Автор: Манин Ю.И. Кобзарёв И.Ю.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика здравоохранение медицинские науки физика математика
ISBN: 5-7036-0028-6
Год: 1997
Текст
И. Ю. Кобзарев, Ю. И. Манин
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Диалоги физика и математика
ФАЗИС
Москва 1997
Оглавление
Об авторах III
Предисловие VI
Часть I. Диалоги ч.' 1
Диалог 1 3
Диалог 2 12
Диалог 3 19
Диалог 4 28
Диалог 5 37
Диалог 6 44
Диалог 7 51
Диалог 8 59
Диалог 9 67
Диалог 10 .....77
Часть II. Структура теории элементарных частиц 83
J. Принципы изложения 85
2. Элементарные частицы и взаимодействия:
классификация 87
2.1. О классификации. Таблицы 87
2.2. Частицы 90
2.3. Взаимодействия 99
3. Квантовая кинематика 104
3.1. О кинематике 104
3.2. Принцип суперпозиции 105
3.3. Симметрии и наблюдаемые 114
3.4. Квантование и вторичное квантование 123
4. Лагранжиан 130
4.1. Действие 130
4.2. Калибровочные поля и калибровочная
инвариантность 133
4.3. Структура лагранжиана 135
4.4. От лагранжиана к реальности 139
Часть III. Комментарии 143
Комментарии к диалогу 1 145
Комментарии к диалогу 2 149
Комментарии к диалогу 3 152
Комментарии к диалогу 4 159
Комментарии к диалогу 5 164
Комментарии к диалогу 6 167
Комментарии к диалогу 7 168
Комментарии к диалогу 8 169
Комментарии к диалогу 9 170
Комментарии к диалогу 10 175
Комментарии к части II 178
Приложение. Ю.И.Манин. Струны 181
1. Немного физики 185
2. Математическая структура квантовой теории поля 188
Именной указатель 199
Предметный указатель 202
ББК 530.4 ff Издание осуществлено при поддержке
К55 ^^тР^Е Российского фонда фундаментальных
УДК 539.12@25) *» исследований по проекту 97-02-30001
Кобзаргв И.Ю., Манин Ю.И.
К55 Элементарные частицы. Диалоги физика и математика
М.: ФАЗИС, 1997. VIII + 208 с.
ISBN 5-7036-0028-6
История развития и современное состояние теории элементарных
частиц изложены в форме беседы четырех участников — физика-
теоретика, математика, физика-экспериментатора и философа.
Для студентов, аспирантов и научных работников в области физики
и математики, а также для всех читателей, интересующихся
современными проблемами фундаментальной физики.
Редактор А. В. Берков
Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96)
123557, Москва, Пресненский вал, 42-44
Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6
Заказ № 2998
1604070000 - 028
7036 - 97 C
ISBN 5-7036-0028-6 © ФАЗИС, 1997
Об авторах
Написанная по-русски двумя русскими профессорами в начале
80-х годов в Москве, эта книга впервые вышла в свет на английском
языке в 1989 году в Голландии: I. Yu. Kobzarev and Yu. I. Manin. Elemen-
Elementary Particles: Mathematics, Physics and Philosophy. Dordrecht — Boston —
London: Kluwer Academic Publishers, An International Book Series on the
Fundamental Theories of Physics: Their Clarification, Development and
Application. Первое русское издание появляется только сейчас благодаря
настойчивым многолетним усилиям А. В. Беркова.
Игорь Юрьевич Кобзарев родился 15 октября 1932 года; после оконча-
окончания Московского инженерно-физического института с 1956 года работал
в Институте теоретической и экспериментальной физики. С 1967 года он
по совместительству преподавал теоретическую физику в Московском
инженерно-физическом институте (с 1971 года — профессор). И. Ю. Коб-
Кобзарев — автор или соавтор более 100 статей по теории элементарных
частиц, гравитации, космологии, истории физики, а также небольших по
объему, но блестяще написанных книг, основанных на прочитанных им
лекциях. Особо следует выделить два издания книги, посвященной общей
теории относительности: первое — «Теория тяготения Эйнштейна и ее
экспериментальные следствия» A981), и второе — в виде двух выпусков:
«Теория тяготения Эйнштейна: общие принципы и экспериментальные
следствия» и «Приложения теории тяготения Эйнштейна к астрофизике
и космологии» A991). Следует также отметить яркую книгу «Ньютон и
его время» A978). С 1975 года И. Ю. Кобзарев был членом редакционной
коллегии журнала «Природа», где опубликовал ряд статей по физике и ее
истории. В 1979 году он был избран в Ученый совет Института исто-
истории естествознания и техники, а в следующем году стал ответственным
редактором ежегодника АН СССР «Эйнштейновский сборник». Жизнь
И. Ю. Кобзарева трагически оборвалась 20 января 1991 года в Москве.
Коллеги, друзья, ученики так выразили свои чувства в февраль-
февральском A991 г.) выпуске журнала «Природа»:
«С уходом из жизни Игоря Юрьевича Кобзарева мы потеряли
одного из самых нетривиальных людей нашего времени. Он оставил
глубокий след в умах и душах всех, кому довелось находиться рядом или
хотя бы соприкоснуться с ним.
IV Об авторах
Его интеллект поражал — глубокий, всеохватывающий, не призна-
признающий границ. Трудно отрешиться от впечатления какого-то сверхче-
сверхчеловеческого блеска — ума, вдохновения, остроумия. Нельзя представить
явление, событие или случайную новость, попавшие в поле его зрения,
которые не были бы мгновенно разобраны на отдельные составляющие
и собраны вновь, в разном порядке и с разными результатами, откры-
открываясь с новых и неочевидных сторон. С детским энтузиазмом он пог-
погружался в анализ головоломок и хитроумных задач, независимо от того,
подбрасывали ли их друзья, жизнь или Природа».
В науке для него не существовало авторитетов: высказывания
великих физиков он воспринимал не менее критично, чем своих коллег.
Физик-теоретик высшего класса, он воспитал знаменитых учеников. Его
роль в теоретическом отделе ИТЭФ была уникальна.
Юрий Иванович Манин родился в 1937 году, окончил механико-
математический факультет Московского государственного университета
имени М.В.Ломоносова и с 1960 года работает в Математическом ин-
институте АН СССР им. В. А. Стеклова, с 1965 года он по совместительству
профессор математики в МГУ. Ю. И. Манин — автор или соавтор десяти
монографий и около 180 статей по алгебраической геометрии, теории
чисел, математической физике, истории культуры, психолингвистике.
Его работы отмечены двумя премиями (Московского математического
общества в 1963 году и Ленинской премией в 1967 году) и двумя меж-
международными медалями; с 1990 года он — член-корреспондент АН СССР
(РАН). Он также является членом ряда зарубежных академий (Голлан-
(Голландской, Европейской, Геттингенской, Ватиканской), членом Общества
Макса Планка и почетным профессором Боннского университета. Сей-
Сейчас он работает директором Института математики имени Макса План-
Планка в Бонне, продолжая оставаться в штате Математического института
им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
И. Ю. Кобзарева и Ю. И. Манина связывало многолетнее интел-
интеллектуальное общение, в основе которого была не только заинтересован-
заинтересованность первого в математике, а второго в физике элементарных частиц.
Оба они проявляли глубокий профессиональный интерес к истории,
философии, психологии, лингвистике, литературе. Все это нашло отра-
отражение в их совместной книге.
Стержневой частью книги являются диалоги физика-теоретика (Яй)
и математика (ДО, в которых некоторые вопросы и реплики вложены в
уста физика-экспериментатора (В) и философа (Ф). Теоретик и Матема-
Математик обсуждают современную теорию элементарных частиц — так назы-
называемую квантовую теорию поля, ее сложную структуру, возникшую в
течение последнего столетия как результат экспериментальных откры-
Об авторах
тий и теоретических озарений; они прослеживают историю формирова-
формирования ее основных понятий и языка, пытаются предугадать ее дальнейшее
развитие. И сейчас, через 10 лет после завершеия книги, она остается
столь же актуальной.
Диалоги Теоретика и Математика необычны, они не похожи на
классические диалоги Галилея: в них много формул и много истории и
библиографии. Они не дают ясной перспективы, это скорее столкнове-
столкновение мнений. Чтение этой книги требует от читателя предварительного
знакомства с предметом и постоянной работы мысли. Но круг таких
читателей широк. Выход в свет этой книги — хороший подарок всем,
кто серьезно интересуется физикой.
Академик Российской академии наук Л. Б. Окунь
Москва, март 1997 г.
Предисловие
Эта книга рождалась в научных спорах, что и определило ее
конструкцию.
Часть I изложена в форме апокрифических диалогов между
математиком (М), двумя физиками (теоретиком ЯП и экспериментато-
экспериментатором Э) и философом (Ф). Хотя один из соавторов — физик-теоретик,
а другой — математик, читатель не должен думать, что их мысли
поделены между участниками диалогов: мы пытались передать внут-
внутреннюю напряженность предмета обсуждения и его открытость, пози-
позиции участников отражают скорее потенциально возможные оценки
ситуации, чем реальные взгляды авторов.
Сюжет «элементарные частицы», как он взят в диалогах, раз-
разворачивался в течение ~B — 3)-103 лет исторического времени на про-
пространстве ~ Ю6±| страниц научной литературы, поэтому полнота его
обзора недостижима; но, конечно, каждый исследователь строит свою
историю своей науки и видит некоторый список ее узловых моментов;
несколько возможных картин такого рода мы и постарались набросать.
То, что М и Ш говорят об истории элементарных частиц, — это
не попытка представить научную историю этой области физики. Наш
текст не претендует ни на то, чтобы выявить корпус источников, ни на
то, чтобы распутать сложное сплетение вкладов разного масштаба и
значения, которое предстает глазам историка, пытающегося выяснить,
как на самом деле формируются научные результаты.
Взгляды Ш — это усредненное представление профессионально-
профессионального теоретика о том, как теория элементарных частиц развивалась до ее
современного состояния; Ш упоминает о каких-то работах потому, что
он когда-то читал их и они казались, ему важными, потому, что их
цитируют все, или потому, что они упоминались в книгах, по которым
он учился.
Психологическая позиция М — нечто1 вроде платонизма, к кото-
которому склонны математики и многие физики-теоретики, включая Эйн-
Эйнштейна и Гейзенберга в поздний период жизни. Ясное и подробное
видение «формальной реальности», выработанное у М профессиональ-
профессиональным тренингом, придает его высказываниям нормативную окраску; он
хочет, чтобы элементарные частицы были такими-то, потому что тогда
у них будет стройная теория.
Э и Ф, главным образом, подают необходимые реплики.
Предисловие VII
В комментариях к каждому диалогу указаны точные ссылки и
приведены цитаты.
Предполагается, что часть II книги — Структура теории элемен-
элементарных частиц — написана ТА. Это плод усидчивой работы человека,
который постарался собрать и записать самые важные и твердо установ-
установленные факты и идеи в том виде, как они выглядят на нынешний
момент. Это то, на что можно твердо опереться, но к сожалению, на
чем нельзя никуда двигаться. Дух научного «теорфизического» исследо-
исследования живет в препринтах, которыми по средам завалены столы читаль-
читального зала библиотеки, посещаемой ТА; в этих препринтах нет никакого
математического порядка, и все, что твердо установлено, не представ-
представляет для их авторов никакого интереса.
Книга была в основном закончена в 1982 году, когда открытие
W±- и Z°-6o3ohob блистательно подтвердило применимость квантовополе-
вой парадигмы вплоть до энергии ~ 100 ГэВ и соответственно до рас-
расстояния ~ 10~16 см. За истекшие после этого годы не появилось эмпи-
эмпирических оснований для сомнений в названной парадигме, или, как
говорят на конференциях, «стандартная модель находится в блестящей
форме». Произошли ли все же какие-то сдвиги в практическом плане?
Один из них несомненен. Развитие квантовой теории поля на решетках
поставило нас лицом к лицу с визуальной реальностью флуктуирующих
в пространстве-времени квантовых полей. Таким образом, многолетняя
необходимость представлять квантовые поля в виде набора слабо свя-
связанных осцилляторов, лежащая в основе теории возмущений, отпала:
мы научились «видеть» квантовые поля вне этих узких рамок.
Для теоретика, работающего в физике элементарных частиц,
призом номер один всегда была правильная догадка о том, как будет
выглядеть следующий слой реальности, еще не исследованный экспери-
экспериментаторами. Ряд проектов будущего — техницвет, гипотеза о существо-
существовании следующего уровня спектроскопии, то есть еще более «мелких» и
более сильно связанных частиц, называемых преонами или как-нибудь
еще, находится целиком в рамках существующих идей, как в парадигма-
парадигматическом, так и в техническом плане. С идеями этого плана можно
ознакомиться, например, по статье: O.W. Greenberg. A new level of struc-
structure. Physics Today, 1985, 39, 22.
Наиболее решительной попыткой выйти за пределы парадигмы
являются работы по теории струн в 10- или 26-мерном пространстве. Это
направление восходит к работе Дж. Шерка и Дж. Шварца 1974 года и
приводит к гипотезе о том, что наблюдаемый C+1)-мерный мир возни-
возникает в результате компактификации лишних струнных измерений до
планковских длин ~ 10~33 см. С современным бурным развитием этой
теории можно познакомиться по книге: М. В. Green, J. H. Schwarz,
Е. Witten. Superstring Theory. Vol. 1, 2. Cambridge: Cambridge Univ. Press,
VIII Предисловие
1987. (См. рус. пер.: М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн:
В 2-х т. М.: Мир, 1990).
Выход за рамки квантовой теории поля (КТП) заключается пре-
прежде всего в том, что первичным объектом теории является не точечная
частица, вторичное квантование которой приводит к КТП, а протяжен-
протяженный одномерный объект — струна. Связи этого удивительно интерес-
интересного и многогранного раздела математической физики с опытом пока
установить не удалось. Предполагается, что супергравитация, упоминае-
упоминаемая в диалогах, возникает как приближение в теории струн Грина —
Шварца. Это одновременно обеспечило бы отсутствие в ней расходимо-
стей, что так беспокоит нашего ЯП.
Чтобы читатель мог получить более подробное представление о
квантовых струнах, мы включили в книгу в качестве приложения статью
«Струны» одного из соавторов, написанную в 1987 году для журнала
Math. Intelligencer.
Является ли весь этот комплекс идей достаточно безумным, чтобы
привести к реальному прогрессу в реальной физике, остается сейчас, в
1987 году, неизвестным. Многие теоретики, однако, верят, что уже
подготовлен прорыв на новый уровень познания мира, по значению
сравнимый с созданием квантовой теории и теории относительности в
первой четверти XX века.
Июнь 1982 г. — декабрь 1987 г.
Часть I
ДИАЛОГИ
Участники: М — математик
Ш — физик-теоретик
S — физик-эксперимент
Ф — философ
Время: лето — осень 1982 г.
Диалог 1
ф Последние годы я много читал в популярных изданиях, что в
физике произошли большие изменения: появилось несколько новых
теорий — теория электрослабого взаимодействия Глэшоу, Вайнберга и
Салама, теория сильных взаимодействий.
Недавно я прочел статью Салама [I]1; он считает, что физики
близки к осуществлению мечты Эйнштейна — построению единой
геометризованной теории, описывающей «всю природу». Недавно я
видел (к ЛО У вас Люкасовскую лекцию Хокинга [2], в которой он
выражает надежду, что полная теория уже найдена, остается только
решить ее уравнения, так что конец совсем близок. Правда ли это,
и что это за теория?
Ш Многое из того, что вы перечислили, действительно правда:
построены теории электрослабого и сильного взаимодействия, первая
из них, несомненно, правильна, во всяком случае все физики так
считают [3]. Мне кажется, что правильна и теория сильного взаимо-
взаимодействия — квантовая хромодинамика (КХД). Но сначала, наверное,
стоит поговорить о феноменологии — каким кругом явлений эти те-
теории занимаются? А попутно и об истории — вера в близость окон-
окончательной теории тоже не нова.
М Как я понимаю, на некотором уровне достаточно очень малень-
маленького числа «фундаментальных частиц», чтобы описать функционирование
окружающей нас, так сказать, ближайшей к нам Природы, включая
Солнце. Достаточно взять кварки и, d, лептоны ег, ve и у-кванты и их
взаимодействия. Следующие два поколения кварков, лептонов и W^-,
Z°-6o3ohob надо с большими трудами делать на ускорителях, они, может
быть, важны на ранних этапах эволюции Вселенной, но не сейчас.
Ф Я где-то прочел, что из двух кварков третьего поколения один
даже пока не найден.
М Да, как всегда, теоретики объявили, что он слишком тяжел. Не
будет его — как-нибудь выкрутятся2 . Так или иначе, я вычислил, что,
если можно обойтись сокращенным списком и, d, e, ve, у, то, наверное,
1 Цифры в квадратных скобках указывают на соответствующие позиции
в части III «Комментарии к диалогам». — Примеч. ред.
2 Последний, шестой кварк г открыт в 1995 г. Его масса действительно оказа-
оказалась очень большой, около 175 ГэВ. — Примеч. ред.
Диалоги
можно обойтись и списком р, п, е, vt, у. Ведь тогда, где-то в 1935 году,
тоже казалось, что мы уже все знаем.
Ф Замечательная гипотеза. А что скажет Ш>
Ш Должен сказать, что если мы хотим иметь самосогласованную
картину, то следует понять, откуда берутся взаимодействия. W± и Z°-6o-
зоны, о которых вы упоминали, необходимы в современной истории:
они являются переносчиками слабого взаимодействия. Глюоны перено-
переносят сильное взаимодействие. К сожалению, квантовая теория поля по-
последних тридцати лет еще не впиталась в сознание всех физиков, так
что, возможно, вы правы.
М Я проверил свою гипотезу: она почти подтвердилась.
Ш Что вы сделали, чтобы ее проверить?
М Поставил опыт: пошел в библиотеку физфака, нашел полку
«Элементарные частицы», обнаружил прекрасную книгу Роберта Мил-
ликена «Электроны (+ и —), протоны, фотоны, нейтроны и космичес-
космические лучи» [4]. Автор очень настаивает, что великий проект Демокрита
наконец осуществлен и настоящие атомы найдены. По-видимому, Мил-
ликен считает очевидным, что это и есть перечисленные частицы. Почему-
то ничего не говорится о нейтрино, хотя книга вышла в 1935 году, когда
работы Ферми по теории р-распада уже существовали.
Ш Каким изданием вы пользовались?
М Я взял издание 1935 года; были, кажется, и более поздние, но
меня интересовало состояние умов на 1935 год, до Юкавы.
Ш Наверное, Милликен считал, что существование нейтрино не
доказано. Он в 1935 году был человек уже не молодой, по профессии
экспериментатор; изучение теории р-распада и размышления о степени
ее убедительности вряд ли были для него естественным делом, а прямых
доказательств существования нейтрино тогда не было.
М Мне кажется очень интересным тщательно обсудить, что такое
есть «прямое доказательство», сделав это хотя бы на примере р, п, е, ve
частиц.
Ш Нет ничего проще — экспериментатор обычно считает, что он
получил прямое доказательство, если ему показывают, как частица
вылетела, пролетела, что-то сделала, что нейтрино, что и глюон. Поя-
Появились глюонные струи, и стали говорить об «открытии» глюона.
М Замечательно просто, но почему, например, так долго открывали
электрон, и кто его открыл? Я так и не смог этого понять.
Ш Ну, конечно, тут нужны оговорки. Электрон ли, глюон ли,
развитие не всегда начинается с того, что физик «видит» новую час-
частицу, хотя и такое бывает. Чаще об объекте догадываются по косвен-
косвенным уликам, как в детективных рассказах А. Конана Дойла, где о
Диалог 1
преступнике многое знают еще до того, как столкнутся с ним лицом к
лицу. В прошлом столетии физика развивалась медленно, и об электро-
электроне говорили задолго до того, как ему дали имя, а имя дали раньше, чем
увидели.
ф Как можно говорить о предмете, у которого нет названия?
М Вы хорошо знаете, как — с помощью описательных фраз. Вот
вам пример из Милликена — высказывание немецкого физика Виль-
Вильгельма Вебера, 1871 год [5].
ф Я всегда думал, что планетарный атом придумал Резерфорд.
Ш Планетарный атом кто только не обсуждал до Резерфорда. Но-
Новость работы Резерфорда [6] была в предоставлении опытных доказа-
доказательств того, что положительный заряд атома сосредоточен в очень
малой области.
Ф А в чем было доказательство?
Ш В согласии выведенной Резерфордом формулы для рассеяния
а-частиц на ядре с результатом измерений.
ф Но тогда, наверное, статья Резерфорда и должна было начи-
начинаться словами: «Мне удалось получить прямые доказательства плане-
планетарного атома, рассматривавшегося ранее, например, в работах ...».
Ш Я думаю, что тогдашняя этика ссылок, возможно, этого вовсе не
предполагала.
М Что вы имеете в виду?
Ш Примерно следующее. Как мне представляется после знакомства
со статьями тех времен, ссылка Y на работу X означала: «Я опираюсь
на работу X», или даже: «Я развиваю работу X». Этот hommage3 не
очень-то охотно совершали. Отсутствие ссылки, наоборот, означало: «Моя
работа по методу, способу доказательства, иначе говоря, по основному
содержанию независима от работ X ...».
М Если вы правы, то это должно сильно затруднять исследования
историков науки, если они захотят понять, какие работы и вообще
воздействия на самом деле подготовили открытия, скажем, Резерфорда.
Ш Да, но Резерфорд писал свои статьи не затем, чтобы облегчить
муки историков. Вернемся к электрону. Я хорошо помню начальную
историю электрона, как она рассказана у Милликена.
М И как она выглядит?
Ш Сначала были электрические жидкости, и некоторые, например,
Франклин, считали, что электричество одного знака связано с «весомой
материей», а другое невесомо или почти невесомо; альтернативой была
3 Hommage (фр., читается: оммаж) — в средневековье личный договор между
вассалом и сеньором. Принося оммаж сеньору, рыцарь просил его покровительства и как
бы признавал себя его «человеком». В данном контексте — дань уважения трудам пред-
предшественников, реверанс в знак уважения. — Примеч. ред.
Диалоги
теория двух жидкостей е и е', возникновение которой описано в книге
Милликена несколько темной фразой: «Другие физики той эпохи во
главе с Зиммером высказали в 1759 году другое предположение, а имен-
именно следующее: материя в нейтральном состоянии не обнаруживает элек-
электрических свойств, потому что она содержит в качестве составных час-
частей одинаковые количества двух жидкостей, называемых положитель-
положительным и отрицательным электричеством» [7].
Насколько я понимаю, дальше судьба электрических жидкостей
оказалась связанной с судьбой атомной теории. В первой половине
XIX в. атомная теория проделала огромный путь. Работа была начата
людьми, которые, собственно, почти все были одновременно и физика-
физиками, и химиками: профессии химика и физика в то время, видимо,
сблизились [8]. Прочтите, скажем, «Историю свечи» Фарадея. Он высту-
выступает в ней в роли чистого химика: рассказывает о простых и сложных
веществах, о том, что такое окисление и т.д.
Ф Может быть, великий физик захотел просто поговорить о химии,
ведь «История свечи» — популярная лекция.
Ш Нет, у Фарадея были работы, которые теперь мы бы классифи-
классифицировали как чисто химические [9]. Такими же были и интересы Гей-
Люссака, а Лавуазье вместе с Лапласом измерял теплоемкость веществ
[10]. Мы должны понять, что система наук все время перестраивалась:
в начале XIX в. существовала скорее недифференцированная «наука о
веществе», содержавшая элементы и физики, и химии. В дальнейшем
химия отделилась. Такой человек, как Либих, это уже химик в чистом
виде. В сущности, мне кажется, что химия и была основной наукой
«о веществе» в XIX в., и вплоть до конца XIX в. она в какой-то степени
ею и оставалась. Наверное, не случайно Мария Кюри и Резерфорд
получили Нобелевские премии по химии: возможно, дело было не толь-
только в том, что в их работах было много химии [11]. Наверное, химики
вообще считали, что атомы — это их дело. Если говорить о централь-
центральной проблеме «теории материи» XIX в., то можно утверждать, что это
была проблема атомных весов. К первому Всемирному съезду хими-
химиков в Карлсруэ в 1860 году возникло наконец согласие по поводу
атомных весов элементов, хотя это, конечно, были относительные
веса [12]. К тому времени в результате прогресса кинетической теории
газов появились и первые значения числа атомов в грамм-молекуле.
В этом контексте и планетарная модель Вильгельма Вебера A871 г.),
и статья Джорджа Сгони A874 г.) вполне естественны.
Ф А что сделал Стони?
М Стони поделил тот заряд, который нужно пропустить через рас-
раствор электролита, чтобы выделить один грамм-атом одновалентного
вещества на уже приблизительно известное в его время число атомов в
грамм-атоме [13].
Диалог 1
ф Сколько он получил для заряца электрона е?
М 0,3-10~10 ед. СГСЭ, примерно на порядок меньше известного в
настоящее время значения 4,8-10~10 ед. СГСЭ; число Авогадро было
плохо известно.
ф Я когда-то читал его статьи, мне кажется, он не говорил о
частицах.
Ш Может быть, не случайно. Джеймс Максвелл в 1873 году в своем
«Трактате» в явном виде выражал надежду, что в истинной теории
электричества молекулярные заряды исчезнут [14].
ф Так все-таки — частицу электрон надо было открыть, то есть
наблюдать как частицу?
Ш Конечно.
М Кто же это сделал? Из Милликена я понять этого не смог.
Я обратился к книге Макса Лауэ [15] и прочел там, что катодные лучи
открыл Юлиус Плюккер, потом трудами многих людей было установле-
установлено, что они состоят из заряженных частиц. «Под влиянием блестящих
опытов Вильяма Крукса, произведенных в 1879 году, прочно установи-
установилось представление, что катодные лучи состоят из частиц, хотя Генрих
Герц в 1883 году на основе опытов, неправильных из-за недостаточной
экспериментальной техники, хотел усмотреть в них продольные волны ...»
Ф Что это за продольные волны?
Ш Со времен Огюстена Френеля «знали», что свет — поперечные
волны в эфире, и удивлялись, что нет продольных. Герц думал, что
катодные лучи — это продольные волны.
Ф А как же те многие люди, которые установили, что они
заряжены?
Ш У Лауэ сказано, что ранние опыты не были убедительны, а вопрос
решили Жан Перрен в 1895 году и Джозеф Джон Томсон в 1897 году.
Ф Хорошо, а что дальше?
ТА Дальше, по Лауэ: «С 1897 года некоторые исследователи, в том
числе Вильгельм Вин и Дж. Дж. Томсон, а также Джордж Фитцджеральд
A851—1901) и Эмиль Вихерт A861—1928), показали, что в катодных
лучах отношение массы к заряду частиц приблизительно в 2000 раз
меньше, чем у атома водорода. Отсюда, решительно отклонив идею
Герца, заключили, что частицы, образующие потоки анодных лучей,
являются обычными электрически заряженными атомами или молекула-
молекулами: напротив, частицы катодных лучей являются «атомами» отрицатель-
отрицательного электрического заряда — электронами».
Ф Были ли перечисленные исследователи независимыми [16]?
Диалоги
Ш Вихерт опубликовал свои результаты раньше Томсона. Томсон,
по-видимому, был независим от Вихерта.
Ф Я когда-то читал популярную книжку, где с большой определен-
определенностью говорится, что электрон открыл Дж. Дж. Томсон [17]. С чем это
связано?
Ш Наверное, со стремлением авторов популярных книг и учеб-
учебников упрощать историю. Многие историки считают, что понятием
открытия историкам науки вообще не следует пользоваться [18].
М У Лауэ видна еще одна линия. Несколько странно, с нарушени-
нарушением хронологии, написано: «В конце 1896 года, когда лоренцовская те-
теория эффекта Зеемана (относящегося к спектральным линиям, обуслов-
обусловленным электронами в атомах) привела к тому же значению отношения
заряда к массе, существование электрона после сорокалетних усилий
было твердо установлено...». В чем дело?
Ш Действительно, в истории электрона была еще одна линия, свя-
связанная с Хендриком Лоренцом, Джозефом Лармором, наверное, и други-
другими [19]. Лоренц начиная с 70-х годов занимался теорией электромагнит-
электромагнитных явлений в веществе и снова ввел точечные заряды (которые Мак-
Максвелл хотел изгнать) и электромагнитные поля в пустоте, действующие на
эти частицы. Он сам рассматривал это как частичный возврат к взглядам
Вебера. Лоренц считал, что заряды, которые он называл «ионами», свя-
связаны в атомах упругой силой (осцилляторы). Это позволило ему разрабо-
разработать теорию дисперсии. Когда Зееман обнаружил расщепление линий
спектра в магнитном поле [20], Лоренц это объяснил; заодно определи-
определилось и отношение е/т. В действительности эффект Зеемана сложнее, чем
он объяснялся по теории Лоренца, но порядок величины е/т был полу-
получен правильно. Томсон уже знал этот результат в 1897 году.
Ф Мне кажется, вы с М как-то усложняете дело: Нобелевский ко-
комитет все же присудил Томсону премию за открытие электрона.
Ш Нет, за исследование разрядов в газах.
М В конце концов, это не так уж важно. По-видимому, правильно
будет сказать, что в конце 90-х годов было установлено, что заряженные
частицы в атомах, ответственные за излучение света, и частицы катодных
лучей — одно и то же, и что они легкие: е/т порядка 1/2000 от е/т для
ионизованных атомов водорода.
Ш В действительности е/т могло быть большим, если бы
«частицы Зеемана» и частицы катодных лучей имели очень малый заряд.
Дж. Дж. Томсон это обсуждал. Но в эти годы, конечно, число Авогадро
было уже хорошо известно, так что можно было по Стони найти эле-
элементарный заряд и при естественном предположении, что это и есть
заряд частиц в атомах и катодных лучах, убедиться в том, что масса т
мала. Так и поступили. К началу века консенсус установился: в атомах
Диалог 1
находятся электроны. В 1904 году Анри Пуанкаре в своей знаменитой
лекции говорил: «Мы знаем, что линии спектров излучения порождают-
порождаются движением электронов. Это доказывается явлением Зеемана: то, что
колеблется в излучающем теле, испытывает действие магнита и, следо-
следовательно, имеет заряд» [21].
М Странное, в сущности, высказывание. Из всего, что мы обсуди-
обсудили, следует, что дело было не в том, что «то, что колеблется», имело
заряд, а в том, что совпадало отношение е/т в катодных лучах и атомах.
А то, что частица, излучающая электромагнитные волны, имеет заряд,
вроде и так ясно, если вообще верна электромагнитная теория света.
Ш Наверное, вы правы, но когда консенсус уже возник, то истинные
источники его возникновения обычно уже плохо понятны. К 1904 году
электроны отождествили уже в самых разных явлениях: в р-излучении
радиоактивных веществ, в фотоэффекте, наверное, еще где-нибудь.
М Тогда в чем было значение опытов самого Милликена, книгу
которого мы обсуждали?
Ш В прямом измерении заряда электрона. Из работы Холтона [22],
смотревшего лабораторные записи Милликена, возникает впечатление,
что, в сущности, Милликен был в это время так уверен в ответе, что
просто выбрасывал те измерения, где е получалось не такое, как надо.
М Что значит «как надо»?
Ш Число Авогадро было хорошо известно [23].
М А как же «реальность»?
Ш Так нельзя делать измерения. Милликену просто повезло: если
бы ответ, который он знал заранее, был неверен, он бы сделал ошибоч-
ошибочную работу. Так бывает.
М А Феликс Эренгафт, стало быть, просто проявил излишнюю до-
доверчивость к фактам?
Ш Да, что-то вроде этого; просто метод Милликена—Эренгафта в
то время не позволял измерить е.
ТА Не следует ли сказать, что картина реальности, которую мы
видим, зависит от наших предубеждений? Милликен верит в электрон
и видит его. Эренгафт не верит в электрон, а верит в Эрнста Маха —
и не видит.
Ш Работа, которую публикует какой-то экспериментатор, не есть
окончательное свидетельство. На уверенность экспериментатора в своих
результатах, конечно, влияют любые его «идеологические предрасполо-
предрасположения». Истина выясняется, как на суде: сопоставлением показаний
разных наблюдателей.
М Но есть ли решение суда окончательная истина?
2 — 2998
10 Диалоги
Ш Знание, которое имеет физик, — знание чисел и уравнений —
в конечном счете проверяется техникой. Создается новое устройство, и
оно работает так, как было рассчитано: скажем, знание ядерных посто-
постоянных позволяет рассчитать, при каком положении регулирующих стер-
стержней заработает ядерный реактор; так и происходит. Проблемы истин-
истинности знания становятся очень сложными, когда они обсуждаются за
чайным столом, но когда речь идет о реальных системах, которые ра-
работают (или не работают), все становится если и не проще, то конкрет-
конкретнее. Если реактор не работает, надо понять — почему. Такое бывало, и
причины находились.
Ф А не может ли быть, что из-за какого-нибудь Милликена, кото-
который находился под влиянием личных предубеждений, скажем, реактор
не заработает?
Ш Бывают разные случаи. Когда в Германии во время Второй
мировой войны начали работать над ядерной бомбой и ядерными реак-
реакторами, то известный физик Вальтер Боте измерял сечение поглощения
нейтронов углеродом. Он получил неправильное, слишком большое
значение сечения поглощения. В результате немцы решили, что в качес-
качестве замедлителя нельзя применять графит, а нужно обязательно приме-
применять тяжелую воду D2O. Ее изготовляли в Норвегии, но английские
диверсанты существенно замедлили поставки тяжелой воды для ядерно-
ядерного проекта, который немцы называли «вирусный флигель». В результате
в Германии не успели вплоть до конца войны запустить реактор. Если
бы не ошибка Боте, то возможно, что у немцев появился бы плутоний
раньше и история второй мировой войны изменилась.
Ф Причем здесь плутоний, и откуда это известно?
Ш Плутоний образуется в ядерных реакторах и может наряду с
ураном-235 служить материалом для атомной бомбы. История немецко-
немецкого проекта рассказана в книге: D. Irwing, Virus House. London: William
Kimber, 1967; ошибка Боте описана в главе «Роковая ошибка».4
ТА Кстати, история с измерением заряда электрона е тоже не кон-
кончилась тем, о чем мы говорили; в книге Милликена описаны его
поздние измерения. Он улучшил свою установку и получил значение
е = 4,770-10~10 абсолютных электростатических единиц (esu), а теперь
значение е = D,8032068±15)-10-'° esu.
Ф Что такое esu, и что значит ±15?
Ш ±15 — это дисперсия гауссова распределения; а что такое esu —
сейчас неважно, это некоторая система единиц физических величин.
Ф А что случилось с Милликеном?
4 См. рус. пер.: Д. Ирвинг. Вирусный флигель. М.: Атомиздат, 1969. —
Примеч. ред.
Диалог 1 11
М В измерениях Милликена для определения капли использовался
закон Сгокса, согласно которому сила вязкого трения, действующая на
каплю, равна 6nr\av, где а — радиус капли, v — ее скорость, т\ — вязкость.
дц В действительности Милликен поправлял закон Стокса, верный
при малых а.
JA Как же все-таки получилось 4,77 вместо 4,80?
Ш Я где-то читал или слышал, что Милликен поручил измерять ti
своему сотруднику, а тот измерил т] неверно. Сам Милликен был пре-
прекрасный экспериментатор, и когда в конце концов его данные обрабо-
обработали правильно, исправив ti, to получилось правильное значение е.
JA А как нашли ошибку?
Ш Кажется, кто-то измерил число Авогадро NA новым способом —
измерением кристаллических структур с помощью рентгеновских лучей —
и получил новое N^, которое дало е = 4,80-10"'° esu. Самое забавное, что
после Милликена и до кристаллографической революции несколько
человек измеряло е по дробовому шуму в токе, связанному с флукту-
ациями тока из-за дискретности е, еще как-то, и все получали
е = 4,77-100 esu.
Ф Как это им удавалось?
Ш Когда экспериментатор начинает работать, то он получает бог
весть что — из-за систематических погрешностей; он их ищет, пока не
совпадает с предыдущим авторитетом, после этого он перестает искать
систематические погрешности и начинает набирать статистику. Такие
погрешности встречаются вновь и вновь.
Ф Тогда можно ли верить вашим числам, о которых вы так много
говорите?
Ш Числам из статей — с большой осторожностью. Но числа в
таблицах типа «Particle properties», видимо, довольно надежны [24]. На-
Насколько устойчивы данные по фундаментальным постоянным, можно
увидеть в книге: В. N. Taylor, W. Н. Parker, D. N. Langenberg. The funda-
fundamental constants and quantum electrodynamics. New York—London: Acade-
Academic Press, 1969.5 Видно, например, по графику для 1/а, что это число
выходило за пределы погрешностей.
JA Кажется, физика — почти такое же, как и филология, открытое
дело, говоря словами Умберто Эко.
ЯП Я думаю, не в такой степени, как филология, но в какой-то
степени — да. Науку делают люди — существа далеко не абсолютно
совершенные.
s См. рус. пер.: Б. Тейлор, В. Паркер, Д. Лангенберг. Фундаментальные кон-
константы и квантовая электродинамика. М.: Атомиздат, 1972. — Примеч. ред.
Диалог 2
JA Давайте начнем сегодня с понятия элементарной частицы. Сей-
Сейчас для теоретика определить ее как квант какого-то определенного
поля, по-видимому, наиболее естественно, но это определение в рамках,
так сказать, «формальной действительности» В. И. Вернадского [1]:
совокупность представлений о действительности, принимаемых наукой
определенного периода, но ведь это не все — представления меняются,
а электроны и фотоны «существуют всегда», они инвариантны относи-
относительно происходящих изменений.
ЯП «Формальная реальность» Вернадского, мне кажется, почти то
же, что и «парадигма» Куна.6 (С удовлетворением человека, нашедшего
удачное слово.) Парадигма современной фундаментальной физики — это,
как мы подробно обсудим дальше, квантовая теория поля (КТП).
Ф Вы как-то необычно пользуетесь словом «парадигма». По-моему,
это лингвистический термин. У вас нет словаря?
М (Достает словарь из шкафа.)
Ф (Читает определение парадигмы.) [2].
М После книги Куна и историки, и физики пользуются этим сло-
словом иначе.
Ш Видимо, потребность введения такого понятия назрела, нужно
было название, и слово «парадигма» сейчас, кажется, уже принято.
Ы Дело не в названии, пусть будет «парадигма», что остается от
объекта после того, как парадигма меняется? Ведь, кажется, никто из
нас не настаивает на том, что парадигма КТП последняя и окончатель-
окончательная, она сменится, а что станется с электронами, фотонами, кварками,
наконец?
Ш По-моему, здесь нет никакой проблемы. Электрон, конечно, пе-
переходит из парадигмы в парадигму, но это просто означает, что мы
узнаем новые аспекты его поведения. Представьте себе, что студент X
знакомится с профессором Y на лекциях, экзаменах и семинарах, узнает
его манеру читать лекции, принимать экзамены, обсуждать научные
6 См. в книге: Т. Кун. Структура научных революций. 2-е изд. М.: Прогресс,
1977. — Примеч. ред.
Диалог 2 13
проблемы, даже в какой-то степени их решать. Это будет Y в парадигме
«профессор» с символическими обобщениями: «строгий», «ясно» (или
«неясно») читающий лекции, остроумно решающий сложные задачи (или
наоборот — шаблонно мыслящий) и т. д. Затем студент встретит Y на
теннисном корте и узнает много нового об Y как игроке в теннис —
парадигма будет уже другая, так как X узнает много новых свойств Y.
Так же и электрон. С точки зрения теоретика электрон впервые зажил
полноценной парадигматической жизнью в рамках электродинамики
Лоренца, в которой он приобрел заряд, массу, стал источником полей
Е и Н, стал подвергаться действию силы Лоренца. Это, так сказать,
электрон в парадигме тома II («Теория поля») Л. Д. Ландау и Е. М. Лиф-
шйца [3]. Он уже довольно много умеет: двигаться во внешнем поле,
излучать. Перейдя в том III («Квантовая механика»), он приобрел кое-
что новое, а кое-чему разучился (в томе III излагается нерелятивист-
нерелятивистская квантовая механика); двигаться с околосветовыми скоростями он
теперь не умеет, зато он теперь имеет спин, не всегда излучает, зато
умеет диффрагйровать.
В томе IV, где излагается квантовая электродинамика (КЭД), он
снова умеет делать все, что он умел делать в томе II, и еще много
нового — аннигилировать с позитронами, в частности.
М Вы говорите, что электрон тома III «не умеет» двигаться с око-
околосветовыми скоростями, но ведь на самом деле это не так. Он умеет,
но неправильно. Вы получите неверную энергию Е = mv2/2, а на самом
тс2
деле Е
Vl-vVc2
ЯП Конечно, хотя это, собственно, не связано с квантовой механи-
механикой. Но мы знаем, что нерелятивистской динамикой нельзя пользовать-
пользоваться при v -> с. Я не вижу здесь никакой проблемы. Все физические
теории приближенные. Кроме того, мы могли бы сразу перейти от тома
II к тому IV — нерелятивистская квантовая теория содержится в реля-
релятивистской.
М Но все же теоретик, не знающий о релятивистских ограничени-
ограничениях, спокойно предсказал бы, что электрон может двигаться со скоростью
2с и иметь энергию 2/яс2, но это было бы неверно.
ЯП Мы заранее не знаем предела применимости наших теорий, их
показывают нам следующие, более широкие теории или опыт. В этом
нет ничего страшного, так бывает всегда. Я допускаю, например, что
электроны в биологических системах в определенных ситуациях, когда
речь идет о явлениях, связанных с сознанием, не описываются теори-
теориями, изложенными Ландау и Лифшицем; если бы это было так, то
теория Природы, включающая описание явлений сознания, дала бы
14 Диалоги
новые, сейчас неизвестные ограничения применимости КТП (подразу-
(подразумевая, что она включает в себя все предыдущие).
М Мне кажется, большинство физиков считает, что мозг — нечто
вроде ЭВМ и может быть описан даже и на классическом языке, а не
то что на квантовом.
Ш Тут есть разные мнения [4], и уж во всяком случае мнения
взвешиваются, а не считаются. Если вернуться к электрону, то, мне
кажется, с ним не случилось ничего плохого при переходах из парадиг-
парадигмы в парадигму.
М Если не считать того, что он утратил свою «субстанциональ-
«субстанциональность» — он теперь может исчезнуть при аннигиляции. Электрон кван-
квантовой электродинамики — это вообще уже не «вещь», а квант поля, он
может возникнуть, исчезнуть. В сущности, кроме формальных правил
вычисления сечений и инструкций экспериментатору, как его «узнать»,
мы ничего о нем не знаем.
ЯП Да, это, по-видимому, характерное переживание. Людей, кото-
которых мы встречаем в жизни, мы описываем с помощью парадигм, пос-
построенных в рамках естественного языка, но при этом реальность чело-
человека, которого мы видим на лекции, заведомо богаче парадигмы «проф-
фессор», у него есть материальное, чувственно воспринимаемое бытие.
Что касается электрона, то здесь все не так, все, что мы о нем можем
сказать, мы заведомо должны говорить на языке наших «символических
обобщений». Возникает мучительное ощущение, что мы о нем почти
ничего не знаем, на это жаловался еще Арнольд Зоммерфельд в своей
знаменитой книге [5]: «О самом электроне мы, собственно, мало что
можем сказать». Забавно, что ему все же хотелось «нарисовать» элект-
электрон, и он нарисовал точку, из которой выходят силовые линии. Удивлять-
Удивляться следовало бы тому, что, так мало зная о самом электроне, мы так
много можем сказать о телах, которые построены из электронов и ядер.
М Но электрон КЭД, чем бы он ни был, это не «вещь».
Ш Конечно, не вещь в том смысле, в каком речь идет о стульях и
столах или о камнях. Скала стоит дольше человека, вы можете вернуться
в горы и увидеть камень, который вы видели сорок лет назад. Это все
связано с барионным избытком в видимой части Вселенной: протонам
вокруг нас не с чем аннигилировать.
Ф Электронам тоже, но физики почему-то сейчас все время гово-
говорят о протонах, а не об электронах.
М Это потому, что они сейчас думают, что протоны могут распа-
распадаться, скажем, по схеме р -» е+ + я0, тогда дело плохо, все исчезнет,
хотя и нескоро.
Диалог 2 15
ф И как же?
М Надо делать протоны заново время от времени.
<д! Отвлекаясь от нововведений: уже сама аннигиляция e+e~ -> 2у
указывает на то, что элементарные частицы не обладают, так сказать,
той непрерывностью существования, которой обладают обычные вещи,
с этим надо примириться. Фотоны вообще непринужденно рождаются
и исчезают.
ф Почему же в этом процессе гибели и рождения электроны всегда
возникают одинаковыми?
<Д1 В каком-то смысле мы это не понимаем, а только описываем, но
во твсяком случае это вложено в саму основу КТП. Электрон всегда
одинаков потому, что не изменяются уравнения квантовой теории поля,
а квантовая механика уж заботится о том, чтобы кванты всегда имели
один и тот же заряд, одну и ту же массу. Это определяется константами
в уравнениях.
ф Не могут ли эти константы меняться, скажем, зависеть от вре-
времени?
М Некоторые из констант теперь уже меняются. Например, масса
электрона в единой теории электрослабого взаимодействия уже есть
порождение взаимодействия с некоторым внешним полем: если в опре-
определенных условиях это внешнее поле исчезнет, электрон станет безмас-
безмассовым [6].
Ф Откуда берется внешнее поле, кто его источник?
М Спросите у Ш.
Ш По предположению, это поле не нуждается в источнике, а су-
существует само по себе, оно возникло изначально при охлаждении Все-
Вселенной.
Ф Я никогда не слышал про поля такого типа.
М Их только недавно придумали: теоретики сильно изменили свои
уравнения.
Ш Мне кажется, что ответ все равно остался правильным. Некото-
Некоторые константы перестали ими быть, но зато появились новые.
ТА Мы еще поговорим о единых теориях, даже в рамках КТП все
не столь прозрачно. Если основные объекты так «привязаны к парадиг-
парадигме», то в какой степени они существуют? К тому же мы уже приняли,
что эти объекты — не «вещи».
Ш Одно из основных достижений физики прошлого и этого века
состоит в том, что она научила нас тому, что, так сказать, «сохране-
«сохранение» не обязательно предполагает существование сохраняющихся ве-
вещей. Античная атомистика как раз так считала [7], так думали и в
16 Диалоги
XVII—XVIII веках. Раз есть что-то сохраняющееся — ищите «материи».
Даже теплота была веществом. Величайшей революцией был момент,
когда поняли, что сохраняться могут не вещи, а интегралы движения,
например, энергия. Постепенно все сохраняющееся стало интегралом
движения. Когда два электрона сталкиваются, то индивидуальность каж-
каждого из них утрачивается в силу их неразличимости, но заряд всегда
равен 2е. Когда они разойдутся, они воссоздадут два раздельных заряда
е, е. В микроскопическом куске железа сохраняется весь коллектив
электронов со своим полным зарядом, а не индивидуальности отдель-
отдельных электронов.
JA Но если в КТП электроны и фотоны — только подлежащие в
некоторых фразах, а в конечном счете речь идет о предсказаниях опы-
опытов, то не могут ли при очередном изменении парадигмы эти понятия
и объекты исчезнуть? Исчез же эфир! Да мало ли что исчезло. Теплород,
магнитные жидкости...
Ш На ранних этапах любая теория, конечно, содержит гипотетичес-
гипотетические элементы, которые могут и исчезать. Но развитая теория есть пря-
прямое описание фактов, и тут уж ничего не меняется. Это хорошо пони-
понимал Вернадский, писавший, что некоторые области «формальной дей-
действительности» перестают меняться, достигнув определенного уровня
истинности [8].
М А потом начинают снова. Общая теория относительности пока-
показала, что механика Ньютона неверна — нет дальнодействия, нет силы;
есть риманово пространство-время и геодезические линии планет и
других тел.
Ш Такие взгляды высказывались, но они мне кажутся наивными.
В слабых гравитационных полях в нулевом приближении можно вести
сохраняющиеся импульсы планет, в следующем приближении импульс
будет меняться, изменение импульса определяется положением Солнца
и других планет — это есть силы и т. д. В рамках общей теории отно-
относительности вы восстановите в некотором приближении механику Ньюто-
Ньютона. Но основные понятия теперь понизились в ранге — из первичных
конструкций они стали вторичными.
Ы Все известные физические теории — феноменологические. Пер-
Первичные понятия означают только одно: на данном этапе развития они
нерасчленимые, исходные. Все понятия, которыми мы пользуемся, рано
или поздно лишатся статуса первичности.
Ф Не слишком ли мрачно вы смотрите на жизнь? Многие физики
надеялись на создание окончательной теории.
Ш Надежды такого рода пока никогда не сбывались. Как бы то ни
было, пока мы занимаемся явно феноменологическими теориями — или
гипотезами.
Диалог 2 17
jA Но коль скоро элемент гипотетичности допущен, где гарантии
того, что данная теория уже достигла почтенного статуса феноменоло-
феноменологии и не содержит гипотез?
дц Мы не знаем, а должны действовать; в каком-то смысле здесь
нет правил, а есть индивидуальная способность исследователя сделать
вывод из всех доступных ему фактов, и есть коллективный консенсус
научных сообществ. И то, и другое не абсолютно надежно. В эфир
почти все физики верили — и ошибались. Впрочем, самые осторожные
говорили: «Почти доказанная гипотеза» [9]. Ньютон сделал вывод о
справедливости небесной механики тяготения, рассчитав сравнительно
немного явлений, и не ошибся. Сейчас, когда космические аппараты
движутся по рассчитанным траекториям и успешно спускаются на Марс
и Венеру, вряд ли кто усомнится, что поля тяготения в ньютоновском
пространстве-времени — такое же точное изображение реальности, как
изображение материка на карте.
М Конечно, все это верно, но даже и здесь время от времени
вспыхивают споры, скажем, о реальности сил инерции.
Ш Эти споры — чистейшей воды злоупотребление тем, что на ес-
естественном языке вы как бы «понимаете» фразы, которые на самом деле
бессмысленны в данной теории. Буквально механика Ньютона справед-
справедлива в инерциальных системах — там сил инерции нет. В неинерциаль-
ной системе можно сохранить второе уравнение Ньютона, добавив силы
инерции. Они в неинерциальной системе «существуют», если мы хотим
сохранить уравнение для ускорения. Правильная формулировка может
звучать примерно так: «Если мы хотим, чтобы второе уравнение Ньюто-
Ньютона сохранило свою форму в неинерциальной системе отсчета, то надо
добавить в правую часть уравнения некое слагаемое, называемое силой
инерции и отличное от обычных сил».
М Но вы знаете, что в общей теории относительности (ОТО) сила
тяготения, собственно, тоже сила инерции.
Ш В ОТО другая семантика. Там инерциальная система — только
свободно падающая.
М Но если существование зависит от принятой семантики — не
могут ли исчезнуть электроны, фотоны, кварки?
Ш Думаю, что нет. Что бы ни случилось, в некотором широком
классе ситуаций мы можем говорить об электронах и фотонах на естес-
естественном языке, как об обычных вещах. Вряд ли мы от этого откажемся.
Собственно говоря, если начать с электрона, то физики говорили о
заряженных частицах задолго до того, как сформировалась первая тео-
теоретическая парадигма.
М А кварки?
18 Диалоги
Ш В некотором смысле мы их почти видим. Рассеивая на большие
углы электроны и нейтрино с энергиями в десятки ГэВ, мы, как в
микроскопе, имеем разрешения лучшие, чем расстояния между кварка-
кварками в протоне.
Ф И что же видно?
Ш Рассеянную на точечном центре волну.
Ф Волну чего?
Ш Дебройлевскую волну рассеянного электрона, скажем.
Ф А почему вы говорите, что видите кварк?
Ш Потому, что наблюдается то, что должно быть при рассеянии на
точечном центре.
Ф. Но вы видите рассеянную волну, а не кварк.
ЯП Вас я тоже не вижу, а вижу только рассеянный вами свет.
Диалог 3
ф В первом разговоре мы прекрасно обходились без парадигм. Как
это получалось?
<Д1 Можно начать с утверждения, что парадигма присутствовала за
сценой. В действительности, конечно, и Дж. Дж. Томсон, и его совре-
современники рассчитывали движение электрона в электрических и магнит-
магнитных полях, используя формулы для полей магнитов и конденсаторов,
силу Лоренца и уравнения Ньютона. Электрон при этом фигурировал
как типичная материальная точка с массой и зарядом.
М Но ведь электродинамика инвариантна относительно преобразо-
преобразований Лоренца, а механика — относительно преобразований Галилея;
так что, парадигма была на самом деле противоречива?
Ш Формально противоречия нет — просто есть выделенная система
отсчета, в которой и надо работать.
М Но ведь Земля движется «относительно эфира».
Ш Да, но эта скорость мала по сравнению со скоростью электрона
в катодной трубке, так что фактически можно об этом не думать. Ре-
Реально об этом обычно не думали, а знали, что электродинамика конден-
конденсаторов, магнитов и зарядов действует в лаборатории.
М Лоренц думал.
Ш Да, потому что он принял всерьез опыт Альберта Майкель-
сона и пытался его объяснить [1].
Ф Почему вы сказали: «Можно начать с утверждения...»?
Ш Потому что реальная физика, точнее, даже какой-то раздел теоре-
теоретической физики — физическая теория обычно никогда не имеет вида
математической теории, то есть более или менее упорядоченной системы
постулатов, определений и следствий, как в геометрии Евклида. Скорее,
имеется некоторый запас образов, понятий, даже ассоциаций, с которы-
которыми встречаются в новой области явлений и пытаются ее описать.
ТА Но ведь и вы говорите, что основная парадигма современной
теории элементарных частиц — квантовая теория поля. Тогда это не так
уж хаотично.
Ш Вы же знаете, что современная квантовая теория поля — отнюдь
не стройный дворец; скорее это старый дом, обросший как попало
20 Диалоги
сделанными постройками. Конечно, исходная центральная конструкция
сохраняет силу, частицы получаются квантованием полей, но сколько
пристроек!
ТА Да, от вакуумных ожиданий до квантования по контурам —
получается довольно бесформенное строение.
Ш Так было всегда. Попытки логически упорядочить материал, дать
идеальную, чистую конструкцию в физике редко бывали плодотворны-
плодотворными, этим больше занимались натурфилософы: Демокрит замечательно
разработал парадигму идеально твердых атомов, Руджер Бошкович [2]
после введения в механику центральных сил пытался додумать до конца
парадигму «центральных сил», а физики были гораздо беззаботнее; у
Макса Абрагама [3] около 1900 года электрон стал жестким шариком.
ТА Смешались Лукреций с Бошковичем?
Ш Примерно. Это, по-видимому, выглядело привлекательно.
Ф Чем, собственно?
Ш Зоммерфельду [4] жесткая идеальная сфера с поверхностным
зарядом как модель электрона казалась в 1906 году замечательно естес-
естественным элементом «электромагнитной картины мира». Во всяком слу-
случае, постулат был прост и позволил делать вычисления.
ТА Но такой электрон противоречит принципу относительности.
Ш Тогда ему принцип относительности казался механическим ата-
атавизмом. Были модели электрона и посложней. Пуанкаре, чтобы постро-
построить электродинамику, полностью согласующуюся с принципом относи-
относительности, ввел электрон с идеально растяжимой заряженной повер-
поверхностью, уравновешенной постоянным давлением эфира [5].
ТА Такая модель приводит к лоренц-инвариантному действию?
Ш Конечно, если для покоящегося электрона поверхностная плот-
плотность постоянна, он будет сферой, а при движении «относительно эфира»
он будет испытывать лоренцовское сжатие.
Ф Куда делись все эти модели?
Ш Макс Планк написал лоренц-инвариантное действие для точеч-
точечного электрона, и в них отпала нужда [6].
Ф Но ведь, насколько я понимаю, для точечного электрона элек-
электромагнитная масса бесконечна.
Ш Неявно решили рассматривать только задачи о движении во
внешнем поле и об излучении, но не о действии поля частицы на
нее саму.
ТА Это не совсем так. В классической электродинамике есть сила
радиационного трения [7].
Диалог 3 2\_
gjl Это очень грубое приближение — первый член разложения, в
котором следующие члены бессмысленны.
М Тем не менее, всем этим много занимались в 30-е годы.
дП Да, но ничего удовлетворительного не получилось, а потом во-
вопрос отпал, так как метод перенормировок в квантовой электродинами-
электродинамике (КЭД) практически разрешил задачу о вычислении радиационных
поправок.
М Ну, хорошо, вы опять забрались в вашу любимую парадигму.
Вы, кажется, ее любите, почти как Бошкович центральные силы.
<Ш Нет, конечно, но приходится считаться с тем, что другой более
широкой парадигмы пока нет.
М Что можно сказать об истории протона?
Ш Ее обычно начинают излагать с Праута, который в начале
XIX века догадался, что все построено из самого легкого элемента —
водорода [8].
М Опять сверхпроницательный Шерлок Холмс?
Ш Или все же случайная удача. Когда измерили атомные веса, то
они оказались совсем не кратными атомному весу водорода, и идея
была на время отвергнута.
ф Что ее воскресило?
Ш Открытие изотопов, планетарная модель атома Резерфорда и явное
определение атомных весов изотопов методом масс-спектрометрии в
1900—1918 годах После того, когда все это случилось, предположение,
что атомное ядро состоит из протонов и электронов, стало казаться
самоочевидным.
М Дефекты масс не смущали?
Ш Нет, когда об этих вещах думали, то уже знали связь между
энергией и массой; что электромагнитная энергия плотно упакованной
системы зарядов может изменить массу, казалось естественным [9].
М Есть ли какой-то «первый» автор или список первых авторов,
предложивших протон-электронную модель ядра? Что утверждали учеб-
учебники?
Ш Кажется, их не успели написать. Возможно, одним из первых
авторов, может быть, даже самым первым, был очень своеобразный
человек, голландец Антониус Ван дер Брук [10].
М Что, существование протонов признали, не увидев их явно?
Ш Нет, почему же, протонные пучки легко получить, и их хорошо
«видели» и Дж. Дж. Томсон, и другие. На самом деле более интересная
история у фотона и нейтрино. Эти частицы были изобретены теорети-
22 Диалоги
ками. Фотон, так сказать, «открыл» Эйнштейн: экспериментируя с фор-
формулой Вина, он обнаружил, что в виновском пределе излучение в чер-
черной полости ведет себя в точности как газ частиц, то есть флуктуации
числа, частиц происходят по закону \/4п , где п — число частиц в малом
объеме. Затем несколько позже он с помощью мысленных опытов на-
нашел, что у фотона есть и импульс [11].
М Фактически, в этой второй работе он уже пользовался законом
Планка, но видел уже и след «волнового аспекта».
Ш Конечно, хотя объяснял его неправильно.
М Разумеется, ведь вы должны сказать, что фотон — собственно не
частица, а квант поля, элементарное возбуждение квантовой системы и
т. д., а так как Эйнштейн квантовой механики не знал, то он должен
был предложить какую-то ошибочную конструкцию.
Ш Вы правы, конечно, а основная трудность, которая всех застав-
заставляла думать, что гипотеза фотонов не имеет отношения к делу, заклю-
заключалась в невозможности объяснить интерференцию [12].
ТА Так что же, с квантами света пришлось дожидаться квантовой
теории электромагнитного поля?
Ш Нет, как всегда, не дожидались снятия всех противоречий. Я
думаю, всех убедил Артур Комптон [13], показавший, что импульс жест-
жестких квантов при рассеянии на электронах меняется в соответствии с
законами упругого столкновения. После этого в кванты поверили и
стали искать теории, которые принимали бы дуальную природу света
всерьез.
М Хорошо, а как нейтрино? Я читал статью Энрико Ферми: этой
частице удивительно повезло, она, можно сказать, прямо родилась в
своей парадигме. Ферми так обстоятельно пишет о полях электрона и
нейтрино, вторичном квантовании и операторах рождения и уничтоже-
уничтожения, что связь между парадигмой и объектом бросается в глаза.
Ш И все же объект появился в более неформальном одеянии. Нейт-
Нейтрино придумал Вольфганг Паули, чтобы разрешить трудности, связан-
связанные с несохранением энергии и углового момента. Сначала это была
просто «частица». Паули считал ее довольно массивной и помещал в
ядро, его нейтрино — это одновременно почти и нейтрон [14]. Надо
сказать, что нейтрону больше повезло: его довольно легко «увидеть».
После работы Чэдвика, где, по существу, было доказано, что нейтрон —
это тяжелая частица с массой, близкой к массе протона, и сильно
взаимодействующая с ядрами и протонами, он сразу приобрел все права
гражданства [15]. Что касается нейтрино, то после того, как эту частицу
открыли теоретики Паули и Ферми, прошли еще долгие годы, прежде
чем Фредерик Рейнес в 1956 году не научился наблюдать реакции,
Диалог 3 23
вызываемые нейтрино (точнее, антинейтрино), излучаемыми из ядерно-
ядерного реактора, и тогда уже стало ясно всем, что это такая же частица, как
и любая другая [16]. Сейчас, конечно, наблюдение реакций, вызываемых
нейтрино, есть повседневная практика. Отсутствие v в книге Милликена
[17], наверное, и есть выражение недоверия к теоретикам.
JA Позитрон, кажется, имел более счастливую судьбу?
дц Да, его открыли экспериментаторы обычным способом, и
только после этого было понято, что это античастица, существование
которой следует из квантовой механики дираковского электрона.
JA Лучше сказать: из квантовой теории дираковского поля со
спином 1/2?
дп Да, но это уже более поздняя формулировка. Поль Дирак дей-
действовал более интуитивно: он заполнял уровни с отрицательной энер-
энергией. Современная симметризованная картина ет и е+ более позднего
происхождения [18].
М Хорошо, но, кажется, картина, в которой открываемые частицы
сразу интерпретировались в рамках уже устоявшейся КТП, все же невер-
неверна, иначе как объяснить, почему Оуэну Чемберлену и Эмилио Сегре
присудили Нобелевскую премию в 1959 году за открытие антипротона?
Если бы теория поля была такой очевидной вещью, то коль скоро вы
сказали, что есть р, то сразу вам пришлось бы говорить, что есть и р.
Ш Я думаю, что картина развития науки как смены парадигм, пред-
предложенная Куном, достаточно условна. В 30-е годы казалось, что труд-
трудностей в квантовой электродинамике (КЭД) очень много, она почти,
так сказать, «не теория». Поэтому многие допускали, что вообще нет ни
антипротонов, ни антинейтронов. Вообще, во что верит или не верит
данный исследователь, дело очень индивидуальное. Карл Андерсон,
открывший позитрон, вообще не хотел знать об уравнении Дирака и
писал, что он открыл состояние протона с большим радиусом [19].
М Из соображений симметрии он должен был верить, что есть
тяжелые «электроны» с малым радиусом.
Ш Это правдоподобно, может быть, в его статье 1932 году что-то об
этом и есть. Так или иначе, еще в 1958 году, наверное, можно было
найти много людей, которые сомневались в том, что уравнение Дирака
применимо к протону, а, следовательно, сомневались в существовании р.
М Что замечательно, так это то, что они, в общем, были правы.
Протон, как мы теперь знаем, не элементарен, а представляет связанное
состояние трех кварков, и уравнение Дирака к нему, в сущности, вовсе
не относится!
Ш Не относится в том смысле, что его магнитный момент не имеет
никакого отношения к дираковскому значению ей / Bтрс), но все же
24 Диалоги
при расчете ер-рассеяния мы пользуемся уравнением Дирака, хотя и
вводим аномальный магнитный момент и два формфактора.
М А что при этом, собственно, остается от уравнения Дирака?
Ш Мало, конечно, по существу, только свойства состояний частицы
с полным спином 1/2 при преобразованиях Лоренца. В каком-то смыс-
смысле, используя при расчетах рассеяния уравнение Дирака для описания
состояний протона вне поля, мы только отдаем дань традиции. По
существу, все результаты можно было бы получить из свойств лоренц-
инвариантности (релятивистской инвариантности).
М Хорошо. Все же современная теория поля с внутренними степе-
степенями свободы, уже не связанными с лоренцовскими степенями свобо-
свободы, спонтанно нарушенными симметриями и элементарными кварками
и глюонами, — это нечто уже совсем другое, чем квантовая электроди-
электродинамика 30-х годов. Как, собственно, произошло превращение?
Ш Понемножку. Все началось с ядерных сил: оказалось, что ядер-
ядерные взаимодействия рр и рп, если брать одни и те же состояния, —
одинаковы. Так появилось представление, что р, п суть два состояния
одной и той же частицы, а ядерные силы надо писать в «изотопически
инвариантном» виде. Воспользовались уже известными матрицами спи-
спина для частицы со спином 1/2 и по аналогии ввели взаимодействие с
матрицами изоспина т.
ТА Вы, по-моему, упрощаете всю эту историю. Два состояния нук-
нуклона и операторы т появились, мне кажется, раньше. Ими пользовался
Ферми уже в статье 1934 года о теории р-распада, ссылаясь на работу
Вернера Гейзенберга 1932 года [20]. Вряд ли в год открытия нейтрона
были уже так хорошо известны ядерные силы.
Ш Да, Гейзенбергу уже сам факт близости масс протона и нейтрона
показался, по-видимому, достаточно сильным основанием для того, чтобы
рассматривать р и п как «два внутренних квантовых состояния тяжелой
частицы». Операторы т появились потому, что он хотел рассматривать
обменные силы для р и п, когда р переходил в л, а л — в р.
Ф Зачем ему это было нужно?
Ш Наверное, он хотел построить самый общий вид лр-взаимодей-
ствий. Так или иначе, после того, как эмпирические факты указали на
одинаковость пр- и рр-сал в соответствующих состояниях, вывод о
том, что энергия взаимодействия должна содержать либо единичную
матрицу, либо т,т2, где т, и т2 действовали на уже введенные Гейзен-
бергом изотопические переменные нуклонов 1 и 2, был делом неиз-
неизбежным [21].
М Наверное, при этом все описывали в терминах привычной груп-
группы 0C), а не .Щ2)?
Диалог 3 25
дц Конечно, это очень мешало потом, когда открытие новых частиц
навело на мысль расширить группу изотопических преобразований.
Пробовали переход 0C) -> 0D), а не SUB) -> SUC), который сработал
на самом деле.
М Имеете ли вы в виду открытие странных частиц?
Ш Да, но в истории изотопической инвариантности было еще очень
много приключений: Хидэки Юкава предложил полевую теорию ядер-
ядерных сил, основанную на обмене мезонами [22]. Предсказанный им
тяжелый мезон ошибочно отождествили с мюоном, открытым в конце
30-х годов. Это стимулировало веру в правильность теории Юкавы,
поэтому мезонными теориями ядерных сил в конце 30-х годов много
занимались. Написали изотопически инвариантное мезон-нуклонное
взаимодействие, мезоны ядерных сил стали триплетами группы изо-
спина [23]. Вольфганг Паули в лекциях 1944 года считал, что из свойств
дейтрона следует, что ядерные мезоны псевдоскалярны. Так что его
тогдашняя любимая теория поля — это современная феноменология
тг-мезонных взаимодействий на больших расстояниях.
М Но ведь л-мезоны теперь не элементарны?
Ш Если один нуклон находится от другого на расстоянии l»h / (me),
то вы можете пренебречь размерами л-мезона и считать его точечным.
Может быть, дело даже лучше. Фактически и нуклон, и л-мезон имеют
размеры порядка h/Bmc), и поэтому теория из книги Паули может
начинать работать достаточно рано.
М Рассчитано ли все это, и правильны ли аргументы Паули? Дей-
Действительно ли л-взаимодействие правильно объясняет квадрупольный
момент дейтрона?
Ш Наверное, сейчас никто этого точно не знает, но я надеюсь. Так
или иначе, изотопически инвариантное взаимодействие л-мезонов и нук-
нуклонов появилось на свет. Потом догадались, что некоторые соотноше-
соотношения между вероятностями сильных взаимодействий модно получать, не
прибегая к динамике, а прямо из свойств группы изоспина, и так мы
познакомились с первой группой внутренней симметрии. Начиная с
первых работ Лепренс-Ренге, Батлера и Рочестера, сделанных в 40-е
годы, физики, изучавшие в камерах Вильсона и фотоэмульсиях ливни,
создаваемые космическими лучами, начали наблюдать новые частицы
(^-мезоны, гипероны) [25]. Их назвали странными, так как они распа-
распадались на л-мезоны и нуклоны гораздо медленнее, чем это ожидалось.
Ф Откуда были ожидания?
Ш Думали, что частицы, которые хорошо рождаются (а это было
известно), должны участвовать в сильных взаимодействиях, а так как
конечные продукты были сильновзаимодействующие пионы и р, п, то
3 - 2998
26 Диалоги
ожидали времен распада ~ 10~23 с. Искали объяснений, вспомнили об
изоспине, в конце концов, Марри Гелл-Манн в 1953 году дал почти
правильное объяснение, после чего изотопические свойства элементар-
элементарных частиц начали интенсивно изучать [26].
М А теперь выяснилось, что, в сущности, в группе SUB) нет ни-
ничего фундаментального. Просто массы и- и ^-кварков совсем и не рав-
равны, но много меньше h/ (сгс), где г. — радиус конфайнмента. Поэтому
в приближении ти, md« ft / (crc) ими можно пренебречь. Да и «запре-
«запреты по изоспину» тоже не фундаментальны, а просто в сильных взаимо-
взаимодействиях кварки не превращаются друг в друга, вот и все.
Ш Наверное, было очень полезно в течение 25 лет думать, что
группа изоспина «очень фундаментальна». Иначе Янг и Миллс, навер-
наверное, не стали бы пытаться делать симметрию изоспина локальной.
М Ситуация в современной теории элементарных частиц удиви-
удивительно странна. Те группы внутренних симметрии, которые действи-
действительно «видны» и проявляются в наблюдаемых данных (изоспин, группа
SUQ) симметрии сортов), имеют случайное происхождение и не локаль-
локальны. Тем не менее, считается, что и идея внутренних симметрии, и идея
их локализации верна и есть локальные истинные симметрии iS?^3)o и
группа слабых взаимодействий SUB) х ?/A), но они не проявляются во
внешнем мире — первая потому, что она представлена только сингле-
тами, а вторая вообще спонтанно нарушена. История того, как это все
открылось, больше похожа на комедию ошибок, чем на порядочный
индуктивный процесс по Стюарту Миллю.
Ш Конечно, но в основе догадок, приведших к современным те-
теориям, лежит простое заключение по аналогии. В квантовой электро-
электродинамике (КЭД) есть преобразования фазы полей материи (группа
{/A)). Эти преобразования можно делать локально из-за того, что в
теорию входят еще и векторные поля. Если на полях материи реали-
реализована группа симметрии G, основываясь на аналогии с КЭД, постро-
построим лагранжиан так, чтобы он был также локален [27]. В догадках,
которые привели к группе цвета и слабой группе, также все время
сочетались элементы угаданной истины и ошибочных отождествлений,
предубеждений. В конце концов, заблуждения приходили в про-
противоречие с фактами и отпадали, а фрагменты истины сливались в
согласованную картину.
М Мне кажется, что вряд ли нам нужно пытаться разобраться сей-
сейчас в деталях истории рождения современных калибровочных теорий, да
и «день еще не кончился». Мне, однако, кажется, что дорога от КЭД
к теориям полей Янга—Миллса не была такой торной, как у вас полу-
получилось. Ведь и в конце 30-х годов, кажется, скорее верили, что теории
поля скоро конец, а в 50-е и 60-е годы — тоже в это верят?
Диалог 3 27
gjj Конечно. Та линия развития, которую я не то чтобы проследить,
но хоть пунктиром пытался наметить, часто на многие годы почти
исчезала из виду, а на поверхности шумно пробовали разыграть совсем
другие сценарии. Расширение парадигмы на новую область безболезнен-
безболезненно никогда не проходит, неизбежно возникают противоречия, кризисы,
да и сама парадигма перестраивается и меняется. Когда Максвелл, Боль-
цман и их предшественники и последователи применили механику к
атомным явлениям и построили кинетическую теорию газов, они натол-
натолкнулись на кричащие противоречия! Успехи здесь могли быть только
частичными, и, собственно, только квантовая теория позволила устра-
устранить противоречия.
М . Может быть, и теперь дела обстоят так же? Не стоим ли мы
перед новой революцией?
дП Совершать революции с каждым разом становится все труднее,
так как объем ценностей, от которых нельзя отказаться, все возрастает.
Эйнштейн любил изречение: «Человечество ничему не учится на опыте
потому, что старые ошибки всегда представляются ему в новом свете».
Но все же, прежде чем обсуждать сегодняшнюю ситуацию, я хотел бы
немного вспомнить прежние заключения квантовой теории поля.
Диалог 4
М Так что, собственно, происходило с теорией поля между 1929 и
нашим годом? В сущности, понять ничего нельзя. С одной стороны, вы
меня убедили, что это — парадигма современной теоретической физики.
Действительно, теории электрослабого и сильного взаимодействия, ко-
которые современное поколение теоретиков считает, так сказать, описы-
описывающими «реально существующую вне нас объективную действитель-
действительность» — это несомненно квантовые теории поля, можно сказать, родные
сестры квантовой электродинамики Гейзенберга и Паули, рожденной в
1929 году. С другой стороны, если посмотреть, скажем, тексты, которые
Паули написал между 1929 и 1946 годами, так он, и не только он, со
своим дитятей обращается крайне сурово, как с падчерицей, все время
ждет ее смерти [1]. Заглянем в журналы 30-х годов, там только и обсуж-
обсуждаются теории, не помещающиеся в парадигму [2].
Ш А много их было? И что это такое? Потом мне все время кажет-
кажется, что вероятности разных процессов типа е+ег -> 2у вычисляли как
раз в 30-е годы. Вы не пробовали как-то собрать статистику — сколько
каких работ было?
М Этим я не занимался. Я заглядывал в журналы, работая.
Ф А что, там есть какие-то еще живые вещи, они могут быть
источником новых работ? Казалось бы, там все должно было уже давно
умереть.
М И да, и нет. Все же многое, относящееся к нашей парадигме, не
попало в учебники, так что, если вы хотите ее по-настоящему понять,
вроде бы и надо заглянуть в старые статьи. А новые работы делаются
как-то иначе. Все это потому, что мы еще не пришли к моменту раз-
разборки парадигмы. Когда начнем перестраивать здание, придется внима-
внимательно рассмотреть и фундамент, но пока вы делаете надстройки, мож-
можно на фундамент не смотреть.
Ф Ну хорошо, пристройки — там действительно получилось вроде
неплохо, но если вашу метафору принять всерьез, то при очередной
надстройке фундамент может не вьщержать и поползти.
Ш Конечно, так и происходит. В XVIII и XIX веках строили тео-
теорию сплошных сред, потом по ее образу начали строить волновую те-
теорию света, потом создали термодинамику, потом Джеймс Максвелл
Диалог 4 29
построил свою электродинамику, и все время все думали, что работают
в ньютоновской парадигме, то есть конструируют феноменологические
надстройки над механикой центральных сил, справедливые независимо
от конкретного закона сил.
ф Какое, собственно, отношение имеет ньютоновская механика к
Огюстену Френелю, термодинамике и Максвеллу?
дц Считали, что термодинамика — это феноменология механичес-
механической теории теплоты: имеется система из огромного числа атомов, в ней
действуют центральные силы. Отсюда закон сохранения энергии [3].
Взгляните, скажем, в знаменитую статью Германа Гельмгольца. Счита-
Считали, что эфир также состоит из «атомов эфира», и отсюда возникает
оптика Френеля и электродинамика Максвелла — как феноменологи-
феноменологическое описание ньютоновского эфира. Анри Пуанкаре так считал еще
в 1904 году [4].
М Мы ведь уже говорили, что вообще физики крайне беззаботно
относятся к своим парадигмам. Пуанкаре был математик и привык к
тому, что он должен знать, какой объект он изучает, так сказать,
указать исходные постулаты, а физики, я думаю, в 1904 году были уже
в полном разброде. Кто верил в чистую феноменологию, как Эрнст
Мах, кто верил в электромагнитную картину мира, как Арнольд Зом-
мерфельд [5].
Ш Конечно, мне странно было бы с вами спорить. Я только хотел бы
сказать, что Мах был философ. Его стремление понять, в какой парадигме
движется физика, привело его сначала к замечательной догадке, что ньюто-
ньютоновская парадигма неверна и неполна, а потом, когда он стал пытаться
умозрительно нащупать истину, не ставя опытов и не занимаясь теоре-
теоретической физикой, к грубой ошибке, отрицанию атомистики.
М Не было ли в позиции Маха каких-то чисто идеологических,
посторонних физике влияний?
Ш Классический античный атомизм, который мы связываем с
Левкиппом и Демокритом, а знаем в основном по Лукрецию, по
которому его изучали, наверное, и Исаак Ньютон, и Пьер Гассенди,
не смог, конечно, стать научной теорией, он превратился в некую
наукообразную религию. Почитайте Лукреция — все, в сущности,
направлено на то, чтобы рациональными аргументами, то есть апелля-
апелляцией к фактам и логике, доказать, что мир «состоит» из неразрушимых
атомов, а цель — объяснить, что нет бессмертия, не надо бояться
богов, смерти и т. д. Все это, в сущности, стало религией «секты
Эпикура». Когда появилось христианство, давшее другую теорию ми-
мироздания, то оно неизбежно должно было вступить в конфликт с
эпикурейством и Лукрецием [6]. Конкурировать с ним по логике и
ясности христианство не могло — носителей античного рационализма
30 Диалоги
скорее надо было уничтожать или вытеснять. Врага боялись, и христи-
христианская теология возненавидела Демокрита.
Ф Да, наверное, на этот счет есть замечательное стихотворение
Блейка, что-то вроде «Смейтесь, смейтесь, Вольтер и Руссо! Ваши ато-
атомы — песок против ветра, который вас же и ослепляет* [7].
Ш Ну и, конечно, в конце XIX в. религиозные люди, не занимав-
занимавшиеся атомной теорией, могли радоваться по старой памяти, когда
слышали, что атомы и, возможно, даже вообще материя — это продукты
нашего воображения. О связях между теологическим крылом филосо-
философии и Махом с его единомышленниками писал, как хорошо известно,
В.И. Ленин [8]. Но тем не менее, в целом не конфессиональные при-
привязанности играли доминирующую роль — в основном, неверие в ато-
атомистику было связано с реальными трудностями теории.
Ф Какими?
ЯГ Да ведь все знали, что ньютоновская парадигма, если ее принять
всерьез, противоречит всему на свете — не было ничего, более проти-
противоречащего фактам, чем теорема о равномерном распределении по сте-
степеням свободы. Об этом все писали: и Максвелл, работы которого в
значительной степени создали кинетическую теорию газов в 1860 году,
и осторожный Пуанкаре в 1900 и 1904 годах, и даже Джозайя Гиббс, как
раз в период наибольших сомнений разрабатывавший основы статисти-
статистической физики [9].
М А как Гиббс и Максвелл преодолевали сомнения?
Ш У Максвелла где-то есть замечательная фраза, что кинетическая
теория не может быть неверна — слишком серьезны подтверждения, но
чего-то очень важного не достает.
М Если теория содержит противоречия, то тогда как с ней работать?
И все же мышление, имеющее дело не с собственными порождениями,
а с реальностью, всегда движется среди противоречий и все же идет
вперед. Раз уж вспомнили Маха, то у него есть хорошее место — процесс
познания есть процесс приспособления мыслей к фактам и друг к другу
[10]. Это действительно так — это почти биологический процесс.
Ф Но все-таки как рассуждать, если в исходных посылках проти-
противоречие?
Ш Ландау сказал бы: «Пробовать так и этак». По существу, ответ
простой: не строить слишком длинных дедуктивных цепочек, обходить
«зоны противоречий».
Ф Как их ограничить?
Ш Опять как-то разумно. Если вы видели в 1915-1925 годах, что
старое квантование работало для стационарных состояний, то вы так и
Диалог 4 31
предполагаете: классическая механика, пополненная рецептом квантова-
квантования \pdq = 27ihn работает для стационарных состояний, а для переход-
переходных ничего не известно, о них пока не надо думать.
М Но потом вы научитесь квантовать ион водорода [11] и узнаете,
что такая гипотеза не проходит.
Ш Тогда вы придумаете еще что-то. Так и пробовали, пока Гейзен-
берг не сделал отчаянный шаг и предложил: выбросим вообще коорди-
координаты электронов, будем писать уравнения для «табличек», аналогов фурье-
компонент.
ф И пошло?
Ш Конечно, замечательно пошло. Наконец Гейзенберг вдруг увидел
кусочек правильной структуры.
М Почему не Луи де Бройль?
Ш Если хотите, можно сказать, «и независимо де Бройль». Конеч-
Конечно, был и другой путь — от де Бройля к уравнению Шредингера для
одной частицы, потом для п частиц. Только эта линия развития не была
самостоятельно доведена до конца.
М Нужно ли это противопоставление? Конечно, я понимаю, что
статья Макса Борна, Вернера Гейзенберга и Паскуаля Иордана — это
почти законченная квантовая механика для системы л-уровней, но зато
в ней не было вероятностной интерпретации, и найти ее, видимо, по-
помогла работа Борна?
Ш Меньше всего я хотел пытаться преуменьшить ценность волно-
волновой механики, ее роль. И все же работа Вернера Гейзенберга в 1925 году
почти не нуждается в изменениях сегодня, это уже настоящая квантовая
механика.
М Мы, кажется, забыли про квантовую теорию поля.
Ш Нет, в сущности, мы говорим о ней на языке метафор. Ее
судьба в 1929—1974 годах похожа на судьбу атомистики. После первых
успехов появляются трудности, новые области фактов не удается пер-
первоначально описать в рамках квантовой теории поля, предлагаются
альтернативные программы, как ультрареволюционные, так и крайне
феноменологические. Ультрареволюционные программы не удается пре-
превратить во что-нибудь вразумительное, феноменологические програм-
программы не удается развить достаточно эффективно. Небольшая группа
теоретиков терпеливо продолжает заниматься квантовой теорией поля.
Постепенно формируются некоторые новые идеи, в 1967 году появля-
появляется правильная версия электрослабой калибровочной теории [12], потом
наконец предлагается современная версия теории сильного взаимодей-
взаимодействия.
32 Диалоги
Ф Все это чем-то напоминает историю по Анатолю Франсу. Пом-
Помните: «Они рождаются, страдают, умирают». Скажите — в чем были
трудности?
Ш В расходимостях, конечно. Почти сразу же, как появилась кван-
квантовая теория поля, обнаружили, что первый неисчезающий порядок для
сечений процессов конечен, а следующие бесконечны, поправки к мас-
массам — бесконечны и т. д.
Ф Что решили думать?
М Если взять известный учебник Вальтера Гайтлера [13], то впечат-
впечатление такое, что КЭД применима только на очень больших расстояни-
расстояниях, а дальше что-то совсем другое. Удивлялись тому, что в каких-то
процессах теория слишком долго работает. Например, формула для
тормозного излучения электронов справедлива при энергии электрона
Е » тс1. В чем дело? Ответ дает метод Вейцзеккера—Вильямса. Процесс
можно свести к комптоновскому рассеянию, и при этом существенны
эффективные фотоны с энергией меньше тс2.
Ш Многие люди, писавшие тогда работы, еще живы. Нужно, навер-
наверное, было бы составить их список и всех спросить.
М Да, наверное. Что касается контрпрограмм, то были разные идеи:
квантовать пространство, перейти к нелокальным теориям поля. Навер-
Наверное, еще что-то.
Ш Да, нелегко теперь вспомнить. Со временем постепенно появля-
появлялись перенормировки, и в конце 40-х годов был осуществлен большой
прорыв: в КЭД стало возможным рассчитать любой порядок в кванто-
квантовой теории поля.
Ф Иногда говорят, что техника перенормировок — это загадочные
манипуляции с бесконечностями. Как можно было решиться на такое
действие?
Ш Теоретики, которые делают какой-то конкретный шаг, не всегда
так иррациональны, как потом говорят их коллеги. Если взглянуть на
работы Ричарда Фейнмана конца 40-х годов, то он модифицирует теорию
на малых расстояниях и фактически вычисляет конечные и малые поп-
поправки, и процедура перенормировок у него фактически есть обработка
малых поправок [14]. Так оно, в общем, и есть в теории КЭД. В калиб-
калибровочной теории с асимптотической свободой, по существу, нет ника-
никаких проблем на малых расстояниях. Там при стремлении расстояния к
нулю взаимодействие исчезает, поправки всегда малы.
М Вы не совсем правы, в хиггсовском секторе остались все старые
неприятности, поправки растут при снятии обрезания.
Ш Да, электрослабая теория не является асимптотически свободной
теорией и ясно, что хиггсовский спектр — феноменологическое поня-
понятие, на следующем этапе он будет модифицирован.
Диалог 4 33
уд Может быть. Но почему настало такое разочарование в КТП в
начале 60-х годов? Казалось бы, придумали замечательный новый ва-
вариант теории — уравнения Янга—Миллса, и почти никто не хочет их
изучать.
Ш Можно указать, по крайней, мере два фактора; который из них
доминировал — сказать трудно. В начале 50-х годов в «дисциплинарной
матрице» теории элементарных частиц огромное место занимала теория
псевдоскалярного взаимодействия я-мезонов и нуклонов. Это была хо-
хорошая перенормируемая теория. Странные частицы старались не заме-
замечать, практически их считали дающими малый вклад во взаимодействия
71-мезонов с нуклонами [15]. Задачи, которые пытались решать, были
следующие: рассчитать в яЛТ-теории яТУ-рассеяние, фоторождение, ядер-
ядерные силы. Успеха не было. В 1955 году большой успех был достигнут
на новом пути: используя общие принципы КТП, получили дисперси-
дисперсионные соотношения для амплитуд процессов типа nN-рассеяния [16].
Амплитуды — это величины, в некотором смысле непосредственно
наблюдаемые, их можно непосредственно определить, имея экспери-
экспериментальные данные. Проверили соотношения на опыте, и оказалось,
что они выполняются. Очевидная интерпретация — теория поля вооб-
вообще-то верна, но надо найти конкретный вариант. Однако, как часто
бывает (вспомните об атомистике, термодинамике и Махе), появилась
совсем другая программа. Если взять все частицы, участвующие в силь-
сильных взаимодействиях (теперь их называют адроны, но тогда этого тер-
термина еще не было), собрать все амплитуды взаимодействия между ними
и написать все дисперсионные соотношения, то получится полная сис-
система уравнений. Может быть, потребуется еще какая-то новая гипотеза
или постулат, но уже относительно самих амплитуд. Такая программа
была названа программой ядерной демократии. В 60-е годы модель
кварков уже была и обсуждались, так сказать, две конкурирующие про-
программы: только что описанная программа ядерной демократии [17] и
программа составных моделей адронов, т. е. моделей, в которых адроны
из чего-то состоят (например, из кварков) [18].
М Хорошо известно, что, скажем, в КЭД можно дисперсионными
методами получить в точности те же результаты, что дают фейнманов-
ские графики [19]. Как можно было надеяться получить что-то другое
в теории сильных взаимодействий?
Ш Если заглянуть в записи дискуссии 60-х годов, то многие так и
говорили, но другие на что-то надеялись и считали, что на смену КТП
уже пришла новая теория [20]. Всегда приятно думать, что делаешь что-
то совсем новое.
М Это все совсем исчезло?
34 Диалоги
Ш Трудно сказать. В некотором смысле осталось или возникло
утверждение, что фейнмановские графики можно писать для любых
объектов. Ни д-мезон, ни нуклон не элементарны, но если нуклоны
находятся на большом расстоянии друг от друга, то они будут обме-
обмениваться одним я-мезоном, и это можно вычислить, просто исполь-
используя старые графики Фейнмана с rcjV-константой, полученной из дис-
дисперсионных соотношений Гольдбергера. Если амплитуда обмена одним
я-мезоном падает как exp (—mcr/h), то двумя — как ехр (—2/исг/А). Те-
Теория возмущений тут ни причем. Понимание вещей такого рода при-
пришло от дисперсионных методов. Дальнейшее развитие подобных фено-
феноменологических описаний — интересная история, она и сегодня не
кончилась.
М Вы говорили о двух причинах потери интереса к теории поля.
В чем была вторая?
Ш Второй причиной было обнаружение нуля заряда в электродина-
электродинамике. В 1954 году Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук привели аргументы
в пользу предположения, что вытекающее из КЭД поведение перенор-
перенормировки заряда таково, что как бы не был велик заряд на малых рас-
расстояниях, на больших будет нуль. То есть КЭД, понимаемая как истин-
истинно локальная теория, есть в действительности теория без взаимодейст-
взаимодействия. Аргументы Ландау и Померанчука и сейчас кажутся довольно убе-
убедительными [21].
М Вся эта история мне непонятна. Правдоподобные аргументы хо-
хороши, если вы применяете их к реальному миру и к правильной теории,
чтобы угадать ответ. Если же вы хотите доказать, что локальная КЭД не
может описывать реальную электродинамику, то нужно строгое доказа-
доказательство.
Ш Или правдоподобный аргумент, чтобы перестать возиться с кван-
квантовой электродинамикой.
М Так или иначе, малые расстояния в КЭД, о которых шла речь,
неинтересно малы. Экспериментально они были недостижимы. Как
утверждение Ландау и Померанчука могло на что-то повлиять?
Ш Если перенести его на теорию сильных взаимодействий, то ка-
катастрофа наступит сразу на расстоянии h/(mnc). Так появилось утвер-
утверждение, что теория поля не описывает сильных взаимодействий [22].
В какой степени эта аргументация и программа ядерной демократии
поддерживали друг друга, неясно.
М Была, кажется, еще программа Гейзенберга. Он считал, что эле-
элементарные частицы — это, так сказать, чистые «платоновские формы»,
так сказать, антидемокритовский случай. Что, собственно, имелось в
виду? Знаете его слова: «В современной квантовой теории едва ли можно
Диалог 4 35
сомневаться в том, что элементарные частицы в конечном счете суть
математические формы, только гораздо более сложной и абстрактной
природы» (чем платоновские многогранники) [23].
Ш В статьях и книгах Гейзенберга последнего его двадцатилетия
есть много высказываний такого рода. Если анализировать контексты, в
которых они делаются, то видно, что речь идет сразу о нескольких
вещах. Во-первых, элементарные частицы в отличие от атомов Демокри-
Демокрита не вечны, они возникают и исчезают, в реакции у + у -> е+ + е~.
Это очевидным образом содержится в нашей парадигме. В некотором
смысле это тривиально. Частицы суть не первичные объекты теории:
первичны осцилляторы бозе- или ферми-полей. Их возбуждения суть
частицы (точнее, для бозе-полей, их наинизшие возбуждения). Наилуч-
Наилучший ответ на вопрос, почему воссоздающийся позитрон или электрон
всегда одинаков, который мы сейчас знаем: потому что всегда одинако-
одинаковы уравнения для ферми-поля электрона. Конечно, этот ответ форма-
формален; это, по существу, констатация факта, заложенного в КТП. От этого
до утверждения, что сам электрон — чистая форма, далеко.
Есть еще аспект. В КЭД надо различать исходную частицу урав-
уравнений, «голый электрон» от реального электрона, который, как следует
из теории, есть суперпозиция состояний \е~ > + \е~у > + \ете+ет > + ...,
то есть представляет сложную систему. Тогда возникает вопрос: почему
энергия или масса такой системы не может меняться непрерывно. На-
Напрашивающийся ответ: потому что, согласно квантовой механике, уров-
уровни любой системы дискретны (частный случай — один уровень), а у
электрона нет возбужденных состояний.
М В КЭД используется теория возмущений. Имеет ли тогда такое
рассуждение смысл?
Ш Может быть, да, может быть, нет. У адронов, которые суть свя-
связанные состояния кварков, всегда или почти всегда есть несколько
уровней. Аргумент явно имеет смысл. Создавая протон, вы получаете
одинаковые протоны, потому что вы всегда создаете одинаковые кварки
и потому что существуют только дискретные уровни в системе uud.
Возбужденный протон — уже другая частица, также с определенной
массой. Снова формальные ограничения квантовой механики (КМ) играют
важную роль.
Ф Не хотел ли Гейзенберг еще сказать, что объекты стали чистыми
формами, потому что они лишились обычных материальных качеств:
цвета, объема, твердости?
Ш Цвета они лишились уже у Демокрита. Конечно, по мере разви-
развития теории элементарные частицы становились все более абстрактными:
сегодня мы можем говорить о них уже только на языке математики. Тем-
не менее, Гейзенберг так же мало может обойтись без «подлежащих»,
36 Диалоги
как Лукреций, только тогда это были отдельные твердые тела, а теперь
квантованные поля.
М Но все же у Гейзенберга была и собственная альтернативная
программа? Об этом пишут в книгах, например, в его биографии, на-
написанной Херманом.
Ш Да, программа была, он надеялся получить все частицы — леп-
тоны, адроны, у-кванты как связанные состояния нелинейного спинор-
ного поля с самодействием [24]. По существу, это был один из вариан-
вариантов составной модели, но предполагалось, что все или почти все внут-
внутренние квантовые числа получатся сами. В такой теории «формы» были
бы больше, а «материи» меньше, чем в современном варианте, где вво-
вводится большой набор «первичных качеств» — сортов, цветов, спинов.
Конечно, и программа Гейзенберга была программой в рамках КТП.
Высказывание: «элементарные частицы есть чистые формы», если его
относить к этой программе, не более чем метафора. К тому же эта
программа не прошла.
Ф Не возродится ли она?
М Программы почти вечны.
Диалог 5
М Да, программы почти вечны. Может быть, самая красивая физи-
физическая теория последнего десятилетия, с которой я знакомился, — это
супергравитация. В ней ожили и программа единой теории гравитаци-
гравитационного и электромагнитного взаимодействия, которой занимался всю
вторую половину жизни Эйнштейн, и программа Гейзенберга с его
верой в фундаментальность спина 1/2. Но в каком виде! Наверное, ни
Эйнштейн, ни Гейзенберг не приняли бы этой теории...
Ш Супергравитация — это не теория, это недодуманный проект
теории, которой пока не существует [1].
Э У теоретиков так всегда. Одни бесконечные препирательства.
Ф Ну-ну. По-видимому, у М и Ш просто разные денотаты для слова
«теория», не так ли?
М '. Если на то пошло, у нас разные ограничения на тексты допус-
допустимых теорий. Для меня теория должна быть четко организована син-
синтаксически — у математиков приняты жесткие правила введения поня-
понятий, требования к аккуратности дедуктивных выводов и тому подобное.
Для Ш важна прежде всего внематематическая семантика, операцио-
операциональный аспект сопоставления теории и явлений.
Ш Теория для меня — это список постулатов, позволяющих опи-
описать какой-то фрагмент реальности. Фактически это чаще всего сово-
совокупность уравнений, описывающих свойства каких-то объектов. Теория
существует, если правила достаточно четкие и позволяют довести ре-
результаты до сравнения с опытом. Если результаты совпадают, то тогда
я говорю, что теория истинна, правильна, и объекты, которые введены
при ее конструировании, реально существуют. Что касается «существо-
«существования теорий», то это скорее жаргон: теоретик может написать уравне-
уравнения, но не знать даже предположительной их интерпретации, то есть
неизвестно, что собственно теория предсказывает, — тогда я буду гово-
говорить, что теория не существует.
Ф Мне кажется, вы упрощаете положение. Например, теория Ларса
Онсагера фазовых переходов для двумерной решетки не описывает
никаких фактов, но существует. Или, скажем, модельная теория — газ
как совокупность идеальных твердых шаров — тоже существует и даже
с какой-то точностью описывает одноатомные газы. Мне кажется, слово
38 Диалоги
«теория», как слово «игра» у Витгенштейна, образует целые семейства
значений.
М Конечно, но Ш имеет в виду, так сказать, «настоящие» теории,
а не модели, не игрушки. На самом-то деле даже лучшие теории — все
же модели: например, в небесной механике планеты заменяются шара-
шарами постоянной плотности — но ведь это не так. Разница между тем, что
Ш считает настоящей теорией и теорией модельной, только в точности
приближений. Но, во всяком случае, в КЭД действительно можно счи-
считать наблюдаемые величины, но в КХД никому еще не удавалось полу-
получить из теории обычные адроны.
Ш Есть правдоподобные гипотезы о том, как их можно получить.
Хотя задача получения из теории свойств обьиных адронов и не решена,
но эту трудность можно обойти, и есть много результатов, полученных в
КХД, сравнимых с опытом и давших хорошее согласие [2].
Ф Скажите, а полная теория элементарных частиц все-таки будет
построена или нет?
Ш В принципе, можно представить, что когда-то в результате объ-
объединения теорий всех взаимодействий возникнет простая теория, содер-
содержащая очень немного параметров и позволяющая рассчитать все свой-
свойства элементарных частиц. Сейчас, когда, скажем, электрослабая теория
содержит около 20 независимых параметров, мы, конечно, страшно далеки
от этого.
М По-моему, дело не в параметрах. Ш, кажется, считает, что теория
в его смысле задана, когда написан лагранжиан. Теория в моем смысле
на этом месте как раз кончается. Дальше начинается искусство, черная
магия, что хотите, только не теория. Официально это называется «вто-
«вторичное квантование», «континуальное интегрирование», «теория возму-
возмущений». Куски математики, которые я в состоянии извлечь из учебни-
учебников и препринтов, обещают что-то красивое и важное, но не склады-
складываются в сколько-нибудь законченную картину. КХД не в силах объяс-
объяснить основное явление в сильных взаимодействиях — удержание цвета,
но заставляет отказаться от одной из основных догм КТП — полноты
пространства свободных состояний частиц. Да и какие могут быть сво-
свободные состояния для нелинейной калибровочной теории, у которой и
квадратичную часть лагранжиана не вьщелишь инвариантным способом,
и уравнения движения не удовлетворяют принципу суперпозиции. Но,
допустим, мы оставили это в качестве задачи для теоретиков и сообра-
соображаем: ага, в неабелевой калибровочной теории должен быть конфай-
нмент. Так нет, электрослабая теория с группой SUB) х ?/A) не желает
конфайнмента, симметрия нарушена полями Хиггса, явно феноменоло-
феноменологическими даже для этого уровня. А чего ждать для неабелевых групп
в объединенных теориях? Для них фаза конфайнмента обязательна? Кто
Диалог 5 39
ее знает, мы не умеем выводить ее из лагранжиана. Так что 20 кон-
констант — это только цветочки.
<9 Да, я всегда считал, что теоретики зря едят свой хлеб. Так что
же представляет собой теория элементарных частиц, которой вы за-
занимаетесь?
gjl Здесь слово «теория» употребляется в другом смысле: теория —
«совокупность наших знаний об элементарных частицах». Вообще это
слово употребляется в самых разных смыслах. Например, в 60-е годы
говорили о «теории Редже сильных взаимодействий». Но это была, соб-
собственно, только программа, надежда. Никогда не было четкого списка
постулатов, правил вывода и всего остального, да и доведения до точных
чисел тоже.
ф Но я много раз видел книги, которые называются «Квантовая
теория поля»! Разве' в них не излагается какая-то единая теория поля,
описывающая все элементарные частицы? [3]
Ш Сейчас мы имеем две теории взаимодействия элементарных час-
частиц, КХД и электрослабую теорию, справедливость которых обоснована
эмпирически; они объясняют поведение реально существующих лепто-
нов, кварков, фотонов, глюонов...
М Я еще не кончил свою филиппику. (КШ) Пойдем дальше. Хотя вы
и говорите, что если теория в вашем смысле подтверждена на опыте, то
объекты, в ней называемые, существуют, но это какое-то призрачное су-
существование. Фотон есть скорее «событие» — что он такое вне акта испус-
испускания или поглощения? Потенциальная возможность такого акта, что ли?
Ш Если вам не нравится квантовая механика, то я ничем не могу
вам помочь.
М Но ведь это еще не все. Когда фотон рассеивается на фотоне, то
после рассеяния их нельзя отличить друг от друга. И вы прекрасно
знаете, что и фотонов в состоянии с заданным импульсом и поляриза-
поляризацией вообще как бы полностью сливаются, в бозе-статистике вес такого
состояния равен единице.
Ш Разумеется, но здесь нет никакого вопроса. Имеется вполне четкая
и полная теория — квантовая электродинамика. Эта теория является,
так сказать, реализацией общей схемы квантовой теории поля. Теория
вполне четко сформулирована. Электромагнитное поле есть набор ос-
осцилляторов с номерами /. Применение общих принципов квантовой
механики к этой системе приводит к тому, что каждый из них имеет
энергию Е: = N.tt(u, где Nt — номер возбужденного состояния; состояния
с УУ. = 1, с которыми чаще всего мы имеем дело, соответствует квантам
света. Известно, как описывается взаимодействие этой системы с элек-
электронами, и это вполне четко и однозначно рассчитывается. Таким об-
40 Диалоги
разом, нет никаких вопросов. Состояния с N. > 1 только с известной
степенью приближения можно описать как систему из N частиц. Пос-
Поскольку уравнения КЭД сформулированы и их согласованность провере-
проверена, то дальше об их непротиворечивости заботится математика.
М Это высказывание несколько наивно, уравнения могут и не иметь
решений.
Ф Да, насколько я знаю, в КЭД есть расходимости, то есть реше-
решений нет.
Ш Я уже говорил, что в КЭД нужно делать обрезания и перенор-
перенормировки. На самом деле, конечно, из-за неожиданности или непривы-
непривычности квантовой механики неопытный человек может натолкнуться на
кажущийся парадокс или противоречие, но их всегда можно разрешить,
это нетрудное дело для искушенного знатока теории.
Ф Но ведь в КЭД есть расходимости?
Ш Взаимодействие электронов и фотонов обычно рассчитывают в
теории возмущений [4], в ней простейший акт есть испускание фотона
электроном. {Подходит к стоящей в комнате доске и рисует.)
Рис. 1
Электрон с четырехмерным импульсом р{ испускает фотон с
импульсом к и переходит в состояние с импульсом р2 = р{ — к (рис. 1).
Амплитуда такого процесса определена и пропорциональна константе <х1/2.
Более сложные процессы конструируются из простейшего, скажем, рассе-
рассеяние фотона на электроне описывается двумя возможными картинками
(рис. 2).
Рис. 2
Диалог 5 41
М Вы все же должны сказать, что для свободного электрона про-
процесс е + у -> е невозможен, и что на ваших картинках электрон между
начальным и конечным актом не реальный, а виртуальный.
Ш Конечно, но то, что я описываю, вообще не следует принимать
буквально. Это наглядное описание некоторой расчетной схемы, изо-
изобретенной Фейнманом. Можно делать вычисления и другими способа-
способами, во всех случаях мы разлагаем состояние взаимодействующих полей
по состояниям невзаимодействующих. Отличие между тем и другим как-
то должно появиться. На языке частиц говорят, что частицы в проме-
промежуточных состояниях «виртуальные». Это на самом деле несовершенная
форма выражения того факта, что в действительности мы имеем дело с
несвободными состояниями. Мне сейчас важно не это. В низшем при-
приближении по о для любого процесса нет никаких расходимостей, и все
вопросы о тождественности частиц, соотношении волна-частица, и дру-
другие такого же рода могут быть полностью разрешены. Вопрос о том, что
делается в более сложных диаграммах, где возникают расходимости, —
это уже совсем другая тема, но там расчеты тоже возможны.
В Все это типичные заумные разговоры теоретиков. Конечно, эле-
элементарные частицы — частицы. Я хорошо их вижу в своих приборах.
К сожалению мне некогда это слушать, мне надо собираться в ЦЕРН7,
где у. меня идет эксперимент. (Уходит.)
Ф В конце концов, ведь именно его эксперименты и есть конечная
реальность. Не должен ли я ему поверить?
Ш Напрасно сделаете, его приборы пока устроены так, что он привык
иметь дело с геометрической оптикой.
М Вы все-таки говорите о фотоне как о частице, а он в действи-
действительности не может быть локализован лучше, чем с точностью до раз-
размеров 1. Подумайте о радиоволне длинной 1 км. Что же это за частица?
Ш Первичным понятием теории является поле, а не частицы. Го-
Говорить о частицах можно примерно в тех пределах, когда можно поль-
пользоваться геометрической оптикой, и, кроме того, мы имеем дело с
одно-частичными возбуждениями. В этом случае работает вся система
образов — «траектория», импульс частицы, ее энергия и т. д. Чему
удивляться, если геометрическая оптика не работает там, где она и не
должна работать! (К Ф) Природа вокруг нас, в макроскопических мас-
масштабах функционирует на основе электромагнитного (и гравитационно-
гравитационного) взаимодействий, пока мы не затрагиваем ядер.
М Это забавная вещь. Природа нас как будто дразнит. Само по себе
разделение явлений природы на слои, в значительной степени изолирован-
7 ЦЕРН — Европейская организация по ядерным исследованиям, Швейцария
(Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire, CERN) — Примеч. ред.
4—2998
42 Диалоги
ные, где доминирует одно-два простых взаимодействия, как будто специ-
специально предназначено для того, чтобы мы могли изучить теоретическую
физику постепенно. Посмотрите, как замечательно: в галактических и пла-
планетарных масштабах достаточно одной гравитации, чтобы объяснить дви-
движения звезд и планет. В окружающей нас природе, при объяснении гран-
грандиозного многообразия атомных явлений достаточно практически только
электромагнитных взаимодействий. Для объяснения того, почему и как
светят звезды, надо учесть гравитацию, слабое, электромагнитное и силь-
сильное взаимодействия. Только на очень ранних стадиях эволюции Вселен-
Вселенной следует, видимо, учитывать совсем короткодействующие силы, пред-
предсказываемые ТВО (теориями великого объединения). А с другой стороны,
природа равнодушна к теоретическим рубрикациям. В начале нашего века
говорили об атомной теории, которая должна бы объяснить наблюдаемые
свойства вещества, сейчас это понятие почти исчезло, и не случайно [5].
В конце 40-х годов понятие атомной теории сменилось на понятие «атом-
«атомная физика», а сейчас и вовсе, кажется, пропало. Изучая природу вокруг
нас, мы пользуемся иногда нерелятивистской квантовой механикой и
нерелятивистскими кулоновскими взаимодействиями, иногда рудимен-
рудиментарными элементами квантовой теории электромагнитного поля, когда
описывается взаимодействие света с веществом, иногда, например, ана-
анализируя в деталях звук в газах, просто уравнением Больцмана, то есть
классической механикой. Сплошная эклектика.
Ш Вы преувеличиваете неопределенность ситуации. В сущности,
мы могли бы действовать по Ферми, как в книге Гайтлера [6]. Начнем
с полного лагранжиана электродинамики, потом отделим кулоновское
взаимодействие и выделим свободные плоские волны — фотоны. Это и
будет наш мир природы.
ТА Я не успел сказать главное. Обычные процессы не затрагивают
ядер, но, конечно, природа вокруг нас обусловлена их существованием!
Конечно, для большинства процессов вы можете их рассматривать совсем
а la Бошкович — как кулоновские центры с массой Атр и зарядом Ze.
Но с более возвышенной точки зрения начинаются неприятности: ядра
состоят из протонов и нейтронов, а это протяженные объекты размером
порядка 10~13 см. Их свойства — распределение заряда, массы — зависят
уже от сильных взаимодействий с той точностью, с которой вы захотите
это всерьез учитывать. Ситуация станет незамкнутой, вы въезжаете уже в
мир, где действует не только КЭД, но и КХД. Теоретики, любящие
чистоту построений, предпочитают говорить о квантовой электродинами-
электродинамике фотонов и электронов. Можно достаточно долго вычислять высшие
приближения по о, не сталкиваясь с неприятностями.
ф Что означает «достаточно долго»?
М На очень малых расстояниях нельзя непротиворечиво сделать
перенормировки. .
Диалог 5 43
ф Почему?
% Это уже другая история.
Ш Практически на расстояниях ~ 10~15 см включатся слабые взаи-
взаимодействия, они уже снимают противоречия.
М Мне не нравится, что нас все время отсылают к каким-то deus
ex machine, которые как-то должны спасать положение.
Ш Наверное, в этом виноваты ваши коллеги эпохи Евдокса. Нам
подсунули слишком простую модель континуума. Отсюда расходимость
и все остальное. Если бы вы предложили мне что-нибудь получше, я бы
предложил вам непротиворечивую теорию. Впрочем, мы уже сами спра-
справились: квантовая хромодинамика не содержит противоречий на малых
расстояниях.
М Я не согласен.
Ш Но это же очевидно. Учтите, что заряд падает на малых рассто-
расстояниях, и все расходимости исчезают.
М Так можно сказать, но теория, так понимаемая, явно сформули-
сформулирована неадекватно. Вы начали с точечного взаимодействия, а теперь
оказывается, что в точке его и нет.
Ш Я допускаю, что мы не имеем адекватного языка для описания
наших расчетов, но по существу КХД — правильная теория сильных
взаимодействий, и вопроса малых расстояний в ней нет.
Ф Мне кажется, что и вы, и М имеете в виду, что математический
аппарат правильно действует, но ваши идеи о его смысле не совсем
верны.
М Или совсем неверны. Представьте себе эпоху Максвелла. Вы
имеете микроскопическую электродинамику, которая для макроскопи-
макроскопических тел верна и сейчас, и, можно сказать, вполне верна. С другой
стороны, Максвелл думает, что это — лагранжева механика ньютонов-
ньютоновского эфира. Кроме того, теория содержит грубо феноменологические
компоненты. Кроме полей Е, Н, еще поля D и В, и, наконец, уравне-
уравнение тока j = аЕ. Все это будет убрано, эфир исчезнет, вернутся изгнан-
изгнанные электроны, и к 1906 году Планк напишет то действие для точечных
зарядов и электромагнитного поля, которые теперь фигурируют в
томе II Ландау и Лифшица.
Ш Я охотно допускаю, что хиггсовские поля электрослабой тео-
теории — тоже очень грубая феноменология. Но, если бы Максвелл не
принимал своего эфира всерьез, он бы не предложил опыт Майкельсо-
на. Теоретику вредно сомневаться в своих теориях. Развитие происходит
путем попыток их максимальной экспансии, только подвергая их пре-
предельному напряжению, мы их ломаем.
Ф Мне кажется, пора кончать, пока все еще цело в комнате.
Диалог 6
(^ Я посмотрел дома словари: смысл слова «теория» там объясня-
объясняется тоже по-разному. (К Ш) Скажите, когда вы говорили, что теория
супергравитации не существует, вы имели в вицу примерно «Теорию 3»
в смысле «American Heritage Dictionary?» [1]
Ш Прежде всего, я имел в виду проект расширенной N — 8 супер-
гравитации. М сказал бы, что есть целое семейство геометрических те-
теорий, к которым применимо слово «супергравитация», которые отлича-
отличаются друг от друга числом антикоммутирующих координат в суперпрос-
суперпространстве DN), выбором лагранжиана и т. д. Мне, чтобы уместить все
частицы, нужна лишь максимально расширенная геометрия. Но кроме
того, я уверен, что вложенная в этот проект система предположений
(system of assumptions) после разработки правил процедуры (rules of pro-
procedure) дает только бессмыслицу. Стивен Хокинг, который верит в су-
супергравитацию, вероятно, имеет в виду что-то вроде «Теории 3». Впро-
Впрочем, в прошлый раз я уже объяснял свои требования к физической
теории. Мне кажется, в последние годы это слово стало употребляться
несколько романтически.
М Вы хотите сказать, что N = 8 супергравитация физически неин-
терпретируема?
Ш Проще, я хочу сказать, что когда примутся вычислять сечения
взаимодействия процессов при помощи этого лагранжиана, получатся
одни бесконечности.
М Но ведь и в вашей любимой КЭД, если просто вычислять ряд
теории возмущений, то тоже все члены будут бесконечны.
Ш Вы же прекрасно знаете, что все конечно после перенормиро-
перенормировок, и именно это позволяет вычислить любую наблюдаемую практичес-
практически с точностью до любого числа знаков.
М Массу и заряд электрона нельзя вычислить.
Ш И не надо, это параметры теории, надо выражать через них все
остальные, например, сечение рассеяния света на электроне.
Ф Это сечение и есть «наблюдаемые» квантовой механики?
Ш (С неудовольствием.) Удобно было бы так говорить, но на самом
деле это не так. Наблюдаемая величина тут другая — угол рассеяния 8,
Диалог 6 45
а сечение рассеяния на угол 8 есть вероятность измерить фотон в со-
соответствующем состоянии.
ф Как раз такие вероятности и измеряет 3?
% Иногда — да.
ф А что еще?
М Ему вообще больше нравится измерять параметры теории.
ф Я бы хотел взглянуть, как это все выглядит.
Ш Нужна доска.
М {Встает, привозит из другой комнаты доску на колесиках.)
Ш {Пишет формулу, а = — -^Ц- )•
3 \тс )
Ф сг — это и есть сечение?
Ш Да.
Ф А где угол 9?
М Он написал полное сечение. Это вероятность рассеяния, просум-
просуммированная по углам.
Ф Я бы хотел видеть угол рассеяния.
Ш (С неудовольствием.) Я не помню, но если вам очень нужно, —
сейчас. {Недовольно бормоча себе под нос, начинает что-то писать в
правом верхнем углу.) Ну вот, для неполяризованного света:
da = 4п\ -^т cos26 sinB d&.
-4.D)
Уте1)
М Вы написали не квантовую формулу, а томсоновское сечение!
Ш Конечно, но это есть и фейнмановский ответ при ш -> 0. {Об-
{Обращаясь к Ф) Здесь е — заряд электрона, т — его масса, -к — число пи,
с — скорость света.
Ф с — тоже параметр теории?
М Нет, это мировая постоянная.
Ш В чем разница?
М Этот параметр связан с группой Пуанкаре и универсален. Он
входит во все теории, а не только в КЭД. Собственно говоря, лучше
всего выбрать единицы измерений так, чтобы с = 1.
Ф Есть еще мировые постоянные?
Ш Да, Й.
М Как насчет гравитационной постоянной G?
46 Диалоги
Ш Не знаю {недовольно). Может быть, различие условно, хотя у
меня есть кое-какие мысли.
М Когда вы писали а, то вы это сделали по памяти. А сложно его
вывести из феймановских диаграмм?
Ш Нет, мгновенно. {Пишет.)
Ф А где ряд?
М Он написал первый член.
Ф А как выглядит следующий?
Ш Он соответствует диаграммам... {Рисует.)
Ф А формула?
Ш Зачем она вам, вы ведь не Э, и измерять ничего не собираетесь.
М В действительности все гораздо сложнее. Если суммировать поп-
поправки, то вероятность рассеяния фотона на электроне оказывается рав-
равной нулю, так как рассеянный электрон всегда излучает дополнитель-
дополнительные фотоны.
Ф А как же совпадение с опытом?
М В учебниках показывают, что если энергия электрона точно не
измеряется, то первое приближение, которое вычислил Ш, верно с точ-
точностью до высших поправок по квадрату заряда.
Ф А Гайтлер этого не знает?
Ш Что поделаешь, Гайтлер опирался на опыт и на согласие с клас-
классикой.
Ф Я вижу, что история науки вся насыщена хитростями мирового
духа (Weltgeist).
М Если вернуться к более прагматическому аспекту диаграммной
техники, то сейчас, кажется, есть программы для ЭВМ, которые прямо
вычисляют амплитуды, соответствующие диаграммам.
Ш Ну, не совсем. Они не берут интегралы и не делают перенорми-
перенормировок.
М Можно и такую программу написать, но не в этом дело. Все же
«аксиоматика» вашей КЭД противоречива, и в логическом плане вы
неизвестно что делаете.
Ш Мне не обязательно иметь идеальную теорию, я знаю из физи-
физических соображений, что процессы, которые я рассчитывал и по кото-
которым суммирую, происходят на некоторых расстояниях. На очень малых
расстояниях КЭД все равно не будет действовать, и я буду вычислять
«вплоть до этих расстояний». Если я вычисляю массу электрона и его
заряд, то получается (в следующем члене ряда по е0):
Диалог 6 47
2п moro
9 i
е2 =el(r0)—— eo2(/b)ln .
J7t moro
Здесь eQ(rQ) и mQ(rQ) — заряд и масса, которые сидят внутри
«сферы» радиусом /•„. Если теперь вычислить сечение через т0 и eQ, то
тоже войдут ln(l/moro), но наблюдаемые масса и заряд — это т и е. Если
выразить а через т, е, получится величина, не зависящая от /•„. Такая
процедура называется перенормировкой.
Ф Можно ли посмотреть на ответ?
Ш Вычислять долго, но можно выписать из книги. (К М) У вас есть
что-нибудь по КЭД?
М Есть Ахиезер и Берестецкий, пожалуйста8.
Ш (Выписывает формулу.)
Ф И как долго ваши предшественники в этом разбирались?
Ш Около тридцати лет.
М Все-таки при ваших перенормировках вы вводите какие-то фан-
фантомы, говорите, что в вакууме рождаются пары е+ег, потом электрон,
внесенный в вакуум, их притягивает или отталкивает, отсюда появляется
заряд электрона, зависящий от радиуса г, но все это очень напоминает
мне зубчатые колеса и прокладки, которые Максвелл помещал в эфир.
Ничего этого нет. Вот. И ваш Дирак так думает.
Ш Я знаю, но это не так. Поступимся на минуточку замкнутой
КЭД фотонов и электронов, поместим в вакуум ядро (его размер 10~13 см,
в некотором приближении этим размером можно пренебречь). Тогда
ядро также будет раздвигать вакуумные пары е+е~, как говорят — поля-
поляризовать вакуум. Характерный размер возникшего вокруг него облачка
зарядов равен h/mc и 10"" см. В результате на этих расстояниях поле
ядра будет немного отличаться от кулоновского. Это можно вычислить
и можно наблюдать. Для этого нужно поместить вблизи ядра мюон. Он
тяжелый, радиус такого ц-мезоатома при Z « 10 есть ж 10~12 см.
т^с Та
Такой мюон прямо сидит в электронном облаке и измеряет его плот-
плотность [2].
* А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Изд. 3-е, пе-
рераб. и доп. М.: Наука, 1969. — Примеч. ред.
48 Диалоги
Я совершенно уверен, что вплоть до расстояния ~ 10~16 см КЭД
описывает реальность, так сказать, один к одному. Все, что вычисляет-
вычисляется, в принципе, измеряется.
М Откуда 106 см?
Ш Из измерений, проверявших квантовую электродинамику. Для
того, чтобы пройти на такие малые расстояния, измерения уже делали
действительно с лептонами.
Ф Чем выделены лептоны?
Ш У них нет структуры. Это «точечные частицы».
М Вы же сами объясняли, что в КЭД надо делать обрезание, то
есть где-то есть структура.
Ш Во всяком случае вплоть до расстояния 10~16 см у них нет струк-
структуры. Я могу сделать обрезание на этом радиусе, а дальше будет рабо-
работать уже единая теория Вайнберга—Салама.
Ф А что, разные теории действуют на разных расстояниях?
М Да, у них так устроено. Я говорил об этом в прошлый раз, это
очень облегчает жизнь.
Ш Это довольно просто. Есть разные классы частиц и разные типы
взаимодействий. Некоторые действуют на малых расстояниях, некото-
некоторые — на больших.
Ф Гравитационные, видимо, на самых больших?
Ш Да, и электромагнитное тоже. И «теории» описывают определен-
определенные типы взаимодействий.
Ф Если я правильно понял, то коль скоро «теория» сформулирова-
сформулирована, то алгоритмы расчета наблюдаемых довольно просты.
Ш Да, но они могут требовать большого объема работы. Чтобы
рассчитать о4 порядок для КЭД, не хватает мощности лучших ЭВМ. Но
самое важное — не во всех теориях проходит процедура перенормиров-
перенормировки. Бывают «неперенормируемые» теории, они вообще бессмысленны.
Ф Что это за величина о, о которой вы говорите?
Ш Ряды, в виде которых получаются ответы в КЭД, есть ряды по
параметру а = e2/hc * 1/37. Так как он мал, все хорошо вычисляется.
М Вы думаете, что супергравитация неперенормируема?
Ш Да, конечно.
М Но, может быть, есть какие-то еще неизвестные способы извле-
извлекать конечные ответы из теорий? В конце концов, в 30-е годы тоже
никто не знал про КЭД, что она перенормируема. По вашей логике, от
нее надо было бы отказаться.
Диалог 6 49
Ш Мы теперь все понимаем лучше, чем в 30-е годы, теория либо
перенормируема, либо бессмысленна.
М А почему бы не конечна во всех порядках после борновского?
Такие примеры уже известны. Или суммируема и конечна после сумми-
суммирования.
ф В этом мне вряд ли разобраться, но я хотел бы знать разницу
между квантовой механикой и квантовой теорией поля. И потом я так
и не понял, сколько есть взаимодействий и сколько теорий. Вот вы
только что говорили: «Есть примеры...». Примеры чего? О каких sets of
phenomena идет речь?
М . Видите ли, квантовая теория поля — это опять не теория в
смысле вашего словаря. Это вроде грамматики, правила конструирова-
конструирования «теорий», некоторый универсальный язык. В пределах этого языка
вы можете строить разные теории, выбирая разные наборы основных
полей, лагранжианы, число измерений пространства. Теоретики знают
сейчас два лагранжиана, один из них — лагранжиан электрослабого
взаимодействия, другой — сильного, которые, как они считают, описы-
описывают эти взаимодействия. Остальные теории — это пока игрушки, мо-
модели для пробы и изучения свойств разных вариантов. Их можно изу-
изучат^ не думая о том, что они что-то описывают.
Ф А почему вы ничего не сказали о лагранжиане гравитационного
взаимодействия?
Ш Не вполне ясно, как квантовать гравитационное поле.
М По-моему, совсем неясно.
Ш Я думаю, что для слабых полей все в порядке и борновское
приближение можно рассчитать, оно правильно.
М В каком смысле правильно?
Ш Если бы можно было рассеивать гравитоны на электронах...
Ф Что же мешает В рассеивать гравитоны, фотоны он же умеет
рассеивать?
Ш Не удается сделать достаточно мощный источник гравитонов, да
и приемника нет.
М Вы противоречите себе. Ведь гравитационный лагранжиан непе-
ренормируем.
Ш Но он правилен в классическом приближении.
М Неперенормируемость важна или нет?
Ш Может быть, только для того, чтобы я сумел довести до конца
расчеты. Но, может быть, и нет. Может быть, эйнштейновский лагранжи-
лагранжиан надо вложить в какой-то другой, чтобы он был перенормируем.
50 Диалоги
Ф А теоретики, занимающиеся теорией элементарных частиц, пи-
пишут разные лагранжианы и их рассчитывают?
Ш Да, либо с целью описать яштения, либо чтобы что-нибудь уз-
узнать о лагранжианах вообще. Но нужно еще проквантовать поля.
Ф А какая теория предсказывает распад протона?
М Калибровочная теория, объединяющая электрослабый и сильный
лагранжианы.
Ш Неясно, существует ли такая теория, и уж точно нет единствен-
единственного варианта, их много.
Ф А что, получаются неперенормируемости?
Ш Нет, этого нет, но неперенормируемость — это не все, бывают
и другие проблемы.
М Это и есть главная беда с физиками, от них никогда не полу-
получишь ни списка предположений, ни списка проблем.
Ш Если бы начинали со списка предположений, мы бы так и про-
продолжали изучать пространство Ry. (С удовольствием.) Мы думаем о ре-
реальной действительности.
Ф В говорил, что ваши теории вечно оказываются ошибочными.
М Что же делать. На дороге от значения 3 до значения 1 смерт-
смертность очень большая, одни теории мрут от внутренних противоречий,
другие — от несоответствия с опытом.
Ш Чтобы уж покончить, N - Я супергравитация должна, по идее,
объединить все взаимодействия, включая и гравитацию, формально она
неперенормируема.
Диалог 7
ф С тем, как вы, теоретики, употребляете слово «теория» я уже
немного свыкся. Но теперь я хотел бы вернуться к «парадигме».
Я попытался еще раз сопоставить словарные статьи с вашим словоупот-
словоупотреблением. Можно ли сказать: парадигма данного периода развития
данной науки представляет собой множество теорий, построенных по
сходным признакам и, по-видимому, конкурирующих {обращаясь к Ш)
как кандидаты на описание вашей пресловутой «реальности». Осущес-
Осуществление претензии какой-либо определенной теории тогда exclut la rea-
realisation concomitant des autres и т.д. Так ли это?
М Мне кажется, примерно так. Термин «парадигма» был удачно
введен в науковедение и историю науки Томасом Куном9 в книге «На-
«Научные революции» [1]. Там, правда, нет особенно четкого определения,
но ведь так всегда и бывает. Говорящий или пишущий человек ищет
названия для явления, которое он заметил (парадигматический характер
мышления исследователей данного времени), заимствует термин из лин-
лингвистики, давая ему свое собственное определение, может быть, и не
совсем точно соответствующее его намерениям; если, тем не менее, это
оказывается удачным, то термин начнут употреблять другие. Я его упот-
употребляю в том смысле, в каком вы предлагаете, но в теоретической
физике на самом деле есть еще один аспект: в каждом слое действитель-
действительности оказывается действующим какой-то определенный язык описания
с довольно жесткой грамматикой и словарем. Правила порождения
теорий, принадлежащих к парадигме эпохи, на самом деле всегда очень
жесткие. (К Щ Свободы у вас, теоретиков, в общем, мало. Так вот,
говоря о парадигме, я имел в виду этот факт, и иногда парадигма у
меня — просто словарь и правила грамматики, а не «множество тео-
теорий». Я склонен соотнести слово «парадигма» не только с самими те-
теориями, так сказать, с la parole de la physique theoretique, но и с порож-
порождающим началом этой речи, ее langage или langue по Соссюру [2].
Ш Мне кажется, что Кун сам не слишком заботился о том, чтобы
сделать это слово термином. Кто-то мне говорил, что, если последо-
* Смотри русский перевод: Т. Кун. Структура научных революций. 2-е изд. -
М.: Прогресс, 1977. - Примеч. ред.
52 Диалоги
вательно выписать из его книги его собственные фразы со словом «па-
«парадигма», результат будет довольно неопределенный.
М Может быть, но я ведь уже сказал, в каком смысле употребляю
это слово, думаю, что я не нарушаю возникшего обычая. Кстати, и у
Куна есть где-то похожие примеры. Во всяком случае, теперь уже при
попытке фиксировать термин нужно изучать не текст Куна, а понять
бытование термина в его реальной среде существования.
Ш Так все-таки вы подразумеваете под парадигмой la parole, или la
lange, или langage, то есть множество теорий, «порождающий принцип»
или сам словарь и фамматику теорий? И если порождающий принцип,
то где его локализовать — в сознании теоретиков?
М Мне кажется, мы можем пока офаничиться уже достигнутым
уровнем строгости.
Ф Теоретическая физика — довольно молодая наука. Я читал не-
недавно предложение считать датой ее рождения выход в свет книги Ньюто-
Ньютона «Математические начала натуральной философии». А науковедение
находится и вовсе в младенческом возрасте.
М В общем, это так, хотя этот автор в своей книге пишет, что
первой физической теорией была геометрия Евклида [3], с ним можно
согласиться и в этом. Так считал и фон Нейман, кстати, прямо отме-
отмечавший и то, что «Начала» Ньютона прямо подражают форме «Начал»
Евклида [4]. На самом деле статика Архимеда и геометрическая оптика
Птолемея — тоже вполне «теории». Я думаю, если бы не политические
и идеологические катастрофы поздней античности, то мы бы скорее
всего и вели отсчет от Евклида, а так часы надолго выключили [5].
Ш У феков не было экспериментального метода.
М Посмотрите во «Всемирной истории физики» Дорфмана об опы-
опытах по оптике.
977" Вы думаете, что отсутствие экспериментального метода в фечес-
кой науке — миф?
М Мне кажется, да. Между II и XVI веками был застой в универ-
университетах Европы, в период до XV или XVI века чрезмерно высоко
ставили Аристотеля. Когда же настало время пойти вперед, то при-
пришлось особо акцентировать доминантность экспериментальных доказа-
доказательств.
Ф На самом деле произошел большой сдвиг установки. Греческие
исследователи как будто верили в то, что окончательную истину любого
предмета можно постичь путем рациональных рассуждений, она в ко-
конечном итоге должна стать самоочевидной в процессе дискуссии.
М А что вы.называете рациональным рассуждением?
Диалог 7 53
Ф Ну, приблизительно то, что Лакатос называл методом доказа-
доказательств и опровержений [6], так сказать, диалектический процесс само-
самоочищения понятий.
М Мне кажется, что и современные теоретики этим иногда зани-
занимаются.
Ш Да, в значительной степени, но у них изменились правила.
В общем, они не надеются получить «окончательную» теорию, они удов-
удовлетворяются временными теориями, имеющими феноменологический
статус, то есть описывающими какой-то фрагмент реальности. Оправда-
Оправдание такой теории не в ее логической необходимости, а в ее эмпирической
истинности. При этом основные посылки могут быть совершенно стран-
странными и не нравиться даже создателю теории. Скажем, Ньютону совсем
не нравилось всемирное тяготение, действующее на расстоянии, но он
знал из опыта, что оно описывает явления. В принципе, он, наверное,
вообще не верил в то, что только действие тяготения есть первичный
факт, но он был готов принять его как способ описания явлений. Иначе
говоря, появилась новая феноменологическая установка.
Ф {Не без ехидства.) Что, появилось, так сказать, христианское
смирение перед Природой и ее Создателем?
Ш Так сразу такую гипотезу не закроешь.
М А вы в самом деле считаете, что и теперешняя парадигма
КТП — это тоже феноменология, и она потом сменится на другую с
другой грамматикой и синтаксисом? Эйнштейн надеялся на окончатель-
окончательную теорию.
Ш Эйнштейн и переход от парадигмы классической теории поля к
квантовой механике не одобрял. Он всегда считал, что созерцает Божес-
Божественную истину непосредственно, и получалось, что она непохожа на
квантовую механику.
Ф Вот опять вы говорите о квантовой механике, а не о квантовой
теории поля; скажите, пожалуйста, ясно, что есть что?
М Есть некоторые тонкости. Собственно, в теоретической физике
и были только две грамматики или два языка: грамматика классических
гамильтоновых систем или язык гамильтоновой (или просто классичес-
классической) механики, и грамматика или язык квантовой механики. Но бывают
системы с конечным числом степеней свободы, например, планеты и
Солнце, и бывают системы типа классического электромагнитного поля.
Последние — тоже гамильтоновые системы, но с бесконечным числом
степеней свободы. Также и квантовая механика: ее язык может приме-
применяться к системам с конечным числом степеней свободы (скажем, атому
с и электронами) и к системе с бесконечным числом свободы (скажем,
электромагнитному полю). В первом случае речь идет о «нерелятивис-
«нерелятивистской» квантовой механике, во втором — о квантовой теории поля.
54 Диалоги
Ф А причем здесь релятивизм?
М Для физической теории очень существенно, какова ее группа
инвариантности. Опыт учит, что есть одна универсальная группа инва-
инвариантности — группа Пуанкаре Р. Это, как говорят, группа инвариан-
инвариантности пространства-времени частной теории относительности. Если мы
хотим строить теории, инвариантные относительно Р, или, как кратко
говорят, релятивистские теории, то приходится рассматривать теории
поля, классические или квантовые.
Ф Что означает: «Теории, инвариантные...»?
Ш Это означает, что уравнения теории переходят сами в себя при
групповых преобразованиях. Поясню аналогией. Уравнение окружнос-
окружности радиусом г с центром в начале координат х2 + у2 = г2 переходит
само в себя (сохраняет форму) при преобразовании (замене перемен-
переменных) х'= х cos 9 + у sin 9, у'= —х sin 9 + у cos 9.
Ф Уравнения ваших теорий поля похожи на это уравнение?
Ш Не совсем. Уравнение окружности описывает конкретный объ-
объект, а уравнения теории поля — все бесконечное число ситуаций, ко-
которые вообще могут быть описаны на языке теории.
Ф Можно ли это пояснить?
М Да. Уравнения устроены так, что нужно «задать ситуацию» в
момент времени / = 0, а уравнения предскажут ее эволюцию. На самом
деле, в классике любые ситуации, которые можно описать на языке
теории, допустимы, а в квантовых теориях это не совсем так, уравнения
ограничивают допустимый класс начальных ситуаций. В некотором смысле
это можно тоже учесть в языке: не пытайтесь задавать при / = О зна-
значения тех классических величин, которые представлены некоммутирую-
щими квантовыми операторами.
Ш Я хочу вернуться к понятию парадигмы. Мне кажется, что, ка-
каковы бы ни были истинные намерения Куна, все же он понимал термин
«парадигма» более содержательно. У него это скорее социологическое
понятие, норма, принимаемая какой-то группой исследователей: так
сказать, то, что они считают правильным, а что — неправильным. При
этом подчеркивается именно групповой и, может быть, иррациональ-
иррациональный компонент «научного поведения». Что-то считается истинным не
потому, что человек знает рациональные аргументы в пользу этого, а
просто потому, что так делает его группа.
М Может быть, этот элемент есть в развитии любой науки.
Ш У Куна есть еще любопытное понятие «дисциплинарной матри-
матрицы», она содержит такие компоненты как символические обобщения,
метафизические парадигмы, ценности, образцы. Первые два компо-
Диалог 7 55
нента — это то же самое, что «основные понятия теории» и «представ-
«представление о реальности», вторую пару компонентов можно и не пояснять.
ф А все же, что такое «ценности»?
Ш Кун — не слишком ясный мыслитель. Я предположил, что «цен-
«ценности» — это предубеждения данной группы или данного исследователя.
Например, Эйнштейн считал, что пространственно-временное описание
систем должно обязательно сохраниться, и, так как квантовая механика
не соответствовала его предубеждениям по поводу того, как такое опи-
описание должно функционировать, он ее не принимал... Я надеюсь, что
«образцы» у вас не вызывают трудностей? Скажем, мы имеем КЭД и
это — «образец» для теории электрослабого взаимодействия. Кун, ка-
кажется, первоначально понимал под парадигмой то, что потом предло-
предложил называть дисциплинарной матрицей. Если понимать под парадиг-
парадигмой именно всю совокупность четырех компонентов, то это более со-
содержательно, чем просто «язык квантовой теории поля».
М Даже математические конструкции нелегко полностью описать
формально. Неужели вы хотите найти идеально выверенную терминоло-
терминологию для истории науки и дать идеально ясную модель?
Ш Конечно, нет. Более того, я совершенно уверен, что это и не-
невозможно. Создание науки есть форма человеческой активности, и как
любая человеческая деятельность она меньше всего может быть уложена
в какие-то жесткие рамки.
Деятельность исследователей гораздо более свободна и менее
парадигматична, чем думают науковеды. Фактически каждый теоретик
получает из литературы, которую он изучал, и от своих учителей неко-
некоторое знание понятий, образов, уже известных теорий. Дальше все за-
зависит от того, что он собирается делать. Он может посвятить себя
области, где основные принципы уже известны, скажем, теории твердо-
твердого тела [7]. При этом он знает, что его объект состоит из атомов с
коллективизированными или неколлективизированными электронами и
что здесь справедлива квантовая механика. Его нормальная наука зада-
задана, но в ее рамках он может достичь замечательных результатов, напри-
например, построить красивую теорию сверхпроводимости.
Совсем в другом положении теоретик, который занимается эле-
элементарными частицами, он как раз не знает, долго ли продержится его
парадигма (на сегодня — квантовая теория поля). Он вполне готов к
катастрофе, и, в принципе, она для него желательна, именно она и
есть его «момент истины», когда он видит хотя бы смутно берег новой
земли — новой парадигмы. Пока этого не произошло, он, конечно,
будет пытаться применять старую парадигму для объяснения новых
явлений; он будет так делать просто потому, что у него нет выбора.
Это может оказаться и успешным, пределы парадигмы могут быть
шире, чем ожидалось [1].
56 Диалоги
Кроме того, реальный теоретик, особенно на ранних стадиях втор-
вторжения в новую область, будет действовать очень неформально, его образы
будут гораздо менее закреплены парадигматически, чем можно было бы
предположить априори, он будет готов смешать все парадигмы — старые,
новые и его персональные, лишь бы добиться успеха.
Ф Я уже слышал кое-какие подробности. Но я бы хотел что-нибудь
узнать о квантовой теории поля более систематически.
М Я пробовал написать небольшой обзор квантовой теории поля
для науковедов, не хотите ли его прочесть?
Ф Конечно. Но я хотел бы еще раз услышать, что все-таки вы
называете парадигмой, бог с ним с Куном, в конце концов.
М Ну, примерно, я бы назвал парадигмой данного периода разви-
развития науки самый глубокий слой основных понятий и грамматических
правил, употребляемых при построении теорий. Сейчас для теоретичес-
теоретической физики это, видимо, действительно понятия и правила квантовой
теории поля.
Ф Поля задаются в пространстве-времени?
Ш Да, М сказал бы — в пространстве R4.
М В действительности теоретики уже давно покинули J?4 — они
работают и в суперпространствах, и в произвольных многомерных.
Ш Это все модели, мы живем в пространстве R4.
М В действительности, если вы заметили общую теорию относи-
относительности Эйнштейна, то уже давно нет.
Ш Локально это все равно R*. Во всяком случае, пока речь идет о
теориях, взаимоотношение которых с действительностью установлено, в
них ничего, кроме R4, не употреблялось. Многомерные и суперпрос-
суперпространства — это всего лишь неинтерпретированные химеры.
Ф Я вижу, что с парадигмой не все так ясно.
Jit Да нет, все, что рассматривается, это все же теории поля: рас-
расширение типов переменных, размерностей и топологии пространств —
это довольно простые опыты с языком. Это скорее иллюстрация пара-
дигматичности мышления каждой эпохи. Нельзя не признать, что при
переходе от классической к квантовой парадигме произошло гораздо
более глубокое изменение и языка, и грамматики, чем то, что делается
при существующих попытках расширить рамки теории.
Ф Что Вы называете классической парадигмой? Язык классической
механики?
М Если всерьез анализировать, то да. В конечном счете, в XIX веке
не было более фундаментальной системы понятий, чем язык механики
центральных сил.
• Диалог 7 57
Ш Но в действительности в XIX веке были уже известны уравнения
Максвелла, а это разумно выделить в особую парадигму — парадигму
классической теории поля.
М Но ведь думали, что за максвелловскими уравнениями стоит
механика эфира.
Ш Конечно, но это только доказывает, что можно незаметно перей-
перейти из одной парадигмы в другую.
Ф Ну, давайте еще раз бегло осмотрим историю. Сколько вообще
было таких базисных парадигм? В конце концов, мы можем договорить-
договориться насчет классической теории поля. Пусть будет три или четыре: клас-
классическая механика центральных сил, классическая теория поля, кванто-
квантовая механика нерелятивистских систем, квантовая механика или теория
полей. Можно ли выделить что-то еще?
М Пожалуй, да, была античная атомистика. В основе ее лежала
простейшая идеализация — понятие идеально твердого тела. Та атомная
теория, которая изложена у Лукреция, — тоже парадигматическая сис-
система, и притом очень примечательная [8].
Ш Но в ней мало науки, это скорее философия.
М Конечно, мало что можно описать в этой парадигме, и все же
Максвелл, когда писал свою первую работу по кинетической теории
газов, фактически работал именно в этой парадигме, и притом созна-
сознательно [9].
Ш Пожалуй, да, но, конечно, переход в парадигму центральных сил
не составил для него затруднений.
М Конечно, поскольку он хорошо ее знал. Вообще парадигматич-
ность научного мышления есть факт почти лингвистический, вы огра-
ограничены словарем и грамматикой научного языка, на котором все вокруг
говорят. Даже пытаясь расширить язык, вы все равно ограничены ресур-
ресурсами, скажем, математики.
Ф А как происходит смена языка? Вы говорите, что квантовая
теория — совсем другой язык. Как он возник?
Ш Давление опыта побуждало к передаче новых смыслов старыми
словами или даже введению радикально новых понятий и образов —
таких, как «таблички» Гейзенберга, которые потом оказались матрицами
операторов. Потом, когда язык развился, в нем узнали язык гильберто-
вого пространства. Это уже совсем другая история.
Ф Ну хорошо, но если говорить о парадигме, уже имеющейся, то
ведь в каждую эпоху словарь и грамматика обширны. Как выделить
базисную парадигму?
5 — 2998
58 Диалоги
Ш Большинство специалистов в данной области не очень озабоче-
озабочены этим вопросом. Они принимают и словарь, и грамматику на веру и
занимаются конкретными задачами. Но на более глубоком уровне речь,
по-видимому, идет о таких вещах, как потенциальная полнота, замкну-
замкнутость, сводимость, непротиворечивость описания. В начале XIX века
теоретики, конечно, «знали», что механика сплошных сред выводима из
атомной теории и механики центральных сил, такими вещами даже
занимались, то есть парадигма механики воспринималась как базисная.
С другой стороны, как раз язык механики сплошных сред вряд ли
воспринимался как основной, скорее как выводимый из механики цен-
центральных сил. Гельмгольц выводил закон сохранения энергии из меха-
механики центральных сил [10]. Всем было хорошо понятно, что механика
центральных сил есть, так сказать, полная, замкнутая схема, то есть,
если силы и массы заданы, то движение вычислимо.
Диалог 8
ф От прошлой беседы о сечении томсоновского рассеяния у меня
осталось впечатление, что после того, как лагранжиан написан, сами
правила могут быть сформулированы совсем просто.
М ¦ Сложность языка связана с тем, что я хотел конструктивно
описать пространство состояний, в котором действует теория, а также
с тем, что группы симметрии, о которых мы говорили в первом раз-
разговоре и которые для лагранжианов КХД и электрослабой теории дей-
действуют более сложным образом, чем, скажем, изогруппа, на самом деле
требуют для своего адекватного описания использования нетривиаль-
нетривиального языка.
Ш Тем не менее в теории возмущений правила всегда просты.
М Правила просты, но это только рецепты, настоящего обоснова-
обоснования у них нет.
Ш Конечно, это делает любой студент [1]. В принципе, вы можете
вычислить томсоновские сечения, терпеливо перемножая матрицы и
беря шпур.
Ф Что такое «шпур»?
М Шпуром матрицы Ajk называется 2^^н, где d — размерность;
математики предпочитают называть его «следом» и обозначать tr (от
английского trace) вместо Sp (от немецкого Spur).
Ф И это все?
Ш Конечно, а если вы хотите более ясно понять суть правил Фейн-
мана, прочтите его знаменитую книгу «Теория фундаментальных про-
процессов» [2].
М Я вчера пробовал вычислить томсоновское сечение, но не полу-
получил ответа из учебника.
Ш. Видимо, вы где-то ошиблись.
М Я понимаю, но как искать ошибку в довольно длинном вычис-
вычислении?
Ш Рассматривайте предельный переход по со —> 0 на каждом этапе
выкладок!
5*
60 Диалоги
Ф Мне кажется, вы отвлекаетесь, меня сейчас интересует не ариф-
арифметика, я бы хотел знать ваше мнение об обоснованности рецептов:
прав ли №.
Ш Нет, конечно. Ньютон и Лаплас вычисляли движения планет
задолго до того, как Пуанкаре ввел понятие асимптотического рада, и
их вычисления не стали ничуть хуже после того, как Пуанкаре выяснил,
что их ряды не сходящиеся, а асимптотические. Ряды КЭД описывают
наблюдаемые данные с огромной точностью (до 10~")- Этот факт никог-
никогда не исчезнет.
М Но ведь вы прекрасно знаете, что теория незамкнута. На малых
расстояниях заряд растет, и даже вы должны отказаться вычислять то же
а(у + е —> у + е) при достаточно больших энергиях и переданных
импульсах.
Ш Ну, я не люблю, в сущности, эти рады, но с их помощью ре-
результаты первого приближения можно замечательно улучшить.
М Но раз теория не замкнута логически, то вы не знаете точности
ваших процедур и вы прекрасно знаете, что КЭД нельзя улучшать бес-
бесконечно.
Ш Вопрос о точности процедуры в физике никогда не имел боль-
большого значения. Всегда получается, что раньше, чем мы понимаем ма-
математические ограничения теории (или их отсутствие!), мы натыкаемся
на физические ограничения. Так, например, математические ограниче-
ограничения КЭД для у, в — системы лежат при Е~т0 ехр (Зл / 2а). Это соответ-
соответствует Е ~ 10я0 МэВ. В КЭД эта энергия, где теория должна потерять
применимость, обозначается обычно как Л; так как теперь есть много
разных Л, то я бы назвал ее Ллп в честь Ландау и Померанчука [3].
М Но ведь наличие Л означает, что предложенная теория не может
быть точной.
Ш Конечно! Логически я бы должен был сказать, что теория «дол-
«должна изменяться» при ллп, и это означало бы, что, если я ставлю опыты
при энергии Е, то у меня должны быть поправки типа (,?/Ллп)*, где
b > 0, скорее всего 6^2. Очевидно, что нет нужды беспокоиться.
М Я поражен вашим легкомыслием, откуда вы знаете, что Ь не
равно 1050 или, по крайней мере, не равно единице.
Ш Что это не 1050, я знаю из опыта, тогда бы КЭД не было! Что b
не единица, я знаю из модели. Есть способ сделать теорию конечной —
регуляризация Паули—Вилларса [5]. Я вычислил в этой регуляризации
поправку и получил такой ответ.
Ф Если у вас есть способ сделать теорию конечной, то почему бы
вам это не сделать и не сказать, что это и есть правильная теория?
Диалог 8 61
gjj Регуляризация по Паули—Вилларсу приведет к бессмыслице, если
Е > А, так что это всего лишь модель. На самом деле всего вопроса
теперь уже нет, физика его решила!
М Что вы имеете в виду?
Ш КЭД описывает взаимодействие заряженных лептонов с фотона-
фотонами, но в теории электрослабого взаимодействия эти взаимодействия
рассматриваются совместно со взаимодействиями W*, Z". Такая теория
вообще ведет себя хорошо на всех расстояниях, только бегущие массы
и заряды стремятся к нулю при ?->«, /¦-»(), в электрослабой теории
возникают реальные поправки к формулам КЭД, они действительно
имеют вид (Е/АJ, но только вместо Л надо поставить массу W*, если вас
интересует поправка к сечению КЭД для процесса е+ е~ -» у -> е+ е~.
Такие поправки уже наблюдались.
М Все это замечательно, но вы же знаете, что теория плохо ведет
себя в хиггсовском секторе.
Ш Ну так сделайте там обрезание и посмотрите, большие ли будут
поправки при Е « 30 ГэВ. Вы же прекрасно понимаете, что хиггсовский
сектор — это сугубо феноменологическая конструкция. Я больше не
хочу считать ультрафиолетовую катастрофу настоящей физической про-
проблемой [5].
Ф Вы несколько раз упоминали, что ряды КЭД асимптотические.
Это, по-видимому, не так хорошо как сходящийся ряд, но что это?
М Видите ли, вы всегда можете разлагать функции вблизи 0 по ее
х 1
производным в нуле, написав ряд f(x) = 2-,~^f" (O)jc" . Иногда ряд
сходится, а иногда расходится. Но всякий ряд есть код некоторой про-
программы вычислений, меняется лишь сама программа и интерпретация
ответа, если ряд расходящийся. Асимптотический расходящийся ряд тоже
позволяет нечто сказать о функции.
Ш Разве асимптотический ряд — тоже ряд по производным?
М Конечно, формальный ряд f(x)=^cnx" можно дифференциро-
дифференцировать в нуле, и вы получите с„=—/(л)@).
л!
Ф Я бы хотел понять, как и почему расходящийся ряд представляет
функцию. Я знаю геометрическую профессию 2-ix". С ней я умею
JL ,"¦¦
х - ' =SN и понимаю, что будет при
I \ — X
а взяв достаточное число членов, я могу при данном |х| < 1 иметь J(x)
с любой нужной точностью. А как быть, если ряд расходится?
62 Диалоги
М Асимптотический ряд не определяет функцию однозначно. Для
данного асимптотического ряда есть бесконечное множество функций,
которые ему соответствуют.
Ф Но ведь Ш как-то вычисляет наблюдаемые величины с помощью
рядов, которые он почему-то считает асимптотическими.
М N-я сумма асимптотического ряда стремится к f(x) при х -> 0.
Здесь предел берется не по N, как для прогрессии, а по х.
Ф Я понял ваше определение, но мне неясно по существу, откуда
берутся такие ряды и почему, если соответствие между рядом и фун-
функцией неоднозначно, то все-таки может ли частичная сумма ее аппрок-
аппроксимировать.
М Простейший пример, который я знаю, к сожалению, несколько
искусственен. Это ряд 2^"}-х .Он удовлетворяет дифференциальному
л = 0
уравнению xf(x) + х = fix). Возьмите это уравнение и ищите решение
в виде степенного ряда. Тогда вы получите ряд, приведенный выше,
очевидно расходящийся, но аппроксимирующий решение в указанном
выше смысле. Ситуация с уравнениями небесной механики несколько
сложнее, но похожа.
Ш Почему ряды КЭД асимптотические, легко понять. В диаграмме
л-го порядка еще одну фотонную линию можно вставить, грубо говоря,
л способами, потому число разных диаграмм растет как л! Поэтому ряд
похож на ряд Хл!а"/Л(?)-
М Доказано ли это на самом деле?
Ш Для лагранжиана КЭД, насколько я знаю, нет, но для некоторых
простых лагранжианов доказано, что ряды по константе связи действи-
действительно асимптотические.
Ф Но почему все-таки расходящийся ряд аппроксимирует функ-
функцию, и что такое /п(ЕI
Ш Я могу взять конкретный пример, и вы увидите, что разность
между 5", и Дх) стремится к нулю при х -> 0. Например, это просто
Т -и х-1
сделать для функции Г(х), заданной интегралом Iе "м* du мне кажет-
о
ся, что ситуация здесь похожа на ситуацию в КЭД, где ряды тоже
возникают из выражений типа exp(iLMd4x) и LM содержит заряд е мно-
множителем. Мы предполагаем, что ряд асимптотичен по е, то есть теоре-
теоретически первые члены аппроксимируют истинный ответ с точностью до
(Хё2"*2). Что касается J[E), то я написал это очень условно — ответ л-го
порядка для амплитуды зависит от масс, энергий и импульсов входящих
и выходящих частиц, в общем же виде от всех лоренц-инвариантных
Диалог 8 63
величин, которые можно составить из всех четырехмерных импульсов,
и от всех масс, внешних и внутренних.
М Пожалуй, нам уже здесь нечего больше сказать.
Ф Я бы хотел получить какие-то объяснения, почему частицы —
кванты полей? Неужели для того, чтобы понять, почему это так, мне
обязательно надо научиться говорить на этом странном языке расслое-
расслоений и многообразий. В молодости я прослушал четыре семестра физики
и математики, надеясь, что это будет мне полезно.
Ш Прекрасно, мне не потребуется большего. Вы, конечно, знаете,
что такое поле.
Ф Конечно, например, поле температуры в теле задается функцией
Т(х, у, г, О-
Ш Да, но в физике часто поле задается не одной величиной, а
несколькими. Так, поле Дирака задается четырьмя комплексными вели-
величинами \|/,, ц>2, \|/3, vy4.
Ф Не бывает ли полей, описываемых одной функцией?
Ш Что касается реальной физики, то ответ дать непросто — и да,
и нет. Но если говорить о формальной структуре КТП, то такую про-
простую теорию поля можно рассмотреть. Это будет вещественное скаляр-
скалярное поле ср(г, t).
Ф Прекрасно, можете ли вы «проквантовать» это поле?
Щ Давайте попробуем. Но вначале мне надо обсудить классическую
теорию этого поля. Предполагается, что эволюция поля ф во времени
описывается уравнением —j- г- ~ — + m2q> = 0 . (Здесь и даль-
дг дх ду dz
ше мы будем считать, что единицы длины и времени выбраны так,
чтобы й = 1 и с = 1.)
Ф Я помню что-то такого типа из курса физики, мне кажется, для
этого уравнения есть сокращенное обозначение Qp + ю2ф = 0.
Ш Еще до того, как появился последовательный аппарат не только
КЭД, но и квантовой механики, Дебай в 1910 году рассматривал кван-
квантовые эффекты для электромагнитного поля в полости, применяя фор-
формулу Планка к собственным колебаниям поля (собственным модам).
Давайте так сделаем и мы.
Ф Что такое собственные моды?
Ш У нас поле ср зависит от г и /, но то, что пространство имеет три
измерения, сейчас неважно. Пусть будет одно пространственное изме-
измерение и время. Во что перейдет наше уравнение?
64 Диалоги
Ф В уравнение
52, *>2 .
ф О ф 2 л
5/2 5л:2 +
Мне кажется, я давно знаю это уравнение. Это уравнение коле-
колебаний струны.
Ш Почти. Струне соответствует т = 0. Но не будет ничего плохого,
если вы будете представлять себе струну, описываемую этим уравнением
и закрепленную в точках 0 и L. Тогда собственные моды — это простые
движения струны, в которых <р во всех точках меняется по одному и
тому же закону ср = A sin со/.
Ф Правильно ли себе представлять эти моды как последователь-
последовательность колебаний без пучности, с одной пучностью, двумя и т. д.?
Ш Да. Произвольное движение есть суперпозиция таких движений,
описываемых рядом Фурье
Ф Мне кажется, здесь нет физики — любую величину q>(.x, t), та-
такую, что ф@, /) = 0, cp(i, /) = 0, можно так представить.
Ш Разумеется, но физика в том, что qn{t) удовлетворяет простому
дифференциальному уравнению
{
{
Ф Мне это уравнение знакомо, это уравнение осциллятора. Его
решение есть, конечно, q = <70 sin (со/ + а), где qQ и а произвольны.
Ш Да, и такие уравнения возникают всегда в классических теориях
поля, когда мы разлагаем по собственным модам в одном, двух или трех
измерениях.
Ф Но это для колебаний в полости или колебаний мембраны, а для
теории элементарных частиц нужно рассматривать поля в бесконечном
пространстве.
М Теоретики всегда занимаются онтологизацией химер, порожден-
порожденных чисто формальным введением идеальных объектов. Это очень ин-
интересное явление, относящееся к проблеме формального и материально-
материального существования.
Ш Все и сложнее, и проще. Покинувший нас В обычно делает
опыты в закрытых помещениях, стены которых прекрасно поглощают
фотоны, адроны и лептоны (кроме нейтрино). Так что приближение
полости, может быть, даже лучшая идеализация.
. Диалог 8 65
М Но ваша любимая полость соответствует отражению, а не погло-
поглощению.
Ш Да, но давайте представим лабораторию с отражающими стенка-
стенками. Да, в конце концов, может, и Вселенная конечна. После того, как
я закончу расчеты для моей облицованной зеркалами лаборатории, я
проверю, что ответ не зависит от ее размеров L, если I » 1, где X —
длина волны частицы.
М (К Ф) Вам надо привыкнуть к удивительной нелогичности тео-
теоретиков и их нежеланию ясно описывать свои модели, это помогает им
работать.
Ш С вашего разрешения, я еще напишу полную энергию колебаний
моей струны. Она имеет вид Т + U, где Т — кинетическая, a U —
потенциальная энергия, равные
да
" 'ЭФ1 .„2
*
дх
+ яг
dx.
да ч
Ф Сумма Т + U сохраняется в силу уравнения движения, а откуда
коэффициент 1/2?
Ш Это уже вопрос истории или обычая. Нормировка констант —
вещь условная. Если теперь перейти к переменным q, то получится
Ф Я, помню, учил, что энергия осциллятора всегда квантована и
равна уУйсо, где Л^ — целые числа.
Ш Да, точнее ftia(N + 1/2), но 1/2 здесь не очень важна. Это как раз
и означает, что, согласно квантовой механике, состояние нашей струны,
нашего одномерного поля, описывается заданием всех Nn состояний
возбуждения для всех осцилляторов, перенумерованных номером п. При
этом полная энергия будет равна
л
Ф Это и есть основной результат квантовой теории поля приме-
применительно к этой модели?
Ш Да, конечно. Но мы пока его не выводили, так же, как не
выводил его и Дебай, а взяли из опыта, как это первым сделал Планк
в 1900 году.
М Я читал недавно, что Планк не вводил дискретных уровней
энергии для осциллятора [6].
Ш Буквально — нет, но не будем вдаваться в эти исторические
тонкости.
66 Диалоги
Ф Почему эти «состояния возбуждения» суть частицы? Ведь соб-
собственные колебания, характеризуемые л, нелокальны — поле меняется
во всей полости сразу. Это какие-то условные осцилляторы, а совсем не
реальные?
Ш Если перейти от стоячих волн к бегущим и вычислить импульс
поля для возбуждения Nn=z 1, он получится равным \р\ = ±-Jw2 - т2
в зависимости от направления волны, как, согласно теории относитель-
относительности, и должно быть для частицы массой т и энергией а>. (Напоми-
(Напоминаем, что единицы длины и времени выбраны так, что й=1ис=1.)
Если теперь введем взаимодействие поля с поглотителем, то получим,
что при поглощении одного кванта в i-ом состоянии поглощается энер-
энергия со(. и импульс р..
ТА Но частицы поглощаются и испускаются «в точке», а в вашем
описании этого нет.
ЯП К этому можно вернуться, когда я кое-что скажу о том, как
формально описывается в квантовой теории наша система с энергией
я
Стоит напомнить, что пока квант характеризуется точным зна-
значением энергии и импульса (ш, р), с ним никак нельзя связать точку
пространства-времени — это крайний случай принципа неопределен-
неопределенности.
Ф Я чувствую с полной определенностью, что пора прервать эти
объяснения и выпить чаю.
Диалог 9
Ф В прошлый раз я понял, что поле в полости можно представить
как систему невзаимодействующих осцилляторов, каждый из которых,
согласно квантовой механике, всегда имеет энергию Е = йсо A + 1/2).
В последнем пункте вы (к Ш), однако, апеллировали к опыту и работе
Планка, но на самом деле ведь существует последовательная теория
квантования?
М Строго говоря, сама постановка вопроса в такой форме уже есть
непоследовательность. Логически надо было бы начинать с квантовой
механики...
Ш Уж тогда скажите: — с квантовой теории поля.
М Да, с квантовой теории поля, и из нее потом выводить класси-
классическую теорию поля, а из нее — классическую механику.
Ш Ну, даже логически все не так просто. Во-первых, соотношение
между квантовой и классической механикой гораздо сложнее соотноше-
соотношения между волновой и геометрической оптикой. Геометрическую опти-
оптику можно вывести из волновой, как способ описания некоторого под-
подкласса оптических явлений, справедливый в определенных условиях, но
с квантовой механикой дело обстоит сложнее. Высказывания опреде-
определенного типа «измерение величины А для системы в состоянии X с
вероятностью ш. дает значение А.» вообще невыразимы на языке кван-
квантовой механики: абстрактно мы можем заниматься квантовым миром,
не прибегая к знаменитому «классическому прибору» из § 7 учебника
Ландау и Лифшица «Квантовая механика», но такой квантовый мир
совсем не похож на реальный мир, с которым мы имеем дело все время
и с которым В ставит свои опыты. Поэтому в каноническом варианте
квантовой механики «аксиоматика» классического прибора включается в
теорию как ее независимая часть. Вывести ее из остальных аксиом
нельзя [1]. Во-вторых, и само существование устойчивой материи (твер-
(твердых тел или атомов) есть эффект квантовый. Поэтому (к М) такой
системы выведений, какую вы хотите, просто нет!
М Может быть. Но и вы должны согласиться с тем, что, зная
классический гамильтониан системы, вы не можете однозначно опреде-
определить его квантовый аналог — это неоднозначная процедура, и в этом
смысле я прав. Существует много квантовых гамильтонианов, дающих
68 Диалоги
один и тот же классический. Так что надо начинать прямо с квантового
гамильтониана, а потом уже получать классический из него.
ЯЛ Может быть, в общем случае вы правы, но исторически шли от
классического осциллятора к квантовому и, мне кажется, в этом кон-
конкретном случае нет никаких проблем.
На самом деле история и опыт познакомили нас сначала с клас-
классическими осцилляторами и затем, опять под давлением опыта, мы
угадали правила квантовой теории.
М Замечательно, что при этом теоретики все время имели дело с
фикциями; гармонических осцилляторов, которыми занимались Гельм-
гольц, Лоренц, Планк, совсем нет в атомах.
Ш Но вы же знаете, что когда система (атом) находится вблизи
состояния равновесия и вы возмущаете ее светом, то ее состояние можно
разлагать по отклонениям от состояния равновесия, и система всегда
похожа на систему осцилляторов. Успехи теории дисперсии Гельмгольца
и Лоренца совсем не случайны — квантовая теория дисперсии их пре-
прекрасно воспроизводит [2].
М Да, но при этом исчезают материальные осцилляторы с данной
частотой: их представители в квантовой теории — это переходы из
основного состояния в данное возбужденное состояние. Поразительно,
что, исследуя взаимодействие света с веществом, физики все время
изучали несуществующие осцилляторы.
Ш В конце концов Дебай все же нашел настоящие осцилляторы —
собственные моды колебаний в полости [3]. А свойства фиктивных
осцилляторов Лоренца очень похожи на свойства реальных переходов в
теории дисперсии; Лоренц смог даже построить теорию нормального
зееман-эффекта, оперируя электронным осциллятором.
М Да, чтобы потом теоретики от Пуанкаре до Ланде и Гаудсмита
мучились с аномальным эффектом Зеемана [4]. По существу, совпаде-
совпадение с опытом у Лоренца было случайностью!
Ш И да, и нет. Буквенное выражение для такого расщепления у
него было правильным с точностью до числового коэффициента.
Ф Мне кажется, нам лучше вернуться к гамильтониану
Я(<7+шУ).
Как выглядит его квантование?
ЯП Я хочу начать еще с одной фикции: даже осциллятор имеет
бесконечное число уровней 1, ..., N, ..., а я хочу описать вам квантовую
механику с конечным числом уровней к. Для такой системы состояние
описывается просто ^-мерным вектором с комплексными компонентами
Диалог 9
69
Любая наблюдаемая А есть оператор, который в этом представ-
представлении есть эрмитовая матрица А размерности к х к, то есть матрица
а,, ... а.
такая, что аы = ал*. Говорят, что векторы с образуют гильбертово про-
пространство состояний системы. (К Ф) Мне кажется, что идея векторного
пространства вам знакома?
Ф Да, конечно, но меня смущает появление комплексных чисел:
ведь на опыте измерения всегда дают вещественные числа?
М Состояние в квантовой механике не есть то, что прямо наблю-
наблюдается или измеряется. Здесь соотношение сложней.
Ш Да, хотя и тут нет ничего мудреного. Мне надо ввести еще одно
понятие: скалярное произведение (с jc), оно по определению равно
2>; •«, = <<*), A)
где звездочка означает комплексное сопряжение; математики обознача-
обозначают его чертой. Обратите внимание, что, в отличие от скалярного про-
произведения обычных векторов ab = ba, оно не симметрично, то есть
(с|с') = (с'|с)*. B)
Введем теперь собственные векторы матрицы А:
где /4@) есть число, а индекс (а) нумерует собственные векторы опера-
оператора А. Наш друг умеет доказывать, что для любого эрмитового опера-
оператора А есть ровно к ортогональных в смысле A) собственных векторов
с@) и все коэффициенты Aw вещественны. Эти векторы можно норми-
нормировать: <с(°> |с(<7)> = I. Любое возможное состояние системы описыва-
описывается произвольным нормированием с{"\ Тогда основная аксиома гово-
говорит: измерение величины А для системы в состоянии с всегда дает одно
из значений А{а) с вероятностью
<оо = |<с"'>|с>2. D)
70
Диалоги
Ф И это вся аксиоматика?
Ш Строго говоря, надо сказать, что среди наблюдаемых есть одна
выделенная, а именно, энергия Н. Это тоже матрица к х к. В шредин-
геровском представлении вектор с меняется во времени по закону
|с(/)> = е-"* |с@)>. E)
Ф Почему в шредингеровеком представлении?
Ш Потому, что в шредингеровском представлении матрицы наблю-
наблюдаемых не зависят от времени. Вместо этого можно пользоваться гей-
гейзенберговским представлением. Тогда состояние |с> от времени не за-
зависит и все наблюдаемые меняются по закону
A{t) = ei№ Л@) е"Ш/ . F)
Очевидно, что все физические утверждения будут одними и теми же и
в шредингеровской, и в гейзенберговской картинах.
Ф Как узнать, какие у системы наблюдаемые и какие состояния?
В общем, это угадывают, опираясь на опыт.
Но надо с чего-то начать.
Да, Гейзенберг как раз и начал с осциллятора.
Но у него бесконечное число уровней.
Считайте, что матрицы наблюдаемых тоже бесконечны:
аи ап
Ф
Ш
Ф
Ш
Ф
Ш
А =
G)
а в остальном все как для конечных матриц. В некоторых местах будут
получаться сходящиеся ряды вместо конечных сумм или интегралы.
Ф Хорошо, но что будет наблюдаемыми? В гамильтониан входят д
и д. Теперь это матрицы, да еще бесконечные. Как их узнать?
Ш Меня учили так. Возьмите канонический импульс р, сопряжен-
сопряженный q.
p = —- = q.
дд
Постулируйте коммутационное соотношение
[р, д] = -\h.
(8)
0
0
0
0
н22
0
0
0
0
0
0
0
0
Н NN
0
(Г
0
0
Диалог 9 71
Выразите Н через р и q, тогда получится
~ 2 v / ' '
Тогда из (8) и (9) можно алгебраически определить матрицы А, р, и Н.
При этом мы можем сделать Н диагональным, и получится
})¦ (Ю)
М Строго говоря, надо сказать заранее: будем работать в базисе, где
Н диагонально. Тогда ...
Ф Я могу представить себе, что алгебра приводит к этому, но от-
откуда взять (9)? Откуда вообще эти странные постулаты о комплексных
векторах и матрицах?
Ш Видите ли, теоретическая физика полностью отказалась от на-
надежд современников Платона: обосновать все рациональными аргумен-
аргументами. Мы принимаем какие-то принципы потому, что они позволяют
описывать и предсказывать данные опыта. Соотношение (8) следует
принять потому, что для осцилляторов электромагнитного поля оно
приводит к формуле EN. = йшДЛГ + 1/2), а она в свою очередь — к план-
ковскому распределению для плотности энергии черного излучения р(о>).
Ф Я готов согласиться, но ведь нет обратного пути от формулы для
р(ш) к (8).
Ш Да, потребовалось ввести в игру еще много другого эмпиричес-
эмпирического и теоретического материала. Прошло 25 лет напряженной работы,
прежде чем Борн и Иордан смогли угадать соотношение (8).
ТА Я всегда думал, что это сделал Гейзенберг.
Ш Фактически, да. Гейзенберг в своей замечательной работе 1925 го-
года, с которой собственно и началось создание последовательной кван-
квантовой механики, имел в виду не осцилляторы поля, а опять материаль-
материальные осцилляторы. Он занимался «игрушечным» примером — пытался
рассчитать квантовый ангармонический осциллятор
Н = -{q2 +m2q2) + Xq\
Он угадал, что q надо считать двумерной «таблицей», и угадал правила
умножения, нужные для вычисления степеней. Этого было недостаточ-
72 ' Диалоги
но, чтобы найти д, и Гейзенберг написал соотношение для q и р, ко-
которое было эквивалентно (8) [5].
В последующей работе Борна и Иордана было понято, что q
следует считать матрицей, и правила умножения Гейзенберга есть мат-
матричное умножение, а соотношение Гейзенберга эквивалентно коммута-
коммутатору (8). Именно в этой работе Борна и Иордана и появился (в матрич-
матричной форме) операторный формализм квантовой механики для системы
с одной степенью свободы [6]. По существу, то описание квантовой
механики, которое я вам рассказал, очень близко к описанию в упомя-
упомянутой работе и в последующей статье Борна, Гейзенберга и Иордана. В
этой статье введены и векторы состояний. Очень ясное изложение кван-
квантовой механики с такой точки зрения есть в лекциях Ферми [7].
Ф Если я правильно понял урок, то состояние осциллятора описы-
описывается бесконечномерным вектором с^ где \cNf- есть вероятность того,
что осциллятор находится в N-ом возбужденном состоянии. В общем
случае состояние есть суперпозиция всех возбуждений.
Ш Конечно. Если теперь мы рассматриваем поле в полости, то
это — собрание бесконечного множества осцилляторов с номерами / и
частотами ю;. Для того, чтобы задать состояние, нужно указать номера
возбуждения для всех осцилляторов, то есть с теперь является функцией
всех jV;, а энергия данного состояния есть 2ШД $]. Последовательное
описание электромагнитного поля в таком виде было построено Дира-
Дираком в 1927 году [9].
Ф Но ведь электромагнитное поле не скалярное?
Ш Это не вносит больших усложнений. По существу ничего не
меняется.
М Ничего не меняется, пока ничего вообще не происходит! Ваше
поле ни с чем не взаимодействует и всегда остается в любом заданном
состоянии. Введите взаимодействие и сразу увидите, что электромагнит-
электромагнитное поле не есть сумма осцилляторов.
Ш Возникнут некоторые технические трудности, но они легко об-
обходятся.
М Мне кажется, что здесь есть что-то серьезное.
Ш Означают ли ваши слова, что вы сомневаетесь в правильности
обычных процедур квантования?
М Для электромагнитного поля — нет. Но уверен, что для полей
Янга—Миллса так действовать нелепо.
Ш Не думаю, но время покажет.
Ф В статье ТА я читал об операторах рождения и уничтожения. Как
они описываются на матричном языке?
Диалог 9
73
т
Очень просто. Для осциллятора матрица д. имеет вид
о -Л" о о
¦Л О V2 0
О V2 0 0
о о 7з о
ее замечательная особенность в том, что если такой матрицей подей-
подействовать на вектор состояния |0, 0, ..., Np ..., 0>, который соответствует
/-ому осциллятору, находящемуся в N-ou возбужденном состоянии,
получится состояние
то есть оператор q., действуя на состояние с числом заполнения N:,
переводит его в суперпозицию состояний с числами заполнения N, + 1,
Ж: — 1. Введем теперь матрицы
1 / . х . 1 / . v
где Pi — матрица импульса для /-ого осциллятора:
p,=qn q = i(Hq-qH).
Тогда
О VT 0 0 ...
О О V2 0 ...
0 0 0 -УЗ ...
а =
@ 0 0 0 ...
л/Г о оо...
0 V2 0 0 ...
1о о
о ...J
Это и есть операторы рождения и уничтожения. Они обладают тем
свойством, что для одного осциллятора
a\N)=4~N\N-l), a*\N)=yJN + \\N + l).
Действуя на невозбужденное состояние осциллятора, получаем
а+|0> = |1>. Как мы договорились, состояние 1> и есть квант поля. Вот,
собственно, и все тайны. Гамильтониан поля Н, выраженный через
операторы а., а+, где / — номер осциллятора, имеет вид
6 - 2998
74 Диалоги
Действуя на состояние \NV Nv...>, он дает ответ:
что соответствует нашим интуитивным представлениям об ожидаемой
энергии такого состояния.
Ф Но ведь в вашей теории с гамильтонианом Н действительно
ничего не происходит? Любое состояние с энергией Е просто приобре-
приобретает через время t фазовый множитель е"ш', а если рассматривать супер-
суперпозицию состояний с разными N., то какая-то эволюция появится, но
в общем тоже ничего не случится; скажем, относительные вероятности
состояний с разными Ж не изменятся, а ведь фотоны в реальном мире
испускаются и поглощаются.
Ш Ну, это просто. Вы знаете, что в КЭД источником фотонов
является антенна — «внешний ток». Добавим к Я слагаемое, описыва-
описывающее взаимодействие с внешним током в точке х.
Тогда Яп[ будет вызывать переход с поглощением или испусканием
квантов. Фактически Дирак в уже упоминавшейся статье вводил не
внешний ток, а взаимодействие с атомным электроном. При этом пе-
переход состоял в том, что электрон переходил из одного состояния в
другое, испуская квант света, но фактически это тоже непоследователь-
непоследовательно. В последовательной КЭД ток J(x) есть тоже оператор, содержащий
операторы рождения и поглощения электронов и позитронов.
Ф Я вынес из статьи М впечатление, что для электронов и позит-
позитронов каноническое квантование неприменимо. Нельзя ли объяснить, в
чем тут дело?
Ш Прежде всего, нужно сказать, как прийти к полю, описывающе-
описывающему электроны. Его историческое происхождение совсем другое, чем про-
происхождение электромагнитного поля. Если говорить кратко, то для элек-
электромагнитного поля сначала узнали волновой аспект, а потом, квантуя,
получили корпускулярный аспект, то есть, квантуя электромагнитное
поле, получили кванты света — фотоны.
С электроном все шло в другом направлении. Сначала электрон
был частицей — изучали его корпускулярный аспект. Затем де Бройль,
уже зная о дуальном характере фотона, сопоставил электрону загадоч-
загадочную волну де Бройля. Шредингер пытался рассматривать поле у для
электронов в чисто волновом аспекте и получил для него правильное
нерелятивистское волновое уравнение. Потом Иордан и Вигнер показа-
Диалог 9 75
ли, что, квантуя поле у, можно получить описание, пригодное для сис-
системы электронов, описываемых числами Ж, по аналогии с фотонами.
В то время, когда они писали свою работу, уже был известен
принцип Паули. В каждом данном квантовом состоянии может нахо-
находиться только один электрон, и Иордан и Вигнер знали, что для элек-
электронов Ni = 0, 1. Поэтому они строили аппарат так, чтобы он давал этот
результат. Они ввели матрицы
где состояние I . I есть вакуум осциллятора, а состояние есть состо-
состояние с одним квантом поля у, то есть электрон. В действительности они
использовали еще некоторые сведения об электронах и пришли к вы-
выводу, что в то время, как для фотонов операторы а. удовлетворяют
соотношению оа + — п+а. = 5.к, для электронов нужно ввести антиком-
антикоммутационное соотношение bbt+ + b*b. = 5lk [10].
Ф А где позитроны?
Ш Это долгая история. Сначала надо от уравнения Шредингера
перейти к уравнению Дирака для релятивистской волновой функции у
с четырьмя компонентами ща. Поле у так же, как поле ф, есть сумма
мод. Потом надо сделать у оператором так же, как мы поступили с ф.
При этом в сумме появятся члены, содержащие операторы поглощения
электрона а и операторы рождения позитрона Ь+. К этому пришли
долгим извилистым путем. Современные учебники квантовой теории
поля, конечно, прямо начинают с того, что постулируют необходимый
вид вторично-квантованных операторов ц/, А (А — оператор электромаг-
электромагнитного поля) и других. После того, как поля, коммутационные соот-
соотношения и вид взаимодействия заданы, можно вывести правила вычис-
вычисления амплитуд перехода. В наиболее компактной форме их сформули-
сформулировал Фейнман — это и есть знаменитые правила Фейнмана и диаграм-
диаграммы Фейнмана, о которых мы говорили [11].
Ф Я могу понять, что исторически как-то пришли к некоторой
системе постулатов — уравнениям полей, правилам квантования, но
выглядит это все очень странно. Нельзя ли это как-то объяснить более
рационально?
Ш Ваше желание неисполнимо. Ведь это есть пока самый глубокий
уровень описания Природы, которого мы достигли. Объяснить наши
постулаты нельзя. Можно играть с ними, стараться лучше понять, ка-
каковы, собственно, их потенциальные импликации, как делали Бор и
Розенфельд в 30-е годы [12], можно извлекать из них наблюдаемые
6*
76 Диалоги
следствия и сравнивать с опытом, но нельзя спрашивать, «почему они
такие, а не другие». Кое-какие пояснения можно сделать и здесь. На-
Например, Паули привел доводы в пользу того, что если попробовать
квантовать поле <р или А. (целые спины) с антикоммутаторами или поле
у (полуцелый спин) с коммутатором, то будет плохо (что-то типа по-
потенциального внутреннего противоречия). Если хотите, это есть частич-
частичное объяснение, почему так, а не иначе [13].
М Из вашей истории электрона выпал Борн и вероятностная ин-
интерпретация у.
Ш Для одноэлектронных состояний можно перейти от уравнения
Шредингера к корпускулярному аспекту просто вероятностной интер-
интерпретацией |\|/р. Это Борн и сделал [14].
Ф Вы все время пользовались модами, которые, так сказать, запол-
заполняют весь объем. А ведь на опыте, например, фотоны распространяются
в пространстве, поглощаются в точке и т. д.
Ш Фактически я ввел «взаимодействие в точке», введя Н. t с J{x).
Мне кажется, вы уже можете прочесть знаменитую статью Ферми о
квантованном электромагнитном поле. Там подробно разработаны про-
пространственные аспекты КЭД [15].
Ф Я вспоминаю, что М в своей статье долго рассматривал, как
построить гильбертовы вектора для бозонов и фермионов, а вы это как-
то обошли.
Ш При последовательном применении аппарата вторичного кванто-
квантования это излишне, М просто начал с другого конца, хотя и с его
стороны тоже можно войти в дом, в котором мы живем. Знание ком-
коммутационных соотношений и лагранжиан полностью определяют тео-
теорию, и больше уже ничего не надо.
М Во всяком случае, надо начать с полного списка полей и их
групповых свойств, а калибровочные поля, как мы теперь понимаем, не
являются функциями точки.
Ш Конечно, но в теперешней парадигме это, в сущности, внешний
момент по отношению к грамматике теории, так же, как число планет
есть внешний момент по отношению к «задаче п тел» механики тяго-
тяготения.
М Мне кажется, вы кощунствуете.
Ш Кощунство есть способ постановки эксперимента. Апостол Фома
тоже кощунствовал, или почти.
Ф Мне кажется, что ваши парадигмы — это почти религия.
Диалог 10
М {К Ф) Прочли ли вы рекомендованную литературу?
ф Я взглянул на все статьи, о которых говорил Ш. статью Ферми
из Review of Modem Physics, статью Бора и Розенфельда, статью Ландау
по теории измерений и § 7 из его учебника и те страницы из обзора
Паули и лекций Ферми, которые указал Ш в прошлый раз, но все-таки
мне трудно следить за всеми выкладками и рассуждениями. Нельзя ли
сейчас, после того, как прошло столько лет, изложить все это компакт-
компактно и в одном месте так, чтобы получилась книга по квантовой теории
поля, где упор делался бы именно на ее физическое содержание, а не
на вычислительные аспекты? Я спрашивал Ш, какой учебник квантовой
теории поля самый лучший; и он сказал мне, что это книга Бьеркена
и Дрелла10, но там довольно много и ясно написано о каноническом
квантовании (в томе II) и о фейнмановских графиках (в томе I), но в
сущности мысль о физических аспектах теории поля — то, что обсуж-
обсуждали Ферми, Бор и Розенфельд, — там вообще отсутствует. Что случи-
случилось? Казалось бы, это необходимая часть теории.
ТА Видите ли, когда теоретики создают свои теории, то они обсуж-
обсуждают друг с другом и даже сами с собой их содержание или смысл, но
через некоторое время все это уходит в какое-то «коллективное бессо-
бессознательное». Студентов учат правильному «теорфизическому» поведе-
поведению, а именно умению хорошо решать задачи, как когда-то учили
математике в Вавилоне и Египте, а сейчас — на инженерных факуль-
факультетах. В математике, которая взяла за образец греческий способ кон-
конструирования науки, проблема «смысла» решается унифицировано: рас-
рассматриваются системы аксиом и их теоретико-множественные модели.
Впрочем, и тут, если входить в подробности, открываются бездны. Кантор
с его теорией бесконечности и Гильберт с его уверенностью, что бес-
бесконечность — это всего лишь значок с определенными правилами его
употребления, подвели нас к этой пропасти, а Гедель начал наносить ее
границы на карту. Мы же привыкли к мысли, что ходим по краю, и
перестали волноваться. Физиков по привычке упрекаем в непоследова-
"' Смотри русский перевод: Д. Д. Бьеркен, С. Дрелл. Релятивистская квантовая
теория. В 2-х т. - М.: Наука, 1978. Т. 1: Релятивистская квантовая механика. Т. 2:
Релятивистские квантовые поля. — Примеч. ред.
78 Диалоги
тельности теории, если она предлагает ограничиваться в вычислениях
какими-то расстояниями. В логическом смысле противоречие на любых
расстояниях уничтожает возможность рассуждать правильно. Есть фор-
формальная теорема: в любой теории, в которой верны утверждения «А» и
«не А», можно доказать любое утверждение. Молодые люди, однако,
научаются эффективно избегать противоречий, иначе из них физики-
теоретики не получаются.
Ш По-видимому, эти мысли подчиняются определенным архети-
архетипам. Вы повторили ход мысли Пуанкаре: на Сольвеевском конгрессе в
1911 году он сказал, что все присутствующие признают, кажется, что
квантовые идеи нельзя непротиворечиво согласовать с классической га-
мильтоновой механикой, а между тем все время пытаются что-то утвер-
утверждать, именно комбинируя взятое из классической механики с какими-
то квантовыми соображениями. Но раз мы допустили противоречие, то
потом можно доказать любое утверждение [1J. На самом деле теоретики,
собравшиеся в Брюсселе в 1911 году, не доказывали теоремы, а пыта-
пытались угадывать квантовые формулы, стараясь найти те случаи, когда и
классическая физика, хотя бы частично, работала, и квантовые условия
были достаточно просты. Например, рассматривали те случаи, когда
применима (на современном языке) «квазиклассика». Потом, когда
появилась последовательная нерелятивистская квантовая механика, их
действия получили оправдание и их успех стал понятен.
Ф Я с трудом понимаю, как в таких ситуациях можно быть в чем-
то уверенным. Почему, скажем, ситуация в КТП не может оказаться
такой, как в старой квантовой теории, то есть существует какой-то
алгоритм, который по каким-то случайным причинам работает, но на
самом деле то, что обсуждают Ферми, Бор и Розенфельд и другие, это
все артефакты, а реальность выгладит совсем иначе.
Ш Решение вопроса о том, может ли теория еще содержать приме-
примеси артефактов или она «описывает саму действительность» один к од-
одному и может быть сопоставлена с наблюдаемым на опыте, хотя и
доступно рациональному рассуждению, но трудно. Здесь вполне воз-
возможны ошибочные суждения. Скажем, сейчас мы думаем, что вакуум
вблизи ядра непосредственно прощупывается мюоном. Какой уж тут
артефакт? [2]. Теория, кстати, предсказывает, что начиная с некоторых
Z поляризация вакуума приведет к скачкообразному изменению Z. Вы
вносите ядро с зарядом Z, а поляризованный вакуум экранирует его до
Z- 2.
Ф Почему Z - 2?
Ш Это длинный сюжет. Автор работы, о которой я говорю, недавно
написал сравнительно доступное изложение вопроса. Вы можете про-
прочесть обо всем этом [3].
Диалог 10 79
ф Я так и не получил ответа на вопрос, почему Бьеркен и Дрелл
не включили в свой учебник того, о чем говорится у Бора и Розенфель-
да и т. д.?
М Вы должны согласиться с фактом, что теоретики так или иначе
имеют дело с противоречивыми теориями, но как-то обходят противо-
противоречия. В формально-логическом плане их обсуждать невозможно [4].
Они все же обсуждают их на языке мысленных опытов. Мысленные
эксперименты помогают им понять смысл их утверждений лучше, чем
реальные опыты. В создании и формулировке теорий они всегда играли
большую роль. Посмотрите на Галилея, создавшего механику, — он все
время занимался мысленными опытами. Хорошо известна роль мыслен-
мысленных опытов Маха и самого Эйнштейна в создании общей теории отно-
относительности. И в создании квантовой теории они играли очень большую
роль, только они скрыты в литературе. Например, адиабатические кван-
квантования старой квантовой механики впервые появились в мысленном
опыте, обсуждавшемся Эйнштейном и Лоренцом на первом Сольвеев-
ском конгрессе.
Я вообще думаю, что мысленный опыт — это примерно та еди-
единица «правополушарного мышления», которая отвечает дедуктивному
выводу «левополушарного мышления». Вы, вероятно, слышали об от-
открытиях Сперри в его экспериментах с расщепленным мозгом. Эффек-
Эффективно работающий целостный мозг строит образы, избегая механичнос-
механичности логики, и поверяет логикой соответствие образной картины с дей-
действительностью, чтобы не впасть в сон разума. К сожалению, в моногра-
монографии и учебники все это не попадает, и понятно почему. Успех теории
измеряется ее способностью описать не мысленные, а реальные опыты.
Книги с некоторого момента излагают расчетную схему теории (скажем,
КЭД) и сопоставляют вычисления с опытом. Потом и это перестают
делать. Узнать из учебника теоретической механики даже то, с какой
точностью механика описывает, например, движения планет, невозмож-
невозможно. Дело в том, что когда уже «все знают», что механика верна, то уже
никого не интересует, с какой точностью она верна.
Ш Ну нет. Ведь когда поняли, что небесная механика не описывает
процессию перигелия Меркурия, то это очень волновало, об этом даже
писали в энциклопедиях [6]! Об этом все знали.
М Покажите мне учебник механики, в котором сказано что-то про
прецессию Меркурия и вообще о том, как и с какой точностью меха-
механика позволяет рассчитать движение хотя бы больших планет, где нет
релятивистской процессии.
Ш К сожалению, я не знаю такого учебника. «Жизнь коротка, и
искусство обширно». Искусство писания учебников прогрессирует очень
медленно.
80 Диалоги
М Цитата, которую вы привели, кажется, кончается словами «мы
не можем ни о чем судить» [7], а вы настаиваете на том, что вы знаете,
что КЭД описывает факты и только факты!
Ш Что делать: мы не знаем, а все равно должны действовать, чтобы
действовать успешно, мы должны придерживаться тех предположений,
которые кажутся самыми правдоподобными. Конечно, всегда возможны
ошибки.
Ф Я очень хотел бы видеть книгу по квантовой теории поля, где
все мысленные опыты, позволяющие понять, что это, собственно, за
теория, были обсуждены. Кроме того, я хотел бы прочесть в ней, до
какой точности доведены расчеты разных величин. Сами методы расче-
расчетов меня не очень интересуют, Ясно, что если вы хотите считать 103
членов, то это сложная затея. С меня хватит простейших случаев.
М Да, это была бы полезная книга.
Ш Стоит ли ее писать? Наука быстро меняется.
Ф Всегда она меняется быстро?
Ш Пожалуй, нет. Начиная с Ньютона постепенно выкристаллизова-
выкристаллизовалась первая парадигма теоретической физики: механика центральных
сил. Она господствовала очень долго. Если вы взгляните речь Пуанкаре
в Сент-Луи 1904 года [8], то увидите, что он осознанно утверждает, что
теоретическая физика работает в рамках этой парадигмы, хотя и призна-
признает, что ее, возможно, придется покинуть. Недостатки парадигмы ощу-
ощущались многими. Мне кажется, что Мах, когда писал свои «Механику»,
«Учение о теплоте» и посмертно изданную «Оптику», хотел написать не
философские книги и не историю физики, а курс физики, в котором бы
парадигма критически обсуждалась и анализировалась. Обращение к
истории было именно способом вспомнить те мысленные опыты и
логические ходы, о которых молчали учебники того времени.
ТА Ну и как у него получилось, был ли опыт удачным?
Ш И да, и нет.
Ф Почему да и почему нет?
Ш Скорее не почему, а в чем да и в чем нет. Мах неплохо чувство-
чувствовал недостатки механики Ньютона, и его критический анализ, как хо-
хорошо известно, был полезен Эйнштейну.
М Забавно, что как раз любимая идея Эйнштейна, которую он
почерпнул из «Механики», не осуществилась. Нет «принципа Маха».
Ш Не так уж и забавно. Главным в принципе Маха было на самом
деле правильное наблюдение, что силы инерции и силы тяготения очень
похожи. Обрабатывая этот принцип эквивалентности, но уже в реляти-
релятивистских условиях, с помощью мысленных опытов Эйнштейн нашел
Диалог 10 81
некоторые эффекты ОТО и, главное, увидел, что нужно перейти к
римановой геометрии. То, что появившееся в теории поле тяготения
определяется не только источниками (тяжелыми телами), но и краевы-
краевыми и начальными условиями, оказалось неважным.
М Ну хорошо, а где все-таки область «нет»?
Ш «Нет» — почти все остальное. Мах был не теоретик, собственно
теоретической физики в его время и не было как сложившейся дисцип-
дисциплины, а была «математическая физика», а это не совсем одно и то же,
или даже совсем не одно и то же. Мах был экспериментатор, даже
хороший, но в некотором смысле «бытие» здесь определяло сознание.
Физика XIX века, в той степени, в какой она обладала самосознанием,
мне кажется наивно феноменологической и описательно-эмпирической,
носителем этого сознания и был Мах. Роль теоретического конструи-
конструирования моделей он не понимал и, может быть, иногда просто и не
полностью знал ту теоретическую физику, которая уже существовала.
В результате он отрицал существование атомов и вел в каком-то смысле
ожесточенную борьбу с атомной теорией. Таким образом, он имел со-
совершенно ошибочную картину и всей теории физики, и ситуации его
времени.
М Ну, хорошо. Маху не удалось сделать критический и историчес-
исторический анализ парадигматической ситуации конца века, а вам кажется, что
сейчас он не нужен, так как скоро парадигма квантовой теории поля
сменится?
Ш Нет, она сама не сменится. Как раз сейчас, если не историчес-
исторический, то критический анализ нашей парадигмы был бы очень своевреме-
своевременен. Последнее десятилетие было поразительным успехом КТП, пара-
парадигма оказалась гораздо более эффективной, чем ожидалась. Но мне
иногда кажется, что это, так сказать, пиррова победа, парадигма дошла
до своих границ, может быть, даже их перешла.
Часть II
СТРУКТУРА ТЕОРИИ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ
Go, go, go, said the bird:
human kind cannot bear very much reality.
T.S.Eliot, Burnt Norton
1. Принципы изложения
Цель этой части книги — предоставить материал для экспликации
понятия «формального существования элементарных частиц». Поэтому на
время мы принимаем следующую точку зрения: понятие элементарной
частицы приобретает смысл только в рамках определенной теоретической
системы (парадигмы), используемой для описания природы.
Сегодняшней парадигмой является квантовая теория поля (КТП).
В ее рамках элементарные частицы суть кванты полей, которые мы по
экспериментальным или теоретическим причинам признаем за основные.
Математический формализм теории включает выбор лагранжиана, инвари-
инвариантного относительно калибровочных симметрии и перенормируемого, что
обеспечивает, в принципе, вычисление основных величин: сечений, спек-
спектров, вероятностей распадов и пр. Всякое описание мира, предлагаемое
физикой, является приближенным и феноменологическим. Однако со
всяким проникновением на очередной уровень «элементарности» связыва-
связываются надежды на углубление характера нашего знания, а не просто на
увеличение его количества. Законы следующего уровня предстают в качестве
более фундаментальных по отношению к предшествующим. В математи-
математизированной теории зачастую оказывается, что переход к теории нового
уровня влечет полную смену основных математических структур, ис-
используемых в описании. Суть специальной теории относительности не
в том, что она предлагает систематический способ вычисления малых
релятивистских поправок к классическим законам движения, а в том,
что она вводит группу Пуанкаре в качестве основной группы простран-
пространственно-временных симметрии физики. Главные принципы квантовой
теории — описание состояний как векторов в бесконечномерном гиль-
гильбертовом пространстве и представление измеримых наблюдаемых дей-
действующими в этом пространстве эрмитовыми операторами — вообще не
имеют корней в предшествовавшей парадигме.
Однажды осознанная в таких концепциях, как «принцип соответ-
соответствия» Бора, сама архитектура иерархии приближенных описаний стано-
становится частью современной теории. В эмпирическом плане она может
сопоставляться с иерархией характерных масштабов рассматриваемых про-
процессов. Понятие элементарности в применении к наблюдаемым явлениям
становится относительным: то, что представляется элементарным в данном
масштабе энергии, обнаруживает внутреннюю структуру при более тонком
86 Структура теории элементарных частиц
разрешении. Теоретическая модель «элементарности» при этом может ока-
оказаться более устойчивой. Одна и та же алгебра фоковского пространства
описывает элементарные возбуждения в системах разной природы, и фотон
как элементарная частица на каком-то уровне рассмотрения эквивалентен
фонону — коллективному возбуждению колебательных степеней свободы
кристаллической решетки, поскольку описывается той же математикой.
Противопоставление формального и реального существования воз-
возникает при интерпретации теории, синтаксис которой требует введения
«идеальных элементов» (а таковы все глубокие теории) и не совпадает с
«синтаксисом событий», каким он представлялся в свете предыдущей
парадигмы.
В соответствии с целью книги, КТП описана ниже не как рабочий
инструмент теоретика, а как объект рассмотрения. Предполагается, что
известные сейчас физические принципы окажутся имеющими более ши-
широкую область применимости, чем конкретные теории. Поэтому мы пытаемся
прояснить систему основных понятий в их современной математической
форме и сформулировать постулаты об их взаимоотношениях с реаль-
реальностью. Естественно, что многим при этом мы жертвуем, в первую
очередь, рабочим вычислительным аппаратом.
Наше изложение в основном синхронично; в этой части упомяну-
упомянуты лишь некоторые смены концепций, относящиеся к последним двум-
трем десятилетиям. Отобрано то, что представляется ценным сейчас. Можно
было бы написать увлекательную «Историю лагранжиана», проследив, как
изменялось теоретическое содержание этого ключевого понятия КТП,
зародившегося задолго до КТП. Но здесь нам важно лишь современное
семантическое поле идеи о лагранжиане. То же относится к структурам
пространства-времени, симметрии и т.п.
Повторим в заключение: наш предмет здесь — элементарные ча-
частицы в свете сегодняшней теоретической парадигмы. Дополнительная
точка зрения, согласно которой понятие элементарной частицы есть ин-
инвариант относительно смены парадигм, должна быть обсуждена отдельно,
это — аспект идеи реального существования.
2. Элементарные частицы и взаимодействия:
классификация
2.1. О классификации. Таблицы
В этом разделе обсуждается систематика элементарных частиц и
взаимодействий, представленная несколькими таблицами, диаграммами и
комментариями к ним. В естественных науках классификация играет
особую роль, будучи пограничной областью между теорией и эмпирией
и областью их активного взаимодействия. Каждая таблица, каждый гра-
график есть одновременно код эмпирических данных и код теоретических
структур, посредством которых эти данные осмысляются.
Занимаясь сегодняшним состоянием теории элементарных частиц,
мы интересуемся больше вторым аспектом, чем первым. Поэтому табли-
таблицы построены таким образом, чтобы их дешифровка уже позволяла
обозначить некоторые существенные ходы теоретической мысли. Так, из
всех эмпирических данных адронов отобраны два ??/C)-мультиплета; в
примеры диаграмм фундаментальных взаимодействий включена вершина
одной из гипотетических моделей великого объединения и пр. Заимствуя
терминологию лингвистов, можно сказать, что в табличном и графичес-
графическом материале сознательно смешаны несколько разных уровней представ-
представления в попытке передать внутреннее движение материала. Все же к
самому материалу мы подходим здесь преимущественно с описательной
стороны, а более систематической теорией займемся позже.
В таблицах и объяснениях к ним зафиксирована парадигма, со-
согласно которой мир построен из элементарных частиц материи — квар-
кварков и лептонов, которые участвуют в четырех типах взаимодействий —
сильном, электромагнитном, слабом и гравитационном.
Материальные частицы имеют спин 1/2 и подчиняются статистике
Ферми—Дирака. Они являются квантами соответствующих фермионных
полей. Во взаимодействиях они выступают как точечные образования, не
имеющие внутренней структуры, хотя имеющие внутренние степени сво-
свободы, такие, как цвет кварков.
Взаимодействия переносятся квантами калибровочных полей, ко-
которые имеют спин 1 (глюоны, фотоны, промежуточные бозоны) или
2 (гравитоны) и, стало быть, подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна.
Эти поля аналогичны электромагнитному полю по своему действию на
Структура теории элементарных частиц
внутренние степени свободы частиц: они осуществляют вращение во
внутреннем пространстве, так же, как электромагнитное поле вращает
квантовомеханическую фазу. Отличие состоит в том, что соответствую-
соответствующие группы вращения для слабого и сильного взаимодействий неком-
некоммутативны. Сверх того, симметрии, связанные с этими группами, могут
нарушаться, и один из важнейших теоретических механизмов нарушения,
механизм Хиггса, предсказывает существование частиц нового типа —
бозонов Хиггса с большой массой.
Бозоны Хиггса и гравитоны экспериментально до сих пор еще не
обнаружены.
Нынешняя картина классификации и ее теоретические основы
осознаются сообществом физиков как переходный этап к теории следу-
следующего поколения. Эта теория призвана объединить все взаимодействия
(или хотя бы все, кроме гравитационного) в единой схеме. Объединенное
взаимодействие может управляться одной группой симметрии и одной
константой связи. В качестве иллюстрации мы систематически используем
простейшую ?<УE)-модель.
Представление о «константе связи», на котором, в частности, ос-
основано упорядочение взаимодействий по силе, является довольно сложным
теоретическим конструктом, к которому мы еще вернемся. Сейчас доста-
достаточно сказать, что в схеме квантовой теории поля константы связи
оказываются переменными, они зависят от расстояний или, на другом
языке, от переданных импульсов, характерных для рассматриваемого про-
процесса. Если позволить себе смелую экстраполяцию, различие значений
констант связи при доступных современным ускорителям энергиях сходит
на нет на расстояниях ~ 109 см (~ Ю15 ГэВ), где кварки и лептоны
«выглядят одинаково» и взаимодействия становятся неразличимыми.
Постулирование группы симметрии, более широкой, чем наблюда-
наблюдаемая, и механизмов ее нарушения приводит к предсказанию новых частиц,
новых взаимодействий, новых типов реакций. В частности, симметрия
между кварками и лептонами предсказывает возможность распада протона
и, стало быть, нестабильность материи.
В такой концептуальной схеме классификация — это, в первую
очередь, различение контуров симметрии, скрытой или нарушенной, иными
словами, симметрии законов, которая скрыта или нарушена в явлениях.
Читатель, успешно преодолевший часть I книги, как мы надеем-
надеемся, не сомневается в том, что в точном естествознании мотивы, по
которым теория принимается научным сообществом, радикально отлича-
отличаются от мотивов, по которым теории принимаются в научном сообществе
математиков.
Во втором случае теория есть четкий набор постулатов, описыва-
описывающих фрагмент «реальности», существующей в платоновском мире идей.
По причинам, которые после критики Гёделя следует, по-видимому, счи-
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 89
тать непостижимыми, предполагается, что этот набор постулатов непроти-
непротиворечив. Теория есть совокупность следствий, вытекающих из списка
постулатов. В идеале теоремы доказаны, и доказательства доступны зна-
знающим предмет. Ситуация с классификацией простых конечных групп
показывает, что этот аспект поведения научного сообщества математиков
также есть идеализация.
Физик-теоретик редко заботится о предъявлении списка постула-
постулатов своей теории по причинам, которые обсуждались на предыдущих
страницах.
Непротиворечивость теории контролируется мысленными опытами,
они же играют важную роль в процессе создания самой теории. Теории
в узком смысле (исключающем, скажем, теорию Онсагера фазовых пере-
переходов в модели Изинга) должны описывать некий фрагмент реальности
мира измеримых явлений, в конечном счете Ш должен вычислить вели-
величины, измеримые на опыте. Если в данном фрагменте реальности полу-
получено достаточное число совпадений результатов вычислений с результатами
наблюдений, желательно с максимально большим числом знаков и мини-
минимальным числом параметров теории, то теория принимается как истинная
коллективной интуицией сообщества физиков. При этом логические про-
противоречия в теории могут и оставаться, как было в «старой» квантовой
теории 1900-1925 годов; предполагают, что их удастся устранить потом.
Именно в таком зыбком мире живет Ш, и именно поэтому для него так
важны числа.
В мире современных теорий чемпионом является КЭД, понима-
понимаемая как теория фотонов и заряженных лептонов. В принципе можно
выбрать фрагмент (А), описывающий мир (е+, е~, у), который с извес-
известной и контролируемой точностью может быть изолирован от мира (В):
(ц+, ц~, е+, е~, у), мира (С): (т+, т~, ц+, ц~, е+, ег, у) и, наконец, с очень
большой точностью от мира адронов.
В результате в КЭД (В) имеется три параметра те, т^ и а.
Последний, как мы думаем, более «понятен». Вопрос «почему» может быть
извлечен из раздела 3 «Квантовая кинематика». Массы те, т^ известны
соответственно с пятью знаками, а — с шестью.
Существует стандартный источник сведений о численности мира
элементарных частиц. Это обзор «Review of Particles Properties», издаваемый
международной группой Particle Data Group, число участников которой
около 30; оттуда и взяты приведенные ниже сведения". Из них следует
(предполагая, что КЭД — хорошая, хотя, может быть, и содержащая
противоречия теория), что погрешность расчетов в КЭД ~ 10~5. В действи-
действительности из некоторых параметров можно изгнать те, тогда погрешность
11 Данные в таблицах обновлены по последнему изданию таблиц: Review of
Particle Properties. Phys. Rev. D, June 1996. — Примеч. ред.
7 — 2998
90 Структура теории элементарных частиц
будет 10 6. Известен один пример, когда нехитрые ухищрения, частично
словесные, доводят погрешность до 10~9 (для магнитного момента элек-
электрона). Более подробно ситуация в КЭД изложена в очень четко напи-
написанной небольшой книжке: М.А. Смондырев. «Квантовая электродинами-
электродинамика и опыт». М.: Знание, 1984. За прошедшие после ее выхода годы
ситуация не изменилась; следующие знаки в физике даются так же
тяжело, как последние сотни метров на Эвересте.
Ситуация в полной «стандартной теории», описывающей электроди-
электродинамику, слабое взаимодействие и сильное взаимодействие, намного хуже.
Грубо говоря, в той степени, в какой речь идет об адронах, борьба идет
за первый знак и неопределенность порядка 2 — так, масса глюона 0++
колеблется в разных расчетах от 1 ГэВ до 2 ГэВ, медленно перемещаясь
в окрестность 2 ГэВ. Это не противоречит тому, что для лептонных
процессов точность вполне высока и определяется знанием GyKak и т для
вычисления т^ (смотри конец раздела 3 «Квантовая кинематика»).
В «Review of Particles Properties» числа приводятся в виде т =
= 105,65932 ± 0,00029 или в виде а = 1/137,03604A1). В последнем случае
A1) соответствует (±)-неопределенности в двух последних знаках. При-
Приводится значение одного стандартного отклонения по Гауссу ст. Статис-
Статистическая процедура увязки всех данных сложна. Она описана в книге:
В. N. Taylor, W. H. Parker, D. N. Langenberg. The Fundamental Constants and
Quantum Electrodynamics12. Следует помнить, что шансы выхода за ст, 2ст
и Зст суть 1/2,15, 1/21 и 1/370; таким образом, шанс, что при повторном
воспроизведении всей ситуации опыта число выйдет, скажем, за Зст, есть
малая величина 1/370, но, конечно, это все же далеко не нуль.
Поскольку наши таблицы должны служить только для ознаком-
ознакомления читателя с фактами физики частиц, то мы иногда округляем числа
так, чтобы приводимые знаки можно было считать достоверными.
Читатель должен быть также предупрежден, что ??/D)-симметрии
адронов в природе нет, так как масса с-кварка много больше массы
конфайнмента Л ~ A00—200) МэВ. Трехмерные весовые диаграммы бла-
благодаря своей красоте дают средство легко запомнить, какие возможны
частицы, построенные из и-, d-, s-, с-кварков.
2.2. Частицы
Основные данные о частицах указаны в табл. 1—3. В табл. 1 для
каждой частицы приведены ее обозначения (иногда название) и характерис-
характеристики, которые можно считать непосредственно измеряемыми: масса, среднее
время жизни, основные моды распадов и их вероятности (в процен-
процентах), заряд. Кроме того, указаны квантовые числа, такие как / (спин),
12 О русском переводе этой книги смотри на с. П. — Примеч. ред.
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 91
ЛЕПТОНЫ
Таблица 1
Q = -1
Элементарная
частица
Электрон
е~
Мюонц—
Тау-
лептонт—
Масса,
МэВ
0,5
105
1784C)
Время
жизни
>2!0плет
2-Ю-*с
3-IO"uc
Распад
evv
tiw 18A)%
ew!6(!№
hv 48B)*
3Av 17A)*
(А — адрон)
B = 0 (нейтрино)
Масса
vt: < 7 эВ
vu: 0,27 МэВ
v,: < 35 МэВ
АД РОНЫ
Октет мезонов: В = О, У = 0"+
Элементарная
частица
л*
п>
к±
Масса,
МэВ
139,5
134,9
493,7
Время
жизни
2,6-10-8 с
0,8-10-8 с
1,2-10-8 с
Распад
M+v
уу (99*0
H+v F4%)
л*л" B1%)
Заряд
Q
±1
0
+ 1
Изоспин
Л /j
1, +1
1, 0
1/2, +1/2
Гипер-
зирш
0
0
±1
Стран-
Странность
0
0
+1
Известны еще 15 каналов распада К±
'V
497,7
497,7
0,9-10-'» с
5 10"' с
л*л" F9*)
2it° C1%)
*Vy @.2%)
л±е±у C9%)
л±ц+у B7*)
Зл» B1%)
л*л"л" A2%)
0
0
1/2
1/2
Оставшиеся каналы - 1%
rf
549
0,7-10-'" с
УУ C9*)
Зя" C2*)
л*л"л B4%)
Имеются другие
0
0
каналы
0
0
Элемен-
Элементарная
частица
Протон р
Нейтрон я
Л
I*
г
?-
="
=¦
Масса,
МэВ
938,2
939,5
115,6
1189
1192
1197
1314,9
1321,3
Октет барионовг. В =
Время
жизни
> 1032 лет
900 с
2,6- !0-'° с
0,8-10-'" с
7,4-10-» с
1,5-10-'" с
2,9-10-"' с
1,6-10-" с
Распад
-
pev 100%
/т- 64%
ял" 36* и др.
К 52%
/т* 48* и др.
Лу 99*
Ле*е-0,5%
тт 100% и др.
Л*" 100* и др.
Лл~ 100* и др.
1, J* =
Заряд
Q
1
0
0
1
0
— 1
0
-1
1/2*
Изоспин
1 h
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
1/2
-1/2
0
1
0
— 1
1/2
1/2
Гипер-
Гиперзаряд
Y
1
1
0
0
0
0
-1
-1
Стран-
Странность
0
0
— 1
-1
— 1
-]
2
-2
92 Структура теории элементарных частиц
В (барионное число) и др. Каждая клетка таблицы, конечно, не отражает
прямо какую-то эмпирическую данность, а сама по себе является лишь
краткой записью результата теоретической обработки большого количества
наблюдений, в том числе весьма непрямых. Если мы позволяем себе в
этом месте считать информацию о времени жизни и модах распада
исходным эмпирическим материалом, то лишь потому, что дальше пред-
предметом разбора являются намного более абстрактные концепции.
Табл. 1 содержит не все экспериментально наблюденные частицы:
из большого числа известных адронов выбраны лишь два мультиплета
мезонов и барионов; сверх того, для лептонов и барионов не указаны
античастицы (на них указывает тильда в обозначении). Наконец, мы не
приводим частиц, являющихся переносчиками взаимодействий, -у, И-*,
Z" и гравитон.
Прокомментируем содержащийся в таблицах материал.
Масса. Масса частиц указана в энергетических единицах (в со-
соответствии с формулой Е = тс2), единицей энергии служит электрон-
вольт (эВ).
В физике элементарных частиц удобно пользоваться системой
единиц, в которой скорость света с и постоянная Планка h равны единице.
При этом энергия измеряется в электрон-вольтах, один электрон-вольт —
это энергия, приобретаемая частицей с зарядом электрона при прохожде-
прохождении разности потенциалов 1 В. Соотношение для энергии покоя частицы
Е = тс1 в системе й — с = 1 имеет вид просто Е = т, и масса измеряется
в эВ, МэВ и ГэВ A МэВ = 106 эВ, 1 ГэВ = 10' эВ). Импульс р также
измеряется в эВ, его значение есть значение величины рс, измеренное в эВ.
Основные соотношения квантовой механики — это связи между
частотой колебаний v, энергией частицы, импульсом и длиной волны Я.
В обычных единицах эти соотношения имеют вид ? = to и Х = h / р
или X, = (he) /{рс), где X = "k/{2%), со = 2лу. В системе h = с = 1 они
принимают вид X, = \/р и Е = со. Таким образом, в этих единицах есть
только одна размерная величина — энергия. Величины, имеющие размер-
размерность времени и длины, имеют в такой системе единиц размерность Е~х. Для
того, чтобы выразить их в секундах или сантиметрах, надо умножить их
на Ь и he, соответственно, выраженных в единицах МэВ-с и МэВсм.
Числовые значения этих переводных коэффициентов равны 2-10"" МэВсм
и 0,7-10~21 МэВ-с. Например, так называемая комптоновская длина волны
электрона Хе = h/{mc) вычисляется в этих единицах как
X, = 2 • 10"" (МэВ-см)/0,5 МэВ = 4-101 см.
Старинная грубая классификация по массе отражена в этимологии
названий: лептоны (легкие), мезоны (средние), барионы (тяжелые). Одна-
Однако уже тау-лептон массой 1784 МэВ показывает, что масса может быть
большой и у слабовзаимодействующей частицы. По этому последнему
признаку тау и относится к лептонам. На нынешнем уровне разрешения
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 93
лептоны выступают как бесструктурные частицы, тогда как адроны явля-
являются связанными системами кварков. В открытии этого обстоятельства
большую роль сыграл тот факт, что в спектре масс адронов обнаружива-
обнаруживаются некоторые регулярности, в частности, есть группы адронов, близких
по массе, — массовые мультиплеты. Таков октет барионов с массами от
938,27 до 1321,32 МэВ. По аналогии с атомной спектроскопией можно
предположить, что этот мультиплет поддается описанию в кинематических
терминах как восемь вырожденных состояний одной системы, расщеплен-
расщепленных относительно малым возмущением. Техническое название соответ-
соответствующей математической схемы — 5ЧУC)г-симметрия; здесь цифра 3 —
это три кварка и, d, s из табл. 2, которые в рамках этой приближенной
симметрии считаются эквивалентными; индекс / — это flavour (аромат),
общее название для видов кварков. Если не различать лишь кварки и, d,
то в мультиплеты объединяются (р, п) и (тс+, чг, я0): они отвечают
изоспиновой симметрии SUB). В следующем разделе все это будет объяс-
объяснено подробнее. Массы кварков — теоретически сложное понятие (из-за
их отсутствия в свободном виде); одно из определений дает ти= 4 МэВ,
от, ? 7 МэВ, ms = 150 МэВ.
Столбец масс нейтрино — дань новым веяниям. Масса ve весьма
мала, и до последнего времени считалось, что нуль — наиболее правдо-
правдоподобное значение; эксперимент дает оценки сверху. Сейчас широко
обсуждается гипотеза, что эти массы ненулевые и, более того, имеется
массовая матрица, обуславливающая осцилляции как между нейтрино и
антинейтрино одного типа, так и между нейтрино разных типов.
Время жизни. Кроме электрона, протона и, возможно, нейтрино,
остальные элементарные частицы быстро распадаются после их рождения
в ускорителях или космических лучах. Распад обычно хорошо описывается
экспоненциальным законом ехр(-//х), где т и указано в таблицах как
среднее время жизни.
Характерный ядерный масштаб времени ~0,510~23 с — это время, за
которое свет пробегает комптоновскую длину волны пиона. В этих единицах
все перечисленные частицы являются весьма долгоживущими. Среди ад-
адронов, которые мы опустили, есть гораздо менее стабильные (со, р, ... );
прежде их называли резонансами. Теперь ясно, что вся систематика ад-
адронов и их характеристики — это классификация возбужденных состоя-
состоянии кварковых систем, и она должна сводиться к более фундаментальному
уровню взаимодействий между кварками, глюонами, лептонами и пр.
Многие распады можно отнести за счет одного из видов взаимо-
взаимодействий: так, распад мюона ц" -» e'\ze\^ происходит за счет слабого
взаимодействия, в других случаях в распаде участвует несколько взаимо-
взаимодействий; скажем, в распаде я0 -» 2у — электромагнитное и сильное
взаимодействия. Сила взаимодействия коррелирована со скоростью распа-
распадов: слабые распады происходят медленнее всех.
94 Структура теории элементарных частиц
Замечательно интересно ведут себя нейтральные каоны — члены
октета мезонов. В реакциях, обусловленных сильным взаимодействием,
вроде р + р-*Кй + 1Г +р1_онм рождаются в состояниях К" и К0 с квар-
ковым составом ds и ds, соответственно. Определенными массами и
временами жизни в вакууме обладают суперпозиции (линейные комбина-
комбинации) этих состояний K°s и K°L (короткоживущие и долгоживущие).
Необходимость рассматривать суперпозиции частицы и античастицы, уни-
уникальная для каонов, связана со слабыми процессами, которые вызывают
переходы s -> d . Наконец, имеются еще две выделенные суперпозиции
К°[ и К°2, обладающие определенной С/'-четностью (комбинация зарядо-
зарядового сопряжения С и пространственной инверсии, т. е. отражения в
зеркале Р). В состоянии К возможны распады на л+л~ и 2л° с сохра-
сохранением СР, распад Кй2 -> 2л уже требует несохранения СР.
Квантовые числа и законы сохранения. Изучение списка воз-
возможных распадов, а также реакции, у которых в начальном состоянии
имеется больше одной частицы, позволяют установить кинематику ча-
частиц в широком смысле слова, включая внутренние степени свободы.
При этом применяется постулат, согласно которому все процессы, не
запрещенные кинематически, могут происходить; динамика же определя-
определяет их вероятности. Простейшим выражением кинематических закономернос-
закономерностей служат законы сохранения. В применении к пространственно-времен-
пространственно-временным степеням свободы они выглядят так. Частица в свободном состоянии
характеризуется своим вектором 4-импульса к (в каждой инерциальной
системе координат его пространственные компоненты соответствуют 3-им-
пульсу, временная — энергии). В любой реакции a + b-*c + d+...
суммы 4-импульсов начальных и конечных частиц должны совпадать:
ко+ к„ + ... = кс + kd + ... .
Поскольку ко2 = т2 (квадрат массы частицы), отсюда легко
вывести, например, что любая частица может распадаться только
на более легкие. Вместе с законом сохранения электрического заряда
Qa+ Qb = Qc + Qd + ... это объясняет стабильность электрона: легче его
лишь нейтральные частицы — фотон и нейтрино. Если приписать всем
кваркам и, d, s, с, b, t барионный заряд В = 1/3, антикваркам —
барионный заряд В = -1/3 и лептонам — В = 0 и вычислить В для
адронов, считая, что В — число аддитивное, то окажется, что во всех
известных реакциях барионный заряд также сохраняется. Постулировав
этот закон сохранения как универсальный и добавив его к законам
сохранения к и Q, мы объясним стабильность протона и, в конечном счете,
наблюдаемого нами мира. Экстраполяция вверх первых ступенек лестницы
нарушенных симметрии SUB\ с SU{i)f с ... и постулирование группы
симметрии, относительно которой кварки и лептоны равноправны, при-
приводят к нарушению закона сохранения барионного заряда и распаду
протона за время > 1031 лет. Чтобы обнаружить этот эффект, следует
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 95
детектировать несколько распадов протона в год в нескольких сотнях тонн
вещества A031 нуклонов * 16 тонн).
Аналогичные рассуждения привели в свое время к введению та-
такого аддитивного числа, как странность S. Например, отсутствие быстрых
электромагнитных распадов типа Z0 ->р + у, К° ->2у и т. п. удалось объяс-
объяснить, приписав адронам соответствующие значения S и постулировав его
сохранение в электромагнитных и сильных процессах.
Сейчас эти феноменологические квантовые числа: изоспин, стран-
странность, очарование,... непосредственно интерпретируются в кварковой модели.
Их квантово-кинематическую интерпретацию мы приведем позже.
К таблице 2. Эта таблица отражает следующий уровень теорети-
теоретического обобщения: за исключением фотона и лептонов, она перечисляет
частицы, которых не было в табл. 1 и которые имеют существенно иной
экспериментальный статус. Так, кварки (и глюоны) экспериментально
проявляют себя как партоны в процессах глубоко неупругого рассеяния,
скажем, электрона на протоне. В таком процессе передача импульса и
общая полная энергия вторичных адронов в системе центра масс должна
быть 3> 1 ГэВ (~ 10 массы протона); тогда оказывается, что лептон
взаимодействует не с протоном, как целым, а с его точечной составля-
составляющей, несущей часть 4-импульса протона; эта составляющая называется
партоном. История постепенного отождествления теоретических кварков
(и глюонов) с экспериментальными партонами является очень интересной
иллюстрацией к проблеме формального/реального существования.
Частицы из табл. 2 иногда называют «фундаментальными» в от-
отличие от «элементарных».
Барионы и мезоны, представленные в табл. 1, воспроизведены в
табл. 26 вместе с их кварковым составом. Эти барионы составлены из
кварков и, d, s: мезоны — из двух, барионы — из трех. Возможности
такого наивного представления ограничены; даже без учета пространствен-
пространственно-временных, спиновых и цветовых степеней свободы, л° (и г\°) прихо-
приходится считать суперпозицией состояний, состоящих из кварка и антикварк
двух (или трех) сортов. Наконец, нуклонные состояния имеют заметную
примесь виртуальных кварк-антикварковых пар («море» кварков, в отли-
отличие от валентных кварков, о которых речь шла выше).
Кварк с обнаружен в составе очарованных мезонов Da, D+, F+
(они впервые фигурируют у нас на последней диаграмме табл. 3) с
кварковым составом cu,cd,cs и в составе знаменитой частицы J/y «со
скрытым очарованием» ее. Кварк b вместе с Ъ составляет ипсилон-час-
ипсилон-частицу, мезон массой около 9,4 ГэВ. Кварк t еще не открыт13.
В 1995 году /-кварк был открыт, его масса равна 175 ГэВ. — Примеч. ред.
96
Структура теории элементарных частиц ¦
Таблица 2
а — Кванты фундаментальных полей материи (/ = 1/2)
Пептоны
Первое
поколение
Второе
поколение
Третье
поколение
v.
е
V
1*
Ц
vt
т
Q
0
-1
0
-1
0
-1
Кварки (У
и
d
с
S
t
Ь
Q
2/3
-1/3
2/3
-1/3
2/3
-1/3
= 1/2+, В =
/
1/2
1/2
0
0
0
0
h
1/2
-1/2
0
0
0
0
1/3)
Y
1/3
1/3
-2/3
-2/3
0
0
S
0
0
0
-1
0
0
с
0
0
1
0
0
0
б — Переносчики взаимодействия
Кванты калибровочных полей
у (фотон; электромагнитное взаимодействие)
g (глюон; сильное взаимодействие)
W±, Z° (промежуточные бозоны; слабое
взаимодействие)
гравитон (?) (фавитационное взаимодействие)
Другие частицы
Н (хиггсовский бозон)
X, К (бозоны)
фавитино, глюино, фотино, ...
(J = 1);
(/= 1);
(J = 1);
(J = 2).
(/ = 0) (?)
(J = 1) (?)
(/ = 3/2, 1/2) (?)
в —
Кварковый состав адронов
Октет барионов
Р
п
Л
z+
z-
-~
uud
udd
uds
uus
uds
dds
uss
dss
(udu — duu)/^2
(uud — dud) /VI
(luds — 2dus + sdu — dsu +
usd — sud)/-W.
(usu — suu)/42
(usd + ds'u — sud — sdu)/2
(dsd — «to)/v2
(uss — sus)/^2
(dss - sds)/Ji
Октет мезонов
я+
я0
*-
К+
К0
—5"
К
к~
ud
(и и - d d) I 4i
du
us
d~s
sd
su
(и и + d d) / V6
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 97
Первоочередная теоретическая проблема, связанная с кварками и
глюонами, — объяснение их удержания (конфайнмента) или, точнее,
удержание цвета, степени свободы, отвечающей за сильные взаимодейст-
взаимодействия. Природа этой силы такова, что она эффективно уменьшается на
малых расстояниях. Это свойство «асимптотической свободы» теоретически
понятно.
Сама организация табл. 2а — деление лептонов и кварков на
поколения, сопоставление шести известных лептонов с шестью кварка-
кварками, — отражает некоторые симметрии слабых, электромагнитных и
сильных взаимодействий, отчасти уже обнаруженные, отчасти предполага-
предполагаемые. В простейшей теории «великого объединения», основанной на SUE)-
симметрии, постулируется, что при энергиях > 1015 ГэВ симметрия пере-
перемешивает по пять и десять частиц каждого поколения (скажем, veL, eL, ~dL;
di считается за три частицы с учетом трех цветов; индекс L означает
«левую спиновую компоненту»).
Каждая постулируемая симметрия, если она локальна, то есть
может перемешивать внутренние степени свободы в разных точках про-
пространства-времени по-разному, автоматически приводит в рамках лагран-
жевой квантовой теории поля к предсказанию калибровочных бозонов —
частиц, которые переносят взаимодействие, отвечающее за это перемеши-
перемешивание. Таковы четыре частицы W, Z" и у в стандартной объединенной
модели электрослабых взаимодействий или глюоны в квантовой хромо-
динамике.
В рубрику «другие частицы» мы включили, прежде всего, неот-
неоткрытые бозоны Хиггса Н, которые в стандартной модели используются
для придания массы промежуточным бозонам. Возможно, что введение Н
сигнализирует о том, что мы наткнулись на очередное «эффективное»
поле, которое окажется проявлением коллективных эффектов какого-то
взаимодействия более фундаментального уровня.
Далее, упомянуты Х- и К-бозоны, предсказываемые 5ЧУE)-объеди-
нением и ответственные за возможное несохранение барионного числа.
Наконец, перечислены названия частиц полуцелых спинов (гравитино,
глюино), которые предсказываются теориями суперсимметрии и супергра-
супергравитации. Призрачное существование этих частиц пока не подвергается
угрозе материализации.
К таблице 3. Табл. 3 состоит из трех диаграмм, которые строятся
очень просто: на первых двух изображены точки (/3У)-плоскости, отвеча-
отвечающие частицам октета барионов и мезонов соответственно. На третьей
диаграмме изображена аналогичная фигура, отвечающая 16-плету мезонов,
с учетом трех квантовых чисел /3, Y, С (С — очарование). В годы, когда
прояснялись контуры спектроскопии адронов, основанной на приближен-
приближенной симметрии ароматов, такие диаграммы давали удачную визуализацию
этой симметрии, являя глазу фигуры совершенно платоновского толка.
98
Структура теории элементарных частиц
Если быть точным, однако, то эти фигуры относятся к другому
классу математических симметричных объектов, нежели платоновские
многогранники. Именно, это — диаграммы корней и весов.
Таблица 3
-1
К0 К*
К' Ка
Простейшее определение корневых диаграмм в чисто симметрий-
ных терминах таково: это конечная система векторов в евклидовом про-
пространстве (любой размерности), которая переходит сама в себя при зер-
зеркальном отражении относительно любой гиперплоскости, ортогональной к
одному из векторов (и удовлетворяет еще одному условию целочисленнос-
ти). Такие системы впервые были открыты при исследовании непрерыв-
непрерывных симметрии, но позднее стали появляться у математиков в самых
разных задачах, как будто не связанных внутренним родством. Их появ-
появление в схемах классификации элементарных частиц можно истолковать
как лишнее свидетельство в пользу того, что они представляют «архетип
симметрийности». -
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 99
2.3. Взаимодействия
В классической атомистике частицы материи суть центры сил. Преем-
Преемственность этой идеи в квантовой теории выражена представлением о
фундаментальных взаимодействиях. Взаимодействия обусловливают сущес-
существование связанных состояний, распады и реакции. Опишем вкратце роль
взаимодействий в устройстве мира.
Общая характеристика. Нуклоны, нейтрон и протон являются
связанными состояниями кварков. Связь обеспечивается сильным взаимо-
взаимодействием между цветовыми зарядами кварков. Это взаимодействие пере-
переносится глюонами, которые сами могут иметь цветовой заряд (в отличие,
скажем, от фотонов, которые осуществляют электромагнитное взаимодей-
взаимодействие, но электрический заряд не переносят). Сильное взаимодействие
быстро растет с расстоянием. Это приводит к тому, что частицы с цве-
цветовым зарядом — кварки и глюоны — всегда связываются в системы
размером ~ 10~13 см, с полным цветовым зарядом, равным нулю, — так
называемые белые состояния, к которым относятся все наблюдаемые
адроны.
В свою очередь, ядра атомов являются связанными состояниями
нуклонов, причем здесь силы связи являются сложными остаточными
эффектами сильного взаимодействия.
Атомы — это связанные состояния нуклонов и электронов (леп-
тонов первого поколения); силы связи электромагнитные, взаимодействие
переносится фотонами. Молекулы обычного вещества — связанные состо-
состояния атомов; силы связи — эффекты электромагнитного взаимодействия.
Первичные взаимодействия, возникающие в калибровочных тео-
теориях, кулоноподобны, по крайней мере, на малых расстояниях. Грубо
говоря, с точностью до числовых факторов энергия взаимодействия двух
заряженных частиц есть ё*/г в системе й = с = 1. Эта энергия записыва-
записывается в виде аам/г, где аеш = e*/(hc) (e — заряд электрона в обычных
единицах) — так называемая постоянная тонкой структуры. Аналогично
сильное взаимодействие на малых расстояниях имеет вид ajr, где <xs —
константа сильного взаимодействия. В более последовательном рассмотре-
рассмотрении величины адп, <xs сами становятся функциями расстояния между
частицами.
Потенциал Кулона описывает дальнодействующие силы. Однако,
электромагнитный заряд бывает двух противоположных знаков, и в обыч-
обычных телах макроскопических масштабов он с большой точностью нейтра-
нейтрализуется. В виде электромагнитных волн (или, на корпускулярном языке,
в виде потока фотонов) электромагнитное взаимодействие поставляет нам
энергию Солнца. Само энерговыделение на Солнце происходит за счет
ядерных реакций, из которых важнейшим считается так называемый
рр-цтлкл, в котором четыре протона превращаются в ядро Не4 с испускани-
100 Структура теории элементарных частиц
ем фотонов, позитронов и нейтрино. В этот цикл входят реакции с
испусканием нейтрино за которые отвечает слабое взаимодействие, на-
например, рр -> de+vc (d — дейтрон). Открыто оно было в ходе объяснения
процессов р-распада. Радиус слабого взаимодействия определяется масса-
массами промежуточных бозонов т^ и тг. В старой теории размерная кон-
константа связи Ферми G определялась, например, по среднему времени
жизни мюона т, = 192л3/(С2/лц5). Вычисление G через т дает значение
G = 1,0-10~5//я 2 . В теории Вайнберга—Салама эта величина выража-
ется через электромагнитную константу а й /nw в виде rz 2 ¦ 2 а '
V ?lt%-u. Sill "w
где sin 9W — числовой параметр теории (угол Вайнберга), sin 9W = 0,2.
Наконец, в системах космических масштабов основные силы связи
являются гравитационными. В существующей теории элементарных частиц
фавитационное взаимодействие не учитывается, ибо, скажем, для двух
электронов оно в 1043 раз меньше электромагнитного. Но фавитационное
взаимодействие универсально и порождает только силы притяжения; когда
материя накапливается, они становятся доминирующими. В структуре
теории фавитационное взаимодействие занимает совершенно особое место.
Его классическая модель — общая теория относительности Эйнштейна —
является теорией пространства-времени. Между тем, остальные поля,
квантовые или классические, суть поля на фоне пространства-времени.
Последовательного квантового рассмотрения фавитации не известно, эк-
экспериментально квантовые эффекты находятся далеко за пределами воз-
возможностей экспериментаторов.
Бегущие константы связи. Как мы уже говорили, константы связи
в теории суть коэффициенты в лафанжианах взаимодействия. В электрос-
электрослабой модели и хромодинамике они составлены из волновых функций
глюонов G, бозонов W±, смеси фотонов и Z°-6o3ohob объединенной
модели (В), а также кварков (д) и лептонов (/). Выпишем эти лафан-
жианы с константами g. для первого знакомства:
(сумма по всем фермионам /, кваркам q и лептонам /);
(qL и lL означают левые спиновые компоненты волновых функций);
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 101
(Y, х, X — генераторы групп сим-
симметрии). Затравочные значения этих
констант связи при доступных энер-
энергиях порядка 100 ГэВ таковы (а. =
= *GDя)): а, « 1/67, а2 « 1/26,
а3 я 1/5. Обозначая через g: (M),
а, (М) значение бегущей констан-
константы при переданном импульсе М,
имеем теоретическую формулу:
Таблица 4
33см (Планк)
где Л/, ц — два переданных им-
импульса, много большие массы всех
частиц, вклад которых учитывает-
учитывается, и bs = -4, Ьг = 10/3, Ьг = 7
(при учете трех поколений ферми-
онов, как в таблице 2).
В табл. 4 показан результат экстраполяции gf(M) в область боль-
больших энергий: аг(М) падает, а2(М) падает, но медленнее, а а.{{М) медленно
растет; точка схода находится в области Ю15 ГэВ. Это не так далеко от
планковского масштаба, где уже необходим учет гравитации.
Кроме самого наличия точки схода и внутренней привлекательнос-
привлекательности объединенной теории, основанной на группе SUE), отсюда получается
также некоторое объяснение того, зачем во Вселенной «нужны» три по-
поколения фермионов, а одного первого не хватает. Возможно, что наблю-
наблюдаемое состояние Мира, которое характерно резким преобладанием мате-
материи над антиматерией, возникло благодаря несохранению барионного заряда
(и нарушению СТ'-симметрии) на очень ранней (Ю0 с) стадии после
Большого Взрыва, когда температура была в области энергии объединения.
Фундаментальные процессы и диаграммы. В табл. 5 приведены
примеры диаграмм Фейнмана. Каждая диаграмма состоит из линий и
вершин, где сходится не менее трех линий. Линии делятся на сорта,
отвечающие фундаментальным частицам теории (а также таким объектам,
как «духи», которых мы здесь обсуждать не будем). Вершины кодируют
элементарные процессы взаимодействия, постулируемые в теории. С на-
наивной классификаторской точки зрения, принятой здесь, список всех
возможных вершин — это каталог того, какие из фундаментальных частиц
участвуют в каких актах взаимодействия и, тем самым, каталог самих
взаимодействий, как они отражены в данной теории. «Теория» в этой
фразе — это определенный лагранжиан, а вершины в первом прибижении
отвечают слагаемым лагранжиана степени выше второй (см. ниже раздел 4
«Лагранжиан»).
102
Структура теории элементарных частиц
Таблица 5
пространство
время
и
красный
¦зеленый
Например, в приведенные три
диаграммы входят вершины, отвечающие:
а) испусканию и поглощению фотона
электроном; б) испусканию W --бозона
J-кварком, в результате которого d-
кварк превращается в и-кварк того же
цвета; в) распаду И^-бозона с испускани-
испусканием электрона и антинейтрино.
С точностью до деталей эти вер-
вершины отвечают слагаемым в лагранжиа-
лагранжианах взаимодействия, перечисленных в
предыдущем пункте. Диаграмма, содер-
содержащая несколько линий и вершин, мо-
может использоваться просто как обозначе-
обозначение некоторого процесса. Например, в
табл. 5 вторая диаграмма иллюстрирует
основные черты р-распада нейтрона. Нейт-
Нейтрон udd превращается в протон uud в
результате того, что один из </-кварков
превращается в u-кварк, испустив W-бо-
зон, который распадается на электрон и
антинейтрино. Последняя диаграмма ил-
иллюстрирует распад материи в электро-
электромагнитное излучение в ^С/^-теории:
rf-кварк из протона испускает ЛГ-бозон и
превращается в позитрон, который за-
затем аннигилирует с электроном вещества;
u-кварк протона поглощает Л'-бозон и
превращается в u-антикварк, который образует с оставшимся и-кварком
р°-мезон, в свою очередь распадающийся на гамма-кванты.
Если посмотреть, однако, какие структуры теории кодируются
диаграммами Фейнмана, картина окажется много более сложной. Одна из
целей теории состоит в вычислении некоторого количества чисел — се-
сечений процессов, ширин распадов и т. п., подобно тем, которые приве-
приведены в табл. 1. Эти числа выражаются через амплитуды, или матричные
элементы матрицы рассеяния. Последние могут быть представлены в виде
ряда теории возмущении, отдельным членам которого как раз и отвечают
диаграммы. Формулы для бегущих констант связи также вычисляются с
помощью диаграмм Фейнмана.
Таким образом, диаграммы представляют собой визуализацию
расчетной схемы, которая вовсе не претендует на фундаментальность
(сошлемся на мнение т'Хофта и Вельтмана: «Использование диаграмм в
качестве отправной- точки выглядит капитуляцией, отказом от попыток
Элементарные частицы и взаимодействия: классификация 103
выйти за рамки теории возмущений. Немыслимо согласиться с тем, что
теория возмущений представляет конечную цель ...»). Более того, эта
расчетная схема — дорога от лагранжиана к реалистическим числовым
характеристикам процессов — при всех своих замечательных успехах,
особенно в квантовой электродинамике, сталкивается с рядом серьезных
внутренних проблем.
Однако именно эта схема оказала решающее влияние на развитие
теории в последние десятилетия. Сама возможность ее реализации в
применении к тому или иному лагранжиану, так называемая перенорми-
перенормируемость лагранжиана, стала рассматриваться как принцип, руководящий
отбором теорий. Связанные с ней расчетные приемы привели к ряду
интуитивных образов, которыми физики стали эффективно пользоваться.
Один из важнейших образов этого типа — понятие о «виртуальных
частицах», которые отвечают внутренним линиям диаграмм Фейнмана
(подобно линии фотона на нашей первой диаграмме). Структура ампли-
амплитуды, отвечающей одной диаграмме, вынуждает интерпретировать внутрен-
внутреннюю линию как изображение частицы, для которой нарушено релятивис-
релятивистское соотношение к2 = т2 между энергией, импульсом и массой покоя,
однако, существующей столь недолго, что соотношение неопределенностей
Гейзенберга не позволяет этому нарушению стать явным. Логическое
продолжение этой концепции — представление о физическом вакууме как
о.среде, в которой все время происходят процессы рождения и анниги-
аннигиляции виртуальных частиц, и об «одетой» частице, в отличие от затравоч-
затравочной, или «голой», которая распространяется, взаимодействуя с вакуумом,
что является максимально возможным реалистическим приближением к
идее свободной частицы.
Все эти образы доставляют богатый материал для обсуждения
концепции формального существования.
3. Квантовая кинематика
3.1. О кинематике
Предмет кинематики в классической механике — это изучение
геометрических свойств возможных движений тел, безотносительно к силам
и массам, которые определяют реально возможные движения, то есть ди-
динамику. (Можно сказать и иначе: евклидова геометрия есть кинематика
твердых тел.) Продуктом кинематического анализа системы является ее
геометрическая модель: конфигурационное и фазовое пространство этой
системы, а также координатные функции на нем — обобщенные коорди-
координаты и обобщенные импульсы.
В более широком понимании кинематика вводит те математичес-
математические структуры, которые нужны для описания пространств степеней сво-
свободы изучаемых систем. Математик рассматривает эти структуры по-пре-
по-прежнему геометрически, хотя речь идет уже не о геометрии трехмерного
евклидового пространства, где совершаются возможные движения тел, а
о симплектической геометрии фазового пространства, где выявляется сим-
симметрия координат и импульсов, или об унитарной геометрии комплекс-
комплексных векторных пространств квантовой механики. Наконец, релятивизм
вводит кинематику неразделимых пространственно-временных (и имггульс-
но-энергетических) степеней свободы со своей геометрией, производной
от геометрии пространства-времени Минковского и ее искривленных ва-
вариантов в общей теории относительности.
Кинематика преподала нам несколько уроков, совсем неочевид-
неочевидных заранее. К ним относятся следующие факты.
а) Наличие малого числа стандартных, фундаментальных внутрен-
внутренних структур на пространствах степеней свободы (в гамильтоновой меха-
механике — это канонические координаты и скобки Пуассона; в квантовой
механике — это принцип суперпозиции и скалярные произведения, оп-
определяющие амплитуды процессов).
б) Относительная самостоятельность некоторых фундаментальных
степеней свободы. Такие структуры, как мода колебаний и ее квантовая
версия — квантовый гармонический осциллятор, поляризация, элемен-
элементарные вершины в теории частиц, участвуют в описании разных систем,
подобно тому, как в естественном языке небольшой набор фонем порож-
порождает разнообразие речевых актов. Анализ по степеням свободы доводит
Квантовая кинематика 105
до более элементарного уровня, чем анализ по объектам и процессам, он
проводит поперечный разрез. В связи с этим можно обнаружить тенден-
тенденцию теоретического конструирования элементарных систем, которые яв-
являются носителями отдельных степеней свободы «в чистом виде». Веро-
Вероятно, самым ярким примером остается понятие материальной точки, ко-
которое кинематически есть чистый носитель пространственной степени
свободы. Кантовская абсолютизация пространства доставляет образец
окостенения физической модели в философской догме. Зрительное вос-
восприятие переводит в непосредственный опыт пространственные отноше-
отношения. Возможно, что одной из психологических предпосылок классичес-
классического атомизма была именно естественность разложения мира на точеч-
точечные элементарные системы. Дуальное разложение на гармонические вол-
волны в восприятии связано главным образом с временем и слухом, достав-
доставляющим меньше информации о мире; к тому же результат действия час-
частотных анализаторов, видимо, в норме не подлежит осознанию. То же
относится к обнаруженным в последние десятилетия фактам, свидетель-
свидетельствующим о том, что в зрительной коре производится анализ Фурье, но
его результаты перекодируются, прежде чем стать осознанными.
в) Важность кинематических симметрии. Кинематические симмет-
симметрии действуют на пространстве всех возможных состояний (движений).
Каждый реальный процесс, вообще говоря, много менее симметричен,
так что кинематические симметрии скрыты. Тем не менее, именно они
отвечают за такие вещи, как законы сохранения (Э. Нетер). Имеется тес-
тесное, а в теории элементарных частиц почти однозначное соответствие
между элементарными степенями свободы и неприводимыми линейны-
линейными представлениями основных групп симметрии. Многие квантовые на-
наблюдаемые суть инфинитезимальные генераторы групп симметрии.
Отметим, наконец, что кинематическое описание по своему су-
существу дуалистично. Один круг понятий в нем связан с идеей внутреннего
состояния изолированной, ни с чем не взаимодействующей системы. Дру-
Другой круг — с идеей взаимодействия, реакция системы на которое и достав-
доставляет информацию о ее внутреннем состоянии. Идеал наблюдения, как не-
возмущающего взаимодействия, возник, вероятно, в лоне наблюдательной
астрономии. Отказ от этого идеала стоил долгих психологических усилий и
эпистемологических дискуссий, но необратимо произошел.
3.2. Принцип суперпозиции
Основные постулаты. Кинематические характеристики изолиро-
изолированной квантовой системы или квантовой степени свободы описываются
следующей математической схемой.
а) Пространство (чистых) состояний есть множество лучей ком-
комплексного векторного пространства § (мы не касаемся определения мат-
8 — 2998
106 Структура теории элементарных частиц
риц плотности и смешанных состояний, нужных для учета классической
неполноты информации о системе).
б) Объединению систем или объединенному рассмотрению не-
нескольких степеней свободы с пространствами состояний §*' > отвечает
тензорное произведение ®jg»(l) или некоторое его подпространство.
в) Если системы с'пространствами ?>(/) следует рассматривать как
разные состояния единой системы, то ей отвечает прямая сумма ®^''
исходных пространств. '
г) Каждое пространство состояний $ снабжено эрмитовым скаляр-
скалярным произведением <х\у>- Положим М2 = <ц^>>, тогда число |<х1ч»>|2/Ы2М2
есть вероятность обнаружить систему, находившуюся в состоянии \у>,
в состоянии |х>- Интерпретация этого высказывания требует постулата
о существовании классического прибора определенного типа, осущес-
осуществляющего соответствующее измерение.
Ниже мы разберем детальнее математические и физические поня-
понятия, заложенные в эти постулаты. Отметим следующие важные темы.
Состояние элементарной частицы описывается несколькими степенями
свободы (пространственно-временная, поляризационная, цветовая, ...), и
отвечающие им пространства будут разобраны по отдельности. Включе-
Включение квантовополевых степеней свободы, описывающих рождение и унич-
уничтожение частиц, может быть проведено в терминах тензорной алгебры,
построенной над пространствами одночастичных состояний, как явству-
явствует из постулатов бив. Этот механизм вторичного квантования будет вве-
введен в пункте 4 «Квантование и вторичное квантование». Наконец, не
следует скрывать, что в реалистических моделях КТП существование про-
пространств состояний вторично квантованного поля с нужными свойствами
математически не доказано, и вычисления часто производятся в рамках
надежно работающего формализма алгебры без функционально-аналити-
функционально-аналитических обоснований. Возможно, это означает, что отраженная в постула-
постулатах стандартная идеология чересчур простодушна: она отражает долю ис-
истины в применении к фермионам, но требует больших натяжек для не-
абелевых калибровочных бозонов. Перейдем, однако, к подробностям.
Векторные пространства и суперпозиции. Векторное, или линей-
линейное пространство 0 есть множество, элементы которого можно склады-
складывать и умножать на комплексные числа: если %, у е $ , то ах + by e 0,
где a, b — числа. Эти операции должны удовлетворять обычным прави-
правилам школьной алгебры: (а + b)\y = ay + by, a(by) = (ab)\\i и пр. Про-
Простейший пример — пространство столбцов (или строк) длины п, с по-
покоординатным сложением и умножением. Другой пример — пространст-
пространство комплекснозначных функций от каких-либо переменных хх, х^, ..., х^;
на функции может быть наложено дополнительное условие — интегриру-
интегрируемость с квадратом, дифференциальное уравнение и пр. Пространство
Квантовая кинематика 107
столбцов высоты п является и-мерным; пространства функций, как пра-
правило, бесконечномерны. Размерность — это минимальное число базис-
базисных векторов в ф, таких, что всякий вектор может быть представлен в
виде их линейной комбинации.
Эрмитовое скалярное произведение на линейном пространстве есть
комплексная функция от двух аргументов <у\ц>, удовлетворяющая усло-
условиям:
<х1ч/> — <vlx> (черта обозначает комплексное сопряжение);
<х|ву, + Ьу2> = а<хк,> + *<x|vf2>; IxP = <xlx> > 0
(кроме случая, когда х = 0 ).
Типичный пример: <{xl,...,xn)\{yl,...,yn)>=
/ = i
Векторы \\1, % с <х1у> = 0 называются ортогональными; векторы с
|\|/| = 1 — нормированными. Пространство § с эрмитовым скалярным
произведением называется гильбертовым, если в нем сходятся ряды вида
Е\уя с ?|у„|2 < °°, <4'j4'n> = 0- В конечномерном случае это условие вы-
выполнено автоматически.
В случае, когда % — пространство состояний некоторой кванто-
квантовой системы, часто можно указать прибор или процесс, который порож-
порождает систему в одном из базисных состояний (данного базиса, характери-
характеризующего этот процесс). Неоднородное магнитное поле в опыте Штерна—
Герлаха разделяет пучок ионов со спином 1/2 на два, и этот процесс дает
базис двумерного пространства поляризации. Регистрация прохождения
частицы через счетчик порождает состояние, когда у нее фиксированы
пространственные координаты. Соответствующий идеализированный ба-
базис описывается дельта-функциями Дирака 5(х — х0), где х^ — простран-
пространственно-временная отметка счетчика; их можно считать базисными для
пространственных степеней свободы. В опытах на ускорителях экспери-
экспериментаторы приготавливают частицы с фиксированными значениями им-
импульса — это другой базис того же пространства (математические тонкос-
тонкости, связанные с бесконечномерностью, сейчас хорошо поняты, и мы их
опускаем; переход от одного базиса к другому есть преобразование Фурье;
более подробное обсуждение см. ниже).
Вместе с вектором у * 0 любой вектор оу (а > 0) определяет то же
состояние. Если считать, что у и осу нормированы, оставшийся произвол
а = exp(iq>) состоит в выборе фазового множителя. Умножение вектора
состояния на фазовый множитель не меняет состояния, пока мы не рас-
рассматриваем взаимодействие систем, но крайне существенно в описании
взаимодействий. Часто оказывается возможным представить суперпози-
суперпозицию двух состояний в вещественном нормированном виде
X = 4/[Cos0 + v|/2sin0,
где 0 называется углом смешивания.
108 Структура теории элементарных частиц
Несколько углов смешивания относятся к числу важнейших сво-
свободных (не задаваемых теорией) параметров в современных моделях. На-
Например, угол Вайнберга 6W = 27° входит в описание фотона как суперпо-
суперпозиции двух более фундаментальных полей Аъ и В: эта суперпозиция ста-
становится физически наблюдаемым состоянием электрослабого поля после
того, как поля Хиггса нарушают исходную симметрию. В таблицах преды-
предыдущего раздела зафиксировано, что я°-мезон есть нетривиальная супер-
суперпозиция состояний кварка и антикварка ии и dd, а т|°-мезон — состоя-
состояний ии, dd, ss; K°- и ^о-мезоны суть взаимно ортогональные суперпози-
суперпозиции KL- и ^Гу-мезонов с разными временами жизни.
Предположим, что пространство состояний •?> представлено в виде
ортогональной суммы подпространств Ф0 •. Может оказаться, что в опре-
определенных условиях или при пренебрежении какими-то взаимодействия-
взаимодействиями в качестве физически реализуемых выступают не все состояния у е .§,
а лишь лежащие в одном из секторов .?>,-. В таком случае 0(. можно считать
отвечающим отдельным системам.
Опишем теперь важнейшие «элементарные степени свободы».
Пространство-время. Классическим пространством состояний
материальной точки является физическое евклидово пространство Я3.
В квантовой механике Шредингера оно заменяется пространством ком-
плекснозначных функций yi(x), х e R3. Каждую такую функцию можно
рассматривать как (континуальную) суперпозицию дельта-функций Ди-
Дирака: \у(х) = у(х) = ]у(х'M(х - x')dx'. Считая, что S(x) описывает кванто-
квантовое состояние, отвечающее образу частицы, локализованной в начале ко-
координат, мы обнаруживаем, что шредингеровское описание есть (почти)
следствие двух постулатов: а — суперпозиции; б — наличия предельно
локализованных в пространстве квантовых состояний («принцип соот-
соответствия»).
Рассмотрим теперь абсолютно делокализованное квантовое со-
состояние, такое, что пространственный сдвиг его вообще не меняет. Со-
Соответствующая у-функция удовлетворяет функциональному уравнению
у(х + а) = exp(if(a))\y(x), где фаза /(а), как нетрудно видеть, является
линейной функцией на R3 , то есть /(а) = р-а — рк- ак. Поэтому \|/ (х) =
= exp(ipc), где вектор р, однозначно определенный состоянием ш , назы-
называется импульсом частицы в этом квантовом состоянии. Скалярное произ-
произведение р-х измеряется в планковских единицах действия й и потому
является просто вещественным числом. Характерная длина волны, свя-
связанная с частицей в состоянии у , есть 2я/р, поэтому в актах взаимодей-
взаимодействия с такой частицей пространственная структура мишени разрешается
на расстояниях порядка \/р (только под р следует понимать переданный
импульс — так сказать, долю импульса, реально участвовавшую во взаи-
взаимодействии).
Квантовая кинематика 109
Это же рассуждение в применении к пространству-времени Я4
приводит к выделению класса состояний типа плоской волны ехр(-йк-х)
в релятивистской кинематике, где на этот раз к = (р, Е) — 4-импульс,
х = (*,, х2, х3, 1); кх = -pfa + Et, E — энергия частицы (Et измеряется в
тех же единицах, что и р-х). При смене инерциальной системы коорди-
координат к меняется, но не меняется к2 = Е2 — р1р1 (квадрат массы частицы).
Состояния типа плоской волны неплохо приготавливаются экспе-
экспериментаторами, однако из фундаментальных частиц так хорошо обстоят
дела лишь с лептонами. Кварковые состояния плоской волны могут быть
приличным приближением лишь на малых расстояниях, где имеет место
асимптотическая свобода; в пользу их реальности свидетельствуют так
называемые адронные струи в глубоко неупругих процессах. На расстоя-
расстояниях порядка нуклонных размеров, где кварки связаны в стабильные об-
образования, можно пытаться использовать в качестве базисных сферичес-
сферические волны, запертые в некотором малом объеме — мешке. В последова-
последовательной теории, конечно, все должно оказаться гораздо интереснее.
Итак, общая схема учета пространственно-временных степеней
свободы такова: ?sp есть пространство функций от пространственно-вре-
пространственно-временных координат. Любая такая функция есть поле, так что состояние
системы имеет полевой характер, даже если эта система — частица. Учет
гравитационных взаимодействий в будущей теории должен вестись таким
образом, чтобы в классическом пределе гравитационное взаимодействие
описывалось искривленным пространством-временем Эйнштейна. Такое
общее пространство-время не имеет симметрии, позволяющих ввести
плоские (или сферические) волны, и мы лишаемся многих привычных
средств расчетного аппарата теории возмущений. Однако большинство
конструкций КТП на фоне классического кривого пространства-времени
все же можно провести последовательно.
Поляризация. Спиновая, или поляризационная, степень свободы
характеризуется величиной, которая имеет размерность углового момен-
момента. Ее следует считать внутренней степенью свободы, поскольку бес-
бесструктурные фермионы обладают спином 1/2, то есть внутренним мо-
моментом й/2. Однако она теснейшим образом связана с пространственно-
временными характеристиками, в частности, двукратная накрывающая
группы симметрии пространства-времени действует одновременно на про-
пространство поляризации. Все остальные, истинно внутренние степени сво-
свободы этим свойством не обладают. Перечислим основные характеристи-
характеристики спинового пространства состояний для / = 1/2 .
С каждой точкой пространства состояний связано комплексное
четырехкомпонентное пространство дираковских биспиноров
110 Структура теории элементарных частиц
где и, v — двухкомпонентные спиноры. Спинор у удовлетворяет линей-
линейному уравнению Дирака, имеющему вид idkyky = ту, где у* — четырех-
четырехмерные матрицы, удовлетворяющие условию
Y V + Y V = 2g*, gik = diag A, - 1, - 1, - 1).
При подходящем выборе вида матриц у' спинор v тождественно
'\Л (о)
исчезает в системе покоя частицы, а спинорам и вида и и соответ-
соответствуют два спиновых состояния, как и должно быть для частицы с J= 1/2.
При описании безмассовых фермионов более удобно пользоваться дру-
другим представлением матриц g, для которого спиноры и и v преобразуются
г)
независимо при преобразованиях Лоренца. При этом спинору I- J (сим-
(символ 2R) соответствуют состояния частиц со спином по направлению дви-
движения, спинорам или 2L — со спином против направления движения (так
называемые правые и левые частицы и спиноры). Это же уравнение Ди-
Дирака описывает и античастицы.
Изоспин. Частице с изоспином /= 0, 1/2, 1, 3/2, ... можно поста-
поставить в соответствие B1+ 1)-мерное внутреннее пространство. В первона-
первоначальной версии Гейзенберга пространство, отвечающее /=1/2, вводилось
как пространство суперпозиций нейтрона и протона и применялось впос-
впоследствии для математической формулировки идеи о том, что пир неот-
неотличимы в сильных взаимодействиях. В теперешней парадигме это про-
пространство суперпозиций и- и rf-кварков.
Слабый изоспин. В слабых взаимодействиях, описываемых соглас-
согласно модели Вайнберга—Салама, выступает степень свободы, которая назы-
называется слабым изоспином. Состояния в слабом изоспиновом пространст-
пространстве 2 w представлены в лептонном секторе дублетами левополяризованных
лептонов ' I , " , I • В кварковом секторе возникает интересное
U) \) KJ
L L L
явление — смешивание поколений. Оказывается, что кварки, входящие в
дублеты 2W, и физические кварки и, с, t и d, s, b — не одно и то же. Если
(и') (с) (А
обозначить символами I ,, 1.1 , . I ,, I три эквивалентные 2 w— представле-
представления, то физические кварки — состояния с данной массой, входящие в
состав адронов, — получаются как их суперпозиции, независимые для
верхних и нижних кварков. Так, скажем,
d = ad' + ps' + yb' и т .д.
Цвет. Сильное взаимодействие кварков обусловлено исключительно
важной степенью свободы, которой отвечает трехмерное цветовое про-
пространство Зс для частиц и, d, s, с, ... и зс для их античастиц. Три базисных
Квантовая кинематика 111
вектора этого пространства условно обозначают тройкой основных цве-
цветов: «красный, желтый, синий» (для Зс, соответственно, «антицветов»).
Эти степени свободы сопоставляются с носителями особого цветового
заряда.
Важно, что в Зс нет физически отмеченных векторов состояния —
на языке, который будет объяснен позже, это означает, что цветовая сим-
симметрия ничем не нарушена. Таким образом, названия «красный, желтый,
синий» условны не только относительно своей стандартной семантики,
но и в более глубоком плане: они не обозначают конкретных векторов в
Зс точно так же, как «длина, ширина и высота» не обозначают конкрет-
конкретных направлений в физическом пространстве (впрочем, в лаборатории
эта симметрия нарушена гравитационным полем Земли, отмечающим
«высоту»).
Совместное рассмотрение степеней свободы. Согласно постулату б
в начале этого параграфа, чтобы построить пространство состояний сис-
системы, учитывая несколько ее независимых степеней свободы, следует тен-
зорно перемножить пространства, отвечающие этим степеням свободы.
Опишем вкратце эту математическую конструкцию.
Пусть )?>],..., 0т — несколько векторных пространств. Их тензор-
тензорное произведение содержит всевозможные элементы вида уО... ц(т) (где
Ч® е ©,-), называемые разложимыми, а также их суперпозиции. В разло-
разложимом состоянии система имеет вполне определенное состояние по каж-
каждой степени свободы: у(/> в #,-. Если степени свободы отвечают подсисте-
подсистемам, то в разложимых состояниях эти подсистемы сохраняют свою инди-
индивидуальность: /-я находится в своем состоянии \у('\ Любая часть Мира
поддается классическому анализу с разложением на составные части лишь
в той мере, в какой ее квантовое состояние близко к разложимому.
Тензорное произведение векторов уО... уМ линейно по каждому
аргументу, а больше никаких условий на эту операцию не накладывается.
Поэтому, например, базис в $,,..., фт можно построить так: следует вы-
выбрать базисы в каждом из пространств Jg>;, в каждом базисе выбрать по
вектору и все эти векторы тензорно перемножить. Существование такого
разложимого тензорного базиса показывает, что размерность тензорного
произведения равна произведению размерностей сомножителей. (В бес-
бесконечномерном случае следует позаботиться о бесконечных радах и схо-
сходимости; мы это опускаем.) Скалярные произведения на ф, и §2> ска~
жем, определяют скалярное произведение на 0, <8> 02:
Если §,- — пространство строк (у^к), где к пробегает индексы,
нумерующие базисные векторы в ф;., то фр..., §т в тензорном базисе
является пространством /я-мерных матриц V*, ...*„,, где kt пробегает свое
множество индексов. В дираковских обозначениях kf могут быть кванто-
квантовыми числами, вместо У*,...*,, пишут \кх,...,кт> и т.п.
112 Структура теории элементарных частиц
В случае, когда рассматривается тензорное произведение т оди-
одинаковых пространств, в j?0/n = ?>®...®0 есть два важных подпространст-
подпространства, которые определяются свойствами симметрии при перестановке ин-
индексов. Пространство Sp, т-я симметрическая степень 0, порождено
— У\,1(о<|))ба ба.,/"*» с
тензорами вида Zjy 49...494/ г где а пробегает все перестановки
т\ „
индексов. Аналогично, пространство Лт1& — т-я внешняя (или антисим-
метрическая, или грассманова) степень $ — порождено тензорами вида
T^^v" ®...®ч/ , где е = 1 для четных перестановок и -1 для
т\ „
нечетных.
Например, Jg> <Е> ф расщепляется в прямую сумму двух секторов:
симметричного i2^ и антисимметричного Л2§. При т > 2 существуют
тензоры с более сложными свойствами симметрии относительно группы
перестановок, но они играют заметно меньшую роль, чем 5™0 и
Тензоры можно перемножать: (у(!)®...<Е>у(*))<Е>(у(*+')<Е>.
(уО®...®^). Таким образом, можно ввести тензорную алгебру простран-
пространства §: прямую сумму всех пространств 450/п, где т > 0 и где ф®° —
просто комплексные числа.
Произведение двух симметричных тензоров, вообще говоря, не-
несимметрично, но его можно симметризовать. Получится операция ассо-
ассоциативного и коммутативного умножения на симметрической алгебре
ф $ 0 пространства 0. Аналогично определяется внешняя, или
т = 0
СО
грассманова, алгебра Л@) = ф Лт0: внешнее произведение двух анти-
симметричных тензоров есть результат антисимметризации их тензорно-
тензорного произведения.
В физике S($) и Л@) называются пространствами Фока; позже
мы обсудим их роль в формализме вторичного квантования.
В конкретных выкладках существенную роль играют правила вы-
вычислений разных комбинаций тензорных умножений и симметризации.
Не излагая их здесь систематически, приведем простой пример:
Л2(.ф!<8>.$2) = Л2 QfiS2 02® i2 0г<Е»Л2 ф2.
Иными словами, 2-тензор, антисимметричный по составному ин-
индексу (/&), однозначно разлагается в сумму двух тензоров, из которых
первый антисимметричен по /', но симметричен по к, а второй наоборот.
Теперь перейдем к физическим примерам.
Фундаментальные частицы. Дираковские частицы со спином 1/2,
без дополнительных степеней свободы, описываются пространством
.?>nB®BL®2R) @ПВ — пространственно-временная часть волновых функ-
Квантовая кинематика 113
ций). Таковы нейтрино; если нейтрино, скажем, ve, безмассовое, то в
рассматриваемых нами взаимодействиях участвуют лишь левые частицы,
и нужно ограничиться сектором $?nB®2L. Для учета электрического заряда
в а единиц е+ удобно ввести одномерное внутреннее пространство 1" с
правилами тензорного умножения: 1*т ®lem = 1** и 1~? = leam.
Тогда электрон-позитронное одночастичное пространство будет
6™ ®B, <Е»Г' +2D<8»l' )• Для нужд слабого взаимодействия лептон и
его нейтрино в каждом поколении объединяются в левый слабый изодуб-
лет с пространством §nB<E»2L®2w. Кварк определенного сорта k отвечает
пространству 0m <Е> BL ® if + 2R <8> l^3).
Разложения пространств состояний в секторы и тензорные про-
произведения, подобные вышеописанным, часто вводят с другой точки зре-
зрения — как иерархию представлений групп и нарушенных симметрии. Мы
обратимся к этой точке зрения в следующем разделе.
Объединение тождественных частиц. Объединению т тождествен-
тождественных систем с пространством состояний ф отвечает не полная тензорная
степень ф8"", а лишь подпространство, выделенное условиями симмет-
симметрии относительно перестановок.
Если частица является бозоном (имеет целый спин), то ее /и-частич-
ное пространство есть i™0; если фермионом (полуцелый спин), то Лт0.
Например, при нерелятивистском описании двухэлектронное облако в
атоме гелия имеет пространство состояний Л2B® ^пв), где 2 — двух-
компонентное спиновое пространство Паули, ^пв — пространство шре-
дингеровских волновых функций. Оно разлагается в сумму двух секто-
секторов: синглетного по спину Л2B)®520ПВ и триплетного по спину
^B)<Е»Л2$ПВ. Эти два сектора ортогональны, и переходы между ними
кинематически подавлены, что отражается в особенностях спектра ге-
гелия. Спустя полвека после этого классического рассуждения аналогич-
аналогичный аргумент стал одним из важных свидетельств в пользу существова-
существования чрезвычайно загадочного пространства Зс. Вот его упрощенная вер-
версия. Существуют барионные состояния из трех одинаковых кварков со
спином 3/2 и орбитальным угловым моментом, который свидетельству-
свидетельствует о симметрии волновой функции состояния относительно перестано-
перестановок координат кварков (такова частица D++ = uuu). Приписав и про-
пространство ?пв<8>2 и предположив, что кварки подчиняются статистике
Ферми, мы получим, что волновая функция D++ лежит в части ?3(фпв®2)
пространства Л3(.фпв<8>2). Но нетрудно видеть, что эта часть, с симмет-
симметричной по координатам волновой функцией, равна нулю из-за двумер-
ности спинового пространства. Введение Зс спасает положение, позво-
позволив поместить D++ в ?3(.$ПВ®2)®Л33С. Заметим, что пространство Л33С
одномерно: отвечающее ему цветовое состояние red л blue л yellow —
белое. В мезонном двухкварковом секторе белым цветовым вектором
114 Структура теории элементарных частиц
называется red ® red л blue ® blue л yellow ® yellow. Заметим, что этот
вектор не изменится, даже если назвать (red, blue, yellow) совсем другой
ортонормированный базис в Зс. Ортогональное к белому подпространст-
подпространство в Зс <Е> Зс описывает восемь цветовых степеней свободы глюонов: ус-
условно говоря, глюон red <E> blue связывает </ed и 9blue, заставив эти кварки
обменяться цветовыми зарядами.
Кинематическое правило бесцветности связанных состояний
кварков должно получить динамическое объяснение в квантовополевой
теории. Наличие именно трех цветов поддерживается расчетами по те-
теории возмущений, где трехцветность ведет к сокращению так назы-
называемых аномалий, а также поведением отношения сечений реакций
а(е+е~ -» адроны)/а(е+е~ -» \х+уГ) в зависимости от полной энергии в
системе центра масс. Теоретическая формула дает для этого отношения
величину: (число цветов) х (сумма квадратов зарядов кварков, которые
способны родиться при заданной энергии). Экспериментальный график по-
показывает плато, отвечающие трем цветам и значениям R(u, d, s) = 2 и
R(u, d, s, с) = 10/3 (сумма квадратов зарядов).
3.3. Симметрии и наблюдаемые
Общие сведения. Пусть $> — пространство состояний квантовой
системы. Для характеристики каждого отдельного состояния в классичес-
классической физике постулируется возможность измерить значения на этом со-
состоянии некоторых физических величин, таких как энергия, координата,
импульс и т.п. Математической моделью таких величин — наблюдаемых —
в гамильтоновой механике служат дифференцируемые функции на фазо-
фазовом пространстве системы. Математической моделью наблюдаемых в кван-
квантовой механике служат эрмитовые линейные операторы на ф, то есть
такие линейные отображения 0 в себя, которые имеют вещественный
спектр и диагонализируются в ортонормированном базисе пространства 0.
Тогда как классическая наблюдаемая принимает определенное значение
на каждом состоянии системы, квантовая сама определяет тот набор со-
состояний, на которых ее значения определены: это собственные состоя-
состояния и собственные значения оператора. Квантовой наблюдаемой А ста-
ставится в соответствие некоторый прибор, измеряющий эту наблюдаемую.
Такое измерение дает для соответствующей наблюдаемой одно из собствен-
собственных значений А.
Каждая наблюдаемая / в гамильтоновой механике является не
только одной из координатных функций на фазовом пространстве, но
также генератором однопараметрической группы канонических преобра-
преобразований или фазового потока. Сдвиг по времени — это фазовый поток,
порождаемый специальной функцией Н, гамильтонианом. Остальные ка-
канонические преобразования суть кинематические симметрии фазового про-
Квантовая кинематика 115
странства: они сохраняют вид гамильтоновых уравнений движения, но,
вообще говоря, меняют гамильтонианы и траектории.
Точно так же каждая квантовая наблюдаемая А является генерато-
генератором однопараметрической группы exp(i?4) преобразований 0, которые
линейны и сохраняют амплитуды перехода. Сдвиг по времени и здесь
определяется гамильтонианом, или оператором энергии.
Плодотворной оказалась точка зрения, согласно которой именно
группа симметрии квантовой системы (или алгебра Ли ее инфинитези-
мальных генераторов) является исходным математическим объектом. Тогда
пространство состояний ? конструируется как линейное представление
этой группы, а генераторы (или некоторые функции от них) оказываются
основными наблюдаемыми.
Приступим теперь к более подробному описанию математических
и физических аспектов этой схемы.
Унитарные группы и эрмитовы операторы. Пусть 0 — л-мерное
комплексное пространство с эрмитовым скалярным произведением, про-
пространство степеней свободы некоторой квантовой системы. Рассмотрим
все преобразования этого пространства, которые линейны (совместимы с
принципом суперпозиции) и сохраняют скалярные произведения. Эти
преобразования образуют унитарную группу U(ri). Группы U(n) суть ос-
основные группы кинематических симметрии квантовых систем. Через SU(n)
($ — начальная буква слова «special») обозначается подгруппа, состоящая
из унитарных преобразований с определителем единица. В ортонормаль-
ном базисе U{ri) состоит из п х п комплексных матриц V, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям W+ = 1, где V+ = VT, то есть V^ = Vu .
Группа U(l) состоит из комплексных чисел, по модулю равных 1,
то есть из фазовых множителей е'ш, со — вещественные числа. Аналогич-
Аналогично, любой элемент U(n) можно представить в виде е.^, где X — эрмито-
вый оператор. Каждый эрмитовый оператор X определяет некоторый
ортонормальный базис в j?>, в котором матрица ЛГдиагональна и вещест-
вещественна. Если фиксировать ортонормальный базис, то в нем все эрмито-
вые операторы представлены матрицами Хс условием Х+ = X. Они образу-
образуют не группу, а вещественную алгебру Ли и(п), то есть вещественное
линейное пространство, замкнутое относительно скобочной операции
-[X,Y] = {XY -YX).
i
Унитарная матрица е1* принадлежит SU в точности тогда, когда
X— бесследовая матрица: trA"= Xkk — 0 (суммирование по к). Бесследовые
эрмитовые матрицы образуют алгебру Ли su(n). Укажем явный вид бази-
базисов suB) и suC), используемых в теории частиц.
а) Матрицы Паули и Дирака.
Базис suB) образует матрицы Паули
116
Структура теории элементарных частиц
а, =
Го i
о/
с соотношениями коммутации
1
а, =
о)
-Г 2 ' 2
Eijk ¦
а, =
'123
1 О
О -1
= 1,
где Eijk полностью антисимметричен. Если рассмотреть массивную части-
частицу со спином 1/2, обладающую магнитным моментом в ее системе покоя,
то в двумерном пространстве ее спиновых состояний тем состояниям, в
которых диагонализируется ак, соответствуют стационарные состояния
частицы в магнитном поле, направленном вдоль k-Vi оси. В частности,
базис, в котором записаны матрицы, состоит из состояний «с проекцией
спина 1/2 и — 1/2 на ось х3 (или z)»- Как мы уже говорили, это правило
интерпретации связывает пространственно-временные степени свободы
с поляризационными.
Если ф = 2| — изоспиновое пространство частицы с изоспином
1/2 (р, п; Н°, Н~; и, d— см. таблицы в разделе 1 «О классификации. Табли-
Таблицы»), то действующие в нем операторы с матрицами Паули принято обоз-
обозначать zt Они записаны в базисе, где диагонализируется т3. и через /3 в
таблицах обозначается собственное значение A/2)т3 на элементах этого
базиса. Хотя для /3 иногда используется бессмысленное название «проек-
«проекция изоспина на третью ось», к пространству-времени оно отношения не
имеет. Собственные состояния х3 идентифицируются как конкретные
физические частицы; выбор знака для собственного значения г3 опреде-
определяется электрическим зарядом частицы (+1/2 отвечает частице с боль-
большим зарядом; неопределенность для К0 разрешается с учетом кваркового
состава каона). Аналогичные замечания относятся к пространству слабо-
слабого изоспина.
б) Матрицы Гелл-Манна.
Базис suC) образуют матрицы Гелл-Манна
'0
1
,0
1
0
0
0"
0
а
'0
i
,0
-i
0
0
о4
0
о,
'1
0
,0
0
-1
0
or
0
о)
'0
0
а
0
0
0
г
0
а
го
0
0
0
0
-г
0
oj
'0
0
,0
0
0
1
от
1
oj
Квантовая кинематика
117
'О О О'
О 0 -i
U> i о]
(\
0
,0
0
1
0
(Г
0
-2
При действии в пространстве ароматов 0 = 3f, порожденном квар-
ковыми состояниями д" =
, эти операторы отвечают за приближен-
ную SUC){ -симметрию сильного взаимодействия. Другое важнейшее про-
пространство с симметрией SUC)C — цветовое.
Квантовые числа кварков и, d, s суть собственные значения при
действии на эти состояния следующих операторов (Я.о — единичная мат-
матрица):
Y- 1 I 9- 1 » Ч
Как мы объясним позже, эти операторы определяют такие кван-
квантовые числа наблюдаемых адронов, но в других представлениях SUC).
Наблюдаемые. Общий постулат о наблюдаемых можно сформули-
сформулировать так. Каждой величине, значения которой можно измерять на со-
состояниях системы с пространством ф, можно поставить в соответствие
эрмитовый оператор А со следующими свойствами.
а) Спектр А, то есть множество вещественных чисел а, для кото-
которых оператор А — а необратим, есть полное множество значений величи-
величины, которое можно получить, измеряя эти значения на разных состояни-
состояниях системы.
б) Если ц) — собственный вектор оператора А с собственным зна-
значением а, то при измерении А на у мы с достоверностью получим а.
в) Более общо, измеряя А на состоянии у, |\|/| = 1, мы можем
получить значение из некоторого интервала (а, Ь) с вероятностью, равной
квадрату нормы ортогональной проекции у на собственное подпростран-
подпространство в 0, отвечающее этому интервалу: <у|р(а мА1ч/>-
В предыдущем пункте мы указали несколько операторов, отвеча-
отвечающих наблюдаемым на внутренних степенях свободы: проекция спина и
изоспина, гиперзаряд, странность. Квантовые координаты, проекции
импульса, углового момента являются операторами на бесконечномер-
118 Структура теории элементарных частиц
ных пространствах, их спектр может содержать как дискретную, так и
непрерывную компоненты, и, наконец, если спектр неограничен, эти опе-
операторы определены не на всех векторах состояния.
Оператор [д/дхт переводит плоскую волну e~ikx в kme~ikx, стало
быть, он отвечает проекции 4-импульса на /я-ую ось. С другой сторо-
стороны, д I дхт есть один из генераторов группы Пуанкаре, а именно, генера-
генератор сдвига в /я-ом направлении. Аналогично инфинитезимальные про-
пространственные повороты приводят к наблюдаемым углового момента.
Средние значения и соотношение неопределенностей. Пусть А —
наблюдаемая, для простоты, на конечномерном пространстве 0. Очевид-
Очевидно, А — 1а,/*, , где (а;) — спектр A, a Pt — проектор на собственное под-
подпространство, отвечающее at. Для нормированного состояния \j/ имеем
<\|/|/4|\|/> = <\j/|Za//>J\|;> *» Za(. х {вероятность получить а( при измерении А на
состоянии у}. Поэтому <\|/|v4|\|/> есть среднее значение А на состоянии у.
Ввиду принципиальной статистичности описания взаимодействий имен-
именно такие средние играют большую роль как в математическом формализ-
формализме, так и в интерпретации теории. В квантовой теории поля, например,
они появляются в виде выражений <оОл.(х.)|0>, где |0> — вакуумный
вектор состояния, a Aixj) — оператор рождения (одночастичного состоя-
состояния) поля А, в точке пространства-времени х-. Экспериментальная ин-
информация может давать средние значения А, отвечающие дополнитель-
дополнительному усреднению по некоторым состояниям у, например, по состояниям
поляризации, если они не фиксируются.
Обозначим через А(у) среднее значение А на состоянии у, а через
[Д/4(\|/)]2 — среднее значение наблюдаемой [ЛЛ(\|/)/] на состоянии у. Иными
словами, ДЛ(\|/) есть среднее квадратическое уклонение значений А от их
среднего значения. Нетрудно доказать неравенство
где А, В — две наблюдаемых. Это показывает, что средний разброс значе-
значений не коммутирующих наблюдаемых А, В, вообще говоря, не может быть
сколь угодно малым. В частности, среди наблюдаемых классического типа
имеются пары сопряженных, которые удовлетворяют соотношению
- [А, В] = 1 (в единицах Планка ft). Такова пара (/я-ая координата, проек-
i
ция 3-импульса на /я-ую ось). Заметим, что коммутатор операторов мо-
может быть тождественным лишь в бесконечномерном пространстве, так
что на внутренних степенях свободы таких пар нет. Для сопряженных пар
имеем АА ¦ АВ > ft, независимо от состояния у. Это соотношение неопре-
неопределенностей Гейзенберга в свое время сыграло большую роль в формиро-
формировании представлений о том, как именно квантовая кинематика согласует-
согласуется с классической в пограничной области «полуклассических» явлений.
Квантовая кинематика 119
Для сюжета нашей статьи важна роль соотношения неопределен-
неопределенностей в образовании концепции виртуальных частиц. При вычислении
таких величин как < 0|J~[ Л,(;с,)|0 > в КТП они представляются в виде
ряда теории возмущений, члены которого отвечают диаграммам Фейнма-
на, подобно изображенным в разделе 1. Если небольшое число первых
членов ряда дают хорошее приближение к экспериментальным результа-
результатам, то можно представлять себе, что соответствующий физический про-
процесс является, в основном, суперпозицией квантовых состояний поля,
отвечающих этим диаграммам. Постулировав реальность таких состоя-
состоянии, мы вынуждены заключить, в соответствии с правилами интерпрета-
интерпретации амплитуд, что эти состояния формируются: а) асимптотически сво-
свободными состояниями (плоские волны) входящих и выходящих частиц,
отвечающих внешних линиям диаграммы; б) состояниями плоских волн
частиц, отвечающих внутренним линиям, для которых нарушено реляти-
релятивистское соотношение между энергией и импульсом: к2 * т2. При этом
слово «формируется» в последней фразе означает примерно: является тен-
тензорным произведением, а подразумеваемые одночастичные состояния —
пространственно-временные. Виртуальные частицы — это названия для
состояния поля типа б), то есть «вне массовой поверхности». Их фор-
формальный статус вполне ясен. Для того, чтобы аргументировать отсутствие
противоречия между законом сохранения энергии — импульса для реаль-
реальных частиц и неравенством к2 * т2 для виртуальных состояний, привле-
привлекается соотношение неопределенностей Гейзенберга, интерпретируемое
в том смысле, что в очень малых пространственно-временных объемах,
где локализованы виртуальные состояния, очень велика неопределенность
сопряженных импульсно-энергетических наблюдаемых.
Гамильтониан. Развитие изолированной квантовой системы (или
изолированной части ее степеней свободы) во времени можно описать,
если постулировать, что оператор U(t), переводящий fo/@)> в |\|/(/)>, лине-
линеен (сохраняет коэффициенты суперпозиции состояний) и унитарен (со-
(сохраняет амплитуды перехода между любыми парами состояний). Вместе с
условием стационарности U(ty + t2) — U(t{) + U(t2) это позволяет заклю-
заключить, что U{t) = ен'я, где Я— наблюдаемая (эрмитовый оператор), назы-
называемая гамильтонианом, или оператором эволюции. Здесь Н имеет раз-
размерность энергии, a tH — размерность действия; действие измеряется в
планковских постоянных й, так что tH — безразмерная величина.
В следующем разделе мы объясним, что в КТП основной задачей
является вычисление оператора s~iS и связанных с ним средних, где опе-
оператор действия S является функционалом от операторов рождения и унич-
уничтожения одночастичных состояний фундаментальных полей.
В случае дискретного спектра Н диагонализируется в ортонор-
мальном базисе |у>: если Н yf)S), то
= e
e"Ej
то есть со-
120 Структура теории элементарных частиц
стояния у стационарны, меняется лишь их фаза. Набор {Е) — это энер-
энергетический спектр системы.
Пусть $ = ?>A)®...<Е> •§(*) — разбиение на секторы состояний, вы-
вырожденных по энергии. Симметрия системы с данным Н падает от пол-
полной кинематической группы U{n) до группы U{nx)'x-...'x-U{n^ , сохраняю-
сохраняющей динамику (коммутирующей с Н); эта группа состоит из наборов от-
отдельных унитарных вращений в каждом секторе. (Выбор t/или SU, в силу
сказанного выше о фазе, связан с учетом взаимодействий.)
Нарушение симметрии. Предположим, что гамильтониан некото-
некоторой системы представляется в виде Н = #„ + Н1 + Щ, причем по HQ
система полностью вырождена (Но = умножение на Ео), я.Нхта Н2 невели-
невелики по сравнению с #0 (то есть их собственные значения много меньше Е^).
Пусть G[ — динамическая группа симметрии гамильтониана Но + Нх\
аналогично определяются G2 и G]2- Тогда //определяет иерархию нару-
нарушенных симметрии
Эта иерархия содержит меньше информации, чем сами гамильто-
гамильтонианы: она сохраняет сведения о секторах вырожденных состояний, но
забывает про точные спектры. Со времени открытия 5Х/C)рсимметрии
оказалось, что именно такой пакет данных — иерархия нарушенных сим-
симметрии — есть очень удачный промежуточный этап на пути от классифи-
классификации экспериментальных результатов к выбору отвечающих им структур
в квантовой теории поля.
Когда стационарные состояния в 1д реализуются физическими
частицами, энергетический спектр тесно связан со спектром масс частиц,
поскольку в системе покоя плоской волны к2 = Е2 (= т2). Отвлекаясь от
того, что асимптотически свободными кварки могут быть лишь на рас-
расстояниях, малых по сравнению с адронными, и что поэтому речь может
идти лишь об их эффективных массах в разных процессах, мы можем
рассмотреть с описанной точки зрения нарушенную симметрию SUC)p
действующую в пространстве
. Она нарушается тем, что ти ~ 4 МэВ,
md » 7 МэВ, ms « 150 МэВ.
Как уже говорилось, характер взаимодействия в КХД таков, что
цветные частицы оказываются запертыми в небольшом объеме с линей-
линейными размерами ~ 10~13 см. В силу соотношения неопределенностей без-
безмассовые кварки имеют энергию порядка B-10~п МэВ-см)/10~~13 -200 МэВ.
Учет коэффициента дает энергию — 400 ГэВ. Для трех кварков полная
энергия порядка 1200 ГэВ, что близко' к массе нуклона и объясняет ее
происхождение. Видно, что с очень большой точностью можно прене-
Квантовая кинематика 121
бречь ти и md и считать и и d кварки эквивалентными; это объясняет
изотопическую симметрию. Точность ^(ЗЭ^-симметрии, для которой нужно
пренебречь ms, хуже.
Представления. Вспомним теперь, что группы SU{2)X и 5{^3)гбыли
сначала открыты как группы приближенных симметрии наблюдаемых
состояний элементарных частиц, входящих, например, в два октета из
табл. 1.
Действие SUC)f на восьмимерном пространстве, порожденном,
скажем, мезонными состояниями, — это пример линейного представле-
представления. Симметрия, точная или нарушенная, которая отвечает группе G или
диаграмме ее подгрупп, может быть реализована на разных пространст-
пространствах,-и анализ имеющихся возможностей чисто математически, в терми-
терминах тензорной алгебры, приводит к выводам, имеющим важное физичес-
физическое истолкование. Сформулируем несколько результатов о представлени-
представлениях и дадим примеры их приложений.
а) Пусть группа G представлена унитарными операторами в неко-
некотором гильбертовом пространстве 0, то есть задано соответствие g —> 1\g),
где g e G, J\g) — оператор со свойством 7\g,g2) = T\glO\g2). Предполо-
Предположим, что любое подпространство в ф, инвариантное относительно дейст-
действия всех операторов 7\g), либо совпадает со всем ф, либо состоит только
из нулевого вектора. Тогда представление G в § называется неприводи-
неприводимым. Пример: представления S2JB) группы SU{2) (где 2 — фундаменталь-
фундаментальное представление, /= 0, 1/2, 1, 3/2, ..., S11 — симметрическая степень).
Еще один пример: представления группы SUQ) вида SaC) и Sb( 3), где 3 —
фундаментальное представление, 3 — сопряженное к нему. Тензорное
произведение представлений, скажем, ТХ<&Т2, есть представление на про-
пространстве §1<8>.§2 операторами (Tx®T2){g) = Tx{g)®T2{g). Операторы тен-
тензорной степени 1®п — перестановочны с симметризацией и антисиммет-
антисимметризацией и потому определены на тензорах соответствующей симметрии.
б) Два представления группы С называются эквивалентными, если
их пространства связаны унитарным изоморфизмом, который перестано-
перестановочен с операторами 7\g). Для многих групп, в том числе для групп SU(n),
можно расклассифицировать с точностью до эквивалентности все непри-
неприводимые представления и доказать, что любое представление распадается
в прямую сумму попарно ортогональных неприводимых секторов.
в) Неприводимые представления можно описывать разными спо-
способами. Если нас интересует преимущественно само пространство пред-
представления и его тензорный состав, то удобно воспользоваться конеч-
конечным числом фундаментальных представлений, в тензорной алгебре кото-
которых лежат все остальные. Так, имеется реализация представления SUC)f в
пространстве мезонного октета 8 в виде 3 ®3 = 8 + 1 A отвечает и п +
+ d d + s s), которая и является выражением утверждения о том, что
мезоны состоят из кварков и антикварков.
9 - 2998
122 Структура теории элементарных частиц
Если мы хотим эффективно описать индивидуальные вектора со-
состояний в пространстве представления, то следует выбирать собственные
векторы для максимальной подгруппы вида f/( I) х... х {/A) (или системы
ее коммутирующих генераторов). Соответствующие собственные значе-
значения суть квантовые числа состояний. Их дискретность является прямым
следствием того, что все неприводимые представления группы U{1) одно-
одномерны и нумеруются целыми числами:
Tm(eia>) = eima, m = 0, ±1, ±2, ...
Весовые диаграммы табл. 3 располагают частицы по квантовым
числам, которые отвечают коммутирующим генераторам Y, /3, С алгебр
Ли suC)f и suD){.
Разберем вкратце с описанной точки зрения схему гипотетичес-
гипотетического ^^-объединения фундаментальных частиц и взаимодействий. Бу-
Будем выписывать явно только степени свободы, отвечающие слабому изо-
спину и цвету, и ограничимся первым поколением — остальные тракту-
трактуются точно так же. Левые частицы первого поколения таковы:
, e+L, ul, dL.
Их SUB)W x SUC)C — состав, согласно предыдущему, имеет вид:
2W®1C + 2W®3C + 1W®1(:+1W<8>3C+1W®3C.
Рассмотрим группу SUE) з SU{2)W x SUC)e с фундаментальным
представлением 5 = 2yj8>\e +1W®3C. Сделаем такие отождествления:
| е\ , dL \ = 2W ® 1С + \w ® Зс = 5 {2W и 2W эквивалентны),
Промежуточные бозоны, переносящие 15'1/E)-взаимодействия, при-
принадлежат 24-мерному подпредставлению в 5 <8> 5 :
у, IV, Z X, У, X, Y
Распады. Последняя тема этого параграфа — очень полезная фе-
феноменологическая схема, описывающая распад квазистационарных со-
состояний в терминах неэрмитового гамильтониана. Такие состояния поля,
как короткоживущие элементарные частицы, строго говоря, не могут быть
поняты вне взаимодействий, обусловливающих распад. Простейший спо-
способ учета этих взаимодействий состоит в том, чтобы постулировать вре-
временную эволюцию квазистационарного состояния \\\i> вида
Квантовая кинематика 123
где Е — Ео — iF/2; Ео, Г > 0 — вещественные числа, Ео — средняя
энергия состояния, Г — ширина распада, обусловливающая экспоненци-
экспоненциальное вымирание состояния за время, пропорциональное Г. Смысл такого
описания проясняется, если попытаться представить \\y(t)> для t > 0 в
виде комплексной суперпозиции векторов |ц/@)>е~'?'с разными энергия-
энергиями (массами) и интерпретировать коэффициенты представления g(E) (то
есть преобразование Фурье функции \\\i{t)> ) как «амплитуду вероятнос-
вероятности для ц! иметь энергию Е». Тогда соответствующая плотность вероятнос-
вероятности — квадрат модуля амплитуды — примет вид
Г 1
2% (E - EoJ + Г2 / 4 '
Итак, в этой схеме распадное состояние со средней энергией Ео и
шириной Г есть континуальная суперпозиция состояний с выписанной
плотностью энергии. Само состояние можно сопоставить с полюсом этой
плотности (или, лучше, соответствующей амплитуды) в комплексной плос-
плоскости энергий, вычет в этом полюсе (с точностью до множителя) являет-
является шириной, а вещественная часть — энергией.
Последнее утверждение — о связи физических состояний с полю-
полюсами амплитуд — имеет очень общее значение и широко применяется в
КТП. В общем случае амплитуда, конечно, не обязана иметь такую про-
простую (брейт-вигнеровскую) форму, как в нашем модельном примере.
3.4. Квантование и вторичное квантование
О квантовании. Общая схема квантовой кинематики, описанная
выше, наполняется реальным содержанием, если у нас есть способы яв-
явной конструкции пространств состояний и операторов наблюдаемых, ко-
которые отвечают интересующим нас системам.
В период становления квантовой механики было обнаружено, что
для ряда важных систем (атом, как система многих электронов в кулонов-
ском поле; электромагнитное поле) конструкция квантового описания
может производиться в два шага: а — введение соответствующей класси-
классической гамильтоновой системы; б — замена ее классических наблюдае-
наблюдаемых квантовыми (некоторыми операторами) с помощью определенных
правил. Эта процедура стала называться квантованием.
В период становления квантовой теории поля было обнаружено,
что включение квантовополевых степеней свободы, учитывающее несо-
несохранение полного числа частиц, может быть произведено с помощью рас-
рассмотрения прежних волновых функций частиц как операторов на новом
пространстве состояний, скажем, на тензорной алгебре, порожденной
124 Структура теории элементарных частиц
одночастичными состояниями, точнее — ее части с должными условиями
симметрии (пространство Фока). Эта процедура получила название вто-
вторичного квантования.
Гамильтонова механика и квантование. В механике Ньютона дви-
движение точки в силовом ноле определяется дифференциальным уравнени-
уравнением (ускорение = сила х масса) и начальными условиями. Солнечная систе-
система является образцом хорошо изолированной системы N точек, движу-
движущихся в силовом поле, создаваемом ими всеми. Математически мы мо-
можем рассматривать одну точку, но в 6Л^-мерном пространстве координат
и проекций импульсов всех планет. Оно называется фазовым пространст-
пространством системы.
Математическое описание изолированной классической системы
с и степенями свободы, от которого удобно переходить к квантовому опи-
описанию, — это гамильтонова механика. В гамильтоновой механике системе
ставятся в соответствие три объекта:
а) фазовое пространство М размерности 2л, на котором выделен
класс локальных координат (<7,-, />,), / = 1,..., л, называемых каноническими.
б) скобка Пуассона, то есть операция {/", g), определенная для лю-
любых двух наблюдаемых (дифференцируемых функций на М) в любой ка-
канонической системе координат формулой
fc Эр, dp, dq
Существенно, что {/", g] не зависит от того, в какой системе коорди-
координат эта функция вычисляется; это требование может служить определени-
определением всего класса канонических координат, если скобка Пуассона задана.
Фазовое пространство и скобка Пуассона на нем полностью опре-
определяют кинематику системы. Как и в квантовом случае имеется важный
класс систем, допускающих кинематическую группу симметрии G: то есть
это орбиты G в ее коприсоединенном представлении.
Динамику определяет последний объект:
в) гамильтониан Я (наблюдаемая энергии).
Чтобы написать уравнения движения, достаточно знать скорость
изменения со временем любой наблюдаемой. Эта скорость определяется
скобкой Пуассона и гамильтонианом по правилу:
вдоль любой траектории движения. В канонических координатах получа-
получается классический вид уравнений движения:
дН ' дН
q р
Квантовая кинематика 125
Из них видно, что гамильтониан Н постоянен вдоль любой траек-
траектории: уравнение эволюции для Н имеет вид: dH/dt - {#, Н). (Гамильто-
новы уравнения, в которых Я зависит от времени, используются для при-
приближенного учета внешних воздействий на систему или обмена энергий с
неучтенными степенями свободы, скажем, тепловой диссипации.) Еще
один важный инвариант, сохраняющийся при эволюции, это фазовый
объем любой области U с М, который определяется выражением
\aqx...dqndpx...dpn,
и
если U целиком покрывается каноническими координатами (q, р). Его
ограничение на поверхности постоянной энергии Н— const, по которым
происходит классическое движение, играет большую роль при статисти-
статистическом описании классической системы, когда фазовый объем области
пропорционален вероятности пребывания в ней состояния системы. Эта
роль фазового объема сохраняется в КТП, где при вычислении вероят-
вероятности переходов из начального состояния рассеяния в конечное (скажем,
системы плоских волн), классические степени свободы входят в эту веро-
вероятность в виде множителя, пропорционального фазовому объему конеч-
конечных состояний. Пусть теперь задана классическая гамильтонова система
(М; скобка Пуассона; 0). Ее квантованием называется построение кванто-
квантовой системы (s&, H) со следующими правилами соответствия: имеется
выделенная алгебра Ли наблюдаемых на М (относительно скобки Пуассо-
Пуассона), которая содержит Я и некоторую полную систему наблюдаемых, а
также ее представление эрмитовыми операторами в 0, / -> / , при кото-
котором скобка Пуассона {f, g) переходит в квантовый коммутатор i[/, g].
Все известные рецепты являются более или менее изощренными
модификациями следующего классического правила. Выберем канони-
каноническую систему координат (q, p) на М и положим:
1д — {комплексные функции от q со скалярным произведением \fg) ;
qk = умножение на qk;
. д
Н = H(qu...qn;pu...pn).
Последняя запись, вообще говоря, не определена однозначно из-
за того, что в выражение нужно подставить некоммутирующие операторы
вместо коммутирующих координат. Эта трудность не возникает для клас-
классических гамильтонианов точки в потенциальном поле Н= Т\р) + V{q),
где Т — квадратичная функция от импульсов, а V — потенциал.
126 Структура теории элементарных частиц
Гармонический осциллятор с точки зрения гамильтоновой механи-
механики. Рассмотрим гамильтонову систему с М= R2n, Я= Цр) + V(q), где обе
функции Ти Кквадратичны, причем «кинетическая энергия» Тположитель-
Тположительно определена. Нетрудно доказать, что тогда в подходящей системе кано-
канонических координат (которую мы по-прежнему будем обозначать р, q),
гамильтониан примет вид
Это означает, что система распадается в прямое произведение п
независимых подсистем — мод колебаний, описываемых гамильтонианами
Каждая мода есть одномерный гармонический осциллятор (при ы] > 0).
И классическое, и квантовое движение гармонического осцилля-
осциллятора поддается полному расчету, и уже по одной этой причине осцилля-
осциллятор является прекрасной моделью. Но есть более глубокая причина, по
которой осцилляторы вездесущи. В механике общее потенциальное дви-
движение с Н= 1\р) + V{q) допускает точки равновесия: траектории (q°, 0),
для которых dV(q°) = 0. Вблизи этих точек К имеет вид
V{q) = V{q°) + S g^ ;
+ слагаемые более высокого порядка малости по разности \{q, -qf) .
Если квадратическая форма, аппроксимирующая Квблизи q°, поло-
положительно определена, то отвечающие ей траектории осциллятора аппрок-
аппроксимируют «малые колебания» системы вблизи положения устойчивого
равновесия.
В КТП этот механизм работает при вычислении первых кванто-
квантовых поправок к классическому движению системы. Поскольку принцип
действия можно интерпретировать как утверждение, что классическая
динамика системы «есть ее равновесие в пространстве-времени» (вместо
потенциала V следует работать с действием S), квантовые флуктуации
вокруг классической траектории в первом приближении описываются
системой квантованных осцилляторов.
Приведем теперь основные результаты квантования одномерного
осциллятора с Я = A/2) (jP-/m + ma^q2). Квантовый гамильтониан
Я = — l-^
2m{ dq2
Квантовая кинематика 127
в пространстве функций от q с подходящими условиями убывания имеет
стационарные состояния:
отвечающие однократному спектру Еп = (п+ 1/2) (как всюду, мы считаем
действие безразмерным, измеряя его в единицах Планка й).
Пространства Фока. Более общо, пусть 0 — пространство состоя-
состояний некоторой системы, которую мы будем называть частицей, и пусть
эта- частица есть бозон или фермион. Это означает, что $"$ в бозонном и
Лт0 в фермионном случае суть пространства состояний системы т таких
частиц, а пространства Фока S($) или Л@) (точнее, некоторые их по-
пополнения) суть пространства состояний неопределенного числа таких
частиц. Так как в процессах частицы рождаются и уничтожаются, можно
пытаться описывать состояния квантовых полей векторами из таких про-
пространств, или более общо, из пространств вида
где •$,•, Щ — пространства одночастичных состояний разных сортов бо-
бозонов и фермионов, заложенных в теорию.
Пусть {\|/р..., ч/т, ...} — ортонормированная базисная система со-
состояний в 0. Положим
где операторы симметризации S и антисимметризации Л следует приме-
применять в бозонном и фермионном случаях соответственно. Множители с
факториалами поставлены для того, чтобы векторы \av ..., ат> были нор-
нормированы. Такой вектор изображает состояние сложной системы, состо-
состоящей из а, частиц в состоянии у,,..., ат частиц в состоянии \ут. В ферми-
фермионном случае а; = 0 или 1 — иначе антисимметризация дает нуль. Вектор
|0, ..., 0> называется вакуумным.
Состояния |а,, ..., ат> образуют полную ортонормированную сис-
систему. Естественные операторы, действующие в пространстве рядов — это
дифференциальные операторы по независимым переменным с коэффи-
коэффициентами, зависящими от этих переменных. Такие операторы порожде-
порождены умножениями на переменные ц/; и частными дифференцированиями
Э/Э\|/, • Принято рассматривать вместо этого операторы рождения а(ч/() и
уничтожения а+(ч/(), отличающиеся числовыми множителями. В бозон-
бозонном случае они имеют вид:
128 Структура теории элементарных частиц
o+(v|/,)|a,...a,...) = Ja, +l|fl,...fl, + 1...),
a(v|/,)|a,...a,...) = ^о7|а,...о,. - 1...).
В фермионном случае применимы аналогичные формулы: следует
лишь считать вектор \av..ar..> нулевым, когда хоть одна из координат а,
отлична от 0 или 1, и добавить в правой части множитель (-1) +- + "'-1.
Для любого одночастичного состояния у - ЕХд,- положим
Операторы рождения и уничтожения а(\)/) и а+(у), описанные этими
формулами, не зависят от выбора исходной базисной системы состояний
и удовлетворяют системе коммутационных соотношений
где [А, В]± = АВ ± ВА, и знак плюс относится к фермионам, а знак
минус — к бозонам.
В формализме вторичного квантования очень удобной и физи-
физически информативной формой записи является выражение всех объек-
объектов через операторы рождения и уничтожения. Вместо вектора состоя-
состояния \ау..ат...> мы можем написать (с точностью до числового множителя)
а+(ц/1)°1...а+(ч/,и)о'"|0). Если (\^) — система стационарных одночастич-
ных состояний с энергиями Et, то гамильтониан многочастичной систе-
системы при отсутствии взаимодействия равен просто T.Efl+(\i/?)a(\y^. Взаимо-
Взаимодействие учитывается добавлением дополнительных мономов от операто-
операторов рождения и уничтожения.
Продолжая эту линию рассуждений, мы можем считать исходным
объектом не пространство Фока, а алгебру операторов с выписанными
соотношениями коммутации; пространство же многочастичных состоя-
состояний вводить апостериори как пространство представления этой алгебры.
При некоторых предположениях о представлении можно показать, что
оно эквивалентно фоковскому, но в реалистических моделях положение
сложнее. Вкратце можно сказать, что в КТП вычисляют выражения типа
стараясь обойтись при этом без явного описания всего представления
алгебры операторов и функционально-аналитического контекста, в кото-
котором все такие выражения были бы формально хорошо определенными
математическими объектами. Значительная часть таких вычислений со-
состоит в том, что сначала пишутся формальные выражения (расходящиеся
ряды из расходящихся интегралов и т.п.) для искомых величин. После
Квантовая кинематика 129
этого они регуляризируются посредством введения дополнительных па-
параметров (обрезающие импульсы или расстояния, массы безмассовых
частиц, комплексная размерность пространства-времени) и изучения того,
как устроена сингулярность интересующих нас величин при физичес-
физических значениях параметров. Регуляризированным значением может на-
называться, скажем, следующий после сингулярного член ряда Лорана по
параметрам.
В следующем разделе мы обсудим теорию лагранжиана: рецепты,
по которым информация об одночастичных состояниях и симметриях
перерабатывается в формулы для плотности действия и взаимодействия
фундаментальных частиц.
4. Лагранжиан
4.1. Действие
Мы уже упоминали, что среди траекторий гамильтоновой системы
с гамильтонианом Н = Т\р) + V{q) есть положения равновесия — точки
фазового пространства (q°, 0), которые являются стационарными точками
наблюдаемой потенциальной энергии: в них разность V(q° + dq°) — V(q°)
имеет второй порядок малости по dq°, то есть rfK= 0.
Содержание классического принципа действия для этой модели
состоит в том, что все траектории системы, а не только положения равно-
равновесия, являются стационарными точками подходящего функционала. Этот
функционал определен на пространстве кривых в фазовом пространстве,
параметризованных временем /, с фиксированными концами:
Его значение на кривой называется действием вдоль этой кривой
и определяется интегралом
'i
•У(У) = jpdg - Hdt = JLdt,
г 'о
где L — лагранжиан. Обращение в нуль первой вариации действия 5? = 0
(при вариации у с закрепленными концами) равносильно уравнениям
Гамильтона.
Рассмотрим вообще классическую систему, которая состоит из
совокупности полей в пространстве-времени, скажем, <р. Предположим,
что на кинематически возможных значениях полей в области U простран-
пространства-времени задан функционал S(U, <p), причем классические траекто-
траектории системы являются экстремалями этого функционала: 8S — 0. Тогда
мы можем сказать, что динамика системы описывается вариационным
принципом. Функционал S, будучи определен на всех траекториях, а не
только удовлетворяющих уравнениям движения, вообще говоря, не опре-
определяется по этим уравнениям однозначно. Но квантовая теория, в кото-
которой ряд вычислений может интерпретироваться именно как усреднение
exp(i?(?/, ф)) по всем классическим траекториям, показывает большую
фундаментальность правильно выбранного функционала действия, чем
самих уравнений.
Лагранжиан 131
Рассмотрим общие свойства классического функционала дейст-
действия, которые являются исходными также в КТП.
Аддитивность по областям пространства-времени. Если область U
разбита в объединение ?/,и?/2 непересекающихся подобластей, то S(U, ф) =
= S(U}, ф) + S(U2, ф). Этот принцип выражает локальность функционала
действия. Будем разбивать область на все более мелкие кусочки; если
количество действия в малом 4-объеме станет почти пропорционально
этому объему, значит, функционал действия имеет плотность Дф) и пи-
пишется в виде
S(U, ф) =
и
Плотность действия Цф) называется лагранжианом. В интересую-
интересующих нас случаях она является функцией от компонентов полей и их про-
производных по пространству-времени.
Аддитивность по полям. Предположим, что система полей ф раз-
разбивается на две подсистемы: ф = (фр ф2). Тогда действие и его плотность
часто естественно представляется в виде суммы трех слагаемых:
M<Pi) + M(P2) + 41.((Pi.4>2)>
отвечающих действиям ф,, ф2 по отдельности и их взаимодействию. Если
член Lm отсутствует, то поля ф! и ф2 классически совершенно независи-
независимы: динамические уравнения для ф имеют вид 8L, = 0 и 8Z,2 = 0.
В общем случае эти уравнения принимают вид ЬЬХ + 5,Z.int = 0 и
SZ^ + S2Lint = 0, и популярный способ неполного учета взаимодействия
состоит в том, чтобы рассматривать каждое из этих уравнений в отдель-
отдельности («частица во внешнем поле» и «поле, порожденное источником»).
В КТП лагранжианы свободных полей материи и электромагнит-
электромагнитного поля квадратичны по полю и приводят к линейным уравнениям
движения. Но это уже не так для лагранжиана свободного поля Янга—
Миллса с неабелевой группой, отвечающего за взаимодействие. По об-
общей идеологии, унаследованной от квантовой электродинамики, члены
лагранжиана, кубичные и биквадратные по полям, рассматривают как
возмущение и иногда называют самодействием.
Симметрии. Когда кинематические характеристики всех полей,
подлежащих учету, выбраны, и решено, что функционал действия лока-
локален, для выбора лагранжиана все еще остается свобода. Еще два круга
принципов ограничивают эту свободу: а — инвариантность относительно
фундаментальных симметрии теории; б — перенормируемость.
К числу важнейших теоретических принципов симметрии, утвер-
утвердившихся за последнее двадцатилетие, относится требование, чтобы лаг-
лагранжиан был инвариантен относительно калибровочных преобразований,
связанных с внутренними группами симметрии. Калибровочные преоб-
преобразования осуществляют вращение во внутренних степенях свободы, свое
132 Структура теории элементарных частиц
в каждой точке пространства-времени. Они будут описаны с геометри-
геометрической точки зрения в следующем параграфе.
Перенормируемость есть свойство лагранжиана, состоящее в том,
что при квантовополевых расчетах по теории возмущений для устранения
ультрафиолетовых расходимостей достаточно произвести перенормиров-
перенормировки конечного числа масс и констант связи. Объясним формальную сторо-
сторону дела несколько подробнее.
Если ограничить порядок производных, входящих в лагранжиан
(обычно ограничиваются первым порядком) и потребовать, чтобы он был
полиномиально ограниченной степени, останется лишь конечное число
независимых возможностей для выбора лагранжианов свободных полей
и взаимодействий. (Требования симметрии еще во много раз уменьшают
их число.) Свободные коэффициенты при независимых выражениях та-
такого рода интерпретируются как затравочные массы и коэффициенты
связи, измеряющие силу взаимодействия. Если они не фиксируются
симметрийными соображениями, то должны вводиться руками, то есть
из эксперимента. Эти константы, вообще говоря, являются размерны-
размерными, и их физическая размерность определяется тем, что L есть плот-
плотность действия.
Вычисляя по теории возмущений амплитуды, сечения, ширины и
пр., мы получаем ряд по константам связи, причем коэффициенты этого
ряда, грубо говоря, содержат степени энергии виртуальных частиц, нуж-
нужные, чтобы сделать соответствующий моном безразмерным. По энергиям
виртуальных частиц производится суммирование (суперпозиция), и если
обезразмеривающие степени энергии слишком велики, интеграл расхо-
расходится на верхнем пределе: это и есть ультрафиолетовая расходимость.
Перенормировка есть регулярная процедура устранения таких расходи-
расходимостей (по крайней мере, в каждом члене ряда, потому что весь ряд прак-
практически всегда является расходящимся и может рассматриваться лишь
как асимптотический). Требование перенормируемости ограничивает мак-
максимально возможные степени полей в лагранжианах и резко сужает класс
допустимых возможностей.
Долгое время сама процедура перенормировки рассматривалась
только как прагматический рецепт извлечения осмысленных результатов
из бесконечных выражений. Сейчас перенормируемость наряду с калиб-
калибровочной инвариантностью возводится в принцип отбора теорий. Это
ставит ряд вопросов о физическом смысле этого принципа, из которых
отметим следующие.
а) Перенормируемость современных калибровочно-инвариантных
теорий со спонтанно нарушенной симметрией обычно доказывается с по-
помощью специальной процедуры — размерной регуляризации. Как мы уже
упоминали, искусственно вводимым переменным параметром в ней яв-
является размерность пространства-времени л; при физическом значении
Лагранжиан 133
п — 4 у амплитуд возникают особенности. Перенормировка дает рецепт
их устранения. Было бы жаль, если бы это замечательное обстоятельство
оказалось лишь неинтерпретируемым фрагментом формализма.
б) Проблема конфайнмента в квантовой хромодинамике привела
к ряду подходов, в которых подчеркивается нелокальная и непертурба-
тивная природа калибровочной теории. Означает ли перенормируемость
что-нибудь находящееся за пределами теории возмущения?
в) Поиск все новых групп симметрии привел за последнее десяти-
десятилетие к качественному прорыву: обнаружению того, что существует мате-
математическая формулировка принципов симметрии, перемешивающих поле
с разными спинами и внутренние степени свободы с пространственно-
временными. Это происходит в моделях суперсимметрии и супергравита-
супергравитации. В них повышение симметрии сопровождается резким подавлением
расходимостей.
4.2. Калибровочные поля и калибровочная инвариантность
Поля, расслоения и связности. Рассмотрим некоторую фундамен-
фундаментальную частицу, лептон или кварк. Как было объяснено выше, с ней
связано гильбертово пространство одночастичных состояний, элементы
которого могут записываться в виде, скажем, qa.(x), где q — символ частицы,
х — точка пространства-времени, а — цветовой индекс, ay — аромат квар-
кварка. Кварковое поле qaJ(x) в точке х принимает значения в пространстве
внутренних степеней свободы. Оно может быть функцией, обобщенной
функцией или обобщенным оператором рождения одночастичного состоя-
состояния (в этом случае оно приобретает смысл после сглаживания).
Мы хотим обратить внимание на то, что внутренние состояния
частицы в разных точках пространства-времени, вообще говоря, не сле-
следует отождествлять заранее, ибо постулат о возможности такого отождес-
отождествления является физическим, а не математическим. Действительно, для
сравнения, скажем, поляризационного состояния двух частиц мы долж-
должны переместить их в одну точку пространства-времени. Но может ока-
оказаться, что результат такого сравнения будет зависеть от истории переме-
перемещения, и тогда абсолютное утверждение о том, что исходные состояния
поляризации совпадали или не совпадали, лишено смысла.
В действительности так и оказывается: в эксперименте Аароно-
ва—Бома наблюдается интерференция двух пучков электронов, обходя-
обходящих разными путями область магнитного потока, которая индуцирует
относительное вращение квантово-механической фазы.
Математическое оформление этих соображений состоит в приня-
принятии трех принципов: а — одночастичные состояния полей материи суть
сечения векторных расслоений над пространством-временем, у которых
слоем в каждой точке служит внутреннее пространство; б — поля-пере-
134 Структура теории элементарных частиц
носчики взаимодействий суть связности в таких расслоениях; в — дейст-
действие инвариантно относительно калибровочной группы, вращающей сте-
степени свободы независимо в каждой точке.
Поясним входящие сюда понятия.
Расслоение — это два дифференцируемых многообразия Е, М и
проекция одного на другое п: Е -> М. Сечение расслоения — это отобра-
отображение у: М -> Е, такое, что для каждой точки х и М имеем п\у(х) = х, то
есть значение \у(х) лежит в слое п над точкой х. В интересующих нас
ситуациях М — пространство-время, а слои я — внутренние степени сво-
свободы. Простейший пример расслоения — прямое произведение М х F,
где F— постоянный слой. Сечения такого расслоения суть функции на М
со значениями в F. Самый известный физический пример, требующий
введения нетривиального расслоения, — конструкция волновых функций
заряженной частицы в поле монополя Дирака. Попытка установить об-
общее начало отсчета фазы во всех точках пространства-времени (без миро-
мировой линии монополя) ведет к появления разрывов фазовых множителей.
Эти нефизические разрывы полностью устраняются при адекватной трак-
трактовке волновой функции как сечения нетривиального расслоения. Физи-
Физические эффекты таких глобальных топологических степеней свободы в
разных ситуациях все лучше осознаются в последние годы.
Пусть Е -» М — некоторое расслоение. Представим себе, что для
каждого пути переноса g из точки х в точку у пространства-времени М и
для каждого начального внутреннего состояния \у(х) частицы в точке х
задано конечное состояние н/(у), получающееся в результате переноса
вдоль у. Такой набор параллельных переносов называется связностью в
расслоении Е. Нам придется рассматривать только те связности, парал-
параллельные переносы для которых являются линейными операторами.
Потенциалы, напряженности и кривизна. Связности выглядят
(и являются) объектами другой природы, чем волновые функции мате-
материи. Стандартный способ сблизить их описания состоит в том, чтобы
охарактеризовать связность бесконечно малыми переносами, или, что то
же, ковариантными производными. Ковариантное дифференцирование
по координате х^ — это оператор, действующий на сечениях расслоения
материи:
где/, к — внутренние индексы. Если вдоль кривой g сечение удовлетворя-
удовлетворяет уравнению Vvj/ = 0, то оно называется ковариантно постоянным, и
соответствующие ему внутренние состояния связаны параллельным пе-
переносом. Компоненты матрицы А называются потенциалами поля связ-
связности. По лоренцовскому индексу \х они ведут себя как векторные поля
материи, то есть поля спина 1, в связи с чем кванты таких полей называ-
Лагранжиан 135
ются векторными бозонами. Но при таком описании отличие их от полей
материи формально проявляется в другом законе преобразования отно-
относительно смены координат во внутренних пространствах (пассивная точ-
точка зрения) или действия калибровочной группы симметрии (активная точка
зрения). Именно, если v|/'(x) = U(x)y(x), то
VMv/ = 5,У + (UAmU~l + dJU-U-xW,
то есть
Здесь существенен член dJJ ¦ U'1, учитывающий зависимость ка-
калибровочного вращения от точки пространства-времени; без него мы бы
получили просто внутреннее вращение в пространстве матриц или, тех-
технически говоря, в присоединенном представлении группы.
Именно таким простым законом преобразования обладает поле
напряженностей
Это можно проверить формально, но лучше убедиться, что F
имеет простой геометрический смысл: 1 + e?F есть (с точностью до е3)
матрица параллельного переноса вдоль замкнутой петли, которая пред-
представляет собой параллелограмм со сторонами s по направлениям а/сЬсм
и д/дх". Отличие F от нуля есть свидетельство наличия кривизны во
внутренних степенях свободы.
Как мы увидим ниже, поля связности входят в лагранжиан в чле-
членах двух типов. Собственная плотность действия поля А есть (с точ-
точностью до множителя) след квадрата матрицы F (усредненный по цу), а
взаимодействие с материей учитывается посредством членов с ковариан-
тной производной V ш.
4.3. Структура лагранжиана
Свободные поля материи. Классические лагранжианы для ска-
скалярных (спин 0) и спинорных (спин 1/2) полей материи ф и vj/ имеют вид:
дмф+д"ф - /л2ф+ф,
-rfwV^vi/ - S^ijjy1» - /mj7v|/.
Коэффициент т при квадратичном по полям члене в обоих случа-
случаях интерпретируется как масса кванта соответствующего свободного поля.
Проще всего объяснить это, если написать уравнение движения Ы = 0,
отвечающее этим лагранжианам, и подставить в него плоскую волну uelkx.
Для 4-вектора энергии импульса получится соотношение к2 — т2.
136 Структура теории элементарных частиц
Поля ф, у могут обладать внутренними степенями свободы. В этом
случае вместо массового коэффициента т можно написать общую массо-
массовую матрицу, скажем, vj7M|/. Произведения, стоящие в лагранжиане, до-
должны тогда интерпретироваться как скалярные произведения (свертка по
внутренним индексам).
Ниже мы встретимся с ситуацией, когда в лагранжиан входят чле-
члены типа v|/+#v|/, где Я — поле со своей динамикой, имеющее нетривиаль-
нетривиальное вакуумное среднее <#> . Это вакуумное среднее выступает тогда как
массовая матрица для первоначально безмассовых полей.
Лагранжиан Янга—Миллса. Ковариантную производную пишут в
виде VM = Эм - igAv, где А — поле связности, a g — константа связи (смысл
этого будет виден ниже). Форма кривизны тогда имеет вид
В стандартных моделях матрицы А действуют на следующие сте-
степени свободы:
1еп1 (фазовый множитель) в квантовой электродинамике; тогда
(А ) — фотон;
2W®1S (слабый изоспин <8> 5-поле) в электрослабой модели Сала-
ма—Вайнберга; (А ) — промежуточные бозоны и фотон;
Зс (цвет) в квантовой хромодинамике; (А ) — глюоны.
В частности, [А , Av] = 0 для группы и(\), скажем, U(l)em, но
[А , Av] * @ для неабелевых калибровочных групп. Лагранжиан Янга—
Миллса имеет вид f ^•^а1"'> где а ~ внутренний индекс.
Традиционный метод квантования калибровочного поля состоит
в подходе к нему как к векторному полю материи. При этом возникают
трудности, дли преодоления которых разработана серия приемов ad hoc.
Дадим краткое описание стандартных процедур.
а) Квадратичная по производным «кинетическая» часть лагран-
жиана 2—Ga^G%v, GMV = д^Ау - д^А^, после преобразования Фурье превра-
превращается в вырожденную квадратическую форму, что препятствует стан-
стандартной конструкции пропагаторов и т.п. Причина вырождения прозрач-
прозрачна: наличие группы калибровочных преобразований. Два поля, связан-
связанные калибровочным преобразованием, физически эквивалентны, если
группа симметрии не нарушена. Поэтому можно пытаться выбирать из
каждого класса калибровочно эквивалентных полей одно, удовлетворяю-
удовлетворяющее подходящим условиям калибровки, вроде VA^ - 0.
б) Членов, квадратических по А , в лагранжиане Янга—Миллса во-
вообще нет. Согласно стандартной мудрости, это означает, что А описывает
безмассовые векторные бозоны, которых в природе в свободном состоя-
состоянии, кроме фотона, не наблюдается. В электрослабой модели спасением
Лагранжиан 137
являются постулируемые поля Хиггса, которые «придают массу» трем из
четырех промежуточных бозонов с помощью своих вакуумных средних.
В хромодинамике постулируется невылетание цвета, глюоны спрятаны
в адронных мешках и об их «безмассовости» можно до поры до времени
не беспокоиться.
в) В лагранжиане есть члены третьей и четвертой степеней по А .
Они трактуются как самодействие. Вычисление по теории возмущений
показывает, что в квантовой хромодинамике константа связи gs падает с
ростом переданного импульса, и это оправдывает расчеты процессов по
теории возмущений «до границы мешка».
Взаимодействие бозонов с фермионами, токи. Еще в классической
теории Дирака был предложен рецепт включения этого юаимодействия:
замена в лагранжиане материи обычной производной Зц на ковариант-
ную V . Это приводит к лагранжиану взаимодействия вида gxyyMu/. В абе-
левом случае его можно представить в виде g/M , где ток у определяется
выражением ijry^ . В так называемой V-A теории взаимодействие моде-
моделировалось лагранжианом, который представлял собой произведение двух
фермионных токов или суперпозицию таких произведений. Эта теория
была неперенормируемой, но давала хорошие результаты в первом при-
приближении. В частности, в ней слабое взаимодействие характеризовалось
универсальной (не зависящей от выбора токов) размерной константой
Ферми G ~ 10~5/п ~2 (т — масса протона). В сегодняшней теории (или в
ее рабочем варианте, оперирующем диаграммами и виртуальными части-
частицами) ток испускает виртуальный промежуточный бозон, поглощаемый
другим током. Для того, чтобы хорошая точность модели с ток-токовым
взаимодействием получила объяснение, следует считать виртуальные бо-
бозоны массивными, и обменное взаимодействие происходящим на малых
расстояниях, а теорию сделать перенормируемой. Возможность обеспе-
обеспечить это дают поля Хиггса.
Поля Хиггса, спонтанное нарушение симметрии в динамическое
порождение масс. Поле Хиггса общего вида — это скалярное поле мате-
материи ф с внутренней группой симметрии GH и свободным лагранжианом
вида Эиф+Эцф • Р(<р), где Р — положительный С^-инвариантный поли-
полином, минимум которого достигается не при ф = 0 , а на некоторой нетри-
нетривиальной орбите группы Gg. Классически следует ожидать, что устойчи-
устойчивой конфигурации поля будет отвечать минимум потенциальной энергии Р.
Предположим, что в квантовой картине вакуумное среднее v = <0|ф|0>
реализует этот минимум, и введем новое поле % = <р - v. Массовой мат-
матрицей для х будет матрица вторых производных Р в точке х = 0.
Пусть а ~ размерность группы G, a b — размерность подгруппы С?о,
переводящей v в себя. Тогда массовая матрица будет иметь а - Ъ нулевых
собственных значений, отвечающих направлениям сдвига v группой сим-
10 — 2998
138 Структура теории элементарных частиц
метрии Gjj. Соответствующие безмассовые малые колебания после кван-
квантования отвечают свободным безмассовым частицам Голдстоуна.
Введем теперь частицы, переносящие взаимодействие, которое
отвечает группе GH, то есть а калибровочных полей А . Кинетический
член V ф+У**ф даст лагранжиан взаимодействия поля Хиггса с А вида
g2ip+A^Ajlip, квадратический по А, который для постоянного поля можно
рассматривать как эффективный массовый член для A (g — константа
связи). Оказывается, что он придает ненулевые массы а — Ъ компонентам
поля А , которые отвечают как раз а — b голдстоуновским бозонам. Сами
эти бозоны «пропадают» как отдельные физические поля, поскольку их
можно использовать для фиксации калибровки в соответствующих
направлениях, что превращает их в продольные компоненты калибро-
калибровочных бозонов. Калибровочная G^-симметрия спонтанно нарушается
отсчетом от вакуумного среднего, ненарушенной остается лишь сим-
симметрия Gq.
В стандартной модели электрослабого взаимодействия делаются
следующие выборы: GH = SUB)W x U(l)B, ф — дублет по слабому изоспи-
ну, ф+ — зарядово-сопряженный дублет; Р(ф) = |ф|2 - — • Пусть ф+ —
заряженная компонента ф, ф° — нейтральная; только она может иметь
ненулевое вакуумное среднее в силу сохранения заряда. Ковариантная
производная пишется в виде V,, = Эй - —taA^ - — YB^ , где тв действует
на 2W, Y — удвоенный средний заряд мультиплета (правые компоненты
фундаментальных лептонов eR, vR являются 5'?/B)№-скалярами, и для них
слагаемое А^ опускается). Матрица эффективных масс для компонент Л,
и А2 имеет вид
n2fV 0*) , r\2(g2 gg'
— , , а для Л-5 — и 5-компонент — ,
4 I 0 g2) 4 {gg' g2
Нулевое направление для этой последней матрицы отвечает без-
безмассовому фотону, а ортогональное к нему — нейтральному промежуточ-
промежуточному бозону Z0; Ах и А2 суть суперпозиции W+ и W. Угол смешивания
Вайнберга есть
9u/ = aresin , ь \.
Наконец, заметим, что, постулировав инвариантность полного лаг-
лагранжиана по калибровочной группе слабого изоспина, мы лишились воз-
возможности вводить стандартные массовые члены типа т vj/iy = m (eLeR + e~ReL) ¦
Поэтому массы фермионам в этой модели также придаются динамичес-
Лагранжиан 139
ки, взаимодействием с полями Хиггса. Выпишем соответствующие лагран-
лагранжианы взаимодействия для лептонов одного поколения, скажем, е и v = ve:
oj + {комплексно-сопряженное выражение}
и аналогично для v с другой константой связи f^.
Резюмируем вкратце содержание этого параграфа. Мы перечис-
перечислили ряд типичных скалярных выражений от фундаментальных полей,
которые с соответствующими размерными коэффициентами могут вхо-
входить в классический лагранжиан. Мы описали также несколько рабочих
правил, согласно которым информация вкладывается или считывается
прямо с этого лагранжиана без реальных квантовых расчетов. Эти прави-
правила основаны на аналогиях с квантовой электродинамикой, общих кванто-
вомеханических принципах и сравнении с предшествующими, более фе-
феноменологическими моделями. Там, где мы встречаемся с совершенно
новым явлением — конфайнментом, эти аналогии ничего не дают, и лаг-
лагранжиан хромодинамики выбирается в простейшем виде:
где М — массовая матрица кварков. Электрослабая модель дает больше
пищи воображению.
4.4. От лагранжиана к реальности
В этом параграфе вкратце описано, как теоретическая модель,
воплощенная в лагранжиане, может сравниваться с экспериментом.
Рассмотрим лагранжиан электрослабых взаимодействий, точнее —
ту его часть, которая относится к лептонному сектору. Согласно объяс-
объяснениям предыдущего параграфа, из этого лагранжиана можно извлечь
члены, описывающие амплитуду взаимодействия в одной точке трех час-
частиц — двух лептонов и промежуточного бозона, то есть вершины соответ-
соответствующих диаграмм Фейнмана:
Лангранжиан взаимодействия
10*
140 Структура теории элементарных частиц
Рассмотрим распад ц -> е + ve + v^ . Простейшая диаграмма, ко-
которая может давать вклад в наблюдаемый процесс, должна содержать две
вершины, например, иметь вид, показанный на рисунке.
С экспериментом хорошо согласуется предположение о том, что
такие диаграммы вносят доминирующий вклад в процессы с участием
четырех лептонов и заряженных токов. Точнее, если фиксировать волно-
волновые функции всех частиц, задав их импульсы, внутренние и поляризаци-
поляризационные состояния, мы получим число — амплитуду соответствующего про-
процесса, перемножив амплитуды вершин и амплитуду распространения про-
промежуточной частицы. Надлежащее усреднение квадратов модулей этих
чисел по нерегистрируемым характеристикам дает вероятности, измеряе-
измеряемые уже непосредственно, например, ширину мюона, то есть полную
вероятность его распада в единицу времени.
В формулу для вероятности входят в качестве параметров кон-
константы связи, углы смешивания, массы и т.п. Поэтому часть эксперимен-
экспериментальных данных должна использоваться для определения этих парамет-
параметров, а остальные — для проверки предсказаний соответствующей теоре-
теоретической схемы.
В характеристики рассматриваемых нами лептонных процессов
параметры входят в комбинациях g^/m^t и sin2 9, где mw— массы W±,
8 — угол Вайнберга. Масса промежуточного бозона появляется в столь
простом виде после использования стандартной амплитуды распростра-
распространения в виде
1,2 „2 ^fv 2
к. — тцг \ mw
которая превращается в Щ^/щ? в предположении о том, что передача
импульса к мала по сравнению с массой.
До возникновения теории электрослабых взаимодействий расчет
амплитуд производился на основе формулы точечного четырехфермион-
ного взаимодействия
Лагранжиан 141
Символы частиц обозначают их волновые функции. Здесь G —
«старая» константа слабого взаимодействия, для которой в более рафини-
рафинированной теории получается формула
G J^
7Г
С другой стороны, полная ширина распада мюона (после всех ус-
усреднений) приобретает вид
192я3'
Таким образом, зная g и /nw из других экспериментов и зная сред-
среднее время жизни мюона, мы можем сравнить вычисленное значение Г с
наблюдаемым.
Часть III
КОММЕНТАРИИ
Комментарии к диалогу 1
1. Доклад А. Салама на торжественной сессии ЮНЕСКО в честь
столетия со дня рождения А. Эйнштейна: А. Салам. Последний замысел
Эйнштейна: объединение фундаментальных взаимодействий и свойств про-
пространства-времени. Природа, 1981, 1, 54—59.
2. Лекция С. Хокинга, прочитанная им по случаю вступления в
должность профессора Люкасовской кафедры в Кембридже: С. Хокинг.
Виден ли конец теоретической физики? Природа, 1982, 5, 48-56.
3. По-видимому, в сообществе физиков, работающих в теории эле-
элементарных частиц, господствует мнение, что квантовая хромодинамика
(КХД) и теория электрослабого взаимодействия адекватно описывают со-
соответствующий круг явлений. Разумеется, установление консенсуса, дей-
действующего в данный момент, не является легкой научно-социологичес-
научно-социологической задачей, ЯГ призван быть его носителем, но авторы сознают, что труд-
трудно избежать опасности выдать за консенсус собственные оценки. По по-
поводу аргументов в пользу правильности КХД смотри также Комментарии
к диалогу 5.
4. Ф говорит о книге: Р. Милликен. Электроны (+ и —), протоны,
фотоны, нейтроны и космические лучи. М.—Л.: ГОНТИ, 1939, 17.
Милликен явно утверждает, что новая атомная физика есть реа-
реализация программы Демокрита:
«Вот принципы Демокрита, в том виде, как они были изложены Тин-
далем.
1. Из ничего не происходит ничего. Ничто существующее не может быть разру-
разрушено. Все изменения происходят благодаря соединению и разделению молекул.
2. Ничто не происходит случайно. Всякое событие имеет свою причину, из кото-
которой оно вытекает с необходимостью.
3. Единственные существующие вещи суть атомы и пустое пространство, все ос-
остальное чистое измышление.
4. Атомы бесконечны по числу и бесконечно разнообразны по форме, они посто-
постоянно сталкиваются друг с другом, и образующиеся при этом поперечные движения и
вихри суть начала миров.
5. Разнообразие вещей обусловлено разнообразием их атомов в числе, размере и
сочетаниях.
6. Душа состоит из тонких, гладких и круглых атомов, подобных атомам огня.
Эти атомы наиболее подвижны из всех. Они проникают всюду, насыщая все тела, и из
их движений создаются явления жизни.
Эти принципы, если в них кое-что изменить и кое-что выкинуть, выдер-
выдержали бы экзамен и ныне. Крупные успехи, достигнутые в новейшее время,
заключаются не столько в изменении самих понятий и мнений, сколько в
изменении обоснования их.
146 Комментарии
Ныне же, по крайней мере, у физиков не осталось абсолютно никакой
философии, кроме философии, опирающейся на атомистические основания».
5. Цитируется по: Р. Милликен, там же, с. 24.
«Для сравнения характера движения двух частиц может служить отноше-
отношение их масс е и е', причем подразумевается, что вене' включены массы
весомых атомов, связанные с электрическими атомами. Пусть е — положи-
положительная электрическая частица. Пусть отрицательная будет ей равна и проти-
противоположна по знаку; обозначим ее поэтому через — е (вместо е). Весомый
атом связан только с отрицательной частицей, ее масса становится настолько
большой, что по сравнению с ней массу положительной частицы можно счи-
считать исчезающе малой. В таком случае можно представить себе частицу — е
находящейся в покое, а частицу +е движущейся вокруг частицы — е. Эти две
неодинаковые частицы в описанных условиях образуют амперов молекуляр-
молекулярный ток».
6. SET говорит о классической работе Резерфорда 1911 года: Рассе-
Рассеяние а- и р-частиц веществом и структура атома (Е. Rutherford. Phil. Mag.,
1911, 21, 669—688). Смотри также русский перевод в книге: Э. Резерфорд.
Избранные научные труды. Радиоактивность. Отв. ред. акад. Г. Н. Фле-
Флеров. Сост. и ред. пер. канд. физ.-мат. наук Ю. М. Ципенюк. М.: Наука,
1971.
7. Ш цитирует книгу Р. Милликена, там же, с. 16.
8. Сведения о химии первой половины. XIX века содержатся в книге:
В. Красногоров. Юстус Либих. М.: Знание, 1980, с. 33. Передо мной рас-
раскрыт том «Анналов физики и химии» за 1823 год, в котором опубликован
мемуар Либиха о гремучих соединениях. Среди авторов журнала — Гей-
Люссак, Тенар, Дюлонг, Лаплас, Дэви, Фарадей, Митчерлих... Великие
имена, классические, вошедшие в историю науки работы.
9. О работах Фарадея см.: там же, с. 47.
«В 1825 году Фарадей опубликовал свои наблюдения о том, что углеводо-
углеводороды одного состава (бутилен И этилен) имеют разные свойства. Фарадей
предположил, что по мере развития органической химии число подобных слу-
случаев будет увеличиваться.»
10. О совместных работах Лавуазье и Лапласа см.: Я. Г. Дорфман.
Всемирная история физики с древнейших времен до конца XVIII века.
М.: Наука, 1974, с. 318-326. Представляется вообще очень правдоподоб-
правдоподобным, что именно химическая проблематика — проблема установления
истинного состава химических соединений и связанная с ней проблема
атомных весов — была лейтмотивом большинства исследований по физи-
физике газов, теплоемкостям веществ и связанной с этими темами проблема-
проблематикой. Для оценки ситуации поучительны статьи по общим вопросам
химии в энциклопедическом словаре Брокгауза и Эфрона, написанные
Д. И. Менделеевым и его сотрудниками. См.: Энциклопедический сло-
словарь. СПб.: Изд-во Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон, 1890-1907, статьи Ве-
Вещество A892), Химия A903), Элементы A904).
Комментарии к диалогу 1 147
11. См.: Liste des Laureats du Prix Nobel. Almqwist and Wiksellers.
Uppsala: Boktryckeri Actiebolag, 1967. На русском языке список лауреатов
Нобелевской премии с формулировками наград см. в книге: В. Чолаков.
Нобелевские премии. М.: Мир, 1986.
«Премия за 1908 год: присудить Нобелевскую премию по химии Э. Резер-
форду за исследования по расщеплению элементов и химии радиоактивных
веществ.»
Нобелевская премия была присуждена Марии Кюри в 1911 году
(см. там же).
12. О съезде в Карлсруэ см. обзор Д. И. Менделеева: Д. И. Мен-
Менделеев. Химический конгресс в Карлсруэ. Сочинения. Т. 15. Л.-М.: Изд-
во АН СССР, 1949, 154-165.
Вопросы о разнице между атомами, молекулами и химическими
эквивалентами вызывали столько страстей, что решили прибегнуть к го-
голосованию ~ 150 химиков, собравшихся на Конгрессе.
13. См.: Милликен, там же, с. 25.
«На каждую химическую связь, разорванную внутри электролита, прихо-
приходится определенное, всегда одинаковое количество электричества, прошед-
прошедшее электролит. Это определенное количество электричества я назову Е. Если
мы примем его за единицу электричества, мы, вероятно, сделаем большой
шаг в изучении молекулярных явлений.»
14. Максвелл, по-видимому, был склонен связывать ток с измене-
изменением состояния эфира, а не движением заряда. В 1873 году он писал:
«Совершенно невозможно себе представить, что когда мы придем к по-
пониманию истинной природы электролиза, мы сохраним в какой бы то ни
было форме теорию молекулярных зарядов, поскольку тогда у нас будет про-
прочная основа для построения правильной теории, независимая от этих прехо-
преходящих идей.»
См.: J. С. Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism. Vol. 1.
Oxford: Macmillan, 1873, p. 313. Смотри также русский перевод книги:
Джеймс Кларк Максвелл. Трактат об электричестве и магнетизме. В 2-х тт.
Пер. Б. М. Болотовского и др. Под. ред. М.Л. Левича. М.: Наука, 1989.
(Сер. «Классики науки»).
15. М читает книгу: М. Лауэ. История физики. М.: Гостехтеорет-
издат, 1956, с. 119-120.
16. Недавнее обсуждение истории открытия электрона имеется в
книге: А. Н. Вяльцев. Открытие элементарных частиц: электрон е, фотон у.
М.: Наука, 1981.
17. Ч. Янг. Элементарные частицы. М.: Госатомиздат, 1963, 8.
«Томсон пришел к заключению, что катодные лучи состоят из отрица-
отрицательно заряженных частиц с массой, много меньшей массы ионов, он назвал
их корпускулами, а их заряд, который является основной структурной едини-
единицей электрических зарядов — электроном. В дальнейшем, однако, электрона-
электронами стали называть сами частицы. Таково было рождение первой элементар-
элементарной частицы, открытой человеком.»
148 Комментарии
См.: там же, с. 5.
«Я не могу удержаться от искушения показать вам сначала фотографию
прекрасного скульптурного бюста человека, который первым открыл дверь в
физику элементарных частиц.»
18. Например, в книге: D. Knight. Sources for History of Science.
London, 1975. Цитируется по реферативному сборнику: Методология ис-
торико-научных исследований. М.: Изд-во АН СССР, 1978, 164.
«Задавать вопросы типа: кто открыл хлор или кислород? — дело беспер-
бесперспективное, способное только запутать вопрос о том, чего пытался достичь
ученый и почему его современники проявляли к этому интерес или наоборот.»
19. В книге Г. А. Лоренца «О теории электромагнитных и оптичес-
оптических явлений в движущихся телах», вышедшей в 1895 году и подводившей
итоги предшествующего ей периода исследований, Лоренц писал:
«В предположениях, которые я ввожу, содержится в известном смысле
возврат к более старым представлениям. Сущность идей Максвелла этим не
уничтожается, но нельзя отрицать, что ионы, вводимые мной, не очень отли-
отличаются от электрических частиц, употреблявшихся ранее.»
См.: Н. A. Lorentz. Collected Papers. Vol. V. Hague: Nijhoff, 1937, p. 8.
20. О работах Зеемана смотри в цитированных книгах М. Лауэ
и А. Н. Вяльцева.
21. A. Poincare. L'etat actuel et Pavenir de la physique mathematique.
Bull, des Sciences Math., 1904, ser. 2, 28, 1, 302-304.
22. См.: G. Holton. The Scientific Imagination. Cambridge Univer-
University Press, 1978.
23. Одно из наиболее точных значений получил М. Планк в 1900 го-
году, определяя константы, входящие в его формулу черного излучения.
Результат был приведен в его широко известной книге: М. Plank. Vorle-
sungen bur tidie Theorie der Warmestrahlung. Leipzig: Barth, 1906.
Комментарии к диалогу 2
1. Понятие формальной действительности содержится в рукописи
В. И. Вернадского «Очерки по истории современного научного мировоз-
мировоззрения», написанной на основе лекций, читавшихся в Московском
Университете в 1902-1903 годах. Первые три лекции были опубликованы
в 1902 году в журнале: Вопросы философии и психологии, СПб, 1902, 65.
Цитируется по новому изданию: В. И. Вернадский. Избранные труды по
истории науки. М.: Наука, 1981, 38.
2. Ф смотрел два словаря:
а) Е. Р. Натр. A Glossary of American Technical Lingvistic Usage.
Utrecht, 1957. Цит. по русскому изданию: Э. Хэмп. Словарь американской
лингвистической терминологии. М.: Прогресс, 1964, с. 145—146.
Парадигма. — Множество параллельных исходных и результирующих форм.
Парадигмы могут Принадлежать к разным порядкам отвлечения; другими сло-
словами, существуют парадигмы парадигм и др. Множество родственных слов,
содержащих общую основу и все аффиксы, которые могут к ней присоеди-
присоединиться, образуют парадигму. Одно из некоторого числа замкнутых множеств
слов, в каждом из которых слова родственны, но различаются по форме и по
значению, так что различия от множества к множеству являются параллель-
параллельными.
б) Jean Dubois et al. Dictionaire de Linguistique. Paris: Librairie Laro-
usse, 1973 (Жан Дюбуа. Лингвистический словарь. Париж: Библиотека
Ларусс, 1973). Приводим перевод словарной статьи:
1. В традиционной грамматике парадигма — это типичный набор форм
окончаний, которые приобретает лексическая морфема в сочетании с оконча-
окончаниями падежей (для существительного, местоимения или прилагательного)
или глагольных окончаний (для глагола в соответствии с типом связей, воз-
возникающих у глагола с другими словами при построении фразы в соответст-
соответствии с числом, лицом и временем): говорят о склонении для существительно-
существительного, местоимения или прилагательного и о спряжении для глагола. Так, пара-
парадигма первого латинского склонения состоит из совокупности форм слова
«роза»...
2. В современной лингвистике считается, что парадигма образована на-
набором единиц, имеющих между собой потенциальное отношение взаимоза-
взаимозаменяемости. Ф. де Соссюр особо обращает внимание на потенциальный ха-
характер парадигмы. По существу, реализация слова (его употребление в выска-
высказывании) исключает одновременное использование других слов. Помимо при-
присутствующих связей, явления (феномены) языка предполагают также отсут-
отсутствующие, потенциальные связи. Таким образом, речь идет о том, что едини-
единицы а, Ь, с,... принадлежат к одной и той же парадигме, если они могут заме-
150 Комментарии
щать друг друга в том же типовом окружении (синтагме, фразе, морфеме).
Парадигмы флексий в языках... есть не что иное, как Проявление ассоциатив-
ассоциативных связей. В лингвистике Ф. де Соссюра говорится в общем случае о пара-
дигмальных отношениях тогда, когда женевский лингвист имеет в виду ассо-
ассоциативные связи...»
3. Далее имеется в виду курс теоретической физики: Л.Д. Ландау
и Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики. Тт. 1—10. М.: Наука, 1953—
1979.
4. Среди физиков, считавших, что описание явлений сознания
находится за пределами квантовой механики, был и Ю. Вигнер (см.: E.Wig-
ner. Symmetries and Reflections. Bloomingon — London: Indiana University
Press, 1970). Смотри русский перевод книги: Ю. Вигнер. Этюды о сим-
симметрии. Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под. ред. и с предисл. Я. А. Сморо-
динского. М.: Мир, 1971.
5. Речь идет о монографии А. Зоммерфельда, бывшей в начале
1920-х годов стандартным источником знаний о физике элементарных
частиц того времени — об атомах, ядрах, протонах и электронах. Цит. по
изданию: A. Sommerfeld. Atombau und Spectrallinien. Braunschweig: Friedr.
Vieweg, 1922, 8—9. (Смотри русский .перевод: А. Зоммерфельд. Строение
атома и спектры. В 2-х тт. М.: Гостехтеоретиздат, 1956).
«Электрон — это универсальный кирпичик, входящий в состав любого
вещества. Движется ли он с небольшой скоростью в электрическом токе, быс-
быстро летит ли со значительным ускорением в пространстве в потоке катодных
лучей или влияет на путь светового луча в увеличительном стекле — везде это
одна и та же физическая сущность, идентичность которой подтверждается
одинаковыми значениями заряда и массы и, в особенности, отношения заря-
заряда к массе. Но когда мы пытаемся на основании известных свойств предста-
представить образ электрона, это оказывается довольно трудной задачей. По сущест-
существу, электрон, как и всякий отрицательный заряд, есть не что иное как точка,
в которую входят со всех сторон электрические силовые линии.»
Далее объясняется, что электрическое поле электрона вполне сим-
симметрично в системе покоя электрона, которая всегда может быть постро-
построена в силу принципов теории относительности. Затем следует упомина-
упоминание о трудностях, на которые наталкиваются попытки построить протя-
протяженный электрон. За примерами определения размеров электрона следу-
следует обратиться к современным исследованиям. В заключение Зоммерфельд
указывает, что размеры электрона во всяком случае меньше или порядка
10~5 от размеров атома.
6. Речь идет о том, что, согласно существующей теории электро-
электрослабого взаимодействия Глэшоу, Вайнберга и Салама, массы элем.ентар-
ных частиц возникают в результате их взаимодействия с хиггсовскими
полями. При спонтанном нарушении эти поля приобретают ненулевые
значения в вакууме. На ранних стадиях эволюции Вселенной высокие
температуры приводят к исчезновению вакуумных ожиданий.
Комментарии к диалогу 2 151
См. работы: Д. А. Киржниц. Модель Вайнберга и горячая Вселен-
Вселенная. Письма в ЖЭТФ, 1972, 15, 745-748; D.A. Kirzhnitz and A. D. Linde.
Macroscopic Consequences of the Weinberg Model. Phys. Lett. B, 42, 1972,
471-474.
7. Говоря об античной атомистике, мы, прежде всего, не вдаваясь
в детали ее истории, имеем в виду ту ее версию, которая изложена в книге
Лукреция «De rerum natura». Именно этот текст читался и оказывал вли-
влияние на становление парадигмы нового естествознания в эпоху его фор-
формирования в XVI и начале XVII века.
8. Смотри цитированную книгу В. И. Вернадского (п. 1).
9. О. Д. Хвольсон. Курс физики. Т. 1. СПб, 1902.
Комментарии к диалогу 3
1. Первый опыт Майкельсона, в котором была сделана попытка
обнаружить движение Земли относительно эфира, был сделан в 1881 году
в лаборатории Гельмгольца. Первая из работ Лоренца, связанных с про-
проблемой относительности, вышла в 1886 году. Об этом периоде развития
проблемы смотри, например, в статье: И. Ю. Кобзарев. Доклад А. Пуан-
Пуанкаре и теоретическая физика накануне создания теории относительности.
УФН, 1974, 113, 679-694.
2. Р. Бошкович A711—1787), хорват по национальности, работал в
Италии и Франции, занимался астрономией и геодезией. В своей книге
(R. J. Boskovich. Theoria Philosophica Naturalis reducta ad unicum legem viri-
um in existentium. Vienna, 1755) он детально обсуждал гипотезу о том, что
материя состоит из точечных «первых элементов», обладающих массой,
но не протяженностью, и взаимодействующих универсальным образом.
Закон этого взаимодействия был довольно сложным: на бесконечности
сила переходила в универсальную силу тяготения, а на малых расстояни-
расстояниях, несколько раз изменив знак, переходила в отталкивание. Сложность
силового закона порождала иерархию агрегированных корпускул. Тео-
Теорию Бошковича можно рассматривать как рационализацию и системати-
систематизацию гипотез о строении вещества, изложенных в «Оптике» Ньютона.
Ньютон был, однако, формально менее последователен и обсуждал также
абсолютно жесткие частицы в стиле античной атомистики или приписы-
приписывал корпускулам обычные свойства вещества, такие как прозрачность. О
Бошковиче см., например, в словаре Брокгауза и Ефрона и во «Всемир-
«Всемирной истории» Дорфмана, с. 327—332 (см. ниже).
Попытка создания объединенной теории материи, предпринятая
Бошковичем, в течение долгого времени привлекала внимание, ссылки
на него можно найти у многих естествоиспытателей, вплоть до XIX века,
от Фарадея до Менделеева. См., например: Я. Г. Дорфман. Всемирная
история физики с начала XIX века до середины XX века. М.: Наука,
1979, 69, и статью Д. И. Менделеева «Вещество» в книге: Энциклопеди-
Энциклопедический словарь. СПб.: Изд-во Ф. А. Брокгауз, И. А. Ефрон, 1902, 151.
«...полезно в виде примера привести существенные черты учения Бошко-
аича, которого ныне повсюду считают в некотором смысле основателем со-
современных учений о веществе.»
В какой степени утверждение Д. И. Менделеева соответствовало
реальному консенсусу в 1902 году, нам не очевидно, но для негр самого
Комментарии к диалогу 3 153
оно было естественно, так как Д. И. Менделеев был вполне сознательным
сторонником ньютоновской парадигмы (см., например: Д. Менделеев.
Два Лондонских чтения. СПб., 1895).
3. Речь идет о немецком физике Абрагаме, авторе очень популяр-
популярного в начале века учебника электромагнитной теории. В работе Абрага-
ма 1903 года (М. Abraham. Prinzipien der Dynamikdes Electrons. Ann. Phys.,
1903, 10, 105-179) была детально рассчитана модель жесткого сферичес-
сферического электрона (как с поверхностным, так и объемным зарядом) в пред-
предположении, что у электрона нет собственной массы. Модель привлекла
большое внимание.
4. О Зоммерфельде смотри ниже в п. 5 Комментариев к диалогу 4.
5. В классической работе 1906 года (A. Poincare. Sur la dynamique
de l'electron, перепечатано в A. Poincare, Ouevres. Vol. 9. Paris: Gauthier-
Villard, 1954) Пуанкаре вычислял действие idtdV(E2 - H1) / 2 для своей
модели электрона. Пуанкаре получил правильный вид функции Лагран-
жа, пропорциональной -y/l - v2/c2 в отличие от релятивистски нековари-
антного выражения Абрагама, но полученный им знак был ошибочен.
6. В работе: М. Planck. Das Prinzip der Relativitat und die Grundglei-
chungen der Mechanik. Verh. Deutsch. Phys. Ges., 1906, 8, 136-141.
7. Вопрос о силе радиационного трения обсуждается в любой
хорошей книге по классической электродинамике, например, в курсе:
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теория поля. М.: Наука, 1973. История
вопроса о радиационной силе могла бы быть предметом отдельного ис-
исследования, научная литература 30-х годов по этой теме обширна.
8. Статьи Праута были напечатаны в журнале Annals of Philosophy в
1815—1816 годах. Праут исходил из того, что атомные веса, приведенные
в книге Дальтона «Химическая философия», выражались целыми числа-
числами. Целые числа Дальтона были, однако, результатами грубости измере-
измерений и округлений. О Прауте смотри в книге: Ю. И. Лесневский. Антониус
Ван дер Брук. М.: Наука, 1981.
9. О дефекте массы писал Резерфорд:
«Поскольку эксперименты показывают, что ядро имеет малые размеры,
то образующие его положительные и отрицательные электроны должны быть
плотно упакованы. Как показал Лоренц, электрическая масса системы заря-
заряженных частиц... зависит от взаимодействия их полей... Упаковка должна быть
очень плотной, чтобы создалось заметное изменение массы, обусловленной
этой причиной. Этим, например, можно объяснить тот факт, что масса атома
гелия не в точности равна учетверенной массе атома водорода»
(там же, с. 131).
10. Подробный анализ работ Ван дер Брука 1913—1914 годах,
о которых здесь идет речь, рассмотрен в прекрасном исследовании
'/2 II — 2998
154 Комментарии
Ю. И. Лесневского (смотри п. 8), где дан тщательный анализ роли этих
работ в контексте научного развития того периода.
11. Речь идет о двух статьях Эйнштейна: A. Einstein. Uber einen der
Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtpunfct.
Ann. Phys., 1905, 17, 132—148; Zum gegenwortigen Stand des Strahlungprob-
lem. Phys. Zeit. 1909, 10, 185-193. (Русский перевод: А. Эйнштейн. Об
одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превра-
превращения света. Собрание научных трудов. Т. 3. М.: Наука, 1966, 92; К совре-
современному состоянию проблемы излучения. Там же, с. 164.)
12. Более подробно о дискуссии по поводу квантов света и отно-
относящихся к вопросу источниках — в статье: И. Кобзарев. А. Эйнштейн,
М. Плате и атомная теория. Природа, 1979, 3, с. 8-26.
13. Речь идет о статье: А. Н. Compton. A Quantum Theory of the
Scattering of X-Raysby Light Elements. Phys.Rev., 1923, 21, 207, 483-562.
14. История того, как Паули изобрел нейтрино, изложена в его
статье «К старой и новой истории нейтрино». Цитируется по: В. Паули.
Физические очерки. М.: Наука, 1975.
Работы Ферми появились в 1933—1934 годах. Основная публикация:
Е. Feimi. Versuch einer Theorie der p-Strahlen. Z. Phys., 1934, 88, 161-171.
Согласно сведениям Сегре, Ферми первоначально не нравился
метод вторичного квантования, но, как видно из цитированных статей,
необходимость победила (см.: Е. Segre. Enrico Fermi Physicist. Chicago-
London, 1970.).
«Ферми был великолепно знаком с проблемой электромагнитного излу-
излучения. Сначала он испытывал Некоторые трудности с операторами рождения
и уничтожения, введенными Дираком, Иорданом, Клейном и Вигнером, и в
первых статьях по квантовой теории излучения старался избегать этих опера-
операторов. Впоследствии он полностью освоился с ними и счел теорию бета-рас-
бета-распада подходящей задачей для того, чтобы как следует попрактиковаться в
этом методе.»
Сегре пишет дальше:
«Ферми полностью сознавал, сколь важного успеха он добился, и сказал,
что это лучшая его работа и, как он думает, о нем будут помнить по этой
работе», (цитируется по: Э. Сегре. Энрико Ферми — физик. Пер. с англ. М.:
Мир, 1973, 99-101.)
15. Работа Чэдвика о нейтроне появилась в 1932 году. Предысто-
Предыстория открытия нейтрона довольно запутана, «видели» его многие, но толь-
только Чэдвик смог однозначно интерпретировать экспериментальные фак-
факты. См.: J. Chadwick. The Existence of a Neutron. Proc~ Roy. Sac. A, 1932,
Ш„ 692-708.
16. Опыт Райнеса описан в статье: F. Reines, С. Cowan. Free Anti-
neutrino Absorbtion Gross Section... Phys. Rev., 1959, 113, 273-279.
17. О книге Милликена смотри в п. 4 Комментариев к диалогу I.
Комментарии к диалогу 3 155
18. Первоначально Дирак пытался интерпретировать свои дырки
как протоны, так как картина с заполненным фоном казалась несиммет-
несимметричной и допускающей такую возможность: P. A. M. Dirae. A Theory of
Electrons and Protons. Proc.Roy.Soc, 1930, 126, 360-635. Это приводило к
противоречию, так как получалась бы аннигиляция е~ + р -> у + уи атом
водорода стал бы нестабильным, что было указано Р. Оппенгеймером в
статье: R. Oppenheimer. On the Theory of Electrons and Protons. Phys.Rev.,
1930, 35. В обзоре, вышедшем в 1933 году, Паули, ссылаясь на Оппенгей-
мера и Дирака (без указания конкретных работ), обсуждает возможность
сопоставить дырку с частицей с массой, равной массе элехтрона, и про-
противоположным зарядом, но пишет:
«Этот выход является уже потому неудовлетворительным, что законы при-
природы в этой теории совершенно симметричны относительно электронов и
антиэлектронов. Но тогда фотоны g-излучения (чтобы удовлетворить законам
сохранения энергии и импульса, их должно быть, по крайней мере, два) могут
спонтанно превращаться в электрон и антиэлектрон. Мы не думаем, таким
образом, чтобы намеченный путь мог быть серьезно принят во внимание.»
(см.: В. Паули. Общие принципы волновой механики. М.—Л.: Гостех-
теоретиздат, 1947, 286).
Утверждение о равенстве масс частицы и дырки в четкой форме
содержалось в статье: P. A. M. Dirac. Quantied Singularities in the Electro-
Electromagnetic Field. Proc.Roy.Soc., A, 1931, 133, 60-72.
Симметричное описание электронов и позитронов содержалось в
работе Гейзенберга: W. Heisenberg. Bemerkungen zur Diracschen Theorie des
Positron. Z. Phys., 1934, 90, 209-231.
19. Андерсон идентифицировал позитрон, исследуя треки косми-
космических лучей в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле, и опре-
определил заряд и массу позитрона. Андерсон никак не упоминает о теории
Дирака и интерпретирует наблюдения, говоря, что он нашел новое состо-
состояние протона с увеличенным радиусом, равным радиусу электрона. Он
рассматривал все в терминах модели сферических частиц с электромаг-
электромагнитной массой е*/Bг). См.: С. D. Anderson. The Positive Electron. Phys.Rev.,
1933, 43, 491-494.
20. Статья: W. Heisenberg. Ober der Bau der Atomkerne. I. Z.Phys.,
1932,77,1-11.
21. Вывод о тождественности ядерных сил одинаковых состояний
рр и рп был сделан на основе анализа данных опыта в статье Брейта и
сотрудников: G. Breit, E. U. Condon, R. D. Present. Theory of Scattering of
Protons by Protons. Phys. Rev., 1936, 50, 825—845. Описание в терминах
изотопически инвариантного ядерного потенциала обсуждалось в работах:
В. Cassen, E. U. Condon. On Nuclear Forces. Phys. Rev., 1936, 50, 846-849;
E. Wigner. On the Consequences of the Symmetry of Nuclear Hamiltonian on
the Spectroscopy of Nuclei. Phys. Rev., 1936, 51, 106-119.
156 Комментарии
22. Работа Юкавы появилась в 1935 году. Сообщение Андерсона
об открытии им новой тяжелой заряженной частицы в космических лучах
было сделано в 1936 году. На самом деле это были мюоны. История зло-
злоключений, возникших из-за отождествления частиц Андерсона с мезо-
мезоном Юкавы, очень драматична, краткое изложение и ссылки на ориги-
оригинальные работы можно найти в книге: К. Нишиджима. Фундаменталь-
Фундаментальные частицы. М.: Изд-во иностр. литературы, 1965.
23. По-видимому, мезонный триплет ввел впервые Кеммер. Описа-
Описание итогов раннего периода есть в книге: В. Паули. Мезонная теория ядер-
ядерных сил. М.: Изд-во иностр. литературы, 1947.
24. В. Паули, смотри в п. 23 Комментариев к диалогу 3.
25. Вывод о существовании тяжелого заряженного мезона с мас-
массой около 1000 те был сделан в работе Лепренс-Ренге и Эритье, опубли-
опубликованной в 1944 г. Они изучали космические лучи, и, по-видимому, это
был заряженный /Г-мезон.
В 1947 году опубликована работа Рочестера и Батлера, нашедших в
камере Вильсона две вилки. Одна соответствовала распаду тяжелой нейтраль-
нейтральной, другая — тяжелой заряженной частицы. В первом случае удалось оп-
определить массу частицы, оказавшуюся равной ~ 550 МэВ, и схему распада
на 7i+7i~. По-видимому, это было распад А^ -» 7i+ti~. Второй случай не был
идентифицирован однозначно; наверное, это был распад А* -» п+п°. Начи-
Начиная с 1951 года в результате работы ряда групп, изучавших в камерах Виль-
Вильсона и с помощью фотоэмульсий события в ливнях, вызванных космичес-
космическими лучами, были открыты и изучены распадные свойства мезонов и
гиперонов, называемых сейчас стабильными (т ~ 10~8 — 10~10 с). Ос-
Основным методом описания частиц сразу стала квантовая теория поля.
Привычное нам сейчас сочетание слов: Relativistic Field Theories of Ele-
Elementary Particles (релятивистские полевые теории элементарных частиц)
имеется уже в названии доклада В. Паули, подготовленном для несостояв-
несостоявшегося Сольвеевского конгресса 1939 года. См.: W. Pauli. Relativistic Field
Theories of Elementary Particles. Rev.Mod.Phys., 1941,13, 72—83. См. русский
перевод книги: В. Паули. Релятивистская теория элементарных частиц.
М.: Изд-во иностр. литературы, 1947.
В статье Л. Мишеля Свойства взаимодействия нуклонов, электро-
электронов и мезонов (Progr. in Cosmic Ray Physics. Vol. I. Amsterdam: North-Hol-
North-Holland, 1952, 129) можно прочесть:
«Многие авторы пытались развить фундаментальные теории, которые
позволяли бы рассчитать число элементарных частиц, их массы и т. п. ...
Иные пытались описать некоторые частицы как состоящие из ряда других
фундаментальных частиц (чаще всего, пар фермионов). Однако до сих пор
единственной продвинувшейся достаточно далеко попыткой описания свойств
элементарных частиц остается теория поля.»
Комментарии к диалогу 3 157
Блестящий обзор теории невзаимодействующих полей был дан
Паули (см. в п. 23 Комментариев к диалогу 3). Попытки рассматривать
некоторые из элементарных частиц как составные в конце концов приве-
привели к успеху.
26. М. Gell-Mann. Isotopic Spin and New Unstable Particles. Phys.
Rev., 1953, 92, 833—834. Гелл-Манн заметил, что, приписывая, скажем,
частице S изоспин 1 (он объединил Л и 2* в один триплет), мы запрещаем
распады типа Л -> рк~ сохранением изоспина (и более слабым условием
сохранения его проекции). Аналогично объяснялся запрет для К -> 2я.
Гелл-Манн в 1953 году связывал все это с аномальным изоспином (целым
для Л и полуцелым для К). В действительности потом оказалось, что за-
запрет по изоспину действует и для S, где спин нормальный. Сейчас мы
считаем существование изоинвариантности сильных взаимодействий в
какой-то степени случайной, а запреты — связанными просто с сохране-
сохранением сортов кварков порознь в сильных взаимодействиях. Различие зна-
значений проекции изоспина /3, скажем, в реакции Л -» т° отражает, с
нашей точки зрения, два факта. Во-первых, кварковый состав Л есть uds;
во-вторых, кварковые составы р ~ uud, %~ ~ <Ш. Таким образом, слева мы
имеем состав uds, справа udd. Различие заключается в замене ^ на d,
чего сильные взаимодействия не могут сделать. Сама группа изоспина
SUB) приближенная, в ней d — член дублета, a s — синглет, I^(d) = -1/2,
/3E) = 0, и Д/3 * 0 . Изменение /3-компоненты изоспина соответствую-
соответствующей приближенной симметрии SUB) служит индикатором превращения
d -» 5, но запрет действовал бы и при отсутствии изотопической инвари-
инвариантности, как и происходит фактически в распадах очарованных частиц.
Большим успехом идеи изотопической инвариантности было то,
что после всех неудач описать яЛГ-рассеяние в области 0 — 300 МэВ в
рамках полевой теории TuV-взаимодействия удалось получить его описа-
описание, считая, что в нем доминирует изобара: резонанс со спином / = 3/2
и изоспином / = 3/2. Это объясняло отношение сечений в пике резо-
резонанса: а(п+р -» п+р): а(п~р -» п°п): а(п~р -» п~р) = 9:2: 1. Этот успех
предшествовал работе Гелл-Манна. Вывод о том, что рМ-рассеяние в
области изобары имеет резонансный характер, содержался в заметке:
К. Brueckner. Meson-Nucleon Scattering and Nucleon Isobar. Phys.Rev., 1952,
86, 626. См. изложение в начале § 30 в книге: С. Швебер, Г. Бете,
Ф. Гофман. Мезоны и поля. Т. 2. М.: Изд-во иностр. литературы, 1957:
«Как мы показали в предыдущем разделе, имеется так много расхожде-
расхождений между теорией слабой связи и опытом, что не остается никакой веры в
эту теорию... Поэтому мы вынуждены рассматривать не слабое, а сильное
взаимодействие между мезоном и нуклоном... Сейчас отметим только, что в
случае сильной связи теория становится очевидно более сложной, и было бы
бессмысленно развивать дальше любую теорию сильной связи, не имея ка-
каких-то руководящих принципов. В число таких принципов входит хорошо
известная классификация квантовых состояний iro угловому моменту и чет-
II -2998
158 Комментарии
ности. Еще более плодотворным является постулат зарядовой независимости.»
(курсив авт.)
Под последней подразумевается изотопическая инвариантность.
27. Работа Янга и Миллса, где были написаны калибровочно ин-
инвариантные уравнения для группы изоспина, появилась в 1954 г.: С. N. Yang,
R. L. Mills. Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance. Phys.
Rev., 1954, 96, 191—195. Литература к этой работе хорошо показывает, на-
насколько трудно восстановить реальную ситуацию возникновения работы
по имеющимся в ней ссылкам. Авторы цитируют несколько основных
работ, внесших, с их точки зрения, основной вклад в создание идеи изо-
изотопической инвариантности (ограничиваясь ядерными силами), после этого
делают утверждение, что я-мезон имеет изотопический спин 1, со ссылкой
на опыт Гильдебранда по измерению сечений реакций и + р -» п° + dn
р + р -» л+ + d. Естественно думать, что авторы выбрали эту работу из-за
однозначности интерпретации.
Теоретическим стимулом для авторов был, несомненно, хорошо
известный в то время факт существования локальных преобразований фазы
волновой функции в электродинамике. Авторы ссылаются здесь на извест-
известный обзор Паули. Говоря формальным языком, Янг и Миллс искали обоб-
обобщение этого факта для неабелевой группы изоспина.
28. О конфайнменте и группах смотри в Части II этой книги «Струк-
«Структура теории элементарных частиц».
Комментарии к диалогу 4
1. В. Паули считал квантовую теорию электромагнитного поля
неудовлетворительной, так как она не объясняла величину постоянной
тонкой структуры а и приводила к расходимостям. Он ожидал дальнейше-
дальнейшего глубокого изменения основной структуры теории. Смотри, например,
его .статью 1948 года. «Об идее дополнительности» (перевод в книге:
В. Паули. Физические очерки. М.; Наука, 1975, с. 50, особенно 56.)
«... Все физики согласны с тем, что существующая квантовая теория,
недостаточная для объяснения атомистической природы электричества и для
предсказания значений масс «элементарных частиц» в природе, может иметь
лишь ограниченную область применимости...»
О попытках устранения расходимостей в КЭД характерно выска-
высказывание в статье Г. Вентцеля, написанной к 60-летию Паули: «Вся эта
деятельность вокруг проблемы собственной энергии сейчас заброшена и
представляет только исторический интерес. Несмотря на все неудачи кван-
т.овая электродинамика пользуется всеобщим доверием, как лучшее, хотя
и несовершенное орудие атомистической теории». (Г. Вентцель. Кванто-
Квантовая теория полей до 1947 года. В сб.: Теоретическая физика XX века. М.:
Изд-во иностр. литературы, 1962, с. 62).
2. Мы должны ограничиться здесь постановкой вопроса. Судьба
таких контрпрограмм 30-х и 40-х годах, как, например, программа нело-
нелокальных теорий поля, попыток квантования пространства и других аль-
альтернатив к локальной теории поля, выяснения их веса и доли внимания,
которая им уделялась, должны быть предметом специального исследова-
исследования. Для истории науки, желающей нарисовать объективный «пейзаж»
научного развития, такое исследование необходимо, так как, выбрасывая
историю разрабатывавшихся в то время контрпрограмм, мы неизбежно
делаем развитие намного более логичным, чем оно было на самом деле.
3. Детальная история механической теории теплоты имеется в пре-
прекрасной книге Браша (S. Brush. The Kind of Motion, we call Heat. Amster-
Amsterdam-New York: North Holland, 1976).
4. Цитированный в Диалоге 4 доклад Анри Пуанкаре в Сент-Луи
в 1904 году.
5. Смотри, например, выступление Зоммерфельда в дискуссии по
докладу Планка на съезде физиков в Штутгарте в 1906 году. (A. Sommer-
feld. Phys. Z, 1906, 7, 759—761.) Зоммерфельд выражал надежду на невы-
160 Комментарии
полнение постулата относительности Лоренца—Эйнштейна, так как ему
казался естественным электродинамический постулат — модель жесткого
сферического электрона, предложенная Абрагамом. «Можно предположить,
что физики моложе 40 лет предпочтут электродинамический постулат, а
старше 40 лет — механико-релятивистский.»
6. Ш, видимо, читал Лейбница:
«Существуют две секты натуралистов, которые ныне пользуются извес-
известностью и которые ведут свое происхождение от античности: одна из них
обновила учение Эпикура, другая, по существу, повторяет взгляды стоиков.
Первые считают, что всякая субстанция, включая душу и самого Бога, являет-
является телесной, иначе говоря, что никакого всемогущего и всеведущего Бога не
может быть, ибо каким образом тело могло бы влиять на все, не подвергаясь
в свою очередь воздействию всего и не разрушаясь?»
(Г. В. Лейбниц. Сочинения. Т. 1. М.: Мысль, 1982, 103).
Таким образом, идеологически Лейбниц против атомов. Как уче-
ученый, он не удовлетворяется идеологическим рассуждением и дополняет
его некоторым дедуктивным выводом из аксиом в небольшой работе Оп-
Опровержение атомов, почерпнутое из идеи соприкосновения атомов и схолии
к ней (там же, 219-233.)
7. Ф цитирует не совсем точно. Вот полный текст Блейка:
Mock on, mock on, Voltaire, Rousseau:
Mock on, mock on; 'tis all in voin!
You throw the sand against the wind,
And the wind blows it back again.
And every sand becomes a Gem
Reflected in the beams divine;
Blow back they blind the mocking Eye,
But still in Israel's path they shine.
The atoms of Democritus
And Newton's particles of light
Are sands upon the Red sea shore,
Where Israel's tents do shine so bright.
(Цитируется по книге: The Portable Blake. Viking Press, Penguin, 1977,
142).
8. В.ИЛенин. Материализм и эмпириокритицизм. М.: Звено, 1909.
9. Вопрос подробно обсуждался в книге Браша (смотри п. 3 Ком-
Комментариев к диалогу 4). В предисловии Гиббса к его книге «Основные
принципы статистической механики» говорится:
«Даже если мы ограничим наше внимание явно термодинамическими
явлениями, мы не избежим затруднений в таком простом вопросе, как число
Комментарии к диалогу 4 161
степеней свободы двухатомного газа. Конечно, тот, кто основывает свою ра-
работу на гипотезах, касающихся строения материи, строит на ненадежном фун-
фундаменте. Затруднения такого рода удержали автора от попыток объяснения
тайн природы и заставили его удовлетвориться более скромной задачей выво-
вывода некоторых более очевидных положений, относящихся к статистической
отрасли механики.»
Цит. по русскому переводу: Дж. В. Гиббс. Основные принципы статисти-
статистической механики. М.-Л.: ОГИЗ, 1946, 14.
10. Э. Мах. Познание и заблуждение. М.: Изд-во Скирмунта,
1909, гл. I, §3, с. 10-11.
«Изображение фактов действительности в наших мыслях или приспособ-
приспособление наших мыслей к этим фактам дают возможность нашему мышлению
умственно восполнить факты, лишь частично наблюденные, поскольку это вос-
восполнение определяется наблюденной частью... Эта определенность заключает-
заключается во взаимной зависимости признаков фактов, которая и является исходным
пунктом для мышления. Так как обыденное и молодое научное мышление вы-
вынуждено ограничиться довольно грубым приспособлением мыслей к фактам,
то мысли эти, приспособленные к фактам, не всегда бывают в согласии между
собой. Таким образом, появляется новая задача, которую мышление должно
разрешить для полного своего удовлетворения: задача приспособления мыслей
друг к другу. Это последнее устремление, обусловливающее логическое очище-
очищение мышления, но идущее гораздо дальше этой цели, является характерным и
преимущественным признаком науки, в отличие от обыденного мышления.»
11. Задача о квантовании иона молекулы водорода была решена
Паули в 1922 г. (W. Pauli. Uber das Modell des Wasserstoffinolekule. Ann.Phys.,
1922, 68, 177-240).
12. Речь идет о работах Вайнберга и Салама, в которых была уста-
установлена окончательная версия перенормируемого лагранжиана слабого
взаимодействия с хиггсовскими вакуумными средними. Правильный вид
векторного мультиплета установлен ранее Глэшоу в 1961 году.
13. В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.: Изд-во иностр.
литературы, 1956.
14. Смотри, например, статьи: R. P. Feynman. The Theory of Posit-
Positrons. Phys. Rev., 1949, 76, 749-759; Space-Time Approach to Quantum Elec-
Electrodynamics. Phys. Rev., 1949, 76, 759—769 (смотри русский перевод в сб.:
Новейшее развитие квантовой электродинамики. М.: Изд-во иностр. ли-
литературы, 1954, 138—204). Во второй статье Фейнман, обсуждая возмож-
возможность введения в интегралы КЭД обрезающей функции, делающей тео-
теорию конечной, выражает сомнение в том, что это можно сделать непро-
непротиворечиво. Обсуждая возможность замены обычного пропагатора на
функцию /+, которая сделала бы ответы конечными, Фейнман пишет
(там же, р. 778):
«Может оказаться так, что любая правильная форма f+, гарантирующая
сохранение энергии, не сможет одновременно сделать сходящимся интеграл
собственной энергии.»
162 Комментарии
15. Этот этап развития теории хорошо отражен в монографии:
С. Швебер, Г. Бете, Ф. Гофман. Мезоны и поля. Т. 2. М.: Изд-во иностр.
литературы, 1956.
«В этой книге мы рассмотрели взаимодействия пионов с нуклонами и
нуклонов друг с другом, считая При этом, что пионное и нуклонное поля
образуют замкнутую систему и не существует никаких других частиц. Подо-
Подобный подход, очевидно, может быть поставлен под сомнение, и ряд физиков
считает, что невозможно построить теорию ядерных сил и теорию пион-нук-
лонного взаимодействия без включения странных частиц. Это крайне услож-
усложнит ситуацию, так как свойства странных частиц представляются очень слож-
сложными и потребуется много времени, чтобы их исследовать. Более того, само
число этих частиц продолжает расти. Все же мы не придерживаемся такого
пессимистического взгляда ...»
Далее авторы приводят аргументы в пользу того, что виртуальные
странные частицы не могут дать большого вклада в ядерные силы. Фак-
Фактически, как кажется сейчас, они были правы, ведь для описания ядер
достаточно учитывать и-, d-кырки и глюоны. Отличие современной точ-
точки зрения от того, что думали в 1955 году, заключается в том, что теперь
мы знаем, что надо пользоваться КХД-взаимодействием кварков и глюо-
нов, а не псевдоскалярным взаимодействием я-мезонов и нуклонов.
16. Правильная форма дисперсионных соотношений для рассеяния
дана в работе: М. L. Goldberger, H. Miyazava, E. Oehme. Application of
Dispersion Relation to Pion-Nucleon Scattering. Phys. Rev., 1955, 99, 986-988.
Доказательство Гольдбергера носило чисто эвристический характер,
неприемлемый с математической точки зрения. Доказательство дис-
дисперсионных соотношений для ти?-рассеяния в определенном интервале
углов рассеяния впервые дано Н. Н. Боголюбовым, Б. В. Медведевым
и М. К. Поливановым. Оно было доложено на конференции в Сиэтле в
сентябре 1956 года и опубликовано в книге: Н.Н. Боголюбов, Б.В. Мед-
Медведев, М.К. Поливанов. Проблемы теории дисперсионных соотноше-
соотношений. М.: Физматгиз, 1958.
17. Программа «ядерной демократии» была с большим красноре-
красноречием изложена в книге: G. Chew. Analytic S-Matrix. A Basis for Nuclear
Democracy. New York—Amsterdam: W. A. Benjamin, 1966. (Смотри рус-
русский перевод книги: Чью Дж. Аналитическая функция S-матрицы. М.:
Мир, 1968.)
18. Модель кварков была независимо предложена Гелл-Манном и
Цвейгом в 1964 году: М. Gell-Mann. A schematic Model of Baryons and
Mesons. Phys. Lett., 1964, 8, 214—215; работа Цвейга вышла в виде препри-
препринта ЦЕРН (Европейская организация по ядерным исследованиям).
19. Такие расчеты можно найти, например, в книге: А.И. Ахиезер,
В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. Изд. 3-е, перераб. и доп.
М.: Наука, 1969.
Комментарии к диалогу 4 163
20. Одним из ярких документов, относящихся к дискуссиям это-
этого времени, является препринт ЦЕРН: Record of an informal discussion
held on 7 July 1962, CERN 15-63, 1963.
21. Л. Д. Ландау, И. Я. Померанчук. О точечном взаимодействии в
квантовой электродинамике. ДАН СССР, 1955, 102, 489-492.
22. Такая точка зрения сформулирована в работах И. Я. Померан-
чука и соавторов 1955 года. Перепечатка в книге: И. Я. Померанчук. Со-
Собрание научных трудов. Т. 2. М.: Наука, 1972, 173—204. Характерно вы-
высказывание там же на с. 38 (работа 1955 года) в статье, где предполагалось
исследовать процесс е+е~ -» ]х+уГ:
«Если ц-мезонам несвойственно какое-либо специфическое взаимодей-
- ствие, более существенное, чем электромагнитное, то экспериментальное ис-
исследование электродинамических процессов с участием ц-мезонов может дать
важные сведения о границах применимости современной теории поля и ха-
характере физических закономерностей вблизи этой границы, так как компто-
новская длина волны ц-мезона сравнима с теми размерами, где можно ожи-
ожидать коренных изменеиий в пространственно-временных понятиях.»
23. В. Гейзенберг. Физика и философия. М., 1963, 48—49- См. так-
также книгу: W. Heisenberg. Der Teil und das Ganze. Mlinchen: Piper, 1971
(русский перевод: В. Гейзенберг. Физика и философия. Часть и целое.
М.: Наука, 1989).
24. Работы Гейзенберга по нелинейному спинорному полю опи-
описаны в книге: W. Heisenberg. Introduction to the Unified Theory of Elemen-
Elementary Particles. London: Wiley, 1966 (русский перевод: В. Гейзенберг. Введе-
Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. М.: Мир, 1968).
Комментарии к диалогу 5
1. Обзор по супергравитации, не слишком наполненный техни-
техническими подробностями: P. van Nieuwenheuzen. Supergravity. Physics Re-
Reports, 1981, 4, 189-398.
2. По-видимому, лучшее, что сейчас имеется в качестве аргумен-
аргументов в пользу правильности КХД, это: а — некоторые количественные
результаты в теории струй, где можно получить результаты, оставаясь в
области ультрафиолетовой свободы; б — результаты расчетов для систем
ее, ЬЬ , полученные комбинацией теории возмущений для КХД с потен-
потенциальной моделью для самих систем. При этом выбираются потенциалы,
интерполирующие между взаимодействием на малых расстояниях, вычис-
вычисляемом в КХД в рамках теории возмущений и близким к кулоновскому
потенциалу (с логарифмически падающим зарядом) и линейно растущим
потенциалом, который должен соответствовать конфайнменту. Гипотеза о
таком потенциале имеет долгую историю, которую мы не можем здесь из-
излагать, сейчас можно, по-видимому, считать, что она оправдана машинны-
машинными вычислениями с решеточным приближением к КХД лагранжиану.
Имеется также большое количество результатов, полученных пу-
путем дополнения КХД предположениями ad hoc и (или) информацией,
взятой из опыта.
Наиболее доступным источником для ознакомления как с про-
процессом формирования теорий элементарных частиц, так и с их современ-
современным состоянием, являются материалы проводимой регулярно раз в два
года конференции по физике элементарных частиц.
3. Здесь мы сталкиваемся опять с омонимией. Так же, как и клас-
классическая механика в ее абстрактной форме (система N частиц, произволь-
произвольные парные потенциалы), здесь, собственно, не идет речь о теории в том
смысле, в каком говорил ЖГраньше. И классическая механика, и квантовая
теория поля — это только грамматика и словарь определенного типа.
Конкретные физические теории получаются выбором потенциала
и (или) заданием системы. В Principia Ньютона в знаменитом предложе-
предложении XVI раздела XI первой книги с его 22 следствиями был дан первый
эскиз такой теории. Механика системы N тел с парными потенциалами
lcmimy _ это небесная механика классического тяготения. В действи-
действительности большинство полученных в этой теории результатов получено
переходом к задаче (N + \) тел, где учитывается, чте масса одного из тел
Комментарии к диалогу 5 165
(Солнца) много больше масс планет, и даже еще более специальным за-
задачам (например, теория системы Луна, Земля, Солнце).
Аналогичным образом и квантовая теория поля — это некоторый
общий язык. После выбора конкретных наборов полей получаются кон-
конкретные физические теории типа КХД или электрослабой теории. В дей-
действительности ситуация более сложная. Большинство реализаций, обсуж-
обсуждавшихся в научной литературе, имеют физически ограниченную область
применимости, а математически могут быть вообще противоречивы, по-
поэтому реально модели всегда наполнялись дополнительными рецептами,
позволяющими обходить трудности, такими, как метод перенормировок,
оказавшийся чрезвычайно эффективным в КЭД. Содержание книги с
названием «Квантовая теория поля» неизбежно отражает как состояние
области в момент написания книги, так и мнения автора (или авторов) о
предмете. Во всяком случае, в последние 20 лет они обычно содержали:
классификации и описание свободных полей; доказательство некоторого
числа общих теорем, таких, как СРТ-теорема Людерса—Паули; описание
построения теории возмущений; описание метода перенормировок; не-
некоторое количество конкретных моделей и вывод тех или иных результа-
результатов в этих моделях.
Последнее поколение книг по теории поля склонно сузить сюжет
до калибровочных теорий. Это оправдано тем, что среди теорий, претен-
претендующих сейчас на большую, чем узко ограниченную, область примени-
применимости, все относятся к классу калибровочных. Можно, по-видимому, ду-
думать, что такая теория, как КХД является в действительности одновре-
одновременно и реалистической, и свободной от противоречий.
4. ЯГ говорит далее о стандартных вычислительных правилах КТП
на конкретном примере КЭД. Изложение и вывод их можно найти в
упоминавшихся выше книгах. Обширное изложение вычислительных ре-
результатов КЭД имеется в монографии: А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий.
Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.
Современные расчеты в рамках КЭД — весьма развитая область.
Достигнутая точность (~ Ю~9) в таких величинах, как магнитный момент
электрона, кажется, не имеет себе равных в истории науки и превосходит
точность, достигнутую в небесной механике.
5. Это, конечно, было программой, а не существовавшей теорией.
См., например, название лекции Эйнштейна в Цюрихе: О роли атомной
теории в новейшей физике (смотри об этом в статье: И. Кобзарев. А. Эйн-
Эйнштейн, М. Планк и атомная теория. Природа, 1979, 3, 8—26, в частности,
на с. 8-9.)
Словосочетание «атомная физика» можно видеть, например, в на-
названии известного учебника: Э. Шпольский. Атомная физика. В 2-х тт.
Изд. 6-е. М.: Наука, 1974.
166 Комментарии
6. Имеется в виду книга Гайтлера по квантовой электродинамике.
Первое ее издание вышло в 1936 году, ниже будет цитироваться текст
второго издания, вышедшего почти в неизмененном виде: W. Heitler. The
Quantum Theory of Radiation. Oxford: Oxford University Press, 1944 (смотри
русский перевод книги: В. Гайтлер. Квантовая теория излучения. М.: Изд-
во иностр. литературы, 1956).
В начале 30-х годов КЭД чаще всего изучалась, по-видимому, по
лекциям Ферми, прочитанным в США в 1930 году: Е. Fermi. Quantum
Theory of Radiation. Rev. Mod. Phys., 1932, 4, 87-132.
Комментарии к диалогу 6
1. В дальнейшем Ш говорит о статьях Theory в двух словарях: 1. The
Concise Oxford Dictionary of Current English, fourth ed. Oxford: Clarendon
Press, 1951; 2. The American Heritage Dictionary of English Language, ed.
William Morris. New York: Am. Her. Publ. Co and Houghton Mifflin Co.,
1971. Ниже эти статьи будут упоминаться как Oxf. и Am. Her.
Oxf.: Theory. Supposition explaining something, esp. one based on principles
independent of the phenomena etc. to be explained, opp. to hypothesis, as atomic
theory, theory of gravitation, evolution; speculative view as one of my pet theories (often
implying fanciftilness); the sphere of speculative thought as this is very well in theory
but how will it work in practice!, exposition of the principles of a science etc., as the
theory of music; (Math.) collection of results designed to illustrate principles of a
subject, as theory of chances, of equations.
[Оксфордский словарь:
Теория. Предположение, которое что-то объясняет, особенно такое пред-
предположение, которое основано на принципах, не зависящих от явлений и пр.,
подлежащих объяснению, противоположно гипотезе, например, атомная те-
теория, теория тяготения, теория эволюции; умозрительный взгляд, например,
одна из моих любимых теорий (часто подразумевается странность); область
умозрительных взглядов, например, все это хорошо в теории, но как это будет
работать на практике?; изложение принципов науки и т. д., например, тео-
теория музыки; (матем.) совокупность результатов, предназначенных для ил-
иллюстрации основных положений какой-то области, например, теория веро-
вероятностей, теория уравнений.]
Am. Her.: Theory. la. Systematically organized knowledge applicable in a rela-
relatively wide variety of circumstances, especially a system of assumptions, accepted
principles and rules of procedure devised to analyze, predict or otherwise explain the
nature or behaviour of a specified set of phenomena, 1b. Such knowledge or such a
system distinguished from experiment or practice. 2. Abstract reasoning, speculati-
speculation. 3. Broadly, hypotesis or supposition.
[Американский словарь наследия английского языка:
Теория. 1а. Систематически организованные знания, приложимые в до-
достаточно разнообразных условиях, особенно, система предположений, прин-
принципов и правил действий, предназначенных для анализа, предсказания или
иного объяснения природы, или поведения определенного множества явле-
явлений. 16. Знание или система знаний, отличные от эксперимента или практи-
практики. 2. Абстрактное, умозрительное рассуждение. 3. В широком смысле, гипо-
гипотеза или предположение.] (—Пер. ред.)
2. Этот эффект был исследован в работе: А. Д.Галанин, И. Я. По-
меранчук. О спектре ц-мезоводорода. ДАН СССР, 1952, 86, 251—253.
Комментарии к диалогу 7
1. Ш ссылается на книгу: Т. Кун. Структура научных революций.
Изд. 2-е. М.: Прогресс, 1977.
2. Речь идет о знаменитом «Курсе общей лингвистики» Ф. де Соссю-
ра. Как известно, этот курс был опубликован посмертно по записям сту-
студентов Балли и Сеше, поэтому смысл, который сам Соссюр вкладывал в
термины langue, langage и parole, не очевиден. М полагает, что их нужно
понимать следующим образом: langue —абстрактная языковая норма, не-
некоторая идеализация реально действующих норм языка; как всякая идеа-
идеализация, он на самом деле «не существует»; langage — психофизиологи-
психофизиологическая порождающая структура, которая существует в подсознании гово-
говорящего и отвечает за порождение устного или письменного текста; parole —
сам текст. В принципе, ТА не склонен придавать большого значения раз-
различию между langue и langage, так как он считает, что langue — это по
существу «идеальный» langage. По-видимому, он склонен также отождес-
отождествлять langue с нормой языка в той форме, в какой она сознательно фик-
фиксируется и провозглашается лингвистами в словарях и учебниках.
3. Я* ссылается на книгу одного из соавторов: И. Кобзарев. Ньютон
и его время. М.: Знание, 1978.
4. Смотри лекцию фон Неймана «Математик» (J. von Neumann.
Collected Works. Vol. 1. N.Y.-London-Oxford-Paris, 1969, 1-9).
5. По поводу статики Архимеда и экспериментов Птолемея смотри:
Я. Г. Дорфман. Универсальная история физики от античности до конца
XVIII века. М.: Наука, 1974.
6. Имеется в виду книга: I. Lakatos. Proofs and Refutations. Cambrid-
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1978.
7. Теорию твердых тел следует, конечно, понимать в смысле по-
последнего значения из Оксфордского словаря (см. п. 1 Комментариев к
диалогу 6). Разумеется, каждый теоретик имеет и собственную личную
парадигму, очевидный аналог понятия «идиолект» в лингвистике.
8. Речь идет о книге Лукреция «О природе вещей».
9. Речь идет о статье, написанной Максвеллом в 1859 году, в кото-
которой рассматривалась кинетическая модель газа с использованием идеаль-
идеально упругих атомов.
10. Речь идет о докладе Гельмгольца О сохранении силы 1847 года.
Сведения о нем можно найти, например, в книге: Я. Г. Дорфман. Уни-
Универсальная история физики от начала XIX до середины XX века. М.:
Наука, 1979.
Комментарии к диалогу 8
1. Стандартные учебники по квантовой теории поля (например, кни-
книга: Дж. Д. Бьеркен, С. Дрелл. Яглятивистская квантовая теория. В 2-х т. М.:
Наука, 1978) содержат краткую сводку фейнмановских правил. Эти пра-
правила настолько легко формализуются, что в принципе им можно обучить
компьютер, по крайней мере, вплоть до сведения ответа к интегралу. Вопрос
перенормировки более сложен, но для квантовой электродинамики эта
проблема полностью решается на ЭВМ.
Современный формализм перенормировок для некалибровочных
полей был развит в работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка и допол-
дополнен Р. Хеппом. Ссылки на оригинальные работы можно найти в книге:
Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей.
Изд. 4-е, перераб. М.: Наука, 1984. Перенормировка для калибровочных
теорий описана в книге: А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. Введение в кванто-
квантовую теорию калибровочных полей. Изд. 2-е перераб. и доп. М.: Наука,
1988.
2. Ш ссылается на книгу: R. P. Feynman. Theory of Fundamental
Processes. New York: W.A. Benjamin Inc., 1961; смотри русский перевод
книги: Р. П. Фейнман. Теория фундаментальных процессов. М.: Наука,
1978. — (Сер. «Б-ка теорет. физики»).
3. Работа Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука упомянута в п. 21
Комментариев к диалогу 4.
4. Регуляризация Паули—Вилларса — это метод, позволяющий
сделать все слагаемые ряда теории возмущений в КЭД конечными путем
формального изменения вида лагранжиана. Метод удобен, поскольку не
изменяет основных свойств амплитуд и вероятностей. После перенорми-
перенормировки получаются стандартные ответы. Однако при Е > Л ответы стано-
становятся бессмысленными, так как нарушается условие, что вероятности
физических процессов должны быть положительны. Описание метода дано
в статье: W. Pauli, F. Villars. On the Invariant Regularization in Relativistic
Quantum Theory. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 434-444.
5. T. Kuhn. Black-Body Theory and the Quantum Discontinuity. 1894—
1912. New York, 1978.
Комментарии к диалогу 9
1. Согласно каноническому изложению квантовой механики, не-
необходимо ввести «классический прибор» с тем, чтобы включить в текст
теории высказывания типа: «измеряя величину А, получаем в результате
значение А». Взаимодействие с прибором и составляет акт измерения.
Постулируется, что состояние «классического прибора» после измерения
всегда точно предсказуемо. Сам процесс установления состояния прибо-
прибора не описывается в рамках квантовой механики. Его реализация приво-
приводит к внезапному конечному изменению вектора состояния (редукция),
хотя предсказать это изменение можно только статистически. (Понятие
вектора состояния обсуждается ниже.) Подробное изложение теории из-
измерения можно найти в классическом обзоре: В. Паули. Общие принци-
принципы волновой механики. М.—Л.: Гостехтеоретиздат, 1947.
Ш ссылается на § 7 классической монографии: Л.Д.Ландау,
Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, как на стандартную
версию теории измерения. Изложение проблем и противоречий, связан-
связанных с теорией измерений в квантовой механике, не входит в нашу задачу.
Для нас существенно только, что классические приборы не могут быть
дедуцированы в рамках квантовой механики и ее следствий. В этом смыс-
смысле классическая механика не содержится в квантовой механике.
2. Теория дисперсии света в веществе, развитая Лоренцем, осно-
основывалась на предположении о наличии в телах упруго связанных элек-
электронов (осцилляторов). Теория электронов Лоренца, основанная на сис-
систематическом развитии этой идеи, была изложена в книге: Н.А. Lorentz.
The Theory of Elections. 2-nd ed. Leipzig: Teubner, 1916. Ниже цитируется
русский перевод по изданию: Г. А. Лоренц. Теория электронов. Л.—М:
ОНТИ, 1934. Там же — ссылки на упругие осцилляторы.
«Эта теория весьма напоминает то объяснение, которое было предложе-
предложено разными физиками, разрабатывавшими волновую теорию света в ее пер-
первоначальной форме, когда эфир рассматривался как упругое тело. Зеллмайер,
Кеттелер, Буссинек и Гельмгольц показали, что скорость света должна зави-
зависеть от периода колебаний, раз тело состоит Из малых частичек, которые при-
приводятся в колебание силами падающего пучка света... малые частички Зел-
лмайера теперь превратились в наши электроны.»
В квантовой теории дисперсии отдельным осцилляторам соответ-
соответствуют переходы с одного уровня на другой. Смотри п. 6 Комментариев к
диалогу 5, В. Гайтлер, с. 132:
Комментарии к диалогу 9 171
«В действительности, первое слагаемое в A2) в точности соответствует
классической формуле A1) из § 5, если только мы пренебрежем затуханием у
и сопоставим каждому квантовому переходу атома классический осциллятор
с частотой (?} — E0)/tt и силой осциллятора, пропорциональной Рп„,п, Рп,,щ •»
3. Дебай в 1910 году применил формулу Планка для энергии ос-
осциллятора непосредственно к собственным модам электромагнитных ко-
колебаний в полости и отсюда вывел формулу Планка для плотности энер-
энергии черного излучения. Достижение заключалось в том, что при этом
обходился вопрос о взаимодействии осцилляторов материи с излучением,
который Планк рассматривал в классической теории поля, утратившей
свою силу, что подчеркивал еще Эйнштейн в 1906 году. Смотри P. Debye.
Der Wahrscheinlichkeit Begriff in der Theorie der Strahlung. Ann. Phys., 1910,
33, T427—1434. Непосредственное рассмотрение собственных мод поля
устранило вопрос. Представление о собственных модах поля применя-
применялось еще Рэлеем в 1900 году: Lord Rayleigh. Remarks upon the Law of Com-
Complete Radiation. Phil. Mag., 1900, 49, 539-540. В действительности, еще
раньше, в 1906 году, формулу Планка к осцилляторам в полости приме-
применял Эренфест в статье: P. Ehrenfest. Zur Planckschen Strahlung Theorie.
Phys. Is., 1906, 7, 528—532, но эта работа осталась незамеченной, может
быть, потому, что в то время проблема противоречивости вывода Планка
еще отсутствовала. Несколько позже сходные соображения высказывал
Лоренц в переписке с Планком. Обсуждение этого этапа истории осцил-
осцилляторов имеется в цитированной статье И.Ю.Кобзарева и книге Т. Куна.
4. Трудности с аномальным эффектом Зеемана в классической
теории электронов описаны в уже цитированной книге Г. Лоренца (смот-
(смотри п. 2 Комментариев к диалогу 9). А.Пуанкаре обсуждал вопрос в стать-
статьях: A. Poincare. La theorie de Lorentz et les experiences de Zeeman. Eclairage
Electrique, 1897, 11, 481-489; La theorie de Lorentz et les phenomene de
Zeeman. Ibid, 1899, 19, 5-15.
Правильная квантовая теория эффекта Зеемана требует учета спина
электрона. Сведения об истории ее возникновения можно найти в статье:
В. Ван дер Варден. «Принцип запрета и спин» в книге: Теоретическая фи-
физика XX века. М.: Изд-во иностр. литературы, 1962, 231-284.
5. Идея Гейзенберга возникла в контексте старой квантовой теории
1915—1925 годов, применявшейся непосредственно к атомным электронам
и изучению и рассеянию света на атомах. Радикальное изменение аппа-
аппарата сделано Гейзенбергом и мотивировалось, по-видимому, в первую
очередь, необходимостью включить в теорию дисперсии света тот факт,
что резонансы в рассеянии должны наступать при частоте света, равной
разности энергии атомных уровней. Переход к табличным (на языке на-
нашего текста) матрицам оператора координат идейно обосновывался не-
ненаблюдаемостью траекторий в атомах и аналогией с образом действий
Эйнштейна при создании частной теории относительности. Устранение
172 Комментарии
«ненаблюдаемых» могло бы рассматриваться как влияние позитивизма
Маха, но если оно и было, то косвенное, через Эйнштейна. Ср. в книге:
A. Hermann. W. Heisenberg. Hamburg: Rowolt, 1976, S. 30, цитата из бесед
Т. Куна с Гейзенбергом. Вопрос.
«Читали ли вы Маха?»
Ответ:
«Нет, должен сказать, что я никогда серьезно не читал Маха. Позднее я
его немного изучал, но это было намного позднее. В любом случае, он на
меня никогда особенно не влиял.»
Ключевым пунктом работы Гейзенберга 1925 года было введение
соотношения, эквивалентного соотношению коммутации [qp] = ih (но
еще не записанному в этом виде явно). См. статью: W. Heisenberg. Ober
Quantentheoretische Umdeutung der kinematischen und mechanischen Bezie-
hungen. Z. Phys., 1925, 33, 879-893;
Соотношение (8) было получено Гейзенбергом как обобщение на
языке введенных им «табличек» — матриц условия квантования старой
квантовой теории \pdq = nh. Полученное Гейзенбергом соотношение было
уже введено В. Куном и В. Томасом в теории дисперсии. Ссылки на их
работы есть в статье Гейзенберга.
6. Речь идет о статье: М. Born, P. Jordan. Zur Quantenmechanik.
Z Phys., 1925, 34, 858-888.
Уже в этой статье обсуждалось и квантование электромагнитного
поля. В следующей статье: М. Born, W. Heisenberg, P.Jordan. Zur Quanten-
Quantenmechanik. II. Z Phys., 1926, 35, 577—615 была построена в матричной фор-
форме квантовая механика для систем с п степенями свободы.
7. Э. Ферми. Квантовая механика. М.: Мир, 1965, 105—161.
8. Современное изложение процедуры вторичного квантования
можно найти в цитированной книге Бьеркена и Дрелла (смотри п. 1 Ком-
Комментариев к диалогу 8).
9. Речь идет о статье P. A. M. Dirac. Emission and Absorbition of
Radiation. Proc. Roy. Soc. A, 1927, 114, 243-265. В статье Дирака последова-
последовательно описывается квантовая механика для у-квантов и описание ампли-
амплитуд состояний, заданных числами заполнений. Подход развит с учетом уже
известной тогда статистики Бозе—Эйнштейна и использует квантование
осцилляторов поля. Фактически последнее уже предполагалось в цитиро-
цитированных выше работах Борна, Гейзенберга и Иордана, и основной новиз-
новизной работы Дирака было, по-видимому, последовательное рассмотрение в
развитом формализме излучения и поглощения света атомами.
10. Аппарат вторичного квантования для частиц, подчиняющих-
подчиняющихся статистике Ферми, был систематически развит в статье: P. Jordan,
E.Wigner. Ober das Paulische Aquivalenz Verbot. Z. Phys., 1928, 47, 631-651.
Комментарии к диалогу 9 173
В этой статье была показана эквивалентность описания на языке вторич-
вторично квантованного поля и чисел заполнения и квантовой механики п час-
частиц в конфигурационном пространстве у{хх, ..., хп) с антисимметризо-
ванными функциями. Нововведение первоначально было воспринято без
энтузиазма, смотри цитированную в п.1 Комментариев к диалогу 9 книгу
В. Паули, с. 204:
«Представляется сомнительным, чтобы речь шла здесь действительно о
глубоко идущей физической аналогии. Кроме того, известно, что все резуль-
результаты волновой механики могут быть получены и без применения этого мето-
метода. Однако он должен быть приведен, по крайней мере, как метод вычисли-
вычислительный.»
Для релятивистских полей метод стал основным.
' 11. Метод диаграмм Фейнмана можно найти в любом учебнике по
квантовой теории поля, например, в упоминавшейся книге Бьеркена и
Дрелла (смотри п. 1 Комментариев к диалогу 8).
12. В работе Бора и Розенфельда (N. Bohr, L. Rosenfeld. Zur Frage
der Messbarkeit der elektromagnetischen Feldgrossen. Kgl. Dans. Vid. Sels. Math.-
Phys. Med., 1933, 12 (8), 3—65) дан анализ того, как компоненты электро-
электромагнитного поля могут действительно быть измерены в подходящих мыс-
мысленных опытах с точностью, допускаемой соотношениями коммутации.
13. Доказательство Паули изложено в статье: W. Pauli. The Con-
Connection between Spin and Statistics. Phys. Rev. 1940, 58, 716-722.
14. M. Bom. Quantenmechanik der StossvorgMnge. Z. Phys., 1926,
38, 803-827.
15. Речь идет об уже упомянутом обзоре Ферми 1932 года (смотри
п. 6 Комментариев к диалогу 5), где было дано систематическое и простое
изложение теории взаимодействия атомов (атомных электронов) с излу-
излучением. Интересной особенностью этой статьи является то, что Ферми
не пользовался вообще вторичным квантованием. Поле у него разлагает-
разлагается на осцилляторы по стоячим волнам, а затем Ферми применяет теорию
возмущений к переходам атомов и осцилляторов из одного состояния в
другое. Фактически это означало, что он работает в базисе, где диаго-
нальна не матрица энергии осцилляторов поля, а амплитуда осциллято-
осцилляторов. Матричные элементы переходов для осцилляторов, конечно, оказы-
оказываются совпадающими с матрицами операторов рождения поглощения.
Атом описывается просто уравнением Шредингера или Дирака. В статье
рассматривается ряд задач, не попадающих теперь в стандартные учебни-
учебники. Например, рассматривается взаимодействие двух атомов А и В, из
которых А возбужден при t = 0, и показывается, что В начнет возбуждать-
возбуждаться только через время t = гАВ/сс вероятностью, содержащей (l/fABJ. Рас-
Рассматривается интерференция излучения от А с отраженной от зеркала
волной, и показано, что атом В «видит» интерференционную картину и
174 Комментарии
эффект Доплера. Таким образом, показывается, что квантовая теория поля
воспроизводит все ожидаемые черты классической волновой теории.
В цитированной работе Дирака (смотри п. 9 Комментариев к диалогу 9)
рассматривались только степени свободы электромагнитного поля — во-
волны, соответствующие фотонам. В работе Ферми дано систематическое
рассмотрение также и кулоновских взаимодействий, значительно более
простое, чем в предшествующих работах Гейзенберга и Паули: W. Heisen-
berg, W. Pauli. Zur Quantenmechanik der Wellenfelder. Z Phys., 1929, 56,
1-61; ibid, 1930, 59, 168-190. Метод, развитый Ферми, был воспроизве-
воспроизведен в ряде учебников 30 — 40-х годов (например, в цитированной книге
Гайтлера, смотри п. 6 Комментариев к диалогу 5). Фактически и сейчас
базис и лагранжиан выбираются при рассмотрении конкретных задач, не
исходя из общих норм максимально общей парадигмы вторично кванто-
квантованных полей, а в соответствии с реально решаемой задачей, и задача об
атомных переходах решается так же, как в обзоре Ферми.
Комментарии к диалогу 10
1. A. Eucken,. W. Knapp. Die Theorie der Strahhmg und der Quanten.
Halle, 1914, 365.
«С другой стороны, на основании уже высказанных предположений со-
создается впечатление, что одна и та же теория частично покоится на принци-
принципах старой механики, а частично на противоречащих ей гипотезах. Поэтому
нужно честно признать, что если основывать доказательство на противореча-
противоречащих друг другу исходных принципах, то можно без труда доказать любое ут-
утверждение.»
2. Согласно КЭД рождение виртуальных е+е~ пар кулоновским
зарядом ядра приводит к возникновению вблизи ядра распределенного
заряда пар частично экранирующего заряд ядра. Это приводит к замет-
заметным эффектам для мезоатомов, как обсуждалось в Диалоге 6.
3. В. С. Попов. Квантовая электродинамика сверхсильных полей.
Природа, 1981, 10, 14—22, где даны ссылки на оригинальные исследова-
исследования и обзоры.
4. «Неклаесичность» физики XX века связана с появлением таких
новых соотношений между описываемым и описанием, которые ощуща-
ощущаются как. разрыв между тем и другим. Этот разрыв заполняется философ-
философствующим мышлением, которое заново делает своим предметом не про-
просто реальность и не просто ее идеализированную объективизацию в тео-
теории, но самые предпосылки возможности такой объективизации и ее смысл.
«Ход мысли Бора напомнил мне точку зрения, которую высказывал Ро-
Роберт во время нашего путешествия к озеру Штарнбергер: атомы — это вообще
не вещи,» —
пишет Гейзенберг в своей реконструкции умонастроения физиков начала
1920-х годов.
«Хотя Бор и считает, что ему известны весьма многие подробности внут-
внутренней структуры химических атомов, однако электроны, из которых состоят
оболочки этих атомов, явным образом, уже не являются вещами; во всяком
случае, они не являются вещами в смысле прежней физики, вещами, которые
можно без всяких оговорок описать в понятиях места, скорости, энергии,
протяженности. Поэтому я спросил Бора: «Если внутренняя структура атомов
столь мало поддается наглядному описанию, как вы говорите, и если у нас,
собственно, нет языка, на котором мы могли бы вести речь об этой структуре,
то сможем ли мы вообще когда бы то ни было понять атомы?» Бор несколько
помедлил, а потом сказал: «Пожалуй, сможем. Но при этом мы должны также
сперва узнать, что означает слово «понимание»...» — И далее: «... настоящую
новую землю в той или иной науке можно достичь лишь тогда, когда в реша-
176 Комментарии
ющий момент имеется готовность оставить то основание, на котором покоит-
покоится прежняя наука, и в известном смысле совершить прыжок в пустоту.»
(В. Гейзенберг. Физика и философия. Часть и целое. Пер. с нем. М.:
Наука, 1989).
За время, истекшее с этого апокрифического разговора
(«...Естественные науки покоятся на эксперименте и достигают своей за-
завершенности в беседах людей, занимающихся ими и обсуждающих друг с
другом значение эксперимента. Подобные беседы составляют главное содер-
содержание книги. На их примере должно стать ясным, что наука возникает в
диалоге. При этом само собой понятно, что спустя несколько десятилетий эти
беседы уже нельзя передать дословно...» Там же, с. 9), -
был создан язык, на котором можно вести речь о структуре атомов, атом-
атомных и субатомных процессах. Этот язык, будучи математическим по самому
своему существу, ведет двойное бытие, поскольку имеет двойную семанти-
семантику. Одно его лицо обращено к некоему миру платонических сущностей,
который по общему консенсусу математиков послеканторовского периода,
является вместилищем смысла любых математических конструкций. Если
не желать апеллировать к этому миру, можно, по крайней мере, сказать, что
общественным достоянием является очень компактно и точно описанный
язык теоретико-множественной математики и не вызывающие разногласий
критерий корректного пользования им. Но коль скоро математический текст
является «теорфизическим» рассуждением, он имеет семантику, обращен-
обращенную к физической реальности, и интерпретируется по другим правилам.
При этом жесткую систему ограничений, определяющую и само-
саморазвитие, и структуру языка, доставляет его математический аспект (здесь
не так важно, делается ли упор на синтаксическую, формально-алгебраи-
формально-алгебраическую структуру выкладок или аналитическую строгость и геометричес-
геометрическую «наглядность»). Реальность же соотносится с «теорфизической» речью.
Противопоставление формальное — реальное возникает на стыке несовпаде-
несовпадения синтаксиса языка с синтаксисом реальности, осознанной в предшес-
предшествующей парадигме, и несовместимости двух семантик. Если первое об-
обсуждалось многократно и тщательно, то второе было принято вынуждено и
как бы в отчаянии. «Пустота» между классической детерминированностью
и борновской вероятностью заполнена пунктиром полуклассических при-
приближений и оценок. Но пустота между классической вероятностью и кван-
квантовой комплексной амплитудой вероятности требует прыжка и сейчас.
Комплексные числа, играющие столь большую роль не просто в
аппарате, но во всей понятийной системе квантовой механики, заслужи-
заслуживают с этой точки зрения пристального внимания. Противопоставление
реального и формального запечатлелось даже в самой этимологии терми-
терминов, связанных с комплексными числами (real part, imaginary part). Давид
Гильберт, первый предложивший четкую концепцию идеи существова-
существования в математике, также привлекает к иллюстрации лЛ-1. В своей речи
«Математические проблемы» A900г.) он говорит:
Комментарии к диалогу 10 177
«Чтобы охарактеризовать значение этой проблемы (установления непро-
непротиворечивости аксиом арифметики) еще и с другой точки зрения, я хотел бы
добавить следующее замечание. Если какому-нибудь понятию присвоены
признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу: это понятие матема-
математически не существует. Так, например, математически не существует вещес-
вещественное число, квадрат которого равен — 1. Если же удается доказать, что свой-
свойства, которыми обладает некоторое понятие, никогда не приведут с помощью
конечного числа умозаключений к противоречию, то я скажу, что существова-
существование этого математического понятия, например, числа или функции, удовлетво-
удовлетворяющего определенным условиям, доказано. В рассматриваемом случае, где
речь идет об аксиомах арифметики вещественных чисел, доказательство непро-
непротиворечивости этих аксиом равносильно доказательству математического су-
существования понятия вещественных чисел, или континуума. В самом деле, если
удастся полностью доказать непротиворечивость этих аксиом, то все соображе-
соображения, которые подчас приводились против существования понятия веществен-
вещественных чисел, теряют всякое основание. Правда, понятие вещественных чисел, то
есть континуума, представляет собой при вышеизложенной точке зрения не
просто совокупность всех возможных законов, которым могут следовать эле-
элементы какого-либо фундаментального ряда, но систему элементов, взаимные
соотношения между которыми устанавливаются системой аксиом и для кото-
которых справедливы все те, и только те положения, которые могут быть получены
из этих аксиом конечным числом логических умозаключений» (цитируется по
книге: Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969, с. 26—29).
Очевидно, что существование математического объекта, по Гиль-
Гильберту, лежит в другой плоскости, чем существование электрона или резо-
резонанса. Но и оно небезынтересно для современной физики, поскольку
целое влиятельное течение в физике последнего двадцатилетия — аксио-
аксиоматическая теория поля — поставило своей целью выяснение того, су-
существует ли КТП в гильбертовом смысле (если речь идет о взаимодей-
взаимодействующих квантовых полях). Здесь не место касаться вскрытых Геделем
уязвимых сторон гильбертовой концепции в их техническом плане. Но
мораль одного из открытий Геделя состоит в том, что идею существова-
существования нельзя заменить идеей формальной непротиворечивости.
5. См.: Die Theorie der Strahlung undder Quanten, с 364. Дальнейшая
разработка адиабатической гипотезы содержалась в статье: P. Ehrenfest.
A mechanical theorem of Boltzmann and its relation to the theory of energy
quanta. Proc. Amst. Acad., 1913, 16, 591—597. Гипотеза играла большую роль
на раннем этапе развития квантовой теории A915—1925). Дополнитель-
Дополнительные сведения о ранней истории адиабатической гипотезы имеются в ци-
цитированной книге Т. Куна «Black-Body Radiation and the Quantum Discon-
Discontinuity» (смотри п. З Комментариев к диалогу 9).
6. Например, статья «Тяготение» в цитированной энциклопедии
Брокгауза и Ефрона (смотри п. 10 Комментариев к диалогу 1).
7. Кажется, они пытаются вспомнить клятву Гиппократа.
8. Доклад А. Пуанкаре в Сент-Луи в 1904 году цитировался ранее
в Диалоге 4.
12— ВДК
Комментарии к части II
Предлагаемый текст, конечно, не претендует на то, чтобы слу-
служить учебником квантовой теории поля или физики элементарных час-
частиц, его цель — описать на математическом языке некоторые из основ-
основных структур современной теории элементарных частиц.
Читателю надо иметь в виду, что на сегодняшний день наша спо-
способность сопоставлять квантовую теорию поля (или точнее — ту или иную
теорию, описывающую определенный тип взаимодействий элементарных
частиц на языке квантовой теории поля, такие как КХД или электрослабая
теория) в значительной, если не в доминирующей, степени основана на
использовании квантования Бозе и Ферми-осцилляторов и использовании
борновского приближения теории возмущений. Разумеется, после того, как
первый шаг сделан и простейшее борновское приближение получено, от-
открывается путь к его улучшению путем вычисления радиационных попра-
поправок, что часто предполагает решение нетривиальных проблем.
Таким образом, как правило, мы начинаем с выключения всех вза-
взаимодействий между фундаментальными полями, включенными в лагран-
лагранжиан. После этого гамильтониан системы превращается в гамильтониан
системы невзаимодействующих осцилляторов, соответствующих плоским
волнам. Для полей со спином 0 и 1 они квантуются в соответствии со
статистикой Бозе, для полей со спином 1/2 используется ферми-квантова-
ние. После этого стандартные процедуры позволяют построить /^-матрицу,
то есть амплитуды переходов для процессов рассеяния типа у + е -> у + е
или е+ + ё~ -> у + у- Здесь мы имеем в виду обычное построение представ-
представления взаимодействия и вывод правил Фейнмана, использующий переход
от Г-произведения к iV-произведению. Мы не излагали этот традицион-
традиционный материал, который можно найти в хорошо известных учебниках, в том
числе в цитированных выше книгах Бьеркена и Дрелла, А. И. Ахиезера и
В. Б. Берестецкого или в книге: Н. Н.Боголюбов и Д. В.Ширков. Введение
в теорию квантованных полей. Изд. 4-е. М.: Наука, 1984.
Следует напомнить, что для того периода развития квантовой те-
теории поля, который отражен в этих книгах, основной целью считалось
создание методов, выходящих за рамки теории возмущении, поэтому опи-
описание — относительно простая структура вторичного квантования и пе-
перехода к борновскому приближению и фейнмановскому ряду не рассмат-
рассматривается в названных книгах как основная цель авторов и может быть
вкраплено в описание более общих и абстрактных методов. Разумеется,
даже идеальная простота 5"-матрицы и борновского приближения быстро
Комментарии к части II 179
разрушается при переходе к теориям, претендующим на описание реаль-
реальности. Уже в КЭД безмассовость фотона приводит к необходимости спе-
специального рассмотрения инфракрасной катастрофы и специальных мето-
методов построения свободных состояний, учитывающих присутствие мягких
фотонов в физических состояниях электронов, что, конечно, также мож-
можно найти в названных учебниках.
Уже в КЭД стандартная процедура канонического квантования тре-
требует модификаций, связанных с наличием калибровочной инвариантности
теории; квантование электродинамического лагранжиана есть в действи-
действительности квантование системы со связями. Технически вопрос становится
более сложным в случае калибровочной теории с неабелевои группой, но и
здесь, пока мы ограничиваемся теорией возмущений, по-видимому, не воз-
возникает принципиальных трудностей. Современное state of the art описано в
книгах: А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калиб-
калибровочных полей. Изд. 2-е, перераб. и доп. М: Наука, 1988; P. Ramond. Field
Theory. A Modern Primer. London: Benjamin-Cummings, 1981.
Использование калибровочной теории электрослабых взаимодей-
взаимодействий для описания слабых взаимодействий лептонов опять может быть
основано на использовании борновского приближения, и в этом смысле
достаточно последовательно, пример описания такого типа можно найти
в последнем параграфе части II этой книги. Эта тема рассмотрена в кни-
книгах: J. С. Taylor. GaugeTheories of Weak Interactions. London-New York-
Melbourne: Cambridge Univ. Press, 1976, и Л. Б.Окунь. Лептоны и кварки.
М: Наука, 1981.
Уже в КЭД рассмотрение связанных состояний и расчет анниги-
аннигиляции позитрония в у-кванты требует выхода за пределы формальной
теории 5"-матрицы, использования ^/-функции связанного состояния по-
позитрона и предположения о факторизации больших и малых расстоя-
расстояний, приводящего к пропорциональности вероятности аннигиляции
|у@)|2. В КХД, где связь кварков сильная и они вообще не реализуются в
виде свободных состоянии, проблема приобретает другой порядок слож-
сложности. В некоторых случаях борновская схема все еще применима. В про-
процессах типа v + А —> А' + \i, где АиА'— адронные состояния, а переда-
передача энергии и импульса адрона много больше, чем характерная энергия Л,
при которой КХД-взаимодействия становятся сильными, можно рассмат-
рассматривать кварк как точечную частицу и пользоваться для расчета борновским
приближением. Это приводит к теории так называемых глубоко неупругих
процессов, хорошо описывающей экспериментальные факты в рамках ее
применимости. Обширный раздел КХД составляют расчеты, воспроизво-
воспроизводящие схему КЭД для позитрония, но и выбор потенциала, и факториза-
факторизация больших и малых расстояний, и использование партонного приближе-
приближения для глюонов, например, при расчете процесса аннигиляции тяжелых
систем q q -> 3g (g — глюоны), конечно, не очевидны. Наверное, еще не
настало время для систематического анализа КХД.
12*
Приложение
90. U. Маннн
СТРУНЫ
Недавно я получил приглашение на конференцию по струнам и
суперструнам, которая должна была состояться в Испании во дворце Эс-
кориал. На приложенной открытке можно было увидеть знаменитый мо-
монастырь Св. Лаврентия, построенный Филиппом II в виде римановой
поверхности 17-го рода с четырьмя пиками. Художник изобретательно
продумал двойной символ грандиозного замка — поверхности, подвешен-
подвешенной на струне. Веревка и зубцы стен напоминали об инквизиции и мо-
монархе-садисте и одновременно были стандартной визуализацией новых
игрушек теоретической физики — классических и квантовых струн.
. На самом деле, не совсем новых. Основания теории струн восхо-
восходят к 60-м годам, когда Венециано обнаружил примечательную дуальную
амплитуду в физике сильных взаимодействий. Вскоре стало понятно, что
модель Венециано описывает квантовое рассеяние не обычных точечных
частиц, а релятивистских одномерных объектов — струн. Такая картина
качественно согласовывалась с экспериментальными данными по парто-
ноподрбному поведению сильных взаимодействий. Можно представлять
себе мезон как трубку цветового потока с кварками, прикрепленными на
концах. Тогда размер струны будет — 10 — 13 см. Поскольку струна имеет
внутренние моды возбуждений, эти возбуждения могут описывать все
многообразие сильновзаимодействующих частиц.
Однако адронная интерпретация дуальной теории струн была ом-
омрачена множеством количественных расхождений с экспериментом. Упо-
Упомянем лишь одно: оказалось, что квантовая теория релятивистских струн
получается внутренне согласованной только в 26-мерном пространстве-
времени, хотя адроны, по-видимому, живут в нашем четырехмерном мире!
Тем временем на сцену в качестве правильной теории сильных
взаимодействий вышла квантовая хромодинамика, то есть теория кванто-
квантованных янг-миллсовских полей, и струны вышли из моды.
Современный ренессанс теории струн основан прежде всего на их
новой интерпретации, которую предложили в 1974 году Дж. Шерк и Джон
Шварц.
В настоящее время теория струн рассматривается как кандидат на
правильную теорию элементарных частиц, но не в масштабах адронов, а
на планковских масштабах (~ 10~33 см). Этот романтический скачок на
двадцать порядков величины от экспериментальных данных создает не-
невероятно странную ситуацию в современной теоретической физике и
выдвигает новые проблемы связи теории с феноменологией низкоэнерге-
низкоэнергетической физики (ранее считавшейся физикой высоких энергий). Психо-
184 Струны
логически этот скачок был подготовлен десятилетием развития моделей
великого объединения, основанных на полях Янга—Миллса с большой
калибровочной группой, и прямолинейной экстраполяцией высокоэнер-
высокоэнергетического поведения констант связи сильных и электрослабых взаимо-
взаимодействий.
Другой важной составной частью современной теории струн, так-
также получившей развитие в 70-х годах, является суперсимметрия, то есть
математическая схема, позволяющая включить бозоны и фермионы в один
мультиплет супергруппы симметрии. На классическом уровне благодаря
введению антикоммутирующих координат, описывающих полуцелые спины
фермионов, этот подход включает интересное расширение дифференци-
дифференциальной и алгебраической геометрии, теории групп Ли и анализа. Струна,
снабженная такими фермионными координатами, называется суперстру-
суперструной. В известном смысле суперсимметрия требует общей ковариантности
и поэтому требует объединения с гравитацией.
Квантовая теория суперструн самосогласованна в 10-мерном про-
пространстве-времени. Поскольку это все еще далеко от наших четырех из-
измерений, то была возрождена старая идея Калуцы—Клейна, и предложе-
предложено считать, что лишние шесть измерений должны быть компактифици-
компактифицированы на расстояниях порядка планковской шкалы. Более точно, пред-
предполагается, что наше пространство-время имеет структуру произведения
М4 х К6, где М4 — пространство Минковского частной теории относи-
относительности, а К6 — компактное риманово пространство диаметром 10~33 см,
то есть точка, если иметь в виду любые практические цели. Однако с
теоретической точки зрения это отнюдь не точка. В поразительной рабо-
работе [16] Эд Виттен с сотрудниками предположил, что (в вакуумном состо-
состоянии) пространство К6 является комплексным многообразием Калаби—
Яо со сложной топологией, ответственным за такие экзотические свойст-
свойства нашей Вселенной, как существование трех (или четырех) поколений
фундаментальных составных частей материи, то есть лептонов и кварков.
В начале 80-х годов Майкл Грин и Джон Шварц [1] обнаружили,
что требования самосогласованного квантования (так называемое сокра-
сокращение аномалий) накладывает жесткие ограничения и на возможные ка-
калибровочные группы теории суперструн. Сейчас представляется, что кон-
конкретная модель суперструн, называемая ?8 х ?g гетеротической супер-
суперструной, может в конце концов стать Теорией Всего. Таковы Большие
Физические Ожидания.
С математической точки зрения, теория (супер)струн не менее
интересна. Как однажды заметил молодой московский физик Вадим Книж-
Книжник, объединение взаимодействий достигается путем объединения идей.
Физические статьи, в которых рассматриваются разные грани теории струн,
заполнены сейчас гомотопическими группами, алгебрами Каца—Муди,
пространствами модулей, числами Ходжа, тождествами Якоби—Макдо-
Немного физики 185
нальда и модулярными формами. Исследователь, пытающийся найти свой
путь в этой смеси кажущихся несопоставимыми структур и технических
приемов, вскоре обнаруживает, что интуиция физика часто превосходит
чисто математическую интуицию. Для автора все это стало вызовом и
весьма стимулирующим занятием.
1. Немного физики
Дадим более систематическое резюме физического содержания со-
современной квантовой теории поля, прежде чем погрузиться в ее матема-
математическую схему.
В 20-е годы фундаментальная физика состояла из четырех глав-
главных теорий: электромагнетизм, общая теория относительности, то есть
теория тяготения, квантовая механика и статистическая физика. В общих
чертах три первые теории имели дело с «элементарными» явлениями и их
общими закономерностями, а четвертая — с «коллективными».
Шкала элементарных явлений была определена четырьмя фунда-
фундаментальными константами: е (заряд электрона), G (постоянная Ньюто-
Ньютона), с (скорость света), А (постоянная Планка). Группа размерностей,
порождаемая ими, по существу, совпадает с группой, генерируемой тремя
классическими физическими наблюдаемыми: массой, длиной и време-
временем. Иными словами, задав G, с, й, можно определить «естественные»
(планковские) единицы:
'планк = V(C Л^планк) ~ 10 " СМ'
'Планк 'Планкс ш с-
Трудность в том, что нам неизвестен ни один элементарный про-
процесс, происходящий на планковских масштабах: современные ускорите-
ускорители позволяют исследовать пространство-время в масштабах всего лишь
вплоть до 10~16 см и 10~~26 с; с другой стороны, Л/Планк — это масса мак-
макроскопической капли воды диаметром около 0,2 мм, элементарных час-
частиц с такими большими массами в нашем мире нет.
Эта несовместимость трех фундаментальных теорий долго рассмат-
рассматривалась как свидетельство того, что необходима какая-то более глубо-
глубокая, объединяющая эти три теории (G, с, А)-теория или квантовая гра-
гравитация. На самом деле, были построены два приближения к ней: об-
общая теория относительности, которую можно рассматривать как (G, с)-
теорию, и квантовая электродинамика, то есть (с, А)-теория. Никому до
сих пор не удалось построить непротиворечивую (G, А)-теорию или кван-
квантовую гравитацию. Реальная история физики в нашем столетии развива-
развивалась по альтернативному пути: благодаря открытию радиоактивности и
последующей постройке первых ускорителей список элементарных час-
частиц и сил все время увеличивался, и невероятные усилия нескольких по-
186 Струны
колений физиков были затрачены на развитие квантовой теории поля,
объясняющей разнообразие наблюдаемых явлений.
В 60-е годы сложилась следующая картина. Существует несколько
сортов частиц материи, кажущихся точечными, то есть не имеющими
различимой внутренней структуры; стабильная материя состоит из квар-
кварков и электронов. Все частицы материи являются фермионами, то есть
подчиняются статистике Ферми и имеют спин 1/2. Имеются также кван-
кванты четырех фундаментальных сил: фотоны (электромагнитная сила), глю-
оны (сильная сила), векторные мезоны (слабая сила), гравитоны (?) (тя-
(тяготение), они являются бозонами, то есть подчиняются статистике Бозе—
Эйнштейна и имеют спин 1 (или 2 у гравитона).
Хотя элементарные частицы точечные, они имеют внутренние
степени свободы. Математически это означает, что в картине первичного
квантования волновая функция (скажем, кварка) является не скалярной
функцией в пространстве-времени, а сечением векторного расслоения,
связанным с главным G-расслоением, где G — группа Ли, называемая
калибровочной группой. (В идеале выбор G должен диктоваться фунда-
фундаментальными законами природы, но на практике в 60-е годы этот выбор
зависел от модели.) Аналогично волновая функция кванта фундаменталь-
фундаментальной силы есть связность на соответствующем векторном расслоении, то
есть матричнозначная дифференциальная форма, описывающая парал-
параллельный перенос векторов внутреннего состояния вдоль траекторий в
пространстве-времени. Теория (вторично квантованная) подобного рода
в общем случае называется теорией Янга—Миллса. Высшим достижением
этого периода была (и все еще остается) стандартная модель, описываю-
описывающая электрослабые и сильные взаимодействия с помощью полей Янга—
Миллса с калибровочной группой 577C) х 577B) х U{\), и ряд проектов
Великого Объединения, основанных на большей (предпочтительно про-
простой) группе G, содержащей SUC) x 577B) х ?/(]). Эта большая группа
должна быть группой симметрии фундаментальной теории при больших
энергиях, которая каким-то образом нарушается при более низких энер-
энергиях, приводя к эффективным лагранжианам сегодняшней физики.
Во всех этих исследованиях можно было пренебречь гравитацией, что и
делалось, поскольку гравитационное взаимодействие между элементар-
элементарными частицами на много порядков величины слабее электромагнитного
(это другое выражение того, что масса Планка очень велика).
На самом деле вся структура Вселенной определяется разными
силами на разных расстояниях. В масштабе 10—13 см кварки объединя-
объединяются за счет сильного взаимодействия в протоны и нейтроны. Атомное
ядро состоит из протонов и нейтронов, удерживаемых остаточными сила-
силами. Сильное взаимодействие имеет короткодействующий характер, и оно
вымирает на атомных расстояниях, где электромагнитное взаимодейст-
взаимодействие связывает электроны и ядра в нейтральные атомы.
Немного физики 187
Электромагнитное взаимодействие — дальнодействующее и очень
велико по сравнению с тяготением, но по ряду причин существуют как
положительные, так и отрицательные электрические заряды, компенси-
компенсирующие друг друга с огромной точностью в больших скоплениях вещест-
вещества вроде звезд и планет.
В противоположность этому гравитационный заряд, то есть мас-
масса, никогда не компенсируется, а только складывается, так что в астроно-
астрономическом масштабе гравитация становится определяющей силой.
Остаточные электромагнитные силы в форме света и радиоволн
служат источником энергии и информации для нашего типа живой мате-
материи. Описанная иерархия масштабов, отражающаяся в иерархии физи-
физических теорий, является очень характерной чертой нашего сегодняшнего
понимания Природы. Любая будущая единая теория должна объяснить
эту иерархию.
Итак, все наблюдаемые эффекты гравитации являются на
самом деле коллективными. Они могут стать различимыми на уровне
элементарных взаимодействий только в достаточно возбужденной ма-
материи, то есть при условии, что элементарные частицы ускорены до
энергии ~ МПланкс2, что находится далеко за пределами возможностей
любого мыслимого ускорителя.
Однако подобные условия существовали в очень ранней Вселен-
Вселенной, так что физика таких экстремальных состояний, вероятно, опреде-
определила ее дальнейшую судьбу в космологических масштабах.
Пересмотрим теперь на этом фоне некоторые свойства моделей
струн. Их первое поразительное свойство — предсказание определенной
размерности пространства-времени в планковских масштабах, а именно,
26 для бозонных струн и 10 для суперструн. Этот источник беспокойства
в дуальных моделях адронов становится теперь одним из главных пред-
предсказаний теории. Однако такое предсказание непосредственно не прове-
проверяемо, кроме того, возникает проблема объяснения кажущейся четырех-
мерности низкоэнергетического мира. Очень неточно выражаясь, можно
представить себе, что 26 — 10 = 16 измерений каким-то образом спрята-
спрятаны, чтобы нести в себе внутренние степени свободы фундаментальных
частиц A6 является рангом калибровочных групп Е8 х ?8 и SOC2)), в то
время, как оставшиеся 10 — 4 = 6 «спонтанно» компактифицируются на
планковских масштабах на ранней стадии космологической эволюции.
Ниже мы еще скажем о математическом происхождении этих кри-
критических размерностей 26 и 10. Пока что достаточно заметить, что их
появление — чисто квантовый теоретико-полевой эффект.
Второе свойство струнных моделей — объединение четырех из-
известных сил, включая тяготение, в эффективном лагранжиане низкоэ-
низкоэнергетического приближения к полной теории, которая сама по себе на-
намного богаче.
188 Струны
Третье свойство — предсказание (очень жестко ограниченной)
возможной калибровочной группы Великого Объединения. Это может быть
группа ?8 х Е&, причем один множитель здесь ответствен за обычную
материю, а другой — за «темную материю», которая может взаимодей-
взаимодействовать с обычной материей только через тяготение.
Четвертое свойство — включение суперсимметрии в рамки фун-
фундаментальной физики.
К этому следует добавить, что подобная теория реально пока не
существует. Это скорее идеальный образ, головоломка, отдельные фраг-
фрагменты которой чудесным образом нашли свое истинное место, а другие
все еще остаются загадкой.
Наконец, с точки зрения физики все это может однажды оказать-
оказаться просто принятием желаемого за действительное. К счастью, математи-
математика менее подвержена тлену.
2. Математическая структура квантовой теории поля
На следующих страницах я попытаюсь явно описать математичес-
математическую структуру фундаментальной физики, особо подчеркивая свойства
струнных моделей.
а) Виртуальные классические траектории и действие
Модель физической системы стартует с описания множества ф «вир-
«виртуальных классических траекторий» и функционала действия S: ^$ -> R.
Вообще говоря, *р является пространством функций, то есть пространст-
пространством отображений многообразий/ М —> N или произведением таких про-
пространств. Отображения могут удовлетворять определенным граничным
условиям; Сможет быть расслоением над М,&Щ может состоять из сече-
сечений этого расслоения и т. д. Обычно М и/или ./V являются (псевдо)рима-
новыми многообразиями (с фиксированной или переменной метрикой),
a S получается интегрированием естественной формы объема по Мили N.
Приведем примеры.
Общая теория относительности. Многообразие М есть фиксиро-
фиксированное четырехмерное многообразие С" , ЦЬ — пространство лоренцовс-
ких метрик g = gabdxPdifi на М (то есть сечения S2( ТМ) -> Мс условиями
положительности),
(действие Гильберта — Эйнштейна), где G — постоянная Ньютона, R —
кривизна.Риччи, vol — форма объема g. .
Массивная точечная частица, распространяющаяся в простран-
пространстве-времени (М, g). Здесь ф — множество отображений у: [0,1] -> М,
Математическая структура квантовой теории поля 189
ds, B)
о
где т — масса, ds2 = y*(g) — индуцированная метрика. Образом интервала
[О, 1] является виртуальная мировая линия частицы.
Струна, распространяющаяся в пространстве-времени (М, g). Здесь
*Р — множество отображений <т: N -> М, где N — поверхность, чей образ
является мировым листом струны,
Т
S(c) = -— JvoloC) (действие Намбу), C)
Г—'так называемое натяжение струны, имеющее размерность (длина),
и a*(g) — индуцированная метрика.
Мы всегда будем измерять время в единицах длины, а действие —
в единицах постоянной Планка (или, как говорят физики, положим
Л = с = 1).
б) Классические уравнения движения
Они являются уравнениями для стационарных точек S: 8S = 0.
Поиск решений этих уравнений или исследование их качественных свойств
является главной задачей классической математической физики.
в) Квантовые средние значения и функция распределения
Они даются следующими формальными выражениями (фейнма-
новскими интегралами):
(О) = Z-1 \O(p)eiS^Dp
D)
E)
где О: ^$ —> R — наблюдаемая, a Dp — формальная мера на 5р.
Большая часть проблем квантовой теории поля может рассматри-
рассматриваться как проблема нахождения корректного определения и метода рас-
расчета того или иного фейнмановского интеграла по траектории. С точки
зрения математика почти каждое такое вычисление является на самом
деле полусырой, взятой с потолка процедурой, однако готовность рабо-
работать на эвристическом уровне с такими априори неопределенными выра-
выражениями, как D) или E), есть необходимое условие исследований в дан-
данной области.
Существует несколько стандартных приемов начала работы. Во-
первых, предлагается работать с так называемыми «евклидовыми» верси-
версиями выражений D) и E), в которых е*> переходит в е~^\ Помимо
190 Струны
лучшей сходимости (что бы не означали эти слова), такой переход делает
явной фундаментальную аналогию между квантовой теорией поля в про-
пространстве (Z) пространственных + одно временное) измерений и статис-
статистической физикой в D + 1 пространственных измерениях, что позволяет
использовать богатый набор технических приемов и интуитивного пони-
понимания коллективных явлений. Во-вторых, пытаются свести D) и E) к ко-
конечномерным интегралам, пользуясь групповой инвариантностью и/или
какими-то приближениями. В-третьих, с помощью, скажем, подходящих
рядов теории возмущений, пытаются свести D) и E) к гауссовским интег-
интегралам, так как их теория является единственной развитой главой теории
бесконечномерного интегрирования.
Рассмотрим, например, стандартное эвристическое объяснение
соответствия между классическими и квантовыми законами движения.
Предположим для простоты, что (при заданных граничных условиях) урав-
уравнение 85 = 0 имеет единственное решение р = р0. Предположим также, по
аналогии с конечномерным случаем, что справедливо приближение ста-
стационарной фазы, то есть квантовое среднее значение
(О)=
V
совпадает в пределах небольшой погрешности с О(р0) с точностью до
универсального множителя. Это означает, что квантовые наблюдаемые
практически принимают на классической траектории свои классические
значения.
Необходимым условием справедливости приближения стационар-
стационарной фазы является требование, что S = S/h велико на ^$. Это соответству-
соответствует наблюдению, сделанному еще на заре развития квантовой теории, что
классический режим соответствует переходу й -> 0.
Когда осуществляется вычисление интеграла по траектории, не-
необходимо совершить один или несколько предельных переходов, отлича-
отличающихся от предписанного Архимедом, Ньютоном и Лебегом суммирова-
суммирования бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. В действи-
действительности, такое вычисление обычно приводит к конечному значению,
представленному в виде разности или отношения двух (или более) беско-
бесконечностей.
Я полагаю, что в этом наблюдении содержится важное послание.
Каждый уровень реальности, который нам удается познать, есть всего
лишь тонкий слой пены на поверхности бесконечно глубокого океана,
обычно называемого вакуумным состоянием. Это состояние наименьшей
энергии, но его энергия бесконечна. Мы отделены тонкой пленкой от
вечного огня, первые языки которого стали пожаром ядерной эры. Не
станет ли развитая теория струн началом нового вселенского аутодафе?
Вернемся к математике. Иногда оказывается, что бесконечности в кон-
Математическая структура квантовой теории поля 191
кретной модели, по-видимому, не сводятся к конечному числу типов.
Печально известным примером служит эйнштейновская теория тяготе-
тяготения A), которая поэтому и называется неперенормируемой. Теория тяго-
тяготения может стать конечной только после включения в более общую тео-
теорию, как полагают, струноподобного типа.
Если теория перенормируема (или даже конечна, как это имеет
место в суперсимметричных моделях), неопределенности в выборе «бес-
«бесконечных констант» разрешаются путем обращения к эксперименталь-
экспериментальным данным, определяющим значения различных зарядов и констант связи.
В идеале ничего этого не должно быть: законченная теория должна пред-
предсказывать все.
г) Операторный подход
Выше мы описали лагранжев подход к квантованию. Существует
альтернативный подход, который в разном контексте называют гамиль-
тоновым, каноническим или операторным. В тех случаях, когда удается
установить достаточно тесную связь между ними, этот подход принимает
следующий вид.
На пространстве решений Р классических уравнений движения
8S = О задана естественная пуассоновская структура, то есть скобка Ли на
пространстве .F функционалов на Р. Например, в классической механике
пространство классических путей Р можно идентифицировать с фазовым
пространством, так как классическое движение определено заданием на-
начальных значений координат и импульсов. Соответствующая пуассонов-
пуассоновская структура определена хорошо известной симплектической формой.
(Этот фундаментальный пример показывает, что в качестве /'можно взять
соответствующее пространство граничных значений, что часто делается в
теории струн.)
Унитарное представление подалгебры Fb гильбертовом простран-
пространстве Я определяет операторное квантовое описание системы. Конечно,
такое представление редко бывает единственным, и эта неединственность
соответствует неопределенности интеграла по траекториям. Так называе-
называемое геометрическое квантование есть метод реализации подобных пред-
представлений функциями на Р, сечениями расслоения на Р или соответству-
соответствующей когомологией.
Среднее значение <0> наблюдаемой О е F, вычисленное с по-
помощью интеграла по траектории, должно совпадать с операторным сред-
средним значением вида <vac|p@)(vac> (или <у|р(О)|ф> для соответствующих
векторов состояния vac, ср, ц/ € //), определяемым представлением р. Что-
Чтобы это имело смысл, нужно потребовать такие свойства О, чтобы ее мож-
можно было рассматривать как функционал на ЦЬ, однозначно определяемый
ограничением на Р с ф. Примером может служить локальность О, озна-
означающая, что О зависит только от значения р е ф и нескольких ее произ-
производных в каждой точке пространства-времени.
192 Струны
В общем случае квантование с помощью интеграла по траектории
и операторное квантование следует рассматривать не как полностью эк-
эквивалентные, а как дополняющие друг друга. Эта унаследованная от клас-
классической механики дополнительность, проявляющаяся под маской шре-
дингеровского или гейзенберговского подходов к квантовой механике и
ряда других подходов, завладела квантовой теорией поля.
В теории струн сравнение двух подходов ставит множество ин-
интригующих проблем о связи между модулярными формами на простран-
пространствах Тейхмюллера и пространствах модулей векторных расслоений, с
одной стороны, и теории представлений алгебр Вирасоро, Каца—Муди и
аналогичных алгебр Ли, с другой стороны. До проникновения квантовой
теории поля в эту область математики только модулярные формы рода
единица возникали как ряды характеров представлений, и уже это пред-
представлялось загадочным.
д) Симметрии
Фундаментальная структура (%', S) часто дополняется действием
группы G на ф, оставляющим инвариантным действие S (или, на языке
бесконечно малых, действием алгебры Ли 21, которая в бесконечномер-
бесконечномерной ситуации вполне может быть неинтегрируемой). Математические ас-
аспекты такой картины могут иметь разные физические интерпретации.
Упомянем некоторые из них.
Классические симметрии плоского пространства-времени, действу-
действующего над Р, порождают операторы энергии-импульса. Теорема Нетер о
законах сохранения отражается в структуре импульсного отображения ц:
Р —> 21*, где /'есть пространство классических движений с инвариантной
симплектической структурой.
Локальные калибровочные симметрии в теории полей Янга—Мил-
лса и диффеоморфизмы пространства-времени в общей теории относи-
относительности порождают физически неразличимые состояния. В этом случае
следует называть ф/G пространством виртуальных траекторий, выбрать
G-инвариантные подпространства как пространства квантовых состояний
и т. д. Это явление встречается и в теории струн.
Квантование с помощью интегралов по траекториям (или опера-
операторное квантование) может разрушить классическую G-инвариантность
схемы из-за неопределенностей в схеме регуляризации.
Точное описание результирующей неинвариантности есть пред-
предмет теории аномалий. В последние годы стало ясно, что существенные
черты аномалий отражают когомологические свойства G. Исчезновение
квантовых аномалий рассматривается как важный метатеоретический кри-
критерий согласованности квантовой модели. Именно это исчезновение при-
привело к открытию критических размерностей и предпочтительных калиб-
калибровочных групп.
Математическая структура квантовой теории поля 193
Наконец, несколько слов следует сказать о конформной группе.
Эта группа локальных изменений масштаба метрики пространства-вре-
пространства-времени или мирового листа струны: gab -» e/gab- Конформная инвариан-
инвариантность физической модели приводит к отсутствию естественной шкалы
(длины, массы или энергии). В рамках статистической физики это проис-
происходит в окрестности фазового перехода. Это имеет место и в критическом
режиме в решеточном приближении при вычислении интегралов по тра-
траектории, если такое приближение вообще сходится. Можно думать, что
фундаментальная физика управляется конформно инвариантными зако-
законами. В любом случае конформная инвариантность играет важную роль в
теории струн.
е) Принцип соответствия
Исторически принцип соответствия представляет собой вольно
сформулированное предписание для получения классических законов
физики из квантовых законов.
Современная теоретическая физика является конгломератом тео-
теорий или моделей, каждая из которых применима в определенных грани-
границах или является упрощенной версией более адекватной, но слишком
сложной теории. Все неформальные правила склеивания вместе этих мо-
моделей на границах областей применимости могут быть названы принципа-
принципами соответствия. Так, речь идет о разных нарушениях симметрии и спон-
спонтанных компактификациях.
Если, как я думаю, эта открытость физики является ее существен-
существенной характеристикой, то сами принципы соответствия могут подняться в
статусе и в конце концов рассматриваться как физические законы, дей-
действующие в переходные периоды на манер правил движения. Например,
26, 10 и 4 могут быть последовательными этапами образования нашего
пространства-времени из бесконечномерного квантового хаоса за первые
10~? с Творения.
Функция распределения Полякова для бозонной струны
Теперь я намереваюсь заполнить схему предыдущего раздела кон-
конкретной математикой. Из огромного количества фактов я выбрал пред-
представительный фрагмент, а именно, вычисление (по теории возмущений)
функции распределения E) для бозонной струны Полякова. Формальное
описание этой струны таково:
е>о
13 - 2998
194 Струны
SAx,y) =
Здесь N — фиксированная компактная ориентированная по-
поверхность рода g, tyg = МарСЛ', Л^) х MetN' где отображение х. N -* Rd
задается d функциями на N с действительными значениями, age MetN
есть метрика gabdz?dz?>, записанная в локальных координатах (г1, г2) на N,
да = d/dza ¦ Наконец, р есть константа — обратная температура, которая
несущественна для дальнейшего.
На неформальном языке можно представлять пространство ф вир-
виртуальных классических траекторий в этой модели состоящим из всех ком-
компактных параметризованных римановых поверхностей в евклидовом про-
пространстве-времени №. Действие Полякова G) отличается от действия Намбу
C) — оно зависит также от внутренней метрики g, в то время как C)
определяется только индуцированной метрикой. Однако и C), и G) при-
приводят к одинаковым классическим уравнениям движения 8S = О, выража-
выражающим тот факт, что обсуждаемая поверхность минимальна.
Иная интерпретация связана с квантовой теорией поля в двумер-
двумерном пространстве-времени N. С этой точки зрения действие G) описыва-
описывает d скалярных полей х, связанных с гравитацией у.
Как в теории струн, так и в квантовой гравитации принципиаль-
принципиальным вопросом является корректный учет различных топологий. Здесь мы
сделаем это простым суммированием по всем родам g. Именно это дейст-
действие придает F) смысл ряда теории возмущений.
Зафиксируем теперь g и попытаемся придать смысл интегралу по
траекториям F). Начнем с замечания, что интегрирование по х при фик-
фиксированном g является гауссовским. Более того, мы обнаруживаем, что
бесконечномерная группа G= С х D действует над Ж , оставляя 5 инва-
инвариантным. Именно эта группа есть полупрямое произведение группы
диффеоморфизмов DhslNvi конформной группы С изменений масштаба у.
Пользуясь эти обстоятельством, можно попытаться свести F) к конечно-
конечномерному интегралу. Покажем это.
Гауссовское интегрирование представляет бесконечномерный ана-
аналог формулы
(( ^ = Bтг)я/2
где DX" = dxK..dx" и А является положительно определенным симметрич-
симметричным оператором на В".
При фиксированном у полагаем по аналогии
, y))Dx = (def
Математическая структура квантовой теории поля 195
где Aty — лапласиан по у, действующий на скалярные функции в N, а
det'AQy означает регуляризованный детерминант, определенный, напри-
например, с помощью регуляризации дзета-функциями: если \, — ненулевые
собственные значения ДОу, мы определяем
доказываем, что эта функция имеет мероморфное продолжение на всю
комплексную плоскость, регулярное при s = 0, и, наконец, полагаем
При попытке распутать неявно присутствующие в (9) и A0) пре-
предельные процедуры можно извлечь несколько уроков. Во-первых, фор-
формальная мера ехр(—S' (х, y))Dx в (9) выглядит как предел
d
(или, скорее, как предел 11Ц» ). Поэтому Dx само по себе не имеет внут-
1
реннего смысла, так что формальное обозначение несколько сбивает с
толку. Во-вторых, B7г)"/2 (при п -» да) дает простейший пример «беско-
«бесконечной константы», от которой физики часто избавляются с помощью
таких словечек, как «объем группы диффеоморфизмов» и т. п. В-третьих,
регуляризация детерминанта эллиптического оператора с помощью A0)
включает еще одно деление на бесконечную константу, так как правая
часть A0) есть по существу произведение J|(^iA/), где \° — собствен-
собственные значения произвольно выбранного фиксированного лапласиана.
Этот последний трюк ответствен за нарушение конформной инва-
инвариантности F). Действительно, если подставить (9) в F) и (забыв про C)
попытаться определить
Zg = J(det'A0T)'rf/4, A1)
MetAfe
то обнаруживается, что изменение масштаба g меняет меру. Чтобы точнее
пояснить это, следует, конечно, объяснить смысл Ду. Ясно, что MetTV
является конусом в пространстве гладких квадратических дифференциа-
дифференциалов на N . Поэтому это пространство можно отождествить с касательным
пространством к MetN в любой заданной точке у0. Можно воспользо-
воспользоваться у0 и интегрированием по Ng, чтобы определить метрику этого каса-
касательного пространства. Представим, что она определяет меру, как и та,
что обозначена Dx в (9). Хотя мы очень убедительно доказывали, что
подобная мера не может существовать, посчитаем все же, что случится с
A1) после малого изменения масштаба у.
13»
196 Струны
Тогда мы обнаружим, как выгладит конформная вариация выра-
выражения A1): она равна чему-то, умноженному на B6 — d).
Поэтому, если d= 26, то мера в A1) инвариантна по отношению
к группе С х D, что бы это не означало.
А теперь наступает блестящий финал.
Дело в том, что С х D\ MetiV = М есть пространство конечной
размерности @ для g = О, 2 для g = 1, 6g — 6 для g > 2).
Это знаменитые римановы пространства модулей. Чтобы понять
это, напомним следующие факты: задание конформного класса метрик
на ориентированной поверхности эквивалентно заданию комплексной
структуры; существуют лишь три связных односвязных комплексных ри-
мановых поверхностей — комплексная плоскость, комплексная полуплос-
полуплоскость и риманова сфера; любая комплексная риманова поверхность явля-
является нормальным делителем ее универсального накрывающего простран-
пространства по свободному действию ее фундаментальной группы.
Поэтому, чтобы получить точку в С х Л \Met# лля g > 2 , необ-
необходимо определить представление n^Ng) в PSLB, R). (для g = 0, 1 ситу-
ситуация проще.)
Чтобы понять переход от A1) к конечномерному интегралу, рас-
рассмотрим следующий модельный пример.
Пусть связная группа Ли G действует на римановом многообразии
(М, И), оставляя инвариантной метрику И . Пусть М = G\ M иА- ин-
индуцированная метрика на М. Допустим, все компактно, тогда
jvols = vol(H) \volh,
где Н — стабилизатор точки в М,а vol(//) — объем по отношению к
инвариантной метрике на G.
Используя правую часть этой формулы как определение, где М =
= MetiVg, G= С х Do, Ьо — связная компонента единицы в D, М = Tg —
покрытие Тейхмюллера в М , можно, наконец, представить A1) как ин-
интеграл по Т (или М) конкретной конечномерной формы объема ф .
Например, для g = 1 получаем следующий ответ:
Z,= |^
щ
М[ = {т € С|т| ? 1, |Re т| < 1/2, Im т > 0].
Недавно А. А. Белавин и В. Г. Книжник доказали, что в общем
случае ск равно квадрату модуля голоморфной формы объема на. М (яв-
Математическая структура квантовой теории поля 197
ляюшейся комплексным орбифолдом). Эта форма объема однозначно
определена с точностью до константы. Для нее получено несколько более
или менее явных выражений.
Конечно, в большинстве результаты этого раздела с математичес-
математической точки зрения представляются во многом эвристическими. Но как
только получен определенный результат, в нашем случае — идентифика-
идентификация меры на Mg, можно забыть об этой эвристике и работать только с
надежно установленными фактами. Однако в наши дни такой подход может
оказаться непродуктивным. Квантовая теория поля и, в частности, тео-
теория струн столь восхитительны именно благодаря предлагаемому ими бо-
богатству интуитивного подхода.
Предложения для чтения
Войти в теорию струн для математика не так уж легко. Две срав-
сравнительно недавние публикации могут помочь получить общее представ-
представление о предмете и выбрать конкретный раздел для более глубокого изу-
изучения: монография-учебник [1] и антология [2].
Два доклада на международной конференции по математике в
Беркли [3] и [4] были, по крайней мере, частично посвящены струнам.
Доклад Виттена представляет прекрасное введение в квантовую теорию
поля, если таковая существует.
Открытие А. А. Белавина и В. Г. Книжника [5] совместно с преды-
предыдущими работами Квиллена и Фалтингса привели к важному прогрессу в
теории детерминантных расслоений [6—10], обобщающей доказанную
Гротендиком теорему Римана—Роха. Многое остается сделать в этой об-
области, являющейся одновременно «компонентой на бесконечности» ариф-
арифметической геометрии [II, 12].
К счастью, интегралы по траекториям могут быть в конце концов
переосмыслены в арифметических терминах на основе версии теории
Зигеля—Тамагавы—Вейля. Недавний красивый результат Г. В.Шабата и
В. А. Воеводского, восходящий к предыдущим работам Гротендика и Бе-
Белого, показывает, что естественные решеточные приближения в теории
струн являются внутренне арифметическими (см. [13]).
Для ознакомления с богатой результатами частью теории струн,
связанной с теорией представлений, см. [15], [16], [10] и многие страни-
страницы из [1] и [2].
Список литературы
1. М.В. Green, J.H. Schwarz, E. Witten. Superstriiig Theory. Vol. 1, 2. V. 1: Intro-
Introduction. X, 469 p., v. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. XII,
596 p. Cambridge: Cambridge University Press, 1987. (См. рус. перевод:
Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. В 2-х т. Т. 1: Введение.
518 с. Т. 2: Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. 656 с. — М.:
Мир, 1990).
198 Струны
2. Superstrings. The First Fifteen Years of Superslriiig Theory. Vol. 1, 2. Philadelphia:
World Scientific, 1985, 577-1141.
3. E. Witten. Physics and Geometry. In: Proceedings of the International Congress of
Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: Amer. Math.
Soc., 1987, 267-303.
4. Yu.I. Manin. Quantum strings and algebraic curves. In: Proceedings of the Interna-
International Congress of Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkely, Calif., 1986). Providence,
RI: Amer. Math. Soc, 1987, 1286-1295.
5. A.A. Belavin, V.G.Knizhnik. Algerbraic geometry and the geometry of Quantum
Strings. Phys. Lett. B, 1986, 168C), 201-206.
6. D.S. Freed. Determinants, torsion, and strings. Comm. Math. Phys., 1986, 107C),
483-513.
7. J.-M. Bismut, H. Gillet, C. Soule. Torsion analytique et fibres determinants holo-
morphes. C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 1987, 305C), 81-84.
8. P. Deligne. Le determinant de la cohomologie. In: Current trends in arithmetical
algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1987,
93-177. (Contemp. Math., 67).
9. A.A. Beilinson, Yu.I. Manin. The Mumford form and the Polyakov measure in the
string theory. Comm. Math. Phys., 1986, 107C), 359-376.
10. A.A. Beilinson, V.V Shekhtman. Determinant bundles and Virasoro algebras. Comm.
Math. Phys., 1988, 118D), 651-701.
11. G. Faltings. Calculus on arithmetic surfaces. Ann. of Math., 1984, 119B), 387-424.
12. Yu.I. Manin. New dimensions in geometry. In: Arbeitstagung Bonn 1984. Proceedings
of the meeting held by the Max-Planck-Institut fur Mathematik, Boon, June 15-22,
1984. Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo: Springer-Verlag, 1985, 59-101. (Lecture
notes in mathematics, 1111: Subseries: Mathematisches Institut der Universitat und
Max-Planck-Institut fur Mathematik Bonn. V. 5).
13. Воеводский В.А., Шабат Г.Б. Равносторонние триангуляции римановых по-
поверхностей и кривые над полями алгебраических чисел. Докл. АН СССР, 1989,
304B), 265-268. (Перевод: V.A. Voevodsky, G.V. Shabat. Equilateral Triangulati-
ons of Riemann Surfaces and Curves over Algebraic Number Fields. Soviet. Math.
Dokl, 1989,39A), 38-41).
14. D.V. Bulatov, V.A. Kazakov, I.K. Kostov, A.A. Migdal. Analytical and numerical
study of a model of dynamically triangulated random surfaces. Nuclear Phys. B,
1986, 275D), 641-686.
15. G.B. Segal. Unitary Representations of Some Infinite Dimensional Groups. Comm.
Math. Phys., 1981, 80C), 301-342.
16. Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Представления алгебры Вирасоро. В кн.: Методы
топологической и римановой геометрии в математической физике. Материа-
Материалы II Научной школы (Друскининкай, 1983). Вильнюс, 1984, 78-94. (Пере-
(Перевод: B.L. Feigin, В. Fuchs. Representations of the Virasoro Algebra. In: Seminar on
Supermanifolds, 5. Stockholm Univ., 1986, No. 25).
17. P. Candelas, G.T. Horowitz, A. Strominger, E. Witten. Vacuum configurations for
superstrings. Nuclear Phys. B, 1985, 258A), 46-74.
Именной указатель
Абрагам М. 20; 153
Андерсон Г.Л. 12
Андерсон К.Д. 23; 155
Аристотель 52
Архимед 52; 190
Ахиезер А. И. 47; 162; 165
Батлер К.Ч. 25; 156
Белавин А.А. 196
Берестецкий В.Б, 47; 162; 165
БетеХ.А. 159; 163
Блейк У. 30; 160
Боголюбов Н.Н. 162; 166; 169
Бозе Ш. 87
Больцман Л. 27
Бор Н.Х.Д- 73; 76-78; 172; 173
Борн М. 31; 72; 76; 78; 171; 173
Боте В. 10
Бошкович Р. 20; 42; 152
БрашС. 159
БройльЛ. де 31; 75
Бьеркен Дж.Д. 77; 169
ВайнбергС. 4; 100; 109; ПО; 140;
150; 161
Ван ден Брук А. 21; 154
Вебер Д. 4; 6
Вейцзеккер К.Ф. фон 31
Вентцель Г. 159
Вернадский В.И. 12; 149; 151
Вигнер Ю.П. 74; 75; 172
Вильсон Ч.Т.Р. 25; 155; 156
Вин В. 7
Витгенштейн Л. 38
Виттен Э. 184
Вихерт Э. 7
Воеводский В.А. 197
Гайтлер В.Г. 32; 42; 46; 161; 166; 173
Галилей Г. 79
Гаудсмит СА. 68
Гейзенберг В.К. 24; 28; 31; 34; 35; 57;
70-73; 118; 155; 163; 171; 175
Гей-Люссак Ж.Л. 6
Гелл-Манн М. 25; 116; 157; 163
Гельмгольц Г.Л.Ф. 28; 58; 68; 168
Гедель К. 77; 88
Герц Г. Р. 7
Гиббс Д.У. 30; 161
Гильберт Д. 78; 176; 177
Глэшоу Ш.Л. 4; 161
Грин Г. С. 184
Гольдбергер МЛ. 34
Гротендик П. 197
Дебай П.Й.В. 65; 68; 171
Демокрит 4; 20; 29; 35; 141
Дирак П.А.М. 23; 47; 63; 72; 74; 87; 117;
155
Дойл Конан А. 4
Дрелл С. 77; 109; 169
Ецдокс Книдский 43
Евклид 52
Зееман П. 8; 68
Зоммерфельд А. 14; 20; 29; 150
Иордан П. 31; 74; 75; 171
Ирвинг Д. 10
Калуца Т.Ф.Э. 184
Кант И. 105
Кантор Г. 77
Квиллен Д. 197
Клейн О.Б. 184
200
Именной указатель
Книжник В. Г. 184; 196
Комптон А.Х. 22; 154
Крукс У. 7
Кулон Ш.О. 99
Кун В. 171
Кун Т.С. 12; 51; 54; 55; 168; 169; 171
Кюри М. 6; 147
Лавуазье А.Л. 6
Лакатос И. 53; 168
Ландау Л.Д. 13; 30; 34; 43; 60; 67;
78; 150; 163; 169; 170
Ланде А. 68
Лангенберг Д. Н. 11; 90
Лаплас П.С. 6; 60
Лармор Д. 8
Лауэ М. фон 15; 147
Лебег 190
Левки пп 29
Лейбниц Г. В. 160
Ленин В.И. 30; 160
Лепренс-Ренге Л. 25
Ли Б. 122
Либих Ю. 6; 146
Лифшиц Е.'М. 13; 43; 67; 150; 169
Лоренц Х.А. 8; 13; 19; 23; 68; 79;
148; 152; 170
Лукреций Тит (Кар) 29; 57; 151; 168
Майкельсон А 19
Максвелл Д.К. 7; 28—32; 43; 44;
47; 57; 61; 147; 168
МахЭ. 10; 29; 32; 79-81; 161; 171
Менделеев Д.И. 146; 147
Милл С. 25
Миллекен Р.Э. 4; 9—11; 23; 145
МиллсР. 26; 31; 72; 131; 136; 158
Минковский Г. 104
Намбу Й. 189
Нейман Д. фон 51; 168
Нетер Э. 105
Нишина У. 177
Нишиджима К. 156
Ньютон И. 17; 52; 60; 81; 123; 164; 190
Окунь Л.Б. 179
Онсагер Л. 37; 88
Паркер В. X. 11; 90
Паули В. 22; 25; 28; 60; 76; 78; 115; 155;
156; 159; 161; 169; 173
Перрен Ф. 7
Планк М.К.Э.Л. 20; 63; 65; 67; 68; 71;
92; 154; 170
Платон 71
Плюккер Ю. 7
Поляков А. М. 193; 194
Померанчук И.Я. 34; 60; 153; 167
ПраутУ. 21; 153
Птолемей Клавдий 52
Пуанкаре А. 8; 29; 45; 54; 60; 68; 79; 80;
85; 117; 153
Пуассон С.Д. 104; 124
Рейнес Ф. 22
Редже Т. 39
Резерфорд Э. 5; 7; 146; 147; 153
Розенфельд Л. 76; 78; 79; 172
РочестерД.Д. 25; 156
Руббиа К. 83
Салам А. 3; 48; 100; ПО; 145; 161
Сегре Э. 23; 154
Смондырев М.А. 90
Соссюр Ф. де 51; 149; 168
Стони Д.Д. 6
Тейлор Б. Н. 11; 90
ТомсонДж. Дж. 7; 19; 21
Фалтингс Г. 197
Фарадей М. 6; 146
Фейнман Р.Ф. 32; 34; 41; 46; 59; 75;
101-103; 161; 169; 172
Ферми Э. 4; 21; 22; 24; 39; 40; 72; 76-
79; 87; 100; 113; 137; 154; 166; 173
Фитцджеральд Д.Ф. 7
Фок.ВЛ. 112; 124; 127
Франс А. 32
Френель О. 7; 29
Именной указатель
201
Фурье Ж.Б.Ж. 64; 105: 107; 123
Херман А. 172
Хиггс П. 88; 108; 137
Хокинг СУ. 3; 44; 145
Чемберлен О. 23
ЧуД.Ф. 162
Чэдвик Ч.Д. 22; 155
Шабат Г. Б. 197
Шварц Д. 183; 184
ШеркД. 183
Ширков Д. В. 169
Шредингер Э. 74; 75; 76; 108
Эйнштейн А. 3; 21; 22; 37; 49; 53; 79;
80; 87; 100; 165; 170; 190
Эренгафт Ф. 9
Юкава X. 5; 24; 156
ЯнгЧ. 26; 31; 72; 131; 136; 147; 158
Предметный указатель
rf-кварк 102
я°-мезон 102; 108
TijV-рассеяние 33; 158
я-мезон 25; 33; 158
«-кварк 102
W-бозон 102
Z°-6o3OH 4; 100
Адроны 33; 36; 38; 64 93; 99;
114; 183
Алгебра
suB) 116
suC) 116; 122
suD) 122
Алгебра Вирасоро 192
Алгебра Каца—Муди 184
Алгебра Ли 115; 125
Амплитуда 33; 40; 123; 173
Ангармонический осциллятор 71
Аномалии 114
Аномальный эффект Зеемана 8
Антикварк 94; 102; 108; 121
Антинейтрино 23; 93; 102
Антисимметризация 127
Аромат 93; 97; 117; 133
Асимптотическая свобода 109
Асимптотический ряд 61, 62
Атомная теория 6; 57
Барионный октет 96
Бегущие константы связи 100
Бесконечная константа 191
Бета-распад 154
Бозе-статистика 39; 87; 172; 178; 186
Бозон 76; 87; 96; 97; 122
Бозонная струна Полякова 193
Бозонное поле 35
Большой Взрыв 101
Борновское приближение 49; 178
Брейт-вигнеровская амплитуда 123
Вакуум 20; 47; 75; 78; 94; 103; 136; 151;
161; 184; 190
Вариационный принцип 130
Векторное расслоение 133; 186; 192
Векторный бозон 135
Вероятностная интерпретация 76
Веса 6; 22; 39; 147; 153
Весовая диаграмма 98
Взаимодействие
гравитационное 37; 41; 49; 96; 100;
ПО; 186
сильное 42; 90; 96; 99; ПО;
158; 186
слабое 42; 90; 96; 100; 137; 158
Виртуальная частица 103; 118; 132
Внешнее произведение 112
Внутренняя группа симметрии 25
Внутренняя степень свободы 24; 87; 94;
97; 109; 118; 131; 186
Возбуждение 22; 35; 41; 65; 86; 183
Время жизни 90; 93; 140
Вторичное квантование 38; 85; 106;
123
Гамильтониан 119
классической механики 67
Гамма-квант 102
Гармонический осциллятор 68; 104; 125;
126
Гейзенберговская картина 70
Гильбертово пространство 69; 133
Гиперзаряд 117
Гиперон 25; 156
Глубоко неупругий процесс 95; 109; 179
Глюино 96; 97
Предметный указатель
203
Глюон 4; 24; 39; 87; 90; 114; 136; 162;
182
Голдстоуновский бозон 138
Гравитино 96; 97
Гравитон 49; 87; 186
Грамматика 53; 164
Грассманово произведение 112
Греческие школы 52
Группа
0C) 24
0D) 24
SUQ.) 24; 26; 38; 93; 121; 157; 186
SUB\ 94; 120
'SUB)W 122; 138
SUC) 25; 26; 87; 117; 121; 186
SUQ)C 26; 117; 122
SUC)r93; 94; 117; 120
SUD) 90
SUE) 88; 97; 101; 102; 122
вращений 88
диффеоморфизмов 192; 194; 195
Ли 186; 196
неабелева 38; 106; 131; 136; 158; 179
преобразований 115
Пуанкаре 45; 54; 85; 117
симплектическая 104
унитарная 115
Действие
функционал 130
Эйнштейна—Гильберта 188
Действие Намбу 189
Делокализованное квантовое состояние
108
Дельта-функция 107
Детерминантное расслоение 197
Дефект массы 21
Диаграммы Фейнмана 46
Дираковская частица 113
Дираковский биспинор 109
Дисперсионная теория 8; 68; 162; 170
Дисперсионное соотношение Гольдбер-
гера 34; 162
Дисперсионные соотношения 33
Дисциплинарная матрица 33; 54
Дифференциальная форма 186
Закон сохранения 29; 57; 94; 105; 119;
155; 192
Заряд 5; 34; 44; 61; 91
Зарядовое сопряжение 94; 138
Изоспин24;91; 110; 136; 157
Импульс 16; 40; 66; 101; 117; 179
Интеграл по траектории 189
Интеграл Фейнмана 189
Инфинитезимальное пространственное
вращение 117
Инфинитезимальный генератор 26; 105;
115
Ипсилон-мезон 95
Искривленное пространство-время Эй-
Эйнштейна 109
Калибровочная группа великого объеди-
объединения 186; 188
Калибровочная инвариантность 84; 132;
133
Калибровочная симметрия 85
Калибровочное вращение 135
Калибровочное преобразование 131; 136
Калибровочные теории 31; 32; 38; 99;
132; 168
Калибровочный бозон 97; 106; 138
Каноническая координата 104; 124
Канонический импульс 70
Каноническое квантование 74; 77; 179
Каон94; 116
Квантование
геометрическое 191
Квантовая
механика 13; 31; 55; 67; 169; 172
теория поля 12; 19; 39; 55; 85; 156;
164; 173; 197
хромодинамика 4; 43; 141; 185
электродинамика 13; 29; 39; 90;
159; 163; 165; 174; 185
Квантовое число 90
Кванты калибровочного поля 96
Кварк 4; 17; 26; 35; 87; 102
Кварковая модель 163
Кинематика 89; 104; 118
К-мезон 156
Ковариантная производная 134; 135; 136
Коммутационные соотношения 70; 75;
127
204
Предметный указатель
Комптоновская длина волны 92; 163
Комптоновское рассеяние 32
Константа связи 100; 136
Константа Ферми 137
Континуальное интегрирование 38
Конфайнмент 26; 38; 90; 97; 139; 158
Конформная инвариантность 193; 195
Координата 113; 114; 118; 184; 194
Корни 98
Кривизна Риччи 188
Кулоновский потенциал 99; 164
Лагранжиан 130, 135
взаимодействия 139
Янга — Миллса 136
Лапласиан 195
Лептон 36; 48; 64; 88; 91
Лоренцовская метрика 188
Масса 8; 35; 45; 91; 120; 135; 153; 164;
185; 189
Матрица
массовая 93; 135; 136; 137
плотности 105
рассеяния 102
Матрицы
Гелл-Манна 116
Паули 116
Мезон 25; 91; 114; 121; 156; 162
Мезонный октет 94; 96; 121
Механизм Хиггса 88
Мечта Эйнштейна 4
Многообразие Калаби—Яо 184
Модели
Вайнберга—Салама 110
Изинга 89
Моды колебаний 68
Монополь Дирака 134
Мысленные эксперименты 22; 79; 89;
173
Мюон 25; 47; 78; 91; 140; 156
Наблюдаемая 46; 69; 114; 189
Напряженности поля 135
Нейтрино 4; 18; 22; 91; 113; 154
Нейтрон 22; 91; 99; ПО; 141; 187
Нестабильность материи 88
Нобелевская премия 6; 23; 147
Нуклон 24; 33; 94; 99; 120; 157; 162
Обменные силы 24
Обобщенная функция 133
Общая теория относительности 16; 56;
79; 100; 185; 188
Однопараметрическая группа 114; 115
Оператор
обобщенный 133
рождения 72; 118; 119; 154
уничтожения 22; 72; 119; 154
энергии 115
Оптика геометрическая 41; 52; 67
Опыт Штерна—Герлаха 107
Ортогональная сумма 108
Осциллятор 8; 35; 64; 126; 170
Очарование скрытое 95
Парадигма 12; 28; 51; 54; 80; 150
Параллельный перенос 134; 186
Партон 95; 179
Перенормировка 32; 47; 132; 168
Переносчики взаимодействия 92; 96; 133
Перигелий Меркурия 79
Планетарная модель Резерфорда 21
Планковская шкала 185
Платоновы формы 34
Позитрон 13; 23; 74; 100; 102; 155; 179
Поколения 4; 97; ПО; 122; 138
Поле Янга—Миллса 184; 192
Поляризация 39; 78; 104; 109; 133
Постоянная Ньютона 185
Постоянная Планка 92; 185
Представление неприводимое 121; 122
Преобразования Лоренца 19; 24; 110
Принцип
исключения Паули 75
Маха 80
соответствия 86; 108; 197
суперпозиции 37; 80; 105
Проблема смысла 77
Промежуточный бозон 87; 96; 97; 122; 136
Пропагатор 136; 162
Предметный указатель
205
Пространство
Минковского 104; 184
Фока 112; 123; 126
электронов и позитронов 113
Пространство-время 16; 108
Протон4;23;35;88;91;99; ПО; 137; 180
Прямая сумма 106
Псевдоскаляр 23; 33; 162
Пузырьковая камера Вильсона 25
Разложимые состояния 111
Размерная регуляризация 132
Распад протона 50
Расслоение 63; 133; 188
Расходимости 32; 131; 159
Регуляризация
Паули — Вилларса 60
с помощью дзета-функции 194
Релятивистская
волновая функция 75
кинематика 109
Риманова
геометрия 81
поверхность 183; 194; 196
Риманово многообразие 188
Самодействие 36; 131; 137
Сектор лептонный ПО; 139
Сечение 10; 32; 59; 85; 102
расслоения 133; 188
Симметризация 112; 121
Симметрия
внутренняя 25
группа 26; 59; 88; 94; 105; 134
кинематическая 105; 115
нарушение 24; 38; 94; 113; 120; 132;
137
Симплектическая
геометрия 104
структура 192
форма 191
Система центра масс 95; 114
Скалярное поле 63; 72; 137
Скалярное произведение 69; 107; 108
Скобки Пуассона 104; 125
Скорость света 45; 92; 170; 185
Слабый изоспин ПО; 116; 136
След 22; 135
Слой 55; 134; 190
Смешанное состояние 105
Собственное значение 116
Собственный вектор 117
Сольвеевский конгресс 78; 157
Соотношение неопределенностей Гей-
зенберга 118
Соотношения антикоммутации 75
Сопряженная пара 118
Состояние поляризации 39; 118; 133; 140
Спектр 36; 116; 117
Спин 13; 87; 157; 158; 171; 186
Спиновое пространство Паули 113
Спинорное поле 36; 135; 163
Среднее значение 118; 190
С/'-четность 94
Степени свободы 24; 30; 53; 72; 88; 104;
108; 116; 133; 173; 187
Странность 95; 117; 166
Струна бозонная 193
Супергравитация 37; 44; 50
Суперпозиция 35; 64; 106; 123; 132
Суперсимметрия 184
Суперструна 184
Тау-лептон 91
Тензор
антисимметричный 112
симметричный 112
Тензорная алгебра 106; 121
Тензорное произведение 106; 111; 121
Теорема Нетер 192
Теорема Римана—Роха 197
Теория
Вайнберга—Салама 48
великого объединения 42; 97
возмущений 34; 38; 103
Дирака 137
Зигеля—Тамагавы—Вейля 197
Редже 39
элементарных частиц 157
Ток внешний 74
Топологические степени свободы 134
Угловой момент 22; 109; 117; 158
206
Предметный указатель
Угол
Вайнберга 100; 107; 140
смешивания 107; 138
Ультрафиолетовая
катастрофа 61
расходимость 131; 132
Универсальная константа 137
Универсальное накрывающее простран-
пространство 196
Унитарная группа 115
Унитарное представление 192
Уравнение
Гамильтона 124; 130
Дирака 23; 75; 109
Шредингера 31; 75
Фаза 38; 108
Фазовое пространство 104; 114; 124; 130
Фазовый множитель 74; 107; 115; 134
Фазовый объем 124; 125
Фермион 76; 87; 100; 101; 109; 113; 126;
137; 157
Фермионные координаты 184
Ферми-поле 35
Ферми-статистика 87; 172
Формула Вина 22
Фотино 96
Фотон 4; 22; 39; 45; 86; 148
Фундаментальная группа 196
Функция распределения 189; 193
Хиггсовский бозон 88; 96
Хиггсовский сектор 32; 61
Хиггсовское поле 43; 137
Цвет 87; ПО
Число заполнения 73; 172
Шредингеровская картина 70
Шредингеровское представление 70
Эксперимент Ааронова—Бома 133
Эксперименты Сперри 79
Электрический заряд 99
Электромагнита ое
взаимодействие 42; 94; 96; 163; 186
поле 38; 72; 88; 123
Электрон 4; 7; 91; 141; 148; 186
Электрослабая модель Салама—Вайн-
Салама—Вайнберга 3; 136
Электрослабое взаимодействие 4; 15; 48;
60; 138; 141
Энергия 16; 46; 66; 72; 92; 109; 122; 183;
191
Эпикурейство 29
Эрмитовый оператор 69; 85; 115; 119
Эффект Зеемана 8; 68; 171
Эффективная масса 120; 138
Ядерная демократия 33; 162
Ядерные силы 24; 33; 162
Ядро 21; 47; 78; 99; 153; 186