — плотность частиц в точке х, летящих
с постоянной скоростью v в направлении s = (31,32,33) в мо-
мент времени t; обозначим через а(х) коэффициент поглощения
и Д(ж) — коэффициент умножения в точке х. Предполагая рас¬
сеяние в каждой точке х изотропным, показать, что u(x,s,t)
удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению переноса
-	+ (з, grad и) + a(x)u =
vσt
4л
И=1
u(x, s', i) ds' + F,
где F(x,s,t) — плотность источников, β(x) = a(x)h(x).
1.56.	Поставить краевую задачу для уравнения задачи 1.55,
считая, что задано начальное распределение плотности и задан
падающий поток частиц на границу S области G.
1.57.	Показать, что для решения u(x,s) стационарной крае¬
вой задачи
∣3( χ}
(s, grad?/) + a(x)u =	u(x, s') ds' + F(x),
4π
M=1
u∖s = 0, если (з, п) = О,
где п — внешняя нормаль к S, средняя плотность
г
u(x, s) ds
∣s∣=1
u0(®) = 2-
удовлетворяет интегральному уравнению Пайерлса
g ', -c I
7	7\2
1
4π J (χ-√)
Uq(x) =
1
a[tx + (1 — t)x'] dt^ [∕3(x')uq(x') + F(τ∕)] dx'.
о
1.58.	Разлагая решение u(x,s) стационарной краевой зада¬
чи 1.57 в ряд по сферическим функциям от з, удерживая только
члены с нулевой и первыми гармониками, показать, что функция
¾(rr) = J- и(х, з) ds
4л
∣s∣=ι

Ответы к § 1
33
есть решение краевой задачи (диффузное приближение):
1 j. /1	,	∖ l ∕1 ,λ /	/ l 2 ∂uq∖ I
--dιv -gradu0 +(l-∕ι)u0 = -,	«0 + 3--5-) = θ∙
3 ∖q /	а \ За on ∕∖s
Ответы к § 1
1.1.	Tuxx + /(ж) = 0, 0 < X < I, u∖x=Q = u∖x=ι = 0, где /(ж) —
плотность нагрузки.
1.2.	putt = Tquxx, О <Z х <C I, х t∕ςl xq, t ≥ 0, u∣x=о = u∖x=ι = О,
и(хо + 0, t) = u(x0 - 0, t) = ^utt(xo, t).
J-0
1.3.	putt = Tuxx — аи, 0 < х < I, t > 0, где а — коэффициент
упругости среды.
1.4.	θtt = a2θxx — аи, 0 < х < I, 0<t<∞, 0(x,O) = /(ж),
0⅛(x,O) = F(x), 0 ≤ х ≤ I, где θ(x,t) — угол поворота сечения стержня
°	I 9 Or J
с координатой х в момент времени t; (г = —, где G — модуль сдвига,
J — полярный момент инерции поперечного сечения относительно
точки, в которой ось пересекает это поперечное сечение, Ф — осевой
элемент инерции единицы длины стержня. Граничные условия:
a)	‰(0,t) = θx(l,t) =0;
б)	0(O,*) = θ(l,t} = 0;
к
в)	(θx - hθ)∖x=o = 0, (θx + hθ)∖x=ι = 0, где Д = —, /с — коэффициент
жесткости упругого закрепления.
1.5.	utt ÷ a2uxxxx = 0, 0 < х < I, t > 0, u(rr, 0) = /(ж), ut(x,0) =
= F(x), 0 ≤ х ≤ I, ιz(0, t) — ux(0, t) — uxx(l, — uxxxx(l, t) — 0, где и —
Е J -г	и
= —, J — геометрический момент инерции поперечного сечения от-
/90
носительно средней линии, перпендикулярной к плоскости колебаний.
1.6.	utt =	0 < х < I, t > 0, a2 =	— скорость звука,
ро
и{х, 0) = 0, ut{x, 0) = v, 0 ≤ х ≤ I, ιz(O, t) = 0, ux(l, t) = 0, t > 0.
1.7.	utt = β2‰x, cl2 =	0 < х < I, t > 0, и(х,(У) = /(ж),
Ро
t⅞(x,O) = F(x), 0 ≤ х ≤ I. Краевые условия:
a)	u(0, t) = n(Z, t) = 0;
б)	ux(O,t) = ux(l,i) = О,
в)	(‰ — Ди)|ж=о = 0, {ux + hu)∖x=ι = 0, где h = 17 ; S — площадь
гэдро
поперечного сечения трубки.
1.8.	utt = a2uxx, 0 < х < I, t > 0, n(0,⅛) = φ(t), ux(l,t) =
t > 0, и(х, 0) = 0, ut(x, 0) — 0, 0 ≤ х ≤ I, а2 — —.

34
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
1.9.	utt — α2‰ — 2z√2τz⅛, 0 < х < I, t > О, u(x,0) = φ(x), Ut(%,ty =
= ≠(x), О ≤ х ≤ I, u(O,t) = u(l,t) = О, t > О, где 2z√2 = -, к — коэффи¬
циент трения.	p
1 10 A ∣S(V)-1 - α2- a2 -
1∙1°∙ дх Г( ⅛J ∂t2 Е'
1.12.	'', "ι = a2)- 6e2C-Y 0 < х < I, t > 0, a2 =	∣w(O,t)∣ < ∞,
∂t2 дх \ дх)	2	1 v 71
u(l,t) — 0, t > 0, u(x,O) = /(ж), ut{x,ty — F(x), 0 ≤ х ≤ I.
1.13.	utt = β2‰x, ж ≠ 0, t > 0, a2 = —, u(x,0y) — 0, γq(x,O) = О,
х ≠ 0; условие в точке х = 0 имеет вид:
a)	—mow(0, t) + 7o[w(÷O, t) — ux(-0, t)] + Fq sinΩt = 0, t > 0;
б)	n(-0, t) = u(÷0, t), -m0w(θ, t) + To[‰(÷O, t) - ‰(-0, t)] = О,
t > 0, и(—0,0) = n(÷0,0) = 0, r∏oUt(-0,0) = mQt⅞(+0,0) = р$,
в)	и(—0,t) = ιz(÷O,⅛), t > 0, mow(O,+ 7q[‰(÷0,t) —	0, t)] —
— ⅛2u(0,⅛) = 0, τ∏QUt(-0,0) = moi⅞(÷O,O) = ро, и(—0,0) =
= u(+0,0) = 0.
1.14.	utt = a2uxx, 0 < х <l, t > 0, а2 = —, и(х, 0) = /(ж), ut(x, 0) =
= g(x), 0 ≤ х ≤ I, u(0,1∂) = 0, (ESux — kut)∖x=ι = 0, t > 0, где к —
коэффициент трения для конца стержня х — I.
1.15.	utt = a2Uχx, х Xi, г = 1, п, 0 < х < I, t > 0, ιz(O, t) =
= u(l,t) = 0, u(xi — 0,⅛) = u(xi + О,/;), ux(xt + 0,£) — ux(xi — 0, t) =
= rψutt(xi,i∖ t > 0, i = 1, п, u∖t=o = f(x), ut∖t=o = F(x), 0 ≤ х ≤ I.
{u∖t = a2↑u∖rr, — ∞ < х < 0,	1х 9/^ х
9	22	t > 0, u1(0Ω) = ιz2(0,t),
utt = a2uxx' 0 < X < ÷∞,
E∖uγx(Q,t) = E2u2{O, t), t > 0, u1(x,0) = /(ж), u*(x,0) = F(x),
—∞ < х < 0, ti2(x,0) = /(ж), u2(x,0) = Е(х), х > 0, где и1, и2 —
смещение точек левого и правого стержней, α2 = —, г = 1,2.
1.18.	= g-^- (х^\ 0 < х < /, t > 0, ∣u(0, t)∖ < ∞,
∂t2 дх \ дх)	1 v 71
u(Z,t) = 0, t > 0, u∣f=0 = /(ж), ι⅞∣t=o = F(x), 0 ≤ х ≤ I.
1.19.	ΔΦ<z) = 0, г > R, ΔΦ^) = О, 0 ≤ г ≤ R, gradΦ = Я,
Φ^∣r=fl = φ^∣r=β, Φ^∣f∙=Λ = fφ^ + -‰B4)∣	, ∣Φw(OJ)∣ < ∞,
j	\	С / ∖r=R
‰b =	~ поверхностная плотность тока, а ф(г\ — потенциал
2πR
магнитного поля внутри и вне проводника соответственно.
1.20.	Jx — -cυt, vx — ~LJt, 0 < х < I, t > 0, ,υ∣⅛=o = vq, гфО, t) =
= - ∫θ Jdt на заземленном конце, vx(l,t) = 0 — на изолированном.

Ответы к § 1
35
θ∖
1.21. θtt = a2θxx, 0<х
х=о — θ, Θχ∖x=ι —
<ι,t>o, θ∖t=0 = φ, ‰ = о, о ≤ х ≤ I,
где постоянные а2, Ф, J, G имеют тот же
смысл, что и в задаче 1.4.
1.22.	ин — α2‰r ÷ д, 0 < х < I, t > 0, ιz(rr,O) = ut(x,ff) = 0, 0 ≤
≤ х ≤ Z, u(0, t) = О, ‰(Z, t) = 0, t > 0, а2 = — .
1.23.	utt = oj2uxx + д, 0 < х < Z, t > 0, u∣t=0 =	= О, О ≤ х ≤ Z,
t6∣jj-о — О, — Utt∖x=ι — ЕSux∖x=ι -⅛- Q.
1.25.	utt = a2 (urr + -ur), О < г < R, t > О, tz(r,O) = f(r∖
ut(r,ty = F(r), О ≤ г ≤ R, ∣u(O, t)∣ < ∞, ‰∣γ=jr = О.
1.26.	Δ⅛3 = О, г > R, t > О, ⅛∣	= 0, t > О, lim v =
∂r ∖r=R	r→∞
= lim gradφ = vq, где uq — скорость потока на бесконечности.
1.27.	utt — a2 (^rr ÷ -ur^, θ ≤ г < R, t > θ, ^(r, О) = ∕(r), ^t∣t=o —
= F(r), 0 ≤ г ≤ R, ∣n(O,t)∣ < ∞, ur∖r=R = 0, где a2 =
Pq
1.29.	utt ÷ kut — a2∆u ÷ f(r'V>t∖ О ≤ г < R, О ≤ φ < 2π, t > О,
Р	Та
u∣⅛=q = n⅛∣⅛=o = 0, ∣u(O, φ, t)∖ < ос, u(R,φ,t) = О, где a2 = —, к = —,
а — коэффициент упругого сопротивления среды.
1.32.	a) utt — a2∆u + ^-^ut — 0, а2 — —
ε	εμ
б) f⅛ -ft2∆‰o =-⅛-p. ⅛-α2Δ‰ = 0, ^^-div^ = 0,
∖∂t	J	ε μ	∖ot )	с oτ
где Е = (E1,E2,B3) — напряженность электрического поля, Н =
= (H∖,Hz,Hz) — напряженность магнитного поля, р(х) — плот¬
ность зарядов, ε — диэлектрическая постоянная среды, μ — ко¬
эффициент магнитной проницаемости среды, I(x,t) = (I{,I2,I3) —
ток проводимости.
В случае а) для компонент Е и Н получается одно и то же
телеграфное уравнение.
Для случая б) вводится четырехкомпонентный электромагнитный
потенциал [φo,φ), φ —	c помощью которого решение урав¬
нений Максвелла ищется в виде Е = gradω∩ ^^ -⅛, Н = -rotω.
с ot μ
1.33.	Hxx = ^ε~Ht + -2Htt, x>O,t>O, H\t=0 = О, 7∕t∣f=0 = о,
ε	с
х > 0, Н|ж=о = HosinΩi, t > 0, где с — скорость света.
1.34.	ut = o2uxx, 0 < х < Z, t > 0, и(х, 0) = f (ж), 0 ≤ х ≤ Z, краевые
условия:

36
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
a)	∙u∣aj=0 = φι(f), u∖x=ι = ⅛⅞(t), t > 0;
б)	-kSux∖x=0 = ⅛ι(i), kSux∖x=ι = ⅛⅞(i), t > 0;
в)	‰k=o = h[u(0,t) - φι(i)], ux∖x=ι = -h(u(l,t) - φ2(i)),
к
о2 — — — теплоемкость, φ∖(t), φ2(^) (в случае а) — температура
ср
концов стержня, (в случае б) температура окружающего простран¬
ства на концах стержня, qi — тепловые потоки на концах стержня.
1.35.	ut = Duxx, 0 ≤ х < Z, t > 0, и(х, 0) = /(ж), 0 ≤ х ≤ I, гранич¬
ные условия:
a)	u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0;
б)	‰(0, t) = ux(l, t) = 0, t > 0;
в)	‰∣x=o = h∖u(O,t) - ^ι(Z)], I > 0, ux∖x=ι = —7z(τz(Z,- φ2(⅛)),
где h — а/D, а — коэффициент проницаемости на концах.
1.36.	ut = D∆u — аи, t > 0, х = (x1,x2, X3) ∈ ^3∙
1.37.	ut = o2uxx —~∏}u' θ ≤ ж < Z; > О, M⅛=o = /(^), 0 ≤ ж ≤ Z,
π∣x=o = uq, (ux + hu)∖x=ι — 0, t > 0, р — периметр поперечного сечения
7 a ? к
стержня, п — —, а — —.
к	ср
1.38.	ut = a2uxx + -δ(u — ∏o), — ∞ < х < ∞, t > 0, u(x,0) = φ(x),
2 к	С
(Г = —.
ср
1.39.	ut = a2uxx — b(u — по), 0 ≤ х < I, t > 0, и(х, 0) = /(х), 0 ≤
≤ х < I, u∣x=o — u∖x=ι, а2 — —, Ь — ——, где Р — периметр поперечного
сечения кольца, х — Rθ, θ — угловая координата.
1.40.	ut — Duzz — vuz, z > zq, t > 0, (Duz — vu)∖z=zq = 0, t > О,
где v — скорость оседания частиц.
ι∕∣ι (1	x∖2 ди 9^ \ (л	2a(Λ — х/Н)	r, .
1.41.	1 - —	— = а2—	1 - —		—j-u, 0≤
∖ Н) ot ox \ Н) ох срго cos 7
≤ х < Z, t > 0, π∣⅛=o = ∏o, 0 ≤ х ≤ Z, пж|ж=о = ux∖x=ι =0, t > О,
2	тт
где αz = —, Н — полная высота конуса, 7 — половина угла раствора
конуса, го — радиус большого основания, Z — высота усеченного конуса.
1.42.	ct = Dcxx, 0 < х < I, t > 0, с(х, 0) =
1.43.	ut = a2 (urr + -ur∖ ÷ —, 0 ≤ г < R, t > 0, π∣⅛=o = f(r),
\ г ) ср
О ≤ г ≤ R, ∣π(O,t)∣ < ∞j граничные условия:
со, 0 < х < Д,
О, h < х < Z.
a)	u(R, t) = 0;
б)	(ur + Hu‰r = 0, н =^, а2 = —.
к ср

§2. Классификация уравнений второго порядка
37
1.44.	ut = a2 (urr +	0 ≤ г < R, t > О, ιz∣t=o = О, О ≤ г ≤ Я;
граничные условия:
a)	∣τz(O, £)| < ∞, ur(R,t) = t > О;
/ъ
б)	∣n(O, t)∣ < ∞, (ur + Hu)∖r=R = φ(t), t > О, Н = а2 = — .
к ср
1.45.	a) ut = o2uxx, —h < х < h, t > О, n∣⅛=o = О,
(k∏x + q)∣cc=-h — О, ( kllx + θ)∖χ=h — О»
б) щ = a2uxx + —, -h < х < h, t > Q, ti∣t=0 = О, u∖x=±h = О, а2 = — .
ср	ср
1.49. Ut — a(x)uxx, х ψ О, t > О, u(x,ff) = /(ж), ιz(-О, t) = ιz(+O,t),
kιux(-О, t) = A⅛‰(÷θ^)>	— / Г < θ, αi — г = 1,2.
t⅛ x > о, c'p'
§ 2. Классификация уравнений второго порядка
В области G С ln рассмотрим уравнение
п
αυ(a0‰≈⅛ + ф(ж> u- grad-и) = 0, х ∈ G, (I)
М=1
в котором вещественная симметрическая матрица А(ж) =
= ∣∣c⅛∙(x)∣∣ ≠ 0, х ∈ G. В произвольной точке τ0∈G квадратич¬
ную форму матрицы A(x0)
п
(A(τ0)y,y) = У2 aij(x‰yj
i,j=l
можно привести с помощью невырожденного преобразования
у = Bη, у ∈ Rn, η ∈ Rn, В = B(⅛o), к каноническому виду
который представляет собой алгебраическую сумму квадратов
координат вектора η. При этом пусть n+ = n+(x0) из них бу¬
дут с коэффициентом 1, n_ = n~(x0) — с коэффициентом — 1,
а остальные ∏q = ∏o(xo) — с коэффициентом 0, т. е. будут
отсутствовать, n+ + n_ + ∏q = п. Уравнение (I) принадлежит
в точке xq 6 G:
—	эллиптическому типу, если ∏q = 0 и или n+ = п, или
п_ = п,
—	гиперболическому типу, если ∏q — 0 и или n+ = п — 1,
или П- = п — 1,

38
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
—	улътрагиперболическому типу, если ∏q = 0 и n+ > 1,
и п_ > 1,
—	параболическому типу, если n0 = θ∙
Уравнение (I) принадлежит эллиптическому (гиперболическо¬
му, ...) типу на множестве G∖ С G, если оно принадлежит эллип¬
тическому (гиперболическому, ...) типу в каждой точке x0 ∈ G∖.
Преобразование ξ = В*х приводит уравнение (I) в точке
xq ∈ G к каноническому виду.
В двумерном случае (п = 2) уравнение
u(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = Ф(х, у, и, ux, uy), (II)
где ∣α∣ + ∖b∖ + ∣c∣ ≠ 0, принадлежит (в точке или области):
—	гиперболическому типу, если b2 — ас > 0;
—	параболическому типу, если b2 — ас = 0;
—	эллиптическому типу, если b2 — ас < 0.
В случае п = 2 уравнение можно привести к каноническому
виду не только в каждой точке, но и в окрестности точки,
в которой уравнение сохраняет тип.
Для уравнения (II) характеристическое уравнение
u(x,y) (dy)2 — 2b(x, у) dx dy + с(х, у) (dx)2 = 0
распадается на два уравнения:
ady — (b + ∖∕b2 — ас ) dx = 0,	(III)
ady — (b — ∖∕b2 — ac^ dx = 0.	(IV)
Уравнения гиперболического типа: Ь2 — ас > 0. Общие
интегралы φ(x,y) = c∖, ψ(x,y) = с% уравнений (III) и (IV) дей¬
ствительны и различны. Они определяют два различных семей¬
ства действительных характеристик для уравнения (I). Заменой
переменных ξ = φ(x,y), η = ≠(x,y) уравнение (II) приводится
к виду
Uζη = Φl(ξ,η,U,Uζ,Uη).
Уравнения параболического типа: b2 — ас = 0. Уравне¬
ния (III) и (IV) совпадают. Общий интеграл φ(x, у) = с урав¬
нения (III) определяет семейство действительных характеристик
для уравнения (I). Заменой переменных ξ = φ(x,y), η = ≠(x,y),
где ψ(x,y) — любая гладкая функция такая, что эта замена
переменных взаимно однозначна в рассматриваемой области,
уравнение (II) приводится к виду
U∏η = Φl(ξ,7∕, U,Uξ,Uη).

§2. Классификация уравнений второго порядка
39
Уравнения эллиптического типа: b2 — ас < 0. Пусть
φ(x,y) + iψ(x,y) — с — общий интеграл уравнения (III),
где φ(x,y) и ψ(x,y) — действительные функции 1) Тогда заменой
переменных ξ = φ(x,y), η = ψ(x,y) уравнение (II) приводится
к каноническому виду
Uξξ + uηη = Φι(ξ,,η,u,Uξ,uη).
Пример 1. Определить тип и привести к каноническому
виду уравнение
¾j∕	⅛ T ¾ T ¾ uz = Q,
и = и(ж, у, z).
Решение. Для уравнения (1) матрица А(х, у, z) имеет вид
A(x, y,z) = А =
1
2
1
\ 2
1	-Л
2	2
О О
О 0^
Найдем собственные числа матрицы А;
det(A - ХЕ) = -А3 +	= -A (λ2
Отсюда следует, что
A∣ =0, λ2 = -^=-, Аз = —
и, следовательно, уравнение (1) параболического типа (λι = 0).
Найдем собственные векторы матрицы А:
а)	собственному числу Aι = 0 отвечает собственный вектор
б)	собственному числу ∖% = отвечает собственный вектор
1) Если а, Ь, с — аналитические функции, то существование общего инте¬
грала уравнения (III) вытекает из теоремы Ковалевской.

40
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
в) собственному числу λβ = —отвечает собственный век¬
тор
I,-"	•
√2 √2 )
Рассмотрим базис, состоящий из собственных векторов hi,
h2, h3.
Пусть (ξ, η, ζ) — координаты точки в новом базисе. Тогда
h,3 =
1	1
η = х +
∖	√2	√2
Л	1	1
=	√2y+√2^,
матрица А имеет в этом базисе диагональный вид
(2)
/°
О
О
1
/2
О
о
1
√2∕
квадратичная форма в переменных (ξ,77, ¢) имеет вид
о ■ ξ2 +-⅛ --к2.
√2	√2
Пересчитаем уравнение (1) в переменных (ξ, η, ¢). Из (2)
имеем
‰ = ⅜ + ¾,
1
Uy = Uζ +
1
uz
(3)
1
vΓlζζ'
^huζζ-
от вертикальной черты написаны коэффициен-
соответствующие производные входят в уравне-
^jxy —	+	-∣- ^rlrl
rUjxz = ^ζη +	+
0
1
1
1
1
-1
1
1
В (3) слева
ты, с которыми
ние (1).
Приводя подобные члены, из (3) получаем
√2 uηη - V2 Uζζ + (1 + vz2 ')uη + (1 - √2 )uζ = О

§2. Классификация уравнений второго порядка
41
или
О ’ Γ4ξξ 4- 1 * uηη 1 * ^jζζ 4-
r2 η
f=—Ur = О.
2 ς
2.1.	Определить тип и привести к каноническому виду урав¬
нения:
1)	^Lχχ 4^^ ζ^ΛljXy 2^XZ 4^^ c^^jyy 4^^ fyu>ZZ = θ>
2)	4uxx 4uxy 2'Uyz ^⅛^ Uy + uz — О,
3)	Uχy	rUjZZ 4-	^jX 4-	Uz	— О,
4)	rUχx	+ ζ^uxy	2,uxz	4- %Uyy	4- 2uzz = θ>
5)	Uxx	4- %Uχy	⅛Uxz	⅛Uyz	rUjzz ~ θ,
6)	^jxx	+ <2∕Ujxy +	i^∕Ujyy	+ ^ι^jyz	+ ^^jyt + ζ^Λljzz 4- ^Uft = О,
7)	Ujxy ^jxt 4“ UjXX 2^Ujxt 4“ ^∕Ujtt = О,
8)	uxy 4- Uχz 4- ^jxt 4^^ rUjzt ~ θ,
9)	^jxx 4- <2uijxy	<2uijxz ⅛uyz + 2/ttyt 4- r^jzz — θ,
10)	uxx + 2uxz	2ux^ + Uyy + 2uyz + 2lUyt + 2uzz 4^^ 2u^t — О,
11)	ux1x↑ + 2 uχk^k ~ 2 ∑2 u%kXk+↑ = 0;
k=0	к=1
12)	иХ]Х] - 2 Г (-V)kuxk, ]Х. = 0;
к=2
13)	⅛uxkχk + 2 luxιxk = 0;
А;=1
14)	uχkχk + ∑ι<kluχιχk = О’
к=1
I
15)	uχιχk = θ∙
Кк
2.2.	В каждой области, где сохраняется тип уравнения, при¬
вести к каноническому виду уравнения:
1)	rUjxx i2∕Ujxy ^Uyy 4- Uy = О,
2)	uxx ^)Uxy 4- 1 Quyy 4- их Зиу — О,
3)	⅛uxx 4- ⅛uxy 4- ^jyy 2иу = О,
4)	^χχ	xuyy — О,
5)	Uχχ	Уиуу = θ,
6)	xuxx - yuyy = 0;
7)	У^ХХ XUyy 	 О,
8)	x2uxx + y2uyy = 0;
9)	y2uxx + x2uyy = 0;

2)
3)
4)
5)
6)
7)
42 Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
10)	y2uxx - x2uyy = 0;
11)	(1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + yuy = 0;
12)	4y2‰τ - e2xuyy = 0;
13)	uxx — 2 sinx‰7 + (2 — cos2 x)uyy — 0;
14)	у uxx + 2yuxy + Uyy = 0,
15)	х uxx 2xuxy + Uyy — 0.
Пусть коэффициенты уравнения (I) непрерывны в некоторой
области D. Функция u(x,y} называется решением уравнения (I),
если она принадлежит классу C2(D) и удовлетворяет уравне¬
нию (I) в области D. Множество всех решений уравнения (I)
называется общим решением уравнения (I).
2.3.	Найти общее решение уравнений с постоянными коэф¬
фициентами:
иХу = 0,
uxx a Uyy = 0,
uxx 2uxy Зиуу — 0,
uxy И- aux — 0,
3uxx 3uxy 2uyy +	+ Uy = 2,
uxy + aux + buy + abu = 0;
uxy — 2ux — 3uy + Зи = 2еж+?/;
uxx ~l- 2auxy -h a Uyy ^^∣^^ ux ^^|- аиу — 0.
2.4.	Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами
uxy + aux + buy + си — 0
заменой u(x,y) = u(x,y)e~bx~ay приводится к виду vxy + (с —
— ab)v = 0.
2.5.	Доказать, что общее решение уравнения uxy = и имеет
вид
dt ^⅛^
о
у
+ эХНо (2z√⅛(y-i)) dt+ [∕(0) + #(0)] J0(2z√xy),
о
где Jo (я) — функция Бесселя, a f и д — произвольные функции
класса С1.

§2. Классификация уравнений второго порядка
43
2.6.	Доказать, что общее решение уравнения uxy = F(x,y),
где F ∈ C(∖x - xq∣ < а, \у — yo∣ < ty, имеет вид
u(χ,y) = f(X)+g(y) +
F(ξ,η) dη dξ,
Х'О УО
где / и g — произвольные функции класса С2.
2.7.	Доказать, что общее решение уравнения uxx
+ A{x,y)ux = 0, где A(x.y) ∈ C1(∣x - x0∣ < \у - Уо| < ty, име
вид
w(τ,y) = ∕(y) + g(ξ)exp
у
A(ξ, η) dη ∖ dξ,
Хо	УО
где / и g — произвольные функции классов С2 и Ci соответ¬
ственно.
2.8.	Доказать, что общее решение уравнения
1 1
иу — О
^jxy
z λ f(x) + q(y} „	1
имеет вид u(x,y) = —	—, где j и g — произвольные функ-
х ~ У
ции из класса С2.
2.9.	Доказать, что общее решение уравнения
и ι m _ ∩
Γtχγy	Uχ +	Uy 	 0,
y х — у х — у
где п и т — натуральные числа, имеет вид
/(^) + рЫ1
х-у -Г
где / и g — произвольные функции из классов Cm+i и Cn+1
соответственно.
2.10.	Доказать, что общее решение уравнения
ι п	т ^
Hχy ^^b VjX	^jy — О,
y X — у X — у У
где пит — неотрицательные целые числа, имеет вид
/О) +
βn-∖-m-2
(‰)'"-l(¾)
αn÷m г-
и{х, у) = (Ж - у) + +	[
где / и g — произвольные функции из классов (Jn+2 и (Jm+2
соответственно.

44
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
2.11.	В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения,
найти общее решение уравнений:
1)	У^ХХ -l- yy)'Ujyy XUyy — О,
2)	x2uxx - y2uyy = 0;
3)	x2uxx + 2xyuxy - 3y2uyy - 2xux = 0;
4)	x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0;
5)	Uxy XUx — θ>
θ)	'l-l-χy + 2xyuy — 2хи = 0;
7) uxy - xux + yuy + (y-V)u = 0;
8) uxy + xux + 2yuy + 2хуи = 0.
Ответы к § 2
2.1.	1) Uξξ + uηη + uζζ = 0; ξ = х, η = у - х, ζ = х - ⅛y +
2)	uξξ - uηη + uζζ + uη = 0; ξ = ^x, η =	+ у, ζ =	- у + z;
3)	τzξξ — uηη + 2uζ — 0; ξ = х + у, у = у — х, ζ — у ÷ z;
4)	nξξ ÷ uηη = 0; ξ = х, η = у - х, ζ = 2х - у ÷ z∖
5)	nξξ - uηη - uζζ = 0; ξ = х, η = у - х, ζ = -х - -у + -z∖
6)	τzξξ + uηη + Uζζ + uττ =0∖ξ = x,η = y-x,ζ = x- y + z,τ = 2x-
— 2y + z + t;
7)	Uξξ — uηη + Uζζ + uττ = 0; ζ = x-∖-y,η = y- х, ζ = z, τ = у + z + t;
8)	7Zξξ - uηη + Uζζ - uττ = 0; ξ = х + у, η = х - у, ζ = -2y + z ⅛ t,
т = z — t;
9)	τ∕ξξ — uηη + Uζζ — 0; ξ — х, η — у — х, ζ — 2х — у + z, т — х + z + t;
10)	nξξ + uηη = 0; ξ = х, η = у, ζ = -х - у + г, т = х - у + t;
n 1
11)	Σ Wξfcξfc =0; ξfe = ∑Lι^> /г = 1, 2, .... п;
k=l
n	7
12)	Σ(-l)fc+1Wξfcξfc =°; ξfc = ∑Lιτb fc= 1, 2, п;
fc=l
13)	Σ uξfcξfc =0; ξι ξ⅛ ^xk-xk-ι, fc = 2, 3, п;
⅛=ι
14)	∑1¾ξ<= =°; ξfc =	(xk- ι∑ι<kxφ к= 1, 2, .... п;

Ответы к §2
45
15)	weιξι - Σ uikζk = °; 6 = Л n.∕'∣ + √⅛^ Σ⅛=2¾> ⅛ =
k=2	√2(n - 1) V n ~ 1
= -^x↑ — ∖[2xk, /с = 2, 3, п.
√2
2.2.	1) uξη - ∑(-uξ - uη) = 0; ξ = х - у, η = Зх + у,
2)	Uξξ + uηη + Uξ = 0; ξ = х, η = Зх + у,
3)	uηη +	— 0; ξ — х — 2y, η — х;
1	9	9
4)	+ ξ77vτv(uξ + ⅝) = 0; ξ = ξ≈3∕2 + у, η = -.т3/2 - у, х > 0;
0iς “г л)	<j	d
nξξ + uηη + —nξ = 0; ξ = -(-ж)3/2, η = у, х < 0;
Oζ	О
5)	"ξ'' + 2(ξ - ηj f"ξ ~uη^ = °’ = x + 2VX rl = x~ 2у/У’ У>^ uξξ +
+ uηη - →ιη = 0; ξ = х, η = 2√=y, у < 0;
6)	Uξξ - uηη - ^Uξ + -uη = 0; ξ = χ∕∣x∣, η = λ∕∣y∣, (ж > 0. у > 0 или
ς 11
X <0, у < 0); uξi + uηη - -Uξ - -uη = 0; ξ = √∣x∣, η = √∣y∣,
(ж > 0, у < 0 или х < 0, у > 0);
7)	uξξ - uηη + ∑uξ - ^-uη = 0; ξ = ∣x∣3∕2, η = ∣y∣3∕2, (ж > 0. у > 0 или
ξ τ, 1 1
х < 0, у < 0); uξξ + uηη + —uξ + -uη = 0; ξ = |ж|3/2, η = |?/|3/2,
aς oη
(х > 0, у < 0 или х < 0, у > 0);
8)	τzξξ + uηη — Uξ — uη = 0; ξ = In ∣x∣, η = In \у\ (в каждом квадранте);
9)	nξξ + uηη + -^-Uζ +	= 0; ξ = у2, η = х2 (в каждом квадранте);
zς 2у
Ю) Uξη +	2	2 (τ)Uξ - ξuη) = 0; ξ = y2 - x2, η = y2 + х2 (в каждом
2\У ~ ζ )
квадранте);
11)	Uξξ + uηη - thξttξ = 0; ξ = 1п(ж + √1 + а?2), η = ln(y + √T∏∕2);
12)	uξη ~ 2(ξ - τ7)	“ uη^ + 4(ξ + η) + ⅜) = 0'- ξ = У2 + еЖ- r∣ =
= y2 — ех	(у >	0 или у < 0);
13)	nξξ + uηη	+ cosξuη = 0; ξ = х,	η = у — cosx;
14)	uηη - 2uξ	= 0;	ξ = 2x - у2, η =	у,
15)	uηη — ξu^	= 0;	ξ = xey, η = у.

46
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Гл. Г Постановка краевых задач математической физики
2.3.	1) /(ж) + у(у);
f(y + ах) + g(y - ах)-,
f(x - у) + g(3x + у);
f(y) + g(x)e~ay-,
х — у + f(x — 3y) + g(2x + у)е(3у-ж)/т;
[/(■'■) + g(y)]e~5x~ay∙,
ex+y + [/(ж) + g(y)]e3x+2y',
f(y - ax)+g(y - ax)e~x.
2.11.	1) /(ж + у) + (ж - у)у(ж2 - у2) (ж > -у или ж < -у);
Джу) + y∕∖xy∖ g (в каждом квадранте);
(х3 λ
(в каждом квадранте);
ж/ + g (в каждом квадранте);
≈√^(y) - /'(у) + ‰ - ξ)s,(ξ)e^ dC
О
(Указание. Обозначая ux = и, получить соотношения и = хи —
Ху, Xχy XXχ 	 θ∙)
2≡U) +	+ ∫(y - ξ)∕(sk χ2ζdξ.
X	0
(Указание. Обозначая uy = и, получить соотношения и =
= ^Vχ + ух, xxy + 2xyxy = 0∙)
yf (ж) + f'<X) + ∫(y - η)g(,η)e-χη dη .
О
(Указание. Обозначая иу + и = v, получить соотношения
и = χx + yχ, χxy + хх + уху + yχ = 0.)
у/(ж) + /'(ж) + ∫(y - η)g(η)e~xη dV ■
о
(Указание. Обозначая иу + хи — и, получить соотношения
и = υx + 3yυ, (yy ÷ xx)x ÷ ⅛y(xy ÷ хх) = 0.)
е
e~xy

Глава 2
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
1. Измеримые функции. Множество Е С Rn называет¬
ся множеством (n-мерной) меры нуль, если по любому ε > О
можно найти покрывающие его счетное множество открытых
(n-мерных) кубов, сумма объемов которых меньше ε.
Пусть Q С Rn - область. Если некоторое свойство выпол¬
нено всюду в Q, за исключением, быть может, множества меры
нуль, то говорят, что это свойство выполнено почти всюду в Q
(п.в. в Q). Заданная в области Q функция /(х) называется
измеримой в Q, если она является пределом п. в. в Q сходящейся
последовательности функций из C(Q)∙ Если /(ж) = g(x) п. в. в Q,
то говорят, что функции эквивалентны в Q.
3.1.	Установить, что следующие множества являются множе¬
ствами меры нуль:
1)	конечное множество точек;
2)	счетное множество точек;
3)	пересечение счетного множества множеств меры нуль;
4)	объединение счетного множества множеств меры нуль;
5)	гладкая (п — 1)-мерная поверхность;
6)	гладкая fc-мерная поверхность (fc ≤ п — 1).
В задачах 3.2-3.9 доказать утверждения.
3.2.	Функция Дирихле у(ж) (равная 1, если все координаты
точки х рациональны, и 0 в противоположном случае) равна
нулю п. в.
3.3.	Функция /(ж) = -—— почти всюду непрерывна в Rn.
1 — |ж|
3.4.	Последовательность функций ∕n(x) = ∣x∣n в шаре ∣x∣ ≤ 1
сходится к нулю п.в.

48 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3.5.	Теорема. Для того чтобы множество Е было множе¬
ством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы существо¬
вало такое его покрытие счетной системой открытых кубов
с конечной суммой объемов, при котором каждая точка Е
оказывается покрытой бесконечным множеством кубов.
3.6.	Функция / ∈ C(ζ)) измерима.
3.7.	Если /(ж) и g(x) эквивалентны и g(x) измерима в Q,
то /(ж) тоже измерима в Q.
3.8.	Предел почти всюду сходящейся последовательности из¬
меримых функций является измеримой функцией.
3.9.	Функция, непрерывная в Q за исключением подмноже¬
ства, составленного из конечного (или счетного) числа гладких
fc-мерных поверхностей (fc ≤ п — 1), измерима в Q.
3.10.	Установить измеримость следующих функций, задан¬
ных на отрезке [—1, 1]:
а) у = signa;;
Г . 1	∕∩
sin -, х ≠ О,
б) У = < х
[О, х = 0;
в) у = <
г . /. 1\
sign sin - ,
\ х /
х ≠ 0,
0,
к 1
х = 0;
{1	т
если х = — при взаимно простых т, п,
п	п
0, если х иррационально.
3.11.	Пусть функции /(ж) и g(x) измеримы в Q. Установить
измеримость следующих функций:
а)	/ЦЦ(ж);
б)	—(при условии g(x) ≠ 0, х ∈ Q);
в)	|/Ц)|;
г)	если /(ж) > 0.
3.12.	Пусть /(ж) ∈ C(Q) и в каждой точке х ∈ Q существует
производная fxι. Доказать, что fxι измерима в Q.
3.13.	а) Пусть функции /(ж) и g(x) измеримы в Q. Доказать
измеримость в Q функций max{∕(aj), g(x)}, min{∕(x), p(x)}.

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
49
б)	Доказать, что всякая измеримая функция /(х) есть раз¬
ность двух неотрицательных измеримых функций
∕+(τ) = тах{/(ж), 0}, /"(ж) = min{0, -/(ж)}.
3.14.	Доказать, что неубывающая (невозрастающая) на от¬
резке [а, Ь] функция измерима.
3.15.	Доказать, что если /(ж) измерима в Q, то существует
последовательность многочленов, сходящихся к /(ж) п. в. в Q.
2.	Интеграл Лебега. Заданную в области Q функцию /(х)
будем считать принадлежащей классу L+(Q), если существует
неубывающая последовательность непрерывных в Q финитных
функций fn(x), п = 1, 2, ..., сходящихся к f(x) п.в. в Q, и
такая, что последовательность интегралов (Римана) ∫g∕n(x)<⅛
ограничена сверху. При этом интеграл Лебега от функции /(ж) ∈
∈ L+(Q) определяется равенством
Ц)
/ dx = sup fn dx
lim
fndx.
Функция /(ж) называется интегрируемой по Лебегу по об¬
ласти Q, если ее можно представить в виде разности /(ж) =
= ∕ι(rr) — /2 0*0 двух функций /1(ж) и ∕2(^) из L+(Q). При этом
интеграл Лебега от функции /(ж) определяется равенством
(Ь)
fdx = (L)
/1 dx - (L) ∕2 dx.
Q
Q
Комплекснозначную функцию /(ж) = Re/(ж) +zlmf(x) бу¬
дем называть интегрируемой по Лебегу по области Q, если
функции Re/(ж), Im/(ж) интегрируемы по Лебегу. При этом по
определению полагаем
(L) f dx = (L) Re f dx + i(L) Im fdx.
Q	Q	Q
Множество интегрируемых по Лебегу по области Q ком¬
плекснозначных функций, отождествляемых в случае их эквива¬
лентности, обозначается Lι(Q).
Функции из bι(Q) конечны п.в. в Q. Если функция аб¬
солютно интегрируема по Риману, то она интегрируема и по
Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Поэто¬
му в дальнейшем будем опускать (L) перед знаком интеграла;
50 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
всегда под интегралом подразумевается интеграл Лебега, а под
интегрируемой функцией — функция, интегрируемая по Лебегу.
Более того, если функция абсолютно несобственно интегрируема
по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы
Римана и Лебега совпадают.
Следующие теоремы играют важную роль в теории лебегов-
ского интегрирования.
а)	Если функция f(x) измерима в Q и ∣f(x)∣ ≤ g(x), где
g(x) ∈ Lι(Q), то f ∈ Lι(Q). В частности, измеримая огра¬
ниченная функция в ограниченной области Q принадле¬
жит L∖{Q).
б)	Теорема Лебега. Если последовательность измеримых в Q
функций ∕ι(x), ..., f∏(P), ••• сходится к функции f(x)
п.в. в Q и ∣fn(x)∣ ≤ g(x), где g ∈ Lι(Q), то f ∈ Li(Q)
и ∫q f∏(x) dx —> ∫g / dx при п —> оо.
в)	Теорема Фубини. Если f(x,y) ∈ Lι(Q × F), х = (яд, ...,
∈ Q, У = (yι, Ут) ∈ Р, еде Q и Р — некоторые
области из Rn и Rm соответственно, то
f{x,y)dx ∈ Lι(P),
f(x,y~)dy ∈ Z∏(P)
f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx.
Q×P	Q Р	Р Q
Р Q
Если f(x,y) измерима в Q × Р, а для п.в. х ∈ Q функ-
ция |/(ж,у)| ∈ Lι(P) и fp∖f(x,y)∖dy ∈ Li(Q), то f(x,y) ∈
∈Lι(Q×P).
В задачах 3.16-3.20 доказать утверждения.
3.16.	Если /(ж) ≥ 0 и Ц /(ж) dx = 0, то /(ж) = 0 п. в. в Q.
3.17.	Если /(ж) = 0 п. в. в Q, то Д f dx — 0.
3.18.	Если f,g ∈ Eι(Q), то af + βg ∈ Lι(Q) при любых
постоянных а и β.
3.19.	Если / ∈ Li(Q), то ∣∕∣ ∈ LβQ) и
fdx
∣∕∣ dx.

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
51
3.20.	Если / ∈ Lι(Q), то для любого ε > 0 найдется такая
финитная функция gε ∈ C(ζ>), что ∫q |/ — gε∖ dx < ε.
3.21.	Проверить, что функция Дирихле
1, если х рациональное,
О, если х иррациональное,
интегрируема по Лебегу на [О, 1], но не интегрируема по Риману.
Чему равен ее интеграл Лебега?
/ц) = |
3.22. Найти интегралы по отрезку [О, 1] от следующих функ¬
ций (предварительно доказав их интегрируемость):
если х рационально,
если х иррационально;
если х иррационально и больше 1/3,
если х иррационально и меньше 1/3,
если
sin πx,
zγι2
б) /Ц) =
в) /(ж) =
.2
о,
Л
.3
о,
ю,
г) /Ц) = ( У”’
рационально;
д) /Ц) =
рационально;
если х иррационально и меньше 1/2,
если х иррационально и больше 1/2,
если
если х = т/п, где т,п взаимно просты,
если х иррационально;
∙-1∕3, если х иррационально,
если х рационально;
e) f (ж) — sign (sin — ).
3.23.	При каких значениях а интегрируемы по шару |ж| < 1
следующие функции:
а) дц = Д
б) /Ц) = , l '
X{X2 • ••Хпр
3.24.	Пусть д(х) — измеримая и ограниченная функция
в ограниченной области Q. Показать, что функция /(ж) =
= ∫0 dζ принадлежит Ck(Rn) при к < п — а.
3.25.	Пусть / ∈ Lι(Q)∙ Показать, что функция
г	если l∕(χ)l < n b τ04κe χ>
n∖x) ∣ jy,	если ∣∕(rr)∣ ≥ N в точке х,

52 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
интегрируема на Q и справедливо соотношение
lim fN(x) dx = /(ж) dx.
τv→∞
Q	Q
3.26. Пусть <2 = (0 <	< 1, 0 < ®2 < 1), а функция /(ж)
задана в Q следующим образом:
( Ж1Ж2 при (xι,a⅛) ≠ (0,0),
если x∖ = х2 = 0;
при (αη,a⅛) ≠ (0,0),
если x∖ = х2 = 0;
при 0 < x∖ < x2 < 1,
а)
б)
И4
о,
x2l — х%
0,
1
x2
/Ц) = < _
/Ц) =
£
~2
при О
=
О
V
Принадлежат
Принадлежат
1
f(x∖,x2) dxι,
о
Выполняется ли равенство
11 11
dxl f(x↑,x2)dx2 = dx2 f(xl,x2)dxιl
о о
1)
2)
3)
в остальных точках.
ли эти функции пространству Li(Q)?
ли Lι(0, 1) функции
1
f(xi,x2)dx2l
о
о о
3.27.	На отрезке [0,1] задана последовательность ступенча¬
тых функций f∏(x), n = 1,2,...,
{ι i	г +1
1 при -1- ≤ х ≤ —г—,
12fc	2fc
О для остальных х ∈ [0, 1],
где целые числа n, fc, г связаны соотношениями
n = 2k + i. 0≤i≤2fe-1.
Показать, что lim Γ∩ fndx = 0 и что f∏(χ) ~∕→ 0 при п —> ∞
n→∞ j υ
для х е [0,1].

§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега
Множество измеримых в Q функций, квадрат модуля кото¬
рых принадлежит Lι(ζ)), называется пространством 1/2 (Q) (при
этом, как и в случае Lι(Q), эквивалентные функции считаются
отождествленными).
В задачах 3.28-3.33 доказать утверждения:
3.28.	Если /1,/2 ∈ b2(Q), то α∕ι + /З/2 ∈ L2(Q) при любых
постоянных а и β.
3.29.	Если / ∈ 7⅛(Q) и Q — ограниченная область (или
область с ограниченным объемом), то / ∈ Lι(Q).
3.30.	Ни одно из включений Lj(Rn) С L2(W1), L2(W1) С
С Lι(Rn) места не имеет.
3.31.	Если ∕,p∈L2(Q), то ∕∙5∈Li(Q).
3.32.	Если f,gE L2(Qβ то имеет место неравенство Буня-
ковского
f ■ gdx
∣∕∣2⅛
1/2
∣^∣2cfc
1/2
3.33.	Если f,gE LyQ), то имеет место неравенство Мин¬
ковского
I/ + <∕∣2 cZ-χ∙
1/2
∣∕∣2dτ)	+
1/2
3.34. Установить принадлежность в L2(Q) следующих функ¬
ций:
а)	у = х 1∕3, Q = [О, 1];
б)	y = ∣≡Ξ,Q = (O,l)≡
' х 1∕3cosrr, ж иррационально,
в)	У = < ж-1/3,
О,
sin (ж 1X2)
х рационально, х ≠ О, Q — [—1, 1];
х = О,
г)	у = < x2l + ж|
х = О,
д) У =
ж1/3 sign
О,
, ∣x∣ ≠ о, х ≠ l∕fc, k ∈ N,
Q = [о, 1].
х = 0, х = 1 /Ат, к Е N,

54 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3.35.	При каких а и β функция /(ж) = -— 		—-π принад-
∣^iΓ + ∣x2∣
лежит L2(Q), если Q — {Ы + k2∣ > 1}?
3.36.	При каких а функция r~a, г — (х? + x^)1^2, принадле¬
жит L2(Q), если:
a) Q = (r < 1); б) Q = (г > 1)?
3.37.	При каких а функция
{sin I х ∏
|ж|“ при |ж| ≠ 0,	∣τ∣ = (ж2 + χ2 + χ2)l∕2t
О при |ж| = О,
принадлежит L2(Q), если Q = (|ж| < 1)?
3.38.	При каких а функция ∣x∣-α, где |ж| = (τf + ... + x2)1∕2
принадлежит L2(Q), если:
a) Q = (|ж| < 1); б) Q = (∖x∖ > 1); в) Q = Rn?
3.39.	Пусть функция д ∈ L2(Q), где Q — ограниченная об-
Т-Г	1	Р/ \ Г ЯМ 7	71
ласть. Показать, что функция t(x) =	ад для а < -
\х - у\	2
принадлежит пространству Ck(Q) при к < - — а.
3.40.	Показать, что для функции / ∈ L2(Q) (Q — ограничен¬
ная область) по любому ε > 0 найдется такая функция fε ∈ C(Q),
что
|/ - ∕ε∣2dx < ε.
Q
Ответы к § 3
3.21.	0.
3.22.	а) 6)⅛ в) 1 + Т; г) 0; д) e)l-21n2.
о	1 (Jo	7Г 24	2
3.23.	а) а < п\ б) а < 1; в) а < 2п.
3.26.	а) 1) нет, 2) нет, 3) нет; б) 1) нет, 2) да, 3) нет; в) 1) нет,
2) да, 3) нет.
3.35.	а>0,/3>0,± + ±<1.
3.36.	а) а < 1; б) а > 1.
3.37.	а > 4.
4
3.38.	а) а < -; б) а > -; в) ни при каких а.

§ 4. Функциональные пространства
55
§4. Функциональные пространства
1.	Линейные нормированные пространства. Комплексным
(вещественным) линейным пространством называется множе¬
ство М, для элементов которого определены операции сложения
и умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводя¬
щие из М и обладающими свойствами:
a)	fι + /2 = /2 + /1J
б)	(/1 + /2) + /3 = /1 + (/2 + /з);
в)	в М существует такой элемент 0, что 0 • / = 0 для любого
/GM;
г)	(ci +с2)/ = С1/ + с2/;
Д) c(∕ι + /2) = с/1 + с/2;
е) (cιc2)∕ = cι(c2∕)j
ж) 1 • / = /,
для любых /, /1, /2, /з из М и любых комплексных (веществен¬
ных) чисел с, c∣, C2∙
Система элементов ∕ι,..., /& из М называется линейно неза¬
висимой, если равенство cι∕ι + ... + с&Д = 0 имеет место только
при ci = ... = q = 0. В противном случае система fι,...,fp
линейно зависима. Бесконечная система ∕ι, /2, ••• называется
линейно независимой, если любая ее конечная подсистема ли¬
нейно независима.
Линейное пространство называется нормированным, если
каждому его элементу / поставлено в соответствие веществен¬
ное число ∖∖f∖∖, называемое нормой f, удовлетворяющее следую¬
щим условиям:
a)	∣∣∕∣∣ ≥ 0, причем ∣∣∕∣∣ = 0 лишь при / = 0;
б)	||/ + g∖∖ ≤ 11/11 + ∖∖g∖∖, (неравенство треугольника);
в)	llc∕ll — lcl 11/11 ПРИ произвольной постоянной с.
Для линейного нормированного пространства можно опреде¬
лить понятие расстояния между элементами p(f,g) = ||/ — д\\
и понятие сходимости по норме', последовательность ∕ι, /2, ...
сходится к некоторому элементу / (∕n —> / при п —> ∞),
если p(∕, ∕n) —> 0 при п —> оо.
Последовательность элементов ∕ι, /2, ... линейного нормиро¬
ванного пространства называется фундаментальной, если для
любого ε > 0 существует N = 7V(ε) > 0 такое, что ∖∖fm — ∕n∣∣ < ε
при т, п > N.
Линейное нормированное пространство называется полным,
если любая фундаментальная последовательность элементов име¬
56 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
ет в этом пространстве предел. Полное линейное нормированное
пространство В называется пространством Банаха.
Множество R ∈ В называется плотным в В, если для лю¬
бого элемента f ∈ В существует последовательность ∕ι,	•••
из R, сходящаяся к / (fn —» / при п —» ∞).
4.1.	Установить, что следующие множества являются линей¬
ными пространствами:
а)	множество Cfc(ζ)), 0 ≤ к < оо;
б)	множество точек n-мерного пространства Rn; множество
точек комплексной плоскости С;
в)	множество финитных в Q функций;
г)	множество ограниченных в Q функций;
д)	множество аналитических функций в области Q ком¬
плексной плоскости С;
е)	множество функций из C(Q), обращающихся в нуль на
некотором множестве Е ∈ Q;
ж)	множество C(Q ∖ {x0}), где xq ∈ Q;
3)	множество функций / из C(Q), для которых fφdx = О,
где φ — некоторая функция из C(Q), a Q — ограниченная
область;
и)	множество функций из C(Q), для которых ^sfφds — О,
где φ — некоторая функция из C(Q), a S — ограниченный
кусок гладкой поверхности, лежащей в Q;
к)	множество функций, интегрируемых по Риману (по обла¬
сти Q);
л)	множество принадлежащих Ck(Q) решений линейного
дифференциального уравнения
∑ An(x)Daf = 0, где Aa ∈ C(Q), ∣α∣ ≤ fc;
∣Q∣≤fc
м) множество измеримых в Q функций;
н) пространство Li(Q);
о) пространство L2(Q)∙
4.2.	Убедиться, что следующие множества функций не со¬
ставляют линейного пространства:
а)	множество функций из C(Q), равных 1 в некоторой точке
τ0 ∈ Q;
б)	множество функций / ∈ C(Q), для которых ^fdx= 1
(Q — ограниченная область);

§ 4. Функциональные пространства
57
в)	множество решений дифференциального уравнения
∆14 = 1.
4.3.	Доказать, что следующие системы функций линейно
независимы:
а)	1, х, х2, ..., на отрезке [a,b∖ (а <
б)	х(\ |се| = 0, 1,2,..., в области Q∖
в)	elkx, к = 0, 1,..на отрезке [а, Ь\;
r) ∣∕(^)∣fc, fc = 0, 1,..., в области Q, где /(ж) — некоторая
функция из C(ζ)), / ≠ const.
4.4.	Доказать, что множество C(Q) является линейным нор¬
мированным пространством с нормой:
1)	∣∣∕∣∣C(Q) = тах|/(ж)|; 2) ∣∣∕∣∣C(Q) = 13max∣∕(<r)∣.
4.5.	Доказать, что множество Ck(Q) есть линейное норми-
рованное пространство с нормой
ll∙∕‰(Q) = ∑max∣nα∕(<	(I)
∣α∣≤fc XEQ
4.6.	Пусть Е — некоторое множество из Q. Показать, что
множество непрерывных в Q функций f(x), обращающихся
в нуль в точках Е, есть линейное нормированное пространство
с нормой (I) при к — 0.
4.7.	Установить, что следующие множества определенных
в ограниченной области Q функций являются линейным норми¬
рованным пространством с нормой (I) при к = 0:
а)	множество функций из C(Q), финитных в Q;
б)	множество
в)	множество аналитических в Q и непрерывных в Q функ¬
ций.
4.8.	Убедиться, что в Rn можно ввести норму следующим
образом:
а) = max |х,|; б) ∣∣,τ∣∣2 =	.√∖ в) ∣∣x∣∣, = £»_, ∣a⅛∣.
4.9.	Убедиться, что при любом р ≥ 1 в Rn можно ввести
норму формулой
Найти lim ∣∣xL.
ρ→∞

58 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4Л0. Показать, что при любом р ≥ 1 в качестве нормы
в C(Q) можно взять выражение
(П)
/г ∖ 1∕p
ιι∕ιι,,= (I ι∕ι,⅛
vg
(область Q ограничена). Найти lim ∣∣∕L.
ρ→∞
4.11.	Убедиться, что линейные пространства примеров 4.4,
4.5, 4.6, 4.8, 4.9 являются банаховыми (т. е. полными в соот¬
ветствующих нормах), а линейные нормированные пространства
примеров 4.7, 4.10 при конечном р — неполными.
4.12.	Показать, что в пространствах I∕i(Q) и 1/2 (Q) можно
ввести нормы
ll∕l∣Lι(Q)
II∕IIl2(q) -
(III)
(IV)
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Пространства L∖(Q) с нормой (III) и L2(Q)
с нормой (IV) банаховы.
Подмножество Bf банахова пространства В называется
(банаховым) подпространством пространства В, если оно
является банаховым пространством с нормой пространства В.
4.13.	Пусть область Q ограничена. Показать, что:
а)	множество C(Q) функций из C(Q), обращающихся в нуль
на _границе области Q, есть банахово подпространство
C(Q) (с нормой (I) при к = 0);
б)	подмножество функций / из:
1)	C(Q)∖ 2) Li(Q); 3) L2(Q), для которых Jg f(x)φi(x) dx =
= 0, г = 1, 2, ..., s, где φ∖, ..., φs — некоторые функции
из C(Q), есть банахово подпространство пространства
C(Q) (с нормой (I) при к = 0), L↑(Q) (с нормой (III))
и L2(Q) (с нормой (IV)) соответственно.
4.14.	Показать, что счетное множество, составленное из ли¬
нейных комбинаций с рациональными коэффициентами одночле¬
§ 4. Функциональные пространства
59
нов ха, х = (яд, ..., xn), a = (cq,..., αn), ∣α∣ = 0, 1,2,..., всюду
плотно в:
a)	C(Q) (норма (I) при к = 0);
б)	Lι(Q) (норма (III));
в)	L2(Q) (норма (IV)), где Q — ограниченная область.
2.	Гильбертовы пространства. Пусть любым двум элемен¬
там f и д некоторого комплексного (вещественного) линейного
пространства Н поставлено в соответствие комплексное (веще¬
ственное) число (J,gf называемое скалярным произведением
этих элементов, обладающее следующими свойствами:
a)	(f,g) = (р, /);
б)	If + 9, /1) = (/, /1) + (flr> /1) при любой /1 ∈ Я;
в)	(cf,9^ — c(f>9) пРи любой постоянной с;
г)	для любого f ∈ Н число (/, /) вещественно и (/, /) ≥ 0,
причем (/, /) = 0 только при / = 0.
Пространство Я можно нормировать, положив, например,
ll∕ll — (∕>∕)1∕2∙ Эта норма называется нормой, порожденной ска¬
лярным произведением.
Пространство Я называется гильбертовым, если оно полно
в норме, порожденной скалярным произведением.
Последовательность элементов /1,/2, ... из Я называется
слабо сходящейся к элементу / ∈ Я, если для любого h ∈ Я
(fk, h) —> (/Л) при к —> ∞.
Элементы f и g называются ортогональными, если (f,g) =
= 0. Элемент / называется нормированным, если ∣∣∕∣∣ = 1. Систе¬
ма ci, 62, ... называется ортонормированной, если (e1,e2) = ⅛,
г = 1, 2, ....
Пусть / ∈ Я, a 6ι, 62, ... — ортонормированная систе¬
ма в Я. Числа fp = (∕,6j⅛), к = 1, 2, ..., называются коэф¬
фициентами Фурье элемента /, а сходящийся в норме Я
ряд ∑2bL(∕, C⅛)e∕c — рядом Фурье элемента f по ортонормиро¬
ванной системе eι, 62, ....
Система eι, 62, ... называется ортонормированным базисом
или полной ортонормированной системой, если она является
ортонормированной и множество элементов c∖e∖ +	+ ... +
+ срер при всевозможных постоянных c∖,...,cp и к всюду плот¬
но в Я.
Ряд Фурье элемента f по ортонормированному базису схо¬
дится в норме Я к /.

60 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.15.	Показать, что — гильбертово пространство со
скалярным произведением
(f,g) = fgdx.	(V)
4.16.	Подмножество функций / ∈ L2(Q), ортогональных
к некоторым функциям φι, ..., φ⅛ из L2(Q)1 образует
подпространство пространства L2(Q)∙
Пусть в области Q задана непрерывная и положительная
функция р(х) (весовая функция). Обозначим L2,p(Q) множество
измеримых в Q функций /(ж), для которых p∣∕∣2 ∈ I∕i(Q).
4.17.	Показать, что L2√>(Q) — гильбертово пространство со
скалярным произведением
(/,5) = pfgdx.	(VI)
Q
4.18.	Доказать, что:
a)	L2(Q) С L2φ(Q), если р(х) ограничена в Q;
б)	⅛p(Q) С b2(Q), если р(х) ≥ ро > 0 в Q (p0 = const).
4.19.	Установить ортогональность в L2(Q)(O, 2π) тригоно¬
метрической системы 1, sinх, cost;, sin2x, cos2rc, ....
4.20.	Доказать, что системы функций sin (n + |
2, ..., и cos (п + х, п — 1, 2, ..., ортогональны в L2(θ, 7r)∙
х, п = 1,
4.21.	Доказать, что многочлены Лежандра
>ω=	*	>±1⅛2
2⅛!V	2 dxn[[
l)n], n = 1,2,...,
образуют ортонормированную систему в 1).
4.22.	Доказать, что система функций
∕r2^
Tn(x) = а / - cos n(arccosж), п = 0, 1,2,...,
есть система многочленов (многочлены Чебышева), ортонорми-
рованная в Дд/у^(-1, 1).

§ 4. Функциональные пространства
61
4.23.	Доказать, что система функций
2 4П 2
Hn(x) = (-iPex	n = 0, 1,...,
есть система многочленов (многочлены Эрмита), ортогональная
В 1'2,e-≈2(-∞>∞)∙
4.24.	Показать, что отвечающие различным собственным
d2
значениям собственные функции оператора	^, заданного на
функциях из C2(0, 1) ∩ С [0, 1] при граничных условиях (hu —
— ‰)∣a,=0 =	= 0, h — постоянная, ортогональны
В L2(0, 1).
4.25.	Показать, что отвечающие различным значениям
собственные функции оператора —А, заданного на функциях
/ ∈ C2(Q) ∩ C1(Q) при граничном условии п|г = 0 или
( -—|- g(x)u ] = 0, где д ∈ С(Г), ортогональны a L2(Q)∙
\ 0U	/ | Г
4.26.	Пусть р ∈ C(ζ>), р(х) ро > 0. Показать, что отвечаю¬
щие различным собственным значениям собственные функции
оператора —y∆, заданного на C2(Q)∩C1(Q) при граничных
условиях задачи 4.25, ортогональны в L2,p(Q)∙
4.27.	Пусть р ∈ С1 [0, 1], q ∈ C[0, 1], р ∈ C[0, 1], p(x) ≥ pQ > 0.
Показать, что отвечающие различным собственным значениям
собственные функции оператора
1 d Г / х d I
p(x) dx l dx∖
р(х)’
заданного на C2(0, 1) ∩ C1[0, 1] при граничных условиях
их|ж=о = 0, (‰ + ЯЪ)|ж=1 = 0 (Я — постоянная), ортогональны
b⅛√(0,1)).
4.28.	Пусть р ∈ C1(Q), q ∈ C(Q), ρ Е C(Q∖ p(x) ≥ ро > 0.
Показать, что отвечающие различным собственным значениям
собственные функции оператора — —div (pgr ad) + q(x), задан-
ного на C2(Q)∩C1(Q) при граничных условиях задачи 4.25,
ортогональны в L2,p(Q)∙
4.29.	Показать, что принадлежащие C2(Q) ∩Cl(Q) решения
в Q уравнения ∆u = 0, удовлетворяющие при различных А гра-
/ ∂u ∖ I
ничному условию	—h Хи) | = 0, ортогональны в L2(Γ).

62 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.30.	Показать, что последовательность sinfcx, k = 1, 2,
сходится слабо к нулю в L2(O,2л), но не сходится в нор¬
ме L2(O, 2л).
В задачах 4.31-4.39 доказать утверждения.
4.31.	Если последовательность fn(x), п = 1, 2, ..., функций
из L2(Q) сходится к /(ж) по норме L2(Q), то она сходится и
слабо в f(x).
4.32.	Если последовательность ∕n(x), n = 1, 2,
функций из L2(Q) сходится к /(ж) по норме L2(Q), то
⅛Qf∏dx —> ^Qfdxf п —> ∞ (Q — ограниченная область).
∞
4.33.	Если иу ∈ L2{Q∖ к = 1, 2, ..., и ряд	сходится
к=1
∞
к и(х) по норме L2(Q)1 то J2 ⅛Qukdx —> ^udx (Q — ограни-
к=1
ченная область).
4.34.	Если последовательность fn(x), п — 1, 2, ..., функций
из C(Q) сходится к /(ж) равномерно в Q, то она сходится и по
норме L2(Q) (Q — ограниченная область).
4.35.	Если последовательность ∕n(x), п = 1, 2, ..., функций
из ⅛(Q) сходится слабо к /(ж) ∈ L2(Q)> то последовательность
норм ∣∣∕∏O)l∣L2(Q), П=1,2, ..., ограничена.
4.36.	Если последовательность fn(x), п — 1, 2, ..., функций
из L2(Q) сходится слабо к /(ж) ∈ L2{Q) и ∣∣∕n(⅛)∣∣ —> ∣∣∕(X)∣∣
при п —> ∞, то эта последовательность сходится к /(ж)
и по норме L2(Q)∙
4.37.	Для любой функции /(ж) ∈ L2(Q) имеет место нера¬
венство Бесселя
∞
∑>I2≤WI2.
/с=1
где Д, к = 1, 2, ..., — коэффициенты Фурье функции / по
ортонормированной системе βι, 62, ....
4.38.	Любая ортонормированная система βι, ..., еп, ...
в L2(Q) сходится слабо к нулю, но не сходится по норме L2(Q)∙

§ 4. Функциональные пространства
63
4.39.	Для любой / ∈ L2(Q)
min
61...en
п
f ~ ck^k
k=l
п
f ~∑fkek
k=l
fk(f,ek∖
т. е. n-я частная сумма ряда Фурье наилучшим образом прибли¬
жает /(х) в I∕2(Q)∙
4.40.	Найти многочлен второй степени, наилучшим образом
приближающий в Lz[-1, 1] функцию:
а) х3; б) sino; в) |ж|.
4.41.	Найти тригонометрический многочлен первого поряд¬
ка, наилучшим образом приближающий в ‰π) функцию:
а) |ж|; б) sin∣.
4.42.	Найти многочлен первой степени, наилучшим образом
приближающий в L2(Q) функцию x2 — х2, где Q:
а)	круг x2 + x^ < 1;
б)	квадрат 0 < х\ < 1, 0 < X2 < 1.
4.43.	Установить полноту в I∕2(Q) систем:
a)	sinfex, k = 1, 2, ..., Q = [0, тг];
б)	sin(2fc + l)rr, к = 0, 1, ..., Q = [θ,	.
В задачах 4.44-4.50 доказать утверждения.
4.44.	Многочлены Лежандра (задача 4.21) и многочлены
Чебышева (задача 4.22) образуют ортонормированные базисы
пространства 1, 1) и L2 ∏—-(— 1, 1) соответственно.
4.45.	Чтобы ортонормированная в J⅛(Q) система eι, 62, ...
была ортонормированным базисом L2(Q), необходимо и доста¬
точно, чтобы для любой функции / ∈ L2(Q) выполнялось равен¬
ство Парсеваля-Стеклова
∞
l∕l2 = ∑IΛI2∙
к=1
4.46.	Если / ∈ L%(a, &) и xkf(x) dx = 0 для к = 0, 1, ..
то /(ж) = 0 п. в. на (а, Ъ).
4.47.	Если f ∈ L2(Q) и ∫q ж“/(ж) dx = 0 для всех а, |а| = О,
1, ..то /(ж) = 0 п. в. в Q.

64 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.48.	Если Д и ду, k = 1, 2, ..., — коэффициенты Фурье
функций f и д из Z∕2(Q) по некоторому ортонормированному
базису, то
∞
(/.Л = ∑fkgk-
к=1
4.49.	Всякая ортонормированная система eι, ¾, ..., еп ли¬
нейно независима.
4.50.	Для того чтобы система функций φι, ..., φn из 1/2 (Q)
была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы опре¬
делитель Грамма det(⅛¾, φβ), i, j = 1, ..., п, был отличен от нуля.
Пусть φι, ..., φn — некоторая линейно независимая система
функций из 1/2(Q) (или ⅛p(Q))∙ Функцию ci (ж) определим
следующим образом: e↑ = ∣pη∣∙ Подберем постоянные с\ и
так, чтобы функция — c∖e∖ + czφ% была нормированной и ор¬
тогональной В Z∕2(Q) (b ^2,p(Q)) k функции 61 и т. д. При усло¬
вии, что построены функции eι, ..., en-ι, функцию еп будем
разыскивать в виде en = β↑e∖ + β^e2 + ... + βn-ien-i + βnφn
с такими постоянными β∖, ..., βn, чтобы еп была нормированной
и ортогональной к функциям eι, ..., en-i. Этот способ орто¬
нормирования системы ψ∖(x), ..., φn(rr) называется методом
Грамма-Шмидта.
4.51.	Найти явное выражение функций c‰, к = 1, 2, ..., п,
через функции φ∖, ..., φn.
4.52.	Ортонормировать в L2,p(Q) методом Грамма-Шмидта
следующие последовательности функций, предварительно убе¬
дившись в их линейной независимости:
а)	1, х, х2, х3 (р ≡ 1, Q = (— 1, +1));
б)	1 — х, 1 + x2, 1 + х3 (р ≡ 1, Q = (— 1, +1));
в)	sin2 πx, 1, cos7rrr (р ≡ 1, Q = (—!,+!));
г)	1, х, x2 (р = e~x, Q = (0, сю));
д)	1, х, x2 (p~χ2∕2, Q — (-∞, +00));
е)	1, х, x2 (р = √1 — x2 , Q = (— 1, 1));
ж)	1, х, x2 (р = 1 /√ 1 — x2 , Q = (— 1, 1)).
4.53.	Показать, что в результате ортонормирования системы
1, ж, ж2, ... методом Грамма-Шмидта в скалярное произведение
σ'9,4√⅛dι
О

§ 4. Функциональные пространства
65
получается ортонормированный базис пространства
L 1	(—1, 1), состоящий из многочленов Чебышева Tn(x),
' y∕l-x2
п = 1, 2, ....
4.54.	Ортонормировать систему многочленов 1, X[, x⅛ в кру¬
ге |ж| < 1 со скалярным произведением
(u,υ) = uυdx.
∣x∣<l
4.55.	Ортонормировать систему многочленов 1, Х[, a⅛, хз
в шаре |ж| < 1, х = (^1,^2,^3), со скалярным произведением
4.56.	Обозначим через L'2(-∞,∞) множество таких функ¬
ций /(ж) ∈ L2,1oc(-∞, ∞)> для которых существует конечный
предел ^lim — ^k~k∖f∖2 dx. Показать, что L2(-∞,∞) — гиль¬
бертово пространство со скалярным произведением
слл
lim
fc→⅛∞
к
∫ β'fa'
-к
4.57.	Доказать, что система функций егах, где а — лю¬
бое вещественное число, является ортонормированной системой
в L2(-∞,∞) (cm∙ предыдущую задачу).
3.	Гильбертово пространство дифференцируемых функ¬
ций. Пусть Q — некоторая ограниченная область простран¬
ства Rn с гладкой границей Г. Пусть а — (cq, ..., an) —
мультииндекс (см. обозначения). Функция ∈ Lιjθc(Q)
называется обобщенной производной (о.п.) порядка а функции
/ из Lιjoc(Q), если для любой финитной в Q функции
g ∈ C,∣α∣(Q) имеет место равенство 1)
fDagdx = (-l)∣α∣ f^gdx.
Q	Q
(I)
1) Более общее определение см.: Владимиров В.С. Уравнения математиче¬
ской физики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1985.

66 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Если функция / ∈ C,∣α∣(Q), то о.п. ∕(α∖x) существует в f(α∖x) =
= Daf(x) п.в. Поэтому в дальнейшем о.п. порядка а функ¬
ции /(ж) будет обозначаться через Daf.
Множество функций (для наших целей их удобнее считать
вещественными) / ∈	имеющих все о.п. до порядка к
включительно, принадлежащие (Q), называется простран¬
ством Соболева Hk(Q) (самим С. Л. Соболевым это простран¬
ство обозначено через Wk(Q)),1 Hk(Q) — гильбертово простран¬
ство. Скалярное произведение в нем можно задать формулой
J2 DafDag∖dx,
(/,<?) =
Q
а соответствующую согласованную с ним норму —
г г /	\ 11∕2
I ∑(Dajf∖dx
lq	7 j
ll∕lkfc(Q) —
(II)
(II,)
При к = 0 пространство Hk(Q) совпадает с L2(Q) (77°(Q) =
= L2(Q))∙ Если граница Г достаточно гладкая, то простран¬
ство Hfc(Q) есть пополнение множества Ck(Q) по норме (If).
Пусть / ∈ Hi(Q∖ f]ς, к — 1, 2, ..., — последовательность
функций из C1(Q), сходящаяся в норме Hi(Q) к /(ж). Для лю¬
бой гладкой (п — 1)-мерной поверхности S (состоящей из конеч¬
ного числа кусков, каждый из которых однозначно проектируется
на какую-нибудь координатную плоскость), лежащей в Q, суще¬
ствует такая постоянная с > 0, не зависящая от /(ж) и fk(x),
к = 1, 2, ..., что
∖fk fm∖ ds ≤ c∖∖fk ∕m∣∣H1(Q)*
S
Из этого неравенства и полноты пространства L2(S) вытекает,
что последовательность следов функций fk(x) на S сходится
в норме L2(S) к некоторой функции д ∈ L2(S). Функция д(х)
не зависит от выбора последовательности приближающей функ¬
ции /(ж) и называется следом f∖s функции /(ж) на поверхно¬
сти S ∈ Q.
Множество функций на Jf1(Q), след которых на границе Г
равен нулю п.в. на Г, обозначим через Hi(Q∖.
⅛1(Q) — подпространство пространства Hi(Q∖,
⅛1(Q) — пополнение по норме пространства Hi(Q) множе¬
ства финитных в Q функций из C1(Q).

§ 4. Функциональные пространства
67
Для функции / ∈ L1(Q) свертка /Щ) = ∫ςω∕λ(∣τ -
— y∣)∕(y) dy, где ω⅛(∣τ — у|) — ядро усреднения (см. обозначе-
ния), называется средней функцией для /.
Пусть xi = φi{y'), i= 1, .÷y п, у = (y↑, yn) — к раз непре-
рывно дифференцируемое в Q взаимно однозначное отображение
области Q на область Q, с якобианом, отличным от нуля в Q.
Тогда если / ∈ K1(Q), то
⅜WH⅛∙∙∙M))∈W)∙
Два скалярных произведения (u,v∖ и (и, u)π в гильбертовом
пространстве и соответствующие им нормы ∣∣vι∣∣1 и ∣∣tz∣∣π назы¬
ваются эквивалентными, если существуют постоянные с\ > О
и с2 > О такие, что для любого и ∈ Н справедливы неравенства
cι∣Mlι ≤ hll∏ ≤ c2∣Mlι∙
4.58.	Установить, что смешанная о.п. не зависит от порядка
дифференцирования.
4.59.	Показать, что из существования о.п. Daf не следует
существования о.п. Da f при a'i ≤ оц, i = 1, ..., п, ∣α,∣ < ∣α∣.
Указание. Рассмотреть функцию ∕(^ι,¾) = /1(^1) +
+ ∕2(⅛), где fi(χi) не имеют о.п. первого порядка.
4.60.	Показать, что если в области Q функция /(ж) имеет
о.п. Daf, то и в любой подобласти Q' С Q функция /(ж) имеет
о.п. Daf.
4.61.	Пусть в области Qi задана функция Д(х), имеющая
о.п. Dafι, а в области Q2 — функция f2(x), имеющая о.п. Daf2.
Доказать, что если Q∣ U Q2 — область и для х ∈ Qi ∩ Q2 Д(ж) =
= f2{x∖ ТО функция
У1(ж), ХЕ Qi,
f2(x), х ∈ Q2,
имеет о.п. Daf в 6Д U Q2, равную DaJ∖ в 6Д и Daf2 в Q3.
4.62.	Пусть
pz	x ( 1, если Ы <1, Х2 > О,
v	7 [ — 1, если ∣x∣ < 1, Х2 < 0.
Убедиться, что /(ац,х2) имеет обобщенные производные первого
порядка в каждом из полукругов, но не имеет о.п. по .т2 в кру-
re ∣x∣ < 1.
/ц) = |

68 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.63.	Доказать свойства средних функций:
a)	fh ∈ C∞(Rn)ι
б)	fy сходится при h —» 0 к /(ж) в L2(Q), если / ∈ L<2(Q)∖
в)	в любой строго внутренней подобласти Q, (⊂ Q при до¬
статочно малом h имеет место равенство (Daf)h = Dafh,
т. е. обобщенная производная от средней функции равна
средней функции от обобщенной производной.
В задачах 4.64-4.72 доказать утверждения.
4.64.	Если у функции f(x) в области Q существует
о.п. Daf = ω(x), а для функции ω(x) существует о.п. D^ω, то
существует о.п. Da+^3f.
4.65.	а) у — signx 771(-1, 1); б) у — ∣x∣ ∈ 7f1(-1, 1),
3/ = |ж| Я2(—1,1).
4.66.	Если / ∈ Я1 (a, 6) и о.п. f,(x) = 0, то /(ж) = const п. в.
4.67.	Если f ∈ Я1 (а, Ь), то /(ж) эквивалентна на [а, Ь] непре¬
рывной функции.
4.68.	Если f ∈ Я1 (—то, 00), то Нт /(ж) = 0.
∣tc∣→∞
4.69.	Обозначим через Ef1(O, 2π) подпространство простран¬
ства Hi(0,2π), состоящее из всех функций f(x) из 7f1(0, 2π),
для которых /(0) = ∕(2π).
Доказать следующее утверждение: для того чтобы функ¬
ция f(x) (из Hi(0, 2π)) принадлежала Hi(0, 2π), необходимо
и достаточно, чтобы сходился числовой ряд с общим членом
n (a∏ + bn∖ где
2π	2π
an — ∫ f (х) cos пх dx, bn — f(x) sin пх dx, п — 0, 1,2,... .
о	о
Равенство
l^l∣H1(0,2π)
= ∑(4 + ⅛)(fc2 + 1)
k=0
определяет одну из эквивалентных норм Ef1(O, 2π).
4.70.	Для того чтобы функция / ∈ L2(θ>7r) принадлежа¬
ла 771(0,7г), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

§ 4. Функциональные пространства
69
2
с общим членом k2b⅛, by = - ∫θ /(ж) sinkxdx. При этом
k=∖
ll∕ll⅛i(0,π) = (f2 + f2)dx= ^∑(k2+ 1)⅛∙
о
4.71.	Для любой / ∈ Я1 (а, Ь) имеет место неравенство (одно¬
мерный вариант неравенства Стеклова)
ь	ь
а	а
4.72.	Найти функцию /о(ж) ≠ θ, Для которой неравенство
задачи 4.71 превращается в равенство. Показать, что если /(ж) ≠
≠ c∕o(x), где с — постоянная, то для /(ж) имеет место строгое
неравенство.
4.73.	Доказать, что для любой функции / ∈ Hi (0,2л), для
которой /(0) = /(2л), имеет место неравенство
2π	2π	2π
2
/(ж) dx I .
б
(∕,)2 dx + /
J	^л
о
∕2 dx
0
4.74.	Доказать, что для любой функции / ∈ Hi (0,2л) имеет
место неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре)
2π	2π	2π
4 [ (∕,)2 dx + 4- (
J	2Л \
0	0
Указание. Воспользоваться тем, что система cos(fcx∕2),
к = 0, 1, 2, ..., является ортогональным базисом простран¬
ства Я1 (0, 2л).
\ 2
f dx I .
∕2 dx
о
4.75.	Доказать, что существует двумерное подпространство
пространства Я1 (0,2л), для всех элементов которого неравен¬
ство задачи 4.74 превращается в равенство. Найти это под¬
пространство и доказать, что для всех элементов из Я1 (0,2л),
не принадлежащих этому подпространству, неравенство зада¬
чи 4.74 строгое.
4.76.	Пусть / ∈ ⅛1(∣÷r∣ < 1), х\ = |ж| cos⅛9, x% = ∣x∣sinφ,
∕(x) = ∕(∣x∣, φ). Доказать, что lim ∫θπ ∕2(∣x∣, φ) dφ = 0.
h→i-oj

70 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.77.	Пусть / ∈ K1(∣x∣ < 1), х\ = |ж| cos⅛9, x% = ∣x∣sinφ,
∕∣∣rc∣=i = ∕z(φ)), 0 ≤ φ < 2л. Доказать, что
2π
lim [ ∖h(φ) - f(∖x∖,φ)∖2dφ = 0.
∣^∣→l-0 J
о
4.78.	Пусть f ∈ Я1 (О < х\ < 1, 0 < х% < 1). Доказать, что
1
∕2(^ι, x%) dx∖ = 0(^2) ПРИ χ2—> О-
о
4.79.	Пусть х = (^ι,¾) = (pcos⅛p,psin⅛p) и функция
/(ж) = у + pk(ak cos kφ + bk sin kφ)
fc=l
принадлежит Я1 (|ж| < 1). Выразить через ay, by интеграл
(∣grad∕∣2 + ∣∕∣2)dx.
р<1
4.80.	Пусть
∞ ∞
ψ(φ) = + ^2(<⅞cos ⅛φ + ⅛ sin⅛φ) и ^2 k(a⅛ + < ∞∙
к=1	к=1
Доказать, что существует функция f(x1,x2) ∈ Я1 (|ж| < 1) такая,
что ∕∣p=ι = χ∖ = pcosφ, х% = psi∏(^.
4.81.	При каких значениях а функция / = |ж| "sin∣s∣ при¬
надлежит Я2(|ж| < 1, х = Ц1, a⅛))P
4.82.	Доказать, что |ац|(|ж|2 — 1) ∈ H1(∣s∣ < 1), х =
= (®1,Х2,Жз).
4.83.	При каких значениях а функция / = |ж| aex' Х2 при¬
надлежит ∕f1(∣x∣ < 1), х = (ж1,Ж2,Жз)?
4.84.	Пусть f{x∖,x^) = ∑kLιak sin kx∖e~kx2, 0 ≤ xι ≤ π,
Х2 > 0- При каких ак функция / принадлежит Я1 (0 < .r∣ < л,
Ж2>0)?

§4. Функциональные пространства	71
4.85.	Пусть / ∈ Н1 (|ж| < 1), х = (xι,¾ ∙∙∙ ,%∏), ∏ ≥ 2. Обя¬
зана ли функция /(ж) быть эквивалентной непрерывной функции
в шаре ∣x∣ < 1 (ср. с результатом задачи 4.67)?
В задачах 4.86-4.90 доказать утверждения.
4.86.	Если f ∈ Я1 (Q) и /(ж)= const п. в. в Q' С Q, то grad / =
= 0 п. в. в Qf.
4.87.	Если / ∈ H1(Q) и grad / = 0 п.в. в Q, то /(ж) = const
п. в. в Q.
4.88.	Если / ∈ Hi(Q), д ∈ ⅛1(Q), то для всех i — 1, 2, ...
..., п справедлива формула ∫q fgxi dx = — ∫qgfxi dx (формула
интегрирования по частям).
4.89.	Если / ∈ Hi(Q) и р ∈ K1(Q), то для всех г — 1, 2, ...
..., п
fgxι dx = - gfxi dx + ∕pcos(nxι) dx,
Q	Q	г
где под знаком интеграла на Г стоят следы функций / и д на Г.
4.90.	⅛1(Q) есть подпространство пространства Hi(Q).
Пусть функция / ∈ L2(Q) продолжена, например нулем
вне Q. Конечноразностным отношением f(x) по переменно¬
му Xi, i = 1, 2, ..., п, будем называть при h ≠ 0 функцию
ch р = ∕(^ι,..., rri + Л,..., rrn) - /(х)
ij	h
также принадлежащую пространству L2(Q)∙
В задачах 4.91-4.96 доказать утверждения.
4.91.	Для любой финитной на (а, &) функции / из L2(a,b)
и любой функции д ∈ L2(a,b) при достаточно малых ∖h∖ имеет
место формула интегрирования по частям
(δhf,g) = -(f,δ~hg).
4.92.	При достаточно малых ∖h∖ ≠ 0 для произвольной фи¬
нитной в Q функции / ∈ L2(Q) и произвольной функции
д ∈ ⅞(Q) имеет место формула интегрирования по частям
(⅛ = -(M⅛ z=l,2,...,n.
4.93.	Если финитная на (а, 6) функция f принадлежит
Hl(a,b), то δhf(x) —> f,(x) при h —>0 в норме L2{a,b∖

72 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
4.94.	_Если для финитной на (а, &) функции / ∈ L2(a,b)
δhf → ∕(rcj
при h —» 0 в норме	то /(ж) принадлежит
Я1 (а, 6) и /(ж) является о.п. функции ∕(rc).
4.95.	Если финитная в Q функция / ∈	имеет
о.п. fxi ∈ L2(a,b) при некотором i = 1, 2, ..., п, то δtilf —> /Ж1
при h —» 0 в норме L2(Q)∙
4.96.	Если финитная в Q функция / принадлежит L2(a,b)
и δjibf —> ∕1(^) при h —> 0 в норме L2(Q) при некотором i = 1,
2, ..., п, то /(ж) имеет в Q о.п. по x↑, совпадающую с ∕ι(⅛).
4.97.	С помощью результата задачи 4.71 показать, что ска¬
лярные произведения
π	π
СЛ s)ι = (/9 + f'g') dx,	(f, 5)11 = f,9, dx
о	о
в пространстве 7f1(0, π) эквивалентны.
4.98.	Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные про¬
изведения
2π
(∕.s,)ι = (fg +f'g")dx,
о
2π
(∕,5)∏= f,g,dx +
О
в пространстве Я1 (0, 2π) эквивалентны.
4.99.	Множество Я1 (0,2π) функций / ∈ Я1 (0,2π), для
которых ∫θπ /(ж) dx = 0, есть подпространство пространства
Я1 (0,2π). Показать, что в Я1 (0,2π) скалярное произведение
можно определить соотношением (∕⅛)^1(0 2π) = So* f'9' dx.
4.100.	Пусть p(x) ∈ C(Q) и р(х) р$ > 0. Показать, что
формулой (∕,g)1 = ^pfgdx, где f,gE L2(Q), определяется ска¬
лярное произведение в L2(Q), эквивалентное скалярному произ¬
ведению ∫q fgdx.

§ 4. Функциональные пространства
73
4.101.	Пусть р ∈ C(Q), р(х) > 0 в Q \ х® и p(x0) = О,
где xq — некоторая точка из Q. Тогда формулой для (∕,g)1
задачи 4.100 определяется скалярное произведение в не
эквивалентное скалярному произведению ^fgdx (Q — ограни¬
ченная область).
4.102.	Пусть р ∈ C(Q \ х°), где xq — некоторая точка из
Q и р(х) > 0 для х ∈ Q \ ж0, р(х) —> ∞ при х —» ж0,
х ∈ Q. Показать, что в	можно ввести скалярное про¬
изведение ^fgdx, не эквивалентное скалярному произведе-
нию ^Qpfgdx.
4.103.	Пусть / ∈ Я|(|.г| < 1), ж = (xι,x2) и ∕(τ)∣∣a∙∣=ι = %>),
х\ — ∣x∣cosφ, Х2 = |ж| sinφ. Доказать, что существует такая не
зависящая от функции /(ж) постоянная с > 0, что
∕z2(⅛p) dφ +
| grad ∕∣2 dx
4.104.	Доказать существование такой постоянной с > 0, что
для любой / ∈ ∕f1(Q) имеет место неравенство Стеклова
r,	г
∕2 dx ≤ с | grad ∕∣2 dx.
4.105.	Показать, что выражение ∫q(grad/, gradд) dx зада¬
ет скалярное произведение в K1(Q), эквивалентное скалярному
произведению J*q[(/#) + (grad/,gradp)] dx.
4.106.	Пусть p,q ∈ C(Q), p(x) ≥ р$ > 0, q(x) 0. Доказать,
что скалярные произведения в K1(Q)
(/, a) = j [f9 + (grad /, grad p)] dx,
Q
(/, 5)1 = [gfg + p(grad /, grad p)] dx
Q
эквивалентны.
4.107.	Пусть вещественные функции pij, Pij(x) = Pji{x∖
i,j = 1, 2, ..., п, и q принадлежат C(Q), д ≥ 0, и для всех

74 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
х Е Q и всех вещественных ξ = (ξι, ..., ξn) ∈ Rn имеет место
неравенство
п	п
J2 ¾(a½⅞ > 7o∑ξf.
i,j=i	i=l
где постоянная 70 > 0.
Доказать, что в Hi(Q) можно определить скалярное произ¬
ведение
(/.5)1 =
Q
п	\
22 Pijfχi9^ + qfg}dx,
i,j=l	×
эквивалентное скалярному произведению
(/, 9) = If 9 + (grad f, grad g)] dx.
4.108.	Пусть p,q ∈ C(Q), p(x) ≥ Ро > θ, q(x) ≥ Qo > 0. Тогда
скалярные произведения в 7T1 (Q)
(f,g) = [fg + (grad /, grad g)] dx,
Q
(J, 9)1 = [qfg + p(grad /, grad g)] dx
Q
эквивалентны.
При решении задач 4.109, 4.113, 4.114, 4.118 полезна следую¬
щая теорема.
Теорема. Для того чтобы множество М с Hl(Q) было
компактным в L2(Q), достаточно, чтобы М было ограни¬
ченным в норме Hl(Q), т.е. чтобы существовала такая по¬
стоянная с > 0, что ∣∣u∣∣hi(q) ≤ с для всех и ∈ М. (Компакт¬
ность М в L2 означает, что из любой бесконечной последова¬
тельности элементов из М можно выбрать фундаменталь¬
ную в L2 подпоследовательность.)
4.109.	Пусть х° — произвольная точка из Q, a U = Q ∩
∩ (|ж — «о| < г) при некотором г > 0. Доказать, что существует
такая постоянная с > 0, что для всех / ∈ Hi(Q) имеет место
неравенство
∕2 dx ≤ с
| grad ∕∣2 dx + f2dx.

§ 4. Функциональные пространства
4.110.	С помощью результата задачи 4.108 показать, что
скалярные произведения в Hi(Q)
(f,g∖ = [fg + (grad /, gradg)] dx,
Q
(f, g)π = [gfg + P(grad /, grad g)] dx
эквивалентны, если непрерывные в Q функции р(х) и q(x) удо¬
влетворяют условиям: р ≥ Ро > О, q(x) ≥ 0 и g(x) ≠ 0 в Q.
4.111.	Если в условиях задачи 4.107 q(x) q$> 0, то выра¬
жение
( 22 P⅛fχigχi +gfg]dχ
Q vM=l	7
можно принять за скалярное произведение в 7f1(Q), при¬
чем оно будет эквивалентно скалярному произведению
∫q [(grad/, grad д) + fg] dx.
4.112.	Если в условиях задачи 4.107 q(x) ≥ 0 в Q и q(x) ≠ О,
то выражение
( 22 PbXi9χj +qfgjdχ
можно принять за скалярное произведение в Hi(Q), причем оно
будет эквивалентно скалярному произведению
lfg+ (grad/, grad √)]cfc.
Q
4.113.	Показать, что существует такая постоянная с > 0, что
для любой / ∈ Hi(Q) имеет место неравенство
∕2 dx ≤ с | grad ∕∣2 dx +	∕2 ds
Q	Q	∂Q '
∂Q
4.114.	Пусть ж0 — произвольная точка границы ∂Q, a U =
= ∂Q ∩ (∣rr — ад)| < г) при некотором г > 0. Доказать существова¬
76 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
ние такой постоянной с > 0, что для всех / ∈ Hi(Q) справедливо
неравенство
∕2 dx
Q
4.115. Доказать,
жение
≤c | grad /12 dx + ∕2 ds .
l q	и
что если σ ∈ C(∂Q) и σ(x) > 0, то выра-
(grad /, grad д') dx +
Q
σ∕p ds
∂Q
задает в ∕f1(Q) скалярное произведение, причем оно будет экви-
валентным скалярному произведению
(/, 5,) = If 9 + (grad /, grad p)] dx.
Q
4.116.	Доказать, что если σ ∈ C(βQf σ(x) 0, σ(x) ≠ 0, то
в Hi(Q) можно задать скалярное произведение
(∕>sθι = (grad/, gradд) dx +
Q	∂Q
эквивалентное скалярному произведению
σfg ds,
СЛ р) = [f9 + (grad /, grad p)] dx.
Q
4.117.	j/усть р ∈ C(Q), q ∈ C(Q), σ ∈ C(∂Q), р(ж) ≥ p0 > θ>
q(x) ≥ 0 в Q, σ(x) ≥ 0 на ∂Q, причем или q(x) ≠ 0, или σ(x) ≠ 0.
Тогда скалярные произведения в 7T1(Q)
(∕> P)ι = [p(grad /, grad р) + qfg] dx +
Q	∂Q
(/, Р) = If 9 + (grad /, grad p)] dx
Q
σfg ds,
эквивалентны.
4.118.	Показать, что существует постоянная с > 0 такая, что
для любой функции / ∈ H1(Q) 0Q ∈ С1) имеет место неравен-

Ответы к §4
77
ство (неравенство Пуанкаре)
f2dx^c
Q
| grad ∕∣2 dx
4.119.	С помощью результата задачи 4.118 показать эквива¬
лентность скалярных произведений
(f,g)= [fa + (grad f, grad #)] dx,
Q
<J,g∖ = (grad f, grad g)dx + f dx ■ gdx
Q	Q Q
в пространстве Hi(Q).
4.120.	Показать, что множество Hi(Q) функций / ∈ 7J1(Q),
для которых ^gfdx = 0, образует подпространство Hi(Q).
4.121.	Показать, что в подпространстве Hi(Q) можно опре¬
делить скалярное произведение (∕,p)1 = ∫q(grad/, gradр) dx, эк¬
вивалентное скалярному произведению
(/, д) = [fg + (grad f, grad ^)] dx.
Ответы к § 4
4.9.	max∣a⅛∣.
4.10.	max f(x).
л ла \ 3	3	⅛ 15®2 । 9
4.40.	а) =х; б) -ж; в)	.
5 π	16 1о
4.41.	а) — -cosx;	б) 7^-sinx.
2 7Г	О7Г
4.42.	а) 0; б) х\ — х%.
п — 1
ψn	βfc(^n, βfc)
4.51. en =	⅛.
∣∣<j‰ - yyfe(‰efc)∣∣
fc=l
4.52. а) Ро, Р2, Рз, где Рп — многочлены Лежандра (см. 4.21);

78 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
е)
2	/8	2
— , л / — х, — (4ж2 — 1) — многочлен Чебышева второго рода;
ж) То, Tι, T⅛, Tn(⅛) — многочлен Чебышева.
4	1 %Xi 2a⅛
√T √^, √^'
4	55	√3 λ∕L5 x↑ л/15 Х2 vλ15^3
2λ∕τr ’ 2√π ’ 2λ∕tγ ’ 2λ∕π
λ -ci . π(x - а)
4.72.	sin —7	-.
о — а
4.75.	Подпространство с базисными элементами 1 и cos∣.
4.79.	d⅛+∑ ⅛∣ + 2 ∑∞ I М + ⅛)).
4.81.	а < -1.
4.83.	а <
4.84.	∑ k(a2k + b2k) < оо.
fc=l
4.85.	Нет.
§ 5. Интегральные уравнения
Уравнение
<p>(x) = λ K(x,y)φ(y)dy + f(x), х ∈ G, (III)
G
относительно неизвестной функции в области G С In назы¬
вается линейным интегральным уравнением Фредгольма. Из¬
вестные функции K(x,y) и /(ж) называются ядром и свободным
членом уравнения (III); λ — комплексный параметр.
Интегральное уравнение
φ{x) = λ K(x,y)φ(y) dy, xeG,
(IV)

§5. Интегральные уравнения
79
называется однородным интегральным уравнением, соответ¬
ствующим уравнению (III).
Ядро K*(x,y) = K(y,x) будет эрмитово сопряженным к ядру
K(x,y∖, уравнение
ψ(x) = A K*(pc,y)ψ(y) dy + g(x), xeG, (I*)
G
— союзное или сопряженное уравнение к уравнению (III), а
≠(x) = A Jf*(x, y)rφ(y) dy, х ∈ G,	(II*)
G
— соответствующее однородное уравнение.
Эти уравнения иногда удобно записывать в операторной форме
(E-λK)φ = f, X-λK)φ = 0,
(E-λK*)ψ = g, (E-λK*↑ψ = 0,	( ’
где интегральные операторы Е, К и К* определяются так:
Eφ = φ, Kφ= K(x,y)φ(y) dy, K*φ = K*(x,y)φ(y) dy.
G	G
Рассмотрим два случая.
1. Область G ограничена, /(ж) ∈ C(G), р(ж) ∈ C(G), K(x,y) е
∈ С(G × G); при этом решение рассматриваемых уравнений
разыскивается в C(G).
2. Область G произвольная (в том числе и неограниченная),
∕(x) ∈ L2(G), g(x) ∈ L2(G), K(x,y) ∈ L2(G × G); в этом
случае решение разыскивается в L2(G).
Если при некотором значении параметра A (А) однородное
уравнение (IV) ((∏*)) имеет нетривиальные решения (не рав¬
ные нулю тождественно в первом случае и не являющие¬
ся нулевыми элементами L2(G) — во втором), то это чис¬
ло А (А) называется характеристическим числом ядра K(x,y)
(K*(x,y) соответственно), а соответствующие решения урав¬
нения (IV), (1Г) — собственными функциями ядра K(x,y)
(К*(х, у)), отвечающими этому собственному значению. Мно¬
жество всех собственных функций, отвечающих характеристи¬
ческому числу А (А), после присоединения к нему функции,
тождественно равной нулю, является линейным подпростран¬
ством Ker(E, — АК) (Кег(Е? — ААГ*)) пространства C(Gf) в первом
случае и пространства L2(G) — во втором.

80 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Размерность этого подпространства, то есть максимальное
число линейно независимых собственных функций, отвечающих
характеристическому числу λ (А), есть кратность 1) fc(λ) (fc(λ))
этого характеристического числа, т. е.
fc(λ) = dimKer(E-λJf),
fc(λ) = dimKer(E, — Л/С*).
Как в первом, так и во втором случаях имеют место следую¬
щие теоремы Фредгольма.
Теорема 1. Следующие три утверждения эквивалентны:
а)	уравнение (III) имеет решение при любой рассматрива¬
емой функции f(x∖,
б)	число А не является характеристическим числом ядра
K(χ,y)',
в)	если при какой-либо функции f(x) уравнение (III) имеет
решение, то это решение единственно.
Теорема 2. Число X является характеристическим числом
ядра K(x,y) тогда и только тогда, когда А является харак¬
теристическим числом ядра K*(x,y). При этом кратности
этих чисел одинаковы и конечны, т. е.
fc(λ) = fc(λ) < ∞.
Теорема 3. Уравнение (III) имеет решение тогда и только
тогда, когда функция f(x) ортогональна (в скалярном про¬
изведении (J,g) = ∫σ∕(^)g(^) dx) всем собственным функциям
сопряженного ядра, т. е.
fLKeτ(E-XK*).
При этом решение определяется с точностью до слагае¬
мого, являющегося произвольной собственной функцией яд¬
ра K(x,y), т.е. с точностью до элемента подпространства
Кег(Е-АК).
Теорема 4. При любом R> 0 в круге ∣ A∣ ≤ R комплексной
Х-плоскости не может быть более конечного числа характе¬
ристических чисел ядра R{x,t).
1) Полезно обратить внимание на задачу 4 (см. «Решение некоторых задач»
ниже).

§5. Интегральные уравнения
81
В задачах 5.5-5.7 используются следующие обозначения:
М— тах_ ∣∕C(x, у)\,
xEG ,yEG
5.1.	Показать, что интегральный оператор К с ядром K,(x,y)
ограничен из Lz(G) в L<}(G∖ если
\1С(х,уУ\2 dx dy = c2 < ∞.
G×G
5.2.	Показать, что интегральный оператор К с непрерывным
ядром K∖x,y) является нулевым в Lqj(G) тогда и только тогда,
когда /С(ж, у) = 0, х ∈ G, у ∈ G.
5.3.	Пусть ядро 1C(xiy) интегрального уравнения (III) при¬
надлежит L%(G × G). Доказать сходимость метода последователь¬
ных приближений для любой функции / ∈ L2(G), если ∣Λ∣ < ∣-∣
(постоянная с взята из задачи 5.1).
5.4.	Пусть К — интегральный оператор с непрерывным яд¬
ром. Доказать, что операторы Kp = K(Kp~i), р = 2, 3, ...,
являются интегральными операторами с непрерывными ядра¬
ми K∖x,y) и эти ядра удовлетворяют соотношениям
∕C√x,y)= [∕C(x,ξ)∕Cp-i(ξ,y)dξ.
5.5.	Показать, что ядра ∕Cp(^,y), введенные в задаче 5.4
(они называются повторными (итерированными) ядрами
ядра ∕C(x,y)), удовлетворяют неравенствам
∖JCp(x,y)∖ ≤ Mpvp~i, p=i,2,..-.
5.6.	Показать, что ряд ∑∞=(>λm∣Cm+ι(x,y), х ∈ G, у Е G,
сходится в круге |Л| < —, а его сумма TZ{x,y, А) {резольвента
-‘XJ-V

ядра ∕C(x,y)) непрерывна в G × G × ¼∕(Mυ) и аналитична по А
° κpyre |А| < ⅛'
Показать также, что при ∣λ∣ < решение интегрального
уравнения (III) единственно в классе C(G) и для любой / ∈ C(G)
представляется через резольвенту 1Z(x, у, А) формулой
Дж) = /(ж) + Л 'R(x,y,X)f(X)dy.

82 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.7.	Показать, что резольвента 1Z(x,y, А) (см. задачу 5.6)
непрерывного ядра 1C(x,y) удовлетворяет при ∣λ∣ < каждому
из уравнений:
а)	?г(ж, у, A) = A ∫ Цх, ξ)7^(ξ, у, A) dξ + JC(x, у\
G
б)	ТДх, у, А) = Л ∫ КЦ, y)'R{x, ξ, A) dξ + Цх, у);
в)	Э7г(^У’Л) = jp(τ,ξ,λ)^(ξ,y,λ)dξ.
В задачах 5.8-5.13 рассматриваются интегральные уравнения
вида	x
K,(x,y)φ(y)dy = /(ж),	(IV)
о
X
Дж) = А ∕C(x,y)⅛σ(y)dy + ∕(x),	(V)
о
которые называются интегральными уравнениями Волътерра
первого и второго родов соответственно.
5.8.	Пусть выполнены следующие условия:
а)	функции ∕C*(x,y) и ∕Cc(x,y) непрерывны на множестве
О ≤ х ≤ у ≤ а;
б)	/С(ж, х) ≠ 0 для всех х;
в)	∕∈C1(0, а) и /(0) = 0.
Доказать, что при этих условиях уравнение (IV) равносильно
уравнению
=	[⅛r4^y)^∙
K∖x,x) J JC(x,y)
О
5.9.	Показать, что дифференциальное уравнение
y(n) + a1 (x)y^n~1^ + ... + an(x)y = F(z)
с непрерывными коэффициентами α⅛(^), (г = 1, 2, ..., п) при
начальных условиях y(0) = Со, y,(0) = Ci, ..., y(n-1)(0) = Cn~ι
равносильно интегральному уравнению (V), где
rv ∖	/ ∖ {χ — yYn~i
K(x,y) = 22	(to-i)∣ ’
771=1

§5. Интегральные уравнения
83
∕(s) = F(x) - C,n-iαι(x) - (Cn-ix + Cn-2)a2(x) -
/	<rn-l
- cn-17^-+ ... + cb
5.10.	Пусть JC Е С (ж ≥ 0), /С(х) = 0 при х < 0. Доказать,
что обобщенная функция
£(ж) = <5(ж) + V (ж), где V =	*/С * ... * £,
т раз
т=1
есть фундаментальное решение оператора Вольтерра второго ро¬
да с ядром lC(x,y) (см. (V)), т. е.
£ - /С * £ = δ.
Показать, что при этом ряд для TZ(x) сходится равномерно
в каждом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному
уравнению Вольтерра
X
1Z(x) — /С(ж — y)1l(y) dy + /С(ж), τ≥0
о
(функция Н(х — у) является резольвентой ядра /С(ж — у) при
Λ=l).
Пример 1. Решить интегральное уравнение
1
φ(z) = λ (xy + (x2 + 3x)y2)φ(y)dy + f(x),
-1
x∈[-l,l], f(x)∈C[-l,l].
Найти характеристические числа и собственные функции ядра.
Δ Если уравнение (1) имеет решение, то оно представляется
в виде
φ(x) = λxCι + λ(x2 + 3^)(¾ + /(х), х ∈ [—1, 1],	(2)
где
1
C↑ = yφ(y) dy,	(3)
-1
1
c2 = y2φ(y) dy.	(4)
-1

84 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Из (2)-(4) следует, что
Ci =
y{λyC∖ + λ(y2 + 3y)C2 + /(у)) dy =
-1
1
= (ACιy2 + λC2y3 + 3ΛC2y2 + y∕(y))dy =
-1
1 1
= ((ΛC,1 + 3AC2)y2 + y∕(y)) dy = ∣(ΛC1 + 3λC2) + f y∕(y) dy.
О
-I I	-I
C2 =
y2(λyCl + λ(y2 + 3y)C2 + /(у)) dy =
-1
1
= (λCιy3 + λC'2y4 + 3λC2y3 + y2∕(y)) dy =
1
((ΛC,2y4 + y2∕(y)) dy = ∣λC2 +
О
-1
1
y2f(y)dy.
Отсюда получаем систему линейных уравнений относитель¬
но Cι и С2 с параметром А:
/	2 \	Г
Cι(l-∣λ)-2λC2= yf(y)dy,
\ о /
-1
1
C√l-∣λ) = f y2∕(y)⅜
X О /
(5)
Если определитель системы (5) отличен от нуля, то систе¬
ма имеет единственное решение при любой правой части, т. е.
3	5
если A ≠ -, Л ≠ -, то для любой функции /(ж) ∈ С[— 1, 1] полу¬
чаем, что 2
1
—С y2∕(y) dy,
1-Iλ-ι
1 1
—С	У Гу) dy + 2λ2	y2∕(y) dy
1 - xλ L J.	1 - iλ J.
(6)
(7)

§5. Интегральные уравнения
85
и уравнение (1) имеет единственное решение, задаваемое форму¬
лой (2), где С\ и C72 определяются формулами (6) и (7).
3
Пусть А = Тогда система (5) приобретает вид
f 1
Cι∙0-3C2= [ yf(y)dy,
<	1	^1	(8)
IC,2 =	y2∕(y) dy.
О
< -1
Следовательно, если функция /(ж) такова, что справедливо
равенство
(7 Г + {y)f(y)dy = 0,	(9)
∖ Z о /
-1
называемое условием разрешимости, то система (8) имеет беско¬
нечно много решений:
(71 — любое число,
1
C,2 = | y2∕(y) dy.
-1
Уравнение (1) в этом случае также имеет бесконечно много
решений:
хЕ [-1,1], Ci ∈R.
Если условие (9) не выполнено, то система (8) и, следовательно,
уравнение (1) решений не имеют.
5
Пусть А = Тогда система (5) приобретает вид
1
2	Г
-(C1-5C2= yf(y)dy,
О
-1
1
C,2 • 0 = y2∕(y) dy.
-1
(10)

86 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Следовательно, если функция /(ж) такова, что справедливо ра¬
венство	1
y2∕(y)⅜ = θ>	(11)
-1
то система (10) имеет бесконечно много решений вида
1
C,ι = -f yf(y)dy - y<¾,
-1
C⅛ — любое число.
Уравнение (1) в этом случае также имеет бесконечно много
решений:
φ(x) = -|ж
yf(y) dy + у C,2) +
+ |(®2 + 3®)С2 + /(®),
х Е [-1,1],
С?2 Е К.
Если условие (И) не выполнено, то уравнение (1) решений не
имеет.
Из сказанного согласно первой теореме Фредгольма имеем,
3	5
что числа λ = λι = - и λ = λ2 = 2 (и только они) являются
характеристическими числами ядра уравнения (1).
Теперь найдем собственные функции.
3
Если λ = -, то система (8) при /(ж) ≡ 0, х Е [—1,1], приоб¬
ретает вид
Г Ci • 0 - 3C2 = 0,
< 2
ι⅛=°.
Отсюда С2 = 0, Cι — любое число.
Следовательно, согласно (2) характеристическому числу λι =
3	A	( \
= - отвечает собственная функция φι(x) = х.
5
Пусть λ = -. Тогда система (10) при /(ж) ≡ 0, х Е [—1,1],
приобретет вид
- ∣C1 - 5C2 = 0,
С2 • 0 = 0,

§5. Интегральные уравнения
87
15
откуда находим C∖ = — — 6⅞, С2 — любое число. Следовательно,
5
согласно (2) характеристическому числу λ2 = - отвечает соб¬
ственная функция
Ыж) = |® (-yC2) + |(ж2 + 3®)С2 =
где (?2 — любое число, не равное нулю, или
5„ /2	9
/ \	2 θJJ
φ2{x)	- у-
Отметим, что из второй теоремы Фредгольма следует, что сопря¬
женное ядро
к* (®, у) = ху + (у2 + Зу)®2
имеет характеристические числа, совпадающие в силу их веще-
ственности с характеристическими числами ядра K(x,y), при¬
чем (согласно третьей теореме Фредгольма) характеристическо-
3	л	ж	5 2 l 1	/
му числу - отвечает собственная функция -х + -х (см. условие
разрешимости (9)), а характеристическому числу - отвечает
собственная функция х3 (см. условие разрешимости (И)). А
Пример 2. Решить интегральное уравнение
π
n(rr) = λ (ж sin у — cos2 y)u(y) dy + /(ж), ^∈[-π,π],	(1)
—π
∕(rr) ∈ С[—π,π]. Найти характеристические числа и собственные
функции соответствующего интегрального оператора.
Δ Из уравнения (1) следует, что
u(x) = λx
π
u(y) sin у dy — Л
π
u(y)cos2ydy+ /(ж) =
= λxCl — λC2 + /(®), ® ∈ [—7Г, 7г],
Cι= u(y) sin у dy,
(2)
—π

88 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
π
c2 = u(y)cos2ydy.
—π
(3)
Поэтому решение уравнения (1), если оно существует, имеет вид
u(x) = λxC∖ — λCf2 + /(ж), х ∈ [—л,л],	(4)
где С\ и C⅞ определены равенствами (2) и (3).
Используя формулу (4), запишем равенства (2) и (3) в виде
Ci
С.
smy{λyCγ - λC2 + f(y∖)dy = 2πλC,ι + Ду) sin у dy,
cos2 y(λyC,ι - λC2 + /(у)) dy = -πλC2 + /(у) cos2 у dy.
Отсюда получаем систему линейных уравнений относитель¬
но Ci и С*2 с параметром А:
π
C,ι(l-2λπ)=	sin у ∙ f(y)dy,
—π
π
C2(l÷πΛ) = cos2 у ∙ f(y) dy.
—π
(5)
Если определитель системы (5) не равен нулю, т. е. если λ ≠
1 2π
λ ≠ —, то система (5) имеет единственное решение при любой
л
правой части,
π
Cl = -j	Г Sin у • /(у) dy,
1 — 2лА
—π
π
<⅞ = 1 +1πλ cos2 У- f(y) dy, (6)
— 7Г
и, следовательно, уравнение (1) при любой функции /(я), ∕(x) ∈
∈ С[—л, л], имеет единственное решение вида
u(x) — λxC↑ — λC2 + /(ж), х Е [—л, л],	(7)
где С\ и С2 определены равенствами (6).

§5. Интегральные уравнения
89
Пусть А = Тогда система (5) приобретает вид
2л
Ci 0 =
sin У ∙ f(y)dy,
(8)
C2∙f
∞s2 у ■ f(y) dy.
если функция /(ж), /(ж) ∈ С[—л,л],
Отсюда следует, что
такова, что справедливо равенство
siny√(y)⅛∕ = 0,
(9)
то система (8) имеет бесконечно много решений:
C↑ — любое число,
cos2 у ■ f(y) dy.
Поэтому уравнение (1) имеет бесконечно много решений:
/ ч 1 r 1
4х) = 7ГхС^ ~ Т"
2л Зл
cos2 у ■ f(y) dy + f(x),
х ∈ [-π, л], C∖ Е R.
Если же функция /(ж) такова, что равенство (9) не выполняется,
то уравнение (1) решений не имеет.
Пусть А = — —. Тогда система (8) приобретает вид
л
z	π
3Cι = sin у ∙ f(y)dy,
<	(Ю)
о ∙ c2 = cos2 у ■ /(у) dy.
<	— π
Следовательно, если функция /(ж) такова, что справедливо ра¬
венство	π
cos2 у ■ f(y) dy = 0,	(11)
—π

90 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
то система (10) имеет бесконечно много решений:
siny∕(y)dy, C⅞ — любое число.
Таким образом, уравнение (1) также имеет бесконечно много
решений:
π
и(х) = sinyf(y)dy+ -C2 + f(x), x∈[-π,π], C2∈R.
отг J	π
—π
По первой теореме Фредгольма числа Λ = λι = ^-Hλ = λ2 =
1 2π
= — - (и только они) являются характеристическими числами
ядра уравнения (1).
Найдем теперь соответствующие собственные функции.
Если λ = то система (8) при /(ж) ≡ 0, х ∈ [—7r,7r], приоб¬
ретает вид π
г cl • о = о,
I 1С2 = °’
откуда находим С2 = 0, С\ — любое число.
Следовательно, характеристическому числу λι = — отвечает
согласно (4) собственная функция и\(х) — х.
Если λ = —, то система (10) при /(ж) ≡ 0, х ∈ [—7r,π],
7Г
приобретет вид
Г ЗС1 = 0,
[ С2 • 0 = 0,
откуда следует, что С\ = 0, С2 — любое число. Поэтому характе¬
ристическому числу Х2 = — - отвечает согласно (4) собственная
7Г
функция U2(x) = 1.
Решим теперь уравнение (1) в случае конкретной функ¬
ции /(ж). Пусть, например, /(ж) = 3sinх + cosх.
Тогда если λ ≠ Λι и λ ≠ Х2, то из (7) находим
u(x) = λrrCι — XC2 + 3 sin х + cos х, х ∈ [—π, π],
где постоянные С\ и С2 определены равенствами (6), т. е.
2(1 - 2τ⅜f + 35in'τ + ∞sτ∙
X ∈ [—7Г, 7г].

§5. Интегральные уравнения
91
Если Л = —, то система (8) принимает вид
2л
fc'1∙o = ⅜,
I С2 • 2 = О
и, следовательно, решений не имеет. Таким образом, уравне¬
ние (1) при Л =	/(ж) = 3sinx⅛cosx не имеет решений.
2л
Если Л = —, то система (10) принимает вид
'
k с2 • о = о
и, следовательно, имеет бесконечно много решений:
Cι — ∣∙, ¾ — любое число.
Таким образом, уравнение (1) при A = — -, f(x) = 3sinx +
+ cosx имеет бесконечно много решении:
х 1
u(x) = — - + -Cf2 + 3si∏X + COS Ж, τ∈[-7T,7r], C⅞ ∈ R. А
2 л
Пример 3. Решить интегральное уравнение
π
φ(x) = А (ж sin у + у cos x)φ(y) dy + a sin х + Ъх,
— 7V
при всех допустимых значениях a, b, Л.
Δ Обозначим
π	π
C∖ = sin у ∙ φ(y)dy, C2 = yφ(y) dy;
—π	—π
тогда уравнение (1) примет вид
φ(x) = λCι х + λC2 cos х + a sin х + Ьх.
Из (2) и (3) получим
π
Ci =	sin у(λCι у + λCr2 cos у + a sin у + &у) dy,
—π
(1)
(2)
(3)
π
C2 = y(λC↑y + λC,2cosy + α sin у + by) dy,
—π

92 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
откуда находим
C∖ = λCι • 2л + ал + 2л6,
λ _ 2π3 r, 7 2π3
С? = λCι -7^— + а ∙ 2л + Ь^—.
о	о
(4)
Систему (4) запишем в следующем виде:
( Су (1 — 2лА) = ал + 2πb,
| -А2^С1+С2 = 2ал+2^.
х	о	о
Определитель ∆(λ) системы (5) равен ∆(λ) = 1 — 2лА.
∆(λ) ≠ 9, т. е. A ≠ —, то система (5) имеет единственное
2л
ние при любых а и Ъ\
~	ал — 2лЬ	~ 2л3А(ал + 2л&) n 2л36
С*1 = 3 УТ’ c2 = ТТ—о n + 2απ + ^^V∙
1 — 2лА	3(1 — 2лА)	3
Подставляя С\ и C2 из (6) в (3), найдем при A ≠ единственное
/1 ∖	2sκ
решение интегрального уравнения (1).
Пусть А = —, тогда система (5) примет вид
2л
( Ci • 0 = (а + 25)л,
I - Vι+C2 = 2α7r+^.
\ о	о
Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда выполня¬
ется условие
(5)
Если
реше-
(6)
(7)
а + 2Ь = 0.	(8)
Условие (8) является необходимым и достаточным условием раз¬
решимости уравнения (1) при А = —. Здесь 		характеристи-
2л	2л
ческое число интегрального уравнения
φ(x) = А	(ж sin у + у cos x)φ(y) dy.
Общее решение однородной линейной системы
' C1 • 0 = 0,
< π3
- ⅞G + С2 = 0,
L	О

§5. Интегральные уравнения
93
соответствующей системе (7), имеет вид
C,ι = С, C2 = 7^C,
О
где С — произвольная постоянная.
В качестве частного решения системы (7) можно взять
С? = 0, CS = 2aπ-^.
δ	3
Поэтому общее решение системы (7) имеет вид
Cι=C, C2 = ⅞C + απf2-⅞∖	(9)
О	\ О /
Подставляя С\ и C2
нения (1) при λ = —
1	и
записать формулой
из (9) в (3), найдем все решения урав-
при условии (8). Эти решения можно
Λπ2
π2 А
^6^ у
cos х + αsinx,
2
где А — произвольная постоянная.
Пример 4. Решить интегральное уравнение
1
⅛p(x) = λ (6x2 — 5x2y + 3xy2)φ(y) dy + а + bx3, ж ∈ [—1,1], (1)
-1
при всех допустимых значениях a, b, λ. Найти характеристиче¬
ские числа и собственные функции ядра.
Δ Если уравнение (1) имеет решение, то оно представляется
в виде
φ(x) = λCqx2 + ЗАС^ж + а + bx3, х ∈ [— 1, 1],	(2)
где
1
Cfι = (6 — 5y)φ(y) dy,	(3)
-1
1
C,2 = y2φ(y) dy.	(4)
-1

94 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Из (2), (3) и (4)следует, что
1
C∖ = (6-5y)(ΛC'ιy2 + 3AC'2y + α + 6y3)dy =
-1
= 4ΛC,ι - 10λC2 + 12α-26,
1
C2 = [ y2(λC,ιy2 + 3λC'2y + а + 6y3) dy = ∣AC,ι + |а.
О	о
-1
Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно С\
и C2 с параметром А:
(1 -4λ)Cι + 10λC2 = 12а -26,
2χr .r 2а	(5)
--ΛC1+C2 = y.
Определитель ∆(λ) системы (5) равен
∆(λ) = (2λ — I)2.	(6)
1
2’
(7)
Если определитель ∆(λ) системы (5) отличен от нуля, то система
имеет решение при любой правой части, то есть если A ≠ -,
то для любых чисел а и b получаем
_ 2(18α-36 — 10αλ)
1	^	3(2A — I)2
10α + 32αA — 12ЬХ
2	=	15(2A - I)2
и уравнение (1) имеет единственное решение, задаваемое форму¬
лой (2), где С\ и C2 определяются формулами (7) и (8).
Пусть А = то есть ∆(λ) = 0. Тогда система (5) приобрета¬
ет вид
(8)
-Cl +5C,2 = 12а-26,
-⅛+C,2 = ⅞.
О	о
О)
Следовательно, если числа а и b таковы, что справедливо равен¬
ство
= 12a-26,	(10)
о

§5. Интегральные уравнения
95
называемое условием разрешимости, то система (9) имеет беско¬
нечно много решений:
C∖ = 5Cf2 — C⅛ — любое число.
Уравнение (1) в этом случае также имеет бесконечно много
решений:
/ \	1 9 (г10α ∖ n 1	13α q
φ{x) = -x2 I 5C2	— ) + 3 ∙ -xC2 + а + -½~x.
Z \	о /	Z	<J
1
2
Отсюда получаем
φ(x) = Cγ(5rr2 + Зх) - ^x2 +	+ а,
о	о
где С — произвольная постоянная.
Если условие (10) не выполнено, то система (9) и, следова¬
тельно, уравнение (1) решений не имеют.
Из сказанного (согласно первой теореме Фредгольма) следу¬
ет, что число Л = λι = - и только оно является характеристиче¬
ским числом ядра уравнения (1).
Теперь найдем собственные функции ядра. Если А = -, то си¬
стема (5) при а = 0 и b = 0 приобретает вид
Г -Ci +5C2 = 0,
I -1C1+C2 = O.
к О
Отсюда C[ = 5C2, С% — любое число.
Следовательно, характеристическому числу λι = - отвечает
собственная функция
⅛3ι(x) = ^x2 ■ 5C2 + 3 ∙ ⅛xC2 = γ(5x2 + Зж),
где С2 — любое число, не равное нулю, или
⅛9i(x) = 5ж2 + Зх.
1
2
Заметим, что кратность fc(Λι) характеристического числа λι =
равна fc(λι) = 1, так как характеристическому числу λι =
отвечает одна собственная функция φι(^) = 5x2 + Зх; в то же
время кратность λι = - как корня характеристического много¬
члена ∆(λ) = (2λ — I)2 (см. (6)) равна нулю.	▲

96 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Пример 5. Решить интегральное уравнение
u(τ) = Λ (x,y)u(y)dy + ∕(τ), |ж| ≤ 1,	(1)
Ы<1
∕(x) ∈ С(|ж| ≤ 1), где х = (x↑,x2,x3) ∈K3, у = (уьУ2,Уз) ∈ ^3∙
Найти собственные функции и характеристические числа соот¬
ветствующего интегрального оператора.
Δ Из уравнения (1) следует, что
u(x)=λx1 y1 ■ u(y)dy+λx2 y2 ■ u(y)dy+λx3 у3 ■ u(y)dy+f(x) =
= λxιCι + λx2C2 + λx3C3 + /(ж), |ж| ≤ 1,
где	1
Cj = Vj ∙ u(y) dy, J = 1 > 2,3.	(2)
M<ι
Поэтому решение уравнения (1), если оно существует, имеет вид
u(x) = λxιCι + λx2C2 + λx3C3 + /(ж), |ж| ≤ 1,	(3)
где Cj, у = 1, 2, 3, определены равенствами (2). Используя
формулу (3), запишем равенства (2) в виде
Ci — yι(λyιCfι + λy2C2 + λy3C3 + /(у)) dy —
∣y∣<1
= ΛC,ι ∙ Δ + yι . y(y) dy,
M<1
C,2 = y2(λy1C1 + λy2C2 + λy3C3 + /(у)) dy =
Ы<1
= λC2 •	+ у2 . /(у) dy,
1 о
l⅛l<ι
C3 =	y3{^y∖C∖ + λy2C2 + λy3C3 ÷ /(у)) dy =
l⅛l<1
= λc*3' ⅞ + Уз' Гу) dy-
Ы<1

§5. Интегральные уравнения
97
Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно С\,
С% и Сз с параметром Л:
<7ι 1 -
У1 • /(У) dy,
С2
У2 ■ f(y) dy,
(4)
C3 1-
Уз ■ f(y) dy.
yj-f(y)dy, j = 1,2,3,
(5)
15
Если определитель системы (4) не равен нулю, т. е. если A ≠	,
4τr
то система (4) имеет единственное решение при любой правой
части:
С = 1 •
j 1 - ^A J
15	Ы<1
и, следовательно, уравнение (1) при любой функции /(ж), ∕(x) ∈
∈ C(∣x∣ ≤ 1), имеет единственное решение
u(x) = λx[C{ + λx2C2 + λx3C3 + ∕Gc), ∖x∖ ≤ 1,
где Cj, j = 1, 2, 3, определены равенствами (5).
Пусть А = Тогда система (4) приобретает вид
4л
(6)
Отсюда следует, что если функция /(ж), /(ж) ∈ C(∣x∣ ≤ 1), тако¬
ва, что справедливы равенства
yj ∙ f(y) dy = 0, j= 1,2,3,
I2∕∣<1
(7)

98 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
то система (6) и, следовательно, уравнение (1) имеет бесконечно
много решений:
1 5
= j-(χιcι + χ2c2 + Ж3С3) + /(ж),	∖x∖ ≤ 1,
Cι, C2, С3 — любые числа.
Если же функция /(ж) такова, что хотя бы одно из ра¬
венств (7) не выполняется, то уравнение (1) решений не имеет.
15
По первой теореме Фредгольма λ = —- — единственное ха-
4л
рактеристическое число интегрального оператора, кратность его
равна 3.
В силу самосопряженности ядра K(x,y) — (x,y) — K*(x,y)
из второй и третьей теорем Фредгольма вытекает, что собствен¬
ные функции, отвечающие характеристическому числу Л = -—,
4л
суть функции Xi, Х2 и х%.	▲
Пример 6. Найти характеристические числа и собственные
.	τs< \	(у- 0 ≤ У ≤ ж ≤ 1,
функции ядра K(x,y) = ■>
I Jb у k√ eZ∕ у 1 •
Δ Требуется найти значения А, при которых уравнение
1
u(x) = X K(x,y)u(y) dy, х ∈ [0, 1],
о
имеет нетривиальные решения и найти эти решения.
Пусть и(х) — одно из таких решений, u(x) ∈ С[0, 1]. Тогда из
равенства
u(x) — X yu(y) dy + Хх u(y) dy, х ∈ [О,
о	о
следует, что u(x) ∈ С1 [0, 1] и
1 1
u'(x) — Xxu(x) + λ u(y) dy — Xxu(x) — X u(y) dy,
Из (2), в свою очередь, следует, что n(x) ∈ С2[0, 1] и
(1)
(2)
uπ(x) = —λιz(x), х е [0, 1],	(3)
т. е. искомая функция и(х) есть решение дифференциального
уравнения (3) и удовлетворяет в силу (1) и (2) граничным

§5. Интегральные уравнения
99
условиям
11(0)= 0, √(l) = 0.	(4)
Таким образом, интересующая нас задача свелась к задаче нахож-
d2
дения спектра дифференциального оператора	^ на множестве
dx
функций из C2[0, 1], удовлетворяющих граничным условиям (4).
/ 7Г	\
А решение этой задачи хорошо известно: λ = λ∕c = I - + πk 1 ,
к = 0, 1, 2,	— совокупность собственных значений этого
оператора, являющихся характеристическими числами нашего
ядра, а соответствующая система собственных функций —
uk(χ) = sin (ту + х, fc = 0, 1,2,....	▲
Пример 7. Найти резольвенту интегрального уравнения (1)
примера 1.
3	5
Δ Из решения примера 1 следует, что если λ ≠ -, λ ≠ -,
то уравнение (1) примера 1 имеет единственное решение, зада¬
ваемое формулой (2) примера 1, где постоянные С\ и C⅞ опре¬
деляются соответственно формулами (3) и (4) примера 1. (Здесь
напомним, что нумерация формул в каждом примере своя, т. е.
в каждом примере формулы нумеруются от (1), ..., (n), п G N.)
Из (6) примера 1 получаем
1
C,2 =	[ y2f(y) dy.	(*)
О — ZA
0
Из (7) примера 1 получаем
1 1
3
3-2Л
-1
(y+τ≡⅛λy2)f(y^dy∙
Ду) dy +
О Z А /
Подставляя (*) и (**) в (2) примера 1, получаем
1
z λ 3λx f
= 3^2λ J
-1
1
^5λ(^ + 3A f y2f^dy + f^χγ τ∈[-i,ι]. (***)
5-2λ
-1

100 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
Упрощая (***), получаем
1
⅛φ) = λ R(x,y, X)f(y) dy + f(x), же [-1,1],
-1
r,z ла Г 3	/ 10λy ∖	5y(.r + 3jl
где R(x, у, Л) = ху\ -—— 1 + -—— + r' есть иско-
|_О ZA \ О Zj∖J О Δλ, J
мая резольвента.	А
5.11.	Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтер-
ра (V) с ядром lC(x,yy.
1)/С(ж,у) = 1;	2) K(x,y) = х - у.
5.12.	Решить следующие интегральные уравнения:
X
1)	<р(ж) = х + ∫(y - x')φ(y) dy;
о
X
2)	<Дж) = 1 + A ∫(x - y>(y) dy;
о
X
3)	<Дж) = А Дж - y)φ(y) dy + ж2,
о
5.13.	Показать, что если j∈C1(x≥ 0), g(fi) = 0, 0 < а < 1,
то функция
X
•	г J∕λ∖
о
удовлетворяет интегральному уравнению Абеля
х
0
В задачах 5.14-5.35 ядро ∕C(x,y) интегрального уравнения
является вырожденным, т. е.
N
K(x,y') = У2 /т(жЦт(у)>
т=1
где функции fm(x) и gm(y) (т =1,2,..., 7V) непрерывны в квад¬
рате a ≤ х, у ≤ b и линейно независимы между собой. В этом
случае интегральное уравнение (1) можно записать в виде
N
</?(ж) = /(ж) + A Cmfm(x),
т=1

§ 5. Интегральные уравнения
101
где неизвестные ст определяются из системы алгебраических
уравнений.
5.14.	Решить интегральное уравнение
<Дж) = А /С(ж, y)φ(y) c⅛∕ + Дж)
о
в следующих случаях:
1)	/С(ж, у) = х — 1, /(ж) = х;
2)	JC(x,y) = 2ex+y, /(х) = еж;
3)	/С(ж, у) — х + у — 2xy, f(x) — х + х2.
5.15.	Решить интегральное уравнение
= А /С(ж, y)φ(y) ⅛∕ + Дж)
-1
в следующих случаях:
1)	/С(ж, у) = ху + x2y2, /(ж) = х2 + х4;
2)	/С(ж, у) = ж1/3 + у1/3, f(x) — 1 — 6ж2;
3)	/С(ж, у) = x4 + 5x3y, /(ж) = х2 — х4;
4)	/С (ад у) = 2xy3 + 5x2y2, /(ж) = 7ж4 + 3;
5)	/С(ж, у) = x2 — ху, f(x) = х2 + х;
6)	1С(х, у) = 5 + 4xy — 3x2 — 3y2 + ‰2y2, /(х) = х.
5.16.	Решить интегральное уравнение
φ{x) = Л /С(ж, y)φ(y) dy + /(ж)
о
в следующих случаях:
1)	1С(х, у) = sin(2x + у), /(ж) = л — 2ж;
2)	K∖x,y) = sin (ж — 2у), /(ж) = cos2x;
3)	/С(х, у) = cos(2rr + у), /(ж) = sinх;
4)	/С(ж, у) = sin(3x + у), /(ж) = cosx;
2х
5)	/С (ад у) = sin у + у cost:, /(ж) = 1	;
7Г
6)	/С (ад у) = cos2(x — у), ∕(x) = 1 + cos4x.
5.17.	Решить интегральное уравнение
2π
ДД = A K,{x,y)φ(y')dy + f(x)
о

102 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
в следующих случаях:
1)	∕C(re, у) = cos х cos у + cos2xcos2y, /(ж) = cos3x;
2)	/С (re, у) = cos х cos у + 2 sin 2x sin 2у, /(ж) = cos x∖
3)	/С (re, у) = sin х sin у + 3 cos 2x cos 2y, /(ж) = sin x.
5.18.	Найти все характеристические числа и соответствую¬
щие собственные функции следующих интегральных уравнений:
2π г	। -1
О φ(x) = λ ∫ sin(x + y) + - φ(y)dy,
0 l	2j
2π г	J-!
2)	φ(x) = Л ∫ cos2(τ + y) + - φ(y)dy,
о l	zj
1 г	9 ^∣
3)	φ(x) = λ ∫ α⅜2 - — φ(y) dy,
о l
<Лу) dy,
π
5) φ(x) = A ∫(sin х sin 4y + sin 2x sin 3y + sin 3x sin 2y +
o
+ sin 4x sin y)φ(y) dy.
5.19.	Найти характеристические числа, собственные функ¬
ции интегрального оператора. Решить при всех допустимых Л
уравнения:
π
2	Г
1)	φ(x) — A ∫ (cosy + re3)φ(y) dy + 2cosх, х ∈ —
1
2)	φ(x) = A ∫ (shre + rc2y2)φ(y) dy — 3, х ∈ [—1,1];
-1
2
3)	φ(x) = A J (у2 + x)φ(y) ⅜ + 1, X ∈ [-2, 2];
-2
4)	φ(re) = λ Г (arctgreH	^‰(y) dy + 3re2 + 3, х ∈ [-1, 1];
-1 V	1+у /
1
5)	φ(x) — A ∫ (re2y + 2x — rey)φ(y) dy + Зх + 1, х ∈ [— 1, 1];
-1
1
6)	φ(x) = A ∫ (9rey — Зх — у + 3)</?(у) dy + Зх + 1, х ∈ [— 1, 1];
-1
1
7)	φ(x) = λ∫(5xy + х — 2y)⅛9(y) dy + 1 — Зх, х ∈ [0, 1];
о

§ 5. Интегральные уравнения
103
1
8)	φ(x) = λ^(2xy2 + 6ж — 3)</?(?/) dy — 5х + 3, х ∈ [0, 1];
о
1
9)	φ(x) = λ ∫ (5x2y3 + 7x3y2)φ(y) dy + Ьх + 7ж4, хе [—1, 1];
-1
π
10)	φ(x) = λ ∫ (ж sin у — cos2y)φ(y)dy + 3sinrr + cos ж,
—π
X ∈ [—7Г, 7г];
1
11)	φ(x') = λ ∫ {3xy2 + ⅛x2y)φ(y) dy + 5ж3 — 7ж4, х ∈ [— 1, 1];
-1
12)	= A J (∣≈coβ, + l,coβa) φfe)⅛ + ^ + 2πsml, x <=
∈ [-7Г, 7г];
π∕3
13)	φ(x) = 2λ J (cos 3x cos бу — 2sin3xsin6y)⅛p(y) dy —
о
— 3 cos 9ж + 2 sin 9ж, х ∈ 0, - ;
Г π1
14)	φ(x) — 2λ ∫ sin(3x — 6y)φ(y) dy + 15cos9x, х ∈ 0,	-	;
о	l	3-i
π∕4	/	π∖
15)	φ(x)=2λ ∫ (4cosxcos3^+sinxsin3?/)(/?(?/) dy — sin( 5х — - 1.
0	\	4/
1≡[°'iP
π/8
16)	φ(x) = 2λ ∫ (4 sin 6x cos 2у — Зсо8бж8ш2у)</?(у) dy +
-1
+ (π — 6) cos2rr + 2(π + 1) sin2x, х ∈ [θ, ^^∣;
L о J
2∕4	\
17)	φ(x) = A ∫ (	- 1 ) φ(y) dy + 3x2 - 4, х ∈ [1,2];
1 V У	/
1
18)	φ(x) = λ ∫(2yfxy — l)<^(y) dy + Юж — 9, х ∈ [0, 1];
о
1 / 3τ2	\	Г1 1
19)	</?(х) = λ ∫ ( — - 8 j ⅛j(y) dy - 6x2 + 7, х ∈	1 ;
1/2 X У	/	'-z j
111 2 Z р	х
20)	φ(x) = λ ∫ f∣e3^-3e⅛U(y)dy+4e3rε-18, хЕ [0,1п2];
1
21) φ(τ) = Л∫(24τ3y2 — 14τ + 3)φ(y) dy — 12x3 + 1, х ∈ [0,1];
о

104 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
1
22)	φ(x) = ∫ (15x3 — 3x2y + 4)φ(y) dy + 9x + 1, х ∈ [— 1, 1];
-1
1
23)	φ(x) = λ∫(3x2 — 3xy + l)⅛2(y) dy + 4х — 1, х ∈ [0, 1];
о
1
24)	φ(x) = A ∫ (x3 + 3xy + 10y)φ(y) dy + Зх + 5, х ∈ [—1,1].
-1
5.20.	При каких значениях параметров а и b разрешимо
интегральное уравнение
1
φ(x) — 12
О
ху -	+	⅛Φ) dy + ах2 + Ьх - 2?
Найти решения при этих значениях а и Ь.
5.21.	При каких значениях параметра а разрешимо
гральное уравнение
1
⅛p(x) = √15 [у(4ж2 - Зх) + ж(4у2 - 3y)] φ(y) dy + ах +
о
Найти решения при этих значениях а.
5.22.	Выяснить, при каких значениях А интегральное
нение
инте-
урав-
1
2π
φ(x) = λ cos(2x - y⅛(y) dy + /(ж)
о
разрешимо для любой /(ж) ∈ С[0, 2π] и найти решение.
5.23.	Найти решения следующих интегральных уравнений
при всех значениях параметров а, Ь, с, входящих в свободный
член этих уравнений:
π∕2
1)	φ(x) = λ ∫ (у sin ж + cosy)⅛p(y) dy + ах2 + Ь;
—π∕2
π
2)	φ(x) — A ∫ cos(x + y)φ(y) dy + a sin х + Ь;
о
1
3)	φ(x) = A ∫ (1 + xy)φ{y) dy + ax2 + bx + с;
-1

§ 5. Интегральные уравнения
105
1
4)	φ(x) = A ∫ (x2y + xy2)φ(y) dy + ах + Ьх3;
-1
I 1
5)	φ(x) = A ∫ -(xy + rr2y2⅛(y) dy + ах + Ь;
-1 2
1
6)	φ(x) — X ∫ [5(xy)1∕3 + 7(rr¾∕)2∕3] φ(y) dy + ах + Ьх1/3;
-1
7) φ(x) = X ∫
-1
1 +xy φ(y) dy + a + x + Ьх2;
1 + У
1
8) φ(x) = A ∫	+ fyy)φ(y) dy + ax2 + bx + с;
-1
1
9) φ(x) = λ ∫ (ху + x2 + y2 — 3x2y2)φ(y) dy + ах + Ь.
-1
5.24.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядра lC(x,y) и решить интегральное урав¬
нение
1
<Щ	) = K,(x,y)φ(y)dy + f(x)
-1
при всех Л, а, Ь, если:
1)	/С(ж, у) = Зх + ху — 3x2y2, f(x) = ах;
2)	JC(x, у) = 3xy + 3x2y2, f(x) = ax2 + Ьх.
5.25.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядра 1C(x,y) и решить интегральное урав¬
нение
π
φ(x) = λ K(x,y)φ{y}dy + f(x)
—π
при всех А, а, Ь, если:
1)	1С(х, у) = ж cos у + sin х sin у, /(ж) = а + 6 cos ж;
2)	1С(х, у) = х sin у + cos х, f(x) = ах + Ь.
5.26.	Решить интегральные уравнения при всех А и при всех
значениях параметров а, Ь, входящих в свободный член этих
уравнений. Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядер интегральных операторов:
1
1)	φ(x) = A ∫ (3xy + y2 — y)φ(y) dy + ах + Ь, хе [—1,1];
-1

106 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
1
2)	φ(x) = Л ∫ (chx + (у + V)x)φ(y) dy + ax3 + b, х ∈ [-1, 1];
-1
1
3)	φ(x) = A ∫ (3xy + x2 — x)φ(y) dy + ах + b, х ∈ [—1,1];
-1
1
4)	φ(x) = Л ∫ (shx + xy)φ(y) dy + a ch х + bx, х ∈ [—1,1];
-1
1
5)	φ(x) = A ∫ (ж2/3 — xy)φ(y) dy + a∖x∖ + bx3, х ∈ [—1, 1];
-1
1
6)	φ(x) = A ∫ (ху — ∣aψ∣)φ(y) dy + ax3 + bx2, х ∈ [—1, 1];
-1
1
7)	φ(x) = λ ∫ (1 — х + x1∕3y)⅛9(y) dy + a∖x∖3 + bx3, х ∈ [—1, 1];
-1
2
8)	φ(x) = A ∫ (ху + |ж| — 2)⅛^(y) dy + a∖x∖ + te1∕3, х ∈ [—2, 2];
-2
1
9)	φ(x) = A ∫ (ж — 6xy — 3y)φ(y) dy + a + 5bx3, х ∈ [—1,1];
-1
1
10)	φ(x) = A ∫ (6x2 — 5x2y + 3xy2)φ(y) dy + а + bx3,
х ∈ [-1,1];
1
11)	φ(x) = λ∫(xy2 + 2x2 — 3x2y)φ(y) dy + a + bx, х ∈ [0, 1];
о
1
12)	φ(x) = A∫(3x — 4жу + x2y2)φ{y) dy + а + bx2, х ∈ [О, 1];
о
1
13)	φ(x) = A ∫ (|ж| + x2y)φ{y) dy + αcosx + bx, х ∈ [—1,1];
-1
1
14)	φ(x) = A ∫ (ж2 + ∣x∣y)φ(y) dy + αcosx + bx3, х ∈ [— 1, 1];
-1
π∕2
15)	φ(x) = λ ∫ (sin ∣x∣+cosxsiny)(∕p(y) dy+a+bx, хЕ — -, - ;
-π∕2	L 2 2j
7γ∕2
16)	φ(τ) = Λ ∫ (sin ∣y∣ + ∣x∣ siny)φ(y) dy+a+bsinx, хЕ —, - ;
-π∕2	L 2 2j

§ 5. Интегральные уравнения
107
17)φ(x) = λ ∫ ^⅛≤∣^+y3)^(y)dy+α+8‰, ж ∈ [-∣,
—тг/2
π∕2 /	β \	г	-1
18)⅛j(rr) = Λ J* (x2 siny+-xjφ(y) dy+ax+bx2, х ∈ —	;
—тг/2
π∕2
19)	⅛p(x) = λ ∫ (sinrr+y cosrr)<p(y) dy+αsinrr÷b, rr∈ —;
-π∕2	L 2 2J
1
20)	φ(x) = A ∫ (x2y + 15y⅛)⅛p(y) dy + а + bx, х ∈ [—1, 1];
-1
1
21)	φ(x) = A ∫ (у + xy2)φ(y) dy + a + bx, х Е [—1,1];
-1
1
22)	φ(x) = A ∫ (5,r2y + 3xy2)φ(y) dy + а + bx3, х Е [—1,1];
-1
1
23)	φ(x) = A ∫ (у(1 + Зж) — y2)φ(y) dy + ax3 + bx2, х ∈ [—1,1];
-1
π/2
24)	φ(x) — A J (2sin∣y∣ + (х — 1) siny)φ(y) dy + a sin х + Ь,
— Тг/2
Г π 7Г“|
1Ч"2’2];
1
25)	φ(x) = A ∫ (ху + (x2 + 3τ)y2)φ(y) dy + ax2 + bx, х ∈ [—1,1];
-1
1
26)	φ(x) = A ∫ (xy3 — x2y2)φ(y) dy + ax2 + x3, х ∈ [—1,1];
-1
π
27)	φ(x) = A ∫ {x sin у + cos у cos x)φ(y) dy + ах + cos х,
—π
х Е [—7Г, 7г];
1
28)	φ(x) — A ∫ (x2y2 — xy)φ(y) dy + x3 + а, х Е [—1, 1];
-1
π
29)	φ(x) = A ∫ (ж2 cos у + у sin x)φ(y) dy + cos х + a sin х,
— 71
X Е [—7Г, 7г].

108 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.27.	Найти решение и резольвенту 1Z(x,y, А) следующих
интегральных уравнений:
π
1)	φ(x) = λ∫sin(x + y)φ(y)dy + ∕(z)5
о
1
2)	φ(x) = λ ∫ (1 - у + 2xy)φ(y) dy + /(ж);
-1
π
3)	φ(x) = A ∫ (ж sin у + cos x)φ(y) dy + ах + b;
— 7Г
2π
4)	φ(x) = A ∫ (sinх sin?/ + sin2x sin2y)φ(y) dy + /(ж),
о
5.28.	Найти все значения параметров а, Ь, с, при которых сле¬
дующие интегральные уравнения имеют решения при любых А:
1
1)	φ(x) = A ∫ (ху + x2y2)φ(y) dy + ах2 + Ьх + с;
-1
1
2)	φ(x) = A ∫ (1 + xy)φ(y) dy + ax2 + bx + с,
-1
где a2 + b2 + c2 — 1;
3)	φ(x) = A ∫ ^+ХУ уу _р χ2 aχ
-1 √1 - у2
1 /	1 \
4)	φ(τ) = A ∫ (ху - - I φ(y) dy + ax2 - bx + 1;
о	δ∕
1
5)	φ(x) = A ∫ (ж + y)φ(y) dy + ах + b + 1;
-1
2π
6)	φ(x) = A ∫ cos(2x + 4y)φ(y) dy + eax+b∖
о
π
7)	φ(x) = A J (sin х sin 2y + sin 2x sin 4y)φ(y) dy + ax2 + bx + c,,
О
1
8)	φ(x) = A ∫ (1 + x2 + y3)φ(y) dy + ах + Ьх3.
-1
5.29.	Найти все значения параметра а, при которых инте¬
гральное уравнение
1
φ(x) = λ (ax-y)φ(y)dy +f(x)
О
разрешимо для всех действительных Л и всех ∫∈C'(O,1).

§ 5. Интегральные уравнения
109
5.30.	1) Найти условия на /(ж) ∈ С[—π,π], при которых урав¬
нение
φ{x) = λ (|х| + у sinτ⅜(y) dy + /(ж),
разрешимо при всех А.
2)	Найти условия на ∕(x) ∈ С I — ∣-, I, при которых уравне¬
ние
π∕2
‘/’(ж) = A (∣y∣ sin |ж| + у • ИМу) dy + /(ж), х ∈ [-|, |],
-π∕2
разрешимо при всех А.
3)	Найти условия на f(x) ∈ С I — I, при которых уравне¬
ние
π∕2
φ{x} = A (2sin∣y∣ + (ж - 1) siny>(y) dy + /(ж),
—тг/2
разрешимо при всех А.
4)	Найти условия на /(ж) ∈ С I — ∣-, I, при которых уравне¬
ние
π∕2
^(ж) = А sin(∣x∣ + y)φ(y)dy + f(x),
—тг/2
разрешимо при всех А.
5.31.	Найти решение уравнения
1)	</?(ж) = Л ∫ (xe~χ2 ∙ cos3 у + 1—cosze⅜2'∖ φ(y') dy + /(ж),
_1 \	х	/
ж ∈ [—1,1].
2) у>(ж) = A ∫ fsin3x ∙	+ жсЬж(у2 + 2)е^2') φ(y) dy + f(x),

110 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3) ⅛p(⅛) = λ∫ (xeχ2 ∙ sh4 y + sinx(y2 — у4) c0syj⅛2(y) dy + f(x),
х ∈ [—1,1].
4) φ(x) = λ ∫ frrsh2 х ∙	У + sin3 х ∙ y1 ch у j φ(y) dy + f(x),
-1 \ У	/
х ∈ [-1,1].
При каких /(ж) ∈ С([— 1, 1]) и А решение существует? Каково
множество характеристических чисел сопряженного ядра?
5.32.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции следующих интегральных уравнений:
1 Г	3	I
1)	φ(χ∖,χ2) = A ∫∫ pl + x2 + —(yι +y2)] ⅛⅜1,y2)⅜ dy2;
2)φ(τ) = λ ∫ [∖x∖2+ ∖y∖2]φ(y)dy, х = (xι,x2), у = (yi,y2∖,
Ij∕∣<1
3)φ(x) = λ ∫ ^γ∖ψ(y) dy, x = (xl,x2,x3y у = ^yl,y2,y3).
Ы<1 1 + |ж|
5.33.	Выяснить, имеет ли интегральное уравнение
φ{x) = λ [∣χ∣2 - ∣y∣2] φ(y)dy, x = (xl,x2,x3y y = (yι,y2,y3)
∖y∖<i
вещественные характеристические числа, и если имеет, то найти
соответствующие собственные функции.
5.34.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции ядра 1C(x,y) =	+ 2/12/2 и решить инте¬
гральное уравнение
1
⅛φι,a⅛) = A (xιx2 + yιy2)φ(y1,y2) dyl dy2 + f(xl,x2).
5.35.	Найти характеристические числа, собственные функ¬
ции, а также то значение параметра а, при котором интегральное
уравнение разрешимо для любых А. Найти решение при этом
значении а (в задачах x = (xι,τ2), у = (yi,y2)):
l)φ(τ) = λ ∫ (6∣x∣2 - 2∣y∣2) φ(y) dy + |ж|2 + a, ∣x∣ < 1;
hl<ι
2)</?Ц) = А ∫ (10|ж|2 - 6|ж| ∙ ∣y∣) φ(y)dy + ∣x∣2 + α∣x∣, |ж| < 1;
∣3∕∣<ι

§ 5. Интегральные уравнения
111
3)φ(x) = λ ∫ (-4∣x∣1 2 + 12∣y∣2) φ(y) <⅛∕ + 2(|ж|2 + а), |ж| < 1;
l⅛l<ι
4)φ(x) = λ J* (—12|х|2 + 20|®| ∙ ∣y∣) φ(y)dy + α∣x∣2 + ∣x∣, |ж| < 1.
M<1
В задачах 5.36-5.40 ядро /С (ж, у) интегрального уравне¬
ния (III) является эрмитовым, т. е. совпадает со своим эрмитово
сопряженным ядром:
∕C(x,y) = K*(x,y) = K,(y,x).
В частности, если эрмитово ядро является вещественным, то оно
симметрично, т. е. K∖x,y) -1C{y,x).
Эрмитово непрерывное ядро ∕C(x,y) ≠ 0 обладает следующи¬
ми свойствами:
1)	множество характеристических чисел этого ядра не пусто,
расположено на действительной оси, не более чем счетно и не
имеет конечных предельных точек;
2)	система собственных функций {φ∕c} может быть выбрана
ортонормальной:
[ψk∙> ψrrι) — ^km∙
5.36.	Доказать, что если K∖x,y) — эрмитово ядро, то ха¬
рактеристические числа второго итерированного ядра K^(x,y)
(см. задачи 5.4-5.5) положительны.
5.37.	Доказать, что если ядро 1C(x,y) является кососим¬
метричным, т. е. K∖x,y) = —∕C*(x,y), то его характеристические
числа чисто мнимые.
В задачах 5.38-5.40 предполагается, что характеристические
числа λp эрмитова непрерывного ядра ∕C(τ, у) занумерованы в по¬
рядке возрастания их модулей, т. е.
∣λι∣ ≤ ∣Λ2∣ ≤ ∣λ3∣ ≤	,
и каждое из этих чисел повторяется столько раз, сколько ему со¬
ответствует линейно независимых собственных функций. Тогда
можно считать, что каждому характеристическому числу λ∕c со¬
ответствует одна собственная функция φ⅛. Систему собственных
функций {</?&} будем считать ортонормальной.
5.38.	Пусть /С(ж, у) — эрмитово непрерывное ядро, JCp(xi у) —
повторное ядро ядра K,(x,y). Доказать формулы:
1) ΣS=i⅛^ = ∫K⅛!∕)I2⅛
λm	а
∞	1	b
2) ∑ ⅛ = πκ(1.,,)∣2⅛<⅛
т=1^m а

112 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
3)	(Kf,f) — X	, / ∈ L<2.(G'), К — интегральный
т=1	^⅛
оператор с ядром /С(ж,у);
∞	1	b
4)	Σ τ⅛ = ^∖fCp(x,y)∖2dxdy, р = 1, 2, ....
m=l ^m а
Пусть ∕Cn(x,y) — п-е повторное ядро для эрмитова непрерыв¬
ного ядра 1C(xiy). Назовем величину
ь
an = 1Cn(x,x)dx, n=l,2,...,
а
п-м следом ядра lC(x,y).
5.39.	Доказать, что:
1	∖	c‰÷2
I)	отношение 	— не убывает и ограничено;
О^2п
2)	существует lim ^2n и этот предел равен наименьшему
∏→∞ α‰+2
характеристическому числу ядра /С2(ж,у);
∞ |
3)	ттг = a∏ ≥ 2), где λm, т = I, 2, ..., — характери-
772=1 ^TΠ
стические числа ядра ∕C(τ,y), ∣Λι∣ ≤ ∣Λ2∣ ≤ ■■■',
4)	тт—г = lim , ∕ct2n+2 = lim 2P∕a⅛l ■
∣A11	n→∞ у C‰ n→∞ v
5.40.	Пусть А не является характеристическим числом эр¬
митова непрерывного ядра K,(x1y). Доказать, что (единственное)
решение уравнения
ь
φ(x) = λ IC(x,y)φ(y)dy + /(ж)
а
можно представить в виде ряда
⅛=<i) = λΣ⅛γ⅛⅛5"∙(∙i>+^(i>'
т=1
равномерно сходящегося на G, а для резольвенты TZ(x, у; Л)
имеет место формула
2-—-z	Λrrι Л
m=ι
где билинейный ряд сходится в L2{G × G).

§ 5. Интегральные уравнения
ИЗ
5.41.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
1
φ(x) = λ lC(x,y')φ{y')dy
О
в следующих случаях:
5.42.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения с ядром 1C(x,y)
в следующих случаях:
5.43.	Найти характеристические числа и соответствующие
собственные функции интегрального уравнения
φ(x) = λ ω(x + y)φ(y)dy
—π

114 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
в следующих случаях:
1)	ω(t) — четная 2л-периодическая функция, причем ω(t) =
= t, если t ∈ [0,тг];
2)	ω(t) — четная 2л-периодическая функция, причем ω(t) =
= π —1, если t ∈ [О, л].
5.44.	Найти все характеристические числа и соответствую¬
щие собственные функции интегрального уравнения с ядром
)C(x,y) = ω(x — у), где ω(t) — непрерывная кусочно-гладкая чет¬
ная 2л-периодическая функция, 0 ≤ х ≤ 2л, 0 ≤ у ≤ 2л.
5.45.	Решить интегральное уравнение
1
</?(х) = Л K(x,y)φ(y)dy + f(x),
о
р/ х	.ιx	х (	χ, если 0 ≤	х ≤ у ≤ 1,
если /(ж)	∈ С2( 0, 1 )	и ∕C(x,y)	= <	n .	.	. 1
j v j vl ’ j∕ \ γy, если о ≤ у ≤ x ≤ 1.
Пусть /С (ж, у) — непрерывное ядро интегрального уравнения
Выражение
ь
r,
⅜φ) = λ JC(x,y)φ(y)dy + /(ж).
а
д-. / Ж 2	∙ ∙ ∙ X∏
\У1 У2 • • • Уп
/С(жьу1) /С(жьу2)
/С(ж2,У1) K(x2,y2)
∕C(τn,yι) /С(жп,у2)
называется символом Фредгольма, а функция
P(λ) = 1 +
∞	д
7 п\
п=1
(VI)
K(xι,yn)
K(x2,yn')
K(^xn, yn)
(VII)
где
ъ
κ(t.x t.2 ■■■ tAdtldt2...dtn,
∖tι t2 ... tnJ
а
(VIII)
называется определителем Фредгольма ядра ∕C(τ,y) или инте¬
грального уравнения (VI).

§ 5. Интегральные уравнения
115
5.46.	Доказать, что коэффициенты Ап определителя Фред¬
гольма удовлетворяют неравенствам ∖An∖ ≤ πn∕2Mn(b — a)n. Вы¬
вести отсюда, что D(λ) — целая функция от А.
Указание. Использовать неравенство Адамара (см. [2]).
Минором Фредгольма называется функция
<√O	Z	к
D(x, у; Л) = А/СЦ, у) + ∑(-ψ-gra^⅛+1, (IX)
п=1
где
Bn(z,y)
⅛ • • • t∏
Н ⅛ • • •
dt∖ dt% ... dtn
(X)
5.47.	Показать, что если ∕C(x,y) — непрерывная в квад¬
рате L: (a ≤ х, у ≤ 6) функция, то D(xiyiX) — непрерывная
функция переменных х, у, А в L × С и D(x,y;A) (при фиксиро¬
ванных х и у) является целой функцией от А.
5.48.	Доказать, что коэффициенты Ап функции Bn(x,y)
и ядро K∖x,y) (см. (VII)-(X)) связаны равенствами:
1)	Bn(x,y) = AnK,(x,y) - п Bn-l(x,ξW(ξ,y) dξ-,
а
2) Bn(x, у) = AnK,(x,y)-n∖K,(x, C)Bn-χ^, у) dξ.
а
Указание. Разложить определитель, входящий в подынте¬
гральное выражение для Bn(x,y), по элементам первого столбца.
5.49. Доказать первое и второе фундаментальные соотноше¬
ния Фредгольма
ь
D(x, у, А) - А/СЦ, y)B(λ) = A f Цх, ξ)D(ξ, у; A) dξ,
а
b
D(x, у, А) - А/Щ, y)D(X) = A f ∕C(ξ, y)D(x, ξ-, A) dξ.
а
Указание. Воспользоваться разложением (IX), сравнить
коэффициенты при одинаковых степенях А в левой и правой ча¬
стях доказываемых равенств и применить результат предыдущей
задачи.

116 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.50. Доказать формулы
ь
An = Bn~↑(x,x) dx,
а
b
D(x,x,X) dx = -λD∖X).
а
5.51. Доказать формулу
W)
П(А)
ты ап определены для задачи 5.39).
∞
ctnλn^1 (коэффициен¬
та!
5.52.	Пусть определитель Фредгольма D(X) интегрального
уравнения (VI) не равен нулю. Доказать, что в этом случае ин¬
тегральное уравнение для любой /(ж) ∈ C([α, &]) имеет решение
(и при том только одно) и что это решение дается формулой
^(ж) = /(ж) + ⅞⅛3/(у) dy-
J 1Aλ)
а
5.53.	Используя представление решения интегрального урав¬
нения при |А| <		у через резольвенту 1Z(x,y,X) (см. зада¬
чу 5.6) и результат предыдущей задачи, доказать формулу
7г(х,у;Л) =
ppc1yX)
AD(λ)
(эта формула определяет аналитическое продолжение резольвен¬
ты, заданной при ∣λ∣ <		у в виде ряда (см. задачу 5.6)).
5.54.	Доказать, что характеристические числа интеграль¬
ного уравнения с непрерывным ядром совпадают с нулями опре¬
делителя Фредгольма D(X) этого уравнения.
5.55.	Доказать, что ранг т характеристического числа Λq
интегрального уравнения с непрерывным ядром K,(x,y) конечен
и имеет место неравенство
ь
т ≤ ∣λo∣2	∣∕C(x, ?/)|2 dxdy.
а
5.56.	Доказать, что определители Фредгольма непрерывного
ядра 1C(xiy) и союзного с ним ядра 1C*(xiy) совпадают и, сле¬
довательно, данное и союзное уравнения имеют одни и те же
характеристические числа (см. задачу 5.54).

Ответы к § 5
117
при ∣A∣ < 1 интегральное уравне-
∞ ∞
I -dt∖φ(y)dy
О \х—
5.57.	Показать, что ранг характеристического числа для дан¬
ного непрерывного ядра и союзного с ним ядра один и тот же.
5.58.	Доказать, что
ние Милна
φ(χ) = |
имеет единственное решение φ = 0 в классе ограниченных функ¬
ций на [0, ∞).
5.59.	Для интегрального уравнения Пайерлса
Д f e-a∖χ-y∖
Д®) = tξ η	iτ^(2∕) dy, « > °’
4πJ ∖x-y∖
G
доказать оценку
где D — диаметр области G С R3, λι — наименьшее по модулю
характеристическое число ядра.
5.60.	Доказать, что при A < | решение интегрального урав¬
нения
∞
9?(ж) = A e~∖x~y∖φ(y) dy + /(ж), ≈∈R1,
—∞
единственно в классе ограниченных в R1 функций и выражается
формулой
∞
e-√l-2λ∣x-⅛∣y^^
—∞
ДД = /(ж) + -7=Λ
√1 -
Ответы к § 5
5.11.	1) e^x~y'>-, 2) -Lsh√λ(z-y).
V А
5.12.	1) sinrr; 2) сЬ(д/Ап;); 3) y(chVzλ^ — 1).
А
5.14.	1) Если А = —2, то решений нет; если A ≠ —2, то φ{x) =
2ДА+ 1) - А.
аТ2 ’

118 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
2)	если Л ≠ Ль где λι = —2	, то φ(x) = 			; при А = λι,
е — 1	1 — A(e — 1)
уравнение не имеет решений;
Qλ λ / о \_l a I ∖	12А2ж — 24Аж — λ2 + 42λ λ o
3)	если A ≠ 2 и A ≠ -6, то φ(x) =	6(A÷6)(2-A)	; ПРИ λ = 2
и А = — 6 уравнение не имеет решений.
5.15.	1) Если A ≠ | и A ≠ |, то φ(x) —	+ х2 + ж4; если
2	2	(\О — 2А)
А = -, то φ(x) = Сх + —ж2 + ж4, где С — произвольная постоянная;
5
при А = - уравнение не имеет решений;
2)	φ(x) =	⅛(χ>∖∕x ÷ θzM ÷ 1 - 6χ2, если
; при А =
уравнение не имеет решений;
3)	φ(x) = ∣7∣A2f)≈4 + χ2> если A ≠ | и A ≠ ⅛7(a0 = Cx3 + x2 - |ж4
1	5
при А = -, С — произвольная постоянная; при λ = - уравнение не
имеет решений;
4)	φ(x) = 12°2λχ2 + 7χ4 ÷ 3’ если λ ≠ | и λ ≠	= 7ж4 ÷ 3 -
50	5	1
——х2 + Сх при А = -, С — произвольная постоянная; при А = -
уравнение не имеет решений;
5)	φ(x) = 3J(53	+ х2, если A ≠ ±|; φ(x) =	+ х3 + Сх2 при
3	3
А = -, С — произвольная постоянная; при А = — - решений нет;
1	3	5
Ai = -, то φ(x) = С\ + -х; если А = А2 = -, то φ(x) =
о	2	о
3_.		ч.
∖'^zl rl ''-z z	H∣JUriUUυ∣∕lUlllJlV liυv I ∖JJL 1111u1vy у ιι^√rl
уравнение не имеет решений; если A ≠ (г = 1,2,3),
Зх
6) если А =
= Cz(3x2 — 1) — (Ci и С*2 — произвольные постоянные); при
А = Аз =
Т° ÷) = 3^8A∙
3
8
5.	16. 1) φ(x) = sin2x + π — 2х, если λ≠^πλ≠-1; φ(x) =
О — 2τΛ	о	Z
= л — 2х — 2 sin 2x + С cos 2х, где С — произвольная постоянная, если
3	3
А = —-; при А = - уравнение не имеет решений;

Ответы к § 5
119
2) ∏x) = 9m71^i ⅞'∣ s'r' 2'z' + cos2a- если λ ≠ и λ ≠ -р ⅛9(a0 =
Z(ZA “г о)	Z	zτ
= соз2ж—— sin ж + С cos ж, где С — произвольная постоянная,
3	3
если А = — -; при А = — - уравнение не имеет решений;
3) φ(χ} — sin ж ÷
8A2-9
л l 3
3
если A ≠ ±—при
2√2
з
cos 2x + - sin 2
A = уравнение не имеет решений;
4)	φ(x) = sin3x ÷ cos х при всех значениях Л;
5)	φ(x) = 1 -	- θπ‰jcos,Λ если λ≠±b φ(x) = ⅛ -	+ (8 +
+ π2cosx)C, где С — произвольная постоянная, если А = -; при
\ 1
А = — - уравнение не имеет решении;
6)	φ(x) =		к 1 + cos4x, если A ≠ - и A ≠ -; φ(x) = cos4rr — 1 +
2 — λττ	π	7Г
+ C[ cos 2ж + С2 sin2x, где С\ и — произвольные постоянные,
4	2
если Л = -; при Л = - уравнение не имеет решений.
5.	17. 1) φ(x) = cos3x, если A ≠ -; φ(x) = cos3x + C∖ cos ж +
π 1
+ C2∞s2x, где С\ и С% — произвольные постоянные, если А = -;
π
2)	φ(x) = c°4 s rc , если A ≠ - и A ≠	; φ(x) = 2 cos х + С sin 2ж, где
1 — λπ	7Γ	2π
„	Л	1	Л 1
С —	произвольная постоянная, если А =	—-;	при А	= —	уравнение
о	2π	7г
не имеет решении;
3)	φ(x) = .sina∖ , если A ≠ - и λ φ(x) = smx С cos 2х, где
1 — ττλ	тт	отт	2
Л	1	Л 1
С — произвольная постоянная, если А =	; при А = — уравнение
о	3π	7г
не имеет решении.
5.18. 1) Al = -, sin ж + cos ж, 1; λ2 = — -, cos ж — sin ж;
тт	тт
1	2	2
2) Ai = -—, 1; А2 = -, соз2ж; A3 = —-, зш2ж;
2тт	тт	тт
3) λι = -45, Зж2 - 2; λ2 =	15ж2 - 1;
О
4) Ai = |, Зж2/5 + ж-2/5; А2 = —Зж2/5 — ж-2/5;
о	2

120 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
2	2
5) Λι = —, sin х — sin4rr, sin2x — sin3ir; λ-> = -, sin2x + sin3rr,
7Γ	π
sin х + sin 4^4.
^-+3ж2 + 3;
2 7ГЛ
5.19. 1) Если A ≠ то φ(x) =	+	+	+ 2cosx;
2	1 — 2А 1 — 2А
λ	1 u λ 1
если А =	-,	то уравнение решении	не имеет; Aι	= -	— характеристи¬
ческое число, a φι(x) = 1 + 7^x3 — собственная функция;
о\ \ / 3 /х (16А — 90)А ,	10А	2 о \
2)	если A ≠ -, то φ(x) = 3(5 _ 2λ) shrr - 5_2Лж2 - 3; если А =
= |, то уравнение решений не имеет; λι = | — характеристическое
число, a ⅛9ι(x) = ж2 + - shx — собственная функция;
, 3	, х 16А	,	12А	, 1 λ 3
3)	если A ≠ —, то φ(x) = θ-fθχ + 3-fθχ*+ 1; если А =
з
то уравнение решений не имеет; Aι = — — характеристическое число,
Зх
a φι(x) = 1 ÷ —	собственная функция;
лч	\ / 2 /х 8(2 —πA÷3A)A
4)	если A ≠ -, то φ(x) = —— 	-—— arctgx +
π	2 — 7гА
2	2
если А = -, то уравнение решений не имеет; λι = - — характеристи-
7Г	„	7Г
ческое число, a φι(x) = - arctgx + 1 — собственная функция;
π
5) если A ≠ ∣, λ≠-^, то φ(x) = (ж + 1) + Зх + 1; если
Z	zr	о —
β
А = —-, то φ(x) = С (ж2 — 2x) + 1, где С — произвольная постоянная;
3	3
если А — -, то уравнение решений не имеет; А = Aι = — и А — А2 —
3	/ А 2^	/ А 2
= — - — характеристические числа, a φι(x) = xδ + х и φ2(^) = х —
— 2х — соответствующие собственные функции;
11	Зх + 1	1
6) если A ≠ -, A ≠ -, то φ(x) = j——; если А = -, то уравнение
а 1
решении не имеет; если А = -,
8
произвольная постоянная; А = Aι
ческие числа, a φι(x) = Зх — 1 и
собственные функции;
7) если A ≠ 1, A ≠ 6, то φ(x)
решений не имеет; если А = 6, то φ(x) = C(7x — 4) —	+ 1, где С —
произвольная постоянная; λ = λι = l иЛ = Л2 = 6 — характеристи-
1 -4A
то φ(rr) = C(3x — 1)÷4, где С —
1 λ λ 1
= - и А = Л2 = - — характеристи-
φ%(x) = Зх + 1 — соответствующие
Зх — 1
———; если А = 1, то уравнение
А — 1
,х 3
2

Ответы к § 5
121
ческие числа, a φ∖(x) — Зх — 1 и φ2(χ) = 7х — 4 — соответствующие
собственные функции;
8)	если A ≠ 1, A ≠ -2, то φ(x) = 2 ∙ если А = 1, то φ(x) =
А + 2
3
= С(8х — 3) — 2х + -, где С — произвольная постоянная; если А = —2,
то уравнение решений не имеет; А = λι = 1 и А = λ2 = —2 — характери¬
стические числа, a φι(τ) = 8х — 3 и φ2(^) = Зх — 3 — соответствующие
собственные функции;
9)	если A ≠ ∣, A ≠ — то φ(x) = 5ΛC⅛2 + 7λC2x3 ÷ Зх + 7х4 =
= 1	(3x2 + 7x3) + 5х + 7ж4, где Ci = C2 = 1	; если А =
то φ(x) = (5x2 — 7x3) • С — 7x3 + 5х + 7ж4, где С — произвольная
постоянная; если А = -, то уравнение решений не имеет; А = λι = —-
и А = A2 = ÷- — характеристические числа, a φι(rr) = 5ж2 — 7x3
и φ2(χ) = 3x2 + 7x3 — соответствующие собственные функции;
10)	если A ≠ — —, A ≠ 2“, то ψ(x) = λC⅛ - λC2 ÷ 3 sin х + cos х =
— 1 х + 3sinx + cos х, где C↑, =	C⅞ — 0; если А — — -,
l — 2πA	I — 2πA	π
то φ(x) = — х + 3sinx + cosx + С, где С — произвольная постоянная;
если А = —, то уравнение решений не имеет; λ = λι= — и А =
I Z7Γ	7Г
= λ2 = — — характеристические числа, a φι(⅛) — 1 и φ2(χ} — х —
соответствующие собственные функции;
11)	если A ≠ —1, A ≠ |, то φ(x) = ЗАСщ + 5ACr2^2 ÷ 5rr3 — 7хл =
= .	(5ar2 - Зх) + 5ж3 - 7.r4, где C2 = -С\ =	; если λ =
то уравнение решений не имеет; если А = -, то φ(x) = (Зх + 5ж2) ×
× С + 5τ2 + 5x3 — 7τ4, где С — произвольная постоянная; А = λι =
— — -иА = А2 = -— характеристические числа, a φ∖ (ж) = Зх — 5ж2
и φ2(χ) = Зх + 5ж2 — соответствующие собственные функции;
11	3
12)	если A ≠	2’	≠ то φ(x) = -λC[X + AC^cosx + x2 +
π	π
+ 2π sin х — — qx + cos х + x2 + 2π sin х, где C2 = —πCι =
1 + Aπ 1 + 7г А
4π2	λ 1	o	λ 1
=	г ’ если ^ = —г ’ то уравнение решении не имеет; если А =
1 + Aπ	π	π
то φ(x) = (Зх + 2πcosx) • С + 4 cos х + x2 + 2πsinιr, где С — про¬
извольная постоянная; А = Aι = —и А — А2 —	— характери-
7Г	7Г
стические числа, a φ↑(x) = Зх — 2πcosx и φ2(χ) = Зх + 2πcosx —
соответствующие собственные функции;

122 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
13)	если A ≠ ±^, то φ(x) = 2А •	4
о	У — оЛ
9
× sin3x — 3cos‰ + 2sin‰j если А = — -,
о
янная; если А = -,
λ о
и
и
9
4’
; если
А —2
I sin х — sin
q 16 λ 9
cos3*-yλ∙ 9≡8Ax
то φ(x) = — ∣Ccos3rr +
sin3x — 3cos9x + 2sin9rr, где С — произвольная посто-
9
то уравнение решений не имеет; А = λι = — -
9	~	8
А = А2 = θ — характеристические числа, a φι(x) = ∞s3x ÷ 2sin3x
о
ψ2= cos3x — 2sin3aj — соответствующие собственные функции;
14)	если A ≠ —∣, A ≠ — |, то φ(x) = —cos Зх + 15 cos 9ж, если
1 + -λ
9	9
= —-, то φ(x) = —-Csin3rr+ 18cos3x+ 15cos9x, где С — произ¬
вольная постоянная; если А = — то уравнение решений не имеет;
9	9
А = Ai = — -, А = А2 = — - — характеристические числа, a φι(x) —
4	о
= sin3x и ψ2∖χ) — cos3x — соответствующие собственные функции;
15)	если A ≠ i, A ≠ 2, то φ(x) =	sinх —
А = |, то ^(ж) = 4C cos х +
произвольная постоянная; если Л = 2, то уравнение решений не имеет;
А = А1 = -иА = А2 = 2 — характеристические числа, a φι(x) = cost; +
2
+ - sin х и φ2(^) = sinx — соответствующие собственные функции;
О
16)	если A ≠ то φ(x) = —	—-Д sin6x + (π — 6) cos2x + 2(π +
Э	zr — ЭА
4
+ 1) sin 2х; если А = -, то ^(ж) = 8Csin 6ж + (π — 6) cos 2ж + 2(π +
4
+ l)sin2x, где (7 — произвольная постоянная; A = λι = - — характе¬
ристическое число, a </ц(ж) = sin6x — собственная функция;
17)	если A ≠ -3, A ≠ 2, то φ(x) = 7∣A • 7 - 7‰ + 3τ2 - 4;
А + о х Л ÷ о
если Л = —3, то уравнение решений не имеет; если Л = 2, то </>(ж) =
= С (	— - ) + Зж2 — 6, где С — произвольная постоянная; А = Ai =
×χz 3√
4
= —3 и A = λ2 = 2 — характеристические числа, a φ↑{x) =	— 3
1 1 x
и φ2{x) —	— х — соответствующие собственные функции;
х 3
18)	если A ≠ ±3, то φ(x) = —	÷ _р юж _ д; если д — _3,
А —|— о	А -|- 3
то уравнение решений не имеет; если А = 3, то φ(x) = C(2x — 1) +
+ Юж — 6, где С — произвольная постоянная; A = λι = —3 и А = λ2 =
Ответы к § 5
123
= 3 — характеристические числа, a φ∖ (ж) = х — 1 и φ2(^) = 2ж — 1 —
соответствующие собственные функции;
19)	если A ≠ -1 λ ≠ -2, то φ{x) =	• ж2 - 'l4∖ - 6;/:2 + 7;
Z	ZA ^τ^ 1	-j- 1
если А = —то уравнение решений не имеет; если А = —2, то φ(x) =
= С(3ж2 — 2) — 12x2 + 7, где С — произвольная постоянная; λ = λι =
1	7
— - и λ = λ2 = — 2 — характеристические числа, a φι(rr) — Зж2 — -
и φ2(x) — Зх2 — 2 — соответствующие собственные функции;
20)	если A ≠ —2, A ≠ то φ(x) = -∙ e3x +	+ 4е3ж -
о	А т 2	А — 2
2
— 18; если Л = —2, то уравнение решений не имеет; если А = — -,
то φ(x) = C(2e3x — 15) + 4е3ж — 12, где С — произвольная посто-
2
янная; λ = λι = -2 и А = λ2 = — θ — характеристические числа,
a φι(x) = 2е3ж — 9 и φ2(^) = 2е3ж — 15 — соответствующие собственные
функции;
21)	если A ≠ ±1, то φ(x) =	(20ж3 — 14ж + 3) — 12x3 + 1;
если А = —1, то φ(x) = С(12ж3 — 14ж + 3) + 1 — 4ж3, где С —
произвольная постоянная; если А = 1, то уравнение решений не
имеет; λ = λι = -1 и λ = λ2 = l — характеристические числа,
a φι(x) — 12x3 — 14ж + 3 и φ2(^) = 20x3 — 14rr ÷ 3 — соответствующие
собственные функции;
22)	если A ≠ A ≠ -L то φ(x) =	(15ж3 — 9x2 + 4) + 9x + 1;
2 о	1 — 2А
если А = -, то уравнение решений не имеет; если А = -, то φ(x) =
= 9ж + 1 — 3x2 + Cf(15x3 — Зх2 + 4), где С — произвольная постоянная;
λ = λι = -Hλ = λ2=θ - характеристические числа, a φι(^) = 15ж3 —
— 9х2 + 4 и φ2(χ) = 15ж3 — Зх2 + 4 — соответствующие собственные
функции;
23)	если A ≠ ±2, то φ(x) = 2∖ (3x2 - 5x + 1) + 4x - 1; если А =
А + 2
= —2, то уравнение решений не имеет; если Л = 2, то φ(x) = 2х —
— 1 + C(3x2 — Зх + 1), где С — произвольная постоянная; А = Aι =
= —2иА = Л2 = 2 — характеристические числа, a φ↑ (х) = Зх2 — 5x + 1
и φ2(χ) — 3x2 — Зх + 1 — соответствующие собственные функции;
24)	если A≠pA≠-∣,τo φ(x) = 2z^(5%3 ÷ Зх + 10) + Зх + 5;
если А = j, то уравнение решений не имеет; если А = — ^, то φ(x) =
Зж
= -^-+ С(10ж3 — Зх — 10), где С — произвольная постоянная; А = λι =
= | и А = λ2 = — | — характеристические числа, a <^ι(rr) = 5x3 +
124 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
+ Зх + 10 и φ2(x) = lθ∙7'3 — Зх + 10 — соответствующие собственные
функции.
5.2	0. а = -12, b = 12, φ(x) = -12τ2 + Cix + С2, где С, и С2 -
произвольные постоянные.
5.2	1. а — √Tδ — 3, φ(x) — [4√T5tj2 + 3(1 — √T5 )ж] + - — Зх,
где С — произвольная постоянная.
5.2	2. Уравнение разрешимо при любом А,
2π
⅛j(τ) = A cos(2τ-y)∕Q∕)⅛∕ + ∕(τ).
_	sin х +
>’	2
А = —, то
7Г
απ + 46 = О
5.2	3. 1) φ(x) = 19∩a7r9n sin ж + 2λ^ + ах + Ь, если A ≠ ∣ (а, b
1Щ1 — Z.A)	i — zΛ	z
любые); при А = - уравнение разрешимо в том и только в том случае,
когда а = b = 0, φ(x) = C↑ sinx + С2, где C↑ и — произвольные
постоянные;
2)	φ(x) —	sinх + 6, если A ≠ ±- (а, 6 любые); при А =
2 + Aπ	π
2	7	/ λ aπ — 46
= - уравнение разрешимо при любых а и b и φ(x) = —
7Г
+ 6 + Cι∞sx, где Ci — произвольная постоянная; если
уравнение разрешимо в том и только в том случае, когда
и φ(x) = 6 + C2sinrr, где С2 — произвольная постоянная;
o∖ / a	2Aα-1- Зс 36	о \ / 1	\ / 3 / у
3)	= 3(1 -2А) + 3≡2A^ + ах ’ если λ ≠ 2 И λ ≠ 2 δ, c
1	3
любые); при А = - уравнение разрешимо, если а + Зс = 0, φ(x) = -Ьх +
β
+ ax2 ÷Cι, где С\ — произвольная постоянная; при А = - уравнение
разрешимо, если 6 = 0 и с/?(ж) = ax2 — -(α + с) + C2x, где С2 — произ¬
вольная постоянная;
ла / a 2A(5a + 36) 2 1 4A2(5a⅛36)	∣ l 2	∖ / ∣'∕15
4)	φ(x) = —		^lx^ 4			^x + ах + bxz, если A ≠ ±——-
v7 15-4А2	5(15 —4А2)	2
∖Z15
(а, b любые); при А — уравнение разрешимо, если 5a + ЗЬ — 0, и
φ(x) = а(х - |Щ + Ci | ч/| х2 + х ),
\ о /	∖ V θ /
<7	λ √T5
где Ci — произвольная постоянная; при А =	— уравнение разре¬
шимо, если 5α + 36 = 0 и
= a(x -	+ С2 (х - а/|	,
\ о /	\ у о /
где Cf2 — произвольная постоянная;

Ответы к § 5
125
х2 + Ь, если A ≠ 3 и A ≠ 5 (a, Ь любые);
∣x2 + l)+G,
если
5)	3-λ"	3(5-А)
при А = 3 уравнение разрешимо, если а = 0, и
где Ci — произвольная постоянная; при А = 5 уравнение разрешимо,
3
если Ь = 0 и φ(x) = C⅛x2 — -ах, где — произвольная постоянная;
6)	φ(x) =	+ 7kff1∕3 ÷ если A ≠ | (а, Ь любые); при А =
7(1 — оА)	о	о
уравнение разрешимо, если 5α + 7Ь = 0, и φ(x) = — -bx ÷ C↑xi∕3 +
+ C2oi2∕3, где С[ и С?2 — произвольные постоянные;
7> ’’М = 2" +2-'λV,γ, + 2-Λ(4-π)1 + bχ2 еСЛИ λ * I “ λ ≠
2	2
≠ 		 (а, Ь любые); при А = - уравнение разрешимо, если ал +
4 — л	л
+ 6(4 — л) = 0, и φ(x) = —	—х + Ьх2 + С, где С — произвольная
2(л — 2)
\ 2
постоянная; при А = 		 уравнение не имеет решении;
4 — л
θ∖ / ∖	5A(14α + 36А6 + 42с) 1/3	28A a -∣- 30А6 -|- 35	2 ∣ l
8) φ(x) = —		5	-χL'0 4	5	h αxz + Ьх,
У 7	21(5- 12А2)	7(5- 12А2)
(а, 6, с любые); при А =
уравнение разрешимо,
если 15vz3 Ь + 7д/5 (а + Зс) = 0, и φ(x) — ах2 + Ьх + с + С\ [ ж1/3 +
÷λ∕- I, где С\ — произвольная постоянная; при А = — -а - уравнение
у о /	2 у о
разрешимо, если 15√z3 Ь — 7^/5 (а + Зс) = 0, и φ(x) = ах2 + Ьх + с +
+ C⅞
, где C⅛ — произвольная постоянная;
m , λ 3O(δ-l)λ 9 l 3αλ2 l 36λ2(6- 1)	. .	15
9)<^(≈)- j5 + 8λ x + 3-2λx+ (15 + 8λ)(3-2λ), еСЛИ λ ≠	8
3	15
и A ≠ - (а, Ъ любые); при А = — — уравнение разрешимо, если
17
6=1, и φ(x) = —ах + 1 — 20α + C(x2 + 1), где С — произволь-
3
ная постоянная; при λ = - уравнение разрешимо, если а = Ь = 0,
и φ(x) = C[X ÷ 6√2, где Ci и 6¾ — произвольные постоянные.
5.24. 1) λι = ∣, φl = х; λ2 = -∣, φ2 = За? - 4а?2; <р(а?) =
3	1	3
если ∖ψ - и A ≠ — - (а любое); при А = - уравнение разрешимо, если
а = 0, и φ(x} = С\х, где С\ — произвольная постоянная; при А = — |
126 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
уравнение разрешимо при любом а и φ(x) = -ах + C⅛(3x — 4жI 2),
где С% — произвольная постоянная;
Q∖ λ 1	(1)	(2)	2	/ ∖ ax2 + bx	λ / 1
2) Al = -, √1 7 = ж; √1 = φ{x) = 1 _ 2Л , если A ≠ -, при
А = | уравнение разрешимо, если а = b = 0, и φ(x') — C↑x2 + C%x,
где С\ и Cf2 — произвольные постоянные.
5.25. 1) λι = -, φ∖ — sin ж; φ — а + bcos х + λbπx + sin х,
л	1 — Ал
если A ≠ - (а, b любые); при Л = - уравнение разрешимо, если b = О,
z ч Я- .	л
и φ(x) = а + С sin ж, где С — произвольная постоянная;
2) Ai = -!-, φ↑ = х; φ(x) = ax + b + 2πbλcosx, если A ≠
2л	1 — 2лА	2л
(а, b любые); при А = — уравнение разрешимо, если а = 0, и φ(x) =
2л
= 6(1 + cos ж) + Сх, где С — произвольная постоянная.
- θβ 1λ λ / 1 λ / 3 z λ 2αA 1 ЗА Г26 2α
5.26. 1) если Л ≠ -, A ≠ -, to φ(x) = у-^х + [y - y х
1 - А 1 ,	, ,	.	1
х-—— + ах + о; если А = -, то уравнение имеет решение только,
1 — 2A J	2
если а = 0, и φ(x) = C(4x — 1) + —, где С — произвольная постоянная;
3
если А = -, то уравнение имеет решение только, если а = 4Ь, и φ(x) =
ЗС	1
— — 2bx + b + —-, где С — произвольная постоянная; А = А[ = -иА =
3
= λ2 = 2 — характеристические числа, a φ↑(x) = 4х — 1 и (/22(^) = 1 -
соответствующие собственные функции;
21 если λ ≠ M∏∙ λ ≠ 2' τ° *'> = 1 — 2Ashl ' cha≈ + 3≡2Λ×
Γ2α l 2b I l з l , λ 1
× — ÷ -—1 i + ах° + 6; если A =	1 i , то уравнение имеет ре-
L 5	1 — 2A sh 1J	2 sh 1
шение только, если b = 0, и φ(x) = С ( chx + —	-х ) + rzo 1 i	—,
\	3 sh 1 — 1 J 5(3 sh 1 — 1)
3
где С — произвольная постоянная; если А = -, то уравнение име-
а , b	^ z λ 3b ch х
ет решение только, если - + -———- — 0, и φ(х) = -———- —
5	1 — 3 sh 1	1 — 3 sh 1
5bx3	1
— -——- + b + Сх, где С — произвольная постоянная; А = Aι = ——--
1 — 3 sh 1	2 sh 1
∖	∖	3	z λ ,	3 sh 1
и A = A2 =	— характеристические числа, a φι(rr) = ch ж +			 и
Δ	о Sil 1	1
φ2(^) —	— соответствующие собственные функции;
q∖	\ _± 1	\ л. 3	( \ ЗАж Г2a 4λb ]
3) если λ ≠ Л ≠ то φ(1) = _ + [τ - —] +
I 6&А Z 2	∖ I I 7	\	1
+ -—зд-(ж — х) + ах + Ь; если А = -, то уравнение имеет решение
3 — 2А	2

Ответы к § 5
127
(2 А
х2 + - ), где С — произвольная
постоянная; если А = |, то уравнение имеет решение только, если b = О,
и	= C(2x2 + ж) — где С — произвольная постоянная;
1	3
λ = λι = - и А = λ2 = 2 — характеристические числа, a φι(x) = х и
φz(x) — 2x2 ÷ х — соответствующие собственные функции;
3
4) если A ≠ -, то
φ(x) — 2αAsh 1 sh,τ ÷	sj11(c}11 — sh 1) + |&| + α ch ж + bx∖
3 — 2А L	3 J
3
если А = -, то уравнение имеет решение только, если 9α sh 1 (ch 1 —
— sh 1) + b = 0, и φ(x) = 3αsh 1 shx + αchrr — 9αsh l(ch 1 — sh l)τ +
3
+ Сх, где С — произвольная постоянная; А = λι = — — характеристи¬
ческое число, a ωι(x) = х — соответствующая собственная функция;
число, a φι(x) = х — соответствующая собственная функция;
5) если A ≠ ∣, A ≠ —то φ(x) — XC↑x2C — XC%x + a∖x∖ + bx3,
Ба
5-6А’
зь
при а = 0 и любых b: φ(x) = Cx2∣3 — —х ÷ bx3, где С — произвольная
3
постоянная; если А = —-, то решение существует при b = 0 и любых а
и имеет вид φ(x) = — ∣ ∙ γ⅛x2∕3 ÷ Сх + a∖x|, где С — произвольная
5	3
постоянная; λ = λι = - и А = А2 = — ^ — характеристические числа,
о	2
a φι(^) = x2C и φ%(x) = х — соответствующие собственные функции;
3	3
6)	если	A ≠	-,	A	≠	—то	φ(x)	=	XC↑x	—	ΛC*2∣x∣ ÷	ax3	+ bx2,
r,	Ба	3b	\	3
где G	=	5(3-2λ), c2	=	2(3 + 2λy	если	λ	=	2’ то	Решение	существует
при а = 0 и любых b и имеет вид φ(x) = Сх —	÷ bx2, где С — про-
3
извольная постоянная; если А = —то решение существует при b = О
и любых а и имеет вид φ(x) = — ⅛⅛ ÷ C∖x| + ах3, где С — произ-
3	3
вольная постоянная; λ = λι = - и А = λ2 = — 2 — характеристические
числа, a φ∖ (сс) = х и φ2(^) — Ы — соответствующие собственные
функции;
7) если A ≠ 1, A ≠ |, то φ(x) = АСц(1 — |ж|) + AC⅛1∕3 ÷ α∣x∣3 + bx3,
z<-γ	a	14&	ч
где Ci = — 	γv-, C2 = -^7—; если X— 1, то решение существует
2(Д — X)	— ЬЛ)
где С\
5
3
2’
БЬ
6’
С9 =

2	5(3 + 2λ)
.	5
; если А = -, то решение существует

128 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
то решение
9Ь ■ 210/3	,
при а = 0 и любых Ь и имеет вид φ(rr) = С(1 — |ж|) + ^-xiC + Ьх3,
7
где С — произвольная постоянная; если А = -, то решение существует
при Ь = 0 и любых а и имеет вид φ(x) = — ^α(l — ∣x∣) ÷ C⅛1∕3 + a∣x∣3,
7
где С — произвольная постоянная; Λ = λι = lHλ = λ2=θ - характе¬
ристические числа, а = 1 — |х| и φ2(^) =	- соответствующие
собственные функции;
8)	если A ≠ 7^7, A ≠ —то φ(x) = λC∖x + AC2(∣rr∣ — 2) + а\х\ +
1	9 б-210/3	4a	3
+ Ьхз, где Ci = - • -——τ, C2 = 1 , ,λ; если А = —, то решение
7 3 — loλ	1 + 4л	1о
3
существует при Ь = 0 и любых а и имеет вид φ(x) = Сх + —а( |я;| — 2) +
+ а|ж|, где С — произвольная постоянная; если А = —
существует при a = 0 и любых Ь и имеет вид φ(x) = — ■
+ C(∣rr∣ — 2) + bxi^3, где С — произвольная постоянная; A = λι = —
и А = А2 = — | — характеристические числа, а φι(x) = х и φ2(x) —
— |х| — 2 — соответствующие собственные функции;
9)	если Л ≠ - ‘ то v(≈) = ⅛ + ⅛>- <⅛⅛ _ 2(3i>+2aΛ) (
2	(2Л+ 1)*	(2Л + 1)=	'
+ 1) + a + 5&х3; если Л = — -, то уравнение имеет решение толь¬
ко, если а = ЗЬ, и φ(x) = — ЗЬх + ЗЬ ÷ 5bx3 + C(x ÷ 1), где С —
произвольная постоянная; А = Aι = — - — характеристическое число,
а φι(x) = х ÷ 1 — соответствующая собственная функция;
10)	если A ≠ |, то
= 2(l8,,-3b-10,,Λlλι2	10a + 32a⅜-12⅛Λ . 3λχ a fa3
3(2λ-l)2	15(2Λ-1)2
если А = |, то уравнение имеет решение только, если ЗЬ = 13a,
и φ(x) = C(5x2 ÷ Зж) — ^x2 + i∣^x3 + а, где С — произвольная посто-
янная; А = Aι = - — характеристическое число, а ^ι(rc) = 5ж2 + Зх —
соответствующая собственная функция;
11)	если A ≠ 4, A ≠ —10, то φ(x) =
l 3aλx2
aλ
10 + λz
। ιθ+ + а + Ьх; если А = 4, то уравнение имеет решение только,
если -52а = 216, и φ(x) = ^^x2 + а -	+ Сх, где С — про¬
извольная постоянная; если Л = —10, то уравнение имеет решение

Ответы к § 5
129
26
только, если a = 0, и φ(x) = —х + C(7x2 — 4х), где С — произвольная
постоянная; А = А1=4иА = А2 = —10 — характеристические числа,
а φι(x) = x и 9^2(^) = 7ж2—4х — соответствующие собственные функции;
12) если A ≠ 5, A ≠ 6, то φ(xy) = -р
о — А □ — А
+ а + 6ж;	если	А = 5,	то	уравнение имеет	решение
ΩΓ> ГГТЛ 	О ПН П		 ПА	T∠Γ fr∣t ПГ‘\ 	 ЧП//П 	 235a ^2
sin 1 + θ A6
a cos х +
2λb
5
sin
a l b l 3αA l
3 + 5 + 2(6 - A)) +
то уравнение имеет решение только,
если — 235а = 66, и φ(x) = 30αx + а	θ-x2 + Сх2, где С — произ¬
вольная постоянная; если А = 6, то уравнение имеет решение только,
если а = 0, и φ(x) = C(2x — 15ж2) — 56x2, где С — произвольная
постоянная; А = Aι = 5 и А = А2 = 6 — характеристические числа,
a φ↑(x) = х2 и ψ2— 15x2 — соответствующие собственные
функции;
13) если A ≠ 1, то φ(x) = A⅛
1 — A x	_
+ Ьх; если А = 1, то уравнение имеет решение только, если 9α sin 1 +
2 2b
+ 26 = 0, и φ(x) = C∖x∖ ÷ -Ьх2 —	—- cosrr + Ьх, где С — произволь-
1 1	3	9 sin 1
ная постоянная; А = λι = 1 — характеристическое число, a </?i(x) =
= |ж| — соответствующая собственная функция;
14)	если A ≠ то φ(x) =
β
+ acosrr + 6x3; если А = -, то уравнение имеет решение только, если
10α sin 1 = —36, и φ(x) = Cx2 +	. cosx + Ьх3, где С —
5	10 sin 1
произвольная постоянная; А = Aι = - — характеристическое число,
а уц(х) = х2 — соответствующая собственная функция;
15)	если A ≠ то φ(x) = z^sin (πα _р 4A6) + 26λcosx ÷ а + Ьх;
2	1 — 2л
если А = -, то уравнение имеет решение только, если π а = —26,
26
и φ(x) = С sin Ы + 6 cos х — — + Ьх, где С — произвольная постоянная;
1 π
А = λι = — — характеристическое число, a φ↑(x) = sin∣rr∣ — соответ¬
ствующая собственная функция;
16)	если A ≠ то φ(x) =	(2a + π6A) +	+ а + 6sinx;
2	1 — 2л	2
если А = -, то уравнение имеет решение только, если —4a = πb,
τvb
и φ(x) = С + (И — 1) ÷ 6sinx, где С — произвольная постоянная;
А = Ai = | — характеристическое число, а φι(rr) = 1 — соответствую¬
щая собственная функция;
17)	если A ≠ 1, то φ(x) = 			-(2a + 2Λ6π5) + Абл5 + а +
(тг -2)(1 А)
+ 806х; если А = 1, то уравнение имеет решение лишь при 6л5 + a = 0,
130 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
и φ(x) = C∖x∖ + 806ж, где С — произвольная постоянная; А = λ1 =
= 1 — характеристическое число, а (/?1(ж) = |ж| — соответствующая
собственная функция;
1 o4	λ / . 1	/ λ	12α÷δπ3λ λ 2 ∣ ^τr3 + 12π2αλ
18)	если A ≠ ±-, то φ(x) = 	• Аж 4	×
тг	rv j	6(1-л2 А2)	12(1-л2 А2)
× Аж + ах + Ьх2; если А = -, то уравнение имеет решение только, если
π	2
12α + bπ2 = 0, и (/?(ж) = С(2ж2 + лж) — ^-ж ÷ bx2 (1 — ^0, где С —
λ 1
произвольная постоянная; если А = —, то уравнение имеет решение
71^	2
только, если 12α — bπ2 = 0, и (/?(ж) = С(2ж2 — лж) +	÷ f 1 —
1 v 1 7
где С — произвольная постоянная; A = Aι = - и А = λ2 = — —
л	л
характеристические числа, а </ц(ж) = 2ж2 + лж и </?2(ж) = 2ж2 — лж —
соответствующие собственные функции;
1 ∩∖	∖ / । 1	( ∖ bτv + 4αA λ .	. 2a + 2bπλ
19)	если A ≠ ±-, то φ(х =	5- ∙ A sin ж 4	-r-
2 v ’	1 -4А2	1 -4А2
A cos ж +
+ asinx + b; если А = -, то уравнение имеет решение только, если
6л + 2α = 0, и <^(ж) = С(зшж + cos ж) + Ь, где С — произвольная
постоянная; если А = — -, то уравнение имеет решение только, если
Ьл — 2α = 0, и φ(x) = С(зшж — cos ж) + Ь, где С — произвольная
постоянная; λ = λι = - и A = λ2 = - - — характеристические числа,
а </ц(ж) = sin ж + cos ж и (/?2(ж) = sin ж — cos ж — соответствующие соб¬
ственные функции;
20)	если X ≠ ±1 то ic(,τ) = 2<t+1(l°A> ■ Λ,τ≈ + 2<5° ÷ ≡> ■ Лт +
2 r' з(|	4∖-∣	|	4,\-
+ а + Ьх; если А = -, то уравнение имеет решение только, если Ь +
5θ∕
+ 5α = 0, и <^(ж) = С(ж2 + Зж) + а — 5аж — —ж2, где С — произвольная
\	1	L
постоянная; если А = —то уравнение имеет решение только, если Ь —
— 5α = 0, и ^(ж) = С(ж2 — Зж) + а + 5аж — ^ж2, где С — произвольная
λ λ ! λ λ 1
постоянная; А = Aι = - и А = A2 = — - — характеристические числа,
а ^1(ж) = ж2 + Зж и φ2(^) = ж2 — Зж — соответствующие собственные
функции;
∩1∖ λ / । 3	∕∖	2(3δ + 2αA) λ 2(3α⅛2δA) λ
21)	если A ≠ ±-, то φ(x) = —	• А + —	• Аж + а +
2 rv 7	9-4A2	9-4А2
3
+ Ьх; если А = -, то уравнение имеет решение только, если b + а = 0,
и (/?(ж) = С(ж + 1) — аж, где С — произвольная постоянная; если А =

Ответы к § 5
131
з
= — то уравнение имеет решение только, если b — а = 0, и φ(x) =
3
= С(ж - 1) I ах, где С — произвольная постоянная; А = А] = -иА =
3
— A2 — — 2 — хаРактеРистические числа, a ^ι(rr) — х + 1 и (∕92(x) — £ —
— 1 — соответствующие собственные функции;
22)	если A ≠ ±-J-, то φ(x) — —
2 rv ,	1 — 4Д2
b + ^-aλ^x2 ÷ (α + ∣6A^rr
+ а + bx2-, если А = —-, то уравнение имеет решение только, если
извольная постоянная; если Л = — -, то уравнение имеет решение
только, если 3b — 5α = 0, и φ(x) = C(5x2 — Зх) — b ∖x2 — - 1 + Ьх,
\ О /
а
-c2λ
где С — произвольная постоянная; А = λι = — | и А = λ2 = | —
характеристические числа, a φ∖(x) = 5x2 - Зх и φ2(^) = 5ж2 + Зх —
соответствующие собственные функции;
23)	если A ≠ 1, A ≠ -|, то φ(x) =	(l
। 6αA	। 7 о . q	λ 1
+ щ-—2A)τ ÷ bχ ÷ aχ ; если А = -, то уравнение
только, если а = 0, и φ(x) = C(l ÷ 4x) + bx2 —
А 3
произвольная постоянная; если А = — -, то уравнение
только, если а = 46, и φ(x) — С— ∣6x⅛6x2⅛46x3, где С — произвольная
1	3
постоянная; A = Aι = - и А = А2 = — - — характеристические числа,
a φ∖ (ж) = 1 +4х и φz(χ) = 1 — соответствующие собственные функции;
A ≠ то φ(rc) = τAzχ
1
имеет решение
ЗЬ n
20’ где С -
имеет решение
παA
2(1 -2А)
24) если A ≠ i А / у,
2	4
। тгаА . 7	л 1
+ —-—κx∖χ ÷ 6 sin ж; если А = -, то уравнение имеет решение только,
2(1 — 2А)	2
если а = 0, и φ(x) = С(х + 1) — Ь, где С — произвольная постоянная;
если А = -, то уравнение имеет решение только, если πa = 4Ь,
, где С — произвольная постоянная;
A = Ai = ∣hA = A2 = ^- характеристические числа, a ^ι(x) = ж + 1
и φ2(x) = 1 — соответствующие собственные функции;
25) если A ≠ ∣, A ≠ |, то φ(x) = ^∣⅛2 +
з
если А = -, то уравнение имеет решение только, если 26 + 9α = 0,
smx -
: 1
2’
6аА
5-2А
х\
4

132 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
и φ(x) = Сх + ∣αx2, где С — произвольная постоянная; если Л = |,
то уравнение имеет решение только, если а = 0, и φ(x) = C(2x2 —
3	3
— 9т;) — -Ьх, где С — произвольная постоянная; А = А1 = -иА = А2 =
= - — характеристические числа, a φ↑ (ж) = х и φ<z{x) — 2x2 — 9т: —
соответствующие собственные функции;
26)	если A ≠ ±|, то φ(rr) =	2∖x т: -	2^°L χ2 ÷ ax + χ3>
7(1-⅞) 5(l÷⅞)
5	5
если А = -, то уравнение решений не имеет; если А = —-, то уравнение
имеет решение только, если а = 0, и φ(rr) = — ∣ (|т; — Cx2^ + х3, где
5	5
С — произвольная постоянная; λ = λι = -- и А = λ2 =	— харак¬
теристические числа, a ^ι(x) = х2 и φ2(x) = х — соответствующие
собственные функции;
27)	если A ≠ -, A ≠ -1-, то φ(x) = A f х + π cost:) +
7Γ zπ	\ 1 — zπA 1 — πA /
1	1
+ ах + cosх; если А = -, то уравнение решений не имеет; если А = —,
7Т	2тт
то уравнение имеет решение только, если а = 0, и φ(x) = Сх ÷ cost:,
где С — произвольная постоянная; А = А1 = -иА = А2 = тг	харак-
теристические числа, a φι(^) = cost: и φ2(x) = χ ~ соответствующие
собственные функции;
2δ) если A ≠ ∣,θλ ≠ -|, то φ(x) = A (1^χ^2 - 15⅛^) +
+ х3 + 6; если А = — -, то уравнение решений не имеет; если А = -, то
β
уравнение имеет решение только, если а = 0, и φ(x) = Cx2 — -х + ж3,
о
5	3
где С — произвольная постоянная; A = Aι = - и А = А2 = — - — ха¬
рактеристические числа, a φ∖ (ж) = т:2 и ^(т) = ж - соответствующие
собственные функции;
29) если λ≠-A-, A≠ _L то у (ж) = А (	ж2 ÷ 2πb sin ж) +
4π z7Γ	∖l+4πA 1 — zπA /
+ cost; + bsinх; если А = —, то уравнение решений не имеет; если
А = —, то уравнение имеет решение только, если а = 0, и φ(x) =
= -!- (7^x2 + Csinτj) +cost;, где С — произвольная постоянная; А =
= Aι=-и А = λ2 = 2“ — характеристические числа, a φ∖ (т;) = т:2
и φ2(^) = sinx — соответствующие собственные функции.

Ответы к § 5
133
π sin(rc + у) + — Cθs(x — у}
5.27. 1) φ(x) = λ∫		f(y)dy + f(x}, ес-
7Г^	2
ли ∆(λ) ≠ 0, где ∆(λ) = 1 — А2 — ; при А = - уравнение разрешимо,
4	7Г
если fi + ∕2 = 0, где ∕i = ∫θ f(y)cosydy, f2 = ∫θ /(j∕)smydy,
2
φ(x) = Ci (sin х + cos ж) + -∕ιsinrr + /(ж) (Cfι — произвольная
7Г
2
постоянная); при А = — уравнение разрешимо, если ∕1 — /2 = О,
π 2
и φ(x) = C^sinrr — cost;)	fi sinx + ∕(x), где C⅞ — произвольная
постоянная;	7r
sin(x ÷ у) + — cos(x — у)
?г(х, у; Л) =
1 1 - -λ + y(2x-4λx- 1)
2) φ(z) = A ∫ 				f(y)dy + f(x), где ∆(λ) =
-1	zaVλ7
= (1 — 2А) (1 — |л); при А = | уравнение разрешимо, если ∕ι = ЗД,
где fi = ∫L1 /(ж) dx, f2 = ∫L1 xf(x) dx, φ(x) = (х - fi + ∕(x) + G
(Ci — произвольная постоянная); при А = - уравнение разрешимо,
3
если /2 = 0, и φ(x) = —	÷ ∕(x) + C2(x + 1), где С2 — произвольная
постоянная;
1 - ^λ + y(2x-4λx- 1)
∆(λ)	;
3) φ(x) = A ∫ (	+ cos ж) {ay + b)dy +ах+ b = αξ +
*∖r \ 1 — Z7ΓΛ	/	1 — 2тгЛ
— 7Г
+ 2πλ6cosx + Ь, где A ≠ —- (a, b любые); при Л = —- уравнение
2π	2π
разрешимо, если а = 0, φ(rr) = δ(cosx ÷ 1) ÷ Сх, где С — произвольная
постоянная;
zπ / λ λ х sin у
Щх, у\ А) = -—÷ cos х;
1 — Z7Γλ
'R{x,y∖λ) =
.λ / ч , 2Jr sin ж sin υ + sin 2x sin 2υ . z ч . , f, λ , ,1
4) φ(ж = A ∫ 	у-			У-Уу) dy + / ж , если A ≠	при
θ	1 — Λπ	7Г
А = - уравнение разрешимо, если ∫θ7r /(?/) sin ydy = ∫θπ /(?/) sin 2y dy =
= 0, φ(x) = /(ж) + Ci sin ж + C2sm2x, где Ci и С2 — произвольные
постоянные;
7г(ж,?/; А) =
sin х sin у + sin 2x sin 2y
1 — Aπ

134 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
5.28.	1) 6 = 0, За + 5с = 0;
2)	а =	, b = 0, с = —-С; а = —^=, b = 0, с
√Tδ	√io √io
3)α = 056=-= 4) а = 6; 5) а = 0, 6=-1;
6)	а, Ь любые; 7) а, 6, с любые; 8) 7а + 56 = 0.
5.29.	| < а < 3.
О
5.30.	1) Собственными функциями сопряженного ядра K*(x,y)
являются функции φι(rc) = 1 и ^(ж) = х (отвечающие характери¬
стическим числам λι = Д- и — тг соответственно). Следователь-
π
но, функция /(ж) должна быть такова, чтобы выполнялись равенства
∫l7r /(ж) , 1 dx = θ> ∫l7r /(ж) • х dx = 0.
2)	Собственной функцией сопряженного ядра К* (ж,?/) является
π3
функция φ∖(x) = |ж| + —х (отвечающая характеристическому чис-
лу λι = -). Следовательно, функция /(ж) должна быть такова, чтобы
/ з \
выполнялось равенство ∫πζ2∕2 /(ж) ( И ÷	) dx = 0.
3)	Собственными функциями сопряженного ядра K*(x,y) являются
функции <^1(ж) = sin |ж| — sinx и ^(ж) = зтж (отвечающие характе¬
ристическим числам λι = | и λ2 = | соответственно). Следователь¬
но, функция /(ж) должна быть такова, чтобы выполнялись равенства
∫∑ζ2∕2 ∕(rr)(siχι Ы - sin ж) dx = 0, ∫lζ2∕2 /(ж) зтжйж = 0.
4)	Собственной функцией сопряженного ядра K*(x,y) являет¬
ся функция 9?1(ж) = соьж+ — sin ж (отвечающая характеристическому
числу λι = 1). Следовательно, функция /(ж) должна быть такова,
чтобы выполнялось равенство ∫lζ2∕2 /(^) (созж + sin ж) dx = 0.
5.31.	1) φ(z) = λClxe~χ2 + λC21 ~^°8Ж + /Ц), где C1 =
= ∫L1 f(y)cos3ydy, C2 = ∫L1 f(y)ey2 dy. Решение существует при
любых А для всех /(ж) ∈ (7[—1, 1]. Следовательно, ядро K(x,y)
не имеет характеристических чисел. Отсюда следует, что ядро K*(x,y)
также не имеет характеристических чисел.
2)	</?(ж) = АС1Ж8т3ж + АС^жсЬж + /(ж), где Ci = ∫^1	dy,
C2 = ∫l1(z∕2 ÷ tydy2 f(y) dy. Решение существует при любых А для всех
/(ж) ∈ С[—1,1]. Следовательно, ядро K(x,y) не имеет характеристи¬
ческих чисел. Отсюда следует, что ядро K*(x,y) также не имеет
характеристических чисел.

Ответы к § 5
135
3)	φ(x) = λCixeχ2 + λC2sinrr + /(ж), где C∖ = ∫L1 sh4 yf(y) dy,
C2 = ∫l1(z∕2 — у4) cos yf(y) dy. Решение существует при любых Л для
всех ∕(x) ∈ С[—1, 1]. Следовательно, ядро K(x,y) не имеет характери¬
стических чисел. Отсюда следует, что ядро K*(x,y) также не имеет
характеристических чисел.
4)	φ(x) = λC[X sh2 х + λC2 sin3 х ÷ ∕(τ), где C↑ = ∫^1 sin У f (у) dy,
1
C2 = ∫~1 y2 chyf(y) dy. Решение существует при любых А для всех
∕(x) ∈ С[—1,1]. Следовательно, ядро K(x,y) не имеет характеристи¬
ческих чисел. Отсюда следует, что ядро K*(x,y) также не имеет
характеристических чисел.
5.32.	1) Al = 1, φ1 = 4(ац + ж2) ÷ 1; λ2 = -1, √>2 = 4(^ι + ж2) - 1;
Oλ ∖	4v^ - θ	1 I /о / 2 I 2∖ ∖	4√3 + 6
2)	Л1 = 	, φ↑ = 1 + √3(xf + ^2); λ2 =	, φ2 =
= √3(rc2 + ж|) - 1;
3)	λι = ^,φl = 14?, где г = y⅛∙2 + ж2 + ж2.
5.33.	Уравнение не имеет вещественных характеристических чисел.
3	3
5.34.	Характеристические числа λι = - и λ2 = —-, соответствую¬
щие собственные функции φ1 = 1 + 3aητ2 и φ2 = 3aητ2 — 1. Если
Л = ±|, то φ(xι,x2) =	((∕ι + 4А/2)ж[Ж2 + ^λ∕ι + t∕,2) + ∕(zι,z2),
где /1 = ∫∫L1 f(xι,x2)dyι dy2, f2 = ^Llyιy2f(xι,x2) dyi dy2, ∆(λ) =
= 1 - -уА2; при А = | уравнение разрешимо, если ∕ι + 3∕2 = 0.
з
и φ(xι, x2) = -xιX2fi + ∕(^ι, X2) ÷ C(3xιx2 + 1), где С\ — произволь-
3
ная постоянная; при Л = — - уравнение разрешимо, если ∕ι — 3∕2 = 0,
3
и φ(xι, ж2) = — -X[X2f1 ÷ ∕(^ι, x2) + C(3xιx2 — 1), где C2 — произволь¬
1
функция; уравнение разрешимо при любых А,
1		 λ / 1	_ 3∣rr∣2 - 1 .
3*
ная постоянная.
5.35.	l)λ = Aι = - — характеристическое число, a φι(rr) = 3∣x∣2 —
— 1 — собственная
если a ψ — Пусть а — — Тогда, если λ ψ -, то φ(rr) =

3	3	7Г	3(1 — Aπ)
если Л = -, то φ(x) = C(3∣x∣2 — 1) + |ж|2 — -, где С — произвольная
постоянная;
2)	λ = λι = - — характеристическое число, a φι(x) = 5Ы2 — ЗЫ —
π
собственная функция; уравнение разрешимо при любых А, если a ≠
≠ —Пусть а — — -. Тогда, если A ≠ -, то φ(x} —  	—— (5Lx∣2 —
5	5	л	5(1 — Aπ)

136 Гл. 2. Функциональные пространства и интегральные уравнения
— ЗЫ); если А = -, то φ(x) = СТ5Ы2 — ЗЫ) + Ы2 — |Ы, где С —
л	4
произвольная постоянная;
3)	А = λι = — — характеристическое число, a = Ы2 — 1 —
2л
собственная функция; уравнение разрешимо при любых А, если a ≠
≠ — 1. Пусть а = — 1. Тогда если A ≠ то φ(x) = -—— (Ы2 —
2л	1 — 2Ал
— 1); если А =	, то φ(x) — C(∖x∣2 — 1) ÷ Ы2, где С — произвольная
2л
постоянная;
4)	А = Ai = —	характеристическое число, a φι(rr) = Ы2 — Ы —
2л
собственная функция; уравнение разрешимо при любых А, если
a ≠ — 1. Пусть а = — 1. Тогда если A ≠ то φ(x) =	—ллЦ
2л	1 — 2Ал
если А = —-, то φ(x) — С(Ы2 — Ы) + Ы2 — -Ы, где С — произволь-
2л	2
ная постоянная;
5.41.	1) λn =	÷ πn) > Ψn = sin ÷ πn) х, (п = О, 1,2, ...);
2)	λn = n2π2, φn = sinπnx, (n = 1, 2, ...);
3)	An (n= 1, 2, ...) — положительные корни уравнения tgyzA =
= —VzA φn — sin√X^
4)	An = — ∣μ2 (n = 1, 2, ...), где μ2 — положительные корни
1
уравнения μ	— 2 ctg μ, φn — sin μnx ÷ μn cos μnx∖
М
5)	Ao = 1, фъ = ex, λn = —n2π2 (n = 1, 2, ...), φn = sinπnx +
+ πn cos ттх;
a∖ ∖	7r2(2n+l)2⅛4 z ∩ 1 о \	( । Ц
6)	An =		 (п = 0, 1,2, ...), φn = sin n÷ - лх;
8(1 + β )	\^/
7)	An = (nπ) .—-, φn — sinπnx, (n = 1, 2, ...).
sin 1
5.42.	1) λ∏1) =	— si∏πnx, (n = 1, 2, ...); A∏^ =
= I (I +πn) , φff = COS	+πn) х, (п = 0, 1, 2, ...);
/	1 \ 2	।
2)	λn = 1 - (п + - J , φn = cos(n+ -)х, (п = 0, 1, 2, ...);
/	1 \ 2	I
3)	λn = (n+ - ] - 1, φn = sin(n+ -)х, (п = 0, 1, 2, ...).

Ответы к § 5
137
= sin(2n ÷ l)rr, (n = 0, 1, 2, ...);
ψn^ = cos(2n + 1)ж, (п = 0, 1, 2, ...); Aq =
5.43.	1) λiυ =
λ(2) = _ (2n÷l)2,
φo = 1;
2)	λ0 =	, ψo = 1; λn1^ = — + 1) , φ∏', = cos(2n + 1)®, (п = 0, 1,
2, ...); Ап4 1) , ψn', — sin(2n + 1)®, (п = О, 1, 2, ...).
5.44.	1) Ап = —, ψn = sinnx, φ∏ — cosnx, (п = 1, 2, ...), если
βn
αn = ∫θπ ω(t) cos ntdt ≠ 0; λo = —, φo = 1, если = ∫θπ ω(t) dt.
5.45.	φ(x) = A ∫θ G(x, y)f(y) dy + /(ж), где
G(x,y) =
sin √zλ х cos vzA (у — 1)
л/А cos vzA
sin √zA у cos VzA {x — 1)
л/А cos л/А
х ≤
х^у.

Глава 3
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
§ 6.	Основные и обобщенные функции
Обозначим через V ≡ P(Rn) совокупность всех бесконечно
дифференцируемых финитных функций в Rn. Последователь¬
ность {φfc} функций из Р называется сходящейся к функции φ
(из Р), если:
а)	существует такое число R > 0, что suppφ∕c G Ur∖
б)	при каждом а
÷r∈KLn
Daφ⅛(x) =4 Daφ(x), к —» ∞ 1)
При этом пишем φ⅛ —> φ, к —> ∞ в D. Совокупность Р
функций с введенной сходимостью называется пространством
основных функций D.
Обозначим через S ≡ 3(Rn) совокупность всех бесконечно
дифференцируемых функций в Rn, убывающих при |ж| —> ∞
вместе со всеми производными быстрее любой степени ∣x∣-1.
Последовательность {φ‰} функций из S называется сходя¬
щейся к функции φ (из 5), если для всех а и β
χ0Daφjς(x) =4 x^Daφ(xβ к —» ∞.
При этом пишем φji —> φ, к —> ∞ в 3. Совокупность 3
функций с введенной сходимостью называется пространством
основных функций 3.
6.1.	Пусть φ ∈ Р. Выяснить, есть ли среди последователь¬
ностей
1	1	1 / т \
1)	-(Дж); t2) -φ{kx)∖ 3) -φ , где к = 1,2,...,
сходящиеся в Р.
1) По поволу обозначений см. с. 6-8.

§ 6. Основные и обобщенные функции
139
6.2.	Пусть п = 1 и
fl при — 2ε ≤ х ≤ 2ε,
XW=∣O πpl<∣1-∣>2f.
Показать, что функция
∞
η(x) = x(y)ωε(x -y)dy,
—∞
где ωε — «шапочка», является основной из D(R1), причем 0 ≤
≤ η(x) ≤ 1, η(x) ≡ 1 при — ε ≤ х ≤ ε, η(x) ≡ 0 при |ж| > 3ε.
6.3.	Пусть G%ε = U U(x',2ε) — 2ε-oκpecτHθcτb ограничен¬
нее
ной области G и χ(x) — характеристическая функция обла¬
сти G%ε, т. е. χ(x) = 1, х ∈ G%ε и χ(x) = 0, х G^ε. Доказать,
что функция
ЦЦ = χ(y)ωε(x - y)dy
основная из P(Rn), причем 0 ≤ η(x) ≤ 1, η(x) ≡ 1 при х ∈ Gε,
η(x) ≡ 0 при х G^ε.
6.4.	Пусть функция η(x) удовлетворяет условиям задачи 6.2,
Я(Ц = ∑ η{x~εv∖ e{x) = ^-.
Z√=-∞
Доказать, что Н Е C,°o(R1), Я(ж) ≥ 1; е ∈ P(R1), 0 ≤ е(ж) ≤
∞
≤ 1; e(x) ≡ 1 при |ж| ≤ ε и е(х) = 0 при ∣x∣ ≥ 3εj ∑ е(х —
ι∕=-∞
— ει∕) ≡ 1.
6.5.	Доказать, что существуют такие функции ∈ D(R1),
δ > 1, что φs{x) = 1 при ∣x∣ ≤ δ — 1, φs{x) = 0 при ∣x∣ ≥ δ
и	≤ Ca, где постоянная Са не зависит от δ.
6.6.	Пусть непрерывная функция /(ж) финитна: /(ж) = О,
∣x∣ > R. Показать, что функция
А Ч) =
∕(y)ωε(x-y)dy (ε < R)
140
Гл. 3. Обобщенные функции
основная из D(Rn), причем ∕ε(x) = 0 при |ж| > R + ε. Показать,
что
x∈Rn
АЦ) =4 /Ц), ≡ —> θ∙
6.7.	1) Доказать, что функция
≠(^) =
/А ,' 1 V ⅛^(θ) к
φ(x) - η(x) 22 fe∣ ~х
к=0
т = 1,2,
основная из P(R1), где φ Е P(R1) и η ∈ P(R1), η ≡ 1
в окрестности х = 0;
2)	доказать, что функция
⅛) = уМ - ,(»> ■ у(0)
офх)
основная из D(R1), где φ ∈ D(R1), τy(⅛) — функция из зада¬
чи 6.7, 1) и а Е Coo(R1), имеет единственный нуль порядка 1
в точке х = 0.
6.8.	1) Показать, что функция φ∖ из P(R1) может быть
представлена как производная от некоторой другой функ¬
ции φ2 из D(R1) тогда и только тогда, когда она удовлетво¬
ряет условию
∞
φi(⅛) dx — 0;
—∞
2)	показать, что всякая функция φ(x) из D(R1) может быть
представлена в виде
∞
φ(x) — φo(x) φ(x'} dx' + φ∖ (ж),
—∞
где φ∖ Е D(R1), a φv(x) — любая основная функция из D(R1),
∞
удовлетворяющая условию ∫ φo(x) — 1.
—∞
Указание. Воспользоваться задачей 6.8, 1).
6.9.	Показать, что Р с 5 и из сходимости в Т> следует
сходимость в 5.
6.10.	Пусть φ Е S. Выяснить, есть ли среди последователь¬
ностей

§ 6. Основные и обобщенные функции
141
О Дщ
к
сходящиеся в
2) γφ(kxY, 3) ∖-φ fyY где к = 1,2,
к	к ∖kj
S.
6.11.	Пусть φ ∈ S и Р — полином. Доказать, что φP ∈ 5.
6.12.	Пусть функция ψ ∈ Coo(R1), ψ(x) = 0 при х < а и
ограничена вместе со всеми производными. Доказать, что функ¬
ция ψ(x)e~σx основная из 8(R1), если σ > 0.
Обозначим через V' ≡ Pz(Rn) совокупность всех линейных
непрерывных функционалов на пространстве основных функ¬
ций Т). Всякий функционал / ∈ V' назовем обобщенной функ¬
цией (из пространства D,)∙
Обозначим через S' ≡ 8z(Rn) совокупность всех линейных
непрерывных функционалов на пространстве основных функ¬
ций S. Всякий функционал f ∈ 8' назовем обобщенной функци¬
ей медленного роста (из пространства S,∖
Значение функционала / на основной функции φ обозначим
через (∕,φ). Чтобы указать аргумент основных функций, иногда
вместо / и (/, φ) будем писать /(ж) и (∕(rr), φ(rr)).
Последовательность {Д} обобщенных функций из ТУ на¬
зывается сходящейся к обобщенной функции f (из P,), если
(fk,φ) —÷ (/,¥>), fc → оо, для любой φ из Р. В частности,
ряд из обобщенных функций щ + и% + ... + зд + ... называется
сходящимся в V' к обобщенной функции f, если для любой
∞
φ ∈ Р числовой ряд ∑(¾,<∕0 сходится к (f,⅛p). Сходимость
/с=1
последовательности и ряда в S определяется аналогично.
Говорят, что обобщенная функция / равна нулю в обла¬
сти G, если (/, (р) = 0 для всех φ из Р с носителем в G.
Обобщенные функции Д и Д называются равными в области G,
если их разность Д — Д равна нулю в G; Д и Д называются
равными, если (∕ι,φ) = (Д,у>) для всех φ ∈ ТУ
Носителем обобщенной функции / называется множество
всех таких точек, ни в какой окрестности которых / не об¬
ращается в нуль. Носитель / обозначается через supp∕. Если
supp∕ — ограниченное множество, то / называется финитной
обобщенной функцией.
Регулярной обобщенной функцией из Pz(Rn) называется вся¬
кий функционал вида
(∕,<^) = f(x)ψ(x)dx, φ ∈D(R"),
где / — локально интегрируемая в Rn функция.

142
Гл. 3. Обобщенные функции
Если /(ж) — функция медленного роста в Rn, т. е.
∣∕(⅛)∣(1 + ∖x∖)~mdx < ∞
при некотором m ≥ 0, то она определяет регулярную обобщен¬
ную функцию из S' (медленного роста).
Всякая обобщенная функция, не являющаяся регулярной,
называется сингулярной.
Примером сингулярной обобщенной функции является 5-функ-
ция Дирака, определяемая правилом
(5,⅛p) = ⅛p(0), ⅛9∈P(Rn).
Обобщением 5-функции является поверхностная 5-функция.
Пусть S — кусочно-гладкая поверхность и /г(ж) — непрерывная
функция на ней. Обобщенную функцию μ5s, действующую по
формуле
(μ⅛,<^) = μ(x)φ(x)dSx, φEV(Wl),
S
назовем простым слоем. В частности, если S есть плос¬
кость t = О в Rn+1(x,i), то μ5(t^o)(x,t) обозначим μθr)5(t), так
что
(μ(x)5(t), ⅛p) = μ(x)φ(x, 0) dx.
в™
При п = 1 простой слой 5¾(^) на сфере ⅛ обозначим через
5(7? - |ж|), так что (5(7? - |ж|), φ) = φ(⅛) + φ(-R).
Произведением f из P'(Rn) и функции q(x) ∈ Coo(Rn) на¬
зывается обобщенная функция а/, действующая по формуле
(α∕,φ) = (∕,αφ), φ∈P(R").
Пусть /(ж) ∈ P'(Rn), А — неособое линейное преобразование
и b ∈ Rn. Обобщенную функцию f(Ay + 5) определим формулой
ЩАу + b),φ)=(f,	~ Ь)]), ^∈P(Rn)-
\	| Lie I /1 |	/
При А = 7 имеем сдвиг обобщенной функции f на —Ъ\
(f(y + b∖φ) = <JMx~b}Y
Например,
Щх - Xq), φ) = (5, φ(x + ЖО)) = φ(τ0)
§ 6. Основные и обобщенные функции
143
есть сдвиг на xq. При А = — I, b = 0 имеем отражение
(∕(-x),φ) = (∕,φ(-τ)).
6.13.	Доказать, что δ(x) — сингулярная обобщенная функ¬
ция. Дать ее физическую интерпретацию.
6.14.	Дать физическую интерпретацию обобщенным функ¬
циям:
N
1)26(ж-ж0);	2) £; mkδ(x - xky, 3) μ(x)δs(sy,
4) ∣s∣⅛β(x — жо); 5) 25(7?i — |ж — 11) + 3<5(7⅞ι — |ж — 2|).
Найти их носители.
6.15.	Доказать, что:
1)	δ(x — z∕) —> 0, v —> ∞ в P'(R1)j
2)	⅛h(x) —> О, R —> ∞ в ТУ.
6.16.	Доказать, что S' С ТУ и из сходимости в S' следует
сходимость в D,.
6.17.	Доказать, что:
1) e≈∈Pz(R1), ex0Sz(R1)j 2) e1∕≈ ^z(R1)j
3)	βx sinex ∈<Sz(R1).
6.18.	Доказать, что функционал Р -, действующий по фор¬
муле	x
∞	— t ∞
(р-, Д = (v.p.)	бХ2 dx = ∩m (	_|_ А 22М cIjx φET>,
∖ х J	J х t→+o ∖ J J у х
—∞	—∞	t
— сингулярная обобщенная функция.
6.19. Вычислить пределы в D,(R1)
2)
при ε → +0:
ε
I =∙2∖,
'ε),
-λ 1	. 2 x
5) —? sin -
πx ε
L U, |ж| > е;
3)	-^e~χ2∕^∙	4) - sin-;
2√πε	х ε
6.20.	Доказать формулу Сохоцкого
—= ^iπδ(x) +Р
х ± гО	х
6.21.	Вычислить пределы в D,(R1) при t —> +ос:
ixt	—ixt	ixt	—ixt
1> -0∙ 2>	3>	4> Гйо; 5> t"vl'

144
Гл. 3. Обобщенные функции
6.22.	Найти предел V c°s ⅛x, к —> оо, в P'(R1), где
∞
∕' coskx	∖ z 4 Г coskx z х 7
[Р	φ) = (v.p.)	-^φ(x) dx =
—∞
= lim
ε—>-∣-0
coskx z х 7
	φ[x) ах,
φ ЕР>.
∞
6.23.	Доказать, что ряд ∑ a⅛δ(x — к\.
к=—ос
1)	сходится в V при любых α⅛j
2)	сходится в S', если ∣αj⅛∣ ≤ C(l + ∣fc∣)m.
6.24.	Пусть ψ ∈ P(Rn), ≠ ≥ О, ∫-≠(x)cfc = 1. Доказать,
что ε~nψ	—> 5(x), ε —> +0 в P'(Rn); в частности,
ωε(x) —>	ε —> 0 в D'(Rn).
6.25.	Показать, что функционал Р действующий по фор-
xz
муле
∞
Λτ, 1 λ /	\ Г φ(χ} — ω(0) 7
P-,ω)=(v.p.)	0ry dx, φtT>,
∖ X /	J xz
—∞
— сингулярная обобщенная функция.
6.26.	Показать, что:
1)	a(x)δ(x) = α(0)^(x), a ∈ C°°(Rn); в частности, xδ{x) = 0,
s∈R1j
2)хР- = 1; 3) xmP - = xm~i, m ≥ 1.
X	X
6.27.	1) Пусть обобщенная функция / равна нулю вне от¬
резка [—а, а]; доказать, что / = ηf, где η ∈ Coo(R1) и η(x) ≡ 1
в [—а — ε, а + ε], ε > 0 любое;
2)	пусть / ∈ D'(Rn) и η ∈ Cσo(Rn), η(x) ≡ 1 в окрестности
suppf; показать, что / = ηf и / ∈ 5'(Rn).
6.28.	Доказать, что δ(ax) =	a ≠ 0.
∣α∣
6.29.	Доказать, что (α∕)(τ + ∕ι) = a(x + K)f{x + /г), где a ∈
∈ C∞(Rn), f ∈ P'(Rn), h ∈ Rn.

§ 6. Основные и обобщенные функции
145
6.30.	Доказать, что обобщенная функция
fPf 21	=
\ X + у	/
φ(x, у) — ≠(0,0) , , Г φ(χ,y) , ,
=	—rr-j- dx dy +	ζ Щ dx dy
J х +У	J х +У
x2+y2<l	x2+y2>l
удовлетворяет уравнению (ж2 + у2) Pf	—7 = 1 в P,(R2).
х +у
6.31.	Пусть / ∈ S' и Р — полином. Показать, что /F ∈ S'.
6.32.	Пусть / ∈ P'(R1) финитна и 77(rr) — произвольная
функция из P(R1), равная 1 в окрестности supp∕. Положим
Рб = ⅛ (∕^),z⅛), z = x + iy-
Доказать, что:
1)	f (г) не зависит от выбора вспомогательной функции у;
2)	f(z) — аналитическая функция при z £ supp/;
з)	Тщ = о fμ∣yz —*
4)	f(x + zε) — f(x — iε) —> ∕(x), ε —> +0 в P,(R1).
6.33.	Пусть / ∈ 2>'(R1), supp∕ С [—а, а] и ?у ∈ D(R1), 77(ξ) ≡
≡ 1 в окрестности supp∕. Доказать, что функция
= (Ж),Ц£)ег2Ц, Z = x + iy,
не зависит от η, целая и удовлетворяет при некотором m ≥ О
и любом ε > 0 оценке
∣⅛ + zy)∣ ≤Cεe(α+ε^∣(l + HΓ.
6.34.	Пусть f Е Pz(Rn) и supp∕ = {0}. Доказать, что f
однозначно представляется в виде
/Ц)= J2 CaDaδ(x).
0≤H≤7V
00
6.35.	Пусть ряд ^yδ^∖x) сходится в 2∕(R1). Доказать,
z√=0
что al, = 0 при z∕ > z√o∙

146
Гл. 3. Обобщенные функции
Ответы к § 6
6.1.	1) Сходится к нулю; 2) и 3) не сходятся, если φ(x) ≠ 0.
6.6.	Ясно, что fε(x) ∈ V. Далее, так как /(ж) непрерывна и фи¬
нитна, то для любого σ > 0 и при всех достаточно малых ε > 0 имеем
∣∕(x) — f(y)∖ < σ при \х — y∖ ≤ ε, х, у ∈ R1, так что
∣∕(χ)-Λ(y)∣≤
≤ ||/Ц) - f(y)∖ωε(x - уЛу < σ ωε{x-y)dy = σ, z∈R1.
∣x-τ∕∣<ε
6.7.	1) Решение. Очевидно, функция ψ(x) финитна и бес¬
конечно дифференцируема при х ψ 0. Осталось доказать, что ≠(x)
бесконечно дифференцируема в точке х = 0. Пусть η(x) ≡ 1 при |ж| ≤ ε.
Обозначив
m~i (Jφπ∖
f<X) = φ(z) - ]Γ ⅛"⅛
fc=0
получим
//А\	Г // А	Т ∕C≈)	∕w(0)
≠(0) = Im ψ(x) = km
v v j x→0n j	x→o xrn т\
т f(m)(∩∖
,∕∕∩x Г ψ(x)-ψ(ty 1∙	т]
w (0) — пт —= пт	.

ψ v 7 x→o х x→o √n÷1
И Т. д.
Таким образом, ≠(x) ∈ Coo, и, значит, ψ eV.
6.8.	1) Указание. Для доказательства достаточности прове¬
рить, что
— ψι(x)dxeV.
^0+0 ((у
(m ÷ 1)!
6.10.	1) и 3) сходятся к нулю в 5; 2) не сходится в 5, если φ(rr)≠O.
6.19.	1) 5(ж); 2) δ(x∖, 3)	4) л5(ж); 5) δ(x).
6.21.	1) 2лгф); 2) 0;	3) 0; 4) -2лг5(ж);	5) 0.
6.22.	0.
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций
Производной обобщенной функции / из D'(R1) называется
функционал определяемый формулой (f',φ) = -(f,φ'), φ ∈
∈P(K1).

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций
147
Каждая обобщенная функция имеет производные любого по¬
рядка и f(m∖ m ≥ 1, есть функционал, действующий по формуле
(/(m), φ) = (-ιr СЛ √m>)∙	(*)
В случае п > 1 формула (*), определяющая производную Daf,
принимает вид
(Daf,φ) = (-p∖a^f,Daφ), φ ∈ P(Rn).
Пусть S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность, п —
нормаль к S и ι∕(x) — непрерывная функция на S. Обобщенную
функцию — — (z∕⅛), действующую по формуле
(~⅛∏s)- = ∫Φ0⅞⅛r ds' ψ e p(Rn)’
S
назовем двойным слоем на поверхности S. В частности, ес¬
ли S есть плоскость t = 0 в пространстве Rn+1 переменных
(я, £) = (яд, x<2,..., x∏,t∖ то — — (z∕5(t=0}(⅛,^)) обозначим через
-v(x)δ'(t), так что
(-ιAx)δ'(t),φ)
μ(x) θ) c∣jλ
∂t
Rn
Пусть локально интегрируемая в Rn функция /(ж) та¬
кова, что ее классическая производная порядка а = (cq,...
..., an) — кусочно-непрерывная функция в Rn. Регулярную обоб¬
щенную функцию, определяемую этой производной, обозначим
через {Daf(x)} (в отличие от обобщенной производной Daf(xY).
7.1.	Дать физическую интерпретацию обобщенным функ¬
циям:
bR1 -δ'(x),	—5,(x-ж0);
В ≡3 -J^(za⅛), -2-^-(x-x0),
(7П	ОП
7.2.	Показать, что ЩтЦх — α⅛)>ψ(χY) = (-
m ≥ 1.
7.3.	Показать, что в P'QR1):
1)	p(x)<5'(ar) = —p'(0)<5(τ) + p(0)<5,(x), где р(ж) ∈ C,1(R1)j
2)	xδ^m∖x) = -rnδt'm~1∖x), т = 1,2,...;
3)	xmδ(m∖x) = (-l)mrn!φ), т = 0,1,2,...;
4)	xkδ^m∖x) = 0, m = 0, l,...,fc- 1;

148
Гл. 3. Обобщенные функции
5)	α(τ)<√m)(τ) = £
j=o
где а(ж) ∈ C,°o(R1)j
6)	xkδ(m∖x) — (-l)kk!Cklδ^m~k∖x), т — k, k + 1, ....
7.4.	Показать, что θ' = δ, где θ — функция Хевисайда.
7.5.	1) Показать, что в P'(R1)
(0(ж)р(ж))' = <5(ж)р(0) + 0(ж)р'(ж),
где р(ж) ∈ C,1(R1)j
2)	показать, что в D'(R2)
^(β(i)p⅛i))=i(i)p(1.O)+β(f)⅛⅛≤,
где p∈C1(t≥ 0).
Указание. Воспользоваться определением простого
слоя (§1).
7.6.	Вычислить:
1)	θ'{-ж);	2) #(т)(ж — жо), m ≥ 1 целое;
3) θ^m∖xo — ж), m ≥ 1; 4) (sigι^∕m∖ m ≥ 1;
5) (rrsignx),j	6) (|ж|/т\ m ≥ 2;
7)	(0(j)sin;r)';	8) (0(x)cosx)'j
9)	(θ(x)xm+k)(m∖ m≥ 1, fc = 0, 1, 2, ...;
10)	⅛⅛m^fc)(m∖ т ≥ 1, к = 1, .... т;
11)	Щх)еах^т\ т ≥ 1.
7.7.	Вычислить производные порядка 1, 2, 3 функций:
1)	у = ∣x∣ sinx; 2) у = ∣τ∣ cos х.
7.8.	Показать, что
(Daf)(x + h) = Daf(x + h∖ f ∈ P,, h ∈ Rn.
7.9.	Доказать, что обобщенные функции 5, У, ..., ли¬
нейно независимы.
7.10.	Доказать:
1)	In |ж| = V -, где V - определена в задаче 6.18;
CLX	X	X
2)
3)
—V - = — V	где Р определена в задаче 6.25;
ах х	χ1	χ1
d 1
dx х ± гО
= Т7Г5'(ж)-р1;
X

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций
149
4) 4^4 = -2P-ζ, где
dx χ2	χ6
∞
fp-L,φ) = (v.p.) [ У(Ж) ~ dx, ⅛,∈D(K1).
X X J	J X
—∞
∞
7.11.	Показать, что ряд o>k^k∖x — к) сходится в P,(R1)
к=—∞
при любых ау.
∞
7.12.	Показать, что если ∣α⅛∣ ≤ A∣fc∣m + В, то ряд ∑ а^егкх
k=-oe
сходится в <S'(R1).
7.13.	Пусть /(х) — такая кусочно-непрерывная функция, что
/ ∈ Ci(x ≤ xq) ∩C1(t> Xq).
Доказать, что
∕, = {/(Ц} +|/М(ж-жо) в D'(R1),	(**)
где ∣∕∣a,0 = /(ж0 + 0) - /Цо - 0) — скачок функции / в точке х0.
Доказать, что если классическая производная функции /(ж)
имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках {□?&}, то фор¬
мула (**) принимает вид
f' = {/'(I)} + ∑ IΛJ(z - ¾)-
к
7.14.	Вычислить f(rn^ для функций:
1)	θ(a- |ж|), а > 0;	2) [ж];	3) signsinrr; 4) signcosx.
Здесь [х] означает целую часть х, т. е. наибольшее целое
число, не превосходящее х.
7.15.	Пусть /(ж) — 2л-периодическая функция, причем
/Ц) = |	0 < х ≤ 2л. Найти /'.
z zπ
7.16.	Пусть f(x) = х, — 1 < х ≤ 1, — периодическая с перио¬
дом 2 функция. Найти f(m∖ m ≥ 1.
7.17.	Доказать, что
∞ ∞
⅛ Σ =,b= Σ ^-2⅛)∙
к=—∞	к=—∞

150
Гл. 3. Обобщенные функции
7.18.	Доказать, что
- c°s(2fc + 1)х = У2 (—— fcπ).
k=0	k=-oo
7.19.	Пусть /(ж) ∈ C°°(x ≤ a¾) ∩ C,oo(τ ≥ a¾). Доказать, что
bP'(R1)
/(т)Ц) = {∕("⅜)} + ∣∕∣√m-⅜ - ж0) +
+ [f]^m~2∖x - ж0) + ... + lΓn~‰δ(z - x0),
где
[∕¾0 = /(fc) Щ + 0) - /(fc) (ж0 - 0), к = 0, 1,..., т - 1,
— скачок fc-й производной в точке xq.
7.21.	Доказать:
1)	| sinx∣" + | sinx∣ = 2 ]∏ δ(x — kπ∖,
k=-oe
∞	/ Ok _|_ 1	\
2)	2) | со8ж|" + | со8ж| = 2 22 δ \х ———7r)∙
к=—∞	'	2	/
Указание. Воспользоваться задачей 7.14, 3) и 4). Пусть
т
∑ak(X)yW = f	(*)
к=о
— линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэф¬
фициентами ak(x} ∈ Coo(R1) и / ∈ P'(R1). Его обобщенным

§ 7. Дифференцирование обобщенных функций	151
решением называется всякая обобщенная функция у ∈ Dz(R1),
удовлетворяющая уравнению (*) в обобщенном смысле, т. е.
тп	тп
(∑aky(k∖φ∖ = θ∕,^2(-l)‰^)w) = (∕>⅛7)
v k=0	k=0
для любой φ ∈ D(R1) 1). Всякое решение уравнения (*) можно
представить в виде суммы его частного решения и общего реше¬
ния соответствующего однородного уравнения.
7.22.	Найти общие решения в P,(R1) следующих уравнений:
1) ху = 0;
2)	a(x)y = 0, где a ∈ Coo(R1) и имеет единственный нуль
в точке х = 0 порядка 1;
3)	a(x)y — 0, где a ∈ С и а > 0;
4)	(ж — 1)у =	0;	5)	х(х — 1)у = 0;	6)	(ж2 — 1)у = 0;
7)	ху = 1;	8)	ху = V	9)	xny = 0, п =	2, 3,...;
10)	x2y = 2;	11)	(х + l)2y = 0;	12)	(cosx)y = 0.
7.23.	Найти общие	решения в Dz(R1)	уравнений:
1)	у' = 0; 2) √m) = 0, m = 2,3,....
7.24.	Доказать, что общим решением в Dz(R1) уравне¬
ния xny^ = 0, п > тп, является обобщенная функция
У = akθ(x)xm~k~l + ЬЩк~тЦх) + J2 ckxk,
k=0	k=m	к=0
где ар, Ьр, ср — произвольные постоянные.
7.25.	Найти общие решения в Dz(R1) уравнений:
1)	жу'=1;	2) χy' = P-∙	3) x2y' = 0;
4)	x2y' =1;	5) у" = 5(ж);	6) (х + 1)у" = 0;
7)	(х + l)2yz, = 0; 8) (х + l)y,,z = 0.
7.26.	Доказать, что общим решением в Dz(R1) уравнения
ху — sign х является обобщенная функция Cδ(x) + V ∣-1, где
И
' ⅝*⅛ + [ ⅛>⅛.
J И J и
∣x∣<l	И>1
l) Иногда для краткости выражение «удовлетворяет уравнению в обобщен-
ном смысле» заменяется выражением «удовлетворяет уравнению в ТУ».

152
Гл. 3. Обобщенные функции
7.27.	Доказать, что если / ∈ D'(R1) инвариантна относи¬
тельно сдвига, т. е. (f,φ) = (/(ж), φ{x + /г)), где h — любое
вещественное число, то / = const.
Указание. Доказать, что f = 0, и воспользоваться зада¬
чей 7.23, 1).
7.28.	Найти решение в D,(R1) уравнения
α∕" + bf, + cf = mδ + nδ',
где а, Ь, с, т, п — заданные числа.
Рассмотреть случаи:
1)	а = с = п = 1, b = т = 2;
2)	b = п = 0, а = т = 1, с = 4;
3)	Ь = 0, а = п = 1, т = 2, с = —4.
7.29.	Доказать, что система = A(x)y, где матрица A(x) ∈
∈ Coo(R1), имеет в ТУ только классическое решение.
7.30.	Доказать, что уравнение и' = f разрешимо в D,(R1)
при любой / ∈ 2∕(R1).
Указание. Воспользоваться задачей 6.8, 2).
7.31.	Доказать, что уравнение хи = / разрешимо в D'(R1)
при любой / ∈ Pz(R1).
Указание. Воспользоваться задачей 6.7, 1).
7.32.	Доказать, что уравнение x3u' + 2и = 0 не имеет реше¬
ний в D,(R1) (кроме 0).
7.33.	Пусть θ(xι,X2,... ,x∏) = ∏ θ(xi). Показать, что
г=1
∙wn
‰1‰2 ∂~x = Φ) = <⅛∙∙.,⅞)
в P,(Rn).
7.34.	На плоскости (х,у) рассмотрим квадрат с вершинами
A(l,l), B(2,0), C(3,1), D(2,2).
Пусть функция / равна 1 в ABCD и 0 вне его. Вычислить
ыг _ -р"
Jyy JXX'
7.35.	Пусть область G С К3 ограничена кусочно гладкой
поверхностью S и дана функция / ∈ C1(G) ∩C1(Gι), где СД =
= Rn ∖ G. Доказать формулу
= (⅞t} + [∕]scos(n,¾)⅛, г = 1,2,3,
oxi I oxi J

Ответы к §7
153
в D'(R3), где п = пж — внешняя нормаль к S в точке х ∈ S,
a [f]s — скачок функции f (а?) при переходе извне через поверх¬
ность S:
lim ∕(√) - lim ∕(√) = [f]s(%∖ х ∈ S.
x'→x	x'→x
х* ∈ G ।	x^ ∈ G
7.36.	Доказать, что если f ∈ C2(G) ∩ G2(Gι), где Gι —
= Rn ∖G, то справедлива формула Грина
7.37.	Доказать, что если f(x, i)) ∈ C2(t ≥ 0) и / = О при t <
< 0, то в Rn+1 справедливы формулы:
1)	□α∕ = {□a∕} + δ(t)ft(ж, 0) + <Ц0) Дж, 0);
2)	⅛ - o2∆∕ = {⅞7 - »2Д/} +	°)-
(JL	k (Уб	J
Ответы к § 7
7.6.
1)	-δ(z)5	2)	δ^m-1∖x-x0γ,	3)	-δ^m~i∖x - xq∖,
4)	2δ(m~i∖x∖,	5)	signa;;	6)	2δ^rn~2∖x∖,
7)	0(x)cosx;	8)	δ(x) — θ(x) sina?;	9)	θ(x)xk-,
10) (m — k)lδ(k~v>(x∖,
11) δ(m~i∖x) + αδ(m-1∖x) ÷ ... + αm-1δ(τ) + omθ(x)eax.
7.7. 1) yr = signx sinx + |a?| cos ад y" = 2 signx cosx — |a?| sin ад
y," — 4δ(⅛) — 3 signa? sin ж — |a?| cos a;;
2) y, = sign a? cos a? — |a;| sin ад у" = 2δ{x) — 2 sign a; sin a; — |a?|cosa?,
y," — 2δf(x) — 3 sign a? cos a: + ∣x∣ sin a:.
7.10. 2) Решение,	- (p - ,	=
∖∖ χ	∖ χ
— ∞ ε
—ε ∞	— ε ∞
= lim	ε)—lim 92(0)(^	+ lim f +	yχ _
ε→0 ε ε→0	∖ J J J χ2	ε→0∖ J J ) χ2
— сю ε	—∞ ε
= lim f y(£) ~y(0) - y(~£) ~y(0) )-fp±,J = f- pl,J, φe'D.
ε→o∖ ε	-ε J ∖ x2 r /	1 x2 I

154
Гл. 3. Обобщенные функции
7.14.	1) 5(m-1)(τ + α) - <j(m^1)(τ - а);	2) £ J(m~1)(τ - fc);
k= — ∞
3)	2 £ (-l)Mm-1∖z-fcπ)j
k= — ∞
4)	2 £ (-l)fc+1<5(m-1) frr-(2fc+l)^.
k=-∞	×	2'
7.15.	f' = -ф + £ φ-2⅛τr).
7.16.	f, = 1-2 £ δ(x - 2k - 1), ∕m) = -2 £ δt-m~l∖x -
k=—∞	k=-oo
— 2k— 1), m = 2,3, ....
7.17.	Указание. Воспользоваться 7.15.
7.18.	Указание. Воспользоваться 7.17.
7.20.	Указание. Воспользоваться задачами 7.13 и 7.19.
1)	y' — θ(x)cosx, y(rn3> = ∑J∑^(-l)k~iδ(m~2k∖x) + 0(x)(sinx∕m),
т = 2, 3,..., где [т/2] — целая часть у;
2)	у' = δ(x) — θ(x)sinx, y(m) = ∑^Γ1+1^2^(-l)fc-15^m-2fc+1∖x) +
+ θ{x)(cosx^m∖ т = 2, 3,...;
3)	у' = 20(1 — ∖x∖)x + δ(x — 1) — δ(x + 1), у" = 20(1 — |х|) —
— 2δ(x ÷ 1) — 2δ(x — 1) + δ'(x + 1) — δ'(x — 1), y^rnδ =
= ∑Lι /о 2,J(-l)fc-4(m-fe)(^ + 1) - δ(m~k∖x - 1)] т = 3,4,..
(5	к)\
4)	у' = 0(х) — 0(х — 1) ÷ 2θ(x — 1)х, у" — δ(x) + J(x — 1) + 20(x — 1),
yM =2δ^m~3∖x- 1) ÷^m"2) (rr- l) + ^m-2)(x), m = 3,4,...;
5)	у' = 20(x + l)(x + 1) - 20(rr), у" = -25(x) + 20(x + 1), у^ =
= -25(m-2∖rr) + 2J(m-3)(^÷ 1), m = 3,4,...;
6)	y, = 2θ{x)x - 40(ж - 1) - 20(ж - 2)(ж - 2), у" = 20(ж) - 20(ж - 2) -
- 4J(x - 1), y^ = 2δ(m~3∖x) - 2δ(m~3∖x - 2) - ^rn~2∖x - 1),
т = 3,4,...;
7)	y, — θ(π — |ж|) cos х,
y(m) = β(^κ _ ∣χ∣}(sinχ}(>) + γ^^2∖-iy)k{δ^m~2k∖x + л) -
_ j(m-2fc)(^χ _ π)∣, m = 2, 3,...;
8)	у' = 0(π — |ж|) sign х cos х, y(rn^ = θ{π — ∣rr∣) signxsin^m^rr —
- ∑L=f(-1)fc{2^m^2fc∖^) + δ^~2k∖x + π) + δ^~2k∖x - л)},
т = 2, 3,....

Ответы к §7
155
7.22. 1) Решение. Пусть решение у — V существует. Тогда
(τ∕,xφ)=0 для любой φ ∈ Р.	(*)
Найдем это у. Имеем (y,φ) = (?/, φ(O)τy(⅛) ÷ φ(x) — φ(tyη(xY), где η ∈
∈ V, η(xy) ≡ 1 в [—ε, ε] и η(x) ≡ 0 вне [—3ε, 3ε],
(¾∕, φ) = y>(0)(¾∕, η(x))+^y,x^^-	) = <p(0)C, + (у, ar≠(x)), (**)
где С — (у, у) и ψ(χy) — ’—⅛9(θWa0 ∈ р (см решение задачи 6.7).
В силу (*) (y,xψ) = 0. Тогда из (**) имеем (y,φ) = (C5, φ) для вся¬
кой φ ∈ Т>, т. е. у = Cδ(x). Осталось заметить, что С5(ж) удовлетворяет
уравнению ху = 0.
2) Cδ(x) (указание: воспользоваться задачей 6.7, 2);
3) 0;	4) Cδ(x-Vy,
5) Ciδ(x) + C2δ(x- 1); 6) Ciδ(x- 1) + C2⅜ + 1);
7)	Cδ(x) + P--,	8) Cφ) + P⅛
x	X
9)	∑∑0' Ckδ^(х) (Указание. Свести к решению уравнения ви¬
да xz(x) — f(x), обозначив последовательно xrn~2 — y(z) — z(x),
xm — 2у(х) = г(ж) и т. д., и воспользоваться результатом зада¬
чи 7.22, 1.);
10)	Coδ(x) + C↑δ'(x) + 2Р , где V \ — обобщенная функция из за-
X	X
дачи 6.25;
11)	Соф) + С1<Щ+ 1);	12) ∑ Ckδ (х - - kπ∖
k=-∞	∖ Z /
7.23. 1) Решение. Пусть решение у ∈ V существует, т. е.
(т/, φ,) = 0 для любой φ ∈ Р.	(*)
В силу результата задачи 6.8 (2) любая φ ∈ Т) может быть представлена
в виде
φ(x) = φo(^) φ(χ} dx + φ'i (х),
где φ∖ ∈ V, a φo(^) — любая основная функция из Р, удовлетворяющая
условию ∫∞oo ^о(ж) dx = 1. Следовательно,
(y.^)=(y.<^o φdx + √1 ) = (y,φ0)	φdx+(y,φ∖).

156
Гл. 3. Обобщенные функции
Так как в силу (*) (у, <∕∕1) = 0, а (?/, (^o) = С, то
(у, φ) = С φdx = (С, у?) для любой φ ∈ V,
т. е. у — С.
2) Со ÷ C[X ÷ ... + Cm-[Xrn~i. (Указание. Свести к решению
уравнения вида z' = /(ж), обозначая последовательно y(rn~i^ = z,
ylm-2) _ z h т. д., и воспользоваться результатом задачи 7.23, 1.)
7.25. 1) Ci + С26»(ж) + In |ж|; 2) C1 + C26*(τ) - Р
3) Ci+С2ф) + С3ф); 4) Cι+C'2^) + C3⅜)-P^
5) C0 + C,ιτ + 6∣(τ)τj	6) Co + Clx + C2θ(x + 1)(ж +^1);
7)	Cq + C↑x + C2θ(x + 1) + C3θ(x T 1)(ж т О’
8)	C0 + Clx + C2x2 + C3θ(x+ 1)0 + I)2.
7.	28. 1) 0(z)e-x(l +ж);	2) 1#(ж)sin2®; 3) θ(x)e2x.
Указание. Искать решение в виде θ(x)z(x), где z ∈
∈ C2(R1) — искомая функция.
7.3	4. -2δ(x - l,y - 1) + 2δ(x - 2,у) + 2δ(x - 3,y -1)-
-2δ(x-2,y-2).
§ 8. Прямое произведение и свертка
обобщенных функций
Прямым произведением обобщенных функций f(x) ∈ P'(Rn)
и p(y) ∈ P'(Rm) называется обобщенная функция ∕(s) ∙ g(y)
из P>'(Rn+m), определяемая формулой
(/О ∙^(y),φ(aj,y)) =	p∈P(Rn+m)∙ (I)
Прямое произведение коммутативно, т. е. /(ж) ∙ g(y) = g(y) ×
х /(ж) и ассоциативно, т. е.
[/(ж) ∙ g(y)] • НЩ = /(ж) ∙ [g(y), h(z)]-
Если F ∈ <S'(Rn) и g ∈ 5'(R"1), то f(z) ■ g(y~) определяется по
формуле (I), где φ ∈ <S(Rm+n), и принадлежит 5'(Rm+n).
Производная прямого произведения обладает свойством
D^yxyg^ = Daf(x).g{yγ,
D^fH-9^ = f^-Dag(yY	uυ
Если μ(x) ∈ D,(Rn) и z∕(x) ∈ D'(Rn), то обобщенные функ¬
ции μ(x) ∙ δ'(t) и —z∕(x) ∙ δ'(t) называются простым и двойным
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций
157
слоями из поверхности t = 0 с плотностями μ(x) и v(x) соот¬
ветственно. В случае непрерывных плотностей эти определения
слоев совпадают с определениями, приведенными в 3.1 и 3.2,
т. е. μ(x) ∙ 5(t) = μ(x)δ[t) и —z∕(rr) • 5'(x) = — v(x)δ'(t).
Обобщенную функцию δ(at — |ж|), а > 0, из D,(R2) определим
равенством
δ(at — |ж|) = θ(t)δ(at + ж) + θ(t)δ(at — ж), (III)
где обобщенные функции θ(t)δ(at + ж) и θ(t)δ(at — ж) есть ре¬
зультаты линейных замен переменных t' = i, ξ = at ± х в 0(i,) ×
× <5(ξ), т.е.
∞
(θ(t)δ(at + ж), φ) = φ(-at', ∣') dt,,
∞	(Ш1)
(θ(t)δ(at — ж), φ) = φ(at', t') dt'.
О
8.1.	Доказать: supp(∕(jj) ∙ g(x)) = supp∕ × suppp.
8.2.	Доказать, что в D'(Rn+1 (ж, t)):
1)	(ui(x) ∙ δ(t),φ) = (uι(x),φ(x,0))5
2)	(п0(ж) ∙ <5z(i),φ) = - (иЦх), °))-
Указание. Воспользоваться формулой (I).
8.3.	Доказать:
1)	θt(x,t) — простой слой на оси t = 0 плоскости (x,t)
с плотностью θ(x)-,
2)	— θtt(x,t) — двойной слой на оси t = 0 с плотностью θ(x).
Указание. Воспользоваться задачей 8.2.
8.4.	Показать:
1)	0Ц1) • 0(ж2) • ••■ ∙ θ(xn) = θ(xl,x2,... ,xn∖,
2)	δ(xγ) ∙ δ{x2) • ... ∙ δ(Xn) = δ(xγ,x2, ... ,xn).
8.5.	Показать:
∂ θ(^X{, . . . , Хп)	с / \ с/ \	с/ \
3.,3..¾...3j,, -⅜)∙<⅛)-∙∙‰⅜
8.6.	Показать, что (/ ∙ g)(x + х0, у) = /(ж + ж0) ∙ g(y).
8.7.	Показать, что а(ж)(/(ж) • <?(ж)) = а(ж)/(ж) ∙ g(y), где a G

158
Гл. 3. Обобщенные функции
8.8.	Доказать, что в D'(R2):
1)	^θ(at — ∣x∣) = aδ(at — |х|);
2)	-^-θ(at — |ж|) = θ(t)δ(at + |ж|) — θ(t)δ(at — |х|);
3)	(J^θ(at ~ И)> = ~a (δ(at ~ И)- ¾);
4)	(j^iθ(at ~ И)’ ⅛p) = - (θX)δ(at + х),	+
+ (⅛)<5(α⅛-x),∣∣).
Обобщенную функцию вида f(x) • 1(у) назовем не зависящей
от у. Она действует по правилу
(/Ц) ∙ 1(y)- v) = (/Ц), ⅛Φ, у)) dy. (IV)
8.9.	Показать:
О ∫(∕(z),⅛φ,y))⅛∕ = (∕(x),∫φ(x,y)dy)j
2)	Р“(/Ц)-1(у))=0, где f eVf, ∣α∣ ≠ 0.
8.10.	Пусть g(y) ∈ 5'(Rm) и φ ∈ <S(Rn+m). Доказать, что:
О ≠Cc) = (y(y), ψ(x + у)) ∈ <S(Rn);
2)	Daψ(x) = (g(y),D%φ(x,y)y,
3)	если </?/; —> φ, к —> ∞ в <S(Rn+m), то ≠⅛ —> ≠, к —> оо;
в <S(Rn);
4)	если f ∈ 5z(Rn) и д ∈ 5,(Rm), то /Ц) ∙ g(y) ∈ 5,(Rn+m).
Сверткой локально интегрируемых в Rn функций /(х) и </(х)
таких, что функция
h(x)= Щу)д(х-у)\(1у
также локально интегрируема в Rn, называется функция
(/*5)Ц)= ∕(y)⅛(x - у) dy = y(y)∕(x-y)dy = (y*∕)(x).
Последовательность ⅛(x)} функций из P(Rn) называется
сходящейся к 1 в Rn, если она обладает свойствами:
а)	для любого шара Ur найдется такой номер N, что ¾(x) =
= 1 при всех х ∈ Ur и к N;
б)	функции {тщ} равномерно ограничены в Rn вместе со
всеми производными, т. е.
∖Daηk(x)∖ ≤Ca, x∈Rn, к= 1,2,...,
а — любое.

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций
159
Пусть {ηk(x÷y)} — любая последовательность функций из
D(R2n), сходящаяся к 1 в R2n. Пусть обобщенные функции /(ж)
и g(x) из D,(Rn) таковы, что для любой φ ∈ P(Rn) числовая
последовательность
(УЦ) ∙p(y),%(^y>O + y))
имеет предел при к —> ∞ и этот предел не зависит от выбора
последовательности {%}. Этот предел обозначим через
№) ■ g{y),φ(x + y)∖
Сверткой f * g называется функционал
(У *g,φ) = №) • у(у), ψ(χ + у)) =
= Нт (УЦ) ■ g(y),ηk(χ-,y)φ(x+ y)), φ ∈ P(Rn). (V)
k→oo
Свертка коммутативна, т. е. f * g = g * f.
Дифференцирование свертки. Если свертка f * g суще¬
ствует, то существуют и свертки Daf * g и f * Dag, причем
Daf*g = Da(f*g) = f*Dag.	(VI)
Свертка инвариантна относительно сдвига, т. е.
f(x + h) *g(x) = (У* g')(x + h), hεSn.
Достаточные условия существования свертки
I. Если / — произвольная, a g — финитная обобщенные
функции в P,, то f * g существует в V' и представляется в виде
(∕*y,<^) = (УЦ) ∙y(y).y(y)^(≈ + y)). φεv, (v∏)
где η — любая основная функция, равная 1 в окрестности suppp.
II. Обозначим через V'+ множество обобщенных функций
из P'(R1), обращающихся в нуль при х < 0. Если f,gE T>'+,
то их свертка принадлежит V'+ и выражается формулой
(У * у, ⅛>) = (УЦ) ∙ g(y), yι Ц)ЫуМж + у)), (vιιi)
где
%W = (∩	%∈C∞(R1), к =1,2.
τ
Таким образом, множество образует сверточную алгебру.

160
Гл. 3. Обобщенные функции
8.11.	Пусть /(ж) и д(х) локально интегрируемы в Rn. Пока¬
зать, что свертка f * д является локально интегрируемой функ¬
цией, если
1)	fngELl(Wχ,
2)	f или д финитна;
3)	/ = 0 и д = 0 при х < 0; п = 1.
В случае 1) показать, что f*gE Lι(Rn) и справедливо
неравенство
∣∣∕*<1≤∣I∕I∣L1∙∣K1∙
8.12.	Показать, что в условиях задачи 8.11, 3)
х
X * з) (ж) = f(y)g(x - у) dy.	(IX)
о
8.13.	Показать:
1)	^*f = ∕*^ = Λ 2) δ(x — α) * f(x) = f(x — а);
3)	δ(x-a)*δ(x-b) = δ(x-a-b)', 4) <5∏ * / =/(т);
5)	<5(τ)(τ — а) * f(z) = f(m∖x — а).
8.14.	Вычислить в ^'(R1):
1)	0(ж)*0(ж);	2) θ(x) * θ(x)x2∙,
3)	е-И * е-И;	4) e~aχ2 * xe~aχ2, а > 0;
5)	θ(x)x2 * θ(x) sin ж;	6) θ(x) cos ж * θ(x)x,
7)	#(ж) sinx * (9(x) shx; 8) θ(a — |ж|) * θ(a — |ж|).
В задачах 8.15-8.29 доказать утверждения.
8.15.	Если fa(%) —	ax, а > 0,
fa* fβ = fa+β-
целое, то
8.16.	Если fa(X) — —τ=e χX2°2∖ а > 0, то fa * fβ —
_	α√2τr
,'yza2+∕32 '
8.17.	Если ∕α(τ) = ——2?, а > 0, то fa * fβ = fa+β-
л(х + а )
8.18.	supp(∕*y) С [supp∕ + suppp].
Указание. Воспользоваться задачей 8.1.
8.19.	Если f,gE V+, то eaxf * eaxf — eax{f * д').
8.20.	Если f Е V, φ Е Т>, то f * φ = (∕(y),<p(x — у)) ∈
∈ C∞(R1).
Указание. Воспользоваться формулой (VII) и зада¬
чей 8.9, 1).

§8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 161
8.21.	Если / ∈ D,, f * g = 0 для всех φ ∈ D и supp92 ∈ [х <
< 0], то / = О при х < О.
8.22.	Если свертка / * 1 существует, то она постоянна.
8.23.	Для независимости обобщенной функции от Xi необхо¬
дима и достаточна ее инвариантность относительно всех сдвигов
ПО Xi.
8.24.	Для независимости /(ж) ∈ 2)'(Rn) от Xi необходимо
. ∂f ^
и достаточно, чтобы -— = 0.
OXi
8.25.	Если / ∈ P, не зависит от Xi, то и / * g не зависит
ОТ Xi.
8.26.	Решением уравнения Lu = δ, где
dm	dm~i	d
L =	т-1 + ... +‰-l(^)y
dx	' dxm 1	⅛
ay ∈ C00(R1), в P'(R1) является u(x) = θ(x)Z(x), Z(x) ∈
∈ Cm(R1), — решение задачи
LZ = О, Z(0) = Z,(0) = ... = z(m^2∖o) = 0, z(m^1∖o) = 1.
8.27.	Решением уравнения Lu = /, / ∈ V'+, в T>'+ является
и = ΘZ * f, где Z(x) — функция из задачи 8.25.
8.28.	Решением уравнения Абеля
X
(ж - ξ)α = 9^,
о
где g(0) = 0, g ∈ C1(x ≥ 0), 0 < а < 1, является функция
sinτrα ff'(ξ)⅜
π J (ж - ξ)1^α "
О
Указание. Уравнение записать в виде свертки и * θ(x —
— а) = g(x) (считаем, и = 0 и g = 0 при х < 0) и воспользоваться
задачей 8.15 при β = 1 — а.
8.29.	Решением уравнения θ(x) cos х * f = g в D'(R1), где g ∈
∈ C1(x 0), g = 0 при х < 0, является
х
∕(x) = √(x)+ g^)dξ.
о
и(х)

162
Гл. 3. Обобщенные функции
8.30.	Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R,
индуктивности L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь
включается ЭДС E(t). Показать, что сила тока i(t) в цепи
удовлетворяет уравнению Z + i = E(t), где
θ(0
Z — Lδ'(t) + Rδ(t) +	— импеданс цепи.
с
8.31.	Пусть f ∈ D'(Rn+1). Доказать:
1)	[J(x - ®0) ∙ <5(i)] * f(x, t) = f(x - ®о, t)∙,
2)	[ф -х0) • S<'">(t)∣ . ∕(,1,f) = 3"7^t√,w,.
8.32.	Вычислить следующие свертки в D'(Rn):
1)	f*SsR, где f(χ) ∈ С и ⅛β(x) — простой слой на сфере
|ж| = R с плотностью 1 (см. §6);
2)	f* ⅛5¾'где f e с1; 3) 5sr *|ж|2’n = 3;
4)	<⅛ * e-∣x∣2, п = 3;	5) δsκ * sin ∣x∣2, п = 3;
6)	⅛ * J з, п = 3;
1 + И
7)	Д * μ⅛, п = 3; In Д * μ⅛, п = 2;
т	т
8)	-2-∣ * -^(iλ⅛), п = 3; In ∣τ∣ * п = 2.
∣x∣ on	on
S — ограниченная поверхность. Определение обобщенных
функций μδs и — — (z∕⅛) см. в §6 и §7.
8.33.	Вычислить в D,(R2)÷
1)	θ(t)x * θ{x)t∖ 2) θ(t — ∣x∣) * θ(t — |ж|);
3)	θ(t)θ(x) * θ(t — |х|).
8.34.	Пусть f,gE D'(Rn+1), ∕(x,t) = 0 при t < 0 и д = О
вне Г+. Доказать, что свертка д * f существует в D'(Rn+1)
и выражается формулой
(д *f,φ) = 0(ξ, • /(у. τ)^^(τMa2t2 - ∣ξ∣2)⅛9(ξ + у, t + τ)),
φ ∈ P(Rn+1),
где η(t) ∈ C00(R1), η(t) = 0 при t < — δ и η(t) ≡ 1 при t > — ε
(О < ε < 5).
8.35.	Пусть g{x, i) ∈ Pz(Rn+1), д = 0 вне Г+ и и(ж) ∈ P'(Rn).

§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций
163
Доказать:
1)	g * u(x) ∙ δ(t) = g(x, i) * и(х), причем обобщенная функция
g(x, t) * и(х) действует по правилу
Щх, t) * u(τ), φ) = (⅛(ξ, i) ∙ u(y), 77(α2 3t2 - ∣ξ∣2)⅛J>(ξ + у, t)),
φ ∈ P(Rn+1);
2)	-δ^(t) = ^Щх,Ц * u(x}) = -	*u(x).
8.36.	Вычислить в ТУ(К2):
1)	θ(at — |ж|) * ∖ω(t) • 5(ж)], а > 0, где ω(t) е C(t ≥ 0)
и ω(t) = 0 при t < 0;
2)	θ(at — |ж|) * [θ(t) • 5(х)]; 3) θ(at — |ж|) *	’ <Ka0h
4)	θ(at — |ж|) * [θ(t) ∙ У(х)]; 5) θ(at — ∣x∣) * [0(rr) ∙ 5(f)];
6)	θ(at — ∣x∣) * ^∖ω(x) ∙ 5(t)], где ω(x) ∈ C(R1).
Указание. Воспользоваться задачей 7.5, 2;
7)	θ(at-∖x∖)* А[0(ж).£«
8.37.	Вычислить в P'(R2):
1)	exδ(t) *	e-z2∕(4α2⅜) a > 0;
2αλΛrt
2) ΘXetx* -⅛e-χ2∕(4i)1
v ’ 2V^i
3) θ(x)δ(f) * ^te-≈2∕W.
8.38. Пусть / ∈ C∞(Rn ∖ {0}) и g ∈ P'(Rn) финитна. Пока-
зать, что / * g ∈ Coo(Rn ∖ supp д).
Указание. Воспользоваться формулой (VII).
8.39. Пусть f GS' и д eV' финитна. Доказать, что f * д eS'.
8.40. Доказать: если / ∈ ТУ, то / * ωε —> ∕,, ε —> 0 в V.
Указание. Воспользоваться задачей 6.24.
Введем обобщенную функцию fa(x), зависящую от парамет¬
ра се, —∞ < а < ∞,
θ(x)xa~i
Г(Д)
∕1(7v) (aΛ
а > О,
a ≤ 0, а + п > О, N целое
(ср. с задачей 8.15).

164
Гл. 3. Обобщенные функции
8.41.	Доказать, что fa*fp = fa+∣3.
8.42.	Доказать, что
∕θ* = 5*, f_n* =
fn* = θ * θ * ... * 0* .
п раз
Сверточная операция f~a* при а > 0, а не равно целому
числу, называется {дробной) производной порядка а (эту произ¬
водную обозначим через u^a∖ т. е. ≡ f_a * и); fa* при а > О
называется первообразной порядка а (эту первообразную обо¬
значим через U(aγ т. е. = fa*u).
8.43.	Вычислить производную порядка 3/2 от θ{x).
8.44.	Вычислить первообразную порядка 3/2 от θ{x).
8.45.	Вычислить производную порядка 1/2 от /(ж), / = О
при х < 0.
8.46.	Вычислить первообразную порядка 1/2 от f{x), f = 0
при х < 0.
8.47.	Обозначим через 8' пространство финитных обобщен¬
ных функций со сходимостью Д —> 0, к —> ∞ в если:
а)	Д —> 0, к —> ∞ в 7?';
б)	существует число R такое, что supp Д С Ur при всех к.
Доказать теорему: если линейный непрерывный оператор L
из 8, в ТУ коммутирует с операцией сдвига, то L — оператор
свертки, L = ∕θ*, где fa = Lδ.
Ответы к § 8
8.8. 1) Решение. В силу формул (III) и (I∏ι)
' d-4⅛xdtdx=
∂t
dx — а
φ(-at',tf)dtf-∖-a φ{at', t,) dt' =
= {aθ{t)δ{at + х) + aθ{t)δ{at — х), φ) — {aδ{at — ∣x∣), φ).
8.14. 1) Решение. В силу формулы (IX)
θ *θ = θ{y)θ{x — у) dy — θ{x) dy = θ{x)x∖
о	о

Ответы к §8
165
2) Ф)у;
4) 4J~axe~aχi,"'
6) 0(⅛)(3^2 + 6 cos ж — 6);
8) θ(2a- ∣x∣)(2α- \х\).
3) е ∣rc∣(l + |ж|);
5) 0(ж) (x2 — 4 sin2 ;
7) ΘJx) (gh_ s∙∩
8.21.	Указание. Воспользоваться задачей 8.20, применив ее
к φ(-ж) и положив х = 0.
8.30.	Указание. Воспользоваться задачей 1.31.
8.31.	2) Решение. В силу формул (II) и (VI) и результатов
задач 8.4, 2) и 8.13, 2)
[<5(z-a⅛) ∙ <5(m)(i)] * f(x,t) = ^-ftt[δ(x - x0) ∙ δ(t)] * f(x,t) =
∂m ,x,	≠∖ ft f∖∖	∂mf(x-x0,t)
=	- ХОЛ) * f(x,t)) =

8.32.1)	∫ f(y)dSy,
∖x-y∖=R
2)	Решение. В силу формулы (VII) и определения двойного слоя
(см. §7)
(∕* ⅛⅛,√>) = (/(у) ∙ ^⅛(ξ),y(ξ)⅛9(y + ξ)) =
= (/(у). (^⅛(ξ),y(ξ)v(y+ ξ))) =
= - ∕(y)( ∫ ^^dSεyy =
κn v∣ξ∣=M
∕(x-ξ)<^(x)⅛pSξ=(-	dSξ,φy
∣ξ∣=Λ v R»	∣ξ∣=Λ
3)	∣y∣2d⅜ = |ж - y∣2d⅜ =
l≈-⅛l=fi	∣y∣=-R
2π π
=	(∣,τ∣2 + R2 — 2Я|ж| cos0)i?2 sinθ dθ dφ = 4πR2(∣.τ∣2 + Я2);
о о
4)	ZE≤(e-(^-∣≈l)2 _ e-(β+l≈D2)5
5)	sin(i?2 + |.т|2) sin27?|j:|;
6)	⅞n 1 + (M + fi2)2i
И 1 + (|ж| — jR)2

166
Гл. 3. Обобщенные функции
7)	Js ДЦ dS'J' ∫S ln Г-Ц ⅛
j \х — y∖ y j b	\х — y∖ y
8)	ГQzy(^)^r-∣—“—г dSφ fς 1Λy)^- In ।—-—rdly.
7 js ^j∂ny∖x-y∖ y' j5 ∂ny ∖x-y∖ y
8.33.	1) Не существует; 2) θ(t — ∖x∖)-—
3)	^θ(t)[θ(x + t)(x + t)2 + θ(x — i)(x — t)2 — 2θ(x)x2}.
8.34.	Решение. В силу задачи 6.27 f(y,τ) = τj(τ)f(y,τ)
и d(ζ>t) — η(t)η(a2t2 — ∣ξ∣2)g(ξ^), так как η(τ) — 1 в окрестно¬
сти supp∕(τ∕, т) С [т ≥ 0] и η(t)η(a2t2 — ∣ξ∣2) = 1 в окрестности
suppg(ξ,t) С Γ+ (Г+ — область a2t2 — ∣ξ∣2 ≥ 0, t ≥ 0). В силу
формулы (V)
=	, f(y^τYrlk{ζ,t∙,y,τ)φ^^y,t^τ^ =
= fclimo(τ7(t)τ7(α2t2 - ∣ξ∣¾(ξ, t) ∙ τ∕(τ)∕(τ∕, т), ηk(ξ, t; у, τ)φ(ξ + y,t + τy> =
= t), f(y>т)’ r∕(Φ∕(τ) ∙ 77(α^2 - Ю2)Ш у> τ)v(ξ+y, t+τY) =
= (p(ξ^) * f{y^∖η{t)η{τ)η(a2t2-∖ζ∖2)φ(ξ^y,tjrτ^,
так как η(j)η(τ)η(a2t2 — ∣ξ∣2)φ(ξ ÷ у, t + т) ∈ P(R2n+2).
8.35.	1) Решение. В силу формулы задачи 8.34, ассоциативно¬
сти прямого произведения и формулы (I)
(s* [м(ж) ■ <5(i)],φ) =
= ([s(ξ. i) •'"('/)] ∙ <5(r). η(t)η(τ)η(a2t2 - ∣ξ∣2)φ(ξ + у, t + т)) =
= (^(ξ- i) ∙ u(y), ηX)η{a2t2 - ∣ξ∣2)φ(ξ + у, i)).
Далее, в силу задачи 6.27 д — η(i)g, так как suppg(ξ,t) С [t ≥ 0].
Следовательно,
(р* [м(ж) ■ <5(i)],r) =
= (ff(ξ, t) ■ u(y), η(a2t2 - ∣ξ∣2)φ(z + ξ, t)) = (g(x, t) ■ u(x), φ),
так как η(a2t2 — ∣ξ∣2)⅛9(aj + ξ, t) ∈ D(R2n+1);
2) В силу формул (II) и (VI) и формулы задачи 8.35, 1)
д * и(х) ■ δ^fc∖t) =g*	■ <5W) =
∂k , , n zn ∂kg(x,t)
=	= i>tk * liW∙

Ответы к §8
167
8.36.	1) Решение. В силу формулы задачи 8.35, 1)
(I, φ) = (β(at — |ж|) ∙ ω(τ), η(a2t2 — ∖x∖2)φ(x, t + т)) =
= ω(τ) I θ(at — ∖x∖)φ(x,t + τ) dx dt ∖ dτ =
φ(x, t) ( θ(at' — |ж|)
ω(τ) dτ I dx dt'.
о
Следовательно,
t— ∖x∖∕a
I = θ(at — \х\)	| ω(τ)dτ5
о
2)	θ(at-∖x∖) (t-
3)	θ(at — |ж|) (указание: воспользоваться задачей 8.35, 2);
4)	-θ(at-∖x∖)s⅛^-
5)	θ(t)θ(x + at)(x + at) — θ{x — at)(x — at);
6)	aθ(t)[ω(x + at) + ω(x — at)];
7)	θ(at — |ж|).
8.37.	1) θ(t)ex+a∖ 2) 0(φ(et - 1);
1 x∕(2√⅛)	/	∖
3W)4= ∫ e-¾ = ^)Φ -⅞ .
V 2√Γ — ос	yzv t J
8.43.	Решение:
0(3/2) (χ) = /_3/2 , θ = Д1/2 * θ = Д/2 * θ = (∕1∕2 * 0)" =
d2 ( θ(x) [ dξ λ d2 (nθl ∖ Γx∖ d (qi ч 1 λ
= 57(r⅛⅛] √^ξ) = S? (2sw√u = г (sw√≡}
8.44. Ре ш е н и е:
0(3/2)	= /з/2 * 0 =
0(ж)
√T^ξ dξ = 0(^)yv∕f •
8.45.	Решение:
∕ι∕⅝) = /_1/2 * / = л/2 * / = (Л/2 * /у = ⅛ I <%).
о
8.46.	∫θ fitl dξ.
J0 √χ-ξ

168
Гл. 3. Обобщенные функции
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций
медленного роста
Операция преобразования Фурье F(φ) на функциях φ из S
определяется формулой
F[<∕j](ξ) = ег^’жУ(ж) dx.	(I)
Преобразование Фурье F[f] произвольной обобщенной
функции f из <S'(Rn) определим формулой
(F[∕],y>) = (∕,F(φ)).	(II)
Оператор
F~i[f] = γΦγX[f(-x)], f^S'	(III)
∖z7γ7
(обратное преобразование Фурье), является обратным для one-
ратора F, т. е. F^1[F[∕]] = /, F[F^1[∕]] = /, / ∈ S'.
Справедливы следующие формулы (J,g Е S'):
DaF[f] = F[(ix)af],
F[Daf] = (-iξ)aF[f],
F{f(x-x0)] = ei^F[f],
F[f](ξ + ξ0) = F[f(x)e^]^),	(IV)
Flf(cx)]=∖ΓF[f](Γy с ≠0,
F[f(x) ■ g(y)] = F[f](ξ) ■ F[g](η),
F[f *g] = F[∕]F[p] (/ или д финитна).
Преобразование Фурье Fx по переменной х обобщенной
функции f(x,y) ∈ 5'(Rn+m), где х ∈ Rn, у ∈ Rm, определим
формулой
(Fr[∕(τ,y)](ξ,y), ∏ξ,y)) = (∕(x,y),Fξ[<^(ξ,y)](τ,y)),φ ∈ SRn+m.
(V)
9.1.	1) Пусть ∕(τ) ∈ C,fe(R1), fc ≥ 0, и ∫ ∣∕^α∖^)∣ dx < ∞, a ≤
≤ к; доказать, что F[f] ∈ C,[R1] и ∣ξ∣fc∣F[∕](ξ)∣ ≤ а;
2)	пусть /(ж) ∈ Cfe(Rn), fc ≥ 0 и |®|п+г|1)“/(ж)| ≤ b, ∣α∣ ≤ к,
/ ≥ 1, целое; доказать, что
F[∕] ∈c'-l(≡η и ∣ξ∣fe∣W[∕](ξ)∣ о, ∣∕5∣≤Z-1.

§9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 169
9.2.	Доказать, что f = F 1 [F[∕]], где F 1 определяется фор¬
мулой (III), для следующих /:
1)	/(ж) ∈ C(R*l), |ж|п+г|/(ж)| ≤ a, ∣ξ∣n+ε∣F[∕](ξ)l ≤ a, ε > 0.
2)	/(ж) ∈ C2(Rn), f∖pa∖x)∖dx < ∞, a ≤ 2;
3)	Дж) ∈ Cn+1(Rn), |Ва/(ж)||ж|п+1 ≤ a, ∣α∣ ≤ п + 1.
Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1).
9.3.	Доказать, что
ξl3DaF[φ](ξ) = i^+^F[Dl3(xaφ)]m φζS.
9.4. 1) Доказать, что если φ ∈ S, то и F[φ] ∈ 5;
2)	доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна
из S в 5, т. е. что из φy —» φ, к —> ∞, в 5 следует
F[y⅛] —> -F⅜] в <5∙
Указание. Воспользоваться задачей 9.3.
9.5.	1) Доказать, что если / ∈ S', то и F[f] ∈ S';
2)	доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из
S,	в S,, т. е. из fk —> f, к —> оо, в S, следует F[fk] —> F[f]
в S';
3)	доказать, что если f — функция медленного роста, то
F[f]{ξ) = lim
Ft→∞
f(x')el^,x^dx в S1;
|ж|<Я
4)	доказать, что если f ∈ L%(R"), то F[f] ∈ L2(Rn) и
F[∕](ξ) = lim
∕(→∞
f{xy^dx в L2(Rn)
|ж| <R
(теорема Планшереля).
5)	доказать, что если / и g ∈ L2(W1), то справедливо равенство
Парсеваля
(2πf(∕,5) = (F[∕],F[5])j
6)	доказать, что если f Е Lι(Rn), то F[f] Е Loo(Rn) ∩ C,(Rn)
и выражается формулой (теорема Римана-Лебега)
^,[∕](ξ) = ∫fyei^dx, ||F[/]||Loo(Rn) ≤ ∣∣∕∣∣L1(Rn),
F[∕(ξ)]→0, ∣ξ∣→∞,
F[f*g]=F[f]F[g], f,gEL^,

170
Гл. 3. Обобщенные функции
7)	доказать, что если / ∈ S' и φ ∈ S, то
F[f*φ]=F[f]F[φ]-,
8)	пусть / ∈ Lι(R1) — кусочно непрерывная функция такая,
что {f'(x)} также кусочно непрерывна; доказать формулу
обращения
∞
/(ж + 0) + /(ж-0) = 1	[ F[∕](ξ)e-^dξ, ≈∈Rl.
Z	Z7Γ
— ∞
9.6. Доказать в <S(Rn):
1) Д[<Дж — α¾)] = ег^’ж°);
4) F
5) F
δ(x - ж0) + δ(x + ж0)
2
δ(x — хо) — δ(x + a⅛)
2i
2) F[δ] = 1;	3) /[1] = (2π)n<5(ξ)j
= COS Xgζ, п — 1;
= sin XQξ, п = 1.
9.7.	Доказать в <S'(Rn):
1)	F[jDω5] = (-zξ)αj 2) F[xa] = (2π)n(-i)∣α∣Z)"<5(ξ).
9.8.	Вычислить преобразования Фурье следующих функций
(n = 1):
1)	θ(R-∖x∖)-,	2) e~aiχ2∖ 3) eiχ2-, 4) е““2;
5) /(ж) = 0 при ж < 0, /(ж) = к, к < ж < к + 1, fc = 0,1, ....
9.9.	Доказать (n = 1):
1)	F[θ(x)e~ax] = а > 0;
2)	F[θ(-x)eax] = -i-, а > 0;
l 7 j a + ιξ
3)	F[e-α∏] = а > 0;
а + ξ
4)	F
5)	F
2а
α2 + х2
θ(x)e~ax
— 2πe α∣4
xa~i
Γ∏
а > 0;
(α + iξ)α
, а > 0, а > 0.
1
9.10.	Воспользовавшись формулой Сохоцкого (см. зада¬
чу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать:
1)	F[θ(x)] = π5(ξ) + iP 1;	2) F[θ(-x)] = π<5(ξ) - iP |.

§9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 171
9.11.	Вычислить преобразования Фурье следующих обоб¬
щенных функций (n = 1):
1)	δ^k∖ k = 1,2,..2) θ(x — а);	3) sign ж; 4) Р
1 x
5)	6)∣4 7) θ(x)xk, к = 1,2,...;
8) |ж|\ к = 2,3,...; 9) xkP-, к = 1,2,...;
10) xkδ, к = 1,2,...; 11) xkδ^∖x), т ≥ к;
12)	V -τ, где Р -τ определена в задаче 6.25;
X	X
13)	Р где Р определена в задаче 7.10;
X	X
ОС
14)	X akδ(x - к), ∣αfe∣ ≤ C(l + ∖k[)m-,
k=~DG
15)	0(1∕2∖ ж) (определение дробных производных см. в §8).
9.12. Доказать, что
F Р r∖ = -2c-21n∣ξ∣,
где
1
1 — cos и 7
		аи —
и
с =
б	1
а V Д- (≈∈R1) определена
cos и 7	~ „
	аи — постоянная Эйлера,
и
в задаче 7.26.
9.13. Доказать, что
F рР
= —2πln ∣ξ∣ — 2πco,
где обобщенная функция Р
Д, х ∈ R2, определяется формулой
⅛> = *'<0' dx +
dx
∣ |2
2
Со =
1	сх
[ 1 - J0(n) ,
		— аи -
и
1
'j^kdu.
и
о
и Jo — функция Бесселя.

172
Гл. 3. Обобщенные функции
9.14.	Решить в S' интегральное уравнение
∞
n(ξ) cosξx<⅛ = 0(1 — х).
о
9.15.	Вычислить интеграл
∞
sin ах sin bx ,
		к	ах.
х
О
Указание. Воспользоваться равенством Парсеваля и зада¬
чей 9.8, 1).
9.16.	Доказать, что
^(Д- 1^1)
√tf2-H2
= oπsinfi∣ξ∣
ξ ∈ R2.
9.17.	Доказать:
Указание. Воспользоваться формулой (II) при / =
в 5'(R1) и φ = e-∣^∣2∕2.
—к
9.18. Доказать, что F
Г11 2τri
Ы =T'< = ξ + *,'
9.19.	Вычислить преобразование Фурье обобщенной функ¬
ции -—-⅛β, п = 3, определенной в §8.
4zτr К
9.20.	Методом преобразований Фурье доказать в 5'(R1), что:
1)	у = со<5(ж) + cι<5,(rr) + ... + cn-lδ<r'-i> (х) — общее решение
уравнения xny = 0, п = 1,2,...;
2) 22 ajtxk + 2Z bkθ(x)xm~k~l + 22 сЩк~тЦх) — общее ре-
к=0	к=0	к=т
шение уравнения xny^ = 0, п > т.
Указание. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24.

§9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 173
9.21.	Доказать в 5'(Rn^l^1(x, t)), где (x,t) = (жь... ,xn,t)'∙
l)Fa[⅜,⅛)] = l(ξ)∙<5(i)l
2)	Fx[^^-] = ^Fx[f}x,t)]∙,
3)	Fx[θ(at — |ж|)] = 20(t) sin а > 0, п = 1;
4)	Fx[f(x)δ(t)] = F[f](ξ)δ(t), f Е S,(Rn).
9.22.	Доказать в S'(Rn+TO):
1)	DζDyFx[f(x,y)] = Fx[(ix)aDy f];
2)	Fx[D*D%f] = (-iξ)¾[jφ].
9.23.	Доказать, что в 5'(R2)
Fξ^1 ^(i)e^α2ξ2i] = -f^Le-≈2∕(4a2i).
Указание. Воспользоваться формулой (III) и зада¬
чей 9.8,3).
9.24.	Доказать, что в <S'(Rn+1)
F~1 ^(i)e-a2∣ξ∣2i] = 0(f) (^7) e-∣x∣2∕(4a2i).
Указание. Воспользоваться задачей 9.23.
9.25.	Доказать, что в 5'(R2)
p(f)7≤l =±β∏-∣1∣).
Указание. Воспользоваться
9.26.	Доказать, что в <S'(R3)
0(()⅛⅛S' =
задачей 9.8, 1).
θ(at — |ж|)
Указание. Воспользоваться задачей 9.16.
9.27.	Доказать, что в 5,(R4)
=ξ≡1 - ⅛⅛.(4
4πa t
П'
."w Ж
(здесь Sat = {x- |ж| = at}).
Указание. Воспользоваться задачей 9.19.

174
Гл. 3. Обобщенные функции
9.28.	Пусть / — финитная обобщенная функция и η — лю¬
бая функция из Р, равная 1 в окрестности носителя /. Доказать,
что функция f(z) = (∕(ξ),τy(ξ)ez^,^), z = х + iy:
а) не зависит от у;
а) целая;
в) ∕(^) = F(∕).
9.29.	Доказать, что если / и д финитны и f * д = 0, то либо
/ = 0, либо д — 0.
Указание. Воспользоваться задаче 9.28.
9.30.	1) Доказать, что F[δ(x) • 1 (?/)] = (2ττ)rz 1 (ξ^)5(7y);
2)	обозначим 5-функцию на гиперплоскости (а, х) = 0 про¬
странства Rn через 5((α,rr)), так что
(5((α, ж)), φ) = φdx, φ ∈ P(Rn).
(a,x)=Q
Доказать, что F[<5(αιxι + a^x^)] = 2τr<5(α2ξι — α1ξ2)∙
Ответы к § 9
9.8.	1)	2) yZe-ξ2∕(4α2)∙ 3) ∕^e-i(ξ2-π)∕4. 4) ∕^ei(ξ2-π)∕4.
ξ	а
5) Решение:
∞ ^÷ι	oo
pit] = 52fc dχ = 52 ⅛ezfcξ(e'ξ - о =
fc=ι	I	fc=ι zξ
⅛ ⅛	е dξ3 ⅛ k2
∞ eifeξ
— ряд сходится в Р', так как	—г схОДится равномерно в R1.
k=∖ к
9.11. 1) (-iξ)fej 2) π<5(ξ) + ieia^P 3) 2iP 4) zττsignξι
5)	ψi7Γ + Z7rsignξι 6) 2 (р	— — 2Р Т;
7)	(-z)fe p(ξ) + iP ;
/	1 ∖ (fc)
8)	(—z)⅛π5(fc)(ξ), к четное, (—z)fc-12 [Р-1 , к нечетное;

Ответы к §9
175
9)	2(-i)fe-1π<J(fc-1)(ξ)j 10) 0; 11)	12) -π∣ξ∣ι
13) Решение. В силу задачи 7.10, 4), второй из формул (IV)
и задачи 9.11, 12)
р ∖p _L1 — р Г— 1 Ар _L1 — ⅛p ∣"p А] — _ A≥A∣
L √J [ 2 dx x*∖	2 t χ2∖	2 •
14) Р е ш е н и е. В силу результатов задач 6.25, 2), 7.12 и 9.6, 1)
- k),F[φ(ξ)]
= £ (¾e‰(ξ))= ( £ αfeβ‰(ξ)
k= — ∞	× к=— ∞
φ∈5(R1)i
15) Решение:
F[0θ∕2)] = F[/_1/2 * 0] = F[∕1'∕2 * 0] = Γ[(∕1∕2 * О'] =
9.15.
9.19.
9.20.
9.14.
π ξ
min(α, 6).
sinB∣ξ∣
Решение. Из F[xny^] = 0 в силу первой из формул (IV)
p(n)[τ∕(m)] = 0. Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2), 9.7, 2)
и формулы (III) следует
F∖pn∖x)] = a0 + a↑ξ + ... + an-ιξn~l,
УЫ = β0δ(x) + βiδ,(x) + ...+ βn-^n~l∖x).
Отсюда в силу результатов задач 8.23, 2) и 7.6, 10)
У = Р akXk + Р bkθ(x)xm~k~' + Р ckδ^k~m∖x).
k=Q	к=0	к—т

176
Гл. 3. Обобщенные функции
9.21. 1) Р ешен и е. В силу формулы (V) и определения прямого
произведения (см. §8)
(Fx[J(aj,i)](ξ,i),⅛p(ξ,i)) = (<5(ж, t), Fξ[φ(ξ, t)](x, ⅛)) =
J(x, t),
ei(ξ∙⅜(ξ,Z) dξ
φ(ξ,O)dξ=(l(ξ)∙<Xt),<,i))5
2) Решение. В силу формулы (V) и определения производной обоб¬
щенной функции (см. §7)
(^	(U),√) = (-l)m (∕(M,⅛⅛MU)]} =
= (-I)™ (∕(x,i),Fξ [^⅞⅞P]) = (ΓΓFx[f(x,t)],φ).
9.27. F
sin^∣ξ∣
ПёГ
при t > 0 и п = 3 вычисляется так:
sin t∖ξ∖
sin θ dθ dp =
cos tp eτpu
о -г
ι . 2π 1.	∂ f f
dudp = -— lιm —	<
cos tρelpu dp du —
ι∙ ∂
lιm —
[cos p(u —1) ÷ cos p(u + t)] dp du =
π ∂	Γ sin R(u — t) ∣ sin R(u + Γ)
Г R→oo ∂t	L U — t	u + t
= --⅛6,(r - i) = ~^5(r - i) =	Г = ∣s∣.
Указание. При переходе к пределу воспользоваться зада¬
чей 6.19, 4).
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
Обозначим через Pψ(α) совокупность обобщенных функ¬
ций ∕(t) из P'(R1), обращающихся в нуль при t < 0 и таких,
что f(t)e~at ∈ S' при всех σ > а.

§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
177
Преобразование Лапласа Л{р) обобщенной функции /
из Dψ(α) определяется равенством
= F{f(t)e~σt]{-ω), σ > а.
При этом / называют оригиналом, Л — изображением, и этот
факт записывают так:
∕(t) ÷—> X(p), σ> а;
3⅛ecbp = σ + iω. Функция JZ7(p) аналитична в полуплоскости σ > а
и удовлетворяет следующему условию роста: для любых ε > О
и σo > а существуют такие числа cε(σo) ≥ 0 и т = m(σo) ≥ О,
что
∣^(p))∣≤c√σ0)β-(l + ∣p∣F, σ>σ0.
Справедливы следующие формулы:
где ∕(m) — m-я первообразная / из 7Х|_(а);
(∕*0)(Φ—÷∙^(p)^(p), σ>a,
если
д(Р <—> Q(p), σ > а;
m⅛2
σ⅛z∞
σ-ioe
6F(jρ)epi
(p-a)m+x
dp
— формула обращения для преобразования Лапласа, интеграл
не зависит от σ > σo > а, т = m(σo).
В задачах 10.1-10.9 и 10.11-10.14 доказать утверждения.
10.1.	Если ∕(t) локально интегрируема в R1, ∕(i) = 0, t < 0
и ∕(i) = O(eat), t —> ∞, то / ∈ '∏'+(a} и
∞
J77(p) = f(i)e~pt dt, σ > а.
0

178
Гл. 3. Обобщенные функции
10.2.	Если / ∈ V'+{a∖ f(t) <—> J7(p), σ > а и функция 77(σ +
+ iω) абсолютно интегрируема по ω на R1 при некотором σ > а,
то в этом случае формула обращения принимает вид
σ⅛z∞
Ж =	F(p)eptdp.
σ-ioc
10.3.	1) Pl(αι) С Pl(α2), если a↑ ≤ a<ρ,
2)	если f ∈ S' С P'+, то f ∈ P'+(0).
10.4.	Если f ∈ РЦа), то:
1)	pf ∈ где р — полином;
2)	∕(fct) ∈ V'+{kt) ∈ T>'+(ka), k>0-,
3)	∕(t)eλi ∈¾(α + Reλ).
10.5.	Если f,g ∈ T>'+(a), то / *g ∈ P'+(a) и справедливо
равенство
(/ * g)e~σt = (fe~at) * (ge~at), σ > а.
Указание. Воспользоваться 8.20.
10.6.	Если f ∈ T>'+{a), то:
1)	∕(i-τ) ∈Pz+(α), τ ≥ 0;	2) Ж ∈P,+(α), т = 1,2,...;
3)	∕(m) ∈ т= 1,2,....
10.7.	1) δ(p <—÷ 1;
2) δ(m∖t — т) <—> pme~τp, т ^≥ 0, р любое, m = 0, 1,...;
3)θ(t)<—>-,σ>0j	4) θ(peiωt <—> —1-, σ > 0;
р	р — гш
5) θ(t)e~ιωt <—> —σ > 0; 6) θ(t) cost <—> -ф~—9 > σ > 0;
р + ιω	p1 + ω1
7)	θ(t) sini <—>	σ > 0;
р + ω
o. θ(t)tm~' λf	1	π .
8)	√. , eλt <—>  	r-, σ > Re λ, m = 0, 1,...;
Γ(m)	(р - λ)m
9)	0(i)Jo(i) -→ ^=E=, σ > 0.
√1 +p1
10.8.	Если / — функция из T>'+{a), f 6Cn(t≥0) и /«—то
п— 1
{∕w(i)} <—> рпЛЩ - ∑pk∖+O)pn~k~l, σ> а.
k=0

§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций
179
10.9.	Если / и д — функция из T>'+(a∖ д ∈ C1(t ≥ 0)
И / <—> Л, д <—> Q, то
f(τ)[g,(t - τ)] dτ ‘—* p∏p½(p) - g(+ty∏p∖ σ > а.
о
10.10. Решить
уравнение
L^- + Ri + ^∫z(τ)dτ = e(i),
OIL	v√ ∩
где e(t) — локально интегрируемая функция, e(t) = 0, t < 0.
10.11.	Фундаментальное решение 5(t) уравнения
^W+α1^-1) + ... + αm^ = <5
существует и единственно в классе ТУ^а) и удовлетворяет соот¬
ношению
QW’ с>а’
где θ(p) — pm + aipm~i + ... + am, а — maxReλj∙, λj — корни
полинома Q.
10.12.	Если fa(f), ~∞ < а < ∞, — обобщенная функция,
введенная в § 10, то:
1)	fa(t) <—* — > σ > θ> где Pa ~ τa ее ветвь, для которой
ра > 0 при р > 0;
2)	∕α(i)eλi	σ > Re А.
(р - а)
10.13.	Если ∖ak∖ ^сЦ + кр1, к = 0,1,..., то
apδ(t — fc) <—> У2 c^k^~kp,	σ > 0.
10.14.	Если f(t} — Т-периодическая функция, абсолютно
интегрируемая на периоде, то
т
r⅛ [ f(ty~pt dt, а > 0.
1 — е p
О

180
Гл. 3. Обобщенные функции
cost) * £ = 5(t);
* tq + δ, * ∏2 = 5(t),
* u∖ + δf * ∏2 = 0.
10.15.	Найти решения уравнений в классе 7Xb(α) (при над¬
лежащем а):
1)	(θ cost) *£ = 5(t);	2) (θt
3)	£ + 2(0cosi)*£ = <5(i); 4) И
I
10.16.	Пусть S∖ — решение уравнения д * £\ = θ в P^(α),
причем £i — локально интегрируемая функция, £\ ∈C1(t≥O).
Доказать, что решение в Pψ(α) уравнения д * а = /, где / — ло¬
кально интегрируемая функция из Pψ(α), выражается формулой
t
иЦ) = fι(+O)∕(t) + ∕(τ){f{(i-τ)}dτ.
о
10.17.	Вычислить преобразование Лапласа функции
_ ( 0, t < О,
αW-↑2fc, k<t<k+l, k = Q, 1,... .
10.18.	Решить уравнение χ * a = ∑ 2kd(t — fc) в РЩп2);
к=0
функция α(t) определена в задаче 10.17.
10.19.	Доказать формулу sint = ∫θ Jo(t — τ)Jo(τ) dτ.
10.20.	Решить следующие задачи Коши:
1)	u, + 3u = e~2t, u(0) = 0;
2)	и" + 5√ + би = 12, u(0) = 2, √(0) = 0;
(u' + 5u + 2v = e~t,
3)	< ,	~	„	u(0) = 1, v(0) = 0.
1 v, + 2v + 2u = 0, v ’ v ,
Ответы к § 10
10.3.	2) Р е ш е н и е. Пусть η — любая функция класса Coo(R1)
такая, что η(t) = 0, t < -δ, τy(t) = l,t>- -, 5 > О любое. Тогда при
всех σ>0, η(O)e~σt eS, f = ηf, и поэтому f(t)e~σt = f(t)η(t)e~σt eS,.
10.6.	Указание. Воспользоваться задачей 10.5 и формулами
соответственно:
1)	∕(i-τ) = ∕*5(t-τ)i 2)∕W=∕*5Wi3)f(m)=^j^√.
т раз
10.7.	9) Указание. Воспользоваться уравнением Бесселя.
10.i0.	^=- ∫θ[p+ep+(i-'r) - p-ep-(i~r)]e(τ) dτ, p± =	± d =
= r2-^.
с

§11. Фундаментальные решения линейных операторов
181
10.15.	1) 5'(t)÷6>(t), а = 0; 2) δ"(t) + 35(t) ÷ 46>(⅛) sht, α= 1;
2)	J(t) - 2φ)et(l -t), а = 1;
3)	u↑(t) = — δ(t) — θ(i)et, и%(1) — θ(i)et, а = 1.
10.16.	Указание. Воспользоваться формулой задачи 10.8.
1 - e~p
10.17.	—— 	, σ > 1п2.
p(l -2e^p)
10.18.	£ δ'(t-k).
к=0
10.19.	Указание. Воспользоваться формулой задачи 10.7, 9).
10.20.	1) e~2t - e~3t;	2) 2;	3) ^-e~t + Це“4 + ^e~64,
25	5	25
8	2	8
^25e 5te +256
§11. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных операторов
Обобщенным решением в области G с Rn линейного диффе¬
ренциального уравнения
L(x,D)u≡ aa(x)Dau — f(x),	(*)
П=о
где aa(x) ∈ Coo(Rn), / ∈ ТУ, называется всякая обобщенная
функция и, удовлетворяющая этому уравнению в G в обобщен¬
ном смысле, т. е. для любой φ ∈ Р, носитель которой содержится
в G, имеет место равенство
(u,L*(x,D)φ) = (J,φ),
где L*(x,D)φ = E^∣=o(-l)lαlT>α(αα<^).
Обобщенная функция и принадлежит классу Cp(G}, если
в области G она совпадает с функцией и$(х) класса Cp(G), т. е.
для любой φ ∈ Р, suppφ ∈ G, имеет место равенство
(u, φ} = u^(x)φ(x} dx.
Пусть / ∈ C(G) ∩P'. Для того чтобы обобщенная функция
и удовлетворяла уравнению (*) в области G в классическом
смысле, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала клас¬
су Cm(G) и удовлетворяла этому уравнению в обобщенном смыс¬
ле в области G.

182
Гл. 3. Обобщенные функции
Фундаментальным решением (функцией влияния) линейно¬
го дифференциального оператора
L(D) = ∖T aaDa
Ы=°
с постоянными коэффициентами aa(x) = аа называется обоб¬
щенная функция £, удовлетворяющая в Rn уравнению
£(£>)£ = ф).
У всякого линейного дифференциального оператора L(D)
существует фундаментальное решение медленного роста, и это
решение удовлетворяет алгебраическому уравнению
L(-iξ)F∣<^∣ = 1.
Пусть f ЕТУ такова, что свертка £ * / существует в ТУ. Тогда
и = ε * /
есть решение уравнения L(D)u — f. Это решение единственно
в классе тех обобщенных функций и, для которых существует
свертка с £.
11.1. Доказать, что единственное в фундаментальное
решение оператора
drrι drn~i
d^+a'd^=>+∙+am
выражается формулой задачи 8.26 (определение V'+ см. в § 10).
11.2. Доказать, что функция £(х) является фундаменталь¬
ным решением оператора:
1)	£(х) = θ(x)e±ax,	a,
с/ λ л/ ∖sin≡	d2 , 2
2)	£(х) = θ(x)	,	+ а2;
a	dx1
3)	5(τ) =	-⅛-α2j
a dx
। τm~i	/ d	∖rn
4)	£(х) =θ(x)e±ax7÷——,	⅛ , m = 2,3,....
(т - 1)!	∖dx	)

§11. Фундаментальные решения линейных операторов
183
11.3.	Найти единственные в V'+ фундаментальные решения
следующих операторов:
— +4А;
dx2 dx’
d2 λ d r
dx2 dx
d4 4
TR ^α ;
dx
1)
2)
4)
7)
5)
8)
d
dx
3)
,з.
6)
d2
dx2
d3
dx3
+ 3τ- + 2i
ах
-3-^ + 2-≤5
dx2 dx
d2
dx2
dx2
d4 2
dx4 dx2
1.
11.4. Доказать, что:
1) ε(χ,y) = — = —.ι
v 7 πz π(x + гу)
ратора Коши-Римана — =
∂z
-k-leλz
2) ε(x,y) = — , . , к — 1,2,..., — фундаментальное реше-
7Г1 (/С JZ
1
		 — фундаментальное решение опе-
j9 1
dz 2 V дх
д ■ ∙±γ
ду) ’
ние оператора
2^-l^m-l
3) ε(x,y) = г(д.)Г(—)’	=	— фундаментальное ре-
βk-∖-πι
шение оператора —-1	;
н н d^kdzm
1 signlmλ^-μα, _ фундаментальное решение
д	д
Коши-Римана -—h А-—|- и,
ох	оу
4) £(Х, у) = 2πi
обобщенного
Imλ≠0.
у-Хх
оператора
что £(ж) =
-!-In Ы — фундаментальное ре-
2л
11.5. Доказать,
шение оператора Лапласа в R2. Выяснить физический смысл.
11.6. Доказать:
1) ε(χ} = — * τ — фундаментальное решение оператора Ла-
4π\х |
пласа в R3; выяснить физический смысл;
2) ε(x) =	∣^∣n-2, n = 3,4,∙∙∙, - фувдаменталь-
ное решение оператора Лапласа в Rn, где σn = ∫^ι dS =
2лп/2
= ———- — площадь поверхности единичной сферы в Rn;
i (Щ/2)

184
Гл. 3. Обобщенные функции
c , .	{-∖}kT(n∣2-k∖ .2k~n	,
εn,k{χ) =	∣x'	~ фундаментальное ре¬
шение итерированного оператора Лапласа ∆fc при 2к < п,
к = 1,2,...,
£пк(х) =	or—i	W2fc 2ln∣x∣, п = 2.
n'ky ,	π∙22fc-1Γ(⅛)l 1	1 1
Указание. Воспользоваться задачей 9.17, 2).
11.7.	Доказать, что £Ц) = -≤Δ и ЦЦ =	- фун-
даментальное решение оператора Гельмгольца Δ + к2 в R3.
11.8.	Доказать, что если функция и(х) удовлетворяет в М3
уравнению ∆n + k2u = 0 и условиям излучения
и(х) = О(|ж| 1),
= iku(x) = o(∣x∣ 1)
при |ж| —» ∞, то и ≡ 0.
11.9.	Доказать, что фундаментальными решениями операто¬
ра Гельмгольца Δ + к2 являются функции:
1) £(х) = —ξ77θ1∖fc∣x∣) и £(х, у) = |H^2∖k∖x|) в R2, где H^k∖
к = 1,2, — функция Ханкеля;
2) ОД = -Leik∖χ∖ И ед = --Le-ik^ в R1.
i2k	12к
11.10. Доказать, что фундаментальными решениями опера¬
тора Δ — к2 являются функции:
— fc∣x∣
1)	£(ж) = -i— в R3;
v 7 4тг|ж|
2)	£(ж) = -^∕C0(Φ∣) в R2, где X0(ξ) =	- функ-
ция Ханкеля мнимого аргумента;
-⅛∣
3)	Φ) = ⅛γbR1j
л к
/ 1 xn∕2 / k \ n/2-l
4)ед = -(±) A Knl(k∖x∖)BRn.
\ £ / ( /	∖ ⅛x√ /
11.11.	Доказать, что если Eι(x,t) — фундаментальное реше-
д	tk~i
ние оператора — + L(Dx)i то —<Γι(x,t) — фундаментальное
UL	1 ( гъ )
решение оператора
/ о	\к
(	+ L(Dx) ) .
∖ot	)

§11. Фундаментальные решения линейных операторов
185
11.12. Доказать, что:
e-∣^∣2∕(4α2t) _ фундаментальное реше-
д
1) ε(χ,t) =
(2aVπi)
ние оператора теплопроводности — — α2∆ в Rn; выяснить
физический смысл;
2) S(xt) =	θ^tk

’ (2αv⅛nΓ(fc)
∂t
е M2∕(4α2^) _ фундаментальное ре-
шение оператора
Указание. Воспользоваться задачей 11.1.
11.13.	Доказать, что 8(x,t) = ect O+^)2∕(4α2^) _ фун-
2ay∕πi
∂	2	7 д
даментальное решение оператора — — a~x~2 ~	~ c∙
11.14.	Доказать, что:
np∕ n iθ(t)
ттт	• 9
оператора Шредингера г—
зоваться формулой ∫∞ e'"2 du — ^-XeιπX
,	., д | ħ2 д
фундаментальное решение оператора ггь— + -—Д; п лю-
ot 2τ∏o
бое;
— фундаментальное решение
Н	h-. Указание. Восполь-
‰2
2) εn(χ,t) =
г
3)
1	( ( ∣x∣2	πn.λl , q
		exp < ± a-⅛- + -—г >, к = 1,2
(2α√7rt)τT(fc)	[ ∖4ia2t	4 y∫
даментальное решение оператора ± ia2.
Указание. Воспользоваться задачей 11.11.
- Фун-
в Rn.
11.15.	Доказать, что:
1)	<fι(x,t) = -±-θ(at — |ж|) — фундаментальное решение од¬
номерного волнового оператора Па; выяснить физический
смысл;

186
Гл. 3. Обобщенные функции
2)	ε%(x,t) = 	\	7 =- — фундаментальное решение
i2'κayJ a2t2 — |ж|2
двумерного волнового оператора □α, х — (x∖,x2)∖ выяс¬
нить физический смысл.
Указание. Воспользоваться задачей 9.26.
11.16.	Доказать, что:
О ⅞(M) = ⅛sot(z) =	- и2), где Sat = {∣τ∣ =
4πα t	2πa
= at}, является фундаментальным решением трехмерного
волнового оператора □α, х = (яд, я^, ^3); выяснить физиче¬
ский смысл. Указание. Воспользоваться задачей 9.27;
2)	-^-θ(at — |ж|) — фундаментальное решение оператора
8πα
в R4;
3)	—9t, 1 ,■ ,?	(а2/2 — ∖x∖2)k~2θ(at — Ы) — фунда-
7 π22fc- α2fc+Γ(fc)Γ(fc — lj 117 V 1 17 ψy
ментальное решение оператора в К";
4)	фундаментальное решение оператора □α в ≡4 можно пред¬
ставить в виде
ε3(x, t) = -^∖Jaθ(at - |ж|).
8πα
11.17.	Доказать, что
εn(χ,t) = <
(2α)n-2√"-1>∕2Γ
□ln^3v2[0(i)5(α⅜2-∣x∣2)],
n ≥ 3 нечетное,
1	α(∏-2)∕2
(2α)n-1τr"∕2Γ (Д
θ(at — |ж|)
φΓt2 - и2
п четное,
является фундаментальным решением волнового оператора □α.
Указание.
εn{χ,t) =
менной x∏+ι-
При нечетных п воспользоваться формулой
sin∣ξ∣i
∣ξ∣
и применить метод спуска по пере-
11.18.	Доказать, что =	— ∣x∣)eb(αi x'>ε2a2) —
фундаментальное решение оператора
π ,∂ b д
□α-0-	—, где α,P>0.
ox a at

§11. Фундаментальные решения линейных операторов	187
Указание. Воспользоваться формулой
α⅛i∞
1 f ezτ
Л- —dz = θ(τ), а > 0.
2πι J z
a—ioo
11.19.	Доказать, что:
1)	ε(x,t) = -θ(t)θ(-x)eat+bx — фундаментальное решение
оператора
∂	7^.7	7.∩
- аЪ	b^2 + ab' гДе b > °
oxσt ox ot
(см. указание к задаче 11.18);
2)	ε(x,t) = 0(t)0(x)∕o(2mλ∕xy) — фундаментальное решение
д2
оператора ——- — т2 в R2, где 7^o(ξ) = Λ)(⅛) — функция
CzJUvJ L
Бесселя мнимого аргумента.
11.20.	Доказать, что фундаментальным решением оператора
□α — т2 является функция
£(М) = ^~kl)j0 ^√α2i2-χ2^
где Jo(ξ) — <Λ)(⅛) — функция Бесселя мнимого аргумента.
11.21.	Доказать, что фундаментальными решениеми опера¬
тора Клейна-Гордона-Фока □α + т2 в Rn являются функции
ε(x, i) =	(-∖∕a2t2 — x2^∖ , п = 1;
ε,x t, = ¾t→1)∞5(∑√'a2t2~M2) n = 2.
I eZ√ С/ J	q	у	 I L
^,πa	аЧ2 — ∖x∖2
ε(χa) =	- 1ж12)-
- X^θ{at-∖x∖)-
4πa
где Jq, Ji — функции Бесселя.

188
Гл. 3. Обобщенные функции
11.22.	Доказать, что фундаментальными решениями теле-
д
графного оператора □α + 2m— в Rn являются функции
1	/	/ τ2 \
£(х, t) = — е mtθ(at — ∣x∣)7o I m∖ t2	И, n =
\ V CL I
е rntθ(at — |ж|) ch ( mJ t2 — ⅛L j
8(x, t) =	 ×	=	2-, п = 2;
2πα2 y∕t2 — ∖x∖2∕a2
ε^x,6 = ^~e~mtδ(a2t2 - ∣x∣2)-
me~mtθ(at — |ж|)Д (mJt2 — ∖x∖2/а2
	V V 	L, п = 3,
4πα3y t2 — ∖x∖2/а2
где ∕o(ξ) — Λ)(⅛), ^^1(C) — -2√ι(zξ) — функции Бесселя мнимого
аргумента. Указание. Воспользоваться задачей 11.21.
11	.23. 1) Доказать, что S(x,t) -vθ(E)e avtδ(x — vts∖ где
∞
(β(t)e~avtδ(x — vts), φ(x, t)) = e~avtφ(vts, t) dt
О
— фундаментальное решение оператора переноса
1 ЭР
+ (s, grad£) + аЕ = δ(x, t), ∣s∣ = 1, v > 0, q ≥ 0, п = 3;
2)	доказать, что
г
п	(е~ск|ж| / т \	\
ε (ж) =	ы )’Л = e~apφ(ps)dp
\ И \ И / / J
о
— фундаментальное решение стационарного оператора пе¬
реноса
(S, grad<S0) + <а£° = δ(x), п = 3.
11.24.	Найти фундаментальное решение уравнения Z *8 =
= δ, где Z из задачи 8.30.

§11. Фундаментальные решения линейных операторов
189
11.25.	Доказать, что если £(x,t) — фундаментальное реше¬
ние оператора переноса
L(D) = αι^-+ ...+	+ α, ∣α∣ ≠ О,
∂x∖	∂xn
то
Γ(⅛)∣a∣2^-1)	+ a∏χτu)k 1<^(jM)
— фундаментальное решение оператора Lk(D).
Указание. Воспользоваться индукцией по к.
Пусть f(x,t) ∈ D,(Rn+1) и φ(χ} ∈ D(Rn). Введем обобщен¬
ную функцию (/(ж, t),φ(rc)) ∈ D,(R ), действующую на основные
функции ψ ∈ P(R1) по формуле
((∕(^,i),φ(^)),≠(i)) = (∕,∏)∙
Из определения вытекает, что
(∂	= -^(/(ж,ДДж)), к= 1,2,... .
Говорят, что обобщенная функция f(x,t) принадлежит клас¬
су Ср по переменной t в интервале (a,b), если для лю¬
бой φ ∈ P(Rn) обобщенная функция (/(ж, t), φ(x)) ∈ Cp(a,b).
11.26.	Для фундаментальных решений <Γn(x,t), п— 1,2,3,
волнового оператора, рассмотренных в задачах 11.15-11.16, до¬
казать:
1)	εn(x,t) ∈ Cσo по t ∈ [0, то);
2)	εn(x,t) → о, ≤⅛12 → ф);	→ о
при t —» +0 в D,(Rn).
11.27.	Для фундаментального решения £(ж,£) оператора
теплопроводности (см. задачу 11.12) доказать, что
£(х, t) -→ 5(x), t —> +0 в P,(Rn).
11.28.	Для фундаментального решения оператора Шредин¬
гера (см. задачу 11.14) доказать, что
fι(x,t)—> —zJ(x), t—>+0 в P,(R2).
11.29.	Для фундаментального решения из задачи 11.18 до¬
казать:
1) £(х, t) ∈ Co° по t ∈ [0, то);

190
Гл. 3. Обобщенные функции
2) f(M) → 0, ⅛> — <i(ι), ≤⅛≤ — -⅛i(⅛
t —НОв D'(R1).
11.30. Для фундаментального решения из задачи 11.13 до¬
казать, что
S(x,t)—>φ), t—>+0 в P'(R1).
Ответы к § 11
11.1. Единственность. Очевидно, £(ж) ∈ Для и = ε —
— £*, где £* ∈ T>f+ — другое фундаментальное решение, имеем L{D)u —
— 0. Свертка и*Е существует (см. формулу (VIII) §8). Имеем и —
= и* δ = и* L(D)ε = L(Z))u * ε = 0. Следовательно, £* = ε.
11.3. 1) 6>(τj)1~4e Х; 2) θ(x)xex-, 3) φ)(e"* - e~2x∖,
4) θ(x)e2x sin ж; 5) а(
За
f(τ)∩ -^xγ2. ^⅛(shαx — sin аж);
a∖ 6 l . av6	\
cos ——ж+уЗ sin	х I ;
8)	(x ch χ — sh ж).
,ах	^ — ах/2
6)	-еж)2;
11.12. Р е ш е н и е. Применив преобразование Фурье Fx к равен-
∂S
ству — — а2А£ = δ(x,t), в силу результатов задачи 9.21, 1) и 2)
и формул из §9 получим
^+a2∖ξ∖2ε= l(ξ)∙⅜). где ε(ξ,t) = Fx∖ε(xχ].
Пользуясь формулой для <f(t) задачи 11.2, 1) с заменой а на α2∣ξ∣2,
заключаем, что f(ξ,t) = θ(t)e
ε(x,t) = F^ ро
∣^∣2f. Отсюда в силу задачи 9.24
)1 _	c-∖x∖2∕(4a2Γ)'
J (2ay∕πt)n
11.15. Указание. См. решение задачи 11.12. Для иско¬
мой Z(⅛) ∈ С2 получим задачу Z" + a2ζ2Z = 0, Z(0) = 0, Z(0) = 1.
Отсюда Z(t) = sin °χ,t и, следовательно,
αξ
f1(ξ,⅛) =
Далее воспользоваться задачей 9.25.
11.24. f(⅛e-^∕(2L) Λ30sω⅛- _5_sjncjfY если 4£ _ ар > (у
L		∖	2Lω J
x∣⅛L∣C-R2
где ω = 		—	.

Глава 4
ЗАДАЧА КОШИ
§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
гиперболического типа
1. Задача Коши на плоскости. Задача Коши для уравнения
α(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + с(ж, y)uyy + d(x, y)ux +
+ е(ж, y)uy + f(x, y)u = F(x, у) (I)
с условиями
U∣Γ = u0(x,y),	∣^∣r = u1(χ,y)	(II)
состоит в следующем. Пусть в области Q задано уравнение (I)
гиперболического типа (δ2 — ас > 0) и на кривой Г, которая
принадлежит области Q или является частью границы обла¬
сти Q, заданы функции uo(x,y∖ щ(х,у) и направление £(х,у).
Требуется найти функцию u(x,y), которая в области Q является
решением уравнения (I) и на кривой Г удовлетворяет услови¬
ям (II).
Если в каждой точке кривой Г направление £ не является ка¬
сательным к кривой Г и касательное направление к кривой Г не
является характеристическим, то в области Q, ограниченной ха¬
рактеристиками, проходящими через концы кривой Г, при доста¬
точной гладкости коэффициентов уравнения (I) и данных усло¬
вий (II) существует единственное решение задачи Коши (I), (II).
Характеристическим уравнением для уравнения (I) является
обыкновенное дифференциальное уравнение
а(х, у) (dy)2 — 2b(x, у) dxdy + с (x,y)(dx)2 = 0, (III)
множество решений которого состоит из множества решений
уравнения
α dy — (6 + \Д2 — ас) б?ж = 0, (x,y)∈Q, (III,)

192
Гл. 4. Задача Коши
и множества решений уравнения
ady — (b — y∕b2 — ас) dx = 0, (ж, у) G Q. (I∏,,)
Так как b2(x,y) — a(x,y)c(x,y) > О, (х,у) ∈ Q, то общие ин¬
тегралы уравнений (III,) и (III")
ξ(x,y) = C,ι, (x,y)∈Q, и η(x,y) = C2, (x,y)EQ,
где Ci и (⅞ - произвольные постоянные, представляют собой
уравнения характеристик для уравнения (I).
С помощью невырожденной замены переменных
∫ξ = ξ^' (x,y)EQ, ⅛,η)ED',
[η = η(x,y),
переводящей область Q в область D,, уравнение (I) приводится
к каноническому виду
uξη+aι(ξ,η)uξ + a2(ζ,η)uη+a3(ξ,η)u = F(ξ,η), (ξ,η)ED,. (I,)
Иногда удается найти общее решение u(ξ,η), (ξ,ri) ∈ Df,
уравнения (I,). Тогда функция u(x,y) = u(ξ(xiy),η(xiy)) пред¬
ставляет собой общее решение в Q уравнения (I).
(1)
Пример 1. Найти общее решение уравнения
2uxx + 5uxy — 3uyy = 7 cos(x + 2у).
Δ Найдем характеристики уравнения. Из (III) имеем
2(dy)2 — 5dxdy — 3(dx)2 = 0 или 2(y,)2 — 5y' — 3 = О,
откуда получаем, что y, = 3 и y, = — Следовательно, у = Зх +
+ Ci и 2у = —х + (?2 — два семейства характеристик уравне¬
ния (1).
Введем характеристическую замену переменных
f ξ = Зх - у,
I η = х + 2у
и запишем уравнение (1) в новых переменных:
‰ = Uζ • 3 + uη • 1,
uy = Uζ • (-1) + uη • 2,
^jxx = θ^zξξ + θ^ξ77 Т
^jyy —	^+^
^jxy =	Т 31Zξτy Т 2Uηη,
(2)
2
-3
5

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
193
отсюда получаем
Uζξ (18 — 3 — 15) + Uξη (12 + 12 + 25) + uηη(2 — 12+10) = cost;,
или
49nξιy = cos?;.
Следовательно,
⅜ = ⅛siny + cl(ξ)'
где C,ι(ξ) — любая функция класса С2. Проинтегрировав послед-
нее равенство по ξ, получаем
*√ξ, ,n') = 47jξ si∏y + /(О + у(у).
где ∕(ξ) и g(η) — любые функции класса С2, откуда в силу
замены переменных (2) находим общее решение уравнения (1):
У) = ^(Зж - У) sin(^ + 2у) + Л3ж - у) + у(ж + 2y)∙ А
Пример 2. Решить задачу Коши
uxx - 2(ж + l)uxy + 4xuyy + 2ζy = 0, х > 1, у > 0; (1)
^∣τ∕=ι	1, ^jy∖y=ι — ~ С ж ≥ 1.	(2)
Δ Найдем характеристики уравнения (1). Из (III) находим
(⅛∕)2 + 2(x + 1) dxdy + 4rr(<⅛)2 = 0
или
(y,)2 + 2(x + l)y, + 4ж = 0.
Отсюда получаем, что у' = — 2х и yr = —2. Следовательно,
у = -x2 + Cι и у = — 2х + (?2 — два семейства характеристик
уравнения (1).
Введем характеристическую замену переменных
p = +	(3)
∣4 η = 2х + у

194
Гл. 4. Задача Коши
и запишем уравнение (1) в новых переменных:
	- ux = ut ∙ 2x + uτι • 2,
х — 1	s	'
2
uy = uζ + uη,
1 Uχx = 4^⅛ξξ + 8xUζη + 4uηη + 2lLξ,
4x ^jyy —	^+^	-∣- ^jηη,
—2(х + 1) uxy = 2xuζζ + (2 + 2x)uζη + 2uηη.
Отсюда имеем
nξξ(4x2 + 4x — 4x(x + 1)) +
+ Uζη(8x + 8,т — 4(ж + 1)2) + uηη(4 + 4x — 4(x + 1)) =
Следовательно, уравнение принимает вид
—4(х — l)2Uξη = О
или (так как х > 1)
= θ∙	(4)
Отсюда следует, что u(ξ,η) = ∕(ξ) + g(η), где ∕(ξ) и g(η) есть
любые функции класса С2, является общим решением уравнени¬
ем (4), а функция
u(x,y) = Дж2 + y) + g(2x + y)	(5)
есть общее решение уравнения (1).
Подберем функции ∕(ξ) и g(η) так, чтобы выполнялись усло¬
вия (2).
Из (5) и (2) получаем
ιx∣τz=ι = ∕(^2 + 1) + g(2x + 1) = —1, х > 1,	(6)
⅝∣⅛=1 = f'(x2 + 1) +g'(2x + 1) = | - 1, ж>1	(7)
(так как uy(x, у) = f,(x2 + у) • 1 + y'(2τ + у) • 1).
Продифференцировав равенство (6) по х, получаем
∕V + 1)∙2z + √(2z+1)∙2 = 0,
ИЛИ
y'(2x+ 1) = -xf∖x2 + 1).

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
195
Используя последнее равенство из (7), находим
f'(x2 + 1) — xf'(x2 + 1) = 1 х > 1,
откуда следует, что
f'(x2 + 1) = р х > 1.	(8)
Обозначим р — x2 + 1. Тогда из (8) следует, что
∕(p) = 2√^T + а,	(9)
где a ∈ R — любое число.
Из (9) и (6) находим
g(2x ⅛1) = -1- 2y^(ж2 ⅛1)-1 — а = — 1 — 2х — а,
или g(2x +1) = -(1+ 2ж) — а, откуда
g(y) = — q — а, где g = 2x+l.	(10)
Из (5), (9) и (10) получаем
и(х, у) = 2^2 + у - 1 + а - (2х + у) - а.
Следовательно, функция
и(х, у) — 2↑Jж2 + у — 1 — 2х — у
есть решение задачи (1), (2).	▲
Пример 3 (задача о максимальной области). Найти макси¬
мальную область Q плоскости R2, в которой решение уравнения
^jyy UXX — 0	( 1 )
однозначно определяется условиями
u∖y=Q = uq(x∖ uy∖y=Q = ui{x∖ 0<x<l,	(2)
где ⅝(rr) ∈ C2(0, 1), tq(x) ∈ C1(0, 1).
Δ Уравнение (1) имеет два семейства характеристик х + y = Cl
и х — у = C⅞, а в переменных ξ = х + y, η = х — у это уравнение
196
Гл. 4. Задача Коши
принимает вид Uξη = 0. Поэтому любое решение уравнения (1)
можно записать в виде
и(х, у) = f{x + у) + уЦ - у)
при некоторых дважды непрерывно дифференцируемых функци¬
ях ∕(ξ) и g(η). Следовательно, в квадрате
Q = {(x,y) : 0<x-y<l, 0<x + y<l}
решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), опре¬
делено однозначно формулой Д’Аламбера. Покажем, что Q —
искомая область.
Пусть в некоторой области Ω, Ω D Q, существует реше¬
ние u(x,y) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2). Тогда
функция щ (х, у) = и(х, у) + F(x — у — 1), (ж, у) ∈ Ω, где F(t) = 0
для t ≤ 0 и F(t) = t4 (например) для t ≥ 0 также является
решением уравнения (1) в области Ω, удовлетворяющим усло¬
виям (2) и отличным от u(xi у) в каждой точке множества
Ωι = Ω ∩ {(х, у): х — у > 1}.
Функции
u2(x,y) = u(x,y) + F(y-x), (x,y)eQ,
ui(x, у) = и(х, у) + F(x + у - 1), (ж, у) ∈ Q,
щ(х,у) = u(x,y) + F(-x - у), (x,y)∈Q,
также являются решениями в Ω уравнения (1), удовлетворяю¬
щими условиям (2) и отличными от u(x,y) в каждой точке
множеств
Ω2 = Ω ∩ {(х,у):
Ω3 = Ω ∩ {(х,у):
Ω4 = Ω ∩ {(ж, у):
у — х > 0},
х + у > 1},
х + у < 0}
соответственно.
Следовательно, Q — искомая область.	А
Пример 4. Решить задачу Коши
x1uxx - ⅛y2uyy + xux - 4yuy = 16rr4,	(1)
τz∣2z=1 = Зж4, ⅜∣τ∕=ι = 0, 0 < х < 2.	(2)
Найти наибольшую область, где решение определено однозначно.
Δ Найдем характеристики уравнения (1). Из (III) находим
rr2(dy)2 — 4y2(dx)2 = 0’ или ^2(y,)2 - 4y2 = 0.
Отсюда получаем, что:

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
197
\	7	1 Γ∖ dy z~w dx ,	19	1	X
a) xdy — 2y dx = O^ — = 2— => In у = lnx2 + lnC≠> — = Сь
У х	У
, rk 7 rλ dy ^dx 1	1	9	9
б) х dy + 2y dx = 0 => — = —2— => In у = — In ж2 + C ^xzy =
у х
= С<1' х2
Получили — = С\ и x2y = C⅞ — два семейства характеристик
уравнения (1). Введем характеристическую замену переменных
,2
У
,2
(3)
и запишем уравнение (1) в новых переменных:
2х
rUjx =	’ ζx 4" Uη ∙ T∣x = +t6ξ ∙ h Uη • 2ху,
Uy — Uξ ∙ ζy -⅛- Uη ∙ T∣y — Uξ I 2
2 2х / 2х
Ujxx =	"+^ yUjζζ ’	+ ^jζη
-4у
.2
-⅜2
.2 ’
uyy = ^y3u^ ~ ^^2 uξ∙ξ
X2
у2
2х
У~
+x2 Uξη
' X2∖	2
- -5∙	+ Uζ71 ∙ xδ
. у J
2
>ηη ’ X
.2
Отсюда имеем
Uξζ ^-2—	+ Uξη(4x4 + 4ж4 + 4ж4 + 4ж4) +
л о л о	Z c2τ2	t2 2х2 т2 \
+ ttw(4aj4y2 - 4ж4у2) + Uξ (	1- 4	1	8— ) +
\ У У У У J
+ uη(2x2y — 4x2y + 2ж2у) = 16ж4,
16x4Uξ^ = 16ж4,
uξ^ = l.	(4)
Отсюда следует, что u(ξ, η) = ∕(ξ) + g(η) + ξη, где ∕(ξ) и g(η)
есть любые функции класса С2, является общим решением
198
Гл. 4. Задача Коши
уравнения (4), а функция
(2 \
∣-) +g(χ2y) + χ4	(5)
есть общее решение уравнения (1).
Подберем функции ∕(ξ) и g(η) так, чтобы выполнялись усло¬
вия (2).
Из (5) и (2) получаем
^∣2z=ι = f(%2) + g(%2) + ж4 = 3rr4, 1 < х < 2,	(6)
uy∣jz=ι = ∕'(x2) ∙ (-x2)+y'(x2) • ж2 = О, 1<ж<2	(7)
Сделав замену z = х1 в (6) и (7), получаем
/(г) + g{z) = c2z1, 1 < z < 4,	(8)
-г ■/'(г) + г • у'(г) = О, 1 < г < 4.	(9)
Продифференцировав тождество (8) по г и сократив тожде¬
ство (9) на г, получаем
f И + g(z) = 4г,
-rω+√ω = o,
Сложив (10) и (11), имеем
2g,(z) = 4г,	1 ■
У(г) = 2г,	1 <
5(г) = г2 + С, 1
Из (8) и (12) получаем, что
/(г) = г2 - С, 1
Из (5), (12) и (13) находим, что
/	∖ *Γ ∣ 4
u(x,y) =	+ X
У
где
Z
(ж, у) ∈ Q = < (ж, у) ∈ ≡2 : < 1 <
1 <
1 < г < 4,	(10)
1<г<4.	(11)
< г < 4,
: г < 4,
<z<4.	(12)
<z<4.	(13)
y2 + X4,
х2	1
z = -<4 (из (13))
у	1
z — x2y < 4 (из (12)) )

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
199
.2
Нарисуем область Q, Q =	(ж, у) : <
4
г2
Т
j_
r2
CD — это область задания начальных условий (2) задачи
Коши (1), (2).
Найдем координаты точек А и В; получим a(vz2,-),
B(√z2,2) (см. рис. 1).
Искомая наибольшая область Q — это криволинейный четы¬
рехугольник ABCD (доказать, что Q — действительно макси¬
мальная область).	А
12.1.	Пусть на интервале (а, 6) заданы функции φ ∈ С2,
φ' ≠ 0, uq ∈ С2, щ ∈C1. Доказать, что задача Коши
‰τ∕ = θ, а < х < Ь, с < у < d,
^lj∖y=φ(x)	r^jy∖y=φ(x) — щ(х)
имеет единственное решение
ψ 1(⅛)
uι(ξ)√(ξ)dξ,
где с = infφ(rr), d = sup⅛p(x), φ 1(τ∕) — функция, обратная
к функции φ(rτ).

200
Гл. 4. Задача Коши
12.2.	Пусть на интервале (—1, 1) заданы функции uq ∈ С2,
щ ∈C1. Доказать, что задача Коши
uxx - uyy = 0, n∣2z=0 = uq(x∖ uy∖y=Q = tq(x)
имеет единственное решение в квадрате {|ж — у\ <1, \х + у\ <
< 1}. Показать, что этот квадрат является наибольшей областью
единственности решения поставленной задачи.
12.3.	Доказать, что решение задачи Коши
‰τ∕ = 0, — ∞ < х, у < сю;
^l2∕=o = Щ^х\ uy∖y=Q = щ(х)
существует только тогда, когда uq(x) ∈ C2(R1), а щ(х) ≡ const.
Показать, что при этом решение поставленной задачи не един¬
ственно и все решения этой задачи можно представить в виде
и(х, у) = п0Ц) + /(у) - ∕(θ) + у(щ (0) - ∕'(θ)),
где /(у) — любая функция из класса C2(R1).
12.4.	Доказать, что решение задачи Коши
Uxy = 0,	|#| < 1, 0 < у < 1;
Ч=*2 = 0, =nι(x)
существует только тогда, когда щ(х) ∈ ¢7(-1,1), xu∖(x) Е
Е C1(-l, 1), щ(х) — четная функция.
Показать, что при этом решение поставленной задачи един¬
ственно и
√2
u(x,y) = 2 ξn√ξ)dξ.
х
12.5.	Доказать, что решение задачи Коши
uxy = о, И < 1, |у| < 1;
u∖y=χ2 =	‰ly=χ2 = о
существует только тогда, когда а = 0 или се ≥ 6.
Показать, что при этом решение поставленной задачи един¬
ственно И u(x,y) — Ы^/3-
12.6.	Доказать, что решение задачи Коши
uxx - Uyy = 6(х + у), X Е R, у Е R;
u∖y=x — 0, ux∖y=x = u∖{x}

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка	201
существует только тогда, когда u∖{x) — 3x2 ≡ const.
Показать, что при этом решение поставленной задачи не един¬
ственно и все решения этой задачи можно представить в виде
u(x,y) = X3 - у3 + /(ж - у) - /(0) + (ж - y)(uι(0) - ∕'(0)),
где /(ж) — любая функция из класса C2(R1).
В задачах 12.7-12.19 требуется найти наибольшую область,
в которой поставленная задача Коши имеет единственное реше¬
ние, и найти это решение.
12.7.	uxy = 0;	= 0, ⅜∣^2 = √^, ∖x∖ < 1.
12.8.	Uχy И- их — 0, u∖y=χ — sinx, ux∖y=x — 1, |ж| <С схэ.
12.9.	Uχχ ^jyy 4- 2ux Ч- — 0, о — х, иу\у=о — 0,
∣x∣ < ос.
12.10.	uxx ^yy 2u.r 2uy — 4, и\х=q — у, их\х=θ у 1,
∣y∣<∞.
12.11.	uxx 4^^ 2uxy 3ztyy — 2, и\у=q — 0,	— х 4- cos х,
|ж| < ос.
12.12.	иХу Ч- yux Ч- хиу Ч- хуи — 0, /и|^=зж — 0, Uy∖y=⅛x —
= e-5χ2, х < 1.
12.13.	1) Uχχ ^jyy Ч- 2^∙r = θ, ^1?/—о ~ ^jy∖y=θ — θ, > θ,
2) xuxy — уиУу — иу = 2ж3; u∖y=x — sinх, ux∖y=x = cosх, х > 0.
12.14.	xuxx + (х Ч- yy)uxy + У^уу — θ,	—	% , ^jχ∖y=ι/х
= 2х2, х > 0.
12.15.	xuxx + 2(1 + 2ж)иЖ2/ + 4ж(1 + x)uyy + 2uy = 0; tt∣x=o =
= У, ¾∣x=o = 2, ∖y∖ < ∞.
12.16.	1) ж2ижж - y2uyy - 2yuy = 0; u∣x=ι = у, ux∖x=i = у,
у <0;	ι
2)	uxx - 4x2uyy - -их = 0; ιz∣≈=ι = У1 + 1, ‰k=ι = 4, ∣y∣ < ∞.
12.17.	ж uxx 2xyuxy 3y Uyy 0, и∖y=ι θ> tu,y ∖y=ι ~x^,
ж > 0.
12.18.	yuxx + ж(2у - l)uxy - 2x2uyy -
+ 2xuy) = 0; tt∣jz=o = ж2, w3z∣3z=o = 1, ж > 0.
2ж
1 + 2у

202
Гл. 4. Задача Коши
12.19.	yuxx (х ^^k y)uxy И- xuyy (ux uy) — θ> ^∣τy=o —
Задачи 12.20-12.24 требуется решить методом Римана.
12.20.	uxy + 2ux + uy + 2u = 1, 0<x<l, 0 < у < 1;
^∣x+v∕=l = Ху r^jx∖x-∖-y=∖ — X'
12.21.	xyuxy + xux — yuy — и = 2у, 0 < х < оо, О
= 1 — У> Uy∖xy=γ = х ~ 1-
12.22.	uxy Н		—(ux + ‰) = 2, 0 < х < ∞, О
У	χ _р у	У/
u∖y-x — х , их\у=х = 1 + х.
У
1;
2	2
12.23.	uxx uyy -∣-	~ θ, < 1,	^^∣^^
^∣2z=ι = ⅛(^), t^∣2z=ι = щ(х), uq ∈ C2(0,2), щ ∈ С1 (0,2).
12.24.	] 2uxy — e~xuyy = 4x, х ∈ R, у ∈ R; u∖y=x = x2cosrc,
uy∖y=x — х + 1.
12.25.	Решить задачи.
1)	^Uxx ^^k Uxy uyy ~k ux -∣- иу — 0, (х, y^ ∈ Ж2;
U | у=0 — 1 ~к ^3’ ^У^У~ θ — β > X ∈	•
2)	uxx	2∕ιiχy	3uyy 2ux 2uy	— 0,	(х,	y^	∈	М ,
^∣2∕=0	= 1	- X. ^y∖y=O = 3, Ж ∈	К1.
3)	uxx +	uxy	6uyy + ux ~k 3uy —	0, (^х, у)	∈	R2;
,tt∣^=o	— 2	у, их^х=q = 2, у ∈	R .
4)	<2^xx ^xUjxy ^Ujyy + 14ux + 7иу — 0, (х, у) G М ,
^|ж=о = 3y, ⅛=o = 2 - 7у, у ∈ R1.
3)	fUjχχ rUjxy 2^jyy ^^k 3τzaj + 3uy = 0, (х, J∕) ∈ R ,
^∣z=0 = 1 - 3y, ‰∣z=o = о, у ∈ R1.
θ) 2?/жж 3uxy + uyy ux + иу — 0, {xy у) ∈ IR. ,
zu∣2z=o = 1 + £, ⅝∣τ∕=o = 0, ж ∈≡1∙
^jxx i^^jxy 3uyy + 2ux + 2uy — 0, (x, yy) G IR. ,
п|ж=0 = 1 - 4у, иж|ж=о = 0, у ∈ R1.
8)	3uxx 3uxy + ^yy 2uy + 4ux = 0, (jx, y^ G 1R ,
^∣2∕=0 = 1 + Ху uy∖y=O = 3, х ∈ К1.
9)	2uxx 3uxy + uyy ux + иу = 0, (х, у) ∈ M2j
t4∣27=o = 1 + Ху Uy∣2∕=o = 0, х е R1.

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
203
10)	uxx rUjxy c^^jyy И- Зт/Ж 4^^ 3uy — 0, (х, y^ G R ,
z⅛=o = 1 — 3y, ‰∣τ=o = О, у ∈ R1.
11)	4uxx — 4uxy — 3uyy + 8ux + 4uy = 0, (ж, у) ∈ R2;
гб|ж=0 = 2y + 1, ‰∣j>=o = -3, у ∈ R1.
12) 2uxx — 5uxy + 2uyy — 3ux + 6uy = 0, (ж, у) ∈ R2;
,u∣77=o = 2х — 1, Uy∖y=Q = 4, х ∈ R1.
5
13)	uxx I Uχy 6uyy -∣- 2^, _|_ у ।	) = θ* “2% ~⅛~ У + 1 > θ>
⅜^=0 = О, Ж ≥ 0.
4
14)	uxx 4ιiχy + 3uyy + ^, _|_ ^ _|_ ।	^⅛) = 0, х + у + 1 ≥ О,
^∣2∕=o = О, ¾∣7∕=o = -∣0 + 1)2> х ≥ 0.
о
15)	3uxx	7Uχy	8ιiyy 4^^ — — —	3uy) — θ> Зж И- у +
ОХ । У ^T 1
'U∣3∕=O = V Ь(1 + Зж), u2∕∣y=o = 0, ж ≥ 0.
О
16)	6uxx + 7uxy + 2uyy + 2гл±24
X 2у
= 0, х — 2у > 0;
12.26.	Решить задачи.
1)	Uχx ~ уиуу — 2Uy = θ, У > θ,
2) x2uxx — uyy — иу — 0, х > 0;
3)	x2uxx - y2uyy + xux - yuy = —4y4, х > 0; п|ж=1 = О,
‰ |ж=1 — У-
4)	4x2‰cc + 4xyuxy + y2uyy + 2xux = 0, х > 0, у > 1;
'u∣τ7=1 = 0, uy∣2z=ι = х, х > 0.
5)	2xuxx (2x + y)uxy + yuyy + 2 (ux Uy^ = О,
у > 0; ι∕∣τ∕=ι = 1, ⅜∣2∕=ι = 1 — 2х, х > 0.
θ) yUjxx 4- (у я^)^ху xuyy 4- у -∣-	= 0>
у > 0;	= 1, ⅜∣τ∕=o = X, X > о.
xuxx 4- (х y^)^jχy Уиуу 4^ у ^jχ + ^jy^) = θ■> х
у > 0; u∣^ι = x2, uy∖y=ι = 2,
3) Vjxx 4- (х 4- l)^xy 4- xuyy 4- j
'M'∣x=o — 0, их\х=о — 2.
«|ж=о = У, ¾k=0 = о, у > 0.
1;

204
Гл. 4. Задача Коши
10)
11)
12)
9) 2x2uxx — 3xyuxy + y2uyy + 2xux + yuy = 0, х > 0, у > 0;
u∣jz=ι = х, uy∖y=ι = 0, ж > 0.
x2uxx - 3xyuxy + 2y2uyy + xux + 2yuy = 0, ж > 0, у > 0;
tz∣x=ι = 0, ‰∣x=ι = у, у > 0.
2uxy — e~xuyy = 4ж; tt∣y=x = ж5 cos ж, uy∖y=x = ж2 + 1.
y2uxx + (ж2 + y2∖uxy + x2uyy + -χ-(ux + uy) = О,
х -↑~ у
6х
1 + Зя:2
у > х > 0; ιz∣τy=o = 0, ⅜∣τ∕=o = —Зя:2, х > 0.
13) uxx + (Зя: l)uxy 3x Uyy
п|ж=о = 2y, ‰∣ir=o = 3.
14) 2x2uxx + xyuxy — y2uyy + 2xux — yuy = 0, я: > 0, у > 0;
ι∕∣τ7=ι = х + 2, uy∣^=ι = 2я:, х > 0.
12.27. Решить задачи.
1) uxx - 4y2⅜τ∕ + 8‰ + 1 %Уиу = 0, у > 0;
гб|ж=0 = 0, ‰∣aj=0 = 4y2, у > 0.
2)	e2yuxx - uyy - 4e2yux + (1 - 4ey)uy = 0;
^|ж=о — 1	их\х=о — 5.
3)	x2uxx — uyy — xux — 2uy — 0, х > 0;
= 0, ¾∣τ∕=o = 2яд х > 0.
4)	uxx — 4x2uyy + θ⅛ — -) ux + 8x2uy — 0, х > 0;
z⅛=o = 1 — я:2, ⅜∣τ∕=o = 3, х > 0.
3) uxx + (2я: l)uxy 2xUyy + ^2я: + 1 +	∣ ∣ J (
= 0, я: > -и|ж=0 = 1 + У, ux∖x=o = 2, у ∈ R1.
^jy r^jx) —
6)
^jxx (% -∣- 2^uxy ⅛^ 2xUyy + ( я: 2 4-
_2) ^uy ∏χ} ~ θ,
я: < 2; и|ж=0 = 1 + у, ⅛=o = 2, у ∈ R1.
7) uxx — 2 ch х ∙ uxy + sh2 х ∙ uyy + ux + (1 + ex)uy — 0;
1/|ж=о — 1 + У■> ^x∖x=o — 1-
8) ^xx И- ch я: • иХу 2(с11я: -∣- 2^Uyy -|- — ——	(2^?/ ^,x) = θ>
1	C√ll |	±
^,∣x=0	—У’ Я£ж|ж—о	— .
θ) ‰cx — 2 sin xuxy — cos2 xuyy + 2ux + (2- cos х —
- 2smx)uy = 0; и|ж=0 = 2 - у, ‰∣rc=0 = ~1-
Ю) uxx + cos я: ∙ uxy + (cos я: — l)‰y —	—(uχ _р u ∖ = q;
y	yy 2 — cost:	y
^|ж=о = Зу, их\х=о = —2.

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
205
11)	x2uxx — 4y2uyy + xux — 4yuy = 0, х > 0, у > 0;
ι∕∣27=ι = 3x2, ⅜∣τz=ι = —х2, х > 0.
12)	yuxx ^^t^^ 2(2x + y)uxy 3^^ 8xuyy 3- 2?/^ 3^^ ^Uy — θ> £/ -> 2|з?|,
I	⅛y2 I	о
4τ=0 = ~ψ, ‰∣x=0 = -2?/.
13)	8yuxx + 2(x - 2y)uxy - xuyy - 4ux + 2uy = 0, х > 2|у|;
х2
4√=o= ^2^ ’ ⅜4=o= χ∙
14)	4,τ2‰r — y2uyy + 4xux — yuy = 0, х > 0, у > 0;
z⅛=ι = ⅜2, ‰∣^=1 = 2y2, у > 0.
12.28.	Решить задачи.
1)	8xuxx - 6y∕xuxy + uyy + 4ux = 0, х > 0, у > 0;
и|у=о — ~2, ^jy∖y=о — θ, % > θ∙
2)	6x2uxx + 7xuxy — 3uyy + 6xux = 0, х > 1;
^|ж=1 = 8y, ux∖x=ι = —1.
3)	2xuxx + 3x2uxy — 2x3uyy — 2ux = 0, у > 0;
'⅛=o = О, ⅜∣τ7=o = ю4.
2
4)	uxx - 3x2uxy + 2x4uyy - -их = 0, х > 1;
^∣τ=ι = 7 у -∣^ 2, ‰∣χ=ι = 6.
1	х2
5)	uxx 3- (х 1 )uxy xuyy I (Ux ^у) — θ,	x < У < ~2~ ’
х > 0; г4=о — 0’ ⅜∣τ∕=o = 2 + 2х, х > 0.
1	У2
θ) У^хх ^^3 {y + 1 )‰τ∕ 3“ rUjyy 3“ j ~ (yχ + Uy) = 0, у <Z х ,
У < 0; «к=о = О, ‰∣3j=o = 2 - 2у, у < 0.
У^хх 4“ y^)f^,xy	r^jχ + r^y ~ θ, > ∣Z∕∣>
о — 2x , uyly=Q — 2х.
8)	yuxx + (ж + y)uxy + xuyy + ux + иу = 0, у > |ж|;
,uk=o = 3y2, ‰∣x=o = -4у.
θ) ,^jxx 4^^ l)^xy 'EtUjyy j: -∣^ 1 — θ1
«|х=о = 2y + у2, ‰∣rr=o = 2у.
Ю) yuxx + (1 + y')uxy + uyy +	=0, у < 1;
ti∣τz=o = x2 + 2x, иу|у=о = — 2х.
И) uxx - (1 - 2x)uxy - 2xuyy - 2^ca,+^ = 0, х >
и|ж=о = y + y2, Ux∖x=o = 2у.

206
Гл. 4. Задача Коши
1	9	/ 9	9\	9 2ху
12)	у uxx + \Х + у )uxy + х Uyy +
12.29.	Решить задачи.
1)	2x2uxx — 3xyuxy + y2uyy + 2xux + yuy = 0, х > 0, у > 0;
^∣7√=ι = х3 — х, ⅜∣ι∕=ι = 3x3 — 2х, х > 0.
2х
2)	Uyy -⅛^ х uxy {x -⅛^ l)uxx -|- —2^2	= θ,
3)	xuxx + x3uxy — 2x3uyy — 2ux = 0, х > 0;
4)	y4uyy + y2uxy - 2uxx + 2y3uy = 0;
ι∕∣τ7=ι — x2 + 5, %∣τ∕=ι — 2х — 6.
5)	Uxx ~h (х l)'Uxy XUyy	।
= У2 - cosy, ‰∣^o = sin у.
6)	yuxx + (I + y)uxy + Uyy +
^∣τ∕=0 = x3 — chх, uy∖y=Q = shx.
7)	3y2uxy + uyy + 9y4‰ + (Зу2 - -}
uy = 0, у < 0;
8) 2xuxx + 3x3uxy + (6ж3 — 4)‰ + 9x3uy = 0, х > 0;
= 2у - 1, ‰∣x=ι = 6(1 - у).
θ) ‰x
— 6x2uxy — (бж2 + -j‰ + 36x4uy = 0, х > 0;
^∣≈=ι = У 2, ‰∣□7=ι = 6(у + 2).
Ю) y3uxy - уиуу - 3y5ux + (2 + 3y3)uy = 0, у > 0;
w∣jz=ι = 1 + Зж, uy∖y=i = 3(4 + Зж).
11)	5xyuxy — 2x2uxx — 2y2uyy — 2xux — 2yuy — 9x3y3, х > О,
у > 0; n∣27=ι = х3 + Зж2, ∙Uj∕∣2∕=ι = Зж3, ж > 0.
12)	x2uxx - xyuxy - 2y2uyy + xux - 2yuy = 9жу2, ж > 0, у > 0;
-u∣x=ι = 3ey, ux∖x=i = -у2, у > 0.
13)	2ж2мжа; + xyuxy - y2uyy + 2жи;,; - yuy = 9y3, ж > 0, у > 0;
1	3
u∣3z=ι = In -J, 'Uj∕∣2z=ι = -, ж > 0.
14)	y2uyy - x2uxx - xux + yuy = 4у2, ж > 0, у > 0;
«к=1 = У2, ux∖x=i = yey, у > 0.

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
207
12.30.	Решить задачи.
1)	yuxx + (ж + y)uxy + xuyy + ux + uy = 0, у > |ж|;
'"∣ι=1 = l, '"*lι=1 = 1 ■ ?9 * l
2)	xuxx + 2{x + V)uxy + (х + 2)uyy +	ux + иу	= 0,	х > 0,
У < 0; u∣2z=0 = ⅜lτ∕=o = 1 -	х > О-
3)	uxx — 2(ж + V)uxy + 4xuyy +	= 0,	х >	1, у >	0;
7z∣z∕=ι — -1, '⅜∣τ∕=ι — ~ ~ 1’ χ > i∙
4)	xuxx - (2x + V)uxy + [х + V)uyy + ux - иу = 0, х > О,
у > 1; ιz∣2z=ι = х + 1, ⅜∣τ∕=ι = 1 - х > 0.
5)	2x2uxx — 8y2uyy + xux — 6yuy = 0, х > 1, у > 1;
u∖x=y — y⅛ + У^\ ux∖x=y — 2t∕2, у > 1.
6)	8,i'2u,r,r — 2y2uyy + 6xux — 3yuy — 0, х > 1, у > 1;
u I х=у — У +	, их | х=у — — 1, у > 1.
7)	9,τ2‰r — y2uyy + 15x‰ + yuy = 0, х > 1, у > 1;
u∖x=y = у2 +у2/3, ux∖x=y = ~^у~1/3, у > 1.
О
8)	x2uxx — 9y2uyy + 3xux — 3yuy = 0, х > 1, у > 1;
u∖x=y = у2/3, ux∖x=y = y~3 + у-1/3, у > 1.
θ) ‰x y~llyy + 2¾ + yuy = 0, у > 0;
⅛=0 = Г + у4, ¾k=o = 2y4 - 2y2, у > 0.
10)	(x2 - l)uxx - 2xyuxy + y2uyy + 2xux = 4y2, х > 0;
ιz∣77=ι = 2(1 + x∖ uy∖y=ι = 4(1 + ж), X > 0.
11)	3x2uxx — 3y2uyy + 5xux — yuy — 0, х > 0, у > 0;
,⅛=ι = 1 + У3^ r^χ∖χ=∖ = оУ3, У>°-
о
12)	x2uxx - 2xyuxy + {y2 - 4')uyy + 2yuy = -32ж2, х > 0;
ι∕∣τ7=ι = —16x2 + 8х — 1, '⅜∣2∕=ι = 8х, х > 0.
13)	x2uxx
2у2
+ж (ж+у ')uxy+xyuyy + (Зж - 2y)‰ + ^ж+2y - —J иу =
=0, ж < 0; uL=ι = - + e~2∕χ, ‰L=ι = - (1 — 2e~2∣x∖, ж < 0.
ОС	’ У ∣y-i
tZ∕ \	/
e-x-2y
14) 2uxx + 5uxy - 3uyy - 14‰ + 7uy = 49-	—у > Зж + 1;
\У Г Зх)
—ft ch х.
‰2
^∣⅛=o —
ch ж, ι⅛∣2z=0 =

208
Гл. 4. Задача Коши
15) x1uxx-x{x-y')uxy-xyuyy- yx + y + ^J uy-yux = 0,
х > 0; u∣jz=ι = 1 + (ж + l)e-1∕a, t¼∕∣2∕=ι = —-e-1∕χ, х > 0.
25е-?/+^
16) 4:UXX ⅛Uxy ⅛Uyy ^^b 16^ж ^^b ⅛Uy — ~	~ ~2 ’
\У -b
।	ch?/ । shτ∕ 2chτ∕
l¾=0 =	—, ‰∣τ=0 = ^l ^2-•
У	^у у
у + 2х > 0;
2. Задача Коши для волнового уравнения. Задача Ко¬
ши для волнового уравнения есть задача разыскания в C2(x ∈
∈F,t>0)∩ Ci(x ∈r,G0) = C2(t > 0) ∩ Ci(t ≥ 0) функции
u(x,t), удовлетворяющей уравнению
Utt = a2∆u + f(x,tφ ^∈ln, t > О,	(IV)
и начальным условиям
u∖t=o = uo(x∖ ut∖t=o = ui(x∖ τ∈Rn	(V)
Решение задачи Коши единственно, и если выполняются
условия
∕∈C1(t≥O), tl0∈C2(Rn), uι∈C1(Rn), п=1,
f ∈ C2(t ≥ 0), u0 ∈ C3(Rn), uι ∈ C2(Rn), п = 2,3,
то решение существует и выражается:
1) при п = 1 формулой Даламбера
u(x, t) = - [uo(x + at) + uq(x — at)] +
x+at	t x-∖~a(t~τ)
+ ^~ uι(0dξ+Γ	f(ξ,τ)dξdτ-,
zcι
x-at	0 x-a(t-τ)
(VII)
2) при п = 2 формулой Пуассона
*∙t> = ⅛∫
θ ∖ζ-χ∖<a(t-τ)
фаД-ГУ - ∣ξ-x∣2
1
+ 2τrα
∣ξ-х <at
⅜(ξ)^ξ
У α2i2 — ∣ξ — а?|2

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
209
J_£	⅛(ξ)rfξ
√"2'2 - ∣5-≈∣≈
(VIII)
3) при п = 3 формулой Кирхгофа
0 ∣ξ-х <at
+ 7⅛	^ι(ξ)^+-b⅛f∣ u0^ds∖ (IX)
4πzazt J	4πa ot∖t J	у
∣ξ-х =at	∣ξ-х =at
При решении задачи Коши для волнового уравнения полезно
иметь в виду следующее. Пусть uq(x) ∈ Coo(Rn), щ(х) ∈ Coo(Rn)
и ряды
∞ n2k.2k
k=0 v 7
∞
Σ
k=Q
^2k^2k-∖-l
(2fc÷l)!
∆kuι(x)
и все ряды, полученные из них почленным дифференцированием
до второго порядка включительно по переменным x↑, ..., xn, t,
сходятся равномерно на множестве {|ж| ≤ R, 0 ≤ t ≤ Т} при
любых R > 0 и Т > 0. Тогда функция
∞ n2k.2k	∞ n2k.2k+l
= Σ ⅛⅛δ⅛w+∑ ⅛‰∆⅛ω (X)
k=0	7	k=0 v 7
является решением задачи (IV), (V) при / ≡ 0.
Рекомендуется также учесть, что если функции ∕(τ, t), ¾(x)
и щ (ж) в (IV) и (V) зависит только от |ж| = г и t, т. е. / = ∕(r, t),
uQ = uo(r∖ uι — tq(r), то решение задачи Коши (IV), (V) также
зависит только от г и t, т. е. и = u(r,t). Так как ∆ιz(r, t) = (г ×
× u)rr при п = 3, то в этом случае задача Коши
Utt — o2∆u = /, х ∈ R3, t > 0,
u∖t=0 = u0, ut∖t=0 = uι, X ∈ К3
эквивалентно заменяется одномерной смешанной задачей
vtt — o2υrr = ∕(r, t), г > 0, t > 0,
v∖t=o = ruQ^r∖ i⅜φ=0 = raι(r), г ≥ 0,
'f∣r=Q = 0, t 0,
где v(r, t) = r∙ u(r, t).

210
Гл. 4. Задача Коши
Пример 5. Решить задачу Коши
utt = ∆u + (ж2 + у2) sini, t > 0, (τ,j∕,^)∈R3,	(1)
t⅛=0 = (2ж — у + 2z) sin(2x — у + 2г)2, (ж, у, г) ∈ R3,	(2)
ut∖t=o = (ж2 + у2 + г2)5/2 -у2, (s,y,z)∈R3.	(3)
Δ Уравнение (1) является неоднородным, поэтому ищем какое-
нибудь частное решение уравнения (1). Можем искать его, на¬
пример, в виде
у (ж, у, z, t) = (Ах2 + By2 + С) sin t.
Подставляя функцию g(x,y,z,t) в уравнение (1), получаем
А = —1, В = —1, С = —4. Следовательно, функция
g(x, у, z, t) = -(x2 + y2 + 4) sint
есть частное решение уравнения (1).
Введем новую искомую функцию υ такую, что v = и — у,
v = и + (x2 + y2 + 4) sin t,	(4)
и запишем задачу (1), (2), (3) для новой функции v:
vtt = Дщ t > 0, (х, у, г) ∈ R3,	(5)
v∣t=o —	— у + 2ж) sin(2x — у + 2ж)2, (х, у, г) ∈ R3,	(6)
υi∣t=0 = (ж2 + у2 + г2)5/2 + ж2 + 4, (ж, у, z)∈R3.	(7)
Пусть функция vι есть решение задачи
vtt = Av, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3,	(8)
v∣t=θ = (2ж — у + 2г) sin(2x — у + 2z~)2, (ж, у, z)∈R3,	(9)
t⅛∣i=θ = θ, (ж,у, ^)∈R3j	(10)
функция г?2 — решение задачи
¾ = Дщ t > 0, (ж, у, z)∈R3,	(11)
v∣t=o = O, (ж,у,г)бВ3;	(12)
vt∖t=o = (ж2 + у2 + г2)5/2, (ж,у,г)бЕ3;	(13)
а функция жз — решение задачи
vtt = ∆v, t > 0, (ж, у, z)∈R3,	(14)
v∣t=O = O, (ж,у,г)бй3,	(15)
ж^=0 = ж2 + 4, (ж,у,г)еК3.	(16)

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
211
Тогда решением задачи (5), (6), (7) является функция v = v∖ +
-∖~ V2 + СЗ •
Будем искать функцию щ в виде v↑(x,y, z,t) = V(ξ, t), где
ξ = 2х — у + 2z. Тогда получим задачу для функции V(ξ, t):
Vtt = 9Vξξ, t>0, ξ∈R1,	(17)
∏=0 = ξsinξ2, ξ∈R1,	(18)
½∣t=θ = O, ξ∈M1∙	(19)
Решение задачи (17), (18), (19) найдем с помощью формулы
Даламбера (VII). Получим
y(ξ = (ξ + 3⅜) sin(ξ + 3⅜)2 + (ξ - 3⅜) sin(ξ - 3⅜)2
Следовательно, функция
Vi (х, у, z,t) = ⅛ [(2x — у + 2z + 3i) sin(2x — у + 2z + 3t)2 +
+ (2х — у + 2z — 3t) sin(2x — у + 2z — 3t)2] (20)
есть решение задачи (8), (9), (10).
Решение задачи (11), (12), (13) будем искать в виде
V2(x, у, z, t) = W(r, t), г = у x2 + y2 + z2.
Тогда для функции W(r,t) уравнение (11) примет вид
(rwγ't = (rwγ^ t>o, r>o.
Введя новую искомую функцию
w(r, i) = rW(r, t),	(21)
получим следующую смешанную задачу для «полубесконечной
струны» 9:
wtt = wrr, t > 0, г > 0,
w∖t=Q = 0, uιt∖t=o = r∖ г ≥ 0,
w∖t=o = 0, t ≥ 0,
1) Смешанная краевая задача для «полубесконечной струны» изложена
в §21 главы VI данной книги.

212
Гл. 4. Задача Коши
решением которой, как нетрудно показать (см. §21 главы VI
данной книги), является функция
V’ 7	14	(r-t)7
I 14
Следовательно, в силу (21) функция
(	+∖ TV(M) (r + ⅛)7
υ2{x,y,z,t) = ~λγλ =	+
-⅛2-, '∙-oo,
,r-y	(22)
ЧД r-f≤0
есть решение задачи (И), (12), (13).
Решение задачи (14), (15), (16) находим с помощью форму¬
лы (X). Получим функцию
v3(x, у, z, f) = t(x2 + 4) + ∣τ∆(x2 + 4) = i(x2 + 4) + t-,	(23)
о!	О
которая есть решение задачи (14), (15), (16).
Следовательно, в силу (4) функция
и = —(ж2 + y2 + 4) sini + щ + г>2 + v%,
где функции Vi, v%, ⅝ определены формулами (20), (22), (23)
соответственно, есть решение задачи (1), (2), (3).	▲
12.31.	Пусть функция u(x,t) является решением зада¬
чи Коши
utt = a2uxx, u∖t=0 = u0(χy), ut∖t=0 = щ(х).
Доказать, что для любого Т > 0 существует решение задачи
Коши
vtt = a2vxx-, t<T, a>∈R1j v∖t=τ = u∖t=τ, vt∖t=τ = ut∖t=τ ■
Показать, что u(x,t) ≡ v(x,t) при 0 ≤ t ≤ Т.
12.32.	Доказать, что если существует решение задачи Коши
Utt = a2uxx∙, u∖t=o = uo(x), ut∖t=o = ul(x),
то и ∈ C2(t ≥ 0), u0 ∈ C2(R1), «1 ∈ C1(R1).
12.33.	Пусть функция u(x,t) является решением зада¬
чи Коши
utt = a2∆u∙, u∖t=Q = φ(x∖ wt∣f=0 = 0.

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
213
Доказать, что функция v(x,t) = ∫θn(⅛,τ) dτ является решением
задачи Коши
υtt = a2 Av; ∙υ∣t=0 = 0, t⅛∣t=0 = </?(ж).
12.34.	Пусть функция u(x,t,⅛) при каждом фиксирован¬
ном ⅛ ≥ О является решением задачи Коши
utt = a2 Au; u∖t=t0 = о, ut∖t=t0 = ∕(Mo)∙
Доказать, что функция v(x,t,to) — ∫ζn(x,t,τ) dτ является ре¬
шением задачи Коши
vtt = α2∆t> + /(ж, t); v∖t=t0 = о, vt∖t=t0 = о.
12.35.	Доказать, что если функции ∕(x), uq(x), tq(x) гармо¬
нические в Rn, a g(t) ∈ C1(^ ≥ 0), то решение задачи Коши
utt = a2∆u +g(t)f(xy, u∖t=0 = Щж), ut∖t=o = ul(X),
выражается формулой
t
u(x, t) = Uq(x) + tu∖ (ж) + /(ж) (t — τ)g(τ) dτ.
о
12.36.	Найти решение задачи Коши
w = α2∆w + ∕(x)j u∣i=0 = uq(x), ¾∣i=0 = ttι(τ),
если Anf = 0, Anuq = 0, Anu↑ = 0.
12.37.	Доказать, что для существования решения зада¬
чи Коши
utt = а2Аи; х ∈ R2;
u∖t=o = /Ц1) + g(x2), ut∖t=o = ДЦ1) + G(χ2)
достаточно, чтобы функции /(жф и g{^x2) принадлежали клас¬
су C,2(R1), а функции Д(ж1) и G(x2) — классу C1(R1). Найти
это решение.
12.38.	Доказать, что для существования решения зада¬
чи Коши
utt = a2∆,w, х ∈ R3;
Ч=о =	®з), ut∖t=o = О
достаточно, чтобы функция g(x2>χs) была гармонической и / ∈
∈ C2(R1). Найти это решение.

214
Гл. 4. Задача Коши
12.39.	Доказать, что для существования решения зада¬
чи Коши
utt = a2∆u∖ х ∈ R3;
4=o = α(4)> ut∖t=o = 41ж1)
достаточно, чтобы α(r) ∈ C,2(r ≥ 0), /?(г) ∈C2(r≥0) и α'(0) = 0.
Найти это решение.
12.40.	Доказать, что для существования решения зада¬
чи Коши
utt = х ∈ R3;
Ч=о = 0(i - H)Hω(i - 44 ut∖t=o = О
необходимо и достаточно, чтобы a≥ 2 и /3 ≥ 3. Найти это
решение.
Результат этой задачи сравнить с достаточными условия¬
ми (VI) в случаях 2<α<3, ∕3≥3hq = 2, 2<∕3<3.
12.41.	Решить задачу Коши
utt = uxx∙, 4=o = 6*(1 - |ж|)(ж2 - 1)3, 4t=o = O.
Построить графики функций u(x,0), и (ж, ^), u(x, 1), и(х, 2).
Решение задач 12.42-12.44 можно находить по формулам
(VII)—(IX), но иногда удобнее применить метод разделения пере¬
менных или воспользоваться результатами задач 12.33-12.38.
12.42.	Решить задачи (n = 1):
1)	Utt = Uxx + 6; 4=0 = ж2, ut∖t=0 = 4ж;
2)	utt = 4щет + xt', u∖t=0 = ж2, ut∖t=o = x',
3)	utt = uxx + sin ж; 4=0 = sin®> ut∖t=θ = 0;
4)	utt = uxx + ex; u∖t=0 = sin ж, ut∖t=o = ж + cos ж;
5)	utt = ^uxx + эшж; 4=0 = 1. 4t=0 = Г
6)	utt = a2uxx + sinwx; 4=0 = θ> ut∖t=0 = 0;
7)	utt = uxx + sinwt; 4=0 = 0, ut∣t=0 = 0.
12.43.	Решить задачи (n = 2):
1)	utt — Au + 2;
4=o = χ, ut∖t=o = y;
2)	utt — ∆u + 6xyt;
u∖t=o = x2 -y2, ut∖t=0 = xy,
3)	utt = Au + ж3 — Зжу2;
4=o = excosy, ut∖t=0 = ey sin x;

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
215
4)	∏tt — ∆u + t sin у;
4=0 = 4, ui∣i=0 = sin у;
5)	Utt = 2Au;
4=o = 2ж2 - У2’ ut∖t=o = 2ж2 + у2;
6)	Utt = 3∆u + ж3 + у3;
4=o = 4, ¾∣t=0 = y2J
7)	Utt = Аи + е3ж+4
4=0 = e3x+4y, 4t=0 = 4l'+4
8)	Utt = а2Аи;
4=0 = cos(ta + су), ¾∣i=0 = sin(te + су);
θ)	Utt = а2Аи;
4=0 = r4, ut∣t=0 = г4;
10)	иц = a2 Au + r2et',
4=0 = 0, ut∖t=o = 0.
12.44.	Решить задачи (п = 3):
1)	utt = Au + 2xyz;
4=o = ж2 + У2 - 2г2, ui∣i=o = 1;
2)	иц = 8Au + t2x2;
4=0 = У2, ut∖t=θ = 4;
3)	иц = 3∆u + 64;
4=o = x2y2z2, ut∖t=o = xyz;
4)	Utt = Au + 6texy^2 sin у cos x;
4=o = ex+y cos z∖[2, ι⅛∣i=θ = e32z+4z sin 5ж;
5)	Utt = a2Au;
u∖t=o = ut∖t=o = r4;
θ) иц = a2Au + r2et',
u∖t=o = ut∖t=o = 0;
7)	иц = a2Au + созжзшуе2;
4=0 = x2ey+z, ι⅛∣i=θ = 8шжеу+г;
8)	иц = a2Au + xet cos(3y + 4z);
4=0 = жусозг, ut∖t=o = yzex;
θ) иц = a2Au;
4=0 = ut∖t=0 = cosr.
12.45.	Решить задачи:
1)	иц — θ∆ιz = xyz∖∕ 1 +1, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
4=o = zc2x, ut∖t=o = у, (ж, у, z) ∈ R3;
2)	иц — Au = 8т(ж + 2y) cost, t > 0, (ж,у, z) & R3;
4=0 = ch3y, ut∖t=o = xez, (x,y,z) ∈ R3;

216
Гл. 4. Задача Коши
3)	Utt — 3∆u = 2(x3y — xy3}, t > О, (х, у, z) ∈ R3;
u∣i=0 = о, ut∖t=0 = yzex, (ж, у, z) ∈ R3;
4)	иц — ∆u — 2sin(x + у + z) sin t, t > О, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=o = О, ut∣t=0 = y3 + z, (х, у, z) ∈ R3;
5)	иц — 3∆u = О, t > О, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=0 = zx3 + cos(x-y), ut∖t=0 = √z + y + z, {x,y, z)eR3;
6)	иц — 9∆u = 27ish z, t> О, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=0 = e~^x~y'>2 + sh z, ut∖t=o = xy2z, (ж, у, г) ∈ R3;
7)	иц ~ ∆u = t(x — у), t > О, (ж, у) ∈ R2;
∏∣t=o = У4, ut∖t=0 = V1 - 2ж2, (ж, у) ∈ R2;
8)	utt — ∆u = et(x + 2y), t > О, (ж, у) ∈ R2;
n∣z=θ = 2у + ж + ж4, ni∣t=0 = ж + ж2 + у3, (ж, у) ∈ R2;
θ) ^tt ~ ∆u = (ж2 + у2) sini, t > О, (ж, у, г) ∈ R3;
n∣t=o = О, ut∖t=o = (ж2 + у2 + г2)5/2 - у2, (ж, у, z) ∈ R3;
10)	иц — ∆u = (3sin2y — z)cosi, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
tt∣t=o = (ж2 + у2 + г2)5/2 + siny, t⅛∣t=0 = 1, (x,y,z) ∈ R3;
11)	5utt — Au = 10e~t sin(2z — у), t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∣t=o = ж2 - ж, ut∖t=0 = -. o О=Т» (ж> У> z) ∈ r3;
√1 + ж2 + y2 + z2
12)	utt — 2∆u = —4e-2i cos(y — ж), t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
13)	иц ~	= 0, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u\t=0 = x(y2 + z2), ut∖t=o = (2x-y + 2z)sin((2x-y + 2z)2),
(ж, у, г) ∈ R3;
14)	иц — ^∙u = 0, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=Q = xyz2, τ⅛∣⅛=o = [x + 2y + 2z)e~(χ+2y+2z)2, (ж, у, z)∈R3.
12.46.	Решить задачи:
1)	utt —	= (ж2 — z2 + ж — 2y + 2>z)et, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∣t=o = х/ж-2у + 3г, ut∖t=o = x2yz, {x,y,z) ∈ R3;
2)	иц —	= 5 сов(ж + у + bz) sin 2t, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=o = e^x~w~z^3, ut∖t=o = 8cos(x + y + 5z)+xyz3, (x,y,z)e
∈R3j
3)	иц — 4∆u = e~t сов(ж + 2y + 2z), t > 0, (х, у, z) ∈ R3;
n∣t=θ = ж2 + 2z2, ut∖t=o = y2 + z2, (ж, у, z) ∈ R3;

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
217
4)	ин — 9∆τ∕ = x4 + ?/4 + г4, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=0 = cos(x + y-z), ¾∣t=o = зш(ж + у + z), (x,y,z) ∈ R3;
5)	Utt — Аи = — 81(t + 1)2 sh(2τ — 2y + z), t > О, (ж, у, z) ∈ R3;
u∖t=0 = (2x + y-z)cosy, ut∖t=o = x2-y2 + z2, (x,y,z) ∈ R3;
6)	utt — Аи = — 18(⅛ + l)tch(ar — 2у + г), t > О, (ж, у, г) ∈ R3;
tt∣i=o = x2 — Зу2 — 4г2, щ∣⅛=o = (ж + у + г) cos ж, (ж, у, г) ∈ R3;
7)	utt — Аи = cos (ж — 2у — 2г + 3i), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
M∣t=0 = ж(ж2 + у2 + г2), ut∣t=0 = 0, (ж, у, г) ∈ R3;
8)	utt — Аи = эЬ(6ж — 2у — Зг + 7i), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
Ц=о =
9)	utt -
«к=о
ху2 + уг2 + гж2, щ∣t=o = θ, (ж> У> z) € R3;
и = (ж2 — ∣y2 — |г2) chi, i > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
(ж2 + у2 + г2) (sh Уж2 + у2 + г2 )3, ⅛tk=o = xez,
10)	Utt — Au =	— Z J cosi; i > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
tt∣t=O = (ж2 + у2 + <z2)(sin -у/ж2 -|-у2 + г2 )3, ui∣i=0 = zey,
(ж, у, г) ∈ R3;
11)	Utt ~ 2∆u = sin(i + у), t > 0, (ж, у) ∈ R2;
n∣t=o = (l+e^3s)siny, ut∖t=o = cos у+x(x2 +у2), (x,y)∈R2j
12)	utt — Аи = 3 cos(2t — ж), t > 0, (ж, у) ∈ R2;
u∣i=0 = жу3 — собж, ut∣i=o = 2бтж(е2г/ — 1), (ж,у) ∈ R2;
13)	utt — 4∆u = (2t + 1) вт(2ж — у + г), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∣t=θ = У2 + ж2 + у2 + г2, ut∖t=o = (ж + 2у - г)3,
(ж, у, г) ∈ R3;
14)	utt — 9∆u = (i — 3) соэ(ж ÷ у — 2г), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
⅛=0 = УЗ + ж2 + у2 + г2, wt∣f=0 = (2ж - у - г)3,
(ж, у, г) ∈ R3.
12.47.	Решить задачи:
1)	2utt — Аи = —у, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
∏∣i=0 = ж2 + у2 + г2, ut∖t=o = зт(ж + г), (ж, у, г) ∈ R3;
2)	utt — 8∆u = ж, i > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∖t=o = ey~z, ui∣i=0 = ж2 + у2 + г2, (ж, у, г) ∈ R3;
3)	utt — 3∆u = 18e3t соз(ж — у + г), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
U∣t=θ = xy2z, ut∖t=o = з соз(ж - у + г), (ж, у, г) ∈ R3;
4)	Utt — Аи = ^вт(2ж — 2у + г), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∣t=0 = 2 8ш(2ж - 2у + г), ut∣t=0 = ж3уг, (ж, у, г) ∈ R3;

218
Гл. 4. Задача Коши
5)	ин — Au = (t — x}et x, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
u∣t=o = y{y2 - z2), ttt∣i=0 = 0, (ж, у, z) ∈ R3;
6)	Utt — Аи =			τ7, t > 0, (х, у, z) ∈ R3;
’	1 + (i + χ)2	v У ’
Ч=о = у4у - ∂> ut∖t=o = 0- Ц, у, г) ∈ R3;
7)	Utt ~ 4∆u = 0, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
4=0 = еХУг’ 14=o = xy3 + sh(x2 + у2 + г2), (ж, у, z) ∈ R3;
8)	utt —	= 2i2 сов(ж + 2y), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
4=0 = уд, ut∖t=0 = — _	2, (ж, у, г) ∈ R3.
1	(X Z Z )
12.48.	Пусть выполнены достаточные условия (VI) для су¬
ществования решения задачи Коши
¾ = α2∆uj 4=0 = «о(4 4=0 = u4)
и пусть при ∣x∣ ≥ δ > О
т|жр ≤ uq(x) ≤ M∖x∖a, ш|жр-1 ≤ u↑(x) ≤ M∖x∖a~i,
где а > 0, 0 < т < М. Доказать, что для каждой точки xq
существуют положительные числа ⅛, Ci, С2 такие, что при
всех t ≥ ⅛ выполняется оценка
C{ta ≤ u(xo,t) ≤ C2tα.
12.49.	Пусть выполнены достаточные условия (VI) для су¬
ществования решения задачи Коши
ιztt = α2∆uj u\t=0 = u0(X)’ 4=0 = ^1 (ж)
и пусть для а > О
Доказать, что lim = Сп и найти Cn, п = 1, 2, 3.
t→+∞ t
3.	Обобщенная задача Коши для волнового уравнения.
Если решение u(x, t) классической задачи Коши для волнового
уравнения (IV), (V) из п. 2 и функцию f{x,t) ∈ C(t 0) про¬
должить нулем при t < 0, то эта функция u(x, t) удовлетворяет
(в обобщенном смысле) в Rn+1 уравнению
utt = α2∆n + +f(x,t) + ¾(^) ∙ δ'(t) + Щ (ж) ∙ δ(t).

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
219
Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с ис¬
точником F ∈ I9z(Rn+1), F{x,t) = 0 при t < 0, называется задача
о нахождении обобщенной функции и ∈ Dz(Rn+1), удовлетворяю¬
щей волновому уравнению
utt = tt2∆n + F{x,t)	(И)
и обращающейся в нуль при t < 0.
Решение обобщенной задачи Коши существует, единственно
и определяется формулой
u = εn*F,	(12)
где εn{x,t) — фундаментальное решение волнового оператора:
fι(τ,t) = ^-θ(at - ∣x∣), ε2(x,t) =—^⅛=^=,
a	2παy α2t2 — ∣x∣2
⅞M = γFδsaX∂-
4πa t
Свертка Vn = εn * F называется обобщенным волновым
{запаздывающим) потенциалом с плотностью F.
В частности, если F = u∖{x) ∙ δ{t) или F = uq{x) - δ{t),
то свертка
= εn{x,t) * [tq(x) ∙ δ{t)] = εn{x,t) * щ{х),
Ц(1) = εn(x, i) * К(ж) ∙ δ'(t)] = Xn(x, t) * u0(xY)t
называются обобщенными поверхностными волновыми {запаз¬
дывающими) потенциалами {простого и двойного слоя с плот¬
ностями и\ и uq соответственно).
Волновой (запаздывающий) потенциал Vn удовлетворяет
уравнению (11).
12.50.	Доказать, что если F{x, t) ∈ D'{Wl+i), F — 0 при t < О,
то свертка εn* F существует в Dz(Rn+1).
12.51.	Доказать, что обобщенная задача Коши для урав¬
нения (11) имеет единственное решение в классе обобщенных
функций из D'{Wl+i), обращающихся в нуль при t < 0.
12.52.	Доказать:
1)	и принадлежат классу C°g по t ∈ (0, оо);
2)	Vn^ и ¼p) удовлетворяют предельным соотношениям при
t —> +0
V⅛	0∖x,t)—>0, 2FFeX —,uι(τ) b D,(Kl∖
vp∖χ,t)→u0(x), d^31→Q В D'(Rny

220
Гл. 4. Задача Коши
12.53.	Решить обобщенную задачу Коши для уравнения (11)
(ж ∈ R1) со следующими источниками F(x,t):
1) 5(t) • 5(ж);	2) δ(t — to) ∙ δ{x — xq), G∖
3) δ(f)∙δ∖x∖,	4) δ'(tγδ{xγ
5) δf(t — ⅛) • 5(ж);	6) 5(t) ∙ δf(xo — ж);
7) 5,,(t) - 5(rr);	8) 5(t) • 5,,(ж);
9) δ(t) ∙ α(x)5(x), где а(ж) ∈ С и α(0) = 0;
10) 5(t) ∙ ∕3(x)5(x), где /3(ж) ∈ С и /3(0) = 1.
Ниже при постановке обобщенной задачи Коши будем счи¬
тать источником функцию вида F(rr,t) = ∕(x,t) + uq(x) ∙ 5,(t) +
+ и\(ж) ∙ 5(t), / = 0 при t < 0.
12.54.	Решить обобщенную задачу Коши со следующими
источниками (ж ∈ R1):
1)	/ = ω(t) ∙ δ(x), где ω(t) ∈ C(t 0), ω(t) = 0 при t < О,
uq = δ(x), щ = 5(ж);
2)	f = 0(t) ∙ δ(x), uq = δ(x — xq), щ = xδ(x)∖
3)	/ = 0(t)t • 5(ж), uq = 5(2 — ж), щ = 5(3 — ж), а = 1;
4)	/	=	0(t) sint ∙ δ(x — xq), uq = 0, щ = ж5'(ж);
5)	f	=	0(t) cost • 5(ж), Щ) = 0, щ = х25"(ж);
6)	f	=	θ(t)eat • 5(ж), од = 5(1 — |х|), щ = 0;
7)	f	=	θ3∂ . <5(2 - х), и0 = 0, щ = <5(2? - |ж|),	а	=	1;
8)	/	=	0(t)t2 ∙ 5(ж), uq = С = const, u∖ = Θ,{R	—	∣x∣),	а = 1;
9)	f = 0(t) lnt • 5(ж), ∏o — —~^^5(x), U[ = 0;
1 + х
^θ) / = “р—* <4x), uo —	— |^|), Щ = 0, а = 1;
Н) / = о, uo = O, ui =F'(2-∣x∣), а= 1;
12)	/ =	~ 1)’ n° “ θ, Ui ~ sinx5'(x — 7г);
13)	/ = θ(at — ∣x∣), ∏o 0, и\ = 0;
14)	/ = 0(t)(αt + /3) ∙ xδ,(x), uq = 0, u↑ = xδ"(x), а = 1.
12.55.	Доказать, что если ∏ι(rr) — локально интегрируемая
функция bR1,to V^∖x,t) — непрерывная функция в R2 и вы¬
ражается формулой
x-∖-at
=	∫	(13)
x—at

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
221
12.56	.	Доказать, что если uq(x) — локально интегрируемая
функция b!1,to V∖i∖x,t) — непрерывная функция в R2 и вы¬
ражается формулой
v^i∖x, t) = ^-[uq(x + at) + tz0(z ~ ^t)].	(14)
Указание. Воспользоваться тем, что V1^1^ =	* ⅝(y,)l
в силу задач 8.35 и 12.55.
12.57	.	Доказать, что если f(x,t) — локально интегрируемая
функция в R2, равная нулю при t < 0, то потенциал V∖(x,t)
принадлежит C(R2) и выражается формулой
x-∖-a(t-τ)
∏(x'i) = 2^ f(ξ,τ)dξdτ.	(15)
x-a(t-τ)
12.58	.	Решить обобщенные задачи:
1)	utt = a2uxx + θ(x) ■ <5'(i) + θ(x) ■ 5(t);
2)	utt — a2uxx + θ(t)(x - 1) + х ∙ δ'(t) + sign(x) ■ δ(t)-,
3)	utt = a2uxx + θ(t)tx + θ-3U . δ(t∖,
у/Х
4)	utt = uxx +	+ 0(-ж) ∙ δ(f)∖
5)	utt = uxx + θ(t - 2) lnt + |®| ∙ δ,(ty
6)	utt — a2uxχ + θ(t)tm + 0(2 — ∣τ∣) ∙ δf(t), т ∈ N;
7)	utt = ‰cx + θ(t)ex+t + θ(x)e~x ∙ 5(t);
8)	utt = 9‰x∙ + θ(t — π) cost + θ{x — 3) ∙ δ,(t) + l(x) ∙ δ(t)∖

222
Гл. 4. Задача Коши
12.59.	Доказать:
1)	если uq ∈ C2(R1) и щ ∈ C1(R1), то потенциалы и
принадлежат классу C2(t 0), удовлетворяют при t > 0 урав¬
нению ∏au = 0 и начальным условиям
V1‰+0 = 0, (V1wM=+o = Mz),
V1u‰+o = uo(z), (V1ωM=+o = О-
Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают
из формул (13) и (14).
2)	если / ∈ Cl(t ≥ 0), то потенциал Tzι ∈ C,2(R2) удовлетворяет
при t > 0 уравнению □αu = ∕(τ, i) и начальным условиям
¼∣t=+o = O, (½)t∣t=+o = O.
Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают
из формулы (15).
12.60.	Пусть в задаче Коши (обобщенной)
utt = a2uxx + Mrr) ∙ δ'(t) + (уО ’ δ(t)
функции uq ∈ С2 и щ ∈ С1 для всех х, кроме х = xq, где uq,
щ (или их производные), имеют разрыв первого рода. Показать,
что решение этой задачи является классическим всюду в по¬
луплоскости t > 0, кроме точек, лежащих на характеристиках,
проходящих через точку х = xq, t = 0 (распад разрыва), для
следующих случаев:
1)	uq = 0(x)ω(x), где ω ∈ C2(R1), ω(0) ≠ 0 и щ = 0;
2)	uq — 0, и\ — θ(x — xo)ω(x), где ω Е C1(R1), ω(^o) ≠ 0;
3)	Uq — θ(x — 1), tq = θ(x — 2).
12.61.	Для задачи Коши (И) убедиться в том, что:
1)	от источника возмущения
F = u0(τ) ∙5'(i) = θ(x0- ∣τ∣)∕(τ) ∙^'(t),	> 0, ∕∈C,2(R1),
возникают две волны, которые имеют в каждый момент вре¬
мени t > 0 передний фронт в точках х = ±(αt + xq) соответ¬
ственно и в каждый момент времени t > — задний фронт
в точках х = ±(αi — хф) (принцип Гюйгенса);
2)	от источника
F = uι(a3)∙5(i) = 6>(x0-∣x∣)∕(x)∙<5(i), х0 > 0, ∕∈C,1(R1),
§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка	223
возникают две волны, которые имеют в каждый момент вре¬
мени t > 0 передний фронт в точках х — ±(at + ⅝) и не
имеют заднего фронта (разрыв заднего фронта волны или
диффузия волн). Указание. Воспользоваться формула¬
ми (13) и (14).
12.62.	Решить следующие обобщенные задачи и доказать,
что полученные решения являются решениями и классической
задачи Коши (IV), (V):
1)	Utt = a2uxx + 0(i)(s + i) + eax ■ δ,(ty
2)	utt = a2uxx + θ(t)t∖nt + 3x ■ δ,(t∖,
3)	utt = a2uxx + θ(t)(x2 + i2) + xm ■ δ,(t), m = 1, 2, ..
4)	utt = uxx + θ(t)x2 + coss ∙ <5,(t) ÷ coss ∙ δ(t)',
5)	utt = a2uxx + s2 In ∣s∣ ∙ δ(ty
6)	utt = uxx + 6*(t) cos(s + i) + 2x ∙ δ(t)',
7)	utt = uxx + θ(t) sini +	1	∙ δ(ty
1 + x
8)	utt = a2uxx + θ(t)et +	∙ 5z(t);
9)	utt = uxx + (as2 + /?) ∙ δ,(t) + s4∕3 ■ δ(ty
10)	utt = uxx + ln(l + ex) ∙ δ,(t) + e~χ2 ∙ <5(i);
11)	utt = Uχx + θ(t)tmx + sins ∙ δ'{t) + xmδ(t), m = 1, 2, ..
12)	uu = uxx + θ(t) arctgi + ln(l + s2) ∙ 5'(i);
13)	utt — 4uxx + 0(t) coss + √1 + s2 ∙ δ,(ty
14)	utt = uxx + θ(f)xsin t + s2e-∣x∣ ∙ δ'(ty,
15)	utt = ⅛uxx + e~χ2 ■ 5z(t) + e~x sin x ■ δ(t)',
16)	utt = uxx + si∏2 x , δ'{t) + se-∣a∣ ■ <5(i);
17)	utt = uxx + θX-^ + -2	δ,(ty
1 ⅛ t 2 — cos x
18)	utt = uxx + 0(i)(se* + tex) +	1	∙ 5(i).
√1 ÷ x2
12.63.	Решить обобщенную задачу Коши для волнового
уравнения (ж ∈ R2):
1)	utt = a2∆u + θ(t) ∙ δ(x) + δ(x) ∙ δ'(t) + δ(x) - 5(t);
2)	utt = a2∆u + θ(t)t2 ∙ δ(x) + ∣x∣m5(x) ∙ δ'(t) + δ(x-x2) ∙ δ(t),
т = 1, 2, ...;

224
Гл. 4. Задача Коши
3)	uu = α2∆zu + ω(t) ∙ δ{x) + e∣a⅛(x) ∙ δ(t), где ω Е C(t 0)
и ω = 0 при t < 0;
4)	utt = α2∆ιz + θ(t)(at + /3) ∙ δ(x) + δ(x — xq) ∙ 5(t).
12.64.	Решить обобщенную задачу Коши для волнового
уравнения (ж ∈ R3):
1)	Utt = a2∆zu + θ(t) ∙ δ(x) + δ(x) ∙ δ'(t) + δ(x) ■ δ(t)',
2)	utt = a2∆ι∕ + θ(t — to) ∙ δ(x — xq) + δ(x — x') ∙ 5(t), ⅛ ≥ 0;
3)	utt = a2∆u + ω(i) ∙ δ(x) +	’ ^(i) +
к = 1,2,3, где ω∈C,(i≥0) и ω = 0 при t < 0;
4)	utt = α2∆u + θ(t) sin £ • 5(ж) + е-И2^Ш . J'(i).
CfX]^
12.65.	Доказать, что если щ(х) — локально интегрируемая
функция в Rn, п = 2,3, то — локально интегрируемая
функция в Rn+1 и выражается формулами
V2w(M) = ≡
2	2πα
|ж—ξ <at
^l(ξ)⅜
yα2i2-∣τ-ξ∣2,
y3°∖≈T) = ∕¾ ul^ds.
4πa t
|ж—ξ =at
(XVI1)
(XVI2)
Замечание. Так как = ^(5n(τ, t) * uq{x)), то, заме¬
няя в (XVIι) и (XVI2) щ на uq и дифференцируя по t, получим
∂ / 0(t)
∂t ∖ 2πα
|ж—ξ <at
v31,<ι't>=⅛(s¾ ∫ uM>d4
|ж—ξ =at
(XVI3)
(XVI4)
12.66.	Доказать, что если ∕(rr,t) — локально интегрируемая
функция в Rn+1, п = 2,3, равная нулю при t < 0, то ½ —
непрерывная функция и V3 — локально интегрируемая функция
в Rn+1 и они выражаются формулами
½O,⅛) =
2πa
t
0 |ж—ζ∖<a(t-т)
∕(ξ, т) dξ dτ
yJΓ4--τy1 - Ц — ξ∣2
(XVII1)

§ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка
225
⅛(M =
4πα
\х—ξ <at
∣x-ξ∣∕a)
l^-ξ∣
(xvπ2)
12.67.	Доказать:
1)	если uq ∈C,3(lRn), uι∈C,2(Rn) при п = 2, 3, то потенциалы V∏^
и ¼P∖ п = 2,3, принадлежат классу C2(t 0), удовлетворя¬
ют при t > 0 уравнению □αn = 0 и начальным условиям
⅝C°)∣i=+0 = 0,
Vnω∣i=+0 = u0(x),
<°,
∂t
∂VJ∂
∂t
= щ(я),
t=+o
= 0;
t=+o
2)	если / ∈ C2(t ≥ 0), то ½l ∈ C2(t ≥ 0), п = 2, 3, удовлетворяет
при t > 0 уравнению ∖Jau = ∕(x,t) и начальным условиям
Указание. Требуемые свойства непосредственно вытека¬
ют из формул (XVI) и (XVII), если в них сделать замену
переменных ξ — х = atη и ξ — х = a(t — τ)η соответственно.
12.68.	Решить обобщенную задачу Коши для волнового
уравнения (х ∈ R2) и проверить, что полученные решения явля¬
ются решениями классической задачи Коши (IV), (V):
1)	/ = 0(t), uq = С, щ = С, С = const;
2)/ = ⅛⅛∣2> Uq = ∣x∣2, ui = |ж|2;
3)/ = θ(t∖t2, uq = 0, u∖ = 1 + |ж|2;
4)	/ = θ(f)e~t∖x∖2, uq = 1 + |ж|2, щ = 0.
12.69.	Решить задачу Коши для волнового уравнения (ж ∈
∈ R3) со следующими данными:
1)	/ = 6>(⅛) |ж|2, UQ = 0, щ = |х|2;
2)	/ = θ(t∖t2∖x∖2, uq = 1, щ = 1;
3)	/ = ω(t), где ω ∈ C2(t ≥ 0) и ω = 0 при t < 0,
Uq = 0, U∖ = α∣τ∣2 + β∖
4)	/ = 0(i) In ∣x∣, uq = 0, и\ =0; а = 1;
5)	/ = 0(⅛), u0 =	1 2, u1 = 0;
1 + \х\
6)	/ = 0, uq = sin ∣jj∣2, uι = sh |х|2; а = 1;

226
Гл. 4. Задача Коши
7)	f = 6*(i)t, u0 = ∣τ∣2, щ =	;
1 + \х\
8)	/ = 0(t)e-z‰(x), где ω Е C2, uq = у/1 + |ж|2 , щ =0; а = 1;
9)	f = θ(t)e~∖χ∖2, uq = 0, tq = cos |х|2; а = 1;
10)	/ = 0, uq — ln(l + ∣x∣2), u↑ — е“1ж12; а — 1;
11)	/ = 0, uq — β-∣rr∣2, щ — In |х|; а — 1;
12)	/ = 0(i) sini, uq = cos ∣rr∣2, u↑ = 0;
13)	/ = О, Uq = Cθ∖R - ∖x∖β ui = 0;
14)	f = θ(at — ∣^∣), uq = 0, щ = 0.
Задачи Коши для уравнений 12.70-12.72 формулируются так
же, как для волнового уравнения.
12.70.	Решить обобщенную задачу Коши для уравнения ги¬
перболического типа
□αn = bux + -щ + F(x, i), а > О, b > О,
а
где
F(x, i) = f(x, t) + uq(x) ∙ δ'(t) + (u↑ (х) — ^uq(x)^ ‘ δ(t),
со следующими данными:
1)	/ = θ(t) ∙ δ(F), uq = 5(х), ui = δ(x∖,
2)	/ θ(t)x, uq — 0, и\ — θ{x)∖ а — Ъ — 1;
3)	/ = 0(t)t, uq = 1, щ = х; a = b = 1;
4)	/ = θ(iβet, uq = ex, щ = ех; b = 1;
5)	/ = θ(t)ex, uq = ах + β, щ = 0.
12.71.	Решить обобщенную задачу Коши для уравнения
Клейна-Гордона-Фока
□αu + m2u = /(ж, t) + uq(x) ∙ δ,(t) + щ (ж) ∙ 5(t)
со следующими данными:
1)	/ = 0, uq = δ(x), U[ = δ(x), а = т = 1;
2)	f = ω(t) ∙ δ(x), vjiβ ω ∈ C(t ≥ 0) и ω = 0 при t < 0, uq = О,
щ — х; а — т — 1;
3)	/ = Θ(t), uq = 1, и\ = 1; а = т = 1;
4)	f = 0, uq = θ(x), щ = 0(ж); а = т = 1.
12.72.	Решить обобщенную задачу Коши для телеграфного
уравнения
∖Jau + 2mut = f(x, t) + uq(x) ∙ δ'(t) + щ (ж) ∙ δ(t)
Ответы к § 12
227
со следующими данными:
1)	/ = 0, uq = <5(τ), uι = δ(x), а = т = 1;
2)	f = ω(i) • <5(ж), где ω ∈ C(t ≥ 0) и ω = О при t < 0, uq = О,
uι = 0; а = т = 1;
3)	/ = 0, ио = 1, uι = θ(x∖, а = т = 1.
Ответы к § 12
12.7	. Ду5/4 - |ж|>/2); |ж| < 1, 0 < у < 1.
э
12.8	. sin?/ — 1 + ex y∖ х ∈ R, у ∈ R.
12.9	. х — у — | + |е21/;	2∕∈^∙
12.10	.	(1 — х — 3τ∕÷(x + τ∕ - 1 )е2ж); х ∈ R, у ∈ R.
⅛	। 3 . 2у
12.11	. ху + - sin cos
z о
х + | J; х ∈ R, у ∈ R.
x2-∖-yz
12.12. (у — 3x)e~ 2
; х < 1, у < 3.
12.13	. 1) х + ^т/2; х > 0, ∖y∖ < 3v⅛;
2) x2y + sinх — ∣x4 — |х4?/2; х > 0, у > 0.
12.14	. —; ж>0, у > 0.
У
12.15	. 2х + у — x2∖ х е R, у ∈ R.
12.16	. 1)	+ х > 0, у < 0;	2) ж4 + у2; х > 0.
Зх 3
12.17	. | x .- // (	- V); х > 0, у > 0.
12.18	. ж2 + 2y2 + 1; ж > 0, —< у < ж2.
12.19	. х2 + ху + у2; х > \у\.
12.20	. | + (4 - 3y)el~x~y - (2x + ∣) e2(1"≈-^p R = eχ-^+2^~r∣λ
12.21	. ху-у; R^^-.
12.22	. х-у + ху; R=^^-.
x + η
12.23	. 3- ((ж + у- 1)и0(ж + у- 1) + (ж-у + 1)п0(ж-у + 1)) +
∆Xy
x+i∕-l
+ 2^ H(ξ)+ Ul(ξ)]ξ⅛∙
∆Xy
Х-4/+1

228
Гл. 4. Задача Коши
12.24	. (у — ж)(ж2 + 1) + ж5cosx.
12.25	. 1) u(rc,y) =еУ +
О
_ 2
2)	и(х, у} — е зу — х + у-
3)	и(х, у) = e~x ÷ 1 + Зх — у.
4)	и(х, у) = (у + 3x)e~7x + 2у — х.
5)	и(х, у) = e~3x — 3(у — х).
6)	и(х, у) = e~y + х + у.
7)	и(х, у) — 2e~2x — 1 — 4(?/ — ж).
8)	и(х, у) = ∣e2y + | + х + 2у.
9)	и(х, у) = e~y + х + у.
10)	и(х, у) = e~3x — 3(у — х).
И) и(х, у) = e~2x — х + 2у.
12)	и(х, у) = 2х + у — e~3y.
13)	u(x,2∕) = |(2ж + у) - |(2ж + у + l)ln(2x + у + 1) + |(2х + у +
+ l)ln6*-¾ + 3.
14)	и(х, у) = -|у(ж + у + I)2.
15)	u(x,y) = ⅛Ml + 3x + y)-⅛.^L.
16)	и(х’ у) = (,2x - 3y)(≈ - 2y) - 2(x - 2y)2 = у(х - 2у).
12.26	. l)u(x.y) = Γ+y,
2)	и(х, у) = 2x(y + lnrr — 2) + (т/ — lnx)2 — 2(y — 1пх — 2).
3)	n(^y) = l(x-∣)y-^^2-l)2y4.
4)	u(x,y) =	1).
У
5)	и(х, у) = х + у — ху2.
6)	и(х, ?/) = 1+ ху.
7)	и(^х, у) = x2 + у2 — 1.
8)	и(х, у) = 2х — х2.

Ответы к § 12
229
9)	u(x,y) = xy(2 - у).
10)	и(х, у) = xy(x — 1).
11)	п(х, ?/) = (1 + ж2)(?/— ж) + ж5 cosrr.
12)	и(х, у) = 3xy2 — 3x2y.
13)	и(х, у) = х3 * + Зх + 2у.
14)	и(х, у) = ху2 + 2.
12.27	. 1) u(x,y) — ⅛xy2e~⅛x.
2)	и(х, у) = х + e4x — еу.
3)	и(х, у) — 2xye~y.
4)	и(х, у) = e2y + у — х2.
5)	и(х, у) = ex+χ2 _р х _р у.
6)	u(x,y) = 1 +2x + y.
7)	и(х, у) — у — х + ch ж.
8)	п(ж,?/) = ∣sh^-τ∕.
9)	и(х, у) = х + cos х + e~2x — у.
10)	и(х, у) = Зу — х — sin х.
9t2
11)	u(x,y) =	-∖-yx2.
12)	и(х, у) =	÷ x2 — 2ху.
τ2
13)	u(x,y) =ху+
2
14) и(х, ?/) = — + Зху2.
12.28. l)ιz(x,τ∕) = -τ∕2 + ∣.
2) и(х, у) = Зу — In ж.
3) и(х, у) — ∖3y2 + Юж2?/.
4) п(ж, ?/) = 7у + 2ж3.
5) и(х, у) = 2 (у - у) + (у + ж)2.
6) и{х, у) = (у- x^)2 - (у2 - 2х).

230
Гл. 4. Задача Коши
7)	и(х, у) = 2x2 + 2ху.
8)	и(х, у) = 3y2 — ⅛xy + х2.
9)	и(х, у) = 2xy + у2 + 2у.
10)	и(х, у) = x2 — 2xy + 2ж.
11)	и(х, у) =y2 + 2ху + у.
12)	и(х, у) = 3y2x — Зух2.
12.29.	1) и(х, у) = (xy)3 — y2x.
2)	u(x, у) = \ — 2(y — arctgx) + (у + х)2 + 2(у + х).
3)	u(x,y) = 3 (у + |ж3) -(y-∣ar3).
4)	u(x,y) = (ж-^) +4(^÷i).
/	a,2∖ 2
5)	u(x,y) = ( у - у 1 -cos(rc + y).
6)	u(x,y) = -ch(y -х) -Гу2 - 2ж)3.
о
7)	и(х, у) = 3 + (ж — 2)e-1-2Λ
8)	и(х, у) = 1 + 2(y — l)e1-aj3.
9)	и(х, у) = (2 + y)e2χ3~2 — 4.
10)	и(х, у) = (4 + 3x)ey3~i — 3.
11)	u{x, у) = x3y3 — x2y4 + 4x2t∕.
12)	и(х, у) = eχ2y ÷	+ 2ey∕χ ÷	- ХУ2-
3	Зх
13)	и(х, у) = 1 — у3 + 		— 3In
х xy2 У
pχy py∕x
14)	u(x,y) =^/+^	2-∙
12.30.	1) u(x,y) = х — у + √zτ∕2 — ж2 + 1 .
2)	и(^х, у} — 21п(ж — у) — 2 In ж — ж + у.
3)	п(ж, у) = 2λ∕χc2 -Гу - 1 -2х -у.
4)	и(^х, у) = ж + 1пж + ?/ — 1п(ж -Гу — 1).
5)	п(ж, ту) = x2y + т/1/4.

Ответы к § 12
231
1	2
6)	u(x,y) = — + ^.
V У x
7)	и(х, у) = y2 + yx~i^3.
8)	и(х, у) = xy~χ∕3 + x~2 — yx~3.
9)	и(х, у) — y4e2x + y2e~2x.
10)	и(х, у) = 2y2(x + 1).
11)	и(х, у) = ∣τ∕⅛1∕3 ÷ 1 ÷ | f-λ) •
D	и \Х /
12)	и(х, у) = 8x(y — 2х) — 1.
13)	и(х, у) = | ÷ e~2y∣x.
14)	п(ж, τ∕) = l + ——— ∙ ch(⅛ + 2τ∕).
ох — у
15)	и(х, у) = (х + y)e~y∕χ + 1.
16)	≠^) = --L-.ch(y-lχ}.
N-1
12.36. ]Г
fc=0
"/ ∣∖2fc
(«*)
(2fc)!
∆feuo(αr)+
β2fc^2fc+l
(2fc+l)!
2fc,2fc+2
δ^1^ + ⅞⅛)!δ^^
12.37. | [f(xι + at) + f(x↑ - at) + g(x2 + at) + g(x2 - at)] +
x↑-∖-at	X2~∖~at
+ ⅛ [ MM+⅛ [ G(η)dη.
£ CL	Zj CL
x∖-at	X2~at
12.38.	^g(x2,x3)[f(x1 + at) + f(xi - at)].
12.39.	-∣J-1 [(∣x∣ + czi)α(∣rc∣ + at) + (∣x∣ — αi)α(∣∣x∣ — ai∣)] +
2∣ιr∣
+ ∣+at
+	*	r/?(r) dr при ∣x∣ ≠ 0 и tz(O, t) = cι(at) + ata'{at).
^a∣x I	I
∣∣x∣-at∣
12.40.	2^[0(1 - ∖x∖ - t)(∖x∖ + f)"+1(l - ∖x∖ - tf + 0(1 - ∣∣x∣ -
— i∣)sign(∣rr∣ — i)∣∣x∣ — i∣"+1(l — ∣∣x∣ — i∣)^3] при ∣x∣ ≠ 0 и u(O,t) — 0(1 —
-t)ta(l —+-1[(a+ 1)(1 -t) - ∣3t].
12.41.	∣0(1 - ∣τ + t∖)[(x + t)2 - 1]3 + ^0(1 - |ж - t∖)[(x - t)2 - 1]3.
12.42.	1) (ж + 2t)2. 2) x2 + xt + 4f2 + |a:i3.	3) sina;.

232
Гл. 4. Задача Коши
4) xt + sin(⅛ + t) — (1 — cht)ex. 5) 1 + t + ^(1 — cos 3£) sin ж.
6)	-2^(1 — cos aωt) sinωτ.	7) —	^sinωt.
a ω	ω ω
12.43.	1) х + ty + t2. 2) xyt(l + t2) + х2 — у2.
3)	∣^2(⅛3 — 3xy2) + ex cosy ÷ tey sin ж. 4) x2 + t2 + t sin?/.
5)	2x2 - y2 + (2x2 + y2∖t + 2t2 + 2t3.
6)	x2 + ty2 + ^t2(6 + x3 + у3) + t2 ÷ ∣t4(⅛ + у\
Т, e3>∙÷<,,[gdl5t-Js + lal,5,].
8)	cos(bx+cy) cos(αivzδ2+c2 )Ч	* sin(bx+cy) sin(αt√δ2+c2).
α√62+c2
9)	(ж2 + y2)2(l + f) + 8a2i2(x2 + у2) (1 + ∣ii + ∣a4i4 (1 + ∣tY
10)	(,τ2 + y2 ÷ 4a2)(e^ — 1 — £) — 2a2t2 (1 ÷ ∣t).
12.44.	1) x2 + y2 — 2z2 + t + t2xyz.
2)	y2 + tz2 + 8t2 + ^χ2 + ^6∙
3)	x2y2z2 + txy + 3t2(⅛2 + y2 + z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2} +
÷ 3t4	÷ x2 ÷ y2 + z2^ ÷ ∣t6.
4)	ex+y cos(z∖∕2) + te3y+^z sin 5ж + t3ezy^2 sin?/ cos z.
5)	(1 + i){x2 + y2 + z2)2 + 10a2t2 (1 +	(x2 + y2 + г2) ÷ a⅛4(5 +1).
6)	(x2 ÷ y2 + z2 ÷ 6a2)(βf - 1 - t) - a⅜2(3 + t).
7)	-^2 (1 — cos at)ez cos ж sin?/ + ey+z ×
a _
× | sha£ sin ж + sh(at∖∕2 ) + x2 ch(a^yz2) .
8)	xy cos z cos at + -yzex sh at +
× fet — cos bat — sin 5at∖.
∖	5a J
	? cos(3?/ + 42:) ×
l+25a2
9)	∣ cos at ÷ - sin at) cos ∖∕x2 + ?/2 + z2 H	,	= ×
V	«	7	√x2+∕∕2 + ^2
× sin χ∕,τ2 ⅛ ?y2	^2 f t cos at — at sin at	sin at j.

Ответы к § 12
233
12.45.	1) u(x, у, z, t) =	((1 ⅛t)5∕1 2 — 1) — xyz + ze2x ch6t + yt.
\ 1Э	о /
2)	и(х, у, z,t) = ⅛ (cos t — cos(yz5t)) sin(rr + 2y) + ch 3t ∙ ch 3y + xez sh t.
3)	и(х, у, z, t) = t2 (x3y — xy3^ + yzex ∙
V 3
4)	и(х, у, z, t) = sin(^ + у + г) ( sin t — —sin(χ∕31) ] ÷ y3t + yt3 + zt.
\	v 3	/
5)	и(х, у, z, t) = cos(∖∕61) cos(x — у) ÷ zx3 + 9xzt2 +
+ | ((ж + У + z + 3i)3∕2 - (ж + у + z - 3t)3∕2).
6)	и(х, у, z, i) — (e3t — 3i) sh z + xy2zt + 3t3xz +
1 Ag-(x-ι∕-3√2⅛)2 _р e-(x-τ∕+3√2⅛)2λ
≠2	≠3
7)	u(x,y,t) = (ж — y)^ + y4 + 6t2y2 + t4 ÷ t(y2 - 2ж2) -
Z	о
8)	и(х, у, t) = et(x + 2y) + x4 + 6t2x2 +14 + t(x2 + y3 — 2y) + ^-(1 + Зу).
О
9)	и(х, у, z, t) =	(4	—	x2	— τ∕2) sint + (ж	+	θ	(х—£)	4^	_р
l 1 Г	(г +	t)7	—	(г	— t)7,	r^t,	Γ^-χ	2-h	2
+ γτ~ <	>	.	,<7	।	)	,<7	,	W Г =	s∕X2 ÷	yz ÷	Zλ .
14r [	(г +	t)	+	(г	— t) ,	г ≤ t,	v
10)	и(х, у, z, t) = (sin 2y + z) cos t + t — z +
+ X∫(r + i)θ-(r-t)3, ^≥^r∏er
2r 1 (г + t)6 + (г — t)6, г ≤ t,
И) и(х, у, z, t) =
.2
: t — cos t + sin t) sin(2z — у) +
5
√5
2г
, где r=y∕x2+y2+z2.
12)	u(x,y, z,t) = (г3 + 6г£2) ÷ ∣(cos2t — sin 2t — е 2^)cos(τ∕ — х) +
1	1 1 + (г + λ∕21)	/ 2 l о ।	2
Н	In			где г = \/ xz + у2 + zδ .
4√2r	l⅛(r-√2t)2
13)	и(х, у, z, t) = x(y2 + г2) + 2xt2 —
— [cos ((2x — у + 2z + 3t)2) — cos ((2τ — у + 2z — 3t)2)].
14) п(ж, у, z, t) = xyz2+ xyt2-∖-
1 (p-{x-∖-2y-∖-2z-3t)2 _ p-(x-∖-2y-∖~2z-∖-3t)2∖
12 V	Л

234
Гл. 4. Задача Коши
12.46.	1) и(х, у, z, t) = (^et — t — l)(x2 — z2 + х — 2у + Зг) + tx2yz +
÷ ⅛3zy + | [χ∕τ - 2?/ + Зг + 14t +	- 2?/ + Зг - 14t ].
О	Z
2)	u(x,y, z,t) = (2sin3t + sin2t)cos(x + у ÷ 5г) + txyz3 + ^t3xyz +
÷Γ
[e(x+τ∕+z+t)3 _р e(x+ι∕+2-t)3j .
= (-lcos6i+^2Sin6i+le-t
+ 12t2 + ∣⅛3 + x2 + 2z2 ÷ t(y2 + г2).
О
4)	u(x,y, z,t) = ∣-(^4 + y4 + г4) + ∣⅛4(x2 ÷ y2 + z2) ÷ ∣^t6 +
+ cos(vz27t) cos(x + у — г) + -^= sin(vz27t) sin(rr + у + z).
5)	и(х, у, z, t) = (9£2 + 18t + 11) sh(2x — 2у + г) + t(x2 — y2 + z2) +
≠3
+ — — (11 ch 3t + 6 sh 3t) ∙ sh(2x — 2y + z) + (2x + у — z) cos у cos t —
О
— t sin?/ sin t.
6)	u(x,y, z,t) = (3t2 + 3t ÷ l)ch(x — 2y + г) + x2 — 3y2 — 4г2 —
— 6t2 — | ch(√z6⅛) + а/1 sh(vz6t) । ch(⅛ — 2y + z) ÷ (х + у +
10) у, z, t) =
+ z) cos х sin t + t sin х cos t — sin x sin t.
7)	u(x, у, z,t) = ∣ sin(rr — 2y — 2z ÷ 3t) + x{x2 + y2 + г2) + 5t2x —
— sin3tsin(x — 2y — 2z).
18
8)	u(x, у, = -γ⅛ ch(6x — 2y — 3z + 7t) + xy2 + yz2 + zx2 +
+ t2(x + у + г) — sh 7t ∙ ch(6rr — 2y — Зг).
9)	и(х, у, z, t) = (х2 — |?/2 — |г2) (сМ -
+	(∖r+t)3 sh3(r⅛t)+(r-t)3 sh3 \r—t
( 2	2	2 \
Ж _ у_ _ Z_ \
2	4	4 )
sin3(r÷t)+(r-Г)3
, где r=y∕x2+y2+z2.
(1 — cos t) ÷ zey sh t +
sin31 г—11), где r = √⅛2 + ?/2 + г2 .
о j-3
И) и(х, у, z, t) = sin(t + у) + ch4t ∙ sin у ∙ e~3x + t(x3 + ху2) 4—
О
2
12) и(х, у, z, t) = xy3 + 3t2xy — cos(2^ — ж) 4—sh(⅛vz3) sin xe2y.
V 3
2t + 1 — cos(2vz6^) —	sin(2∖∕6t) sin(2x — у +
v6
13) u(x,y,z,t) = ±
+ 2у — г)3 + 24t3(x + 2у — г), где г

Ответы к § 12
235
14) и(х, у, z, t)
1
54
t — 3 + 3 cos(3∖∕6— ^=- sin(3√z6t)
cos(x
+ у - 2г) +	[(r + 3^) v∕3 + (г + 3t)2 + (г - 3t)yz3 + (г - 3£)2 ]
÷ t(2x — у — г)3 + 54£3(2ж — у — г), где г — y∕x2 F y2 F z2.
12.47.	1) и(х, у, z, t) = ^yt2 + x2 + y2 + z2 ÷ ∣t2 + sint sin(rτ + г).
2)	и(х, у, z, t) =	÷ ch4⅛ ∙ ey~z + t(x2 + y2 + г2) + 8t3.
3)	и(х, у, z, t) = (e3t — cos t) cos(rr — у + г) + 3t2xz + xy2z.
4)	u(x,y, z,t) = f2cos3t — | sin3t ÷ sin(2rr — 2у + г) + tx3yz +
+ Fxyz.
5)	и(х, у, z,t) =	— х — V)et~x + у (у2 — z2 + 2£2) +
÷ | ∖et~x(x - t + 2) - e~x~t(x + t + 2)].
6)	u(x,y, z,t) = (у — z)(yz — t2) +	— ^)[arctg(x — t) — arctg(x +
+ ⅜)] + ⅛ιnι + ^ + g.
θ 1 + (ж — t)
7)	и(х, у, z, t) = ch 2t ∙ exyz + txy3 + 4∕⅛v∕ +
÷ (ch(r + 2t)2 — ch(r — 2t)2), где г = yz⅛2 + ?/2 + г2 .
8)	u(x,y, z,t) — (4cos£ ÷ 2t2 — 4) cos (ж + 2y) + yz3 + 0, 6t2yz +
+ -(arctg(⅛ + х — 2г) + arctg(⅛ — х + 2г)).
12.49. Ci =а°
π∕2
sinα+1 φdφ + —
о
π∕2
sinα φ dφ ,
о
Сз = aa |_А(а ÷ 1) ÷ — J.
12.50.	Ре ш е н и е. Свертка 8n * F существует в силу 8.34 и опре¬
деляется формулой этой задачи, где д = Sn и f = F, так как F(x, t) = О
при t < 0 и supp £п (x,t) С Г+ в силу 11.15-11.17.
12.51.	Решение. Для w = и - и*, где u*(x, t) ∈ D'(Rn+1), и* = О
при t < 0, — другое решение задачи (11), имеем w ∈ 79,(Rn+1), w = О
при t < 0 и wtt = α2∆w. Свертка En*w существует в силу 12.50. Тогда
w = δ * w = ((fn)⅛t — α2∆^n) * w = 8n * (wtt — cι2^w) = 0. Следователь¬
но, п* = и.

236
Гл. 4. Задача Коши
12.52.	Р е ш е н и е. 1) Sn (х, t) ∈ C°o по t ζ∑ [0, оо) в силу 11.26.
При каждом t > 0 носитель supp£n содержится в шаре ∣x∣ ≤ at и,
следовательно, равномерно ограничен в Rn при t —> ⅛ ≥ θ∙ Поэтому
в силу непрерывности свертки в D' имеем
p⅛,⅛)
V ∂tk
* uι(ж), φ(x)
∈C[0,∞), ⅛ = О,1,....
(*)
Для всех функций φ ∈ D(R") (определение обобщенной функции
(u(x, t), φ(x∖) ∈ ~D'(R") см. в конце §11). Далее, в силу результатов
задачи 8.35
^j(Vnw(x,t),⅛9(≈r)) =	*ul(x) ∙ 5(f)),^ =
=	∈C[O,∞)
в силу (*). Следовательно, (V⅛0∖x,t),φ(x)) ∈ C°o[0, ∞), т. е. ∈ С°°
по t ∈ [0, ∞). Аналогично, для
2)	в силу 11.26 при t —> +0
К(0)(жД) =^(ι,f)*M1(1)—>O*W1=O в Z∕(Rn),
∂V^0∖x,t) д ,c , iλ , λl
	⅛—- = -Q^n(xΛ} *uι(z)] =
=	*ul(x)—>δ*uι = щ(х) в A>'(R")∙
12.53.	Указание. Воспользоваться формулой (12) из п. 3, зада¬
чей 11.15, формулами (III), (I∏ι) из §8 и задачами 8.31 и 8.8.
1)	и = E[{x,t) = -^-θ(at — |х|).
2)	и = Λ(x,t) =	- t0) - |ж - ®о|)-
3)	⅛ = Γθ(e∣δ(at + х) - ^-θ(e∣δ(at - х).
4)	⅛ = p(αi-H)∙
5)	и = p(α(f - ⅛) - И)-
6)	и — ^-θ(t)δ(at + х — жо) - Γθtδ(at — х — хо).
^CL	ZCI
8)	и —	— ~^{δ∖at + ж) — δ'(at — ж)].
9)	0.

Ответы к § 12
237
10)	и =	— |ж|).
12.54.	См. указания к задаче 12.53.
1)	Решение. Уравнение (11) для искомой u(x, t) имеет вид
utt = a2uxx + /(ж, t) + п0(ж) ∙ J,(t) + щ (ж) ∙ J(t) =
= a2uxx + ω(t) ∙ 5(rr) + δ(x) ∙ δ'(t) + 5(ж) ∙ δ(t). (*)
В силу формулы (12)
и = ¼ ÷ ½ω ÷ V1(0) = 8i * [ω(^) • ф)] +
+ εi * [j(χ) ∙ j,(t)] + εi * [j(χ) ∙ j(t)]. (**)
В силу задачи 8.36, 1)
t-∖x∖∕a
Vι =	— Ы) ω(τ)o^τ∙
о
В силу задачи 12.53, 1) и 4)
∏w(z,t) = ^θ(at- ∣τ∣) и Vlw(x, £) = p(αi - |ж|).
Подставив ¼, и в (**), получим решение обобщенной
задачи Коши (*). Из 12.2 следует единственность задачи (*).
Из задачи 12.52 следуют предельные соотношения u(x,t) —> 5(t),
U[(x,f) —> 5(t), t —> 0 в D,(⅛n).
2)	-∖θ(at - \х|){at - |ж|) + }rδ{at - \х - x0∣).
3)	1-θ(t - ∖x∖χt - К + i-θ(t -∖x- 3∣) + l<5(t - |х - 2|).
4)	~ ∣τ - x°∣) [ι - c°s 6 7 0- ⅛ξ2)] - ^θ^at ~
(указание: xδ'{x) = —5(ж)).
5) ^~θ(at - |ж|) [2 + sin (t - ⅛)]
|_	∖ CL J J
(указание: xλδ,{x) = 2J(x)).
6)	-	— 1) + ^δ{at — ∣x + 1∣) + ⅛δ(at — \х — 1|).
7) θ{t - \х - 2∣)λ∕l - |х - 2∣ + ⅛δ(at - ∖x + 1∣) + ⅛δ(at - \х - 1|).

238
Гл. 4. Задача Коши
8) ±θ(t - ∣τ∣)(i - |ж|)2 3 4 5 + C0(i) + ±θ(t - |ж + R∖) - l-θ(t - \х - R∖)
(указание: см. задачу 7.14, 1).
Э) 2-θ(at - |ж|) (t - l≡h In ∣^e^1 (t -	+ ⅛f - |ж|).
1θ)	~ 1Ж1) (arctg(Z- ∣x∣) - ξ) + ^(t- ∖x + -R∣) -	∣x-jR∣).
11)	+ х + 2) - ∣0(t)5(i - х - 2) -	+ х - 2) +
+ ^0(i)J(i — х + 2) (указание: см. задачи 7.14, 1) и 8.8,2)).
12)	^-0(αi — |ж — 11) In ( 1 +1 — ——— +	— 1ж - 7rl)∙
2а	\	а ) 2а
2,2 _ 2
13)	θ(at-∖x∖)^-^.
14)	~^θ(t — ∣rr∣)[α(t — ∣τ∣)2 + 2β(t — |ж|)] — θ(t)δ(t + т) + θ(t)δ(t — х)
(указание: воспользоваться равенством xδ,,(x) = — 2δ,(x) и за¬
дачей 8.8, 2)).
12.58. Указание. Воспользоваться формулами (12)-(15).
1)	Решение, α = ^¼+	+ v/0^; ¼ = 0. В силу формулы (13)
x-∖-at	x-∖-at
v-(0) = ф f 6)(ξ) dξ = Ш
1 2a J v 7 2а
x — at
<)dξ-
о
0(ξ)dξ =
о
= ^^-[θ(x + at){x + at) — θ{x — at)(x — at)],
x-∖-at
j
x — at
= ÷ α^) + - α^)∙
2) 6>(t) fz +	- 1) + ∣a + a*Mτ af∣).
3) θ(t) ( -θ- + ^^(rc + a4Vx +	- ^^(rc - at)Xx — at j.
4) θ(t) ((i+ l)ln(i+ 1) -1 + ^θ(t - x)(t-x) + 7>0(-t - x)(t + x))
(у к а з a h и e: V1 = ^θ(t - ∣τ∣) *	∙ 1 (ж)).
5) θ(t~2) 52ln√t+(l-i)ln4-(l-i)2 + ∏+≡(∣^ + i∣ + ∣x-i∣).

Ответы к § 12
239
6> Ф (∣m+X+2)+s<2 - ∣ι++β<2 -- ",∣>) ■
7)	(iex+t — ex sht + θ(x + t)(l — e~x~t} — θ(x — t)(l — et~x)).
8)	— θ(t — 7r)(l ÷ cost) + ^^-[θ(x ÷ 3t — 3) + θ(x — 3t — 3) + 2t].
9)	[0(χ _р _р	_р g(χ _ ⅛)(χ _	_ 2θ(x)x2] .
10)	рр ∣^0(x + t)(rr + t)3 + θ(x — t)(rr — t)3 — 20(x)x3 + ~e°"x	,
a ≠ 0.
11)	^p⅛x÷t÷2)(t- 1)2 +
÷ ^p [sign (ж + t){x + t)2 — sign (ж -t)(x- t)2].
12)	+ 4)(t - 2)2 + ф [θ(x - 1 + t) ln(x + t) +
÷ θ(x — 1 —1) ln(x — t)].
13)	≡ [ф + t)(x + tr (1 + ^γ) + θ(x - Ых - tr (1 -
14)	[8i5∕2 ÷ 3θ(x +1) sin(.∕∙ ÷ t) — 3θ(x — i) sin(x — t)].
15)	θ^∖±xt5∕2+θ(-x-t) tι + ⅛±ι7) +
+ 0(-rc + i)(ι _ (ξΞ+1Γ) .
16)	∣^6x2t + 2t2 + 3θ(x + t)e~^χj^ + 3θ(x — i)e~^x~t ].
Θ(O
17)	[cos х sin t + 2 sin х sin t — t cos(⅛ + t)].
18)	-y⅛(l ÷^ + t)(l+x⅛t)-0(l⅛x-t)(l+x-t) +
+ 0(-1 + х — t)(-1 + х — t) — 0(-1 + х + t)(-1 + х + t)].
12.62. Указание. Воспользоваться формулами (12)-(15), зада¬
чей 12.50 и решением задачи 12.54, 1).
1) 0(t)	÷	÷ e°"x chcnzt^ .
2) 0(t) (t3 Qlnt- +3τchαt^
(указание: V↑ = ^6,(α^ ~ 1Ж1) * 0(t)tlnt ∙ l(x)).

240
Гл. 4. Задача Коши
[(1 — α2)t4 ÷ 6∕¾2 + 6(x ÷ at)m + 6(x — αt)m].
[t4 + 6t2x2 + 12 cos х - (sin t + cos t)].
[3(x + at)3 In ∖x + at∖ — 3(ж — at)3 In ∣x — at∖ — 6ax2t — 2a3t3^.
2≈≈+t	2x~t'
t sin(.τ ÷ t) — sin x sin t H	;— 	 .
In 2
. , l 1 x 2i
t - sin t + - arctg	=	=∙ .
2 l+rr2-t2J
β7 — t — 1 +	z—I	z- .
2(1 + (ж + at)2)	2(1 ⅛ (ж — at)2)
a(x +t2)+β+^x+ t)7∕3 - (x - t)7∕3)].
ln(l + e2x + 2ex cht) + ez dz^.
xtrn+2 l .	, l (x + t)rn+γ-(x-t)rn+γ↑
7	—7	— + sm X cos t +  	Ц—	y-—-	 .
(m + l)(m + 2)	2(m÷l)
[(t2 — 1) arctg t +1 — t ln(t2 ÷ 1) + ln[(t2 + x2 + 1 )2 — 4t⅛2]].
[cos x sin2 t + yi÷(τ÷ 2t)2 + χ∕l + (x — 2t)2].
[2x(t — sint) + (ж + t)2e-^+fl + (x — t)2e-|x-t|].
15)	6>(t) e~χ2~4t2 ch4xt +
+ -^e x (e2t cos (x — 2t —
8	∖	∖	4/
('l'+2'-)))
— 27
— e zτ cos
16)	θ(t) sin2 x cos21 ÷ cos2 -τsin21 + ∣e ∣x ^∣(l⅛∣x- t∖)-
_ le l*+*l(ι + ∖x + t∖)
17)	θ(t) x(t arctg t — In √1 + t2 ) + -—-—	τ + 7—n—~y	τ
v 7 |_ v	7	4 — 2 cos(x + t) 4 — 2 cos(rr — t)
1 X ÷ t ⅛ λ∕1 ÷ (x + t)2
18)	θ(t) ex sht + x(et — 1) — xt — tex + - In	v 	 .
x - t ⅛ yj 1 + (ж - t)2
12.63. Указание. Воспользоваться формулой (12) и зада¬
чей 11.15, 2).
. θ{at- ∣a∙∣) I α(+∖Λ2<2-∣*l2	,,	) 3¾(x.t)
С Ы √5F∑wΓ “ '

Ответы к § 12
241
2)
3)
4)
2at2 + ⅛
а
θ(at — |ж|)
2πα2
+ ε2(χ - χ~o,tγ
θ(at — ∣z∣) ot-∖x∖∕a ω(τ)dτ
2∕πa Jθ / 9∕, хо
— 3Zχ∕ (αi)2 —
+ ε^χ, t).
θ(at — |ж|)
2πα2
+ ε2(x - χQx,t).
at + л/(at)2 — ∣rr∣2 cy 	—
(at + β) In	—	y∕(αt)2 -
Ш	α v
12.64. Указание. Воспользоваться формулой (12) и зада¬
чей 11.16, 1).
D ^~i*d+⅞(m) + где εχcχ = ∕‰ot(*)∙
4πα |ж|	от	4πα t
2) 6W-⅛)-∣¾-a⅞∣) + £3(ж _ х"(
4πtt |х — жо|
3) Решение. u = ⅞ + V3w + V3ω. В силу 8.35, 1)
= Хз *ω(t),φ) =
= (∕¾⅛t(≈) ∙ω(τ),7∕(α2t2
∖4πα t
О ∣rr∣=α⅛
4πa2t
dSx dt dτ.
Так как dSx d(at) — dx — элемент объема в R3. то
(⅞.<Λ) =
ω(τ)
∞	R3
φ(x,τ + |ж|/а) dχ
4πα2∣s∣
dτ =
-∞ R3
Следовательно,
_ ω(⅜ - |ж|/«) v(o) _ <Э£з(ж, ⅛)	у(0 _ о^з(жД)
4τra⅛∣ 3 ∂xk ’	3	∂t
так как |ж|2^	— 2<5(τ).
∂xk
4) θ{at - N)4 sW- M/«) + ⅛⅛1, так как e∣≈∣⅛ = ⅛.
4πa ∖x∖ ∂xkot	∂xk oxk

242
Гл. 4. Задача Коши
12.68	. Указание. Воспользоваться задачей 11.15, формула¬
ми (12), (XVIι), (XVI3) и (XV∏ι).
1)	θ(t) (j + Ci + c).
∕λ72≠4	9	∕≠2	\\
2)	θ{t) ( — + ∣α2i3 + 2a2i2 + |ж|2 ( — + t + 1 ) ).
\ О	о	∖ Z	II
f Г о	\
3)	θ(t) ⅛ + ∣a⅜2 + t(l + ∏2) .
4)	0(f) (∣a2i2 + (4a2 + ∣^∣2)(i - 1 + e~t) + 1 + ∣τ∣2).
12.69	. Указание. Воспользоваться задачей 11.16 и формула¬
ми (12), (XVI2), (XVI4) и (XVII2).
(I ∣2≠2	2≠4	\
⅛T + ^ + ∣τ∣⅜ + a⅜2).
∕∣τ∣2≠4	∩2t6	\
2)	⅜) Hr + ¾r+i+1}
3)	∫θω(τ)(f — т) dτ + 0(t) (cva2f3 + a∣a,,∣2f + ∕⅜).
4)
5)
6)
(∣τ∣^φ ln(∣z∣ + t) + I⅛-1L l∏(∣x∣ -t)- 2∖x∖2 In |ж| — 3t2 .
12
≡ k∣i2 +
2|®|	+
(∣τ∣ + t) sin(∣2i∣ + t)2 + (|ж| - t) sin(∣τ∣ - t)2 +
z∣x∣ L
+ ∣ch(∣x∣ +i)2 - ich(∣ar∣ -t)2 .
|ж| + at	|ж| — at
1 + (|ж| + at)2 1 1 "~l	^≠'2
1 + (|ж| - at)2 _
7)	⅞τ ∣2⅛3 + 12∣z∣2 + 36a⅜2 + In 1 + (M+a^
12 [	а|ж| ι + (∣s∣-at)2
—ikt	ik∖x∖ (	\
Q∖ f∖(4-∖ e Г	β ω∖x ~ Z) Л I
8)	"(i>[∏5-⅛<<—и—-dz +
+ ⅛Γ √' + <M + f>' + ⅛i √ι + (k∣-*)2
Z∣^∣	z∣x∣
9)	трт ∣^2e ∣x'∣2 ∫θ е p2 sh2p∣x∣ dp + sin(∣x∣ + t)2
4∣x∣ L
— sin(∣x∣ — t)2].
10)
(|ж| +1) ln( 1 + (|ж| +1)2) + (|ж| - t) ln(l + (|ж| - t)2) +
+ e-(l≈l2-*2)sh2φ∣

Ответы к § 12
243
11)
' 8|Ж|
8e (∣aι∣2+i2)(∣z∣ch2t∣^∣ — Zsh2i∣x∣) +
+ [(∣x∣ + i)2 ln(∣x∣ + i)2 - (|ж| - i)2 ln(∣τ∣ - t)2 - 4i∣x∣]
12)	6>(⅛) t — sint + cos(∣τ∣ + at)2 + ⅛∣-г— cos(∣x∣ — at)2 .
Ж	Ж
13)	^τ¾[(∣^∣ — at)θ(R — ||ж| — at∖) + (|ж| + at)θ{R — |ж| — at)]
2|ж|
(указание: решение зависит только от |ж| и t, подстановкой
ιzι(r,t) = ru(r,t) свести задачу к задаче Коши для уравнения ко¬
лебаний струны и воспользоваться формулой (14)).
14)	θ(at- |х|)(а2*2~|ж|2).
8a
12.70.	Указание. Воспользоваться формулой (12) и зада¬
чей 11.18.
1)	Решение, ttι =¾ +	+ v∕1∖ где
vl=ε*f = ε* θ(t) =
= Γexp f-⅛ΞΞl⅛) -exp f-fc⅛))l;
ъ L ∖	2a2 / V 2a2 ∕J
V71'0^ = ε * ∣uι(rc) ■ δ(t) — →j,q(x) ■ <5(i)] = (1 — ^) £;
vιw = ε * [u0(≈) ■ δ∖t)↑
= f*^∙wι = I =
^~|ж|)ехр(
где ε(x,t) определяется формулой задачи 11.18.
2)	θ(t) [(et - l)(τ + t - 3) + 3t - xt + t- +
+ θ(x + t)et — θ(x — t) — θ(t — ∣x∣)e-2-].
Г	≠2	1
3)	θ(t) et(-l+x + t)-x- - + 2 .
4) θ(t)
( t	t / Q I 1 \ ।
—-(e — aeτf°j-∖-a-1) +
а— 1
α, 3~ α xjrafjrt∕a∖ a а ~l~ 1 x_at
2а2+ 1	2а2+ 1
х	^2
5) θ[Γ⅛ ⅛ (e(b+α2)Vα - 1) + e~at - 1
Ld + 2а о + а
2 1
+ a{x — at) ÷ ^Ξ^(^ebt∕a — 1) I

244
Гл. 4. Задача Коши
12.71. Указание. Воспользоваться задачей 11.22.
t~∖χ∖
2) 0(⅜-H) f ω(τ)J0(v∕(t-τ)2-χ2)dτ +
О
x-∖-t
+ ≡ ∫ ξJo(≠2-(≈-ξ)2)rfξ.
х—t
3) 0(⅛)
2 - sini - cost + ∫θ J0(√i2 -ξ2 ) dξ - t∫θ J1^L_f ) dξ .
4) θ(x + i) + θ(x - t) +
+ ∫i-t θ(x - ξ) (j0(√^→4 -	dξ
12.72.	Указание. Воспользоваться задачей 11.22.
1)	Γ~tδ(t - ∏) + e~tθ(t - ∏) L(√i^) +
2	L	2 √t2 - ж2
2)	⅛0(t- |ж|)е“t ∫θ~l'rl ω(τ)er J0(i√(t - т)2 - ж2 ) dτ.
3)	0(i) [ι + l^tφ-ξ)e-v0(√i^ξ2)dξ].
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
Задачей Коши для уравнения теплопроводности назы¬
вается задача о нахождении функции u(x,t) ∈ C2(x ∈ Rn,
t > 0) ∩ C(x ∈ Rn, G 0) = C2(t > O)∩C(t≥ 0), удовлетворяю¬
щей уравнению
щ = a2∆u + f{x, t), τ∈Rn, t > 0,	(I)
и начальному условию
u∖t=o = UQ^x∖ x∈Rn,	(II)
где f(x,K) ∈ C(x ∈ Rn, t ≥ 0) и uq(x) ∈ C(Rn) — заданные
функции.
Часто рассматривается задача Коши в области {x ∈ Rn,
t > ⅛} ПРИ некотором ⅛ в которой начальное условие
задается на плоскости {x ∈ Rn, t = ⅛}∙

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
245
Будем говорить, что функция g(x,t∖ % ∈ Rn, ⅛ ≥ 0, принад¬
лежит классу Bσ при некотором σ > 0, если для любого Т > О
существуют С = С(Т) и а = се (Г) такие, что
∖g(x, i) | ≤ C,e÷∣σ, х ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ Т.
Решение задачи (I), (II) единственно в классе В2 и тем более
в классах Bp с В2 при 0 ≤ р < 2.
Если функция uq(x) ∈ C(Rn) ∩ Bq, а функция f(x, t) ∈ C2(x ∈
∈ Rn, t ≥ 0) и все ее частные производные до второго порядка
включительно принадлежат Bq, то принадлежащее Bq решение
задачи (I), (II) задается формулой Пуассона
u(x,t) =	— u0(ξ) , exP f — ——9^-1 dζ +
V 7	(2α√^t)n J υvs7 Д 4α⅜ J S
Rn
J f 	Ж^) f ∣*-ξ∣2 ∖d,dτ
+ J J (2α√π(f — τ))n	Pt 4a2(t-τ)} ξ
0 Rn
Для построения решения задачи (I), (II) иногда может быть
полезен следующий результат. Пусть (для простоты) f(x1t) ≡ 0,
а функция uq(x) ∈ Cσo(R2) и такова, что ряд
∞ Лк. к
∑ ⅛∆4(≈)
/с=0
и все ряды, полученные из него почленным дифференцированием
до второго порядка включительно по x∖, ..., xn, t, равномерно
сходятся в {∣x∣ ≤ R, 0 ≤ t ≤ Т} при любых R > 0 и Т > 0. Тогда
функция
∞ Лк.к
u(x,f) =	(ш)
к=0
является решением задачи (I), (II) при ∕(x,t) ≡ 0.
Кроме того, отметим, что решением задачи
ut — a2∆u = 0, х ∈ Rn, t > 0,
It∣t=θ = 7?1Ц1),... ,φn{xn), Х\ е R1,... ,xn ∈ Rn,
является функция
п
u(x,t) = u(xι, ... ,x∏,t) = П'Щ(^гД),
i=i

246
Гл. 4. Задача Коши
где U{(x,t) — решение задачи Коши
Uit — a2Uiξξ — 0, ξ ∈ R1, t > О,
ui∖t=0 = φi<X), ξ∈R1, i=l,...,n.
13.1.	Пусть функция u(x,t,to) принадлежит классу С2,
(х ∈ Rn, t ≥ ⅛ ≥ О). Доказать, что функция u(x,t, ⅛) при каж¬
дом ⅛ ≥ О является решением задачи Коши
ut = a2∆u, u∖t=t0 = f(x, io)
тогда и только тогда, когда функция
t
v(x, t, to) = u(x, t, т) dτ
to
при каждом ⅛ ≥ θ является решением задачи Коши
υt = а2 Ах + /(ж, i), v∖t=t0 = 0.
13.2.	Пусть ¾(¾,t) — решение задачи Коши
ι⅛ = α2∆u, u∖t=0 = fφk), k=i,2,...,n.
Доказать, что функция u(x,t) = ∩ ¾(¾,t) является решением
к=1
задачи Коши
п
ut = a2 Au, -u∣t=0 = ∏ fk(xk)-
к=1
13.3.	Пусть функция Дж, i) ∈ C2(t ≥ 0) является гармони¬
ческой по х при каждом фиксированном t ≥ 0. Доказать, что
функция n(x,t) = ∫θ f(x,τ) dτ является решением задачи Коши
ut = а2 Ли + /(ж, t), ^∣⅛=o = θ∙
13.4.	Пусть uq ∈ Coo(Rn), а ряд	d > 0, и все
к=о к-
ряды, полученные из него почленным дифференцированием
до второго порядка включительно, сходятся равномерно в каж¬
дой конечной области. Доказать, что функция
∞ nc2k.k
ФХ = ∑~kΓ^kuoX
к=0

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
247
является решением задачи Коши
щ = a2∆u, 0 < / < —у; ι∕∣t=o — u^{x).
а
Пример 1. Решить задачу Коши
ut = 2∆ιz + xe8t~2z, t > 0, (x,y, z)∈R3,	(1)
Ч=о = (ж + ^)4y cosy + sh(y - г), (x,y,z) ∈ R3.	(2)
Δ Уравнение (1) является неоднородным, поэтому ищем какое-
нибудь частное решение уравнения (1) в виде
и(х, у, z, i) = g(t)xe~2z.	(3)
Если и = w, где w — функция, определяемая формулой (3),
то из уравнения (1) следует, что функция g(f) удовлетворяет
уравнению
√(⅛) = 8g(t) + e8i,
а в качестве решения этого уравнения можно взять функцию
5⅛ = te8t.
Следовательно, функция
w = testxe~2z
есть частное решение уравнения (1).
Введем новую искомую функцию v такую, что v — и — w.
Тогда функция v = щ ∙ гд + ⅝ есть решение задачи (5), (6).

248
Гл. 4. Задача Коши
Из формулы (III) следует, что функция
v∖ = (ж + г)4 + 2i∆((rr + г)4) + ^p∆2((x + г)4) =
= (х + z)4 + 48t(x + г)2 + 192t2. (13)
Из формулы (III) получаем, что
∞
к=0
2fcife∆fe(ycosy)
к\
Поскольку ∆fc(ycosy) = (ycosy∕2fc) = (—l)fcy cosy + (—l)fe2fc×
× sin у, то
2ktk ((-l)fcycosy + (-l)fe2⅛siny) (-2t)k
v2 = > ,				l = > , —^У cos у -
к=0	к=0
oo^ (-2t)l
—	sin г/ = e2tycosy — 4te~2t sin у. (14)
1=0
Так как ∆sh(y-г) =4sh(y-г), то решение задачи (И), (12)
ищем в виде
υ3 = y(i)sh(y-^).	(15)
Подставляя (15) в уравнение (И), получаем
√(t) sh(y -z) = 4g(t) sh(y - z),
откуда
p(t) = Ce4t, v3 = Ce4t sh(y - г).
Учитывая условие (12), получаем: С = 1 и
υ3 = e4⅛h(y - г)	(16)
есть решение задачи (И), (12).
Таким образом, из (4) следует, что функция
и — te8txe~2x + т; 1 ∙ V2 +
где функции vι, V2, v3 определены формулами (13), (14), (16)
соответственно, есть решение задачи (1), (2).	▲
Пример 2. Найти ограниченное решение задачи Коши
ut — uxx = 0, t > 0, х ∈ R1,
2	1	Щ 7
ω∣t=o = e~x > ж ∈ R .

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
249
Δ Искомое решение можно получить с помощью формулы Пуас¬
сона
1
2√πt
t ≥ 0.
Так как
4i(4i+ 1) + 4t
•	 ~1 2	9
4t + 1	х	xλ _
4t χ∕4⅛(4t ÷ 1) _ 4t + 1
,	 2
_ ( / 4t + 1 А / х \ 2 χ2
~ \\ 4t J V ~ 4f + 1 / + 4i + 1 ’
то, сделав замену переменных в интеграле формулы Пуассона,
получим
4t + 1
4/
dy ■ √1 + 4i
2√t
2Vt
√fψ4i
X
■ e~4t+1 dτ =
— ■ е 4t+ι .
√π	√1 + 4t
+∞
-т2	1	- —
е dτ = - е 4t+ι.
J	√Γψ4i
—∞
Однако можно воспользоваться
ниями. Функция
и следующими соображе-
e-4(t-τ)
y∕t — Т
О,
х ∈ R1, t > т,
х е R1, t ≤ т,
u(x, t) =
/ х \
V ~ 4t + 1J

250
Гл. 4. Задача Коши
лишь постоянным множителем отличающаяся от фундаменталь¬
ного решения уравнения теплопроводности с особенностью в точ¬
ке (ж = 0,t = т), является при х ∈ R1, t > т, решением уравнения
щ — uxx — 0, t > т, х ∈ R1.
Следовательно, при любой постоянной С и любом т < 0 функ¬
ция w(x,t) = Cv(x,t,τ), i ≥ 0, х ∈ R1, является ограниченным
решением задачи Коши
w* - wxx = 0, t
х2
। Се^г
w∣t=θ = ~^=
∈
π 1^1
Полагая т — — С = -, в силу
теоремы единственности
получим, что решение задачи (1) имеет вид
u(x, i) = w(x, i) = -v ^ж, t, — -
_ е «+1
- √4i^+T '
С помощью полученного решения можно найти ограниченное
решение задачи
щ — ‰cx = 0, t > 0, х ∈ R1,
u∣⅛=0 — xe~χ2, τ∈R1.
Z	1 д [
⅛∙<) = -2‰^
Поскольку начальная функция в задаче (2) равна
то решение этой задачи имеет вид
_ χ2 \ _ χ2
е 4t+1 \ _ хе 4t+1	θ
√4iTT у “ (4Z + 1)3/2 ’	’
(2)
.1 Γ(p-χ2∖
2dx[ h
aj∈K1. ▲
В качестве упражнения покажите, что решение задачи Коши
Щ — uxx = 0, t > 0, х ∈ R1,
u∣t=o = xe^(χ^α)2, ≈∈R1,
где а — вещественная постоянная, имеет вид
(ж —а)2
u(x,t) = —	ττy(s + 4ai), i ≥ 0, τ∈R1,
v 7	(4i+l)3/2V	7

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
251
а решение задачи
щ — uxχ = 0, t > О, х ∈ R1,
г^=0 = ∞sж2, х ∈ R1,
представляется в виде
/ _ ,z'2 \
u(x, t) = Re । e.	∣, t ≥ О, ж ∈ К1,
v 7 I √1 -4tz ]
Решения задач 13.5-13.8 можно находить по формуле Пуас¬
сона, но иногда удобнее применить метод разделения переменных
или воспользоваться результатами задач 13.1-13.4.
1):
= 2.
n∣⅛=o = sin х.
и∣t=0 — cos ж.
t4∣t=0 = sin X.
I	—Х%
u∣t=0 = е x .
	 z32x-xi
W=o — е
tt∣t=o = же-®2
ιt∣t=o = sin же
13.6. Решить задачи (п = 2):
1)	tQ = Δn⅛ef,	7/|/=о = cos,r sin д.
2)	щ = ∆n +	sin t sin ж sin у,	u∣⅛=q =	1.
3)	щ = ∆n +	cost,	n∣t=0 =	xye~x ~y	.
4)	8ut = ∆u + 1,	u∖t=0	=	e~^-y)2.
5)	2щ = Ли,	u∖t=o	=	cos xy.
13.7.	Решить задачи (п = 3):
1)	щ = 2∆u + t cos ж,
2)	щ = ЗЛи + et,
3)	4ut = Ли + sin 2х,
4)	щ = Ли + cos(x — у + z),
5)	ut = Ли,
г/ф=о = cosy cosх.
⅛=o = sin(⅛ - у - г).
1	2
и|t=o = - sin 2x + e~x cos 2у.
u∖t=0 = е-^+у-^2.
n∣t=0 — cos(rτy) sinx.
13.8.	Решить задачу Коши
ut = Ли, t7∣t=o = uq(x), х ∈ Rn, t > 0,
для следующих uq:

252
Гл. 4. Задача Коши
1)
3)
5)
13.9.	Решить задачи.
1)	щ — ∣∆zt = соз5ж ∙ et~5z, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3.
ιt∣t=o = y3 sh 2ж, (ж, у, z) ∈ R3.
2)	щ — ∆u = ye2z~t, t > 0, (ж, у, z) Е R3;
ιz∣∕-o = (у — ж4) sin г, (ж, у, z) ∈R3.
3)	щ — 4∆ιt = ex+z+4t, t > О, (х, у, z) ∈ R3;
w∣t=o = ж3 cosy, (ж, у, z) ∈ R3.
4)	щ — 2∆u = (ж2 + 4у2 — 5z2)βi, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
⅛∣i=0 = χy2, {x,y,z) ∈ R3.
5)	щ — ∆u,. = жу, t > 0, (ж, у, z) Е R3;
«|i=o = z'i sin(αr — 2у), (ж, у, z} Е R3.
6)	Зщ — Au = (z2 — x2)t, t > О, (х, у, z) Е R3;
ιt∣i=0 = (у4 + 6z2y)e3x, (ж, у, z) Е R3.
7)	5щ — ∆u = et cos (ж + у), t > 0, (ж, у) ∈ R2;
⅛∣t=0 = (ж + 2y)2, (ж, у) ∈ R2;
8)	lCh⅛ — ∆ιt = 2t cos ж sin у, t > 0, (ж, у) Е R2;
tf∣t=0 = (Зж + у)3, (ж, у) ∈ R2;
9)	щ — 2∆u = же8<-2г, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
tz∣t=θ = (ж + г)4cosy, (ж,у,г) ∈ R3.
10)	5щ — ∆u = 0, i > 0, (ж, у, z) Е R3;
^∣i=θ = (20ж + z5)ex~3y, (ж, у, z) Е R3.
5Ди = ch(4i,-3z)∞85x t >	e κ3.
(t + 3)2	v ’
,u∣⅛=o = У ch(4y — Зг) cos 5ж, (ж, у, z) Е R3.
12)	2щ — 3∆tt = √i + 9 ∙ e-2zcosz, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u|i=0 = (2ж + у + z)e~y cos z, (ж, у, z) Е R3.
13)	tl, - 3∆11 = ∞3^→)sh5^ t > 0 (з. jλ 2) e r3.
t4∣f=o = xcos(3x — 4y) sh5z, (х, у, z) ∈ R3.

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
253
14)	2ut - 7∆u = ZUZZ, t > 0, (ж, у, z) ∈ R3;
yt + 4
tψ=0 = (ж — 2у + г) sin х ch г, (ж, у, z) ∈ R3.
15)	щ — Аи — (х2 + у2 — 2г2) cos/;, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
и|t=o = sin(x + z)e~y2, (х, у, г) ∈ R3.
16)	ut —	= t4(x + 1), t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
n|t=0 = sin(x + y)e2z~z2, (х, у, г) ∈ R3.
17)	ut — ∣∆u = chi ∙ e~5z cos(3x + 4y), t > О, (х, у, г) ∈ R3;
= (ж + у) cos(⅛ + г), (ж, у, г) ∈ R3.
18)	щ — ^∆ιz = (x2 + 7х + 2у2 — Зг2 + 1 l)i, i > 0, (ж, у, г) ∈
∈ R3;
ιz∣t=o = χ3e~y sin 2г, (ж, у, г) ∈ I3.
13.10. Решить задачи.
1)	ut — Аи — cos(3i + х + у + г), t > 0, (ж, у, г) ∈ К3;
u∖t=Q = xyzcosx, (х,у, г) ∈ R3.
2)	ut — Au = ef+x+2y cos г, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
и|t=o = (ж + у + г) sinх, (ж, у, г) ∈ R3.
3)	ut — Au = t2x, t > 0, (х, у, г) ∈ R3;
и|t=Q — e~z ∙ sin3(ж + у), (ж, у, г) ∈ R3.
4)	ut — Au = 27(i2 — 1) cos(x + у + г), i > 0, (ж, у, г) ∈ К3;
⅛=0 = (ж — у + г) sin г, (ж, у, г) ∈ R3.
5)	ut — Au = (5i2 + 2i + 5) sin(x — 2г), i > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
= (ж + у + г) cosy, (ж, у, г) ∈ R3.
6)	ut — ∆u = ch(⅛ — у + 2г + 6i), i > 0, (х, у, г) ∈ R3;
и|t=o = x2y2z2, (х, у, г) ∈ R3.
7)	ut — ∕∖u = e~^t cos(2x — у + 2г), i > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
= xy2z3 cosy sin(x + у + г), (ж, у, г) ∈ R3.
8) 17tq — ∆τz = te~3t, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
(15x÷8¾∕)2
u∖t=o = {15x + 8y)e	cos
9) 13^ — Au = te~2t, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
(12ccH-5t∕)2	∕γ∣-	\
'U∣t=0 = (12ж + 5y)e^	2 sin ( - - z}, {x,y,z) ∈
10)	щ — ∆u — (cost — 2 sint)ex+y, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
и|t=o = cos ж cos 2у, (ж, у, z) ∈ R3.
12

254
Гл. 4. Задача Коши
11)	щ — ∆u = 4e t cos(2rr — у), t > 0, (х, у) ∈ R2;
n∣f=0 = e~2χ2~y2 + cos(2x — у), (х, у) ∈ R2.
12)	ut - 2Au = — - 1X + —, t > 0, (х, у, z) ∈ R3;
9г + 4
u∣⅛=o = (х — ∣) e-(x-2) +z, (ж, у, z} е R3.
<п\ 1Л 8ж2 — 5у2 — Зг2 , zλ /	\ тгьч
13)	щ — -Аи =	5	, t > 0, (х, у, z) ∈ R,
2	4t2 + 25	v У ’
w∣t=θ = (Зж + y)e-(3x+^2-2z, (ж, у, г) ∈ R3.
14)	щ — Au = -12ch2tchz, t > О, (x,y,z) ∈ R3;
u∣t=0 = 2ж3 cos2 у + zsin(τ + 2у), (ж, у, z) G R3.
15)	щ — Аи = 5eisintcosz, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∣t=0 = ж4 ch г + 2 sh2(y — 2z), (ж, у, z) ∈ R3.
16)	щ —	= (ж2 + у2 — 2г2) cost, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u|t=o = e~3y2 sin(x + г), (ж, у, г) ∈ R3.
17)	щ — 2Au = {zx1 — zy1) sin2t, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∣i=0 = e~(χ~z)2 cos у, (ж, у, z) ∈ R3.
18)	ut — Аи = 0, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
u∣t=0 = ж(у2 — г2) ch ж, (ж, у, г) ∈ R3.
19)	щ — Аи = 0, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
-u∣t=o = xyz cos ж, (ж, у, г) ∈ R3.
20)	щ — 2Au = t2, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
∙u∣t=o = e-3ir2 cos(y + г), (ж, у, г) ∈ R3.
21)	ut — ЗАи = sint, t > 0, (ж, у, г) ∈ R3;
w∣i=o = e-2χ2 зт(2ж + у), (ж, у, г) ∈ R3.
Если решение u(x,t) классической задачи Коши (I), (II)
и функцию /(ж, t) ∈ С (х ∈ Rri, t ≥ 0) продолжить нулем при
t < 0, то полученная таким путем функция и(ж, t) удовлетворяет
(в обобщенном смысле) в Rn+1 уравнению
щ = a2Au + /(ж, t) + ио(ж) ∙ <J(t).	(IV)
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности
с источником F(x,t) ∈ ,D'(Rn+1), F = 0 при t < О, называется
задача о нахождении обобщенной функции и G Df, обращаю¬
щейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей в Rn+1 уравнению
теплопроводности
ut = a2∆u + F(x, t).	(V)

§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
255
Если существует свертка £ * F, где
ζlx П - 	θ3H	exp{-⅛}
' ’ ’	(2α√^)" Р| 4α√
— фундаментальное решение уравнения теплопроводности, то
и = £ * F
есть решение обобщенной задачи Коши (V). Это решение един¬
ственно в классе обобщенных функций u(xit), для которых
существует свертка £ * и.
Свертка V = £ * F называется обобщенным тепловым по¬
тенциалом с плотностью F.
В частности, если F = од (ж) ∙ 5(t), где од ∈ D,(Wl∖ то свертка
y(0) = £(х, f) * од(ж) ∙ 5(t) = £(ж, t) * од(х)
(если она существует) называется обобщенным поверхностным
тепловым потенциалом с плотностью uq.
Тепловой потенциал V удовлетворяет уравнению (V).
Обозначим через М класс всех функций, локально интегри¬
руемых в Rn+1, равных нулю при t < 0 и ограниченных в каждой
полосе 0 ≤ t ≤ Т, х ∈ Rn.
13.11. Найти решение обобщенной задачи Коши (V) для
следующих F:
1)	5(t)∙5(x).	2) δ(t — to) ∙ δ(x — од), ⅛ ≥ 0.
3)5(i)∙^^∙	4) δ,X)-δ(x).
5) δ(t - i0) ∙ t0 ≥ 0.	6) δ(tγ ∙ ⅛1.
OXfc	OXfc
7) 0(t) ∙ δ(x). 8) θ(t- ⅛) ∙ δ(x- од), to ≥ 0. 9) 5,(t) ∙ δ(x- од).
10)	ω(t) • 5(ж), где ω ∈ <7(t ≥ 0), ω = 0 при t < 0.
13.12.	Пусть ∕(x,t) ∈ М. Показать, что свертка V = £ * f:
1)	существует в М и представляется формулой
t
yfet>4∫ p^l⅛exp{-⅛⅛}rfξ'fr∙,v,)
0 Rn
2)	удовлетворяет оценке
∣v¼θl ≤ t sup ∣∕(ξ,τ), t > 0.

256
Гл. 4. Задача Коши
3)	представляет собой единственное в классе М решение (обоб¬
щенное) уравнения ½ = α2ΔV + /(#,£).
13.13.	Пусть uq(x) — ограниченная функция в Rn. Доказать,
что свертка
y(0) = £(ж, f) * uq(x) ∙ δ(t) — £(х, i) * Uq(x) :
1)	существует в М и представляется формулой
y(°)(rr,i) =	[ u0(ξ)exp∣-⅛Odξ. (VII)
(2α√πt) J	∣k 4a t J
Rn
2)	удовлетворяет оценке
∣V(0∖x, t)∣ ≤ tsup ∣uo(ξ), t > 0.
ξ
3)	представляет собой единственное в классе М решение (обоб¬
щенное) уравнения Vt^ = α2ΔV(0) + uq(x) ∙ 5(t).
13.14.	Доказать, что решение обобщенной задачи Коши
щ = α2∆u + /(ж, t) + uq(x) ∙ 5(t)	(VIII)
выражается классической формулой Пуассона
i)	= ∕9	[ exP l-⅛^⅛} ⅛ +
(2<z√7rt)n J	(	4√i J
R"
t
4- f f 	∕⅛τ)	exp /	∖x ~ £1	1 dτ (IX)
+ JJ [2α√4^T)Γe pt W(^-τ)Γξ^
0 Rn
если функция / локально интегрируема в Rn+1 и равна нулю
при t < 0, функция uq локально интегрируема в ⅛n+1 и оба
слагаемых в формуле (IX) локально интегрируемы в Rn+1.
13.15.	Доказать:
1)	если / ∈ C2(t ≥ 0) и все ее производные до второ¬
го порядка включительно принадлежит классу М, то
V = £ * / ∈ C2(t > 0) ∩ Ci(t 0) удовлетворяет при t > 0
уравнению ¼ = α2ΔV + /(жД) и начальному условию
П=+о = 0;
2)	если по(ж) — непрерывная и ограниченная функция, то
y(θ) = ε * UQ ∈ C∞(i > 0) ∩ C(t ≥ 0)
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности	257
удовлетворяет уравнению Vt^ = α2ΔV^ и начальному
условию V∣i=+o = «о(ж);
3)	при выполнении условий 1), 2) функция и = V + V'°)j
где V, ¼(°) определяются формулами (VI) и (VII), есть
решение классической задачи Коши (I), (II).
Указание. Требуемые свойства непосредственно выте¬
кают из формулы (VIII).
13.16.	Найти решение обобщенной задачи Коши
ut = uxx + uq (ж) ∙ δ(t)
для следующих uq:
1)	0(ж),	2) 0(1 -х\	3) 0(1 - |х|),
4) θ(x')e~x,	5) 0(x)(x⅛l),	6) θ(x — 1)х.
Показать, что найденные функции u(x,t) при t > 0 принадлежат
классу Co° и удовлетворяют уравнению щ = uxx, а при t —> +0
непрерывны во всех точках непрерывности функции uq(x) и в
этих точках удовлетворяют начальному условию ι∕∣t=+o = ⅝(^)∙
13.17.	Найти решение обобщенной задачи Коши
Ut = Uxx + f(x, i)
для следующих f:
1)	θ(t — l)et,	2) 0(t-7r)c0st,	3) θ(t — 1)ж,
4) 0(i-2)e*,	5) 0(t)0(x),	6) 0(t)∙0(l-∏)∙
Показать, что найденные функции u(x,t) при t > 0 принадлежат
классу C(R2), удовлетворяют начальному условию tz∣t=o = 0,
а в точках непрерывности функции ∕(x,t) принадлежат клас-
су c,2.
13.18.	Решить обобщенную задачу Коши (VIII) для урав¬
нения теплопроводности (х ∈ R1) с нижеследующими данны¬
ми и проверить, что полученные решения являются решениями
классической задачи Коши (I), (II).
1)	/ = θ(t)x, Uq = х.
2)	/ = θ(t)x2, Uq = X2.
3)	/ = θ(t)2xt, Uq = x3 + x4, a = 1.
4)/ = 0(t)3x⅜2, uq = ex, а = 1.
5)/ = 0(tjv∕, Uq = shx.
6)/ = Uθ = xex.
7)	/ = 0(t) In t1 uq = x sin x, a = 1.
8)	/ = 0(t)rrcos^, uq = x cost;, a = 1.

258
Гл. 4. Задача Коши
9)	/ = θ(t)ex, uq = θ(x)x, а = 1.
10)	/ = θ(t)xex, uq = θ(x)x2, а = 1.
13.19.	Решить обобщенную задачу Коши (VIII) для урав¬
нения теплопроводности (х ∈ R2) с нижеследующими данны¬
ми и проверить, что полученные решения являются решениями
классической задачи Коши (I), (II).
1)	/ = θ(t)xyet, uq = х2 — у2.
2)	/ = 0(t)(x2 + y2∖ uq = x2 + у2.
3)	/ = θ(t)4xy, Uq = x2y2, а = 1.
4)	f = θ(t)ex cosy, uq = ex+y.
5)	/ = 0, Uq = Ж COS у.
6)/ = θ(t)xy, Uq = cosy.
13.20.	Решить обобщенную задачу Коши (VIII) для урав¬
нения теплопроводности (х ∈ R3) с нижеследующими данны¬
ми и проверить, что полученные решения являются решениями
классической задачи Коши (I), (II).
1) / = θ(t)xyez, uq = xey cos ж.
2)/ = θ(t)xy cos z, Uq = (x2 + у2) cos z, a = 1.
3) / = θ(t)xyZCOSt, Uq = xy2z3.
4) / = θ(t)(x2 — 2y2 + Z2)et, Uq — X + y2 + z3.
5)/ = θ(t) cos t sin 3x cos 4ye3z, uq — sin 3x cos 4ye4z, a = 1.
13.21.	Решить обобщенную задачу Коши (VIII) для урав¬
нения теплопроводности (ж ∈ Rn) с нижеследующими данны¬
ми и проверить, что полученные решения являются решениями
классической задачи Коши (I), (II).
О f = 0(*)kl2, «о = И2-
п	п
2)	f = θX) Σ xt uo = Σ хк-
к=1	к=1
3)	f = θ(t)et, u0 = exp j ∑ x⅛l.
lfc=l J
4)	f = 0, Uq = ∑ xk exp <{ ∑ ¾ >.
k=l (⅛=1 J
5)	/ = 0, Uq = ( cos ∑ xk ) exp{E‰ι ¾}.
v k=∖ j
Уравнение ut — a2uxx — bux — си = ∕(x,t), где а, Ь, с — по¬
стоянные, заменой v(y,t) — e~ctu(y — bt,t} сводится к уравнению
теплопроводности.
13.22.	Найти решение задачи
ut - a2uxx - bux - cu = f(x, t), 'u∣t=o = ^о(^)
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности
259
со следующими данными:
1)	/= 1, uq = 1, с = 1;
2)	/	et, uq = cos ж, а —	с —	1,	b — 0;
3)	f	= et, uq = cos х, а =	д/2 ,	с	= 2, b = 0;
4)	/	= t sin ж, uq = 1, а =	с =	1,	b = 0;
5)/ = 0, uq = 6-x2-
6)	/ = w(i) ∈C1∕> 0), uq ∈ С и ограничена.
13.23.	Найти решение обобщенной задачи Коши
ut - a2uxx - bux -cu = f(x, t) + и0(ж) ∙ 5(t)
со следующими данными:
1)	f = θ(t — 1), Uq = θ(x), с ≠ 0;
2)	f = θ(t - 1), u0 = ΘQ -x},c = 0;
3)	f = θ(t-Qet, uq = ΘQ-∖x∖),c≠∖-
4)	f = θ(t — l)et, uq = θ(x)ex, с = 1;
5)	f = θ(t — Qex, uq = xθ(x)∙, а = 2, b = с = —2;
6)	/ = θ(t)θ(x), Uq = X.
Исследовать гладкость полученных решений, как ив 13.16, 13.17.
13.24.	Решить обобщенную задачу Коши
ut - a2uxx - bux - cu = f(x, t) + u0(x) ■ 5(t)
с нижеследующими данными и проверить, что полученные ре¬
шения являются решениями классической задачи Коши
Ut - a2uxx - bux - си = /(ж, t), w∣t=0 = uq(x).
1)	f = θ{p)x2, uq = ж2, а = b = с = 1. 2) / = uq = ех.
3)	/ = θ(t)tex, uq = xex, а = 2, b = —1, с = —2.
4)	/ = θ(p)xex, uq = xex + shx, а = с = 1, b = —2.
5)	f = θ(t)ex cost sin ж, uq = ex cos ж; а = 1, b = —2, с = 2.
6)	f = θ(t)x, uq = sin ж, а = b = с = 1.
13.25.	Пусть и(ж, t) — решение задачи Коши
ut = a2∆,u, u∖t=o = по(ж),
где uq ∈ C,(Rn) и |«о(ж)| ≤ Me~δ^2, <5 ≥ 0.
Доказать, что при всех t ≥ 0, ж ∈ Rn
∣n(t, ж)| ≤ M(l + 4α2<5t)-n∕2 exp I	⅛L—1.
∣4 1 + 4α δt J

260
Гл. 4. Задача Коши
13.26.	Пусть u(x,t) — решение задачи Коши
ut = a2∆,u, u∣t=o = Uo(^)>
где uq — финитная непрерывная функция.
Доказать, что для любых Т > 0, δ < —δ- существует М > О
4azT
такое, что
∣u(x, t)∣ ≤ Me^δ∣x∣2, х ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ Т.
13.27.	Пусть u0 ∈ C(Rn) и ∣u0(X)∣ ≤ Λ4eδ∣+ где δ > 0. До-
казать, при 0 < t < τ∈Rn функция
«Ц, i) =	[ ⅛(ξ) exp || dξ (X)
(2α√πt) J	4a t )
Rn
принадлежит классу Coc и является решением задачи Коши
ut = a2∆u, 0<t<^^, ⅛=0 = ^0(+)∙
13.28.	Доказать, что если условие задачи 13.27 выполняет¬
ся для всех δ > 0, то функция (X) принадлежит классу Co°
при t > 0, х ∈ Rn и является решением классической задачи
Коши
ut = a2∆u, t > 0; ^k=o — ⅝(^)∙
13.29.	Методом обобщенных функций решить задачу
ut = a2uxx, t > 0, х > 0;
u∖t=o = Uq(x∖ u∖x=q = 0,
где uq(x) ∈ С(х 0).
Ответы к § 13
13.5.	1) 1 ÷ ex + ∣t2. 2) t2 + e~t sinx.
3) (l÷⅛)e tcosx. 4) chtsinх.
( 2
5)	1 — cost + (1+ 4^)~1∕2 exp < —
6)	(l÷⅜)-1∕2expPa7~*2+ +

Ответы к § 13
261
7)	x(l+4i) 3z2exP∣--∩⅛∣∙
8)(l+44)-'⅛1 t⅛4>{-⅞¾}∙
13.6.	1) et — 1 + e~3t cosх sin?/.
2)	1 + i sin х sin y(2 sin t — cost + e 2t).
□
3)	sin t H	——τ exp
(l+4i)3
z2 + √
1 +4t
4) 5+√⅛exp
- ⅜)21
1+i ∫
5)
1
√l+t2
xy
cos —exp
I + t2
⅜c⅛2)
2(1 +t2)
13.7.	1) ^cosx(e 2t — 1 + 2t) + cos у cos ze 4f.
2)	et — 1 + sin(rr — у — z)e~9t.
oλ 1 . o . cos 2// f , x2 ∖
3)	- sin 2z H—.	exp < — t — -	 >.
4 √Tψt [	1+tJ
4) ∣ cos(x -y + z)(l- e-3i) +	1 exp / -(ж +J, ~
3	λ∕ I 9≠	1 ÷ 12t
5)
sin г
√1 +4Z2
xy
cos	≈ exp
1 + 4t2
⅛(*2+√)
2(1 +t2)
13.8.	1) e nt cos^,=oχk- 2) (l+4i) ",'2exp ∣~ 1
3)	(I + 4i)-(n+2)∕2 exp | - My (£”=1 xk) j.
(n ∖	z	2 3
T⅛Σxfc)exp(-r1t4⅜ }■
fc=l
13.9.	1) u(x,y, z,t) = (et — l)cos5xe 5z ÷ (^y3 + ∣t∕∕^ et sh2x.
2)	u(x, y, z, t) = ∣(e4*-e 2z-∖- (y—x4- 12tx2- 12t2) e tsinz.

Гл. 4. Задача Коши
и(х, у, z, t) = le^+^+4^(e4t — 1) + (ж3 + 24tx) е 4t cosy.
и(х, у, z, t) = (x2 + 4?/2 — 5z2)(e^ — 1) + xy2 ÷ 4tx.
и(х, у, z, t) = txy + (г3 + 12tz)e-10t sin(⅛ — 2у).
и(х, у, z,t) = t^ (л2 - Ж2) + e3t+3rr (у4 + 6z2y + 4t(?/2 + ?/) + ∣t2).
и(х, у, t) = ∣(e* + e-5t) cos(⅛ + у) + (ж + 2y)2 + 2t.
и(х, у, t) = (δe-5t + t — cosх sin?/ + (3x + ?/)3 + 6t(3x + у).
и(х, у, z, t) = txe8t~2z + ((ж + г)4 + 48⅛(x + 2)2 + 192t2) e~2t cosy.
и(х, у, z, t) = (8t + 20x)e2t+x+3y + (z3 + 4tz3 + ~^t2z^ e2t+x~3y.
и(х, у, z, t) =
= (у —	+ |) ch(4τ∕ — 3z) cos 5x + 40t sh(4v∕ — Зг) cos 5х.
и(х, у, z, t) =
— (| ÷ θ)3∕2 — 9 + 2x ÷ ?/ ÷ 2А е ycosz-3te y(sinz + cosz).
у о	/
и(х, у, z, t) = (in	cos(3x — 4y) sh5z- 18t sin(3x — 4y) sh5z.
u(x,y,z,t) = (√t + 4 — 2 + х — 2у + г) sin ж ch г + 7t(cosxchz +
+ sin ж shz).
1	У2
и{х, у, z, t) = (ж2 ÷ y2 — 2z2) sint ÷	1 ∙ e~ 1+4* ~2t ∙ sin(rr + z).
_t	J	2z-z2÷1	|
u(x, у, z, t) = e-2 sin(x + ?/)	∙ е t+1	+ -t5(х + 1).
V 1 + t	3
и(^х, у, z,t) — sh£ ∙ e~3z cos(3a? + 4y) + e~tycos(x + ^) + e~tx×
× cos(x + ^)- te~t sin(x + z).
и(х, у, z, t) =
= ⅛t2(x24- 7x + 2,y2-3z2+ 11) + (r3÷∣xt)e-^ sin2^-^=e- 1+t.
13.10.	1) u{x, у, z, t) = ^[cos(3t + х + у + z)+
÷sin(3t ÷ х + у + z)] + e-t(rrcosx — 2t sin x)yz — ^e-3t[cos(x + у +
+ z) + sin(rr + у + z)].
и(х, у, z, t) = tet+x+y cos z + e~t [(ж + у + г) sin х + 2t cos ж].

Ответы к § 13
263
3)	и(х, у, z, t) =	÷ е z [е 11 sin(rr + у) — е 17f-⅛-sin(3(ж+ ?/))].
4)	и(х, у, z, t) = (9t2 — 6t — 7) cos(⅛ + у + г) + 7e-3f cos(rr + у + г) +
+ e~t (х — у + z) sin z + 2le~t cos z.
5)	u(x,y, z,t) = (t2 + l)sin(x — 2г) — е 5⅛in(⅛ — 2г) + е t(x + у +
+ г) cos у — 2te~t sin у.
6)	и(х, у, z,t) = | ch(^ - у + 2г + 6t) + Q + sh(x - у + 2г + 6t) +
÷ (x2 ÷ 2t)(y2 + 2£)(г2 ÷ 2t) - ^e6t sh(x - у + 2г).
(⅞-j
7)	u(x,y, z,t) = te 9^cos(2x — у + 2г) + x{y2 + 2£)(г3 + 6г£) +
÷ ⅛e~6t sin(cc + 2у + г) + ^e~2t sin(⅛ + г).
8)	u(x,y,z,i) = -X - ≡Te-3t 0+ξ) +
15,r + 8∕y ^	∣^ (15κ + 8t∕)2 t
+ (l+34i)3∕≡exp[	2 + 68t	17
9)	u(x, y,z, f) = ±	± (t + Л e~2t +
12x + 5y Г (12z + 5y)2 t
+ (l+26i)3/2eXP[	2 + 52t	13
10)	и(х, у, г, t) = sin tex+y + e~5t cos х cos 2y.
1	-2х2	-У2
11)	и(х, у, г, t) = e~t cos(2rr — v) ÷ ,	;	е 1+8t е 1+4t.
v y j v yj √T^√Γψ4t
12)	и(х, у, г, t) = ^(5x2 — 12г/2 + 7г2) arctg у +
+

(1 + 10t)3/2
13)	и(х, у, г, t) = γθ(8^2 - ⅝2 - Зг2) arctg у +
3x + y ⅜f-2z+2t
(l+20t)3∕2
14)	и(х, у, г, t) = (4et — 6e2t ÷ 2e-2t) ch г + (ж3 + 6xt)(l + e~4t cos 2?/) +
+ ze~5t sin(x + 2у).
15)	u(x,y,z,t) = [e~t + et(- cost + 2sint)] совг + et(x4 + 12x2t +
+ 12t2) ch г + еж ch(2(τ∕ — 2г)) — 1.
1	_ 3y2 _ 1
16)	и{х, у, г, t) = (x2 + у2 — 2г2) sint + sin(x + г)— e~ ι+3⅛-2.
17)	п(ж, ?/, г, ⅛) = г(ж2 — ?/2) sin2 ⅛ + cos?/ 1	1+16t 2t
Vi + lθ^
18)	и(х, у, г, t) = (τ∕2 — г2)е^(.тс11.т + 2t shx).

264
Гл. 4. Задача Коши
19)	u(x,y,z,t)=yze t(xcosx — 2tsinx).
1	— 3χ2
20)	и(х, у, z, t) = xt2 4	 e~24⅛+ι . e~4t cos(τ∕ + z).
V2t+ 1
1 — 2г2
21)	u(x,y, z,t) = 1 — cost 4	 е 24t+1 ∙ e~i5t sin(2rr + у).
√24^ + 1
3)
5)
6)
7)
9)
i3.il. 1) ε{x,t). 2) ε{x — xo,t — ⅛)∙
4a t 2t J
ллм 4)
4a (t - to)
Хк
4a2t2
t
ε(x, т) dτ.
о
∂E{x, t)
∂Xk
8)
6
t-t0
ε{x — xq, т) dr.
\х - χo∖2
л 2,2
4α t
Xq, t) + δ(x — Xq, t).
t
10) ω(τ)f(x, t — т) dτ.
о
13.17. 1) θ(t- l)(et-e). 2) φ-π)sint
п + 2
л, «*-
3) θ(t - l)(t - 1)ж. 4) 6>(t - 2)(ef-2 - 1)еж.
5) ^)∫oφ
dτ.
θ) ^)∫0
dτ.
13.18. Указание. Для доказательства см. задачу 13.15, для на¬
хождения решения см. текст перед задачей 13.5.
1) θ(t)(t + l)rr. 2) 0(t)(⅛2 + x2t + 2a2t + α2t2).
3) 0(t)[∙τ3 + x4 + 6t(x + 2ж2) + t2(12 + ж)].
4) 0(t) (τ⅛3 + ^t4 + ex+t^ . 5) θ(t) ÷ sh ■

Ответы к § 13
265
6)	θ(t) (2y∕t + (х + 2a2t)ex+°2t^.
7)	θ(t) [t In t — t + (х sin х + 2t cos x)e~t].
8)	0(t)[xcos х + 2sinx(e-t — 1)].
9) θ(t) ex(et
и + ∕Ze-≈2∕(4i) + τφ ! %
V π	∖√2t
10)	θ(t) (2 - x)ex + (x + 2t- 2)ex+t
+ (ж2 + 2t)Φ
e-x2∕(4⅛)
13.19.	Указание. См. указание в ответе к задаче 11.18.
1)	θ(ty)[x2 — y2 + xy(et — 1)].
2)	φ)[(x2 + ^2)(t+ l)+4α⅜÷2α⅜2].
3)	θ(t) [x2y2 + 2t(x + у)2 + 4t2]. 4) θ(t) [tex cos у + e^+3∕+2°2*]t
5)	θ(0)xey cos г. 6) θ(t) (xyt + cosye a2t^.
13.20.	Указание. См. указание в ответе к задаче 11.18.
1)	θ(t)[xey cos г + e~2xyez(e°2t — 1)].
2)	θ(t) cosz[rπ∕(l — e~t) + (ж2 + y2 + 4⅛)e-t].
3)	θ(t)[xyzsmt + x(y2 + 2a2t)^z2 + 6α⅛z)].
4)	0(t)[x + y2 + z2 + 2α⅜(l + c3z) ÷ (x2 — 2y2 + z2}(et — 1)].
5)	0(t) [sin 3x cos 4ye4z(e~^t ⅛sinte2)].
13.21.	Указание. См. указание в ответе к задаче 11.18.
1)	0(t)[(l + ⅛)∣x∣2 + no2t(2 + t)].
2)	θ(t) f J2[(l + t)x3k + 3α⅜(2 +	.
et — 1 + ехр
3) ^(t)

266
Гл. 4. Задача Коши
13.22. 1) 2et — 1.	2) te*÷cosx.
3) e2t — et + е 2tcosx. 4) et + ^t2 sin ж.
5) (1 + 4α⅜)-1∕2 exp et —	.
6) ∫g ω(t - τ)ecτ dτ +	1	∫!°oo u0(ξ) ехр
2∣a∖∕ τvt
13.23. 1) ⅛(t - l)(ect-c - 1) + θ(f)ectΦ
2) θ(t- l)(t- 1) +6,(t)Φ
1 — х — bt∖
aV2t J
(ж - ξ + ⅜⅜)2
4α2t
3)	24—l)(et _ ect-c+^ + θ^ect Гф (ж + М+1 \ _ φ /х + ы 1\
1 - С	L ∖ a√2i )	\ a√2i )
4)	θ(t - l)(f - l)et + 0(z)e≈+t(1+6+a2)φ ( - + ±2a -
5)	θ(t~ l)(i- l)et +
+ „(,.)<-« [2Д exp (-ħ2⅛
, /	∩∕∖Λ I X — 2t
+ (х - 2i)Φ —=
∖2√2t
6) 0(f)
(ж + bt)ect + ect ∫θ Ф ( - j= ) dτ
∖av2τ )
13.24. 1) 0(/)(2ж - x2 + 2[t - х + (х + i)2]ei).
2)	6>(i) θ≈+t(a2+b+c) +	ecr dτj.
3)	0(t)[(l + х + 7t)ex+t — (1 ÷
4)	Θ(j3)[x(t + 1)еж + e2t sh(⅛ — 2t)].	5) 0(⅛)(cosx + sin⅛sinrr)ex.
6) 0(t)[l — х ÷ (х + t — l)et + (.т + t) sin(,τ + t) + 2t cos(,τ + t)].
1	∞
13.29. 1) —L^p0(y)
2ayπt 0
/ (x-y)2∖	( (^÷2∕)2M у
ехр — 		— ехр — 		dy.
∖ 4a t J ∖ 4a t J _
§ 14.	Задача Коши для других уравнений
и задача Гурса
1.	Задача Коши для уравнения Шредингера. Для урав¬
нения Шредингера постановка задачи Коши
щ = i∆u + f(x, t), х ∈ Rn, t > 0; n∣⅛=o — ж ∈ Kn, (I)
§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
267
и обобщенной задачи Коши
щ — i∆u + F(x, t)
(П)
аналогична соответствующим постановкам для уравнения тепло¬
проводности (см. § 13).
Фундаментальным решением уравнения Шредингера являет¬
ся функция
c∕ ,λ θ(t) (i∖x∖2 τmi∖
εix, t) = —⅛=— θχp -½-l- - —∏- •
v j (2√πt)n V 4t 4 J
Для задачи Коши (I) справедливы результаты, аналогичные
тем, которые сформулированы в задачах 13.1-13.4.
Будем говорить, что функция u(x,t) принадлежит классу F,
если она удовлетворяет оценке
|n(a;,i)| ≤ c(l + ∣x∣)λ, х ∈ Kn, t ≥ О,
при некоторых с и λ.
14.1. Доказать, что если uq(x) ∈ F(Rn), то функция
uo(ξ0ξ^ dξdy
zt∣τ∕∣2—z(rr,χ∕)
является решением задачи Коши
ut = iAu, u\t=Q = гц/ж);
(П1)
(IV)
u(x,t) ∈ Coo(t ≥ 0), u(x,t) ∈ L(Rn) при каждом фиксирован¬
ном t > 0; для любых а и β функции x^Dau(x, t) равномерно
ограничены по х ∈ Rn, t ≥ 0.
14.2.	Пусть u(x,t) — решение задачи Коши (IV). Доказать,
что для любого Т > 0 функция v(x,t) — u(xiT — t) является
решением задачи Коши
vt — -i∆υ, 0 < t < Т; vt=τ — uq(x).
14.3.	Пусть u(x,tβ и v(x,t) — решения задач
ut = iuxx, u∖t=0 = uq(x);
xt = ~ivχx, O<t<T, u∖t=τ = vq(x∖
причем u{x,t) ∈ F, а функция υ(x,t) находится с помощью фор¬
мул задач 14.4 и 14.2. Доказать, что
uq(x)v(ж, 0) dx =
u(x, T)vq(x) dx.

268
Гл. 4. Задача Коши
Указание. В равенстве
т δ
υ(x, t)φs{x)[ut{x, i) — iuxx(x, t)] dx dt = О,
о -δ
где функция φs(x) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием
по частям избавиться от производных функции u(x, t) и перейти
к пределу при δ —> ∞.
14.4.	Доказать единственность решения задачи Коши (V)
в классе Р.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 14.3.
Решение задачи Коши (I) единственно в классе Р (для п = 1
см. задачу 14.4). В задачах 14.5-14.10 рассматриваются решения
только из этого класса, причем существования utt не требуется.
14.5.	Пусть u0(x) ∈ Cn+1(Rn), ∣x∣n+3∣u0(af)∣ ≤ М,
∣x∣n+1 ∣Z>αu0(x)∣ ≤ М для всех a, a ≤ п+ 1.
Доказать, что решение задачи Коши (IV) существует и выра¬
жается формулой (III), которую можно записать в виде
z λ 1	/ πm∖ Г z λ	(i∖x - ξ∣2
"<1'∙ ° = wsrcxp V ~τ) ] ,'°uι cxp (ι∏π
R1
14.6.	Пусть «о(ж) ∈ C,"(R1), о- ≥ 2, uq(x) = 0 при |ж| ≥ 1
и ∣uθr∖x)∣ ≤ М, г ≤ а.
Доказать, что решение задачи Коши (V) принадлежит клас¬
су C°o(t > 0) и
| Γ-fu(x, i) | ≤ СМ(1 + И)2+г-а, г = 0,1,..., а - 2,
для всех ≈∈R1,i≥0.
14.7.	Пусть uq(x) Е C,"(R1), ∣i4θr∖x)∣ ≤ С(1 + |ж|)А, г ≤ а,
α≥2, А<а — 5. И пусть Uk(x,f) — решение задачи Коши
ut = iuxx, w∣t=0 = u0(x)e(x - к),
где функция е(ж) та же, что и в задаче 6.4. Доказать, что
решение задачи Коши (V) существует, выражается формулой
∞
u(x,t) = Uk(x,t)
k=-∞
и Щж, t)∖ ≤ Cι(l + ∣x∣)α^2 для всех х ∈ R1, i ≥ 0.

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
269
Указание. Используя результат задачи 14.6, показать, что
. (г +∖∖ < cι(2 + ∣< < Cι(1 + I<t~2(2 + K
1	(l + ∣τ-fc∣)α-2	(l + ∣fc∣)α^2
14.8.	Пусть «о(ж) ∈ C,1(R1) и ∫ri ∣∞θ(x)| dx < ∞. Доказать,
что решение задачи Коши (V) существует и выражается форму¬
лой
u(x,t) = 2^0(+∞) + t√^∞)] +
+ -Le~πi∕4
√7Γ
К1
⅛(ξ)
(ж—ξ)∕(2√t)
eiy2dydξ.
14.9.	Пусть ∙uθ(x) = em∣x∣2, где а — действительное число,
х ∈ Rn. Доказать, что при α ≥ О существует решение задачи
Коши (IV), а при а < 0 решение существует только при 0 ≤ t <
< — —. Найти это решение.
Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7
при п — 1 в случаях а — 0, ±1.
14.10.	Решить задачи.
1)	ut = iuxx + tx3∙, u∣i=o = ж4.
2)	ut = iuxx, 0 < t <	u∣t=0 = хе~гх\
3)	щ = i∆u + х cost — y2 sin u∣i=o = x2 + у2.
4)	ut = 'iΛu + 6x + y2 + iz3; tt∣t=o = i(x3 + y3 + z3).
5)	ut = iAu; u∣t=o = e-∣x∣2, x ∈ Rn.
14.11.	Найти решение обобщенной задачи Коши (II) для
следующих F ∈ D'(Rn÷1).
l)Λ(i)'φ). 2)i(t)∙⅛⅛
3)	0(i) ∙ δ(x + xq), п = 1.
4)	θ(t —	• 5(ж), п = 1, ⅛ ≥ θ∙
14.12.	Найти решение обобщенной задачи Коши
Щ = iuxx + f(x, t) + u0(z) ∙ 5(t)
при t > 0 для следующих F и uq (/ = 0 при t < 0 и задается
только для t > 0):
1)	/ = θ(x), Uq = 6>(ж);

270
Гл. 4. Задача Коши
2)	f = θ(t-l),u0 = 0(1-Н);
3)	/ = θ(t — π) sini, uq = х2;
4)	/ = -^=-, uq = cos х; 5) / = θ(t — l)(et — е), uq = х sin х.
Доказать, что функции u(x,t), найденные в задаче 14.12, 3),
4), 5), являются решением классической задачи Коши.
2.	Задача Коши для уравнения Utt = — ∆2t∕ + /(ж,/;),
ж ∈ Г, t > О
14.13.	Пусть u(x,t) ∈ C4(x ∈ Rn, t 0). Доказать, что функ¬
ция u(x, £) является решением задачи Коши
Utt = -Δ¼ u∖t=0 = φ(x), ut∖t=o = 0
тогда и только тогда, когда функция
t
w(x, i) = u(x, t) + i ∆u(x, τ) dτ
о
является решением задачи Коши
wt = i∆w, w∖t=0 = <Дж).
14.14.	Пусть функция u(x,t) ∈ C4(x ∈ Rn, t ≥ 0) является
решением задачи Коши
wt = гАш; w∖t=Q = φ(x∖
где φ(x) — действительная функция. Доказать, что функция
u(x,t) = Rew(#,£) является решением задачи Коши
Utt = -А2м; u∣t=0 = φ(x), ut∖t=o = O.
14.15.	Пусть функция f(x,t) ∈ C4(x ∈ Rn, t ≥ 0) является
бигармонической (Δ2∕ = 0) при каждом t ≥ 0. Найти решение
задачи Коши
Utt = -∆2u +n∣i=o=θ, ^i∣t=0 = θ∙
14.16.	Пусть uq(x) и uι(x) — бигармонические функции.
Найти решение задачи Коши
Utt = -Δ¼ u∣t=o = u0(x), ut∖t=o = Ul(x).
14.17.	Пусть функция w(x,t) ∈ C4(x ∈ Rn, t 0) является
решением задачи Коши
wt = i∆,w, ∙u∣i=o = о, ¾k=o = φ(χ∖
где φ(x) — действительная функция. Найти решение задачи
Коши
Utt = -∆2uj u∣i=o = O, Ut∖t=o = φ(x)-

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
271
14.18.	Пусть функция w(x,t) ∈ C4(x ∈ Rn, t ≥ 0) является
решением задачи Коши
wt = гАш; w∖t=Q = φ(x),
где φ(x) — чисто мнимая функция. Найти решение задачи Коши
utt = -Δ⅛ -u∣t=O = φ(x), ut∣t=o = O.
14.19.	Пусть u0(x) ∈ Cn+3(Rn), ∣τ∣n+5∣u0(≈)∣ ≤ М,
∣τ∣n+1 ∣Dαu0(aj)∣ ≤ М, ∣α∣ ≤ п + 3.
Доказать, что решение задачи Коши
Utt = -A2u; u∣i=0 = u0(x), ut∖t=o = 0
существует и выражается формулой
u(x, t) = 	J=

v 7 (2√^)nJ
Указание. Воспользоваться результатами задач 14.5 и
14.20.	Решить задачи:
1)	Utt =	+ 6ta;3; u∣i=θ = °’ ni∣t=0 = χ4'>
дх
Utt = -X2u + xyet∖ ti∣i=o = %1y1, wi∣t=0 = 0;
utt = -∆2ιt + 6x2y2z2j u∣i=0 = 0, ut∖t=o = 0;
∩	1	।	2 I ∩
utt = -7^Г’ ° < t < ?; u t=0 = cosxz, ut t=0 = 0.
дх	4
u0(ξ) cos
14.14.
2)
3)
4)
ди
О	v	ди	(. ∂ \
Задача Коши для уравнения — = Р г— и.
∂t \дх
∂t
Клас-
и,
(VI)
∂nu
∂xn
3.
сическая задача Коши для уравнения
ди r, /. д
^∂i ~ p (⅛
где P(σ) = a^aN + αισ7v^1 + ... + ао ≠ О, N 2, с начальным
условием
4=0 =	(VII)
ставится в классе функций u(x,t) ∈ C(x ∈R1, t ≥ 0), у которых
. n	ди
при t > 0 существуют непрерывные производные — и
Задача Коши (VI), (VII) называется поставленной коррект¬
но в классе L (определение класса L см. в §9), если для
каждой функции по(ж) ∈ L существует единственное решение
задачи (VI), (VII), которое при каждом t > 0 принадлежит клас¬
су L и убывает при |х| —> ∞ вместе со своими производными,
272
Гл. 4. Задача Коши
входящими в уравнение (VI), быстрее любой степени |ж| 1 рав¬
номерно относительно t в каждом интервале 0 < t < Т < ∞.
14.21.	Пусть задача Коши (VI), (VII) поставлена корректно
в классе L и
∞
υ(σ, i) = F∖u(x, i)] = u(x, t)eτxσ dx,
—∞
где u(x,t) — решение задачи (VI), (VII). Доказать, что функция
u(σ,t) при каждом t ≥ О принадлежит классу L и является
решением задачи
^E = p(σ)r, t>∣t=0 = P[-u0(τ)].
14.22. Пусть uq(x) ∈ L и
ReP(σ) ≤ С < ∞
при всех действительных с. Доказать, что функция
u(x, t) =
gtP(σ)-ixσ
u0(ξ)eiσ^
dξ dσ
(VIII)
(А)
(IX)
является решением задачи (VI), (VII), принадлежит классу
Coo(t ≥ 0) и при |ж| —> ∞ убывает вместе со всеми производны¬
ми быстрее любой степени |ж|-1 равномерно относительно £ ≥ 0.
14.23.	Доказать, что условие (А) является необходимым
и достаточным для корректности постановки задачи Коши (VI),
(VII) в классе L. Указание. Для доказательства необходимо
показать, что если условие (А) не выполнено, то существует
такая функция ¾(x) ∈ L, для которой решение задачи (VIII)
не принадлежит классу L.
14.24.	Пусть задача Коши (VI), (VII) поставлена корректно
в классе L. Доказать, что ее решение выражается формулой (IX),
которую можно записать в виде
u(x, i) = τ∕o(ξ)G(x — ξ, i) dξ,
∞
G(x, i) = 2- f etp^~ixσ dσ.
2π
—∞
(X)
(XI)
Указание. Воспользоваться оценкой
∣G(τ,t)∣ ≤ Ct^1∕w.

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
213
14.25.	Пусть условие (А) выполнено, uq(x) ∈ C7v+2(R1) и
∞
∣zzθc∖x)∣ dx < ос, к = 0, 1,..., N + 2.
—∞
Доказать, что решение задачи (VI), (VII) существует, вы¬
ражается формулой (IX) (или формулами (X), (XI)) и функция
u(x, t) ограничена при t ≥ О вместе со своими производными,
входящими в уравнение (XI).
4.	Задача Коши для уравнения первого порядка. В обла¬
сти Q С F рассмотрим дифференциальное уравнение
(А(ж), Viz) + a(x)u = /(ж), х ∈ Q,	(XII)
в котором √4(x) = (αι(x), ..., αn(rr)), Viz = (‰1,... , ‰n), <¾(x) ∈
∈ C1(Q), i = 1, ∙.∙, rn, ∣A(^)∣ >0, £ ∈ Q, a(x) ∈ Cf(Q), ∕(x) ∈
∈ C(Q).
Пусть S — лежащая в Q гладкая (п — 1)-мерная поверхность,
на которой задано значение ιzo(x) функции ιz(x)
u(x‰es = Mrr)∙	(ХШ)
Задача Коши состоит в нахождении в некоторой, содержа¬
щей поверхность S подобласти Q' области Q функции ιz(x) ∈
∈ C1(Q'), удовлетворяющей уравнению (XII) в Q' и условию
(XIII).
Если на поверхности S выполнено условие
(A(x),v(rr)) ≠ 0, х ∈ S,
где вектор v(τ) — вектор нормали к поверхности S в точке х,
а функция uq(x) ∈ C1 (S'), то существует, причем единственное,
решение задачи Коши. (О задаче Коши для уравнения первого
порядка, более общего, чем уравнение (XII) см., например, в [4].)
14.26.	Решить задачи:
1)	щ + 2ux + Зи = 0; zz∣⅛=o —
2)	ut + 2ux + и = xt; tz∣⅛=o = 2 — х;
3)	2ut = ux + хи; u∖t=o = 1;
4)	2щ = ux — хи; zz∣⅛=o = 2xex /2;
5)	щ + (1 + x2)ux — и = 0; zz∣⅛=o = arctgx;
6)	ut + (1 + t2)ux + и = 0; u∖t=Q = е~х;
2х
7)	ut = ux + -—2 й; ub=o = 1;
1 + х
8)	2tut + xux — 3x2u = 0; zz∣⅛=q = 5ж2.

274
Гл. 4. Задача Коши
5. Задача Гурса для гиперболического уравнения на плос¬
кости. Рассмотрим один частный случай задачи Гурса. Так на¬
зывают, в частности, задачу нахождения в C2 (∖t∖ < -) решения
уравнения	a
Utt = a2uxx, ∖t∖ < -,	(XIV)
а
удовлетворяющего условиям
u∖t=ax = 51 (ж), u∖t=βx = у2(ж), ж > О,
где а и β — постоянные, a ≠ β, ∣α∣ ≤ -, ∣∕3∣ ≤ и g↑(ж) и у2(ж) —
заданные функции (для уравнения (XIV) рассматривают и более
общую задачу, в которой прямолинейные лучи t — ах и t — βx,
х > 0, заменены соответствующими кривыми).
Решение задачи Гурса единственно и при условиях gβx} ∈
∈ C2[0, ∞), г — 1,2, pι(0) = g%(ty, существует.
Пример 1. Найти решение задачи Гурса для уравнения
uxx + 3uxy - 4uyy -ux + uy = 0, (х, у) ∈ R2,	(1)
удовлетворяющее условиям
^|?/=4ж — Т J ^j∖y=-x — !•	(2)
Δ Найдем общее решение уравнения (1). Характеристическое
уравнение (⅛∕)2 — 3dxdy — 4(dy)2 = 0 распадается на два урав¬
нения dy + dx = 0, dy — 4dx = 0, для которых у + х = С,
у — 4x = С являются общими интегралами. Заменой переменных
ξ = у + х, η = у — 4х уравнение (1) приводится к каноническому
виду Uξtη — -uη = 0. Интегрируя это уравнение, находим
о
U = f(η)e~ξ∕5 + y(ξ) = f(y - 4ж)е-(у+ж)/5 + g(y + ж).
Воспользуемся условиями (2):
∖ ∕(0)e-x + у(5ж) = 5ж + ех,
(/(—5ж) + y(0) = 1.
Решая эту систему, получаем /(ж) = 1 — у(0), у(ж) = ж + еж/5 —
— ∕(0)e-χ∕5. Следовательно,
и(ж, у) = [1 - 5(O)]e-^+^∕5 + ж + у + e(≈+^)∕5 - ∕(0)e-<a+^∕5.
Учитывая, что из системы (3) при ж = 0 следует равенство /(0) +
+ 5(O) = 1, окончательно находим решение задачи (1), (2):
и(ж, у) = ж + у + et'x+y45.	д

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
275
Пример 2. Решить задачу Гурса
x2uxx - 3xyuxy + 2y2uyy + 3xux = О, х > 0, у > 0;	(1)
«1=1 = 1+у, u∖x=y = у + у2, у > О.	(2)
У
Δ Найдем характеристики уравнения (1). Имеем
z2(dy)2 + 3xy dx dy + 2y2(dx)2 = О,
или
χ2(y')2 + ⅛χyy, + %y2 = θ∙
Отсюда следует, что у' = — — и у' = Получаем два семей¬
ства характеристик уравнения (1)
Ci	С2
У = ~ и У = —•
xz	х
Введем характеристическую замену переменных
и запишем уравнение (1) в новых переменных:
Зх
О
х2
2у2
-Зху
ux = Uζ-y + uη∙ 2ху,
Uy = Uζ ∙ X + Uη ∙ X2,
Uxx = y2uζζ + 4xy2Uζη + 4α¾⅛w + 2yuη,
Uyy = X2Uζζ + 2x3Uζη + x4uηη,
Uxy = xyuζζ + 3χ2yUζη + 2x3yuηη + Uζ + 2xUη∖
откуда находим
u^x2y2 + 2x2y2 - 3x2y2) +
+ ,Uξτ7(4x3^2 — 4х3?/2 — 9ж3?/2) + uηη(4x4y2 + 2x4y2 — 6x2y2) +
+ Uζ(3xy — Зху) + uη(6x2y + 2x2y — 3x2y) = 0.
Следовательно, уравнение можно записать в виде
—x3y2Uζη + 2x2yuη = О,
или (так как х > 0, у > 0) в виде
-xyuζη + 2uη = 0.
Используя замену переменных (3), получаем
-ζUζη + 2Uη = 0.	(4)

276
Гл. 4. Задача Коши
Введем функцию v = uη. Тогда уравнение (4) примет вид
—ξvξ + 2v 0.
Следовательно, v = C∖ (η)ξ2, те C↑(η) — любая функция клас¬
са С1.
Таким образом, uη = C1(77)ξ2. Проинтегрировав последнее
равенство по η, получаем, что
цел) = ∕(>7)ξ2 + 5r(ξ),
где e∕(77) и g(ζ) — любые гладкие функции класса С2, является
общим решением уравнения (4), а функция
u(x, у) = f(x2y)x2y2 + g(xy)	(5)
является общим решением уравнения (4).
Подберем теперь функции /(ту) и p(ξ) так, чтобы выполня¬
лись условия (2). Из (5) и (2) следует, что
tt∣a,-i = / (-) +5(1) = 1 + у, у>®,	(6)
x~y W'
u∖x=y = f(p)y4+g(y2) = y + y2, у>0.	(7)
Из (6), положив р = -, получаем
∕(y) = l + ^-y(l).	(8)
Из (6) и (7) находим
S,Q∕2) = y2 -y4 + y4fi,(l)∙
Отсюда, положив q = у2, имеем
5(q) =q-q2 + q2g(iγ	(9)
Из (5), (8) и (9) получаем
Щ,у) = ( 1 + 4	Щ)) x2y2 + xy - x2y2 + x2y2g(∖).
\ X У J
Следовательно, функция
u(x,y) = у + ху
есть решение задачи (1), (2).	▲

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
277
14.27.	Доказать, что задача Гурса
‰τ∕ = 0, 9 < у < сеж, х > 0, у > 0;
ιt∣3∕=0 = Да?), u∖y=ax = g(x)
имеет единственное решение
u(χ,y) = f{χ) + g(-} - f (-Y
\ СЕ / \СЕ/
если функции /(ж) и #(ж) принадлежат классу С2(ж > 0) ∩ С (ж ≥
≥0)h∕(0) = <7(0).
14.28.	Доказать, что задача Гурса
uxy = 0 ж > 0, у > 0; u∣<z=o = /О)> ,⅛=o = рЫ
имеет единственное решение u(x,y) = /(ж) + g(y) — /(0), если
функции /(ж) и р(ж) принадлежат классу С2(ж > 0) ∩ С(ж ≥ 0)
и/(0) = (/(0).
14.29.	Доказать, что решение задачи Гурса
uxy = О, У > сеж, ж > 0, се < 0;
rUj∖y=ax — О, Жл|ж=о = О
не единственно. Показать, что множество всех решений этой
задачи имеет вид
u(x,y) = /(ж) - f Ц),
где /(ж) — любая функция из класса C2(R1), равная нулю
при ж ≤ 0.
14.30.	Доказать, что задача Гурса
uxy = θ, 0 < У < φ(x∖ ж > 0;
«|у=0 =	u∖y=φ(,x) = УЦ)
имеет единственное решение
м(х, у) = /(ж) + g (φ^1 (у)) - f (φ^1 (у)) ,
если функции /(ж), р(ж), φ(x) принадлежат классу С2(ж > 0) ∩
∩ С(ж ≥ 0), /(0) = g(0), φ(0) = 0, φ'(x) > 0, ^-1(ж) — функция,
обратная к функции φ^x).

278
Гл. 4. Задача Коши
14.31.	Пусть функции φ(x), ψ(x) принадлежат классу
C2(x > 0) ∩ C(x ≥ 0) и φ(0) = ≠(0). При каких действительных
значениях а задача Гурса
auxx + uyy = <3, х > О, у > 0;
u∣j∕=o = ДД, u∣χ=o = Ду)
имеет единственное решение? Найти это решение.
14.32.	Для каких положительных значений параметра b за¬
дача
Utt = o2uxx, 0 < t < Ьх, х > 0;
М/ = 0 — 0’ ^j∖t=bx — θ
имеет только нулевое решение?
В задачах 14.33-14.55 требуется найти решение поставлен¬
ной задачи Гурса и доказать единственность этого решения.
14.33.	uxy + их = х, х > 0, у > 0; u∣a,=0 = у2, и\у=0 = х2.
14.34.	uxy + x2yux = 0, х > 0, у > 0; tz∣jj=o = 0, ω∣2,=o — χ∙
14.35.	Uxy I — 15 χ θ, У θ,
и|ж=о — φ(y)> 11lτ∕=o — Ψ(χ∖ где функции φ(x), ψ(x) принадлежат
классу С2(ж > 0) ∩ С(ж ≥ 0) и ДО) = ДО).
14.36.	uxy + xux = 0, х > 0, у > 0; и|ж=0 = φ(y), u∖y=0 =
= Дж), где функции φ(x), Дж) принадлежат классу C2(x > 0) ∩
∩ C(x ≥ 0) и ДО) = ДО).
14.37.	2uxx - 2uyy + ux + иу = 0, у > |ж|;
u∖y=x = 1, u∖y=-x = (х + 1)е .
14.38.	2uxx + uxy - uyy + ux + иу — 0, -^х < у < х, х > 0;
U∣y=x = 1 ^F^ Зх, и\у=_х^2 = 1-
14.39.	uxx + 6uxy + 5uyy = 0, х < у < 5ж, х > 0; u∖y=x =
= φ(x), ,ω∣jz=5a. = ψ(x∖ гДе функции ⅛j(x), ≠(s) принадлежат
классу С2(ж > 0) ∩ С(ж ≥ 0) и ДО) = ≠(0).
14.40.	uxx + yuyy + ^uy = 0, -|ж2 < у < х, х > 0;
гД=о = 0, u∖y=-xyi = х2.
14.41.	uxy — exuyy = 0, у > e~x, х > 0;
Чж=0 = y2> u∖y=-eχ = 1 + X2.

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 279
14.42.	yuxx + (ж - y)uxy - xuyy - ux + uy = 0, 0 <у < х, х > 0;
|у=0 — θ, ^ly='∙ — 4ж •
14.43.	xuxx + (ж — y)uxy — уиуу = О, 0 < у < ж, ж > 0;
^ly=O — θι Му=:/' —
14.44.	y2uxx + uxy = 0, у3 - 8 < Зж < у3, 0 < у < 2;
'⅛=2 = Зж + 8, 'u∣3,r=y2 = 2y3.
14.45.	x2‰r - y2uyy = 0, у > х, х > 1; u∣x=ι = 1, u∖y=x = х.
14.46.	x2uxx — y2uyy + xux — yuy = 0, - < у < х, ж > 1;
u∖y=x = х, u∖y=l∕x = 1 + 1пж.
14.47.	Зж2ижж + 2xyuxy — y2uyy = 0, ж < у < -2=, 0 < ж < 1;
u∖x=y = у, ⅛=1 = у2.
14.48.	3x2‰r + 2xyuxy — y2uyy = 0, 1 < у < х, х > 1;
u∖y=x — 0, и\у= 1 — cos
14.49.	uxx — 2 sin xuxy — cos2 xuyy — cos xuy = 0, ∖y — cos x∖ < x,
X 1> ^∣^=τ⅛cos x — COS X, u∖y=_x-μcosx - COS Ж.
14.50.	uxy		—(ux — uy) = 1, у < —x, x > 2;
x — у	J
u∖y=-x — θ> ^∣rr=2 — 2 + 2y + — у .
2
14.51.	uxx - uyy + -ux = 0, у > 1 + |х|;
'lβy=χ-∣-l — 1 ж, u∖y=∖-x — 1 ^⅛^ Х‘
1	2
14.52.	uxx - Uyy + -ux + -^u = 0, у > х, х > 1;
х	χ2
r^j∖y=x = 1, tι∣x~ι = у.
14.53.	uxy = 1, ах < у < βx, х > 0, 0 < а < β∖
rUj∖y=ax = θ, rUj∖y=βx = 0.
14.54.	uxy = 0, x2 <у < 2х2, х > 0; и\у=х2 = ж4, и\у=2х2 = х2.
14.55.	uxy — 0, ж4 < у < х2, 0 < х < 1;
uk.-zr2 = 0, izL.-t4 = х(1 — х).
I (у 	tA√	I (у 	«А-/	\	/

280
Гл. 4. Задача Коши
14.56.	Решить задачи:
1)	2?/жж + 5uxy ^^jyy + ^jχ + 3ιiy = 0, n∣2z=3x = е Ж// ,
«к=о = 1 + у2;
= е4ж,
8ux + 8uy — 0, u∖y=-x
2) uxx 3uxy ^⅛^ 2Uyy
u∖y=-2x = е6ж - х\
3)	rUjxx 4uxy И- 3uyy 7ux И- 7Uy — 0, u∖y=-x — с ,
^∖y=-3χ = e7x - 2х;
4)	Uxx ^^h 3uxy ^⅛^ 2uyy ^⅛^ Ux ^⅛^ Uy — 0, tz|^=Q — 2xc , и\у=2х — О,
5)	uxx 3uxy + 2uyy + их 2uy — 0, и\у=q — 1 + 4ж,
u∖y=-2x = е~2х;
6)	21/жж 3uxy 2uyy — 25sin(x 2z∕), и\у=_2x = 2 5х,
^,∣x=2τ∕ — 2,
7)	2uxx + 5uxy - 3uyy = 7cos(x + 2у); u∖y=3x = 1 + 14ж,
⅛=-22∕ = 1 + 7у;
8)	^jxx 4uxy ~Ь 3uyy -∣- 4ux 12иу — 0, ^1^=0 — 3x ^⅛^ 1,
7/1 о — р— 12ж.
υj∖y=-3x c ’
9)	uxx-5uxy + Quyy + 4ux-8uy = 0; г/|ж=о = У2+ 1> u∖x=-^ = e2y'^
Ю) ^хх uxy 2uyy 3ux Зиу = 0; и\у=θ = x2 + 1, u∖y=x = с 2 .
14.57.	Решить задачи:
1)	uxx + (l-2x)uxy-2xuyy-^^j^ =0, x<y<-x2, ®<-|;
u∖y=x = Х^х — ж2 , u∣y=a∙2 = х4 + 2ж3 + х2, х <
2
2)	fUχχ -h (х -h I'faxy ^^h ^^jyy И- । ~ — 0, <Z у <Z X, X	1,
u∣2z=τ = х2 — х3 + u∖	x2 = vzx2 — 2х, х > 1;
4	У=~2
3)	x2uxx — 3xyuxy + 2y2uyy + 3xux = 0, х > 0, у > 0;
w∣x=i∕jz = 1 + у, u∖x=y = y + y2, y>0',
4)	x2uxx — 4xyuxy + 3y2uyy + 4xux = 0, х > 0, у > 0;
^∣≈=ι∕2∕ = У - 1, «|ж=1 = У - У1, У > 0;
5)	4x2‰t - y2uyy + 4xux - yuy = 0,	< x < y2t у > 0;
У
И1Ж=± = 3 + у4, u∣x=∙y2 = 3y4 + 1, у > 0;
У2
6)	x2uxx - 4y2uyy + xux - 4yuy = 0, -у < у < х2, х > 0;
X

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 281
ιz∣ ι=l+ 2ж4, ц| 2 = 2 + ж4, х > 0;
⅛=^2	'y~x
7)	⅛ + (1 - 2ж)-»Жу - 2xuyy - 2	= 0, x<y<-x2, x<~^
u∖y=x = ж2 + ж, и|у=_;,-' = 2ж2 + 2ж, ж <
8)	uxx + (ж + l)uxy + xuyy +	=0, у < у < ж, у > 0;
u∖v=x = ж2 — 2ж, и| 2 = 2ж2 — 4ж, ж > 1;
у=т
9)	yuxx + (ж - y)uxy - xuyy = 0, 0 < у < ж;
w∣y=o = 0, u∖y=x = х3, х > 0;
10)	2xuxx + (ж + 2y')uxy + yuyy + 3ux + иу = О, 0 < ж < 2у - 4;
4
^t∣x=O = 2у, и\х=2у—4 = 2 + —,
11)	xuxx + (ж + y)uxy + yuyy + ux + uy = 0, 0 < ж < у — 1;
^lx=O — У’ ^∖x=y-l
12)	2yuxx — uxy + 2yux + иу = 0, у ≥ О,
= sin у, tz∣a.=o = ey2 sin у, у > 0;
13)	xuxy — уиуу — (ж2 — l)uy = 0, ж > 0;
u∖y=x = eχ2∕2, ti∣2z=ι∕κ = x4eχ2∕2, ж > 0;
14)	yuxy - xuyy + ж (2y + иу = 0, у > 0;
ιz∣j∕=o = же-а;2, ii∣j,=o = у2;
15)	uxy + uyy + (ж - y)2(‰ + uy - 1) = 0;
w∣x=o = У2, u∖y=x = ж2;
16)	xuxx + (у - x)uxy - yuyy = 0, 1 < у < ж;
u∖y=x = 0, u∣y=ι = ж2 - 1;
17)	yuxx + (ж - y)uxy - xuyy = О, 0 < у < ж;
^t∣j∕=O = θ> ^∣j∕=x =	■
6.	Задача Коши для некоторых квазилинейных уравнений
14.58.	Найти решение задачи Коши
щ + uux = 0, t > 0; ιφ=o = sign ж,
непрерывное для i ≥ 0, |ж| + i ≠ 0, и непрерывно дифференциру¬
емое при t ≠ |ж|.

282
Гл. 4. Задача Коши
14.59. Найти решение задачи Коши
где се, β '≥ а — постоянные, непрерывное для £ ≥ 0, ∣x∣ + t ≠ О,
и непрерывно дифференцируемое вне прямых t = —, t =
а р
14.60. Доказать, что задача Коши для уравнения Бюргерса
о
щ + uux = a uxx
с начальным условием
u∖t=O = и0 (х)
подстановкой и = —2а2 — сводится к задаче Коши
V
2	I	1
υt = a vxx, v∖t=o = exp
2а
uO<Γ)dξ
О
14.61. Пусть и — решение задачи Коши
ut + uux = εuxx, u∖t=o = sign х,
где постоянная ε > О, непрерывное при t ≥ 0, ∣x∣ +1 ≠ 0, и непре¬
рывно дифференцируемое при t > 0. Доказать, что это реше¬
ние при ε —> +0 стремится к решению задачи 14.58 (теорема
Э. Хопфа).
14.62. Проверить, что решением уравнения Кортевега-
де Фриза
ut + 6uux + ^jXXX — О
является функция
u(x, t) =
а > О,
описывающая «уединенную волну» (солитонное решение). Пока¬
зать, что это — решение с конечной энергией
(n^ + u2x) dx < ∞.
—∞

§ 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса
14.63.	Для уравнения Лиувилля
Utt - Uxx = geu, g>0,
проверить следующие утверждения:
1)	функция
2gch2 — хо — at
является решением при всех х и t;
2)	функция
<,⅛t⅜ = in <W + <W-<)
9	+ 0 ~ Ψ(χ - t)]2
является решением при любых φ и ψ таких, что φ,ψ Е С3,
φ'ψf > 0;
3)	функция
u(x, t) = | [uq(x + t) + Uq(x - t)] -
— In <
cos2
ew0(ξ)∕2cjξ >
является решением задачи Коши с начальными условиями
⅛=o = Щ)(х\ ut∖t=o = 0,
если
х—t
14.64.	Проверить, что для уравнения
W — Uχx = —gsinιz, g > 0
функция
/ л i [ । ∖∕g (х — хо — at) |	/	1
u(x,t) = 4arctgexp <	—v	—- > , 0 ≤ а < I,
— α2
является решением с конечной энергией
(τz2 + n2) dx < ∞.
—∞

284
Гл. 4. Задача Коши
14.65.	Проверить, что решением нелинейного уравнения
Шредингера
гщ + uxx + z∕|и12u — О, Z/ > О,
является функция
ch [√α (х — xq — at)]
. а
ехр < г -х —
a2	λ '
—— a t
4	/
α ≥ 0.
Ответы к § 14
14.9.	(1 + 4α⅜)~n∕2 exp |	.
,2 - 12^ + itx(U
14.10. 1) u = x4
2)
3)
4)
5)
х	f	ix2 1
u =	> exP - ч—л г •
(1—4t)3/2	[ l-4tj
и = х sin t + x2 + y2 cost + 2i(t + sint).
и = i(x3 + y3 ÷ z3) — t(βy + 6х — y2 — iz3) + t2(г — Зг).
и = (√1 + 4it )~n ехр | j>, 0 ≤ arg √ 1 + 4zt < .
14.11. 1) f(x,t). 2) ^ε{χ,t∖
t	t-t0
3) £(^х -∖- xo,τy) dτ. 4) ∫ ε(x,τ)dτ.
о	о
1	∕≈∕(2√t)	⅛x∕(2√7)
14.12. 1) ^e-πi∕4	∫ eiy ⅜ + ∫	∫ eiy dydτ
у/π	\ — ∞	о — ∞
г» β(t - i)(t -1)+-Lc-"∕4	<^<, ⅛.
3) x2 + 2it — θ(t — π)(l + cos^).
4) 2∖∕rt + cosrre-zf.
5) θ(t — 1) (et — е — te) + (х sin х ÷ 2it cos x)e~ljt.
t
14.15. ∫(t — τ)f(x, τ) dτ.
о
14.16. uq(ж) + tu↑ (ж).

Ответы к § 14
285
14.17	. Re ∫ w(x, т) dτ.
о
14.18	. ilmw(x,t)∙
14.20	. 1) tx4 + t3(x3 — 4). 2) x2y2 — 4t2 + xy(et — 1 — t).
3)	3x2y2x2t2 — 2(x2 + y2 ÷ z2)⅛4.
1 (	1 x2 l 1 х2 А
4)	-	, cos -	— + z cos -	— .
2 ∖√ΓψR 1 + 4t √Γ^4t	1 - 4t J
14.26. 1) (x-2t)2e~3t
3) exp {∣(4z + t) j>.
5) (arctgx — t)et.	I
2^∙	«
. 2) 4 — х — 2t + xt — 2e t.
6) 1 — е t + exp х
оч 5ж2	( 3x2(t — 1)
8) -Tβxp∣-
14.31. φ(x — ay) — φ(-ay) + ψ(y), a ≤ 0.
14.32.	δ≤
а
14.33.	y2 + i-x2(∖ + е~У).
14.34.	∫exp∣-^ξ2y2∣dξ.
14.35.	у + ≠(τ) + [φ(y) - ⅛9(O) - y]e х.
14.36.	φ(y) + J≠'(ξ)e-^dξ.
О
14.37.	(1 +	ехр - у)|.
14.38.	1 + (τ + 2y)exp∣∣(y-τ)∣.
14.39.	φ	+ φ - φ(0).
14.40.	2xXzy.
14.41.	х2 + (у — 1 + ex)2.
14.42.	ху(х + у)2.
14.43.	у.
14.44.	Зх + у3.
14.45.	х.
14.46.	λ∕xy + In
v 2 у
14∙47∙	V?'

286
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Гл. 4. Задача Коши
14.48.	у cos .
1 . г» X 4 — COS X
14.49.	—1 + 2 cos - cos -—-

14.50.	|(ж + у)2. Указание. Сделать замену и =
14.51.	2-у. У к азание. Сделать замену и = -v.
1
14.52.	У к азание. Сделать замену и = -^v.
14.53.	XΓ7jly ~ axvβx ~ у)'
14.54.	^x4 -x2 + y- Г2
О	о
14.55.	х — y∕y.
14.56.	1) u(x, y} — e~χ∕2 + (Зх — у)2.
и(х, у) = e2x~2y + х + у.
и(х, у) = ex~2y + х + у.
и(х, у) = (2x — y)ex~y.
и(х, у) = ey + 4х + 2у.
и(х, у) = — (у + 2x) cos(2τ∕ — х) + х + Зу + 2.
и(х, у) = |(3я - у) sin(2τ∕ + х) + 1 - х + Ьу.
и(х, у) = e4y + 3х + у.
и(^х, у) = e~4x + (2х + у)2.
и{х, у) = e~3y∕2 ÷ (ж — у)2.
14.57.	1) и(х, у) = (у — ж)2 + ∖∕-y — х2 .
и(х, у) = У2у - 2а? + (у - у
u(x, y)=y + ху.
u(x,y^) = у- (ху)2.
u(x,y) = у2 Г3ж+
и(х, у) = X2 (у +
и(х, у) = х2 + 2х — у.
и(^х, у) = х2 — 4ж + 2у.
u(x,y) = ^xy(x-∖-y).
и(^х, у) — 2у — х —

Ответы к § 14
287
11)	и(х, у) — у — х —
12)	u(x,y) = ey2~x siny.
13)	и(х, у) = eχ2∕2 ∙ (χ4 + - — ху2^.
14)	u(x,y) = (х + y2)e~χ2.
15)	и(х, у) = (x2 — x)e(χ~y^∕3 + х + (х — у)2.
τ2
16)	u(x,y) = — - у.
17)	u(x,y) = ^xy(x + y).
14.58.	—1 при х ≤ —t; +1 при х ≥ t;
Указание. Искать решение в виде
14.59.	а при х ≤ ta; β при х tβ∖ -
- при х ≤ I.
Λτ)∙
при ta ≤ х i
tβ.

Глава 5
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Пусть G — ограниченная область в Rn, S = ∂Q — ее гладкая
граничная поверхность, а пж — внешняя по отношению к G нор¬
маль к S в точке х ∈ S. Принадлежащая C1(G) функция и имеет
n ди
правильную нормальную производную —, если существует
lim	∂u(x,) _ ∂u{x) _ ди
x,→x	∂nx ∂nx дп
x' ∈G'∩(-пж)
равномерно по всем х ∈ S.
I. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа:
найти гармоническую в G функцию и ∈ G(G), принимающую
на S заданные (непрерывные) значения .
II. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в об¬
ласти Gι = Rn ∖ G функцию и ∈ G(Gι), регулярную на бес¬
конечности, т. е. в трехмерном случае (п = 3) lim и(х) — О,
∣τ∣→∞
т. е. u(∞) = 0, принимающую на S заданные (непрерывные)
значения .
III. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую
в G функцию и ∈ G(G), имеющую на S заданную (непрерывную)
правильную нормальную производную щ .
IV. Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в Gι
функцию и ∈ G(Gι), регулярную на бесконечности, т. е. в трех¬
мерном случае (п = 3) lim и(х) — 0, т. е. n(∞) = 0, имеющую
∣x∣→∞
на S заданную (непрерывную) правильную нормальную произ¬
водную U∖ .
Задачи I, II и IV в трехмерном случае (п = 3) однозначно
разрешимы. Решение задачи III определено с точностью до про¬
извольной постоянной, причем
dS = О
S
— условие ее разрешимости.

§15. Задача Штурма-Лиувилля
289
В двумерном случае (п = 2) условие регулярности на беско¬
нечности в задачах внешнего типа есть условие ограниченности
при |ж| → оо. В этом случае задачи I и II однозначно разрешимы.
Решения задач III и IV определены с точностью до произвольных
постоянных, причем
uf dS = О
S
— условие их разрешимости.
§ 15. Задача Штурма-Лиувилля
Рассмотрим краевую задачу
Lu ≡ -(p(τ)√(τ))' + Q(τ)y(τ) = /(ж),	(I)
( aiy(a) - a2y'(a) = О,
lAy(ξ) + βzy'(ty = О,
где а; + «2 ≠ 0, ∕5∣ + /?2 ≠ θ> Р ∈ C1 (α> &)> P(x) ≠ О, Q ∈ C(a, Ь),
f eC(a,b)∩L2(a,b)-
Обычно в физических задачах выполняются условия
«1^2 ≥ О’ Х?1Х?2 ≥ 0, р(х) > 0, q(x) 0.
Область определения Ml оператора L состоит из функ¬
ций у(х) класса C2(a,b) ∩C1(α, &), у" ∈ L2(a,b), удовлетворяю¬
щих граничным условиям (II).
Задача о нахождении тех значений А (собственных значений
оператора L), при которых уравнение Ly = λy имеет ненулевые
решения у(х) из области определения Ml (собственные функ¬
ции, соответствующие этим собственным значениям), называется
задачей Штурма-Лиувилля.
Если А = 0 не есть собственное значение оператора L, то ре¬
шение краевой задачи (I), (II) в классе Ml единственно и выра¬
жается формулой
ь
y(x)= G(x,ξ)f(X)dξ,
а
где G(x, ξ) — функция Грина краевой задачи (I)—(II) или опера¬
тора L.

290 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Функция G(x,ξ) представляется в виде
r, ЛЧ _ _ 1 f У1 (a¼(ξ), a ≤ X ≤ ξ,
c ,е) ⅛Uew ξ≤^≤δ,	( }
где yι(rr) и y%{x) — ненулевые решения уравнения Ly = 0,
удовлетворяющие соответственно первому и второму граничному
условию (II);
k = p(x)w(x) = p(α)w(α) ≠ 0, х ∈ [a, b∖, (IV)
— определитель Вронского.
Краевая задача
Ly = λy + f,
где / ∈ C,(β,!))∩ ∑2(α, ty при условии, что А = 0 не есть собствен-
ное значение оператора L, эквивалентна интегральному уравне¬
нию
ь	ь
y(x) = A ∫ G(x, ξ)y(ξ) dξ + ∫ G(x, ξ)fX) dξ.	(VI)
а	а
Этот метод иногда можно применять и к задачам с вырожде¬
нием, когда р(ж) обращается в нуль или бесконечность или q(x)
обращается в бесконечность на одном из концов отрезка [а, Ь].
Пример 1. Свести к интегральному уравнению задачу
—x2y" — ху' = λy + cos ж,	1 < х < 2,	(1)
y(l)=√(l)ln2,	(2)
τ∕(2) = 0.	(3)
Δ Разделив обе части уравнения (1) на ж, получим
//	/ λ 1	cos ж
—ху —у = Л • -у Н	,	1 < х < 2.
х х
Отсюда имеем
/ ∕∖∕ λ 1 cosх 1	n	z .4
— {ху ) = λ • -у +	, 1 < X < 2,	(4)
х х
то есть Ly = -(xyfγ, p{x) ≡ х.
Решая уравнение Ly = 0, получаем
y = Cιlnx + C2.	(5)

§ 15. Задача Штурма-Лиувилля	291
Найдем какое-нибудь ненулевое решение уравнения Ly = 0, удо¬
влетворяющее условию (2). Из (5) и (2) имеем
y(l) = C2, √(l) = C'ι,
y(l) = y,(l) 1п2 или C2 = C'ιln2.
Возьмем, например, С\ = 1. Тогда
у\(ж) = lnx + In 2	(6)
есть решение уравнения Ly = 0, удовлетворяющее условию (2).
Найдем какое-нибудь ненулевое решение уравнения Ly = О,
удовлетворяющее условию (3). Из (5) и (3) имеем
2z(2) = C71 In2 + C2 = 0,
то есть
C2 = -Ci In 2.
Возьмем, например, C∖ = 1. Тогда
y2 (х) = In х — In 2	(7)
есть решение уравнения Ly — 0, удовлетворяющее условию (3).
Используя (6) и (7), составим определитель Вронского
(см. (V))
In x + In 2 In x — In 2
1	1
X	X
ln2 — ln2
w(x) =
и найдем w(l), т. е.
w(x) -
Так как p(l) = 1, то к = p(l)w(l) = 21п2 (см. (IV)). Воспользо¬
вавшись (III), получаем
(In х + In 2) (In ξ — In 2), 1 ≤ x ≤ ξ ≤ 2,
(In ξ + In 2) (In x — In 2), 1 ≤ ξ ≤ x ≤ 2.
Отсюда согласно (VI) имеем
2	2
y(x) = λ ∫ G(x, ξ) ∙ ∣y(ξ) dξ + ∫ G(x, ξ) -c-^dξ. ▲
1	1
^∙^ = -2⅛2

292 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.1.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, 1)
в следующих случаях:
1)	Ly — —у", ι∕(0) = ι∕(l) = 0;
2)	Ly = -у", yz(0) = y(0), yz(l) + у(1) = 0;
3)	Ly = -у", y(0) = Λyz(O), h ≥ 0, у(1) = 0;
4)	Ly = —у" — у, y(0) = у(1) =0;
5)	Ly = -у" - у, y(0) = yz(0), у(1) = у'(1);
θ) Ly = -у" + у, y(0) = у(1) = 0;
7)	Ly = -у” + у, yz(0) = yz(l) = 0.
15.2.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (1,2)
в следующих случаях:
1)	Ly = -x2yff — 2xy', ι∕(l) = 0, у(2) = 0;
2)	Ly = -xy''-y', √(l)=0, y(2) = 0;
3)	Ly = -x3y,r — 3x2y — ху, у(1) = 0, y(2) + 2y,(2) = 0;
4)	Ly = -x4y'' - 4x3y' - 2x2y, ι∕(l) + y,(l) = 0, у(2) +
+ 3√(2) = 0.
/ 7Г \
15.3.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, — \
в следующих случаях:
1)	Ly = —(cos2 х • у’У, у(У) = О, у ^) = 0;
2)	ь»=-(^У'»(о>=о'»(?)=о;
3)	Ly = -cos2® • у" + sin 2® • у', y(0) = yz(0), у Q) +
+ y (4)=0-
15.4.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, 1)
в следующих случаях:
1)	Ly = — (1	+	τ2)yzz — 2xy',	y(0) = yz(0), у(1) = 0;
2)	Ly = -(1	+	z2)yz, - 2xy',	у(0) = 0, y(l) + yz(l) =	0;
3)	Ly = -(3	+	x2)yzz - 2xy',	y(0) = yz(0), у(1) = 0;
4)	Ly = -Ц	+	l)2yzz - 2(® + l)yz + 2y, y(0) = у(1)	= 0;
5) ls=^(⅛),+⅛⅛'sw=0∙ 9(1)=0;
θ) Ly = -(4 - x2)yzz + 2xy', y(0) = у(1) = 0;
7) Ly = -(ху’У + ∣y, y(0) = у(1) = 0;
8) Ly = —\у" + 4√ - -щУ. √(θ) = 2/(1) = θ∙
х	X5 6 7 8 X

§15. Задача Штурма-Лиувилля
293
15.5.	Найти функцию Грина оператора L на интервале
= 0 в следующих случаях:
(о, при условии ∣y(0)∣
1) Ly = -	^	■ •
1	’44,
-(tg2x∙√)'j 2) Ly = -(tgx • у'у.
15.6.	Найти функцию Грина оператора L на интерва-
/л 71Λ
ле (0,-1 в следующих случаях:
1)	Ly = — cos2 х ∙ y,' + sin2x ∙ y,∖ y(0) = 0, ∣y | < ос;
2)	Ly = — sin2 х • у" — sin 2x ∙ y,∖ |у(0) | < ос, у = 0;
3)	Ly = — sin2® • у"-smc2x ■ y'∙, ∣y(0)∣<∞, у (0+У (τθ=θ-
15.7.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, 1)
при условии ∣y(0)∣ < ос в следующих случаях:
1)	Ly = -x2y" - 2xy + 6y, y,(l) + 3y( 1) = 0;
2)	Ly = -у" + ^y, у(1) = 0;
3)	Ly = -x2y" - 2xy' + 2y, у'(1) = 0;
4)	Ly = -{ху'У, у(1) = 0;
5)	Ly = -ху" - у', у'(1) + у(1) = 0;
6)	Ly = — x2y" — 2xy' + 2y, y(l) + у'(1) = 0;
7)	Ly = -x2y" - 2xy' + 2y, 2y(l) + √(1) = 0;
8)	Ly = -у” + °42 1)y, α > 1, у(1) = 0;
θ) Ly = -(ху'У + (1+ xy)y, у(1) = 0.
15.8.	Найти функцию Грина оператора Ly = — x4y" — 4x3y' —
-2x2y на интервале (1,3) если y(l)+y,(l) = 0, 2y(3) + 3y,(3) = 0.
15.9.	Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, 1)
в следующих случаях:
1)	Ly = — (e~χ2∕2y'^ + e~χ2∣2y, y(0) = у(1) = 0;
2)	Ly = -eχ2y" - 2xeχ2y', y(0) = 2y,(0), у(1) = 0;
3)	Ly = -y" + (l+⅛, y(0) = y'(l) = 0.
Указание. Частное решение уравнения —у" + (1 + ж2)у =
= 0 можно искать в виде у = ez^.
15.10.	Найти функцию Грина оператора Ly = -(v⅛y'),+
+ 3x~3∕2y на интервале (0,2), если ∣y(0)∣ < ∞, у(2) = 0.

294 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.11.	Найти функцию Грина оператора Ly = —(х + 1)у" -
- у', если ∣y(-l)∣ < ∞, у(0) = 0.
15.12.	Найти функцию Грина оператора Ly = -x2y', — ху' +
+ n2y, если ∣y(0)∣ < оо, у(1) = 0.
15.13.	Найти функцию Грина оператора Ly = -[Ц2 -
- 1)√]' + 2у, если ∣y(l)∣ < ∞, у(2) = 0.
15.14. Найти функцию Грина соответствующего дифферен¬
циального оператора:
1) L(y) = -⅛-
z x sin X
4y(7) ~πy, (
4	2’
τ∏ =0;
2 cos х , π
—’ 7
Sin X z4
=M⅛
)y" + e~xy,, 0 < х < In 2;
y(0) - 2 In2 ∙ y'(0) = 0, y(ln2) = 0;
3)	L(y) = -(l + √^)√'-
y(0) — 2y'(0) = 0, у'(1) = 0;
. 4 τ / λ yr,	2 sin х / rλ
4)	L(y) =	y-2	—у’, 0
z x COS X cos ж
5)	L(s) = ⅛π9"
9(l) + √(l)=0,
6)	i(s) = √l(l -х) ■!/" +	! 2'c и’. |
— х) 2
2y(0) - у'(0) = 0,
5
7)	L(y) = х2 ■ у" + 2xy' + ⅛y, 1 < х < 2; y(l) + y,(l) = 0,
y(2) + 4y'(2) = 0;
8)	L(y) = (cos ж — V)y'' — sin ж • у', 0 < х <	∣y(0)∣ < +∞,
= 0;
У
2y(0) + y'(0) = 0, y(l) — 2y'(l) = 0;
10)	L(y) = ∣≡∣y" - ^уУ', 2 < х < 3; y(2) + у'(2) = 0,
√(3) = 0;

§15. Задача Штурма-Лиувилля
295
11	λ τ / х ж + 1 /z ж + 2 z
10	ЦУ) = ~~2~У	з-У , 1 < х < 2;
y(l) — 21n2 • у'(1) = О, у'(2) = О;
12)	L(y) = у" ■ ctg2 х — 2y, ■ ctgx ∙ cosec2 х, — < х < —;
/7Г\ 7Г z (К\	„ I /7Г\ I
⅛W Ы=о’ 1уЫ1<+то;
13)	L(y) = у" ■ tg2 х + 2y' ∙ tgs ∙ sec2 х, 0 < х <
У (j) + y' (ξ) = °’ ∣y(0)∣ < +∞∙
15.15.	Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному
уравнению в следующих случаях:
1)	L(y) ≡ — (1 + ex∖y" — exy, = Xx2y, 0 < х < 1,
y(O) — 2y'(0) = О, у'(1) = 0;
2)	L(y) ≡ — (τ2 + l)y" — 2xy' + 2y = Ху, 0 < х < 1,
√(0)=0, y(l) - √(1) = 0; 2ж
3)	L(y) ≡ —√1 + е2ж у"	= y' = Хху, 0 < х < 1,
V 1 + e2x
y(0)-√2√(0)=0, у'(1) = О;
4)	L(y) — (1 — х2Уу" + 2xy, — 2у — Ху, 0 < х < 1, y,(0) = О,
∣2∕(l)l<∞5
5)	L(y) ≡ — cos4 х ∙ yπ + 4 sin х cos3 х ∙ yf = Хху, 0 < х < -,
2y(0) - y,(0) = 0, ∣y Q) | < то;
6)	L(y) ≡ -x2y" — 2xy' + (2 cos2 х + 1 )y = λy cos 2x, 1 < х < 2,
y(l) = 0, у'(2) = 0;
7)	L(y) ≡ -у" = Ху, 0 < х < 1, √(0) = у'(1) = 0.
15.16.	Свести к интегральному уравнению нахождение ре¬
шений уравнения
—2ху" — y, = 2λ√Ty, 0 < х < 1,
при граничных условиях lim(λ∕x ■ у') = 0, у(1) = 0.
x→Q
15.17.	Свести к интегральному уравнению нахождение ре¬
шений уравнения
-xyf, + y' = Ху, 1 < х <2,
при граничных условиях y(l) = у'(2) = 0.

296
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.18.	Свести к интегральному уравнению нахождение ре¬
шений каждого из следующих уравнений при указанных гранич¬
ных условиях:
1)	—(1 + x2}yπ — 2xy' + Ху — 0, y(0) — y'(V) — 0;
2)	-exy'' - exy' + Ху = 0, у(0) = 0, y(l) + y,(l) = 0;
3)	-у" + λy = f(x), y(0) = W(0), h ≥ 0, у(1) = 0;
4)	—ху" -у' + λxy = 0, ∣y(0)∣ < ∞, у(1) = 0.
15.19.	Свести к интегральному уравнению нахождение ре¬
шений каждого из следующих уравнений при указанных гранич¬
ных условиях:
1)
2)
3)
4)
5)
-^x+∣^y"-2√ = λy⅛l, 2<ж<3; y(2) = πy'(2), у'(3) = 0;
-у" ÷ ∣√ = λy+ ж3, 1 < х < 3; 3y(l) = 2y'(l), у'(3) = 0;
— (1 + е x)y" — y' = λy + e2x, 0 < х < 2;
y(0) — 21n2 • у'(0) = О, y,(2) = 0;
— sm х - cos х • у — у — Ху + cosz х, - < х <
о	О
y'(∣) =0, √3 ∙yg)+ι∏2∙√(|) =0;
2ctg2x , λ	ι τ π	л
	у = Ху sin х + ех, - < х < -;
cost;	’4	3
COS X
C∖ / f'fi'∖ г\
у - = 0, у - = 0;
y ∖47	\37
6)	x2y" -xy' + y = λyx3, | < ж < 1; 2у (Г - у' Ш = О,
у(1) = 0;
r7	∖	*	и	1	\
/)	— sm х •	у	у	— Ху cos х,	-	< х < -;
7	y	cosxy u	6	4
yC)+√C)ln2 = o, у'Ш=0;
8)	(ж3 + x)y" + 2x2y, = λxy + sin ж, 0 < х < 1;
y(0)-√(0)=0, у'(1) = 0;
9)	-у" -2y' = λye~χl +e~x, 0<ж<3; y(0) = 3√(0), у'(3) = 0;
10)	— x3y" — xy' — λy + cos ж, 1 < ж < 2; y(l) = y'(l) 1п2,
У(2) = 0;
11)	—ху" ÷ 2y' = Лу + sin ж, - < ж < 1;
12y (ξ)= y' y(1) + y,(1) = °;

§15. Задача Штурма-Лиувилля
297
12)	-x2y" - 3xy' = λy + х, < х < 1; у Q) = 0, 2у(1) +
+ √(l) = Oj
13)	(1 + ex∖y" + exy' = Аж2у, О < х < 1; у(0) = 2y,(0), yz(l) = О;
14)	cos4 х • у" — 4этж ∙ cos3 ж • у' + Ажу = О, О < ж < ^;
2y(0) = y,(0), ∣y Q)∣ < +∞.
15.20.	Свести к интегральному уравнению нахождение ре¬
шений каждого из следующих уравнений при указанных гранич¬
ных условиях:
1 	γ	О
1)	τ-y"~77--^y' = λy, 0<ж< 1; y(O) = yz(O), ∣y(l)∣<+∞j
2)	x(lnx — V)y" + y' In ж = λy, 1 < х < е; y(l) = y,(l),
3)	Г^/ + ?1^У' + Ау = О, 0<ж< 1;
y(l) + 2yz(l) = 0, ∣y(0)∣ < +оо;
4)	ж(ж - l)yzz + (2ж - l)yz + Ау = 0, | < ж < 1; у Q) = О,
9,G)+4≡,G)=ft
5)	(еж — V)y" + exy' + Ху = 0, 0 < х < 1; у(1) = 0, ∣y(0)∣ < +оо;
6)	— sin ж • у" - cos ж • у' + у = Ау, J < ж < у' = О,
»g)=°;
7)	-tgz • у"	i-y' + Зу = Ау, < ж <
COS X	0	0
√3i,g+ι112^-g = °.√(∣)=α
8)	— exy" — exy, + 2y = Ху, 0 < х < 1; χ∕,(l)+χ∕(l) = O, y,(0) = 0;
9)	- ctgx • у" + —~2~y' + 2y = λy, J < ж < ^;
z x sin х z x	zz^ x о
10)	— е xyr, + е xyf + у = Ху, 0 < х < 1; у (О) = τ∕'(0), y,(V) = 0;
11)	√^2^Ty" + -^=y'+y = λy, 2<ж<3; y'(2) = 0, у(3) = 0;
уж2 -1
12)	\/ж2 + 1 у" 4	. = y' — 2exy = λexy, 0 < ж < 1;
√x2 + l
y(0) = y'(0), у'(1) = 0;
13)	х^ху" + ∣vTy' + 2y = Ay, 1 < ж < 2; у(1) = 0, у'(1) = 0;

298
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
14)	ch.г • у" + shx • у' + у = λy, 0 < х < 1; у (О) = 0, y,(l) = 0;
15)	sin2 х • у" + sin2x ∙ yf + у = λy, 0 < х < У (ξj = θ>
∣y(0)∣ < +то.
15.21.	С помощью функции Грина решить следующие задачи:
1)	--Γ^- - - ъ = f∂X 1 < X < е; у(1) = О,
7	1 +х (1 +rr)2	7	yv 7
y(e) = еу'(е), где е — основание натуральных логарифмов;
2)	— x4y" — 4x3y, — 2x2y = f(x), 1 < х < 2; у(1) = 0, у(2) +
+ У'(2) = О;
3)	-1⅛ - ~y~2 = fM. -1 < х < 0; 2i,(-l) + √(-l) =
= 0, ∣y(0)∣ < то;
4)	—(1 + cosx)y" + sinz ∙ y, = f(x), 0 < х <	y(0) = 2y'(0),
9(0=О;
5)	-y" + ⅛ = ∕(τ), l<τ<2j 2y(l) = y'(l), y(2) + 2y,(2) = 0.
X
15.22.	Доказать, что краевая задача
-у” + q(x)y = /(ж), y,(a) - hy(a) = cb y,(b) + Hy(b) = с2
эквивалентна трем задачам Коши:
1)	g, + g2 = q(χ∖ g{<P = -h;
2)	Y, — g(Y)Y = -f(x)> y(α) = di
3)	y' + g(x)y = У(ж), У(6) =
- g[b)
Указание. Факторизовать оператор
d2 _ ( d Wd∣λ
^z?+q-^{^x9) U+9λ
Ответы к § 15
1,-1 n∕^(!-ξ)- 0≤^≤ξ,	1 ∫(^+l)(2-ξ), 0≤^≤ξ,
7 Ц(1 -х\ ξ≤x≤ 1;	7 3 ’ ∖(ξ+l)(2-x), ξ≤rr≤lj
1 f (ff + ⅞)(ξ-1), O≤ar≤ξ,
⅛+l [ (ξ +/г)(ж — 1), ξ ≤ х ≤ 1;
1	Г sinrrsin(l — ξ), 0 ≤ х ≤ ξ,
sin 1 [ sin( 1 — х) sin ξ, ξ ≤ х ≤ 1;

Ответы к § 15
299
ξ ≤ x ≤ 1;
5)
1 — ctg 1
2
(sin х + cos х
/ ctg 1 + 1 .
—≡-		 sin x + cos x
V ∖ctg 1 - 1
1 f shrrsh(l — ξ), 0 ≤ x ≤ ξ,
sh 1 ∣ shξsh(l — ж), ξ≤x≤lj
7	1 f (ex + e~x)(eξ + e2^ξ), 0 ≤ x ≤ ξ,
2(e2 — 1) t (eξ + e~t)(ex + e2~x), ξ ≤ x ≤ 1.
( tgx(l-tgξ), 0 ≤ x ≤ ξ,
15.3. 1) < en λ e 7r
[ tgξ(l -tgz), ξ≤x≤-j
f — sinx('∕2 sinξ — 1), 0 ≤ x ≤ ξ,
— sinξ(√z2 sin.r — 1), ξ ≤ x ≤
1 ∫ (tg^+l)(tgξ-3), 0≤z≤ξ,
3) 4 ∣ (tgξ+l)(tgτ-3), ξ≤z≤^.
a ( (1 + arctg ж) (arctg ξ — у ), 0 ≤ x ≤ ξ,
15.4.	i) —4 ∙<	;	4(
π+ [ (1 ÷ arctgξ) farctgx — 4, ξ ≤ x ≤ 1;
/	4	∖
arctg x —		 arctg ξ ÷ 1 , 0 ≤ x ≤ ξ,
2) J	∖ π÷2	J
arctgξ (-arctgx + 1), ξ ≤ x ≤ 1;

300 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
-ctgξ-ξ + (1 +
О ≤ ж ≤ ξ,
15.5. 1)
- ctg ж - ж + (1 +
7Г .
4’
( ln(vz2 sinξ), 0 ≤ ж ≤ ξ,
ln(∖∕2 sin ж), ξ ≤ ж ≤
!— tg<r, 0 ≤ ж ≤ ξ,
+ c c. .π 2)
-tgξ, ξ≤τ≤^
( ctgξ + 1, 0 ≤ ж ≤ ξ,
3)G(τ,ξ)=<^ ,	.. .π
1 ctgx + 1, ξ ≤ ж ≤
ctgξ, 0 ≤ ж ≤ ξ,
ctgx, ^<ж<-;
15.7. 1) С(ж.е) =
< 5ж3 ’
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ ж ≤ 1;
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ ж ≤ 1;
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ ж ≤ 1;
4) с(ж,е) =
-lnξ,
— In х,
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ х ≤ 1;
5) G(x,ξ)^
1 -lnξ,
1 — In х,
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ х ≤ 1;

Ответы к § 15
301
6) G(x,ξ) =
∣(ξ + 2ξ-2),
|(ж + 2ж“2),
0 ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ х ≤ 1;
7) G(z,ξ) = ∣∙
О
τξ 2,
ξar^2,
О ≤ ж ≤ ξ,
ξ ≤ х ≤ 1;
8)C‰⅛) = τ⅛
xα(ξα-ξ1^α), O≤x≤ξ,
ξa(xa -x'~a), ξ≤x≤lj
9) G(x,ξ)=l
(-⅛, 1≤*≤^-
15.8. G(x,ξ) = 7 7
A- ξ ≤ ж ≤ 3;
\ с X
15.9. 1) G(x,ξ) =
' ф(0)1ф(1)в(ж2+е2)/2(ФЫ - Φ(O))(Φ(ξ) - Φ(l)), 0 ≤ X ≤ ξ,
\ _1_-e(*2+ξ2)∕2(φ(ξ) _ Ф(0))(Ф(ж) - Φ(l)), ξ ≤ X ≤ 1,
где Ф(ж) = ∫^oo е ξ2∕2dξj
2)G(x,ξ) =
f — (% + ∫θ e-*2 dt'j	(2 + ∫θ e-*2 dt^ ■ ∫∣ e~f2dt, 0 ≤ х ≤ ξ,
— ^2 + ∫θ e-*2 dt^	(2 + ∫θ e-*2 dt^ ■ e~f2dt, ξ ≤ х ≤ 1;
оч r,∣ cλ _ ( Kyι(x)y2(ξ∖ O≤a^≤ξ,
3) G{x,ξ) <∣ Kyx^y^x), ξ ≤ х ≤ 1, ГДе К
т/1 (х) = eχ2∕2 ∫θ e~t2 dt, 7/2(^) = eχ2∕2 fe-1 + ∫
β-1+Jo^
e~t2 dt}.
15.10. G(x,ξ) = <
2
-^(ξ2-8√2ξ-≡∕2), O≤x≤ξ,
zoV 2
л2
(х2 — 8л/2ж-3/2), ξ ≤ х ≤ 2.
I 28√2
1S11 Г! f∖-∫-ln^+1)>	~1≤≈≤ξ,
15.11. G(x,ξ) < _	, ι∖

302
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.12. G(x,ξ) =
— (ξ
2nkς
⅛<1
ξn), 0≤z≤ξ,
xn), ξ≤z≤l.
15.13. Gf(z,ξ) = <
2
15.14. l)G(x,ξ) = ∣∙
2x — sin2rr + 1,
2ξ — sin 2ξ + 1,
2) G(x,ξ) = -⅛
ln(l + e,τ)[ln(l +	— In 3],
ln(l + e^)[ln(l + ex) — ln3],
О ≤ ж ≤ ξ ≤ In2,
О ≤ ξ ≤ х ≤ 1п2.
3) G(x,ξ) = 2∙
√≡ - ln( 1 + √≡) + 1,
√ξ - ln(l+ √ξ)+l,
О ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
О ≤ ξ ≤ х ≤ 1.
1	x ÷ a sin 2∙,- + 1, 0 ≤ х ≤ ξ ≤ т,
4>G(M) = i∙	1
2	[ξ+lsiu2ξ+l, O≤ξ≤x≤I.
51 ГУ лч _ Г 2^ + 51n(2 “ ar) + 1> l≤^≤ξ≤2,
I 2ξ + 51n(2 — ξ) + 1, l≤ξ≤τ≤2.
( arcsin(2ξ - 1) -	∣ ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
6)G(x,ξM	J ?
arcsin(2rr — 1) —	- ≤ ξ ≤ х ≤ 1.
7) G(x,ξ) = -<^
In ж — 2
Vxξ
lnξ-2
у/Л,
1 ≤ х ≤ ξ ≤ 2,
1 ≤ ξ ≤ х ≤ 2.
8) GM = {
ctg | - 2,
ctgf-2,
O≤ξ≤τ≤
9)	=
О
ξ + 1
(ж+1)2’
х + 1
(е + о2’
О ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
О ≤ ξ ≤ х ≤ 1.
10) G(x,ξ) =
х + 21n(τ — 1) — 5,
ξ + 21n(ξ- 1) - 5,
2 ≤ х ≤ ξ ≤ 3.
2 ≤ ξ ≤ ж ≤ 3.

Ответы к § 15
303
11) G(agξ) = -1∙
x2 — 2x + 2 ln(a: + 1) + 1,
ξ2-2ξ + 21n(ξ +1)+1,
1 ≤ х ≤ ξ ≤ 2,
1 ≤ ξ ≤ х ≤ 2.
12) G(x,ξ) =
tgrr — х — 1,
tgξ-ξ-ι,
13) G(x,ξ) =
-^+ξ + ctgξ, 0≤∕r≤ξ≤∣,
-∣+,r + ctg.τ, 0≤ξ≤x≤^.
15.15. l)y(x) = λ∫'G(+ξ)ξ2y(ξ)dξ,
х - ln( 1 + еж) + 1 + In 2, 0 ≤ х ≤ ξ,
ξ-ln(l+eξ) + l+ln2, ξ≤rr≤ 1;
2) y(x) = A∫θG(x,ξ)y(ξ)dξ,
r,l c∖ ( -ξ(l+zarctgτ)
где G(x, ξ) = < Z1 л 1
v 7	[ - ∙τ(l ÷ £arctgξ),
3) у(ж) = A ∫θ G(x, ξ)ξy(ξ) dξ,
где G(x,ξ) =
— ln(e
4) y(x) = A∫θG(x,ξ)y(ξ)dξ,
где G(<r,ξ) = <
где G(x,ξ) =
≤Ξ+-1 , 0≤τ≤ξ,
I — х J
ilnτi∣-l)∙
5) y{x) = AJo/2 G(x,ξ')ξy^)dξ,
⅛^+tgz + ^, 0≤z≤ξ,
^ + ⅛ξ + ∣. ξ≤≈≤∣i
6) y(x) = (λ - 1) J, G(x, ξ) cos 2ξy(ξ) dξ,
где G(x, ξ) = ± • ∫ (Ж ^ Ж’2)(е + 4Г2)’ 1 ≤ x ≤ ξ'
15 t (ξ — ξ 2)(.t + 4.7, 2), ξ ≤ х ≤ 2;
7) у(ж) = (А - α) ∫' G(x, ξ)y(ξ) dξ,
cos л/а • х ∙ cos у/a (ξ — 1), 0 ≤ х ≤ ξ,
cos √α ∙ ξ ∙ cos √α (x — 1), ξ ≤ х ≤ 1,
а > 0, a ≠ (πn)2, п целое.
где G(x,ξ) = --r-,——
√α sin √α

304
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
15.16.	y(x) = A ∫ G(x, ξ)y(ξ) dξ,
о
где G(x,ξ) =
2(-1 +√ξ),
2(— 1 + \/х),
О ≤ х ≤ ξ,
ξ ≤ х ≤ 1.
15.17.	^) = λ∫G(^,ξ)φdξ,
1 ξ
где G(τ,ξ) = <
15.18.	l)2∕(x) = -λ∫G(x,ξMξ)dξ,
о
[ arctgj-, O≤x≤ξ,
r^eG(≈a) = (ml6ξ, ξ≤1≤ |;
2)	y(x) = -λ∫G(x,ξ)y(ξ)dξ,
r< / / (~e~x + 1)e^ξ' 0≤
где G(agξ) = {	_
3)	y(x) = A ∫ G(x, ξ)y(ξ) dξ + ∫ G(x, ξ)∕(ξ) dξ,
О	о
' ~⅛ξ4∖10r + fe)> O≤x≤ξ,
где G(τ,ξ) =	+
ι l≡⅛⅛ + H {≤ > ≤G
4)	у(ж) = -A ∫ G(τ, ξ)ξy(ξ) dξ,
п c∖ / ln£’ 0 ≤ ж ≤ £’
rΛeG⅛ξ)=∣ ln3,, ξ≤1≤1.
15.19.	1) <,(,r) = ∫G⅛,ξ)(Λs⅛(ξ) + ξ)<iξ.
2
где G(^,ξ) = | • <
arctg	2 ≤ х ≤ ξ ≤ 3,
arctg	2 ≤ ξ ≤ ж ≤ 3;
2) y(x) = ∫ G(x,
1
где G(x, ξ) =
ξ) + ξj
1	( X3 + 1,	1
з lξ3 + ι, 1
dξ,
≤ X ≤ ξ ≤ 3,
≤ ξ ≤ X ≤ 3;

Ответы к § 15
305
2
3) ?/(» = ∫ G(x, ξ)(λeξτ∕(ξ) + e3ξ) dξ,
о
1∏≠≤
1 +<≡
1	4e^
In

где G(x,ξ) = <
4) У(х) = ∫ G(x,ξ)
π∕8
<λφ A dξ
∖ COS ξ	/
где G(x,ξ) = -/
In sinξ,
In sinrr,
OO∣ A ∞∣ -
∕Λ ∕Λ
Zb
/л ∕Λ
H Zb
∕Λ ∕Λ
σ>∣ >∣ σ>∣ -
π∕3	1 π∕3	ξ
5) y(x) = l ∫ G(^ξMξ)dξ + i ∫ G(x,ξ)^-dξ,
£ / л	£ / л	bill с
π∕4	π∕4	ъ
где G(x,ξ) = |
cos 2ж,
• <
cos 2ξ,
7Г
3’
π .
3’
6) у(А = -A ∫ G(x,ξ)y(ξ)dξ,
1/2
где G(x,ξ) = - <
xζ In 6
ξx In х,
£
2
£
2
≤ ж ≤ ξ ≤ 1,
≤ ξ ≤ χ ≤ 1;
4
X
ξ
ξ ≤ х ≤
π∕4
7)	y(x) = A ∫ G(x,ξ)y(ξ) dξ,
π∕6
{ln sin х + (1 — vz3) In 2,
In sin ξ + (1 — √3) In 2,
π
6
≤ x ≤ ξ ≤
π
4’
π
6
≤ ξ ≤ X ≤
π e
4’
8)	y(x) = -A ∫ G(x, ξ)2∕(ξ) dξ - ∫ G{x, ξ) sX½ dξ,
0	0	ζ
( arctg x + 1, 0 ≤ x ≤ ξ ≤ 1,
где G(x, ξ) = <
[ arctg ξ ÷ 1, 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1;
9)	y{x) = A∫e2ξ ξ2G(τ, ξ)y(ξ) dζ + ∫ eξG(τ, ξ)y(ξ) dξ,
θ	.	.	0
где G(τ,ξ) = -∣ ∙
e~2x - 7,
e-2« - 7,

306
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
10)	^) = λ∣G(z,ξ)φdξ + ∫G(ιr,ξ)^dξ,
1	ζ 1	ς
rΛeG(z,ξ) = -^
ln(2ξ)ln(f},
11) y(x) = λ J G(τ,ξ)<⅛ + | G(x,ξ)s-^fidξ,
1/4	ς	ι∕4	ς
где G(x,ξ) = --^
x3(ξ3-4),
ξ3(x3-4),
1
4
1
4
1,
1;
12)	y(x) = λ ∫ G^,ξ)ξy(ξ)dξ + ∫ G(z,ξ)ξ2dξ,
1/2
где G(x,ξ) = -
1/2
∣ ≤ X ≤ ξ ≤ 1,
| ≤ ξ ≤ ж ≤ 1;
13)	у(ж) = -λ ∫ G(x, ξ)ξ2y(ξ) dξ,
о
Г х — ln( 1 + e''') + 1 + In2,
где G(x, ξ) — <	.
lξ-ln(l+eξ) + l+ln2,
о ≤ X ≤ ξ ≤ 1,
O≤ξ≤a∙≤ 1;
π/2
14) у(ж) = А ; G(x,ξ)ξy(ξ)dξ,
0
где G(τ,ξ) = <
∣tg3aι + tgιr+∣, 0≤z≤ξ≤p
∣tg3ξ + tgξ+∣, O≤ξ≤∙r≤∣.
к. О	Δ	L
15.20. l)y(τ) = -λ∫G(ιr,ξ)y(ξ)dξ,
О
( 1 — 2 ln( 1 — χ} — х, 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
где G(x, ξ) = < z .
I 1 -2in(1 -ξ)-ξ, O≤ξ≤x≤l5
2) у(х) = λ∫G(x,ξ)y(ξ)dξ,
О
Г 1 — ln( 1 — 1пж), 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
где G(x, £) = <
[ 1 — ln( 1 — lnξ), 0 ≤ ξ ≤ х ≤ 1;

Ответы к § 15
307
3)	y(x) = λ∫G(ιr,ξ)y(ξ)dξ,
о
Γ21nξ-ξ-l, O≤z≤ξ≤l,
где G(x, ξ) = — <
v 7	[21пж-Ж- 1, O≤ξ≤τ≤ 1;
1/2
4)	у(ж) = -λ ∫ G(z,ξ)y(ξ)dξ, где G(x,ξ) =
1/3
U4⅛)(4⅛w
1°'2'l H⅛)(1√τ⅛)-1)∙ l≤f≤∙>'4
5)	у(ж) = λ∫G(x,ξ)y(ξ)dξ,
О
( ln( 1 — e-^) — ln( 1 — е-1), 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
где G(x, ξ) = - <
[ ln( 1 — е 'z') — ln( 1 — е 1), 0 ≤ ξ ≤ х ≤ 1;
θ) y(^) = (λ-l) ∫ G(x,ξ)yX)dξ,
π∕4
где G(rc,ξ) = <
ln(c⅛f)> J≤^≤ξ≤^
.ln(ctgi)'
7) y(x) = (λ-3) ∫ G(x,ξ)y(g)dξ,
TV/6
где G(x,ξ) = <
In sin х,	≤ х ≤ ξ ≤
lnsinξ, τ∕ ≤ s ≤ -z' ≤
V	0	О
8) У(ж) = (Л — 2) ∫ G(x, ξ)y(ξ) dξ,
О
где G(x,ξ) =
( е	0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
je-≈τ O≤ξ≤x≤lι
π∕3
9) 2∕(ιr) = (λ-2) ∫ G(τ,ξ)y(ξ)dξ,
τv/4
где G(x,ξ) = <
' lncosξ, | ≤ ∙r ≤ ≤ 1’
In COS X, V ≤ <6 ≤ £ ≤
1	4	3

308 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
10) y(x) = (λ-l)∫G(ar,ξ)y(ξ)C
о
( ех, 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1
где Gr(<r,ξ) = <	.1
∣keζ, 0 ≤ ξ ≤ х ≤ 1
11) y(x) = (λ-l)∫G(^ξMξ)dξ,
2
где G(x, ξ) - <
In ж + >ΓL 1	2 ≤ ж ≤ ξ ≤ 3,
3 + √8
In С + √C2 - 1	2 ≤ ξ ≤ х ≤ 3;
1	3 + √8
12) ^) = -(A÷2)∫G(x,ξ)eMξ)C
о
где G(x, ξ) = <
f In (я + ∖∕ xλ + 1) ÷ 1, 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
[ ln(ξ+√ξ2 + 1)+ 1, O≤ξ≤<r≤lj
2
13) τ∕(x) = (2-A)∫G(x,ξ)τ∕(ξ)C
1
где G(x,ξ) = <
ND	ND
1	1
⅜ b= H⅛
/л	/Л
/л	/л
<rn
/Л	/л
ND	ND
14) ^) = (l-λ)∫G(^ξ)τ∕(ξ)dξ,
о
где G(x, ξ) =
( arctg ex — р 0 ≤ х ≤ ξ ≤ 1,
arctg	— р 0 ≤ ξ ≤ х ≤ 1;
π∕4
15) y(aj) = (l-λ) ∫ G(x,ξ)y(ξ)dξ,
где G(x,ξ) = <
0
ctg х — 1, 0 ≤ х ≤ ξ ≤ ,
ctgξ- 1, 0 ≤ ξ ≤ х ≤
15.21. 1) у(ж)
= ∫G(x,ξ)∕(ξ)dξ,
1
где G(x,ξ) = <!
f (х + lnτ — l)(ξ ⅛ Inξ), 0 ≤ х ≤ ξ,
(ξ + lnξ — l)(x + 1пж), ξ ≤ х ≤ 1;

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 309
θ	( lr∣ ∣τl — τ	— 1 < т 6
4) 2∕(x) = ∫ G(x, ξ)∕(ξ) dξ, где G(x, ξ) = ∣	∣ξ∣ _ ξ ’ ξ ≤ ζ
π∕2
5) y(x) = J G(x,ξ)∕(ξ)dξ,
о
где G(x,ξ) = <
⅛M+∣)('-*f)∙
∣(⅛f + ι)(ι-⅛i).
О ≤ х ≤ ξ,
2
6) уМ =∫G(≈>ξ)∕(ξ)^ξ>
1
где G(x,ξ) =
1 ≤ х ≤ ξ,
ξ≤x≤2.
§ 16. Метод разделения переменных для уравнений
Лапласа и Пуассона
Рассмотрим сначала двумерный случай. Решение краевых
задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо,
прямоугольник и др.) можно получить методом разделения пере¬
менных.
Изложим этот метод для уравнения Лапласа
∆ιz = 0, х = (xi, x%) ∈ Q,	(I)
в круговых областях: в круге Q = {∣x∣ < R} при некотором
R > 0, вне этого круга, т. е. в области Q = {∣x∣ > R}, R > 0,
и в кольце Q — {R↑ < |ж| < R%}, 0 < R↑ < 7⅞∙ При этом, есте¬
ственно, перейдем от декартовых к полярным координатам:
u(x) = u(x1,x2) = u(rcos⅛9,rsinφ) = u(r,φ).
Уравнение (I) в полярных координатах имеет вид
1 д / ∂u∖	1 ∂2u	^ z λ λλ	/ттх
-R- r7Γ	=0’	∈Q∙	11
г or ∖ dr J rz ∂φ2
Найдем частные решения этого уравнения, имеющие вид
u(r, φ) = Z(r) ∙ Φ(⅛9).	(III)

Z(r) = Z√r) =
310 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
В результате подстановки (III) в (II) получим два равенства
Φ"(φ) + ЛФ(Д = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π,	(IV)
r^(rZ'(r))-λZ(r)=0,	(V)
в которых А — некоторая постоянная.
Поскольку нас интересуют 2л-периодические по φ реше¬
ния u(r, φ), то функция Φ(φ) обязана при всех φ Е [0; 2л] удо¬
влетворять равенству
Φ(φ + 2л) = Φ(⅛^).
Следовательно, в (IV) (и в (V)) А = k2 при произвольном це¬
лом fc ≥ 0. А это означает, что функция Φ(√>) имеет вид
Φ((p) = Φ∕c(φ) = A∕ccosfcφ + Bysinkφ
при к = 0, 1, 2, ... и при произвольных коэффициентах Ау и ¾,
к = 0, 1, 2, ..., а соответствующая функция Z(r) имеет вид
aprk + βp ∙ r~k, если к = 1,2,...,
«о • 1 + /?о ∙ lnr, если к = 0,
при произвольных постоянных ау и βy, где к = 0, 1,2,....
Таким образом, найдено множество простейших гармониче¬
ских в R2 \ {0} функций:
1	1	•	1	1	•
1, In г, rcos⅛9, rsmφ, -cos φ, -smφ, ...,
rk cos kφ, rksmkφ, -^coskφ, sin kφ, ...,
с помощью которых можно строить решения краевых задач для
уравнения Лапласа в круговых областях.
Решение краевой задачи в круге {∣rr∣ < R}, R > 0, будем
искать в виде
∞
u(r, φ) = αo + ^2(α∕c cos kφ + by sin kφ)rk, г < R, φ ∈ [0, 2л],
k=ι
в котором коэффициенты ccq, a↑, b[, ..., ay, by, ..., находятся из
граничного условия. Если, в частности, граничное условие есть
условие первой краевой задачи (задачи Дирихле)
⅛∣=B = u(r, φ‰R = e∕⅜),	0 ≤ φ ≤ 2л,

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 311
то
2π
⅛ = 4 [ л <ч
7Г/1
О
1
— cxk
πRk
2π
∕(≠) cos fc≠ d≠,
о
sin kψdψ, к = 1,2,...,
и тогда решение этой задачи имеет вид
2л
2π
If	R2 - r2
—-	f(ψ) • —	? dψ.
2π J R2 — 2Rr cos(φ — ψ) + г2
О
Регулярное на бесконечности (т. е. в двумерное случае — огра¬
ниченное решение) в области {|ж|>/?}, R>0, будем искать в виде
u(r, φ) = а$ +	(⅛ cos kφ + bk sin kφ) ∙
k=ι	r
г > R, φ ∈ [0, 2π],
с соответствующими, найденными с помощью граничного усло¬
вия коэффициентами Щ), щ, Ь\, ..., ak, bk, ....
Решение краевой задачи в кольце {R↑ < |ж| < ¾}> где θ <
<	< ¾ < ∞, будем искать в виде
u(r, φ) = α0 + ⅛lnr+
+ Γ(⅛rfc + dkr~k) cos kφ + (bkrk + bkr~k) sin
k=∖ L
R∖ < г < R%, φ Е [0, 2л],
с коэффициентами qjq, ⅛, щ, b↑, ..., ak, bk, которые опреде¬
ляются с помощью граничных условий.
Рассмотрим теперь трехмерный случай. Используя сфериче¬
ский координаты, в этом случае получаем
х = (xi, Х2, ^з) = (г cos φ sin 0, г sine/? sin θ, г cos 0),
г ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ л.
С помощью метода разделения переменных проведем построе¬
ние системы простейших гармонических в R3 \ {0} функций,
312
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
разложением в ряды по которой в областях шарового типа можно
получать решения краевых задач для уравнения Лапласа.
Как и в двумерном случае, эта система обладает следую¬
щим свойством: при любом R > 0 функции системы, рассмот¬
ренные на сфере {∣x∣ = R}, составляют полную ортогональную
в L2(H — R) систему функций.
Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид
1 д / 2^u∖ ।	1	9 / . ∩∂u∖
Лд^ V ∂r) + Л sinVm6⅛7 +
+ ^⅛⅛ = 0> x = (r,φ,θ)eQ. (VI)
г sin θ ∂θ
Решения уравнения (VI), имеющие вид ιz(r, φ, 0) = Z(r) ∙ Y(φ, 0),
удовлетворяют условиям:
r2Z"(r) + 2rZ,(r) - AZ(r) =0, г ≥ 0, (VII)
1 д
sin θ ∂θ
( ∂Y⅛,ΘY
1 <92y(<Λ0)
sin2 θ ∂φ2
+ АУ(^,0) = 0,
φ ∈ [0, 2π], θ = [0, π],
(VIII)
в которых А — некоторая постоянная. Нас интересуют только
ограниченные и 2тг-периодические по φ на единичной сфере {г =
= 1, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π} решения уравнения (VIII). Поэтому
для решений этого уравнения, имеющих вид Y(φ,θ) = Φ(φ) ×
× Hλ(6,), получаем следующие две задачи:
•	функция Φ(φ) должна быть 2тг-периодическим решением
уравнения
Φ,⅜) + μΦ(φ) = 0, φ ∈ [0, 2π],	(IX)
•	а функция W(0) должна быть ограниченным решением
уравнения
^To^llβ-'v'm + (χ--⅜'}w^ = a∙ МЛ (X)
sm и ад	∖ sin θ /
Уравнение (IX) имеет 2тг-периодические решения только при μ =
= μm = m2, т = 0, 1,2,..., причем эти решения имеют вид
Φ(⅛p) = Φm(<∕j) = Am cosmφ + Bm sinm<^,
0 ≤ φ ≤ 2π, т = 0, 1,2,... .
А уравнение (X), в котором μ = μm = m2, имеет ограничен¬
ное решение только при A = n(n + 1) при произвольном це-

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 313
лом и ≥ ш (см., например, [1], [4]), причем это решение имеет
вид W(0) = amnPnm∖cosθ∖ 0 ≤ θ ≤ л, где amn — произвольные
постоянные, a F∏m∖ξ), —1 ≤ ξ ≤ 1, есть m-я присоединенная
функция многочлена Лежандра Fn(ξ), ξ ∈ R1, где
∂n
ще) =-⅛ [(ξ2 - on]. ξ∈R1,	(χ∏)
p(m∖ξ) = (1 -ξ2p∕2 • -≤1 [pn(ξ)], -1 ≤ ξ ≤ 1.	(XIII)
ας
Общее решение уравнения (VII) при λ = n (n + 1) имеет вид
Zy) = Zn(r)=anrn + βnMn+l∖ г > О, (XIV)
при произвольных постоянных ап и βn.
Из сказанного следует, что при любом целом n ≥ 0 существу¬
ет гармоническая в R3 \ {0} функция
nn(r,φ,Θ) = Z4r)yn(φ,Θ),	(XV)
где
п
Yn(φ, 0) = У2 pnm) (cos ■ [α"m cos m<-P + βr∏∏ sin mφ∖ =
m=0
п
= aomPn(cosθ)+'^2P^n∖cosθ)[amncosmφ+βmnsmmφ], (XVI)
т=1
где amn, т, п = 0, 1, 2, ..., п — произвольные постоянные.
Функция Y∏(φ, θ) (и в частности, любое слагаемое в сум¬
ме (XVI), т. е. Fn(cos0), F∏m∖cosΘ) cosmφ, Pnm∖cosθ) smmφ,
где т = 1, ..., п) называется сферической функцией порядка п,
а произведение сферической функции порядка п и функции rn
или функции r-(n+1) (см. (XV) и (XIV)) является гармониче¬
ским продолжением сферической функции со сферы {r = R,
φ ∈ [0, 2л], θ ∈ [0,7г]} при любом Д > 0 в R3∖ {0}.
По аналогии с двумерным случаем решение внутренней кра¬
евой задачи в шаре {|ж| < R} с R3, R > 0, следует искать в виде
u(r, φ, 0) = rn ∙ Yn(φ, 6,), г < R, φ∈[0, 2π], 0∈[O, л],
п=0
с соответствующим образом подобранными коэффициентами amn
в (XVI).

314
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Решение внешней краевой задачи в {|ж| > R} с ≡3, R > О,
регулярное на бесконечности (то есть в трехмерном случае стре¬
мящееся к нулю на бесконечности), следует искать в виде
u(r, φ, θ) =	r-(n+1) . yn(⅛ρ, 0), г > R, φ Е [0, 2π], θ ∈ [0, тг],
71=0
с соответствующим образом подобранными коэффициентами arrιn
в (XVI).
Решение же краевой задачи в шаровом слое {R↑ < |ж| <
< Т?2 } С R3, 0 < Rl < R2 < ∞, следует искать в виде
u(r, φ,θ) = ∑ (rnYn(φ, 6») + r“(n+1) ∙ Yn{φ, θ) -
77=0
R∖ < г < φ ∈ [0, 2τr], θ ∈ [0, л],
где
Yn(φ,θ) =
77
= SnoFn(cos 0) + yy<⅛ cos kφ + bnk sin kφ) ∙ (cos 0) (XVI)
∕c=l
с соответствующим образом подобранными коэффициентами
в (XVI) и в (XVI).
Поскольку в приведенных формулах для решения краевых
задач функции Рп и умножаются на постоянные, которые
в процессе решения задач следует еще определить, то и для
самих этих функций в наших целях удобнее пользоваться сле¬
дующими формулами:
∕√n
Pn(i) = an∙⅛r((l-t2)n), i∈K1, п =1,2,...,
jm
pirKt) = м - t2r'2 ■
— 1 ≤ t ≤ 1, т, п = 1, 2, ...,
с такими постоянными ап и βnm, чтобы соответствующие вы¬
ражения выглядели «пригляднее». Например, в формуле Fι(t) =
= cq —(1 — t2) = — 2cqt следует положить a↑ — и считать,
С	d2 2
что Fι(t) = t, t ∈ R1, в формуле F2(t) =	- t2)2) =
= ад (—4 + 12t2) = 4α2(3t2 — 1) положить | и считать,
что F2(t) = 3t2 — 1, t ∈ R1, и т. д.

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 315
Таким образом, для наших целей можно считать, что
PoW≡l,
Fι(i)≡i,
P2(i) ≡ 3i2 - 1,
P3(⅛) ≡ 5t3 - 3i,
Из аналогичных соображений в качестве присоединенных функ¬
ций можно пользоваться выражениями:
P1ω(i) = (1-i2)1∕2, i∈[-l,l],
P2ω(⅛) = (1 -t2∏2 -t, P^∖t) = 1 -t2, t∈[-l,l],
p3ω(i) = (1 - t2)1∕2(5t2 - 1), P3(2)(i) = (1- t2)t,
P3(3)(t) = (1-i2)3∕2, i∈[-l,l],
Следовательно, можно считать, что
= «оо,
У1 (φ, θ) = «ю cos θ + «11 sin θ cos φ + b↑ ι sin θ sin φ,
}2(<P, θ) = α2o(3cos2 0-1) + «21 sin20cosφ + ½ι sin20sine/? +
+ «22 sin2 0 cos 2φ + ⅛2 sin2 0 sin 2φ,
Y3(φ, 0) = «зо(5 cos3 0 — 3cosφ) + «31 sin 0(5 cos2 0—1) cosφ +
+ ⅛ι sin 0(5 cos2 0 — 1) sin φ +
+ «32 sin2 0 cos 0 cos 2φ + ⅛2 sin2 0 cos 0 sin 2φ +
+ «33 sin3 0 cos 3φ + 633 sin3 0 sin 3⅛p,
Решение краевой задачи для уравнения Пуассона можно свести
к решению краевой задачи для уравнения Лапласа следующим
образом. Берем какое-нибудь (гладкое) решение «о(ж) уравнения
Пуассона. Тогда функция υ(x) = «(ж) — uq(x), где и(х) — иско¬
мое решение краевой задачи для уравнения Пуассона, является
решением соответствующей краевой задачи для уравнения Ла¬
пласа и тем самым «(ж) = υ(x) + uq(x).
Ниже в областях {∣x∣ < R}, {R↑ < х < ¾}, {И > R},
0 < Λ < ∞, 0 < 7?1 < I?2 < ∞ рассматриваются простейшие крае¬
вые задачи для уравнения Лапласа (и Пуассона), при этом в гра-
(ди	∖ I
ничном условии — + σ,u = τ всегда считается, что п —
∖on	/ I |ж|=р
316
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
единичный вектор внешней по отношению к рассматриваемой
области нормали к границе, а постоянная σ ≥ 0.
Напомним некоторые результаты.
Случай области {|ж| < R}. В этом случае уравнение Ла¬
пласа при граничном условии п||ж|=# = / единственно и суще¬
ствует при любой / ∈ C(∣x∣ = R). В случае граничного условия
+ σu^ |	= f при σ > 0 решение также единственно и су¬
ществует при всех / ∈ C(∣х\ — R). Если же σ — 0, то решение
существует для тех / ∈ Cf(∣x∣ = Д), для которых $\x\=Rf dS = 0,
при этом решение определяется с точностью до постоянного
слагаемого.
Случай области {|ж| > R}. В этом случае рассматриваются
решения уравнения Лапласа, регулярные на бесконечности.
В двумерном случае дело обстоит так же, как и в случае
области {∣x∣ < R}: задача с граничным условием zz∣∣^∣=jr = / од¬
нозначно разрешима при любой / ∈ C(∣x∣ = Я), задача с гранич¬
ным условием ( -—h σu )	= f, где σ > 0, также однозначно
\<Эп ∕I∣t∣=h
разрешима при любой / ∈ C(∣x∣ = Я), а эта задача с σ = 0 при
/ ∈ Cf(∣x∣ = R) разрешима только при условии $\x\=Rf ds — 0 и
решение ее определяется с точностью до произвольного постоян¬
ного слагаемого.
В трехмерном случае задача с граничным условием zu∣∣z∣=jr =
= / однозначно разрешима при любой / ∈ С(|ж| = Я), а задача
с граничным условием + σu^ |	= /, где σ ≥ 0, также
однозначно разрешима при любой / ∈ С(|ж| = Я).
Случай области {R↑ < |ж| < ¾}∙ В этом случае, ес¬
ли хотя бы на одной части границы (на {∣x∣ = R↑} или на
{|ж| = jR2}) задано граничное условие первой краевой задачи,
например ^u∣∣,γ∣-ri = ∕ι, а на другой части границы — условие
4z∣=⅞ = /2 либо условие + σ2u)\	= /2 при σ2 ≥ 0,
то задача однозначно разрешима для любых /1 ∈ C(∣x∣ = 7?i) и
/2 ∈ Cf(∣rr∣ = ¾)∙ Если на обеих частях границы заданы условия
/ ди ∖ I
третьей (второй) краевой задачи, т. е.	∣ r = /1,
f + I = f2, то при σι + σo > 0 эта задача однозначно
\(Эл / | |ж|=Д2
разрешима при любых /1 ∈ C(∣x∣ = 7?i), ∕2 ∈ С(|ж| = Т?2); если
же σι = σ2 = 0, то задача имеет решение тогда и только тогда,
§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 317
когда ∫∣a,∣=βl /1 dS — ∫w^2 /2 dS = 0 и это решение определяется
с точностью до постоянного слагаемого.
Пример 1. Решить задачу вЗ2 (,r = rcosφ, у — г sin 99):
Ац = 12x,	l<r<2, 0 ≤ 92 ≤ 2л;	(1)
и|r= 1 = 2 cos3 φ + 1 — sin φ cos φ, 0 ≤ φ ≤ 2л,	(2)
u\r=2 = 16 cos3 φ — 4 sin 92 cos (9?, 0 ≤ φ ≤ 2л.	(3)
Δ Так как уравнение (1) является неоднородным, то прежде
всего подберем какое-нибудь частное решение уравнения (1).
Возьмем, например,
ш(ж, у) = 2ж3.
Введем новую искомую функцию v(x,y) такую, что
υ(x, у) — и(х, у) — w(x, у),
υ(x, у) = и(х, у) — 2ж3,	(4)
и запишем задачу (1), (2), (3) для функции v(x,y∖.
Ац = 0,	l<r<2, 0 ≤ 92 ≤ 2л;	(5)
r∣r=ι = 1 — sin 9? cos 92, 0 ≤ φ ≤ 2л,	(6)
v∖r-2 = —4 sin φ cos 99, 0 ≤ φ ≤ 2л.	(7)
Разложив правые части условий (6) и (7) в ряды Фурье по
системе {1, cos92, sin (9?, ..., cosn99, sinn99, ...}, получим
v∣r=ι = 1 — sin2φ, 0 ≤ φ ≤ 2л,	(6,)
v∖r=2 = — 2 sin2(/?, 0 ≤ φ ≤ 2л.	(7,)
В силу ортогональности системы функций {1, cos92, sin99, ...
..., cosn99, sinn99, ...} в пространстве L2(O, 2л) ищем решение
задачи (5), (6'), (7,) в виде
zυ(r, 92) = а + 6 In г + (cr2 + sin2φ.	(8)
Найдем коэффициенты α, b, с, d, подставляя (8) в (6,) и (7,).
Получим
v∣r=i = а + (с + d) sin 2φ = 1 — ∣ sin 2φ,
v\r=2 = n + Ып2 + ^4c + sin2(9? = —2 sin2φ.

318
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Отсюда имеем следующую систему линейных уравнений:
f а = 1,
c + d— -1,
а + 6 In 2 = О,
4c+Σ = ^2∙
4
Следовательно, а = 1, b = — Д-, с = — d = 0.
m2 2
Из равенства (8) следует, что функция
1	In г	1 2 • о
“ = 1 ^ Ы2 ^ 2r l,m2φ
есть решение задачи (5), (6), (7), а из (4) следует, что функция
1 In Г I 2 • П , ∏ 3	1	I 2 • Г» . ∏ 3	3
и — I — —— — -г sin 2ω + 2x6 — I — —— — -г sin 2ω + 2r*5 cos'5 φ
In 2	2	In 2	2
есть решение задачи (I), (2), (3).	А
Пример 2. Решить задачу bK2(t = rcos⅛2, у = rsinφ)÷
9
∆n = —? cos 3φ, г > I, 0 ≤ φ ≤ 2тг;	(I)
г
(u — ⅛)∣r=ι = cos3 φ, 0 ≤ φ ≤ 2π.	(2)
Δ Так как уравнение (I) является неоднородным, то найдем
какое-нибудь частное решение уравнения (I). Запишем оператор
Лапласа в полярных координатах и подберем частное решение
уравнения
Upr ⅛^ Up + yUmφ —	∩ COS 3<y2,	(3)
Г rz,	tδ
которое является ограниченным в области {r > I, 0 ≤ φ ≤ 2π}.
Такое решение уравнения (3) можно найти, например, в виде
w(r, φ) = A cos 3φ,	(4)
где постоянная А определяется из уравнения (3): А = I. Следо¬
вательно, w(r,φ) = cos3⅛p есть частное решение уравнения (3)
(или, что то же самое, уравнения (I)). Введем новую искомую
функцию υ(r,φ) такую, что
υ(r, φ) = ιz(r, φ) — w(r, φ),
υ(r, φ} = ιz(r, φ) — cos 3φ,	(5)
§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 319
и запишем задачу (1), (2) для функции υ{r,φ∖.
∆zυ = 0, г > 1, 0≤(p≤ 2тг;	(6)
(υ — υr) ∣r=ι = cos3 φ — cos3⅛9,	0 ≤ φ ≤ 2π.	(7)
Представив правую часть условия (7) рядом Фурье по системе
{1, cos⅛2, sin..., cosnφ, sinn⅛2, получим
1	3
(υ — vr) ∣r=ι = - cos 3φ + - cos φ — cos 3φ =
= | cos φ — ∣ cos 3φ, 0 ≤ φ ≤ 2π. (7,)
Решение задачи (6), (7) ищем в виде
v(r, ω) = - cos φ + Д cos 3φ.	(8)
Г	г
Из равенств (7') и (8) следует, что
{y — υr) |r=i = (α cos φ + b cos 3φ) — {—a cos φ — 3b cos 3φ) =
3	3
= 2a cos φ + 4b cos 3φ = - cos φ — - cos 3φ,
3	3
откуда находим, что a = b =
8	16
Поэтому функция
z λ 3 cos φ 3 cos 3φ
t,(r.φ) =
есть решение задачи (6), (7), а из (5) следует, что функция
z λ 3 cos φ 3 cos 3φ	n
4r,φ) = --+cos3φ
есть решение задачи (1), (2).	А
Пример 3. Решить задачу в R3(x = г cos φ sin θ, у = г sin 92 ×
× sin0, z = г cos0):
∆u = 6г,
г < 1, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ л; (1)
tφ=ι = 2 sin2 θ sin2 φ + cos3 θ.	(2)
Δ Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем
какое-нибудь частное решение уравнения (1). Можно взять, на¬
пример,
w(x, у, г) = г3 = r3 cos3 θ.

320
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Введем новую искомую функцию υ(x,y,z) такую, что
υ(x, у, z) = и(х, у, z) — w(x, у, г),
v(x, у, z) = и(х, у, г) — г3,
или
v = и — r3 cos3 θ,
(3)
и запишем задачу (1), (2) для новой искомой функции у. Полу¬
чим
∆r = 0, г > 1, 0 ≤ φ ≤ 2л, 0 ≤ θ ≤ л; (4)
v|r=i = 2 sin2 θ sin2 φ, 0 ≤ φ ≤ 2л, 0 ≤ θ ≤ л. (5)
Представляя правую часть условия (5) рядом Фурье по системе
сферических функций, находим
t>∣r=ι = sin2 0(1 — cos2φ) = sin2 θ — sin2 0cos2%> =
= ∣ — ∣ (3 cos2 θ — 1) — sin2 θ cos 2φ. (5')
о о
Следовательно, ищем решение задачи (4), (5) (или (5,)) в виде
v — - + -Д (3 cos2 θ — 1) ÷ Д sin2 θ cos 2φ (6)
г r6	rd
(с учетом условия регулярности решения на бесконечности:
v → ∞ при г → ∞). Находим коэффициенты а, Ь, с, подставляя
(6) в (5'). Получаем
и|г=1 = а + 6(3 cos2 θ — 1) + с sin2 0cos2⅛p =
— I (3 cos2 φθ — 1)- sin2 θ cos 2φ,
<j
-∣.<∙=-1∙
_ 2
“ 3
2 7
откуда находим, что а — -, о —
Следовательно, функция
v = ∣∙--Д-Д(3 cos2 θ — 1) —ζ sin2 θ cos 2φ
3 r 3 rd	√
есть решение задачи (4), (5), а из (3) следует, что функция
ιz=∣∙--Д-Д(3 cos2 θ — 1) — Д sin2 θ cos 2φ + r3 cos3 θ
3 г 3 rδ	r6
есть решение задачи (1), (2).	▲
Пример 4. Решить задачу bR3(x = г cos φ sin θ, у = rsin⅛ρ×
× sin0, z = г cos0):
∆ιz=l, l<r<2, 0 ≤ φ ≤ 2л, 0 ≤ θ ≤ л; (1)

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 321
iz∣r=ι = 0, u∖r=2 = 2sin0sin⅛3 + -, О ≤ φ ≤ 2л, О ≤ θ ≤ л. (2)
О
Δ Так как уравнение (1) является неоднородным, то найдем
какое-нибудь частное решение уравнения (1). Можно искать его,
например, в виде
w(r, φ, 0) = f(r)∙
Тогда из уравнения (1) следует, что
∕'V) + f∕V) = i∙	(3)
Ищем решение уравнения (3) в виде
/(г) = Аг2,	(4)
где постоянную А найдем, используя уравнение (3) и равен¬
ство (4):
2
2A+-∙2Ar = 1.
г
Следовательно, А = | и w(r,φ,θ) = ∕(r) = ^r2
решение уравнения (3) (или (1)).
Введем новую искомую функцию v такую, что
есть частное
v = и — w,
v = и — ^r2,	(5)
о
и запишем задачу (1), (2) для функции у:
∆f = 0,	l<r<2, 0 ≤ φ ≤ 2л, 0 ≤ θ ≤ л; (6)
τ>∣r=1	—	v∖r=2 — 2sin0sinφ, 0 ≤ φ ≤ 2л, 0 ≤ θ ≤ л. (7)
Так как правые части условий (7) представлены рядами Фурье
по системе сферических функций, ищем решение задачи (6), (7)
в виде	b	d
v = а 4	1- ( сг 4—≈ ) sin θ sin φ.	(8)
г у г )
Найдем постоянные α, &, с, d, используя равенство (8) и усло¬
вие (7). Получим
t>∣r=i = a + b + (с + d) sin0sin(∕> = —
∣r=2 = а + | + ^2c + ∣) sin θ sin φ = 2 sin θ sin φ,
322
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
где а, &, с, d определяются из системы линейных уравнений
7	1
а + b =
о
с + d = О,
<	. Ъ _ n
a + 2 - °’
2c+^ = 2,
1 ,	1	8	7	8 π
откуда находим, а = -, о = — -, c = а = — Поэтому из
равенства (8) следует, что функция
1	1 1 jl 8 (	1 V о -
^ = л- Л’_ + л г	9 sm θ sin φ
6	3 г 7 \ г )
есть решение задачи (6), (7), а в силу (5) функция
1 2 l 1	1 1 l 8 (	1 λ . β .
и= -г	- г - sm θ sm φ
6	6	3 г 7 \ г )
есть решение задачи (1), (2).	А
16.1.	Найти функцию, гармоническую внутри единичного
круга и такую, что t6∣r=ι = ∕(φ), где:
О f(φ) = cos2 φ∙,	2) ∕(⅛p) = sin3 φ∖
3)	f(φ) = cos4 φ∖	4) ∕(φ) = sin6 φ + cos6 φ.
16.2.	Найти функцию, гармоническую внутри круга радиу¬
са Я с центром в начале координат и такую, что:
1)	⅞	= A cos 72; 2)	= A cos 2^; 3)
or г)	or d	or
r=R	r=R
16.3.	Найти стационарное распределение
u(r, φ) внутри бесконечного цилиндра радиуса R, если:
1)	на его поверхности поддерживается температура
. 9
= sm φ.
r=R
температуры
u(r,φ)∖r=R = A sin φ∖
2)	на одной половине поверхности цилиндра (0 ≤ φ < л)
поддерживается температура —То, а на другой половине
(—л ≤ φ < 0) — температура То-
16.4.	Найти функцию, гармоническую в кольце 1 < г < 2
и такую, что u∣r=ι = ∕ι(⅞o), u∖r=2 = f2(φ), где:
О /1Ы = tzι = const, f2(φ) =u2 = const;
2)	= 1 + cos2 φ, f2(φ) = sin2 φ.

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 323
16.5.	Найти решение уравнения ∆zu = А в кольце R∖ < г <
< если z^∣r=Bι = u∖v=r2 = U2 (A, щ, ∏2 — заданные числа).
16.6.	Найти решение уравнения Пуассона
∆u = —Аху (А = const)
в круге радиуса R с центром в начале координат, если гф=д> = 0.
16.7.	Найти функцию u(x,y) = u(r cos<∕>, г sinφ), которая яв¬
ляется решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 96x2, г < 1; {u — ‰)∣r=ι = 12sin2(/?;
2)	∆t∕, = 24x, г < 1; (2u + ur) ∣r=ι = 20 sin3 φ∖
3)	∆n = 20r2sin6φ, г < 1; (3u + t⅛)∣r=ι = llsin6φ —
— 5cos7φ + 3;
4)	∆n = r3sin3φ, г < 1; (ιz + 3⅛)∣r=ι = 11 sin3φ + 5cos8^-3;
5)	∆n = 1 + 24х, г < 2; (u + ur) ∖r=2 = 8 sin3 φ∖
6)	∆u = 96у2, г < (и + ⅛)∣r=1∕2 — 2 sin4 * * 7 8 у?;
7)	∆n = 2(1 + 3y), г < 1; (u + ⅛)∣r=ι = 4у3;
8)	∆n =	6(х	+ у), г <	1;	(n + t⅛)∣r=ι = 4ж3;
9)	∆u =	12г/2 — 2, г <	1;	(n + ⅛)∣r=ι = 5у4;
10)	/\и =	2(х	— у), г <	1;	(и + ‰)∣r=ι = 4х(1	—	ж2).
16.8.	Найти	функцию	u(x,y) = u(r cos<p, г sinφ),	которая яв¬
ляется решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = —2 sin (φ + у ), г > 1; (и — ¾)∣r=ι = cos2 </д
2) Au = Д cos2 φ, г > 1; (и — ur) ∣r=ι = sin у?;
г
g
3) ∆τι = —« cos 3φ, г > 1; (и — ur) |r=i = sin2 φ∖
г
4) ∆n = —2 cos г > 1; (и — ur) |r=i = cos3 φ∖
5) ∆n = cos
6) ∆n = sin
^4φ +	, г > 2; n∣r=2 — sin4 ψ∖
(¼> + ^), г >	w∣r=ι∕2 = 8 cos4 φ∖
7) ∆n = -г cos 2φ, г > 1; (2u — ur) ∣r=ι =3 cos 2φ + 11 sin
r
3
8) ∆τι = cos φ, г > 1; (4n — ur)|r=i = cos φ + 24 sin ⅛φ.

324
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
16.9.	Найти функцию u(x,y) = u(r cos(∕2, г sinφ), которая яв¬
ляется решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 24у, | < г < 1;
ur∖r=i∕2 — 12cos2 φ, t6∣r=ι = 9cos2φ + 12sin^;
2)	∆n = 72y∕x2 + y2 , | < г < 1;
‰∣r=ι∕2 = 4sin⅛2, 'U∣r=ι = sinφ(2cos⅛2 — 1);
3)	∆n = 16ж, 1 < г < 2;
n∣r=1 = 1 + 3cos⅛2 — 2 cos2 φ, ur∖r=2 = 8 sin2 φ∖
4)	∆n = 12(x2 — у2), 1 < г < 3;
ur∖r=ι = 8 cos2 φ, гф=з = 2 sin2 92;
5)	∆n = 40ж, 1 < г < 2;
n∣r=ι = 5 cos φ + cos2φ, ur∖r=2 = —9cos2 φ∖
6)	∆n = 24xy, | < г < 1;
ur∖r=i∕2 = 4 + 5sinφ, ,u∣r=ι = 1 — 8sin2⅛^
7)	∆tz, = —24rsin⅛2, | < г < 1;
ur\r=i/3 = 12cos2 φ, n∣r=ι = 9cos2⅛2 + 8sinφ∖
8)	∆n = 9r,	< г < 1;
ur∖r=ι∕2 = 4sinφ, tφ=ι = sinφ(2cosφ — 1);
9)	∆n = 2rcos⅛2, 1 < г < 2;
^∣r=1 = θcos φ — cos2φ, ur∖r=2 = 8 sin2 (/?;
10)	∆n = 10r cos 2φ, 1 < r < 2;
πr∣r=ι = 12 cos2 <∕2, ιz∣r=2 = 2 sin2 φ.
16.10.	Найти функцию u(x,y) = τι(rcos(∕2, rsin(∕2), которая
является решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 12r2 cos 2φ, 1 < г < 2;
ur |r=i = 4 cos 4φ — 24 sin 3φ + 4 cos 2φ,
u∖r=2 = 16 cos 4(/2 + sin3⅛2 + 16 cos 2(/2 + 2;
2)	∆u = 12r2 sin 2⅛2, 1 < r < 2;
ur |r=i = 4 sin 4⅛2 + 24 cos 3⅛2 + 4 sin 2φ,
u∖r=2 = 16sin4φ — cos 3⅛2 + 16sin2⅛2 — 2;
3)	∆n = 12x, 1 < r < 2;
tz∣r=1 = 2 cos3 (/2 + 1 — sin (/2 cos φ,
u∖r=2 = 16 COS3 (/2 — 4 sin (/2 COS (/2;

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 325
4)	Au = 12у, | < г < 1;
2z∣r=i∕2 = sin3 φ + ∣ cos2 φ, u∣r=ι = 2 sin3 φ + cos 2^;
5)	∆n = 4r2(l + 6cos2 φ), 1 < г < 2; u∣r=ι = cos2φ,
u\r=2 — sinφ,,
6)	∆n = 16r2,	< г < 1; tφ=ι∕2 = 2sinφ, ιz∣r=ι = sin2 φ∖
7)	∆τι = 6r2 sin φ cos φ, 1 < г < 2; t6∣r=ι = 2 sin2 φ,
u∖r=2 = 4cos</p;
8)	∆n = 4r2(l + 4 sin2 φ), ∣ < r < 1; tφ=1∕2 = cosφ,
,u∣r=1 = 2 cos2 φ∖
9)	∆τι = — 24r sinφ, ∣ < r < 1; ⅛∣r=1∕3 = 12 cos2 φi
tz∣r=ι = 8 sin φ + 9 cos 2φ∖
10)	∆tz, = 9r,	< r < 1; ι⅛∣r=ι∕2 = 4sin⅛^,
n∣r=ι = sinφ(2cosφ — 1);
11)	∆u = 2r cosφ, 1 < r < 2; u∣r=ι = 6cos<p — cos2φ,
ur ∣r=2 = 8 sin2 φ∖
12)	∆n = 10r cos2φ, 1 < r < 2; ur∖r=∖ — 12 cos2 φ,
u∖r=2 — 2 sin2 φ∖
2	2
13)	Xu = -3—∣	‰2, 1 < r < 2; ttr∣r=l = 1 + 17(χ2 ^^ У2)’
(x + у ) 1
ti∣r=2 = 0;
14)
15)
Xu = 3 ;	1
√z2 + y2
1	∖
U∖r=2 = X +y)',
I
c2 _|_ y2
.2	λ,2
Xu = 3
,^r∣r=2 —
< r < 2; ur∣r=ι = 2xy,
< r < 2; u∣r=ι = — 3y — 8(x2 — y2),
2
16) Xu = - 27‰2,
(x2 + y2)3/2
Ur ∣r=2 = 1 ∙
1 < r < 2; u∣r=ι = 10(1 + xy),

326
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
16.11.	Найти функцию u(x,y) = 'u(rcosφ,rsinφ), которая
является решением задачи Неймана:
1)	Au = 16r3 cos 3φ, 1 < г < 2;
ur ∣r=ι = — cos 5φ + 5 cos 3φ — 48 sin 3φ,
ur∖r=2 = 5 cos 5φ — 3 sin 3φ + 80 cos 3φ∖
2)	∆n = 16r3 sin 3φ, 1 < r < 2;
ur∖r=ι = sin 5φ — cos 3φ + 5 sin 3φ,
ur∖r=z — 16sin5φ — — cos3φ + 80 sin 3φ∖
16
3)	∆τι = 24r3 sinφ, r < 1; ur |r=i = cos 92;
4)	∆n	=	12r2 cos 2φ,	< r < 1; ur∖r=↑∕2 — θ> W∣r=ι	— 0;
5)	∆n	=	12r sin2 φ, 1	< r < 2; ur∖r=ι = sin φ, ur∖r=2	= 7;
6)	∆n	=	15r2siny>, -	< r < 1; ur∖r=↑∕2 = 2 sin2 99,
ur∖r=ι = cos2 φ∖
7)	∆n	=	18r cos2 φ, 1	< r < 2; ur∖r= 1 = —21, ur∖r=2	= cosφ∖
8)	∆n	=	30r2 cos φ, -	< r < 2; ur ∖r=∖∕2 = 4 cos2 φ,
ur∖r=2 — sin2 φ∖
9)	∆n = sin⅛p, 1 < r < 2; ι⅛∣r=ι = 2 cos2 f77∖
r z x	∖ 2 /
1	∙ 2 (Ψ∖
ur∖r=2 = sir ( - 1;
18	1
10)	∆τι = —r- sin2⅛ρ, - < r < 1; ^r∣r=ι∕2 = 28 sin2 φ,
πr∣r=ι = 4 cos2 φ + 5.
16.12.	Пусть u(x,y) = u(r cos 92, r sinφ) есть решение задачи
Неймана:
∆ιz = —г,	1 < г < 2;
1 — 0,	2 — ЗА 1,
где Л — некоторая постоянная. При каком А разрешима задача?
Найти решение при этом Л.
16.13.	Найти решение уравнения Лапласа ∆n = 0 в прямо¬
угольнике 0 < х < а, 0 < у < Ь, если на границе этого прямо¬
угольника u(x,y) принимает следующие значения:
u∣x=0 = Asi∏y, u∣a,=α = 0,
u∖y=0 = В sin u∖y=b = 0.

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 327
16.14.	Найти распределение потенциала электростатическо¬
го поля u(x,y), внутри прямоугольника (0 < х < а, 0 < у < &),
если потенциал вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей
на оси Оу, равен vq, а три другие стороны прямоугольника за¬
землены. Предполагается, что внутри прямоугольника нет элек¬
трических зарядов.
16.15.	Найти распределение потенциала электростатическо¬
го поля u(x,y), внутри коробки прямоугольного сечения —а <
< х < a, -b<y<b, две противоположные грани которой (х = а
их — —а) имеют потенциал vq, а две другие (у — Ь, у — —Ъ)
заземлены.
16.16.	Найти стационарное распределение температу¬
ры и(х, у) в прямоугольной однородной пластинке 0 < х < а,
О < у < Ь, если ее стороны х = а и у = b покрыты тепловой
изоляцией, две другие стороны (х = 0, у = 0) поддерживаются
при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло
с постоянной скоростью q.
16.17.	Найти стационарную температуру u{r,z) внутренних
точек цилиндра с радиусом основания R и высотой h, если:
1)	температура нижнего основания и боковой поверхности
цилиндра равна нулю, а температура верхнего основания зависит
только от г (расстояние от оси цилиндра);
2)	температура нижнего основания равна нулю, боковая по¬
верхность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чех¬
лом, а температура верхнего основания есть функция от г;
3)	температура нижнего основания равна нулю, боковая по¬
верхность цилиндра свободно охлаждается в воздухе нулевой тем¬
пературы, а температура верхнего основания есть функция от г;
4)	температура верхнего и нижнего оснований цилиндра равна
нулю, а температура в каждой точке боковой поверхности зависит
только от расстояния этой точки до нижнего основания (т. е. от г);
5)	основания цилиндра теплоизолированы, а температура бо¬
ковой поверхности есть заданная функция от z.
16.18.	Найти стационарное распределение температуры
внутри твердого тела, имеющего форму цилиндра с радиусом
основания R и высотой h, если:
1)	к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный теп¬
ловой поток q, а боковая поверхность г = R и верхнее основание
z = h поддерживаются при нулевой температуре;
2)	к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный теп¬
ловой поток q, верхнее основание поддерживаются при нулевой
328
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
температуре, а на боковой поверхности происходит теплообмен
со средой нулевой температуры.
16.19.	Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиу¬
са R, с центром в начале координат и такую, что n∣r=jR = /(0),
где:
1)	∕(0) = cos0j	2) /(0) = cos2 в;
3)	/(0) = cos 20;	4) /(0) = sin2 0.
16.20.	Найти функцию, гармоническую внутри шара радиу¬
са Я и такую, что (и + ur)∖r=R = 1 + cos2 θ.
16.21.	Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса R
и такую, что:
1)	ur∖r=R = sin2 θ∖ 2) (и — ur)∖r=R = sin20; 3) ur∖r=R = A cos θ.
16.22.	Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана
для шара радиуса R, если:
1)	ur∖r=R = Acos0; 2) ur∖r=R = sin0.
Найти соответствующее решение.
16.23.	Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г <
< 2 функцию такую, что ιz∣r=ι = ∕ι(0), ^∣r=2 = /2(0), если:
1)	/1 = COS20, ∕2 = ∣(cos20+ 1);
2)	/1 = cos2 0, ∕2 = 4cos2 0 -
3)	∕1 = 1 - cos20, ∕2 = 2cos0;
4)	/1 = I cos 0, ∕2 = 1 + cos 20;
5)	/1 = 9cos20, ∕2 = 3(1 - 7cos20).
16.24.	Найти стационарную температуру внутренних точек
полушара радиуса R, если сферическая поверхность поддержи¬
вается при постоянной температуре а основание полушара —
при нулевой температуре.
16.25.	Найти стационарную температуру внутри однород¬
ного изотропного шара радиуса R, если на поверхности шара
поддерживается температура
( Щ при 0 ≤ θ <
tΦ=E = ∖	π zι
I U2 При - < θ ≤ 7Г.

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 329
и
sin2 в;
16.26.	Найти функцию, гармоническую внутри шара {г
такую, что:
1)	ιz∣r=ι = cos
2)	tφ=ι = (sin θ + sin 20) sin (φ +	;
3)	tfc∣r=ι = sin0(sin⅛9 + sin0);
4)	nr∣r=ι = sin10 0sin 10⅛p, u∣γ=q = 1.
16.27.	Найти функцию, гармоническую внутри шара {r < R}
и такую, что:
1)	u∖r=R = sin ^2φ +	sin2 θ cos 0;
2)	u∖r=R = sin +	sin3 0;
3)	u∖r=R = sin2 0 cos ^2φ —	+ sin 0 sin φ∖
4)	{u + r) ∖r=R — sin2 0 [√z2 cos ^2φ + ^^θ + 2 cos2 ;
5)	(u + ur)∖r=R = sin0(sin%) + cos φ cos 0 + sin0).
16.28.	Найти функцию, гармоническую вне шара {r < 1}
и такую, что:
1)	'u∣r=ι = sin { j — φ) sin0; 2) tz∣r=ι = cos2 0 sin 0 sin ( φ +	).
16.29.	Найти функцию, гармоническую вне шара {r < R}
и такую, что:
1)	u∖r=R = sin2 0 cos 0 cos ^3⅛9 +
2)	u∖r=R — sin 100φ sin100 0;
3)	(и — ur)∖r=R = sin 0 cos2 - sin (φ +	.
16.30.	Найти функцию, гармоническую внутри шарового
слоя {1 < г < 2} и такую, что tφ=ι = ∕ι(0,φ), u∖r=2 — f2(θ,φ),
где:
1)	fι = sin0sinφ, ∕2 = θ5
2)	/1 = 3 sin 2φ sin2 0, /2 = 3 cos 0;
3)	/1 = 7 sin 0 cos φ, ∕2 = 7 cos 0;
4)	fι = sin2 0(3 - sin2φ), ∕2 = 4/u
5)	fι = 12 sin θ cos2 ∣cosφ, ∕2 = θ!
6)	fι = sin 2φ sin2 θ, f2 = cos2φsin20j
7)	fι = cos φ sin 2θ, f^ = sin φ sin 23;

330
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
8)	/1 = 31 sin 20 sin φ, /2 = 31 sin2 θ cos 2φ∖
9)	/1 = cos 0,/2 = cos <£>( 12 sin 0 — 15 sin3 0).
16.31.	Найти функцию, гармоническую внутри шарового
слоя {1 < г < 2} и такую, что:
1)	(3u + ur)∣r=ι = 5sin2 0sin2φ, u\r=2 = — cos0;
2)	τz∣7∙=ι = sin0sin2⅛2(5 + 6cos0), ur∖r=2 = 12sin20sinφ∖
3)	ιz∣r=ι = 1, ur∖r=2 = 15cosφ(cos2 0sin0 + sinφsin2 0cos0).
16.32.	Найти функцию, гармоническую внутри шарового
слоя < г < 1} и такую, что:
1)	u∖r=χ∣2 = 0, tφ=ι = 6 cos2 ⅛2sin2 0;
2)	u∖r=γ∕2 = 30 cos2 ⅛9sin2 0cos0, n∣r=ι = 0.
16.33.	Найти функцию
и(х, у, z) — u{r cos φ sin θ, г sin φ sin 0, г cos 0),
которая является решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 0, г < 1; tφ=ι = 5 + sin0sin(⅛2 — 2) + 3 cos 20;
2)	Ан = 0, г < 1; (u + t⅛)∣r=ι = cos0(sin(∕2sin0 + cos0);
3)	∆n	= 0,	г	<	2;	и\г=2 =	3 cos 20 + 2 sin φ sin 0;
4)	∆tz,	= 0,	г	<	2;	u∖r=2 =	12 sin4 (∣) + sin2 0cos(2(∕2 + 1);
5)	∆u	= 0,	г	<	1;	,u∣r=ι =	1 + 3 sin 0 cos(⅛p + 4)-3 sin2 0;
6)	Au	= 0,	г	<	2;	u∖r=2 =	cos 20( 1 + sin 2φ) — sin2 0 — sin 2φ.
16.34.	Найти функцию
u(x, у, z) = u{r cos φ sin 0, r sin φ sin 0, r cos 0),
которая является решением следующей краевой задачи:
1)
∆n = 0, г > R;
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
u∖γ=r = 3⅛2 cos 20 Н—(cos 2φ — sin 2φ) sin2 0;
∆u = 0, г > 1;
∆n = 0, г > 1;
∆u = 0, г > 1;
∆u = 0, г > 1;
∆u = 0, г > 2;
√2
(u — τ⅛)∣r=ι = 3sin2 0 ∙ cos2(φ + 1
sin2 0 + 1;
7Z∣r=l = cos
(n — nr)∣r=ι = sin0(sin0 + sin 99);
t4∣r=ι = sin0(sin0 + sin 99);
и|г= 1 = 2 cos2 φ ∙ sin2 0;
u∖r=2 = 1 + 2(cos φ — sin 0) cos φ — cos 20 cos 2φ∖
Au = 0, r > 3; (u — ur) |г=з = - sin2 0 cos2 φ∖
о

§16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 331
9)	∆u = 0, г > 2; (и — 2ur)∖r=2 = sin2 0(1 + sinφcos φ)∖
10) ∆n = 0, г > = (2u — w)∣r=ι∕2 = 24(cos0 + cos2(∕>).
16.35.	Найти функцию
и(х, у, z) = u(r cos φ sin 0, г sin φ sin 0, г cos 0),
которая является решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 0, | < г < 1; ur∖r=i∕2 = 4(4 — 3sin2 0),
u∣r=ι = 6 cos 20;
2)	∆n = 0, 2 < г < 3;
u∖r=2 = — - + 8cos2φ — 8 cos2 0cos2φ,
гф=3 = 9 cos 2φ — 9 cos 20 cos 2φ∖
3)	∆τι = 0, 1 < г < 3; tφ=ι = 3(sin2 0cos3⅛p + 4),
(и + ur)∖r=3 = 5;
4)	Аи = 0, | < г < 1; u∖r=i∕2 = 3(1 + cos 20),
tφ=ι = 6(3 — 4 sin2 0);
5)	∆n = 0, 1 < г < 2; u∣r=ι = 0,
и\г=2 = 31 sin2 0(sin2⅛9 + cos2(^);
6)	∆n 0, 1 < г < 2; ur∣r=ι = —6 sin2 0,
u∖r=2 — 2(2 + 3 cos 20);
7)	∆n = 0, 1 < г < 2; tz∣r=ι = 31 (cos φ + sinφ) sin 20,
u∖r=2 = 0;
8)	∆n = 0, 1 < г < 2;
31
t4∣r=i = — — sin20sinφ, u∖r=2 — 14
9)	∆n = 0, | < г < 1;
о
t6∣r=ι = 3sin0cosφ(l + 6cos0),
n∣r=i∕3 = cosφ(sin0 + sin 20);
10)	∆u = 0, 1 < г < 3; n∣r=ι =4⅛2 sin2 0 sin 2φ,
w∣r=3 = 2 + 9 sin 2φ — 9 cos 20 sin 2φ∖
11)	∆τι = 0, 1 < r < 2; tφ=ι = 14 — 6sin(^ — 21 sin2 0,
,φr=2 = sin 0(2 sin φ + 9 sin 0) — 6;
12)	∆n = 0, 2 < r < 3;
u∖r=2 = 4 + 2 cos 2φ — 2 cos 20 ∙ cos 2φ,
гф=з = 3sin2 0(1 + 3cos2(∕>) + 3cos2 0;
13)	Δu = 0,	< r < 1;
tz∣r=ι∕2 = 18 — 7 cos# — 27 sin2 θ, u∣r=ι = 10 — 15sin2 #;

332
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
14)	∆n = 0, | < г < 1; ιtr∣r=ι∕2 = θ.
гф=1 = | — sin2 θ sin2 φ∖
15)	∆n = О, 1 < г < 2;
tφ=i = 1, ^∣r=2 — 2sin0cos(0 + φ) + (1 — cos 20) sin φ∖
16)	∆n = О, 1 < г < 2; ιz∣r=ι = sin0cos(φ + 2),
I	• 2 о 2
t‰2 = smz0 -
17)	Δn = 0, 1 <г < 2;
гф=1 = sin2 0(3 — sin2φ), u|r=2 — 4 sin2 0(3 — sin2(/?);
18)	Δn = 0, 1 <r <2;
zu∣r=l = sin0sinφ(5 + 6cos0), ur∣r=2 = 12sin20sinφj
19)	∆n = О, 1 < г < 4;
ur∖r=ι = 2(sin0cosφ + 3cos0), {u + 2ur)∖r=4 = 12cos0;
20)	∆tz, = 0, 1 < г < 3; n∣r=ι = 3(sin2 0cos2<∕> + 4),
(u + ur)∖r=3 = 5;
21)	Δn = 0, 1 <г <2;
гф=1 = sin2 0 sin φ cos φ, u\r=2 = 1 + sin 2φ — cos 20 sin 2φ∖
22) Au = 0, 2 < r < 3;
‰∣r=2 = — - + 8cos2φ — 8cos2 0cos2φ,
zu∣r=3 = 9 cos 2φ — 9 cos 20 cos 2φ∖
23)	∆tz, = 0, 1 < r < 2; n∣r=ι = 6 sin2 0 sin2 φ,
ur∖r=2 = 4 — 12 cos 20;
24)	Δw = 0, ∣ <r < 1;
u∖r=ι∕2 = sin 20 sin (φ + tφ=ι = 3(cos 20 +sin2 0) — 1;
25)	∆tz, = 0, ∣ < r < 1; nr∣r=1∕2 = 4,
?i|r—1 = 21 sin2 0(sinφ — cosφ)2j
3
26)	∆u = 0, 1 < r < 2; τ∕∣r=ι = - tg0sin<∕>(l + cos20),
о
u∖r=2 = cos0;
27)	∆n = 0, 1 < r < 3; n∣r=ι = 3 sin2 0, ιz∣r=3 = 6 cos2 0;
28)	Au = 0, 1 < r < 2;
z∕∣r=ι = 2sin2 φ + cos20cos2⅛p, u∖r=2 = 31 sin20sin(/?;
29)	Au = 0, 1 < r < 2;
ur∖r=ι — 5 sin2 0 cos2 φ, u∖r=2 — — - — - cos 20;
30)	Au = 0, 1 < r < 2; n∣r=ι = 3 sin 0(sin φ + sin 0) — 2,
u\r=2 = 0;
31)	Au = 0, 1 < r < 2; (u + ur)∣r=ι = 0, u∖r=2 = 3 + 3cos2 0;

Ответы к § 16
333
sin2 θ, i6∣r=ι = Ю;
32)	∆u = 0, 1 < г <
ur∖r=ι∕2 = 49 sin
33)	Δn = O, |<г<1; zu∣r=1∕2 = 2, ur∣r=ι = sin20sτ
16.36.	Найти функцию
и(х, у, z) = u(r cos φ sin θ, г sin φ sin θ, г cos 0),
которая является решением следующей краевой задачи:
1)	∆n = 6г, г < 1; tφ=ι = 2 sin2 φ sin2 θ + cos3 θ∖
2)	∆n = 12(x2 — y2∖ 1 < г < 2;
τz∣r=i = 2 sin φ sin 2θ + sin4 θ cos 2φ, u∖r=2 = —4 sin2 20cos2(/?;
2
3)∆τι=l, 1 < r < 2; u∣r=ι = 0, u∖r=2 = 2sin6,sin<∕> +
о
4)	∆u = 24жу, г < 1;
u∖r=↑∕2 = cos2 θ — sin θ cos φ + — sin4 θ sin 2φ∖
'	16
5)∆n=⅛, ±<r<l5
Г z
u∖r=ι∕2 — (cos 20 — 1) sin2 φ + sin2 θ, ⅛∣r=ι = sin20sin(/2;
6)	∆n = 6r3, 1 < r < 2;
ιz∣r=ι = (cos 20 — 1) sin2 φ + sin2 0, ur∖r=2 = 15 + sin0 cos φ∖
7)	∆n =-,	< r < 1;
r 3
u∣r=1∕3 = cos2 0 cos 2φ + 2 sin2 φ, n∣r=ι = 1 + cos0;
8)	∆n = 12r, 1 < r < 3; tφ=ι = 0,
7/ |r=3 = cos 20 sin 2φ + (sin 0 — 2 cos φ) sin φ∖
9)	∆τι = Λ, r > 2; (ιz — ur)\r=2 = sin 0 cos2 f	sin (— φ∖
r4	∖ 2)	∖ 6	/
10)	∆ιt = 20, r < а/З;
li∣r=√3 = 15 ÷ 15 cos 20 — √z3 sin0sinφ.
Ответы к § 16
16.1.	1) ^(1 + r2cos2</j); 2) ξ(3sin⅛5 — r2sin2y>);
3)	∣ + 7- cos 2φ + 1- cos ^φ∖ 4) ∣ + ∣r4 cos 4φ.
О z	о	о о
16.2.	1) Ar cos (/? + С; 2) r2 cos 2φ + С;
2K

334
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
sin sin3φ) ÷Cf. Здесь С — произвольная постоянная.
16.3.	1) sinφj
_47Ь ∞ / г ∖2n+l sin(2n+l)φ = 2T0	Д2 - г2 _
π	ln+1 л tg2rβsin^ °’
16.4.	1) щ + (u2 - uι)⅛ 2) | - ⅛ + (А - ∣A cos2√>∙
in z z 1П Z	у о /
Щ — U2 + А(7?2 - ⅛)∕4 j -¾
1пЯ2 -ln⅛ nT,
16.5. u2 + j(r2 - R22) +
16.6.	^-(jR2 - r2) sin2φ.
Л7	,	Аху z о ,	9× Ar4sin2ω
Указание: u = viw, где v — —τττ(x ÷ v =	~ ~
12	24
частное решение уравнения Пуассона, а ш — решение уравнения Ла¬
пласа, удовлетворяющее условию ш|г=д = — 224sin2(∕z
16.7.	1) и = 3r4 + 4г4 cos2(∕} + 9 — 12r2(cos2φ + sin2φ∖,
2)	и = 3r3 cos φ + 5r(sin φ — cos φ) — r3 sin 3φ∖
3)	и = (2r6 — r4) sin 6(/2 — ∣r7 cos 7φ + 1;
4)	и = (±r3 + r3>) sin 3φ + ^r8 cos 8φ — 3;
∖ lb /	5
5)	и = 3r3 cos φ + ^r2 — 2 + 2r sin φ — 20r cos φ — ^r3 sin 3</?;
6)	n = 3r4 — 4r4 cos 2φ — ∣∣ + r2 cos 2φ ÷ ^r4 cos 4φj
о 2	о	2	।	2
-7∖	3 , Γ n ,	9 ∙ 2	,	3 ∙ 3	3 l X ⅛ у l O
7)	и - -- + — cos2φ + rz sin ⅛9 + r3sιn φ — -- H	γ2~ + У ,
8)	и = — ∣r sin⅛9 + lr3 sin3ιp + r3(cos3 φ + sin3 φ)∖
о 2	о	2 I 2
3	Г q I 4 , 4	2,2	3 X ~h у .
9)	и = - — — cos 2φ + ri sin φ — rz sin φ = - — —
r r3
10)	и — - sin φ + — sin 3φ + r3 (sin2 φ cos φ — sin φ cos2 φ).
16.8. 1) u =
∣ 1	1 . (	. π∖
+ 2-27sm(y+4)
+ A cos 2φ∙,
6r2
2) и = J— -!- cos 2φ — 1 + 4- sin φ H—ζ7 cos 2<p;
2r 6r	2r	9r2
3) и — 1 cos 3φ + 1	4 cos 2φ	4;
r	2	(,r2	2r3

Ответы к § 16
335
4)	и = cos 3φ + — cos φ	^ cos 3φ',
6r	16r
t-λ A8 1A (л I πA I 3	2 О I 2 Л
5)	и =	- - cos I4φ + - + - - cos 2φ + cos 4(р;
∖∕,	2 /	\	О / О γ	γ
6)	и- ∙ 2. - ∩ sin (⅛φ + ∣1) + 3 + 2 cos 2⅛9 + -2 2 cos 4^;
∖iθ7∙	/	\	5 /	т*	10 т~
7)	u= ( Д - ДД cos 2φ + Д sin 9(/?;
δλ ( 1 П _ь 3 • л
8)	и = — — - J cos φ + sm4φ.
16.9.	1) и = 3r3 si∏(∕> + 2 lnr + (^8r + sinφ + 9r2 cos 2φ∖
2)	и = 8r3 — 8 — 3 In г — -sinφ + (^-r2 +	• Д sin 2φ∖
г	\ 17	17 / /
3)	и = 2r3 cos φ÷81nr÷ (	19r) cos φ — r2 cos 2φ∙,
4)	и = г 4 cos 2φ + 1 + 4 In Q) - ^9r2 + Д) cos 2^;
5)	и = 5r3 cos φ — 9 In г — 48 (г — - ) cos φ + (r2 —	) cos 2φ∖
6)	и = r4 sin 2(^ + 1 + 2 In г + (г — -^) sinφ — ∣ f 17г2 +	sin2φj
7)	и — —Зг3 sin φ + 2 In г + (10r + sin φ + 9r2 cos 2φ∖
8)	u = —1 — |1пг+Д (16r2 + Д) sin2(∕p — ∣ sinφ + г3;
и = ∣r3 cos φ⅛81nr +	— ∣r) cos φ — r2 cos 2φ∖
9)
cos 2φ.
16.10.	1) и = r4(cos 2φ + cos 4φ) + Д sin 3φ + 1;
г
g
2)	и = r4(sin 2φ + sin 4φ)	cos 3^ — 2;
г
3)	и = 1 — ДД + ^r3(cos3(∕p + 3 cos φ) — ^r2 sin2(/9;
4)	и = r2 cos2φ — Д + ^r3(3sinφ — sin3(/?);
5)	и = r4(l ÷cos2ω) — 1бДД + ∣ (г — -‰inω -	(г2 — Д^) cos2ω- 1;
m2 3 ∖ гJ	15 ∖ r1)

Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
4 7 In г 4/ 1 \ .	1 (1 р 2 1 А о 1
u = r ^T6h2^3r^7Γm^^3δ(16r “?Jcos2^“2;
1	In г	8	(	1 \	1	( 2	lθλ	о
и =	1	- —	+ -	г	cos φ ÷ —	rz	7	cos 2φ -
In 2	3	∖	г J	15	∖	rz J
—	(21r2 — sin2φ + ^r4 sin2cp;
3 4 . 19 Inr	2 /	1∖	,	1 ∕r-o 2	3 ∖ q
“ = 4r + ЙЙ - зГ?)”’ + 3θ(53r	-
2 4	0,1
- -r cos2<p +
□	zr
и = —3r3 sin φ + (10r + -) sinφ + 2 In r + 9r2 cos 2φ∖
u — — ∣lnr÷γ7 (16r2 + -^∙) sin 2(/2 — ∣ sin φ + r3 — 1;
5
4
1 3 l /7
и = -r cos φ + ( - —
и — 2r3 cos2ω + 61n (
'2+⅛
cos φ + 8 In r — r2 cos 2φ∖
) cos 2φ + 1;
и = In Q) + (r - 4) cos2φj
( 2 I 2 ∖	1 1 2 ∙ о
и — I r ÷ - ) c°s φ ÷ 2r sm
g
и — (r2 — 4r) sin φ	cos 2φ∖
r
и = 21nr + (r ÷ ) sin2φ + 10.
16.11.	1) и = r5 (cos 3φ + 7(θ cos + sin 3(/2 + C;
и = r5 (sin 3(∕p + - sin 5φJ + cos 3(/2 + (7;
и = (r5 — 5r) sin φ + r cos φ + C;
и — (r4 — ^-r2 — —1-7λ) cos 2(/2 + C;
∖	10	10r2√
2 3	63 o 01	1 /	4 ∖ .
U = 3r ~^ 5r cos^^ - 2 [nr — - I r + - ] sm (/2 +
+	^93r2 + cos 2φ + C;
и = r4 sinφ + i lnr — ^31г + sinφ + Γr2 + ДЛ cos2φ + С;
и = r3 + ∣r3 cos 2(/2 — 24 In г + ∣ (г + cos φ —
-⅛(279''2 + ⅛i)∞s2'5 + c
и — 2r4 cos (/2 + In г — | (З41г + —) cos φ —	(r2 + 4θ cos 2φ + С;

Ответы к § 16
337
9) и =	—-— 6г j sinφ —	÷ rj cos φ + In г + С;
10) и = f -Л? — - — sin2φ + (-L + 2r2∖ cos 2φ + 7 In г + С.
∖5r2 г 5 I	V2 7
1	1г
16	.12. Если А = —, то и = С - 		—, где С — произвольная
48	4г 12	1
постоянная, есть решение краевой задачи. Если A ≠ —, то краевая
48
задача решении не имеет.
, π(a — х)	, π(b — у)
sh 	j- _7/ sh
16	.13. А	≡⅛— sin	+ В	⅜— sin —. Указание. Ре-
sh^ b sb —
0	а
шение искать в виде и = υ + w, где v и w — гармонические
функции такие, что tφr=o = √lsin^, v∖x=a = v∖y=0 = υ∖y=b = 0,
w∣,τ=o = w∖x=a = ⅛=b=o, w∣^=o = Bsin^.
λ7,	∞ sh
16.14.	— Е —
π п=0
16.15.	∑(-1)
π п=0
(2n + l)(α, — x)π . (2n + l)πy
ъ sm &
(2n+l)sh <2n+1)πa
ь
1	(2n⅛l)τπr	(2n+l)πv
	2b	2b
(2n + 1) ch	17τα
(2n÷l)π(b-¾∕)"
16.16.		з
kπ3 n=0 (2n+l)3
ch
।	2ft
ch (2∏÷l)πδ
2а
. (2n + l)τrx
sin  	-—
2а
к — коэффициент внутренней теплопроводности.
Указание. Задача сводится к решению уравнения ∆n = — при
УСЛОВИЯХ и\х=о — zCΛ∣t∕-0 — 0? ^jx∖x=a — ^jy∖y=b — 0∙
1
Q
к
∞	sh^	( T∖
16	.17. 1) ∑ an—(μn-β], где μn (n = 1,2,...) — положи-
n=ι	sh^2	V л/
н
тельные корни уравнения Jo(μ)=O, an- 2 2	∫0 r¾(r)7o () c^r'^
R Jχ {μn)	∖ R /
∞	sh ——	,	r х
2)	∑2 an	Ь где Z1n (п = 1, 2, ...) — положительные
n=ι	sh-	×
R	J
корни уравнения Jι(μ) = 0, ап = —		∫0 ru0(r)J0 (	) dr
R J0 (μn)	\ Л 7
(указание: краевые условия имеют вид ∣-u∣r=o∣ < ∞, u∣z=o = θ>
Ur∣r=Λ = 0, u∖z=h = u0(r));

338 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
к kb∏z
∞	sh-p-	/ г\
3)	∑an	⅜t⅞ ∕zn∏ , где Кп (n = 1, 2, ...) — положительные
n=l sh^	r'
2 f h2R2∖
корни уравнения μJι(μ) — hoRJo(μ) = О, αn = — I 1 + 12 ] ×
R ∖ μn J
χ-fη-Jo ruo(θJo Γf} dr
Jo(μ∏)	∖ tι /
(указание: краевые условия имеют вид ∣u∣r=o∣ < оо, -u∣z=o = О,
(ur + hiu)\r=R = 0, u∖z=h = u0(r));
2 v⅛ Г т /тгпЯ Д1-1 / р ,,i,. . πnξ ,Λ . τmz , /πnr .\
4)	τ,∑, [•'"(—-л	(p(0∙≡-r<)∞-r*(-r∙)∙
где Jq(Iz) — функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого
аргумента;
rx 2 S Γτ / πnR Al-1 ∕⅞ р/.ч πnξ 7/Д	πnz τ / πnr Л
5)	Т, Г» (—*Л	(J '«> cos —dζ)— ■’« (—')
(указание: краевые условия имеют вид ‰∣z=q = ‰∣z=∕ι = 0,
w∣r=fi = ∕(z)).
∞ sh	z r χ
16.18.	1) ∑ ап	-Лт—Л ⅛p , где μn (п = 1, 2, ...) —
n=ι ch^ ∖ RJ
положительные корни уравнения Jo(μ) = 0, ап = —2— - коэф-
kμnJ∖ (∕^-n)
фициент теплопроводности.
Указание. Задача сводится к решению уравнения ∆n = 0 при
краевых условиях — kuz∖z=o = 0, u∖r^R — u∖z=κ — 0;
f,b Pn(h-z}
∞ Sh 			 z х
2) V a∏	— Jo ∖ Rn~], где μn (п = 1, 2, ...) — положительные
n=ι ch^ ∖ α√
R
корни уравнения μ√ι(μ) — Rh↑Jo(μ) = 0, h∖ — коэффициент
2h2 R2, а
теплообмена, an = , zπ2ι12 ,1 ∙Λ(∕⅛)Γ1∕⅛2∙
k(R hl + μn)
Указание. Краевые условия имеют вид (ur + hιu)∖r=R = 0,
^‰∣z=0 = θ> ,h∣z=∕ι = θ∙
г	1 /	г2 \	г2	о
16.19.	1) ^cos6>; 2) i 1 - Д. + Z_Cos26>;
r	3 ∖	R2 J R2
3*I(⅞)2<∞s2"-i>-^ 4>5-⅛(⅛)2(3∞2β-1>∙
16.20.
з + 3(Я2 + 2Я)
(3cos2 0—1).

Ответы к § 16
339
16.21. 1)
постоянная;
2Д2 Д4
Зг θr3
(3cos20 — 1) + С, где С — произвольная
2> ° + (I - c) + ∣) - (+? (co≡2β Ч)+c∙где c - πpo"3'
вольная постоянная;
A R3
3) Cf — — • —2- cos#, где С — произвольная постоянная.
2 r∙
16.22.	1) Задача разрешима: и — Ar cos θ, где С — произвольная
постоянная;
2)	задача не имеет решения.
16.23.	1) 2. +	—1; 2) | Г| - 1 + r2(3cos2 0 — 1)1;
Зг Зг	3 L 3	J
oλ	4	/ ,	l	2λ	, 8 / 1 ∖ 0 l 2 / 2	32\	/„ 2л	п
3)	-	-l	+	-	+-r-^cos0+- √	j-	(3cosj6* -	1);
3	\	г/	7 ∖ √ у 93 \	г /
4)	И1 -1)+⅛ (^r+⅞) c°sθ+⅛ (r2 - ⅛)(3cos2θ -1);
5)	— 5 + | + (—2r2 + -^) (3cos2θ — 1).
<йол -г ! Пп 1 ' 3 ∙ 5∙∙∙ (2n - 1) ,.	o∖∕rλ2"+1o / да
16∙24' 7θ∑∕ 1 2 • 4 • 6... (2n + 2) 4n + 3 \ Д/ Γ2n+1(cos0),
О ≤ θ ≤ ∑
1625.	+	∑(-l)n3'^θ-∙∙j^ Jj(4n + 3)×
Z	Z n=0	Z ∙ z± * U . . . y∆ll -j- Δ)
f γ∖ 2'P⅛1
×P2n+ι(cosO о
\ Гъ/
16.26. 1) r2 cos ∖2φ + j sin2 в; 2) (гsin# + r2 sin2#) sin (φ +
2	г	rιυ	ш
3)	- — — (3cos2# + 1) + rsin#sin(/?; 4) 1 + —- sin 0 θ sin 10(∕∖
О	О	1 и
16.27.
2)
sin2 θ cos #;
sin3 #;
3)
4)
5)
2
3
2
3
sin2 θ cos (^2φ
∕,r∖2 R
∖r)	3(2+7?)	"	1 2+7?
г .	. n l r2 sin # cos θ cos φ
— smy8mt>+ RW + 2)
7Γ ∖ V ∙
—г I ÷ v; sin#sin+;
4 J R	r
(3 cos2 #-1) +	(2 cos 2φ- sin 2φ) sin2 # ;
r2 3 cos2 θ — 1
У ‘ E(E + 2) '

340
2)
2)
3)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
2)
3)
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
16.28	. 1) — -L- sin#sin (4 —
2г2	И Ч
• -4 sin (φ +	(15cos2 θ — 3) sin# + | • -4 sin (φ + sin#.
15 r4 ∖	3√v	7	5 √	∖	3√
16.29	. 1)	) sin3 θ cos θ cos (⅛φ +	;
∕D∖1°1
( — ] sin 00 θ sin 100ωj
∖ r J
⅛ (7Γsin (*,+i)si,,β + ⅛) (t)’™ (*i+j) ≡βcosβ∙
16.30	. 1) I f Д	sinφsin#;
7 ∖√ J
12 /	1 ∖ n ( 96 3r2λ . o ∙ 2 л
— I r - -2 cos# ÷	- — sm2^sm #;
/ ∖ γ J	∖31Γ	1 J
4		2 J cos# +	— rj cosφsin#;
14 — — + r2(l — 3cos2 # — sin2 # ∙ sin2⅛9)i
12/4	r∖ . a	l	12	/ 8	r2λ	. c,0
-=- -9 -	о cos Ψ sm θ	+	τr	“i ^^	~τ	cos φ sin 2#;
/ ∖r	z /	31	∖ r	4 /
[r2	cos2<p-7- sin2<p^ ÷7	cos2<p+∣^ sin2⅛3^ sin2#;
Γ 2 ( 1	, 8 .	∖ , 1 /32	8 .	∖] . cya
rz cosφ + — s1n⅛2 +	— c0s⅛2 - — sιnφ sm2#;
L ∖	31	31	/ γ∙ ∖31	31	/ J
f — r2∖ sin 2# sin φ + fδr2 — sin2 # cos 2φ∖
∖r J	V r /
1/8	∖ n l 32 / 3	1 ∖ 12sin#— 15sin3#
7 Ь ^ rΓ°sθ + 127 V 7) 	2	c°s^∙
16.31. 1) f Д — cos# + (r2 — sin2 #sin2(/?;
∖r /	∖ r /
+ sin # sin φ + 3r2 sin 2# sin φ∖
8 /	1 ∖	12 /	1 ∖
1 + — (r3	7 ) cosφsin#(15cos2 # — 3) + — [r	2 ) sin0cosφ +
97 ∖ p /	5 ∖ γ /
60 / 3	1∖.q	. 2 л л
÷ θy I ro	4 ) sm2(psm #cos#.
r

Ответы к § 16
341
16.32. 1) 4 - | +	(-32r2 + 1) (3cos20- 1) + ∣j- (32r2 - -⅛) х
х cos 2φ sin2 в;
12 / 1	∖ zl , 120 / 1	3∖ o .2л л , 24 / з 1 \
2)	— -J - г cos θ + — ( -j- -r, I cos 2φ sin θ cos θ + — lri	τ x
/	∖ γ* /	∖ г J	12/ ∖ T /
× (5 cos3 θ — 3 cos 0).
16.33.	1) и = 4 ⅛ r sin0sin(φ -2) + 2r2(3cos2 θ — 1);
2)	и = ∣ + ^r2(3cos2 0-1) + ∣r2 cos0sin0sin+;
3)	и = — 1 + r sin 0 sin + + ∣r2(3cos2 0 — 1);
4)	и = 4 — 3r cos0 + ^r2(3cos2 0-1) + ∣r2 sin2 0 ∙ cos(2φ + 1);
5)	и = — 1 + 3r sin0cos(φ + 4)+ r2(3cos2 0 — 1);
6)	и = — 1 + ^r2(3cos2 0 — 1) — ∣r2 sin2φsin2 0.
16.34.	1) и = ∣ ∙	+	[∣(3cos2 0-1) + cos ^2φ + sin2 ;
2)	и =	∙ [4r2 + 3 sin2 0 cos(2+ + 2)];
3)	= + -3 cos (⅛φ — τθ sin2 0;
4)	и = -Д Q + cos 0^ sin0cos(+ + 2);
5)	и = Д3 [2r2 + 3r sin 0 sin φ — 3 cos2 0 + 1];
6)	и —	— -Д (3 cos2 0 — 1) + -Д sin2 0 cos 2φ∖
3r 3r3	r
7)	и = - — 4,- sin 0 cos φ + ^-∣ sin2 0 cos 2(/>;
r rz	r-
8)	= cos 2φ sin2 0+-- 4√3cos2 0 — 1);
r6	r r6
9)	и = 4r sin2φsin2 0 + Д	⅛r(3cos2 0 — 1);
r	3r	3r3
10)	и = —- + ^2 c°s0 4—^-(3cos2 0 — 1).
r rz 4r6
16.35.	1) u = 4r2(3cos20- 1)-
2) и = 1 — - + 2r2 sin2 θ cos 2φ∖

342
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
И)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Q 3 о
и = 3 + - + -J sin2 θ cos 2ip;
и = 2 + 8r2(3cos2 θ — 1);
u = 8 (r2 —) sin2 0(sin2⅛j + cos2⅛p)j
\ г )
и = - + r2(3cos2 θ — 1);
г
и —	— r2j (cos φ + sin φ) sin 20;
и — 4
(г —Д) cos θ + (r2 —	sinθ cos θ sin φ∙,
и — 3r sin θ cos φ + 18r2 sin θ cos θ cos φ∖
и = 1 + - + 2r2 sin2 θ sin 2ip;
и = (2r — sin0sin⅛9 +	— r2) (3cos2θ — 1);
и = 1 + - + r2 sin2 θ cos 2φ∙,
и — (j2r — cos0 + ^4r2 + 4θ (3cos2θ — 1);
W = 2§4 (48r2 + ⅛) (3cos20 — 1) + ± (48r2 + 1) sin2 θ cos 2φ∖
и —
— 1 ÷ - ÷ ∣∣ (r2 —sin θ cos θ cos φ∖
Д) sin0cos(φ + 2);
и = — -γδ + -1 И δ cos" U - 1) + - -г + -
Уо ∖	γ /	/ \ у
и = 14 — — +r2(l —3 cos2 θ — sin2 θ sin 2φ);
| (—5r + sin θ sin φ + 3r2 sin 2θ sin φ∖
cos θ —∣ sin 0 cos 0;
и —
и = 2
и = 2
и = 3 + - + Д sin2 θ cos 20;
r r6
(1--) + ∣r2 sin2 0sin2(/>;
и = 1 — - + 2r2 sin2 θ cos 2φ∖
и — 2 — r2(3cos2 θ — 1) — -∣ (θr2 + cos 2<∕}
sin2 0;
r

Ответы к § 16
343
24)	и = -L ^32r2—l)(3cos20 — 1) = r2 + -Y) cos0sin0 ×
× sin (φ+
25)	и = 15 —	| θl8r2 +	(3 cos2 θ — 1) — ∣ ^48r2 + -!θ sin 2φ sin2 θ∖
26)	и = | (г — Y) cos θ +	(—r2 ÷ cos θ sin θ sin φ∙
27)	n = 2 + (δr2 - ∣∣) (3 cos2 0-1);
28)	и = — 1 ÷ “ ÷ cjγ (r2 - “I) cos 2^sin2 θ + (r —) sinφsin20;
29)	и = ∣ — γ— -∣-r2(3cos2 0- 1)÷⅛ (jr2 — λ) sin2 0cos2φj
О ОТ 1 ∆	zty ∖ 2±	rp /
30)	и = f—÷ -¾λ) sinφsin0 + (Г—	(3cos2 0 — 1);
∖ 7 7r /	∖31	31r /
31)	m = ⅛(16γ2 + 7) (3c°s20-0 + f;
32)	и = 10 + (r2 —sin (2φ + sin2 0;
33)	и = 2 + -}- (З2г2 — ДД sin 20 sin (φ +
67 ∖ γ J	∖	3/
16.36. 1) и = r3 cos3 0 — r2 cos 2φ sin2 0 + ∣ — ∣r2(3 cos2 0—1)
(указание: ‰pth = z3 — r3 cos2 0);
× v	ML Civ 1 ιl	z '
<o∖	4 ∙ 4 ∕j q 2 / 32	2^-	∙ q∕)	128 / 1	2^∖
2)u = r sin 0 cos 2φ + —	— rz sin φ sin 20 + —— I -^ — rz ×
31 ∖ γ /	31 ∖ ∕∙	/
× sin2 0 cos 2φ
(указание: ‰cth = x4 — y4 = r4 sin4 0 cos 2φ)∖
3)	U= ^2 + ∣(r -^) Sin0siw -∣(∣-∣)
(указание: u43cth = -r2);
4)	и = r4 sin4 0 sin 2φ + ∣r2(3 cos2 0 — 1) — 4r sin 0 cos φ + ∣
(указание: ‰cth = 2(x3y + xy3) — r4 sin2 0 sin 2φ)∖
5)	u = _L - A + ±(32r2-l)sm20sin^ + A(3r2 + ∣) ×
× sin2 0 cos 2φ (указание: искать ‰cth = /(г));
6)
21 l 4 l 4 (	1 V о l 1 ∕q 2 l θ4V 2/) q
и = - — — + - + - (г — —2 I sm0cosφ + — ( 3rz ÷	∖ sin 0cos2φ
(указание: искать пчастн = /(г));

344
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
7)	n = 3r-3+l + -L (i27r - cos# + -Д fr2 - sin2 0cos2φ
г 26 ∖ r1)	242 ∖ ri)
(указание: искать пчастн = /(г));
о\ 3 лп 39	9 /	1 ∖ . ∩ .	27 /1	• 2 д • а
8)	и =	— 40 4	+ — г	θ sin # sin φ + —— I -7 — rz sin # sin 2ω
r 26 ∖	√√	121 ∖r3	/
(указание: искать ичастн = f(г));
9)	и = Ду	- Д + Д sin θ sin f Д	Д	+ -Д	sin θ cos θ sin (Д	Д
2r 3r √	∖6	J 5r3	∖6	r√
(указание: искать пчастн = f (г));
10)	и = 10r2 cos2 θ — г sin О sin φ
(указание: αm,rτu = 10z2 = 10r2 cos2 #).
∖ J	uιClV∙ 1 Г1	'
§ 17.	Функция Грина задачи Дирихле
для оператора Лапласа
Функцией Грина (внутренней) задачи_Дирихле для области
G∈R3 называется функция Q(x,y), xeG, у ∈ G, обладающая
свойствами:
1)	G(x,y) =		7 + g(x,y), где функция д — гармониче-
4π∣x — у\
ская в G и непрерывная в G по х при каждом у ∈ G;
2)	(у(х,у)\хЕ$ = 0 при каждом у ∈ G, где S — граница об¬
ласти G; для неограниченных областей G требуем, чтобы
д(х, у) —> 0 при |х| —> ∞.
Если G — ограниченная область и S — достаточно гладкая
поверхность, то Q существует, единственна, имеет правильную
∂Q c	n
нормальную производную -— на 5 при каждом у ∈ G и симмет¬
рична, т. е. Q(x,y) = Q(y,x}, х е G, у е G; g(x,y) непрерывна по
совокупности переменных (ж, у) в G × G.
Если решение внутренней задачи Дирихле для уравнения
Пуассона ∆n = -/(ж), u∖s = uq{x∖ где / ∈ C(G) и uq ∈ C(S),
имеет правильную нормальную производную на S, то оно опре¬
деляется формулой
'"t ^r-' - - f d^x,yK0(y)dsy + Q(x,y)py')dy.
G
(9)
J <⅛
S
Для ряда областей функцию Грина можно найти методом
отражений.
17.1.	Построить функцию Грина для следующих обла¬
стей в R3:
1)	полупространство х^ > 0;

§17. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа
345
2)	двугранный угол > 0, хз > 0;
3)	октант х\ > О, Х2 > 0, х% > 0.
17.2.	Построить функцию Грина для следующих обла¬
стей в R3:
1)	шар ∣x∣ < R;
2)	полушар |ж| < R, х% > 0;
3)	четверть шара |ж| < R, х% > 0, хз > 0;
4)	восьмая часть шар |ж| < R, x↑ > 0, х% > 0, хз > 0.
17.3.	Пользуясь методом отражений, построить функцию
Грина для части пространства, заключенного между двумя па¬
раллельными плоскостями хз = 0 и Х2 = 1.
Ниже даны краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуас¬
сона, решения которых могут быть найдены с помощью соответ¬
ствующей функции Грина из задач 17.1-17.3 и формулы (9).
17.4.	Найти решение задачи Дирихле
Хи = -f<X), Хз > 0; ⅛=o = u0(x),
для следующих /иод:
1)	f,UQ непрерывны и ограничены;
2)	/ = 0, uq = cosxι cosx2i
3)	/ = e~x3 sinrrι совтд, ио = 0;
4)	f = 0, u0 = θ(x2 - Xi);
5)	f = 0, ио = (1 ÷ ж2 + ж2)-1/2;
6)	f = 2 [ж2 + xj + (жз + 1)2] 2, uq = (1 + х2 + ж2)-1;
7h' = 0' ,'" = {l1, Z[>α
17.5.	Найти решение задачи Дирихле
∆ι∕ = 0, Х2 > 0, хз > 0; u∖s = uq(x),
uq — кусочно-непрерывна и ограничена.
17.6.	Решить задачу 17.5 со следующими uq∖
1)	∙⅜∣a>2=o, nθ∣χ3=o = е-4®1 зш5ж2;
2)	∏o∣χ2=o = 0, u0∣χ3=0 = ж2(1 + x2l + ж2)-3/2;
3)	∏0∣x2=0 = 0, ,,0∣.r3=0 = θ(x2 - И |).
17.7.	Найти решение задачи Дирихле для шара |ж| < R:
∆u = -f(x∖	|ж| < R, TZ∣∣τ∣=β = И0(ж).

346
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
17.8.	Решить задачу 17.7 для следующих / и uq:
1)	/ = а — const, uq — 0;
2)/ = ∖x∖n, n = 0, 1, 2, ..., uq — а;
3)/ = e∣x∣, u0 = 0.
17.9.	Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для
полушара |ж| < R, > 0.
17.10.	Найти решение уравнения Пуассона ∆zα = —∕(∣x∣),
/ ∈ С (a ≤ |ж| ≤ &) в шаровом слое а < |х| < Ь, удовлетворяющее
краевым условиям
и\∣τ∣=α — 1’ и\|ж|=Ь — θ∙
Функцией Грина задачи Дирихле для области G с R2 явля¬
ется
>'Λ ' '
где z — х + iy ∈ G, ζ — ξ + iη ∈ G, G(z,ζ) обладает всеми свой¬
ствами функции Грина в R3 (см. начало § 17). Решение задачи
Дирихле ∆n = -f(z), z Е G; u∖s = uq(x) в R2 (если оно суще¬
ствует) определяется формулой, соответствующей формуле (9)
bR2. В случае когда область G односвязная с достаточно гладкой
границей S и известна некоторая функция w = w(z), конформно
отображающая G на единичный круг ∖w∖ < 1, функция Грина
находится по формуле
с/, н = _L ь 1	, √, и =
2τr ∖ω(z, ζ)∣,	’	1— w(z)w(ζ)'
17.11.	Найти функцию Грина для областей:
1)	полуплоскость Im г > 0;
2)	четверть плоскости 0 < arg г <
3)	круг |г| < Д;
4)	полукруг ∣z∣ < г, Im г > 0;
5)	четверть круга ∖z∖ < 1, 0 < arg г <
6)	полоса 0 < 1тг < л;
7)	полуполоса 0 < Imz < π, Re г > 0.
17.12.	Найти решение задачи Дирихле
∆π = 0, у > 0; u∣2z=0 = ⅝O)
для следующих uq(x∖.
1)	uq(x) кусочно-непрерывна и ограничена;

§17. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа
347
2)	u0(x) = θ(z - а); 3) u0∣>) = < θ
1	х
4) u0(x) = —5) u0(x) = —
1 + х	1 + г
x2 - 1
6)	π0(x) = —	272;	7) Uq(x') = COSX.
17.13.	Найти решение уравнения ∆u = 0 в первом квадран¬
те х > 0, у > 0 со следующими краевыми условиями:
1)	u∖s = uo(x,y) — кусочно-непрерывная, ограниченная функ¬
ция, где S состоит из полупрямых {х > 0, у 0} и {у = 0,
х 0};
2)	гб|ж=0 — 0, и|ту=о —
3)	^L=o = α, ^∣7∕=o = Ь;
4)	Чж=о = 0, π∣2z=0 = θ(x - 1);
5)	и\х=о — 0, и\у=о — ——- 2?у,
(1 + X )
θ) ^L=o = sin у, u∣2z=0 = sin X.
17.14.	Найти решение уравнения ∆π = 0 в первом квадран¬
те х > 0, у > 0 со следующими краевыми условиями:
1)	u∖s = no(rr,y) — кусочно-непрерывная, ограниченная функ¬
ция, где S — граница полосы 0 < у < л;
2)	Uy=Q =	| τy=7τ = 0,	3) и\у=о = θ(x), u∖y=7τ = θ(x),
4) uy=o = θ(x∖ u∖y=π = -θ(x∖, 5) u∖y=Q = θ(x∖ u∖y=7v = 0(-я);
6)	и y=Q = cos х, u∖y=7τ = 0.
17.15.	Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полупо¬
лосе 0 < у < л, х > 0, со следующими краевыми условиями:
1)	тб|ж=0 — 1, n,∣^-0 — 0, u∖y=7v — О,
2)	п|ж=о = 0,	= sinх, u∖y=7r = 0;
3)	п|ж=о = 0, π∣^=o = thτ, ιz∣2z=π = th х;
4)	и|ж=0 = 0, ∏∣^0 = 0, ∏∣^=π = thх.
17.16.	Найти решение уравнения Пуассона ∆u = -f(z)
в круге ∖z∖ < R при краевом условии u∣∣^∣=jr = uq(z) для следую¬
щих / и щ>:
1)	f,uo~ непрерывные функции;
2)	/ = a, uq = 6;
3)	/= ∖z∖n, п= 1, 2, ..., n0 = 0;
4)	/ = sin ∣x∣, uq = 0;
5)	/	0, ∏q cos φ, где φ — arg z, 0 ≤ φ < 2л.

348
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
17.17.	Найти решение уравнения Лапласа ∆u = 0 в полу¬
круге ∣z∣ < 1, Im г > 0, при условии u∖s = где S — граница
полукруга, для следующих uq(z∖.
1)	uq(z) — кусочно-непрерывная функция;
2)	Uθ∣r=ι = sinφ, uo∣v=o = о, ⅛0∣φ=π = О,
где г = ∖z∖, φ = arg г, 0 ≤ φ < 2тг;
3)	Uo∣r=l = 0, tiθ∣φ=O = Г ^0∣⅛s=π = Г
4)	∏O∣r=l = COS uO∣φ=O = √Σ ⅛0∣φ=π = О-
17.18.	Найти решение задачи Дирихле
Δu = 0, Rez>0, |z-5|>3; u∣Rez=o = θ. Цг-5|=з = 1-
Ответы к § 17
В ответах к задачам 17.1-17.10 введены обозначения
Утпк = ((-1ГУ1, (-l)⅛ (-l)‰)∙
1 1	(-Πfc 1	1	(-∙∩n+fc
17.1.	1)	— V	υ •	2)	— У	I—υ	•
4π fc⅛	∣x - 2∕θθfe I ’	4π Zk=O	Iх - Уопк Г
1	1	∕-∣∖m⅛n⅛fc
3	) 1	у 1∕

4π m,n,k=0 \х~Утпк\
1/1	R \
17.2.	1) —- I 7	г — r-ri	*τ ), где, как и всюду в задаче 17.2,
4π ∖ ∖x-y∖	∖y∖∖x-y | /
Утпк = ~~i'lJmrιk, \Утпк |\Утпк I =
∣y∣
2) J- У (-l)fe I 	!

4τr fcyθ ∖∣τ-yook∣
R
Ml® - yoo⅛l
R
\У | |*Г Утпк I
17∙3∙ т- Σ ,		l-

7r ra=-∞ \ у (Ж1 - У1 )2 + (ж2 - ⅜)2 + (жз - (2п + Уз))
	1	\
У (ад - yι)2 + (ж2 -У2)2 + (тз - (2п - уз))2 /

Ответы к § 17
349
Указание (к задаче 17.4 и ниже). В случае когда / и uq
кусочно-непрерывны и ограничены, а поверхность S кусочно-гладкая,
постановка задачи Дирихле может быть обобщена таким образом,
чтобы решение ее также определялось формулой (9).
17.4.	1) g Г dSy + ф Г /(у) f —Ц - τ			Л dy,
2π y3j=0 |ж - y∖ 4π √>o	\ 1Ж - у\ ∖χ-yooι∖)
2) e~y^2x3 cosrcι cosж2;	3)	_ e-a⅛) sinx∣ cosa⅛l
4)	+ →rctg≡^=-⅛	5) [ж? + x22 + (ж3 + I)2] 1/2;
6) [ж2 + #2 + C≈3 + I)2]	7) ∣arctg∣i.
17.5. g ∫b2=o u0(y) (dSy +
2π ⅜≥0	∖∣x-7∕∣ \х — 7/001 Г /
÷ 2π 2,2 ≥n f I 13 - ∣	|3λ) dSy.
2π УЗ=°	\|ж - у\ |ж - t∕010∣ /
17.6. 1) е 4ж13жз sin5.х*2; 2) x% [x2i + x% ÷ (a⅛ + I)2] 3^2;
oλ 1	. τ2÷x,ι . 1	. ж2-Ж1
π v2 £3 7r v2 жз
17 7	1 Г	~ ∣x∣2
• ∙ 4πE⅛∣=^ ∖x-y∖*
^ wι⅛'i)zω* гяе ’*
относительно сферы ∖y∖ = R.
u0(y) dSy + g	-
yR2
=	2- — точка, симметричная точке у
\у\
д>?т,Т2 I I п-|- 2
17.8.1) 2	' l, , .J. 'l ..l'
3) eR - e∣rc∣ - -∣(eβ - 1) + ∣f∣ (ew - 1).
17.9. u{x) = g ∫∣b∣≤h u0(yι,y2) ( 7—Цз -	—7]з ) dyι +
27Г «з=°	∖l≈-y∣ Ы ∖χ-y I /
^r2~ и2 Г 7 \ ( 1	1 λ z7c
4	л ⅛ J ⅛∣=h uθ(y) 1	1з - 1	^з dSy’
4πR j <,3>o	∖∣s-t∕∣3	∖x-y**∖iJ
где ∣x∣ < R, Х2 > 0; //* и //** — точки, симметричные точке у относи¬
тельно сферы ∖y∖ = R и плоскости у^ = 0 соответственно.
l7∙1"∙^-⅛l∏∣1∣-'l≡)⅛ +
+ H5¾ (<“ - ip - ⅛⅛ > - ',>',Λ'j> dp-

350
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
2)
4)
6)
3)
3)
17.11. 1) 2-In
2π
z2-ζ2.
z-ζ
2-In
2π
τ√- In	,	,
2π |2-_<||Я2-2<|
1 ∣e2-eζ∣.
2τr ∣e2-eς∣,
17.12. 1)
z2-J2 ’
XI.
, где z — х ÷ iy, ζ = ξ + ip;
⅜(ξ) dj
3)
5)
7)
1 1 R2-zζ.
2тг П R∖z - <|'
1	∣z2-⅜4-(<∣.
2π ∣22-ζ2∣∣β4-(,ζ)2Γ
1	in ∣ch-g~ch<∣
2π | ch г — chζ∣'
q∖ 1 l 1	. x - a
2	) - ÷ -arctg	;
2 π	у
(x-ξ)2 + √,
1	1 x yz + (x - a)(x-b)	,4 у + 1
X	Ω∖ χ2 ~ (У + I)2	-ц
6)	7) е ycosx.
x2 + (y+l)2	[x2 + (y + I)2]2
17.13. 1) ‰o(ξ,O)
π о
1 1
(ж - ξ)2+yι а+ξ)2+у2
,r ∞	Г 1	1
+ - J «0(0, Д —			72 “ ~2		?2 dlT'
π о Д' +(,y-rι) χ +(,y + η) .
2) -arctg-; 3) — (αarctg - + 6arctg-Y
π у π \ х	yj
.\ 1	1	, t χ +1	r"∖ χ(y -t^ О с\ —v •	। —х
4) ---arctg	—	; 5) v	; 6) е у sin.г + е sin у.
2 7r	ЛхУ	[ж + (у + 1) ]
t⅛(ξ, kπ)e
17.14. 1) £ ie*siny 7		rfξj
7r -∞ е2 ж ξ - 2еж ξ cosQ∕ - kπ) + 1
2)
4)
5)
1	1 j е x — cos?/ n4 1 , 1 j shх
- - - arctg	7	3) - + - arctg ;
2 π	sin у	2 π sh у
2	1	sin 2x
- arctg ctg у - - arctg -^c	—;
е - cos 2y
θx cosrr sh(π — у)
shπ
1.1	. th ж
- Н— arctg ——;
2 π
thy’
17.15. 1)
1,1 sin2 у — sh2 у
- + - arctg —-÷——
2 π 2 sin у sh х
9× sin х ∙ sh(π — у).
shπ
3)
sh,τ
ch х + sin у ’
4)
х sin 2y + у sh 2x — π sin у sh х
π(ch2x + cos 2y)

§ 18. Метод потенциалов
351
l7∙lβ∙1>⅛ J "oK)≤-⅛<B⅛ +
27ГК ∣ζ∣=jR	R S∣
+ J ∙^)ln ⅜-<∣' d^dη, ГДе z = x + ⅛' ζ = ξ + ir∣> C =
п	TDn~∖^2 	 τ>n÷2
2)^-√) + ⅛ 3)1-^
•	• о , Γr smP Л	гх Г
4) sin г — sin 7Г + Jr —-dp;	5) -cosφ.
Указание. В задачах 17.16, 2)-5) воспользоваться формулой за¬
дачи 17.16, 1), где перейти к полярным координатам z — reτψ, ζ = peτθ,
О < φ, θ < 2π.
17-17. 1)± ∫ u0(ζ)
z7r ∣ξ∣ = ι
Im ξ≥0
( И2-1
∖s-cι2
H2-ι
ι^-cι2 )
dξ dη +
∫Mξ,o)(
1
l*-ξ∣2
1
∣ξ*-ι∣2
где z — х + iy, ζ = ξ
2	. 2rsinφ ,λ r o
2) г sin у?;	3) — arctg —£	— ; 4) √rcosφ2.
π г — 1
17.18.
—1— In
m3
l^ + 4l
|г-4Г
§ 18.	Метод потенциалов
Пусть ρ ∈ D'(Rn). Свертка Vn = —* р, ≥ 3, называется
|ж|
ньютоновым потенциалом, a ½ = In —∣ * р, п = 2, — логариф-
А
мическим потенциалом с плотностью р (определение свертки
см. в § 8).
Потенциал Vn удовлетворяет уравнению Пуассона
∆¼ι = —	— 2)σnp, n ≥ 3, Δ½ = —2πp.
Если р — финитная абсолютно интегрируемая функция в Rn,
то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал Vn
называется объемным потенциалом ^потенциалом площади).
Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя по¬
верхность в Rn, п — нормаль к S и μ⅛ и —	(z∕⅛) — простой
и двойной слои на S с плотностями μ и и (определение слоев
см. в §6 и §7).

352
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Свертки
К(0) = —Ц * μδs И Ир) = —Ц * -Γ∏δs), n≥3,
n	|ж|«-2 b n ∣τ∣"-2 ∂ny bh
называются поверхностными потенциалами простого и двой¬
ного слоя с плотностями μ и и. Свертки
V2(0) = In 2- * μδs и V2(1) = -In Д * -Γ(uδs), п = 2,
δ |ж|	2	∣x∣ on
называются соответственно логарифмическими потенциалами
простого и двойного слоя.
Если S — поверхность Ляпунова и и е C(S), то в R3 пре¬
дельные значения потенциала двойного слоя и У?) извне
и внутри S выражаются формулами
уД(Ж) = ±2πι∕(τ) + И'Д = ±2πφ) + 1∕(¾∕) c°sy^9 dSy, (I)
J ∖χ-y∖
S
где φxy — угол между вектором (х — у) и нормалью пу в точ¬
ке у ∈ S.
Если μ ∈ C(Sr), то потенциал простого слоя имеет правильные
(∂Vm∖	(∂Vw∖ c
нормальные производные I —-— I и I —-— I на 5 извне
и изнутри S (см. определение в начале гл. V), причем на S
∂Vm
дп
cos rφxy , q
-	“2 Cl∣Jy,
∂V^τ	Г
(х) = ψ2πμ(x) 4	= =p2πμ(x) + μ(y)
S
	>	(П)
где ψxy — угол между вектором (ж — у) и нормалью nr.
(П f ∂V^∖
Аналогичные формулы для V± 7 и J (ж) справедливы
и в R2 с заменой 2л на л и ∣τ — у|2 на \х — у\.
18.1.	Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = О
вне G С Rn. Доказать:
а)	объемный потенциал выражается формулой
ynW=[∏‰⅜ n>3;	(III)
J ∖^-y∖
G
б)	Vn — гармоническая функция вне G;
в)	v3(x) = 2- ∫p(y) dy + O (-Γ∖ x —>оо.
1Ж1 g	\т /
Выяснить физический смысл этих потенциалов.

§ 18. Метод потенциалов
353
18.2.	Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = О
вне GcK2. Доказать:
а)	потенциал площади выражается формулой
v2(x) = p(y) In —Д∣ ¾
(IV)
б)	½ — гармоническая функция вне G;
в)	Ч(ж) = In Д ∫p(y) dy + θ(^- ],x —>∞.
∣x∣ g	∖ R /
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.3.	Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая двусторон¬
няя поверхность и μ, v ∈ C(S). Доказать:
а)	потенциалы простого и двойного слоя выражаются форму¬
лами
У(.У) jс
S
dSy =
s
r	(V)
>⅜)≡⅛-iS⅛,
J 1^-з/г
s
где угол φxy определен в начале § 18;
б)	Vg0) и V⅛ 1) — гармонические функции вне S;
B)^¾) = ⅛b∕⅛)^ + θ(-□ И V3ω(*) = c,l⅛∖
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.4.	Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая кривая
и μ, и ∈ C(S). Доказать:
а)	логарифмические потенциалы простого и двойного слоя
выражаются формулами
i-^dSy,
		о / 'v
Д0)(ж) = μ(y)ln
S
v2<1 > W=∫ ,⅛) A m	λs,=∫ ,,to) ⅛ <is9.
S	S
(VI)
'У
где угол φxy определен в тексте;
б)	и V2 — гармонические функции вне S;

354 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
B)lf>(,r) = 1п±
∫sμ(ζ)ds + О
V2ω(z)
Выяснить физический смысл этих потенциалов.
18.5.	1) Вычислить ньютонов потенциал V¾ с плотностью 5sr∖
2)	вычислить логарифмический потенциал V2 с плотностью 5sr.
18.6.	Вычислить объемный потенциал ½ для шара |ж| < R
со следующими плотностями:
1) P = p(∖x∖) ∈ С;
4) р = И2;
10) p = ln(l + ⅛∏.
\ К J
2) P = Po = const;
5) p = √H;
8) ρ = sin |ж|;
3) р = |ж|;
6) р =
9) ρ = cos |ж|;
18.7.	Для шарового слоя R∖ < ∣x∣ < ¾ вычислить объемный
потенциал ½ масс, распределенных с плотностями:
1)	Р = Ро = const; 2) р = p(]x∖) ∈ C(Ri ≤ ∖x∖ ≤ ¾)∙
18.8.	Пусть масса распределена в шаре г < R с плотностью р.
Найти объемный потенциал ½ в точке, лежащей на оси θ = 0
(0 ≤ θ ≤ л) для следующих плотностей:
1)	р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости θ =
_ π.
- 2’
2)	р = cos0; 3) р = sin φ∖
4)	р = p(φ) — непрерывная 2л-периодическая функция, 0 ≤
≤ φ < 2тг.
18.9.	Пусть масса распределена с постоянной плотностью р$
в цилиндре {x2 + rr2 < R2, 0 < х% < Н}. Найти объемный потен¬
циал в точках оси х$ Н.
18.10.	Найти потенциал площади для круга г < R со следу¬
ющими плотностями:
1)	р = p(τ) ∈ С(0, Д);	2)	р =	ро = const;	3) р = г;
4)p = r2;	5)	p =	e~r-,	6)р=—
1 + г
7)p = √zrj	8)	p =	sinr;	9)	p = cosr;
10) p = sinφ,	0 ≤ φ ≤ 2л;	11)	р =	cos φ∖
12) р = p{φ) — непрерывная 2л-периодическая функция.
18.11.	Найти логарифмический потенциал площади для
кольца R∖ < г < 7¾ со следующими плотностями:
1)	Р = Ро = const; 2) р = p(r) ∈ C([R↑,R2∖).

§ 18. Метод потенциалов
355
18.12.	Пусть ∕(∣y∣) непрерывна при ∖y∖ ≤ R и ∕(∣y∣) = О
при ∖y∖ > R, у ∈ R3. Доказать:
а)	объемный потенциал Рз(ж) с плотностью ∕(∣y∣) зависит
только от |ж| и
уз(ж) = щ ∕(∣y∣)⅜ ∖χ∖>R∙,
б)	для того чтобы Рз(ж) обратился в нуль при |ж| > R, необ¬
ходимо и достаточно выполнения условия
f(∖y[)dy = 0;	(*)
в)	при условии (*) справедливо равенство
V3(τ)dx = -y Λ∣y∣)∣y∣2⅛∕∙
Дать физическую интерпретацию полученных равенств.
18.13.	Доказать: если функции ∕ι(x) и /2(1ж1) непрерывны
при |ж| ≤ R, х ∈ R3, обращаются в нуль при |ж| > R и удовлетво¬
ряют уравнению
Δ∕1(x) = Pα∕2(∣x∣),
то потенциал V3(^c) с плотностью Л(Ы) обращается в нуль
при ∣x∣ > R.
18.14.	Доказать результаты, аналогичные результатам за¬
дач 18.12 и 18.14, для потенциалов площади, а именно:
1)	у2(ж) = b^⅛<β∕(∣y∣)⅜, ∖y∖ > R-,
2)	∫½(x)dx = -у J7(∣y∣)∣y∣2⅜ если ∫∕(∣y∣)⅛∕ = 0.
18.15.	Распространить задачи 18.12-18.14 на случай, ко¬
гда плотность / есть обобщенная функция. Под «интегралом»
∫ f(x)dx для финитной / ∈ D' следует понимать число (∕,τy),
где η ∈ D, η ≡ 1 в окрестности носителя / (это число не зависит
от выбора вспомогательной функции η).
18.16.	Найти потенциал простого слоя, распределенного
с постоянной плотностью μo на сфере ∣x∣ = R.
18.17.	В точке, лежащей на оси 0 = 0 (0 ≤ θ ≤ л), най¬
ти потенциал простого слоя, распределенного на сфере г = R
356
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
со следующими плотностями:
1)	μ пропорциональна квадрату расстояния от плоскости
2)	μ — sin 3) μ — eφ, 0 ≤ φ ≤ л, и μ = e2π φ, л ≤ φ < 2л.
18.18.	На круглом диске радиуса R распределен простой
слой с плотностью р. Найти потенциал в точке, лежащей на оси
диска, для следующих плотностей:
1)	μ = ∕√q = const; 2) μ = г; 3) μ = г2;
4)	μ = μ(φ) — непрерывная 2л-периодическая функция.
18.19.	Найти потенциал простого слоя, распределенного
с плотностью μ на цилиндре {x2 + x⅜ = R2, 0 ≤ x% ≤ Н} в точке,
лежащей на оси х%, для следующих плотностей:
1)	μ = ∕√o = const;
2)	μ = μ(φ) — непрерывная 2л-периодическая функция.
18.20.	Найти потенциал двойного слоя с постоянной плот¬
ностью vq для сферы ∣x∣ = R.
18.21.	На сфере г = R распределены диполи с плотностью
момента v, ориентированные вдоль внешней нормали. Найти
потенциал двойного слоя в точке оси θ = 0 (0 ≤ φ ≤ л), для сле¬
дующих плотностей:
1) υ — cos θ∖ 2) ι∕ sin -;
3) z√ = eφ, 0≤⅛p≤7γhz∕ = e2π-φ, л ≤ φ < 2л;
4)	v = z∕(φ) — непрерывная 2л-периодическая функция;
5)	z√ равна квадрату расстояния от плоскости θ = -.
18.22.	На круглом диске радиуса R распределены дипо¬
ли с плотностью момента v, ориентированные вдоль нормали,
направленной в сторону отрицательных х%. Найти потенциал
двойного слоя в точке, лежащей на оси диска, для следующих
плотностей:
1)	и = const; 2) z∕ = z∕(r) ∈ С(0, Л);
3)	v = z∕(φ) — непрерывная 2л-периодическая функция;
4)	v = г + φ, 0≤^≤7ΓHr = r + 2τr- φ, π≤⅛2< 2л.
18.23.	Найти логарифмический потенциал простого слоя для
окружности радиуса R со следующими плотностями:
1)	μ — μ^ const; 2) μ — cos2 φ, R — 2.

§ 18. Метод потенциалов
357
18.24.	Найти логарифмический потенциал двойного слоя
для окружности радиуса R со следующими плотностями:
1)	v = const; 2) v = sinφ.
18.25.	Найти логарифмический потенциал простого слоя для
отрезка — a ≤ х ≤ а, у = 0 со следующими плотностями:
1)	μ = const;
2)	μ = -μo, — a ≤ х < 0 и μ = μ0, 0 < х ≤ а; 3) μ = х.
18.26.	Найти логарифмический потенциал двойного слоя
для отрезка — a ≤ х ≤ а, у = 0 со следующими плотностями:
1)	υ = const; 2) z∕ = —1∕0, -α ≤ ж < 0 и г = γq, 0 < ж ≤ а;
3)	v = х\ 4) υ = х2.
Пусть р(х) — финитная обобщенная функция. Свертки V =
= — 4π8 * р и V = —4л£ * р, где
eik∖x∖ _ e~ik∖x∖
4π∣^∣ ’	4л|ж|
— фундаментальные решения оператора Гамильтона Δ + к2 в Rj∖
являются аналогами ньютонова потенциала. Потенциалы V и V
удовлетворяют уравнению Гельмгольца ∆zu + k2u = — 4πp.
Так же определяются аналоги потенциалов простого и двой¬
ного слоев.
То же справедливо для оператора Δ — к2. Здесь аналогом нью-
e~k∖x∖
тонова потенциала является ⅛ = —4л£* * р, где £* = — , , . —
4л|ж|
фундаментальное решение оператора Δ — к2 в R3.
18.27.	Пусть р — абсолютно интегрируемая функция и =
= 0, х ∈ Gι = R3 ∖ G. Доказать:
1)	V, V и V* выражаются формулами
2) V, V и ⅛ с C1(R3) ∩C'oo(Gι) удовлетворяют в области
Gι однородным уравнениям ∆u + k2u = 0 и Аи — k2u = О
соответственно;

358 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
3)	V и V удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда
,,∕‰∖ _ гны-h ∂u(x)	-ι,(∖ _	ш	i
(VIII)
V для
18.28.	Для оператора Δ + k2 вычислить потенциал
шара ∣x∣ < R со следующими плотностями:
1)	р = p(∣x∣) ∈ C(Ur)∙, 2) р = р0 = const; 3) р = e^∣x∣
18.29.	Для оператора Δ + k2 вычислить потенциал
сферического слоя R↑ < |ж| < Т? 2 с постоянной плотностью р^.
V для
18.30.	1) Для оператора Δ + k2 вычислить потенциал про¬
стого слоя распределенного с постоянной плотностью р$
на сфере;
2)	для оператора Δ + k2 вычислить потенциал двойного слоя
y(1∖ распределенного с постоянной плотностью iuq на сфере.
18.31.	Для оператора Δ — k2 вычислить потенциал V* для
шара |ж| < R со следующими плотностями:
1)	р = p(∣rr∣) ∈ О(ЁТ^);
2)	р = ро = const;
3)	р = e-∣4
18.32.	1) Для оператора Δ — k2 вычислить потенциал про-
τ√0)
стого слоя I/* , распределенного с постоянной плотностью ∕√o
на сфере;
2)	для оператора Δ — k2 вычислить потенциал двойного слоя
tλ(1)	θ	д.
I/* , распределенного с постоянной плотностью хщ на сфере.
18.33.	1) Предполагая границу S области GcR3 поверхно¬
стью Ляпунова, доказать, что
— 4π,
— 2π,
О,
х ∈ G,
χeS,	(IX)
х ∈ R3 ∖ G,
где угол φxy определен в начале параграфа;
2)	предполагая границу S области G С R2 кривой Ляпунова,
доказать, что
( -2π,
Ч(1)(ж)
COS ψχy
∖x-y∖
dSy = <
— 7Г,
О,
х ∈ G,
χeS,
х ∈ R2 ∖ G.
(1X1)

§ 18. Метод потенциалов
359
18.34.	Доказать:
1)	подстановка и = v + V^, где
¼(τ) = J_ f
4π |ж — у\
dy,
сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуас¬
сона ∆u = — f к соответствующим внутренним краевым
задачам для уравнения Лапласа, если / ∈ C1(G) ∩ C(G);
2)	то же справедливо и для внешних задач при дополнитель¬
ном условии, что / — финитная функция.
18.35.	С помощью потенциала двойного слоя решить задачу
Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга.
18.36.	Найти стационарное распределение температуры внут¬
ри и вне бесконечного цилиндра радиуса R при условии, что на
границе поддерживается следующая температура uq.
1)	uq — const; 2) uq — sinφ∖ 3) uq — cos 9?;
4)	uq C const при — 7^<φ<^,HUQ-0 при ≤ φ ≤	.
18.37.	Найти стационарное распределение температуры
внутри неограниченного круглого цилиндра 0 ≤ г ≤ R при
условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью ∕(r, φ)
и на границе г = R поддерживается температура Uq(R, φ) для
следующих / и nθ :
1)	/ = /о = const, uq = 0; 2)/ = г, uq = 0;
3) / = r2, Uq = а;	4) / = e~r, nθ = sinφ∖
5) ∕ = sinr, uθ=c0s9^	6) ∕ = sinφ, Uq= sin (y>÷ξ
7) ∕ = cos92, izθ=cos (у?-^^θ∙
18	.38. С помощью потенциала простого слоя решить задачу
Неймана для уравнения Лапласа внутри и вне круга.
18	.39. Найти плотность диффундирующего вещества при
стационарном процессе U(r,φ,z) внутри и вне бесконечного
цилиндра радиуса R при условии, что источники вещества от¬
сутствуют и коэффициент диффузии D = const, а на границе
поддерживается заданный поток диффузии щ для следующих и\.
1) щ — const; 2) щ — sin 99; 3) u∖ — cos 92.

360
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18	.40. Найти стационарное распределение температуры внут¬
ри неограниченного круглого цилиндра радиуса R при условии,
что в цилиндре выделяется тепло с плотностью ∕(r, φ) и на
границе поддерживается заданный поток тепла u^(R, φ) для
следующих / и
О f = /о = const, ul =
R^
2)	/ = г, щ = — —, коэффициент теплопроводности k = 1;
4)	/ = sinφ, = sinφ, к = 1;
5)	/ = cos⅛2, u~ = cos⅛p, к = 1.
18.41.	С помощью потенциалов простого и двойного слоя най¬
ти стационарную температуру точек полуплоскости у > 0, если:
1)	на границе у = 0 поддерживается заданная температу-
ра по(ж);
2)	на у = 0 поддерживается заданный поток тепла, т. е.
ди
дп
= ιtι(x).
У=®
Источников тепла нет.
18.42.	Найти распределение потенциала электростатическо¬
го поля внутри двугранного угла при условии, что его граница
заряжена до потенциала ⅛ = const для следующих случаев:
1)	х > 0, у > 0, —∞ < z < оо; 2)0<⅛p< φ^,	<	0 ≤ г < ∞.
18.43.	С помощью потенциала двойного слоя решить задачу
Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара |ж| < R.
18.44.	Найти стационарное распределение температуры
в шаре г < R при условии, что в шаре выделяется тепло с плот¬
ностью / и на границе г — R поддерживается температура 7∕θ
для следующих / и zuθ :
1)	f = /о = c°nst, wθ = 0;
2)	f = г, и~ = а-
3)	f = VZu~ = -Rbn,k=∖.
18.45.	Доказать, что решение внутренней задачи Неймана
для уравнения Лапласа для шара г < R определяется формулой

§ 18. Метод потенциалов
361
U(r,θ, φ) = —R u(p,θ,φ)-,
о
где и — интеграл Пуассона для шара, т. е.
2ππ
7? Г Г	— ∩%
u{p, θ,φ) = -τ- Uq (R,θ∖,φ∖)	2 —	sinθi dθi ⅜ι,
4π J J	(Д⅛ ρ — 2Rp cos 7) '
О О
где 7 — угол между радиусами-векторами точек (р, θ, φ) и
(jR,0bφi) и ιzθ =	=u∖p=r.
Указание. Доказать, что если u(pi θ, р), u(0) = О, —
гармоническая функция в области, содержащей начало коор¬
динат, то и функция U(г, θ, φ) = — Λ∫θ u(p, θ, φ)- является
гармонической. Далее воспользоваться условием разрешимости
задачи, т. е. $v=rUq dS = 0.
18.46.	Доказать, что решение внешней задачи Неймана для
уравнения Лапласа для шара г < R определяется формулой
г
U{r,θ,φ) = R
—∞
u(p,θ,φ)^,
p2-r2
<P^,φ) = ^
где u(p, θ, φ) — решение внешней задачи Дирихле для шара, т. е.
2π π
2 _ д2
⅛÷(β',,1∙φ')⅛4tf-2⅛κ>sγ)^sin,,1 dθ' dφ'∙
о о
и6
ди
дп
= u∖p=R-
r=R
Указание. См. указание к задаче 18.45.
18.47.	Решить внутреннюю и внешнюю задачи Неймана для
шара г < R при =	= а = const.
18.48.	С помощью поверхностных потенциалов решить за¬
дачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа для полупро¬
странства Х2 > 0.
18.49.	Найти u(x↑, Х2, #з) — плотность диффундирующего
вещества при стационарном процессе при условии, что источники
362
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
вещества отсутствуют и коэффициент диффузии D = const для
следующих областей G и граничных условий u∖s'
1)	Ж3 > 0, гл|Жз=о — uo — const;
r4 ।	( — 1, х\ < О,
2)	x3>0, <3=0 = ∣ +1> ж1 >0.
3)	^2,	> 0’ -∞ < x2 < ∞> u∖s = ⅝ const.
Краевые задачи для уравнений Гельмгольца ∆u + k2u =
= —/(ж) и ∆ιz — k2u = -f (x) в пространстве ставятся так же,
как и для уравнения Пуассона. При этом решения внешних
задач на бесконечности должны удовлетворять условию излу¬
чения (см. формулу (VIII)) для уравнения Au + k2u = —/(ж)
и обращаться в нуль для ∆n — k2u — -f(x).
18.50.	Решить задачу Дирихле для уравнения ∆ιz + k2u = О
внутри и вне сферы |ж| = R при условии iz∣∣^∣=jr = а.
18.51.	Решить задачу Неймана для уравнения Au + k2u = О
1	I I О
внутри и вне сферы |ж| = R при условии —	—а.
dn ∖x∖=R
18.52.	Решить задачу
∆u + k2u = -Дж), Цж|=я = ⅜ (ж)
внутри сферы ∣x∣ = R для следующих f и uq (ж):
1)	/ — fо — const, — 0, к — R — 1;
2)	/ = 1, u~ = √2 ei(1^π∕4) sin 1 - 1, к = R= 1.
18.53.	Решить задачу Дирихле для уравнения ∆zu — к2и = О
внутри и вне сферы |ж| = R при условии t6∣∣<c∣=β = а.
18.54.	Решить задачу Дирихле для уравнения ∆τz — к2и = О
внутри и вне сферы |ж| = R при условии u∣∣x∣=β = αcos0, O≤0≤π.
18.55.	Решить задачу Неймана для уравнения Au — k2u = О
внутри и вне сферы ∣x∣ = R при условии	= а.
n |т|=Я
18.56.	Решить задачу
∆u-k2u = -f(x), «||Ж|=Д = Uq (ж)
внутри сферы ∣x∣ = R для следующих f и uq (ж):
1)	/ = /о = const, Uq = 0, к = R = 1;
2)	/ = 1, и~ = 1 - 2e"1 sh 1, к = R = 1.

Ответы к § 18
363
18.57.	Найти стационарное распределение концентрации
неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра радиуса R,
если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная
концентрация uq.
Ответы к § 18
18.3.	Р е ш е н и е. В силу формулы (VII) из § 8 и определения
простого слоя из §6
(v3w-√) = (j∣∣ ∙μ(y)<⅛(y), √yMξ + у)) =
= (⅛, + =
∣ξ∣ ( j μ(yMξ + У) dSy] dξ =
S	R3
dSy I φ(x) dx.
s
18.5. 1) В силу формулы (V): 4πR,
Ы ≤ R; 4π^-
|ж| ≥ R;
3)	— 2л1пД, |ж| ≤ R∙, — 2πln∣τ∣, ∣τ∣ ≥ R.
18.6	. Указание. Воспользоваться формулой (III) и ввести сфе¬
рические координаты.
/I R
∣^∣∫p(r)r2dr, |ж|
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
4ζf Р°, И ≥ R; 2πR2p0 - ∣7τ∣τ∣2p0, И ≤ R',
о Ж	о
⅛ ∣x∣ ≥ R-, ξ-(4Ri - ∣,Γ∣3), |ж| ≤ R-,
|ж|	3
|д| ≥ R-, fj(7Λ5∕2 - 2∣x∣5∕2), ∣x∣ ≤ Д;
4π
[2 - e-β(2 + 2R + Д2)], ∣x∣ ≥ Д;
2(1	|Ж|) - e-75(l + Д) - е-И
Р^(Д — arctg Д), |а?| ≥ Д; 4π ( 1 — arct^∣ir∣
∣x∣v	I |ж|
И ≤ Д;

364
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
8)	^(2--R2)cosΛ-2(l -RsmR), |ж| ≥ R;
|ж|
/2	\
4π I ^(cos |х| — 1) ÷ sin ∣x∣ + sin 7? — RcosR I, |ж| ≤ R;
9)	^(2^cosjR+(Λ2-2)sinjR)τ |ж| ≥ R;
А
Л I II 2s∏⅛∣ , n . n ,	7-» \ । । / 7~»
4π cos кг — —i-√-l + 77 sin 77 + cos 77 , \х ≤ R∖
\	1Ж1	/
10)	^(121n2-5), ∖x∖½R-,
I ^ + ЗЯ2-|ЖЙ1п(1 + И)2+||ж|2 + 2|ж|(д_з)_д2
∣x∣ ≤ R.
18.7	. 1) 2π(jR2 - R‰ |ж| ≤ Rl-, 2πR2p0 - ∣7rp0 (∣z∣2 +
Λ1≤∏≤‰⅛⅞3-^), ∖x∖^R2,
О|Ж|
я2	4 И	r2
2)	4τr ∫ p(r)dr, |ж| ≤ R\; ∣-1 ∫ p(r)r2 dr + 4π ^ρ(r)rdr, R∖ ≤ |ж| ≤ R2;
Rl	И Rι	и
Л ^2
Л J p(r)r2dr, |ж| ≥ R2.
А Я1
18.8	. 1) ^πRic(- + ~∖ г	R; 2πC (К + ^-R2r2 - ⅛r4∖
15 ∖r 7 r6 J	у 6	15	70 у
г ≤ R, С — коэффициент пропорциональности;
2) ^-Д-, г ≥ 7?; ^πRr — πr2, г ≤ R; 3) 0;
Зг	3
∩ рЗ 2π	/	2 \
4)	∫ P(lfi) dφ, r^R-, ^R2 - - J ∫θ7r p{φ) dφ, г ≤ R.
18.9.	тг[(Я - ж3)7Л2 + (Я-ж3)2 + x3^R2ΓΓ2 +H2 - 2Hx3 +
+ R2 In (я - x3 + √Λ2 + (Я - τ3)2 ) - R2 In (-x3 + y72^+7∣)].
R 2π	1
18.10.	1) ∫ ∫ p(rι) In —	ri drι dφ∖∖
0 0	√r2 + r2γ — 2r∏ cos(φι — φ)
/	P2 _ r2 \
2) -πR2pu In г, г R; -'κpo f R2 In 7?		— j, г ≤ R.

Ответы к § 18
365
Решение. Пусть г R. Тогда ½(r, φ) =
R 2π г
= Ро ri dri
о
О
In - + In
г
1
1+	-2 у cos(φι-φ) -
dφ↑ = — πpoR2hιr,
так как
2π
2
— 2λcos(φι — φ)] dφ —
о
2π
2π λ
f 2λ — 2cos(ωι — φ} 7λ 7
		—	1-l- dλ dφ =
J J l÷λ — 2λcos(φι-φ)
0	0
.t	.dλ dφ =
l-λe^φι^^
=	[-∣Re
A
0	0
2π
f ' ∖,°λ Xn	'	∏
= —2	— cosn(991 — φ) dφ∖ — 0, где X — — < 1;
J Lr,-1 n	J	1
О
3) -∣τrΛ2lnr, г ≥ R; ⅜⅛3(1 - 31nΛ) - r3], г ≤ R;
о	У
-⅛4lnr, г ≥ R; ^LR4(1 -41nR) -r4], г ≤ R;
2	о
—2π[l — (1 ÷ R)e~R] lnr, г ≥ 2?;
—2π е
4)
5)
— e r + lnr — (1 ÷ R)e βln22 + ∫^-—dr∖
-2π In r In √1 + 2?2 , r ≥ 2?;
-2τr [inR In √1 + Д2 - hfi ln(1 +r') ⅛ιl, r ≤ R;
— ∣πE5∕2 lnr, r ≥ R; — ∣π ^B5∕2 Ini? + ∣(r5∕2 -
8) 2π(22 cos R — sin R) In r, r ≥ Я;
2π R In R cos R — In R sin R + sin r — sin R + ∫ sin rι
R;
6)
7)
2
П
9) 2π( 1 — R sin R — cos R) In г, г ≥ 2?;
2π In г — In R(R sin R + cos Ry) + cos г — cos R ÷ ∫ c°srι dr↑ , r ^R;
Л
1 ∩× rR3 sin φ
3r
1 1 x rR3 cos φ
'	2?
/	2г2
π I rR - —-
∖	θ
/	2r2
π гR	— cos φ , г
\	о	/
sinφ, г ≤ R;
R;

366 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
тг /?2 2π	/ р2 _ г2
12) --z-lnr ∫ p(φ)dφ, г ≥ R; ( —-—
-о	\	*
- т ln^β) ∙∣θπ dφ, γ^r∙
18.11. Указание. См. решение задачи 18.10, 2).
/	Р2 _ r2 \
1) πpo(R2i — Я2) bi г, r ≥ ½J тгро ( R2 In г — R2 ln/?2 Н—— 1
/	е>2 	 р2 \
R↑ ≤ г ≤ R2; πp0 R2l 1пЯ1 - R22 InR2 + 2 - ' , г ≤ Ri-,
R2	/	R	R2
2) —2л In r∫p(x) dx, г R%, —2π I In г ∫p(x)x dx + JIn х dx
R↑	\ Rι	r	/
Я2
Ri ≤ г ≤ R2', —2π ∫ p(x)xlnx dx, г ≤ R↑.
Rι
18.16.	4πgfi2, ∖x∖ ≥ R; 4πμ0R, |ж| ≤ R-
Указание. Воспользоваться формулой (V).
∣8i7 n	AπR2C	Л 2R2∖	„	4 „А	2γ2∖ d
18.17.	1)	—		 1 + —τ ,	г ≥	к;	-πRC 1	÷	—, г ≤ R,
∖	5r2 J	3	5Д2У
С — коэффициент пропорциональности;
2)	-(r + R- в ∖A + τ г ≥ й;
r ∖	2yrR	y∕r — ∖R I
πR I	। р	(г - R~)2	1	√B + √r \	р
r ∖	2yrR	VR — y∕r J
э /?2
3)	^-(eπ - 1), г ≥ R; 2R(e7τ - 1), г ≤ R.
18.18.	1) 2πμ0 +	-х3);
2) ττR^∣^x2i + Т — τπr∣ln		■
3) у χl+ fy-⅛V⅛+β2 ;
4) (∕⅛Z
r2 ~ ^30 lμ^dψ∙
18.19. 1) 2τrJZμ0ln
Н - жз + λ∕tf2 + (H-z3)2
∖JR2 + x23 - х3

Ответы к § 18
367
2) R [ln(H - x3 + λ∕,R2+(H-2⅛)2) - ln(yTi2+ai∣ - τ3)] ∫μ(φ) dφ.
18.20. О, |ж| > R; —4πz√o, |ж| < R', — 2лць И = R-
Указание. Воспользоваться формулой (V).
о 1 1 ∖ 4тг/?	8τrr	2тг	т-)
18.21. 1) —2^, г > R;	, г < R; - — , г = R;
2)P	OR	О
2r
2) i [fl-3r + (7f + 3r) (v∕T - v∕f )lu^⅛V∣
γr R-3r+{R + 3τ)
4) 0, г > R;
5)
16тгЯ5
15r3
-4(eπ — 1), г < R; — 2(e7r — 1), г = 7?;
2π	2π
—2 ∫ ι∕(φ) dφ, г < R∖ — ∫ z∕(φ) dφ, г — R∖
о	о
4πβ2 z ^∙2λ
Д;
R; —2π, г = R.
18.22. 1) 2πz√o^3
]1_
И
, хз ≠ 0;
2)
J ÷,"‰ »W0;
о (®з + г2)3/2
I
! + хз
1
Ы
3)
хз
∫θπ z⅜) dφ, Хз ≠ 0;
4)
2)
7Г 0 . -R ÷ у-^2 + Х3
ы ^ ы
7г + 2R
∕r2 + x23
18.23. 1) -2πRμ0lnR, г ≤ R; -2π⅛0lnr, г ≥ Л;
—2τrln2 + ^r2 cos2φ, г ≤ 2; —2πlnr + cos2φ, г
О	γ
18.24. 1) 0, г > R; -ττι∕Q, г = R; —2πz√o, г < R;
R -∖-τ	, / R-∖-r q .
-πsmφ ÷ 2 r2 arctg ^2c⅛
ТГЖз
, Хз ≠ 0.
2) ½'°,(r,φ) = <
r2-R2
2Rr
r2-R2
2Rr
•	, R2+r2
-7rsmφ+-_
arct≡ (⅞Ξ72ctg^) ’
О, г = R.

368
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18.25. 1) μ0 2а — у arctg
2ау
х2 + у2 - а2
In ((α + x)2 + у2) -
— ~2~ ln ((α — ж)2 + У2)
2)	До In ((а + ж)2 + у2) - ЛЛЕ ιn ((α _ x)2 + y2) _
- хln(z2 + у2) + - arctg 2^α 2 - )	;
У у(х + У - а ) _
3)	≈2 χ2+y2 ln (a+√w _ xy arctg 2γ
z÷	(а- х) +у	х +у - а
18.26. 1) —z√o ∣"arctg -—- + arctg α +	, у ≠ 0; 0 при у = 0;
L У	У J
limV2v 7 = ψ⅝τr при у —> ±0, — а < х < а;
2)	—⅝ |^2 arctg - — arctg a + x 4- arctg -—-], у ≠ 0; 0 при у = 0;
limV2^1^ = ψ⅝π при у —> ±0, 0 < х < a; limV2^1^ = ±⅝π при
у —> ±0, — а < х < 0;
пх Г i а — х , j а + яЯ , у 1 (а + x)2 + y2 , r,
3)	—х arctg	+ arctg	 + ⅛ ln 7	⅛—~,
L у	у J 2 (a-xy + y2
0 при у = 0; lim у) = ψrrπ при у —> ±0, — а < х < 0;
„\ / 9	9\ Г . а — х . l а + x~∖ ,	1 (а + x}2 + y2 , ^
4)	(у2 - ж2) arctg	h arctg	 ÷ ху In	—и у ≠ 0;
L У	У J	(а — х)+у
0 при у = 0; lim у) = ψa⅛ при у —> ±0, — а < х < 0.
18.28.	1) τ^kk∖χ∖ jfsinkrdr, |ж| ≥ R;
К | X |
егк\х\ jN rp^ sjn pr yr _р sjn ⅛∣rc∣ rp(r)elkr dr^,
|ж| ≤ R;
2)	⅛Ξ^θe^∣rr∣ f—i⅞cos⅛r÷ sin^λ ∣x∣ ≥ Я;
А;2|ж| V	к J 1 1
fsink∖x∖ (-iR+ егкя — ∣rr∣Y ∣x∣ ≤ R;
к ∖x∖ \	\ к/	J
3)
^2e (sin⅛ ÷ A: cos к) +	^2[2fe(l — е r cos к) —
—	(1 — k2)e~R sin к] j>, |ж| ≥ Я;
—	2y^(β~1 cos(l — |ж|) — 2β-1 sin(l — |ж|) + ieτk∖ —
IЖ1

Ответы к § 18
369
18.29.	^-eik∖χlR↑ cos kRx-R2 cos kR2 + sm — ÷ Sm —), ∣≈∣≥⅛S
k |ж| V	k )
sinfc∣z∣ (-iRze1,1^ + iRxeJkRx + т(егкН2 - elfcR1)Y ∣τ∣ ≤ 7?i;
к ∖x∖	∖	к	J
4ττpo
A⅛∣
τk∖χ∖ yR∖ cos kR∖ — |ж| cos k∖x∖ —
sin kR∖
к
+ г|ж| sin k∖x
∣ eikR2
IRz sinfc∣ru
, Rχ ≤ |ж| ≥ Rz.
18.30.	1) eτk∖χ∖ sinkR, ∣τ∣ ≥ Я;	sin⅛∣x∣, |ж| ≤ R;
rvlXl	rυ ∣ X ∣
2)
4tΓZ∕q ¾⅛∣a^∣
R
4τrz∕o ikR
R 6
j^OpikR
R
(R cos kR — i sin kR^, ∣τ∣ ≥ 7?;
θβsinfc∣^∣ — i sinfc∣xθ, |ж| < R;
(sin kR + cos kR — у sin kR∖,
∖ 2	2	к J
Λ -k∖x∖
18.31.	1) ————∫0 rp(r) sh kr dr, |ж| ≥ R;
∕υlXl
(e-k∖x∖ jM rp^ s]1 ]ςr c[r _|_ sh k∖x∖ ∫∣Y rp(r)e~kr dr∖,	∣x∣ ≤ R',
2)	^Ple-kH (RchkR-yshfeβ∖ ∣τ∣ ≥ R;
fc2∣x∣ ∖	к )	1 1
Γ∣aj∣ — (pj -∣- l'j e-kR sh⅛wl Ы ≤ R;
k2∖x∖ Ll ∖ kJ	ι ιj ι ∣
3)	-JL-e-(fi+fc∣≈∣)(∕,cllfcβ + sh⅛β) + -≤L≤-5e-fc(fi+l≈l) ι
∖x∖^R, fc≠-l.
18.32.	1)	shfcjR, ∣^∣ ≥ Д;
КIXI
^7v^0 e~kR sh⅛∣aj∣, ∣rr∣ ≤ R∖
KIXI
2)	^°e~k∣x∣(R ch kR-у sh kR}, Ш > R;
∣x∣	∖	к J
4^e-kn ⅛chfcfl- (R+y}shkR∖, |ж| = R;
2R L	∖ kJ J
— ^γγe~kκ ^R + shk∖x∖,	∣x∣ < R.

370
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18.35.	Указание. Воспользоваться формулами (I), (IXι) и (IV)
из § 18.
⅜ (у) 7	4~dsy>
J ∖x-y∖
∖y∖=R
+ / λ |ж|2 - R2 .a
uo(y)γ	p~dsv'
J I® - у\
∖y∖=R
18.36.	Указание. Воспользоваться задачей 18.35.
т	R
1)	ио, /' ≤ /?; uq, г R- 2) — sin φ, г ≤ R; — sinφ, г ≥ Я;
с	R
3)	— cosφ, г ≤ R; — cosφ, г ≥ Д;
лч с	/ 1 , 2 j Rr cos φ∖	. rt	с (1	,	2 j Rr cos φ∖	.	π
4)	к	I + - arctg —9	у	,	г ≤ R;	- I	+	- arctg —9	у , г	≥	Я.
2	\ тг Я2 - √ у	2	у	тг √ - Rl J
£
18.37.	1) Решение. Задача ∆τz(x) = —	∣x∣ < R, u∣∣x∣=^ =
= Uq = 0, где х = (^ι,α⅛) и ⅛ — коэффициент теплопроводности,
подстановкой и = v + ½, где
½ (ж) = 7ГТ fθ In ,	1	dyi dy2,
2rt,X √⅛-s,)≈+ ta-9≈)≈
сводится к задаче ∆u(x) = 0, |ж| < R; u∖∖x∖=r — (и — ½)∣∣ςc∣=jr. В силу
задачи 18.11, 2) имеем
½(r,^) = ^(⅛^-7721nβY
где (г, φ) — полярные координаты точки х. Тогда из формулы за¬
дачи 18.35 следует У (г, у?) = ^R2RιR. Итак, u(r, φ) = v + ½ =
= Д(Д2_Г2);
тг/ъ
2)
4)
5)
6)
7)
R3 -г3	Л4 - г4
-g∣-' 3)а + ~1бГ
Т sin φ + -J- | е r — е r + In Я — In г — ГД -— dp
R	k ∖	jrρ
r	I 1 ( ∙	∙ D I ffisinP J
— cos φ ÷ - I sin г — sin R + J r —- dp I;
1L	К ∖	P J
r . /	, 7Γ∖ , / rR r2 λ .
Rsl" ^+4) + (jt^5Vβmκ
r /	7Γ∖ l (rR r2 λ

Ответы к § 18
371
18.38.	Указание. Решение искать в виде потенциала простого
слоя (см. формулу (VI)). Затем воспользоваться формулой (II) и усло¬
вием разрешимости задачи \r=Ru[(y) dSy = 0.
ui (?/) In ।	1 dSy + const, ∣x∣ ≤ Я, rr = (^ι, ^2);
J	∖x ~ У\
∖y∖=R
-	u+(τ∕) In ∣rr — y∖ dSy + const, ∣x∣ ≥ R.
∖y∖=R
18.39.	Указание. Воспользоваться формулами задачи 18.38.
1)	Неразрешимо, так как $г=пщ dS ≠ 0;
2)	г sin φ + const, г < R; — — sin φ + const, г > R;
R^
3)	г cos φ + const, г < R; — — cos φ + const, r > R.
18.40. Указание. Задача ∆n = r ≤ R,
k	on
= uγ под¬
становкой u = n÷½ (см. решение задачи 18.37) сводится к краевой
задаче ∆n = 0, г < R,
on
= д(и - ½)
Эп
1) f R с, Г ~ In + const; 2) i (R3 * -r3 — 3R2 In Л) + const;
Z∕υ ∖ Z	/	У
3) In R In √1 + Л2 — | ∫^r M≥L∆1 c[p _р const;
Z	р
4)
2	г2
г + -rR - —
О	о
sinφ + const;
/	2
5) (r + ^rR-
\ д
cos φ + const.
18.41	. 1)	∫∞ n°(¾rfξ 2) 1 ∫∞ щ (ξ) In -	1 dξ.
π (*→)2+y2	7rj^°°	y(x-ξ)2+y2
18.42	. 1) — ∣arctg + arctg ;
υ ⅛ (~ + -+ arc gт) при х =tg⅛5°i
Z∕∕l ∖	vθ	U /	еЛУ
х (?/2 — ж2) sinω0 + 2xτ7cosω0 ⅝ r∏z λ ?/
- arctg y5	√			o .	= У, φ0) при < tg φ0',
π (у — х ) cos φo — 2xy sin φo	7r	x
— (π + F(x,y,φ0)) при > tgy>0∙
7Γ	X

372
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
18∙43∙4⅛ ∙f	∖x∖<R,
47ГК ∖y∖=R ∖^-y∖
⅛ ∫	∖x∖>r,
47rU\y\=R \%~У\
18.44.	См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.6.
1)Д(Д2_Г2); 2)a + ⅛ 3)9.
18.48.	≡∑ Г
2π J=o I® - У\
18.49.	1) и0;
18.47.	Указание. Воспользоваться результатами задачи 18.45
и 18.46.
а
	, г > R, в области г < R задача неразрешима.
«о(у) -с .	1 Г щ(у)
2πy3∙t0∣rr--∣d^∙
2) -arctg—; 3)
π хз	π
aR eifckl
∣<r∣ ikR ,
2√3=θ
Г .	. Х2 .	, хзλ
- + arctg	Н arctg — .
2	хз	X2 J
1 β -n aR sin k∖x∖
18∙5υ∙ H^ι⅛iβ,
Указание. Решения задач ищем в виде потенциалов двойного
слоя	. ,
Л ik∖x~y∖
v^R~~∖	γdSy.
∂nυ |ж - t∕∣	!
Искомая плотность находится из интегральных уравнений
u\r=R = Р±(1)Ц) =
О ik∖x-y∖
v(y)-⅛	i	г dSy = а, х ∈ {r = R}.
∂ny ∖x-y∖ y	l j
Имеем z∕(rr) =	——-—для внутренней задачи и z∕(x) =
^τTr(κR | z) sin rvR
ikR
ае
= —		j		 для внешней.
4π (cos kR — — sin kR)
∖	kR /
18.51.	Указание. Решение искать в виде потенциала простого
слоя.
aR2 sinA)∣rr∣	I I < /?•	егк^ | ∣> d
∣τ∣ (kRcos kR — sin kR) ’ Ж ’	∣τ∣ ikR — 1 ’
18.52.	См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2).
/о pin И _ । Л. 2) v∕oc^1-π∕4) sin 1^1
|ж| ∖ sin 1	7 ’	|ж|

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
373
18.53.	См. указания к задаче 18.50.
aR sh k∖x∖
|ж| (sh⅛jR,
∖χ∖ ≤ R;
aR e~ikw
— kR
е
/	\ 2
ю tr∕∣	R∖ k∖x∖ ch k∖x∖ - sh k∖x∖ n	∣ ∣∕d
18.54.	a π ' . ' '	∞s∣9,	ж ≤ R;
∖lx∣ у kR ch kR — sh k R
/	\ з x z
I R∖ k∖x∖ + 1 chk∖x∖ — shk∖x∖ n	∣ ∣. π
a π	√77—- ∙ 1 ' '	1 ' ' cost/, Ш ≥ R.
у ∣x∣ J kR+1 chkR — shkR
18 55 a^2 sh⅛∣x∣	I I < /?• aR2 ek^R~^
∣x∣ kRch kR — sh kR, Ж ’	∣^∣ 1 + kR
18.56. 1) ∕0 1 -
sh ∣τ∣
|ж| sh 1
2) 1 -2e^1⅛i.
И
18.57. u(x,y) = ^θ7f⅛. У
J0 γKιt)
∆u — k2u — 0, r < R, u∖r=R = uq.
Казани e: и есть решение задачи
— + σ(x)u
on	,
§ 19.	Обобщенные решения краевых задач
Пусть в ограниченной области Q с Rn задается уравнение
Пуассона
-∆u = f, х ∈ Q,	(I)
а на гладкой границе Г = ∂Q — одно из граничных условий
w∣r = 5ιb)	(П)
= g2∂X	(HD
Г
где σ(x) = С(Г).
Функция u(x) ∈ Hi(Q) называется обобщенным решением
задачи (I), (II), если ее след на Г равен pι(x) и она при всех
v(x) ∈ ⅛1(Q) удовлетворяет интегральному тождеству
г
(grad ц, grad v) dx = fv dx;	(IV)
Q	Q
при этом считаем, что ∕(rr) ∈ L2(Q), a gι(x) является следом на Г
некоторой функции из K1(Q).
Функция u(x) ∈ Hi(Q) называется обобщенным решени¬
ем задачи (I), (III) (при этом считаем, что /(ж) ∈

374 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
g2(x) ∈ b2(Γ), если при всех υ(x) ∈ K1(Q) имеет место инте¬
гральное тождество
fυ dx + g⅛υ dS.
Q г
(V)
(grad и ∙ grad υ) dx + σuv dS =
Q	г
Если функции /, gι, g<2, σ достаточно гладкие (например,
непрерывно дифференцируемые), то обобщенные решения явля¬
ются классическими решениями соответствующих задач.
Важную роль при исследовании обобщенных решений крае¬
вых задач играет следующая теорема.
Теорема 1 (Рисса). Пусть на гильбертовом простран¬
стве Н задан линейный ограниченный функционал 1(и). Суще¬
ствует единственный элемент h ∈ Н такой, что l(u) — (h,u)
(здесь через (h,u) обозначается скалярное произведение в Н
элементов h, и).
19.1.	Пусть и(х) — классическое решение задачи (I), (II).
Показать, что если и ∈ C1(Q), то и(х) является обобщенным
решением задачи (I), (II).
19.2.	Пусть и(х) — классическое решение задачи (I), (III).
Показать, что если и ∈ C1(Q), то и(х) является обобщенным
решением задачи (I), (III).
19.3.	Показать, что если и(х) — обобщенное решение зада¬
чи (I), (II) и и ∈ C2(Q) ∩ C(Q), то и(х) является классическим
решением этой задачи.
19.4.	Показать, что если и(х) — обобщенное решение зада¬
чи (I), (III) и и ∈ C2(Q) ∩ C1(Q), то и(х) является классическим
решением этой задачи.
19.5.	Доказать единственность обобщенного решения зада¬
чи (I), (П).
19.6.	Показать, что если функция g↑ является следом на Г
некоторой функции из Hi(Q) (в частности, g↑ ∈ С1 (Г)), то обоб¬
щенное решение задачи (I), (II) существует.
19.7.	Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение
L(u) = — div(pgradt∕) + q(x)u = /(ж),	(VI)
где р ∈ C1(Q), minp(x) = р0 > 0, q ∈ Cγ(Q), / ∈ L2(Q)∙ Принадле¬
жащая пространству ∏1(Q) функция и(х) называется обобщен¬
§ 19. Обобщенные решения краевых задач
375
ным решением задачи (VI), (II), если при всех υ(x) ∈ ⅛1(Q) она
удовлетворяет интегральному тождеству
(р grad и grad υ + quv) dx = fυ dx
Q	Q
и след ее на Г равен д\. Доказать, что принадлежащее Hi(Q)
классическое решение задачи (VI), (II) является обобщенным.
19.8.	Доказать существование и единственность обобщенно¬
го решения задачи (VI), (II) при д ≥ 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.106.
19.9.	Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение
l(u) = - Σ ⅛ (p⅛(x)S^) + v(χ)u = f(χ)> (vπ)
'	Jy О ∖	Cz 'I /
i,j=l
где вещественные функции pij ∈ C1(Q), Pij{x) = Pji(x) (i,j =
= 1,..., п) и для всех х ∈ Q и любых вещественных (ξι,..., ξn)
справедливо неравенство ∑^j=ιPij(x)ζiζj ≥ 7o∣<(∣2 c постоян¬
ной 7о > 0, q ∈ C(Q), / ∈ L2(Q)∙ Принадлежащая простран¬
ству 771(Q) функция и(х) называется обобщенным решением
задачи (VII), (II), если при всех v(x) е ⅛1(Q) она удовлетворяет
интегральному тождеству
п
У7 Pij(x)uXivXj + quv)dx =
i,j=l
fv dx
Q
и ее след на Г равен д\. Доказать, что принадлежащее ∏1(Q)
классическое решение задачи (VII), (II) является обобщенным.
19.10.	Доказать существование и единственность обобщен¬
ного решения задачи (VII), (II), если д ≥ 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.112.
19.11.	Обобщенным решением задачи (VI), (III) называется
принадлежащая K1(Q) функция и(х), удовлетворяющая при всех
r>(x) ∈ Hi(Q) интегральному тождеству
(р grad и grad v + quv) dx + pσuv ds =
Q	т
fvdx+ pg2vds.
Q	Т
Доказать, что принадлежащее C1(Q) классическое решение за¬
дачи (VI), (III) является обобщенным.

376
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.12.	Доказать существование и единственность обобщен¬
ного решения задачи (VI), (III) в предположении, что / ∈
92 ∈ -⅞(Γ), σ(x) ≥ 0 на Г, q(x) ≥ 0 в Q, причем либо а(ж) ≠ О,
либо q(x) ≠ 0.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.117.
19.13.	Пусть L2(Q) и Hi(Q) — подпространства пространств
L2(Q) и K1(Q), состоящие из тех функций из L2(Q) и ^1(Q)
соответственно, для которых ^^fdx = 0. Доказать, что при
p2(^) ≡ 0, σ(x) ≡ 0, q(x) ≡ 0, / ∈ L2(Q) существует единственное
обобщенное решение задачи (VI), (III), принадлежащее JT1(Q).
Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.121.
Пусть р ∈ C(Q), q ∈ C(Q), σ ∈ C(Γ), minp(x) = p0 > θ>
σ(x) ≥ 0, q(x) ≥ 0 и или q(x) ≠ 0, или σ(x) ≠ 0. Тогда (см. за¬
дачи 4.105 и 4.113) в -H1(Q) и 7T1(Q) можно ввести скалярные
произведения, эквивалентные обычным, следующими способами:
CΛfl,)⅛ι = [p(x)(grad∕ -gradg) + q(x')fg]dx, (*)
(J>9)h' = H≈)(grad∕ ∙ gradg) + qfg]dx+ pσfgdS. (**)
Q	г
Функция и ∈ Hl(Q), на которой функционал
B(≈>) = ∣∣<1-2(∕,⅛,
рассматриваемый для υ ∈ 7T1(Q), достигает своего минимального
значения, есть обобщенное решение задачи (VI), (II) при g↑ ≡ 0,
если норма порождается скалярным произведением (*).
Функция и ∈ H^1(Q), на которой функционал
⅛) = ll<,-2(∕,⅛.
рассматриваемый для v ∈ Hi(Q), достигает своего минималь¬
ного значения, есть обобщенное решение задачи (VII), (III)
при р2 = θ> если норма ∖∖y∖∖hi порождается скалярным произве¬
дением (**).
Обозначим через λι, ..., λm, ... расположенные в порядке
неубывания собственные значения, а через ui, ..., ит, ... —
соответствующие собственные функции задачи
— div(p(rr) grad ц) + q(x)u = λu, х ∈ Q, ц|г = 0.

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
377
Аналогично, через μι, ..., μm, ... и щ, ..., vm, ... обозначим
собственные значения и соответствующие собственные функции
задачи
— div(p(⅛) grad я) + q(x)u = μu, xEQ,
ди ι
т— + яя
on
= 0.
г
Тогда
inf ^⅛)=λl и inf ⅛=w,
∕∈⅛1(Q) II∕II12(q)	∕∈∏1(Q) II∕II12(q)
а функции И1(ж) ∈ H1(Q) и щ(ж) ∈ H'(Q), на которых эти
точные нижние грани достигаются
∣∣nιIIя1 (q) _ λ II^i∣Ihi(q)
	й	 — А] И 	й

∣∣^i∣∣2l2(q)	II-i∣I12(q)
являются соответствующими собственными функциями.
Далее, при любом т ≥ 1
II Tl∣2
⅛1(Q)
inf "∙, 'T'w = Λm+1
0 ∣∣∕∣∣t(Q)
(∕∙t*i)L2(Q)=0
и
II∕II‰i(q) . 1
	— = ∕⅛+ι, г = 1,..., яг,
inf		5

∕∈n1(Q)	∣∣∕∣∣l2(Q)
(⅛)l2(Q)=0
а функции um(x) ∈ ⅛1(Q),	= 0, г = 1, ..., яг - 1,
и ‰(x) ∈ K1(Q),	= 0, г = 1,	, яг - 1, на которых
эти точные нижние грани достигаются
IIUm II я1 (Q)
∖∖um ||L2(Q)
II vm IIЯ1 (Q)
∖∖vm l∣L2(Q)
являются соответствующими собственными функциями.
19.14.	Рассмотрим при / ∈ L2(Q) функционал
Ei 0)
(gradf)2 dx — 2 fυdx
Q	Q
на множестве функций v ∈ Hi(Q), для которых zυ∣r = gι,
где функция pι(x) является следом на Г некоторой функции
378
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
из 7I1(Q). Показать, что функция u(x)i на которой функцио¬
нал E↑(υ) достигает минимального значения, есть обобщенное
решение задачи (I), (II).
19.15.	Рассмотрим при / ∈ L2(Q), р ∈ C(Q), q ∈ C(Q),
minp(rr) = ро > 0, q(x) 0 функционал
E{(pf) = p∖ gradzφ2 dx + q(x)v2 dx — 2
fv dx
на множестве функций v ∈ 171(Q), для которых zυ∣r = gι,
где функция 51 (ж) является следом на Г некоторой функции
из Hi(Qf Показать, что функция и(х\ на которой функцио¬
нал E{(E) достигает минимума, есть обобщенное решение зада¬
чи (VI), (II).
19.16.	Пусть pij, i, j = 1, ..., n, q, / — функции, введенные
в задаче 19.9. Рассмотрим функционал
Г	п	r	р
-⅞(f) =	[ V PijVχivxj^ dx + qv2 dx-2 fv dx
Q i^=i
на множестве функций v ∈ K1(Q), для которых tj∣γ = gι,
где функция pi (х) является следом на Г некоторой функции
из JI1(Q). Показать, что функция и(х), на которой функцио¬
нал E2(E) достигает минимума, есть обобщенное решение зада¬
чи (VII), (II).
19.17.	Рассмотрим при / ∈ L2(Q), g(x) ∈ L2(Γ), σ ∈ С(Г),
σ ≥ 0 на Г, σ(x) ≠ 0, функционал
E↑(v) = | gradv∣2 dx + σv2dS-2 fvdx — 2 gvdS,veHi(Qf
г
Q
г
Q
Показать, что функция n(rr), на которой функционал Eι(v) до¬
стигает минимума, есть обобщенное решение задачи (I), (III).
19.18.	Пусть / ∈ L2(Q), 5(x) ∈ L2(Γ), р ∈ C(Q), q ∈ C(Q),
σ ∈ C(Γ), minp(x) = р0 > 0, q(x) 0, σ(x) ≥ 0 и или q(x) ψ О,
или σ(x) ≠ 0. Рассмотрим на ^1(Q) функционал
E2(,υ)= p∖ gradi7∣2 dx+ qv2dx+ σpυ2dS-2 fvdx — 2 pgvdS.
Q	Г
Q г
Q

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
379
Показать, что функция и(х), на которой этот функционал до¬
стигает минимального значения, есть обобщенное решение зада¬
чи (VI), (III).
Указание. См. задачу 4.117.
19.19.	Рассмотрим при / ∈ L2(Q), ∫q∕⅛ = О, Р ∈ C(Q),
minp(rr) = ро > 0, функционал
El(y) =
p∖ grad^l2 dx — 2 fυ dx
на подпространстве 7T1(Q) (определения множеств L2(Q) и
771(Q) см. в задаче 19.13; см. также задачи 4.118-4.120) про¬
странства 7f1(Q). Показать, что функция и ∈ H1(Q), на которой
этот функционал достигает минимума, есть обобщенное решение
задачи (VI), (III) (при g%(x) ≡ 0, σ(x) ≡ 0, q(x) ≡ 0).
Таким образом, из вышесказанного (см. задачи 19.1, 19.3,
19.5, 19.6, 19.14) имеем следующее.
Пусть Q — ограниченная область в Rn, n ≥ 2, граница ко¬
торой ∂Q ∈ С1. Пусть функция /(ж) ∈ C(Q), а заданная на ∂Q
функция g(x) такова, что множество C^(ζ)) = {h(x) ∈ Ci(Q∖.
h∖∂Q = g} ≠ 0. Тогда функционал
J(u) = (∣V∣2+ 2∕(x>)⅛ uECig(Q),
ограничен снизу. Если ∂Q ∈ С2, а функция /(ж) удовлетворяет
условию Гельдера положительного порядка се, 0 < a ≤ 1, т. е. для
нее существует постоянная С > 0 такая, что для всех х и у из Q
имеет место неравенство |/(х) — f(y)∣ ≤ C∖x — y∖a, то в Cf2(Q) ∩
∩Cj(Q) существует функция uq(x∖ для которой
inf— J(u) = J(uq).
^∈q(Q)
Эта функция является решением задачи Дирихле
∆uo = /(ж), X ∈ Q, u0∣∂Q = ЦЦ
При решении задач очень полезны следующие соотношения:
1)	Если u0 = f(r, φ), то ∣Vu0∣2 = (∕')2 + (Д)2;
2)	если u0 = /(г), то ∣Vu0∣2 = [/ДД]2;
3)	если uq = Ax↑ + Bx2 ÷ Сх^, то ∣Vuq∣2 = А2 + В2 + С2.

380
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Пример 1. Доказать, что для всех функций u(x) ∈ C1(∣x∣ ≤
≤ 1), х = (яд, Х2, ^з) ∈ К3, удовлетворяющих граничному ус¬
ловию
Цж|=1 = -Ж2 + ¾
имеет место неравенство
(|Vτz∣2 — 24∣x∣t∕) dx —
|ж|<1
Δ Рассмотрим функционал
J(u) =	(∣X⅞∣2 — 24∣x∣n) dx.	(1)
∣x∣<l
Воспользуемся тем, что inf_ J(u) — J(uq), где uq(x) есть ре-
^∈q(Q)
шение задачи Дирихле
Δτ40 = — 12∣ατ∣, ∣x∣<l,	(2)
^o∣∣x∣=ι = g{x) = Х1 -Хг + хз-	(3)
Здесь Cg(Q) = {h(x) ∈ C,1(∣τ∣ ≤ 1), Λ∣∣a,∣=1 = τ1 - ж2 + τ3}.
Введя сферические координаты (ад = г cos 7? sin Θ, x% =rsinφ×
× sin6,, Х3 = rcos0), запишем задачу (2), (3) в виде
∆zzo = — 12г, г < 1,	(2,)
'u0∣r=1 = cos 72 sin 0 — sin⅛2sin0 + cos0	(3,)
и найдем ее решение.
Уравнение (2') является неоднородным; найдем какое-нибудь
частное решение уравнения (2z). Можно, например, искать его
в виде
w(r,φ,θ') = fX)-
2
Заметим, что если w(r,79, 0) = /(г), то ∆w = f"(r) Н—/'(г).
Поэтому частное решение w уравнения вида ∆w = Ark, k ∈ Z,
зависящее от г, можно искать в виде w = ark+2. В нашем случае
к = 1, w = ∕(r) = аг3 и из уравнения (2z) следует, что
∕z'(H + ∣∕'(H = -12λ
где ∕(r) = аг3. Тогда
6ar + - ∙ 3αr2 = —12г,
г
откуда найдем α = — 1 и w(r, φ, θ) = /(г) = —г3.

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
381
Введем новую искомую функцию v такую, что
υ(r, φ, θ) = uq(γ, φ, θ) — w(r, φ, 0), υ = uq + г3,	(4)
и запишем задачу (2'), (3,) для функции v:
Ai; = 0, г < 1;	(5)
v|r=1 = cos φ sin θ — sin φ sin θ +	cos0 + 1.	(6)
Ищем решение задачи (5), (6) в виде
v = А + Br cos θ + Cr cos φ sin θ + Dr sin φ sin θ.	(7)
Из равенств (7) и (6) находим А = В = С	= 1, D = — 1. Следо¬
вательно, функция
v = 1 + г (cos θ + cos φ sin θ — sin φ sin θ)
есть решение задачи (5), (6), а функция (см. условие (7))
uq = -r3 + 1 + г (cos θ + cos φ sin θ — sin φ sin 0) =
= -r3 + 1 + x3 + Xi - x2
есть решение задачи (2'), (3,).	_
Так как J(u) J(uq) для u(x) ∈ Cj(Q), то найдем J{uq∖.
J(uq)=	g(x)dx,
Ы<1
где
g(x) — ∣Vt6o∣2-24 • |х| •	— ∣V¾∣2-24r(-r3 + 1 +^3 + ^1 — x2) —
= ∣Vτz0∣2 - 24r(l — r3) — 24r(^3 + х\ — x2),
|Vrt0∣2 = IV((l - r3) + (ж3 +	- a⅛)∣2 =
3 Г я	I2
= ∑	-^3) + (a⅛ + τι -τ2) =
J=ι L 3	-I
= (—3x↑r + I)2 + (—Зж2г — 1)2 + (—3x%r + I)2 =
= 9x2r2 — 6xιr + 1 + 9x∣r2 + 6ж2г + 1 + 9x2r2 — 6x3r + 1 =
= 9r2(rc2 + τ2 + «з) + 3 — 6r(®i — х2 + жз) =
= 9г4 + 3 — 6г(ж1 — τ2 + Ж3)

382 Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
(здесь учитываем, что (1 — г3) =	(r3) = -3xjr, j =
(J JU j	(J JU j
= 1,2,3). Следовательно, получаем
р(ж) = 9г4 + 3 — 6г (xι — Х2 + хз) — 24r (1 — г3) — 24 (ж ι — х% + a⅛) =
= 33r4 — 24г + 3 — 30r(^ι — Х2 + хз).
Учитывая, что ∫∣a,∣<1 Xj dx — 0, j — 1,2, 3, и переходя к сфериче¬
ским координатам, находим
JM= g(x)dx
|ж|<1
1 2π π∕2
r2 cos θ ∙ g(x) dr dφ dθ =
О 0 -π∕2
1
= 4π (33r6 — 24r3 + 3r2) dr = 4л — 6+1
о
8л
Т‘
Следовательно, требуемое неравенство доказано.
Пример 2. Доказать, что для всех функций u(x,y) ∈ C1(Q),
Q = {(x,y∖. х2 + у2 < 4}, для которых
।	2	√2
u∖∂Q = У + ~γX,
справедливо неравенство
udxdy^ ∖∖7u∖2dxdy.
Q	Q
Δ Рассмотрим функционал
"k
J(u) = (∣Vιz∣2 — u) dxdy,
Q
где g(x,y) = y2 + и найдем
uo(x,y) есть решение задачи Дирихле
inf— J(u) = J{uq), где
Δu0 = -^, (τ,y)∈Q,
I	2
ω0∣<5>Q = У + ~^Х
(<?),
(1)
(2)

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
383
(напомним, что C,J(Q) = {h(x,y) ∈ С1 (ж2 + y2 ≤ 4): ^|ж2+г/2=4 =
= У2 +
Введя полярные координаты (ж = rcos⅛2, у = rsin⅛p), запи¬
шем задачу (1), (2) в виде
∆uo = г <2,
।	л • 2	λ∕2
uq | r=2 = 4 sin φ + cos φ
(Г)
(2,)
и найдем ее решение.
Уравнение (1') является неоднородным, поэтому найдем
какое-нибудь частное решение уравнение (1). Записав уравне¬
ние (1') в полярных координатах
∂2u^	1 ∂uq	1 ∂2uq _	1
∂r2	г dr	r2 ∂φ2	2 ’
(3)
будем искать его частное решение в виде w(r) = аг2. Тогда
из уравнения (3) найдем а = —w(r) = — -г2.
о	о
Введем новую искомую функцию u(ri φ) такую, что
f(r, φ) — Uo(r, φ) — w(r),
v(r,φ) = uq(t,ψ) + ∣r2,	(4)
О
и запишем задачу (1,), (2,) для функции v∖
Ai; = 0, г < 2;	(5)
V 2	1
«о|г=2 = 4 sin2 φ + — cosφ +
(6)
Разложив правую часть условия (6) в ряд Фурье по системе
функций {1, coskφ, sinfcφ, k = 1,2,...}, получим условие
5 v 2
v∖r=2 = - 3—— cos Ψ ~ 2 cos 2φ.
Ищем решение задачи (5), (6) в виде
v = А + Br cos φ + Cr2 cos 2φ.
(7)
(8)

384
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Из равенств (7) и (8) следует, что
л = |, B=^-, c = -i2-
Поэтому функция
5^√2	1 2
v = - 4——г cos φ — -г cos 2φ
2	4	2
есть решение задачи (5), (6), а функция (см. условие (4))
5 l √2	1 2 о 12
«О = у + ~τr cos φ - —г cos 2φ - -г
Z Ч	z	о
есть решение задачи (1), (2).
Вычислим J(uq).
Так как uq = ∣ + cosφ — ^-r2 cos2φ — ^r2 = f(r, φ), то
2	4	2	о
∣v⅛l2 = M2 + 4KJ2 =
1 Г √2	2 • о ]2
+	—— rsmφ + r sm2φ =
rz 4
Γ√2	1 I2
= —— cosφ — г cos2ω — -г
4	4
2	2	2	2 n 1 2 2vz2	n 2√2
= — cos φ + r cos 2φ+-r	--rcosφcos2φ	— rcosφ +
16	16	4	16
^1	' r^	2√2.3 ∙	_
2 о Л 1	29.9	4 • 9 n 2v2 3 .	• п
+ -r cos2φ + -^- —7‘ sin φ + r sin 2φ	-rsιnφsm2φ =
1 9	1	17	2	√2	√2	1	2
+ -г cos 2φ — - + —г	—г cos φ	—г cos φ + -г cos 2φ —
2	8	16	2	о	2
17 2	√2	√2	1 <2
		ГУ* Γ*Γ∖C' f Г\ 	 су* Γ*r∖O Г Γ∖ I ry*z-, ГЫХСЛ *7 / Г\

16'	2 '	8 '	1 2'
1 jl 17 2 5√2	1 2	9
= H÷TFr	5— rcosφ+-r cos2φ.
о	1Ь о	2
Значит,
∣V7 |2	1 , 17 2	5√2	, 1 2 о 5
∣Vιt0∣ --u0=g + 7θr	g-rcos⅛7+-r cos2√>---
√2	1 2	1 2
	— rcosφ+-r cos2ω⅛-r =
4	2 r 8
19 , 19 2	7√2	ι2 о
= —	+ -—г — —л—г cos φ + г cos 2φ.
8	16	8

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
385
Отсюда получаем, что
J¼)) = (IX¼)∣2 - Uθ)dxdy =
Q
2 2π
о о
2
19 , 19 2	7√2	,2 о А , ,
+ —г	—г cos φ + г cos 2φ г dr dφ =
8	16	8	у
19 ι 19 3
—r j	rθ
8	16
= 2л
19 22	19 23 4
^8^ ' ^2 + 16 ’ Т
dr — 0.
0
Следовательно, требуемое неравенство доказано.
Пример 3. Найти минимум функционала
I(υ) =	| grad v∣2 +	417
⅛L ∕z2÷z2J
среди функций, принадлежащих классу C1(G), где G = {1
dx∖ dx2
(1)
Δ Известно, что существует функция ^0(24,^2) ∈ C1(G), даю¬
щая минимум функционалу (1). Функция uq(x) является реше¬
нием краевой задачи
Л 2	l
записав лапласиан в полярных координатах, получим
(riZr) — 2,	71∣∣j,∣-1 — п||ж| =з — 0.	(2)
Решением краевой задачи (2) является функция гщ = 2(r — 1) —
4
— —— In г. Так как vo не зависит от ω, то
m3
∣gradυ0∣2 = |^| = (:
4 1\2
2 - — - )
ln3r∕
Тогда
2π 3
г dr dφ =
3
Г Л	16	ι 16 1	o o 16	1 \	,
4г — -—- + —5	h or — о — -—- In г ] dr —
∖	1∏3 ln2 3 г	1∏3 У
1

386
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
3
= 2л
1
19	16	16 1	16 1 \ ,
12г - —— - 8 Н	ъ	—— In г ] dr =
1∏3	1∏2 3 г 1пЗ 7
Итак, минимум функционала (1) равен 32л ( —— — 1 1.	▲
19.20.	Найти функцию vq, реализующую минимум функцио¬
нала ∫θ(√2 + ц2) dx + 2 ∫θ v dx в классе Я1 (0, 1).
19.21.	Доказать, что для всех v ∈ С1 (0, 1) справедливо нера-
1	41
венство ∫(√2 + 2xυ) dx + ц2(0) + ц2(1) ≥ — ——. Имеет ли место
о	270
знак равенства для какой-либо функции?
19.22.	Доказать, что для всех v ∈ С1 (0, 1), г(1) = 0, имеет
место неравенство ∫θ v dx ≤	+	+ ∣ ∫θ v'2 dx. Найти функ¬
цию их этого класса, для которой достигается равенство.
19.23.	Найти inf < Г [(grad?;)2 + 2sinx∖ sinx^v∖ dx >, где
^∈⅛1(Q) (q	J
Q = {0 ≤ X∖ ≤ Л, 0 ≤ X2 ≤ л}.
19.24.	Найти inf J ∫ [(gradzυ)2 + 2∣x∣⅞] dx >, где
v∈⅛1(∣rr∣<l) [∣τ∣<l	J
X — (⅛ι, ¾)∙
19.25.	Найти inf ∫∣ ∣ 1 ∣ gradu∣2 dx, где x = (^ι,¾),
υ∈H1(∣iu∣<l) । ।
Xi = |ж| cosφ, ®2 = 1Ж1 sinφ, f∣∣x∣=ι = φ(π — φ)(2π — φ), 0 ≤ φ ≤
≤ 2π.
19.26.	Найти inf ∫∣a,^1 | gradzυ∣2 dx на множестве функций
v ∈ Hi (|ж| < 1), х — {x∖,x2∖ х\ — |ж| cosφ, Х2 — |ж| sinφ, удовле¬
творяющих условию ц||ж|=1 = φ2, — π < φ ≤ л.
19.27.	Может ли заданная на окружности ∣x∣ = 1, x∖ = cos⅛2,
Х2 = sinφ, функция ψ(φ) быть граничным значением какой-либо
функции из .H1(∣τ,∣ < 1), если:
a)	ψ(φ) = sign⅛9, —л < φ ≤ л;
б)	rψ{φ} =	2-ncos22n(/?;
n=0
В) = ∑
п=1 п°

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
387
19.28.	Пусть Q — квадрат (0 < х\ < 1, О <	< 1). Дока¬
зать, что для любой / ∈ Hi(Q) имеет место неравенство
1 '
Q
fdx ≤
Q
| grad∕∣2 dx
и установить, что постоянная в неравенстве точная.
19.29.	Пусть Q — куб (0 < х\ < 1, 0 < х% < 1, 0 < х% < 1).
Доказать, что для любой функции / ∈ 7J1(Q) справедливо нера¬
венство
ll∕lll2 ≤ τ⅛l∣grad∕lll2∙
□7Г
19.30.	Пусть Q — кольцо (1 < ∣τ∣ < 2). Найти
inf
∕∈w1(Q)
∕∣m=ι=0
[(grad ∕)2 + 4∕] dx +	∕2 ds
1<|ж|<2	|ж|=2
X = (яЦ, ¾)∙
19.31.	Пусть Q — квадрат (0 < х\ < 1, 0 < x⅛ < 1). Найти
функцию, дающую минимум функционалу
inf
υ∈H1
[(grad?/)2 + 4sinxι sinrc2^] dx +
sinreιn(xι, π) dx∖
о
в классе функций и ∈ Hi(Q∖ n∣τ1=0 — ^U2=o = t⅛ι=π = О-
19.32.	Пусть Q — круг (|ж| < 1), х = (aη,¾)∙ Доказать, что
для любой функции и ∈ Hi(Q) справедливо неравенство
hlll2 ≤ ⅛gradu∣li2∙
2 2л	2
19.33.	Доказать, что для всех функций и ∈ С1 (0 < х\ < 1,
О < Х2 < 1), удовлетворяющих граничным условиям
^∣z1=0 = ^∣,X-2=O = 0,	= l = ¾	⅛=1 =
справедливо неравенство
1
, f	2
(grad и)2 dx 1 dx2
о
Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функций?

388
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.34.	Доказать, что для всех функций и ∈ C1(∣x∣ < 1), х —
= (^1,^2), имеет место неравенство
xlx2u(x)dx ≤
(gradτz)2 dx.
∣x∣<l
2
|ж|<1
19.35.	Доказать, что для всех функций и ∈ C1 (∣x∣ < 1), х =
= (xι, Х2, хз\ имеет место неравенство
[(gradn)2 + и) dx
2
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше
функций?
19.36.	Показать, что для всех функций v Е C1(∣τ∣ ≤ 1),
х\ = |ж| cos φ, Х2 = |ж| sin⅛9, удовлетворяющих условию ^∣,x∙1=ι =
= sinφ, где х = (xι,¾)> справедливо неравенство
[2∣x∣⅞ + (grad,υ)2] dx ≥ ||тг.
∣x∣<l
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше
функций?
19.37.	Доказать, что для всех функций и ∈ С1 (0 < х\ < 1,
О < Х2 < 1, 0 < хз < 1), х = (xι,X2>^β), удовлетворяющих гра¬
ничным условиям
^∣rrι=O = ⅜⅞	⅛=0 =	⅛=0 = ^1^2,
⅛ = 1 = X2+X3+X2X3, u∖x2=i = x↑+x3+x1x3,
⅛=1 = X1+X2+X1X2,
справедливо неравенство
1
Д Г	7
| gradn∣2 dxι dx2 dx3
о
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше
функций?
19.38.	Доказать, что для всех функций υ ∈ Cl(∣x∣ < 1), х =
= (зц, X2, X3∖	= Ы cos φ sin θ, X2 = ∣x∣ sin⅛9sin0, X3 = ∣rr∣ cos0,
§ 19. Обобщенные решения краевых задач
389
удовлетворяющих условию 'φ∣rr∣=1 = cos0, справедливо неравен¬
ство
[2zυ + (gradf)2] dx ||л.
|ж|<!
Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше
функций?
19.39.	Пусть Q — квадрат {0 < х\ < 1, 0 < х2 < 1}. До¬
казать, что для любой функции υ ∈ H^1(Q), удовлетворяющей
условию
si∏7ΓXι 8ШЛЖ2ф) dx = О,
Q
справедливо неравенство
IHli2 ≤ ⅛gradv∣∣i
2 5л	2
19.40.	Пусть Q — куб {0 < х\ < 1, 0 < х2 < 1, 0 < α⅛ < 1}.
Доказать, что для любой функции v ∈ ⅛1(Q), удовлетворяющей
условию
sin πxι sinπx2 sin πx3υ(x) dx = О,
Q
справедливо неравенство
IMI12 ≤ ⅛∣gra<Mli2∙
6л	2
19.41.	Пусть Q — куб {0 < х\ < л, 0 < τ2 < л, 0 < Х3 < л}.
Среди функций и ∈ U1(ζ)), принимающих граничные значения
ΓZ∣as∙1=θ — ^∣^2=0 — ^,∣x3=0 — ^,∣ccι=π — 'Uj∖x2=π θ>
найти ту, которая дает минимум функционалу
(grad u)2 dx +
π π
■» Г
sinxι sinx2u(xι, Х2, a⅛) dx∖ dx2-
о о
19.42.	Пусть Q — шаровой слой {1 < |ж| < 2},
х = (xι, Х2, Х3) 1 Среди функций и е Hl(Q), принимающих
граничные значения u∖∣a,∣^2 = θ> найти ту, которая дает минимум
функционалу
E(t∕) = [(gradn)2 + 2u] dx +
u2 dS.

390
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.43.	Среди функций из М = {u(x) ∈ Ci(Q∖. u∖qq = 0},
найти ту, которая дает минимум функционалу J(u), если:
1)	Q — {х — (жьж2): 1 < |ж| < 2}, J(u) = ∫ (∣W∣2 — pp-)c⅛
2)	Q = {х = (®1,®2,жз): И < 1}, J(u) = ∫ (2|ж|2и + ∣Vu∣2) dx;
3)	Q = {x = (ж1,я2,®з): 1 < |ж| < 2},
J(u) = ∫ (I W∣2 + ⅛Λ dx;
Q∖ ∖x∖ J
4)	Q = {ж = (ж1,ж2): |ж| < 1},
J(tz) = ∫ ∣ ∣Vrz∣2 + 2и—'''2 Jcfcuι dx2',
Q∖	yJx2 + x22
5)	Q = {x = (ж1,ж2): 1 < |®| < 2}, J(u) = ∫ f∣Vu∣2 + dx;
Q∖ ∖x∖J
θ) Q = {x = (®i, ж2): 0 < Ж1 < л, 0 < ж2 < л},
J(u) = ∫ (∣W∣2 + 2u(2 + лЖ1 — ж2) sinx2) dx∖ dx%;
Q
7)	Q = {x = (a?i,ж2, ®з): |ж| < 1}, J(u) = ∫ (∣Vu∣2 + 2u) dx;
Q
8)	Q = {x = (жьжг.жз): 0 < Ж1 < 1, 0 < Ж2 < 1, 0 < жз < 1},
J(u) = ∫ (∣W∣2 + 2цзшлж1 зтлж2 8т2лжз) dx;
Q
θ) Q = {ж = (жьжг): |ж| < 1}, J(u) = ∫ (∣Vu∣2 + 16ж1и) dx.
Q
2ж ∖ , ,
-, 2 , 2λ3∕2^ dxdy;
^x2+y2y'2 J
19_Л4. Пусть Q = {(ж,у): 1 < л/ж2 + y2 < 2}, М = {u Е
∈ Cγ{Qy. u∖qq = 0}. Найти inf^ J(u), если:
О Jr(^) = ∫
Q
2)	J{u) = ∫ (∣Vu∣2 + (^-2 - 3\ 7^=u} dxdy;
3)	jClt) = ∫ f IVm∣2 + ( , 6	- 8λ) dx dy;
Q∖	\ Vх +У J J
4)	J{u} = ∫ (∣Vu∣2 - 22tf dxdy-
Q ∖	∖x ÷ У )	/
19.45	. Пусть Q = {ж = (ж, у): |ж| < 1}. Найти inf J(w), где:
ием
1) M = luE Cl(Q∖. U∣w=1 = U, J(u) = ∫(∣Vu∣2 + 2n)⅛i
1	2)	Q

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
391
2)	М = ] и ∈ Cl(Q∖. u∣∣x∣=ι = 0 [, J(u) = ∫ (∣Vu∣2 + 16anu) dx.
l	j Q
19.46	. Найти inf ∫	(∣Vιz∣2 + 8ιt) dx, где Н — {u(τ) ∈
“еЯ1<|®|<2
∈ C,1(l ≤ |ж| ≤ 2), u∣∣x∣=ι = 1, w∣∣x∣=2 = 4 + ln2}, х — (x∖,x2) Е R2.
19.47	. Найти inf ∫ (∣Vu∣2 + 16αηu) dx, где Н = {u(τ) ∈
“еЯ|х|<1
∈ C,1(∣x∣ ≤ 1), ti∣∣2,∣=ι = ®i}, х = (τι,α⅛) ∈ R2.
19.48	. Найти inf ∫	f∣Vu∣2 + 6pγui⅛r, где Н = {u(τ) ∈
ue'ffl<∣x∣<2×	И '
∈ C1(l ≤ |ж| ≤ 2), u∣∣a,∣=1 = x2, u∣∣a,∣=2 = 2x2}, X = (aη,τ2) ∈ R2∙
19.49	. Найти
G
среди функций u(x,y,z) ∈ C1(G), w∣r=ι∕2 — 2, u∣r=ι = —1, где
G=∣(x, у, z) : 1 < г < 1∣, r2 = x2 + y2 + z2.
19.50	. Найти
'[ (п	2и .
sup 2u cos г Н	sin г —
J J \	г
G
среди функций u(x,y) ∈ C'1(G,), u∖r=π — 0, u∣r=2π = 2, где G —
= {(ж, у): π < г < 2π}, r2 = х2 + у2.
19.51	. Найти inf J(u), где М = {u ∈ Cl(Q∖. u∖qq = 0}, если
иЕМ
Q = {x = (xi, Х2) ' 0 < Х\ < 7Г, 0 < Х2 <
J(u) = (| W∣2 + 4ιzsinxι sinx2) dx.
19.52	. Пусть Q = {ж = (⅛ι,¾)÷ 1 < Ы < 2}. Найти inf J{u∖
				иЕМ
если М = {u(x) ∈ Ci(Q∖. ^∣∣x∣=ι = 1, ^∣∣τ∣=2 = 2} и

392
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.53	. Пусть Q = {x = (х,у): x2 + у2 < 4}. Найти inf J(u),
нем
если М = < и(х, у) ∈ Ci (Q): u∖qq = Х > и
J{u) — (∣Vι∕∣2 — 2n) dxdy.
Q
19.54	. Пусть Q = {х = (х, у)\ 0 < х < л, О < у < л}. Найти
inf J(u), если J(-u) = ]∖∖∕u∖2dxdy, а
w∈m	q
М = {u(x,y) Е Cl(Q) : u∖x=o = u∖x=π = u∖y=o = O, u∖y=π = sinτ}.
19.55	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ Ci (∣x∣ ≤ 1),
х = (яц, Х2, хз) ∈ К3, удовлетворяющих граничному условию
Цж|=1 = x1 — х2 + хз, имеет место неравенство
(|Vτz∣2 — 24 • |х| • и) dx — |л.
19.56	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ C1(l ≤ |ж| ≤
≤ 2), х = (зц, Х2, хз) ∈ М3, удовлетворяющих граничным услови¬
ям ιz∣μ∣=ι = 0, t6∣∣aj∣=2 — 1’ имеет место неравенство
1<|ж|<2
∣v>∙∣2 - я) ≈fa М-
19.57	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ C1(l ≤ ∣x∣ ≤
≤ е), х = (aη, Х2, хз) ∈ ^3> удовлетворяющих граничным услови¬
ям t6∣μ∣=ι = 0, Цж|=е = — 1, имеет место неравенство
1 <\х | <е
19.58	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ C1(∣x∣ ≤ 1),
х = (xι, Х2, хз) ∈ К3, удовлетворяющих граничному условию
= 8ж2, имеет место неравенство
∣Vι∕∣2 dx 31л.

§ 19. Обобщенные решения краевых задач
393
19.59	. Покажите, что для всех функций п(ж) ∈ C1 (|ж| ≤ 1),
х = (х1,^2,жз) ∈ К3, удовлетворяющих граничному условию
u∣∣x∣=1 = cos0, имеет место неравенство
(2и + | Vzιz∣2) dx π.
И<1
19.60	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ С1 (0 ≤ X{ ≤
≤ 1, г = 1,2,3), х = (xι,¾я?з), удовлетворяющих граничным
условиям
⅛=0 = ^2^3’	'⅛ι = l	= £2 +	^3	+ ^2^3>
⅛=o = ^3,	⅛=ι	= Ж1 +	χ3	+ ЭД,
T^∣x3=0 — ^1^2>	^|ж3=1	— “Ь	^2	-b ^1^2>
имеет место неравенство
1
' f f	7
| Vn∣2 dx∖ dx2 dx%
о
19.61	. Покажите, что для всех функций u(x) ∈ Ci (|ж| ≤ 1),
х = (xi,x2), удовлетворяющих граничному условию u∣∣ic∣=1 = О,
имеют место следующие соотношения:
1)	∫ (∣Vτz∣2 + 24(ж2 - x2)τ∕) ⅛ ≥
∣x∣<l	2
2)	∫ ( ∣Vu∣2 +	6x2	⅛ [ dx ≥ -
∣χ∣<1 ∖	Jx∖+x22 )
19.62	. Пусть u(®) ∈ C,1(∣rc∣ ≤ 1), х ∈ R3.
1)	Показать, что если u∣∣x∣=ι = х\ + ж2 — ж2, то справедливо
неравенство
14тг
15" +
|ж|<1
udx ≤
∣Vu∣2 dx.
l≈l<ι
2) Показать, что если ιt∣∣χ∣=ι — τιχ2 + жз> то справедливо нера¬
венство
2π
75
, 1
udx ≤ -
∣Vu∣2 dx.

394
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
3)	Показать, что если ιz∣∣x∣=1 = x∖ + χc⅛ — x⅛, то справедливо
неравенство
| Vtz∣2 dx.
4)	Показать, что если 'α∣∣rr∣=ι = х\ ÷x2, то справедливо неравен¬
ство
8т
15 +
| V1z∣2 dx.
19.63	. Пусть Q = {х = (xi,x2): 0 < x∖ < π, 0 < x2 < 1}.
Показать, что для всех функций u(x) ∈ Ci(Q∖.
1)	удовлетворяющих условиям u∣τ1=0 = t⅛1=7r = ^∣τ2=0 = О,
гх|ж2=1 = sinxι, имеет место неравенство
∣Vτz∣2 dx >
Q
2)	удовлетворяющих условиям U∣τ1=0 — ^∣z1=π = ^|ж2=0 О,
1/|Ж2=1 = sin 2^1, имеет место неравенство
| Vn∣2 dx > π.
19.64	. Пусть Q = {x = (xι, х2): 0 < x∖ < π, 0 < x2 < 1}, М =
= {u ∈ C1(Q), uqq = 0}. Найти функцию, реализующую:
1)	inf Г (IVtd2 + 2nsinxι) dx∖ dx%,
иЕМ Q
2)	inf Г (∖Vtd2 + 2ιzsin2xι) dx↑ dx%-
19.65	. Пусть G = {(х,у): х2 + у2 < 4}. Найти все такие
функции и ∈ (71(G), для которых:
л/2
1)	u∖∂G — x2 Н—У и ∫∫ ∣Vn∣2 dxdy > ∫∫udxdy∖
4	2 g	G
2)	и\эа = а/2х + ту и ∫∫ ∣Vtz∣2 dxdy > 2 ∫∫ udxdy.

Ответы к § 19
395
19.66	. 1) Найти все А, для которых справедливо неравенство
(∣Vιz∣2 + 32 sin х ∙ sin у • и) dxdy > О
G
для любой функции u(x,y) ∈ C1(G), u∖qg = А, где G = {(x,y∖.
0<x<π,0<y< тг}.
2)	Найти все А, для которых справедливо неравенство
(∣Vtι∣2 — 2xsiny • и) dxdy > О
G
для лю_бой функции u(x,y) ∈ С1 (0 ≤ х ≤ 1, 0≤y≤π) =
= C1(G), удовлетворяющей граничным условиям 7∕∣,r=o =
=	= u∖y=π = А, п|ж=1 = А + siny.	_
3)	Найти все А, для которых среди функций u(x,y) ∈ C1(G),
u∖∂G = А, найдется такая, что
(|Vτz∣2 — 8cosх ∙ cosy • и) dxdy < 8А,
G
где G= {(ж,у): ∣τ∣ <	∖y∖ <
Ответы к § 19
19.20.	-l + ∣^i-ch
т2 2
19.21.	Да, для функции -θ- - θC≈+ 1).
19.22.	-χ2 + ^±l.
7Г2
19.23.
О
19∙24∙ -й-
19.25.	144ττ∑∞ 1 k~b.
19.26.	16τr∑∞ 1 fc-3.
19.27.	а) Нет; б) нет; в) да.
19.30.	— 7r1 Л51 -941n2).
2(1 + In 4)v	,
<n o< ∙	∙ osinzιcha⅛
19.31.	— smxι smx2 — 2			.

396
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.33.	Да
Ы2 - 1
19.35.	Да, для функции —L.
r4 - 1
19.36.	Да, для функции г sin φ 4	j-θ-.
19.37.	Да, ДЛЯ функции ÷ Ж1Ж3 + X2^3∙
r2 — 1
19.38.	Да, для функции rcos0H	-—.
о
19.41.	—-—- .—	sin ж । sin 3?2 sh( а/2 Х3 ) •
v2 ch(v2τr)
19 42 М- + -А_ _ 11
6 +9∣x∣	18*
19.43. 1) u0(r, φ) = 1 -	- 1; 2) u0(r, φ, θ) = ^(r2 - 1);
3) uq(t,, φ, θ) = 21r2 + In г — 2 In 2; 4) uq(t, φ) = ^(r — 1) sin 99;
г	о
5) u0(r, φ} = г - Д, - 1; 6) woGcι,a⅛) =	- π) sin.?-2;
7)	∙u0(r, φ, 6») = ⅛(r2 - 1);
8)	гц)(^ь ж2, %з) — ~-~2 sinπccι sinπx2 sin2πx3j
6π
9)	по(ж1, x2) = xι(x2 ÷ х% — 1) = r(r2 — 1) cos92.
19.44.	inf J (и) = J(un) = m, где:
1)	т = 7Г (| - In2); u0(r, φ) = Q - 1 + |“) cos⅛^
2)	пг = Д — 4 In 2^; uq(t, φ) = (—r2 + 3r — 2) cos φ∖
3)	т — — 'κ∖ и^(г, φ) — —г2 + Зг — 2;
о
4)	т = 2π(41n2 — 3); uq(t, φ') = — г + 3 —
19.45.	1) inf Jr(u) = Jr(^o) = ^π, Uo(x1,x2) = Ж1 +	+ 1;
иЕМ	о	4
2) inf J(u) = J(uq) = — — л, uo(r,φ) = r(r2 — 1) cos φ.
ием	12
19.46. min = 2π(45 + 17In2); ¾(r, φ) = r2 + lnr.
19.47. min =	uq(t, φ) = r3 cos φ.

Ответы к § 19
397
19.48.	min = uo(r, = sinφ.
19.49.	min = Uq(v, φ, θy) —	— 2.
3	γ∙
β
19.50.	sup = -π35 ¾(r, φ) = 1 + cos г.
π2
19.51.	inf^ J(u) = J(uo) = — —, ,^o(^b χ2) = — sinrrι sinx2∙
10 co . r 7∕ х τ( ∖	/5117	102	161n2λ
,9∙52. ιm∣u J(1,) = 7(u0) =	- — - — ),
/ λ о 6 In г
u0(r,φ) = r5-^-.
19.53.	inf J(u) = J(uq) = 0, uo(r, φ) = 1 — jr2 + jr2 cos2(∕z
ием	wv ' ' '	4	4
19.54.	inf J(zu) = J(uo) = ^cthπ, uo(x,y) = sins*13/
ием	2	s∩7r
87г
19.55.	ио(ж) = 1 — |ж|3 + х\ — Х2 + хз, J(w) = — ~γ, χ = (^ι, χ2, ^з)-
19.56.	u0(τ) =--!∣i - j∣∣ + ∣, J(w0) = -^, х = (τι,2⅛a⅛)∙
19.57.	uo(x) = —In ∣x∣, J(uq) = 4π(e + 1), x = (x1,x2).
19.58.	щ{х) — 4 + 4г2 cos2(/? = 4(1 + x2x — х^),
J{uq)=3∖'R, X=(X1,X2).
19.59.	u0(x) = ^(rr2 + ж2 ⅛	- 1) ⅛ х3,
^(uθ) = ∙7∣π > π, X = (X1,X2,X3Y
4и
7
19.60.	u0(X) = x↑x2 + X1X3 +X2X3, J(uo') = -, х = {x∖,x2,x3).
19.61.	1) ιto(r, (/?) = r2(r — 1) cos2⅛9, J{uq) = -7^∖
2)	u0(r, <z>) = (r2 - r)sin<z>, J(-u0) =
19.62.	1) и0(ж) = | + x∖ + xl - ^∣x∣2,
I ∫ ∣Vu0∣2cfc- ∫ u0⅛ = ^; 2) и0(ж) = | + ⅛∣2-2^,
z И<1	И<1	10	22
∫ ∣Vu0∣2⅛- ∫ u0dx=^-∙,
2 ∣≈∣<ι	l≈l<ι
3) u0(x) = xιx2 +X3 + ∣(1 - ∣2j∣2)- х ∫ ∣Vu0∣2(∕x- ∫
2	2 И<1	∣≈∣<ι	lt*
4) u0(x) = | -τ3-aι∣ + ∣∣τ∣2, ∣ ∫ ∣Vw0∣2dτ- J u0dx=^.
∣χ∣<l	∣χ∣<l

398
Гл. 5. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
19.63.	1) Wxi, x<i) — sinruι ∙ Г IVW2 dx cth 1 >
sh 1 q	2	2
2)	^0(^1,^2) = sm(2^ι)s^^2, ∫ ∣Vtλq∣2 dx = πcth2 > л.
Q
19.64.	1) ιz0(⅛ι,ж2) = sinruι (chx2 + 1	1 shx2 — 1);
2)	uq(^i, ж2) = sin(2xι) (ch2x2 + 1 sh2x2 — 1).
19.65.	1) Все функции и ∈ C1(G), удовлетворяющие условию
I 2 l √2	<	5i√2.i12q
u∖og = х ÷ ~⅛~y, кроме функции uq = - + —∣-rsm92 + -rzcos2<p —
r2 5 . vz2	3 2 5 2
~τ = 2 + ^y+8x ~8y-
2)	Все функции и е Cl(G), удовлетворяющие условию u∖qg = V%x ÷
+ -у, кроме функции uq = 2 + vz2f1cosy) — -r2(cos 2φ + 1) = 2 +
+ √2τ - ^τ2.
19.66.	1)A>⅛ 2)λ<T 3)λ>-‰.

Глава 6
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
Обозначим через Qτ = {x = (aη,..., xn) ∈ ⅛ 0 < t < Т} ци¬
линдр в Rn+1, где Ω — ограниченная область в Rn, граница
которой <9Ω ∈ C2, а Т > 0.
Функция u(x,t), (x,t) ∈ Qτ, называется (классическим) ре¬
шением первой смешанной задачи для волнового уравнения
-1utt- ∆u = f(x,t∖ (x,t)tQτ',	(I)
а
u∖t=o = φ(χ∖ ж ∈ Ω,	(п)
ut∖t=Q = ψ(χ∖ xefy	(Ш)
u∖∂Ω = x(x, t∖ х ∈ ∂Ω, 0 < t < Т,	(IV)
если u(x,t) ∈ C2(Qt) ∩ C1(Qτ) и удовлетворяет условиям (I),
(II), (III), (IV).
Часто вместо граничного условия (IV) рассматривается гра¬
ничное условие вида
= %(ж, t), х ∈ <9Ω, 0 < t < Г, (V)
∂Ω
в котором п — единичный вектор внешней по отношению к обла¬
сти Ω нормали к поверхности <9Ω в Rn, а заданная на <9Ω функ¬
ция σ(x), х ∈ <9Ω, непрерывна и неотрицательна, σ(x) ∈ C(5Ω),
σ(τ) ≥ 0, х ∈ условие неотрицательности коэффициента σ(x)
есть физическое условие упругого закрепления границы. В слу¬
чае когда σ(x) ≡ 0, х ∈ <9Ω, задача (I), (II), (III), (V) называется
второй, а в случае когда σ(x) ≠ 0, х ∈ 3Ω, — третьей смешан¬
ной задачей для уравнения (I).
Если граница области Ω состоит из нескольких гладких
кусков, то на каждом из этих кусков может задаваться одно
из условий: либо типа (IV), либо типа (V).

400
Гл. 6. Смешанная задача
Аналогичные смешанные задачи рассматриваются и для урав¬
нения теплопроводности.
Функция u(x,t) ∈ C2,1(Qt) ∩ C(Qτ) называется решением
первой смешанной задачи
∖ut - ∆u = f(x, t), (ж, t) ∈ QT;	(VI)
а
— φ(χ), х е Ω,	(VII)
u∖dQ = x(χ, i), X ∈ ∂Ω,	0 < t < Г,	(VIII)
если она удовлетворяет условиям (VI), (VII), (VIII).
Функция u(x,t) ∈ C2,1(Qt) ∩ Ci(Qτ), удовлетворяющая
условиям (VI), (VII), (V), называется решением второй (при
σ(rr) ≡ 0, х ∈ 3Ω) или третьей (если σ(x) ≠ 0, х ∈ 3Ω)
смешанной задачи для уравнения (V).
Для каждой из сформулированных смешанных задач как
в гиперболическом, так и в параболическом случаях имеет место
теорема единственности, т. е. каждая из этих задач не может
иметь более одного решения.
При достаточной гладкости заданных функций (φ(x), ψ(x),
x(x,t), f(x,t), σ(x)) и выполнении условий их согласования
(а также гладкости границы области Ω) решения каждой из
перечисленных смешанных задач существуют.
Проиллюстрируем способ решения смешанных задач на при¬
мере волнового уравнения. В случае когда граничное усло¬
вие рассматриваемой задачи однородное (т. е. в формулах (IV)
или (V) функция χ(x,t) ≡ 0), для решения задачи можно при¬
менить метод Фурье, суть которого заключается в следую¬
щем.
Прежде всего, следует изучить соответствующую спектраль¬
ную задачу, которая в случае одного пространственного перемен¬
ного (n = 1) часто называется задачей Штурма-Лиувилля.
Для первой смешанной задачи (I), (II), (III) эта задача состо¬
ит в нахождении чисел А (собственных значений), при которых
краевая задача
[ — ∆zυ = λv, х ∈ Ω,	zτvλ
t⅛Ω = O	(1Х)
имеет нетривиальное (не равное тождественно нулевой функции)
решение v(x) — собственную функцию, соответствующую соб¬
ственному значению А. Для случая смешанной задачи (I), (II),
(III), (V) спектральная задача состоит в нахождении собствен¬
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
401
ных чисел А, то есть тех чисел А, при которых краевая задача
{—Аг? = λv,	ж ∈ Ω,
f + σ(rr)t∕) = 0
^dn	' 9Ω
имеет нетривиальное решение v(x) — собственную функцию,
соответствующую собственному значению А.
Собственные функции υ(x) как в задаче (IX), так и в зада¬
чах (X), можно считать вещественнозначными.
Совокупность всех собственных значений задачи (IX)
(или (X)) составляет спектр соответствующей задачи. Спектр
каждой из задач (и (IX), и (X)) состоит из счетного числа
вещественных неотрицательных чисел
0 ≤ λι ≤ λ2 ≤ ... ≤ λp ≤ ..., λp —> ∞ при р —> ос;
при этом собственное значение λ∕1. в этой последовательности
встречается столько (конечное число) раз, сколько линейно неза¬
висимых собственных функций отвечает этому собственному
значению; это число есть размерность соответствующего соб¬
ственного подпространства рассматриваемого оператора и назы¬
вается кратностью собственного значения λ∕c.
Соответствующая последовательности {λp} последователь¬
ность собственных функций {¾(^)} образует ортогональный ба¬
зис пространства L2(Ω) (со скалярным произведением
0Λ)l2(ω) = g{χ)h{x)dχ∙,
Ω
все функции считаем вещественнозначными).
Эта же система собственных функций является ортогональ¬
ным базисом в пространстве Соболева 771(Ω) в случае зада¬
чи (X), а в случае задачи (IX) — в подпространстве J71(Ω)
этого пространства, состоящего из всех функций пространства
7f1(Ω), след которых на границе <9Ω равен нулю. Напомним
(см., например, [8, 17]), что скалярное произведение в 771(Ω)
определяется равенством
(s,‰(Ω) = [(yg,Xh) + gh]dx, (Vg = (5⅛1,...,‰J).
Ω
Заметим, что самим С. Л. Соболевым пространства 7f1(Ω)
и 771(Ω) были обозначены через W21(Ω) и ½z21(Ω) соответственно.

402
Гл. 6. Смешанная задача
Поскольку в рассматриваемых случаях все собственные зна¬
чения вещественны и неотрицательны, то часто спектральный
параметр задачи обозначают не через А, а через Л2; в этом случае
собственными значениями задачи являются соответствующие
значения А2.
Формальная схема метода Фурье состоит в следующем. Пред¬
ставим рядами Фурье по соответствующим (пронормированным
в L2(Ω)) собственным функциям функции φ(x) и rφ(x} и при
каждом t е [0, Г] функцию f(x,t) (считая их принадлежащи¬
ми L2(Ω) и соответственно L2(Ω) при каждом t ∈ [0,Т]):
∞	∞
у’Ц) = 52	≠<x∣= ΣL ≠fcυfc(rr)'
fc=l	fc=l
∞
∕(s,i) = 52 fk(t)υk(x∖
к=1
где φk = (p>⅜)l2(Ω)> ⅜ = (≠>¾)l2(Ω)> fk(t) = $ f(x,t)vk(x)dx,
Ω
к = 1,2,....
Решения задачи (I), (II), (III), (IV) или задачи (I), (II),
(III), (V) (напомним, что условия (IV) или (V) считаются одно¬
родными) также ищем в виде ряда Фурье по этой системе
u(τ,i) = 52 τk(tyvk(x),
к=1
коэффициенты Фурье ¾(t) в котором являются решениями задач
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
l^'(⅛) + λfcTfc(i) = ∕fe(⅛), tE[O,T],
Tk(0) = ψk,
T'k(G) = ψk, fc=l,2,....
Решение u(x,t) задач (VI), (VII), (VIII) или (VI), (VII), (V)
для уравнения теплопроводности при том же однородном
(%(ж, £) ≡ 0) граничном условии ищется в том же виде, только
коэффициенты 7⅜(i), к — 1, 2, ... являются решениями задач
Коши
l^(i) + λfc¾(i) = ∕fc(i), i∈[0,τ],
¾(0) = φ⅛, fc=l,2,....

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
403
Случай, когда граничное условие (IV) (или (V)) для вол¬
нового уравнения или соответствующее граничное условие для
уравнения теплопроводности не является однородным, сводится
к рассматриваемому с помощью замены искомой функции u(x, t)
на функцию u(x,t) = u(x,t) — g(x,t), где g(x,t) — достаточ¬
но гладкая в Qτ функция, удовлетворяющая соответствующему
неоднородному граничному условию.
В случае одного пространственного переменного (п = 1)
приведенные выше утверждения выглядят следующим образом.
Пусть Ω = (А, В) — конечный интервал оси Ох, а область
Qτ = {(% Л): А < х < В, 0 < t < Т} — прямоугольник высоты
Г > 0 с основанием Ω = (А, В). Граница области Ω в этом случае
состоит из двух точек х = А и х = В; в каждой из этих точек
(на соответствующей стороне прямоугольника Qτ) задается одно
из граничных условий типа (IV) или типа (V).
Типичная смешанная задача в гиперболическом случае вы¬
глядит следующим образом:
-utt-uxx = f(x,t), (x,tXQr,
а
Ц=о = чХХ А<х < в,
ut∖t=o = ≠(z), А < х < В,
u∖x=a = ХаХ, 0 <t <Т,
{ux + σβu‰=B = ХвХ, 0 <t <Т,
(XI)
(хп)
(хш)
(xιv)
(XV)
где число ав '≥ 0. Вместо условий (XIV) и (XV) могут быть,
например, условия
(‰ - σAu)∖x=A = ХаХ),
o<t<τ,
u∖x=b = ХвХ, 0 <t <Т,
(XIV')
(XV')
где число ал '≥ 0.
Аналогично обстоит дело и со смешанными задачами для
одномерного уравнения теплопроводности.
Спектральную задачу при п > 1 рассмотрим только в дву¬
мерном случае (п > 2), причем область Ω будем считать либо
квадратом (прямоугольником), либо кругом.
В обоих случаях воспользуемся методом разделения пере¬
менных.
Рассмотрим сначала случай квадрата (прямоугольника) в R2.
Пусть Ω = {(ж, у): 0 < х < 1, 0 < у < 1}.

404
Гл. 6. Смешанная задача
Решение и(х, у) задачи
—∆n = Хи, (х, у) ∈ Ω = {0 < х < 1, 0 < у < 1};
1/|ж=о = (‰ + ≡‰ι = О, 0 < у < 1,	(XVI)
Uy|y=Q — и\у= 1 — О, О х ∙≤ 1,
где постоянная σ ≥ О (мы взяли, например, такое распределение
граничных условий на сторонах квадрата) будем искать в виде
произведения Х(ж) - У (у). Для функций Х(ж) и У (у) получаем
одномерные спектральные задачи
X" = -a2X, 0≤x≤l, X(0) = X,(l) + σX(l) = 0, (XVI')
Y" = -β2Y, 0 ≤ у ≤ 1, y,(0) = У(1) = О, (XVI")
λ = a2 + β2.
Пусть последовательности
a2l, a22, ..., a2n, ... и β2l, β22, ..., β2n, ...
составляют спектры задач (XVI') и (XVI"), а ортогональные
в T√2 (0, 1) системы функций
Xβχβ ..., Xn(χy), ■■■ Yι(y), ■ ■■, Y∏(y), ■■■
— соответствующие системы собственных функций.
Функции
Unk(x,y) = Xn(x)Yn(yβ 0≤z≤l, 0≤y≤ 1, n, fc=l,2, ....
образуют полную ортогональную в 1/2 (θ < χ < 1, ® < У < 1)
систему собственных функций задачи (XVI), отвечающих соот¬
ветствующей системе собственных функций
λnfc = a2n + βl, n,k = 1, 2, ... .
В случае когда Ω есть круг 0®R радиуса R с центром в начале
координат, задача (IX) (ее удобно переписать в полярных коор¬
динатах: х = rcosφ, у = rsinφ) имеет вид
f vrr -⅛^ ~^г У -γUφφ ~ λv, г <C R, 0 ≤ φ ≤ 2π, (XVII)
I υ∖r=R = 0.
Считая, что v(r,φ) = Z(r) ∙ Φ(φ), после разделения переменных
для функций Z(r) и Φ(φ) получим задачи
Φ"(φ) + μ2Φ(φ) = 0, Φ(⅛9 + 2π) = Φ(⅛p), 0 ≤ φ ≤ 2л; (XVIII)
r2Z"(r) + rZ,(r) + (λr2 - μ2)Z(r) = 0, Z(B) = 0, (XIX)
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
405
в которых μ — постоянная. Из (XVIII) следует, что
μ = μm = т, т = 0, 1,2,...,
Φ(φ) = Фш ⅛) = А m cos mφ + Bm sin mφ при m= 1,2,...,
Φ(φ) = Φ0(φ) = Aq при т = 0,
где Ат, т = 0, 1, 2, ..., и Bm, т = 1, 2, ..., — произвольные
постоянные.
Общее решение уравнения (XIX) при μ — μm — т, т — 0, 1,
2, ..., имеет вид
Zm(r) = CmJm(√λr) + Dm7Vm(√Λr), (XX)
где Ст и Dm, т = 0, 1, 2, ..., — произвольные постоянные,
a Λ∏(ξ) и Nm(ξ) — цилиндрические функции Бесселя и Неймана
(см. [4]), но в интересующем нас случае, когда г ∈ [0,7?],
Zm(r) = CmJm(Vλr), т = 0,1,2,...,
поскольку ∣Mn(-√zλr)∣ —> ∞ при г —> 0.
Если учесть граничное условие в (XIX), то
т
^-r ] , к, т = 1, 2, ...,
77	/
где μj^ — к-й положительный нуль функции Jm(ξ), m = 0, 1, ... .
Таким образом, функция Aq ∙ Jq
„(°) А
R J
решение задачи (XVII) при A =	= (
есть нетривиальное
\ 2
) для всех к, к =
= 1, 2, ..., а функции (Am cosmφ + Bm sinmφ) ∙ Jm ( г ) при
\ 7? у
любых постоянных Ат и Вь являются решениями задачи (XVII)
при
/ ,	∕∣Sm'>∖z
λ = Λ^=(⅛) , к, т = 1, 2, ... .
κ	∖ R /
Весь спектр задачи (XVIII) состоит из собственных значений
/ ,	∕∣Sm',∖z
A = λ}P> = ( ^-] , k,m={,cl, ... . (XXI)
\ Л /

406
Гл. 6. Смешанная задача
Каждое собственное значение к = 1, 2, ..., однократное,
а соответствующая ему собственная функция
/ (о) \
J0(⅛r), fc=l,2, ....	(XXII)
\ К )
Каждое собственное значение к = 1, 2, ..., при т 1
двукратно, соответствующие ему линейно независимые собствен¬
ные функции есть
cos mφ
г Рк \ •
‰ —у— г smmφ.
\ К )
(XXII,)
Система функций (XXII) и (XXII') образует ортогональный базис
в гильбертовом пространстве L2(Q⅛)∙ Это означает, что для
любой функции
f(x,y) = f(rcosφ,rsmφ) = f(r,φ) ∈ L2(Q°r)
имеет место сходящееся в I∕2(Q⅛) разложение в ряд Фурье
∞	/ (°) \
Ж у) = ∕(r, v?) = V Λa∙ Jo ( ⅞-r ) +
k=l	×	7
∞λ	/	М	\
+ 2 (Ankcosmφ + Bmksinmφ) Jm { ⅛÷-r], (XXIII)
z—y	\	/
m=l,	x	7
к=1
в котором коэффициенты Фурье
Ащк —
⅜∕c =
R	2π
г dr f(r,φ)J0
о	о
R
2π г
о
R	2π
г dr f(r,φy)Jm
о	о
cos mφ dφ
о

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
407
sin τnφ dφ
R	2π
г dr f(r,φ)Jm
о	о
m≥ 1, fc ≥ 1.
f(x,y)g(x,y)dxdy =
Напомним, что скалярное произведение в L2(Q⅛) имеет вид
2π R
dφ f(r, φ)g(r, φ∖r dr.
о о
При каждом т, т = 0, 1, 2, система функций
/ (m) \
Jm(⅛-r], fc=l,2,
образует ортогональный базис в гильбертовом пространст¬
ве L2(O,R), скалярное произведение в котором определяется
формулой
R
(∙Ml2(0,E) = ] rf(r')g(r) dr.
О
Это означает, что для любой функции ∕(r) E^L2(O,R) при любом
целом m ≥ 0 имеет место сходящееся в L2(O,R) разложение
В рЯД Фурье	∞	/ (т) \
∕(r) = ∑CkMm ^-r∖,	(XXIV)
k=l	×	×
коэффициенты Фурье в котором
Замечание. При решении задач, связанных с функциями
Бесселя, используется равенство
к = 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ... .

408
Гл. 6. Смешанная задача
В качестве примера одномерной спектральной задачи рас¬
смотрим следующую задачу:
—uff(x} = λ2∕∕(x), 0 < х < 1,	(XXV)
г/(0) = 0,	(XXVI)
√(l) + ι∕(l) =0.	(XXVII)
Если А = 0, то //(х) = С\ + C2x. При выполнении условий
(XXVI) и (XXVII) получаем
г ci = о,
t c2 + cl + С2 = 0.
Отсюда Cι = C2 = 0, //(ж) ≡ 0, т. е. А2 = 0 не является собствен¬
ным значением задачи.
Пусть A ≠ 0. Тогда любое решение уравнения (XXV) опреде¬
ляется формулой
//(ж) = C∖ cos λx + C2 sin λx.
Используя условия (XXVI) и (XXVII), получаем
Г Cι = 0,
I λC2 cos A + Cι cos A + C2 sin A = 0.
Это означает, что λ2 является собственным значением задачи
тогда и только тогда, когда А — ненулевой корень уравнения
tgλ = -А,	(XXVIII)
т. е. числа λ^, к = 1, 2, ..., и только эти числа являются соб¬
ственными значениями задачи. Здесь А& — к-й положитель¬
ный корень уравнения (XXVIII). Соответствующие собственные
функции при этом имеют вид
— sin A∕cx, к — 1, 2, ... .
Пример 1. Найдем решение следующей задачи:
W = Uχx + и — xt + 2 cos х, t > 0,	0 < х < ;	(1)
4=o = O, =	(2)
‰∣oj=O — С u∖x=π∕2 — 2^C t 0.	(3)
Δ 1. Поскольку условия (3) не являются однородными, то най¬
дем какую-нибудь функцию p(x,t), удовлетворяющую этим усло¬
виям. В данной задаче можно взять, например, g(x,t) = xt.
2.	Рассмотрим новую искомую функцию u(x,t)'∙
υ(x, i) = u(x, i) — g(x, i),
v(x, i) = u(x, i) — xt
(4)

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
409
и запишем задачу (1), (2), (3) для функции υ(x,t∖.
vu — υxx + v + 2 cos х, t > 0, 0 < х < |;	(5)
v∣t=o = O, υt∖t=o = ^-x, 0≤≈≤∣ι	(6)
¾∣≈=0 = θ> v∣x=π∕2 = θ> t ≥ 0.	(7)
Решение задачи (5), (6), (7) будем искать в виде
v(x,t) = лдмц),
к
где υp(χ) — собственные функции следующей задачи Штурма-
Лиувилля:
f υf,(x) — —λ⅞(x), 0 < х <
< √(0) = 0;	(8)
7πA п
I ■' (.2) = °-
3.	Решим задачу (8). Пусть А = 0. Тогда v(x) = C∖x + C⅛,
√(0) = С\ — 0, v = C⅞ = 0. Таким образом, υ(x) ≡ 0 и, сле¬
довательно, А2 = 0 не является собственным числом задачи (8).
Пусть A ≠ 0. Тогда
υ(x) — C{ cos λx + C2 sin λx,
υ'(x) = — λC∖ sin ∖x + ∖C2 cos λx.
Из условия √(0) = 0 следует, что λC2 = 0, откуда С2 = О,
так как A ≠ 0. Поэтому v(x) = C∖ cos Аж.
Из условия v = 0 получаем cos = 0. Отсюда =
— + πfc, к ∈ Z, λp — 1 + 2fc, к ∈ Z; vy(x) — cos λyx, к ∈ Z.
Оставляя среди найденной системы функций {τ⅛(x)} только
линейно независимые, получаем, что рассматриваемый в нашей
задаче оператор Штурма-Лиувилля имеет следующие системы
собственных значений и собственных функций:
Λ∣ = (l+2fc)2, к = 0,1,2,...,	(9)
vp = cos λyx, к = 0, 1, 2, ... .	(10)
4.	Таким образом, решение задачи (5), (6), (7) представляется
в виде	oo
v(x√) = У2 Tk(t)υk(x),	(И)
fc=0

410
Гл. 6. Смешанная задача
где функции Vk(x}, к = 0, 1, 2, определены формулами (10),
а функции 7⅜(t), к — 0, 1, найдем, подставляя в уравне¬
ние (5) функцию υ(xit), определяемую (формально написанным)
рядом (И), и используя условия (6).
Для этого представим правые части уравнения (5) и усло¬
вия (6) рядом Фурье по системе (И). Получим
2 cos х = 2uo(x),	(12)
∞
| - X = '∑akυk(x'), где	(13)
к=0
π∕2
Q - ж) υk(x)dx
ак = —	-	= 4∑> k = 0,1,2,....	(14)
π∕2	πλfc
v⅛(x) dx
о
5.	Заменяя в уравнении (5) функцию υ(xit) рядом (11), а также
используя равенство (12) и равенство v⅛(x) = —λj⅛(x), полу¬
чаем
52 Tk(t)vk(x) = - 52 ХкТк(Фк(х) = 52 τk(t)υk(X) +2^0(τ). (15)
k=Q	к=0	к=0
Используя условия (6) и равенство (13), из формулы (И)
находим
52¾(o)¾(x) = о, 527fc(°)¾(≈) = 52α^(τ)∙	с6)
к=0	к=0	к=0
Из равенств (15) и (16) получаем следующие задачи Коши для
функций Tfc(t), к = 0, 1, 2, ..
O) + (λ2fc-l)Tfe(t) = 0,
T√0) = 0, ⅞(0) = αb если к = 1, 2, ...; V '
T"(i) + (λ2-l)T0(i) = 2,
To(O) = O, ⅞(0) = α0∙
Решим задачу (17). Полагая
μ2k = λ2k-i, k=∖,2,...,	(19)

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
411
получим
Tk(p = — sinμ⅛i, к =1,2,....	(20)
Ojk
Решим задачу (18). Учитывая, что λ∩ — 1 = 0 и clq — получаем
и	π
T0(t) = t1 + -t.	(21)
Л
Таким образом, из (10), (И), (20), (21) следует, что функция
/	\	/ О 4
v(x, t) = (t2 Н—t
\ л ,
∞
∑ak •	,	\
— smμyt ∙ cos Хух,
μk
где Ху, ар и μy определены формулами (9), (14) и (19) соответ¬
ственно, есть решение задачи (5), (6), (7). Отсюда, используя
равенство (4), заключаем, что функция
u(x, t) — xt + v(x, t) -xt-∖~ (t2 + -t
\ л ,
cos х +	— sin μkt ■ cos λkx
us k∙k
k=l
есть решение задачи (1), (2), (3).	▲
Пример 2. Найти решение следующей задачи:
2utt = 20‰r + 13n — 5e-2t + x(x2 — 4л2) sin4i, ∩.
t > 0, 0 < х < 2л;
U∣t=o = 3sin∣ + 1, ut∖t=0 = -2, 0≤x≤2πj	(2)
^∣x=τr ^∣x=2τr	® > t	0.	(3)
Δ 1. Найдем какую-нибудь функцию g(x,t), удовлетворяющую
условиям (3). В данном случае можно взять, например,
g{x,t~) = e~2t.
2.	Введем новую искомую функцию v(x,t∖.
υ(x, i) = u(x, t) — g(x, t),
v(x, t) = u(x, t) — e~2t,	(4)
и запишем	задачу (1), (2),	(3) для функции v(x,t∖.
2υtt	=	20‰ + 13ц + x(x2	— 4л2) sin4i,	t > 0, 0 < х < 2л; (5)
n∣i=o = 3sin∣,	τ⅛∣i=o = O,	0 ≤ х ≤ 2πj	(6)
v∣x=0 = 0,	v∣x=27r = 0,	i ≥ 0.	(7)

412
Гл. 6. Смешанная задача
Решение задачи (5), (6), (7) будем искать в виде
v(<r,t) = ^Tk{t)vk{x),
к
где функции vk(x) — собственные функции следующей задачи
Штурма-Л иувилля:
f v,∖x} = —λ2'u(x), 0 < х < 2л;
< zυ(0) = 0,	(8)
k t>(2π) = 0.
3.	Решая задачу (8), найдем следующие системы собственных
значений и собственных функций:
Afc=(∣) . ⅛=1,2,...,	(9)
¾(z) = sin^, fc =1,2, ....	(10)
4.	Таким образом, решение задачи (5), (6), (7) будем искать
в виде	∞	∞
v(x,t) = ^Tk(f)vk{x) = ^T√i)si∏y, (И)
к=1	к=1
где функции Tk(x)i к = 1, 2, найдем из уравнения (5), ис¬
пользуя формулу (И) и условия (6).
Для этого разложим правые части уравнения (5) и усло¬
вий (8) в ряды Фурье по системе {υk(x)}'.
3sin | = 2щ(х),
∞	(12)
x(x2 - 4π2) = akVk(x∖
к=1
где
2π
x(x2 — 4π2)ιη⅛(^) dx
о-к = ~		= ⅛(-l)∖ fc=l,2, ...,	(13)
dx
о

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
413
и, следовательно,
∞
x(x2 — 4π2) = sin4t akvk(χY	(14)
к=1
5.	Заменяя в уравнении (5) функцию υ(x,t) рядом (11) и учиты¬
вая равенство (14), получаем
∞	∞
2 £ Д'(фЩ) = -20 ^λlτk(t)vyx) +
к=1	к=1
+ 13^2τfc(i)¾(τ) + sin 4⅜y^α⅛n⅛(τ). (15)
fc=ι	к=1
Из (И), (12) и (6) следует, что
∞	∞
∑Tfe(0)t⅛(aO = 3vb ∑7>)¾(x) = 0.	(16)
к=1	к=1
Из равенства (15) получаем следующее уравнение для функций
Tkχ, к= 1, 2,
2T^'(i) + (20λ∣ - 13)Tfe(i) = aksm4t, к= 1, 2,
⅞'W + ^2-¾C0 = ysin4i, А; =1,2,....	(17)
Обозначим	2
ak = -^÷	^=1,2,...,	(18)
и заметим, что = 16 (т. е. случай при к = 3), получаем из (17)
и (16) следующие задачи Коши для функций 7⅜(t), к = 1, 2,
(^'(t) + αfcTfe(t) = ^sin4ij	(19)
(Tfc(0) = 0, Д(0)=0, если к = 2, 4, 5, 6,
J T,1"(f) — 4T,1(f) = —48sin4t;
(71(0) = 3, Д(0)=0;	V ’
Γτ"(t) + 16T3(i) = -ysin4ti	(21)
lτ3(0) = 0, T'(0) = 0.
Решая задачу (19), находим
τk(i) =	— — ( sin 4i	sin √c⅛ t ), к = 2, 4, 5, ...,

414
Гл. 6. Смешанная задача
или
Tjς(t) = —	 I sin4t	-‰- sin л/зд t ), к = 2, 4, 5, ...
k 7	5(fc2-9) ∖	√¾ v J
(22)
Решая задачи (20) и (21), получаем, что
12	24
T√t) = ^sin4^ + 3ch2^- ^sh2^	(23)
о	о
И	1
T3 (i) = — (4f cos At — sin 4t)	(24)
18
соответственно.
Таким образом, из (11), (22), (23), (24) следует, что функция
2	24	\ т
— sin4t + 3ch2t —— sh2t) sin - +
5	5/2
1	Зх
+ — (4t cos 4t — sin 4t) sin	+
18	2
∑ak I • л ∣	⅛	∙ i	 ∣ ∖	∙ ⅛X
—5  sm 4t -= sin √α⅛ t sin —-,
_5(fc2-9)V	√¾ vfeJ 2’
fc≠3
где a⅛ и a⅛ определены формулами (13) и (18) соответственно,
есть решение задачи (5), (6), (7). Тогда из (4) заключаем, что
функция
u(x, i) = υ(x, i) + e~2t,
где функция v(x,t) определена выше, есть решение задачи (1),
(2), (3).	А
Пример 3. Найдем решение следующей задачи:
utt - 7ut = uxx + 2ux -2t-7x- e~xsm3x,
t > 0, 0 < х < 7г;
^∣t=o = о, ut∖t=o = x, о ≤ X ≤ 7г;	(2)
= 0, ^∖x=τv = 7Γt, t ≥ 0.	(3)
Δ Найдем какую-нибудь функцию, удовлетворяющую услови¬
ям (3). В данном случае можно взять, например,
g(x, t) = xt.
Введем новую искомую функцию v(x,t∖.
υ(x, t) = u(x, t) — g(x, t),
v(x, t) = u(x, t) — xt,	(4)
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
415
и запишем задачу (1), (2), (3) для функции υ(x,t∖.
W — 7vt = vxx + 2vx — e~x sin 3x, t > О, О < х < к; (5)
v∣t=o = 0, t⅞∣f=0 = О, О ≤ х ≤ %;	(6)
v∣x=o = О, n∣x=7r = 0, t ≥ 0.	(7)
Решение задачи (5), (6), (7) будем искать в виде
υ(x,t) = ∑Tk{pvk(x),
к
где функции υp(x) — собственные функции следующей зада¬
чи Штурма-Лиувилля:
f v"(x) + 2и(ж) = —λ⅞(x), 0 < х < 2л;
< 17(0) = 0,	(8)
k t7(7r) = 0.
Решая задачу (8), получаем следующие системы собственных
значений и собственных функций:
λ2k = k2 + l, fc=l,2, ...,	(9)
υk(x) = e~x sin кх, fc =1,2, ....	(10)
Таким образом, решение задачи (5), (6), (7) будем искать в виде
v(τ,i) = У2 Tt(i)¾ = 57 Tk(t)e~x sin кх, (11)
к=1	к=1
где функции ¾(x), к = 1,2, найдем, используя равен¬
ство (11), уравнение (5) и условие (6).
Заметив, что e-ajsin3rr = v⅛ (ж), и используя равенство
vk(ж) + 2v'k(x) = — λkvp(x), к ∈ N, находим
^^'(t)¾(τ)-7^^(t)nfc^) = -^Tfc(i)λ2fcnfc(≈)-n3(x), (12)
к=1	к=1	к=1
∑Tfe(O)t⅛Cr) = O, ^Д(0)ЩЖ) = 0.	(13)
к=1	к=1
Из соотношений (12) и (13) получаем следующие задачи для
функций 7⅛(t), к = 1, 2, ..
rΓ"(t)-7T'(t) = -A2T3(i)-l,
lτ3(0)=0, Т'(0)=0;
riX'(i)-7^(i) = -λ2fcTfe(t),
(Tfc(0) = 0, Д(0) = 0. k= 1,2,4,.... v '

416
Гл. 6. Смешанная задача
Решая задачу (14), получаем
≡=∕'-⅛5'-⅛	<16>
Решением задачи (15) является функция
¾(t) ≡0, к= 1, 2, 4, ... .	(17)
Таким образом, из (И), (15), (17) следует, что функция
v(x,t) = T3(φ3∕) = Ce2t - -^e5t - e^a2sin3αj
есть решение задачи (5), (6), (7). Поэтому из равенства (4)
заключаем, что функция
u(x, t) = xt + (^e2t — -^e5t — e~x sin Зх
\6	15	10/
есть решение задачи (1), (2), (3).	▲
Пример 4. Найдем решение следующей задачи:
rUjtt ^jxx ~ 2t, t ≥ О, 0 <С х <с 1,	(1)
при начальных условиях
u∖t=Q = O, ut∖t=0 = x, 0≤x≤∏	(2)
и граничных условиях
^|ж=о — θ> ‰∣□j=i — t 0.	(3)
Δ Подберем сначала такую функцию д, чтобы она удовлетворяла
граничным условиям (3). Пусть, например, д = xt. Тогда gtt —
- дхх = о, ⅛=o = о, 5t∣t=0 = Следовательно, функция
v(x, t) = u(x, i) — xt	(4)
удовлетворяет уравнению
W - Vχx = 2i, t > 0, 0 < х < 1,	(5)
однородным граничным условиям
v∖x=o = O, ⅛=1=0, i≥0,	(6)
и нулевым начальным условиям
v∖t=o = O, vt∖t=o = O, 0≤z≤l.	(7)
Применяя метод разделения переменных для решения однород¬
ного уравнения vtt — vxx = 0 при условиях (6), (7), положим
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
417
υ(x,t) = X(xyΓ(t). Приходим к следующей задаче Штурма-
Лиувилля:
Х"(ж) + λ2X = О, X(0) = 0, X'(l) = 0.
Решая эту задачу, находим ее собственные значения λn = — +
+ 7гп, п = 0, 1, 2, ..., и соответствующие собственные функции
ХЩ) = sinλnx.	(8)
Решение задачи (5), (6), (7) ищем в виде ряда
v(x, i) = У2 Тг(^) sin λnx,	(9)
п=1
где
τn(0) = 0, τζ(o) = o.	(10)
Подставляя v(x,t) из (9) в (5), получаем
∑(T4(i) + A2T√i))sinλ√r = 2i.	(И)
п=0
Для нахождения функций Tn(t) разложим единицу
Фурье по системе функций (8) на интервале (0, 1):
an sin λnx.
n=Q
Так как
• 2 ∖ j 1
sm λnx ах — -, то
О
и из (И) и (12) получаем
T>) + A2Tn(i) = ≠
В ряд
(12)
(13)
2
sin λnx dx —
о
Общее решение уравнения (13) имеет вид
4t
Tn(t} = — + A sin λnt + В cos λnt.
Используя условие (10), получаем В = О, А = —Подставляя
4t
Tn(t) = тт ^^ ττsin-M
418
Гл. 6. Смешанная задача
в формулу (9) и используя (4), находим искомое решение зада-
чи (1), (2), (3):
и
= xt + 4^Γ^τ(λrιt-
n=0 λn
sin λnt) sin λnx,
где λn = + тип, п = 0, 1, 2, ....
Пример 5. Найдем решение следующей задачи:
щ — uxx = t(x +1), t > 0, 0 < х < 1;
(1)
при начальном условии
U∣t=o = о, 0 ≤ х ≤ 1;	(2)
и граничных условиях
‰∣x=o = t2, u∖x=∖=t1, t≥0.	(3)
Δ Функция g = xi? удовлетворяет краевым условиям (3), урав¬
нению gt — gxx = 2xt. Поэтому функция
v = и — xt2
(4)
удовлетворяет уравнению
vt — υxx = (1 — x∖t, t > О, 0 < х < 1,	(5)
и условиям
⅛=o = θ, O<rr<l, ⅛=o = O, ^∣x=ι=0, t ≥ 0.	(6)
Применяя метод разделения переменных для решения од¬
нородного уравнения υt — vxx = 0 при условиях (6), положим
υ(x,t) = X(x)T(t). Получим задачу Штурма-Лиувилля
X''(x) + λ2X(x) = О, X,(0) = О, Х(1) = О,
собственными значениями которой являются числа λn =	+ тт,
п = 0, 1, 2, ..а собственными функциями — функции
X∏(x) = cosλnx.	(7)
Решение задачи (5), (6) ищем в виде
v(x, t) = Tn(t) cos λnx.	(8)
п=0

§20. Метод Фурье решения смешанных задач	419
Подставляя υ(x,t) из (8) в уравнение (5), получаем
∞
УУтДг) + λ2nTn(p)') cosλnτ = (1 - x)t.	(9)
п=0
Разложим функцию (1 — ж) в ряд Фурье по системе функ¬
ций (7) на интервале (0, 1):
∞
1 — х = a∏ ∞s λnx.	(10)
n=0
Так как
то из (9) и (10) находим
τ4(i) + ‰(i) = ⅛.	(П)
Решением уравнения (11) при условии Tn(0) = 0 является функ¬
ция
Tn(t) = 2λ^6(e^λ"t +	— 1).	(12)
Из (4), (8) и (12) находим решение задачи (1), (2), (3):
и = xt2 + 2 V -^(e~χ2nt + λ%t — 1) cos λnx,
/ √ \ о v	1 b	'
n=0 n
где λn =	+ тип, п = 0, 1, ....	А
В примерах 6 и 7 ∆zu = uxx + uyy, х = г cos φ, у = г sin φ.
Пример 6. Решить смешанную задачу
ut = 9∆u — 2u + е 2t ∙ ∕(r) sinφ, t > 0, 0 < φ < 2л;	(13)
∕√1) λ
= 3Jrι ( -^-r I sin 72, г ≤ 3, 0 ≤ φ ≤ 2л;	(14)
гф=з = 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, t > 0,	(15)
где функция ∕(r) ∈ С1 [0,3], /(3) = 0,	— положительный
нуль функции Бесселя Jι(ξ).
Δ Так как условие (15) является однородным, то ищем решение
задачи (13), (14), (15) в виде ряда (XXIII) с зависящими от t

420
Гл. 6. Смешанная задача
коэффициентами Am⅛(t), к = 1, 2, ..., т 0, Brn^(t), к = 1, 2, ...
..., m ≥ 1.
Заметив, что правые части уравнения (13) и условия (14)
имеют вид e-2t∕(r) sin⅛p и 3Jrι
ортогональности системы собственных функций задачи (XVII)
„0)\
Pj] \
—sm⅛2 соответственно, из
о /
заключаем, что в ряде (XXIII) следует положить коэффициен¬
ты Am∕c(t) ≡ 0 для всех к = 1, 2, ..., ш ≥ 0, и коэффициен¬
ты Bm∕c(t) ≡ 0 при всех к = 1, 2, ..., т ≠ 1, т. е. следует искать
решение задачи в виде однократного ряда, имеющего после пе¬
реобозначения Bifc(t) =T∕c(t), к = 1, 2, ..., вид
∞	/ (1) \
u(r,φ,ty) = V7fc(i)sinφ√ι ( ^-r ).	(16)
fc=l	×	×
Разложим функцию /(г) в ряд Фурье (XXIV) по системе функ-
/ \
ций J1 I n⅛-r ), к = 1, 2, ..
∕(r) = VαfeJ1 P⅛-r ,	(17)
fc=l ×	×
где	з
f ∕√0 λ
f(r)Jι ( з“г ) r^'r
ak=*-	, fc=l,2,....	(18)
3r /	/ О) \\2
I J∖ ( г ) ) г dr
∖ ∖ θ / /
о
Найдем функции Tk(t)i к — 1, 2, ..., из уравнения (13), используя
равенство (16) и условие (14).
Тогда получим
∞ / (1) ∖ ∞
- 2 У2 л (i) sin φji ( ^-r j + e~2t ak
M∣i=0 = У2 Tt(θ)sin<p>Jι ( ^-r ) = 3J1
k=l	×	7
sin φJ∖
(19)
(20)

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
421
Здесь использовано равенство (17), а также равенство (см. (§20))
Δ I sinφJι
(i)∖ 2
7~ ) sinφ√ι
О /
„О) \
^-r), k=l,2, ...
Из соотношений (19) и (20) получаем
Г / (1)∖2
ТУ^ = - 9⅛
\ о /
+ 2 T⅛(i) + t⅛e 2t, к — 1,2,...;
Tι(0) = 3,
Tfc(0)=0, к = 2, 3, ....
(21)
(22)
(10')
Обозначим
/ (О \ 2
7fc = 9 ⅜	+2’ ^=1-2, ...,	(23)
\ о /
и решим задачу (21), (10,). Заметив, что 7∕c > 2 для всех к, к — 1,
2, ..., получаем, что
Tk(t) = -^-(e~2t-e~'1kt), к = 2, 3, ....	(24)
7fc - 2
Решая задачу (21), (22), находим
rlw = ((3~⅛)e"l' + ⅛e-2')∙ (25)
Из равенств (16), (24), (25) следует, что функция
∞	/ (О '
+ ак о (e^2t “ e-7fet) sin φ ∙ Jχ [
У к - 2	\ 3
где ау и 7∕c, к = 1, 2, ..., определены формулами (18) и (23)
соответственно, есть решение задачи (13), (14), (15).	▲
Пример 7. Решить смешанную задачу
Utt =	+ 2жу, t > 0, r<l, 0<φ<2πj	(1)
u∖t=o = x2 + y2, ¾∣i=o = O, г<1, 0 ≤ φ ≤ 2%;	(2)
tφ=ι = 1, i > 0, 0 ≤ φ ≤ 2π.	(3)

422
Гл. 6. Смешанная задача
Δ Так как условие (3) является неоднородным, то подберем
какую-нибудь функцию g — (x,y,t∖ удовлетворяющую усло¬
вию (3). В данном случае можно взять, например, g(x,y,t) = 1.
Введем новую искомую функцию υ(x,y,t) такую, что
υ(x, у, i) = и(х, у, ⅛) - g(x, у, i),
υ(x, у, i) = и(х, у, £) — 1,	(4)
и запишем задачу (1), (2), (3) для функции υ(x,y,t∖.
vtt = ∆u + r2 sin 2φ, t > О,
v∣t=o = r2 - 1,
v∣r=ι =0, t > О,
г < 1, 0 ≤ φ ≤ 2%;	(5)
t⅛∣i=θ = θi	(θ)
0 ≤ φ ≤ 27Г.	(7)
Из вида функций r2sin2<∕> и r2 — 1, стоящих в правых частях
равенств (5) и (6), следует, что решение этой задачи стоит искать
в виде двойного ряда (XXIII), в котором коэффициенты Am∕c(t) ≡
≡ 0 для т = 1, 2, ..., к = 1, 2, ..., и Bm∕c(i) ≡ 0 для т ≠ 2, к = 1,
2, ..., т. е. в виде суммы двух однократных рядов:
υ(τ,φ,f) = ∑Tk(t) sin2φj2 (/4^ r) +^2¾(i)J0 (∕4°M∙ (8)
к=\	к=1
Разложим функцию г2 в ряд Фурье по системе функций
√2	fc = 1, 2, ..., а функцию (r2 — 1) — по системе
функций Jq , к — 1, 2, .... Получим
∞
r2 = ∑bkJ2 (∕42M,	(9)
к=1
где
r2√2 r^r
bk = -f-	, fc=l,2,
(л Г dr
о	∞
Г2 - 1 = ∑CkJ0 (∕4°M-
fc=l
(10)
(11)

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
423
где	1
j(r2 - l)J0 Г dr
ck = °—	, к = 1, 2, ... .	(12)
г dr
О
Найдем функции Ty(t) и ¾(t), к = 1, 2, ..., из уравнения (5),
используя равенство (8) и условия (6).
Из (9) и (11) и равенств
∆(sin 2φJ2 ) = -	) s^n ^⅛9^2	> к = 1,2,...,
δ(jo (4°)г)) = “ (40)) Jo (4°)r) ’ fc=l,2,
следует, что
f;^'(i)Sin2^j2 (42M+fχw0 (40M =
/с=1	к=1
= ~∑τk(t) W0)) sin2φj2 (∕42M -
к=1
∞	∞
V∣t=θ = У22fc(θ)sin2φJ2 {μkK∖ + ∑Hk(p)Jo (μk^,r} =
к=1	к=1
∞
= ∑CkJ0(M-,	(14)
к=1
∞	∞
vt∣t=o = J2^(O)sin2φJ2 {^P)+∑Hlk(O)Jo (м1О)г)=О. (15)
к=О	к=1
Из равенств (13), (14), (15) получаем
^(i) = -(42φ¾(⅛) + ⅛, А; =1,2,...;	(16)
ЯДА) = -(40))2ЯЛ(А), А; =1,2,...;	(17)
Tfc(O) = O, А;=1,2, ...;	(18)
Hyθ) = Ck, fc=l,2, ...;	(19)

424
Гл. 6. Смешанная задача
Д(0) = 0,	fc=l,2,	(20)
Я£(0) = 0, fc=l,2, ....	(21)
Решая задачу (16), (18), (20), получаем
Tk(t) = —■ -∞sμ<2>t), ⅛=1, 2	 (22)
("”)
Решая задачу (17), (19), (21), получаем
H]ς(t) = cjς cosμ^0¼ fc=l,2, ....	(23)
Из равенств (8), (22), (23) следует, что функция
∞ ,
n(r,⅛9,t) =	- cosμ^i) sin2φj2 +
fe=ι (Ц2))
+	Ск cos ∕4°^o	,
к=1
где ⅛ и Ск, к = 1, 2, ... определены формулами (10) и (12)
соответственно, есть решение задачи (5), (6) и (7).
Следовательно, функция ιz(r, φ, t) = v(τ, φ, t) + 1, где функция
υ(r,φ,t) определена выше, есть решение задачи (1), (2), (3). А
Пример 8. Решить смешанную задачу
Utt = Uxx + - - Γu +e-tj2 (μ(Vχ∖ t > 0,	0 < х < 1;	(1)
х ж	\	/
u∣i=o = O, 't⅞∣t=o = O, 0<х<1;	(2)
∣τι(O,t)∣ < +∞, n∣r=ι =0, t > 0,	(3)
где — положительный нуль функции Бесселя J2(^)∙
Δ Ищем решение задачи (1), (2), (3) в виде
u(x,t) = ∑Tk(t)uk(x),
к
где ¾(x) — собственные функции следующей задачи:
f L(u(x∖) = —λ2tz(x), 0 < х < 1,
< ∣u(0)∣<+∞,	(4)
41z(l) =0,
1	4
где L(τz(x)) = u''(x) 4—и(х)

х	х

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач	425
Решим задачу (4). Преобразовывая уравнение, получаем
x2u''(x) + xu'(x) + (λ2x2 — 4)ι∕(x) = 0, 0 < х < 1.	(5)
Это есть уравнение (XIX) при μ2 = 4. Значит, общее решение
уравнения (5) имеет вид
u(x) = CιJ2(λ^) + C2⅜(λx).
Так как ∣zz(O)∣ < +∞, то u(x) = CfιJ2(λx). Учитывая условие
п(1) = 0, получаем, что J2(λ) = 0. Отсюда имеем, что λ = μ⅛∖
к = 1, 2, ..., где μ^ — к-й положительный нуль функции J2(ξ).
Следовательно, собственные функции и собственные значе¬
ния задачи (4) это:
Щж) = J2 (μ⅛2M ’ fc = l,2,
\	/	(6)
λfc = ⅛2∖ к = 1,2,....
Таким образом, решение задачи (1), (2), (3) ищем в виде
u(x, i) = У2 Tk(puk(X),	(7)
fc=ι
где функции ujς(x), к = 1, 2, ..., определены формулами (6),
а функции Tp(t), к = 1, 2, ..., найдем, подставляя в уравнение (1)
функцию u(x,t∖ определяемую рядом (7), и используя усло¬
вие (2).
Заметив, что правая часть уравнения (1) e~t ∙ J∖ ^μ^x^ =
= e~t • щ(х), получаем
52 τk X>uk{χ) = 52 iW)-l(z⅛(≈)) + e~t ■ щ(ж).
fe=ι	к=1
Отсюда имеем
∞	∞
52τkX)uk(x) = - 52 ^kτkX)uk{x} + e~t ■ щ(ж).	(8)
к=1	к=1
Используя условия (2), получаем
∞	∞
52τfe(O)¾(x) = O, 52Д(О)Щж)=О.	(9)
/с=1	к=1

426
Гл. 6. Смешанная задача
Из равенств (8) и (9) получаем следующие задачи Коши для
функций ¾(t), к = 1, 2,
7∏i) + λ⅛i)=0,
Tfc(0) = Д(0) = 0, если к = 2, 3, ...
(10)
rτ1'z(i) + λ2τ1(i) = e-t,
[T1(O) = T1,(0) = o.	k 7
Решая задачу (10), получаем
T√i) = 0, fc = 2, 3, ....	(12)
Решая задачу (11), получаем (учитывая, что λι = что
T∕c(i) =			2 e t ~ cos (∕1ι2^) + -72Т sin
1 + (^2)) L v 7 Mi v
(13)
Таким образом, из (7), (6), (12) и (13) следует, что функция
1
' zoλλ2
е t — cos
1 .
-(2jsin
Mi
есть решение задачи (1), (2) и (3).	▲
20.1.	Решить задачу о колебании струны 0 < х < I с закреп¬
ленными концами, если начальные скорости точек струны равны
нулю, а начальное отклонение uq имеет форму:
1)	синусоиды uq(x) = Asin-^-^ (п целое);
2)	параболы, осью симметрии которой служит прямая х = -,
/1	\
а вершиной — точка М (-,М);
3)	ломаной О АВ, где 0(0,0), A(c, М), β(Z,O), 0 < с < Z. Рас¬
смотреть случай c — ∣∙
20.2.	Решить задачу о колебании струны 0 < х < Z с закреп¬
ленными концами, если в начальном положении струна находит¬
ся в покое (од = 0), а начальная скорость щ задается формулой:
1)	щ(х) = vq = const, х ∈ [О, Z];
если х Е [а, /3],
r 1 где 0 ≤ а < β ≤ I;
если х р, р],
О,

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач	427
{л π(⅛ —	г	1
A cos ——	-, если х е \хп — a, xq + а ,
2o	l υ υ j
О,	если х ¢ [xq — a, xq + се] ,
где 0 ≤ xq — а < xq + a ≤ I.
20.3.	Решить задачу о продольных колебаниях однородного
стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле¬
дующих случаев:
1)	один конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой
конец (ж = Z) свободен;
2)	оба конца стержня свободны;
3)	один конец стержня (ж = Z) закреплен упруго, а другой
конец (х = 0) свободен.
20.4.	Найти продольные колебания стержня, если один его
конец (х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = Z)
приложена сила F (в момент времени t — 0 сила перестает
действовать).
20.5.	Найти силу тока z(x,t) в проводе длины Z, по которому
течет переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим
сопротивлением можно пренебречь. Предполагается, что началь¬
ный ток в проводе (при t = 0) равен нулю, а начальное напряже¬
ние задается формулой гф=о = Eq sin —. Левый конец провода
(х = 0) изолирован, а правый конец (ж = Z) заземлен.
20.6.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	Utt = uxx + 2b (Ь = const, 0 < X < Z); u∣a,=0 = 0, u∖x=ι = О,
u∖t=o = ut∖t=o = 0;
2)	utt = uxx + cost (0 < х < тг); u∣x=0 = u∖x=π = 0, ω∣t=0 =
= ut∖t=0 = 0.
20.7.	Решить задачу о колебаниях однородной струны (0 <
< х < Z), закрепленной на концах х = 0 и х = Z под дей¬
ствием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью
p(x,t) = Apsinωt, ω ≠ —— (к = 1, 2, ...). Начальные условия —
нулевые.
20.8.	Решить задачу о продольных колебаниях стержня, под¬
вешенного за конец х = 0 (конец х = Z свободен), совершаемых
под влиянием силы тяжести.
20.9.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	uxx = utt, 0 <х <1; и|ж=о = 0, u∖x=ι = t, u∖t=0 = ut∖t=o = 0;
2)	uxx = Utt, 0 < х < 1, u∣χ=o = t + 1, t4∣χ=ι = t + 2, n∣t=o =
= я+ 1, ut∖t=o = 0.

428
Гл. 6. Смешанная задача
20.10.	Решить задачу о вынужденных поперечных колебани¬
ях струны, закрепленной на одном конце (х = 0) и подверженной
на другом конце (ж = Z) действию возмущающей силы, которая
л •	,	/ kπa z 7	1 о \
вызывает смещение, равное Asmωt, где ω ≠ —— (fc = I, 2, ...).
В момент времени t — 0 смещения и скорости равны нулю.
20.11.	Пусть стержень длиной Z, конец которого х = 0 жест¬
ко закреплен, находится в состоянии покоя. В момент t = 0 к его
свободному концу х — I приложена сила Q — const, действующая
вдоль стержня. Найти смещение u(x,t) стержня.
20.12.	Решить задачу о продольных колебаниях однородного
цилиндрического стержня, один конец которого заделан, а к дру¬
гому концу приложена сила Q = √4sinωt, направление которой
/	, απ(2⅛ + 1)	\
совпадает с осью стержня I ω ≠ —к = 0, 1,2,... 1.
20.13.	Решить задачу о свободных колебаниях однородной
струны длиной Z, закрепленной на концах и колеблющейся в сре¬
де, сопротивление которой пропорционально первой степени ско¬
рости. Начальные условия нулевые.
20.14.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	Utt = u.,,z - 4z∕ (0 <х < 1); 4=o = 4=1 = 0;
u∖t=o = x2 -х, ut∖t=o = 0;
2)	utt + 2ut = uxx - и (0 < х < 7г); 4=0 = u∖x=π = 0;
4=o = 7rx - x2, 4=о = 0;
θ) + 2,Ut — uxx (0 < х < %); ¾∣a,-θ = u∖x=π = 0;
u∖t=o = 0, -ut∣t=0 = х;
4)	utt + 2ut = uxx - и (0 < х < 1); 4=0 = t, 4=1 = 0;
u∖t=o = 0, ut∖t=o = 1 - х;
5)	Utt = uxx + и (0 ≤ ж ≤ 2), u∣a,-Q = 2t, -u∣χ=2 = О,
4=o = ut∖t=o = 0;
6)	Utt = uxx + u (0 <x < Z); 4=о = °- 4=1 =
4=0 = θ- ut∖t=o =
20.15.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	Utt = uxx + и (0 < X < 7Г); 4=0 = u∖x=π = 0;
u∖t=0 = sin2.z∙, 4=0 = 0;
2)	Utt ÷ ut = uxx + 1 (0 < х < 1), ιt∣s=o = ,w∣χ=ι = О,
4=0 = ut∖t=0 = О-
20.16.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	utt — uxx + 2τ∕f = 4x + 8et cos х (0 < х < л/2);
‰L=o = 2i, 4=π∕2 =	4=0 = COS X, 4t=o = 2ж;

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач 429
2)	utt — uxx — 2щ = 4i(sinrr — ж) (0 < х < л/2);
'U∣X=O = з, ux∣x=π∕2 = t2 + t; τz∣t=o = 3, ut∖t=o = X + 8шж;
Зж
3)	utt - 3ut = uxx + и - ж(4 + t) + cos — (0 < х < л);
*⅛∣≈=o = t+ 1, 'u∣a>=π = π(i+ 1); u∣i=0 = ut∖t=o = х;
4)	Utt — 7щ = uxx + 2ux — 2t — 7ж — e~x sin3.r (О < х < тг);
u∣x=o = О, u∖x=π = πt∙ u∣t=0 = О, tit∣i=o = ж;
5)	Utt +	= uxx + 8и + 2ж(1 — 4t) + соэЗж (О < ж < л2);
^ж|.Т=0 —	^j∖x=7γ∕2 — ^2^ ’	— θ, ^jt It=O =
6)	utt = uxx + 4u + 2 sin2 ж (О < ж < -тг);
‰∣≈=O = ‰∣≈=π = θi ^∣i=O = ^,i∣i=O = θ>
7)	иц = uxx + 10« + 2 sin 2ж cos ж (0 < ж < тг/2);
^∣x=0 = ¾∣x=π∕2 = θ> ^,∣t=0 = ¾∣t=0 = θ>
8)	иц —	— uxx + 2ux -3x-2t (0 < ж < тг);
u∣x=o = о, ⅛∣z=π = 7Ti; n∣t=0 = e^1sinτ, t⅛∣i=0 = х.
20.17.	Решить следующие смешанные задачи:
C)utt = uxx, 0<ж<р t > 0;
w∣t=o = O, ut∖t=o = x-^, 0<ж<^;
t⅛L=o = sini, «|ж=7г/2 = 0, t > 0;
2)utt = uxx, 0<ж<|, t > 0;
u∖t=o = х, ut∖t=o = O, 0<ж<|;
U∣z=0=0, ¾∣z=π∕2 = cost, t > 0;
3)	иц — uxx = (2ж — ж2)cost, 0 < ж < 1, t > 0;
n∣i=o = O, и^=о = ж+1, 0 < ж < 1;
|ж=о — t, «х|.7-=1 — t, t ≥ О,
4)	utt - 4¾χ = (1 — ж2) sin t, 0 < ж < 1, t > 0;
w∣i=θ = O, п^=0 = ж, 0<ж<1;
^s∣x=0	^∣x=l = t, i > О,
5)	utt = uxx + ж2 — 7гж, 0 < ж < тг, t > 0;
u\t=0 = x, ⅛∣t=o = -l, 0 < ж < тг;
tf∣x=o = ~t, ιt∣χ=7r = π - t, t^O;
6)	utt = Uχx +	- 5ж) cos2i, 0 < ж < ^, t > 0;
u∖t=0 = х, ui∣t=0 = О, 0 < ж < ^;
¾∣x=0 = cos2i, τt∣x=π∕2 = cos2⅛, t 0;

430
Гл. 6. Смешанная задача
7)	Utt — uxx + 7πrcost, 0 < х < t > 0;
u∖t=o = O, ut∖t=o=smx, 0<х<|;
^|ж=0 θ> ‰∣x=π∕2 = θ> t > 0;
8)	utt = uxχ + 25π (х - ∣) si∏5t, 0 < х < ∣, t > 0;
tφ=0 = ∞s5z, ^|t=o = O, 0<х<|;
‰∣ζr=0 = θ, ^lj∖x=π∕2 = θ> t > 0;
9)	utt = uxχ + π (х - cos2t, 0 < х < р t > 0;
⅛=o = ∞s2x, ^∣f=0 = 0, 0 < ж < ^;
^x∖x=0 — θ, ^,∣rc=π∕4 = θ> t ≥ 0,
10)	utt = uxx + и — xt + 2 cos ж, 0<x<7^, t > 0;
∏∣i=o = O, ⅜∣t=0 = τp O≤Z≤^J
'⅛lx=0 — t< ^∣x=π∕2 ~ 2^^> i ≥ θ,
11)	utt = uxx + и + sinx - ∣xi, 0<x<^, t > 0;
u∖t=o = 0, ut∣t=0 = Q + 1) х, 0 ≤ ж ≤
M.r=O θ, ¾∣x=π∕2 = ^2^ θj
12)	utt + 2u = uxx + 2 cos2 х, 0 < х < π, t > 0;
u∖t=o = x2, ¾∣i=o=l, 0 ≤ х ≤ 7г;
1tχ∣a=0 = θ∙ ^,x∖x=π = 2тг, t 0;
3 х
13)	utt = 9uxx + и - 7r( 1 + ж) - - sin 0 < х < 3π, t > 0;
ti∣⅛=0 = τr(l + X) + sin ∣, ut∖t=o = x, о ≤ х ≤ Зтг;
⅛=0 = тг, ¾∣x=3τr = 7Г, i ≥ 0;
14)	uu = 4uxx + sin 3x, 0 < х < π, t > 0;
w∣t=0 = хsin®, t⅛∣i=o = 1 — х, 0 < ж < 7г;
u∖x=o = t, U∣a∙=π = t(l - π), t > 0;
15)	utt = 9¾τ + 18жсобж, 0<ж<^, i>0;
n∣t=0 = sin ж, ut∖t=o = 2ж + 1, 0 < ж < ^;
t. ^,x∣x=π∕2 — t ≥ О,
16)	utt = ^uxx — | — 2sin£sin2;r, 0 < ж < π, t > 0;
tt∣t=0=l, ut∖t=0 = 7 + x2, 0 ≤ ж ≤ %;
^x∣χ=0 = θ> Mχ∣x=π = 2τrt, t О',

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
431
17)	Utt — ⅛uxx + 3u- 3tx — Qt + 9π sin t sin ∣, 0 < х < π, t > О;
M∣t=0 = о, ut∖t=o = 2 + x, О ≤ х ≤ л;
и|ж_0 = 2i, u∣aj=π = 2t + πt, i ≥ О;
18)	ин = uxx + 5u — 5tx — 5t + 9πe~t sin 2х, О < х < , t > О;
w∣t=o = O, nt∣i=0 = l+z, O≤x≤^j
u-∣x=O — t, Ux .7'=tγ∕2 = t t О,
19)	иц = uxx + 39πe~t sin®, О < х < t > О;
ω∣t=0 = 2®, ut∖t=0 = 1 - cos 5®, О ≤ х ≤
¾∣,τ=O = 2, -W∣χ=τr∕2 = π ^∖~ t',
3 Зх
20)	4utt = uxx + и — х — - cos —, 0 < х < л, t > 0;
3 Зх
u∖t=o = х - 5 cos—, ui∣t=o = л - х, 0 ≤ х ≤ л;
Ux^x=0 — 1? ^∣x=π — 7Г> О,
21)	utt = 9uxx + и — 7r(l + х) - sin 0 < х < Зл, t > 0;
4 х
u∣i=0 = л(1+®) --sin-, ut∖t=o = x, 0 ≤ х ≤ Зл;
'⅛=0 = К, ‰∣≈=3π = 7Г, О 0.
20.18.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	utt — ^uxx, 0 < х < Зтг, t > 0;
n∣i=o = cos -, ,ut∣t=o = х — Зл, 0 ≤ х ≤ Зл;
пж|ж=0 = sint, u∣a,=37r = 0, i ≥ 0;
2)	utt = uxx, 0<x<-, t > 0;
u∖t=0 = x, ut∖t=o = sin® + 1, 0≤^≤∣j
'M∙Lr=O = t, ux∖x=π∕2 = cost, t^0∙,
3)	utt = Uχx — 2 cost 0 < x < л, t > 0;
n∣t=0=l, ni∣t=o = O, 0 < x < л;
n∣a>-θ — COSi, ^x∣x=π ~ 0, t 0,
4)	utt = uxx -u + t2 + 2, 9 < x < 1, t > 0;
n∣t=θ = O, t⅛∣i=o = z, 0<®<l;
u∖x=0 = t2, u∖x=ι-t + t2, t > 0;
5)	иц = uxx + (л® — x2 — 9) sin 3t 0 < x < π, t > 0;
w∣t=θ = θ, tti∣t=o = 3, 0 ≤ x ≤ л;
i4∣x=0 = sin3t u∖x=π = sin3i, i ≥ 0;
6)	иц = uxx — 2 cos 3t 0 < x < л, t > 0;
n∣i=θ = x2, ut∖t=θ = 0, 0 ≤ x ≤ л;
‰∣x=0 = θ, ux∖χ=π = %πcos3t ⅛ ≥ 0;

432
Гл. 6. Смешанная задача
7)	'f/ti + 9'u — uxx = 9ж2 — 2+ 10cos5tcos4x, 0<ж<7г, t>Q∖
2
u∖t=o = x2, ut∖t=o = -х - 1, 0 ≤ ж ≤ тг;
?Аг|ж=0 ~ θ, ^jx∖x=π — 2zTΓ, t > 0;
8)	Utt ~	4uxx = 2ж + 4cos2i ∙ sin ж,	0 < х < π,	t	> 0;
n∣i=θ	= (π — ж) (^ж + 1), ut∣i=0	= 4зш2ж,	0	< ж < 7г;
tt∣τ=o = тг. u∖x=π = πt, t > 0;
9)	utt -	2ut = uxx + et, 0 < ж < 2,	t > 0;
n∣i=0	= sin 2тгж + ж — 1, w*∣t=o =	ж — 1, 0<ж<2;
u∣x=0 = ~et, и\х=2 = et, t > 0;
10)	utt — 4щ = uxx — 2t — 4ж2, 0 < ж < 1, t > 0;
u∣i=0 = A’ ut∖t=θ = х2 -х, 0 < ж < 1;
‰∣x=0	^x∣x=l — i > О,
11)	utt = uxx - и + t2 + 2, 0<ж<1, t > 0;
tz∣i=θ = ншЗтгж, Ut∖t=o = x, 0<ж<1;
u∖x=0 = t2, u∖x=ι=t + t2, t > 0;
12)	utt = uxx + 1 + 6t, 0 < ж < 7г, t > 0;
u∖t=o = ж + sin-, ι⅛∣t=o = O, 0 < ж < 7г;
п|ж—о	t > ux∣x=π = 1, t > О,
13)	utt = uxx + 2и + 18πжe_^, 0 < ж < ^, t > 0;
^∣t=0 = θ> t⅛∣t=o — sin За? — 36 sin х, 0 ≤ х ≤ —;
z^,∣x=0 — 0,	^jx∖x=π∕2 = θ> θ,
14)	utt = 16t⅛ + 5u — 9π(x — 2π) cos2t, 0 < х < 2π, t > 0;
u|t=0 = cos	- 18 cos ∣, ι⅞∣*=o = 2 cos ∣, 0 ≤ x ≤ 2πj
— θ> z^jjι=2π = θ> ≥ θ,
15)	utt = uxx + 10u - 9π (x -	e~3t, 0 < x < ∣, t > 0;
t4∣t=o = 2cos3x, tQ∣t=o — 3cosx, 0 ≤ x ≤
^.r∣χ=0 — θ, ^j∖x=tγ∕2 — θ> t 0,
16)	utt = 16‰r + 2u + ^πxe~t, 0 < x < 2π, t > 0;
u|t=0 = sin p t4t∣⅛=o = 2 sin ψ - 72 sin ∣, 0 ≤ x ≤ 2тг;
^|;r=0 — θ, ^jx∖x=2π = θ> ≥ θ,
17)	utt = ‰cx + cos t, 0<x<-, t > 0;
n∣f=o = O, ^∣^0 = sinτ, 0 < x <
^∣.τ=0 = θ, ‰∣αι=7r∕2 = θ> > 0;

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
433
18)	utt = uxx + 25л (х — sin5t, 0 < х < р t > О;
u∣t=0 = ∞s5x, ut∖t=o = O, 0<х<|;
^ж|ж=0 — О’ ^,∣^=7γ∕2 — О’ t ≥ о,
19)	utt — ‰cx + л (я — cos2^, О < х < р t > О;
i4∣^0 = cos2rr, tQ∣t=o = О’ О<Х<^;
‰|ж=О = О’ ^lj∖x=π∕4 “О, t > О;
20)	utt = uxx + 9τπrsin6t, 0 < х < р t > 0;
u∖t=o = о, ^=0 = sin6z, 0 < ж < ^;
^|ж=0	0, Ux∖x-7r∕4 = 0, t > 0.
20.19.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	utt — 6uχx + 1514 — 15xt + 9ж2 (л — ж) sin 9i, 0 < х < л, t > 0;
t4∣t=o = 2sinx, iq∣⅛=o = х — 3sinτ, 0 ≤ х ≤ л;
u∖x=q = 0, u∖x=π = πt, t ≥ 0;
2)	utt + 6i4⅛ = %uxx — 5xe~t + (2x — π)2e-4t, 0 < х < t > 0;
u∖t=o = x, ut∖t=o = ~x, 0≤z≤^
их\х=q — е , ux∖x-,π/2 — β , t О,
3)	2utt = 20t⅛ + 13t4 — 5e~2^ + x(x2 — 4л2) sin4t,
О < х < 2л, t > 0;
tt∣i=o = 3sin | + 1, ut∖t=o = —2, 0 ≤ ж ≤ 2тг;
⅛=0 = e-2t, ‰∣χ=2π = e~2t, t 0;
4)	Un + 10¾ = Uχx + 20x2 — 4t + 12x(π — 2x)e~8t,
О < х < t > 0;
4
w∣i=o = θ, ut∖t=o = 2x2, 0≤x≤-5
^ajx=θ θ, ^,x∖x=π∕4	t
г\	г 10^ ,	-≠ / π∖ ^ Л l ^
5)	utt - uxx -5u =	к ле τx 1х - - , 0 < х < -, t > 0;
л	\	2/	2
2х	л
u∖t=0 = sin4z, ut∖t=o = —, O≤3J≤-J
^|ж=0	0, ^|ж=7г/2 “Л ≥ О,
6) utt - Uxx - 13u = ж(2 - 13i2) + 9e^2i (х - ^) ,
О < х < t > 0;
I	71-2 I 2π2 n	π
u∖t=0 = -^, ut∖t=0 = -, O≤x≤-j
‰∣,x=o = ⅛2, ¾∣a.=7r∕3 = t2, t^Q;

434
Гл. 6. Смешанная задача
7) utt — ‰cx — 2и = 12x( 1 —t2) + 3πe t sin2rr, 0 < х <7^,t> 0;
3	3	π
^∣t=o = - f cos3‰ tQ∣⅛=o = cos3τ, 0 ≤ х ≤ —;
О	О	Z
‰L=0 = θi2, u∣a-π∕2 = 3πi2, t ≥ 0;
8) utt — 2uxx — Зи = (2ж + 1)(2 — 3t2) + 6πe-i si∏2τ,
0<x<7^, t > 0;
3	3	л
u∖t=o = - sin3x, t⅛∣i=0 =--si∏3τ, 0 ≤ х ≤
<Э	О	Z,
Мж=0 = > ‰∣τ=π∕2 = 2t , t 0,
9
9)	щ — 4uxx + 9u — 27πx(⅛ — 2л) — — (ж + 2л),
0 < х < 2τr, t > 0;
n∣⅛=0 = 1 + si∏ χ + 2^^’ θ ≤ x ≤ 2тг;
^,∣x=0 = i’ ^,∣ir=2π = 2, t 0,
10)	ut = uxx + 4u — 12t(x — 2л)2 + 2x(t — 2t2), 0 < х < 2π, t > 0;
⅛=0 — 71^2> 0 ≤ х ≤ 2л;
^ж|ж=0	> ^jx∖x=2τv ∙> θ>
11)	utt = 4‰r + и + л (ж2 — л2) + л — х — t, 0 < ж < л, i > 0;
4 Зж
4=0 = 27 c°sT +x - π, 4*=0=1> 0 ≤ x ≤ 7г;
их|ж—о — 1, u∖x=7v = t, t 0;
12)	utt = Uχx + 9t6 + πx(x — π) — 9πx — 9, 0 < х < -, t > 0;
= sin ж + πx — 1, ι⅞∣t=o = 2 sin х, 0 ≤ х ≤
^,∣x=0 — i’ Uχ∖x=π∕2 — 'x’ t ≥ 0.
20.20.	Решить задачу о свободных колебаниях квадратной
мембраны	(0 <	х	< р, 0 < у	< р), закрепленный вдоль контура,
।	λ	.	πx . πy	ди
если u∖t=c)	= Asm	— sin —,	—
р р	∂t
= 0.
t=o
20.21.	Решить следующую смешанную задачу:
utt =	0 < х < 7г, 0 < у < тг;
Ux=q — y∖x=π — ^∣t∕=0 — ^j∖y=τv — 0, f А О,
ι⅛=o = 3 sin х sin 2y, tq∣⅛=o = 5 sin 3x sin 4y, 0 ≤ х ≤ р, 0 ≤ у ≤ q.
20.22.	Решить задачу о свободных колебаниях прямоуголь¬
ной мембраны (0 < х < р, 0 < у < q), закрепленный вдоль кон-
тура, если tt∣t=0 = Axy(x -p)(y - q),
= 0.
¢=0

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
435
20.23.	Решить задачу о свободных колебаниях однородной
круглой мембраны радиуса R, закрепленный по краю, в следую¬
щих случаях:
1)	начальное отклонение определяется равенством
I Л τ (μ∏r λ
и|ж=0 = AJo
где μn — положительный корень уравнения Jo(m) = Ф
начальная скорость равна нулю;
2)	начальное отклонение и начальная скорость зависят только
от г, т.е. 4=0 = ∕(r), ui∣t=0 = F(r);
3)	Начальное отклонение имеет форму параболоида враще¬
ния, а начальная скорость равна нулю.
20.24.	Решить следующие смешанные задачи (задачи рас¬
сматриваются в областях {(r,φ,ty. г < R, 0 ≤ φ ≤ 2л, t > 0},
∆ι∕ = uxx + uyy, х = г cos φ, у = г sin φ∖ функции /(г) и g(r) пред¬
полагаются гладкими функциями на [О, R]; μ^ — к-й по поряд¬
ку положительный нуль функции Бесселя Jj{ζ∖. Jj = О,
j = 0, 1, 2, ..., к = 1, 2, ...):
1)	4u∣∣ = ∆u + tf(r), г < ∣, t > 0;
1
-u∣t=o = O, Uf∣t=o = O, r<-∙,
4=1/2 = 0, t > 0;
2)	utt = ∆u + f(r), г < ∣, t > 0;
1
Ч=о = θ- ut∖t=O = О, Г <
4=1/2 = 0, t > 0;
3)	utt — ∆u + F (/Д2^ cos 2φ cos г < 1, t > 0;
u∖t=o = fX)sinφ, ut∖t=o = X	cos2φ, г < 1;
4=ι = 0, i > 0;
4)	4utt = ∆u + ∕(r) sin2 2φ, г < 1, t > 0;
4=0 = 5(r)cos2⅞9, ut∖t=o = Jo (мз°)г)- r < 1;
4=1 =0, t > 0;
5)	utt = 4∆u + ∕(r)(4 + sin 3⅛c) cos</?, г < 2, t > 0;
/ (2) \
u∖t=o = Л (	) sin2<^>, ut∖t=o = ∕(r)sin4φ, г < 2;
u∖r=2 = 0, t > 0;

436
Гл. 6. Смешанная задача
6)	4¾ = ∆ι∕ + ∕(r) cos2 3φi г <2, t > 0;
/ (о) \
u∖t=o = Jo∖⅛^∖, ut∖t=0 = g(r) sin3φ,
u∖r=2 = 0, t > 0;
7)	Utt = 4Δ∕∕ + ∕(r)(2 + sinφ) sinφ, г < 1,
u∣t=0 = ∕(r), ut∖t=o = ⅛ (μTr) cos2φ,
tφ=ι =0, t > 0.
г < 2;
t > 0;
г < 1;
20.25.	Решить следующие смешанные задачи (задачи рас¬
сматриваются в области {(r,φ,ty. г < R, 0 ≤ φ ≤ 2τr, t > 0},
∆t∕, = uxx + иуу, х = rcos(^, у = rsinφj функции /(г) и g(r)
предполагаются гладкими функциями на [0,7?], /(7?) = з(7?) = 0;
— к-й по порядку положительный нуль функции Бесселя
Jj(ξ)-. Jj = 0, j = 0, 1, 2, к = 1, 2, ...):
1)	<3utt = Au + f(r) cos4φ, г < 1, t > 0;
u∖t=o = J0 (м4°)г)’ ut∖t=O = S(Hcos4⅛9- r ≤ Г
u∣r=ι =θ, i ≥ 0;
2)	utt = Au + ∕(r) sin4φ, r < р t > О ',
u∖t=0 = X УУ cos4φ, ut∖t=0 = g(r) sin4φ, г ≤
u∣r=ι∕4 = 0, i ≥ 0;
3)	utt = 16∆n + ∕(r) cos6φ, г < 2, t > 0;
∕√°)∖
ιt∣i=θ = fl,(r)cos6<μ, Ut∖t=o = J0l^-∖, г ≤ 2;
u∖r=2 = 0, t ≥ 0;
4)	4utt = Au + f(r) sin3⅛p, г < t > 0;
u∖t=0 = 5(r)sin3φ, ui∣t=0 = J3	sin3⅛7, г ≤
-w∣r=ι∕2 = θ. i ≥ 0.
20.26.	Найти решение смешанной задачи
Utt = Uxx + -ux + f(t)J0 (μkχ), 0<x<i, t > 0;
n∣i=0 = ιtt∣i=o = 0, O≤x≤lj
∣u∣ζr=0∣ < ∞, u∣≈=ι=0, ⅛ ≥ О,
где ∕⅛ — положительный корень уравнения Jo(μ) = 0, если:
1) f(t) = t2 ÷ 1; 2) ∕(t) = sint + cost

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
437
20.27.	Найти решение смешанной задачи
Ч/Л — VjXX + ^Х ч 0 ≤ X < 1 ,
X
∣tz∣x=O∣ < ∞,	u∖x=i=g(t),
t > 0;
t ≥ О,
w∣t=O = u0(X), ι⅛∣i=0 = tii(x), O≤x≤l,
если:
1)	g(t) = si∏2i, Ыж) = | f 1 ~ j0^)’ Мж) = °;
2)	g(t) = cos2t, u0(x) =	, ui(x) = 0;
3)	g(t) = t — 1, uq(x) = Jq (μι÷r) — 1, где μ↑ — положитель¬
ный корень уравнения Jo(μ) = θ> щ(х) = 1.
20.28.	Найти решение смешанной задачи
W + ∕(⅛) = uxx + ∣‰ 0 < х < 1, t > 0;
∣u∣τ=0∣ < ∞> u∖x=i=g(t∖ t≥0,
u∖t=Q = uo{x∖ ut∖t=o = ui(x∖ O≤x≤l,
если:
О /G) — cost, g(t) = о, uq(x) = 1 — '⅛J ’ и1(ж) = θ!
1 Л J0(3^)Y
3 \	Л>(3) ) ’
но^)’
2) ∕(i) = sin3t, g(t) = 1, uq(x) = 1, tq(x) =
3) ∕(i) = — 2cos2t, g(f) = 0, щ(х) = О,
«о(ж) = I (^rτ^~ ~ 1) + j° где
2 у Jq(∕) у
ный корень уравнения Jq(∕z) = θ∙
μι — положитель¬
20.29.	Решить смешанную задачу
1
— uxx -∣- их — и,
О < х < 1,
Mz=0∣ < ∞,
м|ж=1 = cos 2t + sin 3t,
Ч=о =
Jo(≈vz3)
Λ>(√3) ’
wt∣t=O —
3J0(2z√2)
Jo(2√2)
t > 0;
t > О,
О ≤ х ≤
1.
20.30.	Решить задачу о колебаниях однородной круглой мем¬
браны радиуса R, закрепленной по краю, если ее колебания
вызваны равномерно распределенным давлением ρ = posinωt,
приложенным к одной стороне мембраны. Предполагается, что
среда не оказывает сопротивления и что ω ≠ где μn
R

438
Гл. 6. Смешанная задача
(n = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Jo(m) — θ
(нет резонанса).
20.31.	Решить смешанную задачу
utt = uxx + -ux-^, 0<τ<l, t > 0;
х х~
|п|ж=0| < оо, и|ж=1=0, i ≥ О,
n∣i=0 = u0(x), ut∖t=o = u1(x), O≤x≤l,
если:
1)	u0(x) = Jι(μkx) + Jι(μmx), щ(х) = 0;
2)	u0(x) = Jι(μkx), щ(х) = Jι(μmx).
Здесь ⅛ и Mm — два различных положительных корня урав¬
нения Jι(μ) = 0.
20.32.	Решить смешанную задачу
Utt = uxx + -ux - Д + etJι(μkx), O<x<l, t > 0;
х х1
∣u∣x=0∣ < ∞, u∣aj=ι=O, i ≥ О,
u∖t=0 = ut∖t=o = 0, O≤x≤l,
где μ⅛ — положительный корень уравнения J∖ (μ) = 0.
20.33.	Решить смешанную задачу
utt = uxx + -ux 0 <х < 1, t > 0;
х xλ
|п|ж=о| < ∞, ι∕∣ic=ι = sin2tcost, t ≥ О,
I -∩ I _ jΛx) I 3Jι(3x)
U∣t=θ-O, nt∣i=O - 2J1(1) + 2 J1(3) - 0' ∙γ' -1∙
20.34. Решить смешанную задачу
utt = uxx + -ux 0 < х < 1, t > 0;
х xz
∣u∣x=o∣ < ∞, u∣aj=ι=O, i ≥ О,
4i=0 = uq{x), ut∖t=0 = tii(x), O≤x≤l,
если:
1)	u0(x) = М1(ж) =
1	3
2)	u0(x) = ^J2(μkx), ul(x) = -J2{μkx).
Здесь μ⅛ — положительный корень уравнения J^{μ) = 0.

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
439
20.35.	Решить смешанную задачу
utt = uxx + -ux	2 + Λip2(μιz), 0<τ<l, t > 0;
«Т χ
∣u∣x=o∣ < ∞, u∣aj=ι=O, i ≥ О,
u∖t=o = ut∖t=o = O, O≤x≤l,
где μι — положительный корень уравнения J2(∕-zJ = θ- если:
l)∕(i) = i! 2)∕(i) = cosi.
20.36.	Решить смешанную задачу
и и. — Vjxx Т tiχ 9,	0 <С х ≤ 1, t ≥ О,
х xz
∣u∣x=o∣ < ∞, Ч®=1=0, i ≥ о,
u∣i=0 = и0(ж), ut∖t=0 = J3(μιx), O≤x≤l,
где μι — положительный корень уравнения J3(μ) = 0, если:
1)	ио(ж) = t; 2) ug(x) — J3(μ1x).
20.37.	Решить смешанную задачу
1 9и
Utt = uxx + -ux	2 +	0<ж<1, t > 0;
∣-u∣x=0∣ < ∞, 4≈=ι=o, t ≥ О,
U∣t=o = t⅛∣i=o = 0. O≤τ≤l,
где μk — положительный корень уравнения J3(μ) = 0, если:
1)У(ж) = е-<;	2)∕(i) = i-⅛2.
20.38.	Решить смешанную задачу
(z¾)a, = utt, 0 < х < ∣, t > 0;
⅛=o∣<∞,	n∣x=ι∕4 = 0,	i≥0,
u∖t=0 = J0(2μly∕x), ut∖t=o = O, O≤αr≤∣,
где μ∖ — положительный корень уравнения Jq(m) = θ∙
20.39.	Тяжелая однородная нить длиной Z, подвешенная
за один из своих концов (х = Z), выводится из положения равно¬
весия и отпускается без начальной скорости. Изучить колебания
нити, которые она совершает под действием силы тяжести; пред¬
полагается, что среда не оказывает сопротивления.

440
Гл. 6. Смешанная задача
20.40.	Тяжелая однородная нить длиной /, подвешенная
верхним концом (ж = Z) на вертикальной оси, вращается вокруг
этой оси с постоянной угловой скоростью ω. Найти отклоне¬
ние u(x,f) нити от положения равновесия.
20.41.	Решить смешанную задачу
(xux)x = Utt, 0 < х < 1, t > 0;
∣ιt∣x=0∣ < ∞, *⅛h=ι=0, i ≥ о,
n∣i=θ = O, ut∖t=o = J0(w√T), 0≤x≤l,
где μ⅛ — положительный корень уравнения J∖ (μ) = 0.
20.42.	Решить смешанную задачу
utt = xuxx + ux + ∕(i)J0(μι√≡), 0 < ж < 1, t > 0;
∏x=o∣ < оо, u∣s=1=0, t > О,
4i=o = O, ι⅛∣i=o = O, 0≤x≤l,
где //., — положительный корень уравнения Jι(μ) = 0, если:
l)∕(i) = i! 2)∕(i) = sini.
20.43.	Решить смешанную задачу
Utt = xuxx + ux--, 0 < х < 1, t > 0;
X
∣-u∣x=o∣ < ∞, ti∣τ=ι=0, t ≥ о,
u∖t=o = O, ut∖t=o = Λ(∕⅛√^), 0 ≤ ж ≤ 1,
где μk — положительный корень уравнения Jz(μ) — 0.
20.44.	Решить смешанную задачу
9ιz
utt = %uxx + ux — —, 0 < х < 1, t > 0;
4х
∣⅛=ol < 00, 4≈=ι=0, i ≥ о,
u∣t=o = θ, ut∖t=o = J3(μ1Vx^ O≤τ≤l,
где μι — положительный корень уравнения J3(μ) = 0.
В задачах 20.45-20.49 μ^ — к-й положительный нуль функ¬
ции Бесселя Jm(ξ)÷ Jr∏ — 0, т — О, 1, ..., к — 1, 2, ....
20.45.	Решить смешанные задачи:
1)	utt = uxx + →ιx - -^u + tJi ^μ[^x^ + J∖ [μ^x^,
О < х < 1, t > 0;
ι∕∣^o = θ, ut∖t=o = O, 0<х<1;
∣ι^(0, t)∣ < ∞,	=0, t > 0;

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
441
2)	uu = uxx Н—‰	+ costJ↑ (μ∖ )jA + sintJι ( μ{
х xz	∖	)	∖ δ J
О < х < 1, t > О;
⅛=0 = -	-Т,	-h (μ,∣',∙A «,|1=О = 0. О
∣,α(0, t)∣ < оо, гл|ж=1 = 0, t > 0;
3)	Utt = Uxx “Ь ~ux о U tJ∖ (∣Xι X ) + J∖ f ∕∕n X ),
О < х < 1, t > 0;
u∖t=Q = O, ut∖t=o = O, 0<х<1;
∣ι∕(0,i)∣ < ∞, и|ж=1 =0, t > 0;
4)	Utt = uxx + -‰ —^n⅛sint J∖	,	0 < х < 1, t > 0;
X xz	\	/
4=o = J∖ (μι1^), ut∖t=o = O, 0<ж<1;
∣zz(O, t)∣ < 00, и|ж=1 =0, t > 0;
5)	Utt = uxx Н—‰	ou + t2Jι (μ^x 1,	0 < х < 1, t > 0;
х х2	\ 0	/
u∖t=o = O, ut∖t=Q = O, 0<х<1;
∣τz(O, ⅛)∣ < ∞, ^∣x∙=ι =0, t > 0.
20.46.	Решить смешанную задачу
utt = xuxχ + -‰ + f(x,t∖ 0 < х < 1, t > 0;
х
u∖t=o = O, ut∖t=o = O, O<x<l,
∣u(O,i)∣ < ∞, n∣rr=ι =0, t > О,
1)	∕(τ,t) = (i2 + l)Jo (/4°)ж);
2)	у (ж, t) = cos2t ∙ Jo (∕4°);
3)	f(x,t) = (sint + cost)Jq ^μ2°'*x)∙
20.47.	Решить следующие смешанные задачи:
1	4
1)	utt = Uχχ + -их	^u, O<x<l, t > 0;
х	х2
u∖t=o = X	+	J2	(μ22^)>
⅛i∣t=0 =	+ μ22^2	о < ж < 1;
∣u(0, t)∣ < 00, tt∣x=ι	=	0,	t	> 0;

442
Гл. 6. Смешанная задача
2)
3)
4)
5)
6)
1	9	/	\
Uft = uxx Н—их	ηU + t2J3{μ^ х], O<x<l, t > 0;
х	xz	V	/
u∖t=0 = J3(μ^xY ut∖t=o = O, 0 < х < 1;
∣u(0, i)∣<∞, 'u∣a.=ι = 0, t > 0;
. 1	25	( (5) ∖ n	1
Utt = uxx + -ux	3ιι. - cost ∙ J5 {∣μ'x∖, 0 < х < 1,
xχ~	∖ δ /
t > 0;
n∣t=o = O, ut∖t=o = J3 (μ3^x^, 0 < ж < 1;
∣u(O,t)∣<∞, u∣jr=ι = 0, t > 0;
Utt = uxx + -ux —	— sini ∙ Jr (μΓx∖ O<x<l, t>
х x2	∖ δ /
> 0;
Ц=о = Jξ, (μθ*M, udi=0 = θ, 0<ж<1;
∣yu(0, i)∣ < ∞, t¾=ι = 0, t > 0;
1	16
Utt = Uxx + -ux	„и, 0 < х < 3, t > 0;
ж	х1
4t=0 = f(x), ut∖t=o = 0, 0 < X < 3;
∣u(0, i)∣ < 00, m∣jj=3 = 0, t > 0, где ∕(x) ∈ C,[0, 3];
1	25
Utt = Uxx + -ux	„и, 0 < X < 4, t > 0;
xz
u∖t=o = O, ut∖t=o = f(x), 0 < х < 4;
∣u(0, t)∣ < ∞, rz∣x=4 = 0, t > 0, где Дж) ∈ C,[0,4].
20.48.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	Utt = (∞⅛)!c + (Γ∩ ∙ J1	0 < ж < 1,
u∖t=o = O, ut∖t=o = μ^Jo (у40)√T)> 0<ж<1;
∣u(O,i)∣<∞, rt∣jr=ι = 0, t > 0;
4
2)	uu = (χuxγx — -и, 0 < х < 1, t > 0;
i4∣i=0 = J4	ni∣i=o = O, 0<х<1;
∣ιz(O, t)∣ < ∞, u∣rr=ι =0, t > 0;
3)	utt = (xuxYr — —и, 0 < х < 1, t > 0;
4х
H∣t=o = O, ut∖t=o = J∖	0<ж<1;
∣ιz(O,i)∣ < ∞, и|ж=1 =0, t > 0.
t > 0;
20.49.	Решить следующие смешанные задачи:
1\ О (0)	_ I 1 l ( (0)λ2 ≠ т ( (0)
1)	Utt	— ^jxx -∣- %Ujχ + ( ^3 )	’ Щ) ( М3
О < х < 1, t > 0;

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
443
n∣t=o = O, -Ut∣t=o = -Jo (74°)ж)’ 0<ж<1;
∣u(0,i)∣<∞, -u∣a,=ι = 0, t > 0;
2)	Utt + 2∕iβ ∏t — uxx +	2^j A ^
О < х < 1, t > 0;
⅛=o = O, ut∖t=o = O, 0<х<1;
∣u(0,i)∣<∞, ∙u∣a.=ι = 0, t > 0;
θ) t^tt H^ 7/Д	= ^,xx + ~^x∣ 0 ≤ Ж < 2, t ≥ О,
4 δ	х
u∣t=o = о, ut∣i=0 = 3J0 (^2°)ж)> 0 < ж < 2;
∣n(0,t)∣ < ос, ?/|ж=2 = 0, t > 0.
20.50.	Дан тонкий однородный стержень 0 < х < Z, боковая
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение
температуры u(x,t) в стержне, если:
1)	концы стержня х = 0 и х = I поддерживаются при нуле¬
вой температуре, а начальная температура n∣⅛=o — uo(χY,
рассмотреть случаи:
a) uq(x) = А = const, б)* uq(x) = Ax(l — ж), А = const;
2)	конец х = 0 поддерживаются при нулевой температуре,
а на конце х = I происходит теплообмен с окружаю¬
щей средой нулевой температуры, начальная температура
стержня ι∕∣t=o = uq{x∖,
3) на обоих концах стержня (ж = 0 и х = Z) происходит теп¬
лообмен с окружающей средой, а начальная температура
стержня n∣t=o = uq(x}∖
4)	концы стержня (ж = 0 и х = Z) теплоизолированы, а на¬
чальная температура — uq — const;
5)	концы стержня теплоизолированы, а начальное распреде¬
ление температуры задается формулой
uq — const,
О,
если 0 < х <
I
если - < х <
изучить поведение u(x,t) при t —> ос;
6)	концы стержня теплоизолированы, а
Г 2izq	I
-pχ, если 0 < х < -,
—— [I — X), если - < х < /,
где uq = const; найти lim u(x,t∖
t→OQ

444
Гл. 6. Смешанная задача
20.51.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ut = uxx, 0 < х < 1, t > 0;
⅛=	o — х 0 ≤ х ≤ 1, их|ж—q — их|ж=1 — 0, t О,
2) щ + и = uxx, 0 < х < Z, t > 0;
u∖t=o=l, O<x<i, u∖x=q = u∖x=i = 0, t≥Q∖
3)	щ = uxx — 4и, 0 < х < 7г, t > 0;
= X2 — КХ, 0 < X < 7г; 14τ=0 = u∖x=π, £ ≥ 0.
20.52.	Дан тонкий однородный стержень 0 < х < Z, боковая
поверхность которого теплоизолирована. Найти распределение
температуры u(x,t) в стержне, если:
1)	концы стержня поддерживаются при постоянных темпе¬
ратурах ?1|ж=о = щ, u∖x=ι = U2, а начальная температура
равна ι∕∣t=o = uo = const; найти lim u(x,t∖,
t→oc
2)	концы стержня имеют постоянную температуру u∣,r=o =
= u∖x=ι — щ, а начальная температура задается формулой
t⅛=o = uq(x) = Ax{l — х),
где А — const; найти lim u(x,t∖,
t→∞
3)	левый конец стержня теплоизолирован, правый поддержи¬
вается при постоянной температуре u∖x=ι = u%, начальная
। А Л
температура равна u∣z-o = —х, где А = const;
4)	левый конец стержня поддерживается при заданной по¬
стоянной температуре и|ж=о = щ, а на правый конец пода¬
ется извне заданный постоянный тепловой поток; началь¬
ная температура стержня гф=о — z⅜Cr)∙
20.53.	Дан тонкий однородный стержень длины Z, с бо¬
ковой поверхности которого происходит лучеиспускание теп¬
ла в окружающую среду, имеющую нулевую температуру; ле¬
вый конец стержня поддерживается при постоянной температу¬
ре τz∣rc=o — uι∙ Определить температуру u(x,t) стержня, если:
1)	правый конец стержня х = Z поддерживаются при темпе¬
ратуре — u2 = const, а начальная температура равна
u∖t=o = и0(х);
2)	на правом конце происходит теплообмен с окружающей
средой, температура которой равна нулю; а начальная
температура равна нулю.
20.54.	Найти распределение температуры в стержне 0 ≤ х ≤
≤ Z с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его
правом конце х = Z поддерживается температура, равная нулю,
§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
445
а на левом конце температура равна г/|ж=о — At, где А = const.
Начальная температура стержня равна нулю.
20.55.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ = uxx, 0 < х < I, t > 0;
= 1» ^j∖x=l = θ, t > О,
^∣t=o = О, 0 ≤ х ≤ Z;
2)	щ = uxx + и + 2 sin 2x sin х, 0 < х < , t > 0;
‰∣÷r=0 = ^∖x=π∕2 = θ> t > О,
4=0 = о, о ≤ х ≤
3)	ut = uxx — 2ux + х + 2t, 0 < х < 1, t > 0;
^∣jj=o ^∣x=ι = 1? t^> О,
'α∣*=0 = exsinπrr, 0 ≤ х ≤ 1;
4)	щ = uxx + и — х + 2 sin 2x cos x1 0<x<^, t > 0;
^|ж=0 ~ θ, ‰∣x=π∕2 = 1’ i > О,
z⅛=0 = χ, О ≤	≤ 2 5
5)	щ = uxx + 4u + x2 — 2t — 4x2t + 2 cos2 х, 0 < х < л, t > 0;
^г|ж=0 = θ> Uχ∖x=π = 2л£, t > О,
u∣t=0 — 0, 0 ≤ х ≤ л;
6)	щ — uxx + 2ux — и = ex sin х — t, 0 < х < л, t > 0;
и x=q = 1 + t, u∖x=7v = 1 + t, t > 0;
и t=o = 1 + ex sin 2х, 0 ≤ х ≤ л.
20.56.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ — uxx — и = xt(2 — t) + 2 cos t, 0 < х < л, t > 0;
^u∣rr=O =	1 'U'xix=π = t , t > 0;
= ∞s2rc, 0 < х < л;
2)	щ — uxx — ‰ = 4 sin21 cos 3x — ‰2 — 2, 0 < х < л, t > 0;
‰∣a7=0 ~ 0? ux∖x=π = 2л, t > 0;
t6∣t=o = £2 + 2, 0 < х < л;
3)	щ = uxx + 6n + 2t( 1 — 3t) — 6ж + 2 cos х cos 2х,
О < х < t > 0;
‰∣37=0 ~ 1’	^|ж=7г/2 ~	+ 9^ ’	≥ О,
I	о / π
u∖t=o = X, 0 < х <-;
4)	щ = uxx + 3u + rr2(l — 6t) — 2(t + 3x) + sin2rr,
О < х < л, t > 0;
‰∣a7=o ~ 1> ux∖x=π = 2л/: +1, t > 0;
— χ, 0 < х < л;

446
Гл. 6. Смешанная задача
5)	ut = uxx + 4ux + х — 4t+l+e 2x cos2 πx, 0 < х < 1,
t > 0;
^∣x=o —	|х= 1 — 2t, t ≥ 0,
⅛=o — 0, 0 < х < 1.
20.57.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ = uxx, 0 < х < л, t > 0;
и|t=o = х, 0 < х < л;
^|ж=0 = 0’ 'U'x∖x=π ~	t > 0;
2)	щ = uxx, 0 < х < л, t > 0;
^∣t=o = %2, 0 < х < л;
rux|ж—о — о, 'U'χ∣x=π = 2ле t > О,
3)	щ — uxx = — 2t, 0 < х < л, t > 0;
^∣t=o — 5, 0 < х < л;
^ж|ж=0 = θ> rUjx∖x=π = 2л/:, t > 0;
4)	ut - uxx = -2et, 0 < х < ∣, t > 0;
4i=0 = х2 + 3, 0 < х <
¾L=θ = θ, ‰∣χ=π∕2 = τrei, t > 0;
5)	щ = uxx + 1 + х, 0 < х < t > 0;
I	n	Л
u∖t=o = πx, 0 < х <—;
^∣x=0 ~ t> ‰∣cu=π∕2 ~ i > 0;
6)	щ = uxx + 2х, 0 < х < л, t > 0;
z^∣t=0 — О, 0 < х < л;
их\х=о — t, ux∖χz=π — t, t ≥ О,
7)	щ = uxx + х2, 0 < х < ξ, t > 0;
— х2 — х,
их|ж=о = θ, ‰∣x=ι∕4 = 2’	> 0;
8)	щ = ∖6uxx + 4ж2 + 2х, 0 < х < t > 0;
1
'M∣t=o — 2соз(ло;), 0 < х <
,^r∣x=0 — 2t, ^∣^=1∕2 — 2/:, t О,
9)	ut = uxx + π2w + i(τ - 1) + τ(l - π⅝) + -^icos
9тг
О < х < 1, t > 0;
t<∣i=o = 2cos7γx ∙ cos ~ — cos O≤x<≤lj
^X^X=O —	t ≥ О,

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
447
10)	щ = 4uxx + 2u + tx-2(ж + 1)	^isin-, 0<ж<2, i>0;
о	√	4
tt∣t=o = 1 + ж + 2 sin 0 ≤ х ≤ 2;
«|х=0 θ> ^x∣x=2 = 1, i ≥ 0,
11)	щ = 4uxx + Зи — (1 + sinx)e2i, 0 < х < π, t > 0;
zz∣⅛=θ = s⅛l, 0 ≤ х ≤ 7г;
^|ж=о = е , ‰∣aj=7r = t ≥ 0;
12)	щ = uxx + Би — 8ж2е*, 0 < х < t > 0;
n∣t=0 = πz, O≤rr≤^
тг2
^t∣x=0 θ> ^∣x=τr∕2 — ^2^^ > t > О,
13)	ut = uxx + и + ex~8t + ж(2 - t), 0 < ж < ^, t > 0;
n∣i=o = -х, 0 ≤ х ≤
^⅛∣x=o — t 1> ^,χ∣x=π∕3 =	1> i ≥ 0;
14)	щ = 8uxx + и + (π2 — х — x2)e~t, 0 < х < π, t > 0;
n∣⅛=o = х, 0 ≤ х ≤ тг;
¾∣z=θ = chi, u∖x=π = πchi, t ≥ 0;
15)	ut = uxx, 0 < х < ~, t > 0;
2
I	%	।	2 г\	ТГ
ω∣t=O = V ÷ C0S τ' θ≤≈≤9≡
‰L=0 = 0, ‰k=π∕2 = ξTre-4i> О 0;
16)	щ = 8uxx — x2e~2t, 0 < х < 2π, t > 0;
w∣i=θ = та + sin 0 ≤ х ≤ 2%;
⅛∣x=0 = 0, u∖x=2π = 2π2e~2t, t ≥ 0;
17)	щ = uxx — и + ж(2 + t), 0 < х < тг, t > 0;
tt∣i=θ = х, 0 < х < тг;
^⅛∣x=o —	¾j∣x=τr = Л i ≥ О,
18)	щ = uxx — и + xt(t + 2) + - cos 0 < х < π, t > 0;
I	f∖
tψ=o = тг — х, 0 < х < тг;
‰∣x=0 = t2, u∖x=π = πt2, t > 0;
19)	ut = uxx - πe~t, 0 < х < ∣, t > 0;
u∣i=0 = 2х, 0 ≤ х ≤
¾L=O = 2e-t, u∣1=π∕2 = 7re-i, t 0;

448
Гл. 6. Смешанная задача
20)	ut = uxx, 0<ж<|, t > 0;
w∣t=o = Зж, 0 ≤ х ≤
^|ж=0 — θ> ¾∣x=π∕2 = Зе , t О,
21)	щ — uxx = e~9t(2πx + 1 — 9i), 0 < х < ~, t > 0;
I	Л	π
¾=o = 7гж — sm ж, 0 < х <
u∣x=0 = te^9t, t⅛∣a,=π∕2 = 7Γ, t > 0;
22)	ut - uxx = e^f θ ÷ J -	0 < х < t > 0;
u∣t=O = 2ж + ^соэЗж, 0<ж<£;
36	2
‰L=0 = 2, u∣x=π∕2 = тг + te, t > 0;
23)	ut = uxx — (1 + ж) sint — sin(i + ж), 0 < ж < ^, t > 0;
7Г
tι∣t=o = 1 + ж + cos ж, 0 < ж < —;
‰∣a>=0 = cos ж, ^z∣x=π∕2 = (1 + к) cost, t > 0;
24)	щ = uxx + (1 + ж) cost — cos(i — ж), 0 < ж <-, t > 0;
ιt∣t=0 = sin ж, 0 < ж < —;
⅛=0 = sini, ‰∣τ=π∕2 = sint, t > 0;
25)	ut = uxx - и + tΓ--—0 < ж < 7г, t > 0;
Z7Γ
u∣⅛=o = cos ж, 0 < ж < 7г;
^ж|ж=0 = θ> ‰∣≈=7r = t, t > 0;
26)	щ = uxx + и — 1, 0 < ж < 7Г, t > 0;
«|t=o = cos 2 + 1 ’ 0 < ж < 7г;
‰∣≈=o = ^∣x=τr = 1, t > 0;
27)	= ^uxx + Зи — 3(3ж + t — 2) — 15πe-i зшбж,
0<ж<^, Z > 0;
6	7Г
u|t=o = 5 cos Зж + Зж, 0 ≤ ж ≤ -;
1 6
‰∣x=o — 3, tt∣a.-7r∕g = — (π + 2t), t f½ 0;
28)	7щ = -uxx + 2u — 2(x + t) + 7 + 21πe~t si∏4x,
О < х < у, t > 0;
4	7Г
= х — 7 cos2x, 0 ≤ х ≤
^jx ∣,t=0 = 1>	^lj∖x=π∕4 =	t θj

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
449
29)	4щ = 16t⅛ + 5u — π(5xt — 4ж + 5) + 2πe t sinx,
О < х < 2π, t > О;
4 х
ιz∣t=0 = sin - + π, θ ≤ 'γ ≤ 2л;
rUj∖x=0	rUjx∖x=cXπ	О,
30)	5щ = ⅛uxx + 4t£ — 7γ(4x + 4t — 5) + ^e~t sin 2ж,
О < х < t > 0;
u∖t=o = 7ГЖ- 2^sin∣, O≤x≤yj
u∣κ=0 = М, ux∖x=3π∕2 = π, i ≥ 0.
20.58.	Дан однородный шар радиуса R с центром в начале
координат. Определить температуру внутри шара, если:
1)	внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой
температуре, а начальная температура зависит только от
расстояния от центра шара, т. е. 'u∣*=o = y⅝(r)i
2)	на поверхности шара происходит конвективный теплооб¬
мен по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую
температуру, a -u∣t=0 = uo(r∖,
3)	на поверхности шара происходит конвективный теплооб¬
мен по закону Ньютона со средой, имеющей температуру
u∖ = const, a tz∣t=o = Щ) = const;
4)	внутрь шара, начиная с момента t = 0, через его по¬
верхность подается постоянный тепловой поток плотности
q — const, а начальная температура 'u∣⅛=o — uo — const.
Указание. Задача о распространении тепла в однородном
шаре радиуса R с центром в начале координат в случае, когда
температура любой точки шара зависит только от расстояния
этой точки от центра шара, приводится к решению уравнения
теплопроводности
ди _ 2 /∂2u	2 ди\
∂t у ∂r2 г dr j
при начальном условии
u∖t=Q = u0(r).
Если на поверхности шара происходит теплообмен с окружаю¬
щей средой нулевой температуры, то граничное условие имеет
вид
(ur + hu)∖r=R = 0.

450
Гл. 6. Смешанная задача
Полагая v = ги, получаем
V t=o = ru0(r).
20.59.	Дана тонкая квадратная пластинка (0 < х < I, 0 <
< у < Z), для которой известно начальное распределение темпе¬
ратуры ι∕∣t=o = uq(x, у). Боковые стороны х = 0 и х — I и стороны
оснований у = 0, у = I во все время наблюдения удерживаются
при нулевой температуре. Найти температуру любой точки пла¬
стинки в момент времени t > 0.
20.60.	Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса R.
Найти распределение температуры внутри цилиндра в момент
времени t, если:
1)	на поверхности цилиндра поддерживается все время ну¬
левая температура, а температура внутри цилиндра в на-
чальный момент равна
I Л Т (Γ∣Γ'∖
u∖t=0 = AJq
где μk — поло-
2)
жительный корень уравнения Jq(m) — Ф
поверхность цилиндра поддерживается при постоянной
температуре uq, а начальная температура внутри цилин¬
дра равна нулю;
3)	с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание
в окружающую среду, температура которой равна нулю,
а начальная температура равна n∣⅛=o — ⅝(r)∙
20.61.	Решить следующие смешанные задачи (задачи рас¬
сматриваются в области {(r,φ,ty. г < R, 0 ≤ φ ≤ 2π, t > 0},
An = uxx + uyy, х = rcosφ, у = г sin φ∖ функции /(г) — глад¬
кая на [0,7?] функция, f(R) = 0;	— к-п по порядку
положительный нуль функции Бесселя Jm(ξ)÷ Jm — θ,
m = 0, 1, 2, ..., к= 1, 2, ...):
1)	ut — 16∆n + 16et∕(r), г < 4, t > 0;
n∣t=o = 0, г < 4; гф=4 = 0, t > 0;
2)	щ = An + t2∕(r), г < 1, t > 0;
и|t=o = 0, г < 4; n∣r=ι =0, t > 0;
3)	ut = ^∆n — и + tf(r) cos 2φ, г < 1, t > 0;
n|t=o = Ji (μ^r) sin⅛9, г < 1; n∣r=ι =0, t > 0;

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
451
4)	щ = y∆u — 2u + e-4∕(r) sin3φ, г < 4, t > 0;
/ (2) \
u∖t=o = 2J2 (^-r∖ sm2φ, г < 4; 4=4 = 0, t > 0;
5)	щ = ∆u + J∖ (г) sin φ, г < μ∖i∖ t > 0;
4=0 = <7ι(r) cos2⅛j, г ≤ μ∖l∖ u|r=4 = 0, i ≥ 0;
6)	щ = 4∆u — iJ3(r) cos3φ, г < μ^∖ t > 0;
1	/4(2) А	(31
4=0 = tf^3(^)cos3⅛9 + J2 -7о)Г sin2φ, г ≤ μ∖
10	\Д1	/
и\ (з) =0, i ≥ 0;
lr=μ[ 7
7)	щ = Au + J∖ (г) cos 2φ, г < μ∣1∖ t > 0;
4=0 = Jι(r)sinφ, r≤μ^j u∣ ω = 0, i ≥ 0;
' —Mi
/ (4) \
8)	щ = 9Δu-tJ2(r) sin2φ +J4 ( 4vr ∣ cos4φ, г < μ^, t > 0;
\М1 } /
u∖t=0 =-J2(r) sin 2φ, г ≤ μj1∖ d (2) = 0, t ≥ 0;
О1	Ml
9)	щ — 2∆u + J∖ ^2μ^r^ cosφcost, г < ∣, t > 0;
4=0 = ∕(44c°sφ - 3), г <-; 4=1/2 = 0, t > 0;
10)	ut = 4Au + J2	s^n sin 2^, г < 1, t > 0;
4=0 = ∕(r)(3si∏2⅛9 — 4), г < 1; 4=ι = θ> t > 0;
11)	щ — 4∆n — и + J2 (j^r^ cos 2φ, r < 1, t > 0;
4=o = ∕(r)(2cos2⅛2 — 3), r < 1; 4=ι = θ, t > 0;
12)	ut = 9∆n — 2u + ∕(r) sin γφ +	, r < 2, t > 0;
4(1) A	(	π∖
4=0 = ∕(^) cos 3φ + 2 Ji Ц-г I sin ∖φ + - ), r <2;
∖ z J	∖	0J
u∖r=2 = 0, t > 0;
13)	щ = 5∆u- 3u + J% ^^2^r)cos θ⅛9÷∕(r) sin 2<Λ r < 4, t > 0;
4=0 = f(r) cos3φ, r < 4; u∣r=4 = 0, t > 0;
14)	щ = 3∆ιz — 2u + ∕(r) (cos ^2φ — ^) + sin 3φ), r < 3, t > 0;
4=o = 2J3 [ ^-r j sin3⅛9, r < 3; 4=3 = 0, t > 0;

452
Гл. 6. Смешанная задача
15)	ut = 9∆u-2u +	г <2, t>0;
4=0 = ∕(H cos (‰ + ^), г ≤ 2; и\г=2 = 0, i ≥ 0;
16)	ut = 4Ли — и + e~tf(r) sin (Зф 41 r < 5, t > 0;
∕J3) \
⅛=0 = J3 I —|—г 1 sin3φ, г ≤ 5; гф=5 — 0, t > 0;
\ о /
∕..(i) ∖ z 7rλ
17)	ut = 9∆u — 2u + e~2tJι ( -∣-r j sin fφ — - j, г < 2, t >
>0;
4t=o = ∕(÷) sin⅛9, г ≤ 2; u∖r=2 = 0, t ≥ 0;
Ч=о = j5 ∖ ^-Г
\ 3
18)	ut = 4∆n — 2u + f(r) sin5φ, г < 3, t > 0;
sin
19)	4щ = ∆u — 8u + 4t∕(r) cos φ, г <6, t > 0;
ιz∣t=0 = 5√3 (^μ^r^ cos3φ, г < 6; zu∣r=θ — θ> t > 0;
20)	ut = ∆n, — 3u + e2t∕(r) cos4⅛3, г < 5, t > 0;
zz∣t=0 = 37з (f∕43M cos3φ, г < 5; tφ=5 = 0, t > 0.
Г), r≤3j 4=3 = 0, i > 0;
О /
20.62.	Найти решение смешанной задачи
Щ = uxx + →ιx - ~^2u + f(t)Jι(μkx∖ 0 < х < 1, t > 0;
Ых=о| < ∞, п|ж=1=0, t>0∙
^∣t=o = 0> 0 < х < 1,
если:
1)	∕(i) = sint; 2)* ∕(t) = e~t,
где μk — положительный корень уравнения J∖ (μ) = 0.
20.63.	Найти решение смешанной задачи
ut = urr + -ur + tJo(μrr), 0<r<l, t > 0;
∣'α∣r=0∣ < 00, ιz∣r=ι =0, t > 0;
n∣t=0 = 0, 0 < г < 1,
где μι — положительный корень уравнения Jq(∕1) = θ∙
20.64.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ut = xuxx + ux- -^u + tJ↑(μky∕x∖ 0 < х < 1, t > 0;
Ыж=о| < ∞, z⅛=ι = о, t > 0;	= 0, 0 < х < 1,

§ 20. Метод Фурье решения смешанных задач
453
где μy — положительный корень уравнения Jι(μ) = О,
О < х < 1;
9
2)	щ = xuxx + их — — и, 0 < х < 1, t > 0;
∣u∣aj=0∣ <∞, ^k=ι = 0, i > 0; u∣i=0 = J3(∕⅛√T), 0<x< 1,
где μk — положительный корень уравнения Jι(μ) = 0.
В задачах 20.65-20.67 μ^ — fc-й положительный нуль функ¬
ции Бесселя Jm(ζ)- Jm f)u⅛n',') = 0, т = 0, 1, 2, ..., к = 1, 2, ... .
20.65.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	ut = uxx + -ux	^u + f(x,t), 0<ж<1, t > 0;
∣u(0,i)∣<∞, ιt∣τ=ι = 0, t > 0;
u∣i=0 = θ, 0 < х < 1, где:
a)	f(x,t) = ch ^μ^t^ ■ J∖ ^μ^х^\
б)	f(x,t) = sh ^μ^i^ ’
1	4
2)	ut = uxx + -ux	~u + f(x,C), 0<ж<1, t > 0;
х	х
∣u(0,i)∣ < ∞, rt∣x=ι =0, t > 0;
w∣t=o = u0(x), 0<ж<1,где:
a)	/(ж,£) = ((μ^) - 1)e * ‘
uq(x) = J2 (μj>2 ж);
б)	/(ж, i) = 2 ch	■ J2 (μ^x^,
гщ(ж) = (/42)) X (/42)ж);
в)	/(ж, i) = (2 - i) J2 (μ^x} ’ uθ(x) = °’
1	9
3)	Ut = uxx + -ux	2u + ∕(τ>i)' 0<ж<1, t > 0;
∣u(0, i)∣ < оо, «|ж=1 = 0, t > 0;
u∖t=o = uo(x), 0<ж<1,где:
a)	f(x,t) =	(t2 -	ц0(ж) = J3 ^13)ж^;
б)	/(ж,i) = tJ3 (μ^x∖, uo(x) = J3 (μ^x}-

454
Гл. 6. Смешанная задача
4)	Ut — Uxx + Ux 2	∖ 6t2l + 2 j J2 Γmi x∖ 1
О < х < 1, Xt > О;Х
|?/(О, t)∣ < ∞, t(∣aj=ι =0, t > 0;
z^∣t=o = 4j4 (∕44^)’ θ < x < I-
20.66.	Решить следующие смешанные задачи:
1)	щ = xuxx + ux + cos t ∙ Jq y[x ), 0 < х < 1, t > 0;
∣ιz(0, ⅛)∣ < ∞, u∣ic=ι =0, t > 0;
⅛=0 = 0, 0 < х < 1;
4
2)	щ = xuxx + их	и, 0 < х < 1, t > 0;
∣zz(O, t)∣ < 00, ^|ж=1 =0, t > 0;
⅛=o — J4 (Wi4)∖AQ +	0 < х < 1;
3)	щ = xuxx + их — -и, 0 < х < 1, t > 0;
∣ιz(0, t)∣ < ∞, ι∕∣cc=ι =0, t > 0;
u∖t=o = Л	0<ж<1;
4)	ut = xuxx + ux - -^u + Ji	+ e~tJι
0<x<l, i > 0;
∣ιz(0, t)∣ < ∞, и|ж=1 =0, t > 0;
и|t=o = 0, 0 < х < 1.
20.67.	Решить следующие смешанные задачи:
1	4
1)	ut = uxx + -их	%u + et • /(ж), 0 < х < 3, t > 0;
∣ιz(0,t)∣ < 00, п|ж=з = 0, t > 0;
^∣t=o = 0, 0 < х < 3, где /(ж) ∈ С[0, 3];
2)	ut = uxx + -ux -	+ e2t • /(х), 0 < х < 2, t > 0;
∣tz(O, i)∣ < ∞, 1/|ж=2 — θ> i > 0;
n∣f=0 — 0, 0 < х < 2, где /(ж) ∈ С[0,2].
Ответы к § 20
on 1	1\ Л ∙ πnx πrιat
20.1. 1) Asm—— cos—j—;
(2k + l)παt
I
oλ 32h	1	. (2k + V)πx
2) —τ- > j 	τ sin  	-l— cos
7r3 fe⅛0(2fc+l)3	/
Указание: no(x) = -^x(l — х\,

Ответы к §20
455
3)
2hl2 1 . kπc . kπx kπat
	 >	sin —— sin —— cos —-—;
7r2cα-c)fe⅛fc2 ι
8h ∞ (-l)fe . '"
7 > Tδ	^-πSin-

τr2 fe=o (2fc + 1)2
Указание: uq(x) =
. (2k + ∖∖πx (2k + V)πat
ιn 		— cos 		-2

4Л
C=2/'
h(l — x)	.
—	- при c ≤
2)
3)
20.2. 1) ⅛ £ -

τr2α fc≡b(2fc+l)2
. (2k + l)πrr . (2k + V)πat
sin  	γ-l— sin  	v-l ;
2lvp ∞
2 2->
7r a ∕c=l
8Aa ∞
kττa kττβ
cos ~~Γ~ ~ cos ~Γ~
k2
. kπx . kπat
sm —j— sin —j—
kπx . kπat
π a k=∖
πka . πkxr)
cos -η- sm —j—
sm —j— sm —-—.
1
on q n Γ (2fc÷l)τrαt k . (2⅛+l)πα⅛] . (2⅛+l)πx
20.3. 1) £ ∖ak cos 	+ ⅛ sm 	] sm ^—21 —
2 p / ∖ ∙ (2k + l)7πr 7
где ak = - ∖ ui {x) sm 	—-l— dx,
Z j0 v 7	2/
,	4 r / ∖ ∙ (2fc + 1)тгж ,
6‘ = ,,.(21:+l)J"°ll'l81n	Й	dX
Указание: u∣κ=0 = 0, ux∖x=ι = 0, u∣t=0
= u0(af), ut∣i=0 = ui(x);
2) ∣∫[uo(ξ) + ^ι(ξ)]<∕ξ+∣αfecos^ψ^ + ⅛sin cos
2 J- z λ kπx ,,	2 !∙	z λ kπx ,
где α⅛ = - uo(x) cos —— ах, Ьъ = —г wι(x) cos —— ax.
I 0	I	τ^ak θ	I
Указание: t⅛∣a,=0 = ux∖x=ι = 0. u∣t=0 = u0(x), ut∖t=o = ui(x∖,
∞
3) 52 (a∏ cos λnat + bn sinλna^) cos λnx, где λn (m = 1, 2, ...) — соб-
п—0
ственные значения, a Xn(rr) = cosλnx — собственные функции
краевой задачи: X"(x) + A2X = 0, X,(0) = 0, X'(l) ÷ hX(l) = 0
(λ∏ — положительные корни уравнения tgλZ = h∕X),

456
Гл. 6. Смешанная задача
1
ll‰ll2
Щ)(Ф) cos λnx dx,
о
∣∣Xn∣∣2αλn
I
щ (х) cos λnx dx,
о
11-М2
1 Н	—^∑	2?
+ d )
Указание: ‰∣x=o = О, ux∖x=ι = -hu∖x=ι, h = —, где Е —
Γj(J
модуль Юнга, σ — площадь поперечного сечения стержня, к —
коэффициент, характеризующий жесткость крепления, u∣⅛=o = uq(x),
Ut∣t=o = «1(х).
. (2k + l)πx (2k + l)π at
о р/ ∞	Sin  		 COS  	—2

20.4.	u(x,t) = —— ∑(-l)fc	2 .	2				 где σ -
Еатг ∕c=ι	(2/с + 1)
площадь поперечного сечения стержня, Е — модуль Юнга.
Указание: ⅛=0 = ux∖x=ι = 0, u∣t=o = ut∖t=o = 0.
Γχ(7
1
r>Γ⅛ г“ '(	л.\ ту Е ТТХ . 7Γat
20.5.	г(х, t = — Eq↑ / — cos —- sin ——, а = z
V L 21	21 Vlc
Указание. Сила тока i(x,t) удовлетворяет уравнению LCitt —
= ixx, где L — самоиндукция, С — емкость, отнесенная к едини¬
це длины провода. Начальные условия имеют вид i∖t=0 = 0, ⅛∣⅛=o =
Eq 7Т 7ГX	∙ I	/л ∙ I	/л
= cos —а граничные условия таковы: za⅛=0 = 0, ι∖x=ι = 0.
211х	2л
z 1λfc . kπx ктт l
Λ12ι ∞ ( — 1) Sin	 COS 	1
20.6.	1) bx(l - х) +	∑ 		1— •
7Г к=\	к
Указание. Решение можно искать в виде и = v + ш, где функ¬
ция w = bx(l — х) удовлетворяет неоднородному уравнению и нуле¬
вым граничным условиям, а функция υ удовлетворяет однородному
уравнению, нулевым граничным и следующим начальным условиям:
v∣t=0 = bx{x - I), vt∖t=o = 0;
2	∞	4
2)	-t sin/; sin ж + V 	^(cost — cos kt) sin kx.
k=2kπ{∖-k2Γ	}
(2fe+l)2(√fc-ca2)
zθ7 . 1λ .	, lw . (2k+l)πat
4Λ ∞ (2⅛ + 1) smωt — —- sin			 . (2fc+l)7ra
20.7.	— V 	;—l-	sm^	—, где
7r fc=0	— —
(2k + l)πα
⅛ =  	r2—.

Ответы к §20
457
(2k + l)πat . (2k ⅛ l)πτ
on Q ( +∖ gχ(2l - x) 16gl2 cos 21 sm 21
20.8.	u(x,t) = ——~9— 	o⅛ Σ 	—	√ξ			∙
2a2 π3α2 ∕c=o	(2∕c⅛l)3
Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = a2uxx +
+ д, где д — ускорение силы тяжести, при следующих условиях:
ιz∣x=o = ux∖x=ι = 0, n∣*=o = z*⅞∣t=o = 0- Решение этой задачи можно
искать в виде и = v + w, где v = Ax2 + Вх + С (А, В, С выбрать так,
чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравнению и заданным
граничным условиям).
on∩ 1∖ χt I v⅛ (-l)fc2Z . kπx . kπt
20.9.	1) — + £ v 7	sm — sm —;
l k=l (kπ)	* t
2) t -∣- 1 -∣- x(t3 — t -∖- 1) -∣-
∞ ∫ 2 Γβ(-l)fe+1
fc=l I (kπ)2 _ (π⅛)2
(-Ak12t 1
sinτrfcZ + -—— > sinπ∕cx.
π3k3 ∫
. ωx
sm —
20.10. А	¾-sinωt⅛
sm —
z 1∖fc-1 . kπat . kττx
2Aωa ∞ (~1) sm ~ sm ~
k=ι x2 — (kπa∕l)2
Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = a2uxx
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: ⅛=o = О,
u∖x=ι = Asincjt. Решение этой задачи можно искать в виде и = υ + ш,
где v = Х(ж) sinωt. Функцию v подобрать так, чтобы она удовлетворяла
уравнению и заданным граничным условиям.
20.И. ф.()- ⅛ - -≡ ∑	×
π Eσ k=0 (2k + 1)
. (2fc÷l)πx rπ
× sm 		’ где ~ модуль упругости, σ — площадь поперечного
сечения стержня.
Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = a2uxx
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: ⅛=o = О,
ux∖x=ι = Положить и — v + w, где v = Ах (Л выбрать так, чтобы
Ест
функция v удовлетворяла заданным граничным условиям).
л sin — ssinc√i
20	.12. u(x,t) = ≠ξ		у	+
Eσω cos ω∕
а
. (2fc+l)π
2Aaω ∞ (-l)fe~12Z sιn	(2fe+l)π⅛
^r Eσl fc⅛ (2⅛+l)π 2	∕(2fc÷l)πα√	21
Ш \	21	)
Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = o2uxx
при нулевых начальных и следующих граничных условиях: ⅛=o = О,
д
u∖x=ι = sinωt. Решение этой задачи можно искать в виде и — υ + ш,
Eσ
где v = /(rr)sincjZ; /(ж) выбрать так, чтобы функция v удовлетворяла
уравнению и заданным граничным условиям.

458
Гл. 6. Смешанная задача
20	.13. u(x, t) — е at ∑ (ak cos ljkt ÷ ⅛ sin μ∕ct) sin где
fc=ι l		z
/ 2 2, 2
a π к 9
М/с = \		,
2 Г / \ . πkx 7
ак = у uq{x) sin —— ах,
о
c2
7	а , 2 Г / λ . kπx 7
Ьк = —ак + у— щ (х) sin —— ах.
μk ψkj	I
о
Указание. Задача сводится к решению уравнения utt + 2aut —
— a2uxx (а > 0 мало) при следующих условиях: п|ж=о = u∖x=ι = О,
u∖t=o = U0(x), Ut∖t=O = Uι(x).
20	.14. 1) -4 £ sm(2fc + 'У' cos f√(2fe + 1 )2ττ2 + 4 t};
π3fc¾ (2fc+l)3 Vvv	/
2)	— ——	£		-—т	[cos(2⅛ + 1)/ +	—-1—- sin(2fc +	1)/1 sin(2⅛ +	1)®;
7г	fe⅛0	(2fc+1)3	L	2fc+l	7J
„ _t ∞	1 Г, nfc 2	1 . 2k+1 , 2fc+ 1
3)	8β τ > 	т —1)	7^-1	-г sin—-—teas—-—х;
7	∕⅛0(2^+l)2[v	7	π(2fc+l)]	2	2
°с	1	/	1	7
4)	t( 1 — ж) + ^2 e~t^2	з (2 cos λkt + —- sin λkt — 2 sin πkx,
k=l (М ∖	Afc	J
λfc = У(M2 -1;
rλ ∕o ∖∕ I V⅛ ( 4t ктг . λ Л . kπx λ //kπ∖2 1
5)	(2 - x)t ÷ ∑ —— - -y sm λkt sm—, λk = √ —	- 1 ;
k=[ ∖kτrλk λk )	V ∖ 2 /
r4 xt l 2(—l)fc+1 /, sinλ∕c^λ . kπx λ I f kπ∖2 Г
θ) Т + ∑	7	2 [t	\	)sm~Γ' λk = ∖ ∖~Γ) -1∙
I k=i kπλk \ λfc /	/	∖ ∖ I /
20.15.	1) sin2xcos2⅛ + 52 (-l)fc⅞(l - cosfct) sinкх;
к=1 к
2)	— 52 ck R1 д-e~t^2 (cos μkt-∖- —sinμ∕ct∑ sin(2fc + l)πx, где
k=o I-	×

a = W = √(2C + D2"2-j∙
Указание. Искать решение в виде ряда u(x,t) = ∑Tk(t)×
×sinkπx.	fc=1
Замечание к 2). Можно искать решение в виде суммы и = v +
+ w, где функция v =	- удовлетворяет уравнению и заданным
граничным условиям. Тогда
u(x,∕) = -Цу
к=0
τl-sin∕⅛∕4)e 4/2
^μk /
sin(2⅛ + 1)лж.

Ответы к §20
459
20.16.	1) 2xt + (2et — e~t — 3te~t) cos х;
2)	3 + ж(1 + t2) + (5tet - Set + 4t + 8) sin х;
3)	x(t ÷ 1) ÷ (∣e5t∕2 - ef∕2 + cos |ж;
4)	xt + (∑ — ^e2t + e~x sin Зх;
\10	6	15 7
5)	xt + (1 — e~t + te~t) cos З.т;
6)	| (e2t + e~2t) — у — 7? cos 2^5
о	4	2
7)	i sinx(ch3t — 1) ÷ sin3x(cht — 1);
8)	xt ÷ (2et — e2t)e~x sin х.
/	7γ∖	2
20.17.	1) u(x, t) = [ .г — — ) sin / Н—(tcost —
\	2 7	π
sin t) cos х +
-∣— V

7rn=l (n2+n)(2n+ 1)2
(sm(2n +1)⅜ _ s∙ni) cθs(2n + 1)a,
π ∞	-4
где ж - - = ∑ an ∙ Xn, ап = —	-1, Xn(x) = cos(2n + 1)ж,
-	n=0	π(2n+l)
п — 0, 1, ..
2) u(x,t) = xcost Н—isinisinx +
+ ∑ ((l2lsiyT tn' (cosf - cos^2n + 1
n=i π(n + n)(2n + 1)
∞	4(—l)n
где х = J2 anXn, an =	, Xn^ = cos(2n + 1)х,
n=0	τr(2n+l)2
∏ = 05 1,
3) u(x, t) = t + xt + J2
п=0
4 (cost — cos (∣^ + n7^ sin (∣^ ÷ х
(f+n7r)3
(i+nπ)2^1
4) u(x, t) — xt -∖-
+ Σ
n=0
32(-l)n[(π + 2nπ) sint — sin(τr ⅛ 2nπ)t]
(π + 2nπ)4[(π + 2nπ)2 — 1]
( π .	∖
cos ( 2 ÷ πn )
5) u(x, t) = х — t + 52 ⅛ (1 — ∞s rιt) sin nx,
n=l n
4[(-l)n-l]
где an =	—j-

πn3
6) u(x, t) = x cos2t +
∞
+ Σ 75	ιwo . Qx(cos2t - cos(2n+ l)t)cos(2n÷ l)x,
n2⅛ (2n-i)(2∏ + 3)v
4
где dn — ——	,

460
7)
8)
9)
10)
И)
12)
13)
14)
15)
Гл. 6. Смешанная задача
u(x, t) = (sin t + 2t sin t) sin х + ]P πan2 (cos λnt — cos t) sin λnx,
n=l 1 - λn
4(-l)n	∞
где λn = 1 ÷ 2n, an = ——-2-, n = 0, 1, ..., x = ∑an sinAnx;
πλn	n=o
/	2	2	∖
u(x, t) = (cos 5t — — sin 5t ÷ -t cos 5t] cos 5x +
⅛ 25πa∏ ( . t- 5 . λ Д λ
÷ > -τ	 sin ot — —- sin λnt cos λnx,
⅛> λ2n - 25 ∖ λn )
n≠2
где λn = 1 + 2n, an — - Д-, n - 0, 1, ..., x - = ∑ a∏ cosA„a?;
πλn	2 n=o
(1 ∖ ∞
cos 2t — -t sin 2t) cos 2x + J2 2 (cos ~ cos cos ^nx,
2	' n=ιλn-4
8	7Γ	σo
где λn = 2 + 4n, an =	2, n = 0, i, ..., x-- = £ an cosλnχ∙,
πλn	2	n=0
u(x,t} — xt + (t2 + -λ) cos x + - ∑ 	-—sin λ∕‰ t cos(2n +
V πJ τr∏⅛ (λn +l)√λ∑
raeΛn = (2n+1r-l,n = 0.1

/	,4 πxt , (M . t2∖ .	,
u(x, t) =	+	h — sma: +
Z ∖ 7Γ Z J
÷- V 	( 1)	—gm√z‰⅛sin(2n + l)rr,
(l+2n)2√n(n+l)
где λn = (2n ÷ 1)2 — 1, n = 0, 1, ..
u(x,t) = J2 % 1)—2 (1 - cos(√n2 + 2 t)) cosnrr;
( ,λ ( . n . (16√3 κ t√3	1λ . x
u(x, t) = π(x ÷1)+ 	sn ——- + 1 sin - +
∖ 7Γ	Z /	6
7Γ	1
u(x, t) = t — xt + - cos 2t sin x + — (1 — cos 6t) sin 3x +
÷ Σ —( 9θ^ 9 cos4ntsin2nx;
n⅛ π(4n2 - 1)2
u(x, t) = t + 2xt + sin x +
∞ f-lYrλ÷1
+ Σ -, + 0	,1-.U - cos((3 + Hi)) sin(2n + l)x;
n=ι n(n + 2)(2n + 1)

Ответы к §20
461
16) u(x, t) = tx2 + 1 + 7t +
'2	. 2n ÷ 1 ,	. ,
I     sin —-—t — sin t
4 ∖2n+ 1	2
।	⅛a2∏+l	/
⅛b (2n+ l)2-4 v
∞
где sin2x = ∑ ak cos kx, a⅛ = 0 при к = 2п (п = О, 1, ...), «2п+1 =
∕v=O
- ~8
~ π((2n+ I)2 -4)’
оо Qτrr∕
17) u(x, t) = t(x + 2) + 24(7 — sint) sinx + ∑ ———
n=2∏ +1
sint —
— sin7nt )sint,
7n	7
. X ∞	.	(-l)n+' ■ 8n 2 ,z 2 п
где sin - = )v an sm≡, an =	-l2		—, 7^ = 3(nz - 1);
п=1	Л~ 1
(4п2 — l)π
18)	u(x, t) = t(x + 1) + 8 (ch 2t — ∣ sh 2t — е sin ж +
+ J2 θπan (e~t ~ cos7n^ ÷ — sin7nt^ sin(2n + 1)ж,
∞	(-jAn÷1 g
гае sι1121 = ∑⅛sm(2n + l)x, ⅛ = „(2„ _ 1)(2„ + ,
72 = (2n + 1)2 — 5 = 4n2 + 4п — 4;
19)	u(x, t) = t + 2x + (е t — cos 5t) cos 5x +
÷S 77π (e--oos((2->÷1)0÷^)→2n÷1)≈.
n≠2
∞	2
где sin ж = 52 ‰cos(2∏+ 1)ж, αo = - >
n=0	π
«„ = <-1>T÷'>-' (» ≠ 0):
onλ /	32 1 V3t х Г 32	. Vbt з"| Зх
20)	u(x, t) = х + -7f sh — cos - + ∣~9-7=- sin — - -j cos τ +
+ f ^sin(7w⅜)c0s (2n+17
n=2 7∏	z
1 ∕(2fc+ 1)2 Γ n 1 0
где 7„ = -√- 1, п = 0, 1,2, ...;
21)	u(x, i) = 7r(l + τ) + 4θ sj1271 sin —
7ΓV 3	6
/ 16	. Vbt l 45 . х l an .	, . (2k + l)rr
- 	Sin X + r s1n0 + L - s1n7ntsm
∖3τr√3	2 Ъ) 2	n⅛^	θ
∕(2fc+ I)2	Г „ 1 „
где 7« = √ -—	1 , п = 0, 1, 2, ....

462
Гл. 6. Смешанная задача
20.18. 1) u(x, t) = (х — 3π) sint +
+ fcos t — (sin t — t cos t)^) cos +
+ V		(^-
∏=o π(2n + l)2(n + 2)(n — 1) ∖2n + 1
n≠l
sin
∕2n + 1
\ 3~~
t) — sin t
2)	u(x, t) = t + х cos t + (1 + —t) sin t sin х +
∖ 7Γ /
∞ (-^∩n
+ V 		—/	(cos t — cos(2n + 1 )t) sin(2n + 1 )х;
n¾ τr(2n + l)2n(n + 1)
о ∞ cos t — cos (п + - I t
3)	tl(≈.ι) = a>st + - ∑ (2л _ ,)(2,, +∖)^∕+3)
4) u(x, t) = xt + t2 ÷ — 52
π п=1
(-i)n
n(l + π2n2)
sin(vz 1 + π2n2t)
∖∕l -к 7r2n.2
sin тх;
5)	u(x, t) = sin 3t + -j (sin 3t — 3t cos 3t) —
lo
∞ a
— 52 		(3 sin nt — nsin3t) sinnrr,
∏=ι ∏(n — 3)
n≠3
∞ ∣
где x(π — x) = ∑ <x n ■ sinnx, an = —3 (1 — (— l)n), n = 1, 2, ..
n=l	ТГП
6)	n(x, t) = x2 cos 3t +	(1 — cos 3t) ÷ sin 3t cos 3x +
oo ‰	oo
+ J2 2 n (c°s3t — cos nt) cosnx, где ‰2 = J2 ‰cosnx,
n = l П 9	n=0
n≠3
an — (-l)ra^ (n ∈ N), a0 — Зтг2;
п
7)	n(x, t) = x2 + t sin 5t ∙ cos 4ж +
+ £ 4 ∙ (~1)n~1 . sin(√^+9⅜)
n=l	7Γ2n2	√n2 + 9
n≠4
cos nx∖
8)	п(ж, t) = π — x + xt2 + (4 cos 2t + t sin 2t) sin x + sin 4t ∙ sin 2x +
∞ ι _ (-∏n
÷ Σ 2 ∙	v3 7 cos2nt ∙ sinnx∖
n=3	n
9)	u(x, t) = (x — l)et + et fcos(vz4π2-11) — sin(yz^7r cos2πx +
∖	v4π2-1	/
∞ 4.(-ip
+ ∑ —v 2	■ e ■ (cos ∕jjnt - 1) sinλnx,
n=ι πrψn
n≠2
∞4∙(-l)fc+1	.,	,	πn 2	,2	1 ,	1 0
где x = > y —	sιnλfcx,	λn =	--, μzn	= λ↑l - 1, к =	1, 2,
L,-ι π∕c	2

Ответы к §20
463
10)	u(x, t) = (ж2 - x)t + | + | - ⅛e4t -
~ Σ ТТ ■ e2t ■ f∞s(√λ2 - 4t) - 1 - 2sιn(vz∙λ^ cosλraτ
П=0 ^n	\	V ^ri — 4	/
где — 4х — — 2 + ∑	cos λk%, λk = тг( 1 + 2fc), к = 0, 1, ...;
к=0
И) u(x, к) = xt + t2 +
+ (cos(√Γ+^<h¾) + 2s⅛(√l+9π2⅜)- ⅜√1+9π2λ ψ
∖	3τr(l	+	Зтг2)3/2	/
∞ 2(—l)n+1	/ 1	\
+ ∑ ——½- ( — sin μnt - Л sin λnx,
n=ι λ∏ ■ μn	'∣j"	×
7T,≠3
где λn = πn, μ2n = λ‰ + 1, к = 1, 2, ..
1	■	ΓΛ	16∖	t ,	lθl	• χ .
12)	u(x, t)	= х + tδ	+	I	—	— cos	-4	sin - +
L∖	7Γ /	2	π J	2
+ 52 ^⅛ (l - ∞sλnt)sinAnx, где λn = 1 ^t2n, n = 1, 2, ...;
n=ι πλn	2
13)	u(x, t) = — 36te t sin ж + (cos √z71 — е t)sin3x +
γ-∖ 18τr‰ /	, । 1	, . —Λ ∙ ∖
+ > j 	 - cos μnt + — sin μnt + e sin λnx,
∏=2 μn + 1 ×	0'∏	J
∞	4(-l)fe
где x = J2 ¾sinλ∕c.τ, ak = ——λk = 1 ÷ 2fc, к = 0, 1, ..
k=o	πλk
14)	u(x, t) = (sh2t — 18 cos 2t) cos ∣ + (cos 2t + 4t sin2^) cos ÷
4*4 Qτrry
÷ 52 ~—~ (cos ΛΛ ^^ cos 2t) cos λnx,
n=2 μ∏ - 4 ∞
где x — 2π — 52 ak ∞s λkX, &k — —, ~ θ> 1 ’ ∙ ∙ ’
fc=o	7l^A∕c
λfc = ∣(1 +2fc), к = 0, 1, .... μ2k = (1 +2fc)2 -5, к = 1, 2, ...;
15)	u(x, t) = (3 sh 3t — 6te 3t) cosx + (∣et + 3t)cos3x +
∖ 9τro-∏, /	.	3 .	, _зЛ ∖
÷	cosμnτ	sinμnt — e cosλnx,
n=2 9 + μn ×	×
π	∞	-4
где x -- = 52 ⅛cosλfcx, ak = —к = 0, 1, ..., λk = 1 + 2k,
2	fc=0	τrλfe
к = о, 1, ..., μ2k = λ2k - 10, к = 2, 3, ...;
16)	u(x, t) = (cht — 72te t) sin | + (2 cos у/71 — 2e t) sin +
у—л	9τro∏	/	, .1	, .		. л
+ > ,	—2	 I -	cos μnt 4	sin μnt + е	I sin λnx,
n=2 μ∏ + 1 ×	л*	/

464
Гл. 6. Смешанная задача
∞	(-l)fc	1
где х = 52 ⅛sinλ∕cx, ак = —2-, к = О, 1, ..., λk = -(1 ÷ 2fc),
k=0	πλk	4
к = О, 1, ..., μ2k = (1 ÷2fc)2 -2, к = 1, 2, 3,
17)	u(x, t) = (sin t + 2t sin t) sin х + 52 πan^ (cos λnt — cos t) sin λnx,
n=ι 1 - λn
∞	4(-l)n
где x — 52 ‰sinλnx, an — ——n = 0, 1, ..., λn = 1 + 2n,
∏=o	πλn
n = 0, 1, ...;
/	2	2	∖
= cos 5t — — sin 5t + -t cos 5t cos 5x +
∖	25	_	5	/
25π‰
λ2n -25
5 .
—- sin
cos λnx,
n≠2
7Γ ∞
где x -- = 52 <‰∞sλnx, an - —r,
2	n=0	πλn
n = 0, 1, ...;
-4
n = 0, 1, ..., λn = 1 + 2n,
19)	u(x, t) = (cos 2t — ∣t sin 2t^ cos 2x +
÷ 52 (cos 2t — cos λnt) cos λnx,
n=ι λn - 4
7r	∞	-8
где x -- = 52 ¾cosλnx, an = —ς, n = 0, 1, ..., λn = 2(1 + 2n),
4	∏=0	πλn
n = 0, 1, ...;
20)	u(x, t) =	sin 6/ ÷ ∣t cos 6t) sin 6x +
5^8. Qτrrv	/	6	∖
+ 52 ——— (sin6t — — sinλnt) sinλnx,
,, () Xn — 36 ∖	/
n≠l
где x = 52 an sin λnx, an = -—’ rι = 0, 1, . ., λn = 2(1 + 2n),
n=o	πλn
n = 0, 1, ....
/	1	9	∖
20.19.	1) u(x,C) = xt + (2 ch 3t + - sh 3t — - sin 9£ 1 sinx+
∖	Э	<3	/
1	oo an (	9	∖
+ — (9t cos 9t — sin 9t) sin 4x + 52 —2^	 s^n 	s^n s^n nx^
96	n=2, 6(n —16) V a∏ /
n≠4
где an = vz6n2 — 15 , 9x2(π — ж) = 52 <^nsinnx,
n=l
αn = ¾[2(-l)"+1-l]j
п

Ответы к §20
465
2) u(x,t)=xe t + ^(l+2e 6t-Зе 4*)÷(e 2t-e 4t-2te 4t)cos2x +
∞ e~3t ( _	1	\
+ V —5—5	 (е t- cos ant-∖	sin ant ) cos 2nxy
n⅛ 2n2(n2 - 1) X	‰	7
где an — v‰2 — 9 , (2x — π)2 = Σ + ∑ Д cos
3	п=1 п
3) u(x, t) = е 2t + (
— sin 4£) sin +
— sin 4t + 3 ch 2t
5
94	∖ τ 1
—— sh 2t) sin - + — (4t cos 4t —
Э / Z 1 о
V —— Isin 4i — — sin ant I sin —,
⅛. 5(n2 - 9) V	an n )	2’
n≠3
где an
У3т1	13	/ 9 л ∖	∖~~^	∙ TLX	96 г/ л ∖∏
			, x(xz — 4π) = ‰sιn-, an = —
2	n=ι	2	∏
2	1
4) u(x, t) =2x2t+	(1 +4е-Ж — 5e-8t) + -(6te-8t — e~2t + e-8^) cos x +
oθ v	6 7	6
,	3e^	(	+	-3t	3 . Д .
+ > —о—о	 cos ant — e oτ	sin ant cos 4nx,
re=2 8n2(n2 - 1) ∖	an J
∞ /?
где an = ∖∕16n2 — 25 , 12x(π — 2x) = π2 — J2 ~ cos 4m;;
n—1 n
5) u(x, t) = — + (te t — sh t) sin 2x + cos √TT t sin 4x +
+ Σ 1 JTnΓn (e~^ - cosω√+ sin2(2n÷ l)x,
16n(n÷ 1) ∖	ωn J
-2	(	π∖ ∞	. q
где α2n+ι = —		-3, χ z - о = ∑ an sm2≡,
7γ(2∏+1)	∖	n=ι
ωn — √16n2 + 16n — 1 ;
6) u(x, t) — xt2 — 2t + Q sh 2t — te 2t^ cos 3x +
1 y^^∖ on / —2t	j. I 2sinωntX q
÷ >		 e z — cos ωnt 4	cos3nx,
n^2 Tl - 1 X	ω∏ J
4	π2 ,	. 2	∞
где an = —2’ rλ = 1,2,..., α0 = —, x - -	= ∑ ‰cos3nx, ωn =
9n	2/ X	6√	n=0
= √9n2- 13;
β
7) u(x, t) = 3xt2 + 4 (sht — te~t) cosx — -e~t cos 3x +
О
। V~' 3τΓC⅛7i ( —≠	, sin<x>nM /0	1 i λ
+ Σ -^~∕—rw e - cos ωnt H	cos(2n + 1)®,
4n(n+ 1) ∖	ωn /
8	σo
™e °” = .(3 + 2,.)(1 - 2,.)- shl21 = ∑,t,"cθs<2', + 1'1-
ωn = ∖∕ 4n2 + 4n — 1 ;

466
Гл. 6. Смешанная задача
8)	u(x, t) = (2ж + l)t2 + 8 (sh⅛ — te t)sinιr+∣e tsin3rr÷
э
। V~* 3τΓQn / —+	,	. / q ∣∖
+ > , ^~∣—rπτ е - cosωnt +	 sιn(2n + l)τ,
r⅛ 4n(n+ 1) ∖	ωn /
8С—∏n	∞
ГДе = π(3 + 2n)(l-2n), Sin2a: = £/'" Sin(2n + 1)Ж’
ωn = vz8n2 + 8n — 1 ;
9)	u(x, t) = (ж + 2π) + e5t sin х + 32£ sin	—
2π	2
- £ 2ζ7rαn (1 -e(9-<)t)sinλrax,
n=2p⅛l, 4λn — 9
p=0,2,3,...
(0, п = 2p,	∞
I 4	( о ∖	∙ ∏%' \
где an = <j _JL_ n = 2n ÷ 1 ’ x(x ~ 2π) = ∕> a∏ sm λ" = х,
I πλ3n, r	«=1
п = 1, 2, ...;
10)	u(x,t) = xt2 + π2(4t + 1) — 6⅛2 cos 2а? —
- £	[e(4-λn)* + (λ2 - 4)t - 1] cos λnx,
n=≠0,4 z^n 4 L	J
4	4tγ2	о oo
где αn = —, и = 1, 2, ..., α0 =	(% ~ 2π)2 = ^ncosλnx,
λn	d	п=0
λ∏ = p n = 0, 1,
11)	u{x, t)=x + t- π - 16⅛2 cos ∣ ÷ cos ÷
+ £ —(1 — cosμni) cos Anx,
n=2 Мп
4(-l)n+*	2	2^ λ
где ап — ——, х£ — 7Г — ) v an cosλnx,
п=0
λn = | +п, п = 0, 1, ..., μ2n = 4λ2 - 1;
12)	u(x, t) = ,πx + 1 + ( -2=- sh(χ∕81) + 1 j sin а? — -^t2 sin За: +
∞ πa
+ £ -√i (I - cos∕a,,∕) sin λ,,a∙,
n=2 Мп
где ап = —у, x(x — π) = ∑ °tn sin λnx,
ττλn	п=о
λn = 1 + 2п, п = 0, 1, ..Мп = А2 - 9.
лл л л л απv2 , . πx . τvι∣
20.20.	A cos	1 sm — sin —.
Р Р Р
20.21.	3 cos(a∕5 t) sin х sin 2y + sin 5t sin 3x sin 4y.

Ответы к §20
467
. (2Aj⅛l)πrr . (2Z⅛l)πv
1 П л 2 2	∞ Sin 				 Sin

20.22.					о	2	cosπαμ⅛zΛ
7T6 fe⅛o (2fe+ 1 )2 (2Z + 1 )2	μk'l
∕(2fe+ 1)2 -l (2Z + 1)2
где μk,ι = 1 / 	rj~ + 		Γ~l- ■
V Р Ч
20.23. 1) Л cos
aμ∏t τ / μnr∖
^fΓj°⅛7
2)	∑ (an cos ^-at + bn sin ^-at∖ Jo , где
n-↑ \	-К	it /	∖ it J
(μn — положительные корни уравнения J0(μ) = 0);
3)	ω(r,z) = 8Λ∑ 4y^2cos^,
где μn (n = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Jq(m) = θ∙
Указание. Задача приводится к решению уравнения urr +
-|	ur = -^utt При условиях U∣r=H = 0, ∣n∣r=o∣ < ∞5 iz∣t=o =
r а
= А ( 1
t=o = 0. При вычислении коэф¬
фициентов ряда (*) воспользоваться следующими формулами:
∫0 C∙Λ)(ξ) dξ = χjl(ж), ∫θ ξ3J0(ξ) dξ = 2x2J0(x) + (.r3 - 4ж)7[ (ж).
20.24. l)uμφ,t)=∑-Ar3
fe=l 4(μ^)
[40)^ - sin (40)Z)| Jo (240V),
1/2
I r∕(r)Jo(2μ⅛oV)dr
где bk =		, k = 1, 2, ..
j r ^J0(2μ^r)^ dr
О

468
Гл. 6. Смешанная задача
2) u{r,φ,t) = £	⅛,2 sin2 (μ^t∖ ∙ .∕0
fe=ι 2(∕4√) V / V /
1/2
| rf(r)J0(2μlj^,r)dr
где bk =	, к = 1, 2, ..
I г (j0(2μ^r)') dr
3) u(r,φ,t) = 52 <⅛cos (μk^ ' Л (jjιk^r) sin⅛9 +
+ ~⅞γsin 6uM t^2 (μΓr} cos2<Λ
2μ^	1 V / V V
j r∕(r)Jι(μJ⅛υr)dr
где ак = 2	, к = 1, 2,
р(л(/4‘М) dr
О
°°	( 1 (2} ∖	( (2} \
+ ∑ α2fe cos a Ai⅛ Ч J> (μk г I cos 2φ +
⅛=1 ∖z /	\ у
+ Σ 2^jγ [cos - 1] Ji (μ^r) cos4^-
j rFm(r)Jm(μ^r)dr
где атк = 2-∣	, к = 1, 2, ..т = 0, 2, 4, ..
jr(jm(∕ΓfemV)) dr
О
= /(г), если т — 0, 4, Fm(r) = если т — 2;
5) n(r, φ, t) =
( (2)≠
= cos I μ∖ jt
«24
2(M≈>)≈
1 — cos(μ^t)∖ Jz
^μΓr^) sin2φ +
4alfc
/ (1)\2
fe=ι НО
cos
1 (!) λ ,
2⅛ rJ cos⅛3 +

Ответы к §20
469
fc≠4
+ Σ
fc=l
«2 к
2(⅛2,)≈
1 - cos	Л (∣Mfe2'*r) sin2⅛c +
^4fc
(4)
1 - cos(μ^t)
2/44) .
pl4)r) sin4√,-
jr∕(r)Jm	dr
где amk = —2	, к = 1, 2, ..т = 1, 2, 4, ...;
p(jra(∣μtM) dr
6) zu(r, φ, t) =
= cos (p4°^) +	(1 ^ C0S (ξμ4°P) J° +
+ Σ ⅛ [1 - ∞s (∣4V)] Jo Q∕40V) +
⅛1 H ) l v4 7j vj 7
+ Σ pt sin (pfc°)f) j3 (|43)p sin3φ +
+ Σ ⅛⅛ [1 - cos (pfc6)f)] jθ (pfc6)r) cos6^,
fe=l H ) l v4 7j v^ 7
jrFm(r)Jm (ps∑r) dr
где amk = 	, A; = 1, 2, ..., m = 0, 3, 6, ...,
p (jm (P'="°r))dr
0
Fm(r) = g(r), если m — 3, Fm(r) = ∕(r), если m — 0, 6;
7) u(^r, φ, t) =
sin(2μι2)f)
α2ι (cos -Q
(' (2} ∖
μ∖ jrj cos 2φ +
+ Σ 77‰ [cos (2μ^t} - 1] J2 (μ^r} COS 2φ +
fe=28(μ^) L V / J V /
+ Σ ppγ [1 - cos (2μl0i)] Ji ptr) si∏φ +
+ f a0k [cos(2∕4⅝ - 1 ~ cθs(⅜0'°1 Jo (μ^r∖
k=ι L	θH ) J v 7

470
Гл. 6. Смешанная задача
| rf(r) Jm(μ[m',r)dr
где arnk = θ	, к = 1, 2, ..., т = 0, 1, 2, ....
р (‰(μ*mV)} dr
о
20.26. 1) u(x,t) = [μk4 (2-μ2k) cos μkt+μk2t2+μki (μ2k-2)]J0(μkx').
Указание. Решение можно искать в виде и = v + w, где у =
= (at2 ÷c)Jro(μ∕cx) — частное решение неоднородного уравнения, w —
решение однородного уравнения, w∣f=0 = -⅛=0, wt∣t=o = ~υt∖t=(Γ
2) u(x, t) = (jd2k — l)-1 (cos t + sint — cos μj⅛t — μki sin √o(^fc^)∙

Ответы к §20
471
Указание. Решение можно искать в виде и = v + w, где
v = (αsint + 6cost)7o(∕¼^) — частное решение неоднородного уравне¬
ния, w = (Λcosμ∕ct + В sinμ∕ct)√o(^fc^) — решение однородного урав-
нения, w∖t=o = —υ∣t=0, wt∖t=o = -t⅞∣t=o∙
20.27. 1) ∣ l-4⅛cos2i
2	Jq (2)
3) t — 1 ÷ Jo(μιx) cosμρt.
20.28. 1)
2>1 + ssi"3i 1-⅞⅛r
3)
Jo(2x) .
Jo(2)
cos 2/ + cosμιf.
1 -	; г cost;
£
2
20.29.	7uc,y ι cos 2t + jθ(2a^ sin 3t.
Jo(√3)	J0(2√2)
on Qβ Po "7° (a r)	1	∙	≠ I 2p0ωB∕3
20.30.	—- 1 smc√t+-

ω2p Jo (⅛)	aP
где p — поверхностная плотность мембраны.
Σ
n=l
∕√7>τ ,
μ∏	μn)'7ι(μ^)
Указание. Задача сводится к решению уравнения
-^utt — urr + г lur + p 1sinωi, 0 < г < R,
а
∣U∣r=0∣ < ∞, W∣r=β = 0, u∣t=o = ut∖t=o = О-
20.31.	1) Jι(μfeιr) cos μkt + J1(μmx') cos μmt',
2)	J↑ (μkx) cos μkt + μ^1 Jj (дтж) sm μmt.
20.32.	(1 + μ2kpl(et - cosμkt - μp smμktpι(μkx').
20.33.	1 Jι(x) sin⅜+ 1 Jι(3x) sin3x.
2JιO)	2jμd>)
20.34.	1) (cosμ∕ct + μλΓ1 sinμ∕ct)
2)	Qcosμfct÷ ∣∕⅛1 sinμfct)
20.35.	1) (μ1-2t — μ^3 sinμιt)
2)	(μ2 — I)-1 (cost — cosμιt)√2(μ1rr)∙
20.36.	1) μl 1 J3(μ↑x) sinμι⅛j 2) (cosμιt÷μ1 1 sinμιi) J3(μ1τ).
20.37.	1) [μfc(l + μ∣)]-1(sinμfci - μfc cosμfci + μfce-t)J3(μfca^
2)	μjp(2μp + t-t2 - μp sinμfci - 2μ^2 cosμkt) J3(μkx).

472
Гл. 6. Смешанная задача
20.38.	√o (2μιλ∕≡) cosμιt
Указание. Полагая и = X(x)T(i)i получить уравнения
∖^,
X" + — + —X = О, Т" + λ2T = 0.	(*)
X X
Уравнение (*) подстановкой η = 2λy∕x свести к уравнению Бесселя
X"(η)+'-Xl(η) + X(η)=0,
имеющему общее решение X(jf) = aJo(j]) ÷ Wo(r∕)∙
1	∞	I MnV 7Г/ I I .	„J-
20.39.	| £ А„—-	Γcos^≠,
J n⅛ jf(μn) 2√Z
= ∫u0(x) Jo (jl∩∖jJ ) dx, μn (п =
где А,
корни уравнения Jq(m) — θ∙
1, 2, ...) — положительные
Указание. Задача приводится к решению уравнения uxx =
= a2(xux)x, 0 < х < I, а — y∕g, при условиях |п|ж=о| < ∞> u∖x=ι = О,
⅛=o = ut∣t=o = 0.
(zAn^)tΛ) ^JJjn , где
20.40.	^2(Λn cos aλnt + Bn sin
μn (n = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения Jo(m) = θ∙
Указание. Задача приводится к решению уравнения =
= a2(xux)x + ω2u, 0 < х < Z, а = Хд, при условиях ∣n∣rr=o∣ < ∞,
u∖x=ι = 0, U∣f=o = Uq(x∖ ut∖t=o = Ui{x).
20.41.	-^-J0 (μ∕c√≡)sinφt
μk
20.42.	1) ^4μ1^2t — 8μf3 sin	Jq (μι√^)j
2)	4(μ2 — 4)-1 (sint — 2μf1 sin	Jq (μiy∕x).
20.43.	— J2(⅛√≡)sin^⅛.
μk
20.44.	— J3 (μι √^)sin^∙t.
μ↑

Ответы к §20
473
20.45. 1) ιz(x,t) =
(+)≈
L⅛⅛,l ∕ (1>,λ +
∖ Mi /	'	'
J∖ ^μ↑^x^ +
2> b<m=⅛
1	( ■ .	sm(μ^t~)∖	/ (1) \
(В,2	1 sιni	(⅛- j∣ И хУ
(μ2 )	1 ∖	0j2	/
sin μt
μ(μ2 - О
/2	t2
4) п(ж, t) =	— cos μt 4—^ —
∖M	μ
3) u(x, t) = cos μt —
sin t
√-l
2
2
м
Jι(μx^)), raeμ = μ[l^,
J∖{μx), где μ = μ^1∖
20.46. 1) u(x,t) =
(1 — cos μt)
Jo(μx)
μ2
1
(B,>),
(θ)
где μ = μ2 ;
2)	u(x,t) =—(∞sμt — cos2^)√o(μx), где μ = μ2*∖
4-μ
3)	u(x,t) = —2^— [cos t — cos μt + sin t — — sin μt^ Jq(μx),
G))
где μ = μy2 .
20	.47. 1) u(x,0) = ^cos(μ∣2^) +sin(μ∣2^t)^	(^μ^x^ ÷
2)	u(x, t) =
÷ (cos(μ22'M +
-w(cos(μ^t) -1) +
(μ2 )
I / (3)Λ τ ( (3)
+ cos I μ^ 11 √3 (Mβ x
t2
(^3))2.
3)	u(x,t) (5h2-1
IM,2 J i
cos {μ^i) — cos i) J3 (μ^x
sin(μ<5^)
,,(5>
C,5
4)	UM~ (μ^)2-l
+ cos(μ∣6^) j6 ^μ^χ^);
sin(μ^⅜)
μl
J3 (^μ^x^ +

474
Гл. 6. Смешанная задача
5)	u(x,t) = βfecos	J4 (∣μjj4M,
fc=ι \б 7 \о 7
3
∣τ∕(τ)J4 (∣Mfe4^) dx
где ак =	, к = 1, 2, ...;
(j, Gz''41',))dx
О
6)	u(x,i) = £ sin (∣∕⅛M X (⅛5M,
⅛=ι Mi≈5)	\4	7	\4	7
4
j ж/(ж)Л (д/45>ж) dx
где ак =	, к = 1, 2, ....
N(j5 Gμ*5M)dx
20.48.	1) u(x, t) = 4 (1 — cos	Л	+
+2 sin Qm2°^) jo (λt2^Vz^)i
2)	u(x,t) — cos	Л (μ]4)∖∕aθj
3)	u(x,t) = -щsin Qμ41^) Ji (^μΓVχ∖
20.49.	1) u(x,t^) = -ру (1 + ^μg°ji - e~μ,"'t^ Jo ^μ^y∕x^∙
2)	u(x, t) = Г (-e~μt + te~μt + t — —') Λ(μ)- гДе М =
μ ∖μ	м/
3)	u(x, t) = ∣- (e~i⅛t — e~μt^ 7q ’ гДе Г = M2^∙
20.50.	1) ∑ an exp /— (rlΞΞ∖
п=1	[	× lj ' J Z
2 р / \ • πnx η
где an = - J uq{x) sin —— ах;
/ 0	I
если uo(x) = А = const, то
/ ,λ 4A v~^	1 f /(2k + l)πα∖2 ,1 . (2k + Aπx
"<1't> = V∑2tΨTejφM I J t∫sm I
к=0

Ответы к §20
475
если ∏o(^) = Ах(х — 1), то
u(x, t)
8At2 1 J 2 (2k + 1)ла\2 1 . (2⅛+l)τrx
—⅛0mTj≈expi^'. i ) tJs'"-i—;
2) у ∑ «„
1 п=1
2 .	2
σ + μ∏
σ(σ⅛ 1) + μ2n
ехр
где an = ∫uo(x) sin AAA c[χ, μn (∏ = 1, 2, ...) — положительные
о	lj
корни уравнения tgμ = — -, σ = hl > 0.
σ
Указание. Граничные условия имеют вид и∣x=q = 0, (их +
-∣- hu)∖x=ι — О,
3) | £ δnexp{-(^)%
μnx . μnx
μn cos —— + σ sm —
σ(σ + 2) + μ2n
7 г / ∖ /	μ∏x ।	∙ μ∏x∖ л
где brι = J uq(x) ( μτι cos —	Н σ sm r-- I ах;
0	∖ I	I J
μn (п = 1,2, ...) — положительные корни уравнения
ctgμ = - ( - - ), σ = hl, u0(x) = u∣t=0.
2 ∖σ μj
Указание. Граничные условия имеют вид (ux — hu)∖x=o = (их +
^^h hu^∖x~I — 0,
4) по- Указание. Граничные условия имеют вид ‰∣x=o = (‰ +
Н- hu)∖x=ι — 0,
r∖ n0 2n0	(-1) f / (2k-I-l)πa∖ A (2k-∖-l)πx
j T + ^Γ⅛02ΓTTexp∖ I I ) 7cos i ’
lim u(x, t) =
t→∞ v 7	2
∏o 4π0 ∞	1	(	(2(2k+ l)≡λ2 1	2(2k+∖)πx
()	2	∕q7	1λ2 exP ]	\	/	/ £ f cθs /
2	π fc=o(2^+l) ∣k V l / J	1
lim u(x, А =
t→oo	2
oncι п 32 V- (-1)"	1 ∕2n+l \2Д	2n+l
20.51.	1) —г > ——-—т ехр < — —-—π t cos —-—πx
π3 *n÷'o(2n+l)3 Ч к 2 J /	2
9А 4 ∞	1	Г r∕(2n+l) ∖2 , 1-∣∩ . (2n+l)
2)	π ∑02TTTexpt-K ^2π) +ψ}sm^-∏π^
3)
A ∑ ,q *2 exp{-(2n + 1)2⅜} sin(2n + 1)ж.
7r n=o (2n+ 1)

476
Гл. 6. Смешанная задача
20.52.	1) щ + ^-Л^х + I f l{(uθ - wι)(l - (-1)«)+
I	л П=1 п
+(-l)"(u2 -ω0)}exp∣ - f∣sin^≡,
Jim u(x, t) = щ + (∏2 — щ) j;
oλ . 8At2	1	f ((2n + l)τrα∖2 , ] . (2n+V)πx
2)	щ 4	r- 2Z 7	г? exP 1 “  	Н— Ч sm  	Н— “
π2 n¾(2n+l)2 IV I Ji I
a	(	∕(2n⅛l)παλ2 ∩ . (2n⅛l)πx
—4161 > , exp 5 - I  	— I О sm  	-l—,
∏=o I V /	√ J I
lim u(x, t) = 161;
ι→∞
3) U2 +
4(A-⅜) ∞ (-1)"
7r n⅛o 2n + 1
ехр
(2n+l)τrα^2+1 (2n+l)τrιr
21	) tΓ°s 21
8.4 ∞	1
тг2 n⅛b (2n+ I)2
Г ∕(2n+l)τra∖2 ,]
exH~( 21 ) tΓ°s
(2n + l)τπr .
21	,
4) ?+^1+ ∑ к
К	n=0 L
4 (2n + l)πi6ι + lq∕k~∖
л W+W J x
f /(2n + l)πa∖2 ∩ . (2n⅛l)πx
× ехр { - t; √ ) *) ≡ 2il
2 р / ∖ ∙ (2n + l)πx j
где an = - J uq(x) sm — dx.
I 0	zι
Указание. Граничные условия имеют вид ⅛=o = Щ, ^x∖x=ι —
= Г
U2 sh -х — ui sh - (ж — Z)
20.53.	1)

sh^
а
l 2	∕πn(-l) 162 - i6ι l А г ( ∖ ∖2≠η ∙ πra
+ 7∑	——~2	÷an ∙exp{-(aλn4}sm-
l ∏=i ∖ l An	/
9	7	2	I
,9	/ 7ГП \	, (П\	с I \	,
где /\„ = —	+ - , c⅛ = u0{x) sm —— dx.
∖ I J ∖a∕	a	Z
Указание. Задача приводится к решению уравнения
ut = a2uxx - h2u
(*)
при граничных условиях 16∣x=q = Hi, r^∖x^ι = I62 и начальном условии
i6∣t=o = i6o(x). Решение этой задачи искать в виде u{x,t) = v(x) +
+ w(x,t), где v — решение уравнения a2v,{x) — h2v = 0, удовлетво¬
ряющее заданным граничным условиям, а w(x,t) — решение урав-

Ответы к §20
477
нения (*) при нулевых граничных условиях и начальном условии
U∣t=o = u0(x) - Щ);
hch-(l — х) + h↑ash -(Z — х)
2)				ы	аы

/г ch- +∕z1αsh-
О 2 v⅛ Mn(∕4 + ^ι) exp{-(α2μ2 + h2)t} .
- 2uiaz ∑	j∖l2v ;2П—smμnrr,
n=l (α μn + h ) l(μn + ∕∏) + hi
где μn — положительные корни уравнения tglμ = —
h∖
Указание. Граничные условиях имеют вид zιz∣x=o = Щ, (‰ +
+ h∖u)∖x=ι — 0. Решение искать в виде u(x, t) = v(x) + w[x, t), где v —
решение уравнения a2υ''(x) — h2v = 0, удовлетворяющее краевым усло¬
виям n∣rr=o = uq(x), (vx + h↑v)∖x=ι = 0, a w(x,t) — решение уравнения
(*) (см. задачу 20.53, 1)) при условиях w∣x=0 = 0, (wx + hw)∖x=ι = 0,
w∣t=0 = -v(x).
ОЛ ел Λ∙J-≈ 2j4^2 v2> 1 fι	( ('πna∖'1 Л\ ■ πnx
20.54.	At— - — ∑ _{1 - „хр ( - (_ ) t)} sιll —
20.55.	l)1-∣+≈ g ,f^,'. co⅞⅜,lJ. ⅜,, = τl2"+'h
7Γ n=o (2n + 1)
2) £cosx+|(e 8t — l)cos3x; 3) ж£ + sin 7гже+ t 71^2^
о
4) х + t sin х + | (1 — e~8t) sin Зж; 5) tx2 + ∣ (e4t — 1) + t cos 2ж;
6) £+1 + (1- e~t)ex sin х + ex~4t sin 2х.
20.56.	1) xt2 + et + sint — cos t + е 3tcos2x;
2)	x2 + 2e9t + (2t — sin 2t) cos Зж;
3)	х + t2 + ^(e5z — 1) cosх + ∣(1 — β-3f) cos3x;
э	о
4)	tx2 + х + J2 	1^ '2,^ 2	(1 - e 6(2fc 1^t) sin(2fc — 1)ж,
fc=ι (2fc -1)-6
C,2fc-1 = - (2fc+ 1 - 2fc-з)’
5) t(x + 1) + е 2x
fe=l
Г °’
Ck = < ]_ / 2
I 7Г \2т — 1
fe—(1 — е (fc2π2+4)+ sin kπx,
k2τr2 + 4
если к = 2т,
+ о 1l 1 + о 1 q), если к = 2m - 1
2m + 1 2т — 3/

478
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Гл. 6. Смешанная задача
20.57.	∖)u(x,t)=xe	+ -te t∕4 sin +
π	2
u(x, t) = x2e t÷(^-÷2)(2- е t) — 4e t cos х +
∞ 4(—1)" (e~t-e~n2t}
+ Σ 	2¼—п	-∞snx,
п=2 П (П - 1)
π2
∞	2 + —, п — О,
где x2 + 2 = ∑ c^nXn, an = д/ 1 +
n=o	2	, n ≥ 1;
< п
, ,λ 2≠	π2t l r ∞ 4(-l)n / _Л 1∖
u[x, t) = х t	— + 5 + ) v v 47 е n — 1 cosшд
3	п=1 П \	)
u(x, t) = x2et + ^-(1	— et) + 3 + ∑	———у-	(e~^t	— et∖	cosnx;
12	n=ι	п (1 + 4n )	\	/
иМ = ≡ + t+ £ q∖
∏=o (2n- + 1)
4(-l)n
где	= —7—l~2∖
π(2n + I)2
2
1— е (2n+1)2^ sin(2n + 1)ж,
где ап
2∙[(-lf-l].
πn2
1 - е~пЧ
cos пх,
u(x, t) = x2t + t2 — -ζ- + £ —x^2n2t cos 4πm^
12 n÷l 2π2n2
u(x, t) = 2xt + t + IY2 + е 16π2f — Д-"| cos πx +
n÷l	'	π°
+ Σ “V—~	5 (1 - e-16π2(2n+1)2ti cos(2n + 1)дж;
n=ι 7г (2n+ 1) V	)
- ∑ ~2 (e-^t - 1 + 7fet) cos π(2fe +1>.
к=2 Ук	2
2 f (2k + 1)2 ∖ 1	∩ 1 q
где 7∕c = π2 (	I, к = 0, 1, 2, ...;

Ответы к §20
479
10) u(x,t)= l+x+∣ 2 + ^ e-7it+≤l[,
+ ∑ ⅛ (e^7fci - 1 + 7fci)sin ∑(2fc+lh
k=2 ry∕k
2 (2k + 1)	7	∩ ι Q
7fc = τr2-^—k = 0, 1,2,...;
11) u(x, t) = e2t + xe3t — ^te2t sin 7 +
3π
jl ∞	2(-If
∏=1 π(n2 + n)(2n — l)(2n + 3)
12)	u(x, t) = πxet + — tet sin2x +
∞	√ _ p(5-4(2n-l)2)t
+ Σ -T~9	1737^	Γ sin(4n - 2>;
∏=2 π(2n - 1) (n - n)
1 - <°π∕3
13)	u(x, t) = xt — x -∖

∣ y⅛ 2(eπ∕3(-l)n — 1) cos 3m? /
n=2	3π(n2 - l)(9n2 + 1)	∖
14)	n(x, t) = x ch t + ~^e~t cos ∣ -
∞ 4(—l)n (e~t — e-(8n2+8n+1)Λ
-					 cos
2
	 ^(2—4п2—4n)t
-8i _ et) _ 3(eζ3+1)fe-8t cθs3a, +
5π
g-8t _ e(l-9π2)A .
15) u(x,t)
π(n2 + n)(2n + 1)3
1 2 —4/
— -хе
4
§ + ZL
8	48
1
8
2
-4t
16) u(x, t) = πxe 2t 4
+ ∞ 8[l-(-l∏
n=2 7Γn3(n2 - 1)
17) u(x, t) = xt + - J2
2 π n=l
n=2 4n2(n2 - 1)
4 + ¾'ιe-2t<^ x
< 7Γ /
g—2t   ^-2n2t
6 √ J
( f-, —U 	 4n2t
) cos 2пх;
2
sin- +
. п
sin -х;
2 ÷ е
п
cos пж;
18) u(x, t) = xt2 + -∣ (1 + e 4t) cos ∣ +
+ LS(S⅛≡φ(-(1 + (n+5)2)0
cos nx;
19) u(x,t) = 2xe t + aote tcosx-∖-
+ ∑4⅛∏)k'-f42"+',,,)∞s<2"+ι>≈∙
∞		g
2x — π = J2 αo ∞s(2n + 1 )x, an =	, n = 0, 1,
n=0	7γ(2∏+1)

480
Гл. 6. Смешанная задача
20)	u(x,t) = 3xe t + &ote tsinx÷
÷ J2 1) (e~t ~ e-(2n+1^2^ sin(2n + 1)ж,
Зх = J2 a∏ sin(2n + 1)ж, ап — —п = 0, 1, ...;
n=0	7r(2n⅛l)
21)	п(ж, t) = πx + (t — sinrr)e-9t — ∣te-9t sin3x +
+ V 	~	 fe-9t — e-(2n+1)2Λ sin(2n + 1)ж;
n¾(2n÷l)2(n-l)(n + 2) V	)
22)	u(x, t) = 2x + te~t + 2te~t + 2te~t cos х + ∑e-t cos Зх +
иО
÷ V 			? (e~t ~ e-(2n+1)2f^ cos(2n + 1)ж;
∏=2 2n(n + l)(2n + 1)2 \	/
23)	п(ж, t) = (х + 1) cost + I"π + 2 (e~t — sint) + π 2 cost∖ cosx +
L 2π	2π J
+ ∑ α''^"4 fe-λ*∙i — cost — cosλnx,
n=ι 1 + A4Λ	λ2n J
2
где λ,, = 1 + 2n, a2n = -a2n+i = ——, n = 0, 1, ...
∞	7rΛn
sin x = J2 ⅜cθsλn^
n=0
24)	u(x, t) = (x + 1) sint + I"π + 2 (e~t — sint) — π 2 cost∖ sinx +
L 2π	2π J
, O⅛X / -∖2.	sintλ . λ
+ Σ ;—⅛ e λ" ~ cos t ~ ~T2~ sm
∏=ι 1 + λn ∖	λn /
2
где λn = 1 + 2n, a2n = ‰+ι = n = 0, 1, ...
7Γ Λn
cos ж = J2 ⅛sinλnrc5
n=0
25)	u(x,t) = τ∑	+ τ^(e-f -	1) + [fl +	Γe~2t +	∑)1	cos® +
2τr 6v	L∖	√	τr2∕J
,	2(-l)n	/ -t(n2+n Λ
÷ ) —? 0 	 e v + ' — 1 cosnx;
n^2 πn2(n2 + 1) V	7
26)	u(x, t) = (x — π)t + 1 + [(1 — ⅛)e3t∕4 ÷ aoi ÷ ⅛] ∞s ∣ ÷
+ ∑ (ant + bn-bne-^~l'>t]cosλnx, где λn = 1 ^ζ2n,
n=l ∖	/
8	l	8λ2	n 1
a∏ =	о	5— , bn = 	5—5	τ , n = 0, 1, ...
π(2n + 1)2(1 - λ2)	π(2n + l)2(λ2 - 1)2
27)	u(x, t) = 3x + t + 5e~t cos Зх + 4te~t cos ‰ +
÷ Σ —- (e-t — e-7r,t) cos 3(2n + l),τ,
n=2 7n - 1
7	20	(2n+l)2-3 q q
гДе b∏ = 75—-77τ75	ту, 7n =  	f2	, n = 2, 3, ...;
(2n + 3)(2n — 1)	6

Ответы к §20
481
24
28)	п(ж, t) = х + t — 7e~t cos 2х —cos 6.т +
э
+ Σ —г (e-t — e-7"t) cos2(2n + 1)ж,
n=2 7« - 1
,	—24	(2n+l)2-2 q „
где bn = -		r-, 7„ = -	-Z	, п = 2, 3, ..
(2n ÷ 3)(2n — 1)	7
29)	и(х, t = π ÷ πtx + — е τ sin - + -te τ sin — ÷
v 7	15	4	7	4
1	γ (e-t — e-7nt) sin(2n + 1)^,
,	8(-l)n	(2n+l)2-5 q q
r^e b" = (2,.+ 5)(⅛-3)' ™ = 	4	' " = 2' 3- ■ ■
30)	u(x, t) = π(rr + ⅛) — ^e~t sin f — ^te~t sin я: +
28	3	27
'	γ (e~t - e~^1nt) sin(2n + 1)|,
2(~1)"	^+1)2-4,n = 2,3,....
—24
,=2
-2 ‰
где ⅛
(5-2n)(7 + 2n), 7”	5
сю	R
20.58. 1) 7~ ∑ ane~(πna∕li')2t sin α = Г ruo(r) sin ~z,∕, dx∖
Rr „= i	r	о	r
2> ⅛,s
2	2
, σ ÷ Мп r-(aun∕R')2t
,n z 1 x 2 е
σ(σ + I) + μn
• r∏ I
sm-,
an = ∫ ru0(r) sin dx,
о	-κ
корни уравнения tg μ = ■
μn (п = I, 2, 3, ...) — положительные
х, σ = hR- I (σ> -I);
σ
3) u↑ + 2(nι —	J2(-l)nαne (α∕2^∕H)2⅛ s∣n
r n=ι	r
\/^⅛^
ап =	? μn (n = 1, 2, 3, ...) — положительные корни
μn{μn +σ(σ+ 1))
уравнения tgμ = — -, σ = hR — 1 (σ > — 1), h — коэффициент
теплообмена в краевом условии [ur + h(u — щ}] ∖r=R = 0;
∞ p~(aμrι∕R)2t
∑ —2	Sin μn (п= 1,
n=l μ∏ cos μ∏
yl4 l q f3a∖ 1 5г2-ЗЯ2 2Я2
4) "" + 4ττi + -≡	г
2, 3, ...) — положительные корни уравнения tgμ = μ.
Q
к
Указание.
2 /	।
= αz urr + -ur
\ г
Задача приводится к решению уравнения щ =
при граничных условиях ∣n∣r=o∣ < ∞, ur∖r=R = γ.
К

482
Гл. 6. Смешанная задача
20.59.	§ ¾∙fee-(απ∕')2 *^2+fe2)⅛in^≡siιι⅛,
j,fc=l	l l
¾fc = ⅛ Л "o(∙r∙ у) sin sin dx dy∙
Z о	it
Указание. Применить метод разделения переменных для урав¬
нения ut = a2∆u при условиях u∣x=o = u∖x=ι = ιz∣2z=o = u∖y=ι = О,
4=o = υ⅛(x,y).
20.60.	1) Ae-^∕<V0
2) uq
1 42 Г J^μnr∕R) c-(aμrJR~)2t
n=l ЛпЛ(Лп)
, где μn (n = 1, 2, ...) — поло¬
жительные корни уравнения Jo(μ) = 0;
О\ 2 4 CL∏μ∏
d2 2^	2 , 7 2 г>2 e
R n=ι μnihR
ап = ——- ∫ru0(r)J0 (^fγ∖ rΛθ Мп (п = 1, 2, ...) — положитель-
Jo(μ∏) о	\ л у
ные корни уравнения μjθ(μ) ÷ hRJv(μ) = О-
Указание. Граничные условия имеют вид ∣u∣r=o∣ < ∞, ⅛÷
+ hu) ∣r=jβ = 0.
20.61.	1) u(r,φ,t) = f 1gfc Г - e-U0>)2Λ J0 (4)’
к=1 (/4) + 1 v	7	\ 4 /
где bk =
2) u(r, φ, t) =
=I, ∏⅛ Г2 И”)’*+(,4°s *),'2 -
I ∕(r2) Jo г dr
где bk = —{	;
j Jo2	гУг
3) n(r, φ, t) = ехр
(i)∖ 2
sin φ +

Ответы к §20
483
5) u(r, φ, t) = (1 — е i)Jι(r)sin^ +
+sbtexp(^(S) *)j≈(⅛r)c°s2v'
6) u(r, φ, t) = —| (t — ∣) J3(r) cos 3φ +
+ ехр
-4
sin2^;
7) u(r, φ, t) = е Vι(r)sinφ+
cos 2φ,

484
Гл. 6. Смешанная задача
9) u(r, φ,t) — J2 4α^e 804})2Vi cos 99—
- Е 3a^e~^tJ0 (2μ^r} +
k=∖	×	×
8(μ5l))2 (cost — β-8(μ5 ) ψ sin⅛
+	64(∕4lj)4 + 1
1/2
j f(r)Jm (2μ^r^ Г dr
, т = 0, 1, ..к = 1, 2, ...;
j Jm (2μ^r^ rdr
10) u(r,φ,t) = Е За^е 4θ4,)2tJ2 (μ<Γr') sin2⅝j —
fc=ι	×	'
Е 4β(°)e-4H")2Vo (μ^r} +
fc=ι	×	'
2(/Д2))2 sin 2i - cos 2t + е_£М2))2‘
2(4(∕42>)2 + 1)
1
√2 (llΓ r) sin2⅛Λ
I f(r)Jm (μfΓr) Г dr
где — —j	, т = 0, 2, ..., к = 1, 2, ...;
| jm	rdr
11) u(r,φ,t) = Е τk(t
k=ι
∞	/ ∣S^
(2)
где Tfe(i) = -
3
аь
E^2
- +2
(2)\2
, ⅛≠3,

Ответы к §20
485
ГД6 (2∕c —
г	/ (0 \
√2 ( ~r ]rdr
J	\ 3 /
о
где 71fc(f) = 2αfeexp { - (4	+ l)i}, k ≠ 3,
ЭД =
l-exp{-(4
4(Л<2))2 + 1
+2αι ехр |	+ l)i},
Qk(t) = -3bfeexp∣ - (4 (∕-4°,) + l)i}>
ЭД = Σ<⅛Λ (м12)г), ∕(r) = £ bkJ0 (⅛ov),
1 1
j∕(r)J2 г dr j ∕(r) Jo (μk∙,r^ г dr
где ak = -l	, bk = ≤-i

j J22 г dr	j Jo r^r
О	о
∞	/∖	/	π∖
13) u(r, φ,t) =	52 Tk(t)J↑	I -^-r )	sin	(<μ	+ - )	+
fe=l	∖ 2	/	×	07
(3)
где Tfc(t) = °fe
√M +2
(i)∖ 2
, ⅛≠3,

486
Гл. 6. Смешанная задача
где ак =
∞	∕z∕(3)
14) u(r,φ,t) = ∑ Tk(t)J3 [-7-
к=1
где Tfc(i) = ак ехр
' (2) \
⅛-r sin2φ,
, k≠2,
1 — ехр
τ2(i) =

(з)\ 2
∞	∕∕∕^3^ ∖ ∞	∕∕∕^3^ \
∕W=∑⅛Λ ⅝r ,∕(r)=∑M3 ⅜r ,
k=∖	\ 4 /	k=∖	\ 4 /
о
о

Ответы к §20
487
/ π∖z) ∖	∞	/ ,λz) \
15)	u(r,φ,t) = T(t^)J<i ( —⅜-г ) cos 2^ + £ Tk(t)J2 ( ^-r ) cos (2φ +
V.	√	fc=ι	\ 2 /
7Г\
4',
1	Z'4∕∕<2>
T(t) = 1(1 - e-⅛t), Tk(f) = ake~bkt, bk = 2 + ( ⅛-
03	∖ z
∞
∕(r) = £ akJ2
k=∖
О
/ (k∂y ∖	0Q	/	\
16)	u(r,φ,t) = T(t)Ji I ^∣-r ) Sin3⅛9 + £ Tk(t)Ji ( ^-r ) sin(3⅛9 + ^),
\ о J	к=\	\ э /	о
где T(t) = е“Ч Tfe(t) = (e-i - e-b'=t),
9	∕(r)J3( ^-r)rdr
∕o√3)∖2	∞	Л/3) ∖	J	\ 5 )
⅛ = 1+	∕W= ∑akJ3 (^-r , ak=0-5	;
∖ b / fc=1 ∖ b /	г o ∆∕3) \
J32 f —|— г J г dr
!lΓ ’ \	/	7г\	00	/ ∕√uj \
17)	u(r,φ,t) = T(t)J↑ M-∏	sin (⅛3 -	4)	+ Σ	Tk(t)J↑ ∖-^-r∖	sinφ,
где T(t) = e 2*~eJ3∖ Tfe(t) = ake~b^,
03 —
о
/ kυ) \	/	\
18)	u(r, φ, i) = T(t') J5 ( 1-г J sin (5φ -	+
∞	∕∕∕^5^ ∖	∩1
+ £ Tk(t)J5	sin5^, где T(i) = e-⅛t, Tk(t) = ^(1 - e~b^,
k=ι	\ 6 2	bk
?	/ (5) \
9	\ f^J5[^-r]rdr
∕9∕∕(5Λ2	∞	2∣l^ ∖ j \ 3 /
ьк = 2+ ⅛ , ∕(r) = £ akJ5 ⅛r , ак = °—	;
\ 3 √	k=l \ 3 √	f /„(5) х
J12 ( ——г) г dr
\ 3 /
о

488
Гл. 6. Смешанная задача
on acy n е + /Д sin £ - cos ⅛ 7 × λ 0λ е - е μk τ ( λ
20.62	. 1) 	≡	i	J∖^kX)∖ 2) 	2		—J∖^μkx).
1 + Гк	M∕c - 1
20.63	. ∣μf⅞ ÷ μf4(e-μιt - 1)] Jo (Mιr)∙
20.64	. 1) ^16μ^4 ∙ e-4^2fct +	- 16μ^4^ Jι(∕⅞√≡)5
2)	e^iμ⅛(⅛√z).
20.65	. u(x,t) =
(Mi )
÷ 4e-^μ2 ^2^tJ4 (μ^χ^.
∖(υ^∖
[ v 1 7
t ÷ 1 — е (μι J4 +
20.66. 1) u{x,t) =
4
16+μ4
cost—е 4
(0)
где μ=μv3
2) u(x, i) = е
μι
2
t	—
J4(μ^√≡) + e V
3)	u(x,t) — е 4μ tJ2(μXx), где μ —

§21. Другие методы
489
| f(x)J3 xdx
где ак =	, к = 1, 2,
f	/и(2) λ
J2 I -^—х ) х dx
J	к 3	1
§21. Другие методы
Смешанная задача для полубесконечной струны
Простейшей после задачи Коши краевой задачей для од¬
номерного волнового уравнения является смешанная задача на
полуоси (задача для полубесконечной струны):
kutt - uxx = f(x,t~), X'-
а
>0, t > 0;
(I)
W∣t=o = ψ{x∖ X '■
> 0;
(П)
ut∖t=o = ψ(x), х
> 0;
(III)
«1х=о = xiP,t>
0.
(IV)
Для существования классического решения (из C2(x ≥ О, t ≥ 0))
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия
490
Гл. 6. Смешанная задача
гладкости
φ{x) ∈ С2(ж ≥ 0), rψ(x) ∈C1(O 0),
χ(t) ∈ C2(t ≥ 0), f(x, t) EC(x}0,t} 0),
и условия согласования
ДО) = ДО), ДО) = √(0), ⅛zz(0) - φzz(0) = /(О,0).
а
Граничное условие (IV) жесткого закрепления конца струны
часто заменяется условием его пружинного закрепления:
(‰ - σzt)∣τ=0 = ДД t > 0,	(IVz)
где σ ≥ 0; условие неотрицательности коэффициента σ — чисто
физическое условие; при σ = 0 условие (IV7) — условие свобод¬
ного конца.
В этом случае условия согласования выглядят так:
√(0) - аДО) = ДО), ≠z(0) - σ≠(0) = χz(0).
Классические решения задачи (1)—(IV) и задачи (1)-(III), (IV,)
единственны.
Наряду с классическими решениями указанных задач, рас¬
сматривают и обобщенные решения этих задач.
Не напоминая здесь определения обобщенного решения, ска¬
жем лишь, что принадлежащая C1(x ≥ 0, t ≥ 0) функция u(x,t),
удовлетворяющая начальным и граничным условиям (II), (III),
(IV) или (II), (III), (IV,), и при любой финитной в {(#,£): ж ≥ 0,
t ≥ 0} функции g(x,t) ∈ C2(x ≥ 0, t ≥ 0), удовлетворяющая
равенству
u(x,t)
JJ '-a
x^O,t^Q
dx dt =
f(x,t)g(x,t)dx dt
x≥0,t≥0
(u(x,t) удовлетворяет уравнению (1) в смысле обобщенных
функций), является обобщенным решением задачи (1), (II), (III),
(IV) или задачи (1), (II), (III), (IV7). Обобщенное решение каж¬
дой из этих задач единственно. Существование обобщенных ре¬
шений, естественно, устанавливается при меньших ограничениях
на функции φ(x), ≠(rr), χ(x), и в частности, на условия их
согласования.
Найдем решения следующих задач.
Пример 1.
ин — ⅛uxx + 90cos(2rr + 9i), х > 0, t > 0;
(1)

§21. Другие методы
491
'i∕∣t=o = 8cos3x — 5cos2x, tQ∣t=o = 0, ж ≥ 0;	(2)
иж|ж=о — 18^ - 2 sin9t, t ≥ 0.	(3)
Δ 1. Так как уравнение является неоднородным, то найдем
какое-нибудь частное решение этого уравнения.
В нашем случае ищем частное решение уравнения (1) в виде
w(x, t) = Acos(2x + 9t).	(4)
Подставляя (4) в уравнение (1), получаем
—81Acos(2x + 9i) = —36Acos(2x + 9t) + 90cos(2x⅛9t), А = —2.
Таким образом, функция w(x,t) — — 2 cos(2x + 9£) есть частное
решение уравнения (1).
2.	Введем новую искомую функцию υ(x,t) такую, что
υ(x, t) = u(x, t) — w(x, t),
v(x, i) = u(x, i) + 2 cos(2rr + 9i),
и запишем задачу (1), (2), (3) для функции v(x,t):
W = ‰, х > 0, t > 0;	(5)
t,∣∕=o = 8cosЗ.г — 3cos2;r, ι⅜∣⅛=o = — 18sin2x,	ж ≥ 0;	(6)
t⅛=o 18t — 6 sin 9t, t ≥ 0.	(7)
Общим решением волнового уравнения
W = a2vxx, α ∈ К, а > 0,
является функция
υ(x, t) = f(x + at) + g(x — at),
где ∕(ξ) и g(η) — любые функции класса С2.
В нашем случае общее решение уравнения (5) запишется
в виде
v(x, t) = f(x + 3t) + g(x — 3t).	(8)
3.	Из условий (8) следует, что
гф=0 = f(x) + g(x) = 8 cos Зх — 3 cos 2х, х ≥ 0;	(9,)
cφ=o = 3f'(x) — 3g,{x) = — 18sin2rr, ж ≥ 0.	(9,,)
Продифференцировав правую и левую части равенства (9z) по х,
получаем
f'(x) + g,{x) = —24 sin Зх + 6 sin 2х, х 0;	(9",)
f'(x) — g'{x) = — 3sin2x, ж ≥ 0.	(9Z///)

492
Гл. 6. Смешанная задача
Сложив уравнения (9,,,) и (9,,,,), находим
/'(ж) = — 12sin3x, ж ≥ 0;	(10)
/(ж) = 4cos3x + С, х 0;	(11)
где С — произвольная постоянная. Подставляя /(ж) из равен¬
ства (И) в равенство (9'), получаем
g(x) = 8cos3x — 3cos2x —/(ж), ж ≥ 0,
p(x) = 4 cos Зх — 3 cos 2х — С, ж ≥ 0.
Из (11) и (12) следует, что решение задачи в области {{x,t∖-
ж + 3t ≥ 0, ж — 3t ≥ 0} имеет вид
v(x,t) = 4cos3(x + 3i) + 4cos3(x — 3i) — 3cos2(x — 3i). (13)
4.	Из условия (7) и равенства (8) имеем
vx|ж=о = ∕,(3t) + g,(-3t) = 18t — 6sin9t, t > 0.
Положив q = 3t, получим
f'<M) +√(-Q) = 6Q - 6 sin 3g, g≥0.
Воспользовавшись соотношением (10), находим
— 12 sin 3q + g'(--q) = 6g — 6 sin 3g, g ≥ 0;
g'(-q) = 6g + 6 sin 3g, g ≥ 0.
Положив р = —g, имеем
д'(р) = —6р — 6 sin 3p, р ≤ 0.
Следовательно,
g(p) = —3p2 + 2cos3p + Ci, р ≤ 0,	(14)
где С{ — произвольная постоянная.
5.	Найдем зависимость постоянной С\ из формулы (12) и по¬
стоянной С из формулы (14), осуществив «склейку» по непре¬
рывности функции д(ж) в нуле:
4-3-C = g(0) = 2 + Cb
Отсюда следует, что
Ci = -1 - С.
Подставляя найденное значение Ci в формулу (14), получаем
g(p) — -3p2 + 2cos3p — 1 — С, р ≤ 0.	(15)
§21. Другие методы
493
Из (11) и (15) следует, что решение задачи в области {(ж,t):
х + 3t 0, х — 3t ≤ 0} имеет вид
υ(xit) = 4cos3(x + 3t) — 3(x — 3t)2 + 2cos3(x — 3t) — 1. (16)
Из (13) и (16) следует, что решением задачи (5), (6), (7) является
функция
v(x, i) = 4 cos 3(x + 3t) +
( 4cos3(x — 3t) — 3cos2(x — 3t), ж — 3t ≥ 0;
+ t 2 cos 3(x — 3i) — 3(x — 3t)2 — 1, х — 3t ≤ 0.
Следовательно, функция
u(x, i) = υ(x, i) — 2 cos(2x + 9i),
где функция v(xit) определена выше, будет решением задачи (1),
(2), (3).	А
Пример 2. Найти решение смешанной задачи для уравнения
utt-4uxx = 6xt	(1)
в области х > 0, t > 0, удовлетворяющее условиям
u∣f=0 = τ3, ut∖t=o = O, ж ≥ 0;
n∣x=0 = t3, t≥ 0.
Общее решение уравнения (1) имеет вид u(x,t) = /(ж + 2t) +
+ g(x — 2t) + xt3. Из условий (2) получаем
f(x) + g(x) = х3, ж ≥ 0,
f,(χ) — g'(χ) = 0, ж ≥ 0,	(3)
∕(2i)+5(-2t)=i3, i≥0∙
Из первых двух уравнений этой системы находим ∕(x) = }-x3 +
+ С, g(x) — -х3 — С, ж ≥ 0. Подставляя найденную функцию
3
/(ж) в третье уравнение системы (3), получаем р(ж) = -х3 —
8
— С, х ≤ 0. Следовательно, решением задачи (1), (2) является
функция
{⅛(x + 2t)3 + ^(x — 2t)3 + xt3, х 2t,
13
-(ж + 2t)3 + - (ж — 2t)3 + xt3, х < 2t.
2	8

494
Гл. 6. Смешанная задача
Пример 3. Найти решение смешанной задачи для уравнения
^tt Quxx — 2
(1)
в области х > 0, t > 0, удовлетворяющее условиям
n∣t=o = х + х3, '*⅞k=o = —9х2, х > 0;
{u - ‰)∣χ=o = t2 - 1, t > 0.
(2)
Δ Общее решение уравнения (1) имеет вид u(x,t) = f(x + 3i) +
+ g(x — 3t) + t2. Из условий (2) получаем
∕(x) + g(x) = х + ж3, ж ≥ О,
3f,(x) — 3g'(x) = —9ж2, ж ≥ О,
∕(3Z) + <7(-3i) - ∕'(3*) - √(-3i) = -1, t ≥ 0.
(3)
Из первых двух уравнений этой системы находим /(ж) — Г + С,
g(x) = -х + х3 — С, ж ≥ 0. Подставляя найденную функцию
/(ж) в третье уравнение системы (3), получаем gf(x) — g{x) =
= С + - — -х, откуда g(x) = C∖ex + -х — С, х ≤ 0. Из усло¬
вия непрерывности функции g(x) при х = 0 находим С\ = О,
т. е. g(x) — -х — С, х ≤ 0. Следовательно, решением зада¬
чи (1), (2) является функция
[ (ж - 3£)2 + х + t2,
(х, t) <
( х + t
х 3t,
х < 3t.
21.1.	Доказать, что задача
utt = a2uxx, t > 0, ж > 0;
Ч=о = 0, ui∣i=0 = 0, 4=0 = g(ty)
имеет единственное решение
Г 0,	ж ≥ at,
u(x, t) = Л _ х γ х < att
I ∖ aj
если 5 ∈ C2(i ≥ 0), ^(0) = √(0) = √'(0) = 0.
21.2.	Доказать, что задача
utt = a2uxx, t > 0, ж > 0;
u∖t=0 = u0{x), ut∖t=o = «1(ж), w∣,f=0 = О

§21. Другие методы
495
имеет единственное решение
если no ∈ C2(x ≥ 0), щ ∈ С1 (ж ≥ 0), ∏o(O) — ⅛,(θ) — ^ι(θ) =
= 0. Показать, что это решение можно получить из формулы
Даламбера, если функции щ(х) и u%(x) продолжить нечетным
образом для х < 0.
21.3.	Доказать, что задача
Utt = O2uxx, t > 0, х > 0;
4t=o = 0, ¾∣t=o = 0, ¾L=o = g(t)
имеет единственное решение
х ~≥ at,
х < at,
если д ∈ C1 (t ≥ 0), </(0) = g,(0) = 0.
21.4.	Доказать, что задача
utt = a2uxx, t>0, х > 0;
ω∣t=0 = u0(x), ut∖t=o = ui(x), ‰∣z=o = O
имеет единственное решение
u(x, t) = <
uq(x + at) + uq(x — at)
x-∖-at
∏ι(ξ)C
1
2a
x—at
uq(x + at) + uo(at — x)
2	+
x+at
[ Wι(ξ)rfξ +
1
2a
at—x
ui(ξ)dξ ,
at,
2
0
0

496
Гл. 6. Смешанная задача
х 2(п + 1)1
а а
и
если uq ∈ C2(x 0), щ ∈C1(τ> 0), nθ(O) = √1(O) = 0. Показать,
что это решение можно получить из формулы Даламбера, если
функции u∖(x) и u<z(x) продолжить четным образом для х < 0.
21.5.	Доказать, что задача
Utt = a2uxx, t > 0, 0 < х < Г,
u∖t=o = O, ut∖t=o = O, u∖x=0 = g(t), u∖x=ι = 0
имеет единственное решение
х 2nl
a a , x
yv (О,	t<0,
если g ∈ C,2(i ≥ 0), g(0') = √(0) = √z(0) = 0.
21.6.	Доказать, что задача
Utt — a uxx, t О,
n∣t=o = ⅛(^),	¾∣i=0 = ttι(χ),
имеет единственное решение
п=0
О < х < Z;
t6∣τ=o — О, u∖x=ι — О
u(x, i)
= ⅛[u(x + at) + u0(rc - at)] +
x+at
ui(ξ)dξ,
x—at
uq(x), щ(х) — нечетные, 2тг-периодические и
с функциями uq(x), щ(х) при О ≤ х ≤ Z, если
где функции
совпадающие
u0 ∈ C2[0,l], щ ∈^∂1[0,∕], uo(O)^= u0(lj = uι(b) = ul(l) = u"(0) =
= u,q(Γ) — 0.
В задачах 21.7-21.23 требуется доказать, что существует
единственное решение поставленной задачи; найти это решение.
21.7.	utt = a2uxx, t > 0, х > 0;
n∣t=o = O, ∏t∣t=o = θ, (‰ - βu‰=0 = g(ty,
geC∖t≥ty, 5(0)=√(0) = 0.
21.8.	utt = a2uxx, t > 0, х > 0;
w∣t=0 = uq(x), ut∖t=o = O, {ux - βu‰=0 = Q;
uq Е C2(x 0), «q(0) — Z5τ⅛o(θ) = θ∙
21.9.	ин = o,2uxx, t > 0, 0 < х < Г,
4i=0 = θ> ^i∣i=0 = θ> ‰∣τ=0 = ЭХ), ‰Γ=Z = θi
5∈C1(i≥0). 5(0)=√(0) = 0.

§21. Другие методы
497
21.10. uu = α2‰r, t > О,
u∣t=o = uo(z), ut∖t=o = ul{x),
u0 ∈ C2([0, ∕]), щ ∈C1([OJ]),
О < х < Z;
‰∣x∙=0 = θ> ux∖x=l = θ>
⅛(O) = √1(O)=⅛(i) = √1W = O.
21.11.	uu = a2uxx, t > О, 0 < х < I;
n∣i=θ = O, t⅛∣t=θ = °, п|ж=о = g(x), ux\x=i = O;
geC2(t≥O∖ <7(0)=√(0)=√'(0) = 0.
21.12. utt = a2uxx, t > О,
tt∣t=O = n0(s), ut∖t=0 = ul(x),
u0 ∈ C,2([0, Z]), mi ∈ C1([O,Z]),
= u∖ X = 0.
О < х < Г,
uL=o = 0, ux∖x=ι = 0;
ιzo(O) =⅛'(0) = m(0) = u'0(Γ) =
21.13.	utt = uxx, t > 0, х > 0;
tt∣i=o = ж2, ut∖t=o = X, ω∣χ=o = t2-
21.14.	utt = 4uxx + 16i2, t > 0, х > 0;
u∣t=o=θ^4, ut∖t=o = 2sinz, -u∣3j=0 = 4Z4.
21.15.	9иц = uxx, t > 0, х > 0;
ii∣t=0 = 27x3, ztt∣f=o = O, u∣a,=o = i3.
21.16.	utt = uxx + 2, t > 0, х > 0;
∕∕,∣j=o = .τ + cos.τ, ui∣t=0 = l, ‰∣j,=o=l.
21.17.	utt = uxx, t > О, х > 0;
«к=о = ж, ui∣i=0 = l, ‰∣x=0 = cost
21.18.	utt = 9uxx + et, t > (t х > 0;
u∣i=0=l+x, ut∖t=o = 4 - 3cos-, ‰∣jj=0 = 2 - cost
О
21.19.	utt = 3uxx + 2(1 -6r2)e-2x, t>0, х > 0;
u∣i=o = h ut∖t=o = x, (ux - 2u)∖x=0 =-2+ t - 4t2.
21.20.	utt = uxx, t > 0, х > 0;
гл11=0 = 0, ut∖t=0 = 0, (их + и)∣aj=0 = 1 - cos t.
21.21.	utt = Uχx + 4, t > 0, х > 0;
n∣i=o=l-≈, ¾∣f=o = O, (,ux - u)∖x=0 =-t2.
21.22.	utt — uxχ, t > 0, х > 0;
u∖t=0 = x2, ut∣t=o = O, (ut - u)∣x=o = 2t - t2.
21.23.	1) utt = uxχ — θ, t > 0, х > 0;
u∖t=Q^χ2, ¾∣i=o = O, (ut + 2‰)∣a,=o = -4t
2)	utt — 4‰x + 2, t > 0, х > 0;
∏∣i=o = 2-s, ut∖t=o = 2, (ut + 3ux‰=0 = 3t - et.

498
Гл. 6. Смешанная задача
21.24.	Решить задачи:
1)	utt = 4uxx, X > 0, t > О;
⅛=o = ж2, u⅛∣i=0 = х, ж ≥ О;
na.∣a.-0 = isint, i ≥ О;
2)	utt = 4ιt XX ч х > О, t > О;
и11=o = cosх, tt<∣t=o = 2зтж, ж ≥ 0;
⅛lx=θ = tet, t ≥ 0;
3)	utt = uxx, ж > 0, t > 0;
u∣t=θ = ж, ∙¾∣t=o = 4ж, ж ≥ 0;
‰∣x=0 = (t + 1) cost, t ^≥ 0;
4)	utt = ⅛uxx, ж > 0, t > 0;
ω∣t=o = sin ж, ut∣t=o = — 3cos.τ, ж ≥ 0;
¾∣x=0 = (i + l)ei∕2, t ≥ 0;
5)	иц — 4uxx + ж sin t, ж > 0, t > 0;
u∖t=o = 2x2, ut∖t=o = 8-x, ж ≥ 0;
¾∣a,-0 = sin21 — sint, i ≥ 0;
6)	иц = 9uxx + 5ж cos t, ж > 0, t > 0;
n∣t=0 = ж2 - 4ж, 'Ut∣i=o = 9, ж ≥ 0;
‰∣aj=o = cos21 — 5cost, t ≥ 0;
7)	⅛utt = uxx + 7t cos ж, ж > 0, t > 0;
w∣t=o = 4ж2, t⅞∣t=o = соэ2ж + 7 cos ж, ж ≥ 0;
‰∣≈=0 = 2i2, i ≥ 0;
8)	9иц = uxx + 6tsmx, ж > 0, t > 0;
ω∣t=θ = e3x, wi∣t=o = 9ж2 + бзшж, ж ≥ 0;
¾L=0 = 3 + 6i, t ≥ 0;
θ) utt = 16‰c + 32e4i sin ж, ж > 0, t > 0;
u|t=o = — sins, ι⅛t∣t=o = 4вшж + 8созж, ж ≥ 0;
ι⅛∣x=0 = c4t - cos4i — 1, t ≥ 0;
10)	иц = 4uxx — 8ex cos 2i, ж > 0, t > 0;
u∣t-0 = 2 cos ж + ex, Wi∣t=o = — 4 sin ж, ж ≥ 0;
пж|х=о = cos 2i — 4i, i ≥ 0;
11)	иц = 25‰r — 50e5i cos ж, ж > 0, t > 0;
//|(=о = со8ж, nt∣t=o = Юзтж — бсоэж, ж ≥ 0;
¾∣a,=0 = 15i — sin5i, i ≥ 0;
12)	иц = θ‰x - 18exsin3t, ж > 0, t > 0;
w∣t=0 = 2 sin ж, t⅛∣t=o = 8ex + 6 cos ж, ж ≥ 0;
‰∣∙r=o = 2 cos 3t + 3t, i ≥ 0.

§21. Другие методы
499
21.25.	Решить задачи:
1)	4utt = uxx, X > 0, t > О;
u∖t=0 = 2e2x - 2x, t⅛∣t=0 = -l, х > О;
¾∣3,-θ = 2et — 2t, t > О;
2)	utt = 4uxx, х > О, t > О;
⅛=o = ж2, ut∖t=o = ~4, х > О;
¾∣a~0 = 2t — sh2i, t > О;
3)	9tttt = uxx, х > 0, t > О;
u∣f=0 = 6ж, -u⅛∣i=0 = 4e-3x'+ 2, х > О;
‰∣a>=o = θe^i - 6i, t > О;
4)	utt = 9¾x, х > О, t > О;
u∖t=0 = 2x, Mt∣t=o = 12ж, х > О;
¾∣a,-θ = 2sin3t + 6i + 2, t > О;
5)	∖6utt = uxx + 24e2τ-i, х > О, t > О;
u∣i=0 = 4ж, ut∖t=o = 2e2x - 1, х > О;
¾∣a,=0 = 4e~t + 8t, t > О;
6)	иц = 9'w.,∙,,∙ + 90cos(2^ + 9i), ж > О, t > О;
tt∣⅛=o ~ 8 cos Зж — 5 cos 2ж, t⅛∣t=o = О, ж > О;
¾∣a,-0 = 18i — 2 sin 9t, t > О;
7)	9utt = uxx + 54e3x-2i, ж > О, t > О;
w∣t=0 = 6ж, Ui∣t=o = -2, ж ≥ О;
‰∣aj=0 = 6e-2i + 12i, t ≥ О;
8)	иц = 4ижж + 60сов(3ж + 4t), ж > О, t > О;
,u∣t=o = 5 cos Зж + 2 cos 2ж, ttt∣t=o = О, ж ≥ О;
¾∣a,-0 = 4i — sin4i, i ≥ О;
9)	utt — uxx + te~x, ж > О, t > О;
u∣i=0 = ж + e~x, ut|i=0 = l, Ж > О;
ux∖x=o = t - I + e~t, t > О;
10)	utt = ^uxx - xe~t, ж > 0, t > 0;
мк=о = ж, ■и^=0=1+ж, ж > 0;
‰∣s=0 = е , t ≥ О,
И) utt = 4(uxx - 2), ж > 0, t > 0;
∕2∣t=0 = Ж2 - ж, I4i∣i=o = -4ж, ж > 0;
^u° = ^(Γ⅛' i>0;
12)	utt = ^uxx - 1, ж > 0, t > 0;
∙ω∣t=o = 4ж2, ut∖t=o = 0, ж > 0;
¾L=0 = 2(t - 1+e-i), t > 0;

500
Гл. 6. Смешанная задача
13)	9utt = uxx - 1, х > 0, t > 0;
х2
u∖t=0 = -, ut∖t=o = x, х > 0;
4 t
‰∣x=0 ~ 3i - sh 3’ t > 0;
14)	utt = 9(‰ - 1), х > 0, t > 0;
w∣t=o = x2, ut∖t=o = θ. х > 0;
¾∣a,=0 = 3t — sin3i, t > 0.
21.26.	Решить задачи:
1)	utt = uχχ + sin t cos х, х > 0, t > 0;
— 2 — 2cosx, г^к=о = — - cosx, x > θ5
> t ≥ О,
2)	utt — uxχ + sinхcost, х > 0, t > 0;
«|t=o = si∏2 х, ut∖t=θ = 0, х > 0;
¾L=0 = Tjsmi-i2, t > 0;
3)	4utt = uxx - e~x, х > 0, t > 0;
U∣t=o = e~x, ut∖t=0 = 		-2> X > 0;
(1 +<
¾r∣x=o = 2i t, t ≥ 0;
4)	9иц = uxx + 12®, х > 0, t > 0;
2	4
t4∣i=o = -j--> ^tk=o = -o> x > °;
^r∣x=o = 2, t ≥ О,
5)	utt = 4t⅛ + sin2 t, х > 0, t > 0;
9
^∣t=o = g, *⅞k=o = 2z, х > 0;
‰∣x=o = 2t, t > 0;
θ) W = 9uxx + cos21, х > 0, t > 0;
7
u∖t=o=Q. ut∖t=0 = 3x, x>Q∖
о
5
^х|а:=0	2^’	> θ∙
21.27.	Решить задачи:
1)	иц = θ‰x + 2xt, х > 0, t > 0;
u∣t=0 = x2, ut∖t=o = 20®, ж > 0;
(ιz — ‰)∣a,-θ = 18i2 — 2sht, t > 0;
2)	иц = 0,04t⅛ +1 cos 5®, ® > 0, t > 0;
4t=0 = sin 5®, ut∖t=o-2, х > 0;
(lθtf + ‰)∣τ=o = 5, t > 0;

§21. Другие методы
501
3)	ин — 4t⅛ — 3xet, х > 0, t > 0;
u∖t=0 = 3x2, ut∖t=0 = x-6, X > 0;
(u + ¾)∣χ=0 = 8t2 + 3(1 - et), t > 0;
4)	Utt = ^uxx +1 sin 2x, х > 0, t > 0;
τt∣⅛=o = 14ж — cos2ir, 7⅛∣i=o = 3, х > 0;
(4и — ¼r)∣a,=o = 2t — 18, t > 0;
5)	utt = uxx, х > 0, t > 0;
ιt∣i=0 = 2sin2rr, Ut∣t=o = 2, ж ≥ 0;
(ux - 2u)∣x=0 = 4 - 4£, i ≥ 0;
6)	utt = 4uxx, х > 0, t > 0;
u∖t=0 = e2x - 4, ttt∣t=0 = 0, ж ≥ 0;
(ux — 2u)∣a∙=o = 8t2 + 8, t ≥ 0;
7)	utt = 4uxx, ж > 0, t > 0;
tt∣i=o = 0, t⅛∣t=o = 4sinτ — 4, ж ≥ 0;
(u + ι⅛)∣ar=0 = 4i2, i ≥ 0;
8)	utt = ⅛uxx, ж > 0, t > 0;
u|t=0 = cos ж — 2ж, «t|t=o = 2 sin ж + 2, ж ≥ 0;
(‰ - n)k=o = i2 - з, t ≥ 0;
9)	utt = uxx — 2ex cos ж, ж > 0, t > 0;
tt∣t=o = Зеж - ж2, ut∖t=o = 2.x, x≥ 0;
(и + ‰)∣a,=o = 2et + 4 cos Л i ≥ 0;
10)	utt = 4uxx — 12 соз(ж + 4i), ж > 0, t > 0;
ι<∣i=θ = ж + со8ж + зтж, ut∣t=o = 2cosx- 2 — 4 sin ж, ∕r≥0∕
(и — ux) |ж=о = cos 4t + sin 4t — 2 cos 2t, t 0;
И) иц = θ¾x + 18е-3*зтж, ж > 0, t > 0;
tt∣t=o = 2ж2 + 2 sin ж + cos ж, ι⅛∣i=o = — Зсозж, ж ≥ 0;
(2u + ¾)∣a∙=o = 4et + 18i2 + 6i, i ≥ 0;
12)	иц — 16uxx — 16tex, ж > 0, t > 0;
w∣i=o = 2ex + ж — 2, Mt∣⅛=o = ех — 4, ж ≥ 0;
(и — 2ux)|х=о = — cos4^ + 2 sin4t — e4i — 9t — 4, ⅛ ≥ 0.
21.28.	Решить задачи:
1)	utt = 4¾aj, ж > 0, t > 0;
n∣t=θ = 2ж — cos ж, «/|/о = —2 — 2 sin ж, ж > 0;
(ux - n)∣x=0 = 3, t > 0;
2)	4utt = uxx, ж > 0, t > 0;
n∣t=θ = 2втж — 2ж, t⅛∣t=o = 2 — соэж, ж > 0;
(и - ‰)∣x=0 = ∣i2 +t, t > 0;
О

502
Гл. 6. Смешанная задача
3)	utt = uxx + 3 sin(x + 2i), х > 0, t > 0;
tz∣i=o = х — sin ж, tit∣t=o = e-x ~ 2 cos ж, ж ≥ 0;
(их — и) ∣x=o = sin 2i + cos t — cos 2t, t 0;
4)	ин = uxx + 3 вш(2ж + i), ж > 0, t > 0;
w∣t=θ = созж + sin2.r, Ut∣t=o = 1 + cos2.τ, ж ≥ 0;
(¾ — it) |ж=о = — 1 — 2 sin t + 2 cos t, t^Q;
5)	utt = 4‰τ + 3 cos(τ + i), ж > 0, t > 0;
ιt∣i=θ = 1 + соэж, z⅛∣t=o = sinx, ж ≥ 0;
(ux — tt)∣aj=o = 2t- 1 — sint — cost, t ~≥ 0;
6)	4utt = uxx — Звт(ж +1), ж > 0, t > 0;
u∣t=θ = sinx + sin2τ, t⅛∣i=o = 2 + совж, ж ≥ 0;
(ux — 2и) |ж=о = 2 — 4t — 2 sin t + cos t, i ≥ 0;
7)	utt = 9uxx, х > 0, t > 0;
tt∣t=o = х, t⅛∣t=o = 3, ж > 0;
(u — 3¾)∣∙r=Q = —3e-i cos3i, t > 0;
8)	utt = 4uxx, ж > 0, t > 0;
tt∣i=o = ж2, ¾∣t=o = ~4ж, ж > 0;
(и — 2'U∙i.)∣7-q = 4e~t sin2i, t > 0;
9)	utt = lθ‰x, ж > 0, t > 0;
u∖t=0 = 2ж, ttt∣i=o = 4ж, ж > 0;
(t⅛ + и)|ж=0 = 4£2 + 6t + 1, t > 0;
10)	utt = 9‰x, ж > 0, t > 0;
tt∣t=o = 2ж, ut∖t=o = 6х, х> 0;
(‰ + tt)U=0 = ∣i2 + 6t-2, t > 0;
11)	Utt = uxx — xsini, ж > 0, t > 0;
M∣t=0 = sinτ, t⅛∣t=o = созж + ж, ж > 0;
(ux — tι)∣x=o = cost + 3t2 + t3, t > 0;
12)	utt = uxx + (ж + l)e^i, ж > 0, t > 0;
^∣i=θ = 1 + ж + e~x, ut∖t=o =—I — х — e~x, ж > 0;
(ux + u)∣aj=0 = 2 - 2i, t > 0;
13)	ин = ^uxx — te2x, ж > 0, t > 0;
u∖t=o = 2 + e2x, Ut∣i=o = θ, ж > 0;
(‰ + 2tt)∣a,=0 = 8, t > 0;
14)	utt = 4uxx — xcost, ж > 0, t > 0;
tt∣i=0 = ж2 + ж, ttt∣i=o = -4ж, ж > 0;
(¾ — w)∣2∙=o = cost — 4t, t > 0;
15)	utt = uxx + 2, ж > 0, t > 0;
tt∣i=o = ж2, ⅜∣t=o = 2, ж ≥ 0;
(n — их) |x=q = t2 + (1 + i) sin t + t cos t, i ≥ 0;

§21. Другие методы
503
16)	utt = uxx -te x, х > 0, t > 0;
u∣t=0 = 2sinar, ut∖t=o = e~x, ж ≥ 0;
(и — их) |х=о = 2t + sin t — cos t — cos 2t — - sin 2t, t ~≥ 0;
17)	utt = uxx — 6i — 6, x > 0, t > 0;
∙u∣t=0 = 2ж3, ut∖t=o = 0, ж ≥ 0;
(ux + и) |ж=о = (t — 1) sin t + t cos t,
18)	utt — uxx + xet, ж > 0, t > 0;
u∣∕-0=l+.τ, -ut∣t=0 = 4 - 5ж, ж ≥ 0;
(ux + 2и)|ж=0 = (1 4~ t)e^ + 2 +1 — 3t2, t ≥ 0.
21.29.	Решить задачи:
1)	utt — uxx - (1 +1) cos ж, ж > 0, t > 0;
u∖t=o = х, ut∣t=o = 1 + sin ж — cos ж, ж > 0;
(u + ‰)∣a,=o = 1 + t, t > 0;
2)	utt = 4‰r + 16^8шж, ж > 0, t > 0;
tt∣t=o = 0, t⅛∣t=o = 4 sin ж - 4, ж > 0;
('u + '¾)∣x=0 = 2t2, t > 0;
3)	16utt = uxx + 72e2x~t, ж > 0, t > 0;
u∖t=o = 12ж, ut∖t=o = -3, ж ≥ 0;
(и — ¾)∣3j=o = Зе—t — 15, i ≥ 0;
4)	utt = uxx + 9зт(2ж + i), ж > 0, t > 0;
и| t=o = xex + sin ж + 3 sin 2ж,
t⅛∣t=0 = — (1 + χ)e-x + cos ж + Зсоз2ж, ж ≥ 0;
(и — ux) |ж=о = t — 1 +12 + 4 sin t — 7 cos t, t ≥ 0;
5)	4utt = uxx + 150ex^2t, ж > 0, t > 0;
tt∣i=o = 8жех, ιtt∣t=0 = -9ea', ж ≥ 0;
(и — ¾) |ж=о = 2t — t2 — 4ei∕2 — 4, i ≥ 0;
6)	utt = uxx — 3 сов(ж — 2i), ж > 0, t > 0;
2ж2
^∣t=o — χ Ml ÷ x) + χchχ + cos ж, ?М=о 	о +
1 ÷√
+ ln( 1 + ж2) — х sh х — ch х + 2 sin х, ж ≥ 0;
2≠2
(и - ¾)∣κ=0 = (t- l)ln(l + Z2) - 		2 - i - 1 + cos2t -
1 + г
— sin2t, t ≥ 0;
х	t
7)	Qua = uxx + isin - + ж sinж > 0, t > 0;
<J	О
з
,u∣t=o = 3 + Зж + -ж2 + зт2ж,
t⅛∣i=θ =- ∣z + 9sin∣ - |соз2ж, ж ≥ 0;
О <Э	О о
(и - uα)∣χ=o = -2 - 3t + sin-, i ≥ 0;
О

504
Гл. 6. Смешанная задача
8)	4¾ = uxx + 20tx3 + 2(⅛∕3, х > 0, t > 0;
= — 1 + 3^2 + cos 2x, щ ∣t=o = —х — х3 + sin 2х, ж ≥ 0;
Uχ∖x=o = t + ^t5 -+ e~42, t^Q;
9)	Utt = 9uxx + 9i cos 3x — 9x cos 3t, х > 0, t > 0;
-u∣t=o = 3 + 5x + 4®2 + sin 2x + cos 2x,
^t∣i=θ = —6 — 24® + 6 sin 2® — 6 cos 2® + - cos3x, ® ≥ 0;
1
(u — ‰)∣a,-0 = —2 + -t — cos3i, i ≥ 0;
10)	Utt = ⅛uxx — ∖2tx2 + 12x⅛2, x > 0, t > 0;
u∣t=0 = -1 + x2 + ln(l + ®j + e~x,
t⅛∣t=O = 4./: + |®4 - γΓ- + 2e~x, ® ≥ 0;
‰∣jr=0 = — 4i + t4 + 2sin4t, i ≥ 0.
21.30.	Найти наибольшую область, в которой поставленная
задача имеет единственное решение, и найти это решение:
1)	utt — uxx∖
u∖t=Q = x3, ut∖t=Q = 0, 0≤x≤2÷
^L=o = t3, 0 ≤ t ≤ 2;
2)	Utt — Uχχ,
u∖t=o = 2x3, ut∖t=o = O, 0 ≤ х ≤ 4;
— θ> 0 ≤ х ≤ 1.
21.31.	Доказать, что задача
utt — a2∆u, t > 0,	∖x∖ > 1, х ∈ R3;
u∖t=o = O, ut∖t=o = O, u∖∖x∖=i=g(t)
имеет единственное решение
|ж| ≥ 1 + at,
1 < |ж| < 1 + at,
если g ∈ C2(t 0), ^(0) = У(0) = g"(0) = 0- Показать, что ес¬
ли p(t) — финитная функция, то u(x,t) = 0 для любого фик¬
сированного х, |ж| ≥ 1, при достаточно больших t. В случае
когда g(t) ≠ 0 при 0 < t < Т, g(t) = 0 при t ≥ Т, найти момент
времени tx, в который через точку х, ∣x∣ > 1, пройдет задний
фронт волны.
21.32.	Найти решение задачи
utt — a2∆u, t > 0, ∖x∖ > 1, хе К3;
n∣t=0 = ut∖t=o = /ХЫ), ⅛∣=ι = 0,

§21. Другие методы
505
где a{r) ∈ C2{r 1), β(r) ∈ Ci(r l),ce(l)=0, α,,(l) + 2α∕(l) =
= 0,/3(1) = 0. Доказать, что если функции а (г) и /3(г) финитные,
то u(x,t) = 0 для любого фиксированного х, |ж| ≥ 1, при доста¬
точно больших t.
21.33.	Найти решение задачи
utt = ∆u, t > 0,	|х|
u∣i=0 = 0, ut∣i=0 = 0,
> 1, х
ди
dn ∣x∣=l
∈ R3;
= gXβ
где g ∈ Cl(t ≥ 0), p(0) = √(0) = 0.
Доказать, что если g(t) — финитная функция, то существует
такая функция с(ж), что ∣,u(⅛,t)∣ ≤ c(x)e~t, а для того, чтобы
u(xit) = 0 для каждого фиксированного ж, |ж| ≥ 1, при достаточ¬
но больших t, необходимо и достаточно, чтобы ∫∞ etg(t) dt = 0.
21.34.	Найти решение задачи
utt — Au, t > 0, ∣x∣ > 1, х ∈ R3;
/9? I
u∖t=o = α(∣x∣), ut∖t=0 = β(∖x∖β у- =gX),
an ∣x∣=l
где а Е C,2(r ≥ 1), β ∈ C,1(r ≥ 1), α,(l) = ∕3,(1) = 0.
Доказать, что если функции а (г) и /?(г) финитные, то су¬
ществует такая функция с(ж), что ∣n(x,t)∣ ≤ c(x)e~t, а для то¬
го, чтобы u(x,t) = 0 для каждого фиксированного х, |ж| ≥ 1,
при достаточно больших t, необходимо и достаточно, чтобы
∫∞ rer[a(r) — β(r)] dr = 0.
21.35.	Решить задачу
utt = ∆u, t > 0, ∖x∖ > 1, х е В3;
/	ди \
Γ4∣i=0 = 0, t⅛∣t=o = θ, (fcu÷Λ-) - дХ’ ⅛ = const.
×	≡× ∣Z∣ = 1
Решить задачи 21.36-21.42.
t > 0, х > 0;
X > 0; u∣t=o = о, -u∣z=o = gββ-
®>0; u∖t=0 = u0(xβ ux∖x=o = 0.
х>0; ιt∣t=o = O, ux∖x=o = gX-
>0; u∣t=o = O, (u-ux)∖x=0 = g(t).
21.36.	ui = a1uxx + f{x,t)
«|t=o = uq(x), и|ж=0 = 0.
21.37.	щ = a2uxx, t>0,
21.38.	щ = a2uxx, t>0,
21.39.	щ = а2ихх, t > 0,
21.40.	ut — ^Jjxx, θ,

506
Гл. 6. Смешанная задача
21.41.	щ = a2uxx, t > 0, х > 0;
u∖t=o = UQ^x∖ (ux-hu)∖x=Q = O, h≥0.
21.42.	utt И- r^jxxxx — 0, t > 0, х > 0;
u∖t=o = UQ{x∖ ut∖t=o = O, u∖x=Q = g(t∖ uxx∖x=Q = O.
21.43.	Решить задачу
щ = a2(x)uxx, t > 0, х ≠ О,
где а(ж) = а при х < 0, a(x) = b при х > 0;
Ц=0 θ{x∖ u∖x=-0 —	‰∣χ=-О — ^^x∖x=-∖-0'
Ответы к § 21
21.7.	О при х at∖ -ae^x~at2> ∫θ x^a eaf3τg(τ) dτ при х < at.
21.8.	| [по(ж ÷ at) ÷ uq(x — at)] при х at,
| [¾(x + at) ÷ zao(at — ж)] — βef3^x~at^ ∫θf x	dξ при х < at.
21.9.	£ ∖f (t-- -—} - f (t+- - 2(n + 1)4l Где /(ж) = О
при х ≤ 0, /(ж) = —a ∫θ g(τ) dτ при х > 0.
21.10.	| [⅛(τ + at) + u0(x - at)] + -^∙	«1 (ξ) где функции
йо(ж), Sι(x) четные, 2/-периодические и совпадающие с функциями
Uq(x), tq(⅛) при 0 ≤ X ≤ I.
21.11.	g(-ir[j(l-i-2⅛)+s(t + ≡-⅛l±l)')], ?(() =
= 0, t < 0, g(x) = g(x), t ≥ 0.
21.12.	i [u0(x + at) + u0(x - at)] +	u1(ξ)dξ, где функ¬
ции ⅛(x), uι(x) нечетные, совпадающие с функциями uq(x), ui(x)
при 0 ≤ х ≤ I, а uq(x — 0> (ж — Z) — четные функции.
21.13.	x2 + xt + t2.
21.14.	4ti + 4t2x2 + Γ4 + sin2fsinar.
О
21.15.	‰t2 ÷ 27x3 при х |t; t3 ÷ 27tx2 при х < ∣t.
21.16.	х + t + t2 + cos х cost.
21.17.	х + t при ж ≥ t; 2t + sin(x — t) при х < t.
21.18.	х + 3t + et — 3 sin t cos | при х 3t, 2x + et — 3 cost sin ∣
при х < 3t.
21.19.	1 +xt + t2e~2x.

Ответы к §21
507
21.20.	0 при ж ≥ t; 1 — ^et x — ∣[sin(x — t) + cos(⅛ — t)] при х <t.
21.21.	1 - х + 2t2 при х t; 2t2 - t - ⅛(x — t)2 ÷ et~x при х < t.
21.22.	x2 +t2.
21.23.	1) x2 — 2t2;
2)	2 + 2t — х + t2 при х 2t∖ xt — ^x2 ÷ 2et~x∣2 при х < 21.
21.24.	1) u(x,i) = f(≈ + 2i)2 +
О
— 2t)2,	х 2t ≥ 0,
+ z °
| (х — 2t)2 — (ж — 2t) cos 37	+ 2 sin Ж , 0 ≤ х ≤ 2t;
× о	2	2
( cos(rr — 2t),	х ≥ 2t ≥ 0,
2)	^>i) = |(a;_2t + 2)eW2_1; 0≤χ≤2i.
3)	u(x, t) =	+ (х ÷ t)2 +
{x — (х — t)2,	х ≥ t ≥ О,
t ÷ 0c - ^)2 ÷ (1 — х ~∖~t) sin(x — t) —
— cos(⅛ — t) + 1,	0 ≤ х ≤ t;
4) u(x, t) =
sin(x — 3t),	ж ≥ 3t ≥ О,
2(x - 3t + 3)e∣t^ix - 6, 0 ≤ х ≤ 3t∙
5)	u(x, t) = —х sin t + (ж + 2t)2 + 2(x + 2t) +
( (х — 2t)2 — 2(x — 2t),	ж ≥ 2t ≥ О,
-|- <	о	1
[	— 2t)2 — -(x — 2t) — - sin(⅛ — 2t), 0 ≤ х ≤ 2t;
6)	u(x, t) = — 5x cos t + | (х + 2t)2 ÷ 2(ж + 3t) +
∣(x — 3t)2 — (х — 3t),	х 3t
[-{x-3t) - -(x - 3t) + -sm^-—j-, O≤rr≤
v∙ Z	Z	о	и
7)	u{x,t) = 7tx cos х + (2x +1)2 + sin(2x + f) +
Г ^(2x~t)2~ ∣sin(2x-i),	x≥∣≥0,
[ ⅛(2x - i)3 + ⅛(2x - t)2 + sin(2x - t), 0 ≤ ж ≤

508
8)
9)
10)
И)
12)
2)
3)
4)
5)
6)
Гл. 6. Смешанная задача
u(x, i) = 6isi∏jr + le2x+i + |(3ж + i)3 +
∫ ^e3χ-t - ∣(Sx-i)3,	х
3x-t- ∣(3τ-f)3 + ∣e-(3χ-tξ О
6	2
u(x, t) = e4t sin х — 2 sin(rr — 4⅛) +
ГО,	х ≥ 4t ≥ О,
+ | sin(x — 4t) — (ж — 4t), 0 ≤ х ≤ 4t;
u(x, t) = ex cos 2t + 2 cos(x + 2t) +
ГО,	х ≥ 2t ≥ О,
+ \ 2 cos(x — 2t) + (ж — 2£)2 — 2, 0 ≤ х ≤ 2t;
( >0,
о
. t
u(x, t) = — e3t cos х + 2 cos(rr — bt) +
Г0,
+	— 3 cos(rr — Ы) — | (х — 5t)2 + 3,
u(x, t) = ex sin 3t + 2 sin(,τ + 3t) +
Г0,
+	— cos(x — 3f) —	— 3t)2 + 1,
.z' ≥ 5∕ ≥ 0,
О ≤ х ≤ 5t;
х ≥ 3t ≥ О,
О ≤ х ≤ 31.
21.25. 1) u(x,t) = <
2e2x cht — 2x — t,
^(2x-t)2 -2i+ 1 +e2x+t,
Г .7 2 + 4t2 - 4t,	0 ≤ 2t ≤ ж,
( ’ )	ch (ж — 2t) + ∣(x + 2t)2 — 4t — 1, 0 ≤ х ≤ 2t‘
( 4e~3x sht + 6х + 2t,	0 ≤ | ≤ ж,
u(x, t) = <	θ ,
I (Зх - t)2 + 4t + 2 - 2e~(3x+t∖ 0 ≤ х ≤
u(x, t) = (х + 3t)2 + (а? + 3t) +
Г 2(x — 3t) — (ж — 3t)2,	0 ≤ 3t ≤ х,
+ [ 2 cos(.∕∙ — 3/) + (.7- — 3/) — 2, 0 ≤ х ≤ 3t;
1	( 4x - t- 5e2x~^t,	0 ≤ у ≤ х,
и(х^) = 2e2x~t + 3e2x+it + I 1	4
3e-2∙τ+2t - (4x - t)2 - 8, 0 ≤ х ≤
u(^x, t) = —2 cos(2,τ + 9t) + 4 cos(3∙τ + 9t) +
Г 4cos(3ιr — 9t) — 3cos(2.7- — 6t),	0 ≤ 3∕ ≤
^*^ [ 2 cos(3,7' — 9t) — 3{x — 3t)2 — 1, 0 ≤ х ≤ 3£;

Ответы к §21
509
7) п(ж, I) = 2е3ж 2t + e⅛χ+t _р <
ба? - 2t - 3e3x~t,
et-3x _ 2(3a, _ tγ _ 4)
8) u(x, t) = 3 cos(3x + 4f) + cos(2a; + 4t) +
( cos(2a; — 4i) + 2 cos(3rc — 6i),
[ 5 cos(2aι — 4t) — (х — 2t)2 — 2,
0 ≤ 2t ≤ х,
0 ≤ х ≤ 2t;
9) u(x, t) = — te x
х ÷ t ÷ et x,
3t — х + ex~t,
0 ≤ t ≤ х,
0 ≤ х ≤ t;
( 2x -∣- t
Ю) )÷a) = -≈-' + ∣2f + s42ι,-fλ
0 ≤ t ≤ 2х,
О ≤ 2а; ≤ t;
11) u(⅛, t) — <
x2 — 4xt — х,
1
1 + х — xt
- 1 - 2t - 4t2,
o≤t≤ ∣,
о ≤ | ≤ t;
1 <-n ( ,ч Г 4а:2 + )-t2,	0 ≤ t ≤ 2а;,
12)	u(x, t) = <	2
[ e2x~t - 1 - 2x +1 + 2x2 + 2xt, 0 ≤ 2x ≤ t;
}rX2 + tx,	0 ≤ t ≤ Зх,
13)	u(x,f)=	2 / М 4	1 о
ch (х — - ) — 1 + -xt — -t2, 0 ≤ Зх ≤ t;
х \ о /	3	1 о
χ2 ÷	0 ≤ 3t ≤ х,
14)	u(x,t) = {	2	1
1 — cos(x — 3t) + -x2 + 3tx, 0 ≤ х ≤ 3t.
21.26. 1) u(x, t) = — | cos х cost +
{2 — cos(⅛ — t) — cos(rr + t),
∣(x — t)3 ÷ 2 — cos(,τ — t) — cos(τ + t),
О
2) u(x,0) = ∣sintsinrr +
0~4 cos(2(χ-i))-∣ ∞s(2(x+t)),
1 х —4 cos(2(a;—i))-1 cos(2(a;+i)) — |(а;—i)3, 0 ≤ х ≤ t;
× Z zr	4	о
( 1
z, . х2 АП2’
х ≥ t ≥ О,
≥ t ≥ О,
3) и(х, О) — е x + <
—2	, 0 ≤ 2а; ≤ t;
1Λ 2

510
Гл. 6. Смешанная задача
Зж ≥ t ≥ 0,
О ≤ 3x ≤ t',
≠2	1
5) u(x, t) = 1 + — ÷ - cos 2t + 2xt, ж ≥ О, t ≥ 0;
6) u(x, t) = 1 + Q) - | cos 2t + | (ж + 3£)2 -
|(ж — 3t)2, ж ≥ 30 О,
^(ж — 3t)2, 0 ≤ ж ≤ 3t.
6
21.27. 1) и(ж, t) = 2xsht 2(ж ÷ 3t)2 +
Г — (ж — 3t)2,	0 ≤ 3t ≤ ж,
| 4e*-3* - 4(ж - 3t) - 4, о ≤ ж ≤ 3t;
Г 8т(5ж — t) + 2t,	0 ≤ t ≤ 5ж,
2) u(x, t) = £со8 5ж + <	9∕r n
7 v 5 6 7	1 e-2(5≈-⅛) + 15χ _ t _ о ≤ 5ж ≤ t;
3) и(ж, t) = — 3xet + 2(ж + 2t)2 +
(ж — 2t)2 + 3(ж — 2t),
e2f^x ÷ 4(ж - 2t) - 1,
О ≤ 2t ≤ ж,
О ≤ ж ≤ 2t'
Г 14ж + 31 — соб(2ж — t), 0 ≤ t ≤ 2ж,
4) u(x,t) = ts'm2x -∖- <	9∕9q, ,ч	r4
v 7	∖18x + t-e2( 2x~t∖	0<2жО;
5) u(x, t) = sin 2(ж + t) + (ж + t) +
( sin 2(ж — t) — ж + t,	0 ≤ f ≤ ж,
| e2(≈-f) _ 2 — ж +1 + cos 2(ж -I), 0 ≤ ж ≤ t;
6) п(ж, t) = e2^+2^ - 2 -
/ e2(x-2t) _ 2	0 ≤ 2t ≤ Ж,
| ∣e2^-2^ - (ж - 2t)2 - (ж - 21) - |, 0 ≤ ж ≤ 2t;
7) u(^x, t) = — сов(ж + 2t) — (ж + 21) +
( соз(ж — 2t) + (ж — 2t),	0 ≤ 2t ≤ ж,
+ [ — 3e2f-x÷ (ж—2t)2—3(ж—2t)÷4⅛8ш(ж—2t), 0 ≤ ж ≤ 2t∖

Ответы к §21
511
8) n(x, t) = -1 (х + 2£) +
{Z	Q
cos(x — 20) — -(х — 2⅛),
_ le≈-2t - |(ж - 2t)2 - (ж - 2t) + |,
О ≤ 2t ≤ ж,
О ≤ х ≤ 2t-
9) п(ж, t) = ex cos t + ex+t +
( ex t — (ж — t)2,
[ cos(x — t) + sin(^ — t),
ж ≥ t ≥ О,
О ≤ х ≤ 20,
10) u(x, t) = cos(x + 4⅛) + sin(rr + 20) +
х — 2t,
sin(x — 2t),
rr ≥ 2t ≥ О,
О ≤ х ≤ 20,
11) u(x, t) = e~3t sin х + (ж + 3£)2 +
( (х — 3t)2 + cos(x — 30) ÷ sin(x — 30),
+ | e□3-3⅛
О ≤ х ≤ 30,
a? ≥ 3£ ≥ О,
12) u(x, t) = tex + ex+4t +
ex~4t + (ж - 4£) - 2,
2(x — 4t) — cos(rr — 4t),
ж ≥ 4£ ≥ О,
О ≤ х ≤ 4t
21.28. 1) u(x, t) = ⅛x(x + 20) +
-(х — 20) — cos(x — 2t), ж ≥ 2t ≥ О,
ex-2t _ 2 _р 1 cos(⅛ — 30), 0 ≤ х ≤ 20
3) u(x, t) = | {x + t + ex+t) — sin(⅛ ÷ 2t) +
f 0x~t~e^ty
÷ I	_1
1 — ex~t + -(x — t + sin(x — t) — cos(x — t)),
х ≥ 2t ≥ О,
О ≤ 2x ≤ О
τ ≥ t ≥ О,
О ≤ х ≤ О,
') = {x + t + cos(x + О
1	2
-(cos(x-t) - (x-t)),
2 — ex~t — ∣(cos(rr — 0)
х ≥ О,
5)	u(x, t) = cos(x + t) — cos(x + 2t) +
{1	2
- cos(rr — 2t) + 1,	ж ≥ 2⅛ ≥ О,
2
2 — ^ex~2t — | sin(x — 20) ÷ (х — 20), 0 ≤ х ≤ 20,

512
Гл. 6. Смешанная задача
6)	u(x, t) = sin(⅛ + t) + ∣ sin(2x + t) + (2ж ÷ t) +
1	2
-(2ж — t) — (2ж —1),	2ж ≥ t ≥ О,
÷ \	1	1
-e2x~t + - cos(2x —1) — (2ж —1) — 1, 0 ≤ 2ж ≤ t∖
7)	п(ж, t) =
8)	u(x, t) =
9)	u(x, t) —
х ÷ 3t,
e3x-f(sin(x — 3t) — 6) + 2(ж ÷ 3t),
ж ≥ 3t ≥ О,
О ≤ х ≤ 3t;
(ж — 2t)2,	ж ≥ 2t ≥ О,
4e⅛x~t sin2 (∣ -	0 ≤ х ≤ 2t∖
2x + 4t,	ж ≥ 4t ≥ О,
х ÷ 41 + |(ж + 4t)2, О ≤ х ≤ 4t;
10)	u(x,t) = ⅛ + 3f)2 + [2x	2(ж 3t^2'
2	U + 3f + 3(e3i-≈ - 1),
11)	u(x, t) = xsint +
( sin(x + t),	ж ≥ t ≥ О,
"*^ [ 8ш(ж ÷ t) + (х — t)3, 0 ≤ х ≤ t;
12)	u(x, t) = (ж + l)e-t + e-(χ+C
ГО,	ж ≥ Г ≥ О,
[ e~^x~t^ + ex~t + 2(x — t), 0 ≤ х ≤ t;
х 3t ≥ О,
О ≤ х ≤ 3t;
13)	u(x, t) = х cost +
(ж — 2t)2,
2ex~2t - 2 - 2(x - 2t∖
x≥2t≥0,
О ≤ х ≤ 2t;
14)	u(x, t) = te2x +
e2x~t + 2,
e-(2χ-t)+2(2x-t) + 2,
2x ≥ t ≥ О,
О ≤ 2x ≤ t;
15)	u(x, t) = 2t — x2 + (х + t)2 +
(x-t)2,
(х — t) sin(∙τ — t),
ж ≥ t ≥ О,
О ≤ х ≤ t;
{sin(rr — t), ж ≥ t ≥ О,
^sin2(>-t), 0 ≤ х ≤ t;
17) u(x, t) = —13 — 3t2 + (ж + t)3 +
। Г (ж — t)3,	ж ≥ t ≥ О,
[ 8ш(ж — t) — (ж — t) СО8(ж — t), 0 ≤ ж ≤ t;

Ответы к §21
513
18) п(ж,I) = xet + 2(ж + t) — -(x + t)I 2 * * +
{о
1 — 2(ж —1) + -^{x — t)2, х ≥ t ≥ О,
(1 + t - x)et~x,	0 ≤ х ≤ t.
z x	z ч ( х + t ÷ cos(x — t),	х ≥ t ≥ О,
21.29. 1)	и(х, О	—	— (1	+ t) cos х	+ < rι rk .zr	^
’	v 7	v j [2t + 2-et~x,	0≤z≤^
2)	u(x, t) = 4t sin ж +
( — 41,	ж ≥ 2t ≥ О,
+ I -x-2t+l + ⅛(x- 2t)2 - e~x+2t, 0 ≤ х ≤ 2t;
3)	u(x,t) = 6e2x-f + 3e2(4x+f) ψ
। Г 3(4x — t) — 9e2^4x-^,	4ж ≥ t ≥ О,
[ Se^4x~t^ - 3e4x~t + e-^4x~t^ - 15, 0 ≤ 4x ≤ t;
4)	ф. 1) = 3 sin(2i∙ + I) + sl,⅛c + 0 + { (;£ _ q + (;е _ tγ. θ q χ q
5)	ιφ, t) = 10eJ-2t + 2(2x ÷ t ÷ 3)e2+f∕2 +
( 2(2x - t)ex~t^2 - 16ex-f∕2, 2x ≥ t ≥ О,
1 — 16 — 6(2ж — t) — (2x — t)2, О ≤ 2x ≤ t;
6)	u(x, t) = cos(x — 2t) + (х + t) ln( 1 + (х + t)2) +
J (ж — t) ch(x — ⅛), ж ≥ t ≥ О,
+ [ х — t,	О ≤ х ≤ t;
7)	u(x, t) = 9t sin | — х sin | + х + | +
О	о	о
[ 3 + 2 (х - ∣') + (х - ∣') +sin26c-∣Y Зж ≥ i ≥ О,
-|- /	\ з/ λ \	6)	∖ δj
I х - t- + 3ex~t/3,	0 ≤ 3x ≤ t;
X	О
8) u(x, t) = ^xt5 * — x5t ÷ (х ÷ |
1 + 2 (х — - J + cos(2x — t), 2rr ≥ t ≥ 0.
1 + In (1 - х +	+ ex~t^2,	0 ≤ 2x ≤ t
9) u(x, t) = cos Зх + х cos 3t + х + 3t +
( 3 + 3(x — 3t) + 4(ж — 3t)2 ÷ sin2(x — 3t), ж ≥ 3t ≥ О,
| х - 3t ÷ 4ex-3f,	0 ≤ х ≤ 3t;

514
Гл. 6. Смешанная задача
10) u(x, t) = ^tx4 + t4x + (ж + 2⅛)2 +
( - 1 + е-(ж-2^ + ln( 1 + х - 2t), ж ≥ 2t ≥ 0,
t — 1 + 2(ж — 2t)2 + cos2(x — 2t), 0 ≤ х ≤ 2t.
21.30.	1) х3 ÷ 3xt2 при 0 ≤ ж + t ≤ 2, 0 ≤ ж — t ≤ 2, 3x2t + t3
при 0 ≤ ж ÷ t ≤ 2, —2 ≤ ж — t ≤ 0;
2)	2ж3 + 6xt2 при 0 ≤ ж ÷ t ≤ 4, 0 ≤ ж — t≤4, (ж + t)3 + 8(ж — t)3
при 0 ≤ ж + t ≤ 4, —2 ≤ ж — f ≤ 0.
21.31.	tx = T+ ⅛≤-.
а
21.32.	-Ц [(∣τ∣ + αi)α(∣ιr∣ + at) + (|ж| - ai)a(∣x∣ - at)] +
2|ж|
. ∣x∣⅛at
+щ 1 dξ' при 1Ж1 ≥ 1 + at'
I I ∖x∖-at
—[(|ж| + at)a( |ж| + at) — (2 — |ж| + at)a(2 — |ж| + at)] +
2|ж|
< ∣x∣+at
+ ш 1 dζ∙при 1 < И < 1 + at-
I । 2—∣x∣+a⅛
21.33. О при |ж| ≥ 1 ÷ t;
1	⅛+l-∣cc∣
e∣χ∣-⅛-ι j eτg(τ)dτ при 1 < |ж| < 1 +t.
kl	о
21∙34∙ 2⅛∣	+ aiM∏ + i) + (И - iMM - f)] +
1	∖x∖+t
+2Ы 1 rfξпри 1ж1 ≥ 1 +
-∣1- [(|ж| + ai)a(∣x∣ + t) + (2 - |ж| + ai)a(2 - |ж| + ai)] +
2|ж|
∣λγ∣i≠	О	I гр I _|_7-
+ ⅛ 1 W)^-⅛e∏-t-2 ; ξeqo-o]dξ
2∣s∣ 2-∣≈∣+t	1Ж1	1
при 1 < |®| < 1 + t.
21.35. 0 при |ж| ≥ 1 +
1	⅛÷l-∣x∣
e(fc+1)(∣x∣-t-1)	∫ e(k+v>τg(τ) dτ при 1 < |ж| < 1 +t.
kl	о
21∙36∙ 5⅛ b<÷p(-⅞⅛)-M-¾rF+
÷⅛i(≡W(-⅛⅞)--(-⅛)>-

Ответы к §21
515
21.37.	-^∫ML^2eχp(--≡^pτ.
2α≠r j0 t3∕2 I 4a2τ J
21∙38∙ ГТ7 7"оЮ{exp [^ ⅛r^] + exp [^ ⅛⅞^]}dξ∙
2α√πt q L L 4α t -∣ L 4α t В
21.39.	~^;g(f~T) exp [- -^r]dτ.
V⅛ о √≡ L 4α2τJ
ni лл	1 г g(t — τy) г χ21 , .
21.40.	— v r- , exp — — ∖dτ +
≠F j0 √7 L 4τ J
О t	∞	2
4—-ex{g(t- τ)eτ Г e~a dadτ.
vπ 0	√F+≈
2√7
2141.	∫u0(ξ)(exp[
2a√πt q	∣4	L
- 2h ∫ exp ( - ^+4g2÷^2 - hη
21.42.	1	7n0(ξ)(cos[-
2√π^ 0	∣k L
-cos[-ħ+i2--ιLξ + ^
L	4t	4j∫ s 2√
21.43.	-—2fea -	7
(δ+fca)≠F
ka (. l 26	_f2
	 — < 1 + —	е ζ d<
о + ка	kay∕π	θ
-¾f]÷-[-¾F]-
)dτ7pξ.
_ (ж - ξ)2 _ Ξ^∣ _
4t	4J
г g(t — τ) ( χ2 τrλ 7
—	v9 cos — - - dτ.
7Γ ⅛	τ3∕2	∖4τ	4 7
e~ξ2 dζs при х < 0;
£ j> при х > 0.

Список литературы
\. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специаль¬
ные функции. — М.: Наука, 1974.
2.	Беклемишев С. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
3.	Вентцель Т.Д., Горицкий А.Ю., Капустина Т.О., Кондра¬
тьев В.А., Радкевич Е.В., Розанова О. С., Чечкин Г.А., Ша-
маев А. С., Шапошникова Т.А. Сборник задач по уравнениям
с частными производными. — М.: Бином, 2005.
4.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики.
Изд. 5-е. — М.: Наука, 1085.
5.	Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической
физики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
6.	Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Нау¬
ка, 1971.
7.	Ильин А.М. Уравнения математической физики. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009.
8.	Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных
производных. Изд. 2-е. — М.: Наука, 1983.
9.	Михайлов В.П. Лекции по уравнениям математической фи¬
зики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
10.	Никольский С.М. Курс математического анализа. Изд. 5-е. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.
И. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производ¬
ными. — М.: Бином, 2005.
12.	Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными произ¬
водными. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961.
13.	Петровский И. Г. Лекции по интегральным уравнениям. —
М.: Наука, 1974.

Список литературы
517
14.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне¬
ния. — М.: Наука, 1982.
15.	Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариа¬
ционного исчисления. — М.-СПб.: ФИЗМАТЛИТ, Невский
диалект, Лаборатория базовых знаний, 2000.
16.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Нау¬
ка, 1966.
17.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана¬
лиза в математической физике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
18.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по
теории функций комплексного переменного. Изд. 3-е. — М.:
Наука, 1989.
19.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. — М.: Наука, 1977.

Список литературы
517
14.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне¬
ния. — М.: Наука, 1982.
15.	Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариа¬
ционного исчисления. — М.-СПб.: ФИЗМАТЛИТ, Невский
диалект, Лаборатория базовых знаний, 2000.
16.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Нау¬
ка, 1966.
17.	Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана¬
лиза в математической физике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
18.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по
теории функций комплексного переменного. Изд. 3-е. — М.:
Наука, 1989.
19.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической
физики. — М.: Наука, 1977.