Къ образованію пространственныхъ фермъ для мостовъ - Симинскій К.К.

Автор: Симинскій К.К.

Теги: строительство строительные конструкции

Год: 1914

Похожие

Части зданій

Плотничное ремесло. Постройка сельскихъ деревянныхъ домовъ и принадлежностей къ нимъ

Архитектура. Построенiя частей зданiй. Краткий курсъ

Кровельное дело

Текст

X, К. Сими нсн ій
инженеръ-строитель.
КЪ ОБРАЗОВАНІЮ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХЪ ФЕРМЪ
ДЛЯ мостовъ.

К I Е В Ъ.
.ографія Товарищества И. Н. Кушнереѳъ и К
Касаваезская ул.. № 5.
1914.
Отдіаыші овпсеь ил ,И»ѣсгй Кіевскаго Поівтехивчеспго Институтѣ-
РГЛАВЛЕН ІЕ.
Стр-
Литература.
Предисловіе
Введеніе въ статику пространственныхъ фермъ.
Терминологія..............................................5
Образованіе фермъ изъ стержней............................7
Образованіе фермъ съ неразрѣзными брусками...............12
Наименьшее число стержней фермы..........................13
Необходимое я достаточное условіе для фермы..............15
Статическая опредѣлимость................................15
Изслѣдованіе неизмѣняемости..............................20
Глава I. Опоры, статически опредѣленныя въ пространствѣ.
Прикрѣпленіе твердаго тѣла................24
Способъ фиктивныхъ шарнировъ.............................28
Преобразованіе.......................................... 29
Исключительные случаи....................................30
Прикрѣпленіе пролетнаго строенія мостовъ.. . 32
Мостъ на четырехъ опорахъ............................... 32
Мостъ на шести опорахъ...................................34
Возможныя измѣненія въ расположеніи оноръ................35
Другія примѣненія статически опредѣленнаго
прикрѣпленія....................................38
Изслѣдованіе неизмѣняемости элемента пространственной системы. . . 39
Раовтъ мостовыхъжмпоръ.
Л. мосты.
Первый типъ опоръ. Линіи вліянія при вертикальной нагрузкѣ. ... 41
Линіи вліянія при горизонтальной нагрузкѣ................43
Второй типъ опоръ...................................... 4Т
Б Мосты подъ обыкновенную дорогу.
Построеніе поверхностей вліянія................................49
Расчетъ усилій посредствомъ поверхностей вліянія...............52
Глава IЕ Пролетное строеніе моста.
Образованіе пролетнаго строенія.
Положеніе вопроса..............................................55
Рѣшеніе вопроса................................................58
Жесткія поперечныя рамы.......................................62
Расчетъ пролетнаго строенія.
А. Мосты подъ желѣзную дороіу.
Расчетъ при первомъ типѣ опоръ. Вертикальная нагрузка..........62
Горизонтальная нагрузка...................................... 67
Повѣрка линій вліянія..........................................75
Расчетъ рамъ...................................................80
Расчетъ при второмъ типѣ опоръ.............................. 84
Сравненіе типовъ опоръ........................................ 91
Б. Мости подъ обыкновенную дорогу.
Поверхности вліянія для нижняго пояса. ........................92
Поверхности вліянія для раскосовъ..............................93
Поверхности вліянія для верхняго пояса.........................97
Заключеніе.
Литература по пространственнымъ системамъ.
На русскомъ языкѣ.
1. Отдѣльныя сочиненія.
П. В. Рабцевичъ. Сборникъ задачъ по пространственнымъ си-
стемамъ. Кіевъ, 1911 г.
Н. А. Рынинъ. Расчетъ шарнирныхъ колецъ изъ жесткихъ эле-
ментовъ. Петроградъ, 1908 г-
11. Н. Рышковъ. Мостовыя фермы, какъ пространственныя си-
стемы. Кіевъ, 1908 г.
К. К. Си минскій. Лекціи по статикѣ сооруженій* Пространствен-
ныя фермы. Кіевъ, 1912 г.
Ф. С* Ясинскій. Собраніе сочиненій, томъ П: Устойчивость де-
формацій и статика сооруженій. Петроградъ, 1902 г-
2. Журнальныя статьи
В. Л. Кирпнчевъ Примѣненіе стереографическихъ проекцій къ
расчету купольныхъ фермъ. Вѣстникъ Общества Технологовъ 1908 г.
— Новый сиособъ расчета купольныхъ фермъ. Извѣстія Петроградскаго
Иолнтехннческаго Института 1911 г.
Г. Г. Кривошеинъ. Рѣшетчатый куполъ Собора Св. Александра
Невскаго въ Ялтѣ * Зодчій* 1900 г.
С. К. Куницкій. Графическое сложеніе и разложеніе силѣ въ
пространствѣ. Сборникъ института инженеровъ путей сообщенія вып.
ЫХ 1903 г., стр. 72—113.
Н. Н. Мнтинекій. Опредѣленіе усилій въ частяхъ статически оп-
редѣлимыхъ пирамидальныхъ сѣтчатыхъ покрытій при помощи разложенія
ихъ на плоскія фермы. Сборникъ института инженеровъ путей сооб-
щенія вын- Ь 1899 г., стр. 423—431.
А. И. Прилежаевъ. Сѣтчатыя аокрытія системы Фёппля и ихъ
измѣненія. Сборникъ института инженеровъ путей сообщенія 1913 г.
(ЕХХХІ).
П 8. Р а б ц е в и ч ъ. 'Методы изслѣдованія неизмѣняемости простран-
ственныхъ системъ (въ Извѣстіяхъ Кіевскаго политехническаго института
1912 года).
— Опредѣлевіе степени статической неопредѣлимости Пространствен-
ныхъ й плоскихъ системъ (въ Извѣстіяхъ Кіевскаго политехническаго ин-
ститута 1911 г.).
— VI
П. Н. Ришковъ и П, В. Рабцевичъ. Купольное покрытіе надъ
большой аудиторіей коммерческаго института въ г. Кіевѣ. Извѣстія Кіевск.
политехи, института 1914 г.
— Кессоны, какъ пространственныя системы. Извѣстія Кіевскаго поли-
техническаго института 1914 г.
Ф. С. Ясинскій. Расчетъ шарнирнаго многоугольника съ верши-
нами, скользящими сю неподвижнымъ прямымъ. Сборникъ института инже-
неровъ путей сообщенія вып. Ь 1899 г., стр. 257—271.
— Условія возможности и опредѣленности разложенія силы на соста-
вляющія, направленныя по шести заданнымъ прямымъ. Спб. инст. инж. п. с.
вып. Ь 1899 г., стр. 397—400.
Иностранная литература.
1. Отдѣльныя сочиненія.
I Вапзс Ьіп&е г. Еіешеніе сіег &гарЬі?сЬеп Зіаіік, 1 АиО. МйпсЬеп,
1871, 2 АиЙ. 1880.
С. Сиішапп. ВгарЬізсНе 8іаіік, 1 АиЙ. Ейгісіі 1866, 2 АиЙ. 1875.
Н. Е^егег. Неие МеіЬоОеп <іег ВегесЬаип& еЬепег ипД гйшпІісЬег
ЕасЬѵѵегке. Вегііп, 1909.
А- Гбррі. Оаз ГасЬ^егк іш Кайте. Ьеіргід 1892.
Ѵогіевш^еп йЬег ІесЬпізсЬе МесЬапік, ВО. II: Оіе ртарЬізсЬе 8іаіік,
1 АиО. Ьеіргі? 1900, 2 АиЙ. 1903
М. Еоегзіег. Оіе Еізепкопзігикііопеп ДегІп^епіеигЬосЬЬаиІеп, 2 АиЙ.
Лейшшгъ 1902 г., 8-е изданіе 1906. Есть русскій переводъ подъ редакціей
Н. Н. Митинскаго
Ь. НеппеЬег^. Зіаіік Дег зіаггеп Зузіеше, 1 АиЙ. ОаплвіаЛІ 1886,
2 АиЙ. Ьеіргі@ 1911.
ВегісЬі йЬег Діе Еп№ік1ші& ипД йіе НаиріаиГ^аЬеп <іег ТЬеогіе 4ег
еіпіасЬеп ГасЬѵегке. ОеиізсЬе МаіЬеш-Ѵегеіпізшц’ 1894.
— Оіе ^тарЬізсЬе $1а1ік въ ЕпгукІорйДіе <1. таіЬет. ѴѴіззепзсЬаЙеп IV, о;
Ьеіргі& 1903.
ТЬ. ЬапДзЬег^ ОйсЬег ипсі ОасЬяІиЫкопзігикІіопеп въ НашІЬ.
Д. АгсЬііекіиг, 3 Теіі, П, 4; 2 АиЙ- Зіиіі^агі 1901. Новое нчд. 1913 г.
— Зіаіік Дег НосЬЬаикопзігикііопеп въ НапйЬ Й. АгсЬ. 1 Теіі, I, 2;
2 АиО. Оаппзіаііі 1899.
А. Ьеѵу. Ьа віаіідие &гарЬідие. Рагіз, 1874. р. 220
8. ЬозсЬодг, Вг.-І^. ВаІкепЬгйскеп ай гаишІісЬе ВеЬіІбе. ѴѴіі-
ІепЬег& 1913.
В. Моу о г. Зіаіідие ^гаркісре Де «узіётез Де Геврасе. Рагів 1910.
6. СЬ. МеЬгіепк. Эіаіік Дег Ваикоояігакііопеп, ВД. I» Ьеіргі^ 1903.
Ѵогіевип^еп йЬег ІпяепіеигМявепзеЬаЙеп. Егзіег ТеіЬ Зіаіік ивД Ревіів*
кеіівІеѣге. I Ваші. Ьеіргід 1909.
— ѵп —
А. Г. МбЬіиз. Сезаттеііе АѴегке, Ьегаиз^е^еЬеп топ Г. Кіеіп,
III Всі. Ьеірхі^ 1886.
О. МоЬг. АЫіашіипгеп аи$ бет ОеЬіеІе сіег ІесЬпібсЬеп МесЬапік.
Вегііп 1906. Второе изд. 1914 г.
Н. М й 11 е г- В г е з 1 а и. Оіе пеиегеп МеіЬобеп бег ЕезНдкеіЫеЬге иші
бег 8(а(ік бег Ваикопзігикііопеп, 5 АиЙ. Ьеіргі^ 1912. Есть русскіе пе-
реводъ Г. Г. Кривошеина. Петроградъ 1912 г.
5Ѵ. Віііег. Апіѵепбипвеп бег дгарЬізсЬеп Зіаіік. Хдѵеііег Теіі: Оаз
ГасЬлѵегк. ХигісЬ, 1890. Стр. 208—224.
И. 8асЬз. Хиг ВегесЬпигщ гдитІісЬег ГасЬ^егке. АП^етеіпе Гогтеіп
Гбг зіаіізсЬ I езііттіе ипб іпзЬезопбеге зіаІізсЬ ипЬе.зіітіпІе КирреІ-ХеІІ-ипб
ТигтбасЬег 1905.
ѴѴ. 8сЬеІ1. ТЬеогіе бег Ве^е^ип^ ипб бег КгаЙе, 2 АиЙ. Ьеіргі& 1880.
\Ѵ. ЗсЬІіпк. Зіаіік рег ВашпІасЬтѵегке. Ьеіргі^ 1907.
Г. 8 і е і п е г. ЦЬег біе ^гарЬізсЬе Хизатшепзеігип^ <іег КгёЙе іт
Ваит. ХѴіеп 1876.
— ТЬеогіе сіег еізегпеп Вгйскеп въ НапбЬисЬ бег Іп^епіеипѵіззепзсЬаГ-
Іеп II, Кар VIII; 3 АиЙ. Ьеіргі^ 1901.
Н. Е. Тітегбіп^. ОеотеіггзсЬе бгипбіе^ип^ сіег МесЬапік еіпез
зіаггеп Кбгрегз въ Епхукіорабіе бег таіЬет. АѴідеепбсЬаЙеп IV, 1. Теіі 2.
\Ѵ. 2іт тегтапп. ЦЬег КаитГасЬѵѵегке. Меие Еогтеіп ипб Ве-
гесЬпип^зѵѵеізеп Сиг Кирреіп ипб зопзіі^е ОасЬЬаиІеп. Вегііп 1901.
2. Журнальныя статьи.
А. Ебррі. ПЬег даз гаитІісЬе ГасЬ'ѵѵегк въ ЗсЬ^еіг. Ваигі. 1881,
томъ XV; 1882, томъ XVI в XVII; 1883, томъ 11.
ЦЬег (Іая гашпІісЬе ЕасЬлѵегк і Кеігхѵегккирреі) въ томъ же журналѣ
за 1888 г., томъ XI, стр. 115.
— бЬег (Іаб гашпІісЬе ГасЬхѵегк (Кирреі опй МеіхтѵегкТйІІипе) въ томъ
же журналѣ за 1891 г. томъ XVII, стр. 77.
Ціе ТЬеогіе <1ег НаитГасЬлѵегке иші дег Вгйскепеіпзіига Ьеі МопсЬеп-
віеіп въ томъ же журналѣ за 1891 г. томъ ХѴШ, стр. 15.
— ЙЬег діе Еізепкопзігикііоп дег МагкіЬаІІе хи Ьеіргід въ Сіѵіііпрепіеиг
1891, стр. 179-.
— Оіе ГІесЬімгегкеіга^ег въ 8сЬ^ѵеіг. Ваигі. 1894 томъ ХХШ стр. 146.
— СЬег діе Копбігикііоп лѵеіі^езраппіег НаІІепбасЬег въ (’іѵіііп^епіеиг
1894 г. стр. 465.
- Міііеііип^еп <іез тесЬапізсЬ-іесЬпізсЬеп ЬаЬогаіогішпз хи МішсЬеп
1896, НеСі 24.
- ХеісЬпсгібеЬе ВегееЬпип^ Зег ХіттегтаппзсЬеп Кирреі въ 2еп(га11Ыа1(
дег Ваитепѵаііип^ 1901 стр. 487.
— ЦЬег гдитІісЬе ГасЬѵѵегке въ томъ же журналѣ 1902. Стр. 124.
— ѵт —
М. Г б г з I е г. ОасЬкопзігикііоп пасЬ Агі дег РбррІзсЬеп НесЫѵгегк-
дАсЪег. ЛеиізсЬе ВаигеИип^ 1913 г. № 3, стр. 18.
П, (ігйпіпд. Веіігад хиг КіпетаІізсЬеп ВегесЬпип^ гаитІісЬег ГагЬ-
ѵѵегке въ ХеіІзсЬг. Г. Ваичѵезеп 1906 г., стр. 303.
Наскег. ОЬег діе Віе^ип^ззраппипдеп іп ЗсЬѵгедІегзсЬеп Кирреіп Ьеі
$1еіеЬтАхі& иш деп Міііеірипкі ѵегіеіііег Веіазіип^ въ ХеіізсЬг. дег. АгсЬ.-и.
Іп^.-Ѵегеіпз 2. Наппоѵег 1888 г. стр. 223
— ЗіаіізсЬе Везіітіпшцг дег Зраппип^еп дез ГасЬѵѵегкз іт Кайте Ьеі
зсЬіеіег Веіазіипв нъ ХеіІзсЬг. Г. Ваитеезеп 1888 г.. стр. 42.
- СЬег зіаІізсЬ ЬезІіттЬагез Иеіхѵегк ипд зіаіізсЬ ипЬезііттЬагез ГасЬ-
^гегк іт Кайте въ ХеіізсЬг. <1. АгсЬ.-и. Іп^ -Ѵегеіпз г. Наппоѵег 1890 г-
стр. 25.
— ЕпиіЫІшде (іег ЕіпЛиззІіпіеп Гйг діе ЗраппкгаЙе дез ЗіаЬѵегкз іт
Кайте въ томъ же журналѣ 1892 г. стр. 181.
А. НазсЬ. Хпг ТЬеогіе дез гаитІісЬеп ГасЬѵтогкз въ ХеіізсЬг. Юг.
МаІЬет. и. РЬуз. 1903 г. стр. 1.
Ь. НеппеЬег?- Хиг ^тарЬізсЬеп Хегіе^ип^ топ КгаГіеп, діе ап еіпет
зіаггеп гАшпІісЬеп 8уз(ет ап^геіГеп въ Сіѵіііп^епіеиг 1884 г. стр, 381.
— ІМе зо^епаппіе МеіЬоде ЕгзаІхзІаЬз въ ХепігІЫ. д. Ваиѵегѵ?. 1903 г.
стр. 377.
НйЬпег. Ветпегкип$еп йЬег гаитІісЬез ГасЬѵгегк въ ХеіІзсЬгій дез
Ѵегеіпз деиІзсЬег Іп^епіеиге томъ ХІІ, № 17, 1897 г., стр. 477,
ТЬ. ЬапдзЬег$. Иеие КаитГасЬѵегке въ ХепігаІЫ. (1. Ваиѵепг.
1901 г. стр. 550.
— Веіігая хиг ТЬеогіе дез гйитІісЬеп ГасЪѵѵегкз въ томъ же журналѣ
1903 г. стр. 221 и 36Ь
Ьодешапп. Эаз КирреІдасЬ йЬег деш Йіігип^ззааі дез КеісЬзІа^з-
Ьаизез ги Вегііп въ ХеіізсЬг. Г. Ваиѵезеп 1897 г., стр, 511.
О. СЬ. МеЬгІепз. ЙЬег КаишГасЬѵегке въ ОеиізсЬе ВаигЦ?. 1902 г.
стр. 325.
О. МоЬ г- ЙЬег діе Хизаттепзеігип^ дег КгаЙе іт Кайте въ Сіѵіііп-
^тіеиг 1876 г. стр. 121 н 129.
— Епе АиГ^аЬе дег дгарЬізсЬеп Зіаіік въ томъ же журналѣ 1889 г.
стр. 237.
— Веііга^ гиг ТЬеогіе дез КаитГасЬѵѵегкз въ ХепІгаІЫ. д. Бацѵегѵѵ.
1902 г. стр. 205 я 634.
— Хи г ВегесЬпип# дег КаитГасЬѵѵегке въ томъ же журналѣ 1903 г.
стр. 237, 402, 641.
— ВгарЬізсЬе Хизаттепзеіхиті^ апд Хегіе^пп^ топ гйитІісЬеп КгАЙеп-
ВПірреп въ ХеіІзсЬг. Г МаіЬет* и. РЬуз. 1911 г,
Н. Мйііег - Вг ё з Іа и. Веіігй^е гиг ТЬеогіе дез гаитІісЬеп ГасЪѵегкз
въ томъ же журналѣ 1891 г. етр. 437, 1892 г. стр. 201, 225, 244 г 256.
IX -
Есть русскій переводъ этого сочиненія, сдѣланный инж. Н А. Рынннымъ
(си. Сборникъ инстит. инж. путей сообщ., вып. ЬХІѴ 1904 г., стр. 1—64).
Н. Мйііег-Вгезіаи. Веііга^ гиг ТЬеогіе 4ег Кирре1-ип4 Тигт*
4асЬег ип4 ѵепѵапйіег Копзігикііопеп въ 2еіізсЬг. <1. Ѵег. ОеиізсЬ. Іп^.
1898 г., стр. 1205 и 1233.
— 2иг ТЬеогіе 4ег КирреЬипй Тигтп4&сЬег въ томъ же журналѣ 1899 г.
стр. 385.
— ІІЬег гашпІісЬе ГасЬѵѵегке въ 2епіга1Ы. 4. Ваитепѵ. 1902 г. стр. 49,
61, 429 и 501.
— 2иг ВегесЬпип^ 4ез ВаитГасЬѵѵегкз въ томъ же журналѣ 1903 г.
ст. 65, 298. 509, 523 и 642.
ВазсЬег. ЙіаіізсЬе ВегесЬпип# гашпІісЬег ЕасЬѵѵегке. ХеіізсЬгіП Гйг
АгсЬііекіиг ип4 Іп^епіешѵѵезеп 1988 г., стр. 399—593.
XV. 8 с Ы і п к. СЬег гашпІісЬе ОасЬ ГасЬѵѵегке въ 2еіІзсЬг. Г. АгсЬ. и.
Іп^. -ѵѵезеп 1904 г. стр. 183.
— ІІЬег Кирреіп иші гашпІісЬе ВасЬ ГасЬѵѵегке въ ѴегЬашіІітв ^ез Ѵе~
геіпз Гйг СгеѵѵегЬЯеізх 1904 г. стр. 181.
— Вгискепіга^ег аіз ВаишГасЬѵѵегке въ томъ же журналѣ 1905 г. стр. 95.
— СЬег 8(аЬі1іІаІзипіегзисЬип^еп топ ВаитГасЬѵѵегкеп въ 2еіізсЬг. 4.
ОеиізсЬ. МаіЬет.-Ѵегеіпі^ип^. 1907 г. томъ XVI, стр. 96.
М. ЗсЬгеіІег. Веііга# гиг ВегесЬпип^ топ ВаитГасЬѵѵегке въ 2еіізсЬг.
Г. Ваиѵѵезеп 1910 г. стр. 383.
I. IV. ЗеЬѵѵебіег. Віе Копзігикііоп бег КирреІбйсЬег. 2еіізсЬгіП
Гйг Ваиѵѵезеп 1866 г., стр. 7— 34. Отдѣльнымъ оттискомъ этотъ трудъ
изданъ въ 1877 г. въ Берлинѣ.
К> ЗкиізсЬ. 2ег1е^ип^ еіпег Кгай іп зесЬз Кошропепіеп шіі ѵог-
КезсЬгіеЬепеп ХѴігкип^зІіпіеп. ЗіігшдевЬег. <1. Вегі. МаіЬеш. без. 1902 г.
стр. 59.
XV. 8іаске1. 2иг ^гарЬізсЬеп ВеЬапбЬш^ бег КгаЙе іт Вашпе въ
2еіізсЬг. Г. МаіЬ. и. РЬуз. 1898 г. стр. 62.
Г. ѴѴапзІеЬеп. ЕііШизвІіпіеп Гиг гаитІісЬ йгеіѵѵапді^е ГасЬѵѵегке
шіі ипеЬепет НаирНгйдег въ Бег КізепЬаи 1914 г., № 4, стр. 122.
XV. 2іттегтапп. Баз ВаитГасЬѵѵегк (іег Кирреі Дез ВеісЬзІа^з-
Ьаизез въ 2епіга1Ы. 4. Ваиѵенѵ. 1901 г. стр. 201, 209 и 224.
Предисловіе.
Въ этой статьѣ разсмотрѣны образованіе и расчетъ но-
выхъ мостовыхъ фермъ, статически опредѣлимыхъ въ про-
странствѣ.
Литература по вопросу о пространственныхъ фермахъ
бѣдна вообще, а русская въ особенности. На русскомъ языкѣ
имѣется только нѣсколько небольшихъ статей. Это побуж-
даетъ составить введеніе въ статику пространственныхъ си-
стемъ прежде, чѣмъ излагать образованіе новыхъ мостовыхъ
фермъ.
При образованіи пространственныхъ мостовыхъ системъ
можно идти двумя путями: 1) разсматривать пролетное строеніе
моста вмѣстѣ съ опорами и искать, при какихъ условіяхъ по-
лучаются неизмѣняемыя формы такихъ системъ,или 2) отдѣльно
искать статически опредѣленное пролетное строеніе, какъ
свободную ферму, и отдѣльно -- статически опредѣленныя
опоры. Второй путь имѣетъ большее практическое значеніе;
поэтому онъ здѣсь и принимается: разысканіе статически
опредѣленныхъ опоръ составляетъ предметъ I главы, пролет-
ное строеніе разсматривается во И главѣ.
Введеніе въ статику пространственныхъ системъ.
Терминологія. Отдѣльныя твердыя тѣла, образующія систему, будемъ
называть брусками.
Системой назовемъ всякое соединеніе изъ брусковъ, связанныхъ
между собою посредствомъ идеальныхъ шарнировъ. Системы могутъ быть
измѣняемыя и неизмѣняемыя.
Систему, въ которой каждый брусокъ прикрѣпленъ къ другимъ,
т. е. не можетъ относительно ихъ перемѣщаться, назовемъ неизмѣняемой
системой, или фермой. Благодаря тому, что каждый изъ брусковъ фермы
прикрѣпленъ, форма фермы не измѣняется при дѣйствіи какихъ угодно
внѣшнихъ силъ (при этомъ подразумѣвается, что брусокъ есть абсолютно
твердое тѣло).
Системы, измѣняющія свою форму при дѣйствіи произвольныхъ внѣш-
нихъ силъ, несмотря на то, что состоятъ изъ абсолютно твердыхъ брусковъ,
будемъ называть измѣняемыми или подвижными системами.
Необходимость установить эти термины вызывается слѣдующимъ со-
ображеніемъ.
Въ строительной механикѣ и въ спеціальныхъ курсахъ инженерныхъ
наукъ постоянно употребляются слова: ферма, измѣняемая система и проч..
но имъ не придаютъ значенія терминовъ, или, если ихъ и употребляютъ,
какъ термины, то безъ согласованія съ такими же терминами другихъ
авторовъ. Отъ этого происходитъ путаница понятій.
Такъ, О. Мойг подъ фахверкомъ подразумѣваетъ систему, прикрѣ-
пленную къ землѣ (см. ^еіівсЬгій дез АгсЬНесіог ппд Дп^ешепг Ѵегеіпев
гп Наппоѵѵег 1874 ипд 1875), А. Гбррі въ своей „ТЪеогіе <іег ГасЬѵѵегке*
(1880 г.) и Ь. НеппеЬег^ въ „1)іе ^гарЬівсЬе 8<аіік дег зіаггеп Бувіете‘
называютъ фахверкомъ то, что мы опредѣлили, какъ ферму; Мйііег-Вгезіаи
въ книгѣ Зіаіік дег Ваикопвігикіібпеіі (1877) и \Ѵ. ЗсЫіпк въ книгѣ Зіаіік
дег НаишГасН’й'егке (1907) называютъ фахверкомъ произвольную систему
стержней, связанныхъ шарнирами.
Въ русской литературѣ слово ферма употребляется тоже, не какъ
терминъ. По крайней мѣрѣ Ф. С. Ясинскій въ „Статикѣ сооруженье
1902 г. называетъ фермою „систему стержней съ прямолинейными осями.
6
соединенныхъ между собою по концамъ, въ такъ называемыхъ узлахъ",
такъ что подъ его опредѣленіе подходятъ и неизмѣняемыя и измѣняемыя
системы и притомъ только системы съ прямыми брусками; между тѣмъ
Е. О. Патонъ во второмъ изданіи 1 тома „Желѣзныхъ мостовъ" опредѣ-
ляетъ ферму, какъ „главную часть пролетнаго строенія моста, которая пе-
редаетъ на опоры нагрузку моста" (стр. 108 изданія 1910 г.), т. е. подъ
фермой, повидимому, подразумѣваетъ неизмѣняемую систему. В. Л. Кирпи-
чевъ1) фермами называетъ „всѣ системы, въ которыхъ вводятся растяну-
тыя и сжатыя части для уменьшенія или полнаго уничтоженія изгиба", и
говоритъ дальше о „фермахъ съ недостаточнымъ числомъ линій", т. е-
подъ фермами подразумѣеваетъ измѣняемыя системы. Въ то же время въ
другомъ своемъ сочиненіи В. Л. Кирпичевъ пишетъ * 2): «Для строительнаго
дѣла, конечно, пригодны только жесткія системы, т. е. такія, что фигура
ихъ не можетъ быть измѣнена, пока длина всѣхъ брусковъ, составляющихъ
систему, остается неизмѣнною. Только такія системы могутъ быть названы
фермами",—т. е- подъ фермами В. Л. Кирпичевъ подразумѣваетъ здѣсь
невзмѣняемыя системы.
Чтобы избавиться отъ этой сбивчивости понятій, мы устанавливаемъ
нонятіе о фермѣ, какт неизмѣняемой системѣ брусковъ, какъ угодно связан-
ныхъ между собою посредствомъ шарнировъ. При этомъ, во-первыхъ, упро-
щается терминологія, такъ какъ вмѣсто двухъ словъ: неизмѣняемая си-
стема* вводится одно * ферма “; во-вторыхъ, только при такомъ опредѣ-
леніи фермы можно будетъ назвать „фермами главныя части сооруженія,
способныя передать нагрузку опорамъ", и въ-третьихъ,—будетъ правильно
использованъ этимологическій смыслъ термина: Гегте -стойкій.
Теоретическими шарнирами мы назовемъ точки, которыми опре-
дѣляется положеніе оси бруска3). Положеніе прямой опредѣляется двумя точ-
ками; поэтому на брускѣ АВ (фиг. 1) можно считать два шарнира А и В. Всѣ
другія точки, напримѣръ,
С, I)... (фиг. 2), въ ко-
торыхъ къ бруску АВ
присоединяются другіе
бруски, не опредѣляютъ
положенія самого бруска Фиг. 1. Фиг- 2.
АВ по отношенію къ землѣ Г. Ихъ будемъ называть узлами, подразу-
мѣвая подъ узломъ вообще всякое мѣсто взаимнаго соединенія брусковъ.
') В. Л. Кирпичевъ. Сопротивленіе матеріаловъ; Кіевъ. 1900. Часть П, стр.
226 и 239.
а) В. Л. Кирпичевъ Лишнія неизвѣстныя въ строительной механикѣ. Кіёвъ,
1903. Стр 9.
3) Теоретическаго шарнира не слѣдуетъ смѣшивать съ шарниромъ, какъ кон-
структивной деталью, которая можетъ быть примѣнена при всякомъ примыканіи
одною бруска къ другому. При' изложеніи мы будемъ имѣть въ виду исключительно
теоретическіе шарниры.
Такіе бруски, которые соприкасаются съ другими только въ двухъ
точкахъ, т. е. имѣютъ только два узла, назовемъ разрѣзными бру-
сками, или, просто, брусками (фиг. 1), а прямую, соединяющую узлы, на-
зовемъ стержнемъ (ЛВ фиг. 1 и 2). Бруски съ числомъ узловъ, боль
шимъ двухъ, назовемъ неразрѣзными брусками; фермы, въ составъ
которыхъ входятъ неразрѣзные бруски, назовемъ фермами съ неразрѣзными
брусками.
Какой-нибудь брусокъ фермы, какъ твердое тѣло, можетъ быть за-
мѣненъ фермочкой, расположенной на мѣстѣ бруска, такъ какъ фор-
мочка тоже представляетъ твердое тѣло- Фермочка можетъ быть названа
сложнымъ брускомъ, а фермы, въ которыхъ бруски сложные, назо-
вемъ сложными фермами.
Слово нагрузка будемъ употреблять для обозначенія внѣшнихъ
силъ, а слово усиліе—для внутреннихъ силъ.
Терминъ напряженіе1) употребляемъ для обозначенія усилія,
отнесеннаго къ единицѣ площади поперечнаго сѣченія.
Названіе усилія будемъ отличать отъ названія стержня, въ которомъ
оно возникаетъ, только тѣмъ, что поставимъ черту сверху, напримѣръ,
вмѣсто словъ: „усиліе стержня АВ“ будемъ писать просто: АВ-
Обозначенія. Въ послѣдующемъ будемъ придерживаться такихъ обо-
значеній: фиг. 3—обозначаетъ неподвижную точку. Фиг. 4?—планъ непо-
движной опоры.
% |~0~| О о
Фиг.З. Фиг. 4. Фиг- 5. Фиг. 6.
Фиг. 5—планъ опоры, которая допускаетъ перемѣщеніе по линіи;
направленіе возможнаго перемѣщенія показано двумя параллельными чер-
тами; перемѣщеніе въ плоскости, перпендикулярной къ чертамъ, невоз-
можно. Эту опору можно представить себѣ, какъ шаръ, катающійся въ
лоткѣ, изображенномъ на фигурѣ 5 двумя чертами
Фиг. 6—планъ всесторонне подвижной опоры, т. е. такой, которая
допускаетъ всевозможныя перемѣщенія по плоскости, напримѣръ, пред-
ставляетъ шаръ, свободно катающійся по горизонтальной плоскости.
Образованіе фермъ изъ стержней. Если къ какому-нибудь стержню по-
слѣдовательно прикрѣплять другіе и притомъ такъ, чтобы каждый изъ
нихъ былъ присоединенъ наименьшимъ числомъ стержней, необходи-
мыхъ для его прикрѣпленія, то прежде всего получится треугольная ферма
изъ трехъ стержней. Эта ферма—плоская. Пространственная ферма полу-
!) Во мвогихъ русскихъ сочиненіяхъ йодъ напряженіемъ подразумѣ-
вается то, что мы обозначили словомъ усиліе Этотъ неудачный терминъ напря-
женіе, представляющій буквальныя переводъ нѣмецкаго 8рашшпе, теперь долженъ
быть вовсе оставленъ.
8
чается только при послѣдующемъ прикрѣпленіи стержней, лежащихъ внѣ
плоскости треугольной фермы. Поэтому треугольникъ можмо считать исход-
нымъ брускомъ или исходной плоскостью для образованія пространствен-
ныхъ фермъ (фиг. 7).
фиг. 9-
Фиг. 10.
Фиг. 7.
Фиг. 8.
Къ треугольнику АВС присоединимъ концомъ В новый стержень ВВ.
Тогда другой конецъ стержня будетъ имѣть возможность перемѣщаться по
любому направленію на шаровой поверхности радіуса ВВ (фиг. 8). Чтобы
лишить стержень свободы перемѣщенія, свяжемъ свободный его конецъ съ
исходнымъ треугольникомъ (фиг. 9) посредствомъ стержня ВА, не лежа-
щаго на линіи ВВ; тогда узелъ В будетъ лишенъ возможности перемѣ-
щаться въ плоскости ВВА, но можетъ перемѣщаться по дугѣ круга во-
кругъ оси АВ. Чтобы лишить узелъ В и этой свободы перемѣщенія, до-
статочно прикрѣпить его къ исходному бруску (фиг. 10) стержнемъ ВС\
лежащимъ внѣ плоскости ВВА. При этомъ получится тетраэдръ, въ ко-
торомъ шарниръ В окажется прикрѣпленнымъ къ исходной плоскости по-
средствомъ трехъ стержней, не лежащихъ въ одной плоскости (и не па-
раллельныхъ между собою). Такимъ образомъ, для прикрѣпленія
стержня ВВ достаточно два другихъ стержня, не лежа-
щихъ съ нимъ въ одной плоскости, а для прикрѣпленія
шарнира В необходимо и достаточно три стержня, не ле-
жащихъ въ одной плоскости.
Описанное здѣсь присоединеніе стержня и шарнира даетъ дѣйстви-
тельное прикрѣпленіе ихъ къ исходному треугольнику; каковы бы ни были
нагрузки, дѣйствующія на образованную такимъ путемъ систему (фиг. 10),
взаимное перемѣщеніе частей будетъ невозможно; поэтому на фиг. 10—
ферма. Но если бы три стержня, которыми присоединяется шарниръ В къ
исходному треугольнику АВС, лежали въ одной плоскости, какъ на фиг. 11,
то, понятно, шарниръ В могъ бы вращаться вокругъ оси АВ, и мы полу-
чили бы подвижную систему. Присоединяя шарниръ В тремя стержнями,
расположенными въ одной плоскости чертежа, какъ на фиг. 12, мы тоже
9
не получаемъ надлежащаго прикрѣпленія. Въ этомъ не трудно убѣдиться.
Вообразимъ три шара: одинъ радіуса СВ съ центромъ С, другой—радіуса
АО съ центромъ А и третій—радіуса ВВ съ центромъ Д. Общей точкой
для нихъ служитъ В. Найдемъ для каждаго изъ шаровъ большой круть,
проходящій черезъ точку В и перпендикулярный къ плоскости чертежа:
тогда получится три большихъ круга, имѣющихъ общую точку В и про*
ектирующнхся по линіямъ ВА, Г)В и ВС. Линія пересѣченія ихъ перпен-
дикулярна къ плоскости чертежа, проходитъ черезъ В и служитъ общею
касательною* Но касательная на весьма маломъ элементѣ совпадаетъ съ
окружностью: слѣдовательно, три окружности нашихъ большихъ круговъ
на весьма маломъ протяженіи совпадаютъ Очевидно, на этомъ, весьма ма-
ломъ протяженіи можно перемѣщать шарниръ В по окружности, т. е. не
измѣняя длины стержней АВ, СВ и ВВ. Итакъ, шарниръ можетъ пере-
мѣщаться при постоянной длинѣ стержней. Это показываетъ, что онъ не
прикрѣпленъ, и что на фиг. 12 не ферма, а измѣняемая система1)
Къ тетраэдру, полученному
на фиг. 10, можно прикрѣпить
новый шарниръ посредствомъ
трехъ стержней и получить мно-
гогранникъ АВСВЕ фиг. 13;
затѣмъ, такимъ же образомъ при-
крѣпить новый шарниръ и т. д.
(см- фнг. 14). Такъ какъ каж-
дый образующійся новый шар-
ниръ оказывается прикрѣплен-
нымъ къ неизмѣняемому тѣлу,
то полученная система изъ стержней представляетъ ферму.
Фермы, образованныя путемъ послѣдовательнаго прикрѣпленія шар-
нировъ посредствомъ трехъ стержней, называются простѣйшими. На-
примѣръ, фермы, изображенныя на фиг. 10* 13 и 14,—простѣйшія фермы.
Исходный треугольникъ можно замѣнить любымъ неизмѣняемымъ тѣ-
ломъ и воспользоваться тремя его точками для присоединенія стержней, при-
крѣпляющихъ новый шарниръ, напримѣръ, за исходный треугольникъ можно
принять землю. Прикрѣпляя къ землѣ шарниръ посредствомъ трехъ стержней,
мы получимъ такую же ферму, какъ на фиг. 10, только здѣсь заштрихованная
площадка будетъ обозначать землю. Прикрѣпляя новые шарниры посред-
ствомъ трехъ стержней, мы будемъ получать разнообразные виды про-
странственныхъ фермъ въ зависимости отъ того, къ какимъ точкамъ обра-
зованной уже фермы прикрѣпляются новые шарниры.
Различаютъ свободныя фермы и прикрѣпленныя. Свободными на- *
О такихъ исключительныхъ случаяхъ расположенія стержней впервые гово-
рилъ МбЬіш еще въ 1837 г. въ „ЬеИгЬисЬ гіег 8іа1іки-
— 10
зываются фермы, разсматриваемыя, какъ одно цѣлое, вмѣстѣ съ исходнымъ
треугольникомъ; напримѣръ, фермы на фиг. ІО и 14. Такія фермы не при-
крѣплены ни къ землѣ, ни къ другимъ тѣламъ. Если въ фермѣ участвуетъ
земля, тоона входитъ въ ферму, какъ составная часть. Прикрѣпленная
ферма составляетъ часть свободной фермы и именно ту часть, которая
прикрѣпляется ^къ исходному треугольнику или къ землѣ. Такъ, ферма
ЛІ)Е на фиг. 13 есть прикрѣпленная ферма; точками прикрѣпленія ея слу-
жатъ три неподвижныя точки А, В и С.
Въ свободной фермѣ исходнымъ треугольникомъ можетъ служить лю-
бое неизмѣняемое тѣло, такъ что какую-нибудь неизмѣняемую часть сво-
бодной фермы можно принять за исходный треугольникъ; тогда оставшаяся
часть будетъ прикрѣпленною къ избранной исходной части. Напримѣръ,
часть фермы фиг. 14, изображенную справа на фигурѣ 15, можно разсма-
тривать, какъ ферму, прикрѣпленную шестью опорными стержнями.
Преобразованіе фермъ. Изъ простѣйшей фермы могутъ быть получены
другіе виды фермъ путемъ преобразованія или замѣны стерж-
ней1). Замѣна состоитъ въ томъ, что изъ фермы удаляютъ какой-нибудь
стержень, соединяющій два шарнира, но вмѣсто него вводятъ другой
стержень между какими-нибудь двумя другими шарнирами. При зтомъ
число стержней фермы не измѣняется: число стержней преобразованной
фермы равно числу стержней простѣйшей.
Удаляемый стержень называется замѣняемымъ, а тотъ, который
вмѣсто него вводится,—возмѣщающимъ.
Будемъ называть преобразованною такую ферму, которая не
можетъ быть образована непосредственно изъ стержней, какъ простѣйшая,
а образуется производно: изъ простѣйшей путемъ замѣны стержней. Ферму,
въ которой произведена замѣна нѣсколькихъ стержней, будемъ называть
много кратно преобразованною.
Частный случай преобразованія, когда возмѣщающій стержень нахо-
дятся въ той же плоскости, что и замѣняемый, будемъ называть про-
стымъ преобразованіемъ или преобразованіемъ плоскости. Здѣсь
все преобразованіе происходитъ въ одной плоскости и не распространяется
на другія части фермы. Простѣйшій примѣръ такого преобразованія есть
замѣна діагонали четыреугольника другою діагональю, имѣющею обратный
наклонъ. Но сюда относятся и другіе, болѣе сложные случаи, напримѣръ,
замѣна стержней, превращающая простѣйшую плоскую ферму въ плоскую
преобразованную. Если при простомъ преобразованіи плоскія фермы остаются
*) Идея замѣны стержней была внервые высказана НеппеЬегв’омъ (см. Непое-
Ьег$, Йіаіік 4. віаггеп Зузіете, ОагтзіасІІ 1886, 8. 213 и 248), но разработана и из-
ложена въ болѣе доступной формѣ МйПег-Вгезіаи (ЗепігаІЫаН 4. Ваиѵегѵгаіішде. 1903;
ХеііясѣгіЙ Г. АгсЬ. и. Івдетеипг. ПМЗ; Зіаіік Ваикопнігикііопеп I В<1., 1еіргі&
1887, 8 213).
11
фермами и послѣ преобразованія, то и данная пространственная ферма
останется фермою.
Подобно тому, какъ изъ простѣйшей фермы получается преобразо-
ванная, такъ и изъ преобразованной фермы получается простѣйшая.
Обращеніе преобразованной фермы въ простѣйшую производится бо-
лѣе или менѣе просто, въ зависимости отъ удачнаго выбора замѣняемыхъ
стержней. Чтобы получить наиболѣе простое рѣшеніе вопроса, слѣдуетъ
удалять стержни изъ тѣхъ узловъ, гдѣ наименьшее число стержней, тогда
будетъ наименьшее число замѣнъ и наименьшее число возмѣщающихъ
стержней 1). Руководствуясь этимъ соображеніемъ, мы разыскиваемъ узелъ
съ наименьшимъ числомъ стержней, удаляемъ изъ него всѣ стержни,
кромѣ трехъ, и замѣняемъ ихъ другими стержнями, исходящими изъ дру-
гихъ узловъ.
Обращая преобразованую ферму въ простѣйшую, надо имѣть въ виду,
что не всякій возмѣщающій стержень пригоденъ для того, чтобы ферма
осталась фермою; при неудачномъ выборѣ возмѣщающаго стержня вмѣсто
фермы можетъ получиться измѣняемая система. Поэтому на расположеніе
возмѣщающаго стержня слѣдуетъ обратить особенное вниманіе.
Удаляя какой-нибудь стержень изъ фермы, мы превращаемъ ее въ
подвижную систему, такъ какъ число стержней становится однимъ меньше
наименьшаго ихъ числа, необходимаго для прикрѣпленія шарнировъ системы.
Возмѣщающій стержень долженъ подвижную систему снова превратить въ
ферму, лишить шарниры свободы взаимнаго перемѣщенія. Очевидно, воз-
вѣщающій стержень надо вводить между тѣми шарнирами,
которые могутъ взаимно перемѣщаться послѣ удаленія
занѣняемаго стержня. Если эти шарниры связать возмѣщающимъ
стержнемъ, то свобода перемѣщенія нарушится—они займутъ опредѣленное
положеніе, и, вмѣстѣ съ тѣмъ, займутъ опредѣленное положеніе и всѣ дру-
гіе шарниры, связанные съ ними. Чтобы найти тѣ шарниры, между кото-
рыми долженъ быть помѣщенъ возмѣщающій стержень, обращающій под-
вижную систему въ простѣйшую ферму, рекомендуется поступать такимъ
образомъ: удалить изъ системы послѣдовательно всѣ тѣ шарниры, которые
прикрѣплены тремя стержнями, такъ какъ ихъ положеніе вполнѣ опредѣ-
ляется этими стержнями. Произведя это разрушеніе системы, мы получимъ
исходную'систему съ недостающимъ стержнемъ. Эта система будетъ такъ
проста, взаимное перемѣщеніе шарнировъ такъ очевидно, что положеніе
А) Только въ симметричныхъ системахъ иногда получается болѣе простое рѣ-
шеніе ири ббльшемъ числѣ замѣнъ (Круговая симметрія).
См. Миііег-Вгееіац. Оіе пеиегеп МеіЬобеп бег Ее$Іі<ікеіЬ1еЬге: Ьсіргі$ 1904:
3 АиЙ. 8. 256.
А. Пегіцгі^. ВегіеЬивдеп гѵѵізсЬеп 8утшеІгіс ипб Оеіегтіпапіеп іп еші^еп АиГ-
^аЬеп бег ЕасЬчѵегкіЬеогіе; ѣеіргі^ 1905.
— 12
возвѣщающаго стержня опредѣлится само собою: его надо расположить
такъ, чтобы уничтожить подвижность оставшейся системы.
Образованіе фермъ съ веразрѣзнымм брусками. Перейдемъ теперь къ бо-
лѣе общему случаю образованія фермъ, именно, къ фермамъ изъ брусковъ
Фиг- 16. Фиг. П- Ф*г. 18. Фиг. 1».
произвольной формы. Такъ какъ брусокъ есть твердое тѣло, то прямая,
соединяющая какія-нибудь двѣ его точки, сохраняетъ постоянную длину.
Ее можно разсматривать, какъ стержень* и принять тотъ же способъ при-
крѣпленія, какъ на фиг. 10 для стержня ВВ, а именно: прикрѣпить ее по-
средствомъ двухъ стержней ВС и ВЛ (фиг. 17). Такимъ путемъ мы при-
крѣпимъ одну прямую линіи» бруска, но не прикрѣпимъ всего бруска ВВВ,
брусокъ будетъ еще имѣть возможность вращаться вокругъ прямой ВВ,
какъ около оси. Чтобы лишить его и этой свободы вращенія, достаточно
какую-нибудь одну его точку, лежащую внѣ оси ВВ, связать съ исход-
нымъ треугольникомъ посредствомъ стержня, не лежащаго съ осью
въ одной плоскости, напримѣръ, примѣнить стержень ЕА. Вообще,
для прикрѣпленія бруска достаточно прикрѣпленія трехъ его то-
чекъ, не лежащихъ на одной прямой, другими словами, достаточно при-
крѣпленія одной плоскости, опредѣляемой какими-нибудь тремя точками
бруска; одна точка прикрѣпляется неподвижнымъ шарниромъ, другая—
двумя стержнями, а третья—-однимъ стержнемъ. Прикрѣпляя по этому спо-
собу все новые и новые бруски, мы получимъ разнообразные виды фермъ
(фиг. 19).
Неподвижный шарниръ для прикрѣпленія бруска къ исходному тре-
угольнику можетъ быть не только на плоскости треугольника, но и внѣ ея.
Напримѣръ, точка В (фиг. 20), прикрѣпленная къ исходному треугольнику.
Фиг. 20. Фиг. 21. Фиг. 22.
можетъ служить неподвижнымъ шарниромъ для бруска В(?: связь съ нею
лишаетъ брусокъ свободы поступательнаго перемѣщенія. Прикрѣпляя да-
лѣе точку Е посредствомъ д*утъ стержней (фиг. 21), мы закрѣпимъ стер-
жень ВЕ—ось вращенія бруска. Остается только какую-нибудь точку
— 13
Фиг. 23. Фиг. 24.
лежащую внѣ оси -ОР, связать съ исходнымъ треугольникомъ посредствомъ
стержня не лежащаго въ одной плоскости съ осью НЕ (фиг. 22).
Дальнѣйшее развитіе системы показано на фиг. 23, гдѣ брусокъ ЮЛІі
прикрѣпленъ посредствомъ шарнира и трехъ стержней 1У, ІО и МО.
Наконецъ, неподвижный шарниръ можетъ быть фиктивнымъ1),
если его стержни не пере-
сѣкаются въ одномъ узлѣ.
Примѣръ такого при крѣ-
пленія приведенъ на фиг. 24:
здѣсь три стержня 1, 2 и
3 образуютъ неподвижный
фиктивный шарниръ О,
стержни 4 и 5 опредѣля-
ютъ своею точкою пересѣ-
ченія ф ось вращенія Оф,
а стержень 6 лишаетъ брусокъ свободы вращенія вокругъ этой оси.
Полученныя такимъ путемъ фермы могутъ быть преобразованы по-
средствомъ замѣны стержней подобно тому, какъ фермы изъ разрѣзныхъ
брусковъ.
Наименьшее число стержней фермы. При образованіи фермы мы стреми-
лись составить ферму изъ наименьшаго числа стержней; поэтому вначалѣ
исходили изъ условія: каждый шарниръ присоединять наименьшимъ числомъ
стержней, необходимыхъ для прикрѣпленія его къ другимъ шарнирамъ.
При этихъ условіяхъ во всякой фермѣ получается одно вполнѣ опредѣлен-
ное число стержней:
* = 3 п .........................(1).
Дѣйствительно, для прикрѣпленія каждаго шарнира простѣйшей фермы
требуется три стержня; поэтому всегда число стержней втрое больше числа
шарнировъ и, если число шарнировъ я, то число стержней должно быть Зп.
Чтобы найти число шарнировъ свободной фермы, будемъ разсуждать
такъ. Положимъ, что во всей свободной фермѣ » шарнировъ; тогда къ
исходному треугольнику прикрѣпляется всего только (*—3) шарнира, такъ
какъ 3 шарнира принадлежитъ самому треугольнику. Для прикрѣпленія
каждаго изъ шарнировъ требуется 3 стержня; поэтому, для прикрѣпленія
(я—3) шарнировъ потребуется 3 (я—3) = Зя—9 стержней. Прибавимъ къ 9 * * * * *
9 Этотъ терминъ вводится вмѣсто термина ^мнимый шарниръ44 (іта^іпагез 6е-
Іепк), установленнаго А. ЕоррГемт» (см. СгарЬізеЬе Зіаіік, 2 Аиі1а$е, ѣеіргів 1903*
5. 210).
2) Формулу для числа стержней, независимо другъ отъ друга, получили одно-
временно О- МоЬг (ТеіІзсЬг. <1- АгсЬ.-ц. Іп^-Ѵег, 2. Наппотег. 20(1874) р. 105) и М. Ьеѵу
(Ьа зіаііфіе ^гарѣіцие 1—ё. Рагів 1874).
— 14
винтъ три стержня основного треугольника; тогда получимъ общую сумму
всѣхъ стержней фермы:
и = 3 п — 9 4- 3 =3 п - 6..................(2).
Слѣдовательно, число стержней простѣйшей прикрѣплен-
ной фермы втрое больше числа шарнировъ,а число стерж-
ней свободной фермы на шесть меньше числа прикрѣп-
ленной фермы.
Отсюда слѣдуетъ, что для прикрѣпленія фермы необходимо
всего шесть стержней.
Послѣдній выводъ можно получить также и непосредственно изъ спо-
соба образованія фермъ съ неразрѣзными брусками. Если на фиг. 22 тѣло
&1?(х есть ферма, то, очевидно, что шесть стержней необходимо для при-
крѣпленія фермы.
Преобразованная ферма, по самому способу преобразованія, имѣетъ
такое же число стержней, какъ и простѣйшая, такъ какъ при преобра-
зованіи вводится столько возмѣщающихъ стержней, сколько удалено замѣ-
няемыхъ.
Фермы съ неразрѣзными брусками разсмотримъ отдѣльно. Для при-
крѣпленія оси бруска требуется столько же стержней, сколько и для при-
крѣпленія стержня съ двумя шарнирами, т. е. общее число элементовъ дол-
жно быть Зя; для прикрѣпленія же всего тѣла бруска требуется еще одинъ
дополнительный стержень. Если мы прикрѣпляемъ нѣсколько брусковъ, то каж-
дый разъ должны вводить дополнительный стержень, такъ что число допол-
нительныхъ стержней будетъ равно числу брусковъ. Отсюда елЬ дуетъ, что
общее число всѣхъ элементовъ фермы будетъ
Я = Зя + &,.........................(3),
гдѣ п —число шарнировъ, считая по 2 на каждомъ брускѣ, какъ на оси,
Ъ—число брусковъ. Такъ какъ 6’ есть общее число всѣхъ элементовъ, въ
составь котораго входятъ и стержни, и бруски, то —десть число стержней,
поэтому изъ (3) получается
Я — д = з = 3 я.....................(4)1),
Этотъ признакъ статической опредѣлимости пространственныхъ фермъ слу-
житъ дальнѣйшимъ развитіемъ признака для плоскихъ фермъ, указаннаго въ моей
замѣткѣ: „Признакъ статической опредѣлимости для фермъ съ неразрѣзными
брусками“, помѣщенной въ Извѣстіяхъ Кіевскаго Политехнич. Ин-та за 1912 г.
Сравн. А. Еоррі. Бав ЕасЬѵгегк іт Кашне. Сеірзі^, 1892. 8- 11.
О. МеЬгІепз. Ѵогіевип^еп ибег ІпвепіеиГ’ѴУійвепвсЬаЙеп. Ег&іег Теіі: 8іаіік ипсі
ЕвАцкеіиІфЬге; егзіег Вапф Ьёірвд 1909» & 56.
Мюллеръ-Бреслау. Графическая статика сооруженій, перев. Г. Г. Кривошеина;
Спб. 1898; вып. 111, стр. 59.
Ф. С. Ясинскій. Собраніе сочиненій т. П; Сп&, 1902 г. стр. 69.
II. В. Рабаевичъ. Опредѣленіе степени статической неопредѣлимости иро-
странсівеиныхъ н плоскихъ системъ. Кіевъ» 1911 г.
— 15
т. е. число стержней фермы съ неразрѣзными брусками
втрое больше числа шарнировъ; при этомъ на каждомъ брускѣ
считается два шарнира. Напримѣръ, на фиг. 19, число шарнировъ Д Г и Сг
есть три; число стержней—девять, именно, шесть тѣхъ, которые перенуме-
рованы на чертежѣ, и три опорныхъ стержня въ неподвижной опорѣ В;
на фиг. 23 тоже три шарнира, напримѣръ, Л, Д /, и девять стержней,
изъ которыхъ шесть отмѣчены номерами 1, 2...6.
Итакъ, наименьшее число стержней, необходимое для образованія вся -
кой прикрѣпленной фермы, есть 3».
Это указываетъ, какимъ образомъ безъ изслѣдованія способа образо-
ванія опредѣлить, достаточное ли число стержней въ данной системѣ: надо
сосчитать число шарнировъ и число стержней—послѣднихъ должно быть
втрое больше первыхъ. При большемъ числѣ стержней система содержитъ
лишніе стержни, которые не требуются для образованія фермы: при мень-
шемъ числѣ стержней не можетъ быть фермы, а только подвижная си-
стема, которая способна измѣнять свою форму при постоянной длинѣ
стержней.
Необходимое и достаточное условіе для фермы, Число стержней Зп есть
необходимое условіе для образованія фермы, но не достаточное1). Для того,
чтобы система, содержащая Зл стержней, была фермой, требуется опре-
дѣленное расположеніе стержней, напримѣръ:
1) три стержня, образующіе новый шарниръ, не должны лежать въ
одной плоскости, какъ на фиг. 11 и 12, или
2) шестой стержень, прикрѣпляющій брусокъ, не долженъ лежать въ
одной плоскости съ осью вращенія, опредѣляемой пятью другими опорными
стержнями (фиг. 22—24), или
3) если ферма преобразованная, то она должна быть получена изъ
простѣйшей путемъ введенія умѣстнаго возмѣщающаго стержня, и проч.
Отсюда слѣдуетъ, что недостаточно сосчитать число стержней си-
стемы, чтобы отнести ее къ фермамъ, необходимо еще изслѣдовать распо-
ложеніе стержней и убѣдиться въ неизмѣняемости системы.
Изслѣдованіе можно вести геометрически, какъ уже указывалось на
стр. 8 и 11, или аналитически; этотъ послѣдній пріемъ описанъ ниже.
Статическая опредѣлимость. Понятіе о статической опредѣлимости такъ
же сбивчиво, какъ и понятіе о фермѣ. В. Л. Кирпичевъ3), напримѣръ, на-
зываетъ статически опредѣлимою всякую систему, имѣющую извѣстное чи-
сло стержней, и считаетъ, что это число стержней есть не только необхо-
•) Здѣсь подчеркивается это потому, что встрѣчаются сочиненія, утверждаю-
щія иное положеніе: „извѣстное число брусковъ совершенно необходимо и доста-
точно для преданія фермъ свойства жесткости* (см. В. Л. Кирпичевъ. Сопротивле-
ніе матеріаловъ, часть II; Кіевъ 1900; стр. 255).
а) См. „Сопротивленіе матеріаловъ" ч. И, изд. 1900 г., стр- 255—259.
16 —
димое* но и достаточное условіе для того, чтобы система была неизмѣня-
емою. Въ болѣе новыхъ русскихъ курсахъ сопротивленія матеріаловъ* „ста-
тически неопредѣленными называются такія задачи, въ которыхъ усиліе
бруска не можетъ быть опредѣлено при помощи уравненій статики4*, въ
тоже время различаются статически опредѣленные и статически неопредѣ-
ленные случаи изгиба* между тѣмъ, какъ изгибъ вообще есть задача ста-
тически неопредѣленная; кромѣ того* одну и ту же задачу часто относятъ,
то къ статически опредѣленнымъ, то къ статически неопредѣленннымъ.
Очевидно, необходимо установить понятіе о статической опредѣлимости.
Будемъ называть систему статически опредѣлимою, если для
опредѣленія усилій во всѣхъ ея стержняхъ можетъ быть составлено столько
уравненій статики* сколько имѣется стержней. Системы, въ которыхъ число
стержней больше числа уравненій статики* назовемъ статически неопредѣ-
лимыми, такъ какъ для опредѣленія усилій въ ихъ стержняхъ недостаточно
уравненій статики и приходится прибѣгать къ дополнительнымъ уравне-
ніямъ, основаннымъ на упругихъ свойствахъ матеріала. Избытокъ стержней
сравнительно съ числомъ уравненій назовемъ степенью статической
неопредѣлимости.
При расчетѣ пространственныхъ фермъ посредствомъ узловыхъ сѣ-
ченій1), для каждаго шарнира можно составить три уравненія равновѣсія:
1'Х = 0* = О и 2^ = 0;
поэтому* если ферма имѣетъ п шарнировъ* то можно получить Зп уравне-
ній. Чтобы ферма имѣла столько стержней, сколько уравненій статики,
число стержней 9 тоже должно быть 3»:
в Зп.
Для фермъ съ неразрѣзными брусками получается такое же соот-
ношеніе- При расчетѣ этихъ фермъ посредствомъ сквозныхъ сѣченій для
каждаго неразрѣзного бруска составляется 6 уравненій; поэтому при Ь не-
разрѣзныхъ брускахъ будетъ 66 уравненій.
Для статической опредѣлимости должно быть столько же стерж-
ней я, т. е. должно быть
я 66, или я = 3.26.
Но число 26 есть число шарнировъ фермы, такъ какъ мы услови-
лись на каждомъ брускѣ считать 2 шарнира; поэтому, обозначая число
шарнировъ буквой п, другими словами, принимая
26 — я*
^ Узловымъ мы называемъ сѣчеяіе, разсѣкающее стержни, въ которыхъ
разыскиваются усилія, и при томъ такое, при которомъ направленія всѣхъ разсѣчен-
ныхъ стержней, пересѣкаются въ одной общей точкѣ.
Сквознымъ называемъ сѣченіе* проходящее черезъ стержни, не пересѣка-
ющіеся въ одной общей точкѣ.
найдемъ
$ = 3.26 = Зя.
На этомъ основаніи статически опредѣлимыми можно назвать всѣ
фермы, имѣющія Зя стержней, а условіе
5 3«..........................(5)
назвать признакомъ статической опредѣлимости для пространственной фермы.
Для свободной фермы признакъ статической опредѣлимости есть
$ = Зя — 6..................... (6),
такъ какъ изъ Зя уравненій, которыя могутъ быть составлены для фермы,
шесть относится къ внѣшнимъ силамъ свободной фермы, какъ всякаго
твердаго тѣла, и только остальными Зя—6 можно воспользоваться для
опредѣленія внутреннихъ усилій въ стержняхъ1}.
Прежде было показано, что наименьшее число стержней, необходимое
для фермы, есть
Зя или Зя — 6;
слѣдовательно, число стержней для статической опредѣлимости системы и
для фермы одно и то же. Лишній брусокъ при образованіи фермы будетъ
лишнимъ и въ уравненіяхъ статики.
Число стержней равное Зя, или 5, равное Зя—6, показываетъ, что
для данной системы можетъ быть составлено столько уравненій, сколько
имѣется неизвѣстныхъ усилій, но это число не опредѣляетъ, каковы рѣше-
нія этихъ уравненій. Рѣшенія могутъ быть конечныя, безконечныя неоп-
редѣленныя, и имѣютъ они неодинаковое практическое значеніе. Какъ въ
случаѣ неопредѣленнаго, такъ и въ случаѣ безконечнаго рѣшенія не мо-
гутъ быть найдены размѣры стержня, такъ что, въ смыслѣ разысканія
размѣровъ сооруженія, двѣ послѣднія категоріи рѣшеній могутъ быть на-
званы вообще неопредѣленными. Наоборотъ, рѣшенія конечныя, опредѣлен-
ныя, позволяютъ найти опредѣленные размѣры сооруженія. На этомъ осно-
ваніи, по характеру рѣшенія уравненій равновѣсія, системы могутъ быть
раздѣлены на:
статически опредѣленныя системы—съ конечными опре-
дѣленными рѣшеніями и
статически неопредѣленныя—съ неопредѣленными или без-
конечными рѣшеніями.
*) Если мы будемъ употреблять выраженіе: „внѣшне статически опредѣлимый4",
то въ томъ смыслѣ, что въ этомъ случаѣ составляется достаточное число уравненій
статики для разысканія однѣхъ только внѣшнихъ силъ- Такъ какъ для всякаго
твердаго тѣла статика даетъ шесть уравненій- то должно быть всего шесть не-
извѣстныхъ внѣшнихъ силъ, такъ что признакъ внѣшней статической опредѣли-
мости есты
5 = 6.
18 —
Докажемъ, что всякая статически опредѣленная система есть обяза-
тельно ферма.
Для всякой статически опредѣлимой системы составляется Зи урав-
неній равновѣсія съ Зп неизвѣстными усиліями стержней и извѣстными
нагрузками Р. Общій видъ такихъ уравненій
АХ У + «.. ................(7).
Общее рѣшеніе этихъ уравненій есть дробь со знаменателемъ Д, пред-
ставляющимъ опредѣлитель системы этихъ уравненій:
х - ......................................(8),
«А
при чемъ этотъ опредѣлитель зависитъ только отъ геометрическихъ эле-
ментовъ фермы
А,В......
и не зависитъ отъ нагрузокъ Р.
Если система статически опредѣленна, т. е., если
Д>0,
то она останется такою же при всевозможныхъ измѣненіяхъ нагрузки’),
такъ какъ д не зависитъ отъ грузовъ Р; иначе сказать, измѣненіе внѣш-
нихъ силъ не измѣняетъ Д. А такъ какъ 1 выражается геометрическими
элементами системы, то измѣненіе внѣшнихъ силъ не измѣняетъ геометри-
ческой формы системы. Слѣдовательно, система неизмѣняема, т. е.—ферма.
Докажемъ теперь, что статически неопредѣленная система—это не
ферма, а измѣняемая или подвижная система.
Если рѣшеніе уравненій—неопредѣленное, вида
О
О *
то, очевидно, нѣкоторыя изъ уравненій равновѣсія представляютъ слѣд-
ствіе другихъ; слѣдовательно, въ этомъ случаѣ нельзя составить доста-
точнаго числа условій равновѣсія, и потому равновѣсіе невозможно, система
придетъ въ движеніе. Мы имѣемъ подвижную систему.
Если рѣшеніе уравненій имѣетъ видъ
к
О ~ 30 ’
то это указываетъ на несовмѣстность уравненій равновѣсія, т. е., что рав-
новѣсіе невозможно- Слѣдовательно, и въ этомъ случаѣ получается измѣ-
няемая система.
Итакъ, статически неопредѣленная система это не ферма, а измѣня-
емая система.
См Ь ИѵппеЬег^. ВегісЬі йЬег <йе ЕпЬгіскІипе ишІ <ііе НаирІапГ^аЬеп (Іег
ТЬеогіе (Іег еіпГасКеп Расіі^егке; ВеиІзеЬе Маіепхаі.-Ѵегеітртп@ 1894. 8. 594.
19 —
Можно доказать и обратное положеніе: ферма съ Зя стержнями всегда
статически опредѣленна, т. е. имѣетъ опредѣленныя, конечныя усилія при
конечной нагрузкѣ.
Всякая ферма, по опредѣленію, находится въ равновѣсіи при всякой
конечной нагрузкѣ. При этомъ каждый изъ ея шарнировъ будетъ въ рав-
новѣсіи. Поэтому, если для каждаго изъ ннхъ составить три уравненія,
то получится всего Зя уравненій равновѣсія вида
ЛХ + -ВУ-Н.......XIV
Общее рѣшеніе этихъ уравненій
не можетъ быть
х=- О '
такъ какъ это показало бы, что нѣкоторыя изъ условій равновѣсія слу-
жатъ слѣдствіемъ другихъ и что условій равновѣсія недостаточно, т. е.
что равновѣсіе всѣхъ частей фермы невозможно. Точно также не можетъ
быть
Х=
такъ какъ это показало бы несовмѣстность уравненій равновѣсія, т. е. не-
возможность равновѣсія, а это противорѣчитъ заданію. Слѣдовательно, въ
фермѣ съ Зя стержнями всегда получаются конечныя усилія1).
Отсюда слѣдуетъ, что статически опредѣленная система и ферма съ
Зя стержнями выражаютъ одно и то же; только первый терминъ—стати-
ческій, а второй—кинематическій. Въ такомъ смыслѣ мы и будемъ упот-
реблять эти термины.
Этими терминами вполнѣ характеризуется система. Выраженіе „ста-
тически опредѣленная система* показываетъ, что система содержатъ Зя
или Зя—б стержней, и при томъ усилія ихъ конечны и опредѣленны, „ста-
тически неопредѣленная система “—это система съ неопредѣленными или
безконечно большими усиліями.
При употребленіи этихъ терминовъ мы избѣгаемъ той неопредѣлен-
ности выраженій о статической опредѣлимости, которая существовала
прежде въ строительной механикѣ. Кромѣ того, при пользованіи этими
терминами не будетъ надобности указывать кинематическихъ свойствъ си-
стемы, напримѣръ, говорить, что система неизмѣняема или измѣняема, такъ
какъ доказано, что всякая система стержней, усялія которыхъ конечны и
опредѣленны, есть неизмѣняемыя система. Поэтому, говоря, что система
статически опредѣленна, мы тѣмъ самымъ говоримъ, что она неизмѣняема.
*) Сравн. А. Еоррі. Хиг РасЬягегкзШеогіе (5сНхѵеіг. Ваші^. ВеІ. IX, 8- 42).
Ь. НеппеЬеге. ЛаЬгезЬегісіК окг сІеиЬсЬеп МаШетаіікег-Ѵегеіаіеішг 111 (1393),
р. 593.
20
точно такъ же, говоря о системѣ изъ Зм стержней, что она «статически
неопредѣлена“, мы утверждаемъ, что система измѣняема.
Отсюда же слѣдуетъ, что для сужденія о томъ, представляетъ ли дан-
ная система ферму, или измѣняемую систему, можно воспользоваться однимъ
изъ двухъ пріемовъ: или убѣдиться въ неизмѣняемости системы, разсматри-
вая ея образоѳавіе, или убѣдвться въ томъ, что усилія стержней конечны и
опредѣленны» Нѣтъ надобности примѣнять оба метода.
Изслѣдованіе неизмѣняемости. Чтобы рѣшить, представляетъ ли данная
система ферму, можно воспользоваться однимъ изъ слѣдующихъ пріемовъ.
1. Изслѣдованіе рѣшенія уравненій, содержащихъ неизвѣстныя усилія
стержней (7) и (8). Этотъ пріемъ основанъ на томъ, что система предста-
вляетъ ферму, если при произвольной нагрузкѣ усилія конечны и опре-
дѣленны
Проще всего пользоваться зтимъ пріемомъ, принимая въ качествѣ про-
извольной нагрузки, нагрузку равную нулю (методъ нулевой нагрузки); кромѣ
того, вмѣсто изслѣдованія усилій, проще—найти эти усилія. Если всѣ уси-
лія—нули, то мы имѣемъ ферму; въ противнонъ случаѣ—измѣняемую
систему2).
2. Другой пріемъ основанъ на преобразованіи системы и опредѣленіи
усилія возмѣщающаго стержня. Данную систему превращаютъ въ простѣй-
шую ферму или вообще въ такую ферму, неизмѣняемость которой очевидна,
и расчетъ которой не представляетъ затрудненія. Къ полученной такимъ
образомъ фермѣ прикладываютъ произвольное усиліе замѣняемаго стержня
напримѣръ,
Я=І,
и опредѣляютъ усиліе возмѣщающаго стержня V. Если V не равно нулю,
то изслѣдуемая система есть ферма. Разъяснимъ этотъ пріемъ на одномъ
примѣрѣ.
Разсмотримъ систему фиг. 25. Чтобы превратить ее въ простѣйшую
ферму, удалимъ стержень ЕС (какъ на фиг. 26) и разрушимъ полученную
такимъ образомъ подвижную систему, удаляя узлы въ порядкѣ Е, В, Си А
См. Ь ІІеппеЬег?. ОгарНіасЬе 8іаПк ёег зіагтеп Зузіеше. Ьеіріів, 1911.8.454.
Ввервые положеніе, что, если система съ Зм стержнями имѣетъ конечныя опре-
дѣленныя усилія при произвольной нагрузкѣ, то она будетъ имѣть такія же опре-
дѣленныя усилія и при всякой другой нагрузкѣ,—высказалъ Ь. НеппеЬег^ въ 1893 г.
См. ЛаЬгезЬегісЫ Дег «ІеиіеЬеп ИаіЬетаіікегѴегеіпі^ип^ III (1893), р. 593.
*) См. Ь. НеппеЬег^ ВегісЬі ІіЬег б. Епйѵ. и. (1. НаоріаиГ^. ё. ТЬеогіе <1 еіп(асЬ-
ГаеЬѵ. (выноска на стр- 18).
Также: V. ЗсЫіпк. ОЬег ЗіаЬіІіІЗізилІегзисЬіт^еп ѵоп ВаитГасЪѵгегкеп.
ЗаИгезЬегісЫ дег ОеиІэсЬев МаіЬетаІікег-Ѵегеіпі^ип^. Ьеіргі^. 1907. 8. 46.
Также: IV, ЗсЫіпк. Зіаіік (іег ВашпГасЬѣгегке. Ьеірзі^. 1907. 8. 29 и 91.
21
(си. фиг. 25); тогда мы придемъ къ узлу который подвиженъ. Если
связать его съ точкой Ь посредствомъ стержня Г, то эта подвижность
исчезнетъ; поэтому и всѣ разрушенные нами узлы, при возставовленіи
окажутся неподвижными. Вмѣстѣ съ тѣмъ, при стержнѣ К, система фиг. 26,
будетъ—простѣйшая ферма.
Приложимъ къ этой фермѣ силу
по направленію замѣненнаго стержня ЕС и найдемъ усиліе возмѣщающаго
стержня V при дѣйствіи одной только этой силы. Для этого построимъ
діаграмму усилій въ двухъ проекціяхъ, какъ сдѣлано на фиг. 28. Изъ діа-
граммы получится, что
У^ - у 2,
— 22
т. е., при 2Г = 1, К не равно нулю. На этомъ основаніи заключаемъ, что
на фиг. 25-ферма.
Это положеніе можно доказать таннин простыми соображеніями.
Если въ несомнѣнной фермѣ фиг. 26 при дѣйствіи силы 2 стержень К
имѣетъ усиліе, не равное нулю (въ нашемъ примѣрѣ, сжатіе), то по уда*
ленія этого стержня получится подвижная система, въ которой сближеніе
узловъ В и Ь вызываетъ сближеніе узловъ Е и С. Если воспрепятствовать
сближенію КиС, помѣстивши стержень ЕС, то подвижная система превра-
тится въ ферму *).
Такимъ образомъ, если отъ силы 2 замѣняемаго стержня усиліе воз-
мѣщающаго V не равно нулю, то система со стержнемъ 2 есть ферма.
3. Третій способъ состоитъ въ томъ, что изслѣдуемую систему обра-
щаютъ въ простѣйшую ферму/ удаляютъ въ послѣдней возмѣщающій
стержень и строятъ возможныя перемѣщенія узловъ полученной такимъ
путемъ подвижной системы. Въ числѣ другихъ получатся и перемѣщенія
узловъ, которые были прежде связаны замѣняемымъ стержнемъ. Эти пе-
ремѣщенія покажутъ, измѣняется ли длина замѣняемаго стержня. Если
она измѣняется, то, вводя замѣняемый стержень, мы уничтожимъ возмож-
ныя перемѣщенія системы, т. е. превратимъ систему въ ферму. Такимъ об-
разомъ, изслѣдуемая система есть ферма, такъ какъ она получена изъ про-
стѣйшей фермы путемъ введенія умѣстнаго возмѣщающаго стержня между
тѣми узлами, разстояніе между которыми измѣняется (см. стр. 11)®).
Сравн. Ь. НецпеЬец’. Эіе ^гарЬізсЬе Зіаіік. Епхукіорадіе дег таіЬет. IV із-
БеазсЬаііеп IV, 5. Ееіргі^. 1903, 8. 406—408, 419.
Также: НеапеЬег^. СгарЬізсЬе 8іаіік дег йіаггеп Зузіете. Ьеірзі^. 1911.
Первоначально этотъ пріемъ описанъ въ сочиненіи того же автора: Ь. Нео-
пеЬег^. $1аіік дег зіаггео Зузіеше. Оагтпзіаді 1886, еще раньше у А. ЕоррГя:
А. Гбррі. ТЬеогіе дез ГасЬигегкз. Ьеірхі^ 1880.
Смотри также:
А- Гёррі. 2иг Е’асЬѵегкзіЬеогіе, йсЬѵеіх. Ваизі^. 1887, Вд. IX. 8. 42.
„ Ке вгарЬізсЬе Зіаіік. Ьеірхі? 1903, 8. 219 (Хѵеііе АиПа^е).
Ѵі. ЗсЫіпк. Зіаіік дер ВаитГасЬѵгегке. Ьеіргі& 1907, 8. 101 р. 46.
Н. Мйііег-Вгевіаи. -Веііга^ хиг ТЬеогіе дез гаыпІісЬеп ЕасЬигегкз, Вегііп 1892,
8. 12-13 (Зопдегдгиск аи§ депо СевігаІІЫаІІ дег Ваиѵегѵаііип^).
,, Піе пеиеге МеіЬодеп дег Геаіі^кейвІеЬге. 3 АиП. 8. 249.
Ф. С. Ясинскій. Собраніе сочиненій* С.-Петербургъ 1902. Стр- 131—132.
*) Сравн. 0. МоЬг. 2івсЬг. д. Агеѣ. и Іо^.-Ѵег. ги Наппоѵег. 1874 и 1875: 2іѵі1-
іп^епіепг 1885 н 18>"; ХецІгаІЫ. д. Ваиѵегѵѵ 1902 и 1903: АЬЬапдІшдееп а. д. 6еЬ. д.
ІееЬп. МесЬ. 8. 343, 431.
Мйііег- Вгезіаи. Адѵѵ. д. @еопъ Веѵ.-ЬеЬге аиГ діе ВегееЬпип§ еЬепег Тгадег.
ХізсЬг. д. АгсЬ.—и Іп^.-Ѵег. щ Надпоѵег 1880, 8. 51.
ОгбЫег. ЙІ8- Іпд.-г^. 1887, 8. 49 и 1888, 8. 278.
Ьааг. йів- 1889, 8. 73.
А. Ебррі. Ѵогіевипреп йЬег ІееѣпіяеЬе МееЬапік. ПгарЬізеЬе Зіаіік, 2 АиЛ, Ьеір-
1903. 8. 2:30.
— 23
Примѣнимъ этотъ способъ къ изслѣдованію той же системы фиг. 25.
Удаливши стержень I7 простѣйшей фермы фиг. 26, построимъ въ
двухъ проекціяхъ возможныя перемѣщенія узла В. Такъ какъ этотъ узелъ
связанъ съ землей двумя стержнями Ва и Вс, то для него возможно пе-
ремѣщеніе по перпендикуляру къ плоскости аВс. На фиг. 30 перемѣще-
нія построены отъ полюса 0'0” и выражаются векторомъ (УВ, (ТВ*.
Послѣ этого строимъ возможныя перемѣщенія узла А, затѣмъ С и
т- д. въ порядкѣ образованія простѣйшей фермы. Такимъ путемъ полу-
чатся перемѣщенія концовъ Е и С замѣняемаго стержня 2Г.
Если отложить перемѣщенія ОЕ и ОС отъ соотвѣтствующихъ узловъ
Е и С изслѣдуемой системы (фиг. 29), то будетъ видно, что длина замѣ-
няемаго стержня 2 измѣняется (см. Е^С^, Е^С* на фиг, 29), стоитъ
только сравнять стержень 2 въ пераоначальномъ и въ перемѣщенномъ по-
ложеніи. Слѣдовательно, мы имѣемъ ферму.
4. Часто можно опредѣлить неизмѣняемость системы, разсматривая
-способъ ея образованія. Объ этомъ уже упоминалось на стр. 8 и 11.
5. Другіе возможные способы изслѣдованія не имѣютъ практическаго
значенія, вслѣдствіе ихъ сложности.
— ы —
Глава I.
Опоры, статически опредѣленныя въ пространствѣ.
Прикрѣпленіе твердаго тѣла.
Положеніе вопроса.
Прежде считали, что для статической опредѣленности задачи о при-
крѣпленіи твердаго тѣла можно связать только три точки тѣла, напримѣръ,
считали возможнымъ находить изъ уравненій статики распредѣленіе дав-
ленія груза на ножки стола только въ токъ случаѣ, если столъ былъ о
трехъ ногахъ. Распредѣленіе давленія груза на обыкновенномъ столѣ о
четырехъ ногахъ представляетъ извѣстную статически неопредѣлимую
задачу.
Прикрѣпленіе твердаго тѣла четырьмя точками очень часто встрѣ-
чается въ машинахъ и постройкахъ, и имъ приходится пользоваться.
Между тѣмъ статически неопредѣлимое прикрѣпленіе представляетъ боль-
шія неудобства во многихъ отношеніяхъ.
1. При статически неопредѣлимыхъ прикрѣпленіяхъ большое значеніе
имѣетъ точная пригонка частей; при неточной сборкѣ и установкѣ можетъ
оказаться, что тѣло не будетъ опираться на всѣ четыре опоры, а только
ва три. Благодаря этому, при передвиженіи нагрузки тѣло будетъ ударять
по четвертой опорѣ и произойдутъ сотрясенія, толчки. Если тѣло прикрѣ-
пляется стержнями, то въ нихъ возникнутъ дополнительныя напряженія.
Конечно, дополнительныя напряженія появятся и въ самомъ прикрѣпляе-
момъ тѣлѣ. Въ небольшихъ жесткихъ сооруженіяхъ, каковы машины, пу-
темъ заклиниванія станинъ и другими мѣрами можно повысить точность
пригонки частей, во въ крупныхъ и болѣе гибкихъ сооруженіяхъ, мостахъ,
достигнуть правильной установки ва опоры никогда не удается. Нельзя
также провѣрить и установить правильное расположеніе опоръ во время
службы моста. Поэтому удары и толчки или дополнительныя напряженія
опорныхъ стержней и пролетнаго строенія моста неизбѣжны. Это всѣмъ
хорошо извѣстно.
Указанныя явленія нежелательны особенно потому, что ускользаютъ
отъ нашего вниманія при расчетѣ и не могутъ быть учтены съ опредѣ-
ленной точностью.
2. Тоже можно сказать и о вліяніи измѣненія температуры.
При статически неопредѣлимыхъ опорахъ измѣненіе температуры, во*
обще говоря, вызываетъ дополнительныя напряженія. Исключеніе пред-
ставляютъ, при равномѣрномъ нагрѣваніи всей системы, только опоры, до-
2э —
пускающія измѣненіе формы тѣла съ сохраненіемъ подобія Но такія
опоры примѣняются очень рѣдко: въ большихъ и широкихъ мостахъ.
3. Наконецъ* расчетъ статически неопредѣлимаго прикрѣпленія зна-
чительно сложнѣе* чѣмъ статически опредѣлимаго.
Перечисленные недостатки статически неопредѣлимыхъ опоръ слу-
жатъ важнѣйшими причинами* препятствующими распространенію стати-
чески неопредѣлимыхъ неразрѣзныхъ фермъ и балокъ* несомнѣнно* вы-
годныхъ въ экономическомъ отношеніи.
Чтобы уменьшить вліяніе неправильной установки на опоры, П. А.
Миняевъ предлагаетъ измѣрять опорныя реакціи посредствомъ гидравлв-
ческихъ прессовъ* устраиваемыхъ во всѣхъ опорахъ моста 2 3 * * *). Но, во-пер-
выхъ, система опоръ-прессовъ П. А. Миняева еще никѣмъ не принята;
во-вторыхъ, этотъ пріемъ не уничтожаетъ всѣхъ недостатковъ статически
неопредѣлимыхъ опоръ.
Фиг. 31.
Въ рѣшеніи вопроса объ опорахъ можно идти другимъ путемъ, именно,
искать способы статически опредѣлимаго прикрѣпленія твердаго тѣла.
Попытки найти такое прикрѣпленіе были давно.
Прежде всего предлагали опирать параллелепипедъ тремя точками 8):
на одну неподвижную опору* прикрѣпленную тремя стержнями (точка В на
фиг- 31), другую—односторонне подвижную на двухъ стержняхъ (точка Е
фиг. 31), и третью—всесторонне подвижную (точка фиг. 31). Для при-
крѣпленія требовалось шесть стержней, соотвѣтственно шести уравненіямъ
статики. Стержни располагались правильно* по способу образованія (сравн-
фиг. 22)* и, понятно* усилія въ стержняхъ получались опредѣленныя ко-
нечныя.
’) ф. С. Ясинскій. Собраніе сочиненій, т. П, Спб. 1902, стр- 140.
-) II. А. Миняевъ. Приспособленіе для установки неразрѣзныхъ фермъ- Извѣ-
стія Кіевск. Политехи. Ин-та, 1910.
3) А. Ебррі. Паа ЕаеЬ^ѵегк іт Кашпе: Ьеіргі^, 1892; 8. 119.
\Ѵ. 8сЪ1іпк. 8іаіік (іег КаитГасЬѵгетке; Ьераів. 1907; 8. 151.
Л. Николаи. Расчеты къ курсу постовъ (литограф, изд.) ч. Ш, стр. ®9&.,
€пб. 1896.
26
Но такое прикрѣпленіе для многихъ сооруженій, въ томъ числѣ и
мостовъ, практически недопустимо ’) вслѣдствіе ударовъ свободнаго конца
моста и устоя и появленія отрицательныхъ опорныхъ реакцій при распо-
ложеніи грузовъ на свободномъ концѣ моста. Въ виду этого былъ предло-
женъ трехгранный мостъ *) на трехъ опорахъ, изображенный на фиг. 32.
Хотя этотъ мостъ удовлетворительно прикрѣпляется къ землѣ, но имѣетъ
тѣ же три опорныя точки, что и столъ о трехъ ногахъ.
Кромѣ того, особую форму моста и расположеніе опоръ нельзя счи-
тать конструктивными. По крайней мѣрѣ неизвѣстно ни одного случая при-
мѣненія этой идеи къ постройкѣ мостовъ.
Для сооруженій цѣлесообразнѣе пользоваться четырьмя или болѣе-
опорными точками. Къ этому случаю мы и переходимъ. Разсмотримъ при-
крѣпленіе параллелепипеда.
Всѣ существующіе способы прикрѣпленія параллелепипеда къ землѣ
можно привести къ слѣдующимъ основнымъ типамъ.
1. Самый обычный типъ прикрѣпленія при четырехъ опорахъ это
устройство двухъ неподвижныхъ и двухъ продольно подвижныхъ опоръ
Фиг. 33.
Планъ.
Перспективный видъ.
Фиг. 34.
(фиг. 33). Такь какъ каждая неподвижная опора содержитъ три опор-
ныхъ стержня, а подвижная два, то всего получается десять опорныхъ
стержней, слѣдовательно, четыре лишнихъ, и ферма четырежды статически
неопредѣлима относительно внѣшнихъ силъ.
*) Е, ѴѴіпНег. ТЬеогіе <іег ХѴішІѵегзігеЬиіівеп іп Вгйскеп тіі хдгеі Тгй^ет Сіѵіі-
іп^епіеиг. 1884,3. 112.
Тг. Епдезвег. Віе ХизаіхкгЗйе ипй КеЬепзрадпип^еп. I. 8. 5. Вегііп 1892.
г) ЗсЫіпк. Зіаіік <іег Ваит&сЬ^ѵегке. Ееіргіг 1907, 5. 150—151.
\Ѵ. ЗсЫіпк. Вгйскепіга^ег, аіэ КаатСасЬлѵегке. ѴегЬашіІипр Йез Ѵегеіпз гиг
ВеГогдегипр гіев ВеѵегЬВеіздез 1905, 8. 95.
27
2. Другой типъ опоръ, употребляющійся при широкихъ и большихъ
мостахъ, представленъ на фиг. 34. Здѣсь—одна неподвижная опора, двѣ
линейно подвижныхъ и одна всесторонне подвижная.
Всего—восемь опорныхъ стержней, такъ что степень статической
неопредѣлимости прикрѣпленія—два. Это прикрѣпленіе имѣетъ передъ
предшествующимъ то преимущество, что допускаетъ свободное расширеніе
опорной фигуры при измѣненіи температуры (пунктирная фигура подобна
первоначальной), благодаря чему не получается дополнительныхъ напря*
женій при равномѣрномъ нагрѣваніи фермы.
3. Остальные возможные способы прикрѣпленія четырехъ точекъ про-
летнаго строенія моста приведены на фиг. 35 и 36 съ указаніемъ рода
опоръ и числа неизвѣстныхъ опорныхъ реакцій.
3* 3+2+/+/=7 3*3 +2*/+/ - 7
Фиг. 35. Фиг- 36.
Число опорныхъ
стержней здѣсіг— -семь,
такъ что прикрѣпленіе
однажды статистичес-
ки неопредѣлимое.
Примѣры эти заим-
ствованы изъ курса
мостовъ Е.О. Патона1),
можетъ быть произве-
4. Прикрѣпленіе при
Фиг. 37.
пяти опорныхъ точкахъ,
= 3*2<3./=$
Фиг. 38.
депо по одному изъ
слѣдующихъ спосо-
бовъ (фиг. 37 и 38),
указанныхъ проф.
Е. О. Патономъ.
При этомъ число
опорныхъ стержней
должно быть 9 или

8, такъ что степень внѣшней статической неопредѣлимости фермы полу-
чается три или два.
5. При шести опорахъ наиболѣе раціональнымъ считается устройство
опоръ, показанное на фиг. 39, при этомъ
получается девять опорныхъ стержней.
Всѣ эти примѣры показываютъ, что
при четырехъ и болѣе опорныхъ точкахъ
прикрѣпленіе статически неопредѣлимо, при
чемъ степень статической неопредѣлимости
зависитъ отъ числа и рода опоръ и необ-
ходимо должна быть отъ 1 до 4. Стати-
Фиг. 39.
чески опредѣлимаго прикрѣпленія еще не было найдено, и такое прикрѣ<
пленіе считалось невозможнымъ.
’) Е. О. Патояъ. Желѣзные мосты, т. I, 1910, стр. 114.
— 28 —
На невозможность прикрѣпить тѣло посредствомъ опорныхъ стержней,
распредѣленныхъ между четырьмя или болѣе точками тѣла, указываютъ
многіе новѣйшіе писатели по вопросамъ строительной механики.
Въ извѣстномъ сочиненіи „Зіаііксіег ВашпГасЬ^егке** МГ. 8сЫіпк прямо
говорить; ЙЯ5 ез йЬегЬапрі пптб^ІіоЬ ізі, еіпеп <іегагіі$еп Каитігй^ег аиі
Ьогізопіаіег ЕІасЬе тіііеіз зесЬз АиПа^егЬеПіп^ип^ел іп ѵіег Рипкіеп ги
Ьа^егп 1).
Ту же мысль высказываетъ II. Н. Рышковъ '-) въ свомъ трудѣ .Мо-
стовыя фермы, какъ пространственныя системы**: „Пространственное стерж-
невое сочлененіе, вообще говоря, не можетъ быть неподвижно прикрѣплено
къ неизмѣняемой системѣ шестью опорными стержнями, если они распре-
дѣлены между четырьмя опорными узлами сочлененія4".
Указанія на эту невозможность сдѣланы и Л. Николаи 3), ихъ можно
найти и у Е О. Патона въ новомъ изданіи курса Желѣзныхъ мостовъ 4):
.Если иостъ имѣетъ четыре опоры, то для неподвижнаго прикрѣ-
пленія пространственной системы къ землѣ необходимо устроить эти опоры
такъ, чтобы онѣ имѣли не меньше 7 неизвѣстныхъ...* или: .мостъ на че-
тырехъ опорахъ, разсматриваемый, какъ пространственное сочлененіе,
является всегда статически неопредѣлимою системою относительно внѣш-
нихъ силъ*.
Рѣшеніе вопроса.
Здѣсь будетъ показано, что возможно прикрѣпить четыре и болѣе
опоръ твердаго тѣла статически опредѣлимымъ образомъ, т. е. посред-
ствомъ шести стержней.
Уже указывалось, что для прикрѣпленія бруска необходимо шесть
стержней (см- стр. 14). Эти стержни могутъ быть прикрѣплены къ какому
угодно числу точекъ бруска, большему двухъ. Самый простой случай—это
прикрѣпленіе къ тремъ опорнымъ точкамъ бруска. Этотъ случай, когда на
прикрѣпляемомъ брускѣ образуется три дѣйствительныхъ шарнира, уже
подробно разсмотрѣнъ (см. Л, Р и б? фиг. 22 в 31). Остановимся теперь
на другихъ случаяхъ.
Способъ фиктивныхъ шарнировъ.
Четыре опоры. Если четвертый и иятый опорные стержни на фиг. 23
не пересѣкаются въ одномъ общемъ узлѣ Р, а исходятъ изъ отдѣльныхъ
узловъ и Д (фиг. 40). то вмѣсто дѣйствительнаго шарнира Р фиг. 23,
образуется фиктивный шарниръ Р фиг, 40. При этомъ два шарнира I) и Р
‘) ѴГ. ЗсЫіпк. Зіаіік <1ег ВаишІасЬѵегке. Ьеіргів 1907,8.150.
*) Извѣстія Кіевск. Политехи. Ин та 1908, стр. 323 и 324. 11. Н. Рышковъ.
Мостовыя фермы, какъ пространственныя системы-
Л. Николаи. Курсъ мостовъ ч. Ш, стр. 697 (лктограф изд.). Спб- 1896.
Ч Е. О. Патонъ. Желѣзные мосты т. 1. стр. 114 и 115. Кіевъ, 1910.
— 29
образуютъ мгновенную ось вращенія для бруска Вбг. Если шестой
опорный стержень не лежитъ въ одной плоскости съ этой осью, то бру-
сокъ 1)Сг окажется прикрѣпленнымъ къ землѣ. Шесть опорныхъ стержней
будутъ распредѣлены между четырьмя точками.
Пять м шесть опоръ. Присоединяя
первые три {стержня 1, 2 и 3, вмѣсто
одного узла Р (фиг. 40), къ двумъ или
тремъ узламъ бруска можно полу-
Фиг* 41.
фвг. 40
чить пять или шесть опорныхъ точекъ. Примѣръ прикрѣпленія перваго
рода показанъ на фиг. 41, а второго—на фиг. 42.
Въ обоихъ случаяхъ, чтобы достигнуть дѣйствительнаго прикрѣпле-
нія, необходимо образовать:
1) одинъ фиктивный шарниръ изъ трехъ стержней, пересѣкающихся
въ одной точкѣ, но не лежащихъ въ одной плоскости,
2) другой шарниръ изъ двухъ стержней, пересѣкающихся въ одной
точкѣ, не совпадающей съ первымъ шарниромъ, и
3) помѣстить шестой стержень такъ, чтобы онъ не находился въ
одной плоскости съ фиктивной осью вращенія, проходящею черезъ два
первыхъ шарнира. Въ остальномъ нѣтъ никакихъ ограниченій
Преобразованіе.
Только что образованныя фермы показываютъ, что способы стати-
чески опредѣлимаго прикрѣпленія твердаго тѣла могутъ быть разнообразны.
Разнообразіе еще болѣе увеличивается тѣмъ, что систему прикрѣпленія
можно преобразовать посредствомъ замѣны стержней. Любой изъ опорныхъ
стержней можно удалить и вмѣсто него ввести возмѣщающій стержень
между какими-нибудь другими двумя точками: одной на землѣ в другой—
И Не всегда такое произвольное расположеніе опорныхъ стержней практи-
чески пріемлемо- Какъ удовлетворить требованіямъ строительной практики, будетъ
указано ниже.
30 —
на ирикрѣоляемомъ тѣлѣ. Надо только при этомъ слѣдить» чтобы возмѣ-
щающій стержень былъ умѣстнымъ, т. е. чтобы имъ дѣйствительно уни-
чтожалась подвижность, получившаяся въ системѣ послѣ удаленія замѣ-
няемаго стержня.
Исключительные случаи.
Чтобы облегчить выборъ положенія для возмѣщающаго стержня, при-
веду общія соображенія.
Возмѣщающій стержень можетъ быть расположенъ какъ угодно, но
только такъ, чтобы всѣ шесть стержней не пересѣкались одною прямой.
Если всѣ они пересѣкаются одной прямой, то уравненіе моментовъ относи-
тельно этой прямой не будетъ содержать усилія стержней, такъ какъ
плечи ихъ—нули. Въ уравненіе войдутъ только нагрузки Р съ плечомъ р,
такъ что уравненіе представится въ такомъ видѣ:
БР/> = 0........................ (9).
<>го уравненіе равновѣсія не можетъ быть удовлетворено при про-
извольной нагрузкѣ Р, иначе сказать, при произвольной нагрузкѣ Р си-
стема не можетъ быть въ равновѣсіи, слѣдовательно, это не ферма.
. Отсюда слѣдуетъ, во-первыхъ, что въ одной опорной точкѣ не должно
сходиться болѣе трехъ стержней, и, во-вторыхъ, что въ одной плоскости
не должно лежать болѣе трехъ стержней.
Первый случай. Если въ одной точкѣ сходится четыре стержня, то
можно провести прямую черезъ эту точку и черезъ точку пересѣченія
двухъ остальныхъ стержней; это будетъ та критическая прямая, которая
Фиг. 42.
даетъ уравненіе (9). Въ томъ
случаѣ, когда два остальные
стержня не пересѣкаются, кри-
тическая прямая тоже можетъ
быть проведена—она нройдетъ
черезъ двѣ точки: 1) черезъ
шарниръ, общій для всѣхъ
четырехъ стержней, и 2) че-
резъ точку, гдѣ плоскость,
содержащая этотъ шарниръ и
пятый стержень, встрѣчается
съ шестымъ стержнемъ. Мо-
ментъ усилій всѣхъ шести стер-
жней относительно критиче-
ской прямой всегда будетъ
нуль, и потому произвольная нагрузка бруска не можетъ быть въ рав-
новѣсіи.
Второй случай. Если въ одной плоскости лежитъ четыре стержня, то
плоскость этихъ стержней пересѣкается съ плоскостью двухъ остальныхъ
81
стержней по прямой, относительно которой моментъ всѣхъ, шести усилій
есть нуль. Въ томъ случаѣ, когда два остальные стержня не пересѣкаются,
критическая прямая тоже можетъ
быть проведена—это будетъ линія пе-
ресѣченія 1) плоскости, содержащей
четыре стержня, и 2) плоскости, про*
ходящей черезъ пятый стержень па-
раллельно шестому1).
Руководствуясь этими соображе-
ніями, слѣдуетъ избѣгать, напримѣръ,
расположенія стержней, приведеннаго
на фиг. 43, 44 и 45.
Непригодность этихъ опоръ видна
изъ того, что на каждой фигурѣ
имѣется по четыре стержня 1, 2, 3
и 4, пересѣкающихся въ одной точкѣ,
именно, на безконечности; по стр. 30,
это признакъ измѣняемой системы.
Фиг. 43.
Если исключить указанные здѣсь
ферма о четырехъ, пяти или шести
способу фиктивныхъ шарнировъ, такъ
случаи, то всегда будетъ получаться
опорахъ, какъ при образованіи по
и при преобразованіи фермъ.
Фнг. 44
Не всегда, однако, послѣ преобра-
зованія фермы получается такое, по оче-
видности, правильное или неправильное
расположеніе стержней. Да и не слѣду-
етъ стѣснять себя необходимостью такъ
располагать возмѣщающіе стержни, чтобы
неизмѣняемость системы была очевид-
ной, такъ какъ въ погонѣ за очевид-
ностью прикрѣпленія можно упустить
конструктивныя достоинства фермы или
ея практическую цѣлесообразность. Въ
тѣхъ случаяхъ, когда послѣ преобразо-
ванія фермы неизмѣняемость окажется
не очевидной, достаточно будетъ изслѣ-
довать кинематическія свойства получен-
ной системы.
При этомъ изслѣдованіи не всегда цѣлесообразно опредѣленіе фик-
тивной оси ВГ (см. фиг. 42), образуемой пятью опорными стержнями, съ
О Сравн- А. Еоррі- Оіе ^гарЫвсЬе Зіайк; Ьеірхі^, 1903: 8. 169.
Ь. НеппеЬегё- І)іе ^гарЬіасЬе Зіаіік <іег віаггеп Зувіете; Ьеірхіе, 1911; § 72.
ѴѴ 8сЫіик. ЗІаЬк <іег Наиіп&сЬііѵегке: Ьеірхі^, 1907; 8. 80.
ѴѴ. 8сЬе11 ТЬеогіе <іег Ве^ѵе^пп^ пші <іег КгаГіе; Ьеірхг^, 1880. 8. 41.
— 32
ігвлыо обнаружить, лежитъ ли она въ одной плоскости съ шестымъ стерж-
немъ. Этотъ пріемъ съ примѣненіемъ метода начертательной геометріи ока-
зывается въ большинствѣ случаевъ очень сложнымъ. Чрезвычайно слож-
нымъ надо считать также методъ аналитической геометріи. Болѣе простое
рѣшеніе задачи получается, если пользоваться тѣми методами изслѣдованія,
которые примѣняются въ статикѣ и были описаны на стр. 20—23.
Этими методами мы и будемъ пользоваться при изслѣдованіи тѣхъ
родовъ опоръ, которые служатъ предметомъ послѣдующаго изложеніи.
Прикрѣпленіе пролетнаго строенія мостовъ.
Мы показали возможность прикрѣпить твердое тѣло къ землѣ по-
средствомъ шести опорныхъ стержней, распредѣленныхъ болѣе, чѣмъ между
тремя точками, но не принимали во вниманіе практическихъ требованій.
Здѣсь будутъ разсмотрѣны такія опоры, которыя могутъ имѣть примѣне-
ніе въ мостовомъ дѣлѣ.
Наибольшее значеніе для мостовъ имѣетъ прикрѣпленіе однопролет-
наго строенія посредствомъ четырехъ опоръ; поятому мы остановимся на
немъ прежде всего.
Мостъ на четырехъ опорахъ.
Фиг- 45.
Чтобы получить мостъ на четырехъ опорахъ, помѣстимъ на правомъ
коодѣ моста два перекрестныхъ опорныхъ стержня, образующихъ фиктив-
ный шарниръ подъ осью моста; тогда получится двѣ опоры при двухъ опор-
ныхъ стержняхъ. Остальные четыре
стержня придется распредѣлить ме-
жду двумя опорами на лѣвомъ концѣ
моста.
Ихъ можно распредѣлить тремя
способами:
I) три стержня I, 2 и 3 исхо-
дить изъ одной опоры, образуя дѣй-
ствительный шарниръ Д какъ на
фиг. 46, а оставшійся четвертый
стержень даетъ четвертую опору. Не-
измѣняемость такой системы очевидна,
такъ какъ шестой опорный стержень
.V 4, не лежитъ въ одной плоскости
съ мгновенной осью вращенія І9К,
образованной пятью другими стержнями (фиг. 46) *);
О Сравн- 6. МеЬгіепз. Ѵогіезип’еп йЬег Іп&епіеигоіяеввсЬаЙеп. Егзіег Теіі:
іюЗ Гезб&кеіІзІеЬге; Ьеіргіз, 190Н; 8. 113.
Л. В. Рабцевичъ. Сборникъ задачъ по пространственнымъ системамъ. Кіевъ.
1$11. Стр. 25.
33 —
2) изъ каждой опоры исходить по два стержня, при чекъ три изъ
нихъ I, 2 и 3 образуютъ фиктивный шарниръ а четвертый стер-
3) изъ каждой опоры исходитъ по два стержня, образующихъ двѣ
плоскости, которыя пересѣкаются по линіи, не проходящей черезъ фик
тквный шарниръ Г (фиг. 48).
Фиг. 48. Фвг. 49.
Послѣдній способъ прикрѣпленія полученъ изъ предыдущаго путемъ
преобразованія. Неизмѣняемость системы здѣсь не такъ очевидна, какъ въ
предыдущихъ способахъ; поэтому займемся изслѣдованіемъ системы.
Изслѣдованіе неизмѣняемости.
Превратимъ данную преобразованную систему фиг. 48 въ ферму, не-
измѣняемость которой очевидна и расчетъ которой не представляетъ за-
трудненія. Для этого удалимъ стержень 3 и вмѣсто него введемъ возмѣ-
щающій стержень V (фиг. 49).
34
Система стержней V, 1, 2, 4, 5и6 даетъ дѣйствительное прикрѣпле-
ніе тѣла К; это уже было доказано на фиг. 47.
Вообразимъ, что на полученную ферму дѣйствуетъ сила замѣняемаго
стержня И, равная 1, и найдемъ усиліе возмѣщающаго стержня К отъ
этой силы. Рѣшимъ задачу аналитически.
При составленіи уравненій, пока усилія стержней неизвѣстны, всѣмъ
нмъ будемъ придавать теченіе растягивающихъ силъ; если при рѣшеніи
получится отрицательный знакъ, то это укажетъ на обратное теченіе уси-
лія, т. е. на сжатіе.
Теченіе оси проекцій или моментовъ силъ будемъ указывать послѣ-
довательностью буквъ, обозначая черезъ АВ теченіе отъ А къ Д а че-
резъ ВА—теченіе обратное. Моментъ силы относительно оси будемъ счи-
тать положительнымъ, если наблюдателю, расположившемуся вдоль оси и
притомъ такъ, что ось входитъ въ ноги и выходитъ черезъ голову, пред-
ставляется вращеніе по часовой стрѣлкѣ. Если тому же наблюдателю пред-
ставляется вращеніе противоположное вращенію часовой стрѣлки, то мо-
ментъ будемт считать отрипательнымъ»
Изъ уравненія моментовъ относительно оси для всѣхъ силъ, дѣй-
ствующихъ на тѣло К, находимъ
Ѵ.І — Я.Ъ=О, или * =
V
Фиг- 50.
Усиліе возмѣщающаго стержня не равно нулю; слѣдовательно, раз-
сматриваемая преобразованная система есть ферма (см. стр. 20—22).
Мостъ на шести опорахъ.
Чтобы мостъ оказал-
ся на шести опорахъ, не-
обходимо четыре стержня
1, 2, 3 и 4 распредѣлить
между четырьмя точками.
Это можетъ быть достиг-
нуто, напримѣръ, при та-
комъ расположеніи стерж-
ней, какъ показанное на
фиг. 50.
Чтобы убѣдиться въ
неизмѣняемости полученной
си стемы, удалимъстержень 3
и вмѣсто него введенъ стер-
жень V (фиг. 51). Такимъ
путемъ иы получимъ ферму
съ двумя фиктивными шар-
вирами Л и В и стержнемъ 4, не пересѣкающимъ линіи этихъ шарнировъ ЛР.
35 - е
Чтобы разыскать теперь усиліе V отъ силы
— 1, составимъ урав-
неніе моментовъ относительно оси пхп'.
Фиг 51.
ѴЛ — ^5 = 0.
Изъ этого уравненія
получится
при 2 ~ і окажется,
что
т. е. усиліе возмѣ-
щающаго стержня не-
равно нулю.
Такимъ образомъ, из-
слѣдуемая система
представляетъ ферму.
Возможныя измѣненія въ расположеніи опоръ.
Уничтоженіе распора.
Наклонные стержни 5 и 6 нижнимъ концомъ опираются на неподвиж-
ныя точки. Въ этихъ точкахъ при вертикальной нагрузкѣ возникнуть не
только вертикальныя, но и горизонтальныя реакціи. Это можетъ потребовать
увеличенія каменной кладки опоръ сравнительно съ общепринятыми устрой-
ствами. Чтобы избѣжать этого, достаточно связать опорныя точки и
горизонтальнымъ стержнеігь (фиг. 46 и 50)’). Тогда получатся опоры, какъ
у простого балочнаго моста, безъ распора отъ вертикальной нагрузкиэто
будетъ доказано при расчетѣ опоръ.
Замѣна опорныхъ стержней катками.
Замѣнимъ опорные стержни катками: одиночный стержень—шаровымъ
каткомъ, допускающимъ всестороннюю подвижность на плоскости, два
стержня, исходящіе изъ одной опоры, замѣнимъ цилиндрическимъ каткомъ,
катающимся по перпендикуляру къ плоскости стержней, а три стержня—
‘) Остальные 2 стержня, необходимые для прикрѣплевія точки м», не пока-
заны на фиг. 46, 50 и т. п., такъ какъ въ нихъ не получается усилій при нагруже-
ніи пролетнаго строенія.
— 34>
замѣнимъ неподвижной опорой. Тогда придемъ къ слѣдующимъ случаямъ
статически опредѣлимаго прикрѣпленія мостовъ.
Оденъ конецъ моста опирается на одну опору неподвижную, другую
шаровую; другой конецъ опирается иа перекрестные стержни, связанные
съ неподвижной опорой и съ цилиндрическимъ каткомъ, ось котораго
идетъ вдоль моста (фиг. 46).
2. Одинъ конецъ моста опирается на два цнлиядрячеекнхъ катка:
продольно подвижный в поперечно подвижный; другой конецъ опирается
на перекрестные стержни, какъ въ первомъ случаѣ (фиг. 47).
3. Одинъ конецъ моста опирается на два поперечно подвижныхъ ци-
линдрическихъ катка, другой—на перекрестные стержни (фнг. 48).
4. При шести опорахъ одинъ конецъ моста опирается на перекрестные
стержни, средняя часть моста—на двѣ шаровыхъ опоры, другой конецъ
моста связанъ продольными параллельными балками съ неподвижными опо-
рами (фиг. 50).
Во всѣхъ случаяхъ перекрестные стержни и пару шаровыхъ опоръ
можно взаимно перемѣщать.
При такихъ условіяхъ во всѣхъ приведенныхъ примѣрахъ мостовъ
опорные катки перемѣщаются по горизонтальной плоскости. Если же до-
пустить наклонныя плоскости катанія, то можно получить много другихъ
способовъ прикрѣпленія моста. На нихъ мы останавливаться не будемъ,
такъ какъ они имѣютъ меньшее практическое значеніе.
Другія измѣненія опоръ.
Перекрестные стержни необязательно располагать въ вертикальной пло-
скости; можно тѣ же стержни расположить и въ плоскости, наклоненной
въ ту или другую сторону. Располагая плоскость нерекрестныхъ стержней
такъ, чтобы получился тупой уголъ съ нижней гранью моста, мы созда-
димъ въ нижнемъ поясѣ дополнительныя сжимающія усилія. Эти усилія
будутъ противоположны растяженію, вызываемому вертикальной нагруз-
кой; поэтому они уменьшатъ расчетное усиліе нижняго пояса и дадутъ
экономію. Тоже получится и въ верхнемъ поясѣ.
Сказанное про перекрестные стержни относится и къ вертикальнымъ
стойкамъ, а также къ горизонтальнымъ стержнямъ. Это даетъ возможность
вмѣнять расположеніе опоръ сообразно съ мѣстнынв условіями или цѣлями
Фнг. 52.
проектирующаго. Нѣ-
сколько примѣровъ та-
кого прикрѣпленія
приводится здѣсь для
случая четырехъ и
шести опоръ.
1. Мостъ или путепроводъ на четырехъ опорахъ (фиг. 52 и 53). Два
параллельныхъ стержня и перекрестные стержни расположены въ наклон-
ныхъ плоскостяхъ; остальные два стержня горизонтальны. Чтобы сдѣлать
— 37
путь непрерывнымъ, на правый конецъ моста уложены двѣ балочки, иду-
щія до насыпи.
Этотъ мостъ мо-
жетъ быть и однокон-
сольнымъ, если вы-
пустить правый ко-
нецъ за опорную раму. Фиг. 53.
2. Мостъ на шести опорахъ (фиг. 54) отличается тѣмъ, что горизон-
тальные и наклонные стержни исходятъ изъ разныхъ узловъ. Этотъ мостъ
можетъ быть одноконсоль-
нымъ и двухконсольнымъ.
Изъ этихъ примѣровъ
видно, что горизонтальные
опорные стержни можно
использовать, какъ переход- Фиг. 54.
ныя балочки для соединенія консольнаго моста съ насыпью; такія балочки
часто примѣняются въ мостовомъ дѣлѣ.
Значеніе взаимнаго перемѣщенія перекрестныхъ стержней и параллельныхъ
колоннъ.
Во всѣхъ примѣрахъ мостовъ, приведенныхъ на фиг. 52—54, перекре-
стные стержни и пара параллельныхъ стоекъ могутъ быть взаимно перемѣ-
щены безъ ущерба для неизмѣняемости системы. Это можно сдѣлать всегда,
Фиг. 55.
если опоры составлены по типу фиг. 48
или 50; но это замѣчаніе отнюдь
нельзя распространить на опоры типа
фиг. 17.
Помѣщая здѣсь перекрест. стержни
на мѣсто двухъ параллельныхъ верти-
кальныхъ колоннъ (фиг. 55), мы по-
лучаемъ статически неопредѣленную
систему. Дѣйствительно, въ этомъ
случаѣ три стержня аАг и
А,І,А1 образуютъ неподвижный шар-
ниръ А1Г два параллельныхъ стержня
ДД и Д*Д* образуютъ фиктивный
шарниръ Р на безконечности, такъ
что ось АіА„ вокругъ
которой вращается прикрѣпляемый брусокъ Л'Д
вертикальна и проходитъ черезъ Лѵ Такъ какъ шестой опорный стержень
А^А* лежитъ съ этой осью въ одной плоскости, то онъ не уничтожаетъ
вращенія: мы имѣемъ измѣняемую систему (см. стр. 30).
3
— 38
Другія примѣненія статически опредѣленнаго прикрѣпленія.
Статически опредѣленное скрѣпленіе двухъ твердыхъ тѣлъ въ про-
странствѣ имѣетъ значеніе не только въ теоріи мостовыхъ опоръ, оно не
лишено интереса и въ теоріи стропильныхъ перекрытій, кессоновъ, при
проектированіи ангаровъ, остова аэроплановъ и т. п. На сколько оно важно
въ теоріи кессоновъ видно йзъ того, что статически опредѣленный кессонъ
еще никѣмъ не полученъ1).
Вопросу о стропильныхъ
перекрытіяхъ я предполагаю
посвятить отдѣльную статью:
здѣсь укажу только на одну
систему стропильныхъ фермъ,
непосредственно вытекающую
изъ разсмотрѣнной теоріи
мостовыхъ опоръ и изобра-
женную на фиг. 56.
Зданіе перекрывается труб-
чатыми фермочками аЪ, опи-
рающимися на двѣ плоскія
фермочки ас*, на перекрестные
стержни (іе и на двѣ парал-
лельныя колонны /е. Между
трубчатыми фермами аЪ, а
также между плоскими фер-
мами не требуется никакихъ
связей: ни продольныхъ, ни
поперечныхъ, и ори такихъ
условіяхъ перекрытіе представляетъ статически опредѣленную систему.
Чтобы и фонарь не нарушилъ статической опредѣлимости, его обра-
зуютъ такъ, какъ указано планѣ іфиг. 56) нумеромъ 1, или такъ, какъ
показано внизу подъ нумерами - и 3. Послѣдняя система пропускаетъ боль-
ше свѣта и требуетъ меньше матеріала.
Изъ теоріи кессоновъ, аэроплановъ и проч. я разсмотрю одинъ эле-
ментъ вооруженія. Этотъ элементъ, статически опредѣленный въ простран-
ствѣ, дастъ возможность образовать различныя сооруженія, какъ стати-
чески опредѣлимыя пространственныя фермы. Элементъ, о которомъ идетъ
здѣсь рѣчь, есть свободная ферма изъ двухъ твердыхъ тѣлъ съ параллель-
ными плоскостями, скрѣпленными посредствомъ шести стержней, распре-
дѣленныхъ между четырьмя точками.
Въ періодъ печатанія этой статьи, въ 0йв. Кіевскаго политехнвч. Ни-та за
1914 г. появилась статья П. Н. рышкова и П. В. Рабцеввча: „Кессоны, какъ про-
странственныя системы**.
— 39 —
Такой элементъ изображенъ на фиг. 57. Онъ имѣетъ одну грань
ВСсН, совершенно открытую, свободную отъ раскосовъ; это можетъ от-
крыть ему примѣненіе въ строитель-
номъ дѣлѣ. Докажемъ, что этотъ
элементъ представляетъ ферму и по-
тому нрнгоденъ для сооруженій.
Изслѣдованіе неизмѣняемости.
Докажемъ, что при произволь-
ной нагрузкѣ всѣ усилія стержней—
конечны и опредѣленны; этимъ будетъ
доказано, что разсматриваемая си-
стема статически опредѣленна, т. е. Фиг. 57.
ферма. Для простоты возьмемъ нагрузку, равную нулю (нулевая нагрузка).
Изъ уравненія моментовъ относительно оси Аа находимъ:
1^ = 0.
Изъ уравненія моментовъ относительно оси ВЪ находимъ:
АП — 0.
Изъ уравненія проекцій на ось АВ.
АЪ сое а — Ва сое а = О, или АЪ — Ва — О,
и изъ уравненія моментовъ относительно оси ВС:
— АЪ 5Ін а. АВ — Ва зіп а. АВ — 0, или АЪ -р Ва = О,
находимъ:
АЪ = О
и Ва = 0.
Наконецъ, изъ уравненія моментовъ относительно оси АВ находимъ:
Сс — 0
и изъ уравненія моментовъ относительно оси ВС находимъ:
Віі 0.
Итакъ, всѣ усилія—нули; слѣдовательно, мы имѣемъ ферму (см.
стр. 20 і).
Эта ферма будетъ положена впослѣдствіи въ основу составленія про-
летнаго строенія пространственныхъ статически опредѣлимыхъ мостовъ.
Въ неизмѣняемости системы легко убѣдиться, пользуясь усиліемъ возмѣща-
ющаго стержня, но этотъ способъ уже былъ примѣненъ, и мы здѣсь воспользова-
лись другимъ, не менѣе простымъ.
— 40 —
Расчетъ мосшвыхъ опоръ.
Расчетъ усилій статически опредѣлимаго пространственнаго прикрѣ-
пленія при данной неподвижной нагрузкѣ не представляетъ затрудненія;
пользуясь шестью уравненіями статики твердаго тѣла, можно найти шесть
неизвѣстныхъ усилій опорныхъ стержней. При составленіи уравненій слѣ-
дуетъ руководствоваться совѣтомъ Риттера'), и такъ выбирать ось мо-
ментовъ или ось проекцій, чтобы не пришлось рѣшать одновременно си-
стему шести уравненій съ шестью неизвѣстны ми, а интересующее насъ усиліе
получалось бы изъ одного или двухъ уравненій. Мы здѣсь не будемъ раз-
сматривать этого пріема, такъ какъ онъ уже неоднократно излагался* *)-
Остановимся на подвижной нагрузкѣ мостовъ.
Расчетъ мостовъ при подвижной нагрузкѣ лучше всего производить
при посредствѣ поверхностей вліянія 3). Во-первыхъ, это самый наглядный
!) А. Кіііег. Еіешепіаге ТЬеогіе ипд ВегесЬпипр еізегпег ИасЬ—ипд Вгйскеп-
копзігикйопеп. Наппоѵег, 1863. Есть русскій переводъ этой книги инж. Л. Вурцеля.
С.-Пеіербургъ, 1875.
*) См. С. Сиітпапп. ОгарЬізсЬе Зіаіік. ХйгісЬ 1866.
О. МоЬг. ІІЬег діе 2изаттепзеігипё дег Кга&е іт Ваите, Сіѵі1іп$. 1876, 8і 121.
Ь. НеппеЬег^. 2иг ^тарЬізсЬеп 2еГІе&ип$ ѵоп КгаНеп, (ііе ап еіпет яіаггеп
гашпІісЬеп Зузіет ап^геіГеп. Сіѵі1іп₽. 1884, 8. 381.
ѴѴ. Зіаскеі. Хиг ^гарЬізсЬеп ВеЬап(1Іип$ дег Кгайе іт Кайте, ХеіізсЬгіВ. Г МаіЬ.
и. РЬузік 1898, 8. 62.
К. ЗкиІзсЬ. /егіе^ип^ еіпег КгаН іп зесЬз Котропепіеп тіі ѵог^езсЬгіеЬепев
М7ігкип$з1іпіеп, 8іиип$зЬсг. д. ВегІ. МаіЬ- Оез. 190'2, 8. 59.
А. Гбррі. Оіе ЕгарЬізсЬе 8іаІік; Ьеіргі$, 1803; § 29, 8. 172.
ТЬ. Еап<1зЬег&. ВеіІга& хиг ТЬеогіе дез гашпІісЬеп РасЬѵегкз, 2еп(га1Ыа11 <1ег
Ваиѵегѵѵа1іип& 1903, 8. 221.
ѴѴ. ЗсЫіпк. 8іаіік дег КаитіасЬѵегке; Ьеірхів. 1907; 8. 77—83.
И. НеппеЬег^. Оіе ^гаркізсЬе Зіаіік дег зіаггеп Нузіете; Ьеіргі^, 1911. 13,
8. 426-439.
’) Яа возможность построенія поверхностей вліянія и примѣненія ихъ къ ра-
счету купольныхъ системъ всіервые указалъ А. НазсЬ въ 1903 году (см. А. НазсЬ_
2иг ТЬеогіе дез гаитіісЬеп РасЬѵегкз въ ЗеіізсЬгіП Гііг МаШетаіік ипд РЬуяік
1903, 8 1). Послѣ него дѣлались лишь краткія замѣчанія въ слѣдующихъ трудахъ;
И. Н. Рышковъ. Мостовыя фермы, какъ пространственныя системы. Извѣстія
Кіевск. политехнич. института 1908, кн. 4, стр. 491.
П. В. Рабцевичъ. Методы изслѣдованія неизмѣняемости пространственныхъ
системъ. Кіевъ, 1912, стр. 42.
К. К. Сим и не кій. Лекціи по статикѣ сооруженій, вы о ПІ. Пространственныя
фермы. Кіевъ, 1912, стр. 136.
Болѣе обстоятельныя свѣдѣнія о поверхностяхъ вліянія и примѣненіе ихъ къ
расчету мостовыхъ фермъ появились у ЬбзсЬпет'а въ періодъ печатанія этой статьи
(см. Ьбзсіціег Вг. (п§. ВаікепЬгйскеп аіз гаитІісЬе СеЫІде. ШіІІепЬег^ 1913,8. 14), ко-
торый разсматриваетъ свою особую систему моста и расчетъ вѣтровыхъ связей.
Примѣненіе поверхностей вліянія къ расчету купола находимъ также и въ
появившейся теперь въ печати статьѣ П.Н. Рышковаи П. В. Рабцевича: Купольное
покрытіе надъ большой аудиторіей коммерческаго института въ Кіевѣ. Кіевъ, 1914.
41
способъ, при которомъ вѣроятность ошибокъ наименьшая; во-вторыхъ, при
этомъ способѣ проще всего разыскивается опасное положеніе нагрузки;
въ-третьихъ, расчетъ усилій становится очень простымъ, какъ только по-
строены поверхности вліянія.
Я разсмотрю здѣсь частный случай построенія, непосредственно от-
носящійся къ расчету мостовъ. Изложеніе общей теоріи о поверхностяхъ
вліянія не составляетъ предмета этой статьи.
Сначала остановимся на желѣзнодорожныхъ мостахъ, въ которыхъ
вертикальная нагрузка, какъ постоянная, такъ и временная, симметрична
относительно продольной оси моста. Для этихъ мостовъ поверхности вліянія
превращаются въ линіи вліянія.
А. Желѣзнодорожные мосты.
Первый типъ опоръ (фиг. 48).
Линіи вліянія при вертикальной нагрузкѣ.
Равнодѣйствующая вертикальныхъ грузовъ находится всегда въ вер-
тикальной плоскости продольной оси моста. Относительно этой плоскости
мостъ симметриченъ. Кромѣ того, проекція моста на эту плоскость сим-
метріи есть плоская ферма. При такихъ условіяхъ можно воспользоваться
слѣдующимъ положеніемъ
Если пространственная ферма изображается на какой-нибудь плоскости
въ видѣ плоской фермы, и нагрузка ея лежитъ въ гой же плоскости, то
для расчета пространственной фермы сначала находятъ усилія для той
плоской фермы, которая представляетъ проекцію данной пространственной
фермы, при чемъ пользуются разложеніемъ силъ на плоскости. Хотя въ
данномъ случаѣ получаются не дѣйствительныя усилія въ стержняхъ фермы,
а проекціи равнодѣйствующихъ усилій тѣхъ стержней, которые проекти-
руются на одну прямую, но, зная величины равнодѣйствующихъ, обыкно-
венно можно найти и составляющія, т. е. дѣйствительныя усилія стержней.
Для этого, послѣ опредѣленія усилій фиктивной плоской фермы разсматри-
ваютъ, къ совокупности какихъ стержней относится каждое изъ этихъ
усилій, принимаютъ усиліе за равнодѣйствующую для этихъ стержней и
находятъ составляющія, т. е. дѣйствительныя усилія стержней данной
пространственной фермы. При этомъ разсмотрѣніи рекомендуется пользо-
ваться симметріей фигуры и нагрузокъ, такъ какъ она облегчаетъ расчетъ,
напримѣръ, надо имѣть въ виду, что стержни, расположенные симметрично,
имѣютъ одинаковыя усилія стержень, не имѣющій симметричнаго, вовсе не
напряженъ.
’) См. К. (’иминскій. Лекши по статикѣ сооруженій, вып. III, 1912 г. стр. 77*
42
На этомъ основаніи находимъ, что для фиктивной плоской фермы
(фиг. 59), получившейся отъ проектированія моста (фиг. 58) на плоскость
симметріи, линіи вліянія опорныхъ реакцій будутъ такія же, какъ и для
Фиг- 58. Фиг. 59-
Фиг. 60.
простой балочной фермы на двухъ опорахъ: слѣва—неподвижной и справа—
подвижной. Эти линій построены на фиг. 61—63 съ обозначеніемъ, къ ка-
кому стержню онѣ относятся *).
Фиг. 61.
Линія вліянія для горизонтальнаго опорнаго стержня фигуры 59-
лАа
Фиг. 62.
Линія для лѣваго вертикальнаго стержня фигуры 59.
Фиг. 63.
Линія для праваго вертикальнаго стержня фигуры 59.
') Всѣ чертежи линій вліянія сдѣланы въ одномъ масштабѣ, въ предположе
ніи, что а = 45°, Ъ = 1,5* и I — 4Ь. На фиг. 61 вмѣсто Да надо Да.
— 43 —
Чтобы получить линіи для данной пространственной фермы фиг. 58»
остается каждую изъ построенныхъ линій отнести къ двумъ стержнямъ.
Первыя двѣ линіи относятся къ стержнямъ, параллельнымъ плоскости
проекцій, и потому ординаты ихъ должны быть уменьшены на половину.
Чтобы получить искомыя ординаты изъ послѣдней линіи, замѣтимъ,
что ордината фигуры 63 есть равнодѣйствующая двухъ усилій В^Йщ В\В>,
наклоненныхъ подъ угломъ а къ горизонтали (фиг. 58); очевидно, каждое
изъ искомыхъ усилій получится путемъ дѣленія ординатъ фигуры 63 на
2 8Іп а. Такимъ образомъ, опорные стержни данной пространственной фермы
будутъ имѣть слѣдующія линіи вліянія:
Фиг- 64.
л ДаЦа'
Фиг. 65.
іііііііпЛ
Фиг. 66.
і

Разлагая усиліе наклоннаго стержня В2ВХ или В^В^ въ нижнемъ
узлѣ на вертикальную и горизонтальную составляющія, найдемъ линіи
вліянія для опорной реакціи В* и для усилія опорной затяжки В2В*4:
Фиг. 67.
----г^гггггттгпттттПТИ^^
Фиг. 68.
Фигурами 64—68 исчерпывается расчетъ опорныхъ реакцій простран-
ственной фермы» нагруженной вертикальными грузами, находящимися въ
плоскости симметріи.
Линіи вліянія при іармзонтыьноіі нагрузкѣ.
Разсмотримъ одновременно мосты съ параллельными и съ криво-
линейными поясами. Относительно первыхъ будемъ предполагать, что го-
ризонтальная сила = 1 перемѣщается вдоль моста, оставаясь на по-
стоянной высотѣ г, равной половинѣ высоты фермы А (фиг. 58). При кри-
волинейныхъ поясахъ г придется измѣнять вмѣстѣ съ измѣненіемъ высоты
фермы. Примемъ, что теченіе силы ѴУ и теченіе оси Г (фиг. 58)—оди-
наковы.
, Намонные перекрестные стержни. Изъ уравненія моментовъ относительно
оси (фиг. 58).
ВхВ*,$іп а.І -р В,В'2.зіп а.? —О
находимъ:
........................ • Л10)’
Изъ уравненія проекцій на ось У
1 4- Н>х Въ С08 1 — ВгВъ С05 2=0,
въ которое подставляемъ значеніе В'ъВі изъ (10). находимъ:
I 4“ 2 С05 2—0,
или
По (10) находимъ:
в\&=-г
і
С05 2
В.Д' =
1
2 С05 2
(<».
(12).
Усиліе перекрестныхъ стержней не зависитъ отъ положенія груза, и
потому линіи вліянія будутъ имѣть постоянныя ординаты:
Фиг. 69.
Фиг. 70.
/
2сОІ&
При вѣтрѣ слѣ ва—
• „ сплава-1-
При вѣтрѣ слѣваф
. - справа—
Затямйа перекрестныхъ стержней и вертикальная реакція Въ. Въ виду
того, что усиліе опорной затяжки В^В'^ и опорная реакція обусловли-
ваются исключительно только усиліемъ наклонныхъ стержней, линіи влія-
нія здѣсь будутъ имѣть такую же форму, какъ и линіи наклонныхъ стерж-
ней, ординаты же опредѣлятся, какъ при вертикальной нагрузкѣ (см.
фиг. 67 и 68.
При вѣтрѣ слѣва-(-
, „ справа—
При вѣтрѣ слѣва-р
„ ж справа^
Разница получится только въ неподвижной опорѣ, въ которой, кромѣ
вертикальной реакніи, возникнетъ еще горизонтальная, равная давленію
— 45 —
вѣтра (фиг. 73 и 74). Линіи вліянія для вертикальной и горизон-
опорной реакціи неподвижной опоры изображены
тальмой составляющей
на фиг. 75 и 76.
Въ обѣихъ опо-
рахъ: неподвижной
и подвижной полу*
чаются отрицательныя
реакціи со стороны
вѣтра; но эти реакціи
не опасны, такъ какъ
большія положитель-
ныя реакціи имѣются
въ опорахъ отъ по-
стоянной нагрузки.
Фиг. 73.
Фиг. 74.
Фиг. 75.
При вѣтрѣ слѣва—
л в*
в&і сьст * я спрдвжЧ-
Фиг. 76.
ГОРЯЗСОСГ
л Вг При вѣтрѣ слѣва-Ь
справа
Вертикальныя стойки. Изъ уравненія моментовъ относительно оси
(фиг. 58).
АГА2 Ь -р 1 я -|- Ь 8Іп а — О
находимъ
А А = — 4- зіп а) = —4- 2 ) • ' ♦ (13)•
При * — А/2 это даетъ
~г~» / ^ । 2 \ , ч
АА —— 2 )...........................(14)-
Фиг.77
При вѣтрѣ слѣва—
« справа-^
Усиліе стойки АІА2 не зависитъ отъ х, т. е. отъ положенія силы ТУ
вдоль моста, а только отъ л, и при ПОСТОЯННОМЪ 2 оно постоянно. Линія
вліянія будетъ такая же. какъ для стержня но съ ординатами, из-
мѣненными соотвѣтственно форм. (14).
При криволинейныхъ поясахъ ординаты линіи А А увеличиваются
вмѣстѣ съ увеличеніемъ я. Фигура 77 будетъ состоять изъ двухъ частей:
46
изъ прямоугольника съ высотой - и изъ линіи съ ординатами от-
ложенными надъ прямоугольникомъ (см, фиг. 125).
Усиліе другой стойки будетъ такое же по величинѣ, но обратнаго
знака. Въ этомъ не трудно убѣдиться, составляя уравненіе моментовъ от-
носительно оси В^А^.
Изъ той же форм. (13) можно получить линію вліянія для случая,
когда вѣтеръ приложенъ только къ нижнему поясу фермы; надо только
положить*—0. Ординаты линіи вліянія будутъ тогда а.Если вмѣсто -у
взять ж=Л, то получится случай отдѣльнаго дѣйствія вѣтра на верхній
поясъ фермы. При этомъ ординаты линіи вліянія будутъ
А . іда
~Ь2 ‘
Такъ какъ и верхній и нижній вѣтеръ вызываютъ усиліе одного
знака, то опаснымъ будетъ загруженіе обоихъ поясовъ.
Горизонтальные стержни. Изъ уравненія моментовъ относительно оси
А\А‘ (фиг. 58)
1 (/ — я) —2.1— Д^.еоя а.?== 0
находимъ
~'і / ’п । *» аг соя а / - хх .
, 2^^3) ...........(15)-
Фиг. 78.
Усиліе А^а не зависитъ отъ высоты * расположенія силы Ж, а только
отъ положенія ТГ вдоль моста; это усиліе есть линейная функція отъ яв
поэтому линія вліянія представится наклонною прямой (фиг. 78).
Изъ уравненія про-
екцій на ось X слѣ-
дуетъ, что другой го-
ризонтальный стер-
жень А^а имѣетъ та-
кую же линію, но про-
тивоположнаго знака.
При вѣтрѣ справа
мѣняется только знакъ
усилій.
Всѣ построенныя
линіи вліянія показы-
ваютъ, что максималь-
ныя усилія опорныхъ
стержней получаются
при загруженіи моста
по всему пролету. Передвиженіе нагрузки по высотѣ отзывается только на
вертикальныхъ стойкахъ; на остальные стержни оно не оказываетъ вліянія,
поэтому на остальные стержни не вліяетъ и форма поясовъ моста.
47
Второй типъ опоръ (фиг. 47).
При вертикальной нагрузкѣ опорныя реакціи второго типа опоръ не
отличаются отъ реакцій перваго типа. Это слѣдуетъ изъ того, что усилія
обоихъ горизонтальныхъ стержней А\а* и (фиг. 79)—нули, въ чемъ
не трудно убѣдиться, составляя 1) уравненіе моментовъ относительно оси
и 2) уравненіе моментовъ относительно оси Въ этомъ же убѣ-
ждаетъ общее положеніе, приведенное на стр. 41, если принять во внима-
ніе, что каждый изъ горизонтальныхъ стержней и не имѣетъ
симметричнаго.
Фиг. 80.
Фиг. 81.
Фиг. 82.
При горизонтальной нагрузкѣ получаются иныя реакціи. Построимъ
для нихъ линіи вліянія.
Разсмотримъ вѣтеръ слѣва.
48
Ивъ уравненія моментовъ относительно оси А\АІ
В*гВ2.5Іп ВіВ’з'ЗІп а./ = <\
или
#7ДЯ-зіл2=<>.
и иаъ уравненія моментовъ относительно оси А2А
В\В2.со$ а.І— В1&2-<^о& а./ +1 (I — х) = О
находимъ:
и
1 ' 1 21 сой і
Линія вліянія представляетъ прямую, построенную на фиг. 80. Какъ
и въ первомъ типѣ опоръ, усиліе перекрестныхъ стержней не зави-
ситъ отъ формы поясовъ фермы.
Иаъ уравненія проекцій на ось Л/ А,
—В2В\ сой а - сой а 4“ 1 — Л^а' = 0
находимъ ___
А\а =1 — 2 сой а . Д В'?....................(17).
Отсюда видно, что линія вліянія для стержня А/ а* получится, если
иаъ единицы вычесть ординаты предыдущей линіи (16), умноженныя на
2 сой я. Вычитаніе сдѣлано на фиг- 81.
Изъ уравненія моментовъ относительно оси В2 В'
Ауа Ъ 4~ Л\а' I — 1 х — О
находимъ
А1Л^ А-/....................................(18).
Это выраженіе равно нулю при всякомъ положеніи груза; поэтому
всегда
Л^ — 0.
Изъ уравненія моментовъ относительно оси Д' Л,ф
-~ ~Н Лі Л2 Ь Д В'о Ъ йіп я •= О
находимъ
Л Д = —- (—зйі я.) (19).
л
т. е., что линія вліянія состоитъ изъ постояннаго члена и иаъ линіи
Вѣ В», ординаты которой умножены на йіпя. Складывая эти члены, полу-
чимъ фиг. 82.
49
При криволинейныхъ поясахъ вмѣсто Л/2 въ уравненіи (19) пришлось
бы ввести При этоиъ получилось бы
А! .4 2 • В{ 7Л» зіп а -р з!Ъ.
Фиг. 82 имѣла бы тотъ же треугольникъ сверху, а внизу, вмѣсто го-
ризонтальной линіи была бы кривая съ ординатами з<Ъ, гдѣ г—разстояніе
силы Ж отъ опорной прямой В\ (см. фиг. 159).
Изъ уравненія моментовъ относительно оси В\ В1 находимъ, что уси-
лія обоихъ вертикальныхъ стержней А* и А\ А\ равны, но противо*
положны по знаку.
При вѣтрѣ справа получаются тѣ же реакціи, но обратнаго знака.
Въ этомъ типѣ опоръ такъ же, какъ и въ первомъ, форма поясовъ
пролетнаго строенія оказываетъ вліяніе только на усилія вертикальныхъ
стоекъ.
Изъ сопоставленія линій вліянія для разсмотрѣнныхъ двухъ типовъ
опоръ обнаруживается, что линіи имѣютъ одинаковыя опорныя ординаты,
но площади линій второго типа вдвое меньше. ‘гЪмъ у перваго, такъ что
второй типъ опоръ даетъ менынія опорныя реакціи. При менынихъ реак-
ціяхъ получаются и меньшія усилія въ брускахъ пролетнаго строенія. По-
этому второй типъ опоръ надо предпочесть первому въ тѣхъ случаяхъ,
когда мостъ подверженъ значительному давленію вѣтра.
Б. Мосты подъ обыкновенную дорогу.
Построеніе поверхностей вліянія.
Въ мостахъ подъ обыкновенную дорогу вертикальная временная на-
грузка можетъ перемѣщаться и вдоль, и поперекъ моста. Поэтому здѣсь
измѣняются двѣ координаты х и у точки приложенія, движущагося груза.
Если подъ каждой точкой приложенія груза, равнаго 1, построить орди-
нату г, равную усилію, вызванному этимъ грузомъ, то концы всѣхъ орди-
натъ расположатся на нѣкоторой поверхности. Эта поверхность и будетъ
поверхностью вліянія для разсматриваемаго усилія.
Поверхность вліянія для усилія каждаго опорнаго стержня предста-
вляетъ плоскость, которую можно построить элементарно, основываясь на
уравненіяхъ статики. Я разсмотрю здѣсь такое построоніе плоскостей влія-
ніи, при которомъ пользованіе ими особенно просто.
Прежде всего отмѣчу, что при всѣхъ положеніяхъ вертикальнаго груза
усилія горизонтальныхъ стержней—нули при опорахъ обоихъ типовъ; по-
этому оба типа опоръ даютъ одинаковыя опорныя реакціи (см. стр. 47).
Для нихъ мы и построимъ поверхности вліянія.
— 50
Перекрестные стержни. Помѣстимъ грузъ Р—1 въ произвольной точкѣ пло-
скости X У, напримѣръ, въ точкѣ с съ координатами хи у. Тогда изъ урав-
ненія проекцій на ось У
І^іВ3 сов а — А.-#2 а = О
найдемъ __________
= ......................................(20),
т. е., что оба перекрестные стержня, независимо отъ положенія груза,
всегда имѣютъ одинаковыя усилія.
Изъ уравненія моментовъ относительно оси А\ А};
1 (/—*)-|- ЯтД>.5Іп а./4-В|В'2.8іп а./— 0
послѣ подстановки значенія В1 2/, изъ (20) найдемъ:
I—х-\- 2 а. I — 0:
откуда
Усиліе перекрестныхъ стержней не зависитъ отъ у, т. е. отъ
перемѣщенія груза поперекъ моста. Поверхность вліянія, выражаемая урав-
неніемъ (21), представляетъ плоскость, параллельную оси У; отрѣзокъ оси
А есть
отрѣзокъ оси 2 есть
1
2 5Н1 2
Легко замѣтить, что плоскость вліянія фиг. 64 можетъ быть построена,
какъ линія вліянія для того же стержня В* при нагрузкѣ въ плоскости
симметріи (см. фиг. 66). Такимъ образомъ, здѣсь расчетъ сводится къ по*
строенію и пользованію линіей вліянія, какъ бы для опорной реакціи пло-
ской балочной фермы.
і
Фиг. 84.
Стойки. Помѣстимъ вертикальный грузъ -Р==4 въ какой-нибудь точкѣ с
х и у и составимъ уравненіе моментовъ относительно оси X
съ координатами
(фиг. 83):
тогда получится
1^2
V
Ъ
Но по (21)
" Т> __ %
2 )^2/зта’
поэтому
і — х у і — і
-ч--.---вт з — , или в = а1
115іп а Ъ 21
.7
Ь
или
х .у
21 Ъ '
— = о,
2
Профмъ.
Фиг. 85.
Это—уравненіе плоскости, дающей слѣдующіе отрѣзки на осяхъ:
х = I
52
Ь
2
1
е~ 2'
Плоскость, соотвѣтствующая этимъ отрѣзкамъ, построена на фвг. 85;
она пересѣкаетъ плоскость ХК по прямой е/5 и потому имѣетъ положитель-
ныя и отрицательныя ординаты. Очевидно, чтобы получить наибольшее рас-
тяженіе стойки А.ІУ надо загрузить участокъ Ое/*, а для наибольшаго
сжатія надо загрузить участокъ е/т/.
Расчетъ усилій посредствомъ поверхностей вліянія.
Сосредоточенные грузы.
Ордината» я поверхности вліянія представляетъ усиліе, вызванное гру-
зомъ, равнымъ единицѣ; это слѣдутъ изъ опредѣленія поверхности вліянія,
даннаго на стр. 49. Поэтому, если въ какой-нибудь точкѣ, имѣющей орди-
нату хг, находится грузъ Р, то усиліе будетъ
8 = Р.г..................... ... (23).
Это справедливо для каждаго груза Р, поэтому при дѣйствіи нѣсколь-
кихъ грузовъ усиліе будетъ
+ ...... (24).
По этой формулѣ можетъ быть найдено усиліе отъ любой совокуп-
ности грузовъ Рп Р„ Р,..., приложенныхъ въ извѣстныхъ точкахъ съ ко-
ординатами хі у}, х.л у.>. х9 у3.... если только извѣстно уравненіе поверх-
ности вліянія
* =/ (Л У) » ...................
Подставляя извѣстныя координаты х и у въ уравненіе (25) для точки
приложенія каждаго груза Р и вводя полученныя такимъ образомъ г въ
форм. (24), найдемъ искомое усиліе 8.
Раонвмгьрно распредѣленная нагрузка.
Если обозначить интенсивность нагрузки черезъ у, то на весьма ма-
ломъ участкѣ поверхности вліянія
<{х йу
будетъ находиться нагрузка
Р— у дх <1у;
ее можно считать сосредоточенной посерединѣ участка. Примѣняя къ этой
сосредоточенной силѣ формулу (23), найдемъ усиліе, вызванное элементарной
нагрузкой:
уг (іх
— 53
Если взять сумму такихъ элементарныхъ усилій, распространила
суммированіе на всю поверхность, занятую нагрузкой, т. е. если составить
*» 91
........................................ (26),
у«
то получится усиліе, вызванное всей заданной нагрузкой. Но
*і Уі
'§§9 йсііу . . . ........................(27)
у,
есть объемъ У, ограниченный поверхностью вліянія (25) въ предѣлахъ на-
грузки: поэтому искомое усиліе
Л = <7 V............................(28).
Итакъ, усиліе отъ равномѣрно распредѣленной нагрузки равно про-
изведенію интенсивности нагрузки ч и объема У, охваченнаго поверхностью
вліянія въ предѣлахъ нагрузки и плоскостью ХУ.
Если уравненіе поверхности вліянія извѣстно, то задача о разысканіи
усилія сводится къ задачѣ о разысканіи двойного интеграла (27). Вопросъ
можно считать рѣшеннымъ, но только теоретически; практически же рѣ-
шеніе въ такой формѣ нельзя считать пріемлемымъ. Слѣдуетъ ввести нѣко-
торыя упрощенія, чтобы рѣшеніе задачи состояло изъ тѣхъ простыхъ ра-
счетовъ, которые практикуются въ мостовомъ дѣлѣ.
Если поверхность вліянія выражается плоскостью, параллельной одной
изъ координатныхъ осей, то расчетъ по ней производится, какъ расчетъ
по линіи вліянія, только интенсивность нагрузки берется не <?, а погонная,
т. е. произведеніе д на ширину поверхности вліянія. Въ случаѣ же наклон-
ныхъ плоскостей расчетъ не такъ простъ. Въ этомъ случаѣ рѣшеніе мо-
жетъ быть упрощено путемъ разбивки уравненія поверхности вліянія на
рядъ членовъ, для которыхъ легко построить линіи вліянія. Пользуясь
этими линіями, какъ обыкновенными линіями вліянія для плоскихъ фермъ,
мы будемъ имѣть рядъ простыхъ, извѣстныхъ уже задачъ, рѣшеніе кото-
рыхъ не представляетъ затрудненій. Чтобы получить усиліе, опредѣляемое
данной поверхностью вліянія, останется сложить или перемножить ре-
зультаты расчета по плоскимъ линіямъ, смотря по формѣ уравненія поверх-
ности вліянія.
Приігѣненіе этихъ общихъ указаній разсмотримъ на примѣрѣ вычи-
сленія усилія вертикальной опорной стойки А* (см. стр. 51).
Усиліе стойки А2 выражается двумя членами съ независимыми пере-
мѣнными а* и у; первый членъ
I — х
' 2 Г''
й4 —
содержащій координату не зависитъ отъ у, а второй членъ
У
Ъ
съ координатой у не зависитъ отъ х. Въ виду этого, для каждаго изъ
членовъ можно построить независимыя линіи вліянія; для перваго члена
такою линіею будетъ
............................-С2»)-
а для второго
*,=-4-.................................(30).
Складывая ординаты этихъ двухъ независимыхъ линій вліянія
, I—х у
г* > — 21 Ь '
получимъ усиліе г, т. е. А^А*. Это слѣдуетъ изъ (22).
Фиг- 86.
Но линія (29)
есть линія вліянія
для половины пра-
вой опорной реак-
ціи простой балки
(ф иг. 86), а линія^ЗО)
есть линія вліянія для стойки Ж, принадлежащей поперечной балкѣ
(фиг. 83). Поэтому для расчета стойки надо построить двѣ простыхъ линіи
вліянія: 1) одну—вдоль моста, для реакціи противоположной опоры, какъ
для опорной реакціи простой балки, и 2) другую—
поперекъ «моста, для усилія стойки, какъ для
опорной реакціи поперечной балки. Этими лині-
ями слѣдуетъ пользоваться, какъ обыкновенными
линіями вліянія для плоскихъ фермъ, и результаты
расчета по обѣимъ линіямъ алгебраически сложить.
Фиг. 97. Примѣнимъ это правило къ вычисленію опор-
ной реакціи стойки отъ нагрузки у т./м.2. равномѣрно распредѣленной по
всему мосту, если длина его—/ и ширина—Ь. Умножая погонную интенсив-
ность нагрузки на площадь первой линіи вліянія (фиг. 86), получимъ
усиліе (29і:
55 —
Принимая для второй линіи вліянія (фиг. 87) погонную нагрузку <//,
получимъ усиліе (см. фор. 30):
/ 1 1 А
Алгебраическая сумма этихъ усилій оказывается
1 _ дІЬ цІЬ___ цІЬ
4 ~~2 4-
Это и есть искомое усиліе опорной стойки моста
Глава II,
Пролетное строеніе моста.
Образованіе пролетнаго строенія, статически опредѣленнаго въ про-
странствѣ.
Положеніе вопроса.
При расчетѣ пролетнаго строенія моста его обыкновенно разсматри-
ваютъ, какъ сооруженіе, состоящее изъ двухъ вертикальныхъ плоскихъ
фермъ, связанныхъ между собою, такъ называемыми, связями; въ дѣйстви-
тельности же мостъ есть пространственная система. Это несоотвѣтствіе
между условіями расчета и дѣйствительностью вноситъ неточность въ опре*
дѣленіе усилій, особенно непріятную своею неопредѣленностью. Такъ, мостъ,
представляющій ферму съ точки зрѣнія принципа разложенія на плоскія
фермы, можетъ оказаться измѣняемой системой, если разсмотрѣть его въ про-
странствѣ а); въ этомъ случаѣ въ нѣкоторыхъ частяхъ моста могутъ по-
явиться весьма большія усилія, опасныя для существованія моста, которыя,
однако, не были предусмотрѣны при расчетѣ плоскихъ фермъ. Далѣе, почти
всѣ мосты, проектированные, какъ плоскія фермы, оказываются статически
Неопредѣлимыми при разсмотрѣніи ихъ въ пространствѣ; такимъ образомъ,
статически неопредѣлимое сооружевіе мы разсматриваемъ, какъ стати-
1) Вычисленіе момента и перерѣзывающей силы но двойнымъ линіямъ вліянія,
предложенное, безъ указанія теоретическихъ основаній, НагСшапіГомъ въ 1901 г.,
представляетъ частный случай указаннаго здѣсь пріема (см. Г. Нагітапп. Еіп Ѵег-
ГаИгеп гиг ВегесЬпип₽ дег Тга§ег еізегпег ^газзепЬгйскеп, ХеііясЬгіЙ д. ОезіеггеісЬ.-
Іп". и. АгсЬіІ Ѵег. 1901. 8. 166).
Примѣръ находится на стр- 698 литографированнаго курса мостовъ проф.
Л. Николаи, ч. III, иэд. 1896 г.
— 56
чёски опредѣлимое; конечно, при расчетѣ получаются произвольныя усилія,
не соотвѣтствующія дѣйствительнымъ г).
Желая повысить точность расчета мостовъ, прежде всего слѣдуетъ
пытаться разсматривать ихъ, какъ пространственныя системы.
Первыя попытки въ этомъ направленіи сдѣланы уже давно. Ещё въ
1874 г. профессоръ Е. ѴѴіпкІег, въ своихъ лекціяхъ по мостамъ, разсмат-
ривалъ мосты, какъ пространственныя фермы 2), затѣмъ профессоръ А. Ебррі
къ сочиненіи Раз ГасЬѵѵегк іт Вашпе въ 1892 г. и МиПег-ВгезІаи въ
статьѣ Веіігар гиг ТЬеогіе сіег ЛѴіпвтегЬапсіе еізетепВгискеп въ 1904 г.3)
разрабатывали теорію мостовъ, какъ пространственныхъ фермъ; но попытки
были немногочисленны, при этомъ указанные авторы имѣли въ виду глав-
нымъ образомъ теорію вѣтровыхъ связей в разсматривали мостъ, какъ ста-
тически неопредѣлимую ферму.
Еще меньше попытокъ въ этомъ направленіи оказывается у инжене-
ровъ, строителей мостовъ. До настоящаго времени, спроектировано и по-
строено только нѣсколько мостовъ, разсматриваемыхъ, какъ пространствен-
ныя фермы.
і; Мостъ отверстіемъ 15 саж. съ ѣздою по верху, спроектированный
С. И. Белзепкимъ4) для Общества Владикавказской желѣзной дороги въ
1898 г. Авторъ этого проекта произвелт расчетъ моста обычнаго типа, изъ
двухъ плоскихъ вертикальныхъ фермъ съ продольными и поперечными свя-
зями, разсматривая мостъ, какъ пространственную ферму при дѣйствіи вер-
тикальной нагрузки. Расчетъ получился очень сложный. Усилія при дѣй-
ствіи вѣтра были найдены обычнымъ путемъ, т. е. посредствомъ разложе-
нія пролетнаго строенія на плоскія системы.
Такой мостъ впослѣдствіи былъ построенъ и на Восточно-Китайской
желѣзной дорогЬ.
2. Проектъ, составленный П. Н. Рышковымъ5) для Варшавско-Ка-
лишспой желѣзной дороги, представляетъ повтореніе предыдущаго проекта,.
’) Въ одвомъ примѣрѣ желѣзнодорожнаго моста отверстіемъ 35 саж. разница
въ усиліяхъ получилась 5—3(Р|Л для вертикальныхъ фермъ и до 100Ѵо для иродоль—
ныхъ горизонтальныхъ фермъ (си. проектъ Михайлова и Цорна на слѣд. стр)-
Е. ^Ѵіпкіег, ТЬеогіе <іег ^ѴіпдѵегзігеЬип^еп іп Вгискеп щй хѵеі Тгйвегп. Сіті-
Ішдепіеиг, 1884. 5. Ш- 130.
„ Оиегкопзіпікііопеп <іег Еізегпеп Вгйскеп., 2 АиП. ѴѴіеп 1884.
*) 2еіізеЬгіП Гиг Ваиѵебеп 1904 , 8. 115 ип4 1905, 8. ІЗЗ.
Расчетъ верхняго строенія моста отв. 15 саж. съ ѣздою по верху (простран-
ственная ферма съ жесткими соединеніями въ узлахъ). Литографир. вэд. 1898 іѵ
Общества Владикавказской желѣзной дороги.
5) См. Альбомъ исполнительныхъ чертежей Варщавско-Калишской желѣзной
дороги. Провѣрочный расчетъ верхняго строенія моста отверстіемъ 15 саж. съ
ѣздою по верху.
— 57 —
но болѣе детально разработанъ и дополненъ выводами и разъясненіями
основныхъ уравненій.
3. Проектъ моста отверстіемъ 35 саж., составленный инженерами
П. Михайловымъ и А. Цорномъ ’) для Восточно-Китайской желѣзной до-
роги. Въ этомъ проектѣ тоже принимается обыкновенное пролетное строе*
ніе изъ двухъ вертикальныхъ плоскихъ фермъ, двухъ продольныхъ фермъ
и поперечныхъ вѣтровыхъ связей, но расчетъ производится/ какъ для про**
странственной фермы. При разсмотрѣніи фермы въ пространствѣ, она ока-
зывается многократно статически неопредѣлимой, и потому расчетъ полу-
чается очень сложный.
4. При проектированіи Эйфелемъ віадука Гарабн (Ъе Тіагіис Де Ѳага-
Ьіі) на желѣзной дорогѣ Магѵе|о1з'^еи55аг^ие5 въ 1879 г. пирамидальныя
опоры віадука разсматривались, какъ пространственныя фермы-).
5. Мостъ Каізег-ѴѴіІЬеІт Вгйске ЙЬег <ііе ДѴиррег проектированъ
Оіеіх’омъ. какъ пространственная ферма 3).
Если принять во вниманіе, сколько построено мостовъ, разсчитанныхъ,
какъ плоскія фермы, то станетъ ясно, что мосты, какъ пространственныя
фермы, еще не вошли въ инженерную практику.
Одной изъ важныхъ причинъ, задерживающихъ примѣненіе мостовъ,
какъ пространственныхъ фермъ, служитъ то, что обычные типы мостовъ
статически неопредѣлимы въ пространствѣ—всѣ приведенные здѣсь про-
странственные мосты были статически неопредѣлимы; расчетъ же стати-
чески неопредѣлимаго моста, хотя, теоретически,—вполнѣ рѣшенная задача,
практически всегда представляетъ большія трудности; кромѣ того, у ста-
тически неопредѣлимыхъ фермъ есть еще и другіе недостатки, о которыхъ
упоминалось на стр. 24 и 25. Очевидно, надопытаться создавать стати-
чески опредѣлимые мосты.
Чтобы превратить обычный типъ желѣзнаго моста въ статически опре-
дѣлимую ферму, П* Н. Рышковъ въ 1908 г. сдѣлалъ опытъ удаленія лиш-
нихъ стержней изъ пролетнаго строенія моста съ параллельными поясами 4).
При этомъ удалось получить нѣсколько мостовъ съ разными типами рѣше-
токъ Б). Но въ трудѣ II. Н. Рышкова не разсмотрѣны мосты съ ѣздою
по низу, представляющіе особый интересъ въ мостовомъ дѣлѣ.
і) ІЬ Михайловъ и А. Цорнъ* Проектъ верхняго строенія пролетомъ 35 саж.
съ ѣздою по низу для мостовъ черезъ большія судоходныя рѣки на линіяхъ Обще-
ства Китайской Восточной жел. дор-Спб. 1903. Пояснительная записка и атласъ.
2) См. 6. ЕИеІІ. Мётоігез зиг 1е Ѵіайпс бе ОагаЬіі. Рагія 1889.
Также- Еп^ілеегіп^. Ьопсіоп 1885. 1 полугодіе, стр. 549 и 593.
3) 5Ѵ. Віеіз. Оіе Каівег ѴѴіІЬеІт—Вгйске йЬег йіе ѴѴиррег Ьеі Мип^зіеп
П. Н. Рышковъ. Мостовыя фермы, какъ пространственныя системы. Кіевъ,
1908 г.
5) Въ періодъ печатанія згой статьи появилась книга:
8. ЬбвсЬпег. ВаІкеоЬгйскеп -Мз гаишЫісЬе (ЗеЬіМе. ѴѴіиепЬег^ 1913, въ которой
приводятся другіе примѣры пространственныхъ мостовыхъ фермъ (см. стр- 9, 78- 83).
— 58 —
На мостахъ сь ѣздою по низу останавливался А. Ебррі въ своемъ
сочиненіи „Вав ГасЪмгегк іт Кайте* ,). Здѣсь онъ далъ закрытый ноетъ
съ мѣстнымъ уширеніемъ пролетнаго строенія и мѣстнымъ увеличеніемъ его
высоты (фиг. 88), Это уширеніе Образуетъ родъ портала и можетъ быть
устроено надъ верхнимъ поясомъ,
или подъ нижнимъ, какъ показано
на фиг. 88.
Пролетное строеніе А. ЕбррГн
прикрѣпляется къ землѣ статически
неопредѣлимымъ образомъ.
Примѣръ статически опредѣли-
маго моста съ ѣздою по низу при'
Фиг. 88- надлежитъ С. МеЪгіепз'у (фиг. 89).
Но этотъ примѣръ, случайно приведенный имъ въ курсѣ статики сооруже-
ній 8), представляетъ измѣняемую систему. Очевидно, при горизонтальной
верхнихъ узлахъ, вертикальныя алоскія фермы
нагрузкѣ, приложенной въ
Фиг. 89.
будутъ двигаться по теченію на-
грузки, пока не улягутся на
плоскости горизонтальной фер-
мы. Эта система можетъ бытъ
фермой только при жесткихъ
опорныхъ рамахъ, но тогда она
становится статически неопредѣ-
лимой.
При такихъ условіяхъ во-
просъ объ образованіи статически
опредѣлимыхъ фермъ съ ѣздою
по низу можно считать открытымъ и вопросъ о мостахъ съ ѣздою по
верху—не законченнымъ.
Въ этой главѣ будетъ показано, какъ получить статически опредѣ-
лимую пространственную мостовую ферму для вскхъ случаевъ ѣзды по
верху и по низу при всевозможныхъ очертаніяхъ поясовъ и числѣ панелей.
Рѣшеніе вопроса.
Возьмемъ рядъ вертикальныхъ жесткихъ рамъ и соединимъ ихъ ме-
жду собою слѣдующимъ образомъ: между двумя сосѣдними рамами помѣ-
стимъ одну пару параллельныхъ стержней, лежащихъ, напримѣръ, въ го-
Л. Ебррі. Оаз РасЬтѵегк іт Капше. Ьеірир, 1892; 8. 131.
6. МеЬгІепз. Ѵогіезощеп ііЬег Іпвепіеиг-ѴѴіззепзсЬаЛеп. Егзіег ТЬеіІ: Зіаіік
ип<1 Ре«Іі§кеіІ8ІеЬге; I ВапА Ееіргі₽, 1909, 8. 63.
— 59

ризонтальной плоскости (стержни 1 и 2 на фиг. 90), и другую пару па-
раллельныхъ стержней, лежащихъ въ другой плоскости, пересѣкающей пер-
вую по горизонтальной прямой (стержни 3 и 4 на фиг. 90); кромѣ того,
въ третьей плоскости, параллельной линіи пересѣченія первыхъ двухъ пло-
скостей, и притомъ не проходящей черезъ эту линію, помѣстимъ перекрест-
ные стержни. Поступимъ такъ во всѣхъ па-
неляхъ, между каждыми двумя сосѣдними
рамами. Тогда получится система, въ родѣ
изображенной на фиг. 90. Остается при-
крѣпить ее къ землѣ шестью
опорными стержнями, какъ ука-
зывалось въ пре-
дыдущей главѣ.
Измѣняя вы-
соту рамъ въ той

Фиг. 90.
иля другой послѣдова-
тельности, можно полу-
чать различныя очерта-
нія поясовъ: криволиней-
ные или полигональные, выпуклые или
вогнутые пояса и пр. Устраивая рамы
безъ діагонали, мы получаемъ мостъ
съ ѣздою понизу. Схема такого моста
изображена на фиг. 90.
Этотъ мостъ—закрытый; но если удалить верхнюю распорку рамы, то
получится открытый мостъ съ ѣздою по низу.
Займемся изслѣдованіемъ моста.
Изслѣдованіе.
Статическая опредѣлимость. Чтобы доказать статическую опредѣлимость
системы, воспользуемся признакомъ, выведеннымъ на стр. 17 для системъ
съ неразрѣзнымм брусками. Считая на каждой рамѣ по два шарнира, по-
лучимъ шарнировъ вдвое больше, чѣмъ рамъ, т. е.
й“2г, . . ...................(31),
гдѣ п—число шарнировъ, г—число рамъ.
Число панелей при г рамахъ будетъ всегда
г—1.
— 60 —
Такъ какъ въ каждой панели находится 6 стержней, то число стерж-
ней всегда равно
», =6(г— 1).
Прибавляя сюда 6 опорныхъ стержней, найдемъ, что всего стержней
>5==^-|-6 = 6(г —1 = ............<32)
Раздѣлимъ (32) на (31);
Фиг- 91. Фиг. 92.
фиг. 92, и найдемъ усиліе возмѣщающаго стержня Г
тогда будетъ видно, что признакъ статической опредѣлимости
$== 3 п
всегда удовлетворяется. Конечно, для пролетнаго строенія безъ опорныхъ
стержней получится зависимость
5=3»» — 6.
Статическая олредѣленнвсть. Для доказательства того, что въ разсмат-
риваемой системѣ при произвольной нагрузкѣ получаются конечныя опре-
дѣленныя усилія, разсмотримъ пролетное строеніе, какъ свободную систему;
оперы уже были изслѣдованы.
Пролетное строеніе состоитъ изъ одинаковыхъ панелей; поэтому до-
статочно доказать, что каждая изъ нихъ представляетъ ферму. Неизмѣняе-
мость одной панели въ частномъ случаѣ, именно, когда рамы равны между
Собою, уже была доказана на стр. 39 (см. фиг. 57). Докажемъ теперь не-
Разсмотр имъ пря-
моугольныя рамы
неодинаковой высо-
ты. напримѣръ, ра-
ны ЛБСБиі’ТОЯ
(фиг. 91), употреб-
ляющіяся при кри-
волинейныхъ поя-
сахъ вертикаль-
ныхъ плоскихъ
мостовыхъ фермъ.
Замѣнимъ стер-
жень ССт стержнемъ
Г, какъ сдѣлано на
предположеніи, что
вмѣсто замѣняемаго стержня СО дѣйствуетъ сила, равная 1 (фиг. 92).
Изъ уравненія моментовъ относительно оси ПА находимъ:
ВГ- — — 1..............................(33).
измѣняемость панели при всякихъ размѣрахъ рамы.
— %1 —
Изъ уравненія моментовъ относительно оси АЕ;
2. йіп Ь. АЬ — Ъв. зіп ®. АЪ — О
находимъ:
5ІП 0 , ч
&&= .—-...........................................(34).
йіп^ ' '
Изъ уравненія моментовъ относительно оси Ыі'
АР.йіп ».^.і>“Ь 5Р.8Іп Ь.АІ)~ О
находимъ:
ЛР= - 4?-............................................(35).
8ІП С ' 7
Послѣ этого изъ уравненія моментовъ относительно оси, проходящей
-черезъ фиктивный шарниръ О (фиг. 92) параллельно вертикальнымъ кра*
ямъ рамъ АВ, СЬ, СИ, и ЕЕг
АЬ „ АЬ . АД Ав . АО л
V —\-СЬ соз(р.—-—\~Е со&4.—-—}-АЕ со5'<?.-т---{- Л^созЬ,—— =0
2> 2л 2л 2 2
находимъ, при 2, = 1:
V 4- СО сое -+- сой Ч -|- АЕ сое + ВЕ сой Ь = 0;
откуда, принимая во вниманіе (33), (34) и (35) получаемъ:
1’ — — 2 (зіп 9 сЦ? '4» ~|~со8 9).
Это выраженіе не равно нулю, такъ какъ 6 и ? не равно 90°. Слѣдовательно,
мы имѣемъ ферму (см. стр, 22).
Такимъ же образомъ можно убѣ-
диться въ неизмѣняемости элемента моста
при другихъ формахъ рамъ, напримѣръ,
при трапецеидальной, какъ на фиг 93 и
проч.; неизмѣняемость же при трапецо-
идальныхъ рамахъ даетъ возможность
пользоваться фермами и въ томъ случаѣ,
когда продольныя боковыя грани моста
должны быть наклонными для большей
устойчивости моста.
Только треугольная форма рамъ не-
пригодна для образованія разсматривае-
мыхъ мостовыхъ фермъ, такъ какъ при
ней число стержней, связывающихъ рамы.
Впрочемъ, треугольное поперечное сѣченіе
Фиг. 93.
вмѣсто шести становится пять*
моста неупотребительно х).
Ч Извѣстенъ только одинъ примѣрь треугольнаго поперечнаго сѣченія моста,
именно въ проектѣ грандіознаго моста черезъ Ла-Маншъ (см- Ропі зпг Іа МапеЬе.
Аѵапірго^еій <іе М. ЗсЬпеісІег еі С-іе еі И. Негзепі. Тежіе еі рІалсЬей Рагій 1889); но
и это сѣченіе не исполнено, такъ какъ проектъ Не осуществленъ.
— 6? —
Такимъ образомъ, предлагаемая система пролетнаго строенія моста
пригодна для различнаго очертанія поясовъ и различныхъ употребитель-
ныхъ поперечныхъ сѣченій моста.
Жесткія рамы.
Жесткія рамы, входящія въ составъ фермы, могутъ быть конструи-
рованы произвольно; это могутъ быть сплошныя рамы прямоугольной или
Ѵ-образной формы (фиг. 94 и 95) или же рамы изъ стержней, составляю-
Фиг. 94.
Фиг. 95.
Фиг. 96.
Фиг. 97.
щихъ какую-нибудь рѣшетку (фиг.96 и 97). И въ
томъ и въ другомъ случаѣ онѣ должны быть
жесткими не только въ своей плоскости, но
и въ направленіи перпендикулярномъ, т. е.
вдоль моста.
Жесткость рамы вдоль моста можетъ
быть достигнута двумя путями: 1) или накле-
пываніемъ горизонтальныхъ листовъ по кон-
туру рамы, или устройствомъ рамы въ видѣ
пространственной фермы изъ стержней. Схема
одного типа рамъ изъ стержней для откры-
таго моста съ ѣздою по низу изображена на
фиг. 98.
Эта рама проектирована такъ, что всѣ
стержни ея расположены на поверхности
призмы, имѣющей вертикальное Ѵ-образное основаніе и горизонтальныя
ребра, при чемъ вся поверхность рамы разбита на треугольники, такъ что
Фиг. 98.
образуется многогранникъ съ треугольными
гранями. Внутри многогранника нѣтъ стерж-
ней. При такихъ условіяхъ рама статически
опредѣленна.
Во-первыхъ, число стержней (реберъ)
всякаго многогранника съ треугольными гра-
нями, по теоремѣ Коши, есть
Зм — 6,
гдѣ п—число вершинъ; поэтому многогранникъ статически опредѣлимъ.
Во-вторыхъ, въ правильности расположенія стержней можно убѣдиться
путемъ образованія многогранника и простого преобразованія плоскости
(см. стр. 10).
Расчетъ пролетнаго строенія.
А. Мосты подъ желѣзную дорогу.
Расчетъ при первомъ типѣ опоръ.
Расчетъ всякой статически опредѣлимой фермы съ неразрѣзныни
брусками слѣдуетъ вести въ такомъ порядкѣ. Выдѣлить каждый неразрѣз-
— 63 —
ной брусокъ и опредѣлить всѣ внѣшнія силы, на него дѣйствующія. Когда
будутъ найдены эти силы, легко опредѣлить родъ напряженнаго состоянія
бруска и можно будетъ найти напряженіе матеріала въ различныхъ точ-
кахъ бруска.
Внѣшними силами неразрѣзного бруска, входящаго въ составъ мосто-
вой фермы, служатъ усилія стержней, связанныхъ непосредственно съ брус-
комъ, и нагрузка, дѣйствующая непосредственно на брусокъ. Нагрузка
считается всегда извѣстной. Остается найти усилія стержней.
Итакъ, расчетъ начинается съ опредѣленія усилій въ стержняхъ. Раз-
смотримъ отдѣльно вертикальную и отдѣльно горизонтальную нагрузку
(вѣтеръ).
Вертикальная нагрузка.
Пролетное строеніе моста симметрично относительно срединной про-
дольной вертикальной плоскости и проектируется на эту плоскость, какъ
плоская балочная ферма; если грузъ или равнодѣйствующая грузовъ нахо-
дится въ той же плоскости, то можно воспользоваться тѣмъ правиломъ,
которое приведено на стр. 41, и перевести расчетъ на вертикальную плос-
кость симметріи.
Для простоты, разсмот-
римъ четырехпанельный
мостъ съ ѣздою по низу съ
В
%
ь
Фиг. 99.
поясами, изображенный на
... Ь -
и
%
параллельными
фиг. 99. Проекція этого моста на верти-
кальную плоскость изображена на фиг. ІоО.
Для фиктивной фермы фиг. 100, представляющей проекщю разсматри-
ваемаго моста, линіи вліянія легко построить. Онѣ будутъ таковы, какъ у
простой балочной фермы. На фиг. 10!—103 построены линіи для всѣхъ
стержней.
Чтобы получить линію вліянія для данной пространственной фермы
(фиг. 99) примемъ во вниманіе, что построенныя линіи для фиг. 100 даютъ
равнодѣйствующую искомыхъ усилій* Поэтому для верхняго пояса и для
раскосовъ ординаты придется уменьшить вдвое, а для перекрестныхъ стерж-
ней ординаты линіи V (фиг. 103) надо раздѣлить на 2 соз 5.
— 64 —
Иаѣненныя такимъ путемъ линіи фигуры 100 перечерчены на фиг.
104—106; онѣ служатъ окончательными линіями вліянія для пространствен-
ной фермы (фиг. 99).
Но этимъ линіямъ вліянія легко опредѣляются всѣ внѣшнія силы,
дѣйствующія на любую раму при произвольномъ расположеніи груза въ
вролегѣ.
Фиг. 103.
Фиг. 102.
Въ виду того, что рамы моста проектируются на вертикальную плос-
кость. какъ Стойки простой плоской фермы, внѣшнія силы рамы будутъ
таковы, какъ внѣшнія силы стоекъ. Благодаря этому вертикальныя части
рамъ (ноги) будутъ испытывать сжатіе или растяженіе, смотря по положе-
нію груза, и притомъ такое, какъ стойка фиктивной плоской фермы. Ли-
ніи вліянія для усилій въ ногахъ всѣхъ рамъ построены на фиг. 107.
— 65 —
Крокѣ вертикальныхъ
перекрестныхъ стержней,
внѣшнихъ силъ, на раку дѣйствуютъ усилія
лежащія въ горизонтальной плоскости. Эти

Фиг. Т04.
Фвг. 1С5.
Фиг. 106-
Фиг. 107.
усилія вызываютъ сжатіе горизонтальной распорки
они будутъ:
52 = (77\-Ь^) 5іп
рамы. Для рамы К2
Фиг. 110.
для рамы Г3 они будутъ:
= (Р" 2 “Г 5ІП 2, н т- д-
— ео —
Лввіи вліянія сжимающихъ усилій распорки получаются путемъ сум-
мированія двухъ, уже построенныхъ линій; онѣ будутъ имѣть видъ, Пред-
ставленный на фиг* 108—110.
Такимъ образомъ, усилія стержней приводятъ къ сжатію распорки
-и къ сжатію или растяженію ногъ рамы.
Для рамы К на фиг. 111 изображены тѣ усилія, которыя вызыва-
ются грузомъ, находящимся внѣ раны, именно, на правой половинѣ про-
-лета’^моега-
Фиг. 111.
Фи . 112.
Если грузъ находится на рамѣ или въ непосредственно прилегающихъ
къ ней панеляхъ, то, кромѣ основныхъ усилій, появится изгибъ въ плос-
кости рамы (фиг. 112). Въ виду этого необходимо производить расчетъ
рамы еще и на изгибъ.
Если рама сплошная, то расчетъ производится по теоріи жесткихъ
рамъ в представляетъ болѣе ши менѣе сложную задачу, смотря по типу
рамы *). Если же рама изъ стержней въ пространствѣ, то расчетъ произ-
водится. какъ расчетъ всякой призматической пространственной фермы2).
Въ томъ и другомъ случаѣ задача расчета рамъ вполнѣ разрѣшена при
тѣхъ допущеніяхъ, которыми обыкновенно пользуются при расчетѣ мостовъ.
В)отзІа<1. Ѳіе ВегесЬпип^ топ Зіеііев Каіиеп.
С. П. Тимошенко. Курсъ сопротивленія матеріаловъ. Кіевъ, 1413. Стр. 199.
-) А. Гбррі. Баз ЕасЬ^егк іт Кайте. Ьеіргі^ 1892, 8. 78
Н. МйПег-ВгезІаи. Оіе пеиегеп МеіЬодеп дег ГезІігкеіЫеЬге ипгі <1ег Эіаіік (іег
Ваикопзіпікіюпеп. Ьеірхів, 1904; 8. 282.
IV. ЗеЫіпк. 8Шік сіег КаитЬсЬ^егке. Іеіргі& 1907; 163.
Ф. С. Ясинскій. Собраніе сочиненій, т. П; Спб. 1902: стр- 133.
К. Симинскій. Лекціи по статикѣ сооруженій, вып. III; Кіевъ, 1912; стр* 51— 57.
— 67
Все это показываетъ, что расчетъ разсматриваемаго моста при вер-
тикальной нагрузкѣ ничѣмъ не отличается отъ обыкновеннаго расчета,
практикуемаго при разбивкѣ моста на плоскія фермы. Въ этомъ отношеніи
предлагаемая пространственная ферма не болѣе сложна, чѣмъ обычная мо-
стовая ферма.
Горизонтальная нагрузка.
Линіи вліянія для нижняго пояса V.
Въ качествѣ примѣра разсмотримъ построеніе линій для второй па-
нели моста, изображеннаго на фиг. 99. Разсѣчемъ всѣ стержни этой па-
нели какимъ-нибудь сквознымъ сѣченіемъ и разсмотримъ равновѣсіе перед-
ней части фермы (фиг. 113).
Пока сила находится на задней, отброшенной части фермы, какъ
показано пунктирной стрѣлкой УГ — 1, усиліе въ стержняхъ нижняго по-
яса равно нулю. Это видно изъ уравненія проекцій на ось СС;
Линіи для опорныхъ реакпій при криволинейныхъ поясахъ приведены на
фиг. 125
— 68 —
Ц’д.вІП ?-- #2 6ІП Р = О,
или
и изъ уравненія моментовъ относительно оси С*С:
— Г'2.соз $./і —Ог.соз ^.Л = 0,
или
СГ'о + Ѵ9 — О.
Когда же сила И7 = 1 станетъ на разсматриваемую переднюю часть
фермы* какъ показано сплошной стрѣлкой ТК на фиг. 113, то получатся
слѣдующія уравненія:
уравненіе проекцій относительно оси С С
8ІП $ - - 8>Т1 ? Ч- 1 = О
и уравненіе моментовъ относительно той же оси:
— СГ2. соз 3. А— П2 •С08 ? ♦ А = О,
или
Г’гЧ- Со = 0.
Рѣшая эти уравненія, находимъ
Такимъ образомъ, усилія двухъ стержней одной панели равны, но
противоположны, и не зависать отъ положенія нагрузки въ предѣлахъ от-
сѣченной части фермы. Они не зависятъ также отъ высоты точки прило-
женія нагрузки, слѣдовательно, и отъ очертанія поясовъ.
Движеніе нагрузки вдоль разсѣченной второй панели моста можно
разсматривать, какъ возрастаніе давленія на ближайшую переднюю раму
С/С’. Давленіе, сначала равное нулю, когда сила кГ находится на рамѣ
отброшенной части фермы, постепенно возрастаетъ до единицы, когда
сила И7 цѣликомъ станетъ на раму С\С'. Очевидно, и усиліе V? будетъ
тоже возрастать отъ нуля до максимальнаго значенія И такъ какъ
давленіе на раму СуС' возрастаетъ по линейному закону, то и усиліе бу-
детъ увеличиваться по линейному закону.
На этомъ основаніи, у линіи вліянія для стержня долженъ быть
одинъ наклонный отрѣзокъ съ ординатами, возрастающими отъ О до
на протяженіи разсѣченной панели, и другой, съ ординатами постоянной
длины 7/^Т» на протяженіи отъ разсѣченной панели до опоръ 2^1/,.
— 69
На фиг, 116 построена линія, удовлетворяющая этому требованію.
Для другихъ панелей можно повторить тѣ же разсужденія; поэтому
линіи вліянія получатся такія, какъ на фиг. 115, 117 и 118.
При перемѣнъ теченія вѣтра на противоположное, измѣняется только
знакъ усилій, линіи же остаются тѣ же, такъ что наибольшія усилія отъ
вѣтра колеблются отъ положительнаго до равнаго ему отрицательнаго зна-
ченія одинаково въ обоихъ стержняхъ одной панели, благодаря чему тео-
необходимыя поперечныя сѣченія обоихъ перекрестныхъ стержней
одинаковыми.
ретически
получатся
Фиг. 116.
Фиг* 114.
Фиг. 115.
Фиг. 117.
Фиг. 118.
.7ыяш «ліянія для раскосое В.
Разсмотримъ вторую панель, руководствуясь фиг. 113.
Пока сила МГ находится на отброшенной части фермы, стержни и
Vз не напряжены, и уравненіе моментовъ относительно оси
В.у .зіп ?. Ь — 5 — о
даетъ:
Л-А1
5ІП ?
.........................................(36).
5
70
Поэтому линія вліянія для 74 такова, какъ линія ^2^і» только орди-
наты раздѣлены на зіп у.
Когда же сила Иг=1 станетъ на разсматриваемую часть фермы, то
при параллельныхъ поясахъ уравненіе моментовъ относительно
оси
ІК.з'т Ь-[-1к/2^0
ласть

А^
$іп ф 2Ь 8)п ф
(37).
Поэтому каждая ордината линіи вліянія Т)2 будетъ состоять изъ двухъ
частей: изъ ординаты линіи А^Аі, раздѣленной на зіп®, и изъ постоян-
Л
наго числа . т. е.:
2Ь шп о
а, - ?- (-* + I ----------------* - =
2 \ Л ' / зіп 2о 8іп а 2 зт 7
. . (38).
Фиг. 120
Фиг. 122.
<й.
Фиг. 123.
Фиг. 111).
Такъ какъ составляющія ординаты постоянны на протяженіи всей
разсматриваемой части фермы, то и результирующая ордината 2Х будетъ
постоянна на томъ же протяженіи.
71
Такимъ образомъ, линія вліянія Л2 состоитъ изъ двухъ вѣтвей: одной
съ ординатами (см. 36)
^2^1
5ІП ?
для нагрузки, находящейся справа, и другой -съ постоянными ординатами
(см. 38)
^а
2 8Ш ф
Фиг. 124.
Фиг. 125.
Фиг. 127.
для нагрузки, находящейся слѣва; между этими вѣтвями находится прямо-
линейный переходной отрѣзокъ, соотвѣтствующій разсѣченной панели.
72 —
Форма линіи вліянія Ра приведена на фиг. 121.
При криволинейныхъ поясахъ ординаты правой вѣтви линіи
вліявія непостоянны, такъ какъ выражаются черезъ ординаты для верти-
кальной опорной стойки, которыя измѣняются вмѣстѣ съ высотой фермы
(форм. 36 и фиг. 125). Соотвѣтствующая этому случаю линія вліянія построена
на фиг 126.
Путемъ такихъ же разсуждевій можно получитъ линіи вліянія н для
другихъ панелей. Эти линіи построены на фиг. 120, 122 и 123.
При перемѣнѣ теченія вѣтра на обратное измѣнится только знакъ
усилій, величина же останется та же, поэтому построенныя линіи вліянія
пригодны для обоихъ направленій вѣтра.
Заиѣчаніе о направленіи раскосовъ. Раскосы одной плоскости и одного
и того же направленія имѣютъ одинъ и тотъ же знакъ усилія; перемѣна
чего-нибудь одного, или направленія, или плоскости, измѣняетъ знакъ усилія.
Убѣдимся въ этомъ.
Разсмотримъ, напримѣръ, перемѣну направленія раскоса. Каково бы
ни было направленіе раскоса Д, его усиліе должно давать относительно
оси одинъ и тотъ же моментъ, уравновѣшивающій моментъ осталь-
ныхъ силъ. Положимъ, что моментъ всѣхъ силъ, исключая Д вращаетъ
ферму фиг. 113 вокругъ оси О/.4/ обратно вращенію часовой стрѣлки. Въ
такомъ случаѣ, для равновѣсія, усиліе Д должно вращать по часовой
стрѣлкѣ. При этомъ нисходящій раскосъ Д растянуть, какъ показано
сплошной силой у Д. Еслибы на фиг. 113 раскосъ Д былъ не нисходя-
щій, а восходящій, идущій отъ узла Д, то для того же вращенія по ча-
совой стрѣлкѣ пришлось бы начертить пунктирную силу, идущую къ узлу Д.
Такая сила указываетъ на сжатіе стержня. Слѣдовательно, перемѣна на-
правленія раскоса влечетъ за собою измѣненіе знака усилія.
Что раскосъ того же направленія, но принадлежащій другой верти-
кальной грани, имѣетъ обратный знакъ, это доказываетъ уравненіе момен-
товъ относительно горизонтальной оси, взятой по нижнему поясу проти-
воположной грани; такъ, уравненіе моментовъ относительно оси Д^
фиг. 113 даетъ для Д' такое же выраженіе, какое было найдено для Д,
только обратнаго знака.
Но если каждая перемѣна (или плоскости, или направленія) ведетъ къ
взмѣненію знака, то, конечно, двѣ премѣны дадутъ тотъ же знакъ. На
этомъ основаніи, на противоположной грани у противоположнаго раскоса
долженъ быть тоть же знакъ, что и у раскоса передней грани. Этимъ за-
мѣчаніемъ можно воспользоваться при желаніи получить такую ферму, у
которой оба раскоса одной панели имѣли бы одинаковыя усилія при дѣй-
ствіи вѣтра, или усилія всѣхъ раскосовъ были бы одного знака.
Слѣдуетъ еще обратить вниманіе на то, что знакъ усилія даннаго
раскоса не зависитъ отъ раскоса противоположной грани, а исключительно
73 —
отъ того, находится ли данный раскосъ на выпуклой или на вогнутой сторонѣ
пролетнаго строенія, изогнутаго вѣтромъ»
Линіи вліянія для верхняго пояса О.
Разсмотримъ вторую панель моста (фнг. 113) въ предположеніи, что
оба раскоса и нисходящіе.
Пока сила Ж— 1 находится внѣ разсматриваемой передней части
фермы, стержни П2 и Ц.> не напряжены; при этомъ условіи усиліе 0.2 най-
демъ изъ уравненія моментовъ относительно оси (7,'С:
— 02 Ь — Л*. сов «. Ь -4- - А,а О,
откуда _ __
Д = Аѵа — Д сов у.............................(39).
Первый членъ этого выраженія беремъ непосредственно изъ фигуры 113,
второй членъ получится изъ фигуры 121 путемъ умноженія ординаты ея
на сову, т. е. онъ будетъ:
Л сов у . ідх сов у_ Л > ідо. ________ <1 (1 ідз.
2й8ту~г* 2 вш у 2Ьіду 1 2 іду 2&~* 2Л ...............................'
Повторивши вычитаніе по форм. (39) для всѣхъ ординатъ, получимъ
правую вѣтвь линіи вліянія для усилія О, (см. фиг. 130).
Когда сила И7 — 1 станетъ на разсматриваемую часть фермы, то въ
стержняхъ Щ и Д' возникнутъ усилія: въ первомъ—растяженіе, во вто-
ромъ—сжатіе Составляя уравненіе моментовъ относительно той же осиС/С,
мы должны принять во вниманіе эти усилія и нагрузку И7= 1. Уравненіе
моментовъ теперь приметъ видъ (см. фнг. 128):
— Д Ъ — Д. сову. Ь Н- Ь — Д. Ь сов ) — 1. х — 0 .... (41).
гдѣ х есть горизонтальное разстояніе вертикальной стойки I/ отъ силы И7.
Изъ этого уравненія находимъ
02 = А^а — І)2 сов у — Г.» сов 3— ......................(42).
Сравнивая это выраженіе
съ выраженіемъ (39), можно
придти къ заключенію, что опи-
санная выше линія вліянія О.>,
опредѣляемая двумя членами
Л1а — Д сов у, имѣетъ мѣсто на
протяженіи всего пролета моста;
только для грузовъ, находя-
щихся на передней, разсматри-
ваемой части фермы, надо изъ
ординатъ этой линіи вычесть
ординаты:
♦
Д сов ? и ...............(43).
74
___ юредственво изъ фиг. 116, число же х!Ь
Ординаты СГ8 берутся непс, мг^ст^ съ передвиженіемъ груза: при г — о
измѣняется по линейному закон^но будетъ по этимъ даннымъ и мо-
оно будетъ нулемъ; при х = Л ІН|Я ддЯ вычитаемаго числа (43). На осно-
жегъ быть построена линія влі* построена линія вліянія для 0$ на фиг. 130.
ваніи всѣхъ этихъ соображеній лин|я О2 имѣетъ криволинейную пра-
При криволинейныхъ пояс<ЙГ 1^7
вую вѣтвь, какъ
показано на ф
ъ получается линія 01 съ тою ляшь раз-
Таквиъ же точно образоида равенъ нрю (св ф„ |29)
вицей, что здѣсь членъ х> всег принадлежащіе другой вертикальной
Стержни той же панели,, обратнаго знака; это слѣдуетъ изъ.урав-
грани, имѣютъ тѣ же усилія, н<лло р р
г ' ’ оси ъ1ъ. поэтому построенными линіями
ненія моментовъ относительно
— 75
вліянія можно пользоваться для поясовъ О н (У обѣихъ вертикальныхъ
граней (фиг. 129 и 130).
Разсмотримъ теперь панели съ восходящими раскосами, напримѣръ,
третью панель фигуры 99.
При разысканіи усилій стержней третьей панели, будемъ имѣть въ
виду равновѣсіе передней части фермы, содержащей двѣ панели и стержни
Ои я подобно тому, какъ на фиг. 113; раскосы примемъ
такого направленія, какое показано пунктирной стрѣлкой, идущей къ
точкѣ С\ фиг. 113. Тогда изъ уравненія моментовъ относительно оси
для нагрузки, находящейся внѣ разсматриваемой передней части фермы,
— Ь -|“ соз 6 4“ Лха 6 — 0,
получимъ
= Л2а 4- А, соз ? ....................(44).
Когда нагрузка И7 станетъ на разсматриваемую переднюю часть
фермы, то уравненіе моментовъ относительно той же оси дастъ:
— 09.Ь — й9 Ь соз$4“ ^з•соз ?• & “ИАха.Ь 1.я = 0,
или
08 — Лдв-рД .соз 9 — соз — у ...... -(45).
Уравненія (44) и (4а) состоять изъ тѣхъ же членовъ, что и уравне-
нія (39) и (42); только первые два члена не вычитаются, а ариѳметически
складываются. Въ виду этого, усилія при восходящихъ раскосахъ полу-
чаются больше на постоянную величину, равную 2 Осоз у; соотвѣтственно
съ этимъ и площадь линіи вліянія получается больше. (Чтобы показать,
какъ велика разница усилій отъ вѣтра при нисходящихъ и восходящихъ
раскосахъ, построеніе линій вліянія продолжено для нисходящихъ раско-
совъ на третью и четвертую панели, при чемъ линіи вліянія изображены
пунктиромъ 1—2—3—1—а—6—1 (см. фиг. 131) на сплошной заштрихо-
ванной фигурѣ, относящейся къ восходящему раскосу). Это указываетъ на
выгоду примѣненія нисходящихъ раскосовъ на протяженіи всего пролета,
отъ лѣвой до правой опоры. Усилія самыхъ раскосовъ отъ этого не измѣ-
няются, но усилія верхняго пояса получаются значительно меньше. Этимъ
замѣчаніемъ можно воспользоваться при проектированіи консольныхъ фермъ'
въ которыхъ и вертикальная нагрузка вызываетъ однообразное направле-
ніе раскосовъ.
При перемѣнѣ теченія вѣтра на противоположное измѣняются только
знаки усилій, численная же величина остается та же.
П мѣрка линіи вліянія.
Каждая поперечная рама моста находится въ равновѣсіи подъ дѣй-
ствіемъ всѣхъ внѣшнихъ силъ, къ ней приложенныхъ. Этимъ можно вос*
76 —
пользоваться, чтобы провѣрить построенныя линіи вліянія. Опредѣлимъ
по» лишимъ вліянія усилія всѣхъ стержней, связанныхъ непосредственно съ
какой-нибудь изъ рамъ, и составимъ уравненія статики для этой рамы; всѣ
шесть уравненій должны быть удовлетворены. Примѣнимъ это къ первой и
послѣдней райѣ разсматриваемаго моста.
Первая рама А А^ А* А'. Силы, дѣйствующія на раму, изображены на
фиг. 133; соотвѣтствующія имъ линіи вліянія показаны на фиг. 135 — 139.
77 —
Найдемъ величины силъ, вызванныя давленіемъ вѣтра, равномѣрно
распредѣленнымъ сплошь по всему пролету моста; интенсивность давленія
примемъ Ж тон. на I пог. метръ моста.
Умножая площадь линіи вліянія
на интенсивность Ж, получимъ слѣ-
дующія значенія силъ:
а
Фиг. 133.
ІдіпЗ *
Л IV І7к
8ІП ф \4&

2<ЛГ . ,
__ 9/72ІУ
Кромѣ того, на раму дѣйствуетъ давленіе вѣтра ~ .
Составимъ проекціи силъ на плоскость рамы.
1) Давленіе вѣтра — ;
2) 0± С05 90° — 0 И (Ух СО8 90° = 0;
з) л, зіп ? - <І IV (V' 4- 2 ід*
4) зіп о = <ПѴ +- 21ді );
о) — 0’1 8ІП 3 = - — ,
4
6) — Ѵ\ зіп 3 = - - - :
4
7) Ага — 0;
8) X Л, — Г(Л + Ь^2),

Тогда видно будетъ, что ХГ— 1)4-5)4-6)-= О и — 3)4~4)-г7)—0.
— 78 —
Составимъ проекціи на ось
____________________________ ояз аг
* Мі
\ тѵ ЛЖ/7 Л ,
К /' Л I л* и 7?! СО5Ф =Г іі + 2^®
Р1С08Ф=- + 2Ця/ 1 ‘ \4Ь
ЛГ и П\ соз ? = ,
С05 & 1 4 І$Г
Фиг. 135.
Фиг. 136.
фиг. 134.
Фиг. 137.
Фиг. 139.
Фиг. 138.
6
ЗоРІГ
А^а ъ и .
Сумма ихъ равна нулю. _
т гитовъ относительно оси X:
Теперь возьмемъ сумму мом'
2ЛТГ мк(?4 + 2^ )+~^
---Ъ—(А”Ь^₽»)Л4 \4 О * / 4
79
она оказывается равной нулю- Танинъ же образомъ убѣждаемся, что
(ЗА- ^+21в^--іеТ + _._
__ 6<7 , 2<іі$2 74 (
Т + Тъ~ Ъ 4І^~Ь
Что сукна моментовъ относительно оси У равна нулю очевидно, такъ
какъ всѣ силы лежатъ въ плоскости оси Г или образуютъ пары въ пло-
скости, параллельной къ этой оси.
Основываясь на этихъ ше-
сти уравненіяхъ, заключаемъ, что
рама будетъ въ равновѣсіи.
Послѣдняя рама ВВ^В^В’
фиг. 99. Эта рама со своими
внѣшними силами изображена
на фиг. 140. а на фиг. 141—145
приведены относящіяся къ ней
линіи вліянія. Вычисленныя по
линіямъ усилія, вызванныя въ
стержняхъ вѣтромъ интенсив-
ности IV на пог. метръ моста,
оказываются:
Фиг. 140.

<2 * ’ + = 4^ <* 86
гг7<НѴ
4 4 8ІП $ ’

24 ѴѴ
С08 1
Уравненія статики даютъ:
„ 4^ІГ4- 4ЯГ = о
___ , / 7і і , ЫІГ , 2о?РП»зіпа
-Ь-7 Н------4- —Л— •=
\ 9 4Ь/ 4 соз а
— 80 —
„„ 2сРт . ЫѴГ / . к \ іМИ’созЗ
2Ж' = -я-(*+^»)--- ^Г=о-
Поэтому рама въ равновѣсіи. Если при такой повѣркѣ всѣ рамы ока-
жутся въ равновѣсіи, то линія вліянія правильны.
Фиг. 143.
Фиг. 144.
Фиг. 145.
Расчетъ рамь.
Если рама представляетъ пространственную ферму изъ стержней, на-
примѣръ, какъ на фиг. 98, то расчетъ ея производится, какъ расчетъ
пространственной фермы, въ предположеніи, что стержни соединены идеаль-
ными шарнирами. Болѣе точно опредѣляются напряженія, если рама сплош-
ная. Здѣсь и будетъ разсмотрѣнъ расчетъ сплошной рамы 6Г-образной
формы для открытаго моста, а именно, будутъ указаны внѣшнія силы и родъ
напряжевнаго состоянія, обусловленнаго ими. Самыя напряженія находятъ
обычнымъ путемъ по формуламъ сопротивленія матеріаловъ.
Лергая рені. Разсмотримъ первую раму А Аг А/ А' (фиг. 133). Всѣ
силы, дѣйствующія на раму, разложимъ на составляющія по плоскости
рамы и по перпендикуляру къ ней.
81
Силы въ плоскости рамы. Эти силы уже были получены на
стр. 77 внизу; теперь найденъ вызываемое ими напряженное состояніе.
Силы А$А, и 5Іп<р сжимаютъ стойку ААІ общимъ усиліемъ:
го-. <*И- (І* + 2 18Я),
избытокъ же нижней силы А2А1 надъ верхней зіп равный разности:
у Л / \4& / 4 &
производитъ изгибъ распорки
Въ лѣвой стойкѣ возникаетъ такой же величины сжатіе Го и такой
же избытокъ В, но идущій внизъ. Произведеніе избытка Я на т. е.
4 о 4
представляетъ изгибающій моментъ для распорки. Этотъ моментъ постоя
ненъ на протяженіи всей распорки, какъ показано заштрихованной эпю
рой моментовъ на фиг. 146.
Моментъ Мр\ вращающій
распорку обратно часовой стрѣл-
кѣ, уравновѣшивается моментомъ
т
нагрузки , приложенной къ
лѣвой стойкѣ рамы на высотѣ Л/2:
2 2 4
Въ дѣйствительности да-
вленіе вѣтра распредѣлено по
всей длинѣ стойки; поэтому для
полученія изгиба стойки, вмѣсто
сосредоточенной силы - 9 ,слѣду-
етъ имѣть въ виду горизонталь-
ную нагрузку, равномѣрно рас-
предѣленную на протяженіи А*А *
т
И имѣющую интенсивность

Эпюра моментовъ отъ т. кой на-
грузки представится парабо-
лою, отмѣченною на фиг. 146
горизонтальными штрихами. Этой
Фиг. 146.
параболою вполнѣ опредѣляется изгибъ лѣвой стойки рамы.
— 82
Распорка раны, кромѣ изгиба, испытываетъ еще дѣйствіе продольной
силы, именно, проекціи усилія нижняго пояса. Отъ нея возникаетъ
сжатіе
*=- -4--
При переиѣнѣ теченія вѣтра на обратное роль стоекъ (ногъ) взаимно
иѣняется, но распорка испытываетъ тѣ же напряженія и отъ изгиба, я
отъ продольной силы.
Силы, перпендикулярныя къ плоскости рамы (фиг. 133
а 14-6). Величины этихъ силъ написаны на стр. 77 внизу. Онѣ вызы-
ваютъ слѣдующее напряженное состояніе.
— — <ррг
Сила О соз « = 7,75 —
проиэводитъ изгибъ стойки вдоль
моста, при чемъ даетъ треугольную
эпюру моментовъ, наибольшая ордината
которой есть
тг** - 7,75><Р1ГА
' = & .
На противоположную стойку А'іА'
дѣйствуетъ такая же сила
ыэ —>—,
и
но въ другую сторону (см. фиг. 148).
Благодаря этому, къ основанію противо-
положной стойки А\А‘ приложенъ та-
кой же моментъ
7,75

какъ на фиг. 147, но вращающій противоположно часовой стрѣлкѣ.
Эти два момента дѣйствуютъ и на концы распорки АІАІ\ отчего
распорка скручивается. Крутящій моментъ, обусловливающій напряженіе
матеріала и уголъ закручиванія, равенъ изгибающему моменту для стойки:
_ 7,75 (/“ЛИ’
ж_ __—.
Кромѣ изгиба стоекъ и крученія распорки, силы, перпендикулярныя
къ плоскости рамы, вызываютъ растяженіе распорки вдоль моста. Это
растяженіе обусловливается общей частью двухъ силъ, приложенныхъ къ
точкѣ Л} фигуры 148. Небольшая величина полнаго растягивающаго
усилія:
— 83 —
2
4
что имъ можно пренебречь.
на противоположное стойки взаимно
и величина напряженій во всѣхъ ча-
даетъ такое ничтожное напряженіе,
При измѣненіи теченія вѣтра
обмѣняются ролями, но характеръ
стяхъ рамы останутся тѣ же.
Напряженія. Чтобы найти
напряженія матеріала въ какой-нибудь
точкѣ рамы, надо для этой точки опредѣлить отдѣльно напряженіе, вы-
званное каждой изъ указанныхъ здѣсь группъ силъ, затѣмъ отдѣльныя на-
пряженія сложить.
Послѣдняя рама ВВ1ВІ,В^ (фиг. 140). Принимая во вниманіе силы,
данныя на стр. 79, найдемъ такое же напряженное состояніе, какъ и въ
первой рамѣ, только величины дѣйствующихъ силъ в моментовъ будутъ иныя.
Завѣтренная стойка ВВІ испытываетъ растяженіе
ВВІ = 2(і, ідл. И’,
подвѣтренная стойка В'В/ испытываетъ такое сжатіе такой же силы
В'В/ — — 2(1. іда. И'
и, кромѣ того, она испытываетъ изгибъ при наибольшемъ моментѣ
4
соотвѣтствующемъ основанію В/, подобно тому, какъ и стойка Л'Л/ пер-
вой рамы (фиг. 146); изгибъ происходитъ въ плоскости рамы.
Обѣ стойки изгибаются еще вдоль моста подъ дѣйствіемъ силы
__ _ (Р г
О. І), сов ? “ 1,75 ~г И’
приложенной къ верхнему концу стойки. Наибольшій изгибающій моментъ
ѵ основанія стойки
-А іг.
о
плоскости рамы; постоянный нзги-
Распорка подвержена изгибу въ
бающій моментъ
м; = <?Л тг.
4
Кромѣ того, распорка скручивается моментами:
іЛ а
•Щ=1,75-т И
и сжимается продольными силами:
О -—- " ~
— 84 —
Сравненіе этов рамы съ первой рамой обнаруживаетъ, что здѣсь по-
дучается значительно меньшее скручиваніе распорки и меныпій изгибъ
стоекъ вдоль моста.
Промежуточныя рамы. При расчетѣ другихъ рамъ въ мостахъ съ парал-
лельными поясами можно имѣть въ виду, что изгибъ всѣхъ рамъ въ ихъ
плоскости одинаковъ и во всѣхъ случаяхъ обусловливается эпюрой мо-
ментовъ, построенной на фиг. 146. Изгибъ же стоекъ вдоль моста и кру-
ченіе распорокъ обусловливается исключительно горизонтальной составляю-
щей усилій всѣхъ стержней, исходящихъ изъ верхняго конца стойки,
т. е. силой
О Ч- В соз
Продольныя усилія всѣхъ промежуточныхъ распорокъ
г/ Ж
2~
одинаковы и при подборѣ сѣченія имѣютъ ничтожное значеніе; сравни-
тельно небольшое значеніе имѣютъ также и продольныя усилія стоекъ.
Расчетъ пролетнаго строенія при второмъ типѣ опоръ.
Выборъ типа опоръ можетъ оказать существенное вліяніе на усилія
стержней и дефориацію рамъ. Чтобы оцѣнить это вліяніе, построимъ линіи
для усилій при второмъ типѣ опоръ. Разсмотримъ только горизонтальную
нагрузку, такъ какъ при вертикальной усилія опоръ обоихъ типовъ оди-
наковы (см. стр. 47).
Нижній поясъ.
Изъ уравненія моментовъ относительно оси СС находимъ (фиг. 149):
-р ^2 “ о
при всякомъ положеніи силы Ж.
Уравненіе проекцій относительно той же оси СС даетъ:
1) пока на разсматриваемой части фермы нѣтъ нагрузки:
и2 зіп зіп 3 - А\а'= О,
или
2) когда на разсматриваемой части фермы находится нагрузка Ж:
1 4- С?., зіп 3—02 зіп - А\и* =* О,
или
А'і_ 1 _
2 зіп 2 зіп $
........................(47).
85
Соотвѣтственно этому линія вліянія состоитъ изъ двухъ вѣтвей: пра-
вая вѣтвь (фиг. 151) получается изъ лвиія фиг. 149, а лѣвая полу-
чается изъ правой вѣтби путемъ вычитанія постоянныхъ ординатъ 1/2зіп|к
Фиг.
Фиг. 150.
Фиг. 151.
Фиг. 152.
Фиг. 153.
Такимъ же образомъ получаются линіи для всѣхъ остальныхъ стерж-
ней нижняго пояса (фиг. 150—153).
6
86 —
Раскосы.
Лшів Д. Пока нагрузка находится внѣ разсматриваемой части фермы,
уравненіе моментовъ относительно оси С^А^' даетъ
8ІП ?
(48),
РАСКОСЫ
Фиг. 154.
когда же нагрузка находится на разсматриваемой части фермы, то изъ
уравненія моментовъ относительно той же оси получается
»
я
2&8ІП?
(49).
Слѣдовательно, линія вліянія имѣетъ форму линіи А1А1 фиг. 149,
только въ лѣвой части ея ординаты уменьшены на постоянное число
к
2 6.8ІП <Э.
— 87 —
Такимъ же образомъ получаются линіи вліянія и для всѣхъ осталь-
ныхъ раскосовъ (фиг. 154—157).
При криволинейныхъ поясахъ вмѣсто постояннаго числа
к
2. Ь. віп?
въ формулѣ (49) будетъ перемѣнное
г
Ъ. 8ІП <?>
измѣняющееся по тому же закону, какъ и высота фермы. Соотвѣтствующія
этому случаю линіи построены на фиг. 159—161.
Верхній поясъ
Лиши 6І. При всѣхъ положеніяхъ силы ТК уравненіе моментовъ отно-
сительно оси Л/А' даетъ (фиг. 149):
01 = - (Д СО8 ? “ Д С05 ^).
Поэтому линія вліянія будетъ имѣть видъ, представленный иа фиг. 162.
— 88 —
Лив» 09. Пока въ первой панели нѣтъ силы ІУ, уравненіе моментовъ
относительно оси С\'С даетъ:
_____< ______ _________
О2 = Л\а' у -р #2 соз ? — Оі соз «,
Фяг. 1 ба-
тямъ что въ правой части пролета моста линія вліянія дастъ заштрихо~
ванную трапецію мяоі отрицательнаго знака, такъ какъ послѣдній членъ
больше суммы двухъ первыхъ1)*
О При криволинейныхъ поясахъ вмѣсто трапеціи получится фигура съ кри-
вллинейныап* очертаніемъ (см. фиг. 161).
— 89 —
Когда же сила ІГ станетъ на первую панель, то уравненіе моментовъ
относительно той же оси представится въ такомъ видѣ»
= у
Д> СО8? + ^«СОб?4"“іГ
гдѣ х—разстояніе отъ оси СХС до силы Ж Поэтому изъ ординатъ ли-
ши $о фиг. 163 надо вычесть ординаты линіи $тги ординаты линіи и
треугольникъ згр. Въ результатѣ останется треугольникъ рдг съ положи-
тельными ординатами.
Линія 0л, Въ третьей панели помѣщены обратные раскосы, поэтому
линію 06 разсмотримъ особо.
Пока сила ТИ находится въ четвертой панели, уравненіе моментовъ
относительно оси ЕХ'Е даетъ:
__ ______ ________ _________
0ѣ = А\аг 4- сое ® 4- сое
когда же сила ТГ станетъ на первую или вторую панель, то изъ уравне-
нія моментовъ относительно той же оси получится:
03 — А\а' -Ё9 сов ?-~-у •
Такимъ образамъ, здѣсь приходится складывать ординаты линій А/аг
н /)8, тогда какъ при нисходящихъ раскосахъ онѣ вычитались.
Точно такъ же получается и линія (см. фиг. 165).
Первая рама АА^/А' (фиг. 133).
Силы, дѣйствующія на первую раму: *
__ ’ И'
90 —
8ІП
Л
ъ
— 0,4 5 — 5-
8Ш >
Да = 0
ь
А
77-=-..“л к,
51П? \
Г, = + О,75-^
1 81П Р
А^а^2<П7
А'^ = + ^(2Л-
Эти силы вызываютъ въ стойкахъ: 1) растяженіе (въ лѣвой) или ежа*
тіе (въ правой):
Ъ
2) изгибъ подвѣтренной стойки въ плоскости раны, при чемъ наиболь-
шій моментъ
н, = ІѴ,
3) изгибъ обѣихъ стоекъ вдоль хоста, при чемъ наибольшій моментъ
ЛД" —0,75
въ распоркѣ: 1) растяженіе
0,75 (і Ж
2) крученіе моментами
Л, = 0,75 —~ П'.
О
Послѣдняя рама ВВ^В^'В фиг. 140.
Силы, дѣйствующія на раму:
04 = -й^- (4Н-Ь^я);
о'7
тг
♦ ЯП ’Р \
А ч
Ъ
зіп о
Л
ъ
_ ЛИ’
0,4 0-.
51П Л
ЪТ\ =
О,«о , .
8Ш ?
іІѴ
СО8 Я '
<?И'
СО8 2
Эти силы вызываютъ въ стойкахъ: 1) растяженіе (въ правой) или
сжатіе (въ лѣвой):
4? ідя
91
2) изгибъ подвѣтренное стойки въ плоскости рамы, при чемъ наиболь-
шій моментъ
4
3) изгибъ обѣихъ стоекъ вдоль моста, при чемъ наибольшій моментъ
въ распоркѣ: 1) сжатіе
0,25 с? Ж
2) крученіе моментами
ЛЬ=0,75-^- Ж.
Сравненіе типовъ опоръ.
Сопоставленіе линій вліянія для стержней фермы при первомъ и вто-
ромъ типѣ опоръ обнаруживаетъ, что при второмъ типѣ опоръ вѣтеръ
вызываетъ значительно меныпія усилія, чѣмъ при первомъ* Разницу ру
можно оцѣнить коэффиціентомъ 1/2. Только продольныя усилія распорокъ
получаются одинаковыя, какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ, но они
при подборѣ сѣченія имѣютъ ничтожное значеніе.
Дѣйствіе силъ на раму сопоставимъ въ таблицѣ.
Первая рама. .1 | При первомъ типѣ опоръ. г При второмъ типѣ опоръ. 1
і Въ стойкахъ: продольное усиліе ( II ІІ ±-^(2»1«яЧ \ І сУѴГ -1.75ЛІ . 4;—1,75 А)
изгибъ Л'ІГ. ! Г I *
изгибъ И’. | _ '7“ ТЛ7 -і- /,7э -г- IV — О ± 0,75 И’ 1 0
Въ распоркѣ: { продольное усиліе.: — 0,25 аіѵ -|- 0,75 с?РУ і 1
крученіе . . | с,75 - , И О і І),75 И'
Послѣдняя рама. ;] і
Въ стойкахъ: іі продольное усиліе.{| тЬ 2 с? И ' ф а •| 4; с?Ж а
изгибъ //ІГ. ?! 4 • -- Ит 4
изгибъ _1 И'.. 1 75 . .. ц 0 і 0,7;> ъ
Въ распоркѣ: / продольное усиліе? крученіе . . 0,25 с?Ж 1 - и 1, і о —— И <> 0.25 <?И’ „ сГ-АИ' : 0,75
— 92 —
Эта таблица указываетъ на важныя преимущества опоръ второго
типа. Наиболѣе существенно здѣсь то, что крученіе распорокъ и изгибъ
стоекъ при опорахъ второго типа меньше отъ 2 до 10 разъ.
Такимъ образомъ, напряженное состояніе всѣхъ частей моста при
давленіи вѣтра получается значительно меньше, если примѣнить второй
типъ опоръ. Этотъ выводъ имѣетъ особенно важное значеніе для мостовъ
большихъ пролетовъ.
Дѣйствіе на мостъ боковыхъ ударовъ колесъ подвижного состава
можно сравнить съ давленіемъ вѣтра. Боковые удары, воспринимаемые рель-
сами, лежащими внѣ плоскости опоръ моста, вызываютъ появленіе мо-
ментовъ, стремящихся опрокинуть мостъ поперекъ; такое же дѣйствіе ока-
зываетъ и давленіе вѣтра на боковую грань пролетнаго строенія. Очевидно,
что при опорахъ второго типа вліяніе боковыхъ ударовъ колесъ будетъ зна-
чительно меньше, чѣмъ при опорахъ перваго типа; при опорахъ же второго
типа мостъ будетъ менѣе напряженъ и будетъ меньше деформироваться.
Б. Мосты подъ обыкновенную дорогу.
Разсмотримъ построеніе поверхностей вліянія для усилій въ стерж-
няхъ одной какой-нибудь панели моста на опорахъ второго типа, такъ
какъ послѣ всего того, что здѣсь изложено, построеніе поверхностей для
остальныхъ панелей моста не представляетъ затрудненій. Остановимся только
на вертикальной нагрузкѣ: при горизонтальной нагрузкѣ мосты подъ обык-
новенную дорогу не отличаются отъ желѣзнодорожныхъ мостовъ.
Нижній поясъ.
Поверхность Ц,. Помѣстимъ грузъ Р, равный единицѣ, въ точкѣ съ
координатами ян у (фиг. 167)
и составимъ уравненіе проекцій
на ось К для всѣхъ силъ,
I Фиг. 16*.
къ передней части
приложенныхъ
моста,изображенной на фиг. 167:
тогда будетъ видно, что усилія обоихъ стержней нижняго пояса всегда
одинаковы:
— 93 —
Составимъ уравненіе моментовъ относительно оси (ГС.
Пока грузъ находится внѣ разсматриваемой передней части моста,
это уравненіе,
- ОѴсоз^.Л—С^.сое^.Л4 А\А\, <і=0
даетъ
2772.совЗ.Л« -(Л/Л* Л + А'іА'ь с?),
или
12 Т 2Л сое ? “Г‘ А ' А'- >............<30>
въ предположеніи, что опорныя вертикальныя стойки растянуты. Если
подставить вмѣсто АіА^ его величину изъ (22), и вмѣсто Л/Л* написать
соотвѣтствующее выраженіе
то получится
гт~ ' ~У___1-- X I— X . у_____ С? X _____ .
2 2Л сое р \ Ь 2І 2І ’ Ь / 2Л сое I
Это—уравненіе плоскости, содержащей ось У и имѣющей подъ опо-
рой А ординату
а
г—
2Лсоз р
Когда грузъ находится на разсматриваемой передней части фермы,
то уравненіе моментовъ относительно оси (ГС
- А^а -А\АЛ — 2 Ѵ* сов? Л^І (х-3^) —О
даетъ
тт & X X Г- 9\
~ 2ЛсовД I 2Л сое
Поэтому изъ ординатъ построенной уже правой вѣтви поверхности
. , х #—за
вліянія (51) придется вычитать ординаты - * возрастающія по ли-
нейному закону. Поверхность вліянія будетъ имѣть видъ, представленный
«а фиг. 168; она состо-
ять изъ двухъ плоско-
стей, параллельныхъ оси У
У и построенныхъ такъ.
какъ строится линія
вліянія для простой
плоской фермы.
Фвг. 168.
Раскосы.
Поверхность І)2. Составимъ уравненіе моментовъ относительно оси А*.
— 94
Пока грузъ находится на разсматриваемой передней части фермы
это уравненіе.
< (53).
даетъ
57=-----3- 2^7 + 4) = = г
8Ш^\ 1 Ь / 2431П®
Получилось уравненіе плоскости, параллельной оси У и имѣющей на
оси 2 отрѣзокъ.
. .(54).
2 зіп
Плоскость эта представлена на фиг. 169 прямою Ад. Такъ какъ она
получена для грузовъ, находящихся на разсматриваемой передней части
фермы (фиг. 167), то ею можно пользоваться только на протяженіи Ат.
Профиль.
Фиг. 169.
Когда грузъ сойдетъ съ разсматриваемой на фиг. 167 перед-
ней части фермы, то въ уравненіи (54) не будетъ второго члена в
усиліе Да выразится черезъ одно А1АІ:
1 і 1 — х у \ _
5ІЛ э \ 21 Ь / *
. (55).
Поэтому поверхность вліянія будетъ такова, какъ и поверхность для
опорное стойки изображенная на фиг. 85, только ординаты будутъ
раздѣлены на зіп'-р. Эта поверхность построена на фиг. 169 въ трехъ про-
екціяхъ. Такъ какъ она получена при отсутствіи груза на разсматриваемой
95
передней части фермы, то ею можно пользоваться только въ предѣлахъ
(фиг. 169, планъ).
Необходимо разсмотрѣть еще переходной участокъ поверхности влія-
нія ссУ<?, соотвѣтствующій разсѣченной (второй) панели моста.
Передвиженіе нагрузки Р = 1 въ предѣлахъ второй панели равно-
сильно передачѣ большей или меньшей части ея давленія на первую па-
нель фермы АіАіС^С (фиг. 167); первая панель фермы, вмѣсто нагрузки Р= 1,
будетъ нести какъ бы меньшій грузъ
р' — і
г 1 а ’
возрастающій по мѣрѣ приближенія нагрузки къ рамѣ С(\\ Вводя этотъ
уменьшенный грузъ въ уравненіе равновѣсія передней части фермы (53),
получимъ
Это—уравненіе кривой поверхности. Такимъ образомъ, переходъ пра-
ваго участка поверхности вліянія У2ее къ лѣвому есА'А происходитъ по
кривой поверхности.
Этой переходной поверхностью мы воспользуемся для рѣшенія одного
вопроса: отдѣлить грузы, вызывающіе растяженіе, отъ грузовъ, вызываю-
щихъ сжатіе стержня В*.
Всякій грузъ, переходя изъ положенія, когда онъ растягиваетъ стер-
жень, въ другое положеніе, при которомъ получается сжатіе, долженъ
пройти черезъ точку, соотвѣтствующую нулевому усилію того же стержня;
поэтому „ точку раздѣла грузовъ" *) можно найти изъ условія, что для нея
усиліе равно нулю, т. е. положивши въ уравненіи (57)
* —О.
Сдѣлавши это, получимъ
ІІ ЗУ—А
21 ~Ь '
т. е. уравненіе гиперболы. Эта гипербола и начерчена на фиг. 169 въ планѣ.
Всѣ грузы, расположенные по одну сторону кривой линіи, вызываютъ сжа-
тіе стержня, по другую—растяженіе.
Ч Эготь терминъ заимствованъ у В. Л. Кирпичева: Основанія графической
статики, Кіевъ 1902, стр. 121.
ВеЬЬзп н СпІЕПадп называютъ эту точку нулевою точкою (>’и11рішкі).
96
Расчетъ усилія мы будемъ производитъ, пользуясь замѣчаніями, сдѣ-
ланными на стр. 53—55.
Уравненіе поверхности вліянія на правомъ участка ее'ЯГ и на пере-
ходномъ состоитъ изъ такихъ же двухъ членовъ, какъ и уравненіе
поверхности для опорной стойки А1АІ (форм. 22); поэтому я вычисленіе
надо производить, какъ указано было на стр. 54 и 55. Кромѣ того, въ пе-
реходномъ участкѣ имѣется дополнительный членъ (см. 56):
л — 2<і у
’ <і Ь
Для него надо построить отдѣльныя линіи вліянія. Построимъ одну
лянію для перваго множителя (фиг. 170)
х— 2(і
&
- . (58).
и другую линію для второго множителя (фиг. 171)
У.
Ъ>
Фиг. 170.
тогда ординаты, приходящіяся подъ какимъ-нибудь грузомъ въ каждой
изъ этвхъ линій, надо бу-
детъ только перемножить,
чтобы выраженіе (58) полу-
чилось само собою.
На участкѣ ЛЛ'е'с (фиг.
169, планъ) расчетъ про-
изводится такъ, какъ по про-
стой линіи вліянія для плос-
кой фермы.
Примѣнимъ эти указа-
нія къ вычисленію усилія 2Х. вызваннаго равномѣрно распредѣленной на-
грузкой у.
Усиліе отъ нагрузки (]Ь лѣваго участка А А'се (фиг. 169):
4иг. 171.
. (і 1 ц Ц
................................................................<6’)-
Усиліе по продольной линіи (см. фиг. 86) праваго
{фиг. 169):
1 Ь / 1 । 1 \ 3 /
зіпср 5 2 \ 2 ' 8 / 4 ““ 64 §іп^
участка сс 2У
. . . (60).
Усиліе по поперечной линіи (см. фиг. 87) того же участка:
_— % ... и _ і і 1 = —
зш с 4 \ 2 / 8 зіп у
(61).
97
Усиліе по дополнительнымъ линіямъ (фиг. 170 и 171) для переход-
ного участка:
——(-1- 1 <Ід 1 1 Ъ 1 6 * . . , , , . (62)
Складывая (59), (60), (61) и (62) алгебраически, согласно (56), по-
лучивъ:
..?-+ 1 У, яы .
віп 9 \64 64 8 ’ 16 / ’ І63ІП9...............
Верхній поясъ.
Поверхность О,. Составимъ уравненіе моментовъ относительно оси С/С'
(фиг. 167):
— <4 Ь — ІІ8Ъ сое — 24 Ъ сов 9’= О;
тогда обнаружится, что усиліе Оа, независимо отъ иоложенія груза, выра-
жается всегда черезъ и 24-
08 = — ( 14 СОВ 3 4“ 24 СО8 9).................(64).
Ординаты поверхности вліянія для О, можно получить, какъ сумму
ординатъ поверхности и поверхности 2),, умноженныхъ на сов 3 и сов 9.
Чтобы произвести суммированіе ординатъ, построимъ на фиг. 172 поверх-
ность Ц, сов 3 (ср. фиг. 168) и на фиг. 173—поверхность 2), сов 9, какъ
□оказано пунктиромъ (ср. фиг. 169).
Найдемъ теперь „точки раздѣла грузовъ". Для этого составимъ выра-
женіе для усилія О8 въ функціи координатъ я а у я приравняемъ его
нулю. Беремъ случай, когда грузъ находится внѣ разсматриваемой пере-
дней части фермы, и потому въ форм. (64) вмѣсто 24 вводимъ значеніе
его изъ (55); тогда получится:
л- Г * х а і /і ~х у\ 1 & Iх । у М
О2 = - -ГѴ-----5- 1-СО5 ?---;------гу— - 5- СОВ 9 = — V- I V 4- Т~ л I •
8 [2Лсоз^ I г $іП9\ о ! * \» 2'
Отсюда, полагая <4 — О,
или
найдемъ
(65).
Это—уравненіе прямой, начерченной иа фмг. 173 въ планѣ в обозна-
ченной е'я. Такимъ образомъ, только грузы, расположенные внутри трв-
уголыагка е'мЯ', вызываютъ растяженіе верхняго пояса, остальные—вызы-
ваютъ сжатіе.
— 98 —
Пользуясь построенными поверхностями вліянія, произведемъ вычи-
сленіе усилія О» при дѣйствіи нагрузки д. равномѣрно распредѣленной по
Фиг. 172.
Фвг- 173.
Фасадъ
всему пролету моста. Воспользуемся опять методомъ простыхъ линій вліянія,
входящихъ въ составъ выраженія (64).
Усиліе, соотвѣтствующее первому члену форм. 64 (см. фиг. 172),
. / . сі 1 <і I 1 \ &ідЪі
з7Г 2 2к'~І' 2 = ІвТГ
(вв).
Усиліе, соотвѣтствующее второму члену форм. (64), беремъ изъ (63)
на предыдущей страницѣ, но умножаемъ на со??:
_?_Н_
16 зіп ъ
СО8* =
<ІдЫ
16/7
- (в7).
Складывая (66) и (67) и принимая знакъ минусъ, согласно (64), на-
ходимъ:
О., = - ( ?- -И и <1 дЫ......................(68).
2 Ѵ.16 ' 16/ А 4//- ' 7
Точно такъ, какъ опредѣляли усилія при равномѣрно распредѣлен-
ной нагрузкѣ, находятъ ихъ и при дѣйствіи сосредоточенныхъ грузовъ:
пользуются нѣсколькими простыми линіями вліянія, какъ въ теоріи
плоскихъ фермъ, и результаты вычисленій складываютъ. При этомъ
— 99 —
представляется возможность пользоваться таблицей поѣзда ’), какъ и въ
теоріи плоскихъ фермъ.
Заключеніе.
Описанныя здѣсь опоры показываютъ, что пролетное строеніе моста
можетъ быть приврѣплено къ землѣ посредствомъ 6 стержней, и входящихъ
изъ 4 опорныхъ точекъ, и при томъ такъ, что опорныя точки находятся
въ одной плоскости.
Образованіе пролетнаго строенія моста приводитъ къ заключенію, что
статически опредѣленными въ пространствѣ могутъ быть не только мосты
съ ѣздою по верху, но и мосты съ ѣздою по низу, какъ закрытые, такъ
и открытые. Для полученія ихъ надо использовать жесткость поперечныхъ
рамъ, примѣняемыхъ обыкновенно въ мостахъ съ прикрѣпленной проѣзжей
частью.
Расчетъ стержней разсматриваемой здѣсь фермы, а именно, опредѣленіе
ихъ основныхъ усилій, производится съ одинаковой точностью при всѣхъ
случаяхъ нагрузки. Здѣсь не приходится прибѣгать къ какимъ-либо допу-
щеніямъ о распредѣленіи давленія вѣтра между верхними и нижними свя-
зями, какъ это дѣлается при расчетѣ обыкновенныхъ мостовъ, ибо пред-
лагаемая ферма статически опредѣлима. Точно также здѣсь самъ собою
рѣшается вопросъ о вѣтровой перегрузкѣ вертикальныхъ плоскихъ фермъ,
вызванной криволинейностью поясовъ, и другіе вопросы, разсматриваемые
въ теоріи вѣтровыхъ связей.
Приведенный здѣсь расчетъ ранъ показываетъ, что онъ можетъ быть
выполненъ съ такою точностью, какая принята вообще при провѣркѣ
прочности внѣшне статически опредѣленныхъ брусковъ, подвергающихся
изгибу, напримѣръ, при расчетѣ изгибаемыхъ прокатныхъ балокъ. Такимъ
образомъ, расчетъ всѣхъ частей разсматриваемаго моста производится съ
большей точностью, чѣмъ расчетъ мостовъ обычнаго типа. При этомъ по-
вышеніе точности не ведетъ къ усложненію расчета.
1) Или „таблицей моментовъ", по другому названію. Для русскаго желѣзно-
дорожнаго поѣзда такая таблица впервые была составлена Л. Проскуряковымъ
(См. расчетъ верхняго строенія моста отверстіемъ 25 саж.).
$иг Іа іогтпаііоп сіез іегтез 8'е$расе роиг Іез ропК
В ё 5 и т ё.
фиапд поиз ѵоиіопз ваѵоіг зі іе зузіёте доппё сопііепі ип потЬге
пёсеззаіге дез Ьаггез, сотріопз-Іез. 8оіі 8 се потЬге. Риіз сотріопз Іе
потЬге дез еЬагпіёгез, пе ргепапі цие деих де сеих-сі дапз скадие зоііде
ди зузіёте. 8оіі п Іе потЬге дез еЬагпіёгез. Оапз Іе саз ой
8 = 3п
поиз роигопз аійгтег, цие Іе зузіёте а ип потЬге пёсеззаіге де Ьаггез.
Се егііегіит з’ёіепд зиг існіз Іез зузіётез дез зоіідез. О'огдтаіге оп пе Гар-
ріі<ріе ди’аих зузіётез, диі пе зе сотрозепі фіе дез Ьаггез дгоііез, зе ]оі^-
пёез раг дез Ьоиіз. Иоиз ігоиѵопз ди’оп репі І’ёіепдге еі дапз іеіз зузіётез.
дапз Іа сопзіііиііоп дездиеіз епігепі Іез зоіідез д’ипе Гоппе ріиз еотрііфіёе.
соивоЬдёз раг ип ріиз де-апд потЬге де роіпіз.
СЬацие согрз зоііде, раг зиііе еі ипе Гегте де ропі, оп реиі сопзоіі-
дег а Іа іегге аи тоуеп де зіх Ьаггез. Сез Ьаггез зогіігопі де фіаіге роіпіз,
зііиёз дапз ип ріап. Ьез ехетріез зопі гергёзепіёз зиг Іа Й^. 46—50. Ьа
зіаЫіІё дез зузіётез рагеік езі гергёзепіёе зиг Іа ра₽е 35.
Оп реиі сопзігиіге ипе Гегте де ропі сотте ипе Гегте д’езрасе; Іез
еЙГогіз де зез Ьаггез зегопі йхёз д’аіііеига раг Іез ^иаііопз де зіа^ие,
Роиг оЫепіг ипе Гегте рагеШе іі Гаиі сопзоіідег дез садгез гірдез раг ип
тоуеп, циі езі гергёзепіё зиг Іа Й^иге 57, с’езі а діге: ргепопз деих садгез
гідідез еі сопзоіідопздез раг зіх Ьаггез. Ьез деих де сез Ьаггез зе сгоізепі
і Іа геззетЫапсе д’ипе сгоіх еі Іез диаіге гезіапіез зопі раг раігез рагаі-
Шез еі зііиез дапз деих ріапз, циі зе сгоізепі зиг ипе )і?пе дгоііе, рагаііёіе
ап ріап де Іа сгоіх, таіз циі п’езі раз зііиёе дапз се ріап. А^іззопз де сеііе
тапіёге дапз сЬафіе раппеаи ди ропі; поиз аигопз аіогз ипе Гегте, гергё-
зепіёе ё Іа ра^е 70. Ьа зІаЫІііё д’ип зузіете рагеіі езі гергезепіёе а Іа
ра^е 60.
Ьа Гегте поитеііе адтеі 1’ог^апізаііоп д’ип сопѵоі деззоиз еі реиі доп-
пег ип ропі оиѵегі ои Гегте. Ѵп ропі Гегте п’а раз дез діа^опаіез еп Ьаиі,
таіз дез ёігёзіПопз зеиіетепі. 8і Іез садгез гі^ідез еі ѵегіісаих опі Іа Гогте
де Іа Іеііге ІТ—поиз атопз ип ропі оиѵегі.
Ьез ебдгіз дез Ьаггез де Іа Гегте ди ропі еі Іез гёасііопз де зез арриіз
реиѵепі ёіге дёіёгтіпёз раг Іез зигіасез д’іпвиепсе, фіі зопі сопзігиііез а М
б^иге 61— 87 еі 101—173. Б’аіііеигз Іе саісиі дез ейогіз реиі ёіге гергё-
зепіё сотте ипе зёгіе де зітріез саісиіз раг Іе тоуеп сопла дез Ьрпез
д’іпвиепсе. Роиг Іе саісиі оп реиі ргобіег аиззі аи іаЫеаи ди сопѵоі.