Текст
                    Алгебра
и начала 
анализа
;учебник ! для
W-11
JL.JL. классов
общеобразовательных учреждений
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
15-е издание
Москва Просвещение 2007
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22.14я72
А45
Условные обозначения в учебнике
1
Авторы:
Ш. А. Алимов Ю. М. Колягин Ю. В. Сидоров И. Е. Федорова М. И. Шабунин
выделение основного материала
текст, который важно знать и полезно помнить (не обязательно наизусть)
начало решения задачи
<
Издание подготовлено под научным	ф
руководством академика А. Н. Тихонова	Q
окончание решения задачи
начало обоснования утверждения или вывода формулы
окончание обоснования или вывода
дополнительный более сложный материал
Учебник занял третье место на Всесоюзном конкурсе учебников для средней школы
обязательные задачи
дополнительные более сложные задачи
трудные задачи
Алгебра и начала анализа : учеб, для 10—11 кл. об-А45 щеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.]. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2007. — 384 с. : ил. — ISBN 978-5-09-017284-4.
УДК 373.167.1:[512 + 517] ББК 22.14я72 + 22.161я72
ISBN 978-5-09-017284-4
© Издательство «Просвещение», 2000 © Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000 Все права защищены
I
-	глава
-	Действительные числа
;	Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.
А. Д. Александров
 Целые и рациональные : числа
1
Изучение математики вы начали с натуральных чисел, т. е. с чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... . При сложении и умножении натуральных чисел всегда получаются натуральные числа. Однако разность и частное натуральных чисел могут не быть натуральными числами.
Дополнением натуральных чисел нулем и отрицательными числами (т. е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел, т. е. чисел 0, ±1, ±2, ±3, .... При сложении, вычитании и умножении целых чисел всегда получаются целые числа. Однако частное двух целых чисел может не быть целым числом.
Введение рациональных чисел, т. е. чисел вида —, п где т — целое число, п — натуральное число, позволило находить частное двух рациональных чисел при условии, что делитель не равен нулю. Каждое целое число т также является рациональным, так как его можно представить в виде
При выполнении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
3
Если рациональное число можно представить в виде дроби где т — целое число, k — нату-10*
ральное число, то его можно записать в виде конеч-327
ной десятичной дроби. Например, число можно
23
записать так: 3,27; число---можно записать так:
10
о
— . Если, например, попытаться за-
-2,3.
Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например —, --3	9
писать число — в виде десятичной дроби, используя 3
известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь 0,3333... . Бесконечную десятичную дробь 0,3333... называют периодической, повторяющуюся цифру 3 — ее периодом. Периодическую дробь 0,333... коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».
Й Вообще, периодическая дробь — это бесконечная g десятичная дробь, у которой начиная с некоторого b десятичного знака повторяется одна и та же цифра g или несколько цифр — период дроби.
Например, десятичная дробь
23,14565656... = 23,14(56) периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».
27 Задача 1 Записать число в виде бесконечной десятичной
дроби.
► Воспользуемся алгоритмом деления уголком:
_ 27	11_______
22	Г2,4545.?.
_ 50
44
_ 60
55
_ 50
44
6...
4
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45. Следовательно, = 2,4545... = 2,(45). < 11
Вообще, при делении целого числа т на натуральное число п на некотором шаге остаток может стать равным нулю или остатки начинают повторяться, так как каждый из остатков меньше п. Тогда начинают повторяться и цифры частного.
В первом случае в результате деления получается целое число или конечная десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная периодическая дробь. Например:
— =24, — =3,75,	=3,222... = 3,(2).
15	4	9
Заметим, что каждое целое число или конечную десятичную дробь можно считать и бесконечной десятичной периодической дробью с периодом, равным нулю. Например:
27 = 27,000... = 27,(0), 3,74 = 3,74000... = 3,74(0).
Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби —, где т — целое чис-п ло, п — натуральное число.
Задача 2 Представить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.
► Пусть х = 0,2(18) - 0,2181818... . Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем
10х = 2,181818... .	(1)
Период этой дроби состоит из двух цифр. Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 102 = 100, находим
ЮООх = 218,181818... .	(2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990х = 216. Отсюда х =	= —. <
990	55
5
Задача 3 Показать, что 2,999... = 3.
► Пусть х = 2,(9). Тогда 10х = 29,(9), откуда 9х = 27, х = 3. <
Аналогично можно показать, что любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной дроби двумя способами: с периодом 0 и с периодом 9. Например,
1,75 = 1,75000... = 1,74999..., -0,2 = -0,2000... = -0,199999... .
Условимся в дальнейшем не использовать бесконечные десятичные дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать конечные десятичные дроби или бесконечные десятичные дроби с периодом 0. Например,
5,2999... = 5,30000... = 5,3.
Упражнения
1 Записать в виде десятичной дроби:
1)	2)	3)	4)	5) -8-; 6)
3	11	5	4	7	99
2 Выполнить действия и записать результат в виде десятичной
дроби:				
1)	2)	+ *;	3)	— + 1,25;
11 9	13	3		3
4) - + 0,33; 6	5) + 14	• 1,05;	6)	-1,7. 9
3 Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:
1) 0,(6);	2) 1,(55);	3) 0,1(2);
4) -0,(8);	5) -3,(27);	6) -2,3(82).
4 Вычислить:
1)	(20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95);
2)	+ 8	+
36	32 10 18
5 Вычислить:
1)	(з^- + 0,24^2,15 + Гб,1625-2 — ^1-;
V 25 J к	16) 5
2)	0,364 : — + —: 0,125 + 2- • 0,8.
25	16	2
6
Действительные числа
2
В § 1 было показано, что любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби и каждая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом. Если же бесконечная десятичная дробь непериодическая, то она не является рациональным числом. Например, дробь 0,101001000100001..., в которой после первой цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и, вообще, после n-й цифры стоит п нулей, не является периодической. Поэтому написанная дробь не представляет никакого рационального числа. В этом случае говорят, что данная дробь является иррациональным числом.
Иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Иррациональные числа, как и рациональные, могут быть положительными и отрицательными. Например, число 0,123456..., в котором после запятой записаны подряд все натуральные числа, является положительным иррациональным числом. Число -5,246810..., в котором после запятой записаны подряд все четные числа, является отрицательным иррациональным числом.
Числа V2, V7, -Уз, л также являются иррациональными, так как можно доказать, что они могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т. е. дробь вида 4*	• •• или
где а0 — целое неотрицательное число, а каждая из букв ар а2, ... — это одна из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7
Например:
1)	в записи действительного числа л = 3,1415... число а0 = 3, а первые четыре десятичных знака таковы: аг = 1, а2 = 4, а3 = 1, а4 = 5;
2)	в записи действительного числа -<234 = = -15,297058... число а0 = 15, а десятичные знаки таковы: ах = 2, а2 = 9, а3 = 7, а4 = 0 и т. д.;
3)	в записи действительного числа 37,19 = 37,19000... число а0 = 37, а десятичные знаки таковы: а, = 1, а2 = 9, ап = 0 при п > 3.
Действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цифры в ее записи — нули. Положительное действительное число — это десятичная дробь, не равная нулю, со знаком «+», а отрицательное — со знаком «-». Знак «+» перед дробью обычно опускается.
Вам известно, как выполняются действия над конечными десятичными дробями. Арифметические операции над действительными числами, т. е. бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями. Например, вычислим приближенные значения V2 + д/З. С помощью микрокалькулятора находим
V2 = 1,4142135... , л/3 = 1,7320508... .
Поэтому с точностью до единицы
V2 + V3 « 1,4 + 1,7 = 3,1 * 3, с точностью до одной десятой
V2 + V3 == 1,41 + 1,73 = 3,14 « 3,1,
с точностью до одной сотой
42 + 43 » 1,414 + 1,732 = 3,146 s 3,15
и т. д.
Числа 3; 3,1; 3,15 и т. д. являются последовательными приближениями значения суммы V2 + V5. Итак, выполняя сложение 42 + 7з, числа 4~2 и 7з заменялись их приближениями — рациональными числами, и выполнялось сложение чисел по известным правилам.
Аналогично, вычисляя произведение V2 ♦ V5, например, с точностью до 0,1, получаем
V2 • 7з * 1,41 • 1,73 = 2,4393 * 2,4.
8
-3	-2 -V2 -1 -0,5 0	0,5	1	<2	2	3 x
Рис. 1
Вообще, пусть хр х2, хл, ... — последовательные приближения действительного числа х с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т. д. Тогда погрешность приближения |х - хл| как угодно близко приближается к нулю (стремится к нулю). В этом случае пишут
|х - хя| —> 0 при п -> оо, или lim |х - хп| = 0 п —> X
(читается: «|х - хп| стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечности» или «предел | х - хп| при п, стремящемся к бесконечности, равен нулю»). Это означает, что хп как угодно близко приближается к х, т. е.
хл —> х при п -> оо, или lim хп = х. п —> «с
Отметим, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т. д.).
Модуль действительного числа х обозначается |х| и определяется так же, как и модуль рационального числа:
. . [ х, если х > 0, 1*1= 1
[ —х, если х < 0.
Например, если х = -0,1010010001..., то |х| = -х = 0,1010010001... .
Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой (рис. 1).
Покажем, например, как можно геометрически указать на числовой прямой точку с координатой V2. Построим квадрат со стороной 1 (рис. 2) и с помощью циркуля отложим диагональ ОА на числовой оси.
Заметим, что если бы не было иррациональных чисел и соответствующих им точек числовой оси, то прямая
9
оказалась бы с «дырками», в частности, не было бы на числовой оси точки с координатой V2.
Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую прямую: каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Точку, изображающую число а, также обозначают буквой а. Отметим, что если а<Ь, то точка а лежит левее точки Ь.
Множество всех действительных чисел обозначается Я. Запись х е R (читается: «х принадлежит Я») означает, что х является действительным числом.
Упражнения
в (Устно.) Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 1) 16,9;	2) 7,25(4);
3)	1,21221222... (после n-й единицы стоит п двоек);
4)	99,1357911... (после запятой записаны подряд все нечетные числа)?
7 Установить, какая из пар чисел 5,4 и 5,5 или 5,5 и 5,6 образует десятичные приближения числа \31 с недостатком и с избытком.
8 Какое из равенств |х| = х или |х| = —х является верным, если:
1) х = 5-77;	2) х=4-ЗТЗ; 3) х = 5-Т10?
9 Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональ ным) является числовое значение выражения:
1) (78-3) (3 + 277);
3) (750+477) 77;
5) (7з-1)2 + (7з + 1)2;
2) (777-2)(2-373);
4) (577 + 777): 77;
6) (75 -1)1 2 -(275+ 1)2.
10 Вычислить:
1) ТбЗ -778; 2) 720 -Тб; 3) 750 : 78; 4) 712 :V27.
11 Сравнить числовые значения выражений:
1) у/3^ + 48 и VM+V17;	2) Л1-Т2Д и 71О-73Д.
12 Вычислить:
1) ^'(77-2710"+72) -277;	2) ^'16-6 77 + 77) • 3;
3) ^(-^8+ 2715 -78-2715)-2 + 7.
10
: Бесконечно убывающая
’ геометрическая прогрессия
Напомним: геометрической прогрессией называет
ся такая числовая последовательность Ь2, &3, ...» что для всех натуральных п выполняется ра-
венство bn j = bnq, где Ьп Ф 0, q 0.
Например, таковы последовательности:
1, 3, 9, 27..З"-1,	...
1 - — —	f-T"
’ 5 ’ 25 ’ 125 ’ 15J
(&i = 1, g = 3);
, ... (\ = 1, g=±\ \	О 7
2, -4, 8, -16, ..., -(-2)п, ... (bi = 2, q = -2).
По формуле bn ~ brqn ~1 вычисляется n-й член геометрической прогрессии.
тт л. с М1-<7")
По формуле Sn = —------ вычисляется сумма ее
1-9
первых п членов, если q 1, а если q - 1, то
= ^п.
Среди геометрических прогрессий особый интерес представляют так называемые бесконечно убываю
щие геометрические прогрессии.
Начнем с примера. Рассмотрим квадраты, изобра-
женные на рисунке 3. Сторона первого квадрата
равна 1, сторона второго равна -,
сторона третьего —- и т. д. 2 2
Таким образом, стороны квадратов образуют геометрическую прогрес-
сию со знаменателем -: 2 1
Рис. 3
(1)
1, , ...» --------------,
2 22	23	2п~1
Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию со зна-
менателем -: 4
1, А
4	42	43
1
4« -1
(2)
16	4
11
Из рисунка 3 видно, что стороны квадратов и их площади с возрастанием номера п становятся все меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно убывающей.
Рассмотрим теперь геометрическую прогрессию
1 _1	1	(-I)""1
3 ’ з2 ’ з3 ’	’ зп 1
Знаменатель этой прогрессии q =--|, а ее члены = 1. b2 = &з = 1 Ь4 = ~ я т. д.
0	У	Z ।
С возрастанием номера п члены этой прогрессии приближаются к нулю. Эту прогрессию также называют бесконечно убывающей. Отметим, что модуль ее знаменателя меньше единицы: |д| < 1.
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
Задача 1 Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная формулой п-го члена bt
3	Л
—, является беско-
5"
нечно убывающей, о	3
► По УСЛОВИЮ ^1 “	&2 = -у - —,
3	b2 1
откуда <?=-=-Ь. 5
Рис. 4
Так как |<?| < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. <
На рисунке 4 изображен квадрат со стороной 1. Отметим штриховкой его половину, затем половину оставшейся части и т. д. Площади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
1 1 1 1 1 2’4’8’ 16’ 32’
Если заштриховать все получающиеся таким образом прямоугольники, то штриховкой покроется весь квадрат. Естественно считать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников равна 1, т. е.
l+i-i + A + J_ + ... = 1.
2 4 8 16	32
12
В левой части этого равенства стоит сумма бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим сумму первых п слагаемых:
sn=l + l + l + ...+^-.
2 4 8 2п
По формуле суммы п членов геометрической про-
Если п неограниченно возрастает, то
как угод-
но близко приближается к нулю, т. е.
—------>0 при и —> °°, или lim —^-=0.
2П	и -•>« 2П
Поэтому lim 1 —— = 1, т. е. lim S„ = 1.
п ->у. 2п )	1	*
Бесконечную сумму - + - + - + — + — + счита-2 4 8 16	32
ют равной 1.
Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности
slt s2, s8,..., s„,..
Например, для прогрессии
1, -ц
3 9	27
I 3)
Ьг = 1, q =- —, имеем
Sj = i, s2=i-±=^,	,
1 г 3 3d 399
f I V	q
Так как lim —	=0, то lim S =—.
П ->U з J	4
13
Выведем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с помощью формулы
Sn ---------• Запишем ее так:
1 - <7
Задача 2
Задача 3
Так как |g| < 1, то lim 7л=0, lim дп=0, п->х	п -> х 1 - q
и поэтому lim Sn = — -. п х	1 - q
Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S=-—.	(4)
1-9
Из формулы (4) при by = 1 получаем S = ——. Это 1-9
равенство обычно записывают так:
1 + q + д2 + ... + q” ‘ 1 + ... = ——.
1-Q
Подчеркнем, что это равенство справедливо при |g| < 1, в частности при q - 0.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
1	1 1 X
2* б’ 18’	54’
► Так как by = -, b2 - то q = — =	, и по формуле
2	6	by 3
1
S = —получим S =  —- = -. <
l-q	1-U 8
I 3/
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = -1, q =
Применяя формулу bn ~ Ьгдп ~ при п = 3 получаем
1 Ш	1 49
откуда by = -49. По формуле (4) находим
S = -X=_57l. о
14
Задача 4 Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, записать бесконечную периодическую десятичную дробь а = 0,(15) = = 0,151515... в виде обыкновенной дроби.
► Составим следующую последовательность приближенных значений данной бесконечной дроби:
а, =0,15 = -!^-, а, = 0,1515 = - + ^5-, 1	100	100 ЮО2
а3 = 0,151515 = -^- + -Ц- + -Ц-
100 1002 ЮО3
Запись приближений показывает, что данную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а ~ АА. +	+ - 15о + ... .
100 ЮО2 ЮО3
.15
По формуле (3) получаем а = ——— = —=—.< 1	1	99	33
” 100
Упражнения
13	Является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой п-го члена:
l)b„ = -52n;	2)d„ = 23n?
14	В геометрической прогрессии найти сумму ее первых пяти членов, если:
1)	64 = 88, q = 2;	2) Ъг = 11, &4 = 88.
15	Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:
1)	1, 1,	... ;	2) А, А, — ... ;
5 25	3 9 27
3) -27, -9, -3, ... ;	4) -64, -32, -16, ... .
16 Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если:
1) 5, = 40, Ь2 = -20;	2) Ь7 = 12, Ьп =
3) Ь7 = -30, 56 = 15;	4) Ъ5 = 9, Ь10 = - -L
Zj i
15
17	Вычислить:
1)	lim	2) lim (0,2)" ;
п -> X 4 п	и —> х
3)	limfl+—1;	4) lim I (4 -2 .
п —> х	7п )	п ->30 к 5 )
18	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
п <7=4* &i=l;	2)<7=1’65=^:
Z	о	о	О1
3)9=-!, &!=Э;	4)9=4- b4=k
о	Л	о
19	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1)	6, 1,	2) -25, -5, -1....
20	Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:
1)	0,(5);	2) 0,(8);	3) 0,(32); 4) 0,2(5).
21	Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой п-го члена:
1)	Ьп = 3 - (-2Г;	2) Ьп = -5 • 4";
/ iV"1	( 1V1
3)Ь»=8-4	;	4)Ь„=3-4	?
22	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
1 \	1 L >/~2	Q \ V 3 L 9
1)<7=7-65=—;	2) 9 = —, Ь4 = -.
Z	1О	Jo
23	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 30. Найти:
1)	если q = -;	2) qy если bY = 20.
5
24	Вычислить:
оол	о п - 2 л	( 5 п + 1 )2
1)	Пт	2) lim -----=^;	3) lim -—- .
п >х 2"	п *<»	3"	п 52п
25	На куб со стороной а поставили куб со стороной —, на него 2
куб со стороной —, затем куб со стороной — и т. д. (рис. 5). 4	8
Найти высоту получившейся фигуры.
26 В угол, равный 60е, последовательно вписаны окружности, касающиеся друг друга (рис. 6). Радиус первой окружности
16
Рис. 5

Рис. 6
равен Rv Найти радиусы Я2, К3, ...» Rn, ... остальных окружностей и показать, что они образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Доказать, что сумма Rr + 2 (R2 + R3 + ... + Rn + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до вершины угла.
Арифметический корень натуральной степени
Задача 1 Решить уравнение х4 = 81.
► Запишем уравнение в виде г4 - 81 = 0, или (х2 - 9) (х2 + 9) = 0.
Так как х2 + 9 ф 0, то х2 - 9 = 0, откуда хг = 3, х2 = -3. <3
Итак, уравнение х4 = 81 имеет два действительных корня х} =3, х2 = -3. Их называют корнями четвертой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 81 и обозначают V81. Таким образом, V81 = 3.
17
Можно доказать, что уравнение хп = а, где и — натуральное число, а — неотрицательное число, имеет единственный неотрицательный корень. Этот корень называют арифметическим корнем n-й степени из числа а.
Определение. Арифметическим корнем натуральной степени п > 2 из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.
Арифметический корень n-й степени из числа а обозначается так: Va. Число а называется подкоренным выражением. Если п - 2, то вместо Vo пишут Va.
Арифметический корень второй степени называют также квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем.
В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне n-й степени, кратко говорят: «Корень n-й степени».
Чтобы, используя определение, доказать, что корень n-й степени Va (а > 0) равен Ь, нужно показать, что: 1) Ъ > 0; 2) Ьп - а.
Например, V64 =4, так как 4 > 0 и 43 = 64.
Из определения арифметического корня следует, что если а > 0, то (л/а)° =а, а также пу/ап -а. Например, (V?)5 = 7, 713^ = 13.
Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степени, называется извлечением корня n-й степени. Это действие является обратным действию возведения в n-ю степень.
Задача 2 Решить уравнение х3 = 8.
►	Запишем уравнение в виде х3 - 8 = 0, или (х - 2) (х2 + 2х + 4) = 0, (х - 2) ((х + I)2 + 3) = 0.
Так как (х + I)2 + 3 # 0, то х - 2 = 0, откуда х = 2.< Итак, уравнение х3 = 8 имеет один действительный корень х = 2. Так как 2 > 0, то это число — арифметический корень из 8, т. е. V8 = 2.
Задача 3 Решить уравнение х3 = -8.
►	Запишем уравнение в виде х3 + 8 = 0, или (х + 2) (х2 - 2х + 4) = 0, (х + 2) ((х - I)2 + 3) = 0.
18
Так как (х - I)2 + 3 ф 0, то х + 2 = 0, откуда х =-2. <
Итак, уравнение х3 = -8 имеет один действительный корень х = -2. Так как -2 < 0, то число -2 является корнем из числа -8, но оно не является арифметическим корнем. Число -2 называют корнем кубическим из числа -8 и обозначают ^-8:
= -2 или V-8 = “V8 = -2.
Вообще, для любого нечетного натурального числа 2k + 1 уравнение х2А ' 1 = а при а < 0 имеет только один корень, причем отрицательный. Этот корень обозначается, как и арифметический корень, сим-волом У а. Его называют корнем нечетной сте
пени из отрицательного числа.
Например, V-27 = -3, V-32 = -2.
Корень нечетной степени из отрицательного числа а связан с арифметическим корнем из числа -а - |а| следующим равенством:
2Й + 1/— у/а = -
2Л + 1/-
yj-а
2А + 1
Например, >/-243 = -V243 = -3.
Задача 4 Вычислить
V-0,027 - VO,0016 - V729 - V-128.
► V“0,027 - VO,0016 - V729 - V-128 = V^(0,3)3 -
- V(0,2)4 -	= -0,3 - 0,2 - 3 + 2 = -1,5.<
Wgg Арифметический корень n-й степени обладает сле-дующими свойствами: если а > 0, Ь > 0 и и, ||||| т — натуральные числа, причем п > 2, т > 2, то
IIB 1. ‘Jab \[b.	2.
sg|
Д 3. CV^)m = "V^".	4. "V№=m“V7.
Отметим, что в свойстве 1 число b может также быть равным 0; в свойстве 3 число т может быть целым, если а > 0.
19
Докажем, например, что п4аЬ = л[а \Гь.
• Воспользуемся определением арифметического корня:
1)	пл/а nJb > 0, так как а > 0 и b > 0;
2)	(Va r\[b)n -ab, так как (Va \[b)n =
= (Ча)п (\[b)n = ab. О
Аналогично доказываются и остальные свойства. Приведем примеры применения свойств арифмети-
ческого корня.
1) V27 УЗ = У27-3 = Ув1 =УзГ = 3;
21 3/256 . зЯ _ 3/256 4 _ Уб4 _ 4. ’ N 625 ' V 5 V 625 ’ 5 3/125	5 ’
3)	Vii57 = V(53)7 = 53 = 125;
4)	VV4096 = ’У4096 = 'VF7 = 2;
5)	(У9Н=У^=^ = |.
Задача 5
f Va3d2 1
Упростить выражение -Ч- • •	, где а > О, Ъ > 0.
3#а12Ь6
Используя свойства арифметического корня, полу-
(w j4 чаем ---------
а3&3 = aW=nh <] Уа1266
Отметим еще одно свойство арифметического корня четной степени.
При любом значении а справедливо равенство 2Va2fe = |a|, где k — натуральное число.
• Воспользуемся определением арифметического корня:
1)	|а| > 0 по определению модуля;
2)	\a\2k = a2k, так как \а\2 = а2. О
Задача 6 Упростить выражение ^/(х — 5)4 + ^/(х-3)6 , если
3	< х < 5.
► д/(х -5)4 + д/(х — З)6 = |х-5| + |х-3|. Так как 3 < х < 5, то |х - 5| = - (х - 5) = 5 - х, |х-3| = = х - 3. Поэтому ^/(х -5)4 + ^/(х -З)6 =5-х + + х - 3 = 2. <
20
Упражнения
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
(Устно.) 1) Найти арифметический квадратный корень из числа: 1; О; 16; 0,81; 169;
289
2)	Найти арифметический кубический корень из числа: 1; 0; 125;	0,027; 0,064.
27
3)	Найти арифметический корень четвертой степени из числа: 0; 1; 16;	0,0016.
81 625
Вычислить (28—30).
1) V=8;	2) ‘V^l;	3)
4)	V-1024;	5) V-343 ;	6)
Решить уравнение:
1) х4 = 256;	2)х5=-^;	3) 5х5 =-160;	4) 2х® = 128.
Вычислить (32—36).
1) V-125 + | Уб4; 2) V32 -0,5 -216; О
3) -| V81 + Уб25;	4) V-1000 - A V256;
5)	+ V-0,001 -VO,0016.
1) ^343 0,125; 2) ^512-216;	3) ^32 100000.
1) V53 - 73 ; 2) Vll4'34; 3) ^(0,2)5 -85; 4) \	 217 .
v \ 3 /
1) V2 • V500; 2) Vo^2 • ^0,04; 3) У324 -VS; 4) ^2 • V16.
1) 57310 • 215 ;
I / 5 \ 8
3) 4^312(|J ;
2) V23  5® ;
21
371 Извлечь корень:
1) Уб4х3г6 ;	2) Va*b12 ;	3) ^32х10у20 ;	4) Л12б18 .
38 Упростить выражение:
1) 3j2ab2  ylia2b; 2) Мза2Ь3  ^27а2Ь-,
Вычислить (39—40).
5)(Лб-Лб):Л; 6)(Л25-Л):Л.
41 Упростить выражение:
1) VaGb7 : Mab2;	2) ^/81x4i/ : Зу]3ху;
3) з[3х : з[Л2.	4)4/М;4рС.
У у2 Уэх2	У а3 У 8*3
Вычислить (42—43).
42 1) (УЛ)2; 2) (Л)"8; 3) (‘У32)2; 4) (V16)-4.
43 1) yV729; 2) VV1024; 3) УЛ • Л2"; 4) УУЛ • Л®”.
44 Упростить выражение:
1) (Л)6;	2) (VF)3;	3) (Л3Л)6;
45 При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) Лх-3;	2) Ух-3;	3) 6J2x2-x-l;	4)	?
V 2r-4
Вычислить (46—47).
46 1) Уэ +Л7 • Уб-Л7;	2) (л/з + Л -Уз-Л^;
3)	^5 + л/21 + У5-Л1У.
1 Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет
дополнительных условий.
22
47	1)	-^12;	2) 2^4^120.	3) V32
v250	t/5	>/2
4)	зр|+У18 - 4^4|-VV256;
5)	V11-V57 • V11 + V57;	6) 417-433  417 + 433.
Упростить выражение (48—49).
48	1) 42аЬ  44a2b  427b;	2) ЧаЬс  Уа3б2с • Mb5c2 .
49	1) +	2) (ijVx2 j +2(7 уГх 1 ;
	3) 3^х6у12 -	4)	-4^ : W442.
50	Вычислить:	
	1Ч V3 -V9	04 V7 -V343 }~~4з ’ 2) -V7 ’	з) 449^^41)443-42).
51 Упростить:
1)	^/(х-2)3 при: а) х > 2; б) х < 2;
2)	7(3“ ^)6 пРи: а) х < 3; б) х > 3;
3)	^/(х + 6)4 + У(х- З)2 , если -1 < х < 2;
4)	У(2х +1)6 - У(4 + х)4 , если -3 < х < -1.
52 Сравнить значения выражений:
1) л/З + Узо и УбЗ; 2) У? + V15 и 710 + У28;
53 Доказать, что:
1) ^243 - ^4-2^3 = 2;
2) 37э +V80 + V9-V80 = 3.
54 Упростить выражение:
п \Га - >Гь yfa + Vab^ ’ Уа-Уб” У^+УБ ’
а -b а+ b
У а - Уб Уа + 34b
3)	о + + СУ 1 -е & 0-1 	Z	.(44-4ъ)2.
23
Степень с рациональным и действительным показателями
1. Степень с рациональным показателем.
Задача 1 Вычислить V512 .
► Так как 512 = (53)4, то л/512 = V(53)4 = 53 = 125. <
Таким образом, можно записать V512 = 125 = 53 12
или V512 = 5 4 , так как 3 = —.
4
15
Точно так же можно записать, что л/7~15 =7 5 .
Вообще, если п — натуральное число, т — целое число и частное — является целым числом, то п
при а > 0 справедливо равенство
а/а^=ап.	(1)
* По условию — = k — целое число, откуда т = nk. п
Применяя свойства степени и арифметического корня, получаем
т
Если же частное — не является целым числом, п т
то степень а п , где а > 0, определяют так, чтобы осталась верной формула (1), т. е. и в этом случае т
считают, что а п = п-\1ат .
Таким образом, формула (1) справедлива для любого целого числа т и любого натурального числа п > 2 и а > 0. Например:
з
164 = \'16? =Vii? = 23 =8;
5
74=V7r =47?4 -7 = 7 V7;
_ 2
27 3 = л/27 2 =V3T = ^(3 2)3 = 3-2 =|.
У
24
Напомним, что рациональное число г — это число вида —, где т — целое, п — натуральное число. п т ______________________________________
Тогда по формуле (1) получаем аг -ап =	.
Таким образом, степень определена для любого рационального показателя г и любого положительного основания а.
Если г = — > 0, то выражение 1\1ат имеет смысл не п
только при а > 0, но и при а = 0, причем л/от =0.
Поэтому считают, что при г > 0 выполняется равенство (У = 0.
Пользуясь формулой (1), степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.
Так как — = —, где п и k — натуральные числа, п nk
т — целое число, то при любом а > О те mk
ап=апк.	(2)
5	1
Например, 815 =83 -2.
Можно показать, что все свойства степени с натуральным показателем верны для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
А именно, для любых рациональных чисел р и q и любых а > 0 и b > 0 верны равенства:
1. apaq = ap + q,	2. ар •. aq = ар~ q.
3. (ap)q = ap q.	4. {а,Ъ)р = арЪр.
5.	=
\Ь) bp
Эти свойства получаются из свойств корней. Докажем, например, свойство арач = ар + q.
• Пусть р = —,q где пи/ — натуральные числа, п I
т и k — целые числа. Нужно доказать, что
т_ k те k
ала‘=а"	(3)
25
Приведя дроби — и — к общему знаменателю, п I
запишем левую часть равенства (3) в виде
nt k ml kn ап а1 = anl anl ,
Используя определение степени с рациональным показателем, свойства корня и степени с целым показателем, получаем
т	ml kn
а п а1 = anl anl
ntfaml
 akn =
ml+kn fn k
= nijaml+kn =a nl =an 1. О
Аналогично доказываются остальные свойства степени с рациональным показателем.
Приведем примеры применения свойств степени:
1 3	1 + 3
1) 74 . 74 = 74 4 = 7;
2 1	21	1	_
2) 93 :96 * = 93 6 =92 = V9 =3;
,	X 9
I И 4	1.9 з	3	4.3
3)[163J = 163 4 = 164 = (24)4 = 2 4 = 23 = 8;
-	- з г- -
4)	243 =(23 -З)3 = 2 ’з -З3 = 48^ = 4V9;
Задача 2
Задача 3
1 1 1
5)	(JL13 = 83 = <23)3 = 2
’ <27j	1	1 З’
273	(З3)3
1	1
Вычислить 255	• 1255 .
1	1	1	1
► 25*	1255	=(25	125)5 =(б5)5 = 5. <
4 4
Упростить выражение а b + ab
4	4	[ I 11
a3b+ ab3 = abla3 - b3) =
3/~ з/т	1	1
va + Vb	о	,
а3 + Ь3
26
17	_ 1	5
a3 — a3 a 3 — a3 Задача 4 Упростить выражение —---------------.
a3-a3	a3+a3
1	7	1	5	1	1
. a3 - a3 a 3 - a3 _ a3(l-a2) a 3(l-a2)
~ ~I 1 1 IT ~ I T a3 - a3 a3 + a 3	a3(l-a) a 3(l+a)
= 1 + a-(1 -a) = 2a, <1
Задача 5* Вкладчик поместил в банк 1000 р. Банк ежегодно выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег получит вкладчик через 3 года и 5 месяцев?
► Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентов:
где а — первоначальная сумма денег, р — число процентов, начисляемых банком в год, t — число лет, в течение которых деньги находились в банке.
к
В данной задаче а = 1000, р = 3, t = 3—. По Форму-
за-
ле сложных процентов находим S = 1000 • 1,03 12 . Вычисления можно провести на микрокалькуляторе. Например, на МК-51 это можно сделать по программе
5
12 + 3	х —> П С
1,03
ух П->х = X 1000 0 1106,2684.
Ответ 1106 р. 27 к. <
2. Степень с действительным показателем.
Покажем, как можно определить степень с иррациональным показателем на примере З^2.
Пусть гр г2, г3, ..., гя, ... — последовательность десятичных приближений числа \1~2 (например, с недостатком):
гг = 1,4, г2 = 1,41, г3 = 1,414.
Эта последовательность стремится к числу V2, т. е. lim гп = у 2. п х
27
Числа rlf r2, r3, ... являются рациональными, и для них определены степени 3Г1, 3Г2, 3Гз, ..., т. е. определена последовательность
£1,4 gMl £1,414
Можно показать, что эта последовательность стремится к некоторому действительному числу, которое обозначают 3^, т. е. 3^ = lim 3r".
п -> 00 .
Вообще, пусть а > 0 и х — произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность х2, ...» хп, ... десятичных приближений числа х. Эта последовательность имеет предел lim хп = х.
П -> 00
Можно показать, что последовательность а*1, а*2, а*3, ...» аХп, ... также имеет предел. Этот предел обозначают ах и называют степенью числа а с показателем х.
Таким образом, степень ах определена для любого а > 0 и любого действительного показателя х.
При любом х е R и любом а > 0 степень ах является положительным действительным числом:
ах > 0 щй! х € Я, а > 0.
Если основание степени а - 0, то степень 0х определяют только при х > 0 и считают, что 0х = О при х > 0. Например, 0^ =0, О0,1 = 0. При х < 0 выражение 0х не имеет смысла. Например, выражения О-1, 0 “^2 смысла не имеют.
При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем. Доказательство этих свойств для степени с действительным показателем проводится в курсе высшей математики.
Lv3-tV3+1
Задача 6 Упростить выражение -Ц=----------
а>^-3 ,а4->/5
► Применяя свойства степени с действительным показателем, получаем
28
Приведем еще одно свойство степени, также доказываемое в курсе высшей математики с помощью теории пределов.
Для любого а > 1 и любого х > 0 число ах • больше 1, т. е. ах > 1 при а > 1, х > 0.
(1)
С помощью свойств степени с действительным показателем доказывается следующая теорема:
Теорема. Пусть а > 1 и хг < х2. ТогдаaXi <аХ2.
•	По условию х2 - Xi >0. Поэтому по доказанному свойству (1) имеем аХ2 ~х' >1. Умножив обе части этого равенства на положительное число ах*, получим аХ] аХ2 ~х' > aXl.
Отсюда по свойству умножения степеней получаем ах'2 > ах', т. е. ах' <аХг. О
Следствие 1. Пусть 0 < а < 1 и хг < х2. Тогда а*1 >аХг.
•	Так как 0 < а < 1, то — >1. Поэтому из теоремы а
следует, что при < х2
(IV 1
По свойству деления степеней — = —• Следова-\ а ) ах
тельно,	< ——, откуда аХ1 >аХ2. О
axi ах2
Следствие 2. Пусть а > 0, а * 1, аХ1=а*2.
Тогда хх = х2.
• Предположим, что равенство xY = х2 не выполняет-
ся. Пусть, например, хг < х2. Тогда при а > 1 по теореме должно быть ах' <аХ2, а при 0 < а < 1 по следствию 1 должно быть aXi >а*2, что противоречит условию ах' =ах2. О
29
Задача 7 Сравнить числа 52<3 и53<2.
► Сравним показатели 2^3 и зТ2. Так как2Тз = = 712, 371 = 718 и 12 < 18, то 2 7з <зТ2. Поэтому по теореме 52V3<53/2\ <|
Z у8 Z хЗ
Задача 8 Сравнить числа - и -
\ 4 J \ 4 )
► Так как 0 < л < 4, то 0 < j < 1. Сравним показа-
тели: так как 8 < 9, то 78 < 79, т. е. 78 < 3. При-
Z х/М Z хЗ
меняя следствие 1, получаем —	> — . <1
\4 )	\4 J
Задача 9 Решить уравнение 4х = 24^3 .
► По свойствам степени 4х = (22)х = 22х. Поэтому уравнение можно записать так: 22х = 24^. Применяя следствие 2, получаем 2х = 4Тз, откуда х-2^3. <
Следствие 3. Пусть 0 < хг < х2. Тогда если р > 0, то х* < xj, а если р < 0, то хр > х%.
„	х2
• По условию — > 1. *1
1)	Если р > 0, то по свойству (1) получаем
/ V	„р
I I	^2
— >1. По свойству деления степеней —> 1,
I *1 )	<
откуда х2 > х*, т. е. хр < х2 .
2)	Если р < 0, то -р > 0, и по свойству (1) полу-/	\-р	х~р хр
чаем —	> 1, откуда —-у > 1, -у > 1, хр > х2. О
\ Х1 J	Х 2
Таким образом, при возведении неравенства с положительной левой и положительной правой частями в положительную степень знак неравенства не меняется, а при возведении в отрицательную степень знак неравенства меняется на противоположный.
30
Задача 10 Сравнить числа V2 и V3.
► По свойствам степени получаем f 1А6	( 1^6
(V2)6 =|ч22] = 23=8, (УЗ)6 = [з3 } = З2 = 9. 1 1
Так как 0<8<9 и - > 0, то 86<96, т. е. 6
V2 <Уз. <
Упражнения
55 (Устно.) Представить в виде степени с рациональным показателем:
1)	2) Та4”; 3)	4) Vx77; 5) Va; 6) TFT
56
57
58
59
60
(Устно.) Представить в виде корня из степени с целым пока-
зателем:
1	2
1) х4;	2) £/5;
5	1	1	2
3) а 6;	4) d 3;	5) (2х)2;	6) (3d) 3.
Вычислить (57—60).
1	1	2	3
1) 642; 2) 273;	3) 83; 4) 814;	5) 16 0’75; 6) 91’5.
4	11	2	5	2	1	1	5 f "4
1) 25 • 2 5 ; 2) 57 • 57; 3) 93 : 96 ; 4) 43 : 46; 5) (89 * * 12J .
2	2	22	3	3	3	3
1) 95 • 27*;	2) 73 • 493;	3) 1444 : 94 ;	4) 1502 : 62 .
/	х-0,75 z	_2
1)	+ Ш 3;	2) (0,04)~1,5 -(0,125) 3;
9	2	6	4	( _2V5 f зА-4
3) 8 7 : 87 -35 • 35 ;	4) ,5 5 I + l(0,2)4J .
61 Найти значение выражения:
1) Ma • Va при a = 0,09;	2) Mb : Vd при d - 27;
/Т 3/ТУ
3)	---- при d - 1,3;	4) Va • Va • 1Vo*~ при a = 2,7.
Mb
62 Представить в виде степени с рациональным показателем: 1 11 1
1) а3  Та; 2) &2 • Ь3 • Vft;	3) ~4b : Ь6;
4) а3	5) х1'7 • х2’8: VF;	6) у 3’8 : г/"2’3 • Vj/-
63 Вынести общий множитель за скобки: 1	113	1	12
1) х2 + х; 2) (ad)3 + (ас)3 ; 3) у4 - у3 ; 4) 12ху2 -Зх2у.
31
64	Пользуясь тождеством а2 - b2 = (а + Ь) (а - Ь), разложить на множители: 1	1	2	11 1)а2-Ь2;	2) г/3 — 1;	З)а3-Ь3; 11 11 4) х - у;	5) 4а2 -Ь2;	6) 0,01/п6 -п6 .
65	Разложить на множители, используя тождество а3 + д3 = = (а + b) (а2 ~ ab + Ь2) или а3 - Ь3 ~ (а - b) (а2 + ab + Ь2): зз	lx	1 1) а - х;	2) х2 - у2 ;	3) а2 -Ь2 ;	4) 27а + с2 .
66	Сократить дробь: 1 1 1 1)	2) m2 + n2 .	3) e-2c* + l' -	-	т + 2 тп - п	Тс -1 а4 - Ь4 3	1
67	,,	с2	сЬг	2с2-4сЪ Упростить выражение —						 +	. с2 + Ъ2 Ь2-с2
66	Вычислить: 1) 2^-2-^; 2) З2'^ : 9V2 ; 3)(5'/з)''3; 4) ((0,5)72 )Л. Вычислить (69—71).
69	1) 22-з/5 . 8Vs .	2) 31+23Л . 93Л. 3) (51 + '^2)1-'/2;	4) (51-'/5), + '/s’-(Тб)0.
70	1) 21-2Л 4'/2;	2) З2’3^ • 27^; 3) gi+Уз . з1->/з , 3-2-V3.	43 + I2 , 2i-^2 .	,
71	in2 + T?	«3 + VK 1) 	12	•	2) 	; 2% + 41 .gi+41	22-'/& .3I + V5 3) (251+,/2 -52'/2)-5’1’272;	4) (22^ - 4'^’1)• 2~г42 .
72	Выяснить, какое из чисел больше: 1) 3^- илиЗ'^;	2) f —или f —	; 1 3 ) 3) 4"^ или 4"^;	4) 2V3 или 21,7; т1,4	гп" т3-14 5) - или -	;	6) - или -
73	Сравнить число с единицей: / „ \5 1) 2-2;	2) (0,013г1;	3) (11 ;	4) 271’5; -	/ \4^	/ \4ь-2	Z ч/8-З 5) 2“'/5;	6) (11 ;	7) (J ;	8) 1
32
74
75
76
77
78
78
80
81
82
Упростить выражение:
1) (Г*2 • а1-^2; 2) а73’1 -ал+1; 3) (Ь73)73 : ъ2.
Сравнить числа: 1) у[2 и ^3; 2) V5 и V7.
Вычислить:
1) I'-L'l ° 75 + 810 0 0 0 0,25 -Гт —V; 2) 273-(-2)~2 + f 3^1 3;
\ 16 7	\ 32)	у 3 J
.1	2	-11	/ . ч-1—
3) (0,001) 3-2~2 -643 -8 3; 4) (-0,5)“ -6250-25 - 2-1	2.
\ 4)
Упростить выражение (77—78).
5	1	11
Вычислить:
Г 5	_1	5	1^
1) ^23 з’3 -З3 -2~3 ) V6;
[13	1	3 ]
2) ^54:24 - 24 : 54 J t/1000.
Упростить выражение (80—83).
1) а® 6^а34а;	2) Ь™ 3уЬ^Гь-,
( 2	2 А
4) (у[а + y[b) 1а3 + b3 - Mab).
/ ____ _1\
3) Над-2 +(ab) 6 I y/ab* ;
1	9	_1 з	х	1
Д4 ~ Д4 _ b 2 - Ъ2 ф	у/ а - а 2Ь _ д/а2 - а 3 b
1	5	1	_1 ’ f и /л-1к	_1
а4 - а4 Ъ2 + Ь 2	Va + а 3 уГь
+ 1	г~ г~ г~ г~
1) ---2) -----------3) (ал-&7з)(а72+д'/з);
(mn)2+^	(ху)^
4) f 2а"0,5- — д"^3 Y—Ь-^3 + 2а-0,5 \
I ЗАЗ	J
2 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
33
83	1) (а1-'я)1-л;
2)
зТб wt 2 . т л ;
3) (a’72^'3)V4-W+W.
4) (eVe+W+i)i-V»t
Решить уравнение (84—85).
84
85
1) 7*^ = V7;
3) (V2)x = 2^2;
2) 25х72 =5л/5;
4) (7з)3х =з7з.
86 Сравнить числа:
1) V10 и V20; 2) V5 и V7; 3) V17 и V28; 4) V13 и V23.
Упростить выражение (87—89).
87
88
1)
2)
3)
1)
3)
1)
2)
3)
2	2
х+ у	х-у X3 - у3 .
2	11	2	2	112	11’
х3-х3у3 + у3 X3 + X3 у3 + у3 X3 - у3
(а-b)2 +	а2 - Ь2
з з	/ 2	(	1 1 А *
a2-b2	^а2 + d2J [^а + a2 b2 + bj
1
4х3 +4 + —
1
34
90 Вкладчик вложил в банк 5000 р. под 2% годовых. Сколько денег получит вкладчик через 3 года?
91 Банк выплачивает ежегодно 3% от суммы вклада. Сколько денег получит вкладчик через 2 года 7 месяцев, если первоначальная сумма вклада составляла 2000 р.?
92 Вычислить:
1) С0,645: 0,3 -1—Y f 4 : 6,25 -1:5+1- 1,961; k	180 J I	1	)
2) f 1 -О.ЗТб'!: 0,125 + f 5 _-LY (0,358 -0,108). кг ) ke 12;
93 Представить в виде обыкновенной дроби:
1)	1,3(1);	2) 2,3(2);	3) 0,(248);	4) 0,(34).
94 Вычислить: 7 X	7 X -2
• 1) 48°, 10'2, (|1 , (0,ЗГ3, (-1,2)-2, (2± 1 ;
2)	V27, V81, V32,	V162”, V272 ;
12	12	3?
3)	83, 273, 100004, 325, 32 5, | —|3.
к 64;
95 Вычислить:
-	-	/	X’1	-	\4
2) 56° : 8"2, 16“-252, -М :92, 83 1 1161; к is)	^г)
1	_1	7	4
54 • 5 4	73 • 7 3	(0,3)0’3 (0,3г1
52	72	0,313
Вычислить (96—97). 7 х-1	/	Ч--	2
96	1)	; 2) Г1251 | 3; 3) 273 + 91;
4 13 J	<27	J
1	11	2
4) (0,01)’2 : 100 2; 5)|^|2|^| ; 6)|2^|3[^ к 81)	I 27) к 4
35
Wl
98
99
100
101
102
103
104
105
4) з/lU : 31з±;
N 4 V 3
Расположить числа в 1) I3-75, 2-1, (I) 3; Сравнить числа:
1) (0,88)® и
2>‘Д‘Д;
5) (’Ж2;
порядке возрастания:
2) 98°,	, 323.
2) ( —'l 4 и (0,41) <;
( з ?'2
3) (4,09) 73 и 4-М \ 25)
Упростить выражение, представив его в виде степени с осно
ванием а:
11 1
а 2 а”0’5	а-3 а3
D ----2---:	2) —Г"
1
а3	а3
Упростить выражение:
3) (а2>5)2 Va; 4) Vo2" [а14) .
Сравнить числа:
Решить уравнение: 1
1) 62х = 65;
4) 22х+1 = 32;
Сократить дробь:
1)
5/+ 20
2) 3х = 27;
5) 42 + х= 1.
3) 73х = 710;
Упростить:
з 1
1) м
11 а2&2-1
-М + _ а - b 1	1
а2+Ь2
36
Проверь себя!
1
Вычислить:
1 I
15® а8
1)	; 2>
~2
1
2
Упростить выражение: 1) t
2)
о”3 а3
а3
3
Сократить дробь а ~^ а-
7а* + 21
4
3
J/» Л3 Сравнить числа * I и У х 9 J Упростить выражение (Va+Vb) - (Va-Vb) .
106 Показать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если:
1) Ь2 = -81, S2 = 162;	2) b2 = 33, S2 = 67;
' 3) frj + b2 = 130, bt - b3 = 120; 4) b2 + fr4 = 68, b2 - b4 = 60.
107 Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: 1) 1,10(209); 2) 0,108(32).
108 Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трех ее членов равна 39, а сумма их обратных величин 13 равна —.
109 Упростить выражение -^43 + 30V2 + д/43-30л/2 .
110 Упростить выражение а =(4-Зу2)2 + 8 д/34 -24 V2 -л/б.
Сравнить полученное число с нулем.
111 Сравнить числа а и Ь, если:
1	\	2	.5	.	2	.
1)	а —— ч--------=, о —z=. =,
V5-V3	3 + 2V2	V8-V5
2)	а = V2 + V3, b = VW;
3)	a =5-V15, b =V17 -3;
4)a=V13-V12, &=V12-V11.
37
112 Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
D -Н-т=; 1 2> —^=s 3>	4)	5) 4^34-
42-4з	5 + V10 VZ V27	л/5-л/2
6) . 11 ; 7) ----8) Д 
Vs+42	1 + 42 + 43 V4 +34б + 4з
113 Вычислить:
1) (V7-VI) (V49 + V28 + V16);
2) (V4 - V10 + V25) (V2 + V5).
Упростить выражение (114—117).
2	2	2	2	4	4	4	_____ 4
а3-&3 аа + 344ь + Ъ\	аа-Ьа а3-34а2Ь2 + Ьа
1	:	34~a-34i' Va + Vi
а3 + b3
116
1)
^4а2-9а 2 ч 2а - За-1
(ab) Ч
118 Доказать, что ^7 + 5>/2 + ^7-5л/2 = 2.
38
 Степенная функция
Как алгебраисты вместо АА, ААА, ... пишут А2, А3...так я.., вместо —, -i-,
а а2 а3 пишу а-1, а~2, а~3.
И. Ньютон
Степенная функция,
Вы знакомы с функциями у ~ х, у - х2, у - х3, у = — и т. д. Все эти функции являются частны-X
ми случаями степенной функции, т. е. функции у ~ хр, где р — заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень хр. Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.
1. Показатель р = 2п — четное натуральное число. В этом случае степенная функция у - х2п, где п — натуральное число, обладает следующими свойствами:
—	область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
—	множество значений — неотрицательные числа, т. е. у > 0;
—	функция у = х2п четная, так как (~х)2п = х2п;
—	функция является убывающей на промежутке х < 0 и возрастающей на промежутке х > 0.
График функции у = х2п имеет такой же вид, как, например, график функции у = х4 (рис. 7).
39
2. Показатель р = 2п - 1 — нечетное натуральное число.
В этом случае степенная функция у - х2п \ где п — натуральное число, обладает следующими свойствами:
—	область определения — множество R;
—	множество значений — множество R;
—	функция у = х2п ” 1 нечетная, так как (~х)2л 1 = = _Х2П-1;
—	функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции у = х2п 1 имеет такой же вид, как, например, график функции у ~ х3 (рис. 8).
3. Показатель р = -2п, где п — натуральное число.
В этом случае степенная функция у - х~2п =
обладает следующими свойствами:
— область определения — множество R, кроме х = 0;
— множество значений — положительные числа
У > 0;
—	функция —четная, так как —-— = —7—; х2"	(-х)2л х2я
—	функция является возрастающей на проме-
жутке х < 0 и убывающей на промежутке х > 0.
40
График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 9).
X2
4. Показатель р = - (2п - 1), где п — натуральное число.
В этом случае степенная функция у = х~{2п п = = —-— обладает следующими свойствами: „2 п -1
—	область определения — множество Я, кроме х = 0;
—	множество значений — множество Я, кроме У = 0;
—	функция у = —-— нечетная, так как-------=
Х2л-1	(-x)2n-1
1 .
X2"'1 *
— функция является убывающей на промежутках х < 0 и х > 0.
График функции у =	* - имеет такой же вид,
„2 л -1
как, например, график функции у = — (рис. 10).
V3
41
5. Показатель р — положительное действительное нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает следующими свойствами:
—	область определения — неотрицательные числа х > 0;
—	множество значений — неотрицательные числа у > 0;
—	функция является возрастающей на промежутке х > 0.
График функции у = хр, где р — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график 1
функции у = х3 (при 0 < р < 1) или как, например, график функции 4
у = х3 (при р > 1) (рис. 11, а, б).
6.	Показатель р — отрицательное действительное нецелое число.
В этом случае функция у = хр обладает следующими свойствами:
— область определения — положительные числа х > 0;
— множество значений — положительные числа
У > 0;
— функция является убывающей на промежутке х > 0.
42
График функции у - хр, где р — отрицательное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, _ 1
график функции у - х 3 = Ц- (рис. 12).
хз
1	4
Задача 1 Решить неравенство: 1) х3 > х; 2) х3 > х.
1
► 1) Неравенство х3 > х имеет смысл при х > 0. При х = 0 неравенство не выполняется. При х > 0, возводя неравенство в куб, получаем х > х3, т. е. х (1 - х2) > 0. Так как х > 0, то 1 - х2 > 0, откуда х2 < 1; |х| < 1. Следовательно, 0 < х < 1.
4
2) Аналогично, возводя неравенство х3 > х при х > 0 в куб, получаем х4 > х3, т. е. х3 (х - 1) > 0. Так как х > 0, то х - 1 > 0, т. е. х > 1.
1) 0 < х < 1; 2) х > 1. <]
Решение этой задачи показывает, что график функ-1
ции у = х3 лежит выше графика функции у - х при 0 < х < 1 и ниже при х > 1 (рис. 13, а); график 4
функции у ~ х3 лежит выше графика функции у = х при х > 1 и ниже при 0 < х < 1 (рис. 13, б).
Задача 2 Сравнить числа (З,2)3-л и (З,5)3-л.
Так как 3 < л < 4, то 3 - я < 0.
Функция у = х3 "1 убывает на промежутке х > 0. Поэтому (З,2)3-л > (З,5)3 -л. <
43
Задача 3* Найти точки пересечения графиков функций
4
3/~	3
i/ = Vx И у = ха.
Для нахождения точек пересечения этих графиков
4
решим уравнение Ух = х3. Левая часть этого уравнения имеет смысл при всех х, а правая — только при х > 0.
При х > 0 функция у = Ух совпадает с функцией 1
у = х3, поэтому уравнение можно записать так: 1	4
х3 = х3. Возводя это уравнение (при х > 0) в куб, получаем х = х4, откуда х (х3 - 1) = 0, хх = 0, х2 = 1.
Ответ (0; 0), (1; 1). <
Упражнения
119 Изобразить схематически график функции и указать ее область определения и множество значений:
1
1) У = X6;	2) у = х5;	3) у = х2 ;
4) у = х~2;	5) у = х 3;	6) у = х3 .
120 (Устно.) Является ли функция у = хр возрастающей (убывающей) при х > 0, если:
1) Р = 41-,	2) р = —;	3) р = 1-73;
Я
4) р = ±;	5) р = 3 - л; 6) р = 0,(3)?
Я
121 Изобразить схематически график функции: 2	5
1) у = х5; 2) у = х2 ; 3) у = х-5; 4) у = х^.
122 Пользуясь свойствами степенной функции, сравнить с единицей:
1) 4,12,7; 2) 0,2°’3; 3) 0,7е1; 4) л/3°’2.
123 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых график функции:
1) у = х^ ; 2) у = хл — лежит выше (ниже) графика функции у = х.
44
124 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых график функции:
1
1) у = хк \ 2) y = xsin45°— лежит выше (ниже) графика функции у = X.
125 Сравнить значения выражений:
3) О,30’3 и О,20,3;	4) 2,5’31 и 2,6’31;
2	2
7) (4л/3)5 и	8) (2Уб)-° 2 и (6^2)-° 2.
126 В одной системе координат построить графики функций, находя сначала их области определения и множества значений:
1) у = х3 и у = х3 ;	2) у = х4 и у = х4 ;
3) у = х2 и у = х 2;	4) у = х5 и у = х 5.
127 Пользуясь рисунком 13, найти промежутки, на которых график функции: 1) у = х1" л; 2) у = х1~^2 —лежит выше (ниже) графика функции у = х.
128 Изобразить схематически график функции и найти ее область определения и множество значений:
1
1) у = хл + 1;	2) 1/ = хя-1;	3) у = (х - 2)л;
4) </=(х + 1)'Л;	5) у = (х - 2)2;	=
xV2
129 Построить график функции и указать ее область определения, множество значений и промежутки возрастания и убывания:
1
- 1) j/=|x|3;	2)j/ = |x|5;	3)j/ = |x|3+l;
' ’	А	1
4) у=|х|5-2;	5) j/=|x + 2|3;	6) j/ = |2x|'3.
129 Найти координаты точки пересечения графиков функций:
4 \	5/“
1) У = у/х И
3
у = х5;
5
2) у = \[х и у = х7,
45
Взаимно обратные функции
Для обозначения функции, кроме известного вам у = у (х), часто используют буквы f, g, F и т. д. Например, пишут: дана функция у = f (х) (читается: «Игрек равен эф от икс») или пишут: g (х) = 2х - 1, F (х) = х2 и т. п. При этом независимую переменную х обычно называют аргументом функции. Возрастающие и убывающие функции иногда называют одним словом — монотонные.
Если задана функция у = f (х), то для каждого значения х из области определения функции можно найти соответствующее значение у. Нередко приходится решать обратную задачу: по данному значению функции у находить соответствующее значение аргумента х.
Примером может служить формула и = vQ - gt, которая выражает зависимость скорости и движения тела, брошенного вверх с начальной скоростью и0, от времени движения £. Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени t от скорости v:
В рассмотренном примере каждому значению функции соответствует одно значение аргумента. Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции. Такие функции называют обратимыми.
Если функция у = f (х) принимает каждое свое значение только при одном значении х, то эту функцию называют обратимой.
Например, функция у = 2х - 2 обратима, так как каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Это значение можно найти, решая уравнение у = 2х - 2 относительно х.
Функция у = х2 не является обратимой, так как, 46
например, значение у = 1 она принимает при х = 1 и при х = -1 (рис. 14). Пусть у = f (х) — обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определенное число х из области ее определения, такое, что / (х) = у. Это соответствие определяет функцию х от у, которую обозначим х = g (у). В этой записи в соответствии с принятыми обозначениями поменяем местами х и у. Получим у = g (х).
Функцию у = g (х) называют обратной к функции у = f (х).
Задача 1 Найти функцию, обратную к функции
У = Зх + 5.	(1)
Решая это уравнение относительно х, получаем х= —(// —5). В этой формуле поменяем местами
х и у:
j/ = l(r-5).	(2)
О
Функция (2) обратна к функции (1). <1
Вообще, если обратимая функция у = f (х) задана формулой, то для нахождения обратной функции нужно решить уравнение f (х) = у относительно х и затем поменять местами х и у.
Заметим, что рассмотренная в задаче функция у = Зх + 5 является обратной к найденной для нее обратной у = — (х -5) функции. Поэтому эти функ-
Задача 2 Найти функцию, обратную к функции у = ——.
х - 2
Решая это уравнение относительно х, получаем х=2 + -. Заменив х на у и у на х, находим У
J/=2 + i О X
47
область определения функции
В этой задаче 1
у =----- есть множество действительных чисел, не
х - 2
равных 2, а множество ее значений — все действительные числа, не равные 0. График этой функции изображен на рисунке 15.
Для обратной функции у = 2 + — область определе-X
ния — множество действительных чисел, не равных 0, а множество значений — все действительные числа, не равные 2. График этой функции изображен на рисунке 16.
.^является об-
Ф Пусть функция у = f (х) возрастает и пусть у$ — ее значение в некоторой точке х0, т. е. yQ- f (х0). Тогда если х принадлежит области определения функции, то при х > х0 выполняется неравенство f (х) > f (х0) = yQ, а при х < х0 — неравенство f(x)<f (х0) = у0.
Следовательно, значение у0 функция f (х) прини-мает только в одной точке х0 и поэтому является обратимой. Для убывающей функции доказательство проводится аналогично. О
Например, функция у = х3 возрастает и поэтому является обратимой; обратной к ней является функция у =\Гх (рис. 17).
48
Если функция у = f (х) возрастает, то с увеличением х значения у увеличиваются и, наоборот, с увеличением у увеличиваются х. Это означает, что обратная функция также возрастает. Аналогично если функция у - f (х) убывает, то обратная к ней функция также убывает. Например, функция f (х) = 1 - 2х убывает и обратная к ней функция 1 _______ у»
g (х) =--- также убывает.
2
Функция, не являющаяся монотонной, обратной может не иметь. Например, функция у = х2, рассматри-
ваемая на всей числовой оси, не имеет обратной. Однако если функцию у = х2 рассматривать только
при х > О, то на этом промежутке она_возрастает и, следовательно, имеет обратную у = л/ х (рис. 18, а).
Функция у = х2, рассматриваемая при х < 0, убывает и также имеет обратную у = -ух (рис. 18, б).
Теорема 2. Если функция имеет обратную, то график обратной функции сяаийЙрнЧён графику данной	х,
* Если точка (х0; у0) принадлежит графику функции У = f (х), то точка (i/0; х0) принадлежит графику обратной функции у = g (х) (рис. 19), а точки (х0; yQ)
49
и (j/о» хо) симметричны относительно прямой у = х (рис. 20). О
Рисунок 18 иллюстрирует эту теорему.
Отметим» что степенная функция у = хр с областью определения х > 0 и р 0 обратима, так как она монотонна. Обратной к ней является функ-2 ция у = хр .
Упражнения
131 (Устно.) Выяснить, является ли обратимой функция:
1) у = Зх - 1;	2) у = х2 + 7;	3) у=±;
X
4) г/ = Vx;	5) у = х4;	6) у = х4, х < 0.
132	Найти функцию, обратную к данной: 1) у = 2х - 1;	2) у = -5х + 4; 3)	у = -х--;	4) у = ^^1; У 3	3	у	2 5) у = х3 + 1;	6) у = х3 - 3.
133	Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной: 1) у =-2х + 1;	2) у = -х-7; 4 3) у = х3 - 1;	4) i/ = (x-l)3; 5) у = -;	6) у = —. х	х- 4
134 Функция у = f (х) задана графиком (рис. 21). Построить график функции, обратной к данной.
50
Рис. 21
135 Являются ли взаимно обратными функции:
1) у = -х3 и у = -Vx;	2) у = —х5 и у - Vx;
3) у = х~3 И У=т^;	4) y=Vx^ И y = xVx^?
V х
136 Найти функцию, обратную к данной: 1	3	3	1
1)	У = -Х1 2; 2) у = -х5; 3) у = х2 ; 4) у = -х3 .
137 На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной к данной; найти область определения и множество значений каждой из них:
1) у = Зх - 1;	2) у =	~	3) у - х2 - 1 при х > 0;
3
4) у = (х - I)2 при х > 1;	5) у - х3 - 2;
6) у = (х - I)3;	7) у = 77^1;	8)y = V7 + l.
51
: Равносильные уравнения  и неравенства
1. Равносильные уравнения.
Задача 1 Найти точки пересечения графиков функций у = Зл/х и у = х + 2.
Если (х; у) — точка пересечения данных графиков, ТО у = з7х = х + 2. Следовательно, для нахождения абсцисс точек пересечения нужно решить уравнение
Зу/х=х + 2.	(1)
Возводя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем 9х = х2 + 4х + 4, откуда х2 - 5х + 4 = 0. Корни полученного квадратного уравнения xt - 1, х2 = 4. Проверка показывает, что оба корня являются также и корнями уравнения (1).
Теперь находим ординаты точек пересечения данных графиков #1 = 3д/х7 = 3,	=	Итак,
Ответ
данные графики пересекаются в двух точках (1; 3) и (4; 6) (рис. 22).
(1; 3), (4; 6). <
При решении задачи 1 исходное уравнение Зл/х = х + 2 заменялось уравнениями
9х = х2 + 4х + 4, х2 - 5х + 4 = 0.
Все эти три уравнения имеют одни и те же корни xt = 1, х2 = 4. Такие уравнения называют равносильными.
 Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.
Например, уравнения 4х - 3 = 2х + 3 и 2х = 6 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень х = 3. Уравнения (х - 2) (х + 5) = 0 и х2 + Зх-10 = 0 также равносильны, так как они имеют одни и те же корни хг = 2, х2 = -5.
52
Уравнения 2х - 4 и Зх2 = 12 не равносильны, так как первое имеет корень х = 2, а второе — корни хг - 2 и х2 = -2. Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Из курса 7 класса вы знаете, что можно сделать следующие преобразования уравнений:
Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изМенивего знак на противоположный.	’	;
Обе части уравнения можно умножить й^и разде-литьнаодноито жейисло, не равное нулю.
При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение.
Заметим, что если некоторое выражение в левой или правой части уравнения заменить тождественно равным ему выражением, то получится уравнение, равносильное исходному. Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется на равносильное.
Например, при возведении в квадрат обеих частей уравнения уГх - х - 2 получается уравнение х - (х - 2)2, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень х = 4, а второе — два корня Xj = 4 и х2 = 1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения.
Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней ле происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения Иначе, если все корталре₽вог$ уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Из этого определения и определения равносильности уравнений следует, что:
1) если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2) если каждое нз двух уравнений является следствием Другого, то эти уравнения равносильны.
53
При решении уравнений главное — не потерять корни» а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.
Задача 2 Решить уравнение _2*__*±1=________________________________4-----.	(2)
х-2	х-1	(х-1)(х-2)
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех трех дробей, т. е. на (х - 1) (х - 2), получаем
2х (х - 1) - (х + 1) (х - 2) = 4,	(3)
откуда х2 - х - 2 = 0, хг = 2, х2 - -1.
Проверка. 1) При х = 2 знаменатели двух дробей уравнения равны нулю. Поэтому х = 2 не является корнем данного уравнения.
2) При х = -1 левая часть уравнения равна
2-(—1) -1+1 _2
-1-2	-1-1	3’
правая часть равна 4	_ 2
(-1-1К-1-2)	3*
х = —1. <
Заметим, что для проверки корня х = -1 достаточно увидеть, что знаменатели дробей уравнения при х = -1 не равны нулю (если, конечно, при решении уравнения не допущены ошибки в преобразованиях и вычислениях).
При решении задачи 2 из уравнения (2) получено уравнение (3), которое является следствием уравнения (2). Корень Xj = 2 уравнения (3) не является корнем уравнения (2). Его называют посторонним корнем»
Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.
Задача 3 Решить уравнение х2 - 4 - 7х - 14.
Преобразуем данное уравнение так:
(х + 2) (х - 2) = 7 (х - 2),	(4)
54
откуда (х + 2 - 7) (х - 2) = 0, т. е. (х - 5) (х - 2) = О, следовательно, хг = 5, х2 = 2. <
Если обе части уравнения (4) разделить на х - 2, то получится уравнение х + 2 = 7, которое имеет только один корень х = 5, т. е. произойдет потеря корня х = 2, и решение задачи будет неверным.
Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.
Итак, при решении уравнения можно делать только такие его преобразования, при которых не происходит потери корней. Если при этом получаются уравнения — следствия данного, то необходима проверка найденных корней.
2.	Равносильные неравенства.
Равносильность неравенств с неизвестным определяется аналогично.
 Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными.
Y _ Q
Например, неравенства <0их-3<0 равно-х2 + 1
сильны, так как имеют одно и то же множество решений х < 3. Неравенства х2 - 4х < х - 6 и х2 - 5х + 6 < 0 равносильны, так как имеют одно и то же множество решений 2 < х < 3. Неравенства О у
---->1и2х>х-1не равносильны, так как ре-х -1
шениями первого являются числа х < -1 и х > 1, а решениями второго — числа х > -1. При решении неравенств обычно данное неравенство преобразуется в ему равносильное.
Задача 4 Решить неравенство ~ 3 > 1. х2 + 1
Так как х2 + 1 > 0 при всех действительных значениях х, то, умножая неравенство на х2 + 1, получаем неравенство 5х - 3 > х2 + 1, равносильное данному. Решая это неравенство, получаем
х2 - 5х + 4 < О, (х - 1) (х - 4) < О, откуда 1 < х < 4. <1
55
Рис. 23	Рис. 24
3	2
Задача 5 Решить неравенство--------->-----.
х-1 х + 1
3_____2	> g Зх + 3 - 2х + 2 > g х + 5	> g
х-1 х+1	*	(х-1)(х+1)	’ (х-1)(х+1)
Решая последнее неравенство методом интервалов (рис. 23), получаем -5 < х < -1, х > 1.
Ответ -5 < х < -1, х > 1. <|
Задача в Решить неравенство х6 < х2.
х6 - х2 < 0, х2 (х4 - 1) < О, х2 (х - 1) (х + 1) (х2 + 1) < 0.
Решая последнее неравенство методом интервалов (рис. 24), получаем -1 < х < 0, 0 < х < 1.
Ответ -1 < х < 0, 0 < х < 1. <
Упражнения
. 138 Решить уравнение:
1) (х + 7) • 3 = 2х + 14;	2) х2 + —5— =4+ —;
х2 - 4 х2 - 4
3) * ~2 _ 1 ~2*.	41	5х-15	__ 2
' х2 — 1	х2-1’	(х-3)(х+2)	х+2*
139 Равносильны ли следующие уравнения:
1)	Зх - 7 = 5х + 5 и 2х + 12 - 0;
2)	|(2х-1) = 1 и ^^=1;
3)	х2 - Зх + 2 = 0 и х2 + Зх + 2 = 0;
4)	(х - 5)2 = 3 (х - 5) и х - 5 = 3;
5)	х2 - 1 = 0 и 2х 1 = 0;
6)	|х - 2| = -3 и 3х = (-1)3?
140 Равносильны ли следующие неравенства:
1)	2х - 1 > 2 и 2 (х- 1) > 1;
2)	(х - 1) (х + 2) < О и х2 + х < 2;
3)	(х - 2) (х + 1) < Зх + 3 и х - 2 < 3;
4)	х (х + 3) > 2х и х2 (х + 3) > 2х2?
56
141
142
148
144
145
14$
147
148
149
150
Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:
1) х - 3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;
х2-Зх+2 = о и х2 _ Зх + 2 = 0
х-1
Решить уравнение:
1) Х 4- 2х = 4х •	2) Х~ 1 - — = 1 .
х + 1 х-1 х2 -1 ’	х-2 х х - 2 ’
3) (х - 3) (х - 5) = 3 (х - 5);	4) (х - 2) (х2 + 1) = 2 (х2 + 1).
Решить неравенство:
1)	<3;	2)	>1.
2 + х2	5-х
Выяснить, равносильны ли уравнения (144—145).
1)	|2х-1| = 3 и 2х - 1 = 3;
2)	3xjl2	3^5 =2х_2 и 2х + 3 = —.
3	2	6	3
1)	2х - 1 = 4 - 1,5х и 3,5* - 5 = 0;
2)	х (х - 1) = 2х + 5 и х2 - Зх - 5 = 0;
3)	23* +1 = 2-3 и Зх + 1 = -3;	4) Vx + 2 = 3 и х + 2 = 9.
Установить, какое из двух уравнений является следствием другого уравнения:
1) |х| = V5 и лГх2 = 5;
2)	и (х - 2) (х + 2) = (х - 3) (х + 3).
х + 3 х + 2
Решить уравнение — ---------------—— = Зх п .
Зх+1 Зх-1 9х2-1	1-9х2
Найти корни уравнения:
1) =
х-1	х+1 х2 -1
2) х+2 х(х~4)_х-2 4(3 + х)
х-2 х2 - 4 х + 2	4-х2
Решить неравенство:
1)	х3 - Зх2 + 2х - 6 > 2х3 -	х2	+	4х	- 2;
2)	х3 - Зх2 - 4х + 12 > -Зх3	+	х2	+ 12х - 2.
Решить уравнение:
1)	(х-З)*2 "*"2 = 1;	2)	(х2-х-1)х2-1	=1;
3)	(х + З)*2”* =(х + 3)'31;	4)	(х + З)*2-3	=(х + 3)21.
57
В уравнениях Vx +1 = х -1, V5x -4 = 2 + 4~х неизвестное х находится под знаком корня. Такие уравнения называют иррациональными. Приведем еще примеры иррациональных уравнений:
Vх + 15 = х + 1, л/х + 6 = д/б -х.
Иррациональные уравнения часто получаются при решении различных задач. Решение иррациональных уравнений основано на следующем свойстве:
При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного.
• Пусть х — корень уравнения f (х) = g (х), т. е. f (х) = g (х) — верное числовое равенство. Тогда по свойствам верных числовых равенств fп (х) = = Я71 (*), где п — натуральное число, также верное числовое равенство, т. е. х — корень уравнения Г(Х) = ^(Х). о
Отметим, что при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень (т. е. при возведении уравнения в натуральную степень) может получиться уравнение, не равносильное данному. Например, уравнение V6 - х = х имеет один корень х = 2, а уравнение 6 - х = х2 имеет два корня хх = 2, х2 = -3.
При возведении уравнения в натуральную степень могут появиться посторонние корни, поэтому проверка необходима.
Например, при возведении обеих частей уравнения у/х2 + х -1 = Vx в квадрат получается уравнение х2 + х - 1 = х, т. е. х2 = 1.
Это уравнение имеет два корня Xj = 1, х2 = -1. Второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как подкоренные выражения при х = -1 отрицательны.
58
Задача 1 Решить уравнение Vx + 6 -Vx + 1 = ^2х -5.
► Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
х + 6 -2 Л/(х + 6)(х+ 1) + х + 1= 2х-5, откуда д/(х + 6)(х + 1) = 6.
Возведем последнее уравнение в квадрат:
х2 + 7х + 6 = 36, или х2 + 7х - 30 = 0.
Корни этого уравнения хх = 3, х2 - -10.
Проверка показывает, что х2 = -10 — посторонний корень.
х = 3. <
Задача 2 Решить уравнение
^х2 + 12 = х.	(1)
► Возведем уравнение в четвертую степень:
х2 + 12 = х4,
откуда х4 - х2 - 12 = 0. Решим это биквадратное уравнение
х2 = 11	48 _ т. е. х2 - 4 или х2 = -3.
2	2
Уравнение х2 = 4 имеет два корня х = ±2. Уравнение х2 = -3 не имеет действительных корней. Так как при возведении обеих частей уравнения (1) в четвертую степень могли появиться посторонние корни, то нужно сделать проверку. При х = 2 обе части уравнения (1) равны 2, т. е. х = 2 — корень уравнения (1). При х = -2 левая часть уравнения (1) равна 2, а правая равна -2, т. е. -2 не является корнем уравнения.
Ответ х = 2. <1
Задача 3 Решить уравнение
37х3-19 = х-1.	(2)
► Возводя обе части уравнения в куб, получаем х3 - 19 = (х - I)3, откуда
х3 - 19 = х3 - Зх2 + Зх - 1, Зх2 - Зх - 18 = 0, х2 - х - 6 = 0.
59
Корни этого уравнения xt = 3, х2 = -2. Проверка показывает, что оба значения неизвестного являются корнями уравнения (2).
Ответ х^ = 3, х2 = -2. <1
Иногда при решении иррационального уравнения полезно использовать графики функций.
Задача 4 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение Vx = 1 - х2. Найти приближенные значения этих корней.
► Построим на одном рисунке графики функций у = у/х и у = 1 - х2 (рис. 25). Графики пересекаются в одной точке при х » 0,5.
X * 0,5. <1
Упражнения
151 (Устно.) Решить уравнение:
l)Vx=2; 2)Vx=7; 3) Vx =2; 4) Vx =-3;
5) Vl-3x =0; 6) Vx = 1; 7) t/2-х = 0.
Решить уравнение (152—161).
182 1) Vx+1 =3;	2) Vx-2 =5;	3) V4 + x =V2x-l;
153 1) ^2x + 3 =1;	2) 71-x =2;	3) ^'Зх2-3 = V8x.
154 1) x + 1 = Vl-x;	2) x = l +Vx + 11;
3) Vx + 3 = V5-x;	4) у/хг-х-3 =3.
155 1) Vx-x = -12;	2) x + Vx =2(x-l);
3) Vx-1 = x-3;	4) 7б + x-x2 = 1 -x.
156 1) V2x-34 = 1 + Vx;
3) V15 + x + 73 + x = 6;
2) Тбх + 714-х =8;
4) 73-2x-71-x =1.
157 1) V«2 + 2 + 7*3 + *2 =0;	2) Vl + x4 = 71 + x2.
60
158 1) V5-r-V5+x =2;	2) л/12 + x -Vl-x = 1;
3) Vx-2 + Vx + 6 =0;	4) л/х+7 + Vx-2 =9.
159 1) 71-2x--713 + x =-Vx + 4;
2) V7x + 1 -7б-х = V15 + 2X.
160 1) ?/х-2 =2;
3) ^25х2 -144 = х;
161 1) ^/х3-2 =х-2;
2) >?2х + 7 =^3(х-1);
4) х2 =V19x2-34.
2) ^/х3-5х2 + 16х-5 = х -2.
162 Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение, и найти приближенные значения этих корней:
1) Vx-6 = -х2;	2) Vx = (х-1)2;
3) л/х + 1 =х2 -7;	4) х3-1 = л/х-1.
168 Решить уравнение:
1) ^4х + 2 д/Зх2 + 4 = х + 2;
' 2) 3-х = 79-/36х2-5х4 ;
3) 7*2 + Зх + 12 -Л/х2 + Зх =2;
. 4) Л/'х2 + 5х + 10-^х2 + 5х + 3 =1.
164 Решить относительно х уравнение:
1) Vx + 1 • Vx -2 = а; 2) Vx • Vx + 2 = а -1.
Задача 1
Стрельба из спортивного пистолета по круглой мишени диаметром 1 м ведется из точки прямой, перпендикулярной плоскости мишени и проходящей через ее центр. На каком расстоянии от мишени должна быть точка выстрела, чтобы разность расстояний от нее до края мишени и до центра была не больше 2 см?
61
Ч*\	► Пусть А — точка выстрела, О —
\	центр мишени, В — точка на окруж-
Р |	ности мишени (рис. 26). По условию
М	ВО = 50 см. Обозначим АО = х, тогда
7	АВ = ^х2 + 2500. По условию задачи
АВ - АО < 2, т. е. J*2 + 2500 -х < 2, Рис. 26	N
ИЛИ
л/х2 + 2500 < х + 2.	(1)
Так как по смыслу задачи х > 0, то левая и правая части неравенства (1) положительны. Следовательно, обе части неравенства (1) можно возвести в квадрат; при этом знак неравенства не изменится (см. § 5) и получится неравенство, равносильное неравенству (1), т. е. х2 + 2500 < х2 + 4х + 4, откуда 4х > 2496, х > 624 (см).
. Не меньше 6,24 м.
В этой задаче пришлось решать неравенство (1), содержащее неизвестное под знаком корня. Такие неравенства называют иррациональными.
Задача 2 Решить неравенство 75 - х <4.	(2)
► Найдем область определения неравенства (2), т. е. множество таких значений х, при которых имеют смысл обе части неравенства. Правая часть неравенства определена при всех значениях х, а левая — при 5 - х > 0, т. е. при х < 5. Следовательно, область определения неравенства (2) — луч х < 5. При х < 5 обе части неравенства (2) неотрицательны, и поэтому при возведении в квадрат обеих частей получается равносильное (на множестве х < 5) неравенство 5 - х < 16.
Таким образом, неравенство (2) равносильно систе-[х < 5, ме неравенств <
[5-х<16.
Решая эту систему, получаем -11 < х < 5.
Ответ -11 < х < 5. О
Рассуждения, приведенные при решении задачи 2, можно провести устно и сразу записать, что неравенство (2) равносильно системе неравенств
5-х> 0,
5-х <16.
62
Задача 3 Решить неравенство
^х2-3х<2.	(3)
► Неравенство (3) равносильно системе
х2 -Зх> 0, х2 - Зх <4.
(4)
-10	3 4
Рис. 27
Решая первое неравенство системы (4), получаем х < 0, х > 3. Решая второе неравенство систе-
мы (4), получаем -1 < х < 4. Оба неравенства

системы (4) выполняются при -1 < х < 0, а также при 3 < х < 4 (рис. 27).
-1 < х < О, 3 < х < 4. <1
Задача 4 Решить неравенство
VlO + x-x2 > 2.
► Это неравенство равносильно системе
10 + х - х2 > 0,
10 + х - х2 > 4.
(5)
(6)
Ответ
Так как каждое решение второго неравенства системы (6) является решением первого неравенства системы (6), то эта система равносильна одному второму неравенству
10 + х - х2 > 4.	(7)
Следовательно, неравенство (5) равносильно неравенству (7). Решая неравенство (7), получаем -2 < х < 3.
-2 < х < 3.<
Задача 5 Решить неравенство
1)	л/Зх-4 < -5;	2) д/2х2 + 5х-3 < 0.
► 1) При всех допустимых значениях х, т. е. при
х> —, значения Тзх -4 неотрицательны. Поэтому 3
неравенство >/Зх -4 < -5 решений не имеет.
2)	Неравенство ^2х2 + 5х -3 < 0 выполняется только тогда, когда ^2х2 + 5х -3 = 0, т. е. когда 2х2 + 5х - 3 = 0, откуда хг = -3, х2 = - . <1
2
63
Задача 6 Решить неравенство
л/Зх +1 < х + 1.	(8)
►	Область определения этого неравенства — луч х> При этих значениях х обе части неравенства (8) неотрицательны. Следовательно, неравенство (8) равносильно системе
J Зх + 1> О, [Зх + 1> (х + 1)2.
Решая эту систему, получаем <х<0, х>1.
3
Ответ <х<0, х > 1. <
з
Задача 7 Решить неравенство
у/х + 3 > X + 1.	(9)
►	Область определения этого неравенства — луч х > -3. При всех х > -3 левая часть этого неравенства неотрицательна. Правая часть этого неравенства отрицательна при х < -1. Поэтому все значения х из промежутка -3 < х < -1 являются решениями неравенства (9).
Рассмотрим случай, когда х > -1. Тогда обе части неравенства (9) неотрицательны, и поэтому обе части этого неравенства можно возводить в квадрат: х + 3 > (х + I)2. Решением этого неравенства являются значения х из промежутка -2 < х < 1. Отсюда, учитывая, что х > -1, получаем -1 < х < 1.
Итак, решениями неравенства (9) являются все значения х из промежутка -3 < х < -1, а также из промежутка -1 < х < 1, т. е. из промежутка -3 < х < 1.
лОй*» -3 < х < 1. <1
Неравенство (9) проще решать с помощью графиков. На рисунке 28 построены графики функций у = у/х + 3 и у = х + 1. Из этого рисунка видно, что решениями неравенства (9) являются значения х из промежутка -3 < х < 1.
Задача 8 С помощью графиков решить неравенство уГх < 2 - х.
►	На одном рисунке построим графики функций у = уГх и у = 2 - х (рис. 29) и выясним, при каких
64
значениях х точки графика функции у = уГх лежат ниже точек графика функции у = 2 - г.
Из рисунка видно, что эти графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения Vx=2-x. Этот корень х = 1. График функции у = у[х лежит ниже графика функции
у = 2 - х при 0 < х < 1.
О < х < 1. <
Задача 9* Решить неравенство ^2х2-5х-3 >х-1.	(10)
► Найдем область определения этого неравенства, т. е. решим неравенство 2х2 - 5х - 3 > 0. Так как корнями уравнения являются числа хг = “, х2 = 3, то неравенство выполняется при х<-^ и при х > 3 (рис. 30).
Таким образом, для решения неравенства нужно выбирать только такие значения х, которые принадлежат его области определения.
1) Если х - 1 < 0, т. е. х < 1, то из этого промежутка области определения неравенства (10) удовлетворяют только числа х < - - (рис. 31).
Рис. 30
_1 1 2
Рис. 31
3 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
65
Рис. 32
2) Если х - 1 > 0, т. е. х > 1, то, возводя обе части неравенства (10) в квадрат, получаем
2х2 - 5х - 3 > х2 - 2х + 1,
откуда х2 - Зх - 4 > 0.
Так как корнями уравнения х2 - Зх - 4 = 0 яв
ляются числа хх = -1, х2 = 4, то неравенство х2 - Зх - 4 > 0 выполняется при х < -1 и х > 4. Из этих двух промежутков области определения нера
венства условию х > 1 удовлетворяют только числа х > 4 (рис. 32).
Ответ х<--, х > 4. <
2
Упражнения
165 Решить систему неравенств:
	1)	|3-х < 2, |2х + 1 <4;	2) |	х2-1> х > 2;	°’	3)	f9-x2 <0, [ х + 5 < 0.
166	Решить неравенство (166 1) Vx > 2;	2) Л <			—171). 3;	3) Мс >	1;
	4)	V2x <3;	5) -/Зх :	>1;	6) >/2х ’	2.
167	1)	оэ Л 03 1 н	2)	7х -2	<1;	
	3)	Js - х < 5;	4)	74-х	>3;	
	5)	V2x-3 >4;	6)	7х +1	" з’	
	7)	73х -5 <5;	8)	74х +1	> <1. 2	
168	1)	7х2-1 >1;	2)	л/1-Х2	< 1;	
	3)	725-х2 >4;	4)	V 25-х	2 <4.	
169	1)	д/2х2 + Зх-2	>0;	2)	^2 + х - х	2 >-1;
	3)	7б х - х2 < Тб;		4)	д/х2-х >	72;
	5)	Т*2 + 2х > -3	-х2;	6)	74х - х2	>-2-Зх2.
170	1)	7х + 2 > 74 -	х;	2)	7 3 + 2 х	7х+1;
	3)	72х -5 < 7бх + 4;		4)	л/Зх-2 >	х-2;
	5)	7бх +11 >х + 3;		6)	73-х < 73х -5.	
171	1)	7x4-1-уХ <	vx — 1;	2)	7х + з< \	<7-х + 710-х.
66
Решить неравенство, используя графики функций (172—173).
172 1) >!х > х; 2)	< х; 3) Vx > х-2; 4) Vx < х -2.
173 1) /х < 2х;	2) Vx>0,5x;	3) Vx>2x-1;	4) -/х>х2.
174 Решить неравенство (относительно х):
1) >1х -1 < а; 2) ^2ах- х2 > а- х, если а < 0.
у Упражнения : к главе II
175 Изобразить схематически график функции, указать ее область определения и множество значений:
1
1) У = X9;	2) у = 7х4;	3) у = х2 ;
1
4) у = х3 ;	5) у = х~2;	6) у = х’3.
176 На одном рисунке построить графики функций у = х2 1
и у = х2 . Сравнить значения этих функций при х = 0; 0,5;
1;	2; 3; 4; 5.
2
177 Расположить числа в порядке возрастания:
2	/
1) 0,3', 0,3°5, 0,33, 0,3зн15;	2) 44*, 1,9’,	, л’;
kV2 )
1 Z \2,1	.2	_2	2	_2
3) 5~2, 5"0,7, 53,1 i | ’ ;	4) 0,5 3, 1,3 3, л’3, 42 3.
\ 5 )
178	Решить уравнение с помощью графиков:
1)	Vx = х2 + х -1;	2) х-2 = 2 - х2.
179	Найти область определения функции:
з
1)	у =’^/1 - х;	2) t/ = (2-x2)5;
3)	у = (Зх2 + 1) 2;	4) у = у/х2 -х-2.
67
Рис, 33
180	Найти функцию, обратную данной, ее область определения и множество значений:
1)	у = 0,5х + 3;	2) „ =
х- 3
3) у = (х + 2)3;	4) у = х3 - 1.
181 Изобразить график функции, обратной к функции, график которой изображен на рисунке 33.
188 Являются ли равносильными уравнения:
1)	2*г+3*=22 и х2 + Зх = 2;
2)	д/х2 + 3х = 42 и х2 + Зх = 2;
3)	Vx + 18 = V2-x и х + 18 = 2 - х?
188 Решить уравнение:
1) л/З-х =2; 2) -/Зх + 1 =8; 3) >/3-4х =2х;
4)	л/бх-1 + Зх2 = Зх; б) Vx2-17 = 2; 6) V*2 + 17 = 3.
Проверь себя!
1	Найти область определения функции:
1)	у = 3 (х - I)-8;	2) у = Vx2-3x-4.
2	Построить график функции:
1)	у=УхТ1; 2) у = 2х~2;	3) у = —.
2
Для каждой функции указать область определения и значения х, при которых у > 0.
3	Решить уравнение:
1)	Vx-З = б; 2) л/З-х-х2 = х.
68
184 Изобразить схематически на одном рисунке графики функций:
1) j/ = 7x\ y = xjx;	2) y=Vx, у = х0-7;
3) у = х"1’5, у = х"2,1;	4) у - х^, у = х".
185 Являются ли заданные функции взаимно обратными:
1) и
х-4	х+ 3
3)
4)
у = 5 (1 - х) 1 и у = (5 - х) • х1;
186 Найти функцию, обратную к данной, ее область определения и множество значений:
1)	у = 2 + у/х + 2;	2) у = 2 - -ix + 4;
3)	у = V3-x -1;	4) i/ = V1 - х + 3.
Решить уравнение (187—188).
187 1) л/х-4 = л/х-3-л/2х-1;
2)	2л/х + 3-i/2x + 7 = Л;
3)	Vx-3 = >/2х + 1 -Vx + 4;
4)	V9-2x =2д/4-х->/1-х.
188 1) 7х +4-3 >/х + 4 + 2 = 0;	2) д/х-3 = 3 Vx-3 + 4;
3) Vl-x-5^/1-х = -6;	4) х2 + Зх + д/х2 + 3х =2;
V3-X-V3+X
6) ^х + 6 -4>/х + 2 + >/"1'1+ х ~6л/х + 2 = 1.
Решить неравенство (189—190).
189 1) Vx+ 1 < х-1;	2) у/1 -х > х + 1;
3) л/Зх -2 > х - 2;	4) v 2 х + 1 < х + 1.
х2 - 13х - 40	л/2х2 - 7х - 4 i
190 1)	< 0;	2)
д/19х-х2-78	х+4	2
3) >/3+ х >|х -31;	4) V 3 — х < V7 + х + V10 + х.
191 При различных значениях а решить неравенство:
1) Vx-2 + 7х -6 < а; 2) 2х + ^а2 - х2 > 0.
69
Ill
; глава
- Показательная функция
1	Некоторые наиболее часто встречающие-
ся виды трансцендентных функций, преж-
-	де всего показательные, открывают до-
ступ ко многим исследованиям.
-	Л. Эйлер
• Показательная функция, : ее свойства и график
11
В главе I рассматривалась степень с действительным показателем. Напомним основные свойства степени. Пусть а > О, Ъ > 0, х, хг и х2 — любые действительные числа. Тогда
a*1 а*2 = а*1~*2 ,	(1)
= аху-х2, a*2	(2)
(axi )** = a***2 ,	(3)
(ab)x = axbx,	(4)
и 1 и el Л II ъ,	 el л V	x	(5)
ax > 0,	(6)
ax > 1, если a > 1, x > 0,	(7)
a*i<a*2, если a > 1,	< x2,	(8)
axi>aX2, если 0 < a < 1, xA < x2.	(9)
В практике часто используются функции у - 2х, (1V
у = 10х, у = - , у = (0,1)х и т. д., т. е. функция \ 2 )
вида у = ах, где а — заданное число, х — перемен
70
ная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.
Показательной функцией называется функция у ® ах, где а — заданное число, а > 0, а * 1.
Показательная функция обладает следующими свойствами:
1)	Область определения показательной функции — множество Я всех действительных чисел.
• Это свойство следует из того, что степень ах, где а > 0, определена для всех х е R. О
2)	Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
• Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ах = Ь, где а > 0, а ф 1, не имеет корней, если Ъ < 0, и имеет корень при любом b > 0. По свойству степени (6) это уравнение не имеет корней, если b < 0. То, что это уравнение имеет корень при любом Ъ > 0, доказывается в курсе высшей математики. Это означает, что любая прямая у - Ъ, где b > 0, пересекается с графиком показательной функции. О
3)	Показательная функция у = ах является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.
• Это следует из свойств (8) и (9). О
Построим графики функций у = 2х и у = I - ] , ис-пользовав рассмотренные свойства и построив несколько точек, принадлежащих графику (рис. 34). Отметим, что график функции у ~ 2х проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х < 0 и убывает, то график быстро приближается к оси Ох (но не пересекает ее); если х > 0 и возрастает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции у = ах, если а > 1 (рис. 35, а).
71
Рис. 34
также проходит через
График функции
точку (0; 1) и расположен выше оси Ох. Если х > 0 и возрастает, то график быстро приближается
к оси Ох (не пересекая ее); если х < 0 и убывает, то график быстро поднимается вверх. Такой же вид имеет график любой функции у = ах, если 0 < а < 1 (рис. 35, б).
Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой
m(t)=m0[ |]т \ & J
(10)
Задача 1
где т (t) и т0 — масса радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени t = 0, Т — период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).
С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т. д.
Решить уравнение 3х = 27.
По свойству (2) показательной функции данное уравнение имеет корень, так как 27 > 0. Одним из
72
корней является число х = 3, так как З3 = 27. Других корней нет, так как функция у = 3х возрастает на всей числовой прямой, и поэтому 3х > 27 при х > 3 и 3х < 27 при х < 3 (рис. 36).
х = 3. <
Задача 2* Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 г?
► Воспользуемся формулой (10). В данной задаче t = 10 • 365 (считаем, что в году 365 дней), Т = 140, t _ 365 Т 14 ’
Вычисления можно провести на микрокалькуляторе так:
х -> П
365
14
0,5 Ух П-» х
.“Оьймис-'
= х s = 1,1345 • 10~7.
Через 10 лет плутония останется примерно 1,13 10"7 г. <
73
Упражнения
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
Построить график функции:
1) У = 3х;	2)
\ о /
Используя график функции у = 3х, найти приближенное значение:
2
1) 43;	2) З3;	3)	4) З”1’5.
/з
Изобразить схематически график функции:
[\ х
-L ; 4) у = (4зу.
V2 J
(Устно.) Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:
1)	1,73 и 1;	2) 0,32 и 1;	3) 3,215 и 3,216;
/,Л	/ , \’-4
4)	0,2"3 и 0,2"2;	5) ± и Р ;	6) 3" и З314.
J V5)
Сравнить с единицей число:
( FV1’2
1) (ОД)72; 2) (3,5)0,1; 3) :Г2-7; 4)	.
( 5 )
Найти координаты точки пересечения графиков функций:
1) у = 2х и у = 8;	2) у = У и j, = l;
О
/	\ х	/	\ X
з) ^=[7] и	4)	и у = 9-
\ 4)	16	\ 3 7
(Устно.) Решить уравнение:
1)5Х=Р 2) 7х = 49; 3)flY=V3; 4) ГiГ = 41.
5	\ 3 J	\ 7 /
(Устно.) Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
3) у = 1,3"2х;	4) у = 0,7~3х.
1) У = 0,3 х; 2) у^
Используя графики функций, решить неравенство:
1
5*
3) 5х > 5;
Построить график функции:
1) У = 3х - 2; 2)	+
\ Z /
3) у = 2*-1;	4) у = 3* 2.
( 1 V
Доказать, что графики функций у - 2х и у = - симмет-\ 2 /
ричны относительно оси ординат.
74
203
204
205
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у - 2х на отрезке [-1; 2].
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 21 х • на отрезке [-1; 1].
Построить график функции:
1) у = 2х|; 2) у= 1	; 3) у = 13х - 21;
\ 3 J
4) у = 2 - 3х.
206 При радиоактивном распаде количество вещества уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? через 3,5 суток? Вычисления провести на микрокалькуляторе.
207 На некотором лесном участке можно заготовить 4 • 105 м3 древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет? Вычисления провести на микрокалькуляторе.
Показательные уравнения
Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ах = аь> где а > 0, а * 1, х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени (см. гл. I): степени с одинаковым основанием а > 0, а 1 равны только тогда, когда равны их показатели.
Задача 1 Решить уравнение 4  2х = 1.
► Запишем уравнение в виде 2х"2 = 2°, откуда х + 2 = 0.
Ответ х = - 2. <
Задача 2 Решить уравнение 23х • 3х = 576.
Так как 23х = (23)х - 8х, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8х • 3х = 242, или в виде 24х = 242, откуда х = 2.
Ответ х = 2. <
75
Задача 3	Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3х 2 = 25. ► Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х"2, получаем 3х " 2 (З3 - 2) = 25, 3х 2 25 = 25, откуда 3х " 2 = 1, х - 2 - 0, х = 2.
Ответ	х = 2. <
Задача 4	Решить уравнение 3х = 7х. ► Так как 7х Ф 0, то уравнение можно записать в виде — = 1, откуда | — | = 1, х = 0. 7х	<7 J
Ответ	х = 0. <
Задача 5	Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5х ~ 2 = 5х + 2х " 2. ► Запишем уравнение в виде 3 • 2х + 1 - 2х ~ 2 = = 5х - 2 -5х-2, откуда 2х 2 (3 • 23 - 1) = 5х"2 (52 - 2), 2х “ 2 • 23 = 5х “ 2 • 23,	=1, х - 2 = 0.
Ответ	х = 2. <1
Задача 6 Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0.
► Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квад-
	ратному уравнению t2 - 4t - 45 - 0. Решая это уравнение, находим его корни: tx = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5. Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
	х = 2. <
Задача 7	Решить уравнение g2x 2 - 5х __ gx2 + 2х -10 . ► Так как 5 > 0, 5 * 1, то 2х2 - 5х = х2 + 2х - 10,	(2) откуда х2 - 7х + 10 = 0, х} = 5, х2 = 2.
Ответ	Xj = 5, х2 = 2. < Отметим, что при таком способе решения получается уравнение, равносильное исходному, например уравнение (2) равносильно уравнению (1). Поэтому после решения уравнения (2) проверка не нужна (если есть уверенность в том, что не допущены ошибки в вычислениях).
76
Задача 8 Решить уравнение З'х “ = З'х+ 31.
► Так как 3 > О, 3 * 1, то исходное уравнение равносильно уравнению |х-1| = |х + 3|.
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - I)2 = (х + З)2, откуда
х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8х = -8, х - -1.
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
х = —1. <
Упражнения
208	Решить уравнение (208—223). /	\ 3 х / х —2 1) 4х'1 = 1; 2) 0,33х-2 = 1; 3) 22х = 2475; 4) (1 | =(1| . \ 3)	13/		
209	1)	27х-—;	2) 400х = —; 3	20	3)fiy=25; 4) [1V=±. <5)	81
210	1)	3 • 9х = 81;	2) 1	2 • 4х = 64;
	3)	3Х + 2.3Х-2=1;	4)	0,5х’7 • 0,51-2х = 2;
•	5)	А а2х 0,6х0,63= ——;	6) 0,6е	ч СО CD II ^Н| СО ч оз CD
211	1)	32x-i + 32х= 108;	2) 23х’ 2 - 23х“2 = 30;
	3)	2х +1 + 2х" 1 + 2х = 28;	4) 3х ’1 - 3х + 3х ’1 = 63.
212	1)	ч X  ч ^1 со ч	Z II и < “ ч Jl| IN /—v CM ч 00 II ч ю	3) 3х = 52х;	4) 4х = 32.
218 1) 9х - 4 3х + 3 = 0;	2) 16х - 17 • 4х + 16 = 0;
3) 25х - 6 • 5х + 5 = 0;	4) 64х - 8х - 56 = 0.
214 1) Зх2 + х"12 = 1;	2) 2х2"7х+1° = 1;
Х-1	£	1
3) 2 х"2 = 4;	4) 0,5х =4Х+1.
/ ч-х2-2xt3
215 1) О.З13"12*1"1 = 1;	2) I 2 — I =1;
I 3J
1(х-3)	.___	_
3) 5,12	=5Д75Д;	4) 100х ^Ю1'5^
216 1) 10x = V100;	2) 10х = ^/10000;	3) 2252х2’24 = 15
4) 10х = - -	5) (V10)x =10х2-х.
У10 000
77
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
i) 2х2 Vs;
МГ'М'
1) 7х - 7х"1 = 6;	2)
3) 53х + 3  53х~2 = 140;	4)
1) 7х - 2 = З2 'х;	2)
х.2
3) 3 4 =5Х 2;	4)
1) (0,5)х2-4х-3 = (0,5)2х2 Х43
3) 3*Х"®=3Х;
1) 2Х“2 = 2'х’4' ;	2)
3) 3'х-’' = З2 х' ;	4) ;
И-0,06 = 5х2;
4) 0,7'/х4120,7-2= 0,77х.
32y-l + 32i/ 2 _ 32(,-4 = 315;
2х 41 + 3 • 2х - 1 - 5 • 2х + 6 = 0.
2х '3 = З3' х; х 3
42 _ д2(х-3).
2) (0,1)342х =(О,1)2 х2;
<И|Г-
.,5 5 х! = 1,5 х 11 ;
Г| = 312-х1 1.
1)	3х43 + 3х = 7х ' 1 + 5  7х;
2)	3х 4 4 +	3  5х ’ 3 = 5х 1 4 + 3х 4 3;
3)	28~х +	73“х = 74 х + 23-х  11;
4)	2х*’ +	2х 1 - 3х 1 = 3х’2 - 2х 3 +	2 	3х	3.
1) 8 4х - 6 • 2х + 1 = 0;	2)	+	=0;
3)	132х -1	- 13х - 12 = 0;	4) 32х ’1	-	10	3х +	3 =	0;
5)	23х + 8	• 2х - 6  22х = 0;	6) 53х ~ 1	+	34 • 52х	- 7	•	5х = 0.
При каких значениях х сумма чисел 2х *, 2х 4 и 2х" 2 равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии 6,5; 3,25; 1,625; ...?
Решить уравнение (225—226).
1) 32х	= 2Х'3;
3) 2х • 3х = 36х2;
2) 5х 2 = 42х"4;
4) 9-vx-'=_L.
27
1) 4 9х - 13 6х + 9 4х = 0;
2) 16 • 9х - 25 12х + 9 16х = 0.
Доказать, что уравнение имеет только один корень х = 1:
1) 4х + 25х = 29;	2) 7х + 18х = 25.
78
Показательные неравенства
Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств
ах > аь или ах < а\
Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Задача 1 Решить неравенство 3х < 81.
► Запишем неравенство в виде 3х < З4. Так как 3 > 1, то функция у = 3х является возрастающей. Поэтому решениями неравенства 3х < 81 являются числа х < 4.
Ответ х < 4. <
/1 у
Задача 2 Решить неравенство -	><8.
<2 )
► Запишем неравенство в виде
fli	3
Так как у = - — убывающая функция, то х < -
Ответ х <	<
2
Задача 3 Решить неравенство 3х2 ~х <9.
►	Запишем неравенство в виде 3х2 х<32. Так как 3 > 1, то х2 - х < 2, откуда х2 - х - 2 < О, -1 < х < 2.
Ответ -1 < х < 2. <|
79
Задача 4
J.' (Ивет
Ответ
Решить неравенство 16х + 4х - 2 > 0.
►	Обозначим 4х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t - 2 > 0. Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1. Так как t = 4х, то получим два неравенства 4х < -2, 4х > 1. Первое неравенство не имеет решений, так как 4х > 0 при всех х е Я. Второе неравенство можно записать в виде 4х > 4°, откуда х > 0.
графически уравнение [ — ] = х - — \ 3 J 3
Построим графики функций
Задача 5
Решить
Рис. 37
И = О
(рис. 37). Из рисунка видно, что графики этих функций пересекаются в точке с абсциссой х » 1. Проверка показывает, что х = 1 — корень данного уравне-ния:(1У = 1 и 1-2=1.
3	33
Покажем, что других корней нет. Функ-( 1 V
ция у = - убывающая, а функция \ 3 )
2
у - х~— возрастающая. Следователь-
но, при х > 1 значения первой функции меньше —, а второй больше —;
3	3
при х < 1, наоборот, значения первой функции больше —, а второй меньше А.
3	3
Геометрически (см. рис. 37) это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х * 1.
X - 1. <
Заметим, что из решения этой задачи, в частности, ( 1 V	2
следует, что неравенство — > х — выполняется \ 3 /	3
/ 1 \х	2
при х < 1, а неравенство —	< х-----при х > 1.
\ 3 /	3
80
Задача 6* Решить неравенство - 1	> - .
\ 5 )	\ 5 )
► Так как 0 < - < 1, то данное неравенство равно-5
сильно неравенству V2 - х < х.
Область определения этого неравен-
/	-у.- ства х < 2. При х < 0 оно не имеет
—X —	4	.Д > решений, так как V2 -х > 0. Итак,
-2	0	12
решения неравенства содержатся в
Рис- 3S	промежутке 0 < х < 2.
Возводя неравенство в квадрат, получаем 2 - х < х2, откуда х2 + х - 2 > 0, х < -2 или х > 1 (рис. 38).
ЖШЙШ 1 < X С 2. <
Упражнения
Решить неравенство (228—229).
228 1) 3х > 9;	2)flY>l;	3)(±Г<2;
1.2) 4	U)
4)4Х<-;	5)23х>^;	eifiY'ck
2	2	к 3)	9
229 1) 5х'1 < V5;	2)Зг>9;	3) Зх2~4>1;	4)52х2’18<1.
230 Решить графически уравнение:
1) Г1У = х + 1;
3) 2х = -х--;
4
4) 3х = 11 - х.
Решить неравенство (231—232).
Z_ч2х2-3х
231 1) 2-х2+3х<4;	2) I — |	>2;
к 9 J	7
3) f —1	<—;	4) Гг-']	<7-.
к 11J	169	к 3J 9
232 1) 3х4 2 + 3х -’ < 28;	2) 2х' 1 + 2Х + 3 > 17;
3) 22х" 1 + 22х"2 + 22х"3 > 448;	4) 53х +1 - 53х“3 < 624.
233 Найти целые решения неравенства на отрезке [-3; 3]:
1) 9х - 3х - 6 > 0;	2) 4х - 2х < 12;
3) 52х^ + 4 5х - 1 > 0;	4) 3 9х + 11 • 3х < 4.
81
234
235
236
237
238
239
Найти область определения функции: 1) г/= 725х-5х;	2) г/ = Л/4х-1.
При каких значениях х значения функции у = | - I больше \ 4 У
значений функции у =
f 1 V
- +12?
U J
Решить графически неравенство:
11	21
3)2Х<9- —х;	4)3x>-^x-i.
3	3	3
Решить графически уравнение:
1) 2х = 3 - 2х - х2;	2) З’х = Vx;
3) fl'l =-3;	4) [+Г = х3 -1.
Решить неравенство:
1) II’77 > 11х;	2) О.З'/'3®77 >0,Зх.
Решить неравенство:
1) 0,4х- 2,5х ” > 1,5;
2) 25 • 0,042х > 0,2х(3"х);
Z \Г	/	\х2 -1
4) f-1 -32-fil	<0.
Системы показательных уравнений и неравенств
Рассмотрим несколько примеров решения систем показательных уравнений и неравенств.
[ х + 2у = -1, Задача 1 Решить систему уравнений
[4х + ^2 = 16.
► Решим эту систему способом подстановки: х = -2у - 1, 4 2у~^у2 = 42,
82
откуда -2у - 1 + у2 = 2, у2 - 2у - 3 = 0, у\ = 3, у2 = -1. Найдем значения х:
хг = -2 • 3 - 1 = -7, х2 = -2 (-1) -1 = 1.
Ответ (-7; 3), (1; -1). <
Г ЗУ + 1 -2х =5,
Задача- 2 Решить систему уравнений [4х-6-3* + 2 =0.
► Обозначим 2х = и, Зу - и. Тогда система запишется так:
J Зи - и = 5, [и2-Qu + 2=0.
Решим эту систему способом подстановки: и = 3v - 5, (3d - 5)2 - би + 2 = 0, 9d2 - 36d + 27 = О, v2 - 4d + 3 = 0, 1^ = 1, v2 = 3.
Найдем значения и: иг = -2, и2 = 4. Возвратимся к принятым обозначениям:
1) 2х = -2, Зу = 1. Так как первое из этих уравнений корней не имеет, то решений системы в этом случае нет.
2) 2х = 4, Зу ~ 3, откуда х = 2, у = 1.
Ответ (2; 1). <
~	2х 9* =162,
Задача 3* Решить систему уравнении < [3Х-4У =48.
► Перемножив уравнения данной системы, получим 6х • 36у = З4 2 6 23, или 6х - 2у = 65, откуда х = 5 - 2у.
Тогда второе уравнение системы примет вид
З5 " 2МУ = 48, или f-1 =—=1^-^ , откуда у = 2, к 9 ) з5 к 9 )
х = 1.
Ответ (1; 2). <
зх 1 <7з,
Задача 4
Решить систему <
(0,2)3х2 2 = (0,2)2х2 4 х+4 .
► Решим неравенство 3х"1 < V3, т. е. неравенство
3х 1 < З2. Решая, получаем х-1<-, х < 1,5.
2
83

Теперь решим уравнение 0,23х2 2 = 0,22х?+х+4
Зх2 - 2 = 2х2 + х + 4, х2 - х - 6 = 0, хх = -2, х2 = 3.
Так как 3 > 1,5, -2 < 1,5, то х = -2.
х =-2. <1
Зху = 310,
Задача 5*
Решить систему 4х = 47 у,
2х <2У,
.	о f3x* = 310,
Г Решим сначала систему уравнении <	?
„	[ ху = 10,	[ ху = 10,
Получаем <	4
[х = 7-г/, [х+у = 7.
По теореме, обратной теореме Виета, находим два решения (2; 5), (5; 2).
Теперь решим неравенство 2х < 2У. Так как 2 > 1, то х < у.
Решение системы уравнений (2; 5) удовлетворяет неравенству х < у, а решение (5; 2) ему не удовлетворяет.
(2; 5). <
Упражнения
Решить систему уравнений (240—243).
Г 2х - у = 1,	х-у = 2,
240 1)	У	2)	_ 2	1
[5Х + У=25;	ЗХ^-У = 1.
	1	9
Л [ х + у - 1,	I	[ х + 2у = 3,
3) ]	4) 5	
[2Х~У =8;	|	{Зх~у =81.
.х [4Х-2У = 32,	I	[ з3х-2^ =81,
241 i) о i ’	2)	
[З8х+1=33у;	1	[36х 3^ = 27.
[2Х + 2У = 6,	Л I	[3х+ 5^ = 8,
242 1) J	2) J	
[2Х-2У = 2;	1	[Зх-5^ = -2.
[5х-5* = 100,	2х-9-Зу = 7,
243 i) ]	’	2)	Q
[5х-1 + 5*'1 = 30;	2хЗу = ^;
	9
84
(16^-16 х = 24, jl6x+« = 256;
(5X+I-З247 1 * * ** = 75,
5)
13х-5»-‘ = 3;
, f Зх +2x+tl + 1= 5, 4) S
[ 3X + 1-2Х+У = 1;
/Зх2* = 4, О) 5
[31/-2Х = 9.
Решить систему (244—245).
i 52х + 1>625,
244 1) <
ц6х2-10х =ц9х-15.
Г(5Х)У = 521,
245 1) < 5х =510,
I 3х >3»;
1.
0,310х2-47х = 0,3-10х-7, 3,7х2 = 3,74.
(0,2»)х = 0,008,
2) U0,4)‘'=0,435 x,
2х •0,5*'<1.
246 Сравнить числа:
1) 4"^ и 4’^;
И
2) 2^ и 21’7;
247 Сравнить с единицей число:
1) 2"^;
4)
ч>/8-3
3 J
248 (Устно.) Является ли функция возрастающей или убывающей:
1) у = 0,78х;	2) р = 1,69х;	3)j/=pV;	4) у = 4’х?
ч 2 у
249 В каком промежутке находятся значения функции при
хе [-1; 2]:
1) у = 5х;	2) у = 5 х?
85
Решить уравнение (250—252). Z \Х+1 260 1) 1,56х-7 = ±	;
<3 )
3) 5х2-5х-6 = 1;
251 1) 2х + 2х'3 = 18;
3) 2 • 3х * 1 - 6 • 3х -1 - 3х
4) 5Х+1 + 3  5х" 1 - 6 • 5х 252 1) 52х - 5х - 600 = 0;
3) 3х + 9х - 1 - 810 = 0;
253 Решить неравенство:
1) 3х'2 > 9; 2) 52х<—; 25
254 Решить графически уравнение:
1) 2"х = Зх + 10;	2)	= 2х + 5.
2) 0,752х"3 =^1|J	;
Z Xх2-2х-2
4) -	= ±.
I?)	7
2) 3х + 4-3X+1 = 13;
= 9;
+ 10 = 0.
2) 9х-3х-6 = 0;
4) 4х + 2Х + 1 - 80 = 0.
, \ х
3) 0,7х2+2х<0,73; 4)1-1 > —.
Проверь себя!
1	Построить схематически график функции: l)p=f|Y; 2) у = 5х.
\ 5 /
2	Сравнить числа:
/ 1 Л0’2 f 1 А1’2
1)	- и I i I ;	2) 5-0,2 и 5-1,2.
\ 5 у	\ 5 J
3	Решить уравнение:
1)	Зх + 1 = 27х-1;	2) 0,2х2+4х-5 = 1;
3)	2Х + 3 - 2Х + 1 = 12;	4) 4 • 22х - 5 • 2х + 1 = 0.
4	Решить неравенство:
1)7х-2>49;	2)0,5х2-2>^.
255 Доказать, что последовательность значений функции у = 2х при натуральных значениях х = 1, 2, 3, ... является геометрической прогрессией.
256 За первый год работы предприятие имело а рублей прибыли. В дальнейшем каждый год прибыль увеличивалась на р%. Какой станет прибыль предприятия за n-й год работы?
257 Построить график функции:
1)	(/= 3х - 1;	2) z/ = 3х-1;	3) у = 22 х + 3.
86
Решить уравнение (258—260).
Г-/’12 ( 07 А3	I 5^	‘--
258 1) 0,6х —	= -£L ;	2) 16 VO,25 *=2<х~1.
I 9 J	к 125 J	’
ХЛ
259 1)2-33х1+27 3 =9X 1 +2-32х1;
2)	2^*2 -2^ + 1 = 12 + 2^’1;
3)	22-9x l Зх3 +1-3* 2 — 4; 3	3
4)	5 • 4х " 1 - 16х + 0,25 • 22х " 2 + 7 = 0.
260
261
1)	2х + 4 + 2х ' 2 = 5х ~ 1 + 3 • 5х;
2)	52х - 7х - 52х • 17 +7х- 17 = 0;
3)	2х2"1 -3х2 = 3х2“1 — 2х2;
4)	3-4Х+1-9х + 2 =6-4х"’---9х’1.
3	2
Решить неравенство:
г-3
1) 8,4х2 '‘<1;
2) 2х2 • 5х2 < 10‘3(103~х )2;
3)
4х-2х + 1+8 „„
----:----<8Х;
Зх+5 Зх+|-1
262
Решить систему уравнений:
1)
2Х-У = 128,
2)
2х 5^ = 10, 5У-2Х = 3.
263 Построить график функции:
1) </ = 2х~1х1;	2) </ = |Зх1-3|.
264 Решить уравнение: л пх + 0,5	-	-
1)	— =5 0,04х;	2) 4 3х - 9 2х = 5 З2 22 ;
V5
3) 2 • 4х - 3 10х - 5 25х = 0;	4) 4 9х + 12х - 3 16х = 0.
265 Решить неравенство:
1) 3|х 21 < 9;	2) 4|х-1 > 16;
3) 2|х’21 > 4|х'11;	4) 51х'4 < 25ix.
(wife
? Логарифмическая
- функция
Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь.
П. С. Лаплас
Задача 1 Найти положительный корень уравнения х4 = 81. ► По определению арифметического корня имеем x=V81 =3. <1
Задача 2 Решить уравнение 3х = 81.
► Запишем данное уравнение так: 3х = З4, откуда х = 4. <|
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени.
Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3х = 80 таким способом решить не удается. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа. В § 11 было сказано, что уравнение ах = Ь, где а > 0, а * 1, Ь > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают loga Ъ. Например, корнем уравнения 3х = 81 является число 4, т. е. log3 81 = 4.
88
Логарифмом положительного числа b по основанию о, где а > 0, а * 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить Ь.
Например, log2 8 = 3, так как 23 = 8; log3 - = -2, 9
так как З-2 = -; log7 7 = 1, так как 71 = 7; 9
log4 1 = 0, так как 4° = 1.
Определение логарифма можно кратко записать так:
alog“b = b.
Это равенство справедливо при Ь>0, a>0, а*1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.
Например, 410*46 = 5,	= 3, Хз'”®13* =
С помощью основного логарифмического тождества можно показать, например, что х = log3 80 является корнем уравнения 3х = 80. В самом деле, 31овз80 = 80.
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Задача 3 Вычислить log64 128.
► Обозначим log64 128 = х. По определению логарифма 64х = 128. Так как 64 = 2е, 128 = 27, то 26х = 27, откуда 6х = 7, х = -.
6
МММ loge4128=^. < О
Задача 4 Вычислить з“21°ез5.
► Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим
g-2 log з 5 _ ( glog з 5J "2 _ g-2 _ 1
47	25*
Задача 5 Решить уравнение log3 (1 - x) = 2.
► По определению логарифма З2 = 1 - х, откуда
х =-8. <
89
X 1
Задача 6 При каких значениях х существует log5-------?
2-х
► Так как основание логарифма 5 > 0 и 5*1, то данный логарифм существует только тогда, г _ 1
когда ——- > 0. Решая это неравенство, находим 2-х
1 < х < 2. <
Упражнения
266 Найти логарифмы чисел по основанию 3:
3, 9, 27, 81, 1, 1, i, -L, Уз, -±=, 9 Уз.
3 9 243 з/з
Вычислить (267—276).
267 1) log2 16;	2) log2 64;	3) log2 2;	4) log2 1.
268 l)log2l;	2)log2|;	3) log2 V2;	4)^-1;. 2	8	V2
269 1) log3 27;	2) log3 81;	3) log3 3;	4) log3 1.
270 l)log3i;	2)log3|;	3)log8V3;	4)log3-^. 93	V3
271 Dlog,^-;	2) log! 4;	3) log0.5 0,125; 2 32	2
4) log0.5|;	5) log051;	6)l0gl V2. 2
272 1) log, 625;	2) log6 216;	3) log4-b	4)log5-J-. Io	125
273 1) log! 125;	2) logi 27;	3) log! -A-;	4) log, 36. - 64	-
5	3	4	6
z X log i 6
274 1) 3loe’18; 2) 5 85 ; 3) 10 8,0 ; 4) A I J . \ 4 )
z x6 log , 2	1 log79 275 1) 351оВз2; 2) - i ; 3) 0,321og0’36; 4) 72 x 2 /
276 1) 810g25; 2) 9log312; 3)	4) 0,1251о8адl.
277 Решить уравнение:
1) log6 x = 3;	2) log5 x = 4;	3) log2 (5 - x) = 3;
4) log3 (x + 2) = 3;	5) logx (0,5 + x) = -1. 6
90
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
Выяснить, при каких значениях х существует логарифм: l)log](4-x);	2) log02 (7 - х);	3) log,-Ц-;
2	1	2 X
4) log, —Ц;	5) log х (-х2);	6) log0>7 (-2x3).
Вычислить (279—281).
1) log2V2;
2) log, ;	3) log0 6 -±=!	4) log7 Ц.
3V3	V32	49
± log a 4
1) 92 log 3 5 •
-4 log r 5
4) 27	* ;
1) log, log, 81;
4) | 1оЙ9 l°g2 8;
О
5) 103-logl°5;
Z xl + 2 1ogl3
6) ~	•
2) log3 log2 8;	3) 2 log27 log10 1000;
5) 3 log2 log4 16 + logi 2 .
2
Решить уравнение:
1) logx 27 = 3;	2)logx|=-l;	3) logx = -4.
Выяснить, при каких значениях х имеет смысл выражение (283—284).
1) log6(49-x2); 2) log7 (х2 + х - 6); 3) logj (х2 + 2х + 7).
5
1) log, (1 - х3);	2) log2 (х3 + 8);
3) log] (х3 + х2-6х);	4) log] (х3 +х2-2х).
I	з
Решить уравнение (285—287).
1) 2х = 5; 2) 1,2х = 4; 3) 42х 3 = 5; 4) 71 2х = 2.
1)	72х + 7х - 12 = 0;	2) 9х - 3х -	12	= 0;
3)	8х 4 1 - 82х " 1 = 30;	4) f-Г-5 f	6 = 0.
\9J кз;
1)	(3х + 2х) (3х + 3 2х) =	8 • 6х;
2)	(3 5х + 2,5 • 3х) (2	3х	- 2 • 5х) = 8 •	15х.
При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) logx (2х - 1);	2) log.-^x + l)?
Решить относительно х уравнение
9х + 9а (1 - а) 3х ’2 - а3 = 0.
91
Свойства логарифмов
‘ '..'..'...'.1'  

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, а # 1, & > 0, с > 0, г — любое действительное число. Тогда справедливы формулы
Iogo (Ьс) = loga Ъ + loga с,	(1)
log. - = loga b-log„ с,	(2)
С
log. br = г loga b.	(3)
• По основному логарифмическому тождеству
а'о1“ь = Ь,	(4)
а‘°г-с = с.	(5)
1)	Перемножая равенства (4) и (5), получаем
alogab + logac = bC}
откуда по определению логарифма logfl b + loga с = = !oga (&с). Формула (1) доказана.
2)	Разделив равенства (4) и (5), получим
log e b- logo с _ Ь
с
откуда по определению логарифма следует формула (2).
3)	Возводя основное логарифмическое тождество alQgab = b в степень с показателем г, получаем arloga b — br, откуда по определению логарифма следует формула (3). О
Приведем примеры применения формул (1) — (3):
1)	log6 18 + log6 2 = log6 36 = 2;
2)	log12 48 - log12 4 = log12 12 = 1;
i
3)	log3 3’ = | log3 3 = 1.
92
Задача Вычислить log5 д/З - - log5 12 + log5 50. 2
► Применяя формулы (1) — (3), находим logg >/3 log5 12 + log5 50 = log5
= log5 25 = 2. <
Упражнения
Вычислить (290—294).
290	1)	login 5 + logio	2;	2) log10 8 - log10 125;
	3)	log12 2 + log12	72;	4) log3 6 + log3 A
291	1)	log2 15 - log2	If;	2) logg 75 - log5 3; lo
	3)	log x 54 - log x 3	3	2;	4) logg i - logg 32. lo
m	1)	log13 V169 ;	2) log и V121;
	3)	log, V243;	4) log 2	.
		3	V128
m	1)	logg 12 - log8	15 + log8 20;
	2)	log9 15 + log9	18 - log9 10;
	3)	- log7 36 - loj 2	14-31og7VH;
.	4) 2 log t 6 -1 log! 400 + 3 log! ^45.
;	33	3
«Ы 1) log38 • 2) logs27- 3) log536-log512.	log? 8
“	log316’	log59 ’	log69 ’ log? 15- log7 30
Яфб Вычислить logo x, если loga b = 3, loga c = -2: M 1) x=a3b2-Jc; 2) x = ^-^-.
c3
296 Вычислить:
log2 24 - f log2 72
1} --------1-------
log318-|log3 72
3
3)
log2 4 + log2 Ло . log2 20+ 3 log2 2 ’
log7 14 - — log7 56
2) -----------3---------
log6 30 - — log6 150 2
3 log7 2 - - log7 64
4) -----------j--------•
4 log6 2 + i log5 27 О
93
297 Найти х по данному его логарифму (а > О, b > 0): 1) log3 х - 4 log3 а + 7 log3 b;
2)	logx = 2 log5 a - 3 log5 b;
3)	log! x = | log! alog; b; 2	2	2
4)	logg x = | log2 a + | log2 b. 9	3	3
298 Вычислить:
lo<6 5 _|_ IQ1 - lo£10 2 1 - — log o 4	,
L4 2	+25log’
, i _	— log 2 3 * 3 log о 5
3)	16^log45 + 42	;
I	- log 7 9 - log 7 6	. „ _ л I
4)	72 • ^492	+5’log' = 4J.
__g lug 2 ° •
25 8	. 49 log 7 2 .
1) 36
2) 8:
299 Доказать, что если a > 0, a * 1, b > 0, p * 0, то
log pb = ~ loga b. Используя эту формулу, вычислить: a р
1) log3e 2 - | log 1 3;	2) 2 log25 30 + log02 6.
6
300 Выразить через а и b:
1)	log ,3 50, если log3 15 = a, log3 10 = 6;
2)	log4 1250, если log2 5 = a.
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том, и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.
94
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут 1g b вместо log10 Ъ,
Ж Натуральным логарифмом числа называют ло-гарифм этого числа по основанию е> где е — ирра-циональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут In Ь вместо loge Ь.
Иррациональное число е играет важную роль в математике и ее приложениях. Число е можно представить как сумму:
e=i + l + J_ + _L_ 1 1-2 1-2-3
____1 12 3
. • п
Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по программе
1 |~F~| |~ё*~| 2,7182818.
Вычисления на МК-51 lg b и In Ъ проводятся соответственно по программам
b 1g и b In
Например, вычисляя 1g 13, получаем
13 1g 1,1139433;
вычисляя In 13, получаем
13 | In | 2,5649493.
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
1о£а Ь =
log с Ь 10gc а’
(1)
где Ь > 0, а > 0, а * 1, с > 0, с * 1.
Докажем справедливость формулы (1).
•* Запишем основное логарифмическое тождество alogab = b. Возьмем от обеих его частей логарифмы
по основанию с:
logc aloga b = logc b.
95
Используя свойство логарифма степени, получаем
logfl b • logc а = logc b; откуда log0 b =
log с Ь logc а ’
О
Из формулы (1) при с - 10 и с = е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
loga6=^, log„6 = -—.
Iga	Ina
(2)
Задача 1 С помощью микрокалькулятора МК-51 вычислить log3 80.
► 1) С помощью десятичных логарифмов:
80	1g	4-
3	1g	=	3,9886927.
2) С помощью натуральных логарифмов:
80	In	4-	3	In	=	3,9886928.
log3 80 « 3,99. <
Формула перехода от одного основания логарифма к другому иногда используется при решении уравнений.
Задача 2
о
Решить уравнение log2 х + log4 х = —.
По формуле перехода log4 х =
10g2 X _ log2 х
10g2 4	2
Поэтому уравнение принимает вид log2 х +
+ - log2 х = откуда log2 х = 1, х = 2. <1 2	2
Задача 3* Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный а рублям, через п лет становится равным а (1,02)л, а трехпроцентный вклад становится равным а (1,03)л. Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?
► 1) Для первого вклада 2a = а (1,02)л, откуда (1,02)л = 2, п = logj 02 2. Вычисления проведем на МК-51:
2	In	4-	1,02	In	=	35,002788.
2) Для второго вклада вычислений такова:				L П 	= lof	03 2 и программа
2	In	4-	1,03	In	=	23,449772.
По первому вкладу примерно через 35 лет, а по второму — через 23,5 года. <1
96
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
Упражнения
Вычислить с помощью микрокалькулятора (301—302).
1) 1g 23;	2) 1g 7;	3) 1g 0,37;	4) 1g
3
1) In 81;	2) In 2;	3) In 0,17;	4) ln|.
Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 25; 2) log5 8; 3) log9 0,75; 4) log0>75 1,13.
Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) log7 5; 2) log8 15; 3) log0>7 9; 4) log14 0,23.
Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:
1) log- 3; 2) 1g 6; 3) log2 7; 4) log5 j; 5) 1g 7; 6) log3 7.
Ig625
Вычислить: 1) 5 lg^5 ; 2) logi (log3 4 1og2 3).
4
Решить уравнение:
1) log5 x = 2 log5 3 + 4 log25 2;
3)	log3 x = 9 log27 8 - 3 log3 4;
5) log2 x + log8 x = 8;
2) log2 x - 2 log! x = 9;
2
4) logg x2 + log уд x =3
6) log4 x - logie X =
Дано: log7 2 = тп. Найти: log49 28.
Дано: 1g 3 = zn, 1g 5 = n. Найти: log15 30.
Дано: log6 2 = m. Найти: log24 7 2.
Дано: log36 8 = т. Найти: log36 9.
Вычислить:
log3 216 log3 24	log2 192 log2 24
log 8 3	log72 3	logi2 2 loggg 2
Решить уравнение:
1)	logf x - 9 log8 x = 4;
2)	16 logj6 x + 3 log4 x - 1 = 0;
3)	log3 x + 5 log9 x - 1,5 = 0;
4)	log3 x - 15 log27 x + 6 = 0.
Вычислить (не используя микрокалькулятор):
1) log5 2 । 1Qg< 3 ♦ ? log5 6 log4 6 ’
4 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
2) 1Og’2 + bT57jlg7:
2 log2 3
3)
97
315 Число жителей города-новостройки увеличивается ежегодно на 8%. Через сколько лет число жителей удвоится?
316 При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нем воздуха. Через сколько качаний насоса в сосуде останется —— часть первоначальной массы 1016 воздуха?
317 Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение числа е по формуле е » 2 + - + —+ —-— + ... +---------------
2 2-3 2-3-4	2-3-4 ... и
при: 1) и = 7; 2) п = 8; 3) п - 9; 4) п = 10.
Логарифмическая функция, ее свойства и график
В математике и ее приложениях часто встречается логарифмическая функция
У = loga х,
где а — заданное число, a > 0, а 1.
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1)	Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
• Это следует из определения логарифма, так как выражение loga х имеет смысл только при х > 0. О
2)	Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
• Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число х, что logfl х = b, т. е. уравнение loga х = Ъ имеет корень. Такой корень существует и равен х = аь, так как logfl аь = Ъ. О
3)	Логарифмическая функция у = loga х является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.
98
• Пусть а > 1. Докажем, что если 0 < хг < х2, то У (*1) < У (*2)’ Т< е‘ 10&а Х1 < 1оИа Х2- ПОЛЬЗУЯСЬ основным логарифмическим тождеством, условие хг < х2 можно записать так: aloga *l < aloga *2 . Из этого неравенства по свойству степени с основанием а > 1 следует, что loga Xj < loga х2.
Пусть 0 < а < 1. Докажем, что если 0 < хх < х2, то logfl хг > loge х2. Записав условие хг < х2 в виде tzloga xi <а10ва *2 , получим loga хг > loga х2, так как О < а < 1. О
Отметим, что справедливы и следующие два утверждения:
если а > 1 и loga xr < loga х2, где хх >0, х2 > 0, то хт < х2; если 0 < а < 1 и loga хг < loga х2, где хг >0, х2 > 0, то хг > х2.
4)	Если а > 1, то функция у = loga х принимает положительные значения при х > 1, отрицательные при 0 < х < 1. Если 0 < а < 1, то функция у = loga х принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные при х > 1.
• Это следует из того, что функция у = loga х принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1. О
Из рассмотренных свойств логарифмической функции у = loga х следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке 39, а, если а > 1, и на рисунке 39, б, если 0 < а < 1. На рисунке 40 изображен график функции у - log3 х, а на рисунке 41 — график функции у = log j х.
99
Отметим, что график любой логарифмической функции у = loga х проходит через точку (1; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Теорема. Если loga хг = loga х2, где а > 0, а * 1, хг > 0, х2 > 0, то хг = х2.
• Предположим, что хг х2, например хг < х2. Если а > 1, то из неравенства хг < х2 следует, что loga Xj < loga х2; если 0 < а < 1, то из неравенства хг < х2 следует, что loga хг > loga х2. В обоих случаях получилось противоречие с условием loga хг = loga х2. Следовательно, хг = х2. О
Задача 1 Решить уравнение log5 (Зх - 2) = log5 7.
► Используя доказанную теорему, получаем Зх - 2 =7, откуда Зх = 9, х = 3. <
Задача 2 Решить неравенство log2 х < 3.
► Пользуясь тем, что 3 = log2 23 = log2 8, запишем данное неравенство так: log2 х < log2 8. Так как функция у - log2 х определена при х > 0 и возрастает, то неравенство log2 х < log2 8 выполняется при х > 0 и х < 8.
Ответ 0 < х < 8. <
Задача 3 Решить неравенство logiXC-2.
з
► Запишем данное неравенство так: log: х <log1 9.
з з
100
Рис. 42
Функция у = log j х определена при х > 0 и убывает, з
поэтому неравенство выполняется при х > 0 и х > 9.
Ответ х > 9. <
Логарифмическая функция у = loga х и показа-тельная функция у - ах, где а > 0, а * 1, взаимно обратны.
Ф Решая уравнение у = loga х относительно х, получаем х = ау; меняя местами х и у, имеем у - ах. О Графики этих функций при а = 3 и а = ~ показаны на рисунке 42.
Упражнения
318 Сравнить числа:
1) logs 7 И log3	2) log! 9 и logi 17;
56	зз
Гё	Го
3) log! е и log! к; 4) log2 ~ и log2 би
2	2
319 Выяснить, является ли положительным или отрицательным число:
1) log3 4,5;	2) log3 0,45;	3) log5 25,3;	4) log0 5 9,6.
320 Сравнить с единицей число х, если:
1) log3 х = -0,3;	2) log! х = 1,7;	3) log2 х = 1,3.
з
321 Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) У = logo.075 2) у =log7з х; 3) у - 1g х; 4) у « In х. ~2
101
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
Построить график функции:
1) У = log2 х; 2) у = log А X.
2
По графику функции у = log2 х найти приближенно log2 3, log2 0,3, log2 5, log2 0,7.
Изобразить схематически график функции:
1) У = 1g х; 2) у = In х; 3) у = log0>4 х; 4) у = log А х.
5
Решить неравенство (325—326).
1) log5 X > log5 3;	2) bgj х < log! j ;
5	5 8
3) 1g x < 1g 4;	4) In x > In 0,5.
1) log3 x < 2; 2) log0 4 x > 2; 3) l°£i x > 16‘> 4) l°go,4 x < 2.
2
Решить уравнение: 1) log3 (5x - 1) = 2;
3) log4 (2x - 3) = 1; 5) 1g (3x - 1) = 0;
2) log5 (3x + 1) = 2
4) logy (x + 3) = 2;
6) 1g (2 - 5x) = 1.
Найти область определения функции:
1) У = log4 (X - 1);	2) у = log0>3 (1 + х);
3) у = log3 (х1 2 + 2х);	4) у = logvJ (4- х2).
1g 5 + IgV? lg 5 + \ 7 .
2 И ё 2	’
4) lg lg lg 50 и lg3 50.
Доказать, что функция у - log2 (х2 - 1) возрастает на промежутке х > 1.
Сравнить значения выражений:
1) | + 1g 3 и 1g 19 - 1g 2;	2)
3) 3 (lg 7 - lg 5) и Ig9-|lg8; О
Найти область определения функции: 1)
3)
у = log8 (х2 - Зх - 4);
— 9 у=1ое°-2^'
2)
4)
у = log, (2х - 2);
5) Построить график функции, и множество значений:
у = log (-х2 + 5х + 6);
y=logl^;
ч х2 + 4 о
i/ = log3 (3х-1 -9).
6)
найти ее область определения
1) У = logs (* - 1);	2) t/=logi(x + l);	3) у = 1 + log3 х;
3
4) у = log ]{ х -1;	5) у = 1 + log3 (х - 1).
з
102
333 Решить графически уравнение:
1) log2 х = -х + 1;	2) log i х ~ 2 х - 5;
2
3) lgx = Jx;	4) lg х = 2~х.
334 Построить график функции, найти ее область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:
1) г/ = |1о£з*1;	2) у = log3 |х|;
3) у = log2 |3 - х|;	4) у = |1 - log2 х|.
335 Найти область определения функции:
1)	У = log2 |3 - х| - log2 |х3 - 8|;
2)	у = log0 3 Vx+1 + log0л “ 8*3)-
: Логарифмические уравнения
19
Задача 1 Решить уравнение
log2 (х + 1) + log2 (х + 3) = 3.	(1)
► Предположим, что х — такое число, при котором равенство (1) является верным, т. е. х — корень уравнения (1).
Тогда по свойству логарифма верно равенство log2 (х + 1) (х + 3) = 3.	(2)
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(х + 1) (х + 3) = 8,	(3)
х2 + 4х + 3 = 8, т. е. х2 + 4х - 5 = 0, откуда xt = 1, х2 = -5.
Так как уравнение (3) является следствием исходного уравнения, то необходима проверка. Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями уравнения (1). Подставляя в левую часть исходного уравнения х=1, получаем log2 (1 + 1) + log2 (1 + 3) = = log2 2 + log2 4=1 + 2 = 3, т. e. x = 1 — корень уравнения (1).
103
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения (1) не имеет смысла, т. е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ х = 1. <
Задача 2 Решить уравнение
log2 (1 - х) = 3 - log2 (3 - х).
►	Перенесем логарифм из правой части в левую: log2 (1 - х) + log2 (3 - х) - 3, откуда
log2 (1 - х) (3 - х) = 3, (1 - х) (3 - х) = 8.
Решая это уравнение, получаем хг = 5, х2 = -1. Число х} = 5 не является корнем исходного уравнения, так как при х = 5 левая и правая части уравнения теряют смысл. Проверка показывает, что число х = -1 является корнем исходного уравнения.
Ответ х = -1. <
Задача 3 Решить уравнение
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g х + 1g (х - 3).
►	По свойству логарифмов
1g (2х2 - 4х + 12) = 1g (х2 + Зх),
откуда (по теореме § 18) 2х2 - 4х + 12 = х2 + Зх, х2 - 7х + 12 = 0, хх = 3, х2 = 4. Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ Xj = 3, х2 = 4. <
Задача 4 Решить уравнение
log7 (Зх + 4) = log7 (5х + 8).
►	Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма, получаем Зх + 4 = 5х + 8, откуда х = -2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = -2 левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.
Ответ Корней нет. <
104
Задача 5 Решить уравнение
log4 (2х - 1) • log4 х = 2 log4 (2х - 1).
►	Преобразуем данное уравнение:
log4 (2х - 1) • log4 х - 2 log4 (2х - 1) = О, log4 (2х - 1)  (log4 х - 2) = 0.
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log4 (2х - 1) = 0, откуда 2х - 1 = 1, xt = 1;
2) log4 х - 2 = 0, откуда log4 х = 2, х2 = 16.
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ х. = 1, х9 = 16. О
Задача 6 Решить уравнение log3 х + logx 3 = |.
► Уравнение имеет смысл, если
(4)
Пусть t = log3 х, тогда log^ 3 = | и уравнение при-~ , или 2t2 - 5# + 2 = 0, откуда
1	5
мет вид t + - = ~
t
t, = 2, t2 = -. 1	2	2
Если t - -, то 2
Найденные значения х удовлетворяют условиям (4) и являются корнями данного уравнения.
Если t = 2, то log3 х = 2, х - 9.
1оёзх = ^> х = 4з.
Ответ
Задача 7
u [log2 x-log2 z/ = l, Решить систему уравнении j 2
Из первого уравнения выразим х через у\ log2 * = 1о&2 2» “ = 2, х = ty- Подставив х = 2у У уравнение системы, получим
У во второе 4i/2 + 2у - 12 = 0, откуда уг = у2 = -2. Найдем значения х: X! =3, х2 = -4. Проверкой убеждаем-(3 А
3; — I— решение системы, а (-4; -2) — постороннее решение.
Ответ
105
Упражнения
336
337
338
339
340
341
342
343
344
Установить, какое из данных двух уравнений является следствием другого уравнения:
1) х - 3 = 0 и х2 - 5х + 6 = 0;	2) | х | = 5 и Vx2” = 5;
3) —~ Зх1-2 =0 и х2 - Зх + 2 = 0;
х-1
4) log8 х + logg (х - 2) = 1 и logg х (х - 2) = 1.
Решить уравнение (337—341).
1)	l°g2 (х - 5) + log2 (х + 2) = 3;
2)	log3 (х - 2) + log3 (x + 6) = 2;
3)	lg(x + V3) + lg(x-V3)=0;
4)	1g (x - 1) + 1g (x + 1) = 0.
1)	1g (x - 1) - 1g (2x - 11) = 1g 2;
2)	1g (Зх - 1) - 1g (x + 5) = 1g 5;
3)	log3 (x3 - x) - log3 x = log3 3.
1) ^lg(x2+x-6) =lg5x + lg-!-;
2	5x
2) - 1g (x2 - 4x - 1) = 1g 8x - 1g 4x.
2
1) logg (5x + 3) = logg (7x + 5);
2) log1(3x-l)=logi(6x + 8).
2	2
1)	log7 (x - 1) log7 x = log7 x;
2)	logi xlogi (3x-2) =logi(3x-2);
3	3	3
3)	log2 (3x + 1) log3 x = 2 log2 (3x + 1);
4)	log^ (x - 2) log5 x = 2 log3 (x - 2).
Решить систему уравнений:
flgx-lgz/ = 2,	Dogg x + log3 у = 2,
[x-10i/=900;	| x2y-2y + 9 = 0.
Решить уравнение (343—345).
1) log5 x2 = 0; 2) log4 x2 = 3; 3) log3 x3 = 0; 4) log4 x3 = 6;
5)	1g x4 + 1g 4x = 2 + 1g x3; 6) 1g x + 1g x2 = 1g 9x.
1)	log4 (x + 2) (x + 3) + log4 = 2;
x + 3
2)	log2	+ log2 (x — 1) (x + 4) — 2;
x + 4
3) log3 X2 - logg —= 3;	4) log2	+ log2 x2 = 5.
X + 6	X
106
345 1) 23 '* * • 5lg * = 1600;
2) 2log3 *2 • 51овз х = 400;
3)	—?— = 1;	4) —?—=1.
4 + lg х 2-lgx	5 - lg x 1 + lg x
346 He решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:
1) 23хх1 = 2~3 и Зх + 1 =-3;
2) log3 (х - 1) = 2 и х - 1 = 9.
347 Решить систему уравнений:
1) = 2)
[ 1g х + 1g у = 5;
log2 х + | log2 1 = 4, У
ху = 2.
Решить уравнение (348—352).
348 1) log2 х - 2 logx 2 = -1;
3) log3 x + 2 logx 3 = 3;
349 1) logx29 + log-4 = 2;
2) log2 x + logx 2 = 2,5;
4) log3 x - 6 logx 3 = 1.
2) logx216 - log-x 7 = 2.
350 1) 1g (6 • 5х - 25 20х) - 1g 25 = x;
2) lg (2х + x + 4) = x - x lg 5.
351 1) 1g2 (x + 1) = 1g (x + 1) lg (x - 1) + 2 lg2 (x - 1);
2) 2 log5 (4 - x) • log2x (4 - x) = 3 log5 (4 - x) - log5 2x.
352 1) ^logx25 + 3 = — *	Л	|Л(Т_
2) ^2 log| xT+^ logg x - 5 = log2 2x.
353 Найти все значения параметра а, при которых уравнение 5 log5 х + loga х - 4 log25 х = а имеет корни.
Логарифмические неравенства
При изучении логарифмической функции рассматривались неравенства вида loga х < b и loga х > Ь. Приведем примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ реше
107
ния таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений, т. е. к равносильному неравенству или к равносильной системе неравенств.
Задача 1 Решить неравенство
1g (х + 1) < 2.	(1)
►	Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях х, а левая часть — при х + 1 > О, откуда х > -1, т. е. х > -1 — область определения неравенства (1).
Исходное неравенство запишем так:
1g (х + 1) < 1g 100.	(2)
Так как 10 > 1, то х + 1 < 100, откуда х < 99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1 < х < 99. <1
Задача 2 Решить неравенство
log2 (х - 3) + log2 (х - 2) < 1.	(3)
►	Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х - 3 > 0 и х - 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3. По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству
log2 (х - 3) (х - 2) < log2 2.	(4)
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если (х - 3) (х - 2) < 2.
Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств
[(х-3)(х-2) <2, [х>3.
------ Решая первое неравенство этой си-
____।	ж стемы, получаем х2 - 5х + 4 < 0, от-0	1	3	4	куда 1 < х < 4. Совмещая этот отре-
зок с промежутком х > 3, получаем
Рис. 43	3 < х < 4 (рис. 43). <1
108
__ &/////> „
-4	0	2	-6	0	4
а)	б)
-6 -4	0	2	4
в)
Рис. 44
Задача 3* Решить неравенство logj (х2 + 2х-8) > -4.	(5)
2
► Область определения неравенства находится из условия х2 + 2х - 8 > 0. Неравенство (5) можно записать в следующем виде:
logT (х2 + 2х -8) > logi 16.
2	2
Так как логарифмическая функция с основанием -2 является убывающей, то для всех х из области определения неравенства получаем х2 + 2х - 8 < < 16. Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств
х2 + 2х-8>0,	[х2 + 2х-8>0,
или <
х2 + 2х-8 < 16,	[х2 + 2х-24<0.
Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х > 2 (рис. 44, а). Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 < х < 4 (рис. 44, б). Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6 < х < -4 и при 2 < х < 4 (рис. 44, в).
Ответ -6 < х < -4, 2 < х < 4.0
Упражнения
354 Найти область определения функции:
1) У = 1g (Зх - 2);	2) у = log2 (7 - 5х);
3) у = logi^(х2 -2);	4) у = log7 (4 - х2).
2
Решить неравенство (355—357).
355 1) log3 (х + 2) < 3;	2) log8 (4 - 2х) > 2;
109
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
3) log8 (x + 1) < -2;
5) logi(4-3x)> -1;
5
lg x > lg 8 + 1;
log2 (x - 4) < 1;
1)
3)
4) logi(x-l)>-2;
з
6) log2 (2 -5x) < -2.
з
2) lg x > 2 - lg 4;
4) logi (3x - 5) > logj (x + 1).
5	5
log15 (x - 3) + log15 (x - 5) < 1;
2)	logx (x-2) + logj (12-x) > 2. 3	3
Найти область определения функции:
1)	У = log5 (X2 З 4 - 4х + 3);	2) у = loge
1-х
3)	у = A/lgx + lg(x + 2);	4) !/ =
Решить неравенство (359—367).
log5^^>0;	2) logj
X2 + 1	2
1)
1)
£^<0;
x- 7
3)
4)
1)
3)
lg (3x - 4) < lg (2x + 1);
log,(2x + 3) >logi(r + l). 2	2
log8 (x2 - 4x + 3x) < 1;
log3 (x2 + 2x) > 1;
1)
lg (x2 - 8x + 13) > 0;
3)
log2 (x2 + 2x) < 3;
1)
1)
2)
1)
1)
log6 (x2 - 3x + 2) > 1; log2 (x2 - 2,5x) < -1.
з
2)	logj (x2-5x + 7) <0;
4)	logj (x2-5x-6) >-3.
log3 logi(x2-l) < 1.
2
3;
2)
4)
logi log2 x2 >0; 3
logo,2 x - logs (* - 2) < logo.2
lg X - logo,1 (x - 1) > logo.i °>5-logo.2 x - 5 logo,2 X < -6;
_A_ + _2_<1;
5 - lg x 1 + lg x
3) logx2_3(4x+7)>0;	4)
2)
2)
2) logo.,
log3 (2-3x)<x+l- log3 4 log (V6-2x) <0.
2	7
Зх-1 " 9х-2
4х (у116'-х-1 + 2) <4|4Х —1|.
110
7 Упражнения • к главе IV
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
Вычислить (368—372).
1) log,5 225; 1) log, 64;		2) log4 256;		3) log3i: 3> log,	4) 10g7 i 4) log,£.
		2)	log i 81; 3		
	4				
1) 1)	logu 1; (ОД)1®0,3;	2) 2)	log7 7; 10"lg4;	3) log16 64; 3) 5’10g53;	4) log27 9. / 1 \ -log 6 4
1)	410g, 3-^ —	о 2	log, 2	27-2 log^ 6; 2		
2) I IgO.OOl + IgVlOOO - fig V10 000.
3	о
Вычислить с помощью микрокалькулятора:
1) log8 7;	2) logg 12;	3) log1>3 0,17;	4) log0 3 8,1.
Построить график функции:
1) У = log4 х; 2) у ^logi х.
4
Какая из данных функций является возрастающей? убывающей? При каких значениях х каждая функция принимает положительные значения? отрицательные значения? значения, равные нулю?
Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:
1) У = log0.2 2) y = log;5 Х-, 3) y=log1t; 4)i/ = k>g73x. е	~2~
Решить графически уравнение:
1) log3 х = 5 - х;	2) log х х = Зх.
з
Найти область определения функции:
1)	У = logy (5 - 2х);	2) у = log2 (х2 - 2х).
Решить уравнение (378—380).
1) log,(7-8лг) =-2;	2) 1g (х2 - 2) = 1g х.
2
111
379
380
381
382
383
1
. 2
3
4
5
6
384
1) lg (x2 - 2x) = lg 30 - 1;
2)	log3 (2x2 + x) = log3 6 - log3 2;
3)	lg2 x - 3 lg x = 4;	4) log2 x - 5 log2 x + 6 = 0.
1)	log2 (x - 2) + log2 (x - 3) = 1;
2)	log3 (5 - x) + log3 (-1 - x) = 3;
3)	lg (x - 2) + lg x = lg 3;
4)	log/6 (x -1) + log^ (x + 4) = log fg 6.
Решить неравенство (381—383).
1) log2 (x - 5) < 2;	2) log3 (7 - x) > 1;
3) logi(2x + 1) >-2;	4) logi(3-5x) <-3.
1) log3 (5 - 4x) < log3 (x - 1);
2) log0>3 (2x + 5) > log0,3 (x + !)•
1) lg (x2 + 2x + 2) < 1;	2) log3 (x2 + 7x - 5) > 1.
Проверь себя!
Вычислить:
1) logs 125; 2) lg 0,01; 3) 2log23; 4) 321og37;
5) log2 68 - log2 17.
Построить схематически график функции:
1) У = logo 2 х< z) У = log2 х-
Сравнить числа:
1) logo,2 3 и 1о&о,2	2) 1о&2 °’7 и log2 1,2.
Решить уравнение:
1) log5 (Зх + 1) = 2;	2) log3 (х + 2) + log3 х = 1;
3) In (х2 - 6х + 9) = In 3 + In (х + 3).
„ fInx-Inz/=1пЗ, Решить систему уравнении <
[ х -2у = 5.
Решить неравенство:
1) log3 (х - 1) < 2;	2) logj (2 -х) > -1.
5
Вычислить:
1) log л -J-;	2) log л -i-;	3) 22 10835
3 V3	25 Уб
4) з,61огя-б10 + 1;	5) 2 log5 V5+31og28;
6) log2 log2 log2 216.
112
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
Сравнить числа:
2 log 2 5 t log j 9
1) log!| и logji; 2) 2	9 и V8.
23	з2
Вычислить log30 64 с точностью до 0,001, зная, что lg 3 « 0,4771, lg 5 * 0,6990.
Вычислить log36 15 с точностью до 0,001, зная, что 1g 3 * 0,4771, 1g 5 « 0,6990.
При каких значениях х справедливо неравенство:
1)	logx 8 < logx 10;	2) logx 2 < logx * ?
Решить графически уравнение: l)log3x = ?;	2)2x = loglx.
х	-
2
Решить уравнение (390—395).

1) 34x = 10; 2) 23x = 3; 3)l,3Sx-2 = 3; 4) -	=1,5;
5) 16х - 4х *1 - 14 = 0;	6) 25х + 2 • 5х - 15 = 0.
1) log3 х + log9 x + log2T x = Ц;
2)	log3 x - logx + log| x = 6;
з
3)	log3 x • log2 x = 4 log3 2;
4)	log5 x • log3 x = 9 log5 3.
1)	log3 (2 - x2) - log3 (—x) = 0;
2)	log3 (x2 - 12) - log5 (-x) = 0;
3)	log2Vx-3 + log2>/3x-7 = 2;
4)	lg(x + 6)-lg 72x-3 =lg4.
1) logy^ x + 4 log4 x + logg x = 13;
2) log0-s (x + 2) ~ log2 (x - 3) = log x(-4x -8). 2	/2
1) log, 5 + log _1_12 + |1оёхЗ = 1;
x	X2	2
2) |logx7-logi 3-logx2 28 =l.
z	J—
1) 1о«2 —Ц- =l°g2 x;	2) log, ———— = log, x;
x-1	-27-x	-
3) 1g =1S*:	4) ^4 =lg^-
x-1	x-2
113
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
Решить неравенство (396—397).
1)	log^ (х-4) + 1оил (х + 1) <2;
2)	log3V2 (x-5) + log3V2 (х + 12) <2;
3)	log3 (8х2 + х) > 2 + log3 х2 + log3 х;
4)	log2 х + log2 (х - 3) > log2 4;
5)	logj (x -10) -logx (x + 2) > -1;
5	5
6)	log x (x + 10) + log x (x + 4) > -2.
/7	Л
1) 4 log4 x - 33 logx 4 < 1;	2) logx 3 < 4(1 + log 4 x).
3
Доказать, что если последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией, то их логарифмы по одному основанию образуют арифметическую прогрессию.
Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.
Построить график функции:
log2 X	In X
Решить уравнение (401—403).
• _	1	3lg3 x-Jlgx	3r—
1) xlg 9 + 9lg х = 6;	2) X 3	=100V10.
1) 3 + 2 1ogx+13 = 2 1og3(x+l);
2) 1 + 2 logx + 2 5 = log5 (x + 2).
1)	log2 (2х - 5) - log2 (2х - 2) = 2 - x;
2)	log| _ x (3 - x) = log3 x (1 - x);
3)	log2 (2х + 1) -log2 (2х'1 + 2) = 2;
4)	log3x + 7 (5x + 3) = 2 - log5x . з (3x + 7).
Решить неравенство:
1)	logx(2x + 2 -4X)> -2;	2) log (6X + 1 -36x)> -2.
з	7s
Решить уравнение
log2 x ♦ log2 (x - 3) + 1 = log2 (x2 - 3x).
Решить неравенство 1	+	1	< 3
loga X - 1 loga X2 + 1	2
114
LV--
1 глава
7 Тригонометрические
- формулы
7 Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств
7 находить другие, нам еще неизвестные.
7	Д. С. Аничков
Радианная мера угла
21
Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности с центром О радиуса 1 (рис. 45). Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на прямой направление вверх. За единицу длины на числовой оси возьмем радиус окружности. Отметим на прямой несколько точек ±1, ± —, ±3, ±л, где л % 3,14 — ирра-2
циональное число. Вообразив эту прямую в виде нерастяжимой нити, закрепленной на окружности в точке Р, будем мысленно наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с координатами, например, 1, —, -1, -2 перейдут 2
соответственно в точки окружности
М2, М3, М4, такие, что длина дуги РМХ, равна 1, длина дуги РМ2 равна - и т. д.
2
Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.
115
©Так как точке прямой с координатой 1 ста-д вится в соответствие точка Мх, то естественно считать угол РОМХ единичным и мерой этого угла измерять другие углы, j Например, угол РОМ2 следует считать равным —. Такой способ измерения углов ши-2
роко используется в математике и физике. В этом случае говорят, что углы измеряют-Рис. 46	ся в радианной мере, а угол POMY называ-
ют углом в один радиан (1 рад). Длина дуги окружности равна радиусу.
Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМ длины R и угол РОМ (рис. 46). Центральный угол, опирающийся на дугу, длина ЯиНЗЕ которой равна радиусу окружности, называется ЯДНй углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной kR (полуокружность) стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R стягивает угол в л раз меньший, т. е.
1 рад^Г. \ 71 J
Так как л * 3,14, то 1 рад » 57,3°.
Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна
а рад aj •	(1)
Задача 1 Найти градусную меру угла, равного:
1) л рад; 2) рад; 3) -у рад.
► По формуле (1) находим:
1) л рад = 180°; 2) — рад = 90°;
2
3	) — рад =	) = 135°. <1
4	к л 4 )
Найдем радианную меру угла в 1°. Так как угол 180° равен л рад, то
1° = — рад.
180
Если угол содержит а градусов, то его радианная мера равна
а° =	- а рад.	(2)
116
Задача 2 Найти радианную меру угла, равного: 1) 45°; 2) 15°.
► По формуле (2) находим:
1) 45° =	• 45 рад = — рад;
180	4
2) 15° =• 15 рад = — рад. <1
180	12
Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в градусной и радианной мере.
Градусы	0 !	1 30	45	60	90	180
Радианы	0	ГС 6	гс 4	ГС 3	ГС 2	я
Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1 рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу Я, то угол в а рад стягивает дугу длиной
I = aR.	(3)
Задача 3 Конец минутной стрелки Кремлевских курантов
за io мин | рад. По
движется по окружности радиуса R * 3,06 м. Какой путь проходит конец стрелки за 15 мин?
стрелка поворачивается на угол, равный
формуле (3) при а = — находим 2
/ = - R =	3,06 м = 4,8 м.
2	2
Ответ 4,8 м. <1
Особенно простой вид формула (3) имеет в случае, когда радиус окружности R = 1. Тогда длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой, в радианах, т. е. I = а. Этим объясняется удобство применения радианной меры в математике, физике, механике и т. д.
Задача 4 Доказать, что площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в а рад, равна
S = а, где 0 < а < л.
► Площадь кругового сектора в л рад (полукруга)
равна . Поэтому площадь сектора в 1 рад
117
в тг раз меньше, т. е. равна-: л. Следовательно,
2
R2
площадь сектора в а рад равна =^— а. <1
Упражнения
407 Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1) 40°; 2) 120°; 3) 150°; 4) 75°; 5) 32°; 6) 140°.
408 Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: 1)	2)	3) | л; 4) 2; 5) 3; 6) 0,36.
409 (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного шестиугольника.
410 Вычислить радиус окружности, если дуга длиной 0,36 м стягивает центральный угол в 0,9 рад.
411 Найти радианную меру угла, стягиваемого дугой окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см.
412 Дуга кругового сектора стягивает угол в — рад. Найти пло-4
щадь сектора, если радиус круга равен 1 см.
413 Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора равна 6,25 см2. Найти угол, который стягивается дугой этого кругового сектора.
414 Заполнить таблицу.
Градусы	0,5	36	159	108		1	
Радианы				1	\	к Ю| <0		1,8
415 Заполнить таблицу.
Угол, °	30					
Угол, рад		д 5			2	
Радиус, см	2		10	5		
Длина дуги, см		2	5			10
Площадь сектора, см2				50	25 , 50	
118
Поворот точки вокруг начала координат
В предыдущем параграфе использовался наглядный способ установления соответствия между точками числовой прямой и точками окружности. Покажем теперь, как можно установить соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности.
Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол а рад, где а — любое действительное число.
1. Пусть а > 0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р (1; 0) против часовой стрелки, прошла путь длиной а (рис. 47). Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол а рад.
2. Пусть а < 0. В этом случае поворот на угол а рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной |а| (рис. 48).
Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.
119
Примеры.
1)	При повороте точки Р (1; 0) на угол рад (рис. 49) получается точка М (0; 1).
2)	При повороте точки Р (1; 0) на угол рад 2
(рис. 49) получается точка N (0; -1).
3)	При повороте точки Р (1; 0) на угол — рад 2
(рис. 50) получается точка К (0; -1).
4)	При повороте точки Р (1; 0) на угол -л рад (рис. 50) получается точка L (-1; 0).
В курсе геометрии рассматривались углы от 0° до 180°. Используя поворот точки единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать углы, большие 180°, а также отрицательные углы. Угол поворота можно задавать как в градусах, так и в радианах. Например, поворот точки Р (1; 0) на угол означает то же самое, что
и поворот на 270°; поворот на ~ — это поворот на -90°.
Приведем таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в радианной и градусной мере (рис. 51)
Отметим, что при повороте точки Р (1; 0) на 2л, т. е. на 360°, точка возвращается в первоначальное положение (см. рис. 51). При повороте этой точки на -2л, т. е. на -360°, она также возвращается в первоначальное положение.
120
Рис. 51
Теперь рассмотрим примеры поворотов точки на угол, больший 2л, и на угол, меньший -2л. Так, при повороте на угол — = 2 • 2 л + — точка совершает два 2	2
полных оборота против часовой стрелки и еще проходит путь — (рис. 52).
2
При повороте на угол = -2-2я- — 2	2
точка совершает два полных оборота по часовой стрелке и еще проходит путь — в том же направлении (рис. 53).
2
Заметим, что при повороте точки
Р (1; 0) на угол — получается та же 2
самая точка, что и при повороте на угол — (рис. 52). При повороте на угол 2
получается та же самая точка, что и при повороте на угол (рис. 53).
121
Вообще, если а = а0 + 2я/?, где k — целое число, то при повороте на угол а получается та же самая
точка, что и при повороте на угол а0.
I 
Итак, каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р(1; 0) на угол а рад.
Однако одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел а + 2л/г, где k — целое число, задающих поворот точки Р (1; 0) в точку М (рис. 54).
Задача 1 Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) 7я; 2) - —.
2
► 1) Так как 7я = л + 2л • 3, то при повороте на 7л получается та же самая точка, что и при повороте на л, т.е. получается точка с координатами (-1; 0). 2) Так как	-2л, то при повороте на
2	2	2
получается та же самая точка, что и при повороте на т. е. получается точка с координатами (0; -1). <
Задача 2
Записать все углы, на которые нужно повернуть
I д/"з 1 I
точку (1; 0), чтобы получить точку М -—; - .
12	2 J
► Из прямоугольного треугольника АОМ (рис. 55)
следует, что угол АОМ равен —, т. е. один из воз-
можных углов поворота равен —. Следовательно,
122
все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0), чтобы получить точку Г—; выражаются так: \ 2	2 )
+ 2nk, где k — любое целое число. <
416
417
418
419
420
421
422
423
424
Упражнения
Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол:
1) 4л; 2) л; 3) -6,5л; 4) —; 5)	6) -45°.
2	4	3
На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол (417—419).
1) 2L; 2)	3) -- я; 4)	5) -- л; 6) -225°.
4	3	4	3	4
1) - + 2я; 2)	±2л; 3) ^±6л; 4) -^±8л.
4	3	3	4
1) — + 2xk, k— целое число; 2) --я + 2я/г, k — целое 2	2
число; 3) -п + 2nk, k — целое число; 4)	+ 2яА:,
4
k — целое число.
Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1) Зл; 2) --л; 3) -—л; 4) 5л; 5) 540°; 6) 810°. 2	2
Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1) -- + 2л£; 2) ^ + 2лй; 3) —+ 2лА; 4) -— + 2 л/г. 2	2	2	2
Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1)-±л; 2) — ±л; 3)	+ лй; 4) -л + лй.
2	4	2
Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами: 1) (1; 0); 2) (-1; 0); 3) (0; 1); 4) (0; -1).
Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол: 1) 1; 2) 2,75; 3) 3,16; 4) 4,95.
123
425 Найти число х, где 0 < х < 2я, и натуральное число й, такие, чтобы выполнялось равенство а = х + 2я/г, если: 1) а = 9,8л; 2) а =7 In; 3)а=Ил; 4)а=^я.
3	2	3
426 На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1) 4,5я; 2) 5,5я; 3) -6я; 4) -7л.
427 Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол (k — целое число):
1) -^ + 2 л/г; 2) ^ + 2лА; 3) ^ + 2л/г;	4) -^ + 2лй.
2	2	2	2
428 Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами:
1/ Д _^1 2)Г-—;3)Г-1; -М 4)(-^; -11
\ 2	2 )	{ 2	2 ) V 2	2 )	\	2	2)
Определение синуса, косинуса и тангенса угла
В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла, выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке от 0° до 180°. Синус и косинус произвольного угла определяются следующим образом (рис. 56):
Определение 1. Синусом угла а называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается sin a).
Определение 2. Косинусом угла а называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол а (обозначается cos a).
В этих определениях угол а может выражаться как в градусах, так и в радианах.
124
Например, при повороте точки (1; 0) на угол —, т. е. угол 90°, получается 2
точка (0; 1). Ордината точки (0; 1)
равна 1, поэтому sin - = sin 90° = 1;
2 абсцисса этой точки равна 0, поэтому cos — = cos 90° = 0.
2
Заметим, что приведенные определения синуса и косинуса в случае, когда
Рис. 56
угол заключен в промежутке от 0° до 180°, совпадают с определениями синуса и косинуса, известными из курса геометрии. Например,
sin — = sin 30° = -, cos я = cos 180° = -1. 6	2
Задача 1 Найти sin (-л) и cos (-я).
►	Точка (1; 0) при повороте на угол -я перейдет в точку (-1; 0) (рис. 57). Следовательно, sin (-я) = 0, cos (-я) = -1. <
Задача 2 Найти sin 270° и cos 270°.
►	Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдет в точку (0; -1) (рис. 58). Следовательно, cos 270° = 0, sin 270° = -1. <
Напомним, что меру угла а (в радианах) можно рассматривать как действительное число. Поэтому sin а и cos а можно рассматривать как числовое выражение. Например, в уравнении sin х = а, где а — заданное число, считается, что х — неизвестное число.
Задача 3 Решить уравнение sin х = 0.
►	Решить уравнение sin х = 0 — это значит найти все углы, синус которых равен нулю. Ординату, равную нулю, имеют две точки единичной окруж-
125
ности (1; 0) и (-1; 0) (рис. 57). Эти точки получаются из точки (1; 0) поворотом на углы 0, я, 2л, Зя и т. д., а также на углы -л, -2л, -Зя и т. д. Следовательно, sin х = 0 при х = лй, где k — любое целое число. <1
Множество целых чисел обозначается буквой Z. Для обозначения того, что число k принадлежит Z, используют запись k g Z (читается: «k принадлежит Z»). Ответ к задаче 3 можно записать так:
X = Ttk, k G Z.
Задача 4 Решить уравнение cos х = 0.
►	Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единичной окружности (0; 1) и (0, -1) (рис. 59). Эти точки получаются из точки (1; 0) поворотом на углы —, 2
- + л, — + 2я и т. д., а также на углы — - л, - - 2 л 2	2	2	2
и т. д., т. е. на углы + яй, k g Z.
Ответ х = — + яй*, k g Z. < 2
Задача 5 Решить уравнение: 1) sin х = 1; 2) cos х = 1.
► 1) Ординату, равную единице, имеет точка (0; 1) единичной окружности. Эта точка получается из точки (1; 0) поворотом на углы — + 2лйг, k е Z.
2
2) Абсциссу, равную единице, имеет точка, полученная из точки (1; 0) поворотом на углы 2л/г, k е Z.
Ответ 1) х = + 2яйг, k g Z; 2) х = 2лйг, k g Z. <
Определение 3. Тангенсом угла а называется отношение синуса угла а к его косинусу (обозначается tg а).
Таким образом,
х sin а
tg а =-------
cos а
Например,
л л sin 0 ° tgO°=------
cos 0 °
sin -
= «=0, tg£=-----------i
1	4 cos 71
4
5^2
-^=1.
<2
2
126
Иногда используется котангенс угла а (обозначается ctg а), который определяется формулой
J cos а
ctg а = —---.
sin а
Например,
ctg 270° =
^°-’=0-=0, ctg^ = sin 270°	-1	4
1
*1
= 1 = 1. 1
Отметим, что sin а и cos а определены для любого угла, а их значения заключены от -1 до 1; . sin а tg а =---- определен лишь для тех углов, для
cos а
которых cos а * 0, т. е. для любых углов, кроме тг	,	,	„	cos а
а = — + я/г, k е Z; ctg а =- определен лишь
2	sin а
для тех углов, для которых sin а * 0, т. е. для любых углов, кроме а = я/г, k е Z.
Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
а *	0 (0°)	к 6 (30°)	тг	ти 4	3 (45°) ' (60°)		71 2 (90°)	я (180°)	1* (270°)	2я (360°)
sin а	0	1 2	V2 2	Уз 2	1	0	1	0
cos а	1	Л 2	у/2 2	1 2	0	-1	0	1
tg а	0	1 л/3	i 1	Уз	Не суще-| ствует	0	Не существует	0
ctg а	Не существует		1	1	0 1		Не существует	0	Не существует
Задача 6 Вычислить 4 sin — + л/З cos - - tg —. 6	6	4
► Используя таблицу, получаем
4 sin — + Уз cos - - tg — =4  1+V3 —-1=2,5. <1 6	6	4	2	2
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, не вошедших в эту таблицу, можно
127
найти по четырехзначным математическим таблицам В. М. Брадиса, а также с помощью микрокаль-
кулятора.
Задача 7
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью
до 0,01:
1) sin 25°; 2) cos 3) tg 5.
5
На любом микрокалькуляторе вычисления про-водятся нажатием одних и тех же клавиш, sin ,
cos , tg
но перед этим нужно нажимать клави
шу F . Перед вычислением нужно установить пе
реключатель Р — Г (радиан — градус) в нужном
положении.
Ответ
1)
2)
3)
1)
25 F
sin 0,42261825;
F
5
cos
0,80901703;
tg -3,380514.
0,42; 2) 0,81; 3) -3,38.
5 F
F
<
Упражнения
429 Построить на единичной окружности точки, соответствую-
щие числу а, если:
1) sin а = 1; 2) sin а = 0; 3) cos а = -1; 4) cos а = 0;
5) sin а =-0,6; 6) sin а = 0,5; 7) cosa = ^.
430 Вычислить:
1) sin — + sin —;	2) sin cos —;
2	2	I 2)	2
3) sin я - cos я;	4) sin 0 - cos 2я;
5) sin я + sin 1,5я;	6) sin 0 + cos 2я.
431 Найти значения синуса и косинуса числа р, если:
1)	Р = Зя;	2) р = 4я;	3) р = 3,5я;
4)0 = -я;	5) 0 = тгй, * е Z; 6) 0 = (2k + 1) я, k е Z.
2
Вычислить (432—433).
432 1) sin Зя-cos—;
2
2)	cos 0 - cos Зя + cos 3,5я;
128
433
434
436
436
437
438
3)	sin nk + cos 2я/г, k e Z;
(2/?+1)я	. (4Дг-ь1)л: _	„
4)	cos ----— - sm -----keZ.
2	2
1) tg n + cos я;	2) tg 0° - tg 80°;
3) tg л + sin я;	4) cos я - tg 2я.
Найти значение выражения:
1)	3 sin - + 2 cos - - tg 6	6	3
2)	5 sin - + 3 tg —-5cos - -10 ctg —;
4	4	4	4
3)	(2 tgi-tgiLcoel;
\ о о J О
4)	sin - • cos - - tg -. 3	6	4
Решить уравнение:
1) 2 sin x - 0;	2) ^cosx=0;
3) cos x - 1 = 0;	4) 1 - sin x = 0.
Может ли sin а или cos a быть равным:
1) 0,049; 2) -0,875; 3) -V2; 4) 2 + 421
Найти значение выражения:
1)	2 sin a + V2 cos a при a =
2)	0,5 cos a - л/3 sin a при a = 60°;
3)	sin 3a - cos 2a при a = “»
4)	cos — + sin — при a = —. 2	3	2
Найти значение выражения:
1)	sin - cos - - sin - cos -;
4	4	3	6
2)	2 tg2 - -ctg2 - - sin - cos 3	6	6	3
3)	ftg^-ctg^Yctg^ + tgi\
\	4	3	4 о 7
4)	2 cos2 — - sin2 — + tg — ctg —.
6	3	6	3
439
Решить уравнение:
1) sin x = -1;
3) sin 3x = 0;
5) sin ( — + 6 я | = 1;
\ 2	/
2) cos x = -1;
4) cos 0,5x = 0;
6) cos (5x + 4я) = 1.
5 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
129
440 Используя микрокалькулятор, проверить равенство:
1) sin 60° ~ 0,866;	2) cos 45° » 0,707;
3) cos * 0,996;	4) sin « 0,225.
5	13
441 Вычислить с точностью до 0,01, используя микрокалькулятор:
1) sin 1,5;	2) cos 4,81;	3) sin 38°;	4) cos 45°12';
5)	sin *;	6) cos — л;	7) tg 12°;	8) sin — л.
□	7	9
Знаки синуса, косинуса и тангенса
1. Знаки синуса и косинуса.
Пусть точка (1; 0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти (квадранте), ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin а > 0 и cos а > 0, если 0 < а < (рис. 60, 61).
Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin а > 0, cos а < 0, если - < а < л (рис. 60, 61). Аналогично в третьей чет-2
верти sin а < 0, cos а < 0, а в четвертой четверти sin а < 0, cos а > 0 (рис. 60, 61). При дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса
130
и косинуса определяются тем, в какой четверти окажется точка.
Если точка (1; 0) движется по часовой стрелке, то знаки синуса и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется точка; это показано на рисунках 60, 61.
Задача 1 Выяснить знаки синуса и косинуса угла:
1)	2) 745°; 3) -Ц.
► 1) Углу — соответствует точка единичной окруж-4
ности, расположенная во второй четверти. Поэтому sin — >0, cos — <0.
4	4
2)	Так как 745° = 2 • 360° + 25°, то повороту точки (1; 0) на угол 745° соответствует точка, расположенная в первой четверти. Поэтому sin 745° > 0, cos 745° > 0.
3)	Так как -л <	< —р то при повороте точки
(1; 0) на угол получается точка третьей че-7
тверти. Поэтому sinf- — < 0, cosf- — < 0. <3
V 7 )	\	1 )
2. Знаки тангенса.
По определению tg а = 5Ш а . Поэтому tg а > 0, cos а
если sin а и cos а имеют одинаковые знаки, и tg а < 0, если sin а и cos а имеют противоположные знаки. Знаки тангенса изображены на рисунке 62.
Задача 2 Выяснить знак тангенса угла: 1) 260°; 2) 3.
► 1) Так как 180° < 260° < 270°, то tg 260° > 0.
2)	Так как — < 3 < л, то tg 3 < 0. <1 2
Упражнения
442 В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол а, если:
1)а=—; 2)а=—; 3)а=-^; 4)а = ^; 5)а = -^; 6	4	4	6	6
6) а = 4,8; 7) а =-1,31; 8) а =-2,7?
131
443 Пусть 0 < а < —. В какой четверти находится точка, полу-
ченная поворотом точки Р (1; 0) на угол:
	1) f-a;	2) £	а-я;	3) 2	а;	
	4) j + a;	5)	а - —;	6) я - а? 2		
444	Определить знак 1) a=—; 4	числа sin а, если: 2) а=-^; 7	3)	а = - я; 3
	4) a = -0,1я;	5) а = 5,1;	6)	а = -470°.
445	Определить знак	числа cos а, если:		
	1) a=|n; о	2) а=1 л; О	3)	р II 1 СП |ЬЭ я
	4) a = 4,6;	5) а = -5,3;	6)	а = -150°.
446	Определить знак	числа tg а, если:		
	1) a = - я; 6	2) а	я; 5	3)	к Ю| Tt* 1 II d
	4) a = 3,7;	5) а = -1,3;	6)	а = 283°.
447	Определить знаки чисел sin a, cos a, 1) я<а<^л;	2) — л<а<—; 2	2	4		tg	а, если:
	3) — <а<2л; 4	4) 2я < а < 2,5я.		
448	Определить знаки чисел sin a, cos а,		tg	а, если:
	1) а = 1; 2) а =	3; 3) а = -3,4; 4)	а	= -1,3.
449 Пусть 0 < а < —. Определить знак числа: 2
1) sinf—-а\	2) cos [ — + а
<2	)	12
3) cos (a - я);
6) sin (я - a).
ctg a, если:
450 Каковы знаки чисел sin a, cos а, tg а, 1) Зя < а <	2)	< а < ^ ?
3	2	4
451 Для каких значений аргумента а, заключенных в промежутке от 0 до 2я, знаки синуса и косинуса совпадают (различны)?
452 Определить знак числа:
1) sin —sin—; 2) cos —cos-; 3)tg^+sin^. 3	4	3	6	4	4
453 Сравнить значения выражений:
1) sin 0,7 и sin 4;	2) cos 1,3 и cos 2,3.
132
454 Решить уравнение:
1) sin (5л + х) = 1;
3) cos | - л + х I = -1;
<2	)
2) cos (x + Зл) = 0;
4) sin ( - л + x | = -1.
<2	)
455 В какой четверти находится точка, соответствующая числу а, если:
1) sin а + cos а = -1,4;	2) sin а - cos а = 1,4?
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
25
Выясним зависимость между синусом и косинусом.
Пусть точка М (х; у) единичной окружности получена поворотом точки (1; 0) на угол а (рис. 63). Тогда по определению синуса и косинуса
х = cos а, у = sin а.
Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты (х; у) удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1. Следовательно,
sin2 а + cos2 а = 1.	(1)
Равенство (1) выполняется при любых значениях а и называется основным тригонометрическим тождеством.
Из равенства (1) можно выразить sin а через cos а и cos а через sin а:
sin а = ± д/1 - cos2 а,	(2)
cos а = ±^1 - sin2 а.	(3)
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.
133
Задача 1 Вычислить sin а, если cos а = -— и л < а < —. 5	2
►	Воспользуемся формулой (2). Так как л<а <—, 2
то sin а < 0, т. е. в формуле (2) перед корнем нужно поставить знак «-»:
sin а = - Jl -cos2 а = -J1 - — = --. <3 у	V 25	5
Задача 2 Вычислить cos а, если sin а = — и < а < 0. 3	2
►	Так как -- < а < 0, то cos а > 0, поэтому в форму-2
ле (3) перед корнем нужно поставить знак «+»:
Г* • 2	г-1	1"
cos а = J1 - sur а = 1—=------.
У	V 9	3
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По определению тангенса и котан-,	sin а ,	cos а генса tg а =	, ctg а =	. cos а	sin а			
		Перемножая эти равенства, получаем tg а • ctg а = 1.	(4) Из равенства (4) можно выразить tg а через ctg а и наоборот: tg а = 1 ,	(5) ctg а ctg а =	.	(6) tg а Равенства (4) — (6) справедливы при а * /?, k е Z.	
Задача	3	Вычислить ctg а, если tg а = 13. ► По формуле (6) находим ctg а = —. <3 tga 13	
Задача	4	Вычислить tg а, если sin а = 0,8 и — < а < к. 2 ► По формуле (3) находим cos а. Так как — < a 2 то cos a < 0. Поэтому cos a = -д/1 - sin2 a = -д/1 -0,64 = -0,6. sin a	0,8	4 Следовательно, tg a =	=	= —. cos a	-0,6	3	< л,
134
Используя основное тригонометрическое тождество и определение тангенса, найдем зависимость между тангенсом и косинусом.
Разделим обе части равенства sin2 а + cos2 а = 1 на cos2 а, предполагая, что cos а * 0. Получим cos2 а + sin2 а i
равенство-------------= ——, откуда
cos2 a cos2 а
1 + tg2 а = —±—.	(7)
cos а
Эта формула верна, если cos a * 0, т. е. при а ф + л/г, k е Z. Из нее можно выразить тангенс через косинус и косинус через тангенс.
Задача 5 Вычислить tg а, если cos a = - — и - < a < л. 5	2
► Из формулы (7) получаем
tg2a=^-l = ^-l = H.
cos2 a ( о у 9
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tg а =	<1
О
Задача 6 Вычислить cos а, если tg а = 3 и л < а < ► Из формулы (7) находим cos2 а =----------------------------.
1 + tg2 а Ю
Так как л<а<~, 2 cos а = -д/0,1. <3
то cos а < 0, и поэтому
Упражнения
456 Может ли синус (косинус) принимать значения: 0,03,	, V2?
3	3 13	11
457 Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin a = — и cos a = —; 3	3
2) sina=-- и cosa=-—;
5	5
135
458
459
460
461
462
463
464
3) sin a =-— и cosa=~; 5	5
4) sin a = 0,2 и cos a = 0,8?
Вычислить:
1) sin a, tg a и ctg a, если cos a = - — и — < a < л;
5	2
2) cos a, tg a и ctg a, если sina=-- и л<а<—.
Вычислить значение каждой ций, если:
1) cos а и — < а < 2 л;
13	2
3) tg а и л <а <—;
8	2
из тригонометрических функ-
5) cos а = 0,8 и 0 < а < - ;
2
7) tg а = -2,4 и — < а < л;
2
2) sin а - 0,8 и — < а < л; 2
4) ctg а = -3и-^<а< 2л;
6) sin а = —— и — < а < 2л;
13	2
8) ctg а = — и л<а< —.
24	2
Какие значения может принимать: 2
1) cos а, если sin a =-;
2)	sin a,	если cos a	= -	1 &
3)	sin a,	если cos a	= 2 3	
4)	cos a,	если sin a	= -	-1=? V3
Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin a = - и tg a = -Д=;
5	V24
2) ctg a = — и cos a - — ?
3	4
Пусть a — один из углов прямоугольного треугольника.
„ „	.	2ч/10
Наити cos а и tg а, если sin a =--.
Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения: ctg a + tg a . ctg a - tg a ’ 2 sin a + 3 cos a o) -------------;
3 sin a - 5 cos a
2) sin a - cos a . sin a + cos a
.. sin2 a + 2 cos2 a
4)
. 9	9
sin a - cos^ a
Известно, что sin a + cos a = -. Найти:
2
1) sin a • cos a; 2) sin3 a + cos3 a.
136
Т Тригонометрические тождества
26
Задача 1 Доказать, что при а * л/?, k е Z, справедливо равенство
1 + ctg2 а =—.	(1)
sin а
По определению ctg а = cos а, и поэтому sin а
2	-2	2
_	, 9	_ cos4 а sin4 а + cos а i
1 + ctg2 а = 1 + —— =-----—-------= ——
snr а sm4 а sin4 а
Эти преобразования верны, так как sin а 0 при а Ф nk, k е Z. <
Равенство (1) справедливо для всех допустимых значений а, т. е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств.
Обычно при доказательстве тригонометрических тождеств или при упрощении выражений допустимые значения углов не устанавливают, если это не требуется в условии задачи.
Задача 2 Доказать тождество
cos2 а = (1 - sin а) (1 + sin а).
► (1 - sin а) (1 + sin а) = 1 - sin2 а = cos2 а. <
Задача 3 Доказать тождество —sq— = —+ — а .
1 - sin а cos а
Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю:
cos а _ 1+ sina = cos2 а -(1- sin2 а) =
1 - sin а cos а cos а (1 - sin а)
2	2
cos4 а - cos а _ Q
cos а (1 - sin а)
137
При решении задач 1—3 использовались, следующие способы доказательства тождеств: преобразование левой части к правой; преобразование правой части к левой; установление того, что разность между левой и правой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.
о	а тт	l-tg2a 4	. 4
Задача 4 Доказать тождество  -------------— = cos4 a - sin4 a.
1 + tg2 a
. о 1 sin a .	1 - tg2 a cos2 a cos2 a - sin2 a 9	. 9
► ------- =----------— =-----------— = cos2 a - sin2 a,
1 + tg a „ sin'2 a cos a + sin a 1+ Г cos a
cos4 a - sin4 a = (cos2 a - sin2 a) (cos2 a + sin2 a) = = cos2 a - sin2 a.
Тождество доказано, так как его левая и правая части равны cos2 a - sin2 a. <]
Задача 5 Упростить выражение---------------i---.
tg a + ctg a
.	1	1	sin a cos a _
tg a + ctg a sin a + cos a sin2 a + cos2 a cos a sin a
= sin a cos a. <
Упражнения
465 Доказать тождество:
1) (1 - cos a) (1 + cos a) = sin2 a;
2) (1 - sin a) (1 + sin a) = cos2 a;
	• 2 sin2 a	, 9 3) 	5— = tg2 a; 1 - sin2 a	4)	2 cos2 a	, 9 = ctg2a; 1 - cos2 a
	5) 	Ц-— + sin2 a = 1; 1 + tg2 a	6)	1	2	1 		— + cos2 a = 1. 1+ ctg2 a
466	Упростить выражение: 1) cos a • tg a - 2 sin a;	2)	cos a - sin a • ctg a;
	3) Sin a ; 1 + cos a	4)	cos* a 1 - sin a
138
467 Упростить выражение и найти его значение:
-------— при м. - —, l-cos*a	4
2)	cos2 a + ctg2 a + sin2 a при a = —; 6
3)	—1----1 при a = ^;
cos a	о
4)	cos2 a + tg2 a ctg2 a + sin2 a
при a = “•
468 Доказать тождество:
1)	(1 - sin2 a) (1 + tg2 a) = 1;
2)	sin2 a (1 + ctg2 a) - cos2 a = sin2 a.
469 Упростить выражение:
1) (1 + tg2 a) cos2 a - 1;	2) 1 - sin2 a (1 + ctg2 a);
3)	1 + tg2 a + —;	4) 1+tg2a.
sin* a	1 + ctg* a
470 Доказать тождество:
1)	(1 - cos 2a) (1 + cos 2a) = sin2 2a;
2)	sin a _1
cos2 a 1 + sin a
3)	cos4 a - sin4 a = cos2 a - sin2 a;
4)	(sin2 a - cos2 a)2 + 2 cos2 a sin2 a = sin4 a + cos4 a;
5)	sin a + 1 ~~ cos a _ 2 ,
1 + cos a sin a sin a
6)	sina _ 1 + c°s a .
1 - cos a sin a
7)	—------------------- =1;
1 + tg2 a 1 + ctg2 a
8)	tg2 a - sin2 a = tg2 a sin2 a.
471 Найти значение выражения sin a cos a, если sin a - cos a = 0,6.
472 Найти значение выражения cos3 a - sin3 a, если cos a -- sin a = 0,2.
473 Известно, что tg a + ctg a = 3. Найти tg2 a + ctg2 a.
474 Решить уравнение:
1)	2 sin x + sin2 x + cos2 x = 1;
2)	2 sin2 x + 3 cos2 x - 2 = 0;
3)	3 cos2 x - 2 sin x = 3 - 3 sin2 x;
4)	cos2 x - sin2 x=2sinx-l-2 sin2 x.
139
Синус, косинус и тангенс углов а и -а
Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р (1; 0) на углы а и -а соответственно (рис. 64). Тогда ось Ох делит угол М^ОМ2 пополам, и поэтому точки Мх и М2 симметричны относительно оси Ох. Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка МА имеет координаты (cos a; sin а), точка М2 имеет координаты (cos (-a); sin (-а)). Следовательно,
sin (-а) =-sin а,	(1)
cos (-а) = cos а.	(2)
Используя определение тангенса, получаем .	.	. sin (-a) -sin а
tg (-а) =-------- =-----= -tg а.
cos (- а)	cos а
Таким образом, tg(-a) = -tga.	(3)
Формулы (1) — (2) справедливы при любых а, а формула (3) — при а Ф — + nkt k g Z. 2
Можно показать, что если а * дЛ, k g Z, то
ctg (-a) - -ctg a.
Формулы (1) — (3) позволяют сводить вычисление значений синуса, косинуса и тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например,
sin (= -sin - =
I 6J 6	2
cos
k 4
= cos — =
4
V2
2 ’
tg[-^ = -tg^ = -V3. \ о /	О
140
Упражнения
475
Вычислить:
as 051 я
/	\	/	\	/	\	1+tg2
1) cos I -- | sin I -- J + tg ( -—	2) ---
u;	v з;	v 4j	i+ctg2(-
3) 2 sin cos (--^4-tg^--^4- 8*п2(“^»
6) 2 sin Г-—4-3 4-7,5 tg (-л) 4-i cos — л. \ 6 J	8	2
476 Упростить выражение:
1) tg (-a) cos a + sin a; 2) cos a - ctg a (-sin a); cos (-a) + sin (-a).
2	-2	*
cosz a - sinz a
4) tg (-a) ctg (-a) + cos2 (-a) + sin2 a.
477 Вычислить:
2 - sin2 f - — 1 + cos2 f - —
1)		pJ-----------Л32;
2 cos | - - | + sin I - - |
к 32	V 62
2)	V3sin(--^-2 ctg , +4 cos 1 л).
478 Упростить выражение:
sin3 (-a) + cos3 (-a),	1-(sina + cos (-a))2
1 - sin (- a) cos (- a)	- sin (- a)
479 Доказать тождество:
1)	cos a sin (6л - a) • (1 + ctg2 (-a)) - ctg (-a); l-sin2(-a) sin (a-2л)
2)	------------------------- ctg a.
cos (4 л-a) l-cos^(-a)
480 Решить уравнение:
1) sin (-x) = 1;	2) cos (-2x) = 0;
3)	cos (-2x) = 1;	4) sin (-2x) = 0;
5) cos2 (—x) + sin (-x) = 2 - sin2 x;
6) 1 - sin2 (-x) + cos (4л - x) = cos (x - 2л).
141
Формулы сложения
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos (а ± Р) и sin (а ± Р) через синусы и косинусы углов аир.
Теорема. Для любых аир справедливо равенство
cos (а + Р) = eos a cos р - sin a sin р. (1)
• Пусть точки Ма, М_р и Ма , р получены поворотом
точки Мо
Рис. 65
(1; 0) на углы а, -р и а + р рад соответственно (рис. 65).
По определению синуса и косинуса эти точки имеют следующие координаты:
Ма (cos a; sin а), (cos (-Р); sin (-Р)), Ма р (cos (а + Р); sin (а + Р)).
Так как ZM0OMa + p = ZM_p0Ma, то равнобедренные треугольники М0ОМа + р и М_рОМа равны и, значит, равны их основания М0Ма „и М_рМа. Следовательно, (М0Ма р)2 = (М_рМа)2.
Используя формулу расстояния меж-
ду двумя точками, известную из курса геомет
рии, получаем
(1 - cos (a + р))2 + (sin (a + р))2 = - (cos (-р) - cos a)2 + (sin (-p) - sin a)2.
Преобразуем это равенство, используя формулы (1) и (2) из § 27:
1-2 cos (a + Р) + cos2 (a + р) + sin2 (a + Р) = = cos2 p - 2 cos p cos a + cos2 a + sin2 p + + 2 sin p sin a + sin2 a.
Используя основное тригонометрическое тождество, получаем
2-2 cos (a + р) = 2 - 2 cos a cos p + 2 sin a sin p, откуда cos (a + P) = cos a cos p - sin a sin p. О
142
Задача 1 Вычислить cos 75°.
► По формуле (1) находим
cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° -
- sin 45° sin 30° = — —-<1 2	2	2	2	4
Заменив в формуле (1) p на -p, получим
cos (a - p) = cos a cos (-p) - sin a sin (~P), откуда
cos (a - p) = cos a cos p + sin a sin p. (2)
Задача 2 Вычислить cos 15°.
► По формуле (2) получаем cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° +
+ sin 45° sin 30° =	- = ^-+	. <1
2	2	2	2	4
Задача 3 Доказать формулы
cos — - a | = sin a, sin --a I = cos a. (3) \ 2 j	\ 2	/
При a - по формуле (2)
получаем
cos = cos 2 C°S sin sinP = s^n P’ T* e*
cos -p) = sin p.	(4)
cos
Заменив в этой формуле р на а, получим sin а. Полагая в формуле (4) р=--а, 2
имеем sin — - a = cos a. <1 \2	)
Используя формулы (1) — (4), выведем формулы сложения для синуса:
sin (a + Р) = cos
= cos — - a I cos p + sin f — — a ] sin p = \ 2	/	\ 2 J
= sin a cos p + cos a sin p.
sin (a + P) = sin a cos p + cos a sin p. (5)
Заменяя в формуле (5) p на ~P, получаем
sin (a - P) - sin a cos (-p) + cos a sin (-p).
sin (a - p) = sin a cos p - cos a sin p. (6)
143
Задача 4 Вычислить sin 210°.
►	sin 210° = sin (180е + 30°) = sin 180° cos 30° +
+ cos 180° sin 30° = 0	+ (-1) • 1 = -1. <J
2	2	2
Задача 5 Вычислить sin — cos — - sin — cos —. 7	7	7	7
►	sin — cos — - sin — cos — = sinf — - — 1 = sin л = 0. <]
7	7	7	7	< 7	7 J
Задача 6* Доказать равенство
tg(a+P) = -*^₽	(7)
1 - tg a tg p
sin(a + B) sin a cos В + cos a sin В ► tg (a + p) =-------=-------------------.
cos (a + p) cos a cos p - sin a sin p
Разделив числитель и знаменатель последней дроби на произведение cos a cos р, получим формулу (7). <
Формула (7) может быть полезна при вычислениях. Например, по этой формуле находим tg 225° = tg (180° + 45°) = tg—° °" — 5° = 1.
1 - tg 180° tg45°
Упражнения
481 С помощью формул сложения вычислить:
1)	cos 135°; 2) cos 120°; 3) cos 150°; 4) cos 240°.
482 Вычислить, не пользуясь таблицами:
1)	cos 57°30' cos 27°30' + sin 57э30' sin 27°30';
2)	cos 19°30' cos 25°30' - sin 19°30' sin 25°30';
3)	cos — cos - sin — sin 9	9	9	9
4)	cos — cos — + sin — sin —. 7	7	7	7
483 Вычислить:
1) cos | - + a I, если sin a = -Jx и 0 < a < -;
1з J	#3	2
2) cos I a I, если cos a = и — < a < л. I 4J	3	2
484 Упростить выражение:
1)	cos 3a cos a - sin a sin 3a;
2)	cos 5p cos 2p - sin 5p sin 2P;
144
3)	cos f — + a | cos f — - a 1 - sin | — + a | sin |	- a
<7 J U4 )	<7	)	114
4)	cos ( — +	a ] cos	f —	+ a | + sin	f —	+ a | sin \ — + a
I 5	7	кб J	I 5
485	Вычислить, не пользуясь таблицами:
486	1) sin 73° cos 17° + cos 73° sin 17°; 2) sin 73° cos 13° - cos 73° sin 13°; _ 5л ___ л ।	л	5л о) sin — cos — + sin — cos —; 12	12	12	12 4) sin — cos — - sin — cos —. 12	12	12	12 Вычислить:
	1) sin|a + —|, если cosa=-- и л<а<—; I 6j	5	2
	2) sin (--а), если sin a = — и — < a < л. U )	3	2
487 Упростить выражение:
1) sin (a - 0) + sin (-a) cos (—p);
2)
3)
cos (-a) sin (-0) - sin (a - 0);
cos
— - a 'I sin f — - 0
2	)	<2
sin (a - 0);
4)
sin (a + 0) + sin - - a
sin(-0).
Q
488 Вычислить cos (a + 0) и cos (a - 0), если sin a = —,
5
-it<a<2n, и sin 0 = —, O<0<—.
2	H 17	2
489 Вычислить sin (a - 0), если cos a = -0,8,	< a < л, и
sin0 = ~—, л<0<—.
H 13	2
490 Вычислить tg (a + 0), если sin a=^, -^<а<л, и cos 0 -- л<0<2л.
2 H
491 Упростить выражение:
1)	cos (a - 0) - cos (a + 0);
2)	cos | - + a | cos I — - a | + - sin2 a; U ) U ) 2
3)	cos 3a + sin a sin 2a;
4)	cos 2a - cos a cos 3a.
145
492 Доказать тождество:
1)	sin<a + Р) = tga + tgft . sin (а -р) tga - tgp ’
cos (а - р) _ ctg а • ctg Р + 1. — * cos(a + P) ctgactgp-1
3)	cos f~ + a^l = — (cos a - sin a);
<4	)	2
.. cos (a + p)	, _ ,
4)	-------= ctg p tg a;
cos a sin p
5)	cos a cos p = - (cos (a + p) + cos (a - p)); 2
6)	sin a sin p = - (cos (a - P) - cos (a + p)). 2
493
Вычислить:
tg29°+ tg31° .
? 1 - tg 29° tg 31°’
1+ tglO°tg55°.
' tg55°-tglO0’
tg — л - tg л 16	16
1 + tg — Л tg — 71
16	16
l-tgl3° tgl7° tg 17° + tgl3c‘
. 494 Вычислить:
1) tg (a + P), если tg a = -- и tg p - 2,4;
4
2) ctg (a - P), если ctg a = — и ctg p =-1. 3
sin ( — + a j - cos (	+ a
495 Упростить выражение ---------—-----------------
sin - + a + cos — + a
<6	)	<3
496 Упростить выражение:
1)	sin a cos 2a + sin 2a cos a;
2)	sin 5p cos 3p - sin 3p cos 5p.
497 Решить уравнение:
1)	cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = -1;
2)	sin 3x cos 5x - sin 5x cos 3x = -1;
3)	V2 cos I - + x I - cos x = 1;
U )
4)	V2 sin f — - -1 + sin - = 1.
U 2)	2
146
Синус, косинус и тангенс двойного угла
Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.
1.	sin 2а = sin (а + а) = sin а cos а + sin а cos а = = 2 sin а cos а. Итак,
sin 2а = 2 sin а cos а.	(1)
Задача 1 Вычислить sin 2а, если sin а = -0,6 и л < а < —.
2
► По формуле (1) находим
sin 2а = 2 sin а cos а = 2 • (-0,6) • cos а = -1,2 cos а.
Так как л < а < —, то cos а < 0, и поэтому
2
cos а = -71 - sin2 а - -дД -0,36 = -0,8.
Следовательно, sin 2а = -1,2 • (-0,8) = 0,96. <
2.	cos 2а = cos (а + а) = cos а cos а - sin а sin а = = cos2 а - sin2 а. Итак,
cos 2а = cos2 а - sin2 а.	(2)
Задача 2 Вычислить cos 2а, если cos а = 0,3.
► Используя формулу (2) и основное тригонометрическое тождество, получаем
cos 2а = cos2 а - sin2 а = cos2 а - (1 - cos2 а) =
= 2 cos2 а - 1 = 2 • (0,3)2 - 1 = -0,82. <
_	Л	sin а cos а
Задача 3 Упростить выражение ------------------—.
1-2 sin2 а
sin а cos а	2 sin а cos а
1-2 sin2 а 2 (sin2 а 4 cos2 а - 2 sin2 а)
sin 2 а	sin 2 а i J Л
=-------;-------;— =-------------= 1 tg 2а. <
2 (cos2 а - sin2 а) 2 cos 2а 2
147
Задача 4 Вычислить tg 2а, если tg а = - . 2
► Полагая в формуле tg (а + р) = tga + tg^ (см. § 28) 1- tga tgp
р = а, получаем tg 2а = 2tg <> 	(3)
1	-tg2 а
Если tg а = -, то по формуле (3) находим 2
2----------— tg 2а =	
1
Задача 5* Вычислить sin За, если sin а = -. 4
► sin За = sin (а + 2а) = sin a cos 2а + cos a sin 2а = = sin a (cos2 а - sin2 а) + cos а 2 sin a cos а = = sin a cos2 а - sin3 а + 2 sin a cos2 а = = 3 sin a cos2 а - sin3 а = 3 sin а (1 - sin2 а) -- sin3 а = 3 sin а - 4 sin3 а = sin а (3 - 4 sin2 а). При sin а - получаем sin За - ^3-	<
Упражнения
Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла (498—499).
498 1) sin 48°; 2) cos 164°; 3) tg 92°; 4) sin 5) cos
3	3
499 1) sinf— + a\	2) sin f — + p\	3) cos f — -a^l;
12	)	U )	<2	)
4) cos(^ + a);	5) sin a;	6) cos a.
Вычислить, не используя калькулятор (500—502).
500 1) 2 sin 15° • cos 15°;	2) cos2 15° - sin2 15°;
3) 2tgl5° ;	4) (cos 75° - sin 750)2.
l-tg215°
501 1) 2 sin - cos 8	8
2 tg-?
3) -----
l-tg2n 8
2) cos2 - - sin2 8	8
4) — - f cos — + sin -1 . 2	\	8	8/
148
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
1) 2 sin 75° • cos 75°;
OX 6 tg75° .
О ) --------,
1-tg2 75°
2)
4)
cos2 75° - sin2 75°; tg2 22°3(F-1
tg 22°30'
Вычислить sin 2a, если:
1) sin a = — и — < a < л;
5	2
2) cos a = -- и л < a < —.
5	2
Вычислить cos 2a, если:
1) cosa = -;	2) sin a = - —.
5	5
Вычислить tg 2a, если tg a = 0,5.
Упростить выражение (506—507).
1) 2 cos 40° • cos 50°;	2) 2 sin 25° • sin 65°;
3) sin 2a + (sin a - cos a)2;	4) cos 4a + sin2 2a.
sin 2 a	.	%) 1+cos 2 a
(sin a + cos a )2 - 1	1 - cos 2 a
Доказать тождество:
1)	sin 2a = (sin a + cos a)2 - 1;
2)	(sin a - cos a)2 = 1 - sin 2a;
3)	cos4 a - sin4 a = cos 2a;
4) 2 cos2 a - cos 2a = 1.
Вычислить sin 2a, если:
1) sin a + cos a = -;	2) sin a - cos a = - —.
2	3
Доказать тождество:
cos 2a	x . sin2a-2cosa _ x
1) --------------— = ctg a -1; 2) -------------— = -2 ctg a;
sin a cos a - sinz a	sin a - sin'5 a
.	„V 1 - cos 2a + sin2a
3) tg a (1 + cos 2a) = sin 2a; 4)----------------ctg a = 1;
1 + cos 2 a + sin 2 a
5) (1-2 cos2 a) (2 sin2 a-1) = ctg2 2a;
4 sin2 a cos2 a
о . ofn	• ryv sin a + sin 2 a
6)l-2sin2 —- — = sin a; 7) ------------------= tg a.
\ 4	2 J	1 + cos a + cos 2 a
Доказать тождество
9	2	2 42 sin [ a - —
sin a	cos'5 a	\	4
cos a (1 + ctg a) sin a (1 + tg a) sin 2 a
Решить уравнение:
1) sin 2x - 2 cos x = 0;
3) 4 cos x = sin 2x;
5) sin — cos - + - = 0;
2) cos 2x + sin2 x = 1
4) sin2 x = -cos 2x;
6) cos2 — = sin2 —.
2	2
149
Синус, косинус и тангенс половинного угла
30
По известным значениям sin а и cos а можно найти значения sin—, cos— и tg —, если известно, 2	2	2
в какой четверти лежит угол а.
Из формулы cos 2х = cos2 х - sin2 х при х = — по-2
лучаем cos а = cos2 — - sin2 —.	(1)
2	2
Запишем основное тригонометрическое тождество в виде
1	=cos2 — + sin2 —.	(2)
2	2
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем
1 + cos а = 2 cos2 —,	(3)
2
1 - cos а = 2 sin2	(4)
Формулы (3) и (4) можно записать так:
2 а 1 + cos а
cos2 — =-------,	(5)
2	2
. 2 а 1 - cos а
sin2 — =-------.	(6)
2	2
Формулы (5) и (6) называют формулами синуса и косинуса половинного угла. Иногда их называют также формулами понижения степени.
Если известен cos а, то из формул (5) и (6) можно найти sin — и cos — с точностью до знака. Знак мо-2	2
жет быть определен, если известно, в какой четверти лежит угол
150
Задача 1 Вычислить cos —, если cos а = -0,02 и 0 < а < л. 2
гг л.	/кч 2 а 1+ cos а 1-0,02 Л АС.
► По формуле (5) cosz — =-------=--------= 0,49.
2	2	2
Так как 0 < а < л, то
0 < — < —, и поэтому
2	2
cos > 0. 2
Следовательно,
cos 1 = 70,49 =0,7. <
Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла
tg2 “ = 1-608 а 2	1 - cos а
(7)
Задача 2 Вычислить tg если cos а = 0,8 и л < а < 2л.
► По формуле (7) имеем 2 а, _ 1 - cos а _ 1-0,8 _ 0,2 _ 1
ё 2 “ 1 + cos а ~ 1 + 0,8 ” L8 ’ 9 ’
По условию л < а < 2л, поэтому — <—<nntg — <0. 2	2	2
Следовательно, tg — = -	<
2 V9 3
о	о v	1 - cos а х 2 а 1 + cos а
Задача 3 Упростить выражение------------------ ctgz---------.
1 + cos а 2	2
2 sin2 -а
> kLCosa .ctg2 а _ 1+^osa =-------2_ ctg2 a _cog2 а =
1 + cos а 2	2	2 cos2 а 2	2
2
- tg2 — • ctg2 — - cos2 — = 1 - cos2 — = sin2 -. < 2	2	2	2	2
Задача 4 Решить уравнение 1 + cos 2х = 2 cos х.
► Так как 1 + cos 2х = 2 cos2 х, то данное уравнение примет вид 2 cos2 х = 2 cos х, откуда
cos х (cos х - 1) = 0.
1) cos х = 0, х = — + лА, k е Z. 2
2) cos х = 1, х = 2лп, п е Z.
Итак, исходное уравнение имеет две серии корней
х = -• + л/г, /г е Z, их = 2лл, п е Z. В ответе можно 2
записывать обе серии с одной буквой (k или п).
Ответ х - - + л/г, х = 2л/г, k g Z. < 2
151
Задача 5 Выразить sin a, cos а и tga через tg —. 2
1) sin а = sin f 2 • — = 2 sin— cos— = к 2)	2	2
2 sin — cos —	2 sin — cos —	2 tg —
=	2	2 =______2	2	=	2
1	sin2 cos2 l+tg2a’
2	2	2
Итак,
2tg| sin a =----.	(8)
1	+ U2 ~
2)	cos a = cos [ 2 • — = cos2 — - sin2 — = I 2 )	2	2
cos2 - sin2 a cos2 - sin2 1 - tg2 a
_	2 2 =	2 2 =2
1	2a • 2 a i , .2 a
cos + sin"1 —	1 + tg —
2	2	2
Итак,
i-tg2|
cos a =-------(9)
tg2 A
z ,	2 tg —
3)	tga=tg[2- —1 =-------
<	2 J
2
Итак,
2 tg —
tg a =------(10)
1-tg2 ±
2
Эту формулу можно также получить почленным делением формул (8) и (9). <
Итак, по формулам (8) — (10) можно находить синус, косинус и тангенс угла а, зная тангенс угла —.
Упражнения
513 Выразить значения функции данного аргумента через значения функции удвоенного аргумента:
1) sin2 15°;	2) cos2-; 3) cos2f--al; 4) sin2f- + a\
4	k 4 J	k 4	}
152
514 Найти числовое значение выражения:
1) 2cos2 —-1;	2) 1-2 sin2 —;
_	8	12
3) — + 2 sin2 15°;	4)	+ 2 cos2 15°.
2	2
515 Пусть cos а = 0,6 и 0 < а < —. Вычислить:
1) sin—; 2) cos—; 3) tg -;	4) ctg
2	2	2	2
516 Пусть sin а - — и — < а < л. Вычислить: 5	2
1) sin—; 2) cos—; 3) tg 4) ctg 2	2	2	2
517 Вычислить:
1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg 22°ЗО'; 4) ctg 22°30'.
518 Упростить выражение:
1-cosa	sin a	1 - cos 2a + sin 2a .
1)	9	2)	у 3)	~
sin a	1 + cos a	1 + cos 2 a + sin 2 a
. 4 1 + cos 4 a	„ 4 1 + cos 2 a + sin 2 a
4) ——-----J 5) ------:--------------;
sin 4 a	sin a + cos a
6) (1 -cos 2a) ctg a.
Доказать тождество (519—520).
519
520
521
522
523
1) 2 cos2 f- - — 1 = 1 + sin a; 2) 2 sin2 Г-- —1 = 1 - sin a;
14 2)	U 2 J
Л 3-4 cos 2 a + cos 4 a J .
3) -------------------= tg4 a;
3 + 4 cos 2 a + cos 4 a
. v 1 - cos 2 a
1)-------------ctg a = 1;
sin 2 a
1-2 sin2 a _ 1 - tg a
3)	”	—	” у
1 + sin 2 a 1 + tg a
4)
л ч 1 + sin 2 a + cos 2 a
4) --------------------= ctg a.
1 + sin 2a - cos 2a
sin 2 a
1 + cos 2 a
= tg a;
1 + sin 2 a t ( ТГ -----------= tg - + a
cos 2 a \ 4
Доказать, что если 0 < a <—, то д/1 + sin a - д/1 - sin a = 2 sin —.
Упростить выражение ----------------.
tg 4a - tg 2a
Решить уравнение:
1) 1 - cos x = 2 sin —;	2) 1 + cos x = 2 cos -;
2	2
3) 1 + cos - =2 sin f-- —4) 1 + cos 8x = 2 cos 4x; 2	^4	2 J
5) 2 sin2 - + - sin 2 x = 1;	6)2 cos2 x - - sin 4x = 1.
2 2	2
153
* Формулы приведения
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 0° до 90° (или от 0 до —). Это объясняется тем, что их значе-2
ния для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.
Задача Вычислить sin 870° и cos 870°.
► Заметим, что 870° = 2 360° + 150°. Следовательно, при повороте точки Р (1; 0) вокруг начала координат на 870° точка совершит два полных оборота и еще повернется на угол 150°, т. е. получится та же самая точка М, что и при повороте на 150° (рис. 66). Поэтому sin 870° = sin 150°, cos 870° = = cos 150°.
Построим точку Мр симметричную точке М относительно оси OY (рис. 67). Ординаты точек М и M-L одинаковы, а абсциссы различаются только знаком. Поэтому sin 150° = sin 30° = cos 150° =
= cos 30° =
2
Ответ sin 870° = -, cos 870° =	<
2	2
154
При решении задачи 1 использовались равенства sin (2 • 360° + 150°) = sin 150°, cos (2 • 360° + 150°) = cos 150°,	(1)
sin (180° - 30°) = sin 30°, cos (180° - 30°) = -cos 30°.	( ’
Равенства (1) верны, так как при повороте точки Р (1; 0) на угол а + 2яЛ, k е Z, получается та же самая точка, что и при повороте на угол а. Следовательно, верны формулы
sin (а + 2я&) = sin а, cos (а + 2rufe) = cos а, k е Z.
(3)
Равенства (2) являются частными случаями формул sin (я - а) = sin а, cos (я - а) = -cos а. (4)
Докажем формулу sin (я - а) = sin а.
• Применяя формулу сложения для синуса, получаем sin (я - а) = sin я cos а - cos я sin а = 0 cos а -- (-1) • sin а = sin а. О
Аналогично доказывается и вторая из формул (4), которые называются формулами приведения. Вообще, формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:
sin — - а = cos а, 12	)
sin (я - а) = sin а,
sin | — - а I = - cos а,
I 2	)
sin — + а I = cos а,
<2	)
sin (я + а) =-sin а, (5)
sin | — + а | = - cos а.
\ 2	)
Следующие шесть формул называют формулами приведения для косинуса:
cos — - а = sin а.
V2 )
cos I — + а I = - sin а, 12	)
cos (я - а) = -cos а,
cos (я + а) = -cos а, (6)
cos — - а = - sin а.
\ 2	)
cos | — + а I - sin а.
I 2	)
Формулы (5) и (6) справедливы при любых значениях а.
Задача 2 Вычислить sin 930°.
► Используя первую из формул (3), получаем sin 930° = sin (3 360° - 150°) = sin (-150°).
155
Ответ
Задача 3
По формуле sin (-а) = -sin а получим sin (-150°) = = -sin 150°. По формуле (4) находим
-sin 150° = -sin (180° - 30е) = -sin 30° =
sin 930° = --. <1
2
Вычислить cos .
4
cos ——— = cos Г 4л — — 1 = cos f — —• 1 = cos — =. <1
4 I 4j < 4j 42
Покажем теперь, как можно свести вычисление тангенса любого угла к вычислению тангенса острого угла.
Заметим, что из формул (3) и определения тангенса следует равенство tg (а + 2лй) = tg а, k е. Z. Используя это равенство и формулы (4), получаем tg (а + л) = tg (а + л - 2л) = tg (а - л) =
, . ч	sin (я - а)	sin а
= -tg (л - а) =---------- =------= tg а.
cos (л - а)	- cos а
Следовательно, справедлива формула tg (а + л£) = tg а, k е Z.	(7)
Аналогично доказывается формула
ctg (а + nk) = ctg а, k е Z.	(8)
Следующие четыре формулы называют формулами приведения для тангенса и котангенса:
Задача 4
Формулы (9) справедливы при всех допустимых значениях а.
Вычислить: 1) tg 2) tg^^. 3	4
1) tg Hi = tg (4K-^ = tg(-^ = -tg i = -7з.
2) tg^ = tgf3K+^ = tg^ = l. <1
Формулы приведения для синуса и косинуса доказываются с помощью формул сложения аналогично тому, как доказана первая формула (4). Формулы (9) можно получить из формул (5) и (6), , sin а зная, что tg а =-.
cos а
156
Формулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии О < а < ^.
2) Если в левой части формулы угол равен — + а
2
Зя .
или — ± а, то синус заменяется на косинус, 2
тангенс — на котангенс и наоборот. Если угол равен л±а, то замены не происходит.
Например, покажем, как с помощью этих правил можно получить формулу приведения для cos — + а I. По первому правилу в правой части \ 2	/
формулы нужно поставить знак «-», так как если
О < а < —, то — < — + а < л, а косинус во второй чет-2	2	2
верти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заменить на синус, следовательно, cos — + а = - sin а.
\ 2	)
Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
Упражнения
524	Найти острый угол а, при котором выполняется равенство: 1)	cos 75° = cos (90° - а);	2)	sin	150° = sin (90° + а); 3)	sin 150° - sin (180° - а);	4)	cos	310° = cos (270° + а); 5)	sin л = sin (л + а);	6)	tg	= tg -а); 7)	cos ~ =cos л + а^;	8)	ctg	л = ctg (2 л-а). Используя формулы приведения, вычислить (525—526).
525	1) cos 150°;	2) sin 135°;	3) ctg 135°;	4) cos 120°; 5) cos 225°;	6) sin 210°;	7) ctg 240°;	8) sin 315°.
526	1) tg^;	2) siny;	3)cos^;	4) ctg 5)	6) cos(-^Q; 7) t«f-—1; 8) ctgf-^1
157
527
528
529
Упростить выражение (527—528).
tg (л + а
1)
2)
1)
2)
cos(л + а)
sin (л - а) + cos - + а I + ctg (л - а) к 2 J
sin [ — к 2
ctg (2 л - а) sin (л + а)
sin2 (л + а) + sin21 -< 2
Зя — ч а 2	)
cos
Вычислить:
1) cos 750°;	2) sin 1140°;
„ 47л	± 25л ,
5) sin-—;	6) tg——;
6	4
3) tg 405°;
7) ctg—;
4
4) cos 840°; 21л о) cos-----.
4
- а .
530
531
Найти значение выражения:
1)	cos 630° - sin 1470° - ctg 1125°;
2)	tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
3)	3 cos 3660° + sin (-1560°) + cos (-450°);
4)	cos 4455° - cos (-945°) + tg 1035° - ctg (-1500°).
Вычислить:
23л	15л	( 11л \
1)	cos----sin------ctg----;
4	4	I 2 )
25л	( 17л^ , . Юл.
2)	sin----cos------- tg---;
3 I 2 )	3
3)	sin (-7л)-2 cos ^-tg
4)	cos (-9 л)+ 2 sin f-—-1-ctg (—
Доказать тождество (532—533).
532 1) sin f-+ a^l-cos f--al = 0;
V4	)	V4	)
2)	cos ( - - a | - sin | - - + a | = 0;
<6	)	13	)
sin (—-al ctg f - + a 1
3)	—L?—2.	—2 = _sin a.
tg(n + a)	t gfa_3n'l
к 2 )
158
533
1)	sin [ — + a ] = - sin [ - + a I;
I 6 J 16 J
2)	sin f — + a 1 = - sin f — - a
I 4 J	<4
3)	cos f a - — = -cos f — + a\
I	3)	13	)
4)	cos f a — ——1 = cos f a + —— \
I 3 J I 3 J
534
535
Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треуголь-
ника равен синусу его третьего угла.
Решить уравнение:
1) cos f- - 1;
12	)
3) cos (г - л) = 0;
2) sin [ — + х I 2
4) sin(x--|) = 1;
5)	sin (2x + 3л) sin [ 3x + — sin 3x cos 2x = -1;
6) sin|5r- —
I 2
cos (2x + 4л) - sin (5x + л) sin 2x =0.
53в Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключенного в промежутке от 0 до
Сумма и разность синусов.
Сумма и разность косинусов
Задача 1 Упростить выражение
sin a + — + sin a - — I sin —.
I I 12j I	12
► Используя формулу сложения и формулу синуса двойного угла, получаем
sin a + — I + sin a - — sin — = sin a cos — +
I k 12j I 12JJ 12 I 12
+ cos a sin — + sin a cos ~— cos a sin — sin — =
12	12	12/	12
= 2 sin a cos — sin — = sin a sin — = - sin a. C
12	12	62
159
Эту задачу можно решить проще, если использовать формулу суммы синусов:
•	• п л ’ а + р а - р
sin а + sm р = 2 sin------------ cos----.
2	2
(1)
С помощью этой формулы получаем
sin а + — I + sin а - — I sin — =
< к 12 J I 12 JJ 12
= 2 sin а cos ~ sin — - - sin а.
12	12	2
Докажем теперь справедливость формулы (1).
ж	а + Р а - ₽ m
• Обозначим -------= х, ------= у. Тогда х + у = а,
2	2
х - у = р, и поэтому sin а + sin р = sin (х + у) + + sin (х - у) = sin х cos у + cos х sin у + sin х cos у -
п .	п ♦ а + Р а - Р
- cos х sin у = 2 sin х cos у = 2 sin-- cos----. О
2	2
Наряду с формулой (1) используется формула разности синусов, а также формулы суммы и разности косинусов:
•	’ о о • а - р а + р
sin а - sin р = 2 sin--- cos--(2)
2	2
о Л а + Р	а-p
cos а + cos Р = 2 cos-- cos-(3)
2	2
D . а + р. а-p , cos а - cos P = - 2 sin-- sin-(4)
2	2
Формулы (3) и (4) доказываются так же, как и формула (1); формула (2) получается из формулы (1) заменой р на -р. (Докажите самостоятельно.)
Задача 2 Вычислить sin 75° + cos 75°.
► sin 75° + cos 75° = sin 75° + sin 15° = 75° + 15°	75°- 15°
= 2 sin--------cos--------=2 sin 45° cos 30° =
2	2
Задача 3 Преобразовать в произведение 2 sin а + 7з.
► 2 sin а + V3 = 2 f sin а + — 1 = 2 f sin а + sin —
I 2 ) k	3
= 4 sin f - + -1 cos f - --1 <1
12 6j 12
160
Задача 4* Доказать, что наименьшее значение выражения sin а + cos а равно -V2, а наибольшее равно V2.
► Преобразуем данное выражение в произведение:
sin а + cos а = sin а + sin — - а | =
12	)
= 2 sin cos (а = 42 cos (а
Так как наименьшее значение косинуса равно -1, а наибольшее равно 1, то наименьшее значение данного выражения равно 42 (-1) = -V2, а наибольшее равно 42 • 1 = л/2 . <
Упражнения
537 Упростить выражение:
1) sin | — + а | + sin f — - а\	2) cos f — -В^ -cos f- + В
3) sin2 f- + a^l - sin2 f — - a\	4) cos2 f a- — -cos2 f a + — \
14	)	<4	)	I 4? I 4 J
538 Вычислить:
1) cos 105° + cos 75°;	2) sin 105° - sin 75°;
3) cos —+ cos—;	4) cos —-cos—;
12	12	12	12
5) sin —-sin—;	6) sin 105° + sin 165°.
12	12
------------— = tg 2 a; cos a + cos 3 a
539 Преобразовать в произведение:
1) 1 + 2 sin a; 2) 1 - 2 sin a; 3) 1 + 2 cos a; 4) 1 + sin a.
540 Доказать тождество:
sin 2a + sin 4a
2) ------------— = ctg a.
cos 2 a - cos 4 a
1	+ sin a - cos 2 a - sin 3 a
2	sin2 a + sin a - 1
542 Доказать тождество:
1)	cos4 a - sin4 a - sin 2a = 42 cos 2a - — I 4
2)	cos a + cos |	+ a | + cos | — - a | = 0;
I 3 J I 3	)
sin 2a + sin 5a - sin 3a _ .
3)	---------------------= 2 sin a.
cos a + 1 - 2 sin2 2a
541
Упростить выражение:
2 (cos a + cos 3a)
2 sin 2a + sin 4a
2)
6Ал|«бра к начала аналша 10-11 кл.
161
543 Записать в виде произведения:
1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos — + cos — + cos —. 12	4	6
544 Доказать тождество tg a +
1) tg 267° + tg 93°;	2)
545 Разложить на множители:
1) 1 - cos a + sin a;
3) 1 + sin a - cos a - tg a;
sin(a + p)
tg p =----------- и вычислить:
cos a cos p
x—. DTI . x 7 7t
2) 1 - 2 cos a + cos 2a;
4) 1 + sin a + cos a + tg a.
? Упражнения • к главе V
546 Найти:
1	\	• лАз 7Т
1)	cos а, если sin a = — и — < a < л;
3 2 3
2)	tg а, если cos a = и л < a < —;
3	2
3)	sin a, если tg a = 2 ^2 и 0 < a < - ;
2
4)	cos а, если ctg a = 42 и л < a < —.
2
547
Упростить выражение:
1)2 sin (л - a) cos I - - a | + 3 sin2 12	)
sin( л + a) cos I — - a | tg | a - -
2) --- 2
cos
+ a tg (л + a)
Вычислить (548—549).
548 1) sin^; 2) tg ; 3) ctg^; 4) cos 6	4	4	4
549 1) cos —-sin —;	2) sin — -tg —;
4	4	3	3
3) 3 cos 3660° + sin (-1560°); 4) cos (-945°) + tg 1035°.
182
550
551
552
553
554
555
556
1
2
3
4
Упростить выражение (550—551).
1) [^..^“-sinahtg а; 2) ctg а (Ч - сов а
I sin а	) 2	I cos а
Доказать тождество:
1) l+tgatgp = ^-°8(a--|});	2) tga-tgP=sinla~P).
cos a cos p	cos a cos P
Вычислить (553—554).
1) 2 sin 6a cos2 \ — + 3a | - sin 6a при a = —; 14 J	24
2) cos 3a + 2 cos (л - 3a) sin2 f — - 1,5a | при a = —. k 4	)	36
Уз (cos 75°-cos 15°) > 1-2 sin2 15°
Доказать тождество:
2 cos2 — - 1
2) ------------.
1+8 sin2 — cos2 -
8	8
. ч 2 sin 2 a - sin 4 a , 9
1)	-------------= tg2 a;
2 sin 2 a + sin 4 a
2 cos 2a - sin 4a j
2 cos 2 a + sin 4 a
= tg2f^-a\
\ 4 J
Показать, что:
1) sin 35° + sin 25° = cos 5°;	2) cos 12° - cos 48° = sin 18°.
Проверь себя!
Вычислить sin a, tg a, cos 2a, если cos a = -- и - <a<n. 5	2
Найти значение выражения:
1) cos 135°;	2) sin—; 3) tg 4) cos2 --sin2
3	3	8	8
Доказать тождество:
1) 3 cos 2a - sin2 a - cos2 a = 2 cos 2a;
sin 5a - sin 3a
2) -------------= sin a.
2 cos 4a
Упростить выражение:
1)	sin (a - p) - sin [ — - a ] • sin (-p);
2)	cos2 (л - a) - cos2 - a);
3)	2 sin a sin p + cos (a + p).
163
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
(cos В sin В ]	1 - cos 4 a .
-----+------------------------.
sin a cos a J cos (n - p + a)
Доказать тождество (558—559).
1)
sin (2a-3n)+2 cos [ — + 2 a k 6
2 cos I — - 2 a I + /З cos (2a - 3л) k6 J
2 cos
к - 2a)
2)
tg 2 a
1)
cos (4,5 л - 2a) + 2 cos I — + 2a k 6
1 - cos a + cos 2 a
—r-z-----;-----= ctg a
sin 2 a - sin a
2)
sin a + sin —
2
1 + cos a + cos ~
2
3

Вычислить tg —, если cos a
2
3 иА
5	2
Вычислить sin2 a cos2
значение
—, если cos a sin a
выражения
sin a - cos a = -2
выражения
Вычислить значение
4 sin 2 a + 5 cos 2 a	,
-----------------, если ctg a = —.
2 sin 2a - 3 cos 2a	3
Доказать тождество (563—564).
1)	sin2 (a + p) - sin2 a + sin2 p + 2 sin a sin p cos (a
2)	sin a + 2 sin 3a + sin 5a = 4 sin 3a cos2 a.
sin a + sin 3a + sin 5a , л
-----------о------— = tg 3a.
cos a + cos 3a + cos о a
TT „	sin a
Наити значение выражения —----------------—, если
sin3 a + 3 cos3 a
+ ₽);
tg a = 2.

Доказать тождество (566—567).
sin2 a + cos - - a cos — + a I = -.
<3 J k3 ) 4
1) sin6 a + cos6 a = i (5 + 3 cos 4a);
2) sin8 a + cos8 a = — (cos2 4a + 14 cos 4a + 17).
164
VI
т глава
' Тригонометрические : уравнения
Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремят ся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь.
А. Фуше
Уравнение cos х - а
Из определения косинуса следует, что
-1 < cos а < 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение
cos х = а не имеет корней. Например, уравнение
cos х = -1,5 не имеет корней.
Задача 1 Решить уравнение cos х = -.
► Напомним, что cos х — абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол х. Абсциссу, имеют две точки окружности Мх и М2
(рис. 68). Так как - =cos —, то точка 2	3
получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол Xj = -, а также на углы 3
х = - + 2nk, где k = ±1, ±2, ... . Точка М2 3
получается из точки Р (1; 0) поворотом
на угол х2 = - -, а также на углы 3
-~ + 2nk, где k = ±1, ±2..Итак, все
3
165
корни уравнения cos х = - можно найти по форму-2
лам х = - + 2лЛ, х =— — + 2л£, k е Z. Вместо этих 3	3
двух формул обычно пользуются одной:
х = ±- + 2л£, k е Z. <
3
2
Задача
х а
Х1 " 3 ’
Рис. 69
Решить уравнение cos х = —.
2
Абсциссу, равную имеют две точки окружно-2
сти Мг и М2 (рис. 69). Так как -- = cos —, то угол 2	3
потому угол х2 =~^-
Следовательно, все корни уравнения cos х = -- можно найти по формуле 2
х = г—+ 2л/?, k е Z. < 3
Таким образом, каждое из уравнений
cos х = - и cos х - -- имеет бесконеч-2	2
ное множество корней. На отрезке О < х < л каждое из этих уравнений имеет только один корень: хх = — — ко-3
1	2л
рень уравнения cos х = ~ и xi = -----
корень уравнения cosx = --. Число — называют
арккосинусом числа i
число — — называют 3
и записывают arccos
и записывают arccos - = —
2	3
арккосинусом числа
- I = —. Вообще, уравне-2 J 3
ние cos х = а, где -1 < а < 1, имеет на отрезке О < х < л только один корень. Если а > О, то ко-
рень заключен в промежутке 0; —
_	2
если а < 0, то
в промежутке —; л . Этот корень называют аркко-х 2
синусом числа а и обозначают arccos а (рис. 70).
166
б)
Рис. 71
a)
Рис. 70
Арккосинусом числа a g [-1; 1] называется такое число а g [0; л], косинус которого равен а:
arccos а = а, если cos а = а и О < а < л. (1)
Например, arccos — = —, так как cos — = — и 2	6	6	2
0 < - < л; arccos f-— = —, так как cos — = - —
6	2 J 6	6	2
и	л.
6
Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos х = а, где | а | < 1, можно находить по формуле
х = iarccos а + 2лп, п g Z.	(2)
Задача 3 Решить уравнение cos х = -0,75.
► По формуле (2) находим
х = ±arccos (-0,75) + 2лп, п g Z. <1
Значение arccos (-0,75) можно приближенно найти по рисунку 71, измеряя угол РОМ транспортиром, или с помощью микрокалькулятора. Например, на МК-51 по программе
РЕЖ
0,75
/—/	F cos 1
2,4188584.
Итак, arccos (-0,75) « 2,42.
Задача 4* Решить уравнение (4 cos х - 1) (2 cos 2х -г 1) = 0. ► 1)4 cos х - 1 = 0, cos х = —, 4
х = ± arccos - + 2лп, п g Z. 4
167
2) 2 cos 2x + 1 = 0, cos2x = --, 2x = ±—+ 2лп,
2	3
x = ± — + ли, n e Z.
3
Ответ x = ±arccos - + 2лл, x = ± - + лл, n e Z. 0 4	3
Можно доказать, что для любого а е [-1; 1] справедлива формула
arccos (-а) = л - arccos а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:
arccos | - - | = л - arccos - = л - — = —, < 2J	233
arccos f ^1 - л -arccos — - л - - - —.
V 2 )	2	4	4
Из формулы (2) следует, что корни уравнения cos х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:
cos х = 1, х = 2лл, п е Z,	(5)
cos х = -1, х = л + 2лл, п 6 Z. (6)
Задача 5 Решить уравнение cos-=-l.
3
► По формуле (6) получаем - = л + 2лл, п е Z, отку-
да х = Зл + блп, п g Z. <1
Упражнения
Вычислить (568—569).
568 1) arccos 0;	2) arccos 1;	3) arccos^;
4) arccos-; 5) arccos 1;	6) arccos f-—1.
2	4 2 )	I 2 J
569 1) 2 arccos 0 + 3 arccos 1;	2) 3 arccos (-1) - 2 arccos 0;
v3	( i A
3) 12 arccos ---3 arccos -- ;
2	I 2J
( V2
4) 4 arccos + 6 arccos --— . I
I 2 J I 2 J
168
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
Сравнить числа:
1) arccos — и arccos-; 2) arccos и arccos (-1);
2	2	I 4 J
3) arccos и arccos(
I 2 J I 2)
Решить уравнение (571—573).		cos х =	1 vr
1) cosx=—;	2) cosx = ~—;	3)		
2	2			
1) cosx = —;	2) cos x - -0,3; 4	3)	cos х =	2
1) cos 4x = 1;	2) cos 2x = -1;	3)	л/2 cos	- = -1; 4
4) 2 cos - = V3;	5) cos f x + — - 0; 3	< 3j 1) cos x cos 3x = sin 3x sin x; 2) cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0. Выяснить, имеет ли смысл выражение:	6)	0 0 СЛ z	-ч ьэ * 1 |й II р	
1) arccos (д/б -3);	2) arccos (V¥-2);	3) 4) arccos (1-Тб);	5) tg (з arccos Решить уравнение: 1) cos2 2x = 1 + sin2 2x;	2) 4 cos2		arccos х - 3;	(2-Лё);
3) 2 cos2 x = 1 + 2 sin2 x;	4) 2 5)	(1	+ cos x) (3 -	2	cos x) =	0; 6)	(1	- cos x) (4 +	3	cos 2x) = 0; 7)	(1	+ 2 cos x) (1	-	3 cos x)	= 0; 8)	(1-2 cos x) (2	+	3 cos x)	= 0.	z cos2 х =		1 + V2;
Найти все корни уравнения cos 2х = - ^ на отрезке			К| OJ 1
v2
Найти все корни уравнения cos 4х =—, удовлетворяющие
неравенству | х | < - . 4
Решить уравнение: 1) arccos (2х - 3) - —;
3 Доказать, что при всех выполняется равенство 1) cos (arccos 0,2);
2) arccos =
3	3
значениях а, таких, что -1 < а < 1, cos (arccos а) = а. Вычислить:
(( 2 arccos — ;
I 3))
169
(	з А
3) cos л + arccos — ;
I	4/
5) sin | arccos - |;
I 5/
4) sin I - + arccos -
12	3
I	3 1
6) tg arccos -= .
I vio)
581 Доказать, что arccos (cos a) = а при 0 < a < л. Вычислить:
1) 5 arccos (cos	2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos	4) arccos (cos 4).
582 Вычислить:
^1	2 V2	(	4	3 \
1) sin I arccos — + arccos- ;	2) cos arccos —arccos — .
!43	3 J	<5	5 J
g 3 3 ю ю
Упростить выражение cos (2 arccos а), если -1 < a < 1.
Доказать, что если -1 < a < 1, то 2 arccos M + - = arccos a.
С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) cos х = 0,35;	2) cos x = -0,27.
Уравнение sin x = a
Из определения синуса следует, что -1 С sin а С 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение sin х = а не имеет корней. Например, уравнение sin х = 2 не имеет корней.
Задача 1 Решить уравнение sin х = -.
2
► Напомним, что sin х — ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол х. Ординату, равную имеют две точки окружности Мг и М2 2
(рис. 72). Так как = sin то точка получа-
170
Ответ
Задача 2
ется из точки Р (1; 0) поворотом на угол	= —,
6
а также на углы х = — + 2л/г, где k ~ ±1, ±2, ... . 6
Точка М2 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол *2 = а также на углы х - ~ + 2л/г, т. е.
на углы х = л- — + 2л/г, где k = ±1, ±2, ....
6
Итак, все корни уравнения sin х = | можно найти
по формулам х = — + 2 л/г, х = л - — + 2 л/г, /г е Z. 6	6
Эти формулы объединяются в одну:
х = (~1)л — + ли, л g Z. 6
В самом деле, если л — четное число, т. е. п то из формулы (1) получаем х = — + 2 л/г, а 6
п — нечетное число, т. е. п = 2k + 1, то из мулы (1) получаем х = л - — + 2 л/г.
6
х = (-1)" — + ЛЛ, Л G Z, <1 6
Решить уравнение sin х = - -. 2
Ординату, равную имеют две точки единичной 2
окружности Мх и М2 (рис. 73), где хг =	, х2 =	.
6	6
Следовательно, все корни уравнения sin х = --2
можно найти по формулам
х = -—+ 2л/г, х = -—+ 2л/г, keZ.
6	6
(1)
= 2k, если
фор-
171
Эти формулы объединяются в одну:
X =(-1)п \	+ 7171, П G Z.
\ в)
(2)
Ответ
В самом деле, если п - 2k, то по формуле (2) получаем х =	+ 2 nk, а если п = 2k - 1, то по фор-
6
муле (2) находим х =-— + 2r.k. 6
X = (-1)"	+ 7Г/7, П G Z. <]
Итак, каждое из уравнений sin х =- и sin х = --2	2
имеет бесконечное множество корней. На отрезке < х < — каждое из этих уравнений имеет только 2	2
один корень: xi = ~ — корень уравнения sin х =
и х^ =	— корень уравнения sin х =	. Число
называют арксинусом числа - и записывают 2
arcsin - = —; число -- называют арксинусом чис-2 6	6
ла -- и пишут arcsin	|
2	I 2)	6
Вообще, уравнение sin х - а, где -1 < а < 1, на от-
резке < х < — имеет только один корень. Если 2	2
а > 0, то корень заключен в промежутке 0; - ;
2 _
если а < 0, то корень заключен в промежутке о). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а (рис. 74).
172
число а е
Арксинусом числа а е [-1; 1] называется такое
я 2* 2_
, синус которого равен ал
arcsin а = а, если sin а = а и < а < —. (3) 2	2
Например, arcsin—=—, так
и
sin
как
__гс
3’
sin i 4	2
так как
Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что корни уравнения sin х = а, где | а | < 1, выражаются формулой
х = (-l)n arcsin а + лп, п е Z.	(4)
о
Задача 3 Решить уравнение sin х = -.
3
2
► По формуле (4) находим х = (-1)л arcsin — + лп,
п е Z. <1 о
Значение arcsin — можно приближен-3
но найти из рисунка 75, измеряя угол РОМ транспортиром.
Значения арксинуса можно находить с помощью специальных таблиц или микрокалькулятора. Например, значе-. 2 ние arcsin — можно вычислить на мик-3
рокалькуляторе МК-51 по программе
РЕЖ 2
3 = F sin 1
7,2972769 • 10’1.
2 Итак, arcsin — ~ 0,73.
3
Задача 4* Решить уравнение (3 sin х - 1) (2 sin 2х + 1) = 0.
► 1) 3 sin х - 1 = 0, sin х = —,
3
х = (-1)л arcsin — + лп, п е Z;
3
2) 2 sin 2х + 1 = 0, sin 2х =
2
173
2х = (-l)n arcsin [ -- | +лп = (-l)n [ --|+ли = \ 2 j	\ 6 J
= (-1)л +1 — + ЛП, x=(—l)n + 1	+ n e Z.
6	12	2
ФтШИ x = (-1)л arcsin - + ли, x =(-1)л + 1 — + —, n e Z. 0 3	12	2
Можно доказать, что для любого а е [-1; 1] справедлива формула
arcsin (-а) = -arcsin а.	(5)
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения арксинусов положительных чисел. Например:
arcsin I -- | = -arcsin - =	,
k 2J	2	6
. ( VIH . /з л arcsin --— = -arcsin -— =	.
2 )	2	3
Отметим, что из формулы (4) следует, что корни уравнения sin х = а при а = 0, а = 1, а = -1 можно находить по более простым формулам:
sin х = 0, х = лп, п g Z,	(6)
sin х-1, х = — + 2лп, п е Z,	(7)
2
sin х = -1, х = -^ + 2лп, п g Z. (8)
Задача 5 Решить уравнение sin 2х = 1.
► По формуле (7) имеем 2х = — + 2ли, п е Z, откуда 2
X = — + ЛИ, п € Z. <1
4
Упражнения
	Вычислить (586—587).
586	1) arcsin 0;	2) arcsin 1;	3) arcsin—; 2 1	(	V2	(	л/"з 4) arcsin-;	5) arcsin -— ;	6) arcsin — . 2	I 2	J	I 2	J
587	1) arcsin 1 - arcsin (-1);	2) arcsin -—+ arcsin —; V2	1 V2 J 1	i д/з i 3) arcsin - + arcsin —;	4) arcsin -— -1- arcsin -- 1 2	2	I 2 J	<2;
174
588	Сравнить числа: 1) arcsin i и arcsin | -i |j	2) arcsin (	1 и arcsin (-1). 4	к 4 j	к 4 J Решить уравнение (589—592).
589	1) sinx = —;	2) sinx-—;	3) sin x = — 2	2	4i
590	1) sinx = -;	2) sinx = --;	3) sinx=—. 7	4	3
591	1) sin 3x = 1; 2) sin 2x = -1; 3) /2 sin = -1; 4) 2sin-^=V3; 5) sin ^x +	= 0; 6) sin ^2x +=0.
592	1) sin 4x cos 2x = cos 4x sin 2x; 2) cos 2x sin 3x = sin 2x cos 3x.
593	Выяснить, имеет ли смысл выражение: 1) arcsin (Тб-2);	2) arcsin (V5 -3); 3) arcsin (3-VT7);	4) arcsin (2 - /10); 5) tg f 6 arcsin i j;	6) tg ^2 arcsin Решить уравнение (594—596).
594	1) 1 - 4 sin x cos x = 0;	2) /3 + 4 sin x cos x = 0; 3) 1 + 6 sin — cos — = 0;	4) 1-8 sin — cos — = 0. 4	4	3	3
595	1) 1 + cos 5x sin 4x = cos 4x sin 5x; 2) 1 - sin x cos 2x = cos x sin 2x.
596	1) (4 sin x - 3) (2 sin x + 1) = 0; 2) (4 sin Зх - 1) (2 sin x + 3) = 0.
597	Найти все корни уравнения sin2x = -, принадлежащие 2 отрезку [0; 2л].
598	х	3 Найти все корни уравнения sin — = —, удовлетворяющие 2	2 неравенству logn (х - 4л) < 1.
599	Доказать, что sin (arcsin а) = а при -1 < а < 1. Вычислить: 1) sin ^arcsin у	2) sin (arcsin 3) sin | л + arcsin — |;	4) cos [ — - arcsin — |; I	4 J	k 2	з) 5) cos [ arcsin -	6) tg arcsin	. k	V10J
175
600 Доказать, что arcsin (sin а) 1) 7 arcsin (sin у2) 3) arcsin ( sin	4)
Вычислить (601—603).
(3 arcsin — ;
5/
3) cos I arcsin I 11;
I I 3jJ
= а при < a < Вычислить: 2	2
4 arcsin I sin - );
k 2)
arcsin (sin 5).
2) cos arcsin
4) cos I arcsin -
602
603
1)
. (	2 4i
sin arccos — ;
I	3 J
2) sin
sin
. 1	2V2
arcsin — + arccos---
3	3
(Q	4 \
arcsin - + arccos - .
5	5 J
604 Решить уравнение:
1) arcsin f — - 3^1 = —;
12 J 6
2) arcsin (3 - 2x) =
4
605 Доказать, что если 0 < a < 1, то 2 arcsin a = arccos (1 - 2a2).
606 С помощью микрокалькулятора решить уравнение:
1) sin х = 0,65; 2) sin x = -0,31.
Уравнение tg x = a
Из определения тангенса следует, что tg х может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg х = а имеет корни при любом значении а.
Задача 1 Решить уравнение tg х - -Уз.
► Построим углы, тангенсы которых равны л/З. Для этого проведем через точку Р (рис. 76) прямую, перпендикулярную РО, и отложим отре-
176
Рис. 76
зок РМ = л/З; через точки М и О проведем прямую.
Эта прямая пересекает единичную окружность в двух диаметрально противоположных точках и М2. Из прямоугольного треугольника РОМ находим = — = л/З = tg х15 откуда хА = -. Таким РО 1	3
образом, точка Мг получается из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала координат на угол —,
а также на углы х = —+ 2л&, где k = ±1, ±2, .... 3
Точка М2 получается поворотом точки Р (1; 0) на
угол х2 - — + л, а также на углы х = — + л + 2л/г, где 3	3
k =±1, ±2, ... .
Итак, корни уравнения tg х = V3 можно найти по
формулам х = — 4- 2 л£, х = — + л (2 4-1), k g Z. Эти 3	3
формулы объединяются в одну:
х = ~ + Tin, П G Z. <!
3
Задача 2
Решить уравнение tg х = -л/З.
► Углы, тангенсы которых равны -7з, указаны на рисунке 77, где РМ ± РО, РМ = 7з. Из прямо-
угольного треугольника РОМ находим АРОМ - —,
177
т. е. хг = ““• Таким образом, точка Мг получается поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол , а также на углы х = - — + 2 л/г, 1	3	3
где k = ±1, ±2, .... Точка М2 получается поворотом точки Р (1; 0) на углы X = -- + 71 {2k 4- 1), k g Z. Поэтому кор-3
ни уравнения tg х = -7з можно найти по формуле
х =	+ лл, п G Z. <1
3
Рис. 78
Итак, каждое из уравнений tg х = 7з и tg х = -7з имеет бесконечное множество корней. На интервале ~ < х < каждое из этих уравнений имеет только один корень: xY = - — корень урав-3
нения tg х = и Xjl =	— корень
3
уравнения tg х = -V3. Число — назы-3
вают арктангенсом числа л/З и записывают arctg л/3 = —; число называ-3	3
ют арктангенсом числа -д/З и пишут arctg (-V3) = 3
tg х = а для любого а g R
х < ~ только один корень. Если а > 0, то ко-
заключен в промежутке 0; — I; если а < 0, 2 /
промежутке 0^. Этот корень называют
Вообще, уравнение
имеет на интервале
-* < 2
рень
то в
арктангенсом числа а и обозначают arctg а (рис. 78).

Арктангенсом числа a g R называется такое число a g(-тангенс которого равен а:
arctg а = а, если tg а = а и < а < —.	(1)
2	2
178
Например, arctg 1= —, так как tg - = 1 и 4	4
arctg f-— | =--, так как tg f--1 =
242 I 3 J 6	I 6 J
= _^3 и _n <_n 3	2	6	2
Аналогично тому, как это сделано при решении задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения tg х = а, где а е Я, выражаются формулой
х = arctg а + ла, п е Z.	(2)
Задача 3 Решить уравнение tg х = 2.
Рис. 79
По формуле (2) находим
х = arctg 2 + лп, п g Z. < Значение arctg 2 можно приближенно найти из рисунка 79, измеряя угол РОМ транспортиром.
Приближенные значения арктангенса можно также найти по таблицам или с помощью микрокалькулятора.
Например, значение arctg 2 можно вычислить на МК-51 по программе
РЕЖ 2 F tg'1
1,1071487.
Итак, arctg 2 ~ 1,11.
Задача 4* Решить уравнение (tg х + 4) (ctg х - л/З) = 0.
► 1) tg х + 4 = 0, tg х = -4, х = arctg (-4) + лп, п е Z. При этих значениях х первая скобка левой части исходного уравнения обращается в нуль, а вторая не теряет смысла, так как из равенства tg х = -4 следует, что ctg х = --. Следовательно, найденные 4
значения х являются корнями исходного уравнения.
2)ctgx~V3=0, ctg х = 7з, tgx = -^=,
V3
х = arctg -4= + ли = — + лп, п е Z.
7з в
Эти значения х также являются корнями исходного уравнения, так как при этом вторая скобка
179
Ответ
левой части уравнения равна нулю, а первая скобка не теряет смысла.
х = arctg (-4) + ял, х = — + ял, п е Z. <
6
Можно доказать, что для любого а е R справедлива формула
arctg (-а) = -arctg а.	(3)
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел. Например:
arctg (-л/З) = -arctg 7з = -
л
3’
arctg (-1) = -arctg 1
я
4*
Упражнения
607
608
609
610
611
612
Вычислить (607—608).
1) arctg 0; 2) arctg (-1); 3) arctg|-—1; 4) arctg 7з. \ 3 J
1)	6 arctg л/З -4 arcsin —;
I /2)
2)	2 arctg 1+3 arcsin ( -- ];
3)	5 arctg (-V3) -3 arccos (
Сравнить числа:
Г /з	г-	1
1) arctg (-1) и arcsin----;	2) arctg V3 и arccos
I 2 j	2
3)	arctg (-3) и arctg 2;	4) arctg (-5) и arctg 0.
Решить уравнение (610—612).
1)	tgx = -^=;	2) tgx = V3;
V3
4)	tg x = -1;	5) tg x = 4;
1)	tg 3x = 0;	2) 1+ tg — =0;
3
1)	(tg x - 1) (tg x + V3) = 0;
2)	(7з tg x + 1) (tg x - 73) = 0;
3) tg x = -V3;
6) tg x = -5.
3) Тз + tg- =0.
6
3)	(tg x - 2) (2 cos x - 1) = 0; 4) (tg x - 4,5) (1 + 2 sin x) = 0;
5)	(tg x + 4) ( tg — -11 = 0;	6) (tgf+ ll(tgx-l) = 0.
k 2 J	\	6 J
180
613 Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3 tg х - 7з = 0.
614 Решить уравнение:
1) arctg (5х - 1) -	2) arctg (3 - 5х) =
4	3
615 Доказать, что tg (arctg а) = а при любом а. Вычислить:
1) tg (arctg 2,1);	2) tg (arctg (-0,3));
3) tg (л - arctg 7);	4) ctg ( — + arctg б\
\ 2	)
616
617
618
619
Доказать, что arctg (tg a) = a при -— < a < —. Вычислить:
1) 3 arctg I tg — I; k 7) 3) arctg f tg \	8 J	2) 4 arctg (tg 0,5); 4) arctg (tg 13).
Вычислить: 1) arctg [ ctg —\	2) arctg f ctg — \ \	4 )
3) arctg (2 sin — \ \	6 )	4) arctg 2 sin — . \	3 /
Доказать, что при любом действительном значении а справедливо равенство cos (arctg a) = . 1
71+ a2
С помощью микрокалькулятора решить уравнение: 1) tg х = 9;	2) tg х = -7,8.
Решение тригонометрических уравнений
В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin х = a, cos х = a, tg х = а. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул
181
и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Задача 1 Решить уравнение sin2 х + sin х - 2 = 0.
►	Это уравнение является квадратным относительно sin х. Обозначим sin х = у, получим уравнение у2 + у - 2 = 0. Его корни yY = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin х = 1 и sin х = -2.
Уравнение sin х = 1 имеет корни х = - 2яп, п е Z;
уравнение sin х = -2 не имеет корней.
Ответ х = — + 2 лп, п е Z. <
2
Задача 2 Решить уравнение 2 cos2 х - 5 sin х + 1 = 0.
►	Заменяя cos2 х на 1 - sin2 х, получаем
2 (1 - sin2 х) - 5 sin х + 1 = 0, или
2 sin2 х + 5 sin х - 3 = 0.
Обозначая sin х = у, получаем 2у2 + 5у - 3 = 0, откуда уг = -3, у2 =|.
1) sin х = -3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin х = -, х — (-1)л arcsin - лп = (-1)" - + лп, 2	2	6
П е Z.
Ответ х = (-1)л — - ли, п g Z. < 6
Задача 3 Решить уравнение 2 sin2 х - cos х - 1 = 0.
► Используя формулу sin2 х = 1 - cos2 х, получаем 2(1- cos2 х) - cos х - 1 = 0, 2 cos2 х + cos х - 1 = 0, cos х - у,
2у2 - у - 1 = 0, yY = 1, Уг=-±-
1) cos х = 1, х = 2лп, п 6 Z;
2)cosx = --, х = ±arccos | -- | + 2пп =
2	I 2)
182
= ± [ л - arccos -| + 2лп=±|л- — | + 2 лп =
к	Ъ)	к 37
- ± — + 2лп, п е Z.
3
(Мямйг	х = 2лп, х - ± — + 2лп, п е Z. <
3
Задача 4 Решить уравнение tg х - 2 ctg х + 1 = 0.
► Так как ctg х —, то уравнение можно записать tg х
в виде tg х-----------------------h 1 = 0.
tg х
Умножая обе части уравнения на tg х, получаем tg2 х + tg х - 2 = О,
tg х = у, у2 + у - 2 = 0, j/i = 1, у2 = -2.
1) tg х = 1, х = — + лп, п е Z;
4
2) tg х = -2, х = arctg (-2) + лп = -arctg 2 + лп, п е Z.
Отметим, что левая часть исходного уравнения имеет смысл, если tg х * 0 и ctg х ф 0. Так как для найденных корней tg х 0 и ctg х 0, то исходное уравнение равносильно уравнению
tg2 х + tg х - 2 = 0.
Ответ х = — + лп, х = -arctg 2 + лп, п е Z, < 4
Задача 5 Решить уравнение 3 cos2 6х + 8 sin Зх cos Зх - 4 = 0. ► Используя формулы
sin2 6х + cos2 6х = 1, sin 6х = 2 sin Зх cos Зх, преобразуем уравнение:
3 (1 - sin2 6х) + 4 sin 6х - 4 - О,
3 sin2 6х - 4 sin 6х + 1 = 0.
Обозначим sin 6х = у, получим уравнение
Зу2 - 4у + 1 = 0, откуда уг = 1, у2 = 3
1) sin	6х =	1,	6х = - + 2лп,	х =	—	+ —, n е Z;
2	12	3
2) sin6x =	—,	6х = (-1)"	arcsin	— +	лп,
3	3
(-1)"	. 1 лп _
х - -—— arcsin — + —, п е Z. 6	3	6
л__	к ЯП	(-1)”	.	1 ЛП	_
Ответ	х = — + —, х = -—— arcsin - + —, п е Z. <
12	3	6	3	6
183
Задача 6
Задача 7
Ответ
2. Уравнение a sin х + b cos х = с.
Решить уравнение 2 sin х - 3 cos х = 0.
Поделив уравнение на cos х, получим 2 tg х - 3 = 0, tg х = -, х - arctg — + ип, п е Z.
2	2
При решении этой задачи обе части уравнения 2 sin х - 3 cos х = 0 были поделены на cos х. Напомним, что при делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни. Поэтому нужно проверить, не являются ли корни уравнения cos х = 0 корнями данного уравнения. Если cos х = 0, то из уравнения 2 sin х - 3 cos х = 0 следует, что sin х = 0. Однако sin х и cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны равенством sin2 х + cos2 х = 1. Следовательно, при делении уравнения a sin х + b cos х = 0, где а 0, b * 0, на cos х (или sin х) получаем уравнение, равносильное данному.
Решить уравнение 2 sin х + cos х = 2.
Используя формулы sin х = 2 sin - cos —, cos х = 2	2
= cos2 * - sin2 * и записывая правую часть уравне-
sin2 — + cos2 — 2	2
4 sin - cos * + cos2 — - sin2 — = 2 sin2 — + 2 cos2 —, 2	2	2	2	2	2
3 sin2 - - 4 sin - cos - + cos2 - = 0.
2	2	2	2
Поделив это уравнение на cos2 -, получим равно-2
сильное уравнение 3 tg2 — -4 tg - + 1 = 0. Обозна-2	2
чая tg - = у, получаем уравнение Зу2 - Ay + 1 = 0, 2
откуда у} = 1, у2 =|. 3
1) tg - = 1, ~ - — + лп, х = — + 2лп, п g Z; 2	2	4	2
2) tg-=-, -=arctg- + nn, х = 2 arctg - + 2лп, 2	3	2	3	3
п е Z.
х = ~ + 2 пп, х = 2 arctg - + 2 ли, п е Z. <1
2	3
ния в виде 2 =21=2
, получаем
184
Уравнение, рассмотренное в задаче 7, является уравнением вида
a sin х + b cos х = с,
(1)
где а * О, b £ 0, с 0, которое можно решить другим способом. Разделим обе части этого уравнения на 7а2 + Ь2 :
,__а sin х + —	— cos х = -, с —.
772 - Ъ2 у[а2 + Ь2 y[a2Vb2
(2)
Введем вспомогательный аргумент ф, такой, что
sin q> =
____Ь__ /а2 4 Ь2
Такое число ф существует, так как
Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде
sin х cos ф + cos х sin ф = с —,
sin (х + ф) =
__________с__________ урТъ*
Задача 8
Ответ
Последнее уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением
Решить уравнение 4 sin х 4- 3 cos х = 5.
Здесь а - 4, Ъ = 3, у] а2 + Ь2 - 5.
Поделим обе части уравнения на 5: 4	3	*
- sin X 4- — COS X = 1. 5	5
Введем вспомогательный аргумент ф, такой, что cos ф = - , sin ф = — . Исходное уравнение можно 5	5
записать в виде
sin х cos ф + cos х sin ф = 1, sin (х + ф) = 1
откуда х + ф = - 4- 2яи, где ф = arccos -, 2	5
х = — - arccos -1-2 кпу п с Z. 2	5
х = — - arccos - 4 2лп, п е Z. <
2	5
185
3. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители.
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Задача 9 Решить уравнение sin 2 х - sin х = 0.
► Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде 2 sin х cos х - sin х = 0. Вынося общий множитель sin х за скобки, получаем sin х (2 cos х - 1) = 0.
1) sin х = 0, х = ли, п е Z;
2) 2 cos х - 1 = 0, cos х = -, х = ± — т 2 ли, п е Z.
2	3
Ответ х = ли, х = ±— + 2ли, п е Z. <1 3
Задача 10 Решить уравнение cos Зх + sin 5х = 0.
► Используя формулу приведения sin a =cos — - а , х 2 J
запишем уравнение в виде cos Зх + cos — -5х I = 0. \2	)
Используя формулу суммы косинусов, получаем
2 cos |	- х । cos | 4х - - | = 0.
<4	) V 4?
1)	cos I — - x | = 0, x - — = — + ли, x = - л + ли, n e Z;
<4	)	42	4
2)	cos f 4x “ — = 0, 4x-—= —+ ли, x = —л + —, V 4 J	4	2	16	4
n e Z.
Ответ x = — л + ли, x = —л + —, neZ. < 4	16	4
Задача 11 Решить уравнение sin 7х + sin Зх = 3 cos 2х.
► Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде
2 sin 5х cos 2х = 3 cos 2х,
2 sin 5х cos 2х - 3 cos 2х = 0,
(з sin 5х — = 0.
2 J
Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = — + —,
о
п е Z, а уравнение sin 5х = — не имеет корней.
Ответ х=- + —, neZ. <
4	2
186
Задача 12 Решить уравнение cos Зх cos х = cos 2х.
► Так как cos 2х = cos (Зх - х) - cos Зх cos х +
- sin Зх sin х, уравнение примет вид sin х sin Зх = 0.
1) sin х = 0, х = лп, neZ;
2) sin Зх = 0, х = —, п е Z.
3
Заметим, что числа лп содержатся среди чисел
вида х = —, п g Z, так как если п = 3/?, то — = л£.
3	3
Следовательно, первая серия корней содержится во второй.
Ответ	х = —, п 6 Z. <
3
Часто бывает трудно усмотреть, что две серии корней, полученных при решении тригонометрического уравнения, имеют общую часть. В этих случаях ответ можно оставлять в виде двух серий. Например, ответ к задаче 12 можно было записать и так:
х = лп, х = —, п е Z.
3
Задача 13* Решить уравнение (tg х + 1) [ 2 cos — - д/з 1=0.
►	1) tg х + 1 = 0, tg х - -1, х = -- + лп, п 6 Z. 4
Эти значения х являются корнями исходного уравнения, так как при этом первая скобка левой части уравнения равна нулю, а вторая не теряет смысла. 2) 2 cos — --/З = 0,	cos^ = ^,	— = ±—-2яп,
3	3	2	3	6
х = ±— + блп, п G Z. 2
При этих значениях х вторая скобка левой части исходного уравнения равна нулю, а первая скобка не имеет смысла. Поэтому эти значения не являются корнями исходного уравнения.
Ответ х = -- + лп, п е Z. <1 4
Задача 14* Решить уравнение 6 sin2 х + 2 sin2 2х = 5.
►	Выразим sin2 х через cos 2х. Так как cos 2х = = cos2 х - sin2 х, то cos 2х = (1 - sin2 х) - sin2 х, cos 2х = 1 - 2 sin2 х, откуда sin2 х = - (1 - cos 2х).
187
Ответ
Задача 15*
Поэтому исходное уравнение можно записать так: 3(1- cos 2х) + 2 (1 - cos2 2х) = 5, или 2 cos2 2х + 3 cos 2х = 0, откуда cos 2х (2 cos 2х + 3) = 0.
1) cos 2х = 0, х = - + n e Z;
4	2
о 2) уравнение cos 2х = — корней не имеет.
2
x = J£ + M neZ. <]
4	2
sin
Решить систему уравнений
cos
X cos у = --2
х sin у = -.
2
Складывая уравнения данной системы и вычитая из второго уравнения первое, получаем равносиль-f sin х cos у + cos х sin у = О, ную систему
[ cos х sin у - sin х cos у = 1,
f sin (х + у) = О, откуда
sin (у - х) = 1,
х + у = лп,
у- х = — + 2 л/г, п, /г е Z.
У 2
Решая последнюю систему, находим v-ЛП л „lJu ь 1^1 х — — — л/г — л — — к — , 24	12	4?
_ яп я .	. 1^
у —---1-ь л/г — л —ь к ~1— .
24	<2	4/
Ответ
+	n, k е Z. <1
V2 4J k2 4JJ
Отметим, что в равенствах <
х + у = пп,
у - х - - + 2 л/г 2
буквы п и k могут принимать различные целые значения независимо друг от друга. Если в обоих равенствах написать одну букву п, то будут потеряны решения. Например:
x + j/=O,
У~х = j + 2л,
т. е. х = —— — л, у = — + л 4	4
188
Упражнения
Решить уравнение (620—644).
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
4)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
3)
1)
2)
3)
4)
sin2 х =
4
2 sin2 х + sin х - 1 = 0;
2 cos2 x - sin x + 1 = 0;
4 sin2 x - cos x - 1 = 0;
tg2 x = 2;
tg2 x - 3 tg x - 4 = 0;
1 + 7 cos2 x = 3 sin 2x;
cos 2x + cos2 x + sin x cos 3 cos 2x + sin2 x + 5 sin x
>/з cos x + sin x = 0;
sin x = 2 cos x;
sin x - cos x = 1;
V5 sin x + cos x = 2;
cos x = cos 3x;
sin 2x = cos 3x;
cos 3x - cos 5x = sin 4x;
cos x + cos 3x = 4 cos 2x;
(tg x-V3)
(1 - V2 cos
| 2 sin f x - -к к 6
1 + V2 cos
2) cos2 x = - ;
2
4) 2	cos2 x +	cos x	-	6	= 0.
2) 3	cos2 x -	sin x	-	1	= 0;
4) 2	sin2 x +	3 cos	x	=	0.
2) tg x = ctg	x;
4) tg2 x - tg x + 1 = 0.
2) 3 + sin 2x = 4 sin2 x;
x = 0;
cos x = 0.
2) cos x = sin x;
4) 2 sin x + cos x = 0.
2) sin x + cos x = 1;
4) sin 3x + cos 3x = V2.
2) sin 5x = sin x;
4) sin x + cos 3x = 0.
2) sin 7x - sin x = cos 4x;
4) sin2 x - cos2 x = cos 4x.
f 2 sin — + 1 I = 0;
к 12 J
^(l + VS tg x) = 0;
-1^(2 tgx+1) =0;
x + — I I (tg x -3) = 0.
4/7
1) V3 sin x cos x = sin2 x;	2)	2 sin x cos x = cos	x;
3) sin 4x + sin2 2x = 0;	4)	sin 2x + 2 cos2 x =	0.
1) 2 sin2 x = 1 + — sin 4x;	2)	2 cos2 2x - 1 = sin	4x;
3
3) 2 cos2 2x + 3 cos2 x = 2;	4) (sin x + cos x)2 = 1 + cos x.
1)	2 sin 2x - 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2)	sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3)	sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4)	sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.
189
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
1) 1 - cos (л - x) + sin
0;
2) V2 cos^x-jj =(sin x + cos x)2.
1) 8 sin x cos x cos 2x = 1;	2) 1 + cos2 x = sin4 * x.
1)	2 cos2 2x + 3 sin 4x + 4 sin2 2x = 0;
2)	1 - sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3)	2 sin2	x	+ j	cos3 2x =	1; 4) sin2 2x + cos2	3x	=	1	+	4 sin x.
1)	cos x	cos 2x	= sin x sin 2x; 2)	sin 2x	cos	x	= cos	2x sin x;
3) sin 3x = sin 2x cos x; 4) cos 5x cos x = cos 4x.
1)	4 sin2	x	- 5	sin x cos	x - 6 cos2	x = 0;
2)	3 sin2	x	- 7	sin x cos	x + 2 cos2	x = 0;
3)	1 - 4 sin x cos x + 4 cos2 x = 0; 4) 1 + sin2 x = 2 sin x cos x. 1) 4 sin 3x + sin 5x - 2 sin x cos 2x = 0;
2) 6 cos 2x sin x + 7 sin 2x = 0.
1) sin2 x + sin2 2x = sin2 3x;
2) sin x (1 - cos x)2 + cos x (1 - sin x)2 = 2.
1) sin x sin 2x sin 3x = - sin 4x;
4
2) sin4 x + cos4 x = — sin2 2x.
2
1) cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x; 2) sin6 x + cos6 x = ~-
1 cos2x cosx 1	I . 2	I
I) ------+-------= 1;	2) sin x +	= sin2 x + —.
cos x cos 2x	sin x	sin2 x
1) sin x sin 5x = 1;	2) sin x cos 4x = -1.
1) 75cosx -cos2x = -2 sin x; 2) Vcosx + cos3x = - V2 cos x.
1) 4 I cos x| - 3 = 4 sin2 x; 2) | tg x | + 1 = —.
cos2 x
Решить систему уравнений:
J cos (x + y) = 0,	f sin x - sin у = 1,
[ cos (x - y) = 1;	[ sin2 x + cos2 у = 1.
Найти все значения а, при которых уравнение 4 sin2 х + 2 (а - 3) cos х + За - 4 = 0 имеет корни, и решить это уравнение. Найти все значения а, при которых уравнение sin2 х - sin х cos х - 2 cos2 х = а не имеет корней.
190
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств
37

Задача 1 Решить неравенство cos х > -.
2
► По определению cos х — это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos х > -, нужно выяснить, какие точки единичной 2
окружности имеют абсциссу, большую -.
2
Абсциссу, равную -, имеют две точ-2
ки единичной окружности Му и М2 (рис. 80).
Точка М} получается поворотом точки
Р (1; 0) на угол ---, а также на углы 3
- — + 2 лп, где п = ±1, ±2, .... Точка М2 3
получается поворотом на угол —, а так-3
же на углы — + 2лп, где п = ±1, ±2, ....
3
Абсциссу, большую -, имеют все точки М дуги еди-2
ничной окружности, лежащие правее прямой М}М2. Таким образом, решениями неравенства cos х > ~ являются все числа х из промежутка < х < Все решения данного неравенства — множество интервалов
-- + 2 л/г < х < — + 2лп, п е Z. <1
3	3
2
Задача
Решить неравенство cos х < -.
► Абсциссу, не большую -, имеют все точки дуги 2
М1ММ2 единичной окружности (рис. 81). Поэто-
191
Рис. 82
му решениями неравенства cos х < - являются чис-2
ла х, которые принадлежат промежутку — < х < —. 3	3
Все решения данного неравенства — множество отрезков
- + 2пп < х < — + 2 ял, п е Z. <1
3	3
Задача 3 Решить неравенство sin х > - -.
2
► Ординату, не меньшую имеют все точки дуги 2
МХММ2 единичной окружности (рис. 82). Поэтому
решениями неравенства sin х > - являются чис-
ла х, принадлежащие промежутку < х < —. 6	6
Все решения данного неравенства — множество отрезков
-- + 2ял < х < — + 2 ял, п g Z. <] 6	6
Отметим, что все точки окружности, лежащие
ниже прямой МГМ2, имеют ординату, меньшую --
2
(рис. 82). Поэтому все числа х е|	| явля-
\ 6	6)
ются решениями неравенства sin х <~. Все реше-
ния этого неравенства — интервалы
f+ 2ял; + 2ял \ п е Z.
к 6	6	)
192
( х А у/2
Задача 4 Решить неравенство cos f — -1 I < - —.
► Обозначим — -1 = у. Решая неравенство cos у < - — 4	2
(рис. 83), находим
— + 2пп < у < — + 2лп, п е Z.
4	4
Заменяя у = — -1, получаем 4
3 тг .	х 1 5л . rj
	1-2 Tin ч	1 ч	1- 2 Tin, 4-------------------4-4
откуда
1+ 3* +2т < - < 1 + —+ 2лп, 4	4	4
4 + Зя + Зкп < х < 4 + 5л + 8лп, п е Z.
4 + Зя + 8яп < х < 4 + 5я + 8яп, п е Z, <
	Упражнения Решить неравенство (648—654).
648	1) cos х > —;	2) cos х < —; ’	2	2 3) cos х >	;	4) cos x < - —. 2	2
649	1) cos x < V3; 2) cos x < -2; 3) cos x > 1; 4) cos x < -1.
650	1) sin x >	2) sin x < —; 3) sin x <	; 4) sin x >	. ’	2	2	2	2
651	1) sin x > - V2;	2) sin x > 1; 3) sin x < -1;	4) sin x > 1.
652	1) V2 cos 2x <1;	2) 2 sin 3x > -1; 3) sin f X + — ) < —;	4) cos f x - —1 > —. 1 4j 2	I Q) 2
653	1) cosf- + 2>]>-;	2) sinf—-з)<-—. V3 J 2	U )	2
654	1) sin2 x + 2 sin x > 0;	2) cos2 x - cos x < 0.
7 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.	193
~ Упражнения ; к главе VI
655 Вычислить:			
1)	2 arcsin — + 3 arcsin Г - - |; 2	1 2)	2)	arcsin - 4 arcsin 1; V2
3)	arccos f--) - arcsin —; k 2 J	2	4)	arccos (-1) - arcsin (-1);
5)	2 arctg 1 + 3 arctg —; k V3 J	6)	4 arctg (-1) + 3 arctg у[з.
Решить уравнение (656—665).
656	1)	cos (4 - 2x) -		2) cos (6 + 3x) =
	3)	V2 cos |2x + — | + l=0; k	4)		4) 2 cos f --3x1 -7з = 0. 13	)
657	1)	2 sin f 3x--1 + 1 =0; I 4 J		2) 1-sin	—1 =0; Ч. 2	3 J
	3)	3 + 4 sin (2x + 1) = 0;		4) 5 sin (2x - 1) - 2 = 0.
658	1)	(1 + V2 cos x) (1 - 4 sin x cos x) = 0;		
	2)	(1 - V2 cos x) (1 + 2 sin 2x cos 2x) = 0.		
659	1)	1 II z	s + R 4	s ЬЮ	2)	tg^3x-^1 = -+; V	4 ) /3
	3)	V3-tgfx--|=0; k 5 J	4)	l-tg^x + —1=0. V 7)
660	1)	2 sin2 x + sin x = 0;	2)	3 sin2 x - 5 sin x - 2 = 0;
	3)	cos2 x - 2 cos x = 0;	4)	6 cos2 x + 7 cos x - 3 = 0.
661	1)	6 sin2 x - cos x + 6 = 0;	2)	8 cos2 x - 12 sin x + 7 = 0.
662	1)	tg2 x + 3 tg x = 0;	2)	2 tg2 x - tg x - 3 = 0;
	3)	tg x - 12 ctg x + 1 = 0;	4)	tg x + ctg x = 2.
663	1)	2 sin 2x = 3 cos 2x;	2)	4 sin 3x + 5 cos 3x = 0.
664	1)	5 sin x + cos x = 5;	2)	4 sin x + 3 cos x = 6.
665	1)	sin 3x = sin 5x;	2)	cos2 3x - cos 3x cos 5x = 0;
	3)	cos x = cos 3x;	4)	sin x sin 5x - sin2 5x = 0.
194
Проверь себя!
1
2
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
Найти значение выражения:
/	1 \
1) arccos 1 + arcsin 0;	2) arccos -- -arcsin —.
\ 2 /	2
Решить уравнение:
1) sin Зх cos x - sin x cos 3x = 1;
2) 2 cos2 x + 5 cos x = 3;	3) tg x - 3 ctg x = 0;
4) sin 3x - sin x = 0;	5) 2 sin x + sin 2x - 0.
Вычислить (666—667).
1) sin I arccos —
I 2
1) sin (4 arcsin 1);
3) cos (6 arcsin 1);
(	1А Г Ji
2) tg arccos - ;	3) tg | arccos
\	2J	n
(
2) sin | 3 arcsin
tg 4 arcsin —
Решить уравнение (668—675).
1) sin 2x + 2 cos 2x = 1;	2) cos 2x + 3 sin 2x = 3.
1) 3 sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
2) 2 sin2 x + 3 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
1)
2)
1)
2)
1)
2)
1)
3)
1)
3)
5)
1-2 sin x = sin 2x + 2 cos x;
1-3 cos x = sin 2x + 3 sin x.
sin x + - - cos x + - = 1 + cos 2 x;
I 6j \
sin x - — I + cos x - — I = sin 2x.
ч •	• я	1
cos'5 x sin x - sind x cos x =
4
sin3 * x cos x + cos3 x sin x =
sin2 x + sin2 2x = 1;
sin 4x = 6 cos2 2x - 4;
•	9	л	1
sinz x - cos x cos 3x = - ;
4
3 cos 2x - 7 sin x = 4;
5 sin 2x + 4 cos3 x - 8 cos :
2) sin2 x + cos2 2x = 1;
4) 2 cos2 3x + sin 5x = 1.
2) sin 3x = 3 sin x;
4) 1 + cos x + cos 2x = 0;
1) sin x + sin 2x + sin 3x = 0;
2) cos x - cos 3x = cos 2x - cos 4x.
195
Вычислить (676—677).
676
677
678
679
680 681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
arcsin — ; з;
. з^
л - arcsin — I
47
2)
sin
♦ 2 ) л + arcsin — .
3 J
-arctg 2 .
Решить уравнение (678—684). sin 2x sin x cos 3x q cos x
1)
4)
1)
1)
1)
2)
5)
sin 3x _ sin x
=0;
sin 5x
cos х sin 5x = -1;
2 cos 3x = 3 sin x + cos x;
sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1;
cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = —.
2
^-4 cos x cos2 x = sin 2x .
3) £21^=0;
COS X
6) -^^=0. cos 7x
sin x cos Зх - -1.
2)
2)
2) sin 2x - cos 2x = tg x.
cos 3x - cos 2x - sin 3x.
| cos x| - cos 3x = sin 2x.
Решить систему уравнений:
I sin у cos у = -, 1) ]	2
sin 2x+ sin 2у = 0;
2)
sin x + sin у = 1
cos x
sin x	5
sin у	3
D
COS X	1
cos у	3
sin x cos
2) -cos x sin

y=-2
а уравнение
sin4 x + cos4 x - а име-
которых уравнение
При каких значениях ет корни? Найти эти корни.
Найти все значения а, при sin10 х + cos10 х = а имеет корни.
Найти все значения а, при которых уравнение sin 2х - 2а 42 (sin х + cos х) + 1 - 6а2 = 0
имеет корни, и решить это уравнение.
Решить неравенство:
1) 2 cos2 х + sin х - 1 < 0;
2) 2 sin2 x - 5 cos x + 1 > 0.
196
VII
т глава
i Тригонометрические - функции
Я не мог понять содержание вашей статьи, так как она не оживлена иксами и игреками.
У. Томсон
: Область определения : и множество значений 7 тригонометрических функций
Вы знаете, что каждому действительному числу х соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1; 0) на угол х рад. Для этого угла определены sin х и cos х. Тем самым каждому действительному числу х поставлены в соответствие числа sin х и cos х, т. е. на множестве R всех действительных чисел определены функции
у = sin х и у = cos х.
Таким образом, областью определения функций у = sin х и у = cos х является множество R всех м»!я11 действительных чисел.
Чтобы найти множество значений функции у = sin х, нужно выяснить, какие значения может принимать у при различных значениях х, т. е. установить, для каких значений у есть такие значения х, при которых sin х = у. Известно, что уравнение sin х = а имеет корни, если |а| < 1, и не имеет корней, если |а| > 1.
Следовательно, множеством значений функции у = sin х является отрезок -1 < у < 1.
Аналогично множеством значений функции у - cos х также является отрезок -1 < у < 1.
197
Задача 1 Найти область определения функции 1
у -----------•
sin X + COS X
► Найдем значения х, при которых выражение
---------- не имеет смысла, т. е. значения х, sin х + cos х
при которых знаменатель равен нулю. Решая уравнение sin х + cos х = 0, находим tg х = -1, х = -- + лп, п g Z. Следовательно, областью опре-
4
деления данной функции являются все значения х + лп, п е Z. <1
Задача 2 Найти множество значений функции у = 3 + sin х cos х.
► Нужно выяснить, какие значения может принимать у при различных значениях х, т. е. установить, для каких значений а уравнение 3 + sin х cos х = а имеет корни. Применяя формулу синуса двойного угла, запишем уравнение так: 3 + sin 2х - а, откуда sin 2х = 2а - 6. Это уравнение имеет корни, если |2а - 6| < 1, т. е. -1 < 2а - 6 < 1, откуда 5 < 2а < 7, 2,5 < а < 3,5. Следовательно, множеством значений данной функции является промежуток 2,5 < у < 3,5. <1 Функция у - tg х определяется формулой J sin х _
у = tg х =---. Эта функция определена при тех
cos х
значениях х, для которых cos х * 0.
Известно, что cos х = 0 при х = + лп, п е Z.
Hgg Следовательно, областью определения функции ИВ у = tg х является множество чисел х * — + лп, 2
Щ п G Z.
Так как уравнение tg х = а имеет корни при лю-бом действительном значении а, то множеством
НН| значений функции у = tg х является множество R ИИ всех действительных чисел.
Функции у = sin х, у - cos х, у - tg х называются тригонометрическими функциями.
198
Задача 3 Найти область определения функции у - sin Зх + tg 2х.
► Нужно выяснить, при каких значениях х выражение sin Зх + tg 2х имеет смысл. Выражение sin Зх имеет смысл при любом значении х, а выражение tg 2х — при 2х * — + лп, п е И, т. е. при 2
х * — + п е Z. Следовательно, областью опреде-4	2
ления данной функции является множество действительных чисел х * — + п е Z. <1 4	2
Задача 4* Найти множество значений функции у = 3 sin х + 4 cos х.
► Выясним, при каких значениях а уравнение 3 sin х + 4 cos х = а имеет корни. Поделим уравнение на д/32 + 42 = 5: 3-4	а
— sin X + - cos х = —. 5	5	5
о
Так как 0<— < 1, то можно найти такой угол а 5
первой четверти, 0 < а < —, что cos а = — (этот угол 2	5
а = arccos - 1. Тогда sin2 а - 1 - cos2 а = 1 - — = —, 5 J	25	25
откуда sin а =-, так как 0 < а < —. Уравнение 5	2
примет вид sin х cos а + cos х sin а = , т. е.
sin (х + а) = —. Это уравнение 5
-1 <	< 1, т. е. -5 < а < 5.
5
Ответ -5 < у < 5. <1
Упражнения
691 Найти область определения функции:
1) у - sin 2х;	2) i/=cos-;
2
2	/—
4) у = sin —;	5) у - sin ух;
х
692 Найти множество значений функции:
1) у = 1 + sin х; 2) у = 1 - cos х;
имеет корни, если
3) #=cos—; х
6) у = cos . -----.
V X + 1
199
3) у - 2 sin х + 3;	4) £/ = 1 - 4 cos 2x;
5) у = sin 2x cos 2x + 2;	6) у = - sin x cos x - 1.
2
Найти область определения функции (693—695).
693	1)	У = —5	2) у = -^—-,	3)	= COS X	sin X	3	4) у = tg 5х.
694	1)	у = д/sin х + 1;	2) z/ = д/cos х-1;	3) у - lg sin х;
	4)	у = д/2 cos х -1;	5) у = д/1 -2 sin х;	6) у = In cos х.
695	1)	I. -	1	.	91 7# -	2		
		2 sm* х - sin х	cos х - sin* х	
	3)		1	. 	1	
		tf ~	.	 о ’	*7	о sin X — sin Зх	cos'5 X + COS X	
696 Найти множество значений функции:
1)	у = 2 sin2 х - cos 2x;	2)	у = 1 - 8 cos2 x sin2 x;
3)	1 + 8 cos2 x У=	4	=	4)	у = 10 - 9 sin2 3x;
5)	у = 1 - 2 |cos x|;	6)	у = sin x + sin 1 x + — . \	3 J
697 Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 cos 2х - 4 sin 2х.
698 Найти множество значений функции у = sin х - 5 cos х.
899 Найти множество значений функции
у = 10 cos2 х - 6 sin х cos х + 2 sin2 х.
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
Вы знаете, что для любого значения х верны равенства
sin (-х) = -sin х, cos (-х) = cos х.
Следовательно, у = sin х — нечетная функция, а у = cos х — четная функция. Так как для любого значения х из области определения функции у = tg х верно равенство tg (-х) = -tg х, то у = tg х — нечетная функция.
200
Задача 1 Выяснить, является ли функция
у = 2 + sin х cos I — + х | четной или нечетной.
I 2	)
► Используя формулу приведения, запишем данную функцию так: у - 2 + sin2 х. Имеем у (-х) = = 2 + sin2 (—х) = 2 + (-sin х)2 = 2 + sin2 х = у (х), т. е. данная функция является четной. О Известно, что для любого значения х верны равенства sin (х + 2л) = sin х, cos (х + 2л) = cos х. Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса периодически повторяются при изменении аргумента на 2л. Такие функции называются периодическими с периодом 2л.
Функция f (х) называется периодической, если существует такое число Г * 0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство f (х - Т) = / (х) = / (х + Т).
Число Т называется периодом функции f (х).
Из этого определения следует, что если х принадлежит области определения функции f (х), то чис-ла х + Т, х - Т и вообще числа х + Tn, п е 2, также принадлежат области определения этой периодической функции и f (х + Тп) = f (х), п е 2.
 Покажем, что число 2л является наименьшим положительным периодом функции у = cos х.
• Пусть Т > 0 — период косинуса, т. е. для любого х выполняется равенство cos (х + Т) = cos х. Положив х = 0, получим cos Т = 1. Отсюда Т = 2л&, k е Z. Так как Т > 0, то Т может принимать значения 2л, 4л, 6л, ..., и поэтому период не может быть меньше 2л. О
^2$ Аналогично можно доказать, что наименьший ДдО положительный период функции у = sin х также НД равен 2л.
Задача 2 Доказать, что f (х) = sin Зх — периодическая функция с периодом —.
3
► Если функция f (х) определена на всей числовой оси, то, для того чтобы убедиться в том, что она является периодической с периодом Г, доста-
201
точно показать, что для любого х верно равенст-
во f (х + Т) = f (х). для всех х 6 Ry
Данная функция определена
и f(x + — ^1 = sin 3 f х + — =
I 3 ) I 3 )
= sin (Зх + 2л) = sin Зх = f (х). <1
Покажем, что функция у = tg х является периодической с периодом л.
• Если х принадлежит области определения этой функции, т. е. х *	+ Tin, п е Z, то по формулам
2
приведения получаем
tg (х - л) = -tg (л — х) — -(-tg х) = tg Ху tg (х + л) = tg х.
Таким образом, tg (х - л) = tg х = tg (х + л). Следовательно, л — период функции у = tg х. О
 Покажем, что л — наименьший положительный период функции у - tg х.
ф Пусть Т — период тангенса, тогда tg (х + Т) = tg х, откуда при х = 0 получаем tg Т = О, Т = /?л, k е Z. Так как наименьшее целое положительное k равно 1, то л — наименьший положительный период функции у = tg х. О
Задача 3 Доказать, что у = tg — — периодическая функция 3
с периодом Зл.
► Так как tg х- Зл = tg f- + л") = tg -, tg — 3- = 3	\ 3 j 3	3
= tg ( — - л] = tg — у то tg - — периодическая функ-3	)	3	3
ция с периодом Зл. <
202
Периодическими функциями описываются многие физические процессы (колебания маятника, вращение планет, переменный ток и т. д.).
На рисунке 84 изображены графики некоторых периодических функций. Отметим, что на всех последовательных отрезках числовой прямой, длина которых равна периоду, график периодической функции имеет один и тот же вид.
Упражнения
700
701
Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной (700—701).
1) у = cos Зх;	2) у = 2 sin 4х;	3) у = — tg2 х;
2
4) у = х cos	5) у = х sin х;	6) у - 2 sin2 х.
2
1) у = sin х + х; 2) у =cos^x-^-x2;
3)	у - 3 - cos — + х I sin (л - х);
1	Г 3	А
у = - cos 2 х sin - л - 2 х +3;
2	12	)
sin х
5)	у =---------1- sin х cos х;
х
9	1 + cos х
6) У = х2 +-----------
702 Доказать, что данная функция является периодической с периодом 2л, если:
1)	у = cos х-1;
4)
COS X
2 ’
2)	у = sin х + 1;
5) у = sin I х - -
3)	у = 3 sin х;
6) у =cos^x+ ~ J.
У =
703 Доказать, что данная функция является периодической с периодом Т, если:
1)	у - sin 2х, Т - л;	2) у ~ cos Т ~ 4л;
3)	j/ = tg2x, Т = ^;	4) j/ = sin^, Т = | л.
704 Определить, является ли данная функция четной или нечетной:
1 - cos х	Jsin2x	cos2x-x2
1)	У = ~.----;	2) у = ----—;	3) у =----;;
1 + cos X	1 - COS 2 X	sin X
4)	у = х + sm 2х.	5) i/ = 3cosx; 6) у = х |sin х| sin3 х.
cos х
203
Найти наименьший положительный период функции (705—706).
705 1) i/ = cos-x; 2) у - sin — х; 3) у - tg 4) z/ = |sinx|. 5	2	2
706 1) у = sin х + cos х; 2) у = sin х + tg х.
707 Пусть функция f (х) определена на всей числовой прямой. Доказать, что:
1) f (х) + f (~х) — четная функция;
2) f (х) - f (~х) — нечетная функция. Используя эти функции, представить f (х) в виде суммы четной и нечетной функций.
У Свойства функции у = cos х и ее график
40
Напомним, что функция у - cos х определена на всей числовой прямой и множеством ее значений является отрезок [-1; 1]. Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми у = -1 и у = 1.
Так как функция у = cos х периодическая с периодом 2л, то достаточно построить ее график на каком-нибудь промежутке длиной 2л, например на отрезке -л С х С л; тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2лп, п е Z, график будет таким же.
Функция у = cos х является четной. Поэтому ее график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке -л < х < л достаточно построить его для 0 С х < л, а затем симметрично отразить его относительно оси Оу.
Прежде чем перейти к построению графика, пока-дДд жем, что функция у = cos х убывает на отрезке 0 < х < л.
9 В самом деле, при повороте точки Р (1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до л абсцисса точки, т. е. cos х, уменьшается от 1 до -1. Поэтому если 0 С хг < х2 С л, то cos хг > cos х2 (рис. 85). Это и означает, что функция у - cos х убывает на отрезке [0; л]. О
204
Рис. 87
Используя свойство убывания функции у - cos х на отрезке О < х < л и найдя несколько точек, принадлежащих графику, построим его на этом отрезке (рис. 86).
Пользуясь свойством четности функции у = cos г, отразим по
строенный на отрезке [0; л] график симметрично
относительно оси Оу, получим график этой функции на отрезке [-л; л] (рис. 87).
Так как у = cos х — периодическая функция с периодом 2л и ее график построен на отрезке [-л; л] длиной, равной периоду, распространим его по всей числовой прямой с помощью сдвигов на 2л, 4л и т. д. вправо, на -2л, -4л и т. д. влево, т. е. вообще на 2лп, п g Z (рис. 88).
Итак, график функции у = cos х построен геометрически на всей числовой прямой, начиная с по
строения его части на отрезке [0; л].
Поэтому свойства функции у = cos х можно получить, опираясь на свойства этой функции на отрезке [0; л]. Например, функция у = cos х возрастает на отрезке [-л; 0], так как она убывает на отрезке [0; л] и является четной.
205
Перечислим основные свойства функции у = cos х.
1)	Область определения — множество R всех действительных чисел.
2)	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3)	Функция у = cos х периодическая с периодом 2л.
4)	Функция у = cos х четная.
5)	Функция у - cos х принимает:
—	значение, равное 0, при х = + ли, п е Z;
—	наибольшее значение, равное 1, при х = 2яп, п g Z;
—	наименьшее значение, равное -1, при х = = л + 2лп, п g Z;
_Я. я 2* 2
и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2ли, и = ±1, ±2,
—	отрицательные значения на интервале
и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2лп, п = ±1, ±2, ....
6)	Функция у - cos х:
—	возрастает на отрезке [л; 2л] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2лп, п = ±1, ±2, ...;
—	убывает на отрезке [0; л] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2лп, п = ±1, ±2, ... .
— положительные значения на интервале
я. Зя
2’ 2 J
Задача 1 Найти все корни уравнения cos х = принадле-
жащие отрезку -л < х < 2л.
► Построим графики функций у - cos х и у = -1 на
данном отрезке (рис. 89). Эти графики пересекаются в трех точках, абсциссы которых х2, х3 являются корнями уравнения cos х =
На отрезке [0; л] корнем уравнения cos х = - - яв-
ляется число х!
= arccos	Из рисунка
\ 2 /	3
видно, что точки х2 и х, симметричны относитель-
206
Рис. 89
но оси Оу, т. е. х2~-х1~-^, а х3 = х2 + 2л = 2 л , Огг 4л 3	3
Ответ хг = —, х2 = - —, х3 = —. < 1 з 2	3	3	3
Задача 2 Найти все решения неравенства cosx>-^, принадлежащие отрезку -л < х < 2л.
► Из рисунка 89 видно, что график функции у = cos х лежит выше графика функции У = ~~ на промежутках	и ( —; 2л .
\	3	3 j \ 3
Ответ	-^-<х<—, — <х<2к. <1
3	3	3
Упражнения
708
709
Пользуясь графиком функции у = cos х, выполнить упражнения (708—713).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х, принадлежащих
отрезку [0; Зл], функция у = cos х принимает:
1)	значение, равное 0, 1, -1;
2)	положительные значения;
3)	отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, возрастает у = cos х на отрезке:
1) [Зл; 4л];	2) [-2л; -л];
или убывает функция
3) 2 л; 5*
L 2 J
о
5) [1; 3];
6) [-2; -1].
710
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном
из них функция у = cos х возрастала, а на другом убывала:
1)
_Л , 3£ 2* 2
3) 0;
L 2
2) ;	-
L 2 2 J
4)
207
711
712
713
714
715
716
717
718
719
Используя свойство возрастания или убывания функции
у - cos х, сравнить числа:
1) cos — и cos —;
7	9
3) cos f1 и cos (--( 1 ) I 8
2) cos и cos 7	7
4) cos^—и cos
5) cos 1 и cos 3;
6) cos 4 и cos 5.
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) cosx = ~; 2) cos х = —; 3) cosx = - —; 4) cosx = --.
2	2	2	2
Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; Зл]:
1) cos х >	2) cos х > -
2	2
3) cos х <	;	4) cos х < —.
2	2
Выражая синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа:
1) cos - и sin —;	2) sin - и cos 3) cos — и sin —;
5	5	7	7	8	8
4) sin — и cos 5) cos - и sin —; 6) cos - и sin —.
5	5	6	14	8	10
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку _ я. х < Зя.
2	2 ‘
1) cos2x=-; 2) cos3x=—. 2	2
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку -- С х < —:
2	2
1) cos2x<-; 2) cos Зх > —.
2	2
Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) у - 1 + cos х; 2) у - cos 2х;	3) у = 3 cos х.
Найти множество значений функции у - cos х, если х принадлежит промежутку:
л . „1.	f 5л. 7л
L3 J	I 4	4 )
1)
Построить график функции:
1) у - |cos х|;	2) у = 3 - 2 cos (х - 1).
208
Свойства функции у = sin х и ее график
Функция у = sin х определена на всей числовой прямой, является нечетной и периодической с периодом 2л. Ее график можно построить таким же способом, как и график функции у = cos г, начиная с построения, например, на отрезке [0; л]. Однако проще воспользоваться формулой
sin х = cos I х - — I.
I 2)
Эта формула показывает, что график функции у = sin х можно получить сдвигом графика функции у = cos х вдоль оси абсцисс вправо на — (рис. 90).
График функции у = sin х изображен на рисунке 91. Кривая, являющаяся графиком функции у = sin г, называется синусоидой.
Так как график функции у = sin х получается сдвигом графика функции у = cos х, то свойства функции у = sin х можно получить из свойств функции у = COS X.
209
2)
3)
4)
5)
Перечислим основные свойства функции у = sin х.
1) Область определения — множество R всех действительных чисел.
Множество значений — отрезок [-1; 1].
Функция у = sin х периодическая, Т = 2л.
Функция у = sin х нечетная.
Функция у = sin х принимает:
значение, равное 0, при х = лп, п g Z;
— наибольшее значение, равное 1, при
х = - + 2лп, п е Z;
2
— наименьшее значение, равное -1, при
х =	+ 2лп, n е Z;
2
— положительные значения на интервале (0; л) и на интервалах, получаемых сдвигами этого ин-
• тервала на 2лп, п = ±1, ±2,
— отрицательные значения на интервале (л; 2л) и на интервалах, получаемых сдвигами тервала на 2лп, п = ±1, ±2.
6) Функция у = sin г:
— возрастает на отрезке
получаемых сдвигами п = ±1, ±2,
— убывает на отрезке
ТС. £ 2* 2_ этого отрезка
и на
этого ин-
отрезках,
на 2лп,
: получаемых сдвигами и
_я.
.2 ’ 2
этого отрезка
и на
отрезках,
на 2лп,
= ±1, ±2,
Задача 1 Найти все корни уравнения sinx = -, принадле-2
жащие отрезку -л С х < 2л.
► Построим графики функций у = sin х и у = - на 2
данном отрезке (рис. 92). Эти графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых являются кор-
Рис. 92
210
Ответ
Задача 2
л . л
2’ 2.
1	7Г
уравнение имеет корень хг - arcsin -=-. Второй
2	6
корень г9=л-~ = —, так как sin | л-—] = sin —.
2	6	6	I 6j 6
х. = ^, х2 = ^. <1
1 6	2	6
Найти все решения неравенства sin х < принад-
нями уравнения sinx = |. На отрезке
лежащие отрезку -л < х < 2л.
Из рисунка 92 видно, что график функции
у = sin х лежит ниже графика функции у = - на
промежутках -л:
72Q
721
722
723
Ответ
-л < X < —, 6
— < г < 2л. <1 6
Упражнения
Пользуясь графиком функции у = sin х, выполнить упражнения (720—725).
(Устно.) Выяснить, при каких значениях г, принадлежащих отрезку [0; Зл], функция у - sin х 1) значение, равное 0, 1, -1;
2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, возрастает у = sin х на промежутке:
1)
принимает:
или убывает функция
4)
3 л . 5 л .
_ 2 ’ 2 J’
3 л , л .2*2.
5) [2; 4];
-л; - - ;
2 )
6) (6; 7).
Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у = sin х возрастала, а на другом убывала:
1) [0; л]; 2)
л _2 Используя свойство возрастания или убывания функции у = sin х, сравнить числа: 1) sin — и sin —-10	10
2л ; 3) [-л; 0]; 4) [-2л; -л].
2) sin и sin 7	7
3) sin
4) sin 7 и sin 6.
211
724 Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; Зя]:
1) sin х = —;	2) sinx=—;
2	2
3) sinx = -—;	4) sinx = - —.
2	2
725 Найти все решения неравенства, принадлежащие отрезку [0; Зя]:
1) sin х >-; 2) sin х < —; 3) sinx>--; 4) sinx<-—. 2	2	2	2
726 Выражая косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа:
1) sin - и cos	2) sin — и cos —;
9	9	8	8
3)	sin — и cos —;	4) sin — и cos —.
5	14	8	10
727 Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
-L I Э111 АЛ —-,	£il O111 ил — -.
2	2
728 Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку < х < л:
2
1) sin2x>--;	2) sin Зх < —.
2	2
729 Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) у = 1 - sin х;	2) у = 2 + sin х;
3) у = sin Зх;	4) у = 2 sin х.
730 Найти множество значений функции у = sin х, если х принадлежит промежутку:
1) Г-; л1;	2) Г—; "L
Le J	L 4 4 _
731 Построить график функции:
1) у = sin |х|;	2) у = |sin х|.
732 Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой
I = A sin (cof + <р), где А — амплитуда колебания, w — частота, ф — начальная фаза. Построить график этой функции, если:
1) А = 2, <о = 1, <р =5;	2) А = 1, а> = 2, <р = |.
212
Свойства функции у = tg х и ее график
Напомним, что функция у - tg х определена при х | + лп, п е Z, является нечетной и периодической с периодом л. Поэтому достаточно построить ее график на промежутке 0; — I. Затем, отразив 2 )
его симметрично относительно начала координат, получить график на интервале ; — . Наконец,

покажем, что на этом промежутке
используя периодичность, построить график функции у = tg х на всей области определения.
Прежде чем строить график функции на проме-
жутке 0;
функция у = tg х возрастает.
Ф * Пусть 0 < xY < х2 < —. Покажем, что tg xY < tg х2, 2
sin x-i	sin x9
t. e. ----- <---— .
cos x-i cos x2
По условию 0 < xx < x2 < —, откуда по свойствам 2
функции у = sin х имеем 0 < sin xt < sin х2, а по свойствам функции у = cos х также имеем cos хг > cos х2 > 0, откуда 0 <----<-------.
cos хг cos х2
sin xL < sin х2 и sin*2 . о cos х2
Перемножив неравенства 1	1	sin х1
-----<--------, получим 	 COS X} cos х2-cos X
Используя свойство возрастания функции у = tg х на промежутке 0 < х < — и найдя несколько то-2 чек, принадлежащих графику, построим его на этом промежутке (рис. 93). Пользуясь свойством нечетности функции у = tg х, отразим построенный на промежутке 0; — гра-
213
фик симметрично относительно начала получим график этой функции на
координат, интервале
Напомним, что при х = ±^
функция
у = tg х не
приближается к то cos х, оставаясь поло-
а
определена. Если х < — и х 2
sin х приближается к 1, жительным, стремится к нулю. При этом дробь
sin* = tg х неограниченно возрастает, и поэтому cos х
график функции у = tg х приближается к вертикальной прямой х = —. Аналогично при отрица-2
тельных значениях х, больших и приближаю-
щихся к , график функции у = tg х приближа-2
**	«л	7Г
ется к вертикальной прямой г =- —.
Перейдем к построению графика функции у = tg х на всей области определения. Функция у = tg х периодическая с периодом л. Следовательно, график этой функции получается из ее графика на интервале I ; — (рис. 94) сдвигами вдоль оси абсцисс \ 2 2 J
на лп, п g Z (рис. 95).
214
Итак, весь график функции у = tg х строится с помощью геометрических преобразований его части, построенной на промежутке 0;
Поэтому свойства функции у = tg х можно получить, опираясь на свойства этой функции на про-
межутке , 0; — |. Например, функция у = tg х воз-L 2;
растает на интервале ~ так как эта Функ-
ция возрастает на промежутке 0; — и является
нечетной.
Перечислим основные свойства функции у = tg х. 1) Область определения — множество всех действительных чисел х * — + тт, п е Z.
2
2)	Множество значений — множество R всех действительных чисел.
3)	Функция у = tg х периодическая с периодом л.
4)	Функция у = tg х нечетная.
5)	Функция у = tg х принимает:
—	значение, равное 0, при х = кп, п е Z; — положительные значения на интервалах I лл; — + лл , п g Z;
к 2	)
—	отрицательные значения на интервалах
I + лл; лл 1, л е Z.
к 2	)
6)	Функция у = tg х возрастает на интервалах + лл; — + лл I, л е Z.
к 2	2	)
215
Задача 1
Найти все корни уравнения tg х = 2, принадлежащие отрезку -л < х < —.
Построим графики функций y=tgxuy = 2na данном отрезке (рис. 96, а). Эти графики пересека-
ются в трех точках, абсциссы которых хр х2, х3 являются корнями уравнения tg х = 2. На интер-
вале ; — I уравнение имеет корень хт = arctg 2.
Так как функция у = tg х периодическая с периодом л, то х2 = arctg 2 + л, х3 = arctg 2 - л.
Ответ х1 - arctg 2, х2 = arctg 2 + л, х3 = arctg 2 - л. <
Задача 2
Ответ
Найти все решения неравенства tg х < 2, принадлежащие отрезку -л < х < —.
2
Из рисунка 96, а видно, что график функции у = tg х лежит не выше прямой у = 2 на промежутках [-л; х3], Xj \ 2
-л < х < -л + arctg 2,	< х < arctg 2;
2
— < х < л + arctg 2. < 2
и
Задача 3 Решить неравенство tg х > 1.
► Построим графики функций у - tg х и у = 1 (рис. 96, б). Рисунок показывает, что график функции у = tg х лежит выше прямой у - 1 на промежутке	а также на промежутках, полу-
ченных сдвигами его на л, 2л, Зл, -л, -2л и т. д.
Ответ - + лп<х<- + лп,пе7. <] 4	2
Тригонометрические функции широко применяются в математике, физике и технике. Например, многие процессы, такие, как колебания струны, маятника, напряжение в цепи переменного тока и т. д., описываются функцией, которая задается формулой у = A sin (сох + (р). Такие процессы называют гармоническими колебаниями, а описывающие их функции — гармониками (от греческого слова harmonikos — соразмерный). График функции у = A sin (сох + ф) получается из синусоиды у = sin х сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и сдвигом вдоль оси Ох.
216
a)
Рис. 96
Обычно гармоническое колебание является функцией времени: у = A sin (cot + ср), где А — амплитуда колебания, со — частота, ср — начальная фаза, — — период колебания, со
Упражнения
783
734
735
(Устно.) Выяснить, при каких значениях х из промежутка
-я < х < 2л функция у = tg х принимает:
1)	значение, равное 0;	2) положительные значения;
3) отрицательные значения.
(Устно.) Выяснить, является ли функция у = tg х возрастаю-
щей на промежутке:
1) [1; 11; 2) fl; Л 3) f-1; 1); 4) [2; 3].
_ 4 о J \	\ Z о /
Используя свойство возрастания функции у = tg х, сравнить числа:
1) tgl и tgl; 2) tg^ и tg 3) tgf-^j и
5) tg 2 и tg 3; 6) tg 1 и tg 1,5.
217
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-л; 2л):
1) tg х = 1;	2) tg х = 73;	3) tg х = -73;	4) tg х =-1.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку (-л, 2л):
1) tg х > 1; 2) tg х < —; 3) tg х < -1; 4) tg х > - 7з.
3
Решить неравенство:
1) tg х < 1; 2) tg х > 73; 3)tgx<-^; 4) tg х >-1.
3
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зл]:
1) tg х = 3;	2) tg х = -2.
Решить неравенство:
1) tg х > 4;	2) tg х < 5;	3) tg х < -4;	4) tg х > -5.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [0; Зл]:
1) tg х > 3;	2) tg х < 4;	3) tg х < -4;	4) tg х > -3.
Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку
1) tg2x = V§;	2) tg3x = -l.
Найти все решения неравенства, принадлежащие промежут-ку 4
\ Л	/
1) tg 2х < 1;	2) tg Зх < - VS.
Построить график функции и выяснить ее свойства:
1) у = tgfх +	2) y = tg~.
Найти множество значений функции у - tg х, если х принадлежит промежутку:
1)	-1;	2) f —; —1;	3) (0; л); 4) Г-; —- .
L 4 3 J < 4	2 J	1.4 4 J
Построить график функции (746—748).
l)j/ = tg|x|; 2) i/ = |tgx|; 3) у = ctg х; 4)t/ = —. ctg х
1) У - tg х ctg х;	2) у = sin х ctg х.
1) У = tg { Зх ---2) i/=ctg|3 х + -)|. \	4 )	\ Q J)
Решить неравенство:
1) tg2 х < 1; 2) tg2 х > 3; 3) ctg х > -1; 4) ctg х > 7з.
218
: Обратные тригонометрические функции
..;. • ШШЙШШЛ--- ‘7 » ' < • ' ' ' ' I ' • • • •
43
1.	Функция у = arcsin я.
По определению арксинуса числа для каждого х е [-1; 1] определено одно число у = arcsin х. Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция у = arcsin х, -1 х < 1.
Покажем, что функция у = arcsin х является обратной к функции у = sin х, рассматриваемой на отрезке < х < —.
2	2
• Рассмотрим уравнение sin х = у, где у — заданное число из отрезка -1 < у < 1, а х — неизвестное. На отрезке < я < - это уравнение по определе-2	2
нию арксинуса числа имеет единственный корень х = arcsin у.
В этой формуле меняем местами х и у, получаем
у = arcsin х. О Таким образом, можно получить График функции фику функции у --
свойства функции у = arcsin х из свойств функции у = sin х.
у = arcsin х симметричен гра-
= sin х, < х < — относительно 2	2
, 98).
219
2)
3)
4)
Перечислим основные свойства функции 5 у = arcsin х.
1)
Область определения — отрезок [-1; 1].
7Г. Л. 2’ 2.
Функция у - arcsin х возрастает.
Функция у = arcsin х является нечетной, как arcsin (-х) = -arcsin х.
Множество значений — отрезок
так
2.	Функция у = arccos х.
По определению арккосинуса числа для каждого х е [-1; 1] определено одно число у = arccos х. Тем самым на отрезке [-1; 1] определена функция у = arccos х, -1 < х < 1.
Эта функция является обратной к функции у = cos х, рассматриваемой на отрезке 0 < х < л. График функции у = arccos х симметричен графику функции у = cos х, 0 < х < я, относительно прямой у = х (рис. 99, 100).
Перечислим основные свойства функции у = arccos х.
1)	Область определения — отрезок [-1; 1].
2)	Множество значений — отрезок [0; л].
3)	Функция у - Q.TCCQS х убывает.
220
Рис. 101
3.	Функция у = arctg х.
По определению арктангенса числа для каждого действительного х определено одно число у = arctg х. Тем самым на всей числовой прямой определена функция у = arctg х, х е R.
Эта функция является обратной к функции у = tg х, рассматриваемой на интервале -— < х < —.
2	2
График функции у = arctg х получается из графика функции у = tg х, < х < — (рис. 94), симмет-2	2
рией относительно прямой у = х (рис. 101).
Перечислим основные свойства функции у = arctg х.
1)	Область определения — множество R всех действительных чисел.
2)	Множество значений — интервал
3)	Функция у = arctg х возрастает.
4)	Функция у = arctg х является нечетной: arctg (—х) = -arctg х.
Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х называются обратными тригонометрическими функциями.
Задача 1
Сравнить числа: 1	1	( 2	f 1
1)	arcsin и arcsin2) arctg I ~ I и arctg I --J.
► 1) Так как — > - и функция у = arcsin х возраста-3 4
ет, то arcsin — > arcsin i. 3	4
2	1
2)	Так как — < - - и функция у = arctg х возрас-3	2
тает, то arctg (	] < arctg [ -- ]. <1
221
о _
Задача 2 Решить уравнение arccos (2х + 1) = —.
4
► Так как — е [0; я], то по определению арккосину-4
са числа данное уравнение равносильно уравнению 2х + 1 = cos —, откуда 2х + 1 =	, х=- 2 +	. <1
4	2	4
Задача 3 Найти область определения функции
• х — 1 у = arcsin--.
3
► Так как функция у = arcsin х определена при ль* _ 1
-1 < х < 1, то функция у = arcsin-- определена
3
для тех значений х, для которых выполняются не-
Y _ 1
равенства -1 <----< 1. Отсюда
3
-3 < х - 1 < 3, -2 < х < 4. <
Упражнения
Сравнить числа (750—752).
1	2	( 2\	( 3 А 750 1) arcsin -== и arcsin	2) arcsin	и arcsin — .
/3	х^10	1	1 4j
751 1) arccos -jL и arccos -4=;	2) arccos | -- | и arccos I
х/з	V5	I	I 3j
752 1) arctg 2x3 и arctg 3x^2 ;	2) arctg I —| и arctg I	I.
1 42)	I
Решить уравнение (753—755).
753 1) arcsin (2 -Зх) =	2) arcsin (3 -2x) = 6	4
3) arcsin —	;	4) arcsin —- - =	.
4	4	2	3
754 1) arccos (2x + 3) =	2) arccos (3x + 1) = 3	2
3) arccos	= 2л;	4) arccos	1 = n.
3	3	3
755 1) arctg	1;	2) arctg	= £;
3) arctg (2x + 1) =4) arctg (2-3x) = 3	4
222
756 Найти область определения функции:
1) у = arcsin ^--5;	2) у = arccos (2 - Зх);
/—	2х2-5
3) у = arccos (2 V х - 3);	4) у = arcsin----.
3
757 Доказать, что график функции у = arccos х симметричен относительно точки I 0; - .
I 2)
7 Упражнения
к главе VII
758	Найти область определения функции: 1) у = sin х + cos х;	2) у = sin х + tg х; 3) y = ^sinx;	4) i/ = A/cosx; Ki	2х	cos х 5) у = „ .	,;	6) у ~	, 2 S1D X - 1	2 S1IT х - sin X
759	Найти множество значений функции: 1) у = 1 - 2 sin2 х;	2) у = 2 cos2 х - 1;
	3) у = 3 - 2 sin2 х;	4) у = 2 cos2 х + 5; 5) у = cos Зх sin х - sin Зх cos х + 4; 6) у - cos 2х cos х + sin 2х sin х - 3.
760	Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной: 1) у = х2 + cos х;	2) у = х3 - sin х; 3) у = (1 - х2) cos х;	4) у = (1 + sin х) sin х.
761	Найти наименьший положительный период функции: 1) у = cos 7х;	2) у = sin у.
762	Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [0; Зя]: 1) 2 cos х + VS = 0;	2) 7з - sin х = sin х; 3) 3 tg х = л/3;	4) cos х + 1 = 0.
763	Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2л; -л]: 1) 1 + 2 cos х > 0;	2) 1 - 2 sin х < 0; 3) 2 + tg х > 0;	4) 1 - 2 tg х С 0.
764	Используя графики, найти число корней уравнения: 1) cos х - х2;	2) sin х =
223
Проверь себя!
1
2
3
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
Найти область определения функции у - tg 4х. Является ли эта функция четной?
Построить графики функций у = sin х, у = cos х на отрезке [-л; 2я]. Для каждой из этих функций найти значения х из данного отрезка, при которых у (х) = 1, у (х) = -1, У (х) а 0, у (х) > 0, у (х) < 0.
Построить схематически график функции у = tg х на отрезке
Зл. л 2 ’ 2.
. Найти значения х, при которых tg х = О,
tg х < 0, tg х > 0 на данном отрезке.
Найти область определения функции:
1) У = tg(2x +	2) i/ = A/tgx.
k 6 J
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = cos4 х - sin4 х; 2) у = sin [ х + — | sin \ х - -
к 4 J к 4)
3) у = 1 - 2 | sin Зх|; 4) у = sin2 х - 2 cos2 х.
Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
1) у = sin х + tg х; 2) у = sin х tg х; 3) у = sin х |cos х|.
Найти наименьший положительный период функции:
1) у = 2 sin (2х +1);	2) у = 3 tg - (х + 1).
4
Решить графически уравнение:
1) cosx = |x|;	2) sin х = - |х 4-11.
Найти нули функции:
1) у - cos2 х - cos х; 2) у = cos х - cos 2х - sin Зх.
Найти все значения х, при которых функция у = 1,5 -- 2 sin2 ~ принимает положительные значения.
Найти все значения х, при которых функция у = tg 2х - 1
принимает отрицательные значения.
Построить график функции:
1) у = 2 sin Г— + -1-2;	2)
к 2 3 )
у = cos х - Vcos2 X.
Найти множество значений функции:
1) у = 12 sin х - 5 cos х; 2) у = cos2 х - sin х. Решить неравенство:
1) sin х > cos х; 2) tg х > sin х.
224
VIII
т глава
: Производная
- и ее геометрический смысл
У каждого человека есть определенный кругозор. Когда этот кругозор сужается до бесконечности малого, то он обращается в точку. Тогда человек и говорит, что это есть его точка зрения.
Д. Гильберт
Производная
Задача 1 На станции метро расстояние от тормозной отметки до остановки первого вагона равно 80 м. С какой скоростью поезд должен подойти к тормозной отметке, если дальше он двигается равнозамедленно с ускорением 1,6 м/с2?
► Для решения задачи нужно найти скорость движения поезда в момент прохождения тормозной отметки, т. е. мгновенную скорость в этот момент времени. Тормозной путь вычисляется по формуле s = где а — ускорение, t — время торможения. В данном случае s = 80, а = 1,6, поэтому 80 - 0,8£2, откуда t - 10 с. По формуле и = at находим мгновенную скорость и = 1,6 10 = 16, т. е. v = 16 м/с.
От мгновенной скорости зависит решение многих практических задач. Например, от скорости вхождения в воду спортсмена, прыгающего с вышки, зависит глубина его погружения; от скорости запуска спутника зависит выход его на заданную орбиту. При нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость движения за малый промежуток времени. Рассмотрим, как связаны
8 Алгебра и начала анали <а 10-11 кл.
225
между собой средняя и мгновенная скорости движения.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s (/), т. е. задана функция s (t).
Зафиксируем какой-нибудь момент времени t и рассмотрим промежуток времени от t до t + й, где h — малое число. За время от t до t + h точка прошла путь длиной
s (t + h) - s (О-
Средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна отношению
s (t + й) - s (О исо =-----------.
ср	h
Из курса физики известно, что при уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью в момент времени t и обозначается и (£)• Число v (t) называют пределом данного отношения при Л, стремящемся к нулю, и записывают так:
..	8(/+Л)-8(О
v(t) = hm ------------.
h -> о h
_	s(t + h) - s(t)
Это равенство означает, что отношение----------
можно рассматривать как приближенное значение мгновенной скорости о (t). Если Л, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность приближения становится сколь угодно малой, т. е. также стремится к нулю.
Например, если s (t) = 3t2, то
s (t + й)- 8 (О 3 (г + й)2 - 3t2
Уср - ——-	-	_
fl	fl
= ЗУ?2 = 6t + ЗЛ.
h
Если й -> О, то 6f + Зй -» б£, т. е. иср -> и (t) = 6t. _	s (t + й) - 8 (г)
Отношение ------------ называют разностным
h
отношением, а его предел при й —> О называют производной функции s (t) и обозначают s' (О (читается: «Эс штрих от тэ»).
Вообще, пусть функция f (х) определена на некотором промежутке, х — точка этого промежутка и число й * 0, такое, что х + й также принадле-
226
жит данному промежутку. Тогда предел разност-f (х + Л)- f (х)
ного отношения ------------- при п —> 0 (если
этот предел существует) называется производной функции f (х) в точке х и обозначается f (х) (читается: «Эф штрих от икс»). Таким образом,
/'(x)=lim ft -0	h
(1)
Отметим, что в формуле (1) число Л, где h ф 0, может быть как положительным, так и отрицательным, при этом число х + h должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f (х). Если функция f (х) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f (х) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Задача 2 Найти производную функции f (х) = х2.
►	Составим разностное отношение:
f(x+Л)-/(х) _(х+Л)2-х2 _2хЛ+Л2	h
h	h	h
Если Л -> 0, то 2х + Л -> 2х, поэтому
lim	~ цт (2х+ h) = 2х.
л -+0 h	л ->o
Следовательно, (x2)' = 2x. <1
Задача 3 Найти производную функции f (х) = х3.
►	Найдем сначала разность f (х + Л) - f (х) = = (х + Л)3 - х3 = х3 + Зх2Л 4- ЗхЛ2 + h3 - х3 = = h (Зх2 + ЗхЛ + Л2).
Составим теперь разностное отношение:
Hx+jQ-/(f) = Л (Зх2+ Зх/t + Й2) = Зх2 + 3хЛ + й2 . h	h
Если h -> 0, то Л2 -> 0 и ЗхЛ -> 0, поэтому Зх2 + ЗхЛ + Л2 —> Зх2. Следовательно, lim /	= Зх2 , т. е. (хзг = Зх2 <
ft ->о h
227
Задача 4 Найти производную функции f (х) = С, где С — заданное число. f (х + й) - f (х) С-С Л m
►		=---------------= 0. Так как разностное от-
й	й
ношение равно нулю при любом й * 0, т. е. его значение не меняется при h -> 0, то предел этого отношения также равен нулю. Таким образом, производная постоянной равна нулю, т. е. (С)' = 0. <1
Задача 5 Найти производную линейной функции f (х) = kx + b.
f (х+ h)- f (х) k (х + й)+ b-(kx+ b) kh и й	й	й
Так как разностное отношение равно й при любом й ф 0, то и предел этого отношения при й —> 0 также равен й. Следовательно, (йх + Ь)’ = й. <1 Применяя формулу
(йх + ЬУ - k, например, получаем
(Зх + 7)'= 3, (-2х + 1)'=-2, (5х)' = 5, (х)' = 1.
Изучение теории пределов не входит в программу средней школы. По этой причине в школьном курсе математики некоторые формулы производных строго не доказываются или вообще принимаются без доказательства.
При нахождении производных простейших функций мы пользуемся наглядными представлениями. Например, мы считаем наглядно понятным, что если h -> 0, то 5h -> 0, й2 -> 0, 5 - Зй -> 5 и т. п. Тем не менее приведем здесь строгое определение предела функции в точке и поясним его.
Определение. Число А называется пределом функции f (х) в точке х0 и обозначается lim / (х) = А, если для любого числа е > О суще-X ->х0
ствует такое число б > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |х - х0| < б, где х * х0, выполняется неравенство \f (х) - А| < е.
Поясним это определение предела функции. Число А является пределом функции f (х) в точке х0, если значения f (х) при х, достаточно близких к х0, становятся как угодно близкими к числу А, т. е. значения |/(х) - А| становятся как угодно малыми.
228
Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число е и убедиться в том, что для всех х, отличающихся от х0 меньше чем на некоторое число 5, модуль разности между f (х) и числом А будет меньше взятого числа s.
Например, если f (х) = (х - 2)2 + 3, то lim f (х) = 3.
х -> 2
Действительно, \f (х) - 3| = |х - 2|2. Пусть задано 8 > 0, тогда неравенство \f (х) - 3| < 8, т. е. неравенство | х - 212 < 8, равносильно неравенству |х - 2| < 77. Поэтому для всех х, таких, что |х — 2| < 8, где 5 = 77, справедливо неравенство \f (х) - 3| < 8. Например, если 8 = 0,01, то 5 = 0,1, а если 8 = 0,0001, то 6 = 0,01.
Производная функции является одним из особых пределов, имеющих большое практическое значение.
Понятие предела функции тесно связано с понятием непрерывности.
Если график функции на некотором промежутке представляет собой непрерывную линию, т. е. линию, которую можно провести, не отрывая карандаша от листа бумаги, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке (рис. 102). Приведем примеры функций, которые не являются непрерывными. Например, на рисунке 103 изображен график функции, которая непрерывна на промежутках [а; с] и (с; &], но разрывна в точке х = с и потому не является непрерывной на всем отрезке [а; &]. Все элементарные (линейная, квадратичная, тригонометрические и др.) функции, которые изучаются в школьном курсе математики, являются непрерывными на каждом промежутке, на котором они определены. Сформулируем теперь строгое определение непрерывности функции.
229
Определение. Функция f (х) называется непрерывной в точке х0, если lim / (х) = f (х0).
х-**0
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то ее называют непрерывной на
этом интервале.
Например, функция f (х), график которой изображен на рисунке 103, непрерывна на интервале (а; с), но не является непрерывной на интервале (а; Ь).
Отметим, что если функция имеет производную на
некотором интервале, то она непрерывна на этом
интервале.
Обратное утверждение неверно. Функция, непре-
рывная на промежутке, может не иметь производную в некоторых точках этого промежутка. Например, функция у = | х | непрерывна при всех значе-
ниях х, но
не имеет производной в точке х = 0. Действительно,
_ |х| _ f 1, если х>0,
х-0 х [-1, еслих<0, и поэтому разностное отношение /(х)-Г(О) ---------- не имеет предела при х
х -> 0.
Еще пример: функция у = | log2 х | непрерывна на промежутке х > 0, но не имеет производной в точке х = 1 (рис. 104).
Задача 6* Выяснить, в каких точках непрерывна функция
f (х) =
х^ — 9
----- при х * 3, х-3
5 при х = 3.
► Если х ф 3, то f (х) = х - 3, поэтому данная функция непрерывна во всех точках х ф 3, так как
Иш (х + 3) = х0 + 3, если х0 * 3. х->х0
Если х0 = 3, то х0 + 3 = 6, а по условию f (3) = 5, т. е. lim f (х) f (3), и поэтому данная функция х-->3
не является непрерывной в точке х = 3.
230
Упражнения
776 Точка движется по закону 8 (t) = 1 + St. Найти среднюю скорость движения за промежуток времени: 1) от t = 1 до t = 4;	2) от t = 0,8 до t = 1.
777 Найти среднюю скорость движения точки на отрезке [1; 1,2], если закон ее движения s - s (t) задан формулой: 1) s (0 = 2t;	2) s (t) = t2.
778 Найти мгновенную скорость движения точки, если:
1)	s (0 = 2t + 1;	2) 8 (<) = 2 - 3t.
779 Закон движения задан формулой s (t) = 0,25t + 2. Найти:
1)	среднюю скорость движения от t = 4 до t = 8;
2)	скорость движения в моменты t = 4 и t = 8.
780 Используя определение производной, найти f (х), если:
1) f (х) = Зх + 2;	2) f (х) = 5х + 7;
3)	f (х) = Зх2 - 5х;	4) f (х) = -Зх2 + 2.
781 С помощью формулы (kx + b)’ - k найти производную функции: 1) f (х) = 4х;	2) f (х) = -7х +5;	3) f (х) = -5х - 7.
782 Найти мгновенную скорость движения точки, если закон ее движения з (О задан формулой:
1) s(0 = |t2;	2) s(0 = 5t2.
783 Определить скорость тела, движущегося по закону s (t) = t2 + 2, в момент времени:
1) * = 5;	2) t = 10.
784 Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t (рис. 105). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 1], [1; 2], [2; 3].
785 Закон движения точки задан графиком зависимости пути s от времени t (рис. 106). Найти среднюю скорость движения точки на отрезках [0; 2], [2; 3], [3; 3,5].
786 Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство:
1) lim (2х + 1) = 3;	2) lim х2 = 4.
231
: Производная степенной функции
Задача 1 Доказать, что — =-----------.
V х ) х2
► Пусть f (х) = —, х * 0. Тогда х
f (х + Л)-/-(X) =-Ц -1 = *~(х+А> =-	\	,
х + h х (x+h)x (x+h)x f (х+ h)- f (x) _ i h	(x + h) x
Если h 0, to x + h -> x, и поэтому знаменатель дроби стремится к х2. Следовательно, f (х) = ——. х2
При этом предполагалось, что если х > 0, то и х + h > 0, а если х < 0, то и х - h < 0. Таким образом, формула | — | = —— справедлива при х ф 0.
\ х ) х2
Задача 2 Доказать, что (уГх)' = —
2Vx
► Пусть f (х) = Vx, х > 0, х + h > 0. Составим разностное отношение:
/(* + h)-f(x) _yjx+ h	h
Умножим числитель и знаменатель на сумму Vx + Й + у[~х . Получим
f (х + h)~ f (х) _ (л/х + h - Vx) (7x + h + Vx) _ h (\Гх~+ h + \1~х)
=	(х+ h)-x =h 1
h (Vx + h - у[х ) h (Vx + h + \lx) 4~x + h + V x
Если h -> 0, to Vx + й стремится к Vx, поэтому знаменатель последней дроби стремится к 2уГх.
Следовательно, f’ (х) =—
2 Vx
232
Таким образом, формула (Vx)' =—7= справедлива 2у/х
при х > 0. <
Итак, в этом и предыдущем параграфах получены следующие формулы для производных:
С = О, (х)' = 1, (х2)' = 2х, (х3)' = Зх2, (1Y = -A- (X * 0), (Vi)’ = -1= (х > О).
Четыре последние формулы являются формулами производной степенной функции f (х) = хр для р = 2, 3, -1, Их можно записать так:
2
(х2)' = 2х2 ~ 1 = 2х, (х3)' = Зх3 1 = Зх2, (X’1)' = (-1) X 1 1 =	(х2) = | X2 =-у^.
X2	2 2Vx
Вообще, справедлива формула производной степенной функции для любого действительного показателя:
(хР)’=рх₽ *.	(1)
Эта формула применима при тех значениях х, при которых ее правая часть имеет смысл.
( 1Y _2	( зу 1
Например, (х5)' = 5х4, ^x3J = х 3 , l^x2 J = х2 , (хч2У= у[2 xv2 ‘\
Задача 3
Вычислить f' (9), если f (х) = ~=. у х
► Л (х) = (х 2) = - - X 2 , 2
_3
Г(9) = _19-2=_±. <
Пользуясь формулами (хр)' = рхр 1 и (kx + Ъ)' - k, можно найти производные степенной и линейной функций, например (х7)' = 7х6, (Зх - 1)' = 3. В более сложных случаях, например при нахождении производной функции (Зх - I)7, можно воспользоваться следующей формулой:
((fex + Ь}РУ = pk (kx + ЪУ 1.	(2)
По формуле (2) при k = 3, b = -1, р = 7 имеем ((Зх - I)7)' = 21 (Зх - I)6.
233
Задача 4 Вычислить f (-3), если f (х) = 74-7х.
_1
► Запишем данную функцию так: f (х) = (-7х + 4)2.
1
По формуле (2) находим f (х) = -- (-7х + 4) 2. 2 _ 1
При х =-3 получаем f'(-3)=--25 2 =-0,7. < 2
Задача 5* Доказать, что (Vx)' = — на промежутке:
з37^
1)	х > 0; 2) х < 0.
1.
► 1) Если х > 0, то 7х = х3 и по формуле (1) полу-2
чаем (Vx/=-x 3 = - *___•.
з з37?
1
2)	Если х < 0, то Vx ~ -^/(-х) = - (-х)3 и по формуле (2) получаем
2
3	зМ(-х)2 з\ПЧ
Упражнения
	Найти производнук	> функции (787—792).
787	1) х6;	2) х7;	3) х11;	4) х13.
788	1) х-2;	2) х-3;	3) х"4;	4) х’7.
	1 1	2
789	1) х2;	2) х3;	3) х 7;	4)	.
790	D 4; 2> 4= X	X	3)	4) Чх*-,	5)	6) Vx	хл
791	1) (4х - З)2;	2)	(5х + 2) 3;	3) (1 - 2х) 6;
	4) (2 - 5х)4;	5)	(2х)3;	6) (-5х)4.
792	1) ?/2х + 7;	2)	V7-3x;	3) УЗх;	4) V5x.
793	Найти /' (х0), если:	
	1) f (*) = Xе, х0 = j	;	2) f (х) = х’2, х0 = 3;
	3) f (х) = Чх, х0 =	4;	4) /(x)=3^, х0 = 8;
	5) f (х) = 75-4х, :	г0= 1;	6) f (x) = -^L, х0= 1.
		v'3x+ 1
234
794 Построить график функции у = х4 и график функции, являющейся ее производной.
795 На рисунке 107 изображен график функции, являющейся производной ОДНОЙ ИЗ х функций у - х2, у = X3 или у = х2 . Установить функцию.
796 Найти производную функции:
1) -----—г',	2) ----i
(2+Зх)2	(3-2лг)3
3)	7(Зх-2)2 ;	4) 7(3-14х)2 ;
5)	*	6)	1
’V3x-7’	V(l-2x)2 ’
797 При каких значениях х производная функции f (х) равна 1,
если:
1) f (х) = х3;
2) f(x)=V^?
798 Найти мгновенную скорость тела, движущегося по закону 8(t)=Vt+i, в момент времени t = 3.
799 При каких значениях х выполняется равенство f (х) = f (х), если:
1) f (х) = (2х - I)2;	2) f (х) = (Зх + 2)3?
800 По данному на рисунке 108 графику квадратичной функции написать формулы, задающие саму функцию и ее производную.
801 Найти значения х, при которых значения функции i/ = 73х -7 равны значениям функции, являющейся ее производной.
Рис. 108
																	
																	
																	
																	
																	
								ТУ									X
				1													
				!													
																	
																	
																	
																	
235
Правила дифференцирования
При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования суммы, произведения и частного:
*	1. Производная суммы равна сумме производных:
(f М + g МУ = f' (х) + g' (х).	(1)
Подробно это свойство производной формулируется так: если каждая из функций f (х) и g (х) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула (1).
• * Обозначим f (х) + g (х) = F (х). Тогда F (х + Л) -- F (х) = f (х + й) - f (х) + g (х + h) - g (х). Поэтому разностное отношение равно
F(x+ h)-F(x) _ f (х + й)-/(х) g (x + h)~ g(x) h	h	h
При h —> 0 первая дробь в правой части имеет предел, равный f (х); вторая дробь имеет предел, равный g' (х). Поэтому левая часть имеет предел, равный F' (х) = f (х) + g' (х), т. е. справедливо равенство (1). О
Аналогично доказывается, что производная суммы нескольких функций равна сумме производных этих функций, производная разности равна разности производных.
Задача 1 Найти производную функции:
1)	f (х) = х3 - х2 + х - 3; 2) /(x)=Vx--^. V X
► 1) f (я) = (х3)' - МУ + (х)' - (ЗУ = Зх2 - 2х + 1;
2)	/'(x) = [x2J - [х 2) =|х 2 + “х 2. <]
' 2. Постоянный множитель можно вынести за
/ знак производной:
'ЙШ	(Cf (X))' = СГ (X).	(2)
236
• * Обозначим cf (х) - F (х), тогда
F(x+ h)-F(x) cf(x+ h)-cf(x) f (x+ h)- f (x) h	h	~C h.
откуда при /г —> 0 получаем F' (х) = cf (х). О
Задача 2 Вычислить f (-2), если f (х) = - х5 - Зх3 + 7х - 17.
4
> /’(x) = f|x5 Y-(Зх3)'+ (7х)' - (17)'=-у (х5)' -\ 4	)	4
-З(х3)' + 7 (х)’ =- х4-9х2 + 7,
4
Г (-2) = 1 (-2)4 - 9 (-2)2 + 7 = -9. <
4
Приведем без доказательства формулы производной произведения и частного.
< / 3. Производная произведения:
(f(x)^(x))'=f(x)g(x) + f(x)g'(x).	(3)
Задача 3 Проверить справедливость формулы (3), если f (х) = Зх2 - 5, g (х) = 2х + 7.
► В левой части формулы (3) получаем (/ (X) g (х))' = ((Зх2 - 5) (2х + 7))’ =
= (6х3 + 21х2 - 10х - 35)' = 18х2 + 42х - 10.
В правой части формулы (3) получаем
Г (X) g (х) + f (х) g' (х) =
= (Зх2 - 5)’ (2х + 7) + (Зх2 - 5) (2х + 7)' =
= 6х (2х + 7) + (Зх2 -5)2 = 18х2 + 42х - 10. <]
Задача 4 Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) = (х - I)9 (х + 2)6 равно нулю.
По формуле (3) получаем f (х) = 9 (х - I)8 (х + 2)6 + + 6 (х - I)9 (х + 2)5 = 3 (х - I)8 (х + 2)5 (Зх + 6 + 2х -- 2) = 3 (х - I)8 (х + 2)5 (5х + 4).
Решая уравнение 3 (х - I)8 (х + 2):> (5х + 4) = 0, находим, что f (х) = 0 при
х{ = 1, х2 = -2, х3 = -0,8. <]
4. Производная частного:
f _L£±2_Y =	# (*) ~ f (х) g'(x)
g2(x)
237
Задача 5 Найти производную функции F (х) = —-------
х2 + 1
► Обозначим х3 = f (х), х2 + 1 = g (х). По форму-
(х3)'(х2 + 1) - х3 (х2 + 1)'
ле (4) находим F' (х) =
(х2+ I)2
Зх2 (х2 + 1) - х3 2х _ х4 + Зх2
(х2 + I)2	(х2 + I)2
Задача 6 Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) = —i:
х2+ 3
1)	положительно; 2) отрицательно.
-2х
► По формуле (4) получаем f (х) =—--------
(х2 + 3 )2
—2х
1) Решая неравенство ---------- > 0, находим, что
(х2+ З)2
f (х) > 0 при х < 0.
—2х
2) Решая неравенство —-------— <0, находим, что
(х2 + 3 )2
f'(x) < 0 при х > 0. <j
5. Производная сложной функции.
Рассмотрим функцию F (х) = log2 (х2 + 1). Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию f (у) = log2 У> где У ~ ё (х) = х2 + 1, т. е. как функцию f (i/), аргумент которой также является функцией у = g (х). Иными словами, сложная функция — это функция от функции F (х) = f (g (х)). Производная сложной функции находится по формуле F’ (х) = f (у) я'(х), где у = g (х), т. е. по формуле
(5)
Рассмотрим примеры.
1) Пусть F (х) = (2х + I)2 + 5 (2х + 1).
Здесь f (у) = у2 + 5у, у = g (х) = 2х + 1.
По формуле (5) находим F' (х) = (2у + 5)  (2х + 1)' = = (2у + 5) 2 = (2 (2х + 1) + 5) 2 = 8х + 14.
з	з
2) Пусть F (х) = (х2 + I)2. Здесь f (у) = у2 ,у = g (х) = = х2 + 1. По формуле (5) находим
1	1
F’ (х) = - у2;(х2 + 1)' = — (х2 + I)2 2х = Зх у]х2 +1.
2	2
238
Упражнения
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
Найти производную функции (802—803).
1) х2 + х;	2) х2 - х;	3) Зх2;	4) -17х2;
5) -4х3;	6) 0,5х3;	7) 13х2 + 26;	8) 8х2 - 16.
1) Зх2 - 5х + 5;	2) 5х2 + 6х - 7;	3) х4 + 2х2;
4) х5 - Зх2;	5) х3 + 5х;	6) -2х3 + 18х;
7) 2х3 - Зх2 + 6х + 1;	8) -Зх3 + 2х2 - х - 5.
Построить график функции у = 3 (х - 2)2 + 1 и график функ-ции, являющейся ее производной.
Найти производную функции:
1) х2 + -^-;	2) х3 + —;	3) 2Vx-Vx; 4) зУх + Т1^.
х3	х2
Найти f (0) и f' (2), если:
1) f (х) = х2 - 2х + 1;	2) f (х) = х3 - 2х;
3) f (х) = -х3 + х2;	4) f (х) = х2 + х + 1.
Найти f'(3) и f(l), если:
1) f(*) = 1 + -V;	2) /(х) = Л + 1 + 1;
х X2	X
3) f(x)=-^--Д-;	4) / (х) = х2 -х 2.
л/х х3
Дифференцируема ли функция у = f (х) в точке х, если:
1)у = -Ц, х=1;	2) у = Зх~5 , х = 3;
х-1	(х-3)2
3) у = Vx+ 1, х - 0;	4) у = л/5-х, х - 4?
Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно 0, если:
1)	f (х) = х3 - 2х;
2)	f (х) = -х2 + Зх + 1;
3)	/ (х) = 2х3 + Зх2 - 12х - 3;
4)	f (х) = х3 + 2х2 - 7х + 1;
5)	f (х) = Зх4 - 4х3 - 12х2;
6)	f (х) = х4 + 4х3 - 8х2 - 5.
Найти производную функции:
1) (х2 - х) (х3 + х);	2) (x + 2)Vx;	3) (x-l)Vx.
Найти /'(1), если:
1) f (х) = (х - I)8 (2 - х)7;	2) f (х) = (2х - I)5 (1 + х)4;
3) / (х) = л/2~х (3-2х)8;	4) / (х) = (5х-4)6 V3x-2.
239
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
Пересекается ли график функции, являющейся производной функции у = х3 + 2х2 - Зх + 4, с графиком функции у = Зх + 1? При каких значениях х значение производной функции у - (х - З)5 (2 + 5х)6 равно О?
Найти производную функции:
X5 + X3 + X ' X + 1 Найти f (1), если:	2) уь^+1. х-1
1) f (Х)=^— xz + 1	2) f(x) = ^-. 1- 7х
Найти функцию f (g (х)), если:
з
1) g (х) = 1 - х, f (g) = g1 2 3;	2) g (x) = In x, f (g) = Jg.
Представить в виде сложной функции:
1) F (г) = ^2х2 -7;	2) F (х) = sin (х2 + 1).
Найти производную функции (818—821).
х3 + х2 + 16 .
X
хТх + Зх + 18
1) (2х - З)5 (Зх2 + 2х + 1);	2) (х - I)4 (х + I)7;
3) v'3x + 2 (Зх-1)4;	4) ^2x^1 (2х-З)3.
2х2-Зх+1 Зх2 + 2х-1	2-х Vx
1) ------- ; 2)   ---------; о) —. — + — .
х + 1	2х + 1	у/х 2-х
При каких значениях х значение производной функции f (х) = 2х3 - Зх2 - 12х + 1 равно О?
При каких значениях х значение производной функции
f (х) = ——- равно 3?
х + 1
При каких значениях х значение производной функции f (х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равно 11?
Выяснить, при каких значениях х производная функции принимает положительные значения:
1) f (х) = х4 - 4х2 +1;	2) f (х) = Зх4 - 4х3 - 12х2 + 3;
3) f(x)=(x + 2)2 Vx;	4) f (х)=(х-3) Vx.
240
826 Выяснить, при каких значениях х производная функции принимает отрицательные значения:
1) у = (5 - Зх)4 (Зх - I)3;
2) у = (2х - З)2 (3 - 2х)3;
827 Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени t по закону <p (t) = 0,112 - 0,5г + 0,2. Найти угловую скорость (в рад/с) вращения тела в момент времени t = 20 с.
828 Тело, масса которого т = 5 кг, движется прямолинейно по закону s = 1 - t + t2 (где я измеряется в метрах, t — в секундах). Найти кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.
829 В тонком неоднородном стержне длиной 25 см его масса (в граммах) распределена по закону т = 212 ч- 3/, где I — длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность:
1)	в точке, отстоящей от начала стержня на 3 см;
2)	в конце стержня.
830 Найти производную функции f (х) = д/х2 - 5х + 6 при х < 2 и при х > 3.
Производные некоторых элементарных функций
Элементарными функциями называют степенную, показательную, логарифмическую и тригонометрические функции, а также их различные комбинации. При решении многих практических задач часто приходится находить производные таких функций.
Например, напряжение в цепи переменного тока выражается формулой U (t) = A sin (oit + ср); для нахождения силы тока I (t) нужно уметь находить производную U' (t), так как I (t) = U' (£).
241
1.	Производная показательной функции.
Показательная функция f (х) = ах, где а > 0, а * 1, определена на всей числовой прямой и имеет производную в каждой ее точке. Любую показательную функцию можно выразить через показательную функцию с основанием е по формуле
ах = ех]па,	(1)
так как ех 1п а = (е1п а)х = ах. В курсе высшей математики доказывается, что функция ех обладает замечательным свойством: ее производная также равна е\ т. е.
{ехУ = ех.	(2)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
(е*1 * ЬУ = kekx х ь.	(3)
Например, (е3х ' ’)’ = Зе3х ‘	(е~2х~4)' = -2е~2х~4.
Задача 1 Найти производную функции ах, где а > 0, а 1. ► Используя формулы (1) и (3), находим (ахУ =
_ (ех in ay = in a  ex 111 a = In a • ax. <| Итак,
(ахУ = ax In a.	(4)
Например, (3х)' = 3х In 3, (0,7х)' = 0,7х In 0,7.
2*. Производная логарифмической функции.
Логарифмическую функцию logfl х с любым основанием а > 0, а ф 1 можно выразить через логарифмическую функцию с основанием е с помощью формулы перехода
log„x = ^.	(5)
Ina
Производная функции In х выражается формулой
(In = X > 0.	(6)
X
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
(In (fex + b))' = —(7) kx + b
Например, (ln(4x-3))' =———, (ln(l-2x))' = 4x - 3
-2 _	2
” l-2x ~ 2х-Г
242
Задача 2 Найти производную функции loga х, где а > О, а ф 1.
► Используя формулы (5) и (6), находим
(log, x)'=f^Y = J_(lnx)-=—1—. <
k In a J	In a	x In a
Итак, (log. *)'= -7—•	(8)
x Ina
Например, (log3 x)' =	(lg x)' =	— .
x In 3	x In 10
3. Производные тригонометрических функций.
Покажем, как можно вывести формулу производной синуса. Обозначим f (х) = sin х, составим разностное отношение:
f (х 4- Л) - f (х) _ sin(x + Л) - sinx _ h ~ h
2 sin - cos | x + | sin -	z x
=-----2--------=-------2_cosf x + ^1 (9)
Л	h	I	2}
2
Если h -> 0, to x + - -> x и cos f x + — ] -> cos x.
2	I 2 J
Можно доказать, что lim = 1. Тогда t ->o t
sin -
lim ----- = 1,
h > o h
2
и поэтому правая часть (9) имеет предел, равный cos х. Следовательно, левая часть (9) также имеет предел, который по определению равен f (х).
Таким образом, (sin х)' = cos х.
Аналогично можно убедиться в том, что (cos х)' = - -sin х.
Итак, справедливы формулы
(sin х)' = cos х, (cos х)'=-sin х. (10) Справедливы также формулы
(sin (kx + &))' = k cos (kx + b), (cos (kx + Ь)У - -k sin(£x + b).
Например, I sin [ - x --1 | I = - cos [ - x -1 |, k k 4	//4 k 4	)
(cos (3 - 4x))' = -(-4) sin (3 - 4x) = 4 sin (3 - 4x).
243
Задача 3 Найти производную функции tg х.
► Используя правило дифференцирования частного и формулы (10), находим (tg х? = sin х = COS X )
(sin х)' cos х - sin х (cos х)' cos2 x + sin2 x i cos2 X	cos2 X cos2 X
Итак, (tg x)' = —. <1 cos2 x
4. Применение правил дифференцирования и формул для производных к решению задач.
Приведем сводную таблицу.
(/ (х) + g (х))' = f' (х) + g' (х), (cf (х))' = cf (х), (f (х) g (х))' = Л (х) g (х) + f (х) g' (х), f £(*)-/(*) £'<*) g2(x)
f (g (x))' = r (g (x)) • g' (x).
((x)₽)' = pxp ” \ (ex)' = ex, (lnx)'=—, x
(ax)' = ax In a, (log„ x)’=—, x Ina
(sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x.
Задача 4
Найти производную функции:
f (х) = sin (2х 4- 1) - 3 cos (1 - х);
f (х) = е Зх sin (5х - 1); 3) f (х) = 1П Зх
1)
2)
1)
2)
3)
Г (х) = 2 cos (2х 4- 1) - 3 sin (1 - х);
f (х) = -Зе“3х sin (5х - 1) 4- 5е“3х cos (5х - 1);
3(х4-1)-1-1пЗх	.	, о
,, , v Зг	Г4-1-х1пЗх
f (X) = —-------------- = -------7—. <
(х + I)2	X ( X 4- I)2
Задача 5* Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) = х2 - 2 In х равно нулю; положительно; отрицательно.
2	2(х2-1)
► Найдем производную /' (х) = 2х — =---------.
х х
Заметим, что равенство (х2 - 2 In х)' = 2х спра-х
ведливо при тех значениях х, при которых обе части имеют смысл, т. е. при х > 0.
244
Выражение
2(х2-1)
равно нулю при хг 2 = ±1,
положительно на промежутках -1<х<0их>1; отрицательно на промежутках х<-1 и 0 < х < 1. Так как х > 0, то f (х) = 0 только при х = 1;
Г(х) > 0 при х > 1; f'(x) < 0 при 0 < х < 1. <
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
Упражнения
Найти производную функции (831—839).
1) ех + 1;	2) ех - х1 2;	3) е2х +	4) е Зх + \[х.
х
1)е2х-1 + 2х3;	2) е2*''-J х-V,	з)ео.зх-2+_1.
V х
4) е1 + х“3;	5) е*2;	6) е2х3.
1) 2х + ех; 2) 3х - х'2; 3) ?2х - х; 4) е3х + 2х2; 5) 3х2 +2.
1) 0,5х+ е3х; 2) 3х - е2х; 3) e2 x + Vx; 4) ?3-х + ^-.
х1
1) 2 In х + 3х;	2) 3 In х - 2х;	3) log, х + —;
2х
4) 3 х-3 - log3 х; 5) In (х2 - 2х);	6) (Зх2 - 2) log3 х.
1) sin х + х2; 2) cos х-1; 3) cos х + ех; 4) sin х - 2х.
1) sin (2х	- 1); 2)	cos (х + 2);	3) sin (3 -	х); 4)	cos (х3).
1) cos ( — -11 + е3х;	2)	sin f —	+ з1 + 2х;	3) 3cos4x- —.
U	)	1з	)	2х
1) C°S Х;	2) ——;	3)	In х •	cos Зх;	4)	log3 х	• sin 2х.
ех	sin х
Найти значение производной функции f (х) в точке х0: 1) f (х) = е2х 4 + 2 In х, х0 = 2;
2) f (х) = е3х-2 - In (Зх - 1), х0 =
3) f (х) = 2х - log2 х, х0 = 1;
4) f (х) = log 0 5 X - 3х, х0 = 1.
Выяснить, при каких значениях х значение производной
функции f (х) равно 0:
1) f (х) = х - cos х;
3) f (х) = 2 In (х + 3) - х;
5) f (х) = х2 + 2х - 12 In х;
2) f (х) = | х - sin х;
4) f (х) = In (х + 1) - 2х;
6) f (х) = х2 - 6х - 8 In х.
245
842
843
844
845
846
847
848
849
.850
851
852
853
854
855
856
Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) положительно:
1) f (*) = ех - х; 2) f (х) = х In 2 - 2х;
4) f (х) =ех уГх.
3) f (х) - ехх1 2;
Найти производную функции (843—851).
1)
V 3	5
1-х
3) 2е 3 +3 cos
2
1) 3J—-3 cos
V2-x	3
2) J^-21n^^;
V 6	3
2-x
4) 3e 3 -2 slnli-^.
2)
_________ x-4
2 4|----Ц- -5e^”
+ 2)3
1) 0,5х • cos 2x;	2) 5 Vx -e x; 3) e3 2x  cos (3 - 2x).
1) In уx- 1;	2) ev3’x;	3) In (cos x);
1) 2CO8X + 1;	2) 0,51 + 8inx; 3) cosVx+l;
1) у]x2 + 2x -1;	2) 3ylsin x;	3) ^/cos x;
1)	2) JU;	3)
sin x	3 x + 1	cos 2 x - 5
4) In (sin x).
4) sin (In x).
4) Jog2 x-fz2x
4) . „
1)	.	2) 2J~log2x.
x	ln2-x
sinx-cosx.	l-sin2x
1)	:	2) —	.
x	sin x - cos x
Выяснить, при каких значениях х значение производной функции f (х) равно 0:
1) f (х) = 5 (sin х - cos х) + у/~2 cos 5х;
2) f (х) = 1 - 5 cos 2х + 2 (sin х - cos х) - 2х.
Найти значения производной функции f (х) в точках, в которых значение этой функции равно 0:
1) f (х) = е2 In (2х - 1);	2) f (х) =---------.
sin х
Вычислить Л (х) + f (х) - 2, если f (х) - х sin 2х, х = я.
Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (*) = х - In х;	2) f (х) = х In х;
3) f (х) = х2 In х;	4) f (х) = х3 - 3 In х.
Найти производную функции In (х2 - 5х + 6) при х < 2 и при х > 3.
246
Геометрический смысл производной
Напомним, что графиком линейной функции у - kx + b является прямая (рис. 109). Число k = tg а называют угловым коэффициентом прямой, а угол а — углом между этой прямой и осью Ох.
Если й>0, то0<а<- (рис. 109, а); в этом слу-ИКЦ	2
Gf чае функция возрастает и говорят, что прямая на-HR правлена вверх.
Если k < 0, то ~ < а < 0 (рис. 109, б); в этом слу-
Ц чае функция у = kx + b убывает и говорят, что Щ прямая направлена вниз.
Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции у = f (х).
Пусть точки А и М принадлежат графику функции У = f М (рис. 110).
Пусть х и х + h — абсциссы точек А и М (рис. 111), тогда их ординаты равны f (х) и f (х + й). Из треугольника АСМ (рис. 111), где С (х + й; f (х)), найдем угловой коэффициент k прямой AM, который зависит от h (его можно рассматривать как функцию от h и писать k (й)). Имеем й (й) = tg Z.CAM = - Где МС = f (х + й) - f (х), АС = й, т. е.
АС
f(x + h)-f (х)
(1)
y = kx + b, k > 0
у = kx + by k <0
7^
x
Puc. 109
247
Пусть число х фиксировано, a h —> 0, тогда точка А неподвижна, а точка М, двигаясь по графику, стремится к точке А (рис. 111). При этом прямая AM стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции у = f (х), потому что lim k (h), существует л -> о
и равен f (х). Итак,
Г (х) = tg а.
(2)
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f (х) в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (х; f (х)).
Задача 1 Найти угол между касательной к графику функ-
ции у - sin х в точке (0; 0) и осью Ох.
Найдем угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х в точке (0; 0), т. е. значение производной этой функции при х = 0. Производная функции f (х) = = sin х равна f (х) = cos х. По формуле (2) находим
tg а = /'(0) = cos 0 = 1, а = arctg 1 = — (рис. 112). < 4
Отметим, что это свойство полезно для построения графика у = sin х: в точке (0; 0) синусоида касается прямой у = х (рис. 112).
248
Задача 2 Найти угол между касательной к параболе у = х2 в точке (1; 1) и осью Ох и написать уравнение этой касательной.
► Производная функции f (х) - х2 равна f (х) = 2х. По формуле (2) находим tg а = f (1) = 2 • 1 - 2, откуда а = arctg 2 (рис. 113).
Найдем теперь уравнение касательной АВ к параболе у = х2 в точке А (1; 1) (см. рис. 113). Если у - kx + b — уравнение прямой АВ, то k = tg а = 2, т. е. уравнение касательной имеет вид у = 2х + Ъ. Подставляя в это уравнение координаты точки (1; 1), получаем 1 = 2  1 + Ь, откуда b = -1. Следовательно, у = 2х - 1 — уравнение искомой касательной. О
Аналогично тому, как это сделано в задаче 2, выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке (х0; f (х0)) (рис. 114).
• Если у = kx + b — искомое уравнение, то по формуле (2) находим k = tg а = f' (х0), т. е. уравнение касательной имеет вид у = f (х0) х + Ь. Подставляя в это уравнение координаты точки (х0; f (х0)), получаем f (х0) = f (х0) х0 + Ь, откуда b = f (х0) -- Г (*о) хо-
Итак, уравнение касательной у = f (х0) х f (х0) -- f (х0) х0, или
У = f (*о) + Г (*о) (* - *<>)• °	(3)
Задача 3
Найти уравнение касательной к графику функции
у = cos х в точке с абсциссой х0 =
7Г
б’
► Найдем значения функции f (х) = cos х и ее произ-
249
Задача 4*
Используя формулу (3), найдем искомое уравнение касательной: у = — - - f х - —
2	2 I 6
или у = -- X -I-1 — + —	<1
2	2	12 J
Касательная к графику функ-
f л V3
ции у = cos х в точке —; 2—
у 6	2 )
изображена на рисунке 115.
Показать, что касательная к параболе у = х2 в точ-ке с абсциссой х0 пересекает ось Ох в точке Пусть f (х) = х2, тогда
Г (х) = 2х, f (х0) = xl и f (х0) = 2х0.
По формуле (3) находим уравнение касательной: У = xg + 2х0 (х - Xq) = 2хох - х%.
Найдем точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Из равенства х = ^. < 2
Отсюда следует простой построения касательной
ке А с абсциссой х0: прямая, проходящая через
точку А и точку — оси абсцисс, касается параболы 2
2хох - Xq = 0 находим
геометрический способ к параболе у - х2 в точ-
в точке А (рис. 116).
250
Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F. Напомним, что фокусом является точка, в которую нужно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы. Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси Оу, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, как и прямая АВ (рис. 117).
Упражнения
857 Найти значения k и Ь, если прямая у - kx + b проходит через точку (х0; г/0) и образует с осью Ох угол а:
1) а=^, х0 = 2, </0 = -3;	2) а = ± хй = -3, у0 = 2;
4	4
3) а = -£, х0 = 1, у0 = 1;	4) а = х0 = -1, уй = -1.
О	О
858 Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) / (х) = х3, х0 =1;	2) f (х) = sin х, х0 =
4
3) f (х) = In х, х0 = 1;	4) f (х) = ех, х0 = In 3.
859 Найти угол между касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0
1) =| *3> *0 = 1;
О
3) /(х)=2>/7, х0 = 3;
з»  1
5) f (х) =е 1 2 3 * 5 , х0 = 0;
И осью
2) /(х)=1, х0 = 1;
X
4) f(x)=™ х0 = 3;
V х
6) f (х) = In (2х + 1), хп = 2.
860 Написать уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0:
1) / (х) = х2 + х + 1, х0 = 1;	2) f (х) - х - Зх2, х0 = 2;
3) / (х) =-, х0 = 3;	4) / (х) = —, х0 =-2;
X	X
5) f (х) = sin х, х0 = у;
4
7) f (х) = In х, х0 = 1;
6) f (х) = ех, х0 = 0;
8) f (х) = Vx, х0 = 1.
861 Функция у - f (х) задана своим графиком (рис. 118, а, б). В каких точках А, В, С, D, Е, F, G производная этой функции принимает:
а) положительные значения; б) отрицательные значения; в) значения, равные 0?
251
Рис. 118
б)
862 Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:
1) f (х) = х + 1 ;	2) f (х) = sin 2х - In (х + 1).
X + 1
863 Найти угол между осью Оу и касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х = 0:
1) f (х) = х + е~х; 2) f (х) = cos х; 3) f (х) = Vx + 1 + е2.
864 Под каким углом пересекаются графики функций (углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к этим кривым в этой точке):
1) I/ = 8 - хи i/=4Vx + 4;	2) у = - (х + I)2 и у = - (х -1)2;
2	2
3) z/ = ln(l+x) и i/=ln(l-x);	4) у=ех и у = е~хе1
865 Показать, что графики двух данных функций имеют одну общую точку и в этой точке общую касательную. Написать уравнение этой касательной:
1)	у - х4 и у = х6 + 2х2;
2)	у = х4 и у - х3 - Зх2;
3)	у = (х + 2)2 и у = 2 - х2;
4)	у = х (2 + х) и у = х (2 - х).
866 Найти точки графика функции у = f (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = kx:
1) f (х) = ех + е"\ k =	2) f (х) = у/Зх - 1, /г = —;
2	4
3) f (х) = sin 2х, k = 2;	4) f (х) = х + sin х, k = 0.
У , L О
867 В каких точках касательная к графику функции у =----------
х-2
образует с осью Ох угол, равный -—?
4
868 Найти точки, в которых касательные к кривым
f (х) = х3 - х - 1 и g (х) = Зх2 - 4х + 1 параллельны. Написать уравнения этих касательных.
252
7 Упражнения
к главе VIII
Найти производную функции (869—874).
889 1) 2х4 - х3 + Зх + 4;	2) -х5 + 2х3 - Зх2 - 1;
3)63Vx + ^-;	4) 4--8Vx;	5) (2х + З)8; х2	X3
6) (4 - Зх)7;	7)>/Зх-2;	Я) 1 ....
Vl-4x
870 1) ех - sin х;	2) cos х - In х;	3) sinx-Vx;
4) 6х4 - 9ех;	5)^ + 4ех;	6)-±- + ±lnx.
х	Зх3 2
871 1) sin 5х + cos (2х - 3);	2) е2х - In Зх;
3) sin (х - 3) - In (1 - 2х);	4) 6 sin — -е1-3х . 3
872 1) х2 cos х;	2) х3 In х;	3) 5хех;
4) х sin 2х;	5) е~х sin х;	6) ех cos х.
873 1)	;	2)	;	3)	4)
х2+1	х3+1	х+1	1-х
874 1) sin3 х;	2) 8OOS *;	3) cos4 х;	4) In (х3).
875 Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю; положительно; отрицательно:
1) f (х) = 2х3 - х2;	2) / (х) - -Зх3 + 2х2 + 4;
3) f (х) = х5 - 5х3 -	20х;	4) f (х) = (х + З)3 (х - 4)2;
5) Г(х) = ^±1;	6)/(х)	=	х2+-.
х -2	х
876 Найти значение производной функции f (х) в точке х0, если:
1) f (х) = cos х sin х, х0 = -;	2) f (х) = ех In х, х0 = 1;
6
3) /(х) = —-у—х0 = ^;	4)	=	х0 = 0.
sin х	4	1 + ех
877 Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:
1) у = х2 - 2х, х0 = 3;	2) у = х3 + Зх, х0 = 3;
3) у = sin х, х0 = —;	4) у = cos х, х0--.
6	3
253
878
1
2
3
4
879
880
881
882
883
884
885
Закон движения тела задан формулой s (£) = 0,5f1 2 + 3t + 2 (s — в метрах, t — в секундах). Какой путь пройден телом за 4 с? Какова скорость движения в этот момент времени?
Проверь себя!
Найти значение производной функции f (х) = Зх3 + 4х - 1 в точке х = 3.
Найти производную функции:
1) - + 2 Vx -ех ; 2) (Зх - 5)4; 3) 3 sin 2х cos х; 4)	.
х	X2 + 5
Найти угловой коэффициент касательной к графику функ-
ции у = cos Зх в точке с абсциссой х0 =
я
б’
Найти угол между касательной к графику функции у = х4 - 2х3 + 3 в точке с абсциссой х0 - | и осью Ох.
Найти производную функции (879—881).
1) у = cos2 Зх;	2) у = sin х cos х + х;
3) у = (х3 + 1) cos 2х;	4) у = sin2 —; 2
5) у = (х+1)у[х2;	6) у = у/х -1 (х4 -1).
l-cos2x	Vx + 4
1) у = -	—;	2) у = —л—;
1 + cos 2 х	4 х
х	sin х + cos х
7/ —	и —	
&) У 1	»	1' У
V х + 2	sin х - cos х
1) log2 (х3 - х2 + 1); 2) (log2 х)3; 3) sin (log3 х); 4) cos 3х. На каком из рисунков 119 (а—г) изображены эскизы графиков функций, являющихся производными следующих функций: у = е х, у = In (-х), у = sin 2х, у = 2 cos х?
Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно нулю;
1) f (х) = 2х + 2 х;
3) f (х) = х + In 2х;
5) f (х) - 6х - х 7х;
положительно; отрицательно:
2) f (х) = 32х - 2х In 3;
4) f (х) = х + In (2х + 1);
6) f (х) = (х + 1) л/х + 1 - Зх.
Найти все значения а, при которых (х) > 0 для всех действительных значений х, если f (х) = х3 + Зх2 + ах.
Найти все значения а, при которых /' (х) < 0 для всех действительных значений х, если f (х) = ах3 - 6х2 - х.
254
Рис. 119
886 Найти все значения а, при которых уравнение f (х) = О не имеет действительных корней, если:
1) f(x)=ax1 2--^-;	2) f(x)=ax + —;
х2	х
3) f (х) = ах3 * + Зх2 + 6х;	4) f (х) = х3 + 6х2 + ах.
887 Найти все значения а, при которых неравенство f (х) < О не имеет действительных решений, если:
1) f (х) = ах7 + х3 - 1;	2) / (х) = х5 * + ах3 + 3;
3) f (х) = (х + а) уГх;	4) f (х) = х + -.
х
888 Под каким углом пересекаются графики функций:
1) у = 2 Vx и у = 2 ч/б -х; 2) у = у/2х + 1 и у = 1?
889 Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х0:
1) y = 2sin* х0 = ^;	2) //= 2"х - 2 2х, х0 = 2;
3) у = х0 = 2;	4) у = х + In х, х0 = е.
3 — х
255
890 Найти уравнения касательных к графику функции у = — х3 - - х2, параллельных прямой у = 6х.
3	2
891 Прямая касается гиперболы у = — в точке (1; 4). Найти х
площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.
892 Прямая касается гиперболы у = ~, где k > 0, в точке х
с абсциссой х0.
1) Доказать, что площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания. Найти эту площадь.
2) Доказать, что эта касательная проходит через точки (х0: — ] и (2х0; 0).
I *о )
893 Выяснить, при каких значениях р касательная, проведенная к графику функции у = х3 - рх в его точке с абсциссой х0 = 1, проходит через точку М (2; 3).
4х -2X~J
894 Найти все такие точки графика функции у =--------------,
In 4
в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = 2х + 5.
895 Найти расстояние от начала координат до той касательной к графику функции у = х In х, которая параллельна оси абсцисс.
896 Выяснить, при каких значениях параметра а прямая у = ах - 2 касается графика функции у - 1 + In х.
897 Найти общие касательные к графикам функций
f (х) = х2 - 4х + 3 и g (х) = -х2 + 6х - 10.
898 Две параллельные касательные к графику функции у = х3 - 6 пересекают оси координат: одна — в точках А и В, другая — в точках С и D. Найти площадь треугольника АОВ, если она в 4 раза меньше площади треугольника COD.
IX
т шва
? Применение производной т к исследованию функций
7 Теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или у пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх всего того, и умение.
~	А. Н. Крылов
1. Производная широко используется для исследования функций, т. е. для изучения различных свойств функций. Например, с помощью производной можно находить промежутки возрастания и убывания функции, ее наибольшие и наименьшие
значения.
Рассмотрим применение производной к нахождению промежутков возрастания и убывания функций.
Пусть значения производной функции у = f (х) по-
ложительны
9 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
на некотором промежутке, т. е. /'(х) > 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg а = f (х) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вверх, и поэтому график функции на этом промежутке «поднимается», т. е. функция f (х) возрастает (рис. 120). Если f'(x) < 0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательной tg а = Г (х) к графику
257
функции у = f (х) отрицателен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вниз, и поэтому график функции на этом промежутке «опускается», т. е. функция f (х) убывает (рис. 121).
Итак, если f (х) > 0 на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке.
Если f (х) < О на промежутке, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
Строгое доказательство этого утверждения выходит за рамки школьного курса математики.
2. При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется теорема 1, которая называется теоремой Лагранжа,
Теорема I. Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; b)t то существует точка с е (а; Ь) такая, что f (b) - f (а) = Г (с) (b - a),	(1)
Доказательство формулы (1) приводится в курсе высшей математики. Поясним геометрический смысл этой формулы.
Проведем через точки A (a; f (а)) и В (b; f (&)) графика функции у = f (х) прямую I и назовем эту прямую секущей. Угловой коэффициент секущей равен---------.
Ъ-а
Запишем формулу (1) в виде
(2)
Ь - а
258
Согласно формуле (2) угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке С с абсциссой с (рис. 122) равен угловому коэффициенту секущей Z, т. е. на интервале (а; д) найдется такая точка с, что в точке графика с абсциссой с касательная к графику функции у = f (х) параллельна секущей. Сформулируем и докажем с помощью теоремы Лагранжа теорему о достаточном условии возрастания функции.
Теорема 2. Если функция f (х) дифференцируема на интервале (а; Ъ) и Г (х) > 0 для всех х е (а; Ь), то функция возрастает на интервале <«; Ь).
ф Пусть Xj и х2 — произвольные точки интервала (а; Ъ) такие, что Xj < х2. Применяя к отрезку [Хр х2] теорему Лагранжа, получаем
f (х2) - f (х,) = f (с) (хг - х,), где с е (хх; х2).
Так как f (с) >0 и х2 - х} > 0, то из последней формулы получим f (х2) - f (xj > 0, т. е. f (х2) > f (xi)- Это означает, что функция f (х) возрастает на интервале (а; Ъ). О
Таким же способом можно доказать, что если функция f (х) непрерывна на отрезке [а; 6] и f (х) > 0 на интервале (а; д), то эта функция возрастает на отрезке [а; Ь].
Аналогично доказывается, что функция f (х) убывает на интервале (а; Ь), если f (х) < 0 на (а; д); если, кроме того, функция f (х) непрерывна на отрезке [а; 6], то она убывает на отрезке [а; Ь].
Задача 1 Доказать, что функция /(х) = х + - возрастает на х
промежутке х > 1.
1 х2 — 1
► Найдем производную: f (х) = 1 —- - —Если X2 х2
х2-1
х > 1, то —— >0, т. е. f (х) > 0 при х > 1, и поде2
этому данная функция возрастает на промежутке х > 1. <1
Промежутки возрастания и убывания функции часто называют промежутками монотонности этой функции.
259
Задача 2 Найти интервалы монотонности функции f (х) = х3 - Зх2.
► Найдем производную: f (х) = Зх2 - 6х.
Решая неравенство f'(x) > 0, т. е. неравенство Зх2 - 6х > 0, находим интервалы воз-Л	растения: х < 0, х > 2.
0	।	Решая неравенство f (х) < 0, т. е.
j / J |з х неравенство Зх2 - 6х < О, находим /	\	I	интервал убывания 0 < х < 2. <
I	\	/	График функции у = х3 - Зх2 изобра-
/	\	/	жен на рисунке 123. Из этого рисунка
/	\	/	видно, что функция у = х3 - Зх2 воз-
I	\ /	растает не только на интервалах х < О
I “4 у = х3- Зх2 и х > 2, но и на промежутках х < 0 и х > 2; убывает не только на интервале
Рис. 123	0 < х < 2, но и на отрезке 0 < х < 2.
Упражнения
899 Доказать, что функция f (х) = х2 + — возрастает на проме-х
жутке х > 1, убывает на промежутках х<0и0<х<1.
900 Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) У =	х2 -	х;	2)	у =	5х2	- Зх -	1;
3) у =	х2 -	2х;	4)	у =	х2 +	12х -	100;
5) у =	х3 -	Зх;	6)	у =	х4 -	2х2;
7) у =	2х3 - Зх2 - 36х + 40;	8)	у =	х3 -	6х2 +	9.
901 Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), определенной на отрезке [а; Ь], если:
1) а = О, Ъ = 5, f (х) > 0 при 0 < х < 5, f (1) = 0, f (5) = 3;
2) а =-1, & - 3,/'(х) < 0 при-1 <х< 3, f (0) = 0, f (3) = -4.
Найти интервалы возрастания и убывания функции (902—905).
902	1)	У =	2)г/ = 1 + —; х + 2	X	3) у = -Vх-3; 4) i/ = l + 3vx-5.
	1 \		(х-2)(8-х).
cTVO		х2 + 3 ’	*) у -	9	, X2
	3)	У = (X - 1) е3х;	4) у = хе~3х.
904	1)	у = ех2~3х;	2) у = Зх2~х.
905	1)	у = х - sin 2х;	2) у = Зх + 2 cos Зх.
		260	
906 Изобразить эскиз графика непрерывной функции у - f (х), определенной на отрезке [а; 6], если:
1) а = -2, 6 = 6, f(-2)= -1, f(6) =	5, / (3) = 0,	f'(3)	= 0,
Л(х) > 0 при -2 < х < 3, f'{x) < 0	при 3 < х <	6;
2) а =-3, 6 = 3, Н-3) = -1, f(3) =	4, Л(2) = 0,	Л(х)	<	О
при -3 < х < 2, f'(x) > 0 при 2 < х	< 3.
907к При каких значениях а функция возрастает на всей числовой прямой:
1) у = х3 - ах; 2) у = ах - sin х?
966 При каких значениях а функция у = х3 - 2х2 + ах возрастает на всей числовой прямой?
909 При каких значениях а функция у ~ ах3 + Зх2 - 2х + 5 убывает на всей числовой прямой?
Экстремумы функции
На рисунке 123 изображен график функции у = х3 - Зх2. Рассмотрим окрестность точки х = О, т. е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Как видно из рисунка, существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция х3 - Зх2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.
Аналогично точку х = 2 называют точкой минимума функции х3 - Зх2, так как значение функции в этой точке меньше ее значения в любой точке некоторой окрестности точки х = 2, например окрестности (1,5; 2,5).
Точка х0 называется точкой максимума функции f (х\ если существует такая окрестность точки х0, что для всех х* х0 из этой окрестности выполняется неравенство /(х) < f{x^.
261
Например, точка xQ = 0 является точкой максимума функции f (х) = 1 - х2, так как f (0) = 1 и при всех значениях х ф 0 верно неравенство f (х) < 1 (рис. 124).
Точка х0 называется точкой минимума функции f (х), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х * х0 из этой окрестности выполняется неравенство f (х) > f (х0).
Например, точка х0 = 2 является точкой минимума функции f (х) = 3 + (х - 2)2, так как f (2) = 3 и f (х) > 3 при всех значениях х 2 (рис. 125).
П Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.
Рассмотрим функцию f (х), которая определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет производную в этой точке.
Теорема. Если х0 — точка экстремума дифференцируемой функции f (х), то f (х0) =? 0.
Это утверждение называют теоремой Ферма'.
Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции у = f (х) в точке (х0; f (х0)), где х0 — точка экстремума функции у — f (х), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f (х0) равен нулю (рис. 126).
1 Пьер Ферма (1601—1665) — французский математик, один из основоположников теории чисел и математического анализа.
262
Например, функция f (х) = 1 - х2 (рис. 124) имеет в точке х0 = О максимум, ее производная f (х) = -2х, f (0) = 0. Функция f (х) = (х - 2)2 + 3 имеет минимум в точке х0 = 2 (рис. 125), f (х) = 2 (х - 2), Л (2) = 0.
Отметим, что если f (х0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х0 обязательно точка экстремума функции f (х).
Например, если f (х) = х3, то f (0) = 0. Однако точка х = 0 не является точкой экстремума, так как функция х3 возрастает на всей числовой оси (рис. 127). Итак, точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней уравнения f (х) = 0, но не всегда корень этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стационарными.
Заметим, что функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например, х = 0 — точка минимума функции f (х) = |х|, а Л(0) не существует (см. § 44). Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.
Таким образом, для того чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f (х), необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции. Приведем достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т. е. условия, при выполнении которых стационарная точка есть точка максимума или минимума функции.
263
Теорема. Пусть функция f (х) дифференцируема на интервале (а; Ь), х0 е (а; Ь), и f (х0) = 0. Тогда:
1) если при переходе через стационарную точку х0 функции f (х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т. е. f'(x) > 0 слева от точки х0 и f (х) < 0 справа от точки х0, то х0 — точка максимума функции f (х) (рис. 128);
2) если при переходе через стационарную точку х0 функции f (х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то х0 — точка минимума функции f (х) (рис. 129).
Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться формулой Лагранжа на отрезках [х; х0], где а < х < х0, и [х0; х], где xQ < х < Ь.
Задача 1 Найти точки экстремума функции f (х) = х4 - 4х3. ► Найдем производную:
f (х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).
Найдем стационарные точки:
4х2 (х - 3) = 0, х1 =0, х2 = 3.
Методом интервалов устанавливаем, что производная f (х) = 4х2 (х - 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.
Так как при переходе через точку х1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.
При переходе через точку х2 = 3 производная меняет знак с «-» на «+». Поэтому х2 - 3 — точка минимума. <
264
Задача 2 Найти точки экстремума функции f (х) = х3 - х и значение функции в этих точках.
► Производная равна
f (х) = Зх2-1 = 3|х + -^ II X--L |.
I 7зД V3)
Приравнивая производную к нулю, находим две стационарные точки:	и х2 - -i. При пере-
V3 73 ходе через точку xt = производная меняет знак 7з
с «+» на «-». Поэтому хх=-—L — точка максиму-73
ма. При переходе через точку х2 = -~= производная
7з
меняет знак с «-» на поэтому х2 - —L — точка 73
минимума. Значение функции в точке максиму-. (	1	2
ма равно f --т=- =—а в точке минимума
I 7зj з7з
/Ш=-ц=- <
17з7 з7з
Упражнения
910 На рисунке 130 изображен график функции у = f (х). Найти точки максимума и минимума этой функции.
911 На рисунке 131 изображен график функции у = f (х). Найти критические точки этой функции.
912 Найти стационарные точки функции:
1)	2) у = 2х3 - 15х2 -г 36х;
2 х
3) у = е2х - 2ех; 4) у = sin х - cos х.
265
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
Найти стационарные точки функции:
=	2) у =	3) у = е*2'1-,
х	2х
4) t/ = 2p’x.
Найти точки экстремума функции:
1) у = 2х2 - 20х +1;	2) у = Зх2 + 36х - 1;
3) y = f+	4)У = 1 + Х.
5 х	х 16
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках: 1) У = х3 - Зх2;	2) у = х4 * * - 8х2 + 3;
3) у = х + sin х;	4) у = 2 cos х + х.
Имеет ли точки экстремума функция:
1)	t/ = 2x + 5; 2) у = 7 - 5х; 3) у = х3 + 2х; 4)1/ = ^-^-?
2 х
Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), определенной на отрезке [а; &], если:
1)	а =-1,	Ь=7,	/ (-1) = 0,	/(7)= -2, f'(x)>0	при
-1 < х < 4,	f'(x) < 0 при 4 <	х < 7, /'(4) = 0;
2)	а = -5,	b = 4,	/(-5)=1,	f (4) = -3, f'(x) < 0	при
-5 < х < -1,	f'(x)	> 0 при -1	< х < 4, /'(-1) = 0.
Найти критические точки функции:
1) у = ^2 - Зх2 ;	2) у = д/х3 - Зх;
3)t/ = |x-l|;	4) у = х2 - |х| - 2.
Найти точки экстремума функции:
6
1) i/ = x + a/3-x;	2) у = (х-I)7 ;
3)	у = х - sin 2х;	4) у = cos Зх - Зх.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) У = —~-Х)2-;	2) у = - +2х ;	3) г/ = (х -1) e3jr;
(3-х)2	(х-1)2
4) у = sin х + - sin 2х;	5) у=е^3~х2;	6) у ~ ^ех - х.
2
Построить эскиз графика функции у ~ f (х), непрерывной на отрезке [а; Ь], если:
1) а - -6, Ъ - 6,	f (-6)	= -6, f (6) =	1, /'(*)> 0	при
-6 < х < -4,	-1 <	х < 4,	f'(x) < 0	при -4 < х	< -1,
4 < х < 6, f(-4) = 0, f' (-1) = 0, f(4) = 0;
2) а = -4, b = 5,	f (-4)	= 5,	/(5)=1,	Л(х) < 0	при
-4 < х < -3,	0 <	х < 3,	/'(*)> 0	при -3 < х	< 0,
3 < х < 5, f(-3) = 0, f(0) = 0, Г (3) = 0.
Исследовать на экстремум функцию у = (х + 1)" е~х, где п — натуральное число.
266
• Применение производной
~ к построению графиков функций
Задача 1 Построить график функции f (х) = х3 - 2х2 + х.
► Эта функция определена при всех х е R. С помощью производной найдем промежутки монотонности этой функции и ее точки экстремума. Производная равна f' (х) = Зх2 - 4х + 1. Найдем стационарные точки: Зх2 - 4х + 1 = О, откуда х, = —, х9 = 1.
1 3	2
Для определения знака производной разложим квадратный трехчлен Зх2 - 4х + 1 на множители: Г (х)=з[х-|')(х-1).
\ О /
Производная положительна на промежутках х < — 3 и х > 1, следовательно, на этих промежутках функция возрастает.
При — < х < 1 производная отрицательна, следо-
вательно, на этом интервале функция убывает.
Точка х, = —
1 3
является точкой максимума, так как
слева от этой точки функция возрастает, а справа
убывает. Значение функции в этой точке равно / (iWlf+ 1== А.
V3j k3j I3J 3 27
Точка х2 = 1 является точкой минимума, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в точке минимума равняется /(1) = 0.
Результаты исследования представим в следующей таблице:
X	X < - 3	1 3	1<Х<1 3	1	х > 1
Г (X)	+	0	-	0	+
f (X)		4 27		0	
267
Знак «/*» означает, что функция возрастает, а знак означает, что функция убывает.
При построении графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f (0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f (х) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:
х3 - 2х2 + х = 0, х (х2 - 2х + 1) = 0, х (х - I)2 = 0,
откуда х = 0, х = 1. Для более точного построения графика найдем значения функции еще в двух
точках: f	f (2) = 2.
I 2J 8
Используя результаты исследования, строим график функции у = х3 - 2х2 х (рис. 132). <
Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной примерно по такой же схеме, как и при решении задачи 1.
При исследовании свойств функции полезно найти: 1) область ее определения;
2)	производную;
3)	стационарные точки;
4)	промежутки возрастания и убывания;
5)	точки экстремума и значения функции в этих точках.
Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, быть может, еще несколько точек графика.
Задача 2 Построить график функции f (х) = 1 - - х2 - х5 .
2
► 1) Область определения — множество R всех действительных чисел.
2)	f (х) = -5х - 5х4 = -5х (1 + х3).
3)	Решая уравнение -х (1 + х3) = 0, находим стационарные точки х1 = -1их2 = 0.
4)	Производная положительна на интервале
-1 < х < 0, следовательно, на этом интервале
268
функция возрастает. На промежутках х < -1 и х > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.
5)	Стационарная точка xr = -1 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; f (-1) = -0,5. Точка х2 = 0 — точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»; f (0) = 1.
Составим таблицу.
X	X < -1	-1	-1 < х < 0	0	х > 0
Г (X)	-	0	+	0	-
f (X)		-0,5		1	
Используя результаты исследования, строим график функции у = 1--х2-х5 (рис. 133).
2
к
График функции у - 1 — х2 - х5 построен с помо-2
гцыо исследования некоторых свойств этой функции. По графику можно выявить и другие свойства данной функции. Например, из рисунка 133 видно, что уравнение 1 - - х2 - х5 =0 имеет три различ-2
ных действительных корня.
Для построения графика четной (нечетной) функции достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).
Задача 3 Построить график функции f (х) = х + -. х
► 1) Область определения: х ф 0.
2)	Данная функция нечетная, так как / (-х) =
= —х+ —-=—[ х + — |= -/(х). Поэтому сначала иссле-— х \ X )
дуем эту функцию и построим ее график при х > 0.
3)	f(x) = l-4 = (-x+-)(.-2-^. х2	х2
269
4)	На промежутке х > 0 функция имеет одну стационарную точку х - 2.
5)	Производная положительна на промежутке х > 2, следовательно, на этом промежутке функция возрастает. На интервале 0 < х < 2 производная отрицательна, следовательно, на этом интервале функция убывает.
6)	Точка х = 2 является точкой минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; f (2) = 4.
Составим таблицу.
X	0 < х < 2	2	х > 2
Г (х)	—	0	+
Г(Х)		4	
Найдем значения функции еще в двух точках: f (1) = 5, / (4) = 5.
Используя результаты исследования, строим график функции у = х + — при х > 0. График этой X
функции при х < 0 строим с помощью симметрии относительно начала координат (рис. 134). <1
270
Для краткости записи решения задач на построение графиков функций большую часть рассуждений, предшествующих таблице, можно проводить устно.
В некоторых задачах требуется исследовать функцию не на всей области определения, а только на некотором промежутке.
Задача 4 Построить график функции f (х) = 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2].
► Найдем производную
f (х) = 4х - 4х3 = 4х (1 + х) (1 - х).
Составим таблицу.
X	-1	-1 < х < 0	0	0 < х < 1	1	1 < х < 2	2
Г (*)	0	—	0	+	0	—	-24
f(x)	2		1	У1	2		-7
Используя эту таблицу, строим график функции у = 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2] (рис. 135). <3
Упражнения
923 Используя график функции у = f (х) (рис. 136), найти:
1)	область определения и множество значений функции;
2)	нули функции;
3)	промежутки возрастания и убывания функции;
4)	значения х, при которых функция принимает положительные, отрицательные значения;
5)	экстремумы функции.
924 Построить эскиз графика функции у ~ f (х), непрерывной на отрезке [а; 6], если:
1)	а = -2, b = 4, f (-2) - -2, у = f (х) возрастает на отрезке -2 < х < 1 и f (х) = х при 1 < х < 4;
2)	а = 1, 6 = 7, f (7) = 1, f (х) = х2 при 1 < х < 2, у = f (х) убывает на промежутке 2 < х < 7.
925 На отрезке [0; 6] изобразить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), пользуясь данными, приведенными в таблице. Учесть, что f (2) = 0, f (5) = 0.
1 X	0	0 <	С х <	1	1	1 <	С X <	: 4	4	4 <	С х <	: 6	6
Г (X)		+			0	—			0	+			
fix)	0				2				-2				3
271
Построить график функции (926—927).
926	1) у = х3 - Зх2 + 4; 3) у = -х3 + 4х2 - 4х;	2) у = 2 + Зх - х3; 4) у = х3 + 6х2 4- 9х.
927	1) у = -х4 + 8х2 - 16;	2) у = х4 - 2х2 + 2;
928	3) у = | х4 -X Xе;	4) у = 6х4 - 4х®. Построить график функции: 1) У = *3 ~ Зх2 + 2 на отрезке [-1; 3]; 2) у = х4 - 10х2 + 9 на отрезке [-3; 3].	
929 На рисунке 137 изображен график функции у = g (х), являющейся производной функции у = f (х). Используя график, найти точки экстремума функции у = f (х).
Построить график функции (930—933).
930 1) у = 2 + 5х3 - Зх5;	2) у = Зх5 - 5х3;
3)	у = 4х5 - 5х4;	4) у = — х5 -- х3 + 2х.
*	* 10	6
931 1) у = 3х + ^-;	2) у = --х;	3) у = х--^.
Зх	х	-Jx
932 1) у = хе~х; 2) у = хех-, 3) у = ех2;	4) у=е~х2.
933 1) У-~;	2) у =	3) У = ^х~2? 
х-2	х	(х-2)2
934 Найти число действительных корней уравнения:
1) х4 - 4х3 + 20 = 0;	2) 8х3 - Зх4 - 7 = 0.
х3 - 4
935 Построить график функции у =----------. Сколько действи-
х3 — 4
тельных корней имеет уравнение -------- = С при различ-
(Х-1)3
ных значениях С?
272
Наибольшее и наименьшее значения функции
52
1. На практике часто приходится решать задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех тех значений, которые функция принимает на отрезке.
Рассмотрим, например, график функции f (х) = = 1 + 2х2 - х4 на отрезке [-1; 2]. Этот график был построен в предыдущем параграфе (рис. 135).
Из рисунка видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в двух
точках х = -1 и х = 1; наименьшее значение, рав
ное -7, функция принимает при х = 2. Точка х = О
является точкой минимума функции f (х) = = 1 + 2х2 - х4. Это означает, что есть такая окрест-
ность точки х = 0, например интервал
что
2 2)
наименьшее значение в этой окрестности функция принимает при х = 0. Однако на большем промежутке, например на отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает не в точке минимума, а на конце отрезка. Таким образом, для нахождения наименьшего значения функции на отрезке нужно сравнить ее значения в точках минимума и на концах отрезка.
Вообще, пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет несколько критических точек на этом отрезке.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [а; Ь] нужно:
1)	найти значения функции на концах отрезка, т. е. числа f (а) и f (6);
2)	найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; Ь);
3)	из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
273
Задача 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = х3 + - на отрезке 2 .
х	L2
► 1) ^|1=6я> "2>=9Г
2)	f (х) =Зхг--|- = 3х\~3, Зх4 - 3 = 0, х. = 1, X2 X2
х2 - -1.
Интервалу [ —; 2 ] принадлежит одна стационарная ч 2	/
точка хг = 1, f (1) = 4.
3)	Из чисел 6 -, 9 - и 4 наибольшее 9 наимень-8	2	2
шее 4.
1
Ответ Наибольшее значение функции равно 9 наи-
2 меньшее равно 4. <3
Задача 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) - х + - на отрезке [2; 4].
► 1) f (2) = 2,5, f (4) = 4,25.
2)	Г'(х) = 1-4>	х, = -1, х2=1.
хг хл
На интервале (2; 4) стационарных точек нет.
3)	Из чисел 2,5 и 4,25 наибольшее 4,25, наименьшее 2,5.
Ответ Наибольшее значение функции равно 4,25, наименьшее равно 2,5. <
2. При решении многих задач часто приходится находить наибольшее или наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.
В практических задачах обычно функция f (х) имеет на заданном интервале только одну стационар
274
ную точку: либо точку максимума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f (х) принимает наибольшее значение на данном интервале (рис. 138, а); а в точке минимума — наименьшее значение на данном интервале (рис. 138, б).
Задача 3 Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.
► Пусть первый множитель равен х, тогда второй 36	36
множитель равен —. Сумма этих чисел равна х + —.
х	х
По условию задачи х — положительное число. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция f (х) = х + — х принимает наименьшее значение на интервале х > 0.
Найдем производную:
х2	X2
Стационарные точки х, = 6 и х2 = -6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак с «-» на «-», и поэтому х = 6 — точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция f (х) - х + — принимает х
в точке х = 6 (это значение f (6) = 12).
Ответ 36 = 6 6. <
3*. При решении некоторых задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции по
лезно использовать следующее утверждение:
Если значения функции f (х) неотрицательны на некотором промежутке, то эта функция и функция (f (х))л, где п — натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.
Задача 4* Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса Я, найти прямоугольник наибольшей площади.
► Найти прямоугольник — это значит найти его размеры, т. е. длины его сторон. Пусть прямоугольник ABCD вписан в окружность радиуса R (рис. 139).
275
-Ur2 - хг
Рис. 139
Обозначим АВ = х. Из ААВС по теореме Пифагора находим ВС = yjAR2 - х2 . Площадь прямоугольника равна
S(x) = х AR2 - х2 , где 0 < х < 2R.
Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция S (х) принимает наибольшее значение на интервале О < х < 2R. Так как S (х) > 0 на интервале О < х < 2R, то функции S (х) и f (х) = (S (х))2 принимают наибольшее значение на этом
интервале в одной и той же точке.
Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения х, при котором функция
f (х) = х2 (4R2 - х2) = 4Я2х2 - х4
принимает наибольшее значение на интервале О < х < 2R. Найдем производную
Г (х) = 8Я2х - 4х3 = 4х (R 42 + х) (R 42 - х).
На интервале 0 < х < 2R есть только одна стационарная точка х = R 42 — точка максимума. Следовательно, наибольшее значение функция f (х), (а значит, и функция S (х)) принимает при x=R 42.
Итак, одна сторона искомого прямоугольника равна R 42, другая равна ^4R2 -(R 42)2 =R 42, т. е. искомый прямоугольник — квадрат со стороной R 42, его площадь равна 2R2. <
Упражнения
936 Используя график функции (рис. 140), найти ее точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения.
937 Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = 2х3 + Зх2 - 36х:
1) на отрезке [-4; 3]; 2) на отрезке [-2; 1].
938 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (х) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2];
2) f (х) = х + — на отрезке [-2; -0,5];
х
3) f (х) - sin х + cos х на отрезке л; — .
276
									1		ьШ			L			
										— 1							
								т		в							
								1									
																	
								0									-X
																	
																	
																	
																	
Рис. 140
939 Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции:
1) f (*) = х2 3 + на интервале х > 0; х2
2) f (х) = — - х2 на интервале х < 0. х
940 Число 50 записать в виде суммы двух чисел, сумма кубов которых наименьшая.
941 Записать число 625 в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
942 Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник наибольшей площади.
943 Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с наименьшим периметром.
944 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f (х) - In х - х на отрезке -; 3 ; _ 2
2) f (х) = х 4- е х на отрезке [-1; 2];
3) f (х) = 2 cos х - cos 2х на отрезке [0; л].
945 Найти наибольшее значение функции:
1) 3 у/х - х Vx на промежутке х > 0;
2) Зх-2х >[х на промежутке х > 0.
277
946 Найти наименьшее значение функции:
1) е3х - Зх на интервале (-1; 1);
2) — + 1п х на интервале (0; 2). х
947 Найти наибольшее значение функции:
1)	хМЬ-х на интервале (0; 5);
2)	xV? - х на интервале (0; 4);
3)	^/х2 (1 - х) на интервале (0; 1);
4)	д/х2 — 4х + 5 на интервале (-1; 5).
948 Из квадратного листа картона со стороной а нужно сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по краям квадраты и загнув образовавшиеся края (рис. 141). Какой должна быть высота коробки, чтобы ее объем был наибольшим?
949 Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной а так, что одна сторона квадрата лежит на основании треугольника (рис. 142). Обозначая ВК = х, найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая.
950 Из всех прямоугольников, у которых две вершины лежат на оси Ох, а две другие — на параболе у = 3 - х2, выбран ‘ прямоугольник с наибольшей площадью. Найти эту площадь.
951 Найти на параболе у - х2 точку, ближайшую к точке А (2; 0,5).
952 Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок к основанию площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
278
: Выпуклость графика функции, ” точки перегиба
1. Производная второго порядка.
Пусть функция f (х) дифференцируема на интервале (а; Ь). Ее производная f (х) является функцией от х на этом интервале. Производную /' (х) данной функции f (х) называют также первой производной или производной первого порядка функции f (х). Если функция f (х) имеет производную (дифференцируема) на интервале (а; Ь), то эту производную называют второй производной или производной второго порядка данной функции f (х) и обозначают f" (х), т. е.
f" (х) = (Л(х))'.
Например, если f (х) = х4 - Зх2, то f (х) = 4х3 - 6х, f" (х) = 12х2 - 6, а если f (х) = sin 2х, то /'(х) = = 2 cos 2х, f"(x) = -4 sin 2х. Производную от второй производной функции f (х) называют третьей производной или производной третьего порядка этой функции и т. д. В § 49 и 50 было показано, как с помощью первой производной можно находить промежутки возрастания (убывания) функции и точки экстремума. Рассмотрим свойства функции, которые устанавливаются с помощью второй производной.
2. Выпуклость функции.
На рисунке 143 изображены графики функций, имеющих первую и вторую производные на интер-
279
Выясним, в чем заключается различие в поведении этих функций и какие свойства являются для них общими. На рисунке 143, а изображен график возрастающей, а на рисунке 143, б убывающей функции; функция, график которой представлен на рисунке 143, в, не является монотонной.
Однако все кривые, изображенные на рисунке 143, обладают общим свойством: с возрастанием х от а № Ъ угловой коэффициент касательной к каждой из данных кривых уменьшается, т. е. производная каждой из соответствующих функций убывает на интервале (а; б), и поэтому f" (х) < 0.
Из рисунков видно, что для любой точки х0 интервала (а; Ь) график функции у = f (х) при всех х е (а; Ь) и х * х0 лежит ниже касательной к этому графику в точке (х0; f (х0)).
Поэтому функции, графики которых изображены на рисунке 143, называют выпуклыми вверх. Дадим теперь определение выпуклости. Функция у = f (х), дифференцируемая на интервале (а; Ь), называется выпуклой вверх на этом интервале, если ее производная f (х) убывает на (а; Ь).
Аналогично функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (а; Ь), если f (х) возрастает на этом интервале (рис. 144), и потому f" (х) > 0.
Если х0 — любая точка интервала (а; Ъ), то график функции, выпуклой вниз, при всех х е (а; Ь) и х ф х0 (рис. 144) лежит выше касательной к этому графику в точке (х0; f (х0)).
Отметим еще, что если функция у = f (х) выпукла вверх, а Мх и М2 — точки этого графика (рис. 145), то на интервале (хг; х2), где а < хх < х2 < Ъ, график функции у — f (х) лежит выше прямой, проведенной через точки Мх и М2.
280
Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называют интервалами выпуклости этой функции.
Покажем, как с помощью второй производной можно находить интервалы выпуклости.
Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ъ) вторую производную. Тогда если f (х) < 0 для всех х е (а; Ь), то на интервале (а; Ъ) функция f (х)
выпукла вверх, а если f" (х) > О на интервале (а; Ь), то функция f (х) выпукла вниз на интервале (а; Ь).
Задача 1 Найти интервалы выпуклости вверх и вниз функции f (х), если:
1)	/ (х) = х3; 2) f (х) = sin х, -л < х < л.
► 1) Если f (х) = х3, то f" (х) = 6х. Так как (х) < О при х < 0 и /" (х) > 0 при х > 0, то на промежутке х < О функция х3 выпукла вверх, а на промежутке х > 0 выпукла вниз (рис. 146).
2)	Если f (х) = sin х, то f" (х) = - sin х. Пусть -л < х < 0, тогда sin х < 0 и f" (х) > 0. Следовательно, функция sin х (рис. 147) выпукла вниз на интервале (-л; 0). Аналогично функция sin х выпукла вверх на интервале (0; л), так как - sin х < 0 при 0 < х < л. <
Задача 2 Доказать, что если 0 < х < —, то sin х > — х. 2	л
► Прямая у = — проходит через точки (0; 0) и | ; 1 | л	к 2	)
(см. рис. 147). Так как функция у = sin х выпукла
281
вверх на интервале
то ее график на этом
интервале лежит выше прямой у = — х. Это и озна-л
чает, что на интервале (о; справедливо неравен-2
ство sin х > — х. <1 л
3. Точка перегиба.
В задаче 1 были рассмотрены функции х3 и sin х, для которых точка х - 0 является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз.
Точка х0 дифференцируемой функции / (х) называется точкой перегиба этой функции, если х0 является одновременно концом интервала выпуклости вверх и концом интервала выпуклости вниз для f (х).
Иными словами, в точке перегиба х0 дифференцируемая функция меняет направление выпуклости.
Отметим, что при переходе через точку перегиба х0 функции f (х) график этой функции переходит с одной стороны касательной к этому графику в точке х0 на другую сторону.
С помощью второй производной можно находить точки перегиба.
Пусть функция f (х) имеет на интервале (а; Ь) вторую производную. Тогда если f" (х) меняет знак при переходе через х0, где х0 е (а; д), то х0 — точка перегиба функции f (х).
Задача 3 Найти точки перегиба функции:
1) f (х) = хе~х; 2) f (х) = х4 - 2х3.
► Найдем первую и вторую производные функции.
1)	Г (х) = е х - хе х = е х (1 - х), f" (х) = -е х (1 - х) — е х = е г (х - 2).
Так как f" (х) < 0 при х < 2 и f" (х) > 0 при х > 2, то х = 2 — точка перегиба функции хе~х. Других точек перегиба нет.
2)	f (х) = 4х3 - 6х2, f” (х) = 12х2 - 12х = 12х (х - 1). Функция f" (х) меняет знак при переходе через точки 0 и 1 (и только в этих точках). Следовательно, х = 0 и х = 1 — точки перегиба функции f (х) = X4 - 2х3. <
282
Упражнения
953
954
955
...।
956
957
958
959
960
961
Найти f" (х), если:
1) f (х) = х2 cos х;	2) f (х) = х3 sin х;
3)	f (х) = х5 + 2х3 - х2 + 2;	4) f (х) = х4 - Зх3 + 5х + 6.
Найти интервалы выпуклости вверх и интервалы выпуклости вниз функции f (х), если:
1) f (х) = (х + I)4;	2) f (х) = х4 - 6х2 + 4;
3) f (х) = (х2 - Зх т 2) ех\ 4) f (х) = х3 - 6х In х.
Найти точки перегиба функции f (х), если:
1) f (х) = cos х, -л < х < л; 2) f (х) = х5 - 80х2;
3) f (х) = 12х3 - 24х2 + 12х;
4) f (х) - sin х - ± sin 2х, -л < х < к.
7 Упражнения к главе IX
Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) у - 2х3 + Зх2 - 2;	2) у = х3 - х2 - 4х + 5;
3) г/ = ^-1;	4) у =
х	х- 3
Найти стационарные точки функции:
1) У - х4 - 4х3 - 8х2 + 1;	2) у = 4х4 - 2х2 + 3;
3) у = - - —;	4) у = cos 2х + 2 cos х.
3 х
Найти точки экстремума функции:
1) у = х3 - 4х2;	2) у = Зх4 - 4х3.
Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:
1) у = х5 - 2,5х2 + 3;	2) у = 0,2х5 - 4х2 - 3.
Построить график функции:
1) j/ = ^- + 3x2;	2) </ = -^ + х2.
Построить график функции:
1) у = Зх2 - 6х + 5 на отрезке [0; 3];
2) у = ~ х4 - ~ х3 - х2 т 2 на отрезке [-2; 4].
283
962
963
964
965
1
2
3
* 4
5
966
967
968
969
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1)	f М = х3 - 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2)	f (х) = х3 + 6х2 + 9х на отрезке [-4; 0];
3)	f (х) = х4 - 2х2 + 3 на отрезке [-4; 3];
4)	f (х) = х4 - 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2].
Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.
Из всех равнобедренных треугольников с периметром р найти треугольник с наибольшей площадью.
Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна 600 см2, найти параллелепипед наибольшего объема.
Проверь себя!
Найти интервалы возрастания и убывания функции у = 6х - 2х3.
Найти точки экстремума функции у = — + -.
3 х
Построить график функции:
1) г/ = 2х4 - х2 + 1;	2) у = х3 - Зх.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
j/ = х + - на отрезке [1; 5]. х
Периметр основания прямоугольного параллелепипеда 8 м, а высота 3 м. Какой длины должны быть стороны основания, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?
Доказать, что функция у = 1,8х5-2 - х3 + 7х + 12,5 возра-
3
стает на всей области определения.
Доказать, что функция у = х (1 + 2 Vx) возрастает на всей области определения.
Найти точки экстремума функции:
1)</ = г1пх; 2) у = хех; 3) у =	.
7-х 3-х
На рисунке 148 изображен график функции у - g (х), являющейся производной функции у = f (х). Найти:
1)	интервалы возрастания и убывания функции у = f (х);
2)	точки экстремума функции у = f (х);
3)* точки перегиба функции у = f (х).
284
У
y = g(x)
a)
970
Построить график функции: п	2)
х -4

3)	у = (х - I)2 (х + 2);	4) у = х (х - I)3.
971 Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) f М = 2 sin х + sin 2х
на отрезке
0; я
2
2) f (х) - 2 cos х + sin 2х на отрезке [0; л].
972 Тело движется по закону s (t) = 6t2 - t3. Какова наибольшая скорость тела?
973 Из всех прямоугольных треугольников, у которых сумма одного катета и гипотенузы равна Z, найти треугольник с наибольшей площадью.
974 Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 40. Какую длину должны иметь катеты, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
975 Сумма диагоналей параллелограмма равна а. Найти наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон.
976 Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найти эту площадь.
977 Найти наибольший из объемов всех пирамид, у каждой из которых высота равна 12, а основанием является прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.
285
978
979
980
981
982
Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.
Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелепипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объем был наибольшим, а отношение длины к ширине рав-5 о нялось - ?
2
х2 - Зх + 2
Наити точки экстремума функции у =-----------.
х2+ Зх + 2
Построить график функции:
1)	у = (х2 - 1) Vx + 1;
2)	у = |х| • \11 + Зх;
3)	у = х2е~х;
4)	р = х3е~х.
Рис. 149
F
Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k.
X
i «лева
- Интеграл
1 Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.
т	Н. И. Лобачевский
Первообразная
54
Рассмотрим движение точки вдоль прямой. Пусть за время t от начала движения точка прошла путь s (t). Тогда мгновенная скорость v (/) равна производной функции s (t), т. е. v (£) = s'(t).
В практике встречается обратная задача: по заданной скорости движения точки v (t) найти пройденный ею путь s (t), т. е. найти такую функцию s (О, производная которой равна и (£)• Функцию s (t), такую, что s'(t)-v(t), называют первообразной функции v (О-
Например, если v (t) = at, где а — заданное число, at2
то функция з(£) =---- является первообразной
2
функции v (t), так как s'(t) = | -- | = at = v (t).
Функция F (х) называется первообразной функ-
ций
f (х) на некотором
промежутке,
если
для
Например, функция F (х) = sin х является первообразной функции f (х) = cos х, так как (sin х)' -= cos х, функция F (х) = — является первообраз-4
(4 Л ' —	= X3 .
4 J
287
Задача 1 Доказать, что функции —, — + 1,-----------4 являют-
ся первообразными функции f (х) = х2.
3	2
► 1) Обозначим F1(x) = —, тогда F^(x)=3 —=
3	3
= X2 = f (х).
г3
2) F2(x) = ^- + 1,
3
( г3
F't (*)= ^-+1
X
«3	f «3
3) f3(x) = i--4, 2^(х)= ^--4 о	\ 3
= Х2= f (х).
= X2 — f (X).
<
ллО
Вообще, любая функция — + С, где С — постоян-3
ная, является первообразной функции х2. Это следует из того, что производная постоянной равна нулю. Этот пример показывает, что для заданной функции ее первообразная определяется неодно
значно.
Пусть (х) и F2 (х) — две первообразные одной и той же функции f (х). Тогда F{ (х) = / (х) и F2 (х) = f (х). Производная их разности g (х) = = F-l (х) - F2 (х) равна нулю, так как gr (х) = F\ (х) --	(х) = f (х) - f (х) = 0.
Если g' (х) = 0 на некотором промежутке, то касательная к графику функции у = g (х) в каждой точке этого промежутка параллельна оси Ох. Поэтому графиком функции у = g (х) является прямая, параллельная оси Ох, т. е. g (х) = С, где С — некоторая постоянная. Из равенств g (х) = 0, g (х) = = Fi (х) - F2 (х) следует, что (х) = F2 (х) + С.
Итак, если функция F (х) является первообразной функции f (х) на некотором промежутке, то все первообразные функции f (х) записываются в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Рассмотрим графики всех первообразных заданной функции f (х). Если F (х) — одна из первообразных функции f (х), то любая первообразная этой функции получается прибавлением к F (х) некоторой постоянной: F (х) + С. Графики функций у = F (х) + С получаются из графика у - F (х) сдвигом вдоль оси Оу (рис. 150). Выбором С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку.
288
Задача 2 Для функции f (х) = х найти такую первообразную, график которой проходит через точку (2; 5).
► Все первообразные функции f (х) = х находятся по формуле F (х) = — + С, так как F' (х) = х. Найдем 2
х2
число С, такое, чтобы график функции у = — + С 2
проходил через точку (2; 5). Подставляя х = 2, 22
у = 5, получаем 5 = — + С, откуда С = 3. Следова-2
„2
тельно, F (х) = — + 3. <
2
Задача 3 Доказать, что для любого действительного р * -1 хр + 1
функция F (х) =---- является первообразной
р + 1
функции f (х) = хр на промежутке х > 0.
► Так как (хр * 1)' = (р + 1) • хр, то [ ——1 = —-- =
Ip+iJ р+1
= хр. <1
Упражнения
983 Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) на всей числовой прямой:
l)F(x)=—, f(x) = x5;	2) F(x) = —+ 1, f(x) = x4.
6	5
984 Показать, что функция F (х) является первообразной функции f (х) при х > 0:
1) F(x) = —, f(x) = -4;	2) F(x) = l + V^, /(х)=Ц=.
XX2	2 ylx
985 Найти все первообразные функции:
1
1) х4; 2) х3; 3) х’3; 4) х 2 .
986 Для функции f (х) найти первообразную, график которой проходит через точку М:
1) f(x) = x, М (-1; 3);	2)f(x)=Vx, М (9; 10).
987 Показать, что функция F (х) является первообразной функции /(х) на всей числовой прямой:
1) F (х) = Зе3 , f (х) =е3 ; 2) F (х) = sin 2х, f (х) = 2 cos 2х.
10 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
289
Правила нахождения первообразных
Напомним, что операцию нахождения производной для заданной функции называют дифференцированием. Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова integrare — восстанавливать).
Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных. Например, зная, что (cos х)' = -sin х, получаем (-cos х)' = sin х, откуда следует, что все первообразные функции sin х записываются в виде -cos х + С, где С — произвольная постоянная. Приведем таблицу первообразных.
Функция	Первообразная
хр, р * -1	XP +1 		+C p+ 1
1, х > 0 X	In x + C
ех	e“ + C
sin х	-cos X 4- C
cos X	sin x 4- C
(kx + b)p, p -1, k Ф 0	(kx-ЬУ 1 1 । c Hp+l)
kx + b	- In (kx + b) + C k
ellx~b.	О +
sin (kx + b), k * 0	-i cos (kx + b) 4- C
cos (kx + b), k 0	— sin (kx + b) + C k
290
Отметим, что во всех рассмотренных примерах и в дальнейшем функция F (х) является первообразной функции f (х) на таком промежутке, на котором обе функции F (х) и f (х) определены. Например, первообразной функции —-— является функ-2х - 4
ция - In (2х - 4) на таком промежутке, на котором 2
2х - 4 > 0, т. е. на промежутке х > 2. Правила интегрирования можно также получить с помощью правил дифференцирования. Приведем следующие правила интегрирования:
Пусть F (х) и G (х) — первообразные соответствен-gOgra но функций f (х) и g (х) на некотором промежут-ке. Тогда:
1) функция F (х) ± G (х) является первообразной ФУНКЧИИ f (х)± g (х);
2) функция aF (х) является первообразной функ-ЖЖ ции af (х).
Задача 1 Найти одну из первообразных функции / (х) = х2 + 3 cos х.
► Используя правила интегрирования и таблицу первообразных для функций хр при р = 2 и для cos х, находим одну из первообразных данной функции:
V3
F (х) = — + 3 sin х. <
Задача 2 Найти все первообразные функции е1" х - 4 sin (2х + 3).
► По таблице первообразных находим, что одной из первообразных функции е1 х является функция -ех х, а одной из первообразных функции sin (2х + 3) является функция -~cos(2x + 3). По 2
правилам интегрирования одна из первообразных данной функции: -е1 ~х + 2 cos (2х + 3).
Ответ -е1 ~ х + 2 cos (2х + 3) + С. <
Упражнения
Найти одну из первообразных функции (988—990).
988 1) 2х5 - Зх2;	2) 5х4 + 2х3;	3) - + Л:
X X2
4) Л--;	5) 6х2 - 4х + 3;	6)4Vx-6Vx.
X3 X
291
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
1) 3 cos x - 4 sin x;
3) ex - 2 cos x;
5) 5-e~x + 3 cos x;
7) 6 Vx-^+3ex;
X
1) (x + l)4;	2) (x - 2)3;
5) —+ 4cos(x + 2); x - 1
2) 5 sin x + 2 cos x;
4) 3ex - sin x;
6) 1 + 3ex -4 cos x;
8) ~^= + —-2e x.
-Jx X
3) -=£=; 4) ^=5=;
Vx-2	Vx+3
6) -^-2 sin(x-l).
Найти все первообразные функции:
1) sin (2х + 3);	2) cos (Зх + 4);	3) cos^-1^;
X + 1
4) sinf--5\ 5) e~;	6) e3x’5;	7)	8) —1—.
\ 4 J	2x Зх -1
Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через точку М:
1) f (х) = 2х + 3, М (1; 2);
3) /(x) = sin2x, б'
2) / (х) = 4х - 1, М (-1; 3);
4) /(х) = cos Зх, М (0; 0).
Найти одну из первообразных функции (993—996). х
1) е2х - cos Зх;	2) е4 + sin 2х;
v	2х+1	V	Зх
3) 2 sin -5е	3 ;	4) 3 cos - + 2е 2 ;
5	7
5) ,i^ + 4sin(4x + 2);	6) г-1=------—.
V5	7зх + 1 2х-5
2х4-4х3+Хф	6х3-Зх+2
3	’	}	5	’
3) (1 + 2х) (х - 3);	4) (2х - 3) (2 + Зх).
l)(2x + l)Vx; 2) (3x-2)Vx;	3)	4)
v; Vx
1) sin x cos x; 2) sin x cos 3x - cos x sin 3x.
Найти первообразную функции у = 2 sin 5х + 3 cos , кото-
рая при х = - принимает значение, равное 0. 3
Найти одну из первообразных функции:
1) ——;	2) - х ~	;	3) cos2 х; 4) sin Зх cos 5х.
х - 3	х2 + х-2
292
Площадь криволинейной трапеции и интеграл
Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке 151. Эта фигура ограничена снизу отрезком [а; &] оси Ох, сверху графиком непрерывной функции y = f(x), принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых х = а и х = Ь. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. Отрезок [а; 6] называют основанием этой криволинейной трапеции.
Выясним, как можно вычислить площадь S криволинейной трапеции с помощью первообразной функции f (х).
Обозначим S (х) площадь криволинейной трапеции с основанием [а; х] (рис. 152), где х — любая точка отрезка [а; д]. При х = а отрезок [а; х] вырождается в точку и поэтому S (а) = 0, при х = b имеем S (Ь) = S.
Покажем, что S (х) является первообразной функции f (х), т. е. S' (х) = f (х).
Ф Рассмотрим разность S (х + h) - S (х), где h > О (случай h < 0 рассматривается аналогично). Эта разность равна площади криволинейной трапеции с основанием [х; х + й] (рис. 153). Если число h мало, то эта площадь приблизительно равна f (х) • h, т. е. S (х + h)- S (х) » f (х) • h.
_	S(x+h)-S(x)	. . . _	.	_
Следовательно, ------------« f (х). При h -> О
Л
293
определению производной стремится к S' (х), а погрешность приближения при h —> 0 становится как угодно малой. Поэтому при h -> 0 получается равенство S' (х) = f (х). Это означает, что S (х) является первообразной функции f (х). О
Любая другая первообразная F (х) функции f (х) отличается от S (х) на постоянную, т. е.
F (х) = S (х) + С.	(1)
Из этого равенства при х = а получаем F (а) = = S (а) + С. Так как S (а) = 0, то С - F (а) и равенство (1) можно записать так:
S (х) = F (х) - F (а).
Отсюда при х = b получаем
S(b) = F (b) - F (а).
Итак, площадь криволинейной трапеции (рис. 151) можно вычислить по формуле
S = F (Ь) - F (а),	(2)
где F (х) — любая первообразная функции f (х).
Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F (х) функции f (х), т. е. к интегрированию функции f (х).
Разность F (d) - F (а) называют интегралом от функции f (х) на отрезке [а; Ь] и обозначают так: ъ
J f (x)dx (читается: <Интеграл от а до & эф от икс а
дэ икс»), т. е. ь \f(x)dx^F(b)~F(a).	(3)
а
Формулу (3) называют формулой Ньютона — Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального исчисления.
Из формул (2) и (3) получаем
ь
S = jf(x)dx.	(4)
а
294
Рис. 155
Задача 1 Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 154.
з
► По формуле (4) находим S =J х2 dx. Вычислим этот 1
интеграл с помощью формулы Ньютона — Лейбница (3). Одной из первообразных функции з
f (х) = х2 является F (х) =	. Поэтому S = | х2 dx =
3	*
1
= F(3)-F(1)=^--4=8|(kb. ед.). <
Формулы (3) и (4) справедливы и для случая, когда функция f (х) положительна внутри отрезка [а; &], а на одном из концов отрезка или на обоих концах равна нулю.
Задача 2 Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 155.
► Функция F (х) = -cos х является первообразной для функции f (х) = sin х. По формулам (3) и (4) полу-л
чаем S =j sin xdx = F (tc)-F (0)=(-cos tc)-(-cos 0) = о
= 1 + 1 = 2 (кв. ед.). <
Исторически интеграл возник в связи с вычислением площадей фигур, ограниченных кривыми, в частности в связи с вычислением площади криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, изображенную на рисунке 156. На этом рисунке основание трапеции — отрезок [a; fe] — разбито на п отрезков (необязательно равных) точками Хр Х2, ..., Хп _ р
295
У
Рис. 156
Через эти точки проведены вертикальные прямые. На первом отрезке [х0; xj выбрана произвольно точка ср и далее на этом отрезке построен прямоугольник высотой /(сг); на втором отрезке [х,; х2] выбрана точка с2, и на этом отрезке построен прямоугольник высотой /(с2) и т. д. Площадь данной криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей построенных прямоугольников:
S„ = f(CJ АХ1 + /(С2) ДХ2 + "• + f(Cn) АХ^ (5) где Axt — длина первого отрезка, т. е. Лх3 = = х} - х0, Дх2 = х2 - Xj и т. д. Таким образом, площадь S криволинейной трапеции можно приближенно вычислять по формуле (5), т. е. S ~ Sn. Сумму (5) называют интегральной суммой функции f (х) на отрезке [а; &]. При этом предполагается, что функция f (х) непрерывна на отрезке [а; &] и может принимать любые значения (положительные, отрицательные и равные нулю). Если п -> 00 и длины отрезков разбиения стремятся к нулю, то интегральная сумма Sn стремится к некоторому числу, которое и называют интегралом от функ-ь
ции f (х) на отрезке [а; &] и обозначают J f (x)dx. а
При этом также справедлива формула Ньютона — Лейбница.
Упражнения
999 Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную:
1)	графиком функции у = (х - I)2, осью Ох и прямой х = 2;
2)	графиком функции у = 2х - х2 и осью Ох;
296
3)	графиком функции у = —, осью Ох и. прямыми х = 1, ,х = 4; х
4)	графиком функции у = уГх , осью Ох и прямой х = 4.
1000 Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х - Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х): 1) а =	2,	b	= 4,	f (х)	= х3;
2)	а =	3,	b	= 4,	f (х)	= х2;
3)	а = -2, b ~ 1, f (х) = х2 + 1;
4)	а =	0,	д	= 2,	f (х)	= х3+	1;
5)	а=~,	&	= —, f (х) = sin х;
3	3
6)	а = --, b = 0, f (х) - cos х.
6
1001 Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и параболой: 1) у = 4 - х2;	2) у = 1 - х2;	3) у = -х2 + 4х - 3.
1002 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь, осью Ох и графиком функции у = f (х):
1) а = 1, 6 = 8, f(x)=Vx; 2) а = 4, 6 = 9, f(x) = /x.
1003 Найти площадь фигуры, ограниченной прямой х = Ъ, осью Ох и графиком функции у = f (х):
1) b = 2, f (х) = 5х - х2, 2 С х < 5; 2) b = 3, f (х) = х2 + 2х; 3)6 = 1, f(x) = e*-l;	4)6 = 2, f(x) = l-i.
X
Вычисление интегралов
Интегралы можно приближенно вычислять с помощью интегральных сумм. Такой способ требует громоздких вычислений. Его применяют в тех случаях, когда не удается найти первообразную функцию f (х) и для вычислений обычно используют ЭВМ, составляя специальные программы. Если же первообразная функция известна, то интеграл можно вычислить точно, используя формулу Ньютона — Лейбница.
297
	Приведем примеры вычисления интегралов по формуле Ньютона — Лейбница с помощью таблицы первообразных и правил интегрирования.
Задача	1 Вычислить интеграл |(x-l)dx. 0 ► Одной из первообразных функции х-1 является 1	/	\ х2	Г	1 I2	1 функция	х. Поэтому (х - l)dx =	1 - 2	*	12/ о	v	7 -f— -ol = —-1 = -—. <1 I 2	) 2	2 При вычислении интегралов удобно ввести следующее обозначение: F(b)-F(a) = F{x)\ba. Тогда формулу Ньютона — Лейбница можно записать в виде ь j f (x)dx = F (х)|‘ . а
Задача	а 2 Вычислить интеграл J sin xdx. - а а ► J sin xdx =(-cos x)|ee = (-cos a) -(-cos (-а)) = - а = -cos а + cos (-а) = 0, так как cos (-а) = cos а. <3 о
Задача	о 3 Вычислить интеграл Г 1	dx. Д V2X+ 3 3 3 _1 1 3 ► [ ^=J=dx = Г(2х + 3) 2 dx =(2х + 3)2	= _\V2x+3	Д 1 1 = (2-3 + 3)2 -(2 (-1) + 3)2 =3-1=2. <
Задача	я 4 Вычислить интеграл j*cos ^2х + j^jdx. я 2 Л	/	ч	z	X Я ► fcos 1 2х + — |dx = - sin | 2х + - 1 = J 1	4 J	2 <	4) * "	2 2
298
Задача		* 5 Вь 3 ► p 0 3 4 0	- sin [ 2 тс + - ] - sii Ц I 4) < 2 [числить интеграл 3 7x + ldx=J(x+l 0 (	3	о (x + l)2 - (x + l)2 \ ) --32- —-8^-f-- 5	3 J <5	1 л + 3 J X 5/ 0 -1)5/ dx = 2 V, 3 J	—V = - (-4j)	2^' x + Idx, 1 x + 1 dx - Г	5 |(X + 1)5- r“. <1 15	/2	f 5/2 ] 2	I	2 J 3 > |(X+1)2 | 7	3 0
1004 1005 1006 1007	Упражнения Вычислить интеграл (1004—1011). 1	3	2 1) Jxdx\	2) Jx2dx\	3) j3x2dx; 0	0-1 3	2	4 5)	6) f4dx:	7) J^dx; 2X	XX	1 e	In	2 1) Jldx;	2) |e*dx;	3) 1 X	0 л	я 4)	Jsinxdx;	5) Jsin2xdx;	6) -2п	-2	л 2	-1 1) j(2x-3)dx;	2) J(5-4x)dx;	3) -3	2 1	2 4) j(x2 + l)dx;	5) j(3x2 -4x + 5)dx. -1	0 4	9 <	\ 1) J(x-3 \Fx)dx-,	2) jl2x-Xldx; 2	3 3) Je3xdx;	4) [2e2xdx. 0	1					3 4) j2xdx; -2 9 8) J X 4 V X 2 л j cos xdx; - л 0 j cos 3xdx. -3 л 2 j(l-3x2)dx; -1	
299
I
1008 1) $x(x + 3)(2x-V)dx;
2
0
2) j*(x + 1) (x2-2)dx;
1
2 ,	\2
3) [I x + i I dx-, J к x J
2
1009 1) f dx;
i V*
dx; 3) f dx.
/x	J2 Jx+2
2	1
10101>fdbdx; 2)/ 1	0
1011 1) j* sin2 xdx;
— n
П
4
3) J (cos2 x - sin2 x)dx; о
3
5) Jx2 -J x + 1 dx;
0
2	/ \
—-—dx;	3) f sin | 2x + - ]dx.
3x+2	J	I	3j
о
л 2
2) | sin x cos xdx; о
4) J (sin4 x + cos4 x)dx; о
r x2 - 4x + 5
6)	---------dx.
J x-2
1012 Найти все числа b > 1, для которых выполняется равенство ь
J(b-4x)dx 6 -5b.
1
Вычисление площадей с помощью интегралов
Задача 4 Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х = -1, х = 2 и параболой у ~ 9 - х2.
► Построим график функции у = 9 - х2 и изобразим данную трапецию (рис. 157).
300
Искомая площадь S равна интегралу
2
S = J(9-x2)dx.
-1
По формуле Ньютона — Лейбница находим
2	2
S = J(9-x2)dx =	=(э-2-у)-
<21Г| = 24.<
3 )
Задача 2 Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2, у = 2х - х2 и осью Ох.
►	Построим графики функций у = х2, у = 2х - х2 и найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х2 = 2х - х2. Корни этого уравне-
ния хг = 0, х2 = 1. Данная фигура изображена на рисунке 158. Из рисунка видно, что эта фигура состоит из двух криволинейных трапеций. Следовательно, искомая площадь равна сумме площадей
этих трапеций: 1	2
S = j х2 dx + j(2x - x2)dx = — о	i
2
= 1. <
1
я . Зл 2’ 2
ком
Задача 3 Найти площадь S фигуры, ограниченной отрез-оси Ох и графиком функции у = cos х на этом отрезке.
►	Заметим, что площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной данной относительно оси Ох (рис. 159), т. е. площади фигуры, огра-
301
Рис. 159
оси Ох и графиком
я , 3_я .2 ’ 2
ниченной отрезком
функции у = -cos х
отрезке -cos х > О,
на отрезке
—; — . На этом L2 2 J
Зл 2 и поэтому S = j*(-cos x}dx = л
= (-sin х)
З.т
2 Г oit. Зя^ = -sin--------------
к к 2 J
f-sin = 2. <
I 2 J
Вообще, если f (х) < 0 на отрезке [а; 6], причем равенство нулю может быть лишь на его концах (рис. 160), то площадь S криволинейной трапеции ь
равна S = j(~f (x))dx. а
Задача 4 Найти площадь S фигуры, ограниченной параболой у = х2 + 1 и прямой у = х + 3.
Построим графики функций у = х2 4- 1 и у = х 4- 3. Найдем абсциссы точек пересечения этих графиков из уравнения х2 4- 1 = х 4- 3. Это уравнение имеет корни хх = -1, х2 = 2. Фигура, ограниченная графиками данных функций, изображена на рисунке 161. Из рисунка видно, что искомую площадь можно найти как разность площадей Sj и S2 двух трапеций, опирающихся на отрезок [-1; 2], первая из которых ограничена сверху отрезком прямой у = х 4- 3, а вторая — дугой параболы у = х2 4- 1. Так как
302
2	2
Sj = f(x + 3)dx, S2 = J(x2 + l)dx, -1	-1
2	2
to S = Sj - S2 = J(x + 3)dx - j(x2 + l)dx. -1	-1
Используя свойство первообразных, можно записать S в виде одного интеграла:
2
S = J((x + 3)-(x2 + l))dx =
Г	9	( X2	X3 V2	^1
- J(x + 2-x2)dx + 2х-^^| = 4,5. <
Вообще, площадь фигуры, изображенной на рисунке 162, равна ь
S=J(fa(x)-Mx))dx. (1) а
Эта формула справедлива для любых непрерывных функций (х) и f2 (х) (принимающих значения любых знаков), удовлетворяющих условию f2 (X) > Л (X).
Задача 5 Найти площадь S фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у = 2х2 - 1.
► Построим данную фигуру (рис. 163) и найдем абсциссы точек пересечения парабол из уравнения х2 = 2х2 - 1.
303
Это уравнение имеет корни 2 = ±1. Воспользуемся формулой (1). Здесь Д (г) = 2х2 - 1, f2 (х) = х2.
1	1
S = j(x2 -(2х2 -1)с?х = j*(~х2 + l)dx =
-1	-1
Упражнения
1013 На рисунке 164 изображены криволинейные трапеции. Найти площадь каждой из них.
Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями (1014—1023).
1014 1) Параболой у - (х + I)2, прямой у = 1 - х и осью Ох;
2)	параболой у = 4 - х2, прямой у - х + 2 и осью Ох;
3)	параболой у = 4х - х2, прямой у - 4 - х и осью Ох;
4)	параболой у = Зх2, прямой // = 1,5х + 4,5и осью Ох.
1015 1) Графиками функций у = \Гх, у = (х - 2)2 и осью Ох;
2)	графиками функций у = х3, у = 2х - х2 и осью Ох.
1016 1) Параболой у - х2 + Зх и осью Ох;
2)	параболой у = х2 - 4х + 3 и осью Ох.
1017 1) Параболой у = х2 + 1 и прямой у = 3 - х;
2)	параболой у = (х + 2)2 и прямой у = х + 2;
3)	графиком функции у ~ Jx и прямой у = х.
1018 1) Параболами у ~ 6х2, у = (х - 3) (х - 4) и осью Ох;
2) параболами у = 4 - х2, у - (х - 2)2 и осью Ох.
304
1019 1) Графиком функции у = sin х, отрезком [0; л] оси Ох и прямой, проходящей через точки (0; 0) и —; 1 ;
\ 2 J
2) графиками функций у = sin х, у = cos х и отрезком 0; —
2
оси Ох.
1020 1) Параболой у - 6х - х1 2 и прямой у = х + 4;
2) параболой у ~ 4 - х2 и прямой у = х + 2.
1021 1) Параболой у = 2 - х2 и прямой у - -х;
2) прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при
О < х < 2
1022 1) Параболой у = -х2 + 4х - 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; -3);
2) параболой у = -х2 и прямой у = -2;
3) параболами i/=l-x2 и у ~ х2 - 1;
4) графиком функции у ~ х3 и прямыми у = 1, х = -2.
1028 1) Параболой у = х2 + 10 и касательными к этой параболе, проведенными из точки (0; 1);
2) гиперболой у = —, прямой х = 1 и касательной к кривой х
у = — в точке с абсциссой х = 2. х
1024 Фигура ограничена линиями г/ = х2 + 1, у = 0, х - 0, х = 1. Найти точку (х0; у0) графика функции у = х2 + 1, через которую надо провести касательную к этому графику так, чтобы она отсекала от фигуры трапецию наибольшей площади.
: Применение производной и интеграла 7 к решению практических задач
1. Простейшие дифференциальные уравнения.
До сих пор рассматривались уравнения, в которых неизвестными являлись числа. В математике и ее
приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции.
305
Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости v (О сводится к решению уравнения s' (#) = v (t), где v (t) — заданная функция, a s (#) — искомая функция.
Например, если и (t) = 3 - 4#, то для нахождения s (О нужно решить уравнение з' (0 = 3- 4t. Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями.
Задача 1 Решить дифференциальное уравнение г/' = х + 1.
► Требуется найти функцию у (х), производная которой равна х + 1, т. е. найти первообразную функции х + 1. По правилам нахождения первообраз-2
ных получаем у = — + х + С, где С — произвольная 2
постоянная. О
Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной. Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется.
Задача 2 Найти решение у (х) дифференциального уравнения у1 ~ cos х, удовлетворяющее условию у (0) = 2. ► Все решения этого уравнения записываются формулой у (х) = sin х + С. Из условия у (0) = 2 находим sin 0 + С = 2, откуда С = 2.
Ответ у = 2 + sin х. <
Решение многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения
у’ = ky,	(1)
где k — заданное число. Решениями этого уравне-ния являются функции
У = Cekx,	(2)
где С — постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.
Например, скорость т' (t) размножения бактерий связана с массой т (t) бактерий в момент времени t уравнением
т' (t) = km (0, где k — положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции
т (t) = Cekt.
306
Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t = 0 масса тп0 бактерий известна. Тогда т (0) = /п0 = Cek 0 = С, и поэтому
т (О = mQekt.
Другим примером применения уравнения (1) является задача о радиоактивном распаде вещества. Если т' (О — скорость радиоактивного распада в момент времени t, то т' (t) = -km (f), где k — постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции
т (*) = Ce~kt.
Если в момент времени t масса равна т0, то С = т0, и поэтому
т (t) = тпое"“.	(3)
Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т. е. промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества. Пусть Т — период полураспада, тогда из равенства (3) при t = Т получаем = moe~kT, откуда 2
In 2
k -----. Поэтому формула (3) запишется так:
тп (t) = тп0 -2 т .
2. Гармонические колебания.
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т. д.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т. д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения
у” = -ш2у,	(4)
где со — заданное положительное число, у = у (х), у" - (у' МУ. Решениями уравнения (4) являются функции
у (х) = С\ sin (сох + С2),	(5)
где Ср С2 — постоянные, определяемые условиями конкретной задачи. Уравнение (4) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.
307
Например, если у (t) — отклонение точки свободно колеблющейся струны от положения равновесия в момент времени t, то
у (О = A sin (art + ср),
где А — амплитуда колебания, со — частота, ср — начальная фаза.
Графиком гармонического колебания является синусоида.
3. Примеры применения первообразной и интеграла.
Задача 3 Цилиндрический бак, высота которого равна 5 м, а радиус основания равен 0,8 м, заполнен водой (рис. 165). За какое время вытечет вода из бака через круглое отверстие в дне бака, если радиус отверстия равен 0,1 м?
► Обозначим высоту бака Н, радиус его основания 7?, радиус отверстия г (длины измеряем в метрах, время — в секундах).
Скорость вытекания жидкости и зависит от высоты столба жидкости х и вычисляется по формуле Бернулли
v = a y[2gx ,	(6)
где g = 9,8, а — коэффициент, зависящий от свой-
ства жидкости; для воды а = 0,6. Поэтому по мере убывания воды в баке скорость вытекания уменьшается (а не постоянна).
Пусть t (х) — время, за которое вытекает вода
из бака высотой х с тем же радиусом основания R
и с тем
Рис. 165
же отверстием радиуса г (рис. 165). Найдем приближенно разностное отноше-t (х + h)-t(x)
ние-------------, считая, что за время
~ t (х + Л) - t (х) скорость вытекания воды постоянна и выражается формулой (6). За время объем воды, вытекшей из бака, равен объему цилиндра высотой h с радиусом основания R (рис. 165), т. е. равен nR2h. С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого служит отверстие в дне бака, а высота равна произведению скорости вытекания и на время tp т. е. объем равен ;ir2vt1. Таким обра
308
зом, nl&h - nr2vtv Отсюда, учитывая формулу (6) и обозначение tA = t(x + h)-t (х), получаем
t(x+ h)-t(x) д2 1
Л	г2 ст y[2g 4х
причем погрешность приближения стремится к нулю при h -> 0. Следовательно, при h -> 0 получается равенство
' ’	4~х'
откуда
<(*) = д2 -2-/х+С. r2o y[2g
Если х = 0 (в баке нет воды), то t (0) = 0, поэтому С = 0. При х = Н находим искомое время

R2 4ъН г2 о y[g
Используя данные задачи, вычисляем
t (5) = ,0’8)2 Л» =108. (0,1)2 0,6 V9,8
Ответ
Задача 4
108 с. <1
Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.
По закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т. е. F = kx, где х — величина растяжения или сжатия (в м), k — постоянная. Из условия задачи находим k. Так как при х = 0,01 м сила F = 10 Н, то k = — = 1000. х
Следовательно, F (х) = kx = ЮООх.
Работа силы F (х) при перемещении тела из точ-ь
ки а в точку b равна А = (x)dx. а
Используя данные задачи, получаем
°’08	2 0,08
А = j lOOOxdx = 1000 —	=3,2 (Дж). <
о	2 о
309
Упражнения
1025 Тело движется прямолинейно со скоростью и (t) (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от t = tj до t - t2:
1)	v(t) = 3t2 +1, tj = 0, t2 = 4;
2)	v(t) = 2t2 + t, tv = 1, t2 = 3.
1026 Скорость прямолинейно движущегося тела равна v (0 = 4t - t2. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
1027 Решить дифференциальное уравнение:
1)	у'	=	3 - 4х;	2)	у’	= 6х2 - 8х + 1;
3)	у'	=	Зе2х;	4)	у'	= 4 cos 2х;
5)	у'	=	3 sin х;	6)	у'	= cos х - sin х.
1028 Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:
1)	у'	= sin х, у (0) =	0;
2)	у'	= 2 cos х, у (л)	=	1;
3)	у'	= Зх2 + 4х - 1,	у	(1)	= -2;
4)	у'	= 2 + 2х - Зх2,	у	(-1)	=	2;
5)	у'^е*, i/(l)= 1;
6)	у' = е~ху у (0) = 2.
1029 Показать, что функция у = Сх cos wx + С2 sin tax при любых значениях С, и С2 является решением дифференциального уравнения у" + <х>2у = 0.
1030 Масса радия, равная 1 г, через 10 лет уменьшилась до 0,999 г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5 г?
1031 Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.
1032 Вычислить работу, которую нужно затратить при растяжении пружины на 8 см, если сила в 3 Н растягивает пружину на 1 см.
7 Упражнения ' к главе X
1033 Для функции f (х) найти первообразную, график которой
проходит через точку М:
1) f (х) = cos х, М (0; -2);
3) f(x) = Af (4; 5);
5) fix) = Зх2 + 1, M (1; -2);
1034 Вычислить интеграл: 2	2
1)	j2dx; 2) J(3-x)dx; -1	-2
2)	f (x) = sin x, M (-n; 0);
4)	f (x) = e\ M (0; 2);
6) Hx) = 2-2x, M(2; 3).
з
3) j(x2-2x)dx;
1
4) j(2x-3x2)dx;
-1
2
7)	J cos xdx.
_7T
2
1035 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1)	у - Л, х = 1, х = 4, у = 0;
2)	у = cos х, х = 0, х = —, у - 0;
3
3)	у - х2, у = 2 - х; 4) у - 2х2, у = 0,5х + 1,5.
Проверь себя!
1
2
3
4
Показать, что функция F (х) = е2х + х3 - cos х является первообразной для функции f (х) = 2е2х + Зх2 + sin х на всей числовой прямой.
Для функции f (х) = Зх2 + 2х - 3 найти первообразную,
график которой проходит через точку М (1; -2). Вычислить:
2	4
1) J 3x3dx; 2) |
1	2 *
п 2
3) J cos xdx; о
к
4) j* sin 2xdx.
я
Найти площадь фигуры, ограниченной:
1)	параболой у = х2 + х - 6 и осью Ох;
2)	графиками функций у = х2 + 1 и у = 10.
311
Вычислить интеграл (1036—1037).
1
1036 1) |(5х4-8x3)dx; о
4
3)	f Vxf3--']dx;
J к X) 1
3
5) j*Vx + ldx; о
л 4 1037 1) f - cos | х + - |dx;
J 2 I 1) 0
3
3) J3 sin (3x -6)dx; i
2
2) j*(6x3 - 5x)dx;
-1
6) |V2x-3dx.
2
n
3	/	X
2)	f	—	sin | x	]dx;
J	3	\	3 /
о
3
4) j*8 cos (4x - 12)dx. о
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1038—1039).
1038 1) у=—, у - 4х, х = 1, у - 0; х
2) у =	1 X2 ’	о II S3» сч II н к II 2ft
3) у =	х2 +	1, у = х + 1;
4) у =	X2 +	2, у = 2х + 2.
1039 1) у =	X2 -	6х + 9, у = х2 + 4х + 4, у = 0;
2) у =	X2 +	1, у = 3 - х2;
3) У =	X2,	у = 2 V2x;
4) </ =	>/х,	1/ = л/4 -Зх, у = 0.
1040 Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой у = х2 - 2х + 2, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Оу, и прямой х - 1;
2) гиперболой у=—, касательной к ней, проходящей через х
точку с абсциссой х - 2, и прямыми у = 0, х = 6.
1041 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) у = х3 - Зх2 - 9х + 1, х = 0, у = 6, х < 0;
2) у = х4 - 2х2 + 5, у = 1, х = 0, х = 1.
1042 При каком значении k площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 + рх, где р — заданное число, и прямой у = kx + 1, наименьшая?
312
: Упражнения
; для итогового повторения t курса алгебры
4 и начал анализа
Умение решать задачи — практическое искусство, подобное плаванию, или ката нию на лыжах, или игре на фортепьяно: научиться этому можно, лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь...	„ „ .
Д. Поиа
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1. Числа и алгебраические преобразования
Найти 2,5% от 3,2.
Найти число, если 42% его составляют 12,6.
Какой процент составляет 1,3 от 39?
Сколько процентов составляет 46,6 от 11,65?
Найти число, 175% которого составляют 78,75.
Найти 180% от 7,5.
Цена товара была снижена сначала на 24%, а затем на 50% от новой цены. Найти общий процент снижения цены товара. В сплаве содержится 18 кг цинка, 6 кг олова и 36 кг меди. Каково процентное содержание составных частей сплава? Стоимость товара и перевозки составляет 3942 р., причем расходы по перевозке товара составляют 8% стоимости самого товара. Какова стоимость товара без учета стоимости его перевозки?
Высота пирамиды равна 5 см, а площадь ее основания равна 4 см2. На сколько процентов увеличится объем этой пирамиды, если и площадь ее основания, и высоту увеличить на 10% ?
313
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
При делении некоторого числа на 72 получится остаток, равный 68. Каким будет остаток, если это же число разделить на 12?
Сумма двух чисел равна 1100. Найти наибольшее из них, если 6% одного числа равны 5% другого.
По вкладу, вносимому на срок не менее года, Сбербанк выплачивает 3% годовых. Вкладчик внес в Сбербанк вклад в размере 600 р. Какую сумму денег он получит в конце второго года со дня вклада? в конце третьего года со дня вклада? По обычному вкладу Сбербанк выплачивает 2% годовых. Вкладчик внес 500 р., а через месяц снял со счета 100 р. Какая сумма денег будет на его счету по истечении года со дня выдачи ему 100 р.?
Вычислить (1057—1058).
1)	23,276 : 2,3 - 3,6  (17,2 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 • 3,2;
2)	9,25 • 1,04 - (6,372 : 0,6 + 1,125 • 0,8) : 1,2 + 0,16 • 6,25.
Гг8:1 —+ 7 — :22 + 1—-9—+ 14:1-1-3 — <43 3	4 2)	7.
2	4
2)	(± -0,37б1: 0,125 + f --^-1: (0,358 -0,108).
<2	)	< 6 12 )
Найти неизвестный член пропорции:
1) 10 :1 = х : 1 +	2) х : 0,75 = 9 ± : 14	3) — =
8	4	2	4	15	1,05
Вычислить (1060—1064).
15’5* -2  72 -494
<125 3
1)	log27 729;
f ±1 4
<81J
+ 452 -183 V5.
2)	log9 729;
3)	log । 729.
1) log ! л/64;
2) log8 log4 log2 16.
> (Л’
2) (г7**)'3 -г3.
1) log3-^+logeV36;
Уз
314
1065 Сравнить числа: 1	2	3
1) 2,57 и 2,50,5;	2) 0,23 и 0,24;
3)	log31Vio и log313;	4) logo,3 7 и log0,3|.
5	4
1066 Какому из промежутков 0 < а < 1 или а > 1 принадлежит число а, если: 1) а0’2 > 1;	2) а-1,3 > 1;	3) а3’1 < 1;
4)	а2’7 < 1;	5) logfl 0,2 > 0;	6) logfl 1,3 > 0?
1067 Какое из чисел больше:
,- log23-log4—	ъ,----	( -I Vой6 2	5
1)	V18 или 4 nJ 2) V18 или - ।	?
\6 j
1068 Между какими целыми числами заключено число: 1) 1g 50;	2) log2 10?
Упростить (1069—1070).
1069 1) 3, --^720+ 3V180-4, —;
V9 2	V 4
2)	—I 3 4
Ve-VK 4ь + 41 V6-V2
1070 1) 7а4 (9а2-ба+ 1);	2) 7&2 (464+462 + 1).
1071
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
5
2)
3
Vi + Vi
3) г-12 г’ 4) г-8 г--
V10 - V7	V11+V3
1072 Освободиться от иррациональности в числителе дроби:
1) —;	2)	3)	~v5 .
10	6	2
1073 Записать в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,(4);	2) 2,(7);	3) 0,(21);
4)	1,(36);	5) 0,3(5);	6) 0,21(3).
1074 Записать в виде десятичной периодической дроби число:
1)	2) 2	3) i; 4) 5-?-.
6	9	7	11
1075 Может ли быть рациональным числом:
1)	сумма двух положительных иррациональных чисел;
2)	произведение двух иррациональных чисел;
3)	частное от деления суммы двух неравных иррациональных положительных чисел на их произведение?
315
1076 Доказать, что если а и Ь — натуральные числа и 4аЬ — 17 рациональное число, то — также рациональное число, V b
а если -Jab — иррациональное число, то и J— — иррациональное число.
1077 Пусть а — рациональное число, b — иррациональное число, а ф О, b * 0. Доказать, что а + Ь, а • Ъ, - — иррациональ-b а
ные числа.
1078 Имеют ли общие точки промежутки:
1)	[1; 3V2+2 V7] и [Зл/З+4; 15];
2)	(0; V27+V6) и (748-1; 10);
3)	[2; 2 Тб + 2 Тб] и (3 72 + 722; 11);
4)	[1; 1 + 73] и I ; 4 |?
IV3-1	)
1079 Пусть 0 < а < Ь. Доказать, что на числовой оси:
1) точка а + ь — середина отрезка [а; 6];
2
2) точка а + Ьс, где с > 0, лежит внутри отрезка [а; 6].
1 + с
•1080 1) Вычислить диаметр х круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 166), если а = 6 см.
2) Вычислить угол а заготовки, изображенной на рисунке 167, если а = 4 см.
1081 Вычислить ширину I ущелья по данным, указанным на рисунке 168.
1082 Вычислить длину моста по данным, указанным на рисунке 169.
1083 Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них 0 < а < —1:
2 )
1) cos а = 0,8; 2) sin а = —; 3) tg а = 2,4; 4) ctg а = —.
Рис. 166
Рис. 167
316
Рис. 168
Рис. 169
1084 Вычислить cos 2а, если sin а = -.
3
1085
Найти значение выражения
sin + cos 690 0 - cos .
3	3
Вычислить (1086—1091).
1086 1) 2 arctg 1-3 arcsin —;
2
Jo	r~
2) 8 arccos — + 6 arctg V 3.
2
1087 1) sin I 2 arcsin j; 2)
tg (2 arctg 3).
1088 1) log4 sin —;
4
4) log2 cos — я;
3
1089 1) ctg (arctg л/3);
4) sin arctg ;
I V3 J
2) log10 tg у;	3) log8 sin | я;
4	4
5) log3 1 - log4 tg у • log5 cos 0.
4
2) ctg (arctg 1);	3) sin (arctg(-V3));
5) cos (arctg 1);	6) cos (arctg (-V3)).
1090 1) cos I 6 arccos -~-
2) sin (5 arccos 0).
sinacosa	,	3
1091 l) —--- при tg a = - ;
sin a - cos a	4
2) sin a cos a, если sin a + cos a = -. 3
Упростить выражение (1092—1094).
Ю92 1) «±2/2^-^:2a-3\ 2) f2 П .	+ 2 . 26+1.
a - 2lfl2 + 5a + 6 a — 2 J \ b) b2 — 4 b b
317
1093
1)
a
a2 -1
a2 + a - 1 a2 - a -1	2a3
a3 - a2 + a - 1 a3 + a2 + a + 1 a4-l’
1094
2)
a2 + 5a + 6
2a |	1 2
a2 + 4a+3 (a + l)2 + a+l a+3
1)
4 + 4 >la 2 -2a
2)
1
1095
Упростить выражение и найти его значение:
1)
при а = 5, х - 4;
a +
2) — a -
x2 a-y)a2-x2
x2 a + ^a2 - x2
Упростить выражение (1096—1103).
1096
1)
x2
2)
пг + 2m 2 + 1
1-x2
x2
2т2
2m 2
1
„ 2 i
m — 1
4m2 m - 1
1097
1)
6n • J— • J18mn ;
V2n
2)
a -1
3 1
a4 + a2
a2-a4
a2 + 1
•a4
1098
1)
2)
1-5
2
2
1
а - 1 .
1099
----------------a3b3.
_5	5
a~3b~2-b 3 a~2
1100
1)
а + Jab Jab+b2
-2
2аЬ
2) (Va+Vft)-2
4
1101
9а-25а-1
За2 - 5а 2
a + 7 + 10a 1
I 1
a 2 + 2 a 2
318
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
-2
- (b2 + 18b + 81)0,5.
1) 1+tg2,a ;	2) (1 + tg a) (1 + ctg a) - ----.
1 + ctg a	sin a cos a
1 - (sin a + cos a )2	2
Доказать тождество ---------------------=2 tgz a.
sin a cos a - ctg a
Упростить выражение (1105—1106).
1) sin2 (a + 8tu) + cos2 (a + 10л);
2) cos2 (a + 6rc) + cos2 (a - 4л:).
sin 2 a	sin a cos (л - a)
2(1-2 cos2 a) 1-2 sin2 a
Доказать тождество X------------Sin = - sin x - cos x.
1 + sin x 1 - cos x
Разложить на множители:
1) 1 + cos a + sin a;	2) 1 - cos a - sin a;
3) 3 - 4 sin2 a;	4) 1 - 4 cos2 a.
Доказать, что если a + p + у = я, то:
1) sin a + sin P - sin у = 4 sin — sin - cos
2	2	2
2) sin 2a + sin 2p + sin 2y = 4 sin a sin p sin y.
Известно, что tg a - 2. Найти значение выражения: sin a + sin a cos a	2 - sin a
9 Z	’	2) “	~ •
cos a + 3 cos a sin a	3 + cos a
Известно, что tg a + ctg a = 3. Найти tg2 a + ctg2 a.
Упростить выражение (1112—1117).
.. cos a + sin a ± ( к	«ч x Г я	1-sin 2a
1)--------------tg - + a ;	2) tg2 - - a------------.
cos a - sin a k 4	)	\2	) 1 + sin 2 a
1) tg a + tg P ♦ g) (sin a + cos a)2 + (sin a - cos a)2; ctg a + ctg p
319
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1) tg2(x .	2) * 1 + ctg2 a ♦	3) tg a ~ tg P .
1 + ctg2 a ’	ctg2 a	ctg a + ctg p ’
4) (tg a + ctg a)2 - (tg a - ctg a)2.
1)1+ cos 2a
2 cos a
sin a + sin 3a + sin 5a
О J	~
cos a - cos 3a + cos 5a
1 sin 2 a + cos 2 a + 2 sin2 a .
sin (-a) - sin (2,5я + a)
Доказать тождество:
1-cos (2л-2a)
1 - cos2 (a + я)
2)
tg a - sin a tg a + sin a
. 4 2 sin 2 a + sin 4 a
4) -------------------
2 sin 2 a - sin 4 a
cos 2a - sin 2a - 2 cos2 a
cos (-a) - cos (2,5л + a)
sin2 (a+ 90°)	, z
--------------= 1 + cos (a - 90 ).
1 + sin (- a)
Упростить выражение (1119—1124).
5 cos x - 3 sin x sin 2 x - 8 sin2 x
cos 2x
sin — - x + sin (- x)
<2	)
sin (x -2 л) cos
1) cos2 (a + 2p) + sin2 (a - 2p) - 1;
2) sin2 (a + 2p) + sin2 (a - 2p) - 1.
cos 4a - cos 2a
sin 3 a sin a
4 sin2 a - sin2 2 a 4-4 sin2 a - sin2 2 a
\l~2 - cos x - sin x sin x - cos x
1 + cos a + cos 2a + cos 3a cos a + 2 cos2 a - 1 tg22atg2a-l
9	9	’
tg2 a - tg2 2 a
1 - cos x + sin x + tg x sin x + cos x
_	sin a cos a	,	3
Вычислить —----------—, если ctg a = -.
sin2 a - cos2 a	4
Упростить выражение и найти его числовое значение при 2-3 sin2 a sin a + 2 cos a я данном значении a:--------------------------, a =-—.
cos 2 a sin a + cos a	8
Доказать тождество (1127—1135).
tg (a - P) + tg p _ cos (a + p)
tg (a + p) - tg p cos (a - p)
1) 1 + sin a = 2 cos2 f —- —1;	2) 1 - sin a = 2 sin2 f ~—
U 2)	U 2
320
1129
ИЗО
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1) sin I а + — I - sin а - — I - V3 cos а;
к ЗУ I 3)
2) cos - + а + cos [ - - а I = 73 cos а. кб )	)
.. ч	2	.	«х ctg а - tg а
1) -------------= sin а; 2) ------------------------ cos 2а
tg « + ctg “	ctg а ' tg
(1 + cos а) tg = sin а.
-.ч х 2 cos 2а	л , 2 -cos 2а
1) l-tg2a =-----—;	2) l-ctg2a =-------—.
cos a	sin^ а
1 + cos а + cos 2а = 4 cos a cos - + — cos - - — .
I 6 2 ) I 6 2 J
1) 1-2 sln2 a = 1 ~ tg a ,	1	= ! ! (1- tg2 a)2 .
1 + sin 2a 1 + tg a	4 sin2 a cos2 a	4 tg2 a
, ( л A 1+sin 2a л 1-sin 2a .	>
3) tg - + a =--------------;	4) ---------= ctg2 - + a .
\ 4	)	cos 2 a	1 + sin 2 a \ 4 J
1) 4 sin x sin I — - x I sin I — + x | = sin 3x;
J <3 J
2) cos 3x cos 6x cos 12x =------------.
8 sin 3x
2. Уравнения
Решить уравнение:
Зх- 16 + ।_x+6___x + 3,
'	12	“ 4	6 ’
2) 5(х_7)_3х_Мх-8)=_Гх + 43>
3	7 I 3 )
При каком значении а уравнение a (x - 3) + 8 = 13 (x + 2) имеет корень, равный 0?
При каком значении b уравнение 1 - b (х + 4) = 2 (х - 8) имеет корень, равный 1?
Решить уравнение (1139—1150).
1) х (х + 1) - (х + 2)	(х + 3) + 9	=	х (х	+ 4) - (х + 5) (х + 2);
2) 2 (х + 3) (х + 1) +	8 = (2х +	1)	(х +	5).
3 2	_	4 .	5	]	2	_ И
х+3	х-3	х2-9*	х-2	х-4	х2-6х +	8
1) (а - Ь) х = а2 + (а	+ Ь) х;	2)	а2х	= а + b + Ь2х.
1) х2 - 2х - 15 = 0;	2)	Зх2	+ 4х - 4 = 0.
1) (х - 3) (х - 2) = 6 (х - 3);	2) X2 -	1 = 0.
6	2
11 Алгебра и начала анализа I'J-11 кл.
321
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1)	+ -*— =0;	2) ~^*1 2 - -2 = —+
х+ 1	х-1	Зх-1 Зх + 1
1) Зх-1 7	7х2-28 । 18 ,	2) х+1	12 ^2-х
х + 2	2 + х х2 - 4	2-х’	х + 3	х2-9	3-х
2 1 = 2х-1
х2 - х + 1	х+1 X3 + 1
1) х-4 + ±=0;
X
2)	---12-+ 4 = 0.
х + 2 X + 2
1) х4 - Их2 + 30 = 0;
1) 2х"2 + 4х-1 -3 = 0;
1) х2 + ах-Ь2 + — = 0;
2) 2х4 - 5х2 + 2 = 0.
2) (х2 - х)2 + 12 = 8 (х2 - х).
2\ 2х х _	5о2
2х - а 2х+ а 4х2 - а2
При каком условии трехчлен ах2 + Ъх + с является квадратом двучлена?
Доказать, что корни уравнения ах2 + Ьх + а = 0 есть взаимно обратные числа, если а 0.
Решить уравнение (1153—1154).
1) |2х - 3| = 7;	2) |х + б| = 2х;	3) 2х-7=|х-4|.
1) |6 - 2х\ = Зх + 1;	2) 2 |х - 2| = |х| - 1.
Найти наименьший корень уравнения | х2 - Зх - 61 = 2х.
Найти наибольший рациональный корень уравнения |х2 - 8х + 5| = 2х.
Решить уравнение (1157—1173).
1) л/2х + 7 = х + 2;	2) х - 2 - V2x -5.
1) 95х-95х1 = 8;	2) 2х + 4-2х = 120.
1 (5х - 6 )	..	/ < \6
1) 52х * 5 • 73х + 1 = 352	;	2) 0,2 х -52х + 2 = - .
1) 2,43-2х = 2,43х-2; 2)f->|=f^l	; 3) — =f — 1 .
< з) 15) VeUeJ
i) (j)	=|;	2) V27 • V37 =216.
1) 5х’1 + 5х + 5х 1 = 155;
2) 32x - 2 • 32x 1 - 2 • 32x 2 = 1;
3) 7х - 7х -1 = 6;	4) 3х ’ 2 + 3х = 10.
1) 32х - 3х = 72;	2) 4х - 2х + 1 = 48.
322
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1) (log2 x)2 - 3 log2 x + 2 = 0;	2) (log3 x)2 + 5 = 2 log3 x3.
1) In 2 - In (x + 2);	2) log3 V3x -6 -log3 Vx -3 = 1.
x + 1
1) lgf| + x1=lg|-lg x; 2) 2 lg x =-lg—Ц-. к 2 J 2	6 - x2
1)	log2 (2x - 18) + log2 (x - 9) = 5;
2)	lg (x2 + 19) - lg (x + 1) = 1.
1) 5log3 x2 - 6  5Iog3 x + 5 =0;	2) 2510g3 x-4-5log3 X + 1 = 125.
l)xlgx=10;	2) xlog3X = 9x;
3)	xlg x - 1 = 10 (1 - x lg x);	4) x';7 =
1)	7 • 4х2 - 9 • 14х2 + 2 • 49х2 = 0;
2)	5X + 4 + 3 • 4хх3 = 4X + 4 + 4 • 5хх3.
1) log4 (2 - Vx + 3) = 1;	2) log j д/х2-2х = -1;
з	2
3)	| log3 (x +1) = logg Vx + 4 -2 log3 V2 .
1) x1 + ,gx = lOx; 2) xlgx = lOOx;
3) log2 (17 - 2х) + log2 (2х + 15) = 8;
4) log2 (3 + 2х) + log2 (5 - 2х) = 4.
Могут ли корни уравнения (х - т) (х - п) = k2 быть чисто мнимыми, если т, пи k — действительные числа?
Решить уравнение (г — комплексное число): 1) 22 + 4з + 19 = 0;	2) z2 - 2z + 3 = 0.
Решить графически уравнение:
1) 0,5х = 2х - 1;	2) 2х = 3-х2;
4) logjX=4x2;	5) 2х = log0>5 х;
2
3) log3 х - 4 - х;
6) =log3 х.
\ о J
Используя графики синуса или косинуса, найти все корни
уравнения, принадлежащие промежутку [-л; Зл]:
1) cosx = --;	2) sinx = -—
2	2
Решить уравнение (1178—1200).
1) sin2x=-; 2) cos3x = - —; 2	2
1) 3 cos2 х - 5 cos x - 12 = 0;	2)
1) (3-4 sin x) (3 + 4 cos x) = 0;
2) (tg x + 3) (tg x + 1) = 0.
3) 2 tg x + 5 - 0.
3 tg2 x - 4 tg x + 5 = 0.
323
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1) sin 2x = 3 sin x cos2 x;
3) cos 2x + cos2 x = 0;
1) sin 2x = 3 cos x;
3) 2 cos2 x = 1 + 4 sin 2x;
1) cos x + cos 2x = 0;
3) sin 3x + sin x = 2 sin 2x;
1) 2 cos x + sin x = 0;
1) 4 sin4 x + sin2 2x = 2;
1) д/З sin 2x-cos 2x = V3;
2) sin 4x = sin 2x,
4) sin 2x = cos2 x.
2) sin 4x = cos4 x - sin4 x;
4) 2 cos x + cos 2x = 2 sin x.
2) cos x - cos 5x = 0;
4) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
2) sin x + л/З cos x - 0.
2) sin4 - + cos4 - ~
3	3	8
2) 6 sin x + 5 cos x = 6.
1) tg3 x + tg2 x - 2 tg x - 2 = 0;
2) 1 - cos x = tg x - sin x.
1)	sin x + sin 2x = cos x + 2 cos2
2)	2 cos 2 x = л/б (cos x - sin x).
cos 2 x --------- - COS X + sin X. 1 - sin 2 x
x;
1) sin3 x + cos3 x - 0;	2) 2 sin2 x + sin2 2x = 2;
3)	8 sin x cos 2x cos x = V3;
4)	4 sin x cos x cos 2x = cos 4x.
1) sin4 x - cos4 x + 2 cos2 x = cos 2x;
2) 2 sin2 x - cos4 x = 1 — sin4 x.
1) sin3 x	cos x	+ cos3 x sin x = cos 2x;
2) 2	+ cos2 x +	3 sin	x cos x	= sin2 x.
1)	4	sin2	x - 8	sin x	cos x +	10 cos2 x = 3;
2)	3	sin2	x - 2	sin x	cos x =	1.
1)	sin 5x = sin 3x;	2)	cos 6x + cos 2x	=	0;
3)	sin 3x + cos 7x = 0;	4)	sin x = cos 5x.
1)	sin x + sin 5x = sin	3x;	2)	cos 7x - cos 3x	=	3 sin	5x.
1) cos x sin 9x = cos 3x sin 7x;
2) sin x cos 5x = sin 9x cos 3x.
1) 5 + sin 2x = 5 (sin x + cos x);
2) 2 + 2 cos x = 3 sin x cos x + 2 sin x.
1)	sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0;
2)	cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
1) tg2 3x - 4 sin2 3x = 0;	2) sin x tg x = cos x + tg x;
3)	ctg x| ctg x+—| = 1;	4)4ctg2x=5---------—.
I	sin x )	sin x
324
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1) tg 2x = 3 tg x; 2) ctg 2x = 2 ctg x;
3) tgfx + -) + tgfx--l=2; 4) tg (2x + 1) ctg (x + 1) = 1. \	4) к 4 J
Решить графически уравнение:
1) cos x = Зх - 1;	2) sin x = 0,5x3;
3) cos x = Vx;	4) cos x = x2.
3. Неравенства
Решить неравенство (1202—1203).
1) x + 8 > 4 - Зх;	2) Зх + 1 - 2 (3 + х) < 4х + 1.
\ 4 ~ 3 х 5 — 2 х g.	2 \ 5 х — 7 х + 2 > g
8	12	’	’ ~6	~7
При каких значениях х положительна дробь:
1 \ 5х — 4 . л\ 3х + 10. х + 2 ,	8 — х
* 7х+5*	' 40-х’	* 5-4х’	6+3х‘
При каких значениях х отрицательна дробь:
1^ 3 ~ 2 х»	2) Ю ~ 4х *	3) 18 ~ 7х Q
Зх - 2 ’ 9х + 2 ’	-4х2 - 1
Решить неравенство (1206—1209).
1) 5х±4<4;	2)-?-<1;	3) —— <4.
х- 3	х-4	х+3
1) 8х2 - 2х - 1 < 0;	2) 5х2 + 7х < 0.
х2 — Q
1) —— <0;	2) (2х2 - 3) (х + 4)3 > 0.
х -4
1)	Зх-15	> 0;	2)	х-1	< 0;	3) х3 + 2х-8 > о
х2+5х-14	х2 + 4х+2	х2-2х-3
При каких значениях х выражение 1g (х2 + 8х + 15) не имеет смысла?
При каком наименьшем целом значении т уравнение (т - 1) х2 - 2 (т + 1) х + т - 3 = 0 имеет два различных действительных корня?
При каких целых значениях т уравнение (т - 7) х2 + 2 (т - 7) х + 3 = 0 не имеет действительных корней?
При каком наибольшем целом значении х выражение 1 х2 + 3 о
—=-------- принимает отрицательное значение?
х2-9х+ 14
325
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
При каком наименьшем целом значении х выражение х2 - х - 6	_
-----принимает положительное значение? -7 - х2
Решить неравенство (1215—1230).
1) |2х - 3| < х;
3) | х2 - 7х + 121 < 6;
5) 12х2 - х - 11 > 5;
1)	2,5х "х > 2,5-3х;
2)	|4 - х| > х;
4)	|х2 - Зх - 4| > 6;
6) |Зх2-х-4| < 2.
2) 0,13х 4 > 0,132х;
4) 34х > >/3.
1) 2-х + 5 <-;
4
1) 5х2*3х^15 < 5л/5;
1) Зх + 1 * * 9*'2 >3V3;
2) 0,2х2-6х"7 > 1.
2) 3х"1 + 3х1 < 10.
1) 22х-4х-1 + 83 Х-2 4 >52;
2) 2Х + 2 - 2х"3 + 5х 2 > 5Х + 1 + 2Х + 4.
2	X — 3
1) 3,3*2*вх<1;	2) f-1	>-;	3) 8,4х2*вх+11 < 1;
4) 22х*!-21	+2>0;
/ . Л2 Зх
5) 34-Зх-35( j 1	+6>0.
1о — 1
1) з О"2 * ♦ 2 < 1;	2) 51°*2	>1
1) loge (2 - х) < logg (2х + 5);
2) log, (х2-2) > -1. з
1) <|;
2) logj х < log! (2х + 6) + 2.
2	2
1) log0.5 (1 + 2х) > -1;
1) log0.5 (X2 - 5х + 6) > -1;
1) logj 10gl
2
2
2) log3 (1 - 2x) < -1.
2) logg (x2 - 4x - 3) < 1.
2) logi(log^(x2-5)) >0.
3
326
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1) (х2 - 4) log0<5 x > 0;
1) x1-1** < ОД’2;
2) (Зх - 1) log2 х > 0.
2) Vx4 <10x;
3) x + 3 > log3 (26 - 3*);	4) 3 - x < log5 (20 + 5*).
1) cos(-3x) >	2) cos^2x- —
2	\	3)	2
С помощью графика решить неравенство:
1) sin х < -; 2) sin x >	3) tg x - 3 < 0; 4) cos x > -.
4	4	3
Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключенные в промежутке [-Згс; л]: 1) 2cosx-V3<0;	2) V2sinx + l>0;
3) д/з + tg х < 0;	4) 3 tg х - 2 > 0.
Доказать неравенство (1233—1235).
Лз	. \3
2) -------> а +	, если а > О, b > 0, а * Ь.
2 I 2 J
1) (а + b) (ab + 1) > 4аЬ, если а > О, b > 0;
2) а4 + 6а2д2 + Ь4 > 4аЬ (а2 + Ь2), если а*Ь.
1) — + - + — > 3, если а > О, Ъ > 0, с > 0; b с а
2) 2а2 + Ь2 + с2 > 2а (Ь + с).
4. Системы уравнений и неравенств
Решить систему уравнений (1236—1237). л [5х-7у=3,	[2х-у-13 = 0,
[6x + 5z/ = 17;	[x + 2z/ + l=0.
	= ю,	CD II + Л + X ч	
1)	5	2	2) <	2	3
	^ + ^ = 10;	6 и 1 +
	15 2	I 4	3
Найти действительные
решения системы уравнений
(1238—1240).
(г/ + 5 = х2,
(х2 + у2 - 25;
(х2-у2 = 13, | х - у = 1;
ху = 16,
- =4; У
х2 - Зу = -5, 7х + 3у = 23.
Г x2 + 2t/2 = 96, [x = 2t/.
327
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1)
х_У^ = 3
У х 2 ’
х2 + у2 = 20;
| х2 = 13х + 4у, [ у2 = 4х + 13у;
2)
^=31,
х у 3
х2 - у2 =8;
 Зх2 + у2-4х = 40, 4) 4
[2х2 + у2 + Зх - 52.
Решить систему уравнений (1241—1246).
2Х + У = 32, З3^-х = 27;
3х 2^ = 576, log/2(y-x) = 4;
log4 х—log2 у =0, х2-by2 + 4 = 0;
Vx + y[y = 16,
Vx -y[y =2;
ylx + y-1 = 1, ylx-y + 2 = 2t/-2;
2)
2)
2)
D
2)
3х-2^ = 77,
32-2^ = 7;
| lg x + lg у = 4, |xlgy = 1000.
( x2 + y4 = 16, [log2 x + 2 log2 у =3.
>fx ~/y = 1, 4x + Jy = 19.
^3y+ x + i =2, д/2х - t/ + 2 = 7у -6.
sin x +cos у = 1,
sin2 x + 2 sin x cos у = —
4
sin x + sin у - -, У 2
cos2 x + 2 sin x sin у + 4 cos2
sin x cos у = -
tg x ctg у = 1;
2)
У =4.
sin x sin у = -4
3 tg x = ctg y.
Найти наименьшее и наибольшее целые решения систем!
2х - 3 _ Зх + 5 _ х_ < з _ г + 4
2	3	6	2 ’
1-2х^8 + 4^3х <2х-^±2.
3	2	3
Решить систему неравенств
х + 1 _ х + 2 < х- 3 + х- 4
5	4	3	2 ’
х-2 >।+ х-5
3	15
328
5 Текстовые задачи
1249 Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. За какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нем пассажира?
1250 Теплоход прошел расстояние между двумя пристанями по течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения реки 2 км/ч.
1251 Пароход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошел намеченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был пройти пароход?
1252 Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, другой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие будут работать вместе?
1253 При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы с общей площади 174 га, причем на целинных землях собрано по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц. Сколько гектаров целинных земель было освоено?
1254 Разность двух чисел относится к их произведению как 1 : 24, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.
1255 Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найти эти дроби.
1256 Бригада рабочих должна была к определенному сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?
1257 Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.
1258 Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 300 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 3 р. меньше первой организации, уплатила за
329
билеты 180 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?
1259 От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?
1260 При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай пшеницы на первом участке был на 1 ц с 1 га больше, чем на втором?
1261 Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает ученик, проходя путь от дома до школы, если его старший брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше?
1262 Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвертого на 18.
1263 Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю, а сумма четырех первых членов равна 1.
1264 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвертого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12.
1265 Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый ее члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.
1266 Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения ее первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?
1267 В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.
330
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
6. Функции и графики
График линейной функции у = - ~ х + b проходит через точ-
ку (-2; 3). Найти Ь.
График линейной функции у - kx + 3 проходит через точку (-1; 4). Найти k.
Найти коэффициенты k и b линейной функции у = kx + 6, если ее график проходит через точки А и В:
1) А(-1; -2), В (3; 2);	2) А (2; 1), В(1; 2);
3) А (4; 2), В (-4; -3);	4) А (-2; -2), В (3; -2).
Через точку А (-3; 2) проходит прямая, параллельная прямой, проходящей через точки В (-2; 2) и С(3; 0). Записать формулы, задающие линейные функции, графиками которых являются данные прямые.
Выяснить, принадлежит ли прямой х + - = 1 точка А:
2
1)	А(-1; 4);	2) А (0; 3);	3)А(1;0);	4)а[^;-11
\ 2	)
о
Линейная функция задана формулой у = -~ х + 2. Найти: 4
1)	точки А и В пересечения ее графика с осями координат;
2)	длину отрезка АВ;
з
3)	расстояние от начала координат до прямой у = — х + 2.
4
Найти значения х, при которых график функции у = Зх - 1 расположен:
1) выше оси Ох; 2) ниже оси Ох.
Найти значения х, при которых значения функции у = -2х + 1:
1) положительны; 2) отрицательны.
Найти значения х, при которых график функции у - 2х - 1 лежит ниже графика функции у = Зх - 2.
Найти значения х, при которых график функции у = (Уз-2) х-4з
лежит выше графика функции у = (1 + УЗ) х + 2Уз.
Доказать, что функция у = 2х - 3 возрастает.
Доказать, что функция у = -V5 х - 3 убывает.
Выяснить, пересекаются ли графики функций:
1) у = Зх - 2 и у = Зх 1;	2) у = Зх - 2 и у = 5х + 1.
331
1281 Построить график функции:
1)	у = 2 - |хI; 2) у = |2 - х|;	3) у = 12 - х| + |х - 3|.
Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую у = 3. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.
1282 Дана функция у = х2 - 2х - 3.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых У (х) < 0.
2)	Доказать, что функция возрастает на промежутке [1; 4].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наименьшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график функции у = х2 - 2х - 3 лежит выше графика функции у = -2х + 1.
5)	Записать уравнение касательной к параболе у = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2.
1283 Дана функция у = -2х2 + Зх + 2.
1)	Построить ее график и найти значения х, при которых У М < 0.
2)	Доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2].
3)	Найти значение х, при котором функция принимает наибольшее значение.
4)	Найти значения х, при которых график данной функции лежит ниже графика функции у = Зх + 2.
5)	Записать уравнения касательных к параболе у = -2х2 + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3.
1284 Выяснить, пересекаются
1)	у = х2 и у = х + 6;
3) У = | X2 и у = ±\
ли графики функций:
2)	у=* и у = 4 (х + 1); X
4)	у = 2х - 1 и у = ~.
X
1285
Выяснить, является ли четной или нечетной функция:
1) у = 2х + 2~х;
3) у = 1п|^;
3 - х
2) у = 3х - 3 х;
4)
In***
5-х
У =
1286 Исследовать функцию на четность и нечетность:
1)	у = 2х2 - 1;	2) у = х - х3;	3) i/ = x5--;	4) у = Sin Х-
X	X
1287 Выяснить, является ли четной или нечетной функция:
1)	у = х sin х;	2) у = х2 cos 2х;
3)	у = х + sin х;	4) у = х + cos х.
332
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
Найти наименьший положительный период функции (1288—1289).
1) i/=cos—;	2) у ~ 2 sin 0,6х.
2
1) у = cos Зх;	2) 4/= sin —;
5
3) у = tg 5х;	4) у - sin х + tg х.
Исследовать функцию на четность и нечетность и построить ее график:
1) у = -х4 + 4х2 - 5;	2) у = х3 - 4х.
Найти наибольшее или наименьшее значение функции у = ах2 + Ъх - 4, если у (1) = 0 и у (4) = 0.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) у = sin 2х - 7з cos 2х;	2) у = 2 cos 2х + sin2 х.
Найти точки пересечения графика квадратичной функции с осями координат:
1) у = 2х2 - 5х + 6;	2) у = 2х2 - 5х + 2.
Построить график функции у = ах2 + Ьх + с, если у (-2) =15, И3) = о, f/(0) = -3.
Построить график функции у = д/25-х2 . Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу.
Построить график функции у =----. Доказать, что функция
х-2
убывает на промежутках х < 2 и х > 2. В какой точке график функции пересекает ось ординат?
Выяснить основные свойства функции и построить ее график:
1) У = 3х + 1;	2) у=[1У-3;
3) у = log2 (х + 1);	4) у = logj (х-1).
3
Построить график функции:
3)у = 2х1-3;	2) у = log2 (х + 2) + 3.
Найти область определения функции (1299—1302).
1) у = 2х + 1g (6 - Зх); 2) у = 3 х - 2 In (2х + 4);
3)у = ^—;	4)y = tgi.
cos 2 х	4
333
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
D =	2) y = JloS3^v-
Vх+ 3	\	r-6
1 \ I X2 — 6х— 16	г---—----
1) */ = ,Н-------;	2) z/= logj (x -3) -1.
12x + 11	V 2
1) y = ^og0A(x2-5x + 7);	2) у = v'log05(x2-9).
Найти множество значений функции (1303—1304).
1) у = х2 + 6х + 3;	2) у = -2х2 + 8х - 1;
3) у = е*+ 1;	4) у = 2 + —.
X
1) у = 0,5+ sin f х - — \	2) у = 0,5 cos х + sin х.
V 4 j
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1)	/ (х) = sin х + cos х, х0 = ~;	2) f (х) = cos Зх, х0 = ~.
2	6
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) /(X)=-+--VI, х0 = 1;	2) f(x)=2xvx, х„ = |.
4х*	3
Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) / (х) = —+=, х0 = -;	2) /(х) = 2х4 - х2 + 4, х0 =-1.
4х Чх 4
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = х3 - х + 1 в точке пересечения его с осью Оу, Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у - Зх3 - 1 в точке с ординатой у = 2.
Прямая у = 4х - 3 является касательной к параболе у = 6 - 2х + х2. Найти координаты точки касания.
Найти точки, в которых касательные к графику функции у = 4х3 - 9х2 + 6х + 1 параллельны оси абсцисс.
На параболе у = Зх2 + 7х + 1 найти такую точку, в которой касательная к параболе образует с осью абсцисс угол —.
4
Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0:
1) f (х) = х In 2х, х0 = 0,5;	2)f(x) = 2x, х0 = 1.
334
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = х3 - х1 2 - 7х + 6 в точке М (2; -4).
Найти тангенс угла, который касательная к графику функции у = х2 • е~х в точке с абсциссой х = 1 образует с осью Ох. Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции у = — cos [ Зх - — | в точке с абсциссой х = —.
3	\	6J	3
Записать уравнение касательной к графику функции х3 + 1
f (х) =—-— в точке его пересечения с осью Ох.
Записать уравнение касательной к графику функции f (х) = 4х% + 1 в точке с абсциссой х = 4.
Найти промежутки монотонности функции:
Найти точки экстремума функции (1320—1321).
1) у = (х - I)3 (х - 2)2;	2) у = 4 + (6 - х)4.
. ч Зх2 + 4х+4	х2 + 6х+3
1) у = —2----2) у = —-——.
X2 4- X 4- 1	3x4-4
Найти наибольшее и наименьшее значения
(1322—1324).
функции
1) у = 2 sin х + sin 2х
на отрезке
2) у = 2 sin х + cos 2х
на отрезке 0;
1) у = л/х + 5 на отрезке [-1; 4];
2) у = sin х 4- 2 42 cos х на отрезке 0; -
1) у = in х - х на отрезке [0,5; 4];
2) у = Ху/1 - х2 на отрезке [0; 1].
Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объем будет наибольшим?
Найти наибольший возможный объем цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 54л см2, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см.
В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объем пирамиды является наибольшим при условии, что SO + АС = 9 и 1 < АС < 8.
335
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
В правильной четырехугольной призме диагональ равна 2 л/з. При какой высоте призмы ее объем наибольший?
Для функции f (х) = х"2 + cos х найти первообразную, график которой проходит через точку М ( 0,5л; --\	т:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (х) = х2 (2х - 3) - 12 (Зх - 2) на отрезке -3 < х < 6.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции з
f (х) = 2 In3 х - 9 In2 х + 12 In х на отрезке е4 < х < е3.
На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до
точки А | 2; - 1 является наименьшим.
I 2J
На координатной плоскости даны точки А (3; -1) и D (4; -1). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок AD является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы у = 1 - х2, заданной на отрезке [-1; 1]. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
На координатной плоскости дана точка К (3; 6). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у = 4х2, заданной на отрезке [-1; 1], а точка К является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
Каковы должны быть коэффициенты р и q квадратичной функции у = х2 + рх + 7, чтобы при х = 5 она имела минимум, равный 1?
Какой должна быть высота конуса с образующей в 20 дм, чтобы его объем был наибольшим?
Какую наименьшую площадь поверхности имеет цилиндр, если его объем равен V?
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
Найти высоту цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R.
Найти высоту конуса наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R.
В конус с заданным объемом V вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а. При каком значении а объем пирамиды будет наибольшим?
336
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен р, выбран цилиндр наибольшего объема. Найти этот объем.
Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса Я, найти цилиндр наибольшего объема.
Консервная жестяная банка заданного объема должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания и высотой расход жести будет наименьшим?
Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объема. Найти высоту этой призмы.
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания R и высотой Н, найти цилиндр наибольшего объема. Найти экстремумы функции:
1) f (х) = х3 + Зх2 - Эх + 4;	2) /(х) = х4 - 2х5 + 5.
Исследовать с помощью производной функцию у ~ х3 - Зх + 2 и построить ее график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ох.
Исследовать с помощью производной функцию у = х3 - 5х2 - х + 5 и построить ее график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.
Исследовать функцию (1350—1352).
1) f (*) = 4х3 + 6х2;
3) f (Х) = | х3-х;
1) у = -~ + х2;
1) У~^ х3-х2-Зх + 9;
у = f (х) и построить ее график
2) f (х) = Зх2 - 2х3;
4) f (х) = х4 -- х2. 2
2) у = х4 - 2х2 - 3.
2) у = -х4 + 6х2 - 9;
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (1353—1357).
1) У = 4х-1, у = 3 - х, у = 0;	2) у = у = х2, у =
х	8
1)	у = 4х - х2, у = 5, х = 0, х = 3;
2)	у = х2 - 2х + 8, у = 6, х =-1, х = 3;
3)	у = sin х, z/ = 0, х = —, х = л; 3
4) ц = cos х, у = 0, х = -—, х=—.
6	6
337
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1)	у = у!х, у = 2, х = 9;	2) у = х2 + 3, у = х + 5.
1) у = 9 - х2, у = (х - I)2 - 4;	2) у = х2, у = Vx.
1) у = cos х, х = —, у = 0;	2) у = 3х, х = -1, х = 1, у = 0.
4
7. Производная и интеграл
Найти значение производной функции f (х) в точке х0:
1) /(х) = х3-4 + *. Хо = |;	2) f(x) = —, х0=1;
2	о	X
3) f(x) = x^--^ + 3x, х0 = 3;	4) у = ^-^-, х0 = 7-
sin х 4
Найти значения х, при которых значение производной функции f (х) равно 0:
1) f (х) = sin 2х - х;	2) f (х) = cos 2х + 2х;
3) /(х) = (2х - I)3;	4) f (х) = (1 - Зх)5.
Показать, что /'(1) = Л(0), если f (х) = (2х - 3) (Зх2 + 1).
Найти значения х, при которых значения производной функции f (х) = х3 - 1,5х2 - 18х + 7з отрицательны.
Пуля вылетает из пистолета вверх со скоростью 360 м/с. Найти скорость пули в момент t = 10 с и определить, сколько времени пуля поднимается вверх. Уравнение движения пули h = vQt - 4,9£2.
Колесо вращается так, что угол поворота прямо пропорционален кубу времени. Первый оборот был сделан колесом за 2 с. Определить угловую скорость колеса через 4 с после начала вращения.
Найти производную функции (1364—1366).
X5- Зх3 + 2х2 - х + 3 1) у=	_	; X3	6х Vx 2) !/=	• VX
.	Зх2 -2x4-1 1) у =	-—; х+ 1	2х2 - Зх + 1 2) у =	. 2х+ 1
1) у = (2х + 1)2>/х-1;	2) У = х2 ^(х + I)2 ;
3) у = sin 2х cos Зх;	4) у = х cos 2х.
Найти значения х, для которых производная функции /(х) = (х - 1) (х - 2) (х - 3) равна -1.
Определить знак числа f (2), если:
2
1) f (х) = е3 2‘  х2;	2) f (х) =
1 - Jf
338
1369 Дана функция f (х) = 1 + 81П 2 * Найти f (0),	f-\
1 - sin 2 х	<67
1370 Найти значения х, при которых f (х) < g' (х), если /(х) = х3 + х2 + х 7з, g(x) = xV3 + l.
1371 Для функции f (х) = cos 4х найти первообразную F (х), если
1372 Найти первообразную функции:
1)у = -Ц—Ц;	2) </ = -А-
х +1 х-1	4х-1
Вычислить интеграл (1373—1374).
л
9	4	2 о
1373 1) p>/x-ldx; 2) j (2 cos2 x-l)dx; 3) J —— dx.
2	x	3 X
6
1374 1) | sin xdx; 2)
JT 2 2
4) | (x2 -6x + 8)dx;
1
з	1
| cos xdx; 3) j (x2 + 2x + 3)dx;
л	2
6
3	1
5)	f(x-2 + l)dx; 6) f—-—dx.
J	J 5-4x
i	-i
8.	Задания, предлагавшиеся на выпускных экзаменах
Гуманитарные классы
1375 1) Решить уравнение cos^3x-^j = ^ и указать любой его положительный корень.
2)	Решить неравенство log2 (3 - 2х) < -1.
3)	Найти все числа а, для которых выполняется условие а 2
4 • 23а =0,25 2 .
4)	Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = х (4 - х) и осью абсцисс.
JQ	1
4-----+-----.
х + 1 х - 3
6) При каком значении а наибольшее значение функции у = х3 - Зх + а на отрезке [-2; 0] равно 5?
1376 1) Решить уравнение sin2 х - 4 sin х - 5 = 0.
339
2)	Найти наибольшее значение функции f (х) = Зх2 (1-х) на отрезке [0; 1].
3)	Решить уравнение 1g х = 1g 3 - 1g (Зх - 8).
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у - (х - З)2 и у = 9.
-г»	(х-бнг*-1 +о,2
5)	Решить неравенство ------< 0.
6)	При каких значениях а графики функций у - х2 - 4х + 2 и у = -2х + а имеют общие точки?
Общеобразовательные классы
1377 1) Решить неравенство 2log0-7 (1 + 2х) > 4.
2)	Составить уравнение касательной к графику функции f (х) = х2 - х3, проходящей через точку графика с абсциссой х0 = —1.
3)	Решить уравнение ^/х4 -Зх-1 = х2 - 1.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4~х и у = - х.
2
5)	При каких значениях а функция у = х3 - Зах2 + 27х - 5 имеет единственную стационарную точку?
6)	Решить уравнение sin — х - х2 - 4х + 5.
4
1378 1) Найти значение выражения ^361огб 5 -5log5 9 .
X
2)	Найти все точки графика функции /(х)=е3, в которых касательная к этому графику проходит через начало координат.
3)	Решить систему уравнений
4)	Решить неравенство (3 - х) log3 (х + 5) < 0.
6
5)	Вычислить интеграл J V36 - х2 dx.
6
6)	Решить уравнение cos д/2 - х2 =	.
340
Профильные классы
1379 1) Решить уравнение cos xcos Зх = -0,5.
2)	Решить неравенство log4 х2 + log| (-х) > 6.
3)	Решить систему уравнений
9х & =9, =1.
4)	Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 9х - х3 и касательной к этому графику в его точке с абсциссой 3.
5)	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
у ~ 2 - 3 sin х + 4 cos х на отрезке
4л. 2 л
3 ’ 3
6)	Сравнить без таблиц и микрокалькулятора числа log3 4 и V2.
1380 1) Решить уравнение cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.
2)	Найти производную функции у = log3x + 4 (7х - 4) в точке х = 2.
3)	Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у = 2 cos Зх - 5 sin 2х + 10, осью абсцисс и прямыми х = - ^, х = ^.
4)	Найти множество значений функции у = убх-7 -2х.
5)	Решить неравенство 9'х' -г 6 - 3х > 11 и указать наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее.
6)	На прямой у = 6х - 9 найти все такие точки, что через каждую из них проходят ровно 2 касательные к графику функции у = х2 и угол между этими касательными равен
4
Задачи для внеклассной работы
1.	Разные задачи
Решить уравнение (1381—1387).
1381 1) yjx2-6x + 9 +^25 + 10х + х2 =8;
2)	^/х2 + 4х + 4-д/х2-6х + 9 =6;
3)	^(8-х)2 - з/(8 - х) (27 + х) + ^/(27+ х)2 = 7;
4)	л/8 - х + V89 + х = 5.
1382 1) 16sin 2х + 16 cos2 х = 10;
2)	(л/З + Тв)* + (^3-78)* = 34.
1383 1) х3 - Зх2 + х = 3;	2) х3 - Зх2 - 4х + 12 = 0;
3)	х5 + х4 - 6х3 - 14х2 - Их - 3 = 0;
4)	х4 - Зх3 - 2х2 - 6х - 8 = 0.
1384 1) tg х + ctg х = 2 ctg 4х;
sin 4х г- .
2)		------- = л/2 (sin х + cos х).
sin х - я к 4J
1385 1) sin Зх + C°S Зх =—-—;	2) tg 2х + ctg х = 8 cos2 х.
cos 2 x sin 2 x sin 3 x
sin 3x sin x
1386 ---------------- 2 cos 2x.
sin x sin 3x
342
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
log2 (4 cos x + 3) log6 (4 cos x + 3) = log2 (4 cos x + 3) +
+ log6 (4 cos x + 3).
Пересекает ли график функции у = х3 - 6х2 + 11х - 6 ось Ох в точках, абсциссы которых являются целыми числами?
Уравнение 2х3 + тх2 + пх + 12 - 0 имеет корни хг = 1, х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения.
Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметров а и b она имеет решение:
logpx + logx!/ = |,	2 (х2 + у2 = а2,
[х + у=а+а2;	{logo х + log, у = 2.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений а2 -2 д/з |а| у + х2 + 2ху-у2-2=0, х2 + у2 ~2у - cos (ху) + 11-6а + а2 = 0.
Решить систему уравнений (1392—1394).
1) = [ х3 = у2 ;
V2 sin х = sin у, 42 cos x = 7з cos у;
х-у = -
4)
JL
З’
COS2 71Х - sin2 л у = -
5)
cos x sin у = -, 2
sin 2 x + sin 2 у = 0.
6 sin x cos у + 2 cos x sin у = -3, 5 sin x cos у - 3 cos x sin у = 1.
glogx 2 _ ^log5 у 2 lo8g 3 — ^log7 X
Решить неравенство (1395—1399).
1) x!g2x 3igx + i >1000;	2) 3lgx •2 <3lgx2*s -2.
log|2l. 2| (1 - 9* х) < log 2x + 2| (1 + 3х) + log 2x , 2	+ 3х’1
x3+x2-4x-4
------------>0.
x3 + 6x2 + 5x -12
1) j2x-7 < V6x+ 13;
2) д/3-х < V3x-5.
343
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
Зх3 - 22х2 + 40х ---------------> Зх -10 .
х - 4
При всех а решить неравенство | х - 5а | < 4а - 3 и указать все значения а, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства х2 - 4х - 5 < 0.
Построить график функции (1401—1404).
1 \	11	N х2	2 .	3) и — Зх + 2,	41	_ 2х
У	-	,	у —	•			Л 1	1 *
	X	1	- 2х	2х - 3		2-|х|
	2		и -	* •	31	7/ —	1
У			У —	»	°)	У ”	
	(х-1)(х-3)		cos X		In X
1) У	= log2 sin х;	2)	у = д/cos х;		
3) у	= yltg х;	4)	у = sin2 х.		
1) У	= arcsin х;	2)	у = arccos х;		
3) у	1 .	4)	у = 1 •		
	sin х		log2 х		
Доказать тождество logb а • logc b  logd с = logd а.
Вычислить:
1 \	(	•	3	• (	(	5
1) cos arcsin — ;	2) sin arccos----,.
I 5 J	I I 13 J J
Доказать, что при -1 < x < 1 сумма arcsin x + arccos x равна С, где C — постоянная. Найти С.
Найти все значения Ь, при каждом из которых функция /(х) = sin 2х - 8 (Ь + 2) cos х - (4д2 + 16д + 6) х является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек.
Найти все значения х, при которых касательные к графикам функций у = 3 cos 5х и у = 5 cos Зх + 2 в точках с абсциссой х параллельны.
(12 А 2;-----проведена касательная к параболе
5 )
у = - - х2, пересекающая ось абсцисс в точке В, а ось орди-5
нат в точке С. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ВОС (О — начало координат).
Через точку А (3; -4) проведена касательная I к гиперболе у =---. Наити радиус окружности с центром на оси орди-
X
нат, касающейся прямой I и оси абсцисс.
344
1412 Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии 1 мили. Корабль А идет на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идет на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приема сигнала?
1413 Графику функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х = 2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 2), а другая — через точку (0; 6). Найти значения а, by с.
1414 Графику функции у - х3 + ах2 + Ьх + с принадлежат точки А и В, симметричные относительно прямой х - -2. Касательные к этому графику в точках А и В параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; 1), а другая — через точку (0; 5). Найти значения а, д, с.
1415 График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с, с < 0, пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки М и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке Му проходит через точку А. Найти а, 6, с, если площадь треугольника AMN равна 1.
1416 График функции у = -х3 + ах2 + Ьх + с, с > 0, пересекает ось ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке В, проходит через точку D. Найти a, by с, если площадь треугольника ABD равна 1.
1417 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 0,5х2 - 2х + 2 и касательными к ней, проведенными через точки А ^1; и В (4; 2).
1418 Через точку графика функции у = 4~х с абсциссой а, где
- < а < 2 у проведена касательная к этому графику. Найти 2
значение а, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.
1419
Дана фигура, ограниченная кривой у = sin х и прямыми у = 0у х = — 0 < х < — I. Под каким углом к оси Ох нужно 2 \	2 )
провести прямую через точку (0; 0), чтобы эта прямая разбивала данную фигуру на две фигуры равной площади?
345
2. Задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
Решить уравнение:
1)	Vx + 3 -у!2х -4 = УЗх - 2 ;
2)-4= + —7= , 1-Vl-x 1+Vl-x V1-
Найти все действительные корни уравнения
|2Тх + 1-х| + |х-2д/х + 2| = 7.
Решить уравнение (1422—1426). All
1)	9 • 4х + 5-6х = 4• 9х;
2)	log2 (х2 - 3) - log2 (6х - 10) + 1 = 0;
3)	2 log2 х -2 log2 = 3 Jlog2 x; V2
4)	logx (2x2 - 3x - 4) = 2.
1) 1 + log x (5 -x) = log7 4 • log x 7;
2) (log9 (7 - x) + 1) log3 _ x 3 = 1.
1)	cos x + cos 2x + cos 3x = 0;
2)	cos3 x - 3 cos2 x + cos x + sin 2x = 2 cos |	| sin |
12 4) I 2	4)
3)	sin2 x + cos2 Зх - 1;
4)	ctg x + sin 2x = ctg 3x.
1) sin x + cos x = д/l + tg x;
2) ^/5 sin 2x -2 - sin x - cos x.
2 sin x i . . 2 ( к A ---------------- =4 sin2 x + - .
cos x - cos 3x3	\	4 J
Найти все корни уравнения cos х + (1 + cos х) tg2 х - 1 = 0, удовлетворяющие неравенству tg х > 0.
Найти все корни уравнения sin4 х + sin41 х + — | = sin2 к 4)	6
удовлетворяющие неравенству 1g (х - \ 2х + 24) > 0.
Найти наибольший на интервале ; — корень уравнения \ 6 2)
cos I 5х + — I + 2 sin х cos 2х = 0.
I 2 J
Найти все значения а, при которых уравнение sin8 х + cos8 х = а имеет корни, и решить это уравнение.
346
Решить систему уравнений (1431—1433).
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1)
х-Зу = -5, х _ 23. Зу х 6
2)
' х+у х-у=ю
’ х — у х + у 3 ’
х2 + у2 = 5.
j6х~2 •Зу = 2, [бх-Зу = 12;
|7-2х + 6у = 2, [3 • 2х + 1-5г/= 93.
f 27 • 32х" у + 3х2 = 4 7з,
[lg(y-4x) =2 1g (2 + 2x-i/)-lg у,
2) f 8 • 2"х-2^ + 2у2 = 3^2, [lg(x + 4i/) = 2 lg(2-x-2i/)-lg х.
При каких значениях а система уравнений flogs (у-3)-2 log, х = 0, [(х + а)2 - 2у -5а =0 имеет хотя бы одно решение?
Решить неравенство:
1) 2у~3 >1;	2) 2—+— > 1.
4-х х	। х + 1|
Найти все значения а, при которых является верным при всех значениях х неравенство: _ 8х2-4х+3	Зх2-4х + 8
1) —--------< а; 2) —-------> а,
4х2-2х+1	9х2-12х+16
Решить неравенство (1437—1440).
/ о V2 ’5х + 6
1) -	<1;	2) 5х - 3х ‘ 1 > 2 (5х ~ 1 - 3х 2).
\ 5 J
1) log 1 (1 + х - -Jx2 -4 < 0;
2
2) ----1--------------1------<0.
)og5(3-2x) 4-logs(3-2x)
1) l°Si2x * i| х2 2;	2) logx2 |Зх + 1|<|.
7 - Зх +-^х2 + Зх - 4 < х - 3
Найти все значения а, при которых неравенство
log j (х2 + ах + 1) < 1
2
выполняется для всех х из промежутка х < 0.
347
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
В какой точке графика функции у = (х - I)2, 0 < х < 1, нужно провести касательную к графику, чтобы площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, была наименьшей?
На параболе у - 2х2 - Зх + 8 найти точки, касательные в которых проходят через начало координат.
При каком значении k площадь фигуры, заключенной между параболой у = х2 + 2х - 3 и прямой у = kx + 1, наименьшая?
Парабола у = х2 + рх + q пересекает прямую у = 2х - 3 в точке с абсциссой 1. При каких значениях р и q расстояние от вершины параболы до оси Ох является наименьшим? Найти это расстояние.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 4х - х2 и касательными к ней, проходящими через точку М б).
Найти все значения х, при которых функция у = 6 cos2 х + + 6 sin х-2 принимает наибольшее значение.
Найти все значения а, при которых наименьшее значение функции у - х2 + (а + 4) х + 2а + 3 на отрезке [0; 2] равно -4.
Найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции у = 4х2 - 4ах + а2 - 2а + 2 на отрезке [0; 2] равно 3.
Найти все значения параметра а, при которых вершины двух парабол у = 4х2 + 8ах - 9 и у = 4ах2 - 8х + а - 2 лежат по одну сторону от прямой у = -5.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 cos4 х + sin2 х
У =------------— •
2 sin х + 3 cos х
Краткие теоретические сведения по курсу алгебры и начал анализа
Арксинус, арккосинус и арктангенс числа.
Арксинус числа а> -1 < а < 1 (обозначается arcsin а),— такое
число а,	, синус которого равен а; arcsin (-а) = -arcsin а.
2	2
arcsin — = —, arcsin 2	4
числа а, -1 < а < 1 (обозначается arccos а),—
О < а < л, косинус которого равен а; arccos (-а) =
• Например,
л
4’
-arcsin - = 2
Арккосинус такое число а,
6
= л - arccos а. Например, arccos — = —, 2	6
f 1 X	-I 9 _
arccos — = л - arccos - = —.
I 2)	2	3
Арктангенс числа a, a е R (обозначается arctg а),— такое число а, < а < —, тангенс которого равен a; arctg (-а) = -arctg а. 2	2
Например, arctg 7з = —, arctg (-1) = -arctg 1 =	.
3	4
Формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin х = а, |а| < 1;	х = (-1)” arcsin а + лп, п е Z;
cos х = а, | а | < 1;	х ~ ±arccos а + 2лп, п е Z;
tg х = а, а е R; х - arctg а + лп, п е Z.
Интеграл от функции у = f (х) на отрезке [а; Ь] (обозначается ь
J f (x)dx) — предел интегральных сумм f (cj Дх1 + f (с2) Дх2 + ... + а
+ f (сл) Дхп при условии, что длина наибольшего из отрезков [xft _ х; xk]
349
стремится к нулю. Здесь а = х0<х1<...<хп_1<хп = Ъ, Дх4 = xt - х* . р ск е [х*_ р xj.
Формула Ньютона — Лейбница: ь j f {x)dx = F (Ь) - F (а), а
где F (х) — первообразная функции f(x) на отрезке [а; Ь].
Площадь криволинейной трапеции с основанием [а; Ь], ограниченной сверху графиком функции f (х), принимающей положительные значения, равна ь
s = j f (x)dx.
Логарифм положительного числа х по основанию а, а > 0, а * 1 (обозначается loga х),— показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить х, т. е. aloga х = х.
Например, log3 27 = 3, log! 1=2, log3l=-2, 3,О^4 = 4.
2 4	9
Свойства логарифмов (а > 0, a # 1, х > О, xt > 0, х2 > О, р е Я):
1-	10g„ (XjX2) = log„ х3 + log„ x2.
2.	logo — =Ioga xt - Iog„ x2. x2
3.	loga xf = p log„ x.
4.	Если loga xx = loga x2, a > 0, а * 1, то хг = x2.
Десятичный логарифм числа — логарифм этого числа по основанию 10, обозначается 1g а.
Натуральный логарифм числа — логарифм этого числа по основанию е, обозначается In а.
Число е — иррациональное число, е * 2,718.
Формула перехода от одного основания логарифма к другому:
10ga X = —. log(, а
_ 1g 5 ,	In 6
Например, log3 5 = — , log5 6 = —.
1g о	In о
Логарифмическая функция — функция у = loga х, где a > 0, а * 1.
Свойства логарифмической функции:
1.	Область определения — множество всех положительных чисел.
2.	Множество значений — множество R всех действительных чисел.
350
3.	Возрастающая, если а > 1; убывающая, если 0 < а < 1.
4.	Принимает положительные значения при х > 1, отрицательные — при 0 < х < 1, если а > 1; положительные — при О < х < 1, отрицательные — при х > 1, если 0 < а < 1.
Нечетная функция — функция f (х), обладающая свойством f (-х) = -f (х) для каждого х из области ее определения.
Например, f (х) = х3, f (х) = sin х — нечетные функции.
Обратная функция к функции у = f (х) — функция у = g (х), которая получается при решении уравнения f (х) = у относительно х и заменой х на у и у на х.
Например, у = 2х - 1 обратная к функции у ~; логариф-2
мическая функция у = loga х является обратной к показательной функции у = ах. Графики взаимно обратных функций у = f (х) и у = g (х) симметричны относительно прямой у = х.
Первообразная функции f (х) на промежутке — такая функция F (х), что F' (х) = f (х) на этом промежутке.
Если F (х) — первообразная функции f (х), то все первообразные можно записать в виде F (х) + С, где С — произвольная постоянная.
Правила нахождения первообразных:
Если F (х) и G (х) — первообразные функций f (х) и g (х) соответственно, то:
'	1) F (х) + G(x) — первообразная функции f (х) + g (х);
2) aF (х) — первообразная функции af (х).
Первообразные некоторых функций:
Функция	Первообразная
хр, р * -1	хр -1 -	+ С р+1
х > 0 X	In х + С
ех	ех + С
sin х	-cos х + С
cos X	sin х + С
Периодическая функция — функция f (х), обладающая свойством f (х - Т) = f (х) = f (х + Т) для каждого х из области ее определения и для некоторого Т * 0. Число Т называют периодом этой функции.
Например, /(х) = sin х — периодическая функция с наименьшим положительным периодом, равным 2л.
351
Показательная функция — функция у = ах, где а > 0,. а * 1.
Свойства показательной функции:
1.	Область определения — множество R всех действительных чисел.
2.	Множество значений — множество всех положительных чисел.
3.	Возрастающая, если а > 1; убывающая, если 0 < а < 1.
Производная функции f(x) в точке х — предел разностного
отношения
л -> о h
где с — постоянная; (х)' = 1; (х2)' = 2х;
| - I =—V» гДе ХФ °-
к X ) х2
3. (ахУ = ах In а.
5. (loga х)' = —-—, х>0, a > 0, а*1. х 1п а
7. (cos xY = -sin х.
Дифференцирование — операция нахождения производной. Правила дифференцирования:
1.	(f (х) + g (х))' = f (X) + g' (X).
2.	(cf (х))' = cf (x).
3.	(f (X) • g (x))' = f (x) • g (x) + f (x) • g' (x).
. ( Hx)Y f'(x)g(x)-f(x)g'(x) g2(x)
Производные некоторых функций:
1.	(xpy = pxp ’ \
Например, (c)' = 0,
(л/x)' = —где x > 0;
2 Vx
2.	(ехУ = ех,
4.	(Inx)' =-, x > 0. X
6. (sin x)' = cos x.
Геометрический смысл производной: f' (x) есть угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (х) в точке (х; f (х)).
Уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке (х0; f (х0)):
У = f (х0) + f (х0) (х - х0).
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней.
Например, уравнения х2 - 5х + 6 = 0 и (х - 2) (х - 3) = 0 равносильны; уравнения log2 х = Зи2х-16 = 0 равносильны.
Уравнение называется следствием данного уравнения, если множество его корней содержит все корни данного уравнения.
Например, уравнение х2 + х - 6 = 0 является следствием уравнения л/б - X = X.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
352
Тригонометрические формулы.
Основное тригонометрическое тождество:
sin2 а + cos2 а = 1.
Зависимость между тангенсом, котангенсом, синусом и косинусом:
tg а • ctg а = 1,
, sin а ± cos а tg а =-----, ctg а =----.
cos а	sin а
Формулы сложения:
sin (а	+ р) =	sin а cos	р + cos	а sin	р,
sin (а	- р) =	sin а cos	р - cos	а sin	р,
cos (а	+ р) =	cos а cos	р - sin	а sin	р,
cos (а	- р) =	cos а cos	р + sin	а sin	р,
1 - tg а tg р
tg(a-P) =
1 + tg a tg р
Формулы двойного угла:
sin 2а = 2 sin a cos а,
cos 2а = cos2 а - sin2 а,
tg 2а =
2 tg а
1 - tg2 а
Формулы преобразования суммы и разности синусов и косинусов в произведение:
sin а + sin р = 2 sin -
sin а - sin р = 2 sin — — н	2
а + Р
~2~ а + р 2
cos а + cos р = 2 cos
cos a -cos р = - 2 sin
Формулы приведения получают
а - В C°S—,
cos —— - , 2
а - р
с°8-2->
. а -р sin —-—
2
по следующим правилам:
1. В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 0 < a < —.
2
2. Если в левой части формулы угол равен — ± а или — ± а,
то синус заменяется на косинус, тангенс — на котангенс и наоборот. Если угол равен л = а, то замены не происходит.
Например, sin | — ± а | = -cos a, cos (л - а) - -cos а.
12 Алгебра и начала анализа 10-11 кл.
353
Тригонометрические функции — функции
у = sin X, у = COS X, у = tg X, у = ctg X.
Свойства тригонометрических функций.
Функция у = sin х.
1.	Область определения — множество R всех действительных чисел.
2.	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен 2л, т. е. sin (х + 2л) = sin х.
4.	Нечетная: sin (-х) = -sin х.
5.	Наибольшее значение, равное 1, принимает при х = ~ + 2лп, п е Z; наименьшее значение, равное -1, принимает при х = -- + 2ли, п е Z; значение, равное нулю, принимает при
х = ли, п е Z; положительные значения — на интервалах (2лл; л + 2лп), п е Z; отрицательные значения — на интервалах
(-л + 2лп; 2лп), п е Z.
6.	Возрастающая на промежутках -~~ + 2ли; ^ + 2лп , neZ;
убывающая на промежутках
-+2тгп; ^ + 2™
2	2
, п е Z.
Функция у = cos х
1.	Область определения — множество R всех действительных чисел.
2.	Множество значений — отрезок [-1; 1].
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен 2л.
4.	Четная: cos (-х) = cos х.
5.	Наибольшее значение, равное 1, принимает при х = 2лп, п е Z; наименьшее значение, равное -1, принимает при х = = л +- 2лп, п е Z; значение, равное нулю, принимает при х = + лп, п е Z; положительные значения — на интервалах (--| + 2лп; -- + 2лл , п g Z; отрицательные значения — на интервалах 2	/
(- + 2лп; —+ 2лп\ ц е Z.
V2	2	)
6.	Возрастающая на промежутках [-л + 2лп; 2лп], п g Z; убывающая на промежутках [2лп; л + 2лл], и е Z.
354
Функция у = tg X
1.	Область определения — множество всех действительных чисел, кроме + Tik, k е Z.
2.	Множество значений — множество R всех действительных
чисел.
3.	Периодическая, наименьший положительный период равен л.
4.	Нечетная: tg (-х) = -tg х.
5.	Значение, равное нулю, принимает при х = тт, п е Z; положительные значения — на интервалах лп; ^- + лп^, п е Z; отрицательные значения — на интервалах -—+ лп; лп , п е Z.
6.	Возрастающая на интервалах - - + лп;
- + лп , п е Z.
2	)
Четная функция — функция f (х), обладающая свойством f (-х) = f (х) для каждого х из области ее определения.
Например, f (х) = х2, f (х) = cos х — четные функции.
Экстремум функции.
Возрастание и убывание функции. Если f'(x) > 0 на промежутке, то функция f (х) возрастает на этом промежутке. Если f (х) < О на промежутке, то функция f (х) убывает на этом промежутке.
Точка максимума функции f (х) — точка х0, такая, что для всех х х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (х) < f (х0).
Точка минимума функции f (х) — точка х0, такая, что для всех х * х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (X) > (х0).
Точка экстремума функции — точка максимума или минимума.
Стационарная точка функции — точка, в которой производная функции равна нулю.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая в точке х0 функция f (х) имеет в этой точке экстремум, то f (х0) = 0.
Достаточное условие экстремума. Если при переходе через стационарную точку х0 производная функция меняет знак с «+» на «-», то х0 — точка максимума этой функции, если производная меняет знак с «-» на «+», то х0 — точка минимума.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке нужно найти значения этой функции в точках экстремума и в концах отрезка, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.
355
Ответы и указания
1. 2) 0,(72); 4) -0,75; 6) 0,(13). 2. 2) 1,(282051); 4) 0,49(6); 6) 1,3(2).
3. 2) 1-; 4)	6) -2—9. 4. 1) 4; 2) 4^. 5. 2) 5,8. 8. 2) |х| = -х;
9	9	990	4
3) |х| = х. 9. 2) Иррациональное; 4) рациональное; 6) иррациональное.
10. 2) 10; 4) |. 11. 2) /il-VM >ЛО-73Д. 12. 2) 3; 3) 2+л/з. 3
13. 2) Да. 14. 2) 341. 16. 2) Да; 4) да. 17. 2) 0; 4) -2. 18. 2) 1,5; 4)
3
19. 2) -31-. 20. 2) |; 4)	21. 2) Нет; 4) да. 22. 2) 2^3(2+73).
4	9	90
23. 2) д = |. 24. 1) -1; 2) 9; 3) 1. 25. 2а. 26. Rn^-~^-RA . 28. 2) 2;
4) 15. 29. 2) 81; 4) —. 30. 2) -1; 4) -4; 6) -8. 31. 2) х = -|;
81	2
4) хх =-2, х2 = 2. 32. 2) 5; 4) -11; 5)	33. 2) 48; 3) 20. 34. 2) 33;
4) 7.	35. 2) 0,2;	4) 2.	36. 2) 50;	4) 16.	37. 2) aV; 4) а2д3.
38. 2) За5; 4) -. 39. 2) ?; 4)	40. 2) -; 4) 2; 6) 4. 41. 2) Зх;
b	3	2	5
4) 2—. 42. 2) -; 4) А. 43. 2) 4^2; 4) 5. 44. 2) у2; 4) aW; 6) За. а	3	4
45. 2) х >-3; 4) |<х<2. 46. 2) 2. 47. 2) 6; 4) |; 6) 4. 48. 2) ab2c.
49. 2) Зх; 3) 0; 4) а - 1. 50. 2) 7; 3) 1. 51. 2) (3 - х)3 при х < 3, (х-З)3 при х > 3; 4) -Зх - 5. 52. 2) V7 + V15 < V8 + V28. 54.3) 1.
57. 2) 3; 4) 27; 6)	58. 2) 5; 4)	5)	59. 2) 49; 4) 125. 60. 2) 121;
11	1 ( 1 Л
4) 150. 61. 2)	3; 4)	2,7. 62. 2) Ь;	4) а; 6)	у 4 * 6. 63. 2)	a3|d3	+ c3J;
1 1 f 1	П	< 1	V 1 A ( 1	1W 1	1)
4) Зх2у2 |^4х2 - y2J. 64. 2) ^i/3 - 1J\у3 + 1J;	4) [х2 - у2) |х2 + y2j ;
356
।	— 1Y 1	—1 I - 1II	- 1 I I - 11
6) 1^0,1™12 - n 12 Jo,Im 12 + n12J. 65. 2) V*2 - t/2J\x + x2 У2 + УЛ 4) l^a3 + c6Jx (	2	1 1	1)	11
xl49a3-3a3c6 + c3J. 66. 1) a4 - b4 ;	3) 4c-1.	67. 3c.	68. 2) 1;
4)	69. 2) 3; 3)	4)	70. 2) 9; 4) 8. 71. 2) 18; 4) 0,75.
16	5	625
72. 2)	4) 2^ >21,7; 6) (	• 73- 2> (0.013)'1 > 1;
<8-3	л л _
1
4) 271’5
1 1
76. 2) 9~;	4) 1077. 2) a2b, 78. 2) 1;	4) a3 b3.	79. 2) 3.
1	31—
80. 2) b2 ; 4) a + b. 81. 2) v ; 4) 2 4b. 82. 2) y, 4) 4a"1--d"2^3. 4h + \lb	9
83.
86.
—	-	Q ./O
2)	m2; 4) a~2. 84. 2) x = --; 4) x = 2л. 85. 2) x =	; 4) x = 1.
2	8
____	2 3r~
2)	V5 <V7; 4) V13 >5л/23. 87. 2) 2 у 4) 234b. 88. 2) 23V&; 4)
a+b
( 1	1)	J
89. 2) 2\a2-b2)-, 3)	. 90. 5306 p. 4 к. 91. 2158 p. 70 к. 92. 2) 2.
x + 1
93.	2) 2—;	4)	—.	94.
•	90	99
—.	95.	2)	64;	10;
8	16
6)	-5^.	97.	2)	-; 4) -;
7	256	2	2
1) 1; 0,01;	37 —; —; —; 3) 2; 9; 10; 4;
2	27 36 81
5; 2; 3) —;	11-. 96. 2) 15; 4) 1000;
25	7	9	7
1 -1 - 1
6) 4. 98. 2) 98°; 325;	. 99. 2)	4 <
-- riiV^5 /19\-Vs	-
<(0,41) 4; 4)	>(<3 J * 10°* 2) a~1;	4) fl7‘ 10L 2) a *
102. 2) 5J( 1--1^)3 > 5Jfl--l^f . 103. 2) x = 3; 4) x = 2; 5) x = -2.
V \ 4	5) у \ 6	7 7
2	2	* 2
104. 2) a5 + &5. 105. 2)	107. 2)	108. —.	109. 10.
’ a-b	24750	2
110. a = 2-45, a < 0. 111. 2) a < &; 4) a < b. 112. 2) 5^~5л^.; 4) ^5;
15	3
6) п(^9-Тб-h v4). 8) 3^_3^2	113 2) 7	114 2) 23^; 4)
5	у1хУ
115. 2)(3Va-V&)2; 4) a2 + b2. 116. 2) 1. 117. 21a-1; 3) 1. 122. 2) O,20’3 > 1;
4) Тз°’2>1. 123. 2) Выше при x > 1, ниже при 0 < х < 1. 124. 2) Выше
при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 125. 2) [ — | <[ — |	; 4) 2,5 3,1 >
357
>2,6"31; 6)	8> (2'V6)“0’2 >(6ч/2)-°’2;
126. 2) у = х4:
область определения - х е й, множество значений — все числа у > 0; 1
у = х4 : область определения — все числа х > 0, множество значений — все числа у > 0; 4) у - х5: область определения — х е R, множество значений — у е R; у = х~5: область определения — х 0, множество значений — у * 0. 127. 2) Выше при 0 < х < 1, ниже при х > 1. 128. 2) х > 0, у > -1; 4) х > -1, у > 0; 5) х 2, у > 0; 6) х > 0, у > О. 129. 2) х е Я, у > 0, возрастает при х > 0, убывает при х < 0; 4) х е R, у > -2, возрастает при х > 0, убывает при х < 0; 5) х е R, у 0, возрастает при х > -2, убывает при х < -2; 6) х 0, у * 0, убывает при х > 0, возрастает при х < 0. 130. 2) (0; 0), (1; 1). 132. 2) у = ^~^; 4)	6) у = %'х^ 3.
5	3
133. 2) Все действительные числа; 4) все действительные числа; 6) х 0, у * 4. 135. 2) Нет; 4) да. 136. 2) у = -Vx^; 4) у = -х3. 137. 2) Все действительные числа; 4) у = (х - I)2, х > 1, у > 0, у = у[х 1: х > 0, у > 1;
6) у - (х - 1) : все действительные числа; р = Х/х-И: все действительные числа; 8) у = Jx +1: х > 0, у > 1; у = (х - I)2: х > 1, у > 0. 138. 2) Нет
корней; 4) нет корней. 139. 2) Равносильны; 4) не равносильны; 6) равносильны. 140. 2) Равносильны; 4) не равносильны. 141. 2) Первое.
142.	2)	Нет корней; 4) х	= 4. 143. 2) 3,5 <	х < 5. 144. 2) Равносильны.
145.	2)	Равносильны; 4) равносильны. 146. 2)	Оба. 147. х = 3. 148. 2) х = 6.
•149. 2)	-2 < х < 1, х > 2. 150. 1)	хт = -1,	х2	- 2,	х3 =	4; 2) х2 = -1,
х2 - 1,	х3 = 2; 3) xt ~ -4, х2 =-3,	х3 = -2,	х4	= 1;	4) ха	= -2, х2 =-1,
х3 = 3.	152. 2) х = 27; 3) х = 5.	153. 2)	х --7;	3) х}	= 3, х2 = -|.
154. 2)	х = 5; 4) х1 = -3, х2 = 4. 155. 2) х =	4;	4) х	= -1.	156. 2) х = 5;
4) Xi =	-3, х2 = 1. 157. 2)	Xi = -1, х2 = 0, х3	= 1. 158. 2) х = -3; 4) х = 18.
159.	1)	х =-4; 2) х = 5.	160. 2) х = 10;	4) х12=±х/17, хзл=±</2.
161. 2) х1 =-1, х2 =-3. 162. 2) Два; 4) один, х = 1. 163. 1) х1 - 0, х23 = ±2; 2) х} = 0, х2 = 2; 3) х, = -4; х2 = 1; 4) хх =-6, х2 = 1. 164. 1) х = ~ (1 + у]4а2 + 9) при а 0, нет корней при а < 0; 2) х = -1 ч + у/а2 -2а + 2 при а > 1, нет корней при а < 1. 165. 1) 1 < х < 1,5; 3) х < -5. 166. 2) ОС х < 9; 4) х < 13,5; 6) 0 < х < 2. 167. 2) 2 < х < 3; 4) х < -5; 6) х>-~; 8) --	. 168. 2) -1 < х < 1; 4) -5 < х < -3,
9	4	16
3 < х < 5. 169. 2) -1 < х С 2; 4)
4)|<х<6; 6) 2 < х < 3. 171. 1)
3
х < -1, X > 2; 6) 0 < х < 4. 170. 2) х > -1;
х 2) -3 < х < 6. 174. 1) 1 < х < а2 + 1
7з
при а > 0, нет решений при а С 0; 2)	(2 * >/2) < х < 0. 177. 2)	,
2	_2	2	2
(х/2Р, (1,9)п, к71; 4) л 3, (V2) 3, (1,3) 3, (0,5) 3. 178. 2) Xj = -1, х2 = 1.
358
179. 2) -V2 <	V2; 4) x < -1, x > 2. 180. 2) у = |+ 3, x ф 0, у ф 3;
3 /
4) y= Vx+1, все действительные числа. 182. 2) Являются; 3) являются.
183. 2) х = 21; 4) х1 = ^,х2 = —;6) хг 2 = ±8. 185. 2) Являются; 4) не яв-2	3
ляются. 186. 2) у = х2 - 4х, х < 2, у > -4; 4) у = 6х - х2 - 8, х 3, у < 1.
187.	2) х = 1; 4) х = 0. 188. 2) х = 259; 4) хг 2 =	5) х=~ —;
’	2	5
6) 2 < х < 7. 189. 2) х < 0; 4)х>-~.
2
- х< -; 3) 1 < х < 6; 4) -6 < х < 3. 191.
2	7
190. 1) 6 < х < 8; 2) х < -4,
1) Если а < 2, то решений нет;
. _	, а4 + 16а2 + 16	1а1	. ,
если а > 2, то 6 < х <------------; 2) —— < х < а
4а2	42
при а * 0, нет кор-
ней при а = 0. 196. 2) Больше 1; 4) больше 1. 197. 2) х = -1; 4) х = -2. 200. 2) х > 0; 4) х < -1. 206. 88,4 г, 22,1 г. 207. 4,87 105 м3. 208. 2) х = - ; О
4) х=-|. 209. 2) х =-0,5; 4) х = 4. 210. 2) х = 2,5; 4) х = 9; 6) х = 0,4.
211. 2) х = 1; 4) х = 3. 212. 2) х = 0; 4) х = 0. 213. 2) х} =0, х2 = 2; 4) х = 1. 214. 2) хх = 2, х2 = 5; 4)х = -|. 215. 2) хх = 1, х2 = -3; 4) хх = 0,5, х2 = -3.	216. 2) х = 0,8;	4) х =-1.	217. 2) хг = 0,3,
х2 = -0,2; 4) х = 4. 218. 2) у = 3; 4) х = 2. 219. 2) х = 3; 4) х = 3. 220. 2) х = -1; 4) х = 1. 221. 2) х = 3; 4) х = |. 222. 2) х = -3; 4) х = 4. 223. 2) х =-1; 4) хх = 1, х2 = -1; 6) х =-1. 224. х = 4. 225. 1) х =-3; 2) х = 2; 3) хг = 0, х2 = |; 4) х = 3,25. 226. 1) хг = О, х2 = 2; 2) хх = О, х2 = 2. 228. 2) х < 2; 4) х < -0,5; 6) х > 3. 229. 2) х > 4; 4) -3 < х < 3. 230. 2) х = 1; 4) х = 2. 231. 2) -<х<1; 4) --<х<-. 232. 2) х > 1;
2	3	2
4)	х < 1. 233. 2) х < 2, (-3; -2; -1; 0; 1); 4) х < -1, (-2; -3). 234. х > 0. 235. При х > -2.	238. 1) 0 х < 3,	-6	< х < 0;	2) 5 < х < 30.
239.	1) х < -1; 2) -2 < х < 1; 3) х < 0, х > 1; 4) --<х<2. 240. 2) (0; -2), 3
; -lj. 242. 2) (1; 1). 243. 2) (3;-2);
4)	(0; 1); 6) (0; 2). 244. 1) х=1|; 2) х = |. 245. 1) (7; 3); 2) (3,5; 2). 3	5
246.	2) 2^ >21,7; 4)	J*’*4. 247. 2) ^^<1; 4) [|у8 3>1-
249.	2) 0,04 < у	< 5. 250.	2) х = -2;	4) х1	- 3, х2 = -1.	251. 2)	х = 0;
4)	х = 2.	252.	2)	х = 1;	4) х = 3.	253.	2) х < -1;	4) -2 <	х < 2.
256.	а(1 + 0,01р)” \	258. 2) х = 24.	259. 2) х = 9;	4) х - 1.
260.	2) х = 0; 4)	х = -0,5. 261. 2) -3 <	х < 1;	4) -1 < х <	1.	262. 2)	(1; 1).
264.	2) х = 4; 4)	х = 1. 265.	2) х < -3,	х > 1;	4) х<-1	х	> 4. 266. 1; 2;
3
4) з1=-| -241- 2)Л
359
3; 4; 0; -1; -2; -5;	-1|; 2-. 267. 2) 6; 4) 0. 268. 2) -3; 4) --.
3	2	4	4
269. 2) 4; 4) 0. 270. 2) -1; 4) --. 271. 2) -2; 4) 1; 6) --. 272. 2) 3;
4	3
4) -3. 273. 2) -3; 4) -2. 274. 2) 16; 4) 6. 275. 2) 64; 4) 3. 276. 2) 144; 4) 1. 277. 2) х = 625, 4) х = 25; 5) х = 5,5. 278. 2) х < 7; 4) х >|; 6) х < 0. 279. 2) -1,5; 4) -1|. 280. 2)	4) 512; 6) 1|. 281. 2) 1;
4) -; 5) 2. 282. 2) х = 7; 3) х —. 283. 2) х < -3, х > 2; 4) х е R.
6	V5
284. 2) х > -2; 4) -2 < х < 0, х > 1. 285. 2) х = log, 2 4; 4) x = |(l-log7 2). 286. 2) х = log3 4; 4) х} = -1, x2 = log12. 287. 1) х, = 0, х2 = log, 5 3;
з
2) х = log0 б 2. 288. 1) - < x < 1, x > 1; 2) 1 < х < 2, х > 2. 289. Если * &
а > 0, а = -1, то х = log3 а2; если а < 0, а * -1, то хг = log3 а2, х2 = log3 (-а). 290. 2) 3; 4) 2. 291. 2) 2; 4) -3. 292. 2) -; 4) -1-. 293. 2) 1,5; 4) -4.
3	6
294. 2) 1,5; 4) -3. 295. 2) 11. 296. 2) 1-; 4) О. 297. 2) х = —; 4) х = № • \ib^. 3	b3
298. 1) 3; 2) 16	3) 475; 4) 22,5. 299. 2) 1. 300. 1) 2 (а + b - 1); 2)2а + |.
301. 2) 0,845; 4) -0,176. 302. 2) 0,693; 4) -0,154. 303. 2) 1,29; 4) -0,42. log7 6 log7 I 1
304. 2) 1,3; 4) -15,42. 305. 2) ——; 4) ----------6) —±—. 306. 1) 25;
log7 10 log7 5 log7 3
2)--. 307. 2) х = 8;	4) х = 3;	6) х = 2.	308. - + ти. 309.
2	2	т + п
ЗЮ. 2 + т . 311. 1--Z71. 312. 1) -2; 2) -3. 313. 2) х, = 9, х9 = 27; 4) х, = -, 1 + 2ти	3	1	2	1 4
х2 = у[2. 314. 2) 1. 315. 9 лет. 316. 3052 качания. 317. 2) 2,7182788;
4) 2,7182819. 318. 2) log, 9 >log, 17; 4) log2 —>log2—.
з з	2	2
319. 2) log3 0,45 < 0; 4) log0 5 9,6 < 0. 320. 2) x < 1; 3) x > 1. 325. 2) x> |; 4) x > 0,5. 326. 2) 0 < x < 0,16; 4) x > 0,16. 327. 2) x = 8; 4) x = 46;
6) x = -1,6. 328. 2) x > -1; 4) -2 < x < 2. 330. 2)	<lg
4) 1g 1g 1g 50 < 1g3 50. 331. 2) -1 < x < 6; 4) x > 4; 6) x > 3. 332. 2) x > -1, у e R; 4) x > 0, у e Я; 5) x > 1, у e R. 333. 2) x = 2; 4) x « 2. 334. 1) x > 0, у > 0; убывает при 0 < x < 1, возрастает при х > 1, 2) х * 0, у е R, убывает при х < 0, возрастает при х > 0; 3) х * 3, у g R, убывает при х < 3, возрастает при х>3; 4) х>0, у > 0, убывает при О < х < 2, возрастает при х > 2. 335. 1) х * 2, х * 3; 2) -1 < х < -.
А
336. 2) Каждое из двух — следствие другого; 3) второе. 337. 2) х = 3;
360
4) x->/2. 338. 2) Корней нет; 3) х = 2. 339. 2) х = 5. 340. 2) Корней нет. 341.	2) х = 1; 4) х1 = 3, х2	= 5.	342. 2) (1; 9). 343. 2) хг 2 = ±8;
4)	х = 16;	6) х = 3. 344. 2) х =	3; 4) Xj = 4,	х2 = -8. 345. 2)’ х = 9;
4)	хг = 100, х2 = 1000. 346. 2) Да.	347.	2) (в;	348. 2) хх = 4, х2 = ^2;
3)	х1 = 3,	х2 = 9; 4) Xj = 27, х2	= |.	349. 2)	х = -. 350. 2) х --4.
У	(
х
351. 1) x1 = V2, х2 = 3; 2) х1 = -, х2 = 2. 352. 1) х-53; 2) х = 4. 3
1 _а logs а
353. а> 0, а * 1, а *5 3, x = 531og& а +1. 354. 2) х<-; 4) -2 < х < 2. 5
355. 2) х <-30; 4) 1 < х < 10; 6) х <-0,05. 356. 2) х > 25; 4) 5<х<3. О
357. 2) 2 < х < 3; 11 < х < 12. 358. 2) - 2 <х<1; 4) х>^2. 359. 2) х > 7; 3
4) решений нет. 360. 2) х < -1, х > 4; 4) х < -0,5, х > 3. 361. 2) х < 2, х > 3; 4) -2 < х < -1, 6 < х < 7. 362. 2) -72 <х< ~^=<х<42.
2 42 2 V2
363. 2) х > 2. 364. 2) 0 < х < 0,1, х > 10 000. 365.
х > log3 2; 4) х < - ——i, - < х <	366. -log3 2 <
2	5	2
1	2
2) bg3 о <*<log3 о’ &	о
х < 0, log3 42 < х < 1.
367. 2 - log4 5 < х < 1. 368. 2) 4; 4) -3. 369. 2) -4; 4) 6. 370. 2) 1;
4) |. 371. 2) |; 4) 4. 372. 2) -2,2. 373. 2) 2,26; 4) -1,73. 375. 2) Воз-
Q
растающая; 4) убывающая. 377. 2) х < 0, х > 2. 378. 1) х = —; 2) х = 2. 8
379. 2) Xj = 1, х2 = - —; 4) хх = 4, х2 = 8. 380. 2)х = -4; 4) х = 2.
381. 2) х < 4; 4) х < -1. 382. 2) Решений нет. 383. 2) х < -8, х > 1. 2 log 2 5 + log t 9
384. 2) -4,5; 4) 36; 6) 2. 385. 2	» >4s. 386. 1,223. 387. 0,611.
388. 0 < x < 1. 390. 2) x=|log23; 4) x = - flogj 1,56) x = log, 3. 3	з J
391.	2)	x =	27; 4) xY = 27,	*2=~. 392. 2) x =-4;	4) Xj =	14,	x2 = 6.
393.	2)	Корней нет. 394. 2)	x = 4,5. 395. 2) хг = 2, x2	=. 5; 4)	корней нет.
396.	2)	5 <	x < 6; 4) x > 4; 6) -4 < x < -3. 397. 2)	0 < x <	1,	x = 7з.
399.	2,	10,	50 или 50, 10,	2. 401. 2) хг = 10, x2 = 0,1. 402.	2)	xt = 23,
x2 =-1,8.	403. 2) x = 2-42;	3) x = 0;	4) x = 2.	404. 2) x < 0,
logs 5 x < 1. 405. 5. 406. — < x<, 4a <x<a, если a > 1; —< x< -, a Va	у/a o.
a<x<4a, если 0 < a < 1. 407. 2) —; 3)	5) —; 6) —. 408. 2) 20°;
3	6	45	9
3)135°; 5) f —Y; 6)|^M°. 410.0,4 м. 411. 2 рад. 412. — см2, k it J V 71 J	8
361
413. 2 рад. 416. 2) (0; 1); 3) (0; -1);
420. 2) (0; 1); 4) (-1; 0); 6) (0; 1). 421. 2) (0; 1); 4) (0; -1). 422. 2) |
4) (1; 0), (-1; 0). 423. 2) л + 2лЛ, где k — любое целое число; 4) - — + 2nkt
2
где k — любое целое число. 424. 2) Вторая; 4) четвертая. 425. 1) х = 1,8 л,
£ = 4; 2)х = —л, 6 = 3; 3)х = -л, k = 2. 427. 2) (0; 1); 4) (0;-1). 3	3
428. 2)	+ 2л/г, k е Z; 4) - — + 2л£, k е Z. 430. 2) -1; 4) -1; 6) 1.
4	6
431. 2) 0, 1; 4) 1, 0; 6) 0, -1. 432. 2) 2; 4) -1. 433. 2) 0; 4) -1.
434. 2)-7; 4)-j. 435. 2)х = |+л£, k е Z; 4)х = ^+2лЛ, k е Z. 436. 2) Да;
4) нет. 437. 2)	4)	433. 2) 2,75; 4) 1^-. 439. 2) х = г. + 2л£,
4	2	12
k е Z; 4) х = л 4- 2л&, k g Z: 6) х = -- л + —-, k g Z. 440. 2) Верно; 4) не-
5	5
верно. 441. 2) 0,09; 4) 0,7; 6) -0,22; 8) 0,36. 442. 2) Во второй; 3) в третьей; 5) во второй; 6) в четвертой; 8) в третьей. 443. 2) В третьей; 4) во второй; 6) во второй. 444. 2) sin | -	]<0; 3) sin | >0;
\	7 /	\	3 )
4) sin (-0,1л) < 0; 5) sin 5,1 < 0; 6) sin (-470°) < 0. 445. 2) cos л<0; 6
3) cos л j >0; 4) cos 4,6 < 0; 5) cos (-5,3) > 0; 6) cos (-150°) < 0.
446. 2) tg —л >0;	3) tg| - - л^сО; 4) tg 3,7 > 0;	5) tg (-1,3) < 0;
5	ч 4 )
6) tg 283° < 0.	447. 2) sin a < 0, cos a > 0, tg a < 0;	4) sin a > 0,
cos a > 0, tg a > 0. 448. 2) sin 3 > 0, cos 3 < 0, tg 3 < 0; 4) sin (-1,3) < 0, cos (-1,3) >0, tg(-l,3)< 0. 449. 2) cosf - + a]<0;	4)	tgfa-^<0;
cos a < 0, tg a < 0, ctg a < 0.
,	/3л
для л < a < —, знаки различны
6) sin (я - a) > 0.	450. 2) sin a > 0,
451. Знаки совпадают для 0 < a < - и
2
для - < а < л	и для —	< а < 2 л. 452. 2) cos —	cos — < 0;	3) tg — + tg -	>0.
2	2	3	6	4	4
453.	2) cos 1,3 > cos 2,3. 454. 2) x = % + Ля, k g Z; 4) x = л + 2яЛ, k & Z. d
455.	2) Во второй. 456. 0,03 — да, — — да, - — нет, — — да, --- — нет, 3	3	13	11
/—	о
<2 — нет,--да. 457. 2) Могут; 3) не могут; 4) не могут. 458, 2) cos a =
и
=	tga=	ctga = ^^.	459. 2) cos a =-0,6, tg a = -
25	/21	1°	3
3	1	3	1	12
ctg a = —; 4) sin a =—cosa = - -—, tg a =--; 6) cos a = —, tg a =
4	<10	<10	3	I3
= -A’ ctga = -^; 8) sina = -||, cosa = -^, tga = ^. 460. 2) ±-*L; LZ	О	du	du	(	Д/3
362
Ja	о	2 У10	1
4) ± —. 461. 2) He могут. 462. cos a = —, tg a = —-—. 463. 2)	4) 2.
3	119	3
464. 2) —. 466. 2) 0; 4) 1 + sin a. 467. 2) 4; 4) 2. 469. 2) 0; 4) tg2 a. 16
471. —. 472. —. 473. 7. 474. 2) x = -+nk, k g Z; 4) x=£+2rcfe.
25123	2	2
475. 2) —; 4) -3; 6) 2. 476. 2) 2 cos a; 4) 4. 477. 2) 0,5. 478. 2) -2 cos a. 3
480. 2) x = -- —, k g Z; 4) x = k g Z; 6) x = - + nk, k g Z. 481. 2) 4	2	2	2	2
4)	482. 2)	4) -1. 483. 2)	. 484. 2) cos 30; 4) -1. 485. 2)
2	2	6	2
4) 1. 486. 2)	487. 2) -cos 0 sin a; 4) sin a cos 0. 488.
6	85 85
489.	. 490. 2-—. 491. 2) 1 cos2 a; 4) sin a sin 3a. 493. 2) 1; 4) Уз.
65	36	2
494. 2) |. 495. #3tga.	496. 2) sin 20. 497. 2) x = + nk,	k g Z;
4) x = 4л/?, k g Z. 499. 2) 2 sin | — + -- | cos | — + -	4) cos2 f -
8 2 J < 8 2 J	U 2 )
-sin2<—+ -\ 6) cos2—-sin2 —. 500. 2)	4)	501. 2)	4) -1.
^42;	2	2	2	2	2
502. 2) - —; 4) -2. 503. 1)	504. 2) —. 505. -. 506. 2) sin 50°;
2	25	25	3
4) cos2 2a. 507. 2) ctg2 a. 509. 2)	512. 2) x = nk, k g Z; 4) x = % - nk,
У
14COS-J l-cos(j + 2a]	r-
k G Z; 6) x = - + я/г, k g Z. 513. 2)--------4)-----------—--------514. 2)^;
2	2	2	2
4)1. 515. 2)/0,8; 4) 2. 516. 2) ТОЛ; 4)-. 522. cos 4a. 523. 2) x = 4я/г,
3
х = я + 2я/г, /?gZ; 4) x = —, x = - + —, k g Z; 5) x = 8nk, x = 2я + 4я*,
2	8	4
fc gZ; 6) x = - + -,/? g Z. 524. 2) a = 60°; 4) a = 40°; 6) a =	8) a = J.
4	2	10	6
525. 2)	4) -	6)	8)	526. 2) -b 4)	6)	8) 1.
&	Z	2	2	2	о 2
527. 2) -1. 528. 2)—!—. 529. 2) —; 4) - -; 6) 1; 8) - —. 530. 2)-У2; cos a	2	2	2
4) V3 -1. 531. 2)	4)
3	2
k g Z; 6) x--^—, k g Z.
6	3
4)	6) y- 541- 2)
-1. 535. 2) x = it + 2nfe, k g Z; 4) x = к + 2nk, 537. 2) 2 sin-sin0; 4) ^-sin2a. 538. 2) 0;
8	2
2 sin a. 543. 2) 2 Уз cos2 4-	546. 2)
24	У5
4) -J-. 547. 2) ctg2 a. 548. 2) 1; 4)	549. 2) - —; 4) -l-^=.
\ 3	V2	2	42
363
550.
560.
J9
2) 2 sin a. 551. 2) -ctg a. 553. 2) 0. 554. 2)	557; 4 sin 2a.
4
-4. 561. 1|. 562.	568. 2) 0; 4)	6)	569. 2) 2л; 4) 8л.
570.
2) arccos
<arccos(-l); 3) arccos
>arccos --1. 571. 2) x = к 2 7
о
1) x = ± arccos — + 2 ли, 4
n e Z; 6) x = —+—, 8	2
------ + 3
= ± — + 2 ли, n € Z; 3) x = ± — + 2лп, n e Z. 572. 6	4
n e Z. 573. 2) x = — + яп, n e Z; 4) x = ± + блп,
n g Z. 574. 2) x = — + лп, n g Z. 575. 2) Да; 4) нет; 5) да. 576. 2) x - ± 2
4- 2лп, n e Z; 4) x = ± — 4- ли, n e Z; 6) x = 2лп, n g Z; 8) 8
x - ± arccos |	| - 2 лп, n g Z. 577. x = ± — 4- л/г, k = 0,2. 578.
I 37	3
n gZ. 579. 2) x = -2,5. 580. 2)	4)	6) -. 581. 2)
3	3	3
х = ±^ + 2ли, x = ± ~ + лп, 6; 4) 2л-4.
582. 2)	583. 2a2 - 1. 585. 2) x « ±1,84 + 2г.п, n g Z. 586. 2)	4) -;
25	2	6
6)	587. 2) 0; 4)	588. 2) arcsin >arcsin(-1). 589. 2) x = (-l)rt x
xj+лп, n g Z. 590. 1) x = (-l)rt • arcsin 2 4-яп, n g Z; 3) x = (-l)”x
xarcsin— лп, hg Z. 591. 2) x=--+лп, n g Z; 4) x = (-1)" • — + 2 ли, 3	4	3
n g Z; 6) * = -J +Y’ n e Z' 592, 2) x = nn' n e Z' 593‘ 2) Да; 4) нет;
6) нет. 594. 2) x = (-1)л + 1 — +n g Z; 4) x = (-l)rt 3arcsin- + —, 62	2	42
n g Z. 595. 2) Xj = - — 4- 2 лп, n g Z, x2 = — 4- 2 лп, n g Z, x3 - — + 2ли, n g Z. 2	6	6
596. 1) x = (-1)" +1 £ 4- ли, x = (-l)rt arcsin —4- лп, n g Z; 2) x = (-l)rt-x 6	4	3
x arcsin — 4-, n g Z. 597.	598.	601. 2)
4	3	12	12	12	12	3	5
4)	602. 2)	603. 2) —. 604. 2) x = 6+^; 606. x (-If * 1 x
4	2	25	4
x 0,32 + лп, n g Z. 607. 2) --j; 4)	608. 2) 0; 3)	609. 4) arctg (-5) <
< arctg 0. 610. 2) x = 4- лп, hgZ;4)x = -^4- ли, n g Z; 6) x = -arctg 4,5 +
4- лп, n g Z. 611. 1) x = —, n g Z. 612. 2) x = — + лп, x = - — + ли, n g Z; 3	3	6
4) x = arctg 4,5 4- лп, x = (-1)л + 1 — + лп, n g Z; 6) x = — 4- лп, n g Z. 6	4
613. -,	614. 2)	615. 2) -0,3; 4) -6. 616. 2) 2; 4) 13 - 4л.
6	6	5
617. 2) --; 4) -. 619. 2) x -1,44 + ли, n g Z. 620. 2) x = -+—; 4	3	4	2
364
3) х = - + 2 ял, х = (-1)п ~ + ял, п е. Z; 4) корней нет. 621. 2) х = - £ + 2 ял,
х = (-l)rt arcsin -г ял, л е Z; 4) х = ± ~ + 2ял, и е Z. 622. 2) х =
л е Z; 3) х = ~ — + ял, х = arctg 4 + ял, л е Z; 4) корней нет. 623. 2) х =
--4-ял, х = arctg 3 + ял, л е Z; 4) х = arctg 3 + ял, х = -arctg-+ ял, 4	2
л g Z. 624. 2) х = —+ пп, л е Z; 4) х = - arctg - + ял, л g Z. 625. 2) х = -'-+ 4	2	2
+ 2кп, х = 2пп, п <е Z; 4) х = 4 + ~• п е Z. 626. 2) х=-~, х = - + —, 12	3	2	6	3
п eZ; 4) х = - + лп, х = — + —, n е Z. 627. 2) х = - + ^, х = (-1)" —+ 4	82	8418
+ ^7-, л е Z; 4) х = ~ + —, л g Z. 628. 2) х = - — 4- 2ял, х = ±я 4- 8ял, л е Z;
3	6	3	6
4) х = arctg 3 4- ял, х = я 4- 2ял, л g Z. 629. 2) х = — 4- ял, х = (-1)л — 4- ял, 2	6
л g Z; 4) х = — 4- ял, х = - — 4- ял, л е Z. 630. 2) х = — + —, л g Z; 4) х - — 4-2	4	16	4	2
4- ял, х -(-1)п ял, л е Z. 631. 2) х= — 4- 2ял, х = 2ял, л g Z; 4) х = я 4-6	2
4- 2ял, х = ^4-2ял, л е Z. 632. 2) х= - —4- ял, х = 5 + 2ял, х = 2ял, л е Z. 2	4	2
633. 2) х - £ 4- ял, Л
п е Z. 634. 2) Корней нет; 4) х = ял, л е Z. 635. 2) х - пп\
4)- х - — , п е Z. 636. 2) х = arctg 2 4- ял, х = arctg — 4- ял, л е Z; 4) кор-5	3
ней нет. 637. 2) х = ял, х = ± arccos-^4-2 ял, л е Z. 638. 2) х = ~ — 4-ял, 3	4
x = -- + (-l)n arcsin 2—2^ + ял, л е Z. 639. 2)х = -4-^, л e Z. 640. 2)х = 4	у/2	4	2
= -4-^, л g Z. 641. 2) х = - + 2яА, k е Z. 642. 2) х=-- + 2лл, п е Z.
4	2	2	2
643. 2) Xi = - + ял, х2 = ± — 4- 2ял, л е Z. 644. 2) х = я/г, х = ± — 4- я/г, k g Z.
1 2	2	3	4
645. 1) х = +	, у =	1 k, n,keZ-, 2)х = (-1)л	+ ял, у = (-1)* + 1	+
4 Z	4 Z	О	О
4- nk, п, k g Z. 646. | а | < 2, х = ± arccos — 4-2 я/г, k е Z. 648. 2) — 4- 2 ял <
2	6
< х< —• 4- 2ял, л g Z; 4) — + 2 ял < х <	4- 2ял, л € Z. 649. 4) х =
6	4	4
= я 4- 2ял, л е Z. 650. 2) - — + 2пл С х< - + 2кл, л g Z; 4) - — 4- 2 ял < 4	4	3
<х<^4-2ял, л g Z. 651. 2) Решений нет; 4) х = — 4-2ял, л е Z. 3	2
652. 2)	+	—	, neZ;
18	3	18	3
4) 2ял < х С — 4-2ял, л g Z.
3
653. 2) 12 - Зя 4- 8ял <х< 12-я - 8лл, л е Z. 654. 2) --^4-2ял<х<
365
<- + 2лл, п g Z. 655. 2)- —; 4) —. 656. 2) х - -2 ±	, п g Z; 4) х =
2	4	2	4	3
= 5±2L+2nn z 657 2) х = ~ + 4хп, п g Z; 4) х = - + (-1)" - х 9 18	3	3	2	2
х arcsinп € Z. 658. 2) х = ±- + 2пп, х=-~^—, п е Z. 659. 2) х = 5	2	4	8	2
= ~+—, л g Z; 4) х = -^+ли, п е Z. 660. 2) х = (-1)" “ 1 arcsin-+ лл, 36	3	28	3
1	л/ 4Q — 3
п s Z; 4) х = ± arccos 2 хп, п g Z. 661. 2) х = (-1)” arcsin -—-—~+пп,
п е Z. 662. 2) х = - — + пп, х = arctg 1,5 + л/г, п g Z; 4) х = у + ял, п g Z. 4	4
663. 2) х = arctg | n е Z. 664. 2) Корней нет. 665. 2) х = —, /г е Z; 2
666. 1)	3) 1. 667. 2) 0; 3) -1; 4) 0.
/г е Z. 669. 2) х = arctg + л/г, х =
UVO. л — aiL.bg .	,
3	4	3
4)х=™, Х = ^, х = ^ + ^, 5	2	6	3
668. 2) х = у + л/г, х = arctg + л/г, 4	d
п е Z.
= -arctg 2 + ял, л g Z. 670. 2) х = — + л/г, п g Z. 671. 2) х = л/г, х = ± -- + 2пп, 4	4
п G Z. 672. 2) х = (-1)п —+ —, /г G Z. 673. 2) х = л/г, х = ± - + л/г, /г g Z; 12	2	3
4) х = — + 2 л/г, х = — —— + ——п g Z. 674. 2) х = л/г, п g Z; 4) х=—+лл, 2	22	11	2
х = ±— + 2лл, л g Z; 5) х = -+л/г, х = (-1)"	- ял, л g Z. 675. 1) х = —,
3	7	2	к 6	2
х = ±— + 2лл, п g Z; 4) х = 2л/г, х = -+—, п g Z. 676. 2) -А; 4) 3	5	5	4	3
677. 1)	2) 2. 678. 2) х = ± + л/г, п g Z; 4) х = ±^ + я/г, п g Z; 6) кор
ней нет. 679. 2) Корней нет. 680. 2) х = -^+л/г, х = 2лп, х=-^ + 2я/г,
х=-^(-1)л arcsin —-л/г, п g Z. 681. 2) х = - + —, /г g Z. 682. х = ± £ + 4	2	4	2	3
+ л/г, х = —+—, п g Z. 683. х = -£+л/г, х- arcsin	—^5|-л/г, п g Z.
8	4	2	;	4	)
684. х = 2л/г, х=-+я/г, х = — + 2 л/г, п g Z. 685. 2) х = — ч- 2я (п /г), 2	6	6
г/ = ^+2л/г, /г g Z, k g Z. 687.	< а < 1, х = т arccos (4а - 3)+	, п g Z.
688. — < а < 1. 689. При С а < — х - -- + (-1)л arcsin За -г л/г, х = - — + 16	3	3	4	4
+ (-1)" ~1 arcsin а + лп, п g Z; при	х = - j - (-1)я + 1 arcsin а +
- д/г, п е Z; при \а >1 нет корней. 690. 2) — + 2ял < х< — + 2л/г, л g Z.
<5	□
692. 2) 0 < у < 2; 6) -1,25 < у < -0,75. 693. 2) х * ли, п g Z; 4)	+
+ ^, neZ. 694. 2) х = 2лл, n&Z; 3) -+ 2ял < х < + 2 лл, п g Z;
5	6	6
366
6) - — + 2ли<х< — + 2пп, neZ. 695. 2) х * — + —, п е Z; 4) х — + я/г, 2	2	4	2	2
п g Z. 696. 2) -1 < у С 1; 4) 1 < у < 10; 6) -7з < у < /3. 697. 5 и -5.
698. -л/26 < у С >/26. 699. 1 < у < 11. 700. 2) Нечетная; 4) нечетная;
6) четная. 701. 2) Не является четной и нечетной; 4) четная; 6) чет-
ная. 704. 2) Четная; 4) нечетная: 6) четная. 705. 2)	4) я. 706. 2я.
3
710. 2) [- j
°J’
L 2j’
4) cos
4) [-я; 0], [o;	711. 2) соз^<со8^у£;
6) cos 4 < cos 5. 712. 2)	4)
Г?|<с“
—, —. 713. 2)0<x<—, -CK-; 4)^<x< —, — <х<3л.
3	3	3	3	3	7 6	6	6
714. 2) sin —<cos—; 4) sin —>cos-; 6) cos£>sin-^-. 715. 2)
7	7	5	5	8	10	18 18
Ия
18 ’
718.
13л 23л
18 ” 18
716’ 2) ~rs<x<r&'
г-722-2)й;^’й;Ч4)[-2;1:-тИ-т:-’']-
723.	2) sin±^>sin±^; 3)
724.	2) —, —, —-; 4) 4	4	4	4
4) ^<x<^.
4	3	3
sin f - — ) > sin ' - — 1;	4) sin 7 > sin 6.
I 7 J к 8 )
725.	2) 0<x<-, — <x<—, 3	3	4	4	4
726.	2) sin — > cos 4) sin^<cosy^.
8	8	8	10
Ия 10я 5я 4я л 2 л 7_л 8я 72$ 2)	<х<-^^
9 ’	9 ’	9 ’	9 ’ 9’ 9 ’ 9 ’ 9	' ’	2	9 ’
— < х < —, — <х<^, — < х < л. 730. 2)-— <у<
9	9	9	9	9	9	2	*
Д 735. 2) tg^ <tg 4) tg f-< tg f-^1 tgl<tgl,5. 736. 2)-^, £	о	У	\ О /	\	1 /	о
4) _я Зя 7я 737. 2 _л<х<_5я _Л<1<Л *<ж<7*. 3 3	4 4	4	6	2	62	6
^<х<2л; 4) -я<х< ——, - ^Сх<£,	— <х<2я; 738. 2) £+ яп <
2	232323	3
<х< — + яп, п g Z; 4) - — + яп <х< — + яп, п е Z. 739. 2) -arctg 2 + я, 2	4	2
2 ’ я я 12’ 4’ ^<х<5А 2	9
-arctg 2 -г 2л, -arctg 2 + Зя. 740. 2) - + лп < х < arctg 5 + яп, и g Z; и
4) -arctg 5-1-яп<х<—- лп, и g Z. 741. 2) 0 < х< arctg 4,	< х< arctg 4 + л,
2	2
-^<x<arctg4+2я, ^<хСЗл; 4) 0<х<^, -arctg 3-г л<х<^~ +2л<х<^, -arctg 3 + Зя < х С 3 л. 742. 2) - —, 2	12
743. 2) -2£<х<^,	-А<л:<_Д,	*<х<2-\
2	9	6	9	6	9
745. 2) у > 1; 4) у > 1, у < -1. 749. 2) - - -г пп <
- arctg 3 +
7 я Ия 12’	12 ‘
^<х<л.
9
— -Г дге, + ЯП < Х< 3	3
367
_	_	12
< —+ ЯП, п € Z; 4) яп<х< — 4-лп, п g Z. 750. 1) arcsin —=<arcsin —==\
2	6	Уз УТо
2) arcsin I - - I >arcsin I-7 I. 751. 1) arccos -4= <arccos	2) arccos I - - | >
V 3> I 4;	Л Уб V 5;
>arccos I - — 1. 752. 1) arctg 2 Уз < arctg 3 У2; 2) arctg —jL < arctg —. \ 3;	IV2J
753.	2)	4) х = -3-Уз. 754. 2) x = -|; 4) x = -1. 755. 2) x= 1;
4)	x = 1. 756. 1) 1 < x < 5; 2) | < x < 1; 3) 1 < x < 4; 4) -2 C x < -1, 3
1 < x < 2. 758. 2) x + лп, n e Z; 4) - — 4- 2nn < x < — 4- 2nnt n g Z; 2	2	2
6)	x * nn, x *(-1)" —+ тт, n g Z. 759. 2) -1 < у < 1; 4) 5 < у < 7; 6) -4 < 6
< у < -2. 760. 2) Нечетная; 4) не является четной и нечетной. 761. 2) 14л.
762. 2)	4) л, Зл. 763. 2) - —<х<- —; 4) arctg--2n<
333	3	6	6	2
765.	2) лп<х<-+лп, п 6 Z. 766. 2) £ и 4) 1 и -2. 2	2	2	2
767. 2) Четная; 3) нечетная. 768. 2) 4л. 770. 1) х = — + лп, х = 2лп, п g Z;
3
2)	х = —, х = -+лп, х=-- + 2лп, /igZ. 771. - —+ 2лп <х<^ +2лп, 3	4	2	3	3
и g Z. 772. -2£+™ <Х<2Е+п 6 Z. 774. 2) -1 < у < -. 775. 2) лп < 4	2	4	2	4
<х<-+лп, n g Z. 776. 2) и = 3. 777. 2) р • = 2,2. 778. 2) u(t) = -3. 2	ср-	ср.
779. 2) v (4) = 0,25, v (8) = 0,25. 780. 2) f'(x) = 5, f (х) = -6х. 781. 2) Г (х) = 4;
3)	Г (х) = -5. 782. 2) v (t) = 10t. 783. 2) и (10) = 20. 784. рср = 1,5; рср = 1;
и = 0,5. 785. р = ± v = 2, п = 2. 787. 2) 7х6; 4) 13х12. 788. 2) -Зх 4;
1
4)	-7x-8. 789. 2) x 3; 4) /З x^ J. 790. 1) —9-; 3) —; 5)--.
3	*10	33V^ 4xV?
791. 2) -15 (5x + 2) 4; 4) -20 (2 - 5x)3; 6) 2500x3. 792. 2)- 3-;
447(7-3x)3
4)	793. 2)	4)	6) - —. 795. у = x3. 796. 2) -------;
ЗУ^	27	12	16	(3-2x)4
4) —.---- ;	6)--------4.	_____ 797. 2) x = ^~.	798. |.
V(3-14x)5	3(1-2х)У(1-2х)2	27	4
799. 2)	801. 2|. 802. 2) 2x - 1; 4) -34x; 6) l,5x2; 8) 16x.
803. 2) lOx + 6; 4) 5x4-6x; 6) -6x2 + 18; 8) -9x2 + 4x- 1. 805. 2) 3x2-—;
x3
4) -rl=+—1=. 806. 2) f(0) = -2, /'(2) = 10; 4) Г’(0) = 1, /'(2) = 5. 2	2
368
807. 2) /’(3) = -7=	Г'(1) = -|; 4)	= f(l) = 3. 808. 2) Нет;
2 у 3 У	“	У
4) да. 809. 2) х = 1,5; 4) хг = 1, х2 = --; 6) Xj =0, х2 = 1, х3 - -4.
3
810. 1) 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х; 3)	811. 2) 192; 4) 31,5. 812. Да.
2 Vx
813. Xj = 3, х2 = -0,4, х3 = 1 —. 814. 2) 2	(*2 ~2х~г)~ х~1 815	1;
12	3	11	2Л(х-1)2
2)	"Л" 816« 2> F(x) = y[hTi. 817. 2) f(y) = sin у, у = g (х) = х2 + 1. 1о
818. 1) 2х + 1 -2) 1+ —------------—.	819. 1) 3x2 t_4;	2)
X2	Vx х3Л	2xVx	2 Vx
820. 2) (х - I)3 (х + I)6 (Их - 3); 4) 4 (2—~ 3)2-(10х + 3). 821. 2)	4.
337(2х+1)2	(2х+1)2
3)	(х^--)Д5х- х27-4). 822. Xj = -1, х2 = 2. 823. Хт = 0, х2 = -2. 825. 2) -1 < 2хЛ(2-Х)2	12	12
< х < 0, х > 2; 4) х > 1. 826. 2) х * 1,5; 4) х > 0,5. 827. 3,5 рад/с.
828. 902,5 Дж. 829. 2) 103 г/см. 830. —5 - . 831. 2) ех + 2х;
2 V(x-2)(x-3)
4)	_3е-Зх +  1	832. 2) 1 е2Х " 1--1=; 4) -е1 х - Зх 4; 6) 6х2«?2х3.
2уПс	2	2 л/х-1
833. 2) 3х In х + 2х’3; 4) Зе3х + 4х; 5) 2х 3х + 2 In 3. 834. 2) 3х In 3 -
- 2е2х; 4)-е3-х--^. 835. 2)^-2* In2; 4) -9х 4----—; 6) Зх(1+2 1пх)-
х5 >х	xln3	In 3
----. 836. 2) -sin х; 4) cos х - 2х In 2. 837. 2) -sin (х + 2); 3) -cos (3 - х); X 1П о
4)	-Зх2 sin х3.	838. 2) - cos [ - + зК 2х In 2;	3) -12 sin4х+.
3	13 J	2х2
839.	2) 3X(-I?3sin9x~cos х); 4)	• sin 2х + 2 log3 х cos 2х. 840. 2) 0;
sin2 х	х In 3
4)--Д--31пЗ. 841. 2) х = ± — + 2лп, п е Z; 4) х = -0,5; 6) х = 4.
In 2	3
2_х
842.	2) х < 0; 4) х > 0. 843. 2)---Д-+	4) -е 3 -- cos —
2 л/б-бх 2-5х	2	4
844.	1) ---- + sin^; 2)--------------------------3 -	- е~5 .
3(2-х) V2-X	3	2(x+2)V(*+2)3
845.	2) —(1 - 2х) е х; 3) 2е3 ‘ 2х (sin (3 - 2х) - cos (3 - 2х)).
2 V х
846.	2)	4) ctgx. 847. 2) 0.51 *9inх In 0,5 cos х; 4) cos(ln*\
2V3+X	х
848.	2)	с2?^; 4) _	1--------. 849. 2) Z3d	Л 3х In3.
337sin2 х 2^/1062 х-х 1п2	2д/х(Зх + 1)2
369
4)	52x(2 ln5 sin3x+14 In5-3cos3x) 2j _1_ Гя2х 1п2- —-2х + (sin3x+7)2	x2ln2^	ln2
+ log2 x I. 851. 2) sin x + cos x. 852. 2) x = — + 2лп, x = 2ли, n e Z. 853. 2) 2.
854.	2 + 2л. 855. 2) f'(x) = 0 при x = e"1, f'(x) > 0 при x > e-1, f'(x) < 0 при 0 < x < e-1; 4) f'(x) = 0 при x = 1, f'(x) > 0 при x > 1, f'(x) < 0 2 y_____________________5
при 0 < x < 1. 856. —-----. Указание. Записать данную функцию
х2-5х+6
при х > 3 в виде In (х - 3) + In (х - 2), а при х < 2 в виде In (3 - х) +
+ In (2-х). 857. 2) * = 1. Ь = 5; 4) k = -^-, й = -1-^. 858. 2)
3	3	2
4)	3. 859. 2)	4)	6) arctg-. 860. 2) у = -Их + 12; 4) // = - х+ -;
4	3	5	4	4
6)у = х+1; 8)у = |х-|. 862. 1) у = 1; 2) у = х. 863.2)^; 3) 2	2	2	4
864. 2)	4)	865. 2) у = 0; 4) у = 2х. 866. 2) (1; 2); 4) (л + 2ли;
2	2
л + 2ли), п € Z. 867. (0; -1), (4; 3). 868. (1; -1), у = 2х - 3; (1; 0), у = 2х - 2.
869. 2) -5х4 + 6х2 - 6х; 4)	----—; 6) -21 (4 - Зх)6; 8) ---
х4 4^	(l-4x)Vl-4x
870. 2) -sinx- —; 4) 24х3 - 9ех; 6) -^- + —. 871. 2) 2р2х-±; 4) 4 cos + х	х4 2 х	х	3
+ Зе1-3х.	872. 2) х2 (1 + 3 In х);	4) sin 2х + 2х cos 2х;	6) ех (cos х -
- sin х). 873. 2) 2*~*4 ; 4) 1~х+х1пх 874. 2) -8е09 х1п 8 sin х; 4)
(х3 + 1)2 X (1 — X )2	X
875. 2) f (х) = 0 при х = 0 и при х = |, /' (х) > 0 при 0 < х < f (х) < 0
при х < 0 и при х >^: 4) f'(x) = 0 при х-4, х = -3их = 1,2, f (х) > 0 при
х < -3, -3 < х < 1,2, х > 4, Г(х) < 0 при 1,2 < х < 4; 6) f (х) - 0 при х = 1, Л(х) > 0 при х > 1, Г(х) < 0 при х < 0, 0 < х < 1. 876. 2) е; 4) 0,5. 877. 2) у = ЗОх - 54; 4) у = -х+ i <	878.	s (4) = 22 м, v (4) =
2	2	6
= 7 м/с. 879. 3) Зх2 cos 2х - 2 (х3 + 1) sin 2х; 4) - sin х; 6) -*	*__+
2	337(х-1)2
+ 4х3 3Vx-1. 880. 2) —Xt-8 : 4) -----------• 881- 2)	4) -sin 3х x
8x2Vi + 4 sin2x-l	xln32
x 3х In 3. 883. 2) f'(x) = 0 при x = 0, f'(x) > 0 при x > 0, f’(x) < 0 при x < 0; 4) f’{x) > 0 при x>-^; 6) f'(x) - 0 при x = 3, V {x} > 0 при x > 3, f'(x) < 0 при -1 < x < 3. 884. a > 3. 885. a C -12. 886. 2) a < 0; 4) a > 12. 887. 2) a >0; 4) a < 0. 888.2)^. 889. 2) y= In 2x+	| In 2;
4) у = (1 + e 1) x. 890. у = 6x+ —, у = 6x - 54. 891. 8 кв.ед. 892. 2k кв.ед.
6
893. При p = 0,5. 894. (1; 0). 895. -. 896. a -= e2. 897. у = -1 и у = 2x - 6.
370
Q
898. —. 900. 2) Возрастает на промежутке х > 0,3, убывает на промежут-
ке х < 0,3; 4) возрастает на промежутке х > -6, убывает на промежутке х < -6; 6) возрастает на промежутках -1<х<0их>1, убывает на промежутках х<-1и0<х< 1; 8) возрастает на промежутках х < 0 и х > 4, убывает на интервале 0 < х < 4. 902. 2) Убывает на промежутках х < 0 и х > 0; 4) возрастает на промежутке х > 5. 903. 2) Возрастает на промежутке 0 < х < 3,2, убывает на промежутках х < 0 и х > 3,2; 4) возрастает на промежутке х< —, убывает на промежутке х>^. 904. 2) Возрастает 3	3
на промежутке х>^, убывает на промежутке х<Д. 905. 2) Возрастает на £ £
интервалах - —+ —<х< —+~, п е Z. 907. 2) а > 1. 908. а<-. 18	3	18	3	3
909. а < -1,5. 910. хх = -5, х2 = 5 — точки максимума, х3 = 3 — точка минимума. 911. Ху = -7, х2 -4, х3 = -3, х4 - -2, х- = -1, х6 = 1, х7 = 3, х8 = 4. 912. 2) Ху = 2, х2 = 3; 4) х = - ~ + лп, п е. Z. 913. 2) х12 = ± л/З, х3 = 0; 4) х1 = -2* 914* 2) Х--6—точка минимума; 4) х = -8—точка максимума, х = 8 — точка минимума. 915. 2) х = 0 — точка максимума, 1/(0) = 3, х =-2, х = 2 — точки минимума, у (-2) = у (2) = -13; 4) х = —+ 6
+ 2лп, п е Z,— точки максимума, у Г2 лп j = у'3 + + 2лп, neZ, х = — -*-2лп— точки минимума, у f — + 2 лп i - - V3 - — - 2 лп, п g Z. 6	<6/6
916. 2) Нет; 4) да. 918. 2) Ху 2 = ±1, х3 4 = ±-/3» х5 = 0; 4) Ху 2 = ± х3 = 0.
919. 2) Точек экстремума нет; 4) точек экстремума нет. 920. 2) х = -1 — точка максимума, у (-1) = 0,25, х = 0, х = 4 — точки минимума, г/ (0) = 0, у (4) = 10 —; 4) х = — + 2 лп, п е Z,— точки максимума, у f — -1- 2 лп ) =	,
3	3	\ 3 J 4
х = - —+ 2лп, п е Z,— точки минимума, у О
-----. 922. Если 4
п — нечетное число, то х = п - 1 — точка максимума; если п — четное число, то х = п - 1 — точка максимума, х = -1 — точка минимума. 929. Ху - -6, х2 = -3, х3 = 1, х4 = 4, х5 = 6. 934. 2) 2. 935. Один корень 4	4	4
при с< с > 4, два корня при с = -, с-1, с = 4, три корня при -<с<1, 9	9	9
1 < с < 4. Указание. Дополнительно к общему исследованию функции сравнить значения функции с числом 1. 936. б) Наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение функции равно -3; г) наибольшее значение функции равно 4, наименьшее значение функции равно -2. 937. 2) Наибольшее значение равно 68, наименьшее значение равно -31. 938. 2) Наибольшее значение равно -2, наименьшее равно -2,5; 3) наибольшее значение равно -1, наименьшее равно -V2. 939. 2) Наибольшее
371
значение равно -3. 940. 25 + 25. 941. 25 • 25. 942. Квадрат со стороной —. 4
943. Квадрат со стороной 3 см. 944. 2) Наибольшее значение равно 2 + е'2, наименьшее равно 1; 3) наибольшее значение равно 1,5, наименьшее равно -3. 945. 2) 1. 946. 2) 1. 947. 2) 3; 4) 1. 948. f. 949. х = а.
6
950. 4. 951. (1; 1). 952. | л. 953. 2) (6х - х3) sin х + 6х2 cos х; 4) 12х2 - 18х. О
954. 2) Выпукла вниз на интервалах х < -1 и х > 1, выпукла вверх на интервале -1 < х < 1; 4) выпукла вверх на интервале 0 < х < 1, выпукла вниз на интервале х > 1. 955. 2) 2; 4) arccos—. 956. 2) Возрастает на 4
промежутках х < -1 и х > 2, убывает на интервале -1 < х < 2; 4) убывает на промежутках х < 3 и х > 3. 957. 2) х1 = 0, х2 3 = ±0,5; 4) х = тш, х- ± — + 2лп, п € Z. 958. 2) х = 1 — точка минимума. 959. 2) х = 0 — 3
точка максимума, z/(0) = -3, х = 2 — точка минимума, у (2) = -12,6. 962. 2) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно -4; 4) наибольшее значение равно 14, наименьшее равно -11. 964. Равносторон-р
ний треугольник со стороной —. 965. Куб с ребром 10 см. 968. 2) х = -1 — 3
точка минимума; 3) х = -3 — точка максимума, х = 4,5 — точка минимума. 969. 1) Функция возрастает при -10 < х <-8, -4 < х <-2, 0 < х < 4, 6 < х < 7, функция убывает при -8 < х <-4, -2 < х < 0, 4 < х < 6; 2) Ху = -8, х2 - -4, х3 = -2, х4 = 0, х5 = 4, хб = 6, 3) Ху = -6, х2 = -3, 3 у/~3
х3 = -1, х4 = 2, х5 = 5. 971. 2) Наибольшее значение равно —-—, наимень-
шее равно	972. 12. 973. Катеты — и -Lr, гипотенуза —. 974. 20
2	3	^3	3
и 20. 975. —. 976. Я2. 977. 16. 978. —. 979. 2J-^-. 980. x = -V2 — 2	216	V 15
г~	х4
точка максимума, х = у2 — точка минимума. 982. arctg k. 985. 2) — + С; 4
4) 2 Vx + C. 986. 1) —- +	2) - xVx-8. 988. 2) х5 4) -Ц--3 in х;
2	2	3	2 х2
5) 2х3 - 2х2 + Зх; 6) 3xVx-4xVx. 989. 2) 2 sin х - 5 cos х; 4) Зех + + cos х; 6) х + Зех - 4 sin х; 8) 8 Vx + 3 In х- 2е~х. 990. 2) - (х-2)4;
4
4) |37(х+3)2; 6) 3 In (х - 3) + 2 cos (х - 1). 991. 2) | sin(3x +4)-t-С; 2	3
8) |1п(Зх-1)+С. 992. 2) 2х2 - х; 3
3) -10 cos - - - е	3 ; 4) 21 sin £ +
5 2	7
6) | 73х+”1-| 1п(2х-5).
3	2
4) -4 cos I — + 5 J + С; 6) ~е + С;
X
4) -1 sin Зх. 993. 2) 4e4-^cos2x;
3	2
2 Зх 2	2х Vx	оч
+ — е ,	5) ---—-cos(4x+2);
3	3 V5
372
994. 2) ЗЖ< 1р2+4*; 4)2х3 -1 х2 -6х. 995. 2) х-1) х Vx; 4) х- з) х х2л/х. 996. 2) |cos2x. 997. 6 sin ---cos 5х-2,8. 998. 2) In (х + 2);
2	2 5
4) - cos 2х-—cos 8х. 1000. 2) 124) 6; 6) -. 1001. 2) 1|; 3) 1-. ’ 4	16	3	2	3	3
1002. 2) 12 |. 1003. 2) 18. 1004. 2) 9; 4) 5; 6)	8) 2. 1005. 2) 1; 4) 2; 6) 0.
3	8
1006. 2) 11; 4) 2—; 5) 10. 1007. 2) 68; 3) е6 - е2. 1008. 2) -1|; 4) 5. 3	12
1009. 2) 4 V3; 3) 8. 1010. 2) | In 2,5; 3) 0,5. 1011. 1) п; 2) 0,5; 3) 0,5;
3
4) -Зл; 5)16—; 6) 1,5 + In 2. 1012. b = 2. 1013.1)8-; 2)1^; 4	105	3	3
3) 2 In 4. 1014. 2) 6^; 4) 4. 1015. 2)	1016. 2) 1-. 1017. 2) ~; 3)
6	12	3	6	6
1018. 2) 8. 1019. 2) 2-42. 1020. 2) 4,5. 1021. 2) |-1. 1022. 2) 2	3
4) 6,75. 1023. 1) 18; 2) 1п2-^. 1024. (0,5; 1,25). 1025. 2) 21- м. 8	3
1026.10 ~ м. 1027. 2) у = 2х3 - 4х2 + х + С; 4) у = 2 sin 2х + С; 6) у = sin х + + cos х + С. 1028. 2) у = 2 sin х + 1;	4) у = 2х + х2 - х3 + 2;	6) у =
= 3 - ех. 1030. 10 1п0-5 * 6927 лет. 1031. 0,09 Дж. 1032. 0,96 Дж.
In 0,999
1033. 2) -cos х - 1; 4) ех + 1; 6) 2х - х2 + 3. 1034. 2) 12; 4) -2; 6) О
7) 2. 1035. 2) —; 4) 1—. 1036. 2) 0; 4) -3; 6) 8-. 1037. 2) 2	192	3	6
4) 2 sin 12.	1038. 2) 1; 4) 11.	1039. 2) 2|; 4)	1040. 1) 1;
3	3	9	3
2) 4 In 3. 1041. 1) 1,75; 2) 3-^. 1042. k = р.
Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа
1043. 0,08. 1044. 30. 1045. 3-. 1046. 400%. 1047. 45. 1048. 13,5.
3
1049. 62%. 1050. 30%, 10%, 60%. 1051. 3650 р. 1052. 21%. 1053. 8. 1054. 600. 1055. 636 р. 54 к., 655 р. 64 к. 1056. 408 р. 85 к. 1057. 2) 1,02.
1058. 2) 2. 1059. 2) 0,5; 3) 20,8. 1060. 1083. 1061. 2) 3. 1062. 2) 0. 2	3
1063. 2) 64. 1064. 2) 160. 1065. 2) (0,2)3 >(0,2)4; 4) log0 3 - < log0 3 ~. ’ 5	’ 4
1066. 2) 0 < а < 1; 4)0<а<1; 6) а > 1. 1067. 2) Первое. 1068. 2) 3 < < log2 10 < 4. 1069. 2) 0. 1070. 2) |5| • (2b2 + 1). 1071. 2) 3(Тб-л/5); 4)Л1-ТЗ. 1072. 1)	2) -jl; 3) --1	1073. 2) 2	4) 16)
2 V5 Тб 41 + 45	9	11	75
1074. 2) 2,(1); 4) 5,(18). 1075. 2) Да. 1078. 2) Имеют; 4) не имеют.
373
1080. 2) 2arcsin™ ^68,5°. 1081. 120 tg 36э * 87 м. 1082. 130 (tg 22° +
+ tg 44°) « 178 м. 1083. 2)
12 ,	5	.. .	24	.	24
cosa=—, tga = —4) tg a = —sin a = —,
lo	(	Zu
cosa = -J-. 1084. I 25	9
1085. -0,5. 1086. 2)
47i. 1087. 2)	1088. 2) 0;
4
4) -1; 5) 0. 1089. 2) 1; 4)	6)	1090. 2) 1. 1091. 2) --. 1092. 2) —
2	2	9	2 b
1093. 2) 0. 1094. 2)	1095. 2) 4,8. 1096. 2) 1+ 4m . 1097. 2) Va-1.
V2 2	2
1098. 2) 1-yTb. 1099. a3 + b3. 1100. 2) —. 1101. 16a2. 1102. -бЛ. ab
1103. 2) 2. 1105. 2) 2 cos2 a. 1106. -tg 2a. 1108. 2) 2 V2 sin - sin (£ - - ]; Z \ Z 4 J
4) 4 sin a -
iH-ii-
1110. 2)	1111. 7. 1112. 2) 0. 1113. 2) 2;
О
4) Vs ctg a. 1114. 2) tg a. 1115. 2) —; 4) 4. 1116. 2) tg24) ctg2 a. cos2 a	2
1117. 2) -sin a - cos a. 1119. —-—. 1120. cos2 x. 1121. 2) -cos 2a cos 4p. cos 2a
1122. 2) 2 cos a. 1123. 2) ctg a ctg 3a. 1124. 2) 1-r-^—. 1125. 1-. cos x	7
1126. - j. 1136. 2) x = 8. 1137. a =-6. 1138. b = 3. 1139. 2) x = 3. 1140.2) x 5.	1141.	2) х = -^-^	1142’	2) xi = ~2’	^2 = |-
1143. 2) x1 = -, x2 = -. 1144. 2) x = 3. 1145. 2) Корней нет. 1146. x = 2.
3	2
1147. 2) х1<2 = ~1±_л'3. 1148. 1) x12-±V5, хзл = ±7б; 2) xL2 = ±V2,
*3,4 = ±V- И4». 2) x1>2 = ±2, x3 = -1,	= 3. 1150. l)Xi.2 = -f±6;
z	z
2) Xj = a, x2 = -2,5a. 1151. a > 0, b2 = 4ac. 1153. 2) x = 6; 3) x = 3 2.
3
1154.	2)	xT = 3,	-r2 = |- 1155. x	= 3. 1156. x = 5.	1157. 2) Корней нет.
1158.	2)	х1 = 3,	x2 = 2; 3)	xx = 3,	x2 - -1. 1159. 2)	x = 3. 1160. 2) xx = 4,
x2 =-2. 1161. 2) x1 = l; 3) x = -|. H62. 2) x = 9. 1163. 2) x=l; 4) x = 0.	1164.	2) x = 3.	1165.	2) xx = 3, x2 =	243. 1166. 2) x = 3,5.
1167.	2)	x=V3.	1168. 2)	Xj = l,	x2 = 9. 1169. 2)	x = 9. 1170. 2) xt =
x2 = 9; 4) xi = 1, x2 = 4. 1171. 2) x = -3. 1172. 2) xy = -1, x2 = 3; 3) x = 0. 1173. 2) xt = 100, x2 = 0,l, 4) x = 0. 1174. Нет. 1175. 2) zI<2 = lriV2.
1177.2)-^,	1178. 2) х = ±-я + ^, ne.Z; 3) x-
3	3	3	3	4	3
= -arctg 2,5 + яп, n e Z. 1179. 1) Корней нет; 2) корней нет. 1180. 2) х = = --+дл, х =-arctg 3 + лп, п е Z. 1181. 2) х = —, х = ± " + яп, и е Z\ 4	6	2	6
374
4) х = ^+яп, х = arctg-+яи, n e Z. 1182. 2) x = - + ^, x = (-l)n -£-+™
2	2	4	2	12	2
neZ; 4) х=^+яп, n g Z. 1183. 2) x = ^, x = ^-t n e Z; 4) x = ^, 4	3	2	2
x= + ~ + 2яп, n e Z. 1184. 2) x = - - 4- nn, n e Z. 1185. 2) x = ± — + ^-, 3	3	2	2
n e Z. 1186. 2) x = - + 2nn, x = 2 arctg 4r + 2nn, neZ. 1187. 2) x = 2nn, 2	11
х = — +кп, n g Z. 1188. 2) x = — + nn, x =+ 2 ян, x = ^-+2itn, n g Z.
4	4	12	12
1189. x = - — + nn, x = - — + 2nn, x ~ 2nn, neZ. 1190. 2) x - — -t- ян, x = - + 4	2	2	4
+ —, n g Z; 4) x = — + —, n g Z. 1191. 2) x = - - —, n e Z. 1192. 2) Kop-2	16	4	4	2
ней нет. 1193. 2) x = arctg x n g Z. 1194. 2) x = -j +	, x = ^ +
+ —, n g Z; 4) x =	x = —+ —, n g Z. 1195. 2) x = —, n g Z.
4	12	3	8	2	5
1196. 2) x = —, x = £+ —, n g Z. 1197. 2) x = я + 2яп, х = ^2яп, 7	8	8	4	2
x = -*(-1)" arcsin —+ ян, n g Z. 1198. 2)	x = - 4- яп, x = -->-	n e Z.
4	3 42	2	5	5
1199. 2) x = (-1)"+1 — + яп, n g Z; 4) x =	(-1)" * 1 arcsin яп,	n g Z.
6	3
1200.	2)	Корней нет; 4) x = rn,	n g Z.	1202. 2)	x > -2. 1203. 2) x > 5.
1204.	2)	-3 —<x<40; 4) -2 < x <	8. 1205. 1) x<-, x>^; 2) x<-^, x>£;
3	3	2	9	2
3) x<2*. 1206. 1) -16 < x < 3;	2) x	< 4, x >	6; 3) x < -3, x >-2,5.
1207.	2)	-1,4 <x< 0. 1208. 2) x	> -4.	1209. 1)	-7 < x < 2, x > 5; 2) x<
<-2 - 42, -2 + 42 <x<l; 3) x < -4, -1 < x < 2, x > 3. 1210. -5 < x C -3.
1211. m = 2. 1212. m = 8, m = 9. 1213. x - 6. 1214. x = -1. 1215. 2) x <-2;
4) x < 2, 1 < x < 2, x > 5, 6) l v73 <x<-~ , ~ 2-<x<l, l<x<1^7-.
6	3	3	6
1216. 2) x^ 3; 4) x< ——. 1217. 2)-1 < x < 5. 1218. 2) 3 - V2 < x < 3 + 42. 8
1219. 2) x < 1. 1220. 2) Решений нет. 1221. 2) x g R; 3) x < 3; 5) x <
Cl-^ log3 5. 1222. 2) x < 1, x > 3. 1223. 2) - Л ^x<-42, 42<x<4i. 3
1224. 2) x > 3.	1225. 2) |<x<-.	1226. 2) -1 < x < 1,	3 < x C 5.
3	2
1227. 2) -3 < x < - v6, vf6 < x < 3. 1228. 2) 0 < x < 1, x > 1. 1229. 2) -L= < 3	Vio
<x<10. 1230. 2) — -г яп < x< — + яп , n g Z. 1231. 2) - arcsin - +2яп < x < 2	6	4
<arcsin - + я + 2яп, n g Z; 4) -arccos — + 2кп < x<arccos — - 2яп, n g Z. 4	3	3
1232. 2) -Зя<хС-Ц^, -9-я-СхС-3^,	4) arctg j-Зя <
4	4	4	4	3
375
- 1240. 2) (3; 1), 3 /
< х < — ——,	arctg — -2п<х	arctg — - я < х< - —,	arctg — <х<—.
2	3	2	3	2	32
1236. 1) (2; 1); 2) (5; -3). 1237. 1) (-1200; 500); 2) (7; 1). 1238. 2) (-8; -2), (8; 2); 3) (8; 4), (-8; -4). 1239. 1) (7; 6); 2) (2; 3), 1^-9; 28
(-3; -1); 4) (3; -5), (3; 5), (4; 2 72), (4; - 2 72). 1241. 2) (4; 1); 4) (10; 1000), (1000; 10).	1242. 2) (78; Ш).	1243. 2) (100; 81).	1244. 2) (0; 1).
1245. 2) | яп; (-1)т - + тип ), meZ, neZ, i (-1)” arcsin - + яп; (-1)"1 x к	6	)	к	7
x arcsin — + кт ], m e Z, n e Z. 1246. 2)|j+n(fc + zn); — + л(ш-/?)|, meZ, 14 j	ко	6	J
neZ, + я(/г + тп); -“г+ n(m -Л)^, m g Z, k g Z. 1247. 2,12. 1248. x > 5.
1249. 1 мин. 1250. 126 km. 1251. 1080 км. 1252. 16 дн. 1253. 91 га.
1254. 8, 12. 1255. -, -, -. 1256. 432 детали. 1257. 18 км/ч. 1258. 25 2 3 6
и 20 билетов или 20 и 15 билетов. 1259. 3 км/ч. 1260. 21 ц, 20 ц. 1261. 1400 шагов. 1262. 3, -6, 12, -24. 1263. 27. 1264. 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0. 1265. 2 или 12 ~ . 1266. В 3 раза. 1267. 16 см2. 1268. b = -2. 5
1269. k = -l. 1270. 2) Л = -1, 6 = 3; 4) k = 0, b = -2. 1271. i/ = --x-^, 5	5
у =— — х+ -. 1272. 2) Нет; 4) да. 1273. 2) з|. 1274. 2) х<-. 1275. 2) х > 0,5. 5	5	3	3
1276. х> 1.	1277. х<-7з.	1280. 2) Да. 1281. 2) (-1; 3),	(5; 3).
1282. 4) х < -2, х > 2. 1283. 4) х * 0. 1285. 2) Нечетная; 4) четная. 1286. 2) Нечетная; 4) четная. 1287. 2) Четная; 4) не является четной и не является нечетной. 1288. 2)	1289. 2) 10я; 4) 2л. 1291. 2,25.
1292. 2) 3 и -2. 1293. 2) (0; 2), (2; 0), (0,5; 0). 1299. 2) х > -2;
4) х ф 2л + 4лп, п 6 Z. 1300. 2) х < -7, х > 6. 1301. 2) 3 < х < 3 . 1302. 2) -/10 <х<-3, 3<х<710. 1303. 2) у < 7; 4) у * 2. 1304. 2)-/^25 < <у<у[Ъ25. 1305. 2) -3. 1306. 2)	1307. 2) у = -6х - 1. 1308. -1.
3
1309. 9. 1310. (3; 9). 1311. (1; 2), (0,5; 2,25). 1312. (-1; -3). 1313. 2) у = = 0,5 (1 + 1п 2 - х 1п 2). 1314.—. 1315. е1. 1316.--. 1317. у = х + 1.
4	4
1318. у = Зх - 3. 1319. 2) Возрастает на промежутках х < 0 и х > 0. 1320. 2) х = 6 — точка минимума. 1321. 2) х = 2 — точка минимума, х = 0 — точка максимума. 1322. 2) 1,5 и 1. 1323. 2) 3 и 1. 1324. 2) 0,5 и 0. 1325. 1 дм. 1326. 54л см3. 1327. 6. 1328. 2. 1329. sinx---l. х
1330. 132, -57. 1331. 9, 4. 1332. (1; 1). 1333. — . 1334. 4 72.
1335. р = -10, д = 26.	1336. — — дм. 1337. З3/Зт^.	1338.
3	72
376
1339.	1340. —. 1341. -. 1342.	. 1343. г = Я Д, Н = яД=.
Л	3	3	216	V 3	7з
1344. R = H. 1345. ?Д. 1346. r = —, k = —. 1347. 2) 7з	зз
нимума, х = 0,4 — точка максимума. 1348. (1; 0), = 7х - 43. 1353. 2) In 2. 1354. 2) э|; 4) 1. 1355. 2) 3
2) ——. 1358. 3) 3—; 4) -2. 1359. 2) х =-7 31п3	9	4
х = 0 — точка
(-1; 4). 1349.
4,5. 1356. 2)
ми-
1357.
У = А.
12*
яп, п е Z; 4) х = у.
3
1361.
1365.
1368.
1371.
-2 < х < 3. 1362. у (10) = 262 м/с, t* 37 с. 1363. 12я. 1364. 2) 5х 6
2) 4*2 + 4х~5 1366 2) 2х(4х + 3) 4)	2* _ gin
(2х+1)2	Зл/х+1
2) f(2) > 0. 1369. f(0) = 4, f( = 8(7 + 4 73). 1370. \ 6 )
-(2sin4x-9). 1372. -1п|4х-1|+С. 1373. 1) 11,25; 8	4
3/-----7
1367. х = 2
2
3
2)^
3)
4)
5,5 + 7 In 2. 1374. 2)	;
6) а = 3. 1376. 2) |;
4) 1—; 5) 2—; 6) In 3. 1375.
3	3
4)
”5‘
4) 36; 6) а > 1. 1377. 2) у = -5х - 3
1—; 3
1379. 2)
6) 2. 1378. 2) (3; е);
я2
6) ±J2- —
V 36
8
546 у; 6) log3 4 > 4
5 1п10’
4)	6) (1,15; -2,1).
Задачи для
внеклассной работы
3I---- з---------
1381. 2) х > 3. Указание. Ввести обозначение </= V8-X, г = V27 + х, откуда у3 + Z3 = 35 (1). Исходное уравнение записать так: у2 - yz + z2 = 7 (2). Поделив уравнение (1) на (2), получить у + z = 5 (3). Решая систему уравнений (2), (3), найти значение у и далее использовать введенные обозначения; 4) хт = 73, х2 = -8. 1382. 2) хх = 4, х2 = -4. 1383. 2) х1 2 = ±2, ’ 1 А- + 12
1386. х =	™,
4	2
х2 = -8. 1382. 2) хх = 4, х2 = -4. 1383. 2) х12 х3 = 3; 4) Xj = -1, х2 = 4, х3 4 = ±1 42. 1384. 2) х = - у + ян, х = (-1)л +
+ -,neZ. 1385. 2) х = ^ + ян, х = (-1)п — +
2	2	24
п е Z. 1387. х = ± — + 2лп, п е Z. 1388. х, = 1, 3	1
1390. 1) (а; а2),	(а2; а), если а > 0 и
((а + I)2; -а - 1), если а < -1 и а ф -2. 1391. При а ф 3 нет решений, при а = 3 — (0; 1). Указание. Записать второе уравнение системы в виде х2 + (у - I)2 + (а - З)2 + 1 - cos (ху) = 0. 1392. 2) (1; 1), (2; 4); 4) ( -- + и;
\ 6
4
4
х2 — 2, Хц
а#1;
= 3. 1389. х.» = 3.
О
(-а - 1; (а + I)2),
377
i + nl neZ; 5) f(-l)* —-яп; (-1)* —+ nnl f ±	± +
6	)	I 4	4	)	{ 4	2	2 4
+ —+ 2itfel neZ,*eZ. 1393. Z-- + (-l>* ~ + —+ яп; -- + (-1)*"’ —-2	)	V 4	12	2	4	12
Tlk 1
- —n&Z, k&Z. Указание. Решить систему как линейную относительно и и и, где и = cos х cos у, v - sin х sin у. 1394. ^7(logs 3 log7; А
5(log531og72)3	1395 2) х > 0 01 1396 _ з <х<1 _ 1 <х<0 1397о х < _4
'	2	2
-3 < х < -2, -1 < х < 1, х > 2. 1398. 2) 2 < х С 3. 1399. О < х < -, х = —, 3	3
3	3	15
4 < х < 5. 1400. Если а< —, то решений нет; если а = —, то х = —; если 4	4	4
Q
а> —, то а 3 < х < 9а - 3. Решения первого неравенства являются решениями второго при j<a<|. 1406. 2) ||. 1407. С =	1408. 6>>/3-1,
&<-3-7з. 1409. х = лп, х=п е Z. 1410. -. 1411. 3 или 12. 8	4	5
1412. Нет, так как наименьшее расстояние между кораблями будет равно 3 милям через 48 мин. 1413. а = 6, b = -11, с = 6. Указание. Так как точки А и В симметричны относительно прямой х = 2, то А (хг; t/0), В (х2; г/0), где ху - 2 - t, х2 - 2 + t, t > 0. Из условия f (хт) = f'(*2) следует, что а = 6 и f {ху) - f'(x2) = -St2 + 12 + д, а равенство f (xj = f (x2) можно записать в виде b = t2 - 12 (так как t > 0), откуда = ?'(*2) = ~^2 < 1414. а - 6, 6 = 11, с = 5. 1415. а=-4, 6 = 5, с = -2. Указание, а) Если 3	„	3	15	3	о /	/
а<~, то решении нет; если а = то х= если а > — , то а + 3 < х <
< 9а - 3; б) решения первого неравенства являются решениями второго при ^Са<-. 1416. а = 4, b = -5, с = 2. 1417. 1-. 1418. а = 1, s = 4.
4	9	8
1419. arctg — . 1420. 2) х = -; х =	1421. х = 9. 1422. 2) х = 2; 4) х = 4.
2	3
1423. 2) х = -9. 1424. 2) х = £ + лп, х - 2яп, п > 3; 4) х = + ла, п е Z.
1425. 2) х = — + 2кп, 1Z
х =	+ (2а + 1) л,
П G Z.
1426. х = - | (-1)" х 2 С
х arcsin - + ла
3
п g Z. 1427. х = — + (2п + 1) л, п е Z. 1428. х = ла, х = 3
4
+ л/г, п € Z. 1429. х= -. 1430. Если - <a<l,r = z- arccos (4 ^2(1+ а) -7) + 3	8	4
+ ^, neZ. 1431. 1) (1; 2), {-4;	2) (-2:1), (-2;-1), (2;-1). (2; 1).
i	\ о /
1432. 1) (1; log3 2); 2) (3; -9).
1433. 1) 4
V2’ 2
2) f--V2; 4=1	V2; - L I. 1435. 1) -1 < х < 0, 2 < х < 4; 2) -2 <
(2	42) \2	^2)
378
< X < -1, х > -1. 1436. 1) a >	2) a <	1437. 1) x < 2, x > 3; 2) x > 3.
3	3
1438. 1) x > 2;	2) -311 < x < -11,	1 < x < 1,5.	1439. 1) -- < x<0;
3
2) —l<x<——, --<x<0, 0 < x < 1. 1440. x<-4, 1 < x < 3, x > 5. 2	4
1441. a<V2. 1442. f-; £ Y 1443. (-2; 22), (2; 10). 1444. k = 2. 1445. p--2, \ 3 9 J
<7 = 0, d = 1. 1446.2,25. 1447. x = (-1)" - + лл, n e Z. 1448. a =-3,5. 6
1449. a = l-x/2, a = 5-<To. 1450. a < -4, --<a<0. 1451.	—.
4	3 15
Ответы к заданиям «Проверь себя!»
1 1
I. 1. 1) 135; 2) 5—; 3) 4 - . 2. 1) —; 2) а х. 3. —=-^-
48	2	с	7
5. 23 4Vafc.
Глава
4 5/2?< Jm3 • vie) vUj •
Глава II. 1. 1) х * 1; 2) х > 4, х < -1. 2. 1) х — любое действительное число, у > 0 при х > -1; 2) х * 0, у > 0 при х * 0; 3) х — любое действительное число. 3. 1) х = 128; 2) х = 1.
f 1 \0,2	/ 1 ч 1,2
Глава III. 2.	>(J j ; 5 °’2 > 5 l’2. 3. 1) х = 2; 2) х1 = 1, х2 =-5;
3) х = 1; 4) Xi =0, х2 = -2. 4. 1) х > 4; 2) -2 С х < 2.
Глава IV. 1. 3;	-2;	3;	49;	2.	3. 1) log0 2 3 < log0 2 25;
2) log2 0,7 < log2 1,2. 4. 1) х = 8; 2) х = 1; 3) х1 = О, х2 = 9. 5. (15; 5).
6. 1) 1 < х < 10; 2) -3 < х < 2.	__
Глава V. 1. sin a = -; tga = --; cos2a = -7--. 2. 1)	2)	3) V3;
5	4	25	2	2
4) —. 4. 1) sin a cos 0;
2) cos 2a; 3) cos (a - 0).
Глава VI. 1. 1) 0; 2) 0. 2. 1) x
— -r лл, n e Z; 2) x = ± — + 2лл, n g Z;
4	3
3) x =
П
3
Tin, n
e Z; 4) x =
nn
- + ~ •, n e Z; 5) x =
4	2
лл, x = к + 2nn,
n G Z. Глава
VII
1. x* ^(1 + 2л), 8
n e Z; нет. 2. sin x = 1 при
-; cos x = 1
2
при x = О,
2л; sin x =-1 при x = -
л 3
2’ 2
cos
x = -1
при x = -л, л;
sin x = 0 при x = 0, л, 2л; cos х = 0 при х = -
л
2’
3^.
2’2 ’
sin х > 0 при
О < х < л; cos х > 0 при - — < х < -
2	2
о
л < х < 2 л; sin х < 0 при -л <
тг	*т	3
л < х < 2 л; cos х < 0 при - л < х < —, - — < х < - л;
2	2	2
возрастают: sin х при
379
*<х<*
2<Х<2’
— л<х<2я, cos х при -л < х < О, л < х < 2 л; убывают: sin х
при -п< х<~ —, J < х<^ л, cos х при 0 < х < л. 3. tg х = 0 при х = - л, 0; 2 2	2
tg х > О при —л<х<~, 0<х<^; tg х = 0 при -^л<х<-л, -^<х<0. 2	2л	2	2
4. - — + лп<х< — 4- ЛП, п € Z.
4	2
Глава VIII. 1. 85. 2. 1) -	+ -^-ех ; 2) 12 (Зх - 5)3, 3) 6 cos 2х cos х -
X2 у/X
у4 , 1 к г2
-3sin2xsinx; —--------—. 3. k = -3. 4. а-—.
(х2 + 5)2	4
Глава IX. 1. Возрастает при -1 < х < 1, убывает при х < -1, х > 1. 2. Точка максимума (-3; -2); точка минимума (3; 2). 3. См. рис. 170. 4. Наибольшее i/(5) = 5-, наименьшее у(2) = 4. 5. 2 м.
5
Глава X. 2. F (х) = х3 + х2 - Зх - 1. 3. 1) 112)	3) 1; 4) -1.
4	4
к
4. 1) 20- кв. ед.; 2) 36 кв. ед.
6
Предметный указатель
Арккосинус числа 166
Арксинус числа 172
Арктангенс числа 178
Гармонические колебания 307
Геометрический смысл производной 247
Дифференциальное уравнение 306
Дифференцирование 227
Дифференцируемая функция 227
Интеграл от функции на отрезке 294
Интегральная сумма 296
Интегрирование 290
Касательная к графику функции 249
Косинус 124
Криволинейная трапеция 293
Логарифм числа 88
—	десятичный 94
—	натуральный 95
Логарифмирование 89
Логарифмическая функция 98
Логарифмические неравенства 107
—	уравнения 103
Наибольшее значение функции 273
Наименьшее значение функции 273
Непрерывная функция 229
Обратная функция 47
Основное логарифмическое тождество 89
Первообразная функции 287
Периодическая функция 201
Период функции 201
Площадь криволинейной трапеции 293
Показательная функция 70
Показательные неравенства 79
—	уравнения 75
Производная функции 227
—	логарифмической функции 242
—	показательной функции 242
—	произведения 237
—	суммы 236
— тригонометрических функций 243
— частного 238
Равносильные уравнения 52
Разностное отношение 226
Синус 124
Следствие уравнения 53
Стационарная точка 263
Степенная функция 39
Таблица первообразных 290
Тангенс 126
Теорема Ферма 262
Точка максимума функции 261
—	минимума функции 262
—	экстремума 262
Тригонометрические неравенства 191
—	уравнения 165
—	функции 197
Угловой коэффициент прямой 247
Формула Ньютона — Лейбница 294 — перехода для логарифмов 95
Элементарные функции 241
381
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. Действительные числа
§ 1.	Целые и рациональные числа......................3
§ 2.	Действительные числа............................7
§3.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. . 11
§ 4.	Арифметический корень натуральной степени......17
§ 5.	Степень с рациональным и действительным показателями........................................24
Упражнения к главе 1...........................35
Глава п. Степенная функция
§ 6.	Степенная функция, ее свойства и график........39
§ 7.	Взаимно обратные функции.......................46
§ 8.	Равносильные уравнения и неравенства...........52
§ 9.	Иррациональные уравнения.......................58
§ 10*. Иррациональные неравенства...................61
Упражнения к главе II..........................67
Глава III. Показательная функция
§11.	Показательная функция, ее свойства и график...70
§12.	Показательные уравнения.......................75
§13.	Показательные неравенства.....................79
§ 14.	Системы показательных уравнений и неравенств ... 82
Упражнения к главе III.........................85
Глава IV. Логарифмическая функция
§15.	Логарифмы.....................................88
§ 16.	Свойства логарифмов...........................92
§17.	Десятичные и натуральные логарифмы............94
§ 18.	Логарифмическая функция, ее свойства и график ... 98
§19.	Логарифмические уравнения....................103
§ 20.	Логарифмические неравенства..................107
Упражнения к главе IV.........................111
Глава V. Тригонометрические формулы
§21.	Радианная мера угла..........................115
§ 22.	Поворот точки вокруг начала координат........119
§ 23.	Определение синуса, косинуса и тангенса угла .... 124
§ 24.	Знаки синуса, косинуса и тангенса............130
§ 25.	Зависимость между синусом, косинусом
и тангенсом одного и того же угла.............133
§ 26.	Тригонометрические тождества.................137
§ 27.	Синус, косинус и тангенс углов а и -а........140
§ 28.	Формулы сложения.............................142
382
§ 29.	Синус, косинус и тангенс	двойного угла......  147
§ 30*	. Синус, косинус и тангенс	половинного	угла...150
§31.	Формулы приведения............................154
§ 32.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов...........................................159
Упражнения к главе V...........................162
Глава VI. Тригонометрические уравнения
§ 33.	Уравнение	cos х = а.........................165
§ 34.	Уравнение	sin х = а.........................170
§ 35.	Уравнение	tg х = а..........................176
§ 36.	Решение тригонометрических уравнений.........181
§ 37*.	Примеры решения простейших	тригонометрических
неравенств.....................................191
Упражнения к главе VI..........................194
Глава VII. Тригонометрические функции
§ 38. Область определения и множество значений
тригонометрических функций.....................197
§ 39.	Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций...........................200
§ 40.	Свойства функции у	= cos х и ее график........204
§41.	Свойства функции у	= sin х и ее график........209
§ 42.	Свойства функции у	= tg х и ее график.........213
§ 43*	.	Обратные тригонометрические функции.........219
Упражнения к главе VII.........................223
Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл
§ 44.	Производная.................................225
§ 45.	Производная степенной функции...............232
§ 46.	Правила дифференцирования...................236
§47.	Производные некоторых элементарных функций. . . 241
§ 48.	Геометрический смысл производной............247
Упражнения к главе VIII......................253
Глава IX. Применение производной к исследованию функций
§ 49.	Возрастание и убывание функции................257
§ 50.	Экстремумы функции............................261
§51.	Применение производной к построению графиков функций........................................267
§ 52.	Наибольшее и наименьшее значения функции	....	273
§ 53*	.	Выпуклость графика функции, точки	перегиба	....	279
Упражнения к главе IX...............................283
383
Глава X. Интеграл
§ 54.	Первообразная.................................287
§ 55.	Правила нахождения первообразных..............290
§ 56.	Площадь криволинейной трапеции и интеграл .... 293
§ 57.	Вычисление интегралов.........................297
§ 58.	Вычисление площадей с помощью интегралов .... 300
§59*. Применение производной и интеграла к решению практических задач.................................305
Упражнения к главе X..........................311
Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа.................313
Задачи для внеклассной работы.................342
Краткие теоретические сведения по курсу алгебры и начал анализа...............................349
Ответы и указания.............................356
Предметный указатель..........................381
Учебное издание
Алимов Шавкат Арифджанович
Колягин Юрий Михайлович
Сидоров Юрий Викторович
Федорова Надежда Евгеньевна
Шабунин Михаил Иванович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. Н. Белоновская
Младший редактор Н. В. Ноговицина
Художники В. А. Андрианов, И. П. Ткаченко, Е. В. Саганова Художественный редактор Е. Р. Дашу к Технический редактор О. Е. Иванова Корректор Е. Г. Терскова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93— 953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 23.07.07. Формат 60 х 9О'/]в. Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 20,03 + 0,47 форз. Доп. тираж 50 000 экз. Заказ № 1457.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение». 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфком-бинат детской литературы имени 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46. Ф