н. п. соколов
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
МАТРИЦЫ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
ш
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА I960

АННОТАЦИЯ
Предлагаемая книга представляет собой мо-
монографию, посвященную теории многомерных
матриц и детерминантов и ее различным прило-
приложениям. В ней обобщаются основные результаты
обычного матричного исчисления на случай про-
пространства трех и большого числа измерений и
рассматриваются вопросы, еще мало освещенные
в русской математической литературе. Основной
текст сопровождается упражнениями, значи-
значительно расширяющими его содержание. Книга
рассчитана на научных работников в области
математики и ее приложений.
Николаи Петрович Соколов.
Пространственные матрицы и их приложения.
Редактор Л. Б. Нисневич.
Техн. редактор С. С. Гаерилов. Корректор 3, П. Автопеева.
С(ано в набор 9/Ш 1960 г. Подписано к печати 22/VIII I960 г. Бумага 70хЮ81/16 Физ. печ. л 18,75
У слови, печ. л. 25,69. Уч.-изд. л. 23,28. Тираж 6000 эка. Т-08911. Цена книги 13 р. 65 к.
С 1/1 1961 г. цена 1 р. 37 к. Зака8 Jft 137.
Государственное издательство физико-математической литературы-
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография Л° 5 Мосгореовнархоза. Москва, Трехпрудный пер., У.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Структура пространственной матрицы и ее детерминантов .... 11
§ 1. Определения И
§ 2. Основные свойства детерминантов пространственной матрицы 27
| 3. Разложение детерминантов пространственной матрицы 32
Глава II. Операции над пространственными матрицами и их детерминантами 47
§ 1. Сложение пространственных матриц. Умножение пространственной ма-
матрицы на число 47
§ 2. Умножение двух пространственных матриц 50
§ 3. Умножение нескольких пространственных матриц 65
§ 4. Элементарные преобразования пространственной матрицы 74
§ 5. Клеточные пространственные матрицы и операции над ними 82
Глава III. Инварианты пространственных матриц и ассоциированных с ними
алгебраических форм 89
§ 1. Двумерные ранги 89
§ 2. Многомерные ранги 95
§ 3. Ранги различных степеней 101
ij 4. Инварианты и коварианты алгебраических форм 111
§ 5. Инвариантные множители и элементарные делители полиномиальной
пространственной матрицы 130
Г лава IV. Классификация трилинейных, линейно-квадратичных и кубических
двойничных форм 141
§ 1. Классификация двойиичпых трилинейных форм 141
§ 2. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм 157
§ 3. Классификация двойничных кубических форм 166
Глава V. Классификация кубических тройничных форм 175
§ 1. Проективная классификация кубических тройничных форм 175
§ 2. Аффинно-проективнап классификация кубических тройничных форм 198
Глава VI. Пучки двойничных н тройничных кубических форм 241
§ 1. Классификация пучков кубических двойничных форм 241
§ 2. Классификация пучков кубических тройничных форм 265
Ответы и указания к упражнениям 284
Цитированная литература 294

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теории пространственных (многомерных) матриц и порождаемых ими
детерминантов высших измерений не уделено должного внимания в русской
математической литературе. В обширном трактате В. Ф. Кагана [18]1) об
основаниях теории определителей, изданном в 1922 г., лишь несколько
страниц отведено понятию кубических детерминантов и их простейшим
свойствам. Мимоходом также И. И. Сомовым [37] в мемуаре 1864 г. были
сделаны замечания о возможности построения многомерных детерминантов.
О матрицах же, число измерений которых больше двух, в имеющейся у нас
литературе вовсе не упоминается. Между тем многомерные матрицы и детер-
детерминанты являются не формальным обобщением обычных матриц и детерми-
детерминантов, а представляют мощный, весьма чувствительный аппарат для изу-
изучения алгебраических форм и связанных с ними геометрических образов.
Многомерные детерминанты могут быть также очень полезны и для целого
ряда других задач, в том числе и для теории моментов (случай многих пере-
переменных).
Восполнить, хотя бы частично, указанный выше весьма существенный
пробел в нашей математической литературе и ознакомить широкие круги
математиков с этой многообещающей теорией—такова цель предлагаемой
книги. В ней наряду с изложением результатов уже известных приведены
собственные исследования автора, частью опубликованные в виде журналь-
журнальных статей, частью излагаемые здесь впервые.
Расположение материала в книге следующее.
Во введении дан краткий исторический очерк развития теории много-
многомерных матриц и детерминантов и ее приложений.
В главе I излагаются основные понятия, необходимые для изучения
/ьмерных матриц и детерминантов, и указываются простейшие их свойства.
Глава II посвящена операциям над пространственными матрицами и их
детерминантами.
В главе III изучаются инварианты пространственных матриц и ассоци-
ассоциированных с ними алгебраических форм, в том числе элементарные делители
полиномиальных пространственных матриц (результаты автора по обобще-
обобщению классической теории Вейерштрасса).
Глава IV содержит приложения теории пространственных матриц к клас-
классификации трилинейных, линейно-квадратичных и кубических двойничных
форм. В качестве геометрической интерпретации полученных результатов
проведены исследования трилинейных проективных соответствий (трех ро-
родов) между тремя системами точек на прямой.
В главе V даны проективная и аффинно-проективная классификации
кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий треть-
третьего порядка с помощью инвариантов соответствующих пространственных
матриц.
х) Здесь и в дальнейшем цифры в квадратных скобках указывают номер цитируе-
цитируемой работы в списке литературы.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Последняя глава VI посвящена применению теории элементарных дели-
делителей полиномиальных пространственных матриц к исследованию и клас-
классификации пучков кубических двойничных и тройничных форм и представ-
представляемых ими соответственно пучков трилинейных инволюций и пучков пло-
плоских линий третьего порядка.
В конце параграфов каждой главы даны упражнения, дополняющие
содержание основного текста. В большинстве своем упражнения являются
оригинальными, остальные отмечены указанием авторов, у которых они
заимствованы. Для более трудных упражнений даны указания и ответы.
Содержание упомянутых выше шести глав устанавливает лишь основ-
основные вехи в развитии теории пространственных матриц и ее алгебраических
и геометрических приложений. Теория эта в нынешнем своем состоянии еще
далека от окончательного завершения, но даже то, что уже сделано в этой
области, с достаточной убедительностью свидетельствует о мощности мат-
матричного метода исследования алгебраических форм и представляемых ими
геометрических образов. С особенной яркостью это обнаружится в дальней-
дальнейшем, когда предметом исследования явятся более сложные проблемы, чем
те, которые рассмотрены в этой книге.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность академику
АН УССР Б. В. Гнеденко и доктору физико-математических наук профес-
профессору Г. Б. Гуревичу, ознакомившимся с книгой в рукописи и сделавшим
ряд ценных замечаний.
//. П. Соколов

ВВЕДЕНИЕ
Понятие пространственной матрицы, т. е. матрицы трех и большего
числа измерений, так же как и понятие обычной, двумерной матрицы, воз-
возникновением своим обязано координатному методу Декарта. Еще в 1771 г.
Вандермопд [225], исследуя ходы коня при шахматной игре в пространстве
трех измерений, ввел в употребление элементы с тремя индексами для ука-
указания расположения шахматных полей. Однако понятия кубических детер-
детерминантов, необходимого для развития теории кубических матриц, Вандер-
монд не дал. Такое понятие и даже более общее понятие /ьмерных детерми-
детерминантов n-го порядка впервые введено было Кэли в 1843 г. Рассматриваемые
им в мемуаре [52] «функции, приводимые к сумме детерминантов»—не что
иное, как детерминанты высших измерений.. В этом кратком, но глубоком
по содержанию мемуаре Кэли установил основные свойства р-мерных
детерминантов, указав на необходимость различать случаи, когда число
р четное или нечетное. Однако мемуар Кэли, не совсем удачно озаглавлен-
озаглавленный, не привлек должного внимания современников и долго оставался неза-
незамеченным, вследствие чего приоритет нередко приписывали Гаспарису, кото-
который в 1861 г. под псевдонимом «Жан Блез Гранпа» издал брошюру [79],
где независимо от Кэли дал определение «детерминантов, элементы которых
имеют р индексов» и на примерах указал их главнейшие свойства.
В 1863 г. Даландер, незнакомый с работами своих предшественников,
опубликовал статью [67] о кубических детерминантах, называя их «клас-
«классом функций, обладающих свойствами, аналогичными свойствам детерми-
детерминантов».
В 1868 г. появились статьи Арменанта [42] и Падуа [183], касающиеся
вопроса об умножении детерминантов и содержащие доказательства теорем,
высказанных ранее Гаспарисом в его брошюре, но не доказанных им. Обе
статьи дополняют друг друга и не являются свободными от ошибок. В том
же году опубликована заметка Гаспариса [80] об инвариантности кубиче-
кубических детерминантов, а также работа Цейфуса [230], посвященная обобщению
понятия обычного детерминанта на случай детерминантов высших измере-
измерений и связи их с теорией инвариантов алгебраических форм.
В 1877 г. Гарбиери [76] дал строгое доказательство основных свойств
многомерных детерминантов. В другом его мемуаре [77] дано систематиче-
систематическое изложение результатов, полученных Гаспарисом, Арменантом и Падуа
в области кубических детерминантов, с исправлением допущенных ими
ошибок.
В 1878 г. Брааш [47], повторяя рассуждения Гарбиери и Цейфуса,
резюмировал основные свойства детерминантов высших измерений и привел
много примеров применения их к составлению инвариантов алгебраических
форм.
В небольшой заметке 1878 г. Гаспарис [81] указал на возможность
представления произведения двух кубических детерминантов в виде обыч-
обычного детерминанта.

ВВЕДЕНИЕ
Работа Таннера [221] о многомерных детерминантах, опубликованная
в 1879 г., не содержит указаний на исследования в этой области его предше-
предшественников и не отличается строгостью доказательств приведенных в ней
теорем. В этой работе дан способ графического определения знака любого
члена детерминанта.
Скотт, применив к многомерным детерминантам символический метод,
изложил в мемуарах [211,212] 1879—1881 гг. новые их свойства, рассматри-
рассматривая также кубические детерминанты, элементы которых составлены из обыч-
обычных детерминантов. В мемуаре [213] 1882 г. рассмотрен детерминант нечет-
нечетного числа р измерений (р > 3) специального типа.
Появившееся в 1881 г. обширное исследование Зайончковского [229]
о р-мерных детерминантах содержит краткую характеристику работ его
предшественников с указанием их главнейших ошибок, упрощение доказа-
доказательств многих теорем и обобщение разложения Лапласа.
Дэвис в заметке [68], опубликованной в 1882 г., исследовал вопрос
о нахождении максимальных значений детерминантов четного и нечетного
числа измерений, элементы которых, предполагающиеся вещественными,
заключаются между —а и -\-а.
Эшерих, продолжая исследования Цейфуса, опубликовал в 1882 г.
мемуар [73] о детерминантах высших измерений и применении их к состав-
составлению инвариантов системы алгебраических форм от одного или нескольких
рядов переменных.
Много способствовали развитию теории многомерных детерминантов
исследования Гегенбауера, несмотря на допущенные им грубые ошибки.
В его мемуарах [84—92], публиковавшихся в изданиях Венской академии
наук на протяжении 1882—1893 гг., содержатся обобщения многих теорем
относительно обычных детерминантов, даются приложения многомерных
детерминантов к теории инвариантов алгебраических форм и рассматривают-
рассматриваются различные частные их виды.
В 1887 г. Шендель [208] в.небольшой заметке о многомерных детерми-
детерминантах указал правило составления произведения этих детерминантов с помо-
помощью особого символического обозначения.
В 1890 г. Сютс [219] обобщил на случай кубических детерминантов фор-
формулы, выведенные им ранее для обычного детерминанта одного частного
вида, и в статье [220], опубликованной в 1895 г., распространил их на детер-
детерминанты р измерений (р > 3).
В заметке Кемпбелла [51] 1892 г. о многомерных детерминантах рас-
рассмотрены также кососимметрические детерминанты и дано представление
произведения 2v квадратных детерминантов в виде детерминанта 2v измере-
измерений, а также представление произведения этих детерминантов на квадрат-
квадратный перманент в виде детерминанта 2v + 1 измерений.
В 1899 г. Гедрик [98] опубликовал работу, посвященную кубическим
детерминантам, в которой элементарно изложены простейшие свойства этих
детерминантов и даны приложения их к составлению инвариантов алгебра-
алгебраических форм.
Каццанига в мемуаре [57], появившемся в 1900 г., изложил элементар-
элементарную теорию кубических детерминантов бесконечного порядка. В том же году
Гаврилович [82] распространил правило Сарруса на случай кубических
детерминантов. В другой заметке [83] 1902 г. он указал элементарные свой-
свойства кубических детерминантов, относящиеся к изменению знака некоторых
их элементов.
В1902 г. Калегари [49] дал изложение некоторых уже известных свойств
детерминантов высших измерений; другая его работа [50], опубликованная
в 1904 г., посвящена разложению и умножению многомерных детерминантов
бесконечного порядка.

ВВЕДЕНИЕ У
В 1906 г. Стетсон [216], обобщая результаты, найденные им для обыч-
обычных детерминантов, получил разложение кубического детерминанта одного
частного вида и дал формулу, выражающую число членов этого разло-
разложения.
В 1910 г. Штернек [215] обобщил теорему Кронекера, связанную с ком-
композицией билинейных форм, на случай детерминантов высших измерений.
В том же году опубликованы были лекции Лека [106] по теории многомер-
многомерных детерминантов и в 1911 г. его же краткий очерк [113] этой теории, где,
кроме собственных исследований Лека [107—112), даны в сжатом изложе-
изложении все опубликованные до того времени работы его предшественников
с исправлением допущенных ими ошибок. Статьи [114—125] 1912—1914 гг.
посвящены детерминантам специальных типов.
В 1913 г. Феллини [75] применил кубические детерминанты к решению
системы п2 линейных уравнений с п неизвестными и дал формулы для вычис-
вычисления ее корней, аналогичные формулам Крамера в случае системы п таких
уравнений. Общий случай системы п1^1 (р > 3) линейных уравнений с п неиз-
неизвестными был исследован автором [25], давшим решения ее при помощи
детерминантов р измерений. Им же в статье [34] рассмотрен случай несов-
несовместности этой системы и указаны формулы для приближенного вычисления
ее корней.
Петерсен свою диссертацию [188], опубликованную в 1914 г., посвя-
посвятила применению кубических детерминантов к исследованию приводимости
двойничных и тройничных кубических форм и классификации их в комплекс-
комплексной области,
В 1918 г. Райе [192] обобщил понятие многомерных детерминантов,
данное Кэли, введя так называемые смешанные детерминанты, и в по-
последующих работах [193—201, 203] изложил их главнейшие свойства. Сме-
Смешанные детерминанты детально были изучены Лека, рассмотревшим де-
детерминанты самой разнообразной структуры. Результаты его исследований
опубликованы в статьях [126—150, 152—161, 164].
Пуччио в брошюре [191], изданной в 1923 г., рассматривал приложения
кубических детерминантов к составлению инвариантов алгебраических
форм нескольких неременных.
В 1925 г. Хичкоком [101] было введено понятие упорядоченны х
многомерных детерминантов, элементы которых не обладают коммутатив-
чым свойством. Эти детерминанты были использованы им в работах [102,
105], посвященных изучению полиадических полиномов.
Большая заслуга в систематизации накопившегося материала по теории
многомерных детерминантов принадлежит Лека. Им опубликована в 1924 г.
полная библиография [151] по детерминантам высших измерений, доведен-
доведенная до 1923 г. и продолженная в обзоре [162] теории этих детерминантов
до 1927 г. Появившаяся в 1929 г. другая его обзорная работа [163] содержит
краткое изложение приложений многомерных детерминантов к теории алге-
алгебраических форм и охватывает период с 1843 по 1923 г.
Установившаяся и общепринятая в настоящее время терминология
и символика в теории детерминантов высших измерений представлена
в работе Раиса [204], опубликованной в 1930 г., и в более поздней работе
A940 г.) Ольденбургера [182].
Наглядное обоснование теории кубических детерминантов (по существу,
без теории подстановок) дано автором в статье [33]. Там же приведено дока-
доказательство теоремы, обобщающей известный признак С. Л. Соболева обра-
обращения в нуль обычного детерминанта на случай многомерных детерминантов.
С развитием теории детерминантов возникают новые понятия в области
пространственных матриц, обобщающие соответственные понятия для дву-
двумерных матриц.

10 ВВЕДЕНИЕ
Хичкок [103, 104] в 1927 г. ввел понятие рангов различных измерений
для пространственной матрицы и отметил их инвариантные свойства.
Райе [202] в 1928 г. обобщил элементарные преобразования двумерной
матрицы для пространственной и установил связь между ее рангами.
В 1933—1934 гг. Г. Б. Гуревич [7, 8] дал два новых арифметических
инварианта кососимметрической и симметрической кубических матриц
и указал на связь их (в виде неравенств) с известным арифметическим инва-
инвариантом — рангом кубической матрицы. Более общий характер имеют даль-
дальнейшие его работы [9, 10] и, особенно, работы [11—16] 1944—1952 гг.
В 1954 г. автором [28] была указана полная система инвариантов сим-
симметрической кубической матрицы 3-го порядка над полем вещественных
чисел.
Введение арифметических инвариантов пространственных матриц и
применение матричных операций, упрощающих вычисления, значительно
продвинули исследования в теории алгебраических форм. В 1932 г. Ольден-
бургер [169] установил классификацию двойничных трилинейных форм в
комплексной области, пользуясь теорией пар билинейных форм и инва-
инвариантными свойствами кубической матрицы. В статье [173] 1936 г. эта клас-
классификация проведена' только при помощи арифметических инвариантов и
распространена на двойничные кубические формы. Работы [174, 175] 1937 г.
посвящены вопросу об эквивалентности двойничных трилинейных форм в
вещественной области. В то же время Ольденбургер, продолжая исследо-
исследования Хичкока и Раиса, опубликовал целый ряд работ [170—172, 176—181]
о пространственных матрицах и ассоциированных с ними алгебраических
формах, распространив многие результаты инвариантной теории двумерных
матриц на матрицы р измерений (р 2: 3).
В 1939 г. автором [26] были получены канонические виды двойничных
трилинейных форм в комплексной и вещественной областях путем элемен-
элементарных преобразований соответствующих кубических матриц и указаны
невырожденные линейные преобразования, с помощью которых формы при-
приводятся к каноническим видам как в комплексной, так и в вещественной
областях. В статьях [27,29, 30], опубликованных в 1954—1955 гг., в зависи-
зависимости от полной системы инвариантов симметрической кубической матрицы
3-го порядка над полем вещественных чисел дана проективная классифи-
классификация кубических тройничных форм в вещественной области и—в качестве
ее геометрической интерпретации—проективная классификация вещественных
плоских линий 3-го порядка. Аффинно-проективная классификация этих
форм и соответствующих им линий изложена в статьях [31, 35]. В работе
[32], опубликованной в 1955 г., автор, обобщая известную теорию элементар-
элементарных делителей двумерных Х-матрицна полиномиальные кубические матрицы,
распространил полученные им ранее результаты применения пространствен-
пространственных матриц к исследованию вещественных кубических тройничных форм
на случай пар и ассоциированных с ними пучков этих форм и дал проектив-
проективную классификацию пучков вещественных плоских линий 3-го порядка
в случае, когда характеристика соответствующей полиномиальной кубиче-
кубической матрицы наивысшая. В работе [36] 1957 г. тем же путем проведена пол-
полная классификация пучков кубических двойничных форм в вещественной
области с соответствующей геометрической интерпретацией.

ГЛАВА I
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
И ЕЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
§ 1. Определения
1. Пусть дано некоторое числовое поле Р. Как известно, всякая си-
система из п2 элементов А^ (i, /= 1, 2, .. ., п) поля Р, расположенных в точках
плоскости с декартовыми прямоугольными координатами i, j, называется д
двумерной (квадратной) матрицей п-го порядка на
полем Р. (г)
Подобно этому любая система из ns элемен- /
тов Aijh (i, j, k= 1, 2, . . ., n) поля Р, расположен- ,ТгГ, ?m
ных в точках трехмерного пространства, опреде- л/'_[ А'''
ляемых координатами i, /, к, называется трех- 7" \ /'2
/ р
мерной (кубической) матрицей п-го порядка над Р.
Так, например, система 23 элементов Aijk (i, j, . ,
i
а
¦{*)
O./J
р ijk ( j
/с=1, 2), расположенных в виде куба (рис. 1), а
представляет кубическую матрицу 2-го порядка. ¦''' '1гг
Кубическую матрицу п-го порядка с общим эле- J
ментом Aijk будем обозначать сокращенно символом (j)
Рис. 1.
1МшИ (i,f,k=l,2,...,n), A.2)
а в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, просто через А').
Вообще, любая система из пр элементов А^ { t (iu i2, .. ., ip = 1, 2, .. . ,n)
поля Р, расположенных в точках /^-мерного пространства, определяемых коор-
координатами iv i2, . .., ip, образует р-мерную матрицу п-го порядка над Р
Л = |МЧг2...д| (ч, it, ...,гр = 1,2, ...,«). ' A.3)
Такую матрицу в дальнейшем будем называть пространственной, если
число измерений ее р можно предполагать каким угодно целым, большим двух.
2. Совокупность элементов матрицы A.2) с фиксированным значением
индекса i называется сечением ориентации (iJ). Все п сечений ориентации (i)
в матрице A.2) параллельны друг другу и являются обычными, двумерными
матрицами п-ro порядка
11А,Л, 1М„к11, ..., Mnife|| (/,fc = i, 2,...,«.).
J) Если индексы i, /', к принимают соответственно значения
1,2, ...,1,
1, 2, ...,т,
1,2, ...,п
при I, т, п различных между собой, то трехмерная матрица, состоящая из 1тп элемеи-
тов, представляется в виде прямоугольного параллелепипеда.
2) См. [162], т. 45, стр. 6.

12 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
Аналогично определяются сечения ориентации (/) и (к).
Совокупность элементов матрицы A.2) с фиксированными значениями
индексов /, к называется сечением (двукратным) ориентации (//с) или строкой
направления (гI)- Все п2 строк этого направления параллельны друг другу
и являются одномерными матрицами п-го порядка
где / ,к—фиксированные значения индексов /, к. Аналогично определяются
строки направлений (/) и (к).
В кубической матрице п-го порядка два сечения различных ориентации
имеют и общих элементов, расположенных в одной строке, тогда как три
сечения различных ориентации имеют только один общий элемент. Каждое
сечение любой ориентации и каждая строка перпендикулярного к этому сече-
сечению направления имеют один и только один общий элемент. Соответствен-
Соответственными элементами двух параллельных сечений называются элементы, принад-
принадлежащие одной и той же строке, перпендикулярной к этим сечениям.
Соответственными элементами двух параллельных строк называются эле-
элементы, принадлежащие одному и тому же сечению, перпендикулярному
к этим строкам.
Все эти понятия, относящиеся к кубической матрице, легко распростра-
распространить на пространственную матрицу любого числа измерений.
Так, в пространственной матрице A.3) совокупность элементов с фикси-
фиксированным значением ia индекса ia, где а — любое из чисел 1, 2, ...,р, обра-
образует сечение (простое) ориентации (ia), являющееся (р — 1)-мерной матрицей
п-го порядка
II ^М • ¦ • 'а-1*а«а+1 • ¦ • iP II ('l, ¦ • • , 'a-l> 'a+Ь •••.*'„ = 1> 2, . . . ,п).
Совокупность элементов с фиксированными значениями ia и /р индексов ia и
г'р, где а<Р —любые из чисел 1,2, ...,р, образует сечение (двукратное)
ориентации (iaip), являющееся (р— 2)-мерной матрицей п-то порядка
---i ip = 1, 2, .. ., п)
и представляющее совокупность элементов, общих двум (р— 1)-мерным сече-
сечениям ориентации (ia) и (ip)
1Ич •¦ ¦ «a-iVa+l • •• *pll ('ь ' • ¦' 'a- р
.. гр|| («ь • • •. 'з-1 > 'з+i. • • •, *p= 1, 2, .. .,n).
Вообще, совокупность элементов с фиксированными значениями iOi, 1а^, . ..
. . ., iam индексов га1, г«2, . .., г'ат, где 1 S m й Р — 1, а ах < а2 < • • • < ат —
любые из чисел 1,2, ...,р, образует сечение (m-кратное) ориентации
(iaia ¦¦• ia ), являющееся (р — т)-мерной матрицей п-го порядка и пред-
представляющее совокупность элементов, общих те сечениям ориентации (Ц),
(ia ),..., (ia ); при m = p — 1 имеем сечение ((р — 1)-кратное) ориентации
(ia ia ... ia _ ), которое является одномерной матрицей п-то порядка, состоя-
состоящей из элементов, общих р—1 сечениям ориентации (iai), (ia), ¦¦•>('(* _,)>
и которое поэтому называется также строкой направления (ia ).
') См. [162], т. 45, стр. 6.

S 1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
В обычной двумерной матрице || AiS || строки и столбцы можно рассматри-
рассматривать как сечения ориентации (i) и (/) или как строки направлений (/) и (i).
Пусть
а1( а2, . ..,ат, Рх, Р2, . .., Рр_т
— некоторая перестановка из чисел 1, 2 р. Называя тогда ориентации
(ia ia ... iam) и (ip ip • • • ifi _m) /га-кратного и (р — т)-кратного сечений мат-
матрицы A.3) противоположными, будем подразумевать под соответственными
элементами двух m-кратных сечений одной и той же ориентации (ia ia . . . ia )
те элементы, которые принадлежат одному и тому же (р—т)-кратному сече-
сечению противоположной ориентации (?р ip ... гр ). В маетности, соответствен-
соответственными элементами двух сечений ориентации (ia), где а —любое из чисел 1,
2, . . .,р, будут элементы, принадлежащие одной и той же строке направле-
направления (га), а соответственными элементами двух строк направления (га) будут эле-
элементы, принадлежащие одному и тому же сечению ориентации (ia).
Два сечения (простые или кратные) одной и той же ориентации называ-
называются пропорциональными, если элементы одного из них отличаются от соот-
соответственных элементов другого одним и тем же множителем, и тождествен-
тождественными, если соответственные элементы их равны.
Пользуясь двумерными сечениями, можно записать пространственную
матрицу в виде квадратной или прямоугольной таблицы в зависимости от
того, будет ли число измерений матрицы четным или нечетным; двумерные
сечения при этом отделяются друг от друга вертикальной или горизонтальной
чертой. Так, например, кубическая матрица 2-го порядка A.1) с помощью
сечений ориентации (г) может быть записана в виде прямоугольника
Mil
*211
221
]212
1222
¦СО
а матрица A.3) при р = 4и п = 2 с помощью сечений ориентации (г^
квадрата
А
А
А
А
ни
1121
2111
2121
А
А
А
А
1112
1122
2112
2122
А
А
А
А
1211
1221
2211
2221
А
А
А
А
1212
1222
2212
2222
A.1')
— в виде
A.4)
Стрелки указывают направление, в котором возрастают соответствующие
индексы.
3. Элементы пространственной матрицы А, взятые в количестве, не пре-
превышающем ее порядка п, называются, согласно терминологии Сютса [219],
трансвереальными, если ни одна пара их не принадлежит одному и тому же
сечению (простому) какой-либо ориентации. Совокупность п трансверсальных
элементов матрицы А, представленная в виде одномерной матрицы п-го
порядка, образует трансверсалъ. Так, например, в кубической матрице 3-го
порядка (рис. 2) совокупность элементов А112, -423], А323 образует одну из ее
трансверсалей, число которых равно (З!J. В кубической матрице n-го порядка
насчитывается (/г!J трансверсалей. Число трансверсалей /ьмерной матрицы
п-го порядка равно (га!)*5. Среди них находятся 2Р"Х диагоналей, образованных
элементами, которые расположены на прямых, соединяющих противоположные

14
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. 1
вершины матрицы. Та из диагоналей, у которой в каждом элементе значения
всех индексов одинаковы, называется главной, а ее первый элемент Ап _.. г —
главным. Остальные диагонали называются побочными. В матрице A.5) имеем
четыре диагонали
222'
222'
А
Л1
A A
Л222' .411-
Из них первая есть главная диагональ с главным элементом Аш.
4. Обобщением понятия трансверсали пространственной матрицы п-то
порядка А является понятие трансвереального сечения.
А/_\ А/_>+ А/
А" \ А/'1'г\_А, ""
А
Лзгз
1 А\ ' ! А] ! ' А'
A.5)
I И1 /
i /IV
Г
Рис. 2.
Будем называть строки данного направления в матрице ^4, взятые в ко-
количестве, не превышающем ее порядка п, трансверсальными, если ни одна па-
пара их не принадлежит одному и тому же сечению (простому) какой-либо ориен-
ориентации. Совокупность п трансверсальных строк какого-либо направления, пред-
представленная в виде двумерной матрицы п-го порядка, будет двумерным транс-
версальным сечением, соответствующим этому направлению. Так, например,
в кубической матрице 3-го порядка A.5) имеем двумерные трансверсальные
сечения, образуемые трансверсальными строками:
А
А1Я9 А
ш
А
А
А
А
А
-4,
423
132
223
^232
МП
1
* 2
312
ми
223
*322
М12
^232
^323
Л 382
л131
/1
А
332
Млз
233
А,
направления (г),
направления (/'),
направления(к).
'231
.421 Л322 ^.423
Всех таких сечений, соответствующих одному какому-либо из направлений
(i), (/), (к), в матрице A.5) будет 3!
В кубической матрице п-го порядка число двумерных трансверсальных
сечений, соответствующих данному направлению, равно п\
Среди них находятся два диагональных, сечения. То из диагональных се-
сечений, которое состоит из элементов с одинаковыми значениями двух опреде-
определенных индексов, называется главным, а другое—побочным. Так, в матрице

1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
15
A.5) имеем два двумерных диагональных сечения, соответствующих направ-
направлению (i):
A3
Aa
Л,
— главное,
1из
М22
222
322
— побочное.
В ^-мерной матрице п-го порядка A.3) число двумерных трансверсальных
сечений, соответствующих направлению (га), очевидно, равно (п\)р~2. Среди
них находятся 2р~2 двумерных диагональных сечений. Одно из них, главное,
состоит из элементов с одинаковыми значениями р — 1 индексов ilt ...,га_1,
'а+ь . ..,«р. Остальные диагональные сечения—побочные. При /?>3, кроме
двумерных трансверсальных сечений, имеются также трансверсальные сечения
высших измерений. Будем называть /га-кратные B^.mf-,p—1) сечения дан-
данной ориентации (iaia ¦•• 'om)> взятые в количестве, не превышающем'и,
трансверсалъными, если ни одна пара их не принадлежит одному и тому же
сечению (простому) какой-либо ориентации. Совокупность п трансверсальных
сечений ориентации (ia ia^ ... га ), являющихся (р — то)-мерными матрицами
п-го порядка, может быть представлена в виде (р — т-|-1)-мерной матрицы
того же порядка, которая и будет трансверсальным сечением р—m-fl изме-
измерений, соответствующим ориентации (ia ia ... ia )¦ Число такого рода се-
сечений равно (л!)"'-1. Среди них находятся 2т~1 диагональных сечений р — т-\-1
измерений. То из них, которое состоит из элементов с одинаковыми значени-
значениями индексов ia , ia , ... ia , называется главным, а остальные—побочными.
Так, в четырехмерной матрице 2-го порядка A.4) имеем два трехмерных
трансверсальных сечения, соответствующих ориентации (jj/г) •
121
llli
1122
2221
A2
A,
А
I2Ul
2121
А
'2112
2122
l1221
1222
Первое из них является также главным, а второе—побочным трехмерным
диагональным сечением, соответствующим той же ориентации (г^).
5. Пространственная матрица, у которой все элементы, расположенные
вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, если среди
элементов главной диагонали имеются отличные от нуля, и нулевой—в про-
противном случае, когда все элементы матрицы—нули. Нулевую матрицу
в дальнейшем будем обозначать через О.
6. Пространственная матрица называется симметрической относительно
двух индексов, если каждые два элемента ее, получающиеся один из другого
перестановкой этих индексов, одинаковы. Так, кубическая матрица A.2) бу-
будет симметрической относительно последних двух индексов /, к, если
Одинаковые элементы такой матрицы симметрично расположены по отноше-
отношению к главному диагональному сечению, соответствующему направлению (г).
Кубическая матрица 2-го порядка, симметрическая относительно индексов-
/', к, имеет вид
'112
А
232
'@
Пространственная матрица называется симметрической относительно1
нескольких индексов, если она симметрическая относительно любой пары из.
них. Если симметрия имеет место по отношению ко всем индексам, то матрп

16
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
цу будем называть щосто^симметрической. Так, кубическая матрица A.2)
будет симметрической, если
У такой матрицы одинаковые элементы расположены симметрично относитель-
относительно главной диагонали. Симметрическая кубическая матрица 2-го порядка
имеет вид рис. 3.
Пространственная матрица называется кососимметрическои, относительно
двух индексов, если каждые два элемента ее, получающиеся один из другого
перестановкой этих индексов, отличаются друг от друга только знаком. Та-
Таким образом, кубическая матрица A.2) будет кососимметрическои относи-
относительно последних двух индексов /', к, если Аф =
= —A^j. Отсюда вытекает, что элементы этой
матрицы с одинаковыми значениями индексов /, к
равны нулю. Элементы, отличающиеся друг от дру-
друга только знаком, симметрично расположены по
отношению к главному диагональному сечению,
соответствующему направлению (г). Это диагональ-
диагональное сечение целиком состоит нз нулей. Кубическая
матрица 2-го порядка, кососимметрическая отно-
относительно индексов /', к, имеет вид
.(О
ft)
"За
Л:
i А
у
¦(К)
Рис.3.
О
-А
112
112
О
1212
-л212 о
Г
Пространственная матрица называется кососимметрическои относительно
нескольких индексов, если она кососимметрическая относительно любой пары
из них. Если косая симметрия имеет (у
место по отношению ко всем индексам, п// & п
то матрицу будем называть просто косо-
симметрической. Элементы кососиммет-
кососимметрическои матрицы, у которых не все ин-
индексы имеют различные значения, оче-
очевидно, равны нулю. Таким образом, куби-
кубическая матрица A.2) будет кососиммет-
кососимметрическои, если
¦(*)
Элементы ее, отличающиеся друг от дру-
друга только знаком, симметрично распо-
расположены относительно главной диагона-
диагонали, и все три главных диагональных
сечения, соответствующие направлениям
(г), (/), (к), целиком состоят из нулей. у
матрица 2-го порядка—нулевая, а 3-го порядка имеет вид рис. 4.
7. Матрицу, получающуюся из пространственной матрицы
Рис. 4.
Кососимметрическая кубическая
4
¦4=11^2 ••• ip\\ (iv i2, .. .,ip = i,2, . .., п)
путем обмена значениями двух каких-нибудь индексов, например ^ и i2,
во всех ее элементах, будем называть транспонированной относительно А
по этим индексам. Обозначим ее символом А^1>i2>. Элементы такой матрицы

§ n
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
17
связаны с элементами исходной матрицы А соотношениями
А?
&' »2. • • •. 'Р = 1. 2 я).
Так, например, матрицы А^\ А^'к\ А^-к\ транспонированные по двум
ft)
с)
¦'"?
t
- A/\* л
¦/«? ! '
! A
''' ' ~;'гл
Ay
яг
A/'"
| i
К'
г
A/
у/
A,
~.\zzi
,222
7
A .-'1"
i" I
г
(j)
A/
'- Aj
*/'
Рис. 5.
индексам относительно кубической матрицы 2-го порядка A.1), имеют соответ-
соответственно* вид рис. 5.
Матрицу
А'=> 1ИЬ. ... il| (ivi2 г = 1, 2, ..., п),
элементы которой связаны с элементами упомянутой выше матрицы А соот-
соотношениями
[ i : = А; А ,¦ ,
V2 • • • гр га.га, ¦ ¦ ¦ га'
где lOj, t'a2. • ¦ •, '% — какая-нибудь перестановка из индексов ily i2 ip> бу-
будем называть транспонированной относительно А соответственно подста-
новке Ua- ia ... ,a I. с)ту матрицу будем обозначать также символом
гп^ г„ ... гп
Д\'а1 '«2
Таким образом, матрицы А<1-j- h>, А<*'к-Ь, транспонированные относительно
кубической матрицы 2-го порядка A.1) соответственно циклическим подста-
подстановкам (г, /, к) и (i, к, /'), имеют вид рис. 6.
'Vl2
А\ ^_^;
»-\ f"
AL ! А\
't?5 \~~7x
¦(к)
г
(J)
Рис. 6.
ZI2
Число всех матриц, транспонированных относительно данной р- мерной
матрицы А, включая и матрицу А, которую можно рассматривать как
транспонированную соответственно тождественной подстановке П1*2 "'.' \р\
очевидно, равно р\
2 Н. П. Соколов

1-8 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
Если матрица А — симметрическая (кососимметрическая) относительно
:аких-либо ее
ванная матрица
т каких-либо ее индексов ia , ia , ... , io , где 2 5^ т < р, то транспониро-
1 2 111
чч • ¦ • ч
где ф,.?в > • • • > г6 —какая-нибудь перестановка из индексов г'а ,ia , . . ., ia
совпадает с А (совпадает с А, если подстановка и 1* 2 t m) — четная, пли
отличается от ^4 только знаками соответствующих элементов, если эта
подстановка-—нечетная).
8. Выяснив структуру пространственной матрицы, перейдем к установ-
установлению понятия о ее детерминантах.
Начнем с простейшего случая, когда дана кубическая матрица п-то
порядка A.2). Возьмем в этой матрице какую-нибудь трансверсаль
¦4.A) .A). A), л.B) ,B).B), ..., " .(П) .(П), <П), \1.Ь)
A.7)
A.8)
A.9)
остальных индексов /, к образуют некоторые перестановки из чисел 1,2, . . ., п.
Составим из элементов трансверсали A.6) произведение
n)ft(n). A.10)
где значения
индекса i, а также
значения
41)
/ч1).
kai
•С)
Г. ¦ ¦
.., /с™
Если мы перегруппируем множители в этом произведении, представляя его,
например, в виде
где
— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ..., п, то перестановки
•(а,) ,-(а„) -(<*„) (\ -]'\
у(а1)> у(«о)> _ _( у(ап)( A.8')
^и'Ч-.-Д^ A.9')
из значений индексов i, /, к в элементах трансверсали, входящих в произве-
произведение A.10'), в зависимости от четности перестановки A.11) имеют одновре-
одновременно четности, либо совпадающие с четностями соответственных перестано-
перестановок A.7), A.8), A.9), либо им противоположные. Так как числовое поле Р,
над которым рассматривается матрица A.2), коммутативно, то произведения
(\Л0) и A.10'), отличающиеся друг от друга только порядком множителей,
одинаковы. Однако коммутативность умножения может быть нарушена, если
к произведению элементов трансверсали присоединить дополнительный мно-
множитель ( —1)N, где Лг—целое число, известным образом зависящее от поряд-
порядка множителей в этом произведении.
В самом деле, выделяя один из индексов i, /, к, например i, и обозна-
обозначая через 1г число инверсий в перестановке A.7), образуемой значениями

S 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 19
этого индекса в элементах трансверсали, входящих в произведение A.10),
умножим последнее на дополнительный множитель (— \)Ii. Получим выра-
выражение
( 1) i^^ A A12)
которое будет иметь тот или иной знак в зависимости не только от знаков
элементов трансверсали, но и от четности перестановки A.7), совпадающей
с четностью числа 1г. Поэтому, если 1^} есть число инверсий в перестановке
A.7'), то выражение
I \\*i А , ¦. А Л (\ \0'\
\ / .(ai).(a-,) (ft )** (ft ) (a ) (а ) • • • -*1 (а ) (а ) (а ), ух.хб )
составленное из произведения A.10') по тому же правилу, как и выражение
A.12) из произведения A.10), будет равно выражению A.12) только в том
случае, когда перестановка A.11) — четная. Если же эта перестановка —не-
—нечетная, то выражения A.12) и A.12'), отличаясь в этом случае знаком, уже
не будут одинаковыми. Индекс i, значениями которого обусловливается по-
положительный либо отрицательный знак дополнительного множителя (— 1) »,
будем называть альтернативным, а индексы /, к — неальтернативными J), по-
поскольку четности перестановок, образуемых их значениями, в рассматривае-
рассматриваемом случае не учитываются.
Пусть теперь два какие-нибудь из индексов i, j, к, например / и к, —
альтернативные, а индекс i—неальтернативный. Принимая тогда во вни-
внимание четности перестановок A.8) и A.9), образуемых зпачениями альтер-
альтернативных индексов в элементах трансверсали, входящих в произведение
A.10), умножим это произведение на дополнительный множитель ( — l)')+Ik,
где Ij и Ik—числа инверсий в перестановках A.8) и A.9). В этом случае
выражение
( - l)I/+IM.A?1)fcAHl.B?2)fcB) ••• W»>k(n) AЛЗ)
уже ничем не будет отличаться от
I Wi +Tfc a sa , . л
V / (а,) («,) (а,)л («„) («О (ч„) • • • Л (а„) (о ) (а ), l\ *"i'\
Ir J К L J n. I J Л \ /
где /Са> и /^а>—числа инверсий в перестановках A.8') и A.9'), так как в
силу сделанного выше замечания четности сумм Ij-\-Ik и /("> -f- If> сов-
совпадают, какова бы ни была четность перестановки A.11).
Пусть, наконец, все три индекса i, /, к— альтернативные. Тогда вы-
выражения
(—Wi+Ij^Th А- ¦ Л-
так же как и выражения A.12), A.12'), одинаковы лишь тогда, когда
перестановка A.11) —четная. Если же эта перестановка—нечетная, то вы-
выражения A.14) и A.14') отличаются знаком друг от друга, так как в этом
случае четности сумм 1г-\-^-\-1к и if* + lf} + ija) противоположны.
Таким образом, рассмотренные выше выражения A.12) или A.14),
когда принимаются во внимание четности перестановок, образуемых зна-
значениями нечетного числа A или 3) альтернативных индексов, зависят от
J) Ср. [162], т. 45, стр. 27. Эти определения относятся не только к индексам, но
также к строкам и их направлениям, к сечениям (простым) и их ориентациям и пр.
2*

20 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
порядка множителей, тогда как для выражений A.13) или A.10), когда
принимаются во внимание четности перестановок, образуемых значениями
четного числа B или 0) альтернативных индексов, коммутативность умно-
умножения сохраняется. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать лишь
выражения вида A.13) и подобные им выражения
( — 1) * ^i(l>ju>fc<l)^li<2);<2)ft<2> ... Ацп}IП1к<-п>, A.10)
( 1) l ;4ju/i
составленные из элементов трансверсали A.6) в предположении, что из всех
индексов i, j, к только индексы г, к или i, j—альтернативные. Кроме того,
будем рассматривать также выражения вида A.10), составленные в пред-
предположении, что все индексы i, j, к—неальтернативные.
Составим теперь для всех трансверсалей матрицы A.2) выражения
вида A.13) и возьмем их алгебраическую сумму
/i ( —
) i ^
где суммирование распространено на все возможные комбинации любой
перестановки /с1), /B>, .... /<п) с любой перестановкой ка\ кB\ ..., кт>
при фиксированной перестановке ia\ г<2), . . ., iin\ Эта сумма, обозначаемая
обычно символом Раиса1) А+±+ , где между вертикальными чертами напи-
i i ft
сан общий элемент матрицы A.2) и над альтернативными индексами /, к
поставлен знак + , а над неальтернативным индексом i знак -f-, называется
+±±
кубическим детерминантом п-го порядка с сигнатурой (ifк). Эту сиг-
сигнатуру сокращенно будем записывать в виде (i), указывая явно только
неальтернативный индекс i. Слагаемые суммы A.17) называются членами
кубического детерминанта А+±± . Число их, очевидно, равно (и!J.
i з ft
Аналогично определяются с помощью выражений A.15), A.16) соот-
соответствующие той же матрице A.2) кубические детерминанты п-го порядка
+ -f
^4±+±| и \А±±+\ с сигнатурами (/') и (к).
i j к ' ' ij к '
Сумма (я!J членов вида A.10), составленных для всех трансверсалей
матрицы A.2), дает кубический детерминант п-го порядка А+++ с сигна-
турой (ifк), который обычно называется кубическим перманентом натри-
цы A.2).
В каждом члене кубического детерминанта с той или иной сигнату-
сигнатурой элементы его, очевидно, могут быть расположены в таком порядке,
чтобы перестановка ia\ ic2) im\ образуемая значениями первого индек-
индекса г, представляла последовательность натуральных чисел 1, 2, ..., п.
Число, указывающее порядок детерминанта, если желательно обратить
на него внимание, будем писать внизу правой вертикальной черты в обо-
обозначении детерминанта.
При более подробном обозначении детерминантов кубической матрицы
мы будем выписывать полностью элементы матрицы или в перспективном изо-
изображении, или с помощью ее двумерных сечений, как это сделано в обозначе-
обозначениях A.1) и A.1')> заменяя только в первом случае пунктир сплошными
линиями, а во втором случае — крайние двойные черты простыми, причем
неальтернативные направления всегда будем отмечать знаком + .
С\г. [204], стр.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
21
Таким образом, кубические детерминанты 2-го порядка матрицы A.1)
+ г ±
г ] к
±+±
j ft
* ± L = -
к
= -11-22 ^112^221 "Т" ^121^*212— ^122^211'
+++ |„ иИ2и П2221 + 121212
г j k ~
могут быть представлены в виде рис. 7 или и виде
±±+
Oft
A.18)
A.19)
/
III
А
211
А
/ А
/
иг
А
212
-*(к)
III
21
О)
А
а/
А
ш
А
/
А
211 /
А/
/ А
121
иг
А
/'
122
222
212
а
иг
(к)
122
ф
О)
/
III
А
а/
/ А
121
иг
А
/*
22
'22?
212
(J)
Рис. 7.
-^111 Л<2
-^121 7M22
4 4
211 2°1
-3211
А А
¦^221 "^222
А Л
ЛП2 Л122
212 '^222
1
(О
,-*(/)
А112 А2
^i-l -I t J\ л
¦ill О1 -?*-Л
ХЛ.-Щ п| /1л
А А
122 2
А2П А2
>(/)
(А)
Й +
Детерминант и перманент обычной матрицы п-го порядка
\\Аи\\ (i, /=1,2 п)
также могут быть обозначены символами Раиса
a
±±
как двумерные детерминанты с сигнатурами (i /) и (г /).

22
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
Таким образом, имеем:
i ]
¦1 -
Ao
А12А21.
9. Дополнительные множители вида (—1)N, на которые приходится умно-
умножать произведения элементов каждой трансверсали кубической матрицы /г-го
порядка, чтобы получить члены ее детерминанта с той или иной сигнатурой,
А
Рис. 8.
легко находятся графическим способом. Для пояснения этого спо-
способа воспользуемся следующей диаграммой, позволяющей определить чет-
четность любой подстановки п-й степени
PiP2 • • • КГ
совпадающую с четностью суммы Ia + ^р чисел инверсии 1а и /р в перестановках
av а2, ..., а„,
Pi. Р2. • • • - Рп
из чисел 1, 2, ..., п.
В диаграмме (рис. 8) каждой паре элементов ат, Рт (т= 1, 2, . . ., и)
подстановки сопоставляется отрезок, соединяющий пару соответствующих
точек на горизонталях (а) и (Р). Число пересечений построенных таким
образом п отрезков имеет, очевидно, ту же четность, как и рассматриваемая
подстановка (точка пересечения п отрезков считается за Сп пересечений).
Возьмем теперь три горизонтали (рис. 9) и на каждой из них отметим
по п точек, соответствующих значениям 1,2, ...,п индексов I, ], к, так,
чтобы точки с одинаковыми значениями этих индексов лежали на одной
и той же вертикали (рис. 9). Тогда каждому элементу А .(а) y<a)ft«z)
(а= 1, 2, .. ., п) какой-нибудь транс-
... версали кубической матрицы n-го по-
порядка можно сопоставить его график,
-О) представляющий, вообще говоря, ло-
. щ маную линию, которая, выходя из
точки на первой горизонтали (i), соот-
Рис" 9- ветствующей значению i(a) индекса i это-
этого элемента, проходит через точки сле-
следующих горизонталей (/'), (к), соответствующие значениям /W, k^ индек-
индексов /, к. Построенные таким образом графики элементов трансверсали
взаимно пересекаются, за исключением графиков элементов главной диаго-
диагонали АШ,А222. ..., Аппп, представляющих собой вертикальные отрез-
отрезки. Обозначая, как и раньше, число инверсий в перестановках, образуе-

$ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ 23
мых значениями индексов ?, /, к в элементах трансверсали, образующих
произведение
соответственно через It, Ip Ih, мы в силу рассмотренной выше диаграммы
заключаем, что число Ni} пересечений графиков этих элементов между го-
горизонталями (?) и (/) будет той же четности, как и сумма It^-Ij, а число
Njk пересечений между горизонталями (/) и (к) — той же четности, как
и сумма Ij + Ih. Отсюда следует, что число Nik пересечений между гори-
горизонталями (?) и (к), равное Nij-JrNjh, имеет четность, совпадающую с чет-
четностью суммы /j-f-/k. Таким образом, умножая
упомянутое выше произведение элементов транс- ?^
версали на один из дополнительных множителей
мы получим соответственно член кубического де-
3 + + f Рис. 10.
терминанта с одной из сигнатур (к), (г), (/').
Так, из диаграммы (рис. 10), построенной по элементам трансверсали Alai,
Л212> ^ззз. -444i кубической матрицы 4-го порядка || Aijk [| (?, /, к= 1, 2, 3, 4),
видим, что iVi; = l, Njk = 4, Nik = 5. Следовательно, выражение
тогда как выражение
И
^±+,
-f- A12iA212A33SAt4l есть таен детерминанта
— ^124^212^ззз^441 является членом детерминантов
г } k
10. Детерминанты пространственной матрицы, число измерений кото-
которой больше трех, определяются аналогично детерминантам кубической
матрицы.
Возьмем в р-мерной матрице га-го порядка A.3) какую-нибудь транс-
версаль
Atf\'P ... iA>> i'j'W ... iB)' '¦¦' ^i'l"»!/" ... i™' A.22)
где значения ?У\ i'v\ ¦ ¦ •, ?vn> индексов ?v (v = 1, 2, . .., p) и элементах этой
трансверсали образуют некоторые перестановки из чисел 1, 2, . . ., га. Пусть
какие-нибудь т (т — любое четное число, не превышающее р) индексов,
например индексы ?1; ?2, ..., im, — альтернативные, а остальные р-т ин-
индексов ?m+1, ?m+2, ..., ip — неальтернативные. Обозначим через /р, число
инверсий в перестановке ?ji', i)%\ ...,i™, образуемой значениями альтер-
альтернативного индекса ?ц ((Д. —любое из чисел 1, 2, . .., т), и умножим произ-
произведение элементов трансверсали A.22) на дополнительный множитель
m
< — I)**—1 . Получим выражение
(_ 1)ц=1 Лщ^а, __ 4а>4^24?!> ... i^> • • • ^i»"^"' ... i<ni, A.23)
где значения ?)", ii2), . .. ?in) первого индекса iv очевидно, можем предпо-
предполагать идущими в натуральном порядке.
Составляя выражения вида A.23) для каждой из (и!)" трансверсалей
матрицы A.3) и беря их алгебраическую сумму, получим р-мерный де-
детерминант п-го порядка | А± ± + + I с сигнатурой (?х .. . ?тгт+] . . .
г1 ' ' * Ъп'т+1 • • • ip
+ ± ±
... ip), которую сокращенно будем записывать в виде (?х ... im) или

24 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
(im+1 ... ip), смотря по тому, будет ли меньшим число альтернативных
или неальтернативных индексов в данной сигнатуре.
Число т альтернативных индексов всегда предполагается четным, так
как тогда и только тогда сохраняется коммутативность умножения. Это
число определяет род р-мерного детерминанта. У р-мерной матрицы при
р четном существует только один детерминант наивысшего рода р, когда
все индексы — альтернативные. Его мы будем называть, следуя Кэли [53],
гипердетерминантом. При р нечетном существует р детерминантов наивыс-
наивысшего рода р — 1 с сигнатурами (ij), (г2), ..., (ip). Детерминант наинизше-
наинизшего рода О, когда все индексы —неальтернативные, обычно называют перма-
перманентом. Детерминанты, род которых больше нуля и меньше р, называют-
называются согласно терминологии Вайдьянатхасвами [224] смешанными.
Детерминанты (включая перманент) одной и той же пространственной
матрицы объединяются общим названием кодетерминантов. Два кодетер-
минанта четного числа измерений будут союзными, если альтернативные
индексы одного являются неальтернативными индексадш другого, и наоборот.
Так, например, у четырехмерной матрицы 2-го порядка A.4) детерми-
детерминантом наивысшего рода 4 будет гипердетерминант
А± ± ± ± =
' ^ х a j ? А А | А А ' \ А Л А А (\ v A \
12 3 4 1211 2122 I •Л1212Л2121 ~Т~ Л1221Л2112 Л1222Л2111* К1'^^/
Союзным кодетерминантом является перманент
\Д , I _ ^1111^2222 + ^1112^2221 + ^1121^2212 + ^1122^2211 +
г1*2г314 + ^1211^2122+^1212 2121 + ^'l221-'Z'2112 + ^1222^2111' A.^5)
1\'роме того, идшются три пары союзных кодетерминантов рода 2, из кото-
которых отметим пару смешанных детерминантов
\ Л А Л Л
Oopi \ ^*~ 1 1 р"| *^* О9 1 Р ^* I I QQ^^ 991 1 ~ ~
л Л А _и Л Л (\ 9(\\
12 2121 '^12''1'^2112 I '^1^'22'^2111' V L*yJ J
А А Л- А Л А А Л Л \
\л л\Х\\лгг2Ъ + ЛШ2Л2221 Л1121Л2212 Л\Х1.2/ХTi\\ "Г
г1г2гЗг4 + ^1211^2122+ ^1212^2121 ^1221^2112 ^1222^2111- {*¦•*¦')
Детерминанты дв}'х матриц, обладающие одной и той же сигнатурой,
будем называть косигнатурными.
11. Обобщая для пространственной матрицы любого числа измерений
указанный в п. 9 графический способ определения дополнительного множи-
множителя к произведению элементов данной трансверсали, нетрудно убедиться
(см. упражнение 14), что в выражении члена
( 1)" ^4.A) .A) .A)^4.B)^B) ^B) ... А^Ю^П) (П)
/5-мерного детердшнанта рода т с сигнатурой
(гх ... iai-iiaiai+i ¦ ¦ ¦ iam-iiajam+i ¦ ¦ ¦ ip)
показатель N определяется формулой
т
~2~
где Na<,v__la2v есть число пересечений графиков элементов, входящих в вы-
выражение данного члена, между горизонталями (ia.,v_l) и (ia9y) соответству-
соответствующей диаграммы.

1]
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
25
Так, например, построив по элементам трансверсали
11342
АЛ
» -^2113' ^3
четырехмерной матрицы 4-го порядка
диаграмму (рис. 11), видим, что NV2 = 5, Л'23=4, Nsi = 3, Лг13 = 9, Лг14 = 12,
Рис. П.
Таблица значений N в зависимости от сигнатуры детерминанта имеет
следующий вид:
Сигнатура
I'l г2 '3
(* ± +
V ^1 ^2 ^3
( «1 «2 '3
\ ij 12 гз
i4)
tj
¦^)
t.)
N
N3i
= 8
= 5
= 3
= 9
Сигнатура
I'l Н Н
(¦- + +
[ '1 Н 'з
/+ ± ±
V Ч ^2 13
to
Л'
TV = 7
ЛГ14 = 12
^23= 4
Таким образом, выражение + ^1342^2113^3221^4134 является членом де-
детерминантов
И ±++±
а пыражение — ^1342^2413^322x^4131 есть член детерминантов
++
1Лх.
^ к-
Замечание 1.1. В дальнейшем мы будем говорить об элементах, се-
сечениях и строках детерминантов пространственной матрицы как о соответ-
соответствующих элементах, сечениях и строках этой матрицы.
Упражнения
1. Найти число Л' всех сечений (простых и кратных) />-мерной матрицы n-го порядка.
2. Если в jEi-мсрной матрице A = \\Ai i i || (p ? 3) индексы ?lF i2, ..., ip прини-
принимают соответственно значения
1, 2, .... и1Р
1, 2, .. ., па,
1, 2, .... и.

26 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
при И], п2, ..., Лр различных между собой, то матрица Л, состоящая из чх л2 ... пр
элементов, образует параллелепипед р измерений. Говорят тогда, что А имеет поря-
порядок (nlt ге2, ¦¦¦< Пр). Если все числа лх, п2, ..., пр, за исключением одного из них, оди-
одинаковы, то матрица А называется расширенной или сжатой, смотря по тому, бу-
будет ли число, отличное от остальных одинаковых чисел, больше или меньше последних.
Доказать, что общее число всех сечений (простых и кратных) расширенной и сжа-
сжатой ^-мерных матриц порядков (л, п, ..., п, re-}-v) и (п, п, ..., п, п — v), где 0 < v < re,
равно 2N (см. упражнение 1).
3. "Указать в матрице || Ai ^ i ^ || (ilt i2, ?3, ?4 = 1, 2): а) все диагонали, б) все главные
двумерные диагональные сечения, в) все главные трехмерные диагональные сечения.
4. Какой вид имеют: а) кубическая матрица 2-го порядка, симметрическая относи-
относительно двух индексов i, j или i, к; б) симметрическая кубическая матрица 3-го порядка?
5. Четырехмерную матрицу 2-го порядка, симметрическую относительно двух пар
индексов (е1; i2) и (i3, it), записать с помощью ее двумерных сечепий, располагая послед-
последние в виде квадратной симметрической клеточной матрицы, клетки которой—также сим-
симметрические матрицы.
6. Какой вид имеет кубическая матрица 2-го порядка, кососимметрическая относи-
относительно двух индексов ?, /' или i, к?
7. Доказать, что кубическая матрица Цуё^-^Ц, симметрическая относительно одной
пары индексов и кососимметрическая относительно другой какой-либо пары индексов, будет
нулевой матрицей.
8. Найти число различных элементов симметрической р-мерной матрицы п-го порядка,
9. Найти число одинаковых элементов At г л симметрической /(-мерной матрицы
«-го порядка, у которых значения индексов ij, i2, ..., tp представляют q различных
чисел (lggg р), причем первое из них повторяется тх раз, второе—т2 раз, ..., д-е—
mq раз (тх-\-т2-\-...-j-mg = p).
10. Найти число не равных нулю и отличных друг от друга не только по знаку
элементов кососимметрической р-мерной матрицы п-го порядка.
11. Показать, что транспонированные кубические матрицы Л('> ^,А1>> ft>, ЛA> ft> получа-
ютсяиз исходной матрицы^4 = 1| yli;fe J| (г, /", k — l, 2, ..., re) поворотом на 180° всех ее сече-
сечений ориентации (к), (г), (/') соответственно вокруг их главных диагоналей, а Л(Ь >>k)
и yl(i>"iJ) получаются поворотом матрицы Л вокруг ее главной диагонали соответственно
на 120° и 240° влево, если смотреть вдоль главной диагонали в направлении возрастаю-
возрастающих индексов.
12. Построению теории кубических детерминантов можно придать наглядный харак-
характер, пользуясь геометрически выраженным правилом определения знака любого члена
детерминанта подобно тому, как это сделано Г. Е. Шиловым [40, 41] для обычных детер-
детерминантов. Будем называть трансверсальную пару элементов
Ai(a)j(a)k(a)' ^i(p)j(p)h(p) t1-28*
кубической матрицы п-го порядка A.2) положительно ориентированной
в направлении (?), если отрезок, соединяющий точки плоскости с прямоугольными
координатами f^a\ к^ и j^\ к^ (независимо от того, какая из этих точек принята
за начало отрезка), образует с обеими осями координат либо острые, либо тупые углы;
в противном случае пару A.28) будем называть от риц ате ль но ориентирован-
ориентированной в направлении (i). Пусть Ni есть число трансверсальных пар в трансверсали
A.6) матрицы A.2), отрицательно ориентированных в направлении (i). Показать, что
алгебраическая сумма выражений вида
IV-
A) Ы^ ^
¦составленных для всех трансверсалей матрицы A.2), равна детерминанту |Л_^±±|. Дать
ijft
аналогичные определения детерминантов \А±л.±\ и |Л±±, |.
ijft iih
13. Показать, что все детерминанты диагональной кубической матрицы re-го порядка
.ll^ij'fcll (ь /> к —1,2, ,..,п) равны произведению п диагональных элементов А ш, А122, ...
. .., Аппп.
14. Показать, что сумма чисел инверсий Та , 1а , ..., 1а в перестановках, обра-
образуемых значениями m каких-нибудь индексов ia , ia , ..., ia в элементах некоторой
трансверсали
•<4.a>-U) .ал ¦^¦(гьсг) л2)> • • • > -<4.<n>.(n> .m>
%1 г2 " - " гр h :2 ' ' • гр г1 h "' ' гр

2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ 27
/>-мерной матрицы л-го порядка A.3), имеет ту же четность, как и сумма ^ Na a ,
v=l v~ v
где m—какое-нибудь четное число, не превышающее р, a iVa9 есть число пере-
пересечений графиков элементов рассматриваемой трансверсали между горизонталями (г'а )
15. Показать, что число ^-мерных кодетерминантов равно 2Р-1 (т. е. числу диаго-
диагоналей их матрицы).
16. Построить диаграмму по элементам трансверсали
^1334241 ^2143121 ^342131, ^421243
матрицы \\Aiiitii || и при помощи ее найти тот член детерминанта | A U,
который содержит данные элементы.
17. Построить диаграмму по элементам трансверсали
^121321 ^233211 ^31213
матрицы \\At j { j i || и при помощи ее указать, каким детерминантам наивысшего рода
принадлежат: а) член +^12132^23321^31213; б) член — А12-132А23321А3-12-13.
18. Будем рассматривать р-мернуго матрицу п-го порядка A.3) как некоторую
р-ш ерную перестановку из пР элементов, причем всякую другую перестановку
того же рода мы можем получить, лишь переставляя всеми способами в этой матрице
сечения ориентации (ij), (i2), ..., (ip). Показать, что:
а) число /«-мерных перестановок из пР элементов равно (р + 1)-мерному перманенту
л-го порядка, у которого все элементы равны 1;
б) число ^-мерных перестановок из пР элементов Ai ^ (ix, ..., ip=l, ...,n),
у которых каждый элемент Аг г не может занимать в р -мерной матрице л-го по-
порядка A.3) место, определяемое значениями его индексов, равно (/»+1)-мерному перма-
перманенту re-го порядка, у которого диагональные элементы—нули, а все остальные равны 1.
¦(Случай р = 1 рассматривался Шао Пинь-цуном [231].)
§ 2. Основные свойства детерминантов пространственной матрицы
1. Характер свойств детерминантов пространственной матрицы зависит
¦от их рода. Гипердетерминант обладает свойствами, являющимися обобще-
обобщением хорошо известных свойств обычного детерминанта. Смешанные же
детерминанты и перманент наряду со свойствами, общими всем кодетерми-
нантам, имеют многие своеобразные свойства, присущие им одним. Детер-
Детерминант с той или иной сигнатурой (в частности, перманент), число изме-
измерений которого можно предполагать каким угодно целым, большим двух,
в дальнейшем будем называть многомерным.
Свойство I. Многомерный детерминант равен нулю, если одно из
его сечений {простых) состоит из нулей.
Это очевидно, так как в каждый член многомерного детерминанта,
у которого одно сечение (простое) состоит из нулей, входит один элемент
из этого сечения.
Свойство II. Детерминанты пространственной матрицы А связаны
с детерминантами транспонированной относительно А по двум каким-
нибудь индексам, например ix и i2, матрицы А^' г*) следующими соотно-
соотношениями:
V2 • • • V2 • • • V2 • • • *Л
где в каждом из равенств многоточиями заменены части сигнатур, ничем
не отличающиеся друг от друга.

28 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. Г
Действительно, для каждой пары элементов р-мерных матриц га-го по-
порядка А и Л<11? **' имеем:
Л?1ла>.-.*Р=="*УЛ---|Р &> «„ ...,»р=1, 2, ..., /г),
и все трансверсали транспонированной матрицы A^v * , получающейся из /1
путем обмена соответственными сечениями ориентации^) и(г),находятся среди
трансверсалей исходной матрицы А. Наоборот, каждая трансверсаль матрицы А
является трансвсрса лью матрицы Л(г1' %2\ Таким образом, каждый член данного
детерминанта матрицы А будет иметь равный себе член среди членов детерминан-
детерминанта матрицы А^ь *я>, обладающего такой же сигнатурой, как и данный детерми-
детерминант, или отличающейся от нее лишь знаками над индексами ix и i2, смотря по то-
тому, имеют ли индексы ilt i2 один и тот же или противоположный характер.
Так как в каждом из рассматриваемых детерминантов все члены различны,
а число их одно и то же, то эти детерминанты равны.
Следствие. Гипердетерминант и перманент не меняются при
любом транспонировании их матриц.
Свойство III. От перестановки двух сечений, (простых) одной
и той же ориентации многомерный детерминант не меняется, если ориен-
ориентация— неалътернативная, и только меняет знак, если ориентация —
альтернативная.
В самом деле, трансверсали матрицы А', в которую переходит матрица
А = \\Ац ...j || (iv г2, ..., ip = l, 2, ..., п) данного детерминанта при
перестановке двух каких-нибудь сечений (простых) одной и той же ориен-
ориентации, например, i[^-ro и i^-ro (I S ц. < v 5S п) сечений ориентации (г\),
ничем не отличаются в своей совокупности от трансверсалей матрицы А.
Возьмем какую-нибудь трансверсаль
1 - |i 1 - J)
матрицы А. Содержащаяся в ней пара элементов
занимает в преобразованной матрице А' положение, соответствующее поло-
положению трансверсальной пары элементов
Ai(v)i(n) i(H)' -^i(H)f(v). . .i(v).
1 2 ' ' ' p 12 ,,
тогда как остальные элементы трансверсали занимают в матрице А' то же
положение, как. и в матрице А. Таким образом, члену детерминанта мат-
матрицы А, составленному из произведения элементов рассматриваемой транс-
трансверсали и дополнительного множителя (— 1)^, определяемого сигнатурой
детерминанта, соответствует член косигнатурного детерминанта матрицы А',
составленный из произведения тех же элементов и дополнительного множи-
множителя (— 1)л , где N' определяется той же сигнатурой и имеет ту же чет-
четность, как и N, или противоположную ей, в зависимости от того, будет
ли индекс it неальтернативным или альтернативным, (т. е. в зависимости
от того, будет ли сигнатура иметь вид (^ ...) или (it ...)), так как только
перестановки, образуемые значениями индекса г'х в элементах обоих членов,
различны и, переходя друг в друга транспозицией (iW, г'М), имеют проти-
противоположные четности. В первом случае эти члены, а следовательно, и со-

S 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ 29
держащие их детерминанты, равны, а во втором случае лишь отличаются
знаком.
С лед с т в и е. От перестановки двух сечений (простых) одной и той же
ориентации перманент не меняется, а гипердетерминант лишь меняет знак.
Следующие два свойства очевидны, если принять во внимание свойство III.
Свойство IV. Многомерный детерминант не меняется от одинако-
одинакового числа перестановок сечений (простых) каждой ориентации.
Свойство V. Если в многомерном детерминанте два сечения (прос-
(простых) одной и той же ориентации одинаковы, то этот детерминант будет
равен нулю, если ориентация — альтернативная, и не будет необходимо
равным нулю, если ориентация — неальтернативная.
Следствие. Гипердетерминант, у котороео два сечения (простые)
одной и той же ориентации одинаковы, равен нулю.
Свойство VI. Если все элементы какого-либо сечения (простого)
в многомерном детерминанте умножить на некоторое число, то сам де-
детерминант умножится на это число.
Действительно, пусть все элементы некоторого сечения (простого)
в многомерном детерминанте умножены на число t. В каждый член детер-
детерминанта должен войти сомножителем один элемент рассматриваемого сече-
сечения, а следовательно, и число t, т. е. сам детерминант умножается на t.
Это свойство допускает и такую формулировку: общий множитель всех
элементов какого-либо сечения (простого) в многомерном детерминанте
можно вынести за знак детерминанта.
Свойство VII. Если в многомерном детерминанте два сечения
{простые) одной и той же ориентации пропорциональны, то этот детер-
детерминант будет равен нулю, если ориентация — альтернативная, и не будет
необходимо равным нулю, если ориентация — пеальтернативная.
В самом деле, пусть в рассматриваемом многомерном детерминанте
элементы некоторого сечения (простого) какой-нибудь ориентации отличаются
от соответственных элементов другого сечения той же ориентации одним
и тем же множителем t. Вынося тогда, согласно свойству VI, общий мно-
множитель t за знак детерминанта, мы получим детерминант, у которого два
сечения (простые) одной и той же ориентации одинаковы и к которому,
следовательно, применимо свойство V.
Следствие. Гипердетерминант, у которого два сечения (простые)
одной и той же ориентации пропорциональны, равен нулю.
Замечание 2.1. Свойство V, а также свойство I являются, очевидно,
частными случаями свойства VII.
2. До сих пор мы рассматривали многомерные детерминанты с одно-
одночленными элементами. Обратимся теперь к рассмотрению многомерных де-
детерминантов с многочленными элементами и установим принцип разложе-
разложения их на сумму детерминантов, элементы которых являются одночленами.
Свойство VIII. Если в р-мерном детерминанте п-го порядка каж-
каждый элемент некоторого сечения (простого) какой-нибудь ориентации,
например \-го A5v< n) сечения ориентации (ij), представлен в виде
алгебраической суммы некоторого числа h слагаемых, т. е.
то этот детерминант равен сумме h косигнатурных детерминантов,
у которых все сечения ориентации (ix), кроме v-го, такие же, как и в дан-
данном детерминанте, а \-е сечение в ц-м A f^ \i tTJ h) детерминанте состоит
из элементов A^lw 4(v)
4

30 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. X
Действительно, при упомянутом выше условии член /^-мерного детер-
детерминанта п-го порядка
( - if Анп,_ ла, А2.юш # Ат ... \{(v)_ _ _ .(v) • • • А»<2Ш. • .i?"'
где дополнительный множитель (— 1)N определяется сигнатурой детерми-
детерминанта, можно представить в виде
h
т. е. в виде алгебраической суммы h членов косигнатурных детерминантов,.
получающихся из данного заменой каждого элемента A (V> .(V) в v-м се-
чении ориентации (ij) элементом
А(% .м (ц=1, 2, ...,/г).
Vl2 -..lp
Составляя эти суммы для каждого из (д!)" членов данного детерми-
детерминанта и собирая вместе их \х-е слагаемые, мы получим, очевидно, \х-& косиг-
натхрный детерминант, отличающийся от данного лишь тем, что в v-м се-
сечении ориентации (it) вместо элементов A (V) .(\>) стоят элементы
¦А^м (v)- Полагая ц последовательно равным 1, 2, ..., h, получим h
косигнатурных детерминантов, сумма которых будет равна данному детер-
детерминанту .
Будем говорить, что v-e (lsSvgrc) сечение (простое) какой-нибудь-
ориентации в многомерном детерминанте п-го порядка есть линейная
комбинация его остальных сечений той же ориентации, если для вся-
всякого \i-ro (|Д. = 1, 2,..., V —1, v + 1, ... п) из этих сечений можно^
указать такое число t^, что, умножая и.-е сечение на t^, а затем складывая
все сечения, кроме v-ro, мы получим v-e сечение (умножение сечения на
какое-нибудь число надо понимать как умножение всех его элементов на
это число^ а сложение сечений одной и той же ориентации — как сложение
соответственных элементов этих сечений). Некоторые из множителей t^
могут быть равными нулю, т. е. v-e сечение фактически будет линейной ком-
комбинацией не всех и —1 оставшихся сечений, а лишь некоторых из них.
В частности, если только один из множителей t^ не равен нулю, мы имеем
случай пропорциональности двух сечений. Наконец, если сечение состоит
целиком из нулей, то оно всегда будет линейной комбинацией остальных
сечений, — случай, когда все множители t^ равны нулю. Первому из этих
частных случаев соответствует свойство VII, обобщением которого являете»
Свойство IX. Если одно из сечений {простых) какой-нибудь ориен-
ориентации в многомерном детерминанте есть линейная комбинация его других
сечений той же ориентации, то детерминант будет равен нулю, если
ориентация — альтернативная, и не будет необходимо равным нулю, если
ориентация — неальтернативная.
В самом деле, пусть в рассматриваемом многомерном детерминанте-
п-го норядка некоторое сечение (простое) какой-нибудь ориентации, напри-
например v-e (l:gv^jra) сечение ориентации (г^), есть линейная комбинация h
других сечений той же ориентации. Тогда каждый элемент этого сечения
будет алгебраической суммой h слагаемых, а потому, на основании свой-
свойства VIII, детерминант может быть представлен в виде суммы h косигна-
косигнатурных детерминантов, в каждом из которых v-e сечение ориентации (i^
будет пропорционально одному из остальных сечений той же ориентации.

§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕТЕРМИНАНТОВ 31
По свойству VII все эти детерминанты равны нулю, если ориентация (ij) —
альтернативная. В этом случае равен нулю, следовательно, и рассматри-
рассматриваемый детерминант. Последний, очевидно, не будет необходимо равным
нулю, если ориентация (гх) — неальтернативная.
Следствие. Гипердетерминант равен нулю, если одно из его сече-
сечений {простых) какой-либо ориентации есть линейная комбинация других
сечений той же ориентации.
Следующее свойство, указанное Гегенбауером [84], является обобщением
теоремы Якоби, относящейся к обычным детерминантам.
Свойство X. Если в многомерном детерминанте к некоторому
сечению {простому) какой-нибудь ориентации прибавляется другое сечение
той же ориентации, умноженное на какое-либо число, то детерминант
не меняется, если ориентация —альтернативная, и, вообще говоря, меняет-
меняется, если ориентация —неальтернативная.
Действительно, пусть в данном многомерном детерминанте к некоторо-
некоторому сечению какой-нибудь ориентации, например {it), прибавляется другое
сечение той же ориентации, умноженное на какое-либо число. Тогда по
свойству VIII детерминант делается равным сумме двух косигнатурных
детерминантов. Один из них есть данный детерминант, а другой содержит
два пропорциональных сечения ориентации {гг) и согласно свойству VII
будет равен нулю, если ориентация (ij) — альтернативная. Последнего за-
заключения, однако, нельзя сделать в силу того же свойства VII, если
ориентация (?,) — неальтернативная.
Следствие. Гипердетерминант не меняется, если к одному из его
сечений {простых) какой-нибудь ориентации прибавляется другое сечение
той же ориентации, умноженное на какое-либо число.
Упражнения
1. Пусть матрица А' = \\А^ г ||— транспонированная относительно матрицы
A — \\A1t 1 II соответственно подстановке S= (ll '2 •••lP V Тогда детерминант
V.--V Vi \\J
± + +
матрицы Л с сигнатурой (I ... i i ... i ) равен детерминанту матрицы А
1 т m+i p
± ± + +
с сигнатурой (ip ... г'р г'р ... i^ ), где т—любое четное число, не превышающее р,
/а, ... а„, а,п.ч ...аиЛ/12--.РЛ
a ( а по о )и( ) — лишь разные записи одной и той же
ЧН1 • • • Pm Pm + i • • • Рр У V Vj V2 . . . vp / r
подстановки р-к степени, иначе говоря, любой детерминант матрицы А с той или
иной сигнатурой а равен детерминанту матрицы А' с сигнатурой, получающейся из о
с помощью подстановки S. Доказать.
2. Непосредственным вычислением проверить, что:
ijft г 3 к ijft ijft
Ul — i a(*< i) i i л ! — i /<(*>') i •
j-^l-j- 12 I +:t -ь 12' I -(-±dr 2 ' ±+± 2l
ijft i i к i з к г 3 ft
1 J i 3 ft ijft
i_ = I a(*< M) |2, M± ,., |2 = | Л^1,4 |2 = | AfS'* |2.
^ ;±1 f±± ± + +± .+ + ::
г ] ft г 3 к i j k i j ft i 3 ft i i ft
3. Дать иллюстрацию свойств III и IV многомерных детерминантов, переставляя-
параллельные сечения в детерминанте |Л_|_±± |2.
гз к

32
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. Г
4. Вычислить все кодетсрмйнанты матрицы
Ащ Ац2
5. Кодетсрминанты матрицы
А2и А2
.(к)
представить в виде суммы косигнатурных детерминантов с одночленными элементами.
6. Дать иллюстрацию свойства X многомерных детерминантов, составляя косиг-
натурные детерминанты матриц
— (О
л
^211 ^212
-^221 -^222
4
121 "Т" '-^2
2 ~Г ^А222
¦ (*•)
(»¦)
7. Будем называть элемент кубического детерминанта четным или нечетным
относительно какой-либо пары его индексов в зависимости от того, будет ли сумма
этих индексов четной или нечетной. Доказать, что кубический детерминант п-го по-
порядка не меняется от перемены знаков у всех его элементов, нечетных относительно
одной какой-нибудь пары индексов, и что этот же детерминант от перемены знаков
у всех его элементов, четных относительно одной какой-нибудь пары индексов, также
пе меняется, если л—четное, и лишь меняет знак, если п—нечетное (Гаврилович [83]).
8. Если кубическая матрица IMijftH—симметрическая относительно индексов
i, /', то | А • ,t± | = |^4±^.:jl |. Доказать.
i j к ij к
9. Если кубическая матрица л-го порядка ЦЛ^ьН — кососимметричсская относи-
относительно индексов i, /, то |/4j.±±l=( — 1)п\А±,^\. Доказать.
i 3 к Ц к
10. Показать, что |Л^.±± [ = |vl+_j_± | = M-j-j.л. \> если матрица ЦЛ^Ц— еиммет-
i 3 к i j к г з к
рическая.
11. Показать, что кубический детерминант и-го порядка может быть представлен
в виде суммы п косигнатурных детерминантов того же порядка, отличающихся от дан-
данного детерминанта и между собой лишь элементами какого-нибудь сечения, которое
в каждом из слагаемых детерминантов состоит из нулей, за исключением одной его
строки одного какого-нибудь направления, причем эти п ненулевых строк являются
различными строками того же направления в соответствующем сечении данного детер-
детерминанта. Обобщить на случай детерминанта любого числа измерений.
12. Если р-мерная матрица ||^,- .• I!—симметрическая, то все ее детерминанты
12' ' р
одного и того же рода т, где т—любое четное число, не превышающее р, одинаковы.
Доказать.
13. Сколько различных детерминантов может быть у симметрической /ьморной
матрицы?
14. Доказать, что все детерминанты кососиметричоской пространственной матрицы
нечетного порядка равны нулю.
15. Если каждый элемент многомерного детерминанта п-го порядка представляет-
представляется в виде алгебраической суммы h одночленов, то этот детерминант равен сумме 1гп
косигнатурных детерминантов и-ro порядка с одночленными элементами. Доказать.
(Случай кубического детерминанта рассматривался Гашпаром [78].)
16. Свойство X многомерных детерминантов распространить на случай, когда
к некоторому сечению (простому) какой-нибудь ориентации прибавляется любая линей-
линейная комбинация других сечений той же ориентации.
§ 3. Разложение детерминантов пространственной матрицы
1. Вычисление детерминантов пространственной матрицы, если не-
непосредственно применять их определение, становится по мере возрастания
порядка матрицы все более и более громоздким. Существуют более простыв
методы вычисления многомерных детерминантов, основанные на выражении
их через детерминанты низшего числа измерений или через детерминанты
низшего порядка.

§ 3J
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
33
Рассмотрим сперва случай понижения числа измерений многомерных
детерминантов, в первую очередь кубических.
Возьмем в кубической матрице п-то порядка
A = \\Aijh\\ (i, /, к = 1, 2, ...,п)
одно из га! двумерных трансверсальных сечений, соответствующих направ-
направлению (к):
Лгш1п
'n
Alm)nl Ai"vn2 • • ¦ Aim'n
C.1)
где
i<l\ i<2>, ..., i<n> C.2)
— некоторая'перестановка из чисел 1, 2, ..., га. В элементах квадратной
матрицы га-го порядка C.1) каждую пару первых двух индексов
t(v); v (v= 1, 2, . . ., га) будем рассматривать как один двукратный индекс
t<v>v. Обозначая детерминант этой матрицы через |Л.+±|, имеем:
C.3)
где
Л*Ч /сB>, ..., /<:("¦> C.4)
— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ..., га, a /fe—число инверсий
в ней, и суммирование распространено на все га! перестановок C.4). Со-
Составляя детерминанты вида C.3) для всех га! перестановок C.2) и беря их
сумму, получим согласно определению детерминант j^_>-±±| матрицы А.
г 3 ft
Таким образом, имеем разложение кубического детерминанта /1-го порядка
j /!.(. ± | на сумму п\ обычных детерминантов, порождаемых матрицами
г 3 k
вида C.1):
] Л I V Л (Г> ?\
1 -f-ii I —' / ii ' V /
г j к г j ft
Точно так же, беря в матрице А одно из га! двумерных трансвсрсаль-
сечений, соответствующих направлению (/):
C.6)
im>2n • • ' Ai"»nn
п рассматривая в элементах квадратной матрицы и-ro порядка C.6) каж-
каждую пару крайних индексов г'М, v (v = 1, 2, . . ., га) как один двукратный
индекс i^v, составим детерминант этой матрицы
i)h '
где
3 Н. П. Соколов
/d), /B), ..„/
(«>
C.7)
C.8)

34
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
— некоторая перестановка из чисел 1, 2, ...,/г, а /,- — число инверсий
в ней, и суммирование распространено на все тг! перестановок C.8).
Сумма тг! детерминантов вида C.7), соответствующих всем перестановкам
C.2), снова дает детерминант | A+J ± I матрицы А. Таким образом, имеем
г з к
другое разложение кубического детерминанта /г-го порядка ] -4+± _ | на сум-
i 3 к
му п\ обычных детерминантов, порождаемых матрицами вида C.6):
\А+..,\=У\А ±±|. C.9)
i 3 к г 3 к
Возьмем, наконец, в матрице А одно из п\ двумерных трансверсальных
сечений, соответствующих направлению (г):
Ai3ah
zlij<2V2)
12;'1V1'
¦ ¦ - АпР>к11>
¦ ¦ ¦ Au<2v2)
1
°
C.10)
Рассматривая каждую пару последних двух индексов /W, k^ (v = 1, 2, .
в элементах квадратной матрицы C.10) как один двукратный индекс (
составим ее перманент
..,«)
\
где суммирование распространено иа все п\ перестановок C.4) или C.8).
/.--Mi,
Алгебраическая сумма выражений (— 1) ' ' | А+ + |, распространенная на
аи.
все п\ двумерных траысверсальных сечений, соответствующих направле-
направлению (г), очевидно, дает детерминант \А+,. .. |. Имеем, таким образом, разло-
i j к
i j к
j
жеиие кубического детерминанта тг-го порядка j A+±± j на алгебраическую
i ) h
сумму перманентов, порождаемых матрицами вида C.10),
г j к
iik
C.11)
Кубические детерминанты тг-го порядка |А4_+Ь| и |А1;ф+| разлагаются
iik ijк
на суммы обычных детерминантов и на алгебраические суммы обычных
перманентов по формулам, аналогичным C.5), C.9) и C.11).
Итак, каждый из детерминантов |Л+±±|, |^4j^±|, |Al±+| кубической
ilk i j k i j h
матрицы и-го порядка А может быть представлен в виде суммы п\ обычных
детерминантов, порождаемых трансверсальными сечениями, соответствую-
соответствующими любому пз альтернативных направлений, или в виде алгебраической
суммы п\ обычных перманентов, порождаемых трансверсальными сечениями,
соответствующими неальтернативному направлению.
Перманент | Al-|_+ I матрицы А разлагается на сумму тг! обычных пер-
i 3 к
манентов, порождаемых трансверсальными сечениями, соответствующими
любому из направлений (г), (/), (А). Имеем, следовательно,
+++
i j к
i ; к
C.12)

3]
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
За
Для детерминантов кубической матрицы 2-го порядка находим соглас-
согласно предыдущим формулам следующие разложения:
л+±
и»
2
=
1 л±±+
i j ft
2 ~
(-
Л |
Л+++
i ;/t
/
ЛП1
Л21
Л„
^Ш
All
Л221
Лщ
А„ „
Л in
-)
Лщ
Л 221
-)
Л221
_\
-)
^122
Л,12
Л22„
Л2и
л222
Л112
Л222
А
П22
лиГ
<-
л222
Л2ц
-Л222
1
—1—
1
-) ('
-f
-)(-
^211
л121
-)
Лцг
А\а
Л121
Л2ц
^211
Лцо
Л 112
Л121
Л121
Л2ц
-) (И")
"/ ("
Л2ц
А1"\
)
Лцг
А121
Л 212
л122
Л212
Л 221
Л122
л21.^
у*221
А12О
221
(-]-
212 !
л122
-С
Л 221
-4Ш
Л 212
Лц1
Л122
Лщ
л
212
(+)
Лш
Л212
Л121
Л 222
4-
Лои
/1222
-^121
Л222
1
(+) ("
л121
Л222
J
1
А Лоо !
Л112 ^122
А Л
-iiioi 21
ЛП2 -4212
Л2ц Л.,п
f) Н
Ачп Ачл\
ЛП2 Лш
2. Обращаясь теперь к /^-мерной матрице иго порядка А, напишем ее
в виде
2
1
Будем рассматривать какие-нибудь т индексов, например, первые т индек-
индексов iu ..., ir, j\, ..., /s, /j, в элементах матрицы (ЗЛЗ) как один
те-кратный индекс i1 ... ir/\ ... jjl и обозначим через
л.
-!•¦¦
C.14)
одну из (jt? —/и-|-1)-мерных матриц n-го порядка, которые предстарляют
{п\)т~х трансверсалы;ых сечений р — т~-1 измерений матрицы C.13), соот-
соответствующих ориентации (г1 . . . irj\ .. . /j't). Каждая из (n!)TJ~m трансвср-
салей матрицы C.14) является также трансверсалыо матрицы C.13),
и трансверсалямн (/г!)'" матриц шща C.14) исчерпывается совокупность
всех трансверсалей матрицы C.13). Из упомянутых выше т индексов
в элементах матрицы C.13) какие-нибудь г (Q^r^lm) индексов, например
г'1? ..., ir, —будем предполагать иеальтернатлвиыми, а остальные t @ :-:11 'S, т)
индексов ]\, ¦ . ., /s, /( — альтернативными. Рассмотрим /з-мерный детерми-
детерминант и-го порядка
|, C.15)
h ¦ • •
3sh
sh
где многоточием в конце заменена остальная часть сигнатуры, относящаяся
к индексам klt ..., ки. Будем различать два случая соответственно чет-
четности числа t.

36
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
В первом случае, когда t — нечетное, положим в элементах матрицы
C.14) /и-кратный индекс ix ... ir/\ ... /„/,, альтернативным по одпому
какому-либо из индексов /,, .. ., /3, /t, например по индексу /,, и составим
(р — т-\- 1)-мерный детерминант n-го порядка
\А ± ...|, C.16)
где многоточием в конце заменена остальная часть сигнатуры, ничем не
отличающаяся от той части сигнатуры детерминанта C.15), которая отно-
относится к индексам кг, ..., ки. Тогда детерминант C.15), очевидно, может
быть разложен на алгебраическую сумму (и!) (р — т -J- 1)-мерных детер-
детерминантов вида C.16)
s h
±
где /р, —число инверсий в перестановке /jj°, /|f', ¦••> /Jtn>, образуемой значениями
индекса /ц в элементах каждого члена детерминанта C.16), которые могут
быть взяты в такой последовательности, чтобы значения индекса /( шли
в натуральном порядке.
Во втором случае, когда t — четное (в частности, 0), положим в эле-
элементах матрицы C.14) m-кратный индекс ix ... irj\ ... ft неальтернатив-
неальтернативным и составим (р — т -\- 1)-мерный детерминант (в частности, перманент,
если все индексы kt, ..., ки — неальтернативиые) 7г-го порядка
\А + ...I, C.18)
где, как и в детерминанте C.16), многоточием в конце заменена остальная
часть сигнатуры, тождественная с частью сигнатуры детерминанта C.15), от-
относящейся к индексам klt . .., ки. Тогда получим разложение детерминанта
C.15) на алгебраическзгю сумму (и!) (р — т-\- 1)-мерных детерминантов
(в частности, перманентов) вида C.18)
i,... *A • - ¦ >»
Последняя формула, если 1 = 0 и все индексы А1? ..., ки — неальтернатив-
(+) (+)
ные, дает разложение р-мерного перманента тг-го порядка \А\ на сумму
(и!)™'1 (р — т -\- 1)-мерных перманентов того же порядка:
C.20)
+
- • • у 1 • • • к
Повторными разложениями детерминантов (в частности, перманентов),
фигурирующих в предыдущих формулах, детерминант р измерений можно
представить в виде алгебраической суммы косигнатурных детерминантов
меньшего числа измерений q. При этом сигнатура слагаемых детерминан-
детерминантов определяется в зависимости от того, каким образом р индексов в дан-
данном детерминанте распределены на д групп, представляющих индексы
(простые или кратные) в ^г-мерных детерминантах. Именно, каждый из д

5 3]
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
37
индексов будет нсальтернативным, если ои вовсе не содержит альтернатив-
альтернативных в данном детерминанте индексов или содержит четное число их (фор-
(формулы C.20), C.19)); если же он содержит нечетное число таких индексов,
то он будет альтернативным по одному какому-нибудь из них (формула
C.17)). В частности, каждый многомерный детерминант с той или иной
сигнатурой разлагается, притом различными способами, на алгебраическую
сумму обычных детерминантов или перманентов. Такое разложение согласно
терминологии Раиса [203] называется полным. Оно было отмечено еще
Кэли [52], рассматривавшим многомерные детерминанты как «функции, при-
приводимые к сумме обычных детерминантов».
Для иллюстрации указанного выше способа понижения числа измерений
многомерных детерминантов при их вычислении приведем разложения четы-
четырехмерного гипердетерминапта 2-го порядка:
a) Mt±±±|2=Z(-l/lK2M
+±
A-
¦"
-"
2221 °°22
б) \А
±±±|2=
(h)
Л ±..\2:
-111 "''ill 2 '"М211
А,,,, Л
в) \А.
M_1U ЛЩ2
to,,,, Л„»„
2121 Jl2122
-'lau
-i2m
A12il A
1222
I
(h)
(h)
%1 ^2112
\ 4
! '4221 ^1222
А
(т)
\А
и a ^2jn
lii ^22
(:-) (+)
¦1112 ^12
21
Л
1212
3. Пользуясь приведенными в п. 1 разложениями детерминаптов куби-
кубической матрицы, обладающих той или иной сигнатурой, докажем следующие
теоремы, легко обобщающиеся на случай матрицы любого числа измерений
(упражнения 4, 5, 7).
Теорема 3.1. Детерминант кубической матрицы п-го порядка
\\Aijk\\, у которого все сечения неалътернатисной ориентации одинаковы,
равен умноженному па п\ обычному детерминанту (или перманенту, если
данный детерминант имеет сигнатуру {i j It)) п-го порядка, соответствую-
соответствующему этим одинаковым сечениям.
Действительно, если в одном из детерминантов кубической матрицы
га-го порядка ||Ли-(,||, например в детерминанте |Л_|.±+|, все п сечешы
'г 3 ~h
ориентации (г) одинаковы, то в силу разложения C.5) имеем:
Аш Аи„ ... А1
Л А \
Ч-±± I
г 3 и
Л12п
А А
li\n\ -
...А,

38 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ ¦ [ГЛ. I
Теорема 3.2. Кубический детерминант равен нулю, если все его
строки одного из альтернативных направлений, содержащиеся в двух каких-
нибудь сечениях одной и той же ориентации, кратны одной из этих строк
(Гедрик [98]).
В самом деле, пусть в кубическом детерминанте тг-го порядка с какими-
нибудь двумя альтернативными индексами, например в детерминанте |Л+±± |,
i j h
все строкп одного из альтернативных направлений, например (к), содержа-
содержащиеся в двух каких-нибудь сечениях ориентации (г) или (/), кратны одной
из этих строк. Тогда каждый из п\ обычных детерминантов \А ±±|, входя-
lih
тих в разложение C.5) рассматриваемого кубического детерминанта, будет
рапсн нулю, так как две строки его матрицы вида C.1) пропорциональны.
Следовательно, | А+±+ | = 0.
i j к
4. Переходя к вопросу о вычислении многомерных детерминантов, осно-
основанном на выражении их через детерминанты низшего порядка, мы будем
рассматривать главным образом кубические детерминанты. Вводимые при
этом понятия и получаемые результаты легко распространяются на детер-
детерминанты любого числа измерений (упражнения 11, 12, 14).
Выделим и кубической матрице тг-го порядка
А = \\Ат\\ (i, f, к = 1, 2 п)
какие-нибудь v сечений ориентации (г), v сечений ориентации (/) и v сече-
шш ориентации (к) соответственно с номерами
идущими в возрастающем порядке, причем 1 Ci v jS га. Общие всем выделен-
выделенным сечепиям элементы, число которых равно v3, образуют минорную куби-
кубическую матрицу порядка v.
Каждый элемент матрицы А является, таким образом, минорной матри-
матрицей 1-го порядка, а сама матрица /1 — минорной матрицей га-го порядка.
Детерминант минорной матрицы v-ro порядка с той или иной сигнатурой
называется минором v-го порядка косигнатурного детерминанта основной
матрицы А. Можно сказать также, что минор порядка v данного кубиче-
кубического детерминанта га-го порядка с той или иной сигнатурой есть косигна-
турный детерминант, получающийся после вычеркивания в данном детерми-
детерминанте по п — v сечений каждой ориентации. В частности, вычеркивая
в кубическом детерминанте га-го порядка по одному сечению каждой ориен-
ориентации, получим минор (п— 1)-го порядка; с другой стороны, минором
1-го порядка будет отдельный элемент детерминанта. Минором га-го порядка
является сам детерминант. Кубический детерминант п-го порядка имеет,
очевидно, {СХK миноров порядка v или га —v.
Пусть М — какой-нибудь минор порядка v данного кубического детер-
детерминанта п-го порядка с той или иной сигнатурой. Если мы вычеркнем
в последнем те сечения ориентации (г), (/), (к), которые содержат элементы
минора М, то получим минор (п — v)-ro порядка М', называемый дополни-
дополнительным минором для М. Если мы вычеркнем, наоборот, те сечения ориен-
ориентации (i), (/), (к), в которых расположены элементы минора М', то оста-
останется, очевидно, минор М. Таким образом, М и М' составляют пару взаимно
дополнительных миноров данного детерминанта. В частности, элемент ^4apv
данного детерминанта и минор (га—1)-го порядка, получающийся вычерки-
вычеркиванием в детерминанте сечений ориентации (i), (/), (к) соответственно

S 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ 39
с номерами а, р\ у, будут составлять пару взаимно дополнительных
миноров.
Если элементы минора v-ro порядка М детерминанта |^4-±j \n содер-
»' i к
жатся в сечениях ориентации (/) с номерами f^\ /B\ ..., /М и в сече-
сечениях ориентации (/с) с номерами к^\ к<-2\ ..., Mv\ a M' есть минор, до-
дополнительный для М, то выражение
Ш = еМ', C.21)
где
е ^ (_ lf1'+Ji2)+--.J,-jW+ft(i)+ft(«)+...+ft(v)
называется алгебраическим дополнением минора Л/.
Аналогично определяются алгебраические дополнения миноров детерми-
детерминантов |.4 +± \п и j/l±, + L- Алгебраическое дополнение минора v-ro по-
i j k i 1 h
рядка М перманента 14+++ \п совпадает с дополнительным для М мино-
i j k
ром М'.
В частности, алгебраическим дополнением элемента Аа$у в детерминанте
| А+± -l |„ будет выражение
г j h
ИаРу=(-1)Р'^ару. C-22)
где МapY — дополнительный минор для Аа$у в этом детерминанте.
Подобным же образом выражаются алгебраические дополнения элемента
-^apv в Детерминантах | А±^^ \п и | А ¦ :1л. \п. Алгебраическое дополнение эле-
i 3 h i j h
мента Аа$у в перманенте | ^4+++ |п совпадает с дополнительным минором для
i j h
Аару и этом перманенте.
Распространяя введенные нами понятия на /?-мерную матрицу п-го
порядка
^• = IHiii2...ip|l (i1; i2, ..., гр = 1, 2, ..., п)
и ее детерминанты, выделим в этой матрице по v A -= v ;:^ п) каких-нибудь
сечений каждой из ориентации (ij), (г), ..., (ip). Тогда общие всем выде-
выделенным сечениям элементы, число которых равно vp, образуют минорную
р-мерную матрицу порядка, v. Ее детерминант с той или иной сигнатурой
называется минором v-го порядка косигнатурного детерминанта основной
матрицы А (Таннер [221]). Дополнительный минор и алгебраическое допол-
дополнение для минора v-ro порядка какого-либо из детерминантов матрицы А
определяются так же, как и в случае кубической матрицы.
5. Докажем следующую лемму, необходимую для вывода формул раз-
разложения любого из детерм нантов кубической матрицы по какому-нибудь
его сечению.
Лемма 3.1. Алгебраическая сумма всех членов кубического детерми-
детерминанта, содержащих какой-нибудь его элемент, равна произведению этого
элемента па его алгебраическое дополнение.
Доказательство проведем для одного из кубических кодетерминантов,
например для детерминанта |Л_Ь^. |п.
г 3 h
») Если /<v+1), /(v!2), .... /СП) и /с^+Ч &<v+2\ ..., /с<")-номера сечений ориен-
ориентации (/) и (А-), в которых содержатся элементы минора М'. то '1> '2) (^
(ОB) ()<+1>+2) (+l
Следовательно, имеем также е —( —1)J

40 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ.
Рассмотрим сначала члены этого детерминанта, содержащие главный
элемент Ап1. Возьмем один из них
irl-ife .
где /,-, Ik — числа инверсий в перестановках
-I .•«> Jim
1, /с'2', ..., кт>,
а следовательно, и в перестановках
&«', . .., к(п>.
Поэтому произведение
является одним из [(я —I)!]2 членов минора М1П, дополнительного для эле-
элемента Ап1. Наоборот, произведение любого члена разложения минора М1и
на А1П является членом детерминанта. Таким образом, алгебраическая
сумма всех членов детерминанта |^l+±±lrn содержащих элемент Ап1, равна
г }' к
произведению А1ПМ1П. При этом минор Мп1 будет, очевидно, также алге-
алгебраическим дополнением элемента А1П.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Пусть ^1ару — какой-
нибудь элемент детерминанта А+±.,\п, Ма$у — дополнительный для него
г 3 к
минор и ltapY — алгебраическое дополнение. Переставляя в детерминанте
М-(-±±|п последовательно соседние сечения ориентации (i), (/), (к), мы
I ) h
можем перевести элемент Аа$у на место главного элемента Ап1. Для этого
понадобится, очевидно, a — 1 перестановок сечений ориентации (i), $ — 1
перестановок сечений ориентации (/) и -у — 1 перестановок сечепий ориента-
ориентации (к). Так как по свойству III многомерных детерминантов | А+±л. \п не
г j h
меняется от перестановок сечений ориентации (i) и лишь меняет знак от
перестановки двух сечепий ориентации (/) или (к), то полученный в резуль-
результате упомянутых выше преобразований косигнатурный детерминант будет
равен ( — 1)"+v | A+.i. ± \п. В нем, по доказанному, алгебраическая сумма всех
членов, содержащих элемент Аа$у, равна произведению Аа$уМа$у. Поэтому
и исходном детерминанте |Л+±±1п алгебраическая сумма всех членов, содер-
i } и
жащих элемент Аа$у, равна ( — 1) уАа$уМару или, на основании равенства
C.22),
^kBy ctfiY' [О.&О)
т. е. равна произведению элемента .4agY на его алгебраическое дополне-
дополнение UapY.
Доказательство леммы для остальных кубических кодетерминантов ана-
аналогично.
Из леммы 3.1 вытекают формулы разложения любого из детерминантов
кубической матрицы по какому-нибудь его сечению.
Действительно, так как элемент /lagY кубического детерминанта при-
принадлежит сечениям ориентации (i), (/), (Л) соответственно с номерами а, р\
у, то, составляя выражения C.23) для всех м2 элементов какого-либо из этих
сечений и складывая их, мы будем иметь сумму всех (и!J членов детерми-
детерминанта |Af±±ln- Таким образом, получаем следующие разложения этого
i 3 к

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ 41
детерминанта по любому его сечению каждой из ориентации (г), (/), (к):
п
\А+±±]п= 2 ^afiyVLady (а —любое из чисел 1, 2, . .., п),
п
|A-t-±>.|n= ^ .laPYUapY (Р —любое из чисел 1, 2, ..., п),
ilk a, 7=1
п
\A+ir±\n= ]>] Aa$yUa$y (у — любое из чисел 1, 2, ..., п).
г '} h a, 3=1
Аналогичные разложения имеют место для остальных кубических кодетер-
минантов:
I^±+±L M±i-+ln' И+-н-1п-
i jk i jh i jк
Тем самым доказана соответствующая теореме Безу для обычных детерми-
детерминантов
Теорема 3.3. Любой из детерминантов кубической матрицы равен
сумме произведений всех элементов какого-нибудь его сечения на их алгебраи-
алгебраические дополнения.
Из теоремы 3.3 вытекает соответствующая теореме Вандермонда для
обычных детерминантов
Теорема 3.4. Если в кубическом детерминанте все элементы какого-
нибудь сечения альтернативной ориентации умножить на алгебраические
дополнения соответствующих элементов другого сечения той же ориента-
ориентации и полученные произведения сложить, то сумма будет равна пулю (Гар-
биери [77]).
В самом деле, если в кубическом детерминанте п-то порядка мы заме-
заменим (i-e сечение альтернативной ориентации v-м сечением той же ориента-
ориентации (v Ф \i; (i, v—1, 2, ...,п), то составленный таким образом косигнатур-
ный детерминант будет на основании свойства V многомерных детерминантов
равен нулю. С другой стороны, этот же детерминант согласно теореме 3.3
равен сумме произведений всех элементов упомянутого выше v-ro сечения
в исходном детерминанте на алгебраические дополнения соответствующих
элементов параллельного ему ц-го сечения и том же детерминанте. Таким
образом, рассматриваемая сумма равна нулю.
6. Обобщение теоремы 3.3 приводит к разложению любого детерминанта
кубической матрицы, соответствующем}' разложению обычного детерминанта,
указанному Лапласом. Чтобы убедится в этом, докажем предварительно
следующую лемму.
Лемма 3.2. Алгебраическая сумма членов кубического детерминанта,
содержащих в своей совокупности все члены двух каких-нибудь взаимно до-
дополнительных миноров этого детерминанта, равна произведению одного из
них на его алгебраическое дополнение.
Доказательство проведем для одного из кубических кодетерминантов,
например, для детерминанта ]^4+±-ь| ¦ Рассмотрим сначала частный случай,
г j h n
когда минор v-ro A ¦"'!• v ¦¦-"• re — 1) порядка At этого детерминанта располо-
расположен в сечениях ориентации (i) с номерами 1, 2, ..., v и в сечениях ориен-
ориентации (/), (к) с такими же номерами. Тогда дополнительный для М минор
М' будет расположен в сечениях ориентации (i), (/), (к) с одними и теми
же номерами v + 1, v + 2, ..., п и будет, следовательно, также алгебраи-
алгебраическим дополнением минора At.
Возьмем в детерминанте | А+ф± \ член
г 'к
+ф±
C.24)

42 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
где
/d), ...,/(v) и *<«>, .... A«v) C.25)
— некоторые перестановки из чисел 1, ...,v,
;W-J), . . ., /<»> и A;(v+D, . . ., AC) C.26)
— некоторые перестановки из чисел v + 1, .--,п, а /, и Ik — числа инвер-
инверсий в перестановках
/({\ ..., /М, /<v+1>, . . ., /<"> и к<», . .., к<У>, /f(v+D, . ..
Так как ни один из элементов перестановок C.25) не может составить ин-
инверсий ни с одним из элементов соответственных перестановок C.26), то
где I'j, /fe —числа инверсий в перестановках C.25), а /}, Гк — числа инвер-
инверсий в перестановках C.26). Следовательно, произведение C.24) может быть
представлено в виде
т. с. в виде произведения одного из (v!J членов минора М на один из
[{п — v)!]2 членов минора М'. Вместе с тем произведение любого члена минора М
на любой член минора М' является членом детерминанта. Таким образом,
алгебраическая сумма членов детерминанта | Л+±± | , которые содержат в
i з к п
своей совокупности все члены взаимно дополнительных миноров М и М',
равна произведению ММ'.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда минор v-ro по-
порядка М детерминанта ^^±±1 расположен в сечениях ориентации (i), (/),
i i к п
(к) соответственно с номерами
а17 а2, .... av,
Pi, Р2> • • •> Pv,
Yi. Y2> • • •. Yv,
идущими в возрастающем порядке.
Переставляя в детерминанте |^4+-.!--| последовательно соседние сечения
i j I: n
каждой из ориентации (г), (/), (к), мы можем перевести минор М в первые v
сечений всех ориентации, не меняя при этом дополнительного для М мино-
минора М'. Для этого понадобятся, очевидно,
(ах — 1) г (а2 — 2) -f- ... -j- (av — v) перестановок сечений ориентации (i),
(Pi — 1) +(Р2 —2) + ••• +(Pv~ v) перестановок сечений ориентации (/)
и (yj —-1) I- (y2 — 2) + ... +(Yv — v) перестановок сечений ориентации (к).
Полученный в результате этих перестановок косигнатурный детерминант
будет равен е|Л+ .; | , где
i j ft n
Б = ( — l)(Pl-1)+ ¦• +(Pv-v) + (Yl-l)+ ... +(Yv-v) _ / _ j\Pi-|- ... +Pv+Vl+ ••• +Vv
В этом новом детерминанте, по доказанному, алгебраическая сумма его чле-
членов, содержащих все члены миноров М и М', равна ММ'. Следовательно,
в исходном детерминанте |Лл_^±| алгебраическая сумма членов, содержа-
i j к п
щих в своей совокупности все члены миноров М и М', равна еММ' или

РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
43
па основании равенства C.21)
М<Ш, C.27)
т. е. равна произведению минора М на его алгебраическое дополнение Щ.
Доказательство леммы для остальных кубических кодетерминантов
аналогично.
Из леммы 3.2 вытекает правило разложения любого детерминанта куби-
кубической матрицы по заданной совокупности его сечений какой-либо ориен-
ориентации.
Действительно, так как минор v-ro порядка М расположен в v сече-
сечениях ориентации (г), а также в v сечениях ориентации (/) и в v сечениях
ориентации (к), то, составляя выражения C.27) для всех (С%J миноров
v-ro порядка, расположенных в какой-нибудь одной из этих групп сечений,
и складывая их, мы будем иметь сумму различных членов детерминанта
|Л^.±- | . Но число слагаемых в этой сумме равно
i ) к п
т. е. равно числу членов детерминанта | А±±± \ . Следовательно, она является
i i h n
точным представлением этого детерминанта.
Аналогичные представления получим для остальных кубических коде-
кодетерминантов
А
' Т
i } к п
\А.
i з h n i j к п
Тем самым доказана соответствующая теореме Лапласа для обычных
детерминантов
Теорема 3.5. Возьмем любой из детерминантов кубической матрицы
п-го порядка и выделим в нем произвольно v (I = v :=f! n — 1) сечений какой-
нибудь ориентации. Тогда сумма произведений всех миноров v-го порядка,
расположенных в этих сечениях, на их алгебраические дополнения будет
равна данному детерминанту.
Так, например, выделяя в нижеследующем кубическом детерминанте
4-го порядка первые два сечения ориентации (г) и составляя сумму произ-
произведений всех миноров 2-го порядка, расположенных в этих сечениях, на их
алгебраические дополнения, получаем:
1 in
120 0
Л1220 0
о
о
00
00
АП1 А„12 О О
Агп Л,22 О О
0 0 0 0
0 0 00
Лз,
*321
313
а323
^331 .132 -33 ^334
МП
А
¦131
421
431
" (Л)
Ни
Аи Л
А
212
А 4
-21 ^222
-*(*)
АчЗЗ ^334
i Л
^J3i3 ^311
А А I
414
1—
(к).
Заметим, что теорема 3.3 есть частный случай доказанной теоремы,
если в последней считать v = 1.
Из теоремы 3.5 вытекает соответствующая теореме Коши для обычных
детерминантов
Теорема 3.6. Если в кубическом детерминанте порядка п все мино-
миноры v-го порядка, расположенные в каких-нибудь v (l!v<ra—1) сечениях
альтернативной ориентации, умножить на алгебраические дополнения соот-

44 СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МАТРИЦЫ [ГЛ. I
ветствующих миноров, расположенных в других v сечениях^) той же ориен-
ориентации, и полученные произведения сложить, то сумма будет равна нулю
(Зайончковский [229]).
В самом деле, если в кубическом детерминанте и-го порядка мы заме-
заменим какие-нибудь v (I v.I v < /г — 1) сечений альтернативной ориентации дру-
другими v сечениями той же ориентации, отличающимися от первых хотя бы
одним сечением, то составленный таким образом косигнатурный детерминант
будет иметь по крайней мере два одинаковых сечения альтернативной ориен-
ориентации и потому, на основании свойства V многомерных детерминантов,
будет равен нулю. Но этот же детерминант согласно теореме 3.5 равен
сумме произведений всех миноров v-ro порядка исходного детерминанта,
расположенных в упомянутых выше заменяющих v сечениях, на алгебраи-
алгебраические дополнения в том же детерминанте соответствующих миноров, рас-
расположенных в заменяемых v сечениях. Таким образом, рассматриваемая
сумма равна нулю.
Заметим, что теорема 3.4 есть частный случай доказанной теоремы, если
в последней считать v = 1.
На основании теоремы 3.5 может быть доказана также следующая тео-
теорема2), являющаяся обобщением теоремы С. Л. Соболева3) для обычных детер-
детерминантов.
Теорема 3.7. Любой из двтерминйнтов кубической матрицы п-го
порядка \\Aijh\\ (i, /', k=l, 2, ..., п) равен нулю, если равны нулю все его
элементы, общие каким-нибудь а сечениям ориентации (г), р" сечениям ориен-
ориентации (/'), у сечениям ориентации (к), где а, Р, у имеют значения, заклю-
заключающиеся в ряде натуральных чисел 1, 2, ...,п и удовлетворяющие нера-
неравенству
«4-Р-1-у > 2/г. C.28)
При доказательстве мы можем, очевидно, не нарушая общности, пред-
предполагать, что упоминаемые в теореме сечения, содержащие нулевые элементы
кубического детерминанта ?г-го порядка, являются первыми а сечениями
ориентации (г), первыми |3 сечениями ориентации (/), первыми у сечениями
ориентации (к) и что
а'_'";' Р ""¦. у ""¦¦ п.
Очевидно также, что при условии C.28) сумма каждых двух из чисел а, р\ у
всегда больше, чем п.
Выделим в рассматриваемом детерминанте первые а сечений ориентации
(i) и покажем, что все его миноры порядка а, расположенные в этих сече-
сечениях, равны нулю. Тогда в силу теоремы 3.5 п сам детерминант будет ра-
равен нулю.
Прежде всего ясно, что равны нулю миноры порядка а, образуемые
элементами, общими первым {} сечениям ориентации (/) и первым у сече-
сечениям ориентации (к), поскольку все они состоят целиком из нулей. Точно
так же равны нулю миноры порядка а, содержащие элементы, общие пер-
первым р1 сечениям ориентации (/) и последним п - у сечениям ориентации (к)
пли первым у сечениям ориентации (к) н последним п — р4 сечениям ориен-
ориентации (/'), так как п — у и п— fi меньше, чем а, вследствие чего в этих
минорах по крайней мере одно сечение ориентации (к) или (/) состоит целиком
из нулей.
х) То есть в сечениях, из которых по крайпой мере одно отличается от упомлну-
тых выше v сечений.
2) См. [33], стр. 188.
3) См. [22], стр. 174.

a]
РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕТЕРМИНАНТОВ
45
Что касается миноров порядка а, содержащих элементы, общие послед-
последним и —р сечениям ориентации (/) и последним п — у сечениям ориентации
(к), то и они будут равны нулю.
Действительно, в каждый такой минор Да входят, кроме упомянутых
выше элементов, также нулевые элементы, общие р' сечениям из первых р
сечений ориентации (/) и у' сечениям из первых у сечений ориентации (к),
где числа Р', у' удовлетворяют неравенствам
аШ р" §а-(п — р),
Отсюда
и в силу неравенства C.28) имеем:
P'+Y'>a-
Пусть
C.29)
Тогда, выделяя в миноре Да те же Р' сечений ориентации (/), составим
из этих сечений миноры порядка Р', которые все будут равны нулю, так как
каждый из них вследствие неравенства Р' > а —у', вытекающего из неравен-
неравенства C.29), содержит по крайней мере одно сечение ориентации (к), состоящее
целиком из нулей. Следовательно, на основании теоремы 3.5 Да = 0.
К тому же результату придем путем аналогичных рассуждений в слу-
случае, если Р' > Y-
Упражнения
1. Вычислить все детерминанты кубической матрицы 3-го порядка ||^4t;h|| (i, j, k-=
= 1, 2, 3), выражая их: а) через обычные детерминанты и перманенты; б) через куОи-
ческие детерминанты 2-го порядка.
2. Для вычисления детерминантов кубической матрицы 3-го порядка существует
обобщенное правило Сарруса, указанное Гавриловичем [34]. Согласно этому правилу
образуем сжатую трехмерную матрицу, увеличивая в данной кубической матрице каждое
из трех сечений неальтернатпвной ориентации до 52 эломептов. В полученной матрице
выделяем главное диагональное сечение, соответствующее неальтернатпвному направле-
направлению, и четыре параллельных ему сечения, представляя их в виде пяти диумерных мат-
матриц, из которых берем со знаком -)- все 18 произведений каждых трех элементов,
принадлежащих диагоналям этих матриц. Точно так же поступаем с побочным диаго-
диагональным сечением и параллельными ему сечениями, боря в этом случае все 18 произ-
произведений со знаком — {-К если рассматривается перманент). Алгебраическая сумма состав-
составленных таким образом 36 произведений дает кубический детерминант с той или иной
сигнатурой.
Вычислить по этому правилу все детерминанты кубической матрицы 3-порядка
(О
¦ (*)
¦''ijh II =
1
3
2
2
0
1
0
2
3
0
2
1
1
1
0
2
0
4
•>
1
3
3
2
4
1
3
2
Г
3. Вычислить все детерминанты четырехмерной матрицы 2-го порядка
1
о
О
4
3
2
4
0
1
0
2
,)
1
1
5
4
3
(ч)
выражая их через детерминанты низшего числа измерений.
4. Если ^-мерный детерминант га-го порядка с неальтернативным индексом <а
(lees />) имеет все п сечений ориентации (ia) одинаковые, то он равен умноженному
на п\ детерминанту (р—1)-мерной матрицы, представляющей одинаковые сечения, причем

46
СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВЕ ПИОН МАТРИЦЫ
[ГЛ. I
сигнатура этого детерминанта одинакова с сигнатурой всех индексов данного детерми-
детерминанта, отличных от г,,1) .Доказать.
5. Если />-мерпый детерминант и-ro порядка с неальтернативнымп ипдексами ilt i2, ...
..., im A gmgp—2) имеет все пт то-кратных сечений ориентации (ij i2 ... im) оди-
одинаковые, то он равен умноженному на (п\)т (р— те)-мерному детерминанту, соответствую-
соответствующему одинаковым сечениям ориентации (г^ ... ст), причем сигнатура этого детерминан-
детерминанта одинакова с сигнатурой всех индексов данного детерминанта, отличных от г17 it, ..., im.
Доказать.
6. Показать, что кубические детерминанты 3-го порядка
аи аи aw
bu bu bw
си cv cw
аи
ptt
уи
av
р,
yv
aw
Рш
yw
* *
* *
* *
*
*
*
(О
аи av aw
аи av aw
bu bv to cu cv cii<
P« P» ри
yu yv Y^'
(*)
где знаками * обозначаются какие угодно элементы, равны нулю.
7. Доказать, что детерминант /j-мерной матрицы || А^ ;о ; || с неальтерпативыым
индексом г'а и альтернативным индексом in (а Ф р — любые из чисел 1, 2, ..., р) равен
нулю, если всо (р — 2)-мерныо сечения его ориентации (iai^), содержащиеся в двух каких-
нибудь (р—1)-мерных сечениях любой из ориентации (г'а), (г„), кратны одному из этих
(р—2)-мерных сечений.
8. Сколько миноров порядка v или п— v имеет /ьмерный детермииант n-го порядка?
9. Представить многомерный детерминант порядка ист и или шкш сигнатурой
в виде косигнатурного детерминанта порядка n-\-v (v ё 1).
10. Представить произведение двух косигнатурных кубических детерминантов поряд-
порядков nx и п., в виде косигнатурного кубического детерминанта порядка п-у^-п^. Распро-
Распространить на детерминанты любого числа измерений.
11. Распространить теоремы 3.3 — 3.6 на детерминанты /)-мерной (р > 3) матрицы.
12. Доказать, что любой из детерминантов /«-мерной матрицы я-го порядка
|| (i i i = l, 2, ..., n) равен нулю, если равны нулю все его эле-
элесечениям ориентации (ij), a2 сечениям ориентации
ip
Д
|| Ai i i || (iv i2,
менты, общин каким-нибудь
(ia)
ющиеся
ар сечениям ориентации (ip),
в ряде натуральных чисел
где аи а2, ..., ар имеют значения, заключа-
заключа1, 2, ..., п и удовлетворяющие неравенству
13. Разобьем в кубической матрице n-го порядка А п сечений некоторой ориента-
ориентации на q групп, выделяя в v-ю (v = l, 2, ..-,?) группу какие-нибудь nv сечений, так
что ^ nv = n.
v=l
Пусть Mv — какой-нибудь минор порядка »v какого-либо детерминанта матрицы А,
составленный из элементов v-й группы. Совокупность миноров ilf (v = l, 2, ...,?) будем
называть трансверсалъной, если ни одна пара их пе содержит элементов матрицы А,
принадлежащих одному и тому же сечению какой-либо ориентации.
Доказать, что, беря произведение миноров Д/,, М2, ..., Mq образующих некоторую
трансверсальную совокупность, со знаком того члена детерминанта, который содержит
диагональные элементы этих миноров, и составляя алгебраическую сумму таких произ-
произведений, распространенную на всо трапсверсальные совокупности миноров, расположен-
расположенных в q группах сечений, мы получим данный детерминант (обобщение теоремы 3. 5,
указанное Арменаптом [42]).
14. Распространить упражнение 13 на детерминанты любого числа измерений
(Брааш [47], Танцор [221], Занончковский [229], Гегенбауер [84]).
') Для многомерных детерминантов
еще Кэлп [52] и Цойфусу [230].
наивысшего рода это свойство было известно

ГЛАВА II
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
И ИХ ДЕТЕРМИНАНТАМИ
§ 1. Сложение пространственных матриц.
Умножение пространственной матрицы на число
1. Рассматривая основные операции над пространственными матрицами —
сложение матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц, —
мы будем определять их в зависимости от операций над ассоциированными
с этими матрицами полилинейными формами, заданными над некоторым
числовым полем Р.
Пусть даны две трилинейные формы
п in
^'= ?: Лг)кхгу,гк, F'= У A'wxtfjZb
г, 3, k=l г, }, /(=1
с соответствующими кубическими матрицами
Л = \\Ат\\ (i,j,k~l,2,...,n),
A' = \\A'iik\\ (i\/, А-=1, 2, ...,т).
Формы F и F\ зависящие от трех рядов переменных
*^l> 21 3' * * * *
тождественно равны друг другу, если у них число переменных в первом
ряду, так же как и во втором и в третьем рядах, одно и то же и соответ-
соответственные коэффициеиты одинаковы.
В связи с этим кубические матрицы А к А' называются тождественно
равными, если они одного и того же порядка и их соответственные эле-
элементы одинаковы, т. е. если п — т и Aijk = A\jh (i, j, k - 1, 2, ..., n).
Вообще, в соответствии с условиями тождественного равенства двух
р-линейных форм
/.'_ У -| . г*.')/2) г{'>>
зависящих от р рядов переменных
а$», ... (v=l, 2,

48 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
мы называем /ьмерные матрицы этих форм
тождественно равными, если они одного и того же порядка и их соответ-
соответственные элементы одинаковы, т. е. если п — т и
2. Сумма двух /г-линейных форм
*1.---.»р=1
с соответствующими /ьмерными матрицами тг-го порядка
A = §Ait л ||, В = \\Вц л || (ilt ia, ..., ip= 1, 2, ..., n)
равна р-линейной форме
п
где
Соответствующая форме W р-мерная матрица п-то порядка
С1 = II Г*• -II (i i 7 19 w^
элементы которой определяются формулами A.1), называется суммой матриц
А и В. Операция нахождения суммы двух данных /ьмерных матриц одною
и того же порядка называется сложением этих матриц. Имеем, таким обра-
образом, А-\-В = С.
Правило сложения двух пространственных матриц естественным образом
распространяется на случай любого числа слагаемых.
Из определения сложения пространственных матриц непосредственно
следует, что оно обладает коммутативным и ассоциативным свой-
свойствами:
где А, В, С—любые матрицы одного и того же числа измерений и одного
а того же порядка над полем Р.
Кроме того, принимая во внимание определение нулевой пространствен-
пространственной матрицы О (гл. I, § 1), имеем:
А+О = А.
п
3. Умножая /7-линейную форму F= У_ Ац ...j з^Чт^ ... х^
с соответствующей /ьмерной матрицей
а = \\аг1г„..лр\\ (h, h, • • ., ip= 1, 2, ...,»)

§ 1]
СЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
49
на какое-нибудь число t из поля Р, получим форму
ф=
р—
\ ¦¦¦ %.
где
В- i ¦ = tAi ¦ ¦ (i i i = 1, 2 ... /i).
Соответствующая форме Ф /ьмерная матрица гс-го порядка
A.2)
элементы которой определяются формулами A.2), называется произведением
матрицы А на число I.
Имеем, таким образом, tA= В. В частности, если t = 1 или t = 0, то
Из определения умножения пространственной матрицы на число выте-
вытекают следующие свойства этой операции:
(t + и) А = tA + uA,
t (uA) = (to) A,
где Л и i? — произвольные матрицы одного и того же числа измерений
и одного и того же порядка над полем Р, a t и к — числа из поля Р.
Первые два свойства связывают умножение пространственной матрицы
на число со сложением пространственных матриц. Вводя обозначение
(-1)А= -А,
будем иметь также на основании указанных выше свойств:
{-t)A= —tA,
-(А+Б)=*-А-В,
Вместо А -\- (—В) будем сокращенно писать А — В и называть это выраже-
выражение разностью матриц А и В.
Упражнения
1. Скольким равенствам между элементами двух кубических матриц re-го порядка
А я А' равносильно равенство А = А'?
2. Тот же вопрос относительно двух ^-мерных матриц га-го порядка.
3. Найти
а=1
О (-1)а
1 -а
О ( —1) а
г—(*).
(/¦)
4. Пусть А — сумма h кубических матриц re-го порядка
Аа\ Л'21, ..., Л"». A.3)
Возьмем детерминант | А | матрицы А с той или иной сигнатурой и косигнатурные детер-
детерминанты
И'1»!, U<2>|, ..., |Л"»| A.4)
4 Н. П. Соколов

50 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
матриц A.3). Составим какой-нибудь минор одного из детерминантов A.4), затем какой-
нибудь минор другого из этих детерминантов, лежащий в сечениях, отличающихся своим
положением в каждой ориентации от тех сечений, в которых лежит первый минор,
и будем продолжать этот процесс составления миноров различных детерминантов A.4)
до тех пор, пока сумма их порядков не сделается равной п. В результате получим
смешанную трансверсальную совокупность миноров детерминантов A.4).
Каждый из детерминантов A.4) относится к числу таких совокупностей.
Доказать, что, беря произведение миноров детерминантов A.4), образующих неко-
некоторую смешанную трансверсальную совокупность, со знаком того члена детерминанта | А ¦„
который содержит диагональные элементы этих миноров, и составляя алгебраическую
сумму таких произведений, распространенную на все смешанные трансвсфеальные сово-
совокупности миноров детерминантов A.4), мы получим детерминант \А\ (обобщение раз-
разложения Альбеджиани обычного детерминанта с многочленными элементами, указанное
Райсом [193]).
5. Прибавляя к каждому элементу кубической матрицы n-го порядка А по h — 1
нулей, мы можем рассматривать А как сумму h кубических матриц, каждая из которых
содержит, кроме нулей, также минорную матрицу относительно А. Применяя результат
упражнения 4, указать разложение любого из детерминантов матрицы А.
6. Распространить упражнения 4 и 5 на матрицы любого числа измерений.
7. Показать, что любой из детерминантов матрицы В, представляющей произведение
р-мерной матрицы гс-ro порядка А на число t, равен косигнатурному детерминанту мат-
матрицы А, умноженному на г™.
§ 2. Умножение двух пространственных матриц
п
1. Подвергнем трилинейную форму F — 2 АцъРШ^ъ. линейному пре-
t, j, /f=i
образованию
п
-у ^^ л V (\ 4 0 »,\ / О 4 ' \
с матрицей а = || ал» || (X, г =1,2, ..., п). В результате получим трилиней-
п
ную форму F' = ^] A'uhX^jZ^ где
i, i, ft=l
n
Aijk == j?j A^jkd^i. y&.L* )
Точно так же, подвергая форму F линейному преобразованию
п
3=1
или
п
„ Х^ п 7 (\ \ 9 и\ (О \'"\
ь\ — ?j ^hh'¦ k \ ^^ •*¦' ' • • * » ^/ \^*х )
с той же матрицей а, как у преобразования B.1'), получим соответственно
п п
трилинейную форму F" = 2 AljkxiYjzk или F'" = ^ А^хху}Хк, где
i, j,fc=t i,),k=\
B.2")
B.2'")
Кубическую матрицу п-то порядка А' = || A\jh || (г, /, к = 1, 2, .. ., п)
формы F' будем называть произведением по индексу i кубической матрицы
/г-ro порядка А — [| Aijh \\ (г,/, к—1,2, ...,п) формы F на квадратную мат-

§ 2]
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
51
рицу того же порядка а линейного преобразования этой формы и обозначать
через A {i\ a.
Точно так же матрицу Л" = || А^н \\(i, j, к — 1, 2, ...,п) формы F" или
матрицу А'" = ||A'ijk|| (г,/, к = 1,2, ...,п) формы F" будем соответственно
называть произведением по индексу / или к матрицы А на а и обозначать
через A\j)a или А {к} а.
Таким образом, на основании формул B.2'), B.2"), B.2'") имеем:
A \i) a =
B.3')
/}« = IIS
B.3")
A{k}a = \\ 2
2
B.3")
т. е. произведение по индексу v (v — любой из индексов г, /, к) кубической
матрицы /г-ro порядка А на квадратную матрицу того же порядка а яв-
является кубической матрицей п-то порядка, у которой |л-й A <¦. [д, < п) эле-
элемент любой строки направления (v) есть произведение соответствующей
строки матрицы А на |д.-й столбец матрицы а.
Операцию нахождения произведения А {у} а будем называть умноже-
умножением по индексу v кубической матрицы А на квадратную матрицу а *).
Для иллюстрации этого умножения приведем следующий пример. Пусть
1 2
-3 4
Тогда
-2 5
3 1
(к), а =
3 -1
-2 4
Л {&} a =
1.3_j_2.(—2) l-(—1) + 2.4— 2-3+5-(—2) -2-
3-3 + 1-(—2) 3-(—1)+1-4
1 7
17 19
16 22
7 1
|— (*)•
]) Для квадратных^ матриц А=\\Аг!\\ и а = || aiy || (г, / = 1, 2, ..., п.), очевидно,
Ma=4a и A{i}a = a'A, где а' — транспонированная матрица относительно о.
4*

52
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. 1
Аналогично находим:
9 -13
-2 14
-12 14 13-1 (О
{к)
A{i}a =
7 -9
18
-15 15
10 0
(О-
(к)
К более общему понятию произведения A {ia}a по индексу га A ~ а 5= р)
р-мерной матрицы n-го порядка А = || Аг^ ...ip\\ (iv i2, -.., ip = 1, 2, ..., тг)
на квадратную матрицу того же порядка a = ||ai;-|| (г,/=1,2, ...,п) мы
п
придем, подвергая р-линейную форму F= 2 А-а ...% х^х^ ... х^
h {p=1 J 2 p i a p
с матрицей А линейному преобразованию я(а> = 2 aij^(a)(l = 1> 2, ..., п)
с матрицей а, в результате чего получим /ьлинейную форму
п
i,..T7{=
матрица которой
• • • гр \
2)
будет представлять произведение A {ia} а (упражнение 5).
п
2. Подвергнем теперь трилинейную форму F = 2
билинейному преобразованию
п
с кубической матрицей
j\ = 1, 2, . . ., n)
Til lJ 2
2;
B.4')
Получим в результате четырехлинейную форму
/?' = 2 ^
где
B.5')
Точно так же, подвергая форму F билинейному преобразованию
У1= 2 «w/i3:, G1 = 1.2, ...,*) B.4")

§ 2]
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
53
или
2; =
/i = i. 2> • • •'п)
B.4")
с той же матрицей а, как у преобразования B.4'), мы получим соответ-
соответственно четырехлинейную форму
F"
где
4=1
или
ft,
Четырехмерные матрицы тг-го порядка
B.5")
B.5")
(/Cj, /с2, /с3, /с4 = 1, 2, ..., п)
форм /*", /"', /"" будут тогда соответственно произведениями
A{h)a, A{i2}a, A{i3}a
по индексам ilt i2, is кубической матрицы n-го порядка А на кубическую
матрицу того же порядка а. Эти произведения на основании формул B.5').
B.5"), B.5"') представляются в виде
А {^0=
а = |
Например, если
A1
то
A {i,} a =
-> (h)
12Н
Л Л
Л221 Л222
А„ Л4 = 1, 2, ..., п), B.6')
А3, А4 = 1, 2 и), B.6")
А8. А4 = 1, 2, ..., и). B.6~)
]—> (/з).
А121а1П+А221а2П А121аП2+А221а212
А121а121+А221а221 А121а122+А221Я222
АП2аП1+А212а2П А112аП2+А212а212
А112а121+А212а221 A112ai22+A212<1222
А122аШ+А222а211 А122а112+А222а212
А122а121+А222а221 АЛ22а122+А222<1222
: •¦ С<4)
I (ft,)

54
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
A {i2} a =
АШаШ+А121а211 А111аИ2+Аша212 !
АП2аИ2+А122а212
Alliai21+A12ia221 Alll°m+A12ia222
A2Uaill+A22ia211 А2Па112+А221°212
A {i3} a =
LlUaill+A112a2Il AlUall2+A112a212
АШа121+А112а221 А111а122+А112а222
A112°121+A122a221 А112а122+А122а
222
А212°Н2+А222а212
А212а12)+А222а221
i
А21Лп+А212°2П A2Uall2+A212a212
А211а121+А212Я22
1а122+А 212Я2
А121а1П+А122а211 A12iail2+A122a212
!2°221 I2iai22"^ 122a222
А221аШ+А222а2И А221а112+А222а212
.(ft,,
¦ C'4)
(Is)
К самому общему понятию произведения A {ia} а по индексу ia A 5
р-шерной матрицы п-ro порядка А = || Л* ^ . л \\(iy, i2, ¦¦-, ip = l,2,
на 9"меРнУю матрицу того же порядка а= ||a3- j- ..j || (j\, }'г, ••
= 1, 2, . . ., и) мы придем, подвергая /ьлинейную форму
а "Ч' /?)
.. ., /i)
•»/9 =
ху,.^,г(Г\ 112'-!р », •„ .р
с матрицей Л (д — 1 )-линейному преобразованию
с матрицей я, в результате чего получим (р + q — 2)-линейную форму
^- . !• ¦ • a—I a cz-4-1 ¦ * • d+э—9 ^. " ^г»—1 ct knit
"It • ¦ ¦ » 1
р p-tl
Р+в-2
— 2)-мерной матрицей || ^ Aki.. .ка_гхь.а+^ . .hpo-Khahp+i.. .ftp+,_2 II -
представляющей произведение Л {ia} a (упражнение о).
3. Умножение пространственных матриц не обладает коммутативным
свойством. Сложение же пространственных матриц и их умножение связаны
законами дистрибутивности.
! В самом деле, пусть даны три матрицы тг-го порядка, причем две из
них одного и того же числа измерений, например:
A = \\Aijh% B = \\Bm\\ (i, /,* = 1, 2, ...,п) и а = |КЛ!
(i, /=1,2, ...,в).
Тогда для любых значений индексов ?, /, /с имеем:
Отсюда ввиду равенства B.3") получаем:
(Л + 5) {А;} а = Л {&} я + В {к} а.
Точно так же находим:
(А+В){Ца = A{i}a + В {Ца и (А +B){j}a = A{j)a + B {f)a.

§ 2] УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ 55
Равенства
a{i] (A + B) = a{i) А+аЩВ и a{j}(A + B) = a{f}A + a{/}B
доказываются аналогично.
Между умножением пространственной матрицы на число и перемноже-
перемножением самих пространственных матриц существует очень важная связь.
Именно, если А, а — пространственные матрицы одного и того же порядка
и t — какое-либо число из поля Р, то (tA) {\} a = A {v} (ta) = t (A {v} a) (v —
любой из индексов в матрице А), т. е. если один из множителей матрич-
матричного произведения умножается на число t, то и все произведение умно-
умножается на t.
Действительно, пусть даны две какие-нибудь пространственные матрицы
одного и того же порядка, например кубические матрицы n-го порядка
А = || А^з || (iv i2, i3 = 1, 2, ..., n),
a = II ahhh 'I (A' ^ /з = *, 2, . .., n),
и число t из поля P.
Тогда, имея в виду составление произведения по одному из индексов
ix, i2, i3, например по индексу i3, матрицы А на а, находим для любых
значений индексов kv к2, к3, к4:
откуда на основании равенства B.6'") получаем:
(tA){i3}a=t(A{is}a).
Равенство
A{ia}(ta) =
доказывается таким же путем.
4. Обратимся теперь к вопросу об умножении детерминантов прост-
пространственных матриц, тесно связанному с умножением самих матриц.
Известно, что детерминант произведения двух квадратных матриц
одного и того же порядка выражает произведение их детерминантов. Эта
операция умножения квадратных детерминантов может быть распространена
на детерминанты высших измерений. Для представления произведения
кубического детерминанта (рода 2) на квадратный в виде кубического
детерминанта с многочленными элементами существует правило Арме-
нанта—Гарбиери [42, 77]. В несколько видоизмененной форме это правило
заключается в следующем.
Пусть дано произведение ^4{v}a по индексу v(v —любой из индек-
индексов i, /, к) кубической матрицы тг-го порядка Л = ||Л{:/7е|| (i,f,k —
= 1, 2, ..., п) на квадратную матрицу того же порядка а = ||я{у||
(г, /=1, 2, ..., п). Тогда кубический детерминант этого матричного произ-
произведения, взятый с сигнатурой (|д,), где |д, —любой из индексов i, /, к, отлич-
отличный от v, равен произведению косигнатурного детерминанта матрицы А
на детерминант матрицы а. Иначе говоря, произведение кубического детер-
+ + +
минанта п-го порядка с одной из сигнатур (г), (/'), (к) на квадратный де-
детерминант того же порядка равно косигнатурному детерминанту куби-
кубической матрицы, представляющей произведение по любому из альтернатив-
альтернативных индексов матрицы кубического детерминанта на матрицу квадратного
детерминанта.

56
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
В самом деле, возьмем произведение по одному из индексов i, /, к,
например по индексу /с, матрицы А на а и составим соответствующий
+
этому произведению кубический детерминант с сигнатурой (i), который
обозначим через | А {к}а р. Тогда согласно формулам B.2'") и B.3'") имеем:
+±±
г 3 к
rtf
Отсюда, заменяя кубический детерминант |Л-ь±±| на основании формулы
C.5) гл. I суммой п\ квадратных детерминантов, составленных из его
строк направления (к), находим:
а
B.7)
где |Л"+±| есть сокращенное обозначение квадратного детерминанта
Л ft* A It' A 41
(i) Л.<1> . . . А.п>
г и г 12 i it»
.B) Ал21 • ¦ • А. B)
г 21 i 22 г 2тг
.(П) Л .G1) ... Л.(п)
г mi г 712 г пп
Принимая во внимание формулу B.2'"), имеем:
п
'" I 1 ХЛ Л I
и так как правая часть последнего равенства может быть рассматриваема
согласно правилу умножения квадратных детерминантов как произведение
детерминанта | A ±i | на детерминант \а\ матрицы а, то равенство B.7)
можно представить в виде
или, на основании той же формулы C.5) гл. I, в виде
\A{k}a\W = \A+±±\-\a\.
Аналогично доказывается равенство
Таким образом, имеем:
\M
a|W, B.8)
+ .
где ц, v — любые из индексов i, /', к, не равные друг другу, а | А |<»*) —
кубический детерминант матрицы А, взятый с сигнатурой (|д.).
Равенство B.8) и выражает произведение кубического детерминанта
на квадратный в виде кубического детерминанта с многочленными эле-
элементами.

5 2]
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
57
Например, если
1 2
-3 4
-2 5
3 1
¦(О
¦(*)• a =
3 -1
2 4
то
+±±
г 3 к
= 10.
Следовательно,
Вместе с тем имеем:
\А+±±\-\а\ = 20.
¦@
А {к} а |('О = I 2 Af ± а ± | =
41 он*1
Отметим, что
- 1
-17
9 -
-13
7
19
-2
14
-16
7
-12
14
22
1
13
-1
Г
г
>й
• (А) = 20,
(к) = 20.
|<>
7 -4
-15 10
•9 18
15 0
(ft) = 240r
\а\Ф\А{1}а\«>.
т. е. \А+±±
г ) h
5. Правило Арменанта — Гарбиери легко обобщить на случай умноже-
умножения /(-мерного детерминанта n-го порядка (род которого не равен нулю)
на квадратный детерминант того же порядка (упражнение 9). Более широ-
широким обобщением является правило Кэли — Раиса [52, 192] умножения детер-
детерминантов любого числа измерений, если порядок их один и тот же и род
каждого из них не равен нулю. Для вывода этого правила мы ограничимся
рассмотрением умножения двух кубических детерминантов n-го порядка 2)
И | = |
' 4= 1.
1 = | a±(±)f21
(fv iv /з=1- 2' •••»«).
1) Этот случай, как и вообще случай умножения детерминантов нечетного числа
измерений, был исключен Кэли из рассмотрения. Распространение правила Кэли i:a
вышеупомянутые случаи стало возможным лишь после введения Райсом [192] понятия
смешанных детерминантов.

58
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
где символами (±)Sj и (±)*2 обозначены совокупности знаков + и ±-_,
взятых в том или ином порядке над соответственными индексами. Умно-
Умножение детерминантов любого числа измерений рассматривается аналогично
{упражнение 11).
Возьмем для определенности детерминанты
(ix, i2,t3=l, 2, ..., п),
/г/2./з=1. 2> ¦••> и)
B-9)
и составим согласно формуле B.6'") произведение по индексу i3 матрицы А
детерминанта | А | на матрицу а детерминанта \а\:
п
A {i3} а = || 2 AklH%a%k3ki \\ {к,, А,, А8, А4 = 1, 2, ..., п). B.10)
Соответствующий матрице B.10) четырехмерный детерминант n-го порядка
Si+±«++! (kv Ag, AB, ^4 = 1-2, .... п)
будет равен произведению детерминантов B.9).
Действительно, полагая
п
перепишем детерминант B.11) в виде
| А' | = | Л++±+ | (к1г к2, к3, к4 = 1, 2, .... п).
B.11)
Рассматривая в нем первые два индекса ки к2 как один двукратный
индекс кхк^ с альтернативным к2, а последние два индекса к3, /с4 как один
двукратный индекс к3к4 с альтернативным к3, мы получаем полное разло-
разложение детерминанта \А'\ на сумму (п!J обычных детерминантов:
= 1,2, ...,*). B.12)
С другой стороны, разлагая каждый из кубических детерминантом B.9)
на сумму и! обычных детерминантов, находим:
И I = 2 I л
±±
Ч. h> i3 = 1. 2, ..., л),
I = 2 | «ФФ, | (A. /2. /з=1.2. • • •. n),
Jry3
и так как согласно правилу умножения обычных детерминантов
п
\А . ± | • | а±± | = | 2 А ± а ± I (Аи *2' *з. ^4 = 1. 2, . .., п),
V ftft
TO
ApAj, A,, A4=l,2, .-., n). B.13)

§ 2] УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ 59
Сравнивая выражения B.12) и B.13), заключаем, что
\А\.\а\ = \А'\,
т. е.
+
B-14)
Транспонируя матрицы А и а по любым двум альтернативным
индексам и принимая во внимание свойство II многомерных детерминан-
детерминантов (гл. 1, § 2), мы видим, что, кроме равенства B.14), имеют место
также следующие равенства:
п
¦-1 2 А+ +. а ++ |, B.15)
Я— 1 b Ih \h U
—* 2Л 3 Л 2 4
-\%А+± а± + I. B-16)
= ' %At ia?it\' BЛ7)
где, так же как и в B.14), всеиндексы i, /, к пробегают значения 1, 2, ..., п
Равенства B.14) —B.17) выражают произведение двух кубических
детерминантов п-го порядка в виде четырехмерного детерминанта того же
порядка с многочленными элементами, представляющими произведения
соответствующих альтернативных строк перемножаемых детерминантов. То
обстоятельство, что перемножаемые строки кубических детерминантов —
альтернативные, является весьма существенным, так как умножение
неальтернативных строк приводит к детерминанту, не выражающему
произведения данных детерминантов, а умножение альтернативных строк
одного детерминанта на неальтернативные строки другого, вообще, не дает
в результате этой операции какого-либо детерминанта, поскольку число
альтернативных индексов в произведении становится тогда нечетным.
6. Правило Кэли—-Раиса, очевидно, не распространяется на тот случай,
когда хотя бы один из множителей рассматривавшегося выше произведе-
произведения является перманентом. Это ограничение устраняется правилом Скотта—
Раиса [211, 192] умножения многомерных детерминантов одного и того же
порядка с любыми сигнатурами.
Будем рассматривать те же кубические детерминанты п-го порядка B.9),
произведение которых мы получили в виде четырехмерного детерминанта
п-го порядка с многочленными элементами, и покажем, что это же произ-
произведение можно представить в виде пятимерного детерминанта п-го порядка
с одночленными элементами. Общий случай умножения многомерных
детерминантов одного и того же порядка с любыми сигнатурами рас-
рассматривается аналогично (упражнение 15).
Выделим в каждой из матриц
а = II aVV» II (А. /г. /з = 1. 2, • • -, п)
детерминантов B.9) все сечения любой ориентации, например ориента-
ориентации (i3) в матрице А и ориентации (А) в матрице а. Умножая каждый
элемент v-ro (I < v ;== п) сечения ориентации (is) матрицы А на каждый
элемент v-ro сечения ориентации (А) матрицы а, образуем v-e сечение
ориентации (к3) пятимерной матрицы п-го порядка

60
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
где в каждом элементе
Вь
Ь h = A.i л л CLj 7 7
B.18)
соединительные индексы i3, j± рассматриваются как один двукрат-
двукратный индекс ig/j, принимающий одно из значений 11, 22, ..., пп. Состав-
Составленная таким образом матрица В имеет при п = 2 следующий вид:
Возьмем теперь тот детерминант | Б ] матрицы 5, в котором знаки над
индексами Ац А2, /с4, /с5 одинаковы со знаками над индексами i\, г2, /2, /3
детерминантов B.9), а знак над индексом /% будет + или +, смотря по
тому, имеют ли индексы г3, /х этих детерминантов один и тот же или
противоположный характер. Имеем тогда:
(*!,&,, А:3) А4, /гв=1, 2, ..., п).
Детерминант \В\ согласно определению есть алгебраическая сумма (п!)*
членов вида
( 1) 2 4 5a>a)a)a)a) #m)<>m)(n>(n)
где ЛГ2, /Г4 — числа инверсий в перестановках
1.A) 1.B) him „ 1.A) 1.
/Са , /С2 , . . ., гея И /С4 , /С
Перепишем последнее выражение в виде
A) 1.B)
/С4 ,
1.G1)
/С4 .
).Ц
B.19)
где
) (Tl
/i
есть последовательность в некотором порядке значений 11, 22, ..., пп
двукратного индекса j3/i> а /2 и /2 —числа инверсий в перестановках
,ЧП) „ -A) 42)
Н И /2 » /2 '
/Г-
Так как детерминанты B.9) являются алгебраическими суммами (/г!J
членов соответственно видов
(_ ^^ jjjpjy
где /2 и /2 гмеют указанные выше значения, а /3 и /х —числа инверсий
в перестановках
;(Л) т. 7ч1) ,'B) ,'(П
•> 'з " /1 » /l > • • • ' /1
то произведение | А ] • ] а | этих детерминантов есть алгебраическая сумма
!4 членов вида

§ 2]
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
61
т. е. вида B.19), поскольку множители последнего выражения могут быть
расположены в таком порядке, чтобы перестановки
) yB>
42)
/l '
были одинаковы и, следовательно, J3 = JV Таким образом, каждому члену
произведения | А
детерминанта j В
соответствует один и только один равный ему член
, и так как произведение | А | • | а | и детерминант j В
который на основании выражения B.18) можно представить в виде
\А+± + а ±+|, содержат одно и то же число членов, то они равны между
собой, т. е.
W» We
B.20)
где все индексы независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, ..., п.
Равенство B.20) |и подобные ему равенства, которые получим таким
же путем, беря в матрицах детерминантов B.9) сечения других каких-
нибудь ориентации для составления матрицы В, выражают правило
Скотта — Раиса получения произведения двух кубических детерминантов
в виде пятимерного детерминанта с одночленными элементами.
Упражнения
1. Трилинейная форма
F = 2xly1z1 -\- х{у^% — Zxxy2zx -\- Ьхху2г2 — x2y1z1 -}- bx2yxz2 — 2x2y2zx -\- 3x2y2z2
подвергается линейному преобразованию ух = У] -(-ЗУ2, Уг ——4Г14-2У2. Найти матрицу
преобразованной формы, вычисляя произведение по индексу / матрицы трилинейной
формы на матрицу линейного преобразования.
2. Билинейная форма F = х1у1-\-Зх1у2 — Ах.2у1^-2х2у2 подвергается билинейному
преобразованию
Найти матрицу преобразованной формы, вычисляя произведение по индексу / матрицы
билинейной формы на матрицу билинейного преобразования. Сравнить с результатом
упражнения 1.
3. Показать, что от улшожония по индексу v (v—любой из индексов i, /, к)
кубической матрицы -4 = [|/l;;/j || (г, /, /с=1, 2, ..., п) на диагональную квадратную
матрицу
, 0 ... 0
0
0
0 0 ... а,
первое сечение ориентации (v) в матрице А умпожается на ап, второе на a2i и т. д.
Отметить случай, когда а — единичная матрица.
4. Показать, что произведение по индексу v (v—любой из индексов i, /', к)
диагональной кубической матрицы п-го порядка А^= || Лцъ \\ на квадратную матрицу
того же порядка a=||aj,-|| равно кубической матрице n-го порядка, у которой все
элементы — пули, кроме элементов главного диагонального сечения, соответствующего
направлению (v) и представляющего обычную матрицу, получающуюся из матрицы а
умножением 1-й строки на Ап1, 2-й —на А222 и т. д. Отметить случай, когда диаго-
диагональные элементы матрицы А равны 1.
5. Даны матрицы
ip = 1, 2, . . ., и)
(i, /=1, 2, ..., п).
Показать, что
(ij, i2, ip = l, 2, ..., п; 1 s a § р),

62
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
т. е. произведение по индексу ia матрицы А на а являотся jo-мерной матрицей п-го
порядка, у которой (х-й (lsjis») элемент любой строки направления (г'а) есть
произведение соответствующей строки матрицы А на р.-й столбец матрицы а.
6. Даны матрицы
Показать, что
j jo...j I
h> /2. •¦•• /g = 1. 2, ..., л).
(кг, к2, ..., /ср+G_г = 1, 2, ..., л; 1 S а ? р),
т. е. произведение по индексу ia матрицы Л на а является (jo-J-g—^2)-мерной матрицей
л-го порядка
*....ft _2
где
7. Дана кубическая матрица 2-го порядка
2 1
— 1 О
— 3
(О
(*)
Найти АЦ\А, А{]}.А, А {к) А.
8. Составить произведение A{ia}a (см. упражнение 6) и показать, что это произ-
произведение тогда и только тогда равпо одной из матриц А, а, когда другая из них есть
единичная квадратная матрица.
9. Показать, что произведение /^-мерного детерминанта n-го порядка_с сигнатурой,
содержащей по крайней мере два альтернативных индекса, на квадратный детерминант
того же порядка равно косигнатурному детерминанту р-мерной матрицы n-го порядка,
представляющей произведение по любому из альтернативных индексов матрицы р-мер-
ного детерминанта на матрицу квадратного детерминанта, т. е.
1 ±±
i 3
i=l 2^
?i=i
(± 8t Я, (±) s2
'I-'
•»а-1 'а+1-
где символы (^Sj и D;) S2 обозначают совокупности знаков -)-, ^ наД соответствен-
соответственными индексами.
10. Представить всеми способами произведение детерминантов n-го порядка
1«±±±±1. |6±±|.
11. Даны />-морный и g-мерный детерминанты л-го порядка
IА |-| А ш& ± (±) ,g | (ч, 1„ .... ip=l, 2, ..., п),
(/l-/г. •••. /а = 1> 2. •••.«)»
где символами (±)s,, (±)s«, (±)o"i> (+H2 обозначены совокупности знаков, +i db
над соответственными индексами.
Если пР'1 строк альтернативного направления (г'а) (lsagjj) детерминанта \А\
умножим на пв-1 строк альтернативного направления (/р) A g ^ ё ?) детерминанта ] a |
полученные пР*ч-г произведений примем за элементы (р+q — 2)-мерного детерминанта

2]
УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
63
я-ro порядка
(±)О,
Rp+3-l-
p+q-2
^p+q-2 = 1. 2, . . ., л),
| В | (правило К эли — Раиса). Доказать.
12. Сколькими способами может быть представлено произведение двух многомер-
многомерных детерминантов по правилу Кэли — Раиса?
13. Пусть А =\\А^.. Ла..л || (j'i, ---, ia_i» *a+l'---' ;р=1>2, •••.'»; io=l, 2, ...,«)-
/^-мерная матрица, расширенная в направлении (ia) A ? a ? p) и a = || a;- j j ||
(/i> •¦¦' /p-i. /p + i, •••. /9 = 1. 2, ..., та; /p = l,2, ..., n) — ^-мерная матрица, рас-
расширенная в направлении (io) (I 5= P g g). Умножая m'^1 строк направления (г'а) мат-
матрицы А на /пч-1 строк направления (/„) матрицы а, примем полученные щР + ч-2 произ-
произведений за элементы {p-\-q — 2)-мерной матрицы m-го (т <^п) порядка
^ о1„+1pap + i
Л— 1
(Л], Ла, ..., Ар+9-2 = 1. 2, ..., т).
13удем предполагать альтернативными какое-либо четное число индексов i, включая ia,
матрицы А и какое-нибудь четное число индексов /, включая /р> матрицы а. Эту
сигнатуру сохраним для всех несуммируемых индексов матрицы В. Каждые т сечений
ориентации (ig) матрицы А и те же т сечений ориентации (/о) матрицы а образуют
матрицы соответственных детерминантов m-го порядка с данными сигнатурами
\ Av | и | ar |, где Г — некоторое сочетание (без повторений) из п чисел 1, 2, ..., п по т.
Доказать, что детерминант | В \ матрицы В (с указанной выше сигнатурой) равен
сумме произведений |Лг|-|аг| соответственных детерминантов матриц А я а, распро-
распространенной на все С™ сочетаний Г:
\B\ = 2i\AT\-\ar\.
(Обобщенная формула Бине—Коши для обычных детерминантов, указанная впервые
Гегенбауером [84] и уточненная впоследствии Лека [162].)
14. Пусть в матрицах Ana упражнения 13 индексы г'а и /р — неальтернативные
и Г — какое-либо сочетание (с повторениями) из чисел 1, 2, ..., п по /и(го< п), например,
(I )
( р)
совокупность v (I g v g m) различных чисел a1( a2,
1,2,
п, повторяющихся соответственно т1, тг,
из натурального ряда
. -\-mv = m) раз.
Оставляя остальные обозначения упражнения 13 неизменными, доказать, что в этом
случае
= У,-^-Мт,|-|вт.|,
где к-с = т1\тг\ ...ml и суммирование распространено на все возможные сочетания
(с повторениями) Г (Ольденбургер [170]).
15. Даны р-мерный и g-мерный детерминанты n-го порядка
(ilt i2, ..., tp = l, 2, ..., n; 1 g a s p),
\a (±Hi (±)o (±)o2 I (/i> i2> ¦¦•' /9 = 1.2> •• •'»;' = P = ?)•
.П. . . 3p_l ¦'P 3'^+l • • ' J'<2
где каждый из символов (rh)s. (i) с обозначает любой из знаков -f-> +• Доказать, что
произведение этих детерминантов выражается (p-\-q — 1)-мерным детерминантом я-го
порядка с одночленными элементами
(±)si
(±)т
(±)О2
hP ftP+i • • •
.. . k
Vb9-i
(klt /c2, . ., /cp+(j_i =1,2, . .., n),

64 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
где знак (^) т над индексом ка будет + или ±, смотря по тому, имеют ли индексы-
ia и /р перемножаемых деторминаптов один и тот же или противоположный характер
(правило Скотта—Раиса).
16. Сколькими способами можно представить произведение /^-мерного и (/-мерного
детерминантов одного и того же порядка по правилу Скотта — Раиса?
17. Применяя правило Скотта — Раиса, представить всеми способами:
а) произведение квадратных детерминантов n-го порядка | а |, | Ъ \ в виде куби-
кубического детерминанта того же порядка (правило П а д у а [183]);
б) произведение квадратного детерминанта n-го порядка I a I на квадратный
(+) (+)
(+) (+)
перманент того же порядка | Ь \ в виде кубического детерминанта n-го порядка;
(+) (+) (+) (+)
в) произведение квадратных перманентов n-го порядка \ а \, \ b |в виде кубического
перманента того же порядка.
18. Показать, что квадрат детерминанта re-го порядка | ai; | можно представить
в виде кубического детерминанта того же порядка, симметрического относительно его
альтернативных индексов, причем элементами главного диагонального сечения, соответ-
соответствующего неальтернативному направлению, являются квадраты элементов <цу. Дать
пример (Лека [ИЗ]).
19. Применяя правило Скотта—-Раиса, представить всеми способами произведение
кубического детерминанта гс-го порядка с той или иной сигнатурой иа квадратный
детерминант или перманент того же порядка в виде четырехмерного детерминанта п-го
порядка.
20. Применяя правило Падуа (упражнение 17а), показать, что решение системы
уравнений
п п
V .-(I) V Л ч.<2) Д7 /VB> —^.B)- „ \ О „. ., 10 _\
2j Ч 2j -^aij^ii+i.-l — 1Уа \xv+n~~xv ' а~'' ^' •••• "' v~1'^- •-•¦ п)>
линейных отпосительно x'V, может быть представлено в виде
1 (v = l, 2, .... n),
*v =————Г2 Jl2> 1
a i2 u+i,-l
где 6^ v—символ Кронекера, равный 1 или 0 в зависимости от того, равны или не
равны между собой i3 и v (Падуа [183]).
21. Показать, что система уравнений
2j хч 2L xh+h-i Zi агз U+i3-\ -'va
il 1 11
K+n v c = 2' 3'" a = 1,2, ...,n; v = l, 2, ...,n),
линейных относительно xQ\ имеет решение
H\.y±+f f \t4a
а гз гг+гз-l ii+»i-l
(CM. [25]).
22. Обобщить результат упражнения 21 на систему уравнений
. /н 2. *irf«,-l .2• xi,+*s-l .2j/*ai/i +1
К+гг=4Й) Для А = 2, 3, ...,;,;I
[a = l, 2, ..., n; v=l, 2, ..., nj
,(см. [25]).

§ 3] УМНОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 65
§ 3. Умножение нескольких пространственных матриц
1. Как было показано и § 2, мы приходим к понятию произведения
но некоторому индексу кубической матрицы на квадратную, подвергая
соответственную трилинейную форму линейному преобразованию по одному
п
ряду переменных. Подвергнем теперь трилинейную форму F= ^_ AijhxiyjZlt
г. j, ft=l
с кубической матрицей Л = ||-Aiife || (г, /, /с=1, 2, ..., п) цепочке линейных
преобразоианий по одному какому-нибудь ряду переменных, например
т _ У лA)уA) УA>_ V яB)УB) yCl-1) V л(9)у(«)
х\ — 2. аХг Лг ' Л.х = 2j aXiAi > •••> АА. = Zl abi A*
i=l i=l 1=1
(Я, = 1, 2, ..., в)
с соответствующими квадратными матрицами
•••' аМ = \\а$\\ (X, i=l, 2 п). C.1)
Получим тогда трилинейную форму F^ = 2 -^ijh-^i9Viz/i с кубиче-
i, i. h=l
ской матрицей
('. /, А=1, 2, ..., л), C.2)
элементы которой выражаются формулами
А{& = S АК^\ а{2{ ¦ • ¦ 49)i (i, /. А = 1, 2, ..., л).
^ ^ =i > 3 1
Отсюда, принимая во внимание равенство B.3'), заключаем, что матрица
C.2) получается в результате последовательного умножения по индексу i
кубической матрицы А на квадратные матрицы C.1), т. е.
AM = [(A {i} a(») {i} aW ... ]{Ца(яК C.3)
К той же форме F(i) мы придем, подвергая форму F линейному преобра-
преобразованию
*л=? «w4e) (Л.= 1, 2, ..., п),
i=i
матрица которого а=||я^|| (А,, г=1, 2, ..., п) является произведением
матриц C.1), т. е. а = а^Ы2^ ... а("К Следовательно, ввиду равенств B.2'),
B.3') имеем:
Сравнивая равенства C.3) и C.4), находим:
.. ]{i}a(i> = A{i}a. C.5)
Таким образом, последовательное умножение по одному какому-либо
индексу кубической матрицы п-го порядка на несколько квадратных мат-
матриц того же порядка равносильно умножению по тому же индексу куби-
кубической матрицы па квадратную, являющуюся произведением данных квадрат-
квадратных матриц.
Аналогичный результат получим при умножении по какому-нибудь
индексу /7-мерной матрицы ю-го порядка А на квадратные матрицы того же
порядка а^\ а('г\ ..., а^) (упражнение 1).
5 н. п. соколов

66
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
2. Преобразуем, далее, трилинейную форму /"= 2 АикхгуjZh, полагая
г, 3, h—i
(Я,= 1, 2, .... п),
C.6')
Получим тогда трилинейную форму Ф' = 2 В'иьХ^jZh, коэффициенты
i, j, ft—1
которой согласно формулам B.2'), B.2") представляются а зависимости от
порядка, в котором совершаются преобразования C.6'), выражениями
п п
п п
#ijfc= 2 Ki 2 A№it4i или #
В соответствии с этим матрица
(г, /, А = 1, 2, . ..,«).
(г, /', /с = 1, 2Т ..., п)
C.7)
При этом согласно правилу Арменанта — Гарбиери имеем:
формы Ф' выражается в виде следующих произведений матрицы А формы F
на матрицы а, Ъ преобразований C.6'):
C.8')
C.9')
C.6")
я, n=i
Точно так же, полагая в форме F
•Ti =
г=1
. = 1, 2 п),
= 1 2
или
2
3=1
= l, 2, .... л),
ZR = 2 bV-hZh (fX = 1, 2, . . ., П),
получим соответственно трилинейную форму
Ф"= 2 вь„хя,гк или Ф'"= v б
i, I, k = l
Отсюда находим:
C.6'")
г. ;i, h=l
тг
{/} а) {Л} i = (>1 {A} d) f/} а = || ? ^
1
C.8")
C-8'")

§ 3]
УМНОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ
67
\A
±+h
i 3 k
i j
\a\.\b
\ 1 + ±
X, Ц=1 Kill X»
-\а\-\Ь\ = \ J Л+ a±
к, Ц=1 iKV- XJ
C.9")
C.9'")
Из равенств C.8'), C.8"), C.8'") заключаем, что при последовательном умно-
умножении по различным индексам кубической матрицы на квадратные поря-
порядок следования квадратных матриц в произведении не влияет на результат
умножения.
Если матрицы а, Ъ одинаковы, то равенства C.8'), C.8"), C.8'") при-
принимают вид
А\Ща = \
A{ik)a =
X, !Х=1
X. й^1
/,-} а = |
я, ц=1
C.10')
C.10")
C.10'")
j-де Л (i/J я, ^ifi'A'jfl, Л {//»•} я — сокращенные обозначения матрич-ных про-
произведений
а вместо равенств C.9'), C.9"), C.9'") будем иметь:
±+i
| 2 А+а±а±\,
X, |X=i ЯЗМ- Я.г lift
к. ц=1 »а.ц
C.11")
C.11'")
Если при этом матрица Л — симметрическая (косостшетрнческая) отно-
относительно двух каких-нибудь индексов, например относительно г, /, то
А-Кцк = Ацх><- (^яц'' = — Ацхк) и матрица C.10'), как нетрудно убедиться,
также будет симметрической (кососимметрической) относительно индексов i, /.
Таким образом, если кубическую матрицу п-го порядка А., симметри-
симметрическую (кососимметрическую) относительно двух каких-нибудь индексов,
последовательно умножить по тем же индексам (в каком, угодно порядке)
на квадратную матрицу п-го порядка а, то произведение будет кубической
матрицей того же порядка, симметрической {кососимметрической) относи-
относительно тех же двух индексов, причем соответствующий детерминант*
в котором эти, два индекса предполагаются альтернативными, равен про-
произведению косигнатурного детерминанта матрицы А на квадрат детерми-
детерминанта матрицы а.

68
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
Например, если
5 1
1 3
-1 2
2 4
|— (О
(/¦)
2 -3
-2 2
то
24 -32
-32 45
-4 10
10 -17
.(к)
i— @
+
, \(A {i} a) {j}a\W = 52;
с другой стороны,
±ф+
i 3 к
| « | = — 2, \А, J +
t } к
3. Полагая, наконец, в трилинейной форме F= У_ AljhxlyjZk
i.j , ft=l
(Л, = 1, 2 /г),
n
3=1
n
: ^J
. = 1,2, .... n),
' = 1,2, ...,n),
C.12)
получим трилинейную форму W = 2 CiikXiYjZk, где
j fci
n n n
v=l n=l 1=1
n n
v=i
1
H=l
= 2^2 aM
v=l
n n n
ц=1 v=l Я'-
n n n
VI VI VI
X=: 1 V;=r 1 (^^ 1
П П Tl
Следовательно, матрица C = ||Ci:,ft|| формы lF может быть представлена
п виде следующих произведений матрицы А формы F на матрицы а, Ь, с
преобразований C.12):
[(A {i} а) {/} Ъ] {к} с = [(А Щ а) [к] с] {/) Ъ = [(А {/} Ъ) [i] а] {к} с =
= {{А {/} Ь) [к] с] {(} а = [(А [к] с) [i] a] {/} 6 =
П
= [{A{k}c){j}b]{i}a = \\ У2 АШуах1Ь^с^\\. C.13)
х. и, v=i
Равенства C.13) подтверждают сделанное выше замечание о порядке
•следования квадратных матриц в произведении по различным индексам
кубической матрицы на квадратные.
Если матрицы а, Ъ, с одинаковы, то равенства C.13) принимают вид
A {ifк} а =
|| 2
X. !*, v=l
C.14)

3]
УМНОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ
69
где A {if к] а — сокращенное обозначение произведений
[(A [i] a) if) а] {к} а = [(А Щ а) {к\ а] {/) а = [(А {/} a) [i] а] [к] а =
= [(A if] а) {к} a] \i) а = [(А {к} а) {Ц а) (/} а = [(А {к} а) {/} а] [i] а.
Если при этом матрица А — симметрическая (кососимметрическая), то
Axixv = Л/Д>Ц = АцУ^ = A^v == Ax Ml = АуцХ
и, следовательно, матрица C.14) также будет симметрической (кососимме-
трической).
Итак, если симметрическую (кососимметрическую) кубическую матрицу
п-го порядка последовательно умножить по всем индексам (в каком угодно
порядке) па квадратную матрицу п-го порядка, то произведение будет
симметрической (кососимметрической) кубической матрицей того же порядка.
п
Вообще, подвергая /ьлинейную форму /•" = 2 Аи i afVx<2K . . х^'>
iv ip=l 12 '•' 1 2 *»
с матрицей Л = || Ai ir> ... j j| (iv t0, .. ., ip — 1, 2, . .., n) линейньш преобра-
преобразованиям
"г;
гB)
(т) _ V л(п0у('п)
3=1
(г = 1, 2, ..., »г;
с матрицами
МЫ Придем К /)-ЛИНеИНОи форме ]Л = 2j ^нгг . .
h iji=l
матрица которой будет представлять произведение
(г, / = 1, 2, .. ., га),
h> *l '" *m xim+i •••^ipi
/з-мерной матрицы п-то порядка А на квадратные матрицы того же порядка
а<1), дB>, ...,а<"'' (упражнение 5). Порядок следования квадратных матриц
в этом произведении может быть каким угодно.
В частности, подвергая/7-лниейную форму F—
п
A) B) (P)
-til J-j.» f-iji
с р-мерной диагональной матрицей E—\\Eili2 . . . ip || (iv i2, . . -
..., г =1,2, ...,n), у которой все диагональные элементы равны единице.
невырожденным линейным преобразованиям
п
A) -у (')v-
B)
х\ ;=
B)
„(Н

70
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
с матрицами
Ах = || <#> I!, Л2 = || <4?) ||, ¦ ¦ •, Ар
мы получим /7-линейную форму ^(р), матрица которой будет равна произве-
произведению
Ар = \\а$> |
г,/ = 1,2 п),
Если F(>y) = F, т. е. если [(? {г^} Ах) {i2} А2 ...] {г„}-4р = .Е, то преобразо-
преобразование, которому подвергается в этом случае форма F и ее матрица Е, назы-
называется, согласно терминологии Ольденбургера х), подобным. Нетрудно
выяснить структуру матриц А1,.А2, ..., Ар, на которые умножается по всем
индексам матрица Е (упражнение 6).
п
4. Преобразуем теперь трилинейную форму F= ^ Ащ^^у^г^
с матрицей A = \\Ailui3\\(il,ii,i3—\,2, ...,n), нодвергая ее билинейным
преобразованиям
4->
к. з'з=1
2j
52,38=1
с матрицами а =
= \\b
hhh\
C-15')
(j\, /,, /3= 1, 2, .. ., и). Получим
в результате пятилинейную форму Ф'=
ftl, ..
a- Точно так же, подвергая форму F били-
где B'kltt2kk4k. = 2
¦к, u-i
нейным преобразованиям
к, Зз=1
n
Zj 13233^32^33
5a, 33=1
/, = 1,2,..., л)
C.15")
или
32, 33=1
n
5
2j
, з'з=1
(,\ = i, 2, ...,n)
C.15")
с теми же матрицами а а Ь, как у преобразований C.15'), получим соот-
п
ветственно пятилинейную форму ф"= 2 ^^^з^з^х^г^зЕ^^б и:ш
bli • ¦ ¦¦ fe5=l
П
Ф'"= ^
') См. [171], стр. 425 и [170], стр. 652.

3]
УМНОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ
71
Матрицы преобразованных форм Ф', Ф", Ф" будут тогда соответственно
произведениями (A {t'x}e){i2}^> (A {h)a)\h)b, (A {i2} a) [i3] b.
Таким образодт, имеем:
n
п
2
2 ^
X, Ц=1
C.1В')
C.16")
C.16'")
л±±+
Н»2*3
л±+±
»1*2«з
iiгггз
Я±(±)П
Jl ST,
«±( + )si
Jl ST.
a±(±)S!
;1Ыз
•
^ (±)S2
^±(±)S2
}1Ыз
II II II
4- a
(±)S2
(±)«2
где символами (rfc)*! и (±)*г обозначены последовательности в каком угодно
порядке двух знаков + и ± над соответственными индексами.
Р
Вообще, подвергая /7-линейную форму F= 2 М % ...» х\ xi ••¦xi
г1' ¦ * ¦ * 'р==
с матрицей 4=|[.4j1 ...{ || (iv г2, ..., гр = 1, 2, . .., п) (q — 1)-линейньш
преобразованиям:
ft
,.(!)_ Vi A) уA)^C1) E(ij
¦'о
l • -^. . ¦'l^a''^ * * * "'q ¦'г 3 * ' * q
Д = 1, 2, ..., п; т<р)
с матрицами
aA) = li a?
. . . ;Q
(/i, /2, . .., /q=l, 2, . .., /г),
мы придем к [p + (q — 2) тп]-линейной форме
(m)
ftfe
Zj
kv ...,fcp+(9_2)m=l
(p)?C1) tCqi) tCm)
••• ^fep ?ftj,vl • . • Sfcp + !r2 • • • S*
матрица которой будет представлять произведение

72 операции над пространственными матрицами [гл. п
jB-мерной матрицы А на g-мерные матрицы а({\ а<2>, ..., а<т) (упражне-
(упражнение 10).
Точно так же, подвергая форму р-ш степени
п
с симметрической матрицей
А = Миг» ... ip || (ij, i2, ..., ip=l, 2, ..., n)
преобразованию (<7 — 1)-й степени
n
¦^h = ^J ^hh • • • iq-^-'h SJ3 • ¦ ¦ Sin \11 = 'i ^> • ¦ • > Щ
h, . . .,ij=l
с матрицей а = || ahJ2 ... iq \\ (j\, /2, ..., /a=l,2, . .., n), мы получим форму
n
p (ry-l)-ii степени ? = 2 Ckl,,z... ft • X,AA',!s... Хйр^ ... I* ,
"li • • •> ''jKij—i)"
которой соответствует симметрическая p (q — 1)-мерная матрица, представляю-
представляющая произледение по всем индексам (в каком угодно порядгге) /ьмернои
матрицы А на g-мерную матрицу а и обозначаемая сокращенно через
А {«л ... ip}a (упражнение 11).
Упражнения
1. Если A = \\Aii__i || (ilt г2, ..., гр = 1, 2, ..., л), e=||«i;|| (i, /=1, 2, . .., н)
то [(yl{('a}a' ){ia} а *•>...] {ia} a^ = А {'а}« (lsaSp). Доказать.
2. Доказать равенства C.8'), C.8"), C.8'"), последовательно умножая по одному из
индексов кубическую матрицу на квадратную.
3. Если кубическая матрица n-го порядка А — \\ Лць \\ — симметрическая относительно
двух каких-нибудь индексов, например >, /, то произведение Л{к\а, где а —квадратная
матрица n-го порядка, есть кубическая матрица, симметрическая относительно тех же
двух индексов i, /'. Доказать.
4. Произведения каждого из детерминантов кубической матрицы /1-го порядка А на
детерминанты квадратных матриц того же порядка а.. Ь, с представить в виде детерми-
детерминантов с одночленными элементами.
о. Даны матрицы А = || Ai { _ _ _ { || (lv и, ..., it,=- 1, 2, . .., л) и аA) = || а^ ||,
а<2) = || а\-' ||, ..., а*-'— || aft'1' || (i, / = 1, 2, ..., п\ т tj ]>)¦ Показать, что
И) а(т) и
«. Показать, что квадратные матрицы и-го порядка Аъ А„ А„, на которые
в случае подобного преобразования умножается по всем индексам" р-мернан (р г 3) диа-
диагональная матрица Е, имеющая все диагональные элементы, равные единице, суть диаго-
диагональные матрицы re-го порядка, удовлетворяющие условию Лр = А'1 А-1 ... А'1 , или
матрицы, получающиеся из этих диагональных матриц путем одновременных перестано-
перестановок в них строк и столбцов, одних и тех же в каждой матрице (Ольденбургер [171])
7. Если матрица А = || Л.^ _ _ _ { || (г,, („, ..., г-р = 1; 2, ..., и)—симметрическая
(кос.осимметричсская) относительно индексов г,, г2, ..., im B g m S р) и а — I] «( И
(г, / = 1, 2, ..., п) — квадратная матрица n-io порядка, то произведение ' U
Ui, i2. tp- I, 2. ..., /1)

§ 3] УМНОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 73
представляет />-мерную матрицу и-го порядка, симметрическую (коеосиммотричсскую)
относительно тех же индексов. Доказать.
8. Произведение /(-мерного детерминанта re-го порядка, род которого не меньше
'"¦ = Р, на т квадратных детерминантов того же порядка равно косигнатурному детер-
детерминанту />-мерной матрицы и-го порядка, полученной в результате последовательного
умножения по т каким-либо альтернативным индексам матрицы данного /(-мерного
детерминанта на матрицы квадратных детерминантов, т. е.
г 3 г 3
... а
2 А я( а
л (±)s а ± ... а ±
1 л { , . л j 1 7
л1> •••>Ат—1 , ¦ ¦ А[ ij лт7т
'-1 • • • ''in 'm+i ' ' р
Доказать.
9. Показать, что от перемены порядка следования матрица, 6 в произведениях C.10'),
C.16"), C.16'") матрицы, выражающие эти произведения, транспонируются по индек-
индексам Л-4. къ.
10. Даны матрицы Л =-1| Л^К _ г \\ (г,, i2, ..., ip=-1, 2, ..., n)> «(»>= || а<Я^ _ _ ||,
?!, e 5!..Р^11 (Л. Ь. -..> /ч=1. 2, .... и; ттр)~. Пока-
аать, что
(л-,, .',„, . . ., A-;j+((/-2)m=-'l> ^,
,,(
• ¦ ¦
-2) m
11. Показать, что произведение по всем индексам симметрической р-морной матрицы
n-го порядка А = \\А.1 ¦ _ ; (| (г,, г2, ..., ip = l, 2, ..., к) на <7-м«Р»У'о матрицу того
же порядка а —1| а;- ^ ^ || (/„ /2> ..., /,= 1, 2, ..., ге) равно симметрической
р(ч—1)-Aiopuoii матрице я-го порядка
лр р * l)i(;~l)-C + 3 ' ' ' грС?-1) II
(А-,, к,, . . ., kl)iq_v=-. 1,2, ..., n)
и что в случае, когда р и «у —четные, гинердетерминапты | Л |, |«|, Л{(, ... ip} а этих
матриц связаны соотношением
12. Применяя последовательно правило Коли — Гайса, показать, что произведение v
детерминантов порядка п, измерений /;,, р2, ..., ру и родов т,, /ге2, ..., mv (но равных
нулю) можно представить в виде детерминанта того же порядка с многочленными эле-
V V
ментами, число измерений которого V р?—2(v — 1), а род ^ m? — 2(v — 1). Отметить
случай равенства v детерминантов (Лека [162]).

74 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
13. Применяя последовательно правило Скотта — Раиса, показать, что произведение v
детерминантов порядка п, измерений plt рг, ..., pv и родов т„ т2, ..., mv (из которых
некоторые или даже все могут быть нулями) можно представить в виде детерминанта
v
того же порядка с одночленными элементами, число измерений которого Ур*—V4-1>
v
а род ^ т^ —2ц, где (г —число умножений, при которых соединительные индексы
Х=1
перемножаемых детерминантов—альтернативные (Лека [162]).
14. Произведение v />-мерных детерминантов наивысшего рода, имеющих один и тот
же порядок, представить в виде [(р — 1) v-(-l]-MepHoro детерминанта наивысшего рода
(Гегенбауер [84]).
15. Произведение v квадратных детерминантов одного и того же порядка предста-
представить в виде (v-j-l)-MepHoro детерминанта наивысшего рода (Эшерих [73]).
16. Показать, что произведение 2v квадратных детерминантов гс-го порядка может
бтлть представлено 2v-MepnbiM гинердетерминантом того же порядка с многочленными
элементами (Кемпбслл [51]).
17. Показать, что произведение квадратного перманента re-го порядка на 2v квадрат-
квадратных детерминантов того же порядка может быть представлено Bv-j-l)-MepHbiM детерми-
детерминантом порядка п и рода 2v с многочленными элементами (Кемпбелл [51]).
18. Показать, что произведение перманента квадратной матрицы на 2v-k> степень
детерминанта этой матрицы можно представить в виде симметрического Bv-|-l)-MepHoro
детерминанта рода 2v (Лека [ИЗ]).
19. Представить произведение перманента квадратной матрицы на квадрат детерми-
детерминанта этой матрицы в виде симметрического кубического детерминанта. Дать пример.
п
20. Доказать, что У! Ац^ xiXjXk=A{ijk} X, где А—симметрическая кубическая
г, i, h~\
матрица ||Л;;л[| (', ]', А- = 1, 2, ..., п), а X — одномерная матрица || х,, х„, ..., *„||.
Обобщить на случай формы любой степени (Саркар [207]).
21. Доказать, что
V л ,.A)гB) -Лр)- и A ii \ Х>ЩН \ А'13' ы; i tip1
*1 *p=1
ГДО
г1г2 ' ' ' lp
y(o) __ II г(а) x(a) x^ II (a^=l 2 ... n).
§ 4. Элементарные преобразования пространственной матрицы
1. Невырожденным линейным преобразованиям полилинейной формы, ко-
которые сопровождаются, как было показано в предыдущих параграфах, умно-
умножением пространственной матрицы этой формы на квадратные матрицы
линейных преобразований, соответствуют также элементарные преобразования
пространственной матрицы, введенные Райсом [202].
Возьмем какую-нибудь пространственную матрицу, например кубиче-
кубическую матрицу и-го порядка А = || Aijk ||(?, /, к = 1, 2, ..., п).
Элементарными преобразованиями по индексу i матрицы А называются
следующие операции:
(а) умножение /-го сечения ориентации (г) на произвольное, отличное
от нуля число t из поля Р;
(б) прибавление к т-ыу сечению ориентации (i) умноженного на t 1-го
сечения той же ориентации (/, т — любые из значений 1, 2, .. ., п).
Операции (а), (б) в дальнейшем будем обозначать символами
(а)
(б)
m{i)
+
¦t,

ЗЛКМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
7Г>
Замечание АЛ1). Элементарными преобразованиями типов (а), (б)
можно совершить над матрицей А операцию
(в)
— (t) — m
заключающуюся в перестановке 1-го и m-го сечений ориентации (г).
Именно, операция (в) равносильна цепочке элементарных преобралопа-
ний по индексу г:
(О I-I-1 ю @
@
(-I). rn{i) .(-1),
Ан;ь'1<н цчно определяются элементарные преобразования по индексу j
или к матрицы А.
Будем называть элементарными следующие невырожденные квадрат-
квадратные матрицы любого порядка п2):
1) диагональную матрицу а', у которой все диагональные элементы
равны 1, кроме одного элемента, равного произвольному числу t, отличному
от нуля;
2) матрицу а" =||а?,-1| (г,/= 1, 2, . . .т п), у которой все элементы —
нули, кроме диагональных элементов, равных 1, и элемента a'{m=t, где
/, т— не равные друг другу какие-нибудь два числа из натурального ряда
1, 2, . .., п, a t — произвольное, отличное от нуля число.
Замечание 4.2. К числу элементарных квадратных матриц относят
обычно также матрицу а'" = ||а^'|| (г, / = 1,2, ..., /г), у которой все эле-
элементы—нули, за исключением а|„ = 1, a'mi = ]., ^' = 1, где /, т, как
и выше, — не равные друг другу какие-нибудь два числа из натурального
ряда 1, 2, ..., п, ah принимает все значения от 1 до п, кроме зна-
значений, равных /, т. Однако в дальнейшем матрица а'" не причисляется
к элементарным матрицам, поскольку она может быть выражена в виде
произведения матриц типов а', а" (упражнение 1).
Элементарные преобразования (а) и (б) матрицы А равносильны умно-
умножению ее по индексу i соответственно на элементарные квадратные мат-
матрицы а' и а".
В самом деле, произведение A{i\a' представляет кубическую матрицу
л-го порядка, отличающуюся от А только тем, что ее 1-е сечение ориента-
ориентации (г) равно умноженному на t 1-му сечению той же ориентации в мат-
матрице А. К этой же матрице приходим, подвергая А элементарному преобра-
преобразованию (а). Точно так же произведение A {i} а" равно кубической матрице
л-го порядка, отличающейся от А только тем, что ее m-Q сечение ориента-
ориентации (г) представляет сумму m-ro и умноженного на t 1-го сечений ориента-
ориентации (г) в матрице А. Тот же результат получим, подвергая А элементарному
преобразованию (б).
Очевидно также, что элементарные преобразования (а) и (б) матрицы А
равносильны соответственно невырожденньш линейным преобразованиям
(а)
(б)
X i = t
xi —
(i= 1, .... / — 1,
. . ., n; 1 <s mf_' n; l Ф m)
1) Cp. [20], стр. 152.
2) Cp. [6], стр. lit, 112.

76
ОПЕРАЦИИ НАЛ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
трилинейной формы
Аць.хгУ jzk> ассоциированной с матри-
цей Л.
Аналогичные замечания имеют место для элементарных преобразований
по индексу / или к матрицы А.
2. Всякая невырожденная квадратная матрица п-то порядка а может
быть представлена, как известно1), в виде произведения некоторого конеч-
конечного числа q элементарных матриц того же порядка
п _ ,,A) яB) n(q) (А \\
Поэтому произведение по какому-нибудь индексу, например i, кубиче-
кубической матрицы п-то порядка А на а представимо согласно формуле C.5)
в виде
Л {I) а = [(Л {/j «('>){?:} а<2> ... ]{i}a<4>,
что равносильно конечному числу элементарных преобразований матрицы А.
Таким образом, всякому невырожденному линейному преобразованию
по любому ряду переменных трилинейной формы F, сопровождающемуся,
как показано в § 2, умножением по соответственному индексу матрицы А
формы F на невырожденную квадратную матрицу а линейного преобразо-
преобразования, отвечает также конечная последовательность элементарных преобра-
преобразований по тому же индексу матрицы А.
Например, трилинейная форма
приводится невырожденными линейными преобразованиями
— X А-—Х
— — -1 Y
к трилинейной форме
W = ХЛ\ХХ + WX, Y:Zi + X,YXZ2 + Ay3Z, -i-X2V'2Z2.
При этом
— С,
где А и С — матрицы форм F и х?.
Матрица А приводится к С также цепочкой элементарных преобразований
7
А
Г/1
1
0
2
О
.(
L
\
{/}
1
0
5
5
{к)
1-
0
4
1
+
II(k)
//@
•(-
1
5
)¦
• (-4),
Две трилинейные формы над полем Р называются эквивалентными
i: этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи
невырожденных линейных преобразований с коэффициентами из поля Р.
l) См., например, [39], стр. 290 или [6], стр. 115.

% 4] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 77
Соответственно этому две кубические матрицы над полем Р называются
эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к дру-
другой при помощи конечного числа элементарных преобразований или, что
то же самое, посредством умножения на невырожденные квадратные матрицы
с элементами пз поля Р.
Говорят также об эквивалентности в более общем смысле пли g-эквн-
валентности трилинейных форм и их матриц1). Именно, две трилинейные
формы F, Чг (матрицы А, С) над полем Р называют ^-эквивалентными
в этом поле, если эквивалентны в поле Р формы F', Y (матрицы А', С),
где F' — трилинейная форма, матрица которой Л' —одна из шести транспо-
транспонированных матриц относительно А. Таким образом, эквивалентные трили-
трилинейные формы (кубические матрицы) являются также ^-эквивалентными.
Замечание 4.3. Данное выше определение элементарных преобразо-
преобразований по какому-либо индексу кубической матрицы, а также определения
эквивалентности и ^-эквивалентности двух кубических матриц и ассоцииро-
ассоциированных с ними трилинейных форм очевидным образом распространяются
на пространственные матрицы любого числа измерений и ассоциированные
с ними полилинейные формы.
3. Возьмем представляемое формулой C.10') произведение A {if} а куби-
кубической матрицы ге-ro порядка А на невырожденную квадратную матрицу
того же порядка а. Пользуясь разложение.м D.1) матрицы а на элементар-
элементарные матрицы а^\ аB\ ..., а(';), получаем:
и так как порядок следования квадратных матриц в произведении по раз-
различным индексам не влияет на результат умножения, то
A {if} а = {[{А {1} а(О) {/} а^> ¦¦¦] Щ а(«>} {/] а<«)
или, в сокращенном обозначении,
Л {if} a = [(A {if} oO) {if} а^) . . .] {if} a<«>. D.2)
Полагая
D.3)
A™ = A<»[ij>
будем, таким образом, иметь:
A{if}a = A(q).
Канадой из операций D.3) равносильна одна из следующих операций,
которые назовем симметрическими элементарными преобразованиями
по индексам i, f матрицы А:
(а) умножение 1-го сечения каждой из ориентации (i), (/') на одно
и то же произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;
(б) прибавление к m-му сечению каждой из ориентации (i), (/') умно-
умноженного на t 1-го сечения соответствующей ориентации (I, m—любые
из значений 1, 2, . . ., я).
Эти операции в дальнейшем будем обозначать символами
(a) l(if)
(б) m(if) + I (if)
¦t,
¦t.
См. [223]. гтр. 679.

78 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. И
Замечание 4.4. Элементарными преобразованиями типов (а), (б)
можно совершить над матрицей А операцию
(в)
заключающуюся в перестановке 1-го и пг-го сечений, каждой из ориентации
(i), (/) (упражнение 2).
Аналогично определяются симметрические элементарные преобразова-
преобразования по индексам i, k или /, к матрицы А.
Таким образом, подвергая трилинейную форму F с кубической матри-
матрицей А невырожденным линейным преобразованиям по двум каким-либо
рядам переменных с одной и той же квадратной матрицей а, мы придем
к трилинейной фбрме Ф, матрица которой. В может быть получена также
последовательным умножением по соответствующим двум индексам матрицы
Л на а или равносильной операцией — симметрическими элементарными пре-
преобразованиями по этим двум индексам матрицы А, повторенными конечное
число раз.
п
Точно так же, если форму F' — д] А'цих^у^у^ линейную относительно
Xj, ж2, ..., хп и квадратичную относительно yv у2, ..., уп, с кубической
матрицей Л' = )|.Л{#|| (г, /', к= 1, 2, ..., га), симметрической относительно
индексов /, к, подвергнем невырожденным линейным преобразованиям
71
хх= 2., axiXi (X = \, 2, ..., я),
п
У'ц = .^L ^цjYj (f1 = 1» 2, . .., п)
с квадратными матрицами
a = |jaM|| (X, i = l, 2, .. ., п),
Ь = ||Ь|«|1 (И,/=1,2, .".., га),
п
то придем к линейно-квадратичной форме Ф' = 2j В'циХ^Y^Yk с куби-
кубической матрицей В' — || В'ци ]| (г,/, к =1,2, ..., п), симметрической относи-
относительно тех же индексов /, к. Матрицу В' можно определять также равен-
равенством
или рассматривать как результат конечного числа элементарных преобразо-
преобразований по индексу i и симметрических элементарных преобразований
по индексам /, к, произведенных в некоторой последовательности над
матрицей А'.
Аналогичные результаты получим для линейно-квадратичных форм
п п
i,j, fe=t ' ; »,j,ft=l
с кубическими матрицами, симметрическими относительно индексоп i, к
и г, /.
Как и в случае трилинейных форм, две линейно-квадратичные формы
над полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной
из них можно перейти к другой при помощи невырожденных линейных
преобразований с коэффициентами поля Р.

§ 4] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 79
Соответственно этому две кубические матрицы над полем Р, симметри-
симметрические относительно одной и той же пары индексов, называются эквивалент-
эквивалентными в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при
помощи конечного числа симметрических элементарных преобразований
по индексам этой пары и элементарных преобразований по третьему индексу.
Если две линейно-квадратичные формы F', Ф' (или их матрицы А', В')
эквивалентны в поле Р, то каждая из линейно-квадратичных форм F', F",
F'" (или их матриц А', А", А", где А", А'" — транспонированные матрицы
относительно А' соответственно циклическим подстановкам (i, f, k), (i, к, /'))
будет g-жвивалентной форме Ф' (или матрице В').
Таким образом, эквивалентные линейно-квадратичные формы (или
их матрицы) будут также g-эквивалентными.
4. Возьмем теперь представляемое формулой C.14) произведение
A {ifк] а кубической матрицы n-го порядка А на невырожденную квадрат-
квадратную матрицу а того же порядка. Принимая во внимание разложение D.1),
можем представить это произведение в виде
A {ifк} а = [(A {ifк} аа)) {ifк} а<2) . . . ] {ifк) а<«>.
Полагая
будем, таким образом, иметь:
A{ifk)a = A'q\
Каждой из операций D.4) равносильна одна из следующих операций,
которые назовем симметрическими элементарными преобразованиями
матрицы А:
(а) умножение Z-ro сечения каждой ориентации на одно и то же
произвольное, отличное от нуля число t из поля Р;
(б) прибавление к т-му сечению каждой ориентации умноженного
на / /-го сечения соответствующей ориентации (L т — любые из значе-
значений 1, 2, . .. , п).
Ути операции в дальнейшем будем обозначать символами
(а)
(б)
т
I -t,
+1
Замечание 4.5. Симметрическими элементарными^преобразованиями
типов (а), (б) можно совершить над матрицей А операцию
(в) \1-т
заключающуюся в перестановке 1-го и т-го сечений каждой ориентации
(упражнение 2).
Таким образом, подвергая трилинейную форму F с кубической мат-
матрицей А невырожденным линейным преобразованиям по всем трем рядам
переменных с одной и той же квадратной матрицей а, мы получим трили-
трилинейную форму W, матрица которой С может быть определена также
последовательным умножением но всем индексам матрицы А на а или рав-
равносильной операцией — симметрическими элементарными преобразованиями
матрицы А, повторенными конечное число раз.

80 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
п
Точно так же, подвергая кубическую форму /= 2 A\jhxixjxh
г ;\ь=1
с симметрической кубической матрицей А = \\Aiih || (г, /, к= 1, 2, ... , п)
невырожденному линейному преобразованию
п
г=1
с. квадратной матрицей а = ||а^||(А,, г=1, 2, .. . , /г), мы придем к ку-
п
бической форме т|з= У\ С;дХ;Х ,-Хй с симметрической кубической дт-
трицей С =\\Cijh\\ (г, /, Л-= 1, 2, . . . , /г), которая может быть получена
также последовательным умножением по всем индексам матрицы А на а
или равносильной операцией — симметрическими элементарными преобразо-
преобразованиями матрицы А, повторенными конечное число раз.
Две кубические формы над полем Р называются эквивалентными
в этом поле, если от одной из них можно перейти к другой при помощи
невырожденного линейного преобразования с коэффициентами из поля Р.
Соответственно этому две симметрические кубические матрицы над
полем Р называются эквивалентными в этом поле, если от одной из них
можно перейти к другой при помощи конечного числа симметрических
элементарных преобразований или, что то же самое, посредством умножения
по всем индексам на невырожденную квадратную матрицу с элементами
из поля Р.
Замечание 4.6. Данные выше определения симметрических элемен-
элементарных преобразований по двум или всем трем индексам кубической
матрицы, а также определения эквивалентности двух кубических матриц,
симметрических относительно двух или всех трех индексов, очевидным
образом распространяются на пространственные матрицы любого числа
измерений.
5. В заключение рассмотрим элементарные преобразования полино-
полиномиальной пространственной матрицы. Не нарушая общности, мы можем
ограничиться случаем полиномиальной кубической матрицы п-ro порядка
M(X) = \\Mijh(k)\\(i, /, к = \, 2, .. . , п) или кубической ^.-матрицы, эле-
ментами которой являются полиномы от к с коэффициентами из поля Р.
Элементарными преобразованиями по какому-нибудь индексу, напри-
например но индексу i, матрицы М(к) называются следующие операции х):
(а) умножение 1-го сечения ориентации (г) на произвольное, отличное
от нуля число I из поля Р;
¦¦¦- (б) прибавление к m-му сечению ориентации (г) 1-го сечения той же
ориентации, умноженного на произвольный полином г}з(Я) с коэффициен-
коэффициентами из поля"-Р (/, т — любые из значений 1, 2, .. . , п).
Замечание 4.7. Элементарными преобразованиями типов (а), (б)
можно переставить Z-e и т-е сечения ориентации (t) в матрице М {%).
Нетрудно убедиться, что элементарные преобразования (а), (б) матрицы
М (К) равносильны умножению ее по индексу i соответственно на элемен-
элементарные квадратные'матрицы п-ro порядка а', а", где а'—диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, кроме одного,
равного I, а матрица а" имеет все элементы — нули, за исключением диаго-
диагональных элементов, равных 1, и элемента я|',,, — ty(X).
Ср. [201, стр. 151, 152.

S 4] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 81
Очевидно также, что эти преобразования равносильны соответственно
линейным преобразованиям
I l_ *' (i— 1, . . . , /— 1, /+ 1 n; lr^-.rn. '_"¦ n; l ф m)
(а)
трилинейной формы F= ^\ М11к(Х)хгу,гк, ассоциированной с матрицей
i.L ft=l
М (X), причем детерминанты этих преобразований не зависят от X и отличны
от нуля.
Аналогичные замечания имеют место и для элементарных преобразо-
преобразований по индексу / или к матрицы М (X).
Таким образом, подвергая трилинейную форму F с матрицей М(Х)
линейному преобразованию по какому-либо ряду переменных, например
преобразованию
п
3=1 1> '
с матрицей а(Х) — || аи (X) || (i, /=1, 2 п), элементы которой явля-
являются, вообще говоря, полиномами от X, а детерминант не зависит от X
и не равен нулю, мы придем к трилинейной форме F', матрица которой
М'(X), будучи равна произведению AI (X) {?.} а(Х), может быть получена
также в результате конечного числа элементарных преобразований по
индексу i матрицы М (X).
Элементарные преобразования полиномиальной кубической матрицы
называются симметрическими по каким-либо двум индексам, например по
индексам i, j, если любое из этих преобразований, совершаемое над сече-
сечениями ориентации (г), воспроизводится над соответствующими сечениями
ориентации (/).
Элементарные преобразования полиномиальной кубической матрицы
называются симметрическими, если любое из них, совершаемое над сече-
сечениями одной ориентации, воспроизводится над соответствующими сечени-
сечениями остальных двух ориентации.
Для обозначения элементарных преобразований всех типов полиноми-
полиномиальной кубической матрицы применяются те же символы, как и в случае
постоянной (неполиномиальной) кубической матрицы.
Точно так же, как и для постоянных кубических матриц и ассоци-
ассоциированных с ними алгебраических форм, определяется эквивалентность
в поле Р полиномиальных кубических матриц (асимметрических или сим-
симметрических относительно двух или всех трех индексов) и ассоциированных
с этими матрицами алгебраических форм.
Упражнения
1. Показать, что матрица а'" (замечание 4.2) может быть представлена в виде про-
произведения элементарных квадратных матриц n-го порядка аA>, аB>, аC), аD), у которых
все элементы —нули, за исключением а^ = affl =4Р = 1 (; = 1> 2, ... , п), а\Ц= — 1,
2. Показать, что операция l—{ij)—т I l — m \ над кубической матрицей
|| ijh II («. /, & = lt 2, ..., л) равносильна конечной последовательности симметриче-
симметрических элементарных преобразований по двум индексам i, j (по всем индексам i, i, k)
этой матрицы.
6 п. П. Соколов

82
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. Н
3. Показать, что невырожденным линейным преобразованиям
• = *. 2 п; mSp)
/1-линейной формы F=
жением по индексам
^ Лц^,,., ж^жB' ... х^р\ сопровождающимся умпо-
ip~i
1; г2, ... , im /?-мерной матрицы А формы F на невырожденные
квадратные матрицы линейных преобразований (упражнение 5 § 3), соответствует так-
также конечная последовательность элементарных преобразований по тем же индексам
матрицы А. Дать определение эквивалентности и ^-эквивалентности двух /^-линейных
форм и их матриц над полем Р.
4. Показать, что невырожденному линейному преобразованию
(j = l, 2, ... , п) формы р-й степени /=
Aixi2
ivxixxi%
п
3=1
¦ % с сим-
„ . 1V
метрической jo-мернои матрицей А, сопровождающемуся умножением по индексам
ij, i2, ... , г'р матрицы А на невырожденную квадратную матрицу а линейного пре-
преобразования (упражнение 7 § 3), соответствует также конечная последовательность сим-
симметрических элементарных преобразований матрицы А, Дать определение эквивалент-
эквивалентности двух таких форм и матриц над полом Р.
5. В какую эквивалентную матрицу переводится элементарными преобразованиями
11(к)\-3
кубическая ^.-матрица
2X4-1
ЗХ-2 К— 1
—1
Kft)
симметрическая относительно индексов i, / ? Указать другую матричную операцию,
равносильную упомянутым выше элементарным преобразованиям.
6. В какую эквивалентную матрицу переводится симметрическими элементарными
преобразованиями
+
/
1
//
•3
симметрическая кубическая ^.-матрица
О
О ).
(»)
Полученный результат проверить, умножая надлежащим образом М (X) на квадратную
Х-матрицу, соответствующую указанным выше эломептарпым преобразованиям.
§ 5. Клеточные пространственные матрицы и операции над ними
1. Возьмем какую-нибудь пространственную матрицу порядка n = mv,
например кубическую матрицу Л = ||ЛШ|| (г, /, к=1, 2,..., п), и разо-
разобьем ее тремя системами плоскостей, параллельных сечениям ориентации (г),
(/), (к), на т3 кубических матриц порядка v. Тогда матрицу А можно рас-
рассматривать как клеточную кубическую матрицу т-го порядка, элементами
которой являются кубические матрицы v-ro порядка. Очевидно, в зависи-
зависимости от разложения числа п на множители матрица А может быть разбита
на клетки различными способами. Так, например, кубическую матрицу
6-го порядка можно рассматривать как клеточную кубическую матрицу

S 5]
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ
83
2-го порядка, у которой каждый элемент есть кубическая матрица 3-го
порядка, и ту же матрицу можно рассматривать как клеточную кубическую
матрицу 3-го порядка с элементами, являющимися кубическими матрицами
2-го порядка.
Разбиение пространственной матрицы на клетки представляется целе-
целесообразным во многих случаях, так как основные операции над клеточными
пространственными матрицами совершаются формально по тем же правилам,
как и в случае, когда вместо клеток имеем числовые глементы.
Пусть, например, даны две ^-мерные матрицы А, В одного и того же
порядка п = mv с одинаковыми разбиениями на клетки:
A = \\Uili2...ip\\, ¦6 = l!^i1i2.--ipll (ivi.2,..., ip = l, 2, . .. , m),
где Ui{ ,¦ , Vi j . _. { — ^-мерные матрицы порядка v. Чтобы найти сум-
сумму матриц А и В, надо согласно определению сложить их соответственные
элементы. Однако то же самое произойдет и тогда, когда мы сложим соот-
соответственные клетки этих матриц. Следовательно,
Точно так же, умножая все клетки матрицы А на какое-нибудь число t из
поля Р, мы умножим на t все элементы этой матрицы. Поэтому
Нетрудно, наконец, убедиться в том, что произведение по какому-нибудь
индексу ^-мерной матрицы А порядка п = mv на (/-мерную матрицу а того
же порядка равно произведению по тому же индексу клеточной матрицы U
порядка т, полученной разбиением А, на клеточную матрицу и того-же
порядка, которая подобным разбиением получается из а.
Действительно, пусть две какие-нибудь матрицы, например кубическая
матрица ^4 = ||/li;ft[| (г, /, /с=1, 2,..., п) и квадратная матрица а =
= llai3'll (г'> /=1> 2, ... , п) одного и того же порядка n = mv, разбиты
одинаковым образом на клетки, так что А и а представляются соответст-
соответственно клеточными матрицами m-ro порядка
где
uah II (г\ U к = 1, 2, . .. , т) и и = || ии || (г, /= 1, 2, . .. , т),
A(i-l)v+l, (i-l)v-H, (ft-i
A(i-l) v+l, ;v, (ft-l)v-fl • • • A(i-l)v+i, iv, hv
, (;-l) v+l, (ft-1) v+l • ¦ • -^iv, (i-l)v+l, hv
1, hv
iv, iv, (ft—1) v+l
Vt jVi
(О
«(i-l) v+l, (j-1) v+l • • • Я(*-1) v+l, jv
aiv, C-1) v+l ¦ •
матрицы v-ro порядка.
v, iv
4-
(i)

84
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
Составим произведение но какому-нибудь из индексов i, j, к, напри-
например по индексу к, матрицы (/ на а, совершая умножение по тому же
правилу, как и в случае матриц с числовыми элементами. Получим:
U{k}u =
2
2 UimX {к} uxi . .. 2 и\т. \к)
1 1
{к}
¦(О
¦(*)¦
Входящие в последнее выражение произведения вида Ua$x {к) иху, где а,
Р, у — любые из значений 1, 2, .... т, представляются кубическими матри-
матрицами v-ro порядка:
, (p-Dv+1, a-
. (Y-Dv+l
, pv, a-
V
Ц=Г
H=l
•('¦)
v, (p-l)v+l,a-l)v+u«(».-l)v+n,
, pv, (j,-
v. Pv, a-
-(A)

5]
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ
85
Следовательно,
U {к} н =
v
Z.1
, mv
m V
2. Zj Ait „,v, (?b-
, mv
@
m v
\l \i
, mv
У У
Zj Zj
nmv, mv, (>„—
711 V
^, 1
• • • Zj 2. -4»iv, mv, a-l)v-! Ji,a(A.-l)v+H, m
?.= ! A=1
I—(A)
Наконец, полагая
и замечая, что mv -
U{k}u =
n
T=l
n
T=l
= п, имеем:
n
¦ ¦ Zj A i i TaTn
It
N1 л
1=1
. . .
n
Z Anua
T=l
n
T=l
71
ri • • • Zj ^4niTaxn
T=l
Tl • • • Z -^'НПТ^ТП
T=l
•(A)
т. e. U{k}u=A{k}a.
2. Образуем из элементов кубической матрицы n-го порядка А = ||^4щ ||
(г, /, &= 1, 2, . . ., и) все возможные минорные кубические матрицы порядка
v B sS v < и— 1). Число этих матриц равно (СпK. Чтобы из них можно было
составить клеточную кубическую матрицу порядка Сп, пронумеруем все Сп
сочетаний из п чисел 1, 2, ..., п по v в нормальном, лексикографическом,
порядке, в каком, например, следуют сочетания 12, 13, 23 из трех чисел 1,
2, 3 по два. Если сочетания
/(I), /С2>, ..
E.1)
E.2)
E.3)

86 ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ [ГЛ. II
при этой нумерации имеют соответственно номера а, р\ у, то минорную
кубическую матрицу v-ro порядка, лежащую в сечениях ориентации (г),
(/), (к) матрицы А, определяемых последовательностями E.1), E.2), E.3),
будем обозначать через U^y- Тогда клеточная кубическая матрица
= II <ЧЛ |
• т. _ л о rv\
будет содержать все F'пK минорных кубических матриц v-ro порядка,
составленных из элементов матрицы А. Согласно терминологии Раиса [204],
она называется v-u составной матрицей для А.
Аналогично определяется v-я составная матрица
А/М _ |( f/(v) . || /,• ,• г — 1 2 Cv\
и — || t'ijXj.. . ip|| \lii 1-2' ¦••' lp— 1i ^> ¦••¦> ьп)
для jo-мерной матрицы
A = \\Aii ... , „|| (iv г.„ ..., ip=l, 2, .. ., я).
Произведение по какому-либо индексу v-й составной матрицы f/(v' для
/^-мерной матрицы А порядка п на v-ю составную матрицу uW для ^-мерной
матрицы а того же порядка равно числу Cn-ь умноженному на v-ю состав-
составную матрицу для произведения по соответственному индексу матрицы А на а.
В самом деле, возьмем две какие-нибудь матрицы одного и того же
порядка п, например кубическую матрицу .4 = || ^4i;-ft || (i, /, ft=l, 2, ...,п)
и квадратную матрицу a = ||ai;|| (i, /=1, 2, ..., п), и составим произведе-
произведение по какому-либо из индексов г, /, к, например по индексу к, матрицы А
на а:
п
Л{к)а = \\ 2 Ацхахк\\.
Полагая
п
^ -4ii)a).k = Bijh, E.4)
будем иметь:
Л {&} а =; В,
где
^ = ll^mll ('• А А=1. 2- •••• »)•
Образуем для Z? v-ю составную матрицу
F(v) = ||F$k!| (I,J,K=l,2 СХ), E.5)
где
/ t=iA), гч2), ..., i<v) ч
/ /С «\
E.0)
причем значения, пробегаемые индексами г, /, к, являются сочетаниями
пз я чисел 1, 2, ..., я по v, имеющими в упорядоченном ряду Сп сочетаний
соответственно номера /, /, К.
Точно так же v-ми составными матрицами для А и а будут:
U{v) = || UWk И {I,J,K=U2, ..., Cl), «(v) = || 4v; || (/,/=1,2,..., Q,
E.7)

§ 5]
КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ МАТРИЦЫ
87
где
/I I ,? , ...»
_ II л ill/— /A) ;B> /(v) 1
i=iA>, iB), . . ., /M
/=/A), /;2) P-
E.8)
Составим теперь, принимая во внимание равенства E.7), произведение
с-.
E-9)
\2
А=1
На основании равенств E.8) получаем:
U
(v) Гьг> (v)
/(V)
где лA), А,B), ..., X(v) — сочетание из п чисел 1, 2, ..., п no v, имеющее
номер Л в упорядоченном ряду Сп сочетаний.
Следовательно,
^^a {К
Л=1
/(V)
_ л.A> ы2> 1.0
— П. , л, , . . . , /t
или ввиду равенств E.4) н E.6)
cv
МЛК = Cn-iVIJK-
E.10)
Принимая во внимание равенства E.10) и E.5), можем представить
матрицу E.9) в виде
А это и доказывает наше утверждение.
3. Пусть | А | — какой-либо из детерминантов уэ-мерной матрицы п-то по-
порядка А. Косигнатурный детерминант |Af(v)| матрицы M(v\ составленной
из миноров v-ro порядка B^vgn-l) детерминанта \А\, расположенных
по каждому направлению в нормальном порядке, называется v-м составным
детерминантом для \А\ (Райе [204]).
Например, для детерминанта | А+±+ | (г, /, к= 1, 2, 3) кубической матрн-
k
цы 3-го порядка А = || Ai,k || вторым составным детерминантом будет косигна-
косигнатурный детерминант \М+±±\ (г, /, /с=1, 2, 3), где М\I есть кубический
i 3 h
+
детерминант с сигнатурой (г) матрицы Uf^,, являющейся элементом второй
составной матрицы ?/'2> для А.
Детерминант |U|, получающийся из \А\ заменой каждого элемента
алгебраическим дополнением его, называется присоединенным детерминантом
для \А\ (Райе [204]). Нетрудно убедиться, что Щ| = \MW'^\ (упражнение 3).

88
ОПЕРАЦИИ НАД ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
[ГЛ. II
Так, для |Л+±±| (г, j, к—\, 2, 3) присоединенный детерминант |U+.j.±|
i 3 h i j к
(i, j, A,-=l, 2, 3) согласно принятым выше обозначениям может быть пред-
представлен в виде
Ш++±|(«\ /, *-1,2,3)-
i з к
И B) л^B)
313 —-"S14
Л/22Я
-mv»
'123
t\Va
ik/221 Ж.222
f<2> lf<2>
'232 J"-233
--(А)
@
Упражнения
1. />-мерная матрица /г-го порядка называется к л ст о ч н о-д и а г она л ь н о и '),
если ее можно разбить на клетки так, чтобы диагональные клетки, не все равные О,
были jo-мерными матрицами порядков Vj, v2, ..., vtn (vx-j-v2-|-.. •-f"Vm = »i), а все не-
недиагональные клетки состояли целиком из нулей. Показать, что основные операции над
клеточно-диагональными пространственными матрицами приводятся к соответственным
операциям над их диагональными клетками.
2. Показать, что любой из детерминантов клеточно-диагональной пространственной
матрицы равен произведению косигнатурных детерминантов ее диагональных клеток.
3. Дан /7-мерный детерминант л-го порядка | А |. Показать, что присоединенный
детерминант для \А\ может быть получен из (я—1)-го составного детерминанта для \А\
путем обращения порядка сечений (простых) каждой ориентации и умножения на — I
каждого четного сечения каждой альтернативной ориентации (Райе [204]).
4. Даны /7-мерный и g-мерный детерминанты л-го порядка \А\ и \а\, род которых
отличен от нуля. Доказать, что v-й B s v s л — 1) составной детерминант (присоединен-
(присоединенный детерминант) для произведения детерминантов |Л|-|а|, составленного по правилу
Кэли — Раиса, поэлементно равен составленному таким же образом произведению v-x со-
составных детерминантов (присоединенных детерминантов) для \А\ и \а\ (Райе [201]).
5. Даны /7-мерный и g-мерный детерминанты n-го порядка \А\ и \а\ с любыми
сигнатурами. Доказать, что v-й Bsvs п—1) составной детерминант (присоединенный
детерминант) для произведения детерминантов \А\, \а\, составленного по правилу
Скотта — Раиса, равен составленному таким же образом произведению v-x составных
детерминантов (присоединенных детерминантов) для \ А\ и \а\ (Райе [200]).
6. Показать, что v-й B s v s в—1) составной детерминант [ Т^ | для произведе
ния \Т\ двух обычных детерминантов л-го порядка \а\, \Ь\, составленного по правилу
сУ-\
Падуа (упражнение 17а § 2), равен | Т \ п (Райе [204]).
7. Показать,' что всякий минор v-го Bgvs л—1) порядка присоединенного детер-
детерминанта для произведения \Т\ двух обычных детерминантов л-го порядка \а\, \Ь\,
составленного по правилу Падуа, равен алгебраическому дополнению соответствующего,
минора детерминанта \Т\, умноженному на \T\v~l (Райе [199]).
8. Пусть дан какой-либо многомерный детерминант л-го порядка | А |. Замещая
в v-м Bsvs re—1) составном детерминанте | М^' \ для | А\ каждый элемент, являю-
являющийся мипором v-ro порядка детерминанта \А\, его алгебраическим дополнением в \А \г
мы получим конформный (л—\)-ж составной детерминант |2K'n~v'| для \А\. Пока-
Показать, что он равен (п— v)-My составному детерминанту | M(n~v) I для \А\ (Райе [204]).
») Ср. [20], стр. 44.

ГЛАВА III
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
И АССОЦИИРОВАННЫХ С НИМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
§ 1. Двумерные ранги
1. Будем рассматривать пространственную матрицу А порядка п над
некоторым числовым полем Р. Начнем с простейшего случая, когда А —
кубическая матрица Ц^ьЦ (г, /, /с = 1, 2, ..., п). Фиксируя в ней значения
всех индексов, кроме одного из них, например индекса /, пробегающего
значения 1, 2, . . ., п, мы получим строку направления (г). Из п% строк
этого направления составим двумерную матрицу || Aijh ||, имеющую п строк
и пг столбцов, причем как строки, так и столбцы располагаются в нор-
нормальном порядке. Например, при п = 2 будем иметь:
111 "^112 '^121 ^1
АЛЛ
211 Л212 -^221 Л1
Ранг /-j двумерной матрицы || Aljh \\ называется двумерным рангом
по индексу i матрицы А.
Аналогично определяются двумерные ранги г;- (по индексу /) и rk
(по индексу к) матрицы А г).
Теорема 1.1. Двумерные ранги rt, rs, rk кубической матрицы А явля-
являются арифметическими инвариантами относительно ее элементарных
преобразований. Действительно, операция
<а) \Ц&)
¦ t
над матрицей Л вызывает в двумерной матрице || Aijk \\ при 6 = i умно-
умножение на t l-ii строки, а при 6 = / или 6 = к — умножение на t соответ-
соответственно [А, + 1 -[¦• (I — 1) п]-х или (I -f %п)-х столбцов (к пробегает значе-
значения 0, 1, . . ., я— 1). Операция
(б)
т(д) + /F) -I
над А сопровождается следующими операциями над ||^4ijft||: прибавлением
к т-& строке умноженной на t Z-ой строки, если 6 = i\ прибавлением к
[к -г 14- (т — 1) я]-м столбцам умноженных на t {к + 1 + (/ — 1) я]-х столбцов,
если 6=/; прибавлением к (т-\- Хп)-ы столбцам умноженных на t (l-\-Kn)-x
столбцов, если 6 = к (к пробегает значения 0, 1, . .., и—1).
Таким образом, элементарные преобразования кубической матрицы А
влекут за собой элементарные преобразования двумерной матрицы ||^ijft||,
при которых, как известно, ее ранг ri остается неизменным. ^"
*) Ср. [103], стр. 170.

90 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Аналогично доказывается неизменяемость рангов г; и гк матрицы А
при ее элементарных преобразованиях.
Теорема 1.2. Каждый из рангов ri,rj,rh кубической матрицы А
не больше, чем произведение двух остальных рангов.
Заметим, прежде всего, что теорема справедлива, если один из ран-
рангов rvrj,rh равен нулю, так как тогда матрица А— нулевая и, следова-
следовательно, остальные два ранга также равны нулю. Поэтому в дальнейшем
мы будем предполагать, что все ранги r{, rjf rk отличны от нуля. Пусть,
например, rt = X и г, = ц., где X и fx — положительные числа, не превосхо-
превосходящие порядка п матрицы А. Докажем, что rh <z X\i.
Так как ранг г,- равен X и не меняется при элементарных преобра-
преобразованиях матрицы А, то в последней, так же как и в любой матрице,
полученной из А элементарными преобразованиями, всегда существуют X
сечений ориентации (г), не состоящих целиком из нулей. Не ограничивая
общности, мы можем предположить, что среди элементов 1-го сечения ориен-
ориентации (г) в матрице А находится по крайней мере один элемент, например
Л,^1)йA), не равный нулю, так как в противном случае достаточно было
бы переставить это сечение с каким-нибудь другим параллельным сечением,
не состоящим целиком из нулей. Прибавляя теперь 1-е сечение ориентации
(i), умножаемое каждый раз на выбранное надлежащим образом число,
к каждому из остальных сечений той же ориентации, мы получим матрицу А^\
в которой строка направления (г), содержащая элемент Al^\-)h^i), имеет
все остальные элементы, равные нулю. Во 2-м сечении ориентации (i) мат-
матрицы АA) можно, очевидно, также без нарушения общности считать по край-
крайней мере один из элементов, например A^\2)kB), отличным от нуля. Поэтому,
прибавляя в А 2-е сечение ориентации (г), умножаемое каждый раз на
выбранное надлежащим образом число, к 3-му, 4-му, . .., /г-му сечениям
той же ориентации, мы получим матрицу Л<2\ в которой, кроме строки
направления (г)
встречавшейся уже в матрице ЛA), будет также строка того же направления
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не придем к матрице Ам, содер-
содержащей среди строк направления (/), кроме упомянутых выше строк и им
подобных, также строку
АЦ(ХЫМА2](ШМ • ¦ ¦ АХЦХЫХ)[)[} ¦ ¦ • U'
где элемент А(}^1(Х) не равен нулю, а все следующие за ним элементы—нули.
Так как составленный из элементов этих строк квадратный детерми-
детерминант порядка X
0 0 ••• 0
0 ... 0
не равен нулю и двумерный ранг по индексу i матрицы А равен X, то
в последней только первые X сечений ориентации (г) содержат элементы,
не все равные нулю, тогда как остальные сечения этой ориентации состоят
целиком из нулей.

ДВУМЕРНЫЕ РАНГИ
91
Производя теперь в матрице А аналогичные преобразования над
сечениями ориентации (/), мы придем к матрице Л(Хд), у которой двумер-
двумерный ранг по индексу / равен \i и все сечения ориентации (/), за исклю-
исключением первых \i, состоят целиком из нулей. При этом нулевые элементы
матрицы А(%) сохраняются и в матрице А(х>1\ так как соответственные
элементы двух сечений ориентации (/) принадлежат одному и тому же сече-
сечению ориентации (г). Двумерная матрица, составленная из строк направ-
направления (к) матрицы А^ , имеет вид
ЛХМ д(ХМ д(ХМ д(ХМ д(ХМ ^(ХМ д(ХМ
ЛХМ ЛХМ ЛХМ ЛХМ л(ХМ ЛХМ ЛХМ
00 ... О
00 ... О
(Хи)
л(Х
А 2
(Х\1)
2
\(X\i)
2
UU . . . U
Так как число всех нулевых столбцов ее равно Я.Ц., то двумерный ранг
по индексу к матрицы А — следовательно, и ранг гь матрицы А — не боль-
больше, чем X.fx. Из теоремы 1.2 вытекают очевидные следствия:
Следствие I. Если один какой-либо из рангов гг, г,, rh равен \,
то остальные два ранга равны между собой.
Следствие II. Если два какие-либо из рангов rltrj,rh равны 1, то
третий ранг также равен 1.
Замечание 1.1. Если кубическая матрица — симметрическая отно-
относительно двух каких-нибудь индексов, то ее двумерные ранги по каждому
из этих индексов одинаковы.
Замечание 1.2. Если кубическая матрица— симметрическая, то все
ее двумерные ранги ru rjt rk одинаковы и могут быть объединены в одно
понятие двумерного ранга г.
2. Возьмем теперь /7-мерную матрицу п-ro порядка А =
2 ) Ф
ip = l, 2,
п). Фиксируя в ней значения всех индексов, кро-
ме т A <; т g р — 1) каких-нибудь из них, например ilt i2, . . . iz, пробегающих
независимо друг от друга значения 1,2, ...,п, мы получим последова-
последовательность пх элементов матрицы А, которые расположим по вертикали в
нормальном порядке. Число таких последовательностей, очевидно, равно
также в нормальном порядке, составим двумер-
имеющую пх строк и nv~x столбцов.
nv~x. Располагая их
ную матрицу || Atl ..
ixi
xix_i_l
i |
полагая последовательно т равным 1, 2, 3,
Например, при р = 4 и п = 2
имеем:
^1111^1112^ 1121^ 1122^ 1211^ 1212^1221^*1222
¦" 21иА 2112'^ 2121^*2122^2211 /*2212"/' 2221^ 2222
\ А . . II
I Л «1*2*3*4 II —
А А А Л
У12211^2212^2221 2222
А А
А А
^2211^2212
А А
^2221^2222

92 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. Ш
Ранг двумерной матрицы || 4j itfT . .д || называется двумерным
рангом г, .. л% по х-кратному индексу it . .. ix матрицы А1). Очевидно, этот
ранг равен двумерному рангу г*т+ ...,- по (р — т)~кратному индексу ix . ..*
матрицы А.
В частности, между двумерными рангами кубической матрицы || Aiik \\
имеют место соотношения
а между двумерными рангами четырехмерной матрицы || Л, j г- i || — со-
соотношения
Теорема 1.3. Двумерные ранги по х-кратным A1^^tsP — 1) индексам
р-мерной матрицы А являются арифметическими инвариантами относитель-
относительно ее элементарных преобразований.
В самом деле, операция
(а) 1(Ь) -t
над матрицей А вызывает в двумерной матрице || At .. лх\х ..л || умноже-
умножение на t пх строк, если б входит в т-кратный индекс, и пр~х~1 столбцов,
если 6 входит в {р — т)-кратный индекс.
Операция
(б)
¦ I
над А сопровождается следующими операциями над ||^ii ..itjt ...i \\: при-
прибавлением к пх~1 строкам умноженных на I других строк, если б входит
в т-кратный индекс, и прибавлением к пр~х~1 столбцам умноженных на t
других столбцов, если б входит в (р — т)-кратный индекс.
Таким образом, элементарные преобразования ^-мерной матрицы А,
влекущие за собой элементарные- преобразования двумерной матрицы
il^4j...itit ..л ||.
| не могут изменить ее двумерного ранга по т-кратному
A tS т -С-, р — 1) индексу.
Легко обобщается на случай любой пространственной матрицы и
теорема 1.2 (упражнения 4 и 5), а также вытекающие из нее следствия
I и II (упражнения 6 и 7), если выразить их в несколько видоизменен-
видоизмененной форме, заменяя ранги r{, r,, rh соответственно равными им ранга-
рангами rjh, rih, ru.
Ср. [103], стр. 174.

§ 1] ДВУМЕРНЫЕ РАНГИ 93
Замечание 1.3. Если уэ-мерная лтатрица — симметрическая, то ее
двумерные ранги но каждому из т-кратных (lrgtig/? — 1) индексов
одинаковы.
Замечание 1.4. Все рассмотренные в этом параграфе двумерные
ранги пространственной матрицы А называются также двумерными рангами
ассоциированной с ней алгебраической формы F и являются арифметиче-
арифметическими инвариантами относительно ее невырожденных линейных преобразо-
преобразований.
Упражнения
1. Фиксируя в матрице || у!^ || (г, /, к=\, 2, 3) последовательно значения каждой
пары индексов, составить из строк соответствующих направлений двумерные матрицы
\\Aijb ||> !M;ifel|, IMftij- l|i имеющие по три строки и по девять столбцов, расположенных
в нормальном порядке.
2. Фиксируя в матрице ||_4ijh||(i, /, &=1, 2, 3) последовательно значения каждого
индекса, составить из соответствующих элементов, расположенных в нормальном по-
порядке, двумерные матрицы ||^4i;ft||, || A^j \\, \\А)м\\, имеющие по три столбца и по
девять строк. Сравнить с результатом упражнения 1.
3. Показать, что кубический детерминант re-го порядка равен нулю, если двумер-
кый ранг соответствующей кубической матрицы по одному какому-либо из альторпа-
тивных индексов меньше, чем п. Обобщить для любого многомерного детерминанта
порядка п.
4. Доказать, что двумерный ранг по любому т-кратпому A gtg^—1) индексу
р-мерной матрицы не больше, чем произведение т двумерных рангов ее по каждому из
простых индексов, входящих в состав т-кратного индекса (Райе [202]).
5. Разбивая какие-нибудь т (т < р) индексов /^-мерной матрицы А на какое-либо
число s групп, каждая из которых состоит соответственно из хг, т2, •.., ts (тх + т2-\- ¦. ¦
... -)-ts = t) индексов, и рассматривая эти т индексов как т-кратный индекс, a s групп
индексов — как та-кратные (а=1, 2, ..., s) индексы, показать, что двумерный ранг по
т-кратному индексу матрицы А не больше, чем произведение ее s двумерных рангов по
каждому из та-кратных индексов (Ольденбургер [170]).
6. Если двумерный ранг р-мерной матрицы по какому-нибудь т-кратному (т <,' р)
индексу равен 1, то ее двумерные ранги по тгкратному и т2-кратпому (т-^Тг^т)
индексам, составленным из индексов упомянутого выше т-кратного индекса, равны
между собой. Доказать (Ольденбургер [170]).
7. Если двумерные ранги />-мориой матрицы по каждому из s та-кратных
S
(isxaep— 1, ^та = т<~ Р} индексов равны 1, то ее двумерный ранг по т-кратному
индексу, составленному из упомянутых выше s индексов, также равен 1. Доказать
(Ольденбургер [ 170J).
п
8. Даны /-тинейная форма F — У^ Аг i х\^ ... xi с р мерной мат-
матрицей re-го порядка А—\\А, ¦ \\ (ilt ..., ip = 1, ..., re) и (р — 1)-липейная форма
1" • • р
п
Ф= У) В{ л х^)... х(р~1) с (р— 1)-мерной матрицей B=\\Bi 4 Ц
л .• _-| 1 ' ' ' Р—1 1 р—1 1 Р—1
(?,, ..., i" .=1, ..., п) того же порядка п. Полагая В, , = А, .• гп_л_<\, мы можем
1 ' * р—1 1" ' p-V ' '
рассматривать матрицу В как (п-|- 1)-е сечение ориентации (гр) расширенной />-мерноя
матрицы А — || Аг __ Л г || (i'i, ..., ip_! = l n; ip= 1, ..., п+1), полученной при-
присоединением этого сечения к матрице А. Доказать, что необходимое и достаточное
условие приведения формы F к форме Ф, притом единственным образом, заключается
в том, чтобы двумерные ранги по индексу ip матриц А я А были равны п (см. [34]).
9. При выполнении условия упражнения 8 неизвестцые аг^ (v = l, ..., re), допускаю-
п
щие приведение ^-линейной формы F= У! Ai , х^ ... хФ к (р—1)-линейной

94 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
п
форме Ф = У] В4 . х^ ...х^р~1^, определяются, притом единственным
i 4—1 1" Р-1 1 Р-1
i"-" р-1 Г. ,
ооразом, из совместнои системы nV~l линейных уравнении
Составим р-мерные детерминанты л-го порядка с альтернативным индексом ip матрицы А
формы /'
I -<4_|- 4- ± + -- -L -г -1- + ''
где ia , ..., ia —альтернативные индексы, отличные от ip, и где т принимает нечет-
нечетные значения 1, 3, ..., р—1 или у> — 2, смотря но тому, будет ли р четным или нечет-
нечетным. Число таких детерминантов равно 2р~2. Показать, что каждое неизвестное
х^(\ = \, ..., п) системы A.1) может быть представлено любой из тех 2р~2 формул
р' . . .. . .¦.' ' ¦ " • р* 1'"* р— 1
|Л4- + ± 4- + ± + + ±'
A.2)
О
которые не имеют неопределенного вида —; о- —символ Кронекера; при помощи его
и vv
числитель дроби, представляющей х)^\ выражен в виде р-мерного детерминанта, косиг-
натурного с детерминантом, стоящим в знаменателе, и получающегося из него заменой
всех элементов v-ro сечения ориентации AР) соответственными элементами матрицы В
формы Ф (см. [25]).
10. Узнать, согласно критерию упражнения 8, приводится ли трилинейная форма
— 341'
к билинейной форме ф = 5а;?1) х1^-{-Их^ х<^>-{-х^ х^-^дх^ х\2} и если приводится, то
для неизвестных х^, а;'23>, допускающих это приведение, указать все виды решений по
формулам A.2).
И. Если условие упражнения 8 не выполняется, то система A.1) несовместна
и тогда каждая из 2-г'~2 формул A.2) выражает среднее значение (в смысле Шюке [61]) >)
между (п!)Р"а значениями неизвестпых х^ (v=l, 2, ..., re), определяемыми по правилу
Крамера из (п!)Р<-2 систем линейных уравнений
где каждая система состоит из п уравнений, у которых коэффициенты ^и неизвестных
образуют двумерное трансверсальное сечение матрицы А. Среднее арифметическое из этих
2/U-2 средних, если все они имеют определенные конечные значения, может служить
тогда приближенным значением корня х^ системы A.1). Найти таким методом при-
]) Шюке рассматривает дробь тЦ^2 как простую среднюю величину между двумя
данными дробями т^ и т2- .
о, о о

§ 2]
МНОГОМЕРНЫЕ РАНГИ
95
ближенное решение несовместной системы линейных уравнений:
составленной для приведения трилинейной формы
F = 2х^ х[™ х[<» + х[" х\" х«» -I-Зж»!1' ж<2> х{9>
к билинейной форме ф = 8^1) х^ + Пхр х?>-{-28х?> xl1*)-\-27x[y 42\ и сравнить с при-
приближенным решением той же системы, полученным по способу наименьших квадратов.
§ 2. Многомерные ранги
1. Двумерные ранги по простым и кратным индексам являются част-
частным случаем более общего понятия — многомерных рангов пространствен-
пространственной матрицы. Для выяснения этого понятия обратимся снова к кубической
матрице и-ro порядка
Выделим в ней по v (I < v < n) каких-нибудь сечений каждой из
ориентации (i), (/), (к), располагая их в нормальном порядке, причем
некоторые или даже все из v сечений одной какой-нибудь ориентации,
например (i), могут быть повторными. Кубический детерминант v-ro поряд-
порядка с сигнатурой (г), составленный из элементов, общих всем выделенным
сечениям, будем называть трехмерным (кубическим) минором v-го порядки
с сигнатурой (г), порождаемым матрицей А.
Например, кубическими минорами 2-го порядка с сигнатурой (г), по-
порождаемыми матрицей
(О
А =
•4ш Ai
1122
^211 ^212
i
будут детерминанты
А А
111 t12
4 А
Л|21 Л122
А2
А9
¦(О
¦ (к) = А1П Аггг
- ^112 ^221 - Л
121 -12
"+" ^122
Л2\\1
А1
А,
21
Ai
А,
(О
!— (А) = 2 (А1П
А122 - А
122
П2
а212
221
222
А2
Ао
(О
I * ("О =
Это понятие несколько шире данного в § 3 гл. I понятия минора
кубического детерминанта, где все выделяемые в матрице этого детерми-
детерминанта сечения берутся без повторений.

96 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Наивысший порядок отличных от нуля кубических миноров с сигна-
-г
турой (?), порождаемых матрицей А, называется ее трехмерным рангом по
индексам /, к. Его мы будем обозначать символом г %.
Аналогично определяются трехмерные ранги г[$ (по индексам i, />:) и
r(lf (no индексам i, /) матрицы А.
Теорема 2.1. Трехмерные ранги r$, г$, r[f кубической матрицы А
являются арифметическими инвариантами относительно ее элементарных
преобразовании.
В самом деле, операция
(a) I l(b) \-t F—любой из индексов i, j, k)
над матрице!! А сопровождается умножением каждого кубического минора
v-ro порядка с той или иной сигнатурой, порождаемого матрицей А, на Iх,
где К — одно из чисел 0, 1, . . ., v, а потому не влияет на равенство или не-
неравенство нулю этого минора и, следовательно, не изменяет трехмерных
рангов матрицы А.
Операция
(б) 1 т (б) 1 + | /F)
над А при б = г, согласно свойству X (гл. I, § 2) многомерных детерми-
детерминантов, не изменяет порождаемых этой матрицей кубических миноров
с сигнатурой (/) или (к), а следовательно, и рангов г%, г{^. Что же ка-
касается миноров с сигнатурой (г), то они при этой операции могут подвер
гаться изменениям. Именно, миноры v-ro порядка с сигнатурой (г), порож-
порождаемые преобразованной матрицей и содержащие т-е сечение ориентации (г)
исходной матрицы А, являются на основании свойства VIII многомерных
детерминантов линейными однородными функциями косигнатурных миноров
v-ro порядка, порождаемых матрицей А. Следовательно, все они при
v > r(/fe равны нулю и потому ранг г$ не может увеличиться при рас-
рассматриваемой операции. Но он не может и уменьшиться, так как тогда
операция
Г*Щ + [ЖИ-*)
над преобразованной матрицей, приводящая ее к исходной матрице А, вы-
вызвала бы увеличение г$, что, как мы видели, невозможно. Следовательно,
ранг /jl остается неизменным при операции (б), когда 6 = i. Подобным
образом доказывается неизменяемость трехмерных рангов матрицы А при
операции (б), когда 6 = / или б = к.
Теорема 2.2. Трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам
кубической матрицы А не превышает наименьшего из двумерных рангов ее
по каждому из этих индексов.
Действительно, все кубические миноры любого порядка с какой-нибудь
сигнатурой, например (i), порождаемые матрицей А, представляются, как
было показано в § 3 гл. I, суммами обычных детерминантов того же
порядка, составленных из строк направления (/) или (к) матрицы А.
Поэтому согласно определению трехмерный ранг г$ (по индексам /, к)
матрицы А не может быть больше ее двумерных рангов г,- (по индексу /)
и rk (по индексу к), т. е. /$ не превышает наименьшего из рангов rj: гк.
Из теоремы 2.2 вытекают очевидные следствия.

* 2]
МНОГОМЕРНЫЕ РАНГИ
97
Следствие I. Если один из двумерных рангов, например ги куби-
кубической матрицы равен 1, то ее трехмерные ранги г$ и г\^ также равны 1.
Следствие II. Если два какие-либо из двумерных рангов кубичес-
кубической матрицы равны 1, то все трехмерные ранги ее также равны 1.
Следствие III. Если трехмерный ранг по каким-нибудь двум
индексам кубической матрицы п-го порядка равен п, то ее двумерные ранги
по каждому из этих индексов также равны п.
Следствие IV. Если два какие-либо из трехмерных рангов куби-
кубической матрицы п-го порядка равны п, то все двумерные ранги се также
равны п.
Теорема 2.3. Если трехмерный ранг по одной паре индексов куби-
кубической матрицы А равен 1, то ее трехмерный ранг по другой какой-либо
паре индексов и двумерный ранг по индексу, общему этим двум парам,
также равны 1.
В самом деле, пусть один из трехмерных рангов, например г(Д\ матри-
матрицы A=\\Aijk\\(i, j, k = i, 2, ...,п) равен 1. Но ограничивая общности,
можем предположить, что Ani Ф 0. Прибавляя тогда в матрице А 1-е сече-
сечение каждой ориентации, умножаемое всякий раз на выбранное надлежащим
в_ _ В
7Г ^
/1 ]
/23f
\ О''
 -/---
o\
-(*)
B.1)
I
О)
Рис. 12.
образом число, ко всем параллельным сечениям, мы получим кубическую
матрицу п-то порядка, у которой все элементы трех строк, имеющих
общий элемент AiU, равны нулю, за исключением одного этого элемента.
Так как в силу теоремы 2.1 ранг г$ преобразованной матрицы равен 1,
то последняя имеет вид рис. 12, где все элементы, остающиеся после вы-
вычеркивания 1-го сечения каждой ориентации, равны нулю. Если другой
какой-либо из трехмерных рангов, например r\k, матрицы А, а следователь-
следовательно, и матрицы B.1), равен 1, то в последней все элементы 1-го сечения
ориентации (/), за исключением Ап1, равны нулю, а потому двумерный
ранг rh матрицы B.1), а следовательно и матрицы А, равен 1. Если же
ранг r[h матрицы А больше, чем 1, то среди элементов 1-го сечения ориен-
ориентации (/) в матрице B.1) должен быть, кроме А1П, по крайней мере еще
один элемент, отличный от нуля. Очевидно, не нарушая общности, таким
элементом можем считать В212, и так как ранг г$ матрицы B.1) равен 1,
то все элементы ее 1-го сечения ориентации (к), за исключением Аш,
должны быть нулями. В этом случае матрица B.1), а следовательно и А,
имеет трехмерный ранг г($ и двумерный ранг Гу, оба равные 1.
7 Н. П. Соколов

У8 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. Ill
Из теоремы 2.3 вытекает очевидное
Следствие. Если все трехмерные ранги кубической матрицы равны J,
то и все двумерные ранги ее также равны 1.
Замечание 2.1. Если кубическая матрица — симметрическая отно-
относительно двух каких-нибудь индексов, то ее трехмерные ранги по каждой
паре индексов, содержащей один из этих двух индексов, одинаковы, а трех-
трехмерный ранг по двум индексам симметрии матрицы А не превышает дву-
двумерного ранга ее по любому из этих индексов.
Замечание 2.2. Если кубическая матрица — симметрическая, то все
ее трехмерные ранги г%, г\и, г$ одинаковы и могут быть объединены
в одно понятие трехмерного ранга q, не превышающего ее двумерного
ранга г.
Замечание 2.3. Из следствии II и III теоремы 2.2 и следствии
теоремы 2.3 вытекает, что у симметрической кубической матрицы 2-го по-
порядка A Q = r.
2. Возьмем теперь р-мериую матрицу «-го порядка
Фиксируя в ней значения т A 5S т XI- р—1) каких-нибудь индексом,
например последних т индексов ip_m+1, . ¦., ip, и то время как остальные
р — т индексов iv . ..,ip_m пробегают независимо друг от друга значения
1, 2,...,п, мы получим сечение (m-кратное) ориентации (ip_m+x ... ip),
являющееся (р — тп)-мерцой матрицей п-ro порядка. Из таких сечений,
число которых равно пт, можно составить (р — m + 1)-морную матрицу
B.2)
где строки каждого из направлений (ij). ..., (гр...,„) содержат по п элемен-
элементов, тогда как строки m-кратного направления (ip_,nJl .. . ip) содержат по /?'"
элементов матрицы А, расположенных в нормальном порядке. Выделим
в матрице А' по v(lr_: vl"i n) каких-нибудь сечений каждой из ориентации
(ii). • • •> (b)-m)> (ip-m+i • • • Ь>)> располагая их и нормальном порядке, причем
в случае, когда р — т -j- 1 — нечетное, некоторые пли даже все из v сечений
ориентации (ip_OT+i • • • ip) могут быть повторными. Составим затем из эле-
элементов, общих всем выделенным сечениям, (р— т + 1)-мерный детерминант
v-ro порядка, в котором все индексы iv ..., ip.m — альтернативные,
а m-кратный индекс «p_mtl • • • ip является альтернативным или неальтор-
нативным, смотря по тому, будет лп р — т-> 1 четным или нечетным. Этот
детерминант называется (р — т-\-1)-мерным минором х-го порядка, порож-
порождаемым матрицей, А, сигнатура которого будет
±
(Ч ••• ip-т (р-т*1 •¦•>) плп ('l ••• h-
в зависимости от четности p —
Наивысший порядок такого рода детерминантов, отличных от нуля,
называется (р - m + \)-ме.рным рангом r^r^ — ip) no индексам {простым)
¦ i матрицы Л1). Число {р- т + 1)-мерных рангов по р-т
индексам "(Простым) матрицы А равно С?. В частности, матрица А имеет р
Ср. [Ю4], стр. 53.

§ 2] МНОГОМЕРНЫЕ РАНГИ 99
уэ-мерных рангов, которые, очевидно, все одинаковы, если уэ — четное, и,
следовательно, могут быть объединены в одно понятие /7-мерного ранга г^>
матрицы четного числа р измерений. Например, четырехмерная матрица
имеет один четырехмерный ранг г14' и шесть трехмерных рангов по двум
индексам (простым)
<V4> <V«> <?з> <V«> <V«> <V3>
r i^ , r iji3, r tii4, r ^ , г у4 , г i;ji4.
Наибольшее значение (р — т-\- 1)-мерного (lts-.m~P,p — 1) ранга по
любым р — т индексам (простым) уэ-мерной матрицы /1-го порядка А равно п,
а наименьшее значение — нулю, когда матрица А — нулевая. Как и при
доказательстве теоремы 2.1, нетрудно убедиться, что этот ранг не изме-
изменяется при операциях (а) и (б) над матрицей /1 и, следовательно, имеет
место более общая
Теорема 2.4. Каждый (р — т-j- \)-мерный A ^П т"С- р — 1) ранг по
р — т индексам {простым) р-мерной матрицы есть арифметический инва-
инвариант относительно ее элементарных преобразований.
Точно так же легко обобщаются для уэ-мерной матрицы теоремы 2.2
(упражнение 2), 2.3 (упражнение 7) и вытекающие из них следствия
(упражнения 3 — 6, 8).
Замечание 2.4. Если уэ-мерная матрица — симметрическая, то ее
(р — т 4-1 )-мерныо A<т5ауэ—1) ранги по каждым р — т индексам (про-
(простым) одинаковы.
3. Разобьем в (р — т-\- 1)-мерной матрице B.2) р — т индексов
it, t2, -.., ip_.m, пробегающих независимо друг от друга значения 1,2,..., п,
\\АП — т{\^п — т^? p — mf^p — 1) групп из rv т2, ..., тл-т A 'f\ та "' '• р — т,
\^-.а^л — т; хх + т2+ .. . +тя_т = р— т) индексов каждая и будем рас-
рассматривать эти группы индексов как кратные индексы uv и2, .. ., мя_т
с соответственными кратностями т1; т„, ..., тя_т; при этом, когда
та A ^ а ?-' л — т) индексов какой-либо группы пробегают значения
1, 2, ..., п, соответствующий та-кратный индекс иа пробегает значения
от 1 до п а в нормальном порядке. Получим тогда (я — т + 1)-мерную
(я < р) матрицу
А" = И Auv.. .ил_
где строки направлений (мх), . ..,(мя_т), (/p_m^i... ip) содержат соответ-
соответственно по пх\ ..., nTjT-m, nm элементов матрицы А, расположенных в
нормальном порядке.
Выделим в матрице А" по v каких-нибудь сечений каждой из ориен-
ориентации (мх), . . . ,(ггя_т), (ip_m+1. . . ip), располагая их в нормальном порядке,
причем в случае, когда я —т+1 — нечетное, некоторые или даже все из v
сечений ориентации (z'p_m4l . .. ip) могут быть повторными. Составим затем
из элементов, общих всем выделенным сечениям, (я — т-\- 1)-мерный детер-
детерминант v-ro порядка, в котором все индексы иг, ..., ия_т — альтернативные,
а m-кратный индекс ip_ra+1 ... ip является альтернативным или неальтерна-
неальтернативным, смотря по тому, будет ли я — т-\-\ четным или нечетным. Этот
детерминант называется (я — т-\-\)-мерным минором v-ro порядка, порож-

100 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИИ [ГЛ. Ш
± ± ±
даемым матрицей А, сигнатура которого будет («j ... м„_тгр_т+1... ip) или
± ± +
(мг ... Mn_mip_m+1... ip) в зависимости от четности я — т -\- 1.
Наивысший порядок такого рода детерминантов, отличных от нуля,
называется (я — т-f- \)-мерным рангом r(V-™+»""V no кратным индексам
M1F ...,мл_т матрицы Л1). В этом определении ранга, очевидно, содержатся
все предыдущие определения различных рангов матрицы А, получающиеся
из него при различных предположениях относительно чисел т и я. Число
(я — т -\-1 )-мерных рангов матрицы А равно C™C%Zm. Так, например, четы-
четырехмерная матрица имеет двенадцать трехмерных рангов но двум кратным
индексам:
r[lt) ^ ri\)_ ? r(i4) ^ r(.i3) ^ r(i3) r(»?)
Vj 4 V3*4 г]гЗг4 V3*4 *2гЗ*4 l2*3l4
Подобно теореме 2.4 доказывается более общая
Теорема 2.5. Каждый (п — т-\-1)-мерныйA"^:Я — т~:р — т^:р — 1)
ранг р-мерной матрицы по л — т кратным индексам есть арифметический
инвариант относительно ее элементарных преобразований.
Возможно также дальнейшее обобщение теорем 2.2, 2.3 и вытекающих
из них следствий (упражнение 9).
Замечание 2.5. Если уэ-мерная матрица — симметрическая, то ее
(я — т-\- 1)-мерные (lgji-m'ijo-m^/J-l) ранги по каждым л — т
кратным индексам одинаковы.
Замечание 2.6. Все рассмотренные в этом параграфе многомерные
ранги пространственной матрицы А называются также многомерными ран-
рангами ассоциированной с ней алгебраической формы F и являются арифме-
арифметическими инвариантами относительно ее невырожденных линейных преоб-
преобразований.
Упражнения
+±±
1. Составить трехмерные миноры 2-го порядка с сигнатурой (tVVsi*). порождаемые
матрицей || Аг г { г || (t1; г2, i3, г4 = 1, 2). *
2. Доказать, что g-мерный ранг по g — 1 индексам р-мерной матрицы но превышает
наименьшего из п-мерных B s h <_ g g p) рангов ее по n —1 индексам из этих g—1
индексов (Хичкокк [104]).
3. Если двумерный ранг по одному какому-либо индексу р-мерной матрицы равен 1,
то ее трехмерные ранги по двум индексам, из которых один есть упомянутый выше
индекс, также равны 1. Доказать (Хичкокк [104]).
4. Показать, что все трехмерные ранги по двум индексам р-мерной матрицы равны 1,
если р — 1 каких-нибудь ее двумерных рангов по отдельным индексам равны 1.
5. Если трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам р-мериой матрицы п-го
порядка равен п, то ее двумерные ранги по каждому из этих индексов также равны п.
Доказать.
6. Показать, что все двумерные ранги р-мерной матрицы л-го порядка А равны п,
если трехмерные ранги ее по всем парам индексов, охватывающим в своей совокупности
все индексы матрицы Л, равны п.
7. Если трехмерный ранг по одной какой-либо паре индексов р-мерной матрицы
равен 1, то ее трехмерный ранг по другой паре индексов, имеющей общий индекс с пер-
первой парой, и двумерный ранг по этому общему индексу также равиы 1. Доказать.
8. Показать, что все двумерные ранги р-мерной матрицы равны 1, если равны 1 все
ее трехмерные ранги.
9. Обобщить упражнения 2—8 на случай рангов по кратным индексам.
') Ср. [104], стр. 56.

§ 3]
РАНГИ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕЙ
101
§ 3. Ранги различных степеней
1. Рассмотренные в предыдущих параграфах двумерные и многомерные
ранги пространственной матрицы А могут быть названы первичными.1) Как
увидим далее, существуют матрицы, известным образом составленные из
элементов основной матрицы А, первичные ранги которых являются ариф-
арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований мат-
матрицы А. Эти ранги будем называть вторичными рангами матрицы Л и ассо-
ассоциированной с ней алгебраической формы F. Подобным образом определяются
третичные, четвертичные и высших степеней ранги матрицы А и формы F.
Число рангов одной и той же степени всегда конечно.
Мы ограничимся рассмотрением вторичных рангов матрицы А в простей-
простейших случаях, когда А — кубическая матрица порядка 2 или 3. Более сложные
случаи рассматриваются аналогично (упражнения 2 — 7).
2. Пусть
Введем для кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами (г), (/), (к),
порождаемых матрицей А, обозначения
^821 Лр22
•й
¦(к)
A
21а
281
-1
282
218 ^228
I—* (О
(к)
@
где а, Р —любые из значений 1, 2.
Из этих миноров составим квадратные матрицы 2-го порядка
,l(i)=M$|!, АФ=\\А<&\\, А<к) = \\А<$\\ (о,р=1,2), C.1)
которые, в виду свойства III (гл. I, § 2) многомерных детерминантов, будут
симметрическими.
Для них имеет место
Теорема 3.1. Ранги г (i), г 0), г (h), матриц А(г), А°\ Апявляются
А А. А.
арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований
кубической матрицы 1-го порядка А, и следовательно, будут ее вторичными
рангами соответственно по индексам i, j, к.
•) Ср. [104], стр. 64.

102 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Действительно, операция
(а) \]Щ.1
над матрицей А вызывает и матрице А при б = г умножение 1-й строки
и 1-го столбца на t, а при б = / шш б = к — умножение всех строк или всех
столбцов на t, что равносильно умножению всех строк и столбцов на ]/Т
или, в случае поля вещественных чисел, умножению всех строк и столбцов
на У 111 и самой матрицы на sign t.
Операция
(б) ¦/й(д)+'(в)
что аналогичные заключения имеют место
над А при б = / или б = к не вызывает изменений в Л(г\ а при 6 = i сопро-
сопровождается прибавлением и А к т-й строке умноженной па t 1-й строки
и прибавлением к m-му столбцу умноженного на t 1-го столбца.
Таким образом, элементарные преобразования матрицы А влекут за
собой симметрические элементарные преобразования матрицы А , не нару-
нарушающие ее симметричности и не изменяющие ее ранга г
Точно так же убеждаемся
для матриц А{3), А(к) и их рангов г (j}, r (ft).
Замечание 3.1. Элементарные преобразования квадратной матрицы х)
будем называть симметрическими, если любое из этих преобразований,
совершаемое над строками (столбцами) матрицы, воспроизводится и над соот-
соответствующими им столбцами (строками). Элементарные преобразования сим-
симметрических квадратных матриц C.1), вызываемые вещественными элементар-
элементарными преобразованиями основной матрицы А, являются симметрическими
вещественными элементарными преобразованиями, сопровождающимися еще,
быть может, умножением этих матриц па — 1. Вводя для симметрической
квадратной матрицы с вещественными элементами понятие сигнатуры
как разности между числами положительных и отрицательных элементов
эквивалентной ей диагональной матрицы, к которой она приводится цепочкой
симметрических вещественных элементарных преобразований, отметим, что
сигнатура, так же как и ранг матрицы, не изменяется при такого рода
преобразованиях. Отсюда заключаем, что в поле вещественных чисел абсо-
абсолютные величины сигнатур матриц C.1)
будут арифметическими инвариантами относительно вещественных элемен-
элементарных преобразований матрицы А. Если эти преобразования — симметри-
симметрические, то инвариантами будут и сигнатуры а (,), а 0), а (^. При вещест-
вещественных элементарных преобразованиях по индексу i п симметрических
вещественных элементарных преобразованиях по индексам /, к матрицы А
инвариантом будет также сигнатура а A). Аналогичные замечания отно-
относятся к сигнатурам а ф и a (h)
jL A. *
Теорема 3.2. Детерминанты матриц 3.1 одинаковы, т. г. имеют
место тождества
\Л{{)\= А<3)\ = \А1\ C.2)
•) См. [19], стр. 118.

* Hi
РАНГИ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕЙ
103
В самом деле, из тождества
А,„ А
112 -11 -12
-21 ^122 ^121 ^122
А А А А
-11 "12 11 Л212
= 0,
разлагая детерминант по первым двум столбцам согласно формуле Лапласа,
находим:
А™ А™ - Л<*>А$ + D? -f А<2) (А$ - А%) = 0.
< )тоюда имеем
Точно так же из тождества
Аш
•11
'/'j21
-4112
-^122
-4112
^122
А2П
-42н
¦^821
.4
А
А
А
212
= 0
находим:
Между вторичными рангами г (i}, r (j), r щ матрицы А, так же как и
между этими рангами, с одной стороны, и первичными рангами г$, /$, /If
или гьГ],гк той же матрицы, — с другой, существует связь, выражаемая
<• педующимн теоремами.
33 Е
у р
Теорема 3.3. Если oOmt из рангов г
пые ранги, а также все ранги
Теорема 3.4. Если один из рангов г
^, г 0), г
Л А А
r^f и гг, rf, rh равны 2
равен 2, то иосталъ-
равен 1, то
остальные ранги не больше, чем 1, и все они на единицу меньше соответст-
соответствующих рангов /jh, /•$?, г[f.
Теорема 3.5. Если один из рангов г (i), r 0), г-щ равен нулю, то
А А А
по крайней мере один из остальных рангов также равен нулю и все они,
села матрица А — не нулевая, на единицу менъгие соответствующих рангов
,.(.;) гф ЛЮ
I ilt , ~ih j 'i) ¦
Теоремы 3.3 и 3.4 вытекают из тождеств C.2); кроме того, при дока-
доказательстве теоремы 3.3 надо принять во внимание следствие IV теоремы 2.2.
Для доказательства теоремы 3.5 заметим, что в случае, когда один из ран-
рангов г (i), г 0), г да, например г (i), равен нулю, то г$ не больше, чем 1.
Коли г%= 0, то матрица А — нулевая и все ее ранги, в том число и вто-
вторичные, — нули. Если же 7-jh =1, то согласно теореме 2.3 один из рангов г$,
р
г\\ , например г\$, также равен 1, а потому г (,-) = 0. Если при этом г да = 0,
то в случае, когда матрица А — не нулевая, Гу'} = 1; если же г ш=1, то
Ау
на основании теоремы 3.4 rffi = 2.
Замечание 3.2. Если матрица А — симметрическая относительно двух
каких-нибудь индексов, например /, /г, то матрицы Л0), А^ одинаковы и,
следовательно, г ф = г (ll).

104
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. III
Замечание 3.3. Если матрица А — симметрическая, то порождаемые
ею кубические миноры А$, А ар, А^ равны между собой, так как у сим-
симметрической кубической матрицы соответственные сечения ориентации (i),
(/), (к) одинаковы. В дальнейшем эти миноры мы будем обозначать через Аа^
а совпадающие симметрические матрицы C.1) —через А. Для ранга и
сигнатуры матрицы А введем обозначения гА и ал- Как легко убедиться,
симметрические элементарные преобразования матрицы А влекут за собой
симметрические элементарные преобразования матрицы А, при которых ее
ранг г л, а в поле вещественных чисел и сигнатура ал остаются неизменными.
3. Образуем, далее, кубические матрицы 2-го порядка
•О — ||-Оару||> ** — ll-^apvll' л5 — \\ XJ,
элементы которых — квадратные детерминанты
(a, p\ Y=l, 2),
составленные из элементов матрицы А и матриц C.1).
Матрицы В , В , В1' J одинаковы, так как
— -*-*ару \и' г' V — *' /'
где
¦^111 "— 111 222 — '
-21 = ^*111-^121-^2:
Т{ Л А А
JJ212 1Ц-Я212Л222'
/1 _|- А А А — 9 А
1Л212 | ^цг-^^г^ги 1
[ +
^12.^212 ^122^211^212 ^112-^212^221
= ^111^221^222 ~Ь ^112^221 ^122^211^221 -^121^212^221
•22 ~ ^111^222
94
1
а122 212Л221-
Для этих матриц введем обозначение
В = \\Ва&у\\ (а, р, Y=l, 2). C.3)
Теорема З.б. Двумерные и трехмерные ранги матрицы В являются
арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований
кубической матрицы 2-го порядка Л и, следовательно, будут ее вторичными
рангами.
Действительно, операция
(а)
(б — любой из индексов t,/, k)
над матрицей А вызывает операции
1(8) -Р, т(б)|-? (/, т — любые из значений 1, 2, различные между
Т(Ь)
собой) над матрицей В.
Операция
(б)
¦ t
над А сопровождается такой же операцией над В.
Таким образом, элементарные преобразования матрицы А влекут за
собой элементарные преобразования матрицы В, при которых ее двумерные
и трехмерные ранги на основании теорем 1.1 и 2.1 остаются неизменными.

3]
РАНГИ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕЙ
105
Замечание 3.4. Все (двумерные и трехмерные) ранги матрицы В
одинаковы. В дальнейшем будем их обозначать через г в-
Замечание 3.5. Если матрица А — симметрическая относительно
каких-нибудь двух или всех индексов, то и матрица Б — соответственно
симметрическая относительно тех же двух или всех индексов.
4. Пусть теперь Л = || Л{^ || (г, /, &=1, 2, 3). Обозначим кубические
+ + +
миноры 3-го порядка с сигнатурами (г), (/), (к), порождаемые матрицей А,
символами
al3
Aaii Aai2 A,
Aa2l Aa22 -"a23
Aa3\ -^a32 -^a33
Ау2\ Ау22 Ау23
г—(Л)
4al
A
3al
А,
Aiyi A2yi
Aly2 A2y2
Аца Ai2a Ai3a
A2la A22a
Illy Л12у
Ai
r@
(A)
>(ft)
@
где индексы a, p, у принимают любые из значений 1, 2, 3.
Составим из этих миноров кубические матрицы 3-то порядка
0)
p
(a,
1, 2, 3),
которые, очевидно, будут симметрическими.
У каждой из них, согласно замечаниям 1.2 и 2.2, все двумерные ранги,
так же как и трехмерные, одинаковы. Будем их обозначать соответственно
через г w, r 0h r (h) и Q (У, q 0), q ,k).
Л Д. _д А А А.
Повторяя те же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3.1,
мы убеждаемся в том, что элементарные преобразования матрицы А всегда
сопровождаются симметрическими элементарными преобразованиями матриц
А , А , А , не нарушающими их симметричности и не изменяющими,
согласно теоремам 1.1 и 2.1, их двумерных и трехмерных рангов гли)>гл0)>
Таким образом, имеет место
Теорема 3.7. Ранги г п\, г /л, г пл и q («, Q пь Q <л> матриц А ,
А А А А А А
А^\ A^k) являются арифметическими инвариантами относительно элемен-
элементарных преобразований кубической матрицы 3-го порядка А и, следовательно,
будут ее вторичными рангами по соответствующим индексам.
5. Обратимся теперь к рассмотрению квадратных матриц, составленных
из алгебраических дополнений элементов в кубических минорах 3-го по-
порядка, порождаемых матрицей А.
Выделим в матрице А два сечения ориентации (i) с номерами a
и C, где а, р"—любые из значений 1, 2, 3, и составим из этих сечений

106
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. Ш
кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой (г), вычеркивая и.-о сече-
сечение ориентации (/) и v-e сечение ориентации (к), где (i, v — также любые из
значений 1, 2, 3. Обозначим этот детерминант символом
v A«
jV, +
где каждый из рядов индексов
[X,
V,
j < V2
образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3.
Точно так же, выделяя в матрице А сечения ориентации (/) с номерами
«, р н вычеркивая в них jx-o сечение ориентации (А:) и v-e сечение ориен-
+
тации (i), составим кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой (/)
0)
Av,
Ay
Av
Л,
¦@ =
(A)
а выделяя в матрице А сечения ориентации (к) с номерами a, р1 и вычер-
вычеркивая в них [i-сечоние ориентации (i) и v-e сечение ориентации (/), составим
кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой (к)
(О
Таким образом мы получим все кубические миноры 2-го порядка с сигна-
+ + Н-
турами (г), (/'), (к), порождаемые матрицей А. Тогда алгебраические допол-
дополнения элементов в кубических минорах 3-го порядка, порождаемых матри-
матрицей А, можно представить в виде
= ( — \f-ArV A{i) C.5i)
= ( — 1^ -«v(aP)|.H V°-JJ/
sy(h) __( n№ jD C 5k1)
где индексы a, C, [x, v могут принимать любые из значений 1, 2, 3.

Sj .41 РАНГИ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕН 107
Составим из выражений C.5i), C.5.J), C.5к) квадратные матрицы 9-го
порядка С(г\ С{1\ С(''\ которые напишем в виде клеточных матриц
<-" — ll^apll» С — |]Ьар|!, С =|| Сар || (,И, Р — i, ^, oj, (,0.0)
где клетки Cap, Cap, Cap являются также квадратными матрицами
•bap = ||C(aP)nv|] . kap = || CV(aP)M || > Cap = || CMV(aP) || (Ц, V = 1, -2, .j). (d./)
Клеточные матрицы C.6) — симметрические, так как детерминанты C.4)),
C.4j), C.4k), а следовательно, и выражения C.51), C.5j), C.5k) не меняются
от перестановки индексов а, р.
Матрицы С(г), С{3\ C(fc) будем называть присоединенными соответственно
по индексам i, /, /с для матрицы А.
Теорема 3.8. Ранги гс<ь, r(,U), rc<h> матриц СО), С°\ С('г> являются
¦арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразова-
преобразований кубической матрицы 3-го порядка Л и, следовательно, будут ее вторич-'
чыми рангами по соответствующим индексам.
Действительно, операция
(а) /(б)
¦ t
над матрицей Л при b = i сопровождается умножением на I /-и строки
и /-го столбца в матрице ЦСарЦ (а, р=1, 2, 3), а при б = / или б = /с вызы-
вызывает умножение на t соответственно т-й и и-й строк или m-ro и м-го столб-
цоп в каждой клетке Cap птои матрицы (/, /и, « образуют последователь-
последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3).
Операция
(б)
т(Ь)
1F)
• t
над А при 6 = 1 вызывает прибавление к т-п строке умноженной на t
i-\\ строки и к ;и-му столбцу— умноженного на / 1-го столбца в матрице
i! Cap || (a, p = l,2, 3), а при 6 = / или 6=/с сопровождается прибавлением
соотпетствеыно к l-ii строке умноженной на —t т-й строки или к Z-му
столбцу умноженного на — /, т-го столбца в каждой клетке Сагр этой
матрицы.
Таким образом, операции (а) н (б) над матрицей А вызывают в матрице
Я-го порядка СA> умножение некоторых строк и столбцов на t и прибавле-
прибавление к некоторым строкам (столбцам) умноженных на ± t других строк
(столбцов), т. е. элементарные преобразования матрицы А влекут за собой
элементарные преобразования матрицы С(г), не изменяющие ее ранга гс-.п-
Аналогично доказывается неизменяемость рангов гсф и гсл> при эле-
элементарных преобразованиях матрицы А.
6. Отметим, наконец, случай, когда кубическая матрица 3-го порядка
.•I ¦— симметрическая.
Тогда порождаемые ею кубические миноры 3-го порядка -4ар-у> Лар\'> -Лару
равны между собой. Будем их обозначать сокращенно через Лару! ;| состав-
составленные из этих миноров совпадающие симметрические кубические мат-
матрицы A(i\ A{3\ A{k) — через А. Двумерный и трехмерный ранги матрицы А
будем обозначать соответственно через гЛ и Qyl. Как нетрудно убедиться,
симметрические элементарные преобразования матрицы А влекут за собой
такого же рода преобразования матрицы А, при которых ее ранги г , и Q ,
остаются неизменными.

108 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Кубические миноры 2-го порядка C.4i), C.4j), C.4k), порождаемые
симметрической матрицей А, а следовательно, и выражения C.5i), C.5J),
C.5k), также равны между собой и не меняются от перестановки не только
индексов а, р, но и индексов ц, v. Вводя для них сокращенные обозначе-
обозначения
Ла& = ^l(ap)nv = -4v(ap)n= ^nv(ap).
. _,, (a, р,И, v = l,2, 3)
— ^ v(op)n — Ь цу(ар)
напишем для симметрической матрицы А присоединенную симметрическую
квадратную матрицу 9-го порядка С в виде симметрической клеточной
матрицы
С = || Сар |! (a, C = 1,2, 3), C.8)
где клетки 6'ар представляются также симметрическими матрицами
Ca» = \\C%v)\\ (|i,v = 1,2,3), C.9)
причем
) ' (^W^P ^/lp ЛА
(а, р, ц, v = 1, 2, 3). C.10)
Ранг матрицы С будем обозначать через гс.
Выделим теперь в симметрической матрице А сечение ориентации (г)
с номером а, а в матрице Л — сечение той же ориентации с номером р,
причем аир могут иметь любые из значений 1, 2, 3, и составим из этих
й о - X
сечении кубический детерминант 2-го порядка с сигнатурой (i), вычерки-
вычеркивая [1-е сечение ориентации (/) и v-e сечение ориентации (к), где ц и v
также могут принимать любые из значений 1, 2, 3. Умножив составленный
таким образом детерминант на ( —l)fl+v, обозначим полученное выражение
символом
+
[пи я* ^^CtlL 1
где каждый из рядов индексов
И. И-i < И2-
¦v, vx < v2,
образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3.
Следовательно,
Kafi =(—1) (^ац^^рц^ — ^ац^-^p^Vj — ^ац^^Рд^ + ^ад^^Рц^) C.11)
(а, р, (X, v=l, 2, 3),
К тому же результату придем, производя в матрицах А я Л аналогич-
аналогичные операции над сечениями ориентации (/) или (к).
Выражения C.11), очевидно, не меняются от перестановки индексов
\i, v. Непосредственным вычислением убеждаемся, что эти выражения
не меняются и от перестановки индексов a, P1).
J) Значения выражений К^\ отличающихся порядком индексов а, |3, даны в § 5
статьи [28] автора.

§ 3] РАНГИ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕЙ 109
Составляя из них симметрическую квадратную матрицу 9-го порядка К,
подобно тому как была составлена присоединенная матрица С, напишем
ее в виде симметрической клеточной матрицы
К = \\К^\\ (а, р* = 1,2, 3), C.12)
где клетки Ка$ представляются также симметрическими матрицами
*«p = ||tf2fiv)|| (ц, v = 1,2,3). C.13)
Матрицу К назовем смешанно-присоединенной для симметрической мат-
матрицы А. Ее ранг будем обозначать через гк.
Теорема 3.9. Ранги гл, qa, гс, гк, так же как и двумерный ранг г
а трехмерный ранг q симметрической кубической матрицы 3-го порядка А
{ее первичные ранги), являются арифметическими инвариантами относи-
относительно симметрических элементарных преобразований матрицы А и будут,
следовательно, ее вторичными рангами. В поле вещественных чисел арифме-
арифметическими инвариантами относительно вещественных симметрических эле-
элементарных преобразований матрицы А, кроме упомянутых выше рангов,
будут также сигнатуры ос и ак, присоединенной и смешанно-присоединен-
смешанно-присоединенной для А матриц С и К1).
Справедливость теоремы для рангов г, q, rA, qa вытекает непосред-
непосредственно из теорем 1.1, 2.1, 3.7. Чтобы убедиться в справедливости ее для
рангов и сигнатур матриц С, К, заметим, что операция
(а) \l_
¦ t
над матрицей А сопровождается умножением на t 1-й строки и Z-ro столбца
в матрицах C.8), C.12), представляющих клеточные матрицы С, К, причем
в клетках этих матриц совершаются еще следующие преобразования: в каж-
каждой клетке C.9) матрицы C.8) тп-я и п-я строки, а также m-й и п-й столбцы
умножаются на t, а в каждой клетке C.13) матрицы C.12) 1-я строка
и /-й столбец умножаются на t, тогда как пг-я и «-я строки, а также пг-й
и п-й столбцы умножаются на t2 (Z, т, п образуют последовательность
в некотором порядке чисел 1, 2, 3).
Далее, операция
(б)
т
l -t
над А вызывает в матрицах C.8), C.12) прибавление к т-й строке умножен-
умноженной на t 1-й строки и к т-щ столбцу умноженного на t 1-го столбца,
а в каждой клетке этих матриц — прибавление к 1-й строке умноженной на
— I т-й строки и к Z-му столбцу умноженного на — I т-го столбца.
Нетрудно убедиться, однако, что все эти преобразования в матрицах
C.8), C.12) и их клетках равносильны симметрическим элементарным пре-
преобразованиям симметрических квадратных матриц 9-го порядка С, К, при
которых их ранги гс, гк не меняются.
В поле вещественных чисел, когда симметрические элементарные пре-
преобразования матрицы А вещественны, вызванные ими симметрические эле-
элементарные преобразования матриц С, К также вещественны, а потому их
сигнатуры стс, ак при этих преобразованиях остаются неизменными.
Замечание 3.6. Вторичные ранги и вообще ранги высших степеней
пространственной матрицы А называются также рангами соответственных
степеней ассоциированной с ней алгебраической формы F.
См. [28], стр. 290.

110
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. ЛГ
Упражнения
1. Если вторичный ранг гл симметрической кубической матрицы 2-го порядка А
равен 2, то и первичный ранг г матрицы А (замечание 2.3) равен 2. Если же гл < 1Г
то г на единицу больше, чем гА, если только матрица Л по пулевая. Доказать.
2. Дана кубическая матрица 4-го порядка Л = ||Л,-/ь|! (S, /, А;— 1, 2, 3, 4). Пусть
«СО
(а„ а2, а3, а4=И, 2, 3, 4)
— кубические миноры 4-го порядка с сигнатурами (i), (/), (к), порождаемые матрицей Л.
Доказать, что все ранги (двумерные, трехмерные и четырехмерные) составленных
пз этих миноров симметрических четырехмерных матриц 4-го порядка
((*!, a2, a3, a4 = l, 2, 3, 4)
являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований
матрицы А.
3. Кубические мипоры 3-го порядка о сигнатурой (г), порождаемые матрицей
А — || Aijf, || (г, /, к = \, 2, 3, 4), могут быть представлены в виде
А\
Л.
¦ (A")
"W3V3
\i i
где индексы а, C, у принимают любые пз значений 1, 2, 3, 4 и каждый из рядов
индексов
|Х, [Xj < [Хо <С Цз,
V, Vi < V2 < Vb,
образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3, 4. Алгебраическими
дополнениями элементов кубических миноров 4-го порядка с сигнатурой (i), порождаемых
матрицей А, будут выражения
из которых можно составить расширенную кубическую матрицу порядка F4, 4, 4)
J)<i) = || D^yixv ||. Подобным образом составляются кубические матрицы того же порядка
?>и>=|
„
| иХ> <h) = |
| из алгебраических дополнений элементов кубических
+ +
миноров 4-го порядка с сигнатурами (/) и (/с), порождаемых матрицей А.
Доказать, что все ранги (двумерные и трехмерные) матриц J>('\ D'->'\ />(/t) являются
арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразований матрицы Л.
4. Алгебраические дополнения кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами
+ + +
@> (/'). (/с)> порождаемых матрицей А = || Лi/fe || (i, /, А- = 1, 2, 3, 4), представляются выра-
выражениями C.5i), C.5j), C.5k), где индексы a, p могут принимать любые из зпачений
1, 2, 3, 4, а |х, так же как и v, есть любое сочетание из индексов 1, 2, 3, 4 по два, так
что каждый из рядов индексов
¦V, V!<V2,
образует последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3, 4. Составленные из этих
выражений квадратные матрицы 24-го порядка C(i\ С*'*, С<к) можно написать в виде
клеточных матриц 4-го порядка C.6), клетки которых —квадратные матрицы 6-го по-
порядка C.7), где индексы а, р, ц, v имеют указанные выше значения.
Доказать, что ранги матриц C(i), C<>', С'" будут арифметическими инвариантами
относительно элементарных прообразований матрицы А.
5. В упражнениях 2, 3, 4 рассмотреть случай, когда матрица А—симметрическая.

4]
ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
111
6. Показать, что в случае, когда A = \\Aijh\] (i, /» k = i, 2, 3, 4) есть симметри-
симметрическая матрица с вещественными элементами, сигнатура ас совпадающих в этом случае
симметрических квадратных матриц С", С(-", C(ft) (см. упражнение 4) будот арифмети-
арифметическим инвариантом относительно вещественных симметрических элементарных преобра-
преобразований матрицы А.
7. Дана кубическая матрица л-го порядка А = \\ Aij^ || (i, /, /с = 1, 2, ...,»).
Пусть
(а1? а2, ..., а„ = 1, 2, ..., п)
+ + ^
— кубические миноры л-го порядка с сигнатурами (i), (/), (ft), порождаемые матри-
матрицей А.
Доказать, что все ранги (двумерные, трехмерные, ..., /(-мерные) составленных из
этих миноров симметрических /i-мерных матриц я-го порядка
4(«) — |
-II ЛоЛ...ап11.
!, а2, ..., а„=1, 2, ..., и)
... ап
являются арифметическими инвариантами относительно элементарных преобразовании
матрицы А. Отметить случай, когда матрица А — симметрическая.
§ 4. Инварианты и коварианты алгебраических форм
1. Переходя к рассмотрению инвариантов и ковариантов1) форм от
одного или нескольких рядов переменных над некоторым числовым полем Р,
начнем с простейшего случая, когда дана двойничная трилинейная форма
2
F= 2 Ацьх%У)гк с соответствующей кубической матрицей 2-го порядка
Л = 1МЗ| (»•,/, *=1,2).
Нетрудно убедиться, что выражения
Я, =2
Hh =
dyj dzh
(/, Л =1,2),
(i, к =1,2),
(?,/=1,2)
являются квадратичными формами, ассоциированными с матрицами C.1),
т. е.
2 ° 2
2 ^ ? ^ 2 ^ D.1)
а, 8=1
а, р=1
о, 8=1
Дискриминанты этих форм представляются равными между собой детерми-
детерминантами C.2), общее значение которых обозначим через
= I Aaji | =
(j) I
p |
(a,p=l,2)
D.2)
и будем называть дискриминантом формы /'.
Теорема 4.1. Дискриминант, А двойничной трилинейной формы F есть
относительный инвариант веса 2 для каждого ряда переменных этой
формы.
!) Подразумеваются целые рациональные инварианты и коварианты относительно
невырожденных линейных преобразований алгебраических форм или равносильных им
элементарпых преобразований соответствующих матриц.

112 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Действительно, подвергая форму F невырожденному линейному пре-
преобразованию
2
*x=Y axiXi (Я. = 1,2) D.3')
с матрицей а = || aKi || (Я,, г =1,2), детерминант которой |« | =?= О, мы тем
самым соответствующую этой форме кубическую матрицу А умножаем по
индексу i на квадратную матрицу а. Но умножение на а приводится к по-
последовательным умножениям по индексу i на элементарные квадратные
матрицы аA), а^, ...,а(9), произведению которых равна матрица а. Умно-
Умножению же по индексу г на элементарную матрицу a(v), где v —любое из
значений 1, 2, ...,q, равносильна операция
(а)
•t,
если a(v) соответствует линейному преобразованию
xm = X.
детерминант которого равен t, или операция
(б)
¦t,
если, a^ соответствует линейному преобразованию
хг = Х( + tXm
хт = л.т,
детерминант которого равен 1 (индексы I, m имеют любые из значений
1, 2, различные между собой).
Следовательно, детерминант матрицы а, определяемый формулой
И =11 l«(v)l.
равен произведению чисел t, фигурирующих в элементарных преобразова-
преобразованиях типа (а), которым подвергается матрица А при невырожденном ли-
линейном преобразовании D.3') формы F.
Повторяя те же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 3.1,
заключаем, что операция (а) над А вызывает умножение дискриминанта Д
на I2, тогда как после операции (б) Д остается неизменным.
Таким образом, в результате преобразования D.3') формы F, сопрово-
сопровождающегося элементарными преобразованиями соответствующей матрицы А,
дискриминант Д лишь умножается на квадрат детерминанта | а | этого пре-
преобразования.
Подвергая, далее, полученную трилинейную форму последовательно
линейным преобразованиям
Ь=2*Л (И = 1.2), D-3")
3 = 1
zv=2cvhZh (v=l, 2) D.3W)
fe=i
с детерминантами I b \ Ф 0, | с | Ф 0, мы придем к двойничной трилинейной
2
форме F' — ^1 A'ijhXiYjZfr, дискриминант которой Д', как легко убе-
ihl

§ 4]
ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
113
диться рассуждениями, аналогичными предыдущим, имеет вид
А' = |а2|.[6|2.|с|2Д.
D.4)
Л это и требовалось доказать.
Замечание 4.1. Из формулы D.4) следует, что в поле вещественных
чисел знак дискриминанта А формы F не меняется при вещественных
невырожденных линейных преобразованиях ее.
Теорема 4.2. Квадратичные формы D.1) являются относительными
ковариантами двойничной трилинейной формы F, веса которых для трех
рядов переменных формы F равны соответственно 0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1,0.
В самом деле, повторяя предыдущие рассуждения, видим, что в резуль-
результате операции (а) над матрицей А формы F форма Hi остается неизменной,
тогда как формы Hj и Hk умножаются на t, т. е. на детерминант соответ-
соответствующего линейного преобразования; операция (б) над А не изменяет Нг,
Нр Hh. Следовательно, квадратичные формы Н\, Щ, Я?, составленные для
формы F', в которую переводится F невырожденными линейными преобра-
преобразованиями D.3'), D.3"), D.3"), будут иметь вид
Н- = \Ъ
Формулы D.5) и подтверждают теорему.
Нетрудно также убедиться, что выражения
1= a
b\Hh
D.5)
1
2
dF
~§x\
dii
dx.
dF
dx2
dHi
dx2
1
2
dF
дУ\
dHj
dyx
dF
dy2
dHj
dy2
1
2
dF
dzt
dHh
dzx
dF
dz2
dHk
dz2
равны между собой и представляются двойничной трилинейной формой
2
D.6)
ассоциированной с матрицей C.3).
Теорема 4.3. Форма Q есть относительный ковариант двойничной
трилинейной формы F веса 1 для каждого ряда переменных этой формы.
Действительно, операция (а) над матрицей А формы F вызывает
в матрице Ъ формы Q операции
•',
в результате которых Q умножается на /, т. е. на детерминант линейного
преобразования, соответствующего операции (а).
Операция (б) над А, сопровождающаяся такой же операцией над В,
не вызывает изменений формы Q.
Далее, таким же образом, как и при доказательстве предыдущих тео-
теорем, убеждаемся, что трилинейная форма Q', составленная для формы F',
в которую переводится F невырожденными линейными преобразованиями
D.3'), D.3"), D.3'") с детерминантами \а\, \Ь\, \с\, будет иметь вид
<Г = |а|.|6|.|с|<?. D.7)
Л это и требовалось доказать.
Замечание 4.2. Двойничная трилинейная форма F, ее дискриминант Д
коварианты
Н. П. Соколов
Нк
Hh, Q составляют, как показала Шварц [210],

114
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. III
полную1) систему комитантов формы F, связанных соотношением (сизи-
(сизигией)
± 0. D.8)
2. Возьмем, далее, двойничную кубическую форму / = 2 ¦^¦i-jhxixjxh
г, г, ft=l
симметрической кубической матрицей 2-го порядка А = \\ Aiih || (г, /, к— 1,2).
Квадратичная форма
2
<J,(S=1
D.1')
ассоциированная с матрицей 4 = ||.4ар|| (а, Р = 1, 2), составленной из ку-
кубических миноров, порождаемых матрицей А (замечание 3.3), равна удвоен-
удвоенному гессиану формы /, т. е.
1 дЧ (а,р=1,2).
дха
Дискриминант Л формы Н, равный детерминанту
21 -А.22
называют дискриминантом формы /.
Теорема 4.4. Дискриминант А двойничной кубической формы / есть
ее относительный инвариант веса 6.
В самом деле, подвергая форму / невырожденному линейному преобра-
преобразованию
2
х, =
1=1
= 1,2)
D.9)
с матрицей а = |
(К, ? = 1,2), мы получим двойничную кубическую
i,},h=i
Дискриминант А кубической формы / одинаков с дискриминантом по-
2
лярной ей трилинейной формы F= "У, AijkxiyjZk, а дискриминант Д'
i, j, fe=J
преобразованной кубической формы /' одинаков с дискриминантом по-
2
лярной ей трилинейной формы F' = ^ А'ць.Х^У]
^i, j, fe=l
F с помощью невырожденных линейных преобразований
в которую переходит
i
1=1
2
= 2.«Л (а = 1,2),
3 = 1
zv=
(v = l,2).
D.9')
2) То есть такую систему целых рациональных комитантов, с помощью которой
каждый комитант формы может быть представлен целым рациональным выражением,
тогда как ни один из комитантов системы не является целой рациональной функцией
стальных (см. [63], стр. 109).

§ 4]
ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
115
Матрицы этих преобразований одинаковы. Обозначая их детерминант
через | а |, имеем на основании формулы D.4)
А' = \а |6А. D.4')
Следовательно, дискриминант формы / есть ее относительный инвариант
веса 6.
Замечание 4.3. Из формулы D.4') следует, что в поле веществен-
вещественных чисел знак дискриминанта А формы / не меняется при вещественных
невырожденных линейных преобразованиях ее.
Теорема 4.5. Квадратичная форма Н есть относительный ковариант
двойничной кубической формы /, вес которого равен 2.
Действительно, квадратичные формы Ht, Я;, Hh, составленные для
трилинейной формы F, полярной кубической форме /, и квадратичные формы
Н'г, H'j, Ни, составленные для трилинейной формы F', в которую пере-
переводится F невырожденными линейными преобразованиями D.9'), связаны,
согласно формулам D.5), соотношениями
Щ = \а\гНц Щ = \а |2#г, Щ = | a \2Hk.
Но Я{, Hj, Hk одинаковы с квадратичной формой Я, составленной
для формы /, а Н'г, И], Ни одинаковы с квадратичной формой Н', состав-
составленной для формы /', в которую переводится / невырожденным линейным
преобразованием D.9). Следовательно,
Н'-\а \Ч1.
А это и требовалось доказать.
Якобиан двойничной кубической формы
равный
1 дх1 дхг
" д_Н_ <Ш
является, как нетрудно убедиться, двойничной кубической формой
2
Q= 2 Ва$\ХаХ$Ху, ассоциированной с симметрической кубической
а, Р, Y=l
матрицей 2-го порядка 2?=||Вару|| (а> Р> Y = l>2), которая представляет
частный вид матрицы C.3), составленной для симметрической матрицы А
(замечание 3.6).
Элементы матрицы В — квадратные детерминанты 2-го порядка
AiRv
D.10)
/ и квадратичной формы Я,
(a, p\ Y = l, 2),
т. е.
В112 = В1а = .
?>222 = Х>212 = XJ
= Л,
*222>
Принимая во внимание, что трилинейные формы, полярные якобиану Q
форм /, Я и якобиану Q' форм /', Я', связаны соотношениями D.7), где
с\, имеем
' = \a\'Q.
Тем самым доказана
D.7')
8*

116 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Теорема 4.6. Якобиан Q двойничной кубической формы f а квадра-
квадратичной формы Н есть относительный ковариант формы /, вес которого
равен 3.
Замечание 4.4. Двойничная кубическая форма /, ее дискриминант А
и коварианты Н, Q составляют полную систему комитантов формы /, свя-
связанных соотношением
H + Af = 0, D.8')
называемым сизигией Кэли.
з
3. Обратимся теперь к тройничной кубической форме / — ^] Aiikxixixh
i, }, h=l
с симметрической кубической матрицей 3-го порядка А = || АцК ||
(i,/,* = 1,2,3).
В присоединенной для нее симметрической квадратной матрице 9-го по-
порядка С переставим 2-ю и 4-ю, 3-ю и 7-ю, 6-ю и 8-ю строки, а также
соответствующие этим строкам столбцы. Получим симметрическую матрицу
9-го порядка С, которую напишем в виде симметрической клеточной
матрицы
С = |i C(tiV) || (ц, v = l, 2,3), D.11)
где клетки C^v) являются также симметрическими матрицами
C(tiv)=||C&v)|! (а, Р = 1, 2, 3). D.12)
Образуем произведения соответственных клеток матриц С и С", пред-
представленных в виде C.8) и D.11), и рассмотрим следы, т. е. суммы диаго-
диагональных элементов матриц, выражающих эти произведения. Вводя Для следа
произведения клеток Сар, С(ор) обозначение
0„р = след || Сар С(ф || = след || С1а*> С„р ||,
находим, принимая во внимание равенства C.9) и D.12),
з
p
ИЛИ
3
°ар= Zj ^ар bnv . V4-1^)
|X, V=l
где индексы а, р* имеют любые из значений 1,2, 3. При этом, очевидно,
о"ар = сгра.
Из формулы D.13), пользуясь выражениями C.10), находим
0jj = 2012 == "J i
где
О = 4 [Ans — 2А123 (^12^233 + ^113^223 ~Ь -^122-^133) ~Ь
3-22^23з) ^123^111^222^333 "Г
"Ь (^111^122^223-^333 + -^111^133^222^233 + ^112
— (^112^113^223^233 + ^112^122^133^233 + ^I!
— (^111^122-^233 + ^111^133^223 Н~ '^112^223^333
D.14)

§ 4] ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ 117
Замена в ог1 обоих индексов 1 индексами 2 или 3, так же как и за-
замена в <т12 одного из индексов 1,2 индексом 3, приводит, как нетрудно
убедиться, к обмену этими индексами в символах Cafi > входящих в фор-
формулы для определения стп и 012, что в свою очередь влечет обмен теми же
индексами в выражениях C.10), определяющих эти символы, а следова-
следовательно, и в выражении D.14). Однако последнее при обмене любыми двумя
индексами не меняется. Поэтому имеем также
СТ22 = 0зз = 2сг13 = 2ст23 = S.
Таким образом,
S = o-aa = 2aap1), D.15)
где индексы а, р имеют любые из значений 1, 2, 3, не равные друг другу.
Заметим, что
з
след\\С'С\\ = след\\СС'\\= 2 0ар = 661.
а, р=1
Найдем теперь следы матриц, выражающих произведения соответственных
клеток матриц К и С, представленных в виде C.12) и D.11).
Полагая
тар = след || Кар С(ф || = след || С(ар)Ка$ \\,
имееем на основании равенств C.13) и D.12)
з
A, v=l
ИЛИ
*«р= 2 ^vLavp), D.16)
ц, v=l
где индексы а, Р имеют любые из значений 1, 2, 3.
При этом, очевидно, тар = тра.
Из формулы D.16), пользуясь выражениями C.10) и C.11), находим:
где
+ All3A133A22Z)
6oAliS (л1:11Л122Л223Лззз + A111A133Ai22A2BS -f- л
+ ^112^223^333 + ^112^133^222 "Ь
{AniAws -\- A^^g -f- ^4122л133) -f-
2 223 Т~
А 113^223^2
ггз "Г" ^11
]) См. [28], стр. 288.

118 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Ч~ -"П2-™113-™122-23^ззз Ч~ -
112^113^122^
Ч" ^*112^122^133^223 + ^U3-^122^223-33 Ч~ -1
— ^111^222^833 — "^111^222^333 (^112^133^223 Ч~ ^113^122^23з) "I"
"Г О (¦"¦tu/^aVSZ2S"tSS SSS ~Т~ ^111^112^122^222-^333 "Г -"Ш"13"88"М
222-^233 4" ^ш-^223^333 "Г -^111^122^*333 Ч~ ^111^183^222 Ч~ ^112
3) Ч" 3 (^112^223^233 + ^112^122^333 + ^113^133^222)
—18 {AlllAn2A12ZA223A2aaAsss -\- AluAliaA13SA22^A223A233 -j-
22^133^222-^33з) "Ь 1^ (-^111^112-^122^2
+ 12 (^4111^112^133-^222'^233 "Ь -^111-^113-^J 22-^223-^333 ~Ь ^1
+ AU1A122A1SSA222A233 -\- Аи2АпзА222А233А333 + ^П2-^
6 (AinAU2A13SA2isA2S3 -\- ¦А111АпзА122А223А„33 + л112^4122у41дз^4223^ззз
Н" -^112-^113-^122-^233^333 Ч" -^иг^из-^мз^ггг-^ггз "Ь -^113^122-^133^222-^233)
— 24 (^4111Л122Л133^1223 -(- у4]11Л]г2^4133^42
+ ^112-^113-^222^233 "Ь -^113^122-^223-^83з) °
+ 12 (-4112Л118Л223^12зз + •^112^122-^133^233 + ^112^113^223-33 "Ь -^112-^122^133-^233 "Ь
Н" -^113-22-^133-^223 Ч" ^113-^122^133-23) Ч~ ^ • (-^112-^133-23 Ч" ^Ц3^122-^28з) Ч~
Ч" О-^112^ЦЗ-22-33^223^233- D.17)
Замена в выражении -j (тц + т12 + т13) первого индекса 1 индексом 2
1 1
или 3 приводит к выражению у (т21 + т22 + т23) или -т/т31 Ч- Тд2 + т33). Не-
Нетрудно убедиться, что такая операция вызывает обмен индексами 1, 2 или
1, 3 в символах Capv) и i(T(<Jpv\ входящих в формулы для определения тх1,
t12, т13, что в свою очередь влечет обмен теми же индексами в выражениях
C.10) и C.11), определяющих упомянутые выше символы, а следовательно,
и в выражении D.17). Но последнее не меняется при обмене любыми двумя
индексами. Поэтому имеем также
1 1
-j (т21 + т22 + т23) = у (т31 + т32 + т33) = Т.
Таким образом,
з
?121) <418)
где а имеет любое из значений 1, 2, 3.
Заметим, что
з
след\\КС'\\ = след\\С'К\\= 2 т„р = 6Г.
а. р=1
Выражение Т можно написать также в другом виде. Для этого в симме-
симметрической матрице 9-го порядка К переставим 2-ю и 4-ю, 3-ю и 7-ю, 6-ю
и 8-ю строки, а также соответствующие этим строкам столбцы. Получим
симметрическую матрицу 9-го порядка К', которую напишем в виде сим-
См. [28], стр. 288.

§4] ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ 119
метрической клеточной матрицы
К' = \\К{^\\ (ц, v = l, 2, 3), D.19)
где клетки K^v) являются также симметрическими матрицами
K<»V) = \\K%V)\\ (а, 0 = 1,2, 3). D.20|
Рассматривая следы матриц, выражающих произведения соответствую-
соответствующих клеток матриц К' и С, представленных в виде D.19) и C.8), и полагая
тар = след || Я(а%ар || = след || С„р#(ар) ||,
находим на основании равенств C.9) и D.20)
И. v=l
ИЛИ
r*= i *№$», D.16')
ц, v=l
где индексы а, Р имеют любые из значений 1, 2, 3.
ПрИ ЭТОМ, ОЧеВИДНО, Тар = Тра.
Из формулы D.16') получаем аналогично предыдущему
з
p=i
где а имеет любое из значений 1, 2, 3.
Заметим, что
з
след\\КС'\\ = след\\С'К\\= 2 *«р= 671
а, р=1
И
3
след1| ЛГ'С II = след || CJ5T' || = 1 т^ = 6Г.
о, р=1
Теорема 4.7. Выражения S и Т, представленные формулами D.15)
« D.18) млм D.18'), являются относительными инвариантами тройничной
кубической формы /, веса которых равны соответственно 4 и б2).
Действительно, подвергая форму / невырожденному линейному преобра-
преобразованию
xi = Y "Л (Я = 1,2,3) D.21)
с матрицей
¦« = Н«мИ (*-> i = 1» 2> 3)'
детерминант которой | о | ¦#= 0, мы тем самым соответствующую этой форме
кубическую матрицу .4= ||.4i}-ft || (i, /, А=1, 2, 3) умножаем по всем
индексам i, /, k на квадратную матрицу а. Но умножение на а приводится
к последовательным умножениям (по всем индексам) на элементарные квад-
квадратные матрицы аа\ аB\ ..., а(<2), произведению которых равна матрица а.
!) См. [28], стр. 288.
2) Инварианты S п Т указаны Аронгольдом [44], который дал также развернутое
выражение S (формула D.14)). Развернутое выражение Т (формула D.17)) впервые дано
было Салмоном [205]. В исследованиях Клебша и Гордана по теории тройничных куби-
кубических форм в качестве относительных инвариантов фигурируют 6<У и 6Г, вычисляемые
•с помощью так называемой б-операции (см. [64], стр. 439, 449).

120 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. Ill
Умножению же (по всем индексам) на элементарную матрицу а^\ где v —
любое из значений 1, 2, ..., q, равносильна операция
если а^ соответствует линейному преобразованию
xt — tXt,
~ у
детерминант которого равен t, или операция
(б) 0+ [/]•«,
если a<v> соответствует линейному преобразованию
детерминант которого равен 1A, т, п образуют последовательность в неко-
некотором порядке чисел 1, 2, 3).
Следовательно, детерминант матрицы а, определяемый формулой
М= И
v=l
равен произведению чисел t, фигурирующих в симметрических элементар-
элементарных преобразованиях типа (а), которым подвергается матрица А при невы-
невырожденном линейном преобразовании D.21) формы /.
Операция (а) над А вызывает умножение каждого элемента ее Aijh
на Р-, где к — число индексов элемента, равных /. Из выражений D.14)
и D.17) видно, что каждый из индексов 1, 2, 3 повторяется четыре раза
в каждом члене выражения S и шесть раз в каждом члене выражения Т.
Следовательно, операция (а) сопровождается умножением S на t* и Т на Iе.
Операция (б) над А приводит к матрице А' = || А'ць. \\ (i, /> k = i, 2, 3),
элементы которой выражаются формулами
Аш = Аш,
Allm = Ацт, Aimm = Almm, Аттт = -1ттт,
Ацп = AUn + Allmt,
Aimn = Aimn -\- Almmt,
Аттт = Аттп -\- Ammmt,
Ainn = Alnn -f- 2Almnt -\- Almmt ,
Amnn = Amnn -j- ZAmmnt -f- Ammmt ,
Annn = Annn -(- oAmnnt -\- oAmmnl -j- Ammmr,
где индексы I, m, n образуют последовательность в некотором порядке
чисел 1, 2, 3.
Составив при помощи этих формул для преобразованной матрицы А'
выражения D.14) и D.17), увидим, что они будут такими же, как и для
исходной матрицы А. Следовательно, операция (б) не меняет выражений
S и Т.
Таким образом, в результате невырожденного линейного преобразования
формы /, сопровождающегося симметрическими элементарными преобразо-
преобразованиями ее матрицы А, выражения S и Т лишь умножаются соответственно

§ 4] ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ 121
на 4-ю и 6-ю степень детерминанта \а\ этого преобразования, т. е. S и Т
есть относительные инварианты формы /, веса которых равны соответ-
соответственно 4 и 6.
Сильвестр [218] доказал, что всякий полином от коэффициентов
формы /, являющийся ее относительным инвариантом, есть в то же время
полином от S и Т. Так, например, дискриминант R формы / — ее от-
относительный инвариант веса 12—представляется в виде
R = SS-T21). D.22)
Выражение
1-^2\ D.23)
остающееся неизменным нри невырожденном линейном преобразовании
формы /, примем за абсолютный инвариант этой формы.
Замечание 4.5. Вводя в рассмотрение в случае поля вещественных
чисел символ <л(Т), равный +1, —1 или 0, смотря по тому, будет ли
Т > О, Г<0 или Т = 0, видим, что ф(Т) вследствие четного веса относи-
относительного инварианта Т есть арифметический инвариант по отношению'
к вещественным невырожденным линейным преобразованиям формы /, а сле-
следовательно, и по отношению к вещественным симметрическим элементарным
преобразованиям соответствующей матрицы А.
4. С помощью относительных инвариантов S, Т формы / и матриц С,
К, — присоединенной и смешанно-присоединенной для матрицы А формы /, —
мы можем теперь составить симметрическую квадратную матрицу 9-го по-
порядка E = ТС — SK, которую будем называть сложной квадратной матри-
матрицей для А.
Теорема 4.8. Ранг rg сложной квадратной матрицы 6 для А есть
арифметический инвариант относительно симметрических элементарных
преобразований матрицы А. В поле вещественных чисел, кроме ранга г&,
арифметическим инвариантом относительно вещественных симметрических
элементарных преобразований матрицы А будет также сигнатура o"g
матрицы 6 3).
Действительно, операция
(а)
¦ t
над матрицей А, вызывая умножение S на t4 и Т на te, влечет за собой
в матрице С умножение двух строк на ?2, пяти строк на t, двух строк
на 1 и те же операции над соответственными столбцами, а в матрице К —
умножение тех же строк и столбцов соответственно на ts, t2, t. Следова-
Следовательно, эта операция сопровождается умножением в матрице 6 двух строк
и двух соответственных столбцов на t6, пяти строк и пяти соответственных
столбцов на ?4, двух строк и двух соответственных столбцов на t3.
Операция
(б) m\+ I
¦ t
над А, не изменяя S и Т, вызывает в матрицах С и К, а следовательно,
и в матрице E, одни и те же операции, состоящие в прибавлении к неко-
некоторым строкам и соответственным столбцам умноженных на +t других
строк и соответственных столбцов.
х) Это выражение отличается только знаком от выражения дискриминанта R, дан-
данного Аронгольдом (см. [44], стр. 165).
2) На единицу меньше абсолютного инварианта Аронгольда (см. [44], стр. 160).
3) См. [28], стр. 290.

122 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Таким образом, симметрические элементарные преобразования матрицы А
влекут за собой симметрические элементарные преобразования матрицы E,
при которых ее ранг гЕ остается неизменным.
В поле вещественных чисел, когда симметрические элементарные пре-
преобразования матрицы А вещественны, вызываемые ими симметрические эле-
элементарные преобразования матрицы E также вещественны, а потому при
этих преобразованиях, кроме ранга г®, не меняется также сигнатура сте
матрицы ©.
Замечание 4.6. Как мы увидим далее, абсолютный инвариант / трой-
тройничной кубической формы /, ранг (двумерный г или трехмерный р.) соот-
соответствующей кубической матрицы А и ранги гс, г& симметрических квад-
квадратных матриц С, U (а в поле вещественных чисел и сигнатуры ас, в&
этих матриц, а также о)(Г)) образуют полную систему инвариантов
формы / 1).
п
5. Обращаясь к р-линейной форме F = 2 Ai»
Л1
Ai» -.. г. #$
г=1 ,, ,
||.Ац ...» |
Лр . ,, ,
с соответствующей jo-мернои матрицей п-го порядка -А = ||.Ац ...»
{iv г2, ..., ip = 1, 2, ..., п), докажем следующую теорему.
Теорема 4.9. Гипердетерминант \А±± ±] матрицы Ар-линейной
*i*2 • • • V
формы F при р четном есть ее относительный инвариант веса 1 для каж-
каждого ряда переменных (Кэли [53]J).
Действительно, подвергая форму F невырожденному линейному преоб-
преобразованию
п
ж(а>= V а<$Х) (а —какой-нибудь из индексов 1, 2,..., р; i— 1, 2, ..., п) D.24)
с матрицей а<а> = || а(^ || (i, / = 1, 2, ..., п), детерминант которой | а<а> | Ф О,
мы получим форму
4 —1
l V~
с матрицей
(упражнение 5 § 2 гл. II).
Следовательно, ее гипердетерминант представляется выражением
| | А± ± (| <)
X=l ij ... la_i
(упражнение 9 § 2 гл. II).
x) Систему инвариантов формы данного типа над полем Р называем полной, если
две формы рассматриваемого типа, у которых значения всех инвариантов системы совпа-
совпадают, переводятся одна в другую невырожденными линейными преобразованиями с коэф-
коэффициентами из поля Р. В классической теории алгебраических инвариантов это выра-
выражение применяется в несколько ином, более узком смысле (см. сноску в замечании 4.2).
В этом смысле для тройничной кубической формы с комплексными коэффициентами
Горданом [93] дана полная система комитантов, состоящая из 34 форм. Ч э я л е р [58]
указала полную систему комитантов для тройничной трилинейной формы над полем
комплексных чисел.
2) Обобщение известной теоремы: дискриминант билинейной формы (т. е. детерми-
детерминант соответствующей матрицы) есть относительный инвариант веса 1 для каждого ряда
-ее переменных.

3 4] ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ 123
Если форму F подвергнем последовательному ряду преобра-
преобразований D.24), полагая а = 1, 2, ..., р, то придем к форме
1 ... Х|р) с матрицей А' = || А\ г ... 4 ||
(tj, г2, ..., ip=l, 2, ..., и), гипер детерминант которой, очевидно, будет
связан с гипердетерминантом матрицы А соотношением
\А'±
±± ± 1= п \^'\-\л±± ±1- v^-^v
4*2 ¦ ¦ • lp 0=1 *1*2 • ¦ • h
что и требовалось доказать.
Замечание 4.7. Из всех детерминантов матрицы А только гиперде-
гипердетерминант (если р — четное) является инвариантом формы F. Поэтому, на-
например, ни один из детерминантов | А+± |, | Л±++ ], | ^4+++ | кубической
i j k i j k i i h
матрицы А не будет инвариантом ассоциированной с ней трилинейной
формы F.
Аналогично доказывается более общая
Теорема 4.10. Детерминант наивысшего рода \Ajfjz +| при р
четном или \А±± ±| при р нечетном (р + 1)-мерной матрицы п-го по-
рядка \\Ац ...j || (г, i1, ..., г'р = 1, 2, ..., п), соответствующей системе п
п
р-линейных форм /?i= ^ AUi__i x\^ ... х{р) (i — 1, 2, ..., п) есть
совместный относительный инвариант этих форм веса 1 для каждого из р
рядов переменных.
Замечание 4.8. Если все п форм системы одинаковы, то при р
четном | А|_± ± \ = п\\А л. ± | (упражнение 4 § 3 гл. 1) и мы получаем
i ij ¦- • »р itj • • • »р
как частный случай теорему 4.9; при р нечетном |-А±± л. \ = 0, что вполне
i h ¦ ¦ ¦ *р
согласуется с тем, что теорема 4.9 тогда не имеет места.
В случае, когда матрица А jo-линейной формы /^ — симметрическая
и форма F подвергается когредиентным линейным преобразованиям
«4 (» = 1, 2, .... п)
с одной и той же матрицей a=||ai;-|| (?, /= 1, 2 п), детерминант
которой \а\ ^=0, при а = 1, 2, ..., р, мы получим р-линейную форму F'
с симметрической матрицей А', гипер детерминант которой (если р — четное)
на основании формулы D.25) связан с гипердетерминантом матрицы А
соотношением
\А'±± ±| = |аПЛ±± , \, D.25')
V2 ¦¦¦iv \\ •¦•гр
Отождествляя х^ с xia при а=1, 2, . .., р, мы можем рассматривать
р-линейные формы F и F' как полярные соответственно форме р-й степени
п
/ = ^] Ai i ... i X{ Xi .. . Xi и форме той же степени /' =
г\ гр=1
п
= Ъ А'г г .. л Xi Xi .. .Хг , в которую переводится / невырожденным
г1 lp=1
п
линейным преобразованием ^=2 aijXj' (i = l, 2, ..., п) с матрицей а.
3=1

124 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
Следовательно, равенство D.25') имеет место и для форм р-тк сте-
степени /, /'. Тем самым доказана
Теорема 4.11. Гипердетерминант| Л±± ± | симметрической р-мерной
V» • • • 'р
матрицы п-го порядка || Л* ,-о ... , || (iv i2, ..., ip=l, 2, . . ., п), соответ-
п
ствующей форме / = V Л, j ..., xt xi . . . хг четной степени р, есть
j ^ ___ ^ 12 Р 1 2 Р
относительный инвариант этой формы, вес которого равен р (Цейфус [230])]).
Замечание 4.9. Упоминаемый в теореме гипердетерминант | А±± ±
очевидно, равен выражению
(ir г2, .-.., гр=1, 2, ..., п),
которое будем называть р-мерным гессианом формы f четной степени р.
Так же как и теорема 4.11, доказывается более общая
Теорема 4.12. Детерминант наивысшего рода |Л+. ±| при р
четном или \ А±± + \ при р нечетноль симметрической относительно
i ij . - - ip
индексов ij, i2, ..., ip (jo--|- 1)-мерной матрицы п-го порядка \\Аи _..* ||
(i, iv ..., z"p = l, 2, . . ., и), соответствующей системе п форм р-й степени
п
U= , 2. _ -4«, • • • VS ••• ^р (г = 1, 2, . .., л),
li 'р"
есть совместный относительный инвариант этих форм, вес которого равен р
(Цейфус [230]J).
Замечание 4.10. Теорема 4.12 сохраняет силу и в том случае, если
среди п форм четной степени будут одинаковые. Поэтому, если рассматри-
рассматривается система различных форм четной степени, число которых меньше
числа переменных, то, повторяя всеми возможными способами те или иные
из этих форм надлежащее число раз, мы получим семейство относительных
инвариантов данной системы. Например, если дана система двух тройнич-
тройничных квадратичных форм /3, /2, то, образуя две системы форм /д, /2, /2 и /t,
/j, /2, мы будем иметь два совместных относительных инварианта 0 и в'
Салмона (упражнение 20).
Если все п форм системы одинаковы, то имеет место замечание, ана-
аналогичное замечанию 4.8.
Теорема 4.13. Если я — какое-нибудь четное число, не превышающее
п
степени р формы / =
сиан этой формы 3)
j
дх± дл
2.
?+ ...
= 1
дх ,
41г2 ' " "
(г
ipXi,xK ¦
1? 2' ' ' '
7—1
то
9
л-мерный
..., п)
гее-
есть ее относительный ковариант веса я (Гегенбауер [84]).
х) Обобщение известной теоремы: дискриминант квадратичной формы (т. е. детер-
детерминант соответствующей матрицы) есть ее относительный инвариант веса 2.
2) В частности, квадратный детерминант системы п линейных форы от п переменных
есть их совместный относительный инвариант веса 1.
3) При я =2 имеем, очевидно, обычный гессиан формы /.

4]
ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
125
Действительно, полагая
где я — четное число, не превышающее р, мы можем представить форму / в
виде
п
Соответствующая форма /я=
Bi
li2_ лЛг
?{„. рассматривае-
я
мая как форма степени я от переменных |1? |2,. . . ,?п, имеет на основании
теоремы 4.11 относительный инвариант веса я, равный гипердетерминанту
п-го порядка |-В±± ±|, который, как известно, будет также относительным
п»2...»я
ковариантом веса я формы /х). Согласно замечанию 4.9,
В
±±
± I —
Но, как нетрудно убедиться,
Эя/Я
я!
(iv L, ..., гл=1, 2, . .., n).
-я)! bnf
За;- . . . дх-
г г
Следовательно,
Следствие. Если степень р формы f—нечетная (p = 2q + l), то,
давая я все возможные значения, мы получим q ковариантов формы /,
степени которых относительно переменных будут:
п, 3/г, ..., B<7 — 1) п.
Если же степень р—четная {p—2q), то, кроме инварианта формы /, ко-
который получим при я = р, мы будем иметь еще q — 1 ковариантов этой
формы, степени которых относительно переменных будут
2п, 4п, ..., Bq - 2) п.
Пусть дана система п форм /1? /2, ...,/„ от п переменных xv x2, ..., хп,
степени которых равны соответственно pv р2, . .., рп, и пусть я — какое-нибудь
число, не превышающее наименьшего из чисел pv p2, .. ., ра. Выражение
, — я)! (р2 — я)! ... (рп—я)!
Pl\p2\ ... рп\
дх.дх,. ..дх.
iv ...,(„= 1,2, ...,п), D.26)
где в (я+1)-мерном детерминанте наивысшего рода симюл (±)s обозначает
+ или ± в зависимости от четности числа я и каждое из п сечений первой
ориентации (г) представляет симметрическую я-мерную матрицу, элемен-
элементами которой являются частные производные я-ro порядка соответствующей
') См., например, [226], стр. 218,

126 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
формы, будем называть (я + 1)-мерным якобианом системы п форм
/j, /2, . .., /„. При я — 1 получаем, очевидно, обычный якобиан этой системы.
Так же как и теорема 4.13, доказывается более общая
Теорема 4.14. (я -г У)-мерный якобиан D.26) системы форм /,, /2, . . .
...,/п есть их совместный относительный ковариант веса я (Эшерих [73]).
Из этой теоремы, если все п форм будут одной и той же степени р п
п — р, вытекает теорема 4.12, так как в этом случае (р -j- 1)-мерный якобиан
системы этих форм будет равен
(i, tj, . ..,гр = 1, 2, ..., п),
. ..дх
и
т. е. \A{±)S± ± [
* V--V'
Если же все формы одинаковы, т. е. /,: = / (г = 1,2, ...,п), и число-
я — четное, не превышающее степени р формы /, то получаем теорему 4.13,
так как тогда в (я + 1)-мерном детерминанте выражения D.26) все п сече-
сечений 1-й ориентации (i) одинаковы и, следовательно, это выражение будет
равно я-мерному гессиану формы /, умноженному на п\ (упражнение 4 § 3
гл. I).
Вообще, если число данных форм, предполагаемых различными, меньше
числа переменных, мы получим систему относительных ковариантов этих
форм, повторяя те или иные из них всеми возможными способами надлежа-
надлежащее число раз. Можно заменить ту или иную форму данной системы одной
из ее степеней или даже однородной функцией данных форм, — все равно-
обобщенный якобиан, составленный по формуле D.26), будет относительным
ковариантом первоначальных форм.
Упражнения
1. Дискриминант Д двойничной линейно-квадратичной формы F = ^
определяемый равенствами D.2), есть ее относительный инвариант веса 2 для ряда пе-
переменных х-1, х2 и веса 4 для ряда переменных уг, у2. Доказать.
2. Квадратичные формы D.1), составленные для двойничной линейно-квадратичной
2
формы F— 2 AijkXiyjT/kt представляют два различных относительных коварианта
Hi и Hj — Hh, веса которых для двух рядов переменных этой формы равны соотвотст-
венно 0,2 и 1,1. Доказать.
2
3. Двойничная линейно-квадратичная форма Q= ^\ ^ая^аУяУу^ ассоциирован-
ная с кубической матрицей 2-го порядка В = || Ва^у \\ (а, р", y = 1> 2). симметрической
относительно индексов р, у и представляющей частный вид матрицы C.3), которая со-
составлена для матрицы двойничной линейно-квадратичной формы F= 2 AijhXn/jyhr
г, з, k=i
есть относительный ковариант этой формы веса 1 для ряда переменных х1: х2 и веса 2
для ряда переменных уг, у2- Доказать.
4. Двойничная линейно-квадратичная форма F, ео дискриминант Д и коварианты
Н^, Hj, Q составляют полную систему комитантов формы F. Каким соотношением
(сизигией) они связаны?
5. Доказать, что дискриминант якобиана Q двойничной кубической формы / и
квадратичной формы Н, представленной формулой D.1'), равен кубу дискриминанта
формы /.
6. С помощью относительных инвариантов S, Т тройничной кубической формы
3
/= у\ AijkXiXjXh, ее матрицы А и матрицы А, составленной из кубических мино-
i, i, fe=l
ров 3-го порядка, порождаемых матрицей А, образуем симметрическую кубическую

4]
ИНВАРИАНТЫ И КОВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
127
матрицу 3-го порядка VL = TA — SA, которую будем называть сложной кубической мат-
матрицей для А. Доказать, что двумерный и трехмерный ранги rtt и еа сложной кубиче-
кубической матрицы U для А являются арифметическими инвариантами относительно элемен-
элементарных преобразований матрицы А.
з
7. Тройничная кубическая форма Я =
а, р,
Аао хах„ху, ассоциированная с мат-
i v
з
A, т. с.
рицей А (упражнение 6), равна ушестеренному гессиану формы /= ^ Л^
г, з, л=1
(а, р = 1, 2, 3). Доказать, что Я есть относительный ковариант формы /,,
Я=36
дхадхо
вес которого равен 2.
8. Пусть
a, P. V=l
а, Р,
2
а, Р, Y=l
— тройничные кубические формы, ассоциированные с кубическими матрицами 3-го по-
порядка А'г>, А^', а( ', которые составлены из кубических миноров 3-го порядка с сиг-
натурами \i), {]), [к), порождаемых матрицей А тройничной трилинейной формы-
3
F= Л AijfrXiyjZfr. Относительные инварианты веса 4 и 6 форм Я{, Я;, Hk обозна-
i, j, fe=l
чим соответственно через Si, Sj, S^ и Г;,, Tj, T^.
Доказать, что выражения S{, Sj, S^, так же как и выражения Т{, Tj, T^, равны
между собой и являются относительными инвариантами формы F, веса которых для.
каждого ряда переменных этой формы равны соответственно 4 и 6.
9. Доказать, что детерминант
О
О
О
-А.
АтЯп J
О
О
О
О
О
о
Азз —
о
о
О У
-4222 '
А 232 '—-
зи
-4213 —J
— А**,» —1
''2
—А з
О
О
о
о
о
о
3
¦™з\г
-4згз
-4ззз
О
О
о
есть относительный инвариант тройничной трилинейной формы F— ?
г, }, ft=l
вес которого для каждого ряда переменных равен 3 (Паш [187]).
10. Обозначая через S и Т относительные инварианты тройничной трилинейной
формы F, веса которых для каждого ряда переменных этой формы равны соответствен-
соответственно 4 и 6 (упражнение 8), показать, что выражения -Г = -™г , гдеЛ = 53—Т2, nJ = —-—
(упражнение 9) являются абсолютными инвариантами формы F.
11. Вычислить, применяя теорему 4.11, относительные инварианты двойничных
форм 4-й и 6-й степени, веса которых равны соответственно 4 и 6.
12. Найти относительный инвариант веса 6 двойничной формы 4-й степени
умножая ее на х% и вычисляя гипердетерминант матрицы полученной тройничной формы
6-й степени (Бартер [46]).
13. Дана двойничная jo-линеиная форма (р—нечетное)
i *1

128
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. Ш
¦с /)-мерной матрице!! 2-го порядка A = \\Aii i [[ ij, г„, .. ,,ip — i,2). Обозначим череп
Аао'(a, fi — любые из значений 1, 2; v—любое из значений 1, 2, ..., р) р-мвриыо мино-
миноры 2-го порядка с сигнатурой \iv), порождаемые матрицей А. Доказать, что состав-
составленные из этих миноров симметрические квадратные детерминанты 2-го порядка
^.ан (а, Р = 1, 2), различные между собой при р а 5, будут относительными инвари-
инвариантами веса 2 для каждого ряда переменных формы F (Кэли [53]).
14. Если р-линейную форму F =
jp-мернои
= \\Aii
V Л, i , х\"х\" . . . x\f
V •••¦xv
(ij, г2, . ..,tp —1, 2, . . ., ге) при учетном подвергнуть (q — 1)-
линойному преобразованию ху'= ^ ayj j Xy^ty . ¦ • %f (a — какой-нибудь
2' ' " '' q
из индексов 1, 2, ..., />; /i = l, 2,
, re) с д-мерной матрицей
(/i. /2. •••. /9 = 1, 2 re)
при q четном, то гипердетерминант преобразованной формы будет равен произведению
гипердетерминантов матриц Л и aSa\ Доказать.
15. Инвариант алгебраической формы по отношению к нелинейным преобразованиям
ее будем называть обобщенным. Пользуясь результатом упражнения 14, показать,
что гипердетерминант матрицы />-линейной формы при р четном есть ее обобщенный
относительный инвариант веса 1 для каждого ряда переменных по отношению к невы-
невырожденным (q — 1)-линейным преобразованиям ее, если q — четное.
16. Доказать, что гинердетерминант матрицы А формы
п
f— У А х т т
яетной степени р есть ее обобщенный относительный инвариант веса р но отношению к
невырожденному преобразованию нечетной (q — 1)-й степени
-i X: ?-• ... ?.j
2
J-2 • • • '(J
/i = l, 2, ...,n)
<Бартер [46]).
17. Показать, что кубический детерминант \А , ±4.
i j h
ный инвариант двух двойничных билинейных форм
2
Fi= ^ Aijkxjyk (i = l, 2),
есть совместный относитель-
вес которого для каждого ряда переменных равен 1.
18. Указать систему двух двойничных трилинейных форм, у которых совместным
относительным инвариантом веса 1 для каждого ряда переменных будет четырехмерный
гипердетерминант 2-го порядка
А
А
mi
1121
1
0
^1112
0
0
л
^2122
А
А
1211
0
0
2221
А
А
0
1222
2212
1
I
| ±
th)
19. Показать, что кубический детерминант |Л|_л_±12, симметрический относительно
t j к
двух индексов /, к, есть совместный относительный инвариант веса 2 двух двойничных
±

ИНВАРИАНТЫ И КОКАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФОРМ
129
квадратичных форм
fi = Aiuxl + 2Ail2xix2+Ai22xl (i = l, 2).
20. Показать, что симметрический относительно индексов /, к кубический детерми-
детерминант |^4_|_±±|з есть совместный относительный инвариант веса 2 трех тройничных ква-
г з к
з
дратичных форм /{= 2 Aij)lXjXil(i = l, 2, 3) (инвариант (abc) Аронгольда).
i, fc=l
Вывести отсюда в случае, когда все три формы одинаковы, выражение -rim для
дискриминанта тройничной квадратичной формы /!; а в случае, когда одинаковы только
две формы, найти выражения двух совместных относительных инвариантов Салмона
двух тройничных квадратичных форм /j, /2:
=— А122 и
'=у Ап2
(Bpaam [47]).
21. Указать систему двух двойничных кубических форм, у которых совместным
относительным инвариантом веса 3 будет четырехмерный гипордетерминант 2-го порядка
±
4цц
0
1
A-ZU2
А
А
0
1122
2112
0
А
А
0
1122
2112
0
А
А
1122
1
0
i (%
22. Вычислить, применяя теорему 4.12:
а) совместный относительный инвариант веса 4 двух двойничных форм 4-й степени
2
б) совместный относительный инвариант веса 6 двух двойничных форм 6-й степени
2
/¦— V А хх х (i — 1 2)
23. Вычислить, применяя теорему 4.13, все относительные коварианты каждой из
2 2
форм
_, г1г2гЗг4 г1 г2
У
i i xi xi xi xi xi
гг l % l l l
представляе-
мыо ее гессианами.
24. Доказать, что всякая форма нечетной степени 2<j>-|-l от четного числа п пере-
переменных имеет q инвариантов степени я2 относительно коэффициентов данной формы
(Гегенбауер [84]).
25. Если форма приводится к любой степени линейной формы, то все ее гессианы,
начиная с двумерного гессиана, равны нулю. Доказать (Лека [113]).
26. Доказать, что (/>-)-1)-мерный якобиан системы п ковариантов Д, /2) ...,/п фор-
формы / от п переменных, веса которых равны соответственно п17 я2, ...,пп, есть новый
п
ковариант формы / веса р-\- V Л; (Гегенбауер [84]).
27. Пусть дана система пр~л~^1 форм /^ i (p g л; г, 1Я ,1; ..., ip = 1, 2, ...,п)
й В
от » перолюнных ж,, .т2,
степеней
=я. Выражение
п
I ]
1
(ри г —я)!
л+1 ¦ ¦ ¦ р
п
1 { (Pii~ i | . . л' ")
1
t) S LL
*я+1
дх, . ..
±
¦ ¦ -lp
дх.
(i,
ip = l, 2, ..., и),
•' Н. П. Соколов

130
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. Ш
где в (/>+1)-мсрном детерминанте наивысшего рода символ (i)s обозначает -f- или ^
в зависимости от четности числа р, будем называть (/>+1)-м е р н ы м якобианом
системы пр~л+1 форм /«„_)_j.-.tp-
Доказать, что этот якобиан есть совместный относительный ковариант системы
пр-я+1 фОрМ jit . i go,, которого равен я (Эшерих [73]).
28. Дана система п различных форм /1; /2, ..., fn от п переменных хг, х2 хп.
Доказать, что кубический детерминант и-го порядка
дх, дх
(i, /, fc=l, 2, ..., «),
где каждое сечение ориентации (i) представляет симметрическую квадратную матрицу,
элементами которой являются произведения двух частных производных 1-го порядка
соответствую щей формы, есть совместный относительный ковариант веса 2 форм данной
системы (Гедрик [98]).
29. Даны две системы форм /?", ff (i = I, 2, ..., re) от п переменных xltx2, ...,xn,
причем формы каждой системы различны между собой. Доказать, что кубический детер-
детерминант п-го порядка
(i, /, А = 1, 2,
дх, дхл
есть совместный относительный ковариант веса 2 данных 2п форм (Гедрик [98]).
30. Упражнения 28 и 29 распространить на (р-\- 1)-мерныо (р а 3) детерминанты
я-го порядка.
§ 5. Инвариантные множители и элементарные делители
полиномиальной пространственной матрицы
1. Переходя к вопросу об инвариантах полиномиальной пространствен-
пространственной матрицы, мы для ясности изложения будем рассматривать кубическую
Я-матрицу M{l) = \\Mijk(X)\\ (i, /, & = 1, % ..., п). Полученные резуль-
резульб
Яматрицу M{l) \\ijk()\\ (, /, , % ) у ру
таты нетрудно уже будет распространить на полиномиальные матрицы
высших измерений (упражнения 8 — 12).
Понятие рангов пространственной матрицы с постоянными, т. е. непо-
неполиномиальными элементами и их инвариантные свойства естественным
образом обобщаются и на полиномиальные матрицы.
Так, двумерным рангом матрицы М (к) по одному из индексов i, /, к,
например г^(Я), называем, ранг прямоугольной матрицы
\\Мт(Щ\ =
... М
ип
... МЫ1 (X) М1П2 (Ц ... М1пп (Л)
... М2п1(к) М2п2A) ... М2пп (X)
Мпп (X) Мп12(Х) ... Мп1п (X)... Мпп1 (X) Мпп2 (X)... Мппп (X)
составленной из строк направления (г) матрицы М (X).
Трехмерным рангом матрицы М (X) по двум каким-нибудь из индек-
индексов i, /, к, например г<^(Х), называем наивысший порядок не равных тожде-
тождественно нулю кубических миноров с сигнатурой (г), порождаемых матри-
матрицей М(Х).
Матрицу М{Х) будем называть регулярной, если все ее трехмерные
ранги равны ее порядку1), и иррегулярной — в противном случае.
1) В этом случае, как вытекает из следствия IV теоремы 2.2, и все двумерные
ранги матрицы М (X) равны ее порядку.

§ 5] ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ II ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ 131
Ранги полиномиальной пространственной матрицы, так же как и ранги
пространственной матрицы с постоянными элементами, являются арифмети-
арифметическими инвариантами относительно ее элементарных преобразований.
Кроме рангов, однако, существуют еще и другие величины, обладаю-
обладающие инвариантными свойствами. Чтобы показать это, докажем следующую
теорему.
Теорема 5.1. Наибольший общий делитель D^ (К) (со старшим
коэффициентом, равным единице) порождаемых матрицей М (к) кубических
+
миноров v-го порядка с сигнатурой (/), где v не превышает трехмерного
ранга rfy (к) матрицы М (К), остается неизменным при элементарных
преобразованиях этой матрицы.
Действительно, преобразования типа
(а) /(б) -t (б— любой из индексов i, /, к)
или
(б) т (б) + I (б) • г|; (к) (б — любой из индексов /', к)
матрицы М(к), очевидно, не меняют полинома
Преобразование же типа
(б)
матрицы М (к) приводит к новой матрице, у которой все порождаемые ею
кубические миноры v-ro порядка (v % r$ (к)) с сигнатурой (г), содержащие
элементы m-ro сечения ориентации (г) исходной матрицы М (к), являются
линейными однородными функциями от косигнатурных миноров v-ro
порядка, порождаемых матрицей М (к), тогда как все остальные из упомя-
упомянутых выше миноров остаются без изменения. Таким образом, и в этом
случае полином Dj (К) остается неизменным.
Тем же свойством обладают наибольшие общие делители D^ (к) и D^ (к)
порождаемых матрицей М (к) кубических миноров v-ro порядка с сигнату-
+ +
рами (/) и (к), причем соответственно
Вместо D^ (к), D^ (к), D^ (к) можно ввести другие инварианты, кото-
которые мы назовем инвариантными множителями матрицы М (к). Для опреде-
определения их воспользуемся следующей теоремой.
Теорема 5.2. D^ (к) делится на D{jlx{k) B ^ v ^ г$ (к)),
D(^(k) делится на D^^k) B ^ v <; г# (к)),
В$\к) делится на D^l{ (к) B < v 5] r\f (к)).
Теорема очевидна, так как всякий многомерный детерминант порядка v
(v§2) с той или иной сигнатурой является линейной однородной функ-
функцией от косигнатурных детерминантов порядка v —1.
Введем обозначения
^ (v = l, 2 TflM), E.1)

132 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
полагая D^ (X) ~ 1, и будем называть полиномы Ер (X) со старшими коэф-
коэффициентами, равными единице, инвариантными множителями по двум
индексам /', А; матрицы М (X).
Аналогично определяются инвариантные множители матрицы М (X)
по двум индексам /, к или i, /.
Из этих определений и теоремы 5.2 вытекает
Теорема 5.3. Инвариантные множители по любым двум индексам
матрицы М (X) являются инвариантами этой матрицы относительно ее
элементарных преобразований.
Замечание 5.1. Из равенств E.1) и аналогичных им, составленных
для индексов / и к, вытекают очевидные равенства
В1-? (X) = Ef (X) Ер (X) ... Fip{X) (v = 1, 2, .... /$ (X)),
D(vj) (X) = E[n (X) Ef (X)... Ep (X) (v = l, 2 4l (X)),
D™ (X) = E(l'\X) Ef (X)... E<il) (X) (v = 1, 2, .. ., /$> (X)),
оправдывающие смысл термина «инвариантный множитель».
Разложим инвариантные множители по двум индексам /, к матрицы М (X)
на неприводимые в поле Р множители:
„(г) ?(г) Е(»)
Ер М = [еР М] Vl [cf (X)} v2 ... [еР (X)} v* (v = 1, 2, .. ., /$ (X)). E.2)
Здесь е(р(Х), е^(Х), ..., e[V(X) — все различ!?ые между собой непри-
неприводимые в поле Р полиномы (со старшими коэффициентами, равными еди-
единице), входящие в состав
ЕР (X), ЕР (X), ..., Е% (X) и ей 3 0, г% Ш 0 е^О.
jit ^
Все отличные от единицы степени среди [с<.^(Л)] (т=1, 2, ..., s;
v = l, 2, ..., rty(X)) в разложении E.2) будем называть элементарными
делителями по двум индексам /, к матрицы М (X) в поле Р.
Аналогично определяются элементарные делители по двум индексам, i,
/с или i, j матрицы М (X) в поле Р.
Из этих определений и теоремы 5.3 вытекает
Теорема 5.4. Элементарные делители по любым двум индексам
матрицы М (X) являются инвариантами этой матрицы относительно ее
элементарных преобразований.
Замечание 5.2. Обычные инвариантные множители и элементарные
делители двумерных Я-матрцц |] Мци. (X) \\, \\М^,{Х) |, || Мцц(Х) \\, составлен-
составленных соответственно из строк направлений (i), (/), (к) .матрицы М(Х), также
будут инвариантами этой матрицы относительно ее элементарных преобра-
преобразований. Все они являются делителями соответственных инвариантных мно-
множителей и элементарных делителей матрицы М (X), упомянутых выше.
Замечание 5.3. Если матрица М (X) — симметрическая! то ее ранги
(двумерные или трехмерные) по различным индексам одинаковы и могут
быть объединены в одно понятие ранга (двумерного или трехмерного) этой
матрицы. Точно так же инвариантные множители или элементарные дели-
делители по различным нарам индексов, будучи соответственно одинаковыми,
объединяются в одно понятие инвариантных множителей или элементар-
элементарных делителей симметрической матрицы М (X).

§ jj ИНВАРИАНТНЫЕ МИО/КИ'ГЕЛН И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ 133
2. Обратимся теперь к частному случаю, когда все элементы ^.-матрицы
Л/(А.) представляются линейными полиномами над полем комплексных (или
пещестненных) чисел.
Имеем тогда пучок кубических матриц ХА-1-В, где матрицы
A = \\Aijk\\, B = \\Huk\y (/,/, /,: = 1, 2, .... и)
образуют базис пучка.
В дальнейшем, однако, мы будем рассматрниать пучок более общего
«ида — полиномиальную кубическую матрицу n-vo порядка 5Щ(А., и,) —
= XAJr\iB, у которой lice элементы являются линейными формами от пере-
переменных параметров К, и. над полем комплексных (или вещественных) чисел.
Составляя тогда выражения, аналогичные E.1), для каждого из индек-
индексов /. /, к, мы получим: инвариантные множители матрицы Ж(А,,и.), а за-
тем и элементарные делители ее по любым двум индексам в виде степеней
линейных множителей, входящих в состав инвариантных множителей.
Пусть, например,
„(¦о м> (п
(a[i]X -f bVV) ' - Й"*- -г bfp) \ ..-, (а%К + 6<«V) "' E.3)
— все элементарные делители по двум индексам /, к матрицы 9Л (А., и.),
причем среди линейных множителей al^X--\-b^p (Л=1, 2, . .., т) могут быть
и пропорциональные друг другу, считаемые в этом случае одинаковыми.
Особо нажным во многих случаях является вопрос о показателях
8(il), е-H, ..., е'ш степеней линейных множителей. Для обозначения этих
показателей, не пользуясь явной формой элементарных делителей, введем
символ \^\] t{-p ... e,,V], который будем назыпать характеристикой по ип-
Цркс.ам /, I; матрицы Ш (X, и.) 1). При этом в характеристике будем заклю-
заключать в круглые скобки те из чисел в['\ е^1, ...,?!,'', которые являются по-
показателями степеней одпнаконых линейных множителей, и помещать малень-
маленькие нули над показателями степеней одночленных элементарных делителей;
кроме того (в случае поля вещественных чисел), будем ставить черточку
над каждым к)/', являющимся показателем степени мнимого линейного мно-
множителя. Так, например, характеристика по индексам /, А матрицы 9Л (^> ц),
имеющей элементарные делители по тем же индексам
(X + Зи,J, X -2\i, A.--2ji, и,,
о
напишется и виде [2A1I]. Если матрица $Щ (А., ц) не имеет элементарных
де.мителей по индексам /, к, то ее характеристика по этим индексам есть [0].
Аналогично определяется характеристика по индексам /, к или /, /
матрицы 3J} (А,, ц).
Замечание §J\. Если матрица ЗЛ (A,, \i) — симметрическая, то ее
характеристики по различным парам индексом одинаковы и могут быть
объединены и одно понятие характеристики, [еLt\, . . . е,„] этой матрицы.
.'Замечание 5.5. Данное пыше определение элементарных делителей
по каким-либо двум индексам матрицы 5Ш (X, U-) можно заменить следующим
определением, в которое не входит понятие об инвариантных множителях.
Пусть г трехмерный ранг по каким-нибудь двум индексам, например /', к,
матрицы Ж (А., и) и J)y(X,\i), где 1" \-":г, есть наибольший общий дели-
делитель порождаемых этой матрицей кубических миноров v-ro порядка с соот-
соответствующей рангу г сигнатурой (/'). Пусть, далее, аХ + Ьц — один из ли-
линейных множителей Dt, (X, ц), a /v показатель наивысшей степени этого
') Ср. [167], стр. 88.

134
ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ
[ГЛ. III
множителя, входящей в разложение Dv (X, ц), причем Zo = 0. Введем в рассмо-
рассмотрение целые неотрицательные числа ev, определяемые равенствами
ev = Zv — lv_i (v = l, 2, ...,г).
Тогда те из выражений (аХ-\-Ьц) v, в которых показатели ev отличны от
нуля, будут элементарными делителями по двум индексам /', к матрицы
3JI (X, ц), соответствующими линейному множителю аХ + Ьц1).
В качестве примера найдем все инвариантные множители, элементарные
делители и характеристики полиномиальной кубической матрицы 2-го по-
порядка
0
О
А, — (
О
О Х-ц
¦(О
Г
¦ (к)
'Гак как элементы матрицы ffl (X, и) — взаимно простые и порождаемые
+ + +
ею кубические миноры 2-го порядка с сигнатурами (г), (/), (А:) равны со-
соответственно
2(^-цг), О, Х2-^,
2(^ + |i)(^ + 2|i), 0, №-\i\
О, -2(\
то матрица Ш (X, \х) имеет:
Инвариантные
множители
1, X2 — (J,2
1, Х + ц
1, А. — р.
Элементарные
делители
Х-\-\1, Х — р
x+v
X — ц
Характе-
ристини
[11]
[1]
[1]
По
индексам
/, к
i, к
3. Все понятия, связанные с пучком кубических матриц *Щ (X, (х) =
= ХА + \лВ, естественно переносятся и на пару матриц А, В, являющуюся
базисом пучка.
Так, пара матриц А, В называется регулярной или иррегулярной, смотря
по тому, будет ли пучок ХА-\-\аВ регулярным или иррегулярным. Одинаково
определяются также инвариантные множители, элементарные делители
и характеристики (по той или иной паре индексов) пучка ХА + \iB
и пары А, В.
Рассматривая пучок ХА-\-\лВ, мы можем любые две матрицы
этого пучка, соответствующие значениям Хг, Хг и \iv (x2 параметров X и (х,
принять за его базис, если только
к ФО. E.5)
Между элементарными делителями двух регулярных пар матриц, при-
принадлежащих пучку ХА -\- \хВ, существует простое соотношение, выражаемое
следующей теоремой.
х) Ср. B27], стр. 321.

S 5J ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ 135
Теорема 5.5. Если регулярная пара кубических матриц п-го поряд-
порядка А, В имеет элементарные делители по каким-либо двум индексам
(A=l, 2, ..., т), E.6)
то пара матриц E.4), также регулярная при условии E.5), имеет такого
же типа элементарные делители
(A = l, 2, ..., т), E.7)
где
(А=1, 2, .... m). J1) E.8)
Действительно, образуем пучок матриц ХА' -\-\уВ' и, пользуясь выраже-
выражением E.4), представим его в виде
ХА' + \iB' = {ХХХ + X^i) A + {цгХ + ii2\i) В. E.9)
Так как К и ц не предполагаются одновременно равными нулю, то Х-^ +
-f Я2|л и |X1A + ^2M' ПРИ условии E.5) также не равны одновременно нулю.
Не нарушая общности, можно считать К Ф 0 w. Х^ + К^фО. Тогда пучок
E.9) переписывается в виде
), E.10)
где
Возьмем один из линейных множителей, входящих в состав элементар-
элементарных делителей E.6) регулярной пары матриц А, В, и обозначим его через
ак-}-Ьц. Пусть lv — показатель наивысшей степени этого множителя,
входящей в разложение наибольшего общего делителя Dv(X,\jl) порождаемых
матрицей ХА-{-цВ кубических миноров порядка v sS n с соответствующей
сигнатурой, причем, очевидно, iv-i1v. Тогда каждый минор v-ro порядка
с такой же сигнатурой, порождаемый матрицей ХА + ц'В, входящей в выра-
выражение E.10), можно представить в виде
где F(X, ц') — двойничная форма от X, ц' степени \ — lv. Поэтому на основа-
основании равенства E.10) соответствующий минор v-ro порядка, порождаемый
матрицей XA'-{-[iB', имеет вид
где
а' = аЯ,1 + 6ц1, b' = aX2+bii2 E.11)
и F1(X, \i) — двойничная форма от X, ц степени v — Zv.
Следовательно, выражение
'n)lv E.12)
входит в разложение наибольшего общего делителя D'V(X, \л) порождаемых
упомянутой выше матрицей кубических миноров v-ro порядка с той же
сигнатурой, как и раньше.
Проводя эти рассуждения в обратном порядке, убеждаемся, что выраже-
выражение E.12) является наивысшей степенью линейного множителя а'Х-\-Ь'ц,
1) Ср. f4], стр. 282.

136 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. JII
входящей в разложение D'V(X, u,). Таким образом, согласно замечанию 5.л
элементарные делители по каким-либо двум индексам пары матриц (Г).4)
отличаются от элементарных делителей такого же типа пары матриц А, В
только тем, что линейные множители aX-\-b\i заменены линейными множи-
множителями а'Х-'гЬ'ц, причем имеют место соотношения E.11). Следовательно,
выражен я E.7) при условиях E.8) действительно являются элементарными
делителями рассматриваемого типа пары матриц E.4).
Из доказанной теоремы в предположении, что
вытекают такие следствия:
Следствие 1. Если регулярная пара кубических матриц п-го поряд-
порядка А, В имеет .элементарные делители по каким-либо двум индексам
(ahX-'rbhlifh (Л=1, 2, ..., т),
то регулярная пара матриц А' = рА, B' — qB, где р, q — отличные от нуля
постоянные, имеет такого же типа элементарные делители
(pahX + qbhiifh (A=l, 2, ..., т).
Следствие II. Пары матриц А, В а А', В', упоминаемые в тео-
теореме 5.5 и следствии 1, обладают одной и той же характеристикой {того
или иного типа), притом также и тогда, когда в нее введены круглые
скобки или черточки1).
Замечание 5.6. Если пучок матриц XA-\-\iB — регулярный, то на
основании следствия II для каждой нары матриц E.4) этого пучка, удовле-
удовлетворяющей условию E.5), существует одна и та же характеристика по каким-
либо двум индексам, притом также и тогда, когда в нее введены круглые
скобки или черточки. Поэтому об этой характеристике будем говорить как
о характеристике регулярного пучка матриц ХА -\- \хВ, рассматриваемого
как бесчисленное множество кубических матриц, которые получим, давая
частные значения параметрам X и и.. Характеристика (того или иного типа)
этого пучка, очевидно, остается неизменной при постоянных, т. е. не зави-
зависящих от параметров X, (х, элементарных преобразованиях его.
Согласно общему определению эквивалентности полиномиальных кубиче-
кубических матриц (гл. II, § 5), пучки кубических матриц ХА + рВ и kA1Jr\^B1
называются эквивалентными в поле комплексных (или вещественных) чисел,
если от одного из них можно перейти к другому при помощи конечного
числа элементарных преобразований в этом поле. Для эквивалентности пар
матриц А, В и Аг, Ви являющихся базисами этих пучков, необходимо, чтобы
эти преобразования не зависели от параметров X, и,, т. е. были постоянными.
В этом случае пучки ХА-\-ц,В и ХЛ1 + \xBt будем называть строго эквива-
эквивалентными2).
Из предыдущих теором вытекает очевидная
Теорема 5.6. Если пары кубических матриц А, В и Ах, В1 эквива-
эквивалентны в поле комплексных (или вегцественных) чисел, то ранги (двумерные
и трехмерные) ассоциированных с ними пучков XAJr\xB и ХА1-\-и.В1, строго
') Но но маленькие нули, так как равенство нулю одного из коэффициентов «/,, bh
в выражении E.6) еще но обеспечивает обращения в нуль одного из коэффициентов а'к>
b'h в выражении E.7).
2) Ср. [6], стр. 300.

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ II .')Л ЕМ 1ШТАРНЫЕ Д ЕЛ ИТЕЛ II 137
эквивалентных в этом случае, их инвариантные множители, элементарные
делители и характеристики (по оопой и той же паре, индексов) — одна
а те же.
4. Отметил частные случаи, когда пучок Ш (Я, и) = ХА -f u/i является
симметрической полиномиальной кубической .матрицей 2-го или Я-го порядка.
Если
Ш (А., |*) = || 3R,-.,.,. (Я. Ц) || ('• /. А- - 1, 2),
то квадратный детерминант
А(*. |*) = |»ЫЬ, Ц)| (а, р = 1, 2),
составленный из кубических миноров 2-го порядка 9J?ap(^, ц), порождаемых
пучком ХЛ + \хВ, будем называть дискриминантом пучка кубических двой-
двойничных форм Я/-|-цф, ассоциированного с XA-\-\iU.
В развернутом его выражении
Д (X, ц) = АХ* + L^V -! ?ДV + АЛ 4- Д>4 EЛЗ)
коэффициенты Д и А' есть соответственно дискриминанты форм / и <р, а
i, 3, ''=1
Легко убедиться, что имеет место
Теорема 5.7. Дискриминант А (к, \и), а также коэффициенты А,
LL, Lt,, L3, А' в развернутом его выражении E.13) являются относитель-
относительными инвариантами веса 6, тогда как линейные делители дискриминанта
А (к, ц), считающиеся одинаковыми в случае их пропорциональности, являются
абсолютными алгебраическими инвариантами и кратности их — арифмети-
арифметическими инвариантами по отношению к симметрическим, элементарным
преобразованиям пучка КА -\- \лВ.
Замечание 5.7. Из теоремы E.7) следует, что у коэффициентов А,
Lx, Lz, Ls, А' полинома E.13) при симметрических элементарных преобразо-
преобразованиях пучка А.Л + п.5 сохраняется равенство нулю или отличие от него,
а также знаки в случае вещественных преобразовании вещественного пучка.
Замечание 5.8. Число линейных делителей полинома А (К, ц), а также
их кратности, очевидно, не меняются при замене базиса А, В регулярного
пучка ХА -j- \iB каким-либо другим базисом E.4) при условии E.5).
В случае, если
Ш(К И) = II ТО.,"* (*¦• И) II (<¦> /. /•¦ = ¦!. 2. 3),
составим для 9JJ (X, \i) присоединенную матрицу С (X, \х). Далее, из кубиче-
кубических миноров 3-го порядка, порождаемых матрицей 9JJ (X, и.), образуем
симметрическую полиномиальную кубическую матрицу 3-го порядка
Я» (Л, И)=1№.*(^ F) II (», /, Л=1, 2, 3),
а из элементов матриц ЗК (X, и,), ЗК(Я, (х) — смешанно-присоединенную матри-
матрицу К{Х, и.) для №(Х, ц).
Теперь из элементов матриц С (X, \i) и К (X, (х) можно составить
относительные инварианты Аронгольда S (X, |л) веса 4 и Т (X, ц) веса 6,
затем относительный инвариант R(X, \i) — S3(X, \i) — T2(X, \л) веса 12

138 ИНВАРИАНТЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МАТРИЦ [ГЛ. III
и абсолютный инвариант
При симметрических элементарных преобразованиях полиномиальной
.матрицы 93} (Я,, и.) относительные инварианты, как в этом легко убедиться,
воспроизводятся с точностью до некоторых постоянных, отличных от нуля
множителей. Поэтому имеет место
Теорема 5.8. Линейные делители относительных инвариантов
S (к, u.), Т (к, ц), В (к, и.), считаемые одинаковыми в случае пропорциональ-
пропорциональности, являются абсолютными инвариантами, а кратности их — арифмети-
арифметическими инвариантами относительно симметрических элементарных пре-
преобразований матрицы 5ДО (к, р.).
При помощи инвариантов S (к, ц) и Т (к, ц) образуем для 3JJ (Я,, \и)
из матриц С (к, ц) и К (к, и.) сложную квадратную матрицу
р) = Т{к, |х) С (к, \i)-S(k,
а из матриц Ш1(Х, и.) и 3Jt(X, ц) — сложную кубическую матрицу
(см. упражнение 6 § 4).
Как и при рассмотрении кубических матриц с постоянными элементами
(§§ 3, 4), нетрудно убедиться, что симметрические элементарные преобразова-
преобразования полиномиальной матрицы 9J} (Я,, ц) вызывают такого же рода преобразо-
преобразования симметрических полиномиальных матриц С (к, ц), К (к, (л), ©(Я., (л),
ПA, и).
Таким образом, имеет место
Теорема 5.9. Эквивалентность в поле комплексных {или веществен-
вещественных) чисел двух симметрических полиномиальных кубических матриц 3-го
порядка над этим тюлем влечет за собой такого же рода эквивалентность
соответствующих присоединенных, смешанно-присоединенных и сложных
{квадратных и кубических) матриц.
Замечание 5.9. Относительные инварианты S(к, ц), Т(к, \х), R(k, u.)
пучка кА-\-цВ являются,' вообще говоря, формами от к, ц соответственно
4-й, 6-й, 12-й степени, и числа их линейных делителей, так же как и крат-
кратности последних, очевидно, не меняются при замене базиса А, В регуляр-
регулярного пучка кА-\-цВ каким-либо другим базисом E.4) при условии E.5).
Замечание 5.10. Так как замена базиса А, В пучка XА + \лВ каким-
либо другим базисом E.4) при условии E.5) не меняет состава пучка,
то при такой замене остается неизменной и совокупность инвариантов,
составляющих полную систему
I(k,ii), г (к, у.) или Q (Я,, (г), гС(я,ц), геа,д)
(а в поле вещественных чисел и Стса, и)> о^еа, ц)> а также а(Т(к, ц)) для всех
значений параметров к, ц (см. замечание 4.6).
Это замечание относительно последней совокупности инвариантов сохра-
сохраняет силу также для пучков, эквивалентных кА -(- \уВ в поле комплексных
(или вещественных) чисел.
Упражнения
1. Найти двумерные и трехмерные ранги кубической Х-матрицы 3-го порядка
•(О
I—(*)•
А.+1 X 1
О X к
2Х
X—i 1 О
X 1 Х+1
2Я,—1 2
2Х Х+1 1
1 0 1
2Я.+ 1 Я. 4-1 2

5]
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДКЛИТЕЛИ
139
2. Найти в поле вещественных чисел все инвариантные множители и элементарные
делители кубической матрицы 4-го порядка
X2—1
X3 —1
0
0
Х-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
к+1
0
0
0
0
Х+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1)
0
Х+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Х2+1
-МО
1 "
1
(Л
(к)
3. Если кубическая Х-матрица М (X)—диагональная и каждый диагональный эле-
элемент ее, отличный от постоянной, представлен в виде произведения степеней различных
полиномиальных множителей, неприводимых в поле Р, на некоторую постоянную,
то степени эти в точности равны элементарным делителям матрицы в поле Р. Доказать.
4. Показать, что симметрическая полиномиальная кубическая матрица 3-го порядка
МО
0
к
0
к
0
0
0
0
0
к
0
0
0
— а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
имеет инвариантные множители 1, X, Хи, элементарные делители X, X, и. и характери-
ОО О
¦г.тику Г(Н) 1].
5. Показать, что симметрическая полиномиальная кубическая матрица 3-го порядка
к
0
к
-и*
0
0
0
0
к -и. О
— и —А, О
О 0 0
0 0 О
0 0 О
О 0 Х + и.
(О
— (к)
1
имеет инвариантные множители 1, 1, (Х2+р.2) (Х+р.), элементарные делители X+uV,
X — u.i, X + u. и характеристику [111].
6. Квадратные детерминанты |ЯК$(Х, ji)|, | ЯЯ$ (X, ц) |, \Ш^(к, ц) | (а, р = 1, 2).
составленные из кубических миноров 2-го порядка с сигнатурами (?), (/), (к), порождае-
порождаемых пучком асимметрических кубических матриц 2-го порядка 2К (X, \i.) = kA-\-\iB,
тождественно равны между собой, и общее значение их Л (X, р,)—дискриминант пучка
двойничных трилинейных форм XF+u-Ф, ассоциированного с kA-\-\iB,—есть относитель-
относительный инвариант веса 2 для каждого ряда переменных этого пучка. Доказать.
7. Распространить теорему 5.7 на пучки двойничных трилинейных форм.
8. Пусть М(X)—^-мерная Х-матрица n-го порядка \\М{ _ i (X)|| (ij, ..., ?р=1, •¦•, п)
и D^ (к)—наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом, равным единице)
порождаемых матрицей М (к) (/> — т + 1)-мерных (lgm g p — 1) миноров v-ro порядка
± ± ± . ±
сигнатурой o =
а
или <r =
ар-т ap_
ар~т ap-m+l
в зависимости от четности р — т + 1 (аа, ..., ар — совокупность чисел 1, 2, ..., р, рас-
расположенных в некотором порядке), где v пе превышает (р — т + 1)-мерного ранга
г = г, Р-т+Л р (X) по р—т индексам ?_ , ..., г" матрицы М(X) (см. § 2, п. 2).
ai '' ' ар-т
Доказать, что
цы М (X).
9. Показать, что D^ (к) делится на D^j (X) B g v S r) (см. упражнение 8).
10. Полиномы
*1 "р-от
остается неизменным при элементарных преобразованиях матри-
(X)
(v = l, 2, ..., r).
(X) = 1 (см. упражнение Э), будем называть инвариантными множи-
множиi i М{к) Д
где
телями по р—m индексам ia ,
р
матрицы М{к). Доказать, что
a , a
эти множители являются инвариантами относительно элементарных преобразований
матрицы М (X).

140 ИНВАРИАНТЫ Ш'ОСТРЛШ;ТНЕНИЫХ МАТРИЦ [ГЛ. Ш
11. Разложим инвариантное множители но р— то индексам ia , ..., ia матри
цы М (X) (см. упражнение A0) на неприводимый в поле Р множители
„(") jo)
^О)(л)-Ио)(л)] vl ... \cio)(X)] v< (v-1, 2, ...,!•), (.114)
где е,0' (л), ..., <^(X) — всо различные между собой неприводимые в поле Р полиномы
(со старшими коэффициентами, равными единице), входящие в состав Е^ (А.), . .., I{S°^ (}.),
и е<?>шО, ...,
Все отличные от единицы степени среди [е^^ (X)] vx (т = 1, ..., s; v = l, . . ., г)
в разложении E.14) будем называть элементарными делителями по р — //'
индексам ia,,--.,ia матрицы М Ш в поле Р. Доказать, что эти делители
1 р-гп
являются инвариантами относительно элементарных преобразовании матрицы М (X).
12. Обобщая понятия инвариантных множителей и элементарных делителей по р — /;/
простым индексам ia , ..., ia матрицы М (к) (упражнения 10 и 11), дать определе-
определения инвариантных множителей и элементарных делителей по я — т A g я — т g p—
—msf — 1)- кратным индексам ма , ..., иа матрицы М (X) (см. § 2, п. 3) и дока-
доказать, что эти инвариантные множители и элементарные делители остаются неизменными
при ее элементарных преобразованиях.

ГЛАВА IV
КЛАССИФИКАЦИЯ ТРИЛИНЕЙНЫХ, ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ
И КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
§ 1. Классификация двойничных трилинейных форм
1. В 1920 г. Шшрц [210] впервые получила классы всех двойничных
трилинейных форм, эквивалентных в поле комплексных чисел, и указала,
пользуясь комитантами, для каждого класса представляющую его канони-
каноническую форму.
К тому же результату на основании геометрических соображений при-
пришел Душек [72]. Ольденбургер [169, 173, 174] с помощью арифметических
flj
о/- ^o
v'-J S'' \ —f/tt
'0
к/
г/- ->0
(III
I
и/
и/
— /hi 0/-'-
О
О*-
,0
7'
(iffj),
О
q> t-
1 : i i
\fft л.-4
Ь
1'ис.
(ITJ
инвариантов указал канонические виды двойничных трилинейных форм
в комплексной и вещественной областях. Автором [26] были получены кано-
канонические виды этих форм путем элементарных преобразований соответ-
соответствующих кубических матриц.
Из более ранних работ по теории двойничных трилинейных форм
отметим мемуары Лепежа [184—186] и Дедекинда [69]. Вопросу о

142
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
о
классификации трилинейных форм (главным образом тройничных) над полем
комплексных чисел посвящены работы Тролла и Чэнлер [222, 223].
2. Приводимая ниже классификация двойничных трилинейных форм
основывается на следующей теореме.
Теорема 1.1. Всякая ненулевая куби-
кубическая матрица 2-го порядка эквивалентна
в поле комплексных чисел одной и только одной
из следующих канонических матриц (рис. 13).
В поле вещественных чисел к каноническим
матрицам, кроме указанных выше, относится
также матрица 1' (рис. 14).
Действительно, предполагая, что не все эле-
элементы матрицы А = [| Atjk || (г, /, /с = 1, 2) двой-
7 *
л—
;-/•
.—А''
П')
о/
Рис. 14.
ничной трилинейной формы F = 2! Ат
равны нулю, мы можем, не ограничивая
общности, считать АП1 =/ 0.
Подвергая тогда матрицу А последовательно элементарным преобразо-
преобразованиям
1
(f)
(j)
получим матрицу вида
1 0
0 В
121
о в.
212
¦"
221
@
A.1)
Будем различать следующие случаи.
I- В222ФО, В221ФО.
гг 1
Тогда матрица A.1) операциями //(/)
' -21
в.
II (к) г~^ приводится
i\ матрице вида
1 0
0 С
122
0 с
1 1
212
¦ (к)
A.2)
Тут возможны такие варианты.
1) Оба элемента С122, С213 отличны от нуля. Совершая тогда над мат-
матрицей A.2) операции
получим матрицу вида
где D122 ф 0.
1 0
0 D
122
0 1
1 1
{)
A.3)

* и
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
143
Составим из элементов матрицы A.3) по формулам D.1) гл. III квад-
квадратичные формы Нг и Ну Приравнивая их нулю и полагая — = X, — =
Х2 Уч.
— ц, получим уравнения
Пусть дискриминант — б = — A + 4Z>122) квадратичных форм Нг, Н^
не равен нулю.
Тогда упомянутые выше уравнения имеют конечные, отличные от нуля,
простые корни:
-1+1/6
— 1 —/6
A.4)
ri — 2 • f*2 — 2
Обращаясь теперь к матрице A.3), подвергнем ее операциям
ПЩ)+1 / @ j К [И}) | (^i - К), ^@ 1+1 // @1;
В результате получим матрицу
@
--(А)
которая после подстановки выражений A.4) примет вид
@
i—(А)
2/6
о
о
2/6
О О
Производя над последней матрицей операции
придем к канонической матрице (/), которой будет эквивалентна в поле
комплексных чисел матрица А при сделанных нами предположениях. В поле
вещественных чисел эквивалентность будет иметь место лишь в том слу-
случае, когда дискриминант А формы F, ассоциированной с матрицей А, —
отрицательный, так как тогда, согласно замечанию 4.1 гл. III, б > 0.

144
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
Если же А > 0, то б < 0 и для нахождения эквивалентной канониче-
канонической матрицы подвергаем матрицу A.3) операциям
-б' I П
!ЖК-т).
В результате получим каноническую матрицу (/').
Пусть теперь дискриминант —б равен нулю, т. е. Di22-=. —-т. Совер-
Совершая тогда над матрицей A.3) операции
<П(к)\(-2),
придем к канонической матрице (//), которой будет, таким образом, экви-
эквивалентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных
чисел.
2) По крайней мере один из элементов С122, С212 равен нулю. Тогда,
как нетрудно убедиться, матрица A.2) приводится к каноническому
виду (I).
II.
В этом случае матрица A-1) операцией // (i) \-j-— приводится к мат-
-' -21
рице вида
-
221
1 О
О Е
122
0 Е,
1 О
212
¦(О
(/¦)
(к)
Здесь различаем следующие варианты.
1) Оба элемента — i?122, E212 — отличны от нуля.
Производя тогда над матрицей A.5) операцию II (к)
к матрице вида
1 О
0 1
1 О
(О
• (к)
A.5)
приходим
A.6)
где Fl22 Ф 0.
Подвергнем теперь матрицу A.6) операциям
И (О I VPm •
U) \
-' V
1 (<¦) |(
II (к)
У -^122
/
@
•2,
/ (/)! + !
/@
11 (/)
+
// (г)

1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
145
В результате получим каноническую матрицу (/), которой будет экви-
эквивалентна в поле комплексных чисел матрица А при упомянутых выше
условиях. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место
только при F12Z > 0. Если же F122 < 0, то матрицу A.6) подвергаем операциям
-V-F
122,
(j)
11 (к)
и приходим к канонической матрице (/')•
2) Один из элементов Е122, Е212 равен нулю. Тогда матрица A.5)
приводится к каноническому виду (//).
3) Оба элемента Е122, Е212 равны нулю.
Матрица A.5) принимает тогда после операции |/ —/ —//I вид кано-
канонической матрицы (IIIk), которой будет, таким образом, эквивалентна
матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.
III. В Ф О, В = 0.
В этом случае матрица A.1) после надлежащих преобразований пере-
переходит в каноническую матрицу (/).
IV.
В.
221 ¦
= 0.
Если при этом #122 = 0 и 2?212 = 0, то матрица A.1) имеет канониче-
канонический вид (IV).
Если же В122 — 0, В212 ф 0, то операциями
матрица A.1) приводится к каноническому виду (III)).
Точно так же, если В122фО, В212 = 0, то матрица A.1) после операций
принимает канонический вид D)
Наконец, если В122 Ф 0 и Bil2 Ф 0, то, подвергая матрицу A.1) операциям
II (I)
в..
212
приходим к канонической матрице (//).
В рассматриваемом случае матрица А эквивалентна одной из указан-
указанных канонических матриц, очевидно, как в поле комплексных, так и в поле
вещественных чисел.
Определив все канонические виды кубических матриц 2-го порядка,
составим для них матрицы C.1) и C.3) гл. III.
10 Н. П. Соколов

146
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
Будем иметь:
Таблица I
A
(И)
(IHi)
(IIIj)
(IHk)
(IV)
(П
A<u
0 1
1 0
— 2 0
0 0
— 2 0
0 0
0
0
0
— 2 0
0 —2
АФ
1
0 1
1 0
— 2 0
0 0
0
— 2 0
0 0
0
0
— 2 0
0 —2
0 1
1 0
— 2 0
0 0
0
0
— 2 0
0 0
0
— 2 0
0 —2
1 0
0 0
2
0
0 0
0 —1
0
0
0 0
0 0
->
@
—>(k)
(/)
(/)
о
0
0
О
2 0
0 —2
0 —2
—2 0
i i
Арифметические инварианты канонических матриц указаны в ниже-
нижеследующей таблице.
Таблица II
A
(I)
(//)
(IHj)
(Illh)
(IV)
(П
'i
2
2
1
CSl
2
1
2
•7
2
2
2
1
2
1
2
CSl
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
2
Г<Л>
2
2
1
1
2
1
2
гл<'>
2
1
1
0
0
0
2
2
1
0
1
0
0
2
'л<*>
2
1
0
0
1
0
2
0
1
1
2
0
1
1
2
0
1
1
2
гл
2
1
0
0
0
0
2

1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
147
Из таблицы II видим, что среди канонических матриц (/), (//), (III {),
(IIIj), (IIIh), (IV) нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле
вещественных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поле
вещественных чисел канонической матрице (/').
Теорема, таким образом, доказана полностью.
Замечание 1.1. Если кубическая матрица 2-го порядка А и одна
из канонических матриц A11^), (IIIj), (UIk) эквивалентны (в обычном
смысле) в поле комплексных или вещественных чисел, то Л и любая из
этих канонических матриц g-эквивалентны в том же поле.
3. Вводя для двойничных трилинейных форм, ассоциированных с кано-
каноническими матрицами (/), (//), (///,), (////), {IUk), (IV), (/'), соответ-
соответственно обозначения Fv F2, F3i, Faj, Fsk, F4, F[, будем иметь в поле ком-
комплексных чисел следующие канонические виды форм рассматриваемого
типа
. A.7)
iZ1, A.8)
^, A.9k)
F^XJA. A.10)
В поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указан-
указанных выше, относится также форма
F[ =
^LX — X2Y2Z2.
A.7')
Приняв во внимание таблицу I, получим для каждой канонической
формы полную систему комитантов (замечание 4.2 гл. III), сведенных
в таблице III.
Таблица III
F
F,
*?,
F,,
-fgfe
^4
F[
А
— 1
0
0
0
0
0
4
Hi
2XtX2
— 2X\
— 2X\
0
0
0
~2(X\+X\)
Hi
2i\Y2
— 2Y\
0
—2Y\
0
0
-2(Yl+Yl)
Hk
2ZtZ2
— 2Zf
0
0
-2Zf
0
-2{Zl+Z\)
q :. '.
XlY1Z1 — Х2У222
2XJ.Z,
0
0
0
0
2 {X^Y±Zi—X^YgZg—X^( -^L^—X^l ef/ty)
Изложенное выше дает возможность следующим образом классифици-
классифицировать двойничные трилинейные формы, относя к одному и тому же классу
все эквивалентные друг другу формы.
В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные
формы, у которых дискриминант А не равен нулю, т. е. вторичные ранги
тА&, тли), rA(h) (или гв) равны 2, и особенные формы, у которых А = О,
т. е. все вышеупомянутые вторичные ранги меньше, чем 2. Представите-
Представителем неособенных форм является каноническая форма A.7).
Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тождест-
тождественно нулю, т. е. те, у которых двумерные ранги гг, r^, rk (или трёх-
трёхмерные ранги r$, Ak, r$) отличны от нуля, и формы, тождественно
10*

Особен-
Особенные
формы
Классы
I. Неособенные формы
Не рав-
равные
II. Неприводимые
( по ин-
III. Частич-
де кс у i
тождест- 1 "° по ин_
вен но
нулю
нриво- *,
димые
дексу /
по ин-
1 дексу к
( IV. Полностью приво-
приводимые
V. Тождественно рав-
равные нулю
Канони-
Канонические
виды
A.7)
A.8)
A.91)
A.9J)
A.9k)
A.10)
1
Алгебраическая характеристика
Д*о
Д^О; Н{фО, Н}-ф(), ЛкФО (Q^Q)
Д=0;
1Я,=0,//> = 0,Лк=?0;
Д=0; Н\ =0,Hj = 0, Hji = O;
(Q=0)
РфО
Д=0, /¦ = ()
ч
2
2
1
2
2
1
0
т
) О Л И
Арифметическая характеристика
г
2
2
1
2
1
0
Hi
2
2
2
2
1
1
0
'' .| (i 1
2
1
1
0
A
0
0
2
1
0
1
0
0
0
2
1
0
0
1
0
0
la IV
(гЛ)
2
1
0
0
A
0
и
оо

5 il
КЛАССИФИКАЦИЯ Л ВОПНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРЛ1
149
равные нулю, у которых эти ранги — нулп. Затем особенные формы, не
равные тождественно нулю, делим на два рода: I) неприводимые, пред-
представителем которых является каноническая форма A.8) и у которых все
коварианты Hit Hj, Hk (или Q) не равны тождественно нулю, т. о. все
вторичные ранги глA), гл0}, rA{h) (или г в) равны 1: II) приводимые,
у которых некоторые или даже все коварианты Нг, Hj, Hh равны тожде-
тождественно нулю (или Q = 0), т. е. некоторые или даже все из вторичных
рангов гАц), гА0), гл(ц — нули (или гв = 0).
Далее, особенные приводимые формы подразделяем на два вида: ^час-
^частично приводимые, представителями которых являются канонические
формы A.9i), A.9j), A.9k) и у которых только один из ковариантов Н{,
Hj, Hh не равен тождественно нулю, т. е. один из вторичных рангов г 4ф,
rA0), rA(k) равен 1, а остальные два равны нулю; 2) полностью приво-
приводимые, которые представляются канонической формой A.10) и у которых
все коварианты Нь Hj, Нк равны тождественно нулю, т. о. псе вторичные
ранги rA(i), глф,гА(к) —нули.
Наконец, среди особенных частично приводимых форм различаем три
типа форм в зависимости от того, какой из ковариантов //i? Hj, Hh не
равен тождественно нулю, т. с. смотря по тому, какой из вторичных ран-
рангов rA(i), rA(j), г 4(ц равен 1, в то время как остальные два равны нулю.
Результаты классификации двойничных трилинейных
форм в комплексной области представлены в таблице IV.
Та же классификация будет иметь место и в вещественной области,
если только допустим распадение неособенных форм на два класса: 1а
и 16, в зависимости от знака дискриминанта А, т. е. в зависимости от
абсолютных значений сигнатур аАа), оа0)> с4№ матриц А(г\ АC\ Ат.
К классу 1а отнесем неособенные формы, для которых А<0, т. е.
| aAd) | = | aA(j) | = | оА(щ | = 0. Представителем их является каноническая
форма A.7). К классу 16 отнесем неособенные формы, для кото-
е.
= \а
л СО
= 2. Представителем их будет
р ых А > 0, т.
форма A.7')-
Эти дополнительные результаты классификации двойничных
т р и л и н е й н ы х ф о р м в в е щ с с т в е н н о й области сведены в таблице V.
Таблиц п Л'
Классы
Неособенные [ 1а
формы \ 16
Канонические
виды
A.7)
A.7')
Алгебраическая
характеристики
Д<0
Д>0
Арифметическая
характеристика
°Ad)\
0
2
ол0)\
0
¦)
\°лЮ\
0
Замечание 1.2. Двойничные трилинейные формы можно класси-
классифицировать также, относя к одному и тому же классу все ^-эквивалентные
ДРУГ ДРугу формы. Тогда особенные частично приводимые формы, под-
подразделявшиеся на три класса, составят один g-класс, представителем
которого может быть любая из трех канонических форм III таблицы IV.
4. В заключение остановимся на геометрической интерпретации коми-
комитантов F, А, #:, Hj, H,t, Q полной системы для двойничной трилинейной

150 КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. ГУ
формы, являющихся ее алгебраической характеристикой при определении
класса, которому принадлежит эта форма.
Геометрическую интерпретацию упомянутых выше комитантов мы уста-
установим, приравнивая их нулю и рассматривая переменные в каждом из
трех рядов
как однородные координаты точки на прямой.
Известно, что уравнение
2
полученное приравниванием нулю неособенной двойничной билинейной формы,
характеризует билинейное проективное соответствие между
двумя системами точек прямой. Если билинейная форма — симметрическая,
то это соответствие будет инволюционным.
Подобно этому уравнение
F = 0, A.11)
полученное приравниванием нулю неособенной пли особенной неприводимой
двойничной трилинейной формы F— 2 ацъ.хгУ]2ь.> характеризует три-
трилинейное проективное соответствие между тремя системами
точек прямой, заключающееся в том, что каждой паре систем точек, произ-
произвольно выбранных на прямой, отвечает определенная третья система точек
этой прямой1). Для особенной приводимой (частично или полностью) двойнич-
двойничной трилинейной формы это соответствие, очевидно, не имеет места.
Смотря по тому, является ли форма F неособенной или особенной не-
неприводимой, задаваемое ею трилинейное проективное соответствие будем
называть неособенным или особенным.
Кроме того, будем различать три рода трилинейных проективных со-
соответствий: I рода, если матрица А формы F — асимметрическая; II рода,
если эта матрица — симметрическая относительно двух каких-либо индексов,
и III рода (трилинейная инволюция), если А — симметрическая
матрица.
Вводя неоднородные координаты х = —, у = — , z = —, мы можем пере-
Я-2 2/2 ^2
писать уравнение A.11) в виде
Amxyz + АП2ху + Al2lxz + A2llyz + А122х + Ап2у + A221z + A222 =0, A.12)
если оно характеризует трилинейное проективное соответствие I рода, или
в любом из трех видов
»(У-г
A.13)
Ainxyz + А1.п (xz + yz) + A112xy + A221z + A122 (x + y) + A222 = 0 J
в случае трилинейного проективного соответствия II рода и, наконец, в виде
Anxyz + AU2 (xy -\-xz + yz) + А122 (х + у + z) + Л222 = 0 A.14)
в случае трилинейной инволюции.
]) Ср. [184], стр. 17.

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 151
Каждый из этих видов уравнения A.11) относит двум из точек х, у, z
третью точку. Однако в отличие от уравнения A.12) остальные уравнения
представляют некоторые особенности. Именно, если в одном из уравнений
A.13), например в первом, точкам х, у отвечает точка z, то точкам х, z
отвечает точка у. Точно так же, если в уравнении A.14) точкам х, у со-
соответствует точка z, то точкам х, z соответствует точка у, а точкам у, z —
точка х.
В каждой из трех систем точек прямой, между которыми существует
трилинейное проективное соответствие того или иного рода, имеется пре-
предельная точка, соответствующая несобственным точкам двух других
систем. Предельные точки трех систем определяются в случае проективного
соответствия I рода координатами (неоднородными)
iy- — 211 о/ ¦— __ 121 „ ,— ^^ 112
J'0~ А > У0~~ Л > Лй~ Л
¦11 -11 -11
В случае проективного соответствия II рода две из предельных точек
совпадают. Так, например, первое из уравнений A.13) дает:
х°= ~~ ^7i' Уо ^ z°= ~а^ '
При инволюции все предельные точки совпадают, образуя центр
трилинейной инволюции
i = У о = 2о = -
Л,
Полагая в уравнениях A.12), A.13), A.14) x = y = z, найдем три
тро.йные точки трилинейного проективного соответствия каждого рода.
Эти три точки либо различны между собой, либо две из них (или даже
все три) совпадают (упражнение 8).
Равенство А = 0 указывает, что трилинейное проективное соответствие,
характеризуемое уравнением A.11), является особенным.
Уравнения Нг — 0, Hj = 0, Hh — 0, имеющие в неоднородных координа-
координатах вид
= 0,
.15)
определяют двойные точки билинейных инволюций
А(Цхх' + А[Ч (х + х') + АШ = О,
A.16)
0.
Если форма F — неособенная, то ее дискриминант А не равен нулю
и, следовательно, двойные точки каждой из пнволюций A.16) различны.
В вещественной области, смотря по тому, принадлежит ли неособенная
форма F классу 1а или 16, обе двойные точки — вещественные или мнимые.
В первом случае мы имеем гиперболические инволюции, во вто-
втором — эллиптические. Если же форма F — особенная неприводимая
(А = 0), то инволюции A.16) —параболические, двойные точки которых
совпадают.
Уравнение Q = 0, имеющее в неоднородных координатах вид
Bluxyz + BU2xy + B121xz + B2Uyz + B122x + Biny + B221z + J5222 = 0, A.17)

152
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
характеризует трилинейное соответствие между тремя системами точек
прямой, если форма F — неособенная.
Это проективное соответствие — неособенное, род которого таков же,
как у проективного соответствия, задаваемого формой F.
Основные свойства трилинейных проективных соответствий выражаются
следующими теоремами.
Теорема 1.2. Тройные точки трилинейного проективного соответствия
I рода находятся в трилинейной инволюции с тремя различными тройками
точек
alt
а2, Ь2, с2; а3, Ь3, с3,
если каждая из шести троек
av Ъ2, с3; av Ъ3, с2; а2, bv с3: а2, Ь3, сх\ а3, bv c2; а3, bv сх
принадлежит упомянутому проективному соответствию 1).
В самом деле, при условиях теоремы проективное соответствие, о кото-
котором идет речь, можно представить в виде
1=1
Его тройные точки а0, Ьо, с0 определяются уравнением
1=1
1=1 1=1
Как нетрудно убедиться,
3 3
21 I, V 7 / U I
1гха\ЬхСх Ь ki \ai°i "Г «Л
о
1=1
= 0. A.18)
t=i
1=1
2*i К-
г=1
А + <ч) 2*1
«A
a2c2 -f 62c
2c2
a3b3c3
Отсюда на основании уравнения A.18) заключаем, что
а(Асо
a2b2c2
a3b3c3
а(А~
«Ан
а262-
а3Ъ3-
\-аосо
Нел
Ь«2С2
f а3с3
+ Vo
+ Vi
+ 6,с«
+ c3
= 0.
Следовательно, имеют место равенства
Лао6осо + В (aobo + аосо + Ьосо) + С (а0 + Ьо + с0) + D = О,
Aa1b1c1 -\- В (а161 + ajC! + ^q) + С (ах + Ъх + сй) + D = О,
Ла262С2 + ^ («2^2 + а2С2 + ^2Сг) + С («2 + К + С2) + D = °'
^а3^зсз + ^ (аз^з + азсз + 6зсз) + С (а3+ Ь3 + с3) + D ^= О,
где А, В, С, D не равны одновременно нулю.
Тем самым доказано существование определяемой уравнением
трилинейной инволюции, которой принадлежат тройки точек
fy>» C0'
п2' Ь2> С2>
З' ^3> С3
Ср. [185], стр. 52.
= 0.

§ 1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
153
Аналогично доказывается
Теорема 1.3. Тройные точки трилинейного проективного соответ-
соответствия II рода, среди которых нет одинаковых, находятся в трилинейной
инволюции с тремя различными между собой тройками точек
av bx, b{, а2, b2, b.2; a3, b3, b3,
если каждая из трех троек точек
аг, b2, b3; a2, bv b3; a3, bv b2
принадлежит упомянутому проективному соответствию.
Замечание 1.3. Теоремы 1.2 и 1.3 являются распространением на
трилинейные проективные соответствия следующего, хорошо известного
свойства: различные между собой двойные точки билинейного проективного
соответствия находятся в инволюции (билинейной) с двумя неодинаковыми
парами точек av Ьг и а„, Ь2, если каждая пара точек аг, Ь.г и а2, Ь1 принад-
принадлежит упомянутому проективному соответствию.
Теорема 1.4. Если Xt и К2, u.t и i*.2'vi ll v2 —двойные точки инволю-
инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам Ht, Hp
Hk неособенной двойничной трилинейной формы F, то каждая из троек
точек
К
V-21
2, v2;
v v2;
принадлежит проективным соответствиям, задаваемым формой F и ее
ковариантом Q *).
Действительно, пусть
(а =1,2),
A.19)
л=1
— невырожденные линейные преобразования, которыми неособенная двой-
двойничная трилинейная форма F2) переводится в каноническую форму
XXYXZX + X2Y2Z2, для которой
Hi = 2ХХХ2, Hj = 2YjY2, Hk = 2Z1Z2,
(J = XXI x^x — ^-2 2 2"
Тогда, обозначая через
2
XVI ' „ I л o\
3=1
A.20)
!) Ср. [186], стр. ПОЗ.
2) В вещественной области форма F предполагается принадлежащей классу 1а, так-
как для формы класса 16 двойные точки инволюций—мнимые.

154 КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. IV
линейные преобразования, обратные преобразованиям A.19), и полагая
X — — -^ Х —
h' h'
/ /
С12 С22
1 -»' 5 *2 -,' »
С11 С21
можем представить уравнения, определяющие двойные точки упоминаемых
в теореме билинейных инволюций в виде
а уравнения, характеризующие трилинейные проективные соответствия,
о которых идет речь, в виде
*i (* - ^i) (У - Hi) B - Vx) + К & ~ К) (У ~ Ш) B - v2) = 0, A.22)
-v2) = 0, A.23)
где А1== а'пЪ'ис'1г, ht = а'лЪ'пс'п.
Из уравнений A.21), A.22), A.23) непосредственно вытекают пере-
перечисляемые в теореме свойства трилинейных проективных соответствий.
Теорема 1.5. Двойные точки X, ц, v параболических инволюций, за-
задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам Hi, Hj, Hk
особенной неприводимой двойничной трилинейной формы F, принадлежат
проективному соответствию, задаваемому формой F.
В самом деле, если преобразования A.20) обратны невырожденным
линейным преобразованиям A.19), переводящим особенную неприводимую
двойничную трилинейную форму F в каноническую форму
для которой #*=— 2X1, Hj=—2Y\, Hh= — 2Z\, то уравнения, опре-
определяющие двойные точки упоминаемых в теореме параболических инволю-
инволюций, будут иметь вид
(х-%у = 0, (г,-^J = 0, (z-vf = O, A.24)
а уравнение, характеризующее проективное соответствие, задаваемое формой
F, представится в виде
+ ks(z-k')(y-lx)(z-v) = Ol A.25)
где
в12 « , в22 _
012 , ^2 2
С11 С21
Уравнениями A.24), A.25) и подтверждается теорема.
Теорема 1.6. Если х и х', у и у', z и z' — соответственные точки
инволюций, задаваемых билинейными формами, полярными ковариантам
Н\, Hjy Hh неособенной двойничной трилинейной формы F, и тройка точек

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ТРИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ 155
х, у, z принадлежит проективному соответствию, задаваемому формой F,
то каждая из точек х', у', z'; x', у, z; x, у', z; x, у, z' принадлежит про-
проективному соответствию, задаваемому ковариантом Q этой формыг).
Действительно, если неособенная двойничная трилинейная форма F
невырожденными линейными преобразованиями A.19) приводится к кано-
каноническому виду A.7), то уравнение A.12), характеризующее трилинейное
проективное соответствие, которому принадлежит тройка точек х, у, z,
обратится в
XYZ +1 = 0, A.12а)
а уравнения A.16), характеризующие билинейные инволюции, примут вид
Х + Х' = 0, Y + Y'=0, Z + Z'=O. A.16a)
Исключая X, Y, Z из уравнений A.12а) и A.16а), получим уравнение
X'Y'Z' — 1=0, соответствующее коварианту \Q — XlY1Z1 — X2Y2Z2 канони-
канонической формы A.7) и принимающее вид
B^x'y'z'+B^x'y' + Blax'z' + Baly'z' + Binx' + B2i2y' + B221z' + Bi22 = О
A.17')
после преобразований A.20), обратных преобразованиям A.19).
Если же (в вещественной области) форма F преобразованиями A.19)
приводится к каноническому виду A.7'), то вместо уравнений A.12а),
A.16а) будем иметь:
XY + XZ + YZ-l = 0, A.126)
XX' + 1=0, YY' +1=0, ZZ' +1=0. A.166)
Исключая X, Y, Z из уравнений A.126) и A.166), получим уравнение
X'Y'Z' -X' -Y' -Z' =0,
соответствующее коварианту
Q =
канонической формы A.7') и принимающее вид A.17') после преобразо-
преобразований A.20).
Таким образом, при условиях теоремы тройка точек х', у', z' во всех
случаях принадлежит проективному соответствию, задаваемому ковариан-
ковариантом Q формы F.
Тем же свойством обладает каждая из троек точек
х', у, z; х, у', z; x, у, z',
в чем легко убеждаемся, исключая только одну из переменных X, Y, Z из
уравнения A.12а) и одного из уравнений A.16а) или (в вещественной
области) из уравнения A.126) и одного из уравнений A.166)
Упражнения
1. Пользуясь таблицей III, проверить соотношение D.8) гл. III, связывающее
между собой основные комитанты двойничной трилинейной формы, данной в канони-
каноническом виде, и показать, что оно справедливо для любой формы каждого класса.
2. Показать, что для каждой пары классов (I, V), (II, IV), (Шб, Шб) двойничных
трилинейных форм (табл. IV) сумма г6-\-г ,^ первичного двумерного ранга rft форм
одного из классов пары и вторичного ранга г .^ форм другого равна 2 (б — любой
из индексов г, /, к).
Ср. [185], стр. 53.

156
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
3. Указать классы, которым принадлежат в вещественной области формы
«) — Х1УЛ + 2zi У\Ч — 10*i2/2zi — х\ У^г+Ьх^у^ •¦{- 4ж„?/1г2 -^-x2y2z1 — 2x2y2z2,
Р) &z1y1
у) 5x1y1zl-f-lx1y1z2-X-x1ytz1 — ixiylz1 -f-9
б) —a
е)
?)
•n) 2x1y1zl4- 2a:1t/lz2
4. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 1.1 элементарные
преобразования кубической матрицы, приводящие ее к каноническому виду, найти невы-
невырожденные квадратные матрицы, на которые надо умножить по индексам i, j, к мат-
матрицу каждой из форм упражнения 3, чтобы получить матрицу эквивалентной канони-
канонической формы.
5. На прямой даны г троек точек, у которых неоднородные координаты
(a = l, 2, ..., г) удовлетворяют условию: ранг матрицы
i/a'>
-П)
1
x(r)y(r)z(r)
.(г)
равен г. Доказать, что трилинешюе проективное соответствие I рода определяется этими
г тройками точек, где г=7 или г = 6, смотря по тому, будет ли это проективное соответ-
соответствие неособенным или особенным.
6. На прямой даны г троек точек, неоднородные координаты которых удовлетворяют
условию: ранг одной из матриц
равен г. Доказать, что трилинейное проективное соответствие II рода определяется этими
г тройками точек, где г = 5 или r — i, смотри но тому, будет ли проективное соответ-
соответствие неособенным или особенным.
7. На прямой даны г троек точек, неоднородные координаты которых удовлетво-
удовлетворяют условию: ранг матрицы
равен г. Доказать, что трилинейная инволюция определяется этими г тройками
точек, где г = 3 или г = 2 в зависимости от того, будет ли инволюция неособенной или
особенной.
8. Найти предельные и тройные точки трилинейных проективных соответствий
а)
б)
в)
г)
xyz — ху-\- Зхг — ?>yz — ix -f- % — 2z -\- 2 = 0,
xyz -j- 2ж?/ — «z — mjz -f- Зж — 2г/ -|- 6 = 0,
—2z — 4 = 0,
+Az— 8 = 0.

2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
157
9. Показать, что тройные точки трилинейной инволюции различны между собой,
если инволюция—неособенная, и две из них совпадают, если инволюция—особенная.
10. Показать, что все тройные точки инволюции, задаваемой симметрической двой-
двойничной трилинейной формой над полом вещественных чисел, вещественны, если дискри-
дискриминант формы Д г 0, и одна из этих точек вещественна, а две—мнимые сопряженные,
если Д < 0.
§ 2. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм
1. Классификация двойничных линейно-квадратичных форм в комп-
комплексной и вещественной областях впервые была дана Ольденбургером [175].
Приводимая ниже классификация этих форм отличается от классификации
Ольденбургера как методом приведения форм к каноническому виду, в основу
о,
/1
(И
/
о/
I <^._—-j--^ /
(JJ
*o
/
_w ^'-i---4
7/
— (Ml
/П) .
\
(Л
о\ i-J
^¦Л
о
7/
01 \-
\oU—\-
(У)
А
Рис. 15.
которого положены элементарные преобразования соответственных куби-
кубических матриц, так и инвариантной характеристикой полученных классов,
более естественной для исследуемых форм.
Теорема 2.1. Всякая ненулевая кубическая матрица 2-го порядка,
симметрическая относительно двух каких-нибудь индексов, эквивалентна
в поле комплексных чисел одной и только одной из следующих канонических
матриц (рис. 15). В поле вещественных чисел к каноническим матрицам,
кроме указанных выше, относятся также матрицы рис. 16.
В самом деле, возьмем кубическую матрицу 2-го порядка
¦(О
А =
422
¦(*),
симметрическую относительно индексов /, к.

158
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
Если эта матрица не нулевая, но все элементы ее А1и, АП2, А211, А222
равны нулю, то по крайней мере один из элементов А112, А212 отличен
от нуля.
Если АП2 Ф 0, то, подвергая матрицу А последовательно операциям
1
( ~~ ^212/'
получим каноническую матрицу (НИ).
го
— М (/'}
/*'-
(у;
о«
Г 71
О
(ЩУ,
/f—f.
! 1
\
-У/
\\ i
V)
\
(JJ
Рис. 16.
Если же AU2—0, то А212 Ф 0 и после операций
приходим к тому же результату.
Предполагая теперь, что не все элементы АП1, А12.2, А2П, А222 равны
нулю, мы можем, не ограничивая общности, считать Аш ф 0.
Подвергая тогда матрицу А операциям
1
(/*I(-;
получим матрицу вида
1 0
0 В,
J212
212
¦(О
i
(/¦)
B.1)
Если в матрице B.1) оба элемента — В222, В212 — отличны от нуля,
то операциями
#22'.>
в-
212
В2
222
1A к)
она приводится к матрице вида
1 О
0 С
122
О 1
1 1
¦(О
г—* (Л).
i
B.2)

2] КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ЛИНЕИНО-КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
159
Если С122 Ф 0, то составляем из элементов матрицы B.2) по второй
из формул D.1) гл. III квадратичную форму Ну Приравнивая ее нулю
и полагая — = fi, получим уравнение
Уъ
C122 = 0. B.3)
Пусть дискриминант — 6 =
не равен нулю.
Тогда уравнение B.3) имеет конечные, отличные от нуля, простые корни
-1+/6 .. _ -1-/6
¦ A + 4С122) квадратичной формы Нj
сорни
B.4)
Подвергнем
II (jk)
I(i)
+
+
I (jk)
II (i)
теперь
И,,
/6—6
2
матрицу
I(jk) (ii,
B.2) операциям
-u.2), I(jk) -
j, II (i) +
h U(№\,
II @
(i) и
В результате получим каноническую матрицу (/), которой будет экви-
эквивалентна в поле комплексных чисел матрица А при сделанных нами пред-
предположениях. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь место,
если дискриминант А двойничной линейно-квадратичной формы F (см. упраж-
упражнение 1 § 4 гл. III), ассоциированной с матрицей А, — отрицательный
и, следовательно, 6 > 0. Если же А > 0, то б < 0 и для нахождения экви-
эквивалентной канонической матрицы подвергаем матрицу B.2) операциям
II (jk)
+
/(/Тс)
I (jk)
V
Г
/
и@
@
+
2
II (i)
) '
' 2 '
/-@-
I(i)
г т
(-!)¦
в результате которых получим каноническую матрицу (/').
Пусть теперь дискриминант —6 равен нулю, т. е. С122= —т- .
Совершая тогда над матрицей B.2) операщш
1 т ( 'ъ\
11 (jk)
1 (jk)
( ~\
V ~~2 ) '
1 A)
+
yi (г)
1
2
придем к канонической матрице (//), которой будет, таким образом, экви-
эквивалентна матрица А как в ноле комплексных, так и в поле вещественных
чисел.
Если же в матрице B.2) элемент С,22 равен нулю, то после надлежа-
надлежащих преобразований получаем каноническую матрицу (/).
В случае, когда только один из элементов B2i2, B212 матрицы B.1)
отличен от нуля, мы приходим, как легко убедиться, в поле комплексных
или вещественных чисел к канонической матрице (/), если В222 Ф 0, или
к канонической матрице (/) в поле комплексных чисел и к одной из кано-
канонических матриц (/), (/') в поле вещественных чисел, если В212 =t= 0.
Наконец, в случае, когда Б222 = 0, 5212 = 0, но В122фО, матрица B.1)
очевидными операциями приводится в поле комплексных чисел к канони-
каноническому виду A11г), а в поле вещественных чисел к одному из канониче-
канонических видов (HIi), (Hl'i).
При 5222 = 0, В212 = О, В122 = 0 матрица B.1) имеет канонический вид
(IV) как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.
Если мы теперь обратимся к приведению кубической матрицы 2-го
порядка, симметрической относительно индексов i, к или i, j, то получим

160
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
канонические виды (/), (//), (IV), (Г) и соответственно (///,), (IH'j) или
(///,), AЩ).
Составляя, далее, матрицы C.1) и C.3) гл. III для всех полученных
канонических матриц, мы можем воспользоваться таблицей I § 1, дополнив
ее следующим образом.
Таблица I
А
II» SI
о
о
о
II2 °||
II о о||
О
О
О
П 21
в
О
О
о
Арифметические инварианты канонических матриц указаны в таблице И.
Таблица II
A
(/)
(//)
(///i)
(///,)
(///ft)
(IV)
(/')
(///{)
(///ft)
ч
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
r;
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
rjft
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
гФ
tft
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
-8>
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
0
0
0
2
1
0
0
ГАШ
2
1
0
1
0
0
2
0
1
0
2
1
0
0
1
0
2
0
0
1
0
—1
—1
—2
1
0
—1
—1
2
1
0
—1
—1
2
1
rB
2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
Из таблицы II видим, что среди канонических матриц (/), (//), (П1г),
(IIIj), (IIIh), (IV) нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле
вещественных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поле
вещественных чисел ни одной из канонических матриц (/'), (Ш[), (III'j),
(IIIk), среди которых также нет эквивалентных.
Теорема доказана.
Замечание 2.1. Если кубическая матрица 2-го порядка А, сим-
симметрическая относительно какой-нибудь пары индексов, и одна из канони-
канонических матриц (///j), (IIIj), (IIIh) эквивалентны (в обычном смысле) в поле
комплексных или вещественных чисел, то А и любая из этих канонических
матриц g-эквивалентны в том же поле. Аналогичное замечание относится
к каноническим матрицам (Ш'г), (Ш'з), (Ш')

2]
КЛАССИФИКАЦИЯ.ДВОЙНИЧНЫХ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 161
Аналогом доказанной теоремы является
Теорема 2.2. Всякая двойничная линейно-квадратичная форма,
не равная тождественно нулю, g-эквивалентна в поле комплексных чисел
одной и только одной из следующих канонических форм:
B.5;
г B.6)
B.7)
B.8)
l2
2X1Y1Y2,
X Y2
В поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указанных выше,
относятся также формы
r\-XtY\, B.5')
B.7')
Приняв во внимание таблицу I § 1, дополненную таблицей 1 настоя-
настоящего параграфа, получим для каждой канонической формы полную систему
комитантов (см. упражнение 4 § 4 гл. III), сведенных в следующей таблице.
Таблица III
F
F,
F,
F3
F*
Fi
F'3
д
1
0
0
0
4
0
Hi
2XXX2
—2X\
—2X\
0
-2(X\+Xl)
2X\
Hj =Hft
2YlY2
—2Y\
0
0
-2(Yf+ll)
0
Q
XrYl~XJl
2XJ*
0
0
2(X\Y2l—X1YI—2X2Y1Y.,)
0
2. Рассматривая двойничную линейно-квадратичную форму с соответ-
соответствующей кубической матрицей А, симметрической относительно какой-
либо пары индексов, мы будем обозначать ее двумерные ранги через г'
и г", считая г" рангом по любому из индексов пары, а г' — рангом по треть-
третьему индексу. Аналогично этому для трехмерных рангов введем обозначе-
обозначения р/ и q". Две совпадающие из матриц A(i\ Ali\ A(k) будем обозначать
через А" и третью из них —через А', а ранги и сигнатуры их —соответ-
—соответственно через гА„ ал. и гА,, ал,.
Ассоциированные с этими матрицами квадратичные формы пусть будут
Н" и Н'.
Пользуясь этими обозначениями, мы можем провести следующую
^-классификацию двойничных линейно-квадратичных форм.
В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные фор-
формы, у которых дискриминант А не равен нулю, т. е. вторичные ранги
гА„ "гл„ (или гв) равны 2, и особенные формы, у которых А = 0, т. е.
упомянутые выше вторичные ранги меньше, чем 2. Представителем неосо-
неособенных форм является каноническая форма B.5).
Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тождест-
тождественно нулю, т. е. те, у которых двумерные ранги /•', г" (или трехмерные
ранги р/, q") отличны от нуля, и формы, тождественно равные
нулю, у которых эти ранги —нули. Далее, особенные формы, не равные
тождественно нулю, делим на два рода.
11 Н. П. Соколов

162
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
I) Формы, разлагающиеся в произведение двух форм —
линейной (относительно одного из двух рядов перемен-
переменных) и билинейной (относительно обоих рядов перемен-
переменных), представителем которых является каноническая форма B.6) и у кото-
которых оба коварианта 1Г, Л" (или Q) не равны тождественно нулю, т. е.
оба вторичных ранга гt,, rv (или гя) равны 1.
II) Формы, разлагающиеся в произведение трех линей-
линейных форм: одной, линейной относительно одного из двух
рядов переменных, и двух, линейных относительно дру-
другого ряда переменных. У форм этого рода ковариант II" (пли Q)
тождественно равен нулю, т. е. /-г = 0 (или гв = 0).
Наконец, среди форм II рода различаем два вида форм в зависимо-
зависимости от того, будут ли упомянутые выше две линейные формы линейно
независимы или зависимы. Представителями форм этих двух впдов явля-
являются канонические формы B.7) и B.8). У форм первого вида ковариант
//' но равен тождественно нулю, т. е. гг = 1, тогда как у форм второго
вида #'=0, т. е. гА, = 0.
Результаты g-к л а с с ы ф и к а ц и и двойничных л и н е й н о-к над-
ратичных форм и к ом п л оке ной области представлены в таб-
таблице IV.
Таблица IV
?.
о
s ¦
X
•с обе
<_>
1
f
t^
я
о
ffl
к
о
га
о
К 4"
о
н
о
IH
я
га
„
—
K.iaccu
I. Неособенные формы
II. Разлагающиеся в
произведение ли-
линейной и билиней-
билинейной форм
III. Разлагающиеся в
произведении трех
линейных форм:
одной, линейной
относительно одно-
одного из двух рядов
переменных, и двух
(линейно независи-
независимых), линейных от-
относительно друго-
другого ряда переменных
IV. Разлагающиеся в
произведение ли-
линейной формы от-
посителыго одного
из двух рядов но-
ремешшх и квад-
квадрата линейной фор-
формы относительно
другого ряда пере-
переменных
V. Тождественно рав-
равные нулю
Кано-
ниче-
нические
виды
B.5)
B.6)
B.7)
B.8)
АлгеОраичс-
снаи
характеристика
АфО
А=0 |
Н'фО \ (ОфО)
Н"ФО )
( А=0
Н'фО
[ #"=0
( А=0
1 Н'=0
РфО '
1 А=0
\ F=0
Арифметическая харак-
г'
2
2
1
1
0
теристика
г"
2
2
2
1
0
ГА'
2
1
1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0
0
Эта классификация распространяется и на вещественную область, если
только допустим распадение класса I на два: 1а и 16 в зависимости от
знака дискриминанта Д, и распадение класса III на два: Ша и Шб в за-
зависимости от того, будет ли ковариант Н' отрицательной или положитель-

2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
163
ной полуопределеннойJ) квадратичной формой. Можно также сказать, что
распадение классов I и III обусловливается значениями сигнатуры Ga', не
меняющейся при вещественных элементарных преобразованиях, которыми
матрица Л в рассматриваемых случаях приводится к каноническому виду2).
К классу 1а относятся неособенные формы, для которых
Д < 0, т. е. GA' = 0. Их представителем является каноническая форма B.5).
К классу 16 относятся неособенные формы, для которых Д > О,
т. е. оЛ'= — 2. Они представляются канонической формой B.5').
Класс Ша составляют особенные формы, разлагающиеся
в произведение трех вещественных линейных форм:
одной, линейной относительно одного из двух рядов
переменных, и двух (линейно независимых), линейных
относительно другого ряда переменных. У форм этого
класса ковариант Н' есть отрицательная полуопроделенная квадратичная
форма, т. е. Ga1 = — 1. Представитель их — каноническая форма B.7).
Класс Шб составляют особенные формы, разлагающиеся
в произведение вещественной линейной формы относи-
относительно одного из двух рядов переменных и двух
мнимых сопряженных линейных форм относительно
другого ряда переменных. У форм этого класса ковариант //'
есть положительная полуопределенная квадратичная форма, т. е. o\j- = l.
Представитель их — каноническая форма B.7').
Эти дополнительные результаты ^-классификации двойничных линейно-
квадратичных форм в вещественной области сведены в таблице V.
'Г а б :i и ц а V
Неособенный (
формы (
Особенные формы ¦
Классы
1а
16
Ша. Разлагающиеся в произведение
трех вещественных линейных
форм: одной, линейной отно-
относительно одного из двух ря-
рядов переменных, и двух (ли-
(линейно независимых), линойпых
относительно другого ряда
переменных
ШГ). Разлагающиеся в произведение
вещественной линейной формы
относительно одного из двух
рядов переменных и двух мни-
мнимых сопряженных линейных
форм относительно другого
ряда переменных
Канони-
Канонические
виды
B.5)
B.5')
B.7)
B.7')
Алгебра-
Алгебраическая
характе-
характеристика
А<0
Д>0
Н'>0
Арифме-
Арифметическая
характе-
характеристика
вЛ>
0
-2
— 1
1
3. Так же как и для двойничной трилинейной формы, геометрическую
интерпретацию комитантов F, Д, Н', Н", Q полной системы для линейно-
квадратичной формы (упражнение 4 § 4 гл. III) устанавливаем, приравнивая
!) См. [19J, стр. 161.
2) См. замечание 3.1 гл. III.

164 КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. IV
эти комитанты нулю и рассматривая переменные каждого из рядов
Vv Уч. .
как однородные координаты точки на прямой.
Уравнение F — Q, которое получим, приравнивая нулю неособенную
двойничную линейно-квадратичную форму
F = AlllXly\ + 2An2x1yly2 + А2Пх2у1 + АХ22хуу\ + 2А212х2у1у2 + А222х2у\, B.9)
характеризует проективное соответствие между тремя системами точек
прямой в случае, когда две из этих систем совпадают. Такого рода проек-
проективное соответствие будем называть л и н е й н о-к вадратичным. Оно,
очевидно, не имеет места для особенных двойничных линейно-квадратичных
форм, для которых А = 0 (упражнение 1 § 4 гл. III).
В неоднородных координатах линейно-квадратичное проективное соот-
соответствие определяется уравнением
А1пхуг + 2А112ху + А21у + А122х + 2А212у + А222 = 0, B.10)
встречающимся при образовании кривых 3-го порядка, данном Шалем [186],
с помощью пучка прямых и пучка конических сечений.
Предельные точки линейно-квадратичного проективного соответ-
соответствия в неоднородных координатах даются выражениями
Для определения его тройных точек в тех же координатах служит
уравнение
Ап1х* + BА112 + Аги) х* + (А122 + 2А212) х + Л222 = 0.
Если матрица А неособенной двойничной линейно-квадратичной
формы F — симметрическая, то проективное соответствие, задаваемое фор-
формой F, будем называть линейно-квадратичной инволюцией.
В неоднородных координатах она определяется уравнением
Ашху2 + Лт B*2/ + У2) + Ая (х + 2У) + *4222 = 0. B.10')
Предельные и тройные точки линейно-квадратичной инволюции опре-
определяются так же, как и в случае линейно-квадратичного проективного
соответствия.
Уравнение Q = 0, имеющее в неоднородных координатах вид
В1Пху2 + 2В112ху + Б211 у2 + Б122х + 2 Ваму 4- В222 = 0 B.11)
(упражнение 3 § 4 гл. III), характеризует линейно-квадратичное проек-
проективное соответствие (в частности, инволюцию) между системами точек
прямой, если форма F — неособенная.
Геометрическое значение уравнений Н' — 0, Я" == 0 (упражнение
2 § 4 гл. III).было уже рассмотрено в § 1.
Основные свойства линейно-квадратичных проективных соответствий
и^инволюций аналогичны свойствам трилинейных проективных соответст-
соответствий, выражаемых теоремами 1.3, 1.4, 1.6 (упражнения 9, 10, 11).
Упражнения
1. Пользуясь таблицей III, проверить соотношение Q2+-s- //{#*+AF2 = 0 между
основными комитантами двойничной линейно-квадратичной формы, данной в каноническом
виде, и показать, что оно справедливо для любой формы каждого класса.

S 2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
165
2. Показать, что для каждой пары классов (I, V), (Н, IV), (III, III) двойничных
линейно-квадратичных форм (табл. IV) сумма г'-\-Гд, (или г"-\-гл.) первичного ранга г'
(или г") форм одного из классов пары и вторичного ранга гл, (или тл.) форм другого
равна 2.
3. Каким классам в вещественной области принадлежат формы
a) i
У)
6)
8) 2хху\ —
4. Приняв,во внимание указанные при доказательстве теоремы 2.1 элементарные
преобразования, приводящие к каноническому виду кубическую матрицу, симметриче-
симметрическую относительно индексов /', к, найти невырожденные квадратные матрицы, на кото-
которые надо умножить по индексам г и /, к матрицу каждой из форм упражнения 3,
чтобы получить матрицу эквивалентной канонической формы.
5. В поле вещественных чисел представителем класса Ша (табл. V) вместо кано-
канонической формы F3 = 2X1Y1Y2 можно взять форму X{Y\—Х{?\. Какими вещественными
элементарными преобразованиями матрица этой формы может быть получена из матрицы
формы F3? Указать равносильное этим преобразованиям умножение матрицы формы F3
на невырожденную квадратную матрицу.
6. Доказать, что линейно-квадратичное проективное соответствие определяется
пятью тройками точек прямой, у которых координаты (неоднородные) х^\
(а = 1, 2, ..., 5) удовлетворяют условию: ранг двумерной матрицы
>,«*)
У"
У1
;'2'
,,B)
1
1
равен 5.
7. Две совпадающие системы точек у, определяемые линейно-квадратичным проек-
проективным соответствием B.10) по данной системе любых вещественных точек х, тогда
и только тогда вещественны, когда соответствующая линейно-квадратичная форма B.9)
вещественна и принадлежит классу 16 (табл. V). Доказать.
8. Найти предельные и тройные точки линейно-квадратичных проективных соот-
соответствий
а)
б)
в)
ху2—ixy —
27 = 0.
9. Тройные точки (из которых две или все три одинаковы) проективного соответ-
соответствия, задаваемого двойничной линейно-квадратичной формой B.9), находятся в линей-
линейно-квадратичной инволюции с тремя различными тройками точек
если каждая из трех троек точек
аЗ>
а3,
принадлежит проективному соответствию, задаваемому двойничной трилинейной формой,
полярной форме B.9). Доказать.
10. Если Л.] и Х2, щ и р,2—двойные точки инволюций, задаваемых билинейными
формами, полярными ковариантам Hi и Hj неособенной двойничной линейно-квадратич-
линейно-квадратичной формы B.9), то каждая тройка точек Ху, ц2, Щ и Х.2) ц1? nlt принадлежит линейно-
квадратичным проективным соответствиям, задаваемым формой B.9) и ее ковариантом Q, а
каждая пара точек к1г (х2 и Х.2, [Xj принадлежит билинейному проективному соответ-
соответствию, характеризующемуся уравнением ^ ^а1ахаУв~^- Доказать.
а, р=1
11. Если х и х', у и у'—соответственные точки инволюций, задаваемых билиней-
билинейными формами, полярными ковариантами Hi и Hj неособенной двойничной линейно-

166
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
квадратичной формы B.9), и тройка точек х, у, у принадлежит проективному соответ-
соответствию, задаваемому формулой B.9), то каждая из троек точек х', у', у' и х', у, у
принадлежит проективному соответствию, задаваемому ковариантом Q этой формы.
Доказать.
§ 3. Классификация двойничных кубических форм
1. Классификация двойничных кубических форм, так же как и изло-
изложенная в предыдущих параграфах классификация двойничных трилиней-
трилинейных и линейно-квадратичных форм, может быть связана с классификацией
fi/
(г/
/
I I
I I
\О\ \-
Г1),
1
О
О/- ,0
А
\ \
4
\l-.
f " (Ш)
OJ
Jv
Рис. 17.
соответствующих кубических матриц. Канонические виды симметрических
кубических матриц, с которыми ассоциируются кубические формы, нахо-
находим > с помощью симметрических элементарных преобразований этих
матриц.
Теорема 3.1. Всякая ненулевая симметрическая кубическая ма-
матрица 2-го порядка эквивалентна в поле комплексных чисел одной и
только одной из следующих канонических матриц (рис. 17). В поле веще-
О
о {Л V\—
,fiJ
I I
i i
i I
I i
Ш
C/J
Рис. 18.
Рис. 19.
ственных чисел к каноническим матрицам, кроме указанных выше, отно-
относится также матрица рис. 18.
Действительно, если у симметрической кубической матрицы 2-го по-
порядка А = || Aiih || (i, j, k=\, 2) двойничной кубической формы f = Alux\-\-
+ 3Ail^lx2Jt2>A122x1xl-\-A2i2xl первичный ранг г (двумерный или трех-
трехмерный) ]) равен 1, то элементы Аш и А2г2 но равны одновременно нулю.
Не нарушая общности, можем считать А1П Ф 0. Тогда матрица А после
операций
1
II
А,
fAh
переходит в матрицу вида рис. 19.
1) См. замечание 2.3 гл. III.

3]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
167
Так как ранг г матрицы C.1) также равен 1, то р = 0, q = 0. Следо-
Следовательно, в рассматриваемом случае матрица А эквивалентна канонической
матрице (III) как в поле комплексных, так и в поле-вещественных чисел.
Пусть теперь первичный ранг матрицы А равен 2.
Будем различать случаи, когда элементы А1П и А222 матрицы А
не равны одновременно нулю и когда Аи1 = Л222 = 0.
В первом случае матрица А приводится теми же операциями, как
и раньше, к матрице C.1). Из элементов последней составим по формуле
D.1') гл. III квадратичную форму Н. Приравнивая се нулю и полагая
— —t, получим уравнение
pt2±qt — p2 = 0. C.2)
Если дискриминант —Ь— —(ф-\-^р3) квадратичной формы // равен
нулю, то q Ф О, так как в противном случае ранг г матрицы C.1), а сле-
следовательно, и матрицы А будет равен 1, что противоречит предположению.
Подвергая тогда матрицу C.1) операциям
II
I
нридем к канонической матрице (//), которой будет, таким образом, экви-
эквивалентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных
чисел.
Пусть теперь б ф 0. Если при этом р = 0, то q ф 0 и матрица C.1)
после операции
1
переходит в каноническую матрицу (/), которой, следовательно, будет экви-
эквивалентна матрица А как в поле комплексных, так и в поле вещественных
чисел.
Если же р Ф 0, то матрицу C.1) подвергаем операциям
tv
+
П
:-t2yd), и +
/ Ь-
II
где
h
__ -q-Vb
lp 2 2p
— конечные, отличные от нуля, простые корни уравнения C.2).
В результате получим ту же каноническую матрицу (/), которой при
сделанных нами предположениях будет эквивалентна в поле комплексных
чисел матрица А. В поле вещественных чисел эквивалентность будет иметь
место, если дискриминант Д формы /'" — отрицательный и, следовательно,
б > 0. Если же Д > 0, то б < 0, а потому р < 0. Тогда для нахождения
эквивалентной канонической матрицы поступаем следующим образом.
Прежде всего, матрицу C.1) операцией
1
Y~p
приводим к виду рис. 20, где h, очевидно, всегда можем считать неотри-
неотрицательным и вследствие неравенства Д > 0 меньшим, чем 2.

168
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ.
Если h — О, то после операций
(-1)
над матрицей C.3) получим каноническую матрицу (/'). Если же h > О,
(О
°,\ ~71
I ! ! i
ii i .1
-/У
Рис. 20.
то матрица C.3) операциями
Л
"ГТ
т/
Г !— /5г/
м
Ш)
Рис. 21.
где Я, fx — различные между собой вещественные числа, приводится к мат-
матрице рис. 21, где
Определим теперь Яиц так, чтобы они удовлетворяли уравнениям
Полагая в этих уравнениях .
H = v + J-, C.5)
перепишем их в виде
"# = 0, C.6)
з 3
v -7?v'
C.7)
Так как h < 2, то уравнение C.6) имеет три вещественных различных
корня, среди которых есть по крайней мере один положительный корень.
Полагая v равным любому положительному корню уравнения C.6), нахо-
находим из уравнения C.7)
,1 , l/ г
l —2
C.8)
Отсюда, приняв во внимание равенство
2 2
= 3v — /i2v3, вытекающее из
C.6), получаем два вещественных значения "к, которые ввиду 0 < h < 2
различны между собой. Одно из них равно \i, а другое, отличное от ц,
равно т - v + д^ •

§ 3]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
169
1 2
Полагая А. = -.- — v -f- p- и пользуясь выражением C.5), получаем:
2D-fc2) ^n
и —
Подвергнув теперь матрицу C.4) операциям
1
1-11
приведем ее к каноническому виду (/').
Рассматривая, наконец, второй случай, когда А1П = А2г2 — О, легко
убеждаемся в том, что матрица А приводится к каноническому виду (/)
или (//) в поле комплексных чисел и к каноническому виду (/') или {11)
в поле вещественных чисел.
Составим теперь для всех указанных выше канонических матриц,
пользуясь выражениями C.1) и C.3) гл. III, матрицы А (замечание 3.3
гл. Ill) и В. Будем иметь:
Таблица I
А
(/)
(И)
(III)
(П
л
I ?
II -1
О
г 11
SII
-SI
II *
|| 0
2
0
II1
0
0
0
0
0
-2
в
0
0
0
0
0
0
-2
0 и
1
SI1
Арифметические инварианты канонических матриц указаны в таб-
таблице II.
Таблица II
л
(/)
(II)
(III)
(!')
г
2
2
1
2
ТА
2
1
0
2
СТА
0
-1
2
гв
2
1
0
2
Из последней таблицы заключаем, что среди канонических матриц (/),
(//), (///) нет эквивалентных ни в поле комплексных, ни в поле вещест-
вещественных чисел и что ни одна из этих матриц не эквивалентна в поло ве-
вещественных чисел канонической матрице (/').
Теорема доказана.
2. Вводя для двойничных кубических форм, ассоциированных с кано-
каноническими матрицами (/), (//), (///), (/'), соответственно обозначения
/i> /г> /з> fv будем иметь в поле комплексных чисел следующие канонические

170
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
виды форм рассматриваемого типа:
/i = -
/2 ==
C.9)
C.10)
C.11)
15 поле вещественных чисел к каноническим формам, кроме указанных
выше, относится также форма
/' Q"V2"V" V3 /Ч Q'\
* =- О-Л. ..Л.с, '— Л.о. 1о.У I
Приняв во внимание таблицу I, получим для каждой канонической
формы ¦ полную систему комитантов (замечание 4.4 гл. III), сведенных
в таблице III.
Таблица III
/
/i
/2
/з
/1'
Л
1
0
0
4
Н
2ВД
—2Х\
0
О / Т 1 Т72\
Q
х\~х%
2Х\
0
На основании полученных результатов мы можем теперь установить
следующую классификацию двойничных кубических форм.
В комплексной области различаем, прежде всего, неособенные
формы, у которых дискриминант А не равен нулю, т. е. вторичный ранг Гя
(или г в) равен 2, и особенные формы, у которых А = 0, т. о. гА
(или гв) меньше, чем 2. Неособенные формы разлагаются в произведение
трех линейно зависимых линейных форм, являющихся попарно линейно
независимыми. Представителем их служит каноническая форма C.9).
Среди особенных форм выделяем те, которые не равны тожде-
тождественно нулю, т. е. те, у которых первичный ранг г не равен ну-
нулю, и формы, тождественно равные нулю, у которых г =0. Далее,
особенные формы, не равные тождественно нулю, делим на два рода.
I. Формы, разлагающиеся в произведение линейной
формы и квадрата такой же формы, линейно независимой
от первой. У форм этого рода ковариант Н (или Q) не равен тожде-
тождественно нулю, т. е. вторичный ранг гА (пли гв) равен 1. Представителем их
является каноническая форма C.10).
II. Формы, являющиеся кубом линейной формы. У форм
этого рода ковариант Н (или Q) тождественно равен нулю, т. е. гл = 0
(или гв = 0). Представитель их — каноническая форма C.11).
Результаты классификации двойничных кубических
форм в комплексной области представлены в таблице IV.
Та же классификация будет иметь место и в вещественной области,
если допустим распадение класса I на два: 1а и 16 в зависимости от знака
дискриминанта Д, т. е. в зависимости от значений сигнатуры о.4> не меня-
меняющейся при симметрических вещественных элементарных преобразованиях
матрицы^.1). К классу 1а отнесем неособенные формы, для которых
-1) См. замечание 3.1 гл. III.

3]
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
171
Таблица V
Я
"р.
Си
о
>а<
а> .
3
И
3
ю
о
о
¦
§е
н В
зё<
и 5
я S
Классы
I. Неособенные формы,
разлагающиеся в про-
произведение трех линейно
зависимых линейных
форм, являющихся по-
попарно линейно незави-
независимыми
II. Разлагающиеся в про-
произведение линейной
формы и квадрата та-
такой же формы, линей-
, но независимой от пер-
первой
III. Представляющие куб
линейной формы
IV. Тождественно равные
нулю
Канони-
Канонические
виды
C.9)
C.10)
(З.И)
Алгебраическая
характеристика
АфО
А=0,Я^0,((?*0)
Д=0,#=0,(()=0)/#0
Д=0, /=0
Арифметическая
характеристика
г
2
2
1
0
ГА
2
1
0
0
гв
2
1
0
A
Д < 0, т. е. СТл = 0. Эти формы, приводящиеся к каноническому виду C.9),
разлагаются в произведение трех линейных форм, из которых одна вещест-
вещественна, а две — мнимые сопряженные. К классу 16 отнесем неособенные
формы, для которых Д > 0, т. е. Ол= —2. Эти формы, приводящиеся
к каноническому виду C.9'), разлагаются в произведение трех веществен-
вещественных линейных форм.
Упомянутые выше дополнительные результаты классификации двой-
двойничных кубических форм в вещественной области сведены в таблице V.
Таблица V
Классы
1а. Неособенные формы, разлага-
разлагающиеся в произведение трех
линейных форм, из которых
одна вещественна, а две—мни-
две—мнимые сопряженные
16. Неособенные формы, разла-
разлагающиеся в произведение
трех вещественных линейных
форм
Канони-
Канонические
виды
C.9)
C.0')
Алгебра-
Алгебраическая
характе-
характеристика
д<;о
Д>0
Арифме-
Арифметическая
характе-
характеристика
°А
0
-2
3. Геометрическую интерпретацию комитантов /, Д, Н, Q полной си-
системы для двойничной кубической формы мы получим, приравнивая эти
комитанты нулю и исследуя взаимное расположение точек на прямой, одно-
однородные координаты которых удовлетворяют полученным уравнениям. При
этом, не ограничивая общности, можно рассматривать комитанты канони-
канонических форм, сведенные в таблице III.

172
КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. IV
Если двойничная кубическая форма / не равна тождественно нулю,
то уравнение / = 0 определяет три точки на прямой. Если форма / при-
принадлежит классу I, то все эти точки различны между собой. В вещест-
вещественной области, смотря по тому, принадлежит ли форма / классу 1а или
16, одна из точек, определяемых уравнением / = 0, вещественна и две —
мнимые сопряженные или все три точки вещественны.
Если форма / принадлежит классу II, то из трех точек, задаваемых
этой формой, две совпадают, а третья от них отлична.
Наконец, форма /, принадлежащая классу III, задает три совпадающие
точки прямой.
Равенство Д = 0 указывает, что среди трех точек, определяемых урав-
уравнением / = 0, есть совпадающие, поскольку в этом случае форма / — осо-
особенная.
Геометрическую интерпретацию ковариантов Н и Q формы / дадим
лишь для того случая, когда эта форма—неособенная.
Интерпретация остальных случаев тривиальна и не представляет
интереса.
Уравнение Н — 0, составленное для канонической формы C.9), опреде-
определяет две различные точки Lt A, 0) и L2 @, 1) прямой. Вместе с тем
сама форма C.9) задает на той же прямой три различные точки М1( — 1, 1),
Л/2(-в, 1), М3(-е*, 1), где 8= --L+j!^.
Составим двойное отношение четырех точек: Мх, М2, М3 и любой из
точек Lv L2. Как известно z1), двойное отношение четырех точек At(x[l\ х^ ^),
А2(х\ , х\ ), А3(х[ , а4 ), At(x[ , а4 ) прямой выражается формулой
C) „C)
жA) ,(.)
TW ~D)
Х 1 2
1 2
^1 ^2
Следовательно,
1
— 8
1
-Е2
0
—— Р
0
-е2
0
1
0
1
1
1
1
1
-1
р
-1
-е2
/у
р
-е2
1
1
1
1
1
1
1
1
Коварианту Н канонической формы C.9') отвечают точки L[{i, i)
L'2(l, —г) прямой, тогда как сама форма C.9') задает точки М'х{\, 0),
' i\ i/q\ л/г'п i/'x\ той же ПрЯмой. В этол! случае, как легко убе-
2
М'2A, —[/3),
диться, также имеем
См., например, [24J, стр. 264 или [17], стр. 411.

КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
173
Таким образом доказана
Теорема 3.2. Каждая из двух точек, отвечающих коварианту Н
неособенной двойничной кубической формы /, составляет с тремя точками,
задаваемыми формой /, эквиангармоническую четверку 1).
Уравнение Q = О, составленное для канонической формы C.9),
опреде ляет три
различные точки
прямой.
, 1),
N2( —-~--\-i^~, 1 \
2 2
Составляя двойное отношение четырех точек, из которых три —точки
Мх, М%, М3, задаваемые формой C.9), а четвертая — одна из точек Л\,
N2, N3, получаем:
__ Л
1
— 8
1
-е2
1
1
1
1
-1
— Е
-1
-Е2
1
1
1
1
е
— е
6
-е2
1
1
1
1
_ \
— в
-1
-е2
1
1
1
1
= 2,
е2
— е
е2
-е2
1
1
1
1
-1
— е
-1
-е2
1
1
1
1
Коварианту Q канонической формы C.9') отвечают точки N[{0, 1),
N'2{YS, I), N'3(-V3, 1) прямой.
Составляя в этом случае двойное отношение четырех точек, из кото-
которых три—точки М' М'2, M's, задаваемые формой C.9'), а четвертая — одна
из точек /Vj, N'v Щ, находим аналогичным, образом:
Тем самым доказана
Теорема 3.3. Каждая из трех точек, отвечающих коварианту Q
неособенной двойничной кубической формы f вместе с одной из трех точек,
задаваемых формой /, делит гармонически остальные две ').
Комитантам /, Д, Н, Q можно дать и другую геометрическую интер-
интерпретацию, рассматривая трилинейные инволюции, задаваемые формами,
полярными двойничным кубическим формам /, Q, и билинейную инволю-
инволюцию, задаваемую формой, полярной квадратичной форме Н (упражне-
(упражнения 7 —10).
!) Ср. [12], стр. 259.

174 КЛАССИФИКАЦИЯ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. IV
Упражнения
1. Пользуясь таблицей III, проверить сизигию Кэли [см. D.8') гл. III] для двойнич-
двойничной кубической формы, данной в каноническом виде, и показать, что она справедлива
для любой Лормы каждого класса.
2. Показать, что для каждой пары классов (I, IV), (II, III) двойничных- кубичес-
кубических форм (табл. IV) сумма r-f-r^ первичного ранга г форм одного из классов пары
и вторичного ранга г4 форм другого—равна 2 (Г. Б. Гуренич [12]).
3. Каким классам в вещественной области принадлежат формы
а) 8^ + 36ж^2+42ж1ж1+15ж1, Р) 8я? + 12:ф:2+(К2 — 2) х\,
у) х^ + бх^ + йх^+'щ, 6) 8x1 — 12x^X2+6x^x1 — х\.
А. Приняв во внимание указанные при доказательстве теоремы 3.1 элементарные
преобразования симметрической кубической матрицы, приводящие ее к каноническому
виду, найти для каждой из форм упражнения 3 невырожденную квадратную матрицу,
на которую надо умножить по индексам г", /, к матрицу рассматриваемой формы, чтобы
получить матрицу эквивалентной канонической формы.
5. Показать, что симметрическая кубическая матрица 2-го порядка, эквивалентная
в поле комплексных или вещественных чисел канояичоской матрице (/), эквивалентна
в том жо ноле матрице
•О")
Лй-
О 1
1 О
1 О
О 1
¦(к).
(/¦)
6. Какими' симметрическими элементарными преобразованиями матрица Ао (см.
упражнение 5) может быть приведена к канонической матрице (/)? Указать равносиль-
равносильное этим преобразованиям умножение по индексам i, /', к матрицы Ао на невырожден-
невырожденную квадратную матрицу.
7. Приравнивая нулю двойничную кубическую форму /, принадлежащую классу
I пли II, мы получим тройные точки трилинейной инволюции, задаваемой формой F,
полярной форме /. Какое свойство тройных точек этой инволюции характеризует равен-
равенство А =0?
8. Если двойничная кубическая форма /—неособенная, то уравнение II — 0 определяет
двойные точки билинейной инволюции, задаваемой формой, полярной коварианту Н.
Показать, что каждая из этих точек составляет с тройными точками трилинейной инво-
инволюции, задаваемой формой F (см. упражнение 7), эквиангармоническую четверку (ср.
с теоремой 3.2).
9. Если двойничная кубическая форма / — неособенная, то уравнение Q = 0 опреде-
определяет тройные точки трилинейной инволюции, задаваемой формой, полярной ковари-
коварианту Q. Показать, что эти точки различны между собой и что каждая из них вместо
с одной из тройных точек трилинейной инволюции, задаваемой формой F (см. упраж-
упражнение 7), делит гармонически остальные две (ср. с теоремой 3.3).
10. Если х и х'—соответственные точки инволюции, задаваемой билинейной
формой, полярной коварианту Н неособенной двойничной кубической формы /, и тройка
точек х, у, z принадлежит трилинейиой инволюции, задаваемой формой F (см. упраж-
упражнение 7), то тройка точек х', у, z принадлежит трилинейной инволюции, задаваемой
формой, нолярной коварианту Q формы /. Доказать.

ГЛАВА V
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
§ 1. Проективная классификация кубических тройничных форм
3
1. Будем называть кубическую тройничную форму /= ^ AljhxiXjXk
с соответствующей симметрической кубической матрицей А — \\ Aijh || (г, /, к =
= 1, 2, 3) неособенной, если ее дискриминант /?=Л'3 — ?2 [D.22) гл. IIIJ
отличен от нуля, и особенной, если /? = 0. Рассмотрим сперва неособенные
7»
формы. У таких форм абсолютный инвариант 1——т может иметь любое
О
значение, не равное нулю и не являющееся неопределенностью вида -%.- .
Как показал Гессе [99], всякая неособенная кубическая тройничная форма
невырожденным линейным преобразованием
хК = X aKiXL (^=1, 2, 3)
i=l
приводится к канонической форме
tp^Xl + Xl + Xl + бтХ^Х,. A.1)
Известны различные методы нахождения коэффициентов этого преобра-
преобразования, данные, помимо Гессе, также Аронгольдом [43], Споттисвудом [214],
Клебшем [62], Гундельфингером [97]. Мы покажем, следуя Пуанкаре [190]
и Гордану [95], что к канонической форме A.1) можно прийти на основа-
основании геометрических соображений.
Будем рассматривать переменные хг, х2, х3 формы / как проективные
координаты точки на проективной плоскости. Тогда уравнение
+ Л222.х32
соответствующее форме /, определит плоскую линию третьего порядка С3,
о которой будем говорить, что она представлена формой /. Пусть линия С3
не имеет особых точек. Тогда, как известно *), у нее имеется девять точек
перегиба, расположенных по три на двенадцати прямых, причем через каж-
каждую точку перегиба проходят по четыре прямых из этих двенадцати;
последние образуют четыре сизигетических треугольника, каждый из
которых содержит все девять точек перегиба, имея их но три на каждой
стороне.
См. [100], стр. 104 — 106.

176 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
В вещественной областиJ) из девяти точек перегиба три вещественны
и лежат на одной вещественной прямой, а остальные шесть — мнимые,
попарно сопряженные, лежащие на трех вещественных прямых, из которых
каждая содержит, кроме двух мнимых сопряженных точек перегиба, также
одну из трех вещественных точек перегиба. Эти три вещественные прямые
образуют единственный вещественный сизигетический треугольник. Таким
образом, из двенадцати прямых, на которых лежат девять точек перегиба,
только четыре вещественны, остальные же восемь — мнимые, попарно сопря-
сопряженные. Именно, через каждую из трех вещественных точек перегиба про-
проходят, кроме вещественной прямой, на которой лежат эти точки, другая
вещественная прямая — сторона вещественного сизигетического треуголь-
треугольника — и две мнимые сопряженные прямые из упомянутых выше двенадцати;
последняя же пара мнимых сопряженных прямых входит в состав сизиге-
сизигетического треугольника, третья сторона которого есть вещественная прямая,
содержащая все три вещественные точки перегиба.
Выберем проективную систему координат так, чтобы координатным
треугольником служил один из четырех сизигетических треугольников
(вещественный в случае вещественной области) и чтобы две из точек пере-
перегиба линии Са получили координаты @, 1,-1) и A, 0, —1). Тогда, как
нетрудно убедиться, остальные семь точек перегиба будут иметь координаты
A, - 1, 0), @, в, - 1), (в, 0, - 1), (в, -1, 0), @, е2, -1), (е2, 0, - 1), (е2, -1,0),
где е, е2 —мнимые кубические корни из 1.
Так как координаты каждой точки перегиба должны удовлетворять
уравнению
133Ut ^ & ^& '^Ц = 0,
в которое переходит уравнение A.2) в результате проективного преобразо-
преобразования, то
Аи
Аи
Аи
Аи
1ш-ЗА'«-
— ЗЛ^е2 •+
— ЗЛп2е +
ц'и - зл;13 -
-ЗА>Ч
—злизе +
f зл;22
-зл;22е
3^4i22e2
f3^;33
ЗА'33е2
-А22 = 0,
-А'т = 0,
-А^ = 0,
- Азз = о.
-А33=о,
— Лззз = 0,
•^222 О/1223 "Г ОУ1233 ^333 — U'
л» Q/l' о2гОЛ' с Л' С\ *
222 ^^223 ~t~ ^'¦^¦233^ 333 ~=
Отсюда находим:
А' =0 Л' =0 у1' =у4' — 4'
223 — ' 233 * Щ 222 338
Следовательно, форма /, представляющая линию Ся, упомянутым выше про-
проективным преобразованием приводится к виду
где, очевидно, А'1П Ф 0.
1) См. [209], стр. 231.

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 177
Si = 3== (* = 1, 2, 3),
Полагая
приходим к канонической форме ф, определяемой равенством A.1).
Для относительных инвариантов S и Т формы ф находим по формулам
D.14) и D.17) гл. III выражения
Siimm), T = 8m + 20ml.
Тогда дискриминант R и абсолютный инвариант / формы ф пред-
представляются согласно формулам D.22) и D.23) гл. III в виде
Д=-(8т3 + 1K A.3)
—IJ"
' >
Из равенства A.3) заключаем, что каноническая форма ф, предста-
представляющая, так же как и данная форм» /, линию без особых точек, — не-
неособенная.
Действительно, в противном случае из равенства R = О следует, что
lee2
параметр m имеет значения, равные —- , —тг, п- . А тогда форма ф раз-
d Л Z
лагается соответственно в произведения линейных множителей
+ Ха) (X, + еХ2 + е2Х3) (Хх + 82Х2 + еХ3),
2 + Хя) (X, + вХ2 + Х3) (Xj + Х2 + еХ3) е2,
Х2 + Х3) (X, + в*Х2 + Х3) (X, + Х2 + е2Х3) е,
представляющие тройки прямых, образующих три сизигетических треуголь-
треугольника х), и точки пересечения сторон каждого из этих треугольников
являются особыми точками.
Таким образом, форма ф, а следовательно, и приводящаяся к ней
форма / — неособенные.
2. Если абсолютный инвариант / неособенной формы / имеет конечное
значение, то ему соответствуют в комплексной области двенадцать различ-
различных значений параметра m канонической формы ф, являющихся корнями
уравнения 12-й степени
7(8т6 + 20те3-1J + (8т3 + 1K = 0, . A.5)
к которому приводится выражение A.4).
Все эти корни рационально выражаются через любой из них.
Именно, выражения
- _n e"(l-m0) en(e2_Wo) е"(е-т0) . ~ , „. .. fi
6 те°' 1 + 2т0 ' 1 + 2ето~' 1 + 2е2т0 (и-U, I, Z), (l.b)
1 е е2
где те0, отличное от —к-, —^-, —о" вслеДствие неравенства нулю дис-
дискриминанта R, есть любой корень уравнения A.5), представляют все
двенадцать корней этого уравнения. В этом легко убедиться, подвер-
подвергая матрицу формы ф симметрическим элементарным преобразованиям, при-
приводящим ее к матрице того же вида, в которой параметр m может иметь
любое из значений A.6) (упражнение 1).
!) Четвертый сизигетический треугольник, представляемый произведением
принят за координатный. •
12 н. П. Соколов

178 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Таким образом, все неособенные кубические тройничные формы с одним
и тем же конечным значением абсолютного инварианта / эквивалентны1)
в поле комплексных чисел канонической форме A.1), у которой параметр т
равен любому из корней уравнения A.5). В частности, при ? = 0, когда
/= —1, параметру т. можно дать любое из значений 0, 1, е, е2, являю-
являющихся корнями уравнения
те4 —т = 0. A.7)
При / = со параметр т в канонической форме ср согласно формуле
A.4) имеет в комплексной области шесть различных значений, являющихся
корнями уравнения 6-й.степени
8/ne + 20m3-l =0. A.8)
Эти корни равны
mv em1, e2mv A-9)
т2, ет2, е2т„, A.10)
где
/3+1 ^3 — 1 .. ...
Давая т какое-нибудь из значений A.9), A.10), всегда можно указать
невырожденное линейное преобразование формы ср, приводящее ее к форме
того же вида, в которой параметр т имеет любое из шести его значений
(упражнение 3).
Итак, неособенные кубические тройничные формы над полем комплекс-
комплексных чисел можно разбить на три типа в зависимости от значений абсо-
абсолютного инварианта /. К 1-му типу отнесем формы, у которых
/ имеет конечное значение, отличное от —1, ко 2-му типу —
формы, у которых /=—1, и к 3-му типу —формы с абсолют-
абсолютным инвариантом / = оэ. Представителями этих трех типов являются
канонические формы вида A.1), где параметр т равен соответственно
любому корню уравнений A.5), A.7), A.8).
3. В вещественной области конечному значению абсолютного инвари-
инварианта / неособенной формы / соответствуют два вещественных значения
параметра m канонической формы ср, поскольку уравнение A.5) имеет
тогда два и только два вещественных корня. Обозначая их через т0 и т'о,
имеем:
При этом, очевидно, оба корня отличны от —0-.
Так как значения То, Т'о относительного инварианта Т формы ср при
значениях т0 и т'о параметра т связаны соотношением
Г 27
*) Здесь и в дальнейшим эквивалентность двух кубических тройничных форм (или
их матриц) можот быть названа проективной, поскольку невырожденные линейные
преобразования формы (или соответствующие симметрические элементарные преобразо-
преобразования ее матрицы), при помощи которых одна из форм (или их матриц) переводится
в другую, равносильны проективным преобразованиям плоскости.

§ 11
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
179
то соответственные значения инварианта оа(Т) (замечание 4.5 гл. III) раз-
различны и, следовательно, канонические формы
A.12)
A.13)
не являются проективно экоивалентными в поле вещественных чисел.
Пусть со(Го)= -1, со(Т;)= +1.
Тогда параметры т0 и т'п этих форм в зависимости от значения их
абсолютного инварианта / принимают, как легко убедиться, следующие
значения
о - m - 3 *
m0 =0
1
— у < mo < °
Гз+i _ ^ i
—1</<0
/ >0
4 = i
m^ > 1
m, ^ /3 + 1
2
При /= — 1, когда
соответственно вид
= 0 и т'0 — \, формы A.12), A.13) принимают
Последнюю форму можно упростить, подвергая соответствующую мат-
матрицу операциям
(-1).
//
+
/77
1
f
1
' 2"'
9'
///
+
//
•2,
l
6/l2
//
+
СЧ).
В результате получим каноническую форму
оХ ^Х 2
~i~ X у.
При / = + со параметр т формы ср в вещественной области имеет, как
это видно из формул A.4) и A.11), только одно вещественное значение
/3+1 г
—-—-„-1— ; точно так же при 1 = — оо существует единственное веществен-
/3-1
ное значение параметра т, равное —^ •
Соответственные канонические формы
X? + Х\ + Х^ - 3
12*

180
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
в поле вещественных чисел уже не будут проективно эквивалентными. Их
можно упростить, подвергая соответствующие матрицы операциям
(-1),
11
¦2т,
III
/ ¦ -
3m2
I m — m* I
где т имеет упомянутые выше вещественные значения.
В результате получим канонические формы
Х{ + ЗХ22Х3 - ЗХД1 при / = + °о
Х\
ЗХ22Х3
при / = - оо.
Итак, неособенные кубические тройничные формы над полем веществен-
вещественных чисел можно классифицировать следующим образом в зависимости от
значений их инвариантов / и (л(Т),
Различаем, прежде всего, два рода неособенных форм, смотря по тому,
будет ли / > 0 или / < 0. Далее, формы / рода, у которых / > 0, подраз-
подразделяем на два вида в зависимости от того, отличается ли / от + со или
же /= -f-oo; формы 1-го вида разбиваем на два типа, смотря по тому,
будет ли со(Г)= —1 или соGп)= +1. Формы II рода, у которых / < 0,
подразделяем на три вида в зависимости от того, будет ли —1ф1ф — со,
/=—1, 1= — оо; среди форм 1-го вида различаем формы, у которых
/ > — 1 или / < — 1, и каждую из этих двух категорий форм, так же как
и формы 2-го вида, у которых /= — 1, разбиваем на два типа, смотря по
тому, будет ли со(Т)= — 1 или со(Г)= +1-
Представителями полученных таким образом типов неособенных форм
являются канонические формы вида A.1), у которых параметр тп прини-
принимает нижеследующие значения:
= +оо
/>—1
ц>(Г)=—
со(Г) = +
ш(Г)=—1
т(Г)=+1
/== —
/= —oo
/3+1
< т <
--И
m < —
2
/3+1
2
< m <0
О < го <
/3-1
/3-1
/3 — 1

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 181
4. Приведенной выше классификации неособенных кубических тройнич-
тройничных форм в комплексной и вещественной областях соответствует проектив-
проективная классификация плоских линий 3-го порядка, не имеющих особых точек.
Как известно1), через всякую точку М линии С3, не имеющей особых
точек, можно провести пучок четырех касательных к этой линии, точки
касания которых не совпадают с точкой М, называемой в этом случае
тангенциальной. Двойное отношение пучка этих четырех касательных, как
показал Салмон [206], является постоянным, не зависящим от положения
тангенциальной точки М. Оно при всех изменениях порядка четырех каса-
касательных может иметь вообще лишь шесть различных значений
где w — одно из этих значении.
Если же w равно кубическому корню (вещественному или мнимому)
из —1, то среди величин A.14) различными будут либо три
-1, 2, 1, A.15)
либо две
1/3 1 /3
~2~+ ~2~' Т IT - A.10)
В первом случае имеем гармонический пучок касательных, во втором
случае — эквиангармонический2).
При определении двойного отношения рассматриваемого пучка четырех
касательных последний можно заменить параллельным ему пучком четырех
прямых, проходящих через точку (О, О, 1), так как двойное отношение
в обоих пучках одно и то же. Для такого пучка, пользуясь известными
формулами 3), находим шесть значений двойного отношения
1 а 2 3 2 1 'А 2 3 °1 / А 4П\
6j — о2* 82—6,' в.2—о3' еа—в,' е3—е2 ¦ \i-ii>
где 9,, 92, 93 — корни уравнения
оЗ осп ОТ1 П l\ I Q\
О —ООП — Zi =U, ^1.18)
т. е.
Следовательно, отношения A.17) не зависят от положения тенгенци-
альной точки, а зависят только от значения абсолютного инварианта /.
Если —1ф1фсо, то все шесть отношений A.17) различны между
собой. Будем называть тогда пучок четырех касательных и линию С3
ангармоническими.
См. [5], стр. 46.
См. [206], стр. 284, 285.
3) См. [5], стр. 49.

182 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Если /= —1, то отношения A.17) приводятся к двум мнимым сопря-
сопряженным значениям A.16). В этом случае мы имеем эквиангармонический
пучок четырех касательных и линию С3 назовем эквиангармонической.
Наконец, если /= оо, то Г = 0, i^O и уравнение A.18) имеет корни
Отношения A-17) приводятся тогда к трем различным вещественным
значениям A.15) и мы имеем гармонический пучок четырех касательных
к гармонической линии С3.
Таким образом, плоские линии 3-го порядка, не имеющие особых
точек, в комплексной области можно разбить, так же как и неособенные
кубические тройничные формы, на три типа в зависимости от значений
абсолютного инварианта 1: линии ангармонические ( — 1 #=/ f= оо),
э к виан гармонические (/= —1) и гармонические (/= оо).
5. В вещественной области, как нетрудно убедиться, пучок касатель-
касательных к линии С3 с общей тангенциальной точкой состоит либо из четырех
вещественных прямых, либо из двух пар мнимых сопряженных прямых,
если абсолютный инвариант / > 0, и из двух вещественных и из двух
мнимых сопряженных прямых, если / < 0.
В случае, когда /= ± оо, мы имеем, как уже было указано, гармо-
гармонический пучок четырех касательных к гармонической линии С3, простой
при /= — оо и сложной при /= +°°. согласно терминологии Кэли [56].
При конечном значении абсолютного инварианта /, отличном от — 1,
когда мы имеем ангармонический пучок четырех касательных, все шесть
отношений A.17) — либо вещественные, если / > 0, либо мнимые попарно
сопряженные, если / < 0 (упражнение 5). Ангармоническую линию С3
в первом случае будем называть сложной, а во втором случае — простой.
Рассмотрим более подробно случай, когда — оо < / < 0. Тогда из
отношений A.17) одна пара мнимых сопряженных имеет модуль, равный 1.
Действительно, приняв во внимание значения вещественного и мнимых
корней уравнения A.18), имеем:
О, -62 _ 1— Ф 2v
ft П Л 1 »,2 ~> A t -.
где
Далее, полагая
C0ST qrS- (L2°)
имеем:
w= cosT + Jsint, — = cos т — jsint.
Следовательно, модули мнимых сопряженных величин w и — равны 1.
Если — 1 < / < 0, то из равенства A.19), A.20) находим:
sint>0, y<cosT<l.
Беря главное значение аргумента мнимого числа, заключающееся
в промежутке (— я, +я), и обозначая через Q абсолютную величину
аргумента мнимого двойного отношения, модуль которого равен 1, имеем
d данном случае

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 183
Точно так же, если — оо < / < — 1, то из равенств A.19), A.20)
находим".
sin т > 0, — 1 < cos т < -j .
Следовательно,
Если же /= — 1, то sin т. =-у-, сокт = у и поэтому Q = — .
В последнем случае линия С3— эквиангармоническая, которую будем
называть эквиангармонической линией i-го типа, если со G') = —1, и 2-го
типа, если со(Г) = +1. Касательные в вещественных точках перегиба
у линии 1-го типа не пересекаются в одной точке, тогда как у линии
2-го типа эти касательные пересекаются в одной точке.
В самом деле, определяя точки пересечения линии
которой проективно эквивалентны эквиангармонические линии 1-го типа,
с ее гессианом1) Х1Х2Х3 = 0, находим три вещественные точки перегиба
(О, -1, 1), (-1, 0, 1), (-1, 1, 0) (упражнение 6).
Касательные в этих точках, определяемые уравнениями
очевидно, не пересекаются в одной точке.
Точно так же, определяя точки пересечения линии
которой проективно эквивалентны эквиангармонические линии 2-го типа,
с ее гессианом
Л[ + Х% + Х3 — ЗХ^Л-^Xg = О,
получаем три вещественные точки перегиба @, —1,1), (— 1, 0, 1),
(-1, 1, 0).
Касательные в этих точках, определяемые уравнениями
Хг + Х2 — 2Х3 = О,
пересекаются и одной точке A, 1, 1).
Таким образом, вещественные плоские линии 3-го порядка, не имею-
имеющие особых точек, в соответствии с классификацией вещественных нео-
неособенных кубических тройничных форм можно разделить на два рода.
Линии I рода (/> 0) характеризуются тем, что всякий пучок каса-
касательных с общей тангенциальной точкой относительно всех точек касания
состоит либо из четырех вещественных прямых, либо из двух пар мнимых
сопряженных прямых, тогда как линии II рода (/ < 0) обладают тем
свойством, что этот пучок касательных состоит из двух вещественных
и двух мнимых сопряженных прямых 2). Далее, линии I рода подразделяем
на два вида: сложные ангармонические (I =?*= оо) и сложные гармонические
г) То ость линией, уравнение которой получим, приравнивая нулю гессиан формы,
представляющей рассматриваемую линию (см. [12], стр. 309).
2) На такое разделение линий 3-го порядка указывали еще Кремона [66] и Дюреж

184
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
(/= +оо). Линии II рода разбиваем на три вида: простые ангармони-
ангармонические ( — 1 ф I =/= — оо), эквиангармоничсские (/= — 1) и простые гармо-
гармонические (I = —со). Наконец, среди простых ангармонических линий раз-
различаем линии, для которых0 < Q < -^A >¦— 1) или -„- < Q < я (/ <—1);
эквиангармонические линии также подразделяем на два типа в зависи-
зависимости от того, не пересекаются (соG')= —1) или пересекаются (соG') = +1)
в одной точке касательные в вещественных точках перегиба.
6. Полученные результаты проективной классификации
в комплексной и вещественной областях неособенных
кубических тройничных форм и представляемых ими
плоских линий 3-го порядка, не имеющих особых точек,
сведены в таблицах I и II.
Таблица I
Неособенные кубические
тройничные формы над
полем комплексных
чисел
(Н=#0. т. е. 0Ф1Ф -5- )
—\ф1ф со
/=со
Уравнения, любой корень
которых может служить
значением параметра т
в канонической форме
ХЯ+XS+X3 + 6тХ1Х2Х3
12 3
1(8т°+20т3—1J+
4-(8те3+1 K=0
rni—т=0
8тв+20т3—1=0
Комплексные плоские
линии 3-го порядка,
не имеющие особых
точек
Ангармонические линии
Эквиан гармонические
линии
Гармонические линии
7. Обратимся теперь к установлению канонических видов особенных
кубических тройничных форм, у которых согласно определению дискрими-
дискриминант R — 0, т. в. абсолютный инвариант / равен нулю или имеет неопре-
неопределенный вид -Q-; при этом, как и в случае неособенных форм, мы будем
исходить из геометрических соображений.
Пусть линия С3, представляемая формой /, имеет особые точки. Будем
различать случаи, когда С3 не распадается на линии низших порядков
и когда С3 распадается на коническое сечение и прямую или на тройку
прямых.
Случай I. Линия С3 — нераспадающаяся.
Известно J), что всякая нераспадающаяся линия 3-го порядка, имею-
имеющая двойную точку с двумя различными касательными, обладает тремя
точками перегиба, лежащими на одной прямой, тогда как у линии с двой-
двойной точкой, где касательные совпадают, имеется только одна точка пере-
перегиба.
Предположим сперва, что касательные в двойной точке линии С3 раз-
различны. Выберем проективную систему координат так, чтобы эти касатель-
касательные были сторонами |х = 0 и |2 = 0 координатного треугольника, а прямая,
проходящая через три точки перегиба, была стороной \3= 0 этого тре-
треугольника. Пусть в выбранной таким образом системе координат линия С3
представляется формой
з
/'_ V A'./t t 6
') См., например, [5], стр. 80, 81.

Таблица II
Неособенные кубические тройничные
формы над полем вещественных чисел
, т. е. 0Ф1Ф%)
Значения параметра т в кано-
канонической форме
1
Вещественные плоские линии 3-го порядка, не имеющие
особых точек
ш(Г) = +1
-\ф1ф
Ф-оо i
/<—1
у.
/=—1
<о(Г)=-1
(о(Г)=+1
/= —оо
/3+1
т <
(или
О < т <
/З" —
™ <o
го>1
/3-1
¦< т< 1
т=0
т = 1 (или 3*?*„-
/3—1
(или *|+3*1*8+3*1*§)
Сложные ангармонические
линии
Сложные гармонические
линии
Линии, для кото- -;
рых О <Q <-тг-
Линии, у которых пучок ка-
касательных с общей танген-
тангенциальной точкой состоит ли-
либо из четырех вещественных
прямых, либо из двух пар
мнимых сопряженных прямых
Линии, для кото-
которых
Простые ангар-
ангармонические
линии
J
Линии 1-го типа, у ко-
которых касательные в
вещественных точках
перегиба не пересека-
пересекаются в одной точке.
Линии 2-го типа, у ко-
которых касательные в
вещественных точках
перегиба пересекаются
в одной точке
Простые гармонические линии
Эквиангармо-
ляческие
линии
<°>
Линии, у ко-
которых пучок
касательных
с общей тан-
тангенциальной
точкой со-
¦ стоит из
двух вещест-
ЕСННЫХ И
двух мни-
мнимых сопря-
сопряженных пря-
прямых

186 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Тогда двойная точка будет иметь координаты @, 0, 1), а три точки пере-
перегиба — координаты
(av 1, 0), (а2, 1, 0), (а3, 1, 0),
где Оц а2, а3 удовлетворяют условиям
^na? + 3^;i2a! + 34>i + ^222 = 0 (i=l, 2, 3). A.21)
Так как коническая поляра точки @, 0, 1), определяемая уравнением
Д + 2A[S3U3 + 2^4«,6,|3 + А'ЮЗЦ = 0, A.22)
вырождается в рассматриваемом случае в совокупность двух прямых
ilia = °> т0
4« = °» А'133=0, А'223 = 0, А'233 = 0, 4,з = 0, А'пзф0.
Приняв это во внимание и замечая, что координаты точек перегиба
должны обращать в нуль гессиан формы /', получаем:
А[паг + А'п2 А'п2а{ + А[22
= 0,
т. е.
А'ша3{-А'п2а1-А[22а{ + А'222^0 (i = l, 2, 3). A.23)
Из равенств A.21), A.23) находим:
ai{A'irpi + A[tt) = 0 (t = l, 2, 3),
и так как из трех различных чисел av a2, а3 по крайней мере два отличны
от нуля, то А'ш = 0, ^i22 = 0.
Таким образом, форма /' имеет вид
где, очевидно, А'ш и А'22г, так же как А[23, отличны от нуля.
Невырожденным линейным преобразованием
Е ^1 t -^2 t К Ли1Л222 у-
она приводися к каноническому виду
Х1 + Х1 + 6ХгХ2Х3. A.24)
В вещественной области двойная точка с двумя различными касатель-
касательными будет узловой, если эти касательные вещественны, и изолиро-
изолированной, если они —мнимые сопряженные. Все три точки перегиба,
из которых по крайней мере одна вещественна, лежат на одной и той же
вещественной прямой. В случае узловой точки все сказанное раньше сохра-
сохраняет силу и мы приходим к той же канонической форме A.24). В случае
изолированной точки выбираем проективную систему координат так, чтобы
уравнения касательных в этой точке имели вид
где
Ех = 0, 1з = 0
— уравнения двух сторон координатного треугольника, третья сторона
которого ?2 = 0 направлена по касательной в вещественной точке перегиба,
принятой за вершину A, 0, 0) координатного треугольника. Изолирован-
Изолированная точка будет иметь тогда координаты @, 1, 0) и ее конической полярой
будет совокупность двух мнимых сопряженных прямых |j-f|| = 0.

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 187
Так как последнее уравнение должно совпадать с уравнением
то
Далее, уравнение касательной в точке перегиба A, 0, 0) |2 = 0 должно
совпадать с уравнением А'^^-^-А'ш?,2 +А'из%3 = 0.
Следовательно, А[п = 0, А[и = 0 и гессиан формы /' с точностью до
постоянного множителя представляется в виде
Так как координаты точки перегиба должны обращать это выражение
в нуль, то А'пз=0.
Таким образом, линия С3 в данном случае представляется формой
3^j12iil2 + 3yl,12g2^| + ^ззз=з' гДе> очевидно, А'333, так же как и А'п2, отлича-
отличается от нуля.
Полагая
Е л 1 ? У -33 V"
S3 Зг j— 1
I/ Л
получаем каноническую форму ЗХ^Х2+3X2Xi; + X3.
Предполагая теперь, что касательные в двойной точке линии Cs сов-
совпадают, выберем проективную систему координат таким образом, чтобы
сторонами координатного треугольника были: прямая |х = 0, соединяющая
двойную точку с точкой перегиба, прямая ?2 = 0, с которой совпадают каса-
касательные в двойной точке, и прямая %3 = 0, касательная в точке перегиба.
Тогда двойная точка будет иметь координаты @, 0, 1), а точка перегиба —
{0, 1, 0).
Так как коническая поляра точки @, 0, 1) вырождается в данном
случае в пару совпадающих прямых I2, = 0, то из ее уравнения, имеющего
вид A.22), если линия С3 представляется формой /', находим:
¦^из= 0, А123 = О, А133 = 0, Л233 = 0, л333 = 0, Л223т^0.
Далее, поскольку касательная в точке @, 1, 0), имеющая уравнение
^22=i + ^222=2 + Л22з=з = 0, совпадает с прямой ?3 = 0, то А[22 = 0, Л22г = 0
и гессиан формы /' с точностью до постоянного множителя представляется
в виде
Л' ? ?2 А' ?3
¦"liibiSa — ли.гъг-
Так как координаты точки перегиба должны обращать это выражение
в нуль, то А'112 — 0.
Таким образом, форма /' в рассматриваемом случае имеет вид
где, очевидно, А'ш, так же как и Л223, отлично от нуля.
Невырожденным линейным преобразованием
? — ^' ? — Y" ? — ^3
Si— з,—,-> =2 ~ Л2' Ьз — .1
v Ли г23
она приводится к 1<аноничоскому виду
ХЗ | OV2V /Л О с \
В вещественной области точка перегиба будет вещественной, так же
как и двойная точка—точка возврата. Вещественным будет и коорди-
координатный треугольник, выбранный как указано выше. Таким образом, мы

188 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
приходим к одной и той же канонической форме A.25) как в комплексной,
так и в вещественной области.
Случай II. Линия С3—распадающаяся на коническое
сечение и прямую.
Предположим сперва, что коническое сечение С2 и прямая Cv на ко-
которые распадается линия С3, пересекаются в двух точках.
Тогда прямую С1 принимаем за сторону !х = 0 координатного тре-
треугольника, у которого две другие стороны, ?2 = 0 и |3 = О, направлены по
касательным к коническому сечению С2 в точках пересечения его с пря-
прямой С1. Линия Сз относительно выбранной таким образом системы коор-
координат представляется, как легко в этом убедиться, формой А[п\\ + бЛ^^г^з»
которая невырожденным линейным преобразованием
Si 37=F= ' b2 7i Л2> S3 Л3
V Ли А™
приводится к каноническому виду
Х^ + бХДДд. A.26)
В вещественной области коническое сечение С2, входящее в состав
линии С3, может быть вещественным или мнимым, причем обе точки пере-
пересечения его с прямой Сг могут быть вещественными или мнимыми сопря-
сопряженными.
Если С2 вещественно и пересекается прямой Сх в двух вещественных
точках, то все сказанное раньше сохраняет силу и каноническая форма
A.26) имеет место как в комплексной, так и в вещественной области.
Если же С2 пересекается прямой Сх в двух мнимых сопряженных точ-
точках М1 и М2, то координатную систему выбираем так, чтобы полюс пря-
прямой Сх относительно С2 имел координаты @, 1, 0), а точки Mv M2 — коор-
координаты A, 0, г), A, 0, —г). Тогда, поскольку ?,2 = 0 должно быть уравнением
прямой Сх, линия С3 будет представлена формой
ёг C-4liaSi + ЗЛ122|г|2 -j- ^222g2 + ЗЛ223§2§3 -f- ЗЛ233^3 -г D-^isaSiSs)-
Но поляра точки @, 1, 0) относительно С2 и касательные к С2 в точ-
точках Mv M2 имеют уравнения
(A'w - iA'lia) lt + ~2 (A'm - iA'^) 1г + (A'123 - iA'i33) |8 = 0,
совпадающие соответственно с уравнениями
Следовательно, ЛB2 = 0, .Л223 = 0, А'123 = 0, А'^фО, A'ni = А'юз Ф 0.
Таким образом, форма, представляющая линию С3, имеет в данном слу-
случае вид
ЗА' 2|2?2 + А'2г2^3 -{- ЗА' IJ2
и невырожденным линейным преобразованием
„:,„ ^222
f
приводится к канонической форме
ЗХ уЛ-2 — -

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 189
или
смотря по тому, вещественным или мнимым будет С2.
Пусть теперь прямая Сх касается конического сечения С2. Тогда Ct
принимаем за сторону |2 = 0 координатного треугольника, у которого сто-
сторона Si = 0 направлена по какой-нибудь прямой С[, проходящей через точку
касания линий Сх и С2, а сторона |з = О по касательной к С2 в другой
точке пересечения линий С[ и С2. Легко видеть, что линия С3 относительно
выбранной системы координат представляется формой ЗЛ^^^ + ЗА'пзЬ,2?3,
где A'ni и Л223 отличны от нуля.
Последняя невырожденным линейным преобразованием
приводится к канонической форме
имеющей, таким образом, место как в комплексной, так и в вещественной
области.
Случай III. Линия С3 — распадающаяся на тройку пря-
прямых.
Если тройка прямых, на которые распадается линия С3, не пересекается
в одной точке, то ее можно принять за координатный треугольник и ли-
линия С3 будет представлена формой 6А'1гз%?2%3, легко приводящейся к кано-
каноническому виду
Последняя форма имеет место не только в комплексной, по и в веще-
вещественной области, если все прямые тройки вещественны. Если же одна из
прямых вещественна, а две — мнимые сопряженные, то систему координат
выбираем так, чтобы уравнения мнимых прямых имели вид gx -f- г^3 = 0;
Si ~~ г?з — 0> где Ij = 0, |3 = 0 — уравнения двух сторон координатного треуголь-
треугольника, третья сторона которого ^2=='-' направлена по вещественной прямой
рассматриваемой тройки. Линия С3 будет представлена тогда формой
ЗА'шШг + ЗА'т&-1, где А'пг = А233 ф 0.
Последняя очевидным вещественным невырожденным линейным преобра-
преобразованием приводится к канонической форме
Если тройка прямых, на которые распадается линия С3, пересекается
в одной точке, то могут представиться три варианта.
Вариант 1-й: все прямые тройки —различные.
Принимая тогда какую-нибудь пару из тройки прямых за стороны
|j = 0 и 12 = 0 координатного треугольника, получим для третьей прямой
уравнение
^iSi + ^S2 = 0, A.27)
где К1, Х2 отличны от нуля.
Следовательно, линия С3 представляется двойничной кубической формой
3^n2S?S2 + 3^i22i1^, где А'иг, А'122 не равны нулю.
Так как дискриминант А = ЗЛ^2^4,'|2 этой формы отличен от нуля, то,
как показано в § 3 гл. IV, она приводится в комплексной области к кано-
каноническому виду
A.28)

190 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
а в вещественной области, если все прямые рассматриваемой тройки веще-
вещественны, к каноническому виду
3X^2— А2,
поскольку тогда А>0.
Если же одна из тройки прямых вещественна, а две —мнимые сопря-
сопряженные, то координатную систему выбираем так, чтобы уравнения мнимых
прямых имели вид ?1 + i?2 = 0> |t — zg2 = 0, где |х = 0, ?2 = 0 — уравнения
двух сторон координатного треугольника. Тогда для вещественной прямой
тройки получим уравнение A.27) и, следовательно, линия С3 представляется
формой
приводящейся к каноническому виду A.28), поскольку ее дискриминант
A=-12(^2 + ^2J<0.
Вариант 2-й: две из тройки прямых — совпадающие.
Принимаем тогда совпадающие прямые за сторону ^ = 0 координатного
треугольника, а третью прямую —за сторону |2 = 0 этого треугольника.
Тогда линия С3 представляется формой ЗЛ,'12|^|2, приводящейся к канониче-
каноническому виду 3XjX2 как в комплексной, так и в вещественной области.
Вариант 3-й: все прямые тройки—совпадающие.
Принимая их за сторону ?х = 0 координатного треугольника, придем
к представлению линии С3 формой А'п1?,\, приводящейся в комплексной
и вещественной областях к каноническому виду Х\.
Имеем, таким образом, в комплексной области следующие канонические
виды особенных кубических тройничных форм, не равных тождественно
нулю
Дз, (I)
з, (II)
Х1 + ЗХ1Х3, (IV)
:щх2+зх1х3, (V)
Х\ + Х1, (VI)
'¦щх2, (Vii)
Х\. (VIII)
В вещественной области к числу канонических видов особенных куби-
кубических тройничных форм, кроме указанных выше, относятся также следу-
следующие:
ОЛ. 1-Л~2 I 3X2Xg ~[- X д, A )
ЗХ1Х2-Х1 + ЗХгХ2а, (II')
гх\х2 + х1 + зх,х1, (П")
ЗХ\Х2 + ЗХ2Х\, (III')
ЗХ]Х2-Х\. (VI')
8. Вычисляя относительные инварианты S и Т установленных нами
канонических форм, составив предварительно для соответствующих им
кубических матриц присоединенные и смешанно-присоединенные матри-
матрицы С я К, & затем образуя сложные квадратные матрицы © = ТС —SK

§ 1]
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
191
(гл. III, §§ 3, 4I), определим инварианты / и соG') канонических форм,
их ранги (двумерный г и трехмерный q), а также ранги гс, ге и сигнатуры
ос, (Те матриц С и 6. Получим следующие результаты:
Канони-
Канонические
формы
(D
(П)
(III)
(IV)
(V)
(VI)
(VII)
(VIII)
(I')
(II')
(II")
(ИГ)
(VI')
I
0
0
0
с|о
0
0
0
"о"
0
тг
О
и
О
О
О
О
О
тг
ш(Г)
+1
+1
+1
О
О
О
О
О
—1
—1
—1
—1
О
г
3
3
3
3
3
2
143
1
3
3
3
3
2
Q
3
3
3
3
3
143
143
1
3
3
3
3
2
гс
8
8
8
5
4
2
1
О
8
8
8
8
2
"С
2
2
—2
-1
2
о
-1
2
2
—2
—2
—2
4
143
О
О
О
О
О
О
4
143
2
О
О
°«
О
О
О
2
—2
В зависимости от указанных выше значений инвариантов особенных
кубических тройничных форм мы дюжем классифицировать их следующим
образом.
Различаем, прежде всего, четыре рода особенных форм в зависимости
от их ранга г (двумерного или трехмерного).
Формы I рода (г = 3) не приводятся к формам с меньшим числом пере-
переменных. Представляемые ими линии 3-го порядка обладают двойными точ-
точками.
Формы II рода (г =2) приводятся к двойничным кубическим формам.
Они представляют линии 3-го порядка с тройной точкой.
Форма III рода (r = i) являются кубом линейной формы и представ-
представляют тройки совпадающих прямых.
Формы IV рода (г = 0) тождественно равны нулю.
В комплексной области формы I рода делим на два видав зависимо-
зависимости от того, будет ли их абсолютный инвариант / = 0 или /=-д-. Формы
1-го вида (/ - 0) представляют линии, у которых касательные в двойной
точке различны, тогда как у линий, представляемых формами 2-го вида
/ =— j, касательные в двойной точке совпадают. Далее, формы 1-го вида
подразделяем на три типа, смотря по тому, будет ли ранг rg матрицы 6
равен 4, 2 или 0. Формы 1-го типа (гЕ = 4) — неприводимые и представ-
представляют нераспадающиеся линии с двойной точкой. Формы 2-го типа (rg = 2)
2) Выражения матриц С, К, © и значения инвариантов S, Т для форм (I)-
(Г) — (VI') приведены в § 2 статьи [29] автора.
(VIII),

192 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
разлагаются в произведение линейной и неприводимой квадратичной форм.
Они представляют совокупности конического сечения и пересекающей его
прямой. Формы 3-го типа (rs = 0) разлагаются в произведение трех линейно
независимых линейных форм и представляют тройки прямых, не пересека-
пересекающихся в одной точке. Формы 2-го вида подразделяем на два типа, смотря
по тому, будет ли ранг гс матрицы С равен 5 или 4. Формы 1-го типа
(гс = 5) — неприводимые и представляют нераспадающиеся линии с двойной
точкой. Формы 2-го типа {гс = 4) разлагаются в произведение линейной
и неприводимой квадратичной форм. Они представляют совокупности кони-
конического сечения и касательной к нему прямой.
Среди форм II рода различаем два вида в зависимости от того, будет
ли ранг г с равен 2 или 1. Формы 1-го вида (гс=2) разлагаются в произ-
произведение трех линейно зависимых линейных форм, являющихся попарно
линейно независимыми. Они представляют тройки различных прямых, пере-
пересекающихся в одной точке. Формы 2-го вида (гс=1) разлагаются в про-
произведение линейной формы и квадрата такой же формы, линейно незави-
независимой от первой. Представляемые ими тройки прямых, пересекающихся
в одной точке, содержат по две совпадающие прямые.
В вещественной области формы I рода делим на три вида в зависи-
зависимости от значений инварианта со (Г). Формы 1-го вида (соG')= +1) пред-
представляют линии, обладающие тем свойством, что касательные в двойной
точке различный вещественны. Формы 2-го вида (со(Г)= —1) представляют
линии, характеризующиеся тем, что касательные в двойной точке различны
и обе (или одна из них) —мнимые. Формы 3-го вида (со (Г) = 0) представляют
линии, у которых касательные в двойной точке вещественны и совпадают.
Дальнейшее подразделение форм 1-го и 2-го видов зависит от ранга rs
и сигнатуры erg матрицы 6, а форм 3-го вида — от ранга г с матрицы С.
Формы 1-го вида, смотря по тому, будет ли ранг rg равен 4, 2 или О,
делятся на три тира: неприводимые, разлагающиеся в произведение двух
вещественных форм — линейной и неприводимой квадратичной, или разла-
разлагающиеся в произведение трех линейно независимых вещественных линей-
линейных форм. Они представляют соответственно линии с узловой точкой, сово-
совокупности конического сечения и прямой, пересекающей его в двух веще-
вещественных точках, или тройки вещественных прямых, не пересекающихся
в одной точке. Точно так же формы 2-го вида, смотря по тому, будет ли
ранг rg равен 4, 2 или 0, делятся на три типа: неприводимые, разлагаю-
разлагающиеся в произведение двух вещественных форм — линейной и неприводимой
квадратичной (неопределенной, если ае = 2, и определенной, если а® = — 2),
или разлагающиеся в произведение трех линейно независимых линейных
форм, из которых одна вещественна, а две — мнимые сопряженные. Они
представляют соответственно линии с изолированной точкой, совокупности
конического сечения (вещественного, если erg = 2, или мнимого, если
сге = — 2) и прямой, пересекающей его в двух мнимых сопряженных точ-
точках, или тройки непересекающихся в одной точке прямых, из которых
одна вещественна, а две— мнимые сопряженные. Наконец, формы 3-го вида,
смотря по тому, будет ли ранг гс равен 5 или 4, подразделяются на два
типа: неприводимые, представляющие линии с точкой возврата, и разла-
разлагающиеся в произведение двух вещественных форм — линейной и неприво-
неприводимой квадратичной, — представляющие совокупности конического сечения
и касательной к нему прямой.
Далее, среди форм II рода различаем два вида в зависимости от ранга гс.
Формы 1-го вида (гс = 2) разлагаются в произведение трех линейных форм
и представляют тройки различных прямых, пересекающихся в одной точке.
Формы 2-го вида (гс = 1) разлагаются в произведение вещественной линей-
линейной формы и квадрата такой же формы, линейно независимой от первой.

§ 1] ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 193
Они представляют тройки пересекающихся в одной точке вещественных
прямых, из которых две совпадают. Формы 1-го вида подразделяются на два
типа в зависимости от сигнатуры 0"о У форм 1-го тина (ас = 0), так же
как у представляемых ими троек прямых, одна из линейных форм, в про-
произведение которых разлагаются формы этого типа, вещественна, а две —
мнимые сопряженные. У форм 2-го типа (ас = — 2) все эти линейные формы,
так же как- и представляемые ими прямые, вещественны.
Наконец, формы 1JI рода являются кубом вещественной линейной формы
и представляют тройки совпадающих вещественных прямых.
Результаты произведенной таким образом проективной класси-
классификации в комплексной и в вещественной областях осо-
особенных кубических тройничных форм и представляемых
ими плоских линий 3-ю порядка, обладающих особыми
точками, сведены в таблицах III и IV1).
Относя все проективно эквивалентные в комплексной или вещественной
области формы (линии) к одному и тому же классу таким образом, что
две формы (линии), принадлежащие различным классам, не являются
проективно эквивалентными в соответствующей области, видим из таблиц
I, III и II, IV, что совокупность всех кубических тройничных форм (всех
плоских линий 3-го порядка) в каждой из этих областей разбивается
па бесконечное число непересекающихся проективных классов неособенных
форм (линий, не имеющих особых точек) и конечное число непересека-
непересекающихся проективных классом особенных форм (линий, обладающих особыми
точками). Представляющие все эти классы канонические формы указаны
в упомянутых таблицах. Тем самым подтверждается замечание 4.6 гл. III
о полной системе инвариантов кубической тройничной формы над полем
комплексных (или вещественных) чисел по отношению к группе всех ком-
комплексных (или вещественных) проективных преобразований.
Упражнения
1. Показать, что матрица формы A.1) приводится к млтрипе того жо вида, у ко-
которой параметр т имеет любое из значений A.0), с помощью соответственных сим-
симметрических элементарных преобразований одной из следующих двенадцати групп:
Tie"; (а)
]/ 3 |-6m0 f' 3 -f- 6m0 fr3-\-6/nu I
~ш\ ,г-^-= , |_ш_!+|Т| (-б'-"), i ///'4-1 // (-e2);
V 3-f6/«0
i 3-j-6e//i0
j / |+i /// ¦,¦__.
"" ) 3 6
(Y)
!) Cp. [94], стр. 632 и [96], стр. 562-571.
13 н. П. Соколов

194
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
Ll\Jl. V
Особенные куОпчсские тройничные (|,о|.иы пап полем комплексных чисел
(Я =0, т. е. /=0 или I— — )
По приводящие-
приводящиеся к формам с
меньшим числом
переменных
[ 3]
I Неприводимые [г^ — 4\
Разлагающиеся в произведение линейной и не-
неприводимой квадратичной форм
Разлагающиеся в произведение трех линейно
независимых линейных форм
Неприводимые [г(. — 5]
11. Приводящиеся
к двойничным
кубическим фор-
формам [г = 2]
Разлагающиеся в произведение .umeiiiioii и не-
неприводимой квадратичной форм
[4]
Разлагающиеся в произведение трех линей-
линейно зависимых линейных форм, яялню-
шихся попарно линейно _ независимыми
'излагающиеся в произведение линейной фор-
формы и квадрата такой же формы, линейно
независимо" от первой
III. Продстаглиющис куб линейной формы |> = 1]
IV. Тождественно равные нулю [/- = 0]
#=_

1]
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
195
Таблица III
Канонические
виды
Комплексные плоские .пинии 3-го порядна, обладающие
особыми точками
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой
Совокупности конического
сечиння и пересекающей
его примой
Тропки прямых, но Пересе-
кающихся в одной точке
/ Линии, у кото-
которых касатель-
касательные в двойной
точке различны
Нераспадающиеся линии с "
двойной точкой
; Совокупности гконического
сечения и касательной ,к
нему npn.Moii
Линии, у кото-
которых касатель-
касательные в двойной
точке совпа-
совпадают
Линии с
двойными
точками
Тройки различных прямых, пересекающихся в од
ной точке
[-1
Тройки пересекающихся п одной точке прямых,
пз которых две совпадают
Тройки совпадающих прямых
Линии с
тройной
точкой
К)"

196
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Особенные кубические тройничные формы над полем вещественных чисел
(Я=0, т. е. 1=0 или -Ц-)
I. Не приводя-
приводящиеся к ве-
щеетвонным
формам с
меньшим
числом пере-
переменных [г=3]
II. Приводящие-
Приводящиеся к вещест-
вещественным двой-
двойничным ку-
кубическим
формам
[г = 2]
Неприводимые ['•ц=4]
Разлагающиеся в произведение двух ве-
вещественных форм—линейной и неприво-
неприводимой квадратичной ['\j = 2J
Разлагающиеся в произведение трех ли-
линейно независимых вещественных линейных
форм ['•ц = 0]
Неприводимые (r&z=i)
Разлагающиеся в про-
произведение двух ве-
вещественных форм—
линейной и неприво-
неприводимой квадратичной
hs-2J
( Квадратичная
форма— неопре-
неопределенная
Квадратичная
форма— опре-
определенная
Разлагаю-
Разлагающиеся в
произве-
произведение трех
линейных
форм
Разлагающиеся в произволении трех линейно
независимых линейных форм, из которых
одна иещественная, а две —мнимые сопря-
сопряженные [r& — 0J
Неприводимые [гс — 5]
Разлагающиеся в произведение двух
вещественных форм—линейной и
неприводимой квадратичной
f Одна из линейных форм врществен-
| ная, а две—мнимые сонрнжон-
I ные [ас = 0]
I Все три линейные формы вещест-
I венные [о"с=—2]
0
"о
Разлагающиеся в произведение вещественной ли-
линейной формы и квадрата тактй же формы, ли-
линейно независимой от первой [гс = 1]
III. Представляющие куб вещественной линейной формы [r = i
IV. Тождественно равные нулю [г = 01

§ 1]
ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
197
Таблица IV
Канонические
виды
XI+XJ +
Х? + 6Х,Х2Х„
бХ^Хз
3XfX2 + 3X2Xf +
-{-• A j
ZXjX2-Xi +
О V Y 1 Y3 _1_
О Л. |Л о"""Г" -" •> ~Т~
—4— Ол 2 Ч
ЗХ?Х2-[-ЗХ2Х|
Х? + ЗХ1Х3
3X|X2-j-3X5A'3
Xf+Xf
3XfX2-X|
i
3XJX2
X»
Вещественные плоские линии 3-го порядка, обладающие
осиОымн точками
Линии с узловой точкой
Совокупности конического
сечения и примой, пересе-
пересекающей его в двух веще-
вещественных точках
Тройки вещественных пря- '
мых, не пересекающихся
в одной точке
Линии с изолированной точ- "
кой
Коничес-  Совокупности
кое сече- j конического
ние—ве- 1 сечения и
ществен- 1 прямой, пере-
перенос f секающей
Коиичес- I его в двух
коо сече- 1 мнимых со-
н ис— 1 пряженных
мнимое j точках
Тройки пересекающихся в
одной точке прямых, из
которых одна—веществен-
одна—вещественная, а две—мнимые сопря-
сопряженные
Линии с точкой возврата
Совокупности конического
сечения и касательной к
нему прямой
Одна из прямых веществен- ¦¦
нал, а две—мнимые сопря-
сопряженные
1
1
Линии, у кото-
которых касатель-
касательные в двойной
точке различны
и вещественны
Лпнии с
Линии, у кото- )¦ двойными
рых касатель-
касательные в двойной
> точке различны
и обе(или одна
из них)—мнимые
Линии, у которых
касательные в
двойной точке
вещественны и
точками
совпадают у
Тройки различ-
различных прямых,
пересекающихся
I в одной точке
Все три прямые вещественные J
Тропки пересекающихся в одной точке вещест-
венпых прямых, из которых
Линии с
тройной
точкой
две совпадают J
Тройки совпадающих вещественных прямых

198 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
j / ь
р
//1 L i [+ ш
1-8 _ . _.
(о)
III
?3+6e»«0 - ¦— ^ ~ ^ J
где e — любой из мнимых кубических корней из 1, а л. = 0, 1, 2.
2. Указать невырожденные квадратные матрицы, умножение на которые по
индексам г", /, к матрицы формы A.1) равносильно элементарным преобразованиям
(а), ф), (у), F) упражнения 1.
3. Пусть »»0 — любой из корней A.9) или A.10) уравнения A.8), а т'й — соответственно
любой из корней A.10) или A.9) того же уравнения. Показать, что операции (а) или
(Р) (см. упражнение 1) над матрицей формы A.1) с параметром те0 приводят ее к трем
матрицам того же вида с параметрами ти, е,т0, е2/«0, тогда как операции (y) или F)
дают три матрицы с параметрами т'о, ет'о, е2т'о (е, е2 — мнимые кубические корни из 1).
4. Рассматривая параметр т формы A.1) как абсциссу точки некоторой оси, пока-
показать, что пары точек т0, т^ (вещественные корни уравнения A.5)) и ———~- , -—Т
?* Zl
(значения параметра т при / = ±оо) образуют гармоническую четверку.
5. Показать, что все корни уравнения A.18) вещественны, если />0, и один из
этих корней — вещественный, а два—мнимые сопряженные, если / <_ 0.
6. Каждая из точек пересечения плоской линии 3-го порядка с ее гессианом
является точкой перегиба или особой точкой. Наоборот, каждая точка перегиба или
особая точка линии 3-го порядка лежит также на ее гессиане. Доказать (Гессе [100]).
7. Форма A.1) при любом значении параметра т, удовлетворяющем условию
8/п3-|-1=0, нроективно эквивалентна в комплексной области канонической форме A11).
Доказать.
8. Форма A.1) при от———- проективпо эквивалентна в вещественной области
капонической форме (II)'). Доказать.
9. Произвести проективную классификацию в комплексной области особенных
кубических тройничных форм, не приводящихся к формам с меньшим числом перемен-
переменных, в зависимости от рангов (двумерных или трехмерных) гА и Гц матриц А и И
(гл. III, § 4, упражнение 6), составленных для этих форм.
10. Кубическая тройничная форма тогда и только тогда разлагается в произведе-
произведение трех линейных форм, когда составленные для нее матрицы С я К (или А и А)
пропорциональны. Доказать.
§ 2. Аффинно-проективная классификация кубических тройничных форм
3
1. Возьмем кубическую тройничную форму /= 2 Aljkxixjxh с соот-
г, j. h=l
ветствующей симметрической кубической матрицей 3-го порядка А = \\ Aiik |]
(»,/, А = 1, 2, 3).
Симметрические элементарные преобразования матрицы А будем назы-
называть а ф ф и н н о-п роективными, если в операциях
(a) h^-t,
(б) т +
где t — произвольное, отличное от нуля число, индекс т может иметь любое
из значений 1, 2, 3, тогда как индекс п принимает лишь какое-нибудь из
значений 1, 2.
Преобразованиями типов (а), (б), очевидно, можно совершить операцию
(в)
1-п
где /, подобно п, принимает любое из значений 1, 2.

5 2] АФФШШО-ПРОЕКТИВНЛЯ КЛЛГГИФ11КАХТЦЯ 199
Легко убедиться, что аффлнно-проективныо лрсобразования матрицы А
равносильны невырожденным линейным преобразованиям формы /, которые
представляются формулами
.г, = апХ1 + д,2Х2 + а1ЯХ3,
х2 = а21Х1 + а„„Х2 + а23Х3,
I х3 — а^Х,
выражающими аффннно-проектппные преобразования плоскости.
Так как эти преобразования являются частным случаем невырожден-
невырожденных линейных преобразований
.ч
4= 1 «хЛг (А= 1,2,3),
выражающих проективные преобразования плоскости, то все рассматри-
шшпнеся в § 1 инварианты относительно проективных преобразований
матрицы Л сохраняют силу и относительно аффинно-проективных преобра-
преобразований ее.
В дальнейшем мы будем говорить об инвариантах формы / и матрицы А
относительно лишь аффинно-проективных преобразований.
2. Обозначим через /lo= || Л{уй || (г, /, /с = 1, 2) укороченную сим-
симметрическую кубическую матрицу 2-ю порядка, полученную из основной
матрицы /1 вычеркиванием 3-го сечения каждой ориентации. Аффинно-проек-
тивные преобразования матрицы А являются для Ао проективными, при
которых, как известно, двумерный и трехмерный ранги ее остаются
неизменными. Таким' образом, имеет место
Теорема 2.1. Ранг (двумерный или трехмерный) укороченной мат-
матрицы Ао есть арифметический инвариант относительно аффинно-проектив-
аффинно-проективных преобразований основной мат.рицы А.
Составим теперь из элементов матрицы С, присоединенной для А,
квадратные симметрические матрицы
CL=\\af\\ (а, р = 1,2,3)
и симметрическую клеточную матрицу С2 = ||Сар|| (а,р = 1, 2), где
клетки Сар —также симметрические матрицы Сар = !l Cj/J || (ц, v = l,2, 3).
Далее, из элементов матрицы К, смешанно-присоединенной для А, составим
квадратные симметрические матрицы
Ко = | К'$> || (а, р - 1, 2), К, = || *$' || (а, р = 1, 2, 3).
Наконец, из элементов матрицы С, присоединенной для матрицы А,
которая составляется из кубических миноров 3-го порядка, порождаемых
матрицей А, образуем квадратные симметрические матрицы
Go= С{?|'|| (а, р = 1,2), С^ЦС^'11 (а, Р = 1,2,3).
Для всех этих матриц имеет силу
Теорема 2.2. Ранги (а в поле вещественных чисел и сигнатуры)
матриц
t'O' ^ V ^2> <>' 1' * 0' *^1
являются арифметическими инвариантами относительно аффинно-проек-
аффинно-проективных преобразований матрицы А.

200 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Для доказательства теоремы отметим прежде всего, что операция
t над А вызывает в А операции
\T\VT\ ^
где /, тп, п — последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3;
тп
t над А вызывает ту же операцию над А.
операция же
Обращаясь теперь к матрицам 2-го порядка Со, Ко, Со, видим, что
операция \rn\t над А но изменяет Со, если тп = 3, а при m = 1 или гп = 2
сопровождается умножением в Со на t2 m-й стропи и m-то столбца и умно-
умножением я-й строки н п-го столбца, где соответственно п = 2 или п = 1 на I.
Та же операция над А вызывает в Ко при m = 3 умножение всех строк
и столбцов на t, а при тп = 1 или m = 2 — умножение m-й строки и т-го
столбца на t2 и умножение n-ii строки и и-го столбца, где соответственно
п = 2 или га=1, на г2. При этом в Со все строки и столбцы умножаются
на I2, если m = 3; если же m = \ или m = 2, то m-я строка и m-й столбец
умножаются на ?4, а n-я строка и га-й столбец, где соответственно /г = 2
или /г=1, умножаются на ?3.
Операция I /и |+ и t над Л не изменяет матриц Со, Ко, Со> если т = 3
и вызывает в каждой из них прибавление к от-й строке гс-й строки, умно-
умноженной на I, и аналогичную операцию со столбцами, если т = 1 или m = 2.
Таким образом, аффинно-проективныо преобразования матрицы -4 вле-
влекут за собой симметрические элементарные преобразования матриц Со, Ко, Со
или вовсе не изменяют их. В обоих случаях ранги (а в поле вещественных
чисел и сигнатуры) этих матриц остаются неизменными.
Относительно матриц 3-го порядка С17 Kv C1 замечаем, что операция
т \ t над А сопровождается при т = 3 умножением 3-й строки и 3-го столбца
на t в Ср на !! в Кх и на t3 в С,, а также умножением остальных строк
и столбцов на f в АГХ и на t2 в f\; если же т = \ или т ¦= 2, то т-я строка
и т-й столбец умножаются на I2 в Cv на t3 в Кх и на ?4 в С,, тогда как
1-я и /г-я строки, а также 1-й и п-а столбцы умножаются на t в С,, на /*
в Кл и на ts в Си причем гс=3, а /=2 при т — 1 и / = 1 при m = 2.
Операция m + n\l над А всегда вызывает в каждой из матриц С,, Кл, Сг
прибавление к т-й строке я-й строки, умноженной на t, и аналогичную
операцию со столбцами.
Таким образом, аффинно-проективные преобразования матрицы А не
изменяют рангов (а в поле вещественных чисел и сигнатур) матриц Cr, Kx, Cv
Обращаясь, наконец, к матрице С2, видим, что операция | т t над А
сопровождается умножением на t 1-й и п-ii строк, а также 1-го и п-го
столбцов в каждой клетке Саэ матрицы С2 (причем Z, т, п образуют после-
последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3) и, кроме того, умноже-
умножением т-й строки и т-го столбца в матрице ЦСа.зЦ (а, р == 1, 2) на t при
т — 1 или т = 2.
Операция m\ + ',n\t над А вызывает в каждой клетке Сор матрицы
С2 прибавление к n-й строке умноженной на — t т-й строки и аналогич-
аналогичную операцию со столбцами, а кроме того, если /и = 1 или т ~ 2, прибавле-
прибавление к m-й строке n-ii строки, умноженной на t, и аналогичную операцию
со столбцами в матрице ||Сар!| (<*> Р=1, 2).

2]
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
201
Все эти операции являются, как нетрудно убедиться, симметрическими
элементарными преобразованиями матрицы 6-го порядка С2, которые не
оказывают влияния на ее ранг (а в поле вещественных чисел и сигнатуру).
Теорема 2.3. Ранг, а следовательно, и дефект матрицы
Aii зл
о
о
112
1.11
О
ЗА
122 Л222
,,. зл
1111
111
112 3/li2:
122
112
!2 -22
О
А
222
о
о
'ill ЗЛ 112 3.1722 Л 222
0
in
.ЗА
112
О
о
О
О
1222
есть арифметический инвариант относительно аффинно-проективных
преобразований матрицы А.
В самом деле, принимая во внимание замечание в начале доказатель-
доказательства предыдущей теоремы, видим, что операция т t в А сопровождается
умножением строк и столбцов матрицы Ro на целые (положительные
и отрицательные) степени множителя L; при операции j т + п I в А мат-
матрица /?0 не меняется, если т = 3, или, если т < 3, подвергается элемен-
элементарным преобразованиям, заключающимся в прибавлении к ее строкам
(столбцам) других строк (столбцов), умноженных на числа вида atk, где
к — целое.
Таким образом, аффинно-проективные преобразования матрицы А
влекут за собой элементарные преобразования матрицы Ro, не влияющие
на ее ранг.
Теорема 2.4. Выражения
S\
1 Со I I
¦ 27 |
I =•
' 4 I С2 Г
где S и Т — относительные инварианты веса 4 и 6 формы /, являются
абсолютными алгебраическими инвариантами по отношению к аффинно-
проективным преобразованиям формы / и соответствующей матрицы А.
Действительно, операция \ m\t над матрицей А, равносильная невы-
невырожденному линейному преобразованию формы /:
хт =
xn = ^«
где /, т, п образуют последовательность в некотором порядке чисел 1, 2, 3,
сопровождается умножением S на f1, Т на ta, а также умножением | Со \
| | 4 | 2 \R\
на tc\ \С\\ на t8, |Л'
15 1
на
С2 \ и | Со | на
|
на
\Ki
\\\ |0| |,| | 2 | |
15 при /и = 1 или т=2 и умножением | Со | на <°, | С, | на
l 4 [ /1 e
t\
у | | | , |
на г'4, [ /?01 на te при m = 3.
| \
на t2u, \R0\
2, \К0\н&1Л,
\ 1| l I
А это не изменяет выражений, упоминаемых в теореме.
Операция m ! + ' п t над матрицей ^4, равносильная невырожденному
линейному преобразованию
не вызывает изменений S, Т, \С0\, \С1\, \К0
а следовательно, и выражений /0, Д, /2, -/о»
n = Xn-\-tXm,
-K\\, \CZ
'-'О
1
'I I'
I 0

20.2
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Замечание 2.1. Абсолютные инварианты /0, /1? /2, /0, Jv /2 не
являются независимыми между собой (упражнение 1) и, как увидим далее,
входят и состав полной системы инвариантов формы / по отношению к группе
всех аффшшо-проектшшых преобразований.
3. Указанные выше аффшшо-проективные инварианты (арифметические
и алгебраические) дают возможность произвести аффинно-проективную
классификацию кубических тройничных форм, разбивая проективные классы
этих форм на аффинно-проективные подклассы. Установим предварительно
канонические пнды форм, представляющих эти подклассы. Для этого вос-
воспользуемся аффинно-проективньши преобразованиями матрицы А формы /,
приводящими ее к каноническому виду.
В комплексной области различаем четыре возлгожных случая в зависи-
зависимости от четырех канонических пидов укороченной матрицы Ао. Эти
канонические виды (гл. IV, § 3, табл. IV) обусловлены следующими зна-
значениями ранга (двумерного или трехмерного) г0 матрицы Ао и ранга Гс0
матрицы Со:
(а) го=2, г(:0 = 2;
(б) го = 2, гСо=1;
(в) г0 = 1;
(г) го = 0.
Рассмотрим эти случаи.
Случай (а), когда г0 = 2, гСп = 2.
Подвергая тогда матрицу А аффинно-нроективным преобразованиям,
приводящим матрицу Ао к виду (гл. IV, § 3, упражнение 5)
мы получим матрицу
А ТЭ
i. 1J
О В
123
М13 -23 -33
1 О
О 1
о
1
в
в,
в,
123
223
233
I23 133
'223 "33
-00
J333
•@
(/¦)
которая операциями
III] + [П] (- Вш), \_Ш] + [!](- Вш)
приводится к виду
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
D
D,
223
'223
D,
233
Я
133
D,
223
233
133
-'гзз
•^ззз
@
B.1)
Если ранг (двумерный или трехмерный) г матрицы А равен 2, то все
элементы Diik матрицы B.1) —нули и последняя приводится к канони-
каноническому виду (гл. IV, § 3, упражнение 6), которому соответствует канони-
каноническая форма
Aа) Х\ + Х\.
Заметим, что ранг Гс присоединенной матрицы С для этой формы равен 2.
Кроме того, для формы Aа), очевидно, / = —.

S 2]
АФФИННО-ПР0ЕКТИШ1АЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
203
Если же г=3, то различаем два варианта, смотря по тому, будет ли
матрица
-2 0 0 j;
0 2 Da
'223
0 D223 0
составленная для матрицы B.1), иметь ранг rct = 3 или rf.-l = 2.
Вариант 1: Гс1 = 3.
Тогда в матрице B.1) О2„3 ф 0 и после операции : III
нимает вид
— (О
1 О П О 0 п
0 1 О
1 О О
О 1
м о о « | о 1
Для матрицы B.2) находим:
Р \
р ч ;!
она при-
приB.2)
Если в матрице B.2) п = /? = g = 0, то соответствующая форма имеет
канонический вид
/n \ Q у2у 1 Y I Q "V2 V"
Для нее 5 = 0, Г = 0.
Следовательно, / = — .
Кроме того, присоединенная матрица С для формы Bа) имеет ранг г с = ^•
Если же в матрице B.2) n = q = O, a p т= 0, то
,9 = 4/52, Г=~8р3.
Следовательно, 1=0.
Далее, находим /0 = —^2, 11^=^р3.
Отсюда получаем
где /0 и /х имеют, очевидно, конечные значения, отличные от нуля.
Таким образом, матрице B.2) соответствует каноническая форма
Для нее сложная квадратная матрица К имеет ранг гц = 2, если /0 Ф Ilt
и ге = 0, если /0=/j, когда форма (За) принимает вид
Рассмотренные частные случаи имеют место, когда форма / приводима.
Обращаясь к общему случаю, когда форма / неприводима, составим для
матрицы B.2) крадратную матрицу
0 3
0 0
0 0
— 6/г — 6р
0 -6/г
#0 =
0
0
0
3
0
6/г
6р
6/г
1
0
3
6Q?-
6/г
— 6р
0
1
0
1) 0
6(j5-
6я
0
0
1
0
1) 0
6(р-1)

204
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
детерминант которой равен
?0|= -27-33л(/г2
где
B.3)
С помощью элементарных преобразований Ло приводится к матрице
10 0 0 0 0
0 10 0 0 0
0 0 10 0 0
0 0 0 п 0 0
0 0 0 0 п я
0 0 0 0 — Зя п
откуда заключаем, что дефект б матрицы Во может иметь три значения:
О, 1, 3.
Далее, для матрицы B.2) образуем квадратную матрицу
Ар —An
-An Ар - 6
детерминант которой равен
I IS I Q 1 Оп2 '
| ЛQ | = — о \С.П — ,
и определим относительные инварианты
S = 4 (р2 - л? - q), Т = — 8ря - 2Ап2р + 27п2 + 12pq - 4g2.
Следовательно,
16,
-- Я):
А = |7
Отсюда и из B.3) находим:
о
я+
- 27«2 -12
п— Н
причем я определяется из уравнения
64v 2/
, J
256
B.4)
B.5)
J) Мы ограничиваемся одним значением квадратпого корня, так как, подвергнув
матрицу B.2) операции / ( — 1), ползучим новую матрицу, отличающуюся от прежней
только знаками элементов п.

S 2]
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
205
где
Таким образом р, q, п зависят лишь от инвариантов /0, 1Х, /2 и даже
только от одного инварианта /2, если / = -=-, так как тогда /0 = 0, /2 = 0.
В дальнейшем исследовании будем принимать во внимание дефект б
матрицы Но.
п° 1. Пусть 6 = 0.
Тогда п •-0, п2 -\- Зя2 ф 0 и дискриминант уравнения B.5), который
с точностью до числового множителя равен A-/2);| —Л2, отличен от нуля.
¦Следовательно, уравнение B.5) имеет три различных корня, которым соот-
соответствуют три различных системы значений р, q, n, определяемых формулами
B.4). Подставляя любую из этих систем в матрицу B.2) и подвергая послед-
последнюю операциям
I
Ill I
1
1
4
//,(-2), \111 +11
где
мы получим соответственно двум значениям t две матрицы того же вида,
в которых элементы р, q, n представляют остальные две из упомянутых
выше систем. Таким образом, для канонического вида матрицы B.2) можно
взять систему значений р, q, n, определяемых в зависимости от любого
корня уравнения B.5). Соответствующая каноническая форма имеет вид
Eа) ЗХ;Х2 + Х\ + ЗХ%Х3 + ЗиХД* + 3/?А'2А'* + qX\.
Ее инвариант / может иметь любое значение, причем, если / = 0, то г@ = 4,
а если / = -т-, то г = 3 и гс — Ь.
п° 2. Пусть 5 = 1.
Тогда п — 0, я ^ 0 или п = + гя ~\/~3 Ф 0. В обоих случаях дискриминант
уравнения B.5) равен нулю, так как
iV2 = (l-/2K. B.6)
Следовательно, уравнение B.5) имеет кратный корень. Значению п = 0
соответствует простой корень этого уравнения
_ 3;У
Я~ 4A -/s) '
тогда как значенияд! я=±гяУЗ соответствует двукратный корень
л, = —
3/V
При этом, очевидно,
1, Л* Ф 0.
Таким образом, на основании формул B.4) имеем в первом случае
= 0,
B.7)
B.8)

206 КЛАССИФИКАЦИИ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ \
а во втором случае
<"')
Легко, однако, убедиться, что матрица B.2) при системе B.8') значе-
значений р, q, n может быть приведена аффинно-проективнымн преобразованиями
к матрице того же вида, it которой элементы р, q, n, определяются форму-
формулами B.8). Последнюю матрицу и примем за каноническую. Тогда соответ-
соответствующая каноническая форма будет иметь вид
Fа) 2>Х\Х, + Х\ + ЗХ1Х3 -Ь 4 A J- р^-) Х2Х1 +
4- 9 B / / ¦ 2N Л X3
причем кроме услопий B.6), B.7) иыполняется вследствие неприводимости
формы также условие
N ф h-\-2>I» — Ioh-n __ j_ B.9)
Инвариант / может иметь те же значении, как и при 6 = 0. Заметим,
О S 1
что при / = —- будет /0 = 0, 11 = 0, /„ = -^ . Следовательно, N = 9_ . А потому
/7=1, ?=1, п = 0.
Подставляя эти значения и матрицу B.2) и подвергая ее операции
111 -)-7/!(-1),
приведем ее к более простому виду, которому соответствует каноническая
форма
Gа) ЗХ*А'2 + Х\ - 'iX\X.A.
Присоединенная матрица С имеет тогда ранг Гс — 5.
п° 3. Пусть 6 = 3. Тогда л = 0, я = 0 и последняя из формул B.4)
дает /2= \ ').
Из первых двух формул B.4) получаем:
3 9 ., j .
В этом случае илгоем для матрицы B.2)
Следовательно,
.5=4
27 Л2 '
а) В уравнении B.5) тогда N = 0 и, следовательно, я —0 является его трехкратным
корнем.

§ 2] АФФШШО-ШЮЕКТШШАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 207
Отсюда заключаем, что / может иметь любое- значение, отличное от -г- ,
причем нулевое значение ппиду непрштодшюсти формы возможно лишь
1 т 1
при q = у, когда /0 = -g- .
Для неприводимой формы всегда /0 Ф 1; кроме того, J0-f=-n, если
J0-f=-n
Полагая в матрице B.2)
и совершая над Heii операции
получим матрицу, которой соответствует каноническая форма
(8а) X? + XJ + XI + у^^ Х.Х^з-
^ 1—у/о
Для нее / Ф 0.
3 1
Полагая же и матрице B.2) л = 0, Р = -г, (?=Т u п°ДвеРгая ее тем же
операциям, как и раньше, заменив только последнюю из них операцией
придем к матрице, которой соответствует каноническая форма
(9а) X* -{- Х2 + 6ХдХ2Х3
с инвариантом 1 = 0.
Сложная квадратная матрица К имеет тогда ранг rg = 4.
Вариант 2: ?y, = 2.
Тогда в матрице B.1) /J23 = 0 и для нее имеем:
|С0|=-4, I^HO1).
Если при этом D}33= D3S3 = 0, ZJ33 .- 0, то после операции
1
1 У D,33
матрица будет иметь вид, которому соответстпует приводимая каноническая
форма
Для нее / = 0 и Гц = 2.
') В этом случае инварианты /0, /х, /2 обращаются в со.

208
КЛАССИФИКАПИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Переходя к общему случаю, когда форма / неприводима, составим для
матрицы B.1) квадратную матрицу
0
О
о
6
0
о
3
о
о
-6Д
-6D
О
233
133
0
3
0
J)
Я2зз
»133
1
0
3
6Д233
6^33
— 6-°233
0
1
0
0
6/J33
133
0
0
1
0
0
6Д233
детерминант которой равен
С помощью элементарных преобразований /?0 приводится к матрице
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 П133
0 0 0 0
0 0 0 0
о
о
о
о
-D
о
о
о
о
к»
откуда заключаем, что дефект б матрицы Ло может иметь три значения:
О, 1, 3.
Примем это во внимание в дальнейшем исследовании.
п° 1. Пусть 6 = 0.
г|/3 Д233 и матрица B.1) операцией i 111 I _. ^ ¦ при-
Тогда 0 ф D133 =
водится к виду
V D,
(О
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
р
0
0
1
0
0
р
1
р
q
(к)
где
рФ±п
Для матрицы B.10) имеем:
Следовательно,
/ + 1 = -
Далее находим:
- 24 - 8о2
B.10)
B.11)
B.12)
B.13)
— 24jd2 — 8
-2А-8р" -32/7 -167

$ 2] АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 209
Следовательно,
Пусть /0 имеет определенное конечное значение. Полагая тогда
п = р>, L0 = (J0 + lf, L = //02-2/0-l,
где вследствие неравенства B.11) ЬфО, находим из B.13) и B.14)
Ln3 + 3 BL + 3L0) л2 + 3 CL + 2L0) я + Lo = 0. B.15)
Дискриминант уравнения B.15) с точностью до числового множителя
равен LL0 (L + L0J. Если 0 Ф Ь0Ф —L и, следовательно, инвариант /0 отли-
отличен от — 1 и 0, а / от —1, то этот дискриминант не равен нулю и урав-
уравнение B.15) имеет три различных корня, которым соответствуют три раз-
различные пары значений р, q, определяемых формулами
). B.16)
Подставляя любую из этих пар в матрицу B.10) и подвергая послед-
последнюю операциям
T\+M\t, |77|+Т||, |/]±, 7/; (-2),
где t = ± i У~3, получим соответственно двум значенияд! t две матрицы
того же вида, в которых элементы р, q представляют остальные две из
упомянутых выше пар. Таким образом, для канонического вида матрицы
B.10) можно взять пару значений р, q, определяемых в зависимости от
любого корня уравнения B.15). Соответствующая каноническая форма
имеет вид
A1а) ЗХ*Х2 + Х32 + ЪХХХ\
Ее абсолютный инвариант / может иметь любое значение, отличное от
—1 и -тг, причем, если / = 0, то г^ = 4.
Дискриминант уравнения B.15) равен нулю, и оно, следовательно,
имеет кратный корень, если L0 = 0 или Lo = — L.
При Lo = 0, когда /0=—1, уравнение B.15) имеет простой корень
л = 0 и двукратный корень я= — 3. В этом случае L = I +1 -== 0 и мы
имеем:
YJ^i B-18)
и
P=±iV$, 9 = 4 |/-j^t- B-18')
Однако, если элементам р, q в матрице B.10) мы дадим значения
B.18'), то операциями B.17), где t = — р— ^ г^/З, получим новую матрицу
того же вида, в которой элементы р, q определяются формулами B.18),
Мы ограничиваемся выбранными значениями квадратных корней, так как при
других значениях их достаточпо подвергнуть матрицу B.10) операциям III i, l\ (¦—1)
и, быть может, еще операции /// (—1), чтобы получить матрицу того же вида, в кото-
рои элементы р, q имеют вышеуказанные значения.
М н. П. Соколов

210
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
причем в выражении для q можно ограничиться одним значением корня
4-й степени, так как, подвергая полученную матрицу операции I ///1 ( — 1)
или операциям
мы изменим в ней только элемент q, умножаемый в первом случае на — 1,
а во втором — на ± i. Таким образом, каноническая форма сохраняет вид
A1а), где только элементы р, q определяются формулами B.18).
При Lo= — L, когда /*(/ + 1) = 0, уравнение B.15) имеет трехкратный
корень л = 1. Если /о = 0, то 1 = -к и мы можем ограничиться одной парой
значений элементов р, q в матрице B.10): р= — 1, <7 = 2]/2.
0
Но тогда матрица B.10) операциями
И- E+lZi(-4)' \UL
:-'/2),
~\{-V2),
i
fi'
пг
Г 1^2
fl
и
приводится к виду, которому соответствует каноническая форма
A2а) X' + XJ + ЗВД,.
Для нее г с = 5.
Если /= — 1, то 10Ф — 1 и каноническая форма сохраняет вид (На),
где р и q определяются формулами B.16), в которых надо положить л = 1.
Предполагая теперь, что Jo не имеет определенного конечного значе-
значения, находим при /0 = оо из формулы B.14)
qr = 0, я=^0 и пф —3.
А тогда из формулы B.13) получим:
, (Зя+1)*
откуда следует, что / имеет определенное конечное значение,
ное нулю.
Переписывая выражение B.19) в виде
/л3 + 3 B/ + 3) л2 + 3 C/ + 2) я + 1 = О
B.19)
не рав-
B.19')
и повторяя те же рассуждения, что и при исследовании корней уравнения
B.15), мы снова придем к канонической форме (На) с коэффициентами
р и q, определяемыми формулами B.16), где <7 = 0 вследствие /0=оо.
При ^о = ~о~ из Ф°РМУЛЫ B-14) находим р = 0, q=0 и р= ± i
<7 = 0. В этом случае, так же как и раньше, можно ограничиться одной
парой значений р = 0, ^ = 0 в матрице B.10). Тогда имеем каноническую
форму (На), в которой коэффициенты р, q — нули.
Для нее / = оо.
п° 2. Пусть 6=1.
Тогда в матрице B.1), кроме iJ23 = 0, имеем Di33 = 0, Б233Ф0 или
ш±У,ад?
Если при Z>223 = 0 будет D133 = О, D233 Ф 0, то D333 =? 0 вследствие не-
неприводимости соответствующей формы. Подвергая тогда матрицу B.1) one-

2]
АФФИННО-ПРОВКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
211
рации ///
YD,
233
приведем ее к виду
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
Ч
где q ф 0.
Для матрицы B.20) имеем:
откуда заключаем, что / Ф -- .
Далее находим:
(О
B.20)
Отсюда получаем:
Я =
где можно ограничиться, очевидно, одним значением квадратного корня.
Таким образом, каноническая форма соответствующая матрице B.20),
имеет вид
A3а)
ЗХ,2
звд
Л> + 1
где /0 может иметь любое значение, отличное от —1, оо, -^; кроме того,
Л Ф — у > если ^ =? 0, так как //* — 2/0 — 1 = 0. Если же / = 0, то Jo =
= — -к- и мы имеем каноническую форму
A4а) ЗХ\Х% + Х\-ЬХ& + 2Х\.
Для нее ге = 4.
Если в матрице B.1), кроме А,23 = 0, будет D133 = ± j /3 1>233 ^ 0,
то, как нетрудно убедиться, она приводится к рассмотренному уже виду
п° 3. Пусть 6 = 3.
Тогда в матрице B.1), кроме -D223 = 0, будет Dns = D233 = 0. При этом,
как и раньше, DS33 Ф 0. После операции
fD
333
получаем матрицу:
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
(О
приводящуюся (гл. IV, § 3, упражнение 6) к матрице, которой соответ-
соответствует каноническая форма
A5а) i l
Для нее / = — 1.
Случай (б), когда го = 2, гСо= 1.
14*

212
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Тогда по крайней мере один из элементов С^3>, С?.3> матрицы Со не
равен нулю. Пусть Саа'ф®, где <х = 1 или а =2.
В этом случае существует двукратный корень t уравнения
Aaaat3 + ?>Aaatf? + 3Amt + Ат = О | а ф р = или I .
Следовательно,
Лаа*2 + 2Аахф1 + Аа№ = 0, m = Аша1 + т!аар Ф 0
и
Подвергая матрицу А операциям
получилг матрицу /? с элементами
Наконец, после операций
Г777"
!
+IT Г - —
придем к матрице D с элементами
= ГП,
= 5аЗЗ —
¦^333 — " 333
= -Dp33
Для нее
-2m2
0
-2m2 0
0 0
mD
ррз
B.21)
0 mDm 0
Если ранг г матрицы А равен 2, то в матрице D вес элементы — нули,
кроме X^aap = т, и после операций
-^ и (если a = 2) | а-р1
получим матрицу, которой соответствует каноническая форма
A6) гх\х2.
Присоединенная матрица С имеет в этом случае ранг гг. = \.
Для формы A6), очевидно, / = -*- .
Если же ранг г матрицы А равен 3, то различаем два варианта,
смотря по тому, будет ли ранг rCl матрицы Сх равен 3 (когда Dpp3 Ф 0)
или 1 (когда ^ррз=0).

S-2]
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
213
Вариант 1: />с1 = 3.
Тогда Дррз ^0 и матрица D операциями
Da
и (если а = 2) а — р*
приводится к виду
0
1
0
Для матрицы B
1
0
0
22)
Если в матрице
0
0
¦&133
1
0
0
имеем:
B.22)
0
0
1
со\
-#133
0
1
¦&233
0
0
¦?33
Р 771
— -^гзз — ¦с;
0
1
!33
Е
133
^233 ¦С'ЗЗЗ
•(А)
B.22)
= 0, то соответствующая форма
имеет канонический вид
При этом M* = 0, Г = 0. Следовательно, / = -^-. Кроме того, гс = 4.
Если же в матрице B.22) Е133 = Е333 = 0, Е233Ф0, то после очевид-
очевидных операций получим матрицу, которой соответствует каноническая форма
Для нее ? = 4, Т = — 8. Следовательно, / = 0. Кроме того, rg = 2.
Рассмотренные частные случаи имеют место, когда форма / приводима.
В общем случае, когда форма / неприводима, принимаем во внимание
матрицу
0 3 0
0 0 3
0 0 0
0
0
0
0
0
0
3
-6
0
— оЕп-
0
0
0
0
-6
,, 0
0
0
0
0
0
-6
"¦^133
составленную для матрицы B.22). Ее детерминант равен
|/?0| = 23-3%33.
С помощью элементарных преобразований Ro приводится к матрице
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Е
133
откуда заключаем, что дефект б матрицы Ro может иметь два значения:
0, 1.
п° 1. Пусть 6 = 0.
г) В этом случае инварианты /0, /1; /2 обращаются в нуль.

214 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Тогда матрица B.22) легко приводится к виду, которому соответст-
соответствует каноническая форма
Для нее имеем:
Далее находим:
Л=-Р3, B-24)
Из формул B.23), B.24), B.25) заключаем, что значения / и /2 могут быть
какими угодно, тогда как /х может принимать только конечные значения,
О
не имеющие неопределенного вида -^ .
Если /х = 0, то из выражений B.24), B.23) получаем:
р = 0, q= --|-l/7+l *). B.26)
Если же /х =? 0, то при определенном конечном значении /2 из выра-
выражений B.24), B.25) находим:
Р= -
При /2=оо формулы B.25) и B.23) дают:
'"' ' "-^ . B.26")
Наконец, при /2 = — из равенства B.25) имеем:
При последних значениях /?, g матрица формы D6) после легких пре-
преобразований принимает вид, которому соответствует каноническая форма
E6) XI
Для нее / = -^ и г с = 5. Для формы D6), у которой коэффициенты р, q
определяются формулами B.26), B.26') или B.26"), значение / = -^- исключа-
исключается, а при / = 0 имеем г© = 4.
п° 2. Пусть 6 = 13).
') Мы ограничиваемся одним каким-либо значением кубического корня, так как,
подвергая матрицу формы D6) операциям
14 , • ¦ 14 Л \Tf\f 8 i ¦ • 8
S-jj-Т)Я+IS1I1 -g-TlIt J , K?|(COS-g- TlJT + lSin-g- T]It
1 / 2 ~\
III ( cos -^-ця-if-i sinyr-цп ) ,
V y y /
где, T] = i 1, получим матрицу того же вида, в которой вместо д будет
Г 2 ... 2 "\
q ( cos -^-Т)Я + г sm^r-rin J .
2) Здесь и в дальнейших выражениях р также можем, не нарушая общности,
ограничиться одним значением кубического корня.
3) В этом случае J1 = оо или J1 = — .

§ 2] АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 215
Тогда 2?133 = 0, но Е333фО и матрица B.22) очевидными операциями
приводится к виду, которому соответствует каноническая форма
F6) ЗХ1Х2
Для нее имеем:
1 =
откуда заключаем, что / может иметь любое значение, отличное от -^ .
Далее находим:
/Р №— Р ) /О OQ\
2 = аГ^ • (/./О)
Отсюда, если р ф 0, получаем:
Л+1 = |г- B-29)
Таким образом, /2, кроме неопределенного значения -„-, может иметь
любое конечное значение, отличное от —1.
Если J2=q , то из выражения B.28) имеем /> = 0.
Тогда, как видно из формулы B.27), /=со. Если же — 1 Ф /2 Ф -^ ,
то из выражения B.29) находим:
Если при этом 1 = 0, то из выражения B.27) получаем:
2
Подставляя последнее выражение для р в матрицу формы F6), приходим
после легких преобразований к матрице, которой соответствует канониче-
каноническая форма
G6) ЗХ1Хг + ЗХ*Ха + ЗХ1Х8.
Для нее r<j = 4
Вариант 2: rCl= 1.
Тогда элементы B.21) матрицы D имеют следующие значения:
333--«333
, i23aa3
1 ^2 -¦ )
V,
B.30)
Если Z)a33 = i9333 = 0> то ^рзз Ф 0 и после очевидных операций полу-
получим матрицу, которой соответствует каноническая форма
(86) ЗХ\Х2
Для нее / = 0 и г<$, = 0.
J) Здесь и в дальнейшем выражении р можем, очевидно, ограничиться одним зна-
значением квадратного корня.

216
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Если же*Х)рзз = #3зз = О> то Х)азз Ф О и мы приходим к матрице, которой
соответствует каноническая форма
(96)
Для нее I = -q и гс = 4.
В случае, когда Ds33 не обращается в нуль одновременно с
составляем матрицу
или .Орзз>
0
0
0
- %mBa-
0
0
3m
Oi
0
53 — 6wi9p;
0
0
Зт
0
зз 0
зз — бтРрзз
— бтДхзз
0
0
3m
0
0
0
0
0
0
0
г-Орзз 0
0
0
0
0
0
0
у которой дефект б может иметь два значения: 3, 2.
Если 6 = 3, то среди элементов B.30) Da33 = 0, но D33S Ф 0 и мы при-
приходим при .Орзз = 0 к канонической форме
A06) ЗХ1Х2 + Х33,
для которой 1 = -к и гс = 5, а при В$3з Ф 0 — к канонической форме
A16) ЗХ ХХ% -\~ ЗХ%Х$ ~\~ Х'3,
для которой / = 0 и rg = 4.
Если же 6=2, то среди элементов B.30) Д,3з ф 0 и мы приходим при
Dp33 = 0 (тогда В333 Ф 0) к канонической форме
A26) ОЛ, X а ~\~ ЗХ ^-Л. g Т-^З'
для которой I — -7Г, и гс = 5, а при Х)рзз Ф 0 — к канонической форме
A36) ЗХ^+ ЗХ1Х=+ЗХ2Х32 +1/G Х33,
причем
/") 333 /О о /1 \
9 = 4ра / • B.31)
где
-^П.ПЛ-^<1
*ааа-"ааЗ
-¦C3)
+ 2
/^C3)
'-'12
р
¦'ззз^
Оу^(ЗЗ)
ОС12
B.32)
Для формы A36) имеем:
= 0 и ге =
=-9).

§ 21
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
217
При Q = — 9 форма A36) легкд приводится к эквивалентной ей, более
простой канонической форме
^ifiO^ ОЛ.уЛ-2 -p О-Л.\Л-% ~\~ O-^-x-^-2 3'
Нетрудно убедиться, что выражение Q, определяемое формулой B.31),
является абсолютным инвариантом тех форм, которые принадлежат к типу,
характеризующемуся инвариантами / = 0, г = 4 или 2, го = 2, гсо = 1, гс,=
= 1, 6 = 2.
Случай (в), когда го = 1.
Тогда па крайней мере один из элементов Ат, А222 не равен нулю.
Пусть Аааа Ф 0, где а = 1 или а = 2.
Подвергая матрицу А операциям
1
где
"aaaAaW ааЗ
Ф а имеет одно из значений 1, 2, получим матрицу с элементами
Baaa — 11 Ваа$ = -Сарр == -"РРР = -"ааЗ = О,
.2 /(.о ЗА А А | ^4з
¦"ззз— ]4^ '' -23» -ВррЗ) -Врзз-
Если ранг г матрицы Л равен 1, то все элементы матрицы В, кроме 5ааа,
равны нулю и мы имеем, совершая операцию а — р при а = 2, матрицу,.
которой соответствует каноническая форма
Если, далее, г = 2, то В123 = В^з = -Врзз =0. Если при этом
то 5ззз Ф 0 и матрица /? после очевидных операций принимает вид, кото-
которому соответствует каноническая форма
Bв) Х1 + Х1.
Для нее ранги матриц С и С2 имеют значения г с = 2 и Гс2 — 0.
Если же 5азз Ф 0, то матрица В приводится к виду, которому соот-
соответствует каноническая форма
(Зв)
где
B.33)
Если 5ззз = 0, то <20 = 0 и форма (Зв) имеет вид
Dв) Aj-foAjAj.
Для каждой из форм (Зв), где (?оф — 4, Dв) матрицы С и С2 имеют
ранги г с = 2 и гс2 = 1.
При (?0 = — 4 форма (Зв) легко приводится к эквивалентной ей, более
простой канонической форме
Eв) Ха -\- За 2а8.
Для нее г с = 1.
Выражение Qo, определяемое гформулой B.33), является абсолютным
инвариантом тех форм, которые принадлежат к типу, характеризующемуся
инвариантами г = 2, г0 = 1, rCi = 1. Для форм A в) — Eв) I ~-q •

218
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Если, наконец, г = 3, то матрица В, подвергнутая при а = 2 операции
•(О
а-р
Составим
имеет
1
0
0
для
вид
0
0
#123
0
#123
#133
0
0
#123
нее матрицу
0
0
#2
Я
'123
223
•*233
О О
о о
В2230
О В
123
133
123
-33
•ЧЗЗ
'233
'ззз
>{к). B.34)
(
ту
¦°223
о
Ранг tc-l этой матрицы может иметь три значения: 2, 1, 0.
Если гсх = 2, то, подвергая матрицу B.34) надлежащим операциям,
получим либо каноническую форму
Fв)
Х\ + ЗХ\Х3
-г'/
+ Х\,
приводящуюся при 1 = 0 к' эквивалентной ей, более простой канонической
форме
Gв) Х1 + ЗХ1Х3 + ЗХ$Х3,
для которой Гц = 4, либо каноническую форму
для которой / = — и гс = 5, либо, наконец, каноническую форму
(9в) х' + гхл + ъх'х»
для которой / = оо.
Если же rcj = l, то после легких преобразований матрицы B.34) при-
приходим к канонической форме
(Юв) Xl + бХ^Х,,
для которой / = 0 и г© = 2, или к канонической форме
(Ив)
XI+ Х1+ 6Х1Х2Х3,
для которой / = 0 и rg = 4.
Если, наконец, гс1 = 0, то подобным же образом получаем канониче-
каноническую форму
A2в) XJ + ЗВД.
Для нее * =-к и гс = 5.
Случай (г), когда г„ = 0.
Тогда / = ж3ф, где
ф =
"г
т
Как известно, совокупность всех комплексных квадратичных тройнич-
тройничных форм разбивается на семь аффинно-проективных классов1).
1) См. [17], стр. 451.

2]
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
219
Соответственно этому имеем семь канонических видов формы /:
Канонические формы
Bг) бХ^Хз
(Зг) 2,ХхХ\-\-
J О "р'Й V
~i~ *J-^i- 2 3
/ЛтЛ *3 ]Г2 Т" 1 "F3
I f±X у Ол 2 3 ~Т~ 3
\от) ол.2л.3
Fг) ЗХ2Х2У
Gг) XI
Характеризующие их инварианты
0 _
г-2, f.i, ,«--2
г-.. ,-J. rc-i. ,c.-.
г-2, ,_?, ,„=., ГС1=О
4. Мы установили 48 канонических видов комплексных кубиче-
кубических тройничных форм: Aа)-A5а), A6) —A46), Aв)-A2в), Aг)-Gг)._При
установлении канонических видов вещественных кубических тройнич-
тройничных форм различаем пять возможных случаев в зависимости от пяти кано-
канонических видов вещественной укороченной матрицы Ао, обусловливаемых
значениями ее ранга гп, а также ранга Гс0 и сигнатуры оСо матрицы Со
(гл. IV, § 3, табл. IV, V):
(а) го = 2, гСо = 2, стсо = 0.
(а') го = 2, гСо = 2, стсо=-2,
(б) го = 2, гс.= 1,
(в) ^о = 1,
(г) го = 0.
Применяя в каждом из этих случаев вещественные аффинно-проектив-
ные преобразования матрицы А формы /, приводящие ее к каноническому
виду, мы получим 79 канонических видов вещественных кубических трой-
тройничных форм: (la)-A7a), (la')-A3а'), A5а')-A7а') (упражнение 4);
A6) —A96) (упражнение 5); Aв)-A6в) (упражнение 6); Aг) —(Иг) (упраж-
(упражнение 7).
5. Переходя к геометрической интерпретации полученных результатов,
отметим, прежде всего, геометрическое значение инвариантов, рассмотрен-
рассмотренных в п. 2.
Для четырех основных типов нераспадающихся линий 3-го порядка,
установленных Ньютоном [168] в случае вещественной области, им даны
известные простейшие уравнения, которые, очевидно, могут быть распро-
распространены и на комплексную область. В однородных координатах эти уравне-
уравнения имеют вид
ах\ + Ъх\хъ + сххх\ 4- dx\ — ххх\ — ехгх\ = 0 (а ф 0 или а = 0), B.35)
ая* + hx\xz + схгх1 + da* - x\xz = 0 (а Ф 0), B.36)
ах\ + Ъх\х3 + сх,х\ + dx\ — хгх2х3 = 0 (а Ф 0), B.37)
ото 9!7Ч 9/4/, П\ /О QO\
ах\ + bx\xz + схгх1 -\~ dxi — х2х? — 0 (п Ф 0). \А.оЪ)

220
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Ранг г матрицы А, соответствующей каждому из уравнений B.35) —
B.38), равен 3.
Далее, для уравнения B.35) находим:
С
0
— ¦
2
ъ
9
а
0
=
а
— ¦
0
0
— -
2
0
2
9"
1
а
0
0
С
ъ
9~
0
1
)
Г
1
з~
И /"Cj =
и гв=2,
(а = 0),
3 F=^0),
2 F = 0, а
1 F=0, о
Если в уравнении B.35) а ф 0, то имеем центральные кубиче-
кубические гиперболы1).
Тогда го = 2, гсо = 2. Если при этом ЬфО, т. е. /•Cl = 3, то три асимп-
асимптоты каждой линии не пересекаются в одной точке; если же Ъ = 0, т. е.
гс} = 2, то они пересекаются в одной точке2).
В вещественной области центральные кубические гиперболы делятся
на избыточные гиперболы2), для которых а > 0, т. е. асо= —2,
и недостаточные гиперболы3), для которых о < 0, т. е. стСо = О.
У первых все три асимптоты вещественны, тогда как у вторых одна
из асимптот вещественна, а две —мнимые сопряженные.
Если в уравнении B.35) а —0, то при ЬфО имеем параболиче-
параболичеб4) l 3
ские гиперболы4), и тогда
т =
р
rCo = l, rCl = 3,
гиперболизмы конических сечений5), и тогда
при о = и —
, = 2, гСо = 1,
rCl=l, причем имеем гиперболизмы центральных кониче-
конических сечений или гиперболизмы параболы, смотря по тому,
будет ли с Ф 0 или с = 0.
Заметим, что при а = Ъ = 0 будет:
~729С '
Следовательно,
ческих сечении и
/ = о,
О
•Е = 4 для гиперболизмов центральных кони-
/ = -^-, г с — 5 для гиперболизмов параболы^
В вещественной области гиперболизмы центральных конических сече-
сечений делятся на гиперболизмы гиперболы, для которых с > 0, т. е.
w(^O=+li и гиперболизмы эллипса, для которых с < 0, т. е.
1)Ср.
2) См.
3) См.
4) См.
5) См.
45], п. 18.
168], стр. 145.
168], стр. 150.
168], стр. 152.
168], стр. 154.

2]
АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
221
Для избыточных, недостаточных и параболических гипербол инвариант /
может иметь любое значение.
Уравнению B.36) соответствуют расходящиеся параболы1).
В этом случае
а О
О О
О О
О О
i)
и гю =
Далее находим:
0
0
a
0
0
0
— ^
0
2
9
b
rr, =
Инвариант / может иметь любое значение.
Уравнению B.37) соответствуют трезубцы1). Тогда матрица Ао
та же, как и в предыдущем случае, и ее ранг го = 1. Далее имеем:
0
0
0
0
0
0
0
0
__
и rCl =
Кроме того, / = О и г® = 4.
Уравнению B.38) соответствуют кубические параболы2). Тогда
ro=l, rCl = 0. Кроме того, / = -q- и гс = 5.
Для дальнейшего подразделения линий, представляемых уравнением
B.35), принимаем во внимание их диаметры3).
Как известно4), диаметр линиц 3-го порядка, заданной в однородных
координатах уравнением
з
2j AijhxiXjZh=O,
г, о, h—l
сопряжен с хордами углового коэффициента т, который надо искать среди
общих корней уравнений
и
1П
' ¦
"^122 ~Т~
23 "г
= О
B.39)
= 0.
1) См. [168], стр. 156.
2) См. [168], стр. 157.
3) Подразумеваются такие же диаметры, как и у конических сечений.
4) См. [5], стр. 40.

222
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Переписывая последнее уравнение в виде
Ащ + ЗА112т + ЗА122т* + А222тп* = О, B.40)
представим результант уравнений B.39), B.40) как детерминант \R0 | матрицы
о
о
о
о
ЗА12
о*
ЗА
122
222
ЗА
О
иг ЗА122
3-^
122
О
-^222
3^122
О
•^¦222
ЗА122
О
О
л
^222
О
О
^222
Тогда существование диаметров и число их будут обусловлены значе-
значением дефекта б матрицы Ro.
Для линий, соответствующих уравнению B.35), матрица Ro приво-
приводится элементарными преобразованиями (вещественными в случае веще-
вещественной области) к виду
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
е
0
0
0
0
0
0
Ь2 — Аас
4а2е 1
0
0
0
0
Аае
?2 - 4ас
Следовательно, результант уравнений B.39), B.40) с точностью до число-
числового множителя равен
е[(Ь2-4асJ-16а3е2],
т. е.
е (Ь2 — 4ас + кеа /о) {Ь2 — 4ас — 4еа у а).
Как известноJ), у центральных кубических гипербол не существует
диаметра, если ни один из множителей последнего разложения но равен
нулю, т. е. если 6 = 0; существует лишь один диаметр, если только один
из этих множителей равен нулю, т. е. если 6 = 1; существуют три диа-
диаметра, если каждый множитель есть нуль, т. е. если 6 = 3. В веществен-
вещественной области все эти диаметры вещественны лишь у избыточных гипербол;
у недостаточных гипербол вещественным может быть лишь один диаметр,
тогда как остальные два (если только они существуют) — мнимые сопря-
сопряженные.
У параболических гипербол диаметра нет, если е Ф 0, т.е. если 6 = 0,
и существует только один диаметр (вещественный в случае вещественной
области), если е = 0, т. е. если 6 = 12).
У гиперболизмов конических сечений нет диаметра, если е Ф 0, т. е.
если 6 = 2, и существует только один диаметр (вещественный в случае
вещественной области), если 6 = 33).
>) См [168], стр. 145, 146, 150.
а) См. [168], стр. 152.
*) См. [168], стр. 154-156.

§ 2] АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАДИЯ 22S
Таким образом, указанные Ньютоном свойства нераспадающихся линий
3-го порядка вполне характеризуются проективными инвариантами /, г,
гс, г® (а также ш(Г) в случае вещественной области) и аффинно-проектив-
ными инвариантами г0, rCo, rcv б (а также аСо в случае вещественной
области).
Для характеристики свойств распадающихся линий 3-го порядка слу-
служат проективные инварианты
I, г, гс, ге
(а также (о(Т), ас, о® в случае вещественной области) и аффинно-проектив-
аффинно-проективные инварианты
г0, гс„, rCv rC2, Io, Qo
(а также ас, Ос2 в случае вещественной области). Каждому значению инва-
инварианта Qo соответствует простое отношение трех точек пересечения какой-
нибудь прямой с пересекающейся в несобственной точке тройкой различ-
различных собственных прямых, представляемой канонической формой (Зв), где
Простое отношение трех точек прямой имеет при всех изменениях
их порядка, вообще, шесть различных значений
9,4,
где б — одно из этих значений
Если же б является корнем уравнения б3 = 1, то среди величин B.41)
различными будут либо три
1, -2,-1, B.42)
либо две
Нетрудно убедиться, что для тройки прямых (Зв) простое отношение
трех точек имеет шесть различных значений B.41) при Qo=fc0 ш только
три различных значения B.42) при (?0 = 0; для тройки пересекающихся
в несобственной точке различных собственных прямых, представляемой
формой Bв), это отношение имеет лишь два различных значения B.43).
6. Как установлено в § 1, кубические тройничные формы (и предста-
представляемые ими плоские линии 3-го порядка) в комплексной или в веществен-
вещественной области разбиваются на бесконечное число непересекающихся проек-
проективных классов неособенных форм (линий, не имеющих особых точек) и конеч-
конечное число непересекающихся проективных классов особенных форм (линий,
обладающих особыми точками). Пользуясь результатами, полученными
в пп. 2 — 5 настоящего параграфа, мы можем далее разбить каждый про-
проективный класс на непересекающиеся аффинно-проективные подклассы, со-
состоящие из форм (линий), находящихся в аффинно-проективной эквивалент-
эквивалентности между собой, т. е. переводящихся друг в друга с помощью аффинно-
проективных преобразований. Число аффинно-проективных подклассов, соста-
составляющих проективный класс, может быть и бесконечным,' если они харак-
характеризуются значениями абсолютных алгебраических инвариантов. Такого
рода классификация кубических тройничных форм и пред-
представляемых ими плоских линий 3-го порядка в ком-
комплексной области дается в нижеследующей таблице 1.

КуОическпе тройничные формы над полем комплексных
проективные
инварианты
0)
0
^ ф ТГ
¦
аффинно-проект'ивныё
инварианты
/*о -= ^,
— ч
6 = 0
6 = 1
6 = 3
. _о
6 = 0
6 = 1
6 = 3
/ 7^=о
г -1 -2
1
{
{ /=00
чисел
каноничес-
канонические виды
Eа)
(ба)
(8а)
(На)
A3а)
A5а)
D6)
(Об)
(Ов)
(9в)
Таблица 1
Комплексные плоские линии 3-го порядка
аффшшо-проектнвные подклассы и их группы
Без диаметра ~|
С тремя асимп-
С одним диа- | тотами, не пе-
митроы }• ресекающи-
I мися в одной
С тремя диа- • точке
метрами J
Без диаметра "|
С одним диа- | тремя асимп
метром } секаюпAшися
С тремя диа- в одной точке
метрами }
Централь-
Центральные куби-
кубические ги-
гиперболы
Без диаметра ^ ПараСоллче.
С одним диа- | ки0 гипер-
гиперметром / лы
Ангармонипе- "j
ские (IФ — 1) {
Гармонические )
проективные
классы
Линии, но име-
имеющие особых
точек

П р о д о л ж о и и с. т а б л. 1
Куопчсскпс тройничные формы над полем комплексных чисел
проективные
инварианты
аффннно-проективные инварианты
(П)
/ = (),
'•« = 2. V0=
6 = 0
6 = 0
j = 2
j = 3
ские виды
Комплексние плоские .пиши 3-го по]:пдк:\
аффинно-проентивные подклассы и их грлппы
Eа)
Fа)
(9а)
(На)
A4а)
D6)
G6)
A36)
A16)
Gв)
(Ив)
Вез диаметра
С одним диа
литром
G тромя диа-
диаметрами
Боз диаметра
С одним диа-
диаметром
Без диаметра
С одним диа-
диаметром
Без диаметра
С одним диа-
метром
Расходящиеся
Трезубцы
Централь-
Центральные кз'би-
ч ее кие
ГИПерб()Л!.1
j С тромя асими-
I тотами, не пе-
} ресекающи-
I мися в одной
точке
С, тремя асимп-
асимптотами, пере-
пересекающимися
в одной точке
Параболические гиперболы
Гиперболизмы центральных
конических сечений
параболы
проективные
классы
Нераспадаю-
Нераспадающиеся линии
с двойной
точкой, в ко-
которой каса-
касательные раз-
различны

Продолжение табл. 1
Кубические тройничные формы над полем комплексных чисел
проективные
инварианты
(ИТ)
/-0,
/• = 3,
'A = 2
(IV)
7-0,
г = 3,
r(S = 0
1
аффинпо-проективные инварианты
[ ^ = з
'•0 = 2, гСо^2
1 ^ = 2
ro = 2, rCo=i -1
го - 1
[ Т.-2
/•„=¦()
каноничес-
канонические пиды
(За)
(Юа)
C6)
A46)
(Юв)
Aг)
Dа)
(86)
Bг)
Комплексные плоские линии 3-го порядка
аффинно-проективные подклассы и их группы
Цептралыюе коническое сечение и собственная
прямая, не проходящая через его центр
Центральное коническое сечение и собственная
прямая, проходящая через его центр
Парабола и собственная прямая
Центральное коническое сечение и прямая асимп-
асимптотического направления
Парабола и один из ее диаметров
Центральное коническое сечение и несобственная
прямая
Три собственные прямые, попарно пересекающие-
пересекающиеся в собственных точках
Три собственные прямые, из которых две пере-
пересекаются в несобственной точке
Две собственные прямые и одна несобственная
проективные
классы
Совокупности
конического
сечения и
прямой, пе-
пересекающей
его в двух
точках
Совокупности
трех прямых,
не пересекаю-
пересекающихся в од-
одной точке

Кубические тройничные формы над полем комплексных чисел
проективные
инварианты
(V)
0 '
(VI)
р.
/ = -— ,
0
г = 3,
'"С- (.
аффинно-проективные инварианты
го = 2, гСо = 2
Cl \ 6 = 1
I 'Cx-2, 6 = 0
го = 2, rCo=l, rCi = 3, 6 = 0
и 9 »• -1 »• 1 J
ЛЛ === ^j / /-> ^= I » / •¦> —~ 1 Л
»• 1 ¦ 9
'o = l, 'Cl = 0
го = 2, гг =2
L0
1 Со ^1
ro = O
канониче-
канонические виды
(За)
Ga)
A2a)
E6)
A26)
A06)
(8в)
A2b)
Ba)
(96)
B6)
Cr)
Комплексные плоские з
аффинно-проективные подклассы и
Без диаметра
С одшш диа-
¦метром
С тремя асимп-
асимптотами, не пе-
ресекающи-
ресекающимися в одной
точке
•, С тремя асимп-
Без диаметра ^Гщи^Гя
) в одной точке
Без диаметра } Параболические
П р о д о л ж
е
танин 3-го порядка
их группы
Централь-
Центральные куби-
кубические ги-
гиперболы
гиперболы
Без диаметра 1
С одним диа- } Гиперболизмы параболы
метром J
Расходящиеся параболы
Кубические параболы
Центральное коническое сечение и собственная
прямач, не являющаяся его асимптотой
Центральное коническое сечение ]
асимптот
Парабола и собственная прямая
Парабола и несобственная прямая
i одна из его
ние табл. 1
проективные
классы
1
Нераспадаю-
Нераспадающиеся линии
с двойной
точкой, в ко-
которой каса-
касательные
совпадают
Совокупности
конического
сечения и
прямой, ка-
касательной
к нему

Продолжение табл. 1
Кубические тройничные формы над полем комплексных чисел
Комплексные плоские линии 3-го порядка
00
проективные
инварианты
(VII)
о
"б"'
г = 2,
гс-2
(VIII)
= 2,
(IX)
аффинно-проектпвпые инварианты
1
гп
~-л
— [
-0
= 2
Jг-
канониче-
канонические виды
аффинно-проективные подклассы и их группы
.Aа)
Bв)
Dв)
(:зв)
Dг)
A6)
(Гш)
(•"••¦)
(Or)
Aв)
Gг)
Три собственные прямые, пересекающиеся в соб-
собственной точке
Простое отношение трех то-
точек имеет:
два различных значения,
Гри собственные
прямые, пересе-
пересекающиеся в не-
несобственной
точке
три различных значения,
шесть различных значений
Две собственные прямые и одна несобственная
Три собственные прямые, пересекающиеся в соб-
собственной точке
Три собственные прямые, пересекающиеся в не-
несобственной точке
Несобственная прямая и пара совпадающих соб-
собственных прямых
Собственная прямая и дважды взятая несобствен-
несобственная прямая
Тройка совпадающих собственных прямых
Трижды взятая несобственная прямая
проективные
классы
Совокупности
трех различ-
различных прямых,
пересекаю-
пересекающихся в од-
одной точке
Совокупности
трех прямых,
из которых
две совпа-
совпадают
Совокупности
трех совпа-
совпадающих
прямых

i 2] АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 229
Аффшшо-проективная классификация кубических тройничных форм
и представляемых ими плоских линий 3-го порядка и вещественной
области производится аналогично (упражнение 9I).
В таблице 1 канонические формы представляют аффинно-проективные
подклассы или их группы. В последнем случае параметры канонических
форм, как показано в п. 2, однозначно выражаются через их абсолютные
алгебраические инварианты, вследствие чего каждой данной системе воз-
возможных значений этих инвариантов соответствует одна и только одна кано-
каноническая форма. Таким образом, фигурирующие в таблице инварианты
/, г, гс, г6;
Г0' ГСо' ГС'1' ГС2' ' °' 1' 2' Ot V "*2i Q' Qo
составляют полную систему инвариантов кубической тройничной формы над
полем комплексных чисел по отношению к группе всех комплексных
аффинно-проективных преобразований.
Присоединяя к этой системе инвариант &>(?') и сигнатуры о(., ое, ас ,
ас матриц С, ©, Со, С2, получим, используя результаты упражнения 9,
полную систему инвариантов кубической тройничной формы над полем
вещественных чисел по отношению к группе всех вещественных аффинно-
проективных преобразований.
Упражнения
I3
1. Доказать, что в общем случае /-f-l = -j|- ,
54/j
' 64(l-/)»
3/§+3/0/2 —
2. У форм, обладающих абсолютным инвариантом Q, определяемым формулой B.31),
инварианты /0, /,, /2, Jo имеют неопределенный вид -=- , а инварианты J1 J% равны со.
Доказать.
3. У форм, обладающих абсолютным инвариантом Qo, определяемым формулой B.33),
инварианты /, /0, /ц /2, Jo> Ji< А имеют неопределенный вид -jr. Доказать.
4. Показать, что в случаях (а), когда г0 — 2, гСо = 2, аСо = 0, и (а'), когда го^2,
гс =2, ас =—2, имеют место следующие вещественные канонические формы. При
г = 2:
Aа) Х1 + *Ь если <тс = 0, |
Aа') Г.А'2Х2-Х|, если «rc=-2 J ИвСЛИ '"с
J) Чрезвычайное обилие и разнообразие открытых и изученных линий 3-го порядки
вызывает в настоящее время, по замечанию Д. М. Синцова [23], потребность не столько
в установлении новых индивидуальных кривых, сколько в более полной систематизации
уже изученного материала. Вопросу классификации линий 3-го порядка посвящеш.1
работы Ньютона [168], Стирлинга [217], Мардоча [166], Эйлера [74], Плюккера [189],
Шаля [59], Мёбиуса [165], Кали [55, 56], к которым примыкают более новые исследова-
исследования по этому вопросу В. П. Вельмина [5], И. И. Белянкина [2], А. А. Адамова [I],
Барингтона [48], С. А. Богомолова [3], Е. С. Столовой [38], Н. А. Никулина [21] и дру-
других геометров. Данные этими авторами классификации линий 3-го порядка исходят не-
непосредственно из тех или иных геометрических свойств и потому до известной степени
произвольны. В отличие от них приведенная в упражнении 9 схема рассматривается
как геометрическая интерпретация результатов классификации кубических тройничных
форм, данной автором в статьях [31, 35]. ,

230
КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
[ГЛ. V
Ba)
Ba')
(За)
(За')
Da)
Da')
При rc=3, rCi = 3:
@</0<+oo),
< 7« < 1
или
\1 < /о < +
0 < /0 < 1
или
если / — О,
если ag = 2@ < f0 < 1) или 0„ — — 2 A < /„ < +oo),
Г2Дг1 @ < /0 < -f oo),
если а^ = 2.
и если / = 0,
гс-=2.
Eа) 32:^ + ^1+3X1X3+-Х2Х|, если ш(Г)= -1,
Eа')
Fа)
Fа')
—|- Х2Х§, если со (Г) = +1
и если / — 0, rff = O.
если 6 = 0
?Х2 - Х% + ЗХ1Х3 + SnXjXi + 3j9X2X§ + qX%,
f /.5 0 или / = 0 при со (Т) = + 1 и rg = 4, или I = -?? при гс — 5 J ,
причем j9 = я +-^т), ? = ^[8ят)-3(/0+/2) + 6], п= у т) [ ** — -^A —/3) 1, "e я
27 27
доляется из уравнения я3 —=т A — /2) я —2^^11 = 0 (т]—+1 в случае (а) и г\ = —1
в случае (а')) как единственный вещественный корень в случае (а) или удовлетворяющий
3 3
условию со'(я)=—со (N) в случае (а'), где /V = /1+Tr/n — — (io + hJ— 1.
*i " о
Gа)
Gа') ЗЛГ?Х2-Х1+ЗХ1Х3—
если б = 1 (/ S 0 или / = О"при
<о(Т) = ±1 и гв = 4), "
6
причем /?¦= = A —,
(8а) 3X-?X2+Xi-3XfX3,
(8а')
(9а)
(9а')
A0а) Х\-\-Х% + 6Х1ХгХ9, если
A0а') 3XfX2 — Х|+ ЗХ1Х8 —^-.
-2)*
если / = -— , /V = !
если / г 0, 6 = 3
I XI, IV' /о ^ "9 ) ¦
4-zI- если
и если / = О,

S_2] АФФИННО-ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 231
При г = 3, г( i = 2:
A1а') *™~ ™ o-^2J ^ есЛИ 7 = °- «(Т)=+1, г„ = 9.
A2а) ЗХ?Х2 + Х! + ЗХ2Х;|, если о"к= — 2,
A2а') ЗХ?Х2 — Xi
A3а) ЗХ^Хо+
если / а 0 или / = 0 при cofrj^i 1,
I и если /-е = 2, / = О^озКГ) = - 1.
и сгли г<5~ • ~ '
A3а')
если / :-s 0 или / = 0 при со(Т)=г
причем в случае (а) р=—} ^л<в (J0-(-l), g=4-l/ —. (^ < 0). где л—един-
л—единственным неотрицательный корень уравнения
Lns-r 3 BL + 3L0) л2+3 CL+2L0):
, .. . ¦¦/— f J*A-\. N
а в случае (а
') р — -(-Кжо ( -5-'-5" ) i G= + I/ ——; (^ > 0), где л —наимонь-
ший корень уравнепия
Ln3 —
у которого все корни вещественны и неотрицательны
(//_/_/2 2J0 1, L =(j
(На) Х?+Х1+ЗХ;|Х3, если / = ¦?-, гс = 5, 6 = 0.
A5а)
A5а') 3XfX2 —X
^, />-1, 6=1.
A6а) ЗХ|Х2+Х|-ЗХ2А1+2Х|, е«ш <о(Г)=-1,1 , „ , . .
A6а') ЗА1Х2 — Х\-\-ЪХъХ\-\-1Х\, если со(Т)= +1 j ' e
A7а) X?-fX3 + X|, если со(Г)=—1, 1
A7а') ЗХ?Х2-Х?+Х1, если ш(Т)=+1 } и если /=~1. б"=3
(см. [35]).
5. Показать, что в случае (б), когда го=2, гСд=-\, имеют место следующие кано-
канонические формы. При г = 2:
A6) 3XfX2, если гс=1.
При г = 3, гс = 3:
B6) 3XfA -f ЗХ1Х3, если / = -jj-, rc = 4.
C6) ЗХ2Х2+3^|^з+ЗХ2Х|, если / = 0, ш(Г)=—1, ге = 2, 0е = 2.
D6) ЗХ|А-2+ЗХ|Х3-ЗХ2Х§, если / = 0, ш (Г) = +1, rg = 2.
E6) 3XfX2 + 3XlA'3 + 3X1X§+3J5X2X| + gXl, если /§0
или /-=0 (при соG') = +1, ге = 4), 6 = 0, причем ряд определяются формулами B.26),
если J]=0, или B.26'), если Jr ф 0 при определенном конечном значении J2, или
B.26"), если J^0, при /2 = + оо.
F6) Х?+ЗХ?Х2+ЗХ1Х3, если /=^, гс = 5, 6 = 0.

232 КЛАССИФИКАЦИЯ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
G6) ЗЛ:рГ2 + ЗХи"з-ЬЗ/>Х2Х;; +gXjj, если -^ = / =? 0, 6 = 1,
причем р — О и (J-— sig/, если У2 — -^ , или р=-\-у sigj Са| и g=sIg(J;>-f-l),
если У2 =? -^ (в этом случае J%-\~\ фО и детерминант | С2 |, отличный от нуля, сохра-
сохраняет знак при вещественных аффшшо-проективных преобразованиях).
(86) 3XfX2 + 3XlX3+3X?X3, если ш(Г)=-1, 1 / = 0 г =4 6 = 1
(96) ЗХ|Х2 + ЗХ|Х3 —ЗХ?Х3, если ш(Г)=+1 J > й. -
р^ + ЗХ^, если «о (Г)= -1. 1 „ е(..[и у = 0 0
2Х2 —ЗХ2Х§, если и(Г)=+1 ) е
A06)
A16)
A26) 3XfX2 + 3XjX3, если /^тр ^ =
A36) 3XfX2 + Xg, если /^-^-, '•0 = 3, 6 = 3.
A46) 3XfX2+3X2Xi+X|, если <о(Г)=-1, I /==0 =4 6==,
A56) 3XfX2—ЗХ2Х§4-Хе, если со(Г)=+1 J . « • ¦
A66) 3XfX2 + 3X,X^-f-Xe, если / = ^> ''с-5, 6-2.
A76) ЗХ^Хо + ЗХ^^ + ЗХгХ^ + ^^ТХО, если ш (Г) = — 1, } и если/ = 0, rtf = 4,
(•86) ЗХ^Хг + ЗХ^! — ЗХ2Х| + /Г07Х§, если ш(Г)- + 1 j ° = -
причем Q выражается формулой B.31) и \<2\ф9.
A96) ЗХ^Хг + ЗХ^+бХ^Хз, если / = 0, со(Г)=+1, rg-2, 6 — 2 (| Q>: — У)
(см. [35]).
6. Показать, что в случае (в), когда rQ=\, имеют место следующие вещеетионные
канонические формы. При г=1:
Aв) X?.
При г = 2, гс = 2:
Bв) Хз + Х|, если 0С = О, гС2-0.
(Зв) X| + 3X2Xs-(-' I On I -XL если ar = +1, ac = 0 при v=?= I <л> I ^= %¦
U2 I и если
Dв) X| —ЗХгХ^+К^о! X|, если aCa= —1, ac —0 при !Q0| > 4 (r.^i,
или а с = — 2 при 4 > | Qo | > 0 J
причем Qo выражается формулой B.33)
Eв) Xl+3XgX§, если oCj = +l, 0C = O,
. и если гг =1 (Оо =
Fв) XI—ЗХиХ!, если оС2=—1, ос=-2 J Сг Ко
Прп г = 2, гс = 1:
Gв) Х1+ЗХ1Х3 (|<?0| =
При г — 3, rCi = 2:
(8в) |
(9в) Х? + ЗХ!Хз + ЗХ1Х3, если ш (Г) 1, 1 если / = 0 4
(Юв) XI — 3XfX3 + 3XiX3, если ш(Т)=+1 j ' e

§ 2J ЛФФИННО ПРОЕКТИВНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ 233
(Пв) А'? + ЗЛГгЛ'з. если 1 = 5
A2в) ZJ + 3A"iA3 + 3A;A3, если /=-—оо.
A3в) XI— ЗА'Д^ + ЗЛГзА'з, если /=+оо.
Приг = 3, i-Cl = i:
A4в) А'^бА^АЛ-'з, если/-0, w(T)=+l, гц^2.
AГ)в) Ai]--AU-f GA'jA'oA'a, если У —0, о (Г)---] 1, ге-=4.
При r-3, rCl-0:
A6в) Х\-\-оХ2Х1, если / — -тг , гс — 5
(см. [35]).
7. Показать, что в случае (г), когда г0 — 0, имеют место ^следующие канонические
формы. При г = 3:
4-ЗЛГ|ЛГ3+А'|, если rg = 2, ац--— 2,
и если /=-0, ш(Г)=- — 1.
Aг) 3AiA3 + 3X1X3+A3, если rg = 2, oB-—2,
Br) 3AfX3+ЗА1А-3-XI если гц - 2, aG = -j-2,
(Зг) ЗА'^А'з + ЗА^А'з, если гц = 0
Dг) 6X^2X3-f A'f, если гЕ = 2, )
i и если У = 0, со (Г) = 4-1.
Eг) 6А,А2Х3, если rs = 0 j '
Fг) 3Aj.Y^-t-3X|jL3> если / —-г-, г^ = 4.
При г = 2:
Gг) ЗА|А'3-гА|, если 0^ = 0, I
(8г) ЗА1А-3-А§, если ас=-2 | и осли Гс^1-
(9г) 3AT|Z3, если гСг = 1
(Юг) ЗАГ2А'=, если гС2-С
При г=1:
(Иг) XI
(см. [35]).
8. В вещественной области каждому значению инварианта Qo (см. упражнение 6)
соответствует простое отношение трех точек пересечения какой-нибудь вещественной
прямой с пересекающейся в несобственной точке тройкой различных собственных пря-
прямых, представляемой канонической формой (Зв) или Dв). Все прямые тройки Dв) веще-
вещественны, если 0 s | Qo ( < 4, и две из них — мнимые сопряженные, если | Qo | > 4;
у тройки (Зв), где | Qo | Ф 4, две прямые —мнимые сопряженные. Доказать, что
а) для тройки Dв) простое отношение трех точек (при всех изменениях их порядка)
имеет шесть различных значений, вещественных при 0 < | Qo ] < 4 и мнимых, попарно
сопряженных при | Qo | > 4, так же как шесть различных мнимых, попарно сопря-
сопряженных значений имеет это отношение для тройки (Зв), если Qo Ф 0, причем
2 2
в случае мнимых значений будет -г- л < Q < Я для тройки Dв) и 0 < Q < -- л для
о о
тройки (Зв), где Q — абсолютная величина взятого в промежутке ( — л, ~я) главного
.чиачения аргумента мнимого отношения, модуль которого равен 1;
Р) для троек (Зв) и Dв) при Qo = O простое отношение трех точек имеет только три
различных значения: 1, —2, —^(см. [35]).
9. Пользуясь результатами упражнений 4 — 8, показать, что в вещественной области
разбиение проективных классов кубических тройничных форм и представляемых ими
плоских ллний 3-го порядка на аффинно-проективные подклассы может быть произве-
произведено следующим образом (см. [35]):

Куопческие тройничные формы над полем
вещественных чисел
проектив-
проективные инва-
инварианты
аффинно-проектнвные
инварианты
канони-
канонические
виды
Вещественные плоские линии 3-го порядки
аффпнно-проективные подклассы п их группы
проективные
классы
A)
6 = 0
„ 9 »• — '
r0 — 2, rCo - 2,
OC. = 0
-.-{'::
,„-=2, rr-:
6-0
I /=+00
1-0 = 2,
Gа')
(9а')
A3а')
A5а')
Fа)
Gа)
(9а)
A3а)
A5а)
E6)
G6)
(8в)
A3в)
\
{
1 rc
1
t«3
= 2
f
L
f
L
6 = 0
5 = 1
5 = 3
5 = 0
5 = 1
5 = 3
Fa')
Ga')
(9a')
A3a')
A5a')
A7a')
Вез диаметра
С одним диаметром
О тремя диаметрами
Вез диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя диаметрами
(из которых два—
мнимые сопряжен-
сопряженные)
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
С одним диаметром
Сложные ангармо-
ангармонические
Сложные гармониче-
кио
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя диаметрами
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя диаметрами
С тремя асимптотами, )
образующими трс- I
I угольник
С тремя асимптотами,
пересекающимися
в одной точке
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), образующими
треугольник
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), пересекающи-
пересекающимися в одной точке
у
Избыточные ги-
пероолы
J
Недостаточные
гиперболы
Параболические гиперболы
Расходящиеся параболы
1 С тремя асимптотами, 1
^ образующими тре- i
j угольник ( Избыточные ги-
1 С тремя асимптотами, ( п0Рболы
V пересекающимися I
j в одной точке J
Линии, кото-
которые не имеют
особых то-
точек и у ко-
которых пучок
касательных
с общей таи-
гонциальной
точкой со-
состоит либо
из четырех
Ееществен-
ных прямых,
либо из двух
пар мнимых
сопряжен-
сопряженных прямых

(И)
/ <о
(Ill)
/=o,
ст., =0
' о
F-°
U 6 = 1
6 = 3
aCo
=-2
6 = 0
6 = 1
1Ф—СО
/=-00
6=0
/ 6 = 0
i 6 = 1
( 6 = 3
Fa)
Ga)
(9a)
A3a)
A5a)
A7a)
E6)
G6)
(8b)
A2b)
Fa')
Ga')
A3a')
A6a')
Fa)
Ga)
A0a)
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя диаметрами
(из которых два—
мнимые сопряжен-
сопряженные)
Без диаметра "|
С одним диаметром
G тропя диаметрами \
(из которых два— I
мнимые сопряжен- !
ные) J
Без диаметра
С одним диаметром
Простые ангармо- \
нические j
Aф — 1) и экви- I
ангармоничес- v
кие (/=—1) [
Простые гармоничес- !
С тремя асимптотами
(из которых дво—
мнимые сопряжен-
сопряженные), образующими
треугольник
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), пересекающи-
пересекающимися в одной точке
Параболические гиперболы
Недостаточные
гиперболы
Расходящиеся параболы
кие
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра \
G одним диаметром
С тремя диаметрами }
(из которых два—
мнимые сопряжен-
сопряженные)
G тремя асимптотами,
образующими тре-
треугольник
С тремя асимптотами,
пересекающимися
в одной точке
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), образующими
треугольник
Избыточные
гиперболы
Недостаточные
гиперболы
Линии, кото-
которые не имеют
особых то-
точек и у ко-
которых пучок
касателЕ,ных
с общей тан-
тангенциальной
точкой со-
состоит из
двух веще-
вещественных и
двух мнимых
сопряжен-
сопряженных прямых
Линии с узло-
} вой точкой

КуОичсыше тройничные формы над полем
вещественных чисел
проектив-
проективные инва-
инварианты
(III)
/=о,
#• = 3,
'а=4
(IV)
/ = 0,
10 - "о ' '
аффинно-проективные
инварианты
Г*=о' -0=2' '
Со
гС[ = 2, 6=0
[ 6 = 0
ro = 2, i-f.o=l, rCi = 3 ^ 6 = 1
[ О == ^
О -, Л „ 4 1
f* i Г 9
'о = 1> v!-=1
Г 6 = 0
Г) '} i
«г„=-2, '¦с1 = ^ ( а = 3
/*Q ^= Z, /',"¦ ^^ ^,
t 0
f 6 — 0
Г^Н 6 = 1
( б«=0
•
канони-
канонические
виды
A3a)
E6)
(96)
A86)
A56)
(Юв)
A5b)
Fa')
Ga')
A0a')
Fa)
Ga)
A3a)
Aва)
П
Р
одолжение
Вещественные плоские линии 3-го порядна
аффинно-проективные подклассы и их группы
Без диаметра
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя асимитота-
ми(из которых две-
мнимые сопряжен-
сопряженные), пересекающи-
пересекающимися в одной точ-
точке
Недостаточные
гиперболы
1 гг я
Параболические гипороолы
¦ Гииерболизмы гиперболы
Расходящиеся параболы
Трезубцы
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя диаметрами
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
С одним диаметром
С тремя асимптотами, I ,, -
. обязующими V "™б -
УГОЛЬНИК j ""Ч'""-
G тремя асимптотами ¦"
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), образующими
треугольник
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), пересекающи-
пересекающимися в одной точ-
точке
Недостаточные
гиперболы
проектинные
классы
Линии с узло-
узловой точкой
Линии с изо-
> лированпой
точкой

(V)
' 1
(VI)
/ = O,
m(T)=-l,
r ^2
(VII)
/=-0,
oi(T)==-1,
r ¦-= :>,,
riS = 2,
ad~ —2
p _ о f *r- \ у
" J Co ' Г
'•о -2, ,y =1, г,
0
/•„-1, г(.1==
/¦„ — 2, /•,¦„ = 2,
''о-=2, '•(•„-= 2,
Co ' Ci
ro = 2, гГо=-2, ст,,с
ro = 2' rfo =
ro--2, rCo =
ro = 2, rCo = 2, aC(
r0 - 2 г , =2
° a '-~C— 2
ri>-^2, ;-(
*-o-«
f\ I ^'1
/* —ГТ У J
СТГо "" ° 1
f 0 = 0
'"J 1 6=1
1 1, 6 = 3
2
f rCi = 3
I rCl = 2
( "< ^o< 1
I
- - 2, rCj = 2
1' rCi ~- '
1
3
= 0 @</0<l)
гГх = 3
rd = 2
)
(l</o<-!- o;)
rCi = 2
0
E6)
(86)
A76)
A46)
(9b)
(За)
(На)
(За')
(На')
A96)
D6)
A4в)
Dг)
Dа)
Dа')
A2а')
C6)
Bг)
Dа)
A2а)
Aг)
Без диаметра ]
} Параболические гиперболы
С одним диаметром J
Без диаметра )
\ Гипероолизмы эллипса
С одним диаметром )
Расходящиеся параболы
Эллине и прямая, не проходящая через его центр
Эллипс и прямая, проходящая через его центр
Гипербола и прямая (не асимптотического шщраштенин), \
пересекающая только одну ветвь гиперболы 1
Гипербола и прямая, но проходящая через центр гнпер- 1
болы и пересекающая обе со ветви J
Гипербола и прямая, проходящая через ее центр
Гипербола и прямая асимптотического направления
Парабола и прямая, не являющаяся ее диаметром
Парабола и один из ее диаметров
Гипербола и несобственная прямая
Эллипс и собственная прямая
Гипербола и собственная прямая, не проходящая через ее
центр
Гипербола и прямая, проходящая через ее центр
Парабола и собственная прямая
Эллипс и несобственная прямая
Мнимый эллипс и собственная прямая, не проходящая
через ого центр
Мнимый эллипс и прямая, проходящая через его центр
Мнимый эллипс и несобственная прямая
Совокупности
конического
сечения и
прямой, пе-
ресекающеи
его в двух
нещеетвон-
нг.тх точках
Совокупности
конического
сечения и
прямой, но-
) ресекающеи
его в двух
мнимых со-
сопряженных
/ точках
¦\ Совокупности
мнимого ко-
конического се-
ченин и пря-
прямой, пересе-
пересекающей его
I! ДВУХ МНИ-
МНИМЫХ сопря-
сопряженных точ-
) ка х

Продолжение
К\0ичеС1;ис тройничные формы над полем
вещественных чисел
Вещественные плоские линии 3-го порядна
проектив-
проективные инва-
инварианты
аффинно-проективные
инпарнанты
канони-
канонические
виды
аффшшо-проентпвные подклассы и их группы
проективные
классы
(VIII)
/ = 0,
г-3,
(IX)
#• = 3,
(X)
0
r __ ¦) г — '>
= 2, а-о
Eа')
A16)
го-1)
>_{ 6 = 0
1б=1
f 6 = 0
6=1
Ea)
A06
Cr)
(Oa')
(8a')
(Oa)
(8a)
A4а)
Три собственные прямые, попарно пересекающиеся в собст-
собственных точках
Три собственные прямые, из которых две пересекаются в не-
несобственной точке
Две собственные прямые и одна несобственная
Вещественная собственная прямая и две мнимые сопряжен-
сопряженные прямые, пересекающиеся в собственной точке
Вещественная собственная прямая и две мнимые сопряжен-
сопряженные прямые, пересекающиеся в несобственной точке
Вещественная пособственнап пря.мая и две мнимые сопря-
сопряженные прямые, пересекающиеся в собственной точке
Без диаметра
С одним диаметром
Без диаметра
О одним диаметром
диаметра
С тремя асимптотами,
образующими тре-
треугольник
G тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), образующими
треугольник
С тремя асимптотами
(из которых две—
мнимые сопряжен-
сопряженные), пересекающи-
пересекающимися в одной точ-
точке
Избыточные
гиперболы
Недостаточные
гиперболы
Тропки пря-
прямых, обра-
образующих тре-
треугольник
Тройки пря-
прямых, обра-
образующих тре-
треугольник,
одна сторона
которого ве-
вещественна,
а две—мни-
ыые сопря-
сопряженные
Линии с точ-
точкой возврата

(XI)
(XII)
о
г = 2,
гс=2,
т,.= —2
r(.o=l,
6 = 2
6-3
г-1, г., =2
> = *- ^-=2
'0 = 2, rCo=l
0 < I Qo К
/•„ = 0
F6)
A66)
A36)
A1b)
A6b)
Ba)
Ba')
A26)
B6)
Fr)
(la')
Db)
Fb)
(8r)
Без диаметра
) Параболические
] гиперболы
Гиперболизмы иа]>аболы
Без диаметра
С одним диаметром
Расходящиеся параболы
Кубические параболы
Эллиш: и прямая
Гипербола и собственная прямая, не являющаяся ее асимпто-
асимптотой
Гипербола и одна из ее асимптот
Парабола и собственная прямая
Парабола и несобственная прямая
Три собственные прямые, пересекающиеся в собственной точке
Простое отношение трех точек
имеет:
тест1, различных вещественных зна-
значений;
три различных значения, все веще-
вещественные (т. е. средняя прямая
есть линия центров)
Три собственные пря-
пряные, пересекающиеся
в несобственной точке
Дие собственные прямые и одна несобственная
Совокупности
конического
сечения и
прямой, ка-
касательной к
нему
Тройки раз-
различных пря-
прямых, пересе-
пересекающихся в
одной точке

Кубические тройничные формы над полем
вещественных чисел
npoeitTHR-
ные инва-
инварианты
(X1I1)
0
0'
г —2,
/•,-, = 2,
(ТС=О
(XIV)
/4
0
/• = 2,
гс=1
(XV) [
г-1 1
аффинно-проективпыо
инварианты
'V, = °
гс —1, стГо=1, —4^-Q0=/=0
г„ --¦- 0
/•Г1 = 2
'„-I (IQ.I-4)
1
/•„ = 0
канони-
канонические
виды
Aа)
Bв)
Eв)
(Зв)
Dв)
Gг)
A6)
Gв)
(Ог)
(Юг)
Aв)
(Иг)
11
) одолжение
Вещественные плоские линии 3-го порядна
аффшшо-проектлвные подклассы и их группы
Три собственные прямые, пересекающиеся в собственной точ-
точке
Простое отношение трех точек
имеет:
два различных значения, оба мни-
мнимые;
три различных значения, все веще-
вещеВещественная собствен-
ственные (т. е. вещественная при- 11ая прямая и две мни-
мнимая есть линия центров); мыесопряженныенря-
шесть различных мнимых значений,
2
причем 0 < Q <; - я;
О
шесть различных мнимых значений,
2
причем ^ я < Q < я
мые, пересекающиеся
все три в несобствен-
несобственной точке
Вещественная несобственная прямая и две мнимые сопряжен-
сопряженные прямые
Собственные прямые, пересекающиеся в собственной точке
Собственные прямые, пересекающиеся в несобственной точке
Несобственная прямая и пара совпадающих собственных пря-
прямых
Собственная прямая и дважды взятая несобственная прямая
Тройка совпадающих собственных прямых
Трижды взятая несобственная прямая
проективные
классы
Тройки раз-
различных пе-
ресекающих-
ресекающихся в одной
точке пря-
прямых, иа ко-
которых одна
вещоственпа,
а две—мни-
две—мнимые сопря-
сопряженные
Тройки пря-
прямых из ко-
торых две
совпадают
\ Тропки соьиа-
\ дающих пря-
J мых

ГЛАВА VI
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
Результаты, полученные в главах IV и V, дополним классификацией
пучков двойничных и тройничных кубических форм в зависимости от эле-
элементарных делителеп соответствующих полиномиальных кубических матриц.
§ 1. Классификация пучков кубических двойничных форм
1. Возьмем пучок кубических двойничных форм над полем комплексных
(или вещественных) чисел
ty + № A.1)
где К, и. — переменные параметры, а формы
2 2
/= 2 Aukxixixk, ф= Ti Bnhxixj4
г, ], ft=l i, ], ft=i
с соответствующими симметрическими кубическими матрицами
A = \\Aijk\\, B=\\Bljh\\ (i,f, к =1,2),
не являющимися^одновременно нулевыми, образуют базис пучка.
Пучок A.1) называем неособенным, если его дискриминант А (К, и.) не
обращается в нуль тождественно, т. е. при всех значениях параметров Я,
и., и особенным, если А (к, и.) = 0.
Рассматривая неособенный пучок A.1), будем различать четыре случая
в зависимости от того, являются ли обе формы /, ф его базиса неособен-
неособенными (т. е. имеющими дискриминанты А, А' не равные нулю) или одна
из них, например /, — особенная (т. е. А = 0), имеющая ранг (двумерный
или трехмерный) г — 2 при том же значении ранга г' формы ф, либо т—\
при г' s 1, либо, наконец, г = 0.
Случай I, когда А ф 0 и А' Ф 0.
Тогда пучок матриц ХА-\-\1В, соответствующий пучку форм A.1), под-
подвергаем симметрическим элементарным преобразованиям, приводящим мат-
матрицу А к каноническому виду (/) (гл. IV, § 3).
В результате получим полиномиальную матрицу вида
@
CU.
сц
cu.
¦(к).
A.2)
Порождаемые^ ею кубические миноры 2-го порядка представляются
выражениями
16 НИ. Соколов
= 2[i [ск+(be-
= ^ + (а + Ь) Хц + (ой - cd) и2.

242 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Таким образом, число элементарных делителей матрицы A.2) может
быть равным 2, 1 или 0. Сообразно с этим будем рассматривать следу-
следующие три варианта.
Вариант 1: матрица A.2) имеет два элементарных делителя.
Тогда d = 0, с = 0, и если 0 Ф а Ф b Ф 0, то, полагая а = —т1, b = — т2,
мы будем иметь каноническую матрицу (рис. 22) с двумя различными
элементарными делителями Х — т^ц, Х — т2ц и характеристикой [11].
! /7/1 . , Я~/7?//* _^__ ?// I
I I I
I I I ///)
I i I U!>
|| i i
1 л' I I
I ' \/
Т" ¦ 7,
ril 'У'
Рис. 22. Рис. 23.
Если же а= b фО, то, полагая а=Ь= —т, мы получим каноническую
матрицу (рис. 23), имеющую два одинаковых элементарных делителя:
К — т\а, X — m[i. Ее характеристика — [(И)].
Вариант 2: матрица A.2) имеет только один элементарный делитель.
Тогда детерминанты A.3) должны иметь общий делитель вида А, — тц,
который и будет элементарным делителем матрицы A.2).
Следовательно,
dm -{-ad — с2 = 0,
cm + bc-d*=0, A.4)
т2 + (а + Ь) т + аЪ — cd = 0.
Кроме того, X — m\i будет делителем соответствующего матрице A.2)
дискриминанта
Д (X, и) = - [Х* + 2 (а + Ъ) Х3ц + (а2 + 62 + Aab- 6cd) Яу+
+ 2 (а26 + аб2 + 2с3 + 2d3 - 3acd - 36cd) Xu3 +
1 - 3c2d2 - 6а6Ы + Aads + Abe3) fi4], A.5)
причем кратность этого делителя не меньше двух.
Пусть элементарный делитель % — тц матрицы A.2) является двукрат-
двукратным делителем дискриминанта A.5) и X — m^i, К — т2ц — остальные его
делители.
Тогда
2{a+b)^-Bm + m + m^ 1
Из равенств A.4), A.6) находим:
a + b= — ( m
(a-Jrm)(m1 — m2J
16
(b-\-m) (mj — m2J

§ 1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
243
Отсюда получаем две системы значений для а, Ь, с, d:
a —a, b = $, с = у, d=6
а =
Ъ = а, с—Ь,
A.7)
A.7')
где
а = —
2тА-т,-\-1Пп , 1
- т2),
2т4-т,4-/п2
= -
- mt) (m -
= -т- у [2т — т1 — т.2
— т^ (ти —
1 3/
A.8)
6 = -т- у [2т — т1 — т„ — 2 ]/' (т — тх) (т — т2)] (т1 — т2J.
Для канонической матрицы выбираем любую из этих систем, например
A.7), так как соответствующие ям матрицы операцией У—// перево-
переводятся друг в друга. При этом мы ограничиваемся одним каким-либо значе-
значением каждого из кубических корней (веще-
(вещественным в случае поля вещественных чисел),
так как с и d, кроме значений у и б,
определяемых формулами A.8), могут еще
иметь только значения еу и е2б (где б — лю-
любой из мнимых кубических корней из 1),
в чем легко убедиться, сравнивая выраже-
выражения произведения cd, определяемые из ра-
равенств A.4) и A.8); но тогда операция
/
щл / j УР
7i
! !
Г/Л)
II
e над матрицей A.2) приводит к ма-
\
Рис. 24.
трице того же вида, где только с заменяет-
заменяется на ее и d на e2d.
Таким образом, если элементарный делитель h — тц матрицы A.2)
является двукратным делителем дискриминанта A.5), то каноническая
матрица имеет вид (рис. 24),'; причем а, р1, у, 6 определяются форму-
формулами A.8), где
т1Ф тп Ф т2ф т1.
Если же элементарный делитель Л -/пи. матрицы A.2) является трех-
трехкратным делителем дискриминанта A.5) и Х — т^ — его простой делитель,
то мы приходим к матрице
(т —
(т —
(то — тг) \i
4 4
которая после операций
f [//]¦(-1),
(ш —
(т—тх) jn.
К-
¦(О
'(*).
II
I
1
"У'
//
•К4,
/
принимает канонический вид (рис. 25).
18*

244
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
[ГЛ. VI
Характеристика матриц (///) и (IV) есть [1].
Вариант 3: матрица A.2) не имеет элементарных делителей.
Обозначим через Л — тг\1 (г=1, 2, 3, 4) делители дискриминанта
Д (К, ц), представляемого выражением A.5), а через Sf(/ = 1, 2, 3, 4) сум-
сумму сочетаний из mv m2, ms, m4 по /.
(О
/ \
Рис. 25.
Тогда имеем:
2 (аЧ
+ 2с3 + 2d3 — 2,acd - 3bcd) = - S8,
- 6abcd + Aads + 46c3 = St.
Отсюда находим:
A.9)
A.10)
(L11)
A.12)
где
Полагая
32
r
256
получим из уравнений A.9) —A.12)
Зт* + DГа - Г«) т3 + 3 (ТХТ3 - 2Г4) та -
A.13)
= 0. A.14)
Пусть т0 —один из корней уравнения A.14). Тогда из A.11) и A.13)
находим две системы значений для с, d:
c = Yo, d = 60 A.15)
с = б0, tf = Yo. A.15')
где
A.16)
l) Здесь, как и в формулах A.8), мы ограничиваемся одним каким-либо значе-
значением каждого из кубических корней.

§ 1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
245
Соответственно с этим из A.9) и A.12) получаем две системы значе-
значений для а, Ь:
а = а0, 6 = В0 A.17)
и
а = В0, 6 = а0, A.17')
где
В =- Т -
ГО 9 М
A.18)
i
i
i
I У
(V)
Две матрицы, соответствующие двум системам значений для а, Ь, с, d,
представляемым формулами A.17), A.15) и A.17'), A.15'), переводятся
друг в друга операцией I — II . Канонической матрицей можем считать
любую из них, например матрицу (рис. 26), где а0, Во, у0, б0 определя-
определяются формулами A.18), A.16), причем в этих
формулах т0 обозначает тот корень уравне- (JJ
ния A.14), которому соответствует двойное
отношение четырех точек прямой, задавае-
задаваемых якобианом форм /' и ф' —базиса пре-
преобразованного пучка, ассоциированного с
матрицей (V), — равное двойному отношению
четырех точек прямой, задаваемых якобиа-
якобианом форм / и ф — базиса исходного пучка
A.1). Характеристика матрицы (V) есть [0].
Канонические матрицы (/) — (V) имеют
место в поле комплексных чисел, а также
в поле вещественных чисел, если дискрими-
дискриминант Д формы / — отрицательный. Если же этот дискриминант — положи-
положительный, то пучок матриц кА-\-цВ подвергаем вещественным симметриче-
симметрическим элементарным преобразованиям, приводящим матрицу А формы / к
каноническому виду (/') (гл. IV, § 3). В результате получим полиноми-
полиномиальную матрицу вида
¦00
¦
Ijj
Рис. 26.
X +
d\i
d\i
¦l + Ьц
A.19)
Так как порождаемые матрицей A.19) кубические миноры 2-го по-
порядка имеют вид
Шп (Л- И) = - 2 [к2 + 2сХц + (с2 - ad) ц2],
9Я22(А, ц)= -2[X2 + (c-b)Xii + (d2-bc)n2}, \ A.20)
то число ее элементарных делителей может быть равным 2,1 или 0.
Если матрица A.19) имеет два элементарных делителя, то
а=— d, ab = cd. A.21)
Тогда, если а Ф 0, имеем, полагая
каноническую матрицу (рис. 27) с двумя мнимыми сопряженными элемен-
элементарными делителями
Л — (и + го) ц, к — (и — iv) (j,,
где и и о ф 0 — вещественные числа.

246
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
[ГЛ. М
Таким образом, характеристика матрицы (/') есть [11].
Если же и матрице A.19) а = 0, то на основании первого из равенств
A.21) будет d = 0 и для существования двух элементарных делителей
необходимо, чтобы с = — b Ф 0.
\ \
юр
\ !
on
o\ 1_}_/л_
и/
Рис. 27.
Рис. 28.
Полагая с= —Ь= —т, получаем каноническую матрицу (рис. 28)?
имеющую два одинаковых элементарных делителя к — m\i, К — тц и ха-
характеристику [A1)].
Далее, если матрица A.19) имеет только один элементарный делитель
вида % — тц, то последний будет единственным общим делителем детерми-
детерминантов A.20). Следовательно,
A22)
Кроме того, X — тц будет делителем соответствующего матрице A.19)
дискриминанта
Д (X, ц) = 4Х* + 4 (Зс - Ь) Х3ц + A2с2 - 126с + 3d2 - 6ad - о2) Л2ц2 +
+ Dс3 - 12&с2 + 6cd2 - Qacd + 2аЧ + 6abd) кц3 +
Ш3 + 46с3) \i\ A.23)
причем кратность этого делителя не меньше двух.
Если % — тц будет трехкратным делителем дискриминанта A.23),
простой делитель которого есть A. — mx\i, то
Зс — b = — Cm -|- Wj),
A.25)
)d = 0. A.26)
Если d = 0, то из равенства A.25) следует, что а = 0 и первые из
равенств A.22), A.24) дают:
с——т, b = mt.
Имеем тогда каноническую матрицу (рис. 29).
Если же d ф 0, то из равенства A.26) вытекает
с _
Из первых двух равенств A.22) и из равенств A.24) находим:
а тогда последнее из равенств A.22) дает:

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 247
Отсюда, принимая во внимание первое из равенств A.24), получаем:
ж аИЪ -— 17t-t oTH -j- 3?7lj
О = " Q 5 С = ¦ л " ,
О О
а затем, пользуясь равенством A.25), находим с помощью первого из
/ I Л-/771
II
\
О;
I ]
||
Рис. 29.
равенств A.22)
(тга—mj), d = ^- (m — m3)x).
Подвергая в этом случае матрицу A.19) операциям
(-2),
+
+
/
¦ 4 '
2"'
снова получаем каноническую матрицу (/V).
В случае, если X — тц будет двукратным делителем дискриминанта
A.23), остальные делители которого 'к — т1\и и X — m2\i различны между
(i)
/
±4
k^
I I
I I
I I
I '
fir')
OJ
Рис. 30.
Рис. 31.
собой, мы приходим к канонической матрице (рис. 30), где а, {5, у, б
выражаются через т, тг, т2 (упражнение 1).
Характеристика матриц (///') и {IV) есть [1].
Наконец, если у матрицы A.19) нет элементарных делителей, т. е.
характеристика ее —[0], то каноническая матрица имеет вид (рис. 31),
где а0, Ро, Yo> ^о могУт быть выражены через mi (г = 1, 2, 3, 4), если
Х — тг\1 (г = 1, 2, 3, 4) —делители дискриминанта A.23) (упражнение 2).
Случай II, когда Д = 0, г = 2, г' = 2.
1) Мы ограничиваемся положительным значением квадратных корней, так как
¦( — 1) над матрицей A.19) приводит только к перемене знака у элемен-
операция
тов а и d, не изменяя остальных элементов матрицы.

248 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Подвергаем тогда пучок матриц \A-\-\iB симметрическим элементар-
элементарным преобразованиям (вещественным в случае поля вещественных чисел),
приводящим матрицу А формы / к каноническому виду (//) (гл. IV, § 3).
В результате получим матрицу вида
А. 4- сц d\i
X -j- сц dp
d\i Ьц
27)
Порождаемые ею кубические миноры 2-го порядка представляются
выражениями
ЗЛ22 (X, И) = 2Ц [ЬХ + (be - d2) ц],
№12 (X,\i)=-\i[dX-(ab- cd) и].
Следовательно, число элементарных делителей матрицы A.27) равно
1 или 0.
13 первом случае ЬфО ж после легких преобразований матрицы A.27)
приходим к матрице вида (рис. 32).
Так как матрица (VI) имеет также один элементарный делитель, то
порождаемые ею кубические миноры 2-го по-
у рядка
! : !
\PJU\ L_
r9 | /"" но лишь при условии
(V/)
должны делиться на Х-{- (с — р2)ц, что возмож-
f *>" п = р\ A.28)
VJ Полагая т = р2 — с, тх= — ( с + ^Р2 J »
Рис. 32. будем иметь тогда единственный элементарный
делитель Л — тц матрицы (VI), который при
тф т1 будет двукратным делителем соответствующего дискриминанта
Д (А., ц) = — 4|х (Л — тцJ (к — тл\1),
имеющего также простой двучленный делитель X — т^ (другой простой
делитель ^-одночленный).
Из указанных выше выражений для т и т1 находим:
A.29)
Таким образом, при тхф т фО имеем каноническую матрицу (VI),
которой п, р, с определяются формуламиA.28), A.29), A.30). Ее харак-
характеристика — [1].
!) Здесь, не нарушая общности, можем ограничиться положительным значением
квадратного корня.

§ 1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 249
При тх = т ф 0 имеем согласно предыдущим формулам каноническую
матрицу (рис. 33), где к — m\i есть элементарный делитель этой матрицы
и трехкратный делитель соответствующего дискриминанта
А (к, ц)= -i\i(k-m\iK.
Характеристика матрицы (VII) есть [1].
Если т = 0, то при т1 ф 0 получаем каноническую матрицу (рис. 34)
с единственным элементарным делителем к, который будет двукратным
С/Ч
Рис. 3.4.
(t'l
;?"__':
4-
/
fv///)
I
'JJ
Риг. Vs.
делителем соответствующего дискриминанта
Д (к, ц) = — Ак2ц (к — т
имеющего также единственный двучленный делитель к — /
Характеристика матрицы (VIII) есть [ij.
В поле вещественных чисел канонические матрицы (VI), (VII), (VIII)
также имеют место, если относительный инвариант Lx пучка A.1 )ж (коэф-
(коэффициент при кяц в разложении дискрими-
дискриминанта А (к, ц) пучка) —отрицательный ">
(гл. III, замечание 5.7). В противном
случае матрица A.27) очевидными веще-
вещественными операциями приводится к кано-
канонической матрице (рис. 35), где
i i
— (к!
= р3,
с= —
A.28')
A.29')
A.30')
(.'J
Рис. 35.
Матрица (VI'), где тп Ф 0, имеет единственный элементарный делитель
к — «?и, который при пг1Фт будет двукратным, а А,— т^ простым дву-
двучленным делителем (другой простой делитель ц — одночленный) соответ-
соответствующего дискриминанта
Д (к, \i) = Ац (к — т\и)г (к — OTjfi).
Характеристика матрицы (VI') есть [1].
При m1 = rn Ф 0 имеем каноническую матрицу (рис. 36) с единственным
элементарным делителем к — m\i, являющимся также трехкратным делите-
делителем соответствующего дискриминанта

250
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
[ГЛ. VI
Характеристика матрицы (VII') есть [1].
Если т = 0, то при т1 Ф 0 получаем каноническую матрицу (рис. 37)
с единственным элементарным делителем Л, который будет двукратным дели-
делителем соответствующего дискриминанта
А (Л, \i) = 4k*ii(X-m1\i),
имеющего также единственный двучленный делитель К —
о
Характеристика матрицы (VIII') есть [1].
fit
I I
! !
I I
ОХ
П/
'
/
I
I I
I I
Л -|/
-IK/
Рис. 36.
Рис. 37.
В случае, когда элементарных делителей у матрицы A.27) нет, т. е.
ее характеристика — [0], различаем два" варианта, смотря по тому, будет ли
6 = 0 или b Ф 0.
Вариант 1: Ь = 0.
Тогда йфО и матрица A.27) после очевидных операций принимает
вид (рис. 38).
го fit
Г/л)
it
(X)
I
о;
Рис. 38.
а/
Рис. 39.
Соответствующий дискриминант равен
Д (к, ц) = Зц2 (X — mjn) (Л — m2jx),
где
Отсюда находим:
т-,-\-т„
A.31)
Если у дискриминанта А (X, \i) есть простые делители, т. е. т1 Ф т2,
то мы имеем каноническую матрицу (IX), у которой п Ф 0 и m опреде-
определяются формулами A.31).
Если же дискриминант А (А,, и.) имеет только двукратные делители,
т. е. т1 = т2, то п — 0. Тогда каноническая матрица принимает вид (рис. 39),

% 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 251
где X — тц есть двукратный делитель дискриминанта Д (к, ц), отличный
от другого двукратного делителя его ц..
Отметим, что относительный инвариант Llt составленный для матрицы
(IX) или (X), равен нулю.
Вариант 2: Ъ фО.
Тогда, как и в случае характеристики [1], приходим к матрице вида
(VI), для которой, однако, условие A.28) уже не выполняется.
Выражение соответствующего дискриминанта
показывает, что у него, кроме ц, имеются еще три делителя вида к — тг
<i = l, 2, 3).
Полагая
^ = т1 + т2 + ms, S2 = /и1т2 + т1т3 -f- m2ms, S3 = тх
имеем:
2 Tip ср2 _
2 2~-
"
c +T~~Ycnp Tc
О
3 '
Tip ср _Sz I
2 2~-Т~' f
Tc
Отсюда, полагая
P—mx (m2 — mx) + m2 (ms — m2) + wi3(ma — m3),
<? = 3 (ml + ml + m33 + бтга^тд) - (тх + т2 + m3K,
находим p = Po, с = c0, n = ra0, где
Po = + У л>
_ л т,4-т2-(-тз
° 4 3
9я/
Г™
A-32)
ol/Y
причем я есть один из корней уравнения
27 Р 4 Л
д4 I _ д2 2. Лд f>2 -_ Q { i "YX\
выбираемый аналогично корню т0 уравнения A.14) и являющийся в слу-
случае поля вещественных чисел неотрицательным корнем1).
Таким образом, имеем каноническую матрицу (рис. 40), где р0, с0, п0
определяются формулами A.32).
Соответствующий относительный инвариант Lv как видно из выраже-
выражения дискриминанта Д (Л, ц), не равен нулю.
х) Уравнение A.33) имеет тогда на основании теоремы Декарта по крайней мере
один неотрицательный корень.

252
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Канонические матрицы (IX), (X), (XI), очевидно, имеют место как в
поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.
Случай III, когда г = 1, г'== 1.
Подвергая тогда пучок матриц ХА-\-иВ симметрическим элементарным
преобразованиям (вещественным в случае поля вещественных чисел), приво-
(П СУ
/ _ /
ii
(х//
т*о
t
o;
Рис. 40.
Рис. 41.
дящим матрицу А к каноническому виду (///) (гл. IV, § 3), получим
матрицу вида
X + аИ
си du
си da
du ba
¦(Л-),
A.34)
порождающую кубические миноры 2-го порядка
5Щц (X, и) = 2[i [dX + (ad — с2) и',
9tti2 (X,u) = u[bX + (ab — cd) и].
Следовательно, число элементарных делителей у матрицы A.34) равно 2
или 1.
В первом случае, как нетрудно убедиться, приходим к канонической
матрице (рис. 41), у которой элементарные делители: X — тц, fi и характе-
f/y fO
г-+
i I
\ \
¦(HJ
(X///)
¦
ОУ
Рис. 42.
/
/ Т /
(/У
Рис. 43.
ристика [11], или к канонической матрице (рис. 42), обладающей элемен-
ОО
тарными делителями X, и и характеристикой [11].
Во втором случае, когда матрица A.34) имеет только один элементар-
элементарный делитель, получаем (при Ъ Ф 0) каноническую матрицу (рис. 43),

§ 1) КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 253
где
т-,-\-т, 1
1И = -Ш, л=_т
а X — т^, X — т2\и — простые делители соответствующего дискриминанта
Д (А., и.) = —ц2 [(X — тцJ + 4п3ц2], имеющего также двукратный делитель ц,
или (при 6 = 0) каноническую матрицу (рис. 44), где X — тц — единственный
простой делитель соответствующего дискриминанта Д (X, (л) = — 4и.3 (X — тц),
имеющего также трехкратный делитель ц.
Каждая из матриц (XIV), (XV) имеет элементарный делитель и и харак-
О
теристику [1].
Канонические матрицы (XII), (XIII), (XIV) имеют, очевидно, место
как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.
Что же касается матрицы (XV), имеющей место в поле комплексных
чисел, то она сохраняет силу в поле вещественных чисел лишь в том слу-
(О '//
i I l
! ' i
ul 1-J0
(XV')
V*- i-ft
(/) О/
Рис 44. Рис. 45.
чае, если d > 0, т. е. если относительный инвариант L3 пучка A.1) (коэф-
(коэффициент при X\i3 в разложении дискриминанта Д (X, ц) пучка) — отрица-
отрицательный (гл. III, замечание 5.7). В противном случае матрица A.34) оче-
очевидными вещественными операциями приводится к канонической матрице
(рис. 45) с элементарным делителем \л и характеристикой [1], причем
X — тц — единственный простой делитель соответствующего дискриминанта
Д (X, ji) = 4ц3 (X — w(x),
имеющего также трехкратный делитель и.
Случай IV, когда г = 0.
Тогда f = 0, форма ср — неособенная, и мы придем, как показано
в § 3 гл. IV, к канонической матрице (рис. 46), имеющей место в поле
комплексных чисел, а также в поле вещественных чисел, если дискрими-
дискриминант Д' формы ф — отрицательный; при Д'> 0 получаем каноническую
матрицу (рис. 47).
Матрицы (XVI) и (XVI') имеют элементарные делители и, и и харак-
о о
теристику [(И)].
2. Обратимся теперь к рассмотрению особенного пучка форм A.1). Так
как дискриминант Д (X, ц) этого пучка тождественно равен нулю, то на
*) Мы ограничиваемся одним значенном кубического корня, так как операция
//[•8 над матрицей (XIV) вызывает в ней только замену п на гп (в —любой мнимый
кубический корень из 1). В случае поля вещественных чисел берем вещественное значе-
значение кубического корня.

254
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
основании формулы E.13) гл. III дискриминанты А, А' форм /, <р базиса
пучка равны нулю и, следовательно, обе эти формы — особенные. Поэтому
различаем три случая в зависимости от того, будут ли оба ранга г, г'
(и
-(к)
1 I ¦—w
I j (ХУ/У
vo
Рис. 46.
\
О)
Рис. 47.
особенных форм /, ф равны 2, либо один из них, например г, равен 1 при
г'г1 или г — 0 при г' > 0.
Случай I, когда А = 0, г = 2 и Д'=0, г'= 2.
Тогда, как и в случае II при рассмотрении неособенного пучка, мы
приходим к матрице A.27), для которой
, ц)=
- 46с) ^и2 + 6 (abd + сер - 26с2) Л;х3 +
+ [4(ad-с2){be- d2) - (ab -cdf] jx4 s= 0.
Следовательно, 6 = 0, d = 0 и матрица A.27) приводится (при а = 0)
к канонической матрице (рис. 48), обладающей элементарными делителями
(П
Я-/
(Г/
ил
,0
Л -/пи
Я1
L..L
(XV//)
(XV///)
Рис. 48.
Рис. 49.
Х — тц, Х — тц и характеристикой [A1)], или (при а ф 0) к канонической
матрице (рис.] 49), имеющей элементарный делитель (%— m\if и характери-
характеристику [2].
Случай II, когда r=l, r'gl.
Тогда, как и в случае III при рассмотрении неособенного пучка, мы
приходим к матрице A.34), для которой
А (Л, fi) =
2 Cbcd - 2ds - ab2) Ли3 +
+ [4 {ad - с2) Fс - d2)
{ab - cdf] ц4 s= 0.
Следовательно, 6 = 0, d = 0 и матрица A.34) приводится (при г'= 1) к кано-
канонической матрице (рис. 50) с элементарным делителем % — тц и характе-
характеристикой [1] или (при г'= 2) к канонической матрице (рис.51), обладающей
элементарным целителем ц2 и характеристикой [2].

13
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
255
Канонические матрицы {XVII), (XVIII), (XIX), (XX), очевидно, имеют
место как в поле комплексных, так и в поле вещественных чисел.
/
-r- — J>/
ОУ-
A71*0/
Х-4О
(х/х)
/
VT-
'Л
о
Рис. 50.
I
О)
Рис. 51.
Случай III, кЪгда г = 0, г'> 0.
Тогда / = 0 и мы приходим, как показано в § 3 гл. IV, к канониче-
канонической матрице (рис. 52) с элементарными делителями (X, и. и характеристи-
характеристик
Of-
(XXJ)
Рис. 52.
(CJ
У
о
(XXII)
О) \-4О
f/J
Рис. 53.
кой [A1)], если г' = 2, или к канонической матрице (рис. 53) с элемен-
о
тарным делителем [X и характеристикой [1], если г' = 1.
Канонические матрицы (XXI), (XXII) имеют место как в поле ком-
комплексных, так и в поле вещественных чисел.
Замечание 1.1. Элементарные делители и характеристика в поле
комплексных или вещественных чисел каждой из упомянутых выше кано-
канонических полиномиальных матриц являются согласно теореме 5.6 гл. III
также элементарными делителями и характеристикой строго эквивалентной
ей в соответственном поле исходной полиномиальной матрицы ХА + \iB. To
же замечание относится к делителям дискриминантов А (X, и.) ассоцииро-
ассоциированных с этими матрицами пучков кубических двойничных форм. В даль-
дальнейшем для краткости элементарные делители и характеристику пучка
матриц ХА + цВ будем называть также элементарными делителями и харак-
характеристикой ассоциированного с ним пучка форм Xf + \Uf.
3. На основании полученных в пп. 1, 2 результатов мы можем уста-
установить следующие теоремы, ассоциируя канонические пучки кубических
матриц с пучками кубических двойничных форм и называя два пучка этих
форм строго эквивалентными в поле комплексных или веществен-
вещественных чисел, если строго эквивалентны в том же поле соответствующие пучки
кубических матриц.
Теорема 1.1. Неособенный пучок кубических двойничных форм
Xf-\-\iq> в случае, когда дискриминанты А, Д' форм /, ф базиса не равны

256 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
нулю, строго эквивалентен в поле комплексных чисел одному и только одно-
одному из следующих канонических пучков:
(I) (%.
(II) (Х
(III) (X+ац)Х1 + Ъу^1Хх-{-36^X1 +(Х + Рц) XI 159
(IV) 3(A,-i»n)XJX, + (A,->n1n)XJ,
(V) (X + aoF) х; + Зу„ц*?х8 + збо^хд! + (л, + IV
в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянутых,
относятся также пучки:
(Г) - v\iX\ + 3 (X
(IF) (X-mn)CXJXa-XJ),
(ИГ) ацХ= + 3 (Я, + yh) Хг2Х2 +
(IV)
(V)
Теорема 1.2. Неособенный пучок кубических двойничных форм в слу-
случае, когда у одной из форм базиса, например /, дискриминант Д=0 и ранг
г = 2, а у другой формы ср ранг г' = 2, строго эквивалентен в поле комплек-
комплексных чисел одному и только одному из канонических пучков:
(VI) щХ\ + 3 (% + Сц) Х\
(VII)
(VIII) §j /^fnXj + 3 (X - 4 т1ц ) Х,2Х2 +21/
(IX)
(X)
(XI)
в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянутых,
относятся также пучки
(VI') /гцХ3 + 3 (X + сц) Х2Х2 + ЗрцХД; - \iXl
(VII') 3(Х
(VIII') — л' ™3" V3 J_. Ч ( 7 Z_ r,i •¦ » ysy _j_ 9 1/ »v, ii V V! ., V3
21
Теорема 1.3. Неособенный пучок кубических двойничных форм.
л/ + |аф е случае, когда у одной из форм базиса, например /, ранг г=1,
а г/ другой формы ф /?аиг r'gl, строго эквивалентен в поле комплексных
чисел одному и только одному из следуюгцих канонических пучков:
(XII) (Х
(XIII) ЛХ
(XIV) (А,
(XV) (Х
в поле вещественных чисел к каноническим пучкам, кроме вышеупомянуты .с,
относится также пучок
(XV) (К - тц) XI - ЗцХгХ2.

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 257
Теорема 1.4. Неособенный пучок кубических двойничных форм,
у которого одна из форм базиса, например /, имеет ранг г = 0, строго
эквивалентен в поле комплексных чисел каноническому пучку
(XVI)
а в поле вещественных чисел — одному и только одному из канонических
пучкоъ (XVI) и
(XVI') iiCXlX2-Xl).
Теорема 1.5. Особенный пучок кубических двойничных форм Xf-\-\iq>
строго эквивалентен в поле комплексных или вещественных чисел одному
и только одному из канонических пучков
(XVII) 3(К-тц)Х2гХ2,
(XVIII) iiXl + 3(\-mii)XlX2,
если у форм /, ф базиса дискриминанты Д = 0, Д' = 0 и ранги г = 2,
г' = 2; если же одна из этих форм, например /, имеет ранг г = 1 при
r'Sl, то пучок строго эквивалентен в поле комплексных или веществен-
вещественных чисел одному и только одному из канонических пучков
(XIX)
(XX)
наконец, если одна из форм /, ф, например /, имеет ранг г = 0, при г' > О,
то пучок строго эквивалентен в поле комплексных или вещественных чисел
одному и только одному из канонических пучков
(XXI)
(XXII)
4. Объединяя в одну категорию пучки кубических двойничных форм
с одной и той же характеристикой, мы будем иметь в поле комплексных
чисел десять категорий соответственно характеристикам
[И], [11], [11], [2], [2], [A1)], [A1)], [1], [1], [0];
в поле вещественных чисел, кроме этих категорий, существует еще одна
категория, соответствующая характеристике [ll].
Пучки, принадлежащие различным категориям, не являются строго
эквивалентными, тогда как пучки одной и той же категории с характери-
характеристикой [11] строго эквивалентны в поле комплексных или вещественных
чисел, так же как строго эквивалентны пучки, принадлежащие категории
с любой из характеристик [11], [11], [2], [2] (а также [11] в случае поля
вещественных чисел), если элементарные делители этих пучков одни и те же.
Эти категории представлены каноническими пучками
(I), (XII), (XIII), (XVIII), (XX), (Г). •
Что же касается категорий с характеристиками [(И)], [A1)], [1], [1], [0],
то каждую из них можно подразделить на конечное число типов таким
образом, что пучки, принадлежащие различным типам, не будут строго
эквивалентными, тогда как пучки одного и того же типа будут строго экви-
эквивалентны в поле комплексных или вещественных чисел, если они имеют
одни и те же элементарные делители или вовсе их не имеют и одновременно
являются особенными или неособенными, обладая в последнем случае про-
пропорциональными дискриминантами (одного и того же знака в случае' поля
17 н. П. Соколов

258 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
вещественных чисел). Так, в поле комплексных чисел категория с характе-
характеристикой [A1)] в зависимости от того, будут ли дискриминанты Д, А'
форм /, ф отличны от нуля или же Д = О, Д' = 0 при г = 2, г' = 2, подраз-
подразделяется на два типа, представителями которых являются канонические
пучки (II) и (XVII).
О О
Точно так же категория с характеристикой [A1)], смотря по -тому,
будет ли при г = 0 дискриминант Д' отличным от нуля или же Д'=0
при г'=2, подразделяется на два типа, представляемых каноническими
пучками (XVI) и (XXI).
Категория с характеристикой [1] может быть подразделена на пять
типов в зависимости от того, будут ли ранги г, г' форм/, ф равны 2 или 1,
причем в случае, когда г = 2 и г' = 2, отмечаем, обе ли формы /, ф имеют
дискриминанты, не равные нулю, или только одна из них и является ли
тогда элементарный делитель пучка двукратным или трехкратным делителем
его дискриминанта А (X, ц). Эти типы представлены каноническими фор-
о
мами (III), (IV), (VI), (VII), (XIX). Категория с характеристикой [1] под-
подразделяется на четыре типа, смотря по тому, будет ли ранг одной из форм/,
Ф, например /, имеющей дискриминант Д = 0 (дискриминант Л' другой
формы ф может равняться или не равняться нулю), равен 2, 1 или 0, при-
причем в случае, когда г=1, отмечаем, является ли элементарный делитель
пучка двукратным или трехкратным делителем его дискриминанта А (X, и).
Эти типы представлены каноническими пучками (VIII), (XIV), (XV), (XXI1).
Наконец, категорию с характеристикой [0] можно подразделить на четыре
типа, различая случаи, когда обе формы, / и ф, обладающие рангами г = 2
и г' = 2, будут иметь дискриминанты, не равные нулю, или только одна
из них, и отмечая во втором случае, равен или не равен нулю инвариант
Lv причем в случае, когда Lx = 0, отмечаем также, имеет ли дискриминант
Д(Л, ц) пучка простые делители или все его делители —кратные. Пред-
Представителями этих типов являются канонические пучки (V), (IX), (X), (XI).
То же подразделение категорий кубических двойничных форм на типы
будет иметь место и в поле вещественных чисел, если только допустим
распадение некоторых типов форм. •
Так, в категории с характеристикой [A1)] тип, у которого дискрими-
дискриминанты Д, А' форм /, ф отличны от нуля, распадается на два: тип с кано-
каноническим видом (II), если Д < 0, и тип с каноническим видом (II'), если
о о
А>0. В категории с характеристикой [A1)], тип, у которого одна из форм
/, ф, например /, имеет ранг г = 0, а другая форма ф обладает дискрими-
дискриминантом Д' Ф 0, распадается на два: тип с каноническим видом (XVI),
если Д'< 0, и тип с каноническим видом (XVI'), если Д'>0. В категории
с характеристикой [1] каждый из двух типон, у которых Д Ф 0 и Д' =р О,
распадается на два: тип с каноническим видом (III) или (IV), если А < 0,
и тип с каноническим видом (ПГ) или (IV), если А > 0; точно так же
каждый из двух типов, у которых одна из форм /, ф, например /, имеет
дискриминант А = 0 и ранг г = 2, а у другой формы ф дискриминант А'Ф О
распадается на два: тип с каноническим видом (VI) или (VII), если Lt<0,
и тип с каноническим видом (VI') или (VII'), если Ьг > 0. В категории
о
с характеристикой [1] тип, у которого одна из форм /, ф, например /,
имеет дискриминант А = 0 и ранг г =2, распадается на два: тип с канони-
каноническим видом (VIII), если La < 0, и тип с каноническим видом (VIII'),
если Lx > 0: точно так же тип, у которого одна из форм /, ф, например /,
имеет дискриминант Д = 0 и ранг г=1, причем элементарный делитель
пучка есть трехкратный делитель его дискриминанта, распадается на два:
тип с каноническим видом (XV), если Ls<0, и тип с каноническим видом

§ 1)
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
259
(XV), если L3 > 0. В категории с характеристикой [0] тип, у которого
А Ф 0 и Д' Ф 0, распадается на два: тип с каноническим видом (V), если
Д < 0, и тип с каноническим видом (V), если Д > 0.
Результаты классификации пучков кубических двойнич-
двойничных форм (у которых не все формы равны тождественно
нулю) в комплексной и вещественной областях сведены
в нижеследующих таблицахг). ¦ •
5. Полученным результатам дадим геометрическую интерпретацию;
с этой точки зрения представляют интерес лишь неособенные пучки куби-
кубических двойничных форм, принадлежащие категориям с характеристиками
. о о О
[11], [11], [11], [11], а также тем типам из категорий с характеристиками
о
[1], [1], у которых элементарный делитель пучка является трехкратных»
делителем его дискриминанта.
Теорема 1.6. Каждая из'троек различных точек прямой, задаваемьи
кубическими двойничными формами неособенного пучка Xf-^ \щ, принадлежа-
о о о
гцего любой из категорий с характеристиками [11], [11], [11], [H]i состав-
составляет с каждой из точек, задаваемых якобианом форм /, ф базиса пучка,
эквиангармоническую четверку.
Действительно, беря канонический пучок A), представляющий неособен-
неособенные пучки кубических двойничных форм, принадлежащие категории
с характеристикой [11], находим задаваемые этим пучком тройки различ-
различных точек прямой
Мг(а, 1), М2(ва, 1), Л/3(еЧ 1), A.35)
где
Якобиан форм
равен
—' тхХ\ —
(т, - т2) Х\Х\
и определяет две различные точки прямой
7Vl@, 1) и N2(i;j)).
@фт1фт2ф0).
образующих базис пучка (I),
¦• A.36)
A.37)
Составляя дношюе отношение каждой из этих точек с тремя точками A.35),
будем иметь:
0
еа
0
е2а
1
еа
1
ега
1
1
1
1
0
1
0
1
•
а
еа
а
е2а
и
еа
а
г'а
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1 2
, . |/з
1 1 2
!) Эту классификацию можно назвать строгой, поскольку принадлежность двух
пучков одному и тому же классу влечет за собой принадлежность одному и тому же
классу двух нар кубических двойничных форы, образующих базисы рассматриваемых
пучков. Строгая классификация пучков равносильна классификации пар кубических
двойничных форм, чего нельзя сказать о нестрогой классификации, допускающей при-
принадлежность одному и тому же классу двух пучков, базисы которых /, <р и /', <р' свя-
связаны соотношениями /' — ^J-\-\il(f, <р' = ^«/
нения 3, 4).
гФ При условии, что
(унраж-
17'

260
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРЛТ [ГЛ. "VI
категории
I"l
[11]
[11]
[2]
[2]
[(И)]
[(И)]
11]
[1]
[0]
Пучки i
5у0ических
Т.
двойничных форм над полем комплексных чисел
типы
{У
Д
г
Д
г = 1
Д = 0
д=о
И '
г = 2,
,,„
ГА,
|
г*
= 0
и
о
, г' = 1
г = 2
г — 1
/ — L
г = 0
Lx = 0
ЦфО
fcO и Д' ФО
= 0, г = 2 и Д' =0, г' = 2
Ц'=0, г'= 2
Элементарный делитель пучка есть дву-
двукратный делитель его дискриминанта
Элементарный делитель пучка есть трех-
трехкратный делитель его дискриминанта
Элементарный делитель пучка есть дву-
двукратный делитель его дискриминанта
Элементарный делитель пучка есть трех-
трехкратный делитель его дискриминанта
Элементарный делитель пучка есть дву-
двукратный делитель его дискриминанта
Элементарный делитель пучка есть трех-
трехкратный делитель его дискриминанта
А фО и Д' фО
Существуют простые делители дискрими-
дискриминанта пучка
Все делители дискриминанта пучка—
кратные
1 б л и ц а I
канонические
виды
(I)
(XII)
(XIII)
(XVIII)
(XX)
(II)
(XVII)
(XVI)
(XXI)
(III)
(IV)
(VI)
(VII)
(XIX)
(VIII)
(XIV)
(XV)
(XXII)
(V)
(IX)
(X)
(XI)

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ 261
категории
111]
[11]
[11]
[2]
т
[ii]
i(ii)]
к")]
[i]
о.
[1]
10]
Та
Пучки кубических двойничных форм над полем вещественных чисел
типы
( f А <0
1 Д =?0 и Д'#0 1
\ 1 д >о
( Д=0, г = 2 и Д'=0, г'=2
, f Д'<о
Г = О\Д' = О г'= 2
Д=0
Д ^0
и
А'фО
Л — 0
и
Д =f=0
Элементарный делитель пучка есть | Д < 0
двукратный делитель его диск- |
риминанта Д (X, р.) [ А > 0
Элементарный делитель пучка есть ( Д < 0
трехкратный делитель его диск- <
риминанта Д (X, р.) 1 А > 0
Элементарный делитель пучка есть < Ьл < 0
двукратный делитель его диск- <
риминанта Д (X, р.) 1 Lx > О
Элементарный делитель пучка есть 1 Lx < 0
трехкратный делитель его диск- <
риминанта Д (Я, (а) 1 ?t > О
г = 1, г' = 1
r = 2(i1>o
г = 1
Элементарный делитель пучка есть
двукратный делитель его диск-
дискриминанта Д (Я, р.)
Элемептарный делитель пучка есть 1 L3 < 0
трехкратный делитель его диск- \
риминанта Д (Я, и,) \ L3> 0
г = 0
| Д < 0
д^О И А Ф° {Д >0
д = о
и
- 9
/ —— i-t,
Г — 0
1^1 -— U
Существуют простые делители
дискриминанта пучка
Gee делители дискриминанта
пу чка—кратные
Ь>Ф0
о лица II
канонические
виды
(I)
(XII)
(XIII)
(XVIII)
(XX)
(I')
(И)
(II')
(XVII)
(XVI)
(XVI')
(XXI)
(III)
(ИГ)
(IV)
(IV)
(VI)
(VI')
(VII)
(VII')
(XIX)
(VIII)
(VIII')
(XIV)
(XV)
(XV)
(XXII)
(V)
(V)
(IX)
(X)
(XI)

262
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Таким образом, получаем эквиангармонические четверки
Nv Mv М2, М3 и N2, Mv M2, M3.
Для канонического пучка (Г), представляющего неособенные пучки
кубических двойничных форм, принадлежащие категории с характеристи-
характеристикой [11], находим тройки задаваемых им различных точек прямой
1(а1, 1), Л/2(а2, 1), М3(а3, 1),
где
причем
X
Л= V l-i.
Якобиан v(X\ + XlY форм
ZX\X2 - XI, - vX\ - ЪиХ\Хг + ZvXJlI -f nA'J
базиса пучка (Г) определяет две различные точки прямой
N,(i, 0) и ЛГ2(-1\ 0).
В этом случае также имеем:
i 1
а2 1
11
— i
а2
!
а3 1
а, 1
а, 1
с
с
11!
13 1
«1
а2
а3
1
1
1
1
Аналогичный результат получим, рассматривая канонические пучки (XII),
(XIII), представляющие неособенные пучки кубических двойничных форм,
принадлежащие соответственно категориям с характеристиками [11], [И],
и якобиан Х\Х\ форм базиса каждого из пучков (XII), (XIII).
Теорема 1.7. Каждая из троек различных точек прямой, задаваемых
кубическими двойничными формами неособенного пучка kf + fxtp, принадлежа-
принадлежащего тем типам из категорий с характеристиками [1], [1], у которых
элементарный делитель пучка является трехкратным делителем его дискри-
дискриминанта, составляет гармоническую четверку с каждой точкой, задаваемой
якобианом форм /, ф базиса пучка, отличной от точек рассматриваемой
тройки.
Для доказательства рассмотрим канонические пучки (IV) и (IV), (VII)
и (VII'), (XV) и (XV), представляющие типы пучков, упоминаемые в теореме.
Беря канонический пучок (IV) или (IV), получим задаваемые этим
пучком тройки различных точек прямой
Ml, 0), L2(P, 1), L3(-P, 1), A.38)

S 1]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ДВОЙНИЧНЫХ ФОРМ
263
где
или
-V-
,IX
ДЛЯ
?=0).
пучка (IV)
Якобианы форм 3A[JX2 + Х!|, — ЗтХ^Х2 — ???,A'j базиса пучка (IV) и форм
3AjX2 — XI, —ЗтХ^Х2+ ni-Jil базиса пучка (IV') с точностью до числового
.множителя равны
ХХХ\. v _ A.39)
Каждый из якобианов определяет две различные точки A.37), из кото-
которых только одна точка Л\@, 1) отлична от точек A.38).
Составляя двойное отношение этих четырех точек, находим:
0 1
Р1
1 0
И
0 1
-Р*
1 О
-Pi
= -1 .
Имеем, таким образом, гармонические четверки Л? Ьг, L2, L.t.
Возьмем теперь канонический пучок (VII) или (VII'). Получим тогда
тройки различных точек прямой
Pt(l, 0), Р2(у, 1), P,(-Y, 1), A.40)
где
для
пли
для
Так как якобианы форм базиса каждого из рассматриваемых канони-
канонических пучков с точностью до числового множителя представляются выраже-
выражением A.39), то из двух различных точек A.37), задаваемых этими якобиа-
якобианами, только точка Nl@, 1) отлична от точек A.40). Составляя двойное
отношение этих четырех точек, получаем (N1P1P2P3)~ — !•
Имеем, следовательно, гармонические четверки Nt, Pv Р2, Р3,
Беря, наконец, канонический пучок (XV) или (XV'), будем иметь тройки
различных точек прямой
^@, 1), Q2F, 1), & (-в, 1), A.41)
где
пучка (XV)
или
== V
(ЬфО),
5^Г для пучка-(XV)
Из двух различных точек' A.37), задаваемых якобианами форм базиса
каждого из пучков (XV), (XV'), равными с точностью до числового множи-
множителя выражению A.39), только точка УУ2A, 0) отлична от точек A.41),
и так как (N2Q1QiQ3)= — 1, то четверки iV2, Qt, Q2, Q3 — гармонические.
6. Другую геометрическую интерпретацию получим, рассматривая инво-
инволюции, задаваемые пучком трилинейных двойничных форм, полярным не-
неособенному пучку кубических двойничных форм Kf + ц.ф (в предположении,
что пара-метры Я,, у, не принимают, значений, одновременно равных нулю).

264 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Теорема 1.8. Каждая из троек тройных 'точек инволюций, задаваемых
пучком трилинейных двойничных форм,, полярным неособенному пучку куби-
кубических двойничных форм Xf + Цф» относящемуся к любой из категорий с харак-
о о. О
теристиками [11], [И], [11], [И], вместе с любой из четверных точек
инволюции, задаваемой четырехлинейной двойничной формой, полярной яко-
якобиану форм /, ф базиса пучка, принадлежит этой четырехлинейной инво-
инволюции !)'.
Действительно, точки A.35) являются тройными точками трилинейных
инволюций, задаваемых неособенным пучком трилинейных двойничных форм,
полярным каноническому пучку (I) кубических двойничных форм, относя-
относящемуся к категории с характеристикой [11], а точки A.41) будут четверными
точками четырехлинейной инволюции, характеризуемой уравнением
которое получим, приравнивая нулю четырехлинейную форму, полярную
якобиану A.36) форм базиса пучка (I).
Тройка точек A.35) вместе с любой из точек A.37), очевидно, при-
принадлежит инволюции A.42).
К тому же результату придем, рассматривая трилинейные инволюции,
задаваемые неособенным пучком трилинейных двойничных форм, полярным
каноническому пучку кубических двойничных форм (Г), (XII) или (XIII),
относящемуся соответственно к категории с характерстикой [11], [11] или [11].
Теорема 1.9. Каждая из троек тройных точек инволюций, задавае-
задаваемых пучком трилинейных двойничных форм, полярным неособенному пучку
кубических двойничных форм Xf + и.ф, относящемуся к тем типам из кате-
категорий с характеристиками [1], [1], у которых элементарный делитель является
трехкратным делителем его дискриминанта, вместе с совпадающей с одной
из точек рассматриваемой тройки четверной точкой инволюции, задаваемой
четырехлинейной формой, полярной якобиану форм /, ф базиса пучка, при-
принадлежит этой четырехлинейной инволюции.
Для доказательства рассмотрим тройки тройных точек инволюций,
задаваемых неособенным пучком трилинейных двойничных форм, полярным
одному из канонических пучков кубических двойничных форм (IV) и (IV'),
(VII) и (VII'), (XV) и (XV'), представляющих типы пучков, упоминаемых
а теореме.
Такими тройками являются точки A.38), A.40), A.41).
Точки A.37) будут четверными точками четырехлинойной инволюции,
характеризуемой уравнением
ЪУгЧк + ЧУхЧк + хгУгЧ1г + ЧУгЧК = °» С1 -43)
которое получим, приравнивая нулю четырехлинейную форму, полярную
якобиану форм базиса каждого из упомянутых выше канонических пучков,
представляемому с точностью до числового множителя выражением A.39).
Инволюции A.43), очевидно, принадлежит каждая из троек A.38),
A.40) вместе с совпадающей с одной из точек каждой тройки точкой^ Na
A,0) нары A.37), а также тройка A.41) вместе с совпадающей с одной из
точек этой тройки точкой Nt @, 1) той же пары A.37). А это и требова-
требовалось доказать.
х) В однородных координатах четырехлинейная инволюция характеризуется урав-
уравнением вида

§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 265
Упражнении
1. Выразить коэффициенты а, р\ у, б в элементах канонической полиномиальной
матрицы (III'), обладающей характеристикой [1], через т, т1, т2, если элементарный
делитель <-е X— т\х. является двукратным делителем соответствующего дискриминанта,
остальные делители которого есть X—roju, и X — m2\i (т1фтг).
2. Коэффициенты а0, р*0, Yo> °о в элементах канонической полиномиальной мат-
матрицы (V), обладающей характеристикой [0], выразить через пц (i = l, 2, 3, 4), если
X—гп{\1 — делители соответствующего дискриминанта.
3. Используя таблицу 1, дать классификацию пар кубических двойничных форм
в комплексной области.
4. Используя таблицу II, дать классификацию пар кубических двойничпых форм
в вещественной области.
5. Показать, что пучок кубических двойничных форм Xi-\-^Q, где форма /—пе-
особенная и Q—якобиан форм / и Н [гл. III, D.1')], строго эквивалентен в поле комп-
комплексных, а также и вещественных чисел, если дискриминант Д формы/—отрицательный,
каноническому пучку
{X+Y^AriXl+iX-y^A^Xl A.44)
6. Показать, что пучок Xf-{-[iQ (см. упражнение 5) в поле вещественных чисел
в"случае, когда дискриминант^А формы / — положительный, строго эквивалентен кано-
ническому^пучку
У"А11Х*+ЗХХ1Хг — З'/ДцДГ^ — XXI A.45)
7. Каковы элементарные делители и характеристики пучков A.44), A.45)?
8. Доказать, что три точки прямой, задаваемые любой из форм пучка A./-f-|xQ
(см. упражнение 5), либо различны между собой, либо совпадают с одной из точек,
задаваемых гессианом формы /. *
9. Пусть Мг, М2, Мз—одна из троек различных точек прямой, задаваемых фор-
формами пучка Xf-{-\iQ (см. упражнение 5), a N17 N2—точки, задаваемые гессианом формы /.
Показать, что пятерки точек Л^, Мг, М2, М3, Лу, Nlt М2, М3, Mlt N%; Nlt М3, Ми
М2, ^2 проективно эквивалентны (Г. Б. Гуревич [12]).
10. Доказать, что три точки прямой, задаваемые какой-либо кубической двойничной
формой неособенного пучка Я/-(-и,ф, принадлежащего любой из категорий с характе-
характеристиками [11], [и], [lij, [nj, либо различны между собой, либо совпадают и впоследнем
случае сливаются с одной из точек, задаваемых якобианом форм /, ф базиса пучка.
§ 2. Классификация пучков кубических тройничных форм
1. Пусть дан пучок кубических тройничных форм над полем комплекс-
комплексных чисел
А./ + ИФ, B-1)
где к, \i — переменные параметры, а формы
з з
/= 2 АцьЧхрь q>= .2 Buh
с соответствующими симметрическими кубическими матрицами
A = \\Aijh\\, B = \\Bijh\\ (J,/,/c= 1,2,3)
образуют базис пучка.
Исследование этого пучка ограничим наиболее интересным случаем,
когда его характеристика [в1 ... ет] — наивысшая, т. е. ех + ... + ет = 3.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы наибольший общий дели-
делитель В3(Х, ц.) кубических миноров 3-го порядка, порождаемых матрицей
ХА-{-цВ пучка B.1) был кубической формой от К, и., что возможно только
тогда, когда ранг (двумерный или трехмерный) г (к, и,) этой матрицы равен 3,
т. е. когда пучок B.1) —регулярный.
В этом случае, если формы /, ср базиса пучка линейно зависимы, то
характеристика его, как нетрудно убедиться, будет [A11)]. Тогда все формы
I

266 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
пучка являются попарно линейно зависимыми и представляемые ими плоские
линии 3-го порядка совпадают.
Если же формы / и ср линейно независимы, то, принимая за базис
пучка B.1) его формы
где
X, ц,
Л2 f*2
и Я1; и.х удовлетворяют условию
^(^,^ = 0,
можно представить этот пучок в виде
Vi + HqV B.2)
Подвергая полиномиальную кубическую матрицу, соответствующую
пучку B.2), постоянным симметрическим элементарным преобразованиям,
приводящим матрицу формы f1 к каноническому виду, соответствующему
каноническому виду F формы /х, получим регулярный пучок вида
B.3)
проективно эквивалентный пучку B.2).
Форма F будет тогда одной из следующих канонических форм (см. таб-
таблицы I и III § 1 гл. V):
(I)
- (II)
. (III)
В соответствии с этим различаем три типа пучков с наивысшей'харак-
теристикой.
2. Пусть
F = Xl + Xl + X33. (I)
Соответствующая пучку B.3) полиномиальная матрица
9Л(Х,и) = иХ + (х$8,
где U — матрица формы F, а 33 — матрица формы Ф, порождает кубические
миноры 3-го порядка, представляемые следующими выражениями:
(К, и.) = 2И [®ШХ« + Р[?3 (Я,
(К, [X) = 2fi [<®2S3W + Р? (к,
(Я, ц) = 2}i [58223Я2 + Р? (А,
? (X,
9»222 (>-. I*) = 6f
где через РЦ (А,, |г) обозначены формы Z-й степени от Я,, ц,, не содержащие
i

5 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 267
Так как все эти миноры, кроме 5ДО123(Я,, МО* делятся на (А, то для того,
чтобы их наибольший общий делитель Ds (X, и.) был кубической формой от
л, и., а следовательно, пучок B.3) имел наивысшую характеристику, необ-
необходимо, чтобы все они, кроме 5С?12з (^-' И1)» тождественно равнялись нулю.
Поэтому
«133 = 0, SS122 = 0, S3233 = 0, SS223 = 0, SS112 = 0, S5m = 0, 3312, = O
и пучок B.3) имеет вид
(Я. + Я5ш|1)ХЛ-(Х + ®И2ц)Х5 + (Я, + ®ма|1)А1. B.4)
Здесь возможны следующие три случая.
Случай I. Среди S8m, 93222, S3333 нет равных.
Тогда, полагая в пучке B.4) последовательно
получим формы
где
B.5)
?_
333 —ЭД222
Принимая эти фор!мы за базис, мы можем представить пучок B.4)
в виде
k(Xl + lXl) + ii(nXl + X33). B.6)
Подвергнем матрицу пучка B.6) операции
Получим тогда канонический пучок
B.7)
где
^222 —
"<- —
ОТЛИЧНО ОТ О И — 1.
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей пучка B.7),
тождественно равны нулю, кроме минора
ЯЯ123(Ь, Ц) = Я(А.+ nqi) u,
Следовательно, их наибольший общий делитель
Кубические миноры 2-го порядка, порождаемые той же матрицей, имеют,
кроме значений, тождественно равных нулю, также значения, равные
A,fA, к (к -\- ПЦХ), (Я, + /TC[i)fA.
Поэтому их наибольший общий делитель D2(h, (x)=l.
Таким образом, элементарные делители пучка B.7) равны
X, Х-\-пц1, (X
и его характеристика—[111]J).
См. сноску в следствии II теоремы 5.5 гл. III.

268 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ ГЛ. VI
Относительные инварианты пучка B.7) имеют вид
S(X, ji) = 0, 7'(?цц)=-Ь2(^ + ™ИJ|Д R(X,lx)^-Xi(X + mlx)in\
откуда заключаем, что Т (Я,, и.) и R (К, и.) могут обращаться в нуль лишь
одновременно, и это будет тогда и только тогда, когда и. == 0 или А, = 0 или
Я, = — пц1.
Соответствующие этим значениям параметров Я,, ц. формы пучка B.7)
пропорциональны формам
причем / (Я,, ц.) = -0-, г (X, ц.) = 2, rcai ц) = 2.
При всех остальных значениях параметров X, |д, имеем:
i)=-l. B.8)
Обращаясь к геометрической интерпретации пучка кубических трой-
тройничных форм B.7), видим, что соответствующий пучок плоских линий 3-го
порядка состоит из эквиангармонических линий и трех троек прямых, пере-
пересекающихся в одной точке (см. таблицы I и III гл. V). Точки пересечения
прямых в каждой тройке отличны одна от другой, а также и от точек,
общих всем линиям пучка. Эти общие точки, число которых равно девяти,
расположены по три на прямых каждой тройки.
Случай II. Среди S8m, S5222» 23ззз имеется пара равных.
Пусть, например S5ln = 58222 ^ ^ззз- Давая тогда в пучке B.4) пара-
параметрам X, [1 значения B.5), получим две формы этого пучка:
1, XI B.9)
Принимая их за базис, приходим к каноническому пучку
XiXl + XD + iiXl B.10)
Для соответствующей матрицы имеем:
а потому элементарные делители пучка B.10) равны К, X, и. и его харак-
характеристика [A1I].
Вместе с тем находим:
откуда следует, что Т (X, ц.) и R (X, и) могут обращаться в нуль лишь одно-
одновременно, именно тогда и только тогда, когда и. = 0 или Я, = 0. Из пучка
B.10) при этих значениях параметров получаем формы B.9), причем
/(А.,|1)=-?(г(Я,,ц) = 2, ''са,д) = 2; /" (Я, |*) = 1).
При значениях Я,, ц, отличных от нуля, выполняется условие B.8).
Следовательно, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий
пучку кубических тройничных форм B.10), состоит из эквиангармонических
линий, тройки пересекающихся в одной точке прямых и тройки совпадаю-
совпадающих прямых.
Все линии пучка имеют три общие точки. Каждая из этих точек есть
точка соприкасания всех нераспадающихся линий пучка. Все три точки
лежат на тройной прямой пучка; касательными в этих точках являются
прямые первой тройки, точка пересечения которых отлична от точек, общих
всем линиям пучка.

§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 269
Случай III. »ш = ®И2=»Юз=*0.
Тогда пучок B.4) можно представить в каноническом виде
(X + li)(Xl + Xl + Xl). B.11)
Его характеристика будет [A11)], причем выполняется условие B.8)
при всех значениях параметров К, и. для которых к Ф — ц. Все формы пучка
попарно линейно зависимы, и представляемые ими линии сливаются в одну
эквиангармоническую линию.
3. Пусть, далее,
F = XI + 3XIX3. (I!)
Соответствующая пучку B.3) полиномиальная матрица
порождает кубические миноры 3-го порядка, представляемые выражениями
8и (К |х) = б|* [ — »1яд» + PZ (К |х)],
12з (X, (*) = (* [ - 2SS233P + />? (*, I*)].
(X, (х) =
8J?333 {К V) = 6ц2 [C3, Аз - ®i») Я- + ^ззз (Л, I*)].
Так как все эти миноры, кроме 3J?122 (Я,, ц), делятся на (А, то их наи-
наибольший общий делитель D3 (А,, и.) будет кубической формой от Я,, и. только
тогда, когда все они, за исключением 5U?i22 (^, ^)т тождественно равны нулю.
Поэтому
и пучок B.3) будет иметь вид
/л I cvj \ тгЗ I О t\ I CYJ \ V2 V i QW3- ¦ i V" V i Oft ¦¦ V3 /О \ О\
(Л -f- iOi^ilX) At + о (К -f- 5о22зЦ) -Л-2А3 -f- о!©122(ХА1Л2 -j- )©222fXA2. (Z.I/)
Будем различать два случая: когда ЯЗШ ?= 3322з и когда S51U = S5a23.
Случай Т. 93Ui ^ ЯЗггз- Тогда, полагая в пучке B.12) последовательно
58 » 1
и
»ш 1
получим две формы этого пучка
XI + тХ\ + ЪпХхХ\, ЧХ\Х3 - тХ* - ЪпХуХ\,
где
m- g«« „
Приняв эти формы за базис, представим пучок в виде
Я^» + я»(Я,-ц)ХЛ-Зд(й,-|1)Х1ХЛ-3|*ХрСз. B.13)
Рассмотрим дна возможных варианта.

270
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Вариант 1. Пусть m и пне равны одновременно нулю.
Тогда подвергнем матрицу пучка B.13) операциям
+
///
¦п
II
+
III
В результате получим матрицу (рис. 54), которую можно считать канони-
канонической, если т2+ in3 фО.
о
A. / 1 1
-^-1-1— V
—1-14—\
B.14)
\4—4.-14—l-i4
0k- \J$C 1-?У
\
Рис. 54.
В этом случае ей соответствует канонический пучок
B.15)
с базисом
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей B.14), тож-
тождественно равны нулю, кроме минора 9Л122(^> V) — — 2Л,[д,2.
Следовательно, Ds (X, и.) = Х\х2.
Далее, D2(X, |Л) = 1, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка,
порождаемых той же матрицей, имеются равные 2пХ2, тХ2, — 2иА
Таким образом, элементарные делители пучка B.15) равны (А2, X, и
характеристика его будет [21]. Для матрицы B.14) при всех значениях
параметров X, \i имеем:
i, (Л Ф U, \х ф U),
Z (Л = U,
5 (Я,
О
О,
ф 0),
.2 (X Ф 0, ц = 0).
При дтом относительные инварианты S (X, \i), T(X, u.), R(X, ц) тождс-
стненно равны нулю, следовательно,
Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, представляемых
формами пучка B.15), "состоит из нераспадающихся линий с двойной точкой,
у которых касательные в этой точке совпадают, из тройки прямых, из ко-
которых две совпадают, и из тройки различных, пересекающихся' в одной
точке прямых.

§ 2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
271
Все линии пучка имеют четыре общие точки, из которых одна является
двойной точкой нераспадающихся линий пучка. Двойная прямая первой
тройки касается нераспадающихся линий пучка к их двойной точке, а про-
простая прямая этой тройки прохрдит через остальные общие точки; точка
пересечения этих прямых отлична от точек, общих всем линиям пучка.
,/
О
~o7\'
/I О/\ О/
Л{-\ *-1 л
/lf—t—1 f—\~i f I
I1 I l1 • \
o\
I /
-(к/
2.17
Рис. 55.
Прямые второй тройки пересекаются в двойной точке нераспадающихся ли-
линий пучка и каждая проходит через одну из остальных общих точек.
Если m2 + 4n3 = 0, то, подвергая матрицу B.14) операциям
¦У-
II
III
приводим ее к виду (рис. 55), которому соответствует канонический пучок
Я, (XI + 3X\X
B-18)
с такой же характеристикой, как и у пучка B.15). Для матрицы B.17)
при всех значениях параметров X, \х имеем:
г (К, ц) =
ГС (X, Д) :
[\
3
2
1
(К Ф
(K =
(Ьф
о,
-о,
о,
о,
РФ
l1 Ф
(-1 Ф
\1ф
0)
0
0),
0
1
или
или
I
К
Ф
Ф
0,
0,
= 0),
= 0).
При этом выполняется условие B.16).
Следовательно, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий
пучку кубических тройничных форм B.18), состоит из нераспадающихся
линий с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают,
и из двух троек прямых, в каждой из которых две прямые совпадают. Все
линии пучка имеют три общие точки. Одна из них —двойная точка нерас-
нераспадающихся линий пучка, другая —точка взаимного касания этих линий,
третья — точка их пересечения. Двойная прямая одной тройки касаетси
нераспадающихся линий пучка в их двойной точке, а простая прямая этой
тройки — в их точке взаимного касания; вместе с тем последняя прямая
проходит через третью общую точку линий пучка. Прямые другой
тройки пересекаются в двойной точке нераспадающихся линий пучка, при-
причем двойная прямая этой тройки проходит через общую точку взаимного
касания, а простая прямая — через общую точку пересечения.

272 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Вариант 2. Пусть т = п — 0 в пучке B.13).
Тогда он имеет канонический вид
B.19)
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые соответствующей мат-
матрицей, тождественно равны нулю, кроме минора
Из кубических миноров 2-го порядка, порождаемых той же матрицей,
имеем, кроме тождественно равных нулю, также равные кц, —2ц.2.
Следовательно, В3(к, ц.) = Кц2, D2(k, fi) = fA, D1(K, |л) = 1, и элементар-
элементарные делители пучка B.19) равны \i, (А, X, а потому характеристика его
будет [A1) 1].
Для матрицы пучка B.19) при всех значениях параметров X, ц имеем:
i 3 (Л. ф 0, (X Ф 0), ' ,5 (ЬфО, рФ 0),
г (к, ц) = 2 (А. = 0, ц#0), rC(XiJ1) = 1 (Х = 0, 1ХФ0),
[ 1 (Я, ф 0, (х = 0), I. О (Я, =? 0, |i = 0).
При этом выполняется условие B.16).
Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий
пучку B.19), состоит из нераспадающихся линий с двойной точкой, у ко-
которых касательные в этой точке совпадают, и из двух троек прямых, при-
причем в одной тройке совпадают две прямые, а в другой — все три. Все линии
пучка имеют две общие точки; одна из них — двойная точка нераспадаю-
нераспадающихся линий пучка, другая—их точка соприкасания. Тройная прямая
пучка проходит через эти две точки, двойная прямая касается нераспада-
нераспадающихся линий пучка в их двойной точке, а простая прямая — в точке со-
соприкасания; точка пересечения этих касательных отлична от точек, общих
всем линиям пучка.
Случай II. 83ц1 = Я3223- Пусть при этом 93,22 и 93222 не равны одно-
одновременно нулю.
Здесь возможны два варианта в зависимости от того, будет ли 95122 Ф О
пли S5122 = 0.
Вариант 1. 58122 Ф 0.
Тогда, полагая в пучке B.12) последовательно
получим две формы пучка: Х\-\-ЗХ\Х3, ЗХгХ1-\- 1X1, гДе ^ = w^ -
Принимая их за базис, представим пучок B.12) в каноническом виде
X (XI + ЗХ2гХ3) + (X (ЗХгХ1 -Ь IX*) B.20)
с соответствующей матрицей (рис. 56).
Порождаемые матрицей B.21) кубические миноры 3-го порядка тожде-
тождественно равны нулю, кроме минора 5U?122 (X, (х) — — 2АЛ
Следовательно, D3(X, fx) = A,3.
Далее, D2(X, fx) = 1, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка,
порождаемых той же матрицей, имеются равные Л.2, — 2р.3. Поэтому пучок
B.20) имеет единственный элементарный делитель Xs и характеристика его
будет [3].

2] классификация пучков кубических тройничных форм 273
Для матрицы B.21) при всех значениях параметров X, \i имеем:
3 (МО), f 5 (%ФО),
r \
Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий
пучку B.20), содержит, кроме нераспадающихся линий с двойной точкой,
у которых касательные в этой точке совпадают, также тройку прямых, из
которых две совпадают. Все линии пучка имеют две общие точки; одна из
fu
o_ о
Л п Л
____,_+-h__r!
B.21)
&?_
Рис. 56.
них —двойная точка нераспадающихся линий пучка. Эти точки лежат на
простой прямой упомянутой выше тройки, двойная прямая которой касается
нераспадающихся линий пучка в их двойной точке.
При /=0 пучок B.20) будет сизигетическим1) (упражнения 10, 11),
так как тогда форма 2>ХгХ\ с точностью до постоянного множителя является
гессианом любой формы пучка, соответствующей значению параметра "к,
отличному от нуля (ср. [225], стр. 236).
Вариант 2. Я3122 = 0.
В этом случае 58222 ф 0. Полагая в пучке B.12) последовательно
л ~ — та ' г ~ да •
-О222 ^ггг
получим две формы этого пучка:
Принимая их за базис, представим пучок B.12) в каноническом виде
B.22)
с соответствующей матрицей рис. 57.
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей B.23), тож-
тождественно равны нулю, кроме минора 9K122(^i ц)= — 2Х,3.
Следовательно, D3 (к, \х) = к3.
х) Пучок кубических тройничных форм называем сизигетическим, если за
базис его можно взять такие две формы пучка, что одна из них является гессианом
другой с точностью до числового множителя (ср. [54], стр. 416).
V4 18 н. П. Соколов

274 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Кубические миноры 2-го порядка, порождаемые той же матрицей,
кроме значений, тождественно равных нулю, имеют также значения, равные
Хц, X*, — 2Х*. Следовательно, Г)ъ (X, ц) = X.
Далее, D1 (X, (х) = 1.
Поэтому элементарные делители пучка B.22) равны X*, X, и характе-
характеристика его будет [B1)].
Для соответствующей матрицы при всех значениях параметров X, р
имеем:
3 (ХФО), Г 5 (кфО),
(X = U, \i Ф 0), { U (X = U, \i ФР).
При этом выполняется условие B.16).
Таким образом, пучок плоских линий 3-го порядка, соответствующий
пучку B.22), содержит, кроме нераспадающихся линий с двойной точкой,
n't
п / О О
^i B-23)
\ \
Рис. 57.
у которых касательные в этой точке совпадают, также тройку совпадающих
прямых. Все линии пучка имеют только одну общую точку, являющуюся
двойной точкой нераспадающихся линий пучка; касательная в этой точке —
тройная прямая пучка.
Пусть теперь 58ш = 58222 = 0- Тогда пучок B.12). в котором, очевидно,
$ВП1 = 93223 Ф 0, может быть представлен в каноническом Ъиде
(Х + ц)(Х; + ЗВД,). B.24)
Его характеристика будет [A11)], и !для соответствующей матрицы при
всех значениях параметров X, ц, удовлетворяющих условию X Ф — ц, имеем:
г(Х, ц)=3, гса>ц) = 5.
При этом выполняется условие B.16).
Все линии пучка сливаются в одну нераспадающуюся линию с двойной
точкой, в которой касательные совпадают.
4. Пусть, наконец,
(Ш)
Соответствующая пучку B.3) полиномиальная матрица
Я» (Я,, ц) = Х11 + цВ

2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 275
порождает кубические миноры 3-го порядка, представляемые выражениями
««(х, i*)=6[-x»+i>8j(A., ii)},
.. I»)].
-, V) = 2р. [B81М - <В233
8 (X. I*)].
SR,,s(X, f*) = 2^[-
-. I*) =
1 (К V)],
ЯК12з(X, ц) = |i [3$8Ш^ + Р® (К ц)].
Отсюда заключаем, что D3(k, ц.) будет кубической формой от Я, \л
только тогда, когда все миноры, кроме ЭД882 (Я, ц), тождественно равны
нулю. Следовательно,
и пучок B.3) имеет вид
Рассмотрим два случая: когда 85Ш =# 89И8 и когда 58112=582М.
Случай I. 58U2#B228.
Подвергая тогда матрицу пучка B.25) операциям
+
•р.
II
+
III
где
мы приведем ее к виду, которому соответствует пучок
3 (X+58112м.) Х\Хг + 3 (X + $8
Полагая в пучке B.26) последовательно
B.25)
B.26)
-'«!3
получим две формы этого пучка:
где
Принимая их за базис, представим пучок в виде
9 4- ЗцХ^Г3 + m (X - ц) Х4*.
B.27)
18*

276
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ
[ГЛ. VI
Далее, различаем два варианта в зависимости от того, будет т Ф О
или т = 0.
Вариант 1. тфО.
Тогда соответствующая пучку B.27) матрица после операций
i
+
///
т
 '
fm*
принимает канонический вид (рис. 58).
fij
о/
О
о
/7
B.28)
O'J
Рис. 58.
Матрице B.28) соответствует канонический пучок
Л 1оЛ,л
имеющий базисом формы
ЗХ1Х2
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицейj B.28),
тождественно равны нулю, кроме минора
B.29)
Следовательно, -D3(^» ц) = Я,(а2.
Далее, Z>2 (Я, (х) = 1, поскольку среди кубических миноров 2-го поряд-
порядка, порождаемых той же матрицей, имеются равные — 2Я,2, — 2|Л2.
Поэтому элементарные делители пучка B.29) равны ц2, X, и характе-
характеристика его будет [21].
Для матрицы B.28) при всех значениях параметров к, ц имеем:
г(А., |*)=
3 (
2 (
ГС (Я., Ц)
Я-?=0,
( 4
2
V-
ц-
(X
(X
(X
ФО),
ф 0 или
ФО, ц
= 0, (А
ФО, ii
ХФО,
фО),
ФО),
= 0).
При этом выполняется условие B.16).
Следовательно, пучок B.29) представляет совокупности конического
сечения и касательной к нему прямой, а также тройку прямых, из кото-
которых две совпадают, и тройку различных пересекающихся в одной точке
прямых. Все линии пучка имеют общую прямую, совпадающую с двойной
прямой первой тройки и с одной из прямых второй тройки. Конические

§ 2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
277
сечения пучка имеют три общие точки; одна из них есть точка касания,
другие две — точки пересечения конических сечений. Двойная прямая
тройки пучка касается всех конических сечений в точке их взаимного
касания, а простая прямая этой тройки проходит через две общие точки
их пересечения.
Вариант 2. т = 0.
Тогда пучок B.27) имеет канонический вид
ЗкХ[Х2 4- ЗцХ1Х3. . B.30)
Характеристика его та же, как и у пучка B.29), и для соответству-
соответствующей матрицы при всех значениях параметров X, и. имеем:
r(X, |i) =
с а,
3 (кфО,
2 (Х = 0,
4 (кФО,
рфО),
или
При этом выполняется условие B.16).
Следовательно, пучок B.30) представляет совокупности конического
сечения п касательной к нему прямой, а также две тройки прямых;
в каждой тройке две прямые совпадают, и все прямые этих троек состав-
составляют треугольник, у которого одна сторона — простая прямая, другая —
двойная прямая, а третья тройная прямая. Последняя является общей
прямой для всех линий пучка. Конические сечения пучка имеют две
общие точки взаимных касаний. Простая и тройная прямые упомянутого
выше треугольника касаются в этих точках конических сечений, а двой-
двойная прямая его проходит через них.
Случай II. Я3112 = 33223.
Здесь возможны два варианта, в зависимости от того, будет SS^ Ф 0
или S5122 = 0.
Вариант 1. 3312а^=О. Тогда, совершая над матрицей пучка B.25)
операции
+
¦1,
II
+
///
•(-г2),
+ 777 -(-20,
где
3S3122 '
приведем ее к виду, которому соответствует пучок
(Л -)- 2Oi12M-J \Л-\Л-2 ~г^2^з) т •J*3122fAX1Aj.
Полагая в нем последовательно
к-
"S3,
получим две формы этого пучка: ЗХ*Х2 -f- 3X\XS, ЗХгХ1.
Принимая их за базис, будем иметь канонический вид пучка
B.31)
которому соответствует матрица рис. 59.
'/г 18 н. П. Соколов

278 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Кубические миноры 3-го порядка, порождаемые матрицей B.32),
тождественно равны нулю, кроме минора 5Щ222 (X, fi) = — 6АА
Следовательно, Ds (X, ц) = АЛ
Далее, D2(X, fx)=l, поскольку среди кубических миноров 2-го порядка,
порождаемых той же матрицей, существуют равные — 2Х2, — 2ц2.
о / о о
\
О)
Рис. 59.
Поэтому пучок B.31) имеет единственный элементарный делитель X3
и характеристика его будет [3].
Для матрицы B.32) при всех значениях параметров X, ц имеем:
3 (ХфО),
C (ХфО),
г (a. W - | 2 (Л = О, (X Ф 0),
4 (*?=()),
При этом выполняется условие B.16).
Таким образом, в состав пучка B.31), кроме совокупностей конического
сечения и касательной к нему прямой, входит также тройка прямых, из
которых две совпадают. Все линии пучка имеют общую прямую, совпада-
совпадающую с двойной прямой этой тройки.
Конические сечения пучка имеют две общие точки; в одной из них
имеется соприкасание. Простая прямая тройки пучка проходит через эти
точки, а двойная прямая касается конических сечений в их точке сопри-
соприкасания.
Вариант 2. 33x22 = 0. Если при этом 232ВД ф 0, то, полагая в пучке
B.25) последовательно
получим две формы этого пучка: 3XjZ2 + 3X|X3, XI. Приняв их за базис,
приходим к каноническому виду
B.33)
сизигетического пучка (упражнения 16, 17).

§ 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 279
Для матрицы пучка B.33) при всех значениях параметров X, ц имеем:
3 (кфО), /4 (ЬфО),
При этом выполняется условие B.16).
При 33222 = 0 замечаем, что пучок B.25), в котором, очевидно,
58112 = Й3223 ф 0, можно представить в каноническом виде
3(к + р)(Х1Х2 + Х*Хя). B.34)
Его характеристика будет [A11)] и для соответствующей матрицы при
всех значениях параметров А., ц, удовлетворяющих условию А. Ф — ц, имеем:
г(Я„ и) = 3, rC(Jti|i) = 4.
При этом выполняется условие B.16).
Следовательно, все линии, представляемые пучком B.34), совпадают,
образуя совокупность конического сечения и касательной к нему прямой.
6. Все сказанное до сих пор о составе канонических видов пучков
кубических тройничных форм и представляемых ими плоских линий 3-го
порядка, о проективных свойствах этих линий и характеризующих их
признаках сохраняет силу на основании замечаний 5.9 и 5.10 гл. III и
для данного пучка B.1) во всех рассматривавшихся случаях.
Объединяя в одну категорию пучки с одной и той же характе-
характеристикой, находим пять категорий пучков кубических тройничных форм,
обладающих наивысшей характеристикой (характеристика [A11)] исключена).
Вместе с тем в зависимости от значений инвариантов I (к, ц) и гС(
эти категории могут быть подразделены на типы. В прилагаемой табли-
таблице I приведены результаты такой классификации.
Упражнения
1. Провести классификацию пучков вещественных кубических тройничных форм
с наивысшей характеристикой и дать геометрическую интерпретацию полученных
результатов (см. 132]).
2. Доказать, что сизигетический пучок кубических тройничных форм Я/-|-[Хф при
невырожденных линейных преобразованиях (с постоянными, т. е. не зависящими от X,
и. коэффициентами) пары форм /, ф остается сизигетическим.
3. Если форма / сизигетического пучка Х/4-щр — неособенная, то пучок приводит-
приводится к каноническому виду
ЦХЪ + ХЪ + ХМ + бцХ&Ха (I)
с характеристикой [0] как в комплексной, так и в вещественной области. Доказать.
4. Пучок (I) (упражнение 3) представляет плоские линии 3-го порядка, не имеющие
особых точек, а также четыре сизиготичсских треугольника, каждый из которых
является гессианом самого себя (в вещественной области — два сизигетических треуголь-
треугольника; у одного из них все стороны вещественны, у другого одна сторона вещественна,
а две—мнимые сопряженные). Среди нераспадающихся линий пучка содержатся четыре
эквиангармонические линии, гессианами которых являются упомянутые выше сизигети-
ческие треугольники, и три пары гармонических линий, причем в каждой паре одна
линия является гессианом другой (в вещественной области — по одной паре эквиангар-
монических и гармонических линий) (ср. [65], art. 140 b, 145).
Все линии пучка имеют девять точек пересечения, являющихся точками перегиба
и расположенных по три на каждой из сторон сизигетических треугольников (в веще-
вещественной области — из девяти точек перегиба три — вещественные, а шесть—мнимые,
попарно сопряженные; на каждой стороне вещественного сизигетического треугольника
лежит по одной вещественной и по паре мнимых сопряженных точек, тогда как у дру-
другого сизигетического треугольника на вещественной стороне лежит тройка веществепных
точек, а на мнимых сторонах — сопряженные тройки мнимых точек). Доказать.
5. Показать, что в вещественной области каждая из линий, представляемых пуч-
пучком (I) (упражнение 3), с положительным абсолютным инвариантом является гессианом
трех различных линий того же пучка, обладающих отрицательными абсолютными
18*

280
ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. VI
Таблица I
Пучки, кубических
тройничных форм
над полем комплексных чисел
категории
I. [Ill]
И. [A1I]
1
III.[21]
/ (X, ц) = )
1
ГС (А,, ц) =
ГС (Я. Д) =
ГС (Я., М) ==
гс (я, и) =
типы
-\(ХФО, \хфО)
о{я = о, рфо
и
ИЛИ
ХфО, ,1 = 0)
„ \l) = JT
и
ьскфо, рфО)
1(Я = 0, ц^О)
2(ХфО, (х = 0)
5 (X ?= 0, (х =jfc 0)
1 (к = 0, (г =? 0
или
Я^0, ц=0)
4 (Х#0, (г^0)
1 (Я=0, р.^0)
2 (Я^=0, (г=0)
4 (Я^0, ц^0)
1 (Я=0, \хф0
ГГТ1И
Я#0, ц=0)
канони-
канонические
виды
B.7) 1
1
I
B.10) )
B.19)
1
B.15)
¦
B.18) .
B.29)
B.30)
Пучки комплексных плоских
линий 3-го порядка
состав пучков
Эквиангармопическио линии.
Три тройки прямых, пересе-
пересекающихся в одной точке.
Эквиангармонические линии.
Тройка прямых пересекаю-
пересекающихся в одной точке.
Тройка совпадающих прямых.
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой, у которых
касательные в этой точке
совпадают.
Тройка прямых, из которых
две совпадают.
Тройка совпадающих прямых.
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой, у которых
касательные в этой точке
совпадают.
Тройка прямых, из которых
две совпадают.
Тройка различных пересекаю-
пересекающихся в одной точке пря-
прямых.
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой, у которых
касательные в этой точке
совпадают.
Две тройки прямых, в каждой
из которых две прямые сов-
совпадают.
Совокупности конического се-
сечения и касательной к не-
нему прямой.
Тройка прямых, из которых
две совпадают.
Тройка различных пересекаю-
пересекающихся в одной точке прямых.
Совокупности конического се-
сечения и касательной к не-
нему прямой.
Две тройки прямых, в каж-
каждой из которых две прямые
совпадают, и все прямые об-
образуют треугольник.

¦2]
КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ
281
Продолжение табл. I
Пучки куОнческих тройничных форм
над полем комплексных чисел
категории
IV. [B1)]
V. [3]
типы
ГС (Я, Р) ~~
ГС (Я, Р) = '
ГС (Я,р) =
гс (я, д) = '
5 (%фО)
0 A=0, цфО)
4(^0)
0 (>.=0, цфО)
5 (ХфО)
4 (Я=^=0)
1 (Х=0, цфО)
канони-
канонические
виды
B.22)
B.33)
B.20)
B.31)
Пучки комплексных плоских
линий 3-го порядка
состав пучков
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой, у которых
касательные в этой точке
совпадают.
Тропка совпадающих прямых.
Совокупности конического се-
сечения и касательной к но-
ному прямой.
Тройка прямых, совпадающих
с общей прямой пучка.
Нераспадающиеся линии с
двойной точкой, у которых
касательные в этой точке
совпадают.
Тройка прямых, из которых
две совпадают.
Совокупности конического се-
сечения и касательпой к не-
нему прямой.
Тройка прямых, из которых
две совпадают.
инвариантами, тогда как каждая из линий пучка (I) с отрицательным абсолютным
инвариантом является гессианом только одной линии этого пучка, обладающей поло-
положительным абсолютным инвариантом.
6. Если форма / сизигетического пучка A,/-f-u.q> — особенная неприводимая с абсо-
абсолютным инвариантом / = 0, то пучок приводится к каноническому виду
iX3 (И)
с характеристикой [2] в комплексной области, а также и в вещественной, если
ш(Г) =
если же
(о Г =
о,
то пучок приводится к каноническому виду
(II')
с той же характеристикой. Доказать.
7. Пучок (II) (упражнение 6) представляет нераспадающиеся линии 3-го порядка
с двойной точкой, у которых касательные в этой точке различны (в вещественной
области линии с узловой точкой), сизигетический треугольник и тройку прямых, пере-
пересекающихся в одной точке (в вещественной области этот треугольник—вещественный,
а из тройки пересекающихся в одной точке прямых одна —вещественная и две —мни-
—мнимые сопряженные). Все линии пучка имеют четыре общие точки; одна из них—двойная
точка нераспадающихся линий пучка (вещественная в вещественной области), в которой
пересекаются прямые упомянутой выше тройки, остальные же три точки являются
точками перегиба (в вещественной области одна из них вещественная, а две—мнимы и

282 ПУЧКИ ДВОЙНИЧНЫХ И ТРОЙНИЧНЫХ КУБИЧЕСКИХ ФОРМ [ГЛ. "VI
сопряженные), лежащими на одной из сторон сизигетического треугольника, другие
две стороны которого касаются нераспадающихся линий пучка в их двойной точке.
Доказать.
8. Пучок AГ) (упражнение 6) представляет вещественные линии 3-го порядка
с изолированной точкой, сизигетический треугольник, у которого одна сторона—веще-
сторона—вещественная, а две —мнимые сопряженные, и тройку вещественных прямых, пересекающих-
пересекающихся в одной точке.
Все линии пучка имеют четыре общие точки. Эти точки вещественны; одна из
них—изолированная, в которой пересекаются прямые упомянутой выше тройки, осталь-
остальные же три точки являются точками перегиба, лежащими на вещественной стороне
сизигетического треугольника, мнимые стороны которого касаются нераспадающихся
линий пучка в их изолированной точке. Доказать.
9. Показать, что каждой из линий, представляемых пучком (II) или (И') (упражне-
(упражнение 6), кроме тройки пересекающихся в одной точке прямых, соответствует в том же
пучке одна линия, являющаяся гессианом данной, и одна линия, для которой данная
есть гессиан.
10. Если форма / сизигетического пучка Х/+ЦФ — особенная неприводимая с абсо-
абсолютным инвариантом I = jr, то пучок в комплексной и вещественной областях приводится
к каноническому виду
Х(Х\-{-ЪХ1Х3)-{-Ъу1.Х1Х1 (III)
с характеристикой [3]. Доказать.
11. Пучок (Ш) (упражнение 10) представляет нераспадающиеся линии 3-го порядка
с двойной точкой, у которых касательные в этой точке совпадают, и тройку прямых,
из которых две совпадают (в вещественной области все эти линии—вещественные). Все
линии пучка имеют две общие точки (вещественные в вещественной области); одна
из них — двойная точка нераспадающихся линий пучка, другая — точка перегиба. Они
лежат на простой прямой упомянутой выше тройки, двойная прямая которой касается
нераспадающихся линий пучка в их двойной точке. Эта тройка прямых есть гессиан
остальных линий пучка. Доказать.
12. Если форма / сизигетического пучка Х/-]-и.<р-—особенная, разлагающаяся в про-
произведение линейной и неприводимой квадратичной форм с абсолютным инвариантом
/ = 0, то пучок приводится к каноническому виду^
^Хз (IV)
с характеристикой [A1)] в комплексной области, а также и в вещественной, если
I J- 1 I 1
со (Т (X, (г)) = I . , если же со (Т (К, ц,)) = i . , то пучок приводится к каноническому
виду
(IV)
с той же характеристикой. Доказать.
13. Пучок (IV) (упражнение 12) представляет совокупности конического сечения
и пересекающей его прямой, сизигетический треугольник и тройку прямых, совпадающих
с одной из сторон этого треугольника (в вещественной области все эти линии вещест-
вещественны). Последняя является общей прямой для всех линий пучка, пересекающей все
конические сечения пучка в двух точках (вещественных в вещественной области), где
конические сечения касаются друг друга; две другие стороны сизигетического треуголь-
треугольника являются касательными к коническим сечениям пучка в точках их взаимного
касания. Доказать.
14. Пучок (IV) (упражнение 12) представляет совокупности конического сечения
(как вещественного, так и миимого) и вещественной прямой, пересекающей его в двух
мнимых сопряженных точках, сизигетический треугольник, одна сторона которого —
вещественная, а две — мнимые сопряженные, и тройку прямых, совпадающих с веще-
вещественной стороной этого треугольника. Последняя является общей прямой для всех
линий пучка, пересекающей конические сечения пучка в двух мнимых сопряженных
точках, где эти сечения касаются друг друга; мнимые стороны сизигетического тре-
треугольника являются касательными к коническим сечениям пучка в точках их взаим-
взаимного касания. Доказать.
15. Показать, что каждой из линий, представляемых пучком (IV) или (IV)
(упражнение 12), кроме тройки совпадающих прямых, соответствует в том же пучке
одна линия, являющаяся гессианом данной, и одна линия, для которой данная есть
гессиан.
16. Если форма / сизигетического пучка %(-\-цу — особепная, разлагающаяся в про-
произведение линейной и неприводимой квадратичной форм с абсолютным инвариантом
О „ „ ,
I = -тт-, то пучок в комплексной и вещественной области приводится к каноническому

i 2] КЛАССИФИКАЦИЯ ПУЧКОВ КУБИЧЕСКИХ ТРОЙНИЧНЫХ ФОРМ 283
виду
ЗХ(Х1Х2+Х1Ха)+цХ1 (V)
с характеристикой [B1)]. Доказать.
17. Пучок (V) (упражнение 16) представляет совокупности конического сочения
и прямой, общей всем линиям пучка и касающейся конических сечений в точке их
гиперсоприкасания, а также тройку прямых, совпадающих с общей прямой пучка
(в вещественной области все эти линии—вещественные). Тройка совпадающих прямых
есть гессиан остальных линий пучка. Доказать.
18. Если форма / сизигетического пучка A,/-f-u.<p—особенная, разлагающаяся
в произведение трех линейно независимых линейных форм (с абсолютным инвариантом
/ = 0), то пучок приводится к каноническому виду
6(Х+ц)Х1Х2Х3 (VI)
с характеристикой [A11)] в комплексной области, а также и в вещественной, если
<о(Т(Х, ц))= +1; если же в>(Т(Х, ц)) =—1, то пучок приводится к каноническому
виду
1) (VI')
с той же характеристикой. Все линии, прздетавляемые пучком (VI), совпадают, образуя
сизигетический треугольник (вещественный в вещественной области), так же как сов-
совпадают и все линии пучка (VI'), образуя сизигетичоский треугольник, одна сторона
которого — вещественная, а две — мнимые сопряженные. Доказать.
19. Объединяя в одну категорию сизигетические пучки кубических тройничных
форм с одной и той же характеристикой, показать, что в комплексной и вещественной
областях существует всего шесть категорий этих пучков, соответственно шести харак-
характеристикам
[0], [2], [(И)], [3], [B1)], [A11)].

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава I
§ 1
1. Показать сначала, что число m-кратных (т = 1, 2, ..., р— 1) сечений матрицы
равно С™пт. Отв. N = (n+ 1)Р — (пр + 1).
2. Доказываемое свойство следует из того, что число да-кратных A SmS р — 1)
сечений расширенной матрицы равно C™nm-JrCT^~^vnm-1, а сжатой —С™пт — C^r/vn7"-1.
3. а) Главная диагональ АП11, -42222. Побочные диагонали:
б)
4. а)
б)
о.
6.
-"
^2222 I
^4цц Ai
ll21
Л
^1221
*1121
^1212' ^2121'
Л Л
У11111 -^1211
^2122 ^2222
2211 ^22/2
^2221 ^2222 I
-^2121 -^2122
A222I -^2222
^2112
-42212
4»212
A2i2i
-42222
-4l222
-4о222
ЛП11
^4о
-4mt
-4211i
, A
^1211
^2211
1221 Л1222
-4,
-4ц22 -4j222
-4о122 Апппс,
A
112
A122
mis
*112
^122 -4] »з
^123 ^133
j >• (/') ИЛИ
(О
112 -4B2 ^4,2з
А- А
A
111 -^112
¦(/)
¦@
(ft)
A
133
223
233
233
¦@
¦p^(ft)
A
A
A
A
mi
1112
1211
1212
A
A
1112
1122
12.2
1222
A
A
A
A
1211
1212
2211
2212
A
A
A
A
1212
1222
2212
2222
D)
0 .4,
A..n 0
»(*)
р(/>
(О

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
285
о
О —А,
М22
О
(*)
8. Каждому сочетанию (из п элементов 1, 2, ..., п по р с повторениями)
jj, t2, ..., ip (ij s= г2 s= ... S ip) сопоставить сочетание (из ге+/>—1 элементов по р без
повторений) »i, i2+l. !з+2, -••, «р + Я—1- Искомое число равно C^p_i .
9. j р р. 10. CJJ (при га < р все элементы матрицы равны нулю).
14. Показать сначала, что Л'ар и /„-{-/р, где р = <
четность.
1W. —^133124 ^214312 ^342131 ^421243-
17.
(ц й 1), имеют одну и ту же
а)
б)
± ± + ± ± |з •
11г2гЗг4*5
1Д
± ±
| Л
±±± ±
Ч- ± ± ± ± 1з '
18. Принять во внимание, что (р-\- 1)-мерный перманент га-ro порядка, у которого
все элементы .равны 1, имеет значение (га!)Р.
§ 2
1. Разложить подстановку S в произведение транспозиций и использовать свой-
свойство II многомерных детерминантов.
14. ! + *(-?)
15. Умножить в рассматриваемом детерминанте каждое сечение (простое) какой-
нибудь ориентации на —1 и принять во внимание свойства II и IV многомерных детер-
детерминантов.
16. Представить многомерный детерминант на основании свойства VIII в виде
суммы косигнатурных детерминантов с одночленными элементами сначала в первых
сечениях какой-нибудь ориентации, затем во вторых и т. д.
§ з
г.
ijh
3. \А
± ± ±±
1+f±±
V2V4
= 16, \А+± |=—10, у4
= 60.
4. Использовать разложение />-мсрного детерминанта па алгебраическую сумму
(р — 1)-мерпых детерминантов.
5. Применить результат упражнения 4. 6. Воспользоваться результатом упражне-
упражнения 5. 7. Примепить теорему 3.2. 9. (С^)Р.
10. Пополнить в данном детерминанте "сечения каждой ориентации v новыми парал-
параллельными им сечениями, все элементы которых равны нулю, кроме элементов, лежащих
на главной диагонали и равных 1.
11. Предварительно рассмотреть кубический детерминант л-го порядка, в котором
все элементы v (v < п) сечений одной и той же ориентации равпы нулю, кроме v3 эле-
элементов, образующих кубическую матрицу v-ro порядка, и показать, что этот детер-
детерминант равен произведению ого единственного отличного от нуля минора v-ro порядка,
расположенного в упомянутых выше v сечениях, на соответственное алгебраическое
дополнение.
14. Показать, во-первых, что рассматриваемая сумма содержит члены данного
детерминанта и, во-вторых, что число слагаемых в этой сумме равно (га!J.
19 н. н. Соколов

286
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
1. п3. 2. пР. 3.
2
Глава II
§ 1
О <
2
6
| -(А)
4. Принять во внимание, что всякий член детерминанта патрицы А ость сумма hn
одночленов с одним и тем же знаком и что каждый из этих одночленов является
множителем в произведении миноров одной и только одной смешанной трансверсальной
совокупности их, а каждое такое произведение состоит целиком из одночленов указан-
указанного типа.
1.
2,
7.
10.
14-15 7—7
О 11 —7 21
— 1 16 —10 6
— 9 13 8 —10
(i)
(Я
4
2
— 2
10
2
0
5
— 9
2
5
0
— 9
О
-6
— 6
9
A{j}a =
4
1
0
9
4
— 3
6
— 9
2
1
4
— 7
1
0
—8
9
А{к\а =
4
— 5
0
6
0
3
4
— 6
2
1
— 6
— 1
0
— 9
9
j * («4)
(is)
И Т. Д.
11. Использовать полное разложение многомерных детерминантов.
12. OTjW2 (m, и m2 — числа, характеризующие род детерминантов).
13. Представить матрицу В в виде суммы п матриц В^ (Л. = 1,2, ..., и) и при-
применить к детерминанту \В\ разложение Альбеджиани (упражнение 4, § 1), показав
предварительно, что все миноры 2-го и высших порядков каждого из детерминантов
|б,| равны нулю.
16. pq.
17.
а)
б)
в)
'±+*±1п-
1 3 3 к
+
п '
ai+b± In'
г j hi
а±±Ь+ In'
г ;' kj
^ - 6 - U
i j г ft
±± -h hi '
i j ilt-
i j In
г i hi
I -f-1- .+In ' I ++ -r In ' I ++ + In ' I tI- + in
13 3/i i 3" hj ii ffe i з hi
18.
«II

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
287
19. \A,
± In"
±±- а ±
п=\А+±+а+
21. Использовать результат упражнения 20, полагая в нем Aai — ^ ^ai ^i'ifi -i
и принимая во внимание, что
п
§ 3
4. Последовательно применять правило Скотта — Раиса умножоння кубического
детерминанта на квадратный.
8. Последовательно применять правило Кэли —Раиса умножения р-мерного детер-
детерминанта на квадратный.
16. Применить 2v—2 раз правило Скотта —Раиса и один раз правило Кэли —Раиса.
19.
(-г) (+)
в21 а22
«11 «12
а,. а.,„
4"
где
2. Операция
§ 4
равносильна цепочно симметрических элементарных
преооразовании по индексам I, /:
I (ij)
т (if) + , I (?/) ! . (-1), m (ij) ..(-1),
m (i/)
I — m
Операция
п рообразований.
5.
равносильна аналогичной цепочке симметрических элементарных
-2л2-
-21Я,—6
Я, —3
Зл + 4 Л —3
—4 -А+6
.(О
;—> (*);
Л/ (>.)
1 О
-Я, 1
{А}
1 Я.
— 3 З-Зл
г
(i)
1 1
19*

288
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
§ 5
2. Применить результаты упражнений 13 и 14 § 3 гл. I.
4. Использовать обобщенную формулу Бине — Коши (упражнение 13 § 2).
6. Из результата упражнения 5 и теории обычных детерминантов следует, что
| 6 I
cv-l
ьп-1
8. Показать предварительно, что | 9J^n~v^ | можно получить из | M(n~v) | путем
обращения порядка сечений (простых) каждой ориентации и умножения на —1 одних
в тех же сечений (простых) каждой альтернативной ориентации.
Глава III
§ 1
3. Принять во внимание разложения кубического детерминанта C.5) и C.9) § 3
гл. I.
4. Применить тот же метод, как и при доказательстве теоремы 1.2.
6. Использовать результат упражнения 5.
8. Принять во внимание необходимое и достаточное условно совместности системы rei»"
липейных уравнений с п неизвестными, устанавливаемое при помощи теоремы Кроне-
кера — Капелли.
9. С помощью систомы A.1) составить (гс!)р~2 систем линейных уравнений
А
так, чтобы каждая система состояла из га уравнений, у которых коэффициенты при
неизвестных образуют двумерное трансверсальное сечение матрицы А, соответствующее
направлению ip, и найти для каждого неизвостного х^' этих систем (га!)р~2 значений
выражения
x A
-1
Тогда корни уравнений A.1) могут быть представлены в виде
ЧИ=2
1
m
S'n
где /^ — число 'инверсий в перестановке, образуемой значениями индекса г'а . Числи-
Числитель и знаменатель этой дроби являются полным разложением /^-мерных детерминантов,
входящих в выражепие A.2).
10. Да; х;з) = 1, ж<,Я) = 2.
11. ж1!3'= 3,34: ж'23) = 1,32. Это решение отличается от приближенного решения
г;3) = 3,21; ж'23) = 1,3б, найденного по способу наименьших квадратов, менее чом на 5%.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
289
§2
1. Сечевия ориентации (i"ii2) кубической матрицы
Ац21 ^1122
Л Л
Л1211 Л1
А-\ъ<>л Ал
Л А
^2121 -122
А А
2211 "^^2212
А2221 А2222
являются сечениями неальтернативной ориентации (с повторениями) десяти трехмерных
миноров.
2. Использовать возможность представления многомерного детерминанта в виде
алгебраической суммы детерминантов меньшего числа измерений.
3. Применить результат упражнения 2.
8. Использовать результат упражнения 7.
9. У матрицы
• (О
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
1. Принять во внимание теоремы 3.3, 3.4, 3.5.
2. Показать предварительно, что элементарные преобразования матрицы А вызы-
вызывают симметрические элементарные преобразования матриц Л('\ А'>~>,
5. См. замечание 2.4.
§ 4
4. Q2+~J
8. Принять во внимание, что детерминант невырожденного линейного преобразо-
преобразования формы F по какому-либо ряду ое переменных — например, ж,, х2, х3 — равен про-
произведению чисел t, которые фигурируют в сопутствующих этому преобразованию опера-
операциях типа |/(i) -t над матрицей А, и что каждая такая операция вызывает умножение
t не изменяют S{ и 7V
на г* и Ti на г6, тогда как операции типа т (i)
9. Показать предварительно, что операция типа
¦ t над матрицей А формы F
вызывает умножение D на г3, тогда как операция типа I m (i) -|- l(i)
¦I нал А не из-
меняет D.
11. Л
— lfm22
12. -<4i ill^l I г^ 2222 ~Г'^Ш2'4п22^/Ч222 ^4цЦ-222 -^1112^2222 —-122 •
14. См. упражнение 6 § 2 гл. II.
16. Использовать результат упражнения И § 3 гл. II.
18. F1 = AiAJAJA
4
21.
. 1l
. а)
)
23.
щц 22222 111 2-^21222 "I 6Л11122^42]] 22
-41111111^2222222 "Лппп2 ^2122222 "Г 15ЛП1] 122
I5l^2111122 — 6Л 1122222^42111112~| ^1222222^
A\VL) х\ Л- 2(у4т,Л1М8 — -4Ш2^
Л?) 1 +
"I ^I 2222-111li
204
A111112222 ,1пг 11222 + fI122) ? + (П]11 ^22222 миг12
"Ь 2^4] 1122^11222) Х\РСгЛ-(А\\\М.А22222 4^4, п22-^ 12222 + 3^11222) Ж1' (^11111^11122 -
х\ "Г 3 DЛ ^^) \ 3 (АА + ^ А
2
+-4ni22
^1222
1222^422222 —
12222)

290
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
25. Показать предварительно, что каждый гессиан такой формы содержит множи-
множителем детерминант, все элементы которого равны 1.
26. Применить теорему 4.14 и принять во внимание, что ковариант системы кова-
риаптов данной формы является тоже ковариантом этой формы.
§ 5
= 2;
2.
Инвариантные множители
1,1, Я+1, Я4—1;
1, 1, 1, (Я+1)(Я2+1)
Элементарные делители
Я+1, Я+1, Я—1, Я2+1;
Я+1, Я2+1
По индексам
г, / или г, к;
1, к
Глава IV
§ 1
1. Принять во книмание теоремы 4.1, 4.2, 4.3 гл. III.
2. Воспользоваться таблицей IV.
3. а) /а, Р) /б, у) II, 6) //Л, е) ////, ?) //№, т,) /К.
4.
Р)
¦V)
a)
1
~
1
35
36
и
7
0
6)
e)
Л)
-2
1
5
36
25
18
_2j
-1
0
3
У
1
С)
1
2
0
1
— 2
1
1

0
1 С
0 1
)
2
1
3
49
1
"~49
8
35
г»
и
1
f
0
1
0
1 .*
0 1
0 1
1 0
1
0
1
~98
1
8
45
8
49
.10
49
20
~49
4
1
>
1
У
[
0
-2
3 2
63
00
18
25
7
Т
5
~~Т
У a
-т »
1 ~У
» f
1 —1
0 1
1 -1
0
1
1
9
loo
27
50
5
"У
5
2

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
291
8. Предельные точки: а) жо = 3, уо= —3, zo—\; б) хо = 5, yo = i, 2о= —2; в) ж„ = 4,
i/0= —5, го= —2; г) жо = 2, !/0= — 2, zo = 6.
Тройные точки: а) —1, \-\-i, 1 —t; б) —1, 2, 3; в) 1, —2, —2; г) 2, 2, 2.
§ 2
1. См. упражнения 1, 2, 3 § 4 гл. III.
3. а) /а, р) 16, Y) //, б) ///а, е) III5, ?)
4.
«О
5
"9"
2
"9
Y)
— 2
1
-1
1
РУ
б)
1
2"
0
3
2
1
/ (/A)
+
//
1 1
0 1
1
(/*) 4
С)
2
)¦;
2
~"з
1
"
0
1
2~ ~~
0
+ /
3
2
1
3
2
1
.
4
"9"
2
?
3
2
0
1

~~2
1 -1
0 1
0 1
1 О
о о
о о
(О
> (к) Цк}
(/¦)
1
1
т
1
1
т
1
О
0
-1
о
0
0
0
г-¦ (*)•
8. Предельные точки: а) жо=—1, t/0 = l, 3/0 = 3; б) <V= — 1. З/о = 2+' ^2, yj =
Тройные точки: а) — l.V-f-j, 2 —i; б) 0,'1, °2; в) —3, 2, 2°; г) 3, 3, 3.
10. В вещественной области линейно-квадратичная форма предполагается принад-
принадлежащей классу /а (табл. V), так как для формы класса /б двойные точки инволюции—
мнимые.
§ 3
1. Принять во внимапие теоремы 4.4, 4.5, 4.6 гл. III.
3. а) /а, Р) /б, у) II, б) ///.
4.
— 1 —
•1
2 Уг~
1
V2
Р)
;
1/2-/3—1
4^2
4в^2
1 —У
Y)
//
0 1
1 О
_4_
3
1
1 О
О 1
— 1
1
2 ь/2
б)
.(О
j—•¦(*) {«¦/*}
/
. j Да,
1
• з г
% ' ' у 4
/ о ¦ Г *Т
\ & Л/ Zi
2 2
3/2 f'
2
2
7. Две из них совпадают.

292
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
Глава V
2.
(а)
гп О О
0 10
О 0 1
Y)
У
1
1
1
е
1
8
1
(Р)
>
1
^ 3+6т0
б)
»/3+6е2
е"
8"
8П
1 1
е е2
е2 е
еп+1
еп+2
еп+2
•
1
1
е2
1
е2
1
7. Произведение по индексам i, j, к матрицы формы A.1) при т =
-уна
3
1 1 1
1 ea e
1 e e2
равно матрице формы (III) и т. д.
8. Произволение по индексам i, /, к матрицы формы A.1) при т =
1
1
7%
о
1 —77
1
1
равно матрице формы (III').
9.
Канониче-
Канонические виды
I
3
2
II
3
1
III
3
0
IV
2
0
V
1
0
Глава VI
§ 1
7.
X —Г^Дц; [11] для пучка A.44).
, К — i/Дц; [И] для пучка A.45).
§ 2
1. К категориям пучков, данных в таблице J, добавляется категория с характери-
характеристикой [111], представляемая каноническим пучком
К (ЗХ1Х2—Х1+Х*) + и. (Х1 — ЗХгХ1 + пХ^).
Кроме того, в категории с характеристикой [A1I} тип, характеризуемый янва-
январем нтом
-1

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ 293
распадается на два типа, соответственно характеризуемые инвариантами
0 (Х = 0, fx^O или
0 (^=о, |х^=о или Я?=о, ц=0)
и представляемые каноническими пучками B.10) и
2. Показать предварительно, что матрица XA-\-\iB, соответствующая пучку X/-J-^Ф,
при симметрических элементарных преобразованиях ее переходит в матрицу XA'J\-\x,B',
где В' может отличаться лишь постоянным множителем от матрицы гессиана формы /',
ассоциированной с матрицей А'.
3. Привести сначала пучок А,/ + |л<р к виду XF -\-\ift>, где
4. Формы пучка A) при ?^ = 0, Я=— 2[х, Я=—2е(х, Я,= — 2e2fx. ГД° е. е2—мнимые
кубические корни из 1, представляют сизигетические треугольники; при и, = 0, ц — X,
Ц — вХ, ц — егХ — эквиангармонические линии; при
1/3 —1 , v'3+l , l/3 —1 ,
Ц= g Я' ^= Т~~ ' fl = ~~2—еЯ"
, /3-1 „.
ел, Ц = -—ij—е ^> Iх =
— гармонические линии.
5. Принять во внимание, что гессиан формы пучка (Т) при данных значениях
параметров X, и, имеет вид
XuiXl + Xl+XD + fyxX^X-t, где-^= ~ ^
6. Привести сначала пучок Я./ + [хф к виду XF-[-(x©, где
в случае комплексной области, а также и вещественной, если
со(Г(Х, (i))=| +J, или /I = 32rfJ
Ф = 32'|Х2-|-ЗХ2Х|+ЗХ22'3, если в случае вещественной области
9. Принять во внимание соотношение ЗХи.#-|-|иЛн' = О, или Xfi//-)~Cu. — Х)^и = ^
между значениями X, р, любой формы пучка (]]), исключая случай р. = 0, или пучка (II'),
исключая случай Х — 0, и значениями Хц, р-я гессиана этой формы.
12. Привести сначала пучок Х/4-ц.ср к виду XF-1-р.Ф, где F == Х\-\-§ХхХгХ3,
Ф = Х\ — 2ХхХ2^з в случае комплексной области, а также и вещественной, если
или
если в случае вещественной области со G1 (X, ц))= •! 0 и o"g= ;Ь2.
15. Принять во внимание соотношение ЗХ(х#-1-цА,я = 0 или X(X/;+3jxXjf = 0 между
значениями X, ц, любой формы пучка (IV), исключая случай |л = 0, или пучка (IV),
исключая случай Я, = 0, и значениями Хц, \1ц гессиана этой формы.
19. Принять во внимание, что пучок кубических тройничных форм может быть
сизигетическим лишь в том случае, когда ранг его равен 3.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Адамов А. А., Элементарный способ изучения очертаний кривых третьего
порядка по данному уравнению в декартовых координатах (диссертация), Петро-
Петроград, 1918.
2. Б е л я н к и и И. И., Привэдение общего уравнения кривой третьего порядка
к простейшему виду, Киев, 1907.
3. Богомолов С. А., Метод Грассмана и его применение к исследованию и клас-
классификации кривых третьего порядка, Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. Герцена 28
A939), 1—56.
4. Б о х е р М., Введение в высшую алгебру, М.—Л., ГТТИ, 1934.
5. В е л ь м и н В. П., О кривых пиниях третьего порядка, Киев, 1906.
6. Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М., Гостехиздат, 1953.
7. Гуревич Г. Б., О ранге тривектора, Уч. зап. МГУ, Матем. 1 A933), 22—25.
8. Г у р е в и ч Г. Б., О некоторых арифметических инвариантах тривектора и куби-
кубической формы, ДАН СССР 3, № 5 A934), 317—318.
9. Г у р с в и ч Г. Б., О тривекторах в пространстве 7 измерений, там же 3, Л° 8—9
A934), 564—569.
10. Гуревич Г. Б., Классификация тривекторов восьмого ранга, там же 2, № 5—6
A935), 353—356.
11. Гуревич Г. Б., О некоторых арифметических инвариантах произвольной мат-
матричной алгебры Ли, там же 45 A944), 51 —53.
12. Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.—Л., Гостех-
Гостехиздат. 1948.
13. Гуревич Г. Б., Некоторые арифметические пнвариапты матричных алгебр
Ли и критерий их полной приводимости, Изв. АН СССР, сер. матем. 13 A949),
403—416.
14. Г у р с в и ч Г. Б,, О некоторых линейных преобразованиях симметрических тен-
тензоров или поливекторов, Матем. сб. 26 F8), А» 3 A950), 468—470.
15. Г у р е в и ч Г. Б., Полные системы симметрических и кососимметрических тен-
аоров, там же 27 F9), № 1 A950), 103—116.
16. Гуревич Г. Б., О включении любой линейной системы поливекторов или сим-
симметрических тензоров в полную систему, там же 30 G2), А1» 2 A952), 225—232.
17. Д е л о и е Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. II, М.—Л.,
Гостехиздат, 1949.
18. К а г а н В. Ф., Основания теории определителей, Одесса, Госиздат, 1922.
19. К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, М., Гостехиздат, 1955.
20. Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
21. Никулин Н. А., О рациональных преобразованиях в связи с построением алге-
алгебраических кривых, Изв. Крымск. пед. ин-та 20 A954), 5—166.
22. Петровский И. Г., Лекция по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, М.—Л., Гостехиздат, 1952.
23. Синцов Д. М., Этюды по теории плоских кривых, Науков1 зап. науково-досл1д.
матем. катедр Украши 2 A926), 71—78.
24. Смогоржевский А. С, Оспови геометрп, Радянська школа A947).
25. С о к о л о в Н. П. (Sokoloff N.P.), Sur I 'application des determinants superieurs
a la resolution de certains systemes d'equations lineaires, Ann. Soc. scient. Bruxelles,
(I). 57 A937), 60—66.
26. С о к о л о в Н. П., О приведении бинарных трилинейных форм, Тр. Киевск.
технол. ин-та силикатов I A939), 253—274.
27. Соколов Н.П.,0 применении пространственных матриц к исследованию куби-
кубических тройничных форм над полем вещественных чисел, Доповщ! АН УРСР 3
A954), 159—164.
28. Соколов Н. П., Об инвариантах кубической тройничной формы над полем
вещественных чисел, Укр. матем. жури. 6, № 3 A954), 282—294.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 29э
29. Соколов Н. П., Проективная классификация кубических тройничных форм
в вещественной области, там же 6, № 4 A954), 405—417.
30. Соколов Н. II., Проективная классификация вещественных плоских линий
третьего порядка, там же 7, А» 3 A955), 295—304.
31. С о к о л о в Н. П., Аффинно-проективная классификация кубических тройничных
форм в вещественной области, Доповип АН УРСР 4 A955), 315—317.
32. Соколов Н. П., О пучках вещественных кубических тройничных форм, Изв.
АН СССР, сер. матем. 19 "A955), 201—232.
33. Соколов II. П., Об одном признаке обращения кубического детерминапта
в нуль, Тр. Киевск. гидромелиор. ин-та 5 A956), 185—189.
34. Соколов Н. П., К решению систем линейных уравнений с помощью многомер-
многомерных детерминантов, там же 6 A956), 277—283.
35. Соколов Н. П., Аффинно-проективная классификация вещественных плоских
линий третьего порядка, Укр. матем. журн. 9, Л» 2 A957), 196—214.
36. Соколов Н. П., Классификация пучков вещественных кубических двойничных
форм, Тр. Киевск. ин-та инж. вод. хоз. 7 A957), 323—330.
37. Сомов U. И. (Somoff J.), Memoire sur les accelerations des divers ordres, Mem.
Acad. sci. St.-Petersbourg, VII ser., 8, A"» 5 A864), 1—54.
38. С т о л о в а Е. С, Некоторые вопросы теории кривых третьего порядка, Тр.
Киевск. гидромелиор. ин-та 4 A954), 173—180.
39. С у ш к с в и ч А. К., Основы высшей алгебры, ОНТИ—НКТП—СССР, 1937.
40. Шилов Г. Е., Опыт изложения теории детерминантов без теории подстановок,
Успехи матем. наук V,- вып. 5 C9), A950), 177—179.
41. Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств, М.—JI., Гостехиздат,
1952.
42. А г m e n a n t e A., Sui determinant! cubici, Giorn. mat. Battaglini, (I) 6 A868),
175—181.
43. Aronhold S., Zur Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei
Variabeln, Journ. reine und angevv. Math. 39 A850), 140—159.
44. Aronhold S., Theorie der homogenen Functionen dritten Grades von drei Veran-
derlichen, ibid. 55 A858), 97—191.
45. Ball VV. W. R., On Newton's classification of cubic curves, Proc. London Math.
Soc. 22 A891), 104—143.
46. В a r t e г J. D., The homogeneous vector function and determinants of the p~ class,
Univ. California publs in math. 1 A920), 321—343.
47. В r a a s с h J. H., Determinanten hoheren Ranges, Hohere Biirgerschule Hamburg,
Programmo nr 599 A878).
48. Burington R. S., A classification of plane cubic curves under the affine group
by means of arithmetic invariants, Tohoku Math. Journ. 41, Part. I A935), 188—202.
49. С a 1 e g a r i A., I doterminanti di specie superiore, Matcmat. pure ed appl. 2 A902),
177—184, 199—203, 217—221.
50. Galega ri A., I determinant! di ordine infinito e di specie superiore, Period-
mat C), 2 A904/5), 107—118.
51. С a m p b e 1 I J. E., Notes on determinants, Proc. London Math. Soc. (I), 24
A892/3), 67—79.
52. С а у 1 e у A., On the notations and properties of certain functions resolvable into
a series of determinants, Trans. Cambridge Phiios. Soc. 8 A842/9), 85—88.
53. С а у 1 e у A., Memoire sur les hyperdeterminants, Journ. reine und angew. Math. 30
A846), 1—37.
54. Cay 1 ey A., A memoir on curves of the third order, Phiios. Trans. Roy. Soc. Lon-
London 147 A857), 415—446.
55. С а у 1 с у A., On the classification of the cubic curves, Trans. Cambridge Phiios.
Soc. 11, Part I A866), 81—128.
56. С а у 1 e у A., On cubic cones and curves, ibid. 11, Part. I A866), 129—144.
57. Cazzaniga Т., Precis d'une theorie element'aire des determinants cubiques
d'ordre infini, Math. Ann. 59 A900), 272—290.
58. С h a n 1 e r J. H., The invariant theory of the ternary trilinear form, Duke Math.
Journ. 5, № 3 A939), 552—568.
59. С h a s 1 e s M., Apercu historique, Note XX, Bruxelles, 1837.
60. Chasles M., Traite des sections coniques, Paris, 1865.
61. С h u q u e t N., Triparty en la science des nombres, Paris, 1484.
62. Clebsch A., Ueber die Bestimmung der Wendepunkte einer Curve dritter Ord-
nung, Math. Ann. 2 A869), 382—384.
63. Clebsch A., Theorie der binaren algebraischen Formen, Leipzig, 1872.
64. Clebsch A. und G о г d a n P., Ueber cubische ternare Formen, Math. Ann. 6
A873), 436—512.
65. С r e m о n a L., Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane, Bologna,
1862.

29b цитированная литература
66. G r e m о n a L., Considerazioni sulla curve piane del terz'ordine, Giorn. mat. Bat-
taglini 2 A864), 78—85.
67. D a h 1 a n d e r G. R., On en klass funktioner, hvilka ega Пега egenskaper ana-
loga med determinantcrnes, Ofversigt Vetensk. Akad., Stockholm 20 A863),
295-304.
68. D a v i s E. VV., The maximum value of a certain determinant, Johns Hopkins
Univ. Circulars 2 A882), 22—23.
69. Dedekind R., Ueber binare trilineare Formen und die Komposition dev binaren
quadratischen Formen, Journ. reine und_ angew. Math. 129 A905), 1—34.
70. Durege H., Ueber die Formen der Curven dritter Ordnung, ibid. 75 A873).
153—165.
71. Durege H., Erganzung zu dem Aufsatze «Ueber die Formen dor Curven dritter
Ordnung», ibid. 76 A873), 59—60.
72. D u s с h e к A., Eine Abbildung der binaren Trilinearform, Jahresber. Dtsch.
Math. Ver. 32 A923), 234—k.39.
73. E s с h e r i с h G., Die Determinanten hoheren Ranges und ihre Venvendung zur
Bildung von Invarianten, Donkschr. Akad. Wiss. VVien (Math.-naturwiss. Cl.) 43, II
A882), 1—12.
74. E u 1 e r L., Introduclio in Analysin infinitorum, II A797), 114—138.
75. F e 1 ! i n i D., Deteiminanti cubici ed equazioni lineari, Period, mat. C), 11
A913/4), 110—113.
76. Garbieri G,, Doterminanti formati di elementi con un numero qualunque d'in-
dici, Giorn. mat. Battaglini A), 15 A877), 89—100.
77. Garbic ti G., Determinanti lormati di nl elementi, Atti R. Istituto Veneto Sc.
Lett. Arti E), 4 A877/8), 37—59.
78. Caspar J., Eine axiomatische Theorie der kubischen Determinanten, Publs
mathemalicae 4 A9Л6), 126—130.
79. Do GasparisA. (Sous le pseudonyme Jean-Blaise Grandpas), Sur les determi-
determinants dont les elements ont plusieurs indices, Naples A861). Reimpr.: Giorn. mat.
Battaglini C), 1 A910), 64—71.
80. D e G a s p a r i s A., Sopra due teoremi dei determinant! a tre indici ed un'altra
maniera di l'oimazione degli elementi d'un deteiminante ad m indiei, Rend. Ace ad.
Sci. fis. ed mat. Napoli A), 7 A868), 118—121.
81. D e G a s p a r i s A., Prodotto di due determinant! a tre indici, espresso con un
dotorminante ordinario, Atti R. Accad. Lineei. Transunti C), 3 A878/9), 44—45.
82. G a v r i 1 о v i 6 A. 13., Sarus-ovo pravilo u tooiiji prostornih deteiminanata, Rad.
Jugoslav. Akad. znanosti umjetnosti (Agram), 147 A900), 132—138.
83. G a v r i 1 о v i с А. В., О judnoj osibini prostornih determinanata, Glas srpske kral.
Akad. (Belgrad) 66 A902), 53—58.
84. Gegenbauer L., Ueber Determinanten hoheren Ranges, Denkschr. Akad.
Wiss. Wien Math.-naturwiss. Cl. 43, 11 A882), 17—32.
85. G e g e n b a u e r L., Ueber Determinanten hoheren Ranges, ibid. 46, II A883),
291—298.
86. Gegenbauer L., Ueber Determinanten hoheren Ranges, ibid. 49, II A885),
224—230.
87. Gegenbauer L., Determinanten hoheren Ranges welche sich als Product von
Determinanten derselben Ranges, aber niedriger Ordnung darstellen lassen, ibid. 50,
1 A885), 145—152.
88. Gegenbauer L., Ueber windschiefe Determinanten hoheren Ranges, ibid. 55,
1 A889), 39—48.
89. G e g e n b a u e r L., Einige Siitzo uber Determinanten hoheren Ranges, ibid. 57
A890), 735—752.
90. Gegenbauer L., Ueber einige arithmetische Determinanten hoheren Ranges,
Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien. Math.-naturwiss. Cl. II a, 101 A892), 425—484.
91. Gegenbauer L., Ueber den grossten gemeinsamen Theiler, ibid. 101 A892),
1143—122!.
92. G e g e n b a u e г L., Einige mathematische Theoreme, ibid. 102 A893), 549—564.
93. G о r d a n P., Ueber ternare Formen dritten Grades, Math. Ann. 1 A869),
90-128.
94. G о г d a n P., Ueber Curven dritter Ordnung mit zwei Doppelpunkten, ibid. 3
A871), 631—632.
95. Gordan P., Die Hessesche und die Cayleyscho Curve Trans. Amer. Math. Soc. 1,
№1 A900), 402—413.
96. Gundel finger S., Ueber die Ausartungen einer Curve dritter Ordnung, Math.
Ann. 4 A871), 561—572.
97. G u n d e 1 f i n g e r S., Ueber die Wendepunktdreiseite einer Curve dritter Ord-
Ordnung, ibid. 5 A872), 442—447.
98. H e d r i с к E. R., On three-dimensional determinants, Ann. Math. B), 1 A899/
/1900), 49—67.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 297
99. Hesse О., Ueber die Elimination der Variabeln aus drei algebraisrhen Gleichungen
vom zweitcn Grade mit zwei Yariabeln, Journ. reino und angcw. Math. 28 A844).
68—96.
100. Hesse O., Ueber die Wendepunkte der Curven dritter Ordnung, ibid. 28 A844),
97—107.
101. Hitchcock F. L., A theory of ordered determinants with application to polya-
dics, Journ. Math, and Phys. 4 A925), 205—237.
102. Hitchcock Г. L., A new method in the theory of quantics, ibid. 4 A925),
238—256; 8 A929), 81—105.
103. H i t с li с о с к F. L., The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products,
ibid. 6 A927), 164—189.
104. Hitchcock F. L., Multiple invariants and generalized rank of a p-way matrix
or tensor, ibid. 7 A927), 40—79.
105. Hitchcock F. L. and Rice L. H., The miltiple complement of one or
more polyadics, ibid. 4 A925), 179—187.
106. I. с с a I M., Logons sur la theorie des determinants a n dimensions, Gand, Paris,
1910.
107. Locat M., Sur un theoreme inexact do L. Gegenbauer, relatif au determinant
adjoint d'un determinant general, Ann. Soc. scient. Bruxelles, 35A910/1) 1-е par-
tie, fasc. 1, 74—78.
108. Locat M., Sur une generalisation d'un theoreme de Brioschi, ibid. 35 A910/1),
1-е partie, fasc. 2, 122—125.
109. L e <• a t M., Sur la multiplication des determinants—permanents, ibid, 35 A910/1),
2-е parlie, fasc. 3/4, 339—350.
110. L с с a t M., Valour d'un determinant, Intermediate Mathem. A), 18 A911),
152—153, 283—284.
HI. Lecat M., Valeur d'un determinant trigonometrique, ibid A), 18 A911), 207—208.
112. Lecat M., Histoire de la theorie des determinants a plusieurs dimensions, depuis
les origines jusqu'u 1910. Gand, 1911.
113- Lecat M., Abregg de la theorie des determinants a n dimensions, Gand, 1911.
114. L с с a t M., Sur les determinants de classe impaire uniformes, Ann. Soc. scient.
Bruxelles 36 A911/2), 2-е partie, fasc. 1, 118—132.
115. Lecat M., Generalisation des notions de permanent et de determinant ibid 36
A911/2), 1-е partie, fasc. 2, 119—124.
116. Lecat M., Quelques applications nouvelles du principe de 1 'addition des tranches,
parlieulieremont a l'etude de determinants dont l'unifoimite depend de l'ordre ibid
30 A911/2), 2-е parlie, fasc. 2, 286—297.
117. Lecat M., Sur les determinants a plusieurs dimensions, Enseign. math. 14 A912),
345-361.
Its. Lecat M., Determinants uniformes, Intermediate Mathem. A), 19 A912),
204-205.
119. Lecat M., Les determinants a plusieurs dimensions, Expose, succinct de leurs
principales proprietes, Tohoku Mat. Journ. 2 A912/3), 173—181; 3 A913), 1—8.
120. Lecat M., Sur la multiplication des determinants, Ann. Soc. scient. Bruxelles 37
A912/3), 2-е partie, fasc. 2, 285—291.
121. Lecat M., Sur les permanents, ibid 37 A912/3), 2-е partie, fasc. 3/4, 436—455.
122. becat M., Unisignants a plusieurs dimensions, Rend. Circolo mat. Palermo 30
A913), 317—326.
12;J>. Lecat M., Sur les determinants merogenes, Ann. Soc. scient. Bruxelles 38 A913/4),
2-е partie, fasc. 2, 115—155.
127!. Lecat M., Some merogeneous superdeterminants, Tohoku Math. Journ. 5 A914),
117—135.
125. L e e a t M., Sur l'emploi du symbolc de Kronecker dans l'etude des determinants
et des permanents, Giorn. mat. Battaglini C), 5 A914), 118—163.
12(i. Lecat M., Produit de determinants de classes impaires, Intermediaire Mathem.
A) 26 A919), 140—143.
127. Lecat M., Generalisation de la regie de Sarrus au cas des determinants a n dimen-
dimensions, Ann. Soc. scient. Bruxelles 39 A919/20), 1-е partie, fasc. 1, 65—67.
12H. Lecat M., Sur une generalisation des determinants, qui permet la multiplication
par files, meme quand les classes des facteurs sont impaires, ibid. 39 A919/20) 2-е par-
lie, fasc. 1, 10-20. r V
129. Lecat M., Sur los determinants generaux ou fonctions analogues, a premiers
mineurs nuls, ibid. 39 A919/20), 2-е partie, fasc. 3, 39—67.
130. Lecat M., Sur un probleme pose par Cayley, ibid. 39 A919/20), 1-е partie, fasc. 4,
131. Lecat M., Sur la decomposition des peneddterminants et determinants Rend
Circolo mat. Palermo, 44 A920), 69—81.
132. Lecat M., Un determinant de permanents. Relations de Cayley generalisees Inter-
Intermediaire Mathem. A), 27 A920). 69 -72.

298 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
133.
t M., Surles permanents cayleens et sur les determinants cayleons anormaux,
ant de deux matrices de classes quelconques, ibid. 42 A922/3), 1-е partie, fasc. l'
Local M., Determinants d'elements X et 1, Ann. Soc. scient. Bruxelles 40 A920/11
2-е partio, fasc. 1, 1—22. ''
134. L с с a t M., Sur les permanonts d'elements 1 et X, ibid. 40 A920/1) 1-е Dartip
fasc. 2, 148—152. F
135. L e с a t M., Sur diverses formes remarquables des produits et puissances de trois
codeterminants cubiques, ibid. 41 A921/2), 1-е partie, fasc. 2, 186—198' 1-е Dartie
fasc 3/4, 305—315. ' H '
136. I. e с a t M., Determinant des mineurs d'un determinant a n dimensions Interme-
Intermediate Mathem. B), 1 A922), 82—85.
137. Lecat M., Cayleens anormaux, ibid. B), 1 A922), 138—140.
138. Lecat M., Sur les determinants cayleens et bicayleens anormaux, Math Zeitschr
15 A922), 291—308.
139. L и с a t M., Sur les cayleens et bicayleens anormaux, C. r. Acad. sci Paris 174
A922), 728—731.
140. Lecat M., Sur l'adjoint d'un determinant, Ann. Soc. scient Bruxelles 42 A922/3)
1-е partie, fasc. 1, 67—76.
141. Lee a " "" "" "
provenanti
76—81.
142. Lecat M., Doveloppemunt des determinants en fonclion de determinants a espace
axial vide, ibid. 42 A922/3), 1-е partie, fasc. 2, 205—215.
143. Lecat M., Remarques sur divers points de la llieorie des determinants ibid 42
A922/3), 1-е partie, fasc. 2, 215—225.
144. Lecat M., Generalisations et modifications d'un theoreme de Frobenius ibid
42 A922/3), 1-е partie, fasc. 3/4, 322—329.
145. Lecat M., Expression des determinants les plus generaux d'une matrice en fon-
ction des sections, С r. Acad. sci. Paris, 176 A923), 557—559.
146. Lecat M., Generalisation et modification d'un theoreme de Frobenius sur nn deter-
determinant troue, ibid. 176 A923), 972—975.
147. Lecat M., Extension d'un theoreme de Boehm generalisant la loi de multiplica-
multiplication de deux determinants ordinaires, Rend. Circolo mat. Palermo 47 A923), 255—260.
148. Lecat M., Contribution a la Uieorie de la multiplication de determinants gene-
rau.x, Tohoku Math. Journ. 23 A923/4), 137—156.
149. L e с a t M., Sur les matrices merogenes, Ann. Soc. scient. Bruxelles 43 A923/4)
1-е partie, fasc. i, 60—64.
150. L e с a t M., Sur les sections d'un determinant, ibid. 43 A923/4), 2-е partie, fasc. 1,
21—32.
151. Lecat M., Bibliographie des determinants a plus de deux dimensions, Extrait do
!a Bibliographie de la Relativite, Bruxelles, 1924.
152. I. о с a t M., Sur I'addition des determinants, Ann. Soc. scient. Bruxelles 44 A924/5),
1-е partie, fasc. 1, 10—17.
153. Lecat M., Notes diverses sur les determinants, ibid. 44 A924/5), 1-е parHe, fasc. 2,
142—143; 2-е partie, fasc. 3, 129—146.
154. Lecat M., Effet, sur un determinant, de son alteration dans un domaine quel-
ronque, ibid. 44 A924/5), 1-е partie, fasc. 2, 143—151.
155. Lecat M., Sur les determinants symetriques gaudies a n dimensions, ibid. 44
A924/5), 1-е partie, fasc. 4, 471—476.
156. Lecat M., Rocherches diverses sur les determinants superieurs, ibid. 44 A924/5),
2-е partie, fasc. 4, 209—220.
157. Lecat M., Permanent compose des determinants d'une matrice, Messenger Mat-
hem. B), 54 A924/5), 172—173.
158. Lecat M., Determinants arilhmetiquement progressifs, ibid. B), 54 A924/5),
174—177.
159. Lecat M., Determinant symetrique gauche u n dimensions et generalisation, Inter-
mediairo Mathem. B), 4 A925), 129—133.
160. Lecat M., Sur les determinants d'elements x, у et O, Rend. Circolo mat. Palermo
49 A925), 247—251.
161. Lecat M., Quelques proprietes des determinants superieurs, orthosymetriques,
circulants et cycliques, Math. Zeitschr. 25 A926), 121—131.
162. L с с a t M. Coup d'oeil sur la theorie des determinants superieurs dans son ctat
actuel, Ann. Soc. scient. Bruxelles 45 A926), II, fasc. >/2> 1—98; fasc. 3/„, 141 —
168; 46 A926), 15—54; 47 A927), serie A, II, fasc. 1, 1—37.
163. Lecat M., Coup d'oeil sur les applications des determinants superieurs, ibid. 49
A929), serie A, fasc. 1, 23—46; fasc. 2, 87—110.
164. Lecat M., Lc determinant superieur, que est-il oxactement, Rev. gen. Sci. 40,
№ 8 A929), 231—241.
165. M о Ь i u s A. F., Ueber die Grundformen der Linien der dritten Ordnung, Abhandl.
math.-phys. Cl. der K. Sikhs., Ccs. Wiss. 1 A852), 1—82.
166. Murdoch P., Newtonii genesis curvarum per umbras, London, 1746.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 299
167. Muth P., Theorie und Anwendung dor Elementartheiler, Leipzig, 1899.
168. Newton I., Enumeratio linearum tertii ordinis, Optics, London, 1704,
139-163.
169 Oldenburger R., On canonical binary trilinear forms, Bull. Amer. Math.
Soc. 38 A932), 385—387.
170. Oldenburger R., Composition and rank of n-vay matrices and multilinear
forms, Ann. Math. 35 A934), 622—657.
171. Oldenburger R., Non-singular multilinear forms and certain p-way matrix
factorisations, Trans. Amer. Math. Soc. 39 A936), 422—455.
172. Oldenburger R., Equivalence of multilinear forms single on one index-
Duke Math. Journ. 2 A936), 671—680.
173. О 1 d с n b u г g e r R., On arithmetic invariants of binary cubic and binary tri-
trilinear forms, Bull. Amer. Math. Soc. 42 A936), 871—873.
174 Oldenburger R., Real canonical binary trilinear forms, Amer. Journ. Math.
59 A937), 427—435.
175. Oldenburger R., Real canonical binary symmetric trilinear forms, Bull.
Amer. Math. Soc. 59 A937), 546—553.
176. Oldenburger R., Relations between ranks of a general matrix, Ann. Math. 39
A938), 172—177.
177. Oldenburger R., Representation and equivalence of forms, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA 24 A938), 193—198.
178. Oldenburger R., Rational equivalence of a form to a sum of pth powers,
Trans. Amer. Math. Soc. 44 A938), I 9—249.
179. Oldenburger R., Factorability ol general symmetric matrices, Compositio
math. 7 A939), 223—228.
180. Oldenburger R., Complete reducibility of forms, Bull. Amer. Math. Soc. 46
A940), 88—92.
181. Oldenburger R., Binary forms, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 2G A940), 497—499.
182. Oldenburger R., Higher dimensional determinants, Amer. Math. Monthly
47 A940), 25—33.
183. P a d о v a E., Sui determinanti cubici, Giorn. mat. Batlaglini (I), 6 A868),
182—189.
184. L e Paige C, Memoire sur quelques applications de la theorie des formes alge-
briques a la geometrie, Mem. couronnes et mem. savants etrang. publies Acad. Roy.
sci. Belgique 42 A879), 1—71.
185. L e Paige C., Sur la theorie des formes binaires a plusieurs series de variables,
Bull. Acad. Roy. sci. Belgique C), 2 A881), 40—53.
186. Le Paige C, Sur les formes trilineaires, C. r. Acad. sci. Paris 92 A881),
1103—1105.
187. P a s с h M., Ueber eine Invariante der trilinearen tcrnarcn Form, Math. Ann. 52
A899), 127—129.
188. Petorsen II., Die Bedeutung kubischer Doterminaiiten fur die Klassifikation
der biniiren und ternaren kubischen Formen, Inaugural Dissertation Univ. Freiburg,
Leipzig, 1914.
189. PI ii с к e r J., System der Analytischen Geometrie uud der Thoorie der Kurven
drittor Ordnung, Berlin, 1835.
190. Poincare H., Sur les formes cubiques ternaires et qualernaires, Journ. Ecole
polytechn. XXXI, 50 A881), 199—253.
191. Puccio L., I determinanti cubici in relazione alia teoria invariantiva delle forme,
Palermo, 1923.
192. Rice L. H., P-way determinants witli an application to transvectants, Amer.
Journ. Math. 40 A918), 242—262.
193. Rice L. H., Some determinant expansions, ibid. 42 A920), 237—242.
194. Rice L. H., On the expression of the sum of any two determinants as a determinant
of more dimensions, Journ. Math, and Phys. 1 A922), 160—166.
195. Rice L. II., A contribution to the generalization of a determinantal Theorem of
Frobenius, ibid. 3 A923/4), 118—126.
196. Rice L. H., A Taylor's expansion of a determinant, ibid. 4 A925), 62—63.
197. Rice L. II., A determinantal expression of multiplo cross and dot products of
polyadics in three dimensions, ibid. 4 A925), 130—132.
198. R i с e L. H., File multiplication of ordered determinants, ibid. 4 A925), 200—204.
199. Rice L. H., Adjoint and inverse determinants and matrices, ibid. 5 A925/6),
55—64.
200. Rice L. H., Compounds of Scott products determinants, ibid. 5 A925/6), 238—250.
201. Rice L. H., Compounds of Cayley products of determinants of higher class, ibid. 6
A926), 33-38.
202. Rice L. H., Couche ranks in general matrix, ibid. 7, A928), 93—96.
203. Rice L. II., Decomposition of determinants, ibid. 8 A929), 56—64. •

300 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
204. Rice L. H., Introduction to higher determinants, ibid. 9 A930), 47—71.
205. Salmon G., Theoremes sur les courbes de 3-eme degre, Joura. reine und angew.
Math. 42 A851), 274—276.
206. Salmon G., Traite de Geometrie analytique (Courbes planes), Paris, 1884.
207. S a r с a r S. S., On a matrix representation of homogeneous algebraic forms, Bull.
Calcutta Math. Soc. 47 A955), 227—230.
208. Schendcl L., Die r-stufige Detorminanten n Grades, Zeitschr. Math, und Phys.
32 A887), 185—188.
209. Schroeter H., Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung, Leipzig, 1888.
210. Schwartz E., Ueber biniire trilineare Formen, Math. Zeitschr. 12 A922), 18—35.
211. Scott R. F., On cubic determinants and other determinants of higher klass and on
determinants of alternate numbers, Pioc. London Math. Soc. A), 11 A879/80), 17—29.
212. Scott R. F., On some forms of cubic determinants, ibid. A), 13 A881/2), 33—42.
213. Scott R. F., Notes on determinants, Messonger Mathom. B), 12 A882/3), 105—118.
214. Spottiswoode W., Note sur la transformation do la cubique ternaire en sa
forme canonique, Journ. reine und angew. Math. 63 A864), 244—246.
215. Sterneck R., Ausdehnutig eines Kroneeker'schen Satzes auf Determinanten
hoheren Ranges, Rend. Circolo mat. Palermo 30 (!9iO), 58—64.
216. Stetson O. S., On the expansion of devertebrated threedimensional determinants
and the extension of Caylcy's expansion theorem, Amer. Math. Monthly 13 A906),
76—80.
217. S t i r I i n g J., Lineae tertii ordinis Newtonianae, Parisies, 1717.
218. Sylvester J. J., A proof that all the invariants to a cubic ternary form are
rational fonctions of Aronholds invariants and of a cognate theorem for biquadratic
binary forms, London, Edinburgh and Dublin Philos. Magasine and Journ. Sci. 5 A853),
'299—303, 367—372.
219. S z ii t s N., Zur Theorie der kubischen Determinanten, Math, und naturwiss. Ber.
aus Ungarn 8 A889/90), 199—217.
220. S z ii I s N., Zur Theorie der Determinanten hohcren Ranges, Zeitschr. Math, und
Phys. 40 A895), 113 — 117.
221. Tanner H. W., Notes on determinants of n dimensions, Proc. London Math. Soc.
A), 10 A878/9), 167—180.
222. Thrall R. M., On projective equivalence of trilinear forms, Ann. Math. 42, № 2
A941), 469-485.
223. Thrall R. M., and С h a n 1 e r J. H., Ternary trilinear forms in the field of
complex numbers, Duke Math. Journ. 4, ,Y» 4 A938), 678—690.
224. Vai dyanathaswamy R., On mixed determinants, Proc. Roy. Soc. Edin-
Edinburgh 44 A923/4), 168—184.
225. Vandermonde А. Т., Remarques sur les problemes de situation, Mem. Acad.
sci. Paris A774), 566—574.
226. Weber H., Lehrbuch der Algebra, 1 Braunschweig, 1898.
227. Weierstrass K., Zur Thnorie der biliiicaren und quadratischen Formen,
Monatsber. Konigl. Preussisch. Akul. Wiss. Berlin A868), 310—338.
228. Weiss E. A., Die Autopolok usikon der singuluren Kurven 3. Ordnung, Journ.
reine und angew. Math. 173 A935), 233—242.
229. Zajaczkowski W., Teoryja waznacznikow о p vymiarach a rz^du nS°, Rami?t-
nik Akad. Umiejytnosci w Krakowie 6 A881), 1—31.
230. Z eh fuss J. G., Ueber cine Erweiterung des Begriffes der Determinanten, Pro-
Programme Gewerbeschule Frankfurt a/M, 1868, 21—28.
231. 1П а о П и и ь-ц у я, К вопросу о пирэстапош-их, (Шусюэ тунбао), №4 A954),
17—22.