foxy.
T X
В. в ТРОФИМОВИЧ
В. А. ПЕРМЯКОВ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ
ВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ЬТЛ1ВМЬНИК
К И L В 19 7 0
В. В. ТРОФИМОВИЧ, В. А. ПЕРМЯКОВ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ
ВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «БУД1ВЕЛБНИК»
КИ ЕВ- 1970
6С4
Т76
УДК 69.024.5.001.2
В. В. Трофимович, В. А. Пермяков «Проекти-
рование предварительно напряженных вантовых
систем», Киев, «Буд1вельник», 1970, стр. 140.
В книге изложен метод расчета предваритель-
но напряженных статически неопределимых ван-
товых ферм и комбинированных систем минималь-
ного объема или стоимости при действии постоян-
ных, переменных и подвижных нагрузок. В отли-
чие от традиционных разработанный метод поз-
воляет найти оптимальное распределение усилий
в конструкции без решения статически неопреде-
лимой системы с позиций метода предельного
равновесия. Для решения задачи расчета кон-
струкции с заданной геометрической схемой ис-
пользуются методы линейного программирования.
Приведены способы определения оптимальных па-
раметров вантовых систем с балкой жесткости.
Методы расчета иллюстрируются числовыми
примерами, даны рекомендации по созданию не-
обходимых усилий предварительного напряжения
в многократно статически неопределимых систе-
мах, приведены результаты экспериментальных
исследований, описания установок.
Книга рассчитана на инженеров-проектиров-
щиков, работников научно-исследовательских уч-
реждений, студентов и аспирантов строительных
вузов.
Рисунков 48, библиография из 43 позиций.
3—2—5
67—70М
ВВЕДЕНИЕ
Идея предварительного напряжения известна достаточно
давно. Работы акад. А. В. Гадолина и металлурга Н. В. Кала-
куцкого, опубликованные в конце XIX в., во многом предопреде-
лили создание современной теории применения предварительно-
го напряжения. В них указано на возможность регулирования
напряжений «для увеличения сопротивления выделываемых
предметов».
В 1896 г. при проектировании павильонов Нижнегородской вы-
ставки В. Г. Шухов применил предварительное напряжение про-
странственных покрытий, выполненных в виде сеток из стальных
лент, а позже — предварительное напряжение легких арок для
повышения их устойчивости и снижения деформативности (по-
крытие пассажей ГУМа в Москве).
Существенным толчком в развитии предварительно напря-
женных металлических конструкций явилось широкое примене-
ние предварительного напряжения в железобетоне, где благода-
ря этому был достигнут весьма большой эффект.
Исследованию предварительно напряженных металлических
конструкций как в СССР, так и за рубежом посвящено много ра-
бот. В течение послевоенных лет построено значительное количе-
ство крупных сооружений в металле с применением предваритель-
ного напряжения. Среди них мост через реку Томь в Новокузнецке,
Новоарбатский мост в Москве, мост через Иртыш в Омске, мос-
товой переход через Волгу на строительстве Волгоградской ГЭС,
павильон СССР на Всемирной выставке в Брюсселе, эстрадный
театр в Харькове и другие сооружения.
Основные идеи применения предварительного напряжения в
металлических конструкциях заключаются в следующем:
1.	Вводя предварительное напряжение в конструкцию и в от-
дельные ее элементы, можно повысить предел ее упругой работы
вплоть до полного исчерпания несущей способности и избежать
при этом больших деформаций, характерных для упруго-пласти-
ческой стадии работы материала.
2.	Создавая предварительное напряжение введением в кон-
1*
3
струкцию напрягающих элементов из высокопрочных сталей
(стальных канатов, высокопрочных проволок), можно наиболее
полно использовать высокие качества этих материалов, что не
всегда удается сделать в обычных ненапряженных конструкциях
в связи с тем, что деформативность высокопрочных элементов
при напряжениях, близких к расчетным, в несколько раз больше
по сравнению с элементами из обычных материалов.
3.	В конструкциях, содержащих гибкие элементы (мачты на
оттяжках, вантовые конструкции и т. п.), введение предваритель-
ного напряжения обеспечивает работу гибких элементов на рас-
тяжение, придавая тем самым меньшую деформативность кон-
струкции, а часто и геометрическую неизменяемость. В послед-
нем случае конструкция вообще не может быть осуществлена без
применения предварительного напряжения.
4.	Предварительное напряжение является наиболее распро-
страненным средством регулирования усилий в конструкции с
целью перераспределения напряжений между ее элементами
наиболее выгодным образом.
В отличие от железобетона, где предварительное напряжение
создается только введением в конструкцию напрягающих эле-
ментов, в металлических конструкциях имеется значительно
больше способов создания предварительного напряжения [1].
1.	Предварительное напряжение отдельных растянутых, сжа-
тых и изгибаемых стержней путем введения в их состав предва-
рительно растянутого элемента из высокопрочной стали (пучок
проволок, стальной канат, растянутый стержень из высокопроч-
ной стали и т. п.).
2.	Предварительная упругая или упруго-пластическая изгиб-
ная или линейная деформация элементов, входящих в состав из-
гибаемой конструкции балки с последующим соединением в де-
формированном состоянии путем сварки, клепки или постанов-
кой каких-либо других связей в целую конструкцию-балку.
3.	Предварительное деформирование отдельных элементов
конструкции или целых конструкций за предел текучести с
целью повышения предела их упругой работы в эксплуатации.
4.	Предварительное напряжение статически неопределимых
конструкций (неразрезные балки, рамы, арки и т. п.) путем при-
нудительного смещения опор при монтаже с целью получения
напряженного состояния, обратного по знаку напряженному
состоянию от эксплуатационных нагрузок.
5.	Предварительное напряжение конструкции путем загруже-
ния отдельных ее частей временными нагрузками с последую-
щим закреплением конструкции в деформированном состоянии
с целью получения рационального распределения усилий.
6.	Предварительное напряжение прокатных профилей путем
завальцовки в них натянутой высокопрочной арматуры.
7.	Предварительное напряжение растянутых гибких элемен-
4
тов конструкций с целью обеспечения их работы на растяжение
при любых комбинациях эксплуатационных нагрузок.
Предварительное напряжение может осуществляться полно-
стью на заводе при изготовлении конструкций, частично на за-
воде и частично на монтажной площадке в процессе укрупни-
тельной сборки, в процессе самого монтажа конструкции и, на-
конец, в период эксплуатации конструкций.
Однократное предварительное напряжение теоретически поз-
воляет повысить использование основного металла в 2 раза
(при одинаковых расчетных сопротивлениях растяжению и сжа-
тию). Практически в силу целого ряда причин обычно не удается
добиться двухкратного повышения несущей способности, коэф-
фициент использования основного металла получается порядка
1,7—1,8.
При многократном предварительном напряжении возмож-
ность повышения коэффициента использования основного метал-
ла теоретически неограничена, так как в этом случае при при-
кладывании полезной нагрузки ступенями можно многократно
использовать несущую способность основного металла. Практи-
чески удается получить коэффициент использования основного
металла порядка 3—5. При этом следует иметь в виду, что по-
вышение несущей способности основного металла происходит
за счет перераспределения усилий между ним и напрягающим
элементом, который должен быть рассчитан соответствующим
образом. Чем выше коэффициент использования основного ме-
талла, тем большее усилие приходится на напрягающий элемент.
В случае изготовления последнего из высокопрочного материала
экономия достигается за счет непропорционального роста стои-
мости и прочности (прочность растет быстрее стоимости).
Дополнительные резервы экономии металла заключаются в
возможности более рационального использования материала в
основном элементе, приближая действующие в нем эпюры уси-
лий к соответствующим эпюрам материала.
Снижение веса предварительно напряженных конструкций
достигается за счет более полного использования основного ме-
талла, а также за счет замены менее прочного основного метал-
ла более прочным металлом напрягающих элементов (обычно
высокопрочной проволокой или тросами), имеющим при тех же
усилиях меньшее сечение и вес.
Для конструкций из алюминиевых сплавов и высокопрочных
сталей, обладающих повышенной, по сравнению с конструкция-
ми, выполненных из обычной стали, деформативностью, предва-
рительное напряжение как фактор, снижающий деформатив-
ность, может иметь решающее значение. Повышение трудоем-
кости изготовления предварительно напряженных конструкций
по сравнению с ненапряженными, безусловно, останется. Одна-
ко при массовом изготовлении и наличии соответствующей осна-
5
стки у заводов это повышение может оказаться весьма неболь-
шим. При этом следует помнить, что снижение веса на 1% ком-
пенсирует повышение трудоемкости изготовления примерно на
7%. Следовательно, фактор снижения веса конструкций должен
иметь решающее значение.
Значительные исследования, проведенные в области предва-
рительного напряжения металлических конструкций, изложены
в работах Ю. В. Гайдарова [4], Е. И. Белени [1] и др. Большинст-
во исследований в первое время проводилось на основе улучше-
ния и совершенствования конструкций существующего типа
(балок, ферм, рам, арок) )или отдельных их элементов. Достиг-
нутые результаты по снижению веса и стоимости этих конструк-
ций (экономия в весе 10—15%, в стоимости 5—10%) не могут
удовлетворить запросы строителей, так как расход металла на
строительство в нашей стране увеличивается с каждым годом.
Стало очевидно, что существенного снижения расхода стали
можно добиться на основе создания новых типов конструктив-
ных схем, в которых предварительное напряжение могло про-
явить себя более рационально.
Стремление создать наиболее легкие и дешевые конструкции
привело к разработке целого ряда конструктивных решений,
среди которых можно выделить системы, выполненные как це-
ликом из гибких элементов, так и в комбинации гибких элемен-
тов с жесткими.
Несмотря на то, что в комбинированных системах предвари-
тельное напряжение начало применяться раньше, чем в других
типах конструкций (предварительное напряжение вагонных
шпренгелей, предварительное напряжение затяжек в арочных
системах, предварительное напряжение оттяжек мачт и т. п.), ис-
следовательских работ, посвященных предварительному напря-
жению конструкций этого типа, еще мало.
Вместе с тем в комбинированных системах эффект предвари-
тельного напряжения проявляется наиболее ощутимо, так как
особенность этих конструкций заключается в наличии гибких
элементов (шпренгелей, цепей вант и т. п.), благодаря чему
исключается необходимость введения дополнительных напрягаю-
щих элементов. Кроме того, изменением усилий в гибких элемен-
тах создается возможность искусственного регулирования на-
пряжений во всех элементах конструкций, включая жесткие.
Последнее обстоятельство играет существенную роль во всех
статически неопределимых системах, которые невозможно в
общем случае выполнить с полным использованием прочностных
характеристик материала во всех элементах. Вследствие осо-
бенностей расчета статически неопределимых систем неизбеж-
но какие-то элементы окажутся недонапряженными. Введением
предварительного напряжения и соответствующим искусствен-
ным регулированием усилий можно повысить напряжения во
6
всех элементах до величин расчетного сопротивления материала
и тем самым существенно снизить вес конструкции за счет ис-
ключения недонапряженных элементов. Например, в ненапря-
женной неразрезной двухпролетной балке, подверженной дей-
ствию равномерно распределенной нагрузки, изгибающий
момент над средней опорой будет
больше пролетного изгибающего
момента и, в случае проектирова-
ния балки постоянного попереч-
ного сечения, величину последне-
го необходимо подбирать по мак-
симальному (опорному) моменту,
оставляя пролетные сечения недо-
напряженными. Если же ввести
предварительное напряжение, на-
пример, путем опускания средней
опоры (рис. 1), можно при той же
нагрузке уменьшить сечение бал-
ки за счет выравнивания опорно-
го и пролетных моментов. Точно
так же в комбинированных систе-
мах и вантовых фермах предва-
рительным напряжением шпрен-
гелей, цепей или вант можно до-
биться полного использования ма-
териала в балке, арке или ферме.
Искусственное регулирование
напряжений исследовалось рядом
советских авторов, причем наибо-
лее полно рассматривались во-
просы усиления и реконструкции сооружений. В работе
М. Н. Лащенко [22] обобщен богатый опыт советской и зарубеж-
ной строительной практики, что позволило автору систематизи-
ровать и описать, иллюстрируя многочисленными примерами,
способы регулирования, известные в настоящее время.
С возникновением предварительно напряженных металличес-
ких конструкций появилась возможность осуществлять искусст-
венное регулирование в конструкциях до ввода их в эксплуата-
цию. Этот прием тем более рационален, что сталь обладает не-
значительной ползучестью, быстро затухающей во времени, и
возможность потерь напряжений поэтому практически отсут-
ствует. В то же время в железобетонных конструкциях введен-
ные для регулирования усилия за год уменьшаются вследствие
ползучести железобетона на 80—90% [15]. Однако решение этой
проблемы большей частью сводится к определению оптимальных
величин усилий предварительного напряжения [1], что хотя и
6
Рис. 1. К регулированию напряже-
ний в двухпролетной балке:
а — схема балки и эпюра изгибающих
моментов от нагрузки б — эпюра из-
гибающих моментов прн опускании
опоры В на величину б; в — оконча-
тельная эпюра в результате регулиро-
вания.
7
имеет свои положительные стороны, но не использует все воз-
можности для проектирования эффективных конструкций.
Исключение составляют работы [И, 18, 27, 12, 13, 22], в кото-
рых рассматривались вопросы регулирования напряжений в
мостовых конструкциях,
в том числе и с исполь-
зованием гибких пред-
варительно напряжен-
ных элементов.
Наиболее интерес-
ный способ выбора ве-
личин предварительно-
го напряжения в вантах
пролетных строений
предложен В. К. Качу-
риным. Он заключается
в наложении на эпюры
действующих изгибаю-
щих моментов в балке
жесткости изгибающих
моментов обратного
знака, которые созда-
ются дополнительным
натяжением вант. Рас-
Рис. 2. К регулированию усилий в вантовой
системе с балкой жесткости:
а — схема системы; б — эпюры изгибающих моментов
в балке до регулирования при полном загружеиии
временной нагрузкой и повышении температуры иа
/°C (/), при отсутствии временной нагрузки и пони-
жении температуры иа 1°С (2) и от дополнительного
натяжения вант (3); в — эпюры изгибающих момен-
тов после регулирования; г — к определению усилий
в вантах.
сматривалась вантовая
система, представлен-
ная на рис. 2 а.
Величины изгибаю-
щих моментов и усилия
в вантах найдены ра-
нее. Кривая 1 на рис.
2, б соответствует пол-
ному загружению сис-
темы постоянной р и временной q равномерно распределенны-
ми нагрузками при максимально возможной температуре
-Н°(Мтах); кривая 2— загружению только постоянной нагруз-
кой р с понижением температуры до —Г(Л4т1п). Необходимо
найти дополнительные усилия в вантах, которые позволят
уменьшить максимальный момент в балке жесткости до какого-
нибудь заданного значения Л40. Эпюра изгибающих моментов,
вызванных дополнительным подтягиванием вант, в общем слу-
чае представляет собой ломаную линию 3 с переломами в местах
крепления вант. Ординаты ЛК, Л42 и Л43 назначаются предвари-
тельно так, чтобы расстояния от нее до кривых 1 и 2 были по
возможности равны друг другу.
Эпюра изгибающих моментов, полученная в результате регу-
лирования, строится графически, путем откладывания в каждом
8
сечении от оси 0—0 отрезков bi и Ь2, величины которых равны
расстояниям от ломаной 3, наложенной на эпюры действующих
моментов, до кривых 1 и 2 (рис. 2, в).
Зная ординаты эпюры 3 Mi, М2 и М2, можно найти теперь ве-
личины дополнительных усилий в вантах ANi, AN2 и ANs
(рис. 2, г). Так как изгибающие моменты в балке жесткости
вызываются вертикальными составляющими этих усилий Vi, V2
и Уз, можно записать уравнения:
7И1 = — Rct = — V1c1 — У2с{ — 1/gCj;
ТИ2 = Rc2 Vi (c2 ^1) == Ц 1^1	Ц2^2	3^2»
Alg = RC3 (c3 Cj) -j- l/2 (Cg С,) =	V2C2	V3Cg,
где Vi, V2 и Vs — искомые величины.
Дополнительные усилия в вантах:
A7Vi==H. ДЛА	ддгз==_Ез_ .
sin a	sin р	sin 7
Полные усилия в вантах после регулирования
Ni==N° + ^Ni. N2 = N° + ^Nz- Wg = A^ + AWg,
где Л/?, N°, N°— расчетные усилия в вантах до регулирования..
Интересно отметить, что если величины изгибающих момен-
тов изменяются довольно существенно, то усилия в вантах — не-
значительно. В рассматриваемом примере при /=210, й=25, а=
= 30 м\ р = 5, q = 2 т/м. Максимальный изгибающий момент, рав-
ный 2100 тм до регулирования, уменьшился более чем в 2 раза
(до 900 тм). В то же время усилия в вантах (/V? = 393, A’°=494
и N° =773 т) изменились до 10% (4ЛГ1 = 31, /1Л^2=0 и 4Л^з=75 т).
Однако существенный недостаток всех рассматриваемых реше-
ний заключается в необходимости регулирования усилий в уже
спроектированной каким-то (не обязательно наилучшим) спосо-
бом конструкции. Выбор ее схемы, подбор сечений произведен
заранее, причем в расчете не всегда учтены те преимущества,
которые дает последующее перераспределение усилий. Если при
этом иметь в виду, что предварительно напряженные конструк-
ции являются статически неопределимыми системами, то стано-
вится ясным, что почти всегда в конструкции имеются в наличии
недонапряженные элементы.
Поэтому наиболее целесообразным, на наш взгляд, является
перспективное регулирование [22], т. е. регулирование усилий на
стадии проектирования. В этом случае конструктор должен за-
дать необходимое распределение усилий в конструкции и, исхо-
дя из этого, произвести подбор сечений элементов и величин
предварительного напряжения.
Целесообразность именно такого пути подтверждается опытом
проектирования советского павильона на Всемирной выставке в
Брюсселе 1958 г. [32].
9
Поперечная конструкция павильона (рис. 3) имела 2 решетча-
тые колонны, к которым на вантах были подвешены 2 консоль-
ные конструкции. Отличались колонны тем, что работали только
на действие продольных сил (без изгибающих моментов). Фер-
мы фонаря, опирающиеся на внутренние концы консолей, урав-
Рис. 3. Поперечный разрез павильона СССР на Всемирной выставке
1958 г. в Брюсселе:
1 — импост и стеклянная стена, подвешенные к узлу фермы; 2—стойка рамы
антресольного этажа; А — деталь устройства для предварительного натяжения
поперечной конструкции павильона; 3 — зазор между конструкцией подвижной
стены и верхом железобетонного фундамента; 4 — натяжной болт; 5—подвиж-
ное крепление импоста к колонне.
новешивались подвесными стеновыми конструкциями, которые
подвешивались к внешним концам консолей. Нижний конец им-
поста стеклянной стены не доходил до отметки верха фундамента
стоек рам антресольного этажа на 50 мм. Этот зазор использо-
вался для натяжения внешнего ванта, в котором при одной из
возможных комбинаций нагрузок возникло усилие 7Vmin =—1,5 т.
Импост притягивался к верху железобетонного фундамента с по-
мощью натяжного болта, вытягивая внешний вант с усилием,
равным 2 т (т. е. величину, способную перекрыть возможное
сжимающее усилие) и уравновешивая одновременно вес полови-
ны фермы фонаря, приходящийся на колонну с другой стороны.
Перспективное регулирование предусматривает выбор необ-
ходимого распределения усилий в системе. В основу его должны
быть положены требования, обеспечивающие оптимум некото-
рого заранее оговоренного показателя качества решения, роль
которого может выполнять объем металла или вес конструкции,
а в случае применения различных материалов — стоимость кон-
струкции в целом. Так как распределение усилий производится
искусственным путем, то возникает вопрос об оптимальном пред-
варительном напряжении, величины которого должны быть оп-
ределены из условия обеспечения необходимого распределения.
Кроме того, перспективное регулирование в проектируемых кон-
струкциях связано с определением параметров тех или иных
конструктивных форм, способствующих заданному распределе-
10
нию усилий. Выполнение всех требований позволит создать кон-
струкцию, рациональную по расходу материалов. При этом обя-
зательным являются также требования безусловного соответ-
ствия конструкции своему технологическому назначению.
Таким образом, задача рационального проектирования пред-
варительно напряженных металлических конструкций является
комплексной и может быть разбита на ряд этапов:
1.	Статический расчет той или иной конструктивной схемы,
подбор сечений и определение величин предварительного напря-
жения отдельных элементов при выполнении требований опти-
мальности решения.
2.	Исследование расчетной конструкции с точки зрения ее
экономичности и выяснение влияния на экономические показа-
тели различных факторов: соотношения геометрических разме-
ров, типов сечений, способов соединения элементов и т. п. Ре-
зультатами этого этапа исследования должны явиться сообра-
жения по выбору оптимальных параметров той или иной кон-
структивной схемы.
3.	Конструирование и экспериментальная проверка эксплуа-
тационных качеств сооружения.
В настоящей работе первый этап исследований подразуме-
вает предварительное задание конфигурации конструкции и схе-
мы ее загружения (в отличие от задачи синтеза конструкции, в
которой одновременно решается вопрос и второго этапа иссле-
дований) .
В конструкциях известной геометрической схемы задача отыс-
кания оптимальных параметров сооружений обычно сводится к
сравнению нескольких возможных вариантов и отбора наилуч-
шего из них по экономическим показателям. Такой метод приме-
няется в практике, однако даже использование современной вы-
числительной техники, позволяющей рассмотреть максимальное
число случаев, принципиально не решает проблемы, так как наи-
лучший вариант может оказаться ненайденным.
В ряде случаев задачу о выборе оптимальной величины како-
го-либо геометрического параметра конструкции удается решить
в конечном виде, отыскав минимум выражения, отображающего
некоторый критерий качества сооружения. В предлагаемой ра-
боте рассмотрены способы определения геометрических разме-
ров некоторых типов предварительно напряженных комбиниро-
ванных систем.
И, наконец, заслуживает внимания третий этап исследований.
В связи с бурным развитием теории оптимальных стержневых
систем и разработкой ряда методов оптимального проектирова-
ния конструкций появляется необходимость в эксперименталь-
ной проверке полученных результатов. Однако эксперименталь-
ных исследований по этому вопросу в настоящее время совер-
шенно недостаточно.
11
В настоящей работе рассматриваются перечисленные выше
вопросы применительно к некоторым современным конструкци-
ям покрытий: вантовым фермам, консольным вантовым систе-
мам и шпренгельным балкам. Однако изложенный метод рас-
чета является универсальным и может быть использован и для
многих аналогичных типов конструкций.
Глава II, § 3 главы III, § 1, 2 и 3 главы IV написаны
В. В. Трофимовичем, § 1, 2 и 4 главы III, § 4 главы IV написаны
В. А. Пермяковым. Остальные разделы книги написаны автора-
ми совместно.
Глава I. ВАНТОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА висячих СИСТЕМ
В последнее время в практике строительства применяются
висячие конструкции, основными несущими элементами которых
являются тросы, канаты, круглые стержни или мембраны, рабо-
тающие на растяжение. Решающую роль в развитии подобных
систем сыграли в основном два фактора [14]: 1) применение в
гибких элементах материалов с более высокими прочностными
характеристиками, благодаря чему можно значительно облег-
чить конструкцию; 2) применение метода предварительного на-
пряжения, обеспечивающего восприятие гибкой нитью знакопе-
ременных усилий. Если к этому добавить легкость транспорти-
ровки, сравнительную простоту и удобство монтажа, становится
понятным стремление современных инженеров к широкому при-
менению висячих конструкций, конструктивные особенности ко-
торых в значительной степени влияют и на архитектурную выра-
зительность сооружения.
Относительная легкость подобных конструкций позволяет ис-
пользовать их для перекрытий больших пролетов без промежу-
точных опор. Это важное обстоятельство во многом способствует
распространению висячих систем в промышленном и граждан-
ском строительстве. По технологическим данным отсутствие про-
межуточных опор позволяет сэкономить до 15—-18% полезной
площади. Это дает возможность, во-первых, наиболее полно ис-
пользовать производственные площади, во-вторых, применять
одни и те же строительные конструкции в зданиях с любой тех-
нологией. Заметим, что несмотря на ряд мероприятий, направ-
ленных на унификацию и типизацию строительных конструкций,
в СССР насчитывается более 300 основных технологических ти-
пов производства, требующих для своего размещения специаль-
ных зданий [24].
Применение висячих конструкций в покрытиях гражданских
зданий, в частности в ряде уникальных сооружений, подтвердило
эффективность их использования. Из многочисленных конструк-
тивных решений, созданных инженерами, архитекторами и уче-
13
ними разных стран, следует выбирать наиболее рациональные и
внедрять их в массовом строительстве. При этом выбранные ви-
сячие системы должны наиболее полно удовлетворять основным
требованиям, предъявляемым к металлическим конструкциям:
уменьшению веса, снижению трудоемкости изготовления и мон-
тажа, сокращению сроков и снижению стоимости строитель-
ства [23].
Особенности расчета, проектирования и работы висячих си-
стем заключаются в свойствах их основного несущего элемен-
та — гибкой нити. Она обладает нулевой жесткостью, не воспри-
нимает изгибающих моментов и, работая только на растяжение,
не требует проверки устойчивости. Однако, принимая под дей-
ствием поперечных нагрузок форму веревочной кривой, нить
способна менять свои очертания особенно при резком изменении
характера действия нагрузок. Эти так называемые кинематичес-
кие перемещения существенно повышают деформативность ви-
сячих систем, меняя форму конструкции без изменения длин ни-
тей.
Кроме того, на деформативности висячих покрытий сказы-
ваются упругие перемещения, вызываемые большими напряже-
ниями и меньшими модулями упругости в элементах из высоко-
прочных сталей.
Борьба с деформативностью висячих систем ведется различ-
ными путями [36], из которых следует выделить прежде всего
выбор конструктивной схемы, стабилизирующей положение гиб-
ких элементов.
Сюда относится введение в висячую конструкцию жестких
элементов — балок жесткости, работающих на изгиб и осевое уси-
лие. Такие системы принято называть комбинированными [36].
Жесткие элементы фиксируют положение гибких тросов, делая
систему геометрически неизменяемой.
При действии сосредоточенных и неравномерно распределен-
ных нагрузок жесткие элементы способствуют распределению
нагрузок на большее количество тросов, благодаря чему исчеза-
ет опасность возникновения кинематических перемещений. Вве-
дение предварительного напряжения гибких элементов значи-
тельно уменьшает упругие деформации системы.
Жесткие элементы вводятся в висячие конструкции как в
продольном, так и в поперечном направлении, поэтому комбини-
рованные системы можно разделить на 2 основных типа: 1) с
балкой или фермой жесткости и 2) с взаимно рерпендикуляр-
ным расположением гибких нитей и жестких балок или ферм.
В комбинированных конструкциях 1-го типа балка или ферма
жесткости выполняет роль не только стабилизирующего, но и
основного несущего элемента. Вследствие концентрации материа-
ла в основных несущих конструкциях деформативность таких
систем понижается. Способность перекрывать большие пролеты
14
без промежуточных опор объясняет широкое применение ванто-
вых систем с балкой жесткости в мостостроении, несмотря на то,
что первые попытки строительства мостов подобных систем не
всегда были удачными [36]. Многие схемы комбинированных
вантовых покрытий, а также конструкции строительных машине
и оборудования открытых горных карьеров, которые сейчас при-
меняются в практике, по су-
ществу являются прямой
аналогией висячих мостов.
Следует отметить, что та-
кие конструктивные решения
успешно применялись с дав-
них пор при реконструкции
и усилении зданий и соору-
жений. Только в существую-
щие жесткие конструкции
вводились ванты, оттяжки,
расчалки для перераспреде-
ления усилий, уменьшения
свободных длин элементов
и т. п., необходимых в связи
с изменением характера ра-
боты конструкции.
Комбинированные ванто-
вые системы 2-го типа обра-
зуются введением в прост-
ранственную висячую конст-
рукцию жестких элементов, рис 4 Павильон «Европа» на Все-
которые укладываются пер- мирной выставке 1958 г. в Брюсселе,
пендикулярно основной не-
сущей нити, расположенной в продольном направлении. При-
меняются они в основном в конструкциях зданий и служат для
обеспечения геометрической неизменяемости покрытия, способ-
ствуя более равномерной передаче местных нагрузок на несколь-
ко тросов. Такая конструкция была применена при строительстве
павильона «Европа» (рис. 4) на Всемирной выставке в Брюссе-
ле в 1958 г., однако широко не была применена. В ряде других
сооружений (выставочный зал в Дортмунде, здание шламбас-
сейна на Еманжелинском цементном заводе, гараж в Краснояр-
ске) функции поперечных балок выполняются сравнительно тя-
желыми железобетонными плитами, которые после замоноличи-
вания образуют сплошной жесткий диск. Как показали исследо-
вания, проведенные институтом Ленпромстройпроект [24], су-
щественная экономия материалов достигается лишь в многопро-
летных зданиях. Вместе с тем утяжеление покрытия для обеспе-
чения работы этих конструкций на неравномерные нагрузки сво-
дит эффект от применения их к минимуму.
15
Вантовые фермы не имеют балок жесткости и представляют
собой два канатных пояса, соединенных между собой треуголь-
ной решеткой из гибких элементов. Совмещая в себе функции
несущей нити и балки жесткости, вантовые фермы отличаются
от двухпоясных систем повышенной жесткостью и применяются
в конструкциях, работающих на большие временные нагрузки.
Соответствующим выбором очертания решетки можно добиться
работы всех стержней на растяжение, что применялось в более
ранних конструкциях. С появлением метода предварительного
напряжения возникла возможность обеспечения в элементах ре-
шетки практически любой конфигурации растягивающих усилий,
перекрывающих по величине усилия сжатия от внешних нагру-
зок. Предварительно напряженные вантовые фермы с треуголь-
ной решеткой приближаются в своей работе к простым балоч-
ным фермам.
Влияние изменения провесов нитей на усилия в них в комби-
нированных вантовых системах с балкой жесткости и вантовых
фермах с треугольной решеткой исследовалось Е. И. Крыльцо-
вым [21] и Э. Я. Слонимом [33]. Оказалось, что стрелки провеса
нитей невелики по сравнению с теми упругими удлинениями, ко-
торые возникают в вантах под действием нагрузок. Это позволя-
ет рассматривать эти системы как стержневые и вести их расчет
по недеформированной схеме обычными методами строительной
механики. Простота расчета во многом предопределяет широкое
применение указанных систем в практике.
§ 2. КОМБИНИРОВАННЫЕ ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ С БАЛКОЙ
ЖЕСТКОСТИ
Комбинированные вантовые системы с балкой жесткости все
более широко применяются в строительстве. Они способны пере-
крывать здания произвольной конфигурации, включая прямо-
угольные. Для многих типов конструкций из гибких нитей ха-
рактерен круговой или криволинейный контур, который и предо-
пределяет очертания здания. Однако не всегда и не все произ-
водства могут удовлетворить непрямоугольные очертания соору-
жений как с точки зрения технологии, так и с точки зрения даль-
нейшего расширения здания.
Вынесенные вне здания поддерживающие ванты позволяют
рационально использовать всю кубатуру перекрываемого поме-
щения, оставляя свободным его от несущих конструкций. Это
обстоятельство является и недостатком этих конструкций, так
как ванты, расположенные на открытом воздухе, требуют тща-
тельного ухода и защиты от возможной коррозии. Кроме того,
сопряжения кровельных элементов с балкой или фермой жестко-
сти в местах примыкания вант оказываются довольно сложными
в изготовлении и эксплуатации.
16
Рис . 5. Схемы комбинированных
вантовых систем:
а — консольная вантовая система; б,
в — вантовая система с радиальным и
параллельным расположением вант; г,
д — вантовая система с криволинейным
верхним поясом и треугольной решет-
кой.
Балка жесткости в случае применения двух или более вант
работает как неразрезная на упруго-податливых (в местах креп-
ления вант) и жестких (в местах опирания на пилон) опорах.
Упругая податливость может быть неравномерной и зависит от
деформативности вант и угла примыкания их к балке. Однако с
целью регулирования усилий в
нужном направлении дополни-
тельным подтягиванием тросов
можно добиться создания допол-
нительных усилий в балке жест-
кости или во всей конструкции.
Поэтому целесообразно выпол-
нять такие конструкции предвари-
тельно напряженными, а величи-
ны дополнительного натяжения
(предварительного напряжения)
вант задавать таким образом,
чтобы получить в конструкции не-
обходимое распределение усилий.
Комбинированные вантовые
системы с балкой жесткости, в
которых искусственное регулиро-
вание может быть выполнено
предварительным подтягиванием
вант, можно разбить на сле-
дующие группы: консольные ван-
товые системы (рис. 5, а); ван-
товые системы с радиальным
(рис. 5, б) или с параллельным
(рис. 5, в) расположением вант
с распором, переданным на бал-
ку жесткости; вантовые системы
с криволинейным верхним поя-
сом и треугольной решеткой. Бал-
ка жесткости может быть сов-
мещена с нижним поясом тросо-
вой фермы (рис. 5, г) или
подвешена к нему на подвесках
(рис. 5, д).
Разумеется, существуют и другие конструктивные схемы (не-
которые выполнены в натуре — фермы системы Жискляра, Лей-
некугель ле Кока, Е. И. Крыльцова, распорные системы и др.).
Однако в последнее время их применение ограничено.
Консольные вантовые системы, представляющие собой в об-
щем случае балку жесткости, шарнирно опертую на опору и под-
держиваемую системой вант, закрепленных на пилоне, широко
2—23
17
применяются в конструкциях покрытий. Консоль покрытия, несу-
щая кровельные элементы, выполняется в виде балок, ферм или
оболочек, изготовленных из различных материалов. Для предот-
вращения появления изгибающих моментов в опорном элементе
(пилоне) последний обычно делается шарнирно опертым и рабо-
Рис. 6. Схемы консольных вантовых
систем:
а, б — одноконсольные покрытия; в, г —
двухконсольные покрытия; д — перекрытие
Г-образными рамами.
тает на центральное сжатие. Но в этом случае приходится пре-
дусматривать систему оттяжек со сложными анкерными устрой-
ствами для восприятия сил натяжения подвесок. По этому прин-
ципу решена конструкция олимпийского зимнего стадиона в
Скво-Вэлли (США), представляющего собой 8 пар наклон-
ных консольных балок длиной по 69,8 м (рис. 6, а). Каждая бал-
ка опирается на железобетонную стойку высотой 10,2 м, а с
нижнего конца закреплена к анкерным опорам. К ним же при-
креплены и канаты, перекинутые через пилоны и поддерживаю-
щие консоли балок. Пилоны с балкой соединены шарнирно,
и каждая половина пролета работает самостоятельно. Верхние
концы балок получают довольно значительные прогибы, что нес-
колько усложняет устройство конькового узла [19]. В связи с
этим целесообразно применять консольные системы в сооруже-
ниях, где есть необходимость в больших фронтальных проемах в
наружных стенах, например при строительстве ангаров, сбороч-
ных цехов и т. д.
Институт Проектстальконструкция, например, разработал
конструкцию одноконсольного ангара с вылетом стрелы консоли
60 м [23]. Причем сила натяжения тросов была передана на же-
лезобетонный каркас здания вспомогательных помещений (рис.
18
6, б). Это позволило отказаться от устройства анкерных опор.
Еще более целесообразно применять двухконсольные системы,
в которых консоли, обычно выполняющиеся одинаковыми, вза-
имно уравновешивают друг друга. Это схема легла в основу
проектов таких сооружений, как выставочный зал в Ганновере
(рис. 6, в), где консольные балки и ванты шарнирно прикрепле-
ны к стойкам, ангар в Нью-Йорке (рис. 6, а), в котором балки
прикреплялись к П-образным рамам, а ванты — к качающимся
стойкам и рамам, посадочная площадка в Шереметьево, ангар
в Филадельфии и др.
Несколько иначе выполнены ангары аэропортов Орли (Фран-
ция) и Рим-Фиумицио (рис. 6, д'). Консоль на опоре переходит
в портал и образует Г-образную раму. В ангаре в Рим-Фиумицио
трубчатые оттяжки, поддерживающие консоль, закреплены к
шарнирно опертым стойкам. С помощью горизонтального эле-
мента сила их натяжения уравновешивается весом стенового за-
полнения вспомогательного помещения.
Искусственное регулирование усилий, проведенное в павильо-
не СССР в Брюсселе, подтвердило целесообразность этого прие-
ма. Во всех рассмотренных схемах регулирование можно было
осуществить как дополнительным подтягиванием вант, так и
путем притягивания вертикальных ограждающих конструкций к
фундаменту. Правда, искусственное регулирование усилий нес-
колько усложняет эксплуатацию конструкции, так как требует
создания устройств, позволяющих надежно и просто создавать,
поддерживать и контролировать вводимое предварительное на-
пряжение. Однако эти затраты невелики по сравнению с разгру-
жающим эффектом, который получается от введения предвари-
тельного напряжения и позволяет значительно снизить расход
материалов.
Представляет интерес применение предварительно напряжен-
ных комбинированных систем в оборудовании для открытых гор-
ных работ, в частности в транспортно-отвальных мостах и отва-
лообразователях. Наиболее ответственной частью этих машин
являются консоли, длины которых в отвалообразователях, на-
пример, достигают 180—220 м. В большинстве случаев отваль-
ные консоли выполняются с подвеской балки жесткости при по-
мощи вант к пилону (рис. 7). Как правило, балки жесткости в этих
случаях конструируются разрезными, что связано со стремле-
нием получить статически определимую схему конструкции [7].
Однако в последнее время были сделаны проработки схем ком-
бинированных систем без предварительного напряжения. Так,
транспортно-отвальный мост на буроугольном карьере «Кляйн-
ляйпиш» в ГДР был усилен гибкой аркой. В отечественной прак-
тике комбинированная система применена в вариантах проекта
роторного экскаватора для строительства Южно-Украинского
канала и др.
2*
19
Предварительное напряжение применяется в горизонтальных
ветровых фермах отдельных отвалообразователей и создается
с целью увеличения общей жесткости конструкции в горизон-
тальной плоскости. Обычно такие фермы конструируются из гиб-
Рис. 7. Конструкции оборудования открытых
горных карьеров:
а — транспортно-отвальный мост Стрнжевского карье-
ра; б — отвалообразователь ОШ—105/1500.
ких элементов с жест-
кими распорками (рис.
8). В работе на го-
ризонтальные нагруз-
ки принимают уча-
стие только растянутые
стержни. Вместе с тем
представляет интерес
вовлечение в работу
всех гибких элементов
таких ферм. Его можно
достичь путем введе-
ния предварительного
напряжения, которое
должно создавать рас-
тягивающие усилия,
превращающие макси-
мально возможные уси-
лия сжатия от горизон-
тальных нагрузок [8].
Возможность приме-
нения предварительного напряжения для восприятия вертикаль-
ных нагрузок рассмотрена при разработке вариантов реконструк-
ции транспортно-отвального моста Байдаковского карьера
(рис. 9). Введением в состав главных ферм предварительно на-
пряженного шпренгеля система моста превращается в комбини-
рованную. Разгружающий эффект достигается созданием в эле-
ментах шпренгеля таких усилий, которые, будучи приложенными
как внешние силы к главным фермам моста, создадут обратные
усилия в элементах по отношению к усилиям от нагрузок.
Одноканатные шпренгели (рис. 10, а), обладающие треуголь-
ной эпюрой изгибающих моментов от напряжения тросов, наи-
менее совпадающей с грузовой (рис. 10, д), дают наименее рав-
номерное разгружение. Однако введением дополнительной стой-
ки вблизи конца отвальной консоли удается существенно уве-
личить разгружающий эффект, создаваемый одноканатным
шпренгелем (рис. 10, б).
Двухканатные шпренгели (рис. 10, в) дают более равномер-
ное разгружение. Значительный эффект создают многоканатные
шпренгели (рис. 10, г), но их применение связано со сложностью
создания и поддерживания предварительного напряжения во
многих элементах шпренгеля.
Применение предварительного напряжения существенно вли-
20

Рис. 8. Схемы горизонтальных ветро-
вых ферм отвальных консолей отва-
лообразователей:
а —с жесткими распорками; б — с гибки-
ми поясами и решеткой; в — из гибких
оттяжек.
яет на схемы металлоконструкций рассматриваемого оборудова-
ния. Так, можно сократить высоты главных ферм консоли, дли-
ны панелей решетки, а значит, и длины сжатых элементов;
уменьшить общий зигзаг решетки, а также количество вспомо-
гательных элементов. Конструктивные проработки, выполненные
на примере транспортно-от-
вального моста Шевченковско-
го марганцевого карьера, пока-
зали, что создание предвари-
тельного напряжения двухка-
натным шпренгелей с сущест-
венным изменением общей схе-
мы сократило затраты металла
главных ферм на 35—45% [7].
В последние годы разраба-
тываются различные решения
несущих металлических конст-
рукций транспортно-отвальных
мостов и отвалообразователей
подвесных систем, в которых
балка жесткости выполняется
неразрезной. По своей статиче-
ской схеме такие конструкции
являются консольными ванто-
выми системами, в которых мо-
жет быть применено предварительное натяжение поддерживаю-
щих вант, что позволит значительно снизить усилия, а значит,
и общий расход металла.
В мостостроении консольные вантовые системы применяются
редко. Известны случаи строительства железобетонного пеше-
ходного моста у павильона ФРГ на Всемирной выставке 1958 г.
в Брюсселе (теперь он перенесен в Дюисбург) и моста в Штут-
гарте.
Значительно чаще в конструкциях мостов встречаются схемы
(см. рис. 5, б—д). Главное их преимущество заключается в прос-
тоте конструкции с соблюдением при этом всех необходимых экс-
плуатационных качеств.
Существуют много вариантов схем комбинированных ванто-
вых мостов, отличающихся между собой конструкциями балок
жесткости и расположением тросов. Балки жесткости выполня-
лись в них разрезными и неразрезными. Разрезные балки жест-
кости применяются в однопролетных системах, в которых распор
передается через оттяжки на анкерные опоры. В безраспорных
системах при передаче распора на балку жесткости крайние
пролеты должны обладать значительной жесткостью. В этих
случаях рациональнее применять неразрезные балки, хотя по-
21
следние, работая на сжатие, требуют большой затраты матери-
ала. Кроме того, обладая более высокой жесткостью по сравне-
нию с вантами, балки воспринимают на себя и большую долю
нагрузки. Снижение расхода материала на балку жесткости
прежде всего зависит от выбора схемы расположения вант. Мож-
Рис. 9. Схема реконструкции
транспортно-отвального моста
Байдаковского карьера с примене-
нием предварительно напряженно-
го шпренгеля (проект).
г
Рис. 10. Типы шпренге-
Р~" \ лей для создания предва-
1 рительного напряжения
транспортно-отвальных
'W' д	мостов.
в
t шнитн!
но значительно уменьшить -
величины изгибающих мо-
ментов в балке, если подве-
сить ее на прямолинейных
(или почти прямолинейных)
вантах. В этом случае балка
жесткости работает как не-
разрезная на упруго-просе-
дающих и жестких опорах.
Изгибающие моменты при
этом меньше, чем в однопролетной балке. Поэтому в последнее
время применяются системы с радиальным (ванты, поддержи-
вающие балку, сходятся в верхнем пилонном узле) и парал-
лельным (ванты пересекают пилон в разных уровнях) располо-
жением вант: мосты через фиорд Стромзюнд (Швеция), р. Рейн
Рис. 11. Схема моста через реку Уж в Коростене.
и путепровод через железнодорожные пути в Дюссельдорфе
(ФРГ), мост через р. Северную Эльбу у Гамбурга и др. Эти
конструкции выполнены трехпролетными, симметричными.
Северинский мост в Кельне (ФРГ) и мост через р. Уж в Ко-
22
ростене (УССР) (рис. 11) представляют собой несимметричные
вантовые решения с одним пилоном. Это позволило перекрыть
реку двумя пролетами, значительно сократив расход материа-
лов за счет уменьшения числа вант и опорных частей моста.
В современных мостах балка жесткости является одновре-
менно и главной балкой пролетного строения. Они объединяют-
ся между собой элементами проезжей части, конструктивно
обеспечивая совместную работу всего пролетного строения. Си-
стемы вант, поддерживающие пролетное строение, располагают-
ся в плоскости главных балок, образуя комбинированную ванто-
вую ферму. Мосты с одной несущей фермой, расположенной по
оси проезжей части, оказываются более экономически выгодны-
ми. Кроме того, создается естественная разделительная полоса
по оси моста и повышается безопасность движения. Чаще при-
меняются мосты с двумя несущими фермами, расположенными
по краям проезжей части (мост через фиорд Стромзюнд, мост в
Дюссельдорфе и др.). Система вант, собранная в одном узле на
верху пилона и веерообразно расходящаяся к главным балкам,
расположенным по краям проезжей части, применена при строи-
тельстве моста в Кельне и на Украине в Коростене. Такая под-
веска пролетного строения превращает ферму в пространствен-
ную конструкцию и повышает боковую жесткость и динамичес-
кую устойчивость моста.
В соответствии с выбранной схемой подвески пилоны этих
мостов представляют собой отдельные стойки, П- и А-образные
рамы. Следует отметить, что искусственное регулирование усилий
в балке жесткости предусматривалось только в Северинском мо-
сте смещением уровня опор балки и предварительным напря-
жением вант. В остальных схемах этот эффективный прием не
применялся.
Другим направлением в снижении расхода металла на изго-
товление балок жесткости является использование вантовых
ферм с треугольной решеткой и с балкой жесткости, впервые
описанных в литературе Я. А.
Осташевским [25].
Первые вантовые фермы,
предложенные Жискляром, не
удовлетворяли требованиям,
предъявляемым к этим систе-
мам в отношении прогибов.
С. А. Цаплин [43] предложил
двухкабельную схему (рис. 12),
Рис. 12. Двухкабельная система, пред-
ложенная С. А. Цаплиным.
в которой при выполнении основного условия — работы гибких
элементов на растяжение — изгибающие моменты в балке жест-
кости значительно уменьшались за счет того, что прогиб средней
точки балки, подвешенной к двум прямолинейным вантам, ока-
зался меньше прогибов соседних точек. Это позволяет рассматри-
23
вать балку жесткости как неразрезную двухпролетную на упруго-
проседающей средней опоре.
Косые подвески, предложенные Я- А. Осташевским, способ-
ствуют совместному включению в работу и балки жесткости и
тросовой цепи. Моменты в балке жесткости при этом уменьша-
Рис. 13. Схема предварительно напряженного моста с косыми подвесками
(проект).
ются в 6—8 раз по сравнению с одноцепной висячей системой.
При действии подвижной нагрузки ненапряженная ферма рабо-
тает как система с переменными связями. Отдельные раскосы
попеременно выбывают из работы, что вызывает резкое увели-
чение изгибающих моментов и поперечных сил в балке жестко-
сти. Однако эта система по сравнению с простой висячей систе-
мой (с вертикальными подвесками) обладает большей жестко-
стью и динамической устойчивостью [35]. Косые подвески огра-
ничивают вертикальные перемещения балки и обеспечивают
геометрическую неизменяемость несущей нити. Выключения рас-
косов из работы при подвижных нагрузках можно избежать
выбором схемы вантовой решетки или введением предваритель-
ного напряжения. Институтом Проектстальконструкция был раз-
работан проект предварительно напряженного моста с косыми
подвесками (рис. 13). Предварительное напряжение стержней
решетки создается постоянной нагрузкой. Гибкие элементы бла-
годаря этому работают на знакопеременные усилия. Это прежде
всего сказывается на работе балки жесткости, которая работает
в основном на местную нагрузку. В балке возникают изгибаю-
щие моменты относительно малой величины, что позволяет вы-
полнить ее довольно легкой. Поэтому такие схемы успешно мо-
гут применяться при строительстве трубопроводов (балка мало-
го веса), что и было сделано, например, в вантовом переходе че-
рез р. Аму-Дарья.
Применение схемы ненапряженной комбинированной ванто-
вой фермы с балкой жесткости, подвешенной на дополнительных
подвесках к нижнему канатному поясу, весьма ограничено. Та-
кое решение может быть рекомендовано для случаев действия
24
нагрузки, равномерно распределенной по всему пролету. В про-
тивном случае выключение раскоса из работы влечет за собой
и выключение дополнительной подвески, закрепленной в том уз-
ле, к которому примыкает и выбывающий раскос.
§ 3.	ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
Вантовые фермы явились результатом развития комбиниро-
ванных систем. Основная их особенность заключается в отсут-
ствии балки жесткости и передачи ее функций самой ферме.
Отказ от балки жесткости дает возможность выполнять ванто-
вые фермы целиком из высокопрочных элементов, что приводит
к существеному снижению их собственного веса.
В отличие от комбинированных систем, которые могут быть
выполнены как с предварительным напряжением, так и без него,
вантовые фермы с наиболее простой треугольной решеткой обя-
зательно выполняются предварительно напряженными. Схемы
ненапряженных вантовых ферм, у которых стержни являются
растянутыми при любых комбинациях нагрузок, например си-
стемы Жискляра, отличаются большим числом вант и сложными
узлами. Усилия в них сильно зависят от соотношений постоян-
ной и временных нагрузок и геометрии системы, что ведет к не-
обходимости тщательной выверки длин стержней и положения
узлов ферм. В связи с большой трудоемкостью изготовле-
ния и монтажа в настоящее время эти системы почти не приме-
няются.
Вантовые системы с треугольной решеткой являются сравни-
тельно новыми и перспективными конструкциями. Они могут
успешно применяться в покрытиях как для прямоугольных в
плане зданий, так и для криволинейных, например в виде круга,
эллипса и др. Благодаря их высокой жесткости кровельные эле-
менты могут выполняться легкими, что в свою очередь снижает
усилия во всех несущих конструкциях. Главным их недостатком
в этих случаях является необходимость установки оттяжек и уст-
ройства анкерных опор. Однако легкость кровли делает усилия
в оттяжках достаточно малыми, а анкера простыми по устрой-
ству. Кроме того, возможно применять многопролетные ванто-
вые фермы, в которых оттяжки ставятся только в крайних про-
летах.
Первыми вантовыми фермами с треугольной решеткой мож-
но считать вантовые фермы подвесной дороги через Волгу у
Волгограда. Проект вантового перехода разработан в 1952—
1954 гг. в институте Проектстальконструкция. Четыре вантовые
фермы, перекрывающие пролет 874 м, располагались на расстоя-
нии 7,5 м друг от друга и закреплялись на пилонах высотой
132 м. Высота вантовой фермы в середине пролета составляла
25
20 м (рис. 14). Необходимое натяжение раскосов, превосходя-
щее возможные сжимающие усилия, создавалось в ферме с еще
не установленным нижним поясом постоянной нагрузкой в про-
цессе монтажа. Натяжение раскосов передавалось верхнему по-
ясу по закону веревочной кривой, в результате чего верхний пояс
приобрел цепное очертание со стрелой провеса цепи 80,8 м. Во
Рис. 14. Вантовый переход у Волгограда.
избежание возникновения усилий сжатия от временных нагрузок
в отдельных стержнях нижнего пояса последний натягивался
специальным приспособлением и концы его закреплялись в по-
стоянных анкерах. После этого нижний пояс соединялся в узлах
с раскосами. Такая ферма оказалась очень жесткой и экономич-
ной [23].
Был рассмотрен также вариант создания предварительного
напряжения нижнего пояса с помощью подвижных противове-
сов, что является большим преимуществом (ферма в этом слу-
чае один раз статически неопределима, величина предваритель-
ного напряжения постоянна и не зависит от воздействия темпе-
ратуры) . Однако этот вариант был отклонен по ряду причин [33],
в частности и в связи с большим (до 20%) расходом металла на
ферму по сравнению с принятым.
Аналогичные по схеме вантовые фермы получили распростра-
нение в СССР и в ряде зарубежных стран. Здесь можно назвать
тросовую ферму Яверта, состоящую из двух обращенных друг к
другу канатных поясов, между которыми натянуты раскосы. По-
добные системы были применены в покрытиях столовой в Дон-
кастере (Англия), ангара в Тегеране (рис. 15, а), оранжереи в
Херсоне (рис. 15, б), зимнего Дворца спорта «Юханнесхоф» в
26
Стокгольме (рис. 15, в), спортивного зала в Вернаму (Швеция)
и др.
Следует отметить, что вантовые фермы применяются не толь-
ко в большепролетных конструкциях, где преимущества висячих
систем очевидны. Они успешно конкурируют с обычными балоч-
Рис. 15. Схемы вантовых ферм:
а, б, в — однопролетные фермы; г, д — многопролетные фермы.
ными покрытиями пролетом 18—24 м. Обычно небольшие про-
леты используются в многопролетных зданиях, например в по-
крытиях завода в Клиши (Франция)., производственного здания
в Вене (рис. 15, г); городского бассейна в Бохуме (ФРГ), де-
27
ревообрабатывающего завода в Лесджофорсе (Швеция)
(рис. 15, д). Для уменьшения количества оттяжек и анкерных
устройств, воспринимающих распор системы, фермы в большин-
стве случаев располагаются вдоль здания. Более сложно реше-
но покрытие над летним театром в Отигейме близ Карлсруэ
(ФРГ). Вантовые фермы, перекрывающие средний пролет, на-
тягивались между двумя предварительно напряженными тонко-
стенными балками, каждая из которых опирается на две колон-
ны. Фермы крайних пролетов веерообразно собирались в одну
точку и закреплялись на анкерных опорах, расположенных по
торцам здания.
В вантовых фермах предварительное напряжение можно вво-
дить не только способами, описанными на примере вантового
перехода через Волгу. Поскольку они являются статически не-
определимыми системами, то начальные напряжения можно соз-
дать натяжением любых стержней. Количество их должно рав-
няться числу лишних связей. Конечно, необходимо выбирать те
стержни, в которых наиболее удобно с технологической точки
зрения создавать предварительное напряжение. Изменяя вели-
чину начального усилия, можно в зависимости от требований
искусственно регулировать напряженное состояние всей конст-
рукции.
§ 4.	ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
И ВАНТОВЫХ ФЕРМ
Расчет конструкций, статическая схема которых является ге-
ометрически неизменяемой, ведется общепринятыми методами
строительной механики. При этом гибкие элементы рассматри-
ваются как отвердевшие, так как влияние кинематических пере-
мещений невелико и ими пренебрегают. Предварительное напря-
жение тросов обеспечивает работу гибкой нити и на сжимающие
усилия при любой возможной комбинации внешних нагрузок.
Ванты ведут себя в этом случае как идеальные жесткие стерж-
ни, воспринимающие нагрузку без продольного изгиба (§9=1).
Расчет консольных вантовых систем и комбинированных сис-
тем с радиальным или параллельным расположением вант наибо-
лее целесообразно вести методом сил [16]. При этом ванты сле-
дует неподвижно закреплять на пилонах. При действии равно-
мерно распределенной по всему пролету нагрузки влияние за-
креплений тросов не сказывается, так как каждый вант работает
на приходящуюся на него нагрузку. Просадка балки жесткости
вызывается только упругими перемещениями тросов и будет не-
значительной.
Под действием сосредоточенных сил в работу включаются
ванты, находящиеся в непосредственной близости от груза.
28
В случае неподвижного закрепления тросов на пилонах усилие
от нагруженного ванта, приходящееся на пилон, воспринимает-
ся в основном крайними вантами. Они являются наиболее жест-
кими, так как прикреплены к неподвижным опорам. Остальные
ванты, прикрепленные к пролетным сечениям балки жесткости,
оказываются более податливыми и почти не воспринимают ни-
каких усилий. При подвижном опирании тросов на пилоне в си-
стеме с радиальным расположением вант усилие от сосредото-
ченного груза практически передается от нагруженного ванта
к симметричному ему ванту, находящемуся с противоположной
стороны пилона. Балка жесткости воспринимает нагрузку в
двух узлах, в которых закреплены ванты, включающиеся в ра-
боту. В этом случае прогибы балки, а следовательно и величины
изгибающих моментов, оказываются больше, чем при неподвиж-
ном закреплении всех вант на пилонах.
Комбинированные вантовые системы с криволинейным верх-
ним поясом и треугольной тросовой решеткой рассчитываются
как системы с переменными лишними связями. При определен-
ном положении груза гибкие раскосы, испытывающие сжимаю-
щие усилия, выключаются из работы, в соответствии с чем ме-
няется и расчетная схема системы. Таким образом, приходится
рассчитывать несколько расчетных схем, соответствующих опре-
деленному загружению конструкции [16, 33]. Выключение раско-
сов вызывает резкое увеличение изгибающих моментов и пере-
резывающих сил в балке жесткости. Балка жесткости, работаю-
щая при полной решетке на местные нагрузки, в случае выклю-
чения из работы отдельных раскосов начинает работать на об-
щий изгиб совместно с фермой, обеспечивая геометрическую не-
изменяемость всей системы. В соответствии с этим изменяются
усилия и в остальных элементах решетки, причем не только по
величине, но и по знаку.
Расчет вантовых ферм с треугольной решеткой ничем не от-
личается от расчета обычных стержневых ферм [36]. Усилия
предварительного напряжения, без которых вантовая ферма не
может существовать, определяются из сравнения максимальных
сжимающих усилий в стержнях фермы с единичными усилиями
натяжения. В некоторых элементах предварительное напряже-
ние может увеличить поперечное сечение, если усилия предва-
рительного натяжения и от нагрузки суммируются.
Рассматриваемые системы с точки зрения строительной ме-
ханики являются статически неопределимыми, ввиду этого при
расчете их необходимо предварительно задаваться сечениями
(жесткостями) отдельных элементов. Распределение усилий в
статически неопределимых системах зависит не только от внеш-
них нагрузок, но и от соотношения выбранных жесткостей. За-
дача проектирования такой конструкции часто сводится к срав-
нению вариантов, из которых выбирается наименьший по затра-
29
там. Таким же способом определяются и величины предвари-
тельного напряжения.
Такой метод ставит результат расчета в зависимость от опы-
та и интуиции проектировщика, причем, как правило, наивыгод-
нейший вариант так и не находят. Прежде всего об этом гово-
рит наличие недонапряженных элементов, неизбежное при реше-
нии статически неопределимых систем классическими методами.
§ 5.	СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ИХ СУТЬ
Вопросы оптимального проектирования статически неопреде-
лимых систем, то есть создания конструкции наименьшего объ-
ема, веса или стоимости, связаны с разработкой таких методов
расчета, которые по заданным нагрузкам позволили бы найти
необходимые сечения элементов. Другими словами, расчет в
этом случае ведется подобно расчету статически определимых
систем. Напряжения в каждом стержне при этом можно при-
близить к любой заданной величине, будь то расчетное сопро-
тивление материала или допускаемое напряжение.
Впервые эту задачу сформулировал И. М. Рабинович [29],
назвав ее обратной задачей теории сооружений. Ему же принад-
лежат первые способы расчета статически неопределимых ферм
с заданными напряжениями в стержнях от постоянной нагрузки.
Критерием оптимальности в таких задачах являлась равнопроч-
ность стержней ферм, то есть стремление добиться в возмож-
но большем числе стержней напряжений заданной величины. Од-
новременно было доказано, что при допущении начальных уси-
лий в ферме имеет решение и задача о наименьшем весе равно-
прочной статически неопределимой фермы. Решение сводится к
обращению в нуль усилий в некоторых стержнях, то есть к пере-
ходу к статически определимой ферме наивыгоднейшим обра-
зом. Тем самым впервые был поставлен принципиальный вопрос
о регулировании напряжений в стержнях статически неопреде-
лимой фермы.
Идеи И. М. Рабиновича разрабатывались многими авторами,
в частности К. М. Хуберяном, К- Г. Протасовым, Ю. А. Радци-
гом и А. И. Виноградовым.
К- М. Хуберян [42] распространил метод заданных напряже-
ний на расчет многократно статически неопределимых ферм при
постоянном и временном нагружении, который выполняется ря-
дом последовательных попыток. Исследуя работу стержневой
системы за пределами упругости, К. Г. Протасов [28] при расче-
те статически неопределимых ферм использовал метод предель-
ного равновесия, разработанный проф. А. А. Гвоздевым, и пред-
ложил вариант расчета ферм в пластической стадии при помо-
30
щи начальных усилий, возникающих в системе вследствие
пластических деформаций. В этой же работе был впервые по-
ставлен вопрос о возможности осуществления равнопрочной
статически неопределимой фермы при временных и подвижных
нагрузках.
В работах Ю. А. Радцига [30, 31] выдвинуто требование о наи-
меньшем весе конструкции. При этом в некоторых стержнях
допускались несколько заниженные напряжения по сравнению с
заданными величинами. Этот метод был распространен для слу-
чая действия как постоянных, так и подвижных нагрузок. При
этом расчет на подвижную нагрузку ведется без применения ли-
ний влияния на основе общего решения задачи о временном за-
гружении фермы.
А. И. Виноградовым [3] предложена общая постановка зада-
чи оптимального проектирования стержневых систем. Если лиш-
ние неизвестные рассматривать как независимые переменные, то
оптимальное распределение усилий не обязательно возникает в
статически неопределимой системе. В связи с этим обобщается
понятие о расчетной схеме конструкции и заменяется понятием
о «множестве конструкций с заданным очертанием осей», в пре-
делах которого задача имеет единственное решение. В качестве
критерия оптимальности принят наименьший вес конструкции.
Современный этап развития теории оптимальных систем свя-
зан с широким использованием в практике новой вычислитель-
ной техники и аппарата интенсивно развивающейся области при-
кладной математики — математического программирования.
Этот аппарат служит для поиска оптимального решения при за-
данных критериях качества и систем ограничений, которые
можно записывать не только в виде строгих уравнений, но и в
виде неравенств, что во многом способствует увеличению числа
учитываемых требований к конструкции.
Следует отметить, что в большинстве работ, посвященных
оптимальному проектированию различных конструкций, недо-
статочно использованы те преимущества, которые дает искус-
ственное регулирование усилий (напряжений) методом предва-
рительного напряжения. А между тем, варьируя величинами
предварительного напряжения, можно создать равнопроч-
ную ферму с заданным распределением усилий, соответствую-
щую минимуму объема, веса или стоимости, с любым числом
лишних связей.
Настоящая работа в известной степени синтезирует оба эти
направления и дает возможность, с одной стороны, определить
сечения элементов статически неопределимой системы без пред-
варительного их задания, а с другой, определить наиболее це-
лесообразные величины усилий предварительного напряжения.
Как и в подавляющем большинстве работ, задача решается
для идеально упруго-пластического тела в пределах упругости.
31
В предположении недеформированной схемы расчет сводится к
решению статически определимой системы. Следует отметить,
что эти предпосылки вполне соответствуют допущениям класси-
ческих методов строительной механики.
Лишние связи статически неопределимой системы заменяют-
ся полными усилиями в них, соответствующими предельному
равновесию системы. Так как подбор сечений элементов зависит
от величин этих усилий, то из многих возможных значений пос-
ледних выделяются те, которые минимизируют объем, вес или
стоимость металла системы при соблюдении необходимых требо-
ваний, предъявляемых к распределению усилий в каждом кон-
кретном случае.
Для однократно статически неопределимых предварительно
напряженных систем величину полного усилия в лишней связи,
соответствующего заданному распределению усилий при усло-
вии минимума объема (стоимости) металла конструкции, в
большинстве случаев удается получить в конечном виде. Для
многократно статически неопределимых систем с заданной гео-
метрической схемой задача решается с помощью сймплекс-мето-
да линейного программирования [10].
Найденные таким образом полные усилия в лишних связях
позволяют определить расчетные усилия во всех элементах си-
стемы и подобрать их сечения. Для обеспечения заданного рас-
пределения усилий в статически неопределимой системе вводит-
ся предварительное напряжение лишних связей. Величины уси-
лий предварительного напряжения при этом находятся как раз-
ности полных усилий и усилий самонатяжения, полученных из
обычного расчета статически неопределимой ненапряженной си-
стемы, но с уже подобранными сечениями. Введение искусствен-
ного регулирования усилий исключает все недонапряженные эле-
менты, и напряжения как в основных, так и в лишних стержнях
достигают любой заданной величины.
В ходе решения автоматически выявляются «выродившиеся»
стержни (полные усилия в них равны нулю), что обеспечивает
переход заданной системы в статически определимую наивыгод-
нейшим образом [29]. Однако назначение сечений нулевых стерж-
ней по конструктивному минимуму в отличие от большинства
предыдущих работ не нарушает полученного оптимального рас-
пределения благодаря наличию в системе начальных усилий —
предварительному напряжению.
Глава 11. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ
ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
§ 1. РАСЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ ВАНТОВЫХ
ФЕРМ ПРИ НАГРУЗКЕ ПОСТОЯННОЙ СХЕМЫ ПОСТОЯННОЙ
И ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИН
Характерной особенностью рассчитываемых ферм является
выполнение их из гибких элементов при непременном наличии
предварительного напряжения, которое обеспечивает работу
всех элементов системы на растяжение при любой комбинации
внешних нагрузок.
Задачи расчета следующие: нужно определить величины рас-
четных усилий в элементах системы, подобрать сечения элемен-
тов и найти величины усилий предварительного напряжения, а
также способ и последовательность их приложения. Вопросы
технологии создания предварительного напряжения, а также
вопросы контроля его величины будут изложены в IV главе на-
стоящей книги.
При условии, что геометрическая схема системы и схема на-
грузки заданы, перечисленные выше задачи следует решать в
такой последовательности.
Выбираем статически определимую основную систему и нахо-
дим усилия в ее элементах от действия внешних нагрузок и от
единичных усилий в лишних связях. При этом считается, что все
элементы способны воспринимать усилия как растяжения, так и
сжатия. Основная система может быть выбрана любой.
Найдя усилия в основной системе, записываем условия рабо-
тоспособности отдельных стержней. Так как фермы выполнены
из гибких элементов, то стержни будут работоспособны только
при наличии в них растягивающих усилий. Отсюда условие ра-
ботоспособности i-го стержня п раз статически неопределимой
системы имеет вид:
Si = Spl + *S’UA'1 4- S2iX2 -J- . . . + SniXn О, (II. 1)
где' i— номер стержня в основной системе; Spi — усилие в стер-
жне основной системы от внешних нагрузок; S1; 4- Sni — усилия
в стержне от единичных усилий в лишних связях; Х1-^-Хп — пол-
3—23	33
ные усилия в лишних связях (включая преднапряжение); п —
порядковый номер лишней связи.
Естественно, что и для каждой лишней связи должно выпол-
няться условие
Хп > 0.	(II. 2)
Условия работоспособности должны быть записаны только
для тех стержней, в которых от какой-либо из нагрузок, вклю-
чая усилия в лишних связях, появляются сжимающие усилия.
Неравенства типов (II. 1) и (II. 2) образуют систему, причем
число неравенств обычно превышает число лишних неизвестных.
Так, для однопролетных вантовых ферм с треугольной решеткой
число лишних неизвестных равно 3, а при симметричных нагруз-
ках — 2.
Для случая двух неизвестных получим:
£, = £^ + $^ + .^>0;
$2 = 512^!	S22X2 -(-• Sp2 0;	(II. 3)
$k = slkxj + S2kX2 + Spk > 0.
Решение системы неравенств дает возможность найти зна-
чения полных усилий в лишних связях, при которых все стержни
будут растянуты (сохраняют работоспособность). Следует отме-
тить, что неравенства могут удовлетворяться при бесчисленном
множестве комбинаций значений полных усилий в лишних свя-
зях, т. е. в статически неопределимой предварительно напря-
женной системе возможно бесчисленное множество вариантов
распределения внутренних усилий. Очевидно, из бесчисленного
множества решений неравенств должно быть выделено то, при
котором стоимость системы будет наименьшей. Иными словами,
необходимо найти оптимальное распределение внутренних уси-
лий. Критерием оптимальности для системы, выполненной из
одного материала, будет минимальный объем металла. Для си-
стем из разных материалов — минимальная стоимость.
Для решения этой задачи используем линейное программиро-
вание, в частности симплекс-метод [10]. Основная задача линей-
ного программирования формулируется так: дана линейная фор-
ма (целевая функция)
Z = PlXl + P2x2+ . . .	(п. 4)
и задана система т>п линейных неравенств
апх1 + а;2х2+ . . . +ainxn < аг (г = 1, . . . , т), (II. 5)
которую перепишем в виде
У1= —	— ai2x2— . . . — ainxn + ai>0 (/=1, ..., т). (II. 6)
Найти максимум (минимум) формы (II. 4) при выполнении ус-
ловий (II. 5). Иными словами, среди решений системы (II. 5),
34
образующих многогранник, надо отыскать такое, для которого
форма (II. 4) принимает наибольшее (наименьшее) значение.
Как видно, по своей постановке это совпадает с поставлен-
ной выше задачей отыскания наименьшего объема (стоимости)
вантовой предварительно напряженной системы. Выражение це-
левой функции (II. 4) составляется путем суммирования произ-
ведений значений усилий во всех стержнях на их длины, вклю-
чая и стержни лишних связей
i=m	i=*m
z= S = X (Spl + SuX1 + S2iX2 + . . . +Snixn)l, (II. 7)
i=i	i=i
Действительно, необходимая площадь поперечного сечения
элемента висячей системы при полной нагрузке будет
где — расчетное сопротивление материала элемента. Объем
металла стержня Vz=tp;/7z/;, где ^>z—конструктивный коэф-
фициент, учитывающий расход металла на узлы. Стоимость
элемента С = Vt су, где с — стоимость единицы веса метал-
ла, а у — объемный вес. Считая расчетное сопротивление
металла одинаковым для всех элементов, а конструктивный
коэффициент постоянным, приходим к выражению (II. 7)
для целевой функции
т
Z = R1C^ £ Vz.	(II. 8)
i=l
В случае изготовления вантовой фермы из разных материа-
лов и при желании учесть различные значения конструктивных
коэффициентов при вычислении целевой функции необходимо
вместо фактических длин элементов I ввести приведенные
где Rt, iplt cf —расчетное сопротивление, конструктивный
коэффициент и стоимость единицы веса металла t-ro эле-
мента; R, ip, с — расчетное сопротивление, конструктивный
коэффициент и стоимость единицы веса основного элемента.
В качестве основного может быть принят любой элемент
системы.
Получающийся в результате суммирования свободный член
т
можно отбросить, так как его величина не зависит от
значений переменных.
Тогда целевая функция принимает вид:
т	т	т
Х=^5^Х1+	• • • + SWG,- (И. 9)
1=1	/=1	г=1
3*
35
Системой ограничений является система, составленная из
выражений работоспособности стержней (II. 2) и (II. 3).
Симплекс-метод состоит из алгоритма отыскания какого-ни-
будь опорного решения среди решений системы линейных нера-
венств (II. 5) или установления факта несовместности системы и
из алгоритма последовательного перехода от полученного уже
опорного решения системы (II. 5) к новому, при котором форма
(II. 4) имеет большее (меньшее) значение, до получения макси-
мизирующего (минимизирующего), то есть оптимального реше-
ния.
Основу вычислительной схемы симплекс-метода составляют
модифицированные жордановы исключения.
Таким образом, использовав симплекс-метод, можем опреде-
лить полные усилия в лишних связях, соответствующие мини-
мальному весу системы. Для двумерных задач (в случае двух
неизвестных) можно рекомендовать графический способ нахож-
дения оптимальных полных усилий, основанный на геометричес-
кой интерпретации основной задачи линейного программирова-
ния. В этом случае в координатах —Х2 необходимо построить
многоугольник и определить координаты его вершины, наиболее
близко расположенной к заданной прямой.
Z = Р1х1 + Р2х2 = 0.	(II. 10)
Сторонами многоугольника в этом случае будут прямые
а^Х! + ai2x2 < at,	(II. 11)
т. е. условия работоспособности (II. 3), а прямая Z— целевая
функция (II. 9), уравнение которой
хх = -^-х2.	(11.12)
Зная полные усилия в лишних связях, можно определить рас-
четные усилия в элементах системы по формуле
St = SuXx + S2lX2+ . . . + SniXn+Spi (II. 13)
и подобрать сечения. Реализация же оптимального распределе-
ния усилий достигается введением предварительного напря-
жения.
При решении системы неравенств возможен случай отсут-
ствия решения (факт несовместности системы). Это значит, что
при заданной геометрической схеме системы и схеме нагрузок
нельзя обеспечить работу всех элементов на растяжение. В этом
случае необходимо либо изменить схему вантовой фермы, либо
ввести некоторую дополнительную нагрузку. Схема этой допол-
нительной нагрузки (пригруза) выбирается таким образом, что-
бы обеспечить максимальную работу на растяжение тех элемен-
тов, для которых не удовлетворяются условия работоспособно-
сти. Величина пригруза при этом вводится в условия работоспо-
собности (II.1) и целевую функцию (II. 9) в качестве дополни-
36
тельного неизвестного Xn+i . Необходимо подчеркнуть, что схе-
ма пригруза обязательно должна отличаться от схемы основной
нагрузки.
В случае действия на систему постоянных по величине нагру-
зок приведенный выше расчет является окончательным. Следует
отметить, что решение задачи об оптимальном распределении
усилий симплекс-методом при постоянной по величине нагрузке
приводит к появлению в ряде стержней нулевых усилий, превра-
щая заданную статически неопределимую систему в статически
определимую наиболее выгодным способом. В этом случае
стержни, в которых появляются нулевые усилия, могут быть изъ-
яты из системы, либо подобраны по соображениям конструктив-
ного минимума.
Однако в практике чаще всего встречаются нагрузки, меня-
ющие свою величину. Тогда ряд элементов системы будет полу-
чать большие усилия при меньшей нагрузке. Это относится к
элементам, сжатым внешней нагрузкой. Поэтому сечения таких
элементов должны подбираться по усилиям, возникающим в них
от действия сил предварительного напряжения лишних связей.
Так как усилия предварительного напряжения лишних связей
неизвестны до тех пор, пока не подобраны все сечения, можно
подобрать сечения таких элементов по усилиям, возникающим в
них от известных полных усилий в лишних связях, а после опре-
деления усилий предварительного напряжения произвести кор-
ректировку. Отметим, что корректировку подобранных сечений
нужно делать только для элементов, сжатых внешней нагрузкой.
После подбора сечений находятся усилия предварительного
напряжения лишних связей. Для этого необходимо решить обыч-
ными способами строительной механики статически неопредели-
мую систему с уже подобранными площадями поперечных сече-
ний элементов и найти усилия самонатяжения лишних связей.
Усилия предварительного напряжения лишних связей нахо-
дятся как разности полных усилий и усилия самонатяжения
*пнг = */-*сн;.	(П. И)
Далее необходимо определить интервал работоспособности
системы, т. е. найти наименьшую нагрузку, при которой все стер-
жни предварительно напряженной фермы будут растянуты (сох-
ранят свою работоспособность). Необходимость в начальной на-
грузке может возникнуть в связи с тем, что в некоторых стерж-
нях системы от усилий предварительного напряжения возникают
сжимающие усилия, которые могут быть погашены лишь прило-
жением к системе некоторой начальной нагрузки. Иными слова-
ми, можно говорить, что система работоспособна в некотором
интервале нагрузок. Наименьшее значение нагрузки условно на-
зовем нижним порогом работоспособности системы, наиболь-
шее — верхним. Следует заметить, что начальная нагрузка той
или иной величины неизбежна (собственный вес системы).
37
Величину необходимой начальной нагрузки можно найти,
рассмотрев условия работоспособности стержней, сжатых уси-
лиями предварительного напряжения лишних связей. При этом
следует найти для каждого из соответствующих неравенств зна-
чение нагрузки, обращающее неравенство в уравнение, и выбрать
из этих значений наибольшее.
Вернемся теперь к вопросу корректировки сечений. Так как
сечения ряда элементов подобраны по полным усилиям в лишних
связях, а должны быть подобраны по усилиям предварительного
напряжения, то в результате окажется, что напряжения в них
отличаются от расчетного сопротивления, и сечения должны
быть изменены. Изменение сечений повлечет за собой изменение
усилий самонатяжения и т. д. Таким образом, здесь решение
должно вестись методом последовательного приближения до
получения желаемой точности. Обратим внимание на то, что уси-
лия самонатяжения должны всякий раз находиться не от полной
нагрузки, а от разности между верхним и нижним ее значения-
ми. При этом в отличие от традиционного расчета статически
неопределимой системы, где первоначальное задание соотноше-
ний жесткостей сказывается на экономичности системы; в дан-
ном случае такого влияния нет; так как окончательные (полные)
усилия в лишних связях найдены из условий оптимизации рас-
пределения внутренних усилий без расчета статически неопреде-
лимой системы.
Подводя итоги всему сказанному, можно сформулировать по-
рядок расчета статически неопределимых вантовых ферм при
нагрузках постоянной схемы: выбор статически определимой ос-
новной системы и нахождение усилий в ее элементах от внешней
нагрузки и лишних неизвестных; составление выражений усло-
вий работоспособности отдельных стержней (линейных ограни-
чений) и выражения объема металла (стоимости) фермы (целе-
вой функции); решение задачи об оптимальных значениях
полных усилий в лишних связях (симплекс-методом или графи-
ческим способом); определение расчетных усилий и подбор се-
чений (окончательный при постоянной по величине нагрузке и
предварительный для ряда стержней при переменной нагрузке);
определение усилий предварительного напряжения лишних свя-
зей; определение интервала (по нагрузке) работоспособности
системы и корректировка сечений элементов, сжатых внешней
нагрузкой.
§ 2. РАСЧЕТ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ ВАНТОВЫХ
ФЕРМ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ И ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗКАХ
Здесь, как и в предыдущем случае, задачи расчета сводятся к
определению величин расчетных усилий в элементах системы,
38
подбору сечений элементов и нахождению величин усилий пред-
варительного напряжения лишних связей.
При условии, что геометрическая схема системы задана, а
также заданы схемы переменных или подвижных нагрузок, ход
решения поставленных задач должен быть следующий.
Выбираем статически определимую основную систему. Един-
ственным условием выбора основной системы является ее гео-
метрическая неизменяемость при заданных нагрузках.
При определении усилий в элементах основной системы все
элементы считаются способными воспринимать нагрузки как
сжатия, так и растяжения.
Выбрав основную систему, нужно определить в ее элементах
усилия от единичных значений лишних неизвестных и от внеш-
них нагрузок, имея в виду, что последние меняют свою величи-
ну. Для расчета необходимо найти наибольшую и наименьшую
величину усилия в каждом элементе. В случае перемены знака
необходимо соответственно найти наибольшее положительное и
наибольшее отрицательное значение усилия. При нахождении
усилий от подвижной нагрузки целесообразно использовать рас-
чет по линиям влияния.
Найдя усилия в основной системе, записываем условия рабо-
тоспособности отдельных стержней. Условия работоспособности
должны быть записаны для тех стержней, в которых от какой-
либо из нагрузок, включая усилия в лишних связях, появляется
сжатие.
Условие работоспособности i-ro стержня п раз статически не-
определимой системы имеет вид:
= Spi + SuXt + S21.X2 + • • • + SnlXn > 0. (И. 15)
Здесь, как и выше, i — номер стержня; Spl — усилие в стержне
от внешних нагрузок; Su —Sni — усилия в том же стержне от
единичных усилий в лишних связях; Xi—Хп — полные усилия в
лишних связях (включая преднапряжение); п — порядковый но-
мер лишней связи. В эти неравенства входят переменные вели-
чины усилий от внешней нагрузки и переменные значения пол-
ных усилий в лишних связях.
Неравенства (II. 15) образуют систему, в которой число их
больше числа лишних неизвестных. Для однопролетных ванто-
вых ферм с треугольной решеткой число неизвестных равно 3,
а система неравенств, составленная из условий работоспособно-
сти к стержней, имеет вид:
= Spl -f- SnX!	S21X2 -f- S3lX3 0;
52 = 5p2 + 512X1 + 522X2 + 532X3>0; (II. 16)
$k = $Pk + $\kX\ + S2kX2 + SskXs > 0.
Свободные члены неравенств системы являются переменны-
ми величинами, а по условию поставленной задачи при любых
39
положениях внешней нагрузки все элементы должны быть рас-
тянуты — система (II. 16) должна удовлетворяться при всех воз-
можных значениях свободных членов.
Если трактовать расчет на подвижную или переменную на-
грузку как ряд последовательных расчетов на неподвижную на-
грузку (принимая каждое положение нагрузки, изменяющей
схемы своего приложения, за неподвижную нагрузку), то для
каждого положения нагрузки может быть найдено наивыгодней-
шее распределение полных усилий в лишних связях, минимизи-
рующее объем (стоимость) металла системы на этом этапе. Од-
нако при изменении положения нагрузки изменятся и величины
полных усилий. Следовательно, все неравенства (11.15), запи-
санные для каждого положения переменной или подвижной на-
грузки, должны войти в систему (11.16) для нахождения тех зна-
чений Xt, при которых условия работоспособности стержней
будут удовлетворяться при всех возможных положениях внеш-
ней нагрузки с соблюдением условия минимума объема или сто-
имости металла системы.
Учитывая, что при разных положениях внешней нагрузки в
ограничениях, записанных для одного и того же стержня, меня-
ются лишь значения Spi , можно заменить систему с переменны-
ми свободными членами системой с постоянными, приняв в ка-
честве последних наименьшие положительные или наибольшие
по абсолютной величине отрицательные значения Spi . При рас-
чете на подвижную нагрузку положительные свободные члены
обращаются в нуль, так как возможен случай отсутствия нагруз-
ки на ферме.
При симметричных относительно оси фермы переменных на-
грузках либо при кососимметричных нагрузках, могущих зани-
мать симметричные относительно оси фермы положения, а так-
же при симметричных относительно собственной оси подвижных
нагрузках, передвигающихся по всему пролету, свободные чле-
ны неравенств (II. 15) для симметричных стержней фермы при-
нимают одни и те же крайние значения. При соблюдении пере-
численных условий расположения внешних нагрузок можно сво-
дить число неизвестных к двум и применять графический способ
решения задачи по определению полных усилий (см. § 1 гла-
вы II).
Выражение целевой функции — объема пли стоимости метал-
ла фермы представляет собой, как и для случая неподвижных
нагрузок, сумму объемов (стоимости) всех элементов фермы
т	т
= S (Spi + siix1 + s2ix2+ . . . +Snlxn)li. (II. 17)
/=1	z=l
tn
Свободный член £ Spilt, который в формуле (II.17) явля-
40
ется переменной величиной, не зависит от значений переменных
и может быть отброшен. Следовательно, выражение целевой
функции не зависит от положения внешней нагрузки и опреде-
ляется одинаково как при расчете на постоянные, так и на пере-
менные или подвижные нагрузки.
В ряде случаев система неравенств (II. 16) не имеет реше-
ния (система несовместна), что свидетельствует о том, что при
заданных схемах нагрузок и геометрии системы при любых ком-
бинациях значений усилий в лишних связях один или несколько,
элементов получают усилия сжатия. Тогда необходимо изменить
геометрическую схему фермы или ввести специальный пригруз
той или иной схемы. Величина пригруза должна быть принята в
качестве неизвестного и включена в неравенства (II. 16) и целе-
вую функцию (II. 17).
Для однопролетных ферм типовое неравенство с включением
пригруза будет иметь вид:
Si = Spi +	+ S2lXz + S3iX3 + S.iX, > 0. (II. 18)
Здесь Sit — усилие в i-ом стержне основной системы от единич-
ного пригруза; — полная величина пригруза.
Схема пригруза должна выбираться после анализа работы
системы таким образом, чтобы создать максимальные усилия
растяжения в тех стержнях, из-за которых система (II. 16) ока-
залась нерешаемой.
Решив неравенства и найдя полные усилия в лишних связях,
необходимо произвести подбор сечений элементов.
При подборе сечений нужно знать полные усилия в лишних
связях для каждого положения нагрузки, а найденные сим-
плекс-методом полные усилия, естественно, не реализуются ни
при каком положении нагрузки и по существу являются теми
предельными значениями, при которых при любом положении
внешней нагрузки сохраняется растяжение во всех элементах.
Действительные полные усилия в лишних связях всегда будут
больше найденных, и лишь при некоторых положениях нагруз-
ки отдельные значения полных усилий будут равны найденным
симплекс-методом. Поэтому при подборе сечений на первом эта-
пе можно принять полные усилия в лишних связях постоянными,
а затем, определив усилия самонатяжения и преднапряжения,
произвести корректировку
Подобрав таким образом сечения по максимальным значени-
ям расчетных усилий, производим расчет статически неопреде-
лимой системы обычными методами строительной механики,
находим усилия самонатяжения. Последние являются величина-
ми переменными и зависят от положения и величины внешней
нагрузки.
Так как усилия преднапряжения могут быть только постоян-
ными, а полные усилия должны быть при любом положении на-
41
грузки не меньше, чем определенные симплекс-методом, то в
формулы для определения усилий преднапряжения
=	(П. 19)
Рис. 16. К примеру 1:
а — геометрическая схема фермы; б —основная сис-
тема при симметричной нагрузке; в — статически
определимая система при действии постоянной на-
грузки.
должны быть подставлены наименьшие положительные либо
наибольшие отрицательные значения Xciti .
Соблюдение изложенного правила выбора величины Хсн; га-
рантирует выполнение ограничений, накладываемых неравенст-
вом (II. 16). Расчет на
переменную и подвиж-
ную нагрузку, как пра-
вило, выявляет необхо-
димость специальной
пригрузки.
Роль этой специаль-
ной пригрузки в значи-
тельной мере может вы-
полнять собственный
вес конструкции. Отме-
тим, что при определе-
нии усилий самонатя-
жения пригрузку учи-
тывать не нужно, так
как она должна быть
приложена к системе в
процессе ее изготовле-
ния, до передачи на си-
стему полезных нагру-
зок и до установления
контролируемых уси-
лий преднапряжения
лишних связей.
Корректировка производится следующим образом. После на-
хождения усилий преднапряжения определяются максимальные
значения усилий во всех элементах и проверяются напряжения.
Сечения элементов, напряжения в которых отличаются от
расчетного сопротивления на величину больше допустимой, пе-
реподбираются. Затем определяем новые усилия преднапряже-
ния. Процесс повторяем до тех пор, пока напряжения во всех
элементах не получат необходимых значений.
Пример 1. Определить полные усилия в лишних связях, по-
добрать сечения и найти усилия предварительного напряжения
статически неопределимой вантовой фермы (рис. 16, а).
Основная система и лишние неизвестные показаны на
рис. 16, б. Значения усилий в элементах основной системы от
действия единичных усилий в лишних связях S1; , S2l и от дей-
ствия внешних нагрузок Spl приведены в табл. 1. Запишем усло-
42
Стержень	1, м	Усилия в основной системе от				
			Х,=1	р	Xi ~ 3,028	Х2=4,486
1-11	4,7	0,8	0	2,36	2,4224	0
1-13	3,0	1,0	0	0	3,028	0
1-15	4,7	0,8	0	2,36	2,4224	0
7—10	3,0	0,5	1	-6,0	1,514	4,486
6-12	3,0	0	1	—1,5	0	4,486
5—14	3,0	0	1	—1,5	0	4,486
4-16	3,0	0,5	1	—6,0	1,514	4,486
10-11	4,25	—0,35	0	5,31	—1,06	0
11—12	2,12	0,35	0	—1,06	1,06	0
12-13	2,12	0	0	2,12	0	0
13—14	2,12	0	0	2,12	0	0
14—15	2,12	0,35	0	—1,06	1,06	0
15-16	4,25	—0,35	0	5,31	—1,06	0
1-9	4,25	0,707	0	8,5	2,14	0
1-2	4,25	0,707	0	8,5	2,14	0
Таблица 1
Sn	Fn . см»	S, т	F, см»	^ок	fOK
4,7824	0,48	4,7824	0,48	4,7824	0,48
3,028	0,305	3,028	0,305	3,692	0,37
4,7824	0,48	4,7824	0,48	4,7824	0,48
0	0	6,0	0,6	6,0	0,6
2,986	0,299	4,486	0,45	4,486	0,45
2,986	0,299	4,486	0,45	4,486	0,45
0	0	6,0	0,6	6,0	0,6
4,25	0,43	4,25	0,43	4,25	0,43
0	0	1,06	0,11	1,06	0,11
2,12	0,21	2,12	0,21	2,12	0,21
2,12	0,21	2,12	0,21	2,12	0,21
0	0	1,06	0,11	1,06	0,11
4,25	0,43	4,25	0,43	4,25	0,43
10,64	1,07	10,64	1,07	10,64	1,07
10,64	1,07	10,64	1,07	10,64	1,07
вия работоспособности стержней при симметричной нагрузке
(Х3 = О):
У1 = Sy—io = 0,5Xj -J- Х2 — 6	0;
У2 — *$6—12 = Х2 — 1,5 >0;
Уз = S10_u = — 0,35X4 + 5,31 > 0;
у4 = Sii-i2 = 0,35X4 - 1,06 > 0;
X. >0, Х2 > 0.
Составим выражение объема металла всех стержней фермы.
Для этого по формуле (II. 7) вычислим сумму произведений уси-
лий всех стержней на их длины (объем увеличен в Ri раз):
-3,76Х, -4-11,1;
5!_15 Z1_15=3,76X1 + 11,1 ;
5б-12 /б—12 = ЗХ2 — 4,5 ;
54-16 /4-16 = 1,5X4 4~ ЗХ”2 — 18 ;
511-12 /11-12 = 0,743X4 - 2,25 ;
513-14 Аз—14 = 4,5 ;
515—16 /15—16 = — 1,498X4 4- 22,6 ;
51_2/i-2^3X1 + 36,1 .
51-13 /1-1з = ЗХ];
S?- ю /7—10 = 1,5X4 4- ЗХ2 — 18 ;
5g—и /5—14 = 3X4 — 4,5 ;
510-п /io-п = — 1,498X4 4- 22,6
512-13 /12-13 = 4,5 ;
514-15/14-15 = 0,743^-2,25;
5i_9/i-9 = 3X14-36,1 ;
Просуммировав эти неравенства, получим
V Sz/z = I8X1 4L 12Х2 + 99,1 .
1=1
Отбрасывая свободный член, находим выражение целевой
функции
Z = 18X, 4- 12Х2.
Задача состоит в том, чтобы минимизировать целевую функцию
Z при соблюдении ограничений z/i>0; z/2>0; уз>0; z/4>0; Л4>О;
Х2>О, что эквивалентно задаче максимизации [10] формы— z =
=—18X1—12Х2.
Запишем условие задачи в матричной форме:
-X -Х2	1
У1=-	—0,5	(-1)	-6
У2 =	0	— 1	—1,5
Уз=	0,35	0	5,31
>4 =	0,35	0	—1,06
z=	18	12	0
44
В качестве разрешающего выбираем коэффициент в первой
строчке столбца 2. Сделав один шаг модифицированного жорда-
нова исключения, получим:
		—У1	1
У1=	0,5	—1	6
У 2 =	0,5	—1	4,5
Уз=	0,35	0	5,31
У1=	(—0,35)	0	—1,06
х =	12	12	-72
На знак Xt наложено ограничение (Xz>0), т. е. они являют-
ся несвободными переменными, поэтому их не исключают из
таблицы [10], и следующий шаг модифицированного жорданова
исключения делаем, выбирая в качестве разрешающего един-
ственный отрицательный коэффициент четвертой строки. После
этого шага получим:
	—>4	—У1	1
*1 =	1,43	—1	4,486
У =	1,43	—1	2,986
Уз=	1	0	4,25
*2 =	—2,86	0	3,028
z=	34,29	12	-108,336
В последней матрице все свободные члены положительны, а в
2-строке тоже нет отрицательных коэффициентов. Значит, при
£/i = 0 и «/4 = 0 функция Z приобретает минимальное значение.
Таким образом, задача решена:
= 4,486 т, Х2 = 3,028 т.
Эту же задачу можно решить и графическим способом (так
как неизвестных только два). В координатах —Х2 (рис. 17)
строим многоугольник с вершинами I, II, III. Уравнениями пря-
мых (сторон многоугольника) служат неравенства //i>0, у2>0,
у3>0 и _у4>0.
Приравнивая последовательно нулю Xi и Х2, проводим пря-
мые, каждая из которых делит плоскость в координатах Xi—Х2
на две полуплоскости: в одной полуплоскости данное неравен-
ство удовлетворяется при любых значениях Xi и Х2 (отмечена
45
на чертеже штриховкой), в другой — нет. Проводим через на-
чало координат прямую:
Z 18^ 4- 122Гг = 0; Хх =	Х2.
Как видно нз рис. 17, вершиной, наиболее близко располо-
женной к прямой 2=0, будет точка 1 с координатами	= 3,03
Рис. 17. Графическое решение приме-
ра 1.
и Х2=4,48. Функция Z не огра-
ничена сверху, т. е. Х2 — натя-
жение нижнего пояса — может
быть сколь угодно большим.
Определив полные усилия в
лишних связях, соответствую-
щие минимальному объему
фермы, подберем сечения стер-
жней.
При постоянной по величине
нагрузке значения расчетных
усилий приведены в столбце Sn
табл. 1, а соответствующие
значения площадей поперечных
сечений — в столбце Fn. Pac-
четное сопротивление элемен-
тов условно принято = 10000 кг/см2. Полученная в результате
этого расчета статически определимая система (рис. 17, в) явля-
ется оптимальной при данной геометрии фермы и схеме нагрузки.
Если величина нагрузки переменная, т. е. усилия в основной
системе от внешней нагрузки могут меняться от нуля до макси-
мальной своей величины, то значения расчетных усилий и пло-
щадей надо искать в столбцах S и F табл. 1.
Решим статически неопределимую систему для нахождения
усилий самонатяжения Хсн1 и Хсн2 , значения которых при сим-
метричной нагрузке такие:
Л"сн1 = — 0,626 т; Хсда = 3,57 т.
Необходимые значения усилий преднапряжения:
Хпн1 = Xt - Хсн1 = 3,028 + 0,626 = 3,654 т;
Хп'2 = %2 — Хсн2 = 4,486 - 3,57 = 0,916 т.
Так как усилие Хпн1 оказалось больше расчетного усилия, по
которому подбиралось поперечное сечение стержня 1—13, необ-
ходимо произвести корректировку.
В соответствии с полученным усилием предварительного на-
пряжения площадь сечения стержня 1—13 принимаем 0,37 см2.
Сечения остальных стержней оставляем без изменения, ибо рас-
четные напряжения в них соответствуют принятому значению
расчетного сопротивления материала. Вновь решаем статичес-
46
ки неопределимую систему со скорректированными сечениями и
находим новые значения усилий самонатяжения:
?ГСН1 = —0,664 ; zVCH2 = 3,57 т.
Усилия предварительного напряжения:
Хпн1 = 3,028 + 0,664 = 3,692 т;
^пн2 = 4,486-3,57 = 0,916 т.
Теперь принятые площади поперечных сечений всех стержней
фермы (столбец F0K табл. 1) полностью соответствуют действу-
ющим в них усилиям (при изменении нагрузок от нуля до пол-
ной величины). Напряжения во всех стержнях от максимальных
расчетных усилий (столбец S0K табл. 1) близки к расчетному
сопротивлению.
Необходимая величина начальной нагрузки по условию ра-
ботоспособности стержня 10—11 находится так:
Sio-ii = - 0,35 • 3,692 + Р' > 0;
8
р, 1,2922 = 0 73 т
1,77
Таким образом, при симметричной нагрузке система работоспо-
собна в интервале значений сил от Р'=0,73 т (начальная нагруз-
ка— нижний порог работоспособности) до Р = 3 т (верхний по-
рог работоспособности).
Объем стержней спроектированной таким образом вантовой
фермы, исключая оттяжки (стержни 1—9 и 1—2), составил
0,16937 м3. При этом, как видно из табл. 1, площади поперечных
сечений отдельных элементов оказалось различными, что вызы-
вает ряд практических неудобств. Однако это обстоятельство
компенсируется значительным снижением расхода материалов
по сравнению с фермой, элементы которой имеют одинаковое
сечение.
Если принять полученный объем металла фермы за 100% и
сравнить его с объемом металла фермы, все элементы которой
имеют площадь поперечного сечения, равную площади наиболее
нагруженного стержня (стержень 1—7), то расход материалов
во втором случае возрастает на 47% (У=0,249 л«3). При этом
следует иметь в виду, что и во втором варианте фермы распре-
деление внутренних усилий соответствует условию наименьшего
объема. При расчете традиционными методами, связанными с
предварительным заданием жесткостей элементов, расход мате-
риалов может возрасти еще больше, так как выбор усилий пред-
варительного напряжения в этом случае является в известной
мере случайным и распределение усилий в ферме всегда будет
менее выгодным, чем оптимальное.
47
Пример 2. Определить полные усилия, подобрать сечения и
найти усилия предварительного напряжения в однопролетной
вантовой ферме (рис. 18, а), нагруженной одним сосредоточен-
ным грузом Р=10 т, передвигающимся по нижнему поясу фер-
мы. Ферма нагружена, кроме того, специальным пригрузом Х4,
а
6
Рис. 18. к примеру 2.
величина которого принята в качестве неизвестного (необходи-
мость в специальном пригрузе будет показана ниже). Выбрав
основную систему (рис. 18, б), определим усилия в стержнях
фермы от единичных усилий в лишних связях от Х4 = 1 и от внеш-
ней нагрузки, находящейся попеременно во всех узлах нижнего
пояса (табл. 2).
Запишем условия работоспособности стержней для каждого
положения груза Р, а также в случае отсутствия нагрузки. Выби-
рая неравенства с наибольшим отрицательным свободным чле-
ном, а также подставляя вместо положительных (в случае от-
сутствия отрицательных) свободных членов нуль, составим си-
стему ограничений:
Si-13 =	0,6 Хг - 0,515Х2 + 0,515Х3 +	12,0Х4 — 3,85 > 0;
Si_i5 =	0,85Х1 - 0,36 Х2 + 0,36 Х3 +	4,ЗХ4 - 5,85 > 0;
Si-19 =	0,85^! + 0,36 Х2 - 0,36 Х3 +	4,ЗХ4 — 5,85 > 0;
Si_2i =	0,6 Хх + 0,515^ — 0,515Х3 +	12Ж4 — 3,85 > 0;
Ss-u = — 0,3	Х4	+ 0,95	Х2 + 0,05	Х3 +	9,2Х4 >	0;
S7_16 = - 0,6	Х4	+ 0,71	Х2 + 0,29	Х3 +	15,5Х4 >	0;
S6_18 = _ 0,6	Х4	4- 0,29	Х2 + 0,71	Х3 +	15,5Х4 >	0;
S5_20 = — 0,3	X,	+ 0,05	Х2 + 0,95	Х3 +	9,2Х4 >	0;
S12_i3 = — 0,28А\ — 0,04 Х2 + 0,04 Х3 + 10,8А4 > 0;
Si3-i4 = + 0,26^ + 0,04 Х2 - 0,04 Х3 - 4,ЗХ4 - 6,5 > 0;
48
4*. I										Таблица 2	
1 ЬЭ Со		Длина	Усилия в основной системе от								
									груза в узле		
	Стержень	стерж-									
		ня* м	At=l	Аз—1	Аз—1	Л 1	1	2	3	4	5
	1-13	7,988	+0,6	—0,515	+0,515	+ 12,0	(—3,85)	+4,02)	+12,0	+ 8,1	+ 3,85
	1—15	5,099	+0,85	-0,36	+0,36	+4,3	—2,6	(-5,85)	+8,3	+5,85	+2.6
	1-17	5,0	+1,0	0	0	0	0	0	0	0	0
	1—19	5,099	+0 > 85	+0,36	-0,36	+4,3	+ 2,6	+5,85	+ 8,3	(—5,85)	-2,6
	1-21	7,988	+0,6	+0,515	-0,515	+12,0	+3,85	+8,1	+12,0	+4,02	(—3,85)
	9-12	5,0	0	+ 1,0	0	0	0	0	0	0	0
	8-14	5,0	-0,3	+0,95	+ 0,05	+9,2	+7,4	+8,0	+ 1,4	+0,75	+ 0,6
	7-16	5,0	—0,6	+0,71	+0,29	+ 15,5	+5,66	+ 11,4	+ 7,0	+4,66	+2,34
	6-18	5,0	-0,6	+0,29	+0,71	+15,5	+2,34	+4,66	+7,0	+11,4	+5,66
	5-20	5,0	-0,3	+0,05	+0,95	+9,2	+0,6	+0,75	+ 1,4	+8,0	+7,4
	4-22	5,0	0	0	+ 1,0	0	0	0	0	0	0
	12—13	8,0	-0,28	—0,04	+0,04	+10,8	+ 12,3	+6,76	+ 1,1	+0,7	+0,5
	13—14	4,3	+0,26	+0,04	-0,04	-4,3	+ 0,5	(-6,5)	—1,4	—0,7	-0,5
	14—15	4,3	-0,22	—0,17	+ 0,17	+ 8,1	(-1.5)	+9,8	—4,3	+2,7	+ 1,5
	15—16	3,6	+ 0,25	+0,19	—0,19	-2,4	+ 1,5	+3,2	(-4,8)	—3,25	-1,5
	16—17	3,6	0	—0,29	+0,29	+3,6	-2,4	(-4,75)	+ 7,1	+4,74	+ 2,4
	17-18	3,6	0	+0,29	—0,29	+3,6	+2,4	+4,75	+7,1	(-4.75)	—2,4
	18—19	3,6	+0,25	—0,19	+0,19	-2,4	—1,5	-3,25	(-4,8)	+3,2	+ 1,5
	19—20	4,3	—0,22	+0,17	—0,17	+8,1	+ 1,5	+2,7	+4,3	+9,8	(-1 ,5)
	20-21	4,3	+0,26	-0,04	+0,04	—4,3	—0,5	—0,7	—1,1	(-6,5)	+0,5
ЧЭ	21—22 j	8,0	—0,28	+0,04	—0,04	+10,8	+0,5	+0,7	+ 1,1	+6,76	+ 12,3
Si4_15 = — 0,22А\-0,17	л2 + 0,17	X3 +	8,1^-1,5	> 0;
Sis-16 =	0,25^	+	0,19	Х2~ 0,19	Х3-	2,4+4 —4,8	> 0;
S16_17 =	-	0,29	Х2 + 0,29	Х3 +	3,6+4 - 4,75	> 0;
S17_18 =	+	0,29	Х2 - 0,29	Х3 +	3,6+4 - 4,75	> 0;
S18_i9= 0,25^-0,19	^ + 0,19	Х3—	2,4+4-4,8	> 0;
Si9-2o=-0,22+j + 0,17	Х2-0,17	Х3+	8,1Х4-1,5	> 0;
S20_21 = 0,26А\ - 0,04	Х2 + 0,04	Х3 —	4,3+4 — 6,5	> 0;
S21_22 = - 0,28+i + 0,04	Х2 - 0,04	X, + 10,8Х4 > 0.
Выбранные свободные члены в табл. 2 взяты в скобки.
Перемножением выражений усилий во всех элементах на со-
ответствующие длины вычислим объемы каждого элемента,
просуммировав которые, получим целевую функцию — объем си-
стемы. Свободные члены, не влияющие на оптимизацию объе-
ма системы, не учитываем.
Z = 11,9188^ + 15,0Х2 + 15,0Х3 + 706,794Х4.
Поскольку внешняя нагрузка (от всех положений груза Р)
симметрична относительно суммарной равнодействующей, то
Х2=Х3. Тогда система ограничений и целевая функция примет
вид:
3'1=	—0,6	0	—12,0	—3,85
v2=	—0,85	0	—4,3	—5,85
Уз=	0,3	—1	—9,2	0
v4=	0,6	—1	—15,5	0
_У5 =	0,28	0	—10,8	0
	—0,26	0	4,3	—6,5
У?=	0,22	0	—8,1	-1,5
Уь=	—0,25	0	2,4	—4,8
Ув=	0	0	—3,6	—4,75
2=	11,9188	30,0	706,794	0
В результате решения этой системы симплекс-методом полу-
чены значения полных усилий в лишних связях:
Xt = 50,9486 т; Х2 = Х3 = б,25 т; Х4 = 1,569 т/м.
Подставив значения неизвестных в соответствующие выраже-
ния усилий в стержнях фермы, получим расчетные усилия при
каждом положении груза Р, наибольшие из которых выписаны
в столбец Smax табл. 3. По этим расчетным усилиям при 7?i =
= 10000 кг/см2 вычислены площади поперечных сечений (стол-
бец F). Как видно из табл. 3, ферма не может существовать без
пригруза %4, так как стержни нижнего пояса при отсутствии при-
50
Расчетные усилия от груза в узле
груза будут испытывать сжимающие усилия при любом положе-
нии груза Р и без него.
Для определения усилий предварительного напряжения лиш-
них связей решаем статически неопределимую систему с приня-
тыми площадями обычными методами строительной механики.
Значения усилий самонатяжения в зависимости от положения
груза Р записаны в табл. 4.
Таблица 4
Груз в узле
Усилия самонатяже- иия, т	1	2	3	4	5
ХСн1	(4,1851)	6,7036	4,627	6,7036	4,1851
•^СН2	-2,7817	(—3,5891)	—1,8055	0,2168	0,7168
^снз	0,7168	0,2168	—1,8055	(-3,5891)	—2,7817
Выбрав нужные значения усилий самонатяжения (в табл. 4
они взяты в скобки), определим усилия предварительного напря-
жения:
+пн1 = 50,9486 — 4,1851 = 46,7635 т;
^ПН2 = ^ПН3 = 6,25 + 3,5891 =9,8391 т.
Соответствующие полные усилия в лишних связях при раз-
личных положениях груза Р приведены в табл. 5.
। Стержень 1		Отсутствие нагрузки				Груз в								
					*	1					2			
	со «э П X	II «О XII	LO 7 X	оо я	о й 11 X	со с- 7 X	со ю о” X	X	оо я	t *	ш СЧ со R X	В с- 7 X	
1-13	28,06			18,83	46,89	30,57	-3,63	5,44	14,98	47,36	32,08	—3,22	5.18	
1-15	39,75	—	6,75	46,5	43, 31	-2,54	3,8	4,15	48,72	45,45	-2,25	3,62	
1-17	46,76	—		46,76	50,95	—	—	—	50,95	53,47			
1-19	39,75		6,75	46,5	43,31	2,54	-3,8	9,35	51,4	45,45	2,25	-3,62	
1-21	28,06	—	18,83	46,89	30,57	3,63	—5,44	22,68	51,44	32,08	3,22	-5,18	
9-12		9,84	—	9,84		7,06	__		7,06	—	6,25	—	
8-14	-14,03	9,84	14,43	10,24	-15,28	6,71	0,53	21,83	13,79	—16,04	5,94	0,5	
7-15	-28,06	9,84	24,32	6,2	-30,57	5,01	3,06	29,68	7,18	-32,08	4,44	2,92	
6-18	-28,06	9,84	24,32	6,2	-30,57	2,05	7,5	26,66	5,64	-32,08	1,81	7,14	
5-20	-14,03	9,84	14,43	10,24	-15,28	0,35	19,03	15,03	10,13	-16,04	0,31	9,55	
4—22		9,84	—	9,84	—	—	10.56	—	10,56			—	10,06	
12-13	-13,09			16,94	3,85	-14,26	— 0,28	0,42	29,24	15,12	-14,97	-0,25	0,4	
13-14	12,16		-6,75	5,41	13,25	0,28	-0,42	-6,25	6,86	13.9	0,25	-0,4	
14-15	— 10,29		12,71	2,42	-11,21	-1,2	1.79	11,21	0,59	-11,76	-1,06	1,71	
15-16	11,69	—	-3,76	7,93	12,74	1,34	-2,0	— 2 26	9,82	13,37	1,19	-1,91	
16-17	—	—	5,65	5,65		-2,05	3,06	3,25	4,26	—	—1,81	2,92	
17-18	—		5,65	5,65		2,05	—3,06	8,05	2,04	—.	1,81	-2,92	
18-19	11.69	—	-3,76	7,93	12,74	-1,34	2,0	-5,26	8,14	13,37	-1,19	1,91	
19-20	-10,29	—.	12,71	2,42	-11,21	1,2	-1,79	14,21	2,41	-11,76	1,06	-1,71	
20-21	12,16	—	-6,75	5,41	13,25	-0,28	0,42	—7,25	6,14	13,9	-0,25	0,4	
21-22	— 13,09	—	16,94	3,85	-14,26	0,28	—0,42	17,44	3,04	-14,97	0,25	-0,4	
52
Определим фактические усилия в стержнях фермы, возникаю-
щие от соответствующих выбранным усилиям предварительного
напряжения полных усилий в лишних связях, и выберем из них
наибольшие, величины которых записаны в столбце 5фаКТ табл. 6.
В некоторых стержнях (1—17, 9—12, 8—14 и др.) фактические
усилия не соответствуют принятым ранее площадям поперечных
сечений. Необходимо произвести корректировку, то есть изме-
нить сечения стержней в соответствии с фактическими усилиями
Таблица 5
	Груз в узле				
Соответствующие полные усилия, т	1	2	3	4	5
Хх	50,9486	53,4671	51,3905	53,4671	50,9486
X.,	7,0575	6,25	8,0336	10,0559	10,5559
х,.	10,5559	10,0559	8,0336	6,25	7,0575
в них (^факт ) и снова выполнить расчет по определению Хсн/ и
Хпн, . После трех корректировок получены площади поперечных
сечений стержней (см. столбец F0K ). Соответствующие усилия
самонатяжения даны в табл. 7.
Усилия предварительного напряжения:
Л'пн1 = 50,9486 — 4,0822 = 46,8664 г,
Хпн2 = ^пнз = 6,25 + 4,7484 = 10,9984 т.
Таблица 6
узле									с?	ь?	X о к.	£ о со
			3	1				4	5				
	*	й	ю *	Ха=Хз= = 8,04	С? *	СО	00 м	со м				
	22,85	56,89	30,83			30,83	61,66	57,05	51,44	61,66	6,2	6,22	62,09
	0,9	47,72	43,68	—	15,05	58,73	56,68	51,4	58,73	5,9	6,0	59,38
	—	53,47	51,39	—	——	51,39	53,47	50,95	53,47	5,4	5,4	53,36
	12,6	56,68	43,68	—	15,05	58,73	47,72	48,72	58,73	5,9	6,0	59,38
	26,93	57.05	30,83	—	30,83	61,66	56,89	47,36	61,66	6,2	6,22	62,09
	—	6.25	—	8,04	—	8,04	10,05	10,56	10,56	1,1	1,2	11,87
	22,43	12,83	—15,42	8,04	15,83	8.44	9,0	10,13	13,79	1,38	1,41	14,07
	35,72	11,0	-30,83	8,04	31,32	8,53j	5,85	5,64	11,0	1,1	1,15	11,41
	28,98	5,85	-30,83	8,04	31,32	8,53	11,0	7,18	11,0	1,1	1,15	11,41
	15,18	9,0	-15,42	8,04	15,83	8,44	12,83	13,79	13,79	1,38	1,41	14,07
	—	10,06	—	8,04	—	8,04	6,25	7,06	10,56	1,1	1,2	11,87
	23,7	8,88	— 14,39	—	18,04	3,65	2,52	3,04	15,12	1,52	1,52	15,16
	-13,25	0,5	13,36	—	-7,85	5,51	6,7	6,14	6,86	0,69	0,69	6,82
	22.51	11,4	-11.31	—	17,01	5,7	3,0	2,41	11,4	1,14	1,17	11,62
	-0,56	12,09	12,85	—	-8,56	4,29	7,04	8,14	12,09	1,21	1,18	11,82
	0,9	2,01	—	——	12,75	12,75	9,29	2,04	12,75	1,28	1,28	12,75
	10,4	9,29	—	—	12,75	12,75	2,01	4,26	12,75	1,28	1,28	12.75
	-7,05	7,04	12,85	—	-8,56	4,29	12,09	9,82	12,09	1,21	1,18	11,82
	15,41	3.0	-11,31	—	17,01	5,7	11,4	0,59	11,4	1,14	1,17	11,62
	-7,35	6,7	13,36	—	-7,85	5,51	0,5	6,86	6,86	0,69	0,69	6,82
	17,64	2,52	— 14,39	—	18,04	3,65	8,88	15,12	15,12	1,52	1,52	15,16
53
Таблица 7
Усилия самонатяже- ння, т	Груз в узле				
	1	2	3	4	5
Н Сч П XXX	(4,0822) —3,7165 0,8703	6,4908 (—4,7484) 0,2588	5,2337 —2,5714 —2,5714	6,4908 0,2588 (—4,7484)	4,0822 0,8703 —3,7165
Груз в узле
Таблица 8
Соответствующие
полные усилия, т
1
50,9486
7,2819
11,8687
53,3572
6,25
11,2572
52,1001
8,427
8,427
53,3572
11,2572
6,25
50,9486
7,2819
11,8687
По соответствующим полным усилиям (табл. 8) найдем наи-
большие значения расчетных усилий в стержнях, которые приве-
дены в столбце S0K табл. 6. Как видно, принятые сечения удовле-
творяют действующим в стержнях расчетным усилиям.
§ 3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫЕ ВАНТОВЫЕ ФЕРМЫ
С ЖЕСТКИМИ РАСКОСАМИ
Анализ результатов расчетов вантовых ферм, проведенных по
методике, изложенной выше, показывает, что при некоторых со-
отношениях генеральных размеров ферм, в частности при боль-
ших пролетах, от действия переменных нагрузок различных схем
величины полных усилий в лишних связях, а также величина
пригруза принимают чрезмерно большие значения. При этом
особенно существенное влияние на конечный результат оказы-
вает необходимость удовлетворения условиям работоспособно-
сти восходящих раскосов в пределах всей фермы и нисходящих,
расположенных в середине пролета по той причине, что сравни-
тельно малое увеличение усилий в них вызывает значительное
увеличение усилий в поясах.
Усилия в лишних связях можно намного сократить, если вве-
сти в этих случаях в ферму жесткие раскосы, в которых можно
допустить и сжимающие усилия.
Ход расчета вантовой фермы с жесткими раскосами принци-
пиально остается таким же, как и для фермы, составленной це-
ликом из гибких элементов. Отличие заключается в том, что из
системы ограничений исключаются неравенства, выражающие
54
условия работоспособности раскосов, замененных жесткими эле-
ментами, а целевая функция — объем или стоимость металла си-
стемы вычисляется как сумма объемов (стоимости) гибких и
жестких элементов
Z—1	i=l
m,
где 2 V\ — сумма объемов mi гибких стержней;
(II. 20)
E ц» — сумма объемов m2 жестких стержней.
isssl
Объем жесткого раскоса определяется как произведение пло-
щади его поперечного сечения Л/ж на длину стержня //ж .
Так как усилие в жестком раскосе
ж = 51жЛ1 + *^2ж 1^2 + • • • + SnXiXn + Sp Xi (II. 21)
отрицательно, то в выражении площади сечения F/1K его необхо-
димо принимать со знаком минус.
Vi ж = Л J ж = -~%ж/;ж ,	(II. 22)
где <pi —коэффициент продольного изгиба центрально сжатого
жесткого элемента, величиной которого необходимо зада-
ваться; Т?2 — расчетное сопротивление материала жесткого
элемента.
Таким образом, выражение целевой функции имеет вид:
g___StiljXt _|_ S^X* ।	। SniljXn _
/—1
___________________*^1ж th xXj _____	^2ж jlj mXi _	_ Sn xjlj хХп (ц 23)
i=l	i=l	/=1
Глава III. КОМБИНИРОВАННЫЕ ВАНТОВЫЕ
СИСТЕМЫ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАСЧЕТА КОМБИНИРОВАННЫХ
ВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Искусственное регулирование усилий в комбинированных ван-
товых системах наиболее целесообразно производить дополни-
тельным натяжением гибких элементов. Изменение усилий в них
вызывает изменение усилий и в жестких элементах, что позво-
ляет перераспределять усилия в системе в нужном направлении.
Усилия дополнительного натяжения (назовем их усилиями
предварительного напряжения) вместе с усилиями самонатяже-
ния, возникающими в статически неопределимой ненапряженной
системе, составляют полные усилия в лишних связях, в качестве
которых выбираются гибкие элементы, в количестве, равном сте-
пени статической неопределимости системы. Расчет сводится к
определению этих полных усилий, соответствующих предельному
равновесию системы. Возможность многозначности решения
ликвидируется рядом ограничений, выражающих требования не-
обходимого распределения усилий в системе.
Найденные полные усилия в лишних связях позволяют опре-
делить расчетные усилия во всех элементах конструкции и по-
добрать их сечения. Для реализации заданного распределения
внутренних усилий вводится предварительное напряжение. При
этом величины усилий предварительного напряжения, как и при
расчете вантовых ферм, находятся как разности полных усилий
и усилий самонатяжения, найденных из расчета статически не-
определимой системы с подобранными сечениями.
Наиболее металлоемким элементом комбинированных ванто-
вых систем является балка жесткости, поэтому расход металла
на нее в значительной мере предопределяет экономичность всей
конструкции. При распределении усилий это заставляет обра-
тить внимание прежде всего на наиболее полное использование
несущей способности балки жесткости.
Считается, что наивыгоднейшей является балка, эпюра рас-
хода материалов которой наиболее соответствует эпюре усилий.
56
Однако в этом случае балка получается переменного поперечно-
го сечения, причем изменение поперечных размеров, как прави-
ло, происходит несколько раз в пределах одного геометрического
элемента, например панели, пролета и др. Это повышает тру-
доемкость изготовления конструкции, усложняет монтаж, поэто-
му во многих случаях оказывается целесообразным применять
балки постоянного или ступенчатого (в пределах одной панели
балка имеет постоянное сечение, которое меняется в следующей
и т. д.) сечения.
При постоянном сечении размеры последнего обычно подби-
раются по максимальным усилиям, действующим в одном ка-
ком-либо (решающем) сечении, а другие участки балки остают-
ся недонапряженными. При ступенчатом сечении решающее
сечение имеется в каждой панели.
Вопросы повышения эффективности использования материа-
ла балки в настоящей работе решаются следующим образом.
В балке постоянного сечения искусственным регулированием
усилий повышается число решающих сечений и напряжения в
них достигают заданных величин, равных друг другу. Решаю-
щее сечение при этом удается создать в каждой панели.
В балке ступенчатого сечения в пределах каждой панели или
по всей длине балки удается выравнять между собой величины
пролетных и опорных изгибающих моментов (балка жесткости
комбинированных вантовых систем может рассматриваться как
неразрезная на жестких и упруго-податливых опорах и по ана-
логии с последней изгибающий момент в месте крепления ванта
условно назовем опорным моментом, а максимальный изгибаю-
щий момент на участке между узлами — пролетным моментом).
Вследствие различия величин продольных сжимающих сил в
каждой панели балки поперечное сечение ее меняется от панели
к панели, сохраняя напряжения в решающих сечениях (в каж-
дой панели их два) равными любой заданной величине.
Задача определения полных усилий в лишних связях, соот-
ветствующих заданному распределению внутренних усилий, ре-
шается в предположении справедливости следующих предпосы-
лок: расчет ведется в пределах упругости; в расчете исходим из
недеформированного состояния конструкции; условия прочности
приняты по нормальным напряжениям, максимальные величины
которых от заданных нагрузок в сечениях системы приравнива-
ются к расчетным сопротивлениям материалов. При необходи-
мости можно вести расчет и по допускаемым напряжениям. Вли-
яние касательных напряжений на несущую способность балки
жесткости не учитывается; сжато-изогнутая балка жесткости
закреплена от потери устойчивости из плоскости.
Как видно, эти предпосылки соответствуют тем допущениям,
которые обычно принимаются при решении многих задач стро-
ительной механики.
57
Балка жесткости независимо от типа конструкции и формы
сечения рассматривается как сплошной стержень. Ее конструк-
тивные особенности учитываются при помощи ядрового расстоя-
W
ния Р=}Г (отношение момента сопротивления к площади попереч-
ного сечения балки жесткости), величиной которого следует за-
даваться предварительно. Площадь сечения балки можно запи-
сать исходя из формулы Ясинского так:
=	+	(Ш. I)
р/?2	ср/?2
где i — номер панели балки или промежуточного ванта консоль-
ной вантовой системы, слева от которого расположена рассмат-
риваемая панель; и — изгибающий момент и продольная
сила, действующие в i-той панели; — расчетное сопротивле-
ние материала балки жесткости; <р—коэффициент продольного
изгиба панели.
Использование в расчете приближенной формулы (III. 1) вы-
звано тем, что она дает возможность выразить площадь сечения
изгибаемого элемента в линейной зависимости от неизвестных.
А это позволяет использовать при решении простые вычислитель-
ные методы. Заметим, что формула (III. 1) хорошо согласуется
с более точными формулами и опытными данными.
Следует отметить, что значения величин р и <р несущественно
влияют на конечный результат решения задачи. Так, изменение
величины р на 200% изменяет конечные величины расчетных
усилий в элементах системы на 1,6—2,6%. Таким образом, при
подборе сечений можно принимать необходимые значения р и ср,
не повторяя расчет снова.
Задача оптимального проектирования предварительно напря-
женных комбинированных вантовых систем с заданной геомет-
рической схемой и схемой нагрузки решается при условии выпол-
нения требований о наименьшем объеме (стоимости) металла
конструкции в соответствии с заданным распределением внутрен-
них усилий и о равенстве наибольших нормальных напряжений
в элементах конструкции, а также в решающих сеченйях балки
жесткости расчетным сопротивлениям материалов.
Ход расчета состоит из следующих этапов.
Выбираем статически определимую основную систему и оп-
ределяем в ее элементах усилия от единичных значений усилий
в лишних связях и от заданных внешних нагрузок. Основная сис-
тема может быть выбрана любой. Ниже в качестве основной си-
стемы выбрана однопролетная балка, опирающаяся на две опо-
ры (рис. 19, а).
Определяем оптимальные значения полных усилий в лишних
связях. Способы нахождения этих усилий являются основным
содержанием настоящей главы и рассмотрены ниже.
58
Вычисляем расчетные усилия и подбираем сечения элементов
статически неопределимой системы по известным значениям пол-
ных усилий в лишних связях.
Определяем усилия самонатяжения в статически неопредели-
мой системе с подобранными площадями обычными методами
Рис. 19. К выбору основной системы:
а — основная система для определения полных усилий; б —основная система
для определения усилий самонатяжения.
строительной механики, например методом сил. Основная систе-
ма при этом может быть принята отличной от основной системы,
выбираемой для определения полных усилий. Наиболее целесо-
образно в качестве лишних неизвестных принимать моменты,
действующие в узлах балки, по ее оси (рис. 19, б).
Находим усилия предварительного напряжения по формуле
(II. 14)
у ____ у __ у
лпн( i лсн (•
Определяем начальную нагрузку (интервал работоспособно-
сти системы).
Ниже рассматриваются случаи отыскания оптимального рас-
пределения усилий на примере консольных вантовых систем и
шпренгельных балок. Эти системы наиболее распространены в
промышленном строительстве, в частности в конструкциях по-
крытий и перекрытий, и поэтому вызывают наибольший, на наш
взгляд, интерес. Однако предлагаемый метод расчета может
быть успешно применен практически в любой комбинированной
системе.
§ 2. КОНСОЛЬНЫЕ ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ С ЗАДАННОЙ
геометрической схемой
Многократно статически неопределимая предварительно на-
пряженная консольная вантовая система может быть спроекти-
рована с балкой жесткости постоянного (случай 1) и переменно-
го по длине консоли (случай 2) поперечного сечения. При этом
нагрузка на систему может быть постоянная, переменная и под-
вижная.
59
Расчет на постоянную нагрузку
20,а). Требуется определить полные
Рис. 20. п раз статически неопределимая
консольная вантовая система:
а — геометрическая схема; б — основная система;
в — эпюры изгибающих моментов и продольных
сил в балке жесткости.
Случай 1. Рассмотрим п раз статически неопределимую кон-
сольную вантовую систему с заданной геометрической схемой,
загруженную равномерно распределенной нагрузкой q (рис.
усилия в промежуточных
вантах, дающие такое рас-
пределение усилий в бал-
ке жесткости, которое по-
зволит спроектировать
балку постоянного сече-
ния при условии наимень-
шего объема (стоимости)
всей конструкции.
В качестве лишних
связей принимаем п про-
межуточных вант. Заме-
няя их действие неизвест-
ными полными усилиями
X, , получим основную си-
стему— балку, которая
опирается с одной сторо-
ны на опору, а с другой —
на крайний вант и загру-
жается равномерно рас-
пределенной нагрузкой q
и силами X (рис. 20, б).
Определив усилия в
элементах статически оп-
ределимой основной сис-
темы от действия внеш-
ней нагрузки и единичных
сил в промежуточных вантах, найдем значения усилий в решаю-
щих сечениях балки жесткости. Для определения величин опор-
ных моментов вычисляются ординаты грузовой (от q) и единич-
ных (от Х[ =1) эпюр изгибающих моментов в местах крепления
промежуточных вант. Тогда выражение опорного момента можно
записать так:
Mml = MliX1 + M2iX2+ . . . + MniXn + Mpl. (III. 2}
Положение максимальных пролетных моментов пока не из-
вестно, поэтому в первом приближении можно принять, что в
крайней левой панели максимальный момент расположен на
расстоянии 0,4 а от левой опоры, а в других панелях — в сере-
дине. Вычислив соответствующие ординаты эпюр изгибающих
моментов, запишем
^npi — Л1пР1;Х1+Л1пр2Л2+ • • • +-^прлЛ + ^nppi- (III. 3)
60
Аналогично определяются и значения продольных сил в пане-
лях:
Ni = NliX1+N2iX2 + . . . +NniXn + Npi. (III. 4)
В приведенных формулах i — номер панели балки жесткости,
считая от опоры; Mpi, Mnp.Pi, Npi — ординаты грузовой эпюры
изгибающих моментов и продольных сил в соответствующих се-
чениях;	Afnpn4-Afnp«z ; Nu-^Nnl—ординаты единичных
эпюр изгибающих моментов и продольных сил в тех же сече-
ниях; Х\-т-Хп — полные усилия в промежуточных вантах.
Для отыскания полных усилий в промежуточных вантах,
при которых реализуются условия задачи, воспользуемся сим-
плекс-методом линейного программирования. В качестве целе-
вой функции может быть принято выражение объема или стои-
мости металла системы.
Объем металла всей системы записываем как сумму объемов
отдельных ее элементов (промежуточных и крайнего ванта,
балки жесткости, пилона, оттяжки). Если система поддержива-
ющих вант решена более сложно, естественно, при вычислении
объема металла системы следует учесть и остальные дополни-
тельные элементы. Так как балка жесткости проектируется по-
стоянного сечения, объем ее вычисляем как произведение пло-
щади одного из сечений на длину вылета консоли
УБ = ф6ДгА.
Здесь ф6 — конструктивный коэффициент, учитывающий расход
металла на узлы балки.
Площадь балки жесткости определяется по (III. 1). При за-
данных длинах панелей невозможно добиться равенства напря-
жений во всех решающих сечениях балки при условии сохране-
ния постоянными ее поперечных размеров. Это объясняется тем,
что величины продольных сил, постоянные в пределах одной
панели, меняются в следующей. Соответственное этому измене-
ние величин изгибающих моментов может быть достигнуто, но
без соблюдения равенства опорных и пролетных моментов в
каждой панели. Другими словами, только в одном из решающих
сечений панели можно добиться повышения напряжений до не-
которой заданной величины при условии равенства их напряже-
ниям аналогичных сечений соседних панелей.
Примем в качестве решающих опорные сечения и вычисляем
значения опорных площадей. Для пролетных сечений примем
условие, что (А4Пр/)<(-^оп;)  Следует иметь в виду, что опорные
моменты и сжимающие продольные силы, вычисленные соответ-
ственно по (III. 2) и (III. 4), имеют отрицательные значения. При
определении площадей поперечных сечений перед этими выра-
жениями необходимо поставить знак минус, то есть
Foni=~^oni +	.	(HI. 1а)
61
Подставив в (III. la) значения усилий (III. 2) и (III. 4), по-
лучим для 1-го опорного сечения
Foni =	) X2 - . . .
\ p/?2	T#2 }	\ ?Rz <?/?2 /
I M„;	Nni \	I Mni	NBi \
. . . -	+ -^-\Xn-—^ +	. (III. 5)
\ ?R2	<?R2 }	\ ?R2	<fRt J
Площади пилона и других жестких элементов, которые мо-
гут быть введены в вантовую систему, находятся как площади
центрально сжатых стержней
_ Л7
Fn—iT’	(Ш-5а)
(причем коэффициентом продольного изгиба при заданных дли-
нах элементов можно задаться). Rn— расчетное сопротивление
материала пилона. Усилие в пилоне, входящем в основную си-
стему, определяется из решения статически определимой сис-
темы
ЛГп = ^пЛ1 +V2+ • • • +NnnXn+Nnp. (III. 6)
Площади сечений гибких элементов определяются аналогично
площадям поперечных сечений элементов вантовых ферм. Рас-
четными усилиями в промежуточных вантах являются полные
усилия Х1-^-Хп . Усилие в крайнем ванте
• • • +5крлХл + 5крр. (III. 7)
В формулах (III. 6) и (Ш. 7) Nnl и N„ , SKpi и SKpp — соот-
ветственно усилия в пилоне и крайнем ванте от единичных уси-
лий в промежуточных вантах и от внешней нагрузки.
Умножая площади поперечных сечений элементов на длины
их и соответствующие конструктивные коэффициенты, получим
объемы отдельных элементов, просуммировав которые, найдем
объем всей системы. При этом считаем, что все гибкие элементы
выполнены из одного материала с расчетным сопротивлением Ri,
удельным весом тд и стоимостью единицы веса сь Все жесткие
элементы имеют соответственно R2, ~(2, с2-
, Уп1п V4 X;l:	SkoIkV
v= ф^опЛ 4- фв— + ф/	+ Фир —, (Ш. 8)
Z=1
где /п, /г, /кр — длины пилона, промежуточных и крайнего вант.
Теперь, подставляя в(III.8) значения усилий в элементах
и отбрасывая в них свободные члены, не зависящие от перемен-
ных Xt и не влияющие на их величины, получим выражение
целевой функции — объема металла системы:
Z __ /_ ФбМц£ФбУиГ. ______ фпУщ^п । Ф1£1
\	р/?2	<?R2	<?nR2 Ri
62
Фкр-^кр^кр
Фл^л
Фб^лЛ _
p^2
ФкрЗкрЛ^кр
R1 Г1п
Фб^Л!^-	Фп^пл^п
?/?2	?п/?2
(III. 9)
Целевая функция — стоимость металла системы — имеет вид:
i=i
МзФбМ,,-/-
р/?2
Ri
с2Т2Фб^1/^ ___
Т^2	?п^2
с1Т1Фкр-$ крг^кр \
' Ri }1'
(III. 10)
Система ограничений, в результате решения которой нужно
определить величины полных усилий в лишних связях, миними-
зирующие целевую функцию (III. 9) и (III. 10), в данном случае
составляется в виде смешанной системы, состоящей из уравне-
ний и неравенств. В случае смешанной системы задача линей-
ного программирования формулируется так. Среди решений си-
стемы:
ац*1 + . . . +ainxn<at (t = l. . . ., г)
• • • +atnxn = al (Z = r+1, . . ., т)
Xj > 0, . . .,	> 0 (s < «)	(III. 11)
найти то, которое максимизирует (минимизирует) линейную-
форму
Z = Ptx. + ... + Рпхп.	(III. 12)
Ограничения — неравенства из (III. 11) записываются в виде:
У/=-(апх1+ • • • + ainxn) + аг > 0 (i= 1, . . ., г),
а ограничения — уравнения в виде 0-уравнений
0 = — (в(Л+ • • • + аглх„) + a;(f = r+ 1, . . ., т}.
Геометрический смысл этой задачи такой же, как и основной
задачи линейного программирования с системой ограничений,
составленной только из неравенств. Поэтому для дважды стати-
чески неопределимой консольной вантовой системы рекоменду-
ется графический способ решения (см. пример 4).
Как видно, целевая функция в нашем случае (III. 9) или
(III. 10) идентична выражению (III. 12). Систему ограничений
составят линейные уравнения и линейные неравенства, которые
надо записывать с учетом выполнения условий поставленной за-
дачи.
Так как балка жесткости проектируется с постоянным попе-
речным сечением, выражения площадей опорных сечений, следо-
63
вательно, должны быть равны между собой. Этого же требует
выражение целевой функции, в которое вошло только значение
площади 1-го опорного сечения, умноженное на всю длину балки
жесткости. Поэтому в систему ограничений должны войти (м—1)
уравнений FOnl — FOn(»+i> = 0, которые получаются в резуль-
тате приравнивания попарно друг другу значений Fonl , вычис-
ленных по (III. 5).
Чтобы пролетные сечения не оказались больше опорных, вве-
дем ограничения в виде Л1пр;< —Моп1 , которые перепишем
так:
-^ont	О-
Еще одна группа ограничений получается из условий работо-
способности гибких элементов.
Таким образом, система ограничений имеет вид:
Fon; Fопц+1) = 0;
Moni
5кр > 0;
Х;>0(/ = 1, . . ., п).	(III. 13)
Раскрыв значения величин, входящих в ограничения, и вы-
разив их через переменные Х{ , перейдем к смешанной системе
ограничений типа (III. 11):
, Г -^; + ^+1)
р/?2
~ ~Mpi + Mp^+i)
Р/?2
Moni ^npi------ (^li Н- -Mnpl/) Xt • • • (Мл1 + А4прл/) Хп
- {Mpl +	> 0;
^кр = SkpjA'] + 5кр2^2 + • •  + ^крл^л + >^крр > О
Х{ > 0, . . . ,	> 0.
Решение системы линейных уравнений и неравенств (III. 14)
при условии минимизации значения целевой функции (III. 9)
или (III. 10) дает величины неизвестных полных усилий в проме-
жуточных вантах
хх, хг, . . . , хп.
Прежде чем считать их окончательными, следует определить
положение и найти величины пролетных моментов, чтобы про-
верить правильность расчетных предпосылок.
64
Абсциссы максимальных пролетных моментов, найденные из
условия равенства нулю перерезывающих сил в пролетных се-
чениях панелей:
Va + X X'i
bk =-------,	(Ш. 15)
q
где /г = 2, 3,..., п.
Максимальные пролетные моменты:
/	*-* V
Иа + S *1	£
-----2^x\at	(III. 16)
1=1
(£ = 2, 3, ...,«),
ql A ,/ аЛ
где Vа=~^ — Zj Х(|1—	—вертикальная реакция в левой
опоре балки жесткости; at — расстояние от левой опоры до
i-ro ванта; Х\ —вертикальные составляющие полных уси-
лий Xt .
Если полученные по (III. 16) значения пролетных моментов
не нарушили неравенства — Л10п,.—Л1пр; > 0, то расчет считаем
окончательным, а значения неизвестных—оптимальными. В про-
тивном случае следует записать выражения Л1пр/ по (III. 3), оп-
ределив ординаты грузовой и единичных эпюр изгибающих мо-
ментов с абсциссами, вычисленными по (III. 15).
Подставив новые значения пролетных моментов в неравен-
ства системы ограничений, повторяем расчет и находим опти-
мальное решение.
Полученные значения неизвестных Хь Х2,..., Хп дают воз-
можность определить расчетные усилия во всех элементах си-
стемы и подобрать сечения. Сечения промежуточных вант под-
бираются по полным усилиям в них.
Особенность расчета по изложенной выше методике заклю-
чается в том, что усилия самонатяжения, определенные из рас-
чета статически неопределимой системы с подобранными сече-
ниями при полной нагрузке, оказываются близкими к полным
усилиям, найденным симплекс-методом. Усилия предварительно-
го напряжения при этом приближаются к нулю.
5—23
65
Таким образом, в статически неопределимую систему с най-
денным соотношением жесткостей элементов, нагруженную на-
грузкой постоянной схемы (но переменной величины), можно во-
обще не вводить предварительное напряжение. Ненапряженная
система является оптимальной с некоторой степенью точности
за счет правильного подбора поперечных сечений ее элементов.
Чтобы обеспечить в системе заданное распределение усилий
(полные усилия в промежуточных вантах при полной нагрузке),
необходимо ввести предварительное напряжение лишних связей
(в нашем случае промежуточных вант). Так же, как и в ванто-
вых фермах, усилия предварительного напряжения находятся
как разности полных усилий и усилий самонатяжения.
Для определения Хсн/ решаем статически неопределимую
систему с подобранными площадями поперечных сечений эле-
ментов.
Основную систему при этом удобнее выбирать иную, чем для
нахождения полных усилий (см. рис. 19, б). Определив значения
лишних неизвестных (изгибающих моментов в узлах крепления
промежуточных вант), находим усилия самонатяжения Хси; в
промежуточных вантах, а затем по (II. 14) и усилия предвари-
тельного напряжения ХПИ(- .
Теперь определим ту начальную нагрузку, которая позволит
создать в системе предварительное напряжение. Необходимость
в этом возникает потому, что усилия предварительного напряже-
ния действуют в направлении, противоположном направлению
действия внешней нагрузки, и в ненапряженном крайнем ванте
при этом возникают сжимающие усилия, которые могут быть по-
гашены лишь приложением некоторой начальной нагрузки. Если
схема этой нагрузки совпадает со схемой полезной нагрузки, то
можно говорить, что система работоспособна в некотором интер-
вале нагрузок (см. главу II, § 1). Величина начальной нагрузки,
в которую входит и собственный вес балки, определяется из
условия работоспособности крайнего ванта, сжатого усилиями
предварительного напряжения, или из условия равенства нулю
момента всех сил относительно опоры, что дает одинаковый ре-
зультат:
п
---->	(Ш. 17)
где Хпи1 — вертикальные составляющие усилий предваритель-
ного напряжения Хпи,- .
Указанный способ определения начальной нагрузки приме-
няем при условии Упи;> 0, т. е. в случае Хси1^Х1.
Если величины усилий самонатяжения оказываются больше
величин полных усилий, то усилия Хт1 принимают отрицатель-
ные значения. Так как создание сжимающих усилий в вантах
66
представляет определенную трудность (необходимо длину ванта
увеличить на величину относительного удлинения его от этого
усилия), рекомендуется иной способ, основанный на том, что
начальная нагрузка, будучи приложенной к основной статически
определимой системе, не оказывает влияния на величины Хсн/ в
статически неопределимой системе. Усилия самонатяжения воз-
никают только от полезной нагрузки. Балка жесткости при этом
должна быть проверена на начальную нагрузку как однопролет-
ная балка.
Для каждого ванта, имеющего отрицательное значение уси-
лия Хпн; , вычисляется величина части полной расчетной нагруз-
ки q, которая соответствует значению усилия самонатяжения,
равному по абсолютной величине Хпн/:
^соотв = 2^ q	(Ш. 18j
У CHi
В качестве начальной нагрузки принимаем наибольшую ве-
личину дсоотв , вычисленную по (III. 18). Тогда окончательные
усилия предварительного напряжения с учетом приложения на-
чальной нагрузки будут
(л___лнач \
4 хсп1 > 0. (III. 19)
Я /
Для того ванта, по условию работоспособности которого приня-
та используемая в (III. 19) величина днач , усилие Хпн; равно
нулю, для других — величины усилий предварительного напря-
жения больше нуля. Систему с окончательными усилиями JVnH/
следует проверить также по формуле (III. 17).
В случае действия на консольную вантовую систему постоян-
ной нагрузки иной схемы расчет ведется аналогично изложенно-
му выше, однако возможны некоторые отклонения, о которых
следует предупредить.
1.	При выборе основной системы, в которой полными усилия-
ми заменяется действие любых (а не только промежуточных)
п вант (рис. 21), расчет принципиального отличия от изложен-
ного не имеет. Балка жесткости
представляет собой в этом случае
однопролетную балку с консолью.
Объем (стоимость) ванта, входя-
щего в основную систему, и усло-
вие его работоспособности вклю-
чается в целевую функцию (III. 9) рис 21. Произвольно выбранная
ИЛИ (III. 10) и В систему ограни- основная система для определения
чений (III. 13) вместо объема или	полных усилий,
стоимости и условия работоспо-
собности крайнего ванта, полное усилие в котором является в
этом случае неизвестной величиной.
67
2.	При решении смешанной системы ограничений (Ш. 13)
возможен случай отсутствия решения (факт несовместности си-
стемы). Это значит, что полное усилие в одном или нескольких
вантах получает отрицательное значение (Х; <0). Тогда необхо-
димо ввести в конструкцию пригруз неизвестной величины X(«+i)
и приложить его к балке жесткости в месте крепления того
ванта, для которого не удовлетворяется условие его работоспособ-
ности. Дополнительное неизвестное следует включить и в целе-
вую функцию, и в ограничения системы (III. 13).
3.	Если в результате решения одно или несколько неизвест-
ных окажутся равными нулю, то ванты, в которых действует ну-
левое усилие, можно убрать из вантовой системы. Степень ста-
тической неопределимости снижается, естественно, на число от-
брошенных вант.
4.	При неравномерных и сосредоточенных внешних нагруз-
ках усилия самонатяжения в одном или в нескольких вантах мо-
гут принять отрицательное значение. Тогда усилия предвари-
тельного напряжения вант больше полных усилий, по которым
был произведен подбор сечений. В этом случае необходимо про-
извести корректировку сечений, подобрать их по величине Хпн;
и вновь определить усилия самонатяжения и предварительного
напряжения. Корректировка ведется аналогично корректировке
сечений при расчете вантовых ферм.
Случай 2. При проектировании балки жесткости переменного
по длине консоли поперечного сечения задача отыскания полных
усилий в лишних связях решается значительно проще.
В этом случае равенство напряжений во всех решающих се-
чениях балки может быть достигнуто при соблюдении равенства
пролетных и опорных моментов в пределах одной панели. Пло-
щадь поперечного сечения будет меняться от панели к панели,
так как величины изгибающих моментов и продольных сил в
каждой панели различны.
Выбрав основную систему и определив усилия в ее элементах
и решающих сечениях балки жесткости, запишем условия
Mnpi =—Moni . Из этих выражений составим систему линейных
уравнений
Моп/ + Мпр/ = 0.	(III. 20)
Система п уравнений (Ш.20) с п неизвестными полными уси-
лиями имеет единственное решение, так как определитель ее ра-
вен 0. Это говорит о том, что полученные в результате решения
значения неизвестных являются оптимальными, ибо только эти
величины Xt дадут заданное распределение усилий в системе.
Дальнейший расчет ведется так же, как и в случае 1: прове-
ряем положение максимальных пролетных моментов, при необ-
ходимости корректируем расчет в зависимости от уточненных
68
значений Alnpi , подбираем сечения и определяем усилия само-
натяжения, а затем и предварительные напряжения.
Недостатком этого метода определения полных усилий явля-
ется то, что опорный момент в &-ой панели иногда может ока-
заться больше величин изгибающих
моментов в (/г+1)-ой панели, то есть
ПрИ  Л1оп(й+1) ~ М пр(А +1)	+
>Л1пр(4+1) . Тогда площадь сече-
ния (/г + 1)-ой должна подбирать-
ся по усилиям Моп/г и N(k+i) , что
приведет к недонапряжениям в ре-
шающих сечениях (£ + 1)-ой панели.
Во избежание этого можно, во-пер-
вых, изменить сечение не в месте
крепления промежуточных вант, т. е.
не в конце каждой панели, а в месте,
где момент возле /г-ой опоры равен
Af оп(*-ь1> (рис. 22). Во-вторых, при
составлении системы уравнений
(III. 20) можно для этой панели
приравнять значения Моп/г и М nP(4+i)
Рис. 22. Изменение поперечного
сечения балки жесткости для
случая 2.
Тогда недонапряженным останется только одно сечение — в ме-
сте действия опорного момента Л10п(*+1) .
Эта задача может быть решена также с помощью симплекс-
метода линейного программирования. Целевая функция — объ-
ем или стоимость системы — составляется аналогично целевой
функции для случая 1 с той лишь разницей, что объем или стои-
мость балки жесткости представляет собой сумму объемов (сто-
имости) отдельных панелей
П 4" 1
1^6 == 2 Фб/^’опХпанй
<=1
где /„ан, — длина t-ой панели балки жесткости.
Система ограничений содержит все неравенства системы
(III. 13), а вместо ограничений — уравнений вводятся неравен-
ства типа Fonl > /’опц+i) , выражающие условие уменьшения
площадей поперечных сечений балки от опоры к ее концу. Для
этого также необходимо записать условие Fonn > Fnp{n+i) , огра-
ничивающее площадь последней (п+1)-ой панели, так как на
конце консоли нет момента. Накладываются ограничения и на
знак пролетных моментов Mnpi> 0.
В результате система ограничений для определения полных
усилий в лишних связях имеет вид:
FOni	Fon(t+i) О’
Дэ Пл ' -/*Пр(л + 1)	В,
— Л1оп; — Л1пр; > 0;	(III. 21)
мпр1 > 0, SKp > 0;
Хг>0.
69
Пример 3. Консольная вантовая система, геометрическая схе-
ма которой показана на рис. 23, загружена равномерно распре-
деленной нагрузкой <7=1 т/м. Требуется определить необходимые
полные усилия в промежуточных вантах, подобрать сечения эле-
ментов конструкции, найти усилия предварительного напряже-
ния и необходимую начальную
нагрузку при условии проекти-
рования балки жесткости по-
стоянного поперечного сечения.
Расчетное сопротивление и мо-
дуль упругости материалов —
балки жесткости и пилона:
а
Рис . 23. к примеру 3:
а—схема 4-раза статически неопредели-
мой консольной вантовой системы; б — ос-
новная система; в — эпюры изгибающих
моментов и продольных сил в балке жест-
кости.
7?2 = 2100 кг/см2, £2 = 2,1 • 106
кг/см2-, вант: = 10000 кг/см2,
£i = l,8’ 106 кг/см2. Коэффици-
ент продольного изгиба участ-
ков балки §9 —0,8. Принимаем
балку жесткости трубчатого се-
чения с р=0,2 м.
Выбрав основную систему
(рис. 23, б), определим усилия
в ее элементах от внешней на-
грузки и единичных сил Xt =1.
Вычисляем ординаты опорных
и пролетных моментов и про-
дольных сил в балке жесткости
и заносим полученные данные
в табл. 9. Ординаты пролетных
моментов принимаем в первой
панели на расстоянии 8 м от
левой опоры, а в остальных —
по середине панели.
Опорные моменты вычисля-
ем по формуле (III. 2):
Л40П1 = 800 — 13,31^ - 7,2Х3 — 3,578?Г3 - 1,4О4Х<;
Л10П2 = 1200 — 9,982^ - 14,4^V2 — 7,156JV3 - 2,808?Г4;
Моп3 = 1200 — 6,654А\ - 9,6Х2 - 10,734Х3 - 4,212Х4;
Л4ОП4 = 800 - 3,326А\ - 4,8Х2 - 5,368JV3 - 5,616Х4.
Пролетные моменты по (III. 3):
7Ипр1 =368 - 5,324А\ - 2,88?Г2 - 1,4312Х3 - 0,561
Л4пр2 = 1050 - 11,646^ - 10,8?Г2 - 5,367^ - 2,106А\;
Л4прз = 1250 - 8,318А\ - 12,0JVa - 8,945?Г3 — 3,51JV4;
>Ипр4 = 1050 - 4,99^, — 7,2Хг - 8,051^ — 4,914^.
70
Элемент		Л1, N	Усилия в основной системе от				
			Х,=1	Х3=1	Хз=1	х,=1	0=1 Т 1м
Панель	1	•Моги МПр1	-13,31 -5,324 0	—7,2 —2,88 0	—3,578 -1,4312 0	—1,404 -0,5616 0	800 368 -166,67
	2	М ОП2 Пр2 "э	—9,982 —11,646 0,5546	-14,4 —10,8 0	—7,156 —5,367 0	-2,808 -2,106 0	1200 1050 —166,67
	3	410пз •Мцрз ^3	-6,654 —8,318 0,5546	-9,6 —12,0 0,8	—10,734 —8,945 0	-4,212 -3,51 0	1200 1250 -166,67
	4	Л1оп4 М пр4 Л^4	-3,326 	1 QQ 0^5546	—4,8 —7,2 0,8	—5,368 —8,051 0,8944	-5,616 -4,914 0	800 1050 —166,67
	5	41прг, К	—1,3304 0,5546	—1,92 0,8	—2,1472 0,8944	—2,2964 0,9364	368 —166,67
Край- ний вант		—	—0,579	-0,8353	—0,9339	-0,9777	174,04
Пилон		—	-0,6655	—0,24	-0,1789	-0,2809	-216,67
Таблица 9
Расчетные усилия от					1 Площадь попереч- ного сече- ния, см*
Х,=25,9046	Х3=33,0412	Ха=44,349	Х4=66,2195	Суммар- ное усилие	
—344,79 —137,916 0	—237,897 -95,159 0	-158,68 —63,472 0	—92,972 -37,19 0	-34,339 34,263 -166,67	188,4
-258,58 —301,685 14,367	-475,793 -356,845 0	—317,361 -238,02 0	—185,944 —139,458 0	—37,678 13,992 —152,303	
—172,369 -215,475 14,367	-317,195 -396,494 26,433	-476,042 —396,702 0	—278,916 —232,43 0	-44,522 8,899 —125,87	
-86,159 —129,264 14,367	-158,5 8 —237,897 26,433	-238,065 -357,054 39,666	-371,889 -325,403 0	-54,711 0,382 -86,204	
-34,463 14,367	—63,439 26,433	-95,226 39,666	—153,066 62,008	22,806 -24,196	
—14,999	—27,599	—41,4,17	—64,743	25,282	2,55
—17,239	—7,93	-7,934	—18,601	-68,374	159,75
Продольные силы по (III. 4)
Ni = - 166,67;
N2 = — 166,67 + 0,5546Xi;
N3 = - 166,67 + 0,5546Xx + 0,8?Г2;
Ni = - 166,67 + 0,5546Ai + 0,8^ + 0,8944X>.
Усилие в крайнем ванте по (III. 7):
5кр = 174,04 - 0,579^ - 0,8353?Г2 — 0,9339?Г3 - 0,9777Х4.
Усилие в пилоне по (III. 6):
Nn = - 0,6655^ - 0,24?Г2 - 0,1789Лз - 0,2809?Г4 — 216,67.
Определим площади опорных сечений (лс2) по (III. 1а):
Fonl =	--1----zJVi--= _ (0,19048 — 0,00317^ -
1	0,2 • 21000	0,8 • 21000	1
— 0,001715^ - 0,00085^ - 0,000334?Г4) - (- 0,00991) =
= 0,00317А\ + 0,001715JV2 + 0,00085^ + 0,000334^ — 0,180599;
Fon2 = 0,002344А\ + 0,00343Х, + 0,0011Х2 + 0,00067?Г4 — 0,27579;
Лшз = 0,001551 Xt + 0,00223^2 + 0,0025^ + 0,001 Х^ — 0,27579;
Л>п4 = 0,000759^ + 0,001 IX, + 0,001225Jf3 + 0,0013Х4 —0,18057.
Площадь пилона по (III. 5а):
F„------— = 0,0000396Х1 + 0,0000143Х2 + О,ОООО1О6Х3 +
0,8 • 21000	1	2	d
+ 0,0000167Х4 +0,0129.
Вычисляем объемы элементов системы. Объем балки жест-
кости
+ОП1/ = 0,317Х1 + 0,1715JV2 + 0,085Х3 + 0,0334Х4 - 18,0559.
/ Zi*i \
Определяем объемы вантов I Vt = j:
первого
	36,07%! 100000	= 0,0003607^;
второго	50Х2	_ — л плоя Y 
	100000	
третьего	67,08Х3	= 0,0006708^;
	100000	
четвертого	85,43Х4 100000	= 0,0008543Jf4.
72
Объем крайнего ванта
104,41SKO
-------= 0,1871 - О.ОООбА'. - 0,00087Х2 - 0,000975Х3 —
100000	1	2	3
— 0,0010208АГ4.
Объем пилона
Fah = 0,001188^ + 0,000429Х2 + 0,000318Х, + 0,000501^ +
+ 0,387.
Просуммировав объемы отдельных элементов системы, полу-
чим объем всей системы
0,31795^ + 0,17156JV2 + 0,085Х3 + 0,03373Х4 - 17,4818.
Отбрасывая свободный член, получаем выражение целевой
функции, которую необходимо минимизировать, что эквивалент-
но максимизации формы
z = - 0,31795^ - 0,17156Х, - 0,085?Г3 — 0,03373Х4.
Составляем систему ограничений (III. 13). Приравнивая по-
парно значения площадей опорных сечений балки, получаем 3
уравнения:
Лии — Л>п2 = 0,00311Хх + 0,001715^2 + 0,000852^ +
ч- 0,000334?Г4 - 0,18059 - 0,002344^ - 0,00343Х2 —
— 0,001704АГ3 - 0,000669АГ4 + 0.27579 = 0,000826^ -
— 0,001715^ - 0,000852^ — 0,000335^ + 0,09523 = 0.
Аналогично получаем еще 2 уравнения.
Составляем 4 неравенства вида — Л40п; —Л4пр/ > 0. Напри-
мер, для первой панели
- Л40п1 - Жпр1 = - 800 + 13,31	+ 7,2Лз+3,578Х3 + 1,404^—
— 368 + 5,324А\ + 2,88Х, + 1,4312^ + 0,5616^ =
= 18,634АГ, + 10,08^ + 5,0092^ + 1,9656^ - 1168 > 0.
Последнюю группу неравенств получим из условия, что уси-
лия в гибких элементах неотрицательны:
5кр > 0, Xt > 0.
Запишем систему ограничений и целевую функцию (табл. 10).
После решения задачи симплекс-методом получаем значения
неизвестных, минимизирующих целевую функцию:
Хх = 25,9046 т; ^ = 33,0412 т; Х3 = 44,349 т; ^ = 66,2195 т.
Строим эпюры изгибающих моментов и нормальных сил,
вычислив значения Moni , Л1пр( и Nt (рис. 24, в). Определим
положение и величину максимального пролетного изгибающего
момента в первой панели (в остальных панелях пролетные мо-
менты явно меньше опорных). Величина вертикальной реакции
однопролетной балки Va =8,2831 т. Тогда 61 = 8,2831 м.
V?
Л4пр1 = —= 34,3048 тм < 34,3397 тм.
73
Таблица 10
*$кр-^0	>1=
-Моги -Mnpi^-0	У 2 =
-Моп2 -Мпр2>0	У 3=
-М опз -М прз 0	У4 =
-Моги -Мпр4^0	У« =
F ОП1	FОП2 = ^	0=
F ОП2 ОПЗ“0	0=
? ОПЗ ОП4=^	0=
-Х3	-Х4	1
0,579	0,8353	0,9339	0,9777	174,04
—18,634	—10,08 -	-5,0092	—1,9656	-1168
—21,628	—25,2 -	-12,523	—4,914	—2250
—14,972	—21,2 -	-19,679	—7,722	-2450
-8,316	—12,0 -	-13,419	—10,53	—1850
—0,826	1,715	0,852	0,335	95,23
-0,793	—1,1916	0,852	0,334	0
0,792	1,143	1,332	—0,334	95,23
0,31795	0,17156	0,085	0,03373	0
Значения неизвестных можно считать окончательными. Площа-
ди опорных сечений по (III. 1 а) :
,	3433970
0П1	20 • 2100
166670
0,8 • 2100
= 180,9696 см2',
3767870
42000
F0П2
. 152303,3	1 ОЛ
-f--------= 180,36/9 СМ,
1680
F.	4452340_	Д25870Л, = 106 0081 + 74,9229 = 180,931 см2-,
3	42000	1680
5471050 	86204, 7 = 130,3631 +51,3123 = 181,5754 СМ2.
4	42000	1680
При р=0,2 м диаметр трубы 80 см. Толщина стенки t=
181,5754
==-у'14Г80-== 0’^228 см- Принимаем /=0,75 см.
Площадь сечения балки
F = vdt = 188,7 см2. W = 3768 см2.
Радиус инерции сечения
г = 0,353rfCp = 0,353 • 79,25 = 27,975 см.
. а 2000	е п о
Х = — =----------= 71,5; ф=0,8.
г 27,975	т
Напряжения в опорных сечениях балки близки к расчетному
сопротивлению. Например, для первого опорного сечения
3434000------16667Ю__ —эн Зб_|_цо4 07=2015,43 KzfcM2<R.
3768	0,8-188,7
* В таблице коэффициенты уравнений Fonl — fOn(t+i) = ® увеличены в
1000 раз.
74
Площади сечений вантов: 1-го — 2,6 см2; 2-го — 3,3; 3-го —
4,45; 4-го — 6,65; крайнего —2,55 см2.
Для определения усилий самонатяжения решаем статически
неопределимую систему с найденными площадями поперечных
сечений элементов методом сил и определяем усилия в проме-
жуточных вантах:
ХСн1 = 25,2808 т; +сн2 = 33,5531 т; Xcus = 44,6409 т;
%сн4 — 65,3168 т.
Усилия предварительного напряжения по (II. 14):
+,,,„ = 25,9046-25,2808 =	0,6238 т;
+„н2 = 33,0412-33,5531 = — 0,5119 т;
+„„3 = 44,349 — 44,6409 = - 0,2919 т;
+„„4 = 66,2195 —65,3168 = О',9027 т.
Определяем <?нач по условию постановки 2-го и 3-го вантов
ло (III. 18):
лнач 72	:	— °’5119' 1 ~	33,5531	= 0,01525	т/м\
лнач 7з	_ 0,2919 • 1 44,6409	- = 0,00654	т/М’,
Собственный вес	балки составляет дс°		= 0,148 т/м. Прини-
маем эту величину в качестве начальной нагрузки. Тогда вели-
чина полезной нагрузки <?пол =0,852 т/м.
Окончательные усилия предварительного напряжения по (III. 19):
+,,,„ = 25,9046 — 0,852 • 25,2808 = 4,3654 т;
+пн2 = 33,0412 - 0,852 • 33,5531 = 4,454 т;
+пиз = 44,349 -0,852-44,6409= 6,315 г,
+ПН4 = 66,2195 - 0,852 - 65,3168 = 10,5696 т.
Проверяем систему с окончательными усилиями предвари-
тельного напряжения по формуле (II. 17)
^нач = 0,148 т/м > —— (3,6316 • 20 + 2,6724-40 + 2,8241 • 60 +
1	1002
+ 3,711 • 80) =0,129 т/м.
Пример 4. Определить полные усилия в промежуточных ван-
тах графическим способом для дважды статически неопредели-
мой консольной вантовой системы (рис. 24), нагруженной рав-
номерно распределенной нагрузкой q = 2 т/м.
Решив статически определимую основную систему, запишем
выражение целевой функции
z = - 0,1563+f4 - 0,0551 Х2
75
и систему ограничений
У] = - Л40П1 - Л4пр1 = 16,638%, + 6%2 - 1300 > 0;
уг = - Мопг - Мпр2 = 13,865%) + 14%2 - 1700 > 0;
Уз = 5кр = - 0,62%! — 0,8944%2 + 134,1532 > 0;
У4 = Лии - лоп2 = - 1,3535%! + 0,9524%2 = 0.
В плоскости %i—Хг проводим прямые yi = 0, г/г = О и г/3 = 0,
каждая из которых делит данную плоскость на 2 полуплоскости.
В одной из них неравенства гл>0, г/2>0 и Уз- 0 удовлетворяют-
ся (они отмечены на рис. 25 штриховкой), в другой — нет. Точ-
ки, принадлежащие всем трем полуплоскостям (внутри много-
угольника), дают множество решений этих неравенств.
Прямая z/4 = 0 прошла в данном случае через начало коорди-
нат (в уравнении отсутствует свободный член) и пересекает
многоугольник У2—I—II—Уз- Таким образом, совместное реше-
ние всей системы неравенств расположено на прямой У4 в интер-
вале, ограниченном точками I и III. Проводим через начало ко-
ординат прямую z = 0. Координаты вершины многоугольника,
наименее удаленной от прямой г=0, дают оптимальное решение.
Координаты вершины /.
%! = 51,66 г; %2 = 73,42 т.
Пример 5. Определить полные усилия в промежуточных ван-
тах консольной вантовой системы (см. рис. 23) при условии про-
ектирования балки жесткости переменного сечения.
Записав выражения изгибающих моментов в балке жестко-
сти (см. пример 3), составим 4 уравнения:
- Моп1 - Л4пр1 = 18,634%, 4- 10,08%2 + 5,0092%3 + 1,9656%4 -
- 1168 = 0;
76
— Afon2 - Afnp2 = 21,628Х1 + 25,2Х2 + 12,523Х3 + 4,914Х4 -
— 2250 = 0;
- МОпз — Л4пРЗ = 14,972Х4 + 21,2Хг + 19,679Х3 + 7.722Х, -
— 2450 = 0;
— ТИОП4 - Л/пр4 = 8,316Л\ + 12Х2 + 13,419X3 + 10,53Х4—1850=0,
Решив систему из 4 уравнений с 4 неизвестными, получим
значения полных усилий в промежуточных вантах:
Хг = 26,8434 т; Х2 = 31,952 т;
Х3 = 45,3657 т; Х4 = 60,259 т.
Эпюра расчетных изгибающих моментов и продольных сил в
балке жесткости представлена на рис. 26.
Для качественной оценки экономической эффективности пред-
лагаемого метода расчета консольная вантовая система, пока-
занная на рис. 23, была рассчитана обычным методом. В ка-
честве критерия для сравнения был выбран объем металла
системы, что эквивалентно весу конструкции. Известно, что эко-
номия стали не пропорциональна снижению стоимости, так как
единичная стоимость (отпускная цена) разных сортов стали
различна и в зависимости от конъюнктурных условий может
значительно меняться. Однако снижение расхода материала
ввиду большой стоимости его, достигающей в настоящее время
50% от общих затрат на возведение сооружения, имеет сущест-
венное значение, так как, во-первых, высвобождает сталь для
других отраслей народного хо-
зяйства и, во-вторых, снижает
стоимость строительства.
Сравнение объемов системы,
рассчитанной различными спо-
собами, в данном случае явля-
ется тем более целесообразным,
так как геометрическая схема,
а следовательно, и число кон-
структивных элементов, приня-
ты одинаковыми для всех ва-
риантов расч’ета. Экономия до-
стигается только за счет умень-
шения размеров сечения.
Объем консольной вантовой
-166,67 -161,78 -126.22 -85,65-23,22
Рис. 26. Эпюры изгибающих момен-
тов и продольных сил к примеру 5.
системы, рассчитанной методом
сил, был принят за 100%. Разумеется, результат в этом случае
во многом зависит от того, насколько удачно (или неудачно)
были предварительно заданы жесткости элементов системы. Од-
нако эпюры усилий во втором варианте (пример 3) наглядно
демонстрируют достоинства предлагаемого метода. Балку жест-
кости принимали во втором варианте постоянного сечения и вы-
77
равнивали напряжения в ее опорных сечениях. Максимальной
продольной силе в этом случае соответствует изгибающий мо-
мент минимальной величины. По мере удаления от опоры вели-
чины продольных сил уменьшаются при одновременном увели-
чении значений изгибающих моментов. Благодаря более рацио-
нальному распределению усилий расход материала на балку
жесткости снизился почти на 20%. Снижение объема металла
вант (в данном случае около 10%) происходит за счет более
полного использования несущей способности стальных канатов.
В варианте 3 расчета балка жесткости принята ступенчатого
сечения (пример 5). Изгибающие моменты в решающих (опорных
и пролетных) сечениях каждой панели равны между собой. Как
видно на рис. 26, абсолютные значения последних ниже, чем в
варианте 2. Это обстоятельство обеспечивает снижение расхода
металла на балку по сравнению с вариантом 1 почти на 28%, а
по сравнению с 2 — на 19%. В то же время объем металла гиб-
ких элементов по сравнению с вариантом 1 почти не изменился
(снижение на 2%), а с 2— увеличился на 8%. Объем металла
всей системы, подсчитанный по варианту 3, приблизительно на
30% ниже, чем в варианте 1, и на 15% ниже, чем во 2-ом вари-
анте.
Следует отметить, что консольная вантовая система в вариан-
те 1 выполнялась ненапряженной, а в вариантах 2 и 3 — с ис-
пользованием предварительного напряжения лишних связей
(промежуточных вант). Однако дополнительные затраты на на-
прягающие устройства при сравнении вариантов не учтены.
Расчет на переменные и подвижные нагрузки
В процессе эксплуатации конструкции может изменяться не
только величина, но и схема внешней нагрузки.
При изменении схемы нагрузки, а также при действии под-
вижной нагрузки в отдельных сечениях балки жесткости в эле-
ментах основной системы усилия изменяются как по величине,
так и по знаку. Предлагаемый метод определения полных уси-
лий в промежуточных вантах основан на выборе наиневыгодней-
шей комбинации внешних нагрузок, при которой усилия в
системе принимают максимальные значения. Как и при постоян-
ной нагрузке, расчет ведется с помощью симплекс-метода линей-
ного программирования. Приведем расчет системы с балкой
жесткости постоянного поперечного сечения. Рассмотрим п раз
статически неопределимую систему, представленную на рис. 20.
Выбрав основную систему, найдем усилия в ней от единичных
сил Х; = 1 и от внешних нагрузок, занимающих различное по-
ложение. Пользуясь формулами (III. 3) — (III. 7), запишем выра-
жение усилий в решающих сечениях балки жесткости и в элементах
78
основной системы, которые содержат переменные свободные чле-
ны (Mpi , Mnppi , Npl , Nnpi , SKpp ). Величины свободных членов
этих выражений определены для каждой схемы приложения
внешней нагрузки.
Так как целевая функция — объем (III. 9) или стоимость
(III. 10) металла системы — не содержит свободных членов, то
ее значение не зависит от схемы приложения нагрузок. Это
позволяет принять целевую функцию одинаковой или разных
внешних нагрузок.
Для составления ограничений-уравнений необходимо знать
максимальную величину опорных изгибающих моментов в бал-
ке. Для выбранной основной системы значения ординат эпюр
изгибающих моментов от единичных сил отрицательны. Естест-
венно, максимальное по абсолютной величине значение Af0lU
достигается при наименьшей положительной величине Мр1, воз-
никающей в данном сечении от какого-либо положения нагрузки.
При этом следует иметь в виду, что для различных сечений
минимальные положительные значения Mpi могут возникать при
различных положениях нагрузки. Если в расчете учитывается
случай отсутствия нагрузки, то значения Мр1 заменяются
нулем.
Таким образом, при вычислении площадей опорных сечений
Foni в формулу (III. 2) следует подставлять либр наименьший
положительный свободный член Мр1 , либо нуль. В качестве
свободного члена выражения продольной силы Npi принимается
ордината грузовой эпюры продольных сил в данном сечении,,
соответствующая тому положению нагрузки, при котором вы-
брано значение Mpi .
Свободные члены ограничений-неравенств выбираются с та-
ким расчетом, чтобы неравенства удовлетворялись при любых
положениях внешней нагрузки. Для выбранной основной систе-
мы в органичениях типа —Л1оп; — Л4пр/ > 0 в качестве свобод-
ного члена необходимо принимать наибольшее по абсолютной
величине отрицательное значение —(Mpi + Mappi ), а в ограни-
чении SKp>0 — наименьшее положительное значение SK[lp . Для
случая отсутствия нагрузки величина SKpp заменяется нулем, а
для погашения сжимающих усилий, возникающих в крайнем
ванте от сил X,- , вводим пригруз величиной X„+i. Схема при-
груза может быть выбрана в виде равномерно распределенной
нагрузки (собственный вес балки), а в случае недостаточной
величины последнего — в виде сосредоточенной нагрузки, при-
ложенной в месте крепления крайнего ванта. Величину пригруза
Х„+\ следует учесть при определении усилий в основной систе-
ме и при составлении выражений целевой функции и ограниче-
ний (пример 6).
Таким образом, целевая функция и система ограничений при
расчете на переменные и подвижные нагрузки не отличаются от
79
выражений (III. 9), (III. 10) и (III. 13), записанных для расчета
консольной вантовой системы на постоянную нагрузку.
Полученные в результате решения задачи полные усилия в
лишних связях Xi соответствуют максимальным расчетным уси-
лиям в балке жесткости, возникающим при различных схемах
приложения внешних нагрузок. Каждой схеме нагрузки соответ-
ствуют и свои величины усилий самонатяжения Хсн; . В то же
время усилия предварительного напряжения в системе должны
быть постоянными. Следовательно, полные усилия, найденные
симплекс-методом, реализуются в конструкции попеременно и
при ограниченном числе положений внешней нагрузки. В других
случаях в вантах возникнут усилия, соответствующие выбранной
величине Лпн; и усилиям самонатяжения Лснг для каждой кон-
кретной схемы нагрузки.
Так как усилия предварительного напряжения пока неизвест-
ны, подбор сечений на первом этапе ведется по максимальным
расчетным усилиям в элементах системы в предположении од-
новременного действия всех полных усилий Хг, найденных сим-
плекс-методом. После этого, решив статически неопределимую
систему с подобранными площадями поперечных сечений эле-
ментов, определяем усилия самонатяжения промежуточных вант
для каждого положения нагрузки.
Усилия предварительного напряжения промежуточных вант
выбираются по следующему правилу:
1.	Если для i-го промежуточного ванта значения Лснг , най-
денные для всех случаев положения нагрузки, положительны и
Хг>А'СН1- , то усилия преднапряжения определяются как раз-
ность полного усилия Xj и наибольшего усилия самонапряже-
ния по формуле (II. 14).
2.	Если значения Хсн;> 0 и одно или несколько из них боль-
ше Xt, то усилие предварительного напряжения равно нулю.
3.	Если среди значений Хсн( имеются отрицательные и раз-
ность полного усилия Xt и наибольшего положительного усилия
самонатяжения меньше по абсолютной величине наибольшей
отрицательной величины Хснг , то последняя принимается в ка-
честве усилия предварительного напряжения.
Выбор величин Лпн; по пунктам 2 и 3 объясняется тем, что при
переменных или подвижных нагрузках нежелательно иметь спе-
циальную начальную нагрузку, дающую возможность обеспе-
чить отрицательные величины усилий предварительного напря-
жения.
Затем определяем значения соответствующих полных усилий
в промежуточных вантах для каждого положения нагрузки
^1 соотв = ^”пн i *сн I	(III. 22)
и находим расчетные усилия в элементах системы. При этом ве-
личину пригруза Ха+1 принимаем с таким расчетом, чтобы он
80
погасил наибольшее сжимающее усилие в крайнем ванте, воз-
никающее в последнем от какого-либо положения нагрузки,
включая случай отсутствия ее
п
У ^кр г^Осоотв
X (п+1) =	Ц-------------
^крОи-!)
(III. 23)
где 5Кр(Л+1)	— усилие в крайнем ванте (в основной системе) от
единичного пригруза.
Расчетные усилия в системе, определенные по новым величи-
нам полных усилий и пригруза, отличаются от ранее принятых,
поэтому необходимо произвести корректировку. По максималь-
ным усилиям снова подбираем сечения, находим Хсн/ и Хпн; .
Корректировку следует вести до тех пор, пока принятые сечения
элементов системы не будут соответствовать действующим в
них усилиям с требуемой степенью точности.
Пример 6. Консольная вантовая система, изображенная на
рис. 27, а, нагружена сосредоточенным грузом Р=5 т, который,
перемещаясь вдоль балки жесткости, может располагаться в точ-
ках 0—6. В точках 1, 3, 5 (в серединах панелей) возникают наи-
большие пролетные изгибающие моменты от внешней нагрузки.
Требуется подобрать сечения элементов системы с постоянной
балкой жесткости при условии минимума объема металла конст-
рукции и найти усилия предварительного напряжения. Расчет-
ное сопротивление и модуль упругости материала жестких эле-
ментов: 7?2 = 2100 кг/см2', £г = 2,1 • 106 кг/сж2; гибких элементов:
/?1 = 6000 кг/см2; £i = l,8- 106. Примем
р = 0,2 м, 9? = 0,8.
Определяем усилия в элементах ос-
новной системы (рис. 27, б) от единич-
ных сил Хг =1 и от подвижной нагруз-
ки, находящейся попеременно в точках
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и заносим данные в
табл. 11. Запишем выражения площа-
дей поперечных сечений элементов си-
стемы. Площадь первого опорного се-
чения балки вычисляем по усилиям,
действующим в случае расположения
нагрузки в точке 6, так как при этом
действует максимально возможный
опорный момент (свободный член ра-
вен нулю) и максимальная продольная
сила по (III. 1 а):
Рис. 27. К примеру 6.
11,092%!	,	4%2	,	2%3	10
0,2-21000	'	0,2-21000	+	0,8-21000	0,8-21000
= 0,002641 Xt + 0,0009524^2 + 0,00011905Х3 + 0,00059524.
6—23
81
Элемент		М, N			
			Х,-1	Х,=1	
	1	44Оп1 ^Пр1 N1	—11,092 —5,546 0	—4,0 —2,0 0	
Панель	2	Л^ОП2 ^ПР2	—5,546 —8,319 0,5546	-8,0 —6,0 0	—
	3	Мпрз	—2,773 0,5546	—4,0 0,8	—
Крайний вант		—	—0,62	—0,8944	
Пилон		—	-0,5546	—0,4	—
Таблица 11
Усилия в основной системе от
	груза в узле						
Х,=1	0	1	2	3	4	5	6
0	0	33,3333	66,6666	50,0	33,3333	16,6666	0
0	0	41,6666	33,3333	25,0	16,6666	8,3333	0
2,0	0	—1,6666	—3,3333	-5,0	-6,6666	—8,3333	—10,0
0	0	16,6666	33,3333	50,0	66,6666	33,3333	0
0	0	25,0	50,0	75,0	50,0	25,0	0
2,0	0	—1,6666	—3,3333	-5,0	-6,6666	—8,3333	-10,0
0	0	8,3333	16,6666	25,0	33,3333	41,6666	0
2,0	0	—1,6666	—3,3333	—5,0	-6,6666	-8,3333	-10,0
2,2361	0	1,8632	3,7281	5,5897	7,4529	9,3162	11,1794
1,0	0	—0,8333	-1,6666	-2,5	-3,3333	-4,1666	-5,0
Площадь второго опорного сечения (по случаю 6):
Л>п2 = 0,0012875%! + 0,0019048%2 + 0,00011905%3 4- 0,00059524.
Максимальное усилие в пилоне (по случаю 6) по (III. 6):
= - 0,5546%, - 0,4%2 - %3 - 5.
Площадь пилона при ^П = 0,85по (III. 5а)
р. _ 0,5546X1	!	0,4Х2	Х3___________5	_
п~ 0,85 - 21000 + 0,85-21000 ‘ 0,85-21000 ' 0,85 • 21000 “
= 0,000031 %! + 0,0000224%2 + 0,000056%3 + 0,0002801.
Максимальное усилие в крайнем ванте (по случаю 6)
5Кр = - 0,62%! — 0,8944%2 + 2,2361 %, + 11,1794.
Площадь крайнего ванта
р — 0,62X1__________0,8944Х2	2,2361Х3	11,1794 _
кр —	60000	60000	+	60000	60000 —
= — 0,0000103%! - 0,0000149%2 + 0,000389%3 + 0,0001863.
Площади промежуточных вант:
= 0,0000166%i;
60000
-^-= 0,0000166%2.
60000
Умножив площади сечений элементов на соответствующие дли-
ны, получим выражения объемов отдельных стержней системы,
сумма которых дает объем металла всей системы
z = 0,1593%i + 0,05765%2 + 0,011323%3 + 0,0565.
Выражение объема с отброшенным свободным членом, не за-
висящим от величин неизвестных, представляет собой целевую
функцию, величину которой необходимо минимизировать. Это
равносильно тому, что максимизировать выражение
— Z = - 0,1593%! — 0,05765%2 - 0,011323%3.
Составим теперь систему ограничений. Ограничение-уравне-
ние, выражающее условие равенства площадей опорных сече-
ний балки
%оп1 — ^оп2 = 0,0013535%, - 0,0009524%2 = 0.
Неравенство — Л40П1 —М npj > 0 составляется по второму слу-
чаю положения нагрузки
у, = 16,638%, + 6%2 - 100 > 0.
Неравенство —Л4Оп2—Л4пр2> 0 составляется по третьему
случаю
у2 = 13,865%! + 14%2 - 125 > 0.
Усилие в крайнем ванте будет наименьшим при 0 случае
(свободный член равен нулю)
Уз = - 0,62%! - 0,8944%2 + 2,2361%3 > 0-
6*
83
Запишем систему ограничений и целевую функцию:
—%!	— Х2 —1
Ос? t? II II II II	-16,638 —6,0	0	—100 —13,865 —14,0	0	—125 0,62	0,8944 —2,2361	0 1,3535 —0,9524	0	0
г—	0,1593 0,05765 0,011323	0
Решение системы:
Xi = 3,9737 г; Х2 = 5,6474 г; Х3 = 3,361 т.
Так как усилия предварительного напряжения пока неизвестны,
а следовательно, и неизвестны полные усилия, соответствующие
каждому положению нагрузки Р, первоначально производим
подбор сечений по полученным полным усилиям в лишних свя-
зях с учетом пригруза Х3. Для этого вычисляем расчетные уси-
лия в элементах системы (табл. 12). Определяем площадь сече-
ния балки жесткости по (III. 1а):
Г-	6656666	,	16722	, ГО -70 , ЛЛГО , РОЛОП
гоп| =	-----И------= 158,73 4- 9,953 = 168,683 см2-,
20-2100	0,8-2100
„ &72VTJQ .	14518,2 1СПЛЛП , О РЮ ICO СОЛ •>
Fon, =----------И -----— = 160,042 4- 8,642 = 168,684 см2.
2	20-2100	0,8-2100
При р = 0,2 м диаметр трубы d=80 см. Толщина стенки
, F 168,684 п с-71 с
t =----=----------— 0,6715 см.
r,d 3,14-80
Принимаем толщину стенки /=0,7 см, тогда
F = 175,84 см2, r = Q,^d^ = 27,9929 см.
Вычисляем гибкость панели балки
Х = -..2000 = 71,5; <р = 0,8.
27,9929	т
Принятый нами коэффициент продольного изгиба удовлетворяет
данное сечение.
Площади поперечных сечений промежуточных вант:
„	3973,7 п 9 с 5647,9	„ _ .	,
Л =-------— = 0,66 см2, F., =-------’— == 0,94 см2.
6000	"	6000
Площади остальных элементов записаны в табл. 12.
Решив статически неопределимую систему с подобранными
площадями поперечных сечений элементов, определим усилия в
84
	Эле- мент		Л1, N	от X,- -.3,97.37	от Л’.2 = «5,6474	от «3,361	
							0
	|	Панель	|	1	^ОП1 •^пр! К	—44,0769 —22,0385 0	—22,5896 -11,2948 0	0 0 -6,722	-66,6666 —33,3333 —6,7222
		2	Л^ОП2 Мпрг ^2	—22,0385 -33,0577 2,2038	—45,1792 -33,8844 0	0 0 —6,722	—67,2177 —66,9421 —4,5182
		3	М прз Л^З	—11,0192 2,2038	-22,5896 4,5179	0 —6,722	—33,6088 0
	Край- ний вант		__	—2,4637	—5,0518	7,5155	0
	Пилон		—	—2,2038	-2,259	—3,361	—7,8238
Таблица 12
Расчетные усилия от груза в узле						F, см‘
1	2	3	4	5	6	
—33,3333 8,3333 -8,3888	0 0 —10,0555	—16,6666 —8,3333 —11,7222	-33,3333 —16,6666 —13,3888	—50 —25 —15,0555	—66,6666 —33,3333 —16,7222	168,684
-50,5511 —41,9421 —6,1848	—23,8844 —16.9421 —7,8515	—17,2177 8,0579 —9,5182	-0,5511 —16,9421 —11,1848	—23,8844 —41,9421 -12,8515	—67,2177 -66,9421 —14,5182	
-25,2755 —1,6666	-16,8422 —3,3333	—8,6088 —5,0	—0,2755 -6,6666	8,0578 -8,3333	0 —10,0	
1,8632	3,728.1	5,5897	7,4529	9,3162	11,1794	1,9
—8,6571	—9,4904	-10,3238	—11,1571	-11,9904	—12,8238	7,185
промежуточных вантах (XCHi ) при каждом положении нагрузки
(табл. 13).
Таблица 13
				Груз в узле			
Усилия самонатяжения	0	1	2	3	4	5	6
= я	0 0	2,3098 0,6905	(3,6738) 1,6805	3,4857 3,0145	2,3741 (3,8638)	1,1457 3,4616	—0,061 2,2753
Выбрав из них необходимые значения Хснг , найдем усилия
предварительного напряжения промежуточных вант:
Хпн1 = 3,9737 - 3,6738 = 0,2999 г;
^ПН2 = 5,6474-3,8638 = 1,7836 т.
Полные усилия в промежуточных вантах, соответствующие
каждому положению нагрузки (Х/соотв = Хпнг + Хсн1 ) и расчет-
ные усилия в элементах системы от них и внешней нагрузки, на-
ходящейся попеременно в точках 0—'6 (пока без учета пригру-
за Х3), записаны в табл. 14.
Новую величину пригруза Х3 определяем по условию работо-
способности крайнего ванта. Наибольшая сжимающая сила в
нем возникает при случае 0. Необходимая величина Х3 =
3 4549
=	1,5451 т. Заносим в табл. 14 усилия, возникающие от
х t xoOl
нового пригруза, и, просуммировав их с усилиями для каждого
положения груза Р, выбираем максимальные расчетные усилия,
по которым вновь подберем сечения.
Площадь балки жесткости подбираем по случаю 6
_ 3379640	J2956j_ = g() б8 ? ?12 = 88 д8
п2 20-2100	0,8-2100
Полученные площади сечений существенно отличаются от
ранее принятых, поэтому необходимо произвести корректировку
сечений элементов и снова повторить расчет по определению
Xcui , хпн1 и расчетных усилий. После двух корректировок пло-
щадь сечения балки жесткости оказалась равной 55,264 см2; 1-го
ванта — 0,9 см2; 2-го—0,95; крайнего— 1,75; пилона — 4,5 см2.
Усилия самонатяжения, соответствующие этим площадям попе-
речных сечений, записаны в табл. 15.
Усилия предварительного напряжения:
Хпн1 = 0,4749 т;
Хпн, = 5,6474 - 5,3341 = 0,3133 т.
86
Эле- мент		М, N		
			0	1
Панель	1	1	^0П1 М Пр1	—10,4609 —5,2304 0	—5,6107 22,2436 —1,6666
	2	Л4оп2 ^Пр2 №	—15,932 —13,1965 0,1663	—17,5996 —11,555 —0,2192
	3	Л-^прз N3	—7,966 1,5932	—8,7997 1,76
Край- ний вант		—	—3,4549	—1,9677
Пилон		—	—0,8797	—3,2703
Вант 1		—	0,2999	2,6098
Вант 2				1,7836	2,474
00
Таблица 14
Расчетные усилия от груза в узле					Усилия от Ха«= 1,5451	F, см‘
2	3	4	5	6		
8,7335 4,3667 —3,3333	-11,1829 —5,5914 -5,0	—18,9165 —9,4583 -6,6666	—20,3491 —10,1746 —8,3333	—18,886 —9,4431 -10,0	0 0 —3,0902	88,18
-16,4175 -3,8409 -1,1195	—9,38 14,7185 —2,9005	6,6573 —6,1296 -5,1836	-16,6454 - 18,4962 —7,5316	—33,7964 -26,3412 —9,8675	0 0 —3,0902	
-8,2088 1,6517	-4,69 0,938	3,3286 -0,6657	24,6949 —3,3355	16,8981 -6,6204	0 —3,0902	
-1,8338	-1,0488	0,744	3,7287	7,401	3,4549	1,85
-5,255	—6,5187	—7,0753	—7,0647	-6,7561	—1,5451	4,83
3,9737	3,7856	2,674	1,4456	0,2389	0	0,7
3,4641	4,7981	5,6474	5,2451	4,0589	0	0,95
Таблица 15
Усилия само- натяжения	Груз в узле						
	0	1	2	3	4	5	6
г>	п S	Я	0 0	3,1518 0,1536	4,7328 1,2316	3,8371 3,5398	1,7919 (5,3341)	0,3996 4,3115	(—0,4749) 1,5826
Расчетные усилия от соответствующих полных усилий и под-
вижной нагрузки Р записаны в табл. 16. По условию работоспо-
собности крайнего ванта (случай 2) определяем необходимую
величину пригруза по (III. 23):
0,8824 л . „
ч =------------= 0,4 т.
2,2361
Максимальные усилия в балке жесткости возникают при распо-
ложении груза в точке 5. По ним и проверяем сечение
F _ 2074240
пр3 ~' 20 • 2100
4948,5. = 49 387	2 945 =
0,8 • 2100
= 52,332 см2 < 55,264 см2.
Корректировку расчета считаем завершенной, так как и в
остальных элементах при принятых площадях поперечных сече-
ний напряжения не превысили расчетных сопротивлений мате-
риалов.
Балка жесткости — труба диаметром 80 см, толщина стенки
0,22 см. Максимальные напряжения в ней (случай 5):
2074249	.	4948,5 iотс ст > 11 1 no 1Поо с / n
s =------------------------= 1876,67 + 111,93 = 1988,6лгг/сл«-</?2.
1105,28	0,8-55,264	'	2
Напряжения в вантах:
5207,7 ~гос л I ч п
<?i = ———' — 5786,4 кг 1см2 < Rt‘,
а —	= 5944 6 кг!см2 <
2	0,95	'	1
10378,1	Г- л г, (~\ г- /	9 Л
% = —— = 5930,5 кг!см2 < Rx.
88
Эле- мент		М, N		
			0	1
1	Панель	1	1	^ОП1 Mnpi М	—6,5208 -3,2604 0	—8,7616 20,6191 —1,6666
	2	М ОП2 М Пр2 Nt	—5,1402 —5,8305 0,326	—7,1823 —7,9719 0,3447
	3	^прз Л3	—2,5701 0,84	-3,5911 0,7181
Край- ний вант		—	—0,5746	-0,8029
Пилон		—	—0,4513	—3,0314
Вант 1		—	0,4749	3,6267
Вант 2			0,3133	0,4669
Таблица 16
Расчетные усилия от груза в узле					Усилия от Х3~0,4	F, см*
2	3	4	5	6		
2,7232 1,3616 -3,3333	—13,2411 —6,6205 -5,0	—14,3996 —7,2 —6,6666	—11,5325 —5,7663 -8,3333	—7,5836 —3,7918 -10,0	0 0 —0,8	55,264
—7,9078 -2,5922 -0,4451	—4,7391 16,01 -2,6086	8,9157 -2,7419 —5,4095	—8,5151 —10,0238 -7,8483	-15,1672 -11,3754 -10,0	0 0 —0,8	
—3,9539 0,7908	—2,3696 0,4739	-4,4579 -0,8916	20,7424 —4,1485	-7,5836 —8,4833	0 -0,8	
-0,8824	—0,5299	0,9957	4,6376	9,4837	0,8944	1,75
—5,1728	—6,4326	—6,8494	—6,5015	-5,7584	-0,3946	4,5
5,2077	4,312	2,2668	0,8745	0	0	0,9
1,5449	3,8531	5,6474	4,6248	1,8958	0	0,95
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТЕЙШИХ
КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Вопросы рационального проектирования комбинированных
систем включают в себя не только отыскание оптимальных уси-
лий предварительного напряжения, но и выбор оптимальных па-
раметров геометрической схемы при заданном очертании осей
конструкции. На примере простейших (один раз статически не-
определимых) предварительно напряженных комбинированных
систем — шпренгельных балок и консольных вантовых систем —
покажем способы определения для них при постоянных нагруз-
ках наиболее выгодных соотношений размеров пролета и общей
высоты, соотношения между длинами панелей, а также опреде-
ление площадей сечений элементов конструкции и усилий пред-
варительного напряжения.
Расчетные предпосылки, сформулированные в § 1 настоящей
главы, остаются в силе и для расматриваемых ниже задач.
Одностоечные шпренгельные балки
Рассмотрим два случая действия на балку постоянных на-
грузок.
Случай 1. Шпренгельная балка, загруженная равномерно
распределенной нагрузкой q (рис 28, а), проектируется постоян-
Рис. 28. Одностоечная шпренгельная
балка:
а. — геометрическая схема; б —эпюра изги-
бающих моментов в балке.
ного поперечного сечения.
Шпренгель в опорных сечениях
центируется на ось балки.
Приняв за лишнее неизве-
стное полное усилие в стойке
SCT, найдем его величину из ус-
ловия равенства изгибающих
моментов в пролете и над сред-
ней стойкой (рис. 28, б)
Afnp(max) А10п.
Изгибающий момент в любом
сечении балки
Мх = МР + MjSct =
= -^- (/— л) —--^-SCT, (III. 24)'
где х — расстояние от левой опоры до рассматриваемого сече-
ния. Абсцисса сечения, в котором изгибающий момент в панели
будет максимальным, находится из условия равенства нулю пе-
ререзывающей силы
Qx = ^----дх--^---=0.	(III. 25)
9С
Отсюда
х = —(/--^-].	(III. 26)
2 \ Ч /
Максимальный момент панели
МпрОпах) = -^-----.	(Ш. 27)
8	4 8q
Момент в сечении над стойкой
Л4оп= +-^L.	(Ш. 28)
Приравнивая выражения (III. 27) и (III. 28) по абсолютной ве-
личине, получим для определения полного усилия в стойке квад-
ратное уравнение
ScT - 4qlS„ + 2q2l2 = 0,	(III. 29)
решая которое, найдем необходимую величину усилия
SCT = ql (2 -/2) = 0,585g/,	(III. 30)
не зависящую от параметров шпренгеля.
Максимальный момент в балке
МПр(П1ах) = Моп = ql"(1 ~	)S- = 0,0215g/2. (III. 31)
О
Подберем сечения элементов шпренгельной балки (стойки и
струны шпренгеля)
р ___ 0,585gZ
•* ст	'	*
ГСТ^С
Здесь фст — коэффициент продольного изгиба стойки;
Р ___ 0,585gZZm
ш “ 2НЯШ
Сечение балки подбираем по формуле (III. 1)
р = / 0,0215	0,585\ дР
\ Р	4/7^ / /?3
W
где Р=~^-; <71 — коэффициент продольного изгиба панели
балки.
Для обеспечения в конструкции необходимой величины пол-
ного усилия в стойке вводим предварительное напряжение
5ПН = SCT - SCH.	(III. 32)
Здесь SCH — усилие самонатяжения в стойке шпренгеля один
раз статически неопределимой системы, величина которого мо-
жет быть определена по формуле
е	5gZ4
с"	' ” Н Е13ш
+ ЕтЕш2Н'2 1 16Н2Е
 (Ш- 33)
/ I2
384/ ------
\ 48/
91
В приведенных выше формулах I и /ш — соответственно пролет
балки и длина шпренгеля; I — момент инерции сечения балки;
Н — высота шпренгеля; Т?2 и /?ш , Е и Ет — расчетные сопротив-
ления и модули упругости соответственно материала балки,
стойки и струны шпренгеля.
Полная стоимость шпренгельной балки
С = С6 + Сст + сш.	(III. 34)
Здесь	Cqt Исту2^2> Сш — шТiс \	Ист и Иш
соответственно объемы балки, стойки и струны шпренгеля
Иб =	Кгт = Фст^ст^; К. = Фп/ш • 2/ш,
где tp6, фст, — конструктивные коэффициенты соответствую-
щих элементов.
Подставляя в (III. 34) значения зависимостей, входящих в
нее, после преобразования получим формулу стоимости шпрен-
гельной балки
С — т2с2 <рб
0,0215 , 0,585 \ ql3
, Р
0,585gZW
9ст
?СТ^2
Z2 \
4H<h) R1
0,585ql /„ ,
Rm \	’ 4Н
Для отыскания оптимальной высоты шпренгеля продиффе-
ренцируем выражение (III. 35) по Н и приравняем первую произ-
водную нулю:
dC ^зФст
(III. 35)
+
( сгФб I	\	1	___q
гст^2 Rm 4 \ R-2<?1 Rm / Н2
dH
Отсюда
^2?1
I
Н=Ч
С2'-Рб
Rtfi
(III. 36)
' 1ТШ
^2^ст	Rш
Оптимальная высота шпренгельной балки получается близ-
кой к половине пролета, так как выражение под корнем близко
единице.
Формула (III. 36) не совсем справедлива, потому что в вы-
ражении стоимости стойки-шпренгеля принят постоянным коэф-
фициент продольного изгиба . В действительности этот коэф-
фициент зависит от высоты стойки.
Для уточнения решения можно принять коэффициент д>ст в
некоторой зависимости от высоты стойки шпренгеля, которую
наиболее просто можно выразить формулой
?СТ ~ I
где Е =у; k — постоянный коэффициент. Тогда выражение для
92
полной стоимости шпренгельной балки может быть записано
в виде:
Q __ 72с2
Я3
, / 0,0215
Фб----------
\ Р
0,585 \ /о , ,
«' +*"
0,5&5qlH
0,585oZ	, I2 \
+	' р 4 [И + ——
Кш \	4/7 у
Дифференцирование этого выражения по Н
первой производной нулю дает для отыскания
соты уравнение четвертой степени.
? [4 (С2фст + CfK) - (с2 -
(III. 37)
и приравнивание
оптимальной вы-
Фб
<Р1
'ш k2 +

+ 2 (С2	К - С2	= 0. (III. 38)
\ ) ?1
Здесь С\=^~ ; С2 = ~ — относительные стоимости материалов
-	„	И
шпренгеля и балки. Это уравнение дает значения -у- несколько
меньше, чем по формуле (III. 36), так, при А = 1 и С1 = 0,5С2 вы-
ражение (III. 38) дает значение £=0,36, а по формуле (III. 36)
при том же значении §9 = 0,64 получим £=0,42; при А = 0,4 — со-
ответственно 0,43 и 0,46, т. е. при уменьшении величины k реше-
ния сближаются.
Так как реальные значения <р„ обычно составляют 0,7-ь0,9
(коэффициент k при этом будет 0,24-0,6) .формулу (III. 38) мож-
но считать приемлемой для практического применения.
Поэтому при решении последующих задач коэффициент про-
дольного изгиба гр для стоек принимался постоянным. В случае
необходимости уточнение решения можно получить по аналогии
с приведенным выше.
Как известно, создание ненапряженной статически неопреде-
лимой системы с заданным распределением внутренних усилий
связано с правильным выбором соотношений жесткостей элемен-
тов конструкции. Тогда в лишних связях возможно возникнове-
ние усилий, которые обеспечат равнопрочное напряженное со-
стояние всей системы. Однако такая система может быть подоб-
рана в исключительных случаях [28], поэтому предварительное
напряжение, ликвидирующее несоответствие жесткостей элемен-
тов, в принципе необходимо. На примере двухпролетной шпрен-
гельной балки легко показать, какие трудности возникают при
проектировании оптимальных ненапряженных систем и прежде
всего в создании типов сечений с необходимыми геометрически-
ми характеристиками.
93
Вычислив необходимое полное усилие в лишней связи (стой-
ке шпренгеля) по (III. 30), определим усилия и площади попе-
речных сечений всех элементов шпренгельной системы, причем
в выражение площади балки (III. 1) войдет величина ядрового
расстояния р, принимаемая в качестве неизвестного. Через
Р выразим и момент инерции балки

где h — высота сечения балки.
Полагая SCT = SCH и подставив в выражение (III. 33) уже
найденные величины, получим уравнение, в которое входят нахо-
дящиеся между собой в линейной зависимости две геометричес-
кие характеристики сечения р и h. Например, для шпренгельной
балки, изображенной на рис. 28, при 1=6 м, Н=1 м, q = \ т/м
уравнение выглядит так:
Р = — (139,6417 — 8,9505Л).
Теоретически задача решена, ибо задаваясь величиной й,
можно найти необходимое р и площадь сечения балки. Однако
практически сечение не удается подобрать из-за несоответствия
получаемых геометрических характеристик правилам конструи-
рования и компоновки сечений. Например, в рассматриваемом
примере при й=10 см; р =5,0137 см; F = 11,97 см2; а для двутав-
рового сечения, принятого по ГОСТ 8239—56*, при h = 10 см,
р =3,3 см, F=12 см2. Подобные отклонения принимаемых геомет-
рических характеристик сечения от теоретических приводят к
тому, что ненапряженная система практически оказывается не
равнопрочной и наиболее простым способом достижения цели
является введение предварительного напряжения.
Случай 2. Шпренгельная балка постоянного поперечного се-
чения нагружена сосредоточенной силой Р, расположенной в
четверти пролета (рис. 29).
Аналогично предыдущему най-
дем полное усилие в стойке
шпренгеля из условия равенст-
ва пролетного и опорного мо-
ментов 5ст = 0,833/’; усилие в
струне шпренгеля
1/4 I
Рис. 29. Эпюра изгибающих моментов
при действии сосредоточенной силы.
момент и нормальную силу в балке
М = 0,083Р/ и А = 0,208
94
Подобрав сечения, найдем полную стоимость шпренгельной
балки
„	,	( 0.083РГ2	, 0,208РГ2\ , ,	0,833Р „ ,
с = фбСгТ2 ----------------F ——  + ФстСгЬ —----------------Н +
\	Р^?2	у	^?2?ст
+ ФшС1 71— ---------Н + ФиА — •	(ш- 39)
Hui	2nHui
Дифференцируя это выражение по Н и приравнивая первую
производную нулю, находим оптимальную высоту шпренгеля по
условию минимума стоимости
Здесь, как и для случая 1, получаются значения
ной высоты Н, близкие к половине пролета.
(III. 40)
оптималь-
Двухстоечные шпренгельные балки
Ограничимся рассмотрением случая действия на балку по-
стоянной равномерно распределенной нагрузки q.
Прежде всего найдем наивыгоднейшее соотношение между
длинами панелей. Очевидно, таким будет соотношение, при ко-
тором, подобрав соответствующим образом усилие в шпренгеле,
можно получить равные моменты во всех пяти решающих сече-
ниях (пролетные моменты в крайних и средней панелях и опор-
ные моменты над стойками шпренгеля).
Для крайней панели балки при условии равенства пролетного
и опорного моментов опасное сечение будет находиться на рас-
стоянии 0,414 I от левой
опоры [9]. Максимальный
момент в средней панели
расположен посередине
пролета.
Величины моментов в
балке (рис. 30) будут:
Мг = ql^ (0,207 -
— 0,0855₽) — 0,414/75;
ql2 р q f-fS' РИС 30 Двухстоечная шпренгельная балка.
М3 = -^~-----HS.
3	8
Здесь /? — отношение длины крайней панели ко всему пролету
балки; Н — полная высота шпренгельной балки;
95
S — полное усилие в горизонтальном участке шпрен-
геля. Приравняв абсолютные значения пролетных и
опорных моментов, получим систему двух уравнений
с неизвестными S и Д Решив ее, найдем
У = 0,11646 и р = 0,31521/.
Н г
Наибольший изгибающий момент в балке при этих параметрах
М = 0,00854g/2.
Нормальная сила в балке
N=-0,11646	.
н
Усилие предварительного напряжения
Уп.н = 0,11646
п
где SCH — усилие самонатяжения, которое находится из реше-
ния статически неопределимой системы, в которой за лишнее не-
известное принято усилие в горизонтальном участке шпренгеля.
Аналогично случаю двухпанельной балки определим стои-
мость трехпанельной шпренгельной балки. Для этого сначала
определим стоимость балки
~	, ( 0,00854 , 0,11646 \ qP
Сб = Ъс^б\----------'----— -Л— ;
\ Р	) Rz
стоек
С	0,36947^77 .
ьст — Z । 2с2?ст	~	1
'РстЯо
струны шпренгеля
Сш = Т1Мш (
Полная стоимость будет:
~ Г, ( 0,00854 ,
\ Р
0,11646g/3	, 0,73894^1/7
HRm	Яш
0,11646 \ дР	0,73894g
ТЛ J Я2	' ?СТ ?СТЯ2
+	Р-1-1646^- + °’73^Р 	(Ш. 41)
11 1  “Ц 7//?ш	Яш }
Дифференцируя выражение (III. 41) по Н и приравнивая первую
производную нулю, получим формулу для определения опти-
мальной высоты трехпанельной шпренгельной балки при равно-
мерно распределенной нагрузке:
/	’ 0,11646	’	0,11646
TI /	С^6 <₽ R + С1|ш ~R----------
—.....0,73^4--------О”’42)
Г Сз4ст ------------+ С14ш --------
96
Оптимальные высоты предварительно напряженных шпрен-
гельных балок оказываются существенно больше обычно прини-
маемых. Это обстоятельство следует учитывать при проектиро-
вании шпренгельных балок, не имеющих габаритных ограни-
чений.
Консольная вантовая система
Рассмотрим статически неопределимую консольную вантовую
систему, загруженную равномерно распределенной нагрузкой
q (рис. 31, а). Выбираем основную систему, действие промежу-
точного ванта в которой заменяется силой S, разложенной на
вертикальную S и горизонтальную Sr составляющие и прило-
женной на расстоянии а от опоры. Реакции в опорах однопролет-
ной балки (рис. 31, б) от равномерно распределенной нагрузки q
и от неизвестной величины полного усилия в промежуточном
ванте S
УА = ^--S (1 - y-J; Ув = -у — ~~ ;
Определяем положение максимальных изгибающих момен-
тов в пролетных сечениях балки, для чего значения перерезы-
вающих сил в панелях 1 и 2 приравниваем нулю.
тема:
а — с двумя искомыми параметрами; б—с тремя искомыми параметрами.
Перерезывающая сила в панели 1
Qi— Уа — ^1 = 0;
в панели 2
Q2 - Va Qx2 5” = 0.
7—23
97
Отсюда
X - Уа • х -	+ S
Л1-------1 X 2 - ------
9	q
Максимальные пролетные моменты
V\
М, = —— ; М2 =
2?
(V а + S)2	_
-------------Sa.
2q
Опорный момент
Жоп = 1/А а
qa?
Г
Запишем выражения площадей участков балки жесткости по
(III. 1):
А	я?
ч---------- ;
2qpR2	2<р1Л7?3
F	=	Va“ +	ga'	+	
оп	рЯ2 +	2p/?2	+ 2?1Л/?2 ’
(VA + S)2	Sa	qP	Sa
г n = ---------- --------------------------- ---- .
2qpR,,	pRrj	2<p2hR2	<fzhR2
При этом сделано допущение, что значения коэффициентов про-
дольного изгиба для отдельных участков балки жесткости, ра-
ботающей как сжато-изогнутый элемент, близки друг другу, а
поэтому принимались равными между собой. Это допущение
справедливо при небольшой разнице в длинах участков между
узлами крепления вант. Как показывает расчет, значения ~ на-
ходятся в пределах 0,4—0,5.
Полагая, что q>i = q>2, составляем уравнения:
/71-/?оп = 0;	(III. 43)
Л-^2 = 0.	(III. 44)
Ввиду равенства нормальных сил в опорном сечении и в сечении
панели 1 уравнение (III. 43) можно записать в виде
(М1)-(Жоп) = 0.	(III. 43а)
При необходимости получить балку жесткости постоянного
по длине консоли поперечного сечения коэффициент неравномер-
ности площади поперечного сечения балки £н = 1. Если необхо-
дима балка с переменным поперечным сечением, коэффициент
k’a может принимать любое заданное значение.
В полученных уравнениях (III. 43 а) и (III. 44) содержатся
два неизвестных — S и а. Величинами р и <р при решении необ-
ходимо задаваться предварительно.
Для получения решения относительно неизвестных в общем
виде предлагается следующий путь расчета. Решаем оба урав-
98
нения относительно одного и того же какого-нибудь неизвестно-
го, например а. Из уравнения (III. 43 а)
а=/(./-25)(1+К2)|	(Щ. 45)
+ И2)]
Следует отметить, что уравнение (III. 43 а) является квад-
ратным относительно а. При решении его перед корнем принят
знак плюс. В противном случае величина а приняла бы отрица-
тельное значение, что не имеет смысла.
Из уравнения (III. 44)
.
2 ( ql + ql -1- — S )
Теперь, приравнивая оба этих выражения друг другу, полу-
чим новое уравнение, решив которое, найдем S.
S =------(1	2 /2 + 2	(1 + /2) -
2 (1 + V 2) I	<fh	'
— l/'fl2 —(1 + К2) ]2 + 4 —у-j • (III. 46)
у L yh	J <?л )
Полученные по формулам (III. 45) и (III. 46) усилие S и рассто-
яние от опоры до узла крепления ванта а дают возможность по-
добрать сечения элементов рассматриваемой системы при опти-
мальном распределении усилий в них.
Усилие в промежуточном ванте
£ 	5	__^пр
sin Oj	’
где /Пр=К^2 + <з2 — длина промежуточного ванта.
Площадь поперечного сечения промежуточного ванта
S /ft2 + а2
F,lP =	л/?!
Рассуждая аналогичным образом, запишем площади попереч-
ных сечений остальных элементов конструкции. Площадь сече-
ния крайнего ванта
р ____I ql Sa\ 1кр _____ [ ql Sa \ Г'Л2 + P
Kp \ 2 I ) hR. ^~2	/ ) hRt ’
где ZKp = ]//z2 + I2 — длина крайнего ванта.
Площадь сечения оттяжки
р_____ql" t Iqt ___ ql" 2
от ~ 2ft2 ‘	’
где /от = /г]/2 —длина оттяжки.
7*
99
Площадь сечения пилона
Fn = - -	(JL + s-----+	.
<рпЛ2 \ 2	l	2h )
Здесь сра — коэффициент продольного изгиба пилона. Конструк-
тивные коэффициенты в приведенных выражениях площадей по-
перечных сечений элементов приняты равными единице.
Усилие предварительного напряжения промежуточного ван-
та определяется как разность полного усилия, полученного по
формуле (III. 46), и усилия самонатяжения, возникающего в
лишней связи статически неопределимой системы
Sn.H = S-SCH.	(III. 47)
Усилие SCH определяем в результате решения статически не-
определимой системы с полученными поперечными сечениями
обычными методами строительной механики.
Для определения оптимальной высоты пилона, т. е. высоты
пилона, соответствующей минимуму объема (стоимости) систе-
мы, запишем выражение объема металла конструкции
V = Vg + Упр + Ккр + кот + Кп,
где V — объем металла консольной вантовой системы; V6 — то
же балки жесткости; Кпр — то же, промежуточного
ванта; Ккр —то же, крайнего ванта; Кот —то же,
оттяжки; Уп — то же, пилона.
Умножая соответствующие площади поперечных сечений эле-
ментов на их длины и суммируя значения полученных таким об-
разом объемов отдельных элементов, после преобразования по-
лучим
a\lSh. , Sal ql-a \ . ql
I ) \ ДГ Г 3	2^~J + T
+ —YI + —IW1 -	+ ~ 4-/^ ql\ (III. 48)
/J Я1 [ \ l Д h J 2 2h } v ’
Дифференцируя выражение (III. 48) no h и приравнивая пер-
вую производную нулю, получаем выражение оптимальной вы-
соты пилона
(III. 49)
Однако формула (III. 49) является приближенной, так как
значения величин S и а приняты независимыми от h (в против-
dv
ном случае выражение —
dh
оказывается громоздким и неудоб-
100
ным для практического использования). Кроме того, значение
коэффициента продольного изгиба пилона фп также не может
быть принято постоянным, ибо оно меняется в зависимости от
изменения величины h. Наиболее просто эту зависимость можно
выразить формулой
=	(ш. 50)
где k — постоянный коэффициент, определяемый при значении
h
?п = 4> и —
1
2
. Поскольку реальные значения срп обычно со-
ставляют 0,7—0,9, формулу (III. 50) можно считать приемлемой
для практического применения.
Наиболее просто точное значение оптимальной высоты пило-
на можно получить путем сравнения между собой величин стои-
мостей металла системы, подсчитанных при различных h.
Тогда, исходя из (III. 48), полная стоимость металла систе-
мы будет:
. (III. 51)
Как показало исследование, наименьшая стоимость консоль-
ной вантовой системы достигается при /г = 0,6 I. При этом а=
= 0,455/.
Варьируя величиной вылета стрелы I и зависимостью —, оп-
ределяли диапазон возможных значений Как показал ана-
лиз полученных выражений геометрических параметров систе-
мы, при изменении значений -у от 0,25 до 1 величина ~ меняет-
ся незначительно: от 0,4075 до 0,4721. Эти соотношения —
I
подтверждают справедливость сделанного допущения о равен-
стве коэффициентов продольного изгиба для обеих панелей бал-
ки жесткости.
101
При решении уравнения (III. 51) приведенная стоимость гиб-
ких элементов принималась равной половине приведенной стои-
мости жестких элементов. Это было сделано по той причине, что
при повышении расчетного сопротивления стали в 4—8 раз сто-
имость ее возрастает в 2—4 раза [23].
Введение в консольную вантовую систему (рис. 31,6) третье-
го неизвестного параметра несколько усложняет задачу.
Постановка и условия этой задачи аналогичны предыдущей.
Реакции от суммарной нагрузки:
УА = ql Л - _L_\ - S f 1 -	; Яа =	;
\ 2<za у	<z2 J	2h
ql2	Sax	ql2	Sa,
V в =--------------! n в —--------------- .
2л2	л,	2h h
Определив положение и величины изгибающих моментов в
панелях 1 и 2, запишем выражения площадей участков балки
жесткости, увеличенные в Т?2 раз:
2?р	2<?h
onl	р + 2р + 2?Л ’
(VA + S)2	Sa
F»=----------------------!|— ---------------— ;
2^р	р	2'th	<fh
р _ <7(Z —я2)2 । Ч?______________Sat
оп2	2р	2фЛ	<fh
Составляем уравнения:
Л -Л,п1=0 или (MJ — (714ОП1)=0;
F2 — Л>п2 = 0 или (ТИ2) — (ТИоп2) = 0;
/т - F3 = 0.	(III. 52
Систему алгебраических уравнений (III. 52) возможно решать
обычными методами вычислительной математики [5]. Для облег-
чения расчета данную систему трех уравнений приводим к двум
уравнениям с двумя неизвестными, решая каждое уравнение от-
носительно одного и того же неизвестного, например S, и при-
равнивая полученные результаты друг другу.
2а?
1 -(1 +]/2) 1 +
\	у*1
-/а2(1 + /2)+-^(1 + Г2)=0;
— аха2
1-2(1 +Г2) 1 +
±_
<fh
aj — aja2 (1	2)2 2/aj (2 4- 1^2) л2 (1 -|-	2)2 —
/2	.-
-2/а2(1+/2)2 + ±_(1+-|/2) = 0.	(Ш. 53)
102
После решения системы квадратных уравнений (III. 53) оп-
ределим вертикальную составляющую усилия в промежуточном
ванте
5
-Mj + dd + ^2)-/a2(l +V2)
Лл Л
(III. 54)
Подбор сечений и определение усилия предварительного на-
пряжения аналогично ранее рассмотренной системе.
Пример 7. Произвести подбор сечений элементов и опреде-
лить необходимую величину предварительного натяжения про-
межуточного ванта консольной вантовой системы (рис. 31, а).
если вылет стрелы /=12 м, высота пилона й=6 м. Система на-
гружена равномерно распределенной нагрузкой q = l т/м, <р=1.
Расчетное сопротивление и модуль упругости материалов — бал-
ки жесткости и пилона £г = 2100 кг/см2, £2 = 2,1 • 10е кг/см2-, ван-
тов: £] = 10000 кг/см2, £1 = 1,8 • 10е кг/см2. Принимаем р = 0,068 м.
По формуле (III. 46) усилие в промежуточном ванте £ =
= 6,976 т; по (III. 45) а = 5,84 м.
Изгибающие моменты и нормальные силы в балке жестко-
сти: панель 1
М, = 2,9262 тм- ^ = 12т;
панель 2
М, = 3,3931 тм-, Л-2 —5,209 т;
опорное сечение
7И0П = — 2,9262 тм-, Nx = \2 т.
Площадь сечения балки жесткости:
Л = Л>п =
292620
6,8 • 2100
12000
1 • 2100
= 26,0103 СМ.2',
р 339310	,	5209	?
£, =---------------------= 26,0146 см.2.
6,8 • 2100	1  2100
Принимаем двутавр N 20 (£ = 26,8 см2-, р = 184:26,8 =
= 6,8556 см).
Усилие в промежуточном ванте
< _ 6,972/б0№Т5845 = д т
600
Площадь сечения промежуточного ванта
£ = -973L = 0,9735 см2.
р 10000
Принимаем £пр = 1 см2.
Площадь сечения крайнего ванта
„	( 10 • 1200	6976 • 584 \ 1/6002 4- 1200= п	,
£kd = -----------------------------—-----= 0,5823 см2.
р \	2	1200	/ 600 • 10000
103
Принимаем FKp = 0,6 см*.
Площадь сечения оттяжки
„	1 • 12002 /2	, сп_
/?от =-----------— 1,697 см2.
2-600- 10000
Принимаем F0T = 1,7 см2.
Площадь сечения пилона
г 1	/10-1200 . СГ1_С 6976-584 , 10  1200Л 1О олс
F =------------------ц 6976---------------------= 12,846 см2.
0,8-2100 \	2	1200	2 • 600 )
Сечение пилона необходимо принять по условиям гибкости
стержня. Для определения усилий самонатяжения SCH решаем
статически неопределимую систему с принятыми поперечными
сечениями элементов методом сил. Усилие в промежуточном ван-
те SCH =2,1292 т.
Усилие предварительного напряжения промежуточного ванта
SnH =9,735—2,1292 = 7,6058 т.
Пример 8. Определить усилия в промежуточном ванте и рас-
стояния до узлов крепления вант в консольной вантовой системе
(рис. 31, б) при заданных генеральных размерах: 1 = 8 м; h=4 м.
Равномерно распределенная нагрузка q=\ т/м; <р=\. Принима-
ем р =0,2 м.
Система уравнений (III. 53) имеет вид:
3,07а? — 4,07а1а2 + 19,312а3 — 77,248 = 0;
а? + 27,31а! - 5,8280^ + 5,828а2 — 46,624а2 + 77,248 = 0.
Решаем систему методом итераций [5]. За начальное приб-
лижение положительного решения можно принять
Г 3,3 1
. 7,3 .
д(°) =
Полагая, что
'3,07 а? — 4,07a!a2 + 19,312a2 — 77,248
a? + 27,312a! — 5,828aya2 + 5,828a? — 46,624a3 + 77,248
будем иметь
Г6,14ах — 4,07a3	19,312 - 4,07 ax
•^(a)= [2aj + 27,312 —5,828a2
Отсюда
/(а) —
-5,828а1 + 11,656а2-46,624
„	= Г-9,449 5,88Г
<“(о))	[-8,632 19,233
и
detf\a^ = - 130,968.
Обратная матрица
- 1
130,968
19,233 — 5,88Г
. 8,632 - 9,499.
104
Таким образом,
А = — /(о(о))
1
130,968
Делая две итерации ио схеме
d = ?(а) = <2 + ^f(a) ,
получаем ответ
19,233 - 5,88 Г
. 8,632 — 9,449,
Г2,65721
а —	,
6,5461
т. е.
а{ = 2,6572 м, а2 — 6,5461 м.
Вертикальная составляющая усилия в промежуточном ван-
те (III. 54) 5 = 3,3961 т.
§ 4.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСОЛЬНЫХ
ВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Распространяя изложенный выше способ определения опти-
мальных параметров простейших комбинированных систем на
более сложные системы, удается найти оптимальные параметры
последних.
Так, при заданном вылете консольной вантовой системы мож-
но найти оптимальные соотношения между длинами панелей и
их число, высоту пилона, расчетные усилия во всех элементах
и, наконец, необходимые усилия предварительного напряжения
лишних связей.
Рассмотрим п раз статически неопределимую консольную ван-
товую систему, показанную на рис. 20. Основная система — балка
жесткости, опертая с одной стороны на опору, с другой — на
крайний вант, нагруженная расчетной равномерно распределен-
ной нагрузкой q и силами 5г от промежуточных вант. Усилия 5,
разложим на вертикальные 5Z и горизонтальные 5; составляю-
щие. Расстояние от опоры до узлов крепления вант czz, верти-
кальные составляющие полных усилий в промежуточных ван-
тах — 5Z и высота пилона h приняты в качестве неизвестных.
Вертикальные реакции от всех видов загружения в основной
системе:
11
v"a = S (1 - -у-);	(ш-55)
/=1
п
Vb = ~т ~ Т S s^-	<ш-56)
м.
105
Запишем выражения усилий, действующих в каждой панели
балки жесткости.
Нормальные силы:
(III. 57)
1=1
тде k= 2, 3,..., п.
Опорные моменты:
Моп1 = На а, -
^оп k — Ид<2й	4* У? Si (ak — dj),
/=1
(III. 58)
тде k = 2, 3,..., n.
Выражения максимальных пролетных изгибающих моментов
е абсциссами, найденными по (III. 15), запишем по ( III. 16).
Приравнивая значения максимальных пролетных и опорных из-
гибающих моментов попарно друг другу, получаем систему 2 п
уравнений:
V2	аа2,
^npi + Мо„1 = ——h На аА---------= 0;
-^oni + Мпр2 = Ид ------~---И —------------= 0;
/-	Й-1	\2
D'a+SsJ
-Мпр й + ^оп й “-----Sfii + На ak —
i=i
з
(III. 59)
Система уравнений (III. 59) содержит 2 п. неизвестных (п не-
известных усилий от промежуточных вант и п неизвестных рас-
стояний от опоры до узлов крепления вант). Каждое последую-
щее уравнение по сравнению с предыдущим содержит на одно
неизвестное больше и является уравнением второго порядка от-
106
носительно дополнительного неизвестного. Считая Vа известной
величиной, нетрудно видеть, что первое уравнение содержит од-
но неизвестное (fli), второе — два (ai и Si), третье — три (аь
и а2) и т. д. Последовательно решаем 2 п квадратных уравне-
ния относительно дополнительных неизвестных, и все последние
записываем через Va • Поскольку каждое квадратное уравнение
имеет 2 решения, необходимо выбрать то, которое не нарушает
смысл поставленной задачи. Другими словами, при решении
необходимо выполнять следующие условия: полные усилия в
промежуточных вантах должны быть положительны (S; >0),
каждое последующее расстояние at должно быть больше пре-
дыдущего и больше нуля (а; >щ_1 и а;>0). При наложении
этих ограничений система (III. 59) получает единственное ре-
шение.
Выразив все неизвестные системы через Va, подставляем их
значения в правую часть выражения (III. 55). Из полученного
линейного уравнения с одним неизвестным (Уд) находим вели-
чину последнего.
Для примера решим систему уравнений для дважды стати-
чески неопределимой системы. Система в этом случае имеет
вид:
V д	q£
Мпр1 + Моп1 = —+УАа1~ = 0;
2q	2
аср-	/у I £ \2
Afonl + МПР2 =	- -у- + -	1? - S.a, = 0;
•А4Пр2 + А10п2 =------— ------+ V аО.2---------------hS1(a2—ai)— 0»
2q	2
qal
А1оп2 + А1Прз = Уда2 — —------Ь 5Х (а2 — ai) 4*
+
(ИА +s1+s8)2
2g
Sj^Zj S2zz2 — 0.
Считая Va известной величиной, решаем первое уравнение
относительно ах. Решая квадратное уравнение
Ча\	Уд
—------- —
о,
находим
а1 = -^-(1 +/2).
<7
Перед квадратным корнем принят знак плюс, в противном слу-
чае условие ai >0 было бы нарушено. Подставляя значение ai во
второе уравнение, получаем
107
(1 + /2) - 4^- (1 + К2)2+  -А + S'~ - S, ~ (1 + Г2)=
2q	2q	Ч
S2	S,V,	r-- s,
= -!-------/2 ---	- - V\ p 2 = 0.
2g q	2
Отсюда Si = 2^2 V\ .
В третье уравнение подставляем найденные значения ai и Sj:
(VA + 2 ^21/АГ-	2 /2-(1 + /2)	qa\
--------------------------	|/A a 2	--H
2g	q-2
. Г V\	1 g«o
+ 2/2Va a2~^~ (1+Г2) =-Ar~-
Q	J *•
~	V л	-
- Vk (1 +2/2) a, —	(1 — 4]/2 —8) = 0.
2g
Решаем уравнение относительно аг
0,= '-л<1+2|/2)+У>Г2 _	(1 +31/.-
g	я
Знак плюс выбран перед корнем потому, что при выборе знака
минус а2 оказывается равным аг, а это противоречит условию за-
дачи (необходимо, чтобы a2>ai).
Из решения четвертого уравнения путем подстановки извест-
ных значений ab Si и а2 получим
S2 = 2 VWA ,
т. е.
Si — S2.
Вертикальная реакция в левой опоре балки (в основной си-
стеме 2 раза статически неопределимой системы)
VK^=^--Sl	fl-^ •
2	1 \ I J 2 I J
Подставляя вычисленные значения четырех неизвестных, по-
лучаем
V — ql _
А 2(1+2 |/2)
Как видно из системы (III. 59), внешний вид каждого урав-
нения не зависит от числа неизвестных, меняется лишь число'
уравнений в системе. Отсюда и зависимость неизвестных от ве-
личины Уа остается неизменой при любом числе уравнений, ме-
няется лишь сама величина вертикальной реакции. Это позволя-
ет решить систему в общем виде. В табл. 17 приведены значения
Ул> ИО;, вычисленные для ряда конкретных значений n-й сте-
пени статической неопределимости системы.
108
Таблица 17
v S ? ° ф Е 3* о, 7 з е 2 н 5 >ч ® и * S	VA	S 1	а 1
1	qi = 2 (1+2/2) = 0,20713^/	V2ql (1 + /2) = 0,58579?	/(1 +/2~)	„ ,, ал —	г~ — 0,5/ 2(1 +/2)
2	д1 = 2(1+2 /2) = 0,130647?	VZql _ (1 + 2/2) = 0,369191	1(1 ^/2) п di —	,— — 0,3153/ 1	2(1 +2/2) 1 (1 + 3/2-) а„ = +;	= 0,68471 2(1 +2/2)
3	д1 = 2(1 + 3/2) = 0,0953д/	/2~9?	_ 1 + 3/2) = 0,26979?	1(1 + /2) ах = 	7	— = 0,23021 1	2(1+3/2) 1(1 +3/2) а , —	_ 0,51 2 (1 + 3/2 ) 1(1+ 5/2") а3 =	J	= 0,76981 2 (1 + 3 /2 )
4	gi = 2(1+4/2) = 0,075191	y2ql = (1 + 4/2) = 0,21249?	1(1 +/2) + = —г	— =0,18131 1	2(1+4/2) 1(1 4- 3/2) 2(1 +4/2)	- 0'3937' 4,- '«//У--..(ИИ 2(1 +4/2) 1(1 +7//) at = —4	= 0,81871 2 (1 + 4/2 )
п	д1	/2“9?	1[1 + (2?-1)/2] а.- — 1	2(1+п/2)
	2(1 + п/2)	(1 + п/2)	
Пользуясь методом математической индукции [34], дающим
возможность перейти от частных утверждений к общим, получе-
ны выражения искомых величин для п раз статически неопреде-
109
лимой системы. В основе метода математической индукции ле-
жит следующая теорема: «Некоторое утверждение верно при
любом натуральном п, если оно верно при и=1 и если из спра-
ведливости этого утверждения при каком-либо произвольном
значении n=k (&>1) следует, что оно верно и при п=& + 1.
Проверим предположение
- 2(1-)-nJ/2)
В числитель входят величины, не зависящие от числа п, а
знаменатель представляет собой удвоенную сумму S„ = 1 + nj/2.
При n= 1 эта гипотеза верна, так как
8} = \+У2-, (VA =---------?Z-7=-V
\	2(1+/2)J
Предположим, что гипотеза верна при n — k, т. е.
Sk = 1 + k V2 (VA =-------\ .
\	2(1 +kV2j У
Докажем, что гипотеза должна быть верной также и при п =
= k+1, т. е.
Sfe+i =1 + (^ + 1)]/'2.
Действительно,
*Sfe+1== Sk “Ь 2, a Sj = 1 + k 1^2.
Тогда
Sfe+i = 1 + k }/2 + }/2 = 1 + (k + 1) /2.
Следовательно, формула для определения вертикальной ре-
акции Va в п раз статически неопределимой системе верна. Ана-
логично можно доказать правильность и остальных формул.
Как видно из решения системы (III. 59), вертикальные со-
ставляющие полных усилий в промежуточных вантах равны
между собой, а величины самых полных усилий различны вслед-
ствие разных углов наклона вант к балке жесткости. Следова-
тельно, полные усилия, а значит и площадь сечения вант, зави-
сят от высоты пилона h.
Для определения оптимальной высоты пилона запишем вы-
ражения объема и стоимости металла консольной вантовой си-
стемы как сумму объемов (стоимости) отдельных ее элементов.
Полное усилие в промежуточном ванте
S	= Sili
‘ Sinat h
где at—угол наклона i-ro промежуточного ванта, Z(=l//z24-a?—
длина г'-го промежуточного ванта.
110
Площадь поперечного сечения Pro промежуточного ванта
S; V№ 4- а?
F.— ——-----—_L_
‘	hRt
Рассуждая аналогичным образом, найдем, что:
площадь поперечного сечения крайнего ванта
K5EEZ2 
hRt
’ _/ qi
к₽~	2
площадь поперечного сечения оттяжки
F -	
“т 2hR. ’
площадь поперечного сечения пилона
где tpa — коэффициент продольного изгиба пилона.
Площадь сечения Рой панели балки жесткости запишем по
(III. 1), принимая при этом, что коэффициенты продольного из-
гиба tpi в каждой панели одинаковы. Это допущение справедли-
во, так как длины крайних панелей разнятся с длинами средних
на небольшую величину (до 15%)- То же относится и к р; .
Умножая площади поперечных сечений элементов на соот-
ветствующие длины и суммируя эти значения, после преобразо-
вания (конструктивные коэффициенты элементов приняты рав-
ными единице) получим
V = -Цан + q?+^\ +	- + — +	(1П- 60>
R1 \	Л / R-i \ Р ?П 2?п htf у
где
п
4 = -^- + У $71 - —Ц ;
2	1 \ I )
1=1
п
1=1
Стоимость системы
C = C1(Ah + ql2+-^~\ +С2(— + ^- +
\	Л )	\ Р ?п
+ + (ш- 61>
2<Рп Лер у
111
Дифференцируя выражение (III. 61) по h и приравнивая пер-
вую производную нулю, получаем выражение оптимальной вы-
соты пилона:
h =

(III. 62)
Коэффициент продольного изгиба пилона срп можно предста-
вить в виде линейной зависимости (III. 50). Тогда, подставив
значение <рп в выражение стоимости системы (III. 61) и продиф-
ференцировав последнее по h, получим для определения опти-
мальной высоты пилона уравнение
— —	+ h2 Г-^-£ -Э- + Д
Z2	I ‘	«
ч/ (Ci + С2у)
№ + h2 \-^~k -S^ + Д
2 Ci
+	---IB
2
№
I
= 0. (III. 63)
C2?
Величина коэффициента k определяется таким образом. Счи-
таем, что высота пилона может изменяться в пределах от h, рав-
ному пролету консольной вантовой системы I, до нуля. В то же
время коэффициент продольного изгиба пилона колеблется от
величины, соответствующей предельной гибкости пилона, до еди-
ницы.
При достижении высоты пилона максимальной величины
(h=l) предельная гибкость центрально сжатого стержня приня-
та Лпр = 100, что соответствует <рп = 0,6. Отсюда <рп = 0,6 = 1 —к ~ ,
где £ = 0,4.
При уменьшении высоты пилона величина коэффициента про-
дольного изгиба <рп увеличивается при h = 0 фа = 1.
При необходимости предельная гибкость пилона может быть
принята меньшей, тогда изменится и величина коэффициента k.
Решение системы уравнений (III. 59) в общем виде позволяет
выразить все величины, входящие в уравнения (III. 61), (III. 63)
и не зависящие от геометрических характеристик поперечных се-
чений элементов конструкции, в функции от пролета I, нагрузки
q и числа промежуточных вант п
A =di_ql-, B = dzql2-, M = dsql2.
Значения коэффициентов di, dz, d$ при числе промежуточных
вант от 1 до 12 приведены в табл. 18. Таким образом, уравнение
(III. 63) можно записать так (сократив все члены уравнения
на q)-.
I
(Ci±CM ~\\-h2d2l2k .(Ci + C2?)
~2d,khzA-h2l -
1	1	2
(Cl + С2)
-dd?-
112
с2?
с2?
rf2/3	Са?=0. (III. 63а)
Таблица 18
Промежу- точные ванты	d,	4,	da	При q =0,5	ф — 0,9, к — 0,4			
				^опт	*тп		
1	0,792895	0,353551	0,0214514	0,5163	0,79348	2,09414992	1,90691964
2	0,869403	0,340508	0,00852818	0,4936	0,80256	2,11898335	1,92421254
3	0,904631	0,336945	0,00454104	0,4866	0,80536	2,13264104	1,93680631
4	0,924891	0,335498	0,00282001	0,4816	0,80736	2,14205956	1,9450467
5	0,938051	0,334771	0,0019189	0,4793	0,80828	2,14806599	1,95091412
6	0,947291	0,334361	0,00138933	0,477	0,8092	2,15282426	1,9551403
7	0,954126	0,334099	0,0010522	0,4761	0,80956	2,15600062	1,9584508
8	0,959394	0,333927	0,00082439	0,4753	0,80988	2,15856046	.1,96104328
9	0,963578	0,333808	0,00066388	0,4743	0,81028	2,16079481	1,96307052
10	0,966979	0,333721	0,00054518	0,4738	0,81048	2,16250459	1,96481745
11	0,969802	0,333655	0,00045602	0,4733	0,81068	2,16396186	1,96624936
12	0,972176	0,333433	0,00038707	0,4728	0,81088	2,16487535	1,96703687
Из решения этого уравнения при & = 0,4, Ci = 0,5C2 и <р = 0,9
были высчитаны оптимальные значения h для различных проле-
тов I. При одном и том же количестве промежуточных вант отно-
шение полученных величин h к пролетам различной длины полу-
чились постоянными, что позволяет рекомендовать эти соотно-
шения (см. табл. 18) для любых значений I.
Теперь стоимость консольной вантовой системы можно выра-
зить только в зависимости от нагрузки и вылета стрелы консо-
ли, подставив значения А, В, М, 1г, <рп при <? = 0,9 в формулу
(III. 54).
С =	+ ql2C2 l + d\,	(Ш. 64)
\ ? /
где rf4 и </5 — коэффициенты, зависящие от числа промежуточ-
ных вант, величины которых приведены в табл. 18.
Относительные величины стоимости гибких элементов кон-
сольных вантовых систем (с?4) не зависят от пролетов и нагруз-
ки и, как следует из графика (рис. 32), незначительно возраста-
ют с увеличением числа вант из-за снижения усилий в послед-
них. В то же время стоимость материала жестких элементов,
находящихся в зависимости от величин I и р, существенно сокра-
щается. Экономия происходит вследствие того, что при большом
числе п почти полностью устраняется работа балки жесткости
на местный изгиб, и расход материала на нее сводится к мини-
муму. Кривые 2 на рис. 33 для различных значений I построены
при р =0,2 м.
8*/4—23
113
Общая теоретическая стоимость консольной вантовой систе-
мы при Ci = 0,5C2 уменьшается с увеличением числа промежу-
точных вант, асимптотически приближаясь к минимальному зна-
чению (рис. 33). Теоретически это обстоятельство позволяет сде-
лать вывод о целесообразности постановки бесконечного числа
вант.
Рис. .32. График зависимости относи-
тельных величин стоимости гибких и
жестких элементов консольных ванто-
вых систем от числа промежуточных
ваит:
1 — относительная величина стоимости гиб-
ких элементов; 2 — то же жестких элемен-
тов для различных пролетов.
Рис. 33. Относительная величина пол-
ной теоретической стоимости консоль-
ных вантовых систем для различных
пролетов.
Следует отметить, что подобное решение было использовано
при строительстве моста через р. Рейн на автостраде Бонн-Норд
(ФРГ), где ванты были поставлены так густо, что отсутствова-
ла четкая разбивка балки жесткости на отдельные панели [16]
(рис. 34).
114
Однако с увеличением числа вант увеличивается и количест-
во сопряжений гибких элементов с жесткими, что в свою очередь
удорожает конструкцию. Поэтому на определенном этапе сни-
жение стоимости материалов вступает в противоречие с увели-
чением стоимости изготовления и монтажа. Из графика на
Рис. 34. Схема моста через р. Рейн на автостраде Бонн—Норд.
рис. 33 видно, что резкое падение кривых наблюдается до како-
го-то значения п, после чего кривые начинают снижаться доволь-
но плавно. Очевидно, значение п, соответствующее началу поло-
гого снижения стоимости консольной вантовой системы, следует
выбирать за то граничное число промежуточных вант, меньше
которого при данном пролете принимать нецелесообразно. На-
пример, для 1=50 м граничное число промежуточных вант равно 5.
Для оценки стоимости системы в каждом конкретном случае та-
кие кривые нетрудно построить, пользуясь формулой (III. 64).
Интересные результаты дает проведенное сравнение объемов
металла консольной вантовой системы пролетом 100 м, подсчи-
танной по изложенному в настоящем параграфе способу, с объ-
емами металла систем, рассчитанных в примерах 3 и 5. Сохра-
няя принятую в § 2 нумерацию вариантов, примем объем метал-
ла системы варианта 2 за 100%.
Схема системы для расчета по варианту 4 была принята без
изменения числа промежуточных вант и заданной высоты пи-
лона (см. рис. 24). Менялись только места крепления проме-
жуточных вант, что способствовало созданию в балке жесткости
изгибающих моментов равной величины. Так как величины про-
дольных сил в балке меняются от панели к панели, поперечное
сечение ее принято ступенчатым.
Во всех сравниваемых вариантах система выполняется пред-
варительно напряженной, и нормальные напряжения в элемен-
тах достигают величин расчетных сопротивлений материалов.
Экономия металла в системе, рассчитанной по варианту 4,
в сравнении с вариантом 2 составила 16%, а с вариантом 3—
5,5%. При этом расход стали на ванты также сократился соот-
ветственно на 9 и на 16%.
Если рассматривать заданным только вылет стрелы консоли и
согласно рекомендациям, содержащимся в настоящем парагра-
фе, построить геометрическую схему системы, то результаты
81/4+Vs—23	115
резко меняются (вариант 4а). Расход металла на жесткие эле-
менты сокращается почти вдвое, а на гибкие элементы, наоборот,
увеличивается, вследствие увеличения числа вант (в варианте 4а
п = 9) и большего значения высоты пилона h = 47,43 м. Объем
металла вант возрос соответственно на 55 и 43%. Однако это
увеличение компенсируется сокращением объема всей конструк-
ции по сравнению с вариантом 2 на 45, а с 3 — на 37%.
Следует отметить, что величины, характеризующие объем
металла конструкции, во всех сравниваемых вариантах не учи-
тывают дополнительный расход материалов на конструктивные
детали и узлы системы. При выводе выражений объема и стои-
мости металла конструктивные коэффициенты принимались рав-
ными единице.
Увеличение количества основных несущих элементов в вари-
анте 4а (большее количество промежуточных вант), естествен-
но, повышает расход материалов и на конструктивное оформле-
ние системы. По приблизительным подсчетам конструктивный
коэффициент в этом случае равен 1,4. Таким образом, объем
металла всей системы в варианте 4а на 26% меньше, чем в ва-
рианте 2 конструкции, и на 12,9% меньше, чем в варианте 3.
Приведенная качественная оценка эффективности предлагае-
мого способа компоновки и проектирования консольных ванто-
вых систем свидетельствует о целесообразности применения его в
практике.
Пример 9. Определить геометрические размеры, подобрать
сечения и найти усилия предварительного напряжения в проме-
жуточных ваитах консольной вантовой системы с вылетом стре-
лы 50 м, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
q = 2 т/м.
Принимая значение коэффициента продольного изгиба пане-
ли балки жесткости <р = 0,9 и £ = 0,4, согласно данным графика
на рис. 33, определяем количества промежуточных вант п-=6.
Пользуясь формулами табл. 17, найдем величины вертикальных
составляющих полных усилий в промежуточных вантах.
=	= =	=	=	=14,91 т
1	-	3	4	6	6	(1+6/2)
и расстояния от опоры до узлов крепления промежуточных вант:
а1==	Ц1 + /2) 2(1 + 6/2)	= 6,363 м; а2 = -	/(1 + 3/2)	= 13,818 т;
			2(1 4-6/2)	
а., =	/(1 + 5/2)	= 21,272 м; а4 —	/ (1 + 7 /2)	 = 28,727 м;
	2(14-6/2)		2(1 +6 И2)	
аг =	/(1+9/2)	= 36,182 м; ае =	/(1 + 11 /2)	= 43,637 м.
	2(1 +6 /2)		2(1 +6/2)	
116
Оптимальная высота пилона /г = 0,477/=23,85 м. Округляя значе-
ния aL , строим геометрическую схему консольной вантовой си-
стемы (рис. 35) и определяем усилия в отдельных элементах,
величины которых записаны в табл. 19.
Принимаем балку жесткости трубчатого сечения. При ср=0,9,
Л = 46.
Требуемый радиус инерции сечения
Zo	745	1 z? о
Гто =	- = -----== 16,2 СМ.
р X	46
Из формулы г=0,353 dcp определяем средний диаметр трубы
~ упрощения расчета наруж-
iiiiiiiiHiiKuiK’ihiuiiiiuiiiiiil
[g#	’745*5 ,
Рис. 35. К примеру 9.

6.4
балки жесткости dcp =45,9 см. Для
ный диаметр трубы принимаем
постоянным по всей длине консо-
ли d = 48 см. Изменение сечения
происходит за счет изменения
толщины трубчатого сечения.
Необходимые площади попе-
речного сечения элементов вычис-
лены при расчетном сопротивле-
нии гибких и жестких элементов
(.£1 = 6000, £2 = 2100 кг/см2) и при-
ведены в столбце F табл. 19.
В результате решения статически
принятыми сечениями элементов методом сил получены следую-
щие значения усилий самонатяжения в промежуточных вантах:
SCH1 = 14,252 т, SCH2 = 18,021 т, 5СНЗ = 23,251 т;
SCH4 = 26,634 т,' SCH5 = 31,254 т, SCH6 = 34,753 т.
неопределимой системы с
Таблица 19
Элемент	А1, тм	N, т	F, смг
Па-	1	6,94665	—104,822	83,03
цель 2	6,94665	—100,844	80,92
3	6,94665	—92,206	76,35
4	6,94665	—78,908	69,32
5	6,94665	—60,95	59,82
6	6,94665	—38,331	47,85
7	6,94665	—11,051	33,41
Вант 1	___	+ 15,429	2,58
2	—	+ 17,226	2,87
3	—	+ 19,969	3,33
4	—	+23,328	3,89
5	—	+27,075	4,52
6	—	+31,067	5,18
81/<+1/2;
117
Продолжение табл. 19
Элемент	М, тм	N, т	F, см*
Крайний вант	—	+ 12,243	2,04
Пилон	—	—199,551	117,43
Оттяжка	—	+ 148,218	24,71
Усилия предварительного напряжения промежуточных вант:
ЛГПН1 = 15,429- 14,252 =	1,177 т;
Хпн2= 17,226-18,021 = -0,795 т;
А'пнз = 19,969 - 23,251 = - 3,282 т;
ХПН4 = 23,328 - 26,634 = -3,306 т;
Хпн5 = 27,075-31,254 = — 4,179 т;
Хпн6 = 31,067 - 34,753 = - 3,686 г.
По условию работоспособности ванта 3 начальная нагрузка
должна быть:
нач = 3^282;2 = 0 284 Т)М_
23,251
Тогда окончательные усилия предварительного напряжения:
ХШ11 = 15,429 - (2—-2л284) 14,252 = 3,201 т \
Хпн2 = 17,226-0,858- 18,021 = 1,764 г;
Хпнз= 19,969-0,858-23,251 =0,02 т;
Хпн4 = 23,328 - 0,858 • 26,634 = 0,476 г,
Хпн5 = 27,075 — 0,858 • 31,254 = 0,259 т;
Хпн6 = 31,067 - 0,858 • 34,753 = 1,249 т.
Глава IV. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕХНОЛОГИИ
ИЗГОТОВЛЕНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ
ВАНТОВЫХ КОНСТРУКЦИИ
Технологическая схема изготовления предварительно на-
пряженных вантовых конструкций в целом мало отличается от
технологии изготовления ненапряженных систем. Основная от-
личительная особенность заключается в необходимости создания
в отдельных элементах усилий преднапряжения, величина кото-
рых должна контролироваться как в процессе изготовления, так
и в процессе эксплуатации. В связи с этим ниже будут рассмот-
рены два основных вопроса: создание необходимых усилий пред-
варительного напряжения и рекомендуемые способы контроля
величин этих усилий.
§ 1. СПОСОБЫ СОЗДАНИЯ УСИЛИИ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО
НАПРЯЖЕНИЯ
В однократно статически неопределимых системах создание
усилия предварительного напряжения осуществляется весьма
просто, так как, по существу, усилие передается лишь одному
элементу; в многократно статически неопределимых постановка
каждого последующего напряженного элемента вызывает изме-
нение усилий во всех ранее поставленных. Это обстоятельство
необходимо учитывать, ибо в конечном итоге должны быть полу-
чены определенные величины усилий. Рассмотрим ход решения
этой задачи на примере вантовой системы с балкой жесткости
(рис. 36).
Пусть по условиям оптимального распределения моментов
в балке жесткости усилия предварительного натяжения вант
должны ^ыть А, В и С, а в симметричных вантах соответственно
А1, В\ и С\.
Постановка и натяжение вант ведется в такой последова-
тельности: первыми ставятся ближайшие к опоре пилона сим-
метричные ванты, усилия напряжения в которых равны искомой
119
Рис. 36. Последовательность постановки
вант в системе с симметрично располо-
женными вантами.
Величине А и Ль затем следующая пара вант с усилиями В и В\
и, наконец, С и Сь
Влияние натяжения ванта В на усилие в ванте А найдем из
решения один раз статически неопределимой системы (рис. 37, б),
нагрузкой для которой будет
усилие натяжения ванта В —
= 1. Тогда величина усилия
в ванте А
Sa=A+ ВХ, (IV. 1)
где X — усилие в ванте А от
В = 1 и Bi — 1.
Прикладывая к уже по-
лученной дважды статически
неопределимой системе (рис.
36, в) усилие от постановки
последней пары вант С=1,
найдем влияние натяжения
ванта С на усилия в вантах
Л и В и запишем пх вели-
чины
= Д +ВХ+ СХ^,
S в ~ В	СХ2. (IV. 2)
Здесь Xi и Х2 — усилия в
вантах А и В от С=1.
Окончательными усилиями в вантах должны быть А, В и С,
следовательно,
А =А А-ВХCXt; В = В + СХ2- С = С. (IV. 3)
Таким образом, получена система (IV. 3) из двух уравнений
с двумя неизвестными А и В. Из второго уравнения системы оп-
ределим искомое усилие на-
тяжения ванта В
в=в- сх2,
а из первого — ванта А:
А = А-(В-
-~СХ2)Х-СХ1.
При большем числе по-
следовательно натягиваемых
Рис. 37. К созданию усилий предвари-
тельного напряжения в несимметричной
вантовой системе.
вант или в несимметричных
конструкциях, если А=В А1г ВВ= Bi и т. д., последовательность ре-
шения остается такой же.
Рассмотрим случай, когда последовательно натягивается 6
120
вант (рис. 37). Усилия в вантах после натяжения D принимают
следующий вид:
вант А
SA = А X ВХ 4- СХГ + DX\ ;
вант В
SB = B + СХ2 + DX2 ;
вант С
Sc= С DX3 .
Влияние натяжения ванта Е на А, В, С и D описывается урав-
нениями:
= А + ВХ + СХг 4- DX\ + ЕХ\ ;
SB = В 4- СХ2 + DX'2 + ЕХ2 ;	(IV. 4)
Sc = С 4~ DX3 4- ЕХ3 ;
SD = D 4- ЕХ\ .
Влияние натяжения ванта G на А, В, С, D и Е можно выра-
зить следующим образом:
= А + ВХ + СХ, 4- DX'{ + EXi + GXi;
SB = В СХ2 -j- DX2 4" ЕХ2 4' GX2;
Sc = С 4- DX3 4- ЕХ3 + GX3;
SD =D + EX4 + GX4;
Se = E + GX5.	(IV. 5)
Здесь X, A,, X2, X' X' X'- X’ X’ X" X’a X'" X'" X'" X'" X'" -
1ZO1ZOT1	Z	O	*	<J
значения усилий в вантах, найденные путем решения стати-
чески неопределимых систем при постановке каждого очередно-
го ванта в предположении, что усилие в нем равно единице.
Необходимо учесть, что решение следует вести в той же по-
следовательности, в какой производится постановка вант.
Аналогично предыдущему получаем систему уравнений:
А = А + ВХ 4- СХг + DXi 4- EXi + GXi;
В = В+ СХ2 + DX2 + ЕХ2 + ОХ2;
С^С+ DX3+EX3 + GX'3-,	(IV. 6)
D = D + EX4 + GX4;
E = E + GXs; G^G.
Отметим характерную особенность систем уравнений (IV.3)
и (IV. 6), заключающуюся в том, что последнее уравнение всег-
да содержит лишь 1 неизвестное, предпоследнее — 2, следующее
121
за ним — 3, затем — 4 и т. д. Указанная особенность делает ре-
шение таких систем очень простым. Решая последовательно си-
стему (IV. 6), найдем значения усилий, которыми должны быть
натянуты ванты:
— GXs: D = D-EX4 + G(X'sX4-X4);
С-С - DX'3 + £ (А^з - Х’3) +G [ХьХ’з - Х3 - X3(XsX4- Z')];
В = В- СХ2 + D (Х2Х'з -Х2)-Ё [Х2 (Х4Х3 — Хз) - Х4Х2 ф-
4~ А о] — О [Х2 [Х3 А’з — А'з — Хз (Xs Х4 — Х4)] -р
+ Х2 (XsX4 - Х4) - XsX'2 -- Х2};
А = А - ВХ + С (ХХ2 -XJ—D [X (Х2Х'з - Х2) - Х^'з -
- Xi] + Е {X [Х2_(Х4Х3 - Х'з) - Х"4Х2 + Х2] - X, (Х"4Х'з - Х3) +
+ Х{Х4- Аф} + G {ХХ2 [XsX3- Х3 (XsX4 -Х4)] + ХХ2 (Х3Х4 -
- Х4) - ХХ5Х2 - ХХ2 - X, [Х5Х3 - Хз (Х5Х4 — Х4 ) ] -
f	It! И	>1!	И Ш	It!
- Xi (Xs X4 - X4) + XiXs -Xi}.
Подобным образом можно определить усилия натяжения лю-
бого числа вант.
После постановки каждого очередного напрягающего элемен-
та система должна быть проверена на прочность, так как в про-
цессе постановки и создания преднапряжения в отдельных местах
системы напряжения могут оказаться выше расчетного сопротив-
ления. При этом однако следует иметь в виду кратковремен-
ность действия нагрузок (монтажные нагрузки) и ввести в рас-
чет соответствующий коэффициент условий работы.
Полученные формулы целиком справедливы и для вантовых
ферм. Следует напомнить, что вантовые системы работоспособ-
ны в определенном интервале значений нагрузок от верхнего до
нижнего порога работоспособности и что система в большинстве
случаев должна иметь некоторую начальную нагрузку. Роль ее
обычно выполняет собственный вес системы. Поэтому при созда-
нии контролируемых усилий предварительного напряжения на-
грузка от собственного веса должна быть уже приложена к си-
стеме.
Сборка таких ферм может вестись навесным способом. В на-
чале монтажа верхний пояс используется как обычная гибкая
нить, затем после навески основных элементов конструкции мо-
жет быть создано предварительное напряжение нижнего пояса
и раскосов.
Предварительное напряжение может быть создано непосред-
ственным нагружением соответствующих элементов с помощью
полиспастов и грузов, а после того, как система примет проект-
ное положение, напряженные элементы должны быть закрепле-
ны. Такой способ создания предварительного напряжения был
122
использован при изготовлении модели вантовой фермы, резуль-
таты испытания которой приведены в § 3.
Контролируемые усилия предварительного напряжения в за-
висимости от мощности системы могут создаваться гидравличес-
кими или винтовыми домкратами, усилия при этом контролиру-
Рис. 38. Узлы крепления вант к балке жесткости и пилону (в узле Б, а пол-
ка двутавра условно не показана).
ются по манометру или по специальному динамометру. Натяж-
ные устройства должны предусматривать не только возможность
контроля величины усилия, но прежде всего возможность под-
тяжки в процессе эксплуатации сооружения или хотя бы в на-
чальный ее период.
Наиболее распространенным типом гибкого элемента в ван-
товых системах являются стальные канаты и пучки высокопроч-
ных проволок. Выбор конструкции их концевых закреплений во
многом предопределяет надежность сооружения, так как проч-
ность анкерных устройств в большинстве случаев ниже проч-
ности основных элементов. Поэтому при решении этого вопроса
следует учитывать условия работы каната, способы создания
предварительного напряжения и т. п.
123
Довольно полная классификация и анализ концевых закреп-
лений канатов приведены в работе [6]. Широко используются в
практике стаканные и гильзо-клиновые [1] анкеры благодаря
простоте и пндустриальностп их конструкции.
Рис. 39. Крепление ванта к балке жесткости в виде сквозной фермы.
В качестве примера решения узлов вантовой системы с бал-
кой жесткости приведем узлы однопилонного пешеходного моста
через р. Уж в Коростене (рис. 38) со стаканными анкерами и
Рис. 40. Верхний (о) и нижний (б) узлы вантовой фермы.
124
вилкообразными регулировочными шайбами (проект был выпол-
нен институтом Укрпроектстальконструкция). Другое решение
для однократно статически неопределимых консольных ванто-
вых систем со сквозной балкой жесткости приведено на рис. 39.
Здесь натяжение осуществляется гайками, пропущенными через
отверстия в уширениях стаканного анкера.
Просто решены узлы предварительно напряженной вантовой
фермы при проектировании перехода газопровода пролетом
390 м [17]. На рис. 40 показаны конструкции узлов верхнего и
нижнего поясов.
§ 2. СПОСОБЫ КОНТРОЛЯ УСИЛИИ В ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННЫХ ВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ
Предварительно напряженные вантовые системы, как и лю-
бые статически неопределимые системы, чувствительны к непре-
дусмотренным расчетом деформациям отдельных элементов и
узлов. В вантовых системах такие деформации возможны преж-
де всего за счет вытяжки канатов, а затем за счет деформаций
узлов, содержащих ряд контактирующих поверхностей (резьб,
втулок, болтов и т. д.), качество обработки которых сказывается
на деформативности соединений. Поэтому вопросы контроля за
величинами действующих усилий для вантовых статически не-
определимых систем имеют первостепенное значение независимо
от того, являются ли эти системы предварительно напряженны-
ми или нет.
Существующие способы контроля усилий в элементах систе-
мы можно разделить на группу методов замера действующих
усилий и группу методов замера деформаций системы.
Методы первой группы предусматривают включение в систе-
му вант измерительных приборов — динамометров той или дру-
гой конструкции. При этом желательно иметь возможность вы-
ключения динамометра в целях продления сроков его службы.
Наиболее простыми по конструкции являются пружинные дина-
мометры, а также динамометры в виде стержня с наклеенными
на него датчиками сопротивления [20]. Для особо ответственных
сооружений можно рекомендовать в качестве контрольных при-
боров гидравлические динамометры (типа домкратов). В этом
случае принципиально возможно устройство автоматического
поддержания усилий в заданных пределах.
Весьма простым и доступным способом поддержания необ-
ходимой величины усилий предварительного напряжения явля-
ется включение в регулируемый элемент полиспаста с контроль-
ным грузом и зажима. Освобождая зажим при определенных ре-
жимах работы сооружения, например при отсутствии полезной
нагрузки, можно автоматически установить необходимую вели-
9—23
125
чину усилия в напрягаемом элементе. В конструкциях неболь-
шой мощности для контроля величины усилия возможно приме-
нение динамометрических скоб [1].
Величину усилия в гибких элементах можно определять так-
же по частоте собственных колебаний, применив для этой цели
электронный частотомер ИНА-3. При этом необходимо произ-
вести предварительную тарировку прибора для каждого вида
каната или пучка проволок.
Первая группа методов весьма удобна, так как позволяет не-
посредственно судить о величинах усилий в элементах и произ-
водить необходимые регулировки.
Вторая группа методов основана на зависимостях, существу-
ющих между усилиями и деформациями системы. Применение
этих методов позволит получить достаточно точные результаты
для систем, имеющих в своем составе жесткие элементы (балки,
фермы и т. п.). В этом случае, определяя общие деформации
этих элементов, можно судить о величине усилий в напряжен-
ных гибких элементах. В жестких элементах могут быть заме-
рены также местные деформации, например удлинение волокон.
По величине удлинений можно судить о напряжениях, действую-
щих в отдельных сечениях, и в конечном итоге, о величинах уси-
лий в гибких напрягающих элементах.
Для замера общих деформаций системы может быть приме-
нена нивелировка. При горизонтальной балке жесткости успеш-
но можно использовать трубчатый нивелир [20], причем послед-
ний можно установить на конструкции стационарно, оборудовав
соответствующими сигнальными устройствами. Возможно также
применение прогибомеров с проволочной связью, а при неболь-
ших размерах конструкции и индикаторов.
Для замера удлинений волокон (местных деформаций) мож-
но пользоваться датчиками сопротивления, надлежащим обра-
зом защищенными от внешних воздействий, либо (что более про-
сто и надежно) устанавливать на конструкции стальные полиро-
ванные штыри, расстояния между которыми измеряются с боль-
шой степенью точности переносным прибором, разработанным
Укрниипроектом. Возможно применение для этих целей и других
приборов, замеряющих удлинение волокон [2]. Единственным
требованием к приборам является устойчивость их к атмосфер-
ным воздействиям для открытых конструкций и стабильность
показаний в течение продолжительного времени. Этим требо-
ваниям наиболее полно отвечают названные выше стальные
штыри, так как они практически не могут быть сбиты и легко
могут быть защищены от коррозии обычной окраской.
Для ответственных сооружений целесообразно производить
контроль усилий не одним методом, а двумя. При этом резуль-
таты можно считать надежными, если расхождение между уси-
лиями, полученными разными способами, не превышают 10%.
126
§ 3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ МОДЕЛИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ВАНТОВОЙ ФЕРМЫ С
ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКОЙ
Исследовалась модель вантовой фермы, смонтированная на
специальной установке *. Ферма была изготовлена из стальной
проволоки диаметром 0,35 мм, с модулем упругости £=1,995Х
Рис. 41. Схема модели вантовой фермы:
а — схема фермы; б —правый верхний узел фермы (по I—I раскосы
условно не показаны); в —опорный нижний узел; / — точки креп-
ления опорных стержней; 2 — шарикоподшипники; 3— прогибомеры;
4— грузы, создающие предварительное напряжение опорных стерж-
ней; 5 — узловая нагрузка; 6 — стержень фермы из проволоки; 7 —
основные планки узла толщиной 2 мм; 8—доборные планки тол-
щиной 2 мм; 9 — винт М3; 10— точечная ось с нарезкой по концам
М4; 11 — прижимной винт Мб; 12— штифты; 13 — бандаж с кольце-
вой проточкой; 14 — прижимные планки.
ХЮ6 кг/см2 и пределом прочности ов =24000 кг) см2. При испы-
таниях рабочие напряжения в проволоке не превышали
15000 кг 1см2.
Геометрическая схема фермы и конструкции узлов, обеспе-
чивающих шарнирное соединение элементов, показаны на
рис. 41. Закрепление стержней на опорах осуществлялось при-
* Испытания фермы проведены инж. Л .С. Мошкиным в Киевском инженер-
но-строительном институте.
9*	127
жимными планками к штифтам, жестко закрепленным на стани-
не в точках 1. Опорные стержни, миновав зажимы, проходили
через ролики, сделанные из шарикоподшипников, и были пропу-
щены через шкивы прогибомеров. Предварительное напряжение
опорных стержней создавалось непосредственно загружением их
грузами 4 необходимой величины при отпущенных зажимах 1.
После этого стержни зажимались прижимными планками и фер-
ма загружалась полезной нагрузкой.
Нагружение модели производилось специально протариро-
ванными грузами 5, которые подвешивались к узлам нижнего
пояса фермы при помощи тонкой стальной проволоки. Эта же
проволока была переброшена через шкив прогибомера 3 с про-
волочной связью (ПАО-6). Таким образом, внешняя нагрузка
являлась одновременно и грузом прогибомера. Сами прогибо-
меры были жестко закреплены на станине.
Для определения усилий самонатяжения, возникающих в
опорных стержнях фермы под нагрузкой, последовательно осво-
бождались зажимы 1 и ферма уравновешивалась дополнитель-
ными грузами 4. Дополнительная нагрузка прикладывалась та-
кой величины, чтобы прогибомеры повторили отсчет, взятый до
освобождения зажима. Такой способ замера усилий позволял
непосредственно находить величины лишних неизвестных в
ферме.
Модель рассчитывалась как ферма с заданной геометрической
схемой по методике, изложенной в главе II. По условию проч-
ности наиболее напряженного элемента была найдена макси-
мально возможная величина полезной нагрузки для случаев дей-
ствия на ферму симметричной (грузы во всех узлах нижнего
пояса) и подвижной (груз попеременно в каждом узле нижнего
пояса) нагрузок. Так как все стержни модели фермы приняты
одинакового поперечного сечения, то усилия самонатяжения и
предварительного напряжения определены сразу, без корректи-
ровок.
Теоретические значения нагрузок для модели были следу-
ющие:
1. При загружении всех узлов нижнего пояса симметрич-
ной нагрузкой максимальная нагрузка на узел (верхний порог
работоспособности) составила Ртах =6,25 кг, минимальная —
Рты =1,52 кг (нижний порог работоспособности — начальная
нагрузка). Полезная нагрузка на узел, таким образом, могла
составить
Дюл — Рmax Рт\п == 4,73 К2.
В целях исключения возможности появления нулевых стерж-
ней все условия работоспособности (II. 2) и (II. 16) записыва-
лись с положительным свободным членом, величина которого
принималась равной 1 кг, т. е. любое условие работоспособности
имело вид S;> 1 кг.
128
2. Максимальное значение подвижной нагрузки составило
•Ртах =4,4 кг. Необходимый пригруз в виде нагрузки, располо-
женной во всех узлах, РПрнгР = 1,83 кг.
В процессе испытаний нагрузка принималась несколько мень-
Рис. 42. Зависимости между нагрузкой и прогибами узлов нижнего
пояса фермы:
а — при нагрузке, приложенной ко всем узлам нижнего пояса; б — при нагруз-
ке в узле 1 (крайнем); в — при нагрузке в узле 2 (среднем); 1 — теоретичес-
кая зависимость; 2 — экспериментальная зависимость.
(с учетом собственного веса узлов фермы, составляющего
0,13 кг) на узел до Ртах =5,32 кг. Полезная нагрузка приклады-
валась ступенями по 0,4 кг. Подвижная нагрузка прикладыва-
лась последовательно в каждом узле с тем же интервалом от 0,8
до 3,2 кг.
Результаты испытаний показали, что зависимости между на-
грузкой, прогибами и усилиями самонатяжения имеют четко вы-
раженный линейный характер. Расхождения между теоретичес-
кими и экспериментальными значениями прогибов при непод-
вижной нагрузке составили для среднего узла 6—8, а для край-
них— 12—15%. При подвижной нагрузке (груз в крайнем узле)
расхождения значений прогибов узла под грузом 12—17, сред-
него— 0,3; при грузе в среднем узле для крайнего 0—1, для
среднего 6—8%.
Теоретические и экспериментальные зависимости между на-
грузками и прогибами приведены на рис. 42.
129
§ 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ МОДЕЛИ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ КОНСОЛЬНОЙ ВАНТОВОЙ
СИСТЕМЫ
Испытания проводились авторами в лаборатории кафедры
металлических и деревянных конструкций Киевского инженерно-
строительного института.
Модель консольной вантовой системы представляет собой
балку жесткости трубчатого сечения наружным диаметром 15 см
Рнс. 43. Модель консольной вантовой системы.
и длиной 10,1 м с системой поддерживающих вант, закрепленных
на корневом и промежуточном жестких пилонах (рис. 43). Бал-
ка жесткости выполнена из листовой стали толщиной 1 мм, ме-
ханические характеристики которой были определены испыта-
нием на разрыв 11 образцов, вырезанных вдоль и поперек
направления прокатки листа. Полученные данные позволили от-
нести эту сталь к стали марки 0 с расчетным сопротивлением
2000 кг!см2 и модулем упругости 2 -106 кг)см2. Пилоны также вы-
полнены из труб: корневой длиной 2 м имеет диаметр 60 мм и
толщину стенки 4 мм, промежуточный — /п = 1,35 м, dn =42 мм и
/п=5 мм. Расчетное сопротивление материала пилонов принято
2100 кг/см2, модуль упругости 2,1 • 10s кг/см2.
В качестве вант были использованы тросы диаметром 4,5 мм
двойной свивки (6 пучков по 19 проволок диаметром 23 мм) с
органическим сердечником. Зажимы для крепления концов троса
состояли из двух пластин, стягивающихся между собой тремя
болтами М 10. Для размещения ванта на внутренних поверхно-
стях пластин была прорезана бороздка глубиной 2 мм. Разрыв-
ное усилие на трос, определенное при испытании концевого креп-
ления троса, составило 1000 кг, модуль упругости — 1 • 10s кг/см2.
Наибольшее напряжение, допускаемое при проведении экспери-
мента, принято 8700 кг/см2.
130
Конструкция узлов модели обеспечивала шарнирное соедине-
ние отдельных элементов между собой и с неразрезной балкой
жесткости. Для обеспечения устойчивости системы из плоскости
устанавливалась и напрягалась горизонтальная комбинирован-
ная вантовая ферма.
Натяжные устройства вант (рис. 44) предусматривали уста-
новку динамометров на сжатие типа ДОС (ДОСМ-1 и ДОСМ.-3)
Рис. 44. Натяжное устройство ванта.
для замера передаваемых на ванты усилий. Динамометры раз-
мещались между двумя пластинами, одна из которых крепилась
шарнирно к балке жесткости. Другая, соединенная натяжными
болтами с опорной пластиной ванта, прижимала динамометр к
первой с силой, равной усилию в ванте. Натяжение осуществля-
лось гайками. Перемещением опорной пластины вдоль натяж-
ных болтов можно было изменять усилие в вантах в необходи-
мых пределах, одновременно фиксируя величину его по показа-
ниям динамометра.
Как известно, для определения распределения усилий в ста-
тически неопределимой системе достаточно производить замеры
их в любых стержнях, число которых должно быть не меньше
степени статической неопределимости системы. Для контроля
динамометры были установлены во всех пяти вантах, примыка-
ющих к балке жесткости. Все динамометры были протарирова-
ны на прессе.
Первой задачей при испытании модели была проверка пред-
лагаемой методики передачи на систему заданных величин пред-
варительного напряжения путем последовательного превраще-
ния основной системы в систему с необходимой степенью стати-
ческой неопределимости (для модели п = 4). В этом случае в
131
качестве начальной нагрузки был принят собственный вес систе-
мы. Необходимо было создать усилия предварительного напря-
жения в вантах 1, 2, 4 и 5 (нумерация вант ведется от опоры) по
50 кг. Последовательность постановки вант показана на рис. 47.
Усилия А, В, С и D были подсчитаны по методике, изложенной
в § 1 настоящей главы.
Вант 3, входящий в основную систему, натягивался натяж-
ными болтами до тех пор, пока усилие в нем не стабилизирова-
лось. По этому усилию как усилию в элементе основной системы
был определен собственный вес модели, равный 12,1 кг/м. Уста-
новка ванта 5 с силой А = 1 снижала усилие в ванте 3 на величи-
ну— 0,8515 Л. Прикладывая к полученной один раз статически
неопределимой системе усилие В = \, определяли влияние уста-
новки ванта 4 на уже включенные в работу ванты 3 и 5. Рассчи-
тав влияние вантов 1 и 2 на уже работающие гибкие элементы,
получим систему линейных уравнений, в правой части которых
записаны величины усилий в вантах, равные заданным усилиям
предварительного напряжения:
S3 = — 0,8515Д	0,04165В - 0.9296С — 0,421177;
S5 = 4- 0,8112В + 0.02375С - 0,016D = 50 кг\
54 = В + 0,0741 С — 0,0501В = 50 кг\
Sj = С —0,641В = 50 кг\
53 = D = 50 кг.
Последовательно решая уравнения, находим величины уси-
лий В, С, В и Л, с которыми необходимо соответствующие ванты
вводить в систему. Данные о проведении этих испытаний занесе-
ны в табл. 20.
Для проверки правильности теоретических предпосылок, по-
ложенных в основу расчета комбинированных вантовых систем
по недеформированной схеме, и изучения работы модели с за-
данным распределением внутренних усилий в интервале работо-
способности (от начальной до полной нагрузки) проводились ис-
пытания на действие неподвижной нагрузки, приложенной в виде
сосредоточенных сил в узлах балки жесткости.
Нагрузку на модель создавали штучными грузами с по-
мощью рычажных устройств с соотношением плечей рычага
1 : 10. При этом собственный вес рычагов с учетом расположе-
ния центра тяжести их учитывался как внешняя нагрузка. Для
обеспечения передачи нагрузки перпендикулярно к оси балки
жесткости предусматривалась регулировка уровня рычагов. Ры-
чаг был шарнирно соединен с отрезком трубы, к верхней части
которой приваривалась гайка. Вращением болта, свободно за-
крепленным с помощью /7-образной накладки на балке, всегда
можно было поддерживать рычаг в горизонтальном положении.
Модель рассчитывалась как система с заданной геометричес-
кой схемой на действие нагрузки постоянной схемы, но перемен-
132
Таблица 20-
Последователь- ность операции		S	Усилия в ванте, кг		Разность, проц.
			теоретические	эксперименталь- ные	
Основная система		53	—	314,7	—
Постановка ванта	5	Ss S3	86,50 241,1	86,50 250,4	3,9
	4	«4 6-, S4	46,4 48,9 239,2	46,4 52,2 243,9	6,8 1,9
	1	St «4 $5 S3	82,1 52,5 50,8 163,0	82,1 49,5 54,0 165,8	5,7 6,3 1,7
	2	S2 S4 S5 S3	50 50 50 50 142,0	50 52,3 48,6 53,6 147,1	4,6 2,8 7,2 3,6
ной по величине. Полная нагрузка на модель была принята по
максимально допускаемому усилию в наиболее нагруженном
элементе модели — ванте 3, возникающему при загружении ос-
новной системы начальной нагрузкой. Собственный вес модели
при расчете не был учтен, поэтому усилия в основной системе от
него принимались за 0. Вследствие того, что сечения вант были
приняты одинаковыми, а не изменялись для каждого ванта в
соответствии с требованиями расчета, начальная нагрузка ока-
залась довольно большой —55% от расчетной. Эта начальная
нагрузка прикладывалась к основной системе, наибольшие на-
пряжения в элементах которой были меньше расчетного сопро-
тивления материалов (рис. 45, а).
После постановки всех вант (в последовательности, показан-
ной на рис. 47, б—д) усилия в них корректировались для наи-
большего приближения к теоретическим значениям. При этом
по динамометрам можно было выставить усилия, превышающие
по величине 20 кг из-за собственного веса натяжного устройства
(при меньшем усилии вант провисал).
Величина нагрузки менялась попеременно от начального до
полного значения и наоборот. Средние показания динамометров
представлены в табл. 21. По полученным усилиям в вантах пост-
133
роены эпюры изгибающих моментов и нормальных сил в балке
жесткости (рис. 46). Наибольшее расхождение теоретических
значений напряжений в балке по сравнаению с полученными в
результате испытаний в большую сторону составило — 3,2, в
меньшую — 13%.
55	55 . 55	55	16
О
Рис. 45. Последовательность испытаний на неподвижную нагрузку (кг):
а — модель загружена начальной нагрузкой; б—О—последовательность постановки вант;
г — модель загружена полной нагрузкой.
Таблица 21
Стадия нагруже- ния		S	Усилия в вантах, кг		Разность, проц.
			теоретические	эксперименталь- ные	
Основная система	Собственный вес Начальная нагруз- ка		—	314,7	__
		S.	762,04	762,0	—
Статически неопреде- лимая система	Начальная нагруз- ка	5; 5, S5	34,59 81,09 625,76 5,43 30,48	34,8 81,7 678,6 21,7 29,87	0,1 8,4 1,7
	Полная нагрузка	Go Со Со Со Со f >r- W ГЭ и-	109,22 180,77 632,54 45,54 56,96	110,92 180,62 645,88 47,74 51,11	1,6 2,1 4,8 10,2
134
Некоторое различие между теоретическими и эксперимен-
тальными значениями усилий в вантах в проведенных экспери-
ментах может быть объяснено неточностью опыта, наличием
неучтенного в расчете трения в шарнирных соединениях модели
и нестабильного значения модуля упругости тросов. Как видно,
Рис. 46. Результаты испытания мо-
дели консольной вантовой системы
на неподвижную нагрузку:
I — теоретические значения изгибаю»-
щнх моментов и продольных сил в бал-
ке жесткости; 2 — то же эксперимен-
тальные.
©
эти расхождения незначительны, что позволяет сделать следую-
щие выводы:
1.	Теоретические значения усилий в элементах статически не-
определимой системы, подсчитанные по недеформированной
схеме, достаточно точно согласуются с экспериментальными.
2.	Предлагаемый метод определения внутренних усилий, рас-
пределенных в системе определенным образом, позволяет вырав-
нять напряжения в решающих (в данном случае опорных) се-
135
чениях балки жесткости с достаточной для практики степенью
точности.
3.	Создание усилий предварительного напряжения в консоль-
ной вантовой системе путем последовательного преобразования
основной системы в систему с заданной степенью статической не-
определимости хорошо подтверждается опытом. Этот метод мо-
жет быть использован практически в любой комбинированной
конструкции с большим числом лишних связей.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Беленя Е. И. Предварительно напряженные металлические несущие
конструкции. М., Стройиздат, 1963.
2.	Безухов К. И. Испытание строительных конструкций и сооружений.
М., Государственное изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1954.
3.	Виноградов А. И. Вопросы расчета сооружений наименьшего веса.
Труды ХИИТ. М., Трансжелдориздат, 1955.
4.	Гайдаров Ю. В. Предварительно напряженные стальные конструк-
ции в промышленном строительстве. М., Госстройиздат, 1960.
5.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной матема-
тики. М., «Наука», 1966.
6.	Дмитриев Л. Г.. Касилов А. В. Вантовые покрытия. Киев, «Бу-
д!вельник», 1968.
7.	Ж е р б и н М. М., Б а л и н с к и й С. И., Духовный С. Д. Транспор-
тно-отвальные мосты и отвалообразователи. Киев, «Техшка», 1968.
8.	Ж е р б и н М. М„ Трофимович В. В. Предварительное напряжение
металлических конструкций в тяжелом оборудовании для открытых горных
работ. «Уголь Украины», 1966, № 12.
9.	Жудин Н. Д. Стальные конструкции. М., Госстройиздат, 1957.
10.	Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое про-
граммирование. М., «Наука», 1967.
11.	И л ь я с е в и ч С. А. Экономия стали в металлических мостовых и дру-
гих строительных конструкциях. Металлические конструкции. Сб. трудов
МИСИ, вып. 43. М., Гостеортехиздат, 1962.
12.	Качурин В. К. Регулирование усилий в вантовой системе с балкой
жесткости. Вопросы проектирования мостов. Сб. научных трудов ЛИСИ, вып.
39. Л., 1962.
13.	Качурин В. К. Некоторые вопросы проектирования вантовой си-
стемы с балкой жесткости. Вопросы проектирования мостов. Сб. научных тру-
дов ЛИСИ, вып. 39. Л., 1962.
14.	Качурин В. К., Изыскание новых вантовых систем. «Известия ву-
зов». Строительство и архитектура, 1964, № 7.
15.	Кириенко В. И. Вантовые системы в железобетонных мостах боль-
ших пролетов. Сб. «Стальные предварительно напряженные и тросовые конст-
рукции», М., Стройиздат, 1964.
16.	Кириенко В. И. Вантовые мосты. Киев, «Буд1вельник», 1967.
17.	К и р с а н о в Н. М. Висячие конструкции. М., Стройиздат, 1968.
18.	Ковалев В. В. Регулирование напряжений в главных балках про-
летных строений мостов. Вопросы проектирования мостов. Сб. научных тру-
дов ЛИСИ, вып. 39. Л.. 1962.
19.	Косенко И. С. Висячие конструкции покрытий. Зарубежный опыт.
М., изд-во литературы по строительству, 1966.
20.	Красиков В. И. Испытания строительных конструкций. М.-Л., Гос-
стройиздат, 1952.
21.	Крыльцов Е. И. Вантовые мосты. Автореферат диссертации на со-
искание ученой степени кандидата технических наук. М., 1955.
137
22.	Лащенко М. Н. Регулирование напряжений в металлических кон-
струкциях. М.-Л., изд-во литературы по строительству, 1966.
23.	Мельников Н. П. Развитие металлических конструкций. М., Строй-
издат, 1965.
24.	Морозов А. П. Универсальные межотраслевые промышленные зда-
ния больших пролетов. Л.-М., изд-во литературы по строительству, 1964.
25.	Осташевский Я. А. Висячие мосты с косыми подвесками. Труды
ЛИИКС, вып. VII. Л.—М., Государственное изд-во строительной литерату-
ры, 1940.
26.	Пермяков В. О. Розрахунок попередньо напружених статично не-
визначенпх консольних вантових систем. Сб. «ААеталев: та пластмасов! кон-
струкцИ», вып. I, Киев, «Буд1вельник», 1969.
27.	П о п о в Г. Д. Регулирование усилий в мостовых конструкциях. Ме-
таллические конструкции. Сб. трудов МИСИ, вып. 43, М., Гостеортехиз-
дат, 1962.
28.	Протасов К. Г. Расчет статически неопределимых мостовых ферм
с учетом пластических деформаций. Метод начальных усилий. Труды
ВНИИЖТ, вып. 13. М., Трансжелдориздат, 1947.
29.	Р а б и н о в и ч И. М. К теории статически неопределимых ферм. М.,
Трансжелдориздат, 1933.
30.	Р а д ц и г Ю. А. Об определении наименьшего объема статически не-
определимых ферм. Труды Казанского авиационного института, т. XVII. Ка-
зань, 1946.
31.	Радциг Ю. А. Расчет статически неопределимых ферм по методу
наименьшего объема. Труды Казанского авиационного института, т. XXV. Ка-
зань, 1955.
32.	Рацкевич Ю. В. Конструкция павильона СССР на Всемирной вы-
ставке 1958 г. в Брюсселе. «Новая техника и передовой опыт в строительстве»,
1958, № 4.
33.	С л о н и м Э. Я. Особенности расчета висячих однопролетных ванто-
вых ферм. Проектстальконструкцпя. Материалы по металлическим конструк-
циям, вып. 11, М., Стройиздат, 1966.
34.	С о м и н с к и й И. С., Головина Л. И., Я г о л о м И. М. О мате-
матической индукции. М., «Наука», 1967.
35.	Стрелецкий Н. Н. Решетчатые комбинированные мосты. М., Дор-
издат, 1953.
36.	Стрелецкий Н. С., Беленя Е. И., В еден и ко в Г. С., Лес-
сиг Е. Н., М у х а н о в К- К- Металлические конструкции. Специальный курс.
М., изд-во литературы по строительству, 1965.
37.	Т р о ф и м о в и ч В. В. Расчет усилий предварительного напряжения,
статически неопределимых вантовых систем. «Прикладная механика», т. II,
вып. 6, Киев, «Наукова думка», 1966.
38.	Трофимович В. В. Оптимальные параметры предварительно на-
пряженных шпренгельных балок. Сб. НИИСКа «Строительные конструкции»,
вып. 9. Киев, «Буд1вельник», 1968.
39.	Т р о ф и м о в и ч В. В. Метод расчета предварительно напряженных,
статически неопределимых висячих систем. «Прикладная механика», т. V,
вып. 12. Киев, «Наукова думка», 1968.
40.	Трофимович В. В., Пермяков В. О. Внзначення оптимальних
параметров 1-раз статично невизиачених консольних вантових систем. Сб.
«Металев! та пластмасов! конструкцИ», вып. I. Киев, «Буд!вельник», 1969.
41.	Трофимович В. В., Мошкин Л. С. Пермяков В. А. Расчет
тросовых ферм с криволинейными поясами и треугольной решеткой при под-
вижной нагрузке. Реферативная информация о законченных научно-иссле-
довательских работах в вузах УССР. Стпоительство и архитектура. Киев. изд.
УкрНИИНТИ, 1969.
42.	X у б е р я н К. М. Метод напряжений. Исследования по теории со-
оружений, вып. IV. М.-Л., Стройиздат, 1949.
43.	Цаплин С. А. Висячие мосты. М., Дориздат, 1949.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..........................................................   3
Глава I. Вантовые конструкции.....................................13
§ 1. Основные свойства	висячих	систем..............................13
§ 2, Комбинированные вантовые системы с балкой жесткости ....	16
§ 3	Вантовые фермы...............................................25
§ 4.	Особенности расчета комбинированных систем и вантовых ферм .	28
§ 5.	Существующие методы оптимального проектирования и их суть .	30
Глава II. Предварительно напряженные вантовые фермы ....	33
§ 1.	Расчет предварительно напряженных вантовых ферм при нагрузке
постоянной схемы постоянной и переменной величин....................33
§ 2.	Расчет предварительно напряженных вантовых ферм при перемен-
ных и подвижных нагрузках...........................................38
§ 3.	Предварительно напряженные вантовые фермы с жесткими раско-
сами ...............................................................54
Глава III. Комбинированные	ваитовые системы......................56
§ 1.	Основные положения расчета комбинированных	вантовых	систем	.	56
§ 2.	Консольные вантовые системы с заданной геометрической	схемой	.	59
Расчет на постоянную нагрузку................................60
Расчет на переменные и подвижные нагрузки....................78
§ 3.	Определение оптимальных параметров простейших комбинирован-
ных систем.......................................................90
Одностоечные шпренгельные балки..............................90
Двухстоечные шпренгельные балки..............................95
Консольная вантовая система ................................... 97
§ 4.	Определение оптимальных параметров многократно статически не-
определимых консольных вантовых систем.............................105
Глава IV. Некоторые вопросы технологии изготовления предвари-
тельно напряженных вантовых конструкций............................119
§ 1.	Способы создания усилий предварительного напряжения .	.	.	119
§ 2.	Способы контроля усилий в предварительно напряженных вантовых
системах ..........................................................125
§ 3.	Экспериментальное исследование работы модели предварительно на-
пряженной вантовой фермы с треугольной	решеткой...................127
§ 4.	Экспериментальное исследование работы модели предварительно
напряженной консольной вантовой системы............................130
Литература ........................................................137
Виктор Владимирович Трофимович,
Владимир Александрович Пермяков
Проектирование предварительно напряженных
вантовых систем
Редактор А. И. Соловьева
Переплет художника В. Г. Погребного
Художественный редактор Н. С. Величко
Технический редактор М. И. Куликовская
Корректор Л. К. Иванова
БФ 00386. Сдано в набор 2. II. 1970 г. Подписано к печати
II. V. 1970 г. Бумага типографская № I, 60Х901/1б=4,375
бумажных, 8,75 физ. и усл. печ. л., 8,7 уч.-изд. л.
Тираж 5000. Цена 73 коп. Зак. 23.
Издательство «Буд1вельник», Киев, Владимирская, 24.
-Киевская книжная типография № 6, Киев, Выборгская, 84