Л. С. ПОНТРЯГИН
1ШНЖИН
АНАЛИЗ
да тиков
л. а понтрягин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
шж
да шшыиш
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 8 О
22.16
П 56
УДК 517
Понтрягин Л. С.
П 56 Математический анализ для школьников. — М.:
Наука, 1980. — 88 с. — 10 к.
Брошюра предназначается для первоначального ознакомления с ма-
тематическим анализом. Она включает в себя материал, охватывающий
все разделы математического анализа, изучаемые в средней школе.
В брошюре рассматриваются производные многочленов, тригонометри-
ческих функций, показательной и логарифмической функций. Интеграл
определяется как операция, обратная дифференцированию, как пло-
щадь графика и как предел конечных сумм. В конце книги даются
упражнения к каждому параграфу. В книге делается упор ие на стро-
гость изложения, а на вычислительную технику.
Для учащихся старших классов средней школы.
п 82-8о17о2о5ооо°
ББК 22.16
517.2

© Издательство «Наука ».
Главная редакция
физико-м атематической
литературы, 1980
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................. 4
§	1.	Производная.............7
§	2.	Вычисление производной	многочлена.13
§ 3.	Максимум и минимум. Теорема Ролля и формула Лаг-
ранжа .................................................17
§	4.	Исследование	функций....................23
§	5.	Производные	тригонометрических	функций и некоторые
правила дифференцирования...............................30
§ 6.	Неопределенный интеграл................................37
§ 7.	Определенный интеграл..................................42
§ 8.	Постулат сходимости....................................48
§ 9.	Бином Ньютона и сумма геометрической прогрессии . .51
§ 10.	Функция ех.............................................54
§11.	Функция 1пх............................................61
§ 12.	Разложение функции ех в ряд............................63
§J3. Послесловие. О теории пределов..........................64
Упражнения...................................................69
!♦
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга, объемом около пяти листов,
рассчитана на то, чтобы при удаче стать учебником ма-
тематического анализа в средней школе. Она содержит
все, что может войти в любой вариант учебной про-
граммы. Книга начинается не с определения предела и
правил его вычисления. Предел трактуется в ней как
нечто само собой понятное и разъясняется на определе-
ниях касательной и производной. С этого начинается
книга. Далее вычисляются производные многочленов,
тригонометрических функций и даются правила диффе-
ренцирования произведения и дроби, а также сложной
функции. В промежутке доказываются теорема Ролля
и формула Лагранжа. На основе этого изучаются функ-
ции, находятся участки возрастания и убывания, мак-
симумы и минимумы. Интеграл определяется в трех ва-
риантах: операция, обратная дифференцированию, пло-
щадь графика, предел конечных сумм. После этого очень
тщательно изучается функция ех как предел последова-
тельности многочленов (1 + •£) при целом п, стремя-
щемся к бесконечности. Вычисляются производные
функций ех, 1пх. В конце даются упражнения к каж-
дому параграфу, немногочисленные, но иногда довольно
трудные. В книге делается упор не на логическую стро-
гость, но на вычислительную технику. Как популярная
книга может служить для самого первоначального озна-
комления с математическим анализом. Поскольку я сам
никогда не преподавал в средней школе, при написании
книжки я руководствовался здравым смыслом квали-
фицированного математика и своими личными воспо-
4
минаниями о восприятии анализа в мои школьные вре-
мена. Хотя-тогда анализ не преподавали в средней
школе, я еще до поступления в университет был до-
вольно хорошо знаком с ним. Знал, что такое производ-
ная, интеграл и умел пользоваться этим аппаратом для
решения задач. При этом я не имел ни малейшего пред-
ставления о теории пределов. О существовании ее я
узнал только в университете и был чрезвычайно этим
удивлен. Я считаю, что начинать изложение анализа
в средней школе с теории пределов не следует. Нужно
помнить, что теория пределов исторически возникла как
надстройка над уже существовавшим анализом. Тща-
тельное изучение таких вещей, как пределы и непре-
рывные функции, может навести скуку и даже вызвали
отвращение. Помню, как, будучи еще школьником, в
каком-то курсе анализа я читал доказательство теоре-
мы о том, что непрерывная функция принимает все про-
межуточные значения. Это чтение вызвало у меня тогда
крайнее недоумение и раздражение. Здравомыслящий
человек должен воспринимать график функции как хо-
рошо отделанный край незазубренной металлической
пластинки. При таком восприятии понятия графика ка-
сательная на выпуклой его части должна воспринимать-
ся как край линейки, плотно прижатой к выпуклой
части края пластины, и потому ни существование каса-
тельной, ни существование производной не должны вы-
зывать сомнение. Точно так же не должно вызывать
сомнение, что существует площадь такой пластины, и
потому нет сомнения в том, что существует' интеграл.
Мне хотелось бы, чтобы школьник при изучении геомет-
рии воспринимал треугольник как сделанный из тон-
кой металлической пластинки, так чтобы его можно
было брать в руки, перекладывать на другое место и
перевертывать наизнанку. Это не значит, что таково
должно быть определение треугольника, но восприятие
его, мне кажется, должно быть именно таким. Исходя
из таких методических‘соображений, я начинаю изло-
жение анализа не с определения предела, а с определе-
ния касательной и производной.
Мне кажется, что в учебную программу средней шко-
лы должны быть включены лишь сведения, изложенные
в параграфах с 1 по 7. Убедительное описание функции
ех, которому посвящены параграфы с 8 по 10, представ-
2 Л. С. Понтрягин	5
ляется мне чрезмерно сложным. Тем не менее, я даю
его, исходя из требований программы. Точно так же,
для выполнения требования учебной программы я при-
вожу некоторые сведения о пределах и непрерывных
функциях, но лишь в послесловии (§ 13).
В заключение я выражаю благодарность В. Р.- Те-
леснину за большую помощь, оказанную мне при на-
писании и редактировании книжки.
§ L ПРОИЗВОДНАЯ
При изучении функции важнейшую роль играет ее
производная. Если задана некоторая функция
У —	(1)
то можно вычислить функцию f'(x), которая называется
производной функции f(x). Величина f'(x) характери-
зует скорость изменения величины у по отношению к
изменению величины х. Это, конечно, не есть определе-
ние производной, а лишь некоторое ее интуитивное опи-
сание. Подкрепим это описание рассмотрением одного
частного случая. Если зависимость (1) ерть пропорцио-
нальная зависимость у = kx, то скорость изменения у в
отношении х, естественно, есть k, т. е. в этом случае мы
должны иметь f'(x) = k. В этом случае производная
имеет ясный механический смысл. Если х понимать как
время, а у как пройденный за это время путь, то k
есть скорость движения точки. Здесь скорость f (х) из-
менения у в отношении х есть величина постоянная, но
при более-сложной зависимости (1) величины у от ве-
личины х производная f'(x) сама является функцией
переменного х.
Производная применяется при изучении физических
процессов, где различные физические величины меняют-
ся со временем и скорость их изменения играет важней-
шую роль. Мы, однако, начнем с геометрического при-
менения производной и на этом примере уточним само
понятие производной.
Производная и касательная. Построим график функ-
ции f(x) (см. (1)) в некоторой системе прямоугольных
декартовых координат. Для этого, как обычно, на пло-
скости нашего чертежа проведем горизонтально ось
Абсцисс, выберем на ней направление слева направо, и
2*	7
вертикально ось ординат и выберем направление на ней
снизу вверх (рис. 1). График функции f(x) в этой си-
стеме координат представляет собой линию, которую
мы обозначим через L. Поставим перед собой'задачу
дать логическое определение касательной к линии L в
некоторой точке а этой линии и вычисления величин,
определяющих эту касательную. Для логического опре-
деления касательной выберем вблизи точки а, которую
мы пока будем считать неподвижной, другую, близкую
к ней, но отличную от нее подвижную точку а. Через
точки а и а проведем прямую линию S, которая назы-
вается секущей линии L, так как она пересекает ее в
двух точках а и,а. Точка а, принадлежащая линии L,
может находиться как правее точки а, так и левее ее.
Начнем теперь перемещать точку а по линии L, неогра-
ниченно приближая ее к точке а. При этом движении
точки а секущая S, проходящая через неподвижную
точку а и подвижную точку а, вращается, приближаясь
неограниченно к некоторой прямой К, проходящей че-
рез точку а. Эта прямая К и называется касательной к
линии L в точке а. Касательная К проходит через опре-
деленную точку а,' и потому для ее точного описания
достаточного вычислить угол наклона <р этой прямой
к оси абсцисс, точнее, тангенс угла наклона tg <р.
8
Для вычисления величины tg <р вычислим предвари-
тельно tgi|f угла наклона гр секущей S к оси абсцисс.
Абсциссу и ординату точки а обозначим соответственно
через х и у:
а — (х, у),	(2)
где х и у связаны соотношением (1), так как точка а
лежит на графике Ё функции f(x). Аналогично обозна-
чим через g и т] абсциссу и ординату точки а:
<* = (&, П),	(3)
где § и г] связаны соотношением
П =	(4)
так как точка а также лежит на графике L функции
f(x). Проведем теперь через точку а две Прямые — го-
ризонтальную Р и вертикальную Q. Эти прямые парал-
лельны соответственно оси абсцисс и оси ординат
исходной системы координат. На них мы выберем* на-
правления, соответствующие направлениям, выбранным
ранее на осях координат. Прямые Р и Q, принятые за ось
абсцисс и ось ординат, сами определяют в плоскости
нашего чертежа некоторую новую систему координат
с началом в точке а. Секущая S не может быть верти-
кальной, и потому понятно, что значит выбрать на ней
направление слева направо. Так как новая ось абсцисс
Р параллельна старой оси(абсцисс, то для вычисления
угла ф нам достаточно вычислить угол между положи-
тельным направлением на прямой Р и положительным
направлением на прямой 5. Этот угол ф меньше пря-
мого, но он может быть как . положительным, так и
отрицательным. Новая система координат с осями Р и
Q разбивает плоскость на четыре квадранта. Угол ф
положителен, если секущая S идет из третьего квад-
ранта в первый, и отрицателен, если секущая S идет из
второго квадранта в четвертый. Абсцисса и ордината
точки а в новой системе координат равны соответ-
ственно величинам
(5 — х), (п — у).	(5)
Для вычисления угла ф проведем вертикальную пря-
мую R через точку а и обозначим через р точку пере-
сечения прямой R с прямой Р. Рассмотрим прямоуголь-
ный треугольник ара, в котором р есть вершина пря-
мого угла. Еслй не учитывать знака угла ф, то он
9
равен углу $аа нашего треугольника при вершине а.
Тангенс этого угла равен длине /фа) катета, Ра, делен-
ной на длину /(аР) катета ар. Таким образом, мы имеем
формулу
<6>
Длина /(Ра) есть абсолютная величина ординаты точки
а в новой системе координат, т. е. равна |г) — у\ (см.
(5)). Точно так же длина /(ар) равна абсолютной вели-
чине абсциссы точки а в новой системе координат, т е.
равна |£ — х\. Таким образом, из формулы (6) выте-
кает
IS л I
Докажем теперь, что
Для этого заметим, что если точка а лежит в пер-
вой или третьей четверти, то ее абсцисса и ордината
имеют одинаковые знаки, и, следовательно, правая часть
равенства (8) положительна. В этом случае и величина
tg ф также положительна, так как угол ф положите-
лен. Если точка а лежит во второй или четвертой чет-
верти, то ее абсцисса и ордината (см. (5)) имеют раз-
ные знаки, и поэтому правая часть равенства (8) отри-
цательна. Но в этом случае и tg ф отрицателен, так как
угол ф в этом случае отрицателен. Итак, формула (8)
доказана. Заменим теперь в ней величины у, по фор-
мулам (1) и (4). Тогда мы получим
(9)
S *
Когда точка а неограниченно приближается к точ-
ке а, ее абсцисса | неограниченно приближается к аб-
сциссе х точки а. Последнее записывают так:
1-х.	(10)
Для того чтобы найти величину tg <р, нам нужно вычис-
лить, к чему стремится tg ф при £->-х. В виде формулы
это можно записать так:
1еф-^ср при	(И)
10
В высшей математике последнее соотношение, состоя-
щее из двух формул, записывают в виде одной формулы
lim tg ф = tg <₽'	(Ь2)
или, заменяя в этой формуле tg ф по формуле (9), пе-
реписывают последнее равенство в виде формулы
tgq> = Htn -^£7—	(13)
6 X
(14)
lim представляет собой сокращение латинского слова
limit, русское значение которого есть предел.
Для того чтобы строго описать операцию (13), про-
изводимую над дробью
(х)
1-х
нам нужно было бы точно определить, что значит знак
т. е. объяснить, что значит стремление переменной
величины к некоторой постоянной. Но мы полагаемся
здесь на интуитивное понимание этого процесса. Заме-
тим, что в формуле (14) нельзя просто положить g = х,
так как тогда мы получим дробь, числитель и знамена-
тель которой равны нулю, так что необходимо рассмат-
ривать процесс приближения величины g к постоянной х
и следить при этом за поведением величины (14).
Для того чтобы разъяснить понятие предельного пе-
рехода на простом примере, рассмотрим случай, когда
функция f(x) задается формулой
y = f(x) = x2.	(15)
В этом случае дробь (14) записывается в виде
HIkrLM	(16)
1-х
1-х
В правой части этого равенства уже можно заменить
величину g величиной х, и мы не получим бессмыслен-
ного отношения 0/0. Поэтому в этом частном случае мы
имеем	'
lim = lim (g + х) = 2х.	(17)
Таким образом, мы установили, что
Д-377-->2х при £->х,	(18)
11
или, что то же самое,
t2__ г2
Нт Л—— = 2х.	(19)
Величина
Пт	(20)
£-*х	» Л
называется производной произвольной функции f(x) в
точке х и обозначается через f'(x), так что по опреде-
лению мы имеем
7'(x) = lim '(4Zy-X)-.	(21)
Таким образом, формула (19) показывает, что для
функции (15)
f'(x) = 2x.	(22)
Следует обратить внимание на то, что в формуле
(21) мы не рассматриваем отдельно двух случаев, когда
а приближается к а с правой стороны и когда а при-
ближается к а с лбвой стороны. В первом случае g при-
ближается к х убывая, а во втором случае g прибли-
жается к х возрастая. При обоих этих способах при-
ближения g к х результат вычисления производной
должен быть одним и тем же. Только тогда и считается,
что производная в точке х существует. Можно, однако,
легко указать такую функцию, для которой приближения
слева и справа дают различные результаты. Рассмот-
рим в качестве примера функцию f(x), задаваемую
уравнением
у=Цх) = \х\ + х2.	(23)
Производную этой функции f(x) мы будем вычислять
при х = 0. Таким образом, в этом случае имеем
fg)-f(Q) ... |£| + |» _ |g| -
l-o ~ g I	{V
При g положительном |g| = g, при g отрицательном
|g| = —g. Таким образом, имеем
J|L = +1 при g>0	(25)
п
-Щ- = -1 при g<0.	(26)
12
Итак,
при | > 0 имеем
при g < О имеем
Нт 111 + 11 = 4-1	(27)
£->О s
цт 111+11 = -1.	(28)
5-»о	6
Следовательно, предел величины (24) зависит от того, с
какой стороны приближается g к 0: справа или слева.
Jp этом случае считается, что в точке х=0 данная функ-
ция f(x) (см. 23)) не имеет производной, а соответствую-
щий график не имеет касательной. Бывают и более
сложные случаи, когда формула (21) не определяет ве-
личины Но в дальнейшем мы будем иметь дело
только с такими функциями, для которых формула (21)
рпределяет величину f'(x), т. е. производная функции
f(x) существует.
Операция нахождения производной функции f(x)
((см. (21)) называется часто дифференцированием функ-
ции f(x), так что функция, имеющая производную,
называется дифференцируемой. Все рассматриваемые
нами в дальнейшем функции •—дифференцируемые.
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ МНОГОЧЛЕНА
Здесь мы. вычислим производную функции
/(х) = ггохп + а1хп-1 + ... +an_ix + an, (1)
Jr. е. производную произвольного многочлена по х с
Цостоянными коэффициентами ао, щ, .... ап-ъ ап. При
этом нам удобно иногда будет пользоваться несколько
измененным обозначением для производной f(x) функ-
ции /(х). Именно, мы будем обозначать иногда эту про-
изводную через (/(х))', т. е. положим
ГЙ = (/(х))'.	(2)
Пользуясь этим обозначением, мы можем теперь запи-
сать две формулы (15) и (22) § 1 в виде одной фор-
мулы
(х2)'==2х.
В первую очередь мы вычислим производную про-
стейшего многочлена степени п, сводящегося к одночлену.
3 Л. Са Понтрягин	Ц
Именно,
D = f(x) = xn.	(3)
Для вычисления производной функции (3) мы восполь-
зуемся одной очень простой, но и очень важной фор-
мулой из алгебры, доказательство которой будет здесь
приведено.
Для записи й доказательства этой алгебраической
формулы мы введем в рассмотрение многочлен ф*(«, у)
двух переменных и и о, который задается формулой
Ф* («, v) = uk + uk~lv + ... + uvk~x + vk. (4)
Таким образом, многочлен q>k(u,v) представляет собой
сумму всех одночленов вида ulv{, гд.е.1 и j— неотрица-
тельные целые числа, связанные условием I -j- j = k.
Умножим многочлен ф*(ы,у) на величину и, т. е. со-
ставим многочлен
Фй (и, у) • и.	(5)
Этот многочлен представляет собой сумму всех одно-
членов вида и‘+№, где I и j — целые неотрицательные
числа, связанные соотношением t + /=6. Таким обра-
зом, многочлен (5) представляет сумму всех одночле-
нов вида upvq, где р и q — целые неотрицательные чис-
ла, связанные соотношениями
р>1, p + q = k+l.
Таким образом, многочлен (5) содержит все слагаемые,
входящие в многочлен ф*+1 («, у) , за исключением од-
ного члена у*+’, и потому мы имеем равенство
Фл («, о) • и = Фл+1 («>	(6)
Точно так же, умножая многочлен ф*(ы, у) на v, мы по-
лучим формулу
Ф* (и, v) • v = фй+1 (a, v) — uk+l.	(7)
Вычитая из равенства (6) равенство (7), получаем
Фа («» у) (u — v) = uk+l — vk+i.	(8)
Заменяя в этом равенстве k + 1 через п и деля полу-
ченное соотношение на и — V, мы получим важную для
нас формулу
ип-
и —
М
= Фп-1(«> V)»	(9)
где q>„_i (и, о) определяется формулой
ф„_1(и, v) = ип~1 + un~2v + ... + uvn~2 + vn~l. (10)
Следует подчеркнуть, что здесь п ' 1, так как п — k 4-
4-1, где k 0. Заметим, что многочлен <р„_1(м, о) со-
держит ровно п членов.
Пользуясь формулой (9), мы без труда сосчитаем
производную функции хп. Для этого, согласно прави-
лам, изложенным в § 1 (см. (21), § 1), мы должны со-
ставить предварительное отношение
и найти предел этого отношения при |->х. В силу ал-
гебраической формулы (9) имеем
= 1П~Х + Г"** + • •. + &п~2 + хп~\ (12)
Ъ л
где в правой части стоит ровно п членов. При переходе
к пределу при |.->х, мы должны в правой части равен-
ства (12) заменить £ через х. При этом каждый член
I'x^, где I 4- j = n—Г, превратится в член Xя-1. Таким
образом, получаем
(xn) = lim -------= пхя-1
и окончательно имеем
(xn)' = nxnT*.	(13)
При доказательстве формулы (13) мы не можем
рассматривать случай п = 0, так как формула (9) вер-
на только при п 1. Таким образом, производная функ-
ции х° = 1 нами не вычислена. Проще вычислить про-
изводную функции f(x) = c, где с — константа. Для нее
мы имеем
f(g)-f(x) с-с . п
l-Х ~ l-Х и-
Таким образом, имеем
с' = 0,	(14)
т. е. производная константы равна нулю.
Для перехода от простейшего многочлена хп к об-
щему многочлену (1) мы должны вывести два общих
правила нахождения производной. Именно, нахождение
3*	15
производной суммы двух функций и нахождение произ»
водной произведения константы на функцию. Правила
эти следующие. Если fi(x) и —две функции, то
мы имеем
(М*) + М*))' = /;(х) + Ш. (15)
Словами: производная суммы двух функций равна сум-
ме производных слагаемых. Далее, если с есть констан*
та, a f(x)-=-некоторая функция, то имеем
(cf(x)Y*=cf'(x).	(16)
Словами: производная произведения константы на функ-
цию равна произведению константы на производную
функции.
Докажем сперва правило (15). Мы имеем
(/,(х) + h(х))' == lim +	+ 
elim
L < S“x	6 — x J
-lira =	m-i.h =
Таким образом, правило (15) доказано. Аналогично
доказывается и правило (16). Мы имеем
(cf (х))' = lim cf	= Нт c	e
b — X	6 x
= c lim	= cf,
ь x
Таким образом, и правило (16) доказано.
Из правил (15) и (16) выведем одно обобщающее
правило. Допустим, что нам заданы функции fi(x),
f2(x), .... fm(x) и константы ci, 6..... Тогда мы
имеем следующее правило:
(Cif 1 (х) + C2f2 (X) + ... +Cmfm(x))' =
= cfi (X) + cj' (*)+...+ cmf'm (х). (17)
Доказательство этого правила ведется индуктивно. Для
пг = 1 оно совпадает с правилом (16). Далее, в силл
16
правила (15) имеем
(cJi (х) + ... +cmfm(x))' =
•=(cih(x) + ... + cm_1fnt_1(x))' + (CJro(x))' =
e^W + ... +cm_if'm_l(x) + cmf'm(x)L
Здесь мы использовали метод индукции, именно, пред-
положили, что для функций числом т — 1 правило
верно. Таким образом, правило (17) доказано.
Пользуясь правилами (17), (13) и (14), мы можем
найти производную многочлена (1). Мы имеем
(аох« + йцх"-1 + ... 4-an_ix4-art)' =
•=a0<x")' + ai(A:'I_1)'+ •••	(*)' + <==
= noo^-1 + (n — 1) aixn-2 + ... + an_i.
Таким образом, правило нахождения производной мно-
гочлена (1) окончательно записывается в виде
(оохп 4- сцхп~1 + ... +an_ix + anY=*
— паохп~1 + (п— l)aiXn-2+ ••• + a«-i. (18)
§ 3. МАКСИМУМ И МИНИМУМ. ТЕОРЕМА РОЛЛЯ
И ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
Уже само определение производной наводит на
мысль, что она может быть хорошим средством иссле-
дования функции. Так, например, если известно, что
производная f'(x) функции/(х) в точке х положительна,
то интуитивно ясно, что вблизи этой точки функция /(х)
возрастает. Это видно, в частности, из геометрического
смысла производной. Касательная в соответствующей
точке к графику функции f(x) направлена вверх. Точно
так же обстоит дело и с отрицательностью производной.
В этом случае интуитивно ясно, что вблизи точки х
функция /(х) убывает. Касательная к графику функции
f (х) в соответствующей точке направлена вниз. Уточним
эти свойства производной.
Положительность и отрицательность производной.
Согласно определению (см. § 1) производная /'(х) функ-
ции /(х) является пределом отношения
о.
17
при £->х. Отсюда следует, что если f'(x)=/=O, то при
g достаточно близком к х отношение (1), т. е. число k
имеет тот же знак, что и f'(x). Более точно, существует
настолько малое положительное число е, что при
15-х|<в	(2)
знак числа k совпадает со знаком f'(x). Умножая ра-
венство (1) на число | — х, получаем равенство
f(l)-f(x) = k(t-x).	(3)
Знак правой части этого равенства зависит от знаков
его множителей, т. е. зйаков чисел k и £ — х. Чтобы ох-
ватить по возможности кратко все четыре возникающие
здесь случая, выберем произвольно два значения gi И
числа g, удовлетворяющих условию (2). Число gi
возьмем слева от х,	— справа от х. Таким образом,
числа gi и удовлетворяют условиям
х — е < 11 < х < Вг < X + 8.	(4)
Помня о том, что знак числа k совпадает со знаком
производной /'(х) и учитывая знаки, правой части со-
отношения (3), мы можем записать следующие два ре-
зультата:
при f' (х) > 0 имеем f (&) < f (х) < f (Ы>	(5)
при f' (х) < 0 имеем f (&) > f (х) > f fe).	(6)
Словесно результаты (5) и (6) можно описать следую-
щим образом.
При f' (х) > 0 функция слева от точки х меньше, чем
в точке х, а справа от точки х больше, чем в точке х.
Иначе говоря, она возрастает в точке х.
При f' (х) < 0 функция слева от точки х больше^
чем в точке х, а справа от точки х меньше, чем в точке
х. Иначе говоря, она убывает в точке х.
Заметим, что если функция возрастает в точке х,
т. е. для нее выполнены неравенства (5), то отношений
положительно, но при |-»-х оно, оставаясь
положительным, может стремиться к нулю, так что
производная в точке возрастания не обязательно поло-
жительна: она только неотрицательна
Г(х)>0.	(7)
Точно так же в точке х убывания (ем. (6)) производ-
ная не обязательно отрицательна, но может быть ц
18
нулем, так что в точке убывания выполнено неравенство
Г(х)<0.	(8)
Максимум и минимум. Говорят, что функция имеет
локальный максимум в точке х, если во всех точках,
достаточно близких к точке х, ее значения не превосхо-
дят значения функции в точке х. Или, более точно,
существует настолько малое положительное число е,
что
при |& — х| < в имеем /(£)</(х).	(9)
.Точно так же говорят, что функция имеет локальный
минимум в точке х, если при всех значениях аргумен-
та, близких к точке х, функция имеет значения, не
меньшие, чем в точке х. Более точно существует такое
положительное число в, что
при |£ —х|<в имеем f(g)>f(x).	(10)
Обычно слово «локальный» опускают и говорят просто
о максимумах и минимумах функции.
Оказывается, что в точках максимума и минимума
производная функции f (х) обращается в нуль-.
= (11)
Действительно, в точке максимума функция f(x) не
может иметь положительную производную, так как в
случае положительной производной справа от х функ-
ция больше, чем в точке х (см. .(5)), и, следовательно,
точка х не является максимумом. Точно так же в слу-
чае максимума функция f(x) не может иметь отрица-
тельную производную, так как в этом случае слева от
точки х она имеет значения, превосходящие значение
в точке х (см. (6)). Остается лишь одна возможность
f(x) = 0, т. е. имеет место равенство (11).
Аналогично, в точке минимума функция f(x) не мо-
жет иметь положительную производную, так как тогда
слева от точки х ее значения меньше, чем в точке х
(см. (5)). Точно также она не может иметь и отрица-
тельную производную, так как тогда справа от точки х
она имеет меньшее значение, чем в точке х (см. (6)).
Итак, остается лишь одна возможность f' (х) = 0, т. е.
имеет место равенство (11).
Таким образом, для отыскания значений аргумента,
яри которых функция имеет максимум или минимум,
19
следует рассмотреть все значения х, для которых вы-
полнено равенство (11), а затем уже детальнее выяс-
нять вопрос.
Теорема Ролля. Если функция f(x) имеет равные
значения для двух различных значений своего аргумен-
та Xi и х2, т. е. имеет место равенство
f Ui) = f (х2),	(12)
причем функция f(x) определена на всем отрезке
[хь х2], то' внутри этого отрезка найдется такое значе-
ние 0, что
=	(13)
Термин «внутреннее значение» означает, что 0 не
совпадает с концами отрезка xt и х2, т. е. не совпадает
ни с числом Xi, ни с числом х2, а лежит между ними.
Докажем это утверждение. Если функция f(x) по-
стоянна на всем отрезке [xi, х2], то в произвольной
внутренней точке отрезка имеет место соотношение
f'(0)=O (см. § 2 (14)), Если функция f(x) непостоян-
на на отрезке [xj, х2], то имеет место-по меньшей мере
один из двух случаев.
Случай 1. В некоторых точках отрезка [xi,x2]
функция f (х) больше, чем в его концах.
Случай 2. В некоторых точках отрезка [xi,х2]
функция f(x) меньше, чем в его концах.
В первом случае функция f(x) имеет максимум в
некоторой внутренней точке 0 отрезка [xi,x2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)). Во
втором случае функция f(x) достигает своего минимума
в одной из внутренних точек 0 отрезка [xi,x2], и тогда
в этой точке имеет место равенство (13) (см. (11)).Та-
ким образом, теорема Ролля доказана.
Нижеследующая формула Лагранжа является пря-
мым следствием теоремы Ролля;
Формула Лагранжа, конечного приращения функции.
Если Xi и х2 — два различных значения аргумента
функции f(x), причем функция f(x) определена на всем
отрезке [xi, х2], то существует такое значение аргумен-
та 0, лежащее внутри отрезка [xi, х2], что имеет место
равенство
f(x2)-f(xl)^f'(Q)(x2-xl).	(14)
20
Для доказательства этого утверждения составим, ля<
нейную функцию
g(x)==l (x<TJ ^1) х	(15)
л2 <*1	*
и докажем, что функция
f(x) — g(x)	(16)
имеет одинаковые значения в точках xi и х2, т. е. удов-
летворяет условиям теоремы Ролля. В самом делё, мы
имеем
1Ы- g	х2 -	X, =
Л-2 л1	Л2 “ Х1
„	(17)
Далее мы имеем
(/ (х2) — g (х2)> — (f to) — g (*1)) —
= (f to) — f to)) — (g to) — g to)) = 0 (18)
(cm. (17)). Таким образом, имеем
fM — g to) = f to) — g to),	(19)
т. e. функция (16) имеет одинаковые значения в концах
отрезка [xi, х2], и потому в силу теоремы Ролля су-
ществует такое значение 0 внутри отрезка [xi,х2], что
(f (х) — g (х))' = Опри х = 0.	(20)
Далее мы имеем
g'to
X2 — Xi
(21)
Из формул (20) и (21) получаем
0 = Г (0) - g'(0) = Г(0) -
Л2 — Х1
Умножая последнее соотношение на х2 — Xi, мы полу-
чаем доказываемое соотношение (14). Итак, формула
Лагранжа доказана.
Формула Лагранжа является сильным средством
для изучения функции, или, что то же самое, ее гра-
фика. Сделаем из нее два важных вывода.
Если на отрезке [xi, х2], где Xi <. х2, функция f(x)
имеет положительную производную во всех точках,
кроме, быть может, его концов, то на всем отрезке
i[xi, х2] функция f(x) возрастает. Более точно, если aj
и а2—два значения аргумента, лежащие на отрезке
21
1*1,х2], причем Я1 < а2, то имеем
f(al}<f(a2).	(22)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
f(a2)-f(a1) = f'(0)(a2-a1)>	(23)
причем 0 является внутренней точкой отрезка [ai, а2],
следовательно, и внутренней точкой отрезка [xi, х2]. Та-
ким образом, правая часть равенства (23) положитель-
на. Наше утверждение (22) доказано.
Если на отрезке [xi, х2], где xi < х2, функция f(x)
всюду ь’меет отрицательную производную, за исключе-
нием, быть может, концов отрезка [xi,x2], то на всем
отрезке [xi, х2] она убывает. Более точно: если ai и
я2 — два значения аргумента, расположенные на отрез-
ке [xi,x2], причем Я1 < я2, то имеем
f(a2)<f(ai).	(24)
Действительно, в силу формулы (14) мы имеем
(25)
где 0 — внутренняя точка отрезка [fli, я2], т. е. внут-
ренняя точка и отрезка [xi,х2]. Таким образом, правая
часть соотношения (25) отрицательна, и, следовательно,
утверждение (24) доказано.
Вторая производная. Производная f'(x) функции f (х)
сама есть функция,- и потому можно взять ее производ-
ную (f (х))'. Она называется второй производной функ-
ции f(x) и обозначается через f"(x). Таким образом,
f" (*) = (/'(*))'•	(26)
f'(x) и f"(x) называются первой и второй производ-
ными функции f(x). Аналогично можно определить про-
изводные любого порядка функции f(x), но мы будем
пользоваться только первой и второй производными.
Различение максимума и минимума. Для того чтобы
функция f(x) имела максимум или минимум при х = хо,
необходимо, чтобы было
Г(хо) = О	(27)
(см. (11)). Но это равенство не является достаточным
условием, для того чтобы функция f(x) имела макси-
мум или минимум в точке х = хо, и, кроме того, оно
не дает возможности сделать различие между максиму-
22
мом и минимумом. Оказывается, что достаточное усло-
вие дается второй производной, именно, если
f"(xo)¥=O,	(28)
то при выполнении условия (27) функция f(x) имеет
в точке х х0 либо максимум, либо минимум, а знак
величины f"(xo) дает возможность различить максимум
и минимум, именно, если
/"(хо)<О,	(29)
то имеем максимум, а если
/"(х0)>0,	(30)
то имеем минимум.
Докажем это утверждение. Если имеет место нера-
венство7 (29), то первая производная (f'(x))' функции
f'(x) отрицательна. Кроме того, функция f'(x) обра-
щается в нуль при х = х0 (см. (27)). Таким образом,
при х < х0 имеем Щх) >0,	(31)
при х > х0 имеем f' (х) < 0.	(32)
Итак, при подходе к точке хо слева функция f(x) воз-
растает, а при отходе от точки хо вправо она убывает,
и, следовательно, мы имеем максимум. Аналогично,
если имеет место неравенство (30), то первая производ-
ная (/'(х))' функции f'(x) положительна и при х = хо
функция f(x) обращается в нуль. Таким образом,
при х < х0 имеем /' (х) < 0,	(33)
при х > Хо имеем f' (х) > 0.	 (34)
Итак, при подходе к точке хо слева функция f(x)' убы-
вает, а при отходе от точки хо вправо она возрастает, и,
следовательно, мы имеем минимум.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
Напомним определение второй производной /"(х)
функции )(х). Мы имеем
Г(х)=(Г(х)Г	(1)
(см. § 3, (26)). Функции f(x) и f"(x) называются со-
ответственно первой и второй производными функции
fU).
23
Применим результаты § 3 к исследованию некото-
рых функций, задаваемых многочленами. Рассмотрим
прежде всего функцию
у = /(х) = х3-рх,	(2)
где р— постоянная. График L этой функции называется
кубической параболой.
Отметим прежде всего совершенно специальные, но
рчень заметные свойства кубической параболы. Куби-
ческая парабола центрально симметрична относительно
начала координат. В самом деле, если точка (х, у) при-
надлежит кубической параболе, т. е. величины х и у
удовлетворяют уравнению (2), то точка (—х, —у) так-
же удовлетворяет этому уравнению. Именно, имеем
(—^) = (—х)3 —р(—х).	(3)
Таким образом, наряду с точкой (х, у) к линии L при-
надлежит и симметричная к ней относительно начала
координат точка (—х, —у).
Найдем далее точки пересечения линии L с осью
абсцисс, т. е. корни уравнения
х3 — рх = 0.	(4)
Уравнение это имеет три корня
х = 0, x=±Vp.	(5)
Последние два корня при р < 0 мнимые и потому не
имеют геометрического смысла. При р >• 0 все три кор-
ня (5) различны, и, следовательно, имеются три точки
пересечения линии L с осью абсцисс. При р = 0 три
Корня сливаются л. один трехкратный корень х = 0.
Производная функции (2) задается формулой
Г(х) = 3х2-р.	*	(6)
Изучая знак этой функции при различных значениях х,
мы можем разбить линию L-на участки возрастания и
убывания функции f(x) и найти точки максимума и ми-
нимума. Для той и другой цели нам следует найти кор-
ци уравнения
f'(x) = 3x2 —р = 0.	(7)
При отрицательном р функция f'(x) (см. (6)) поло-
жительна при любом значении х и, следовательно, функ-
ция f.(х) возрастает на всем протяжении изменения х;
fe- ОО < х <+ 00.
24
При р — 0 функция f'(x) (см. (6)) положительна
при всех значениях х =/= 0. Таким образом, она возра-
стает при — оо < х < 0, 0 < х < + оо. А так как на
первом из этих участков функция х3 отрицательна, на
втором положительна, то она
возрастает на всем протяжении
изменения х от — оо до + оо.
В точке х = 0, где’f'(*) = 0»
функция f(x) также возрастает.
Таким образом, при х = 0, где
f(x)= 0, функция х3 не имеет ни
максимума ни минимума. От-
сюда видно, что условие (11)'
§ 3, необходимое для того, что-
бы функция f (х) в точке х имела
максимум или минимум, не яв-
ляется достаточным.
В случае положительного р
уравнение (7) имеет два корня
xi = — Vp/З» х2 = Vp/3.	(8)
Следует проверить, не имеет ли
функция f(x) в точках xi и х2 ло-
кальных максимумов или мини-
мумов. Те же точки xi и х2 раз-
бивают все протяжение измене-
ния х на участки
— оо < х Xi, Xi х х2,
х2 х < + оо. (9)
На первом из этих участков
функция /'(х) положительна, на
втором — отрицательна, на треть-
ем— вновь положительна. Таким
образом, функция f(x) возра-
стает на первом участке, убывает на втором и возра*
стает на третьем. Отсюда же видно, что точка xi есть
точка максимума, а точка х2— точка минимума. Таким
образом, кубическая парабола имеет три существенно
различные .формы в зависимости от значения р: первая
р < 0, вторая р = О, третья р > 0. На рис. 2 кубиче-
ская парабола изображена во всех трех случаях.
25
Рассмотрим уравнение
х? — рх — с.	(10)
Геометрически ясно, что при р < 0 это уравнение имеет
лишь один действительный корень. При р = 0 это урав-
нение имеет также лишь один действительный корень,
за исключением случая с = 0, когда имеется тройной
корень х = 0. Если р > 0, уравнение (10) имеет три
корня при
f(X2)<C<f(xO,	(П)
причем в крайних положениях значения с на отрезке
(11) имеется один простой и один двойной корень. Вне
отрезка (11) имеется лишь один действительный корень
уравнения (10).
Кубическая парабола (2) всегда проходит через на-
чало координат. Тангенс угла наклона ее в начале коор-
динат определяется формулой
f'(O) = -p.	(12)
Та.ким образом, сама касательная имеет уравнение
y — g(x) = — рх.	(13)
Эта касательная разбивает всю плоскость на две части:
верхнюю, лежащую над ней, и нижнюю, лежащую под
ней. Произвольная точка (х*. «/*) плоскости лежит над
прямой (13), если
у*>-рх*.	(14)
Точка (х*,у*) лежит под прямой (13), если
у*<—рх*.	(15)
Выясним, в какой- из рассмотренных двух полуплоско-
стей лежит точка (х, у) кубической параболы, т. е. точ-
ка, удовлетворяющая уравнению (2). Для выяснения
этого вопроса мы должны сравнить величину
х3 —рх	(16)
с величиной
-рх.	(17)
Ясно, что при х < 0 величина (16) меньше величины
(17), а при х > 0 величина (16) больше величины (17).
26
При х < 0 точка (х, у) кубической параболы удовлет-
воряет условию (15), т. е. лежит под касательной, а
при х>0 эта точка удовлетворяет условию (14), т. е;
лежит над касательной. Сле-
довательно, в начале коор-
динат' кубическая парабола
переходит с одной стороны
касательной на другую ее
сторону.
Явление перехода линии
с одной стороны касатель-
ной на другую вблизи точки
касания имеет общий инте-
рес. Займемся им.
Точка перегиба. Пусть
L — некоторая линия, а—*
точка этой линии и К — ка-
сательная к линии L в точ-
ке а (рис. 3). Точка а на-
зывается точкой перегиба
линии L, если вблизи ее ли-
ния L переходит с одной
стороны касательной на дру-
гую. Оказывается, что если L является графиком неко-
торой функции
y = f(x),	(18)
то в точке перегиба а линии L абсцисса b точки а удов-
летворяет условию
f"(b)=*O.	09)
Докажем это утверждение. Уравнение касательной
К мы можем записать в виде
^ = «М = Г(6)«х + 6*.	(20)
Здесь f'(b) есть тангенс угла наклона касательной к оси
абсцисс, а Ь* — некоторая константа, которая опреде-
ляется условием
f(6)-g(6) = 0.	(21)
Это условие выражает тот факт, что касательная в точ-
ке а к линии L проходит через точку а. Рассмотрим
функцию
Л(х) = /(х) —g(x).	(22)
27
Эта функция удовлетворяет двум условиям
Л(&) = 0, Л'(*) = 0.	(23)
Таким образом, график функции
D = h(x)	(24)
касается оси абсцисс в точке х — Ь (см. рис. 3). Каса-
тельная К. разбивает плоскость чертежа на верхнюю по-
луплоскость и нижнюю полуплоскость. Если линия L
переходит в точке а из верхней полуплоскости в ниж-
нюю полуплоскость, то график функции {24) пересе-
кает ось абсцисс сверху вниз. При этом функция Л(х)
убывает. Если, наоборот, линия L пересекает касатель-
ную, переходя из нижней полуплоскости в верхнюю по-
луплоскость, то график функции (24) пересекает ось
абсцисс снизу вверх. При этом функция h(x) возрастает.
Если имеет место первый случай, т. е. h(x) убывает
вблизи точки х= Ь, то производная ее вблизи точки Ь
не может быть положительной, т. е. вблизи точки х=Ь
она удовлетворяет условию
Л'(х)<0.	(25)
Таким образом, функция h'(x) имеет в точке х = Ь
максимум, и, следовательно, ее производная равна нулю
(h' (х))' = h" (х) = 0 при х—Ь,
т. е.
h"(b) = Q.	(26)
Если имеет место второй Случай, т. е. функция й(х)
вблизи точки х = Ь возрастает, то . производная ее не
может быть отрицательной, т. е. вблизи точки х = Ь
мы имеем неравенство
h'(x)>0.	(27)
Таким образом, функция ft'(x) имеет минимум в точке
х — Ь, потому ее производная в этой точке равна нулю,
т. е. мы имеем
(Л' (x))'—h" (х) = 0 при х—Ь.
Таким образом, в обоих случаях получаем
Л"(6) = 0.	(28)
Заметим далее, что для функции g(x), линейной отно-
сительно х, имеет место равенство
g"(x) — 0.	(29)
28
Таким образом, из формул (28) и (29) мы получаем
О == (f (х) — g (х))" = f"(x) —• 0 при х — Ь,
и, следовательно,
Г0) = О.	(30)
Таким образом, доказано, что в точке перегиба графика
функции /(х) имеет место равенство (19). Не следует,
рднако, думать, что это равенство является достаточ-
ным условием для того, чтобы точка с абсциссой b была
точкой перегиба графика функции (18).
Вернемся теперь к кубическойг параболе. Вычислим
вторую производную функции (2). Мы имеем
/"(х) = (х’-рх)" = 6х.	(31)
Мы уже установили, что начало координат является
Точкой перегиба кубической параболы (2). Выражение
(31) для второй производной функции (2) показывает,
кто начало координат является единственной точкой пе-
региба кубической параболы, так как вторая производ-
ная (31) обращается в нуль лишь при х = 0.
Ниже приводятся три задачи для самостоятельного
решения. Первая из них — легкая, вторая и третья пред-
ставляют собой вполне серьезные математические проб-
лемы, требующие больших усилий для самостоятель-
ного решения.
Задача 1. Изменить масштабы длины на осях си-
стемы координат, в которой задано уравнение (2), т. е.
ввести вместо старых координат- х и у новые коорди-
наты Xi и уъ положив
x—kxu у — 1у\,	(32)
где k и I—действительные положительные числа. Сде-
лать это так, чтобы после преобразования координат
(32) уравнение (2) имело один из трех следующих ви-
дов:
У\== х3 ““	У\ У\а= X3 Н* Хр (зз)
Задача 2. Исследовать функцию
У—f (х) = х3 + ajX2 + «гх + а3.	(34)
Для этого вычислить производную f' (х) и при по-
мощи нее разбить весь интервал изменения х: — оо -<
< х < 4- оо на участки, на которых функция (34) воз-
растает и убывает. Далее вместо старых координат х И
4 Л. С. Понтрягин	29
у ввести новые координаты Xi и yi, связанные со стары*
ми соотношениями
х = х14-а, у = ух + ^.	(35)
Такое преобразование координат означает параллельное
смещение старой системы координат. Сделать это таким
образом, чтобы в новой системе координат уравнение
кривой имело вид (2). Сделать это можно двумя спо-
собами. Непосредственно подобрать величины аир
так, чтобы полученное уравнение имело вид (2), или
же найти точку перегиба графика L функции (34) и пе-
ренести в эту точку перегиба путем параллельного сдви-
га начало координат. Найти формулу
р = р(аь а2, а3).	(36).
выражающую коэффициент р в новой системе коорди-
нат через старые коэффициенты. Поскольку уравнение
f (х) = х3 +	+ йгх + а3 = 0	(37)
при p(ai, аг, а3) < 0 (см. (36)) может иметь только
один действительный корень, при р — 0 может иметь
либо только один действительный корень, либо один
тройной действительный корень и при р > 0 может
иметь три действительных корня, выяснить, при каких
условиях в последнем случае имеются три действитель*
ных корня.
3 а д а ч а 3. Изучить функцию
f (х) — х4 + 61Х3 + бгх2 + Ь3х 4- bi	(38)
и ее график. Для этого вычислить производную f (х\
функции (38) и, пользуясь результатами, полученными
в задаче 2, качественно выяснить возможности поведе-
ния графика функции (38), в первую очередь число воз-
можных максимумов и минимумов, и выяснить зависи-
мость этого числа от коэффициентов bi, b2, b3, bi функ-
ции (38). Найти точки перегиба и вычислить их коорди-
наты через коэффициенты Ь\, Ь3, Ь3, bi.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
И НЕКОТОРЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Здесь мы в первую очередь вычислим производные
тригонометрических функций, sinх и cosx, где угол х
измеряется не в градусах, а в радианах. При этом вы-
числении будет использован один факт, приводимый без
80
доказательства. Он доказывается громоздко и неинте-
ресно, а поверить в него легко. Факт этот следующий.
Пусть К. — некоторая окружность, а а и Ь — две ее
точки, не находящиеся в диаметрально противополож-
ном положении. Длину меньшей из дуг (ab) окружно-
сти К мы обозначим через s(ab), а длину хорды ab че-
рез 1{аЬ). Очевидно, что
s (ab) > I (ab).
(О
Мы принимаем без доказательства, что отношение
стремится к единице, когда точки а и Ь неограниченно
сближаются, т. е. когда з(аЬ)->0. В виде формулы это
можно записать так
lim -^§-=1
s (а6)->0 s УаЬ>
(2)
Из этого не доказанного утверждения мы уже со-
вершенно строго выведем другое, которым и будем
пользоваться. Для этого в
координатной плоскости вы-
берем окружность К радиу-
са 1 с центром в начале ко-
ординат о (рис. 4). Через о'
обозначим самую правую
точку окружности К, т. е.
точку пересечения ее с по-
ложительной полуосью аб-
сцисс. От точки о' отложим
вверх по окружности дугу
длины h < л/2 и конец ее
обозначим через Ь. Точно
также от точки о' отложим
вниз дугу длины h и обо-
значим конец ее через а. Тогда мы имеем
I (ab) =.2 sin Л, s (ab) = 2ft.	(3)
Таким образом, из соотношения (2\ получаем
Л->0 Л 2Л->0
2 sin Л __«
2Л — 1
Таким образом, окончательно получаем нужное нам
соотношение
lim-^=l.	(4)
4*
31
(5)
Формула эта доказана для положительного h3 но она
верна также и для отрицательного Л, так как при изме-
нении знака h знак sin h меняется.
Докажем теперь уже совершенно строго еще одно
нужное нам в дальнейшем утверждение
lim	= о.
Мы докажем это соотношение, заменив его более силь*
ным. Именно, мы заменим стоящую в знаменателе ве-
личину h меньшей величиной .sin Л. Мы имеем
1 — cos А  . (1 •— cos h) (1 + cos h)   1 — cos 2 Л	_
sin h	sin h (1 + cos h) sin h (1 + cos h) '
_______s\n2h _____ sin h
sin h (1 + cos h) 1 + cos h *
Из этого непосредственно следует, что
lim-Ц-^-О,
h-»0 sm «
а это утверждение, как было уже замечено, сильнее,
чем доказываемое нами утверждение (5),
При вычислении’ производных sin'x и cos'x мы вос-
пользуемся определением производной (см. § 1 (21)),
но при этом несколько изменим обозначения. Именно,
положим § — х = Л, т. е. § « х + Л. Ясно, что
. при имеем Л->0.
Величина. h называется приращением аргумента.
Пользуясь этими обозначениями, мы можем переписать
определение (21) § 1 производной в виде
f (х) = lim	,	(6)
Л->0	Л
Величина f(x-j-h)—f(x)' называется приращением
функции, соответствующим приращению h аргумента.
Таким образом, для вычисления производной sin'x нам
нужнрхлычислить величину
sin (х + Л) — sin х = sin х cos h + cos x sin h — sin x =*'
«= sin x (cos h — 1) + cos x sin h.
Таким образом, мы получаем
sin'x==lim	+hm sin ft cos х = cos
32
[(см. (5) и (4)). Итак, окончательно мы получаем
sin' х — cos х.	(7)
Совершенно так же будем вычислять производную
cos' х. Для ее нахождения нам нужно вычислить раз-
ность
cos (х + Л) — cos х—cos х cos h — sin x sin h — cosx =
= cos x (cos h — 1) — sin h sin x.
Мы получаем
„__z ... cos x (cos h — I) .. sin h sin x
cos'x = hm-------—e-------— hm------t----= — sin x
h+0	•"	*->o
(cm. (5) и (4)). Таким образом, окончательно получаем
cos' х = — sin х.	(8)
Производная произведения и дроби. Мы уже умеем
находить производную суммы двух функций (см. § 2,
(15)). Очевидно, что очень важно уметь находить про-
изводную произведения двух функций и производную
бтношения двух функций. Обозначим через ы(х) и о(х)
две функций переменного х и будем искать произвол-»
ные двух функций u (х) v (х),	.
При нахождении этих производных мы будем поль-
зоваться определением производной (см. § 1, (21)). Ta-
йим образом, для нахождения производной произведе-
ния нам нужно прежде всего вычислить выражение
и (В) v (|) — и (х) v (х) =
— « (£) О Й) — и (х) I» (?) + и (х) V (?) — и (х) V (х) в
= (и ® - « (х)) О Ш « (X) (О (5) - V (X)).
Таким образом, получаем
(u w v (»))' =. Пт	_
- £ — X
-Ит « «)--(»>>«> +lim 
«»«' (х) V (х) + и (х) v' (х).
Таким образом, окончательно получаем важнейшую
формулу
(и (х) v (X))' = «' (х) о (х) + и (х) о' (х).	(9)
33
Совершенно так же будем искать производную дро*
би “5*?-. Для этого нам прежде всего нужно посчитать
V {X)
выражение
»(ё) _ и(х) _ и (I) у(х) — у (g) и (х)
о(х)
«(g) о (х) — u(x)v (х) + и(х)у (х) — о (g)« (х)
____ (и (g) — и (х)) V (х) — (у (g) — V (х)1и (х)
—___«Шо(х)
Таким образом, мы получаем
« (I) и (X)
/ и (х) у _ .. у (g) У(х)
ё-х
=	° (£) ° W	о U) о (*)	”
_ и' (х) V (х) — и' (х) и (х)
“	(О(X))2
Таким образом, окончательно получаем
( U (х) у____и’ (х) V (х) — у’ (х) и (х)
U(X)J~ (v(x))2
(10)
Производная сложной функции. Будем исходить из
двух заданных функций <р(х) переменного х и if(j) пе-
ременного у. Положим
f/ = <p(x).	(И)
Подставим это выражение для у в функцию ф(^). Тог-
да мы получим функцию
/(х)^Ф(у) = Ф(ф(х)).	(12)
Эта новая функция f(x), образованная из двух функций
Ф(у) и <р(х), называется сложной функцией* Наша за«
дача заключается в том, чтобы найти производную
сложной функции f(x). При вычислении мы будем поль*
зоваться определением производной (см. § 1 (21)). По-
ложим
П = Ф(1).	(13)
Тогда
при имеем	(14)
34
Согласно определению производной
<(у) = ||т*<Э! .-*<»>.	(15)
" у
Теперь мы имеем
у (х\ _ цт Ф(ч)-Ф(у) _ lim Ф (ч) — Ф (у) . ф (^)-ф(-у)
П-V
Таким образом, имеем
гв-и ±а=.т .пт	- *- и. ф' и,
” У £->х	»	*
причем вместо у в полученный результат следует под-
ставить его значение у = <р(х).
Таким образом, окончательно получаем
(Ф(ф(х)))'=Ф'(ф(х))ф'(х).	(16)
Объясним написанную формулу словами: для того что-
бы получить- производную сложной функции f(x) =
= ф(ф(х)), мы прежде всего должны сосчитать произ-
водную функции ф(у) по переменному у, т. е. найти
функцию ф'(У), а затем подставить в полученное выра-
жение вместо у величину ф(х). После этого полученное
выражение мы должны умножить на ф'(х).
Производная рациональной степени х. Пользуясь по-
лученными общими результатами,, вычислим производ-
ную функции
Ш = <	(17)
где г — рациональное число. Рассмотрим сперва случай,
когда г есть отрицательное целое число
г = — п,	(18)
где п — положительное целое число. В этом случае мы
имеем
хг = 4г.	(19)
и для вычисления производной от хг мы можем восполь-
зоваться правилом (10). В силу этого правила и пра-
вила (13) § 2 имеем
(-?)' =
'(см. (18) и (19)).
35
Таким образом, для целого отрицательного г полу*
чаем
(xr)' — rxr~l.	(20)
Пусть теперь
' =	(21)
где р и q — целые числа и q ф 0. Для нахождения про-
изводной функции хг воспользуемся правилом" (16). Мы
положим при этом
у = Ч(х) = хр/ч, ф (!/) = «/’.	(22)
Тогда имеем ф(<р(х)) = хр. Беря производную по х от
этого равенства, и применяя к левой части правило
(16), получаем
qy4~l •<₽'(*) = рхр~1.
Подставляя в это равенство г/ = <р(х), получаем
/г \	„1
qx 4	• <р (х) = рхр~\
Решая это уравнение относительно величины <р'(х), по*
лучаем
ф'(х) = -£-хР *	i = rxr~1.
Таким образом, окончательно получаем
(хг)'^гхг~1.	(23)
Итак, при произвольном рациональном числе г полу-
чаем то же правило нахождения производной, что и для
целого числа п (см. § 2 (13)),
Производная функции tgx. Для нахождения произ-
водной этой функции воспользуемся правилом (10).
Именно, положим
Тогда в силу правила (10) мы имеем, учитывая (7) и
(8)»
\/ sin' х cos х — cos' х sin x cos2x + sin2x 1
(tgx) --------------3--------- =--------2----- =----5--.
'	'	COS2 X	COS2 X	COS2 X
Таким образом, окончательно получаем
+ <24>
3G
§ 6. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Всякий раз, когда в математике рассматривается
какая-либо операции, возникает вопрос об операции,
к ней обратной. Так, наряду с операцией сложения рас-
сматривается обратная к ней операция вычитания. На-
ряду с операцией умножения рассматривается обрат-
ная к ней операция деления, наряду с операцией воз-
ведения в степень рассматривается обратная к ней опе-
рация извлечения корня. Прй рассмотрении обратной
операции возникают два основных вопроса: ее осуще-
ствимость и ее единственность. Так, если рассматри-
вать только действительные числа, то извлечение квад-
ратного корня не всегда возможно. Нельзя извлечь
квадратный корень из отрицательного числа. Точно так
же извлечение квадратного, корня не является опера-
цией однозначной, так как при извлечении квадратного
корня из положительного числа мы получаем два его
значения: положительное и отрицательное. Теперь, ког-
да мы ввели операцию дифференцирования, возникает
вопрос об операции, обратной к ней, которая называет-
ся операцией интегрирования. Для операции интегри-
рования мы должны будем решить два основных
вопроса: вопрос об осуществимости операции интегриро-
вания и вопрос об единственности операции интегриро-
вания. Перейдем к точным математическим формули-
ровкам. Если задана функция f(x), то функция й(х),
заданная для тех же значений аргумента, что и f(x), и
удовлетворяющая условию
= (1)
называется интегралом функции f(x) или первообраз-
ной для функции f(x). Переход от заданной функции
/(х) к функции h(x), удовлетворяющей уравнению (1),
является операцией, обратной к операции дифференци-
рования, и называется операцией интегрирования. Сразу
же видно, что операция интегрирования неоднозначна.
Именно, если функция й(х) удовлетворяет уравнению
(1), то функция й (х) + с, где с — констайта, удовлетво-
ряет тому же уравнению. Действительно, мы имеем
(й(х) + с)' = й'(х) + с' = й'(х) + О = /(х)	(2)
(см. § 2 (14)). Оказывается, однако, что вся неоднознач-
ность операции интегрирования сводится И прибавлений
константы. Докажем это.
87
Докажем прежде всего, что если функция Л(х) удов-
летворяет уравнению
Л'(х) = 0,	(3)
то функция Л(х) есть константа
А(х) = с.	(4)
Это утверждение верно, однако, лишь в том случае,
когда множество допустимых значений аргумента х
функции Л(х) связно. Связность означает, что наряду
с любыми двумя допустимыми значениями аргумента xi
и ха функции Л(х) допустимым значением аргумента
является и любое число, промежуточное между xi и х2.
Об этом никогда не следует забывать. Докажем теперь,
что из соотношения (3) следует соотношение (4). Пусть
Xi и х2— два произвольных значения аргумента функ-
ции й(х). Так как множество значений аргумента функ-
ции й(х) связно, то она определена на всем отрезке
[xi, х2],- и потому в силу формулы Лагранжа (см. § 3,
(14)) имеем
h (х2) — h (хО = h' (0) (х2 — xi).	(5)
Так как Л'(0) = О '(см. (3)), то из соотношения (5) мы
получаем соотношение (4). Пусть теперь h\(x) и
h2(x\—две функции, удовлетворяющие уравнениям
Aj(x) = f(x), ft2'(x)==f(x),	(6)
так что функции fti(x) и h2(x) являются первообраз-
ными одной и той же функции f(x). Докажем, что тогда
имеет место соотношение
h^x^hi^ + c,	(7)
где с —константа. Действительно, положим Л(х) =
= йг(х)— hi (х). Тогда имеем
ft' (х) - (Аг (х) - hi (х))' = й2' (х) - h{ (х) = f (х) - f (х) == О,
и, следовательно, функция й(х) является константой.
А отсюда следует, что имеет место равенство (7). При
доказательстве мы использовали тот факт, что функции
hi(x), ft2(x), а следовательно, и f(x) заданы,на связном
множестве. Решение й(х) уравнения (1) записывается
6 виде
ft(x)=Jf(x)dx.	(8)
Знак J в формуле (8) читается: интеграл. Так как
эта формула определяет функцию ft(x) неоднозначно, а
8$
лишь с точностью до постоянного слагаемого, то выпи-
санный в правой части формулы интеграл называется
неопределенным.
Вопрос о нахождении решения h(x) уравнения (1)
при заданной функции f(x) мы в настоящее время мо-
жем положительно решить при некоторых конкретных
функциях f(x), причем метод решения сводится практи-
чески к угадыванию решения на основе тех формул,
которые были даны в §§ 2—5. Так, если функция f(x)
есть многочлен
f W:= с$хп С[Хп I « • ♦ Н- cn_iX “I- сп) (9)
-то, пользуясь формулой (18) § 2, мы можем найти функ-
цию h(x). Именно, имеем
h (х) = j (eoxn + cixn-1 + ... + cn_ix + сп) dx =
= 7TT^+1 + Vx'l+ ••• +Vx2 + ^ + c’ 0°)
где с — произвольная константа'.
Точно так же цз формул (8) и (7) § 5 следует
sin xdx = — cosx + с, cos х dx = sin х +с, (11)
где с — произвольные константы.
Из формулы (24) § 5 следует
= + (12)
Существует много различных способов нахождения
неопределенных интегралов, но все они практически
сводятся к угадыванию. Здесь мы не будем их изла»
рать. Дадим лишь одно общее правило. ^Если для функ-
ций fi(x), f2(x),	известны^ их.первообразные
hi (х), h2 (х), .... hm (х), так что выполнены соотноше-
ния h'i{x) = fl(x) (i== 1, 2, ...» m), то для функции
f (х) == cih (х) + c2f2 (х) + ... +cmfm(x), (13)
где Ci, с2, .,,, ст суть константы, мы можем выписать
неопределенный интеграл
Jf (x)dx = cift1(x)4-c2/z2(x)+ ... +cmhm(x) + ct (14)
где с ^произвольная константа,
39
Дадим простое, но очень важное применение полу-
ченных результатов к одной задаче механики.
Рассмотрим движение точки по прямой линии. Для
математического описания этого движения примем нашу
прямую за ось абсцисс, а положение точки в момент
времени t обозначим через x(t), подразумевая подх(/у
как саму точку, так и ее абсциссу. Функция x(f) вре-
мени t полностью описывает движение точки в зависи-
мости от времени. Если t и т — два момента времени,
причем t < т, то за отрезок времени т — t точка прохо-
дит путь х(т)—х(/), и средняя скорость движения точ-
ки x(t) на отрезке времени [/, т] определяется, есте-
ственно, формулой
(15)
Чем ближе значение т к значению t, тем точнее дробь
(15) определяет скорость движения в момент времени
t. Таким образом, эта скорость с»(/) определяется фор-
мулой
v (/) = lim	,	(16)
т-Н т ~ 1
Правая часть этого равенства представляет собой не
что иное, как производную функции x(t) по t, так что
скорость v(t) в момент времени t движения точки x(f)
определяется формулой
»(0 = х'(0.	(17)
Если скорость v(i) движения точки не зависит от t, т. е.
точка движется с постоянной скоростью u(/) = v, где
V Достоянная величина, то положение точки x(t) сле-
дует искать из уравнения
х'(0=Ь.	(18)
Решение этого уравнения, согласно формуле (10), запи-
сывается в виде
х = о/ + с,	(19)
Где с — постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины обозначим через хо положение точ-
ки x(t) в момент времени / = 0. Подставляя д = х(0)
И соотношение (19), получаем
х (0) = х0 = с.	(20)
40
Таким образом, решение уравнения (18) записывается
в виде
x(f)=sx0 + vt,	(21)
где хо — есть положение точки в начальный момент
времени / = 0, a v — постоянная скорость движения
точки. Уравнение (21) описывает движение точки с по-
стоянной скоростью о.
Если скорость движения точки непостоянна, то на-
ряду со скоростью рассматривается другая важная ве-
личина-ускорение, которое характеризует изменение
скорости. Аналогично тому, как мы определили среднюю
скорость, мы определим среднее ускорение на отрезке
времени от t до т. Оно определяется формулой
о (т) — о (0 '	(22)
Чем ближе момент времени т к моменту времени t, тем
точнее формула (22) дает ускорение движения точки в
момент времени t. Таким образом, точное значение u(t)\
ускорения точки в момент времени f определяется фор-
мулой
и(/) = Нт	(23)
Стоящая в правой части этого равенства величина есть
не что иное, как производная v'(t) функции и(/) по не-
зависимой переменной /, так что имеем
«(/) = п'(0-	(24)
Принимая во внимание-формулу (17), мы можем пере-
писать равенство (24) следующим.образоМ:
«(/) = *" (О	(25)
(см. § 4 (1)). Таким образом, скорость движения точки
x(t) в момент времени t есть производная x'(t), а уско-
рение движения точки x(t) в момент времени t есть вто-
рая производная x"(t) .
Большой интерес представляет собой равномерно
ускоренное движение, т. е. такое движение, при котором
ускорение u(Q является постоянной величиной
«(/) = «,	(26)
где « — постоянная величина. В этом случае скорость
v(t) движения точки следует получить из уравнения
о'(/) = «.	(27)
41
В силу формулы (10) решение этого уравнения за*
писывается в виде
v(t) — ut + c,	(28)
где с — постоянная величина. Для нахождения этой по-
стоянной величины обозначим через о0 скорость движе-
ния точки x(t) в момент времени / = 0. Подставляя в
уравнение (28) t = 0, получаем c(O) = Vo = c. Таким
образом, решение v(t) уравнения (27) записывается в
виде
о (/) = t»o +
Подставляя вместо v(t) величину x'(t), мы получаем
для функции x(t) уравнение
х' (0 = Vo + ut.	(29)
Согласно ранее полученным результатам (см. (10)) ре,
шением этого уравнения является функция
х(0 = »</ + 4/2 + с«	(30)
А
где с—постоянная величина. Для нахождения этой по*
стоянной величины с обозначим через хо положение
точки х(/) в момент времени / = 0. Подставим ^ = 0в
уравнение (30). Тогда мы получим х(О)== Хо— с.
Таким образом, равномерно ускореннное движение
описывается уравнением
х(0 = Хо+^ + <--	<31>
§ 7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИЙТЕГРАЛ
Интегрирование возникает в математике не только
как операция, обратная к дифференцированию, но так*
же и при решении многих других задач, в частности
при вычислении площади в геометрии. Вычисление пло-
щади фигур на плоскости, ограниченных кривыми ли*
ниями, приводит нас к интегрированию. При этом ин*
теграл перестает быть неопределенным, так как пло*
щадь фигуры имеет вполне определенное значение. Мы
рассмотрим здесь простейшую .задачу вычисления пло*
щади, приводящую к определенному интегралу,
Вудем исходить из заданной функции
W(4	(1)
£
играфика L этой функции, построенного в обычной пря-
моугольной декартовой системе координат. Предполо-
жим пока, что весь график L проходит над осью абс-
цисс. Пусть и, v — два каких-нибудь значения аргу-
мента х функции /(х), причем и < о. Точки графика И
с абсциссами мир мы обозначим соответственно через
а, Ь. Теперь естественно выделяется кусок плоскости,
ограниченный снизу отрезком [и, о] оси абсцисс, сле-
ва ординатой иа, справа «—ординатой vb и сверху от-
резком [а, 6] графика L. Этот кусок плоскости мы обо-
значим через Q(u, v) . Здравый смысл и потребности при-
менения говорят нам, что кусок Q(u,v) плоскости имеет
определенную площадь. Эту площадь мы обозначим че-
рез h(и, о). Выберем теперь два значения аргумента
Хо и х функции f (х) и положим
Л(х0> x) = ft(x).	(2)
Обозначая соответствующую площадь через й(х), мы
тем самым подчеркиваем, чтд рассматриваем ее как
функцию переменной величины х. Вычислим теперь про-
изводную h'(x) так определенной функции й(х). Выбе-
рем для этого некоторое значение £ аргумента нашей
функции (1), близкое к х. Для определенности будем
считать, что g>x. Для вычисления производной Л (х)
мы прежде всего должны вычислить разность й(£)—
—й(х), т. е. разность площадей фигур Q(x0, |) и
Q(x0, х). Эта разность равна площади фигуры Q(x, |),
Имеем
h(l)-h(x) = h(xtl).	(3)
Мы не будем точно вычислять площадь й(х, £) фи-
гуры Q(x, £), а дадим только ее оценку. Для этого йве-
дем новые обозначения. При двух произвольных значе-
ниях и, v аргумента функции f.(x) мы обозначим через
р.(«, ц) минимум функции f(x) на отрезке [и, о], а через
v(u, v) максимум функции f(x) на том же отрезке
[и, о]. Прямоугольник с основанием [и, о] и высотою
р(ц, v) обозначим через M(u,v), а прямоугольник с ос-
нованием (и, о] и высотою v(w, v) обозначим через
N(u, р), Применяя наше обозначение к случаю, когда
и==х/а p«=g, мы видим, что прямоугольник Af(x,g)
содержится в фигуре Q(x, £)> а сама фигура Q(x, §) со-
держится в прямоугольнике N(x, |). Так как площади
-0
прямоугольников М (х, |) и N (х, £) равны соответ*
ственно
(I — х) Ц (х, В), (I — х) v (х, I),	(4)
то мы получаем следующее двойное неравенство:
(I — х) ц (х, |) < h (х, g) < (g — х) v (х, £)	(5)
или иначе
(I — х) и (х, |) < h (s) — h (х) < (g — x) v (x, |).	(6)
Ясно, что при |->x мы имеем
И (х, I) -> f (х), v (х, |) -> f (х).	(7)
Таким образом, деля двойное неравенство (6) на поло-
жительную величину (J-— х) и переходя к пределу при
£ -► х, получаем
f (х) < lim	< f (д	(8)
° х
Так как, согласно определению,
A4x)-lim^gW
то из формулы (8) следует
Л'(х) = /(х).	(9)
Таким образом, мы нашли производную функции Л(х)
и убедились, что й(х) является первообразной для
функции f(x). Следует отметить еще одно свойство
функции й(х). При х — х0 кусок плоскости Q(xo,x) пре-
вращается в отрезок и потому имеет площадь, равную
нулю. Таким образом,
й(хо) = О.	(10)
Все сделанное до сих пор исходило из предположе-
ния, что хо х и что график L функции ((х) на отрезке
[хо, xj целиком проходит над осью абсцисс. Эти пред-
положения необходимо снять и определить функцию
ft(x) так, чтобы она удовлетворяла условиям (9) и (10).
Если график функции f(x) на отрезке [хо,х] частич-
но проходит над осью абсцисс и частично под осью
абсцисс, то мы разобьем его на две части: £+, лежащую
над осью абсцисс, и L-, лежащую под осью абсцисс.
Каждая из кривых £+ и L- может состоять из несколь-
ких кусков. Площадь, заключенную между кривой L+ и
осью абсцисс, обозначим через А+(х), а площадь, - за-
ключенную между осью абсцисс и кривой L-, обозначим
через h-(x). Сохраняя предположение, что хо < х, мы
положим теперь
й(х) = й+(х)-й_(х).	(11)
Если теперь хо > х, то площади А+(х) и h-(x) опреде-
ляются точно так же,- как и в случае хо < х, но функ-
ция h(x) определяется формулой
А (х) = — (Л+(х) — А_ (х)).	(12)
Площадь по самой своей сущности — величина по-
ложительная. Определяя ее формулами (11) и (12), мы
тем самым алгебраизируем площадь, т. е. приписываем
ей знак плюс или л(инус в зависимости от обстоятельств.
Быть может, несколько кропотливо, но без каких-либо
существенных трудностей можно доказать, что при но-
вом определении функции А(х) ее свойства (9) и (10)
сохраняются. Таким образом, для любой функции /(х)
найдена ее первообразная й(х), удовлетворяющая до-
полнительному условию (10).
Этот способ построения функции А(х), являющейся
первообразной для функции f(x)-, хотя и убеждает нас
в том, что функция Л(х) существует, так как по здра-
вому смыслу площадь фигуры существует, но он не
дает нам возможности вычислить эту площадь хотя бы,
например, при помощи электронно-вычислительной ма-
шины. Способ вычисления функции А(х) будет дан не-
сколько позже, а сейчас мы покажем, что и достигнутый
уже результат дает нам некоторые плоды. Он позво-
ляет сосчитать площадь А(х) куска плоскости Q(x0, х) в
том случае, когда мы можем угадать некоторую перво-
образную Л](х) функции f(x). Итак, допустим,, что мы
как-то нашли функцию fti(x), удовлетворяющую усло-
вию • "
Ai(x) = f(x).	(13)
Подставляя в формулу (7) § 6 вместо функции Лг(х)
функцию А(х), получаем равенство
A(x)-A1(x) + c,	(14)
где с есть постоянная величина. Для того чтобы найти
ее, подставим вместо х в это равенство величину хо.
Тогда мы получим, в силу формулы (10)
0 =/г (х0) = (х0) + с.
45
Отсюда следует, что с«=—fti(xo), и, следовательно,
Л (х) = Л1 (х) — Л1 (х0).	(15)
Формула эта представляет собою важный резуль»
тат. Она' выражает площадь h{x) фигуры Q(x0,х) через
произвольную первообразную fti.(x) функции f(x). Сама
функция h(x') называется определенным интеграЛом
функции f (х) и записывается в виде
й(х) = \f(t)dt.	(16)
Здесь хо называется нижним пределом интегрирова-
ния, х —верхним пределом’интегрирования, a t** пе-
ременной интегрирования. Функция й(х) зависит от за»
данной функции f (х) и пределов интегрирования х0 it х,
но вовсе не зависит от переменной интегрирования, точ»
нее, от ее обозначения, так что ее можно обозначить
любой буквой. Например, мы можем написать
h (х) = f (т) dr.
Определенный интеграл как предел последователь4
ности конечных сумм. Перейдем теперь к способу при»
ближенного вычисления площади Л(х) куска плоскости
Q(xo, х). Здесь мы вновь будем считать, что хо < х и что
на отрезке [хо, х] график функции f(x) проходит над
осью абсцисс. Разобьем отрезок [хо, х] точками
Хо < Х[ < Х2 < ... <хп*=х.	(17)
Мы будем говорить, что подразделение (17) отрезка
[хо, х] имеет мелкость 6, если длина каждого отрезка
подразделения меньше чем б, т. е. если выполнено уело»
вие
xt — X/_i<6 (/-1,2,..., л).	(18)
Употребим введенные ранее обозначения для отрезка
[и, п], применяя их теперь к отрезку [хг-i, х<], и соста-
вим две суммы
М = (xi —jcfi н (хо, Xi) + (х2 — xi) и (хь ха) 4- ...
• •• 4* (,Хц “• Хп_ 1) ц (хп_ 1, хп), (19)
N = (xt — Хо) V (Хо, хО 4- (х2 — Xi) V (Х1, Х2) 4- ...
...+(*«- Хп-l) V (*Л-Ь хп). (20)
46
£умма (19) представляет собою сумму площадей всех
прямоугольников
(/=1,2....п).	(21)
Сумма (20) представляет собой сумму всех прямоуголь-
ников
N(x{_i,x{) (/=1, 2, ...» п).	(22)
Объединение всех  прямоугольников (21) входит в ку-
сок плоскости Q (х0, х) . Объединение всех прямоуголь-
ников (22) содержит внутри себя Q(xq,x). Таким обра-
зом, мы имеем двойное неравенство
М<Л(хХ^	(23)
Величины М и N зависят- от последовательности точек
(17), т. е. от способа подразделения отрезка [хо, х].
Сравнительно просто, но довольно канительно доказы-
вается, что при неограниченном измельчении подразде-
ления (17), т. е. при б -► 0 величина N — М также стре-
мится к нули?. Это показывает, что величины М и N
представляют собою приближенные значения площади
Л(х). Некоторое неудобство представляет собою тот
факт, что при вычислении величин М и N мы должны
находить максимумы и минимумы функции f(x) на всех
отрезках подразделений. Это можно упростить следую-
щим образом. На каждом отрезке [x,-i, х<] выберем
произвольную точку g(- и составим сумму
Р = (х1-х0)/(|1) +
+ (Х2 - х,) /&)+...+ (х„ - хЛ_,) f (и. (24)
Так как имеет место очевидное неравенство
И(х/_1, х/)<f&Xv(x/_b xi),	(25)
то мы имеем неравенство
M^P^N.	(26)
Так как величины М и N неограниченно сближаются
при б-> 0, то величины й(х) и Р неограниченно сбли-
жаются при безграничном измельчении подразделений
(17). Таким образом, можно приближенно вычислять
площадь А(х) при помощи суммы (24). Это и есть спо-
соб вычисления площади куска Q(xo, х). Он же может
рассматриваться й как логическое определение понятия
рлощади.
47
§ 8. ПОСТУЛАТ СХОДИМОСТИ
Дадим теперь очень простой пример вычисления пло«
щади при помощи формулы (16) § 7 и введем в связи
с этим рассмотрением очень важный признак существо-
вания предела. Зададим функцию формулой
= = (1)
и будем рассматривать ее только для положительных
значений х. В силу формулы (23) § 5 первообразной для
функции х~2 является функция — х~1. Действительно,
—(х~1)' = х~2 — 1/х2. Таким образом, в силу формулы
(16) § 7 площадь куска Q(x0', х), заданная функцией (1),'
определяется формулой
X
ftW=U==_(±_j-)=sj__±.
J »	\ X Xq / Xq X
Хо
Таким образом,
Т-	<2>
ЛО X
Так как х > х0, то h(x) > 0. Здесь важно отметить одно
очень интересное обстоятельство. Если х будет неогра-
ниченно возрастать, то правая часть соотношения (2)'’
стремится к пределу 1/х0. Это следует понимать так, Что
между, ординатой хоао, осью абсцисс и кривой
у—\1х*
имеется ограниченная площадь, хотя полоса, заключен-
-ная между осью абсцисс и нашей кривой, простирается
в бесконечность. В виде формулы это записывают так:
СО
С этим несколько странным явлением связано Дру-
гое явление, играющее весьма важную роль. На нем
мы сейчас и остановимся.
Будем считать, что k — натуральное число и соста-
вим последовательность целых чисел
Хо = £, Xj = &4- 1, ..., Xt — k-]-i, ..., xn=k-\-n=x.
(4)
48
Эта последовательность целых чисел разбивает отрезок
интегрирования [хо, х] на отрезки длины 1. Составим
для этого подразделения отрезка [хо, х] на. отрезки дли-
йы 1 сумму М (см. § 7 (J9)) для функции (1). При
Зтом мы должны принять во внимание, что минимум
функции f (х) ца отрезке [x,_i, х,] достигается в правом
конце отрезка и равен 1/х|
Число М в нашем случае зависит от еще не зафиксиро-
ванных натуральных чисел k и п., поэтому мы его обоз-
начим через M(k, п). В силу формулы (19) § 7 полу-
чаем для него выражение
M = M(k, п) =	+ 2)2 + ... +	+ nj2 •	(6)
Из первой части двойного неравенства (23) § '7 мы по-
лучаем в нашем случае
k+n
f-T-TTR- СТ
k
Положим теперь
6=1, p = n-j-l, sp= 1 4-Af(1, р).	(8)
Тогда мы получим следующее выражение для sp:
S/> = -p- + 4’ + l?’+ ••• +7Г<1 + 1“7' = 2—у-
(9)
Отсюда следует, что величина sp всегда удовлетворяет
неравенству
sp<2.	(10)
Из формулы (9) видно, что величина sp возрастает вме-
сте с возрастанием р, но остается ограниченной в про-
цессе этого возрастания, все время оставаясь меньше 2.
Здравый смысл говорит нам, что величина sp при не-
ограниченном возрастании р, оставаясь ограниченной,
должна стремиться к некоторому определенному числу
$. Это утверждение мы можем записать в виде
lim sp = $.	(11)
р-»00
49
Постулат сходимости. Примем без доказательства
следующее утверждение.
Допустим, что имеется некоторая функция о(р) на-
турального числа р, удовлетворяющая двум условиям!
с(р) растет вместе с ростом р, т. е. выполнено условие
о(р+1)>о(р) (р=1, 2, ...)	(12)
и о(р) остается ограниченной при всех значениях р, т. е.
выполнено условие
<т(р)<с,	(13)
где с — постоянная величина, не зависящая от р. Тогда
величина а(р) при неограниченном возрастании р не<
ограниченно приближается к некоторому числу о. Это
утверждение записывается в виде
lim <т(р) = <г.	(14)
р“>оо
Соотношение (9) мы можем теперь формулировать
следующим образом. Рассмотрим бесконечную сумму
"jT +	+ • • • +	+ • • •	(15)
Так как конечная сумма sp (см. (9)) слагаемых этого
ряда удовлетворяет условию нашего постулата, то бу«
дем считать, что бесконечная сумма (15) существует и
задается формулой
s= lim sp.	(16)
р->оо
Говорят, что бесконечный ряд (15) сходится и имеет
своей суммой величину $;
Если
Р<<7	(17)
— два натуральных числа, то из формул (6), (7) и (9)
вытекает
Sn = sp + M'(p, q — р),	(18)
причем
Af(p,^-p)<l/p.	(19)
Таким образом, имеем
sq-sp<\/p.	(20)
Переходя в этом соотношении к пределу при
получаем
s —Sp<l/p.	(21)
во
Из этого мы видим, что величина s задается вели-
чиной sp с точностью до 1/р, и потому, рассматривая
величину sp как приближенное значение величины s,
мы знаем величину погрешности, которую мы допускаем
при этом приближении.
В алгебре уже рассматривалась сумма бесконечного
ряда, именно, сумма бесконечной геометрической про-
грессии
3 = XV + WV + WV2 + ... + WV1 + • •.
В случае, когда |t»|< 1, эта прогрессия имеет сумму,
равную
Таким образом, мы уже сталкивались с суммированием
бесконечного ряда и имели возможность вычислить его
сумму (22).
Бесконечный .ряд (15) тоже имеет сумму, но мы не
можем ее выразить в виде формулы, как это сделано
для геометрической прогрессии'. Мы можем только быть
уверены в том, что конечная сумма sp, составленная из
начальных его членов, является приближенным значе-
нием для суммы s этого ряда, и мы знаем точность этого
приближения (см. (21)). Раз мы можем найти сколь
угодно хорошее приближение числа s, то мы должны
считать, что число s нам известно. С таким явлением
мы уже сталкивались, когда рассматривали число л.
Его можно вычислить с любой точностью, но нельзя за-
дать его никакой алгебраической формулой.
Точно так же обстоит дело и с числом $, которое
задается равенством (16). Числа sp являются его при-
ближенными значениями.
§ 9. БИНОМ НЬЮТОНА
И СУММА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Здесь будут доказаны алгебраические формулы, упо-
мянутые в заголовке параграфа, которые понадобятся
нам в § 10.
Бином Ньютона. Для того чтобы выписать и дока-
зать эту формулу Ньютона, носящую название бинома
Ньютона, нужно прежде всего напомнить, что собою
Представляет функция га! натурального числа п. Функ-
ция эта определяется формулой
п! = 1-2-3 ... п.	(1)
51
Таким образом, п! (читается: п факториал)' есть Произ<
ведение всех натуральных чисел подряд, начинай с I
до п. Мы имеем
ц=1, 21=1-2 = 2, 3! = Ь2.3 = 6,
4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
Удобства ради положим
0!=1.	(2)
Формула Ньютона, о которой идет речь, записывает-
ся в следующем виде:
(и+„)._	(з)
i. i
i+i-n
Здесь справа стоит сумма всех членов вида
ДиЧ	(4)
где i -f- / = п, причем / и / — неотрицательные целые
числа. Формулу эту мЫ будем доказывать индуктивно.
Именно, мы убедимся прежде всего,- что для п = I она
верна, а затем докажем!, что если она верна -при пока-
зателе степени, равном п, то она верна и при показа-
теле, равном п + 1.
Дляп = 1 мы имеем
+	(5)
Таким образом, для n = I формула (3) верна.
Для проведения индукции умножим равенство (3)'
на Тогда слева мы получим (« 4* Справа
же мы получим члены, содержащие множители ирич, где
р 4- q = n+l. Из слагаемого (4) после умножения
на (« 4- о) мы получим слагаемое, содержащее множи-
тель upv4 В случае, если
/ = р—1, j^q или i = р, l = q-~\.
В первом случае мы получим член, содержащий «ро4
в результате умножения члена (4) йа «, а во втором
случае при умножении члена (4) на о. Таким образом,
в результате умножения^суммы, стоящей в правой части
равенства (3), на («4“ °) мы получим член, содержа-
62
щий upV> с коэффициентом
п! . п!
(/> — 1)! </! ’ pl (9 — 1)! *	W
Умножая на р числитель и знаменатель первого слагае-
мого этой суммы и на q числителе и знаменатель вто-
рого слагаемого этой суммы, перепишем сумму (6) в
виде
п\р . п\д nt (р + д) __ (п +1)1	/-.
pty! plgl “ plgl	plgl '
Таким образом, получаем окончательно
(« + »)’«= £	(8)
г*1*
Р» q
p+q~n+l
Итак, индукция проведена и формула (3) доказана.
Коэффициент
входящий в формулу (3), обычно записывают в не-
сколько ином виде. Для этого полагают / = k, i = п-—
— k и производят сокращение дроби (9) на (п — k) I.
Действительно, мы имеем
тг^г = п(п-1)...(п-*+1).	(Ю)
Таким образом,: получаем
nl n(n—1) ... (п —АЦ-1)	....
(п-Л)!Л1в	kt	»
и формула (3) переписывается в виде
(« + <.)’ = u“+^V-'l, + A<i=n.„"-V+ ...
... 4- »<"-')	+ ... +о», (|2)
Выведем заново еще одну формулу, известную из
алгебры.
Сумма геометрической прогрессии. Положим
gm = ® + w • о + w • и2 + ... +w‘Vm. (13)
Умножим и разделим правую часть этого равенства на
53
и используем формулу (9) § 2, положив в ней
и = 1. Тогда получим
gm = w
1 _ vm+l
i — o
(14)
В дальнейшем мы будем пользоваться этой формулой
только в случае
О < v < 1, w > 0.
В этом случае из нее следует
а>
1 — о
(15)
§ 10. ФУНКЦИЯ 0х
Здесь мы прежде всего очень педантично и строго
определим функцию ех, где х — переменная, могущая
принимать произвольные действительные значения, а
е*— известное и важное в математике число
е —2,71828 ...
Мы начнем наше исследование с рассмотрения функции
©Н*)=(1+т)П’	(D
где п — натуральное число. Определенная этим соотно-
шением функция ©в(х) есть многочлен степени га отно-
сительно х. Прежде всего мы докажем, что при каждом
фиксированном х величина ©п(х) стремится к некото-
рому определенному пределу при п ->• оо, который обо-
значим через ехр(х), что в виде формулы записывается
так:
lim ©ft (х) = exp (х).	(2)
П->00
В результате тщательного изучения функции ехр(х),
определенной этим соотношением, придем к выводу, что
ехр (х) — е*.	(3)
Изучение функции ©п(х). Применим к правой части
равенства (1) формулу (12) § 9, положив в ней и= 1,
64
у=-^-. Тогда получим
„ !.Л _ 1 1 « х ,	( п (п - 1) ... (п k + 1) хк ।
e„to-l+--+...+---------------------7+...
(4)
В полученной формуле преобразуем числовой коэффи-
циент при хк. Мы имеем
я(«-1) ... (n-fe+1) _ ! л __1_\ Л _ fe- 1 \ 1
klnk	\ п) ' ’ *\ п / /г!
(5)
Полагая
<s>
мы можем переписать формулу (4) в виде
on(x)=l+V«(l)4r+ ••• +Y»(*)4+	W
Величина yn(k) обладает следующими свойствами:
Yn(0 = 1	(8)
о < ?«#) < уп+1 (k) < 1 при 1< k < п, (9)
у„ (k) == 0 при k > ti.
Из формулы (7) и неравенства (9) следует, что
при х > 0 имеем ®ft (х) < <on+i (х).	(10)
Зафиксируем теперь х, не обязательно положитель-
ное, и выберем настолько большое натуральное число р,
чтобы было | х | < р + 1, или, что то же,
\х\Кр+ 1)< 1.	(11)
Тогда при k> р имеем
Vn (fe) |xlft<	1Ж1Й —	lxlP	Iх!	Ixl	Iх! <
kt	kl pl	p + 1	p + 2	k
Разобьем сумму (7) на два слагаемых
®Л W « sa (р, х) + га (р, х),	(13)
Й
где
Snip, Х) =
= 1 + уп(1)-п-+ ... +Y„(Oy-+ ;.. +v„(p)-£’ (I4>
rnip, x) =
=у„(р+1)-(ЯЛ)г+ ... +т»т4+	<15)
здесь i p, k> p.
В силу формулы (12) получаем неравенство
\rnip, *)К
< I х |р Г | х |  I I2 ।	। I х lk~p . I .
pi Lp + i^cp+i)2  (р + 1)‘"р J
I х|
|*|Р р +1	_ |х|Р Ф IXI
pl . IX | р! р + 1 — | х |
р+1
(см. (15) § 9 и (11)). Окончательно получаем
IГпip, х) |<	р~+ *-j1 х। при |х|<р+1. (16)
Отсюда видно, что величина |гп(р, х) | остается ограни-
ченней при неограниченном росте п, и, следовательно,
имеем неравенство
®n(x)<cix),	(17)
где с(х) зависит от х, но не зависит от п. Таким обра-
зом, при х > 0, в силу неравенств (10) й (17), величина
<йя(х) йри неограниченном росте и возрастает, оставаясь
ограниченной, „и потому предел её существует (см. § 8),
Так что мы можем написать
при х > 0 имеем exp (х) = lim ©п (х).
Л-»<»
Случай |х|^1. В этом случае мы можем считать
р = 1, так как при |х|1 неравенство (11)*выполнено
при р == 1. Тогда формула (13) переписывается в виде
оп(х)= 1+х +г„(1, х),
где
|г„(1, x)t<|x|. g^L-OxI2.'
86
Таким образом, окончательно при 1*1^1 имеем
©„ (х) = 1 + х + rn (1, х), где | rn (1, х) | < х\~ (18)
Пусть теперь
U ...	(19)
— некоторая последовательность, сходящаяся к нулю.
Рассмотрим'величину ©„(£„). Так как при достаточно
больших п |gn|< 1, то при достаточно больших п для
величины ©«(£«), имеет место формула (18), т. е.
Отсюда следует окончательный -вывод:
если limgn —О, то lim ©„(£„)= 1.	(20)
п->оо	П->оо
Займемся теперь случаем, когда аргумент х функ*
ции ®«(х) отрицателен. Для этого рассмотрим функцию
«Л(-Д	(21)
считая х положительным. Составим произведение функ»
ций ©„(—х)©п(х). Мы имеем
©я (— х) ©« (х) = (1 —	)“—©„ О	(22)
где
t	*2
Так как
Пт |„ = 0,
П->оо
ТО
Птш„(У=1	(23)
Л-»оо
(см. (20)). Так как в силу формулы (22) мы имеем
причем числитель и знаменатель правой части этого
равенства имеют определенные пределы при п->оо,
получаем
lim ©п(Ы .
hm ®д (- х) =	ап(х) = -5^-.
Л^оо
87
Итак, мы доказали, что функция <в„(—х) при х положи-
тельном стремится к определенному пределу, и потому
можно положить
lim ©rt (— х) = exp (— х),
причем
exP(-x)=-^w-	<24>
При этом доказано одновременно важное свойство
функции ехр (х). Именно,
ехр (— х) ехр(х) = 1,	(25)
где х > 0. Переобозначая —х на х, получаем формулу
ехр (х) ехр (— х) = 1,	(26)
где х уже отрицательно. Заметим, кроме того, что при
х = 0 ю„(х)= 1, так что, согласно определению,
ехр(0)=1.	(27)
Таким образом, для всех значений х мы имеем очень
важное соотношение
ехр (х) ехр (— х) — 1.	(28)
Итак, мы доказали, что при произвольном значении
х величина <вп(х) стремится к определенному пределу
при п -> оо, так что можно положить
ехр (х) = lim ©„ (х).	(29)
П->оо
Из формулы (18) следует, что при |x|s^l имеем
ехр (х) = 1 + х + г (х), где | г (х) | < х2.	(30)
Основное свойство функции ехр^(х). Оказывается, что
имеет место следующее важнейшее свойство функции
ехр(х). Если х и {( — два действительные числа, то мы
имеем соотношение
ехр (х) ехр (у) = ехр (х + у).	(31)
Для доказательства этого важнейшего равенства со-
ставим произведение функций шл(х) и &п(у). Мы полу-
чим
= (1+Л±Л+«.у. (32)
58
Мы имеем
1 । х + у I =	। * + Н Л , ху \
1+ п	it )\l^h (п + х + у)J
=(‘+т^)(‘+т). <33>
где
^=Т+Т+7-	<34)-
Из формул (32) и (33) получаем
®„(х)о„(р) = ®„(х + р)®„(У.	(35)
Так как lim grt = 0, то lim ®n (£„)== 1 (см. (20)). Таким
n->00	П->оо
образом, переходя к пределу при n—>oq в соотношении
(35), получаем
ехр (х) ехр (у) = ехр (х + у}.
Таким образом, соотношение (31) доказано.
Соотношение это, доказанное для двух сомножите-
лей, очевидно, верно и для произвольного числа сомно-
жителей. Считая все сомножители одинаковыми, мы по-
лучаем соотношение
(ехр (х))р = ехр (рх),	(36)
где р — натуральное число. Из этого соотношения и со-
отношений (27). и (28) получаем соотношение
(ехр (х))₽ = ехр (рх)<	(37)
где р — произвольное целое число. Заменяя в этом соот*
ношении целое число р целым числом qt а рх «== рх че-
рез у, получаем соотношение
(ехр(у))’вехР^)>	(38)
откуда следует
ехр (у) = (ехр (y))V* •	(39)
Возведя последнее соотношение в степень р, полу-
чаем
(ехр (у ))₽ = (ехр (у))р!<1.	(40)
В силу соотношения (36) левая часть* этого равенства
может быть переписана в виде
(exp(f))₽ = exp(f *)•
S9
Таким образом, окончательно получаем
ехр (^- у) — (exp .	(42)
Заменяя в этом соотношении у на х и полагая г =
= p/q, мы получаем окончательную формулу
ехр (гх) = (ехр (х))г,	(43)
где г — произвольное рациональное число.
Число е и функция ех. По определению будем счи«
тать, что число е задается равенством
е=ехр(1).	(44)
Таким образом, мы имеем
е=Пт(1+-1)П.	(45)
П-»«О '	п '
Это есть обычное общепринятое определение числа е.
Полагая в соотношении (43) х = 1, получаем
ехр (г) = ег,	(46)
где г—произвольное рациональное число. Таким обра-
зом, мы установили, что для произвольного рациональ-
ного числа г функция ехр (г) представляет собой не что
иное, как величину ег, где Возведение в рациональную
степень г понимается так, как это понимают в алгебре.
Для произвольного, не обязательно рационального чис-
ла х равенство
а* = ехр (х)	(47)
является определением функции ех. Правая часть со-
отношения (47) нами уже определена. Функция _ех, пер-
воначально определенная чисто алгебраически для ра-
циональных значений х, формулой (47) .доопределяется
так, что она имеет смысл уже для произвольного дей-
ствительного числа х, не обязательно рационального.
Такое определение функции ех для'действительных зна-
чений х является единственно разумным. Так получаю-
щаяся в результате этого построения функция ех обла-
дает хорошими свойствами. Эти свойства следующие:
е°=1, ехе« = ^.	(48)
Эти свойства функции ех вытекают из свойств (27) и
(31) функции еХр(х), с которой функция ех совпадает.
60
Кроме того, функция ех имеет производную. Займемся
ее вычислением.
Производная функции ех. При определении произвол»
ной ех мы воспользуемся формулой (21) § 1, положив
при этом
£ = х + й.	(49)
Таким образом,
(«*)' = lim - д е — lim е {е	(50)
Л->0 п	h->Q Л
Так как h — малая величина, то мы можем при вычис-
Ленин функции eh использовать формулу (30), так что
получаем
ек= 14-й 4- г (ft),
где
\r(h)\<h*.	(51)
Из этого следует, что
(52)
л-»о "
Таким образом, из формулы (50) следует, что
(«*)'-«*.	(53)
Итак, производная функции ех вычислена. Она обла-
дает тем замечательным свойством, что совпадает с са-
мой функцией ех. Тем же свойством обладает функция
сех, где с — константа. Именно,
(«?*)' = «?<	(54)
Оказывается, что всякая функция f(x), удовлетворяю-
щая уравнению
f(x) = f(x),	(55)
записывается в виде
f(x) = cex,	(56)
Доказательство дается в упражнении 3 к § 11.
§11. ФУНКЦИЯ In х
Имея в виду в дальнейшем изменить обозначения,
я, для того чтобы не вводить путаницы, употреблю гре-
ческие буквы для обозначения переменных. Рассмотрим
уравнение
П = Л	(1)
61
Решение этого уравнения относительно неизвестной
величины g-при известной величине т] называется нату-
ральным. логарифмом величины т] и обозначается через
g=lnt].	(2)
Следует прежде всего выяснить, при каких значе-
ниях т) уравнение (1) имеет решение относительно неиз-
вестной £. Заметим прежде всего, что — величина
всегда положительная, что следует из ее определения.
Таким образом, уравнение (1) может быть разрешено
лишь при т] > 0. Для дальнейшего исследования урав-
нения (1) надо начертить график функции (1), откла-
дывая | по оси абсцисс, а г]— по оси ординат. Так как
число е заключено между числами 2 и 3, то при возра-
стании £ функция ёЧ растет быстрее, чем функция 2К
Для того чтобы составить себе представление о той ско-
рости, с какой растет функция 2\ напомню известный
рассказ. Изобретатель игры в шахматы попросил от
персидского шаха следующую награду. Он сказал; «По-
ложи на первую клеточку шахматной доски одно зерно
риса, на вторую клеточку — два зерна риса,на третью-—
четыре зерна риса и так на каждую следующую Кле-
точку вдвое больше, чем на предыдущую». Так как об-
щее число клеточек шахматной доски есть 64, то общее
количество зерен составляет сумму геометрической про-
грессии
1 +2 + 22+ ... +2*+ ... +263.
Сумма этой прогрессий дается формулой (14) § 9 и
равна 264— 1. При попытке подсчитать это число полу-
чаются такие. чудовищные результат, что, если я не
ошибаюсь, такого количества риса нет вообще на земле.
Итак, функция стремительно возрастает при £-*-
+ оо. Точно так же она стремительно убывает к нулю,
когда — оо. Так как производная функции ё* поло-
жительна при произвольном £ (см. § 10, (53)), то функ-
ция е* возрастает на всем протяжении — оо < § <
< + оо. Отсюда видно, что уравнение (1) имеет реше-
ние для всякого положительного i] и притом только одно.
Перейдем теперь к более естественным обозначе-
ниям. Рассмотрим уравнение
е? = х
(3)
62
й у = у(х) — искомое решение уравнения. Как мы уже
отметили, функция
Ф (х) = In х	(4)
определена при всяком положительном х. Возьмем про-
изводную от обеих частей равенства (3) по х, считая,
что у == ф(х), и беря производную от левой части равен-
ства как от сложной функции (см. § 5, (16)). Тогда по-
лучим в силу этой формулы
(е’)'.<р'(х)=1,	(5)
где в выражении (e«)e нужно заменить у через q>(x).
Так как
(ev)' = ey = e^w = x,
то мы получаем для <р'(х) выражение
ф' W = т •	<6)
Здесь ф(х) есть натуральный логарифм х. Таким
образом, производная 1пх определяется формулой
(In# = 4-.	(7)
§ 12. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ е* В РЯД
Формулы, получейные в § 10, дают возможность
разложить функцию .е* в степенной ряд.
Из формулы (6) § 10 следует, что
Пту„(^)=1.	(1)
П“>оо
Выберем теперь р так, чтобы было р+1>10|х|.
Тогда из формулы (12) § 10 получим
Уп № । „ а	.	1
fe!	р! 10ft-p 
Переходя к пределу при п -> оо, получаем
|x|fe |х|р 1	,2v
k\ "" pl ioft-p ’
так как при фиксированном х р — фиксированное число,
то из формулы (2) следует, что при неограниченно
63
I
возрастающем k величина -L-^— стремится к нулю. Таким
образом, при фиксированном х найдется настолько
большая величина q, что
-Цр- <1 при k > q.	(3)
Хотя при доказательстве этого соотношения мы поль»
зовались определенным выбором натурального числа р,
окончательный результат (3) не зависит от этого вы»
бора.
Будем теперь считать, что в формуле (16) § 10
р >q. Тогда из нее мы получим
\гп{р, х)\< р1 • р+1_|х| < p + 1_jx| •
Из формулы (13) § 10 следует теперь, что
I ©„ (х) — зп(р, х) | < р +(4)
Из формулы (14) § 10 и (1) следует, что при переходе
к пределу при п->-оо в неравенстве (4) мы получаем
L*_ (t i_£_ .121 д_	।	।* I
Г V “г it f 21 ч*	*" pi/| p + l-|x| ’
Так как правая часть этого неравенства стремится и
нулю при р неограниченно возрастающем, то неравен»
ство это означает, что ех разлагается в бесконечный ряд
При х—1 получаем
г=1+-гг+^+-+тг+-	<6)
Формулы (6) и (5)' удобны для вычисления числа е и
функции 6х.
§ 13. ПОСЛЕСЛОВИЕ. О ТЕОРИИЛ1РЕДЕЛОВ
Личный опыт убеждает меня, что первоначальное
знакомство с математическим анализом не должно на»
чинаться с изучения теории пределов. Будучи еще
школьником, я довольно хорошо владел основами диф«
64
ференциального и интегрального исчисления, умея поль-
зоваться ими для решения задач, но не зная даже о су-
ществовании теории пределов, и только на первом курсе
я узнал о том, что она существует и был этим очень
удивлен. Исторически интегральное и дифференциаль-
ное исчисления были уже хорошо развитыми областями
математики до того, как появилась теория пределов.
Последняя возникла как некоторая надстройка над су*
шествовавшей уже теорией. Многие физики считают,
что так называемое строгое определение производных
И интегралов вовсе не нужно для хорошего понимания
дифференциального и интегрального исчисления. Я раз-
деляю их точку зрения. Я думаю, что, начав изложение
математического анализа в школе с теории пределов,
можно полностью увязнуть в последней, не дойдя ни до
каких содержательных результатов. Ознакомление G
теорией пределов, если и нужно, то оно должно быть
дано уже после ознакомления с содержательными ре-
зультатами анализа. Поэтому я даю очень неформаль-
ное и очень интуитивное описание теории пределов
лишь в послесловии.
Теория пределов. Понятие предела всегда связана
G изучением поведения некоторой функции f(g) в связи
О поведением ее аргумента g. При этом взаимосвязь по-
ведения функции f(g) с поведением аргумента' g имеет
очень специфический характер. Ставится вопрос о том,
Как ведет себя величина f(g), когда переменная вели-
чина g неограниченно приближается к некоторой по-
стоянной величине х. Еслц в процессе приближения ве-
личины g к постоянной величине х, переменная вели-
чина f(g) также приближается к некоторой постоянной
величине f0 (мы не предполагаем, что функция f(g)
определена при g = x), то считается, что функция f(g)
стремится к пределу f0 при g->x. В виде формулы это
записывается так:
limf(g)=f0.	(1)
Для того чтобы не давать формальных определений, а
дать лишь интуитивную картину, мы должны предста-
вить себе, что g является приближенным значением
величины х, и точность этого приближения возрастает
по мере приближения g к х. Точно так же величину
f(g) надо рассматривать как приближенное значение
величины /о» причем точность приближения возрастает
65
по. мере того, как возрастает точность приближения х
величиной
При таком интуитивном описании легко понять ос-
новные правила предельного перехода. Если имеются
две функции f(g) и g(g), причем выполнено условие
Пт f (|) = f0, Пт g (x) = gQ,	(2)
f. e. величины f(g) и g(%) являются все более и более
точными приближениями величин f0 и go, когда g ста-
новится все более точным приближением величины х,
то очевидно, что приближенное значение суммы f0 + go
дается суммой f(£)+g(£) и точность этого приближе-
ния повышается пр мере того, как повышается точность
приближений величины f0 величиной f(g) и величины go
величиной g(£). Отсюда вытекает первое правило тео-
рии пределов
Пт (f ® + g (£)) = to + go = Пт f ® + lim g (|).	(3)
Точно так же дело обстоит и с произведением. Ясно,
что произведение f(l)’g(l). является приближенным
значением произведения fo'go- Точность этого прибли-
жения возрастает по мере того, как возрастает точность
приближения величины /0 величиной f(g) и точность
приближения величины величиной g(£). Отсюда вы-
текает второе правило теории пределов
Пт f (g) g (g) = fogo= Нт f (g) • lim g (£).	(4)
На основании тех же точно соображений мы получаем
и третье правило, теории пределов
....	. Umf(&)
I (б)__fo__	/С\
jTx s (I) ~ go ~ g (I) *
Эта формула верна, однако, только при условии, когда
go 0. Следующее, последнее правило теории пределов
относится к неравенствам. Если величина f(|), дающая
все более и более точное приближение величины fo,
остается все время не превосходящей величины g(t),
которая дает все более и более точное приближение ве-
личины go, то ясно, что fo go, или, иначе, из соотно-
шения

(6)
66
следует соотношение
fo^go
или
limf®<limg®.	(7)
£->Х
Несколько иной, но очень похожий вариант теории
пределов, возникает тогда, когда аргументом функции
является не переменное число £, приближающееся к
постоянному числу х, а целое неотрицательное число
п, неограниченно возрастающее, так что мы имеем дело
с функциями f(n) и g(n), которым обычно дают не-
сколько иное обозначение
f («) = /»> g (») = £«♦	(8)
Здесь ставится вопрос о том, как ведет себя величи-
на fn, когда число п неограниченно возрастает. Если
оказывается, что при этом «число fn неограниченно при-
ближается к числу f0, то пишут
.lim f„ = f0.	(9)
n->00
Если наряду с этим соотношением имеет место ана-
логичное соотношение и для второй функции
limg„ = g0»	(Ю)
П->ОО
то на основании тех же интуитивных соображений, ко-
торые имели место при рассмотрении функций f(g) и
g(l), мы получаем теперь основные правила теории пре-
делов. Выпишем их:
(И)
(12)
(13)
Hm (fn + gn)= Нт f„+ lim gn,
П-><х>	п-><*>
Нт fngn = lim fn • lim gn,
П->оо	П->оо П->оо
		lim fn
lim	fn _	— ГС-*00
п-»оо	gn	lim gn ' n-+<X>
Формула (13) верна, только .если lim gn 0.
П“>оо
Из соотношения fn^gn следует lim	lim gn.
П-><х>	П->оо
Непрерывные функции. Понятием предельного пере-
хода пользуются для того, чтобы определить понятие
непрерывной функции. Именно, функция f(£), которая
67
определена также для значения аргумента % — х, счи-
тается непрерывной при значении аргумента g = х, если
выполнено соотношение
Функция f(£) считается просто непрерывной, если
она непрерывна для каждого значения х своего аргу-
мента. Если функция £(£)•—вторая непрерывная функ-
ция, то из правил 1, 2, 3 следует, что сумма функций
f(l)+g(l) непрерывна, произведение функций
f (£)
непрерывно, отношение функций -jy- непрерывно, за
исключением лишь тех значений, для которых g(x)=0.
Все функции, которые рассматриваются в книжке,
конечно же, непрерывны и, конечно, имеют производ-
ные, но говорить об этом на каждом шагу я считаю не-
нужным. Это должно подразумеваться или, скорее, чув-
ствоваться само собой.
УПРАЖНЕНИЯ
Упражнения к § 1
Укажем прежде всего некоторые приемы вычисления производ-
ной. Согласно § 1 производная f'(x) функции f(x) определяется со-
отношением
г (х) = lim	,	(!)
В — X
Таким образом, для нахождения' производной функции f(x) следует
рассмотреть частное
(2).
и посмотреть, как ведет себя это частное, когда х остается постоян-
ным, a g неограниченно приближается к х. Если дробь (2) прибли-
жается к некоторому определенному пределу, то этот предел обо-
значается через f'(x) и является производной функции f(x), Наибо-
лее просто предел отношения (2) вычисляется в случае, если числи-
тель его f(%)— f(x) удается непосредственно разделить на £ — х<
Тогда для перехода к пределу в полученном частном достаточно
заменить g через х, и мы получим производную Г(х). Это удается,
если в выражении f(g)— f(x) можно вынести двучленный множи-
тель £ — х. Так как вынесение двучленного множителя есть не очень
простая алгебраическая операция, то удобнее изменить обозначения
так, чтобы нам можно было вынести одночленный множитель. Для
этого полагают
h = l-x,	(3)
или, что то же самое,
| = х + А.	(4)
Ясно, что при Таким образом, в новых обозначе-
ниях определение (1) переписывается в виде
/'(.)= lim	(6)
Д->0	Л
6?
Заметим, что h называется приращением независимого перемен-
ного х, а разность
f (х + h) - f (х)	(6)
соответствующим приращением функции. Если в выражении (6) мы
можем вынести за скобку множитель hy то деление его на h явля-
ется чисто алгебраической операцией и вследствие этого для нахо-
ждения предела (5) достаточно в полученном частном заменить h
через 0. Этот прием хорошо удается в случае, если f(x) есть ра-
циональная функция х, но в случае наличия радикалов он тоже
может удаться. Так, например, если разность (6) может быть запи-
сана в виде л/а — где а и b есть рациональные выражения,
то, умножая и деля эту разность на сумму *у/'а + мы получим
Выражение а — Ь уже не содержит иррациональности и может быть
разделено либо на £ —х, либо на h в зависимости от того, поль-
зуемся мы определением (1) или определением (5) производной.
Пользуясь этими приемами, найдите производную функции f(x),
которая задается нижеследующими. различными формулами:
Упражнение 1. f (х) = ах2 + Ьх + с.
Ответ. f'(x) = 2ах + Ь.
Упражнение 2. f(х) =s ах8 + bx2 + cx-^-d.
Ответ. f'(x) = Зах2 + 2Ьх + с.
,УпражнениеЗ. f (х) == —.
X
Ответ. /'(*) = —А-
Л
Упражнение 4. f(x) = —7.
2
Ответ. f' (х) == ~
Упражнение 5. f(x)
Ответ.	(^b~f
Упражнение 6. f (х) —
Ответ f' (х) *=_2ах + b___
ответ, i (X) (аХ* + Ьх + су-
Упражнение?, f (ху — ^х.
Ответ, f' (х) ==-
2 Vi
70
Упражнение 8. f (х) = *у/ах2 + Ьх + с.
л г/ / ч	2ах + Ь
. Ответ, г (х) =-. * 	- .
2 Vax2 + bx + с
Упражнения к § 2
Правило вычисления производной многочлена настолько npoefb,
что невозможно дать на него сколько-нибудь трудное интересное
упражнение. Поэтому дадим здесь только два упражнения, причем
второе будет использовано в дальнейшем. Вычислим производную
двух следующих многочленов.
Упражнение 1. f (х) = х4 + 4х3 + 6х2 + 4х + 1.
Ответ. f'(x) =» 4(х3 + Зх2 + Зх + 1),
Упражнение 2. f(х) =» Зх5 — 5(d2 + &2)х3 + 15а262х.
Ответ. f'(x) = 15[х4 — (а2 + Ь2)х2 + а2Ь2]<
Упражнения к § 3
Рассмотреть нижеследующие многочлены f(x). Установить
участки возрастания и убывания многочлена f(x), а также найти
все значения х, при которых многочлен f (х) имеет максимумы и
минимумы, и отличить их друг от друга.
Упражнение 1. f (х) = х4 — рх2 + </.
Ответ. При р 0 многочлен f (х) убывает при — со < х 0 и
возрастает при 0 х < оо. Он достигает своего минимума в точке
х = 0. В этой точке вторая производная многочлена f(x) положи-
тельна при р отрицательном и равна 0 при р «= 0. Таким образом,
условие (30) § 3 не является необходимым условием минимума
функции. При р положительном многочлен f(x) достигает своего
максимума в точке х = 0 и имеет два минимума при х = — 's/pfa
и х == Vp/2. Этот многочлен убывает на участке — оо < х^ — ^Р&
возрастает на участке —	< х < 0, вновь убывает «а участке
0<x<V^/2 и снова возрастает на участке Vр/2 х < оо.
Упражнение 2. f(х)«ж Зх5 — 5(а2 + b2)x* + \5а2Ь2х (см.
упражнение 2 § 2).
Ответ. Будем считать, что числа а и b положительны. Для
определенности предположим, что а > Ь. Многочлен f(x) возрастает
на участке —-оо < х —а, убывает на участке —а < х — Ь,
возрастает ла участке —Ь х Ь, убывает на участке b х а
и возрастает на участке а х < сю. Он имеет максимумы в точках
х — —а, х — b и минимумы в точках х = —Ь, х ~а.
Упражнение 3. Имеется прямоугольный железный лист со
сторанами а и Ь, причем а > Ь. Вырежем по углам этого листа
квадраты со стороной x<i и у полученной так железной
71
выкройки загнем под прямым углом кверху каждый из выступов.
Тогда получится коробка, основанием которой служит прямоуголь-
ник со сторонами а — 2х и b — 2х, а высота равна х, так что объем
коробки равен х(а — 2х) (Ь — 2х). Найти, при каком значении х
объуем коробки максимален.
Ответ, х = -4- (а + b — ''ja2 — ab + Ь2).
о
В случае а = b получаем более простое решение
х = а/6.
Упражнения к § 4
Начертить графики нижеследующих многочленов f(x).
Упражнение 1. f (х)	— рх2 + q' (см. упражнение 1 § 3).
Ответ. В упражнении 1 § 3 многочлен f(x) уже достаточно
исследован. Остается только выяснить, при каких условиях график
его пересекается с осью абсцисс, т. е. уравнение f(x)= 0 имеет дей-
ствительные корни и сколько имеется этих корней.
В случае р<0 уравнение f(x)=O не имеет действительных
корней, когда q > 0, и имеет два действительных корня, когда
q < 0. Если р = 0 и q = 0, то имеется четырехкратный корень
к = 0, а при р < 0, q = 0 — двукратный корень х == 0»
Йри р S 0 и q < 0 имеются два действительных корня. При
р>0, q >0 уравнение f(x) = O имеет четыре действительных кор-
ня, если -£--q > о, и не имеет действительных корней при
4
о2	о2
X----q < о. Если с > 0 и ---<7=0, то имеются два двойных
4	__ 4
корня х = ± Если Р > 0, q = 0, то имеются ^гри действи-
тельных корня, один из которых двойной.
Упражнение 2.
f (х) = Зх5 - 5 (а2 + Ь2) х3 + 15а2Ь2х
(см. упражнение 2 § 3).
Ответ. В упражнении 2 § 3 уже в значительной степени вы-
явлено поведение графика многочлена f(x). Остается выяснить во-
прос, при каких условиях график $тот пересекается с осью абсциса
в одной точке х = 0 или в большем числе точек. В последнем слу-
чае определить число точек пересечения.
Уравнение f(х) = 0 имеет пять действительных корней, если-
а2/Ь2 > 5, один действительный корень, если а2/Ь2 < 5, и в случае
a2/62s=5 —три действительных корня, нз которых два двойные.
72
Упражнения к § 5
Упражнение 1. Вычертить графики функций
у == sin х,
у « cos х.
Найти участки убывания каждой из функций sin* й cos*,
найти точки максимума и минимума каждой из этих функций. Най-
ти точки пересечения графиков этих функций с осью абсииес. Найти
точки перегиба каждого из этих графиков.
Упражнение 2. Вычертить график функции
У «tgx.
Ответ. Так как функция tgx периодическая с периодом л, так
что
tg (х + kn) = tg X,
где k — произвольное целое число, то для построения всего графика
функции tg х достаточно построить его на участке —л/2 < х <« л/2<
На этом участке функция tgx возрастает от *—оо до оо, проходя
через нуль при х = О, где график ее имеет точку перегиба. Для
построения всего графика функции tgx следует сместить уже по-
строенную часть параллельно вдоль оси абсцисс на величину kit*
где k — произвольное целое число. Каждый такой сдвиг дает от*
дельную ветвь графика функции tgx, не пересекающуюся с другими
ветвями.
Упражнение 3. Вычертить график функции
У = /(*)•“-7,
где а — положительное число.
Ответ. Функция f(x) не определена при xs=0 и потому со-
стоит из двух отдельных ветвей^ лежащей над осью абсцисс при
х > 0 и лежащей под осью абсцисс при х^<. О, Так как
Н)'-7-
то на каждой из двух своих ветвей функция f(x) убывает. Рассмо-
трим ее более внимательно при х > 0. Если, оставаясь положитель-
ным, х приближается к нулю, то функция f(x) неограниченно воз«
растаем так что график ее прижимается к оси ординат. Точно так
же при неограниченном возрастании х значение функции f(x) стре-.
мится к нулю, так что график ее при возрастании х прижимается
к оси абсцисс. Зависимость между х и у можно переписать в форме
ху — а.
73
Кривая, определяемая этим уравнением, очевидно, симметрична
относительно биссектрисы J и III четвертей.
Упражнение 4. Построить график функции
У = f (х) = х2 cos х.
Ответ. Прежде всего видно, что функция f(x) четная, именно:
f(—x)=f(x). Таким образом, график этой функции симметричен
относительно оси ординат, и, следовательно, достаточно представить
его себе для х 0. При положительных значениях х знак функции
х2 cos х совпадает со знаком функции cos х. Отсюда видно, что при
х > л/2 график состоит из волн, аналогичных волнам ^функции
cos х, но волны эти растут по мере возрастания х, так как cosx
множится на х2. Ясно, что на каждой волне, ’ лежащей над осью
абсцисс, функция f(x) достигает максимума, а на каждой волне,
лежащей под осью абсцисс, функция f(x) достигает своего мини-
мума.	Более тщательного рассмотрения требует отрезок
л/2	х^ л/2. В концах этого отрезка функция cos х обращается
н нуль, следовательно, и функция f(x) также обращается в нуль.
При промежуточных значениях х функция f(x) неотрицательна. При
х = 0 график этой функции проходит через начало координат, где
f (х) достигает своего минимума. На отрезке 0 < х < л/2 функция
f(x) положительна, кроме концов отрезка, где она обращается в
нуль, следовательно, на этом отрезке она где-то достигает своего
максимума. Для того чтобы найти те значения х, при которых
функция f(x) достигает своих максимумов и минимумов, нужно
приравнять к нулю ее производную, т. е. решить уравнение
2х cos х — х2 sin х = 0.
Деля это равенство на х2 cos х, мы получаем уравнение
2
— = tgjf.
Таким образом, для нахождения точек максимума и минимума
2
f(x), мы должны найти пересечение графиков функций #== — и
х
2
у = tg х. Так как график функции у = — прижимается к оси
абсцисс при возрастании х, то при сравнительно больших х решение
2
уравнения — = tgx приблизительно совпадает с решением уравне-
ния tgf х » 0, т. е. приблизительно равно числу Ы, где k — целое,
о
Геометрически видно, что решение уравнения ~~ s= tg х в действи-
тельности несколько больше, чем число &л. Из этого видно, что на
каждой волне графика функции f(x), эта функция достигает либо
74
своего максимума примерно в том же месте, где и функция cos#,
либо своего минимума примерно в том же месте, где и функция
cos х, имеет место лишь небольшой сдвиг вправо.
Упражнение 5. Вычислить производные функций, приве-
денных в упражнениях к § 1, пользуясь правилами, данными в § 5.
Вычислить производные нижеследующих функций.
Упражнение 6. f (х) = (sin х)п.
Ответ. f'(x)= n(sin x)n-1 cos х.
Упражнение 7. f(х) = sinxft.
Ответ. f'(x) = cos хп-пхп~х.
n
Упражнение 8. f (x) = Vх•
Ответ. f'(x) =--.
fl zy X
Упражнение 9. Будем исходить из некоторой функции
ф(//) переменного у. Ее производную по переменному у мы, как
это принято, обозначаем через ф'(#). Положим теперь у = ах, где
а — постоянная; Заменяя в функции ty(y) ее аргумент у на ах, мы
получаем функцию
f М = Ф (ах)
переменного х. Вычислить производную Г(*Ь
Ответ.
f' (х) = ф' (ах) • а.
Таким образом, для нахождения f'(x) мы должны сперва вы-
числить производную ^'(у), а затем заменить в ней у через ах и
умножить полученное выражение на постоянную а. Для доказа-
тельства последней формулы следует использовать формулу (16)
§ 5. В силу этой формулы мы имеем '
f' (х) = ф7 (ах) (ах)' = ф' (ах) • а.
Упражнение 10. Будем исходить из функции ф(#) пере-
менного у. Ее производную по переменному у, как это принято,
обозначим через ф'(у). Положим теперь у = х + а. Подставляя
вместо у в функцию ф(г/) это выражение, мы получим функцию
f (х) = ф (х + а).
Вычислить производную Г(х) функции f(x)e
Ответ. f'(x) = ф/(х + й).
Это значит, что zдля вычисления производной f'(x) следует вы-
числить производную ф'(«/) функции ф(#) и затем в полученном
выражении заменить у через x-j-a. Для доказательства этого мы
должны воспользоваться формулой (16) § 5« В силу этой формулы
75
мы имеем
Г М — ф' (х + а) (х + а)' = ф' (х + а).
Обратные функции. В математике и ее приложениях функции
часто определяются как решение уравнения. Наиболее важен сле-
дующий случай. Будем исходить из заданной функции ф(у) пере-
менного у и рассмотрим уравнение
Ф00“Х,	(7)
где х известная, хотя и переменная ’Величина, а {/-—неизвестная
величина^ которую нужно определить из этого уравнения. Так как
в уравнение входит %, то его решение у является функцией х, так
что мы можем написать
У = Ф (х).	(8)
Это решение удовлетворяет уравнению (7), т. е. мы должны иметь
тождество
Ф (ф W) в х.	(9)
Выясним прежде всего достаточные условия, при которых уравне-
ние (7) разрешимо относительно у. Выделим некоторый отрезок
*!<{/< *2	(Ю)
изменения переменного у и допустим, что для всех внутренних
значений у из отрезка (10), т. е. для всех значений У> удовлетво-
ряющих условию
bi<y<b2i	(11)
производная ф'(#) имеет одни и тот же знак, т. е. выполнено одно
из двух соотношений: либо
ф' (У) >0 при bi < у < Ь2	(12)
либо
ф' (у) <0 при bi < у < Ь2.	(13)
Положим теперь
“ ф (&1)> п2 = ф(&2).	(14)
В случае (12) функция ф(^) возрастает на отрезке &2]. В слу-
чае (13) функция ф(у) убывает на отрезке Ь2] (см. § 3).
Таким образом, в случае (12) мы имеем < а2, а в случае (13)
мы имеем а* < Ль
В случае (12) величина х=ф(у) пробегает весь отрезок [aba2]f
возрастая, когда у пробегает отрезок [&ь Ь2]. В случае (13) вели-
чина х •*= ф(у) пробегает весь отрезок [аь а2], убывая, когда у
пробегает отрезок [6Ь &2]. Таким образом, если выполнено условие
(12) или условие (13), каждому значению х соответствует един-
ственное значение у, получаемое из уравнения (7), и потому функ-
ция у «= ф(х) определена для всех значений, лежащих на отрезка
[аь а2]. Функция ф(х^ называется обратной к функции ф(у).
76
Для приданияtвсему рассмотрению геометрической наглядности
построим* график функции ф(ч/), но несколько необычным образом.
Именно, мы будем откладывать по оси ординат величину независи-
мого переменного у, а по оси абсцисс величину зависимого пере-
менного х = ф((/). Полученный так график функции ф(#) обозна-
чим через L. График этот является одновременно графиком функ-
ции */ = ф(х), если при его построении мы будем независимое пе-
ременное х откладывать по оси абсцисс, а зависимое перемейное
у — по оси ординат.
Пусть р — произвольная точка графика L, а х и у — ее абсцис-
са и орди-ната
Р = (*. у>-
Величину х можно определить через величину у по формуле (7), а
величину у по величине х можно определить по формуле^(8). Нач-
нем с величины у. Вычислим величину х по формуле (7). По полу-
ченной величине х = ф((/) вычислим величину у по формуле (8).
Тогда мы получим
<Р (Ф (у)) = У-	(15)
Таким образом, функции ф(х) и ф((/) связаны двумя соотношения-
ми: соотношением (9) И соотношением (15). Отсюда видно, что
связь между функциями ф((/) и ф(х) взаимная, так что функции
эти разумно называть взаимно обратными.
Вычислим теперь производную ф'(х) функции ф(х), исходя из
того, что она задается уравнением (9). Для этого возьмем прбиз-
водную от тождества (9)ч по х. Производная правой части, оче-
видно, равна единице. Производную левой части вычислим по фор-
муле (16) § 5, как производную от сложной функции. Тогда мы
получим
Ф' (у) ф' (*) = 1-
Таким образом, мы получаем
,. , 1_________________________________1
Ф W Ф' (У) Ф' (Ф W) ’
Здесь мы выразили у через х по формуле (8) и окончательно полу-
чили для производной ф'(х) функции ф(х) формулу
<р/(*)“ чПфмГ	(16)
Применим полученные результаты для* вычисления производных
обратных тригонометрических функций, т. е. функций arcsin х,
arccos х и arctgx.
Упражнение 11. Будем исходить из функции
ф (у) = sin у
77
и будем рассматривать эту функцию на отрезке
— л/2 < у < л/2.
Так как
sin' у = cos у,
то для всех внутренних точек отрезка [— л/2, л/2] имеем
sin' у = cos у > 0.
В нашем случае
61 = — л/2, &2 = л/2,-
ai == sin (— л/2) = — 1, а2 e sin (л/2) = + 1.
Таким образом, решение у = ф(х) уравнения (7) относительно у
определено для всех значений х, принадлежащих отрезку
— 1 <х < 1.
Решение это обозначается через arcsin х. Таким образом, мы имеем
sin (arcsin х) х.	(17)
По ранее доказанному одновременно имеет место и соотношение
arcsin (sin у) = у.	(18)
Задача заключается в том, чтобы, пользуясь формулой (16), вы*,
числить производную arcsin' х функции arcsin х. .
Ответ.
•arcsin' х -—===-.	(19)
VI — х2
В самом деле, в силу формулы (16) мы имеем
arcsin х = ч	.
Ф (у) cos у
Величину cosy нужно теперь выразить как функцию величины х.
Мы знаем, что х ® sin у, отсюда следует, что
cos у = V1 ~ х2.
Таким образом, мы окончательно получаем соотношение (19).
Упражнение 12. Функция arccos х определяется условием
cos (arccos х) в х.
Вычислить производную arccos'х функции arccos х.
Ответ.
arccos' х я»---. ... =-.	(20)
yi —х2
Упражнение 13. Функция arctgx определяется условием,
tg (arctg х) =* х,
78
где рассматриваются
пользуюсь формулой
Ответ.
лишь решения | arctg х | < . Вычислить,
(16), производную arctg' х функции arctg х.

Упражнение 14. Вычислить производную функции
f (х) = arcsin х + х — х2.
Ответ, Г (х) = 2 дЛ ~
(21)
(22)
(23)
Упражнения к § 6
Упражнение* 1. Найти первообразную Л(х) функции f(х)»
s= х3 — рх.
Ответ, h (х) »-у х4 —• ~ х2.
Упражнение 2. Найти первообразную h (х) функции f (х) =
==7г2 ~ х2 .
Ответ.
h (х) -в	arcsin у- +	л/г2 — х2.	(24)
Для доказательства положим
Ф (у) = arcsin у + У — у2-
В силу формулы (23) имеем
Ф' (у) = 2 л/\—уг.	(25)
Вычислим теперь производную функции	Мы имеем в силу
формулы упражнения 9. § 5
МП)(т)-
Из этого следует справедливость формулы (24).
Упражнение 3. В приложениях к математике играют
большую роль так называемые дифференциальные уравнения.
В этих уравнениях неизвестными являются функции, а в уравнения
входят не только сама функция, но и ее производные. Одним из
наиболее простых, но в то же время важных уравнений является
следующее:
Г(О + ®2НО = 0.	(26)
Здесь независимая переменная обозначена через t, a f(t) есть не-
известная функция. Расскажем, как это уравнение возникает в ме-
ханике. Рассмотрим движение точки по прямой, которую мы
79
примем за ось абсцисс. Обозначим через х абсциссу движущейся
точки. Движение этой точки задается уравнением
где / есть время, а х — абсцисса точки в момент времени /. Рас-
смотрим движение точки х массы т,' находящейся под действием
силы притяжения к началу координат, причем сила эта пропорцио-
нальна величине отклонения точки от начала координат, так что
сила эта равна —kx, где k — постоянный положительный коэффи-
циент. Тогда в силу законов механики мы имеем
Здесь слева стоит масса, умноженная на ускорение точки, а спра-
ва— величина действующей силы. Обозначая положительную вели-
чину k/m через о2, мы можем переписать последнее “уравнение в
виде (26). Наша задача заключается в том, чтобы найти решение
уравнения (26), точнее, все -решения этого уравнения, так как ре-
шений существует не одно.
Ответ. Любое решение уравнения (26) записывается в виде
f (0 = a sin (со/ + а),	(27)
где а и а — произвольные константы. Докажем это. Прежде всего
упростим уравнение (26), вводя новое независимое переменное
т = (о/ и обозначим новую неизвестную функцию через ф(т), так
что мы имеем
f (0 = t (т) = 4 («>/),
и потому
Г (0 = (4 (®0)' =	(т).
Далее, мы имеем
Г(0 = ®2ф"(т).
Теперь уравнение (26) переписывается в форме
<о2ф" (т) + ©2ф (т) = О,
или иначе
ф"(т) + ф(т) = 0.	(28)
Умножая это уравнение на 2ф' (т), мы получаем
2ф' (т) ф" (т) 4- 2ф (т) ф' (т) = 0.
Легко проверяется, что левая часть этого уравнения является пер-
вообразной от функции
(4' (т))2 + (4 (т))2.
Так как производная этой функции равна нулю, то она является
константой, притом неотрицательной. Таким образом*, из уравнения
(28) вытекает равенство
(4' (т))2 + (ф (т))2 = а2.
80
где « — неотрицательная константа. При а = 0 функция ф(т) то-
ждественно равна нулю. При а > 0 введем новую неизвестную
функцию
Тогда для функции ср(т) мы получаем уравнение
(ф' (Т))2 +-(ф (Т))2 = 1.
Отсюда мы получаем
(<₽' (т))2 = 1 - (ф (т))2.
Далее
(фЧт))2
1-(<р(т))2	’
Извлекая из обеих частей этого равенства квадратный корень, по-
лучаем
Левая часть этого равенства имеет первообразную arcsin ф(т) (см.
формулу (16) § 5 и упражнение 11 к § 5), правая часть — перво-
образную ±т. Таким образом, из уравнения (29) вытекает
arcsin ф (т) = ± т + а,
где а есть произвольная константа. Функция ф(т), являющаяся ре-
шением этого уравнения, записывается в виде
ф(т) = 8ш(±т + а).
Здесь мы как бы имеем два различных решения
Ф (т) = sin (т + а)	(30)
и
Ф (т) = sin (—т + а).	(31)
Но в действительности решение (31)- может быть записано в форме
(30) за счет выбора константы а. Действительно, выберем в реше-
нии (30) константу а в следующей форме:
а = — Р + л,
где р — также произвольная константа. ’Ч’огда решение (30,) запи-
шется в виде
sin (т — р + л;) == sin (— т + р).
Таким образом, решение (31) получается из решения (30) путем
переобдзначения констант. Итак, произвольное решение уравнения
(29) записывается в виде
ф (т) = sin (т -Ь а).
81
Отсюда следует, что
ф (т) = a sin (т + а),
и далее
. f (0 a sin (<о/ + а).
Итак, произвЪльное решение уравнения (26) записывается в форме
(27), где а и а — произвольные константы, причем молрго считать,
что'а есть неотрицательная величина.^Уравнение
х — a sin (со/ + а)	(32)
дает нам ксутебательное движение точки х с амплитудой а и на-
2л>
чальной фазой а. Если положить <о=-у-, то уравнение (32) пере-
пишется в виде
х = a sin
где Т — есть период колебательного движения (32).
Упражнения к § 7
Упражнение 1. Рассмотрим кубическую пораболу Lt зада-
ваемую уравнением
y = f(x) = x3 — px,
где р —положительное число.. График L функции f(x) пересекается
с осью абсцисс в трех точках a-i, а0, аи абсциссы которых соответ-
ственно равны — Vp, 0, Vp- Дугу кривой L, идущую от точки
а-1 до точки ао, обозначим через Дуга Li проходит над осью
абсцисс и вместе с отрезком [a-i, я0] оси абсцисс ограничивает
площадку Р плоскости. Вычислим площадь S площадки
_	О р2
Ответ.
4
В силу формулы (16) § 7
о
S= J	(33)
-V7
Так как функция
й(5) = уХ4--|-х’
является первообразной для функции f(x)f то определенный инте-
грал (33) записывается в виде
о
J f(Od/ = ft(0)-A(-Vp)-=4-‘
-VF
82 .
Таким образом,
S = p2/4.
Упражнение 2. Вычислить площадь S круга радиуса t
при помощи формулы (16) § 7.
Ответ. S = яг2.
Для вычисления выберем окружность радиуса г с центром в
начале координат. Тогда уравнение ее запишется в виде х2 + у2=^г2
или, иначе, у = ± <у]г2 — х2.
Будем рассматривать ту часть площади, которая находится в
первой четверти координатной плоскости. Уравнение соответствую-
щей части окружности записывается в виде у = f (х) « Vf2 ~~ *2,
где х меняется от 0 до г. Таким образом, площадь той части круга,
которая находится в первом квадранте, записывается в виде^опре-
деленного интеграла
г
д/г2-*2 dt.
О
Функция
Л (х) = -у arcsin у + у V'2 —*2
является первообразной для функции f(x) (см. упражнение 2 § 6)<
Таким образом, мы имеем
г
д/г2 - *2 d* = Л (г) - А (0) = г1-
о
Следовательно, площадь всего круга равна пг2.
Упражнения к § 8
Упражнение 1. Доказать, что ряд
S=T^2+ТУ + 1Г4+ ••• + n(n+ 1) + •••’	(34)
составленный из бесконечного числа положительных слагаемых, схо-
дится, и вычислить его сумму.
Ответ. S = 1.
Для вычисления суммы S бесконечного ряда (34) составим пред-
варительную сумму
5»-тк+27з + з1т+--- + м1ттт- <»>
Заметим, что
1 _ 1 1
k (А + 1) k k + 1 •
83
В силу этой формулы мы имеем
с_1_1.1_1.1_1.	,11.	1
п~ 1	2*2	3 + 3	4 +	+ п	—
Таким образом, при неограниченно возрастающем п сумма Sn стре-
мится к 1, и потому сумма S бесконечного ряда (34) равна 1.
Упражнение к § 10
Упражнение 1. Доказать, что функция
xR
где k — произвольное натуральное число, всегда стремится к беско-
нечности, когда х неограниченно возрастает.
Ответ. По доказанному в § 10 имеем
х v ( 1 । х \п
е = lim 114-------1 .
Отсюда следует, что
X	xk+1
’х>ул(*+1)тгпуг
(см. (7) § 10). Переходя в этом соотношении к пределу при
71->-оо, получаем
*k+l
е ** (6+1)1 
Таким образом, мы имеем при положительных значениях х
: г х**1 х
'{Х X* (6+1)1 X* (6 +1)1'
Ясно, что при х, стремящемся к бесконечности, правая часть по-
следнего неравенства стремится к бесконечности, и тем самым наше
утверждение доказано.
Упражнения к § 11
Упражнение 1. Доказать, чго функция
стремится ? нулю при х оо.
Ответ. При доказательстве использовать упражнение 1 к § 10.
Упражнение 2. Начертить график функции
f/ ч 1п х
= .
84
Ответ. Функция f(x) на участке 0<х^е изменяется, воз-
растая, в пределах — оо</(х)«С—» а затем на участке
е х < оо убывает, стремясь к нулю. В точке х = е она дости-
гает максимума.
Упражнение 3. Решить дифференциальное уравнение
Г(х) = М(х),	(36)
где f (х) есть неизвестная функция, а к — заданное число.
Ответ,
f (х) = аеКх,	(37)
где а есть произвольная постоянная величина. Среди решений
уравнения (36) есть решение
f (X) » 0.
Если решение f(x) уравнения (36) не равно тождественно нулю, то
выберем такой участок х Ь2 изменения х, внутри которого
функция f(x) либо положительна, либо отрицательна. Тогда для
значений х, удовлетворяющих условию Ь{ < х < &2, можем уравне-
ние (36) разделить на f(x) и получить
7>"г-	<38>
В случае f(x)>0 первообразной левой части уравнения (38) явля-
ется функция
h (х) = In f (х)
(см. (16) § 5 и (7) § 11). В случае f(x)<0 первообразной левой
части уравнения является функция
Л (х) = In (—f (х)).
Первообразной для правой части уравнения (38) является кх. Та-
ким образом, как для положительной функции f(x), так и для отри-
цательной функции f(x) мы имеем равенство
In I f (х) I = кх + с,
где с — постоянная величина. Из этого следует, что
I f WI — е’е^*
или, иначе,
f (х) — ± есеКх = аеКх,
где а — положительная или отрицательная константа.
Из этого видно, что в концах bi, b2 нашего участка функция
f(x) не может обращаться в нуль, и поэтому наш участок
bi х Ь2 можно расширить в обе стороны с сохранением знака
85
функции f(x). Отсюда вытекает, что для всех значений х функция
f(x) сохраняет знак. Поэтому формула (37) дает решение уравне-
ния (36) для всех значений х. Для а мы должны допустить также
значение 0, чтобы учесть решение, тождественно равное нулю.
Упражнения к § 13
Упражнение 1. Доказать, что функция sin-L не стремится
ни к какому пределу при х->0. Более полно, можно подобрать та-
кую последовательность положительных чисел хъ х* хь ...»
сходящуюся к нулю, что
hm sin — «я,
fe->oo Х&
где с — произвольное число, заключенное между —1 и 1.
Ответ. Положим х. = —г—:—, где а>0. Ясно, что
Л	+ (X
lim х. = 0, a lim sin —  sin а.
fe->co	fc->oo Xfc
Упражнение 2. Показать, что функция
f(x) = xsin-|-	(39)
непрерывна, но не имеет производной при х = 0.
Ответ, Для нахождения f'(0) мы должны составить частное
BL=w.=i!!i=es,ni (40)
5-0 g s,nr	l40'
но так как функция sin-i- не стремится ии к какому пределу при
S
|->0 (см. упражнение 1), то частное (40) не стремится ни к
какому пределу при £->0, и потому функция (39) не имеет произ-
водной при х = 0.
Лев Семенович Понтрягин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ДЛЯ школьников
М., 1980 г., 88 стр. с илл.
Редакторы А. Ф, Лапко, В. Р. Телеснин
Техн, редактор Я. В. Вершинина
Корректор Л. С. Сомова
ИБ Кг 11601
Сдано в набор 25.07.79. Подписано к печати 18.01.80.
Т-02420. Бумага 84X108V3S, тип. № 3. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 4,62.
Уч.-изд. л. 4,12. Тираж 150 000 экз. Заказ № 292.
Цена книги 10 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская ти-
пография Xs 2 имени Евгении Соколовой «Союзполи-
графпрома» при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л 52, Измайловский проспект, 29
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати в 1980 г.
Понтрягин Л. С.
ЗНАКОМСТВО С ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКОЙ.
АНАЛИЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
Книга написана выдающимся советским мате-
матиком Л. С. Понтрягиным. Она посвящена изло-
жению некоторых вопросов математического ана-
лиза. Хотя изложение в ней не является легким, она
задумана как книга, доступная молодым читателям,
увлекающимся математикой. Ее характерной чертой
является одновременное изложение теории функций
действительного и комплексного переменного.
10 коп.