СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
Часть I.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ГРАФИЧЕСКАЯ
СТАТИКА СООРУЖЕНИЙ.
ПРОФЕССОРА
М. Черепашинекаго
Чаеть I,
Второе пнгісжотрѣвнои і допоіжвннов ізданів.
*»4$g£%«» _____
С.-ИЕТЕРБУРГЪ.
Изданіе К. Л. Риккера,
Невски пр., № 14.

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
ШЛИТИИШ И ГРАФЙЧЕСКШ РАСЧЕТЪ СООРШШ
ПО НОВѣЙШИМъ МЕТОДАМЪ,
Оеновныя начала Строительной механики.
Прямые брусья.
Профессора М. Черепашинекаго.
Съ 205 чертежами въ текста.
Второе перісеотрѣнное і допояніеное ізданія.
~Щ(£**
С.-ПЕТЕРБУРГЪ.
Изданіе К. Л. Риккера,
Невскій ар., 2й 14.
190А,

Дозтиво wusjf/aio. С.-ПетерИургь, 16 Ноябри 1903 голо.
Тиюіщфіа-Ю. И. Эгліжъ Снов», » 9,

Предисловие къ 1-му изданію.
Наука о сопротивленіи матеріаловъ и расчетѣ сооруженій получала
въ послѣднсе сорокалѣтіе чрезвычайно быстрое развитіе и усоверінен-
етвованіе благодаря трудамъ Кульмана, Колннъона, Випклера: Резаля,
Мора, Журавскаго и др. ПІаткій путь эмпиріи и гипотезъ, служнвшій
прежде главншмъ источяикомъ изслѣдованій и изобрѣтательпостп
строителей, замѣнила основанная на результатахъ практическихъ опытовъ
теорія, уяснившая считавшуюся прежде неразрѣшимой задачу опредѣ-
ленія способа дѣйствія силъ въ сложныхъ сооруженіяхъ. Упрощеігію
рѣшенія згой задачи въ высокой степени содѣйствовалъ итальянскій
иаженеръ Кастиліано данныыъ нмъ праввлоиъ производной работы дефор-
маціи, изложенными а доказанными, въ его диссертаціи «ТЬёогіе (іе
l'eqnilibre lies systemes elastiques», въ которой онъ указалъ способъ при-
мѣненія этого правила для расчета разнаго рода сооруженій, и упоіре-
бленіе его уяснилъ прекрасными практическими примѣрамп.
Моръ, немного позднѣе Кастиліано, напечатал!, въ журналѣ Ганно-
верскпхъ инженеровъ я архитекторовъ статью, въ которой пользуется
для рѣшенія статически пеопредѣленныхъ системъ закономъ виртуалышхъ
работъ, приводящий, къ тѣмъ же результатам!, что и теорема Кастиліано.
Авторъ отдалъ предпочтете послѣдней теоремѣ, которая вслѣдствіе' умо-
зрительнаго доказательства оказывается болѣе доступной пониманию
учащихся, въ чемъ онъ въ течете боліе чѣмъ десятилѣтняго преподаванія
правилъ расчета сооруженій на освованіи новыхь методовъ, имѣдъ
случай неоднократно убѣдитьея.
Сочинеиіе, котораго первую часть составляеть преддежащій вьшускъ,
ииѣетъ цЬлью указать способы опредѣленія размѣровъ поперечныхъ сѣченій
сооруженій такимъ образомъ, чтобы при наименьшемъ колнчествѣ мате-
ріала они имѣли вполнѣ удовлетворительную крѣпость. Вслѣдствіе
большого значенія, какое въ послѣдоее время получили на практикѣ графи-
ческіе способы расчета, параллельно съ аналитическими формулами
указываются замѣняющія ихъ геометрическія построенія. Важное мѣсто
отведено инфлюентыымъ линіямъ, которыя при расчетѣ сооруженій подвер-
гаеыыхъ дѣйствію подвижной нагрузка—главнывъ образомъ, ыостовъ,—
не могугь быть замѣнеш никакими аналитическими формулами; но и

VI
при вычисленіи дѣйствій покойной нагрузки эти линін въ нерѣдкихъ слу-
чаяхъ являются очень полезными.
Расчету мостовыхъ сооруженій удѣлено большое вниманіе указаеіемъ
способов?, опредѣленія помощію инфлюсптпыхъ линій наиболѣе невыгод-
яыхъ положеній нагрузки, и соотвѣтствующихъ послѣднимъ предѣльнпхъ
дѣйствій ея.
Придавая главное знатепіе практической цѣли сочипенія нзъ него
исключены вс'Ь выводы, носящіе характеръ алгебраичсскнхъ упражненій,
результаты которыхъ имѣютъ только академическое значеніе. По въ стрем-
леніи дать по возможности краткий и вмѣсгѣ съ тѣмъ полный курсъ
расчета сооруженій я старался нзбѣжать другой крайности, состоящей
въ недостаточной ясности изложенія выводовъ или цитированіи формулъ
безъ удовлетворительна го уяспепія ихъ ііроисхожденія. Только когда
учащійся знаетъ предположенія, на основаиіи которыхъ формула
получена и самъ умѣетъ ее вывести, будетъ ему извѣстенъ кругъ ея значенія
и способъ правильнаго примѣненія при рѣшеніи пратстпческихъ зядачъ.
Во всѣхъ случаяхъ, когда требуемый результата можеть быть полученъ
разпымъ образомъ, указывается только топ., который наиболѣе простъ,
требуегъ наименѣе времени для изученія его, всего легче укрѣпляется
въ памяти, и направляетъ учащагося къ самостоятельному дѣйствію.
Въ первой главѣ приведены наиболѣе важвыя теоремы графической
статики, основанный на силовомъ и веревочпомъ шюгоугольнпкахъ.
Вмѣсто эллипса энерціи употреблена указанная впервые Кульманомъ
окружность, которой тоже замѣвенъ зллипсъ наиряженій; уясненіемъ
одной изъ этихъ окружностей дапа уже и другая, потому что между
нормальными и скалывающими напряженіями существуетъ такая же
зависимость, какъ между моментами инерціи и цептробѣжнымн моментами.
При разсмотрѣніи балокъ, которыаъ дѣйствіѳ нагрузки передается не прямо,
но помощію второстепенныхъ конструкцій, введены для краткости
термины «связки» и о передаточный я; съ той же цѣлью касательныя или
срѣзывающія силы названы «усиліями». Передаточное дѣйствіе имѣетъ
особенно важное значеніе для мостовыхъ сооруженій, кромѣ того
помощію его упрощается значительно уяененіе расчета многоопорныхъ кон-
сольныхъ балокъ и многораскосныхъ фермъ. Въ слѣдующей второй части
будутъ разеыотрѣны ыостовыя и стропильвыя фермы, въ третьей—арочные
брусья, земляныя и каменныя сооружеяія, и сооружеиія изъ смѣшанныхъ
матеріаловъ, а въ последней четвертой предполагается поыѣстять допол-
венія и практическая даиныя, которыхъ включевіе въ текстъ предыдущихъ
частей представлялось нѳ совсѣмъ удобными.
М. Черепашинсній.

О Г Л А В Л Е H I E.
СТР.
БВЕДЕНІЕ 1
ГЛАВА I.
Начала графической статики.
1. Изображеніе силъ въ плоскости 7
Сложите силь,
2. Сдожепіе двухъ свят, 7
3. Споженіе произвольная числа силъ, дѣнствуюіаихъ па одну tohej- .... 8
4. Cnoatenle силъ, дѣнстнувэщихъ па разпнчвыл точки твердаго тѣла .... 'Л
5. Сложепіе параллельиыхъ сиаъ 11
. в. Условія раяновѣсія силъ въ плоскости И
Разложеніе смлъ.
7. Разложить силу В. на двѣ слагающія, параялелъньш прянымъ 1 и ш . . . . 12
8. Силу Іі разложить на двѣ параллельный ей слагающія, проходящія черезъ
данньіа точкн о, и Ь, 12
Й, Даны направления двухъ параллельнихъ силъ А и В; определить напря-
женія атихъ силъ такицъ обрааоиъ, чтобы онѣ уравновѣшиеали силы
Р„ Ра, Р„ Р, 13
10. Дана сила S к положеніе трех* другяхъ силь ір, рг, не перееѣкаю-
щихся въ одной точвѣ; опредѣлвтъ величины поспъдкихъ таквмъ
образом?., чтобы опѣ урнвновѣшивали силу В 14
Стапшчеекіе моменты еіиъ.
11. Опредѣленіе - 14
12. Найти моментъ снят. Р,. Р3, Рг! Р, по отношению къ точвѣ 1 14
13. Найти моментъ параллельных?, силъ А, Р, и Рг по отношеніп къ точиѣ t . 15
14. Даны параллельный евлы Р,—Р6, опрѳдѣлнть по отношение къ навой бы
то ни было точнѣ па плоскости иоаенть свлъ. находящихся слѣва точкн
вращенш Ѵі
15. Даны параллельный силы Pj—P^ НаЙтн параялѳльныя нмъ уравновѣаш-
вавэщія ихъ силы А и В, и опредѣлтъ для панов нпбудь тачки моментъ
силъ. находящихся ао одну сторону ѳя - 17
16. Непрерывная нагруава. Единичный груэъ 17
17. Веревочный: многоугодьвпкъ непрерывной нагрузки IS
18. Второй епособъ построеяія ввревочнаго многоугольника непрерывной
нагрузки Зи

VIII
crt.
19. Веревочная лннія равпомѣрноіі непрерывной нагрузки 91
20. Центръ тяшеетп пяосвихъ фпгуръ 23
21. Хомеяты второй степени ■ - - ■ ■ -1*
22. Опредѣленіе момента инерціи. Способъ Пора ......... ,,,... lb
23. Способт. Куяьмапа *9
24. Опредѣленіе ценгробѣяшаго момента 30
25. Преобрязоваяіѳ моыѳетовъ инѳрціп п цеытробі'.иіннго момента 30
26. Зависимость мезкду пентробѣяшыііи иомвнтавш, отнесенными кь двуыъ
параллельныаъ системамъ координатъ 33
27. Упрошенный способъ тгостроенія чентробвжпаго момента 34
28. Центробѣшный иоментъ фнгурь, имѣющихъ осп спмметрііі 35
2Э. Полярный моментъ инерціи .37
30. Зависимость между диумн сопряженными осяип 33
31. Графическое преобразовапіе момептоиъ инерціи п центробѣжііахт, мо-
мевтовъ 39
ГЛАВА II.
Внѣшнія н внутрѳннія еильг.
32. Прѳдметъ строительной механики 41
33. Упругость • 45
34. Изотроиія 46
35. Сопротивленіе. Напряжение . .... 46
36. Дѣвствіе и противодѣйствіе 47
37. Незначительность дѳформацій, допускаемыхъ въ СОоруаіеніяхъ 47
38. Независимость дѣйствія еилъ 48
39. Методъ сѣчевій 48
40. Разные роды дѣиетвія силъ - 40
Законы илотропныхъ твердыхъ ітьлъ.
41. Нориа.тышя а Касательный аапряженія 49
42. Свойство насательных'ь (окалыватщвз-ь} напряженш 50
43. Бруст>. Напряжѳнія ві> косыхъ сѣченіяяъ 51
44. Предѣльныя пормальУыя напряженія 53
45. Предѣдъныя скалыванэнця вапряженія 55
46. Графическое опредѣлеаіе нормадьныхъ и екалывающихъ напряівѳній , . . 56
47. Идеальный цапряженіь 57
48. Деформація. Работа дѳформаціи элеиентарвоіі призмы .58
49. Работа скаяываншгихь нянряжепій 60
50. Работа дефоркацін сооруягенія 61
ГЛАВА Ш,
Правило производной работы деФормацІи.
51. Плосвія ееизиѣняекыя фериы. Нужные а добавочные стержни 62
52. Опоры. Опорные стертая 64
53. Уравненіѳ деформаціи 65
54. Условен равповѣсія сочлевенньссь систенъ 66
55. Выражение работы деформаціи въ фунвціп внѣшнихъ сита 68
56. Теорема Кастиліано (правило производной работы деформаціи) 70

IX
СТР.
57. Значевіе производной работы деформаціи въ еяучиѣ двухъ равныяъ и
прямо противоположныхъ силъ 71
58. Нрилоясеніе принципа производной работы къ рааочету статически яе-
олредѣленпыхъ слстеыь' 7J
50. Системы, въ которыхъ дѣйетнуютъ ітпряженін и цри отсутствіи нагрузвп . 14
60. Бліяяіе изыѣпенія температуры . , . . 77
61. Крѣпяія и еппотнин спегемы .77
62. Слаганіе дѣйсгвЩ .....'. 78
68. Вырашевіе производной работы дефорыацш в'ь фунвдцн патгряженій ... Ttl
64. Взаимность перемѣщенііі Щ\
ГЛАВА 1"Ѵ.
Опредѣленіе нормальныхъ и скалывающихъ напряженій
прямого Оруеа.
66. Нормальная напряшевіа а 82
fjfi. Опредѣленіе нормальтгыхъ напряжепій о 81
67. Зависимость между нулевой и силовой линінии. Діпграыма нормалыіыхъ
няиряженій ВД
08. Нейтральная итіія УО
69. Сѣчеыіе иыѣетъ ось симметріи, или отнесено вь главнымь оснмі 1)2
70. Аналитическія формулы <м
70я. С&ченіе отнесено кг. главным!, осянь или имѣеть ось симметріп .... 98
71. Силовая ллпія еовпадаотъ съ осью еимиегріл сѣченія 1(Хі
72. Сквлывающія папряіненія 102
73 ДіаграмнА скапывающихъ ыапряженій. 104
74. Идеальных шаитіын напряжения . . ..... 107
75. Иредѣлькыя напряжеыиі бруса 100
76. Діаграммы напряжепій 112
77. Траекторін напряженій 116
ГЛАБА V.
ДвФормація. Статически неопредѣленныя величины.
79. Переііѣщѳніе точкп тв 117
79. Перемещен ія отъ лзмѣненіё температуры 119
80. ДеформацІя при изгибѣ Ц9
81. Лреобрааовапіе формулъ дефорыаціи и% прнмѣыеаіи пхт, въ ралечету
статически неопредѣленныхъ еистент» ................... 122
82. Сочлененный системы 123
83. Смѣшанныя системы 124
84. Преобрааованіе уравнении деформаціи 125
8э. Уравиеніе веревочной лиліи 127
86. Уравиеніе упругой ;іийіп и поетроеніе ѳя . . . 128
ГЛАВА VI."
Прямые брусья.
87. Статически определенные плоскіе брусья 130
Инфлм.інніныя junta.
83. Общія свойства '**
89. Дѣйстиіе пролзнедеяние системой <:осредоточенныхъ грузовъ №

X
СИ".
90. Упрощение еііагагоя дѣйетвіи груаояъ 1^1
91. Оиредѣлепіе дѣйствія непрерывной нагрузки 138
92. Передаточное дѣпстоіс грузовч, 139
93. При простой передаточной вагрузк-Ь инфлюентнал липія между связками
есть всегда прямая линія НО
94. Внѣшнія связки 141
95. Бруеъ съ внѣшпимн связкамп 141
!Л>. ВнѣшЕія связки второго разряда 142
ііТ. Консольная балка. . 1+2
98. Сложны» балки 143
99. Наибодѣе невыгодное по.юяіеніе. Максимальное ді.ііствіе 114
100. Опредѣлопіе максимальпаго дѣйотвія Harpj-зкп 145
101. Инф.чюентная лнпія — треугольнпкъ и четыреугольпикъ. Непрерывная
равномѣрния нагрузка 148
ГЛАВА VII.
Моменты и поперечный силы простой Салки.
а) Постоянная ншрцжа.
102. Ре&кціи рпоръ 1'"
103. Сгибающіѳ моменты 153
101. Взаимность момѳнтовч. 166
105. Л ере дач'очная нагрузки. 158
10(5- Поперечный ^срѣзывающія) силы 'Л' 160
107. Практическое правило 162
108. Лередаточнан нагрузка 163
Ипфлюептныя лпнІіі:
109. Инфлюептныя липіп иворныхъ реанцііі 165
110. Инфлюентыыя линія момѳнгов-ь 168
111. Лередаточнан нагрузка - 1"!
112. ОпредЬленіе равп означу щей равномѣрной нагрузки 173
113. Инфлюентная линія поперечвых-ь силъ или усилій І75
114. Задача на максимальное уоипіе; равнозначущая равнонѣряаа нагрузка . . 177
115. ЛршгЬръ • ■ ■ - 178
Ifpomou прѳсйМ'й балка. Упругая линія.
116. Аналитическое овредЬлевіе лиши прогноз . 184
117. Графическое опредѣлѳніе упругой днпіи 185
118. Инфлюентная линія прогибовъ - . - . 188
глава лай.
Консоль.
119. Моменты д поперечцьш сизы консолн ....... .......... 183
120. Опредѣленіе момептовъ и усилій графически 190
121. Часто бываетъ желательно чтобы соотвѣтствующая свободному концу
балки крайняя сторопа веревочнаго многоугольника была горизонтальна. 192
122. Иафлюеягнъія айн in , 193
123. Упругая линія консоли 195
121. Аналитическое опредѣисніе прогиба при постоянноиъ сѣченів 195

SI
ГЛАВА IX.
Простая консольная балка. <ті-.
126. Моменты и усилія простой консольной балки Ill™
129. Опредѣленіп иочептопъ и успліі графически 2ІН)
127. Иафлюентпыя лииіи -КІ
128. Прогибь п упругая линія консольной пачин 21)5
12!», -Многоопоркыя вонсоаышя ба.'ікц ........ 207
Г Л А 11 А X.
Статически неопредѣлевныя Салки.
130. Необходимый предположены 20Н
131. Ноирерыннын балки постояннаго поперечнаго сѣчевія 21)К
132. Правило трехт. моиентовъ . 214
133. Моменты, усилія, реакціп 214
134. Балка па трехъ опорахъ 215
13гг. Балка, аащнмлениая ла одномъ ковдѣ, вдругим-ь расположенная свободно
на опорѣ 2і8
136. Брусъ на 4 опорахъ 21ІІ
137. Брусъ задѣлаппый косо обоими концами 223
. 138. Валка на б опораяъ 226
139. Балка иадѣлава горизонтально обоими концами и подперта въ сврединЬ . '227
140. Валка задѣпанная горизонтально обоими концанп, ииѣегъ 2
промежуточный опоры, дѣлящія длину ея на 3 равный части . 237
141. Балки на бодьшомъ числѣ равноотстоящих!, опоръ, пагруяіеыниз равпо-
нѣрпо 228
142. Огсредѣленів онорньгхъ момонтовъ въ случаѣ. когда нагрѵисенъ только одипъ
пролеть ....... .......... 230
143. Построеніѳ линіс моыентовъ 23t>
141. Онрсдѣленіе усиліи и моиентовъ непрерывной балки поет ом ив а го сѣчепія
помощью посгроенія 237
145. Опроділеніе величин-!. S для случая, когда нагрузка сосгоигъ изъ одного
только груза G ...... . 24-І
146. Примѣръ . 245
147. Лиаія моиентовъ для О на t 251
148. Ипфлюентныя лииіи мпогоопорной балки 252
149. Мвтодъ реакцій 255
150. Опредѣлеяіѳ реаяціа 6-опорной непрерывной балки 257
151. Балка, расположенная концами свободно на опорахъ, подпертая въ еере-
динѣ упругой колонной 26У
152. Инфлюеытыыя лииіи опорныхъ реакціи 261
153. Прииѣръ 1. Горизонтальная балка на 3 опорахъ 261
154. Примѣръ 2. Опоры непрерывной 4-опорнои балвп на одинаковой высотѣ . 2>й}
155. Опредѣленіе инфлиентныхъ лияій вычислепіемъ 266
156. Простая балка, еврѣпленвая стойкой и двуин тягами 26S
157. Примѣръ • 273
158. Простая подвѣеиая и шпропгельная балиа 27В
159. Балка, скрѣпденная двумя стойками и Гремя тягами 376
160. Примѣръ 28*

XII
СТР.
1(11. Подвѣснын и ишрені'елыша балки 281
142. Ояредѣлѳніе напряженій, произведенныхъ дѣйствіемъ вѣтра ни же.тЬзный
моегь —
163. Вліяніе крѣпкаго соединенін доперечной билочкн <п. фермами иіепѣзно-
дорожнаго поста ..... . 289
Г Л А В А XI.
164. Вдѣака п ущемленіе бруса 292
I. Вдѣланный бруеъ —
Приложеніе предыдущей георіи 290
Примѣры 301
II. Ущемленный брусъ 303
ТТТ Вставленный орусь 307
165. Балки со сквозными стЬнкамн 309
Примѣръ 313
Прибавленіе.
L Удѣльвый вѣсъ матеріалосъ 317
IT. Собственный вѣсъ поповъ и потолковъ 318
III. Полезная нагрузка яохолконт. —
IV. Вѣоъ крыпп. съ желѣзными стропилами 319
V. Крѣность матеріаловъ 320
ѴТ. Собственный вѣсъ желѣзныхъ мостовь 322
VII. Коэффициенты тренія 325
VIII. Нозффиціенты лвнейнаго расширепія —
IX. Руссків нормальный сортаиенть;
1. Равнобокоѳ угловое жепѣзо 326
2. Неравнобокое угловое же^ѣзо 328
3. Низкое тавровое иелѣзо 329
4. Высокое тавровое желѣзо —
5. Двутавровое жѳдѣзо 330
6. Ворытное желѣзо 331
7. Зетовое желѣзо 832
Язь ипостранныяѣ сорпюяиятыш;
8. Жедѣао Zores 333
0. Литое листовое жезѣзо 334
Дпоыгіе волнистые ласты 336
Балочные волнистые листы - —
Заклепки 337
Переводъ квлограммъ-саятииетров'ь въ пудо-дюймы и обратно 338
Взаимный переводъ мѣръ русских* и метрдческил-ь 339
-~ввь*-

ВВЕДЕНІЕ.
Просгвйше законы механики врождены отчасти инстинкту человѣка.
который пользовался ими уже въ первобытномъ состоянии, но большей
частью безъ знанія соотвѣтственныхъ ваконовъ, даже безъ понятія о суще-
ствованіи послѣднихъ. Первыя правила кеханики былн открыты въ
древней Греціи, и составленіе первой книги do иеханикѣ приписываюсь
Архитасу изъ Тарента (около 400 г. до Р. X.) одному изъ наиболее
даровитыхъ учениковъ, вышедшихъ изъ школы ІІиоагора. Къ сожалѣ-
нію сочиненія Архитаса безслѣдно затерялись, и основателемъ научной
механики считаютъ Арзимеда (287—212 до Р. X.), усовершенсгвовав-
шаго механику Аристотеля (384—322 до P. X.J, содержавшую уже
параллелограммъ скоростей и правила рычага. Механика Архимеда
занимается исключительно статикой, и содержать принципъ рычага, цевтръ
тяжести и равновѣсіе илавающихъ тѣлъ. Геронъ (около 120 г. до Р. X.)
въ своемъ сочинеиіи aMechanica» разсмотрѣлъ подробно пять простыть
машинъ: рычагъ, клинъ, нолиспатъ, наклонную плоскость и ворогъ, а
современникъ Христа Витрувій собралъ разбросавшая у разныхъавтс-
ровъ открытія по механикѣ, и оставило, замѣчательное сочинен іе по
строительному искусству. Религіозныя преслѣдованія и переселенія наро-
доеъ нріостаяовиля развитіе наукъ болѣе чѣиъ на 10 столѣтів, и только
въ 13-мъ вѣкѣ по Р. X. начинаегь проявляться улучшение, чему
значительно содѣйствовало изобрѣтеніе книгонечатанія (1440—1450).
Прискорбное само по себѣ событіѳ: покореніе Константинополя въ
1453 г. султаномъ Махмудомъ вмѣло для науки благоиріятныя послѣд-
ствія въ томъ отношеяін, что разбѣжавшіеся изь своего отечества греки
ознакомили Евроиу съ гретесквмъ языкомъ и тѣмъ сдѣлали ей
доступными свои источники.
Наиболѣѳ важныя заслуги по усовершенствоватю механическим,
знаній въ 15-мъ п 16-мъ сголѣтіяхъ принадлежать Леонардо да Винчи
(1452—1519), Бенедетти (1530—1590), Тбальди и Стевину (1568—
1620). Основатель динамики Галилео-Галялей (1564—1642)
занимался изгибомъ балки, укрѣпленной однимъ концомъ и свободной на
М. Чеиешшнношй.—Строительная мианива. Ч. I. 2 вад. 1

2
В В ( J E E 1 I,
другомъ, но вслѣдствіе предположенія, тго всѣ волокна одного и того же
сѣченія испытывають одинаковыя напряжения, нолучилъ для момента
сопротивления неправильное выраасеніѳ 7А'а (вмѣсто '/іМ'} *). Фран-
цузскій свягденникъ МарІотъ (1620—1684) нисколько исправилъ теорію
изгиба Галилеи, а Ньютонъ (1642—1727) указалъ способъ употребле-
нія параллелограмма для сложевія и разложенія силъ, и составалъ
теорему о равенстве дѣйствія и противодействуя. Въ концѣ XYII вѣка
изобрѣтатель спиральныхъ пружинь Робертъ Гукъ установилъ извѣст-
вую подъ назваеіемъ «законъ Гука» зависимость между удлиненіею,
площадью и силой, служащую основаніемъ всей теоріи упругости.
Изобрѣгатель дифференпДальнаго и интегральнаго исчисленія Лейб-
ницъ (1646 — 1716) разсиатривалъ сопротивлевіе балки болѣе правильно
чѣнъ Галилеи, потону что напряженія волокоаъ принималъ
пропорциональными ихъ разстояніямъ отъ нейтральной оси, но такъ какъ
ошибочно принялъ за эту ось крайнее волокно, то подучюлъ для мокента
сопротивленія тоже невѣрное выражеше *1ЬЬ№. Правильную теорію изгиба
составилъ впервые французскій ученый Parent въ 1708 г.
Яковъ Бернулли (1654—1705) вывѳлъ уравненіѳ упругой лиши,
а его младшій брать Іоаннъ Бернулли онредѣлилъ уравненіе цѣгшой
или веревочной лиши какъ для равномѣрной, такъ и для неравномерной
нагрузки вдоль цѣпи и объясвнлъ впервые общепоаятныаъ образомъ
принципъ виртуальныхъ (возможныхъ) скоростей, имѣющін большое зна-
ченіѳ въ практической механикѣ. Ученикъ Якова Бернулли, Яковъ Гер-
манъ (1678—1733) издалъ въ Пѳтербургѣ подъ заглавіемъ: «Phorono-
тіав статику п динамику твердыхъ тѣлъ, а Макларинъ (Масіавгіп)
(3698—1746) указалъ способъ разложенія силы по тремъ взаимно пер-
пендикулярнтгь осянъ. Упоыинанія заслуживаете также Симпсонъ,
которого формула ныѣетъ довольно частое приложен» въ строительной
механикѣ**). Знаменитый математикъ Эйлеръ опредѣлилгь дифференціаль-
ное уравненіе упругой лиши, значительно подвинулъ теорію твердыхъ
упругихъ тѣлъ, вьшѳлъ формулу для сжимаемыхъ длннныхъ стоекъ
{формула Эйлера) и составилъ теорію арочныхъ брусьевъ. Онъ скончался въ
Петербурге въ 1783 г.
Въ 1744 г. французскій ученый Maspertius прѳдложилъ Паряж-
*) Галилей родипса въ сеньѣ бѣднаго дворянина, который хотѣаъ сдѣлать его
вуащомъ, но вслѣдствіе шродвпеввнхъ жмъ боаыпияъ' способностей въ ывяаяввѣ
отдалъ его въ тволу. Будучи еще студентонъ онъ открыт. изохрониамъ качаніа
маятнияа, наблюдая вачанія висячей звхпы въ Пазевомъ собор*. Такъ какъ
Галилей деряваоа системы Коперника, то быд-ь обвипедаь іезунтами въ ереси, я тольпо
благодаря своему близкому знакомству съ валом Урбаномъ Till кзбѣяапъ участв
монаха Бруно, сожясеннаго въ 1600 году на основавіи такого же обвнненія.
**) Сиинсот. быжь сначала тиачемъ, авяімъ народаымъ учвгопеыъ, поспѣ донащ-
яияъ учителвдгь математики, и съ 1743 г. профессоромъ математика въ Woolwich.

В В Е Д Е П I E.
3
ской академіи наукъ теорему, названную имъ «законъ сокол» {loi de
repos), выражающую частный случай принципа производной работы,
которой Кастильяно далъ практическое значеніѳ. уяснивъ способъ при-
ложенія ея къ расчету сооруженій. Вѣрное выраженіе для момента со-
противленія балки, защемленной однимъ концомъ и свободной на дру-
гомъ, получилъ впервые военный инженеръ Куломбъ (1736—1806),
занимавшейся также изслѣдованіемъ крѣпости каменныхъ колоннъ,
сопротивленіемъ при срѣзываніи, теоріей свода и напора грунта. Первое сочи-
ніе, содержащее приложеніе механики къ теоріи сооруженій, издалъ въ
1790 г. директоръ Парижской ecoie des poats et ehaussees Прони
(1755—-1839), произведенный за свои ученые труды въ бароны а веры
Франціи. Уяснееію законовъ вращенія иного содѣаствовалъ Поансо
(1777—1859) введеніемъ въ механику поеятІя «пары силъ». Поансо
далъ также способъ слаганія и разлаганія парь и доказалъ, что всякую
силу можно перенести параллельно самой себѣ въ какую угодно точку,
если одновременно будетъ приложена пара, моменть которой равенъ
статическому моменту силы. Весьма важные труды ао теоріи упругихъ
стержней, плитъ, равновѣсія и движенія упругихъ тѣлъ вообще, оставилъ
Поассояъ(1781 —1840), профессоръ политехнической школы въ Парижѣ.
Въ 1807 г. Юнгъ впервые упогребилъ выраженіе «модуля
упругости», опредѣлилъ его значевіе, и обратилъ вннманіе на большое вліяніе,
какое имѣютъ удары и согрясенія па сопротивленіе матеріаловъ*).
Всѣ предыдущіе ученые развивали практическую механику чисто
теоретическимъ нутемъ; недоставало еще практическихъ испытаній, по-
средствомъ которыхъ было бы возможно нровѣрить справедливость теоре-
тическихъ правилъ. Такъ какъ при выводѣ поелѣднихъ помогала себѣ
иногда гипотезами сомнительнзго достоинства, то приложеніе пхъ на
практикѣ въ нѣкоторыхъ случаяхъ сопровождалось неудачей: это дало
поводъ къ насяѣшливой поговоркѣ что «крѣпость сооруженья находится
яъ обратномъ отеошеніи съ ученостью строителя». Устранѳпіемъ этого
пробѣла задался впервые Тредгольдъ (1788—1820), который произво-
дилъ исоыташя надъ сопротивленіемъ матеріаловъ въ большихъ разиірахъ
и нашелъ достойнаго себѣ подражателя въ Тельфордѣ (1757—1834) **).
Весьма дѣпные результаты добылъ опытами надъ сопротивленіемъ
матеріаловъ, и особенно надъ сопротивленіемъ сжатію длинныхъ сгоевъ,
*) Юнгъ был* сыномъ зюлваго торговца; по недостатку средства оат. занимался
сначала частными уроваии, затімъ нзучипъ медиднву, и бнаъ впоспѣдствін лро-
фесеороісь фезнЕЯ вз. ворояевсвоыъ инстліутѣ въ Лоадонѣ.
**) Прежде нзучеяія строительпо-инженѳрваго дѣаа Тредгольдъ быть ляоіин-
комъ, а Тельфорд'ь, какъ сыяъ бѣдняго деревенсваго пастуха, вача.ть свою карьеру
р&зносвхт кнрпкча ПРИ строющнхея донахъ, и: кончила презвдеЕстомъ ос-нов&ашьго
иісь Института грзявданскикь иняівввровъ въ Ловдопѣ.
1*

і
II В В Д Е И 1 К.
Годкинсонъ (1789—1861), который на основзніи этихъ опытовъ соста-
вилъ эмпирическую формулу для расчета колоннъ. Годкинсонъ занимался
также расчетомъ большихъ мостовъ. Усовершенствованно теоріи сопро-
тивлеиія матеріаловъ много содѣйствовалъ Фербернъ (1789—1874) болъ-
шимъ чнсломъ тщательно и научно исполненныхъ опытовъ *;.
Основателем!, новѣйшей науки упругости считается Навьо (1785—1836),
который впервые даль правильную общую теорію изгиба въ своей «Меха-
никѣ строительнаго дѣла». Въ ней онъ разсматриваегь не только
прямые, но и кривые брусья, и выводить для первыхъ общеизвестную
формулу изгиба: Мѵ = Ы. Навье составилъ также формулу для расчета
сжимаемыхъ ддинныхъ стоекъ, которую неправильно пазываютъ
формулой Ранкина, и далъ теорію крученія; оеъ вывелъ первую теорію вися-
чихъ мостовъ, и усовертенствовалъ теорію напора земли и теорію сводовъ.
Во время этого блестяща™ періода практической механики вг Англіи
и Франціи, механика въ Германіе оставалась па чисто теоретической
иочвѣ. Въ программахъ техническихъ ипститѵтовъ преобладали теорети-
ческіе предметы, а профессора ихъ были чужды практикѣ, вслѣдствіе
чего инь недоставало энаній, ееобходимыхъ для согласованія теоріи съ
практикой. Особенно выдѣляется въ этомъ отпошееіи Щуберіъ, про-
фессоръ политехнической школы въ Дрезденѣ, который составилъ весьма
непрактичную «Механику для практиковъ». Но хотя это сочиненіе
Шуберта приходится считать веудачнымъ, то его другіе труды, какъ: «теорія
арочныхъ каменныхъ мостовъ», «начала машиностроекія» и др., принад-
лежать и теперь къ дучшвмъ сочиненіямъ этого рода **).
Первый изъ германсквхь механиковъ, которому удалось целесообразно
соединить аналитическую механику съ технической быль ВеЗсбахь
(1806—1871), котораго, вмѣстѣ съ Редтенбахеромъ, считаютъ основа-
телемъ новѣйшей строительной механики н теоріи напшностроенія въ
Германщ. Изъ нногихъ сочиненій Редтенбахера для нзучающнхъ
строительную механику шгвюгь особенное значеніе «Принципы механики» и
*) Фербервъ проястодилъ изъ очень бЬдной сеньи, и уже въ ранвихъ пѣт&хъ
доявевъ былъ сама, зарабатывать себѣ пропитаиіе ручной работой. Благодаря
усвоенному труду ему удалось впоспѣдетвін выработать себѣ очень видное подожеаіи,
устроить и расширить большой машиностроительный заводь, и аатімъ пріобрѣстн
его аъ собственность. 8а учения заслуга Фербервъ быяъ произведѳнъ вт> бароны;
онъ оставить ывого сочиненій по сопротикіенію матеріаловъ.
**) Шуберта быль сыяоыъ нищвго почти крестьянина; уже съ 7-аіавяго
возраста онъ дошкевъ быль зарабатывать себѣ пролнтыйе въ качѳствѣ деревѳнскаго
пастуіа, а аатѣігь занимался разносвой ваксы въ Дреадевѣ. Здѣсь одиашды встрѣ-
тиаъ его днревторь полиціи и видя, вовъ отъ усталости и гояодя онъ едва
держится на аогахъ, сжалился надъ нннъ, в узяавъ его обстоятельства, отдалъ его въ
школу. Шубертъ учился тнвъ успѣпшо, что уже ва ЗО-мъ году ащинд быль учи-
теземз. математики въ технпческом-ь институгЬ. Енослѣдстяіи Шубертъ прнним».-гь
дѣятельное участіе въ достройвѣ желѣзяыжъ дорогъ въ Саксоніп.

В В Е Д К Н I E.
D
«Машиностроеніе», въ которыхъ онъ оригинальнымъ, но для практики
удовлетворительным!, образомъ разсыатриваетъ сопротивлеяіе матеріаловъ *).
Однимъ изъ наиболѣѳ выдающихся мехаппковъ въ Аигліи былъ Моз-
лей (1802—1872). который познакомилъ аигличанъ съ трудами Навье
и Понсле, и составить первую теорію арокъ, основанную на лвніи дав-
ленія, опредѣлеішой имъ посрѳдетвомъ принципа наименьшаго сопроти-
влѳнія. На основаніж этого принципа МозлеЙ получилъ, что распоръ
свода всегда имѣетъ наименьшее значеніе, какое только возможно, что.
поэтому, дѣйствительпая липія давленія та, которая соотвѣтетвуегь
наименьшему распору. Много важпыхъ усовершенствовавій по механикѣ и
ыашиностроенію принадлежать Ранкину (1820—1872), гражданскому
инженеру и профессору инженернаго искусства и механики въ Глазгов-
скомъ университетѣ. Его «Руководство инженернаго искусства»
находится и теперь въ рукахъ каждаго почти инженера въ Англіи в Аме-
рикѣ, и переведено нн большинство европейскихъ языковъ. Ранкину
принадлежать теорія земли, основанная на внутренние напряженіяхъ тѣла,
развитая впослѣдствіи Винклеромъ и Вейраухомъ.
Достойнымъ послѣдователемъ Навье во Франціи быль Кляпейроеъ,
создатель теоріи непрерывный, иногоопорвыхт. балокъ (1779—1864).
Слѣдуя приглашенію русскаго правительства Кляпѳнронъ, вмѣстѣ съ
Lame, переѣхалъ въ 1820 г. въ Петербурга, гдѣ руководила
строительными работами и преподавай, механику въ тогдашней школѣ публич-
нызъ работъ. По случаю порученной ему перестройки Исаакіевскаго
собора онъ 1823 г. наігасалъ теорію сводовъ, въ которой, виѣстѣ съ
Lame, впервые употребилъ многоугольникъ енлъ в веревочный много-
угольникъ.
Первыл основный начала графической статики дали Lame н СІареу-
гоп въ Петербургскомъ журналѣ Министерства путей сообщения (1826).
Но главная теорема о многоугольннкѣ силъ и веревочной,
многоугольнике, составляющая основавіе графической статики Кульмана, прннад-
лежитъ Вариньону (1654—1727), въ сочиненія котораго, написанвоыъ
въ 1637 г., но изданномъ только послѣ его смерти въ 1785 г. указано
°) Рѳдтенбаіеръ (1809 —1864) быль въ дѣтствѣ самымъ распущенныиъ ыалъчи-
комъ к чувствовать большое отвращеніе къ шволѣ, всяідствіе чего бшз> отдані, въ
колоніазьиыя магнзинъ. Здѣсь у него проявилось сильное жеяаніе учиться, такъ
что дослѣ окончания торговаго ученія въ иагазвлѣ онъ броеилъ торговлю, ввучи.ть
ѵвстеыиъ образомъ математику, а лосгупнлъ въ полртехничесвій ипститутъ въ
Вѣнѣ. Кавъ трудно еиу доставалась ученая деятельность иоиіно узнать изъ слѣ-
дующихъ словъ, пвсавннхъ одному родственнику: „вавъ тебѣ навѣстно, въ мои
юные годы яъ Австріи, внѣсто иаучѳнія ноныхъ н древтега. кльсенковъ, я чистшгъ
сапоги н ивготововаъ бумаятыя трубвн. Мнѣ преходилось очень иного работать,
чтобы ;котя отчасти вознаградим, то, что я пропустнжь, правда не еовсѣвъ по своей
вянѣ, ві . молодости. Мои усяліа хожетъ одѣннть юпьяо тотъ, кто подобно ѵаѣ
еобственпыиъ трудомъ завоевывай, себѣ полозяеніе в-ь жизап*.

6
В В В Д Е Н I В.
иостроеніе многоугольника силъ и веревочнаго многоугольника точно
таквмъ образомъ, какъ это указываютъ Лямэ, Кляпейронъ и Кульманъ.
Въ техническим сочиненіяхъ этими многоуголыіикамн пользовался
Понсле въ изданномъ имъ въ 1828 г. «Cours deMecanique industrielle»,
въ которомъ онъ выводить помощью нхъ теорію цѣпвыхь мостовъ. Хотя
поэтому Кульманъ не быль создателемъ графической статики въ стро-
гомъ этого слова значеніи, но онъ былъ первый, который не только
написалъ по ноной методѣ сочииеніе по графостатикф, но указалъ также
способъ приложенія ея ко всѣмъ почти отраслямъ строигельноинженер-
наго дѣла и объяснилъ многими примѣрами *).
Основателемъ теоріи статически неопредѣленнызъ системъ,
основанной на принципѣ виртуальныхъ скоростей, развитой впоелѣдствіи про-
фессоромъ Моръ, былъ Максвель (1830—1879) профессоръ
экспериментальной физики Кембриджскаго университета. Ему припадлежиіъ
также теорія взаимности перемѣщеній, по которой сила Р, приложенная
въ T04EBJ) по направленію да,, перемѣщаетъ точку q по направленію да,
на точно такую величину, на какую перемѣстилась бы точка р по
направлены рр„ еслибъ сила Р была приложена къ q по направленію qq,.
Теорія сооруженій вообще, и теорія статически йёопредѣленныхъ
сооружепій въ особенности получила отчасти новое направленіе и
значительное усовершенствование благодаря инженеру итальяпскигь желѣз-
ныхъ дорогь Кастиліано. Въ своемъ шамѳеятомъ сочиненіи. «Тпёогіе
de l'equilibre des systemes elastiques» Кастиліано указалъ способъ
приложенія дифференпіала работы къ расчету сооруженій вообще, п
статически неопредѣленныхъ въ особенности. Этотъ способъ онъ распростра-
пилъ на всю теорію сопротивленія матеріаловъ.
Теоріи Кастиліано и Мора пополнили существовавши? весьма
чувствительный пробѣлъ строительной механики по вычислешю многоопор-
ныхъ непрерывныхъ фермъ, арочныхъ и цѣпныхъ конструкдій, и др.,
что было причиной пренебрежения такихъ сооруженій на практикѣ. Въ
настоящее время эти теоріи значительно развиты трудами Вивклера,
Миллеръ-Бресляу, и др., и составляютъ одинъ изъ валшѣйшихь отдѣ-
ловъ теоріи сооруженій **).
*) Кульманъ (1821—188І) былъ еыномъ іпвейцарсваго священника; по окончаніи
полиіекничесвоп шнояи въ Дрезденѣ онъ пракіивовалъ въ качеств* ивжевера нь
Баварін, а въ 185і г. заиндъ каѳедру инженернаго нечестна въ политехнической
щволѣ въ Цюрвяѣ. гдѣ оставался до силой снерти.
**} Бодѣе нодробао см.: іЧерепашинсшй; КраткШ яеторгческіи очерка
строительной механтпи.

ГЛАВА I.
Начала графической статики.
1. Изображеніе сжлъ. Въ графической сіатикѣ изображает, силы
прямыми лияіями, причемъ положеніе силы
и направленіе ея оііредѣляется положе-
ніемъ и направленіемъ прямой, а сторона,
въ -которую сила дѣйствуетъ —
поставленной на прямой стрѣжой. Величину силы
представляютъ длиной . изображающей ее
прямой, для чего нѣкоторую длину
принимаюсь за единицу силы. Такъ сила,
представленная прямой АЬ (черт. I), для
которой длнна тп принята за 1 кило-
т-
Черт. 1.
граммъ, дѣйствуетъ по направление отъ А къ 6, и равна 5 килогр.
Сложеніѳ силъ въ плоскости.
п.
2. Сложевіе двугь сиъ. Равнодѣйствующая двухъ. силъ Р, и Р, дѣй-
ствуюшдхъ на точку А (черт. 2), которшъ величины в направления
даны прямыми АЪ и Ас, есть, какъ из-
вѣстно діагональ Ad параллелограмма по-
строеннаго на этихъ силахъ и она
дѣйствуетъ по направленно отъ А къ d.
Половина этого параллелограмма, напр.
треугольника. Abd называется трѳугольни-
комъ еялъ. Этоть треугольникъ предста-
влѳнъ ѳтдѣльно на черт. 2а, нзъ котораго
видно, что онъ содержитъ какъ данныя
силы, такъ и ихъ равнодѣйствуіощую Л.
Если заставииъ точку а двигаться по периметру треугольника силъ
въ направление указанномъ на каждой сторонѣ стрѣлвой то видимъ, что
ft
Во.
д
А
ч
Черт. 2.

8
[ЛАВА ПЕРВАЯ,
он» должна перемѣетиться "отъ а къ й, и отъ 6 къ d, и что въ d
кончается ея движете, такъ какъ по da она должна бы неремѣщаться слѣва
вправо, т. е. оставить треугольпикъ. Изъ этого заключаешь: Если въ
треугольникѣ силъодна сторона представляетъ равнодѣйствую-
щую, то точка, движущаяся по периметру его по направле-
ніямъ стрѣлокъ. не можетъ воввратиться въ первоначальное
положеніѳ.
При противоположною, направлении силы ad т. е. про дѣйствіи ея
въ сторону отъ d къ а) (черт. 2f>) три силы Р,, Рг и В, находятся въ
равновѣсін. Точка, движущаяся по периметру треугольника albldi по
направленіямъ стрѣлокъ, поставленных! на его еторонахъ, опредѣляю-
щихъ стороны дѣйствія силъ), возвращается въ первоначальное положеніе.
3. Сложѳше произволыаго чяела сжлъ, дѣігавующнхъ на одну точку
(черт. 3). Когда число силъ, дѣйствующихъ на данную точку, больше
Черт. 3,
двухъ, то равнодействующая получается помощью многоугольника силъ.
Чтобы сложить силы Р„ Р„ Ра в Р, (черт. 3), дѣйствующія на точку Л
опредѣляенъ понощью треугольника обе равнодѣйствующую JB,_a енлъ Р,
z Р,, затѣвд, помощью треугольника aed—равнодействующую Лг_ь силъ
Ві_з и Ра, и наконецъ понощью треугольника adf—равнодействующую
S силъ JB,_S и Рл; очевидно что S есть исковая равнодѣйствующая
силъ Р„ Р„ Рэ и Рч.
Полученный этймъ построеніемъ многоугольникъ abedf называется
многоугольниЕЪ силъ. Легко узнать, что для построения его нѣтъ
надобности проводить промежуточныя равнодѣйствующш ІІС,_а, JB,_3..„ и
достаточно стровть па данныхь евлазъ нногоугольии&ъ, откладывая
каждую слѣдугощую салу въ сторону направления ея, отъ конца
предыдущей. Замыкающая сторона этого многоугольника, т. е. пряная af, есть
искомая равнодѣйствующая.
Изъ чертежа Зв видно, что когда одна сторона многоугольника силъ
представляетъ равнодѣйствугащую, то точка а, движущаяся по его пери-

СЛ0ЖЕП1К СИЛЪ ВЪ ЦЛООКОСТЕ.
9
метру по направленіяиъ стрѣлокъ, можѳгь пройти всѣ сдагающія. но ее
можетъ возвратиться въ первоначальное положение, такъ какъ стрѣлка
равнодействующей прекращаете, это движете.
При посіроанін многоугольника силъ можно данныя силы
откладывать въ произвольном! порядкѣ, необходимо только соблюдать условіе,
чтобы точка могла имѣть но периметру, образованному слагающими,
непрерывное движете, т. е. каждую слѣдущую силу нужно проводить отъ
конца предыдущей въ ту сторону, въ которую указывает! стрѣлка ел
ваііравлѳвія.
Если еила .В сдѣлается противоположной (черт. Щ; то система сплъ
-Р,. Рѵ Ра, Р, а И, представленная сторонами замкаутаго
многоугольника abedfa, находится въ равновѣсіи. Изъ чертежа видно, что точка,
движущаяся по периметру многоугольника, образованнаго
силами, находящимися въ равновѣсіи, можетъ пройти весь пери-
метръ непрерывно.
Такъ какъ въ замкнутомъ многоутольникѣ всякая сторона его можетъ
быть разематриваема какъ замыкающая сторона многоугольника,
образованнаго остальными сторонами, то въ многоугольники прерваннаго дви-
женія (черт. За) всякая сила можетъ быть разематриваема какъ
равнодействующая остальныхь, а. въ многоуголышкѣ нѳнрерывнаго движенія
(черт. Щ всякая сила уравновѣшиваѳтъ остальная.
4. Слоясеяіе еіхь, дѣіотвующжгь на раалпкыя точки .твердаго ткжл
(черт. 4 и 4а). Равнодействующая В силъ Р„ Р,... приложенныхъ къ
Черт. 4.
разшигь точкаиъ твердаго тѣла, получается по величянѣ и направленно,
какъ и въ предыдущемъ случав, помощью многоугольника силъ. Поло-
женіе этой равнодействующей опредѣляется всего проще слѣдующимъ
образожы къ произвольной точкѣ А, взятой на енлѣ Pif придоаишъ двѣ
силы I и П, уравновѣшивающія эту силу Р„ ваправзеніемъ которихъ

10
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
задаемся произвольно. Величины этахъ всномогательныхъ силъ получаются
изъ треугольника аОЬ, въ котороыъ
аО\\АЕ и Ю\\ЛВ,
а стороны дѣйствія ихъ указаны стрѣлками I и 2.
Продолжимъ силу Я до пересѣченія съ Р, въ В, и повторииъ для
силы Р3 дѣйствіе, исполненное для Р„ т. е. приложили, къ точкѣ В двѣ
силы, уравновѣшивающія салу Р2, изъ когорыхъ одной задаемся такъ,
чтобы она была равна и противоположна силѣ II: другая сила III опре-
дѣлится третьей стороной Ос треугольника Юс. Стороны дѣйствія этихъ
слагающих^ определяются условіемъ непрерывности движенія по
треугольнику Юс, и указаны стрѣлкаии 2, и 3. Продолжая дѣйствовать
такинъ же образомъ, получимъ равновѣсіе въ точкѣ С, въ которой встрѣ-
чаются силы Ш и Р3, приложивъ къ С двѣ силы: одну равную а
противоположную силѣ III, а другую IV, определенную по величинѣ я
направленно прямой, соединяющей d съ О. Затѣмъ прикладываемъ къ точкѣ
D, въ которой пересѣкаются ІѴТ и Р„ двѣ силы, уравновѣшивающія
силу РА) изъ которыхъ одна равна и противоположна силѣ ГѴ, а
другая V опредѣлена прямой еО (черт. 4а).
Продолженія силъ V иі встрѣчаются ш> точкѣ Е. Если къ этой
точкѣ приложимъ 3 силы: силу В и силы —I и —V, равныя и проти-
воположныя силамъ I и V, приложешшмъ къ А и D, то посредствомъ
треугольника аОе узнаемъ, что точка Е при дѣйствіи да нее этихъ трехъ
силъ, находится въ равновѣсіи.
Каждая изъ точекъ А, В, С, D, Е находится теперь въ равновѣсіи
подъ дѣйетвіемъ трехъ силъ. Но изъ этихъ силъ равныя и противопо-
ложныя силы I іі — I, дѣйствующія въ А и Е, силы II и — II дѣй-
ствующія въ А в В в т. д. взаимно уничтожаются, изъ чего слѣдуегь.
что сила R, проходящая черезъ точку Е, уравновѣшиваетъ данный силы
Л, *„ Р, а Рк.
Если бы многоугольннкъ ABODE быль составленъ азъ веревки и
въ вершинахъ его действовали бы силы Р15 jp„ Ps, Pv R, то форма этого
аеревочнаго многоугольника оставалась бы неивмѣнной, а натяженія
веревки въ частяхъ ЕА, АВ, ВС... равнялись бы силамъ I, П, III...
Миогоутшьникъ ABODE называюгъ вслѣдствіе того вѳревочныиъ мно-
гоугольнекомъ, но болѣе правильно было бы называть его шарнир-
нымъ многоугольникомъ, потону что если бы направления силъ Р„
Рѵ Р3, Pt и В сдѣлались противоположными, то теоретически
равновѣсіе не было бы нарушено, но натяженія въ AS, ВС и т. д.
превратились бы въ давленіл, коюрыкь веревка не когда бы сопротивляться.
Прямыя Оа,ОЬ, Ос... въ многоугольникѣ силъ, выходящія изъ общей
точки О, называются лучаян, а точка О — полюсомъ. Разстояніе по-

GJOXEHIE ОИЛЪ ВЪ ПЛОСКОСТИ.
11
люса отъ какой нибудь язь свлъ, образующизъ очертаніѳ силового мно-
гоугольника ahcde называютъ нолюснымъ разстояяіемъ.
Иаъ предыдущего получается для опредѣлевІя равнодѣйствующей
следующее правило: На данвыхъ силахъ строимъ силовой
иногоугольникъ, котораго замыкающая сторона оаредѣляетъ
величину, направленіѳ а сторону дѣйствія равнодѣйствующей.
Произвольную точку О принимаемъ яа полюсъ, проводииъ лучи
I, II, Щ..., и строимъ веревочный иногоугольникъ ABCD.... та-
кимъ образоыъ, чтобы каждыя двѣ стороны встрѣчалнсь на той
силѣ Р, которая въ многоугольнике силъ съ параллельными
вкъ лучами образуете треугольник!.. 1'авнодѣйствующая R
проходить черезъ точку, въ которой пересѣкается первая в послѣд-
пяя сторона получепнаго веревочнаго многоугольника. Эта
равнодействующая, взятая въ противоположномъ нанравленіи, уравновѣши-
ваетъ данныя силы.
Первую и послѣднюю сторону веревочнаго многоугольника будемъ
называть крайними сторонами данной группы силъ. Такъ напр.
стороны III и V .суть крайнія стороны для группы силъ 1'3 и І\.
5. Сложеніе параллельный, сілъ. Когда силы Єл Рг, РА
параллельны, го иногоугольникъ силъ
превращается въ прямую 04 (черт.
5). Равнодействующая этихъ силъ
по величинѣ и направленію равна
04, а чтобы получить ея положе-
ніе, беремъ произвольный полюсъ
О, проводииъ лучи 00, 01, 02...
и помощью нхъ строимъ
веревочный иногоугольникъ ЕХАВСВЕ
(черт. 5). Если продолжимъ край-
вія стороны Е,А и E,D до пере-
сѣченія въ Е. то черезъ Е
проходить равнодействующая В-
6. Гсловія равдовѣсія етлъ въ квотами. Когда силы Рѵ Р,7 Р3, Рѵ
составляюсь замкнутый многоуголышкъ, то равнодѣиетвукнцая ихъ равна
нулю. Если для этихъ силъ построимъ веревочный многоуголышкъ, то
онъ вообще ве будетъ замкнуть, и его крайней стороны I и I (черт. 6)
встретятся въ безконечности. Предполагая что силы Р„ Р,... дѣйстауютъ
на веревку E,ABCDEt видимъ. что нагяженія въ частяхъ П, Щ и IV
взаимно уничтожаются, и для равновѣсія нужно къ А и D приложить
силы, равеыя и противоположных дѣиствующнмъ на эти точки натяже-
ніямъ I и I. Материальная система, на которую дѣйствуютъ силы -Р,,-Р«*

12
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Р3, Р, не будегь, поэтому, находиться въ равновѣсіи, песиотря на та,
что равнодѣиствующая ихъ равна нулю. Такія силы приводятся къ ларѣ
силъ, которыхъ взаимное разстояніе
h называется нлечомъ, а произве-
деніе I. h изъ силы на плечо —
монентомх пары еилъ.
Если передвинемъ силу Р,
параллельно еамой себѣ такъ, чтобы
оаа проходила чсрезъ точау Н,
въ которой пересѣкаются стороны
I и П веревочнаго многоугольника,
то этоть многоугольникъ замыкается.
Обѣ силы I и I, сдѣлавшиеь прямо
противоположными, уничтожаются,
и данный силы Р„ Р„ Р„ Р,
находятся въ равновѣсіа: вслѣдствіе перемѣщенія силы Р, въ If моментъ
Ій сдѣлался равнымъ нулю.
Черт. 6.
Черт. 7.
Разложеніе еилъ.
7. Раздоить ему В т двѣ слагающія. лара«еіьныя щяшыжь I
I т (черт. 7). Строимъ треугольникъ АЬс такъ, чтобы одна его сторона
была сила В, а двѣ другія нроводимъ
параллельно лрямыыъ lam. Искомыя слагающая
вполкѣ опредѣлены прямыми Je и be; на-
правлетя ихъ дѣйсгвія даны стрѣлками,
поставленными на сторонахъ такинъ образомъ,
чтобы онѣ давали треугольник! прерваннаго
движенія.
Еслибы требовалось найти двѣ силы,
параллельных двумь данньшъ прямынъ, урав-
новѣпшваюпгк силу В, то было бы нужно построить треугольникъ яе-
прерывнаго движенія (черт. 7а).
Задача дѣлается неопредѣленною и допускаетъ безконечно большое
число рѣшеніи, когда число слагающий», на который должна быть
разложена данная сила, больше двухъ.
8. Сыу Ж разложить га дгѣ іараыепЕЫя еі шгающія, ироюдящія
череуь дажныя течи а, ж і, (черт. 8). Для рѣшенія этой задачи нужно
построить многоугольникъ силъ и веревочный многоугольникъ. Полохевіе
искомыхъ евлъ определено прямыми аа, и М„ проведенными черѳзъ а,
и й, параллельно В. Чтобы получить ихъ величины, проводит, прямую
тп параллельно В (черт. 8а) и откладываемъ на ней м« = В. Беремъ

РАЗ ЛОЖЕ HIE СВіъ.
13
Черт. 8.
Черт. Э.
произвольный иолюеъ О, проводимъ лучи I и II. Черезъ произвольную
точку с, взятую на данной сялѣ В, проводимъ прямыя I и И,
параллельные лучаыъ I и II, пересѣкаюгщя аа, и 6Ь, въ а и Ь, и
соединяешь а съ 6. Черезъ полюсь О проводимъ
Ог, || ab до иересѣченія съ том въ яі; полу-
чаемъ тг, = А и иг, = В. Чтобы убедиться
въ вѣрности этого построотія, сложииъ силы
А и Б въ равнодѣй-
ствующую А -+- Б — Р
и помощью полюса О
построивъ соотвѣтству-
юшдй нмъ веревочный
многоугольникъ, пересѣ-
чепіе крайнихъ сгороиъ
котораго опредѣлитъ по-
ложеніе
равнодействующей.
На чертежѣ 9 рѣшена та лее задача для случая, когда otrfc
слагающая находятся по одну сторону равнодействующей Р. Какъ изъ чертежа
видно, слагающія Аж В дѣйствуютъ попротивоположнымъ паправленіяыъ.
9. Даны налравлеяія двухъ параыеіыыхъ еялъ А ж В; опредѣлпъ
яапряженія зтжхъ сиъ такпъ обрааожь, чтобы оні уратовѣиавзд
еыы Р„ Р„ Ps, Р4 (черт. 10). На данныхъ силахъ Р„ Ра. Р3, Pt.
етроимъ многоугольеикъ силъ
(черт. Юя). Берет,
произвольный полюсь О и строить
веревочный многоугольникъ,
котораго крайнія стороны I и V пе-
рѳсѣкаютъ направления силъ А
к Б въ точкахъ а и Ь.
Равнодействующая R данныхъ силъ
проходить черезъ точку с, въ
которой встрѣчаются крайнія
стороны I и V веревочнаго мно^
гоугшьника. Этуравнодѣйствую-
Чврт. 10.
шую разлагает, на двѣ слагающія по направлению, прямыгь А л В.
Для этого соединяет, а еъ Ъ. а черезъ О проводимъ Ог параллельно ab
до пѳресѣчевіа съ енловымъ многоугольникомъ ад 1234 въ е. Прямая Qz
дѣлмгь равиодѣйствующую ш4 аа две части и получаешь замкнутый
многоугольникъ «Ц234гт, котораго углы при т н 4 равный нулю, а
каждый взъ остальвыхъ = 180°. Сила те составляешь треугодьнвкь съ лу-

14
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
чамв I и Ог, а такъ какъ параллельные имъ веревочныя стороны встрѣ-
чаются на лиши А, то слъдуетъ, что А = vtiz и В — #4.
10. Дана шла R і положеиіе трегь другжхъ силъ х, у, г не
передающихся въ одной точкѣ; определять величины послѣднигь такинъ
обравожъ, чтобы онѣ уравновѣшлвалж силу В. — Когда силы находятся
въ равновѣсіи то сила, уравновѣшивающая двѣ изъ -шихъ, равна и
противоположна силѣ, уравновѣшивающей
двѣ остальныя. Если, поэтому, (черт. 11)
продолжимъ Л и Z до пересѣченія въ
5, а X и У— до пѳресѣченія въ а, то
эта уравновѣшивающая сила проходить
черезъ Ь и о, т. е. она совпадаетъ съ
прямой ад. На силѣ В и на прямыхъ
z и Ьа строимъ треугольникъ Ьса (черт.
11а), и разлагаемъ Ьа по направле-
ніямъ силъ X и У: получаемы Л/= X.
af = У. Стороны въ которыя
направлены силы X, У и Z, получаются по правилу непрерывнаго движенія
вдоль периметра силового четыреутольника bcaf, начиная движете огь
точки Ь по направленно къ с, данному стрѣлкой силы Л.
Статичеекіе моменты сид'ь.
\i\j Статжтаекнмъ моженкшъ силы Р по отношение къ точкѣ / (черт. 12),
называютъ произведете силы на ея разстояніе р отъ этой точки. Если,
поэтому, статическій моментъ означимъ черезъ М,
М = Р.р.
ІХерпендикуляръ р называется плечо силы Р.
Если себѣ представимъ что р — твердый рычагь
имѣющій въ t шарниръ, то сила Р стремится
вращать этогь рычагь около t. Мы будемъ считать
коментъ положительнымъ, когда соотвѣтствую-
щее ему вращеніе направлено слѣва вправо (напра-
вленіе часовой стрѣлки), и отрицаіедьнымъ—при
обратионъ направленш вращенія.
(і2) Н*ітж яожеягь еыъ ЄЄ Р3 ж РА не отяошевш къ точкѣ t—
Такъ какъ моментъ равнодействующей равенъ сумхѣ нонѳитовъ,
слагающих-^ то задача будетъ рѣпіена, если найденъ жомевтъ
равнодействующей данназъ силъ по отношений къ точкѣ t. Поэтому опредѣляемъ
равнодействующую данньссв силъ, для чего строимъ многоугольникь сель

СТАТВЧЕСЕІЕ МОМЕНТЫ СИЛЪ.
15
«ВІ234 {черт. 13а), и затѣмъ помощью проиавольнаго полюса
О—веревочный многоуголъникъ. Искомая равнодействующая В, равна и
параллельна прямой »і4 и проходить черезъ точку с. въ которой пересѣкаются
продолжения крайнихъ сторонъ I и V веревочнаго многоугольника.
Проведемъ черезъ t прямую FJ, параллельную R, до пересѣчеаія
съ крайпимк сторонами веревочнаго многоугольника въ F и J, в опу-
сікмъ изъ О перпендикуларъ В на ті. Изъ подобія треугольниковъ FCJ
и тО± получаемъ
FJ
m-i
г
В
откуда, такъ какъ
FJ = Я *
или, озпачивъ мо-
иентъ Дг черезъ Ж,
и отрѣзокъ FJ
черезъ у,
В.у=М
Послѣддее уравненіѳ даегь слѣдующее правило: Если черезъ точку
вращенія проведемъ параллель равнодѣйствующёй данныхѴ
силъ, то отрѣзоТъ~^^т"ой*''параллелй, Ѵтс£Ѵённый"крайнйѴи сто-"
рон'ами веревочнаго" многоугольника, умноженный на полюсное
разстояніе В, равенъ статическому моменту этихъ силъ. Звакгь
момента опредѣііяется направленіемъ его вращенія. '"
Въ произведеніи R.г нуяшо It выражать въ силовыхъ, а г—въ ли-
нейаыхъ единицахъ (напр. R въ килограммахъ. а г — въ метрахъ). При
опредѣленіи произведенія В.у всего удобнѣе измѣрять у по масштабу
сшгц а В—по масштабу разстояніи. - —
Чтобы получить иоменгь силъ Pt и Ps по отношенію къ точкѣ /
нужно, согласно предыдущему правилу, провести равнодѣйствующую ІЗ
эгихъ силъ, опустить изъ О на 13 перпендикуларъ В„ провести
черезъ ( прямую ft || 13. и определить ея пересѣченія f а і сь крайними
сторонами ТС и II веревочнаго многоугольника, построеннаго на сн-
лзхь -Р, и Р3. Искомый момепть Ж, = B(fi.
<Д^З> Еаітж жоиенть варамелиыхъ вххь АІ\ ж Р, во отжшишв
къ точкѣ t (черт. 14). На данныхъ силахъ строимъ силовой иногоутоль-
накъ та!2, откладывая силы А. Р, и Р, по правилу непрерывна™ дви-
жеаія: беремъ произвольный полюсь О, проводить лучи I. II, III, z,
и строимъ веревочный яногоугольннкъ Еаа^Е, Если черезъ t проведемъ

Ifi ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Іерт. 14.
прямую, параллельную даннымъ свламъ, и означинъ ея точки пересѣче-
нія съ крайними веревочными сторонами Еа и .31?, черезъ F и J, a
полюсное разстояніе—черезъ
Я, то
M = H.F.f.
Этотъ моыенгь
положительный, потому что
равнодействующая В силъ А, Р,
и _Р5 проходить черезъ точку
пересѣченія крайпихъ вере-
вочныхъ сторонъ г и 7,
которая получается слѣва t, a
какъ А >_Р, -+-1\. то
равно дѣйствующая направлена
ввѳрхъ, она врагцаетъ,
поэтому, около t вправо.
(и) Даны параллельный силы Р,. Р» РЭ7 РА, Р6, Р6; опредѣлнть
по отюшенію къ какое бы то ни было точкѣ на плоскости иоментъ оялъ,
находящихся слѣва точен вращенія *J (черт. 15).
Строимъ многоугольникъ силъ. для чего откладываемъ силы PltPt,...P6
въ непрерывною порядкѣ. Нолюсъ О принвмаемъ на прямой Оо возста-
вленпой въ о перпендикулярно къ
об и строимъ веревочный много-
угольникъ (черт. 15). "Еслв про-
долзеимъ крайнюю сторону I этого
многоугольника, то отрѣзокъ
всякой прямой параллельной 16,
заключенный между веревочнымъмшг-
гоугольникомъ и этой
продолженной стороной У, умноженный на
полюсное разстояніе Н, равняется
искомому моменту. Такт,
произведете аб. Н равно моменту силъ
Рѵ Р, и Р„ по отношению къ точкѣ с (и вообще, по огношенію къ
всякой точкѣ на ой), потому что отрѣзокъ аЬ заключенъ между
сторонами I и IV, который суть крайними сторонами для веревочнаго
многоугольника построеннаго на смяахь Рл, Р, в Р3.
*) Эта аадача можетъ быть выражена также слѣдуюпщм'* образош.; аа балку,
защемленную одаимъ вонцоісь я свободную ва друтоыъ, дѣйствуюгъ вертваальвыа
силы 2*„ Р,, ... Ря; определить нровзведеввыя ими н* сѣченіют. баввп сгибвющіе
моменты.

непрерывная нагрузка. Единичный грт.
17
Jo, Даны иараиелыыя силы Р„ Р3, Р3. Р,. Наіті силы А ж В
уравновѣиивающія данныя, і определить для какоі-яибудь точки жо-
жѳнгь сил, находящихся по одну сторону ея (черт. 16}. Силы А и В
получаются по способу, уясненному въ (8). Если въ получепномъ по этому
способу многоугольники проведемъ параллель »і?„ и означимъ точки пе-
ресѣченІя ея съ веревочными сторонами черезъ аир, то произведете
оф.іГ= статическому моменту лѣвыхъ силъ А. Р, и Р,, взятому по
отношению ко всякой точкѣ на
ѵѵ.
а и
%
Черт. 16.
Черт. 16 а.
находятся на крайнихъ сторо-
нахъ г a 111 верезочнаго
многоугольника, востроеннаго па си-
лахъ А, Р, и Р3. Но а|3. И —
также моменту правыхъ силъ
Р5, Р4 и В, взятому по
отношенію къ той же точкѣ, потому
что г и III можно разематри-.
вать какъ крайнія стороны вере-
вочнаго многоугольника, постро-
епнаго на силахъ Р3, Р, и В.
Помощью этого построеніл получаются сгибающіе моменты балки аЬ,
расположенной свободно на опорахъ я и А. на которую дѣйствують па-
раллельяыя силы Р,, Р,, ... Силы А и В суть реакціи этой балки.
Непрерывная нагрузка. Единичный грузъ.
(ljj. Когда поверхность тѣла покрыта сплошной нагрузкой (гемлей,
пескомъ, зерномъ, водой п т. д.) таквмъ образомъ, что на очень малую
часть ея ДО, ограниченную замкнутой линіей, дѣйствуетъ грузъ Р. то
частное і* — до называюгь средней нагрузкой на единицу поверхности
элемента ДО. При бесконечно маломъ Д2 эта частица поверхности пре-
р
вращается въ точку ДЙ, и тогда Р~ха выражаеть нагрузку этой точки,
отнесенную къ единицѣ площади. Величина р не означаеть поэтому силу,
но отношеніе еилд^ъ^лощ^адиГ *" "
"". Если нагрузка распределена непрерывно вдоль линш /, н элементу
р
dl этой линіи соотвѣтствуетъ грузъ Р, то частное р ~ ^ будегь средняя
нагрузка этого элемента на единицу длины, или единичная нагрузка
точки, соотвѣтствующей элементу dl. Единичная нагрузка не означаеть
силу, но отношеніе силы къ длинѣ.
Въ дальнѣйшемъ будемъ принимать, что дивія / прямая, и нагрузка
р во всякой точкѣ перпендикулярна къ этой линіи. Примет. I за ось
М. Чересдпшескій.—Строительная яеіаіги ^

18
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
абсцисеъ, и іш перпендикулярахъ, возставленныхъ къ ней въ разныхъ гоч-
кахъ, отложиаъ ординаты aat, bb,. ..., равпыя едивичпымъ грузамъ р
этихъ точекъ (черт. 17). Полученная такиыъ образомъ линія (Ь,і,
называется линія нагрузки. На веякій элемента di линія AN (т. е.
линіи I) дѣйствуетъ грузъ pdx и изъ чертежа видно, что для элемента
тп : pdx = inn. mm, = площади вертикальной полосы тпп,тг Изъ этого
слѣдуетъ, что площадь abbta„ соотвѣтствующая отрѣзку ab прямой AN,
представляетъ дѣйствующую на ab нагрузку: эту площадь будемъ вслѣд-
ствіе того называть площадью нагрузки отрѣзка ab.
Если прямая AN нагружена равномѣрно:
то р будетъ величина постоянная, а линія tb1i1
превращается въ прямую параллельную AN
(черт. 17а); илощадь нагрузки имѣетъ въ этомъ,
для практике наиболее важномъ случаѣ, видъ
прямоугольника AanN.
Когда нагрузка перемѣнна, то она можетъ
Черт it быть положительной и отрицательной, и тогда
противоположные по знаку единичные грузы р
нужно обкладывать отъ оси абсциссъ MN въ противоположныя стороны.
Q?) Веревочный многоугольнжкъ непрерывной нагрузки (черт. 18).
Площадь oanqi нагрузки дѣлиыъ вертикальными прямыми ml, я2 ... па
часта оаті, 1мя2, 2ярЗ..., и каждую часть закѣпяемъ
равнодействующей Ри Р„ Р3..., равной площади ея, которой точка приложенія
находится въ дентрѣ тяжести соотвѣтствепной площади. Такъ напр. сила
Ря = площади четыреугольника 2прд, и проходить черезъ центръ
тяжести г этого четыреугольника. Строимъ веревочный многоугольникъ для
нагрузки, образованной силами Р„ Рѵ Р3... Точки и, ѵ, м>... этой
лиши, находящіяся на продолженіи дѣлящихъ прямыхъ ао, ml, n2...
суть точки исковой веревочной линіи, потому что если возьмемъ верти-
кальньія ординаты этой линіи по отношение къ сторонѣ ея -ЕЕ1,, то по
(12) эти ординаты, умножѳнныя из полюсное разстояніе Н, равны мо-
невтамъ еялъ, находящихся слѣва соотвѣтствевныхъ ординагъ. Такъ напр.,
произведете wr.H равно суммѣ моментовъ силъ Р, и Р„ взятыхъ но
отношенш къ точкѣ 2, а какъ сумма моментовъ слагающихъ равна
монету рзвнодѣиствующей, то слѣдуетъ, что сумка моментовъ безконечно
мадыхъ силъ pdx, изображенннхъ площадью оатп2, взятыхъ по
отношенш къ- 2, равна тоже wr.H.
Всякую непрерывную нагружу можно представить себѣ состоящей
изъ сосредоточенныхъ груаовъ, находящихся на безконечно бдиакихъ
яежду собою разстояшяхъ; вершины соотвѣтствующаго ей веревочнаго
многоугольника лежать на линіахъ дѣйствія этихъ грузовъ, изъ чего слѣ-

непрерывная нагргзкі. единичный гр»зъ. 19
дуетъ, что стороны веревочнаго многоугольника непрерывной нагрузки
безкопѳчно малы, т. е. этогъ многоугольникъ имѣетъ видъ
кривой линіи.
Изъ предыдущаго заключаешь: стороны веревочнаго
многоугольника, построеннаго на равнодѣйствующнхъ Р„ Pt, Ра,... (черт. 18)
карательны къ действительной веревочнойкривой, а точки кэ-
сііііія находятся на продолжен_Уі_дѣ^я^ихъ прямыхъ оа, \т, 2« ...
Разстояніе этихъ прямыхъ между собою нужно брать столь малымъ, чтобы
заключенный между ними отрѣзки «т, тп ... линін тщ можно было
принимать за прямыя, такъ какъ тогда отсѣчонвыл этими прямыми
фигуры будутъ трапеціи и треугольники, которыхъ площади и центры
тяжести легко опредѣлить. Если, какъ это
часто бываетъ, трапеція приближается къ
прямоугольнику, то безъ аамѣтной ошибки
можно принять, что соотвѣтствующая сила
Р проходить черезъ середину ширины
трапеціи; такъ яапр. сила Р3 дѣлитъ
почти точно ширину 2 3 пополаиъ *).
Для удобства построенія слѣдуегь дѣ-
лить площадь нагрузки на части равной
ширины. Если длины средниіъ линій
полученныхъ такимъ образомъ трапеціи
ОШа, \2тп ■. .. обозначимъ черезъ р,,
pt ■ ■ ■, а пхъ общую ширину (01 =
= ]2 = . . .) черезъ е, то, Р, = ер„
Рг = ер„ Рг = ер, ..., т. е. силы Р1т
?,, Р3 ... будутъ пропорциональны дли-
намъ р,. р2, р3 ... При построеніи веревочнаго многоуголышка можно
въ такомъ случаѣ принимать за силы отрѣзки р„ р2, р3 .. ., или ихъ
т-я части |, £,£..-, (т.е. величины g, £, £...). Такое дѣй-
ствіе нмѣетъ вліяніе только на масштабу которымъ должны быть измѣ-
рены результаты построенія (моменты, реакціи и т. д.), т. е. послѣдніе
должны быть умножены на ет. Для получешяалнБЪ#„р5... слѣдуетъпри
дѣленіи нагрузки на я частей раздѣлить длину ея на 2и равныхъ частей.
Черт. is.
*) Точно центръ тншести траиеців получается сдАяующяиъ образожь (.терт. 19):
если ВЛ и CD паралпепьныа стороны, то на продолженіи ВА откладывает, AD,~
— ВХ>2 = CD и ва продолженіи CD — DAt — С А* — АВ; ценгр-ь тяжести находится
въ перѳсѣчеиіл прямыхъ И,А2 и D,At (а также на прямой tts.2- «оедпняющеи
середины параллельниіъ етороігь).
Цоптръ тяжести г треугольника находится яа прямой Cs, соединяющей сере-
дану основапія АВ ^черт. 19») еъ противоположной иерішшоі. въ разстояяш = '/, fir
■ота АВ (т. ѳ, ае = Ѵ» Cs).
2»

20
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Иногда бываетъ невозможно дѣлить длину нагрузки на равныя части:
тогда для избѣжаыія вычисленія площадей, цревращають части, получен-
ныл дѣлящими прямыми, вт. прямоугольпикп съ общпмъ основапіемъ е.
Чтобы превратить трапецію ABCD (черт. 20) въ
прямоугольника еъ основаніемъ е = А,В беремъ прямоугольник* АтВ кото-
раго высота Вѵ = средней линіи st трапеціи; соединяемъ А, съ ѵ. и че-
резъ А нроподимъ АС1 \\ Ахѵ,
то BCt — искомая высота рав-
новеликаго прямоугольника,
Потому что по построенію -*=- =
-А^, откуда
0,В.А,В = АВ.юВ. =AB.st.
Задача: превратить тре-
угольникъ въ прямоутоль-
пикъ съ основаніемъ с рѣ-
шается просто на тояъ
основание, что треуголышкъ равеаъ
прямоугольнику одинаковаго съ первымъ оснопанія, и вдвое меньшей
высоты.
(Т§) Второй сшиюбъ построены веревочваго жногоуголыжка
непрерывной нагрузкж.—Въ болыпинствѣ сдутаевъ веревочный иногоугольникъ
получается проще по слѣдующему
способу, при употребления котораго нѳ
бываетъ нужно опредѣлять ни
площадей, ни центровъ тяжести (черт.
21). Длину АВ нагрузки дѣлимъ
на такое число равныхъ частей,
опре-
Чері. ао.
Чері'. ІЗіі.
чтобы отрѣзки АѴ, 1'2'.
Черт. 21.
Черт. 21 я.
дѣляющей ее кривой AZ'B',
заключенные между двумя смежными
вертикалями, проведенными чѳрезъ
точки дѣлешя, можно было разематри-
вать за прямыя. Представимъ се&Ь,
что въ образованныхъ этими
вертикалями полосахъ проведенъ непрерывный рядъ діагоналея (которыя
въ действительности проводить не нужно), образующей
зигзагообразную линію ]'2'Уі... Площадь нагрузки можно теперь разематривать
разбитой на четыреугольвики ,4.121', 1'23'2', 23'43..., ааъ кото-
рыгь каждый состоигь язь двухъ треуголъвиковъ, иыѣющихъ общее
вертикальное основание yt=\Y, у, = 22'... и равныя высоты е = Аі —

НВІІРЕРЫВНАЯ НДГРІЗКА. ЕДЯНИЧВЫИ ГРГЗЪ.
31
= 12 ~ 23 = ... Площади этихъ четыреугольниковъ равны (соотвѣт-
ственыо) еу„ еу,, еу3..., т. е. онѣ пропорціональны величпнамъ у„ уѵ
у3 — пзъ чего слѣдуетъ, что эти величины {или ихъ т-я части) могутъ
быть приняты за ейлы. Легко узнать, что центры тяжести четыиеѵголь-
никовъ АѴ21, 1'23'Э'... находятся на вертнкаляхъ у,, »/,...
Для построенія силового многоугольника приняты на черт. 21а за
снлы половины этихъ вертикалей, т. е. отложено 01 — ѵ/, 12= ѵ'
и помощью произвольная) полюса О построенъ по общему правилу
веревочный многоугольниь-ъ А„ I, IT, III. .. (черт. 21Ь). Сила,
представленная послѣднимъ треугольникомъ Ъ'ВВ', прибавлена отдѣльно; опа=
= 2 [jrj = -j, и проходить въ разстояпін s е огь ВВ'.
Прииѣчадіе. Стороны полученнаго такимъ образомъ вѳревочнаго
многоугольника не карательны кь_веревочной лияіи, но онъ отклоняются
отъ касательныхъ очень мало. Такъ, если продолжимъ вертикаль уя до
нересѣченія съ крайней стороной въ «, то отрѣвокъ ея ІІІп,
заключенный между этой стороной и веревочпымъ многоугольникомъ. пропорціо-
наленъ суммѣ моментовъ находящихся слѣва енлъ Рх и Р, по отноше-
нію къ вертикалѣ у3. Но сумма этихъ силъ даетъ площадь А\'2'Ъ'2,
между тѣмъ какъ въ дѣйствительной веревочной лвніи этотъ отрѣзокъ
былъ бы пропорціопаленъ моменту площади Л'2'3'3, которая на тре-
угольникъ 23'3 больше. Чтобы поэтому получить на Зи точку г
веревочной линіа, нужно къ ІІІп прибавить отрѣзокъ IIІг, пропорциональный
моменту треугольника 23г3 по отпошенію къ уг (гдѣ Д (23'3) = .,- (23'43)j .
Для этого черезъ центрь тяжести треугольника 23'3 проводит
вертикаль cd до пересѣчееія съ II, III въ сі; силу Р., = 23 (на черт. 21а)
дѣлимъ въ [і пополамъ и черезъ d проводимъ дг || 0[д. до пересѣченія съ
Зя въ к Действительная веревочная линія проходить черезъ точку г, и
изъ чертежа легко узнать, что при достаточно маломъ е разность гк
всегда будеть столь незначительна, что безъ замѣтной неточности можно
точку г заменить точкой III.
09) Веревочная джнія р&вновѣриож непрерывное яагрузкж (черт. 22). —
Площадь нагрузки АаЬВ раздѣлимъ прямой пт пополамъ и замѣнимъ
площади Аатп и тпЬВ соотвѣтетвеиными силами Р, и Р„
проходящими черезъ ихъ центры тяжести я, и з,. Очевидно, что силы /', и Ра
раздѣлятъ Aft и пВ пополамъ. Построимъ для Р, н Р, веревочный
кногоугольникъ A,stB,; его стороны Ats, st и tB„ по доказанному выше,
суть каеателышя къ искомой веревочной кривой, и ихъ точки касашя
находятся на продолженіи вертикалей Аа, тпи ВЬ въ А„ к и Вх. Такъ
какъ тп проходить черезъ, середину разстоянія *,«„ то к дѣлить
отрѣзокъ st пополамъ, и.изъ построенія нміенъ: A^ — sc и ct = tBv

22
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
На черт. 23 нагрузка АВЪа раздѣлена вертикалями тп и рд па 3
равныя части, для которыхъ построенъ веревочный ыногоугольникъ
AAp2tBt. Легко узнать, что продолженія сторонъ 1р и _р2, дѣдятъ А,е
и сВ, на 3 равпыя частп, и что точки 2 и 1, находятся, точно также
какъ и точки &, и А, искомой веревочной кривой, на продолжепів дѣ-
ляшихъ вертикалей тп и pq.
Изъ предыдущего слѣдуетъ непосредственно, что если раздѣлимъ Ахс
и сВі па произвольное число и равныхъ частей, и обозначимъ точки дѣ-
ленія на А,с отъ А, къ с, н на сВ,—отъ с къ В,, цифрами 1, 2, 3...
то соединивъ одноименный точки дѣленій (т. е. 1 съ 11: 2 съ 2, .. .)
прямыми линіями, получинъ веревочный мпогоугольникъ, соответствующей
раздѣленію нагрузки на » равныхъ частей.
На черт. 2-4 нагрузка раздѣлеиа на 6 _^___
Черт. 22. Черт. 23. Черт. 24.
равныхъ частей. Вершины I, III, V... верѳвочнаго многоугольника
находятся на вертикаляхъ точекъ дѣленія 1, 3, 5..., а точки касанія
At, &,, Je2... на вертикаляхъ остальныхъ точекъ дѣленія А, 2, і ... -
Веревочная линія для равноиѣрной нагрузки можѳгъ быть построена,
поэтому, слѣдующимъ образомъ (черт. 24а). Сяроимъ произвольный уголь
А,сВ, такъ, чтобы его вершина с находилась на вертикали г?сѵдѣдящей
длину нагрузки дополамъ, н проектируенъ концы нагрузки на стороны
этого угла, получаемъ точки At и В,. Огрѣзкд А,с и сВ, дѣлимъ на
одинаковое число равныхъ частей и точки дѣленія соединяемъ въ по-
рядкѣ, указанномъ на чертежѣ. Иекокая веревочная линія есть
огибающая ліолузеннаго многоугольника, н тъ. построения слѣдуетъ
непосредственно, что эта лжнія есть парабола. Чтобы получить полюсное раз-
стояше Н откладываенъ на произвольной вертвкадѣ длвну яі» = всея
аагрузкѣ (черт- 24Ь) и черезъ бонды шипя нроводвнъ нрямыя тО в
пО, параялельныя крайнимъ сторонамъ А,с и с.В, веревочнаго многоуголь-

ВЕПРЕРЫВНАЯ НАГРУЗКА. ВДВНВЧНЬШ ШЗЪ.
23
пика: до взаиннаго пересѣченія пхъ въ О. Полюсное разстояніе =
перпендикуляру Oq. опущенному изъ О па тп (измеренному но масштабу длинъ).
(2иі Центръ тяжести плоскихъ Фигуръ.—Центръ тяжести можно разсма-
гривать, какъ точку приложенія равнодействующей непрерывкой нагрузки,
изображенной площадью фигуры, опре-
дѣленіе этого центра приводится,
поэтому, къ опредѣленію равнодействующей.
Чтобы получить ценіръ тяжести
фигуры, изображенной на черт. 25, раз-
биваѳмъ еѳ на 3 прямоугольника, кото-
ры.\ъ площади f„ f, и f3 разсматрн-
ваемъ какъ паралледьныя силы, при-
ложеаныя въ ихъ цѳнтрахъ тяжести.
Принявъ наііравленіо этихъ силъ
горизонтально, и постронвъ для нвхъ
веревочный многоугшьппкъ I, II, III
получает, что центръ тяжести долженъ
находиться па прямой FS-. при наклои-
номъ положенін тѣхъ же силъ новый веревочный многоугольянкъ V IV 1ІГ
даегъ другую прямую F'S, на которой тоже лѳжигь искомый центръ,
онъ находится поэтому въ точкѣ пѳресѣченіа S прямыхъ FS и F'S.
Когда фигура имѣетъ ось сиішетріи, то центръ тяжести ѳя находится
на этой оси и тогда достаточно построить только одинъ веревочный
к^ге --/
Черт. -5.
Черт. 26.
о t я з ■» * «
Черт. 26а.
Черт. 27.
эгаогоугольявкъ при предположены, что направленіе силъ составляетъ
еъ осью синыетрін нѣкоторнй (всего лучше прямой) уголь. Гакъ для
фигуры, (черт. 26), которой ось вертикальна, принято, что силы имѣють
горизонтальное направленіе, и помощью построеннаго для нихъ веревоч-
наго многоугольника получена прямая центра тяжести %х.
Для слѣдующихъ, на практикѣ весьма часто встрѣчающихся фигуръ,центръ
тяжести можетъ быть опредѣленъ безъ помощи веревочнаго многоугольника.
а) Угольникъ {черт. 27). Угольникъ можно разематривать какъ
сумму прямоугольвиковъ абсе и edfg, которыхъ центры тяжести нахо-

и
ГЛАВА U Е Р R А Я.
дятся въ с, и с2. а такъ какъ точка приложения равнодѣйстврощеЁ двухъ
параллельныхъ силъ находится на прямой, соединяющей точки
приложена сзагакщихъ, то центръ тяжести угольника лежитъ па прямой с,са.
Но тотъ же угольиикъ представляетъ разность прямоугольниковъ abhg
и dchf, имѣюгдихъ центры тяжести въ #3 в ^,, центръ тяжести
угольника находится поэтому также на прямой gtet, и получается въ точкѣ
пересѣченія е прямыхъ с,с^ и sxev
Если соединииъ d съ а, то da \\ г,.г„ потому что точка г, и z% дѣ-
лятъ dh и ah пополамг; когда, слѣдовательно, прямая с,с3 построена, то
для полученія центра г достаточно изъ середины sx прямой /с провести
%%г || ad, Въ равнобедренномъ угольникѣ съ одинаковой толщиной полокъ
треугольнивъ adh
превращается въ прямую ah (черт. 2S). .
Черт. 28. Черт. 29. Черт. 30. Черт. 81.
комый центръ тяжести г находится въ пересѣченіи съ тп прямой,
проведенной черезъ центръ тяжести шх одного изъ этихъ угольниковъ,
перпендикулярно КЪ «I».
c) П-образное желѣзо (черт. 30). Разбиваемъ фигуру на прямо-
угольникъ fhlm и угольникъ mabcdg, и опредѣляемъ нхъ центры тяжести
с, и с,; затѣмъ повторяешь тоже дѣйствіе для прямоугольника bcdk и
угольника kglhfa, получаемъ точки я, и вѵ Центръ тяжести находится
въ перѳсѣченіи прямыхъ сгел и г%еѵ
d) Несимметричная двутавровая фигура (черт. 31). Опредѣляемъ
центръ тяжести с П-образной половины nabdfghm, и черезъ с приво-
димъ сг _[_ тп ДО пересѣчѳвія съ тп въ о.
Моменты второй степени.
Щі—Въ механякѣ разлвлаюгь два рода моменговъ второй степени,
смотря по тому, относятся ли они еъ одной, или къ двумъ
пересекающимся осямъ. Въ первомъ случаѣ такой моменть называется моментЪмъ
наерціит а во второмъ—центробѣжныыъ моментоаъ.

МОМЕНТЫ ВТОРОЙ CTEDfenil.
25
Моментомъ инерціи иазываютъ произведете изъ силы на кнадратъ
разстояиія ея точки приложенія отъ данной оси, а пептроб^жІшмъ
моыентомъ — произведете, которое получится если умножимъ силу па
разстояніе ел точки нриложенія отъ одной и другой оси," причемъ"цаз-
стояніл нужно убрать со знаками^ Такъ если въ точкѣ t (черт. 32) дѣй-
авуетъ сила J', а въ точкѣ t,—сила Гѵ то при указанпыхъ на чертежѣ
анакахъ осей XX и YY моменты 2-ой степени будутъ имѣть зпаченія.
прпведеиныя въ слѣдующей таблицѣ:
Сида
Ражтояніо точки
приложенія C11.1U ОТЪ ОСИ
Момеитт, анерпіп по от- ЦентробЪаный М(1_
ноишшю къ оси :і тап, т отногас-
" - .! ІГІЮ КЪОСПМЪ ХИ 1'
-\-у
р.
— Уі
-X,
Pf
Р,У,'
IV
Рху
РЛ»
-P&'h
Момента инерціи по отношенію къ какой-нибудь оси и будѳмъ
обозначать черезъ J„, а центробѣжный моментъ по отношенію къ осянъ и
и ѵ — черезъ Z„.
Теорія моментовъ второй степени ймѣетъ въ строительной механикѣ
приложеніе при опредѣлеиін сопротивления изгибаемыхъ брусьевъ, и
ограничивается непрерывной нагрузкой, изображаемой площадью
какой-нибудь фигуры. Въ выражении зтихъ монентовъ
силой Р есть всегда элемента площади, который
будеиъ обозначать черезъ df. При такомъ обозна-
ченіи будетъ для фигуры CD (черт. 32)
Jx = jfdf, J, = $x4f, Z^Svydf,
а для фигуры (7,-D,
Очевидно, что каждый изъ этихъ ннтеграловъ
должеяъ быть распространѳнъ на всю площадь Чврг к
фигуры.
Правила, воторыя даетъ механика для стагическихъ моментовъ (мо-
ментовъ 1-ой степени), для моментовъ второй степени, т. е. для мо-
ментовъ инерщи и центробѣжныхъ монентовъ, не дѣйствитедьны.
(§2) Опредѣаенів кожеяга жнерціг 1) Способъ Мора (черт. 33).—-
Изъ выраженія
слѣдуеть, что моментъ инерціи по отношенію къ осн хх не зависнть отъ

26
ГЛАВА ВЕРНАЯ.
абциссъ х, поэтому за df можно принимать площадь безкояечно узкой
полосы, параллельной оса инерціи: у означаетъ разстояніе полосы отъ
этой оси. При графическое опредѣлеиіп момента инерціи замѣкяютъ без-
коігечно узкія полосы полосами конечной ширины и подъ у понимаютъ
разетоянія центровъ тяжести этихъ полосъ отъ оси инерціи *). Дѣлящія
-щ
в*
іѣ
X/
Черт. 33.
Черт. 34.
прямыя (1)(І), f2)(2)..., которыя параллельны оси инерціи хх, слѣ-
дуетъ проводить на таяихъ между собою разстояпіяхъ, чтобы легко было
*) Пусть ss (черт. 34) ось центра тяжести волосы шпор, параллельная оси ииер-
ціп кс, у—разетоавіѳ обѣихъ осей, /—площадь полосы, і,—моментъ ннѳрціи ѳя по
отношѳнда кь за, и іх — тоже, по отнощенію въ оси дат, то по иавѣстпому правилу
зависимости момонтовъ инерціи по отношеігіга пъ двумъ параллельннмъ осяыъ, изъ
которыхъ одна проходить черезъ цевтр-ь тяжести, имѣемъ:
Если обозначить радіусъ ннерцін по отношенію въ ss черезъ е(, то іа- = /is,1 я,
сдѣдоватепьно,
гдѣ а—гипотенуза треугольника, котораго вагеты у и еж. Чтобы поэтому получить
точно момента, лверцш нужно сипы /,, /,, /» проводить въ разстояніяхъ et, is, zx.. ■
(вмѣеіо у„ Уа, у,...) отъ оси инерціи кг. Эти разетоянія зависят* отъ радіусокь
инерщи с, полосъ, на который данная фигура раздѣдена и которые нмѣюгь видь
треугодьндноиъ, парляаедограмковъ ж трапещй. Легко найти, что доя треугольника
"і=У ^g, » ЯД» параллелограмма е,=Л/ -^, гдѣ Й~--высота. Для трапепДн можно
брать t, = у -тл ■ Тавь ваш. при построенін момента ннерцін еяѣдувтъ дѣднть
фигуру всегда на узкія волосв, то величины е, бываютъ столь мацы, чяо жми всегда
почти пренебрегают..
Радіусы ннерцін ес трвугопьннва я вараллелограмма могутъ быть получены гра-
й
-^ есть средние геометрическая про-
фжчесхн на тоиъ основааіж, что у -fa~y ■» '
порцйшвльиая ивявддг _ и ^, *]/ -%>~у ^-|~ между ^
и ^г (черт. Зба л ЗБЬ).

МОМЕНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
27
оіфедѣлить площадь каждой полосы и ѳя центръ тяжести: во всбхъ слу-
чаяхъ слѣдуетъ это разетояніа брать достаточно малымъ. такъ каісъ въ
противномъ случаѣ можеть получиться неточная веревочная кривая, или
неточныя крайнія стороны ея, отъ которыхъ величина момента инерціи
зависитъ.
Если обозначить черезъ /*„ /'„ /', . .. площади полосъ и черезъ у„
у„ уг... — разстояпія ихъ центровъ тяжести отъ оси иверціи, го съ
достаточной для практики точностью
" ~= f\v? -+- № -+- Ду.1 • ■ • = s/У-
Каждую изъ этихъ полосъ превратит, въ прямоугольникъ съ общимъ
Черт. 35я.
— *.- -
Черт. 35&.
основаніемъ, а высоты этихъ лряноугольпиковъ обозвачямъ черезъ Ьл.
К, Ь%. .. , то /, = ahi} f, — ah3, fs=ah3... следовательно
J = ahlyl* + ah,y*-l~abiy*... = aZhyt (1)
Принимаем ki: А}, h3... за силы (черт. 33а), дѣйствующія въ цент-
рахъ тяжести площадей /"„ f,, Д ... но направленію, параллельному
оси иверціи хх, стромиъ для нвхъ силовой многоугольникъ черт. 33а,
и помощью произвольная полюса О — веревочный многоугольиикъ
черт. ЗЗЬ. По (12) стороны этого многоугольника отсѣкаютъ на пряной
параллельной силаыъ отрѣзки, пропорціональные мокентамъ по отношевію
къ этой прямой; если, поэтому, полюсное разстоявіе обозначить черезъ Н,
то ваявъ отрѣзкя на хх имѣенъ
12 =
в
23 =
а
Площадь треугольника

38
ГЛАВА ЦЕРВА я.
слѣдователшо площадь, заключенная между веревочной линіест, ея
крайними сторонами I и X, и осью инерціи хх, т. е. площадь AolBkhfdcbA
f= 2-й (Кѵг -+■ *,?,' + ■-)= 2^ ^¥-
поэтому J = aZhf = 2aHF. (2)
Если бы сумма высотъ It, т. е. Л, -+- /г, -+- А3-н ... давала слишкомъ
большѵю длину, то при построены силового многоугольника черт. 33а
прппиыаемъ за силы т-я части высотъ п, т. е. —, — .. . и тогда
J=1maWF (3)
Если продолжит, крайнія стороны I а X веревочнаго
многоугольника до взаимнаго пересѣченія въ t, и черезъ t проведемъ tt, || хх, то ttt
проходить черезъ центръ тяжести фигуры. Огрѣзокъ крайнихъ сторонъ /
и X (который для оси хх равнялся длинѣ оі) для оси #,= нулю и
потому моменгъ инерціи по отношение къ tt, будетъ завнсѣть отъ площади
.AtBkgfdcbA. Если эту площадь обозначить черезъ F„ то моменгь
инерціи по отношенію къ оси проходящей черезъ центръ тяжести фигуры
J, = ЗоДР, или J, = 2maEFl
смотря по тому, были ли -при ностроеніи веревочнаго многоугольника
, п
припятн за силы высоты л или ихъ т-я части - -
Подъ Fl нужно понимать площадь ограниченную вписанной въ
веревочный многоуголъникъ непрерывной кривой А IV В (черт. ЗЗЬ) и
ея крайними касательными At и Bt. Всего точнѣе получается эта
площадь по способу Симпсоаа, для чего одну изъ этихъ касательныхъ,
напр. Bt (черт. 33d) дѣлвмъ на четное число я равныхъ частей, и че-
ревъ точки дѣленія нроводимъ прямыя ij„ tj„ -г\г... параллельных
другой касательной At, до пересѣченія съ кривой АIV В. Если длины
этихъ врамьтхъ, которыми вся площадь раздѣлится на я полосъ, обозна-
чимъ черезъ ij(, tj, ... tj,,, а ихъ разстоянія меящу собою игмѣревныя но
направленно къ нимъ перпендикулярному — черезъ е, то (такъ какъ
Ъ = 0)
^. = з (1" "*" 42- -і- 2ті, + 4Ча -+- ... 4^,) *).... (4)
*) Графически площадь F, опредЬдияась бн сжЬдующнмъ образоиъ {черт. 33d).
Точки я„ щ..., въ (кторьсгБ прямым т|„ %... ветрѣч&ютъ кривую Л IVВ,
соединяет, прямыми Вк„ «,в,... Въ иьждой яолоеѣ, на «оторыя раздѣленв все площадь
правыми і\& %• ■ • і проводикъ среднюю 'лнюю, нѳресѣвающую кривую в-ь точвѣ »",
ь хорку — въ а. Боаьнвиъ н» г» точку t такъ, чтобы ев- раэетоаиіѳ огь кривой
ir=~a **t °*н»чвмъ донну средней лждів считая оть (, череаъ Всзѣдмтвіе неана-

ЯОИКНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. 29.
Площадь F, соотвѣтствующая моменту инерців J, взятому по
отношение къ оси хх параллельной i,t получится, если къ F, прибавинъ
площадь треугольника Но (черт. 33dt, т. е.
Р=?,+Д Но,
■ч23) Сиоообъ Кульиана,—Отрѣзки И,, 1,2,, 2,3, ... отсѣченные про-
долженіемъ сторонъ веревочпаго многоугольника I, II, Ш ... (черт. 33 Ь)
на оси инерціи t,t, принимаема за новыя силы, дѣйствующія вдоль
тѣхъ же прямыхъ яя, й^ ... что п силы А,, й-, . . . , и помощью
второго полюса О, строимъ второй веревочный мпогоѵгольникъ І'ІІ'ПГІѴ ...
(черт. 33с). Если стороны послѣдняго продолжимъ до пересѣченіл съ
осью инерціи ttt въ 0„ ]3, 2„ 32 . . . и означимъ новое полюсное раз-
стояніе черезъ Н„ то
ІГГ - ъЬ^Іі ТТ~ - hzuJ* от - ^' - У»
п т. д.: и подставивъ для ^|1„ 1,2, . . . изъ значенія,
п , -th'lA У' - Ъ£± IT _М1 "от- _ W
елѣдовательно, отрѣзокъ на t,t между краіунгіщ сторонами Г и X'.
откуда ЕАу» = НН, ОТ
и обозначивъ длину GT черезъ г*, получють но (1)
J = aHHsu (5)
Если при построении перваго веревочпаго многоугольника были
приняты-за силы не величины ft, но ихъ »*-я части —,, то
J = maBStu (6)
тагельаости дш*ны т* точку ( достаточно опрѳдѣзять глазожѣрно. Если донны позу-
ченныхъ таким* обраэонъ среднихъ .іивіЙ обозначимъ черезъ я,, s,..., то
ч
F, = й (г, -+- г, -f- га + ...+г,|-і'У г.
і
Это построеніѳ основано на толь акѳ предположен іп, что и формула Сямпсона,
■с. е, что часть кривой между двумя послѣдоватезьными rt иожно принимать за от-
рѣзокъ щграбЧкш. Коіда кривая столь полагая, что юрда совпадаетъ съ дутой, то
точкаV находятся на самой вриной.

30
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
(24) Олредѣленіе дентробѣжнаго иояента.—Центробѣжвыё момептъ ZXjl
по отношение къ двумъ взаимно лсрпендикуляршмъ осямъ хх и уу
(черт. 36) получается по способу Кульмана помощью подобдаго
построены какъ и момептъ иперщв. Такъ, чтобы получить центробѣжный
момептъ фигуры (черт. 3fia) разбиваемъ ее прямыми, параллельными одной
взъ данныхъ осей, напр. ш, на полосы, опрѳдѣляемъ центры тяжести я,
р, у . . . каждой полосы, и высоты
Ol,)ii,ih,S
А„ ht, А,
равновеликихъ вмъ
Черт. 36.
пряиоугольниковъ, илѣтощнхъ общее
основаніе а.
Приппмаемъ т1, — . . . за силы,
дѣйствующія въ я, р . . . по
направленно параллельному хх, и стровмъ
для этихъ силъ, помощью тіолюспаго
разстоявія В, веревочный много-
угольникъ I, II, III .. . (черт. 36Ь).
Отрѣзки 01, 12, 23 ... сгоронъ этого
веревочнаго многоугольника на оси
хх прияимаеыъ за ношя силы, дѣи-
ствующія въ тѣхъ же точкахъ я, (3,
1 - ■ ■ по направленно
параллельному оса уу и етроимъ для няхъ
второй веревочный миогоугольникъ
І„ Д„ Ш,... (черт. 36с); стороны
этого посдѣдвяго будутъ
перпендикулярны къ лучамъ второго силового многоугольника (черт. 36 d), т. е.
1,1.0,0 П.і.0,1 Ш, і.0,2.
Отрѣзокъ 0,7, отсѣченаый на уу крайними сторонами Ів в VHS
умноженный на m.a.H.Bt будетъ искомый цевтробѣжвый моментъ, т. е.
Z^ = m.a.E.H,.0Jr3,
Доказательство получается легко ішдобнымъ обрааомъ Еакъ для
момента инерцін.
Уирогдевіе построеиія певтробѣжваго момента для нѣяаторыхъ драк-
тическихъ елучаевъ будетъ указано ниже.
\2э) Преобразовали южентовъ ка&рціх ж вдатробіжваго имеим.—
Пусть J„ Jf и Z^ —моменты инерціи в центробѣжвый моменгь до отао-
шенію къ нряноуголънынъ осямъ Ох и Од, для которыхъ положитель-
ныя абсциссы счшаѳмъ оть Оу внраво, а положитедьвыя ординаты—
отъ Ох внжзъ. (Черт. 37). Пусть t — произвольная точка фигуры MN,

моменты второй с т в п Е в и.
31
и ж, у — ел координаты по отношенію къ оеямъ Ох и Оу, Если повер-
ыемъ эти оси на уголь а въ положеяіе Ох\
Оу', то новыл координаты точки / будугъ:
х' = у sin а
у' = У COS a
■ х cos a
X sin a
а следовательно
jj = ty'df j,' = &4f z.v = ffidf.
Подставимъ для x' и у значенія нолучимъ:
J J — cos1 a jy7df -+- sin1 a $x3df — 2sin a cos a faydf
J/ = sin3 a jy3df ■+■ coss a $x*df -t- 2sin a cos a fxydf
■Z*V— stnacosa(fy3df — \x3df) ~+- (cos3 a — sin3 a)]xydf.
Такъ какъ
tfdf = J. §x4f = J, $xydf = Z^ ■
2 si« a cos a = sin 2я и cos1 a — sin3 a = cos 2a,
TO
J, sin1 a — Z^ sin 2a .
J,' — Jx sin- a -+- <7, cos3 a -+- Z^ sin la
. (7a
■ (7b)
Z'.y — •„ (Jx — J,) sin 2a -*- 2^ cos 2a (7c)
Сумма первыхъ двухъ уравнеаіи даетъ
j:+j,' = j, + ^.
т. е. сумма моыедтовъ инерціи. взятыхъ до отпошешю къ производьнымъ
двумъ прямоугодънымъ ослмт^ пооходяіцимь черезъ одну и ту же точку, _
есть величина постоянная.
Для я = 45° (ось OZ на черт. 37) получаемъ изъ (7а)
jj = j. = hja + jj-z4
откуда
1
%ч = п lJ++ J»)
(8)
Послѣднее уравненіе даегь возможность опредѣлить цевтрѳбѣж-
ныв конентъ помощью жшентовъ инерціи.

32
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Такъ какъ
то по (7 а)
l-bC0s2a . ., 1—cos 2a
cos3 а = —^ sin1 а = — ^
= J.
I -*- cos 2ct
-•М—Г-)-*.
, si» 2a
J",' = ^ (J. -ь Jf> ■+■ "2 (J, - Л> cos 2a - Z„ sin 2a . . (9)
Когда уголъ а изыѣняется отъ 0 до 180°, то*/,' лриепмаетъ всѣ
возможные значенія (потому что уголъ 2а измѣняетея въ это время отъ О
до 360°). Прѳдѣлыщхъ вмшчинъ достигаетъ J'x для угловъ а. опредѣ-
дяемыхъ условіенъ:
- "- = — \(Jr — Jf)sin2z.2—Ziycos2o..2
2Zr
<**r-7f=?7.
(10)
Этому условію удовлетворяютъ два угла а, отличающіеея между собою
на 90°, такъ что означивъ одинъ изъ иихъ черезъ а,, другой будѳтъ =
= я, +- 90°. Одному взъ этихь угловъ соотвѣтствуетъ наибольшая, а
другому—наименьшая величина момента иперціи.
По (9) можно написать:
J J = 2 (J* -+- Jf) -+-cos 2я
1 .. 1
{{J*~J,)~Zx,tg2o\ =
Такъ кахъ для max Jx
Stf
то
maxJx = J, = T(Jx4- J,) -+-
2
■)
±ѴРЙ
+z.
№)]
т. ѳ.
J. - ^ (Л + J,) + |/(^^f ■+■ 2=
• ■ • (Н)

ЯОХЕНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
33
Оси для которыхъ моменты инерціи достигаютъ предѣловъ J, и J,
пазываюгсяглаввыми осями. ІІаправлепіе одной главной оси опредѣ-
лено уравненіемъ (10), а другая перпендикулярна къ первой.
По (7с) имѣемъ:
Zx„ — cos 2a
W
4g2oL-^Zr
Ѵ\
1
Ид* 2я
Для главныхъ осей дѣйствительны уравненія
ихъ посдѣднее выраженіе получаетъ ввдъ:
— -.,-- "tff-2a-\-Zry
(10) и (11): помощью
Z'-~ J--J,
№-/■>)'
J.-J.
2Z,„
J,-Л
-+-£,].
т. е. Z'rf = 0. Получаемъ правило:
Центнобѣжньгй момедтъ ііо отношенію къ главнымъ осядг=0.і
Когда фигура имѣеть ось симметріи, то всякій плементъ ея df\ aaxo-
дящіііся по одну сторону оси симметріи. имѣетъ симметричный ему эяе-
ментъ на другой сторонѣ; для такихъ двухъ элементов^ произведенія
df.xy равны и противоположны, такъ что сумма ихъ = 0, и, слѣдова-
тельно, относящаяся къ всей площади симметричной фигуры сумма
jdf.xy равна нулю. т. е. iJrj = 0 Ияъ сего заключаемъ. что ось
симметріи есть всегда главная ось.
ІІрикѣ-чадіе. Если оси, по отношенію къ которымъ центробежный
моментъ — б," не перпендикулярны, но образуютъ уголь мевыпій_ 90е, то
вхъ нааываютъ сопг^жешіыми ося_ми.
(2б) Завіоівость жевду цѳнтробѣжныжя жояентажн, отаесеяныжж къ
двумъ параялельнымъ сістежажъ коорджнагь.—Положишь, что дань цен-^,
тробѣжный моменть Z, плоской фигуры по
отношенію къ осяагь X, и Y„ проходящимъ черезъ
центръ тяжести О, (черт. 38) и требуется найти
цеитробѣжЕЫЙ моменть Z той же фигуры по
отношенію къ осямъ X в ¥, параллелышмъ X,
и Т\. Еслн координаты центра О обозначимъ
черезь 5 и »j, то для какого ннбудь элемента
df (напр. для точен с)
dZ = df (хг •+- Е) (у, -ь т]),
а потому
4 = 1 (я, -і- %) (у, н- ij) df = lxiVxdf+ ЦуМ+1 f*jf+ Ч£/**Л
Но fa^f = f%,df = 0 (какъ статаческіе моменты фигуры отнесенные
М. Череиішивсиі.—Строитышдя міаникя. 8
* X *

34
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
къ осямъ ея центра тяжести), следовательно
Z = Z, -н FtjS *)
гдѣ Р = /<?/ — площадь всей фигуры.
Еслп X, и ¥, — главный оси, то Z, = О и тогда
г = і7»і£ (і2)
>'27і Упрощенный епособъ повтроенія дентробѣжнаго
иожента.—Свойство, что для главпыхъ осей Zv = О, даетъ возможность въ шогихъ
нрактическихъ случаяхъ упростить опредѣленІо центробѣлспаго момента.
Такъ, чтобы получить этотъ ыомектъ
для изображенной на черт. 39
фигуры по отношенію к'ь осяыъ X и
Г, параллельпымъ ея сторонамъ АБ
и АС, разбивает ео на 3
прямоугольника, которыхъ площади озпа-
чимъ черезъ fL, ft и f3, а
координаты ихъ цеетровъ тяжести черезъ
і;,^, і),=} и fj3;3, (при чемъ, какъ нзъ
чертежа ьидио, f\t и ;5 отрицательны).
Такъ какъ для каждаго изъ этихъ
црямоуголышковъ Zi — 0, то - ■
Z = — /V^'l — Mi
ІЗГІЗ$
3 ІЗ'З'
Графически послѣднее выраженіе мо-
жеть быть получено помощью двухъ
веревочныхъ мвогоуголышковъ, по
указанному въ (23) способу. Для
этого разсыатриваеэіъ площади /",, /, и f3 какъ горизонтальный силы,
приложенный кь ихъ центрамъ тяжести S,, S3 и S3: строимъ на еихъ
силовой многоугольник*, и для произвольнаго полюса 0L — соотвѣт-
ствующій ену веревочный многоугольникъ I, II, III, IV. Стороны поелѣд-
наго отеѣкаютъ на оси 2 отрѣзкв 12. 23..., и изъ свойствъ вере-
вочнаго многоугольника слѣдуегь, обозначив!, полюсное разстолше
черезъ о,,
а,. 12 = fa а, 23 = f2rn а, 34 = /.ij,.
Отрѣзки І2, 23 и 34 прннимаемъ за новыя свлы, параллельныя оси Y,
*} Легко узнать аналог!» этого выражения съ выращеігіемэ, моиевтовъ пне|щін,
отнееенных-ь кь двуігь паралледьнымъ осякъ, нзъ которыхъ одна проходить черевъ
центръ тяжести фигуры, по которому, какъ извѣстно,
J — Ji + F*?.

SnMEHTU В X 0 F О Й GTIIEEI.
35
дѣіісгцующія въ іѣхъ же точкахъ 8„ S, и S3, и строимъ для нихъ,
помощью полюса 0„ второй веревочный многоуголышкъ I", II", III", IV".
На чіфтежѣ принята за силовой многоуголышкъ прямая 1231; но такъ
какъсилы 12, Щ} и 34 пе горизонтальны, а вертикальны, то стороны
I", II"... второго веревочнаго многоугольника проведены
перпендикулярно къ лучамъ V, IV . . .
Отрѣзокъ т *), отсѣченный на оси Y крайпиии сторонами I" и IV",
умноженный на лолюсныя разстояяія в, н аа, равняется цептробѣжяому
моменту Z, т. о.
'£= — (1,а.±т = — />)!=, - f#\£t -+- f,rb-3.
Для построения фигуры 39 а площади /"„ Д a f3 были превращены
въ прямоугольники съ общимъ основаніемъ Ь, и и-я части высогь этихъ
прямоугольниковъ отложены какъ силы г17 я, и гя: отрѣзокъ т
получился вслѣдствіе того въ b. п разъ иеяьшимъ, поэтому
Z =
а^іфпт.
Очевидно, чго указанный здѣсь графический способъ опредѣленія
дентробѣжнаго момента іюжегъ быть употребленъ для всяко» фвгуры.
Бъ случаѣ неправильной формы фигуры нужно дѣлить ее прямыми,
параллельными одной изъ осей координагь, на столь узкія полосы, чтобы
каждую изъ нихт, можно было разсматривать за прямоугольникъ или тра-
пецію.
(28. Особенно важеиъ случай представленный на черт. 40. Фигура
имѣетъ ось симметрии, составляющую съ
осью ОХ уголъ а, и ограничена вверху и
внизу прямыми, параллельными ОХ.
Разбиваеиъ фигуру пряными,
параллельными оси ОХ, на безконечно узкія
полосы: назовемъ черезъ iiF — площадь
такой полосы, а черезъ у а л —
разстоянія ея центра тяжести огъ ОХ п 0¥, то
ея центробѣжный момента (по 12)
д'І^ = dF. х . у.
Пусть и —разстояпіе точки, въ которой ось синмгарін встрѣчаегь ОХ.
отъ начала координать О, то
х = « -f- у cotg a
•£щ = j>/ {и -+- у cotg а) д¥ = «\ifiF -+- cotg a jy'dF.
Черт. 40.
*) На черт. 39 этоіъ отрѣзокъ получился отрицательный.
3*

36
ГЛАВА Н Е F В А Я.
Если tj — разстоявіе центра тяжести фигуры огь ОХ, то такъ какъ
jydF = Frt fy'dF = J,
°ТДеТЪ" Zt, = Fu-ц i- cotg г J, . . . . . (13)
Частные случаи.
1) Для треугольника, котораго я<уцвийа'"срвпадаетъ съ О (черт. 41),
и = 0, поэтому . .
oh3
Zzf = cotg aJ, = cotg a . — •
Когда оси OX и ОТ нроходятъ черезъ центръ тяжести треугольника .то
_ 6/і'
Ja~ ,. ,
и тогда
**» = cotg а 6~ ■
2) Для .яараллелограмма, котораго одна сторона совпадастъ съ ОХ,
—г—
я
£_
Г*""
у
Черт.
т
**
Ч. V
'.Г1
41.
Т" у'
>--і
Черт. 42.
а оеь симметріи проходить черезъ точку О:
М'
ZIg = cotga.-^-
3) Отрѣзокъ нараболы. Подожимъ, что парабола дана уравненіеяъ
(черт. 42):
в1 у
Статически момепть по отношенію къ ОХ
и вслѣдствіе
* = *!/£

МОМЕНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
37
то
с ь С < л ь С. ^ ъ k'h
Такъ какъ площадь отрѣзка
F = g- M
5 !№ 5,
1" = F = -2TT = 5*-
л »
Jr=j z.djt.if = —=j if' dy = 7 4A*.
Если s—центръ тяжести, то
2 э / 3 \8 8
6ft3.
Теперь получаемъ. центробѣжпый иоиентъ по отношенію къ осямъ
ж„ «/,. проходящит терезъ центръ тяжести:
29. Полярный моиенть ннерція.—Мо-
нентъ инерціи по отношеніт къ точки О
(черт. 4 3) данъ уравневіеыъ:
Jf = jdF.r*
и такъ какъ
w1 -+- у1
ч
-fcC
-- * ---н
Черт. ІЗ.
J =J dF . х1 -+- J" OF . ?/5
т. е. Jr ~ J, -+- J„ (14)
По отношенію къ точкѣ О, находящейся на ОХ, отстоящей отъ О
въ разстояшн = е
а подставивъ для Jx значеніе азъ (14)

38
ГЛАВА 1Г Е Р В А Я.
Если ось у проходить чѳрезъ центръ тяжести, то
j,1 = j, -+- ѵе
я тогда Jp' = JP-t- Fe-
(15)
30) Завкожиоеть между двужя сопряженными осямв. —Пусть Оив Os ■
(черт. 44) сопряженпыя оси фигуры MN, нроведееныя черезъ
произвольную точку О: если перпендикуляр-
ныя разетоянія точекъ этой фигуры оть
Оіі и Os озпачимъ черезъ и и ѵ. то изъ
' свойства сонряженныхъ осей слѣдуетъ:
Zaa = J uvdF = 0.
Черезъ начало О проведомъ двѣ
взаимно перпендикулярный оси Ох, Оу. и
ояначиігь углы осей Ои и Os съ Ох,
черезъ п и s. Изъ черт. 44 имѣеыъ:
и = сд — с,0, ѵ = cf — fa.
или
и = у cos и — х sin п
V = '£ sitt S — у COS S
О = | uvdF — j OF (у cs я — ж sin п) (х sin s — у cos s)
— sins cosn^xydF—sinssmn$x*dF — coss cosn jy'dF -b-cos$sinn§yxdF
— Z4 {tgs -t- tgn) — J,tgs tgn — Jr
Изъ послѣдняго уравненія получаемъ:
t„„ — J* — %**&3 _ J*cotgs — гщ
(іб)
J, tgs Z^cotgs ~ Jf
Z^ — J,tgn Z^cotyn — J,'
Поелѣшее уравненіе можеть быть получено изъ предыдущаго посред-
ствояъ замѣны буквы s на буаву я.
Когда одиш. изъ угяовъ s или п швѣстекь. то помощью уравяеній (16}
можеть быть найденъ другой, и тавдмъ образош. будѳтъ опредѣлеяа ось»
сопряженная съ соотвѣтственной данной осью.
Если одной сопряженной осью есть ось ОХ, то я=0, я тогда
по (16)
**=?=■ (17«)

ИОИЕНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
39
а когда Ои совпадаетъ съ Оу, то ѣ = 90° и
(*. = £.
Если оси Од; и Оу— главеыя, то Z4 = 0, и по (16)
J, ч- J^tgstgn = О
ш) Графическое иреобразованіе ноневтовъ інерціж ж цѳктробѣжвыгь
моиектовъ.—Пусть О (черт. 45) продзвольная-лвяка. MN —данная
фигура, a Jt — ел полярный
моментъ по отеошеыію къ О.
Если р — разстояніе
бесконечно малаго элемента t, ко-
тораго площадь dF, огь О,
то его полярный моментъ
dJ„==dP.p*
и полярный моментъ всей
фигуры
Опишемъ произвольнынъ
радіусомъ г 'окружность if
такъ, чтобы она проходила
черезъ полгосі. О: продолжшгь
лучъ 01 до встрѣчи съ
окружностью въ точкѣ С, и при-
Іарт. -15.
_ ^F.f
2т
пишемъ послѣдней массу, которой величина =
Представимъ себѣ это дѣйствіѳ повтореннымъ для всѣхъ элемевтовъ.
пзъ которыхъ состоитъ фигура MN, т. е. для каждой точки этой
фигуры опредѣлимъ на окружности К соответствующую ей точку С съ
воображаемой массой —2^ ? п опредѣлинъ дентръ тяжести е этихъ вдоль
окружности распредѣленныхъ маесъ. Очевидно, что положеніе этого
центра можетъ быть опредѣлено по правилу статическихъ моментовъ та-
кимъ же образоыъ, какъ центръ тяжести плоской фигуры.
Отнесемъ фигуру MN къ осямъ координатъ Ох и Оу, проведен-
нымъ черезъ точку О лвои^ольно; обозначать точки встрѣча этвхь осей
съ окружностью черезъ А и В, и проведемъ хорду ЛВ. Назовемъ
черезъ у, и х, —разстоянія точки t огь Оу в Ох, то ея центробѣжный
моментъ по отношевію къ этимъ осямъ будетъ:
dZ^ = dF.x,yr

40 ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Если а и 3 — углы, образуемые лучемъ Ot съ Ох и Оу, то. такъ
какъ Ot = р ^ = р ^ ? рі = р м.я я
поэтому dZr, — (Э.Р. р^ sin а si» (3
и центробѣжный моменть всей фигуры
2„, — С <?F р3 si« a si» 3.
Если точку С, въ которой сосредоточена масса -2, > соединит, съ А,
то такъ какъ вписанные углы СОВ и СЛВ, опирающееся на одау и ту
же дугу СВ, равны, получаемъ
Л GAB = 3.
Легко узнать что центральный уголъ -4»«С = 2а. поэтому
хорда Л С = 2г sin a
и опущенный авъ С на JLZ? перпендикуляр!.
Ор = AG sin р = 2r s/« а s/я 3.
Статически моменть массы точки С по отношенію къ _і1В:
/ЙР. ра\
да — ( —~~ ) 2r si« a sin 3
и статическій моменть массъ, распредѣленныхъ вдоль окружности соот-
вѣтствующихъ всей фигурѣ ЖІѴ
—q-'—■ . 2r sin а 8ш 3 = f OF . р1 sin a sin fl
т. e. s = Z^.
Этотъ моменть равняется всей массѣ (которая = / —чіг'-),
умноженной на разстояніѳ ея центра тяжести z отъ^^ если послѣднее озна-
чимъ черезъ С^, то нмѣемъ:
и такъ какъ J dF. р* = Jp
2„ = %^ 08).
Когда ось Оу совпадете, съ Ох, то центробѣжный моменть сдѣлается
моиентонъ вдерціи «/,; ■ обозначат разстояніе С,, дла этого случая
черезъ Скудеть: „
j-=t;-j> (іу)

моменты второй степени.
41
Точно такъ же. если ось Ох совладеть съ осью Оу, то момента
инерціи по отношенію къ послѣдпей
J - С> I
J< ~ 2r J»
гдѣ Сц— разстояніе точки г отъ Х)ц.
ІІзъ трехъ лослѣдпйхъ уравненій іголучаенъ:
: JL : J. =С,
Z,
: С. : G.
(20)
Такъ какъ радіусъ г окружности К произвольный, то можно взять
2r = J.
(°1
и тогда, но (18) и (19):
<7Х = w J, ~ С, Z^ = 6Ч
(21)
Черт. 4ІІ.
На основании уравненія (20) точка
г можетт. быть построена слѣдую-
щвмъ образомъ (черт. 46).
Проводимъ черезъ О произвольно
прямыя Ох и Оу; опредѣяяеигпо
отвошевію къ этимъ прямымъ
моменты инерцщ ■/,. Jr и
центробежный моментъ Zr, (Jfe 21 —24). Сумма
Jr -ь J„ = Jr (Л» 29); радіусомъ =
—.>—* опысываекъ окружность такъ, чтобы она проходила черезъ точку О.
Въ разстояніи = Jx отъ Ох проводимъ прямую ££ ij Ох, и въ разстоя-
ніц — с/у огъ Оу — прямую щ || Оу, встрѣчаюшую £; въ точкѣ с. Если
соединимъ О съ с, то точка г должна лежать на Ос, потому что раз-
стоянія произвольной точки прямой Ос отъ Ох ѵ Оу пропорціональньт
.7, и J,; точка z находится поэтому въ перосѣченін прямой СС,
проведенной въ разстояніи = Z^ on, хорды АВ, параллельно АВ.
Помогцью точки s получаются моменты инерціи и цеитробѣжный мо-
мѳнтъ для произвольной пары осей, проходящихъ черезъ О. Такъ чтобы
получить эти величины для осей 0.с1 и Оу„ пересѣкающихъ окружность
въ х, и у, (черт; 46), проводимъ хорду *,#,, и касательный х$', */,т/.
Опускаекъ изъ г:
па х$-— перпендшгуляръ CJ,
получаемъ:
» УіП' —
' »,Уі—
J,'=CJ J,' =
»
»
--с,'
z*.
с; ж
С *S1
= <Ѵ-

42
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
Проведкиъ черезъ г произвольную хорду ззд,, и соединимъ ж, и #}
съ О, то для осей 0ж, и Off, перпевдикуляръ С^ = 0, т. е. центро-
бѣжныи моментъ —0; эти оси, слѣдовательпо, сопряженный. На чер-
тежѣ 46 проведенъ рядъ другихъ сопряженеыхъ осей: Ох3. О//,, Ох„ Оук...
Если черезъ z проведенъ дІамстръ 12. то еоотвѣтсгвующія ему оси О,
и О, главпыя, потому что опѣ взаимно перпендикулярны, и соотвът-
ствующій имъ центробѣжннй момептъ = О.
Целесообразно строить окружность К слѣдующимъ образомъ.
Принимаемъ за оси Ох и Оу такія двѣ взаимно перпендикулярныя
пряыыя, по отношенію къ которымъ моменты Jx, J, и Z^ получаются
всего проще. Въ дальпѣйніемъ за ось Ох будемъ считать ту, по
отношенію къ которой моментъ
инерціи больше («7„ > J,), и будемъ
принимать ее горизонтально. Такъ
какъ при откладываніи центро-
бѣжнаго «окепта Z^ нужно
принимать во внимавіе его знакъ, то
будемъ считать положительными:
ось Ох вправо, и ось Оу—внизъ
(черт. 47).
Откладываешь отъ О внизъ:
OT, = Ja
и отъ полученной точки й:
ѵ'і = Jv
на діаметрѣ Оі, описывает,
окружность К: въ точкѣ іх возставляемъ
къ Оі, перпѳндикуляръ, и откладываешь на немъ, при ноложительномъ Z„f
вправо, а при отрицательномъ — влѣво
іл = Z^.
Если произвольнцуа точкЦ)£Чокружности соединит, съ О ц&, то
убѣждаемся легко, что перпендикуляры, опущенаыя изъ z на хорду Щі'
и на касательныя въ точкам» $' и fcj равны (соотвѣтственно) Z^, Зя и
■7Г следовательно удовлетворяютъ уравненію (20).
Проведек£ черезъ г діаметръ 1 2, и соединимъ 1 и 2 еъ О, то ] О и
20—главныя оси фигуры. Моментъ инерціи Jt по отношенію къ оси 10
данх отрѣзкомъ lz, а моментъ инерціи Jt по отношенію къ оси 20—отрѣз-
конъ 2г; \z и 2г предетавляюгь, поэтому, главныя моменты инерціи.
Изъ чертежа 47 получаемъ, обозначит, ценгръ окружности черезъ от:
Іт
2^=^-
J,
От.
2 "
Л-

МОМЕНТЫ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.
-Л—',
тг=т2— 2г = ——-= ■■■-* — J % —
ші, = Огх—От =-J, - ^=-±~^ = -*- 2 *7'
иг = ш, . sec 2а, т. е. ---^ = —-—-*■ sec Za
От= \т или —
J* -+- «7„ __ /, ч- г/,
43
1я = Іт -+- тг т. е.
' sec 2з
г Л + J, Л-—J.
■/, — - 0— у х—' sec 2a
X
Л —J.
Если сдѣлаемъ mr—тг, то въ равнобедренномъ треугольникѣ гиг
уголь тгг — 90— а, слѣдовательпо уголъ іхгг = щ получаеыъ:
і„г =Ог — Огх = lg — OiI = Jl —
откуда:
J, = J* -ь і?ч '5 з
Проведеыъ череаъ О произвольно'
оси Oxt и Оу„ будемъ имѣть, опустнвъ
изъ г перпендикуляры на касателышя
въ х„&„ и на хорду #,?/,:
Когда фигура ииѣетъ ось сим-
метріи, то всего проще отнести ее
къ главный^ осямъ 01 и 02 (черт. 48). Дзя другой дары взаимно пер-
пендивулярвыхъ осей Ох и Оу моменты Jx, Jt и Z^ указаны аа
чертеж*. Если уголъ осей 01 н Ох пааовенх черезъ % то такъ какь хорда щ

44 ГЛАВА ПЕРВАЯ.
представляетъ діамѳтръ, уголъ ут2 — 2р, поэтому
Z,, = г" — zmsin 2'p
и вслѣдствіе
— J,-J,
л» = - 2—
J,, = Сж — хт -+- rnQ — хт -н жг cos 2,3
= 2 4- 2 cos2fJ - J, — -2--r- + J, 2— '
т.е. .Л. = J, cos1 Э -+- J^ew* j3 (22)
Такиап. же образомъ получаемъ
J, ~ J, Sin2 fj -+- J.s (flS1 $ — J, -H J2 — JT.
ГЛАВА II.
Внѣшнія и внутрѳннія силы.
(Ц) Бъ строительной иеханикЬ усматриваются только твердый тѣла,
которыя представляютъ себѣ состоящими изъ безконечно малыхъ частицъ
(молекулъ), находящихся въ равновѣсіи иодъ дѣйствіемъ виутреняихъ
или частичныхъ, и внѣшнихъ силъ. Источникъ внутреанихъ силъ
заключается въ самоиъ веществѣ частицъ; величина проявляема™ ими дѣйствія
зависить отъ ихъ взашшыхъ разстояній. и обратно пропорциональна
этимъ разстояніямъ. Всякая приложенная къ тѣлу новая сила нарушаетъ
первоначальное состояние равновѣсія, н разстоянія между частицами, а
слѣдовательво величины частичныхъ силъ. изнѣияются до тѣхъ поръ.
пока не установятся новое соегояніе 'равновѣсія. Такиыъ образомъ
всякая сила, приложенная къ твердому тѣлу, измѣняетъ его форму», т. е.
производить деформацию.
Частицы перемѣщаются не только по направлевію сплы, во по всѣмъ,
вообще, направленіяиъ; тага. напр. стержень подъ дѣйствіенъ
растягивающей сипы не только удлиняется, но также его поперечные разнѣры
уменьшаются, а сжимаемое тѣло получаетъ по бокаыъ утодщенія. Но въ
практических! случзяхъ деформація но одному направлевію обыкновенно
столь значительно превышаете деформаціи по другимъ ваправлекіямъ,

внъшнія и внгтрвввія силы.
45
что безъ замѣгнои ошибки можно послѣдними сравнительно съ первыми
пренебрегать.
Такъ какъ строительная механика занимается только тѣлами
находящимися въ раввовѣсіи, т. е, неподвижными, то дѣйствующія на тѣло
внѣшнія силы всегда находятся въ равновѣсіи: потому что въ
прбтивиомъ случаѣ оно имѣло бы движеніе. Если, поэтому, говорят, что
къ тѣлу приложена сила, то всегда надо подразуыѣвать, что къ нему
приложена еще другая сила, уравновешивающая первую. Этой второй
силой можетъ быть соиротивленіе опаръ или какое-нибудь другое пре-
пятствіе, уничтожающее Движеніе, которое приложенная сила стремится
произвести.
Задача строительной механики состоитъ главными образомъ въ опре-
дѣлепіи паетичныхъ силъ, или, такъ какъ послѣднія измѣняютея виѣетѣ
съ измѣпопіемъ формы тѣла—въ опредѣленіи деформаціи. Силы равныя
и противоположный уничтожаются взаимно только въ смыслѣ
отвлеченной механики; въ строительной ыеханикѣ онѣ уничтожаются только тогда,
когда дѣйствуютъ на одну и ту же точку; въ пвотивномъ случаѣ онѣ
производить деформацію, и могутъ произвести даже разрушеніе іѣла.
По такой же причинѣ нельзя вообще перемѣщатъ точку приложенія силы
по какому бы то ни было направленію, или замѣнять отдѣльиыя силы
ихъ равнодѣйствующѳй, потопу что такія перемѣщепія и заыѣны могутъ
значительно измѣпить внутреннее равновѣсіе.
Упругость. Выше было сказано что тѣло состоитъ нзъ частнцъ
находящихся между собою въ равновѣсіи. Это равновѣсіе аожетъ быть
устойчивое, безразличное и неустойчивое.
Раваовѣсіе называется устоіічишмъ, когда тѣло, получившее вслѣдствіе
дѣйствія вяѣшкихъ силъ деформацію, воспринимаеть по удаленіи этихъ силъ
свой первоначальный видь. Это свойство тѣлъ называется упругостью.
Когда амплитуда видоизмѣнепіл дерейдетъ нѣкоторый предѣлъ,
зазываемый предѣломъ упругости, то тѣло получаеть новую форму равно-
вѣсія: частицы не возвращаются точно въ первоначальное положеніе, и
образуется новая группировка часішгь. Въ этомъ новомъ состояніи равно-
вѣсія тѣло Емѣѳтъ тоже некоторую устойчивость, но опыты показываюгъ,
что чѣмъ болѣе дѣйствіежь внѣшнихъ силъ будетъ измѣпена группировка
частицъ, тѣмъ менѣе устойчивымъ дѣлается соотвѣтственное равповѣсіе,
тѣнъ болѣе постоянная деформація превышаешь упругую. При дальнѣй-
шемъ увеличеніи силы наступаетъ, наконецъ, моментъ, когда равновѣсіѳ
дѣлается невоаиожвымъ и сцѣпленіе чаетицъ въ нанболѣе слабомъ мѣстѣ
разрушается.
Когда равновѣсіс безразличное, то тѣло, получившее деформацію.
сохраняет, ее и по удаленіи силъ, т. е. частицы при всякой группа-

46
ГЛАВА ВТОРАЯ.
ровкѣ ихъ находятся въ равповѣсіп. Это свойство характеризуем тѣла
иягкія и пластнчныя. Опыты показывают*, что совершенно пластичныхъ
тЬлъ въ природѣ нѣтъ, такъ какъ при очень малой дефорыцціи и мягкія
или пластичныя тѣла проявляют* устойчивое ранновѣсіе, свидѣтельствую-
шее объ ихъ упругости.
Равновѣсіе называется неустойчивымъ, когда малѣйшая сила
производить столь значительное перемѣщеніе частицъ, что тѣло разрушается,
или по крайней мѣрѣ его состояніе измѣняется. Такое свойство ияѣюгъ
нѣкоторыя стекла, гремучія вещества и т д.
(Й) Изотроюя. Тѣло называется однородным*, когда его сложевіе во
всѣхъ точкахъ одинаково, п его называюсь изотпопнымъ, когда оно во
всѣхъ точкахъ и по всѣмъ папраплсніямъ ияѣетъ одинаковую упругость.
Такъ напр- стекло почти совершенпо изотропно: тѣла волокеистыя какъ
дерево, прокатное желѣзо и др. изотропны только по направление воло-
конъ: частицы расположены въ пихъ симметрично въ нѣкоторомъ родѣ
вокругъ оси: ихъ симметрія несовершенная. Въ природѣ весьыа рѣдко
встрѣчается тѣло, которое было бы совершенно изотропно хотя бы по
одному направленно, но отклоневія отъ изотропности обыкновенно столь
малы, что практически можно ими пренебрегать. Это пренебрежете
допустимо уже потому, что на практики обыкновенно требуется знать
деформапію только по одному направлению.
(д§) Сопротшленіе. Напряжете. Внутреннее состояніе равновѣсія тѣла
можетъ быть измѣнепо только посредствомъ приложенія къ пему новой
виѣшнеи силы, взъ чего слѣдуетъ, что тѣло сопротивляется деформаціи.
Сопротввлепіе есть мѣрило уеилія, которое нужно произвести для того,
чтобы получить извѣстную деформацію.
Сопротавленіе, отяееенное къ единипѣ площади, называется напря-
женіѳмъ. Очевидно, что сопротавленіе (абсолютная величина улилія) не
опредѣляегь статическаго состоянія тѣла, если неиэвѣстна величина
площади, къ которой оно относится. Такъ напр. грузъ въ 1000 кшіограм-
мовъ не произведет* на желѣзную колонну, которой поперечное сѣче-
ше — 1 квадр. метр., почти никакого дѣйствія, но онъ разрушить ее,
если это сѣченіе будетъ = 1 квадр. миллиметр.; особенно важное
значение ижЬеть, поэтому, отношѳніе силы къ площади ея дѣйствія, т. е.
напряженіе. Когда усиліе распредѣлено во площади равномѣрво, то
напряженіе равно частному отъ раздѣлевія уеилія на площадь; въ этом*
случаѣ запряжете во веѣхь точкахъ площади одинаково; при неравно-
мѣрномъ распредѣленін усялія напряженіе изминается отъ точки до точки.
Таких* сил*, какія разематриваются въ неханнкѣ, въ дЬйствитель-
ности нѣгь въ првродѣ: это суть только идеальный равнодѣйствующіа
безконечно большого числа безконечно малых* сидъ, приложенвыхъ къ

внѣшпія н впутрениія гилы.
17
отдѣлышмъ частнцамъ и кт. поверхпоети тѣла. Такъ вѣсл. не ость сила,
приложенная кт, центру тяжести, но совокупность вѣсовъ всѣхъ частицъ,
сосіавляюпшхъ гѣло. Кромѣ того, сила никогда не бьгваетъ сосредото-
чена Н'ь одной точкѣ, какъ это предполагаете механика, но она лере-
дается тѣлу всегда посредетвомъ болѣе или менѣе значительной
поверхности: отношепіе силы къ площади этой поверхности приближается тѣмъ
болѣе къ дѣйствтітельному напряжению разсматриваемой точки, чѣиъ меньше
эта поверхность, такъ что папряжепіе есть прсдѣлъ этого отношеяія.
' 'д§1 Дѣіствіе і противодѣйетвіе (акція и реакдія). При всякомъ
приложении внѣшнихъ силъ иааѣвяетсл сосгоянІе тѣла, и внутреинія силы,
образовавтіяся отъ иззгіщепія ноложенія частицъ. уравновѣшивають точно
внѣшпія силы; это явлепіе опредѣляють словами: противодѣйствіе
равно дѣйствію. Но выраженное ими правило имѣетъ исключеніе. Если
внѣшаяя сила приложена не сразу полной своей величиной, so
возрастаете постепенно отъ пуля до ея копечнаго значенія, то и перемѣгце-
піе частицъ увеличивается соответственно увеличению силы до тѣхъ поръ.
пока не образуется новое состояиіе равповѣсія. Въ этомъ случаѣ во вся-
кій моментъ против о дѣйетвіе равнялось дѣйствію.
Но когда сила приложена сразу полной своей величиной, то такъ
какъ соотвѣтствующая ей деформзція не можетъ образоваться
моментально, частпцы пріобрѣтаютъ нѣкогорую скорость и приходятъ въ
движете; вслѣдствіе этой скорости овѣ переходить состояпіе равновѣсія и
останавливаются тогда, когда работа виутреннихъ силъ сдѣлается
равной работѣ внѣпшихъ. Затѣмъ частицы возвращаются обратно, и
образуется рядъ качапіи, по амплитуда хачапій, вслѣдствіе внутреннихъ
сопротивление, постепенно уменьшается, и тѣло нослѣ пѣкотораго, какъ
тціактика показывает!., весьма короткаго времени, приходать въ
состояніе покоя, еоотвѣтствующее поаому равновѣсію. Во время этихъ кача-
ній сугцествуетъ равновѣсіѳ только между работами внѣшнихъ и
внутреннихъ силъ, но нѣтъ равновѣсія между самыми силами. На пракгикѣ
почти всегда можно безъ замѣтной ошибки допустить, что приложепныя
къ тѣлу силы увеличиваются постепенно отъ пуля до ихъ конечной
величины, или что, въ случаѣ, когда это условіе непсполнепо,
произведенная внезаннымъ придожепісмъ силъ качаігія прекратились, и
наступило окончательное равновѣсіе, а тогда противодѣйствіе равно точно
дѣйствію.
(Іті Незначительность деФориацін, долусваешыгь вѣ еооруженіягь.—
Дсфорваціи, иревышающія предѣлъ упругости, вредны для прочности со-
оружѳнія, поэтому не могутъ быть допускаемы; кромѣ того и другія
причины заставляет. избѣгать замѣтныхъ деформации такъ какъ онѣ могли
бы быть, причиной разрушенія соеднненій отдѣльныхъ частей (напр. шиш.

48
ГЛАВА ВТОРАЯ.
снялся бы съ гнѣзда, повредилась бы штутатурка и т. д.). Поэтому аъ
болыяинствѣ случаевъ можно допустить, не отклоняясь почти отъ
действительности, что произиоденныя силами деформаціи очень малы, а такое
допущеніе даетъ возможность упрощать формулы.
Въ нѣкоторыхт, тѣлахъ одно нзмѣрепіе значительно превышает!
остальная; такимъ измѣреніемъ напр. въ рессорахъ есть длина. Хотя пра из-
гибѣ рессоры каждое сѣченіе измѣпяетъ свое положеніе но огношѳнію
къ смежному съ ншгь сѣченію чрезвычайно мало, такъ что перемѣгценіе
не выходить изъ предѣловъ упругости.*" полное перемѣщеніе одного изъ
крайнихъ сѣченій по отношение къ другому можетъ быть весьма
значительно. Условіе незначительности деформаціи для сохранепія упругости
должно быть исполнено всегда по отношевію къ двумъ смежнымъ сѣіо-
ніямъ; формулы, выведенные па осповапіи этого условія, могугъ быть
употребляемы въ нѣкоторыхь случаяхъ и для олредѣленія значительных^
полныхъ деформаціи.
(|§1 Независимость дѣиствія сыъ.—Когда дѳформацш незначительны,
то. каждая изъ приложевныхъ къ тѣлу впѣшнііхъ силъ производить свое
дѣйствіе точно такъ, вакъ если бы другихъ не существовало, и
деформаціи, произведенный отдельными силами, слагаются, не измѣняя другъ
друга. Вслѣдствіе того достаточно изучить дѣйствіе одной силы для того,
чтобы молшо было определить совместное дѣйствіе большого числа силъ,
которое равняется алгебраической суммѣ дѣйствій отдѣльныхъ еплъ.
чШІ Методъ еѣчешй.—Величину сопротивления тѣла въ давномъ мѣстѣ
опредѣляють такимъ образомъ. что представляюгь себѣ его разрѣзаннымъ
черезъ это мѣсго, и одну изъ отсѣченныхъ частей устраненной вмѣстѣ
съ действующими на нее силами, а къ сѣченію оставшейся части
мысленно прикладываютъ внѣшніл силы; замѣняющія дѣйствге его частич-
ныхъ силъ, раваыя, поэтому, сопротивлевію сѣченія. Это сопротивленіе
уравновѣшиваетъ дѣйствіе ваѣшнихъ силъ, къ которымъ принадлежать:
грузы, сопротивленія опоръ и вѣсъ, дѣйствующія на оставшуюся часть;
всѣ эти силы вмѣстѣ, т.е. внѣшняя нагрузка, сонротивленія опоръ
и частичный силы сѣченія должны удовлетворять условіямъ равво-
вѣсія. Изъ уравненій, составленныхъ на основаніи этвхъ условій, можно
опредѣлить частичная силы еЬчепія или напряжения, въ разныхъ точ-
кахъ его.
Этогь способъ опредѣлепія напряженій называется нетодокъ
сѣченій; онъ имѣетъ весы» обширное нриложеніе въ строительной меха-
викѣ. По отиошенію къ веку слѣдуетъ замѣткть, что въ действительности
на оставшуюся часть дѣиствоваіи всѣ частицы устраненной частя, такъ
что собственно къ каждой чаетнпѣ, первой слѣдовало бы приложить равно-
дѣйствующую усилій производимыгъ на нее всѣми чаетиаами йосяѣдвей,

зАковы изотродныхъ твердыхъ твлъ.
49
к недостаточно ограничиваться только силами поверхности раздѣла. Но
опыты показываютъ, что частицы проявляют!, замѣгноѳ дѣйствіе только
на чрезвычайно малыя разстоявія, такъ что конечная площадь, которая
находится подъ вліявіемъ частичпыхъ силъ устраненной части, столь
близка къ самому сѣченію, что безъ аанѣтной неточности можно считать
ее совпадающей съ сѣченіеиъ.
@1 Разные роды дѣиетвія ожлъ. — Различаюгь пять разныхъ родовъ
дѣйствія силъ на тѣла: растяженіе, давленіе, срѣзываніе, выгибаніѳ и
крученіе. Напряжение крученія ыогуть производить только силы, не встрѣ-
чающія ось тѣла (а, слѣдовательно. и непаралліельяыя ей); въ правильно
построенным сооруженіяхъ силы (или равнодѣаствующія ихъ) всегда
нервсѣкаютъ эту ось, или проходягь такъ близко мимо вея, что
напряжете крученія точпо, или почти точно, равно нулю: крученіе пиѣетъ
важное значеніе для машппостроешя, а строительная механика
занимается только сопротивленіями при растяженіи, давленіи, срѣзываніи и
выгибаніи.
Законы изотропных-ъ твердых-ь тѣтгь.
37. Норжаіьныя ж каеательныя капржвеяія. — Внутри изотроппаго
твердаго тѣла, нагруженнаго внѣшвимн силами и находящегося въ со-
стояніи равновѣеія, выдѣлимъ безконечно
малый параллелонипедъ (черт. 49) и отнесемъ
его къ пряноугольнымъ осямъ координата ОХ,
ОУ и OZ, которыя принимает, параллельно
измѣреиіямъ его. Первоначальные длины этихъ
измѣреній обозначит, черезъ dx, dy и dz.
Дѣйствіе силъ сігЬкленія на каждую грань
замѣнимъ ихъ равнодействующей, которую
разлагаемъ на В слагающая параллельный
осямъ координата; эти слагзющія будеиъ
считать положительными, когда онѣ
направлены въ сторону нодожнтельяыхъ осей ко-
ординатъ.
Если разсмотримъ какую ннбудь грань, напр. Z,0, то видимъ, что
одна изъ слагаюіпнхъ ея нормальна къ ней, а двѣ другіа лежать въ
плоскости грани. Нормальная слагающая называется нормальной силой,
а силы лежащія въ плоскости грани—сваливающими силами. Эти силы,
отнесенные къ единвцѣ площади вазываютъ нормальными и
скалывающими (идя к-аеательньши) напряжениями. Нормальный нащш-
жешя будет, обозначать греческой буквой а, а скалывающая—буквой т.
Чдюоышивсив.—Стревтыьлм uubhes. і
Чорт. 49.

50
ГЛАВА ВТОРАЯ.
гѣ и другія съ двумя показателями, изъ которыхъ первый указывает!
ось, къ которой плоскость напряженія перпендикулярна, а второй—ось,
къ которой наііряжепіе параллельно. Такъ напр. напряженіѳ силы і»;
будетъ обозначено черезъ т^ а напряжете гаС — черезъ а„. Такъ какъ
для всѣхъ нормальныхъ напряженій оба показателя одинаковы, то для
простоты будемъ отмѣчать пхъ однимъ только показатслемъ: такъ напр.
вмѣсто о„ будемъ писать в:.
Когда площадь, по которой распределяется усиліе, безконечно мала,
то всегда можно принять, что оно распределено ио этой площади равно-
мѣрно, что слѣдовательно усиліе равно напряженію умноженному на
площадь. Для раесматриваемаго нами безконечно малаго параллелепипеда
на ос но ваш и послѣдняго свойства получимъ, что на его грани дѣйствуютъ
слѣдугощіл силы сцѣплепія (пренебрегая безконечно малыми величинами
высшей степени, происходящими отъ иаиѣненія ого измѣреній вслѣдствіе
деформаціи); (буква Д на чертежѣ означастъ площадь dx.dy):
Въ
грани.
УОХ
ІІорывльаыя усилія.
-i- о, dx dp
y^S.i-^-^i'dejtbdy
YOZ — а„ dydz
ytO,Zt\^^dx)dyde
XOZ — v,dxds
XxO,Z,
Касательный у с н л 1a.
і
-t-t^dxdt/ -f-^^dxdy
— {^-^'^ds)dxdyr^,-^ -£ds)dxdy
— x^dydz ; —^dyds .
-^{tvt+l&d^dydz
— r^dx iz
-»-(v-b^^)<te*
-*-(>-|-S!(fe)<^(fo'
— %tdxdz
-+-(ъ-*-^*9)4*&
Точки приложены этихъ усиліи находятся въ центрахъ тяжести соот-
вѣтетвенныхъ граней. Кромѣ того, въ цѳнтрѣ тяжести параллелепипеда
дѣвствуетъ его вѣсъ -(dx.dy.dz, гдѣ -г — вѣсъ кубической единицы
вещества, н'зъ "котораго онъ состоитъ.
42. Свойство каеательныхъ {яшлывмюцпъ) іапряженіі.—Посаѣ де-
форыаціи тѣло во всѣхъ его элементахъ находится въ равновѣсіи, дѣй-
ствующія на элементарный параллелошшедъ силы удовлетворяют!,
поэтому, условіяиъ равновѣсіа. Бела га ось ионѳитовъ прзшшъ прямую,
параллельную оси ОУ. проходящую черезъ девтръ тяжести іоаралгело-
штеда, то «ояенты силъ, пересѣкяющихь эху ось, и параллельный, ей,
будугь равна нулю, уравнение иокевтовъ по ѳтношешю къ агой освісаѣ-

1АК0ПЫ НЗОТРОПНЫХЪ ТВЕРДЫЕЪ ТЪЯЪ. Ы
довательно будегь (черт. 50)
-*Jedy-
d-z.
■dxj dg.dgl- Ir^dydx
откуда, пренебрегая безвонечно малыми величинами высшей чѣмъ 3-й
степени, и сократи въ на общій множите ль
dx.dy. dz:
-- = •<* (23)
Такимъ же образомъ. принимая за ось мо-
ментовъ прямую, параллельную ОХ, и затѣмъ—
параллельную OZ, получимъ:
'>!•
ъЩ
Черт. 50.
Изъ этихъ уравпеній слѣдуетъ: Скалываю-
щія напряженія двухъ взаимно перпен-
дикулярныхъ плоскостей,
перпендикулярные къ диніи пересѣченія зтихъ
плоскостей, равны между собою, и направлены
оба или еъ этой диніи пересѣченія, или оба въ
противоположный стороны. Вслѣдствіе этого свойства будемъ обозначать напряженія
"а, и ѵ — черезъ -.
-„ и -:х — череаъ ~ѵ
V и -:, — череаъ zm
(Показатель указываетъ ось, еъ Еоторой напряжете т перпендикулярно).
43. Бруеъ. Напряженія въ коеыгь еѣчаніягь.—Строительныя соору-
женія состоять главныиъ образомъ изъ брусьевъ, т. е. тѣлъ, которыть
поперечные размѣры малы сравнительно еь длиной. Поперечный разрѣзъ
бруса, раздѣляющій его по ддиеге на двѣ части, принято называть сѣ-
ченіеыъ, геометрическое мѣсто центровъ тяжести сѣчешй—осью, а ыа-
тѳріальную лиши), параллельную оси бруса—воловноиъ. Если ось бруса
пряная, то его называють прянымъ, а если плоская кривая второй
степени, — то арочнымъ брусокъ. Сѣчеаіе, перпендикулярное къ оси
бруса называется поперечным! (нормальнымъ), а наклонное къней—
косымъ сѣченіемъ.
Мы будешь раасматривать брусья при слѣдующихъ предиоложеніяхъ:
1) Ось бруса пряная, или плоская кривая;
2) Всѣ, на брусь дѣйствующія силы (или равнодѣйствуюшія этвхь
«иль) находятся въ плоскости, проходящей черезъ «го ось.
4*

62
ГЛАВА ВТОРАЯ.
Изъ условій равновѣсія слѣдуетъ, что впутренаія силы (или равоо-
дѣйетвующія внугреннихъ силъ) находятся въ той же плоскости, что и
внѣшнія силы.
Пусть АВ-— брусъ, находящейся въ равновѣсіи подъ дѣйствіеиъ внѣ-
шнизъ силъ. Вырѣжемъ безконечно узкую трехгранную призму
плоскостями, проходящими черезъ ab, Ьс и ас (черт. 51); плоскость Ъс прове-
демъ перпендикулярно къ оси ЛВ, а плоскость ад — перпендикулярно
къ Ъс и при тоиъ такъ, чтобы грани призмы аЬс, были перпендикулярны
къ плоскости енлъ; пусть аЬс — пересѣченіе этой призмы съ послѣдней
плоскостью. Означныъ уголъ, образуемый наклонной плоскостью ас съ
нормальнымъ сѣченіемъ Ьс, черезъ а, и длину ас примемъ = 1, то будетъ:
Ъс — cos a ab = sin а.
№
аЧ
Черт. 51. Черт. 52.
Длину элементарной призмы аЬс примемъ для простоты тоже = 1, при
чемъ эту единицу будемъ представлять себѣ столь малой, чтобы
внутренняя силы, дѣйствуюппя въ гранахъ аЬ, Ьс и ас. можно было разематри-
вать распределенными вдоль граней равномѣрно. Призма аЪе, при
пренебрежете ея вѣса. дѣйетвіе котораго можетъ быть язелѣдовано от-
дѣльяо, находится въ равновѣеіи подъ дѣйствіеаъ силъ «, г, w, замѣняю-
щихъ силы сцѣпленіа ея граней ab, be а ас съ примыкающими къ нимъ
плоскостями бруса.
Такъ вакъ силы и, ѵ к w находятся въ равповѣсІи, то онѣ обра-
зуютъ треутольникь непрерывнаго движенія. Раэложинъ каждую ааъ
этжкъ силъ на двѣ слагающія, нормальную и касательную, и означвиъ
норгалъныя и скалывающія напряжения, отнесенныя къ 1-дѣ площади:
для грани Ьс : черезъ а я -
для грани ab : черезъ ѵ н х
в два грани ас—черезъ $ ж t.
Если каждое изъ этюгь напряжений умножимъ на площадь его дѣй-
ствія (которая для Ьс = сова, для ab = sin а, и для ас = І), получнмь
приведенвыя на черт. 52 силы граней нризмы.
По закону равновѣсіа сумма проекцій этвгь силъ, ваатыхъ но двумъ

ялквны кзотропвыхъ твврдыіъ т*лъ, 53
разнымъ направленіямъ должна бжть равной нулю для каждаго
направления порознь. Возьмемъ сумму этихъ проекций сначала на направленіе s
и загѣмъ на направленіе і, получимъ слѣдующія два уравнения.
s —■'/ sin1 а -+- Т5Ш a cos я — а cos7 л-: cos1 a sin а = О
t-t-'tsina es a ~t-xsi»1 a — tcos5a— acosa si«a = 0,
откуда
s = a cs1 a -+- ч siwg a — т si» 2a |
t = i (cs1 a — si»1 a) -+- —=— sin 2a I
потому что Isimxcsa = sin 2a,
Принимая во вниманіе, что
, 1 -t- cs 2a . , 1 — cos 2a
C$* а — -——^ sin' a = =~
cos1 a — smi* a — cos 2a,
получимъ, подставивъ эти значенія въ (24)
(24)
2 ^ 2
COS 2a — isin2i
а — ѵ .
t = т cos 2a ч «— S(M 2а
(25;
Изъ этихъ ураввеній видно, что величины напряженій s и t въ ко-
еомъ еѣченш зависать отъ налравленія этого сѣченія, т. е. оть угла а.
Когда этоть уголъ ивнѣняется отъ 0 до 180°, то s и t приыимаютъ въ
данной точкѣ всѣ возможный зн&ченія, потоку что въ это время уголъ 2а
измѣняѳтся отъ О до 360°.
44. Яредѣльныя иорниыыя няпряжевія. ■— Уголъ а„ для котораго
нормальное напряжете достигает* максимума, получается изъ усдовіа:
ds <з — ѵ
-j- = — 8ю> 2<я . 2 - „ - — х cos 2a. 2 = О,
Когда уголъ а изменяется отъ 0 до 180°, то уголъ 2д принимаетъ
2 раза вначеніе, удовлетворяющее условіе (26); одному изъ этвхъ
значений соотвѣтствуетъ макснмуиь, а другому — мнвжкумъ нацряжешя 8.
Оба эта значенія отличаются другь оть друга на 130° и следовательно

54 ГЛАВА ВТОРАЯ.
соответственная звачевія угла з, — на 90°, изъ чего сдѣдуетъ что
элементы,, въ которыхъ дѣйствуютъ предѣльныя нормальпыя напряженія,
перпендикулярны другъ въ другу.
Изъ (25) вмѣемъ
s — —7 h- cos la I-— ti^2al =
= і^ Т/^_^2а\ . . .(27)
Если въ этомъ уравнепін поставит
2-
то получимъ предѣльное нормальное напряжете
а + ѵ+ 1 /о — ѵ _2г*_
2 ±_" / Г^ГТаІ "2 ~*~a —v
■ т' (28)
или, обошачивъ предѣдьныя вначенія черезъ 5, и 8Ѵ
-+
^—Ѵ^У-^ <28°>
■^■^-ѵ^н
(28J)
Которое изъ этвхъ двухь значенлй наксинумъ, а которое шюшумъ,
рѣшаеть знакь сунны a -+- ѵ.
Ввявъ сначала сумму, и ватѣмъ разность выраженій (28а) я (28Й) будетъ:
S1.4~51=cn-.v . (29)
S,-S, = 2}/^pj%7' (30)
По (25)
* = С082а(тч — (£2aJ-
Если въ это уравнеше подставвхь.ддя tg2a шаченіе (26), то нолучжкь.

законы изотропныхъ твердыхъ т«аъ.
55
г. е. въ плоскостяхъ, въ которыхъ дѣйствуютъ предѣльныя нор-
м а л ь и ы я_ н_ав ря ж е нія, скалывающія напряженія равны нулю."
Напряжения 5, и 5, называются главными нормальными
напряжениями.
45. Ередѣльиыя екалывающія капряжежія. — Уголъ а„ для котораго
свалываюгція наиряженія ■ достигают* предѣльныхъ велачщгь, получается
нзъ условія
di я — •/
5- = ■,-,— COS 2а . 2 — ~sm 2а . 2 = 0.
откуда а —ѵ
^2а, = ~— (31)
Когда уголъ а внмѣняегся отъ 0 до 180°, н слѣдовательво, уголъ
2а — отъ 0 до 360°,. го онъ два раза приташаетъ значеніе
удовлетворяющее условно (33), и оба эти значенія разнятся между собою на 180°,
т. е. плоскости, въ которыхъ дѣиствуютъ максимальныя
скалывающія напряжения, взаимно перпендикулярны.
По (25)
Если для ід 2а поставит, значеніе (31), то получить предѣльное
скалывающее напряжете
I / а — ѵ а— «Л
7Чч?Г
;т = ^,^)\
(32)
Изъ этого уравневія слѣдуетъ: предѣльныя скалывающія
напряженія равны,, но пряно противоположны.
Изъ (26) и (31) имѣеиъ:
у ' tg 2a,
т.'е; 2а, =90-»- 2а,
иди. «, — 45 -+- а3.
. Плоскости предѣдьныхъ нормад5днх,ъ напряжений образуютъ съ
длосвостями вредѣдьиыхъ скадываюшихъ надряженіа ;гды 4о°.

56
глава вторая-
Если въ (27) подставимъ ід2я = -^:- то получимъ,
,s* —
(33)
Нормальныя напряжения тѣхъ плоскостей, въ которыхъ дѣйствуютъ
предѣльныя скалывающія напряженія, равны полусуммѣ нормальеыхъ
напряженій двухъ взаимно перпендикулдрныхъ плоскостей.
По (30)
§і — &і if
"2" "
(34)
Предѣльное скалывающее напряжениеравно полураздости пре-
дѣдьныхъ нормальныхъ напряженій.
46. Графическое опредѣленіе нориадыыгь ж скалывающкхъ нанря-
женіі. Если въ уравненіяхъ (7л) и (7с) буквы а, ѵ и т замѣнииъ соот-
вѣтственно) буквами J'„ Jy и Z„
то получинъ уравненія (ІОя) и (11д),
изъ чего слѣдуетъ, что величины в
л t при дапныхъ и, ѵ и т иогуть
быть опредѣлеоы посредствоиъ такого
же поетроенія, какое было указано
для опредѣленія Jx. и Zrfp' при дЕШ™
ныхъ J*, J, a Z,, (черт. 47). Буквой
а будемъ обозначать всегда то изъ
обоихъ нормальныхъ напряженій а
и ч, которое больше.
Оси коордиватъ Ох и Оу
проводит, такъ, чтобы ось Оу имѣла на-
правленіе того сѣченія, котораго
напряжены даны величинами <з, ѵ и т.
На черт. 53 эти напряженія
приняты положительными. ОтаЛадываемъ
оть начала О коордивать внизъ (въ
сторону положятельннхъ ордаватъ)
Ост = а, в оть точки а: оѵ = -к ва діаметрѣ зѵ описываемъ
окружность и въ точке » возсхавляемъ къ 0м перпендикуляръ вт, который
дѣлаемъ равнымъ иапражевію т.
Если черезъ О проведет, произвольную прямую 0%, пересѣкающую
окружность въ точкѣ £, и взъ т опуствмъ ва построенную въ Е
касательную перпендикуляръ та, то ts, представляегь напряжете 8. Проведет
радДусъ л£, и изъ. т опустяиъ на я£ перпендикуляръ ~,, содучвжь
- т£ =гт -и,

ЗАКОБЫ ИЗОТРОПНЫХЪ ТВВРДЫХЪ ТЪЛЪ.
57
т. е. s = т-£. Это напряженіе s дѣйствуегъ по направлению хорды 0$
въ плоскости, перпендикулярной къ OZ. Касательное напряженіе t этой
ПЛОСКОСТИ = ТІ, ').
Если черезъ т проведемъ діаметръ хг, встрѣчакщія окружность 1 я 2,
то его отрѣзкв т1 и т2 представляютъ главныя нормальные напряженія
G, н <?,. Такъ изъ черт. 53 имѣемъ;
— — — О+Ѵ -, //О —VIs ,
*1 = ]*-•-« =-2~ ч-]/(-Н-*-т'
Главныя оси фигуры даны прямыми О, а О,.
Максимальное скалывающее напряженіе — отрѣаку ех, соединяющему
точку т съ центромъ окружности; оно дѣвствуетъ въ плоскостяхъ ОТ
а ОТ,, опредѣлениыхъ діаметромъ ТТ,, перцендикулярнымъ къ діа-
метру Ій.
ОТ в ОТ, дѣлять углы главвыхъ осей 01 и 02 пополамъ: нориалышя
напряженія плоскостей ОТ и 0Т1 — радіусу окружности, т. е. = —^ -
47. Идеальныя напряжевм. — Выдѣлииъ изъ тѣла, подверженнаго
дѣнствш внѣшнихъ силъ, безконечно малый параллелопяпедъ такшгь
образомъ, чтобы его грани ab и ас (черт. 54) были параллельны
главными Бапряженіемъ S, и S3; скмывающія напряженія въ зтихъ граняхъ
будутъ равны 0.
*) Нзъ построения сііѣдуегъ (черт. 53)
— Ов-ьэѵ о-ьѵ — — — ст-і-ѵ а— ѵ
Назовьеи* уголь ІОх черезъ а, т*. уголь Оя£ = 2а я уголь (hi — -^ х,із = 2я
(как* угпы съ перпендикулярными етороваии). Ояустниъ иэъ * и а на те
перпендикуляры zm ж от, и иаъ в на zm—пврпевдияуляръ ар, полутень:
ат = ІЛ Ч- інг'— гг — г£ -+- ар — гС
и т»Жь кавъ
*Ё= ^~ op = *s с<м (sop) =± ^Ц^ ем 2д ^ = т «'» 2а,
^=ітй — ^-н J>» = гз «я 2я ч-т пи 2а,
елѣдотвгельво, ио (3*) _

58.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
Обозначим!, черезъ
Е — модуль упругости матеріала,
т — коэффиціентъ поперечной упругости,
и и ѵ — дляны граней аЬ и «с,
ДмкДи— удлинения ихъ, произведевныя нанряженіями. S, и S,. то по
закону Гука будемъ имѣть:
*? — §} __ ^з.
« ~~' Е чнЕ
^ — h _ ?!_
Обозначимъ черезъ В, такое нормальное напряженіе, которое,
действуя одно по направленію S„ произвело бы гакое же уддиненіс Ди,
какое нроизводятъ напряженія S, п 87 вмѣсті, то должно
- £ - Is- - «/ ^
откуда
и точно также
*.=*.-If (35>
■^.-^-~ •-■■■■ (36>
Если для S, и 8} подставимъ зиаченія 13а и ІЗй, то нолучимъ:
»'=№+Vffl~<H[T-/ffl~*\
т — 1 , , т
Для нзотрошыхъ тѣлъ, по теоріи упругости, я» = 4; опыты
показывает,, что коэффнпДевть т для разднчныхъ матеріаловъ раздичеаь, ,я
что для желѣза и стали есо вноченіе колеблется вджду 3 н -4.
48. Демряадця. Рабоп юфошфе (рабоп вяутреннжгь еыъ) ма-
хевтарКОІ нрхзші.—Шідблвяъ мысленно внутри тІла безконѳчво узкую
призму, перпендикулярную ;кь плосвостм екдъ; раамѣры аЬ и ad ея сѣ-
ченія этой плоскостью обозначить черезъ Ох п Оя, а д^щу (рзиѣр^щвт,
перпендикулярное къ плоекосхн. сель) нримеиь = I (черт. 55). Поло-

Зыковы иаотгопаыіъ тбердыіъ тълъ.
5Э
жимъ что къ брусу, которому эта призма принадлежать, прикладываюсь
нагрузку, увеличивающуюся постепенно отъ нуля до ея поллаго значенія
въ теченіи хотя чрезвычайно иадаго, но конѳчнаго времена. Эта нагрузка
яроизведеть деформацію, увеличивающуюся одновременно съ увелнченіемъ
нагрузки, в напряженія а, •> и т исполнять работу, которая называется
работой дефлрмаціи, или работой силъ упругости. Работа нор-
нальныхъ напряженій о и ѵ будегь зависѣть отъ изиѣненія параллель-
ныхъ имъ измѣреній dx и dz, а работа скалывающихъ напряженій—отъ
измѣненія угловъ «, й, с и d, произведенная перѳдвижѳніями граней по
направленіямъ дъйствующихъ на нихъ напряженій т.
Нормальное напряжете а гранен ad и be {черт. 55), начиная съ
момента приложенія нагрузки, будетъ постепенно увеличиваться, и въ каждый
моментъ оно пропорціонально соответственному удлиненію. Такъ въ ио-
ментъ, когда длина грани аЬ измѣнилась на Ьт в грань Ьс заняла п'о-
ложеніе дам. величина этого напряженія получится изъ уравненія:
От
ао
Въ слѣдуюгцій затѣмъ моментъ эта грань
заиметь безконечно близкое новое положевіе т'п',
и напряжете теперь будетъ:
ао ао
ей»1
mm'
Черт. 56.
Такъ какъ mm' сравнительно съ Ьт безконечно мало, то можно
поставить bm' = bm, и, слѣдовательно, и* = <г, т. е. во время перехода
грани изъ положенія тп въ безконечно близкое положеніе т'п' можно
нанряженіё а считать постояинынъ, такъ что дѣйетаующія въ граняхъ Ьс
и ad силы ads исполнять въ это время работу ode. mm1. Если полное
удлинеше W измѣрешя ab=dx, означимъ черезъ Д&ё, то mm'=d&dx,
поэтому
adz. mm' = adzd&dx = adzdx —;— = adzdxder.
dx
Вдѣсь
в' =■
Adx
dx
означаеть относительное удлиненіе измѣрѳнія dx, a dg. dx—объѳмъ
элементарной призмы; если одслѣднік означимъ черезъ dV, то
a.ds ,nml = а.de„dV.
Такимъ же образомъ, получимъ, что элементарная работа силъ vdar,
дѣвствующихъ въ граняхъ аЬ и cd равняется
v.de,.dV.

60
ГЛАВА ВТОРАЯ.
Работа норыальныкъ нанряжепій <з a •> во время деформаціи
элементарной призмы, елѣдовательно. опредѣлигся выражевіемъ:
J" ade*dV -+■ J ѵde,dV = dV [ /аde^ ч- J" vdeJ
(37,
49. Работа скалшавщиъ напряженія - опредѣлится слѣдующимъ
образомъ: Вслѣдетвіе дѣйствія скалывающихъ свлъ уголъ adc измѣнятея
на очень малую величину a'da = д, и грань аЬ заиметь по отношенію
къ dc положѳніе а'Ь' (черт. 56). Такъ какъ уголъ о очень малъ, то
аа' аа'
Это сдвиженіе образовалось не сразу, по по мѣрѣ возрастанія
нагрузки бруса увеличивалось постепенно отъ нуля до конечнаго значе-
нія аа', и одновременно съ шмъ увеличивалась скалывающая сила tdx,
такт, что въ каждый моиентъ натгряжевіе ея т было нропорціонально
соответствующему этому моменту сдвижевію. Такъ въ моментъ, когда
грань иЪ передвинулась по
отношенію къ dc на величину am и
грань ad заняла положеніе dm,
скалывающее напряжете ея
т = <?
am
ad '
гдѣ G — модуль упругости при
Черт. 56. Черт. 56а. СКалыванІН.
При дальнѣишемъ передвиже-
ніи на безковечно малую величину mm' можно (аналогически какъ въ
предыдущею, случаѣ) принимать, что во время этого лередвиженія на
пряжеше т оставалось постояннынъ и силы idx совершили работу
tdxmm' = idxdz —=— = -zdxdz -т— = іdxdz . dg = zdg . AV.
Если бы аамѣнеше угла bad на величину д произошло вслѣдствіѳ
сдвиженія граин ad по отношение къ be (черт. 56а) на аа', то било бы
аа' ___ аа'
& ~ об ~ ete '
Скалываюнря силы xds при переход*.грани ад язь положенія Ьт
въ иозохеніе Ьт', исиолнлгать работу
, —-г , , ж»'. . .,, daa! _ ,
іагтт'= -zds.dz ~г— =хая.4х -т— = x.aV.dg.

законы нзотропаыхъ тверіыіъ твлъ. 61
Полному сдвиженію аа' будегъ поэтому соотвѣтствовать работа
ftdg.dV = dV^zig (38)
о
Въ обоихъ случаяхъ (прѳдставленпыхъ чертежами 56 и 56а) скалы-
вающія напряженія совершаютъ, слѣдовательно, одинаковую работу, ивъ
чего слѣдуегъ, что выраженіе (38) даегъ элементарную работу и въ тоиъ
елучаѣ, когда деформація происходить отъ одновременнаго сдвиженія
грани аЬ по отношѳнію къ Ы, и грани ad по отношенію къ Ьг.
50. Работа деФОрмадш сооружения.—Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что
еоотвѣтетвунщая одной элементарной призмѣ работа деформаціи
dis = dVj [<з dex -+- -і de, ■+- ~ dg\
поэтому, полная работа, которую во время деформаціи бруса совершаютъ
его внутренняя силы
t? = ^dVf(ader-t- >de,-¥- zdg) (39)
Очевидно, что интегралъ долженъ быть распространен на все сооруженіе.
Относительное удлинееіе ех измѣренія dx сосгоитъ изъ относитель-
наго удлипепія -^,,-произведеннаго иапряженіемъ и, и относительна™ удли-
венія —^., произведеннаго перпендикулярпымъ къ dx напряженіемъ ѵ, т. е.
а
V
е^Е~
V
~ тЁ
а
~ тЁ
и точно также - - ,..,
Относительное сдвиженіе
Помощью дифференцирован!» получаемъ, такъ какъ для даинаго ма-
теріала Е, Ѳ и т постоянный величины.
da th

63 ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
Если эти значенія подетавимъ въ уравнение (39), то оно получить видь:
da d-t \ Id'i da \ -d-z
ada -ь -tdt drfv -+- tda idz
я проинтегрировавъ заключенное въ скобкахъ выраженіе
-т**'-1-?)"-/*-"-
(41)
(42)
Въ строательныхъ сооруженіяхъ напряжеяіе ч обыкновенно такъ
мало, что ииъ въ сравненіи съ напряженіеыъ а можно пренебречь; если
поставимъ і ___ „
то будетъ /ѴДР ш Гт' _
^ = ]~Ж+}жаѵ (43)
ГЛАВА III.
Правило производной работы деФормаціи.
51. Пдоекія некзжѣняемыя Фермы. Нужные ж добавочные отѳржні.—
Когда брусъ соединенъ съ сооруженіемъ помощью шарнировъ,
устроенных! въ его конечныхъ сѣчешяхъ такимъ образомъ, что онъ могъ.бы
свободно вращаться около одного конца, еслибы другой конецъ былъ
освобожденъ отъ шарнира, то онъ называется стержнемъ.. Сооруженіе
составленное изъ шарнирныхъ стержней, принято называть фермой или
сочлененной системой, а точки, въ которыхь устроены шарниры-—
узлами.
Мы будешь разсмагрнвать только плоскія фермы, т. е. тавія, кото-
рыхъ узлы, а, слѣдовательно, и оси всѣхъ составляющихъ нхъ стержней,
находятся въ одной плоскости, и будемъ принимать, что силы дѣй-
ствуютъ только въ узлахъ и находятся въ плоскости фермы. Въ
этомъ случаѣ стержни исіштываютъ только осевыя напряженія, т. е. ра-
стяженія и сжатія, потому что сгибающіе моменты равны нулю.
Ферма называется неизмѣняемой, если она не допускаегъ нжкакпхъ
другихъ взмѣненій формы кромѣ тѣхъ, которыя обусловлены упругостью
материала. Очевидно, что ферма всегда будетъ неизменяема, если оси ея
стержней образуют* неизмѣняемую геометрическическую фигуру, какъ

ПРАВИЛО ПРОИЗВОДЯ ОН РАВОТЫ ДЕФОРНЛЩН.
63
треугольника, четыреугольпнкъ съ діагоналыо, пятиугольникъ съ не кеоѣе
какъ двумя діагоналями, и вообще — я-угольникъ съ «—3 діагоналями.
Неизмѣняемая и-угольная ферма, т. е. имѣющая « узловъ, имѣетъ,
следовательно минимумъ
s =.» -ь (и — 3) = 2» — '3 (44)
стержня.
Но для неизменяемости фермы этого одного условія недостаточно.
*Гакъ изображенная на черт. 57 восьмиузловая ферма имѣетъ 2.8 — 3 = 13
стержней, между тѣмъ опа не пмѣетъ свойства неизменяемости, такъ какъ
пеамѣгощій діагопали четырехугольникъ 2367 предегавляетъ шмѣняемую
фигуру. Подробное раземотрѣніе условій неизменяемости фермы будегь
изложено впоелѣдствіи, теперь только замѣіимъ, что многоугольвпкъ,
имѣющій при п сторонахъ п—3
діагонали, можно считать неиз- ,_*_з'
мѣпяемымъ, если 1J діатналп ^ ' а"
проходятъ черезъ всѣ вершины
его, или 2) одна вершина или
двѣ несмежныя вершины не имѣ-
ютъ діагоналей, и при томъ,
въ обоихъ случаяхъ, въ ней нѣіъ чегыреугольника безъ діагоналя. Такъ
ферма черт. 58 неизменяема, хотя діагонал4А-не имъютъ вершины а и 6.
Наибольшее число стержней, какое иожетъ имѣть м-узловая ферма,
определяется слѣдующииъ разеужденіемъ: Три узла могуть быть
соединены между собою только тремя стержнями: четвертый узелъ можетъ
быть прикр'БШіенъ къ предыдущимъ тремъ не болѣе какъ 3-мя стержнями,
5-й узелъ—4-яя стержнями, вообще к-й узелъ—и—1 стержнемъ.
Максимальное число стержней при « уалахъ, поэтому, будегь:
Терт. 57.
Черт. 5В.
Я_ = (1 + 2)-!-3-ч-4
^Г1=п^П . .(45).
Изъ этихъ 8а стержней только 2«—3 необходимы для составленія
неизменяемой системы; они называются нужными или главными
стержнями, а прочіе стержни будемъ называть добавочными или
второстепенными. Максимальное число добавочныхъ стержней «-узловой
■фермы получается носредствомъ уравпеній (44) и (45):
<*.=
п(п—1)
2
- (2» - 3)
и (я — 5)
3
(46j
Въ систенѣ, ннѣющей добавочные стержни, можно различиымъ спо-
собомъ образовать неизменяемую систему, т. е. нужными стержнями
можно считать безразлично которые 2м — 3 стержня, если только обра-

64
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
зованвая ими ферма будетъ нѳизмѣняема. Дляда=3
2«-3=«^2> = 3,
т. е. треяузловая система не можетъ имѣть добавочныхъ стержней.
Изъ способа образования неивмѣняемой системы слѣдуеіъ, что длины
2м — 3 нужнихъ стержней въ извѣстныхъ предѣлахъ произвольны;
система, имѣющая только нужные стержни, не испытываете поэтому въ
ненагруженномъ состояніи никакихъ напряжений и тогда, когда
температура ея изменяется. Но если въ такую ферму вставимъ добавочный
стержень, то въ ней при отсутствии нагрузки не будетъ никакого
напряжения только тогда, когда длина послѣдняго точно равна разстояпію со-
единяемыхх имъ узловъ. Въ противеомъ случаѣ ферма будетъ напряжена;
если вводимый въ ферму добавочный стержень напр. короче разстоянія
соединяемыхъ имъ узловъ, то нужно будетъ искусственно его удлинить
или соответственные узлы сблизить; когда затѣмъ послѣ соединенія стержня
съ узлами ферма будетъ предоставлена самой себѣ, то по свойству
упругости узлы будутъ стремиться занять первоначальное положеніе, а такъ
какъ этому препятствуетъ добавочный стержень, то они лишь отчасти
достигнуть этого напряжения и прп отсутствіи нагрузки. Подобное явленіѳ
произойдегь при измѣнѳніи температуры, когда термическое удлиненіе
добавочнаго стержня не будетъ равняться термическому измѣненію
разстоянія его узловъ.
52. Опоры; опорные отержнд. — Сооружеяіе только тогда будетъ
устроено правильно, если оно при неизменяемой формѣ будетъ имѣть
неизиѣняемое положеніе въ пространствѣ при
^—т—-г^^ всякомъ дѣйетвіи на него внѣшннхъ силъ.
/д'~У--^'tf^T Условія неизмѣняемостн положенія плоскаго
/У"* J* сооруженія опредѣляются слѣдуюшнмъ разсу-
в жденіемъ: одну точку А сооруженія соединяемъ
Черт. 59. съ неподвижнымъ тЬломъ СС (черт. 59)
помощью двухъ стержней а, и я,; ферма можетъ
теперь вращаться около шарнира А въ плоскости я,а„ въ которой, по
предположение, она сама находится; третій стержень' Ь, соеднняюшій
другую точку ея В съ тѣломъ С, дѣлаетъ ферму неподвижной. Стержни
а„ а„ Ъ называются опорными стержнями; для неподвижности фермы
въ плоскости необходимы, следовательно, 3 опорные стержни, соѳднняю-
пце двѣ иди три точен ея съ неподвижнымъ тѣломъ. Опорные стержни
могутъ имѣть произвольное положеніе, во необходимо, чтобы они не пе-
ресѣкаджеь въ одной точкѣ, а не были между собой параллельны.
Изъ предыдущаго подушись, что неподвижная неизменяемая
ферма, инѣющая только нужные стержни, нмѣетъ 2»— 3 стержня со-

ПРАВИЛО ПРОИЗВОДНОЙ РАБОТЫ ДЕФОРНЛЦШ.
65
ставляющихъ ферму, и 3 опорныхъ стержпя, следовательно минимальное
число ея стержней равняется (2м — 3) -+- 3 = 2и.
Число опорныхъ стержней вообще можетъ быть неограничено, но нзъ
нкхъ нужпьгаи будутъ только 3 такихъ стержня, которые не пересѣкаются
въ одной точкѣ.
Если длила опорныхъ стержней сдѣлается — 0, сооруженіе будетъ
соединено съ тѣломъ непосредственно; точка А будетъ теперь
представлять шарниръ и называться, такъ же какъ и точка В — опорной
точкой. Ближаишія къ опорнымь точкакъ части неподвижнаго тѣла назы-
ваютъ опорами. Точка Б называется подвижной опорной точкой; она
располагается на неподвижной опорѣ такимъ образомъ, чтобы при измѣ-
неніи температуры не препятствовала фермѣ измѣнять свою длину. Такъ
какъ шарнпръ замѣпяѳтъ 2 стержня, то ов*ь имѣегъ 2 неизвѣстныхъ:
величину и направленіе сопротивления; подвижная опорная точка пред-
ставляетъ одну оеизвѣстную: величину сопротивления; направленіе послѣд-
пяго, при пренебрежонш тренія, перпендикулярно къ плоскости сопри-
касанія.
58. Уравненіе деФорнапДж. Отпесемъ узлы сочлененной системы (фермы)
къ прямоугольными осямъ координатъ ОХ и ОУ
(чер. 60) соединенпымъ неизменяемо съ сакой
сне темой. При гакомъ соедипевіи координаты
узловъ, ваятыя по отношению къ этимъ осямъ,
могутъ измѣняться только при измѣненіи относи-
тельныхъ разеюяній узловъ, а всякое перемѣще-
ніе системы въ пространствѣ, при которомъ отно-
сительныя положенія узловъ пеизмѣняются, не
будетъ имѣть па эти координаты никакого вліянія. *'
Пусть
г и s — два произвольные узла ненагруженной фермы,
х, у и х„ у,—ихъ координаты, rs— соединяющий ихъ призматнческій
стержень,
/ — длина rs этого стержня,
F — площадь его поперечнаго сѣченія,
Е— модуль упругости его матеріала,
. а и ^ — era углы съ осямиОХ и ОУ.
Приложит, къ фермѣ внѣшнія силы, п означимъ произведенеыя ими
перемѣщеніі но направленіяяъ осей координатъ: для узла г —черезъ
5 и т), и для узла s — черезъ с, и ij,- Стержень rs заиметь положеніе r,s,,
аричѳнъ длина его rs нзмѣнится на некоторую величину X, такъ что
r,s, = /-+-}..
M. ЧишишинвиЯ.—Стрмядымщ иеиавш. 5

66 Г Л Л Е А Т Р Е Т Ь Я.
По чертежу 60 имѣемъ:
^ѴЧЛ— xf-k-iy,— у?
(J + X) = )/"[>, ^ "£,) -7* +~£)?Ѵ"[(Уі -+- Ч J- (у -+- ц)У
= K(jB1^r),+(y.-yJi+(51-cJ1+(4.-i7Js+2(jr1-ar)($l-5>+-2Cyl~8fXiil-iI)
Мы разсмагриваемъ только уііругія, елѣдовательпо чрезвычайно малыя
измѣненія £ и у, иоотоыу бе-зъ ущерба для точности результата можно
высшими степенями разностей ;,—£ и iji — Ч пренебречь, п написать
(f+i)= И'-нг (я, —х) (:,-;) + 2 (у, — ») О],—і])
=Ѵ
2 (*,-*) (£,-£) 2(.ѵ,^у)17і,--т1Г
и такъ какъ
ж,—х у,—?/
——j— - = cosa —=— — suta
/+Х = (|/1ч.Н1ЦЛС08ач_2(51рЧ>вй|Я> _ _ (47)
п по правилу бинома, пренебрегая очень малыми величинами выспщхъ
степеней:
і + Ыш-і- ■*'■ , cos а -+- -"-,- ■ йш а
°ТКУДа X = fS, — с) соеа + С-ц,— tj) siwa .... (48)
Если Л" — напряжете стержня rs, то но закону Гука:
N=—j— =cX = c [(£,— ;} eosw-t- (nj,—yj) si«a] . . (49)
гдѣ с = -j- — независящей огь нагрузки коефиціенть.
Для всякагѳ стержня можно составить одно уравненіе вида (49); если
число стержней в, то число этихъ уравнений будетъ = з.
54. Уеловія равяовісіа еочаенекныгь ежстемъ. Когда система,
подверженная дѣйстнію внѣпшихь силъ, изменила свою форму и пришла въ
состояніе покоя, то совокупность еидъ, дѣнствуюіидхъ на всякую точку
ея, находится въ состояніи равновѣсія. Еъ этвыъ силамъ принадлежать
приложенные еъ узлу внѣшніа седы и сопротввленія выходащнхъ изъ
него стержней. Такъ сиза JP действующая на узелъ а (черт. 61) уравне-
вѣшивается сопротивленіящ стержней аХ, аі, аЪ, а4 и ао, выходящкгь
изъ узла а. Если вырѣхеяъ этогь узелъ нроизввдьнымъ сѣтеніемъ тп,

ПРАВИЛО ПРОИЗВОДНОЙ РАБОТЫ ДЕФОРМАЩЕ.
67
и къ мѣстамъ разрѣзовъ приложиыъ такія внѣшоія силы ДГ„ N~t, N„
Nt, JVa, которыя замѣнятт, дѣйствовавшія въ пихь до разрѣза силы ецѣ-
плепія, то въ состояніи равяовѣсія узла ничего аѳ измѣнится, и дѣй-
ствующія на него силы Р, Nu Л",, Л'3, Nt JV5 удовлетворяюсь усло-
віямъ равеовѣсія. Если обозпачимъ чѳреаъ
X и У — слагающія сплы Р взятия по ваправленіямъ осей ОХ
и ОУ,
а„ я5 . . . . — углы, образуемые силами А7,, Л', . . . съ осью ОХ,
и положит.
Л', cosa, -+- Nt cosctj -+- N, cosa3 -+- Nt cosa4 ■+-
A"s cosa6 = 2JV cosa
то ыо условілмъ равновѣсія:
X -+- J.N cosa = о
У •+- IN sina = o . . . (50)
Такія 2 уравненія можно составить для каждаго узла, если сдѣдова-
тельно число уаловъ п, то число уравненій (50) будеть — 2».
Когда неизкѣняемая » узловая система не инѣетъ добавочныхъ
стержней, то число ея стержней (включая и опорные) по Л» ^ІГравняется 2».
Каждый стержень представляегь одну неизвѣстную, которой есть его
напряжете, она имѣетъ поэтому 2« неизвѣстныхъ, для опредѣленія которыхъ
условія равновѣсія даютъ 2м уравненій; эти условія для расчета системы,
слѣдовательно, вполпѣ достаточны. Такая система наяывается статически
опредѣленной.
Когда непзмѣняеная п — узловая система нмѣетъ добзвочные стержни,
и число послѣднихъ = d, то число ея стержней = 2« -4- d. Такъ какъ
условія равновѣсія даютъ для рѣшенія ея только 2« уравненій. то по-
слѣднія недостаточны для опредѣленія In -+- d напряженій, и система
вслѣдствіѳ того называется статически неопредѣленной.
Система будеть статически неопределенной и тогда, когда при »
узлахъ число еа стержней = 2и, если она пе иыѣетъ свойства
неизменяемости. Такъ напр. для фермы черт. 57 я = 8, число ея стержней,
включая 3 опорные стержня, равно 16, т. е. = 2я, но число ея
неизвѣстныхъ =17, т. е. >2п, потому что кромѣ напряженій стержней неиз-
вѣетна форма равновѣсія четыреугольника 2367.
Такъ какъ получаемый изъ условій равновѣсія уравненія для рѣшенія
статически веопредѣлевпои системы недостаточны, то недостающія
уравненія нужно искать въ условіяхъ дефоркадіи, выраженных!, уравненіемь
(49), число которыхъ равно числу стержней т. е. = 2м -+- d. Неизвѣстнымн
б*
Черт. 61.

68
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
въ этихъ уравненіяхъ суть 2n-t-d нанряженій _ЛГ, я 2» узловыхъ пере-
мѣщеній % и т], следовательно число пепзвѣсгаыхъ = (2м -+- d) -н Чп —
= 4я-і-(7. Уравненій (49) въ соединеніи съ 2и уравненіяш (50) слѣ-
довательео, достаточны для рѣшенія всякой статически неопределенной
системы. Но разсчетъ такой системы помощію уравненій (49) и (50) пред-
ставляетъ то неудобство, что для опредѣленія 2» -+- d неизвѣстныхъ на-
пряженій нужно рѣтать 4и -+- d уравненій, такъ какъ при рѣтепіи ста-
тическихъ вадачъ обыкновенно не бываетъ надобности знать величины
£ и і]. Поэтому желательно имѣть такія формулы, которыя давали бы
возможность опредѣлять 2«-t-d неизвѣстныхъ изъ 2n-t-d уравненій. Эти
формулы получаются помощію выраженія работы, исполняемой
внутренними силами во время измѣненія формы системы, т. е. помощію работы
деформаціи.
55. Выраженіе работы де-юрмадш въ Функціі внѣшвдхъ сжлъ.—Въ
сочлененныхъ системахъ скалывающія напряжешя т = 0, поэтому работа
деформаціи для этвхъ системъ опредѣляется по (43) уравненіемъ
Si
* = t^dV-
Для призматического растягиваемаго или сжимаемаго стержня <j величина
постоянная, слѣдовательно соответствующая одному стержню работа
< = ѣ!*ѵ = ѣу
гдѣ "Г —объемъ стержня. Если
Л' — сопротивление стержня
F — площадь его шшеречваго сѣченія
/—длина
и \ — изкіпеніѳ длины, произведенное силой N
то
потому ^ uNvlF j^ ^
ЕР
. \iN\4F 1
или, такъ какъ
т=* * = ***
поэтому работа деформаціи всей системы
= І^Л (51)

ПРЛВВІО ПРОИЗВОДНОЙ РАБОТЫ ДвОРКАШИ.
69
Сунна £Л1 содержать столько слагающпхъ, сколько система содержитъ
стержней; при п узлахъ число этихъ членовъ для статистически
определенной системы — 2», а для статически неопредѣленной—In -+- d.
По (48), поставивъ §ша= cos|3, гдѣ fi = 90— а
к = ('і — «) cosa ■+- Ob — Ч) С0*Р-
Какъ изъ черт. 60 видно
з, = 180 — а
поэтому cos a, = — cos а.
Можно слѣдовательно написать
J. = — £, cos я, — £cosa — i),we^ — і] cos p.
Размножимъ это уравневіе на g ,
Л"), jV„ Л'„ Л' „ Дг
-2 = —"2"«і cos^—^icosa -_ —^cosji, —-у vjcos^.
Напшпемъ такое уравненіе для каждаго стержня и егожимъ ихъ въ одну
сумму тагсимъ образомъ, что спачала составляемъ сумму для каждаго
узла отдѣльно, а загѣмъ складываеыъ эти уановыя суммы. Такъ какъ
перемѣщенія £ и ij для одного и того жѳ узла величины ностоянныя, то
еоотвѣтствующая одному узлу сумма будеть имѣть видъ
JV S'Af
— ££' -х- cos a — т) -у cos p (52)
Каждое изъ выраженія Z'Ncosa н £fA"cos£S имѣетъ столько членовъ
сколько отъ увла внходять стержней.
Если для каждаго узла напишемъ выражение (52) и затѣмъ всѣ эти
выраженія сложимъ, то получимъ
S ^ = - £ (eS'f cos а) - £ (tjS' у cos ?)
По (50) и (51)
2'No* а = — X S'JVeeep = S'A'sma = — У
и по (36)
поэтому
^[^Хч-^у] (SJ)

70
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
Если овначнмъ черезъ
Рт—силу действующую на узелъ т
и а ѵ — углы этой силы съ осями ОХ и ОУ
р„, — неремѣщеніе mm' точки приложенія силы і'„
=». и т\т—проекціп этого порелѣіценія па оен ОХ и ОУ
о іг г — углы, образуемые перемѣщеніемъ mm1 съ тѣми же осями
ОХ в ОУ '
Хт и Уш — проекціы силы Рш на ОХ а ОУ,
то
Х„, — Рт cos и Ут ~ Р„ cos ѵ — Рт sin и
=„■ = pw cos 6 т)„ = £}„ sm 5
Х,ч ;,„ -+- 1'™ t\m — Рш рш (cos и cos 8 -ь s?'w м S(» 8) = Ря рт cos {« — 8).
Такъ какъ (?(— 8)-—уголь, образуемый силой Рт съ перемѣщепіемъ
Р», то ^>„. cos (и — 8) озвачаетъ проекцію этого перемѣщенія на паяра-
вленіе силы; обозначивъ эту проекцію черезъ у,,, получимъ по (аЗ)
С = -~ЬѴХ = |іР.у (54)
Это уравнепіѳ выражаетъ правило: Работа дѳфориаціи упругой
сочлененной системы равняется лолусуямѣ произведет», кото-
рыя получатся, если каждую изъ дѣйствуюгцихъ на систему
внѣшнихъ силъ умножинъ на проекцію перемѣщенія еа точки
приложенія на яаправленіе силы. Эту проекцію будеиъ для
краткости называть отпосительпымъ перенѣгценіемъ.
Если уголъ (и — 3) > ЭО3, то cos (и- — 3) отрицателенъ; такъ какъ
въ этомъ случаъ относительное пѳремѣщеніе получается на продолженіи
силы, то слѣдуеть, что у въ уравненіи (54) нужно брать съ положитель-
нымъ знакомь, если нроекція шреиѣщенія получается на направлении
силы, н: съ отриоательньшъ—если на- ородолжѳнш ея въ сторону, нро-
швоположную ея направлешю.
56. Теорежа Камшано (правые проізводной работы дѳФОржшцж).
Работа дефорвадіи, выраженная въ фунвціи ввѣтпнихъ силъ Р по (54)
ъ = ііР^+Ря^ Р&, + ...+ Р^... + Р&}=І2(Ру)...(Ь4а).
Если одна изъ внѣпшихъ силъ, Р, напр. сила Рч, получить безконечно
малое приращенів dPq, то система подучить безконечно малое измѣ-
неніе деформаціи, и точки приложенія всѣхъ вообще силъ Р пере-
нѣстятся на безконечно налыя величины, проекдін которыхъ на напра-

правил) производной ракоты дефориацш.
71
вленія соотвѣтствепнызъ силъ мол;по означить dy; работа исполненная
силой Р„ во время этого измѣненія будеіъ Р,„ <Іут, и слѣдоиательно
полное приращеніе (fe работы вслѣдетиіе безконетпо малага прнращенія
tfP,, силы Рт определится уравііеніемъ:
или
Но
dp, * ~W'~
dp
ЛР
5 ;/1ѵр\ Цугу'1!! ѵ rfP
ЛР
і
Такъ какъ внѣшнія силы Р независимый величины, то по (54а)
поэтому
откуда
«/р, "*р( -" u ,/р, - 1
dw_ _ SPrfy _ j Prfy _1_
ВЛИ
" tlP, - У°
(lis
Щ = У, ... : -■- ■ (OD)
Иослѣдпее уравпепіе даетъ правило: Если выразнмъ работу де-
форыаціи въ функціи внѣшнихъ силъ. то производная этой
работы, взятая но отпошевію къ одной изъ внѣшнихъ силъ,
равняется отпосительнону перемѣщенію топки прпложевія этой
силы. Это правило впервые было доказано инженероиъ Каетиліано. мы
его будемъ поэтому называть «праниломъ Кастиліаво». При употре-
бленіи этого правила впѣишія силы должны быть разсаатриваемы за
везависиныя величины.
57. Зиачеше прожзводнож работы деФотяадш въ иучаѣ двухь рав-
ныхъ і лрнжо протхволоюжБЫХЪ иыъ.—Sla предполагает., что на тѣдо
ВЛ (черт. 62), кроыѣ нагрузки Q„ Q,.-- дѣяствуюгь равныя и
параллельный силы Р и —Р, приложепныя кь точкамъ Л и В по пряяопроти-
воположншгь направленіянъ. Чтобы получить производную работы де-
форнапдв по отношение въ этииъ обѣнмъ снлаиъ Р и —Р, обозяачтгь

72
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
ихъ сначала буквами Р и Р, и положимъ на моментъ, что Pt есть
функція силы Р, тогда будетъ
Jp)~lP~l~}/J\
dP,
dP
ді>.
и такъ какъ Р, = Р, слѣдователыю -АІ; — 1
то
\dP!~ op^df,
Величина въ скобкагь означает-!, производную, взятую по отеошенію
къ обѣимъ снламъ Р.
Если вслѣдствіе дефориаціи, произведенной нагрузкой, точка прнло-
жѳнія А силы Р переместилась въ А„ а точка В силы Р,— въ і?„ и
лроекціи точись Ал и В, на паправленіе
силъ Р озпачимъ черезъ а и S. то
поэтому
dn \ tfss
dPj~dP ' dP,
— Ла-^-ВЬ
.(56)
Сумма Аа -+- ВЬ равняется длинѣ, на
которую измѣншюсь разстояніе точекъ при-
ложенія А и В. Если эта сумма
положительна, то она означаетъ увеличеніе
Черт. 62. (черт. 62а). а если отрицательна — то
уменыпеніе разстоянія АВ (черт. 62й). .
Если, слѣдовательно, Р означаете двѣ равныя и прямо
противоположный силы, то проазводная работы деформаціи, взятая
по о.хношенію къ Р, даетъ величину, на которую вслѣдствіе
деформаціи ивкѣнвлось разстоявіе точекъ приложенія свлъ
Р и —Р.
ІГоложинь теперь, что силы Р и :—Р перпендикулярны еъ прямой
АВ (черт. 63) соединяющем ихъ точки приложенія А а В, образують
поэтому пару сидъ. Если,, какъ а прежде, озпачимъ сначала эти, силы
буквами Р и Р, *), а ихъ момеатъ—буквой М, то вмѣемъ,
М = Р.Ш н M = Pt.AB
*) Р озаачавтъ" сипу Р, действующую' кь ючвѣ Л, а Р,—силу Т, дЬйсфующую
въ точнѣ Ж . -

правило производной работы ифорнащн.
73
елѣдовательно
АВ
Р,=
М
АВ
т. е. Р и Р, суть функціи момента Jf.
Производная работы дефорнаціл, взятая по отношенію къ моменту
М, поэтому будетъ:
fe_ __ fa дР_ dp dl\
dM~ дР- №~* dP, ■ d'M
и такъ какъ
dP __1 *Pl__L
Если вслѣдсгвіе деформаціи, работа которой = t?, точка .4 перемѣсти-
лась въ А„ а точка Б въ В,, и ггроекщи этнхъ переыѣщеній на еапра-
вленіе силъ Р будутъ Аа и ВЪ, то
поэтому
5F = jie
<Of
</Р,
Ла-ьД»
ЛЯ
= Bb
(57)
Обозначимъ черезъ <р — уголь, на который повернулась прямая АВ
занята положсніе A,Bt, и щюведемъ изъ> точки В, BtC || АВ, я взъ
.4, j4,C"j| Р, т. е. перпендикулярно къ АВ, то
_ А,С _ А,А' -*- А'С _ Аа-*-ВЬ
tgr? — GB, "~ С#, ~~ <7£, '
Такъ какъ мы разсматриваеыъ только упругія, слѣдовательно очень малая
деформаціи, то можно поставить
tyf — ? CBt = AB
и подучикъ съ достаточной для практики точностью
Аа + ВЪ
Т
АВ
и по (57)
(58)
Эго уравненіе даеть теореку:

74
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
Производная работы деформаціи, вяятая но отношенію къ
моменту пары силъ, равняется углу вращенія иары. .
Такъ какъ частные производный rf.; и flp югьютъ положительный
или отрицательный зпакъ смотря по тому, направлены лп перемѣщепія
АА, и ВВ, т. сторону соответственной силы или въ противоположную,
то слѣдуетъ. что производная
1 i<lw rf£_\
AS \(W 4" ~dP,)
Черт. 64.
Б&2&
будегь положительна, если пара повернулась въ сторону ея вращепія,
а въ протявноьгь случаѣ она отрицательна.
58. Приложение принципа производной работы гь разечету статически
неопредѣленныіъ еистелъ. — Когда система, послѣ приложенія къ ней
внѣшннхъ силъ, пришла въ состояніе равновѣсія, то это равновѣсіе не
будегь нарушено, если какой нибудь
стержень лзъ системы устраннмъ и на
мѣсто его поставішъ силы, равпыя его
напряжеліямъ. Такъ состояніе равиовѣ-
сія представленной на черт. 64
сочлененной системы не пзмѣнится, если
напр. стержень al>, котораго напряже-
ніе — N, зааіЬнинъ силами N и —ІѴ,
приложенными къ уаламъ а и Ь по
направленно оси аЬ этого стержня. Если
стержень аЪ растянуть, то стрѣлки, оігре-
дѣляющія стороны дѣйствія замѣняю-
щихъ его еялъ N и — N, должны
быть направлены въ стороны, нротиво-
по лож выя ихъ точканъ приложенія,
потому что напр. часть am останется и
нослѣ разрѣаа стержня аЬ натянутой,
если приложенная къ ней сила будетъ
направлена отъ а къ Ь, а на часть пб
она должна дѣйствовать , отъ Ь къ а. Сжатіе определяется стрѣлкаыи,
направленными къ точкамъ приложенія соотвѣтственныхъ напряжепін,
какъ это указано ждя стержня ас.
Положить, что въ статически определенную ферму (черт. 65)
вставлены добавочные стержни I, II и Ш (черт. 65 а) въ которыхъ при
извѣстноі нагрузкі возбуждаются напряженія Dt, D„ D3, а въ ирочихъ
стержняхъ—напряженія а, Ь, с... Очевидно, что если вмѣсто добавоч-
выхъ стержней приложимъ къ соотвѣтственншгь узламъ ферма (черт. 65)
&
"Черт. 05.
Черт. 65а.
Черт. вой.
а '
5?
а
%$^
І\т
J С
п /
г в
г Ь з с
X
К
, Ъ з t
У-
У\
"Черв. 65 е.

правило произведи он работы дкформдців.
7э
силы Dv D, и D3, то для фермы (черт. 65і>) получится такая же
диаграмма папрял;еній, какая получается для фермы (черт. 65м) съ
добавочными стержнями.
Если въ фермѣ (терт. 656) одну или нѣскодьт силъ D зая'Ьпимъ
другими силами, то получится новая діаграмма напряженш (и при пре-
небрежвніи упругой дефорыаціи) ферма сохранить свой видь. Изъ этого
слѣдуетъ, что напряженія 1) добавочныхъ стержней имѣютъ
такое же свойство какъ и виѣшнія силы, т. р. по отношенію къ
работѣ деформаціп могуть быть рассматриваемы какъ
независимый величины.
Этимъ свойством], не обладаютъ нужные стержни. Такъ если
действующая на ферму (черт. 65) нагрузка производить въ стержняхъ Ь,
тип напряженія Nb, Nn и N„. то равновѣсіе не будеть нарушено:
если эти стержни устранишь, и на ихь мѣсто поставнмъ силы А~„ N„ и
Nn такъ, какъ это указано на черт. 65с. Но если величину хотя бы
одной язь этихъ сплъ измѣнимъ. то какъ бы ни мало было это изиѣно-
ніе, равповѣсіе фермы будеть уничтожено и ел форма разрушена.
Изъ предыдущего слѣдуетъ, что статически неопределенную систему
(черт. 65в), нагруженную силами Р„ _Р,... можно разсматривать какъ
статически опредѣленггую систему (черт. 656). па которую кромѣ тѣхъ же
силъ PtP3... дѣйствуютъ еще силы Р„ — J5„ Т}ѵ — Da, D3 и — D3.
и всѣ эти силы—пенависимыя величины. Если выразимъ работу дефор-
мапіи этой фермы пъ фупкціи внѣшпихъ сихь, то это будеть функдія
силъ Р и V, и производная этой работы, взятая по отаошейію къ одной
изъ силъ О, представляющей двѣ равныя и прямо противоположныя
силы, будеть (по К? 55) равняться величине, на которую вслѣдствіе дѳ-
формаціи шиѣпилось разстояпіо точекъ праложенія этихъ силъ. Но для
добавочнаго стержня эта величина равняется его удлиненно, соотвѣт-
ствующему сопротпвленію D, такъ что будеть:
<Ш. EmFm*
(59)
гдѣ ?„—длина, F„—площадь поперечнаго сѣченія н Еп—модуль
упругости матеріала добавочнаго стержня 2)„. Знавъ minus происходить отъ
того, что внутренняя силы исполляютъ во время дефориаціи
отрицательную работу, потому что при растяженія, иапр. точки цриложевіа 3 и
7 снлъ Dt и — 7>, удаляются, т. е. перемещаются въ стороны,
противоположныя ваправлевіямъ этихъ еилъ. Такое же явяевіе имѣетъ мѣсто
и ори сжатів стержня.
Изъ уравненія (59) имѣеыъ
•&*&-" с»)

76
ГЛАВА Т Р К Т Ь Я.
Для каждаго добавочваго стержня можно составить одно уравпсніе
вида (5!)). если поэтому число добавочныхъ стержпеіі <], то и число
уравненій (59), будетъ — d. Статически опредѣленеая п узловая система
имѣетъ 2» -+■ (/ стержней (т. с. Ъг—3 пужішхъ стержней фермы, 3 иуж-
ныхъ онорныхъ и d-—добавочныхъ стержпей); для рѣшспія ся условія
равновѣсія даюгь 2и, а условіе (59)—d уравненій. Число ыезависиныхъ
уравненій будетъ, иоэгому — 2м -t- d, т. ѳ. равно числу неиакѣстпыхъ,
пзъ чего слѣдуетъ, что уравненія (59j въ соединеніи съ уравне-
ніями равновѣсія достаточны для рѣшеяія всякой статически
неопредѣленной системы.
Когда Е„ или Fm безконечно велико, то по (5»j
(Its
<шт = ° (60)
59, Системы, въ которыхъ дѣяствуютъ наяряженія ж прж отсутетвіи
иатрузЕЖ. — Выраженное уравпеніемъ (59) правило вѣрно точно только
тогда, когда въ нвнагруженномъ состоянии длина добавочнаго стержня
равна разстоянію соединяемыхъ имъ узловъ.
а ^^ Разсмотримъ тотъ случай, когда вводимый въ
Щ/&\~~~У\-~-^ неизмѣняемую систему стержень немного длип-
пѣе или короче разстояпія соединяемыхъ имъ
узловъ. Положишь для примѣра, что узлы о и Ь
Черт. ее. (черт. 66) должны быть соединены стержнемъ
аі„ который на величину 6і, — X короче раз-
столшя аЬ. Для этого нужно будетъ узлы а и Ъ немного сблизить, и
стержень аЬ1 немного растянуть, чтобы можно было, соедининъ одинъ
коиецъ его съ узломъ о, соединить другой конеігь Ь, съ уаломъ Ь. Когда
затѣмъ ферма будетъ предоставлена самой себѣ, то узлы я и Ь ваймутъ
такія положения я и р, что стержень аЬ останется немного удлиненнымъ,
а разстояніѳ яй—немного уменьшеннкмъ. Если действующее теперь въ
стержнѣ ар напряжете означимъ черезъ Д., то его удлиненіе
а вамѣвеніе разстоянія узловъ по 56 (А* 55)
Оложивъ эти оба ураввшія получаемъ
-^-,-і_*.ч-ф- (.ц

ПРАВИЛО ПРОИЗВОДЕІШ РАБОТЫ ДН*ОРКАЦ1Н.
77
Это уравненіе заыѣняегь уравненіе (59) для всякаго такого доба-
вочнаго стержня, котораго длипа не равна точно разстоянію соединяе-
мыхъ имъ узловъ.
60. Вліаніе нзиѣиввія температуры. — Въ сіатачеекн опредѣленной
системѣ перемѣны температуры ее имѣютъ никакого вліявія на напря-
женія стержней, потому что она можетъ свободно измѣнять свою форму
соотвѣтственно язмѣяеніямъ длинъ ея стержней. Но если система нмѣетъ
добавочные стержни, то при измѣненіи температуры получается случай.
разсмотрѣняын въ ,№ 57. Если напр. въ 4-угольной фермѣ abed (черт. 67)
амѣющей діагональ 5с, длины стержней, вслѣд-
ствіѳ измѣненія ихъ температуры, измѣнятся,
то образуется четыреугольникъ acld1bl, въ ко- ^>0^^-^^-7 *
торомъ при отсутствіи нагрузки не будутъ дѣй- J^i-*sii^!!S^^;i /
ствовать никакія напряженія. Но когда кромѣ w*^ »"" **
діагоеали Ъс четыреугольннкъ имѣетъ еще діа- ч е7
гональ ad, то при том* же измѣненіи
температуры длина послѣдней будетъ = я<2„ причемъ n'lt будегь больше или
меньше разстоянія adt. Дѣйствіе на ферму будегь точно такое, какъ если
бы длина добавочнаго стержня ad была на величину
больше или меньше разстоянія adt. узловъ а и d,. Для этого случая,
слѣдовательпо, дѣйсгвительно уравненіе (61).
61. Крѣпнія ж спіопшыя еястежы.—Всѣ предыдущія правила, выве-
денныя для сочлененных* системъ, вполнѣ дѣйствитѳльны и для такихъ,
въ которых* стержни соединены между собою на крѣпко, или которыя
представляют* одно сплошное тѣло. Это заключеніе получается на осно-
ваніи слѣдуіощаго разеужденія. Еакъ выше было сказано, въ
строительной механйкѣ разематриваются тѣла, которыя дредставляють себѣ
состоящими ззъ безконечно малых* частицъ. находящихся на чрезвычайно
малых* разстояніяхъ, между которыми дѣйствуютъ частичныя силы. Если
приложенный къ тѣлу внѣшнія силы {пли нхъ равнодѣйсгвующія)
находятся въ одной плоскости, то въ той же плоскости находятся и рав-
нодѣйствующія частичных* сил*; тѣло въ этом* случаѣ можетъ быть
разематриваемо как* матеріальяая плоскость, въ которой сосредоточена
вся его масса таким* образомъ, что въ каждой частицѣ этой плоскости
сосредоточены всѣ частицы гѣла находящаяся на перпендикулярной къ
ней прямой, проведенной через* соотвѣтственнуіо частицу, и что на нее
дѣВствуетъ сила, равная равнодѣйствующей находящихся на этой
прямой частичных* силъ. Эти силы такого рода, что если разстояніе двухъ
частицъ увеличивается или уменьшается на величину, которая сравни-

78
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
тельно съ разстояніемъ цоптровъ этнхъ частицъ очень мала, то въ на-
правленіи соединяющей оба центра прямой развивается упругая сила,
пропорцкшальная величинѣ сближонія или удаленія, которая дѣйствуотъ
притягательно, когда разстояиіе частицъ увеличивается, и отталкива-
тельно, когда оно уменьшается.
Последнее свойство совершенно однородно со свойствами сотленен-
ной системы, такъ какъ сосредоточенный въ плоскости частицы можно
разсматривать какъ узлы, а дѣйствующія между ними сонротивленія
частицъ — какъ сонротивленія упругихъ стержней. Изъ этого слѣдуетъ,
что всякое тѣло, и вообще всякая система какимъ бы то ни было обра-
зомъ соедипенныхъ между собою неизмѣняемо тѣлъ, можетъ быть раз-
сматриваема какъ сочлененная система, что, поэтому, правила, выведеп-
ныя для сочлепепныхъ системъ, дѣйстйитсльпы для всѣхъ упругихъ сп-
стемъ безъ исключенія.
68, Слагажіе дѣіетшж. — Когда напряженія не превышаютъ предѣла
упругости, то деформаціи бываютъ столь незначительны, что при оире-
дѣденіи дѣйствій силъ можетъ быть примѣеяемъ принципъ слаганія
дѣйствій, который выражается слѣдующимъ образомъ: «Когда па иате-
ріальную систему дѣйствуетъ большое число силъ, то каждая
изъ нихъ производитъ свое дѣйствіе точно такъ, какъ если бы
другихъ ее существовало, т. е. дѣйетвія, производимый каждой
силой отдѣльио, слагаются, неизмѣняя другъ друга».
Изъ отого правила слѣдуетъ, что когда сила=1, приложенная къ
точкѣ в, производить въ точкѣ т дѣйствіе е„ то при увеличеніи этой
силы въ Ра разъ, такъ что она будетъ замѣнять Ра силовыхъ единидъ,
производимое ею въто дѣйствіе увеличится то же въ Р„ разъ и будетъ— Р.еа.
Если кромѣ силы Ра дѣйствуетъ па другую точку Ь системы сила і*„
содержащая Рь силовыхъ единицъ, то ея дѣйствіе въ той же точкѣ т
будетъ = etPh гдѣ еь— яѣйствіе, которое произвела бы сила Рь
приложенная къ точкѣ Ь, если бы она была = 1. Полное дѣйствіе въ точкѣ т,
при одновременнонъ дѣйствіи силы Ра на точку я, и силы Рь на точку
Ь, по принципу слаганія дѣйствій, будетъ
Когда, слѣдовательно, на систему дѣйствуютъ одновременно силы
Р„ Р„ Р3 . . . Р„ то произведенное ими въ данной точкѣ дѣйствіе
можетъ быть выражено такъ:
£ = е1і»І + е»Р1-ь«^1+ . - - ч-е.Р. . - . (62)
Дѣйствіе Ж можетъ быть напряжете, иоменгъ, нереиѣщеніе и т. д. Если
оно напряжение, то вмѣсто буквы JE и е будемъ употреблять для нор-
ыальиыхъ шшряжеяій буквы S и s, а для скалнвающнхъ—буквы Tat.

правило производной работы деформащв. 79
Поэтому ыожпо выразить нормальное напряжете, произведенное грузами
Р„ -Pj . . уравнепіемъ
8 = S,Pi-l-8,Pt+*lP>-l- (63)
а скалывающее — уравненіемъ
Т=іхГл -+- tj\ -+- (,Р3 -+- . .
Если въ статически Бсопредѣленной еистемѣ будемъ разсматрввать
напряжения D,, D2 . . . добавочныхъ стержней какъ внѣшнія силы, то
къ иапряженіямъ, производимыиъ грузами І'„ Ра . . . прибавятся на-
пряженія огъ добавочныхъ си.'іъ Dv. І)г . . и тогда будегь
o = S1P1h-SjPjH- . . . ■+- а,!?! -+■ a3D3 -+- . .
(64)
т = *,P,-MaP,-н . . . -ьт.В, +:,!),+ . .
Здѣсь о„ п5 . . . означаюгь нормальный, а -„ -а . . . — скалывающія
нанряженія, произведенный (соотвѣтственно) силой D, = l, силойі>а= I
и т. д.
Означпмъ напряженіе, происходящее въ данной точкѣ системы тогда,
когда всѣ добавочный силы—0, (т. е. когда всѣ добавочные стержни
устранены и система превратилась въ статически определенную), черезъ
з0 и т0, то изъ уравненій (64) получимъ
o = e,'4-elD,-*-a1D14- . . .
n j, (bo)
63. Выраженіе производной работы деФОриацш t? въ Функдіж
напр яжешв.—
По (43) К 50
Производная этой работы, взятая по отношение къ силѣ (или парѣ)
Рш будегь
Если Ря — сила, то «/„ означаетъ перемѣщеяіе точки приложенія
этой силы по направлен™ ея линін дѣйствія, а если Р„ моментъ, то t/„
есть уголь вращенія нары этого момента.
Такимъ же образомъ получимъ для добавочной силы Dm, по (61)
dw Г a da ' Г ~ d~ ,_. В J,
ЙД.
=/і^/щ"^='«

80
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
Там. какъ силы Р и D -— независимый величины, то по (61)
do d\
~d~fm ~ Sm IlF
da dz
= L
поэтому
dl)m - dDm L"
^JlT + J-G- <67>
-/¥*■&
™JI l>Jm
(68)
Въ этихъ уравненіяхъ означает*: о — нормальныя и -—скалывающія
напряжения, произведенный въ точкахъ системы данной нагрузкой; вя-—
нормальная, и ta—скалывающія напряжепія, произведенныя въ тѣхъ же
точкахъ грузомъ Рт, приложепнымъ къ точЕѣ т, если этотъ грузъ= 1;
а_ — нормальныя и ти — скалывающія напряженія произведенный
добавочной силой Dm (заменяющей напряженіе Д„ добавочнаго стержня).
тогда, когда 2)я = 1.
s«f $*.• °* и хя — величины статически опредѣленныя; это видно изъ
уравневШ (64); если въ нить поставишь
Р,=Р2 . . .=Рт_,=Рт^=. . . = 0 B, = Z>, = .D3 = . . .-О
и Рт = I, то получимъ
а если поставит.
Р,=Рг=Ря=. . . = 0 D,=D2=. . .=D_1=J)^i='. . . = 0
иД.= 1.
то получнмъ
Въ обоихь случаягь нужно следовательно всѣ добавочные стержни изъ
системы устранить, т. е. превратить ее въ статически определенную, и
для полученія s„ н *т вагрузвть ее силой Ри = 1, а для получены
а„ в -^ силой Д, = ].
64. Ваажжжюга верек&щеши. — Положим*, что въ-точкѣ р системы
приложена сила Р по шшравленш рр„ я требуется найти произведенное
ею верагіщеніе точки г во направлевію гг,. Это нерекѣщеяіѳ обозна-
чимъ черезъ у„, при темь первой буквой показателя отмЬчаемъ перекѣ-
щаювдуюса точку, & второй—точку приложенш силы, пгтизводяадей это
перекѣщеніе.

ПРАВИЛО ПРОИЗВОДНОЙ РАБОТЫ ДВФАРЯАЩИ.
81
Обозначит, нормальный и скалывающія напряженія, произведенный
силой— I, дѣйствующей въ точкѣ р по направленно рр, черезъ зр и -fi
а произведенный силой =1, приложенной къ точкѣ г по направлении
гг— черезъ а, и т,. Если сила = 1 дѣйствуетъ въ точкѣ р по
направлению рр, (черт. 68), то произведенное ею перемѣщеніе точки г по
направлению rrl получится по фориулѣ 67, если въ ней поставимъ
3-е
"=> И ~т
т. е.
-,-лѵ
:=Г*?-№
(69)
Перемѣнимъ взаимно значенія точекъ р и г. в опредѣлимъ переиѣшеніе
точки р по направленію рр,, произведенное силой = 1 дѣйствующей въ
точкѣ г по направленію гг(. Для этого
нужно въ уравненіи 67 поставить
а = е г—т, о„ = о. т_ = -„
такъ что будѳтъ
Е
Иэгь 69 я 69а получаемъ
yTf = yr ■ ■
dV
(69e)
(70)
Черт. 69.
Слѣдуетъ правило: Сила Р,
приложенная къ точкѣ р по направленію рр,
перемѣщаетъ точку г по направленію гг, на точно такую
величину, на какую она перемѣстила бы точку р по направленію
ppt если бы была приложена къ точкѣ г по направленію rrt.
На основапіи этого правила задача: определить перемѣщеніе точки г
по направленно гг„ произведенное параллельными силами Р„ -Ра, Р3 иР,.
приложенными къ точкамъ 1, 2, 3 и 4 (черт. 69} ножетъ быть рѣшена
слѣдующшгь образомъ: прикладываемъ къ точкѣ г пс направленію гг,
силу= 1, и определяет» произведенный ею по направленно силъ Р пере-
ыѣщепія у„ у„ уъ и ук точекъ 1, 2, 3 и 4. Такъ какъ у, есть перемѣщеніе
точки г по направленію гг, произведенное силой Р, = 1, то перемѣщеніе,
произведенное силой, содержащей Pt еджницъ, будеть P,ylf н разеуждая
гакимъ же образомъ для другяхъ силъ, получинъ,что искомое перемѣщеніе
уг=Рху, ч- Р$ъ -+- Р3у3 -+- Р$г
Такъ какъ правило производной работы иыѣегь для пары силъ (т. е.
для момента) такое же значеніе какъ для отдѣльной силы, то легко убѣ-
диться въ вѣрности слѣдующихъ положеній:
М. 1[Ертшігая0КіЗ.—Стртогелшаи чех&ниБ*.
К

82
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
Г) Сила 1, приложенная къ точкѣ р по направленно рр1 измѣняетъ
взаимное разстояніе аЬ двухъ точекъ а и Ь на точно такую величину, на
какую прямо противоположный силы 1 п— 1, дѣйствующія въ точкахъ
а н Ь по направлендямъ аЬ и Ьа, перемѣщаютъ точку р по направленію рр^.
2) Прямо протнвіяшложныя силы 1 и — 1, приложенные къ точкамъ
а я Ь ио направленію соединяющей ихъ прямой аЬ измѣняютъ взаимное
разстояніе точекъ с и d па точно такую величину, на какую прямо
противоположный силы 1 и — 1. приложенный къ точкамъ с a d ло
направленно прямой cd, измѣдили бы разстояніе точекъ а и Ь.
Щ Пара тр=\, действующая въ точкѣ р по направленію рр1
поворачиваешь прямую г по палравленію гі-1 на точно такую величину, на
какую пара = 1 приложенная къ г по направленію гг1 повернула бы
прямую р по натгравлепію ррх.
4) Пара = 1 дѣйствующая на точку р по паправленію ppt переиѣ-
щаеть точку г по направленію rrl за точно такую величину, на какую
сила = 1, приложенная къ точкѣ г по направленію гг, повернула бы плечо
пары р по направленію рр,.
ГЛАВА IV.
Опредѣленіѳ нормальныхъ и скалывающихъ ыапря-
нсеній прямого бруса.
а) Нормальный напряженія <з.
(jSgi—Мы разематриваемъ брусъ съ прямолинейной осью, подверженный
дѣйствію внѣшнихъ силъ Р„ Р3, Рл '. . . (черт. 70). нослѣдвія находятся
въ плоскости, проходящей черезъ ось бруса, но вообще не параллельны
ей. Отъ дѣйствія силъ брусъ получить деформацію, которая будетъ
увеличиваться до гѣхъ норъ, пока соотвѣтствуюпця ей внутреннія силы, увели-
чивающіяся вмѣстѣ съ деформаціей, не достигнуть такой величины, при
которой онѣ будугъ уравновѣшивать внѣшаія силы. Прямолинейная ось ей
бруса получить вадъ кривой ас&, (черт. "ИУкоторую называютъ упругой
линіей. Два'щшеречныя сѣчевія тп и pq-. пераендикулярныа къ оси об,
которшъ плоскости, слѣдовательно, параллельны между собою, будуть
нмѣть яоелѣ изгиба наклоняыя положѳніл т1п1 и p,qx, ш опыты показы-
ваютъ, что съ достаточной джя практики точностью можно принять, что
вяоекія сѣчешя, мрпевдикужярныя еъ оси бруса, остаются и посдѣ изгиба
плоскими и дерпендивуляраымн къ упругой лиши.
Мы будемъ разсматравать»тоаько такіе случаи, при хотвршъ,дефор-

ОПРЕДЪЛШЕ НОРМА.ТЫШХЪ И СЕАЛЫВАЮЩИХЪ НАПРЯХЕНІВ ЫРЯВОГІ) БРУСА. 83
мація бруса, соотвѣтствующая его состоянію равновѣсія, ни въ какомъ
мѣстѣ-не превышаетъ предѣльной упругой деформаціи, а тогда она столь
незначительна, что при изедѣдовапін состоянія равновѣсія можно ею
пренебрегать, и разсматривать какъ брусъ. такъ и дБйствующія на него
силы, въ тѣхъ положеніяхъ, какіа они имѣли первоначально.
Замѣншъ опоры, пренятствующія брусу измѣнять свое иоложеніе въ
просграествѣ, равнодѣйствующими имъ впѣшннми силами А, В . . : зги
силы принято называть реакциями. РеакцІи опредѣляются условіемъ,
что ойѣ должны уравновѣшиватъ дѣйствующія на брусъ внѣшнія силы
l',Pj -. - , равнодействующая ахъ поэтому равна и пряыопро-
тивоположна равподѣйствующей приложепныхъ къ брусу внѣш-
нихъ силъ.
Сѣченіеиъ ік, перпендикулярныиъ къ оси ab, разрѣженъ брусъ на
2 части, отбросииъ одну часть, напр. правую кВ, и для возстановлепія
равиовѣсія лѣвой части Аі приложимъ къ точкамъ сѣченія ік (т. е. къ
олсиезтамъ плоскости этого сѣченія) силы, замѣняющія силы сцѣпленія
этихъ точекъ съ соогвѣтственныки точками того же сѣченія правой части
кВ, дѣиствовавшія въ нихъ до разрѣза. Такъ какъ эти внутреанія силы
уравновѣіпиваютъ дѣйствующія на часть Ак внѣшнія, то ихъ равнодѣй-
схвующая (В) должна быть равна и прямо противоположна
равнодействующей R силъ А, Р„ Р3, _Р3. Но едьлапному выше предположеМю
всѣ эти силы находятся въ плоскости, проходящей черезъ ось об,
следовательно и равнодѣйствующая силъ сцѣпленія, дѣйствующихъ въ сѣ-
ченін ік (и во всякомъ другояъ сѣ'іѳніи) находится въ той же плоскости,
и по условію равновѣсія она совпадаѳтъ съ В. Очевидно, что равнодѣй-
ствующая R встрѣчаѳтъ плоскость 'сѣчвнія ік въ точкѣ t, находящейся
на лиши пересѣченія ггі этой плоскости съ плоскостью силъ; прямую
/т, будемъ называть силовой линіей, а точку t — силовой точкой.
Такъ какъ силовая лиаія есть слѣдъ силовой плоскости па плоскости
сѣченія, то проекціи всѣхъ силъ бруса на плоскость ік совпадаютъсъ гг,.
Разложвыъ В въ точкѣ t на нормальную слагающую JV,
перпендикулярную къ плоскости сѣченія, и на касательную Т находящуюся въ
этой плоскости; на= черт. 625, представляющемъ сѣченіе ік, проещія силы
N изобразится точкой t, а проекція силы Т—прямой rrs.
Пусть в—сала сцѣпленія, действующая на безконечно малую плоскость
df; разложииъ ее на нормальную слагающую i&f и касательную zdf—
гдѣ о и -. означаютъ, какъ и прежде, нормальное и скалывающее напря-
женіл, отнесенныя къ единидѣ площади. Изъ условіи равновѣсія слѣ-
j-df=T] і1}
Каждый нзъ этихъ интеграловъ относится ко всему сѣченію.

84
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
(6Й) Опредѣленіе Еормальныгъ наяряжеиій а.—Оірѣзокъ дкЫ бруса
(черт. 70с) заключенный между поперечными сѣчепіями gh и Ы,
перпендикулярными къ его оси, получитъ вслѣдствіе деформаціп видъ g^jijk,
(черт. 70с) причемт, сѣченія glhl в ksit, какъ выше было уяспепо, будуть
въ Oj a st перпендикулярны къ упругой линіи. Дляпа dx волокощ, измѣ-
нится; при изображенном на черт. 70с родѣ изгиба длина нижпихъ
волоконъ увеличится, а верхнихъ—уменьшится; между gJh и hj, бу-
детъ, поэтому, волокно тп, котораго длина останется пеизмѣнной. Это
волокно называютъ нейтральпыыъ волокномъ, а его пересѣченіе п0пд
еъ плоскостью сѣченія — нейтральной или нулевой линіей.
Черт. 70.
Отвесемъ сѣченіе Н къ ігряжоугольнымъ осякъ координать, проведен-
нымъ дсрезъ центръ тяжести г сѣченія такямъ образокъ, чтобы
одна иаъ нихъ, которую будемъ обозначать буквой «, была
параллельна нейтральной линіи; другую, перпендикулярную къ ней,
будешь обозначать буквой ѵ. Ось и будемъ ечитать положительной вправо,
а ось ѵ—положительной вниаъ. На черт. ТОЙ принято для простоты,
что ось ии горизонтальна, но обыкновенно направлѳніѳ ея неизвѣстно,
и способъ опредѣленія его будетъ уясненъ ниже.
Черезъ нулевую линію я0я0 (т. е. черезь я на черт. 70с) проведем,
плоскость itti0, параллельно плоскости g,ht. Пусть gg,—волокно,
параллельное нейтральному волокну «и* и gg, — тп — его первоначальная
длина, то произведенное деформацией нздѣвеше длины ад, = да, -— qq%.

ППРЕДѣЛЕНІЕ НвРИАЛЬЙЫГЬ F СКАЛЫВАЮЩНХЪ НАПРЯЖЕНІН ПРЯМОГО БРУСА. 85
Такъ какъ прямыя q^ и1 q„ по которымъ поверхность волокна qqt
пересѣкаетъ плоскости і0ка в ?',£„ параллельны между собою, то слѣ-
дуетъ, что длины всѣхъ нитей, изъ которыхъ состоитъ волокно
параллельное нейтральной оси, измѣняются на одну и ту же величину.
Если о—пормальное напряжете какой-нибудь точки р (черт. ~0d)*)
находящейся па прямой дад„, по которой волокно qq, пересѣкаетъ сѣ-
ченіе i,k, (и которая параллельна нейтральной лиши »0«„) и Е —
модуль упругости матеріала бруса, то по закону Гуіса
и обозначивъ qq^ черезъ dx, и g,g5 черезъ о,
rfa;
Координаты точки у означаю, черезъ .ы и ^ а безконечно малую
площадь, ограниченную кривой, описанной около этой точки—черезъ df,
то нормальное сопротивленіе этой площади
а его моменгь по отношенію къ оси ми —зй/w, и по отношенію къ оси
ѵѵ — vdfti. Сопротивленіе сѣченія ilh1 — j adf. а его моменты по
отношенію къ оеямъ ш и ѵѵ (соотвѣтственно) — judfv в jadfu, гдѣ
каждый изъ интеграловъ долженъ быть распространенъ на всю площадь
сѣченія. Если означщгь сумму моментовъ внѣшнихъ снлъ, дѣйствуюшихъ
на оставленную часть Лк (или номенть нхъ равнодѣйствующей Ж) взя-
тыхъ по отноиіенію къ осп да, черезъ Мѣ, и по огаошенію къ оси ѵѵ—
чвтюзъ Ж„ то гакъ какъ эти силы уравновѣшиваются силами съченія ік,
судемъ имѣть на основаніи условій равновѣсія:
S°df=*r (71)
$ѵф = Мщ (72)
jadfu=M. (72а)
Удлииеніѳ s^, осевого волокна означит, черезъ ъ0, а соотвѣтствую-
щѳе ему напряжете черезъ а0, то
з„ = ѣ -у- -
" dx
*) Черт. 7<И представпявгь i,ht въ уввппченшвгь насштабѣ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
Изъ черт. 70с имѣемъ
О = )•„ -1- V
6 = 5„ | 1 -ь -
о
ѵ.
«•енножгшъ это уравненіе на ■=-
* I = ¥*(!+-
ах ох \ Ѵц
Лодставныъ это значеніе въ (71):
f dfv означаетъ етатистическій ыоментъ площади сѣчепія по отао-
шенію і;ъ оси гш, а такъ какъ эта ось проходить черезъ центръ тяжести,
то опъ — 0: если, поэтому обозначимъ площадь сѣченія черезъ F, то
будемъ ииѣть:
*«, = -£ (74)
Подставинъ значеніе (73) въ (72) получит,:
я обозначай, моневгъ инерціи сѣченія по отношенію къ оса ии че-
реэъ J.,
откуда
ъ ~ Ml.
ПоагмцЬо этого уравнения и- уравиешя (74) выражение (73) naiy-
чаѳгъ ведь
■"T^-jT т

Опреиленік вормальиыхъ и склзывающвіъ баиряжеяіи прямого бруса. 87
Подставивъ въ (72я) для о это значеиіе, будегь
Таісь какъ
J' mlf = О j uvdf = 2„
ідѣ /?„„—центробѣжный момента площади сѣченія по отпошенію къ
осяиъ и и ѵ, то
дг. „ ж z„
Если означпмъ разстояніе силовой точки ( отъ центра тяжести, т. е.
длину tz, черезъ г, и уголъ, образуемый силовой линіей Л <:ъ осью гт
(которая параллельна нулевой линів) черезъ |3, то
Мг — Кг cos $ Ми = Nrsinp в -_ -к ь*л.
Поэтому
ж = "^к '*>
Изъ послѣдняго уравненія слѣдуегъ (по 17а), что нейтральна
силовая лидіи образуютъ сопряженный оси сѣчепія.
Разстояніе *■„ нулевой" лиіін отъ центра ^ііжёстй~получается изъ
условія. что напряженіѳ а для всѣхъ точекъ этой ливіи — О, т. ѳ.
F -К ~
откуда
г-—f-д: (77)
Означнмъ черезъ »„ — радіуеъ внерціи сѣченія для оси ни, то
J. = Fi\
и такъ какъ Мш = ІѴе„ гдѣ е„—разстояніе силовой точки ( отъ оси им,
то
__К_ FP. _ і\
ѵ«~ F ' Ne,~ еш
ИЛИ ч /н—пч
»А = — * (78>
т. е. радіуеъ ннерцін есть средняя геометрическая
пропорциональная между"~р азстояніями нулевой линіи и_ силовой то чжи,
отъ оси ш, проведенной-черезъ центръ тяжести параллельно нулевое
линів. Знакъ mums показываеть, что ѵа и ев инѣгогь цоотивоположане

88 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
знаки, т. е. что нулевая линія и силовая точка находятся на
разныхъ сторонахъ оси ни.
Графически получается ѵ0 по (78J, слѣдующимъ образомъ (черт. 70с):
откладываешь на оси ии z0i = радіусу инерціи «„. соединяемъ і съ с,,
гдѣ іл — дроекдія силовой точки і да ось ѵѵ, возставляемъ въ і къ it,
перпендикуляръ до лересѣчснія съ ѵѵ въ п, то пг0 = ѵ0\ пулевая линія
проходить черезъ п. и параллелыіа ии.
\.67) Завжсжмоеть между нулевой ж схловок лкніямя. Діаграмжа
нормальный напряженіі. Изъ уравпепія (78) слѣдуетъ, что доложепіе
нулевой линіи зависитъ только отъ положения силовой точки і,^
но не закиситъ отъ величины силы Л". Разстояніе ѵ0 нулевой
линіи отъ центра тяжести (т. с. отъ оси ии) обратно пропорціоаально раз-
сгоянію е. силовой точки отъ той же оси, такъ что при прибли^
женіи спловой точки еъ цептру тяжести нулевая линія
удаляется отъ него и_ на оборотъ. Когда t совпадаете съ центром*
тяжести (е„ = О) то нулевая линія находится въ безкопечности, а
если силовая точка находится въ безкопечности_(ев = со, сила И
параллельна еѣченію), то нулевая липія проходитъ черезъ
центръ тяжести сѣченія.
Когда точка t деремѣщается по__силовой линіи, то нулевая
ливія перемѣщается параллельно самой себѣ, потому что rio~(TBJ
уголь р не зависитъ отъ е„.
Для Z„ = 0 получает, изъ (76) cotg р ~ 0, слѣдовательео р — 90°
т. е._^сли_сдлмоЙ^ИІс^есі^о^аа_изъ_£Д§вдыхъ осей, то
нулевая линія перцендикудярна аъ силовой, т. е. она параллельна
другой главной оси. Если поэтому сѣченіе имѣетъ ось с и мм ет pin,
и силовая линія совдадаетъ съ этой осью, то ось «и
перпендикулярна еъ оси еимметрін. Этотъ случай чаще всего встречается"
на практикѣ.
Напряжете э произвольной точки сѣченія по (75)
1SBF+X ' ■ (79)
гдѣ 5^"
Мш = ДГе. = А'геіяр
Еслп жшенть по отношенію къ центру тяжести еіченія, т. е.
Хг означим, черезъ М, то будетъ
Л ■- Мѵ.аіпк •

ОІІРЕДѣЛЕЩИ НОРМАЛЬНЫХЪ В СКАЛЫВАЮЩИХЪ НАИРЯЖЕШВ ПРЯНОГО БРУСА. 89
и. поставивъ
іѴ Мѵ
з = j,-t- -J (80)
Когда дѣйствующія на балку силы перпендикулярны къ ея
оси (случай простого изгиба) то N = 0 и тогда
Мѵ
* = -J <81>
Для одного и того же сѣчееія N,JPjjl в J—величины постоянныя,
взъ чего слѣдуетъ, что о изаѣняется только съ измѣненіемъ разстоянія ѵ,
поэтому всѣ точки прямой, параллельной нейтральной лиши, испыты-
ваюгъ одинаковыя напряженія. ~
Нормальное напряжеиіе а увеличивается съ увеличеніемт» разстоянія ѵ,
а достигаетъ максимума въ волокнахъ ѵ, и ѵ% (черт. ТОЙ) для которыхъ ѵ
достигаетъ максимума. Для получедія ѵх и ѵ2 въ случаѣ неправильной
фигуры нужно къ очертанію ея провести касательныя, паралледьныя
нейтральной" дині'н. Если~~разстояпіе волоконъ ѵх н vt отъ гт обозначимъ
червзъ «, и е„ а ихъ наиряженія чѳрезъ я, и а„ то по (79)
N Me,
P~*"J"
іѴ Me
Q^F' J
^=W-~T (82)
F J
a въ случаѣ простого изгиба
Me, Me* , „
°. = -j- °t = ~ У (83)
Діаграмма нормальныхъ напряженій.—Изъ уравненія (80)
слѣдуетъ что между о н ѵ существуегь зависимость первой степени, что
поэтому законъ измѣняемости нормальныхъ напряженій въ ѳдноыъ н томъ же
сѣченіи выражается прямой линіей.
Эта прямая представлена па черт. 70е. Для ея построенія проводимъ
АВ |t от; нулевую линію пп0 продояжаемъ до пересѣчевія съ АВ въ
точвѣ я: на продолженіи оси ш откладываемъ отъ точки г0, въ
которой «и вегрѣчаетъ АВ
— _ ІѴ
в соеднняемъ о0 съ ». Бели точка ха получается вблизи », то ЙЦреиь
точку в, въ которой параллельная вь мм касательная eta встрѣчаѳть АВ,

90
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
и откладываемъ па я,а
аа, = о, = -р -+-
Же,
J
Наііряженіе произвольная волокна q0q0 параллельнаго ии. равняется
отрѣзку /,/.,, отсѣчешюму пряными ЛВ и «,і/а на продолжспін этого
волокла.
Нааряженія волоконъ, находящихся ниже пп, положительны, а распо-
ложенныхъ выше пп—отрицательны.
ч68Й Нейтральная дянія. — Чтобы можно было пользоваться
предыдущими уравяеніями, необходимо знать направленіѳ оси ми, или
нейтральной лиши. Когда силовая линія есть
одна главная ось илп ось сиыыетрін.
то ось ии къ ней перпендикулярна,
слѣдовательно извѣстыа,' въ против-
номъ случаѣ нужпо это направлепіе
предварительно опредѣлить. Весьма
просто оно получается помощью слѣ-
дующаго построенія (іерт. 71). Отне-
семъ сѣченіе къ такимт. взаимно пер-
пендикулярежмъ осямъ ОХ и OY,
пвоведеннымъ черезъ его пентръ
тяжести, по отношепію к?. которымъ
моменты инерціи Jr и Jѵ и цѳнтро-
бѣжный моментъ і?,( легко
опредѣлить. За ось ОХ считаемъ ту, по
отношенію къ которой иоменть
инерціи больше, такъ что всегда J„ > Jr
Опредѣливъ J,, J в Z14
(аналитически или графически) строимъ уясненную вь Д* 31 окружность, т. ѳ.
откладывает га OY:
OL = J Li. і= J.
къ Oit:
я на перпендикуляре, возставленяоыъ въ
вправо, если Z^ положительно, и влѣво, когда Z^ отрицательно.
Силовую лиш'ю Ot продолжает, до астрѣчи съ окружностью ю> S,
соедкняемъ s съ g, и продолжает, же до встрѣчи съ окруаностью: въ и,
то прямая 0% ^te нуіішиіі іиігів-*).
*) Потопу что (по Зі 25) (Ж представляешь соіграшевву» сь Ot ос% ш ааояля
ж нейтральная лвяік и&ряауюгь совдоже^вня оси ^ураввяше 76),

одркділеше норхлльныгь и скі.тывающихь нлпряяваій нряиого бруса. 91
Опуетимъ изъ г на построенную въ точкѣ и касательную ш, пер-
пендикуляръ zi„ получимъ:
Нейтральная линія образуетъ съ силовой уголъ J3 — «os; изъ свойства
окружности слѣдуетъ что -=?- w,ms = ^.х «0s = ,3, поэтому
— 3).
иг ~
sin $
т. е. иг = J".
Наиболѣе напряженпыя волокна определяются помощью касательныхъ
къ фигурѣ, параллельныхъ нейтральной лиши: если разстоянія этихъ
касательныхъ отъ послѣдней означимъ черезъ е, и «2. а напряжеяія со-
отвѣтствующихъ иыъ точекъ
касанія—черезъ 3, И 5,; ТО
Же,
JV Jfe,
и,=
"J* J '
Примѣръ. — Переводъ,
расположенный на, стропильныхъ фермахъ, отстоя-
щнхъ другъ отъ друга на 4 мтр., имѣетъ
въ сѣченін видь буквы Z (черт. 71я).
Силовая линія, проходящая черезъ цеатръ
тяжести сѣченія, образуетъ съ его
ставкой уголъ 17°. Определить максимальное
напряжете перевода, вели производимый
дѣйствующей на него нагрузкой наиболь-
шІЙ ыоменгь = 60000 килогр. сантим.
Такъ какъ нагрузка перпендикулярна
къ переводу, го по (66)
Же,
3
Же,
з,—
Черт. 71 о.
Чтобы опредѣлнть J задаемся осями ОХ и ОТ, проходящими черезъ
пенхръ тяжести ОсЬченія. Такъ какъ момевть инерціи по отношенно
къ оси параллельной аЬ больше, чѣиъ по отеошенйо къ той, которая
параллельна aL„ то за ось X пришшаемъ ту, которая параллельна ой.
Для опредѣленія момента нвердіи Jx лередввнемъ верхній фланець
параллельно оси ОХ на столько, чтобы получилось сѣчевіе С; инѣемк
-1(ЙА1-й,Ѵ) = -^(6,5-143
5,7.12') = 666,4 ст.*

92
Г Л Л В А ЧЕТВЕРТАЯ.
Чтобы получить Jv перемѣстимъ верхвій фланецъ по направленно ОТ,
такъ чіо форма Z получить тавровый видь Т, будстъ:
^І=у2-рі(А+*і)^А.З,]=^[>.0СМ-і-5,7)1-нІ,3.0,8І] = 132ст.4.
Центробѣжный момепть, по Л« 27
Zn= 15.7.1,0) 6,5.3,25.2 = 24) ст.*.
Помощью этихъ величинъ построена окружность (черт, 71а) въ мае-.
штабѣ 10 ст.4 = 73 мм. Посредствомъ измѣрепія длины ги получаемъ:
J = 520 ст.4.
Наибольшее напряженіе испытываютъ точки L, и Х„ таьъ какъ онѣ
наиболѣѳ удалены отъ оси TJU'. Йзъ черт. 71а имѣемъ
е, — е. — 6,49 ст.
следовательно по (83)
60000.6,49 _іа
а = ——g^T,-— = 749 кил. на 1 квд. см.
Моменгъ сопротнвленія этой балка
в=М9=80яЛ
(в9І Сѣчвніѳ іжѣеть мь ежжжетріж ідх отнесено въ глаюьпгь оеякъ.
Назовешь моменты ннерція по отношевію кь главнымъ осямъ черезъ
J у я J,,' положинъ J, > <7„ и примемъ за ось ОХ ту, которой соот-
вѣтствуеть ноыентъ ннерціи Jv Такъ какъ Z„ для главныхъ осей = о,
то точка г совпадеть съ і„ т. ѳ. съ точкой г, (черт. 716), поэтому про-
должввъ силовую линію Ot до встрѣчи съ окружностью въ s,
соединяет s съ s, в точку и, въ которой sz встрѣчаетъ окружность, соеди-
няемъ съ О.
Нейтральная линія Ои можетъ быть получена также слѣдуюшямъ
обр&зомъ: зависимость между главными моментами внерців и
сопряженными осями определяется уравнетеаъ (176), по-которому
tgf tgb= у-,
гдѣ ^—уголь силовой, и ^нейтральной лише съ главной осью ОХ,

ОПРЕДЕЛЕНА ПОРИАЛЬНЫХЪ И СКАЛЫВАЮШИХЪ НАЛРЯЖВНШ ПРЯМОГО БРУСА. 93
На той изъ обѣвхъ главныхъ осей, по отношение къ которой моментъ
ияерціи больше (черт. 71с) откладываемъ отъ центра тяжести <7, шгвво
JtM = меныпеиу номенту инерціи J, (т. е. взятому по отношенію къ
оси J3T), и на оси J3Y — J,i, = Jt. Возставляемъ въ М къ MJt
перпендикуляръ MN до пѳресѣченія съ силовой линіей J,t въ ІѴ и на
возставленномъ въ іх перпендикулярѣ къ i,J2, откладываемъ г,ы = MN.
Если соединимъ и съ центромъ тяжести Jv то «J, есть искомая ось
UJJ. Потому 'что изъ построения слѣдуетъ
tgy = tgNJ,M = -щ-
tgbt=tguJfJi=tg(\bO — wJiJl) = tg{\№--b) = — tgb=-?A-
t , . mn 7^7
а такъ какъ по построенію itu = MN ,/,*, = Jt MJt — Jv то
— tgy. tgb = j.-1 .
Если отложит, на MX
MJ, = J,
опустшгь изъ J, на ось WU перпевдикуляръ JtJ, и соединить J съ М то
3.
MJ = J =
sin fi *
Примѣръ. Расположенная на етропильныхь фыркать деревянная
балка прямоугольнаго сѣчевія нхѣетъ такое положевіе, что осаованіе Ъ
ея ноперѳчнаго сѣтенія наклонено къ горизонту подъ углонъ 60°; опре-

94
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
дѣлить моментъ сонпотивленія для вертикальной нагрузки, проходящей
черезъ ось балки, если ілиргша Ъ ~ 25 ст.. а высота 1і — 32 ст.
Оса ОХ и OY прглшмаеыъ параллельно
измѣреніянъ Ь \\ k сѣченія балки (черт. ТЫ)
и гакъ какъ по отношепію къ осп
параллельной Ъ иоментъ ныорцін больше, чѣмг по
отношенію къ оси параллельной й, то
первую принимаешь за ось X. Тэкъ какъ эти
оси главныя, то Z^ = О.
J.
Имѣеиъ:
= -**'
I
Jt-=12*ft' =
25 . 323
31 .'253
19
= 68266 ст.* = «/,
= 41666 ст.3 = J,.
Черт. 7ф.
ЙХ"=Ѵ,= 41666
На черт.-'ТЫ отложено, согласно
предыдущему
, W2*i = J, = 682Б"6 »>.^=ЖДГ J\J'±jwt.
Измѣревіенъ длины Ж J получено
MJ = J = 45690 ст.4.
Кронѣ того иыѣемъ изъ чертежа:
Слѣдовательно
.7
е
е, = еа = 17 ст.
4°S^ = -2688 „Л
17
' Tfii Аиалжтжчеекія Формулы. — Чтобы получить аналитическое выра-
женіе для опредѣленія нормального напряжёнія а въ слѵчаѣ, кигжа_£В-
ловая лвніа не сѳвпалаетъ съ главной осью, отнесеиъ сѣчете къ прямо-
угольнымъ осянъ координата ОХ, ОТ (чертѳжъ 72), проведенныыъ че-
резъ произвольную точку О. Пусть t—силовая точка, и озвачимъ моментъ
проходящей черезъ нее равнодѣйствующей В по отеошевіго къ оси ОХ
черезъ Мг, и по отношенію къ OY—черезъ Мг. Если if нормальная
«латающая силы £, т—абсцисса и »—ордината силовой точка /, то
Обозначишь черезъ df— безконечно-калуіо плоскость ограниченную
кривой, описанной около точки д, которой координаты ж я у, и черт.
з—ея нормальное напряасеше, то
$3df=N faif.f^M. /=rf/a= = 3fr . . . , (84)

ОПРЕДВЛЕШЕ ПОРИА.ІЬЁЫіъ В СКАЛЫВАЮЩЯХЪ НАЛРЯЖЕВІЙ ПРЯМОГО ВИ'СА.
95
Если въ каждой точкѣ d/" огложимъ на возставлепнокъ въ вей пер-
пеидикулярѣ къ еѣченію, ея напряжете, то при предположении, что пло-
скія сѣченія перпендикулярная къ оси бруса остаются и послѣ изгиба
плоскими и перпендикулярными къ упругой линіи, всѣ такиыъ оиразомъ
полученныя точки будутъ находиться на одной плоскости (такъ какъ со-
отвѣтственныя удлипенія даютъ одну плоскость); нормальная ордината з
этой плоскости определится, поэтому, уравненіемъ:
з = а -ь іж
eg
(ftj)
Означимъ черезъ F— площадь січеяія. и
через* S, в S, — ея статическіе моменты по отно-
шенію къ ОХ и 0)г. то
Кромѣ того положиыъ
\df.x* = ,f, jdf.tf = J„ \dfj.,, = Zrx.
Первое изъ уравненій (84) даотъ, - если для а подетавимъ значеніе (35)
|" \а -+-&&-+- су) Of — a j* dF -+- Ь f №г -+- с 1" <fF# = Аг
или
aF+bSt-*-cS, = N
и такимъ же образомъ получаыъ изъ двухъ слѣдующнхъ уравненій (84)
«Я -+- W„ -+- cZ„ = Ж.
bZ^ ч- eJ, = ДС
Изъ этнхъ трегь уравненій можно опредѣлнть коэффициенты а, Ь
а с, которые, подставявъ въ (85), дадутъ выраженіѳ для о.
Если начало коордянатъ О примемъ въ центрѣ тяжести сѣ-
чѳнія, то будетъ SI = 8t = (i и тогда
Мг = bZ^ -+- &/,
JT, - bJ, -+■ cZ„
A' = aF.
Опредѣливъ изъ нослѣіннхъ трехъ выражещи а. Ь и с, и подст&бивъ
ЯХЪ ВЪ (вф, ПОЛуЧЕЫЪ
• = *
(ев;

96 ГДЯВі ЧЕТВЕРТАЯ.
Это уравненіе можно написать такъ:
*.\-('■£-*•) *'('•-%*-)]
Л"
9 = ¥ + —- '-•'*?,-*„
Назовемъ черезъ ш уголь силовой линіи Ot съ ОХ, то
Мх — N .7п sinэ Mt = N .6t costp
поэтому „
J = eofrcp.
Иодставивъ это вначеніе, будетъ:
Л" Мх [х (Jx cotgy — Д,) -ну (J, — cotgv Z.^\ __
\Z^ cotg 9 — ,/,/
Если §— уголь вентральной линін съ OX, то по (16) (s = <$> « = S)
поэтому
if . j*£ {xtgb-y) ' _
a =
{ ~" ' 'Z^cotgi'—J, ' J
т. e.
AT M^&tgb-y)
-J. + ^Xz^cotgy-jJ
N M,(y—xtgb)
a- =
F Jx-Z„tgb
(87)
Такинъ же образомъ получаем, помощью ураввевія (16), оврѳдѣ-
ляющаго tgo:
■■У « х — уШдЬ ,№Л
Когда 9 = 0 (сшива* джшл совнадаегь съ ОХ), то J£, юяе = О;
направлѳвіѳ нулевой анищ получается на основашк, что нулевая и сн-

ОПРЕДЫЕИІЕ НОРМАЛЬНЫХ!, И СКАЛЫВАЮЩИХЪ ВАПРЯЖЕШІ ПРЯНОГО БРГСА. 97
ловая линіи представляютъ сопряженныя оси, слѣдовательно по (17„):
Для :р = 90° (силовая лвнія совпадаѳтъ съ OY)
Нулевая линія опредѣлена выражѳвіемъ (но 87)
А - Я + M*J9 - Х *в Ъ
U ~~ F Jr — Z tgb
и такъ кавъ (черт, 72)
М z — N. п
л — і _♦_ n(y — xt9ty
или
FntgLx — Fny^J. — Z^tg* .... (89)
Нулевая ливія имѣетъ на оси OY ординату (х = 0)
% = ^-^sl: (90)
и на оси О X абсциссу (у = 0), такъ какъ п tg 3 = т,
_ Jx— z*, fr й
Л° ~~~ ^мі ...
(91)
Когда одинъ изъ отрѣзковъ хъ н % извѣстенъ, то другой можетъ
быть полученъ также иэт, уравнения:
*» = —tgi (92)
Пвнмѣвъ. Для стропидьнаго перевода, котораго сѣченіе представлено
на терт. ЧИ^даны:
J, = 666,4 -/, = 152 2„ = 241
М = 60000 N = О
<р = 90 — 17 = 73° cotg ? = ^ 17° = 0,306.
М- ЧереПішявсшІ.—Строиильнм шеішжБа. Т

98 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
По (16) (3—уголъ нейтральной лиеіи съ ОХ):
, 666,4.0,306-241 37,1 ,
* " = -24І707306^Т5Г = 7р = °'4'4 ° = 2э 2°
яг"» 17° = 0,2924 cos 17° = 0,9563
Мх = М cos 17° = 60000 . 0,9563 = 57378
Mf = М sin 17° = 60000 . 0,2924 = 17544.
При поерѳдствѣ угла 3 узнавать, что волокна, наиболѣе удаленныя
огь нейтральной лиеіи определены точками L, и £.,.
Для точки і,: х = — 0,4 у = 7,0.
По (87)
57378 (7 -+- 0,4 . 0,474)
' 666,4 — 241 .0,474
з5 = — 748.
= 748
Такъ какъ п = т = со, то х0 ■= j/0 = 0, т. е. нулевая линія
проходить черозъ центръ тяжести О.
С?0а1 Сѣченіѳ отнесено къ главнымъ оеяиъ, ш жжѣетъ ось сиж-
жетріж.—Означимь моменты Мх и Мѵ, и моменты инерціи Jх и Jfl по
отногаенію къ главнымъ осямъ (еоотвѣтстаенно) черезъ М„ М„ Jl и Jt,
то такъ какъ Z^ =■ 0, по (86) будетъ:
Если
поставинъ
О :
(черт.
мг
72)
= ІѴіи
М.х
1 +
Л,=
М,у
•Л
= Nn,
(93)
то
йзъ послѣдняго выраженія нолучаемъ уравневіе нулевой лвнів
(считая деремѣншпш только х и у, и пошшявъ о = 0):
m л

ОПРЕДЕЛЕНА ШРХАЛЫШХЪ Н СКАЛЫВАЮЩИХЪ В А ПРЯЖЕ ВІИ ПРЯНОГО БРУСА. 99
Знаки minus показывают*, что отсѣченные нейтральной линіей на
осдхъ ОХ и ОТ отрезки х„ и уа отрицательны.
Наклонъ силовой линіи дань отношеніемъ —, а нейтральной—отно-
шеніемъ ^-, и изъ (95) слѣдуетъ:
ЛЯ = ф=*4 (96)
Когда силы дерн ей дик у лярвы къ оси балки, -то N = 0, слѣ-
дователъио
а = -у1х + -J1 .У (97)
Для и = 0 получаемъ ураввеніе нейтральной диніи:
М, М,
откуда
гдѣ
Мл
Ж'
"У
ѵ =
J,
J,-
м,
м,
От
' V
ж.
ж/
V
■ѵ
(98)
Для ж = О получает у = О, т. е. нулевая линія проходить черезъ
цѳнтръ тяжести еѣченія.
Уголь, образуемый нейтральной линіей съ осью ОХ (по огношенію
къ которой ыоиенть ішѳрціи = J,) дань уравненщмъ (17ь) (я = 3, s = ер):
*» = -з^і- ' ■ .<"'
гдѣ tp — уголь силовой линіи съ 'главной осью ОХ.
Предвдущія выраженія даняъ слѣдуюпгія правила:
1) Для всякой пары коордвнатъ от и я силовой точки получается
особая гулевая линія (ур. 95, 98), т. е. всякой силовой точкѣ соотвѣт-
•ствуетъ определенная нулевая дитя.
2) Всякому направлений силовой линіи соотвѣтствуетъ определенное
направленіе нулевой лиши (ур. 16,, 99).
Щ Сила N, приложенная къ точкѣ (то») производить въ точкѣ (ау)
точно такое напряясеніе, какое она произвела бы въ точкѣ (шп), если бы
была приложена къ точкѣ (xyfrB£jai означимъ черезъ ом — напряженіе,
произведенное въ точкѣ я силой, преложенной къ точкѣ s, то послѣднее
лравгло ножетъ быть выражено уравнешемъ:
<*., = «„,
7*

100 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
т. е. діаграыыа напряжений для силы приложенной къ точкѣ п есть уже
ипфлюентвой линіей папряженій этой точки.
Примѣръ. Для представленнаго на черт. 71„ сѣченія деревянной
балкн получено по отношѳпію къ главнымъ осямъ ОХ и OY:
J, = 68266 J, = 41666.
Уголь силовой липіи съ ОХ : у = 30°.
По (99)
ід 3 = — -у- cotg a
'' t
и такъ какъ cotg я = cotg 30° ~ 1,732
tg% — — tg(\SQ — Z)
следовательно
- tg (180-3) = - |Щ . 1,732 = - 2,837
180 — S = 70°
3 = 110° 90 — 3 = — 20°
cos 3 = sin (90 — о) — — sin 20° = — 0,34
sin 8 = cos (90 — 3) = cos 20° = 0,95
cos1 5 = 0,12 sin2 3 = 0,9.
По (7а)
J — J, cos2 3 ч- J, sin3 § = 68266 .0,12 -i- 41666 . 0,9 = 45691
6 A 25 35
e, = e, = j cos 20° -и 2 ei* 20° = -y . 0,94 -ь -^ . 0,34 = 17.
Моментъ сопрохввленія
Ж = ^ = ^1 = 2688.
e 17
(7jt Сыовая пнія воивдмть еь овью вюовтрік сѣчвіія.—Въ боль-
шивствѣ практический, случаев* сѣченіе имѣеть ось сяннетріи и силовая
лннія совпадаешь съ этой осью, такъ что ось «и, проходящая черевъ
центръ тяжести, перпендикулярна къ оса сшаетрш. Для этого случая
имѣемъ (черт. ,73).

ОВРВДѣЛЕИІЕ НОРМАЛЬНЫХ^ В СКАЛЫВАЮЩИХЬ НАПРЯХЕШЙ ПРЯМОГО БРУСА. 101
Уголъ р, образуемый осью «а съ силовой ліініей = 90°, т. е. si«j3=l.
J — ■ ■ "q = J*
stnp л
Mv = Nrsinp — Nr = M, и по {95)
iV Mv
Въ этой формулѣ означаетъ:
J — момеетъ инерцін по отношение къ оси, проходящей черезъ
центръ тяжести сѣченія, перпендикулярной къ оси сіімметріи,
ѵ — разстеяпіе волокна, коговаго напшженіе $\ отъ оси мм,
М — статическій моментъ вн'Ётннхъ силъ, дѣйствующнхъ на часть
бруса отсѣченную разсматриваемьшъ сѣченіеыъ, взятый по отно-
шенію къ его пентру тяжести,
F — площадь сѣчѳнія и
2Ѵ — его нормальная сила.
Максимальны я нормальныя напряжения, проявяяннціася въ крайнвхъ
аолокнахъ, определяются уравненіями:
Л' Me,
Л" Me
Q* = F • J
■ -»- F J
Разстояніе нулевой линіи отъ центра тяжестп, по (78)
гдѣ і= і/-= — радіусъ инерціи по отяошенпо къ осп ««, и е —
разстояніе силовой точки отъ центра тяжести. Графически ѵ„ получается
по способу указанному въ Л° 77.
Когда силы перпендикулярны къ оси балки, то
N — 0 е = =о,
стѣдователъно ѵа = О, т. е. нулевая линія проходить черезъ центръ
тяжести- (совпадаетъ съ осью ми). Напряясенія въ этот, случаѣ опредѣ-
ляются уравненіями:
Mv Me. Me.
п = -гаі = -7-,, = j-.
Отношеніе момента инѳрщи J къ разстоянцо е крайняго волокна отъ
центра тяжести называется лемадтомъ сопротивления; его обозяа-

102 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
чаютъ обыкновенно буквой W. Если поставимъ
1= W, ± = W,
то
Ж
a' = lf7
ж
(100)
б) Скалывающія надряженія.
($2) Скалывающія напряжѳнія нмѣють для строительной практики
меньшее значеніе, чѣмъ нормалышя, мы разсмотрвмъ ихъ, поэтому, только
для того тастнаго случая,
когда сѣчѳніе нмѣетъ ось
симметріи, и силовая ли-
Чврт. 73.
Черт. 74.
нія совпадаетъ съ этой осью. Скалывающія напряженія т„ (черт. 73)
перпендикулярныя къ оси w сравнительно съ напряженіямн т.,
перпендикулярными къ оси як, въ этомъ случаѣ для употребляеныхъ па
практике формъ поперечным, сѣченій, столь незначительны, что ими можно
пренебрегать. Напряжения тн будеыъ для простоты обозначать буквой т
безъ показателя.
Иаъ изогнутаго бруса, находящагосн въ состоявши раввовѣсія, вырѣ-
женъ безконечно-маяую призму hcdk (черт. 74) тремя сѣчѳніяжи, иаъ
которыхь Ас и dk перпендикулярны къ оса бруса, а ей — параллельно
вейтральноку волокну, (т. е. параллельно плоскости определенной осью «и
сѣченія gh в осью бруса).
Мы предполагаем!., что скалывающія напряженія т (точно такъ же
какъ и нормальныя а) дъйствуютцІя вдоль безконечво-узков волосы, па-
раялельзои оси «и (какъ напр. ppt) постоянны. Это предположеше со-
отвѣтствуегь тѣмъ болѣе действительности, чѣмъ меньше ширина сѣчетя
сравнительно съ его высотой (т. е. сравнительно съ ншгЬрешемъ, парах-
лельиыжъ силовой лнніи)/Шощадь безкоевчно-узкой полосы,
параллельной оси «к, (касъ напр. рр,) будемъ обозначать черезъ df.

ОПРЕДВЛЕНІЕ НОРМАЛЬНЫЙ. В СКАЛЫВЛЮПШЪ НАПГЯЖЕВВІ ЯРЯ ИГО БРУСА, 103
На вырѣзаггаый изъ бруса кусокъ hcdk дѣйствуюгъ слѣдующія силы
(черт. 74).
а) Нормальный напряжевія з плоскости he, который равподѣйствую-
щая ( aif;
б) равнодействующая fv^df пормальныхъ силъ etdf плоскости dk;
к) скалывакиція силы плоскостей he и с№, который равны
г) въ плоскости erf: нормальная сила -idw, которой по ея
незначительности пренебрегаешь, п скалывающая сила -rrf*»," гдѣ dot—площадь
сѣченія cd. Гакъ какъ длина сі безковечно мала, то можно принять,
что х распределено по плоскости cd равномѣрно, а по (23) № 42 ска-
лывающія напряжепія плоскостей he в cd, дѣйствующія вдоль безковечно
узаихъ полосъ ее, и dtd, равны между собою:
д) вѣсъ q.f.dx куска hcdk, гдѣ q — вѣсъ единицы объема матеріала
бруса и /'—площадь he (заштрихованная на черт. 74«).
Вслѣдствіе равновѣсія бруса эти силы такого рода, что удовлетво-
ряютъ услоеіямъ равновѣсія. Сумма ихъ горшонтальныхъ слагающитъ
даетъ уравнение
— Jodf Ч- xdw ■+- *} a,df = О
f F
откуда
'$3df-')a,df
т = -^—г^-- (101).
<iU> '
Еслв етатическіи номенть дѣйствующихъ на брусъ внѣтнихъ силъ
озвачшгь для сѣченія gh черезъ Ж, а для сѣчетя ік— черезъ Ж,, и
моиенгь инерціи сѣченія gh (или ік) по отношенію къ его оси «и
черезъ J„ то для волокна, отстоящаго отъ им на разстояніи ѵ, по (79)
> Мѵ N Mtv
в = ?+Л9' = 7 + Т'
Изъ чертежа имѣекъ:
dr
M = N.n'Mt = Nn — Tdx + q .Fdx-=■ ;
и пренебрегая безЕонечно-налой величиной высшей степени
Мх = Л» — Tdx

104
ГЛАВ* ЧЕТВЕРТАЯ.
следовательно будетъ:
Г S * V
Такъ какъ ел (|
fdf=f ж/df.v^S.,
гдѣ 8„—статнческій ыоментъ заштрихованной площади ch, взятый по отно-
шенію къ оса ии, то
Затѣмъ
J ^df= т J df+—JT~1 ф = т ь (—j—) s"
• ■ »
Додставявъ эти значенія въ (101) получимъ. обозначивъ ширину се,
полосы cd черезъ г, а длину—черезъ dx:
откуда
* = -t (,02)
Это выраженіе опредѣляетъ скалывающее напряжете волокна cct,
дѣйствующѳе перпендикулярно къ ее,, какъ въ плоскости erf, такъ и въ
перпендикулярной къ вен плоскости ch (соответственно правилу (23) № 41.
т означаете напряжение, отнесенное къ единицѣ площади, а потопу
на полосу ее,, которой площадь df, дѣйствуетъ въ пдокости сѣченія
скалывающая сила -df. Скалывающая сила всего сѣченія определится
внраженіѳнъ j" idf отвесеннымъ ко всей площади сѣченія, и по (71)
Jxrf/ = 2* (71)
т. е. сумма всѣхъ скалывающихъ силъ сѣченія равна
касательной слагающей Т; последнее нашваютьтакже срѣзывающей
скалывающей или поперечной ежлой.
(73) Діатршжа ехалнвающш іакряяеиіі. По (102)
Т

0ПРЕД-ВЛ1НІЕ НОРИАЛЬНЫХЬ В СКАЗЫВЛЮЩНУЬ НАВРЯЖИНІЙ 11Р2И0Г0 ВРУСД. 105
Для разныхъ волоконъ одного и того же сѣченія измѣняется справа
знака уравнения только величина g„, т. е. сіатическій моменгь площади,
заключевной между разсматриваемыиъ и крайнимъ водокномъ. Эютъ мо-
ментъ достигаеть максимума для волокна, проходящаго черезъ цеятръ
тяжести, а для крайнихъ волоконъ онъ равенъ нулю, изъ чего слѣдуегь.
что скалывающая сила ~z (отнесенная къ единицѣ длина) тѣмъ
больше, чѣмъ ближе волокно къ центру тяжести, н въ центрѣ
тяжести она достигаеть максимума.
Скалывающее напряжете т по (102) эависптъ не только отъ стати-
чеекаго момента Su. но также отъ ширины z волокна, его максимумъ
можетъ поэтому получиться и не въ центрѣ тяжести. Для употребляе-
мыхъ на практикѣ формъ поперечныхъ сѣченій скалывающее нанряже-
ніе достигаеть максимума
почта всегда въ центрѣ *■.
тяжести (исключевіе см.
ниже).
Пусть аЬ (черт. 75) сѣ-
чепіе, для котораго должна
быть построена діаграмма
скалывающихъ напряже-
ній, Т — его поперечная
сила, z0t — силовая линія,
гш—ось, параллельная
нулевой линіи. Разобьемъ
сѣченіе прямыми,
параллельными оси им, на узкія полосы равной для всѣхъ ширины е;
площади этихъ полосъ примемъ за силы, дѣйствующія въ вхъ цеятрахъ
тяжести по направленію, параллельному нулевой линіи; если длину средней
линіи означимъ черезъ z, то площадь соотвѣтствующей полосы = е.г.
На черт. 75 приняты за силы величины ~, которыя въ те разъ
иеныпія ихъ дѣйствительныхъ величинъ е.г, а потому получаемые
помощью ихъ результаты должны быть увеличены въ те разъ. Соотвѣт-
ствующій этамъ силаяъ веревочный многоугольника представденъ на
черт. 75а. Если означимъ площадь cedzc заключенную между вписанной
въ этогъ многоугольникъ кривой ced и его крайними сторонами сг и dz,
черезъ Е, а полюсное разстояніе черезъ й, то по (3) етр.$$т
J. = c2hE(m.e).
Чтобы получить статичѳскій монентъ Sr площади gbh,.
соответствующей волокну gh, продолжаемъ gk до пересѣченія съ веревочной линіеи
въ h' проводимъ въ А' къ этой линіи касательную h's до перееѣчевія
съ «г въ й (когда ширина е полосъ достаточна мала, то за касатааь-
Черт. 75.

106 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
ную h's ложно принять продолжение стороны 23 вереаочнаго
многоугольника, па которой получается точка А'). Изъ евойствъ веревочпаго
многоугольника елѣдуотъ, озпачивъ длину sz черезъ s
f,
h.s(m.e) — S (е.г) ѵ
в. такъ какъ е. z = Af, то
m.e.hs = £ &f.v,
р
а при безкодечцо малыхъ Д/' = <*/',
j». е. h. s = J df .v = Su
tr
По (10^1 будетъ:
T Su
или, если поставимъ zx = -5
и обозначивъ ^ц терезъ т0
Т rneAs
— г ' me'lhE
Т з
S
2'
~2В"
s
Когда величина -0 вычислена, то ее можно представить ■ длиной, и
тогда діаграмма яапряженій ~ получается слѣдующимъ образомъ: Въ раз-
стояніи = za отъ силовой липіи проводит, прямую ЛВ \\ w. Продолжить
волокно gh до пересѣтенія съ ЛВ въ f; возставнвгь въйкъ gh перпен-
дшсуляръ hs, отложимъ на немъ As = sz = s, соедннимъ з съ с (гдѣ с—
середина волокна^, тагсь чіо дс=he =^=zt) ипродолжимьездопере-
сѣченія еъ ЛВ въ t, то для волокна gh.
x = ft
Потону что изъ построенія елѣдуеть:
отауда
hs eh яш s г.
Отложихъ отъ вертяк*га WW, на продолжена ф

ОПРЕДЫЕШЕ НГОМАЛЬНЫХЪ И СКАЛЫВАЮПШ'Ь НАПРЯЖЕЙШ ПРЯМОГО БРУСА. 107
Помощью повторенія этого ггостроееія для другихъ волоконъ g,h„
«?эй,... получена кривая WQW, который ординаты, отнесенныя къ аб-
сциссѣ WW,, равны скалывающим! наиряженіямъ волоконъ, отсѣкаеныхъ
продолженіеиъ этихъ ординатъ на сѣченіи аЬ.
74уИдеальЕЫЯ главный напряжѳніл.— Помощію уравненій (80) и (102)
можно для всякой точки сѣченія вычислить нормальной напряженіе а и
перпендикулярное къ нему скалывающее напряжение т. Но эти величины
не выражаготъ максимальная напряженія матеріала въ этой точкѣ, между
тѣмъ сооруженіе можетъ только тогда считаться безусловно прочныыъ.
когда произведенное нагрузкой максимальное напряжете ни въ какой
точкѣ не нревышаетъ того, которое матеріалъ можетъ выдерживать
безопасно. Максимальныя нанряжепія всякой точен определяются ея
идеальными главными нормальными и главными скалывающими напряжениями,
для вычисленія которыхъ елужатъ формулы (Зое) и (36а)т если въ нихъ
ноставимъ ѵ = о.
Въ изотропныхъ тѣлахъ идеальныя главиыя напряженія дѣйствують
въ двухъ взаимно перпендикулярныхъ плоскостяхъ, образующихъ съ
плоскостью полерочнаго сѣченія уголъ а„ опредѣляемый уравненіемъ:
"-'-$)
(103)
и они равны, (по 35й)и (36я).
т—1 ■»»-+-I- /-= —j
т— 1 т-+-1
*» = -йГв
или также
*, = 8, —
2т
т
fV'-Mt1
(104)
А, = е, - ^
т
(105)
гдѣ з, »8, — главиыя нормадьныя напряженія, оиредѣляекыя по 28а и
285 уравнешями:
(106)

108
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
Если для желѣза и стали примемъ т~ 4, то по (104J будетъ:
.... (107)
к,= д|3з-ь5 J/V-H4-1
jL = §- Зо —5 )Ѵ + 4:]
или
к, — S; 4 —S;! 4
Очевидно что
У а1 -+- 4т! > а
поэтому s, и sa имѣюхъ всегда противоположные знаки, выражаютъ, слѣ-
дователъно, прогавопрложныя напряженія. Если нримемъ §! за положи-
тельну величину, то s, будетъ величина отрицательная, и тогда можно
написать:
, (108)
, _ *,_ / в,\
k3 — s2— ^ — — ^s, -+- -4j
Такимъ образомъ вндимъ, что абсолютно всегда
І, > S, И А, > Sj
Скалываюиця напряженія плоскостей, въ которыхъ дѣйствують
максимальный нормальная напряжеаія, равны нулю.
Максинальныя скалывающія напряженія t происходить въ двухъ
взаимно перпѳндиБулярныхъ плоскостяхъ, образующихъ съ плоскостью
сѣченія уголъ, определяемый выражешенъ, но (31)
№*,= £: (ИЗ)
в они равняются
/я=і^|/?ч^4? (114)
Нормальная напряженія зтихъ плоскостей ='Да.
Всего проще получаются какъ величавы, такъ и направленія нащш-
женій з„ в, и f понопйю уясненнаго въ Л? 46 построения (черт. 53); такъ
какъ ѵ = о, то точка ■> совпадаетъ съ точкой М.
Нрамѣръ. Определить максимальный напряженія к„ кг и t сѣченія,
для котораго получено предварнтеямымъ вычисленіѳвгь, въ сантвнетрахъ:

ОПРЕД'В.ІКНІЕ НОРМАЛЬНЫХ^ В СКАЛЫВДЮЩИХЪ НАПРЯЖЕНШ ПРЯМОГО БРУСА. 109
Площадь J?= 18,8 ст2
момептъ иперціи полнаго сѣченія J = 209371 ст*
ыоментъ инерцін за вычетомъ отверстій для заклепокъ
J, = 220159 ет4
Поперечная сила Т = 12600 іенл.
сгибающій номентъ М = 2770000 кил. см.
Для волокна, отстоящего отъ центра тяжести на разстоянін ѵ = 35,5 ст.,
получено
г = 2,9 SB^2285.
При опредѣлепіи нориальнаго напряженія о пользуемся моментомъ инер-
ціи Jx (за вычетомъ отверстій), а для срѣзывающаго напряженія беренъ
номентъ инерціи J полнаго сѣченія.
Мѵ 2770000.35,5
3 = ^7 = ~Ш37І— = 469 КИЛ'
T.S. 12600.2285
г = —^— = •п'УГдддТ^' = 4о кил.
*і = о (3-469 ч- 5 Y^W-t 4.452) = 475 кил.
*,= ^f 3.469 — 5 Ѵ4695 -ь 4.452~\ = — 123 квл.
t = I (/469' -ь 4.452 = 239 кил.
Примѣчаніе. Идеадмпдя гдавныя напряженія соотвѣтствують тімъ
элементаыъ бруса, которихъ относительное jjлиненіе (или укорочеше)
достигаетъ въ данной точкѣ максимума. Въ изотропныхъ тѣлахъ эти
элементы совпадають съ тѣми, въ которыхъ происходят^ главныя нормаль-
ння напряженія.
(75) Предѣдьнш налряжевія бруеа-—Для вычисденін иредѣльлыхъ
напряженія въ данномъ сѣченіи прямого бруса ииѣютея слѣдуюшДя
формулы;
1) Нормальный напряженія:
2Ѵ Мѵ
2) Скалывающія напряженія:

НО ГЛАВА ЧЕТ EF, РТА Я.
3) Главныя норыалышя наяряженія:
*у2я. = —^
4) Главныя скаладывагогпія наггряжевія:
5) Идеальныя главныя напряженія:
т — 1 ів -+- 1
*_ ] *_ 1
1 1 ш 7 2 2 т 1
*, в $з въ этн формулы нужно вводить съ ихъ знаками.
Для т = і
*і=|іЗв-і-5»/в1-і-4тя)
По этямъ формуланъ получаенъ:
а) Крайяів волокна. Для атвхъ волоконъ х = 0, поэтому
*■ = ' *» — * <=±1
и шдетавивъ для ант зтагаенія (при я» = 4) икѣемъ:
для Ерайняго нижняго волокна ндеальныя дориалмшя напряжѳнія:
__АГ Же, _ 1/» МвЛ

ПііРЕИЛЕІІІЕ НОРКІЛЬЕЫХъ И СКАЛЫВАЮ ЩИХЪ ІІАПРаЖЕНЩ аР£МОГО БРУСА. 111
Эти напряженія происходить въ элементахъ, составляющихъ съ сѣченіемъ
уголъ а, опредѣляемый уравненіемъ
tgla = — а — 0, которому соотвѣтствують углы
а, = 0 я, = 90°
По наиравленію волокна дѣйствуетъ, поэтому, напряженіе kt = в„ а по
перпендикулярному къ пему направленію — напряжете к, = — -,- а,.
Если первое растяжепіе, то второе сжатіѳ (н наоборотъ), а такъ какъ
матеріалъ долженъ имѣть достаточную крѣпость по всѣмъ направленіямъ,
то въ случаѣ когда разница между его прочвьшъ сопротивленіѳиъ растя-
женію и сжатіго очень большая, составленное изъ него сооружение должно
быть провѣрено на А", п й5. Къ такимъ матеріаламъ принадлежать
казенные материалы, которыхъ сопроіивленіе растяженію средний, числомъ
въ J 0 разъ меньше сопротивленія сжатш. Для желѣза и стали эта
разница сочти равна нулю, а еопротнвленіе дерева сжатію вдвое меньше
его сопротивленія растяженію.
Такъ кавь t = =ь ^ иі, = .— ^ а то слѣдуетъ, что скалывающее
напряженіе крайнихъ волоковъ в-двое меньше нормальваго, а
напряженіе к,— вдвое меньше скалывающаго. По № 44 плоскости
главныхъ скалывающихъ напряжений дѣлятъ уголъ главныхъ нормаль-
ныхъ напряженій пополамъ изъ чего заключаемъ, что главныя скалыв&ю-
щія напряженія направлены къ крайнимъ волокнамъ подъ углоиъ — 45°.
Это видно также изъ выраженія
нредѣльныя напряженія въ крайнихъ верхннхъ шлокнахъ определяются
уравненіями:
Л* №л
*• -J* J
1 IN МеЛ
1 IN МеЛ
б) Нейтральное волокно.
Для этого волокна о = 0, поэтому
w+1 5 .
* и» 4
Ж-
я»
5
4

112
ГЛАВА ЧЕТБИРТАЯ
слѣдовательно
tg2at = — li —
О
я. — :
:45е
О
tg'2a, = ^ = О а, = О и 90°
і. е. максимальный нормальный напряженія нейтральнаго волокна дѣй-
ствуютъ подъ углами = ± 45° къ волокну; они равны j скалывающаго
напряженія, и одно изъ нихъ растяженіе, а другое—сжатіе. Одно изъ
главныхъ скалывающихъ напряжений дѣйствуетъ по направленно
нейтральнаго волокна, а другое—по перпендикулярному къ нему направлению.
76. Діаграмжы иаиряженіі.—На черт. 76 представлены діаграммы
напряженій а, -, s, t, к, и. &2 для одного иаъ средвихь еѣченій
прямоугольной балки, подверженной простому
изгибу; всѣ напряжения отложены огь
оси АБ.
1) Діаграмма нормальныхъ
напряженій о. Для волокна, отстозщаго
отъ оси ии на разстояніи = =•; ѵ
Мѵ
Для я = о а — о (точка 0);
Д
Меля ѵ = е, а=в, =-^
и такъ какъ
А г ЬЬ*
в, = 2 J = l2
Ш, Ч ,,,,4
Для » = —-е, = ■
ft
"2
6 Ж '
а = <з, = — -ттг (точка о,).
Діаграмма нормальныхъ напрлженій л состоять изъ двузъ, по отно-
шенію къ оси гш, еннметрнчныгь прямыхь: положительной Оз, и оірн
цагельвой Оа,.

(шрдаакиш вормальныхъ а схллымющнхъ ніпряженій прямого бруса. 113
2) Діаграмма скалывающихъ напряженій т. — Для волокна,
отстоящаго огь оси мм на разстояніе ѵ статически моиенгъ площади
между этимъ волокномъ и крайннмъ
4=»(-;-.)[.ц(і-.)]=^(і-.)(^.)=і(»--^)
"~ zJ ~ ,ЬЬЪ ~ :2 bhl • ■ ■ (112J
••12
По этой формулѣ волучаѳмъ: для крайних* волоконъ w= ± ^, т = О
(точки г, в г'); для нейтральна™ волокнаѵ = 0:х = ? —(ординатаOS).
Діаграмма скалывающихъ напряженій т представлена кривой т^т"
3) ДІаграмыы главныхъ вормальныхъ напряженій 8, и S,.
По формул* (106)
иыѣемъ:
для нижняго крайняго волокна (т == 0)
si = °і = ^]р (ордината т'з,),
для нейтралънаго волокна (о — 0)
для веряняго крайняго волокна (т = 0)
1
Діаграмма главный, напряженій з, имѣетъ видь кривой о:от,, которой
ордината (отнесенная въ ося ЛВ) для ннжнягѳ волокна == о,, для
неитралънаго — т, и для верхняго = 0.
Діаграмма главныхъ напряженій s, представлена кривой т'Зо,,
которая но отншпенда бъ оси Ои еинетрнчна лавія а,3х,.
4) Идеадьныя главныя напряжения. По (108)
*» = **-»-J'- *, = —(sj-t- Jj-
Линія мдеадьннхь надряжшвй £t получается язь лжвй главянгь
salt Чіютіяиікхі*.—Стргідтіі» жестка. 8

ш
ГЗАНА ЧЕТВЕРТАЯ.
пряженій Si посредствомъ увеличеиія ординатъ посдѣдней на -£, а для
построешя липіи напряжсшй £, нужно ординаты линіи s, увеличить на s' .
На черт. 76 линія главныхъ идеальныхъ напряженій /с, изображена
кривой SiUa^. ея ординаты для крайнихъ волоковъ
^ = «, ѵ,=5 = ^
а ррдината нейтральнаго волокна
Ои = -, Оѵ.
4
Линія Sj«aa еапряженій к, симметрична линіи s^ia,.
5) Гдавныя скалываюЬіія напряжепія. Но (ПО)
I
Для крайняго нижняго волокна
поэтому
_ А _ ЗЛ*
Такиыъ же образомъ поаучаемъ для крайняго верхняго волокна
^ Ш
■' — -+- лд» '.
Для нейтральнаго волокна з = О
Линія главзыхъ скалываюшихъ напряжений представлена на черт. 76
кривой £,гі,: ей ординаты'
Нзъ этихъ діагракиъ видно, что въ врямоугольноиъ сѣченіи ко-
сыя норналышя' нанряженія достигаютъ абсолютного
максимума въ крайнихъ волокнахъ. Въ тѣіъ же крайннхъ воловнахъ
проявляются и йакенка'льння скалывающая напряженія, ьото-
рыл равны пояовннѣ норнальннхъ. Въ нейтральномъ водокнѣ
максимальный. яовиальніы-.нащіяжйвія == ;*/, :с»яямв«оадівхъ.

опредіілепіе пормалтіНЫіъ и сеалывшщихъ напрялжйш прямого егоса. lift
На черт. 77 даны диаграммы напряженій для верхней половины
двутавровой клепанной, а на черт. 78 а 79—прокатяыхъ балокъ; онѣ
построены при предположений, что дѣиствующія на балку силы
перпендикулярны к'ь ея оса, которая въ разсматрпваемомъ мѣстѣ обращена
выпуклой стороной вверхъ, такъ что верхнія волокна растянуты. На чѳр-
тежахъ представлены только верхпія половины сѣченій: ияъ нижнія
половины, а также соотвѣтствуюгщ'я имъ діаграшіы напряженій
симметричны вѳрхнимъ по отношепію юь оси мм, проходящей черезъ цѳнтръ
тяжести сѣченія.
Изъ этихъ діаграымъ видно,' что въ тѣхъ мѣстахъ тавровыхъ сѣчѳній,
въ которыхъ внезапно изиѣняется шириаа сѣчешя. намѣщиотся внезапно
***
Черт. 78.
и напряженія. Идеальное главное напряженіе к, двутавровой наепанной
балки (черт. 77) достягаетъ максимума въ краинихъ волокнахъ и въ во-
локиѣ с—для дослѣдняго оно даже немного больше чѣмъ для перваго;
въ томъ же' волокдѣ с достигаеть максимума и главное скалывающее
напряженіе t, которое, какъ иаъ чертежа видно, немного превышаеть
скалывающее напряжете нейтралънаго волокна.
Въ двутавровоіп. сѣченіи прокатной балки косое нормальное
напряженіе 4, волокна с (черт. 78), обрззующаго переходъ оть широтаго
8»

116
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
фланца къ тонкой стѣнкѣ, превышаете, нормальное напряженіе крайняго
волокна болѣе, чѣмъ на 25*/0; главное скалывающее напряженіе ( на
всемъ протяженіи стѣнки почти постоянно.
Въ сѣченіи черт. 79 главное скалывающее напряженіе волокна с
превышаетъ скалывающее напряженіе нейтральнаго волокна почтя на 20%;
въ этомъ же волокнѣ достигаютъ абсолютнаго максимума и идеальныя'
главныя нормальный
напряжения &,.
Изъ этихъ примѣровъ
видно что двутавровыя
балки, и главнымъ образомъ
нрокатныя, въ которыхъ
широкІй сравнительно фла-
недъ внезапно переходить
въ тонкую стѣнку, должны
быть провѣряемы на
идеальныя главныя напраже-і
нія к и на главныя ска-
лывающія напряженія t тѣхъ волокоиъ, которыя образуют! переходы
отъ фланцевъ къ сіѣпкѣ. Эта провѣрка нужна главнымъ образомъ для
тѣхъ сѣченій, въ которыхъ одновременно ^проявляются максимальные
моменты Ж и максимальная ерѣзывающіи силы Т, какъ это имѣетъ мѣсто
въ сѣченіи защенленія задѣланнов балки и на опорахъ непрерывныхъ
многоопорныхъ балокъ.
77. Траектория вапряженіі. Разобьет, балку нормальными сѣченіями
па части очень малой длины. На однонъ изъ этихъ сѣченій возьненъ
произвольную точку JP, опредѣлнмъ для нея направленіе главиаго
напряженія (аналитически по формулѣ Л» 75, графически по № 46) продол-
жимъ его до встрѣчи со слѣдующимъ сѣчѳніемъ въ точкѣ Р,, сдѣлаемъ
для последней тоже построение что для точки Рит. д., то получимъ
лвнію, огабающая которой называется траекторіей главиаго
напряженія. Исходя изъ другой точки и дѣйствуя таквнъ.же образомъ,
получимъ другую траекторію главнаго напряженія и т. д.
На черт. 80 изображены траекторін главныхъ напряжевій для балки,
расположенной на опорагь А ж Б, выступающей концрмъЛС за опору А,
нагруженной по всей длині равномерно.
Черт. 80а нредставдяетъ траекторіи главвыхъ норвалышхъ напряженій;
сплошными линіями проведены траекторіа главаыхъ напряженіе сжатія »,,
а пунктирными—траекторш растяхетй а,. Лвнін Sj подходить ассшпгго-
той къ крайннкъ сжатымъ волокнакъ, пересѣкаютъ нейтральное волокно
ігодъ умомъ 45° я встрѣчаютъ перпендикулярно кравши растянутый
волокна. Траектории растяженй sE тодходягъ ассиігатотой къ кравиинъ

ДЕФ0РКЛЦ1Я. СТАТИЧЕСКИ ИЕОПРЕДѣЛКННЫЯ ВЕЛИЧИНЫ.
117
растянушмъ волокнамъ, пересѣкаютъ нейтральное волокно подъ угломъ 45°,
и встрѣчаютъ крайнія сжатия волокна подъ прямыыъ угломъ. Траекго-
рін s, пересѣкаюгся сь траекторіями sa подъ угломъ 90°; въ поверхво-
стяхъ, перпендикулярпыхъ къ плоскости сштъ, проходящихъ черезъ эти
траекторіи. не дѣйствуютъ никакія скалываюіція напряженія.
На черт. 805 изображены траекторіп главныхъ скалывагашихъ напря-
женіЗ t, той же балки. Опѣ пересѣкаютъ крайнія волокна подъ угломъ 45°,
а къ нейтральному волокну подходить асеимптотой и (соответственно)
яодъ нрямымъ угломъ. Цепгръ тяжести сѣченія Ж, для котораго У=0,
Черт. 80.
образуетъ уаелъ; вслѣдствіо і = 0, всѣ волокна работаютъ въ этомъ сѣ-
ченіи только растяженіемъ или только сжатіемъ. Въ свченіяхъ (7, cd и
В:М = 0: такъ какъ въ этихъ мІстахъ а = 0, то для вил.
__ ян- 1 _ . т -+-_1_ _
' т ' 2 т ' ~~~ ~~ '
5
т, е. (для т = 4) к, ~ — h = ^ ~-
Траекторіи главныхъ скалывающихъ напряжений пересѣкаютъ траѳк-
торія главныхъ нормальныхъ напряжеяій st и s, подъ угломъ 45°.
Въ природѣ траекторіи главныхъ нанряженій можно наблюдать въ во-
локнахъ деревьевъ, костяхъ животныхъ, тканяхъ губчатки (спонгіозы) и др.
ГЛАВА Т.
Деаюрмація. Статически неопредѣленвыя величины.
78. Разобьемъ брусъ двумя рядами параллельныхъ плоскостей, а
именно (черт. 81)
плоскостям* 1, 2..., перпенднкуіярными къ его оси проведенными въ раз-
стояніягь 4х другъ огь друга, и

118
Г J А В А ПЯТАЯ.
плоскостями, параллельными нейтральному волокну, которыхъ разстоянія
между собою = с/у — на безконечно узвія элементарныя прпзыы.
Объомъ такой призмы (какъ напр.' mnpq) опредѣляется выражепіемъ
dV = 2 . dy . dx
гдѣ г—ширина тп сѣчепія въ точкѣ т. пзмѣренная оо наиравлеш'ю,
параллельному нейтральной оси ни. Если щетаввмъ zdy = dJ?, то
dV = dP . dx
Имѣя въ виду случаи изгиба, для которыхъ действительны сдѣлан-
быя въ предыдущемъ предположения, можно принять, что вдоль плоскости
iz F' '' "?'Л
*~Г
Черт. 81.
dF нормалыгыя напряженія з и s, а также скалывающія — те(,
распределены равномѣрно. Перемѣщеніе точки т (или вращеніе еѣченія от)
по направлееію тт„ по уравневію (67)
TtmdV
а
ИЛИ.
-/■
Уш= I -W
%/*л*
ал
tJF
(113)
Бь этихъ уравненіяхъ ант означаюгь напрязкенія отъ действующей
на брусъ нагрузки, производящей перемѣщеніе (прогибъ ели вращѳніе)
Уті а Зт в С — напряжет* отъ силы=1 (или пары = 1), приложенной
къ точкѣ т по направлению ул. Интегралы до rfJP должны быть
распространены на все сѣчѳніе, а но da;—-на вею дойну бруса. Когда со-
оружеше состоить азъ нѣсколькихъ брусьевъ,то р. = суюй иніеграловъ
вида (ИЗ), составленныхъ для каждаго бруса отдельно*
Такъ какъ деформанДя, обусловленная скалывающий вявряженшш t
сравнительно съ деформаиіей нормальный. навряженШ а очень
незначительна, то зависящюсь отъ г нвтеграяомъ можно въ урявнеши (213)

ЧАСГПЫК СЛУЧАИ.
1І9
пренебречь, для разечета прогиба можно ■ поэтому -съ достаточной для
практики точностью пользоваться уравпеніемъ:
**= f dx f E*JF (Ш)
(>значимъ черезъ А'Ь; — извѣненіе длины dx, соответствующее дефор-
маціи у,,;, то
а Adw
В ~ ~d7
поэтому также „ .
>J„=j & J '-&■**№ О15)
Помощію послѣдняі'о уравнешя ложно определять перемѣщепія и
вращепія соотвѣтствующія измѣнеаіямъ температуры, а также произве-
денвыя какой-нибудь друіой причиной, изменяющей форму сооруженія
весьма незначительно.
79. Пвреиѣщешя огь ізжѣненіі температуры. Если температура бруса
изменится на t градусовъ, то длина dx получить ириращеніе &<lx = atdx,
гдѣ а—коэфнціентъ линейнаго расширенія матеріала. Такъ какъ для
этого случая
Adx '
dx
то по (115)
п
■H = $dxfatsjF (116)
Когда деформація произведена нагрузкой и переменой температуры
одновременно: то перекѣгпеніе точки т (или врзщеніе сѣчеяія т)
g^—'fdx f~aJF-^jdx jztsJF
пли
Частные случав.
80. Демрмапіа прж ізгібѣ. Обозначимъ черезъ:
ЛГ и М—нормальный силы и сгвбающіе моменты, произведенные
действующей на брусъ нагрузкой,
пш и тт — нормальная евлы и стнбающіе моменты, произведенные
сидой.==1 (аам napoft=l) проложенной къ точке т по направленно ут,

120
ПАВА И Я Т А Я.
то по (95)
Л" Мѵ
поэтому
^/—#-/—Wto
я такъ какъ
ТО
f
mdF =
F J
ИП0(114) Г INv Mm\
»-=/*(w+t) <»8)
Законъ, no которому внутри бруса раснредѣляется измънеыіе
температуры, неизвѣстенъ, и вообще оеъ не можетъ быть выраженъ
математической формулой, такъ какъ это распредѣленіе зависитъ отъ разныхъ
причинъ неопредѣленнаго характера. Для обыкновѳнныхъ случаевъ можно
принять, что распредѣленіе температуры въ сѣченіи происходить по тому
же правилу, по котороку распредѣляются нормальныя напряжения, т. е.
что плоскія сѣченія в послѣ изнѣненія температуры остаются плоскими,
а это означаеть, что по направленію, параллельному нейтральной оси ии
температура постоянна, а по направленно оси ѵѵ (черт. 81) она измѣ-
няется по закону прямой лиши. Бели означинъ число градусовъ, на
которое изменилась температура волокна ии (ѵ = о) черезъ tf„, температура
волокна, отстоящаго отъ ии на разстояніи = ѵ, черезъ t, в—температура
крайнихъ волоконъ—черезъ tt и /я, то (черт. 81а)
или, такъ.какъ ЛягозсД/і/й, то'
а, обовначввъ разность t,—£, черезъ Д£
f ^/„-t-Д/J (119)

чдетвыг с л п л і,
Ш
Поставивъ это значеніе въ (116) будѳмъ имѣть
ты = I dx I atsJIF = jdx Га lt0-*- j-v\bJF =
и такъ какъ
jdF^F jvdF=o $v4F=J
Ч.=У*р(я*Л-ь«Х*-) (J20)
и по (117)
г- = J -Ж \F^ -*- ~Х7 "*~ J dxa \tan" "*- * т") } • (121)
Изъ черт. (81) ниѣемъ
г. (I, — f,) е, _ #, (Л — в,)-4- Ѵі
», - г, — т - *, — —^ - — j—
* =?Л_±_^ (122)
0 Л
Когда t, в t3 извѣствы, то помощью послѣдняго уравненія можно
ВЫЧИСЛИТЬ t„.
Всѣ предыдущія формулы деформащя действительны для всякой си-
стены, какъ статически определенной, такъ и статически неопределенной.
*) Въ принедѳнныжъ нише уравненіяхъ {123) и (123») ноѣ D, N в
3f—независимый величины. Если, поэтому, оэнзчнмъ іерезъ ря -easy (или пару), приложенную
яъ гочк§ я» no нвправленш у„, то (занѣвнвъ буквы я в 1 буквамя ян»)
dN _ йМ __
Помощью отпъ значенів урнвнѳніе (131) получает» вида.
/Лг /ДГ AS Ж АЖ\ С л (, dIf ^ Д( ^ П21 1

!'£'£ ГЛАВА ПЯТАЯ.
81. Преобразование Формулъ деФориаціи въ примѣнеків ихь къ раз-
счету статически неопределенный, сиетемъ.—Еслп означимъ черезъ:
Dt, .D,... —сопротивлепія добавочгшхъ стержней,
Nn и М0 — нормальный силы и моменты, произведенная дѣкствующеи
нагрузкой въ слѵчаѣ, когда всѣ добавочныя величины — О
(!),'= D, = ...L О),
п„ п т„ — вормальеыя силы я моменты, произведенные добавочной
величиной 7)„ въ статически опредѣлепной систеыѣ, когда
Ва = 1 (D, = I), = ... = П,а_і = Д^ = ... ■= 0),
то но закону независимости дѣйствій силъ (<\і 60)
Д' =^ Л"„ -+- я,і>, -ь nj)i -+- ... -+- nj)„ -+-... ) ,І23.
М = М0 ч-w.O, -ь m,D, + ... ■+- таІ)ш ■+■... *) I
ІІодставивъ эти значенія въ формулу (121) будемъ имѣть:
/Г w ?/&
*& Ш' №•-*- "іА -+■ **А ~ь ■•-) "*" ^7 ^ "*"m,J)t ~*~
-i-m:tD3-f-...)j-i-y йа(«л + jm„j
а послѣ соотвѣтственнаго приведения
*• =" IJ "ЕР- - J "ЖГ J - *■ IJ , "JsT ^ J -Ё/-| -
ІІѳреыѣщеніе (или вращѳніе), произведенное одной только нагрузкой
*) Авалогичеекн вакь та уравкешяхъ (64) ложно иаижса^ь
лг=*Л-*-%і>і-*-...-»-»1Л.-і-...-*-*1А+.*А-ь...-ь«»ля -*--1 /123 1
Ж=(^,1-ььз'а-і-„.^-іярі1,-ь...-ь«1л1ч-«;,&1-і-,..ч-«1Д»я-»-... J' "' *'
тавъ что . .
JTf,=z*1P1.4-*iF,-*-...-l-*.P_ -*-...
И, =*»*>, -t-y*a -+-... -Ы_Р„ ч-... -+-

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
123
Деформація, произведенная однииъ только измѣпеніеыъ температуры
%,= f zt0njx+j 2іня h dx-+- D, ]J EF -*-J - iff - -+-
-Mi -^--j-^H- 026)
Статически веопредѣленными величинами въ этихъ уравненіяхъ суть
только величины D: когда персмѣщенія (или вращенія) у, rt, г извѣстны,
то помощью ихъ можно послѣднія опредѣлвть.
83. Сочлененный сиотеяы. Когда на призматически) стержень дѣй-
ствуегь только осевая сила, производящая въ немъ простое растяженіе
или простое сжатіѳ: то моменты М и т равны нулю, а силы Nun
на всемъ протяжении стержня постоянны. Для этого случая слѣдова-
тельно будѳтъ, обозначивъ длину стержня черезъ I:
М
J Ш" ~ EF J dr'
/mijlx _ ігп„ Г пі
~JSF~ ~ ~EF J ~ Ш ""'"
Означпмъ удлиненіе стержня, произведенное сизой Л", черезъ Д/,
а силой м—черезъ ZI, то
поэтому
''Nnjix ., Гпп dx ., .,„.
/■
Каждый стержень сочлененной системы даетъ члены этого нослѣд-
няго вида, поэтому соотвѣтствуюгція ей уравненія дѳформадіи будутъ
имѣть видъ слѣдующихъ выражеяш;
Деформація произведенная одной только нагрузкой
У-^^ШП- "" K- = zw-«- ■ - - ■ (128)
Деформація произведенная пѳремѣнои температуры
цт = 2авпя или , тія = £Д7. «„ . . . . (129)
гдѣ Ш означаетъ удлиненіе (положительное или отрицательное)
произведенное иаиѣненіемъ температуры на * градусом..

124 ГЛЛВЛ ПЯТАЯ.
Нагрузка и переиѣна температуры производить деформацію
*» = S-^ я. + So« . яш (130)
НЛИ гт = Si/. я„ -4- ЕДЧ . пя *) (131)
Каждая изъ сумит, £ содержать столько членовъ, сколько система
имѣетъ стержней.
Для статически пеопредѣленяьгхъ система имѣемъ по (125)
у-^ъш^^ш^^т*-^ (132}
4l = M«. + U1E^r^D)S^i. + (133)
*-= s Ш я"■*■шг-^^п^ш^^^Ш *"+■■ (134)
или также
y. = 2ie;.ifpi-i-2?1K1/.«,-t-J>1S31/.«.4- (135)
і|. = 2Д'*.*и-і-Л1£8,(.*--ьі>12ад.«--ь (136)
я« = 21Двг.яв-»-2Д7.»1.-нІ)І23і/.я.-і-І)*28І,/.я_-ь... . (137)
Atl озвачаетъ удлиненіе стержня произведенное нагрузкой тогда, когда
всѣ добавочные стержни устранены, н система сдѣлана статически
определенной (т. е. когда D, = D5 = ... = 0).
83. СжЬшашыя сістемы. Когда сооружение состоять частью изъ
стержней, частью изъ брусьевъ, то къ каждому брусу нужно примѣнятъ
уравненія № 81 или 82, а къ каждому стержню—уравненія Л? 83; пе-
ремѣщеніе (илн вращеніе) точки т по направлений mm, въ ѳтомъ слу-
чаѣ получится по уравиенію:
*. = £
fNnJx _ ГМтяйх „ Г, , ѵГд*л
+ ^--і-Мя. (138)
*) Аяадогечееки съ (121.) кояно напасать

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАВ.
125
Для статически неопредѣленныхъ сооруженіи это уравненіе можетъ
быть представлено въ слѣдующемъ видѣ:
г„ =
У KnJ
Ь EF
+ B,{z[/-^ + /M^-bS^) + ....(lM)
84. Уравнения деформаціи могутъ быть представлены еще въ дру-
гомъ видѣ. Для этой цѣли означишь переиѣщеніѳ точки т (или вращѳ-
ніе плеча т), произведенное нормальными силами
Л"—черезъ ит
моментами М—черезъ г>и
измѣненінми t0 температуры—черезъ и№І
разностью Д( температуры, черезъ ѵт,
нормальными силами Na—-черезъ и^
сгибающими моментами М„—черезъ ѵяВ
нормальными силами »,—череаъ ияр
сгибающими моментами тг—черезъ ѵтр
Эти обозначенія действительны для сплопшыхъ систекь; для сочле-
нѳнныхъ вмѣсто буквы и будемъ употреблять букву U.
Величины а и ѵ для разныхъ частвыхъ случаевъ получаются изъ
уравнеМй (138) и (139), поставивъ соотвѣтственные члены нхъ=:0.
Такъ напр. для случая 1) (см. таблицу) нужно въ (138) поставить
равными нулю члены, зависящіе отъ температуры, а для случая (3) оста-
вляенъ въ (139) только членъ, содержался Dp, и ставимъ -О,— 1, такъ
что для этого случая получаемъ::
*~=1-[J "fi^^J £Г~Г* EF
Т fi
Первый знакъ показателя огмѣчаеть пережидающуюся точку (или
сЬченЗе), а второй—величину, производящую это перемкнете.
Для большей наглядности величины деформаціи и к ѵ для частаыгь
случаевъ приведены въ слѣдующей таблиді:

126
ГЛАВА ПЯТАЯ.
КІРОДЬ СИСТЕМЫ.
ДЕФОРМАЦ1Ю —
ЛеремѣщекГя или вращенія соѳтвѣтствующія:
ПРОИЗВОДИТЬ: :
СгиГіакіінпчт. ш-
яркгішъ.
Бруса.
Стержня.
.Стаю пряимі^ дѣі[ТВЯі1щш ш
-ИДЯ' ^гЛтПЧІТКН ■
"статически неопре- _^ *
" рт : мѣвы тейпе рагтаы-
вяленная, і Jf
!Система статически
! (шредѣіеввая.
Всѣ на сістену jM- i'M„mJb
СТВуПЩЯ ЕнѣпіШЯ 'l-mO = / р»
моы паи вЯгрузка. ' «
.=/%*! г-=*?#
Тоже.
Одна тодьи ьегатана . /'1У.»<*% ;
(fa1
-D, = l.
і:,,Р = j '-г'^у— :««,„ = / -r-^'U--
жг ;""*•"
A'F
Тоже.
Одна тальки переиѣна' Сл^ j„ f t j ' .-, ..
Подставивъ значееія этой таблицы въ уравневіе (138) получшіъ:
*. = S [(«. -+- О ■+■ (»,„, -ь г.,)] ■+• ІЕГМ -ь Ш„, . (140)
Это уравненіѳ действительно для смѣшанной системы, состоящей изъ
брусьевъ и стержней, и имя, равно какъ п слѣдукщими, будет,
пользоваться при опредѣленіи деформаціи графическимъ путемъ.
Когда вся система состоите взъ одного только бруса, то
Л» = Й-т -Ь V» "+- »m* -f- Vmt
Для сочлененной системы
(141)
(142)
Добавочныя величины статически неопредѣленвыхъ системъ
получаются изъ уравневія (139), которое поиощію нриведенныхъ въ
табдидѣ значеній получить видь:
2т~ E^H-VrtJ + X^ + O+A [^(«w^f«.i)]-^B,S(wmiH-i;m,)-+-
•-*- +d,1 + (7,< + I'ltr.1 + fliri!+ . . (143)
Длл одного только бруса
л- = (»-*> -+- »-о) •+- (*.* -ь c«f) -+- І>, («.і ч- ѵЛІ) -+- і), (я^ -*■»„«,) -+-.. .(144)

УПРУГАЯ 1 I I I 1.
127
При пренебреженіи вліянія температуры:
У«— »т + ѵм0-+- Ьх («,„,-»- ѵ,п1) -t-Dt(uml -*-?„,) ч-. . . (145)
Одна таремѣна температуры производить деформацію:
1]„ =-_ Им, Ч-- Vm, Ч- i), («mi Ч-Ѵ„і) Н-I», (,«„, +Г.І)-!- . . . (146)
Для сочлененной системы:
*. = U„o -+■ F.* -+- Л.Р-, ч- DJJmi -+- 1>зи„я ч- . . . (147)
При пренебрежении вліянія температуры:
tfM = U*t-t-DlUmI4-DtU«s + (148)
Одна перемѣна температуры производить деформацію:
і)«=гГ^-ьЛІР,и1ч-7),0".іЧ-2)іг7--».. . . (149;
Нримѣчаніе.—Чтобы можно было данпыя въ предыдущемъ
формулы напряжений и зеформацій употреблять для разсчета сооружений,
нужно умѣть определять зависящая отъ внѣшнихъ силъ нормальная и
скалывающая силы, и егибающіе моменты. Поясненіе этихъ величпнъ
составить содёржаше слѣдующохъ главъ.
Упругая линія.
85- Уравненіе веревочной лияіи.—гПусть RNT (черт. 82)
веревочная линія, построенная помощью силового многоугольника ѵт: для
нагрузки aupfb. Отнесемъ эту
линію къ прямоугольнымъ осямт.
координатъ ОХ и ОУ; возьмемъ
на ней двѣ безконечно близкія
точки Ж и jV, и означимъ углы,
образуемые въ этихъ точкахъ
касательными Ші и Ntt сѣ осью
ОХ, черезъ © й 9>- Йроведемъ
черезъ полюсь к лучи тст-. в
хя, параллельные атиыъ касатель-
нымъ; иаь способа поетроѳшя
веревочной дииін слѣдуеть; что отрѣѵ
зокъ тп, отсѣчевный ими на силовой линін vuf, равняется нагрузкѣ
(ш,я,ѵ, заключенной кежду вертикалями точекъ М и Л'. Если q —
единичной грузъ этой нагрузка, то mn = q.dx. Изъ чертежа имѣенъ, обо-

ш
ГЛАВА ПЯТАЯ.
значивъ полюсное разстояніе черезъ Н,
и такъ ежь
mli mn -+- nh nh
mn qdx
Щ — '??i = %? = ^ =
-fide
** = ■£
ldy\ _ qdx
a\dx)~~ Я
откуда
в для Ш — 1
d
.) =
dx
d3p
«ft- = « (150Я>
Это есть дифференціальное уравненіе веревочное лиши.
86. Уравненіе упругой гжгія і построеніе ѳя.—Упругой линіеи, какъ
выше было сказано, называется кривая, образуемая осью бруса послѣ
изгиба, вроизведеннаго дѣйствіемъ внѣшнихъ силъ.
Означишь черезъ 8, величину, на которую вслѣдствіе изгиба измѣни-
лась длина элемента qq2 (черт. 70с), котораго напряжете = а и
разстояніе огь оси ии = ѵ, то ио закону Гука (ноставивъ qq7 = dx)
или, такъ какъ
S' = І dx
N Жѵ
° = -ё + -г
При изиѣненіе тенпературы на і", длина qqt нзяѣгшгся на
Ь, = аШ
Поэтому полное изиѣненіе длины qqv произведенное изгибонъ в
«огёнешемь температуры вкѣстѣ
/ ЛГ Я* Л „

упрігая j и в і я. 129
Для нижпяго крайняго волокна hh ѵ = et, слѣдовательно его измѣ-
неніе длины при езмѣвеиіи температуры на t%°
1 К Me, , \ ,
A,(te = l^ ■+■ -gj +attjdx (ІэІ)
Для верхнего крайняго волокна ѵ = — е,. а если для пего озиа-
чимъ ( черезъ /}, то
* [ef~~1& ч~ ѵ - ■ ■ ■ (1и1я)
Если г—точка, въ которой встрѣчаются прямыя htgt и к,і,, и озна-
чимъ уголь AsaA,, образуемый сѣченіями А^ и £* послѣ изгиба, черезъ Ф$,
и радіусъ кривизны элемента o,s, упругой лпніи, т.-е. .го, = zs„ черезъ р,
то
А,£, — tfo -+- Д, rfo = (р -+- et) tfy
^t, = Ли -н \гс1х = (р — «,) <*р
Рааность этихъ уравненій даегь
Д,(/ж — Д^г/х = (е, -ь еа) dtp
Аліх — h.dx
«а = — —-—
и подставивъ для &ldx и Д2*&г значенія (151)
М
е, иг еа J
tup =
или
dx~ EJ ' k
EJ • ~ 'dx
df _ M aM
(152)
гдѣ At ~ tt — t2 и A = e, -+- e2 — выеотѣ i£ сѣченія.
Отпесемъ упругую линш къ прямоуголънымъ осямъ коордднать ОХ
и ОУ, изъ которыхъ ось ОХ параллельна первоначальной оси бруса;
обозначит углы, образуемые касательными упругой линіп въ точкахъ
Oj и s, (черт. 70с) черезъ 9 и ?п т0 ииѣеиъ:
<р — ?! = 'h-
Такъ как. упругая ланія, вслѣдствіе незначительности довускаемыхь
деформащи, йиѣетъ всегда видъ очень пологой кривой, то можно
поставить з
. * = *? = І
Н. ЧкгаплшгаскЛ.—Сірожгельгая жеіаникі. 9

130
ГЛАВА ПЯТАЯ.
слѣдователъно ^ ^ ^ ^
и по (125) ^/„^ «А*
Лг1 EJ~*~ h
(153)
ІІзъ сравненія уравненій (153) и (150) елѣдуеть, что упругая липія
есть веревочная линія, построенная при полюспомъ разстоя-
ніи = 1 для нагрузки, которой едипичпые грузы g — -pj
-некогда At = 0, то q = -ду, т. е. ординаты лиши нагрузки для этого
случая получатся такпмъ образомъ, что, построивъ для действующей на
брусъ нагрузка линію моментовъ М, измѣняемъ ординаты ея въ отношении
і лі
•pj, строимъ другую линію нагрузки, которой ординаты равны ^ і
и затѣмъ опредѣляемъ соотвѣтствующую этой иослѣдней лиши
веревочную линію при полюсноыъ разетояніи = 1.
Когда брусъ однороденъ, то при At = О принимаемъ за ординаты
лиши нагрузки величины -т, а полюсное разстояніе беремъ = Е. Если'
при этомъ и сѣтеніе бруса постоянно, то веревочную линію строимъ для
нагрузки, данной линіей моментовъ бруса, принявъ полюсное
разстояніе = EJ. Йь противномъ случаѣ. если напр., полюсное разстояніе бу-
детъ взято = И то всѣ ординаты веревочной линіи будутъ въ -&- разъ
больше соотвѣтственныхъ ординагь упругой линіи.
ГЛАВА VI.
Прямые брусья.
■(§7) СтатічееКд определенные плоскіе брусья. — Брусъ называется
илосбимъ, когда его осъ в дѣйствуюгдія на него внѣшяія силы находятся въ
одной плоскости. Къ ввѣшннмъ силанъ принадлежать крѳкѣ приложен-
выхъ къ вену силъ, также вызываемыя последними сопротивления опоръ
или реакщи. Когда приложенный силы вертикальны, то ихъ называет
грузами, а совокупность дѣйствугощих'ъ на брусъ грузовъ—нагрузкой.
Нагрузка бываеть постоянная и перемѣинал; первая дѣйствуеть
ва сооружение непрерывно, а вторая—съ болѣе или ненѣе звачвтѳльныни
промежутками; обыкновенно она подвижная, т. е. заеамаетъ на.брусѣ
разныя вдиожешя. Такъ нанр., для мостового бруса постоянной
нагрузкой есть его вѣсъ и вѣсь лоддержяваемыгь имъ поперечных* вднеірук-

ПРЯМЫЕ ВРУСЬ Я.
131
цій, полотна и проч., а движущееся по иосту люди, повозки, ноѣзда
и т. д. составляютъ подвижную нагрузку. Подвижная нагрузка,
состоящая изъ ряда сосредоточепныхъ грузовъ, постояпныхъ по велппипамъ п
и разстояніямъ, называется системой грузовъ.
Нагрузка можетъ дѣйствовать на брусъ непосредственно ила она
передается ему только въ нѣкоторыхъ постоянныхъ точкахъ: въ послѣд-
немъ случаѣ она называется передаточной нагрузкой, а передаются ее
постоянішя точке—связками. Если папр. яостовой наствлъ лежктъ
пряыо на брусьяхъ, или рельсы желѣзной дороги расположены на поя-
сахъ фермъ, то инѣеіся прямая или непосредственная нагрузка: по если
на брусьяхъ лежатъ поперечины, расположенная на болѣе или менѣе
значительныхъ разстояніяхъ другъ огъ друга, и настилъ, по которому
движется нагрузка, лежнгъ на этихъ поперечинахъ, то при всякомъ
положеніи послѣдпей на мостѣ ея дѣйствіе будегъ передаваться брусу
только въ связкахъ, т. е. въ точкахъ, въ которыхъ съ нинъ связаны
поперечины. Въ этомъ случаѣ дѣйствіе нагрузки будегъ передаточное.
При разсчетѣ бруса нужно прежде всего опредѣлить сопротивленія
его опоръ или реакціи, вызванныя дѣйствующей на него нагрузкой.
Брусъ будетъ статически опредѣленный если эти сопротивленія
могутъ быть найдены помощью однихъ условій равновѣсіл, а такъ какъ
силы, дѣйствующія на различныя точки твердаго тѣла въ плоскости,
даютъ три уравневія равповѣсія, то брусъ будетъ статически
'Опредѣленный, если сопротивленія опоръ, обезпечиваюгдихъ его устойчивость въ
плоскости, имѣютъ не болѣе трехъ неизвѣстныхъ.
Брусъ можетъ быть соединенъ съ опорой однимъ изъ слѣдующихъ
способовъ.
1) Брусъ соединенъ съ опорой на крѣпко (защѳмленъ): опорное со-
противлевіе имѣетъ 3 неизвѣстныхъ: величину, направленіе, и точку дри-
ложешя.
2) Брусъ соединенъ съ опорой шарнирнымъ образомъ, т. е. такъ, что
при отсутствіи другого соединения онъ можетъ около оси шарнира
вращаться въ плоскости силъ. Такъ какъ реакпія проходить черезъ центръ
шарнира, то она ниѣетъ двѣ неизвѣстныхъ: велидану_н_ нанравленіе.
3) Опорная точка можетъ перемѣщаться въ плоскости силъ вдоль
данной ляпіи; такую опору будемъ называть подвижной. Направленіе
реакціи, при отсутствіи тренія, перпендикулярно еъ лияіи перемѣгценія
и проходить черезъ центръ шарнира: подвижная опора имѣетъ, поэтому,
только одну нензвѣстную величину: напряжете рѳакпДи.
Брусъ только тогда будетъ имѣть неизмѣняеное ноложеніе, когда онъ
соединенъ съ опорами такимъ образомъ, что иослѣднія могутъ уравно-
вѣшавать дѣнствукццую на него нагрузку, т.е. когдаравнодѣйствугащая
опорньЕСЬ сопротивлений равна и пряно противоположна равводѣйствую-
9*

132
Г Л А Ы Л ШЕСТАЯ.
щей пршюжепныхъ къ брусу силъ. Этому условію можно удовлетворить
различпымъ образомъ,
1) Посредствомъ одной крѣпкоЭ (защемленной) опоры (черт. 83).
Такъ какъ въ эгоігь случаѣ имѣется только одна реакція, то она равна и
Черт. 85.
прямо противоположна равподЬйствующей приложсвныхъ къ брусу силъ.
2) Помощью двухъ шарнирныхъ опоръ, изъ которыхъ одна
подвижная (черт. 84). Обѣ реакціи проходятъ черезъ центры шарни-
ровъ, и реакція подвижной опоры (при пренебреженіи тренія)
перпендикулярна къ опорной плоскости.
3) Помощью трѳхъ
шарнирныхъ подвижныхъ опоръ (черт. 85).
Каждая изъ трехъ реакцій проходить
черезъ центръ ея шаряпра, и
перпендикулярна къ соотвѣтственной опор-
'' ной линіи. ІІоложеніе бруса будетъ
устойчивое, если эти реакціи не
пересекаются въ одной точкѣ (а елѣ-
довательно, и нѳ параллельны).
4) Помощью одной скользящей и одной шарнирной
подвижной опоры (черт. 86), На подвижной опорѣ реакція проходить черезъ
центръ шарнира и перпендикулярна къ опорной плоскости, а на
скользящей—перпендикулярна къ опорной плоскости и проходить черезъ точку
пересѣчевія первой (шарнирной) реакціа съравнодѣйствующей нагрузки.
Въ случаѣ (3) реакціи опредѣляются тѣмъ условіемъ, что четыре
силы, т. ѳ. три реакціи и равнодѣйствующая нагрузки, находятся вь рав-
новѣсіи, а потому равнодѣйствукчцая двухъ изъ нихъ равна и пряно
противоположна равнодействующей двухъ остальныхъ. Наиболее важное
практическое значеніе имѣегь случай 2.
При всѣгь въ предвдущемъ приведенныхъ устройствахъ опорныя со-
противленія инѣютъ 3 неизвѣстныхъ, для опредѣленія которыхъ условія
равновѣсія даютъ 3 уравненія; такъ какъ число неизвѣстныхъ равно числу
статическихъ уравнений, то брусъ статически определенный. Всякая
добавочная опорная величина сверхъ выше укаванныхъ дѣлаетъ брусъ
статически ноопрѳдѣаевныиъ.
■і "WT — --. . ^ ==
в/ &■ ■- «-^
Черт. S3. Черт. «1.

ПРЯНЫЕ В Р I С I 1
133
Когда ось бруса горизонтальна и дѣйствующія на него еилы
вертикальны, то его называютъ балкой. Балка, имѣгощая 2 опоры,
соединенная^ съ одной изъ нихъ неподвижнымъ, а "съ другой^-іюдвижвымъ шар-
нироиъ, называется простой балкой^ если она оканчивается наопорахъ.
и консольной—когда выступаотъ за опоры.
Брусъ можетъ быть статически оггредъленпымъ и іірв произвольномъ
'іислѣ опоръ, если онъ при 1> опорахъ имѣетъ w—2 шарнира,
расположенные такимъ образомъ, что часть его J^JKaj[_^v^5 смежными опорами
содержите, не бодѣе двухъ_ шарнировъ. Наиболѣе цѣлесообразны слѣдую-
щія устройства.
а) Веѣ части бруса соединены между собою шарнирами, всѣ опорный
точки шарнирный и подвижная за исою'іеніемъ одной, которая должна
быть неподвижна (черт. 87).
6} Накаждой парѣ опоръ расположена консольная балка, соединенная
съ одной опорой неподвижнымъ, а съ другой—подвижнымъ шарниромъ:
а Ъ с а Ь я, Ь,
Черт. 87. Черт. 88.
между консолями устроены простая балки, изъ которьгхъ каждая
соединена съ одной консолей неподвижнымъ, а съ другой—подвижнымъ
шарниромъ (черт. 88). Послѣдній полезно располагать на той консолі,
которой соотвѣтствуетъ неподвижный шарниръ.
Оба эти устройства въ статическомъ отпошенш совершенно однородны.
Всякую систему брусьевъ, соединееныхъ между собою такимъ образомъ,
что для тѣхъ снлъ, которымъ она подвергается, она остается неианѣняе-
мой, можно разсматривать какъ пеизмѣпяемую сочлененную систему, такъ
что для оггредѣленія ея статическаго свойства дѣйствительно полученное
для сочлененныхъ системъ условіе
s = 2м,
'» -Чин І».-Н- I —
гдѣ s—число стержней пли брусьевъ, а и—число узловъ или шарнировъ.
Шарнирная опорная точка, какъ было ранѣе тяснено, равномѣриа двумъ
стержнямъ, а подвижная—одному; если шарнирный брусъ состоять изъ
и — І частей, то онъ имѣегь и — 2 среднихъ и 2 крайнихъ шарнира,
всего (« — 2) -ь 2 = м шарнировъ. При м опорныхъ точвахъ, изъ
которым одна неподвижная, а прочія м — 1 подвижныя, число опорныхъ
неизвѣстпыхъ = 2 -н (и— 1) = » -ь і, число опорныхъ стержней и
брусьевъ вмѣстѣ s = («-+- 1) -+- (w — 1) = 2», т. е. число вевзвѣствыхъ
равно числу статический, уравненій.

134
глава га Е с і л я.
Изображенная на черт. 89 система двухъ брусьевъ, соединеппыгь
между собою шарниромъ С, а съ опорами — шарнирами А н В, тоасе
статически опредѣленная. Такъ какъ каждый взъ
опорныхъ гларнировъ Л и В равномѣренъ двумъ
стѳржнямъ, то число ел стержней (къ которымъ при
надлежать и брусья АС и ВС) s — -1+2 = 6, а
число узловъ м=3, слѣдовательно s~2u, п изъ
устройства видно, что нри неподвижности точекъ А
и В, эта система неизмѣияема.
Всѣ предыдущія заключенія независимы отъ формы осей брусьевъ. они
дѣйствительнн поэтому и тогда, когда эти оси изогнуты по какой-нибудь
Черт. 89.
В
•'•ыті'
в
Черт. !Ю.
Черт. 91.
кривой, а также — когда брусья замѣнены сочлененными системами. На
черт. 90, 91 и 92 представлены статически опредѣленпые брусья о 4-хъ
опорахъ каждый, образованные по системѣ
шарнирнаго бруса черт. 88. Чертежи 91 с
Черт. 03.
и 92 суть повторенІя чертежа 90 только сплошные арочные брусья за-
нѣнены сочлененными.
Арка черт. 93, вмѣющая шарниры А, В и С статически однородна
съ системой черт. 89.
При разсмотрѣнія равновѣсія брусьевъ будеяъ принимать, что дѣй-
ствуюпгія на нихъ силы параллельны. Этима силами являются въ натурѣ
силы тяжести, вѣтра, давленія жидкостей, рыхлыхъ массъ и т. д., изъ
которыхъ цервыя всегда, а другія—въ большивсхвѣ случаевъ параллельны
между собою.
ИНФлюентныя лвиіи.
(88J О&цж аа&ехвл. — Когда: сооруженіе подвергается дѣйствію
подвижной нагрузки, и будет, рассматривать производимое ею въ каюжь-

инФЛЮЕПтныя .] і а і в,
135
пибудь элементе (или точкѣ) дѣиствіе (которымъ можеть быть напряженіе.
момента, поперечная сила, прогпбъ и т. д.), то оно будетъ измѣняться
вмѣстѣ съ положеніемъ нагрузки. Изъ безконечно большого числа поло-
жсній для практики пмѣютъ зпаченіе только тѣ, при которыхъ дѣйствіе
въ элсыентѣ достигаетъ максимума, потому что если сооружение построено
такимъ образомъ, что оно имѣетъ достаточную прочность для
максимальна™ дѣйствія, то для всякаго другого оно будетъ и подавно прочно.
То положение нагрузки, при которомъ она производить въ данномъ
элементе максимальное дѣйствіе, называется опаснымъ или наибодѣе
певыгоднымъ положеніемъ этого элемента.
Опасное положеніѳ и соотвѣтствующее ему максимальное дѣйствіе
получаются всего проще помощью такъ называемыхъ ипфлюентныхъ
лилий или линій вліянія. Эти лиши имѣютъ, слѣдовательно, очень важное
зпаченіе для такихъ сооруженій, на который дѣйствуетъ подвижная
нагрузка—между которыми главное мѣсто запимаюгъ
мосты—но онѣ могугъ быть употребляемы и при /
разсчетѣ всѣхъ другихъ сооруженій. Употреблепіе /
инфлюентныхъ линій основывается на томъ ствой- С*~^"г—э"®**7
ствѣ, что для сооруженій, въ которыхъ допускаются ~ —^
только упругія, слѣдовательно очень малыя дефор- 4epT 9i
маціи, дѣйствителепъ припципъ слаганія дѣйствія
силъ, по которому при дѣйствіи большого числа силъ каждая изъ нихъ
производить свое дѣйетвіе точно такъ. какъ еслибы другихъ не суще-
сгвовало, т. е. дѣйствія силъ слагаются, не изиѣняя іругь друга (Дё 62).
Положимъ, что сила = 1, приложенная въ точкѣ а сооруженія
(черт. 94) производить въ точкѣ і дѣйствіе tj: изъ закона независимости
дѣйствія силъ слѣдуетъ, что если эта сила будотъ содержать G единицъ,
ея дѣйствіе въ ( будетъ = Gt\.
Возьмемъ для примѣра что на каждую изъчетырехъточекъ 1, 2, 3, 4
сооруженія дѣйствуеть грузъ = 1. Обозначать дѣйствіе, произведенное
эгимъ грузомъ въ точкѣ (, когда онъ приложена, къ точкѣ 1, черезъ і)„
а когда.онъ дѣйствуетъ на точку 2, 3 и 4—черезъ у\„ ij, и )],. Полное
дѣйствіе въ точкѣ t, произведенное грузами == 1, дѣйствуютдими одно-
вреыеяно въ точжахь I, 2, 3 и 4 будетъ = ц, -+- tj, -+- к]э -+- т\А.
Изъ предыдущаго елѣдуетъ непосредственно, что если бы въ точкѣ 1
действовала сила <?„ содержащая Gt единицъ, то она произвела бы
въ t дѣйетвіе G,tj„ а сила б, приложенная къ ючкѣ 2 произведетъ
въ t дѣбствіе ffjij, и т. д. Если поэтому въ точкахъ 1, 2, 3 и 4 дѣй-
ствують грузы G,, G„ G3 в Gt. то нхъ совместное дѣйствіе въ точкѣі
будетъ = ff.ij, -+- G,!], -+- G3i\3 -+- <?4т)4.
Нредставимь себѣ что грузъ = 1 перемещается вдоль сооруженія
напр. справа влѣво; ощюдѣдияъ для веякаго положенія, которое онъ

136
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
во время этого движенія закямаетъ, произведенное имъ въ одной и той же
точкѣ t дѣйствіе ц, и отложшгь это дѣйствіе отъ прямой ОХ, принятой
за ось абеііиссъ, вертикально подъ соотвѣтствепной точкой приложенія,
какъ ординату. Совокупность точекъ, полученныхъ этими ординатами,
опредѣлить линію, которая называется инфлюентной лияіей или
лишен вліянія разсматриваемаго дѣйствія для точки t. Эта линія
опредѣляетъ вліяніе силы = 1 па дѣйствіе въ точкѣ t при разпыгь по-
ложеніяхъ ея на сооружении, в нзъ построенія слѣдуетъ, что ордината
ея ijm равняется дѣЙствію, произведенному грузомъ = 1 въ точкѣ t
тогда, когда его точка приложенія находится на продолженіи этой
ординаты. Такъ какъ дѣйствіе въ точкѣ можетъ быть положительно и
отрицательно, то соогвѣтственньгя ординаты должны быть откладываемы выше
и ниже оси абецисеъ.
Помощью ипфлюеятяыхъ линій получаются легко н просто дѣйствія,
произведенный въ точкахъ, для которыхъ онѣ построены, какой бы то
ни было нагрузкой.
(89} Дѣйствіе произведенное системой сосредоточенкыхъ грузовъ. Пусть
а^8р(черт. 95) иефлюентная линія трѳбуемаго дѣйствія для точки t.
Когда нагрузка, состоящая изъ парал-
3 ' В/ 8s/ 8. 8, лельныхъ силъ Gt, Ѳ3, Ga..., зани-
f £ 1 j. J маетъ представленное па чертежѣ по-
;%^Г \ 8^, I *U—Ь~-.я ложеніе то проводимъ соотвѣтствую-
аС1'і"іч. іч. чічУ —"—Х п^я вхъ точкамъ приложенія орда-
^~~s~— наты. rtl, -»ji, гіз ..., умножаемъ каж-
Чеѵт. Э5. ДУ10 ординату і}м на соотвѣтствующій
ей грузъ G„, и слагаемъ
алгебраически произведена Gmrjm; искомое дѣйствіе будетъ:
Х=-Ѳ1гІІ+ѲЛх--ѲЛ,-+ѲдА-Ѳьъ-л-Ѳ,ъ+Ѳіѣ=ІѲ.У1*). . (154)
Упрощеніе ыаганія дѣйствіж грузовъ. — Когда' дѣйствующая на
сооружение нагрузка перемѣша, то его нужно разсчитывать ва
максимальных значены еоставллюпшхъ ее грузовъ. Такъ для разсчета жѳдѣзпо-
дорожнагѳ моста необходимо брать навболѣѳ тяжелый тюѣздъ, движевіе
Еотораго по этому мосту будетъ допускаться.
Движущаяся по мостамъ нагрузки всегда могуть быть раздѣлены на
группы, состоящія изъ грузовъ одинаковой величины, и число зтахъ группь
обыкновенно не бываетъ болѣе 3 или 4. Такъ напр. для поѣзда, на
который по распоряжение Министерства путей сообщения должны быіь ра-
*) Произведена б,ц, я &,т^ нояожнтальвы, погону что отржцатедьятгь гру-
закь G, н Gt сосивЬіетвують огркщахезыта ордвната ■щ п ц,.

ННФЛЮКНТВЫЯ Л Н Н I Н.
1.47
считываемы мосты главныхъ желѣзныхъ дорогъ, приняты 3 qjynnbi съ
давлѳніями осей по 15, 12,5 и 10 тонвъ, а для мостовъ проѣзжихъ до-
рогъ могутъ быть приняты тоже % группы съ давленіяии въ 0,S, 3 и 6
топпъ, къ которылъ вт, исключительных!, случаяхъ прибавляютъ группу
въ 12 тоннъ.
Пусть G„ <?„ G3... величины грузовъ отдѣльныхъ группъ, в
построит, столько инфлюентныхъ липій, сколько имѣется группъ, такимъ
образомъ, чтобы отношеніе ординатъ ихъ равпялось G,: (?,: Gs...: тогда
оііредѣлепіе дѣйствія нагрузки будетъ состоять въ простоаъ сложоніи со-
отвѣтствеппыхъ ординагь.
Дримѣръ. Определить дѣйствіе, произведенное въ точкѣ t
представленной на черт. 96я нагрузкой при такомъ положении ея, при котороиъ
грузъ Gs проходить черезъ точку т. Инфлюентная лннія этого дѣйствія
для точки t, построенная на основаніи груза = 1, имѣетъ видъ
многоугольника a$ji&s (черт. 96). Дано:
Gt = Gt = G3 = 8; Gt = Gb = 6; Ge = G, = o.
Этогь многоутольнпкъ принимаешь за икфлюентиую ляпію груза рав-
наго 5 тон., вслѣдствіе чего силовой ѳдішицѣ, помощью которой оі
строена, придаемъ значеніе 5
силовыхъ единицъ.
Черезъ основаніе £,
ординаты рз, проводить произвольно
прямую £і,м, откладываемъ на
ней отъ 3, восемь какихъ-ни~
будь, по равныхъ частей,
соединяет, пятую точку съ t5, а
черезъ 6-ю и 8-ю нроводимъ пря-
мыя 6^в и 8^8, параллельный
53, получаемъ точки инфлюепт-
ной линіи для грузовъ равныхъ
6 и 8 тон. Такимъ же образомъ опредѣляемъ лрочія вершины этихъ
линій, ж легко узнать, чіо соотвѣтсгвенныя стороны (какъ напр. 8у. Зет6
и 8gTg) полученных?, многоуголышковъ должны встречаться на оси абс-
циссъ, чѣмъ можно пользоваться для нровѣрки правильности востроенія.
Грузъ G3 ставинъ на точку т, в опредѣляемъ положешя прочихъ
грузовъ всего проще помощью полоски бумаги ptf, на которой нанесены
ихъ взаниння разстоянія въ томъ же масштабѣ, въ какою, отложена
длина atf. Нроводимъ соотвѣтствуіощія грузамъ ординаты U„ 22s, 339,
44 ѵ Ъ5Ю 66"s и 77s, и слагаемъ эти ординагы помощью другой полоски
бумаги, длина которой должна быть не меньше суммы длянъ всѣхъ
ординатъ. З&тЬиъ ивмѣряемъ длину, выражавшую сумму ординатъ, помощью
масштаба ординатъ.
Черт. ОС,.

т
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
Четр. Qt.
\§І) Ояредѣленіе дѣйствія непрерывной нагрузки.—Непрерывную
нагрузку можно рассматривать какъ непрерывный рядъ безконечно-малыхъ
грузовъ, находящихся на столь близкихъ между собою разстояніяхъ, что
взображающія нхъ вертикальная липіп даютъ сплошную плоскость,
ограниченную лиеіей аЬс всеіюзножнаго вида (черт. 97). Вертикальная
полоса тт$ равняется нагрузкѣ, дѣиствуюінеи па огр-ьзокъ ms\ если длина
дтого отрѣзка безконечно мала и равна dx,
а высота д, то нагрузка его
dG = д . dx,
изъ чего слѣдуегь, что непрерывная нагрузка
представляет! систему соередоточенпыхъ гру-
зовъ g.dx, находящихся на безконечно-близ-
кихъ между собою разстояшяхъ dx, прпчемъ
д— величина вообще перемѣппая.
Изъ послѣдеяго уравненія слѣдуегь:
dG
Такъ какъ dG—нагрузка длины dx, to Iz выражаетъ нагрузку
единицы длины при равномѣрноаъ распредѣленіи ея.
Если tj (черт. 97а) ордината инфлюентпоВ линіи, соответствующая
элементу wis сооруженія, то дѣйствіе, произведенное нагрузкой этого
элемента будетъ (д. dx). tj, елѣдовательно дѣйствіе, произведенное нагрузкой
лежащей яа части NK по (!54)
t і
N=^.gdx.-i\=^g.Ttdx
яли. такъ какъ слагаемыя g-q dx безконечно налы,
п
Когда нагрузка равномѣрна (черт. 97й), то д величина постоянная,
и тогда (черт. 97а) . t
N^gfydx^gQ,. . . ■ <156)
«дѣ Q—площадь edfgh внфлюввгаой: лиши, ограниченная ординатами, «>-
твршгь соотвѣтствуютъ абсдиссн п ж к,
Изь выражевія (156) слѣдуегь, что дѣ&бт.аіе непрерывной равно-
мѣрной нагрузки ааянлется вдощадкиафаюеятдой линін, за-
кдючышв» между брдддатади, соответствующим концамъ ва-
груаку, уищ?жвя*го* ягі яайгрувку д едвницн дзшвы:. Дакь хзеь

НЕФДЮЕНТВЫЯ Л И В I И.
139
ординаты і] могутъ быть положительны и отрицательны, то при слаганіи
площадей Q нужно принимать во вппманіе ихъ знаки.
Дримѣвъ. На балкѣ ЛВ (черт. 98) лежать слѣдующіе грузы:
а) равномѣрная нагрузка
д па всей длинѣ АВ, р .
б) равномерная нагрузка
р на длинѣ CG,
в) равномѣрная нагрузка
'/ междѵ вертикалями точекъ
Ж и іѴ,
г) нагрузка изображенная
треугольников M,PR, ко-
тораго высота PR — q,, a
длина МЛВ = Ь,
д) сосредоточенные грузы
<?„ ff, и о,. рт'
Опредѣлить дѣйствіе, произведенное всей этоіі нагрузкой въ точкѣ t.
Строимъ для точки і инф.иоеотную линію abdgik гребуемаго дѣГіствія ІѴ,
получаемъ на основавіи предыдущего, дѣйствіе, произведенное нагрузкой
д : Ne — д. (ale — cdf -+- fgk — hik)
p:Np=p (йй,с — &if+fggt)
q : N4 = 9 (— mnf -+- fgp),
G& -i- 6f.ii,,
,= j щйх ъ такъ какъ j/ = -|і (> — £,) іѴ. = -fj I {x — £,) tj (fo.
сосредоточенными грузами
JV, = <?,!],
неравномѣрной нагрузкой РЫВ
г,
Полное дѣйствіе въ £
Л" = Ns -+- Л', -н Л', -+- Д7, -+- Л"..
(§І£ Передаточное дііетшв грузовъ. — Въ балочныхъ сооруженіяхъ,
какъ: мостахъ, стропнлахъ и др. нагрузка дѣйствуеть обыкновенно не пряно
на фермы, но передается шп. помощью поперечныхъ бадочѳкъ въ точ-
кахъ, въ которыхъ поелѣднія связаны съ фермами. Эти точен будемъ для
краткости называть связками, а нагрузку, дѣйствіѳ которой передается
сооружение связками—передаточной нагрузкой.
Передаточная нагрузка можегь быть рассматриваема какъ нагрузка,
перемѣшіай но велячнвѣ, но постоянная но положешю, такъ какъ она

140
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
дѣйствуетъ въ совершенно опредѣленныхь точкахъ, т. е. въ связкахъ. При
перемѣнѣ положеніл и рода нагрузки на сооруженіи иямѣняются
величины дѣйствутощихъ въ связкахъ силъ, но ихъ точки приложевія остаются
постоянными.
Мы будемъ называть нагрузку простой передаточной, если законт.
передачи опредѣленъ правиломъ простой двухопорной балки, т. е. когда
балочки. передающія нагрузку брусу, могутъ быть разсыатриваемы какъ
лежащія свободно на двухъ онорахъ. Это предполоя;ѳніе ыа практикѣ
бываетъ исполнено обыкновенно только приблизительно, потому что въ
мостахъ и подобныхъ имъ сооруженіяхъ соеддняютъ балочки съ фермами
большей частью крѣпвимъ образомъ, но оно можетъ быть допускаемо
тѣмъ болѣе. что происходящая вслѣдствіе того небольшая неточность
является для крѣности вообще выгодной.
,93; При простой передатотяоі нагрузкѣ ннФлюентная ливія' между
связкам есть всегда пряжая лжяіа.—Пусть кривая dbcdfgh (черт. 99j—
инфлюентная линія въ случаѣ, когда грузъ = 1 движется прямо по
поверхности ЛВ бруса.
Если грузъ=1 движется по иро-
дольеымъ балочкамъ а[5, «$,...,
опирающимся на поперечины Л, Г, II.
III, В, то при положеніи его въ ~
онъ нроизведетъ въ I н II давлѳнія
Д, и Д3 «дѣйетвіе і), произведенное
грузоиъ при этомъ положеиш будетъ
слѣдовательно равно дѣйствію,
произведенному силами Д, и Д,»,
которому z должна равняться ордината инфлюентной липіи для точки т.
Силы А, и Да дѣйетвуютъ прямо па брусъ, если поэтому означинъ
соотвѣтствующія ихъ точкамъ приложенія I и П ординаты лиши abcdfgk
черезъ т], и tj„ то, do (143), ихъ совместное дѣйствіе, али что одно и
тоже, ордината инфлюентной ланіи для точки т
Означикъ черезъ £—разстояніе'точки т (т. е. разстояніе груза) оть
лѣвой связей I, и черезъ X—длину Щ, то будетъ:
S
Черт. 9!».
д^-J
д, = г
(157)
следовательно, уравненіе инфлюентной лиши между связками:
(168)

иПІІЮЕЕТНЫЯ Л И И I В.
141
Церемонными въ этомъ уравненіи суть і\ и £, оно выражаеть, поэтому,
прямую линпо. Для Е = 0 1) = 1]„ и для s = X ■»] — ■»)„ изъ чего слѣ-
дуѳтъ, что зга прямая проходить череаъ точки і и 2, соотвѣтствующія
связкамъ I п II. Для полученія инф_лн>евтной линіи при ігростоиъ
передаточномъ дѣйствіи нужно на инфлюентную линію,
построенную для прямого дѣйствГя, спроектировать связки, и по-
лучонныя точки соединить прямыми литяыи.
На черт. 99в инфлюептная линія прямого дѣііствія имѣегь видъ
кривой aiedfgh, а для псредаточпаго опа превращается вь прямолинейный
многоугольпикъ «123Л.
ѵ94^ Внѣшнія связен.—Крайняя связка бруса можетъ находиться внѣ
его на другомъ брусѣ или на опорѣ; такую связку будешь называть
внѣшнсй связкой. Тагсь напримѣръ изображенный на черт. 100 брусъ
Черт. 100. Черт. 101.
АВ имѣегь внѣшнюю связку В. Очевидно, что ордината инфлюент-
ной линіи, соотвѣтствующая внѣшнѳй связкѣ, всегда—0, потому
что когда грузъ лелситъ на ней (какъ напрнмѣръ на D), то его дѣйствіе
передается всецѣло тому гѣлу, которому эта связка принадлежать, елѣ-
довагѳльно на брусъ АВ онъ не производить въ этомъ положеніи
никакого дѣйствія. Если, напримѣръ, инфлюентная лияія для сѣченія S балки
АВ нмѣеть при прямомъ дѣйствіи видъ кривой abcdf, то для передаточ-
ваго, опредѣленнаго связками А, 1, 2 и D, она превратится въ
прямолинейный четыреугольникъ «1,2,1),. Очевидно, что для построения по-
слѣдняго нѣтъ надобности строить всю кривую aicdf, а достаточно
определить ея ординаты tj, и ■»],. соотвѣтствующія связкамъ 1 и 2.
\9ад На черт. 101 брусъ АВ имѣетъ одну связку С и двѣ внѣшнія
связки D и Е. Для построенія инфлюентной лиши какого нибудь еѣче-
нія s достаточно въ этомъ случаѣ определить соотвѣтствующую этому сѣ-
ченію ординату с,с, для точки с, которая = дѣйствію произведеннбму
въ s грузомъ = 1 при положевіи его на связвѣ С. Инфдюентныя лвнін
всѣхъ сѣченів балки АВ при этомъ устройствѣ будутъ треугольники съ
общими вершинами d ж е, еоторыгь третьи вершины находятся на
вертикаль- с,сѵ

Ш
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
98. Внѣшнія связкж второго разряда.—При устройстве, представлен-
номъ" ііа черт. 102, принято, что икфлюентная линія точки S балки АН
имѣегь для пряного дѣбствія видъ a$-(d. Чтобы получить эту лнвію для
передаточнаго дѣйствія.
пренебрегает, спачала балочкой
ЪЕ, проектируем!, связки 1
и 2 па линію а^, а
внѣшнія связей с и d — на ось
абсциссъ, и по.тученвыя точен
еоединяемъ прямыми линіями.
Вслѣдствіепередаточнагодѣй-
ствія на балочку 2D
проектирует» связку 3 на 2xd, а
внѣшнюю связку е—на ось абсдиссъ; инфлюепгная линія будетъ много-
угольеиЕЪ сі ,2,3,6.
.97) Коясольная балка.—Балка Gli (черт. 103) выступаетъ за опоры
А а В, инѣетъ связки только въ конечныхъ сѣченіяхъ С* a D, и кромѣ
того внѣшнія связки Е и F. Дѣйствіе иа балку 01) прямое.
Строимъ инфлюенттгую лпнію cmd'd при предположеніи прямого дѣй-
ствія на балку GD, проектируемъ связки С и D послѣдней на эту ля-
Черт. 103.
. Черт. 104. .
нію cmd, а ввѣшнія связки Е и F — на ось абсдиссъ, и проводим,
прянш ее и df. Такъ кань на GD нагрузка дѣйствуетъ прямо, то для
GD остается действительной инфдюевтная линія стЛ, а на концазъ она
переходить въ прямыя ее и df.
На черт. 104 принято, что лежащая на опорахъ А и В балка CD
имветъ сеянки С, 2, 3, 4, 5, D, и внѣшнія связки Е и F, а на второ-
степенныхъ балочкахъ ЖС и DF устроены связки я. и Ji, со внѣшнили
связками-? а S.
%обн получить ннфнюентнуіо зшшо для точка S, предетавляемъ себѣ
сначала всѣ верхніа баночке устраненными, и строимъ эту линно для
балки Ш>, йчѣзощей только ковотшя связки С ж D, в внѣшнія — Ж
ж F, такихь же обреки» кажз. Мь< ітредмдущвжь слутаѣ волучаемъ ди-д
нію eemdf. На последнюю лроевгаругагь евдаю я, '2, 3, 4, Ь, $ в f^Q

инфлюкнтныя лів п.
U3
а внѣшнія связки у ц 3—на ось абсцвесъ, и полученныя точки
соединяв иъ црямой лвніей.
98. Сдожяыя баіві.—\Балка иожегь имѣгъ внѣшнія связки пе только
на концахъ, но в въ промежуткахъ. Примѣръ такого устройства предста-
вленъ на черт. 105. Здѣсь. приняты двѣ балки АВ и CD одинаковой
длины, изъ который, первая икѣетъ связки 2, 3, 6, 8, а послѣдняя —
связки 4, 5, 7, 9: связки ^ и J0 внѣшпід *). Расположеніе второете-
яенныхъ балочекъ 12, 2 3... видпо изъ чертежа.
Чтобы получить инфлюентную лішію для сѣченія S балки АВ стропмъ
эту липію при предположен^ прямого дѣйствіл; положимъ. что она
иыѣетъ видъ кривой abed. Эта
линія дѣйетвительпакакъ для
балки АВ, такъ и для балки
CD; проектируема на нее
свяаки 2, if, 6,8, а остальныя
связки — на ось абсциесъ.
и соединяемъ полученныя
точки прямыми линіями. Ин-
флюентная линія сѣченія S
бялки АВ получилась такимъ
образоыъ какъ многоуголь-
никъ 1,2,3,4,6,6 7,8,9,.
Для построееія инфлю-
ентпой линіи того же еѣ-
ченія S балки CD
спроектированы связки 4, 5, 7 и 9 на динію abedf, а остальныя связки на ось
абсциесъ, и полученныя точки соединены многоугольником^, 3,4,5,637,829,102-
На черт. 106 приняты 3 балки одинаковой длины; расположеніе свя-
зокъ 1, 2, 3 ... и второстепенныхъ балочекъ 12, 2 3... видно изъ
чертежа. Общая для всѣхъ трехъ балокъ инфлюеитная дитя прямого дѣй-
ствія для сѣченія S ииѣетъ видъ кривой abedfg. Для ностроенія инфлюент-
ной линіи соответствующей балкѣ АВ проектируем, связки ея 2, 6, 9.
12 а 14 на лннію abedfg, & прочія связки — на ось абсциесъ, и
получаешь, что инфлтоентпая линія 3,2,3,4,5,6,7,8,9,1'*), этой балш состоить
изъ треугольниковъ 1,2,3,: 5,6,7,; 8,9,10,; 11,12^3, и 13,14,15,.
Помощью аналогическагь дѣйствій, повторенныхъ при помощи кривой abedfg
для бадркъ AtB, a AtBti получаеиъ соответствующая имъ ивфдюентныя
лиши, отмѣченныя показателями ; 2 и 3. Легко узнать по чертежу, что
Черт. 105.
*) Вахта ЛВ и СИ в* черт. 106, точно также накь и бапвк АВ, Л1В1 а АаВ, на
чеот. 106, нужно ce&fe представать находяпцякиоя нъ одяой я вой же горизйатьаь-
воі шкквое№.

144
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
сумма площадей этихъ трехъ инфлюйнтннхъ лвній даегь площадь
многоугольника 1,2,3,4,5,6,7,8,9,..., изображающаіо ипфлюентяую лныю сѣ-
Черт. 106.
ченія S въ случаѣ, когда все связки находятся на одной и той же
балкѣ ЛВ.
(99; Наибодѣе невыгодное аоложеюе. Максимальное дѣйетвіѳ,— Когда
по мосту движется нагрузка, го она возбуждаегь въ отдѣльныхъ точкахъ
его балокъ сопротивленіа, величины которыхъ изменяются вмѣстѣ сь измѣ-
неніемъ положения нагрузки. Если будемъ разсматрйвать определенную
точку балки, то имѣя въ виду только тѣ напряженія ѳя, который про-
всходягъ отъ подвижного груза, узнаемъ легко, ото до начала ноступле-
нія перваго колеса на сооруженіе ваяряженіе точки было=0, а затЬмъ,
начиная съ момента перваго прикосновенія колеса къ сооруженію; во время
движенія его по поелѣднему, напряжете увеличивается, достигаеть нри
нѣкоторонъ положеніи нагрузки максимума, послѣ чего напанаять
уменьшаться, но непрерывность этого уыевьшенія нарушается поступленіемъ
на сооруженіе новаго колеса, которое является причиною новаго
возрастания наиряженія и т. д. Такимъ образомъ напряжение, во время пере-
мѣщенія поѣада по мосту, достигаетъ вообще нѣсволько разъ максимума
и минимума; если нанрим., будет, откладывать напряжете точки t на
первомъ грузѣ, при разннхъ положевіяхъ его, к&бъ ординаты, то полу-
чймъ зинію вродѣ изображенной на черт. 107. Если движенів
происходить слѣва вправо, то точка I соотаѣтствуеть началу ностушю&ія нер-
ваго колеса на «ость АБ, а точка 6*—моменту схода пооѣдвяіо ш-г
леса (находшцагося въ это время въ В) еъ моста, Лввіа имѣёть. 4 &о»

инфлювйтныя линіи.
Ш
ложительныхъ максимума въ а, Ь. <1 и /'. н 3 огрицательныхъ—въ д, h
и і: кромѣ того она имѣетъ положительный и отрицательяыя минимума.
Наибольшее положительное максимумъ даетъ точка d, а наибольшее
отрицательное — точка А: пераое происходить тогда, когда поѣздъ запимаетъ
такое положеніе, что первое колесо лежигъ на rf„. а второе—когда оно
лежитъ на В. Для практики важно знать только эти абеолютныя
максимума ddl и АА,; соотвѣтствующія имъ положенія нагрузки суть для точки t
наиболѣе невыгодныя. Если со-
оруженіе имѣетъ въ точкѣ (
достаточную прочность для соиротнвленія
папряжеяіямъ del, и АА,. то зля
всѣхъ прочихъ напряжепій его
прочность въ этой точкѣ бѵдеть подавно „ ,„_
~-~_- Черт. 1CW-
достаточпа.
Напряженія йй, и АА, легко опредѣлигь когда извѣсгпы еоотвѣт-
ствующія имъ положенія нагрузка. Овредѣленіе этихъ положенія пред-
ставляетъ наиболѣе трудную задачу главнюгь образомъ потому, что за-
конъ образованія лнпіп abed... (черт. 107) нзмѣняется при всяконъ
поступления колеса на моегь или сходи его съ моста. Рѣшеніе этой задачи
аеалитическимъ путемъ вообще очень сложно и это есть причиной,
почему расчегь моставъ производят^ обыкновенно на осеованіи равномѣр-
ной нагрузки, занимающей на мостѣ наиболѣе невыгодное положеніе *).
Эту нагрузку опредѣляняъ такимъ образомъ, чтобы она производила въ
данной точкѣ момсптъ (или вертикальную салу), равный наибольшему
моменту (или наибольшей вертикальной силѣ). какой въ этой точвѣ но-
жегь произвести действительная нагрузка, состоящая изъ сосредоточен-
ныхъ грузовъ. Величина такой равномѣрной нагрузки измѣняется не только
съ продетомъ, но для одного и того же пролета—съ мѣстомъ раасиатри-
ваеыой точки **); величины ея, опредѣлепныя для одного пролета, вообще
не дѣйствительны для другого, а при нзмѣненіи величинъ грузовъ или
ихъ вааимныхъ разетояаій эти нагрузки теряюгь всякое аваченіе.
Трудная для аналитическаго рѣшепія задача онредѣлеаія наиболѣе
невьігоднаго положенія нагрузки, состоящей изъ сосредоточепныхъ
грузовъ, рѣшается просто и легко помощью ннфлюентныхъ лвній.
иОІуОпредѣіеніе жашшадьнаго дѣіетвія вагрузкж. -~ з) Нагрузка
состоитъ изъ сосредоточенных! грузовъ. — По балкѣ движется си-
*} Въ этомъ огноіпеніи нсключеаіе еоставляеть тоаьво Дмерива, ГЗ£І> мосты раэсчв-
тываютъ не аа равномѣрную, но ив действительную по мосту движущуюся нагрузку.
В"ь настоящее враия и въ Enpotii лучіиіе строители иснолняють разечеты мосте»),
на есноваиін еоередоточенныхъ грузовъ, позьзуасьпрж этояь ипфаюеатпыми пвніяыж.
**) Собственно $ъ щіаявтомъ изменяете» только нагрузка мокентои'ь, а нагрузка
DepTHBasbBsxb сая-ь оть пропела не ааиясятт. (си. ниже).
И. *ІВ*ПЦВ№ВСѴІ&—43modTf*JIUAd ffMHHRL ТО

146
I .1 Л И Л Ш Е С Т Л И.
стема сосредоточенных! грузовъ £г15 G„ <?.,. У^ и Ст.: требуется
определить максимальную величину дѣйствіл, инфлюентная лпаія котораго
имѣетъ видъ многоугольника ABGDMFGII (черт. 108).
Такъ какъ ординаты этой липіи положительны и отрицательны, то
.она даетъ два максимума: положительное и отрицательное.
Чтобы получить положптель-
«С.
в<3* sASws 9 „.
нос максюіумъ устанавливаемъ
нагрузку такимъ обрайомь, чтобы
на положительной части ОН
находилось по возможности
большое число тяжелыхъ грузовъ, а
на отрицательной части АО —
какъ можно .меньшее. При ноло-
МАй*-*-^*?-^—»■*£-*&;; $, " жепіи> иредставлеппомъ на черт.
*Nlb(tl_ 10S. произведенное нагрузкой дѣй-
Чсрт. 108. ствіе будетъ, если ординаты ин-
флюеніной линіи, соотвѣтствую-
щія ірузамъ Gv Cj..., обозначнмъ черезъ тІХ, гіг...
К = — e,Y], -ь 6,1], -+- G3ri3 -+- G,ru -!- <?,ije + ff.ij,. . (159)
Передвинешь всю нагрузку на такую величину А~, чтобы грузы
оставались между гЬщ же вершинами инфлюентнаго многоугольника, между
которыми опи паходились при прежнею, положеніи; для второго поло-
женія грузы означены буквами G,', G.,'... Грузу (т% будетъ теперь со-
отвѣтствовать ордината
Дт
І = Ч, — Ді;, ■= і), — Д;. д| = ij, — Д-. Г0 я,
грузу <га — ордината
Л"
-" -%_ + Дт], = ^ + Д;^ = ^+ ДБ ^ я.
.гдѣ яа, а4... углы наклона тѣхъ сторовъ #С, НЕ ... инфлюентнаго
многоугольника, которыа встречаются грузами G„ G.t... ДѣйствІе
нагрузки, при второмъ положеніи ея, будетъ
А'-н ДіѴ= —в, (7j,- ДС ^ яа) _ь ^ (т]і-н AS tg at) -+- G, (ij,-*- Д<; (? a,) -+-
-+- G, (ij4 -+- Д£ /?«,) + ...
Есж изъ этого выражешя вичтекъ уравпете (159), то получимъ:
ДаѴ=£в1^а1-ьеі^0і4-4-(в,ч-ві^а^-і-'...]Де = ДШ?^4 = де.а,
гдѣ а= IGtga.

и в ф л н> к и т и ы я л п н і и. 147
Величину ч. т. е. заключенную въ скобкахъ сумму, легко посі]Юигь.
На произвольной юрлзопталѣ pQ (черт. \Ша) откладаваенгь по порядку
грузы <Ѵ,, (J-,,.. . такъ что
57= 6", V> = Gi *}=•>,...
и строимь многоугодмшкъ 01,2,3, . . . такимъ образомъ. чтобы его
стороны, находящіяся вертикально яадъ грузами G„ G, . . . были
параллельны тѣмъ сторонамъ ВС. І)Е. . . шіфлюентпаго многоугольника, ко-
торыя этими грузами встречаются. Следовательно проводнмъ:
надъ грѵзоіп. Gt: 01, [j ВС
падъ грузомъ <?,: 1,2, || DE
надъ грузами G, с й-,: || 2,4, [| EF и т. д.
Легко узпать что
T\,=Gltg^:
22, = 22„ -+- -\,2, = І^-н 2,2, = tf ,^, -+- tf, Ц%к.
44,= 110.-ь4й1І = 22, -н І0-1, = Gjg^ + Gjg^ ч-Г«, + GA)tgit. . .
следовательно послѣдній охрѣзокъ
и ДЗГ = 06,. Д?
Если передшшемъ нагрузку дальше вправо на ту же величину У-,
и при томъ опять ни одипъ грузъ не перейдетъ черезъ вершину ннфлюенг-
наі'о многоугольника, то построение повой величины и дасть тогъ же
многоуі ольиикт, 01,2,3, ... т. е. опять будѳтъ SG^a = 66,. Прираще-
ніе дѣйствія К теперь будѳтъ 2ДЛ", и опо будетъ увеличиваться до тѣхъ
поръ, пока одинъ изь грузовъ пе переіідетъ черезъ вершину.
Установит, нагрузку такшгь образояъ, чтобы грувъ &, находился
безЕОнечно близко сдѣва вершины F: соответствующая этому положенію
величина а = 66,. Иередвикемъ {мысленно) нагрузку на бевкоеечно
малую величину вправо такъ, чтобы грузъ G, находился вплоть справа
F, и построишь величину « для этого новаго положения. Такъ какъ
грузы #„ €rt и (?,, предшествующее грузу (?„ остались между тѣми же
вершинами, между которыми были прежде, то соответствующая имъ часть
01,2,3, многоугольника черт. 108« не измѣнилась, но грувъ G4 на
перт. 108 встрѣчаетъ теперь сторону FG, поэтому черезъ 3, нужно
провести 3,4, параллельно FG, и эту прямую надо продолжить до 5„ (такъ
какъ сторона FG соотвѣгствуетъ тоже грузу Gb): черезъ Г>, проводпмъ
5,6а параллельно GM. Долучаемъ JuGtga= — 66„ т. е. во время
перехода груза G, черѳзъ вершину F приращеніе измѣнило зиакъ, оно
бнл© поэтому = о въ хонентъ, когда грузъ лроходилъ черезъ F. Изъ
этого слѣдуетъ, что дѣнствіе JV можегъ достигнуть максимума
10*

148
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
только при таксшъ положеніи нагрузки, при которомъ одвнъ
изъ грузовъ ^і"_оходи£5_'іе^е^ъ веРшинУ инфлюентной линіи,
т. е. когда онъ нахо_дит£я_ jiа томіГ£ связки.
Очевидно что выражение
будетъ представлять тѣмъ большую величину, чѣмъ больше будугь
множители G и г,: поэтому для полученія максимума вужно устанавливать
загрузку такимъ образомъ, чтобы одинъ изъ тял;елыхъ грузовъ,
который обозначимъ черезъ Gr. совпадалъ съ наибольшей
ординатой инфлюентной линіи, и чтобы прочимъ тяжелымъ гру-
замъ соотвѣтствовали большія ординаты; при томъ
противоположная по знаку часть инфлюентной лнпіи не должна быть
нагружена, такъ какъ всякій грузъ, находящійся на этой части,
уменьшает! дѣйствіе У. Затѣмъ нредставляемъ себѣ грузъ Gc лежащимъ без-
конечно близко слѣва его ординаты и строиыъ для этого положенія
величину а; послѣ полагаешь его находящимся безкопечпо близко снрава
той же ординаты, и стронмъ величину а,. Если а и й, получаются по
разныыъ сторонамъ оси pQ (черт. І08«) то нрикятое положение нагрузки
будетъ одно изъ ііаибодѣе певытодныхъ, въ нротивномъ случаѣ нужно
тоже дѣйствіе повторить со елѣдующимъ тяжелымъ грузомъ. При пере-
движеніи нагрузки полезно пользоваться полоской бумаги, на которой
намѣчены взаимный разстоянія грузовъ (полоска pQ на черт. 108«).
Указанный здѣсь способъ онредѣлонія онаспаго положенія бываетъ
выгоденъ тогда, когда число сторопъ инфлюентпаго многоугольника
небольшое, въ противномъ случаѣ максимальное дѣйствіе получается
обыкновенно проще ощупью посредствомъ опрвдѣленія по уясненному въ Ді 91
способу помощію полоски бумаги дѣйствія У для нѣсколькихъ
положений, кажущихся наиболѣе невыгодными.
(Ш) НнФдюѳитйая лянія—треугольнюгъ ■ четыреуголькжкъ.
Непрерывная равкожѣрЕая нагрузка.— Опредѣленіе панболѣе невыгоднаго
положенія системы грузовъ упрощается когда пнфлюентная линія, кэеъ это
часто бываетъ, имѣетъ видь треугольника.
а) Пнфлюентная линія—трѳугольнякъ ЛЕВ, (черт. 109). Если
представленное на чертежѣ положеніе нагрузки нааболѣе невыгодно, то,
по выше полученвому^должно
~ = (<?, -+- GJ tga, - (Gt -t- Gt -ь <?s -+- Gt) tga, = 0.
Означимъ высоту EEt треугольника ЛЕВ черѳзь А, и
горизонтальное разстояніе его вершины Е отъ AJB—череяь а ж Ь, то
. Ь &
tgat = - ^, = j

ИНФЛЮЕЕТНЫЯ J И Н I E.
Ш
Подставивъ эти зпаченія въ предыдущее уравненіе, получимъ для
максимума ѵсловіе:
G, ч-tf, _ G_3 ч- G, -*- G^-G,
а Ъ ....
(ItiO)
Отложимъ на горішнталѣ МК грузы G, до Gs, помѣщающіеся на
В А, т. е. сдѣлаемъ
Ш = G,, І2 = Gs, 23 = G, 34" = G, 45 = Gs 5tF= Gs,
проведемъ О/* || AE, 6F |j Bi' и изъ точки пересѣченія J" опустишь
на МЛ' перпендикуляръ, встрѣчающій МЛГ въ і, то имѣеьгъ "-— ~
т. е. условіе (154) будетъ удовлетворено, если на части АЕ, будетъ ле-
Мал. -U, Jr^JbL 'aaL* Е&і
Черт. 109.
жать нагрузка оі, и на части Е,В—нагрузка t6, когда слѣдоватедьно че-
реаъ вершину Е будетъ проходить тотъ груяъ G„ на когороыъ
получается точка t.
б) Инфлюентная лиеія — четыреугольннкъ АВСТ) (черт. 110).
Означвмъ равнодѣйствунщуы грузовъ находящихся: между А и С—
черезъ В,, между С и В — черезъ _В„ и между I) и В — черезъ R3.
Если ихъ положеніе наиболѣее невыгодное то
М^длх ■+■ Bytgott—R3tgz3 = О
и такъ какъ (поставнвъ ЕЕХ = А и X, -+- \ = X);
А А/Х, АЛ *) , А
*,) Изъ чертежа вжЬеиъ:
'9<Ц--
і'і,
Dm bs—h,
~0П ~ А
Да.
ноэѵоку
ш сдѣдоватбяЬяо
Ь ' а
Ч *
Uw,-
_Ѵ>-,
0-4-)

150 [JABA ШЕСТА if.
то имѣемъ
или
*.<U* *|Ь.
/. \ a
I:
b ' ~R=i
R, -+- a,,, -,- M,, -у- -i- Jtjj
. . (1(51)
Это урарненіе показывает!,, что лежащею на С17>[ нагрузк; нужно
раздѣлить въ отношеніи -І1 и І1- на 2 части, и считать часть Ііг -??- при-
надлежащей къ грузамъ, дсжащимъ слѣва ЕЕ,, а часть /?г -у-къ грузамъ,
находящимся справа ЕЕ,.
Возьмемъ на горизонтали МЛ. на которой отложены всѣ грузы
подвижной системы, лежащіе на ЛВ. (грузы G, до G-). т. е. длялу 07;
проведемъ черезъ 0 п 7
OF || AC IF ;| ВТ)
изъ точки псресѣченія F опустимъ на МУ перпендпкуляръ Ft. Такъ
каі;ъ точка t получилась на грузѣ G3. то ставимъ этогъ ірузъ па Е, п
видивъ, что при этомъ положеніи нагрузки на средней части С\Ѵ, по-
мѣщаются грузы Г?, и Ѳгі т. с. что й, = G, -t- G^. Беремъ на МК
соотвѣтствующій этпмъ грузамъ отрѣзокъ J it,
проводимъ \у |] OF. Ър || IF и черезъ точку
пересѣченія р
М LCD
то точка q дѣлитъ нагрузку -Ва въ требуемомъ
отношеніи. Если точка q получается слѣва
точки t, то систему нужно передвинуть вправо,
а если справа то—влѣво.
в) Непрерывная равпомѣрная нагрузка.—Наибольшее
положительное дѣйствіе лроизойдетъ тогда, когда нагрузка расположена только
на положительной части ипфлюентвой лввіи, а для полученія отрнца-
тельнаго максимума нужно занять нагрузкой всю отрицательную часть
этой леніп. Если поэтому (черт. Ill) abcdf—внфлгоентная лиеія, то
максимальное положительное дѣйствіе произойдетъ при нагрузкѣ черт. \\\а,-
а максимальное отрицательное — при нагрузкѣ черт. \\\Ь. Обозначат,
площади аЬтя, теп и ndr (соотвѣтсгвенно) черезъ /*„ /", и /3, а единич-
вую нагрузку—черезъ д, получимъ:
шах (-*- К) = д f/\ -ь ft) max ( — Л') = ~gft.
ъ
; . \щ^ а '■
ІгііИІІІІПІ ^ііИіііі'іі
і Ш!ІІ,[іі,І!
ь
Черт- Ш.

ВПѴЕИТЬГ II ПОПЕРЕЧНЫЙ СИЛЫ ПРОСТОЙ EUKH. 151
Г Л А В А VII.
Моменты и поперечный силы простой балки.
а) Постоянная нагрузка.
.102) — Реакцій опоръ. — На горизонтальный брусь. расположенный
копнами на опорахъ, изъ которыхъ одна шарнирная, а другая подвижная,
дѣиствуеть вертикальная нагрузка. Такой брусъ пазывають простой
балкой, потому что онъ подвергается простому изгибу, гакъ какъ для
всѣхъ сѣченій его нормальная сила Л = 0. Реакція нодвия:ной опорной
точки, при препеиреженіц тренія перпендикулярна къ ел опорной
плоскости, т. е. вертикальна, следовательно параллельна равнодействующей
R приложеяныхъ къ балкѣ вігѣгаиихъ силъ; нзъ этого слѣдустъ что и
втирая реакція вертикальна, потому что 3 силы: равнодействующая йіі
Обь реакдіи. только тогда могутъ находиться въ равповѣсіи. когда онѣ
пересекаются въ одной точке (которая можстъ находиться и въ безео-
нечностн). IIзъ этого видивъ, что каждая изъ реакцій простой балки
ялѣетъ только одну неизвестную: величину 'ФоЭДМаДОя. Мы будемъ
обозначать черезъ
А — реакцію левой опоры.
В — реакцію правой опоры,
I — горизонтальное разстояніе этпхь реакцій (или, что все
равно - опорпыхъ точекъ).
Gx, G3 G3 . . . — дѣйствующіе на балку грузы,
«,, аѵ а3 . . . — пхъ разсгояпія отъ лѣвой. и
bt,bvht... — отъ правой опорной точки.
Очевидно что Ьт = I — «,„.
Для опредѣленія реакцій приведемъ балку въ свободное состояніе,
т. е. устранить опоры, и дѣйствіе ихъ замінииъ силами А п. В,
равными реакпіянъ.
Нзъ условІй равновесія слѣдуетъ, что сумма моментовъ всѣхъ на балку
дѣйствующихъ еялъ, т. е. реакцій и грувовъ, взятыіъ но отнотепіт къ
произвольной точкѣ на плоскости силъ, должна равняться нулю. Если
воаьмеыъ эту точку на силѣ В, то нолучимъ уравнение съ одяой только
неиввѣстной А; предполагая нензвѣстной сторону, въ которую реак-
ція А дѣйствуетъ, прнмеиъ ее напр., направленной внизъ, получпмъ
(черт. 112), считая вращеяіе въ сторону, противоположную часовой
стрѣлкѣ, отряцатеяьнымъ:
— Аі— в А - GJ>3 - GA — б А = 0.

152
Г.ТДВЛ СЕДЬМАЯ.
откуда
А =. __ gA-*-gA-*-gA-*-gA
Знакъ minus показываетъ, что реакція Л папраішена въ сторону,
противоположную той, какая была принята ори составлепіи ея уравнс-
вія, т. е. что опа направлена не внизъ. ко вверхъ.
Означнмъ сумму произведенш. которыя получатся, если каждый пзъ
дѣйствующихъ на балку длиной I грѵзовъ умножииъ на ею разстояпіе
' і
Ь огъ правой опорной точки В, терезъ І£гЬ, то принявъ А направлеппымъ
вверхъ: °
1 '
А = -,- EG» > (162)
Аналогически получаемъ для точки момеытовъ А:
я,; |4
-■44 »
% 14 в
W*;9
Ь' = - - SGu
;я~ѵ
5ПГ£^ПГ^
J
ь
Черт. 112.
Черт. 113.
Такь какъ грузы G уравновѣшиваштся реакщями А и В, то должно
,4-ь.В=££
(163)
гдѣ Е(? означаете алгебраическую сумму всѣзъ грузовъ G, лежащихъ па
балкѣ.
Когда нагрузка непрерывная (черт. 113), то элементарный грузъ
дЛх, представленный заштрихованной беэконечно узкой вертикальной
полосой, производить въ В реаБцію {G = дЛх а — х)
поэтому
dB={gM)1
a-t-i. a-t-X

МОМЕНТЫ В ПОПЕРЕВДЫЯ СИЛЫ ПРвСТОВ БАЛКИ.
153
Легко узнать, что интегралъ этого уравненія
озпачаетъ статичсскій иоментъ площади нагрузки,
взятый оо отношенію къ точкѣ А, который, по
правилу статическихъ моаіентовъ, равняется этой
площади, умноженной на разстояніе ея центра тя-
жеств отъ опорной точки А. Изъ этого слѣдуетъ,
чт0 рвакція одной опоры равняется дпіздѣ-
леаному на I статическому моменту нагрузки,
^ятому__ іш отношенію къ другой опорной
точкѣ.
На основапіи послѣдняго правила составлена
слѣдующая таблица реакцій А и В для пагрузокъ,
изображенныхь на черт. 114 (отъ 1 до 7).
Значеніе графы 6 будегь уяснено впослѣдствіи.
Для сложной нагрузки реакцій опредѣляіотея
всего проще графически но изложенному въ As 9
способу, т. е. строиыъ для данаой нагрузки вере-
^--і---*г
[таЧЧ' тѵ~& ЧР Л
Черт. 114.
«
1
2
3
4
5
е
1
-І!
1
fiA
9І
2
si ■
S .
, J-
(9-t-9,) 2
Раастояаіе центра тяжести
оръ опорной точка
А — і
•2
"+2
"2
а+іх
9
W1
3(4,-1-3)
a
в = 3
з
Ъ+2
1
*+тх
4'
—. . _
3
?ЕЛ
А *$
ВЦІЯ
„ л
А-> "- I
4 і з :
5/.(26 + Л) ! 5>,(2а+Х)
2?
*-4 fli
г " 2
#№+«
в*
~<з + 2д,)
4-(»—)
a
1
2
-^{Эа-fuk)
9І '
3
Моменты
т0 !
е
.<** - «)'
2
2
9 (*-в)*
X"' fi^
д х»
* 6
-у [to + г.)! ;
(я + ») + ?)
тѴЧ>
4(і-->
h (t-xf
Ь 6

154
Г J Л 1! А СЕДЬМАЯ.
вочный многоуголышК7. (черт. 112) ироноінмъ ого замыкающую лпиііо
,4,Д. и черезъ полюсъ О—лучъ Ог, параллельный AtBt* который раз-
дѣлигь нагрузку иіѵ па част us и zw. равпыя (соотвѣтственно) рсак-
ціямъ А іі В.
CjjOSLj Сгибающіе моменты.—Сгибаюшій момсптъ будемъ считать полл-
жителыгшп., когда онъ стремится изогпуть балку такимъ образояъ. чтобы
выпуклостью она была обращена впизъ. Это предположение можно
выразить такъ: Сила производить аъ сѣчепіи положительный мо-
мементъ, если находясь слѣва. сѣчелія она враша'етъ около
"вТягЪй іі а пемъ точки "по направленно ~ча~со~в"ой— сі'рѣл'ки (слѣва
'вправо),~а находясь справа сѣчепія — въ сторопу
противоположную направденііо ч а с о в о fi_ с трѣлкв.
Чтобы получить момсптъ въ сѣчепіи s, отстоящемъ отъ лѣвой
опорной точки А па разстояніп = х (черт. 112). представляешь себѣ
балку разрѣзанной черезъ s, одну изъ отсѣчонныхъ частей,
напр. sB, отбрасываешь, а для силъ, дѣйствующихъ на
оставленную часть As составляем! сумму моментовъ по отношенію
къ центру тяжести сѣченія s.
Если условимся отбрасывать правую часть «Д то сумма эта будстъ
состоять изъ момента Ах- реакціа А, и пзт. суммы те моментовъ всѣхъ
яа этой части лежащнхъ грузовъ, т. е.
J/, - Ах +т0 (16-1)
Мы будемъ обозначать черезъ рт — разстояніе груза Gm
находящегося слѣва разсматрнваемаго сѣчепія s, отъ этого сѣченія, и черезъ дт —
разстояніе отъ s груза Gm находяігщгося справа s.
Такъ какъ я*0 означаетъ сумму моментовъ всѣхъ грузовъ G
находящихся слѣва s, взятыхъ но отношенію къ центру тяжести сѣченія sf то
очевидно, что для сосредоточеняыхъ грузовъ Q,, (?,... дѣйствующихъ
внпзъ.
х
т„ = — \] (ij) (165)
•J
и для непрерывной нагрузки (черт. ИЗ)
X
та = — f' gd% (x — Z) f!65«)
Эхоіъ ижегралъ выражаегъ статически моментъ находящейся слѣва s
площади нагрузки, взятый по отношенш къ§, который равенъ этой пло-
щадк умноженной на разстояніе ея центра тяжести отъ центра тяжести
сѣченія $.

MOHEHTU 11 ПОПЕРЕЧНЫЙ СИЛЫ ПРОСТОЙ ЕД.1КИ. ІЬа
Д..1Я нагрузок'*, изображенныхъ на черт. 114 реакціи А и статиче-
скіе моменты т0 дапы вт. графахъ (I) и (6): понощію ихъ получаеш.
по (1G-L)
, _r ghi!> -н),) <fix — *)*
для случая 1:3/ — ^,—~ х— '-—--., ....... (.106)
Для полной равномѣршй нагрузки (случаіі 2):
Jtf = -^..-^- = '",'2-^*'. . . . ,167)
3) нагрузка представляеть прямоугольный треугольник длиной ).:
М = *(Ы+Х)х-{('-аГ .... (16PJ
4) нагрузка какъ въ 3). но длина ея — I (случай -1):
') ДЛЯ X ^ « .« — ■" (2* — «JJ!— - - = -,— [а{% — Я) —Х]
для х -= « ЛГ=-= ---~1-- [4р/ — Ь) ~ (I - х)']
ЕЛИ
7і О г\
М^Щ-^Г-а^-а-хТ] . . (170).
Для оучаевъ 5) и 6), всіѣяствіе сложаотти . выраженій т0.
получаются моменты 51 ароще графнчесЕимъ способомъ.
Длн сосредрточенныхъ грузовъ по (156 н 165)
х ' *
М = ; У (ІЬ — У Ор (171)
*) МавеювльныЯ жшенгь для полной равномѣрной нагрузки поручается изг условія
-г- = О, и, помощью уравнения (167):
і (і - L)
^ — дх~0, отяуда х—^ и М^ — —'-—~ ^ = (/^.Если волную нагрузку ді
оаначвмъ черезъ ft то ЛГвиг. — -^- -

156 ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Такъ для нагрузки черт. 112 (сѣчоніе s):
і
U
о
поэтому
М = Ах -н ж, = ~ (<?,6, -+- G Д ч- G,b3 ч- <?А) - G j», - tfj), . (172)
Еслибъ мы отбросили лѣвую часть As балки, то нагрузка правой
части Ss дала бы для s моментъ.
1-х
И = Б(1~ х) — ^ ^3> гдѣ
е.
й ал і
о
Такъ для нагрузки черт. 112.
I х
M=~j-[Glal-t-0^,-t-G-3n34-G,a,] — (G3g3 + G,qi) . (173)
Если въ уравнении (172) подставимъ р*~х — (I — йя), и въ урав-
неніи (173)
дя = (I — и»,) — х й™ = I — Ь„
то увидвнъ, что выраженія 172 и 173 совершенно одинаковы.
Взаимность жожентовъ. — Пусть і~ точка приложены груза &,
ис—сѣченіе, для котораго требуется опредѣлдть моментъ М, лроизвнден-
ный въ немъ этимъ грузомъ. Означит, черезъ д и s тѣ разстояеія
груаа в сѣченія отъ опоръ; внутри которыхъ не находится ни
точка приложения (. ни сѣченіе с (какъ иыѣло бы мѣсто наир. на
протяжбніяхъ At или сБ), то (черт. 115)
и такъ какъ А = -f,
M = A.s
M = ~ff:s ........ (174)
Беки себѣ. представнмъ среднюю часть et устраненной я взаоввмъ
оставшеся части Ас и W—боковыми, то можно сказать:

МОМЕВТЫ И ШПЕРЕЧНЫЯ СИЛЫ ПРОСТОЙ БАЛКИ. 157
Моментъ равняется раздѣленнону на I грузу, умноженному
па произведение обѣихъ боковыхъ частей.
Если бы грузъ G былъ прзложенъ къ точкѣ с, то моментъ еъ t по
этомѵ правилу былъ бы
т. ѳ. такой же, какъ въ предыдущемъ случаі. Въ простой двухопорпой
балкѣ можно поэтому замѣііять взаимно положеніе груза и съчетя, изъ
чего слѣдувтъ непосредственно, что линія моментовъ груза = 1,
действующа™ па сѣченіез, есть инфлюентная линія «оментовъ
_этого сТченІяі
Когда нагрузка непрерывная
и перекрывает* сѣченіе, то всего
удобнѣе раздѣлить ее черезъ это
сѣченіе на двѣ части, замѣпить
каждую часть равнодействующей
и взять сумму моментовъ,
составленные по предыдущему
правилу, для той и другой
равнодействующей.
JLpja м ѣ р ъ. Пролетъ балки
fefferf
А-.
т^щшшщт
■<*>кд5>КМ>':*^^*1*4г^***,<"
Черт. 115.
АВ 1—28 mtr; на ней лежать равномѣрная нагрузка д, длиной 16 mtr..
начинающаяся въ разстоявіи = 3 mtr отъ А. и кромѣ того — грузъ <? въ
разстояніи 6 mtr огь В. (Черт. 115).
Моментъвъсѣченіия,, отстоящемъ отъ А на разстояніе ^ 2 (по 174)
16а
' 28 - -'''
|.2.6=19^.
la
Моментъ въ s.,. Аа^ = 10
10-
28
6. 10 = 72,6^ ч-2,15&
Графически моменты во всѣхъ сѣчевіяхъ получаются помощію вере-
вочваго многоугольвика. ;Если означимъ вертикальны» ординаты этой
линін, иамѣренныя. отъ замыкающей стороны A,B, (черт. 112) черезъ у.
и полюсное разстояніе—черезъ Н, то по Л: 15
Такь моментъ въ сѣченіи s, которому соотвѣтствуеть ордината s,s., = у,:
Такъ какъ всѣ ордквахы у веревочной линін находятся ниже АЛБѴ то

15ft
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
заключаемъ что вертикальная нагрузка производить во веьхъ сѣченіяѵь
простой балки только положительные моменты.
Нзъ способа построенія веревочнаго многоугольника слѣдуегь
непосредственно:
1) Вершины веревочнаго многоугольника находятся на лияіяхъ силъ.
2) Междѵ линіими снлъ веревочная линія имѣеть всегда прямолиней-
вый видъ.
3) Максимальный момевтъ происходить въ сѣченіи, опоедѣленіюмъ
точкой ириложенія того груза, котопый въ силовомъ многоугольник1»
встречается дучемъ аг, дар^тлельыымъ замыкающен стороне А,В,
Когда нагрузка непрерывная, то веревочный многоугольник*
превращается въ крипую литгію, по отношснію къ которой действительно все
то, что было сказано о веревочном* многоугольникѣ. Построепіе
веревочной кривой для неравнонѣрной и равноыѣрной нагрузки уяснено въ
Л; 16 — 19.
(іОІГ) Передаточная нагрузка. — Когда дѣйствіе нагрузки передается
балкГсвязками 1, 2. 3... (черт. ! 16), то силы дѣйствуютъ только въ этнхъ
Черт. 116.
свявкахъ, изъ чего слѣдуѳтъ, что веревочный зіяогоугольникъ
передаточной нагрузки ииѣетъ вершины всегда только аа проведен-
выхъ черезъ связки вертнкаляхъ.
Если возьмемъ произвольную связку напр. 2, то действующая въ вей
сила Р2 равна суммѣ давленій, ороизвѳденншъ въ неб нагрузками смеж-
ныхъ панелей 12 и 23. Эти давленія получаются во правилу епорвыхъ
реакддй простыть балоеъ вяѣющихъ'длины 12 и 23: они равны, но яря-
мопротивоположвы реакціямъ (точно такъ же какъ в давленія на опора).
Построят, для действующей на балку нагрузки &„ Ѳѵ Gi... во-

(КНІЕНТЫ П ПОПЕРЕЧНЫ!! СПЛЫ ИГОГТОЙ ЕАЛКИ. 15!f
ревочный мпогоугольникъ U 111III . .., спроектируем, на пего связки
0. I, 2 . . . (пзъ которыхъ первая внешняя, т. е, находящаяся ьнѣ балки)
ы иилѵчеішыя точки 0„ 1,, 2,, . .. соединимъ прямыми зиніяіш. Если
Вільчаѵъ балочку 23, нагрузка которой состоять изъ грузовъ (гк и (і%.
представлен ныхъ въ силовомъ мггогоугольникѣ отрѣзками 3 1, и іо, то ви-
динъ, что соотвѣтствующій ей веревочпыіі мпогоугольникъ дапъ ломанной
лишен 2і1УѴ'д1, и что прямая 2,3, есть его замыкающая сторона. Если
поэтому проведемъ черезъ нолюсъ О Ог, || 2,3, то точка г, раздѣлитъ
нагрузку 35 такъ что дг3 — даплопію палочки 23, на связку 2. Такцмъ же
же образомъ полушмъ, разсматривая балочку ['£ йен нагрузку ^я,
представленную на силовомъ многоугольники отрІ.зкомъ 23, что 1,7/12, есть
соотвѣтстпующій ей веревочный мпогоугольникъ, п І,2,—его
замыкающая лішіл. что поэтому прямая Ог,. параллельная 1,2,. дѣліггь нагрузку
23 этой балочки такъ, чтог,3 = производимому ею давленію на связку 2.
Дѣйствующая въ этой связкѣ сила Р, равна, поэтому, отрѣзку z^^, от-
сѣченному на силовомъ мпогоугольникѣ лучами Ог, н Ог.,. параллельными
выходящимъ изъ 2, хордамъ 2,1, и 2,3, веревочнаго мпогоѵголышка
VI II III...
Изъ предыдущего слѣдустъ непосредственно, что веревочный
многоугольник), передаточной нагрузки и дѣиствующія въ связкахъ силы
получаются слѣдующимъ образомъ: строшгъ для данноіі нагрузки веревоч-
ный многоугольникъ обыкповепнымъ образомъ, проектируемъ па него
связки, к иолучепиыя точки 0„ 1,, 2,... соедицлемъ прямыми лнпіямн.
Эти липіп представляютъ стороны веревочваго многоугольника 00,1,2,3,..,
передаточной нагрузки; чтобы получить его замыкающую сторону А,ВХ
проектирует, па него опоряыя точки А н В. Если черезъ нолюсъ О про-
ведемъ лучи, параллельныя его сторонамъ о,1,, 1,2,, 2,3,... н —
замывающей сторонѣ А,В„ то получимъ на силовой дипіи отрѣзки,
представляющее дѣйсівующія въ связкахъ и опорныхъ точкахъ силы. На чер-
тежѣ 116а проведено:
Оя\\Л,В, О^І|0,1, О*, Ц 1,2, 0^(12,3, О*, Ц 3,4,
я подучено:
реакція А = отрѣзку гдз, охсѣченному лучами, параллельными сторонамъ.
0,А, в AtBs, пересекающимися въ At; по такой же причииѣ:
реакція опоры В —её; сила Р0, дѣйствующая въ связкѣ о = отрѣаку 020.
сила Р, = Т^ Р, =*,*„...
Веревочные многоугольвикъ передаточной нагрузки будемъ для
краткости называть приведеннымъ веревочпыкъ двоголтольникомъ.
Такъ какъ_ дучъ Ог, параллельный замыкающей сторонѣ AtB„ встрѣ-
чаетъ силу ttgt = Р„ то въ соответствующей этой силѣ связиѣ 2
происходить максимальный моментъ, который равняется И. 2,2,.

160
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Когда бруеъ не имѣетъ впѣшнихъ свлзокъ, то какъ изъ черт. 117
видно, замыкающая линія приведеннаго неревочнаго многоугольника
совпадаете съ той же линіей для
прямой нагрузки *); устройство
связокт, измѣняетъ въ этомъ
случай моменты только между
связками, а на евязкахъ ore имѣ-
ютъ такія же величины, какъ
и при прямомъ дѣйствіи.
Очевидно, что и опорпыя реакціи
ef™- и'' при отсутствии ваѣшпнгь свя-
зокъ для прямой и передаточной нагрузки одинаковы.
ІОбу—Поперечныя (срѣзывающія) снлы Т. — Когда приложенный къ
балкѣ внѣшнія силы и ея опорныя реакціи вертикальны, то поперечная
сила какого, нибудь ст1ченія_равняе"тся алгё"брй"чёсйй"с^'мТ'всіхъ"силъ,
находящихся по одну сторону этого сѣчеЕІя. Для краткости будёмъ на-
" ~зывать поперечныя силы уси-
ліями, и бтдемъ считать уси-
ліе положительными, когда
оно направлено слѣва сѣче-
нія вверхъ и справа его—
внизъ (какъ напр. усиліе Т3
на черт. 118).
г,
*
а) Соередоточѳнньіѳ грузы.
Черт. us. Изъ дёфиниціи усилія слѣ-
дуетъ непосредствеино, что
усиліе между точками приложения двухъ гюслѣдовательяыхь
грузовъ—величина постоянная. Такъ между А а I (черт. 118) Г, = А
между 1 и 2 : Т, = А -
между 2 и 3 : Т3 = А -
или также
Т, = А Г, = Т, -
-Gi или Г, = <У, н- fif, -t- G, ~ В
-G,— G, илж Ta = G3-t-Gt~B
-G, Ts^?t-G3 T, = TS~G
*) На чертещѣ 11? принято, что на балку дійствуеть непрерывная равномѣрная
нм-рузяа jfX. Дзя посгроевія сооЕвѣтствукицаго ей веревочнаго многоугольника от-
валдыяаемз. на вертикальной прямое виі, = (Я=:н«груакѣ <Д; бере непроизвольный
поэтом. О, и нроводииъ лучи От и On. Нагрузку діяаиъ вертикалью м, пополам»,
я через» произноаыгую точку і послѣдвей проводииъ £cl,|| От Я tB,}j О*. Проек-
тпруемь ка (_it. a fiTj вовечжня точхя и ж Ь- нврруиии я* я, к &£ дѣлвмъ »,# я *,(
на одинаковое число ркюшхъ чаете^ н «яка дЬяеиІв соедошвеѵъ въ «еврерывжвгь
порядЕѣ {кмга. на черт. 2**). Еезк через* О проведать 0з\\Л^Вх,-к> т*=^А яі—£.

поленты и лопврвчвыя силы простои балки.
161
Такъ какт. при вертикальной нагруакѣ простой балка усиліе равно
равнодѣйствѵюгцсй всѣхъ силъ, находящихся на балвѣ по одну сторону
сѣчэнія то слѣдустъ, что усиліе Тг проходитъ черезъ точку пересѣ-
чепія 2 тѣхъ еторонъ г и ѵ, керевочнаго многоугольника,
которые ^стрѣчаеіъ приведенная черезъ сѣченіе вертикаль, и оно
определяется на силовомъ многоугольник! отрѣзкомъ, отсічен-
ныііъ лучами, параллельными этимъ сгоронамъ z и ѵ,.
Діаграмма усилій Т происходящихъ отъ сосредоточенных!, грузовъ,
имѣетъ ступенчатый видь: она получается слѣдующимъ образоиъ (черт. 118):
опредѣляенъ реакпіи А и В, для чего строимъ силовой и веревочный
многоугольники, проводим! гамыкающую сторону а!>, и параллельный ей
лучъ Ог. Черезъ з и черезъ точки 0, 1, 2, 3 . . . силового
многоугольника проводимъ горизонтальный прямыя га,, 00„ IV, 22', 33', . . .; ври-
нимаемъ га, за ось абспдссъ, ивычерчиваемъ отъ прямой (X),—отрѣвокъ
о,а, заключенный между А и (?,. и г. д. Изъ этого построения легко
узнать, что
а,а = A 1.7' = 2~2"; = А - G,. 2v2' = iJ, = A-Q,-G1 ...
Правильность поетроенія можегь быть провѣрена также тѣвъ. что
высота ступеньки въ каждой точкѣ равняется" отрѣзку на силовомъ много-
уголышкѣ, отсѣченному лучами, параллельными тѣмъ сторонамъ верввоч-
наго многоугольника, которыя ветрѣчаетъ проведенная черезъ эту точку
вертикаль. Такъ напр., вертикаль точки s встрѣчаетъ стороны г а ѵ, ве-
ревочнаго многоугольника, и высота $0s, = отрѣзку 1г, отсѣчениому
лучами Ог и 01, параллельными г д «,;
б) Непрерывная равноѵѣрпая нагрузка. Для всякаго сѣчешя
между л іх {черт. 119) т. е. отъ ж=д до г=«
между » и і (ж—а до # = «-+-X)
и между А я В (отъ ж = а -+- X до # = /)
r=_s = _—_—
Отложикь тр—§к (гдѣ ді- — вся нагрузка), возьмемъ произвольный
яолюсъ О, н проведемъ лучи От в Ор. Длину пк = X раздѣлимъ въ *
нополамъ, н черезъ "точку t, взятую ва вертикаля точки s, проведемъ
пряныя іАл я tBt, параллельно лучамъ От н Ор, до пересѣченія съ
Ж, Чиждіимимі.—С(?«іельвы меняю*. 11

J 62
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
опорными вертикалями Л и В въ Л, п В,: если черезъ полюсь Опро-
вѳдѳмъ 02\\А,В„ то шг^^ияр \[ В. Черезъ »и, г и р проведемъ
горизонтали mnfii, zba и pb,ku и соединимъ «, съ А,, получимъ какъ
диаграмму усилій лиеію а,«,&,6, при оси абсцкссъ ab.
Для полной нагрузки (черт. 1201 о = 6 = 0, поэтому дли всякаго сѣ-
ченія , -, -, ,
„ . gl (/U — -2X)
А/
Изъ этого уравненія слѣдуѳгъ, что лпнія усилій полной равномѣрной
лу;іііііііііііііі!іиіііііііііщ^
а,
Черт. 120.
нагрузки иміетъ видъ прямой, отсѣкающей на опорпыхъ вертикаляхъ
отрѣзки яд, = М, = \. Для средпяго. сѣченія (х = -^) подучаемъ Т=о.
чДО^І Правтжчесвое правлю.—Опредѣлимъ усиліе въ сѣчевіи с
при положеніи груза справа и елѣва этого сѣчееія.
Когда грузъ находится справа с (черт. І15я) напр., въ точкѣ t. то
усиліе въ с
Gi
I
а при положеніи его слѣва с въ точкѣ tt
T=A~G = G-f>-~ 9 =
и такъ какъ l—ff, =я, то
I
Т= —
Ga
Изъ этого слѣдуетъ:
1) Усиліе равняется разделенному на I грузу, умноженному
на его боковое разстоявіе, понимая подь выраженіемъ «боковое раз-
етояніе* то равстояніе груза огь опоры, внутри которого ве находится
раасмаіряваемое сѣченіе (такъ напр., прв воложевіи груза въ і% ань не
кожеть быть разстаяше txB),

ЫОЛЕНТЫ И ПОПКРЕЧНЫЯ СИЛЫ ПРОСТОЙ БЛЛЕН. 163
2) Грѵаъ находящейся справа сѣчевія, производить въ пемъ
положительное, апаходящійся сдѣваего—_от^ицаіельио^еусвл_іе._
Когда на балку дѣйсгвуетъ непрерывная нагрузка, то дѣлимъ ее че-
резъ разсматриваемое сѣченіе на 2 части, замѣняемъ нагрузку каждой
части равнодействующей, и примѣняемъ кь каждой изъ этихъ равнодѣй-
ствующихъ предыдущее правило.
Онредѣленіе усшіія по данному нъ этомъ Л» правилу ыожетъ быть
выгоднымъ въ случаѣ, когда требуется найтя усиліе для одного или двухъ
съчеігій, но когда число этихъ сѣчепій больше, то вычислепіе исполняется
скорѣе по форкуламъ предыдущая V.
Прияѣръ. Теоретическая длина балки 1 = 30 tntr: на нее дѣйствуетъ
вагрузка, состоящая изъ двухъ пепрерывныхъ нагрузокъ б# и 10tf и
нзъ сосредоточенная» груза G
<-рт. 121). _ппрппГ. . .:,.Т;|:^
Усиліе въ s,:
Равномѣрішя нагрузки за- ^Я^^^^Ш??!^
мѣпяемъ ихъ равнодѣйствующи-
,г. Чет. 121.
ми Ьд и 10;7, проходящими че-
резъ середины длипъ тп и pq; по правилу (.1) получаем.: Усиліе въ $,
[ — 6д (3 -н 3) -4 H)g (ij -4- .'))_-+- ft. 8] _ й4_0_н-_$ ft_
Усиліе въ s,: нагрузку ^д разбиваомъ черезъ s, на 2 части, имѣемъ
— 6 9 . 6 —■ 4 j? . 17-4-t3(f.8-b8ft ___ 5(>g -+- 86
4Q$) Передаточная вагрузка.-—а] Сосредоточенные грузы. Когда
дѣйетвующія въ связкахъ силы Р„ Pit Ps . . .определены (черт. 116с),
то данную балку замѣняеыъ балкой АаВв, на которую кромѣ реакцій
А и В дѣйствуютъ въ точкахъ, опрѳдѣтенныхъ связками, силы ЄЄР3...
Поперечныя силы опредѣлятся теперь такшгь же образоиъ, какъ при
прямомъ дѣйствіи: такъ напр., для сѣчееія # будетъ:
Т=А~Р,~Р*
Между двумя.смежными связками усиліе постоянно, потону что вежду
ними не дѣйствуетъ никакая сила.
Діаграмма усилій для иередаточпоя нагрузки построена на черт. 116с
помощью силового многоугольника zeztz,.., (черт. 116а), даннаго
силами А, Рѵ Р„ Ря ■ ..; ось абсциесъ проходить черезъ точку г, а
горизонтальная стороны ступенекъ, ширины'которыхъ осредѣлеиы связками.
нроходнтъ черезъ точка at, z3... И эдѣсь действительно правило что
п*

164
ГЛАРА СЕДЬМАЯ.
усиліе = отрѣзку на сидовомъ мяогоугольникѣ, отсѣченноііу лучами, оа-
раддеді.ными тѣмъ сторонамъ веревочнаго многоугольника, которыя встрѣ-
чаетъ проведенная черезъ данную точку вертикаль. Такъ проходящая
черезъ q вертикаль ветрѣчаетъ стороны ги | приведеннаго веревочнаго
многоугольника, и изъ чертежа видно, что высота ступеньки, опредѣ-
ляющей уснліе между связками 2 и 3, равна отрѣзку sst, отсѣчѳнному
лучами Ог в 0з„ параллельными сторонамъ 2 и -(.
б) Непрерывная равномѣрная нагрузка.
I. Нагрункапокрываѳтъ всю балку.—
Пусть а,і, ('черт. 122) ■—лннія успліи
полной равноиѣрной нагрузки балки АБ для
прямого дѣйствія. Если въ точкахъ 0, 1, 2 ...
этой балки будутъ устроены связки, и озна-
чимъ длины панелей 01, 12, 23... черезъ
1„ Аа, і3..., то дѣйствующія въ связкахъ
силы будутъ имѣть зиаченія:
Черт. 12-2.
si
9
2 П :
К). 9 (К -+- К)
поэтому," означивъ производимыя ими въ панелдхъ 01, 12, 23... усилія,
черезъ Т„ Тг, Г3..., имѣемъ
т _ ?L __ !fK±
-1' ~ 2 2
т — т
9 (*i ■+" Ц) _ ffl . »■;
- T ~ ^ _ "2"
J?*
2
Г. = T, -
.<? (*, ■+■ K)
= *4'-*<*.+м-Ф
Если s„ s,... середина панелей 01, 12..., то соотвѣтствующія
этимъ еередянамъ усилія ори пряномъ дѣйствіи были бы:
Сравянвъ выражешя Tat видимъ, что
чу
нзъ чег» слѣдуегь правило: при передаточноиъ дѣйствіи усидіе въ
изведя равняется усвдію дри дрякомъ дѣйствіи, соетвѣіствую-
шему середянѣ этой навели.

ИНФЛЮЭПТВЫЯ ЛИНІИ.
165
Такъ напр., усиліе въ панели 12 = соотвѣтствующей это* панели
средней ординатѣ sgc линіи усилій a,bt прямого дѣйствія.
2. Непрерывная нагрузка покрываетъ только часть балки
(черт. 123).
Въ ^вязкахъ 0 и 1 пе дѣйствуютъ еикакіе грузы, поэтому въ пане-
ляхъ 01 и І2 Т=А.
Въ связкѣ 2 дѣйствуетъ давленіе Д = '^ произведенное лежащей
на 23 нагрузкой д%, поэтову въ панели 23
— -§■
Построимъ линію усилій anxktb (№ 10(1)
для прямого дійствія, спроектирует, на
нее середины панелей, и черезъ получен-
иыя точки проведемъ горпзовтали «1,2,.
3'4,, 4'5,... (какъ въ предыдущемъ случаѣ
I). Полученныя такимъ образомъ уснлія
будутъ точны для ненагруженныхъ и
сполна нагруженныхъ панелей: для панелей
только отчасти нагруженныхъ, какъ 23, Черт. 123.
усиліе получается точно слѣдующимъ
образомъ: проектируешь связку 3 ва «,А,, черезъ полученную точку с
проводить горизонталь ,cd до иересѣченія съ вертикалью 2 въ d, соединяемъ
d съ точкой t въ которой вертикаль связки 3 пересѣкаетъ продолженіе
горизонтали апѵ и проектируешь на dt середину разстоянія £ въ s, то
черезъ s проходить пряная 2'3, линіи усилій *).
Инфлюѳнтныя линіи.
ИнФлюентныя лжвіі опорныгь реахщі,— Груаъ = I, дѣйствую-
щій па балку въ разстоянія ; отъ лѣвой опорной точки А, пронзво-
*) Проведемъ іѳреаъ kt горизонталь к,/ до пересѣчеяія съ вв}кгикалыз точки »,
въ /, я> в, / = j . г _
(с п./ te д е -=
Если м-точка, нь которой вертикаль точна & вотрѣчаегь »,*, то
;.-j = -jj-r в такъ какъ 2,а — te = j. 5 —г = -j-
2/.
35"
24 = 2,2„ - 2,2' = Ліа - я» = Л — Щ- ■

16в
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
днтъ въ А реакцію
/ - Е
/
.40)
Изъ этого уравненія получаемъ;
для £ = 0 1} = 1
И ДЛЯ £ = £ 7] = О.
Инфлюентная линія реакціи 4 есть, слѣдовательно. прямая
динія, которой ордината на направленіи отой реакціи, т. е.
аа, = 1 (черт. 124), а на лнеіи
правой реакціи—равна нулю.
Такимъ же образоыъ получаемъ,
такъ какъ реагсція правой опоры —
= У , что ипфлюентная липія
реакціи правой опоры есть оря-
Чері. 124.
мая вЬѵ отсѣкающая яа верти-
1, и встрѣчающая ось абсциссъ
калѣ этой опоры отрѣэокъ М,
на вертвкалѣ лѣвой опоры.
Ппимѣоъ.—Ни балку АВ (терт. 124). которой длина /=10 мтр.т
дѣйсгвуютъ сосредоточенные грузы
Gx= G3 = l2t <?, = Ш 0„ = \И
и нагрузка д = 0, 1 %t, раснредѣлеяяая равноиѣрно по всей длинѣ.
Определить помощью ивфлюентныхъ линій реакціи опоръ А и В.
Строымъ внфлюентныя линія реакціи А і& В: для чего откдадываемъ
на принятой за ось абсциссъ горизонталѣ; аЬ — I = 10 мтр., въ а и Ь
возставляемъ къ иЬ перпендикуляры, дѣлаемъ яй, = lib, = 1, и соеди-
няеиъ пі съ Ъ н Ьл съ a; atb есть инфлюентная линія реакціи А и «й,—
реакціи В.
Означшп. ординаты, соотвѣтствуюпгія грузаыъ G„ G„ G3 и Gt для
а для линія bta — череэт.
ланІи я,і — чѳрезъ rtl, tj.,, ij3 и tj4
С3 и І„ и примемъ во внвманіе, что площадь aafi = abfi = ^ , полу-.
чимъ по
91:
G»4i ■+- ^Л.
в = о,с -*- б?,с, + е,с -+■ #,:4 -ь*4
2
2 '
Посредством^, измѣренія масштабомъ, котораго единица — ее, = М,
получает.
- ъ==С81 ^ = 0,68 . rj3 = 0,55 ^ = 0,15
С, —0,19 . Са=0,32 С, —0,45 ■ С4=0,85г

инфлніентныи л н н і и.
167
ПОЭТОМУ
10
А = 12.0,81 -і- 13.0,68-ь 12 .0.55 -t- 9.0,15 -+- 0,12 . -^ = 27,1 И
В= 12.0,19-+- 13.0.32-1- 12.0,45-+- 9.0,85-1- 0,12 . ^- = 20,091.
Прямѣчаніе. Когда одна изъ реаЕЦій, напр. А, опредѣлена, то
вторая В можетъ быть вычислена по уравненію
Для предыдущаго прннѣра
1&= 12 ч- 13-4- 12 -4-9 ч-0,]2.10 = -17,2
и такъ какъ .■! = 27,11, то
£ = 47,2- 27,11 = 20,09.
ІІрпмѣръ. (Черт. 125). На балку АІІ, которой длина Z = 15 мтр.,
дѣйствуютъ сосредоточенные грузы G, = G3 =12 <?3 = 13 Gf = 9, и
непрерывная нагрузка <7—0,15, рас-
прѳдѣленная равноагЬрао на длинѣ
Л& = 10 мтр.
Строимъ прямоугольпикъ abbya„
котораго основаніе «4 = /= 15 м.,
а высота а«, = ЬЬ, — 1, н
проводить въ пемъ діагоналв asb и й,я,
который представляютъ инфлюент-
ныя лиши реакцій А я В.
Если означишь ординаты прямой
«,6, соотвѣтствующія точкамъ приложеиія грузовъ (?,, (г,... черезъ tj„
Tj3.., и площадь.аа,^,с черезъ /, гдгЬ
ас
Черт. 125.
ТО
Единица масштаба ординатъ (которая вообще не равна единицѣ
масштаба абсциссъ) = ее,; нзаѣривъ этимъ масштабомъ ординаты ^,
получаешь
10
АЬ= 12.0,87 -+-13.0,78 -+-12.0,7 -+- 9.0,41-+- 0,15 (1 -+-0,33) ^ = 33,94.
Такъ какъ Ж= 12 -+~ 13 -+- 12-*- 0,15.10 = 48,25,
то B—W— А = 48,25 — 33,94=14,31.

168
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
..„»—U*-:—/-*-- ---*№
^Й5р Ия«люентная лншя моиентовъ. — Когда грузъ = I находится
слѣва сѣченія 5, отстоящего отъ лѣвой опораой точки А на разстоя-
ніи = а, то произведенный илъ въ s моментъ, т. е. ордината инфлюентной
линіи для точки f (черт. 126)
і] = .»(*-а), (176)
гдѣ В — рѳакція правой опоры.
При перемѣщеиіи груза отъ А до s измѣеяется въ этомъ уравненіи
только величина В, изъ чего заключаемъ, что инфлюентпая линія мо-
мептовъ между А и в есть прямая ab, (черт. J 26), которой ордипаты
тюпооиіональны инфлюентной линія реахціи В. Значеніе инфлюентной
линіи имѣетъ только отрѣзокъ «о этой
прямой, котораго конечпыыъ точкамъ со-
отвѣтствуютъ абсциссы, х = 0 и х = а.
Когда грузъ -находится справа
сѣченія s, то моментъ въ s
ѵ\ = А.а, . . . (177)
т. е. инфлюенгяая линія иоментовъ между
s и В есть прямая а.і, ординаты
которой пропорціональныУ"иііфлюентвой ли-
ніп реакщи А лѣвой опоры; значеніе
инфлюентной лиши вмѣегъ ath только^
въ првдѣлахъ отъ х = а до х=1.
Такимъ образомъ получаемъ, что инфлюентпая линіи моиентовъ
состоять изъ двухъ прямыгъ, проходящахъ черезъ точки я и Ь, соотвѣт-'
етвующія опорньшъ точкамъ А в В: точка пересѣченія этихъ прлмыхъ
онредѣляется условіемъ равенства выражений (176) и (177), т. е. для
нея должно
А . а = В {I — а)
(178)
Если абсциссу точки пересѣченія і означимъ черезъ £;, то такъ кахъ
въ случаѣ, когда грузъ = 1 проходить черезъ з
Л =
г
і
*в = 7
по (178) будеть:
^«=7'('-«)
откуда
а(1~
(179)
т. е. точка явресѣченія а пражыгь об, ж а,Ь, внредѣзяюшихъ адфлюент-,

инФ.чюЕнтныя лип. 169
кую линію моментовъ для сѣченія s, находится вертикально подъ этнмъ
сѣчепіемъ.
Если въ (17С) подставимъ
е
то получимъ
Изъ послѣдняго уравпенія инѣемъ:
ДЛЯ 5 = О 1) = 0
и для z = I т\ — 1 — а
изъ чего слѣдуеть, что именно
Wt=l$ = {l — a)
т. е. высота треугольника І6,з —его основанію ЬЬѴ а потому
всякіи вертикальный отрѣзокъ ми, между прямыми </й, н «,6 = его раз-
стоянію з«0 отъ верііганы з. Іінфлюентвыя липіи моментовъ опре-
дѣляютея, поэтому, двумя перееѣкающимися пряными,
проведенными такимъ образомъ, чтоі"
в^якія_6тсѣчепнііГ"ІЁііи~вертикальный отрѣзокъ равняется разстояпію этого отрѣзка отъ йхъ
точки пересѣченія.
На осноааніи этого правала можно проазвольныя двѣ яересѣкающіяся
прямыя LL и РР (черт. 126й) разснатриватъ какъ инфлюентную линію
моментовъ, по для измѣренія ордиеать нужно построить масштабъ, кото-"
раго единица = отрѣзку, М вертикали, проведенной^ въ раз-
стояніи = 1 £іъ точки__пересѣчѳнія з пряныхъ ££ п РА
Чтобы получить инфлюетную линію для сѣчеиіл s балки АВ нужно
на этияъ прякыхъ LL и РР опрсдѣлить точки а и Ь такъ, чтобы ихъ
гориаонтальныя разстоянія огь а были (соотвѣтственно) равны As в $В.
и соединить а съ Ь, Для этого положимъ ось АВ балки точкой s на
точку з й спроектируешь ея точку А на LL, и точку В па РР (или
на оборота).
Есля желательно чтобы ось абсциссъ была горизонтальна, го
проводить черезъ точку а горизонталь аік проектируешь на нее точку Ь въ Ьѵ
и соедвйяемъ Ьх съ точкой «„ въ которой продолженіе прямой Ь<з встрѣ-
чаетъ вертикаль- точки а, прямой btav пересѣкающей вертикаль точки з
въ а-,; затѣыъ соединяешь з, съ я и получаенъ инфлюентную линію аз,і, *>.
*) Это построение основано на. саѣдующеиъ своиствѣ: Если двѣ приміи %'і ааЬ
(черт. 137) движутся таакмъ обрааокъ, чти вращанкгся оеозо аоегояниыт. гочекъ о
н Oj, а изпь точка вдрнсѣчвпія Ь евопьзитъ по прямой ji, параллельной во., то ояѣ
отс&вмога и* жяікай поякон иарвлдѳаьЕОВ аа1 одинаковые отрѣзка. Таггь если

170
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Построеніо въ этомъ случаѣ можеіъ быть исполпено также елѣдую-
щинъ образомъ (черт. 128). Если A,Bt =1 и Ats^a, гдѣ а — раз-
стояніе точки, для которой инфлюентная линія должна быть построена,
отъ лѣвой опорной точки А. то откладываенъ оть $
s\ = 1 (единицѣ длины J
(безразлично въ какую сторону, напр. вправо), и на . возстановленномъ
въ I перпендикулярѣ
1е = едиаицѣ груза.
Соединяешь е съ s, нродолжаѳмъ е$ до пересѣченія съ опорной
вертикалью (которой-нибудь, нанр. съ £,*,) въ 6,. проводит, Ь,А, и точку а,
а,
«„-".'
itek
-h
-В,
Черт. 128.
въ которой btA, встрѣчаетъ возставленный въ s перпендикуляръ,
соединяет съ В,. A,aBt есть инфлюентная линія точки з; изъ построенія
слѣдуетъ непосредственно иѵ = \е= 1.
Такъ какъ пнфлюентпая линія мокептовъ для всякаго сѣченія
представляет!, треугольника, котораго осиованіе «6 (или его- горизонтальная
проекдія) = длинѣ 7 балки, а вершина а находится на вертикалѣ соот-
вѣтственной точки з, то для построенія ея нужно определять только
вертикальную высоту за этого треугольника. При рѣшеніи практи-
чеекпгь задачъ, когда бываеть
нужно строить инфлюентныя ли-
■ ніи для большаго числа сѣче-
віа, оказывается удобнымъ слѣ-
дующее построеніе: Если
высоту as инфлюентной линія озна
чимъ черезъ А, то по (179)
k = ~Г"*
Это уравненіе показываеть, что при неремѣнвомъ a, h предетавдяеть
ординат» параболы, для нолучеяія которыхъ отиадываемъ (черт. 129)
Лхс = -^ я сс,=-г (потому что для о = -£ h = — 1. Величину «,

ННФ.1ЮЕНТНЫЯ J П И I И.
171
нужно взять по масштабу грузовъ; такъ напр. если 1= 16 mtr а
примет, для ордивзтъ 2,5 cm = ] тонн., то
— 16
ее, — ■ - ■ 2м — 10 ст.
На Asc а ее, строимъ прямоугольникъ А,сс,я, дѣликъ А,а въ томъ же
отношешн, въ какомъ раздѣлена длипа Asc тѣми точками 1, 2, 3... *)
для которыхъ требуется построить инфлюентиыя линіи, для чего соеди-
няемъ а съ с, и черезъ 1, 2, 3... проводимъ параллели ас до пересѣче-
пія съ Ала въ точкахъ 1 и 2,, 3,... которыя соединяемъ съ с,: получаеиъ
въ пересѣчеиіи 11с,. 2,с,, 3,с,... съ перпендикулярами 1з,, 2зд. За,...
лежащія на иараболѣ точки з,, о2, з3... Инфлюентная линія какой ші-
будь точки напр. точки 3 получится, если соединит за съ А, и Bt.
^llj^ При передаточной нагрузкѣ нужно на построенную по
предыдущему шіфлюентную линію спроектировать связки, и соединить
полученный точка прямыми лиеіямп.
Чтобы, поэтому получить ин-
флюентную линію сѣченіяз балки
АВ (черт. 130), которой дѣй-
ствіе нагрузки ыожеть
передаваться только связками А, 1,
2, 3..., строимъ сначала для s
инфлюентнуні линію ^,аВ, безъ
внпманія на связки, затѣмъ (но Д« 95) проектируемъ на нее связки, а
полученныя точки А„ I,. 2,, 3,... соедипяемъ по очереди прямыми ли-
ніями; инфлюентная линія будетъ пмѣть видъ многоугольника J ,2,3j4,3,.
Примѣръ. По балкѣ АВ (черт. 130), которой разечетная длина (раз-
стояніе между опорными точками) = 12 mtr., движется система грузовъ,
представленная па черт. ІЗІя.; определить максимальный моментъ въ сѣ-
ченіи s, отстоящемъ отъ А на 6 метр.
Строимъ для я инфлюентную линію А^В^. устанавливаеиъ нагрузку
тавиыъ образомъ, чтобы грузъ 8 проходилъ черезъ вершину з, потому что
при этомъ положеніи тяжелымъ грузамъ соотвѣтствуютъ большія ординаты
иафлюентной лиши. Но чтобы узпать будетъ ли это положеніе нанболѣе
невыгодныиъ, представляемъ себѣ грузъ 8 сначала близко слѣва
вершины і, и строимъ (по Л* 100) величину -ІІѴ, затѣмъ опредѣляет, туже
величину при предположены, что тотъ же грузъ 8 находится безконечно
близко справа а. Такъ какъ для обоихъ этахъ положеніи получился
отрицательный' отрѣзокъ, то передвигаенъ систему грузовъ влѣво до тѣхъ
*) Если дайна ЛуС атиаш точваып раздѣ.тена на m ривнызть частей, то дідиігь и
Ata на т равішіь частей.

172
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
поръ, пока слѣдующій тяжелый грузъ 9 не ляжетъ на ординатѣ
вершины з. ІТовторивъ для этого послѣдняго тоже дѣпствіе, что для груза 8.
нолучаемъ при положении груза 9 стѣва а—положительный, а при по-
ложеніи его справа <j—отрицательный отрѣзокъ. максимальный моментъ
въ s произойдет^ поэтоиу тогда, когда нагрузка имѣетъ такое положение,
что черезь вершиву э проходить грузъ 9. Для этого послѣдняго
положены получаемъ помощію чертежа (по .№ 90)
max ІИ= 15 (0.15 н- 2,4 + 2,9+ 2.15 -ь 1,4) = 135 тонп. ятр.
Нримѣръ. Опредѣдить максимальный моментъ въ томъ же сѣченіи $
балки ЛВ, если въ точкахъ I, 2, 3 и 4 устроены поперечины, на ко-
торыхъ лежать продольный балочки; крайнія балочки 01 и 45
расположены однимъ копцомъ на край-
нихъ попер ечныхъ балочкахъ.
а другимъ на опорахъ 0 и 5,
паходящпхея внѣ балки ЛВ.
На балку дѣйствують:
1) ея собственный вѣсъ. пред-
ставляюшій непрерывную
нагрузку распределенную равно-
мѣрно по всей длинѣ,
величиной #=0,18 тонаъ ва 1
погонный мѳтръ.
2) Постоянная нагру&ка по
2.25 тон. въевязкахъ I и 4, и по
1,5 тон.—въ связкахъ 2 в 3.
3) Подвижная система грузовъ, представленная на черт. (131«).
Моыентъ т отъ вѣеа балки (по Л? 92) -jX площадь А,аВ,.
Такъ как*
j4,B, = 12 mtr ее, — 2,9 тон., то
12 2 29
»і, = 0,18,—^-^-3,132,тон. ытр.
Для получешя инфлгоентной линіи, соотвѣтствующей передаточной
нагрузки, проектнруеиъ связки о и 5 да АІВ^ а связки 1, 2, 3, і — на
лігано AtaBt, и полученныя точки соѳдиняемъ прямыми дивіяии.
Помощью ияфлюентной линіи 0, / II IIIIУ 5, получаемъ:
моиевгъ отъ дѣйствующихъ въ связкахъ грузовъ
віг = 2,25. 1,7^-+-1,5(2,5-ь 2,33) + 2,25. 1,2= 13,89 тон. игр-
Система грузовъ черт. 131а движется по верхнимъ балочкам*, но-
этому передается бадкѣ ЛВ тоже только въ связкахъ, ея дѣйетвіб по-
Черт. Ш.

іінфлюкнтныя J и в і і,
173
лучается, слѣдователыю, помощію ішфлюентной линіп 0, 1IIІПІѴЬ^
Такимъ же образомъ какъ въ предыдущею, прпмѣрѣ получено, что
максимальный моментъ произойдегь въ s пря томъ положеніи нагрузки, при
которомъ грузъ 9 проходить черезъ вершину II. Дш этого положѳвія
инірлюентяая линія даетъ:
«, = 15 (0,13 -ь 1.У9 -+- 2,5 -+- 2Л ч- 2,4) = 135 топ. мгр.
Максимальный моментъ = т1 ■+■ т., -+■ j»„ т. е.
тахМ = 3,132 -і 13,89 -н 135,0 -н 152 тон. мто.
Минимальный ыоментъ
■тгпМ — т, -ьт, — 17 тон. мтр.
11J& Задача. — Опредѣлить едипичный грузъ ц такой равно-
мѣрной нагрузки, которая для даннаго сѣченія s даетъ той же
величины максимальный моментъ, что и система сосредоточен-
ныхъ грузовъ.
Если означимъ черезъ
С?,, G, . . . —грузы, находящіеся елѣва сѣченія s,
с,, с, ... . — пхъ разстоянія отъ лѣвой опорной точки А,
G', <?s' . . —грузы, дѣйствующіе справа s.
Jn Pi ■ • • • —ихъ разстоянія отъ правой опорной точка В,
и — раастояніе сѣченія s отъ А,
то всякій лѣвый грузъ производить въ s моментъ
а.с(1 — а)
I
а всякій, правый грузъ, моментъ
I
поэтому моментъ въ s отъ веѣхъ на балкѣ лежащихъ грузовъ будеть
м ^ад-Л^ J?* = і_-і_«2&с + $?<?,
' О а 0 я
Полная нагрузка ^даетъ въ s моментъ
qa{l—a)
V 2 -Ч /
Еедя_Ж,—максимальный моментъ то по условш должно

17*
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
откуда, поставит I — « = Ь
о "о о «
Здѣсь І/гс озпачаетъ сумму момептовъ лѣвыхъ силъ по отношенііо
къ лѣвой опорной точкѣ А, н ZG'p—сумму моментовъ правыхъ силъ
взятыхъ по отношение къ правой опорной точкѣ В.
Когда наиболѣе невыгодное положеніе нагрузки определено, и озяа-
чимъ при этомъ подоженів соотвѣтствующія грузаиъ ординаты ввфлюент-
ной лииіи черезъ у. то максимальный моментъ
Если площадь эгоіі линіп назовемъ черезъ F, то величина $ можетъ
быть получена также изъ уравнспія
q.F = W,J
q = ^ (Ч»в)
Равномерная нагрузка q. производящая такое жъ максимальное дѣй-
ствіе какъ н система сосрсдоточеппыхъ грузовъ G, называется равно-
значущей или эквивалентной нагрузкой. Изъ уравнееія lWвидно,
что для моментовъ равпозпачущая нагрузка зависитъ не только
отъ разстоянія а. но также отъ длины балки, т. е. отъ пролета I,
которому она обратно пропорціональна: чѣмъ больше пролегъ, тіімъ_
меньше для одной п той же системы грузовъ будетъ равнозна-
чущая нагрузка.
Но Лі 100 иаксималышй моментъ въ данномъ сѣченіи s можетъ
произойти только тогда, когда одинъ иаъ грузовъ находится на самомъ
сѣченіи. Озвачамъ черезъ я—разстоянія лѣвыхъ грузовъ, и черезъ £—раз-
стоявія нравыхъ. отъ лежащаго на s rpysa, то
с = « — і и р = Ь — |J
Подставивъ эти звачепія въ (180) будемъ имѣть
2 '
т.
2-
_ о
а
а
Ь
£ G означать сумму всѣхъ на балкѣ лежашяхъ грузовъ.

ННФЛЮВВТНЫЯ Л И Н I H.
175
Для пракіическаго употребленія последняя формула немного удобиѣе
формулы (ISO), такъ какъ величины я к }. зависящія только отъ раз-
стояній грузовъ между собою, могутъ быть вычислены независимо отъ
разстоянія д.
При расчетѣ помощію инфлюентныхъ линій опредѣленіе максималь-
пыхъ шэмептовь для разныхъ сѣченій не представляетъ нпкакихъ затруд-
пепій, но при употребленіи апалитическихъ формулъ равнозначущая
нагрузка значительно упрощаетъ вычисленія. Слѣдуетъ однако замЬтить,
что замѣпа сосредоточеикыхъ грузовъ приблизительной равкозначущей
равномерной можетъ быть допускаема безъ особой неточности лишь при
больших-!, ііролетахъ, когда мертвый грузъ. представляющій болѣе или
мевѣе точно равномерную нагрузку, нмѣетъ на напрнженія
преобладающее вліяпіе, балки же ігалыхъ пролетовъ. и особенно въ случаѣ. когда
подвижная нагрузка сравнительно съ постоянной значительна, должны
быть расчитываемы па дѣйствительно по ниігъ движущееся
сосредоточенные грузы.
Лі^. Инфлюентныя лініж полериныхъ склъ или усилій. — Когда
грузъ = 1 находится слѣва сѣченія s, (черт. 132) то на лѣвую часть As
балки дѣйствуютъ силы А и 1,
поэтому усвліе въ s, т. е. ордината f'^i.^.Jp...
инфлюентной ливін, соотвѣтствую- " "** '"
щая точкѣ нриложенія груза 1:
1
.у v«-"-t;-:j;--g
Tj ~-
п такъ какъ
А -
то
г.
= А —
і-В =
= - В
Это ураваепіе дѣйствнтельно только въ предѣлахъ отъ ; = о до
Е = о,' т. е. инфлюентная. липія усилій Т для лѣвой части An балки
есть отрицательно взятая инфлюентная линія реакціи В.
Когда грузъ находится справа s, то с.тЬва s дѣйствуетъ "только одна
сила А, поэтому ѵсиліе
т. е. инфлюентная линія реакціи А есть вмѣстѣ инфлюентной линіей
усилій для правой части зВ балки.
Чтобы, войтому, построить лйнію вліянія усилій Т. проводимъ черезъ
ошрныя точки а и Ъ (черт. І32) параллелъныя яежду собою иряыыя
аЬх и в,Д такъ. чтобы онѣ отсѣкали на опорныхъ вертикаляхъ ординаты _
■ао, = ЬЬ, = I. Еслв требуется инфлюентная лішія для сѣченія s. то про-

176 ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
а в tf -е as вя и» 6 да я д га
водимъ черезъ s вертикаль, встрѣчающую эти прямыя въточкахъ s, и s3:
многоугольнпкъ es,sti будетъ искомая линія при оси абсциссъ ab.
Если бы требовалась линія вліяпія для другого сѣченія t, то было
бы нужно только провести черезъ t вертикаль до пересѣченія съ тѣми
же прямыми abt и (ф въ #, и /2.
При передаточномъ дѣйствіп пагрузки строимъ спачала для даннаго
сѣчепія ипфлюентиую линію безъ вниианія на связки затѣмъ проекти-
руемъ на нее связки, н полученныя точки соединнемъ пряными ливіяви.
Если напр.,балка ВА имѣегь связки 1. 2, -3... (черт. 133), то для
построения инфлюентной линіи усилій сѣчееія s, строимъ по предыдущему
линію «s,s,6, проектируемъ на нее связки 1, 2. 3... и точки 1,, 2,, 3,...
соединяемъ прямыми ланіями.
Связка 6, находящаяся
внѣ балки, проектируется sa
ab: инфлюевтная линія
усилій сѣченія s имѣетъ видъ
«2,3,5,6, (черт. 133а). в
легко узнать, что эта линія
действительна для всѣхъ сѣ-
ченій, находящихся между
узлами 2 и 3. Такимъ же
ш образомъ ііолучийъ, что ян-
флюевтяая линія усилій вся-
каго сѣченія, находящегося между связками 3 и 4, будетъ иногоуголь-
никъ йЗ'4,5,6,.
Въ слѣдующемъ будемъ обозначать равномѣрпую нагрузку,
отнесенную къ единиц* длины; постоянную — черезъ д, а переаѣеную
(подвижную)—черезъ р.
Примѣръ. На балку АВ (черт. 133), которой длина £ = 18я», дѣй-
ствуетъ постоянна^ нагрузка д — 1,2/ и перемѣнная р = 4,8; кромѣ
того до ней неремѣщается система грузовъ (желѣзнодорожныіі поѣздъ)
изображевнаго на черт. 133b состава.
Дѣйствіе нагрузки передается балкѣ въ связкахъ А, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
приченъ связка 6 находится внѣ балки АВ. Опредѣлить хакошальныя
усилія для сѣченій между связками 2 и 3.
Ивфлюентиая линія усилій для этихъ еѣченій имѣетъ видъ «2,3,5,6,
(черт. 133а).
1) Усиліе Т0 о'тъ постоянной нагрузки. Если означввгь нло-
щадь в2,0 черезъ Д,, и площадь 03,5,6,—черезъ Д„ то
Размѣры фигур* Д, s Д, намѣршы в» черт. 133а яо масштабу, а

ИНФ.1ЮЕНТВЫЯ J Я В I И.
177
получело:
Л, = 1,188 Д, = 2,714, поэтому
Та = 1,2 (— 1,188 -ь 2,711) = -н 1,83*.
2) Предѣдьныя усияія отъ равномѣрной нагрузки у.
*йж(-і-Т) = 4,8.-2,714 = 13,0271
ms(—T) = 4,8.1,188= -5,701.
3) Предѣльныя усилія отъ системы сосредоточепныхъ
грузовъ. Максимальное положительное успліе провзойдетъ тогда, когда
поѣздъ, двигаясь справа влѣво, станетъ первьвгь грузомъ на связкѣ 3
(такъ что его линія дѣйствія будетъ проходить черезъ вершину 3,). Для
этого положения получаемъ легко:
тхТг = 15 (0;50 -+- 0,42 ч- 0,35 -+- 0,28) ч- 12,5 .0,025 = 23,5 L
Для полученія отрицательна™ максимума нужно принять, что поѣздъ
при движеніи слѣва вправо стадъ первымъ грузомъ на связку 2, я тогда
тх (— Г,) = — 15(0,33 -і- 0,27 -+- 0,195 +■ 0,12) = - 13,73*.
4) Абсолютные максимумъ и минияумъ. Абсолютно
максимальное усиліе между связками 2 и 3:
Т^ = Те -+- JF ■+■ „Г, = 1,83 +13,027 -ь 23,56 = 38,421.
Минимальное усиліе (отрицательное максимумъ):
Г»,-« = 1,83 — 5,70 — 13,73 = — 17,621.
Отношеніе
щ=г,;-"Щг=-0Д
(Й4. Задача.— Опредѣлить равномѣрную нагрузку,
производящую въ сѣченіи s простой балки такое же максимальное
усиліе Т, какое производить въ немъ желѣзнодорожный аоѣздъ,
или вообще, систена сосредоточенныхъ грузовъ.
Максимальное положительное усиліе произоадеть въ s тогда, когда
система грузовъ, перемещаясь справо влѣво, остановится нервыиь
грузомъ (?, беакоиечно близко справа s (черт, 132). Такъ какъ при этомъ
положения реакція
А = j S Qi,
то .
max T= j £ Gd.
М- Чирвшиявонв.—Счюмыьнм нет» имя 12

178 г .1 aba седьмая.
Равномѣриая нагрузка q, занимающая часть sB балки (которой
величина, слѣдователыю, равна q. b) производить въ s усиліе
1 — 21'
По условію задачи должно
откуда
9 = Ь**СЫ (132)
Въ этомъ уравпепіи d^-k £ Gd зависитъ только отъ Ь. и не зави-
ситъ отъ I, изъ чего слѣдуеіъ, что равномѣрная нагрузка,
эквивалентная но величинѣ максимальныхъ усилій системѣ сосредото-
ченныхъ грузовъ. не зависитъ отъ пролета I балки, а только
отъ разстоянія сѣчееія отъ опоры; для одной и той же
величины этого разстоянія она одинакова для всѣхъ пролетовъ.
Послѣднее правило зпачителыю упрощаетъ онрсдѣлепіе равкозначу-
гднхъ нагрузокъ для усилій. Для этого достаточно взять балку довольно
значительной длины (около 140 мтр.), расположить на ней данную
систему грузовъ, и для разныхъ зна'іепій величины Ь вычислить соотвѣт-
2
ствуюгція имъ суммы £ Gd. яоторыя посредствомъ умпожепія на й Да"
дуть величины q. Полученный такимъ образомъ равпозначущія па-
грузки q дѣйствительны для всѣхъ пролетовъ.
Максимальное .отрицательное успліе въ s получится при нагруженіи
лѣвой части As, и соотвѣтствуюгцая ему равнозначущая нагрузка
g, = |s^„ (183)
гдѣ dt — разстоянія грузовъ G on лѣвой опорной точки.
Лржжѣръ. — Определить максимальная усилія и максимальные
моменты мостовой балки, раздѣленной связками, въ которыхъ устроены
пошречини, на 4 равныя части. По полотну, поддерживаемому
поперечинами, движется изображенная на черт. 134 система сосредоточенвыхъ
грузовъ. Продеть балки I = 8 мтр.: вѣеь 1-го йог. мтр. ея = 0,2*. Да-
вленіе отъ постоянной нагрузки, передаваемое поперечинами въ каждой
связкѣ (за исключевіемъ крайнихъ .А в £) = 0,8 тонн.
Уснлія отъ собстненнаго вѣса балки. Опорвыя реакціи А=Б=
= а = ~а^ = °'8 '- Вѣсъ °*ной панеля — 0,2 X 2 = 0,41.
Если отложись (черт. І34й) А'А,=В'В1=0,8 и вроведемъ прямую
т

инфлюннтныя л и н і и.
3 79
AtB„ то получимъ усилія 1\
въ точкахъ: А 1 2 3
Г„ = 0,8 0,4 0 —0,4
Усилія отъ постоянной нагрузки поперечинъ
В
-0,8.
Давлевія, про-
se м
М
is
ѣ.
^уи-^-ри-^я-^—-W -4
изводимая поперечинами въ связкахъ А в В, уничтожаются сопротивле-
ніяыи опоръ, они, поэтому, не пмѣютъ никакого вліяпія на усилія балкйГ
Давленія, дѣйствующія въ связкахъ 1, 2 и 3 производятъ реакцій"
елѣдовательно
для панелей: А1 12 23 ЪВ
усиліе Т, = 1,2 . 0,^ —0,4 —1,2 f.
Максимальная усплія отъ подвижной нагрузки. — Для всѣхъ
точекъ между двумя смежными связками инфлюэнтная линія усилій
постоянна. Для панели .41 эта
линія имѣетъ видь треугольника
АІ,В (черт. 134с).
Если положимъ грузъ G,
безконечяо близко слѣва связей
1, го на балкѣ будутъ находиться
грузыG„Gt,G3 и G,. Помощью
построеніят уясненнаго въ Л°
101, узнаемъ, что для наиболѣе
певыгодваго положения нулжо
на связку 1 положить грузъ (?„■
опредѣливъ ноложенія другнхъ
грузовъ и нзмѣривъ соотвѣтству-
тмція имъ ординаты, получимъ
для панели А1:
Г= 5,9 (0,75 -н 0,58 ч- 0,40") -+-
3,5.0,25 ь= 11,27.
Чері. 134.
Если па 1 положимъ грузъ Gv то на балкѣ будутъ находиться всѣ
5 грузовъ; для этой нагрузки находимъ по (Ліг 100), что па 1 долженъ
лежать грузъ G,; помощью инфлюентной лвній для этого случая по-
лучаенъ
Т= 11,211
т. е. немного больше, чѣнъ въ первомъ случаѣ.
Для другихъ Панелей 12, 23 и Зі? наиболѣе невыгодное положеяіе
12*

180
ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
будѳтъ то, при которомъ первый грузъ Qi лежитъ (соотвѣтствевно) на
связкѣ 2, 3, В.
Моменты.—Моменты отъ непрерывной равномѣрной нагрузки и огь
грузовъ, дѣйствующихъ въ связкахъ, получаются по формулѣ:
ffX (I ~ X)
М0 = g
Для д = 0,2 и
х — 2 4 6 мтр.
Ж0 = 1,2 1,6 1,2 т. м.
М1 = 4,8 6,4 4,8 т. м.
(Ж, — моменты огъ силъ связокъ).
Для опредѣлееія максгаалыіыхъ момеетовъ отъ подвижной нагрузки
строимъ для связокъ 1 и 2 пцфлюептныя лиши as,b и азф (черт. 134Й).
%обы получить эти линін съ бблыпей точностью, опредѣляемъ ехъ
высоты (l)s, и (2)sa по формулѣ:
а (I — а)
_ .
(такъ какъ эта высота = иоменту, произведенному въ соотвѣтственной
свявкѣ лежащииъ на ней грузомъ = 1). Для связки 1 (« — 2) высота
(І)з, = 1,5, а для связки 2:(2)s, = 2,0.
Максимальный момент'ъ въ связкѣ I. Такнмъ же образомъ, какъ
прежде узнаемъ, что для наиболѣе невыгоднаго воложенія должееъ на
1 лежать грузъ G, или G,. Въ первомъ случаѣ получаеиъ, взнѣривъ со-
отвѣтственныя ординаты инфлюентной линіи,
Ж, = 5,9 (1,5 -+- 1,18 -ь 0,83) -+- 3,5 . 0,5 = 22,459 тов. мхр.г
а во второыъ
Ж, = 5,9 (0,49-ь 1,15-ь 1,18)-ь 3,5.0,86 -+-4,9.0,16 = 22,497 т. м.
Въ обоихъ случаяхъ моменты почта одинаковы.
Въ связкѣ 2 максимумъ даетъ грузъ G3 или t?a. При положеніи ва
связкѣ 2 груза G3 моментъ въ 2
М, = 29,83,
а пра ноложенія на ней груза G„:
Ж, ==28,33
максимум, получается, поэтому, при первомъ положеніи.
Результаты этвхъ внчнсхевШ, а также полные максимальные уснліа и
моменты, произведенные всей нагрузкой, приведены въ следующей таблипѣ:

ПРОГИБЪ ПРОСТОИ БЫКИ. УПРУГАЯ ІИШЯ.
181
1
At
12
23
ЗВ
У С II Л
(ІТЬ
вѣся
балки
з;.
0,8
ол
0,0
-0,4
Оіъ
поиере-
чниъ
1,2
0,4
-1,2
Т
I E.
т
Потов
ИЛЛОН-
+ Т, -*- Тт
пыож. j отрян.
11,'2 j 13,2
-1-1,6
6,00 <\8У j-1,48:
1,88 1,48
0
-ОД)
-1,6 1-13,2
і
1 В Н Ы
J
1
2
3
МОМЕНТЪ. ;= ts
яѣеа [попере-' =х™ „ ; £ й^
йыкн чниъ _ = ^ ' ^ ■ +_
л^ ! лг,- J I Ей й)
М
1,іі
4,й 22,49 ' 58,49
l!,4 ]^9,8t 37,83
1.2 4,8 \ 22,40 ' ЗА4Э
Тонны-метры.
Прогибъ простой балки. Упругая линія.
116. Величина прогиба въ данной точкѣ т балки, произведеннаго
какой бы то ни было нагрузкой, можетъ быть определена однимъ изъ
слѣдующихъ способовъ:
1) Представляешь себѣ балкѵ нагруженной непрерывной нагрузкой,
выраженной линіей, которой ординаты — %^ ■+- -^-, и находииь момента,
произведенный этой нагрузкой въ гочкѣ т (№ 87_).
2) Опредѣляѳмъ уя по уравн. (121) (замѣнивъ букву *„ на ут), въ
которомъ ставииъ N = а = о, такъ что
ГМмт . fabt
М означаетъ моменты, произведенные въ сѣченіяхъ балки данной
нагрузкой, а р„ — силой — !, приложенной къ точкѣ т по направление*
искомого неремѣщенія; для прогиба это направление вертикально.
1) Сѣченіе балки постоянно, и взмѣненіа М температурило.
а) На балку дѣйствуетъ одинъ только г£уаъ Gt въ разстоя-
ніи— а отъ яѣвой опорной точки Л.
Такъ какъ EJ въ этомъ елучаѣ величина постоянная, то при упо-
требленіи шрваго способа можно принять за лишю нагрузки лпнш мо-
жентовъ М, произведенныхь грузомъ <?.
Эта линія инѣетъ видъ треугольника AGB (черт. 13а), котораго осно-
вавіе = АВ, а вершина С находится на направлении груза: его высота

182 ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Сй=моиентѵ въ точкѣ іі. т. е.
«? =
Gail — a)
I '■""
Нагрузка АСВ производить въ точкѣ т, находящейся слѣва грузи G
въ раастоянІи — х отъ А, моиентъ, опредѣіяемый выражевіемъ:
М — Ах -+- та.
Величины А а та определяются легко по правилу моментом., и ихъ зпа-
ченія приведены въ таблидѣ, данной въ № 102 (случай 7). Нодставивъ
эти значенія, получшиъ
h , , іі!
а 6
ІІХ
пли, такъ какъ
__ Get (I — а) __ Gab
Для точкп р, находящейся справа точки приложенія d груаа, нужно
въ этоиъ уравнения заменить а на I — а и х— на I — х, такъ что будвтъ:
Gax,
», = .
{P-a'-xS),
(185)
гдѣ Xt — l — х.
Выраженья (184) и (18&) суть уравненія упругой линіи, изъ кото-
рыхъ первое действительно! на цротяженіи АЛ (отъ х = о до х = а), а
второе на протяженін dB (tyre, х = а до х = Г).
Для х = 4 у, = у„ =з з дд-^- - ■ • - (186)
Касательный къ упругой дЬнш определяются уравяешемъ:
*5«,
га
Ас
6 «J/
[ ~ (Г — а1) н- 3 (Г— *fj. (187а)

нрпгиеъ простои балки, упругая ливіа.
183
Для .к = а
Оа(і — а){І — -2а)
(188і
Изъ эшхъ уривненШ слѣдуетъ, что упругая липія состоитъ изъ
двухъ липій, и*'ѣюп(ыхъ па лнніи груза не только общую
ординату, но и общую касательную.
Прогибь у„ до'стигаетъ максимума въ точкѣ, которой абсцисса х,
получается изъ уеловія:
t" = о
ах
и по (187)
л; = У -
/ а (21 - а)
Подставввъ зю значетеѵ въ (184) волучимъ
<1{1 — «кЛізг — в)
(1S9)
ЬЕЛ
'}
а (21 — а) -
а (21 — а)
" "3
%^%^
, -. /а (21 — а)
Для « = и ш (189) ж, — .j, и\ігаслѣднее уравпепіе даегъ
GP
48 ЕJ
(190)
Когда грузъ удаляется отъ середины балка по направлений къ
правой опорѣ, такъ что й>2,то вмъстѣ съ а увеличивается, по (18У),
и а:,, по въ значительно меньшей степени. Такъ когда грузъ достигнетъ
правой опоры (ч = ф, то ж, = ■• —=1Q)577?, т. е. иѣсто ваиболыпаго
¥ з ^
проуиба отстоитъ отъ се]>едины балки на 0,0771 — ^д '■ Максимальный
прогибь происходить, поэтому, при всякомъ положеніп груза на бадкѣ.
въ сѣчѳніи, весьма близЕОкъ къ среднему свненію, н разница между нимъ
и прогибомъ въ серединѣ всегда столь незнЯіительна, что при всякой на-
грузк-Ь нрогибъ въ середипѣ можно считать за максимальный.
Изъ, уравнеяій (184) п (185) иміемъ длд х = ^ когда а>^
(J-(I-а)
Ут~
48
[4в(2І —а) -^] (147;
а если а< 2
'- = Ж <№ - 4а'>
(148)

184 ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
Помощью этнхъ формулъ получаемъ для прогиба въ серединѣ балки
АВ, пропзведеннаго изображенной на черт. 138 нагрузкой при поло-
жепіи груза G3 на средноыъ сѣченіи, выраженіе
'- = I? [^ ^-^ + IS" W-W/+ #' -
- Нг^ і^(2? - й<> - ^ - — sF— ^ с» - ^ - ѵ
б) Равномерная нагрузка.
По формулѣ 1 ] 8 прогибъ (при N0 = 0)
У" = Ш fMm/dx (118я>
Мы разсмотрпмъ только случай полной равномѣрпой нагрузки, имѣю-
щій наиболѣе важпое значеніе для практики.
Грузь=1, приложенный къ точіце т (которой нрогибъ требуется
опредѣлить), производить въ А и В реакціи —— и -{ , поэтому мо-
иеегь въ точкѣ s, находящейся слѣва т въ разстояніи = а отъ А,
I —х
Это выраженіе дѣвствптелйно отъ я = О до а = х\ для сѣченіл
справа т (отъ а = х до а = /')
Моменть отъ полной иайномѣрной нагрузки для всякаго сѣченія балки
М = 9° d—").
Подставнвъ эта значенія въ 118а получимъ, принимая во ввщшгіе,
что перемѣнная величина означена здѣсь буквой а,
1 Г f да Oh-а) 1-х ■ Г да (I-а) хп .,]
В х
I '
= j^j ГЦр^ f(la2~a3)da + x Гa(J — a)* da\
0 r
к послѣ соотАѣтственнаго прнведенія
*- = мІ?іР-Ш' + х') ..... (193)
*»*=4 у- = шш (І94)

прогибъ простое балки, упругая лннія.
185
или. означивъ полную нагрузку ді черезъ G
У* =
GV
384 ЕІ
(194п)
Для сосредоточенна™ груза G. расположенная въ середияѣ балки,
прогибъ въ серединѣ по (190):
GP
изъ чего слѣдуетъ
У.
У, =
8
-ъу.
AbEJ
1,6.У.,
т. в. грузъ &, сосредоточенный въ серединѣ балки, производить въ 1,6 разъ
большій Максимальный прогибъ, чѣмъ когда опъ распредѣленъ по всей
длинѣ балки ранномѣрно.
117. Грамческое оігредѣиліе упругой ливія.—Чтобы получить
упругую линію, ссютвѣтствующую произвольной нагрузкѣ балки постоян-
паго сѣченія, чвуядао построить для этой нагрузки ликш ыомѳнтовъ
Ж, принять эту Линію
залипаю новой нагрузки той
же балки, и построить, для
пѳя вторую линію номер-
товъ.
На черт. 136 построепъ
для нагрузки черт. 136 а
веревочный многоуголъникъ
а 1 2 3 4 Ь помощью по-
люснаго разстоянія Н.
Если его вортпкальныя
ординаты, отнесенныя къ
замыкающей стороні ah.
означикъ черезъ е, то
ЧерА, 136.
Для второго веревочнаго многоугольника нагрузка дана линіей,
которой ординаты = Не. Замѣняя эту ланію вереночиымъ многоугольни-
комъ а 1 2 3 4 Ь, которага ординаты = е, мы берем*, въ Н разъ меньшую
вагрузну, поэтому во столько же разъ меньшими получатся ординаты
второй веревочной линіи. Если послѣднія означимъ черезъ т>, а второе
полюсное разстояніе—черезъ Я„ то мокентъ, произведенный нагрузкой,
которой ординаты = е, будетъ Нгт\, а потому въ И pfca-ь большая
нагрузка произведет! моменты
Іі = Я . ЯЛ

18S
ГЛАВА С К Д Ь Л А Я.
По Д? 87 у другая линія имѣетъ видъ веревочной л'иніи, построенной
для нагрузки, которой единичный ірузъ = -^-, а полюсное разстоя-
ніе = 1; увеличивъ этотъ грузъ въ EJ разъ припявъ его — Ж: мы
получили въ EJ разъ болыпія ординаты, т. е. ;х = £'■/>/, откуда
ѵ=ШМ='е.ѣ (іуб).
Ордипаты упругой линія равняются, поэтому, въ с разъ взя-
тымъ ордипатамъ tj второй лйпіи моментовъ, и онѣ равны про-
гябанъ въ случаѣ, когда опофпыя точки А а В инѣютъ пеизыѣ-
няемое положеніе; по если напр.. точка А понизилась на //„, а точка
В — ш у,, то ординаты нужно нзмѣрять не отъ замыкающей линія afi,
но отъ прямой а,^, проведенной гакпмъ образомъ, что
У. тттг \h
ф,= - и ??, = -,
с- -ж-
Сѣченіе балки/перемѣнно. — Въ этомъ случаѣ ординаты второй
лниіи нагрузки — &-. т. е. построивъ для дапной нагрузки линію мо-
ментовъ М, вужно высоты ея езмѣнить въ отношейіи f.
Для графичейгаго опредѣленія упругой линіи нужно исполнить слѣ-
дующія постровнія-.
1. Строим? для данной нагрузки первую веревочную линію; озна-
чимъ ея полюсное разстояніе черезъ Я, а вертивалышл ординаты,
отнесенный къ замыкающей сторонѣ чернзъ е.
2. Всѣ ординаты е уменьшаѳмъ въ отношении 1 : J, т. е. строимъ
линію. которой ординаты = j ■
3. Эту оослѣднюю линію принимаешь за линію нагрузки данной
балки, и строимъ соотвѣтствующую ей веревочную линію помощью по-
люснаго разстояшя Я,. Означнвъ ординаты послѣдаей, отнесенная къ
ея замыкающей сторонѣ,. черезъ і), а ординаты упругой линіи—черезъ у,
будеть нн
3r = -gJ.4.

ПРОГИБЪ ПРОСТОЙ ЕАЛКН. УПРУГАЯ ЛПНІЯ.
187
Если вмѣсто дѣйствительныхъ были отложены при построеніи пер-
ваго веревочнаю многоугольника т разъ, а при построеніи второго—>*
разъ менынія величины, то очевидно, что тогда
(НИ.
д = т. п \—£-* ij
Весьма просто получается нрогибъ для балки постояннаго со-
противлепія. Такъ какъ моиепты инерціи -/ такой балки пропор-
діопальны сгибагащииъ моиептаит. М, то означивъ черезъ Jn и М0-~
моиентъ инорпіи и сгибающій моментъ средняго, и черезъ J и М —
какого-нибудь другого сѣченія, имѣемъ;
Ж _ Мв
J J,'
Для полной равломьрной нагрузки
9?
слѣдовательно ■« «
1 = 8JU'
т. е. нагрузка для второй линіи мояентовъ представляетъ
прямоугольнику котораго высота ^j , а основаніо — I. Поэтому:
в? ,
полная нагрузку = о%г ■ *
ді3
ея реакціи Л = В — у-„ w
D
ея ыоменгь въ середиеѣ балки
(196)
т. е. ,4
— _^ _
у" ~~ 64.Е7,
Для балки постояннаго сѣченія
. * ~ 384 ^J 76,ВШ '
Клепанныя жедѣзныя балки занимать середин) нежду этшш двумя
предѣпанк, такъ какъ для низъ съ достаточной точностью
» = ш <т>

188
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
118. НнФЛюентная линія протнбовъ. — Изъ закона взаимности пере-
мѣщеній („\° 6-і) слѣдуетъ непосредственно, что инфлюентнаи линія про-
гибовъ точка d равняется упругой линіи, построенной при положееіп
ва сі груза = 1. Поэтому вторая веревочная'лиыія я,мі,. построенная
па черт. 135а для груза — 1 дѣйствующаго на точку d, можетъ быть
равен атриваека какъ ипфлюентная лннія ирогнбовъ этой точки. Эта линія
получена слѣдующимъ образомъ: Для груза — 1, приложѳннаго къ точкѣ t?,
построена линія монентовъ (веревочная липія при полюсномъ разетоя-
нін Я= 1) АСВ: аатѣиъ была проведена вторая линія, которой
ординаты въ 4 раза- меньше ординатъ линіи AGB: эта вторая линія принята
за линію нагрузки для второго веревочнаго многоугольника, построен-
наго на черт. 135й помощью цолюснаго разстоянія Ht. Коэффиціентъ с
въ этокъ случаѣ, равняется
4. НИ.
или, такъ какъ Л = 1
EJ
іН, ...
Примѣръ. На б^лкѣ АВ (черт. 135) лежить непрерывная нагрузка д,
равномѣрно распределенная по всей длинѣ, и сосредоточенные грузы
(г,. G, Ѳ,г, G3 и К};, определить произведеппый всей этой нагрузкой
прогибъ въ точкѣ d.
Если озиачймъ площадь, ограниченную линіѳй a,ul>, и прямой а,Ь„
черезъ f, а ординаты линіи »,«£,, соогвѣтствующія точкамъ приложенія
грузовъ (?,, &, Gt... эерѳзъ уг, у, у,..., то искомый прогибъ
* = 3-f+ 0,У, -f- Gy-h G^j, -+- G$3 -+- G,yt.
ГЛАВА VIII.
Моменты и поперечный силы консоли.
1101 Консолью называется балка, которой одинъ конецъ защемлеш.
неподвижно, а другой свобожевъ.
Моменты,— Выдай грузъ, лежащій на консолѣ, повижаеть ея
свободный конецъ, изгибаегь ее, слѣдовательно, выпуклой стороной вверхъ,
т. е. производить въ еѣченіяхъ отрицательные моменты.
*) МиоиЕитепь 4 происходить оть того, что дан построеніж второй, веревочной
линія ординаты первой пиніж моиеятовт. бывж уменьшены въ 4 разе.

моменты п поіібрячвш силы консоли. 189
Чтобы определить величину момента въ сѣчепіи s (черт. 137)
представляете себѣ балку черезъ s разрѣзанной, часть sB отбрасываемъ, и
беремъ сумму моментовъ всѣхъ силъ, дѣйствующихъ на sA, по озноше-
нію къ точкѣ s. Такимъ образомъ получаемъ для консоли, подверженной
д'Ьйствію соередоточенныхъ грузовъ G„ <?,, Ѳа... (черт. 137)
моментъ въ s, : М, = — G,a„
моменгъ въ сѣченіи sa: Л/, — — «?,#, ~ G,g? и т. д.
Изъ предыдущего слѣдуегъ:
1) Всякій rgyjib производит* въ сѣченіяхъ консоли отрицательные
моменты.
2) Для всѣхъ сѣченій между сво-
бодпымъ концомъ и первымъ грузбмъ
моменгъ = о.
3) Момевтъ въ сѣчепіи,
находящемся между первьшъ грузомъ G, и за-
щеиленпымъ концомъ В гѣмъ больше,
чѣмъ ближе сѣченіе въ Л.
4) Для всякой нагрузки моментъ
достигаете максимума въ сѣченіи за-
щемленія, въ этомъ сѣченіи
происходить поэтому всегда абсолютное ма-
ксимумъ моментовъ.
Моменты отъ непрерывной рав-
номѣрной нагрузки (черт. 138). Для
сѣчепій между А и п: Ж = о. Въ
сѣченіи 8, отстояшемъ отъ начала п
нагрузки въ разстояніи = %
Черт. 137.
.С 2. =
"2
$
f
Изъ этого уравпенія вндинъ, что лшгія моментовъ непрерывной
нагрузки ииѣетъ видь параболы. Уголь а, образуемый касательной къ ля-
ніи момепговъ съ осью. АВ, получается изъ условІя:
dM.
*9* = -& = -&■_
Для 1 = о Ід a — о: парабола въ » касатѳльна къ АВ.
Усвлія (поаеречныя или ерѣзыватщія силы).—Чтобы получить
усиліе Т для давнаго сѣчешя s опредѣляенъ рашодѣистзующую R силъ,
лежащий, на балвѣ между этимъ сѣченіенъ к свободный, концомъ, к
раалагаеиъ ее ш навравлешю параллельному а перпендикулярному къ
сѣчеиш. Первая иаъ этихь елагающнхъ будетъ поперечная сила (уснліе) Т,
а вторая—нормальная сила N.

ІЭО
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
Когда веѣ силы перпендикулярны къ оси балки, то усиліе въ s =
алгебраической суммѣ силъ, лежащихъ на балкѣ между s и свободнымъ
концомъ, изъ чего слѣдуетъ непосредственно,
что между точками приложенія грузовъ
усиліе постоянно. Такимъ образомъ получаемъ
(черт. 137):
между Ли 1 : Т — а
между 1 и 2 : Т ~ (?,
между 2 и 3 : Т — <?, -+- (?,
Черт. 133.
Копа на балку дѣйствуетъ
непрерывная равномѣрная нагрузка д (черт. 138),
то въ сѣчепіи s, отстоягцемъ отъ начала
нагрузки въ разстояніи = £, Т' = ^; діа-
грамма усилій равномѣрнои нагрузки имѣетъ.
поэтому, въ нагруженной части видъ
прямой Ядр, (черт. 1385), которой ордината въ
точкѣ «2, ближайшей къ свободному концу,
равна нулю, а въ точкѣ £j = всей нагрузки
д'к, гдѣ X = пВ.
Опредѣленіе моментовъ и уежаій графически.—Графически усилія
н моменты получаются помощью силового и веревочнаго многоугольни-
ковъ аодобнымъ образомъ какъ для простой балки, замѣнивъ замыкающую
сторону—-крайней стороной веревочнаго многоугольника, еоотвѣтствую-
щей свободному концу ея. Это слѣдуетъ пспосредствеппо изъ свойства
веревочнаго многоугольника, по которому:
Равнодѣйствующая параллельныхъ силъ = отрѣзку на сило-
вомъ мвогоугольникѣ, отсѣчепному лучами, параллельными край-
ивкъ сторонамъ веревочнаго многоугольника, построеппаго на
этихъ силахъ, а моментъ по отношенію къ данной точкѣ t pa-
венъ на полюсное разстояніе Н умноженному отрѣзку, отсѣ-
ченному тѣми же крайними сторонами на проведенной черезъ
t вертикали.
■ Такъ какъ для всѣхь сѣченій консоли общей крайней стороной есть
первая сторона веревочнаго многоугольника, соотвѣтствующая свободному
концу, то слѣдуетъ, что:
1} Уснліе въ данвомъ сѣченіи t = отрѣзку, отсѣченному на
екловомъ многоугольникѣ лучами, параллельными крайней сто-
ронѣ, и— той сторонѣ веревочнаго многоугольника, которую
встрѣчаетъ проверенная черезъ / вертикаль.
2) Монентъ въ еѣченіа s = умноженному на К отрѣзку про-

моменты в шшкречныя силы конмие.
191
веденной черезъ s вертикали, отсѣченному тѣми же сторонами
веревочнаго многоугольника. Крайняя сторона, соотвѣтствующая
свободному концу консоли, есть, слѣдовательно, ось абсднссъ
липіи моментовъ (Л? 14).
По этимъ правиламъ построена для консоли АВ, нагруженной
сосредоточенными грузами (?„ <?„ G, н G, (черт. 137) на черт. \Ъ~Ь:
діаграмма усилій Т, и на черт. 137«: лнпія сгибающихъ моментовъ М.
раздѣлецеьиъ на полюсное разстояпіе //.
Эти діаграммы показывають, что напр. для сѣченія s
На черт. 138а и 138І представлены тѣ же діаграммы для
непрерывной равномѣрной нагрузки (черт. 138я—линія момептовъ М. черт. I38S—-
линія усилій Т).
Когда дѣйствіс нагрузки передается балкѣ связками, то. по
общему правилу, етроимъ веревочный много угольникъ безъ вшшанін на
связки (при предположеніи прямого дѣйствія), проектируема па пего
связки (нѳ исключая и внѣппшхъ связокъ) и получениыя точки соедн-
няемъ прямыми липіяыи. Образованный послѣдними многоугольникъ есть
веревочный многоугольникъ для передаточной нагрузки: дѣйствующія въ
его вершипахъ силы получатся, если черезъ полюсъ проведемъ лучи
(черт. 137^) параллельныя его сторонамъ/. ш, «... ІІосредствоиъ получен-
наго такимъ образомъ силового многоугольника для передаточнаго
дѣйствія, определяется линія усилій (черт. 137f) по общему правилу.
Точно такимъ образомъ исполняется построепіе для непрерываой
нагрузки. Такъ для балки черт. 138с построена сначала обыкновенная
линія моментовъ черт. 138я; на нее спроектировапы свяжи 0, 1. 2, 3 и 4,
и полученная точки О, I, II, Ш, IV соединены прямыми линіяші, чѣмъ
получилась, изображенная на черт. J38rf отдѣльно, линія моментовъ
передаточной нагрузки. На черт, /'отложено по принятому масштабу ОІѴ—
всей нагрузкѣ д'к, а черезъ IV и о проведены иряныя ІУр н ор.
параллельныя крайнимъ сторонамъ г и пЪ веревочпаго многоугольника (черт, d),
и черезъ изъ точку пересѣченія р — лучи pi, pll в рШ. параллельныя
сторонамъ /, m в р. Эти лучи отсѣкаюгъ па ОІ\ действующая въ связ-
кахъ 0, 1, 2, 3 силы Р0, Р,, Р„ Pg( такъ. что
р0 = оХ р, = Пі р, = іГш р, = шіѵ.
На черт. 138е представлена соотвѣтствующая этимъ шламъ Р
линія усилій.
Данная на черт. 139 балка АВ имѣегъ связки 1. 2. 3. В и внѣшнюю
связку а: между а в В находятся грузы (г, до <?,. Строимъ для этой
нагрузки веревочный ыногоуголъвияъ («,«,4,5,7,6,) (черт, й), проекта-

193
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
руемъ на пего связки, в полученныя точки соединяет, прямыми линіями.
Ординаты построеннаго _такимъ образомъ_ веоевочнаго многоугольника
a,i,2,S,Bt нужно измѣрять считая отъ продолженной крайней сто-
роны а,1|.
Чтобы получить силы Р,,
Р, а Р,. дъйствѵющія въ связ-
кахъ 1, 2 и
резъ О лучи.
Oz || а, 1
ОН || 2,3,
получает,
Л = Р,
3, проводимъ
011| 1,2,
ОШ іІЗ,^,.
ІП = Р,
че-
Черт. 139.
н ш = pt,
т. е. во всякой связкѣ, какъ
напр. въ 2, дѣйствуегь сила,
отсѣченная на силовой лиггіи ііѵ
лучами 01 и ОН, параллельными тѣмъ сгоронамъ 1,2, и 2,3, веревочпаго
многоугольника я, 3,2,3,6,, который встрѣчаются па вертикаль- связей 2.
Если черезъ произвольную точку д балки проведемъ иертикаль qq,q„ то
яотятьвъд:МЧ~—Л.q,qv а усиліе Tq = qsqt; послѣдпее равно отрѣзку,
отсѣченному на силовой лпніи иѵ лучами ОН. п Os, параллельными сто-
ронѣ 2,3,, ветрѣчаеыой вертикалью точки q и — крайней сторонѣ а,],.
\13Ji Часто бываетъ желательно, чтобы соотвѣтствующая евободноиу
концу балкж крайняя сторона веревочнаго жногоугольнпа была
горизонтальна.—^ Тогда строимъ сначала веревочный многоугольникъ для
второстепенной балки а\ (черт. 139), которой принаддежитъ внѣшняя связка а,
н опредѣляемъ ея вамыкающую сторону я,1,; черезъ полюсъ О проводимъ
лучъ Ог [| а,1„ а черезъ я—горизонталь іОѵ на которую проектирует,
полюсъ О. Если примемъ О, за новый полюсъ, и построюсь соотвѣт-
етвующій ему новый веревочный нногоугольннкъ (черт. 139»), то его
крайняя сторона а,1 будетъ горизонтальна. Одноименных стороны вере-
вочныуь многауголыгиковъ, построенных!, помощью полюсовъ О к О,
встречаются на вертикали, проведенной черезъ точку я,, въ которой
передаются стороны a, Ij в а,І, потону что только тогда обѣ, эти лиши
даютъ но отношение къ этой вертвкалѣ одинаковые «оненты. На черт, с
построена соотвѣтствующая передаточному дѣіствію зннія усилія.
На черт. 140 даны двѣ консоли АВ н CD, закрѣпленвыя tp, Ая D;
первая ныѣетъ связки А, 1, 2 в 3, и внешнюю связку С, а вторая
инѣегь только связку С, и ввѣшнюю связку В.

ННФЛЮЕНТНЫЯ ЛИНІИ.
193
Черт. 1-ю.
На иертикалѣ 03 откладываенъ данные грузы Gt до Ge. Опредѣляемъ
полюсь О, такъ, чтобы крайняя сторона была горизонтальна; для этого
беремъ лежанце на второстепенной бадкѣ ВС грузы Gs и (?„, строимъ
помощью произколшаго полюса О шотвѣтствующій имъ веревочный
мяогоугольпивъ Шо'б'С,, и черезъ О — Ог \\ IIIС,. Черезъ г проводюіъ
горизонталь гО„ проектируемъ на нее іюлюсъ От и помощью
полученной точки 0„ принятой
за новый полюсь, стро- м, , . . „ .. „
имъ веревочный много- '"Лг I I і * [
угольникъ М ... 5,6, ... '~ '" " ^'
На іюслѣдній проекш-
руемъ связки Л, 1,2, 3,
и внѣшнюю связку С, и
получении я точки соеди-
няемъ прямыми линіяйи.
йзъ чертежа видно
непосредственно, что ІІІ-f бу-
детт. первой крайней
стороной какъ для консоли
АВ, такъ и для консоли
CD, Шу есть, следовательно, общая ось абсцпссъ для лиеій моментовъ
(веревочныхъ мпогоуголышковъ) обѣихъ консолей.
Когда веревочный миогоугольннкъ построенъ, то силовой
многоугольника и линія усилій получаются по общему правилу. На черт. 140 ли-
нія моментовъ заштрихована вертикально, а діаграмма усилій —
горизонтально.
ИнФЛюентныя линіи.
(І22>—Инфлюѳнтныя линіи какого-либо сѣченія консоли между эгимъ
сѣчепіѳмъ и защемленйымъ концонъ равны пулю, уравнения этихъ линій
дѣйствительны, потоку, только въ аредѣлахъ между свободнымъ концонъ
и разскатриваемымъ сБченіемъ.
Инфлюѳнтная линія моментовъ сѣченія s. Когда грузъ—1
находится между Л a s (черт. 141) въ разстояніи = £ отъ s, то шментъ
ъъ s (ордината пнфлюентной линіи моментовъ въ точкѣ приложенія груза)
Ч = -Е (198)
Это уравнение показываетъ, что инфлюентная линія моментовъ
сѣченія s опродѣлеиа двумя прямыми, пересѣкающимиея на верти-
калѣ точки s, проведенными такинъ образомъ, что всякій отсѣ-
ченныя ими вертикальный отрѣзокъ численно равенъ его раз-
ЧЕРьцішіиіскіа.—Строительная нехывка. 13

194
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
стояпію отъ точки пересѣченія s (сравн. Х> 110). Еслнбы единица
масштаба была для абсдиссъ и ординатъ общая, го инфлюентная лиаія
образовала бы съ осью абсдиссъ уголъ 45°: но обыкновенно бываетъ пе-
удоОпо выражать обѣ эти единицы одной и той же длиной, вслѣдсгвіе
чего численно равныя величины имѣютъ
на чертежѣ разныя длины. Если паігр.
для масштаба абсдиссъ возьмемъ
1 см. = 1 мтр..
а для масштаба ордипатъ
1 см. = 400 килогр. мтр.
Черт. і4і. в будемъ считать за единицу момептовъ
1 тонн, мтр., то длина qq, (черт. 141)
будегъ въ 2'/г разъ больше разетоялія sq, потому что въ этоиъ случаѣ
1 тон. мтр. — 2,5 см.
Какъ выше было сказано, инфлюентная линія на протяжении sB=o.
Когда дѣйствіе груза передаточное, то строимъ по предыдущему
инфлюентную линію для прямого дѣйствія, проектируенъ па нее связки
балки, а внѣишія связки — на ось ab, и получешіыя точки соединяемъ
прямыми линіями. Такъ инфлюентная линія сѣченія s (черт. 142) имѣегь
для прямого дѣйствія видъ прямой
atsx, а при устройстве связокъ fi,
1, 2, 3, 4, В она превращается въ
многоугольпикъ [3,1^3,4,.
ІІпфлюентпыя линіи уси-
лій.—Грузъ—], дѣйствующій въ
любойточкѣ между свободнымъ
концом!. Л и разсыатриваемымъ сѣче-
ніемъ s, производить въ s усиліе
(черт. 141а)
Черт. 142.
а когда онъ находится между s и защемленнымъ концоыъ В, то Т = о.
Инфлюентная линія уешгій есть, следовательно, прямая e„s0, отстоящая
огь оси абсдиссъ на разстоянія= 1, которой конечныя точки «0 и s0
находятся на вертикаляхъ свободнаго конца Л и разематриваемаго сѣченія s.
Когда инфлюентная линія для прямого дѣйствія построена, то для
передаточнаго она получается по общему правилу посредством!, проекти-
ровавія связокъ.
На черт. 142А инфлюентная линія для передаточнаго дѣйствія (кото-

инфлюентныя линіи.
195
рая для прямого пмѣла ввдъ прямой »„s0), представлена ломанной
линий РЛ3А-
123. Упругая лінія ЕОНСОИ-—Графически упругая линія получается
по правилу, данному къ JVs' 86, по которому нужно построить двѣ линіи
моментовъ: одну для данной пагрузки, а другую—для нагрузки,
изображенной линіей, которая получится, если (при Ді = о) ордипаты М
первой линіи моментовъ измѣнимъ въ отношении 1 : ~EJ.
Ось абсциссъ, отъ которой, нужно измѣрять ординаты упругой лиши.
дана условіемъ, что въ сѣченік защемленія ордината ея = о, а
касательная — совиадаетъ съ осью балки. Ордипаты упругой липіи нужно
поэтому считать отъ касательной аащемлѳннаго конца В. т. е. при по-
строеніи второй линіи моментовъ вринимаемъ, что балка закрѣплена на
свободаомъ копцѣ А\ такая замѣна мѣста закрѣпленія не имѣетъ
никакого вліянія на форму веревочной линіи, потому что эта форма завп-
ситъ единственно отъ вѳличинъ грувовъ и ихъ взаимныхъ раастояній.
На черт. 143й представлена упругая линія консоли АВ постояннаго
сѣченія, на которую въ t дѣйствуетъ грузъ G. Линія моментовъ имѣетъ
видъ прямой tbt. Для нагрузки, данной этой линіей (т. е. изображенной
площадью треугольника tBbt). построѳнъ второй веревочный
многоугольника Л1 В1 помощью полюснаго разстоянія Ht. Если ординату этой
линіи, взятую,оо отношенію къ касательной въ В, означимъ черезъ цІГ
то прогибъ въ t
SH,
в, такъ какъ здѣсь Н ~ 1
Щ
Помощью аналогичваго дѣйствія получается прогибъ также
аналитические путемъ.
124. Анамтжческое опредѣленіе прогжба при постояжношъ сѣченіж.
а) Сосредоточенный грузъ G. Линія моментовъ груаа G
представлена на черт. 143; принимаема эту лияію за линію нагрузки балки
защемленной въ А и опредѣляекъ произведенный его моментъ въ точкѣ s,
находящейся между свободпымъ концокъ А н точкой приложе-
нІя груза, въ разстояніи = х отъ В.
Поэтому, прогибъ въ s
y-=Sj^-b) (і99>
13*

191!
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
Для точки q, находящейся между закрѣпленнымъ концомь и
грузомъ прогибъ получается всего проще слѣдующим'ь образомъ: По
правилу взаимности переыѣщеніб (Л» 64) прогибъ въ точкѣ q
произведенный грузомъ G лежащиыъ на точкѣ t, ])авпяется прогибу, который
произошелъ бы въ (, еслвбы грузъ находился еъ д. Выражение для про-^
гиба q поэтому ііолучится. если въ уравпеніи 199 заыѣвинъ х на Ъ,
и Ь па х, т. е. ,
у* = ья.г{;ѣ"'';) ■ (200)
Когда грузъ првложенъ къ
свободному концу А, то Ь = /, и тогда
прогибъ въ А (х = I)
_ ѲІ_
и въ промежуточной точкѣ
Gx*
* ft
(201)
Терт. US.
» = 6®(W
Ж).
б) Полная равномѣрная нагрузка.
По уравнение (118), при Л" — О,
Уш
ші*
Mm„dx,
Здѣсь М озпачаеть моменты.І произведенные данной нагрузкой, & тп —
силой— 1, приложенной къ точкѣ, которой перемѣщѳніе ул, по
направление этого переиѣщенія.
Въ сѣченіи т, отетоящемъ. огь закрѣпленнаго конца В въ разстоя-
ніи = £
Ж
?J}^Y
и mm = — (х — £),
гдѣ х имѣегъ прежнее значеніе.
Отъ 1=х до z = l;m„ = 0
ноэтому
откуда
-Я"
у- =
24.EJ
- =)' (х - Е) dE
(202)

1ІРЙСТЛЯ КОНСОЛЬНАЯ BA.ISA.
197
Прогибъ свободваго ^опца А (х = /)
9?
* = ш <203>
иди, озеачивъ полную нагрузку ді чѳрезъ G
GP
*- = ЪЖ? f204>
ГЛАВА IX.
Простая консольная балка.
^25, — Двухопорная простая балка называется простой
консольной, если она одпимъ или обоими концами выступаегь за опоры.
Быстунающія части СА и BJ) (черт. 144) нредставляютъ обыкновенный
консоли, раземотрѣнныя въ
предыдущей главѣ, а для средней части f л. JL
АВ дѣйствительны правила простой К—-f-м ^Тд~~"'К \si
двухопорной балки, огь которой она а п ^т"**!4"'°" Т"fr_ljj ^"tj
отличается только тѣмъ, что кромѣ
грузовъ находящихся на .ІЙподвер- к--?ч-і
гается еще дѣйствію грузовъ, лежа- ff*
ІАѵ~*№Іь
щахъ на консоляхъ. j j j*
Означимъ черезъ '
г —ДЛИНу АВ, Черт. 144.
шик — длины консолей С А и BD,
а — разстояніе груза G, лежащаго на коасоля С А, отъ опорной
точки А,
р — разстряніѳ груза, лежащаго на консоли ВВ. огь В,
а и Ь — разстоянія огь А а В груза, находящегося на АВ,
х — разстояніе сѣченія отъ А,
А и В — реакціи опоръ А и В.
Условіе равновѣсія моментовъ, взятыхъ по отношенію къ опорной
толкѣ і? даеть (черт. 144а):
— 67, (а -+- I) и- J* — <?0 -f- <?,p = О

198
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
Изъ этого уравненія видимъ, что отъ груза, лежащаго
_. . G(l + a) G\l-(-<*)]
на консолп ѴЛ : А = . - = j )
на частв АВ : А = -, = -j-
на консоли ВВ : А = ■ j- = j- ■
Earn подъ я и [3 буденъ понимать разстоянія грузовъ, лежащихъ
на консоляхъ СА и ВІ)., отъ ближайгпихъ имъ опорныхъ точекъ, то
можно сказать: Реакція А а В консольной балки определяются по
тому же правилу какое въ JV» 102 было дано для простой двухопорвой
балки, т. е. реакція одной опоры равняется раздѣлепному на I
статическому моменту нагрузки, взятому; по_отноше~нТіо къ дру-
_гой_опорной_точкѣ, только разстоянія а и £ г£13-0™» ле™*Щ?£ъ_
на консоляхъ, нужно .брать' съ отрицательными знаками.
По этому правилу будеть для нагрузки черт. 144.
B^j [— £ta-ь (?я-*-(?2 (I н-р)].
Равномѣряую (и вообще, непрерывную) нагрузку всего удобнѣе
разбить вертикальными сѣченіами, проведенными черезъ А и В на части,
замѣнить каждую часть равнодѣйствующей, и разсыатривая послѣднюю
какъ сосредоточенную силу, дѣйствовать по предыдущему. Такъ вмѣсто
представленной на черт. 1446 нагрузки беремъ грузы (?„ G, G3 и (?4,
замѣнягощіе нагрузки д\ѵ д\, дк3 ъдкі **j, покрывающіѳ части тА, Аг,
$В a qB, дѣйствующіе въ серединѣ каждой изъ этихъ частей. По
предыдущему получимъ:
A = j[G,(a + t) + Ght4- <?А - ОД =
Данное выше правило действительно также для ыоментовъ в усюгій
сѣченій части АВ; яри опредѣленіи дѣйствія внѣншихъ силъ па эту
*) ,Ддя груаа 6, аежащаго между ііВ:і= . Таже формуладает*.Л
ддя груза дежащаго на коясояк СА, только вмѣсто а вужво подставить—а.

ПРОСТАЯ КОНСОЛЬНАЯ ВАЛКА.
199
части можно поэтому копсольную балку САВВ- замѣнить простой
балкой АВ, на которую кромѣ лежащей на ЛВ нагрузки дѣй-
ствуютъ грузы лѣвой консоли GA въ разстоянія = а отъ А и
грузы правой консоли ВТ) въ разстояніяхъ = $ отъ Б\ по при
составлсніи выраженій для реакцій, усилій и моментовъ нужно
величины і и $ брать съ отрицательными знаками. Для такой
балки дѣвсгвительны безъ измѣпеяія ксѣ правила, данпыл въ
Главѣ Till для простой двухопорноіі балки: наъ нихъ мы повто-
римъ здѣсь только приведенный въ Л°Л° 103 а и ]07« нрірида
момента въ и усилій:
1. Моментъ въ данном-ь сѣченіи равняется раздѣленному
на I грузу, умноженному на произведете боковыхъ частей.
Боковыми частями называются тѣ части балки, оканчивающаяся на
опорахъ, которыя остаются послѣ удаленія ея средней части,
ограниченной сѣченіемъ и точкой
приложения груза. , ||f ^ Ші" .„> |Ь ]3s
2. Усилю равняется раз- ^ j fajft"»"^ s.j'-faH j,
энному на I rpyiy, умно- *Г№Г*"-, %T^l%brf
At*"
, y I i - 1 °*J J
дѣденному на / груяу,
умноженному на его боковое j*--'-*
разстояніе, т. е. на длину того а
отрѣзка, заключеннаго между """S-v*^ \ J _ Ч_ ,
грузомъ и опорой, на котороаъ і+ *--* -—>і.
не находится разскатрявавмое Черт. 145.
сѣчепіе.
Но этимъ тгравиламъ получаемъ легко для представленной на черт. 145
нагрузки консольной балки САВВ, замѣнивъ ее простой балкой AtBt
(черт. 14о«):
А = \ [<?,[*- (- а,)] -4- G, (г - к,) + Д, р - { - а)] +
<?8 (/ - а,) + <?Д - #.Р. - Д.М-
Моменть въ s:
_м = <L_J!> [_ дів _ оа, н- б>, .*- ад -ь ^ р?л - <?,?, - д,м.
Усвліе въ s:
1
Г = ) [ -Д, (- «) - <У, (- а,) - 03а, - <?Л -+- ff,ft4 -+-
+ в.(-р,)-ьД1(-Р,)] = ^-

200
ГЛЛИА ДЕВЯТАЯ.
ІІримѣчаніе. Чтобы при употребленіи предыдущігхъ правилъ не
сделать ошибки, пеобходимо грузы
лѣвоіі копсола считать всегда
находящимися слѣна,_ а грузы
правой еопсоли —- находящимися
справа разсматриваемаго сѣченія.
безъ мпщанія на то, какое мѣсто
по отноше-нію къ еѣ'іенію они
занимаютъ па балкѣ А^В, (черт.
145 я). ~" ~ ~* ~
Для сѣченія s консольной бал-
^.ад*^
ВД
Черт. 140.
кп черт. 146 имѣеігь, раздѣливъ ее на части терезъ А, В и s:
М^.
(1-х)
1
Д|я _ ffiSi _ь ад -ь - (С?,*, -+- (У А
ед
д,Э)
г=-т<
-д,«-
1
<?А -+- <?а) -і- т (<?а + ga-ед - Д,?)
7
Въ этихъ выраженіяхъ нужно подставить:
с,
= 2 °. = "2
*3=^
э, =
[12^/'—Опредѣленіе можентовъ и усилія графически. (Черт. 147).
Построимъ для данной нагрузки веревочный многоугольнакъ IT III III... V,
спроектируемъ на его нраішія стороны П и V онорныя точки А и .В,
и нроведемъ замыкающую сторону ab. Если черезъ полюсъ и нроведемъ
лучъ r.z || ab, то_по Л» 15 он = реакціи А (потому что лучи та и тго
образуютъ сь os треугодьникъ, а параллсльныя этимъ лучамъ стороны
Ua и ab пересѣкаготся въ а) и гЬ^ = В. Изъ Л» 11 слѣдуетъ, что
вертикальный ординаты веревочнаго многоугольника, измѣрелпыя огь пря-
мыхъ Ua, ab а ЬѴ, пропорціопальны моментамъ: въ части rs эти
моменты положительны, въ сѣчепіяхъ В и S, соотвѣтствующихъ точкамъ
г и s, они = о, а внѣ BS — отрицательны. На онорахъ А в В
отрицательные моменты доетигаютъ максимума; положительное максииуиъ
получилось въ сѣченіи 3, на которое дѣйствуетъ грузъ G's, встрѣченвый
ЛуВДМЪ Z2.
На черт. 147а построена таже линія моментовъ при горизонтальной
оси абсциесъ XX. Построѳніе исполнено слѣдующимъ образомъ: строимъ
евачада веревочные многоугольники для консолей СА и ВТ), помощію
полюсныхъ разстояшй т:, и г„ прнЕятыхъ на горизонталям., проведен-
ныхъ терезъ крайнія точки о в S, силового многоугольника (черт. 147Й)

ПРОСТАЯ КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА.
201
въ разстояпіи отъ пего = К. Для консоли СЛ проведена сначала
сторона а, затѣмъ і н с, а для консоли BD — сначала сторона к, аатіиъ
гик. причемъ я и £ приняты па самой оси XX. Этимъ построеніемъ
получились точки а0 п Ьѵ. Затѣмъ помощью третьяго полюса тс
построена веревочный мвогоугольникъ части ЛВ, причеігь первая сторона
d проведена черезъ па: его послѣдняя сторона д встрѣчаетъ вертикаль
опоры В въ Р; гакъ какъ она должна проходить черезъ Ь„, то по J\5 11У
соединяемъ ав съ f). проводимъ
черезъ полюсь тс: тсг [] а„|5,
черезъ г — йъ0 || я^йи, и черезъ
тс — ъ-0 |і уй5 до пересѣченія съ
гт^ въ -„.
Если прилезть -„ за новый
полюсь, и построимъ помощію
его, для сихь лежаппш. на ЛВ,
новый веревочный мпогоуголь-
никъ такъ, чтобы его первая -
сторона <ІЛ проходила черезъ «0,
то его послѣдняя сторона прой-
детъ черезъ Ьп. Одноименная
стороны обоихъ веревочныхъ
многоуіюльяиковъ (какъ было
уяснено въ Л» 119) встрѣчаются
на прямой, проведенпой черезъ
я0 параллельно с'иламъ, что да-
етъ возможность построить
второй веревочный многоугольинкъ и безъ помощи полюснаго разстоянія тс„.
Легко узнать что если проведемъ черезъ JS прямую ft, пересѣкающую
первый веревочный много угольянкъ въ t, а вертикаль ааЛ въ р, и сое-
динимъ р съ <4П, то рі„ перпсѣкаетъ второй веревочный многоугольникъ
въ точкѣ 7,," находящейся съ точкой t на прямой tt, параллельной
силамъ.
Діаграмма усилій представлена на черт. 147с. Ея построеніе
основано на томъ свойствѣ, что усиліе въ дадеой точкѣ q равпяется
отрѣаку, отсѣченному на силовой лиши оЗ, лучами ъі и тсс,
параллельными тѣмъ сторопамъ веревочнаго многоугольника, который встрѣчаетъ
проведенная черезъ g вертикаль.
На черт. 148 и'148» представлены веревочный яногоугольпикъ и
липія усилій консольной балки GABD, имѣюшей на копцахъ шарнир-
ныя связки С в В, а внѣшпія—D„ и Оѵ устроенныя на консоляхъ
В,В, и С,В,. Для построенія веревочнаго, многоугольника прп общемъ
основаніи XX строимъ сначала веревочныя многоугольники для второ-

202
ГДАВД ДЕВЯТАЯ.
стапенныхъ балокъ CD, и DCa такъ, чтобы крайнія стороны первой изъ
этихъ линій проходила черезъ точки D, и С, а второй—черезъ D и С',.
и продолжаешь построеніе вправо и влѣво для всей нагрузки,
находящейся на В,СА Е BDBt, Этимъ ностроепіеыъ огіредѣлплись па вертп-
каляхъ опорныхъ точекъ А и В точки а„ в t>0, черезъ которыя прово-
дииъ веревочный нпогоугольникъ для пагрузии, лежащей на АВ.
Линія усилій (черт, а) получается изъ силового многоугольника
обыкновенные образомъ Реакцій А в В равпы отрѣзкамъ на силовой
линія (черт. 148/), отсѣчеппымъ лучами (проведенными изъ одной и
той же точки), параллельными тѣмъ сторонамъ иеревочнаго мяогоуголь-
Черт. 148.
Т'¥ • 1 Ад
нива, которыя встрѣчаются въ о0, и (соответственно) въ й„. Изъ чертежа
/"легко узнать, что эти отрѣзки = разстояшямъ полюсовъ ъ„ тс3 и тс,
между собою, т. е.
А = тс,тга В з= т:3,кі
Если кромѣ связовъ С и D устроены связки 1, 2, 3... какъ на
балкѣ CD, такъ в на балкахъ CD,, DCV BtD, и C\Bt (черт. 148І);
то на по строен аый по предыдущему веревочный многоутольникъ
проектируешь связки, и получѳвння проекцш соединяежь прямыми ajb,c,...
Образованный этими пряными многоугольниБъ есть веревочный мвогоуголь-
никъ данной нагрузки при середахочаонъ дѣйетвів: чтобы получить соот-
вѣтствуюпрй ему силовой многоутольникъ (черт, с) беремъ въ раастоя-

простая консо.]ьнля балка.
203
піи = Ы отъ силовой линіи df полюсъ Р, проводимъ черезъ пего лучи,
параллельпыл сторонамъ а. Ъ, с... и горизояіальпый лучъ РЬ. ІІомощію
силового многоугольника получается липія усилій для иерѳдагочнаго
дѣйствія (черт, d) обыкиовеннымъ обраяомъ.
Точно такимъ образомъ определяется веревочная линіи для
непрерывной пагрузкп '). Линія усилій для части АВ, и для балокъ DjC u
7)0, строится совершенно такъ же, какъ для простыхъ двухопорныхъ
бадокъ, а для смежныхъ консолей дѣйствительны правила данныя для
консолей вообще. (Глава VIII).
При передаточпомъ дѣйствіи стропмъ сначала веревочную лнпію для
прямого дѣйствія. проектируеиъ на нее связки, соединяемъ проекціи
прямымы линіями. и, вообще, дѣйствуеиъ точно такъ же, какъ было
уяснено для сосредоточепныхъ грузовъ.
(127J Инфлюенгныя лжвіі. Изъ уяененныхъ въ предыдущемъ своаствъ
консольпой балки сдѣдуетъ (черт. 150):
1) Инфлюентныя линіи сѣченій, находящихся на средний части А В,
опредѣляютея по правиламъ простой двухопорной балки (Л; 109, 110 и
ИЗ), но представляющая йхъ прямыя продолжаются непрерывно за
опоры А и В, и оканчиваются на вертикаляхъ конечныхъ сѣченій
С и D.
2) Части GA и BD представляютъ обыкновенныя консоли, поэтому
для построенія инфлюентныхъ линій, соотвѣтствующихъ находящимся на
нихъ сѣченіямъ, дѣйствительны правила, данныя въ № 122 для консоли.
При передаточвовъ дѣйствіи инфлюентныя линіи получаются изъ
линій прямого дѣнсгвія по общему правилу {Дб 92).
На черт. 150 представлены инфлюенгныя липіи консольной балки
OABD, имѣющей связки въ С и D, и впѣшнія связки С, и Л,.
') Веревочная ,-таія равномѣрной нагрузки, проходящая черезъ 2 дапныя точки
а в. Ь получается, при даннонъ полюснонъ
разетояніи И, всего проще слѣдующинъ об-
разонъ (черт. 149). Черезъ середину *
нагрузки проводимъ вертикаль st; ва вертикалѣ
точки а отвдядываеиъ — а/ = д\ (іѵіѣ оХ — вся
нагрузка), беревсь въ рдзетоянін. =; И оть af
тачку іг, проводимъ лучи та и п/, вродол-
жаечъ тга до кересѣчѳніи еъ зі въ tt черезъ
t проводимъ Ір )] itf, до перееѣченія съ
вертикалью точки Ъ въ р, продошеаемъ tp до
кересѣченія съ of въ р, соединяемъ р съ Ь
прямой рб пересѣвмощей tt га t„ я звтѣмъ
—tt съ а\ аІл в t-,b суть врайнія стороны
(иаезтаяьныя} искомой, веревочной линіи; на
инхъ лроектвруеиъ вонцы ■■! нагрузки,
дѣпвмъ iijt, ж ijt, па одннавовое число равныіъ частей, и точки дѣлѳнія
соединяемъ по правилу параболы.
Черт. 149.

204
Г .1 А II Л Л К В Я Т А Я-
Инфлюентная лпнія реакціи А (черт, и): По Л» 109 охклады-
ваемъ на вертикалѣ опорной точки А:а,а = 1, соедйшюиъ а съ і,
(гдѣ 5, —проекція опорпой точке В), и продолжает. аЬх до пересѣче-
нія съ вертикалями связокъ Си 1) въ с и d. Внѣтнія связки С", и С2
проектируемъ на «,&„ и полученный точки е и f соединяеыъ съ е и с(.
Инфлюентная линія реакціи В (черт. а) построена такимъ же
образомъ; для консольной балки она изображена прямой с'Ь„. а при
устройствѣ связокъ С и D и внѣшнихъ связокъ V, и (73 прибавляются
прямыя с'е и й0/".
Инфлюентная линія момвнтовъ сѣченія s (черт. 6): По (НО)
откладываемъ па вертикалѣ точки s: ш ■= ™ , соединяеыъ о съ а и р, и про-
должаемъ зя и з£ до пересѣтенія съ вертикалями точекъ С и І)\ а'<заг
есть инфлюентная линія консольной палки CD; на нее проектируемъ
Черт. 150.
связки С и V. а внѣшнія связки С, и С, на продолжееіе ф, и
соединяешь о' съ С и а, съ С,.
Ивірлюевтная лиеія усилій сѣченія $ (черт. с). Сначала
построена по Л? 113 инфлюентная линія Aa^tS, которая продолжена
влѣво и вправо до вертикалей сѣчеяій С и I). На эту линію
спроектированы связки С и Г), а внѣтнія связки С, и С„—на ось АВ, и по-
лученпыя точки соединены прямыми с,ѵ и с,ѵ.
Инфлюентная линія моментовъ сѣченія t копсоли СА (черт. d).
По (122) построена линія Tt, на нее спроектирована связка С, а внѣш-
няя связка С, — на ось абсциесъ. Если бы не было связокъ С, в С, то
инфлюентная линія была бы представлена прямое Tt, вслѣдствіе
устройства этихъ связокъ она получаегъ ведь треугольника c,Tt.
Инфлюентная линія усилій въ сѣченіи и (черт, d): По Л° 122
эта линія изображается горнзонгальаыиъ отрѣзкомъ «,«: вслѣдствіе
устройства связокъ В и С, къ ней прнбавляется прямая пСѵ

ПРОСТАЯ KUBCOJbHAfl Б Л Л К Л.
205
На черт. 151 консольная балка CJ) кроиѣ шарнирныхъ связонъ
С и Л и внѣшнихъ свянокъ 6', и Ѵг имѣегь еще связки 1. 2, 3, 4, 5...
Соотвѣтствующія ей инфлюентныя линій построены сначала точно
такимъ образоыъ, какъ для балки черт. 150, загѣмъ на каждую изъ
этихъ линій спроектированы связки I, 2, 3, 4..., и получеппыя точки
соединены прямыми лияіями. Такимъ образомъ получена ивфлюентная
линія:
реакціи А (черт, и): лиыія 1«а«5«,вв«
рсакпіи В (черт, я): заштрихована и обозначена буквами й;
иоиентовъ въ сѣченіи s: черт. 6;
усилій въ сѣченіп s: черт, с:
номентовъ въ сѣчеиіи t и усилій въ сѣченіи и: черт. d.
128. Прогжбъ н улругая іенія консошлож балкі. — По М 108
упругая линія получается посредетвоиъ построенія двухъ веревочныхъ
линій (линій моментовь); замыкающая сторона второй веревочной диніи
определяется условіемъ, что ординаты ея, соотвѣтствующія онорнымъ
точвамъ А н В, равны нулю.
Аналитически прогибъ получается помощію довольно утомительвыхъ
вычисленій, и точность числовыхъ результатовъ практически не превы-
шаетъ точности графическихъ. Нужныя для вычисленій формулы даны
уравненіями А» 102.
Для балки постояянаго сѣченія но уравнвнію (118) (при N = о).
*■= ~ш J Mm-d^
По этой формулѣ получено для балки CD \черп. 152), которой вы-

206
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
ступающія части (консолп) СА и ВТ) равны, прогибъ въ С и I) огь
полной раввомѣрной нагрузки д:
у = :-9uj (ю* -+■ GLm" — ЬѴт*
24 A'J
Для средняго сѣчѳнія М:
9
Urn).
у = — "jjgikf (?>Ll — 40і3№ -+- mLW — 64im= — 16м4)
Если балка имѣетъ только одну консоль длиной т (черт. 152в). то
нрогибъ ея свободнаго конца Т):
У =
а для средняго сѣченія s:
9
sm с -^
Зя*'),
т (3ms- 12»'/
«»
2»Ѵ*
12м
37Н
^).
У ~~ 384Д.Л*
Помощію простыхъ алгебраическйхъ выкладокъ, которыя было бы
безполезно здѣсь выписывать. получаемы
а) для балки черт. 152: Моменты На опорахъ равны моменту въ сред-
неиъ сѣченіи Ж для m = 0;354£ = 0,207&. Въ этомъ случаѣ максимальный
момелтъ въ 8'/2 разъ меньше, чѣмъ опъ
былъ бы, если бы опоры были устроены
на концах! С и Л, а прогибъ свобод-
наго концам — -^ 0,000203; для
средняго сѣченія, Ж: у — -+- |J 0,000613,
т. е. концы G и D подвиваются, а
середина М опускается.
Че т б) для балии черт. 152й: наивыгод-
нѣйшее отношеніѳ I: L (при которомъ
максимальные моменты въ В и s равны), = 0І707. Въ этомъ случаѣ
прогибъ свободнаго конца =— -щ. 0,00175, а -для средняго сѣченія
s:y = §j 0,00768.
Устройство третьей опоры на свободномъ конДѣ ве предсгавляегь
выгоды, когда m < -=- 1,
Инфлюентнаа линія прогибовъ какой нибудь точки d равняется
упругой лнніи, построенной при соложеніи на d груза = 1, и получается
помощію такихъ же построеній, какія были указаны въ Л° 118 для
простой балки, т. е. ставимъ на d грузъ = 1, строимъ соответствующую
ему ливію номентовъ (веревочный многоугольникъ), принимает, (при

ЕРПСТАЯ КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА. 207
постоянномъ сѣченін) эту линію за лішію нагрузки, и строимъ еоотвѣт-
ствующую ей вторую линію моментовъ, замыкающую сторопу которой
проводимъ череаъ точки а и Ь, въ которыхъ вертикали опорныхъ точекъ
А и Б встрѣчають ее. ІІрогибъ помощІю второй линіи моментовъ
получается изъ выразкенія (см. «№ 117):
(\Щ- Многоопоряыя консодьныя балкж. — Когда дано большое число
оиоръ одинаковой высоты, то при устройствѣ статически определенной
мноіооаорной балки располагают! на каждой парѣ опоръ консольную
балку, по такъ, чтобы между концами ихъ оставались промежутки,
который заполняютъ простыми балками опирающимися еа эти концы (черт.
153). Въ крайнемъ пролетѣ вджетъ быть устроепа консольная балка 12м.
или—простая г7,
Представленная на черт. 153 секи-опорная балка сосюигь пзъ:
з ч г »
"Черт. 153.
1) Консольное балки Іію, имѣющей связку да, а внѣшнюю связку «
(черт. а). '
2) Консольной балки пр, имѣющей связки п и р, и внѣшнія связки
т и q (черт. Ь).
%) Консольной балка qr, ииѣющей связки q я г, и внѣшнія связки
р и 7 (черт. с).
4) Изъ второстепенных! простыхъ балокъ тп, pq и г7, иыѣющвхъ
опоры на соотвѣтственныхъ концахъ консольншъ балокъ.
Приступая къ разечету кногоогсорной консольной балки нужно прежде
всего исполнить расчет* простыхъ балокъ тп, f% rs, имѣющихъ опоры
на вѣсу, по ораваламъ простой двухопорной балки (глава ѴЫ), а затѣмъ
перейти къ расчету консольныхъ балокъ данныхь на черт, «, Ь и с.
Расчета каждой нзъ послѣднихъ исполняется независимо оть прочихъ частей
данной мяогоопорной балки, потому что напр, для консоли пр, грузы,
находящееся внѣ ея ннѣшпихъ связокъ т a q, т. е. лежащіе на балкѣ
слѣва т и справа д, не шѣютъ никакого значенія.

208
I* J А В А ДЕСЯТАЯ.
ГЛАВА X.
Статически неопредѣленныя балки.
130.—Статически неопредѣленЕныя балки не могугъ быть рѣшаеыы
помощію однихъ условій равновѣсія; недостающая уравнекія получаются
всего проще нзъ правила производной работы деформаціи. Расчетъ
статически пеопредѣленныхъ сооружеяШ усложняется еще болѣе тѣмъ, что
распрѳдѣленіе въ нихъ напряжений завиептъ огь закона, по которому
изменяются площади поперечныхъ сѣченій, такъ какъ опредѣленіе этого
закопа п составляет!, цѣль расчета. Вслѣдствіе того часто бываетъ нужно
действовать по способу прнблнжепія. задавшись въ началѣ постояпнымъ
съченіѳнъ. Коі-да на оспованіи этого предположепія законъ цзмѣняемости
площади сѣтснія опредѣлепъ, то помощію второго разечета, основаннаго
на перемѣпномъ сѣчеиіи опредѣленпомъ первьгаъ разечетомъ, можно бу-
детъ установить этоіъ законъ болѣе точно. Въ предлежащей главѣ мы
будемъ разематривать статически неопредѣлеііныя брусья постояппаго
сѣченія.
131. Непрерывный балки постояянаго поперечнаго оѣченія. — Балка
называется непрерывной, когда число ея опоръ больше 2.
Разсмотрииъ балку, расположенную на трехъ опорахъ I, П и III
(черт. 154), на которую
действуете вертикальная
нагрузка и, кромѣ того,
моменты Ж, и М3,
приложенные къ ея копеч-
нымъ сѣченіямъ I и III;
моментъ на опорѣ II оз-
начимъ черезъ jtf5.
Моменты, какъ и прежде,
бѵдемъ_считать ноложи-
Черт. 154. тельными, когда__онк
стремятся изогнуть бал-
_ку__выпуклой. стороной_ внизъ; положительный моментъ Ж, вращаетъ,
поэтому, по направлению часовой стрѣлки, а положительный моментъ М3—
по противоположному направленію.
Мы предполагаем*, что моменты Mtt М, и М3 произведены
нагрузкой, лежащей на балкѣ и на продолженіяхъ ея за опоры I и III, при
чімъ продолженія могутъ имѣть любое устройство (напр. они могутъ
образовать консоли, имѣющія или неямѣющія добавочныхъ опоръ, ко-
торыя въ свою очередь могутъ быть подвижныя, тарнирныя или
крѣпкія).

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРВДЫЕННЫЯ 1ЛЛКН.
ЙОЭ
Оти моменты суть, следовательно, фуякціи нагрузки, в могуть быть
разсматриваемы какъ добавочныя величины.
Чтобы оть данной статически неопредѣленной балки перейти къ
статически опредѣлшшой, нужно добавочны» величины поставить раипымп
нулю.
Условіѳ М, = Ж, — М, — о онредѣляетъ такую балку, на опорахъ
которой моменты = о, что при нагрузкѣ возможно только тогда, когда
ока по сѣчетю II разрѣзана, т. е. когда состоять нзъ двухъ простыхъ
балокъ I II и II Ш (черт. о). Если означимъ для послѣднихъ черезъ
Ма — моменты, Аа н Ва — реакіііи, Г0 — усилія. производимыя
данной нагрузкой,
т, — моменты, а, и Ь, — реакціи и t, — усилія, которыя даегь
нагрузка Ж, = і, т. е. пара = I, приложенная къ сѣченію I.
»»2 — моменты, «, и 6, — реакціи и t7 —■ усилія отъ нагрузки М2 = 1,
т. е. пары = 1, приложенной къ сѣченію II,
т3 — моменты оть нагрузки М3 = 1, т. е. пары = I, приложенной
къ сѣченію III, и уголъ, на который повернулось сѣчепіе II
непрерывной балки I II III, черезъ гѵ
то по фориулѣ 124 (такъ какъ JV = 0)
/M„m.dx ,, Г m.m.dx „ Г тМх
■~Ы- - м* J -щ- + м*} -кг -
/m.mjlx Г аД(
EJ~ + J ПГт>&
Когда балка однородна и сѣченіе ея постоянно, то JS, J, а в h —
величины постоянныя; если кромѣ того и разность Ді температурь верх-
няго и нижняго воловонъ постоянна, то предыдущее уравненіе полу-
чаетъ ввдъ:
EJg, = / М0т$х -+- Жл j mtm3dx -+- Ж, / mjdx -+-
С aEJAt Г ,
-н Жэ / mam3dz -+- —ѵ— / т,ах . . . (2Ѳ4)
Каждый нзъ этим, интеграловъ относится ко всей балкѣ I П III,
т. е. долженъ быть распространенъ на обѣ балки I П и II Ш.
Моменты от,. Для опредѣленія величинъ да, нужно по выше
сказанному, приложить къ сѣчетю I пару = I (черт. 154а), Если реакпію,
произведенную этой нарой на опорѣ I означимъ черезъ а,, тоизъусло-
вія раввовѣсія номентовъ по отношенію къ точкѣ П имѣемъ
о,7, н- I = 0 я, = — ■=-
К. ЬюпиіІ.—Стрютиьпя хншвп. 14

210 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Моиевтъ въ произвольною, сѣченіи С балки I II
X
х г,
i = -r + i = -L7-
*і = «і = —
Для балки П Ш я», = о.
Моменты от,. Пара = 1 приложенная къ сѣченію II балки I II
производить въ II реакцію «„ получаемую изъ условія равновѣсія мо-
нентовъ для точки II:
а,7, — 1 = О «j = + т-
'і
х 1
ma = «2ж = j- t2 — у-
Пара = 1, приложенная къ сѣченію П балки II III даетъ, если
реакцію опоры П этой балки озпачиыъ черезъ а.
алІа +1^0а,
1 х
у- т., = а,ж ■+- I — — у- -+- 1
/3 — X
>•--%
Моменты ms. Такииъ же обрааомъ получаемъ, что пара = 1
приложенная къ сѣченію Ш даетъ:
для балки II III т3 = у ts = у
а для балки I II: *»3 = 0.
Для большей ясности величины mat приведены въ слѣдуюіцей
таблицѣ:
Бал^а.
I II
И Ill
т,
I,-*
<і
0
«а
4
'■
ц—• ■
'.
W,
0
х
. Іа
<і
1
'>
<і
'.
1
і :
-ь-і- . —
1
1
'і
1
-Ь-і"
ШдаопцЮ этихь значеній получаешь:
J "W^-J —^' 77^ = 6

СТАТИЧЕСКИ ВЕОЛРЕДѣЛЕННЫЯ ЪАЛКЯ.
211
/ m3m3dx = /
2
I) О
■ Уравненіѳ (204) можно іеперь написать такъ:
£■7^ = / d&amtdx ч- • g— и 5_ J ^ _,_ __^_,
^ А \ 2
6EJ*2 = 6 / ЛГ0*А -+- J£t/, -+- 2М, (7, -ь 7,) -н MJ, -+-
-+- ZEJa— (1,-^h) (205)
гдѣ
/ M„mtdx = j- I M„xdx-i-Y f M0(l1-—x)dx
О о
Буквой М„ означены моменты, производимыя въ сѣченіяхъ иростшъ
двухопорныхъ балокъ I Д и II Ш лежащими на нихъ нагрузкавш.
Пусть АаВ — линія ьюментовъ Мв (черт. 149&); площадь ея
вертикальной полосы cc,d,d, которой ширина dx, равна M„dx: моментъ этой
площади по отношенію къ точкѣ Л = M^dxx, а по отношешт къ
Б — Mndx (/, — х), поэтому / M^dx означаеть статич. момента пло-
0
щади лиши моментовъ М„ банки I II, отнесенный къ точкѣ I. a
]М% (7, — х) dx есть статически моментъ площади линіж монентовъ
балки II III, взятый по отношенію къ опорной точкѣ Ш. Если
означать эти статическіе моменты черезъ S, и S„ то
/а о
Ж0т,<& = J- -*- -^
г,
і=[мохёх S7 = J M,(i,-x)dx.
8;.
U*

212
ГЛАВА ДЕСЯТА
Опредѣлимъ внтегралы / M0m$x для главныхъ осеовныхъ случаевъ
вертикальной нагрузки.
I. Сосредоточенный грузъ G. Линія иоментовъ имѣетъ видъ
треугольника ааЬ черт. 155.
котораго стороны аз н Ъа
отсѣкаюгъ на опорныхъ
вертикаляхъ отрѣзки
6&, =^G(l —в) аа, = Ga.
Такъ какъ
Дмсй = Ааа,Ь — Aaata.
то статистически моментъ
его по отношенію къ в
г-Е
УЕ"
,_.* +j(.—.^-.-^-И
Г
"Черт. 155 и 156.
_ /.«?«) 1.
в (Ga) 1
<?«
- в = -^-(р_в»). . (205а)
и по отношенію къ Ъ
Gb
5. = в- (*] - J1) гдѣ і = г
й.
Поэтому, если на I II лежитъ грузъ (?„ а на II ІП—грузъ G3, то
I M0midx=-r1 -+- у5 = '-—' i -■- -?-^
6(,
6L
[6 J M0mtdx = -1—7——
г,
." . (206)
2. Равномѣрная нагрузка д начинается въ разстояніи = «,
« кончается въ разстояніи = к, отъ лѣвой опоры (черт. 156).
Элементарный грузъ да* даеть но (205а)
поэтому
<ИГ, = ^Е(Ѵ-Р)
5l =/^^Ѵ^* = |t[2V<V-V)-(V-»4)]
^ = It№'* - "■'> ^' ~ V ~ "^
Таквиъ же образомъ нолучвмъ для нагрузки пролета П Ш, при дан-
нюъ на чертежѣ обозн&чевіяхъ
^ = || (V - »,') (2 V - V - »,')•

СТАТИЧЕСКИ НЖЩРЕДЪДЕНЯЫЯ БАЛКИ.
213
•/
Для нагрузки чертежъ 156, слѣдовательно, будѳтъ (при <?, = Ѳл = о)
'м,т& = б(^' -ь |) = *- (А,1 - »/) (21/ -*/ - «V -ь
3) Полная пагруака. Для этого случая п = о к = I; если,
поэтому, единичную нагрузку пролета I II означимъ черезъ рѵ а пролета
II III—черезъ рѵ то
6 ГMjn^dx =&£•*•*& (208)
Геометрическое опредѣленіе угла еѵ Прямая балка I П III,,
лежащая на опорахъ I и II, подучить видь I II ІП, если ея часть П III,
повернемъ на уголъ г, —Ш,
II Ш (черт. 157); на столько н ■ ■ Jj--4...- г' ■ *Т ** j
же повернется при этомъ и 'f> _ ' ■+--&•._, і,
сѣченіо П. такъ что молшо і "~^Х^^ \~ІУ* TJESs^aL
поставить ^^fe^crXj ш
Это уравнеиіе представ- Черт. 157.
ляетъ лишь довольно грубое
приближение, которое можегъ практически быть допущено только при
условіи чрезвычайно налшъ разницъ въ высотахъ опорнмхъ точѳкъ, и
при столь незначительной деформаціи балки, что еоотвѣтствующія про-
лѳтамъ I П и П Ш части упругой лиши могугь быть разсиатриваемы
за пряныя, а эти условія для непрерывным, балокъ всегда исполнены
на практикѣ.
Изъ черт. 157 имѣемъ „
Вслѣдствіе незначительности угловъ иолшо поставить
S Q S
гдѣ 8—вертикальное разстояніе опорной точки П отъ
прямой I Ш, соединяющей обѣ другія опорныя точки. 'Гакямъ обра-
эомъ ннѣенъ съ достаточиой для практика точностью.
Часто бывает! удобнѣе выразить уголь я, вертикальными раэстол-

214
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
ніями опорныхъ точеяъ оіъ ' нѣкоюрой горизонтали HJ. Изъ чертежа
получаемъ легко, проведя діагопаль І! III:
такъ еэкѣ
то
s = 11т - - тп — пр
тп = ~-г пр = г—г 11т — с
/,-і-/3 г Іх-+-1ъ
8 = С, СЛ CJ>
(Л+Л)_ J_
С,('і-»-^) — СЛ— йа'і|
С, — С, С, Ся
^-Ѵ-1-»--*-!—*-- (210)
132. Правило трехь иоиентовъ. Если въ уравнеоіе (205) подставимъ
выведенныя въ предыдущемъ значенія, то получимъ для непрерывной
балки, на которую одновременно дѣйствуюгь сосредоточенные грузы G-
и равномѣрныя нагрузки gt, д^, pt и р3, слѣдующеѳ основное уравнение
(черт. 154):
1 2
4 ~*~Рі 41, "*" 41, <
ZEJ^il^-h) - GEJ (-^Cl + С-5~5)=6Ж)г*1=6£/^=^ (211
)
Это уравненіе называютх правилоиъ трехъ момевтовъ; оно даетъ
возможность опредѣлятъ опорные моменты непрерывной балки, имѣющей
произвольное число опоръ, находящихся на разныхъ высотахъ.
133. Моменты, уекгія, реахціі.— Если вырѣжемъ изъ непрерывной
балки сѣченіяш, проведенными черезъопорныя точки Ли. В (черт. 154)
часть АВ, то для возстановлевія ея равновѣсія, существовавшаго до
разрѣза, нужно къ сѣчеяіякъ А и В приложить дѣйствовавпгія на яихъ
реакціж А и В. и моыевты Ж, и Mt: еслибы нослѣдніе были ="0, то
балка АВ была бы статически определенная, т. е. она превратилась
бы въ простую двухопорную балку,
Означинь нроисходящія въ какомъ нибудь.еѣченіи q непрерывной
балки: иокенгь—чегіезі, ДС,- и усиліе — черезъ Т, то по правилу
независимости дѣйстшя силъ (№ 61):

СТАТИЧЕСКИ ШШРВДѣЛЕННЫЯ БАЛКЕ.
иъ
Ж = М„ -+- ж.М, ■+- т^Ж3 (212)
T=T0 + t,Mt+UM,
и, подсгавивъ для т и t найденныя вышо зааченія (см. таблнчку
етр. 210).
М = Ма
1-х
И,
}Щ
или
М = Ма -+- Ж, -+- (Ж, ~ Ж,) j
— ° /
Ж, и Ж, означаютъ лѣвый и правый опорный мояентъ разсматривае-
маго пролета; для большей ясности фориѵлъ будемъ обозначать дѣвый
опорный моыенть черезъ Ж„ а правый—черезъ Мг, такъ что будеть:
М = М0 -+- Ж, -н (М, — М,)* (213)
М>-Ъ (214)
Т = Та -+-
I
Пусть D,—реакція опоры г, Тг и Т? — усилія сѣченій, находящихся
вплоть слѣва и справа г, то
Гр = Т, -к Dr
отауда
Dr = T?-Tr (216)
134,—Балка на &-хъ шгорахь (черт. 158). Крайнія опоры 1 и 3 приняты
на одинаковой высоте, а опора 2
на s ниже первыхъ. На пролетѣ
1 2 находится грузь G, въ раз-
сіоявів — а огь 1, а на пролетѣ
2 3—грузъ Gt въ разстояніи Ь отъ
3; кронѣ того балка нагружена
равншѣрно нагрузкой дх въ про-
легЬ I 2, и Зі—въ пролѳтв 2 3.
Такъ какъ здѣсь
•йн*5^к
Черт. 15Й.
М, = Ж, = 0 с, = с3 = о с, — s
то ыо (211)-
2Ж
; ffl _ w -_ fifi^J .- £fcfc±l + fib! н- іфі
*.
-ь

216
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
SEJaAt
■+■
откѵда
™^=™{Ы)
м, = —
%+'■)
7," ^ 4 Іл'»
-лѴ)
■ші'ж-у;І (™>
Когда опорные моменты опредѣленн, то моменты и усилія въ сѣче-
ніяхъ получаются по уравненіямъ 213 и 214, а реакціи — по уравне-
нію 215.
Для пролета 1 2 Ж, — 0, поэтому
м = м0 + мг? т = тв + ±>
Для пролета 2 3 М = О, следовательно
М=Х.+±«!='} Г=Т.-£. ■ • (217)
'з *»
Частные случаи:
1) На пролетѣ 1 2 лежитъ грузъ G, въразстояніиа отъ опорной точки
I, а на пролетѣ 2 3 грузъ G2, въ разстояніи = Ь отъ опорной точки 3
(черт. 158).
йзъ уравненія (216) вмѣемъ:
м__ і [я>(Ѵ-в'і • ^(У-»')
f^JL.3 _
Ж0 іі Т„ опредѣляются по правиламъ простой балки.
Реакція А. Между I и с :Та = ^Щ^^ ;Ма=^Щ^^ х
между с и 2: Та ~ -4- ; Жв = -у— (J, — ж);
а междѵ 2 и Ф. Тв = -'- ; Ж, ^= в, г ж ;
Поэтому

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАВ.
217
Моиевгь въ тоткѣ с (М„ = --'-^ф^-^] :
д* _ G> а (h ~ а) M.yt
2) Если G, = G,= G ls = l, = l а = Ь и I — а = I — (,= с
(черт. 158а), то предыдущія формулы даюгь:
_ Gae> (Зі-е)
ш' — -21* " '
вс*{31- с) Ga (ЯР - а1)
Л-С = 2?~ ■ S= Р
3) Пролетъ 12 покрыть равномѣрной нагрузкой ^„ а про-
летъ 23-—нагрузкой д, (чер. 158).
і
° "~ 2 "*" 2 W. ', /
Если для Ж, подставимъ значевіѳ, го получимъ иослѣ весьма
простого нрнведѳвш:
"° ^ 8 /, /,
л - л У (з*»-1-«*■>-*'«'
Максимальный положительный моменты

218
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
въ лѣвомъ цролегѣ 12:
въ правомъ пролетѣ 23:
128 */,'(/,+*,)'
л-~—^ і28ЛгД',-*Л)'
4) Оба пролета равны и одинаково нагружены (/, = 13 = I ду =
Л = £)■
■**■*■ wjitjc I Oft
135. Балка, защемленная на одноиъ кондѣ, а друггаъ
расположенная свободно на опорѣ.—Представленную на чер. 159 балку 12 можно
раасмагривать какъ брусъ, расноло-
0 жеяный свободно на 3-хъ опорахъ
"^ (чер. а), котораго правый пролегъ,
замѣняющій' защемленіе,'можно
представить себѣ произвольно иалымъ, т.
"^и. е. равныыъ нулю. Для такой балки
дѣйствительпы поэтому всѣ, въ пре-
дыдущемъ померѣ выведенныя ура-
вненія, если въ ннхъ поставимъ
длину £, а лежащую на ней нагрузку Gt в д^ = 0. Правило 3-хъ
моментов* получить видь (по 211).
^--«.--^^
Черт. 159.
17irj Gap—a') gl3 3 аК7 М , „ ^т
\2h l)
(218)
2/a AJLJ
M,=—
Jtf=JfB-+-Jf,
x
r=r.**
Для балки чер. 159 защемленной подъ угломъ tp кь горнвонталѣ,
которой онора 1 на е ниже оноры 2
ж, = <р — 5
гдѣ 5 —угодъ, образуемый прямой 12, соединяющей опорный точки съ
горизонталью Л2; при Д*=о будехъ:

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
ш
_ Ga(?*-e») дГ 3EJ{$-b)
Л. - " 'ух - g »-- Т^-
Такъ какъ уголь 8 очень малъ то іда = о = у
Когда брусъ защемленъ горизонтально, то ояъ находится въ точно
такомъ состояніи, какъ продеть 12 разсмотрѣнной въ Лі 134
симметричной, и симметрично нагруженной балки. Поэтому всѣ формулы,
выведенный въ атоиъ JVi для оролега 12 вполяѣ дѣйствительны для балки
чер. 1о9.
Для сосредоточѳннаго груза G следовательно, будетъ:
Ма = - ^т Ga(P-a')
Моменгь въ точкѣ прнложенія с
_ Gac\31~c)
Реакція опорной точки 1:
Gc*('Al—с)
2!
«I, 1UI 1,1 „
Л = ■- „і,— — а точки 1: В =
вафР—а')
21s
Для полной равномѣрной нагрузки д
М,= -д1- А=аІ%91 В = %дІ Мтох = ^дР
128-
Разность температурь Д£ даеть
М,=
ZEJaM
2А
136. Брусъ на 4 опорахъ. (Чер. 160). Такъ какъ балка не
выступаешь за опоры и не защемлена
на кошгахъ, то М, — Mh — 0.
Примѣняя правило трехъ ио-
мевтовъ къ опорамъ 1, 2, и 3,
а затѣмъ — къ опорамъ 2, 3 и
4 получимъ: ЧвІ"-16°-
тл{1, + и + ж,ь + -—,--- »--- ^ _ -*- 4
^V^Hp^pfJf
^Ж^бжу^а,-*-*,)-*,
= 0
ч,+ад+цн ад'.^І+«Аі^і)^іА1.

гго
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
9ъ
ч-eEJ
k 2 **
Здѣсь 2, 2 шл—углы, образуемыѳ касательной къ упругой лиши (оси
балки) въ точкахъ 2 и 3 съ прямой 12, и — (соотвѣтсгвенно)—прямой
23, т. е. г, = ^[.~Ш е., — -=2 43/".
По (210)
г, =■
I
гл — -
с, —с.
Л
*,
"1 <2 '5 'з
а)—Опоры 2 и 3 непрерывной балки 14 устроены на с, и с3
ниже прямой 14, соединяющей крайнія опорныя точки;
нагрузка ея представлена на чер. 160.
Здѣсь с, — с, — 0, всѣ G равны 0:
С1 . са сз „ сз ' сд _. сз
*» = г "•" —/— л* —г—'" г
,—о.
2Ж,а1-ь/1)ч-ЖЛ="^,---^-ьОЕ7[^ч-^
?,
аДг llt -t- lt
MJt -+- 2ЖЭ (/, + J,) = -
И]
0iV За',3
H-6.EJ
С;, — С,
с5 аДг //, м- £,
■Гт
(219>
Если всѣ пролеты равны, то рѣшеніемъ этихъ уравненій получаемъ:
Когда опорные моменты Ж, в Жэ вычислены, то уснлія Т в
моменты Ж получаются по слѣдующимъ фориудакъ:
По (213) и (214):
г та м-
ЛГ=И0 + 11 + (1;-1,)т г=Гв_н_г_г*і
Пролегъ 12: Здѣсь Ж, = Mt Ж, = 0
поэтоиу „
Т-Г. + * і*^Ж0-ьЖ,|

ЧАСТНЫЕ С J ! Ч A I,
221
Въ пролетѣ 23: М, = Mt Мг = М,
слѣдовательно
Т=Гп-н —а-~—'-; М = М.+ МЛ + (МЖ-МДХТ
Пролетъ 34: (І£,= М,; Мг = 0)
Т0 и М0 означають уснлін и моменты простыхъ двухпорпыхъ бадокъ
12, 23 и 34, опредѣляемые по правилами главы VII.
Чтобы получить реакцію напр. опоры 2, нужно определить усиліе Тг
для сѣченія, находящегося вплоть слѣва 2, и усиліе Тр — для сѣченія
вплоть справа 2; реакція точки 2, по (215).
D, = -+- Ц - Т,
б).—Всѣ 4 опоры непрерывной балка устроены на
одинаковой высотѣ; вся балка нагружена равномерной нагрузкой д;
М — 0; крайніе пролеты равны. £/'-^;' і !-г.2^-<
Для этого случая будемъ имѣть по (219)
2М, (К -+-1) ■+- Ж,/, = - ^—~&
3 _ f2/-+-3/,}
Поолетъ 12: \ J
Т = Та -+- ^ ; Ж = М0 -+- М, j : й= -ь Т, - Хр
і,— 2 4J2/-+-3Z, J'--i' ** ~ 2 4? 2/-і-З/,
Для опорной точки 1 : Г, = 0 Тр = Г, поэтому
D, - Tt - j/ 47(27+3/,)
Момента * "
м £?<* — *) У *' + 1* *
„ . м- 2 4 2/+3/;;
Изъ условія
■^■ = 0 получаемъа: = 2"-к-^-
Подставивъ это значевіе въ выражѳніѳ для М, имѣемъ
""*■*"■- Ж^(2*ч- 370

322 -десятая глав л.
Для пролета 23 М, = М,, поэтому
т= т0 м = мй -+- м.
Полутень:
~ 47(27+3/,)
> і—2Г ч-277,'-+-V
А — 9 - 47(27+37,)
ЛГ, = Л#, = — 7л V ■
*—
в.—Когда всѣ три пролета равны (I = lt), топредыдугція формулы
даютъ:
10
Въ пролетахъ 12 и 34
max М —
а въ пролетѣ 23 : »»«# Ж = ~-х
Если максимальный лрогибъ означимъ черезъ f, а его разстояніе
огь ближайшей лѣвой опорной точки—черезъ ж,, то по форнулѣ (118)
поаучаемъ безъ затруднения (W = 0)
для пролета 12:
х, = 0,4461 /= 0,00688 —у-
■въ пролетѣ 23:
ж, = 0,113? / = — 0,000417 •— (прогибь вверхъ)
и Д = -+- 0,00052 -тгу (прогиб* средняго сѣченія, внизъ).
Эти выражения покааываготь что прогибь въ крайнихь пролетахъ бо-
лѣв чѣмъ въ J3 разъ больше прогиба средняго пролета.
Если опоры 2 н 3 понизятся на с, то
_ 3gf (27, ■+■ 7) - 9j^i±^Sl
J'<- ' 4/1 (3^-4- 20
M _ -г дГ{Р+1*)-~24еЯГ
,_JOt" 47(3f, + 27)

частные сятчлл. 223
Въ яролетѣ 12 - i
max М = М. = —-
_ ff
Максимальный моментъ пролета 23
м _ діѴі + я,'!1 - 20 -+
*• w^ + aj
Если поставимъ Ж, = Ж5, то будетъ
-48cEJ
лг, = — лг, =
*ѵ
-О,
£ Ѳ/в—/,*
16
*
5?
Устройсіво будетъ наиболѣе выгодпымъ, когда Ж, = Ж, и также
Ж4 — Ж. (т. е. М.г= М, = Мь): для- этого случая мы получаемъ:
I = 0,8o35Z, Ж2 = — 0,00853^і'
жя = ж, = -ь ъ,шьцѵ
. О, = 0,13(%Л Д = 0,3694^Х
гдѣ і = 2/ -ь /,
с = 0,00029*! 7^-
137. Брусъ 23 задтланъ обоіжі концажі подъ углажж ?4 ■ <ра и
горізоиту, прм ченъ опора 3 устроена на о кгаѳ опоры 2. (Черт. 161.)
Этотъ брусъ можно разейатри-
вать какъ балку, расположенную на
опорахъ 1, 2, 3 и 4 (черт, я) та-
киьгь образомъ, что ея пряиолихенныя
части 12 и 34 наклонены к. горн-
зонту подъ углами ;р, и <э3. Если озна-
чимъ углы, образуемые этими
частями съ прямой 23, соединяющей
опорная точки 2 и 3, черезъ я2 и z„,
то принимая во вшшаше, что первый
в. третій пролеты равны нулю, будежь
имѣгь по правилу 3-хъ моиентовъ:
Черт. 161.
I
-ь
9?
QEJa Щ = 6EJz,
MJ
2MJ
GalF—a1) gl
I
4 hi. ■a

224 ДЕСЯТАЯ ГЛАВА.
гдѣ
с с
^ = ?s — Р = т. — т ** = Ті -*■ ? = ?s ■+- т
Если поставит,
^-'ѴС + ше-,!^
I 4 \ 2А
j ■ 4 " " \ 2А
то будбтъ:
2В-Л 2Л-В
ж» = —зГ" л' = --зг-
г = а; ч- Мз~м* м^м„+-м., + (м3~м,)*
Балка задѣлаяа горизонтально обоими концами. (Черт. 1616)
(*, = я, = М = j = о).
а) Сосредоточенный груз-ь G.
Въ этоиъ случаѣ
Gb(F~67) ва(Г~а*)
следовательно
2Gi(?2—iJ)—G^i1—о1)
л; = —
зг
2gg(P —а*)—ОД(Р-У)
зг'
Если въ первое изъ этихъ выраженій подставит. Ь = I — а, и во
второе: а = 1 — Ь, то нояучимъ
Ga(! — af ,, Gd(J — 6)
jfi = *J_ ДГ, =-
ели также
баб1 ,, Gia1
ЛЕ5 = р- ЛГ • — р~
Усшае(У0 = 7)
G6 Л^—Ж, _ ff(Z — fl)*(/4-2a)
Между 2 и с : ЗГ = Г,

частные сдтчаи. 225
а между с и 3 : Г = Гг — <?
Момеятъ въ сѣчевіи, отетоящеиъ отъ 2 на разстояніе — х
' М = ЛГ „ -+- Ж, -н (Ж3 - Жа) |
Для 0=^- (грузъ въ серединѣ балки)
И., =М3^
Реакціи і>, = -Д, = а
Момептъ Л7" ■= -^ ж g-
~ 8
т,=
_ а
~ 2
Для г = -2 Ж = -§-
т. е. момепгь въ серединѣ равняется опорнымъ моментамъ. Когда
простая балка нагружена въ сорединѣ грузомъ G. то ел максимальный
момента -= -J-, задѣлка укеньшаетъ, слѣдовательно, опасный моментъ на
половину.
б) Равномѣрная нагрузка. Для полной равномѣрной нагрузки
(<? — г., — шл = М — о)
4
ЛГ, = ЛГ* = — уз
Для х = -j-
*=£_£ = *!
8 12 24
Стрѣлка въ сѳрсдинѣ балки
**4
/" =
3841У
Разность Д£ температурь верхнего я нижняго волокна даеть
М. ЧжежтапвіпаЯ.~-Строягеіьвая ишлп. 15

226
слѣдовательно
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
хг А EJ*±tl
3/
138. Балка на Ь опорахъ (черт. 162).
Правило трѳхъ моыентовъ даетъ для этого случая слѣдующія ура-
виенія:
Черт. 162.
гдѣ
2Мг<г, -ьу -нж,/, = -р
м3іа -+- 2М< гг„ -*- г,) = — в,
« = т; ч-—7; + -г-—-
* = 5 + г; — -•-—+— +
Когда крайяіе пролеты между собою, и средніе между собою, равны
(/, = ?„ ІЛ=1Я), ^(«г равны нулю; и вся балка нагружена
равномерно нагрузкой д, то
и тогда
*, = *-,=_? £^л ж,=„| ѵ+вд-ѵ
4 4/, +- 3/,
4 4?, -*- 31,
Реакдіе
$,=!).=
1 б^,3-ьбг,ѵг-/,
4/, 47,-ь/,
П _ 7> ___?_ 37,f-*-10t,V1-i-12t1V-b«,V^V
3 1 47,;, 4І, -+- 3?,

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАВ,
227
д &1 + ю/д -_зу
'~21, 4J, ч- lit,
Еслп всѣ пролеты равны, то эти уравненія даютъ
Ш , = jtf, = - 23д ^ .if, = - А дР
139. Балка задѣлана горизонтально обоими концами, подперта въ се-
реджнѣ, и нагружена еооредоточѳиныжъ грузомъ G въ середияѣ одного
пролета.
Для этой балки действительны тѣ ;кэ е,
уравненія, что и для 5 опорной, если край-
тле пролеты 2, и lf поставимъ — о.
Для случая черт. 163 получаемъ легко:
Опорные момепты: Черт. іез.
Моментъ въ точкѣ пршюженія с
64
Опорныя реакцік
Реакція D4 направлена, слѣдовательно, сверху внизъ.
140. Балка, задѣланяая горизонтально обоіяж концами, нжѣетъ двѣ
промежуточный опоры, дѣіящія вею длину вя на 3 равныя часта; на
однонъ жзъ пролетовь лешЕть сосредоточенный трузъ G (черт. 164).
Уравненія моментовъ составляются для
этой балки такимъ же образонъ какъ для jjj I _j|fc
6-опорной, при предположееіи, что оба JQ ■■- * ~и _Js|
краиніе пролета = о. Щ^~І-г~у~^ т~^> tfll
а) Грузъ G въ середвнѣ перваго про-
,... г. Черт. 164.
лета. *
Помопцю правила трехъ моментовъ получаемъ легко:
Опорные моменты
*>=-тш M>=~ioGI *>=-ѣ& м^-шш-

228 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Моненть въгочкѣ приложенія груза:
Реакціи опоръ:
43
Ъ = ъ<* D^1WG D< = TbG D* = -ToG-
Грузъ G въ серѳдинѣ средняго пролета 34.
Опорные моменты:
Реакціи:
А = ». = —f D,=Dt = %e.
141. Балка на болыпомъ чиедѣ равноотстояшдхъ опоръ, яагружен-
ныгь равнонѣрно. Въ слѣдующемъ приведены опорные моменты М я
реакціи D многоопорныхъ балокъ, нагруженныхъ сполпа равномѣрнои
нагрузкой д, при предположены, что всѣ опорныя точки находятся на
одинаковой высотѣ, и на равныхъ между собою разстояніяхъ /: М и D
даны только для лѣвой половины балки, такъ какъ другая половина
симметрична.
1) Три опоры:.
2) Четыре
опоры:
3} Пять опор:
4) Шесть
ж,
л,=
опоръ:
=
11
28
дГ1
10
— -
ді
- А
!*■
2>,=
4 ,
М3 =
32
8 28*
Л.=
2
~" 28
і>,=
11 7
= 10*
&
26
28*"
Я, = -4*Р Mt=-4sffP
38 * 3 38*
38- ^=38^ Вз=38;
п 15 , _ 43 ■ 37

ЧАСТНЫЕ СЛГЧАИ.
229
Ь) Семь опоръ.
_ 41 118 100 106 ,
».="Ш^ ^=104^ І)^І04^ Д' = 104^
6) Восемь опоръ:
п 56 . п 161 137 , 143 ,
°'=ш?/ л^і425' v^m31 D* = m9h
7) Девять опоръ:
II ЭЛ ОО rttj
Л« = -388^ ^ = -381^ ^"388^ *--Ш^
п 153 . л 440 374 . 392 , Ті 386 ,
В* = Ш91 А=388^ Р» = 388^ ^ = 388^ ^ = 388 ?Л
8) Десять опоръ:
*■ = -/*>*■ Л«=-Ш^ Ж< = -5В^ ^ = "5зѴ
п 209 , _ 601 511 , 535 529 ,
■°^530^ ^ = 530^ ^БЗО* Л* = 580* 2>а = 530*/"
Эти числа ноказываютъ, что чѣмъ болѣе приближаемся къ серединѣ.
тѣмъ болѣе какъ опорные моменты такъ и реакдіи приближаются кг
равенству. Когда не требуется болппои точности (кавъ напр. при ра-
счетѣ деревянныхъ балокъ), то для упрощенія вычислений можно себѣ
представить балку на каждой опорѣ разрѣзавной: въ эгоиъ случаѣ да-
вленія на крайннхъ опорахъ будутъ равны ^, а на каждой нзъ проне-
жуточныхъ—gf. Дѣлаемая при этомъ ошибка при большонъ числѣ опоръ
будетъ занѣтна только для двухъ первыхъ и двухъ послѣднихъ опоръ.
Когда расположенная на » опорахъ балка на обоихъ коп-
цахъ задѣлана то всѣ опорные моменты ея—-j^, всѣ среднія
реакдіи = я/, а каждая изь крайнихъ = %-. Это слѣдуетъ непосредственно
нзъ того, что разрѣзавъ балку на каждой опорѣ непрерывность ея ко-
ясеть быть ванѣнена защемзешемъ.

230
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
142. Опредѣіеніе опорный, моментовъ въ елутаъ, когда нагруженъ
только одень продеть. —Такъ какъ вліяаіе иеремѣнъ температуры н
неодинаковой высоты опоръ можетъ быть определено отдельно независимо
отъ нагрузки, то будемъ разсматрнвагь балку при слѣдующихъ предпо-
ложеніяхъ:
1) Всѣ опорныя точки находятся па одинаковой высотѣ, т. е. ось
балки въ ненагруженномъ состояніи—прямая линія (величины s и с
уравненій (211) равны пулю, и разность температуръ М — О).
2) Нагрузка находится только въ r-мъ пролетѣ, а всѣ остальные
пролеты нѳ нагружены.
При этихъ предполозкеніяхъ правило грехъ моментовъ (Л? 132)даегъ
слѣдующія уравнешя (черт. 165):
G
Іш Ш Is Я Ьі I
щ,
Щг
2М,
-ь2Ж,
-*-2Мл
(1,
С,
&
+ ',)-• Л, 7,
-+- /,) -*- М, I,
ч-О + Л.?.
Черт.
= 0
=-0
= 0
«65.
мт^ г^ + 2МГ &_, -+- гг) + ым /г = — в
MJr -+- 2 М^х (/, -+- Z,+1) -н Мг^т+І = -А
. (220)

частные ciiqig. 231
Изъ этихъ уравнееій ииѣемъ:
а) Для ненагруженныхъ пролетовъ /, до ?,_,, находящихся слѣва
нагружеішаго:
в вообще
M,,, М^\:~1—~ + ж-1-:-^. . ,221)
Означимъ черезъ рт—отпошеше опорныхъ моментовъ пролета /„,
поставит, въ чнслителѣ тотъ, который ближе къ нагруженному пролету,
то б у деть:
МММ
ЖГ-ѵ> Ж3 = -Р>ЖГ-р> ■ ■ ■ (221а)
и по предыдущему,
Изъ предыдущаго имѣемъ:
М3 = — (2 -ь 2 -/) Л**„ т. е. М3 и Ж, нмѣютъ прямшротивоположные
знаки, и абсолютно Ж3 > 2 М3. Точно также,
ж.=-м,[24(-і)]
1 If
и такъ какъ отношеаіе М^: М3 отрицательно и меньше -%, 'то 2 -ь -^
>2 — іт. e.>f; изъ этого слѣдуетъ, что Mt в Ж, по ааакамъ про-
тивопоаожны, и абсолютно М,>[2 ■+- -% f )М3. Продолжая эта разсу-
жденіе вриходвнъ къ следующему заключение: Въ невагруженныхъ

232
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
пролетахъ опорные моменты поперемѣппо положительны и
отрицательны, и уменьшаются отъ нагружен наго пролета къ
крайнему такимъ образ о мъ. что каждый слѣдующій моментъ
болѣе чімъ вдвое меньше предыдущего.
Моиентъ въ какомъ-нибудъ сѣченіи ненагружѳннаго пролета /, кото-
раго лѣвый и правый опорные моменты равны М, и Мр, по (213), (такъ
какъ М0 = 0)
гдѣ х—разстояніе сѣченія отъ лѣвой опорной точки этого іфолета.
Означимъ черезъ »—разстояніе х того еѣченія, котораго
моментъ^; О, то « получится изъ уравнения:
О
■ М, -+- (Мр - Mt) 7
откуда /
1 ™-
1 м,
Мг
и такъ какъ -ѵ, = — р, то
1 -+-р
(223)
Отношеніе р опорныхъ момептовъ зависигь только отъ величанъ
пролетовъ, и не зависигь отъ нагрузка, изъ чего слѣдуетъ что разстояніе и
есть величина постоянная; соотвѣтствующую ему точку U называютъ
постоянной точкой, и такъ какъ она получена для пролетовъ,
находящихся слѣва нагруженнаго—лѣвой постоянной точкой.
б) Для ненагруженныхъ пролетовъ /г+і до /„, заходящихся справа
нагруженнаго получимъ, означивъ опорныя точки, начиная отъ крайней
правой опоры влѣво, черезъ I, П, III... и длины пролетовъ—I,, Іп, !ш—,
такимъ же образомъ какъ въ предыдушенъ случаѣ,
2 а,-і-/о>
міи = — м„
2 (/„ -+- L
ИЛИ Мш=-$аМа М1Г=-дщМа. . . .(2233)

частные cj»u». 233
гдѣ
2 (/, ■+■ !в) 1
■н Ми
2(г„-н/ш)
Если означимъ для праваго ненагруженяаго пролета I черезъ ѵ—раз-
стоянш той точки V отъ его правой опоры, для которой момѳнть Л/=0.
то, по (223)
і ~^а
ѵ = - (223а)
(225)
гдѣ q = ■— ~ , понимая іюдъ М, и Мр~лѣвый и правый опорный
моментъ этого пролета.
Изъ (223) и (223я) имЬемъ
£ — и 7 Z — ѵ
Р = — - — 1 и а — .... (2241
в) Для нагруженнаго продета 1Г по (220)
Mr_t /г_, + 2Ж, &__, + I) -4- Ж„, t = - В 1
3*7,, -+- 2ЯГ+, (і, -і- J,+1) -і- Л/,„., 7,+1 = — ,4 J ■
Если бы этотъ пролетъ не быль нагруженъ, то было бы А = В = О
п тогда ииѣли бы:
Ж_, /г_, -ь 2 Мг </,_, м- у -+- Жг+1 /, = О
и такъ какъ въ этомъ случаѣ Мг+І = — р, Л/г
Жг_, /г_і + 2ЖГ (t_, -н /,) -ргЖг?г = О
откуда
Л*,., U, -+- 2Ж, (I.г-ь I,) = prMrlr . . . (227)
Последнее уравнѳніѳ ложно написать такъ:
^=Ч_, + 2 (?,_■+*,) = M.
j)r оаначаетъ отношевіе онорныхъ ыоментовъ пролета Іг въ случаѣ, когда
этотъ пролетъ ненагруженъ, а частное М,_,: Mr есть отношевіе опор-
ныхъ ноыентовъ ненагруженнаго /—1-го пролета. Изъ предыдущаго слѣ-
дуетъ, что эти отношевія зависать только оть величины пролетовъ и не
зависятъ огь нагрузки, уравненіе (227) дѣйствитедьно поэтому и тогда.
когда пролетъ Іг нагруженъ.
При отсухствіи нагрузки въ r-мъ нролетѣ второе изъ уравяевій (226)
получить видь:

234
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
и вслѣдсгвіѳ Мг = — qr M,.^
Внѣсто уравненій (22 а) будет, ииѣть теперь слѣдующія, заиѣнивъ
I, f, % и на /, р и $
(р.Мт+- Мт^)1 = — В
{M, + qM,+i)l= -А
Если означимъ средшою часть U У пролета, т, е. I — и — ѵ, черезъ
w и примет, во вниманіе, что по (224) р = я — 1 и9=я — 1, то
получит:
#>=-
А- - - \\В
и послѣ весьма простого приведенія
п[Аѵ_<1_гіЩ ѵ[иВ-(1-и)А]
^=——ѵ^-~- Мм ="—~ТкГ~ ■ •i227J
Помощью этихъ выражешй опорные моменты нагруженнаго пролета
могутъ быть вычислены непосредственно.
*К Величины А а В зависать отъ рода наг-
fi-fc-
^З^З-fc,-*! рузки; для представленнаго на черт. lt>6
А =
gaf/*—я1) ffP
7" ~*~ 4
Черт. 166.
(Р—я*)(2Г— к1— я")
Изъ чертежа видно, что
Опорные моменты нагруженнаго пролета при дѣйствін одного

частный с j i 'i a i.
235
только груаа G. Въ этомъ елучаѣ
А =
слѣдовательно по (227)
Л- ] 1} = —; =
Мг =
г^'-*),_(,_,^'--і'>1
I
l'w
го
Такъ какъ
Ъ = I — а ] -+- Ь = 21. — а Г — і1 = « (2/ — в),
G abu r ,
ж'= - яг И'-*-»)--с-«из/-<»л
или
Gabv, , , 6г<і4«
ЛГ^= ^<27-3«-в) = -/іІГ(7-Зв-*-а). .(228;
Эти выраженіи получаются графачессц слѣдующимъ образомъ (черт.
167). Если бы балка была на опо-
рахъ г a r-t-l разрѣзана, то мо- д^^- „_Ь_^--... - Ъ
ментъ въ точкѣ приложены £ былъ бы
Gab . а
*•= — '
Вычисляет, ІИ0 отЕладываеиъ отъ
г-і-1:гч-1е= I—'&ѵ, и отъ с влѣ-
во erf = ~: на основанги cd строимъ
врямоугольникъ edgh, котораго
высота dg = kc = -4-. Если проведѳнъ
■ . Чъуг. 167 н 168.
наговаль дс, го она отсѣкавтъ на *
лиши груза G точку ps такъ, что tp, = Д^. Въ саконъ дѣлѣ:
'р»=Х7^= (—г-1—^^—^ = -7^-(г—з^^ь Ь).
г
1
с
■-^іі
t.
>Ч^
ІП,
уѵ
~^"
•t
I
Л
п
Сіі
V ' /
U

236
Г.ІАВЛ ДЕСЯТАЯ.
Если сдѣлаемъ ге = / —Зг( и ef= —, то подобнымъ образомъ полу-
часмъ на G точку р5 такъ что £р, = Жгм_,. -
Отложимъ на опорныхъ вертикаляхъ гІ = Мг; г -н І,2=ЛГ,..,.1:сое-
динимъ 1 съ 2 прямой 12, пересѣкающей G въ точкѣ т, и отложимъ
тд = Ж0 = й,, то .9^ = моменту М въ точкѣ tf. 3^2 есть, слѣдовательно,
лиеія момеетовъ иг,г+ 1 — ея замыкающая сторона.
Когда требуется построить эту линію ыоментовъ для разныхъ
положений груза G оа г,г ч- І, то всего лучше построить сначала линію
моментовъ Ма. Эта линія нредставляетъ параболу, потому что означивъ
М0 черезъ у, перемѣнное разстояніе а черезъ х, и Ь—черезъ / — х, ея
уравненіе будетъ:
Gs(l — x)
9= /
Для , G]
Эта парабола г, t, г -ь 1 можетъ быть построена геометрическимъ пу-
темъ, но для большей точности слѣдуетъ опредѣлять ея точки вычв-
сленіемъ.
Весьма просто также слѣдующее построеніе (черт. 166). Если
t,—точка приложевія груза G, и/(, = G. -(-, то строимъ прямоуголь-
накъ rcdr,, котораго основаніе rrl, а высота = ttt, ігроводимъ діагонали
сг, и dr, затѣаъ tntfjcr, tnjjdr, до пересѣченія съ вертикалями опорныхъ
точекъ с и г, въ т и я, и соединяемъ т съ г,, и я съ г. Прямыя »-,*»
и т будемъ называть X—линіями. Ностоянныя точки U а V проектм-
руемъ на т и г,яг, н полученныя точки « и ѵ соединяемъ прямой иѵ,
которая пересѣкаетъ вертикали точекъ г и г, въ 1 и 2, Такнмъ же об-
разомъ кань прежде легко доказать, что
гдѣ М— моментъ въ точкѣ (,, произведенный лежащимъ на ней грузомъ G.
143. Поотроеще лшх жомежтовъ.—Изъ способа построешя веревоч-
наго многоугольника слѣдуетъ, что вершины его, а слѣдовательно и
вершины лиши моментовъ, находятся на направленіяхь свлъ, а между
вершинами она шгветъ ввдъ прямыхъ лиши. Въ ненагруженныхъ пролетахъ
силами суть только реакціи оноръ, поэтому въ ненагруженныхъ частяхъ
балки линія моментовъ нредставляетъ прямолинейный многоугольника
котораго вершины находятся на олорныхь вертикаляхъ, и (по уравн. 222)
стороны этого многоугольника въ пролетать, находящихся слѣва нагру-
женнаго, пересѣкаютъ ось абсциссъ на вертикаляхъ лѣвыхъ постоявныхъ

ЧАСТНИК СЛУЧАИ.
237
точекъ U, а въ пролетахъ справа иагруженнаго—на вертикаляхъ пра-
выхъ поставишь точекъ V. Когда поэтому, опорные моменты Ж, » М^і
иагруженнаго пролета и постоянный точки U и V всѣхъ пролетовъ опре-
дѣлены, то линія моментовъ получается слѣдующамъ ойразомъ (черт.
165а). На вертикаляхъ опорныхъ точекъ гяс + І иагруженнаго
пролета огкладываемъ.
rs = Mr r-t- \,t = Mr+i.
Начиная отъ точки s етроииъ влѣво ломанную линію $4,3,2,... такъ,
чтобы ея стороны s4,, 4,3,, 3,2,... проходили черезъ постоянныя точки
Ѵл, U3, U3.... а вершины 4,, 3,, 2,... находились на вертикаляхъ
опорныхъ точекъ 4,3,2,... Подобнымъ образомъ, начиная съ точки t,
проеодимъ ломанную ^7,8,..., проходящую черезъ постоянныя точки Ѵ7.
F"s... Затѣмъ для нагрузки, лежащей на г,г -ь 1 строинъ посредствомъ
нолюспаго разстоянія= I, веревочный многоугольпикъ такъ, чтобы его
крайпія стороны проходили черезъ точки sat. Ординаты получепнаго
такимъ образомъ многоугольника, измѣренныя отъ оси к,ѵ,
(заштрихованная на черт. 165») равняются мокентанъ происходящвмъ въ свче-
ніяхъ, опредѣлеппыхъ основаніями ордипатъ.
Усилія (черт. 1656) получаются помощью веревочнаго
многоугольника (линів иоментовъ) обыкновеннымъ образомъ (Л» 106).
144. Опредѣлеяіе угаііж а иоиентовъ непрерывной балки доетояя-
наго сѣіенія пожощыо лостроенія.—Если въ уравненіи 211 выраженіе,
не зависящее отъ опорныхъ моментовъ М. озпачимъ черезъ—S„ то будетъ
MJ, -+- 2 М., (/, ■+- /,) -ь Щя = S, . . . . (225)
Показатель 2 буквы S указываегъ, что вырэжеше S зависитъ отъ.
величиеъ, принадлежащие пролетамъ пмѣющимъ общую опору 2.
Уравненіе (225) можно написать такт.:
1) St = Q, т. е. пролеты ?, и 7, ненагружееы, опоры на
одинаковой высотѣ, и разность Д( текнературъ= 0.
По (226) длл этого случая будемъ имѣть
Если Іл л /.,—пролеты, находящіеся слѣва нагруженнаго, то игь
линія моментовъ состонгь изъ пряиыхъ mtmt и я»,яі, (черт. 169), пересѣ-
кающихея на вертикалѣ опорной точки 2, проходнщихъ черезъ постояв-

238
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ-
выя точки U, и Uv Отложимъ отъ 1 вправо
і (2) = г,
(т. с псстроимъ пролеты lt и lt въ обратишь порядкѣ. предетавивъ
себѣ балку повернутой около вертикали точки 2 на 180°) и проведемъ
черезъ (2) вертикаль £г; эту вертикаль будемъ называть сдвинутой
вертикалью.
Соединили. )Mj съ 3 и »і3, и означимъ точки пересѣченія прямыхъ mji
и т,т.4 со сдвинутой вертикалью черезъ а и Ь, то изъ построенія слѣ-
дуетъ:
]т,
__ Л,
-, М,
(2>«=^W^^,^,;-;^
поэтому
(2) я -+- ві = (2; 6 =
мл
'■-+4
** = -2Д/0.
Звакт—ноказываетъ, что точки *и, и і находятся на разиыхъ
сторонам, оси 1,3.
Изъ - послѣдняго уравнения слѣ-
дуеть, что прямая mtm3 отсѣкаетъ
на сдвинутой вертикалѣ отрѣ-
зокъ (2) Ь, равный удвоенному
моменту средней опоры 2.
Отношеніе опорньгхъ моментовъ
лѣвыхъ иенагружеыпыхъ пролетовъ
мы обозначали буквой р, и по (223)
(абсолютно).
тЦ=*-'-'і;"А ■ &щ
Когда точка U, пролета I, дана,
и проведемъ черезъ нее
произвольную прямую, пересѣкающую
вертикали опоръ 1 и 2 въ с, и с.,, то
_Jfi — _Ні_
2ё~.
>■
-«,
Черт. 168,169а и 1G96.
следовательно, по (228)
2с," *."
Соедиттъ с^ съ постоянной точкой 27, следующего пролета 23, и

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
239
продолжимъ cJJ^ до пересѣченія съ вертикалью опоры 3 въ с3 получимъ
Зс3' ~?3—«а — Ж"
Поэтому
1с, : 2са : 6ся = М, : 3/, : Ж,.
Изъ этого слѣдуетъ непосредственно что прямая с,с, отсѣкаетъ
на сдвинутой вертикалѣ отрѣзокъ (2) с равный 2. 2еу
Точка 77 „ при дапной точкѣ 77,, получается, поэтому, помощью ств-
дующаго простого построезія (черт. 169т):
Проводимъ чсрсзъ U, произвольную прямую с,с,. пересѣкаю-
щую опорныя вертикали 1 и 2 ві. с, и с/, откладываемъ на
сдвинутой вертикали (2) с = 2 X 2 с,; соединяемъ с, съ с, продол-
жаемъ с,с до нересѣчепія съ вертикалью опоры 3 въ с3 н
соединяемъ с3 съ с,, получаемъ въ пересѣченіи с.,е3 съ осью 23
точку Z7,.
Такимъ же образомъ получаемъ помощью 77, постоянную точку Г".,
слѣдующаго пролета и т. д.
Если дана правая постоянная точка F„ краГшяго праваго (т. е. ио-
слѣдняго) пролета /„, то подобпымъ образомъ (означивъ напр. точки
ю-4-1, п и w—1 цифрами I. II в III, а длины /„ я ?„_,—черезъ /, и
7ц) получимъ правую постоянную точку Кя_, слѣдующаго пролета ?„_!,
и т. д. На черт. J 69S проведена черезъ F, произвольная прямая с, Сц.
яа сдвинутой вертикалѣ сдѣлано Q1) с = 2 X Й си, черезъ сие
проведена прямая с, сга, и затѣмъ—прямая сп сш, которая въ пересѣчепіи
съ II Ш дала постоянную точки Fa. Помощью F, можно теперь
получить F3 слѣдующаго лѣваго пролета и т. д.
Когда балка лежитъ свободно на опорахъ, то лѣвой постоянной
точкой 77 перваго пролета есть крайняя лѣвая опора 1, а точка V послѣд-
няго пролета совпадаегь съ его правой опорной точкой—потому что на
конечныхъ опорахъ моменты въ этомъ случаѣ = о.
На черт. 165с указано построеніе постоянныхъ точекъ 77 и F для
непрерывной балки АВ, расположенной на опорахъ 1, 2, 3... Для
простоты всѣ точки с, приняты на прямой mnjjAB, отстоящей отъ АВ на
(произвольеомъ) разстояніи г, вслѣдетвіе чего всѣ точки с находятся на
прямой pq, параллельной АВ, отстоящей отъ АВ на раастояніе = 2г.
Построеніе начато съ того, что сначала проведены всѣ сдвинутая
вертикали *а, £,...; постоянная точка 7J, перваго пролета совпадаегь съ
первой опорной точкой 1, а правая постоянная точка V послѣдняго
пролета находится на послѣднен опорѣ.
2. Нагруженные нролеты. Для нагруженныхъ пролетовъ дѣйствительно

240 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
по (226) уравненіе:
Ж4_лИ.= s, ал
I
2
/,-b/j /,-t-£2 lt-*-l.
и поставивъ для краткости
*, = «, — 2Jfr
откуда ,
*. = ^—і (229)
По (227) £, = отрѣзку па сдвинутой вертикалѣ, отсѣченпому нрямой
mtm3, а величина s3 по правилу трехъ моментовъ получается изъ
выражения ('211):
3
1 [ygo(/t'-o') ygHV-У) , ff.V , М ,
"^ 4 г, 4?,
-««(^-й) (230)
гит»
г — г _ с'^н" с^і_(с3—^)^-і-(^—с3)г,
в, и £, въ уравпеніи (229) должны быть взяты со знаками, т. е.
когда st и t2 вмѣютъ одинаковые знаки, находятся, слѣдовательно, оба
выше или оба ниже оси АВ, то для оиредѣлевія Mt нужно ь- уиень-
шить на -?, з если sa находится выше, a ti— ниже.оси АВ (или на
оборотъ), то ^ должно быть увеличено на -2*-
Если моменты iff, и Ж3 нзвѣстны, то помощью формулы (229)
получается Ж, слѣдующимъ образонъ (черт. 170), Откладываемъ на опор-
ныхъ вертикадяхъ
lm,:=Ml;-im~!l^M3;'2s~=^; 3 (2) = 1,; или 1 (2)=/,; соедшшемъ
т, съ ms, и ороводимъ черезъ (2) вертикаль (2)* до дересѣчевія съ
м(я*з въ /; получаемъ f2 = t (2). Откладываемъ отъ яа внизъ s}i», =
— *® — '= ™^
2~ ~ 2 ' "ОТемь:
2Й^ = Ж,.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
241
Пусть U, и Т7г (черт. 170j—лѣвыя постоянвыя точки продетовъ 12
и 23. Построимъ трѳугольникъ т,т^т3 и означикъ точки, въ которыхь
вертикали, цроведепныя черезъ постоянныя точки TJi и С,, пересѣк&ютъ
да,та и »»,тя, черезъ U\ и £/"',. Возьмемъ на вертикалѣ средней опоры
2 произвольно точку р-з, и примет, ее за вершину треугольника ц,^,,
котораго другія вершины,
т. с. [і( и |х3 находятся па
вертшсаляхъ опоръ 1 а 3, а
СТОРОНЫ 1Л2[1, И |*sfV, ПрО-
ходятъ чѳреаъ точки U', и
Г7'а, черезъ которыя
проходить И СТОРОНЫ JBjWl, И
m3m3. По извѣстному
правилу Новой геоиетріи
третьи стороны mtm3 и [i,jis
встрѣчаются на прямой,
соединяющей точки V, а
Р', *).
Сдвинутая вертикаль пе-
ресѣкаеть основанія т,»*э
и (*.1|л3 треугольниковъ от,
т^т3 и ii,i».,[i-, въ точкахъ t и т; соединимъ эти точки съ
соответственными вершинами т3 и [і,, т. е. проведенъ прямыя іт1 и тр^; также
соедиаимъ (2) съ sa. На основаніи того же правила Новой геометріи
заключаемъ **), что прямыя lmv т[ц a (2]st пересѣкаются въ одной и
той же точкѣ а, которая находится на той же прямой VXU\' Это
свойство даетъ возможность определить точку U\ посредствоиъ точки U',.
По (229) SjWj — 4г, ивъ чего слѣдуеть, что точка а дѣлитъ разстоя-
ніе (2)~~2 (которое = Іг — /,) въотношеніи 2 : 1, поэтому 2.s,[*5 — {2)~.
Если, слѣдовательно, (2)~ = 0. то и s,u,, = 0, т. е. если проведемъ
^іСч черезъ точку (2)," то точка ц, совпадаетъ съ точкой s„ т. е.
прямая ft,*?7, буаетъ проходить черезъ s,.
Точка С', при данной точкѣ Л\ получается на основаніи предыду-
Черт. 170.
*} Есяи я — утольнлвъ изм-Ьняеть свою форму тамогь образонъ, что его
вершины оплиываютгь прямыя линіи, л »—1 стороны пронодягь черезъ постоянная
точни, находящіяся за одной в той ив прямой, то последняя сторона проходить
черезъ постоянную точку, находящуюся на ток зкѳ пряной. Бъ даппгагь случеѣ
нершпнн треугольника ii^vijnj описывашгь прямые 1%, 2«, и Зшд, а стороны »,»,
и яі)і», проходить черезъ постоянвыя точки (Л, н U't, поэтому и третьи сторона ш,
проходить черѳзъ постоянную точку з, находящуюся на прямой U't О',.
**j Это завлючевае получается изъ раасмотрѣвія треуголъниво въ tmji»,, tjx,[Iji
(2)%з и т. д.
М. ЧтщшннекіЯ — Оірвигельнан жвияида. 16

иг
ГЛАВ* ДЕСЯТАЯ.
щаго, слѣдуюшимъ ебразомъ (черт. 170а): Отложивъ 2$3 = J
соединяемъ st съ О7,, и опредѣляемъ точку псрееѣчепія ;а, прямой
C',s, съ другой опорной вертикалью пролета I,:
точку (і, соединяемъ съ основаніѳмъ (2) сдвинутой
вертикали, и продолжаенъ прямую 1^,(2) до пересѣченія съ третьей
опорной вертикалью въ |хэ:
соединяемъ \х3 съ s„ получаемъ въ пересѣченіи ^3s3 съ вер-
калью постоянной точки Z7, точку U\.
Если теперь возьмемъ пролетъ 23 и слѣдующій пролѳтъ 24, то та-
квмъ же образоыъ помощью точки U', получиыъ точку Е7'3 и т. д.
Точки Т" на вертпкаляхъ постояпвыхъ точекъ V получатся посред-
ствоыъ такого же построения, какъ и точки W, исполненнаго въ напра-
влешн справа влѣво.
Носредствомъ соедиленія точекъ V и V пролета получатся на оиор-
ныхъ вертикаляхъ точки т, опредѣляющія опорные моменты. Когда по-
слѣддіе для какого-нибудь пролета, напр. lt найдены, то обозначивъ со-
отвѣтствующія ему точки m черезъ »ws и ш3, строимъ для нагрузки,
находящейся на этомъ пролетѣ, линію моментовъ (веревочную линію при по-
люснокъ разстояніи = 1) такъ, чтобы ея край-
нія стороны проходили черезъ т2 и ms;
ординаты этой линіи, отпесепныя къ ЛВ какъ
оси абсциесъ, равняются моментамъ въ соот-
вѣтственныхъ сѣченіяхъ балки. Линія усилій
получается изъ линіи момептовъ обыкновея-
нымъ образоиъ (си. .№ 120).
На черт. 171 указано построеніе точки
U'2 для двухъ нервыхъ (или двухъ поелѣд-
Черт. 171 я 172. нихь) пролетовъ при свободномъ
расположение балки на опорахъ. Такъ какъ на опорѣ
1 въ этомъ слутаѣ моаенгь Ж, = 0, то точки Сі и U'„ следовательно
и точка (J.,, совпадаютъ съ точкой (, а [і3 находится въ точкѣ 3; для
построения U'j достаточно поэтому, отложить на вертикалѣ опоры 2: 2Sj=
-g- s„ и соединить s, съ 3; пересѣченіе прямой s,3 съ вертикалью
постоянной точка С, даегь точку U't.
Когда балка выступаетъ за крайнюю опору въвидѣ консоли (черт. 172),
то ыомевтъ Мх определяется легко по правилу консоли (№ 117). Если
отложимъ In», — М% и ■ 2Sj = ^ , то точка [і, совпадетъ съ шѵ поэтому
соеднняемъ тг съ (2), продолжаемъ mt(2) до пересѣченія съ вертикалью
опоры 3 въ р.г, н провѳднмъ прямую (і.а8г, которая въ оересѣчшіи съ
вертикалью точка Ut даегь точку Ut'.
На черт. 173 указано построеніе онорвыхъ момеатовъ для 6 опорной

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
213
Залки ЛВ. Построение исполнено въ слѣдующемъ порядкѣ: ]) для
каждой опорной точки вычислены въ зависимости огь нагрузки, высотъ
опоръ и разности температуры величины s, т. е. s2, s3, s, и ss, в поло-
/л.
Черт. 173.
вины ихъ отложены огь опорныхъ точекъ 2, 3, 4 и 5 па вертикаляхъ
этихъгочекъ—пололщтелькыя внизъ, а отрицательныя вверхъ. На черт. 173
принлто, что всѣ эти величины отрицательны, а потому всѣ онѣ
отложены вверхъ, т. е. сдѣлано
2) Построены для всѣхъ пролетовъ сдвинутая вертикали t, и за-
тѣмъ—постоянный точки и V и У.
3) Построены точки W и V. Точка 17,' совпадаетъ съ 1, a F/—
съ точкой В. U2' находится въ перееѣченіи прямой s,3 съ вертикалью
точки U„ а F4' —въ пересѣченіи прямой s54 съ вертикалью точки F4.
Посредствомъ прямыхъ s3E/j'[V р,{Щр3 и p3s3 получаемъ точку Us'. за-
гѣмъ такнмъ же образомъ—точки JJ' и Ѵѣ'. Соедвняемъ Р",' съ F/
получаемъ на вертикаляхъ опоръ 4 и 5 точки mt и ms: прямая »і,Оу
даетъ точку т3, а прямая mflj — точку т,. Этими точками всѣ
опорные моменты определены, а именно:
М, = 0 Mt = 2й"2 Жа = Ш, ЛГ, = іт, Ж, = 5Й^ М6 = 0.
Ддя повѣркн правильности построенія определены также точки F/,
Р-,' и F/, которыя доллсны получиться на прямыхъ Ітл, »и,т3 и т,»»4.
Кромѣ того помощью уравненія (229) можно провѣрить правильность
отрѣзковъ stm„ s^mz, stmt и sbmb.
в) Къ нагруженному пролету прнмыкаютъ съ обѣихъ сто-
ронъ незагруженные. — Положимъ что нагружевъ только продеть
23, а прнмыкаюпце къ нему продеты 12 и 34 ненагружены. Въ нева-
груженныхъ пролетахъ точки С совпадаготъ съ постоянными точками U,
а точки V—съ постоянными точками V.
іе*

ш
ГЛЛВА ДЕСЯТАЯ.
Точка U%' пролета 13 опредѣлитея, поэтому, слѣдующимъ образомъ
(терт. 174): соеданяемъ Лх' (т. ѳ. Р",) съ sai получаемъ на опорной вер-
тикалѣ 1 точку р,;
черезъ [і, и основаніѳ
(2) сдвинутой
вертикали пролетовъ 12 и
23 проводимъ пряную
{А1(2)(1а, и соединяешь
t-i-з съ sa, получаемъ въ
пересѣченіи p.asa съ
вертикалью
постоянной точки U3, точку
U'.
Для полученія V,'
соединяемъ F3 съ sa,
нолучаемъ на опор-
нон вѳртикалѣ 4
точку [*', которую
соединяемъ съ основаніемъ (3) сдванутой вертикали пролетовъ 23 и 34, продол-
жаемъ (jl'(3) до нересѣчеяія съ опорной вертикалью 2 въ ц'", ,и соединяемъ
]і'" съ s3, получаемъ на вертикаль точки Ѵ2 точку VJ. Прямая UJ F,'
иересѣкаетъ вертикали опорныхъ точекъ 2 и 3 въ т, и »»э; иыѣемъ:
М3 = 2»Г2 М3 = Зш"3.
145.—Онредѣленіе аеяжчшъ s для случая, когда нагрузка состоітъ
шзъ одного только груза С?, дѣйствутщаго въ нролетѣ 23.
Если длину нагружеппаго пролета 23 означииъ черезъ I (7, — Г), то
по (230) имѣемъ,
Черт. 174 и 175.
такъ какъ для s,
а для s„
(', + /)/
2<?а (Г—а*)
I
■у (?5 (Г—Ь*)
3
/
— О
= 0
s, = —
s, — —
(231)
Графически величины sa и s3 опредѣляются слѣдующимъ образомъ
(черт. 175). Строимъ прямоугольникъ 23hg, котораго основаніе 23 = /,
а высота 2д = -у- . т. ѳ. = моменту простой балки, произведенному
грузом Q въ его точка приложения L
Проведемъ діагонали gZ и 2А, и черезъ точку і, въ которой & пе-

частные случаи. 245
ресѣкаетъ gh— igt((Sg в ih,//2h, имѣемъ:
99_х_ _ jfi Ш± __ ^
'дТ 23 hi' ~~ 23~
и такъ какъ _ __ а к
ді ~ a hi = b = l — a #2 = А3~=-,—,
~s — -= Ga1* Gab <?au /, e\ Go (I— a) (l + a)
— _ GMP-o'h r^_ ffft^-u1)
"' — p~~ ' ' — 7*" '
Отложиыъ на вертикаль опорной точки 4 : igt = 2дѵ и соединикъ д3
съ 2, то прямая дл2 пересѣкаеть вертикаль точки 3 въ s3; потому что
Ga (Г—а1)
<ч- 2І м- h^l ./■-. ц^ц .
Такааъ же образомъ получить s,, для чего да вергикалѣ точен
1 откладываемъ
1», = 3*. = —к-р '-
и соѳдиняѳнъ А, съ 3. (См. также построеніе опорныхъ мокентовъ
черт. 168).
Для большей точности слѣдуетъ при опредѣлеяіи зг a s3 отдавать
предпочтеніе вычисление.
146. Пржжѣръ. Опредѣлить опорные моменты, моменты и усияія для
непрерывной 4-зъопораой балки АБ, которой врабвіе пролеты 12 и 34
равны £„ а средній — 1= 1,21,—нри разныхъ подоженідхъ на ней
груза G.
а) Грузъ G на первомъ пролетѣ 12:
Бь этокъ случаЬ имѣется только s7 и по (230)
Ga(l,'-a*) __ ^('"у)

216 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
I G
и такъ какъ j- = у
б) Грузъ G на второмъ пролетѣ 23: Здѣсь
По этшіъ формуламъ вычислена следующая таблица:
ТАБЛИЦА I.
Грузъ в да иервоыъ
пропет*.
а
о,
ОД
0,2
0,3
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,9
1
■к
*3
JIIIIIIIL
.6/,
Грузъ <? на второмъ
пролегѣ.
а
0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
. I
*1
liiiifiif
.01
Поноіцью этой таблицы, по изложенному выше способу, были
определены графически моменты и усиліа въ сѣченіяхъ пролетовъ 12 и 23, дѣ-
лящигь тоть и другой продеть на 10 равныхъ частей. Чертежъ бшъ
исшлненъ въ масштабѣ 1 mtr = 4 cmtr, и 1 тонна = 10 ст. Для про-
вѣрки правильности нолученныхъ графнческкнъ путемъ результате въ,
расчетъ быль повторенъ вычисленіемъ въ слѣдующемъ порядкѣ:
1) Постоянные точки. По (222)
и, = -г-^— = ~ I == 0,2143*
s 1-ьр, 14- '

частные случаи. 247
*-»4Ks-(-S
6 _3_
5 11
224
1 55
». = т—- = ^?, = 0,1971/,.
і-*-л
279
2) Моменты на опорѣ 2.
а) Грузъ G на перномъ пролегѣ. Здѣсь и, — о «,—«.,= 0,197?,
м> — / — к — ѵ = 0,S029Z„ слѣдовательно, по (228)
,, „ GW' 0,1971/.., ч —0,2455« іі. — а) ,
і¥, = — 0,2455 j у 1 — уЛ 67, . .■ .
б) Грузъ G на второмъ пролетѣ:
u = v = ut = 0,2143/ w = t — и — ѵ = 0,5714/.
По (228)
* = * = -£ ■$£<*-*«•«-.J
(а)
(в)
По формулаиъ (а) и (6) вычислена слѣдующая таблица оиорнаго
момента Ж.,:
ТАБЛИЦА II.
Грузъ в на первомъ
пролетѣ.
ЛГ, (ПО и)
Грузъ (? на второиъ
пролетѣ.
a 3fj (по б)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,0243
0,0472
0,0070
0,0825
0,0921
0,0043
0,0877
0,0707
0,0420
О
0.1
0:2
0,3
0,4
0,5
0,6
0.7
0,8
0.9
1
0,042 [
0,0694
0,0832
0,0862
0,0804
0,0682
0,0517
0JS26
0,0157
О
Л
.еі,
.1
.GI
Моментъ 3f3 прв нагрузи второго пролета для разстояшя я вслѣд-
ствіе енмммріи равняется моменту Mt для разстоянія I — а.

248
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
3) Усилія Т; и Т7 въ цролегахъ I, и 1% для сѣченій,
находящихся слѣва точки приложенія груза.
Если ознатамъ черезъ:
Т —усиліс въ какомъ-нибудь сѣченіи s ваходящеася въ пролетѣ,
котораго правый опорный момешъ Мт, лѣвый—Mt, а длина к
Т„ — усиліе того же еѣченія, когда балка длиной / расположена
концами свободно на опорахъ, то по (214)
Ж,
Т = Гя-ь^
/
Для пролета 12, нри положеніи на немъ груза (?,
поэтому
j, _ -
Ж,
(a)
Когда грузъ находится па пролегЬ 23, въ разстоянін = в отъ опоры 2,
то между Зяб
Tn = G
J —a
следовательно
Mf = М3 М,= М3
I -а Мл — Жг
T,= G
11
По формуяамъ (а) а (б) вычислена слѣдующая таблица III:
ТАБЛИЦА Ш.
Груэт. на первоиъ
пропетЬ.
Усиліе Г,
Груаъ на второмъ
пролетѣ.
Тслліе Т,
О,
0,1
0£
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
h
1
0,8757
0,7543
0,6330
0,5175
0,4079
0,3057
0,2102
0,1322
0,0580
О
. О
о,
0,1
0.2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
03
0,9
1
'л
1
0,Ы270
0,8337
0,7315
0,6180
0,5000
0,3920
0,2685
0,1662
0,0730
О
е."
№

частные ел і чли. 219
4) Моменты М въ точкѣ приложенія груза.
Для пѳрваго пролета Ж— Tta а для второго: М — Мг^Т,!а
{моменты М2 отрицательны).
По этвмъ формуламъ вычислена слѣдующая таблица:
ТАБЛИЦА IV.
Грузъ
а
о.
0,1
0,2
0.3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
■h
Q на лервоиъ
пропетЬ.
И
0
0,087(1
0,1509
0,1399
0,2070
0,2040
0.1834
0,1471
0,1058
0,0522
0
.Glx
Груві
а
0
0,1
0,2
0.3
0.4
0.5
0.8
0,7
0,8
0,9
1
.г
G на второ
пролегЁ.
М
0
0,0503
0,0973
0,1362
0,1610
0,169В
0,1610
0,1362
0,0373
0,0503
0
. аі
5) Реакціи опоръ.
По (215) реакція опоры г
Dr=T?—Tr (215)
гдѣ: 2*р —усиліе вплоть справа г, и Т, — вплоть слѣва г.
а) Груаъ G на первомъ пролѳтѣ 12.
Реащія опоры 1. Для этой опоры Тг = 0 ТР = Х„ и по (215)
D, = ч- Г,.
Реакція опоры 2. Здѣсь Т, — Т, — G; такъ какъ пролѳтъ 23 нѳна-
груженъ, то Та = 0, поэтому ТР = ' ~J--~ и по (215)
А -М^'-(т,-ѳ).
Вслѣдствіе отсутствія нагрузки на щюлетахъ 23 и ^4 имѣемъ по пра-
виду трехь моиентовъ:
M1l-*-2M,(l-t-l,) = Q
откуда
I 1,21 _ ±

250
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Теперь будетъ
3
иі —
Рѳакція опоры
D3 = TP-
и такъ какъ
м> — м* им
I J« + (r" 11 I i" h(T'
3. Для опоры 3
м3 м3-м, шг-м,
Лг~ 1 1 1
М3= -~Ж,
Реакція опоры 4. Легко узнать, что для опоры 4
ір_о гг---Г" Г и і
^4 -1' 11 і
Для разныхь положеній груза величины Жа даны въ таблицѣ П въ
графѣ: «грузъ G на первоыъ пролетѣ»; всѣ эіа величины отрицательны;
величины Т, приведены въ таблицѣ Ш (графа «уеиліе Г,»).
б) Грузъ. & на пролетѣ 23:
Реакція опоры 1. Для ненагруженяаго пролета 12
Г0 = О М, = О Т, = О МГ = М%.
По (214) М%
и по (215) т _*,
Реакція опоры 2. Для опоры 2
Т, = 2>, = ^ ТР-Т,
поэтому _ Ж,

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
251
Величины Т, получаются взъ таблицы III (графа «грузъ на второиъ
пролетѣ»), а Ж,—изъ таблицы П (графа: «грузъ G на второмъ пролѳгѣ»).
Реакція опоры 3. По предыдущему получаемъ для опоры 3:
Tr = Tt-G Тр =
I
м
Л = - -j* - {Г, - ff).
Моменты Мг получаются изъ таблицы II (графа: «грузъ G на
второмъ пролетѣ») натомъ основаніи, что вслѣдствіе симметрів пролетовъ М3
для разстояпія а = М, для разстоянія I—а; такъ напр.
для а = 0,4? М2 — ~ 0,0862(37,
адляа-/- 0,41 М. = — 0,0628 №,
поэтому, для а — 0,4?
Ж, = — 0,0862 GI М3 = — 0,0628 GI.
Реакщя опоры 4: м
Тг = - ^ 2Ѵ - О
,.-*■■
Реакція В4 моясегь быть опрѳдѣлена также изъ уравнеиія:
J), + Д + Р3 + », - ff = 0.
ІІрнмѣчаніе. Въ дальнѣйшекъ подъ сокращеннымъ выраженіемъ
ч£г на с» будемъ понимать «грузъ G, дѣйствующій на сѣчѳпіе
(или точку) с», или также «грузъ G прилолмнный къ точкѣ с».
147. Лінія иожѳнтовъ для G на с. — Чтобы получить моменты во
всѣхъ сѣченіяхъ непрерывной балки, произведенные сосредоточеинымъ
грузонъ приложевнымъ къ точкѣ с (черт. 165в) опредѣляемъ для пролета
гг-+-1, въ которомъ находится точка с, линію моментовъ sft (Mr-=r&
Mr+1 = r+l,j Mc = cj), и строимъ для лѣвыхъ ненагружепныхъ
пролетовъ многоугольникъ s4,3,2,..., котораго стороны проходятъ черезъ
лѣвыя посгоянныя точки £Г„ Uz..., а вершины s, 4,, 3„ 2,... находятся
на опорвыхъ вертикадяхь, и точно также для правыхъ ненагруженныхъ
пролетовъ—многоугольникъ /7,8,..., проходящій черезъ правяя постояв'
ныя точки V, Гц,, У а—, нмѣюгцій вершины 7„ 8,... на правыхъ
опорвыхъ вергнкаляхъ. Ординаты этой линіа даюгъ ьшменты, произведенные
грузонъ в на с; такъ моменть въ s = s,Sj, въ Ь онъ = btb, и т. д.

252
ГЛАІіА ДЕСЯТАЯ.
Линія усилііі для G на с.—Для получеиія усилій нужно построить
силовой многоугольникъ, соотвѣтствующій линіи моментовъ для G на с.
при полюсеомъ разстояніи = J. Для этого проводимъ вертикаль MN,
беремъ въ разстояніи = I отъ MN полюсъ тс и опускаемъ изъ него
на MN лерпендикуляръ тсѲ. Чтобы получить усвліе въ какой нибудь
точкѣ s, нужно провести черезъ тс лучъ тсз параллельно той сторонѣ
3,4, линіи моиептовъ, которую встрѣчаетъ ордината точки s. Усиліе
въ s равно разстоянію аО точки а отъ основания О перпендикуляра тсО.
Если полюсъ тс взять справа MN, то усиліе положительно, когда
точка а иолучается выше О, и отрицательно—когда ниже О.
Изъ этого построенія слѣдуетъ: 1) Въ точкѣ приложенія груза уеиліѳ
мѣняетъ знакъ (какъ и въ простой балкѣ); слѣва с оно положительно,
а справа с — отрицательно.
2) Въ ненагруженныхъ пролетахъ усиліе поперемѣнно положительно
а отрицательно, и въ каждомъ пролетѣ постоянно.
Реакціи опоръ. — Реакція какой нибудь опоры равняется отрѣзку
на силовой линіи, отсѣчепному лучами, параллельными гЬмъ сторонамъ
линіи моментовъ, которыя нересѣкаются на ввртикалѣ этой опоры. Такъ
напр. реакція опоры 3 = отрѣзку от, отсѣченному на МК лучами тса
н ігс, параллельными сторонамъ 3j4, и 3,2, линіи моментовъ, пѳресѣ-
кающимся на вертикалѣ этой опоры.
ИнФЛЮентныя лжшж многоопорной балкк.—Бели дѣйствіе нагрузки
передается балкѣ связками, то онредѣляемъ ординату инфлюентной линіи
для каждой связки, и полученныя точки соединяемъ прямыми линіями.
Когда дѣйствіе нагрузки прямое, то дѣлимъ балку на равныя
достаточно малыя части, опредѣляеиъ для каждой точки дѣленія ординату
внфлюеетной линіи, и полученныя точки соединяемъ непрерывной кривой.
Способъ построенія инфлюенхныхъ лииій уяснимъ примѣромъ,
для чего вовьмемъ непверывную балку АЛ, расположенную на опорахъ
А, В, С н Ь (черт. 176).
Построение начинаемъ съ опредѣленія постоянныхъ точекъ U и У
{черт. а). Дѣллмъ балку въ точкахъ 1, 2, 3... на равныя части и строимъ
для каждой изъ этгосъ точекъ линію ноиентовъ. На черт. Ь указано по-
строеніе этой линіи для G на 2, исполненное по способу, изложенному
въ примѣчаши № 142 (здѣсь JH, = 0 а Ж,+1 = Мв). Лиши моментовъ
для Q на I, 2, 3... вычерчены на черт, с при общей абсциссѣ AT), и
помѣчены (соотвѣтствевно) цифрами 1, 2, 3...
Инфлюентная линія моментовъ для сѣченіл 2. Помощью черт, с
получаются легко инфлюентныя линіи для сѣіеній 1, 2, 3... балки AD-
Такъ чтобы получить эту линію для сѣченія 2, беремъ находяпряся на
вертикаль- этого січенія 2 ординаты /1,, £2,, *3,... лвній моментовъ
черт, с, в откладываемъ нхъ на вертшаляхъ соотвѣтственныхъ' точекъ

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ,
25S
приложенія груза, т. е. дѣлаеиъ (черт, ё)
Г,"і = Г\] 2~2~ = І2~ 3,"з = М~ ' _ I = U
Для инфлюентной линін сѣчѳнія I всѣ ординаты даны на черт, с
отрѣзками вертикали точки I, и т. д.
Яолучеяныя по этому способу ипфлюелтныя ллніи моментовъ для
сѣченій отъ 1 до 6 балки AD представлены, на черт. е.
Ипфлюентная линія уенлій для сѣченія 2. Черезъ полюсъ -,
отстоящій отъ силовой линіи на разстояши = 1 (черт, р) проводимъ
лучи, параллельные тѣмъ сторонамъ лита ыомептовъ черт, с, которыя
пересѣкаетъ вертикаль сѣченія 2. Ординаты инфлюентной линіи равны
отрѣзкамъ на силовой линіи, отсѣченнымъ этими лучами и перпепдику-
ляромъ тсО. Такъ лучъ параллельный 11, даегь ординату 1 (черт, d)
параллельный Л'2—ординату 2, параллельный А'Ч—ординату У... Для
всѣхъ сѣченій одного нролета дѣйствительна въ другихъ пролетахъ одна
и таже инфлюеніііая линія усилій; такъ проведенная въ ервднеиъ и
крайпемъ правоігь пролетѣ утолщенная липія дѣйствительна для всѣхъ
сѣченій крайняго лѣваго пролета АВ (точно также линін 04 и 0,4,
(черт, d) даютъ инфлюентныя линіи всѣхъ сѣченій пролета АВ, только
предѣлы ихъ опрѳдѣлены вертикалями соотвѣтственііыхъ сѣченій).
Инфлюентныя линіп реакцій. — Ординаты инфлюентной линіи
реакцій равны отрѣзкамъ, отсѣчепнымъ на силовой линіи (черт, р)
лучами, параллельными тѣмъ сторонамъ липій моментовъ (черт, с), которыя
выходятъ изъ точекъ, находящихся на вертнкалѣ соотвѣтствегшой опоры.
Такъ ординаты инфлюентной линіи реакцій В получаются помощью лучей
параллельныхъ тѣмъ сторонамъ линін моментовъ, которыя выходятъ изъ
точекъ 1, 2, 3... вертикали ВІ (черт. с). Поэтому лучи ка и ъЬ,
параллельная сторонамъ !,1 и 1 V, даютъ ординату точки 1, параллельный
22, и 2Ѵй—ординату точки 2, и т. д.
Опредѣлекіе дѣйетвій, производпмыхъ неподвижной или подвижной
нагрузкой, помощью этихъ ияфлюентныхъ линій, исполняется по прави-
ламъ, даннымъ въ Ж№ 88—101.
Прнкѣръ.—Опредѣлить максимальные иовенты и максимальный уси-
лія, произведѳпныя въ сѣчеиіяхъ 1, 2, 3... балки, которой пролеты 10..
12 и 10 мтр., изображеннымъ на черт, к паровозоиъ (черт. 176).
Такъ какъ на черт. 176 АВ :ВС: CD = 10: 12 :10, то черт, d
представляеть инфлюентпыя линіи усилій, а черт, е—инфлюентныя линів
моментовъ этой балкк. Масштабъ для усилій дань на черт. d„ а для
моментовъ—на черт, в,; разегоянія отложены въ масштабѣ 1 сантшггр. =
= 2,5 мтр.
Моменты.—На черт, е нанесены ординаты, соотвѣтствуюгція наибо-
лѣѳ невыгодному положешо паровоза для сѣченія 2; онѣ обозначены.

Vl-LLLU-'V-^LLi.nj-H,
. у. ^щ=\: frfcf- ^ццщ^

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
255
буквами т„ mit та, т,', mj, то,'. Посредством ихт. получается
максимальный положительный моментъ этого сѣченія.
Определенные помощью инфлюѳнтныхъ ліінія максимальные моменты
сѣченій 1, 2, 'А... отложены на черт. 176/" огъ оси АВ какъ ординаты,
положительные—вверхъ, а отрицательные—внизъ. Масштабъ этихъ орди-
натъ данъ на черт. /*,. Пунктирная кривая К еоотвѣтствуетъ нагрувкѣ
перваго, а прямая L — нагрузкѣ послѣдняго пролета. Линія макеималь-
пыхъ отрицательныхъ монентовъ получена при нагрузкѣ средняго пролета.
Усилія.-—На черт, d вычерчено наиболѣе невыгодное положеніе
паровоза (черт, к) для сѣчѳнія 4; сооткѣственныя ординаты означены
буквами Q„ Q.,...
Черт. 176j? даеть діаграмму макеимальныхъ усилій: ординаты
отложены посредствомъ масштаба (черт. h).
Прт^н^ітя.нія. — Для опредѣленія инфлюентныхъ линіи этой балки
можно было пользоваться приведенными въ таблицахъ „V: 146 числовыми
данными, поставивъ:
(3=1 1,=-- 10 /=12.
Вторая изъ этихъ таблыцъ даетъ моменты М5, произведенные на
опорѣ 2 грузоиъ = 1 нрн разныхъ положеніяхъ его на балкѣ; она
содержись поэтому величины ордиватъ инфлюентной линіи опорнаго момента
М3 для перваго и второго пролѳтовъ.
Помощью третьей таблицы получаются ординаты Q ннфлюентныхъ
линій отрицательныхъ усилій (соотвѣтствующихъ сѣченіямъ слѣва груза);
ординаты Р положительный, усилій определяются условіемъ, что онѣ
дополняютъ ординаты отрицательныхъ усилій къ величинѣ груза, т. е.
а для G = 1
Р = I — Q.
149. Иѳтодъ реавціі.—Непрерывная балка имѣетъ при п опорахъ п
реакпДй, для опредѣленія которыхъ условія равновѣсія даютъ 3 уравне-
нія. Если 1 орора шарнирная, а прочія я — 1 — подвнжныя, то число
неизвѣетныхъ — 2Х 1 -і- (» — 1) = і»+1, поэтому число добавочныхъ
«поръ = (и -+- 1) — 3 = » —- 2, т. е. число ея нужныхъ оноръ = 2.
За нужныя опоры могутъ быть приняты двѣ произвольный изъ я
оноръ: въ слѣдующемъ мы будемъ считать нужными обѣ краинія опоры
А в В (черт. 177).
Если означимъ реакціи добавочныхъ опоръ 1, 2,... черезъ D„ I),.,..
то по (124) для нагрузки, перпендикулярной къ оси балки (Д" = » = 0).
fM0mJx pm^mjx

256 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
"ь2?> 7 -Ж7" + --*-Ja kmJx ■ ■ ■ (232)
или по 117: (всѣ и = О)
■г» = vm0 ч- !),«„, -+- Z?,v„2 -t- ... ч- дая$ . . . (233)
Въ этихъ формулахъ означаетъ:
г_— перемѣщеніе точки m по направленно «и»,, произведенное данной
нагрузкой
Ѵяо, «„и «„д. . — перемѣщенія точки да произведенныя въ случаѣ, когда
Черт. 177.
исѣ добавочная величины устранены (Dl =D, — Z) ., — .*. = 0) и балка
превращена въ статически определенную — данной нагрузкой, силой
Dt = l, D, = 1 и "т. д., такъ что вообще
ѵ„ — есть перемѣщеніе точки т простой балки ЛВ по направленно яда,,
произведенное реащіей Д.= 1, т. е. силой = 1 приложенной къ опорной точкѣ г.
Величины р_ определены уравнешяии:
/M^mjix fm^m^dx fmmm,dx
~ej— *-|-7~аг~ ""*=7 '~ш~ ••
'■«=7 пг^-

члствык случаи. 257
Каждый изъ эткхъ ишеграловъ распространяется на все сооружеяіе;
такъ какъ составляющая ихъ величины Мят статически
определенный, то рѣшеніе ихъ не представляете, никакого затрудненія; всего
проще они получаются графическямъ путемъ посредствонъ построения
упругихъ линій.
Для однородной балка постоянваго сѣченія*._Е и J величины
постоянная, и тогда по (232)
- D, / m3mjhs -ъ ... -+- EJa j- f. mkdx
<234)
EJsm = mw -+- D,w,M 4- Д,«ѵ -ь ... -ь Woil -i- ,. . (235)
гдѣ №Ш = EJVbn №,„ = EJvmi wSm = E.Ivm2. . .
150. Задача. — Опредѣдпь реакдія D0, Z>,, D2... непрерывно!
балкж АВ, расположенной свободно на 6 опорах1*,, находящихся на
одинаковой высоте (черт. 177).
Всю длину АВ означимъ черезъ X, а разстояігіе произвольна™ сѣ-
ченія s отъ крайней лѣвои опоры А—черезъ х.
Устраняет, опоры 1, 2, 3 и 4, и для простой двухопорной балки АВ
опредѣляемъ по № 86:
1) упругую линію О, произведенную данной нагрузкой;
2) упругую линію I, произведенную силой = 1, приложенной къ
точкѣ 1;
3) упругую линію II, произведенную силой = I, дѣйствующей на
точку 2;
4) упругія линіи III и IV, произведенный грувокь^ 1 дѣаствую-
щимъ въ точкѣ 3, и (соотвѣтственно) въ точкѣ 4.
Ординаты этихъ линій, соотвѣтствующія точкамъ 1, 2, 3 и 4, даютъ
слѣдующія величины:
Ординаты:
линіи 0\ѵі0 ѵіо- ѵза ѵы
линіи I :»,, »„ ѵ3, vtl
линіи П: »!5 «„ »3, ѵ„
линіи Ш: ѵи «м ѵ33 t>„
линіи IY:t>M ѵ,А ѵы vti,
Такъ какъ ѵ„ = ѵ„ то доажно получиться
*.1 = »1| *ІІ=«М *«=»« »11=*И »М = »И '";;<= ''.Г
М. ЧжявшпвссЛ.—Огро^мыш ішпв- 17

л 1*1»
ЛАі
А*м
-D,*«
ч- DAvlt
-+- J>tvtt
-+- ^л*
■+■ -*Ѵ«
258 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Если у„ г/,, ѵ8 и Уі—перемѣщенія точекъ I, 2, 3 и4 ио направле-
шамъ реакцій L,, Вг, В3 aD„ произвѳденныя данной нагрузкой и
силами В,, В^, Вх и В„ то при Ы = о
EJy, — в,« "•- А*!! ■+■ А*м
■EJ& = %а -+- Д»» -»" А»м
EJy, = ѵю -+- Dtvtl н- /)2w,2
Если бы опоры находились на разныгь высотахъ, то для у1г уѵ у3
н уА было бы нужно подставить разстоянія точекъ 1, 2, 3 и 4, измѣрев-
ныя по направленіяиъ реакцій В,, Bit В3 и _D4, отъ прямой -dB,
соединяющей крайшя опорвыя точки А и В.
^ Когда всѣ опоры находятся на одинаковой высотѣ, то
Ух=У* = Уз = У* = 0.
Если при томъ балка по отношение къ ея среднему сѣченію симме-
трична, и действующая на нее нагрузка тоже симметрична, то J>4 —В,
и В3 = Z>„ п тогда предыдущія уравненія можно написать такъ:
о = і7|в -*- В, (ѵи -+- ѵи) -+- В3 (f„ -+- ѵгі)
o = v10-t- Bt (v„ -+- v3f) -ь Bt (р„ -+- и„).
Рѣшвніе этнхъ ураввеній даетъ:
2),=
Здѣсь
Когда добавочныя реакцій D„ D„ D, и Л, опредѣлены, то реакцій
В, и Вь опоръ А я В получаются изъ уравненій:
ТК = D, ■+■ **і А -*- *■ А ■+- 'Л -1- 'Л
гдѣ (б)—вся нагрувка балки. і>0, г,, г-... относятся къ простой двух-
опорнон балкѣ AS, и означают* реакцію опоры А послѣдней,
произведенную (соответственно) нагрузкой (G), грузовгь В, = 1, Ра = 1 и т. Д-
Когда балка загружена полной равнохѣрпой нагрузкой д, то
gL L-l, h + h + h_r h-*-h.T. h.

ЧАСТНЫЕ С Л ]- Ч Л Н.
259
Величины ѵ,„. ѵі0, ѵм и і\а могутъ быть получены помощью лиши I,
II, III и IV, такъ что иосгроевіе лиши О дѣлается налишнимъ. По (JVs 64)
упругая линія, построенная для груза — ] приложеннаго въ точкѣ г, есть
инфлюентная линія прогибовъ этой точки г. Если, поэтому, на балку дѣй-
ствуютъ въ точкаж-ь а, Ь, с, грузы G„ G„ <?„ и равномѣрная нагрузка
на длиеѣ пк, то обозначивъ соотвѣтствующія точкамъ а, Ь, с ординаты
линіи I — черезъ в,, й,, с,
линіи II — черезъ аѵ Ьѵ с,
линіи Ш — червзъ а3, 6Э, с3
и линіи ГѴ — черезъ а„ Ьѵ сК
и площади этвхъ лиши, заключенная между ординатами точекъ » и к
(соответственно) черезъ fx,f%, /*s и /"„ то по правилу іпфпоѳнтньіхъ
лиши будетъ:
•it
»м
%»
^40
^G,«,
= G,at
= G,«,
= &,а,
■+■
-+-
-f-
-ь
<?A
GA
GA
GA
■+■
-+■
-+-
-ь
G3c,
<?A
<?Л
<*Л
-Ь5Л
-ь^Д
-*-?л
+ *л
чврг. іта
Опредѣленіе по этому поелѣднему способу величинъ vt0,
кромѣ того, что не требуеть построенія
лиши О, отличается также большей
точностью получаемыхъ результатовъ.
Когда опорная реакціи определены, то
разсматриваемъ ихъ какъ внѣшнія силы и
опредѣляемъ моменты и усилія обыкно-
веннымъ образомъ.
151. Пржмѣръ (черт. 178). Балка AS,
расположенная свободно на опорахъ А и
.В. подперта въ серѳдинѣ колонной CD.
Сѣченіе балки постоянно; длина ея = 21, и момента ннерцін попереч-
наго сѣченія=.7. Высота колошш=А. средняя площадь ея сѣтанія=.Г;
модули упругости балки и колонны = .Е и Е,.
Если означимъ чрезъ
D, — резкщю опоры С
М я Ад — кометы и рѳакщю А простой двухопорной балки ЛВ, дро-
изведенныя действующей нагрузкой, и
т1 и я, — моменты и реакцпо опоры А той же балки отъ груза,= 1.
приложеннаго въ точкѣ 6" по направденш реакціи D,, то
по (232)
Dtk І_
EJ\
E,F
,[fM0mt<to + D, fmS&c^-
17»

260 ■ Г Д А В А ДЕСЯТАЯ.
Пзъ черт. 178й имѣекъ:
и, = ^ т, — -д следовательно 2 I m/da: = 2 / I -^ I <&г= -;
о
I
/EJh Г\п п /*__ х ,
0TK^a faxdz
!е, #А 6
Если напр. вся балка нагружена раввомѣрной нагрузкой д то
(21 — х) х
Ма=д-
■I
См„хйх = -| С(21х2 — х3) (іх = ~ ді*
<з
5
1*
Если бы колонна была неупругая (Е, = =о) то вмѣли бы
Такъ кавт. Ав = дІ, то
Момента въ точкѣ £
л, = - lst:
А=#+%=*+
Момента достигаем, максимума въ йчеши. для нотораго 2 получается
взъ условія
<Ш 3 ,
т. е. для х = -д-(, н
^*=1(1')Ч1^'=л^-

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ.
261
На ооорѣ G (х — I)
ЛГ= «Я'
2 '
8
152. ИнФлюентнш лжвш опорный реаюЩ.—Чтобы можно было
построить инфлюентвую лнвіто реакціи I) непрерывной балки нужно опре-
дѣлить величины ѵ вгь уравееніи (233) которыя при употребленіи гра-
фическаго способа получаются посредствомъ упругихъ линій I, II, Ш....
построепнжхъ для груза = 1, приложенная но очереди, къ опорной точкѣ
1, 2, 3,... Эти линій. когорыя суть инфлюентяыми линіями соотвѣт-
ственныхъ прогибовъ ѵ для точекъ 1. 2, 3..., даюгь всѣ величины ѵ,
входящія въ уравпенія, опрвдѣляющія добавочный реакціи Р,, I)„ D,...
Построеніе ивфлюеотыхъ линій реакціи уиснвмъ двумя щшыѣраыи.
153. Прялѣръ 1,—Горизонтальная балка на 3-хъ опораіъ (черт. 179).
Реакцію добавочной опоры С
означит, черезъ Dv По (223) для этого
случая будемъ имѣть
г.-^ + Дѵ,,.
Для балки постояннаго сѣчедія «
zi = £j(wio-,-D<wn}- Ь
Черт. 179.
Устраняеыъ опору С, и къ точкѣ
О простой балки ЛВ прикладываеиъ
силу I)s = 1 (черт, а); соотвѣтствую-
тая ей лишя ыомептовъ иыѣетт. видь треугольника ас,Ь, котораго высота
се, =моменту въ с, произведенному этой силой I, действующей въ с; т. е.
с'е=і;-н',
ІІринимаемъ ас,Ь за линію нагрузки простой балки АБ и строимъ
соотвѣтствующую ей линію моментовъ. Ординаты послѣдней представляють
величины w, потому что онѣ равны ордааатамъ ѵ упругой лиши, умно-
женяымъ на EJ, a EJv = w. Шъ этого слѣдуетъ, что соответствующая
точкѣ с ордината ije=wI1; если т\—ордината произвольной точен (
линій а-[Ь, то пря положены груза = 1 на t
откуда
JEJS, = т) -+- D,tj.
А = -
ѣ ,

т
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Когда всѣ опоры находятся на одинаковой высотѣ, то я, — 0, и тогда
Знакъ minus показнваетъ, что реакція D, нмѣетъ направленіе, прямо-
противоположяое тому, какое на черт, а было принято для приложенной
къ точкѣ С силы Вг = \, т. е. реакція Dt направлена вверхъ.
Ивъ выражешя D. = — -^ слѣдуетъ, что D, не зависть огв
числение
ныхъ зпаченій величинъ і) и tjc, но только отъ ихъ отношевія tj : ije, a
такъ какъ послѣдяеѳ не изменится, если высоту ее, треугольника acfi
увеличимъ или уменьшиыъ въ произвольное число разъ (потому что во
столько же разъ тогда увеличатся или уменьшатся tj и і\с), то слѣдуеть,
что высотой ее, можно задаваться произвольно.
При измѣненіи положенія груза =1 изнѣняется только т\, лияія
агф есть, следовательно, умноженная на — инфлюентная линія
реакціи D,.
Когда реаБЦІя 7>, опредѣлена, то реакція D„ получается ивъ уравненія
гдЬ at — реакція опоры Л простой балки АВ, произведенная силой
Такъ какъ 7
lt + l
1
то
Если на балку дѣйствуютъ грузы G„ Gt, G4, Gf, и означимъ соот-
вѣтствуюпря инь ординаты линіи а-ф черѳзъ і]„ ty, ѵ], и і)л то
Полная равномѣрн&я нагрузка ^ даегь въ С реакцію
гді /"—площадь нвфлюентной линія оуй.
154. Пржмѣръ 2.— Опоры .4, 1, 2, В неврврывноі балл .АВ жо-
еюяигаго вігенія устроены на оджяажовоі высотѣ (черт. 180).
Прввявъ реакціи Dt н 2>„ опорныхь точекъ 1 и 2 за статически

ЧАСТНЫЕ С Л J Ч 1 И. 263
неопредѣленныя величины, одѣемъ по (235) вслѣдствіе гх = j,= 0.
0 = wi„-t-D1wu+Dllwll..(263)
0 = w,
■■Di»«
■Mi-
Kb U\
^ш-^
в
Черт. 180.
Устранимъ опоры 1 и 2;
приложить къ гочкѣ 1 простой балки
ЛВ силу Z*,= 1 и построимъ соот-
вѣтствутощую ей линію моментовъ;
она имѣѳтъ видъ треугольника
я(1)і, котораго высота (моиентъ
въ сѣченіи 1)
Дрямемъ этотъ треугольникъ
за площадь нагрузки, и построимъ
соотвѣтствуюшую ей линію мо-
ментовъ щЬ. Линію эту назовет, «динія I», а ординаты ея означимъ
буквами у.
Такиль же образомъ построимъ линію Д, для чего къ точкѣ 2
простой балки AS прикладываемъ силу D3 = I. опредѣляенъ ея лиаію мо-
ментовъ «,(2)*,, и для представленной послѣднею нагрузки—вторую линію
момеятовъ а,2,&[. Ординаты этой линіи означимъ буквами tj.
Если ордияаты, соотвѣтетвуюпгдя опорнымъ точкамъ 1 и 2, означимъ.
для линіи I—черезъ yt и уѵ а для лиши II—черезъ tj, и ij3, to
Такъ какъ wsl = w„, то должно tj, ~yv
Иолояснмъ что грузъ = 1 нриложенъ къ точхѣ t, и означимъ соот-
вѣтсгвугощія этой точкѣ ординаты линіи I и Д черезъ у, и »j„ то гѵ,п = у„
№,„ = ?)„ слѣдовательно, по (236)
у,П, -t- fftDt = — у.
■qtDt -+- 7jaDa - — tj.
откуда
z>, = -
ЧЛ—УіЧ.
#, = -
Знакъ minus означаете, что D, я ІЭ, направлены вверхъ. Если
это нааравлевіе будемъ считать для реавпдя положятельнымъ, то можно

264
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
написать
У,~
Т)
Ux —
у,-
или такъ какъ у, = т],
у,-
D1=- ■
Ух~
-ь
1."
Л. = —
.Чі-
-л'-у,
У. '
J>... (,
-**
Измѣнииъ всѣ ордиваты лвніи II въ отношевіп т],:^' ГД'^ тіі и Ч'і-^
ея ординаты, соотвѣтствующія опорныиъ точкамъ 1 и 2, и постровмъ
линію П, которой ординаты = — tj, такъ, чтобы она проходила черезъ
точки я и р *), то заключенные между этой линіей и линіей I отрѣзки
ординатъ = ѵ/, — 5і ^. Если эти отрѣзки означимъ черезъ «, то для
произвольной точки t опъ будетъ м„ а для точекъ I и 2—»t и и,; такъ
какъ Зі —, Чі = «,, то по (237)
I), = ^ (238)
к.
Для точки 2 (т. е. для (— 2)
Щ = Уг — ~ Ь = Чі ~ 1і = °.
т. е. лнвія II' = я 1„Э проходить черѳзъ точку 2', въ которой вертикаль
точки 2 встрѣчаеть линію I.
При измѣненіи положения груза измѣняется въ уравнении (23S)
только и„ изъ чего слѣдуетъ, что величины и„ уыноженныя на постоянный
коэффиціентъ —, равняются орданатамъ инфлюентной лиши реакціи Dt.
Для опредѣленія инфлюентной лиши реакціи D, получаѳмъ изъ
предыдущего следующее поетроеніе:
1) Уегранивъ опоры 1 и 2 прикладываешь къ точкѣ 1 простой
балки АВ грузъ = 1 и строимъ соогвѣтствуюшую ему линію коиен-
товъ а{\)Ь.
2) Разсматриваемъ эту линію моыевтовъ какъ лиііію нагрузки той же
простой балки АВ, и помощью провзволънаго полюсваго разстаивія Н
строинъ ея веревочную линію I, на которую проектЕруемъ онорныя
точки А. % н В, получимъ точки я, 2' и р.
*) На черт, е аннія I вычерчена еще (Wei, 'и представив* кривой at'fi.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАВ.
265
3) Прикладывает къ точкѣ 2 простой балки АВ грузъ— 1 и строимъ
соотвѣтетвующую ему линію иоментовъ д,(2)6,.
4-) Иринимаемъ эту лииію за линію нагрузки той же балки ЛВ, и
помощью прежняго полюснаго разстоянія Н строимъ ея веревочную линію
такъ. чтобы она проходила черезъ точіш а, 2' и р.
Вертикальный разстоянія лкній I и а І02'р равны велнчипамъ и, ура-
внееія (238); эти разстоянія, раздѣленныя на разстояиіе «, = 1„ 1', даютъ
ординаты ннфлюентяой лиши D,.
Для полученія инфлюевтной лиши реакціи 7), нужао для нагрузки.
данной лнзіей я,(2)6„ построить веревочную линію Я, спроектировать
на нее точки А, 1 и В, и черезъ проекцін а„ 1, и Ь, провести
веревочную линію I пагрузки «(1)*, при нолюсномъ разстоянік If. Верти-
кальныя разстоянія ѵ линій II и я, І,2п6(, раздѣленныя на разстояпіе
*>j=202, равняются ордянатамъ исковой инфлюентной лиши: такъ при
подоженіи груза = I на точкѣ t, реакціл
Такъ какъ D, и D, выражаются огношеніемъ ординатъ и и г\ то
высотами с(1) и d{2) треугольниковъ а{\)Ь и я,(2)6,, можно задаваться
произвольно.
Если напр., на балкѣ лежать грузы Ga, Gt и Gc, и соотвѣтствуняаія
имъ величины »щ означимъ черезъ «„, щ и «с и —ѵа, ѵь, иг, то будетъ
В, = — (G& -+- Gtwt + Gjt.)
J)t = ^r (G„va -+■ Ghv„ -+- ff,».).
Реакція D„ получается пзъ уравпенія:
Ba = В0 ч- 2),»-, -+- ІѴѴ
гдѣ J)0, г,' и J-, — реакпіи простой балки ЛВ, произведенный
(соответственно) нагрузкой, силой D, = 1 и силой Z>,= 1.
Яостроимъ для простой балки ^.В инфлюентную линію j£,i? реак-
ЦІи А (черт, d) отложивъ ААХ = 1. Означимъ ординаты этой ливіи.
соотвѣтствующія опорнымъ точкамъ 1 я 2 — черезъ с, и с„ а соотвѣт-
ствующія грузамъ Qa, Gt и Gc — черезъ с„, tff и с„ то
и следовательно, принимая во внимавіе,' что силы G направлены внизъ,

гее
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
а силы D—вверхъ:
G„c. +- Gtcc) — JD.e, — #,с>-
155. Опредѣлеше офллентныхь лжніі вдчісиніеиъ. — Вычисленіе
даетъ теоретически немного болѣе точные результаты чѣмъ построеніе,
но практически при тщательномъ черченіи, графическіе результаты такъ же
точны, какъ и аналитические.
Для уясненія способа опредѣленія инфлюеетныхъ линіи реакцій
возьмешь трехпролетную балку АВ, которой всѣ 3 ііролета = I, такъ что
АВ = Ы. Инфлюентныя линіи реакцій {или давленій) D, и D7 даны
уравнениями:
Ух = *>,„ -+- Dtvu -+- Ѵ2ѵп
Уі = ѵм ■+■ Btv%t -+- D7vM.
Для получепія величинъ ѵ нужно опредѣлить двѣ упругія линіи, одну
для груза = 1 приложеннаго къ точкѣ
1 (черт. 181) и другую — для груза=і
приложеннаго къ точкѣ 2. Вслѣдствіе
симметричности балки эти линіи будугь
симметричны, и потому достаточно
вычислить ординаты одной изъ няхъ.
Мы опредѣлиш. эти ординаты для
груза =1 дѣяствующаго на точку 1; для этого дѣлимъ байку на
некоторое число равныхъ частей (на чертежѣ 181 это число = 12}, и для
каждой точки дѣленія вычисляешь ординату упругой линіи. Для точекъ
а, Ъ, с, находящихся слѣва точки приложенія 1, эта ординаты нолуча-
ются изъ уравпешя (184)
ѵ, =
Gbx
6 ЕЛ
<Г
*')
а для точекъ справа 1, изъ уравненія (185)
ѵ= rfe («■-*■—л
Если поставить
X
т
т.
12 *» *' " 12 ''
Л. Я
то такъ какъ для точки 1: о = ^ Z 6 = ^ /, будетъ

частные Случаи. 267
Когда всѣ опоры находятся на одинаковой высотѣ, то yt — yt — о,
н тогда п _
Mt + ^Ai = — *W
Очевидно, что въ этоиъ случаѣ всѣ w можно сократить на ихъ общи
множитель ёУзалв» ej> и BM*cro *j и *Ѵ взять нроивведенія 2т (80—от1)
и я», (128—да,*). '
Бычисленіенъ получаемы
для точекъ: а Ь с 1
то = 1 3 3 4
2т (80— т>) = 158 304 426 ' 512
и для точекъ d е f 2 д h i
то, = 7 6 5 4 3 2 1
да, (128—*и,а) = 553 552 515 448 357 248 128.
На основапіи выше сказанного (при у, = у^ — о) можемъ поставить
■ ѵ,, = 512, »„ = 448, »„=»„ = 512
слідовахельво из^ + ^^ = _ ^
4482), -+- 5122), = —«м.
Если въточкахъ дѣленія «,й,с, 1... дѣнсгвуютъ грузы (?., (?„(?„ С?,...,то
г,в= 1.68ff,V3046F*-i-426 0.-t-512ff,-»-653ff--b 652 0,ч-
ч-ЫЩч-448 <?,-t- 3576^-t- 248»,-*- 128 ff„
^0=128<?a-i-248#(-t-357Gc-t-448G1-t-515G,-f-552G(-t-
-t- 555в,-нБ12 ff, -+- 426G, -+- 304(?»-н 158 G,.
Когда въ точкагь а, й, с... устроенн связки, то помощью этихъ чиселъ
легко опредѣлнть реащіи D, и Ь3 для всякой нагрузки связокъ. Такъ
если напр. нагружены только связки 6, 1 и г, то будетЪ:
512D, -t-448D5 = — (304G.-I-512G, -t-128GJ
4482>,-+-5!2DJ= — (248Gt-b448G,-t-158GJ

268
ГЛАВА. ДЕСЯТАЯ.
Для Gh = Gt = 10 и G, = 8
512Д -ь 448#й = —8406
■148В, -+- 512Д, = — 7644,
Рѣшеніе этнхъ уравненів даетъ:
879360
. А = -ТИ40=-14'
в% =
2,4.
Знакъ minus означаете, что D, и І)а направлены вверхъ.
Реакція опоры А
По чертежу получаемъ легко:
До
G,b, -+- GA
3/ "
2 1
16,2,
В, = 16,2 — | D,— ^ А = - 5,87,
3
D. =
7JS = £<? — D, — D2 = — 5,43.
Положимъ что нагружены всѣ точки лѣвой половины Ле балки
грузами Ga, Gt, Gc, Gt, G„ s Gs; для этого случая будетъ:
512D, -+- 448Z>3 = 158<?„ч-304в6-+-426 G, -ь 512G, -ч- 550 <?„ +- 552 G„
4482), ч-5121), == 128 G.-ь 248<У,н-357G^ +4486^4-515 ©,ч-552.fi..
Рѣшеніемъ уравненів получаемы
JD, — 0,391.в,ч-0,725<?4ч- 0,947<?.ч- £, ч- 0,828 (?„н- 0,575»?.,
2), = —0,09461, — 0,150(3, — 0,1336?,ч- Q.GX + 0,281 (У.ч-0,575<?..
Коэффиціенты этизъ выраженій даютъ ординаты инфлюентныхъ линів
реакцій Dt и Da: для второй половины балка ординаты получаются изъ
симметричности, которая слѣдуетъ взъ равенства пролетовъ. Ординаты
опредѣлеш поэтому слѣдующими числами;
!
г 1
* 1 Реівціа
St» А і
с s"S ( - -J
55 1 Рыкцщ
а
•018&1
-0,094
і
0,725
-0,150
1
. с {1
1
0,947
-0,133
rd
1 0,828
0
"0,291
5
0,575
0,575
/
0,281
0,828
7
0
1
9
-0,183
0,947
Л
—0,160
0,726
і
0,091
0,391

ЧАСТНЫЕ С J I Ч А И.
269
Помощью чяселъ этой таблицы построена на черт. 181 инфлюентная
линія реакціи J),. •■'.
Посредством!, инфлюентныхъ линій определяются легко реакціи Z), и D,
для произвольной нагрузки обыкновеннымъ образомъ {ДІ 100).
156. Простая балка, скрѣплѳняая стойкой к двумя тягами (черт. 183).
Эта балка предсгавляетъ ферму ішѣющую 3 узла А. В, і), такъ что
Черт. 182.
2» = 2.3 = 6 Она состоять изъ 4-хъ стержней: АВ, GD, АТ> н BD,
представляющихъ 4 неизвѣстныя, къ которымъ прибавляются, при одной-
шарнирной и одной подвижной опорѣ 3 неизвѣетныхъ опорвыхъ сопро-
тивленій, поэтому
s = 4 + 3 = 7 и s — 2м =1,
т. е. ферма нмѣетъ 1 добавочную величину. За эту величину можно
принять папряженіе стержня CD, потому что устраненіе послѣдняго нѳ
нарушаете неизмѣняемостн ни формы, ни ноложепщ фермы.
Для опредѣленія, напряліенія D„ добавочваго стержня змѣеаъ по
(124) уравненіе:
-*- I a*«,»i<fo ■+■ / з-т m,dx (А)
Знакъ £ означаете, что заключенное въ скобкахъ выражѳніе нужно
составить для каждаго стержня, и затѣмъ взять ихъ сумму.
Для каждаго стержня, сопротивляющегося простымъ растяжетеагь н,ти
простымъ сжатіемъ величины ЛГ, и я, постоянны, а Д, н *, равны
нулю. Для такнхъ стержней
/
щг- = -jzjr . т& L~*Іина стержня,
Г ■ ■ ■ fnt3dz *?L
J <aantdx = at„ntL J -g^- s= -£p .

270
Г Л А В Л ДЕСЯТАЯ.
Шложимъ, что балка АВ деревянная, стержни АВ и ВВ желѣз-
иые, а стойка СВ—чугунная, и означимъ модуль упругости, площадь
поперечнаго сѣченія, длину и коэффидіентъ линейнаго расширены
для ЛВ—черезъ Е, F, 11 и а,
для АВ и ВВ—черезъ Д, Ft, I, a «„
и для СВ—черезъ Д, Д, Іл и яѵ то среднимъ числомъ
Д = 12Е и Д = ЪЕ.
Кромѣ того вслѣдствіе малой высоты балки можно поставить Ді=0,
а при вертикальной нагрузкѣ для горизонтальной балки JV0 = 0.
Опредѣленіе величинъ «, и ті: да, и mt означают! нормальныя силы
и моменты стержней статически определенной фермы (не имѣющей доба-
вочнаго стержня CD), произведенеыя нагрузкой Д = 1, т. е. двумя
противоположными силами 1 в —1, приложенными къ узламъ С и D
добавочнаго стержня по направление его оси.
Вслѣдствіе симметричности фермы и нагрузки сопротивлѳнія я,
стержней АВ и BD равны, и изъ равновѣгія узла D получаемы
2да, cosyl -+- 1 — О
и такъ какъ ср, = 90 — tp ,
1"1 = ~~ 2si^ "
Реакціи въ А и В, произведенныя силами 1 и —1, взаимно
уничтожаются, т. е. равны нулю, поэтому вырѣзавъ узелъ А, имѣемъ:
да, cosy -+- »' = О
и шдставивъ для *», значеніе
п - 2 '
Моыентъ въ проаэвольномъ сѣченіи s балки, отстоящемъ отъ А на
разстоянів = х
«, = -«, .г = _ (—55^) "*■* =+| ■
Это выраженіѳ действительно отъ ^1 до С; для сѣченій между С? и .В
х , , , 2Z — а?
«,= - — Д (яг—f) -—^—.
Такъ какъ сѣченіе балки АВ постоянно, то

ЧАСТНЫЕ С Д J Ч А В,
Для большей наглядности составлена следующая таблица:
271
Е£
И
If
:я
= с
■dx
EJ
at^ix
лв
AD
BD
CD
21
F,: -
E
12 E
І
12B «i
6Jff 3,
COtgtp
2ein(p
1
I colt/1 to
2Er'
12ЕГ,4я1иаэ
6AV
<MA
if P
"12
2«i»7
! J.
6EFt
Изъ этой таблицы получаемъ:
2 ві'п у
27.
m,Vz _ _^ __ _J_ 2^
I
J at0ntdx = ttt [alcotgy—^ ■+- ajt )
I
At «M*
Подставимъ эти значенія въ уравиеиіе (Л), получимъ умножнвъ его
на Ж, = \1Е,
12 Г iMcoto't h 2/, 2l'\
К
alcatgy
iij.
sin tp
^. .
(Б)
При превебреженіи вяіянія теипературы •будетъ:
<*0 = Д/ = 0)
12 Г
0—-jJMai»tdx^-I>s
ІЫШд1^
h
21. 21
\ F "l"2F1»»Y *", J

272 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
и если для краткости посгавшъ:
Ы cotg* ? ?, 2\ 2Г
— к
12/ М0т^х
F 2Flsin1^ Fa J
TO
Si
Опредѣленіе интеграла / M0m,dx.
а) Сосредоточенный грузъ G слѣва С.
G(2l — a)x x
Отъ x— 0 до ж = о: Жи — - ■■ „,--— , т, = ■=
, „ Ga(2l — x) х
отъ аг = а до х^І: М0~ ^—— т, = -,
7 «, ™ ва(2г-я) .(21 — х)
отъ ж = г до х = 21: Ж0 = s? wi — "—о— '
Слѣдовательно
fMjnxdx= Gm~a)fx*dx -ь ^jx{2l-x)dx+ ^f^l-xfdx,
О О а /
и такъ какъ
fx'dx " ^; f(2l—xyxdx= 1 (2/3—3/а1+aa); f(2Z—a}5 dx= ~,
то послѣ соотвѣтственнаго приведенія получаемъ
21
JMQmldx^^l:{W--a?).
Когда грузъ находится справа С, то
и ■ ■
jMamidx = ~(Zr-t?) (Я)
Если на балку дѣйствують грузы G слѣва С, и грузы Р справа С, то
И I 21

члстяые случаи. 278
б) Полная равномѣрная нагрузка. Элементарный грузъ gdx,
отстоящій отъ А въ разстояпіи = х даетъ по {В): ^ (ЗР — х1} х,
поэтову
21 I і
fM9mtdx = 2j^x(SP^t)=if{3Px-x*)dx=~gl\ (В,)
о о о
Вліяніѳ измѣненія температуры. Для этого случая Мв = О
поэтому по (Е)
° = ^-h(-«»^-W.)<.^. ■ ■№)
Это уравненіе даетъ напряженіе 7>„ произведенное однимъ измѣне-
ніемъ температуры на tB грудусовъ при разности At температуры верх-
няго и нижняго волокна балки А В.
157. Пргаѣръ. Представленная на черт. 182 деревянная балка АВ.
скрѣпленная чугунной стойкой GT> и желѣзными тягами AD и DB.
нагружена швеей длинѣ равнонѣрнойнагрузкой# = 180кил.на 1 ног.игр.
Сѣченіе балке—квадратъ со стороной 0,2 «тр., поэтому
F = 0,04 мтр.5 J = ~ 0,2* — 0,000133.
Длина стойки GD = 0,5 m.s слѣдовательно
/а = 0,5 -+- -°~ = 0,6 мтр.
Длина балки 21 = 8 итр.
Толщина тягь d — 0,026 мтр.; ихъ длина
Іі==У р .+. if — у4* -+- 0,6' = 4,045 м. и F, = ^ d1 = 0,000531 и\
efeT= lf = 3^ - 0,1482 я»1 ? = 0,02196
«*4~W = °>9889'
cotgy=lT= ^ = 6,6667, ей?* <р = 44,4444.
Для рпредѣлешя коэффициента £ пренебрегаеиъ незначительной
сравнительно велнчинок -%#-, шиучнмъ

274
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Ысоід^ U 2^ __ 6.4.44,4444 _ 4,04Б_
* — р "b2JF1s«K,'f4~ J ~ °>04 2.0,000531.0,02196"^
-+- ^—-^ = 26667 -+- 173444 -+- 962406 = 1162517
£/-Мй»& = одагзз -^ ^0.4^866165414
и
866165414
Л' = - "7І625ІГ = - 745 КИД-
Сопротивленіе Г тягъ получается изъ равновѣсія узла В.
2514 ,„„
Напряжете тяги = -^щ = 473 кил. на 1 кв. си.
Момѳнгь въ сѣченіи х
M = M, + mtD = &№=*> -+ | В = 347з - 90*'
Максимальный моменты
^ = 0 = 347- ISO*. a,=fg=l,93
отаа;Ж= 347.1,93- 90.1,93'= — 335 кил. мтр.
Осевая сила балки
JV = — Тшу= — 2514.0,9889= — 2486 кил.
Максимальное напряжете балки
N тахМе 2486 335.0,1 №, „ , . .,.
0 = ^ + ^Г"=оЖ + ^6оош = 31'3кил-на1 т-
Вліяніѳ нзмѣпѳніл температуры. Вь данномъ случаѣ можно
величиной al cotgy-t-aJt сравнительно съ ^-Ь, вслѣдетвіе ея малости,
пренебречь; если кромѣ того првиенъ At = 0, то но (£',) будеть:
1 sin tp . k
Такъ какъ для желѣаа ерѳднииъ числомъ въ килограннахъ и метрагь
а, = 0,000012 и М = 1,5 . 10",

частные с я г ч а а. 275
то
_ 2.0,000012.4,045. 1,5. 10" __ ,
1_ 0,1482.1162517 г°-э.2/п
Т = 1rS^- = 3,3747>,.
Подожимъ что сборка фермы была исполнена при тѳмпературѣ -+ Ю'\
а наивысшая и наинизшая температура мѣетности — ■+- 35 и — 40°, то
max t0 = 40 -h 10= 50°
D, = — 5,2.50 = — 260 кил. Т = 3,374.260 = 877
Л" = Т cosf = 867.
Нагрузка и перемѣна температуры даюгь вмѣстѣ:
Т =2514-1-877 = 3391
D, = 260 -+- 745 = 1005
JV = 2486 -+- 867 = 3353
Ж=720ж — 90хг— 1005 | = 218ж —90ж].
Абсолютное максимумъ моментовъ получается въ сЬченіи С, т. е. для
х = 4, поэтому
тож Ж = 872 — 1440 = — 568
' = ш * mm = 51°893 =» «• - ' -"■
Напряжете тяги t = 'g^- = 638 кил. см1.
Для температуры -ь 35° (0=35— 10 = 25е: таквнъ же обрззонъ
какъ въ предыдущемъ случаѣ получаемъ:
D, = — 745 -+- 130= — 615
Тл =2514 — 439=2075
2052 473.0,1
о =
1— = 40,5 кил. см*.
0,04 0,000133
/ = \4т = 392 кнл. см1.
При измѣненш температуры въ предѣлахъ — 40 и -+■ 35° максималь-
ння напряженія балки колеблются между 52 и 41, а тягь—между 638
18*

276
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
и 392 кил. па 1 квадр. сантиметръ, между тѣмъ какъ при темлературѣ
сборки эти напряженія равняются
Ь О
32 и 473 кил. Йзъ этого видно,
что при расчете сооружений,
состоя дпкъ изъ дерева и желѣза
нельзя пренебрегать вліявіемъ
температуры на напряженія.
158. Изложенный въ і\° 156
расчетъ вполнѣ дѣйствигеленъ и
для простой подвѣспой балки (чер-
тежъ I83S), только знаки
напряжете D, и 2", нужно измѣнить,
такъ какъ CD растягивается, а
AD и BD сжимаются. Также
напряжете о балки достигаешь максимума въ растягиваемому волокнѣ, между
тѣмъ какъ въ предыдущомъ оно получилось на сжимаемой сторонѣ.
Если копцы гягъ пѳ соединены съ балкой (черт. 183с), то соотвѣт-
ствуюпгія послѣдпей величины N и я, равны о, и для опредЬлетя со-
противленія D, стойки GD по (Л) будемъ имѣть:
Черт. 183.
I
M0mtdx
'^Ё1 ~
1,
2F,E, sin1 <p
Г1
"t- 'А7-Л-Ч
Е
\Fj
. 2«А
sin'f
«,',
2k
Когда уголъ (р сдѣлается отрицательным!., то получимъ
изображенную на черт. 183d пшренгелъную систему. Для поелѣдней нужно только
въ иредыдутцемъ уравненіи замѣнить smtp на—sin у, такъ что будеть:
0 J EJ ' [z^FtSi.
г
К
sin2 у
stnf
r GEJ
2k '
ВД
Для простой шпрѳвгѳльной системы (черт, d) I
h . I'
2EiFtsin2<f &JEJ) si'«tp
)-
= о, поэтому
2a, ^ г, аМѴ
2h
/Mamtdx _
Интегралъ / —1£— для разнаго рода вагрузокъ дань формулами
(В) ж (В,). J
159. Балка «рѣиевная двум отойеяо і тремя твгыш (черт. 184).
Балка имѣеть 4 узла А, Ж, F л В, в 6 стержней: АВ, СЕ, DF, АЕ,

ЧАСТНЫЯ С Л Г Ч А И.
277
EF и FB: число ея неизвѣстныхъ, включая 3 пеизвѣстныя опорныхъ
сопротивленій 8=6 + 3^9, а 2м = 2.4 = 8, поэтому s —2*=І,
т. е. одинъ стержень добавочный. Если будекъ считать добавочнымъ
стержень EF, устранение котораго не нарутаетъ ни формы, ни поло-
»і ^и^
Черт. 184.
женія данной формы, го для опредѣленія его нацряжѳаія В, имѣѳмъ,
такъ какъ для вертикальной нагрузки ІѴ0 = о, пренебрегая удлиненіеиъ
стержня EF:
о =
J -fj-^d< [J -жр~^]~жг\^
-t- J at0n,dx -+- / ^ midx' (-&)
Устранимъ добавочный стержень EF и замѣнимъ его силами С, и—й,
приложенными къ узламъ І7 и F по иаправленію прямой EF. Изъ
равновѣсІя узловъ Е а Л нолучаѳит,, означивъ напряжения стержней АЕ,
ЕС и АВ—черезъ ІУ„ ІѴ, и JV:
JT, cos ^ —• -D, = о У, st»<p -+- •Лг, = о,
-О,
ІѴ\ =
(<Кф
JV3 = — N, sinу = — B,tg<?
N, cosy -ь- N = о N — — іѴ, coso — — В,.
Для T)t = 1 эти выраженія даюгь величины и1? поэтому ммѣемъ:
для Л.В: я, — 1
для АЕ и BF: п, = ^ = secy
для СЕ и BF:ni = —- tgy.
Моментъ М для сѣченій между А и С (а, также, между I) и В)
а между С и В : Ж" = М„ ~ BJ, = Ma — D,l tgtp.
Для В, = 1 и ЛГ, = 0:
огь А до С (а огь -Е до F): юі — — х tgy
оть С до В: М[ = — i*j«p = — /,.

278
Г I А В Л ДЕСЯТАЯ.
(Для частя CD % нужно считать отъ правой опоры В).
Мы предполагаем!., что сѣченія всѣхъ стержней постоянны тогда
2Х-И 2А-Я X і+Х
f-жг - т/**'** = ѣ [фп*?4* +/**&*>]
0 0 Q X
и послѣ интегрированія к соотвѣтствснпаго приведения,
2X-t-J
Г т,Чх = Цр? (2X-J-30 = у (2Х ч- Щ
о
Такяігъ же образомъ получаешь легко:
2Х-и
для ЛВ : / *t„ntd$ = — at„ (2Х -+- J)
2X+J X Z-+-A
/ am, -т- dx — а -т- — 2 / tf^tp агйг -- I \tgvd%\ =
6 ОХ
= -X(j?(/ + X) = -!,(*-•-*)
для JJ? и #F: / n*dx = X sec3^; / а(0м, <te = a<n I sec'tp
для СЕ и FD: I n*dx~ltg*v; I at0n,d% = — a^Xtg'y
Помощью этихъ значеній составлена слѣдующая таблица:
£*
лв
2*-И F
Л
л О
og.
т
АЕ
а JBF
Xsecp
Fi
F,
Вх
СЕ I I, =
в DP Xiyj
EF
*Ѵ
ъ
- 1
EF
-a(G(2X-l-l)
»і \ sce-s
Е,
Et
я,
— 1д?
аХио1»
axtg^y
X*",
2»! *„ Хдас5 ?
3EJX
X(2X+3J)
М-
-.-»,<ія
— аД(
ХХіу<э(*-«-Х)
£,Т,
-2я,І0Аі^«р!
«I».*

ОПРЕДЬЛЕЕІЕ ИНТЕГРАЛА. 879
Изъ таблицы имѣеиъ:
rn*dx_2\-t-1 2Х see' у Zktg*f I
J EF ~ EF + Е,Р, ~*~ E^F, ~*~ E~J\
fm^dx __ X> tf <P , . n __ Ѵ(2л-ь30
f
-^ mtdx = £- X^cp (I -+- X).
Уравнѳтѳ (А) получаеть теперь видь:
1 '/« ^ г. Г2^-*-^ 2Xsec*» 2Х&>» I і.'&к+зт
-V- („ [2a,Xsecs <p — a (2X-ь 0 — 2a,X&'<p -t- a/] - ^/, (7 + X) = о (С)
Опредѣленіе жнтеграіа J K^dx.
I) Сосредоточенный грузъ 6е.
а) <? на ЛС въ точвѣ і, отстоящей отъ А на разстояніи =в,
и отъ В—на разстояніи b = l—а.
Отъ х = о до ж = а: Ж „ = (я —у— х
отъ х = а до а; = 2Х -+- Z: ЛГ0 = -j- (і — х)
гдЬ Z = 2Х -+-1.
■ Значенія т, даны выше.
2ІЧ-1 a
0 0 <■
~(L — x)(—'ktgy)dx + J -j^xl(—xltgf)dxl =
Г
О
Х+і X
^І-^М^Х — й) fx3tkc4-a f(L-x)xdx4-a f{L-x)dx-+- j'xt'4st]

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
откуда, послѣ соотвѣтсгвеннаго сокращевія,
Г Mttm,dx = - ^JAl [3 х (i + X) - йа]
(Л)
Когда грузъ G находится на DB, то
2Х-І-І
' ■Гм„щфе = — ^^5[3J.((-i-i.) — б2] . . . (7),)
о
б) Грузъ G на CD.
Въ этомъ случаѣ получаемъ легко:
А
/■_- , ГѲ(Ь~а) , , ., /*<?(£—я) , .
/ Ж0т,аж— / —--у -а;(—#/#<[)) «ж-t- I —^ £ж(— Xfj:p)dan-
0 а
А-ЬІ X
ч- J ~(L — x)(—\tffr?)dx + J ^ г, Н г, &?)(&;,
откуда, послѣ интегрированія а соотвѣгственяаго сократценія:
f Mjnxfa = ^(Ma + ®a — X1— За») . . . '(E)
Смвт,(іх = —^ [За (I -+- Ml) — X* — Зя5] .
2) Полная равномѣрная нагрузка д. Здѣсь
Ж0 — 9~~ поэтому
откуда^ послѣ йлтѳгрнрованія и СоотвѣтстВеннаго сокращены
/" jf^,rf»=—f| (5 хэ -+- ют1 -+- 6РХ -і- ?)

опрвдълвнік интвграла. 281
160. Пржжѣръ. — Деревянная балка AS, которой сѣченіе квадратъ
со стороной 0,2 mtr., скрѣплѳва чугунньши стойками длиной 0,5 mtr.
и желѣзными тягами круглаго сѣченія, которыхъ діанетръ d = 0,024 mtr.
Вся балка нагружена равиомѣрно нагрузкой р = 180 кил. I пог. игр.;
ея длина = 3 mtr., а длины частей, на которыя она раздѣлена
стойками СЕ и DF, равны 2,75 и 2,5 mtr.
Нмѣемь:
д = 180 і-8 Х = 2,75 / = 2,5 J, = 0,6
I, = f/2,751 -+-"^вг= 2,814 і? = 0,04 J = 0,000133
sin «р = f- = 0,2131 cos ер = у- = 0,9734
^f = 0,2182 F, = ~ d* = 0,000452 EI=:\2E E, = &E .
Дѣйствіе нагрузки. Пренебрегая величиной -тггУ^ ? вслѣдетвіе ея
незначительности, и поставивъ F3 = Ft, будет, имѣть по (С)
и подставивъ данныя значѳнія получаеьгь послѣ вычисленія
27865955,64 = D, (1590,03 -t- 200„.-t- 11729,32) = 13519,35 В,
откуда .0, = 2061,19 кал.
^•-«jscp 0,9734 -JIia
JV, = — N, sin tp = — 452 JV = — Dt = - 2062
M = ЛГ, -+- m,», = Л; — 2 t? aD,
Jf = 27ftr — 90ar\
Моиевтъ достигаете максимума
970'
Для ж = тзл = J.5 тахМ = 202 кил. втр.
А -"2 2062 202.0,1 <пл
а = ^^^ = -оЖ^^оооШ = 20'4вил-си-

282 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Напряжете:
стержней СЕ и 1)Е—-р = п 000452 ~ 467 к" на ' сш*'
„Е, 2062 л,_ , .
стержня EF : ■ -^ = 457 кил. на 1 спг.
Для сѣченій между С и D ; mt = — ?г = — 0,6
j(f = 720ж — 9<Ѵ — 0,6.2062 = 720с — 90j2 — 1237,2.
Максимуиъ получается для х = 4;
тахМ = 203 кил. мтр.
203 0 1
3 = 5155° ■+■ о^ооТзз = 20'4 кил- см*-
ВліяаІе ивмѣвенія температуры. Если, какъ и въ предыдущеыъ
прииѣрѣ, прѳнебрежемъ вліяніемъ изыѣненія длшгь стоекъ и балки, и
поставит, для краткости
г. _ &-»-* 2\see*y-+-l V (2Х-+■ Ы)
к ~ F ~*~ 12 F, * 37 -*
то при ilf0 = 0 по (Л) будетъ, для Ы = О,
-0,£ -+- .Е.яА (2І. sec1 tp -ь ?) = о
откуда _ ■Е)а1£в(2*авс'Ч> -і- 1}
Для Е, = 15000000000 кил. на 1 квд. мтр. и в, = 0,000012
ту _ 149464,8
1 ~ 13519 (°
Л\ = — 11,06 t0
О 'о == — 40° (наинизшая температура —30°, сборка произведена
при температурѣ -і- 10°;
V, = -+- 443
ТУ
Ж = ^- = 455
' coatp
D, = 2062 -і- 443 = 2504
JV, = 2119 -t- 455 = 2654
N = ~ -У,«вср = — 2584

опредълвнік интеграл. 383
и на 1 квадр. сант.:
Моменгь въ сѣченіи х на АС
М— 720# — 90т1 — 2584.0.2182а; = Ы\х — 90*'
141
Ж доствгаетъ максимума для х = -^г = 0,8
тахМ = -+- 55,2.
Для среднего сѣчѳнія (я = 4)
Ж = 720.4 — 90.42 — 2654.0,0 = — 152.
Напряжете балки доствгаегь, следовательно, максимума въ среднѳнъ
сѣченіи. и оно =
2544 152.0,1 _
а = ~'ом '~~ о^оош- ''8904
г. с. о — 18 кил. на 1 кв. см.
2) t9 — -+- 25° (наивысшая температура 25 -ь 10 = 35°)
В, = 2062 — 276,5 — 1785,5
N, = 2119 — 284 = 1835
или по отношешю къ 1 квадр. см.
Dt = 395 N, = 406
N = К, cos ? = 1835 X 0,9734 — 1786.
Наиболышй моменгь получается для средняго сѣченія, и по формулѣ
Ж = 720а; — 90ж* — 1835.0,6
для х — 4 Ж = 339
0 - ~0М~ + 0,000133 - і9Иоэ4
т. е. о = 30 кил. на 1 кв. см.
Ивъ этого разсчета видииъ что при шмѣненіи температуры отъ — 30
до 35°, напряжетя въ килограммахъ на 1 кв. см. варіируютъ въ слѣ-
дующихъ предлагать:
для наклонишь тягъ: отъ 588 до 406
для горизонтальной тяги: отъ 554 до 395
в для балки: отъ 18 до 30,

Щ
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
между тѣмъ какъ при пренебрежеш'и вліяеія температуры эта папряжеиія
равняются (соотвѣтственно) 467, 458 и 20 кил. на 1 кв. см. Перемѣны
температуры могутъ,. поэтому, увеличить напряжения балки, состоящей
паъ дерева и желѣза, па 50 про-
центовъ.
161. — Выведенный въ Л» 159
выражепія дѣйетвителъны также
для двойной подвесной системы
черт. 185а, то силы солротивде-
нія стержней АЕ, EF, FB, СЕ
и DF получаютъ црямонротивоно-
ложныѳ знаки: для балки АВ преж-
пія уравеенія остаются бевъ измѣ-
пенія.
Для представленной на черт.
І85Й шпренгельной балки /, =
=-Ktg<f = 0, и^при отсутствіи пгаонокъ, соединяющихъ распорку EF
съ балкой,«, = 0; давленіе D, распорки получится изъ уравненія (такъ
какъ Et = Е и at = а):
Черт. 185.
ГМм$в Д/ I 2\sec3v\ , , ,
J -w- + Tsir,-+-ft) + <&"*'* + '>■
Предыдущія уравненія можно употреблять для расчета шпренгельной
балки и тогда, когда распорка EF соединена съ брусомъ АВ
шпонками; они действительны также
для представленной на черт.
185с балки съ двумя подкосами.
Чёрт. 186.
162. — Олредѣгать напря-
жевіяпроізведеиныя дѣіетвіежт.
вѣтра на желѣзныж югетъ,
которого поперечное еѣчейе пред-
етаыено на чѳр. 186. AL и
KB — фермы, АВ —
поперечная балочка несущая полотно,
LK — поперечная связь.
Дѣйствіе вѣтра принимаем!
раепредѣденнымъ раввомѣрно
вдоль AL; его величину по отношенію къ ѳднвицѣ длины означит черезъ
щ кронѣ вѣтра дѣиствуеть въ L горизонтальная сила Р; вертикальная
нагрузка отсутствуеть.

ОПРЕДБЛЕНІЕ ИНТЕГРАЛА.
285
Вслѣдсгвіе двформаціи, произведенной горизонтальными силами,
профиль AJBKL получить видъ АВК,ЬХ] деформащеи балочки АВ, вслѣд-
ствіе ея незначительности, пренебрегаем!..
Разрѣжеыъ LK вплоть слѣва L, и приложимъ замѣняюгція сцѣпле-
ніе въ сѣченіи раарѣза:
горизонтальную еилу І)„
вертикальную силу Ла, и
моментъ 2>,.
Мн принимаешь, что эти силы и коментъ имѣютъ въ гочкѣ L стержня
LA направленія, указанпыя на черт. «, а въ точкѣ L стержня LK —
прямопротивоположпыя направленія (черт. Ь). Если означимъ
произведенное горизонтальной нагрузкой w я Р перемѣщеніе точки L по
горизонтальному, направленно, черезъ уи по вертикальному — черезъ уѵ и
уголъ, на который повернулось сѣченіе £ — черезъ у3, то пренебрегая
вліяніемъ нормальныхъ силъ N вслѣдствіе его ничтожности сравнительно
съ вліяніемъ момептовъ, по (125) имѣенъ:
m3dx
/Мпш. dx ,, Гіа,2<Ь> „ fm,m,dx _ Г т.
-^М$-+ в* J-ВТ + п* J ~^j-+ »* J ~
fM^dx Гт,т^х рщЧх _ „ /*м,иід
b~J EJ *Vlj EJ *~U*J Ш +"V EJ
{•MBm,dx _ n rm3m,dx fm.m.dx fm3a
¥'=J ej +i)'J ~ej~^d*J T7~ + Z>3J ~a
dx
EJ~
dx
EJ~
Вслѣдствіе крѣпкаго соединенія въ углахъ измѣненіѳ у3 угла L = Q;
если, кромѣ того, крайне незначительный перемѣщенія yt и у, поставинъ
тоже -Оі примемъ что весь профиль состоить изъ однородного иате-
ріала, то сокративъ предыдущія уравненія на Е они получать видъ:
m3dx _
JM^^J^dx^Jmldx^^j
m^m.dx =
= 0
(Z)
Каждый авъ эткхъ внтеграловь долженъ быть распрострапенъ (при пре-
небрежевіи деформапш балки АВ) на AL, LK и КВ.

286 ГЛАВА ДКСЯТАД.
Предполагая, что точки А и Б неподвижны, получаемъ легко (черт, а):
для LE.M = М, =D, — D2x і
для LA : М = М, = В3 -ь 2>,as — ^f — Рх\ U)
для КБ: М = Мъ = D3 — DJ> -н JDtx J
Чтобы получить М0, т„ т2 в т3 нужно въ эти уравнения поставить
для М0 : D, = D, = В,6 = О
для )«, ;1), = 1; Л, = D3 = w = P = 0
дія я»,:2>,= 1; D1 = D1 = w = P = 0
для т3: Z>3 = 1; Z>, = D3 = « = Р = 0.
Величины т„ mt и т3 могутъ бьпъ иолучены также изъ уравнешй:
dM dM dM
Для большей наглядности составлена таблица Л° 1 (стр. 287).
Если значенія таблицы JV° 1 подставимъ въ уравненія (Z), то будеп:
№ _ «А_* І),2А3 Р,ЬА] 2А^ _
37, 87; + 37, 2J, "^ -°3 2</, ■" U
„ 5Аа _ / йа 6аА\ _ / б2 Ыі\ п
-D'Wt-D' W^ j;)-D' (27—-tJ = °
PA* wAs ^ Л2 „ /J» Ш /І 2А\ .
Рѣшеніемъ этихъ уравнений получаемъ послѣ соотвѣтственнаго сокра-
щенія, поставввъ для краткости
. Ъ J,
Р wh 3i-t^2 _ гсАд -ь ЗРА
1 _ 2 + ¥ ' 2І-Ы П*~ Ь (і-нб)
_ f28'"-*-fi) №А' -»- 36 (2г'-*- D ^
3 — 24(2і-+-1) (іч-6)
Моментъ въ произвольномъ сѣченіи получается помощью выраженій
графы М, данныхъ уравнениями (А). По этинъ фориулаиъ опредѣляются
легко также максимальные моменты, которые для раэдыхъ отношений J: J,
дани въ табдикѣ стр. 288, въ которой наксюіальвыи пометь для KL
означевъ черезъ Мѵ для LA—черезъ Мѵ и для KB—-черезъ М3.

ТАБЛИЦА JSffc 1.
w
ев
со
л
W
о*
©
4
щ
я
СП
ф
о
I
!
Моменты
Jf
ѵп<
т3
т.
mfdx
mjdx
mtm^x
S-
m,m,<?a?
гпъщдх
М.
M0mxdx
МлпАх
'0"'8
£4
X
ffl
К
OB
to
ж
•в
>-
>
LK
LA h
KB
J.
F
I>, — D^x
0
Уі
2>a-*-Z>iaj-
ІЛя
WX'
X
Ft
X
1
0
1
.D.-D^-h
+ D,«
X
~-b
1
0
3Jj
3Jj
3J
0
Ji
0
0
»1
0
2Jt
ft»
2J,
2J
0
J*
0
0
Px-
w&
Ph*
3J,*"
«A*
"8J7
0
0
0
2Ji"
'"6J7
0
to

288
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
а) Нагрузка №.
1
*>! ;
А І
и, І
3/, !
ПРИ 0ТН0ШЕН1И J:Ji
0
0,1875
0
0
0
0,3125
0,1875
V,
0,2015
0,2045
0,0568
0,0795
0,2387
0t1250
1
ІІІІІІ
2 | со
I
НИИ
ІІІІІІ
. тек
. ніА
. «А?
. ігА1
.и-й*
.юЛ3
б) Нагрувка Р.
-
ft
ж,
ПРИ ОТНОШКНІИ J-.J,
о
0,5
0
0
0
0,5
0,5
V,
0,5
0,6135
0,2045
0,2045
0,2955
0,2055
1
,11111
2
0,5
0,7104
0,2368
о^зев
0,2632
0,2632
со
0,5
0,7500
0,2600
0,2500
0,2500
0,2500
.Р
.Р
.Fh
.Fh
.Fh
.PA
Максимальный напряжения отъ нагрузошь w в Р получаются но уравнѳвіяиъ:
для LK : а = -^ -+• —^
для LA : а = -^ -+- —^
для £В : а = =* -+- —f-* -
Эти напряженія прибавляются кь гЬнъ которыя иронаводять верти-
жадная нагрузка.

ОЦРВДъ.ІЕПІЕ ИНТЕГРАЛА.
289
163. Определить доя предыдущего случая вліяніѳ нрѣдкаго медяке-
нія поперечной балочкі еъ Ферважі, при синхет-
ричяон нагрузкѣ первой. (Черт. 187).
ВслѣдетвІе симметричности нагрузки профиль
будетъ имѣть симметричную форму и въ нагру-
женпомъ состояніи, поэтому вертикальная срѣзы-
вающая сила Т).г въ сроднемъ сѣченіи гв будетт.
= 0.
Разрѣжемъ LK по rs, и для возстаиовленія
равновѣсія приложимъ къ сѣченіямъ разрѣза
касательную силу D, и моменть D,. Перемѣщввіе
уу сѣченія rs по паправленію /),, и вращеніе его
Уз по паправленію D, получатся по (125) изъ
слѣдующихъ уравпепій:
1J'~J EF ~*~J~EJ '\J Ж
dx
EF~
dx
n3dx
EF
-i-
/m,m3dx\
•+-
МУ nr+J-ЁГГ
Для разематрнваемаго случая эти формулы упрощаются на томъ осно-
ваніи, чад у, = уя — Д, = », = 0, и Е — величина постоянная, поэтому
будетъ:
,tnadx
ГМлп.йх _ / Гп,Чх Гт,'4х\ п Гт,і
Такъ какъ правая половила профиля ABKL симметрична лѣвой, то
интегралы достаточно опредѣлить только для одной половины. Подоб-
ньшъ образомъ какъ въ предыдущемъ № составлена слѣд. табл. Л* 2.
Помощью данныхъ въ этой таблицѣ зиаченій уравненія (В)
получать видь:
ь
—*./¥-.(
Ь_ Ь
SJ,
h4
2J.
U. Чмпіиммпй.—Огронімьна* томат.
19

ев
И
со
ев
н
LK
LA
ЛВ
й
в
^ч
н
«
* 2
Л
h
\ 2
і
і
і
*
ев
ff
О
«
ч
F
*'. '
Р.
я
is
■&
s
£
М
Ф
О
я
J
J»
J3
м
А
D, - 2)ів
і
\
і
і
*Ч
1
0
— 1
т ,
щ
0
— X
-А
А. В J
*»а
1
1
1
ГИЦІ
\ n^dx
\ F
щ)
ь
IF
0
Ь
2F2
l JS№. 2
\ J
щ)
0
Л3
3J,
Ь3Ь
2Ja
*
t m\dx
\ J
J
2J
Л
>
ь
2J2
^ WjWjda?
і J
ч)
0
2^
ЛЬ
аг,
Jf«
0
0
ж0
и
Г M6m±dx
\ J
J
0
0
Cjfcto
J J-
Г Jf0m8rfa;
\ J
J
i
0
0
I M0dx
3 J»
290
l-j
и
>
03
3»-
X
M
>
to
•

II II РЕДЪ Л ЕНІЕ ИНТЕГРАЛА. 291
ь
2
fMadx I k1 hb\
I
довательно ^
2
!■
i i 2 Ф" л gb1
\%J J, 2JJ
Если означишь чорезъ Js — средній моментъ иперціи балочки ЛВ, то
ь ь
■2 ~-і
о а
Положимъ. что балочка ЛВ нагружева симметрично двумя грузами G
(черт. 187 о); липія момеетовъ имъетъ аъ этомъ случаѣ видъ трапеціп .
afgb, которой оспованіе ab = 2а -+- с = Ь, а высота f,f = Ga. поэтому
ь
"о"
M„dx — ■„ (т . а {а -+- г).
о
Для полной равномѣрной пагрузки линія момевтовъ представляетъ
параболу, которой хорда Ъ. а высота въ серединѣ (стрілка) — -&- . слѣ-
MQdx = ± ^ lHJ = 24
и
Помощью этихъ выражевій получаются изъ ѵравпеній С величины
Dt и Вг
Если ошачвмъ максимальный момевтъ
для LK — черезъ Мл
для LA — черезъ М,
и для ЛВ— черезъ М3, то
Ж, = U3; М3 = В, — B,k: Ж, = Д3 — D,A -+- mxM0.
Максимальный напряженіж
-О, D,v,
для і>А : в = -р- н у—
(Д.-ВДг,
для Ал и LB; з — -■ j
Д (Д,-А*+шД,)р,
для ЛВ : і — ^—н ——— —j-——
я, •'%
ѵі} ѵ3 и ѵл означають раэстоянія крайнихъ волоконъ отъ соотвѣт-
ственныхъ нейтрадьвыхъ осей, перпеядикулярныхъ къ илоскостямъ изгиба,
которыя совпадаюгъ съ плоскостью профиля ABKL. Если означвмъ
19*

292
ГЛАВА ОДДВНАДЦАТАЯ.
черезъ М, — моментъ, который происходнлъ бы въ А (или Б) при за-
щѳшееіи поперечины АВ на концахъ, то разсчетъ показываетъ, что
моментъ Z),—D,h максвмумъ равняется ^ Ма, но бываете и пе выше ^ Мл,
изъ чего слѣдуетъ, что поперечину нельзя разскатривать какъ
защемленную балву.
ГЛАВА IX.
164.—Вдѣлка ж ущеыеяіе бруеа.—Мы называет, брусъ «вдѣлан-
нымъ», когда конецъ его вставленъ въ приготовленное для этой дѣяи
гнѣздо свободно, такъ что онъ можетъ быть вынуть изъ него безъ затруд-
ненія, в «ущеыленнымъ или задѣлапнымъ», когда верхняя часть
кладки лежигь на находящемся въ стѣпѣ концѣ бруса, сжимаегь его, и та-
кимъ образомъ дѣлаетъ удаленіе бруса изъ стѣны невозможнымъ безъ
употребленія чрезкѣрнаго усилія н безъ поврежденія или разборки кладки
въ м'Ьстѣ закрѣпленія.
Вдѣланный брусъ, при пренебреженіи его вѣеомъ, не производить
въ Бенагруженномъ состоянии никакого давлеаія на сгѣнки гнѣзда и не
испышваетъ никакого яапряженія огь послѣднихъ; онъ прилегаеть къ
стѣнкамъ вверху и внизу безъ всякаго усилія, а ущемленный — сжать
кладкой, и его задѣланный конецъ нагружеиъ болѣѳ или иѳнѣе
значительно и во время отсутствія груза.
I. Вдѣланный брусь.
Мы предполагает:
а) брусъ абсолютно жесткій, а его опорная поверхности
принадлежать упругому натеріалу:
б) ось бруса прямая ила плоская кривая, и всѣ дѣйствуюіція на него
ввѣшвія силы находятся въ плоскости оси. Плоскость, заключающую
въ себѣ внѣшнія силы, будемъ называть силовой плоскостью.
Опорная плоскости, которыхъ число произвольно, изображены на
черт. 188 представляющей разрѣзъ силовой плоскостью, прямыми ас и Ы.
Дѣйствующая на брусъ нагрузка, равнодействующую которой означимъ
черезъ В, возбуждаетъ въ отдѣльныхъ элемштахъ этихъ плоскостей
реакции, равнодѣйствующія которыхъ находятся въ плоскости силъ.
Такъ какъ опоры бруса упругія, то внѣшнія силы нроизведутъ де-
формацію, вслѣдствіе чего въ моментъ послѣ приложения ихъ брусъ
получить безконечво малое движете, которое, какъ какъ продолжительность
его очень мала, будеть всегда вращѳше около оси, перпендикулярной
къ силовой плоскости; эту ось будемъ обозначать буквой О.
Если dy — уголь, на которой вслѣдствіе этого двкжешя повернулся

вдиллннын в р J с ъ,
293
безкоиечно-малый элемента і бруса, отстоящіи отъ О въ разстоянів = р,
то описанная имъ дуга
ds = р. d<j>.
Деформація въ точкѣ т пропорціональна ds, поэтому, означивъ черезъ
k—постоянный коэффиціентъ, зависящій отъ свойствъ матеріала оноръ,
и черезъ а—--напряжете въ т, можно поставить при я не больше
предела упругости:
а = к.(к = kpdy (239)
Такъ какъ всѣ точки бруса поворачиваются одновременно ва одинъ
и тотъ жѳ уголъ. то d'%—величина постоянная; означивъ k.df черезъ?.
будетъ со (239):
о = Z. р (240)
Это выраженіа показываегъ, что напряжение а прямо пропор-
ціонально разстоянію р точка отъ оси вращенія.,
Если изъ О опустимъ на опорныя плоскости ас и bd перпендикуляры,
всгрѣчающіе эти плоскости въ
т и п, то легко, узнать, что
въ посдѣднихъ
напряжение амѣняетъ знакъ; когда,
какъ на чер. 188, сила В
находится справа О и
направлена впизъ, то брусъ
поворачивается по направлению,
указанному стрѣлкой го, вслѣд-
ствіе чего въ частяхъ та и
nd опорныхъ плоскостей бу-
дутъ действовать сжатія, а въ
частяхъ тс и пЬ—раетяженія.
Прамемъ О за начало
координата, ось ОХ перпендикулярно къ В, а ось ОТ параллельно
Л. Пусть xs—величина и направленіе реакціи точки т '); разложимъ xs
по направленіяиъ осей ОХ и 0У\ означимъ слагаюпцл черезъ Z и rt,
а реакцио xs черезъ s получимъ изъ чер. 188:
£ У- 3-*
s р'
Чер. іва
р
откуда:
с =
&%
(241)
') Ѳто шшравлѳвіе еовпадавгь еъ направленіеігь дуги, описываемой точкой т,
і. е. оно перпеадаеулярно въ радіусу От.

294
Г Л А В А ' О Д И Й П А I Ц А Т А Я.
Если df— безкоііечио малая площадь элемента ~, то
В = adf,
т- ѳ' s = l?df,
и поставиві, это зпаченіе въ (241)
s = ljf.fif,rl = lxdf (242)
На осеованіи условій равновѣсія можно написать слѣдующія 3
уравнения:
JW=0, J7,df—S = 0, /(«//) р—Л§ = О,
или, подставпвъ для t ijbo значенія:
/J>rf/'=0, lfaxlf=B, lj94f=R.q. . .(243)
///й/ выражаетъ статическій моментъ всѣкъ опорныхъ поверхностей
по отношееію къ оси OX. $xdf— по отношение къ оси ОУ, a Ip'rf/*—
моментъ инерціи по отношенію къ оси вращенія О. Если F— сумма
площадей всѣхъ опорныхъ плоскостей, г—ихъ цеитръ тяжести, е, и е—
разстояніе этого центра отъ ОХ и ОУ. то по правилу етатическихъ мо-
мептовъ:
\ydf=Fet, $xdf=F .е.
Подставивъ эти значенія въ (243), будетъ:
/Fe, = 0 , lFe = R,
откуда (такъ какъ I и F не — 0):
е- = °» І=Й (-44)
Изъ условія е, = 0 слѣдуетъ, что центръ тяжести всѣхъ
опорныхъ поверхностей находится на перпендикулярѣ, опущен-
иомъ изъ О на В, что, слѣдовательно, слѣдъ О оси вращенія на
силовой плоскости находится на перпендикулярѣ, опущеняомъ изъ центра
тяжести г на равнодѣйствующую R внѣіпиихъ силъ.
Если въ (240) подставимъ для / значеше (244), то подучинъ:
■=£ (245)
Наибольшее напрлженіе испытываетъ точка, наиболѣе удаленная отъ
беи О; означивь разстояніе этой точки отъ О черезъ г, а ея напряженіе
черегъ тахо, будетъ: „
max в = -■*£ (246)

ВДЪЛЛНВЫН Е Р У С 1.
295
Такъ какъ шаха не должно превосходить допускаемаго напряженія к
матеріала. то должно: R
k^FT1e (ШЛ)
Означимъ черезъ ./—моментъ инерціи всѣхъ опорныхъ плоскостей по
отношенію къ оси О, то:
По (243): R
ила: г
Пусть Ja — ыоментъ инерціи всѣхъ опорныхъ плоскостей по
отношенію къ оси центра тяжести г, параллельной оси О, и і — радіусь
инерціи, to:
J = J0., - JV = F? -+- Fe',
и слѣдовательно
q Fe e e ~Ke'
q~ в
i1
(q—e) есть разстояніе силы R отъ центра тяжести г: если означимъ его
черезъ t, то: .5
t — - , т. е. I. е = ? (247)
е
Йзъ послѣдняго выражешя слѣдуетъ, что радіусъ инерціи есть
средняя геометрическая пропорциональная между разстояніемъ е
оси О отъ центра з и разстояніемъ t силы й отъ того же центра.
Когда равнодѣйствѵющая В проходить .черезъ центръ тяжести г (£=0),
ТО: " .,
е = ( = со:
вращеніе происходить около безконечно далекой оси, движеніе,
слѣдовательно, поступательное, и напряженіе во всѣхъ точкахъ опорныхъ плос-
костей постоянно и = у (потому что р = е).
Если на брусъ дѣйствуетъ пара силъ, то t = °=>, поэтому е — 0.
Еслв моменть пары означит, черезъ М, то по (243) будеть:

296
Г Л А И А ОДИННАДЦАТАЯ.
и такъ какъ:
/
, , Ж Ma Mr
Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что для вычисленія максимальна™
напряжения тахя нужно опредѣлить:
1) сумму F опорішхъ площадей/*;
2) цеитръ тяжести в этой суммы F;
3) ея момецтъ инерціи J0 по отношеііію къ оси, проведенной черезъ
центръ тяжести g перпендикулярно къ плоскости силъ: онъ равонъ суммѣ
моментовъ инерціи отдѣльныхъ плоскостей, ваятыхъ по отиошенію къ
этой оси: ....
4) радіусъ инерціи і = у -р,
5) равнодѣйсгвующую В всѣхъ дѣйствующихъ на брусъ внѣшнихъ
силъ;
6) перпендикуляръ, опущенный изъ г на Й, который даетъ раз-
стояніе q;
7) воложеніе точки 0 графически или вычисленіемъ по форнулѣ
f
8) точку, наиболее удаленную отъ О, и ея разстояніо г.
Приложеніе предыдущей теоріи.
Мы разсматриваемъ брусъ, вдѣланный въ стѣну свободно, безъ
всякого съ ней соединееія, такъ что въ ненагруженномъ состояпіи при пре-
небреженіи собственнымъ вѣсомъ онъ прилегаегь къ верхней и нижней
опорной плоскости безъ
напряженія. Модуль
упругости бруса пре-
выш&етъ модуль
упругости гпѣзда столь
значительно, что
первый можно считать
совершенно неупругиыъ.
Вслѣдствіе дѣйст-
віа ввѣпшвхь силъ
брусъ повернется око-
Чвр. 189. ло нѣкоторой оси О,
сожметъ частью
верхнюю, частью нижнюю опорную плоскость и войдетъ съ той и другой въ
этихъ ч&стяхъ въ полное соприкасание. Чтобы получить предѣлы этого
соприкасанія нужно, по вышесказанноиу, опустить изъ О на опорная

1ІРИЛ0ЖЕН1Е ПРЕДЫДУЩЕЙ ТКОРІИ, 297
плоскости ас и Ы (черт. 189) перпендикуляры От и On; такъ какъ, вслѣд-
ствіе отеутствія сцѣпленія между брусомъ и плоскостями ас и bd,
напряжения растяженія = 0, то сопротивляются только сжиыаемыя части та
и nd этихъ плоскостей.
Хотя не представило бы никакого затруднения разсматривать брусъ
цри предположен^ перемѣнной ширины задѣланнаго конца, но всдѣдствіе
малаго практическаго значенія такого предположееія, принимаем, эту
ширину постоянной. Плоскости соприкасавія am и nd будутъ въ этомъ
случаѣ прямоугольники, которыхъ центры тяжести г, и z, дѣлятъ am ц nd
пополамъ.
Означимъ длину вдѣланнаго конца черезъ с, ширину бруса черезъ і,
и ноставимъ: _.. _-
am = u, an = ѵ,
тогда:
c^s+o и F — bu ~н 6ѵ = Ь . с.
Центръ тяжести z всѣхъ оиорныхъ поверхностей (которыхъ здѣсь двѣ)
находится на прямой z,gt- по правилу статическн.хъ моментовъ должно:
слѣдовательно:
и такъ какъ:
то:
м __
s3z
b.v
b .it
всѣченія прямы хъ
z,p
z,p~
£,в
■ в+
z,z
zte ■+- HjZ
z,z -+- z^z
7.*
-Nt
*j»
V
u '
*A И
«
: 7'
1
*lP
*iV
— Ztf
-t-#,p
■+- я,р;
*,* = z^p a 0,2 = z&.
Опустимъ изъ z на ас и bd перпендикуляры гкх и zkt и озвачимъ
уголъ прямой atet съ 4,і, черезъ а, то:
— — — . « — .
ей, = az1-t-z1zsma = ^г^Stn а'
7^ — dz, = z^sin а = g -+- ^ згя а.

298 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Но:
г,р stn а = ztn = « , гфвіп а = ^ ,
поэтому
«&, = **, = - з- = 2"'
т. е. дентръ тяжести г находится въ серединѣ вдѣланнаго конца
бруса.
По вышедоказанному ось вращенія О находится на перпепдикулярѣ.
опущенномъ изъ г на R, а на прямой тщ изъ черт. 189 получаемъ:
—- — -=- и-ч-ѵ u-t-v
е = гО = am — а/с, — и ^— = ~~5—
Если о, и о, — разстоянія точки О отъ плоскостей ас и М. то:
поэтому
и такъ какъ о, -
откуда:
ьо.
о. b,z v
- ■ _ -—■ — •,
о* г\г «
о, г
0,-1-Оа V-h-И
О, V
h с
о, — — и о, = —•
Теперь можно определить моментъ инерціи опорвыхъ плоскостей по
отношение къ оси О:
в такъ какъ:
2,? = О,2 -h ( 2
ТіѴ
т .«%+-.«' .- ГА2 , Ѵ\ , /Ѵ\ , ѵ1

11РИЛ0ЖКНІЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ТКОРІИ.
299
<s , ,1 1 / с5 К1 \
с
Подставивъ это зпаченіе въ (24Т) будетъ.
В^ с*
te = — ~ь і W".
Но:
С Г
поэтому '
с1 **/<:' ,\ с1 А2 А'Ѵ
иле:
откуда:
' -"А'-^йМіг
или
)•
Если разстояніѳ силы В, оть сѣченія « овначимъ чврезъ I, то:
/ = /-*■ |-
Когда А сравнительно съ с достаточно мало, то можно поставить:
А5 /с'
Н тогда по (10):
?ti—'и*
/е = Т2'

300 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Лримѣчаніе. Такъ какъ произведете и . ѵ положительно, и
и . ѵ = [t -ь еJ (^ — е j, то должно: |- > е.
Когда |- = б (с = 2 в), то по (248)
І._ ^_
, с 2 ~ 12*'
откуда t = g-
Условіе е = -^ означаетъ, что точка О находится на конечномъ сѣче-
ніи bd въ точкѣ /; длина ѵ верхней плоскости касанія въ этоыъ слу-
чаѣ = 0, т. е. соприкасаніе происходить здѣсь только вдоль ребра d, a
внизу брусъ передаетъ давленіе всей плоскости ас.
Для точки f, въ которой перпендикуляръ Ог встрѣчаетъ «6, разстоя-
ніѳ р= 0/'=-|- -+- е, поэтому по (245):
■■Ы)
В|" ■ " R Вс
а, =
Fe F 2Fe
Если для е подставимъ приблизительное значеніе (248«) то получимъ:
г)
^jS-bft^/f + f'
2JV
be
и вслѣдствіе F = Ь . с, 0„ , „,.
в/=^(2-н|') (249)
Для точки /",:
С
Р = 9
_*(;-)
и приблизительно:
а' Ас "^ 2ес' с%
т. е.
йзъ уравненш (11) получаѳиъ:
о, . 6с1 = 4 Мс -*- 2 Д . 3/,
, 4Й бйг

ПРИ.10ЖИЯІЕ ПРВДЫДУЩЕИ ТЕОРІИ.
301
откуда:
с =
^ [а л + |/4 д»-н в дав/а],
2В[ •,/" Slab]
с = —,
Такъ какъ точка f находится довольно близко къ наиболѣе
удаленной точкѣ а, то въ случаѣ, когда требуется, чтобы давлѳніе д не
превышало данваго прѳдѣла к, можно определить приближенно необходимую
длину с по формулѣ;
-у
_ 2В
с ~ kb
> 1/ , эш
1 -1/1 -ь ж
(252)
Вычисливъ затѣмъ по очереди (, е, а, ѵ, о,, в г, получимъ max а по
(246). Если бы max а отличалось значительно отъ к, то было бы нужно
повторить расчетъ, изыѣнивъ соотвѣтственно величину с.
Пржжѣръ 1. На консольную двутавровую балку, вдѣланную въ сгѣну
свободно, дѣйствуетъ равномѣрно распределенная нагрузив 200 кил. на
■ 1 ног. мтр., и кромѣ того, въ разстояніи = 0,3 мтр. отъ ея свободнаго
конца, сосредоточенный грузъ 600 кил. Длина консоли 2 т., ширина
балки Ъ = 13,7 см., а высота к — 34,0 см. Опредѣлить глубину с вдѣдки
такъ, чтобы давленіе на 1 кв. см. ие превышало 14 кил.
Вся нагрузка консоли В = 200.2 -+- 600 = 1000 кил.
РавсгояяіезтравнодѣЙствующейотъ середины ея получается изъ условія:
а__ _ 600 __ 3
0,7 — х ~ 400 ~ 2 '
х = 0,42 мтр. = 42 см.
( = 100 -ь 42 = 142 см.
Приближенно, глубина вдѣлки, по (252):
с =
2. 1000 Г, ./, 3.14,2.14; 13,7]
с — 78 см.
* = Іч--^ = 142-ь-^= 181 см.
Ло (248а): ^_^^_^^__
181.784 , ,/; ^ 34' /78* ,,, \]
= - 476,3 -ь 480,72,

302
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
е — 4,42 см.;
V С
м — -■ +е- 43,42 см.; ѵ =-к — « = 34,58 см.:
«. = Т = --'тГ5' = !5'07; "і = * ~ ^ - і8'93 «■■;
г = ^о,*-*-»1 = V 16,07s-blM? = 45.92 см.;
1000.45,92
шйх * = ^-^—-2- = 9.,3 кил.
Такъ какъ к — И, то можно сдѣлать с < 78. Если ноложимъ с = Йб,
то такииъ же образомъ получимъ, онредѣливъ е, и, », о, и г,
таз:, а = 11,9 кил.
т. е. мевьше 14; с можно поэтому уменьшить до 60 см.
Прінѣръ 2. Двутавровая балка, высотою 7", при ширинѣ полокъ
З'/Д вдѣлана однимъ концомъ въ каменную кладку; на свободный ея ко-
нецъ, длиною 7 футъ, дѣйствуетъ равномѣрпо распредѣленная нагрузка
въ 10 пуд. на тюг. футъ. Опредѣлить длипу вдѣлываемой части такъ,
чтобы давленіе на кладку не превышало 5 пд. на кв. дюймъ.
Имѣемъ; -. . 0
R = 7.10 = 70 пуд., ! = -~ = 42',
Ь = 3,25", h = 7", it = 5.
Приближенно, но (252):
2.70
с =
Ъ. 3,25
, / 3 . 42 . 5 .3,251
1 "•" V 1 "*" ~ 2 . 70 j =" 8'62 V "- 3'95)'
с = 42,67.
Предыдущій принѣръ показалъ, что эта формула даетъ для с слиш-
комъ большую величину, поэтому беремъ с = 40 дм. Получает.:
* = 43-ь^ = 62;
62
е^ _
. 403 , //62.40Ѵ 40Т МО1" „Л _
— — 1012,24 -ь 1014,58,
е = 2,34,

УЩЕМЛЕННЫЙ БРГСЪ.
303
= 22,34, ѵ = 17 , 66,
7.17,66
0,=
40
= 3,09,
*■ — V 3,095 4-22,34* = 22,55,
70.22,55
ШаХ " = ГЗО. 2 34 = ' ПУД' На КВ- ДМ'
-к*
-т
ІІІІІІІІІрІІиіпі »
'""•iillLjii!
<?0
II. Ущемленный брусъ.
Прѳдыдущіе выводы не дѣйствитѳльны для ущемленпаго бруса, т, е.
задѣланнаго въ стбпу такимъ образомъ, что на немъ лежктъ часть кладки
и давить на него своимъ вѣсоиъ. Ущемленный конецъ будетъ въ ненагру-
женноиъ состояніи сжать этимъ вѣсомъ, онъ поэтому прилегаетъ
совершенно къ верхней и нижней
сгѣнкамъ гнѣзда и соѳдиненъ съ
ними происходящимъ отъ сжатія
треніемъ гакъ сильно, что удале-
ніе его невозможно безъ повреж-
денія или разборки ііослѣдней.
Если еъ брусу приложимъ
нагрузку, которой равнодѣйет-
вующая Е, то онъ повернется
около вѣкоторой оси О,
находящейся внутри утцемлепеаго
конца, вслѣдствіе чего давленія на
части am и nd (черт. 190) увеличатся, а на части Ьп и тс—уменьшатся.
Но давленіе на часть am будетъ значительно больше, чѣмъ на часть nd,
потому что первая получаегъ еще ежатіе отъ реакціи утдемленнаго
конца. Вслѣдствіе осадки кладки и упругости сжатаго конца давленіе и
теперь будетъ распредѣляться на полныя опорныя плоскости:
наименьшее давленіе будетъ испытывать плоскость въ точкѣ А, на которую дѣй-
ствуютъ разгружающаиъ образомъ нагрузка бруса и его вращеаіе, но
такъ какъ и въ этой точкѣ кладка съ брусонъ соприкасается, то
наименьшее значеніе давлеБІя на нее можетъ быть — 0. но не можетъ быть
отрицательно, потому что растяжеяіе здѣсь невозможно вслѣдствіе
недостаточности, или вѣрнѣе — отсутствія сцѣпленія бруса съ кладкой.
Напряженія въ прочихь точкахъ опорныхъ поверхпостей получаются
при предположен^, правильность котораго нровѣрена опытами, что
плоскости ас и bd остаются плоскими и ггослѣ нагруженія, если только про-
изведенныя нагрузкой напряженія не превышаютъ предѣла упругости.
Черт. 1'.Ю.

304
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
При условіи, что напряженіе въ точкѣ b понижается до пуля, діа-
грамма сжатія плоскости Ьё можетъ быть представлена треугольникомъ
bqd (черт. 190), т. е. величины сжатій будутъ пропорціональвы ихъ раз-
стояніямъ отъ точки Ь. Если, поэтому, означимъ черезъ:
с — длину ущемленнаго конца,
и — сжатіе въ точкѣ d, и
if — сжатіѳ въ точкѣ р, отстоящей отъ Ъ въ разстоявіи = х, то:
У =х
и с '
т. е.
их
Аналогично, какъ въ предыдущемъ случаѣ, можно насисать, означивъ
черезъ а напряжевіе, соотвѣтствующее сжатію у:
У = «а,
гдѣ а—постоянная, зависящая отъ крѣпости и упругости матеріаловъ
кладки, и бруса. Подставивь для у значеніе, будетъ:
ѵ = —■ (253)
ас
Напряженіе отъ давлеыія J), произведеннаго нагрузкой ущемленнаго
конца, получается слѣдующимъ образомъ:
Если Ь—ширина этого конца, то на безконечно узкую полосу ppt,
которой площадь df = b.d%, дѣйствуетъ сила:
dD = adf = —. х. bdx;
' ас
поэтому полное давленіе на плоскость bd:
В=£. ........ (254,
Щъ этого уравпенія получаемъ:
• = ^ (255)
a be
и по (253):
2Dx
а=~ (256)

УЩЕМЛЕННЫЙ Е Р t С Ъ.
305
Если М—момента виѣшнихъ саль для сѣчееіа об, то ввъ условія
равновѣсія моментовъ по отношенію къ і слѣдуетъ:
* е .о
ыЬс*
' м = ик • (257>
откуда:
а ~ fer
и по (253):
а = -№-с = Тс*Х:=а> (258>
Максимальное напряженіе происходить въ точкѣ d, для которой f
достигаегь максимума с, т. е.
ЬМ
maxa = j-j- ■ ■ ■ (259)
Ивъ (253) и (257) слѣдуетъ:
2D 8ЛГ
поэтому необходимый для равновѣсія вѣсъ кладки, давящей на
ущемленный конецъ:
D = ^ (260,
Такая же величина максимальнаго напряжения, какъ для точки Ь,
получается для точки я при предположении, что плоскость ас и послѣ
нагруженія бруса остается плоской, и что вслѣдствіе вращевія- вокруг*
оси О напряженіе въ с можетъ понизиться до нуля. Но давлеше на ас
увеличивается еще дѣйетвіешъ реакціи S, распределяющейся вдоль ее
по тому же закону, что и сила D, такъ что напряженіе, произведенное
ею въ точкѣ q, отстоящей оть с въ разсгояніи х, по (256):
2 Их
Для х -— с это напряженіе достигаегь маисияуна:
2йс 2Д .....
•**.«=-sr^-s?-». с261)
ЧігешвпшсжіВ.—Стровтельвш кеіаняга. 20

306
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Полное напряженіе въ точкѣ с:
3JM" 2R
Для консоли М= Ш и, следовательно:
* = 1(2-т) <263>
Если к—допускаемое напряженіе матеріала кладки, то должно:
к^э.
Для к = 8 уравненіѳ (262) даетъ:
, 2Л _Ш
С kb С — И *
откуда необходимая глубина задѣлки ушемленнаго бруса:
2В Л/12'В\* ЪМ
Когда эта глубина недостаточна, т. е. меньше получаемой изъ по-
слѣдняго выраженія величины с, то напряженія въ частяхъ am и nd
(чер. 100) могутъ превысить предѣлъ упругости, вслѣдствіе чего въ этихъ
частяхъ иогутъ проивойти столь значительный сжатія, что брусъ въ Ьп
и cm отделится отъ кладки и полезное дѣйствіе ущемленія уничтожится.
Для к въ фориулѣ (264) полезно вслѣдствіе того брать не слипшягь
большую величину, и въ цѣли уменьшенія глубины задѣлки
соприкасающаяся съ брусомъ части сладки выложить изъ плитъ твердой породы.
Пржяѣръ 1. На дубовую бажку, ущемленную горизонтально обоими
концами, дѣаствуегь равнокірно распредѣленная нагрузка но 400 кил.
на 1 пог. метр. Продеть въ свѣту 1=Ь игр., ширина балки 4 = 20 си.,
кладка въ мѣстѣ вакрѣвленія выложена плитами изъ гранита, котораго
наименьшее сопрошвлешѳ ори раздроблеиін превышало 850 кил. на
1 хв. сн.
Если за безопасное напряженіе к принекъ 50 кил. на 1 кв. стм., то
будемъ имѣть -^ = 17 кратную прочность; іюиенгь ущемленія № =
= -^- и, такъ какъ
# = 400 к. на I йог. итр. = 4 кил. на 1 пог. см., и 1= 500 св., то;
Ж = ^f = 83333,

ВСТАВЛЕННЫЙ В Р Г С Ъ.
307
_ 4 .500
R = ——— = 1.000 кил.
По (26).
1000
с = 50.20
Ѵ(—)
У \50.20/
8 3 . 83333
50. 20
= 17 см.
Лриѣръ 2. Двутавровая консольная балка, ущемленная однимъ кон-
помъ; длина свободной части консоли I = 7', ширина полокъ ft = 3'/4".
Балка нагружена равноаѣрно р = 10 пуд. па ног. фут.; давленіе на
кладку не должно превышать 5 пуд, на 1 кв. дм.
Здѣсь
ЛГ=Г- =
рі' 10.7(7X12)
2.940 пудодюйм.,
По (25):
70
с-= —
В=рІ = 7 . 10 = 70 пд.
,25
2 3.2940
«-, „„" = 4,3 -+- 23,7,
5 . 3,25
5.3,25
т. е. с = 28 дм.
Для той же балки получено выше при условіи, что конецъ ея только
вдѣданъ, а не ущемленъ, с = 40 дм*, т. е. длина вдѣланнаго конца въ
послѣдненъ случаѣ толжна быть на 12 дм. большая чѣмъ при ущемление
ттт. Вставленный Орусъ.
Когда нѣіъ возможности устроить защемлепіе въ стѣнѣ (вслѣдствіе
недостаточной толщины стіаы илн отсутствія верхней кладки), то замѣ-
няютъ его двумя опорами \Л и В
(черт. 191) или отарой А и тягой
Черт. 191.
АЩ іА
л ' .г
"Черт. 192.
ВС (черт. 192), соединяющей яовѳцъ В съ неподвижной точкой С.
Если озпачюгь черезк
20»

308
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
А а Б — реакціа точекъ А в Б,
Т—усиліе, и М„ — моментъ сѣчепія А
с — горизонтальное разстояніе опорныхъ точекъ А и Б
то изъ условія равновѣсія ыоментовъ, взятыхъ по отношеніюкъ точкѣ А,
и затѣмъ — точкѣ В, имѣемъ:
М„ -+- Тс — Ас = о
с - с
Когда реакція В бываетъ образована кладкой, то вѣсъ послѣдней
долженъ быть не менѣе Ж, : с: для безопасности этотъ вѣеъ дѣлаютъ
обыкновенно = 2Жа : с, т. е. — 1В.
Приѣръ. На копсоли длиной 1,8 mtr, лежать равномѣрно распре-
дѣленная нагрузка 400 кил., и кромѣ того, въ рахтояніи = 30 см. отъ
свободнаго конца къ ней подвѣшенъ грузъ = 300 кил. (черт. 192). Въ
А балка опирается на чугунную подкладку, а конеігъ В соединенъ съ
кладкой тягой; разстояніе с = 0,25 мтр. Подкладки А и В укрѣплены
на каиеняыхъ плитахъ. остальная кладка кирпичная. Допускаемое
напряжение к для жэлѣза 900, для гранитпыхъ плитъ 30, и для кладки—
10 килогр. на 1 кв. сантиметръ. Моментъ въ А (въ килограммахъ и сан-
тиметрахъ) .„„
Ш. = 400 . -у ■+- 300 . 150 = 81000 к./см.а
Усиліо Т = 300 -+- 400 = 700 к.
_ М\ 8]000
А = Т+ "■ = 700 -+- 3240 = 3940 к.
с
Тяга ВС состоитъ изъ круглаго желѣза: ея минимальный діаметръ d
получается изъ уравненія
&тЫ? „
— = В
откуда
^ і ДВ -. / 4 . 3240
*=ѴЫ = Ѵ 900 . 3,14 = 2>1 см-
Отношеніе ширины подкладокъ и платъ къ длинѣ ихъ возьмемъ = 7з-
Если Ъ — длина подкладки иі, — плиты, то ий площади = */»** и '/А*'

БАЛКИ СО СКВЙЗВЫХИ СТѣНКІЫИ. 309
Ь и Ь1 опредѣляются изъ уравненів
■60 . V,*1 ^ 3940 Ю'/А1 = 394°
Получаемъ (круглыкъ числомъ)
6—14 стм. Л, = 24 см.
Подкладка подвергается сгибающему моменту-^. t- = ~(черт. !92в).
Если толщину ея въ срединѣ означимъ чѳрѳзъ 8, то такъ какъ ея мо-
2 , -і 1 2 14,, н„,
ыентъ сопротивленія =-3-0.0 .-ц-=-д-- -g-S1 = -„■ 8" должно
откуда 8 — 2,3 см.
По |Краямъ толщина 3, = — = 1,2 см.
Тяга должна быть нагружена кладкой, которой вѣсъ = "2Б = 6480 к.,
и, слѣдовательно, объеагь, при удѣльномъ вѣсѣ 1,2, = 5,4 куб. мтр.; .
Балки со сквозными стѣнками.
165.—Отверстія въ стѣнкѣ салопшой балки уненыпаютъ сопротивле-
ніе тѣмъ болѣе, чѣмъ болѣе они удалены отъ нейтральной оси. Вслѣд-
ствіе того балки со сквозными стѣнками требують вообще болѣе мате-
ріала чѣмъ сплошныя, но ихъ упохребляютъ иногда изъ декоратввныхъ
сообраясеній.
Разсмотримъ балку, подвергающуюся простому изгибу, въ стѣакѣ
которой устроены прямоугольная отверстія (черт. 193). Прочность этой
балки будегъ обезпечеяа, если, не принимая во внимаше косыя напря-
женія, она будетъ имѣть достаточное сопротивленіе изгибу и срѣау:
а) во всѣхъ сѣченіяхъ перпевдикулярныхъ къ ея оси,
б) во всякомъ сѣченіи части пояса на протяженш отверстія, и
в) въ горнзонтальныхъ сѣченіяхъ стоекъ между отверстіями.
Балка будетъ имѣть достаточное сопротивленіе пзгибу, если всякое
сѣченіе ея будетъ удовлетворять условію (100):
гдѣ
k — безопасное напряжете натеріала
М — сгмбаюпгій момеягь сѣченія, к
W—его моыенгь сопротивленія.
Пусть I и П (черт. 193) —норяазьвыя еѣченія, нроведенвыя чевезъ
середины днухъ снежвыхъ отверстій, отсѣкающія оть балки вырѣзокъ

310
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
acdefyhiklmb, представленный отдѣльно па черт. 193а въ увеляченномъ
иасттабѣ, и означимъ черезъ
J в J, — соотвѣтствуюгціе имъ моменты ннерція,
М и Mj — сгибающіе моменты и
Т и Т1 — усилія, проиаведенныя дѣйствующей .на балку нагрузкой
t . П
а. „ \аі
п
і ■'■<
WWK
S
я
*Е- lb---;
а_ _j
fR*
d
u-*
lirJ-
i m
t e
5=tf-jL.
L-i-
H
i i
n—>
та
и^-
±
*UJU*-J-
t-L'^f
*v
-Ш
—IT
IP
Черт. 193.
п и »' — равнодѣйствующія нормалъныхъ, и tf я if — скалывающихъ
налряженій для сѣченій ас и fg полсовъ,
я„ и/ и *„ f,' — тоже для сѣченій 4»» и ik,
Р и р' — разстоянія силъ « и «', а р, и р,' — силъ и, и и,', отъ
тральной оси,
df — площадь безконечно узкой волосы сѣченія, параллельной этой оси,
а и т — нормальныя в скадываюпця напряжевія сѣченія I, а а, и
т, — сѣченія П,
s и 8* — статкческіе моменты сѣченій ас я fg.
Иаъ черт, а имѣеыъ:
T = t-*-f М = п .р-л- гі .р1
A ft h
М
гдѣ
ее е
h
, = _/>

БАЛКИ СО СКВОЗНЫМИ СТЕНКАКІ.
311
м
J
»' — ~г З'
Для простоты будемъ въ дальнѣйшемъ разснатривать только случай
самметричнаго сѣченія, имѣющій наибольшее значеніе для практика. Для
этого случая
с' = с h' = h s' = s р' = р
поэтому
п' = п if = t T=2t М=;2п.р
ММ М,
^•Р— 2 п = j-s nt=-j-s
Т Т Т -+■ Т і
t=2 t,=~t «-*-'. = —г"1 «-«, =(#-■**,) ;f-
Если j—вся нагрузка вырѣзка аЖ (включая и его собственный вѣсъ), то
Tt = T-q q=T~Tt.
Сумма моментовъ всѣхъ на выр-ѣзокъ ah дѣйствующияъ силъ. ваятыхъ
по огношещю въ какой бы то на было точкѣ на прямой pq,
проведенной черезъ его середину, даетъ уравяеніе (черт. а).
М + Т.^-М, +Т,.| + |* = о,
гдѣ (а — моментъ нагрузки $.
Изъ этого уравиеяія получаемъ:
М, -M=(T+TJ ^ч-ц
или
Jf,-Jtf=(2J-fl) ^-t-ji.
Горязонтадьнымъ сѣченіемъ иг (черт, і) проведенньиіъ въ разстоя-
зш=^у отъ нейтральной осн «ѵ, разрѣжемъ внрѣзокъ ah на 2 часта,
отбросимъ нижнюю часть, н къ сѣченію пг верхней приложимъ для воз-
становленія равновѣсія моментъ т, в (ияѣкшгід точку щшложенш въ
цевтрѣ тяжести о) горизонтальную силу h и вертикальную ѵ. Если р,—
моментъ действующей на нее нагрузки у„ то изъ условія равновѣсія
моментовъ, взятыхъ по отношенію къ средней точкѣ о сѣчеаія яг ямѣеиъ;
т ч- (л — я,) (р — у) + [-^'-М 2 ■+■ ^ = °- • ■ ^265)

312 ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Условіе равновѣсія горизонтальных!, и вѳртикалышхъ слагающий,
даегь:
h -+- n — «, =0,
Т Т
откуда
h = п, — п = (ЛГ, — М)-^г
Т—Т. д
ѵ = д, ■+- — £—=5,-1--
Помощью этихъ значеній уравненіе (265) яолучаетъ видъ, принявъ
м —- w &
во внимаше что (» — «^ р = ^—~ и (2"-1" 2*і) ]> = ДГ, — Ж" — ;л,
m ч д—5 - н А# -2—' — £ ■+- р, = О
и пренебрегая весьма незначительной величиной [і, — £
Моментъ «я имѣетъ наибольшее значеніе въ сѣченін ей, для котораго
у = с, т. е.
max m = h . с.
Если овначиыъ для сѣченія Ш (чѳр. й) чѳрезъ
о> — площадь,
І — моиенгь инерціи,
я — ширину и 6 — толщину стойки, то должно:
ѵ h .са
--+-■ «-^*
о» г 2
н такъ какъ
то
. Во*
о> = я .о f = І2
ао Ьа
в ли
^ІІ2^*6^) -<м6>
') Когда нагрузка J раслредЬаева равномѣрно, то ея равнодѣйстЬующіа совпа-
даегь со средней двшей ір, и тогда точно [і=(і,=0.

балки со сквозными стѣнеаыи.
313
Усиліе сѣченія Ш = А. поэтому ио Дг 76
. =3 А
*' =" 2 За
Сопротивленіе части apjS пояса (чер. 193) провѣряется формулами
, т,е Tde , 2 S'
г, 2г, ' д,
и съ достаточной для практики точностью:
Т
IV ~
'' 2 3 Г
А, = - - - - = ѵ — (267)
въ который, означаетъ:
й — шарвоу отверстій,
і, — моментъ инерціи и s, — статическіи момептъ площади сѣченія fly,
взятые по отношению къ его нейтральной оси,
е — разстояніе наиболѣе удаленнаго волоква отъ этой оси,
г — ширину опаснаго волокна, и
u>t— площадь сѣченія Py-
Пржжѣръ. Для чугунной двутавровой балки, расположенной свободно
на двухъ опорахъ, даны слѣдующія величины въ сантиметрахъ:
длина пролета I — 1000,
высота балки 2А — 66,
ширина поясовъ = 10,
толщина поясовъ и стѣнки S — 2.0,
высота отверстій 2с = 42,
разстояніе между нхъ осями Ь = 20,
допускаемое напряжете к = к, = 400 килогр. на 1 кв. см.
Опрѳдѣлить^бевопасвую нагрузку балки я ширину а стоекъ.
Моментъ иверпш сѣченія черезъ отверстіе (какъ напр. 11).
J = _L (ю . 66* — 2 . 42s — 8 . 62s) = 68347
12
Ж=з4 = 2071
к. W = 400. 2071 = 828400 игл. см.
Но (100)
0.1000
828400 = ^—5- -

314 ГЛАВА ОДИВНАДЦАТІЯ.
откуда, полная безопасная нагрузка балки
Q = 6627.2 кил.
Максимальное усиліе происходить на опорі, и оно = ^, т. е.
тахТ^ 3313,6 кил.
Статически моментъ
8 — 10.2. 32 -t- 10.2.26 = 1160.
Такъ какъ b = 20 то q = 1(^" = 13,25
Скалывающая сила
h = \ (2T-S) f = %1■ 6614 ^ = 1123 k.
Моментъ m — 1123 . 21 — 23583 кил. см.
Если ширину стойки означияъ черезъ t, то пренебрегая первьгаъ
членомъ уравненія (266), по его незначительности сравнительно со вто-
рьтыъ, даѣемі:
2йа
-з- . 400 = 23583
о
а = 13,2 см.
Для сопротивленія скалывание достаточна ширина я,, определяемая
Г
2
Т
уравнешемъ, но (267), такъ какъ ,-> —Л,
2я, 400 = J А = — 1123 = 1684,5
в, = 2,11 см.
Для срѣза была бы, следовательно, достаточна ширина стойки —
= 2,2 си.
Площадь сѣченія ^ : ш, = 40
ЗУ 3 3313,6
-г— = -.- ■ --—.л— = 62А кил.
4 в», 4 40 '
Моментъ сопротивленія этого сѣченін
-=66,6.

БЛЛКД СО СКВОЗНЫМИ СТВНЕЛЖИ. 315
Такъ какъ ширина пустоты = 20 — 13,2 = 6,8, то напряжѳяіе из-
гяба 1656.8 . 6.8
п =
66,6
~~ = 169 кил. на 1 см.1,
что весьма незначительно.
Балка имѣетъ, слѣдовательно, во всѣхъ мѣстаяъ достаточную
прочность.
Моментъ h . у увеличивается но направленію отъ нейтральной оси
%ѵ кь пояеаиъ, поэтому можно получить сбережение материала, опредѣ-
пппг )ооо
Черт. 194. Черт. 195.
лквъ ширину стоекъ по правилу бруса равнаго соаротивленія. Если эту
перемѣнвую ширину означимъ черезъ х, то для ооредѣленія еа имѣеиъ
ѵравненіе:
h .y — Jc^-
откуда
'bhy
Ш
*=И
х измѣняется по правилу параболы. Изъ симметричности формы балка
по отношенію къ оси иѵ слѣдуегь, что стойка постоянваго сопротавле-
нія еостоитъ изъ двулъ яараболъ, встрѣчагощнхся вершинами на т;
ширина х0 стойки на м« должна быть
достаточна для сопротивленія скалывающему напря-
женія t0, и нормальному а0, гдѣ по JV° 76
_3 Л _5
Такимъ образомъ получается форма,
изображенная на чер. 196.
Въ послѣднее время инжедаръ Vierendeel Черт. 196.
предложила употреблять балки типа чер- 194
и 195 для мостовнхъ сооружений вмѣсто раскосньш. фермъ, передь
которыми онѣ отличаются простотой конструкции и большей точяостью
расчета. Для тлсдешл вражтнческаго значѳвія предложен!» Vierendeel'a про-

ЗІВ Г J А В » ПДИВНАДЦАТЛЛ.
изводятся въ настоящее время опыты; теоретически фермы со сквозными
стѣнкаии требуютъ болѣе матеріала чѣыъ раскосныя, но первыя ииѣюгь
передъ послѣдними немаловажныя практически преимущества, вслѣд-
ствіе чего въ нѣвоторыхъ случаяхъ, какъ напр. при неболыпихъ
пролетать, прямѣрно до 40 мтр., балки со сквозными стѣнками могугь
оказаться выгоднѣе раскоспыхъ.

У ДЪ'ЛЬНЫВ ВЪСЪ ІАТЕРІАЛОВъ.
31?
ПРИБАВЛЕНІЕ
I. Удѣльный вѣеъ матеріаловъ.
(Вѣсъ въ 1 куб. метр, въ тоняахъ).
Разные иаіеріаіы,
Асфальта 1^—1,5
Гипсъ 1,5
Гончарная гдина '1,85—1,89
Гравій, сукой 1,37—1,6
„ влажный 1,85—2,0
Дерево: зелен.: cysoe:
береза 0,9 0.74
Охкъ 0,97 0,75
дубъ 1,16 0,73
ель 0,89 0,56
лпственнЕца . . . 0,85 0,52
пихта ...... 0,9 0,47
сосна 0,91 0,55
тополь 0,77 0,39
ІІзпесть, оболиненная 2,3—3,2
Известковый растворъ .... 1,64—1,86
Желѣзо литое 7,85
„ скарочвоѳ 7,80
Земля, жирная 1,6—2,0
„ тощая : 1,3
Жирная глпиа 1,6—1,8
К as ал:
азебастръ 2,7
базальта 2,7—3,2
бетонъ 1,6-2,8
гиисовыі камень 2,2
гранить 2,5—3,1
нзвестнякъ 2,36—2,84
вварцъ 2,5—2^1
кремшя 2,3—2,7
мѣлъ 1,9—2,7
мрахоръ 2,5—2.85
песчанивъ 1,9—2,7
сланеиъ 2,6—2,"
еланецъ кровельныб 2,74
туфъ ■--...- . . 1,3
Камевный угол, 1,21—1,51
Картонъ 0.7—1,15
Кнрпачъ 1,91
Кладка нзг:
бута 25—2,46
кирпича 1,47—1,8
песчаника 2,05—2,12
рухляка '. . 2,4—2^
Ледъ 0,88-0,92
Олово 7,29
Песокт,, ме.ікій. сукой 1.4—1,61
„ влажный 1,9—1,95
„ грубый, сухой ..--... 1,43
Сяижщъ П.1—11,37
Сталь 7,86
Стекло, оконное 2,4—2,fi4
„ зеркальные 3,15—3,9
Трубы, гоичарвыя И лр 1,92—2,14
„ фаянсовая 2^)
Цемента, обожженный .... 1,38—1,54
„ порт.іакдъ 1.4—1,7
„ портландх отвердівиі.. 2,7—3,0
Цанкъ литой - ■ 6.W
„ прокатный 7,13—7,21
Чугудъ, білый 7,50
„ сѣрый 7,25
Щебенва (балласта) 2,0
Фрѵкты 0,3—0,35
Горохъ 0,8-0.9
Ячмень 0.6-0,7
Овеет. 0,4-0,55
І'ожъ, пшеница - 0,С5—0,8
Сѣно 0.1—0,12
Солома 0.09-0,1
Цеиентъ въ бочкахъ 1,2—1,5
Мука въ мѣшкахъ 0,6В—0,7
Соль въ иѣшкахъ 1.2—1,3
Картовъ въ Еипагь 0,85—0,9
Книги (въ пгкафахъ) 0£

318
совотвкиныи в-всъ половъ в потолковъ.
И. Собственный вѣсъ половъ и потолковъ.
Ш*к
т
1. Потолокъ съ деревянными или желѣаныміі балками и одиночный!,
настилоиъ, безъ подшивка я засыпки
Засылка нзъ сухого песками глины, толщиною . 8 см.
s » а а » » а .10?
о л > а » а и .12»
s а » » а » > . 14 э
Гшісовыѳ плиты тгщпншо 8 »
а . і 12 а
jBSct. 1 квадр.
; митр, mnojea
! въ Rujorp.
50—60
220
245
270
295
; 180
210
9.
10.
11.
12.
13.
U.
15.
і!Й
I
I £ =
і:
Сводикп изъ кирпича сплошного
» » > пористаго
> • • дырчатаго
Гипсовый лешадки
Плоекіѳ потолки:
Ветонъ, засыпка кирпнчдымъ мусоромъ 13 см.
Бетопъ. толщиною 13 см
Легкіе. пористые каяші
16, Потолокъ съ лвлѣзиыми балкаян и волнисгынъ жвлѣзомъ,
залктымъ бетономъ, или аелізо-бетонъ; вверху каменный
полъ 2 си., безъ засыпки и штукатурки
Тоие, но снизу обдѣлва плитами Монье и штукатурка . . . .
Ць миеп-
ныиъ
поишь 3 си.
ЗЭО
зао
265
230
335
3(Ю
330
130
200
Нм'Ліъ на
дерепянн.
360
290
235
215
305
330
300
150
230
Дія каждаго сантиметра сказни или .штукатурки брать 18—20 килогр. на 1 кв. метр.
Дм каждаго сантиметра засыпки суінмъ пескомъ или глиной—15—іе килогр. на
1 хб. метр.
Ш. Полезная нагрузка потолковъ.
Въ кпдогранкахь на 1 кв. метръ.
1- Потояокь въ жилоиъ здавіи ври аагрузкѣ мебелью и людьми 160—250
& » въ торговый н публичны» вданіяхъ; нагрузка товарами а
3. людьми 300—*»
4. j въ мастерски» в фабрикагЬ; нагрузка легкими рабочими ма-
5. шинами, товарами и людьми 500-600
6. > въ амбарахь (нагрузка определяется въ зависимости Отъ вѣса
1. и высоты иведметовъ). 600—700
8. > под> проѣадажи ж проѣзжимн дворшш............ 800
3. Толпа людей 400—600

ВѣОъ КРЬШГЬ СЪ ЖКЛѣЗНЫМИ СТРОПЫ ЛНВ.
319
IV. Вѣеъ кръшгъ.
а) Вѣсъ нровлк, включая обрѣшетну или опалубку, ноги (прогоны) и переводы.
Вѣсь отнесенъ въ 1 кв. метр, наклонной плоскости кровли: а — наиболее часто
употребляемые углы наклона этой плоскости.
1. Черепица одиночная .... .......
2. > двойная
3. » фальцевал . .
і. Станецъ на опадуйкѣ
6. г > уголкаіъ
4. Деревянный пеиентт.
7. Толь (картонъ)
8. Шоскіе цинковые или жолѣзные листы на дѳр.
оналуйк
9. Илоекіе цинковые листы на уголкмъ, аъ
подшивкой - -
10. П.юскіе желѣзныѳ листы на уго.шахъ
11. Волнистое желѣяо па уголкахъ
12. Волнистый цинкъ на утолкахъ
13. Стек.™
Вѣсъ [
килогр..
1Ю
130
120
95
4Ь
220
40
45
etitg 1
градусы.
1 —1,5 45-ЗЗа/а
1,5- 2,5! ЗЗ3/.—21'/,
1,5- 2,5' ЗЗ2/,—21а,4
1,5— 2,0І 3373—26'/,
1,5— 2,0! 337,-214.
10 —12,5' 5!/а— 41/,
5-10 ' П'/.- 5'/,
5-7'/,' П'Л-Т'/,
48 5—7',
25 3-5
25 ! ІѴа—3
20 і IV,—3
35—40 1-3
U!U~ 7'/,
18'/,-Ш/,
ЗЗ^/.-ІѲѴ,
ЗЗЧа-18\'э
45-181/,
б) Віеъ стропильныхъ фермъ, отнесенный нъ 1 кв. ветр. наклонной плосяобтм
крыши, выраженным въ кнлогр.
При легкой кровлѣ (кровля № 1^6) :/=1,ЗІ -——.
г + 1
При тяжелой кровдѣ (кров.ія ЛИ 7—13): /= 1,5 I т ■■ .
Здѣсь означаѳть: I— продеть фермы въ метр., и г —разетояніе фериі между собою
(пролеть иереводовъ) въ метр.
в) Случайная нагруиа воышъ.
Сиен. 100 кил. ба 1 кв. метр, горизонтальной проекцін; на 1 кв. метр, плоскости,
наклоненной къ горизонту подъ угломъ я : 100 «и а кал.
Вѣтерь. Перпендикулярно къ нлоскостн кровли : 150 mn (а° -і- 10е) вил. на 1 ка. метр.
этой нлоскостн.
Привѣчай*. Съѣздъ нвжеперовь нута русский, желѣэныгь дорогь предложил*
расчитывать:
а) При а ^ 16° ва давденіе одного только снѣга — 100 кил. на 1 кв. метр. (23 пуд.
на 1 кв. сан.).
б) При « = отъ 16° до 52Р. Снѣгъ 75 кил. я в^теръ 180 кил. на 1 кв. метр. (21 я
34 пуд. на 1 ка. оаж.
в) Прі в > 52Р давзеніе одного только вѣтра 190 вял. на 1 кв. метр. (50 нуд. ва
1 кв. саж.).

V. Крѣпоеть матеріаловъ въ килогр. на 1 кв, еант.
а) Металлы.
иі|Ц|ІІ|і.,..1ІДІИ!.1
1. Сварочоне жолѣзо
2. Литое желѣэо «
3. Чугунъ ;\
4. Сталь, литая .......
б. Проволока, жолѣзная •'.,...
6. » стальная
7 Циякъ, ирокатный
8. Олово
9, Свинедъ, прокатный
Прочное сопротиялояіе при
подвижной наѵруэк*. но беэъ уда-
ровъ, кил. на I кв. си.
Растя-
ЖѲНІ6.
Изгибъ.
Срѣзъ.
Модуль
упругости тонны
на 1 кв. см.
Крѣпость излома кил. на
1 кв. см.
Растяжоніо.
Сжатіе.
Прѳдѣлъ упругости кнл. на
1 кв. см.
Растяженіе.
Сжатіе.
900
900
250
1.400
1.400
2.800
300
' 70
30
700
900
500
1.400
—
—
—
—
100
•
900
900
250
1.-І00
— .
—
—
—
—
600
600
200
1.000
2.000
2.150
750—1.050
2.200
2.000
150
400
50
3.300-4.000
3.600-4.200
1.200-1,800
4.500-10 000
5.600
11.500
1.900
350
125
2.300-2.880
2.500-3.000
7.000-8.000
2.800-10.000
1.300-1.700
2.000-2.400
2.500—5.000
2.400
1.000
50-150
1.300-1.700
2.000-2.400
2.500-5.000
Можно брать при малыхт. сотрясеиінхъ (тапцовальныя залы, мастерскія и проч.) 0,8, при сидьныхъ сотрясеніяхъ = 0,7, а для
лремешіыхъ сооружеиШ: 1,3, отъ даииыхъ въ этой таблицѣ эначешй,
со
О
а
о
>
Ы
>
о

кръііпсть иатеріаловъ.
321
б) Дерево.
Ьріпость излома, , [ipf-jtn.
КМ. НИ 1 КВ. СМ, '' )"Р!ГО-
1. Дійь .
2. Вук-ь.
3. Сосна
4. [Lircr&
5. Еаь .
Іі. Jiictdphhboi
Кан6<иі.люс цро'іное сопіюіи- ' ЛоЛѴЛЬ
идевіа ара иодвиищих алісулсЬ. і і-ппѵіѵілтіі —s~~ "
ни вмі. jjapiiB* «и. ня 1 кЕ.(». , I, неш ™им-' Lptsb. ,j
РіІСГ1э- ІСікатіс Лідгяііьі Ср*зъ [гоины на і~ Т'~"Г~7"*
™Р> I II „ I II і п |1 КВ. СМ.: 1 ІІ ! _ , ІІ 1 ІІ -S
И I
II!
120
100
100
■ 90
60
ПО
70
80
60
50
50
60
90
НО
60
60
55
70
25
20
10
■20
25
ПО 120; 900 3-10 345 -
170 -шшозаозао -
80 120' 7Я0 250 — -
82-110 120- 750 — 245 ~
100 120 550 280 — -
100-1201120 750310- —
75 470' 130
I
*-> '\m loo
4"і i-iCU 170
«)|зюізо
- |а!Н)(120
- і-іооіао
в) Камни.
I Наиймьпн-е ирочвов «іпрліивдоце иря ! Е _: ...
іі „ , . > S s , Крѣпооть излояа
.1 подвижной нагрузкі, но !">зь счтря- ; £, ^ [
,! №ИІЙ, KBJ. ЕВ 1 ВВ. СМ. '|S КВЛ- "а КВ' С*-
1. Базальта, сіевягь . /
3. [Ьвмтііяеі . . .
4. Кяр[іі[чъ,з*эрі)віік . .
о. Кнрпнчь пйыквииен-
6. ІЬечаяякъ ....
7. Цемвнть, чисгыв . .
8, Цечентяыв рнетворъ
1 : 3 (поыѣ І8
дней ")
9. Утрамбованный бегояъ
1:3:6
10. НзвеиЕОВынрапворъ.
Раствхе-
вІО.
4-6
3
1-2
_
2-3
2-3
1Ѵ.-2Ѵ*
і
; і-з
! 0-0,5
50
Ожатій.
60-80
45-70
25—35
10-15
6-10
20—30
20-30
10—20
10-20
8
100-150
Изснбъ.
10-15
7-10
3-5
4^-2-/,
1
3-5
3-5
2—3
2-3
125
ь
■
5-7
1 4
;і-*;,
\ _
■2\U-4
'*/.-*
; 2-3
1-2'/,
-
—
Іі
-_
300
3GO
-
__
200
—
150
—
-
Рмти-
жввіе.
40
30
15
6
20
; 20
1
! іб
10
3
і зоо
Святіе.'
1-200:
і.ооо:
750,
200
100'
Я»
300'
300;
1
100;
60І
L500;
Г.рѣгь.
—
90
30
30
10
20
25
20
12
Ofi
—
Крѣпость одной и той же яороды камней иззаѣвяется въ вольшахъ предѣлахъ; такъ
прѣпосіь нзвеганяковъ доститаетъ 1.700, пеечаннЕовъ 2.700. граннтоАъ я базальтовъ
З.ООЭ внлогр.
*) Чсрезъі'^годакрѣиостьсредііяжъчвйіомъвъі'/аріиа больше, тбіъ послѣ28 дней.
у, ^іщ-ышпявспВ.—СтроягвлБШя лтяштз. 21

322 соБстикниын аъсъ желъзныхъ мостйвъ.
VI. Собственный вѣеъ желѣзныхъ моетовъ.
Вуделъ обозначать чѳрезъ:
а — ьіеъ полеречншъ копсгрукціЕ, независящий, отъ пролета,
У—вѣсъ фермъ (зависящШ отъ пролета).
Если Ох — вѣсъ вроѣзжей части, п g.s — вѣсъ ростверка (ноперечныя и продольный
балочкн, связи и т. д.), то
» = й + Уз-
Мосты подъ желЪзныя дороги.
Вѣсъ въ килогралмахъ, отнесенный къ 1 погонн. метр, пути.
Зіпроѣэжая часть.
д, ростверк ъ.
Шпалы, настиль толщиною 5 см.
рельсы 450
Рельсы съ подкладами, прямо на
фермахъ; настн.ть 400
Рельсы на лежовхъ въ балластѣ -
толщиною 35 сайт.: же.тЬзныи '
пол, '. 2.250 |
Рельсы на лежням,; Йадластъ и |
желѣзныЗ полъ 2.500 j
Мосты въ 1 путь, ѣзда по-верху; раз-
стояпіе фермъ Ь=8,0 «стр., (разстоя-
ніе леперечныхъ балокъ= л мегровъ)
Мосты въ 1 дуть, ѣзда ио-низу Ь=4,5
«=»*? ,
Мосты въ 2 иутн; ѣзда по-верку,
Ь=5,5 метр.
33—64-t--;-
Мосты въ 2 пути, ѣзда до - вязу,
Ь=8,0 метр.
Мосты пѳдт. обыкновенный дороги.
Вѣсъ въ килогр., отнееенньіп къ 1 квадратному метру полотна.
д, проѣзжая часть.
3j ростверк ъ.
Двойной деревянный настиль, толщиною
въ суммѣ е см . ІОекил.
Ііішалтъ толщиною 20 см., желѣзный
нам 540 „
Каменная мостовая 15 см., на балластѣ
14 см., желѣзный полъ 750 ,
Деревянная мостовая 12 см., на асфаль-
товомъ бетоаѣ 6 см., желѣзнын воль . 320 „
Деревянная мостовая 12 см. или
трамбованный аефалыъ 5 см., на бетонѣ
20 си. н желѣзный полъ 600 „
Сводики въ 1 внрвичъ кезду
двутавровыми балками, балласта 20 см.... . 920 „
О ченыяжел. повозки . 100 кил.
Тяжелыя повозки . . 86 „
Дегкія повозки . . . 65 „

соествевнын висъ агелианыхъ іостовъ.
323
Баиаетн дія пѣшеходовъ.
Килограммы на 1 кв. иетр. полотна.
дг бавквтъ.
Зіростверкъ.
Досчатый насгилъ толщиною я см. . . . 10е ! Бапкетьпаконсо.іяііъвнѣфер!и.. 45
Гранитный плиты 15 ем. толщиною . . ■ 400
Волнистое же.тѣзо на ботонѣ и асфальтѣ . 230
Бетонъ или асфальтъ, де.іѣзный полъ . . 300 ;
Еанкегь вежду фермами . . . . 65
Собственный вѣсъ фериѵ f=bl.
Если означимъ чѳрезъ:
я — вѣсъ полотна, т. е. « = д, -+■ д,, въ внлогр.,
р — вѣсъ подвижной нагрузки, въ внлогр.,
к —" коэффнціентъ, зависящей огь формы фермы, и
1— прояеть въ метрахъ, то
Для р дана слѣдующая таблица.
Мосты подъ жел. дор. въ 1 путь для
1 погоне, метр., тонны.
Мосты подъ обыкновенный дороги на
1 кв. метр, полотна, килограммы.
1=10—50 метр. р—. (4,2-»- jaar
23
Шоссе, щебенка 20 см., хѳліэвыВ ноль
р — Ш-
80
L200
■ кил.
(>50 иетр. р = (ЗД-ь-пвггі тонн, j Городекія улицы, каменная, деревянная
ѵ ' ' ; или асфальтовая мостовая, жѳлѣз-
ныі поль
р = І440 + ■—г—) кил.
Мостъ для пѣплеюдовь: р = 400 кил.
Коіффнціачт к, для мостовъ подъ аедѣзныя и обыкновенный дороги.
Фермы постоянно! высоты ft на 2 опорахъ, й = около vtl 1=230
Фермы съ многоугольными поясами, арочныя фермы, k около 4,1 . іг=252
Непрерыввыя фермы, h около '/»* *=238
Поперечны! в продольный связи.
На 1 метр, пути яелѣэяодорожнаго
«оста; I — вролеть въ метр.
Мостъ въ 1 иутк (27-I-5J*) киі
■ 2 нута: (21 -+- ЗД /■■) ш.
Дая мостовъ подъ обыкновѳнныя
дороги на 1 кв. метр, полотна (I — про-
летъ въ яетрі. (15+0,7 Ім) кал.
21*

324
СОБСТВЕННЫЙ ВЪСЪ ЗКЕЛВЗНЫХЪ ИОСТОВЪ
Таблица проф. Бѣлелюбскаго *)■
По фориѵлѣ р = а I + F гдѣ:
р — вѣсъ въ пуд. ва пог. фут. однопутнаго моста,
I — расчетный пролетъ въ фуг.,
а — кгпффиціептъ, завксящіЭ отъ пролета,
Ж— вѣеъ проѣяжей част въ пуд. на ног. фут. однопутнаго лоста.
Мосты с-ь ѣэдою по-аѳрху.
Отвер- ! р
стіе въ ьъ д,д на пог_ фуТ_ М|}Ма.
свѣту _
саж. а і F
Мосты с-ь ѣэдою по-низу.
Отпер-
стіе въ
свѣту
сазе.
Р I а
въ иуд. на йог. фѵг. ясста.І = .,•
1,0 !
1,5 |
■ij5;
2,0 |
2,25 !
2,5 J
3,0 ,
4,0 j
5,0 '
6,0 !
7,0 '
8,0
10,0
12р
15,0
20,0
20,0
25,0
30,0
40,0
45,0
50,0
0,5751 -+-
0,563 г +
0,476 J -ь
0,4851 +-
0,4261 -+-
0,4151 -ь
0,3971 -*-
о,37Э г -+-
0,334 г +
0,3061 +
0,2581 -ь
0,261 f -t-
0,246 г -ь
0,2221 і-
0£28і -+■
0£111 -\-
7,34
8,37
9,34
8,36
9,24
8,31
8,53
8,31
8,64
8,62
8£7
8,59
9,15
9,87
9,42
9,31
0,2061 ч- 17,07
0,2101 -+- 17.57
0,2351 -+- 19,74
0,2571+ 18,00
0,2651 ч- 19,25
0,279 і -+- 22,09
4,0 ' 0.2951
5,0 , " 0,347 г
10,0
0,226 г
15,0 j 0,1941
16,16
21.23
19.75
18,07
20,0
25,0 ,
30,0 ;
35,0 ;
40,0 ,
50,0 :
0,215/ +
0,2171 -+-
0,2081 -+-
0,2251 ч-
0,2391 -+-
0,2421 -4-
20,23
19,92
20,52
18,30
21,92
22,00
а
*) Вэвлвчеве нзъ табліцъ ддя подбора сѣчеаій проф. Бѣлѳлюбекаго в инженера.
Богуславскато.

хоэффиціевты т р в н і я.
325
VII. Коэффиціѳнтъ трѳнія f.
Трущіяся поверхности сухія.
Мяі'кін иесчаник'ь ио мягкому цеечанику f= 0,6 — 1,5
Среднегвсрдый пеечаннкъ по С]іед нетвердому песчанику . . f= 0,63 — 0,94
Твердый пеечаннкъ вли гранатъ . f= 0,49 — 0,81
Дубъподубу /'=0,54 — о.ег
Ель, СуЕЪ ■ . . /"— 0,53
Е ь еррднемъ, дерево по дереву . /'= 0,50
Чугунъ ло чугуну f= 0,23
Желѣзо по жеаѣзу f'=0,13
Чугунъ по желѣзу f= 0,1 а
Желѣзо по желѣзу, среднее /'=0,18
Камень по желѣзу, среднее /'= 0,45
Камень по дереву - ■ f= О,SO
Жѳлѣяо по дереву /'= 0,55
Кладка по бетону /'= 11,76
К.іадка но грунту /"= 0,57
ѴШ. Коэффиціѳнгъ линейнаго раеширенія.
"РаёшнревІе при
повышен) и температуры
оть 1 до 100°.
Желѣзо литое -. ..- 0,00118
і сварочное 0,00121
Желѣиняя проволока. . . | 0,00124
Сталь 0,00108
Чугунъ 0,00107
Мѣдь ' 0,00164
Олово - - 0,00194
і
Свннець \ 0,00285
Стекло 0,00086
Цеменгъ 0,00143
ІХишгъ, ;щтой . . . . . - » ~ . - - . - » . ■ » - . О^ОиНЙ*
Бетона. - ■ .. 0,0012—0,00145
Ш
9Я
340

226
РЛВНОБОКОЕ УГЛОВОЙ
Е Л * 3 О.
Фиг.1.
IX. Руеекій нормальный сортамѳнтъ.
1. Равнобоное угловое желѣзо.
Нормальная длина 4—8 метр. Наибольший Длина
12 метр.
Д) Г, глаипня оси.
Y
х>
\
/
^ч
\ч
d
.- _ L_\.._._
к)
тг
г
с
д=
*ЛіН" ' " "ВИЖ
R
г=-§-
Грани иолокъ влішчно параллельны;
2.
Раэмѣры въ миллиметрахъ.
Н
Плоіцідь
профюи
(О
Вѣет.
погон нагоі
негра
КИЛ.
9
Разстоа-
ніе центра
тяжести
си.
Моменты инвріьіи въ см.1
J, . J„
2
2Ѵ,
з'А
4"/,
5"/,
15
20
25
30
35
40
45
50
55
6
7
8
&
10
3,5! іі75
3,5
1,75
4 ! 2
5 ; 2,5
6 : 3
6,51 3£5
3,5
0,82
1,05
1,12
1,45
1,43
1,86
2,27
1,73
2,26
2,77
2,67
3,28
3,87
3.08 '
3.79 .
4,48 і
5,15 і
5.80 !
4.30 '
5.09 і
5^6 ;
6,61 I
4,В0 j
5,69
6,56 1
7,41 I
8,24 j
6.31 {
7,28
8^3
9,16
10,07
0,64
о,аг
0.Ѳ8
1,14
1,12
1,46
1,78
1,36
1.77
5Ц17
2,10
2,57
3,04
2,42
2,97
3,52
4,04
4,55
3,37
4,00
4,60
5,19
3,77
4,47
5,15
5,82
6,47
4,95
5,71
6,48
7,19
7,90
0,47
0,51.
0,60
0,64
0,72
0,7Н
0,80
0,84
03
0,92
1,00
1,04
1,08
1,12
1.16
L20
І>4
1,23
1.28
1,32
1,36
1,40
1,40
1,44
1,48
1,52
1,56
1,56
1,60
1,64
1,68
1J2
0,338! 0,1528j 0,2397]
0,465і 0,1897І0,2921
0,793 0,392', 0.6185
1,08 0,492.0,771
1.535
2.084
2,646]
0,0659
0,0973
0,1651
0£Ш|
0,798
1,012
1.262,0,3333
1,597
1,206! 1 да 0,5241
2,654| 1,424 2,26
3,59 j 1,824' 2.884
4,54 і 2,183 3,44
5.64 2,954: 4,63
7,13 : 3,564 5,64
8.65 4,13 | 6.50
азз
10;54
12,78
15,06
17,37
14,95
18,11
21.31
24І56
20,43
24,74
29,10
33,50
37,96
32,7
38,46
44,3
50,2
56,1 .
4,47 ' 7,09
5,43 : е,Ь9
6,31 ' 9,98
7,14 41,24
7,91 ' 12,4
7,87
9.19
10,43
11,60
10,96
12,85
14,62
16,28
17,86
12,48
14,55
16,47
18,25
17,38
20,34
23,10
25,70
28,10
0,4273
17.3 ;27,4
19,73 31,2
22.04 345
24,24 38,2
26,3 ,41,4
0,5901
0,764
0,925
1,227
1,493
1,754
1-859
2^63
2.654
3,040
3,434
3,27
3,84
4,39
4,95
4,55
5^5
6,13
6,87
7,63
7,19
8^2
9,24
10,25
11,26

р л вб oboso в ж в л t а о.
за:
Разиѣры вь миллимвіракъ.
Ь \ d й
•V,
60
65
'Ѵі
10
12
1*
15
эо
100
120
140
150
9
10
6
7
И
9
10
■
8
ч
10
13
Я
9
10
11
12
16
R
9
10
11
12
9
10
11
12
13
9
10
11
12
14
14
15
16
10
12
14
16
12
14
т
16
18
ЯГ)
22
Я
9,5
13
10
16
10
11
12,5
13
14
19
4
4,25
6,5
о
S
5
&,!>
6,25
6,5
7
9,5
Ціогаіді. В***
погеншго
ігрофв.ів
Щ
гагра
KHJ.
9
6,91
7ТЭВ
9,03
10,06
11,07
7,51
а.бв
10,96
12,07
9,39
10,64
11.87
13.08
16,69
11,47
12,80
14,11
15,40
16,67
21,71
12,27
13,70
15,11
16,50
17,87
15,52
17,13
18.72
20,29
21,84
17,36
19,17
20.96
22,73
24,48
26.21
27,92
29,61
23,18
27,54
31,82
за.ог
32,37
37,45
42,45
45,8
51,1
56,4
61,5
5,42
6.26
7.09
7,90
B.G9
5,89
6.81
7.72
8,60
9,47
7.37
8.35
9.32
Щ27
13,10
9.00
10,05
11.0В
12,09
13.09
17,04
9,63
10.75
11,BS
12.95
14,03
12.18
т*5
14.69
15.93
17,14
13.63
15,03
16.45
17:84
19,22
20,67
21,92
23.2*
Ш,20
21,62
24.98
28,28
25,41
29.40
33.32
35,97
40,15
44,26
48,31
Раитоя-.
ше центра
гнлиств -
'о і
Моменты ниерціи въ см.1
1,73
1,77
1,81
13
1,81
1,95
1,89
1,93
1,97
1.97
2,02
206
2,09
2,19
2,13
2,17
2,21
2.25
2;29
2,41
2.25
2,30
2,34
2,37
2,41
2,54
2,56
2.62
2,66
2,70
2.7S
£82
2,36
2,90
2,94
2,98
3,02
3,05
3,31
3.40
3,48
3,55
3,89
3,97
4,05
4.27
4,35
4,43
4,50
т
72,6
54,0
63,4
22,84
26,05
29.16
ЙІ
34,9 !
29.361
33,6 !
72,9| 37,66!
82,5' 41,5
92ДІ 45,2 |
79.0.. 42,4 ■
90,8 47,6 !
102,7| 52,6
ШЛ 57,3
149.4) 69,5
1109- 58,9
125,5: 65,1
140,2! 71,2
155,0; 77,0
170,0; 82,6
227,6! 100.9
134,6; 72.5
152.2' 79.8
170.О 87.2
187.8, 95,1
205,"' 102,0
215,9' 115,7
241,0 127 0
266 0 137,6
291,5 148,0
317.01157,8
294.5!
328.7І
363,0
397.6
432 :
467
502 ■
538 ;
567
685
801
924
! 1056
I 1273
; 1462
і 1779
I 3)12 ! 1045
2246 ■ 1141
! 2483 ! 1234
160,3
176,3
191.6
206Л
220.7
'234,5
■ 247.7
.262
313,5
і 419
і 470
■ 596
і 683
j 765
! 944
36,15
41.3
46,15
«0.7
5-5,1
46,6
53,3
59,7
65,7
71,5
67.3
75,5
83,3 !
90,7 I
109.2 !
1 93,3 !
|103,2 1
' 112,7 I
■ 121,7 ■
. 130,3 I
1 158,0 !
114,6 :
1 126.9
138.6
. 149,9 !
'ИіО.7 ;
; 183.8 ;
201.3 j
218,0 і
1234,4
,250,0
255
2fc0 ■
304 і
327 !
349,6!
371 і
392
9,53
10,82
12J6
13.5
14.8
12.14
13,9
15,63
17,34
19,03
17,53
19,7
21,9
24,0
29,7
24,4
27,1
29,7
32,3
34,86
43,9
30,4
32.65
Зэ'$
40,3
43,26
47.7
52,5
57,1
61,4
65.5
65,7
72,7
79,3
35,7
91.9
97,6
103,1
412,5 112,0
130
150,4
172
197,3
245
281,3
315.8
497
584
66Г. і
743 !
947 .
1084 '
1215 .
1497 :
1655 ;
1806 .
1950
391
434
476
517

328
и в р а і Е о і о s о к і г л о в с Е ;к Е л т, з q.
?л_у
2. Неравнобоьое угловое желѣзо.
Норхашиан длина: 4—8 иѳтр. Наибольшая длина:
12 метр.
-««.
Ж)?
профв-
3/2
42
4,53
5.2.5
6/3
6/4
7,5/5
в'4
9/в
10,5
10/6,5;
12/8
13/8,5
15/7,5
І5/1Ш50І
16.8 Ц60І
Разэ&ры вь htluei-
хетряяъ.
В Ь
d R
Нляциь
Еѣсь ію-|
гппиаг»
иетрд
KB].
ff
Разетоян. центра]
гяжесгк въ он.
30' 20!
40 20;
і
4э зо:
50 25:
60 3d
I
60 40!
75 50
60 40|
90: 60
100 50
100 65
120! 80
130; 85
І60|.75
100:
3,5. 1,73
4,5 2,25]
5 2,5
6 !3
7 і 3,5
7 ,3,5
а 4
6
&
іоН*
ю
ш
; 9 і 4,5
9
4,5
10' М-5
10
12
И :5,5
12 І6
ао!
10
12
14
J2f ]1 і5'5
и! !
13, 13 |б,5
І5| !
Ііі 13 [ 6,5
1,42
1,85
2,26
2,77
2fi1
4,17
3.54
4Д0
5,09
6,61
5,69
7,41
7,21
9.43
11,57
6,91
9,03,
11,07
11,45
14,09
11,45
14.09
12,65
15,59
19,13
•ггт
20,65
24,31
28,29
21,83
25,89
26,47
30,99
35,43
27,54
31,82
1.11
1,45
1,77
2.17
2.25
327
2.78
ЗІ77
4,09
5.19
4,47
5.BZ
5.66
7,40
9,0В
5,42
7,09
8,69
8,99
11,06
8,99
11,06
9.93
12,24
15,02
17,81
16,21
19,24
22.21
16,9В
20,17
20,80
24,33
27,81
21,62
24,98
0,50
0,54
0,48
0,52
0.74
0,81
0,60
0,67
0.72
ада
1,01
1.08
1.20
1,28
1,36
0,88
0,96
1,04
1,48
1,56
1,12
1,20
1,56
1,64
1,95
2,03
2,02
2,10
2,18
1,61
1,69
2.38
2,46
2,53
1,77
1,85
0,99
1,0і
1,46
1,50
1.47
1,55
1.82
1,91
2,19
2,27
1,99
2,07
2,43
2,51
2,59
2,84
2,93
3,01
2.95
3,04
3,59
3,67
3,28
3,37
3,92
4,00
4,24
4.32
4,41
5,32
5,41
4£4
4,93
5,01
5,72
5,80
J-,
Моиевгьт инерціи вь ™>
2.66!
3,58,
8,41'
10,571
11,95
18,16j
20,48|
28,95'
42,5 I
57,14"
42,6
57,3
84,6
111,4
1402
100,6
130
169,7
192,01
241,4-|
263,3
330,6
263,5
33101
570
686
723
871
1020
1113
1340
1222
1450
1678
І620
1896
0.802|
1,101
J ,112:
1,452"
3.5841
5.59 ,
2.606
4,07
5,62
7,95!
12,84-
17,63-
24.75'
33.77І
43.2 J
12,88:
17.89!
23.3 :
57,6 !
73.4 !
но!
43,84:
73.2І
93,0і
170,7:
207,5:
203,8:
247,6!
292,5'
142
173,6|
365
435
507
20Ѳ^І
247,61
1,267
1,597
3,5861
4,34
5,74|
8,74'
11,52;
18,13!
2-',97'
20.06
25,5 I
42,21
51,9
62.5І
44,81
57,5^
69,1
92,1
111,4!
І16,0І
140,6|
127 ,і'
154,3
275,6
323
351
412
470
501
589
601
697
789
719
823
0,447
0,561
0,593
0,706
2.03
2,83
1,336
1,69
2,986
3,75
7,07
8,91
14,33
18,27
21,84
7,55
9,55
11,36
32,65
39.3
19,53
23,42
425
51,2
98,2
114,3
119,1
139
158
85,6
99,9
215
248,3
280
122
138,6

НИЗКОЕ ТАВРОВОЕ Ж I J 1 1 О.
зга
3. Низкое тавровое желѣзо.
Фиг.З. !
3
ж.
SS
d
Нормальная длина: 4—8 метр. Нал-
большая длина: 12 метр.
'=*
d
d
P=4
Уклон* граней ребра 3",'0
» » подошвы 4%

профилей.
9/4,5
10/5
іг/6
16,8
Разнѣры въ шиниигрмъ.
d і Я
50 25
00' 30
70. 35
80 40
90 45
100
120
130
140
160
9
50
60
65
70 , 12
2,5
3
3
3,5
4
1.25
І.5
1.5
1,75
2
10 10
10 : 10
12
80 . 13 j 13
4.512,25
5. 2,5
5 2,5
3
3,25
6
6,5
ІЫщлдь. Вісъ ио-
ІІ|ІСфйЛй І ГОН. KCIJIU
ея-5 rhj.
ш j д
3.52
5Д6
5,95
7,эг
10.18
іг,іг
17,02
18,50
гз,во
29,53
2,76
3,97
4,67
бгг
7,ЭЭ
9,99
13,36
14,52
13,68
23,1В
Разет.
цмпрт
0,59
0,71
0,79
0.91
1,03
1.15
1.34
М2
1,58
1,78
МішѵнтынверііінБъснѴ
h
2,65
SS
14,82
24,2
37,4
70.9
SS
217,5
1,407 I
2,92!
4,76'
8,261
13,41
20.64І
40.1!
5i,e;
76,1 j
124,1
4,Я2
9,99
15,77
27,5
44,8
69,1
132,2
167,5
252,3
■(07,0
Фиг. 4. ъ
4. Высокое тавровое желѣзо.
2,5/2.5
3,5/ад
4,3/4,5
5/5
7/7
8/8
9/9
3,5; 3,54,75,0,87
4,5 4,5:2.25]],32
5,5 5,5' 2,75'. 1,37
ВО 50 !
70 ! 70 |
80 ; 80 9
90 j 90 I 10
'2
Ш
1,64
2,96
4,67
1,29
2.32
3,67
5,68 ; 4,44
10,59 | 8,31
13,63 10,67
17,05 13,38
1,71 0,863. 0,439
5,98 3.09 і 1,545
15,44 8,05 ■ 4,01
23,06 12,2: 5,99
93.9 ' 44,3 j 2.I9
140.6 74,6 і 3,68
322. 1181 58,2

330
ДВУТАВРОВОЕ ЖЕЛ'ВЗО.
ь_
І*ъ
Фаг. 5.
КХ.
Ни
1**
_х
IF
?
5. Двутавровое желѣзо.
Нормальная длина 4—10 яетровъ. Наибольшая
длина 14 метров-ь.
6 = 0,32* +25 мя.
d=p,03ft-+-l,5 нл.
t = lM
B = d
j- = 0,6eT
Уіілонъ внутркшшхх. граней полокъ 14п,\,
22
В
19-
12
і*
16
18
22
24
26
Z8
30
32
34
36
за
40
Размѣры вь миллимеграхъ.
Л [.(,;
й
80
100
120
140
160
180
200
230
240
260
280
300
320
340
360
380
400
50,6; 3,9
57,0, 4,5:
63,4, 5,1 ;
69.8' 5,7:
76,2; 6,3'
82,6^ 6,9'
I
89,0| 7,51
95,4; 8,1 J
т,8 8,71
108.2J 9,3
114,6» а,э
121,0; 10,5
127ДІ 1М
133.8І 11,7
140,2 12^
: 5,5, 3,9; 2,3
I
: аЗ 4,5! 2,7
: 7,1 5,і; з,і
! 7,9, 5,7' 3,4
8^; 6,31 3,8
' 9.fi| 6,9І 4,1
10,4; 7,5І 4,5
11,3| 8,1j 4,9
12,1І 8,7! 5,2
13 | 9,3! 5,6
13,9І 9,9; 5,9
146,6
153,0
12,9
13,5
14.7! 10,5 6
і
15,5: 11,! ft
16,4JlI,7J 7
17,2! 12^ 7,4
18 |12,9 7,7
18,9] 13,5 8,1
j ' ШНЧШНДГО
впофіия t
' " j иятра
ш і О
8,16
11,03
14,34 I
18,08 ,
22,26 ;
26,37
31,91
373В j
43,29 :
49,83 ]
56,40
63,6І
71,25
79,32
67,82
96,76
106,13
6,406
8,659
14,193
17,474
21,093
25,049
29,343
33,983
36,960
44,274
49,934
55,931
82^66
68^39
75,936
33,312
Нояевты
янерщв т. імі.
86,31 9,71
і
180,4; 16,1
334,4 25,2
569: 37,'
909 54.3
1381; 75,9
2014; 103,4
2843І 137,5
3903, 180
5234,
6878
8381
11292;
14161
17544:
21499І
231
293
366
542
552
668
601
26087І 964
Полей гы tduw-
ТИВДЙНІЯ ftl. СЫ,
W.
ѵг.
Щ
36,1'
і
55,7І
<
81,3,
113,6;
153,4'
20МІ
258.5І
325
403;
491
592!
706.
833
975
1132
1304
3,84
5,65
7,95
10,8
14,26
18,4
33,24
28,83
35,36
42,75
51,1
60,5
70,9
82,5
95^
109^
124*7

'l^TI3
Фпг.в. » _.
,B!
.' ... -X
,Я!
W*—J
корытиок ж в л ъ э о.
6. Корытное желѣзо.
Нормальная длина: 4—8 иетронъ. Наибольшая
длиня: 12 метровъ.
Ь — 0.25S -+- 25 мм.
d = 0,02э'і-ь 4 мм. при h < 100 мм.
d =.- О,025А -+■ 3,5 мм. при А^іОО мм.
1 — l,5d
'=2-
Уклонъ внутренний, граней полокъ 80;в
331
Разнѣры въ виллиметрахъ.
A j і. ! d і ( ! R т
Нм- Вѣсь
щадь ііогпн.
профн-f не гра
13 СМ." БИ1.
°> і Я
TlX&fTH
СИ.
Раэст.
центра
J„ J,
тввлнія си.*
w.
w.
5
в1/:
a
to
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
5o: за,
65І 42.
80J 4u
lOOJ 50І
120- 55'
i
I ,
140: 60
L60 65
1ЁО' 70!
Щ Tj
220' 80
MO1 85
5 7£. 7,5
5,5 8 ! 8
6 9 i 9
6 ; 9 j 9
6,5' 9,5' 9,5
Г I
! i
7 j 10.5! 10,5
7,5; II 111 5,5
260
230
300100
8 [12
8.5132,5
9 113,5'
12
12,5
3.75|
i]
6
6,25
13,5 6,75
9,5=14 !l4
10
10,5
It
15 ;15
15,5
16,5
1,0
15 5j 7,7o
16,5; 8,25
7,47
9,6!
5,86
7,35
11,35 9,30
13,92 10,93
17,26 13,53
го,эг ів,42
24,92 ( 18,56
I
29,26: 22,97
зз,ээ I гв.вч
38,91 30,67
I
44,2В] 34,76
49,95 ] 39,21
55,961 43,93
61,30 i 48,91
1,41
1,43
1,53
1,60
1,65
1,80
1,86
2,01
2,08
2,23
2,30
2,45
2.53
2,66
34,2 27,57 9,44
34Й 59,9 J4.!>fc
48,4 113,9' 20.S
65,6 213,2 30,16
93:0 37j ,6 41,9
132,2 624 64,5
11,03
18,43
28,5
3^42
5,42
7,02
175,6
239,6'
954 S9,C
1433 121
306. 3018 159,2
402: 2831 207.81
499. 3773 264
635 5045 334
771 6472 413
957. 8361 510
42,65' 8,86
61.»: 11,67
89,2 15,35
119.2 19,2
159,2: 24,26
202; 29,4
257.3 j 36.0
314,1: 42,6
388 51,0
462 59,2
557- 69,7

332
з Е т о l; о к ж в л з ».
*Г\
Фиг. 1.
ча\
X—-
X,'"
'7
&_
^й.
^
7. Зетовое желѣзо.
Нормальная длина: -4—8 летровъ. Яаиицльшан
длина 12 метровъ.
Ь = 0,25 ft -»-30 юі.
d — 0,035Л -і- 3 мм.
t = 1,5<1
г^¥
Грани подокъ взаимно параллельны.
РазмЬры въ иилли-
нетрахъ.
Ь ! .1 I 1
н
40: 40. 4,5, 6Д 6,5; 3.25
№ 45; Ь' 7,5; 7,53,75
80. 50! 6; 8,5
1СЙ1О0 55:6,5' 9,5
12J120! 60] 1:10,5
140! 65
і
да; то
і
ISO: 75
і
200J 80
І
250| 90
3,5 4,25
9,5 4,75
10,5' 5,25
8| 11,51 П,5І 5,75
8,5' 12,5'12,5; 655
! і
9!13,5| 13,56,75
10; 15
\г іѳ
15 і 7,5
IB ! 9
И
6,55 5,14
9.18 7,21
12,51 9,82
16,01: 12,57
ІЭ.В9 15,61
24,74! 19,42
гэ,«! 23,14
34,61 [ 27,17
*і,72' 32,73
Й,02 46,33
ЗІомеяты иверціи
15,24:22,74; 26,511,53
50,0 і 37,4І 62,025,37
I '
120,3 Ь7,4ДЗо,*і; 42,1
і :
85,6 262,4 64,4
241,1
431,5
719
123,1 !456,9
І69,а 759
1172
Ш9І231
1662; 307,5 1731
І
2448: «1,2:3535
І
53ШІ693 ' 5441
^97,7
130,7
178,6
238,4
324
558
Рааитоаніг нанОи-
jhl' удал^ ни ы^ъ
точен* DpOi|)lLltf •fff
и£БНЫХ1. Ш-еЙ
ВЪ СМ.
«1
Я2
1,8а'0,59
1,93' 2,04
У
4,27
4,90
l,89:-2,89j 5,56
1,94і 3,43
1,93^4,01
і
і
2,13
2,25
2,38
2,48
2,67
4,32
4,72
5,11
5,53
6,37
6,42
7,29
8,30
адо
10,31
11,29
1339
Eg*
60=5'
35°0'
23с51'
•IfT
15°26'
14°27'
13°17'
12=26'
11=28'
6°34'

же л *зо Zores.
333
Изъ иноетранныхть еортамѳнтовъ.
8. Желѣзо Zores.
Х-Г 7
-X
Фиг. £.—Zores ввстрійокое.
Фпг. 0-—Zorbs нѣяецкос.
рэзмѣры въ мм.
I ■ , Толщина.
; s
» =.=* = S'
iij,s mi-i
1|;
Зіііиаыты
инерш
* і «,
= ! щ кь см.*
+= І = *■- '
S.VS
я з і я
Прмяѣчаніи.
'« ! Л , ЯѴ і я
5 120. 50; 33 . 21
б і 140; 601 36 | 34 6
! ! ! ! :
7l,'aJ 170' "І^! 45,5! 28,5^ 7
200і ЯО' 53 : 33 ! 8
I I ;
2401ЮІ 63 I 39 ' 9
6,8 24 82
9,6 5J3! Нѣяетій вор-
.! ' иыьвыі сорта-
3,5 ; 9.5. іа Іоб; 15,9 7,3;
■снеь
4 ! 13,4 106
4,іі . 17.9 204
5 ; 24.2' 419
326 28,3 10,3 ф„, э.
609' 45,8 : 13,Ѳ;
1192 76,2 і 18,6.
16
21
24
26
160
210
240
260
55
75
87
95
45
60
69
75
30
37,5
42
15
й
8,5
10
11
„
3
7,5
9
10
4
5
5,5
6
10,9 — ! — і 16Д ; 3,5: Австриек, нор-
! і киьвыі еорта-
19.3: - ! — I 39,9 ■ 15,1;
I ) існтъ
25,2, — ! - 61,3 ! 19,7| ф„. 8.
і \
30,2, — ; — еоз ; 23.6;

Ш
J В Т О і! ЛИСТОВОЕ Ж Е J Ъ 3 0.
Ѳ. Литое листовое желѣзо.
Вѣсъ погон наго иетра въ килограммам.
^. TojEUHHA
Х ч ИИ.
Ширина. *я.\ч
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
Z30
240
250
260
270
2В0
290
300
310
320
330
340
350
ЗЮ
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
4BD
490
600
510
520
530
540
9 I 10
11
12 ! 13
6,28| 7,07; 7,95
6,91; 7,78. 8,64
7,54
8,16
8,79
8,48' 9,42;
9,19 10,21'
90, 10,99
9,42 10,Ш|
10,0511,311
10,6812,01
11,31
11,93
12,721
13,43!
11,78
12,56
13,35
14,13
J4.92,
15,70!
16.49І
17,27
18,06
18,84
12,56. !4,13:
13,19|14,84І
13,92І15.55;
14.45ІІ6І25І
15,08jl6,%i
15,70'l7,66:19,63,
16,3&І8уі7 20,41;
16,96jl9,08:21,20;
17,58119,78,21,98,
18,21,20,49,22,77j
іе,84;21,20І 23,56'
19.47'21,91' 24,35
ЯЦО, 22,61! 25,13;
30,13123,32; 25,92і
21,36'24,03 26,70!
21,98
22,61
23^4
23,87
24,50
S.13
25,76
26,39
27.02
Я'№
28,27
28,90
29,53
30J6
30,79
31,41
32,04
32,67
33.29
33,9288,16
24,74
25,44
26,15
26,86
27,57
28,27
28,98
29,69
30,39
31,10
31,80
32,51
33.22
33.92
34,63
35,34
36,04
36,75
37,46
27,48,
28,27
29.G6
29,84^
30,63і
31,4і|
32,20'
32,98:
33,77.
34^5
35,34
36,12;
36,911
37,69;
38,48;
зэда;
4О.06І
40£4І
41,631
42,41
8,64!
9,50
10,361
11,23
12,09! 13,19
9,42
10,36,
11,31
12,25'
12,96,
13,82!
14,68'
15,55.
І6,4Г
і
17.271
16,14!
19.00
19,86.
20,73'
21,59
22,45'
23,32'
24,19
25.92,
26,78!
27,64;
28,51,
29,37
30,24
31,10
31,96
32,82
33,69
34,55
35,42
36,28
37.14
38,01
38,87
39,74
40,61
41,47
42^3
43,20
44,06
44,93
45,79
46,65
14,13;
15.08І
16,011
16,96
17,90;
18,84
19,78
20.73
21,67
22.61
23,56
24,50
25,44
26,39
27,33
28,27 [
29,22
зо, іб!
31.10;
32,041
32,98
33,92
34,8'
35,81
36,75
37,69
38,64
39,58
40,53
41,47
42,41
43,35
44,30
45,24
46,18
47,12
48,06
49,00
49,95
50,89
10,21
И,23
12,25
13,27
14,29
15,21
16,33
17,35
18,37;
19,3^
20,41-
21,43
22,45'
23,48;
24,50.
25,52
26,54;
27.57
28,59
29,61
30,63
31,65;
32,67
33.69
З4',71
35,73
36,75
37,77
38,79
39,82
40,84
41,86
42.88
43,90
44,93
45.95
46,97
47,98
49,00
50,03
51,05
52,07
53,09
54,11
55,14
10,99
12,09|
13,19;
14.29'
15,39і
16.49
17,58
18,68
19,78'
20,881
21,98
23,08
24,19|
25.29'
26,39
27,49'
28.59
2&;fi9'
30.79
31,88
32,98
34,08
35.18'
36.28'
37,38;
38,48'
39,58
40,68
41,78
42,88
43,98
45,08
46,18
47,28
48,38
49,48
50,58
51,68
52,78
53,87
54,98
56,08
57,18
6Д28
59,38
29,45
30.63
31,80
32,98
34,16
35,34
36,52
37,69
38,87
40,06
41,23
42,41
43,59
44,77
45,95
47,12
48,30
49,48
50,65
51,83
53,01
54,19
55,37
56,55
57,73
58,91
&ЗД9
61,26
62,44
63,63
31,41
32,67
33,92
35,18
36,44
37,69
Зй,95
40,21
41,47
42,73
43,98
45,24
46,50
47,75
49,00
50,26]
51,52;
52,781
54,03!
55,29і
56,55
57,81
58,06
60,32
61,58
62.831
64,0й!
65-3*
66,601
67,86)
33.37
34,71;
36,04
37,38,
38,72:
40,06
41,39'
42,73
44,06
45,40
46,72
48,06
49,40.
50,73:
52,07!
53,40
54,74
56,08.
57.41;
58,75'
60,69!
61.42:
62,76;
64,09:
65,42
66,76
68,0».
69,43-
70,77,
72,10
70.69
72,10
73,52
74,93
76,35

ЛИТОЕ ЛИСТОВОЕ SiJttD.
335
Толщина
и*.
Шярииамя, .
550
560
570
БВО
590
600
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
7S0
760
770
780
790
800
810
его
830
840
850
860
871)
вао
В90
900
910
920
930
940
960
ИЗО
970
980
990
1000
9 - 10
11
12
13
14
34,55;38.В7
33,18 39,58
35,81
36,44
37,07
40,29
41,00
41.71
37,69!42.41
за.зг^здг
38,96:4333
39,5В;41,53
40,21 !45,24
40,84'45,95
41.4746,65
42,10147,36
42,7348.06
13,35]43т77
43,20;
43,98
4-4.77.
45,55.
46,34.
47,12:
47,91'
48,69
49,48'
50.26:
I
51,05!
51,83'
52,621
53,401
54,19|
43,9В;49,4В 54.98І
44,61'эОДВ 55,77'
І5,24;50,89< 56,55
45,87 51.60! 57,34
46,50 52.30І 58,12
I
47,12 53,0і| 58,91
47,75';Г)3,72| 59,69
48,38
49,00
4.9,63
54,43, 60,48
55,14! 61.26
55,84; 62,05
5056 56,55
50&Ш.26
э1,52|57;9В
52,15'58,67
52,78 59,38
52,40
54,03
J4.66
55,29
55,92
56,55
57.18
3.7,81
58,44
59,1
,06 66.
60,09
60,79
61,50
6І21
62,91
63,62
64.32
65;03
65,74
-"44
59,6967.15
60,32,67,96
- ease
69.37
6Э;98
60,95
61,5Ѳ
52,21
62,8370,69
62,83
63,62
64,40,
65.19
65,97
66,76
67,54^
68,33'
69,11
69,90
70,69
71,48'
72,26'
73,05
73,83,
74.62
75,40
76,19-
76.97,
77,76
78,50
47,51
48.38
49,24
50,10
50.97
51,83
52.70
53,56
54,43
55,29
61,83 56,17
52,78 57,13
53,72: 58,20
54,66, 59,22
55,61] 60.24
56,55! 61,26
57,49 62,29
58,441 63,30
59,38 64,32
60,32] 65,34
56.16 62,26
57,021 62,21
57,89! 63,14
58,751 64,09
59,61 65,03
60,48:
61,34!
62,21|
63,07;
бз,9з;
64.79]
65,66
66,52
67,39
08,25
69, И і
69,98І
7035'
71,71
72,57
73,44
74.30
75,17:
76,03!
76,90|
77,7б!
78,58І
79,44]
80,31
81,18:
82Ж
8239=
83.76'
84,631
85,49'
86,351
65,97
66,91
6736
68,80
69,74
70.69:
Т1,63
72,57
73,52
74,46:
75,401
77,29!
78.23!
79,1^
80,07^
81,01'
SIM
82,90
83,84
84,78
85,73
86,66
87,61
88,551
89.49!
90,43:
91,38:
92,32,
93£б;
94.20І
6R.36
67,39
68,41
69,43
70,45
71,48
72,50
73,52
74,51
75,56
76,5я'
77,60;
78,58
79,60
80,63;
81,64;
82,66
83.68
84,71:
85,73'
86,74!
87,761
88.79!
39,81!
90,83
91,85!
92,87!
9339
94,91;
95,93;
96,95!
97,97'
98,99
100,01І
101,03!
102,06:
93.42
34,51
95,61
96,71
9731
15
16
17
18
60,48
61,58
62,68
63,77,
6437
65,97
67,07'
68,17,
69,27:
70,37,
7і,48!
72,57:
73,67:
74,77:
75,87;
76,97;
78.071
79,13
80.23
81,33'
Р2.43
83,53
84,63'
85,73'
8632.
87,92'
89,02'
90,12
91,221
92,32
64,79,
65,97
67.15І
68,33'
69,51.
69,111
70,37;
71,63
72.В91
74,15'
70.69: 75,40
71,87. 76,66
73,05. 77,92 82J4
73,44
74,77
76,11
77,44
78,74
80,07
81,40
Г4.23, 79,13
75,40; 80,38
76,58:
77,771
78391
80,07]
81,25!
82,43
83,61
84,78
85.96
87,14
88,26
89,49]
90,68
91.85І
93,03;
94.20
95,38
96,56
81,64
82,90
84,1б!
85411
Ѳб^іб1
і
87,92-;
89,18]
90,43,
91,69:
92,95;
84,08
85,41
86.74І
о9,41
90,75!
92,08І
77,76
79,13
80,54
81,96
83,37
84,78
86.20
87,61
89,02
90,43
91,85
93,26
9437
96,05
97.5С
93,42 98,91
94,75
96,09
97,42
98,76
9450- 100,09
95;461101,43
96,71! 102,77
97.97І 104,10
99,23! Юэ,44
100,33
101,74
103,16
104,58
105.99
107,40
10831
110.22
111.64
100.48.106.77 113,05
І0і;74[108Д1 114.4й
103,00
97,73 104,26
98,91 105,52
100,09 106,77
101,27:108,03
102,45'; 109,29
103,63(110,54
104,81! 111,80
98,91 105.99]
100,01 107,17:
101,111108.34
102,221109,52
103,32| 110,70
104,42114,87
105,52; 113,05,
106-62' 114.2»!
107,72! 115,41-
108,811 П6,59і
109,91! 117,77!
ІІЗД5
114,31
115,57
11632
118.08
109,44
110,77
112,11
113,44
114,78
116,12
117,45
118,79
11538
117^9
118,71
120,13
121.54
122.9Е
124,37
125,7Е
120ДЗІ 127,19
Ш,461128,60
12230
124,13
125,47
119,34 126,80 134,27
120,60 128.13 135,68
121,85' 129,47 137,0!
123,11; 130,80 138,51
124.37] 132,14; 139,92
125;6& 133,48| 141,33
130,16
13ЫЗ
13235

336
илоскіЕ волнистык листы.
Плоскіе волнистые листы.
2 '
31
яч'
а.
3
ЯП.
60
60
70
75
80
85
90
100
1Ю
110
110
ISO
[25
1»
135
3
о
ъ
3
сз
мм.
30
25
35
30
40
35
45
40
50
45
55
60
50
65
55
IS
■ ДЛЯ 1
III
111
I!
„и. тищины иста.
ы? 1 вял. I си.»
15,7
144
15,7
12.3
11,1
12,3
13,8 Ю-8
15,7 12,3
11,0 " 11,0
15,7 '. 12,3
13,8 ' J 0.8
15,7 ! 12,3
14,0 : ИЗ
15,7 1 12,3
15,7 ! 12,3
13,8 і 10,8
15,7 1 12,3
13,9
10,9
11,4
8,9
13,3
10,3
15,2
12.4
17,1
13,8
19,0
153
20,9
22,9
17,2
24,8
19,2
1
140
150
150
160
160
170
175
180
185
190
200
200
220
240
250
Я
■Ч
О
3
J
им.
70
60
75
65
80
85
70
90
75
95
80
100
110
120
100
ш
и ня 1
15,7
13,8
15,7
13,9
15,7
15,7.
13,8
15,7
13,9
15,7
13,8
15,7
15,7
13,7
133
III
т_
12,3
103
123
10,9
12,3
12,3
юз
12,3
10,9
12,3
10,8
12,3
12,3
12.3.
,.,в
ІКІ
26,7
20,6
28,6
22,6
30,5
32,4
24,0
34,4
26,1
363
37,5
38,2
42,0
453
34,4
Балочные волнистые листы.

ЗАКЛЕПКИ.
337
Заклепки.
Длпусі:аезіііс папряаевіе закм- \
iratb на нсрерѣіываяіп въ ки. I
на (я.!
500
600
650
700
750
ДІалсетръ і р+чрпі, Сопротлвленіѳ одной заіиепки одиночному пере-
рѣзывапію въ кил.
13
14
15
18
19
20
г\
ZZ
23
24
25
гв
сѣчепія
им.'
10 78,54
11 05,03
12 ! 113.10
132,73
153,94
176,71
254,47
283,53
314,16
346,36
380,13
415,48
452,39
490,87
530,93
333
475
566
664
770
884
1272
1418
1571
1732
1901
2078
2262
2454
2655
471
570
679
7%
924
1060
1527
1701
1885
2078
2381
2493
2714
2945
3186
511
618
735
863
1001
1149
1654
1S43
2011
2251
2471
2701
550
792
92!)
1078
1237
1781
1985
2199
2425
2661
2908
2941 ! 3167
3191 ! 3436
3451 ! 3717
589
713
648
995
1155
1325
1908
2126
2356
2598
2851
3116
3393
3682
3982

338 НЕРЕВОДЪ ВИЛОГРАЛМО-СЛНТНЫЕТРОВЪ ВЪ ПУДО-ДЮЙШ И ОБРАТНО.
Переводъ килограммо-сантиметровъ въ пудо-дюкмы и обратно.
Переводъ — ,' въ ",■ -'■=
1 А caHi.J дюйм.3
килогр.
с ант.5
О
100
200
300
400
500
600
700
800
900
00
39,4
78,8
118,2
157,5
196,9
2363
275,7
315,1
354,5
10
20
30
40
50
60
70
3,9
43,3
82,7
122,1
161,4
200,8 ;
240,2
279,6
319,0
358,4
244,2
283,6
323,0
362,4
' 7,9
47,3
86,7
126,1
165,4
204,8
11,8
51,2
90,6
130,0
169,3
208,7
- 15,8
19,7
23,6
55,2 59,1 63,1
94,6
134,0
173,3
212,7
98,5
137,8
177,2
216,6
102,5
141,8
181,2
220,6
248,1
2В7.5
326,9
366,3
252,1
291,5
330,9
370,3
256-0
295,4
334,8
374,1
260,0 \
299,41
338,8;
378,11
27,6
67,0
106,4
145,7
185,1
224,5
263,9
303,3
342,7
382,0
80
31,5
71,0
110,4
149,7
189,1
228,5
267,9
307,3
346,7
386,0
90
35,4
74,9
114^
153,6
193,0
232,4
271,8
311,2
350,6
390,0
"Ы—'іЖ,»^
пуды
дюін.»
0
100
200
300
400
500
600
700
900
900
ОО
253,9
507,8
761,7
1015,7
1269,6
1523,5
1777,4
2031,3
2285,2
;
10 ; 20 ! 30
I I
40
50
60
70
80 1 90
25,4
2793
533£
787,1
1041,0!
1295,0'
1548,9.
1902,8
2056,7,
2310,6
50,81
304,7|
558,б|
812,5і
1066,4[
1320,3
1574ДІ
1828,2
2062,1
2336,0
76,2
330,1
5Э4,0
837,9
1091,8
1345,7
1599,7
1853,6
2107,5
2361,4
101,6. 127,0
355,5 380,9
609,4* 634,8
863,3! 888,7
Ш7,2; 1142,6
1371,1' 1396,5
1625,0! 1650,4
1878,9і 1904,3
2132,9- 21583
2386$ 2412,2
152,3
406,3
660,2
914,1
1168,0
1421,9
1675,8
1929,7
2183,7
177,7
431,7
685,6
939,5
1193,4
1447,3
1701,2
1955,1
2209,0
2437,5 2462,9
203,1
457,0
711,0
964,9
12183
1472,7
1726,8
1980,5
2234,4
2488,3

НЗАЕНЯЫП ПКРЕВОДЪ ІГВРЬ РУССКИХЪ И ВКТРЯЧЕСКИГЬ. 339
Взаимный переводъ мѣръ русскихъ и иегрнческихъ.
Д л и н ы.
Берта .
Сажень .
Футъ . .
Дюіімь .
Аршішъ
Вершокъ
Верста .
Сажепь .
Ф)ТЪ . .
Дюймъ .
Аршинъ
Вершокъ
Сажеыь .
Ф}ТЬ . .
Дюймъ .
Аршішъ
Вершокъ
Штофь . . .
(='/,„ ведра)
= 1,06678 килоиотровъ.
= 2.13356
= 0,3047!)
■ --- 0,025j995 метровъ.
= 0,71119
= 0,04445
Квлометръ
Метръ . -
ПОВЕРХНОСТИ.
= 1,13822 кв. кплометр. Вв. килол. .
= 4,55208
= 0,С№9СО
= 0,00064514 кв. кет. Кв. летрх
= 0,50679
= 0,0019757
ОБЪЕМЫ.
. = 9,71*2
. =0,028315
.=0,000016386 куб. мет.
. = 0,35971
.=0,000087820
. = І,ЗЖ© лптровъ.
. =(0,00122989 куб. и.).
Куб. метръ . .
Литръ ...
(=0,001 к. м.) .
= 0,93740 всрстъ.
=.- 0,46870 сажоиь.
= 3,2809 футъ.
= 311.371 дюйм.
= 1,40610 аріпиві,.
= 22,4976 верши.
- 0,87972 ив. вир.
= 0,219678 „ саж.
= 10,7643 „ футъ,
=1-550.06 „ дюйм.
= 1,0772 , арш.
= 506,14 „ верш-
= 0,10290 куб. саж.
=35.317 „ футъ.
= 61027 „ дюйя.
= 2,7800 „ арш.
,= 11387 „ верш.
=0,813170 штофовъ.
;=0,0813170 ведеръ).
Б Ъ С А.
Пудъ = 16,3805 .
Фунть = 0,409512J килогр.
Лота = 0,012797)
Пудъ | = 53,743 ) К1ІЛ на
Фувгь I на пог- *' = 1.3436 ) пог. мет.
Пудъ иа кв. футъ . =176,32 к.аакв мет.
'„ „ „ дюйкъ =0,025390 „ „ „милл.
Фунтъ,, . „ =0,00063475. „ „
Пудо-футъ .... =4,4928 ) цплограа-
Фунто-фута . . . .=0,12482 1 ломотр.
I = 0,061048 пудовъ.
Кплограммъ . . ! = 2,44193 фуативъ-
і = 78.142 лотовъ.
Кал. ва
Кш.
ва кв.
и. м. - . ! _
= 0.018607 п. нап.ф-
0І74429 ф. „ „ „
метръ . = 0,0056714ц.накв.ф.
мнлл. . = 39,385 „ „ „дм.
я . =1575,4 фунт. „ „ „
Можентъ внеріші - - ■
Момента, сопротлвденія
Килограмме- | = °.200'2а пудН»*-
метрь. I = 8,0117 фуято-фут.
. . I въ дм.1 = 0,024 I вь см.'
. . W въ дм.5 = 0,061 W ъъ см.'