XUY
ХПУ
X\Y
Х+ A X
f(x)dx=F(b)-F(a), F'(x)=f(х)
Н.Я.Виленкин
О.С.Ивашев-Мусатов
С.И.Шварцбурд
Алгебра
и математический
анализ
ДЛЯ 11 КЛАССА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ
И КЛАССОВ С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ
МАТЕМАТИКИ
Рекомендовано
Министерством общего и
профессионального образования
Российской Федерации
6-е издание
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1998
УДК 373.167.1:[512 + 517]
ББК 22.14я72
В44
Рецензент:
кандидат физико-математических наук А. Я- Блох
Виленкин Н. Я. и др.
В44 Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб,
пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. мате-
матики/Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварц-
бурд.— 6-е изд.— М.: Просвещение, 1998.— 288 с.: ил.—
ISBN 5-09-008036-4.
Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги «Алгеб-
ра и начала анализа» для 10 класса, изданной в 1992 г. В нем раскрываются
вопросы программы данного курса для 11 класса как для общеобра-
зовательной школы, так и для классов и школ с углубленным изу-
чением курса математики.
УДК 373.167.1: |512 4- 517]
ББК 22.14я72 + 22.161я72
ISBN Б-09-008036-4
© Издательство «Просвещение», 1984
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 1998
Все права защищены
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА VII.
ИНТЕГРАЛ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
$ 1. Неопределенный интеграл
1. Введение (7). 2. Первообразная (7). 3. Непосредственное интегри-
рование (11). 4. Замена переменной (12).
f 2. Дифференциальные уравнения
1. Введение (14). 2. Решения дифференциальных уравнений (17).
3. Уравнения с разделяющимися переменными (23). 4. Составление
дифференциальных уравнений (25). 5. Математическое моделирова-
ние (28).
$ 3. Определенный интеграл
1.	Площади ш/оских фигур (29). 2. Площадь криволинейной трапе-
ции (32). 3. Теорема Ньютона — Лейбница (34). 4. Физические и
геометрические задачи, приводящие к понятию определенного инте-
грала (36). 5. Вычисление геометрических и физических величин
с помощью определенного интеграла (43). 6. Свойства определен-
ного интеграла (46). 7. Оценка значения определенного интегра-
ла (50).
*	ГЛАВА VIII.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
f 1. Показательная функция н ее свойства
1. Процессы органического роста и убывания (55). 2. Обобще-
ние понятия степени (57). 3. Определение функции In х, ее свойства
и график (60). 4. Логарифмическая функция и степень с любым
показателем (63). 5. Показательная функция, ее свойства и
график (68).
f 2. Показательные и логарифмические уравнения н неравенства
1. Простейшие показательные уравнения и неравенства (70). 2. Ре-
шение показательных уравнений и неравенств (72). 3. Простейшие
3
логарифмические уравнения и неравенства (74). 4. Решение логариф-
мических уравнений и неравенств (75).
$ 3. Дифференцирование и интегрирование показательной и логариф-
мической функций
1. Логарифмическое дифференцирование (81). 2. Дифференци-
рование показательной функции (85). 3. Дифференциальное уравне-
ние процессов органического изменения (87). 4. Некоторые пределы,
связанные с числом е (91). 5. Некоторые неравенства для показатель-
ной функции (92). 6. Неравенства для логарифмической функции (95).
$ 4. Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и нера-
венства
1. Степенная функция с произвольным показателем (97). 2. Неко-
торые тождества для степенной функции (100). 3. Сравнение роста
степенной, показательной и логарифмической функций (102). 4. Ал-
гебраические выражения (104). 5. Упрощение иррациональных выра-
жений (107). 6. Уничтожение иррациональности в знаменателе или
в числителе (НО). 7. Иррациональные уравнения (111). 8. Иррацио-
нальные неравенства (115).
$ 5. Метод последовательных приближений
1. Приближенное решение уравнений (117). 2. Метод последова-
тельных приближений (118).
$ 6. Уравнения н неравенства с параметрами
1.	Рациональные уравнения и неравенства с параметрами (121).
2.	Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами (125).
3.	Трансцендентные уравнения и неравенства с параметрами (129).
ГЛАВА IX.
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
$ 1. Многочлены от нескольких переменных
1. Стандартный вид многочлена от нескольких переменных (135).
2. Симметрические многочлены (138). 3. Доказательство неравенств с
несколькими переменными (141).
§ 2. Системы уравнений и неравенств
1. Геометрический смысл одного уравнения с двумя переменными (145).
2. Системы н совокупности уравнений (147). 3. Равносильные системы
уравнений (152). 4. Метод исключения (154). 5. Метод алгебраи-
ческого сложения уравнений (155). 6. Метод замены переменных.
Системы симметрических уравнений (157). 7. Графическое решение
системы уравнений (162). 8. Системы иррациональных, тригонометри-
ческих, показательных и логарифмических уравнений (167). 9. Решение
неравенств с двумя переменными (170).
4
ГЛАВАХ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
$ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
1. Введение (178). 2. Определение комплексных чисел и операций
над ними (180). 3. Сопряженные комплексные числа (183). 4. Извле-
чение квадратных корней из комплексных чисел и решение квадрат-
ных уравнений с комплексными коэффициентами (186).
$ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
1. Геометрическое изображение комплексных чисел (188). 2. Полярная
система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел
(190). 3. Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел
в тригонометрической форме (194). 4. Формула Муавра. Применения
комплексных, чисел к доказательству тригонометрических тож-
деств (196). 5. Извлечение корня из комплексного числа (197).
6. Основная теорема алгебры многочленов (202). 7. Комплексные
числа и геометрические преобразования. Функции комплексного
переменного (205).
ГЛАВА XI.
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
$ 1. Множества, кортежи, отображения
1. Множества и операции над ними (208). 2. Алгебра множеств
(211). 3. Разбиение множества на подмножества (213). 4. Кор-
тежи и декартово произведение множеств (213). 5. Отображения мно-
жеств (216).
§ 2. Основные законы комбинаторики
1. Введение (219). 2. Правило суммы (221). 3. Правило произведе-
ния (224).
$ 3. Основные формулы комбинаторики
1. Размещения с повторениями (226). 2. Размещения без повторе-
ний (228). 3. Перестановки без повторений (229). 4. Сочетания без
повторений (230). 5. Сочетания и биномиальные коэффициенты (232).
6. Перестановки с повторениями (234). 7. Сочетания с повторения-
ми (238).
ГЛАВА XII.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Вычисление вероятностей
1. Введение (242). 2. Вероятностное пространство (243). 3. Ве-
роятность событий (247). 4. Алгебра событий (252). 5. Теоремы сложе-
ния (258).
5
4
$ 2. Независимые испытания
1. Независимые случайные события (261). 2. Условная вероятность.
Формула умножения (265). 3. Формула Бернулли. Закон больших
чисел (270). 4. Геометрические вероятности (273).
Ответы и указания (280).
Предметный указатель (286).
Глава VII
ИНТЕГРАЛ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
$ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Введение. С помощью дифференцирования можно, зная за-
кон движения тела, найти его мгновенную скорость в любой момент
времени. Часто возникает необходимость в решении обратной за-
дачи: зная скорость прямолинейно движущегося тела в каждый
момент времени, найти закон движения тела. Эти и аналогичные
им задачи решаются с помощью операции интегрирования функ-
ций, которая обратна операции дифференцирования.
Раздел математики, в котором изучаются свойства операции
интегрирования и ее приложения к решению задач физики и гео-
метрии, называют интегральным исчислением.
Напомним выведенные в главах V и VI формулы для произ-
водных и вытекающие из них формулы для дифференциалов:
Функция	Производная	Дифференциал
ха sin х COS X tg* ctgx arcsin x arctg x	„ 1 ax cos X — sin x 1 cos2 X 1 sin2 x 1 -Vi — 1 1+x2	axa“1 dx cos xdx —sin xdx dx CQS2 X dx 	:—5	 sin2 X dx Vl “X2 dx T+?
2. Первообразная.. Введем следующее определение:
Определение 1. Функцию F, заданную на некотором про-
межутке X, называют первообразной для функции f, заданной на
том же промежутке, если для всех х£Х выполняется равенство
г' (х), или, что то же самое, dF (x)=f (х) dx.
Замечание. <В концевых точках промежутка X речь идет об односторон-
них производных.
7
Например, из равенства (х3)' = Зх2 следует, что функция х3
на всей числовой оси является первообразной для функции Зх2.
Заметим, что функция х3-|-4 тоже является первообразной для
Зх2, так как (х’+^^Зх2. Вообще, любая функция вида х34-С,
где С — некоторое число, является первообразной для Зх2. Таким
образом, функция Зх2 имеет бесконечно много первообразных.
То, что первообразных иного вида, чем х3 + С, у функции Зх2
нет, вытекает из следующей теоремы:
Теорема. Если функция f имеет на промежутке X первообраз-
ную F, то для любого числа С функция F-\-C также являет-
ся первообразной для f. Иных первообразных функция f на X не
имеет.
Доказательство. Так как F — первообразная для f
на промежутке X, to Fz(x)=f(x) для всех х£Х. Но тогда при
х£Х для любого числа С имеем: (F ($)+Cy=f (х). Это значит,
что F(x)4- C — тоже первообразная для f на X.
Покажем, что иных первообразных на X функция f не имеет.
Предположим, что Ф — тоже первообразная для f на X. Тогда
Ф'(х)=/(х), и потому для всех х£Х имеем: Ф' (xj—F'(х)=
=f(x)-f(x)=Q.
В силу следствия из теоремы 1 п. 3 $ 3 главы V отсюда следует,
что функция Ф — F постоянна на X. Обозначим ее С: Ф(х)—
— F(x)=C. Тогда Ф (x)‘=F (х)4-С, а это значит, что любая
первообразная функций имеет вид F4-C.
Доказанная теорема показывает, что вопрос об отыскании
всех первообразных функции f решается отысканием какой-нибудь
одной из них: если такая первообразная найдена, то любая перво-
образная получается из нее прибавлением некоторой постоянной.
Определение 2. Совокупность всех первообразных функ-
ции f называют неопределенным интегралом этой функции и обо-
значают символом \f(x)dx. Таким образом, $ f (x)dx=F(x)+
4- С, где F — одна из первообразных для f, а С пробегает мно-
жество действительных чисел.
В этом равенстве f называют подынтегральной функцией, вы-
ражение f (х) dx — подынтегральным выражением, переменную
х — переменной интегрирования и слагаемое С — постоянной ин-
тегрирования.
Пример 1. Так как х3 — первообразная для Зх2, то
J 3x2dx=x3 + С.
Опираясь на определение первообразной, докажем следующие
свойства неопределенного интеграла (в предположении, что рас-
сматриваемые интегралы существуют) .
1)	Имеет место равенство:
d ($ f (х) dx)=f (х) dx.	(1)
8
(Это равенство означает, что формула верна при любом значе-
нии произвольной постоянной С.)
В самом деле, по определению имеем: j f (x)dx=F (х)-\-С, где
F' (x)=f(x). Поэтому
d (J f (х) dx)=(F (х)+С)' dx=F' (х) dx=f (х) dpc.
2)	Имеет место равенство:
\F’(x)dx=F(x) + C.	(2)
Оно непосредственно вытекает из определения интеграла.
3)	Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов сла-
гаемых:
S (ф(*)+♦ (*))dx=\ ф (х) dx+S ф (х) dx.	(3)
В самом деле, пусть \ ф(х)</х=Ф(х)4-С и \ф(х)</х=
=Ч'(х)+С.
Тогда Ф'(х)=ф(х), Чг'(х)=ф(х), и потому
J (Ф (х)+ф (х)) dx= J (Ф' (х)+Ч" (х)) dx=
(Ф (х)+Т (х))' </х=Ф (х)4-т (ж)+с=
ф (х) dx+J ф (х) dx.
4)	Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
J Af(x)dx=A\f(x)dx.	(4)
В самом деле, если А — постоянная и F' (x)=f(x), то
(AF (х))'=AF' (x)=Af (х). Значит,
J Af (х) dx=AF(x)iC=A J f (x) dx.
Так как (x“+’)'=(«+ l)x“, то из свойств 2 и 4 вытекает, что
при а =/= — 1
к^=^(а+,)Л,‘=£п+с-	<5>
Пользуясь этой формулой и свойствами 3 и 4, можно проинтег-
рировать любую сумму степеней х, умноженных на некоторые
числа, если только среди показателей степеней нет числа — 1 (в
частности, можно проинтегрировать любой многочлен от х).
Пример 2. Найдем интеграл
J (Зх4—5х2 + 6х- 7)dx.
9
Решение. По свойствам 3 и 4 имеем:
$ (Зх4 * * — 5х2+6х-7)dx=
=3^ x4dx—5^ x2dx+6^ xdx—7^ dx.
Но по формуле (5) имеем:
J x4dx=^+C, J x2dx=^-+C, J xdx=^-+C,
J dx=x+C.
Значит,
{(3x4 - 5x2+6x - 7) dx=^— 4*3+Зх2 - 7x+C.
J	0	□
(Мы пишем произвольную постоянную лишь один раз, посколь-
ку произведение любого отличного от нуля множителя на произ-
вольную постоянную, так же как и сумму произвольных постоян-
ных, можно заменить одной произвольной постоянной.)
Пример 3. Вычислим интеграл
К* v»-?)dx-
Решение. Имеем:
J(xV*—— 6x-2)dx=^ x3dx—6^ x~2dx=
=TZ--6^r+C=fx^+f+C.
Упражнения
1.	Вычислите интегралы:
1)	\x7dx; 2) \xtMxdx; 3) j	dx; 4) J
2.	Проверьте, что функция F является первообразной для функции f, если:
1)	F(x)=^-+2cos2x, f (х)=х€ — 4 sin 2х; 2) F (x)=arctg2
.. ч 6arctg3x _z . ,	х 6 tg2 2х , _ . _
Н*)= 1+^г ; 3) F(x)=tg3 2х—cos 5х, f(x)= COg52x +5sin5x;
4) F(x)=arcsin (x2), / lx)=—^x	; 5) F (x)=cos -y/x—sin (x2),
Vl—X4
fW=—2xcos(x2); 6) F(x)=x4 sinx-f-^^,
e / \ Л 3 •	14	। 5 sin X
f (x)= 4x sm x 4- x cos -»—.
10
3.	Непосредственное интегрирование. Непосредственное интег-
рирование основано на использовании результатов дифференци-
рования функций. В силу определения интеграла, из всякой фор-
мулы F'(x)=f(x) дифференциального исчисления вытекает со-
ответствующая формула J f (х) dx=F (х)+С интегрального исчис-
ления.
Пример 1. Так как (sin x)'=cos х, то
cos xdx=sin x+C.
Таким образом, с помощью таблицы дифференциалов простей-
ших функций получаем следующую таблицу основных интегра-
лов:
1)$лк-£т+с'а’ь-1;
2)	$ cos xdx=sin x+C;
3)	J sinxdx= — cosx+C;
4)	( _^_=tgx+C;
' J cos2 x &	1 <
+-----
6) +Ц=агс5|п x + C;
J VI— x
7) $ i^7=arctg x+C.
Позднее мы добавим к этой таблице еще несколько формул ин-
тегрирования.
Пример 2. Вычислим интегралы:
°	dx' 2) J (6 cos х—7 sin х) dx.
Решение. 1)По формулам 4) и 5) имеем:
----_4_\ dx=3\--------4( -^-=3 tgx+4ctgx+C.
J\cos2x sirrx/	J cos2 x J sirrx ®	1	®	1
2)	По формулам 2) и 3) имеем:
J (6 cos x—7 sin x) dx=6 j cos xdx—l\ sin xdx=
= 6 sin x+7 cos x+C.
Пример 3. Вычислим интеграл
Г	dx
J (14-x2)V1—х2
Решение. Так как
т/1—х2-Ц4-х2___->/1—х2__।____14-х2	_
(1+ х2) Л/Г^хг ~ (1+x2)VT~-xr "Г (l+x^Vb^? —
=тт-Я—J , » то
14-х2
п
dx=\
(l+x2)-/!^? J 1+** J VT^P
= arctg x+arcsin x-^-C.
Упражнения
3.	Вычислите интегралы:
|)К8,,л‘-йк)Лк 21 И^=?+тт?)Л:
з> (6со„	« \iK	з \
J\ 14-х2/ J\sm2x	J 14-х2
6)	( . idx 2 ; 7) (	= 8>	,+^dx-
J sin2 X cos2* ’ J *41 ’ Jvr=7
4.	Вычислите интегралы:
14	f х3 —х2-]-*—1 , оч f , 2 . ox C	sinxd*
1)	1--m-------dx\ 2) \ tg2 xdx\ 3) \ .-4 .—- n . 9 л-5-7Г— -Г7Г";
J	xz+1	J &	J sm 2*4-2 sin 2* cos 2*-|-cos 2*
4) ( x2~4x^+4xdX.
J (V^-2)2
4. Замена переменной. При вычислении интегралов, не содер-
жащихся в приведенной выше таблице, оказывается полез-
ным метод замены переменной (или, как его называют иначе,
метод подстановки). В основе этого метода лежит формула диф-
ференцирования сложной функции. Мы знаем, что если F' (x)=f (х)
и если существует функция F [ф (/)], причем функция <р диффе-
ренцируема, то
(F [<р (/)])'=F' (х) ф' (t)=f (х) ф' (t)=f [ф (/)] ф' (/).
Отсюда следует, что если
Jf(x)dx=F(x)+C,	(1)
то
\f [ф(0]ф'(0^^[ф(0]+с.	(2)
Поскольку ф" (t) dt=dtf (t), то формулу (2) можно записать в сле-
дующем виде:
!Нф(0]^ф(0=^[ф(0]+с.	(2')
Равенство (2') получается из (1) заменой х на ф (/). Мы доказа-
ли, таким образом, следующее утверждение:
Теорема. Пусть функция ф дифференцируема на промежутке X,
а функция F является первообразной для f на образе ф (X) проме-
жутка X. Тогда F о ц> является первообразной для функции (f ° ф) ф'.
Так как при q>(f)=kt+b имеем ф'(/)=А, то из равенства
(2') вытекает, что
J kf (kt+b) dt=F (kt+b)+C.
12
Поэтому
\f(kt+b)dt=-^F(kt+b)+C.	(3)
Пример 1. Вычислим интегралы $ cos (4х—5) dx,
j(8x— И)3 dx.
Решение. Так как J cos х dx=sin х-|-С, то по формуле
(3) получаем, что $ cos (4х—5) dx=-|-sin (4х—5) + С.
Так как x3dx=-^4-C, то J (8х— 11)3 dx=^(8x— 11)44-
+c=i(8x-n)4+c-
Приведем примеры более сложных подстановок.
Пример 2. Вычислим интеграл
J х2 sin (х3) dx.
Решение. Замечаем, что (х3)' = Зх?. Поэтому делаем под-
становку x3=t. Имеем:
х2 sin (х3) dx=-|-^ sin (х3) (х3)' dx.
Так как (х3)' dx=dt, то
( х2 sin (х3) dx=-|-( sin tdt= —cos / + C= —^-cos(x3)+C.
J	«J J	V	<J
Пример 3. Вычислим интеграл
sin2 x cos x dx.
Решение. Так как (sin x) '=cos x, то напрашивается
подстановка sin x=t. Имеем: dt= (sin x)' dx=cos x dx, и поэтому
5 sin2xcos xdx=^ /2df=-^-+C=4-sin3 x+C.
Пример 4. Вычислим интеграл J -\]d2—x2dx, a>0.
Решение. Здесь формула (2') применяется справа налево.
Именно, положим x=<p(f)=asin/, —Тогда <р'(/)=
~а cos t, и потому имеем:
J -^a2—xtdx=ai\ — sin21 cos t dt=c?\ cos2t dt.
Ho cos2 /=l+c.,os2<, и потому
Va2—j?dx=-|-^ (1 -l-cos 2t) dt=-^	cos 2t dt.
Применяя формулу (3), выводим, что cos 2t dt=-^- sin 2t+C,
и потому
13
J Va2—x2dx=a" s^n 2f + C=-y- (/+sin / cos/) + C.
Чтобы завершить интегрирование, нам осталось вернуться от
аргумента t к аргументу х, где, напомним, x=asin/. Имеем:
sin t=—, cos /=-71 —sin2 t=-\l 1 — Д-, /=arcsin —, и потому
a	’	у a	a
J ^dl—x2dx=-^- arcsin	—x*+C.	(4)

Упражнения
5.	Вычислите интегралы:
° S т/25=? 2) S 25+? : 3) J 3*425 ; 4) J 71-16? 1
5)	( cos Зх 4х; 6) ( . S-^X—.
J	J sm2 (5х—6)
6.	Вычислите путем разложения в алгебраическую сумму интегралы:
2)	t	+
J х	J хух
3)	J sin2 Зх dx; 4) J cos2 4x dx; 5) J sin 2x cos 2x dx;
6) j cos 8x sin 6x dx; 7) J sin 12x sin 2x dx; 8) J cos 6x cos 3x dx.
Следующие интегралы вычислите с помощью замены переменной (7—9).
7. 1) \ (4х—7)’dx; 2) \ -Jbx+lldx; 3) \ - -- -; 4) \ cos5xrfx;
J	J	J у8х—15	J
Snr t f dx	С dx
sm -J2xdx; 6) \ —7-77-rr; 7) \ . s --;
v	J cos2 (6x— 1) J sin2 2x cos2 2x
8) J (sin	Vf J	I") J /_ь+Ю '
8- ° 2) 3) ( xsin(?)d*;
J 1 “Tx J yl — X J
.. C ,n , ,,	,2| I\ J C, f arcsin’x . Г arctg42xdx
4) ) (2x+l)cos(x2+x- l)dx; 5) J	dx-, 6) J —.
9.	1) C^fn^3xX ’ 2) J S*n 2xcosS 2*</x.
$ 2. дифференциальные уравнения
1.	Введение. Многие законы физики связывают значения ве-
личин со скоростями и ускорениями их изменения. Пусть, напри-
мер, материальная точка массы т движется по прямой линии под
действием силы F, направленной по той же прямой. По второму
14
закону Ньютона ускорение точки в момент времени t равно отно-
шению величины силы F, действующей в этот момент на точку,
к массе т: а——.
т
Так как ускорение равно второй производной координаты точки
по времени, а=х", то это равенство можно записать в виде
mx"=F.	(1)
Рассмотрим несколько примеров.
1)	Точка движете^ по инерции в сопротивляющейся среде, при-
чем сопротивление среды пропорционально скорости движения
точки и направлено в сторону, противоположную этой скорости.
Тогда F=—kv, и потому равенство (1) примет вид:
тх"= —kv.
Поскольку v=x', то получаем уравнение
тх"— — kx'.	(2)
Это уравнение можно записать иначе, если вспомнить, что x' — v
И x"==(x'), = t,/;
mv'= — kv.	(2')
В уравнениях (2) и (2'), как и в уравнении (1), диффе-
ренцирование производится по времени.
2)	Точка массой т падает на Землю под действием силы тяго-
тения. По закону всемирного тяготения сила F в этом случае за-
дается формулой F= > гДе V — гравитационная постоян-
ная, М — масса Земли, х — расстояние от точки до центра Земли
(знак «минус» поставлен потому, что сила тяготения направлена
в сторону, противоположную положительному направлению оси,
см. рис. 1). Поэтому равенство (1) принимает
в этом случае вид:
тх"=-т^-.	(3)
Уравнение (3) можно записать в ином виде,
если принять во внимание, что при x=*R,
где R— радиус Земли, сила F равна —mg.
Значит, y^r=mg и потому yM=R2g. Следо-
вательно, уравнение (3) можно записать так:
x"=-^f.
3)	Точка движется под действием силы,
пропорциональной отклонению точки от поло-
жения равновесия и направленной к этому
15
положению. Если выбрать начало координат в положении равно-
весия, то имеем: F=—kx, и потому равенство (1) прини-
мает вид:
тх" = —kx.
Если обозначить через ю2, то получим уравнение
х" + ю2х=0.	(4)
Мы получили уравнения (2), (3), (4), которые содержат аргу-
мент (в нашем случае время), функцию этого аргумента (в нашем
случае координату точки) и производные этой функции до некото-
рого порядка включительно (в нашем случае до второго порядка).
Такие уравнения называют дифференциальными, а наивысший
порядок производной, входящей в такое уравнение,— порядком
этого уравнения. Таким образом, уравнения (2), (3), (4) имеют
второй порядок, а уравнение (2') — первый порядок.
Дифференциальные уравнения встречаются не только при изу-
чении движения материальных точек, но и в иных областях физи-
ки, биологии, химии и т. д. Составим, например, дифферен-
циальное уравнение радиоактивного распада. Установлено, что
мгновенная скорость изменения массы радиоактивного вещества
пропорциональна этой массе в данный момент: времени, т. е.
»= —km (зцак «минус» поставлен потому, что масса уменьшает-
ся). Поскольку мгновенная скорость изменения равна производ-
ной массы по времени, то уравнение v = — km можно переписать
в виде
т'= —km.
Получили дифференциальное уравнение первого порядка. Заме-
тим, что оно отличается от уравнения (2') лишь обозначе-
нием функции. Это говорит о том, что движение материальной
точки в сопротивляющейся среде описывается теми же формула-
ми, что и радиоактивный распад.
Функции, описывающие оба эти явления, будут изучены в
главе VIII.
Упражнения
10.	Среди следующих уравнений укажите дифференциальные и назовите поря-
док этих уравнений:
1)	(у")3=уг+х-1; 2)	; 3) sin</=%3+4;
4) y"'-4y"+4y' = tSx.
И. Для некоторых химических реакций мгновенная скорость реакции пропор-
циональна произведению концентраций двух реагирующих веществ, причем
16
в процессе реакции одна молекула первого вещества реагирует с одной мо-
лекулой второго вещества. Напишите дифференциальное уравнение для ко-
личества у вещества, возникшего к моменту времени t (в молях), если началь-
ная концентрация первого реагента равнялась ах а второго b (и=1л).
12. Напишите дифференциальное уравнение для падения тела в сопротивляю-
щейся среде, если сопротивление среды пропорциойально квадрату скорости
тела.
2. Решения дифференциальных уравнений. Введем следующее
определение:
Определение 1. Решением дифференциального уравне-
ния называют любую функцию, при подстановке которой в это
уравнение получается тождество.
График решения дифференциального уравнения называют
интегральной кривой этого уравнения.
Пример 1. Покажем, что функция у=х является реше-
нием дифференциального уравнения у'=^~.
Решение. Имеем: у' = (х)'= 1. Подставляя значения у=х
и у'=1 в данное уравнение, получаем равенство которое
выполняется для любого х#=0.
Простейшими являются дифференциальные уравнения вида
= (1)
Чтобы решить их, надо найти функцию у по ее производной f (х):
У=\ f W dx.
Если F — одна из первообразных для f, то это равенство записы-
вают так:
y^F(x)+C.
Видим, что уравнение (1) имеет
бесконечное множество рещений. Их
графики (т. е. интегральные кривые
уравнения (1)) получаются друг из
друга параллельным переносом в на-
правлении оси ординат (рис. 2).
При этом через каждую точ-
ку Мо(хо, уо), такую, что функция f
непрерывна при х=х0, проходит одна
и только одна интегральная кривая^
Аналогичным образом обстоит
дело для других дифференциальных
Уравнений первого порядка. Напри-
мер, для уравнения у'=-^~ решением
является не только указанная в при-
17
мере 1 функция у=х, но и любая функция вида у—Сх, где С —
произвольное число, или, как говорят, произвольная постоянная.
В самом деле, (у)'=С=—. Иных решений данное уравнение не
имеет. Чтобы доказать это, введем вместо у новую искомую функ-
цию v, положив у=ох. Так как y' — v'x-f-v, a то уравнение
у'принимает вид: o'x-l-v = v, т. е. v'x=0, или v'—Q. В силу
п. 3 § 3 главы V это означает, что v постоянная, v=C, и потому
У=Сх.
На рисунке 3 изображено семейство интегральных кривых
уравнения у'=-9-. Видим, что и в этом случае через любую точку,
отличную от начала координат, проходит одна и только одна
интегральная линия. Через начало же координат проходит беско-
нечное множество интегральных линий. Поэтому начало коорди-
нат называют особой точкой для уравнения у'—-^-. В этой точке
х=0, у=0, и потому выражение не имеет числового значе-
ния. Существуют особые точки, через которые не проходит ни одна
интегральная линия. Например, интегральными кривыми для диф-
ференциального уравнения у' = —^-являются окружности с цент-
ром в начале координат (рис. 4). Ни одна из них через начало
координат не проходит.
Введем следующее определение:
Определение 2. Функцию у=у(х, С), где С — произ-
вольная постоянная, называют общим решением дифференциаль-
ного уравнения y'=f(x, у) в области й, если:
18
а) для любого С она является решением этого уравнения, т. е.
<р' (х, С)=/(х, ф (х, С));
б)	для любой точки Мо (хо, Уо) из области Q существует един-
ственное значение Со, при котором линия t/=<p(x, Со) проходит
через точку Мо, т. е. </о=ф(хо, Со).
Таким образом, у=Сх — общее решение уравнения У'=-^
на всей плоскости, проколотой в начале координат.
Определение. 3. Решение дифференциального уравнения,
получаемое из общего решения путём придания определенного
значения произвольной постоянной, называют частным решением
этого уравнения.
Пример 2. Найдем частное решение дифференциального
уравнения у'==-£-, удовлетворяющее условию у(1)=±—2.
Решение. Общим решением этого уравнения является
у= ±-^С—х2. Чтобы найти частное решение, положим в этом
равенстве х=1, у=— 2. Получаем С=5. Поскольку значение
у= —2 отрицательно, то получаем частное решение у= —--^5—х2.
Наряду с частными решениями дифференциальное уравнение
может иметь решения, не получаемые из общего ни при каком зна-
чении произвольной постоянной. Такие решения называют особы-
ми. Например, общее решение дифференциального уравнения
(//')2+«/2=1имеет вид: y=sin(x-j-C) (семейство синусоид).
Кроме того, это уравнение имеет два особых решения: у= — 1 и
у=\, графики которых в каждой точке касаются проходящего
через эту точку графика частного решения (рис. 5).
Рассмотрим теперь дифференциальные уравнения второго по-
рядка. Простейшими из них являются уравнения вида
.	(2)
Чтобы решить такое уравнение, введем новую функцию z,== у'.
Тогда имеем z'=(у')'=у", и уравнение (2) примет вид: z'=f (х).
Рис. 5
19
Из него находим:
z=Jf(x)dx=F(x)+C1,
где F — одна из первообразных функции f, Ci — произвольная
постоянная.
Но г=у', и потому имеем: у' = F(x) + C\. Значит,
у=\ (Г(х)+С1)</х=Ф(х)+С1х+С2,
где Ф — одна из первообразных функции F, а С2 — вторая
произвольная постоянная.
Пример 3. Решим уравнение
у"=х\
Решение. Имеем:
у'=\ y"dx=\ x3dx=-^-+Ci,
откуда
H=\(^+C,)dx=^ + Clx+C1.
Из разобранных примеров видно, что в решение уравнения
первого порядка входит одна произвольная постоянная, а в ре-
шение уравнения второго порядка — две произвольные постоян-
ные. Это верно и для уравнений более общего вида: общее
решение дифференциального уравнения п-го порядка зависит от п
произвольных постоянных.
Для дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих прямо-
линейное движение материальных точек, существование бесконечного множе-
ства решений имеет простой физический смысл. Оно означает, что закон движе-
ния точки не определяется однозначно заданием сил, действующих на эту точку,
надо еще знать ее начальное положение и скорость. По этим данным можно
найти значения обеих произвольных постоянных, входящих в общее решение урав-
нения, и получить частное решение, описывающее движение точки.
Пример 4. Найдем общее решение уравнения1
(3)
описывающего свободное падение материальной точки, и частное
решение этого уравнения, отвечающее начальным условиям'
х(0)=10, о(0)=5.
1 Мы пишем знак «минус», поскольку направление силы противоположно
положительному направлению оси координат.
20
Решение. Полагая x' = v, имеем: v'= — g. Отсюда
o=$(-gdO=-f'+Cr-	(4)
Значит,
x’ = v= — gt-\-Ci,
и потому
x^(-gt+Ci)dt=-£+Cit + C2.	(5)
Чтобы найти значения постоянных Ci и С2, положим в (4) и (5)
/=0. Получаем равенства Ci = t>(0)=5, Сг=х(0)=10. Зна-
чит, частное решение имеет вид:
х = - ^+5/+ Ю.
Пример 5. Покажем, что функция
x=Ci cos <at-\-C2 sin <at	(6)
при любых значениях Ci и С2 является решением дифференциаль-
ного уравнения х"+®2х=0, и найдем частное решение, соот-
ветствующее начальным условиям х(0)=хо, и(О)=ио-
Решение. Имеем:
х'= —С| © sin ®/4-Сг <0 cos <at
и
х"= — Ci со2 cos ®<—С2®2 sin tut.
Подставляя в уравнение х" + ®2х=0 выражения для х и х",
получаем тождество
— Ci®2 cos ®/ —С2®2 sin <d/-|-w2 (Ci cos ®<+Сг sin w/)=0.
Значит, функция (6) при любых значениях Ci и С2 является реше-
нием уравнения х"-|-®2х=0. Заметим, что в силу п. 7 § 3 гла-
вы VI это решение можно представить в виде х=А sin (®<+а).
В п. 3 будет доказано, что уравнение х"+®2х=0 не имеет иных
решений.
Теперь найдем частное решение, соответствующее данным
начальным условиям. При t = Q имеем:
x(0)=Ci cos О4-С2 sin 0 = Ci,
х' (0)= —Ci® sin О4-С2® cos 0=Сг®.
Так как по условию х(О)=хо и х' (0)=»о, то Ci=xo, С2=—,
а потому искомое частное решение имеет вид:
х=хо cos ®<+— sin ®t
21
Итак, мы доказали, что общее решение уравнения х"-|-ю2х=
=0 можно записать в виде х=Л sin (ю/-|-а). Из курса физики
известно, что колебания, совершаемые по закону х=А sin (<о/-|-а),
называют гармоническими. Поэтому дифференциальное уравнение
х"+<в2х=0 называют уравнением гармонических колебаний.
В п. 1 было показано, что это уравнение описывает движение
точки под действием силы, пропорциональной отклонению от по-
ложения равновесия и направленной к этому положению. Мы
доказали, таким образом, что движение под действием такой силы
является гармоническим колебанием.
Упражнения
13.	В следующих примерах проверьте, что функция f является решением ука-
занного дифференциального уравнения:
— 1	х2 1
1)	f«=y+2?+C;
2)	yy'—x+l, f(х)= ±У?+2х+С;
3)	y'-Jy=sinx, f (х)=^-|-(С—cosx)) 3
4)	2хуу'=у2 — 1, f (х) = ± д/Сх+1;
5)
найдите значение С по начальному условию у (0)= 1.


14.	Докажите, что при любых значениях С\, С$, Сз функция f является решением
указанного дифференциального уравнения:
з
1)	y"'=(y")3,f(x)=-L(C,-2x)2 +С2х+С3;
2)	^'(l+^Sy'fy")2,
15.
Проверьте, что функция
f В
Х =-----7 2	(<» sin fit — Р sin at)
mw (w — р2)v	r 7
удовлетворяет дифференциальному уравнению x"-|-(d2x=—sin р/ н началь-
ным условиям x(0)=x'(0)=0.
16.	Проверьте, что функция
х= —-----9 (at cos <о/—sin at)
Zma
удовлетворяет дифференциальному уравнению x" + a2x=B sin at и началь-
ным условиям х(0)=х' (0)=0.
17.	На материальную точку массой 10 г действует сила, пропорциональная
отклонению точки от положения равновесия н направленная к этому поло-
жению. При отклонении точки от положения равновесия на 15 см сила рав-
22
на 2400 Н. Напишите дифференциальное уравнение колебаний и найдите
его общее решение. Найдите частные решения при следующих начальных
условиях:
а) хо = 5 см, Уо = О; б) хо=О, 0о=6
3.	Уравнения с разделяющимися переменными. К операции
интегрирования сводится и решение дифференциального уравне-
ния первого порядка вида
У' = ф(х)}|>(у)	(1)
(в левой части — производная искомой функции, в правой — про-
изведение двух функций, из которых одна зависит от х, а дру-
гая — от у).
Если при у=уо функция ф обращается в нуль, т. е. ф(1/о)=О,
то функция у=уо является одним из решений уравнения (1).
В самом деле, подставляя в это уравнение t/o вместо у, получаем
равенство
(уо)' = ф(х)ф(уо).
Оно тождественно выполняется при любом значении х, так как
(уо)'=О (производная постоянной равна нулю), а ф(//о)=0
по условию.
В области, где ф (t/)=#0, уравнение (1) равносильно уравнению
Умножим обе части этого уравнения на dx и учтем, что y'dx—dy.
Получаем уравнение
(2)
в котором переменные х и у разделены — выражение в левой части
зависит от у, а в правой — от х. Поэтому уравнение (1) называют
уравнением с разделяющимися переменными.
Перейдем к решению уравнения (2). Если Ф — первообразная
функции ф, а Т — первообразная функции -Ь, то
dO (х)=Ф' (х) dx=V(х) dx, dV (у)=Ч' (у) dy=-^dy=^.
Значит, уравнение (2) можно записать так:
dV(i/)=dO(x).
Здесь слева и справа стоят дифференциалы функций, зависящих
°т х (ведь у является некоторой функцией от х). Эти дифференциа-
лы равны друг другу лишь в случае, когда сами функции отлича-
•отся лишь на постоянное слагаемое, т. е. когда V (у)=Ф (х)+С
23
(см. п. 3 I 3 главы V). Но это равенство можно записать так:
pi
Итак, мы доказали, что в области, где ф (y)^feO, любое решение
уравнения (1) удовлетворяет соотношению (3). Легко видеть, что
и обратно, если функция у удовлетворяет соотношению (3), то она
•удовлетворяет и дифференциальному уравнению (1). Для доказа-
тельства достаточно взять дифференциалы от обеих частей равен-
ства (3) и принять во внимание, что
а
d J ф (х) </х=ф (х) dx.
Итак, мы доказали следующее утверждение:
Теорема. В области, где ф¥=0, дифференциальное уравнение
у' = ф(х)ф(у)	(4)
имеет решение, удовлетворяющее соотношению
(5>
Кроме того, его решениями являются все функции вида у=уо,
где уо — число, для которого ф (уо)=0.
Пример 1. Решим дифференциальное уравнение
у'=(\+х*)(1+у*)	(6)
и найдем его частное решение, удовлетворяющее начальному
условию </(0)=1.
Решение. Так как функция 1 -\-у2 не обращается в нуль,
то можно обе части уравнений (6) разделить на 14-у2:
Теперь умножим обе части этого уравнения на dx и примем во вни-
мание, что y'dx—dy:
T^,=(l+x2)dx.	(7)
1 т У
Наконец, возьмем интегралы от обеих частей равенства (7):
$Т+7==^1+х2)£/х
По формулам из п. 3 § 1 имеем: $Т+7==агс^+С|’ а
24
j (j -l-x2) dx=$ dx+J x2dx=x+-^-+ C2. Значит,
•’	x* '
arctg y=x-\-—-\-C	(8)
□
(пишем лишь одну произвольную постоянную) так как разность
Сг—Ci можно обозначить одной буквой С). Подставляя началь-
ные значения х=0, у—\, получаем, что С=arctg 1=-|-. Поэто-
му искомое частное решение имеет вид:
arctg f/=x+^-+-j-, т. е. f/=tg(x+^-+-J-) .
Общее решение (8) можно записать в виде
(,=tg(x+4+c) ,
где произвольная постоянная С выбирается на промежутке
£—2-;	(прибавление л к аргументу не изменит значения
тангенса).	4
Упражнения
18.	Решите дифференциальные уравнения:
1)	у'»4+?; 2) у'=ху< 3) у'=1±^-; 4)
5)	у'-=х*VI— у2; 6) ^\—х*у'=2^[у.
19.	Найдите решение дифференциального уравнения у'=х*у5, удовлетворяющее
начальному условию t/(l)=2.
20.	Решите, дифференциальные уравнения:
1)	/'4-4l/=0; 2) /'+36у=0.	' {	'
4. Составление дифференциальных уравнений. В примерах из
п. 1 дифференциальные уравнения движения устанавливались с
помощью второго«вакона Ньютона, в формулировку которого вхо-
дит понятие ускорения, т. е. второй производной координаты
по времени. Во многих случаях приходится составлять диффе-
ренциальное уравнение, делая «мгновенный снимок» некоторого
явления.
Решим следующую задачу.
Задача. Резервуар, наполненный водой, имеет форму цилин-
дра с. высотой Н и площадью основания S. В дне резервуара
сделано отверстие площади s, через которое за 1 ч вылилось
/16 всей воды. Через сколько времени вся вода вытечет из резер-
вуара, если скорость истечения жидкости выражается формулой
25
Рис. 6
v=k -yfh, где h — высота жидкости над отверстием, a k — число-
вой коэффициент?
, Решение. Пусть через t часов после начала истечения
уровень оставшейся воды равен h. За промежуток времени
[/, /+А/] уровень воды изменится на АЛ, где АЛ<0. По формуле
объема цилиндра получаем, что объем вылившейся воды выража-
ется равенством Ао= — SAA (рис. 6). Эта вода вылилась в виде
цилиндрической струйки, площадь основания которой равна s, а
высота I равна пути, пройденному за время А/ струйкой, вытекав-
шей из отверстия (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха).
Если промежуток времени [/, /+А/] достаточно мал, то можно пре-
небречь изменением за этот промежуток времени уровня жидкости
над отверстием, которое влечет за собой изменение скорости ис-
течения. Тогда приближенно получаем, что	Зна-
чит, объем вытекшей за этот промежуток времени жидкости
приближенно выражается формулой
АУ«Лд/Й«АЛ	(*)
Сравнивая получившиеся выражения для AV, приходим к сле-
дующему приближенному равенству:
—Sbhi&k^hsbt,
„ „ Ml__ ks /г
е’ Л/ ~	$ *Л-
Полученное равенство становится тем более точным, чем мень-
ше величина А/ промежутка времени. Поэтому точным является
равенство
lim ^=-4д/Л
26
(разумеется, в пределах сделанных предположений о ходе про-
цесса).
Так как lim 4т=Л', то получаем, что
дг-*о Д<
h'=-^-Jh.	(1)
Задача свелась к решению дифференциального уравнения (1).
Нам известно, кроме того, что в начале процесса высота воды
равнялась Н, а через 1 ч осталось 9/16 всей воды, и потому высота
равна -jg- Н. Таким образом, имеем еще условия: Л(0)=Я и
Разделяя переменные в уравнении (1), получаем:
d/i ks
После интегрирования обеих частей, находим:
.. 2^=--*р+С.	. (2)
О
Мы получили соотношение между моментом времени t и высо-
той уровня воды h. В это соотношение входят две неизвестные нам
постоянные: С и Их значения определяются из условий
h(0)=H и Л(1)=-^-Я. Подставляя в соотношение (2) значения
/=0, h = H, получаем:
2^[Н=С.
Значит,	Подставляя в это равенство значения
<=1> Л=Хя, находим, что
Го	4
Итак,	и потому
Л=я(1-4-)2.	(3)
Теперь уже легко найти, когда вытечет вся вода из резер-
вуара, т. е. когда будет выполняться равенство Л=0. Полагая
А=0, находим, что t=4, т. е. вся вода выльется через 4 ч. На
рисунке 7 изображен график зависимости Л от t.
Замечание. Если бы истечение воды было равномерным, то вся вода
вылилась бы из бассейна за 16/7 часа.
27
Упражнения
21.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой отрезок каса-
тельной, заключенный между осями координат, делится точкой касания попо-
лам. Каковы начальные условия, если кривая проходит через точку А (3; 2)?
22.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой абсцисса пере-
сечения касательной в произвольной точке кривой с осью абсцисс в k раз боль-
ше абсциссы точки касания.
23.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой отрезок каса-
тельной между точками касания и осью ординат делится пополам в точке
пересечения с осью абсцисс. Каковы начальные условия, если кривая про-
ходит через точку А (1; 3)?
24.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой отрезок каса-
тельной, заключенный между осями координат, имеет длину а.
25.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой отрезок
касательной, заключенный между точкой касания и точкой пересечения
с осью абсцисс, имеет длину а.
26.	Составьте дифференциальное уравнение кривой, для которой площадь тре-
угольника ОМТ, ограниченного осью абсцисс, касательной и радиусом-векто-
ром точки касания (рис. 8), постоянна.
27.	Составьте дифференциальное уравнение движения пули, считая, что сила со-
противления движения пули пропорциональна квадрату скорости.
28.	Полусферическая чаша диаметром 2 м заполнена водой (рис. 9). За какое
время вода вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0,1 м, выре-
занное на дне чаши (в формуле (*) принять 6=0,6)?
29.	Вода вытекает из цистерны длиной-8 м и радиусом 1 м, лежащей горизон-
тально, через отверстие внизу цистерны площадью 0,1 м2. Через сколько вре-
мени вся вода вытечет из заполненной цистерны (рис. 10)?
5. Математическое моделирование (беседа). Понятия, создан-
ные современной математикой, зачастую кажутся весьма далекими
от реального мира. Но именно с их помощыц людям удалось про-
никнуть в тайны строения атомного ядра, рассчитать движение
космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором
основано современное производство. Одним из основных методов
познания природы является опыт, эксперимент. С помощью экспе-
риментов были установлены многие законы природы (закон сохра-
Рис. 10
Рис. 9
28
нения вещества и энергии, периодическая система элементов
д И. Менделеева и т. д.). Однако не всегда целесообразно про-
водить эксперимент. За последнее столетие в самых различных
областях науки и техники все большую роль стал играть метод
математического моделирования.
Чтобы изучить какое-нибудь явление природы или работу ма-
шины, предварительно изучают всевозможные связи между вели-
чинами, их характеризующими. Затем полученные связи выража-
ют математически и приходят к системе уравнений. Решая эти
уравнения или системы уравнений, ученые и инженеры делают вы-
воды о том, как в дальнейшем будет развиваться это явление
или как будет работать машина, что надо сделать, чтобы полу-
чить требуемые результаты.
При этом уравнения и системы уравнений бывают алгебраи-
ческими и дифференциальными. Чтобы получить уравнения, до-
пускающие решения, приходится упрощать задачу, отбрасывая не-
которые величины как несущественные. Но чем точнее нужен ре-
зультат, тем больше величин приходится учитывать, тем сложнее
получается математическая модель.
Математические модели, которые строили в XIX в., были срав-
нительно простыми. Но возрастающие требования к точности
ответа, развитие техники, познание разнообразных явлений приве-
ли к построению все более сложных математических моделей.
Большую помощь в их изучении оказывают быстродействующие
вычислительные машины.
Сейчас с помощью математического моделирования решают
такие задачи, как описание природы морей и океанов, изучение
входа космического корабля в плотные слои атмосферы, перевод
текстов с одного языка на другой и т. п. Появилась воз-
можность строить математические модели экономики, применять
математику в изучении общественных явлений, проблем истории, в
изучении языков и т. д. Трудно указать область человеческой
деятельности, в которой не применялся бы метод математи-
ческого моделирования.
$ 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Площади йлоских фигур. Как мы увидим ниже, интеграль-
ное исчисление позволяет решать многие задачи геометрии и фи-
зики. Одной из этих задач является вычисление площадей плос-
ких фигур. В курсе геометрии понятие площади плоской фигуры
было определено с помощью четырех аксиом:
1. Площадь любой фигуры F неотрицательна, т. е. S(F)^0
(здесь и ниже через S (F) мы обозначаем площадь фигуры F).
SРавные фигуры имеют равные площади: если F\ = F2, то
3. Площадь фигуры равна сумме площадей ее частей: если
29
фигура F разбита на части Ft и F2, то S (F)=S (fj)+S (F2).
(Эти части могут иметь общие граничные точки.)
4. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1.
Однако в курсе геометрии не обсуждался вопрос о том, все
ли фигуры имеют площади, а главное, существует ли понятие
площади, обладающее указанными выше свойствами (вообще, ес-
ли какое-нибудь математическое понятие определено своими
свойствами, то возникает вопрос о существовании понятия с этими
свойствами).
Мы будем считать, что для плоских многоугольников площадь
с указанными выше свойствами существует (доказательство этого
утверждения относится к геометрии, а не к математическому ана-
лизу). Тогда каждой ограниченной плоской.фигуре F можно пос-
тавить в соответствие два числовых множества. Первое из них
состоит из площадей многоугольников, целиком лежащих внутри
F, а второе — из площадей многоугольников, целиком содержа-
щих фигуру F. Обозначим первое множество через XF, а . второе —
через YF. Очевидно; что ХР лежит слева от YF. В самом деле, пусть
х£ХР, у£ Yf. Тогда существуют многоугольники Ф и V такие, что
Ф лежит Внутри F, V содержит F (рис. 11), причем S (Ф)=х,
S{4F)=y. Так как Ф содержится в Чг, то	ч
Определение 1. Плоскую фигуру F называют квадриру-
емой, если множества XF и YF разделяются лишь одним числом.
Это число, разделяющее ХР и YP, называют площадью фигуры
F и обозначают S (F).	> 
Таким образом, площадь квадрируемой фигуры является чис-
лом, которое не меньше, чем площадь любого многоуголь-
ника, лежащего' внутри этой фигуры, и не больше площади
любого многоугольника, содержащего эту фигуру. Для неквадри-
руемых фигур это определение не годится, так как чисел с ука-
занным свойством может оказаться бесконечно много.
Приведем без подробных доказательств пример фигуры, не имеющей площади'.
Возьмем квадрат со стороной 1 и удалим из него внутреннюю область
квадрата площади (рис. 12). Из оставшейся фигуры удалим внутренние
I
области 8 квадратов общей площади —, расположенных, как показано на ри-
о
сунке 13. Продолжая этот процесс дальше, мы получим после бесконечного
Рис. 12
Рис. 13
30
множества операций фигуру, не содержащую ни одной внутренней точки (каж-
дая ее часть «продырявлена») и тем самым ни одного многоугольника. В то же вре-
мя общая площадь удаленных квадратов равна сумме бесконечной геометрической
прогрессии —+-g--|- 1б+ •, т- е- равна —. Поэтому площадь любого многоуголь-
ника, содержащего оставшуюся фигуру, должна быть больше В нашем слу-
чае jf=={0},	+ оо и потому есть бесконечно много чисел, разде-
ляющих xF и Y F.
Из теоремы 2 п. 4 § 1 главы I следует необходимое и доста-
точное условие квадрируемости:
Для того чтобы ограниченная плоская фигура F была квадри-
руемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого г> 0 нашлись
многоугольники Ф и Y такие, что Ф содержится в F, Y содержит F,
причем S (У)—5 (Ф)<е.
*‘ Замечание. Чтобы избежать ссылки на геометрию при
определении площадей многоугольников, можно рассмотреть не
все многоугольники, а лишь ступенчатые фигуры, составленные
из прямоугольников, стороны которых параллельны осям коорди-
нат. Площади таких фигур равны сумме площадей составляю-
щих их прямоугольников.
Легко доказать, что для площадей квадрируемых фигур вы-
полняются аксиомы 1,2 и 4* Доказательство выполнения аксиомы 3
несколько сложнее. Мы проведем его в частном случае, когда
линия Г, разбивающая фигуру F на части F\ и Гг, является
ломаной. Итак, докажем следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть ломаная Г разбивает фигуру F на части
Fi и Ft. Если эти части квадрируемы, то квадрируема и фигура F,
причем ее площадь равна сумме площадей Fi и F*
между знаками *, является не
1 Здесь и далее материал, заключенный
обязательным для изучения учащимися.
Рис. 14
31
Доказательство. Зададим в>0. Найдутся многоуголь-
ники Ф|, 4'ь Ф2, 4'2 такие, что Ф, содержится в Л, а ЧЛ со-
держит Ft, причем S (49)—S (Ф/)<-|-, где /= 1,2. Не теряя общно-
сти, можем считать, что ломаная Г является частью границы всех
этих многоугольников (рис. 14). Составим из Ф| и Ф2 много-
угольник Ф, а из Т| и 49 — многоугольник Ч'. Тогда Ф содер-
жится в F, V содержит F, причем S (Ф)=5 (Ф0+5 (Ф2),
5(49=5 (4'0+S (49) и потому S (49—S (Ф)=[5 (49)+S (49)]—
-[S (ФО+S (Ф2)]=[5 (4'0—S (Ф,)]+[S Cfc)-S (Ф2)]<у- +f =
=8. Тем самым доказано, что фигура F квадрируема. Обоз-
начим ее площадь через S (F).
Нам осталось доказать, что S (F)=S (FO+S (F2). Но это сле-
дует из того, что числа S(F) и S (Fi)+S (Г2) разделяют
множества вида {5(Ф0+5(Ф2)} и {S (4'0+S (49)}, где Фь Ф2,
4'1, 49 имеют смысл, аналогичный указанному выше. Поскольку
эти множества разделяются лишь одним числом, то S (F)—
=S (FO+S (F2)*.
Упражнения
30. Докажите, что множество точек М (х; у) таких, что 0^х<1, 0<i/< 1 и
х, у рациональны, не является квадрируемым.
31. Докажите, что множество точек М(х; у) таких, что 0<хС> и у=0 при
иррациональных х,	если х=-^-, где дробь несократима,
имеет площадь, равную нулю.
2. Площадь криволинейной трапеции. Пусть функция f не-
отрицательна на отрезке [а, 6]. Фигуру, ограниченную снизу
осью абсцисс, сверху графиком функции Дас боков прямыми
х=а и х=Ь (рис. 15), называют криволинейной трапецией,
или, иначе, подграфиком данной функции. Имеет место следующая
теорема, дающая достаточное условие квадрируемости криволи-
нейной трапеции.
Теорема 1. Если функция f моно-
тонна на отрезке [а, Ь], то соответст-
вующая ей криволинейная трапе-
ция F квадрируема.
Доказательство. Предпо-
ложим для определенности, что
функция возрастает на [а, 6]. Нам
надо доказать, что для любого
8>0 найдутся два многоугольника
Ф1 и Ф2, из которых Ф) лежит внутри
криволинейной трапеции F, Ф2 содер-
32
жит F и S (Ф2)—S (Ф1)<в. Для построения этих многоугольников
разделим отрезок [а, д] на п равных частей точками а=
=xo<*i<.--<xn-i<xn = b и проведем через эти точки прямые,
параллельные оси ординат. Эти прямые разбивают криволинейную
трапецию F на части Fo, F\,Fn-i. На каждом отрезке [xt, 1]
построим два прямоугольника: один с высотой f (х*), а другой с вы-
сотой f (xt+i). В силу возрастания функции f первый из этих пря-
моугольников содержится в соответствующей части F* криволи-
нейной трапеции, а второй содержит эту часть. Поэтому, объеди-
няя первые прямоугольники для всех k,	1, получим
ступенчатую фигуру Фь содержащуюся в F. Аналогично,
объединяя вторые прямоугольники, получаем ступенчатую фигу-
ру Ф2, содержащую F.
Покажем, что при достаточно большом п разность площадей
построенных ступенчатых фигур станет меньше, чем е. Для этого
заметим, что площадь первой ступенчатой фигуры равна
$(ф1)=^[/(х0)+...+Нхя_1)],
а площадь второй —
3(ф2)=Ь^-[/(х1)+...+Ихп)}
Поэтому
S (Ф2)—S (Ф.)=-^- [/ (xj-f (хо)]
или, поскольку f(x0)=f(a), f(xn)=f(b),
S (Ф2)—S (ф|)=(6~а)1/.^.тЖ.	(1)
Отсюда ясно, что при достаточно большом п указанная раз-
ность станет меньше, чем в.
Квадрируемость криволинейной трапеции при указанном в тео-
реме условии на функцию f доказана. Очевидно, что она имеет
место и в том случае, когда отрезок [а, ft] можно разбить на
т частей так, чтобы на каждой из них функция f была монотонна
(каждую часть мы считаем отрезком, т. е. причисляем к ней ее
концы). В этом случае функция имеет на отрезке [а, 6] конечное
число экстремумов.
Более сложные рассуждения, которые мы опускаем, показы-
вают, что квадрируемость имеет место и в случае, когда функция
f непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет на этом отрезке беско-
нечно много максимумов и минимумов. Примером такой функции
может служить на отрезке [0; 1] функция
{х sin — при х#=0,
х	(2)
0 при х=0.
Н. Я. Виленкин	33
Упражнения
32.	На сколько частей нужно разбить отрезок [0; 2], чтобы для криволинейной
трапеции, ограниченной линиями х=0, х=2, у=0, у=х2, выполнялось
неравенство S (Ф2)—S (Ф1)<0,001?
33.	Докажите, что круг имеет площадь.
34.	Докажите, что функция (2) имеет бесконечно много экстремумов на
отрезке [0; 1}
3. Теорема Ньютона — Лейбница. Одним из основных ре-
зультатов математического анализа, имеющем важные приложе-
ния, является следующая теорема, в геометрической форме
сформулированная английским математиком Барроу (1630—
1677), а в окончательном виде независимо друг от друга полу-
ченная Ньютоном (1643—1727) и Лейбницем (1646—1716).
Теорема 1 (Ньютона — Лейбница). Пусть функция f не-
отрицательна, непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет на нем конечное
число экстремумов. Обозначим через S (х) площадь криволинейной
трапеции, расположенной над отрезком [а; х], где а^х^Ь, и
ограниченной сверху графиком функции f. Тогда S (х) является
первообразной для f (х), т. е. на отрезке [а, ft] выполняется
равенство S' (x)=f (х).
Замечание. Для существования первообразной у функции f достаточно,
чтобы эта функция была непрерывна на отрезке [а, Ь]. Однако доказатель-
ство этого утверждения несколько сложнее и мы его опускаем.
В дальнейшем мы будем называть S (х) площадью криволиней-
ной трапеции с переменным верхним пределом (рис. 16).
Доказательство. Нам надо доказать, что для любой
точки х из [a, ft] (рис. 17) выполняется равенство S'(x)=f(x).
Напомним, что S'(х) = Пт iS(x+AH-sW для определенности
будем считать, что ft>0. В этом случае разность S (x-|-ft)—S (х)
равна площади криволинейной трапеции PTQN (рис. 17). Пусть
наибольшее значение функции f на отрезке [х, x-j-ft] равно М, а
ее наименьшее значение на этом отрезке равно m (эти значения
Рис. 17
34
существуют в силу предположения о непрерывности функции
f на [а, 6], см. п. 2§ 3 главы V). Тогда площадь фигуры PTQN
заключена между площадями прямоугольников с общим основа-
нием [х, х+Л] и высотами т и М соответственно. Так как эти
площади равны соответственно mh и Mh, то имеем неравенства:
тЛ<5(х+Л)—5(х)<МЛ,	(1)
где т и М зависят от выбора h.
Поскольку Л>0, из этих неравенств следует:
s (*+*)-?(*) (2)
h
При h, стремящемся к нулю, в силу непрерывности функции f
в точке х наибольшее значение М этой функции на отрезке
[х, х+Л] и ее наименьшее значение т на том же отрезке стремятся
к общему пределу f(x):
lim m=lim M = f (x).
Л-иО Л-*0
Но тогда и заключенное между ними значение s(x+k)—S^c)
стремится к f(x), Hm ~-(x+h)~sW =f(x).
Случай, когда Л<0, разбирается аналогично. Следовательно,
S' (x)=f(x). Теорема доказана.
Из теоремы 1 непосредственно следует важное утверждение:
Теорема 2. Любая функция f, непрерывная на отрезке [а, Л] и
имеющая на нем конечное число экстремумов, имеет на этом
отрезке первообразную.
Доказательство. Если функция f положительна на от-
резке [а, Л], то утверждение теоремы 2 вытекает непосред-
ственно из теоремы 1: одной из искомых первообразных является
площадь S (х) криволинейной трапеции для функции f с перемен-
ным верхним пределом.
Общий случай легко сводится к разобранному. Так как функ-
ция f непрерывна на отрезке [а, Л], она ограничена снизу на этом
отрезке, и потому существует такое число А, что вспомогатель-
ная функция ф, где ф (x)=f (х)+А, положительна на [а, Л) По
доказанному выше она имеет первообразную Ф. Но тогда функция
F, где F (х)=Ф (х)—Ах, будет первообразной для f. В самом деле,
Ф'(х)=ф (x)=f (х)+Л, и потому Г,(х)=(Ф(х)—Лх)'=Ф'(х)—
~A=f(x)+A-A=f(x).
Среди всех первообразных для функции f указанная в теореме 1
первообразная (площадь криволинейной трапеции с переменным
верхним пределом) выделяется следующим условием: она равна
нулю при х=а, 5(а)=0. Отсюда вытекает, что площадь всей
криволинейной трапеции ABCD на рисунке 17 равна значению
при х=Ь той первообразной функции /, которая обращается в
нуль при х=а.
35
Пример. Найдем площадь криволинейной трапеции, огра-
ниченной осью абсцисс, прямыми х=1 и х=5 и графиком функ-
ции х2.
Решение. Первообразными для функции х2 являются функ-
„з
ции вида F(x)=— +С. Нам надо подобрать постоянную С так,
О
I3
чтобы выполнялось равенство Г(1)=0, т. е. —+ С=0. Отсюда
С=—, и потому F (х)=^------------1-. При х=5 получаем: F (5)=
О	О О
=4----|- = 41-|-. Значит, искомая площадь равна 41-|-.
Данное выше правило для отыскания площади (найти ту пер-
вообразную функции f, которая обращается в нуль при х=а, и
взять ее значение при х=Ь) несколько громоздко. В следующем
пункте мы упростим его, введя понятие определенного интеграла.
Упражнения
35.	Может ли площадь криволинейной трапеции с переменным верхним преде-
лом равняться F (х), если слева она ограничена прямой х=а, сверху — графи-
ком функции f и:
1)	а=2, f (х)=х3, F (х)=х4 —16;
2)	а=0, f (x)=cos х, F (x)=sin x+ 1;
3)	a=l, f (x)=x3, F(x)=3x2;
4)	a=-^, f (x)= 1 — sin x, F(x) = x+cos x—— ?
36.	Найдите площадь криволинейной трапеции с переменным верхним преде-
лом, если слева она ограничена прямой х=аи сверху — графиком функции
А где:
1)	а=0, f(x)=x+4; 2) а=3, f (х)=х2+1;
3)	а= —1, f(x)=9—х2; 4) а = 0, f (x)=cos х.
37.	Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком
функции f и с боков прямыми х=а и х=&, если:
1)	а=1, 6=4, f(x)=x2—1; 2) а=0, 6=1, Нх)=тА;
1 "Т" х
3) а=о, 6=-£, f(x)=sinx; 4) а=0, 6=-i-, f(x)=—J— .
2	2	VI—х	*
4. Физические и геометрические задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла. Мы уже указывали выше, что интеграль-
ное исчисление применяется для определения пути, пройденного
в течение промежутка времени [а, 6], если известна скорость в
каждый момент времени t этого промежутка,	Такие и
более общие задачи возникают, например, в космической
навигации (там приходится определять путь по заданным зна-
чениям ускорения). Решим следующую задачу:
36
Пример 1. Известна скорость прямолинейно движущейся
точки в каждый момент времени t промежутка времени [a, ft], v =
(/). Найдем перемещение точки за этот промежуток времени.
Решение. Выберем на прямой, по которой движется точка,
систему координат и обозначим через F (/) координату точки в
момент времени t. Тогда перемещение точки за промежуток
времени [a, ft] будет равно разности F(b\ — F(d\. Но так как
скорость есть производная координаты по времени^ т. е. f (x)=F'(x),
то F — первообразная для функции f. Поэтому перемещение точки
равно разности значений первообразной F в точках ft и а. Заме-
чателен тог факт, что эта разность F(b}—F(a) не зависит от
выбора начала координат на прямой. При другом выборе этого
начала ко всем координатам прибавляется одно и то же число
С, а разности (F (b)+C)—(F (а)+С) и F (b)—F (а) равны друг
другу.
Пример 2. Найдем площадь криволинейной трапеции,
ограниченной осью абсцисс, графиком неотрицательной непрерыв-
ной функции f и вертикальными прямыми х=а и х=Ь.
Решение. Выберем на оси абсцисс точку Т (с) и обозначим
через F (х) площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
тем же графиком функции f, а с боков прямыми, параллельными
оси ординат и проходящими через точки Т (с) и Р(х) (рис. 18).
Искомая площадь фавна разности площадей криволинейных
трапеций TQCB и TQSA, т. е. F (b)—F (а). Но мы доказали в
п. 1, что F является одной из первообразных для функции f.
Значит, площадь криволинейной трапеции ASCB равна разности
значений первообразной для функции f в точках ft и а. Как и
выше, убеждаемся, что эта разность не зависит от выбора перво-
образной (т. е. точки Т (с) на оси абсцисс).
Мы разобрали две задачи, в которых ответом оказалась
разность значений первообразной F для функции f в точках ft и а.
Определение. Разность значений первообразной для
функции f в точках ft и а называют определенным интегралом
этой функции от а до ft.
Покажем, что определенный интеграл не зависит от того, какую
именно первообразную для функции f мы выбрали. В самом деле,
пусть функции F и Ф являются перво-
образными для функции f. Тогда они
могут отличаться друг от друга лишь
постоянным слагаемым С, Ф=Г4-С.
Но тогда имеем:
Ф(&)-Ф(а)=(Г(й)+С)-
-(F(a)+C)=F(b)-F(a),
и потому разность не зависит от зна-
чения С.
Именно этим свойством объясняется
название «определенный интеграл»:
37
в то время как неопределенный интеграл является некоторой
совокупностью функций, отличающихся друг от друга постоянным
слагаемым, определенный интеграл имеет определенное значение,
не зависящее от выбора этого слагаемого.
Определенный интеграл функции f от а до b обозначают так:
»
f (х) dx. При этом букву х можно заменить любой иной, например
a	b	b
написать j f (/) dt, J f (s) ds и т. д.
° ь a
Обозначение J f (x) dx читают так: «Определенный интеграл
а
от а до бэ эф от икс дэ икс». Числа а и b называют пределами интег-
рирования (а — нижним, Ь — верхним), знак J — знаком интегра-
ла. Если а<Ь, то отрезок [а, 6] называют отрезком интегрирова-
ния и вместо «интеграл от а до ft» говорят «интеграл по отрезку
[а, ft]». Функцию f называют подынтегральной функцией, а выра-
жение f (х) dx — подынтегральным выражением.
Итак, по определению имеем:
\ f (х) dx=F (b)—F (a),	(1)
где F — одна из первообразных функции f. Частными случаями
этого равенства являются формулы
ь
s=\f(t)dt	(2)
а
и	ь
S=\f(x)dx	(3)
для перемещения точки и для площади криволинейной -трапеции.
В формуле (2) f (t) — мгновенная скорость точки в момент времени
t, [a, ft] — промежуток времени, а в формуле (3) f (х) — функция,
график которой ограничивает сверху криволинейную трапецию, а
[a, ft] — отрезок, над которым лежит эта трапеция. Формулу (1)
называют формулой Ньютона — Лейбница.
Из данного выше определения следует, что для вычисления зна-
ь
чения определенного интеграла j f (х) dx нужно:
а
1)	найти какую-нибудь первообразную F для функции f;
2)	вычислить значения F (ft) и F (а) этой первообразной в точ-
ках ft и а;
3)	найти разность F (ft)—F (а).
Разность F(ft)—F(a) для краткости обозначают так: F (х) |*.
Значит,	5 f (ж) dx=F (х) | ьа.
38
Пример 3. Вычислим интеграл $ sin xdx.
Решение. Первообразной для0 функции sin х является
—cos х. Поэтому
л
J sin xdx= —cos х | o= —(cos л—cos 0)= —(— 1 —1)=2.
0	2
Пример 4. Вычислим $ x3dx.
Решение.	~2
Пример 5. Вычислим $(x3+6x2+5)dx.
-2
Решение.
J (хз+6х2+5)dx=(^+6.+5x)14_2=^_ +6^+5.4._
-/^•+6'(Г2)3+5-(-2)) =64+ 128+20-4+16+10=234.
Пример 6. Вычислим площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции t/=x2+l, снизу осью
абсцисс, а с боков прямыми х= — 1 и х=3 (рис. 19).
Решение. По формулез (3) получаем, что
S = J (x2+l)dx.
Рис. 20
Рис. 19
39
Первообразная функции х2-}-1 равна -^--|-х, и потому
Пример 7. Найдем площадь фигуры, ограниченной сверху
параболой t/=9—х2, а снизу осью абсцисс (рис. 20).
Решение. Сначала найдем точки, в которых парабола пере-
секается с осью абсцисс. Решая уравнение 9-?=0, получаем:
xi = —3 и Х2=3. Поэтому искомая площадь выражается так:
S- ( (9-^Л:=(9х-4)|’_,=27-f-(-27-ЦП) =36.
-3	я
Пример 8. Вычислим значение интеграла $ ~^Ri—x1dx.
Решение. Уравнение	можно записать в виде
x2+i/2=/?2. Оно означает, что расстояние от точки М (х; у)
до начала координат равно R, т. е. что точка М лежит на окруж-
ности радиуса R с центром в начале координат. Часть криволи-
нейной трапеции, расположенная над отрезком [——/?, /?], является
полукругом радиуса R, площадь которого равна л/?2. Значит,
я	2
д/7?2-х2г/х=у-л/?2.
-я
Тот же результат получается, если использовать для вычисления
формулу (4) п. 4 § 1:
V/?2—x2dx =( arcsin -у**) 11Й=
-R
=^(arcsin 1 -arcsin (-1)) =^-(f -( -f))
Замечание. Если функция f принимает на отрезке [а; Ь] не только
положительные, но и отрицательные значения, то f (х) dx равен разности между
площадью части криволинейной трапеции, лежащей над осью абсцисс, и пло-
щадью ее части, лежащей ниже оси абсцисс,
л
Пример 9. Вычислим интеграл $ sin xdx.
— Л
Решение. Так как синусоида симметрична относительно
точки О (0; 0), то часть криволинейной трапеции, расположенная
выше оси абсцисс, имеет ту же площадь, что и часть, расположен-
ная ниже этой оси. Разность площадей равна нулю, и потому
Л
J sin xdx=Q.
— Л
40
Рис. 21
Пример 10. Найдем путь, пройденный при свободном паде-
нии телом за первые пять секунд (ускорение равно 9,8 м/с2).
Решение. Так как свободное падение равноускоренно, то
скорость в момент времени t равна gt, v=gt=9,8 t. Значит,
путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается
определенным интегралом:
9,8ta/ = ^|o=4,9-25= 122,5 м.
Пример 11. Найдем давление, оказываемое водой на пло-
тину, имеющую форму треугольника, обращенного вершиной вниз,
если основание треугольника равно I, а его высота равна h.
Решение. Возьмем полоску «бесконечно малой высоты» dx,
находящуюся на глубине х (рис. 21). Из подобия треуголь-
ников получаем, что длина I (х) этой полоски удовлетворяет
равенству !-&-= h~x , откуда I (х)=	. Значит, площадь
полоски равна dS=$ dx, а давление на нее равно dP=
= x(hx)l дх чтобы получить давление на всю плотину, надо
проинтегрировать dP по х от х=0 до x=h:
Л	Л
о	о
Значит, искомое давление равно -^Ih2-
X
Из формулы [f (f)dt=F (х) — F (а) и равенства F' (x)=f (х)
41
вытекает, что
Таким образом, если функция f непрерывна на отрезке [а, и
имеет на нем конечное число максимумов и минимумов, то
производная определенного интеграла от этой функции по верхне-
му пределу равна значению подынтегральной функции в соот-
ветствующей точке.
Упражнения
38.	Функция F (х) задается формулой F (x)=J (arcsin2 /-|-4/3) dt. Найдите F'(х).
39.	Найдите производные функций:	1
1)	F(x)=^^dt, 2) F(x)=
1	vr
40.	Найдите точки экстремума функции F, где:
о	о
41.	Вычислите интегралы:
1) j (х2+4)3 dx, 2) (
5
f dx
J 254-x2 ;
0
2
4) J sin 2x dx\
о
2
5) j cos xdx.
о
42.	Подберите А и В так, чтобы выполнялись равенства:
j (Лх-J-B)dx=0 и (Ax + B)xdx= 1.
-1 -1
43.	Подберите А, В и С так, чтобы выполнялись равенства:
I
5 (Лх2 + Вх+С)Лх=0,
-i
(Ax2 + Bx+ C) xdx = 0 и
44.
45.
J (Ax2 -f- Bx-j- C) x2dx= 1.
-i
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной
прямыми х=0. х = 2 и графиком функции у=х44~2х24-4.
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной
осью
осью
абсцисс,
абсцисс,
прямыми х=0, х= 1 и графиком функции у =
1
14-*2
46.	Найдите площадь, ограниченную одной волной синусоиды t/=sin х и осью
абсцисс.
47.	Найдите площадь, ограниченную параболой у=х2 + 2х — 8 и осью абсцисс.
.__
48.	Найдите площадь, ограниченную кривыми У—-^ и !/= у2х.
42
49.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:
а)	У= —р  У — —х . х= *;	в) У=2 cos х> У= * —у	;
б)	у=^2 • у=х~ '• х==|;	г) у=х4—*3х2+36, у=о.
50.	С какой силой вода давит на вертикальный прямоугольный шлюз с основа-
нием 18 м и высотой 6 м?
51.	Вычислите, с какой силой вода давит на вертикальную плотину, имеющую
форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее — 50 м, а
высота — 20 м.
52.	Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из
резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз. Высота
конуса А, радиус основания R.
53.	Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело массой
т с поверхности Земли на высоту h (радиус Земли примите равным
=6 400 км). С помощью полученного результата определите вторую
космическую скорость (скорость, при которой вертикально поднимающееся
тело может подняться на любую высоту).
5. Вычисление геометрических и физических величин с по-
мощью определенного интеграла. Мы видели, что с помощью
определенного интеграла можно находить площади криволиней-
ных фигур, путь при неравномерном движении. Чтобы найти не-
которую геометрическую или физическую величину с помощью
интеграла, поступают следующим образом:
1.	Выражают искомую величину как значение в некоторой
точке Ь функции F.
2.	Находят производную f этой функции.
3.	Выражают функцию F в виде определенного интеграла от
f и вычисляют его.
4.	Подставляя значение х=Ь, находят искомую величину.
Пример!. Обозначим через S (х) площадь сечения некоторо-
го тела V плоскостью, параллельной плоскости уОг (рис. 22) и от-
43
стоящей от нее на расстоянии х. Найдем объем этого тела
при условии, что оно заключено между плоскостями х=а и х=Ь
(0<а<Ь). (Точное определение понятия объема и формулировка
основных свойств объемов относится к курсу геометрии, и мы
опускаем их обсуждение.)
Решение. Обозначим через Ф (хо) сечение тела V плоскостью
х=хо. Тогда S (хо) — площадь фигуры Ф (хо). Ради простоты
изложения потребуем, чтобы выполнялись следующие условия:
функция y=S(x) непрерывна и при Х1<хг проекция сечения
Ф (xi) на плоскость yOz содержится в проекции на ту же плоскость
сечения Ф(х2) (иными словами, тело расширяется при движе-
нии от а к 6). Обозначим через V (х) объем части тела, соответ-
ствующей отрезку [а, х] (рис. 23).
Найдем производную функции V (х). Для этого выберем какое-
нибудь значение хо и дадим ему приращение Л>0. Тогда
У(хо+Л)—V (хо) будет объемом слоя данного тела, заключенно-
го между плоскостями nt и л2 (рис. 24). Из условий, которым
удовлетворяет данное тело, следует выполнение неравенства:
S (хо) Л < V (хо+Л)- V (хо)<S (хо + Л) h.
В самом деле, S (х0) Л — объем цилиндрического тела, целиком
лежащего внутри слоя, а S(x04-ft)ft— объем цилиндрического
тела, содержащего этот слой (рис. 25). Значит,
S (х0)	s (хо+А)	ц)
Функция y=S (х) непрерывна в точке хо. Поэтому, когда h стре-
мится к нулю, значение 5(хо4~Л) стремится к S (хо). По утверж-
дению из п. 3 § 2 главы IV	v(x°) стремится к S (хо).
Значит,
44
(2)
V' (х0)= Игл	(хо).
Из равенства (2) следует, что функция у= V (х) является
первообразной для функции y=S(x). Отсюда в силу форму-
лы Ньютона — Лейбница имеем:
ь
\S(x)dx=V(b)-V(a).
(3)
Но y(b)=V, 7(а)=0, и потому
ь
V=( S (х) dx.
а
Пример 2. Найдем объем конуса, имеющего радиус основа-
ния R и высоту Н.
Решение. Поместим вершину конуса в начало координат О
(рис. 26). Из геометрии известно, что площади кругов относятся
как квадраты их радиусов. Из рисунка 26 получаем, что
-^-^-=-бт=^г и потому S (х)=	. По формуле (3) имеем:
Ла а Н	п
Н	Н
__С n/?v ___л/?2 f „2я "Я2 X3 I н nR2H
J я2 ах~ Н2 }*ах—	3 10— 3 •
о	о
Вообще, если функция f непрерывна и неотрицательна на от-
резке [a, ft], то объем V тела, полученного при вращении соот-
ветствующей криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс
(рис. 27), выражается формулой
ь
V=n\f2(x)dx.
45
Для доказательства достаточно заметить, что S (х)=лу1 2=
=л|2(х).
Пример 3. Найдем объем шара радиуса R.
Решение. Шар получается при вращении вокруг оси абсцисс
полукруга. Уравнение полуокружности имеет вид: у=^К2—х^.
Поэтому
£
У=л 5 (R2—x2)dx = n^R2x—| _й=-|-л/?3.
— R
В физике описанную выше схему применяют обычно в упро-
щенном виде. Искомые величины рассматривают как «суммы бес-
конечного числа бесконечно малых величин», а определенный
интеграл считают именно такой суммой. Хотя этот подход не
имеет точного математического смысла, но весьма нагляден и
приводит к верным результатам.
Упражнения
54.	Вычислите работу, которую надо затратить, чтобы растянуть пружину, на-
ходящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при растяже-
нии пружины на 1 см сила натяжения равна 5 Н.
55.	Вычислите работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду
из вертикально стоящей цистерны, радиус основания которой равен R, а
высота Н.
56.	Вычислите работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из резер-
вуара, имеющего форму усеченного конуса высотой Я, если радиус нижнего
основания равен г, а верхнего — /?, R>r.
57.	Вычислите кинетическую энергию однородного диска массой т и радиуса г,
вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно к его плоскости.
58.	Найдите силу давления воды на вертикальную треугольную пластинку с ос-
нованием а и высотой Л, погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит
на поверхности (рис. 28).
6. Свойства определенного интеграла. Выведем некоторые
свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие
из его определения. Мы будем, не оговаривая этого особо, считать,
что функция f имеет первообразную на отрезках, где она рассмат-
ривается.
1. При перестановке пределов интегри-
рования определенный интеграл меняет
знак:
а	Ь
f (х) dx= — j f (х) dx.
b	a
В самом деле,
(1)
46
b
\f(x)dx=F(b)-F(a),
a
a
a
\f(x)dx=F(a)-F(b).
b
Ho F (a) - F (b) = - (F (ft) - F (a)).
2.	Для любого значения а справедливо равенство
а
\f(x)dx = 0.	(2)
а
В самом деле,
\f(x)'dx=F(a)-F(a) = O.
а
Очевиден геометрический смысл равенства (2): при а = Ь криво-
линейная трапеция превращается в отрезок и ее площадь равна
нулю.
3.	Для любых значений а, Ь и с верно равенство
Ь	с	b
\f(x)dx=\f(x)dx+\f(x)dx.	(3)
а	а	с
В самом деле,
Ь	с
\f(x)dx=F(b)—F(a), J f (x)dx=F (c)-F (a),
a	a
b
\f(x)dx=F(b)-F(c),
a	F(ft)-F(a)=(F(C)-F(a))+(F(ft)-F(c)).
Геометрический смысл равенства (3) при a<c<ft показан на
рисунке 29.
Следующее свойство определенного интеграла легко следует из
свойств первообразной.
4.	Справедливы равенства:
ь	ь	ь
$ [ф W+Ф W] dx=\ <р (х) </%+$ ф (х) dx	(4)
а	а	а
U
b	ь
\Aq(x)dx=A\<f(x)dx.	(5)
а	а
Докажем сначала равенство (4). Пусть первообразная функ-
ции <р равна Ф, а первообразная функции ф равна Т. Так как
47
Рис. 30
тогда (Ф + 'Г)' = ф' + Т,=ф4-ф, то функция Ф+Т является пер-
вообразной для <р-|-Ф- Следовательно,
ь
S (ф (х)+ф (х)) dx=[<& (х)+Т (х)] |» =
а
=Ф (6)+V (ft)—(Ф (а)+^ («))=
b	ь
=Ф (й)-Ф (а)+т (й)-Ч' (a)=J ф (х) dx+J ф (х) dx.
а	а
Равенство (5) аналогично выводится из того, что
(4Ф)'=ЛФ'=Лф.
Равенство (4) позволяет вывести формулу для вычисления пло-
щади таких фигур, как фигура, изображенная на рисунке 30. Эта
фигура ограничена сверху графиком функции fz, снизу графиком
функции fi, а также вертикальными прямыми х=а, х=Ь (а<.Ь)-,
функции fi и fz непрерывны и неотрицательны на отрезке [а, ft].
Площадь S этой фигуры равна разности площадей Sz и Si,
где S2 — площадь трапеции aAzBzb, a Si — площадь трапеции
аА\В\Ь. Но
ь	ь
Si fi (х) dx, S2 = $ fz (х) dx.
а	а
Значит,
b	b	ь
S = S2 —Si	f2 (x)dx—$ fi (x)dx = \ (f2 (x)—fi (x)) dx.
a	a	a
Замечание. Формула
ь
S=\(fz(x)-ft(x))dx	(6)
48
справедлива не только для случая,
когда функции ft и fi неотри-
цательны на отрезке [a, ft}
Пример. Найдем площадь фи-
гуры, ограниченной линиями у=х1
и у=^х (рис. 31).
Решение. В данном случае не
указаны пределы интегрирования.
Чтобы найти их, надо вычислить абс-
циссы точек пересечения кривых
у=^!х и у=х*. Так как ординаты
обеих кривых в точках пересечения
одинаковы, то решение этой задачи сводится к решению урав-
нения ->fx=xt. Оно имеет два корня: Х| = 0 и хг=1. Поэтому
надо интегрировать от 0 до 1. Применив для отыскания площади
формулу (6), получим:
IH-
о
Упражнения
59.	Докажите, что если f (х) — четная функция, определенная для всех значений
х, то для любого а
а	а
j f(x)dx=2\f(x)dx,
-а	О
а если f (х) — нечетная функция, то
а
$ f (х) dx=0
(дайте геометрическое доказательство).
60.	Вычислите интегралы:
л
6	1
О $ (х3 + Зх—6)dx;	2) J (cos2 x4-cos4 х) sin х dx.
— 1	л
“2
61.	Докажите, что если т — целое число, отличное от 0, то
л	л
J cos тх dx— J sin тх dx=0.
—л	—л
62.	Докажите, что если тип — целые числа, причем т=£п, то
л	л
J sin тх sin пх dx— J cos тх cos nxdx=0.
— л	—Л
49
63.	Докажите, что при любых т и п 
л
J sin тх cos пх dx=0.
—л
64.	С помощью геометрических рассуждений выведите формулу для
О
7.	Оценка значения определенного интеграла. В случае, ког-
да первообразная функции F для подынтегральной функции не
выражается через элементарные функции, для отыскания зна-
ь
чения интеграла $ f (х) dx приходится прибегать к приближенным
а
методам. Они основаны на следующих утверждениях, дающих
границы, между которыми лежит значение интеграла.
Теорема. Если а<Ь и на отрезке [а, 6] функция f неотри-
ъ
цательна, то J f (х) dx^O.
а
В самом деле, пусть первообразная для функции f равна F.
Тогда по условию на отрезке [а, 6] выполняется неравенство
F' (х)—[ (х)^0, и потому функция F не убывает на [а, 6]. Значит,
при а<Ь имеем: FF(а), и, следовательно,
ь
J f (х) dx=F (b)—F (а)>0.
а
Из этой теоремы непосредственно получаем:
Следствие 1. Если а<Ь и на отрезке [а, Ь] выполняется не-
равенство <р(х)^ф(х), то
ь	ъ
$ Ф (х) dx^J ф (х) dx.
а	а
В самом деле, из условия следует, что на отрезке [а, &] имеем:
ф(х)^ф(х), и потому ф(х)—<р(х)^0. Но тогда по доказанному
ъ
выше получаем, что J (-ф (х)—<р (х)) dx>0, и, следовательно, в силу
а
свойства 4 п. 6
b	Ь	b	ь
$ ф (х)	dx—$ <р	(х) dx^O, т. е.	J	ф (х) dx^J ф	(х) dx.
а	а	а	а
Следствие 2. Если а<Ь и на отрезке [а, 6] выполняются
неравенства m^f (х)^М, то
ь
m(b—a)^\f(x)dx^M(b—a).	(1)
50
В самом деле, из условий вытекает, что
b	Ь	ь
J mdx^ f (х) dx^J Mdx.
а	а	а
b	b	b	ь
Но mdx=m J dx=mx | а=т (Ь —а) и $ Mdx—M (b—a).
а	а	а
Следовательно, справедливы неравенства (1).
Геометрический смысл неравенств (1) ясен из рисунка 32 —
площадь криволинейной трапеции APQB заключена между пло-
щадями прямоугольников ASTB и AZRB.
Пример 1. Докажем, что
2
1 J х3 dx 8.
1
Решение. Функция х3 возрастает на отрезке [1, 2], и потому
ее наименьшее значение т на этом отрезке равно 13=1, а наи-
большее значение М равно 23 = 8. По неравенствам (1) получаем:
2
1 -(2- 1)<$ x3dx<8-(2-1),
1
т. е.
2
1	x3dx^8.
Полученная оценка интеграла весьма груба. Чтобы получить
более точную оценку, прибегают к предварительному разбиению
отрезка [а, д] на части. Если эти части достаточно малы, а функ-
ция f непрерывна на [а, &], то на каждой из частей наименьшее и
наибольшее значения этой функции мало отличаются друг от
друга. Поэтому для каждой из частей получаем сравнительно
точную оценку интеграла по данной части. Суммируя эти оценки
и учитывая, что сумма интегралов по всем частям равна инте-
51
гралу по отрезку [а, 6], получаем границы, в которых лежит
значение интеграла.
Такие оценки значения интеграла дают различные прибли-
женные формулы для вычисления этих значений. Предположим,
что функция f монотонно возрастает на отрезке [а, Ь]. Разобьем
этот отрезок на п равных частей точками а=хо<2х\ <....<Zxn=b.
Тогда на отрезке [xk, x»+i] наименьшим значением функции будет
f (х*), а наибольшим — f(xk+i). Поскольку при этом длина каж-
дого отрезка [х*. x*+i] равна , получаем, что при любом k
выполнены неравенства (рис. 33):
х*+1
f(x)dx<f(x*+I)-^-.	(2)
Xk
Суммируя их, получаем, что
п — 1	b	п
f (х*)<$ f (х) dx<-^-S f (x*).	(3)
Если функция f убывает, то роли левой и правой частей в
неравенствах (3) меняются.
Покажем, что при возрастании п разность оценок сверху и
снизу стремится к нулю. В самом деле, суммы слева и справа
в неравенствах (3) отличаются лишь тем, что слева есть лиш-
нее слагаемое f (хо), т. е. f (а), а справа — лишнее слагаемое
f (хп), т. е. f (b). Поэтому разность оценок сверху и снизу равна
(b)—f (а)). Она стремится к нулю при п->-оо. Это пока-
зывает, что, беря достаточно большое значение п, можно по-
лучить сколь угодно точные оценки интеграла снизу и сверху.
Пример 2. На сколько частей надо разбить отрезок [1; 2],
чтобы вычислить значение интеграла j x3dx с точностью до 0,01?
1
Решение. В данном случае а= 1, b = 2, f (х)=х3, и потому
f (а)=1, f (&)=8. Нам надо найти такое п, что &~д(/;(д)—f (а))<
<0,01, т. е. -^^-(8—1X0,01. Получаем п>700. Отрезок надо
разбить на 700 частей.
Неравенства (3) сводят приближенное вычисление интеграла
ь
\f(x)dx к вычислению значений функции f в точках хо=а,
а
Xi, ...» Хп = Ь и арифметическим операциям. Разумеется, по мере
увеличения числа частей, на которые разбит отрезок [а, &], раз-
ность оценок сверху и снизу уменьшается и точность вычис-
лений увеличивается.
52
Пример 3. В примере 1 мы
получили для интеграла Jx3dx гра-
।
ницы 1 и 8. Разбивая отрезок [1; 2]
на 10 равных частей, получаем по (3)
оценки:
0,12(13+ 1,13+ 1,23+... + 1,93Х
<Jx3dx<0,l (1,134-1,234-...4-
+ 1,934-23).
Вычисления дают для интеграла более точные границы:
2
Легко понять, что более точно значение для интеграла дает
среднее арифметическое найденных границ. В нашем случае оно
равно -|-(3,407 + 4,108)=3,7575.
Точное значение интеграла равно:
(x3dx=^-| ; = 2^1=3,75.
J	4 I i 4
Оно отличается от найденного приближенного значения менее
чем на 0,0075, т. е. на 0,2%.
В общем виде формула приближенного вычисления интегралов
с помощью среднего арифметического нижней и верхней границ
в (3) имеет вид:
А
j f (х)	} (a)+f (fe) +f (х,)+.. +f (xn_,)).	(4)
Эту формулу называют формулой трапеций, так как ее геометри-
ческий смысл состоит в том, что на каждом отрезке [х*; x*+i]
криволинейная трапеция заменяется обычной (рис. 34).
Упражнения
65. Найдя наибольшее и наименьшее значения функции у —
[ — 1, 3], докажите, что
1
т++
на отрезке
0,4 <
66. Найдите оценки для интегралов:
л
“2	4	2
J sin4 xdx\ 2) Jx3sinxrfx; 3) J (x2 — 4x+ I)2 dx.
л	1	0
4
53
67. С помощью равенства -j-=arctg 1=1
dx
Т+х7
докажите, что л <4.
о
68. Вычислите по формуле трапеций при и =10 интегралы:
з
1) Jx3dx;
1
dx
14-х2 ’
3>j
2
—&____.
(1+x)2 ’
л
"2
4) sin3xdx;
о
2
о
л	л
2	4
5) J cos3 xdx, 6) J tg xdx
о	0
(значения функций брать с точностью до 0,001). Для интегралов 2) и 4)
сравните ответ с точным. Проведите вычисления с помощью микрокаль-
кулятора. Составьте программу вычисления этих интегралов на программи-
руемом микрокалькуляторе или компьютере.
Глава VIII
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
$ 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
1. Процессы органического роста и убывания. В природе, тех-
нике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе
которых некоторые величины изменяются так, что отношение
значений, величины в моменты времени t и t+T не зависит от t.
Иными словами, для всех Т>6 в течение любого промежутка
времени [/; /+ Т] значение величины меняется в одно и то же
число раз (независящее от t). (Значения t могут быть как по-
ложительными, так и отрицательными или равными нулю. От-
рицательные значения t соответствуют значениям времени, ко-
торые предшествуют моменту начала наблюдения.)
Если величина y=f (/) меняется по такому закону, то выпол-
няется равенство
f-U±P=k(T).	(1)
f (Т}
Полагая в равенстве (1) /=0, получим ij^L=k(T). Поэтому
из (1) следует:
f(/+7’) = ^(7')f(/)=lMp-.	(2)
Приведем примеры, в которых величины изменяются по ука-
занному выше закону.
Пример 1. Обозначим через m (/) массу колонии бактерий
в момент времени /. Если нет ограничений в количестве питатель-
ных веществ и объеме сосуда и притом отсутствуют живые су-
щества, поедающие эти бактерии, то за равные промежутки вре-
мени масса колонии будет возрастать в одно и то же число раз.
Если за единицу измерения массы принять массу одной бактерии,
то пг (/) будет равно численности этой колонии.
Аналогично обстоят дела для любой совокупности живых
существ при условии, что нет ограничений в пище и простран-
стве и нет истребляющих их врагов. Поэтому процессы, в которых
величина увеличивается за равные промежутки времени в одно и
то же число раз, называют процессами органического роста.
Пример 2. В процессе радиоактивного распада вещества
его масса m (f) за равные промежутки времени меняется в одно и
55
то же число раз. Поэтому и здесь происходит изменение по закону
(2), но при этом масса уменьшается. В таких случаях говорят о
процессах органического убывания.
Пример 3. Сумма вклада в сберегательном банке за дан*
ный промежуток времени возрастает в одно и то же число раз
(например, за год на 2%, т. е. в 1,02 раза). Эта сумма подчинена
закону органического роста.
Следует иметь в виду, что во всех разобранных примерах закон (2) выпол-
няется лишь приближенно — мы пренебрегаем тем, что количество живых су-
ществ или атомов вещества выражается натуральном числом, что вклад в сбер-
кассе увеличивается не непрерывно, а лишь ежесуточно и т. д. Однако эти от-
клонения от закона органического изменения так же не мешают применению
этого закона на практике, как отклонение формы Земли от геометрически правиль-
4
ной формы шара не мешает вычислению ее объема по формуле У=—л/?3.
□
Для описания процесса органического роста и убывания ис-
пользуют функцию, значения которой меняются по закону (2).
При этом достаточно знать значения этой функции при добавочном
условии, что f (0)= 1. Если это не так, то значения функции полу-,
чатся из найденных умножением на одно и то же число, равное
начальному значению функции (если известна сумма f (/) вклада
в момент времени, когда начальное значение равно 1 р., то при
начальном вкладе а сумма вклада в момент времени t будет равна
of СО-
При указанном добавочном условии f (0)=1 закон изменения
величины (2) примет более простую форму:
f(t+T)=f(f)f(T).	(3)
Отметим некоторые свойства величин, которые были рассмот-
рены выше. Все значения этих величин (масса колонии бактерий,
масса радиоактивного вещества, сумма вклада в сберкассе) —
положительные числа. При этом за малый промежуток времени
эти величины мало меняются. Наконец, скорость изменения этих
величин может быть различной. Если за единицу времени вели-
чина меняется в а раз, то ее значение в момент времени t= 1 равно
а. При а>\ величина увеличивается, при 0<а<1 —уменьша-
ется, если же а=1, то значения величины не меняются, остают-
ся постоянными.
В заключение укажем еще несколько примеров величин, из-
менение которых происходит по закону (2).
1)	При прохождении света через мутную среду сила света
при прохождении любого участка данной длины I уменьшается
в одно и то же число раз.
2)	В ходе цепной реакции количество нейтронов, распавших-
ся в течение промежутка времени данной длины, увеличивается
в одно и то же число раз.
56
3)	Если канат прилегает к металлическому барабану на про-
тяжении дуги в <р радиан, то, прилагая к одному его концу силу F,
можно удержать в k раз большую силу, приложенную к дру-
гому концу, где k зависит лишь от ф, а не от величины прило-
женной силы.
Разумеется, справедливость закона (2) имеет место лишь в
случае, когда выполняются соответствующие условия, например в
примере 2, когда не все нейтроны распались, а в примере 3, когда
прилагаемые силы меньше предела прочности каната.
Упражнения
69.	Приведите другие примеры процессов органического роста или органичес-
кого убывания.
70.	Величина х меняется с течением времени t по закону органического роста.
Известно, что при 1=0 ее значение равнялось 4, а при /=3 оно оказалось
3
равным 32. Найдите значение величины при / = 1, — 1, 4, —.
71.	Масса радиоактивного вещества при /=1 равнялась 5 г, а при /=4 она
равнялась 2 г. Во сколько раз меняется эта масса за единицу времени? Ка-
кое значение она имела при / = 0, —4, 3, 7
72.	При прохождении света через мутную среду сила света на участке длиной
10 см уменьшилась в три раза. Во сколько раз уменьшится сила света на
участках длиной 5, 20, 25 см?
2. Обобщение понятия степени. Предположим, что некоторая
величина характеризует процесс органического изменения и в мо-
мент времени 1=0 принимает значение то, а за единицу времени
изменяется в а раз. Тогда при 1=1 она принимает значение тоа,
при t=2 — значение тоа-а, т. е. тоа2, при t=3 — значение
т0а2-а, т. е. тоа3, и т. д. С помощью метода математической
индукции убеждаемся, что при t=k эта величина принимает зна-
чение тосг, т. е. что
m(k)=moak.	(1)
Естественно предположить, что значение этой величины в мо-
мент времени х выражается равенством т(х)=тоа*. Покажем,
что это действительно так. Сначала напомним обобщения поня-
тия степени, данные в VIII и IX классах.
т
Пусть а>0. Обозначим через а" выражение ^ат:
т
ап	(2)
Покажем, что для любого натурального числа р справедливо
57
т тр
равенство ап =а"р, т. е. что значение аг зависит от значения
показателя степени, а не от той или иной формы записи его в виде
дроби. Для этого заметим, что
=(пр^рур=атр
и
(а" )Л₽=(5/^Г=((5/ай)")₽=(am)p=ат₽
Из равенства натуральных степеней двух положительных чисел
т тр
вытекает равенство их оснований, а потому а" = апр.
Далее полагаем а~г=-^- и а°=\.
а
Тем самым определены степени с любым положительным
основанием и рациональным показателем. Для этих степеней
были установлены следующие свойства:
1) ar-as=ar+s, 2) %-=ar~s,	3) (аУ=аг\
4) (aby=ar-br, 5)
Напомним, например, доказательство свойства (1). Представим
показатели г и $ в виде дробей с общим знаменателем п: г=-^,
s=-P~. Тогда имеем: ar-as=a п-а п, ar+s=a " . Но
п
(tf • а" )"=(а"-)" • (а" У=(^У* • (V^)n=ат-ар=ат+р
И
т+Р
(а. п у=(^+~ру=агп+р.
Отсюда следует равенство ar-as = ar+s. Остальные свойства
доказываются аналогично.
Если а>1, то и ат>1 при натуральном т, а тогда !\/а'" =
т
=ап >1. Значит, если а>1 и г>0, то аг>1. Отсюда следует,
что при a>l, r<s имеем:
as=ar-as-r >ar-1 =аг
Аналогично доказывается, что если 0<a<l, r<s, то ar>as.
Нам осталось определить значение ах для случая, когда х —
иррациональное число. Это можно сделать следующим образом.
Пусть а>1. Обозначим через X множество чисел вида аг,
58
где г — рациональное число, меньшее, чем х, а через Y — мно-
жество чисел вида as, где $ — рациональное число, большее,
чем х. Если а'^Х, as£Y, то г<х<$ и потому a'<.as. Это оз-
начает, что множество X расположено слева от множества Y и
потому эти множества разделяются хотя бы одним числом. Мож-
но доказать, что это разделяющее число определено однознач-
но. Его называют значением а*. При 0<а<1 поступают ана-
логичным образом, только меняют роли X и Y.
Итак, мы определили для каждого х значение ах. Этим оп-
ределяется функция у=ах, заданная на всей числовой оси. Мож-
но доказать, что эта функция непрерывна, принимает по рдному
разу все положительные значения, возрастает, если а>1, и убы-
вает, если 0<а<1. Она обладает свойствами 1)—5), ранее
доказанными лишь для рациональных значений аргумента. От-
сюда следует, что если f(x)=moax, то для любого Т имеем:
Л*±й= «»sliI==“2sL=ar=f (/).
f (х) moa' а*
Это показывает, что функция у=тоах действительно описы-
вает процессы органического изменения.
Однако детальное доказательство единственности разделяю-
щего числа для множеств X и У, непрерывности функции у=ах
и т. д. довольно кропотливая работа. Чтобы избежать ее, мы оп-
ределим показательную функцию иначе и покажем, что так
определенная функция обладает всеми нужными свойствами.
Сначала придется определить иную функцию, называемую ло-
гарифмической.
Упражнения
73.	Какое из чисел больше:
1)	(3 2) ~7 или (3,2)-"; 2) 2~7-5 или (0,25)375;
3)	(-у2+УЗ)ЗЛ или (Уг+л/З)-3’5;
4)	(л/2-т/З)-3 ИЛИ (V2-V3)-2?
74.	Расположите в порядке возрастания числа:
(0,45)~3, (0,45)-*, (0,45)°, (0,45)2.
75.	Какое из чисел больше:
1)	21,41 или (0,25) 2 ; 2) 3^ или 3^?
76.	Положительна или отрицательна разность
Г	/ Q \ 2 72
1)	я^-(->/3)я, 2)	-1?
77.	Определите знак:
1)	а, если^-|-^ =2; 2) а—1, если а-|-40,3^=5.
59
78.	(0,37)а<(0,37)11. Что больше: а или 0?	г
79.	Можно ли найти такое х, чтобы выполнялось равенство 2s>n x=sin х?
3.	Определение функции In х, ее свойства и график. Мы
умеем находить первообразные от функций вида у=хл при усло-
вии, что а Ф — 1. Среди степенных функций нет такой, что ее про-
изводная равна —, т. е. х_|. Введем следующее определение.
Определение 1. Натуральным логарифмом положитель-
X
ного числа х называют значение интеграла . Это значение
v । *
обозначают 1п х:
X
lnx=Jf.	(1)
1
Так как функция -у- непрерывна на луче (0; +<») и убывает
на нем, то значение 1пх определено для всех х>0 (см. теоре-
му 1 п. 3 $ 3 главы VII). Значит, функция у=1п х определена
на луче (0; -|-оо). При х=1 значение этой функции равно j -у-,
।
т. е. равно нулю. Значит, In 1 =0. Интеграл -у- является одной
1
из первообразных для подынтегральной функции (см. п. 3 $ 3
главы VII). Это означает, что при х>0
('"MS т)’-т-
1
Значит, функция 1п х дифференцируема на луче (0; + оо) причем
(1пх)'=^.	(2)
Так как всякая дифференцируемая функция непрерывна, то
функция у=\п х непрерывна на луче (0; + оо).
Поскольку х>0 на луче (0; +<»), то на этом луче (1пх)' =
=-у->0. Значит (см. п. 4 § 3 главы V), функция In х возрастает
на луче (0; + оо). Так как In 1=0, то функция In х положительна
на луче (1; -|-оо) и отрицательна на промежутке (0; 1).
Докажем теперь, что при любом а>0 функция In ах тоже
является первообразной для функции у=— на луче (0; 4-оо).
В самом деле,	х
(In ах)'=— (ах)'=—=—.
'	' ах ' ах х
60
Так как две первообразные одной и той же функции могут
отличаться друг от друга лишь постоянным слагаемым, то на
луче (0; 4-оо) должно иметь место равенство 1пах=1пх+С.
Полагая х=1 и учитывая, что 1п1=0, получаем: С = 1па.
Мы доказали следующее важное свойство функции 1п х: Если
а>0 и х>0, то
1п ах=1п х+1п а.	(3)
Иными словами, натуральный логарифм произведения равен сум-
ме натуральных логарифмов множителей.
Из равенства (3) вытекает:
Если а>0 и х>0, то
1п—=1па—1пх.	(4)
X
Если х>0 и п— натуральное число, то
1пхп = я1пх.	(5)
Полагая в равенстве (5) хп=у и учитывая, что х=П^у, получаем:
In V*=-^lnx, х>0.	(6)
Из формул (5) и (6) вытекает, что
In	In х, х>0.	(7)
п
В самом деле,
In V^=— lnxm=— In X.
v n	n
Докажем, что функция In x принимает сколь угодно большие
по модулю как положительные, так и отрицательные значения.
В самом деле, так как 2 > 1, то In 2 >0 и из равенства In 2п = п In 2
получаем, что среди значений функции (/=1п х есть сколь угодно
большие положительные числа. Равенство ln-^-=—nln2 пока-
зывает, что среди этих значений есть и сколь угодно большие
по модулю отрицательные числа.
Итак, функция у = \пх непрерывна на луче (0; +°°)> воз-
растает на нем и принимает сколь угодно большие по модулю
положительные и отрицательные значения. Отсюда следует, что
эта функция по одному разу принимает любое действительное
значение.
Наконец покажем, что график функции In х на луче (0; + оо)
обращен выпуклостью вверх. В самом деле,
(lnx)"=((lnx)')'={^-) = -Jr-
61
Ясно, что на луче (0; +<») имеем (1пх)"<0, откуда и следует
наше утверждение (см. п. 5 § 3 главы V).
Поскольку функция In х принимает по одному разу все дейст-
вительные значения, то найдется такое число, что его натураль-
ный логарифм равен 1. Это число было введено в математику
действительным членом Петербургской Академии наук Леонардом
Эйлером (1707—1783) и получило обозначение е.
Итак, через е обозначают число, натуральный логарифм ко-
торого равен 1, т. е. для которого выполнено равенство In е =
е
=^у-=1. Очевидно, что е>\. Так как площадь квадрата ABCD
1
на рисунке 35 равна 1, то видим, что 1п2<1 и потому 2<е.
С другой стороны, площадь фигуры, заштрихованной на рисун-
ке 35, равна 1, и потому видим, что 1 <1п 3, откуда е<3. Значит,
число е заключено между 2 и 3. Более точные подсчеты, которые
мы проведем позднее, показывают, что е=2,7182818284590...
Это число иррациональное.
m
Из равенства (7) следует, что In еп =-““1п е=-^. Поэтому
имеем следующую таблицу значений функции In х:
X	1 7	1	1 е	1	е	ег	е3
In X	— 3	-2	-1	0	1	2	3
Используя указанное выше значение е и свойства функции In х,
строим график этой функции (рис. 36). Из этого графика видно,
что по мере увеличения х значения In х медленно увеличи-
62
ваются. А когда х приближается к нулю, оставаясь положитель-
ным, значения In х стремятся к — оо. Таким образом, lim In х=
+ оо
= 4-оо, lim 1пх= —оо.
х—►4'0
Упражнения
80.	Найдите производные следующих функций:
1)	1п(4х-|-1); 2) 1п(х2 — х+1);	3) In sin х; 4) In arctg х; 5) ln3x;
6)	sin (In x); 7) arctg4 (In x); 8) arcsin (In5 x).
Постройте графики функций (81—85).
81.	t/ = In (16—8x + x2) —In (2x—8).
82.	у=1п(г--0 +ln (x2— 12x+36).
83.	</=ln(x—i-) -|-ln -д/4х2—4x+1.
84.	y=ln(-|—x)-|-In-0)x2—6x+1.
85.	1) y=ln(|x—el+x);
2)	y= |ln (x-2)1 +ln (3x—6).
4.	Логарифмическая функция и степень с любым показателем.
Пусть а>0 и ау=1. Функция принимает значение 1 при
х=а. Ее называют логарифмической функцией по основанию а
и обозначают logax. Таким образом, по определению
logax=^.
& In а
Если а>1, то 1па>0. Поэтому ясно, что свойства функ-
ции toga х при а> 1 те же, что и у функции In х: эта функция
непрерывна на луче (0; +<»), возрастает, принимает положи-
тельные значения при х>1 и отрицательные при 0<х<1, при-
чем она принимает все действительные значения. При этом
lim logax =4-оо, lim logax= — оо.
x -► + оо	x—+o
Если же 0<а< 1, то In а<0. Поэтому свойства функции loga х
при 0<а<1 в некотором смысле противоположны свойствам
функции In х. В этом случае функция loga х, оставаясь определен-
ной и непрерывной на луче (0; + оо), убывает на этом луче, при-
чем ее значения положительны на промежутке (0; 1) и отрица-
тельны на луче (1; +<»). При этом lim logax= — оо и
lim°logaх— + оо. На рисунке 37 изображены графики функ-
ций log2 х и log । х.
63
Из равенства (7) п. 3 следует,
что
m
loga a n----,-------,---
&	In a	In a
m.
.	~	—Ina
In a  n  m
n
т	т
Обозначим число а" через Ь, Ь=ап.
Так как = loge b, то ft=a10g“6. Та-
ким образом, в случае, когда а>0,
а=#1, Ь>0 и логарифм числа b по
основанию а — рациональное число,
логарифм является показателем степени, в которую надо возвести
основание а, чтобы получить число Ь. Обобщая это утверждение
на любые показатели, приходим к следующему определению:
Пусть a>0, a^tl. Через ах обозначают такое число &>0,
что loga ft=х (как мы знаем, такое число всегда существует и
однозначно определено). Запись ах читают <а в степени х».
При а=1 полагаем 1*=1 для всех х.
Итак, имеют место два основных равенства
logo ах=х,
а'°е°ь=Ь, ft>0.
В частности, lnx=logex и потому
In et=x,
eln6=ft, b>0.
(1)
(2)
(2')
Отметим, что при любом а>0, а#=1 выполняются равенства
(3)
logoX£/=logox+logey, x>0, y>0,
10g0 — = lOga X — lOgaj/, X > О, у > 0,	(4)
У
m
lOgaX" =— 10ga X, X>0.
Для их доказательства достаточно заменить логарифмы с основа-
нием а их выражением через натуральные логарифмы.
Отметим еще формулу
logaft={^, a>0, ft>0, с>0, с^=1,	(5)
logc а	' '
позволяющую выразить логарифмы с основанием а, а>0, а=/=1,
через логарифмы с основанием с, 0-0, с^1. Для доказатель-
ства заметим, что logoft=r^, logca=j2-^, logc6=^. Под-
In a	In c	In с
ста вл я я эти значения в формулу (5), убеждаемся в ее справед-
ливости.
64
Отметим некоторые частные случаи формулы (5). Полагая
с=Ь, получаем в силу равенства log* 6 = 1:
loged=T-!—, а>0, b>0,	1, 6^= 1.	(6)
log* а
Далее, при а=са имеем в силу равенства logcc“=a:
logc« 6 = loS‘b —— logcb, b>Q, c>0, c=^l.	(7)
lOgc Ca a
При 6=ca, c>0, c=?fel, имеем:
loga ea = l0?cC = — = a loga C.	(8)
s logca iogc a s	' ’
Из (7) и (8) следует, что
logc«6a=log<:6.	(9)
Логарифмы по основанию 10 называются десятичными и обоз-
начаются 1g. Таким образом, lgx=logiox. Десятичные логариф-
мы раньше использовались для выполнения громоздких вычисле-
ний.
Пример 1. Вычислим значение:
а)	logioo 1000; б) log^^.
Решение, а) Имеем:
i ааа logic 1000 lg 103 3 lg 10	3
log'001OOO=’fco6-=irio5==nrio=T-
б)	Имеем:
у l0& 2
-5-logs 2
Jj
Пример 2. Выразим логарифм по основанию а выраже-
ния
Л =
(хг+1)4(у4 + 1)7 a2 tg х ifa
(x’+l/2)6	° Уа
через логарифмы выражений х2+1, у4+1, х*+у2-
Решение. По свойствам логарифма
loga А = loga ^+1>~5 frW а 1ех+^ =
= 4-bga (Х2+ l)+4-IOga (У*+ 1)—|“10ga (х2-|-у2) + 2 tg x + ~j-.
О	О	U	*т
Взятие логарифма некоторого выражения с последующим
3 Н. Я. Виленкин	65
упрощением, как в разобранном примере, называют логарифми-
рованием.
Пример 3. Найдем выражение, логарифмом которого по
основанию а является
А = у- logo (х* + 2у2 — 1) —cos 5х--Y loga (х + бу2).
Решение. По свойству логарифмов имеем cos 5х=
= logoacos5x. Поэтому
А =±(б loga (х4+2у2-1)—3 loga acos5x-2 loga (х+6у2)) =
loga (х" +2у2— I)6— loga a3cos 5х— loga (х + 6у2)2) =
__LlOa (^ + 2^-О6 _10_ Л/ (x4 + 2y2-l7~
7	a3 cos 5x (x + 6j/2)2 - '°ga V J cos 5x (x + 6y2)2 ‘
Итак, 4 = loga В, где
B=\ £+2yL-i£_
V a3 cos 5x (x+6y2)2 •
Отыскание выражения по его логарифму
цированием.
называют потен-
Упражнения
86.	Вычислите:	4iog448
1)	log, 64; 2) logs^43; 3) logIOoo4) log7^/343; 5) -------------
2Io&3 16
87.	При каких значениях x справедливы неравенства:
1)	log7x<log72x; 2) log05х>log0sу 1 3) log» 5 < logx 6;
4)	log» V2<logz 1,2; 5) logx sin< log, sin; 6) logx (0,3) > logx 3?
88.	Что больше: loga N или loga , если:
1)	a>l, ЛГ> 1; 2) a<l, JV> 1; 3) a>l, 0<ЛГ<1; 4) a<l, 0<Л/<1?
89.	Найдите область определения следующих функций:
1)	log2 (4х—8); 2) logl2(8-2x); 3) log5(-4x-6); 4) logj_(4x+6);
3	5
5)	log2(x—4)+log । (4—x).
"д'
90.	Начертите графики функций из предыдущего упражнения.
91.	Начертите график функции log2 (х—4)-j- log2 (8 — х).
92.	Какая из функций:
1)	logs х, log2 х; 2) log i х, log j x — быстрее возрастает, когда х-> -|-оо?
Т “2
Какая из этих функций больше на промежутке 0<х<1?
66
93.	Постройте графики функций:
1)	logj |х|; 2) |log3 х|; 3) |log3(x—2)|.
з
94.	Постройте линии, задаваемые равенствами:
1)	|£/l=log3(x—1); 2) 14/1 = Ilog4 (2х— 1)|.
95.	Зная, что 1g 2 = 0,3010, 1g 3 = 0,4771, найдите 1g 75.
96.	Является ли равенство
logs (х2 — 4)=logs (х—2) + logs (х+2)
тождеством? В какой области оно тождественно выполняется?
97.	Прологарифмируйте по основанию а следующие выражения:
Va2b^fm	I	I—F nv 24m2Vb-|-c
4)	, М
* d~3 *y 8
98.	Прологарифмируйте выражение х=27Ь5 * *с2 ^27+z:
1)	по основанию 3; 2) по основанию 1/3.
99.	Найдите х, если:
1)	lOga Х=у( loga Ь-loga с+loga d + л) ;
1 Г 3	1
2)	10gaX=—l 10ga (loga Z —2)1 ;
3)	loga Х=з|-|- loga l/ + y[loga2 (loga t + 2 loga ®)j| | .
100.	Докажите, что
101.	Что больше:
1)	log i 2 или log3 — ; 2) log4 5 или log56?
"з
102.	Докажите, что:
loga JV+10ge« tf + 10g03 tf+loga- W‘*’logo5№l5IOgA,a’
2)	loga,..a.*-j-------5-----Г— =
-------h 4-—'------
10ga, X •"	10ga, X
3) loga log» N + log» N loga loga loga jV=l-O£? 19Ё£.У
1 Ogard /V
ЮЗ. Зная, что log62 = a, log65 = 6, найдите log3 5.
104. Зная, что logi2 2 = a, найдите Iog6 16.
105. Зная, что logic2«0,301, найдите logio 125.
67
106.	Докажите, что если а и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы прямо-
угольного треугольника, то
logi+c а-|- logc_* а = 2 log*+c a Iogc_A а.
107.	Упростите выражение:
1)	loga-р + loga — loga i
2)	(logfta-loga*)2 + (log 2 a —loga2 6)2 + ...-j-(log 2 a~loga2« 6)2;
b	b
log»log» a
3)	a 108,0
108.	Вычислите пределы:
1.	1 ox .. l+ln2x o.	Inx
i)	hm -, -г-,—; 2) iim	; 3) ilm rm—*
x_>4-o4-j-ln x	oo 3-|-5 In x	о4In x
1 +ln X
4) lim . , - ,— .
% — +o 3+5 In x
5. Показательная функция, ее свойства и график. В п. 4 мы
определили значение ах при всех а>0и любых х. Если а = 1, то
ах= 1 при всех х. При других положительных значениях а получа-
ем функцию ах, отличную от постоянной. Ее называют показатель-
ной функцией с- основанием а. Из доказанных в п. 4 равенств
loga ах=х,
а^‘ь=Ь, Ь>0,
вытекает, что показательная функция с основанием a, a>0,	1,
является обратной к логарифмической функции с тем же основа-
нием. Отсюда следует, что функция ах задана на всей числовой
прямой, принимает все положительные значения по одному ра-
зу и непрерывна. Она возрастает, если а>\, и убывает,
если 0<a< 1.
На рисунке 38 изображены графики показательной функции
при а —2 и а=-^-. Отметим, что при а> 1
имеем: lim ах= + оо, lim ах=0. Если
же 0<а<1, то lim ах=0, lim ах =
X —► оо	х —► — оо
= + оо.
Каждому свойству логарифмической
функции соответствует свойство показа-
тельной функции. Докажем сначала, что
для всех значений хи/ при а>0 имеем:
ах.а1=ах^,	(1)
68
Если а= 1, то это равенство очевидно, поскольку Г= 1'= 1х+/= 1.
Если же аУ=1, то по (3) п. 4 имеем:
. loga ax+t=x-\-t и loga ax-a' = loga a*4-loge а'^=х+/.
Но два числа, имеющие одинаковые логарифмы по основанию а,
где a>0, а=?^1, равны. Отсюда получаем (1).
Докажем теперь, что при а>0 для любых х и t выполняется
равенство
(a*)'=ax'.	(2)
В самом деле, при а=\ обе части равенства равны 1. Если
же a>0, a^fel, то по (8) п. 4 имеем:
loga ax‘=xt и logo {axi = t loge ax=xt.
Значит, логарифмы по основанию а чисел (а*)' и axt равны, а потому
равны и сами эти числа.
Из свойства (2) вытекают равенства
a-x=(ax)-‘=^	(3)
и
(4)
(достаточно взять соответственно t= — 1 и /=—).
Теперь докажем, что для любых положительных чисел а и Ь
выполняется равенство
(ab)x=axbx.	(5)
Для этого достаточно заметить, что по (3) и (8) п. 4 имеем:
In (аЬУ=х In (ab)=x (In a+ In b)
и
In (ax-6x)=ln ax4-ln bx=x In a-|-x In 6=x(ln a-|-ln b).
Из доказанного утверждения вытекает, что для любых поло-
жительных чисел а и b верно равенство
(т)'=£-	(«)
Упражнения
109. Докажите равенство (6).
НО. 1) Постройте на одном чертеже графики функций у=2х и у=Зх при
— 1<х<1 в масштабе 1:5 см.
2) Изобразите на одном чертеже графики функций у=2х, у—3-2х, у —
=0,8-2х, t/=—3-2х, //=-0,8.2х.
111.	Как по графику функции у=с*ах определить основание а и коэффициент с?
69
112.	Докажите, что для любой показательной функции f(x)=ax и любой гео-
метрической прогрессии 6], 62, 6з, ... с положительными членами найдется
такая арифметическая прогрессия хг, хз, ...» что для всех п будет
Цхп) = Ьп.
113.	Решите следующие уравнения, пользуясь, где это необходимо, графиками
показательных функций:
1)	5Х = 25; 2) 31-х = 81; 3) 2х = 0,125; 4) 2х=0,4; 5) 52х=5;
6)63х~‘ = 1; 7) 4х=8; 8)8х=10; 9)83-2х=14; 10) 0,0Р =70.
114.	Упростите выражения:
115.
1)	(2x)2-3-4x4-(V2)4x; 2) 22х-Зх-|-12х-2х+1-6х;
3)	52х— 1-(5х— 1)(5х4-1); 4) а2х+2ахЬ!1+Ь21>-(ах+Ь!'У.
Вычислите пределы (115—119).
1	2х-k 1	2х— 1
lim TTv- ,,e- lim гмл- ,,7‘ lim vTT-
X 4- оо Х I	Х-* -оо Л	X -► 4- оо & I 1
118.
lim
х —► 4“ 00
3х 4-1
5х4-2 
$ 2. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА
1. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Про-
стейшим из показательных уравнений (т. е. уравнений, содер-
жащих неизвестное в показателе) является ах=Ь, где а>0, а=/= 1.
Если Ь^.0, то это уравнение не имеет решений, поскольку
значения а* положительны. Если же &>0, то существует един-
ственное значение х, удовлетворяющее этому уравнению, а именно
x=loge b.
Значение loga b равно и потому может быть вычислено
с помощью таблиц десятичных логарифмов или микрокалькуля-
тора.
Пример 1. Решим уравнение 5*=8.
Решение. Единственным корнем данного уравнения явля-
ется число log5 8, т- е-
мов находим:
-fev- . По таблицам десятичных логариф-
1g 5
X-JS8 - 0’903 —
lg5~ 0,699 ~
1,29.
Итак, приближенное значение единственного корня данного
уравнения равно 1,29.
Иногда удается представить число b в виде ас. Тогда корнем
уравнения ах = Ь является число с.
Пример 2. Решим уравнение 16х=256.
70
Решение. Так как 256= 162, то х=2.
Пример 3. Решим уравнение 16х=512.
Решение. Число 16 можно представить в виде 16=24,
число 512 — в виде 512=29. Значит, данное уравнение записы-
вается й виде (24)х=29, или 24х=29. Отсюда находим, что 4х=9,
9
и потому х=—.
Тот же результат получается следующим образом:
х — |ор С1О_______________loga 512_ 9
x-logl6t>12_———
Перейдем к решению простейших показательных неравенств.
При 6С0 неравенство ах<Ь не удовлетворяется ни при каком
значении х, поскольку ах>0. Неравенство же ах>Ь выполняет-
ся для всех х. Поэтому интересен лишь случай 6>0.
Мы знаем, что при 6>0 выполняется равенство aXoi°b=b.
Если а>1, то в силу возрастания показательной функции ах
при x>loge b выполняется неравенство ах>Ь, а при x<logo Ь —
неравенство ах<Ь.
Итак, при а>-1 решением неравенства ах>Ь является откры-
тый луч(loga b; + оо), а решением неравенства ax<zb — открытый
луч (— оо; loga b) (рис. 39, а).
Если 0<a< 1, то функция ах убывает. Поэтому при 0<a< 1
решением неравенства ах>Ь является открытый луч (— оо; loga b\
а решением неравенства ax<zb — открытый луч (log06;-j-oo)
(рис. 39, б).
Пример 4. Решим неравенство ( —) <—.
(1 \х ।
—1 Так как
. то х=2. Поскольку в нашем случае а=-~<1, то ре-
Рис. 39
71
Упражнения
121.	Решите уравнения:
1)	3х=729; 2) -1=8; 3) 9*=243; 4) (т/2У=-^-.
122.	Решите неравенства:
1)	2х<-|-; 2) (т/ЗГ>у; 3)	4> 3‘>92‘-
2.	Решение показательных уравнений и неравенств. В основе
решения показательных уравнений лежит следующая теорема:
Теорема. Если а>0 и а=£1, то уравнения
aIM=agM	(1)
и
f(x)=g(x)	(2)
равносильны.
Доказательство. Если а — корень уравнения (2), то
имеет место равенство f(a)=g(a), а тогда af(a)=a<(a). Обрат-
но, если а — корень уравнения (1), то а1 (а)=а8 (в), а тогда в силу
монотонности функции ах имеем: f (a)=g (а). Теорема доказана.
Пример 1. Решим уравнение
З3х! + 2 = 3х! + 5х
Решение. Это уравнение равносильно уравнению Зх2+2 =
=х2+5х, корнями которого являются xi=-|-, х2=2. Эти числа
являются и корнями уравнения (3).
К уравнениям вида (1) сводятся уравнения вида
a/w=6e(x).	(4)
Мы знаем, что b = aiog‘b. Поэтому уравнение (4) можно переписать
в виде
af М _ag(x') log.
А это уравнение при a>0, а^1 равносильно уравнению
f (x)=g W logo b.
Пример 2. Решим уравнение
32х-5=5х
Решение. Это уравнение равносильно уравнению
g2x--5 <jx logs 5
а потому и уравнению 2х — 5=х logs 5. Корнем этого уравнения
является х=——г—
2—log3 5
72
Рассмотрим теперь уравнения вида f(ax)=0. Они решаются
с помощью подстановки ax—t, которая сводит их к уравнению
^(/)=0. Пусть /|, tn — корни полученного уравнения. Так
как ах принимает лишь положительные значения, то надо отобрать
из этих корней положительные, скажем /|, ..., tk, и решить урав-
нения ax=t\,..., ax=tk. Отсюда находим xi = loga Л,.... x*=loga 4.
Пример 3. Решим уравнение
4х—2х+‘ —24=0.
Решение. Так как 4Х=(2Х)2, 2х+’ =2-2х, то это уравнение
можно переписать в виде
(2х)2—2«2Х—24=0.
Подстановка 2х = t сводит его к квадратному уравнению t2 — 2t—
—24=0, имеющему корни Л = 6 и /2=—4. Из них положителен
лишь корень 6. Поэтому осталось решить уравнение 2х=6, из
которого находим: x=log26=j|y.
Для решения показательных неравенств используется свойство
монотонности показательной функции. Если а> 1, то неравенство
</ (х)>а* (х) равносильно неравенству f (x)>g (х), а если 0<а<£ 1,
то неравенству f(x)<g(x).
Пример 4. Решим неравенство
О.б^+^+^О.б*2"3.
Решение. Так как 0<0,5<1, то это неравенство равно-
сильно неравенству х2-|-2х-|-1<х2—3. Решая это алгебраи-
ческое неравенство, находим, что х< —2.
Пример 5. Решим неравенство
22х2 4-Зх 4-2 2х2
Решение. Так как 2>1, то это неравенство равносильно
неравенству 2х2-|-Зх-|-2<х2, т. е. х24-Зх+2<0. Решая его,
получаем, что —2<х< —1.
Неравенства вида f(ax)<0, где f — некоторая функция, ре-
шаются с помощью подстановки ax—t. Получаем для t неравенст-
во /(/)<0. Так как ах>0, то надо найти пересечение решения
этого неравенства с открытым лучом (0; 4- о°) (т. е. взять часть ре-
шения, лежащую на этом луче). Если (а*, 0*) — один из проме-
жутков полученной части решения для f(/)<0, то для отыска-
ния решения исходного неравенства получаем a*<ax<0*. При
а>1 отсюда имеем logo a*<x<logo 0*, а если 0<а<1,
70 loga 0*<x<loga а*. Далее надо объединить все полученные
промежутки.
Пример 6. Решим неравенство
4х—2х+1 —24<0.
73
Решение. Подстановка 2х=t сводит данное неравенство к
неравенству t2— 2t—24<0. Его решением является интервал
(—4; 6). Пересечением этого интервала с лучом (0; + оо) является
(0; 6). Решая неравенство 0<2х<6, получаем, что —оо <zx<z
<log2 6.
Упражнения
123.	Решите показательные уравнения:
1)	4х-‘ + 4х=320; 2) 5*+3-5х~2= 140; 3) 5х—53“ж=20;
4)	2-Зж+1 -5-9х-2=81; 5) 52х-7*-35-52х+35.7х=0;
6)	23х-Зх—23*-1 •Зх+1 = — 282; 7) 0,5х2_20х_61’5=—;
т/5
8)	4Х-3Х~2 = Г2 —22'-1; 9) 4^x~2+16=10-2^x-2;
10) 52+4+6+ +2x=0,04-4S.
124.	Решите показательные неравенства:
1)	(т)	>2“8х +9; 2) 4х-7.2Х+ 12>0;
3)	22х<-'-5.2х4-2<0; 4) |2х-2| - |2Х-11 > |2*+11-5.
3.	Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.
Простейшим логарифмическим уравнением (т. е. уравнением, со-
держащим неизвестное под знаком логарифма) является loga х=
=Ь, где а>0, а^1. Так как равенство logax=b равно-
сильно равенству х=аь, то получаем:
Если a>0, а¥=1, то корень уравнения logox=6 равен аь.
Пример 1. Решим уравнение logs х=7.
Решение. Корнем уравнения является число х=37.
Пример 2. Решим уравнение 1g х=0,5.
Решение. Корнем уравнения является число х=1Оо,5=
=VTo.
В силу монотонности логарифмической функции решение лога-
рифмических неравенств вида loga x<b (а также вида loga x>b,
logaX^ft, logaX^ft) сводится к решению уравнения logax=&.
Корнем этого уравнения является число х=аь. Если а>1, то
функция loga х возрастает, и потому при х>аь имеем logax>&,
а при 0<х<а(’ имеем logax<6. Мы доказали следующее утвер-
ждение:
Если a > 1, то решением неравенства loge х > b является откры-
тый луч (аь; -f-oo), а неравенства logax<&— интервал (0; аь).
(рис. 40, а).
При 0<а<1 функция logax убывает, и потому верно сле-
дующее утверждение:
Если 0 < а < 1, то решением неравенства loga х > Ь является
74
интервал (0; аь\ а неравенства logax<6— открытый луч
(аь; + оо) (рис. 40,6).
Пример 3. Решим неравенство log£ х<3.
т
Решение. Корнем уравнения logix=3 является число
/ 1 \ 3	1	I *
) =б^- Так как основание а=—<1, то решением неравен-
ства является открытый луч (-gjl + °°) •
Пример 4. Решим неравенство Iog4 х<0,5.
Решение. Корнем уравнения log<x=0,5 является число
40'5=-^/4=2. Так как в данном случае а=4>1, то решение
данного неравенства имеет вид: (0; 2).
Упражнения
125.	Решите уравнения:
1)	logх=2,5; 2) log^x=—6.
2
126.	Решите неравенства относительно х:
1)	log3x>—i-; 2) log^x-C-y; 3) l°gV3x>l°g‘"V*; 4) logsх<logs 10.
' 4. Решение логарифмических уравнений и неравенств. В си-
лу монотонности логарифмической функции при любом а>0, а=£ 1
равенство loga f (x}=logag(x) выполняется лишь при условии
f(x)=g(x). Поэтому уравнение loge f (x)=loga g (x) в области,
где f(x)>0 и g (х)>0, равносильно уравнению f(x)=g(x).
Итак, справедлива следующая теорема:
Теорема 1. Уравнение loga f (x)=logeg (x), где a>0, a=£l,
равносильно системе
75
f(x) = g(x),
f(x)>0,
g(x)>0,
(1)
состоящей из уравнения и двух неравенств.
Замечание. В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как
каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства.
Таким образом, для решения уравнения loga f (x)=loga g (x)
при a > 0, a 1 нужно:
1)	решить уравнение f(x)=;g(x);
2)	из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют
неравенству f (х)>0 (или, что то же самое, неравенству g (х)>0;
обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные
корни отбросить, так как они являются для данного уравнения
посторонними.
Пример 1. Решим уравнение
log3 (х2—Зх—5)=log3 (7—2х).
Решение. По теореме 1 это уравнение равносильно следую-
щей системе:
(х2-Зх-5=7-2х,
I 7 —2х>0.
Корнями уравнения х2—Зх—5=7 —2х являются числа —3 и
4. Осталось отобрать из этих чисел те, которые удовлетворяют
неравенству 7 — 2х>0. Ему удовлетворяет корень —3 и не удов-
летворяет корень 4. Значит, 4 — посторонний корень. Итак,
х=—3.
П р и м е р 2. Решим уравнение
lg(x+4)+lg(2x+3)=lg(l-2x).	(2)
Решение. Логарифмы, входящие в это уравнение, определе-
ны для значений х, при которых
х+4>0, 2х+3>0, 1—2х>0.	(3)
При этих значениях х данное уравнение преобразуется к виду
lg(x+4)(2x+3)=lg(l-2x)
и далее к виду
(х+4) (2х+3)=1— 2х.
Из этого квадратного уравнения находим: xi = — 1, Х2=—5,5.
Осталось отобрать из найденных корней те, для которых вы-
полняются неравенства (3). Им удовлетворяет корень xi и не
удовлетворяет корень хг. Значит, х= —1.
Логарифмические уравнения вида f(logax)=0 решаются с
помощью подстановки logax=/. Она приводит уравнение к виду
76
f(f)=Q. Если ti,tn — корни полученного уравнения, то
корнями заданного уравнения являются числа а*',..., а‘".
Пример 3. Решим уравнение
log2 x+log3 х + 1	
logs 4
о
Решение. Так как log3= log3х—log33=log3х— 1, то
данное уравнение можно переписать в виде
logi X+log3X+ 1=~=т.
Положив log3X=/, получаем уравнение
'2+' + 1=7^
т. е. (t— 1)(/2 + /+1)=7, или, что то же самое, t3 —1=7.
Отсюда находим, что /3 = 8, т. е. /=2. Из уравнения logsx=2
получаем х=32=9. Итак, х=9.
П р и м е р 4. Решим уравнение
log» х—5 log3 х-|-21 =0.
Решение. Так как
ь™ logs* logs*
IOg9X=lS»= 2 •
то это уравнение можно представить в виде
1^-5 log3x+21=0.
Подстановка log3X=/ приводит к уравнению
t2—20/4-84=0.
Его корнями ЯВЛЯЮТСЯ /|=6, /2= 14.
Значит, корнями данного уравнения являются х>=36=729 и
х2=314.
В силу монотонности логарифмической функции решение нера-
венства вида
logaf (x)>logag(x)	(4)
сводится к решению соответствующего неравенства, связываю-
щего f (х) и g(x). Если а>1, то из (4) следует f(x)>g(x), а
если 0<а<1, то f(x)<g(x). При этом в обоих случаях надо
учесть, что должны выполняться неравенства f(x)>0 и g(x)>0.
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 2. Если а>1, то неравенство loga f (x)>loge g (x)
равносильно двойному неравенству
f(x)>g(x)>0.	(5)
77
Если 0<а< 1, то неравенство loge f (х)> loga g (х) равносиль-
но двойному неравенству
0<f(x)<g(x).	(6)
Пример 5. Решим неравенство logi (4х—14)^— 1.
Решение. Так как (у-) =2, то — l=log^2 и данное
неравенство можно записать так:	2
logi (4х — 14)Clogl 2.	(7)
2	2
Поскольку в данном случае основание логарифмов а=-|- меньше,
чем 1, неравенство (7) равносильно двойному неравенству
4х—14>2>0,
из которого находим, что х^4.
Итак, решение заданного неравенства имеет вид х^4, или
иначе [4, 4- оо).
Пример 6. Решим неравенство
1g (х+27)—1g (16—2х)> 1g х.
Решение. Все логарифмы, входящие в это уравнение, опре-
делены для значений х, при которых выполняются неравенства
х-)-27>0, 16—2х>0, х>0. Для этих значений х имеем:
lg(x+27)>lgx+lg(16-2x),
и далее:
lg(x4-27)>lgx(16-2x).
Поскольку основание 10 десятичного логарифма больше единицы,
то данное неравенство эквивалентно следующей системе не-
равенств:
{х+27>х(16-2х),
х>0,
16—2х>0.
Из нее получаем:
{ 2Х2- 15x4-27>О,
I 0<х<8,
и далее:
{ 2 (х—3)(х—4,5)>0,
I 0<х<8.
Отсюда следует, что 0<х<3 или 4,5<х<8. Это решение
можно записать в виде (0; 3)U(4,5; 8).
В заключение рассмотрим неравенства вида f(logax)>0.
Сделаем подстановку logax=/. Тогда неравенство примет вид:
78
Решая это неравенство, получаем конечное или беско-
нечное множество интервалов вида (а*, 0*)- Для каждого из них
имеем: a*doga х<0*. Если а>\, то отсюда следует, что
а°‘Сх<:аэ*, а если 0<а<1, то ар*<х<а°*. Решение является
объединением найденных интервалов.
Пример 7. Решим неравенство
log^ х—6 log£ х—16<0.	(8)
Т	з-
Решение. Подстановка log । x=t приводит это неравенство
к виду /2 —6/—16<0. Решая его, получаем, что —2</<8.
Так как основание логарифмов а=4- меньше единицы, то реше-
нием неравенства (8) является(-|~) <*<(4-) >т-е-^7<х<9.
у о /	\ о /	Оии!
Замечание. Если для t получаем неравенство вида — оо </<0*, то при
а>1 ему соответствует неравенство	а при 0<а< 1 — неравенство
ар*<х<-|-оо. Аналогично для неравенств вида а*</<-|-оо.
Пример 8. Решим уравнение
' logX2—14 1ogi6xX34-401og4xV*=0.	(9)
2 Х
Решение. Было бы ошибочно, воспользовавшись формулой
перехода к новому основанию логарифмов, заменить это уравнение
на
logxх2	14 logx х3 40 logi->/х_л	/1Л\
lo -Lx	logx 16х	log,4х U'
°g* 2 х
Дело в том, что указанная формула не может применяться,
если основания логарифмов равны 1. Поэтому надо сначала
выяснить, не является ли число 1 корнем уравнения (9). Под-
становка показывает, что xi = 1 — корень. Только после этого
переходим в области, где ху=1, к уравнению (10), равносильному
в этой области уравнению (9). По свойствам логарифмов полу-
чаем:
2	42	.	20	_0
1 -logx 2	1+4 logx 2+1+2 logx 2
Полагая logx2 = j/, имеем:
2	42		20 __ 0
1-у	1+4у~^1+2у
Если i/=#—у=/=—то это уравнение равносильно
квадратному уравнению 2у2+-3у—2=0. Его корнями являются
79
_2_
числа —2 и Если logx 2= — 2, то Iog2 х= —и хг=2 2 =
=-^-. Если logx2=-i-, то Хз=22 = 4. Данное уравнение имеет
три корня.
Пример 9. Решим уравнение
Решение. В этом уравнении х может принимать только
положительные значения. При этих значениях его можно пере-
писать в виде
х^=х2.	(11)
Если х=/= 1, то из этого равенства вытекает, что Vх=у- и потому
х=4. Однако равенство (11) справедливо и при х=1. Итак,
уравнение имеет два корня х=4 и х=1.
Упражнения
127.	Решите логарифмические уравнения:
1)	1g (4,5—x) = lg4,5 — Igx; 2) lg V*—5+lg -\/2x—3-|-1 =lg 30;
1_
3)	xlgx=x100; 4) 0,lxlgx-2=100; 5) 2log,x=^-; 6) xlog“x=a2x, a>0;
04
7)	logs(x2-llx+43)=2; 8) log.(642V2xi'-40x)=0;
9)	4-lgx=3Vlg^; >0) lg 10+4-lg(2714-3^)=2;
11)	log4 (x+ 12) logx 2= 1; 12) y/iog.-fixlogs x= — 1;
13)	xl/lgx=10x‘; 14) ^75+5^= 1;
15)	logx x2+log, x=2,5; 16) logx a + log^^ (x2 -Ja)=4;
17)	Iogx3a + loga2 x= 1;	18)	(1 + logc a) loga x log* c=log* x—log, x logac;
~a
19)	21ogxa+31ogeSxa+i^^=0.
128.	Решите логарифмические неравенства:
1)	log^x+logs x> 1; 2) loga x+ loga (x+ 1)<logo(2x+6)
2
3	2
(разобрать случаи a>l и 0<a<l); 3) logx — < logx —;
о
4)	logx+24>logx2; 5) lg(2x-3)<1; 6) 4 log?(x- l)-log2 (x-1)>5;
2
7)	l-F-4—<ГП—> 8) xlogaX+l>a2x;
5—Igx 1 + lgx
9)	log2 logs ^-!< log ( logi^i-!; 10) log । x>logx3—4-;
x-t-i	Iх-1	"5	z
80
11)	logi+p 2<logx4, 0<p<-|-; 12) loga^ <1;
13)	lg I^Trl <0; 14) l°gx2-i(3x-1)<logx’-i*2;
15) logsfzx2—x
"я '
$ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ
1.	Логарифмическое дифференцирование. В п. 3 § 1 было по-
казано, что
(1пх)'=^-.	(1)
Для того чтобы продифференцировать логарифмическую функ-
цию с произвольным основанием, вспомним, что
Поэтому
(logo *)'=() =ЙГ7'~ = xlna ’
Итак,
(,08вХ)'=71Ь-	(2)
Отсюда следует, что
</(|пх)=^,	(3)
<4>
Из равенства (2) получаем, что
(lOga Х)"= (—р— ) =--57--.
7 \xlna/ хЧпа
Так как х2>0 при любом х, то знак (logex)" противоположен
знаку In а. Иными словами, (logex)"<0 при а>1 и (logax)">0
при 0<а<1. Отсюда вытекает следующее утверждение:
График функции logo х обращен выпуклостью вверх при a > 1 и
выпуклостью вниз при 0<а<1.
Пример 1. Найдем производные функций:
1) 1п3х; 2) in sin х; 3) ^7.
81
Решение. Имеем:
1) (ln3x)' = 3ln2x(lnx)'=^^.
2) (In sin x)'=-i-.(sinx)'=|g^-=ctg х.
3> (-йЬ),=(|п '*)' = -ln Mnx)'=-7ik-
П р и м е р 2. Найдем производную функции f, где
(x2+4)5es,nx
Решение. В данном случае отыскание производной упрос-
тится, если сначала воспользоваться свойствами логарифмической
функции:
f (х)=-|-1п (х—1)4-4 In (х-|-3)—5 In (х24~4)—sin х,
и потому
е/ / \ _	1		4 IO*
f W = 3^i) + 7+3-?+4-cosx
Если известна производная функции lnf(x), то легко найти-и
производную функции f. В самом деле, по правилу дифференци-
рования сложной функции
Значит,
f'(x)=f (x)-(lnf(x))'.	(5)
Эту формулу называют формулой логарифмического дифференци-
рования.
Пример 3. Найдем производную функции f, где
f(x)
(x2+4)5eS‘nX ’
Решение. Так как
In f (x)=-i-ln (х—1)4-4 In (х4-3)—5 In (х2-|-4) —sin х,
О
то
0"Hx))'=^+^-^-cosx,
и потому
f'(x)=f(x)-(lnf(x))' =
_У^1(х+3)4/	1 I 4	10х СО£ \
(x2-|-4)5esin X \3 (х—1) ’ х-|-3	х2-|-4	/
82
Пример 4. Найдем производную функции f, где f (x)=xtgjr.
Решение. Так как In f (x)=tg х In х, то
(In f (X))' =(tg X In X)'=^-4-^.
По формуле логарифмического дифференцирования получаем:
Пример 5. Найдем минимум функции х In х.
Решение. Производная данной функции равна
(х In x)' = ln x4-x-j- = 1п х+1.
Приравнивая ее нулю, получаем уравнение 1пхЦ-1=0, корнем
которого является х=е~1. Так как
Г (х) = (х In х)" = (ln х+ 1)'=^Т
положительно при х=е~', то найденное значение х является точ-
кой минимума. Значение функции в точке минимума равно
е~‘ In е~', т. е. уит= —
Пример 6. Проведем касательную к графику функции In2 х
в точке хо=е.
Решение. Имеем: х0=е, f (x0)=ln2 е= 1. Далее, f' (х)=
=(1п2х)'=^-^, и потому f' (хо)=^-у^-=-|-. Уравнение каса-
тельной у—1=—(х—е), или у=—х—1.
Пример 7. Найдем приближенное значение 1п(е4-0,01).
Решение. Нам надо найти f(xo+ft), где хо=е, Л—0,01,
f(x)=lnxo. Так как f (xo+h)fnf (xo)+ftf' (xo), а (1пх)'=-£-, то
получаем:
1п(е4-0,01)«1п е4-0,01 -J- = l 4-^—«1,0037.
В заключение запишем формулу интегрирования, соответ-
ствующую выведенной ранее формуле дифференцирования:
J^- = lnx4-C.	(6)
За м еча н ие. Так как (1п(—х))' = —~ •(— 0—“» то ПРИ име-
f dx
ем:\ —- =1п(—х)+С. Поэтому в общем виде пишут:
J у =ln |х|+С.	(7)
83
Примере. Вычислим интеграл .
Решение. Так как (х2-|- 1)'=2х, подстановка x2+l=z
дает dz=2xdx, и потому xdx=^-. Значит,
Замечание. Вообще, для любой дифференцируемой функции имеет
место равенство
(^^=ln|f(x)l+C.	(8)
J / W
Например,
S,	. f sin xdx . .	। .
tgxdx=\--------In cosx +C-
6 J COS X
Пример 9. Найдем площадь, ограниченную прямыми х=0,
у=0, х=3 и графиком функции У=—тт-
Х-|-4
Решение. Искомая площадь выражается интегралом
з
( dx
J х+4*
о
Подстановка х+4 = / дает dx=dt, и потому
(7ГтЧт = ,п |/|=1п |х+41’
J	J I
3
Значит, ( ——т-=1п |х+411 =1п 7 —In 4 = 1п
J х+4	I о	4
о
Упражнения
129.	Найдите производные функций:
1)	In (х3—1); 2) х In х; 3) х5 In х; 4) sin3 (In х); 5) in sin х; 6) Intgx;
7)	ln7x; 8) ln4x—4 1nx; 9) In3 x-J-ln (x3); 10)	H) In (x+^/x2+1);
12)	In^+V^H).
130.	Найдите производную от t/ = logxa.
(Указание. Воспользуйтесь формулой перехода к новому основанию
логарифмов.)
131.	Исследуйте на экстремум функции:
1)	х-1п(1+х); 2) xln2x; 3) In4)
5)	-i-In х—arctgх; 6) In cosx—cosx.
84
132.	Выведите формулу для производных и-го порядка функций:
1)	In х; 2) In (х—1); 3) In/~3* 
X — ОХ “Г" X
1331 Найдите производные функций:
п ,п-?/(^-И)5(^+6х+14)3.	'г/(х7-1)3(х2+4х+5)7.
V etg2x(x3+5)4	’ V (x+3),0esin5x	’
3)	(cosx)tgx; 4) хх’; 5) х<
134.	Вычислите интегралы:
Sdx Г dx С x3dx С xdx . г
2))ta^5: 3) )7+7':Ji+7’
6| ( etg (8х-1) Зг. 7) ( „ ,	; 8) ( ,	.
J	J (1 4-х2) arctg х J -/1 —arcsin х
135.	Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой У—~^—и прямыми
х=3, х=8, у=0.
136.	Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции х-1 In х, осью
абсцисс и прямыми х=1 и х=е.
137.	Найдите производную функции In	Пользуясь полученным ре-
зультатом, вычислите следующие интегралы:
Г dx С dx f dx	С dx
•> W: 2) S 3) S 4)
138.	Представьте дробь p—в виде разности дробей со знаменателями х—а
и х+а. Пользуясь полученным результатом, вычислите интегралы:
139.	Докажите, что функция f (х) является решением данного дифференциаль-
ного уравнения:
1)	У"'+(у")2=0, /(х)=(х+С|)1п(х+С,)+С2х+Сз;
2)	у'=е“, f(x)=ln7-l7;
3)	У'" = sinfy f W=ln sin х+С|Х2 + С2х4-Сз;
4)	х3/"4-х/-y==Q, /(х)=х(С|+С21пх+Сз1п2х).
2. Дифференцирование показательной функции. Так как пока-
зательная функция обратна логарифмической, которая дифферен-
цируема, то и показательная функция дифференцируема. Чтобы
вычислить ее производную, воспользуемся формулой логарифми-
ческого дифференцирования. Поскольку In ах=х In а, то (In а*)' =
=(х 1п а)' = 1п а, а потому по формуле (5) п. 1 имеем:
85
(a*)'=ax(ln cf)'—cf In a.
Итак,
(a*)' = a*lna.	(1)
Отметим частный случай полученной формулы:
(^)' = е*.	(Г)
Значит, производная показательной функции с основанием е равна
самой этой функции.
Из формулы (1) вытекает, что
(a*)"=(a* In а)'=а* 1п2 а.
Но а*>0 при любом значении х и 1п2а>0 при любом положи-
тельном значении а, отличном от 1. Поэтому для всех х и всех
а>0, а=^1 выполняется неравенство (а*)">0. Следовательно,
при любом а>0, а =£1 график функции а* на всей числовой оси
обращен выпуклостью вниз.
Пример 1. Найдем производные функций:
1) е*’; 2) cose*; 3)
Решение. Имеем:
1)	= Z (х2)'=2хеА
2)	(cos е*)' = — sin е* (е*)' = — е* sin е*.
/ е* V _(x2+4)(ety-e>(x2+4y е^-гх-Н).
3Ц?+4,)	(^+4? ’
Пример 2. Найдем приближенное значение для е .
Решение. Применим приближенное равенство f(x0-\-h)w
~f(xo)-\-hf'(xo). В нашем случае f(x)=e*, хо=1, Л=0,01,
и потому f' (х)=е\ f' (хо)=е‘ = е.
Значит, имеем: е,,о| = е+е*О,О1 =е* 1,01.
Поскольку е« 2,7182, то искомое приближенное значение
равно е101 «2,7454. Более точное значение таково: е1,01 =2,7456.
Пример 3. Найдем, под каким углом график функции е* пе-
ресекает ось ординат.
Решение. Точкой пересечения графика и оси ординат яв-
ляется точка М(0; 1). Так как в точке х=0 производная
функции принимает значение е°=1, то касательная к графику
в этой точке образует с осью абсцисс угол <р, такой, что tg <р= 1,
т. е.	Но тогда и с осью ординат касательная образует
угол -2-.
Замечание. Свойство числа е, выясненное в этом примере, можно при-
нять за другое его определение: числом е является основание показательной
функции, при котором ее график пересекает ось ординат под углом ~.
86
Упражнения
140.	Найдите производные функций:
1)	е (х2+х+16); 2) e sin х; 3) Z; 4) esinx; 5) sin (е*);
д*	р	2
6)	^(х2— 1); 7)	8)	9) In (е* + 1); 10) arctg(ex).
141.	Докажите, что функция у—^х удовлетворяет уравнению у' = ау.
142.	Докажите, что функция у=хе? удовлетворяет уравнению у'=^-у.
143. Проведите касательную к кривой у=х2е~х в точке хо = 1.
144.	Найдите точки экстремума функций:
1)	х2е~х\ 2) х4 * *е“х; 3) хе~х; 4) х3е~х\ 5) хе~х + е~2х;
6)	е~х sin х; 7) ecosx; 8) ех + е“х-2 cos х; 9) 1п(1+е~х).
145.	Докажите, что функция i/=exsinx является одним из решений дифферен-
циального уравнения
у" — 2у'+2у=0.
146.	Докажите, что функция y=ef sin x-J-sin 2х является одним из решений
дифференциального уравнения
у"—2у'+2у= —2 sin 2х—4 cos 2х.
147.	Вычислите неопределенные интегралы:
1)	J 2х dx; 2) J e2xdx; 3) J e~3xdx; 4) J 6х sin (e^dx; 5) J x4 In xdx;
6)	J xe3xdx; 7) J In xdx; 8) J x In xdx.
148.	Вычислите определенные интегралы:
2	1	2
1)\е^2)\1Пхах;3)^^^ах.
°	4	4	2
149.	Оцените интеграл j x3e~xdx.
i
150.	Вычислите по формуле трапеций при л =10:
2	1
1)	J lg xdx; 2) J e“xdx.
i	о
151.	Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком
функции 2х, а снизу осью абсцисс, с боков прямыми х=0 и х=1.
3. Дифференциальное уравнение процессов органического из-
менения. В п. 1 $ 1 процессы органического изменения были оха-
рактеризованы равенством f (f-|-7’)==^^7^ . Введем вместо фун-
кции f функцию ф, связанную с f равенством f(0=f(O)v(0-
Подставляя это выражение вместо f, получаем для ф соотношение
ф(<4-7’)==Ф(/)ф(Т). В п. 2 и 5 $ 1 было показано, что этому ра-
87
венству удовлетворяют лишь функции вида а1, где а>0. Отсюда
следует, что процессы органического изменения описываются
функциями вида f (t)=f (0) а‘, где а>1 для процессов органи-
ческого роста и 0<а< 1 для процессов органического убывания.
Обозначим f (/) через у, f (0) через уо и In а через k. Тогда
а=ек, a‘ = ekt и закон изменения величины у с течением вре-
мени принимает вид:
У=У<>еы,	(1)
где Л>0, если величина у возрастает, и Л<0, если она убывает.
Функции вида (1) удовлетворяют дифференциальному урав-
нению y'—ky, причем решений иного вида оно не имеет. В са-
мом деле, разделяя переменные в уравнении y'=ky, получаем
4^=kdx, откуда ^^-=^kdt, т. е. In |i/| =£/-|-ln С. Но это и оз-
начает, что у=Сем.
Поскольку у' является мгновенной скоростью изменения вели-
чины у, то мы доказали следующее утверждение:
Мгновенная скорость изменения величины в процессе органиче-
ского роста или убывания в каждый момент времени пропор-
циональна значению величины в этот момент времени. При этом ко-
эффициент пропорциональности равен значению k в равенстве (1).
Сформулированное свойство является, как мы видели выше,
характеристическим для процессов органического изменения.
К рассмотренному типу процессов близки процессы выравнива-
ния, при которых мгновенная скорость изменения величины у про-
порциональна не значению этой величины, а разности между
некоторым числом а и этим значением:
v„TK=k(a—у), где fe>0.	(2)
Поскольку оигн=</', из уравнения (2) получаем дифференциаль-
ное уравнение процессов выравнивания:
y' = k(a—y).
Подстановка а—у=г сводит это уравнение к уже изученно-
му случаю. В самом деле, г'= —у', и потому получаем уравнение
z'= — kz. Из него находим г = Се~ы, откуда
y=a—z=a—Ce~kt.	(3)
Пример. Скорость остывания нагретого тела в каждый мо-
мент времени пропорциональна разности между температурой
Т। окружающей среды и его температурой Т в этот момент време-
ни. Выведем закон остывания тела с течением времени.
Решение. По условию имеем дифференциальное уравнение
T'=k(Ti — Т). Значит, как было показано выше, закон остыва-
ния выражается формулой
Т=Т\ — Се~и.
88
Значение С легко найти, если известна первоначальная темпера- .
тура тела То: при /=0 получаем То=1\—С, и потому»С =Ti — Го,
T=Ti4-(To-T1)e-w.	z	(4)
Чтобы найти значение k., надо еще задать температуру тела Г2
в некоторый момент времени 6- Из уравнения (4) получаем, что
 Т*~Т' =е~к*2', и потому /г/г = 1п	. Значит,
То—71	.	/2—Ti
*=TTln-fe£-	<5>
К уравнениям разобранного в этом пункте вида сводятся
некоторые дифференциальные уравнения второго порядка, в част-
ности описывающие движение тела в сопротивляющейся среде.
Если сопротивление среды пропорционально скорости тела, то
имеем уравнение mx"——kx' (см. уравнение (2) п. 1 § 2 главы
VII). Подстановка x' = v сводит это уравнение к уравнению пер-
вого порядка mv' = — kv, общее решение которого имеет вид:
-А/
v = Ce m . Если начальная скорость движения равна Vo, то
t	-—t	>r
v = voe m . Поскольку v=x', то x'=voe m , и потому
с -А,	-А,
х=$о0е m dt^Ci—m .	(6)
Если начальная координата точки равна хо, х (О)=хо, то из (6) вы-
текает, ЧТО Хо = С1—И ПОТОМУ С|=Хо + ^р,
При t-► 4-оо слагаемое е m стремится к нулю, и потому дви-
жущаяся точка стремится к точке с координатой хо + ^. Число
Хо + 7 Ро тем больше, чем больше начальное количество движения
К
mvo и чем меньше коэффициент k, характеризующий сопротив-
ление среды.
Упражнения
152.	Решите дифференциальные уравнения:
1)	У'=-Эу, 2) / = 3(£/-4).
153.	Проверьте, что если Г\ и г2— корни квадратного уравнения г2+pr+q =
= 0, то функция у=С\ег'х^-С2вГ2Х при любых значениях Ci и С2 является
решением дифференциального уравнения у" +ру' + qy—Q.
89
154.	Пользуясь результатом задачи 153, решите дифференциальные уравнения:
1)	Г-6/ + 5//=0; 2) /'+2/-15i/=0; 3) /'-16//=0;
4) /' + 8/+15i/=0.
155.	Гибкий шнур длиной I лежит на столе так, что отрезок шнура длиной а
свисает вниз. Под действием силы тяжести шнур соскальзывает вниз. За
какое время он соскользнет со стола? (Силой трения пренебречь.)
156.	Количество света, поглощаемое слоем воды, пропорционально количеству
падающего на него света. Слой воды толщиной 3 м поглощает половину
первоначального количества света. Какая часть первоначального количе-
ства света дойдет до глубины 60 м?
157.	На сколько увеличится длина I эластичного шнура, имеющего массу ш, если
подвесить шнур за один конец, а к нижнему концу подвесить груз массой Л4?
(Использовать закон Гука.)
158.	Сосуд, имеющий форму усеченного конуса с высотой Л, радиусом верхнего
основания R и радиусом нижнего основания г(/?>г), наполнен водой.
За какое время вытечет из этого сосуда вода через отверстие площадью S,
сделанное в нижнем основании? Решите ту же задачу, если R<r.
159.	В баке находится 60 л раствора, содержащего 5 кг соли. В бак непрерыв-
но подается вода со скоростью 3 л/мин, которая мгновенно перемешивается
с имеющимся раствором. Смесь вытекает из бака с той же скоростью 3 л/мин.
Сколько соли останется в баке через час?
160.	Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 м/с. На полном ходу
ее мотор был выключен, и через 40 с ее скорость стала равной 2 м/с. Считая,
что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки,
определите скорость лодки через 2 мин после выключения мотора. Реши-
те ту же задачу, считая силу сопротивления воды пропорциональной квад-
рату скорости лодки.
161.	Материальная точка массой т подброшена вертикально вверх с начальной
скоростью Vo. Найдите закон изменения скорости, если на точку, кроме
силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, про-
порциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен k).
162.	Радиоактивное вещество А имеет в момент времени /=0 массу то. Оно
распадается, образуя радиоактивное вещество В. Найдите закон изменения
массы вещества В при заданных коэффициентах ki и &2, характеризующих
скорости распада веществ А и В. В какой момент времени количество
вещества В будет наибольшим? (Начальная масса вещества В равна нулю.)
163.	За 30 дней распалось 50% первоначального числа атомов радиоактивного
вещества. Через сколько дней останется 1 % от первоначального числа атомов,
если известно, что число атомов, распадающихся за единицу времени,
пропорционально числу атомов этого вещества, имеющихся в данный мо-
мент?
164.	Культуре из 100 бактерий предоставлена возможность размножаться при
благоприятных условиях. Через 12 ч число бактерий достигло 500. Сколько
бактерий будет через 2 суток после начала опыта?
165.	Энергия света, поглощаемая при прохождении через «бесконечно тонкий»
слой воды, пропорциональна энергии падающего света и толщине слоя.
Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м поглощается половина
90
первоначальной энергии света, то какая часть этой энергии дойдет до глубины
30 м?
166.	Сосуд вместимостью 40 л содержит 80% азота и 20% кислорода. В сосуд
каждую секунду поступает азот объемом 0,2 л и вытекает столько же смеси.
Через сколько времени в сосуде будет 99% азота?
167.	Составьте дифференциальное уравнение движения парашютиста, считая, что
сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения (за искомую
функцию примите скорость движения). Найдите предел, к которому стремится
скорость падения с течением времени, если начальная скорость падения
равнялась нулю. Найдите коэффициент пропорциональности в равенстве
F=— kvti если известно, что парашютист массой 80 кг опустился со ско-
ростью 5 м/с. Найдите закон изменения высоты парашютиста над уровнем
земной поверхности, если начальная высота была равна h м.
168.	Для некоторых химических реакций скорость реакции пропорциональна про-
изведению концентрации двух реагентов. При этом в процессе реакции одна
молекула первого вещества реагирует с одной молекулой второго вещества.
Найдите закон изменения массы т первого вещества с течением времени, если
начальная концентрация первого реагента равнялась а, а второго — Ь.
Разберите также случай, когда а=Ь.
4.	Некоторые пределы, связанные с числом е. Мы знаем, что
(In	В частности, производная функции i/=ln х принимает
в точке х=1 значение 1. Но по определению производной имеем:
1 =(1п х)' . = limln ^Я~у~|п * = iinil.nl1 .
х=| л-о л *-о л
Значит, имеет место равенство
lim 1,1 V+9=1.	(1)
Положим в равенстве (1) In (1 -Н)=х- Тогда 1+/=ех. При
этом если /-*-(), то и х->0, а если х->-0, то и /-*0. Значит, равенство
(1) равносильно равенству lim Д[»1. т. е.
Пт^=1-	(2)
х->0 X
Докажем в заключение, что
।
lim(l+0'=e.	'	(3)
Для этого заметим, что в силу непрерывности логарифмической
функции выполняется равенство
। ।
In lim (1 +0' = lim ln(l + 0'=lim 1п(‘+°=1.
/—О	/-м)	/—о t
Отсюда и следует равенство (3).
91
Полагая (=-р получаем из (3) равенство
lim(l+JLV = e.	(4)
Х-+со \	X /
Упражнения
Вычислите пределы (169—174).
_ 2	'
169. 1) lim (£Ц-) Х; 2) lim ( гх^Зх"^"^ 3) ,im (sin*)“^
х->оо \ X —X J	х-*оо \ XX —оХ—л
Х^~2
I
.ч I- / л u а,	In х —In а .. .. In cos ах
170. 1) lim(l— 2х) ; 2) lim--; 3) hm ----7—.
x-»o	X—а X—a	x-^)lncosbx
171.	1)	lim л	(sin x)tg х; 2) lim (tg x)tg 2x. Л 1
172.	1)	lim Х-> оо	v"fcIn i 2) lim(I+3tgW‘*4 3) lim(-^)7 ln(x'°+x+l)	x-»o	'	x—o\cos2x/
173.	1)	lim - Х-кО	e11*—e**	.. In (14-sin 3x) sin ex—sin dx ’ “ x!?o ln(l + tg4x)
174.
1)
.. In (14-arcsin 5x)	.. Igcosx
hm -	----7—; 2) hm ———
x-o ln(l—arctg2x)	x-o x2
5.	Некоторые неравенства для показательной функции*. Так
как функция ех возрастает, то при любом х^О выполняется не-
равенство ех>е°=1. Кроме того, ясно, что	Эти нера-
венства являются частными случаями следующего утверждения:
Теорема. Если х^О, то для любого натурального п выполня-
ются неравенства
и
<‘>1+х+4+-+£
г2
^Cl+x+^+.-.-F
Xя-1 . xV
(л-1)! *" л! ‘
(1)
(2)
Доказательство. Неравенство (1) при п=0 принимает
вид 6х1 и, как отмечалось выше, справедливо в силу моно-
тонности функции 6х. Предположим, что неравенство (1) доказано
при n=k:
<?*>1+х-н£+...+£,	(з)
покажем, что оно справедливо при n = fc+l:
yjK. т I
> 1 +х+‘2г+-+*г+ (*+1)! '
(4)
Для этого образуем вспомогательную функцию <р — разность
левой и правой частей неравенства (4):
92
„2	Uk	yJfe-l-1
ф(х) = ^ — 1 — x~"2!	(*4-1)! •
При x=0 эта функция обращается в нуль: <р(0)=0. Ее произ-
водная имеет вид:
ф'(х)=^-0-1-^-.
kx"-'
k\ (*+1)!
(*—1)! Л! ’
В силу предположения индукции для всех xL>0 имеем <р'(х)^0,
и потому функция ф возрастает на луче [0, + оо). Поскольку <р (0)=
=0, то для всех х^О имеем <р(х)^ф(0)=0, а это и значит»
что выполняется неравенство (4).
Итак, неравенство (1) выполняется при п=0 и из его справед-
ливости при n — k вытекает, что оно верно и при п=Л+1. Зна-
чит, оно выполняется при всех натуральных п. Неравенство (2)
доказывается аналогично, но вспомогательная функция имеет вид:
X*	X* + 1g*
Л! (*+1)! ’
Итак, мы доказали, что при х^О выполняются неравенства
Xя  e,Z+l
л! *" («+ 1)! ’
Ф (х)=е*— 1 — х
(5)
*’ л!
С помощью этих неравенств можно найти с любой точностью зна-
чение ех при любом х. Это вытекает из следующего утверждения:
Предел при п-+<х> равен нулю: lim -^-=0.
В самом деле, найдем отношение значений для соседних
п!
значений «4-1 и п:
xn+l . хп  х-п\   хп\	___ X
(п + 1)! ’ п\ “ (п+1)! ~ п! (п+ 1) ““п + 1 ’
Если п>2х, то это отношение меньше, чем */2» и потому каждый
последующий член по крайней мере вдвое меньше предыдущего.
Поэтому с возрастанием п эти члены стремятся к нулю, т. е.
lim А-=0.
Из
доказанного утверждения вытекает, что разность
ехх'1+|
правой и левой частей неравенства (5) стремится к нулю при
«->оо, а это и значит, что они дают при достаточно больших зна-
чениях п сколь угодно хорошие приближения к ех.
93
Замечание. В правой части неравенств (5) имеется слагаемое, которое
само содержит е*. Но это слагаемое нужно лишь для оценки погрешности,
и потому его можно заменить каким-либо приближенным значением по избытку.
Например, если	то вместо е* можно взять 3m+1 (увеличены и
основание и показатель).
Пример 1. Найдем значение е0,5 с точностью до 0,01.
Решение. Сначала найдем такое п, что е /°,’5L <0,01.
Так как е • <е<3, то для этого достаточно, чтобы выполнялось
неравенство	Но при и=3 имеем:
Значит, число 1+0,5+1,65 является приближением
по недостатку для е0,5 с точностью до 0,01. Более точные подсчеты
показывают, что е05» 1,6487.
Отметим еще неравенства, выполняющиеся на луче (— оо, 0):
„2	„2л — 1	„2
I +x+f +	1 +«+>+
^2n— I	„2л
+ ...Ч——-----1—-—.
“ “ (2n—1)! ' (2п)!
Мы опускаем доказательство этих неравенств.
Пример 2. Найдем приближенное значение для е-0,5 с точ-
ностью до 0,001.
Решение. Сначала найдем такое л, что [
Это неравенство выполняется при л = 5. Значит, достаточно взять
сумму первых пяти членов:
е~05« 1 -0,5+^—^-+^«0,607.
21 о! 4!
Более точные подсчеты показывают, что е 0,5=0,6065...
Замечание. Мы установили, что при х^0 выполняется неравенство
Xя
14-х+—+ ...+-^<ех, причем по мере возрастания п значения суммы в
левой части неограниченно приближаются к е*. Приближается эта сумма к е*
и при х<0. Поэтому говорят, что при любом х функция е* является суммой
бесконечного ряда
г=1+х+£+(6)
Упражнения
175.	Докажите, что при х>0 выполняются неравенства:
1)	е-х>1—х; 2) е-'<1-х+= 3) е-‘>1-х+^—
94
176.	С помощью доказанных в этом пункте неравенств вычислите с точностью
до 0,001:
1)	е0,02; 2) в”0’3.
а+Ь
_	2 еа + еь .	.	.
177.	Докажите неравенство е	<—— (— 00 <а<Ь< оо).
6.	Неравенства для логарифмической функции*. Мы уже зна-
ем, что 1+?+?2+; -Н^~ —<см- п. 2 § 2
главы II). Отсюда следует, что при q=—t имеем:
1-/+/2_...+(_1Г->Г—=_1_—
Если п четно, n=2k и t^O, то
1—/-Н2—/3 + ... —
1
1-Н ’
Если же п нечетно, п=264-1, то при />0 имеем:

Итак, доказано, что при /^0 выполняются неравенства
1 — t+t2—13 + -.. —	/+/2—t3+... + t2k. (1)
Проинтегрируем эти неравенства от 0 до х. Так как
X
$ -П—=,п (1-М)| о = ,п	,п 1=1" (1+*)
о
j *+i ।
о
О *+1 ’
то при х^О имеем:
Выведенные неравенства позволяют найти приближенные зна-
чения In (14-х) при O^x^l с любой степенью точности.
Пример 1. Найдем значение In 1,2 с точностью до 0,01.
Решение. При х=0,2 выполняются неравенства
0,2-^<1п 1,2<0,2-^-4-^т- 
Z	х	о
Поэтому имеем: 0,18^1п 1,2<0,183. Значит, In 1,2«0,18. Более
точное значение In 1,2 таково: 0,1823...
95
На интервале (—1, 0) для In (1 -|-х) имеем неравенства
(-ly-’x"-1
«(1 +•*)
>	С3)
доказательство которых опускаем. Чтобы найти значение In (14-х)
при х>1, делают замену 1 -|~*= \+у • Несложно показать, что
при х>1 значения у принадлежат промежутку 1) . При
этом
1п (14-х)=1п {±*-=1п (14-f/)-ln (1 -у),
а приближенные значения In (1 +у) и In (1 —у) находят, как было
указано выше.
Пример 2. Найдем приближенное значение In 3 с точностью
до 0,01.
Решение. В нашем случае 1-|-*=3, и поэтому х=2. Ре-
шим уравнение 3=	. Имеем: у=-|-. Поэтому
'лз=|л^-=|л(|+1)-|п(1-1).
Но по (3) имеем:
ЛЯ+(±У-(Ж1п(1+х)<
(Я,(Я (Я,(4)‘
2	2 'Г 3	4'5*
откуда находим, что 0,401 < In (1 +-у)<0,407. Далее, по (3)
имеем:
Отсюда получаем:
-0,695< In ( 1 -у-) < -0,688.
96
Из полученных неравенств вытекает, что 0,401+0,688 <
<ln( 1 +-|-) -1п( 1	<0,407 + 0,695, т. е. 1,089<In 3< 1,102.
Значит, In 3« 1,10. Более точные подсчеты показывают, что
In 3=1,098...
Упражнения
178.	Вычислите с точностью до 0,001:
1)	In 1,2; 2) In 0,85.
„	, a+b lna-Мпб /Л , ч
179.	Докажите неравенство In —--------(0<а<о<оо).
$ 4. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ, УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1.	Степенная функция с произвольным показателем. Пусть а —
некоторое действительное число. Тогда для любого положительно-
го числа х определено значение ха. Как было показано в п. 4
§ 1, это значение равно eaiax:
х“=еа|пж, х>0.	(1)
Тем самым для каждого а существует функция ха, заданная на
множестве положительных чисел. Ее называют степенной функ-
цией с показателем а.
Замечание. Если а=п— натуральное число, значение х" определено
для всех (а не только положительных) значений х. Именно, хп=х-...-х (п
множителей). Если а= — п — целое отрицательное число, то х~п определено для
всех отличных от нуля значений х по формуле х~п=-^-. Поскольку равенство
(—х)"=(—l)"x", где п — целое число, сводит изучение степенной функции с
целым показателем на луче (— оо, 0) к изучению той же функции на луче (0, + оо),
мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением положительных значений х.
В этом пункте будут изучены свойства степенной функции с
произвольным показателем. Формула (1) показывает, что эта за-
дача сводится к использованию свойств логарифмической и пока-
зательной функций.
1)	Степенная функция определена для всех положительных
значений х аргумента.
Это свойство следует из определения.
2)	Все значения степенной функции на луче (0, +<») поло-
жительны.
Это следует из положительности значений показательной функ-
ции.
3)	Степенная функция непрерывна на луче (0, + оо).
4 Н. Я. Виленкин	97
Следует из того, что на этом луче непрерывна логарифми-
ческая функция, а показательная функция непрерывна на всей чис-
ловой прямой. Значит, функция х“ непрерывна как композиция
непрерывных функций / = 1пх и </=еа/.
4)	При а>0 имеют место равенства
lim ха=0, lim ха=-I-оо,	(2)
X—4-0	X—4-00	' '
а при а<0 — равенства
lim ха=-(-оо, lim х“=0.	(3)
х->4-0	оо
В самом деле, мы знаем, что lim lnx= — оо и lim 1пх=-|-оо.
Если а>0, то отсюда следует, что lim a In х= — оо и
х—► 4~ О
lim а In х= + оо. Но ха=еа|пх, lim е“=0, lim е*=-|-оо,и
х->- + оо	— оо	4- оо
потому при а>0 получаем:
lim ха = lim еа1пх= lim е‘=0,
lim ха= lim ealnx= lim е'=4-оо.
+ ОО	4-00	/->4-00
Случай а<0 рассматривается аналогично.
5)	Производная функции ха выражается формулой (х“)' =
=аха~*.
В самом деле, по формулам дифференцирования показательной
и степенной функций и по правилу дифференцирования компози-
ции функций имеем:
(x“),=(eelnx)'=eelnx(a.|n х)' = e“lnx-у=ха-2-=аха-‘	(4)
(мы воспользовались тождеством —=х“_|).
Из формулы (4) следует, что
(ха)"=(ах“~1)'=а (а — 1) х“ ~ 2.
6)	Если а>0, то функция х“ возрастает на луче (0, 4-00)»
а при а<0 она убывает на этом луче.
Замечание. Это утверждение можно получить в силу равенства х"=еа |п х
из того, что функции In х и е' возрастают.
В самом деле, при х>0 имеем: ха-|>0. Поэтому если а>0,
то (х“)' = ах“_| положительно на (0, 4-°°), и потому функция ха
возрастает на этом луче. Если же а<0, то (х“)'=аха-1 <0 на
(О, 4- оо), и функция ха убывает на этом луче.
7)	Трафик функции ха обращен выпуклостью вверх при
0<а<1 и выпуклостью вниз при а<0 и при а>1.
В самом деле, ха-2>0 при х>0. Множитель же а (а— 1)
98
положителен при а<0 и при а>1, отрицателен при 0<а<1.
Значит, (х“)"=а(а— 1)ха-2<0 при 0<а<1 и (х“)">0 при
а<Ои при а>1. Отсюда вытекает наше утверждение (см. п. 5
§ 3 главы V).
8)	Если а = 0, то график степенной функции параллелен оси
абсцисс, а при а = 1 он совпадает с биссектрисой первого коорди-
натного угла.
Доказанных выше свойств достаточно для того, чтобы постро-
ить графики степенных функций при различных значениях а. На
рисунке 41 изображен график функции х2. Аналогичный вид имеют
графики степенных функций при а > 1. На рисунке 42 изображен
график функции х2. Аналогичный вид имеют графики степенных
функций при 0<а<1. Наконец, на рисунке 43 изображен график
функции х 2. Аналогичный вид имеют графики этой функции при
любом а<0.
99
Замечание. Если х>1 и а<₽, то ха<хэ. Это показывает, что при
а<₽ график функции jp расположен на луче (1, +<») выше графика функции
л®. Аналогично доказывается, что при а<₽ на промежутке (0; 1) график функ-
ции расположен ниже графика функции ха.
Упражнения
180.	Начертите схематически графики функций:
J_	7_	_J_
1)	х3; 2) х4; 3) х3; 4) х100; 5) х4; 6) х 3; 7) х~4; 8) х~3.
181.	Начертите схематически графики функций:
I	1	1	।	1
1)	|х|3; 2) |х—1|3; 3) |х-1| 3 +6; 4) |х-1| 3 + 1х+И 3;
1	I
5)	|16х-32| 4; 6) (х-1)3+6.
182.	Вычислите пределы:
..	..	1 ox I- 2№+7tfc+l
1) hm —=----; 2) lim ---±-=--~=---;
*-*+<» ^-j-l	х-^ч-оо 3
1 ______________1_
г х4-|-2	.. х + 2
3) hm —г-1—; 4) hm -----.
х-*+о	1	х-*4-0
4x4 + 1	4х 4 4-1
2. Некоторые тождества для степенной функции. Из тождеств
для показательной и логарифмической функций, вытекают соот-
ветствующие тождества для степенной функции.
1) Для любых положительных чисел х и у и для любого а вы-
полняется равенство
(хуГ=хауа	(1)
(следует из равенства (5) п. 5 $ 1).
2) Для любого х>0 и любых а, 0 выполняется равенство
(ха)э=ха₽.	(2)
(следует из равенства (2) п. 5 $ 1).
Следствие. Для любых положительных чисел х и у и любого а
выполняется равенство
(f)‘=F	<3>
Мы знаем, что при натуральном п имеет место формула бинома
Ньютона (см. п. 9 § 3 главы V):
(х+уУ=хл+пхя-,у+^^хя-у + ...+
+" Ь2	V + -+/•	(4)
100
Аналогичная формула имеет место для любого а при х>у>0:
(х+у)а=ха+аха-|у+- + а(g~у "xtt~V + - • (5)
Однако в отличие от формулы (4) правая часть формулы (5)
является суммой бесконечного множества слагаемых (бесконеч-
ным рядом). Эта сумма имеет следующий смысл: находят сумму S*
первых k членов и полагают сумму всего ряда равной пределу 5*
при S = lim S* (при x>y>Q этот предел существует).
Л->оо
С помощью формулы (5) можно находить приближенные зна-
чения (х+у)а, беря достаточно много членов суммы (5) и отбрасы-
вая остальные члены.	±
Пример. Найдем приближенное значение 4,182 с точностью
до 0,0001.
Решение. Так как
3	3
4,182 =(4+0,18)2,
о
то положим в формуле (5) х=4, у=0,18, а=—:
зз	з	3 / 3_। \ J
4,182=42+-|-.4у~1-0,18+ 2 у2 ' -4у~2.0,182+
=д/б4 +-|- V4 • 0,18+-|—~ 0,0324 —0,0058... =
2	о -^4	4о -у 64
=8 + 0,54 + 0,00608 - з|р+ ... «8,54603.
3
По таблицам получаем: 4,182 =8,54604.
Формулы (1), (2), (3) верны для любых значений а, в том чис-
ле для рациональных значений. Но хп =1\/х. Поэтому из указан-
ных формул выводим следующие свойства корней из положитель-
ных чисел:
1) Если х>0, у>0, то
а^ху = !^У-	(6)
В самом деле, по формуле (1)
а^ху=(ху)п =хпуп =s^!y.
2) Если х>0, то
«fijx = m!\/x.	(7)
101
Действительно, по формуле (2)
3) Если х>0, у>0, то
(8)
По формуле (3)
1
Упражнения
183.	Составьте таблицу значений и начертите графики функций:
1	1	3	2	2
1)	|х|3;	2) |х|4;	3)х4;	4) х3;	5) |х|3;
3	2	2
6)	|х| 4;	7) |х—1| 3 ч-1x4-11 3;	8)^7.
184.	Постройте по точкам графики функций:
1)	V?+T; 2) -;J=; 3)	; 4) -^=4.
Vjt + 4	Vх —4
185.	Вычислите пределы:
1)	lim (х2+4)2; 2) lim (х24-9)2; 3) lim ^+4 ;
х-*0	х-*-3	х-*- Ч-оо X
.. .. V*b+i
4)	lim ——г—.
Х->-+оо X
3.	Сравнение роста степенной, показательной и логарифмиче-
ской функций. При возрастании х на луче [0, + оо) значения функ-
ций х‘“ и 10х неограниченно увеличиваются. При этом сначала
быстрее растет функция х10; что видно из следующей таблицы:
X	1	2	3	4	5
х10	1	1 024	59 049	1 048 576	9 765 625
10х	10	100	1 000	10 000	100 000
При х=10 значения этих функций одинаковы (равны 1О10),
при дальнейшем увеличении 10х растет быстрее, чем х10. Напри-
мер, при х=100 имеем: 1Ох=1О100 и х,0= 100'°= 1О20, а при
х=1000 уже 1Ох=Ю,оо°, а х'°= 1000'°= 1О30.
102
Определение. Функция f растет при х-> + оо быстрее,
чем функция g, если lim £^-=-|-оо.
Из сказанного выше видно, что функция 10х растет при
х->-4- оо быстрее, чем х10. Это утверждение является частным
случаем следующего общего утверждения:
Теорема. Если а>\, то при х->4-оо функция ах растет
быстрее любой степенной функции где п — натуральное число.
Иными словами, верно равенство
Пт £= + «>•	(О
Х->4“ ОО X
Достаточно доказать равенство (1) при а=е. В этом случае
оно вытекает из неравенства
е->1 +*+1+-..+7г+(7Иг
Графически утверждение этой теоремы означает, что при до-
статочно больших значениях х график функции ах, где а> 1, рас-
положен выше графика функции л?.
I Логарифмическая функция обратна показательной, а функция
хл —функции X». Но графики взаимно обратных функций сим-
метричны относительно прямой у=х. Отсюда сразу вытекает, что
график функции logax, а>1 при достаточно больших значениях
х расположен ниже графика функции х“, т. е. функция logax
растет при х-*-+°° медленнее, чем функция х”:
1
lim --------
loga х
(2)
1
Например, при х=106, п = 3 имеем: х/1 = 100, а logiox=6.
Замечание. Соотношение (2) сразу вытекает из соотношения (1), если
положить в (1) ax=t. Тогда имеем x=loga/, причем условия оо и
оо
равносильны. Поэтому
г *
hm j——=-j-oo.
/-4» оо logS t
Но это и значит, что
1
tn
lim 1------= + оо
/-► + оо loga t
Упражнения
186.	Вычислите пределы:
1)	lim	; 2) lim 2'(х|00Ч-5);
х-> -J-оо 2	х-+ — оо
103
3) “Т (4-У (х*5+2х|5+6); 4) lim	;
х->+® \ X /	х-*+оо X —X
,. 2х—х4	.. 1пх .. 1п3х о. ..	.
5) lim —р-------; 6) lim —7) lim —=-------------; 8) lim xlnx.
*-►00 2 4-Х4 Х-ИОО -фс **+оо Y«-|-l	*-* + 0
187. Постройте графики функций:
1) хе~х; 2) >?е~х\ 3) е*~^е  ; 4) хе-'2; 5) xlnx; 6) х2 In х;
7) In х—arctg х; 8) e“'sinx; 9) ecosx; 10) In (14-е-4);
11) cos x—In cos x.
4. Алгебраические выражения. Введение корней расширяет вы-
разительные средства алгебры, поскольку теперь можно рассмат-
ривать выражения с переменными, содержащими знак корня.
Назовем получаемые при этом выражения иррациональными.
Объединяя рациональные и иррациональные выражения, получа-
ем класс алгебраических выражений. Точнее этот класс определя-
ется следующим образом:
Определение. < Алгебраические выражения >:: =
= < числа > | < буквы > | < алгебраическое выражение> +
+ < алгебраическое выражение > | < алгебраическое выраже-
ние > • < алгебраическое выражение > | < алгебраическое выра-
жен и:е> :< алгебраическое выра жен не > |
С^алгебраическое выражение >.
Вместо знака деления применяется также знак дроби.
Из этого определения вытекает, что все рациональные выра-
жения являются алгебраическими выражениями. Все алгебраи-
ческие выражения, не являющиеся рациональными (см. п. 1 $ 1
главы II), называют иррациональными выражениями. Примера-
ми иррациональных выражений могут служить
^Зх2+у\
Из определения легко вытекает, что, подставляя в алгебраиче-
ское выражение вместо букв алгебраические же выражения,
снова получаем алгебраическое выражение.
При отыскании областей существования алгебраических выра-
жений надо учитывать, что выражение 2!\/А имеет числовое значе-
ние лишь при тех значениях букв, для которых А имеет неот-
рицательное числовое значение.
Пример 1. Найдем область существования выражения
-\/х2—6х—7.
Решение. Это выражение имеет значение лишь для значе-
ний х, при которых х2 —6х—7^0. Решая это неравенство мето-
дом промежутков, получаем ответ в виде (—оо; —1](J[7; +<»)•
104
Это множество и является областью существования для
д/х1 2—6х—7.
Пример 2. Найдем область существования для выражения
-^ZZg-^/ie-x2.	(1)
Решение. Искомая область существования состоит из зна-
чений х, для которых х2—9^0 и 16—х2^0. Решением нера-
венства 16—является отрезок [—4; 41 а решением нера-
венства х2—9^0 — множество (— оо; —ЗЦДЗ; + °0)- Областью
существования для (1) является пересечение найденных множеств,
т. е. [-4; —3]U[3; 4].
Каждому алгебраическому выражению от х соответствуют
функции, заданные этим выражением. Наибольшей возможной об-
ластью определения этих функций является область существова-
ния этого выражения. Мы будем называть алгебраическими' функ-
ции, заданные алгебраическим выражением в его области сущест-
вования.
Одна и та же функция может быть задана различными ал-
гебраическими выражениями. Например, выражения М(х+1)3 и
х+1 задают одну и ту же функцию, хотя первое из них ирра-
ционально, а второе рационально. Понятие тождественного ра-
венства алгебраических выражений определяется 7ак же, как и
для рациональных выражений: должны совпадать области сущест-
вования этих выражений, а при любом х из этой общей области
существования значения выражений должны быть одинаковыми.
Правила тождественных преобразований алгебраических вы-
ражений основаны на равенствах 1) — 11) п. 2 $ 1 главы II (они
верны и для иррациональных выражений), а также на нижесле-
дующих равенствах, непосредственно вытекающих из свойств
корней (см. п. 3). В этих равенствах буквами А, В обозначены
любые алгебраические выражения от х, у, ..., г. Все эти формулы
справедливы в случае, когда подкоренные выражения неотрица-
тельны, а также в случае, когда все показатели корней и сте-
пеней нечетны.
1) (^ЛУ=Л;	2) 2‘-\/45ЕЗГТ=Л;	3) ^АВ ='\[А!\[В-,
4)	5)	6) ЯЧ^=^Л5Г;
V °	у D
7) 2^Л®=|Л|.
Пример 3. Выясним, при каких значениях х имеет место
равенство
7(х-3)2=х~3.
1 В высшей математике понятию «алгебраическая функция> придают более
широкий смысл. Там алгебраической называют любую функцию f, такую, что
при подстановке этой функции вместо у в некоторое уравнение вида Р(х, i/)=0,
где Р (х, у) — многочлен от х и у, получается тождество.
105
Решение. Так как -^(х—3)2= |х—3|, то равенство имеет
место, если х—3^0, т. е. на луче [3; +<»).
Пример 4. Выясним, при каких значениях х имеет место
равенство
-^х—4->/х-|-4 =-\/х2—16.	(2) •
Решение. Равенство (2) имеет место, если х—4>0 и
х+4^0, т. е. на луче [4; + оо). Заметим, что выражение ~\jx2 — 16
имеет числовое значение и на луче (—оо; —4].
Упражнения
188.	Найдите /(—I), f (0), f (1), f(-2\ f (2), /(fl+1), если f(x)=JF-x.
189.	Пусть f (x)=x2+px-f-^- Докажите, что
f(-f+A/ZT7)=0.
190.	Выразите площадь прямоугольника, вписанного в круг радиусом R, как
функцию от длины его основания.
Сравните область задания функции с областью существования выражения
этой же функции.
191.	Выразите площадь равнобедренного треугольника, имеющего периметр 2р:
1)	как функцию от длины его высоты;
2)	как функцию от длины основания треугольника.
192.	Выразите длину стороны правильного шестиугольника как функцию от
длины его апофемы.
193.	Выразите площадь правильного шестиугольника как функцию от длины его
стороны.
194.	Выразите произведение корней через один знак корня:
. 5 /За2Ь 6 / 2а4Ь3с 4 /5а3х	/ 4ау3
° V7T V'T’1 2) V6?7 V W’
195. Сделайте подстановку
в выражения:
1) 2 (uv — 1 -д/v2 — 1); 2) (uv-\-^и2—\ ^v2 — \).
196. Внесите множители под знак корня:
1) 2a3b^[ab2\ 2)
2аЬ3 6 / сх3
у а^Ь
197. Вынесите множители из-под знака корня:
V128a6Z>9
729?х16 ; }
5 /729а,7Ь3
V 64с4х14 '
198. Упростите выражения:
2х(1—х2)
' (1+х2)л/1-2х2+х4
где а) |х| < 1, б) |х| > 1;
106
2) д/*2-Ю*+25 4—\/х2Н-6хЧ-9, где а) х< —3, б) — 3^х^5, в) лг>5;
5) д/х2	6) ^х^4а^Ь2х
199.	Не используя знака модуля, запишите выражения для функций:
1)	у(х-|х|); 2) у |х—|х||; 3) |х-|-3| + |х4-2|; 4) |х2-5х+6|;
5> 17ГН-
200.	Найдите область задания функций:
1)	1	; 2) -№-х-12; 3) V2-X-X5; 4) 7х2+6х+9+Л/х2—2х-8.
Vlxl+x
201.	При каких значениях х имеет место равенство:
1)	Vx(x-“1)=VxVх-”1; 2) Vх (х— i)=V~xV1 “х?
202.	Постройте функцию, заданную одним аналитическим выражением, для
которой:
1)	D(f)=(-3; 7); 2) D(/)=[2; 5]; 3) D(f)=(-oo; -3);
4) D(f)=[3; +oo); 5) D(f)=(-oo; -5]U[5; 4-oo);
6)	D(f)=(-oo; —4)U[0; 81
5. Упрощение иррациональных выражений. При упрощении ир-
рациональных выражений применяются следующие основные
приемы:
1)	приведение корней к одному показателю (по формуле 6 п. 4);
2)	замена произведения или частного корней с одинаковыми
показателями корнем из произведения или частного (по формулам
3 и 4 п. 4);
3)	сокращение показателей (по формуле 6 п. 4);
4)	замена корня из корня одним корнем (по формуле 5 п. 4).
Такие преобразования позволяют заменить любое выражение,
составленное из чисел и переменной х с помощью операций
умножения, деления и извлечения корня^тождественно равным
п I-------------------Л	П / О,
ему выражением вида Vox* или вида .
У хк
Пример.
,V2l0.625-x38 = 'V(2z-65.x7)5 =V22-68-x7.
Полученное выражение можно записать также в виде
12х2 V18x, поскольку
V22 • 6Ь • х7=6х2	=6х2 V2T?35x = 12х2 УТ8^_
107
Если показатель корня четен, используется формула 7) п. 4.
Например,	______ ___________
VxVzl0=Vlx|</2|z|5.
Упражнения
203.	Упростите выражения:
1)	V64a466c24; 2) V256a’/>V.
204.	Приведите к общему показателю корни: \/2а2Ь3с и МаЬ3с2.
205.	Какое из чисел больше:
1)	-^2 или V3; 2) или V5; 3) или
206.	Упростите выражения:
1)	+ -\/a2—6a+9, рассмотреть случаи a < — 3, — 3 < a< 3,
4) l+^+V^W+VgEff e>1> 6>1;
(а+т/а^ЦЬ+^Ь^)
( (j^+a2) 2 +(x2—a2) 2 \-2	/ m2+n2 \ 2
6) (-—Ti ——) где x=a(-2^-; ’a>o-
X (x2 + a2) 2 — (x2 — a2) 2 /
m>«>0; 7) (x 2 + a 3x 3) 2 +(a 2-j-a 3x 3) 2, где
11 11
_2	2 2	2 4	4 2
x=(P-«’)’ &>a>0; V--3X~y { . x У+х У ;
X4+*V	x2+y2
9) (х~2-^а~^х3^х~^)^ 2: (^x~'-yja-'x-^(а~'х~~3 ;
10)	4 b+a~2 x2+-^b2x 2.
108
207Докажите, что:
2) VV5-V4=4-(V2+V20-^5);
□
3)	-±да-да-1); «) (2±|i!|) ‘ _Й±1;
6) (^/T-+-yJ^) =(1+V2-|-V8)5; 7) ^ax‘ + by‘+cz‘=
=V"a+V^H-W» если ax3 = 6p3 = cz3 и —Ч-— = 1;
x у z
1	12	____
8)	(2 ((а2 + 62)2 — а)((а2-|-Ь2)2 —Ь)2 =a+b—^a2+b2, а>0, 6>0;
1	112	1
9)	З((а34-63)3 -а)((а3 + 63)3 -6)3 =(а + 6)3 -(а2-а* + &2)3.
208.	Докажите, что
является корнем уравнения х3 -|-рхН-р = 0.
209.	Докажите, что при Л>0, В>0 и Л2—В>0 верно равенство

210.	Упростите выражения:
1)	~^2—^2‘, 2) -у/2-^/3; 3) Уа—д/а2-^; 4) Уа-Ьт/о2-^;
5) -yja+b+c+2-\lac+bc+-\/a+b + c—2-^ac+bc,
а>0, 6>0, с>0.
211.	Докажите, что:
1)___1+А—+__________Ы*_______V2;
л/2-|--\/2+л/3	V2-V2-V3
2)	5/20+144-^20-14^2=4;
~ _? / л/54-2 J / д/5—2	1 .	’ / 9 —5УЗ	д/З—1 .
N т/5 V ^5	V 94-5-ТЗ	т/3-1-1
5) Ух-|-2-7х— 1 4-Vx—2 Vх— 1=
2 при 1<х<2,
2^х— 1 при х>£.
109
212.	Найдите значение sin 15°, cos 15°, sin 22°30' и преобразуйте полученные
выражения.
6.	Уничтожение иррациональности в знаменателе или в чис-
лителе. Замена дроби, знаменатель которой — иррациональное
выражение, тождественно равной ей дробью, знаменатель кото-
рой — рациональное выражение, называется уничтожением ирра-
циональности в знаменателе. Аналогично определяется уничто-
жение иррациональности в числителе. Приведем примеры такого
преобразования иррациональных выражений.
Пример 1. Уничтожим иррациональность в знаменателе
дроби ^=.
Vх	ч п
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на ух .
Получим:
8 -- 8^*2 _
х
Пример 2. Уничтожим иррациональность в знаменателе
выражения
_____1_____
V-^+i—Vх2-1
Решение. Имеем:
1
_ у?+т+у?-1
(V?+T)2-(Vrar	2
Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе
дроби применяется при вычислении пределов иррациональных
функций.
Пример 3. Вычислим предел
lim (Vх 4-4—Vх)-
оо
Решение. Так как
/ТТ! У?—(Уй^+у^)   4 
ух^-ч ух-	-^+4+^
и lim (Vx+4-|-Vx)= 4- °°> т0
+ оо
lim (Vх4-4— Vх)— l*m <"'—F=®-
x^+ooVV	’ ' x-^+oo t/J+4+У^
110
Упражнения.
213.	Уничтожьте иррациональность в знаменателе:
1)	2—л/30 .	9 -	7аЬ<? .
т/5-л/6+т/7’	-УТ0+715+-/14+-^Г’ V3a2*7c'° ’
Y	1	1	1
4)	---; 5) -----: 6)-------------; 7) ------;
л/s+v* V5-W v?+v^+w v^+v^
214.	Вычислите пределы:
1)
lim
2) lim ^ + L+^
X-- + оо Vx’ + x — X
i+V*
1+w 
4)	.„ws-yra. 5) lln,VH^-Vbg.
x-*0	x + x?	x-*0 ^/l-|-x— 1
2	2
6)	lim	Vx2—1); 7) lim x(Vx2+1—x); 8) lim [(x +1)3 — (x — 1)
Л—► oo	x—► + oo	x—► -|- oo
7.	Иррациональные уравнения. Уравнение A (x)=B (x), в кото-
ром хотя бы одно из выражений А (х), В (х) иррационально,
называется иррациональным. Примерами таких уравнений могут
служить
^х^З+^/х+4==7, V?^+Vj?+9-10=0.
Уравнение же
^•+^+V|3-0
рационально, поскольку в нем х не находится под знаком корня.
Понятия корня уравнения и его решения для иррациональных
уравнений определяют так же, как и для рациональных.
Приме р 1. Число 1 является корнем уравнения Vх+3 =2,
поскольку д/1 +3=2. Иных корней это уравнение не имеет, и
потому его решением является х=1.
Пример 2. Уравнение -\/х+2 = —3 не имеет корней, так
как -Ух+2 принимает лишь неотрицательные значения.
ПримерЗ. Не имеет корней и уравнение
->/х24-4+Vх2+ 9=4,
так как при любых значениях х имеем -^х2+4^2 и -V*2 + 9^3,
а потому -7x24-4+-Vx2+9>5.
Решение иррациональных уравнений основано на следующем
утверждении:
Теорема. Если п>0 — нечетное число, п=2й+1, то уравне-
ния Ап(х)=Вп(х) и А(х)=В (х) равносильны. Если же
111
n>0 — четное число, n=2k, то любой корень уравнения Ап (х)=
=В"(х) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: А (х)=
=В (х) и А (х)= —В (х).
Доказательство. Пусть а — корень уравнения А (х)=
=В(х). Тогда А(а)=В(а), и потому Ап (а)=Вп (а), т. е. а —
корень уравнения Л" (х)—Вп (х). Таким образом, всякий корень
уравнения Л (х)=В (х) является корнем уравнения Ая (х)=
=В»(х).
Обратно, пусть а — корень уравнения Л"(х)=В"(х), т. е.
Ап (а)—Вп (а). Если п нечетно, то отсюда вытекает, что Л (а)=
=В(а), и потому а — корень уравнения Л(х)=В(х). Значит,
при нечетном п уравнения Л(х)=В(х) и Л"(х)=В"(х) равно-
сильны.
Если же п четно, то равенство Л" (а)=Вп (а) может иметь
место либо при Л(а)=В(а), либо при Л (а)=—В (а), а потому
а является корнем по крайней мере одного из уравнений: Л (х)=
=В(х), Л (х)=-В(х).
Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального
уравнения Л(х)=В(х) приходилось возводить обе его части в
степень с четным показателем, то могут появиться посторонние
корни, т. е. корни уравнения Л (х)= —-В (х). Чтобы отделить их,
следует проверить найденные корни, подставив их в исходное урав-
нение. Появление посторонних корней при возведении обеих ча-
стей уравнения в степень с четным показателем возможно и из-за
изменения области существования.
Чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо под-
ставлять найденные корни в данное уравнение. Разберем два важ-
ных вида иррациональных уравнений: уравнение вида 2\С4 (х) =
=В(х) и уравнение вида 2\]А (x)=2\jB (х), где Л (х) и В (х) —
рациональные выражения, a k — натуральное число. Так как
значения 2^/Л (х) всегда неотрицательны, то справедливо следую-
щее утверждение:
Уравнение вида 2\]А {х)—В (х) равносильно системе, состоя-
щей из уравнения A (х)=В2к (х) и неравенства В (х)^0:
В самом деле, по определению корня из числа равенство
V* (х)=В (х) означает, что Л (х)=В2*(х), причем В (х)>0.
Аналогично доказывается, что уравнение 2^А (х)=2^В (х)
равносильно системе, состоящей из уравнения Л(х)=В(х) и
неравенства В(х)>0:
2W)=2 W)	{в $>о.(х)’
112
П р и м е р 4. Решим уравнение
Vx24-x4~1 —х—4.
Решение. Это уравнение равносильно системе
Гх2+х+1=(х-4)2,
I	х—4>0.
Но уравнение х24-х-|-1 =(х—4)2 имеет единственный корень
5
х=-т-, который не удовлетворяет неравенству х—4^0. Поэто-
му данное уравнение не имеет корней.
Пример 5. Решим уравнение
Vx2+2x+10=2x-1.
Решение. Это уравнение равносильно системе
fx24-2x+10=(2x—I)2,
I 2х—1>0.
Корнями уравнения х2 + 2х+ 10=(2х— I)2 являются числа
— 1 и 3, из которых лишь 3 удовлетворяет и неравенству 2х— 1 > 0.
Значит, данное уравнение имеет один корень х=3.
Пример 6. Решим уравнение
"7—9х2Ц-Зх—6=-^—6х—24.
Решение. Это уравнение равносильно системе
( —9х2+3х—6= —6х—24,
I —6х-24>0.
Корнями уравнения — 9х24-3х—6=—6х—24 являются чис-
ла — 1 и 2. Однако при этих значениях х не выполняется нера-
венство —6х—24^0, и потому данное уравнение не имеет корней.
При решении иррациональных уравнений полезно перед воз-
ведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить
радикал», т. е. представить уравнение в виде С (x)=‘\jD (х).
Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ю степень ра-
дикал справа исчезает.
Пример 7. Решим уравнение
х2+2х+Vx2 + 2x4-8- 12 = 0.
Решение. Метод уединения радикала приводит к уравне-
нию четвертой степени. Поэтому решим уравнение иначе. Поло-
жим, -д/х2-|-2х-|-8=у. Так как у2 — 8=х2+2х, то данное уравне-
ние принимает вид: у2—8+у—12=0, корни которого —5 и 4.
Поскольку Ух2 4-2х+8=—5 не имеет корней, то задача свелась
к решению уравнения д/х24-2х4-8 =4.
из
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим квад-
ратное уравнение х2-^-2х—8=0. Оно имеет корни —4 и 2,
причем оба удовлетворяют исходному уравнению.
Проверка корней иррационального уравнения возможна, если
множество этих корней конечно. Если же их бесконечно много, то
приходится поступать иначе: устанавливать дополнительные усло-
вия, налагаемые на корни, и проверять, когда они выполняются.
Пример 8. Решим иррациональное уравнение
Л/х2-6х+9+^25+ 10х+х2=8.	(1)
Решение. Если дважды уединить радикал, возведя после
этого обе части уравнения в квадрат, то получим равенство
25+ 10х+х2=х2 + 10х+25,
которое имеет место для всех значений х. Однако, например, число
4 не является корнем исходного уравнения (1), так как
742-6-4+9 +^25+10-4+42 = 1 + 9 =И= 8.
Посторонние корни появились потому, что в данном уравнении
оба радикала должны принимать неотрицательные значения, а
это условие снимается при возведении в квадрат обеих частей
уравнения.
Из условия неотрицательности радикалов получаем, что долж-
ны выполняться неравенства 8—д/25-f- 10х+х2 ^0 и
8-Vx2 —6х+9>0.
Из первого неравенства получаем: х2+10х—39^0. Его
решением является отрезок [—13; 3} Решением второго неравен-
ства является отрезок [—5; 11]. Оба неравенства выполняются на
пересечении этих отрезков, т. е. на отрезке [—5; 3]. Поскольку,
кроме этих неравенств, никаких ограничений на х не накладывает-
ся, а уравнение, получаемое освобождением от иррационально-
стей, тождественно выполняется на всей числовой прямой, реше-
нием уравнения служит найденный отрезок [—5; 3}
Замечание. Уравнение (1) можно решить иначе. Воспользуемся тем,
что -\/х2—6х+9= |х—31 и	10x4-25= |х-|-51. Данное уравнение при-
нимает вид:
|х-3| + 1х+5|=8.	(Г)
Разбивая числовую прямую на промежутки (— оо; —5], [—5; 3], [3; + оо), где
х—3 и х-|-5 сохраняют знак, и освобождаясь от знака модуля, убеждаемся,
что (Г) имеет место лишь на [—5; 3].
Упражнения
215.	Докажите, что уравнения 1—5 не имеют решений:
1)	V2x+3 +д/х^З=0; 2) д/Т+2+д/х—1 = — 2;
3)	д/4—х—д/х—6=2; 4) д/х—3—д/х-|-9=д/*—2; 5) д/х+д/х+'9=2.
114
216.	Решите иррациональные уравнения:
1)	-\/2х—7х=—52; 2) 2x+V*x=8=^-;
О
3) л/27+7+т/Зх- 18=л/77+1; 4) ^*1~^--4-т/х+3= 1^;
Ух—3	Ух—3
< 5) Ух+9=2л/х—3;
у^+Т_у7=Т ур+г+у?згт
7) Ух+7-УЯЛ2=1;
8) х2+3-Л/2х2-Зх+2=у(х+1);
9) х(х+1)4-3т/2х24-6х+5=25-2х;
10) Ух4-Ух+74-2У?4-7х=35-2х;
•11) х2-8 (х4-1)-7x4-18x4-1=0;
12) -7х+1-|-7х^П=1; 13) ->/г^У?^?=х-1;
14) Vxs4-4x4-4—7x2-12x4-36=8;
15) -7х24-4х4-44-Ух2-12x4-36= 16;
16) Vx24-4x4-4—Ух2-12x4-36=6;
47) -^х-Ьт/бх—94-Vх—Убх—9=Уб.
8. Иррациональные неравенства. Решение иррациональных не-
равенств осложняется тем обстдятельством, что неравенства
Л (х)<В (х) и Л" (х)<Вп (х) не являются равносильными: ведь
только для неотрицательных чисел а и b из а<.Ь следует а" С ft",
а из ап<Ьп следует а<Ь. Поэтому при решении иррациональных
неравенств надо учитывать знаки его правой и левой частей.
Пример 1. Решим неравенство
Vx2 —55х-|-250 <х—14.
(1)
Решение. Поскольку квадратные корни можно извлекать
лишь из неотрицательных чисел, то должно выполняться условие:
х2 —-55x4-250^0. Решением этого неравенства является мно-
жество
4=(—оо, 5]U[50; + оо).
Кроме того, поскольку ^/х2—55х+2500, имеем х—14^0.
Определяя общую часть множеств А и [14; -|-оо), получаем луч
[50; + оо). Таким образом, решение неравенства (1) должно быть
частью луча [50; 4-оо).
Если х>50, то обе части неравенства (1) существуют и не-
отрицательны, а потому это неравенство равносильно неравенству
х2-55х+250<(х-14)2.
115
Поэтому осталось решить систему неравенств
( 50<х,
1х2-55х4-250<х2-28x4-196.
Из второго неравенства получаем х>2. Поскольку (2; 4- оо)П
П[50; 4-оо)=[50; 4-°°), то решением неравенства (1) является
луч [50; 4- 00 )•
Вообще, любое неравенство вида 2\/А (х) < В (х) равносильно
системе неравенств A (x)Z>0, В (х)>0, А (х)<.В2к (х):
(А(х)^0,
В(х)>0,	(2)
А (х)<В2к (х).
Первое из них выражает неотрицательность подкоренного выра-
жения, второе — неотрицательность корня, третье следует из того,
что при а^О, 6^0 неравенства а<.Ь и <rk<zb2k выполняются
одновременно.
Неравенство 2^А (х)>В (х) имеет место либо когда В(х)^>
^0, Л (х)>В2* (х), либо когда A (x)L>0 и В(х)<0. Поэтому
надо решить системы неравенств
[В(х)>0	„ (Л(х)>0,	(3)
1Л(х)>В2*(х) и 1В(х)<0
и объединить их решения.
Пример 2. Решим неравенство
Vx2+6x—40 > X 4- 2.	(4)
Решение. Это неравенство сводится к следующим системам
неравенств:
fx4-2>0,	{ х24-6х—40>0,
1х24-6х-40>х24-4х4-4;	I х-Ь2<0.
Решением первой системы является открытый луч (22; 4- °°)>
второй системы — множество (— оо; —10). Объединяя эти мно-
жества, получаем решение данного неравенства: множество
(—оо; — 10]U(22; 4-оо).
Более сложно решение иррациональных неравенств вида
лЯ£)+л/ВМ<С(х).	(5)
Поскольку -^А (х)^0, -\/В (х)>0, то должны выполняться ус-
ловия А (х)^0, В(х)>0, д/В (х)<С (х) (соответственно -^А (х)<
<С(х)). На множестве, где эти условия выполняются, данное
неравенство равносильно неравенству
Л (х)<(С (х)—УвТх))2
(соответственно неравенству В (х)<(С (х)—^/А^х))2), которое сво-
дится к разобранным выше типам неравенств.
116
Пример 3. Решим неравенство
л/*+л/*+7<6.	(6)
Решение. Данное неравенство равносильно следующей
системе неравенств:
!х>0,
х + 7>0,
(7)
x+7<(6-V^)2 = 36-12 -fic+x.
Последнее неравенство этой системы приводится к виду 12 -\[х<29,
откуда находим, что	Решение неравенства (6)
является общей частью решений всех неравенств системы (7),
т. е. имеет вид Г0;	.
Упражнения
217. Решите иррациональные неравенства:
1) Vx2-3x+2>2-x; 2) Л/25-х2+л/х2-|-7х>3;
3) -^/х2—Зх—10<8—5х; 4) л/Г+х+УГ^х> 1;
5) лД+лД+7+2л/х!!4-7х<35-2х; 6)
7)	; 8) V9—Vxrz67^>x-3;
9) -У11-У4хг^4х+14-х<5;
10) V12+V?+'8x4-16>x-1.
$ S. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯ
1. Приближенное решение уравнений. При изучении курса
математики мы встречались с самыми разными видами урав-
нений: линейными, квадратными, иррациональными, показатель-
ными, логарифмическими, тригонометрическими. При этом мы
стремились найти общие формулы, позволяющие выразить корни
уравнения через входящие в это уравнение числа. Например,
для уравнения ах+Ь = 0, а¥=0, формулой решения является
х=—для уравнения ах2 + 6х+с=0, а^О,— формула *i.2 =
=	, для уравнения ах=6, а>0, a^fel,— формула
а для уравнения
= zfcarccos а+2лп, n£Z.
cos х=а,
|а|^1,— формула х=
117
Вычислительная ценность этих формул различна — в одних
случаях достаточно выполнения действия деления, в других тре-
буется еще извлечение корней, а в третьих — отыскание значе-
ний логарифма или обратной тригонометрической функции. Ре-
зультаты всех этих операций лишь приближенно могут быть за-
писаны в виде десятичных дробей. При этом класс уравнений,
для которых можно найти формулу решения, весьма узок. Уже для
алгебраических уравнений пятой степени нет общей формулы,
выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты с
помощью арифметических действий и операции извлечения корня.
Нет формул и для решения таких уравнений, как 2х=х+3,
х= 14-8""" и т. д., хотя подобные им уравнения часто встре-
чаются при решении практических задач.
Однако для решения практических задач не столь важно обла-
дание формулой решения, сколь умение найти корни уравнения
с заранее заданной точностью. Иными словами, надо уметь решать
такую задачу:
Дано уравнение f (х)=0, имеющее корни х>, xz, ... хп, и число
е>0. Найти числа Л, 6, —, tn, отличающиеся от корней этого
уравнения меньше чем на е, т. е. такие, что |4—х«.|<е,
Решение указанной задачи является одним из вопросов вычис-
лительной математики. В этом параграфе мы изложим наиболее
важный метод приближенного решения уравнений — метод пос-
ледовательных приближений.
2. Метод последовательных приближений. Уравнение f (х)=0
можно различными способами записать в виде х = ф(х), где ф—
некоторая функция. Например, уравнение х2—2=0 можно за-
писать в следующих видах:
.. У+2	.. ... 3^+2	.кгсг-д^+^+г
2х ’	4х	2х
и т. д. Для уравнений, записанных в виде х=ф(х), применяют
следующий метод приближенного решения, называемый методом
последовательных приближений. Выбирают некоторое начальное
приближение xi и подставляют его вместо х в ф (х). Полученное
значение xs=q>(xi) этой функции считают вторым приближением.
Далее цаходят третье приближение по формуле хз = ф(хг) и т. д.
При определенных условиях, которые будут указаны ниже, полу-
чающаяся таким образом последовательность чисел xi, хг,.... хл,...
имеет предел а. Тогда, если функция <р непрерывна, из равенст-
ва хп+1=ф(хп) вытекает, что Нтхп+1 = Птф(хп)=ф(Птхп),
П->- оо	Л—»- оо	п-ь- оо
т. е. а=ф(а). Это означает, что а является решением уравнения
х=ф(х). При достаточно больших значениях п разность |хп—а|
становится сколь угодно малой, т. е. х„ является достаточно хоро-
шим приближением для искомого корня.
118
Пример 1. Найдем методом последовательных приближе-
ний корень уравнения х = 1 +-i-arctg х с точностью до 0,001.
Решение. Положим xi = 1. Тогда имеем:
№= 1 +4-arcts1 =1 +1Г~ ьзэ,
Хз= 1 4-1-arctg 1,39= 1,474,
х4= 1 +-±- arctg 1,474= 1,487,
х5= 1 4-^-arctg 1,487 = 1,489,
х6 = 1 + arctg 1,489 = 1,490,
Х7 = 1 + arctg 1,490 = 1,490.
Так как значения Хб и Х7 совпадают с точностью до 0,001, то с ука-
занной точностью х= 1,490.
Метод последовательных приближений применяется для извле-
чения корней. Квадратный корень из положительного числа а
является положительным корнем для уравнения х2 = а. Легко
проверить, что это уравнение равносильно уравнению х= .
Поэтому для извлечения квадратных корней применяется следую-
щий метод: берем какое-нибудь положительное приближение х
для -у/a и строим последовательность чисел х\,..., хп,.... где xn+i =
= **+а . Процесс ведется до тех пор, пока модуль разности
значений хп+) и хп не станет меньше заданной точности вычис-
лений.
Пример 2. Найдем значение -у/5 с точностью до 0,001.
Решение. Положим, xi =2. Тогда
х2=^-=2,25,
Y   2,2362 —|— 5 л рос
Х4~ 2.2,236 =2’236~
Значит, с точностью до 0,001 получаем: -75=2,236.
Для вычисления корней /г-й степени уравнение х* = а запи-
сывают в виде:
119
После этого вычисления ведутся по формуле
Хп+1 =
a+(*-l)xt
Ы-1
(1)
Пример 3. Найдем с точностью до 0,001 значение %J97Q.
Решение. Положим в формуле (1) k—3, a=970 и вы-
берем Х1 = 10. Тогда
970+ 2-103_Оп
Х2~	3-102	~9,9,
х3=9^^=9,899.
Значит, с точностью до 0,001 получаем: х=9,899.
о	1 л
Замечание 1. Формулу xn+i =—^—, применяющуюся для извлечения
квадратных корней, можно записать в виде х"+|=‘^“(х’"1_^) • ®на означает,
что следующее за х„ приближение является средним арифметическим числом хя
a	/ а	г-
и —, для которых средним геометрическим является у х.-—, т. е. -ya.
Таким образом, процесс последовательных приближений заключается в данном
случае в том, что на каждом шагу среднее геометрическое заменяется средним
арифметическим.
Метод последовательных приближений не всегда приводит к
сходящейся последовательности чисел. Исследование дает сле-
дующие достаточные условия сходимости метода последователь-
ных приближений.
Теорема. Пусть на отрезке [а, 6] функция f монотонна, при-
чем отрезок [f(a), f(b)J является частью отрезка [а, Ь\ и пусть
существует такое число q, что 0<<?<1 и |f'(x)|^<7 на отрезке
[а, ft], Тогда на этом отрезке лежит единственный корень урав-
нения x=f(x), причем процесс последовательных приближений,
начинающийся с любого значения с из [а, 6], сходится к этому
корню.
Упражнения
218. Решите методом последовательных приближений уравнения:
4) x=2+Vr;	5) х=“в-х;	6) 4—3x=tgx;
7) x2=sinx; 8) x3 = sinx;	9) x=arcsin ;	10)
11) x2 = ln (x+1);	12) lnx=4-x2;	13) x2=e*-|-2;	14) 2x=4x
120
$ 6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ
1. Рациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Обычно в уравнении или неравенстве буквами обозначают не-
известные. Решить уравнение (неравенство) — значит найти мно-
жество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению
(неравенству). Иногда уравнения (неравенства), кроме букв, обо-
значающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые
параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным
множеством уравнений (неравенств). При этом бывает, что при
одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при
других — имеет только один корень, при третьих — два корня. При
решении таких уравнений (неравенств) надо сначала найти
множество всех допустимых значений параметров, а затем раз-
бить это множество на части, в каждой из которых ответ выра-
жается одной и той же функцией через параметры.
Разберем следующий пример.
Пример 1. Решим уравнение ах2—4х4-3=0.
Решение. В данное уравнение входит лишь один параметр а.
Если этот параметр принимает значение 0, получаем линейное
уравнение, имеющее лишь один корень, а именно х=-|-. При
а=/=0 уравнение является квадратным и его корни выражаются
через параметр а формулами
_2+V4^3H	_2-т/4=з5
> Л2	•
а	а
_	4	„	4
Если а<—, то имеем два действительных корня, при а=-т-
3	3
эти корни совпадают, а при а>-|- подкоренное выражение от-
рицательно и действительных корней нет.
Ответ записываем так:
При а=0	
При а<4- При а=4- □	2±т/4-За *1.2=—\; а
При а >4- действительных корней нет.
Замечание. Случай а=0 можно рассматривать как предельный. Именно
_ Л	2+V4 —За	2 —д/4^3а	3
если а->0, то корень —---------стремится к оо, а корень ----------к —.
Мы, однако, не будем этого учитывать и будем считать, что при а=0 имеем
единственный корень.
121
Пример 2. Решим уравнение
Зтх—5 I 3m—11_______2*4-7
(m—l)(x+3)”f" т—1	*4-3
(здесь и ниже неизвестные обозначены буквами х, у, г, па-
раметры — буквами a, b, с, k, т, п и т. д.).
Решение. Выражения в левой и правой частях уравнения
имеют значения npg т=^1 и х^= —3. При этом условии, умножая
обе части уравнения на (т— 1)(х+3), получаем уравнение, рав-
носильное данному. После упрощения получаем уравнение
(4m —9) х=31 — 2т.
При т=?^-|-оно имеет корень х=3^^ .
Осталось выяснить, при каких значениях т этот корень до-
пустим, т. е. отличен от числа —3. Решая уравнение 3]~2^ = —3,
находим, что т =—
,	о
Итак, если my=l, m^fe-|-, m=/=—|-, то уравнение имеет
единственный корень х• При т = 1, т =-|-, т = —|- кор-
ней нет.
Аналогично решаются линейные неравенства с параметрами.
Пример 3. Решим неравенство
2х—т__________________________т %
(т — 2)(х+3)	т —2	x-J-3
Решение. Допустимыми значениями тих являются та-
кие, что т/2, х#=—3. Перенеся все члены в левую часть
и приведя дроби к общему знаменателю, получаем неравенство
(т— 2)х—(6—7т)
(т—2)(x-f-3)
равносильное в области т=/=2, х=/= — 3 неравенству
(*-ёг)<*+3>>0'	<’)
Решим неравенство (1) методом интервалов. Решая уравне-
ния х+3=0 и х—-~7^ =0, получаем: Х| = —3, хг = 6~7^ •
'	т—2	J	т—2
Возможны два случая: —З^6-7"1 и —3>6~7^ . Решая не-
равенство — 3>6~~7~ , т. е. ~находим, что т<0 или
г	т — 2	т — 2
122
т>2. Неравенство же — ЗС выполняется на промежутке
[0; 2J Значит, если т<0 или если т>2, то неравенство (1) вы-
полняется на лучах( —оо; и (—3; 4-оо). При 0<т<2
оно выполняется на лучах (—оо; —3)	+ °°)«
Если нужно выяснить, нет ли значений параметров, при ко-
торых какой-либо корень уравнения имеет «запрещенное» зна-
чение, то проще всего подставить это значение корня в преоб-
разованное уравнение — искомые значения параметров сразу
определятся.
Пример 4. Решим уравнение
х  2х 	36—4
64-1 ' х—2 — (*4-1)(х-2) ‘
Решение. Здесь недопустимы значения Ь =— 1 и х=2.
В области, где b^= — 1, х^2, данное уравнение равносильно
уравнению
х2 + 26х-Зд4-4=0,	(2)
корни которого имеют вид:
х, = -b-V^+36-4, x2=-b +^/b2+3b—4.	(3)
Чтобы выяснить, при каких значениях b один из этих корней
равен 2, подставим х=2 в уравнение (2). Получаем: 8 + 6=0,
откуда Ь=— 8. При этом значении b «запретному» числу 2 ра-
вен первый корень, а второй принимает значение 14.
Осталось выяснить, при каких значениях b корни х\ и хг,
задаваемые формулой (3), действительны. Это имеет место при
62 + 36 —4^0. Так как корнями уравнения 62+36—4=0 явля-
ются &i = l и &2=— 4, то корни действительны при b^—4
(причем Ь=£ — 8) и при b^l.
Итак, заданное уравнение имеет два действительных корня,
задаваемые выражениями (3) при Ь< — 4, Ь^— 8 и при Ь>\.
Эти корни совпадают при Ь=— 4 и при 6 = 1. При Ь = — 8
имеем один корень х=14. При остальных значениях b дейст-
вительных корней нет.
Упражнения
219.	а) Найдите все значения а, при которых один из корней уравнения
х2 — 2ах+ 1=0 больше 1, а второй — меньше 1.
б)	При каких значениях а оба корня уравнения х2—6ах+2—2а+9а2=0
больше 3?
220.	При каких значениях а корни уравнения (1 + а)х2 —Зах+4а=0 удовлет-
воряют условию 2<х<5?
123
221.	Найдите все значения а, при которых корни уравнения х1 2-|-х-|-а=0
больше а.
222.	При каких значениях а корни уравнения х2—2х—а2-|-1=0 лежат
между корнями уравнения х2 —2 (а+ 1)х-|-а (а— 1)=0?
223.	Решите неравенства:
1)	х2 + ах+1 >0; 2) ох2+х-|-1>0.	4
224.	При каких значениях а выражение х2—(a-J-2)x-j-a-}-3 положительно при
всех х>0?
225.	При каких значениях а выражение ах2—2 (а—1)х-|-За—1 положительно
при всех х> 1?
226.	Для каких значений а неравенство 2х2—4а2х—а2-|-1 >0 справедливо
при всех х, |х|< 1?
227.	Найдите все значения а, при каждом из которых любое х, удовлетворяющее
неравенству ах2+(1 — а2)х — а>0, по модулю не превосходит 2?
228.	При каких значениях а неравенство (а2 —4)х2—4ax-J-2>0 истинно при
всех х>2?
229.	Найдите все значения а, при которых из неравенства х2—а(1 -|-а2)х-|-а4<0
следует неравенство х24-4х+3>0.
230.	Найдите все значения а, при которых неравенство выполняется при любом
х>0:
1)	(a3+(l-^)a2-(3+V2)a+3-V2)x24-2(a2-2)x4-a>-^;
2)	(a3-(l+V2)a2+(V2-3)a+3-^)JC24-2(a2-2)x+a> -^2.
231.	Найдите все значения а, при которых система имеет единственное решение:
1)	| х24-2х + а<0,	2) I х2 + 4х + 3<а,
lx2—4х —6a<0;	1х2 —2х<3—6а.
232.	Найдите все значения а, при которых решения системы образуют на
числовой оси отрезок длины 1:
1) ( х2-2х<а-1,	2) I х2 + 6х+7 + а<0,
I х2 — 4x^1— 4а;	I x2-J-4x-|-7<4a.
233. При каких значениях р уравнение (х—р)2 (р (х—р)2—р—1)= — 1 имеет
положительных корней больше, чем отрицательных?
234. При каких значениях р уравнение ((х—р)2 — 2р —4) (х—р)2= — 2р —3 имеет
отрицательных корней больше, чем положительных?
235. Найдите все значения р, при которых уравнение х (х +1) (х-|-р) (х-|- 1 +р)=р2
имеет 4 корня.
236. Найдите все значения р, при которых уравнение х4 + (р—1)x3-j-x2-}-
4-(р— 1)х4-1 =0 имеет не менее двух различных отрицательных корней.
237. Найдите все значения р, при которых уравнение х(х+1)(х-|-2) (х-|-3)=р
имеет не менее трех отрицательных корней.
238. Найдите все значения р, при которых уравнение х4 —рх3~(2р+1) x2-j-
4-рх-|-1=0 имеет не менее двух корней, больших 1.
239. Найдите все значения а и 6, при которых система уравнений имеет единст-
венное решение:	/
I xyz-}-z — a,
\ xyz2 + z=b,
Ix2+i/24-z2=4.
124
240.	Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет решение:
1) ( хг+2ху—7у2^^—^-
<	а"г 1
I 3^+10ху-5уг^-2-,
2) I 5л2—4jcj/4-2i/!>3,
|7х2+4х!/+2|/2С-|^-.
2.	Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами.
Пример 1. Решим уравнение
V3x—2+V*+2=a.	(1)
Решение. Оба слагаемых являются возрастающими функ-
циями от х. Тем же свойством обладает и их сумма. Поэтому
д/Зх—2+Vx+2 может принять каждое значение а не более одного
раза. Корни в левой части уравнения определены в области, где
х>-|- и х> —2, т. е. при х>-^-.
о	О
Отсюда следует, что наименьшим значением, принимаемым
левой частью уравнения (1), является ”\/Л-+ 2, т. е. -—д/б. Это
и есть наименьшее значение а, при котором уравнение разрешимо.
2 г~ 1
Итак, уравнение (1) имеет единственный корень при	и не
о
2 г~
имеет корней при а<—уб.
О
Чтобы найти выражение для корня через а, уединим радикал
и возведем обе части уравнения в квадрат:
Зх—2=а2— 2а-0с 4-2+*4-2, т. е. 2х—4—а2 =—2а-^х-|-2.
Отсюда следует, что должно выполняться неравенство х<2+-у.
Запишем левую часть получившегося уравнения в виде 2 (х-|-2)—
—(8+а2) и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим
после раскрытия скобок и упрощения:
4 (х+2)2 - 8 (4+а2) (х+2) 4- (8 + а2)2=0.
Отсюда
 o_4(4+a2)±V16(4+a2)2-4(8+a2)2 2 (4+а2)± л/3а4+ 16а2
' ~	4	2
и потому
Х] = а2+2—|-а-\/За24-16, х2 = а24-2+-|-а-\/За2+16.
Поскольку при а>-|--\/б уравнение заведомо имеет один ко-
О
рень, а Х2 не удовлетворяет условию х<2-|--у, то корнем являет-
ся
125
2	/—
Итак, уравнение (1) имеет при а>-г--у6 единственный корень
X=2+а2 - V3a2+16,
2 г~
а при а<-уу6 корней не имеет.
Пример 2. Решим уравнение -\[а—-^х+а=х.
Решение. Так как подкоренные выражения должны быть
неотрицательны, то должны выполняться неравенства х+а^О,
a>0, a^-\/x+a- Кроме того, должно быть и х>0. Значит, на-
именьшее значение ^х-\-а равно -\/а и необходимо выполнение не-
равенства а^д/a. Значит, а=0 или а^1. При а=0 получаем
уравнение у —^[х=х, имеющее единственный корень х=0. Пусть
теперь 1. Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем:
а—-\/х+а=х2. Значит, а—х2—^х-\-а, откупа а—х2^0. Из
уравнения а—х2=^]х-\-а следует, что
(а—х2+х)(а—х2—х)=(-7х+а+х)(->/х+а—х)=(х+а—х2),
откуда
(х+а—х2) (а—х2—х—1)=0.
Значит, либо х+а—х2=0, либо а—х2 —х—1=0.
Решая первое квадратное уравнение, получаем:
Х|=т+л/т+а’ Х2=4—"\/т+а-
Из второго квадратного уравнения имеем:
Выясним, какие из корней xi, хг, х3, х4 удовлетворяют усло-
вию O^x^Va. Поскольку xi >Va, хг<0 (напомним, что a^l),
то xi и хг не являются корнями уравнения; х4 та^же не является
корнем данного уравнения, так как х4<0. При а^1 имеем:
0< —а—|-<а, и потому х3 — корень данного уравнения.
Итак, при а^1 имеем единственный корень х=—|-+
+д/а—а при а=0 имеем: х=0. При остальных значениях а
корней нет.
Замечание. Единственность корня при 1 можно установить так: функ-
ция у=х возрастает, а функция у=~у/а—у/а-^х убывает. Значит, графики
этих функций могут пересечься лишь в одной точке.
Теперь решим иррациональное неравенство с параметром.
126
Пример 3. Решим неравенство
л)х—а+-\/2х+1 >	—4.
(2)
Решение. Чтобы все корни, входящие в неравенство, имели
значение, должны выполняться неравенства х^а, х^—
4^4-	1
х^-g-, т. е. х^а и х^—. Так как при таких значениях х и а все
корни в (2) неотрицательны, то можно возвести обе части нера-
венства в квадрат. Получаем систему неравенств
2 -\/2х2—(2 а— 1) х—а > а—5,
х^а,	(3)
Разберем два случая: а<5иа>5. В первом случае а — 5<0
и потому первое неравенство системы справедливо для всех х,
удовлетворяющих двум другим неравенствам. Отсюда получаем,
что при а^-|- решением системы (3) является луч -|-оо ) ,
а при -|-<а<5 — луч [а, +«>).
Пусть теперь а^5. В этом случае обе части первого нера-
венства в системе (3) неотрицательны и можно возвести их в квад-
рат. Так как условие х^-|-заведомо выполнено, то имеем систему
неравенств
| 8х2—4 (2а—1)х—(а2 —6а+25)>0,
I х^а.
Заметим, что а2 — 6а+25=(а—3)2+ 16>0 при всех а и потому
свободный член квадратного трехчлена отрицателен. Отсюда выте-
кает, что корни уравнения
8x2-4 (2а- 1)х-(а2-6а+25)=0	(4)
имеют разные знаки.
Поскольку мы хотим, чтобы один
из корней был не меньше, чем а, то
(см. рис. 44) в точке а трехчлен должен
принимать неположительные значения.
Отсюда получаем для а неравенство
8а2 —4 (2а-1) а-(а2-6а+25)<0, т. е.
—(а—5)2^0. Оно выполняется для
всех а. Значит, один из корней уравне-
ния (4), а именно больший, удовлетво-
ряет условию х^а. Этот корень имеет
вид:
xi =-|- (2а— 1 +V6a2—16а+51).
127
4	4
Итак, мы доказали, что если а^—, то
О	о
Если -|-<а<5, то аО<-|-оо. Если а>5, то х>~(2а—1 +
+^6а2-16а+51).
Упражнения
241.	Решите уравнения:
1)	х-Н\/х=д;
2)	VQ+* Уд-х .
Уд+УдЧ-х д/д—Уд—х
3)	х+Ух+Ух+2 + Ух2 + 2х=д;
4)	^-2Л/Зх2-2ах+4+4=у(х+у+1) ;
2	2	1
5)	(а+х)3 +4 (а—х)3 -5 (а2-х2)3 =0;
6)	|х+3|-а |х—1|=4;
7)	|х-21+а |х+3|=5.
242.	Решите уравнения (при положительных значениях параметров):
1)	(а+Ь) Уд2 + 624-х2—(д—Ь) ^а2-\-Ь2—х?=д2Ч-Ь2;
2)	Ух2—3дх—д2 + Ух2 — 3дхЧ- д2=У2 (д2 + Ь2)\
р+д 1	1
3)	2сх 2рд =х₽+х’;
4)	^/а+^/х+\/а—т/х=%/Ь;
5	т/a+^x—b Ла
у/Ь+^х—а	Ч Ь
6)	_^±±tO-=v*.
УдЧ-х—Уд—х
243.	Найдите все значения д, при которых уравнение
х |х+2д| + 1 =д
имеет единственное решение.
244.	Найдите все значения д, при которых уравнение
х2Ч-4х—2 |х — дЦ-2 — д=0
имеет ровно два различных решения.
245.	При каких значениях д уравнение х—0,5д=4 |4 |х| — д21 имеет ровно три
корня? Найдите эти корни.
246.	При каких значениях д уравнение имеет единственное решение:
1)	11 -дх| = 1 +(1 -2д)Х+дх2; 2) |(д+1)х-2| =(1 + д)х2-2дх+2?
247.	При каких значениях д неравенство имеет хотя бы одно отрицательное
решение:
1)	3—|Х —а| >х2;	2) 2> Ix + fll+x2?
128
248.	Найдите все значения а, при которых система имеет ровно два решения:
I ix2-7x+6i+x2+5x+6—12 |х|=о,
I х2—2(а—2)х4-а(а—4)=0.
249.	Найдите все значения а, при которых система имеет единственное ре-
шение:
f lx2 —5х+4| —Эх2—5х+4+10х |х| =0,
I х2 —2(а—1)х-|-а(а—2)=0.
3. Трансцендентные уравнения и неравенства с параметрами.
Функции y—cf, y=logax, y=sin х, y=arcsinx и т. д. называют
трансцендентными. Решим трансцендентные уравнения и неравен-
ства с параметрами.
При решении Д1рказательных_уравнений и неравенств с пара-
метрами надо проверятьслучайТкогда pcHggajnjgjiamiQj,.
Пример 1. Решим уравнение
„	а2х-3-а2х-2+а2ж=&.	(1)
Решение. Запишем уравнение (1) в виде
a2x-3(a3-a4-l)=ft.	(2)
Если а—Ь = 1, то при любом х имеем: 12х-3(13—1 + 1)=1.
Значит, при а=Ь = \ корнем уравнения является любое значе-
ние х.
Пусть теперь а>0, а^1. Покажем, что при этих значениях а
выполняется неравенство а3—а 4-1 >0. В самом деле, функция
у=х3—х-М при х>0 имеет только минимум в точке х=^,
равный 9~д^>0- Поэтому a3—а-|-1 >0 при а^О. Отсюда сле-
дует, что если а>0, а=И=1, 6>0, то а2*~3== * Ь , ;>0ипото-
J	а —а-|-1
МУ Х=“г(3'’"*О^ва3-а+1) ‘
В случае, к^гда а=0, равенство (1) выполняется лишь при
Ь=0, х>-|-.
Наконец, рассмотрим случай, когдаа-сО.
В этом случае допустимы лишь^целыё^значения 2х—3. Ины-
ми словами, если а<0, то х=^у^, где п — целое число. При
этом Ь = ап(а3—а-|- 1).
Итак, если а=Ь = 1, то х — любое действительное число. Если
а>0, a^fcl, то х=-у-^3-|-loga ~'~з2_ д1^ j )• Если а=Ь=0, то
х>~. Если а<0, & = а"(а3—а-Н), где п — целое число, то
5 Н. Я. Виленкин
129
х=^±^. В других случаях уравнение корней не имеет. Обычно
в таких задачах делают оговорку, что а>0 и случаи а=0,
a<zQ не рассматриваются.
Пример 2. Решим неравенство
2х+1	4х + 3
ах+6<ах+6.	(3)
Решение. Допустимы значения х такие, что х=# —6. Если
а=1, то данное неравенство выполняется при всех значениях
х таких, что x^fe — 6. При а>1, х=£ — 6 оно равносильно нера:
венству	, которое приводится к виду 2(х+1)(х-|-6)^0.
Методом интервалов получаем, что х<—6 или х> —1.
Если 0<а<1, х=/= — 6, то данное неравенство равносильно
неравенству	т- е- 2(х4-1)(х4-6)<0. Решая его ме-
тодом интервалов, получаем: —6<х^ — 1.
* При а=0 неравенство (3) справедливо, если 2^^>0 и
Решая эту систему неравенств, получаем, что х<—6
О
или х>—Если а<0, то неравенство (3) может
лишь в случае, когда показатели —
иметь место
целые числа. Если
х + 6
и 4х~у = п, то имеем: х=^—откуда 24т-^-п—4 =
х+6	2—т	4—п 1	'
=3т + 12л — 6, т. е. 21/п —11«+2=0. Найдем целые значения
тип, при которых выполняется равенство 21m— 11и+2=0.
Подбором находим одно решение: то=2, По=4. Остальные
решения выражаются формулами
т = 24-1И,	п=4+21/,
(4)
где t — целое число.
Теперь надо выяснить, при каких значениях t выполняется
неравенство (3), т. е. при каких тип имеем: ат^а".
Если — 1 <а<0, то это неравенство справедливо в следующих
случаях:
а)	п четно, т либо четно, либо нечетно и m^n;
б)	m и п нечетны, причем m^n.
При а= — 1 неравенство имеет место, если п четно или если m
нечетно.
При а<2 — 1 оно справедливо в следующих случаях:
а)	п четно, m либо четно, либо нечетно и m^n;
б)	m и п нечетны, причем т>л.
Во всех указанных случаях выполняется неравенство (3).
Предоставляем читателю выяснить, при каких значениях t в фор-
мулах (4) выполняются указанные выше условия.
130
Замечание. Методы решения уравнений вида ах-{-Ьу=с
в целых числах изучаются в теории чисел. Они основаны на
следующем утверждении: наибольший общий делитель d натураль-
ных чисел а и b можно представить в виде ах+by, где х и у — це-
лые числа.
Пример 3. Решим уравнение
2 logo |х| 4-2 loga (х-Ь2)= 1.
Решение. По определению логарифма должны выполняться
условия а>0, а=^1, х=^0, х> —2. При этих условиях заданное
уравнение равносильно уравнению
|х| (х-Ь2)=л/5.
Если — 2<х<0, то отсюда находим: —х (х-|-2)=-\/а.
Это уравнение имеет действительные корни лишь при
В этом случае xi = — 1 —	xz= — \-}-y\—y[a, причем
легко заметить, что при 0<a< 1 оба корня лежат на промежутке
(—2; 0). При а—\ эти корни совпадают и xi== —1.
При х>0 получаем уравнение х(х+2)=-\[а, откуда
хз = — 1 —V1 +л/в» х<= — 14-"Vl Положителен лишь ко-
рень Х4.
Итак, при 0<а<1 уравнение имеет три корня xi, хг, х<.
При а>1 —лишь один корень х«.
Пример 4. Решим неравенство logoj (х24-2х)< 1.
Решение. По определению логарифма должны выполняться
неравенства а=^0, a^=l, аУ= — 1 и х2-|-2х>0. Рассмотрим два
случая: |а|>1 и 0<|а|<1.
Если |а| > 1 (т. ,е. а>1 или а< —1), то имеем систему
неравенств
х2-|-2х<а2,
х2-|-2х>0.
Первое неравенство выполняется на промежутке (хг, хз\ где
xi = — 1— -^/1 -|-a2, Х2= — 1 -bVl +ai, а второе — на лучах
х< — 2 и х>0. Поэтому система выполняется на пересече-
нии указанного промежутка с объединением этих лучей. Посколь-
ку xi<—2, хг>0, то это имеет место на объединении проме-
жутков (хг —*2) и (0; хг).
Пусть теперь 0< I а I С1 (т. е. — 1 <a< 1, а¥=0). В этом слу-
чае получаем систему неравенств
fx2-|-2x>a2,
I х2-|-2х>0.
Поскольку а2>0, достаточно рассмотреть первое неравенство.
Его решением служит объединение лучей (— со, xi) и (хг, 4-°0),
где xi и хг те же, что и выше.
131
Итак, если |а| >1, то xi<x< —2 или 0<х<хг, если |а| < 1,
а=#=0, то —оо <х<Х| или Х2<х< + оо, где х\ = — 1 —\/14-а2,
Х2= — 1+V14" а2-
Пример 5. Решим уравнение
(а— 1) cos х+(а+1) sin х=2а.
Решение. Разделим обе части уравнения на выражение
1)2+(а+ 1)2=л/2 (а2+ !)• Так как
\ л/2	1) / X 72 (а2 4-1) '
то найдется такое а, что sin «=-, а , = , cosa=—Д~Ь1
72 (а5 4-1)	72 (а4 4-1)
Именно если —1, то а = arcsin °~L_-, при а< — 1 имеем:
72 (а2 4-1)
а=л—arcsin Д"--1— . Поэтому sin а cos х-1-cos а sin х= aj2
72 (а2 4-11	7?+Т
т. е. sin (х4~«)=• Это уравнение имеет действительные
корни при условии, что |	| С1, т. е. — l^a^l. В этом
случае существует такое р, что sin Р=='^У~- Поэтому при
—	данное уравнение принимает вид: sin (x-|-a)=sin р.
Отсюда получаем, что х=2лл-|-р—а или x=2nn-j-n—р—а,
где п — целое число. Эти решения можно представить в виде
х=2лл 4-arcsin ,affi —arcsin —Д~1
7?+Т	72 (а2 4-1)
ИЛИ
х=(2п-J-1) л — arcsin	— arcsin —“Т1 —.
V 7	7?+Т	72(аЧ1)
Пример 6. Решим неравенство
a sin2 x-f-2 cos х—а+1 >0.
Решение. Неравенство легко приводится к виду
a cos2 х—2 cos х—1 <0.	(5)
Если а=0, то имеем: 2 cos х-|-1 >0, откуда получаем:
— I 2лп <х<-^Ц-2лп,
О	О
где п — целое число.
При а=/=0 положим cosx=z. Получаем систему неравенств
(az2 —2z—1<0,	zfiA
I- 1<z<1.	w
132
Различные возможные случаи определяются знаками функции
f(z)=a2?—2z— 1 в точках —1 и 1, знаком а и положением
и значением экстремума функции y=f(z). Имеем: f ( — 1)=а+1,
f (1)=а—3. Далее, так как f' (z)=2az—2, то экстремум находится
в точке z=-^- и является минимумом при а>0, максимумом
при а<0. Значение функции в точке экстремума равно —
Уравнение az2 — 2z—1=0 имеет действительные корни при
а> —1> причем эти корни равны
Значения функции f (z)=az2—2z— 1 в, точках —1,1 ив точке
экстремума меняют знак при следующих значениях а: —1, 0, 1
и 3. Поэтому разобьем числовую прямую на следующие проме-
жутки: (—оо; —1); (—1; 0), (0; 3) и (3; +оо). Если a< —1, то
f (— 1) и f (1) отрицательны, отрицательно и значение экстремума,
находящегося в точке — промежутка (—1; 1). В этом случае
функция y=f(z) отрицательна во всех точках отрезка [—1; 1].
При — 1<а-<0 значение функции положительно при z= — 1
и отрицательно при z=l. Точка экстремума лежит вне отрезка
[—1; 1]. Поэтому функция имеет один корень на отрезке [—1; 1],
а именно zi. Поэтому функция y=f(z) отрицательна на проме-
жутке (zi; 1).
При 0<а<3 дело обстоит аналогичным образом. Пусть те-
перь а>3. В этом случае функция y=f(z) положительна на
концах отрезка [—1; 1], имеет на этом отрезке точку минимума,
причем ее значение в этой точке отрицательно. Поэтому
неравенство f(z)<0 имеет место на промежутке (zi; Z2).
Итак, мы выяснили, каково решение системы (6). Возвраще-
ясь к неравенству (5), получаем, что:
при a< —1 неравенство выполняется для всех х;
при —1<а<0 и при 0<а<3
2лп — агccos zi < х < 2лл -|- arccos zi,
а при а>3
2лп — arccos zi <х<2лп — arccos Z2
или
2лл + arccos zi < х < 2лп + arccos zi,
где
2|==_1_(1_л£+1), Z2=_L(i+Va+i).
Отметим еще, что при а= — 1 х^=л(2п4-1), при а=0
2лп—^.<х<2лп+^- и при а=3
О	и.
2лл — arccos( —< х< 2лл или 2лл < х< 2лп + arccos ( —5-)
133
Упражнения
250.	При каких а уравнение имеет единственное решение:
1)	lg (X2-6х+8)|п |0=1п(ах-17); 2) log, (ах-7)=2 log,e (12х-х2-32)?
Найдите все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно реше-
ние (251—252).
251.	4х —0.2х—а+3<0.
252.	1 + log2 (2Х2+2х -|-3,5) log2 (ах2 4- а).
Найдите все значения а, для которых неравенство справедливо при всех
х (253-254).
253.	а-9х4-4 (а-1) Зх+а> 1.
254.	14-log5(x24-l)>log5(ax24-4x4-a).
Найдите все значения а, для которых оба неравенства выполняются при
любых х и 1/ (255—256).
255.	. 2a cos 2 (х—у) 4-8a2 cos (х—$/) 4-8a2 (а 4-1)4-5a < О,
, x24-!/24-l>2ax4-2i/4-a—а2.
256.	( 2а sin2 (х 4- </)4- а > 4а3 sin (х+у) 4- а3,
х2 4- (а4 4-1) У2 4- а > 2ху.
257.	Найдите все значения а и 6, при которых система имеет единственное
решение:
x24-i/2=b, х>0.
Найдите все значения а, при которых система имеет хотя бы одно решение
для любого b (258—259).
258.	(х24-1)°+(^24-1)у = 2,
, а+Ьху+х?у=\.
259.	26x4-(a-|“l)b£/2=a2,
k (a— 1) х34-«/3 = 1-
Глава IX
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
$ 1. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.	Стандартный вид многочлена от нескольких переменных.
В п. 1 $ 1 главы II было введено понятие целого рационального
выражения от переменных х, у, г. Примером такого выраже-
ния от х, у, г может служить
(х + у + Z) (х2 + у2 4- Z2 — ху — XZ — yz).
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем целое
рациональное выражение x34-y34-z3—Зхуг, имеющее вид сум-
мы нескольких одночленов от х, у, z, причем никакие два слагае-
мых не являются подобными (напомним, что два одночлена от х, у,
z называются подобными, если они отличаются друг от друга лишь
значением коэффициентов, например 3x4yz2 и — 5х*узг). Такую
сумму называют многочленом от х, у, z.
Определение 1. Многочленом от переменных xi, хп
называют сумму выражений вида ах*'... х*\ где а — число,
kt, ..., kn — неотрицательные целые числа, причем буквенные
части любых двух слагаемых различны. В записи обычно опускают
множители с нулевыми показателями.
Справедливо следующее утверждение:
Любое целое рациональное выражение от xi,..., хп тождествен-
но равно многочлену от xi, ..., хп.
Многочлены от одной переменной х записывают так, чтобы
степени х убывали слева направо, например пишут — 2х3+
+6х—4. Такую запись многочлена мы назвали стандартной. Ана-
логичная запись есть и для многочленов от переменных xi, ..., хп.
Определение 2. Одночлен ах*'Х2*... х„" считается стар-
ше, чем одночлен Ьх”' х"2... х„" (здесь а и b отличны от нуля), если
либо	либо существует такое s,	—1, что
&1=/П|, ..., ks = ms, но ks+i>ms+l.
Пример 1. Одночлен 2х3Х2Хз старше, чем одночлен 0,1 Х|Х2хз,
так как показатели у xi для них одинаковы, а показатель у хг в
первом одночлене больше, чем во втором.
Если слагаемые многочлена от xi, ..., хп расположены так, что
любое слагаемое старше, чем все слагаемые, стоящие правее него,
то говорят, что слагаемые расположены в словарном (лексикогра-
фическом) порядке.
135
Пример 2. Расположим в словарном порядке слагаемые
многочлена
—Зх’хз 4- 6х 1X2X3—0,1 х?х!хз+7х?х1хз.
Решение. Наивысший показатель у xi имеет 6Х1Х2Х3. В сла-
гаемых— 0,1х1Х2Хз и 7xiX2*3 показатели у xi одинаковы, но
первое старше, так как в нем больше показатель у хг и т. д. Зна-
чит, получаем:
6*1ХаХз — 0,1х|Х2*з 4- 7х?ХгХз—Зхгхз.
Можно показать, что два целых рациональных выражения
тождественно равны в том и только в том случае, когда совпадают
их записи в виде многочленов, расположенных в словарном поряд-
ке. Таким образом, запись в виде многочлена, расположенного
в словарном порядке, является стандартной формой целых рацио-
нальных выражений.
Определение 3. Назовем многочлен от переменных
xi, .... Хп однородным степени ш, если суммы показателей всех
его членов равны т.
Например, Зх+4у—5z— однородный многочлен первой сте-
пени, jr+ir+z1—ху—уг—хг — однородный многочлен второй
степени, x34-y34-z3—3xyz — однородный многочлен третьей сте-
пени.
Если axt'... Хп' — одночлен степени т, ki+...+kn=m, то при
любом t имеем:
a{txi)k'.... (/Xn)**=/*l+" +*"ax*‘... Xn=tmax\‘... х„.
Отсюда можно вывести, что многочлен f (xi,.... хп) является од-
нородным степени m в том и только в том случае, когда для
любого t выполняется равенство
f(tx\, ..., Zxn) = f"f(X|, ..., Хп).	(1)
Любой многочлен от х>, .... хп единственным образом записы-
вается в виде суммы однородных слагаемых. Часто вместо словар-
ного порядка применяют следующий: сначала разбивают много-
член на сумму однородных слагаемых и располагают их в порядке
убывания степеней, а уж потом члены в каждом слагаемом распо-
лагают в словарном порядке.
Например, располагая указанным способом многочлен
2x4-3//—x24-z2—xz4-x34-3x2y—5xyz,
получаем:
х3 4- Зх2//—5xyz—х2—xz 4- z2 4- 2x 4- 3y.
Теорема. Если F (x, y) — однородный многочлен степени m от
хи у, то существует многочлен f (t), такой, что F (х, y)=xmf(-^ .
Доказательство. Подставим в многочлен tx вместо у.
В силу формулы (1) имеем:
136
F (x, y)=F (x, xt)=xmF (1; t),
где F(l, f) — многочлен от t. Обозначая его через f(t), полу-
чаем требуемое равенство.
Приведение целых рациональных выражений к виду многочле-
на применяется для доказательства тождеств.
Пример 3. Докажем тождество
(х2Ч-1/2) (zi-\-t2)=(xz-\-yt)2+(xt—yz)2.	(2)
Решение. Раскрывая скобки, получаем:
(х2 4- у2) (z2+t2)=x2z2 4-х2/2+у2#+y*t2
и
(xz 4- yt)2 4- (xt—yz)2=x2z2 4- 2xzyt 4- t?t2 4-
4- x2/2—2xtyz 4- t^z2=x2z2 4- i/2? 4- x2? 4- ^z2.
Поскольку в обоих равенствах справа стоит один и тот же-много-
член, тождество доказано.
Тождество (2) является частным случаем тождества
(х? 4~--4_’*2) G/i 4-—4-{/Ь=
=(xiyi 4~ ••• 4*-*л«/п)24“2 (xkyi—xtyk)2,	(3)
где в правой части суммирование распространено на все пары
чисел k и /, такие, что 1^6, k<l и /<п. Тождество (3) также
доказывается путем раскрытия скобок, приведения подобных чле-
нов и сравнения левой части с правой.
Упражнения
260.	Докажите тождества:
1)	(а2 + Ь2 + с2+d2) (х2+у2+z2+t2)=(ах—by—cz— dt)2+
-|- (bx+ay 4- ct—dz)2+(ex+dy+az—bt)2+(dx—cy+bz+at)2;
2)	(x+tf+z)3-^-jf-^=3(.x+y)(y+z)(z+x);
3)	(a+&+c+d)2+(a-H-c-d)2-l-(<«+c-*-<*)2+
+(a+d - b - c)2 == 4 (a2+b2+c2+d2);
4)	tf-rf-^-d^+Ziab+dc+ad-bcy^+tf+J+d2?-
—2(ab—ad+bc+dc)2;
5)	((a2-*2) cd+^-d2) ab)2+((a2-b2) (c2-d2)-4abcdy =
=(a2 + b2)(c2+d2).
261.	Докажите, что при любых значениях р и q
x2+xy+y2=z3,
где x=q3+3pq2—p3, у= —3pq(p+q), z=p2+pq+q2.
262.	Докажите, что если a+ b + c=s, то
s (s — 2b) (s—2с)+s (s — 2a) (s—2b)+s (s—2a) (s—2c)=
=(s—2a) (s—2b) (s—2c)+Sabc.
137
263.	Докажите тождество
а2Ь2	а2(?	Ь2с2 _
(a-c)(b-c)+(a-b)(c-b)+(b-a)(,c-a)~ab + bc+ac'
2.	Симметрические многочлены. Если в многочлене х3у—ху*
букву х заменить буквой у, а букву у — буквой х (или, как гово-
рят короче, поменять буквы х и у местами), то получится много-
член ifx—ух1, который отличен от исходного. Но если сделать
то же самое с многочленом х’у+ху3, то получится многочлен
у’х+ух3, тождественно равный исходному. Говорят, что много-
член x’tf+xy3 не меняется при перестановке букв хну, что он
симметричен относительно этих букв.
Определение. Многочлен F(xi, ..., х„) называют сим-
метрическим, если при любой перестановке входящих в него букв
получается тождественно равный ему многочлен.
Так как сумма не изменяется при перестановке слагаемых, а
произведение при перестановке множителей, то ясно, что мно-
гочлены Xi +х2 + ...+хп и xi-X2-...-xn симметричны. Более общий
способ получения симметрических многочленов состоит в следую-
щем. Выражение
(/ + х1)(/+хг)-...•(/-)-хя)	(1)
при любой перестановке букв xi, ..., хп переходит в тождественно
равное ему выражение (отличающееся от исходного лишь поряд-
ком множителей). Поэтому если раскрыть скобки, то коэффициен-
ты при степенях t будут симметрическими многочленами от пере-
менных xi, ..., хп. Эти многочлены называют основными симмет-
рическими многочленами.
При п=2 имеем выражение
(/-|-Х1)(/-|-^2) = ^2+(Х1-|-Х2) /4-Х1Х2-
В этом случае основными симметрическими многочленами явля-
ются уже известные нам выражения xi+хг и Х|*хг. Обозначим
их oi и ог:
<n=Xl+X2,	О2 = Х1-Х2.
При п=3 имеем:
(/ + Х1)(/4-Х2)(/4-Хз) =
= Г+(Х| 4-хг + хз) г+(Х1Хг+Х|Хз+х2Хз) /+Х1Х2Х3.
В этом случае получаем уже три основных симметрических много-
члена:
<Ti=xi+x2+^3,
<Т2 = Х1Х2 + Х1Хз + Х2Хз,	(2)
Оз = Х\Х2Хз
Наряду с основными симметрическими многочленами рассмат-
138
ривают также степенные суммы, т. е. симметрические многочлены
вида
S| =Х|	4*ХП,
S2 = Xl+*2'+...-|-xt
S* = X1+X2 +
(3)
При п=2 имеем:
$1 = XI + Х2, $2=xf + -*i. S3 = X14-JI$ И т. д.
В курсах высшей алгебры доказывают следующую теорему:
Теорема 1. Любой симметрический многочлен от переменных
xi, ...» хп можно единственным образом выразить как многочлен
от основных симметрических многочленов с теми же переменными.
Мы проведем сейчас доказательство этой теоремы для случая
двух переменных. Сначала докажем следующее утверждение:
Теорема 2. Любая степенная сумма	может быть
представлена в виде многочлена от в\=х+у и <У2—ху.
Доказательство. Применим для доказательства метод
математической индукции. При п — 1 наше утверждение справед-
ливо, поскольку si =х-\-у=в\. Справедливо оно и при п=2:
S2 = X2 + t? = (х 4- у)2 — 2ху — О? — 2о2.
Предположим теперь, что утверждение доказано для степенных
сумм Sk, l^k^n, где п>2, и докажем, что оно справедливо
для 5л+ь Для этого заметим, что
$n + l =x"+l + t/" + l =(хл+уП) (х + и) + хпу — Хг/* =
=(хЛ+уп)(х+у)—ху(хЛ Г+/ ').
Это равенство можно записать в виде
$п+1==$пО1 Sn—102.	(4)
Так как по предположению и sn и sn_i можно выразить в виде
многочленов от oi и ог, то и s„+i можно выразить в том же виде.
Итак, доказываемое утверждение верно при k = l, k=2 и из
справедливости при k = n следует, что оно верно для А = п+1.
Значит, оно верно для всех k.
Пример 1. Выразим через О| и о2 степенные суммы $>, s2,
$3, $4, $5» $6*
Решение. Мы уже знаем, что Si=oi и s2=o2 — 2ог.
По формуле (4) получаем последовательно:
«з=«2О1 —siO2=(o?—2ог) oi — 0102=0?—З0102,	(5)
$4=s3Oi—s2O2=(o? —3oio2)oi—(о?—2ог)о2=	(6)
=of—4oi 02+2oi,
s5=S4O1 — S3O2=(of — 4о 102+2oi) о 1 — (о?—Зо 102) о2=	(7)
= о?—5о? 02+5О| о2,
«в=«во । — S4O2 = (о? — 5о? ог + 5о 1 о2) о । —	(8)
—(of—4о?ог 4- 2о2) Ог = о?—6of о2 4- 9о2о1—2о2.
139
Теорема 1 при п=2 принимает вид:
Теорема 1'. Для любого симметрического многочлена F (х, у)
существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен
Ф(оь 02), что F (х, у)=Ф(х-(-у, ху).
Доказательство. Пусть симметрический многочлен
F (х, у) содержит слагаемое axV. Если k=l, то это слагаемое
равно a{xyf и потому равно aof-
Если же k=/=l, скажем k>l, то наряду со слагаемым ax*t/ в
F (х, у) входит и слагаемое aifxf, получаемое из него перестанов-
кой букв х и у. Но au?f/z4-atrxz=a(xf/)z(xA-z4-i/*_z)=aG2St_/.
По теореме 2 s*_z можно выразить через oi и 02. Следовательно,
и сумма ахку‘а^х1 выражается через oi и о2. Так как это рас-
суждение применимо к любому слагаемому ахку1, то и весь много-
член F (х, у) выражается через oi и 02.
Пример 2. Выразим через ai и о2 симметрический много-
член
F(x, у)=х4+у4 + 2х3у + 2ху3+х2у2.
Решение. Имеем:
F(x, у)=х*+у4+2х3у+2ху3+х2у2 = st+202S2-}-al- Применяя
формулы для s4 и $2, получаем:
F (х, у)=of—4о2о2+2<з2+2о2 (о2 — 2о2)+ о2=
= О| — 2о?о2 — 02.
Покажем теперь, как выражаются через основные симметриче-
ские многочлены Oi=x4-y4-z> <j2=xy-[-xz-j-yz, a3=xyz от трех
переменных степенные суммы S2=x2-^-y2-^-z2 и S3=x34-y34*z3-
Так как
о?=(х+у+z)2 = х2+у2 + z2 4- 2ху+2хг 4- 2yz = s2 4- 2о2,
то имеем:
«2 = 0? — 2о2	(9)
(эта же формула верна и для двух переменных). Далее имеем:
o?=(x4-y4-z)3=(x4-y4-z) (x+y+z)2=
=(x+y+z)(x2+y2 + z2+2xy+2xz + 2yz)=
=х3 4- у3 4- z3 4- Зх2у 4- Зху2 4- 3x2z 4- Зхг2 4- 3y2z 4- Зуг2 4- Gxyz=
=х3 4- У3 4- z3 4- (3x2t/ 4- Зху2 4- 3xyz) 4-
4- (3x2z 4- 3xz2 4- 3xyz) 4- (3y2z 4- 3yz2 4- 3xyz)—3xyz=
=x3 4- y3 4- z3 4- 3xy (x 4- у 4- z) 4- 3xz (x 4- у 4- z) 4-
4- 3yz (x 4- у 4- z)—3xyz=x3 4- y3 4- z3 4-
4*3 (x4-y4-z) (xy4-xz4-yz)—Зхуг=5з4-ЗО|Ог — З03.
Поэтому
S3=o3 — Зо1О24-Зо3.	(10)
Из формулы (10) вытекает тождество
140
x3+y3+z3 — 3xt/z=(x+y+z)(x2+y2+z2—xy—xz —yz). (11)
В самом деле,
*3 + У3+z3 — 3xyz=$з—Зо3=о3 — 3oi o2=
= oi (о2 — 3a2)=(x+f/4-z)[(x+t/+z)2—3 (xy-j-yz-j-xz)].
Раскрывая скобки, получим тождество (11).
Упражнения
264.	Выразите через О| и о2 степенные суммы $4, $5,	$7, $8 от х, у, г.
265.	Не решая квадратного уравнения х2—6x4-10=0, составьте новое урав-
нение, корнями которого были бы кубы корней данного уравнения.
266.	Не решая уравнения х2 —Зх-|-1=0, найдите сумму четвертых степеней
его корней.
267.	Выразите через oi и а2 симметрические многочлены:
1)	х3-|-4х2</-|-4xi/22) х5-|-6х41/— 10х3^2— 10x2//3-J-6x//4-|-i/5.
268.	Дано квадратное уравнение 2х24-3х—5=0, имеющее корни аир. Со-
ставьте новое квадратное уравнение, корнями которого были бы
ai=2a+-^- и р!=2р+^-.
р	a
269.	Решите предыдущую задачу в случае:
1)	Зх2+7х+4=0, a,=-2-H Р.=-Ц;
р— 1 a— 1
2)	2«2 —4«+3-0.	P.-jjjL.
270.	Разложите на множители (выразите через oi и о2):
1)	10х4—27х3у—1 Юх2!/2—27ху34-10у4;
2)	2*4+7x3i/-|-9x2i/2+7xi/34-2i/4.
271.	Разложите на множители (представьте в виде произведения симметри-
ческих друг другу многочленов):
1)	2х4+Зх3«/+6х2!/24-Зху34-2/;
2)	Зх4—вх3!/ + 1 4х2</2—8х/+3/.
272.	Решите уравнения:
1)	10/4 —27/3— НО/2—27/4-10=0;
2)	2/44-7/3-|-9/2-|-7/4-2=0.
3. Доказательство неравенств с несколькими переменными.
В этом пункте мы докажем некоторые неравенства, выполняющие-
ся при всех значениях переменных. Как и в случае одного пере-
менного, в основе доказательства этих неравенств лежат утвер-
ждения о положительности суммы и произведения двух положи-
тельных чисел, а также то, что квадрат любого числа неотрица-
телен: а2^0 для всех а.
141
Применим последнее утверждение к а—х—у, где х>0,
у^О; (х—у)2^0, т. е. х2—2х</+у2>0, откуда следует, что
ху^£±£.	(1)
При этом знак равенства может иметь место лишь в случае х=ы.
Любое неотрицательное число а можно записать в виде а—:?.
Тогда х=-\/а. Поэтому из неравенства (1) вытекает, что для лю-
бых неотрицательных чисел а и Ь выполняется неравенство
(2)
Оно означает, что среднее геометрическое двух чисел не больше,
чем их среднее арифметическое.
Замечание. Неравенство (2) допускает простое геометрическое доказа-
тельство. Отложим отрезки длиной а и b на прямой и примем объединение этих
отрезков за диаметр полуокружности (рис. 45). Тогда среднее геометрическое
чисел а и b равно длине отрезка СМ, а их среднее арифметическое — радиусу
окружности. Ясно, что |СМ | </?, причем |СМ|=7? тогда и только тогда, когда
а=6.
На рисунке 46 изображено геометрическое доказательство неравенства (1).
Здесь ху — площадь прямоугольника ОАМВ, а “уН" 2—сумма площадей тре-
угольников OAN и ОВР, и видно, что площадь прямоугольника не превосходит
суммы площадей треугольников.
Доказанное выше неравенство (2) является частным случаем
следующего неравенства Коши:
Vai •...•««<а-+а»+-+а-,	(3)
имеющего место для любых неотрицательных чисел аь аг, •••, ап
(при этом знак равенства имеет место, лишь если ai =аг=...=ап).
Оно означает, что среднее геометрическое неотрицательных чисел
не больше, чем их среднее арифметическое.
Докажем неравенство (3). В п. 5 § 3 главы VIII было доказано
неравенство е*^1+х, имеющее место при всех значениях х.
142
Обозначим через S среднее арифметическое неотрицательных чи-
сел он, .... ап и подставим в неравенство 1 +х вместо х числа
—1,	Получим п неравенств:
•S	а*!
^-<es ,	(4)
Левые части этих неравенств по условию неотрицательны, и пото-
му, перемножая п неравенств (4), получаем:
п а*	а1 + .„ + ая
Напомним, что а* означает произведение at ... ап.
Но ai+ -+a"=s) и потому	Значит, из (5) следует:
И	О
ai- о________.
S"
а это и означает, что
Замечание. Поскольку равенство £*= 1 -|-х имеет место лишь при х=0,
s ak	cik
то е	для всех k, l^k^n, лишь при условии, что -q- = 1 для всех ky
о	о
т. е. при условии, что
ai =а2=... = an=S.
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы среднее геометрическое
неотрицательных чисел равнялось их среднему арифметическому.
Пример 1. Докажем, что при х>0,	z>0 выполняет-
ся неравенство
х3 + t/3+z3 — Зхуг^О.	(6)
Решение. Положим в (3) а=х3, b = if, с=з?. Имеем:
а это и есть неравенство (6).
Упражнения
273.	Докажите, что для любых неотрицательных х, у
х’+у2
2
143
274.	Пусть х, (/ — неотрицательные числа и х+(/=!. Докажите, что:
1) х2+у2>4'; 2) х4+У4>у; 3) х’+г/,>158-
275.	Докажите, неравенства:
IX 1	.	1	.	.	1	1^1.1.	.	1	1
о 7Г+г+7Г+2+" +^> 2-= 2) 2г+зг+-+^<— для всех
3)	л!>л2; 4) 1+-^+-L4-...4—L>2Vn+l— 2;
V2 л/З V”
♦ 5) |a|-|6|<|a+ftlC|al + IZ>|; 6) 2!±^>-i±±*L(a>0, Z>>0);
X	о
7)	(«>0. Ь>0); 8) 3(a2+Z>’+?)>(a+Z>+c)2;
9) y+y+y>a+*+c (a>°- ft>0. ОО);
10)(a>b>0)i
11)	-^(a+c)(b+d)^i/ab+i/cd(a^O, b^O, c>0, d>0);
12)	(a+Z>)(a+c)(ft+c)>8a*c (a>0, b>0, c>0);
l3> ттг+т?г+-гтг>4 <“>" »>»•
14)	V(a+ fc) (6 + /) (c+m)^/abc+tfklm (fl>0, 6>0, c>0, fc>0,
/>0, m>0); 15) ±+|+±>_|т_(а>0, Z»0, c>0);
16)	17)(1+4)"<(1+'ЙТг)"+1<3;
!8) 2<(l+±)',+,<(l+;J7T)',<4;
19) (xt+x2+...+x„)(— +...+— )>n2(x/>0, /=1, 2, .... n);
\X1	Xn /
201 -H-r+-rLr>~ 	:
a + b c ' d	a+b+ c+d
1	1
21)	(am+6’,)m<(a“+6")'1 (a>0, ft>0, m>n>0);
22)	(ab+bc+ac'f>^bic‘ (a>0, 6>0, c>0);
23)	(a+ft)”<2“-|(a“4-6")(a>0, ft>0);
24)	(«>0, ft>0); ч
Vb ya
25)	fl4 + Ь4>e36 + ab3 (a>0, b>0); 26) x^-j-y5^x4y^-xy4 (x^O, i/^0);
27)	ab (a+b)+ac(a+c)+bc (b + c)^6abc (fl>0, b>0, c>0);
28)	a+b + c^^ffi+^/te+^M (a>0, b>0, c>0).
276. (x1t/14-...4-xn(/n)2C(x?4-...4-x?)(i/?4-...+^) (неравенство Коши).
2	2
277. (x^+...4-xJ)p •((/?+... + (/£)’ >Х1у1+... + хпуп(неравенство Гельдеро).
144
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВ
1. Геометрический смысл одного уравнения с двумя перемен-
ными. Мы знаем, что каждой непрерывной функции f соответ-
ствует линия Г — график этой функции. Равенство (х), кото-
рому удовлетворяют координаты любой точки М (х, у) этого графи-
ка и не удовлетворяют координаты иных точек плоскости, назы-
вают уравнением линии Г.
Не все кривые на плоскости являются графиками функций. На-
пример, не является графиком функции окружность, поскольку од-
ному значению х могут соответствовать два значения у (рис. 47).
Но окружность состоит из двух полуокружностей АВС и ADC,
являющихся графиками функций. Можно было бы написать
отдельно уравнения этих полуокружностей, но мы вместо этого на-
пишем одно уравнение с переменными х и у, которому удов-
летворяют координаты любой точки окружности, но не удовлетво-
ряют координаты ни одной точки, не лежащей на окружности.
Чтобы вывести это уравнение, предположим, что центр окруж-
ности находится в точке А (а; Ь), а ее радиус равен R (рис. 48).
Для любой точки М (х; у) окружности выполнено равенство АМ2=
=R2. Но (см. формулу (1) п. 3 § 2 главы I)
ЛМ2=(х—а)2+(у—6)2,
а потому выполняется равенство
(х—а)2+(у—ft)2=/?2.	(1)
Уравнение (1) и является уравнением окружности — ему,
как уже говорилось, удовлетворяют координаты любой точки этой
окружности, но не удовлетворяют координаты точек, не лежащих
на ней.
Пример 1. Напишем уравнение окружности с центром
А (—4; 2) и радиусом 6.
Решение. По формуле (1) получаем:
(x+4)2+(i/-2)2=36.
145
Если раскрыть в этом уравнении скобки, получим:
х2+у2 + 8х—4у= 16.
Вообще, уравнение окружности с центром А (а; Ь) и радиусом
R после раскрытия скобок принимает вид:
х2+уг—2ах—2Ьу=С,	(2)
где C=R2 — a2 — b2. Обратно, выделяя в уравнении вида (2)
полные квадраты, приводим его к виду
(x — a)2+(y—b)2 = D,	(3)
где D = C+a2 + b2. Если С-{-а2+Ь2>0, то существует такое
R, что D=R2. В этом случае уравнение вида (2) является уравне-
нием окружности с центром А (а; Ь) и радиусом R. Если 0=0,
то получаем уравнение (х—a)2+(f/~6)2=0, которому удовлетво-
ряют лишь координаты точки А (а; Ь). В этом случае уравне-
ние задает «окружность нулевого радиуса», т. е. точку. Наконец,
если О<0, то получаем уравнение, которому не удовлетворяют
координаты никакой точки плоскости, т. е. уравнение, задающее
пустое множество точек (позднее, когда мы познакомимся с комп-
лексными числами, можно будет сказать, что этому уравнению
удовлетворяют точки с комплексными координатами, но мы пока
работаем лишь в области действительных чисел).
Уравнение вида F (х, у)Ф(х, у)=0 задает объединение линий
F(x, у)=0 и Ф (х, у)=0-
Пример 2. Найдем линию, заданную уравнением
(х-4)(</+3)=0.
Решение. Так как произведение обращается в нуль при
обращении в нуль хотя бы одного из множителей, то надо решить
уравнения х—4=0 и у+3=0, а потом объединить их реше-
ния. Равенству х—4=0 удовлетворяют координаты всех точек
прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку
А (4; 0) оси абсцисс, а уравнению t/+3=0 — все точки прямой,
параллельной оси абсцисс и проходящей через точку В(0; — 3).
Упражнения
278.	Составьте уравнение, которому удовлетворяют координаты лишь трех точек:
Л, (1; 2), Л2(-3; 4), Л3(0, 0).
279.	Найдите центр и радиус окружности:
1)	x2 + t/J4-4x-8£/ = 5;	2) х2+//2-8х-6// + 29 = 0;
3)	x2+t/2 —8х —6//-|-25 = 0;	4) х2-Ь//2-6х+8=0.
280.	Напишите уравнение окружности с центром Л (а; Ь) и радиусом R:
1)	а=1, 6 = -1, /? = 5; 2) а = -4, 6 = 3, Я = 10.
146
2.	Системы и совокупности уравнений* Пусть заданы два урав-
нения: Ft (х, у)=Ф|(х, у) и F2(x, у)=Фг(х, у). Первое из
этих уравнений задает на плоскости линию Г|, а второе — линию
Гг- Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все
пары чисел (а; Ь), такие, что при замене в данных уравнениях х на
а и у на b получаются верные числовые равенства. Если поставле-
на задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что за-
дана система уравнений, и записывают эту систему в виде
Ft (х, у)=Ф1 (х, у),
Fi (х, у)=Ф2 (х, у).
(1)
Совокупность всех пар чисел (а; Ь) таких, что при подстановке
а вместо х и b вместо у получаются верные .числовые равенства,
образует решение данной системы. Если решение системы состоит
из пар чисел (он; bi), .... (ап; Ьп), то ответ пишут либо в виде
{аи; bi), ..., (ап; Z>„)}, либо в виде xt=ai, t/i = 6i; ...; хп=ап, уп=Ьп.
Аналогично определяются системы уравнений с тремя и боль-
шим числом переменных. Как правило, число уравнений системы
должно равняться числу переменных. Разобранный выше геомет-
рический смысл системы двух уравнений с двумя переменными
показывает, что при совпадении числа уравнений с числом пере-
менных мы получаем в общем случае или конечную совокупность
решений, или бесконечную совокупность решений, которую можно
все же перенумеровать. Последний случай показан на рисунке
49 — гипербола ху=\ пересекает в бесконечном множестве
точек синусоиду y=sin х, и потому система уравнений
(2)
I t/=sm х	v 7
имеет бесконечно много решений. Однако это множество решений
не заполняет никакой линии.
Может случиться, однако, что не существует значений пере-
менных, при подстановке которых в
уравнения данной системы получа-
ются тождественные равенства. На-
пример, очевидно, что не имеет ре-
шений система уравнений
х—у=2,
2х—2у=7.
(3)
Системы уравнений, не имеющие
решений (или, что то же самое,
с пустым множеством решений),
называют несовместными. Как пра-
вило, несовместными оказываются
системы уравнений, в которых число
уравнений больше числа перемен-
ных.
147
Пример 1. Докажем, что система уравнений
(4)
несовместна.
Решение. Из первых двух уравнений этой системы на-
ходим, что х=4, у=2. Но при подстановке найденных значе-
ний в третье уравнение получаем неверное равенство
43+22=9.
Геометрический смысл этого результата состоит в том, что
окружность х2+у2=9 не проходит через точку пересечения
А (4; 2) прямых х—у=2 и х+</=6. Лишь при значении С=20
правой части в уравнении х?+уг = С окружность прошла бы через
эту точку.
Пример системы уравнений (3) показывает, что и в случае,
когда число уравнений совпадает с числом переменных, система
может оказаться несовместной. В случае двух уравнений с двумя
переменными это означает, что соответствующие линии не пересе-
каются. Несовместной может оказаться и система уравнений, в
которой число уравнений меньше числа переменных; например,
несовместна система уравнений
x2+t/2+2z=l,
3x2+3y2 + 6z=15.
(5)
В некоторых случаях система имеет бесконечно много реше-
ний, зависящих от одного или нескольких непрерывно меняю-
щихся переменных. В этом случае ее называют недоопределенной.
Чаще всего недоопределенной оказывается система уравнений,
в которой число уравнений меньше числа переменных.
Пример 2. Покажем, что система уравнений
х?+2у=8,
Х?-$-Зу — 2 = 3	у
(6)
недоопределена.
Решение. Из первого уравнения находим, что х2 = 8 —2у.
Подставляя это значение х2 во второе уравнение, получаем, что
у—z=— 5. При любом значении у найдется значение z, удов-
летворяющее этому уравнению, а именно z=y+5. Итак, решение
системы уравнений (6) можно записать в виде х2 = 8 —2у,
z=y+5. Так как 8—2у=х2^0, то у должно принадлежать лучу
(—оо; 4].
Пример 3. Система уравнений
( x2-|-y2 + z2 = 169,
lx+tf+z=19
148
недоопределена. Если придать х определенное значение, то полу-
чится система двух уравнений с двумя переменными, из которой
можно найти значения у и г. Например, при х=3 получаем
систему уравнений
/ 32+02+z2 = 169,
l3+f/+z=19,
из которой находим 0i=4, zi = 12 или 02=12, z2=4. При
х=12 получаем систему, имеющую решение 0i = 3, zi=4 или
22=3, у2=4 и т. д. Таким путем находим бесконечное множество
троек чисел, удовлетворяющих данной системе уравнений.
Недоопределенной может оказаться и система уравнений, в
которой число уравнений равно числу переменных или даже боль-
ше него. Например, недоопределены системы уравнений
f х2+у2=9,
12х2+202= 18	™
и
[ х2+02=9,
i 2x2+2^= 18,
Ux2+3^ = 27.	(8)
Это объясняется тем, что в (7) второе уравнение системы полу-
чается из первого умножением обеих частей на 2, а потому каж-
дое решение первого уравнения является и решением второго. Та-
ким образом, второе уравнение излишне и остается недоопреде-
ленная система из одного уравнения с двумя переменными. Гео-
метрически в этом случае оба уравнения системы задают одну и ту
же линию. Аналогично обстоит дело и в системе (8).
Иногда бывает, что заданная система уравнений обладает не-
которой симметрией, например уравнения системы не меняются
при перестановке переменных или при изменении знака у одного
или нескольких переменных. Тогда соответствующей симметрией
обладает и множество решений этой системы уравнений.
Пример 4. Пара чисел (3; 4) удовлетворяет системе урав-
нений
( х2 + </2=25,
1ху=12,
так как 324-42 = 25, 3-4=12. В силу симметрии уравнений
системы ясно, что пара чисел (4; 3) тоже удовлетворяет этой
системе. Кроме того, оба уравнения системы не изменяются при
одновременной перемене знака у х и у. Отсюда следует, что пары
чисел (—3; —4) и (—4; —3) также удовлетворяют нашей системе.
Ответ можно записать либо в виде
{(3; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3)},
либо в виде
Х|=3, Х2=4, хз=—3, х<=—4,
0i=4; 02=3; 03=—4; у4 = — 3.
149
Позднее мы увидим, что эта система не имеет иных решений.
Мы уже неоднократно пользовались тем, что решение уравне-
ния вида
f,(x)...f„(x)=0	(9)
сводится к задаче об отыскании значений х, удовлетворяющих
хотя бы одному из уравнений ,fi (х)=0, ..., f„(x)=0. Если постав-
лена такая задача, то говорят, что задана совокупность урав-
нений fk(x)=O, l^k^n. Чтобы отличить совокупность уравне-
ний от системы, будем обозначать ее с помощью квадратной
скобки или точек с запятой:
’AW=o,
j/w=b,’
(Ю)
или
Л(х)=0;	f„(x)=O.
(Ю')
Аналогичный смысл имеет понятие совокупности уравнений
с несколькими переменными и совокупности систем таких уравне-
ний. Запись
F, (х, t/)=0,
Л(х, у)=0
(Н)
означает, что требуется найти все пары чисел (а; Ь), которые удо-
влетворяют хотя бы одному из заданных уравнений. Если урав-
нение Fi (х, у)=0 задает линию Г1, а уравнение Fi(x, у)=0 —
линию Гг, то совокупность (11) задает объединение этих линий
(в то время как система уравнений
{С1 /х'	— пересечение тех же линий).
Запись же
Л(х, 0)=О,
Ф1 (х, 1/)=0,
fFn(x, у)=0,
L 1Ф„(х, у)=0
означает, что надо решить все системы уравнений
(12)
F*(x, у)=0,
Ф*(х, у)=0,
1<Л<п,
и объединить найденные решения.
Пример 5. Решим совокупность систем уравнений
Г I х2+у2=25,
1x0=12,
{ х+0=1О,
LI Х0=16.
150
Решение. Выше было указано, что решение первой системы
уравнений имеет вид: КЗ; 4), (4; 3), (—3; —4), (—4; —3)}.
Решение же второй системы уравнений имеет вид: {(2; 8), (8; 2)}.
Чтобы получить решение заданной совокупности систем уравне-
ний, надо объединить найденные решения. В результате получаем
ответ: КЗ; 4), (4; 3), (-3; -4), (-4; -3), (2; 8), (8; 2)}.
Упражнения
281.	Решите совокупность систем уравнений:
1)
х+у = 6,
ху=8,
х+3У=1,
х—2у= — 4;
2)
х2-|-«/2=58,
х2—у2=40,
х3+у3 = 126,
х3—</3=124.
282.	Объясните, почему несовместна система уравнений
!x+3i/=7,
Зх—//=1,
x34-2t/3= 15.
283.	Является ли несовместной система уравнений
!х+3у = 7,
Зх—у = 1,
х3 + 2//3=17?
284.	При каком значении С совместна система уравнений'
!6х—у=7,
х+3//=17,
х2-£/2==С?
285.	При каком значении С совместна система уравнений
(Сх+2//=1,
*+у=5,
х2+^=17?
286.	Выразите из системы уравнений
f х2-!- 2i/2+z=6,
I 2х2-3^ + 5z=l
x и у через z. Какие значения может принимать z?
287.	Дополните систему уравнений
{ Х-|-1/=6,
I 2х+//=1
двумя уравнениями так, чтобы она стала: 1) несовместной; 2) имеющей ко-
нечное множество решений. Ответ поясните графически.
288.	Какой симметрией обладает множество решений системы уравнений:
О ( х4 + */4 = 97,	2) Г х//=8,
I х6+//6 = 793; I x2+f/2=20;
151
3)	( х2+у2=17,	4) ( х2+У4=20,
I х4+у4=5; I Х4+^=2О?
289.	Дополните уравнение хг+у2+2ху=12 еще одним уравнением так, чтобы
получившаяся система уравнений вместе с решением х=а, y=b имела
бы еще решения х=Ь, у=а; х=—а, y= — b и х=—Ь, у=—а.
290.	При каком значении С система уравнений
{ЗхЧ-х/=Сх,
6х—2у~Сх
имеет: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений?
За Равносильные системы уравнений. При решении систем урав-
нений их обычно заменяют равносильными системами уравнений,
пока не придут к системе уравнений вида {х=а, или к совокуп-
\у=Ь
мости таких систем. При этом понятие равносильности систем
уравнений определяется аналогично тому, как это было сделано
в п. 2 $ 4 главы II для уравнений с одной переменной.
Определение. Две системы уравнений
Fi (х, у)=Ф> (х, у),
F2(x, у)=Ф2(х, у)
(1)
Г3(х, 1/)=Ф3(х, у),
F<(x, у)=Ф4(х, у)
называются равносильными, если любая пара чисел (а; Ь), удовлет-
воряющая первой системе, удовлетворяет и второй, а любая пара
чисел, удовлетворяющая второй системе, удовлетворяет и первой
(иными словами, если решения этих систем уравнений одинаковы).
Очевидно, что при замене одного из уравнений системы равно-
сильным ему уравнением (т. е. уравнением, задающим то же самое
множество) система переходит в равносильную ей систему урав-
нений. Поэтому мы можем заменить систему (1) равносильной ей
системой
h (х, у)=0,
h(x, у)=0,
(2)
где fi (х, у)—Ft (х, у)—Ф| (х, у), f2(x, y)=F2(x, у)—Ф2(х, у).
Может случиться, что решения и Х2 двух систем уравнений
различны, но пересечения этих решений с некоторым множеством
У равны. В этом случае будем говорить, что данные системы рав-
носильны на множестве Y.
Пример 1. Системы уравнений
(х+у=9,	Гх+у=9,
I ху = 18 и । ху _	18____
^(х-З^+^-б)4	(X-3)2+(У-6)2
152
не являются равносильными, так как пара чисел (3; 6), удовлетво-
ряющая первой из них, не удовлетворяет второй (при х=3, у=6
обращается в нуль знаменатель (х—3)2+(у—6f). Но на мно-
жестве, получаемом из плоскости выбрасыванием точки (3; 6),
эти системы уравнений равносильны.
При решении систем уравнений, как и при решении уравнений
с одной переменной, применяется метод разложения на множители.
Он основан на следующей теореме:
Теорема. Если функции F\ (х, у), .... Fn (х, у) определены на
некотором множестве X, то на этом множестве система уравне-
ний
{ /ч(х, y)-...-Fn(x, у)=0,	/31
1ф(х, y)=Q	w
равносильна совокупности систем уравнений
{Fi (х, у)=0,	.	(Fn(x,y)=Q,
1Ф(х, у)=0;	(Ф(х, у)=0.	''
Доказательство. Пусть пара чисел (а; Ь) удовлетво-
ряет системе уравнений (3), т. е. пусть
(Fi (a, b)-...-Fn(a, Z>)=0,
I Ф (а, 6)=0.
Тогда найдется такое k, 1	что F* (а, 6)=0, и потому та же
пара чисел удовлетворяет системе уравнений
(Fk(x, у)=0,
I Ф(х, у)=0
и тем самым совокупности систем уравнений (4).
Обратно, если пара чисел (а; Ь) удовлетворяет совокупности
систем уравнений (4), то найдется такое k, \^.k^n, что эта пара
чисел удовлетворяет системе уравнений
(Л(х, у)=0,
1Ф(х, </)=0,
т. е. Fk(a, 6)=0, Ф(а, 6)=0.
Поскольку все функции Fk, 1 k п, определены на множестве
X, то они определены в точке М (а; Ь), и потому произведение
Fi (a, b)'...'Fn(a, b) тоже равно нулю. Это значит, что пара
(а; Ь) удовлетворяет системе уравнений (3).
Пример 2. Решим систему уравнений
Hx2+^-25)(x+f/-8)=0,
\ху=12.
Решение. Данная система уравнений равносильна сово-
купности систем уравнений
(х2+у*—25=0,	/х+у-8=0;
1ху=12;	1ху=12.
153
Первая система имеет решение КЗ; 4), (4; 3), (—3; —4), (—4; —3)},
а вторая — решение К2; 6), (6; 2)).
Значит, данная система имеет решение КЗ; 4), (4; 3), (—3; —4),
(—4; —3), (2; 6), (6; 2)}, или иначе
{Х| = 3,	(*2=4,	( *з=—3,	|х<=—4,	|х5=2,	|*б=6,
yi=4;	11/2=3;	1у3=— 4;	1у4=—3;	11/5=6	\у6=2.
Замечание. Повторно применяя теорему, получаем, что решение си-
стемы уравнений
Г Fl (x,//)-...-F„(x, £/)=0,
( Ф1 (х, £/)....‘Фт(х, у)=0
сводится к решению совокупности, состоящей из систем вида
Г Л(х, £/)=0,
1ф/(х, £/)=0,
где k — пробегает все значения от 1 до и, а I — все значения от 1 до т.
Упражнения
291.	Являются ли равносильными следующие системы уравнений:
( х+3у=6, { (х+3//)(х2+^)=6(х2+Л
I Зх- 1 = 1	I (ЗХ- 1) (х-£/) = Х-£/?
292.	Какой совокупности систем уравнений равносильна система уравнений
(х-у+ 1)(*2+у2-25)=0,
(Зх+</+5)(хУ-12)=0?
4.	Метод исключения. Наиболее мощным методом решения сис-
тем уравнений является метод исключения неизвестных, позволяю-
щий последовательно сводить решение данной системы к решению
системы (или совокупности систем), содержащей на одну перемен-
ную меньше. Этот метод последовательного исключения основан на
очевидном утверждении, что система уравнений
y=f(x),
Ф(*, y)=Q
равносильна системе уравнений
f У=1(х),
1Ф(*, ц*))=0
(1)
(2)
и аналогично для большего числа переменных. Но решение систе-
мы (2) сводится к тому, что мы решаем уравнение Ф (*, f (*))=0,
содержащее лишь *, после чего подставляем найденные значения
* в равенство y=f(x) и находим соответствующие значения у.
Чтобы свести заданную систему уравнений
F(x, t/)=0,
Ф(*, у)=0
(3)
154
к системе уравнений вида (1) или совокупности таких систем,
надо решить какое-либо уравнение системы относительно одного
из переменных, т. е. выразить его через Другую переменную.
Пример. Решим систему уравнений
fxy=\2,
\j?+y* 2=25.
Решение. Из первого уравнения находим: У—^-- Подстав-
ляя это значение во второе уравнение, получаем: х24-^г=25, или
после упрощения: х*—25х2+144=0. Корнями этого биквадратно-
го уравнения являются числа Х| = 3, Х2=4, х3=—3, х«=—4.
12	12 о	12
Им соответствуют значения i/i=-y-=4, ^г=—=3, 1/3=7^=
= —4, t/4=T^-=— 3. Значит, решением Данной системы урав-
нений является множество пар чисел {(3; 4), (4; 3), (—3; —4),
(—4; —3)}. Выше мы указывали эти пары чисел, но лишь теперь
убедились, что ими исчерпывается решение.
Упражнения
293.	Решите системы уравнений:
1) ( 4х24-7«/2=148,
I Зх2 —</2=11;
3)	| х+у=х2,
I Зу—х=у‘\
5.	Метод алгебраического сложения уравнений. Вторым мощ-
ным методом решения систем уравнений является метод алгебраи-
ческого сложения, который основан на следующей теореме:
Теорема. Пусть функция -ф (х, у) определена для всех пар (а; Ь),
при которых определены обе функции F и Ф. Тогда система уравне-
ний.
{ F(x, </)=0,
I Ф(х, у)=0
равносильна системе уравнений
{ F(x, t/)=0,
I Ф (х, fz) -Ь ф (х, у) F (х, у)=0.
(1)
(2)
155
Иными словами, при решении систем уравнений можно прибав-
лять к одному из уравнений системы другое уравнение той же си-
стемы, умноженное на некоторый множитель.
Доказательство. Пусть пара чисел (а, Ь) удовлетво-
ряет системе уравнений (1), т. е. пусть F (а, 6)=0, Ф(а, 6)=0.
Тогда верно равенство ф (a, b)-F{a, ft)=0 и, следовательно, ра-
венство Ф(а, 6)-|-ф(а, b)'F (а, 6)=0. Это и значит, что пара
(а, Ь) удовлетворяет системе уравнений (2).
Обратно, пусть пара чисел (а; Ь) удовлетворяет системе уравне-
ний (2), т. е. пусть F (а, Ь)=0, Ф (а, Ь)-j-ф (а, b) F (а, Ь)=0. Тогда
верно и равенство Ф (а, 6)=0, а потому данная пара удовлетворяет
и системе (1). Теорема доказана.
Следствие. Если к одному из уравнений системы (1) прибавить
другое уравнение той же системы, умноженное на некоторое число
X, а другое уравнение системы оставить без изменения, то получим
систему, равносильную данной.
Пример. Решим систему уравнений
/х3+у?=28,
I х2у+ху2=12.
Решение. Метод исключения приводит в данном случае к
сложным выкладкам. Поэтому поступим иначе: прибавим к пер-
вому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 3. В
силу формулы для куба суммы получаем систему уравнений
((х+{/)3=64,
I ху(х+у)=\2,
равносильную заданной. Она равносильна системе уравнений
fx+f/=4,	fx+t/=4,
1х0(х+у)=12, т. е. \ху=3.
Теперь уже можно исключить переменное. Из первого уравнения
находим: у=4—х. Подставляя это значение во второе уравне-
ние, получаем квадратное уравнение х2—4х4-3=0, имеющее
корни Х| = 1, хг —3. Соответствующие значения у равны: yi=3,
«/2=1. Значит, и решение данной системы имеет вид {(1; 3), (3; 1)},
или, что то же самое,
|х| = 1, | Х2 = 3,
lt/i = 3; li/2=l.
Упражнения
294.	Решите системы уравнений:
. 1) {х2+ху+2уг=74, 2) (х2+ух=15,	3) (х+2у+—=16,
l2x2 + 2x//-|-t/2 = 73;	lx//—х2=2;	J
(Зх+//+у=23.
156
6.	Метод замены переменных. Системы симметрических урав-
нений*. Для решения систем уравнений применяется также ме-
тод замены переменных — некоторые выражения от исходных
переменных принимаются за новые переменные, в результате чего
получается более простая система уравнений относительно этих
переменных. После того как эта система решена, надо по найден-
ным значениям выбранных нами выражений найти значения ис-
ходных переменных.
Пример 1. Решим систему уравнений
(х3у+ху3=ЗОО,
I xy4-xi+y2=37.	(1)
Решение. Если вынести в первом уравнении за скобки ху,
получим уравнение ху (х2+у2)=300. Теперь видно, что левые
части обоих уравнений выражаются через ху и х2-\-у2. Поэтому
положим xy=t, x2-[-y2=s и получим для отыскания t и s более
простую систему уравнений:
f /s=300,
I /4-5 = 37.	(2)
Решая эту систему методом исключения, находим, что /> = 12,
51=25, 6=25, 52=12.
Так как t=xy, 5=х24-у2, то для отыскания х и у надо ре-
шить совокупность двух систем уравнений:
(ху = 12,	(ху=25,
1^+у2=25;	lx24-t/2 = 12.	(3)
Решим первую из этих систем методом алгебраического сложения.
Получаем, что она эквивалентна системе уравнений
(4)
Но из (х-|-!/)2=49 следует, что х4~{/=7 или x-f-y—— 7,
а из (х—у)2=1 следует, что х—у=1 или х—у= — 1. По-
этому полученная система уравнений равносильна совокупности
четырех систем уравнений первой степени:
х+у=7,
х—у=1;
х+у=-7,
х—у=Л;
х+у=7,	(х+у=—7,
х—у=— 1; I х—у= — 1.
Решая ее, получаем ответ:
R4; 3), (-3; -4), (3; 4), (-4; -3)},	(5)
или иначе:
Х|=4, Х2=— 3, Хз=3, х<=—4,
i/i = 3; У2=— 4; уз=4; у4=—3.
Легко проверить, что вторая система, т. е. { х^=25,
157
не имеет решений. Поэтому (5) является и решением заданной
системы уравнений.
Общего правила выбора новых переменных не существует.
Существуют два вида систем, когда есть разумный выбор перемен-
ных: 1) система симметрических уравнений и 2) система уравне-
ний, одно из которых однородно.
Если оба уравнения системы
F (х, у)=0,
Ф(х, у)=0
(6)
являются симметрическими многочленами от х и у, полезно при-
нять за новые переменные основные симметрические многочлены
<j\=x+y и ог—ху от х и у. Как было показано в п. 2 § 1, оба
многочлена F (х, у) и Ф(х, у) можно выразить через oi и ог, в
результате чего получается система уравнений от oi, 02, которая
обычно более проста, чем исходная. Решив ее, находим х и у из
соотношений х-\-у=о\, ху=О2-
Пример 2. Решим систему уравнений
{ х24-ху4-</2=21,
I х+х«/4-1/=9.	(7)
Решение. Так как левые части обоих уравнений симмет-
ричны относительно х и у, введем новые переменные о\=х-\-у,
02=ху и выразим через них левые части уравнений:
X2 + xy 4- у2 = (х + у)2 — ху = О 1 — 02
и
«4- ху+у=014-02.
Таким образом, заданная система свелась к следующей:
'	( О2 — 02 = 21,
1014-02=9.	(8)
Сложив эти уравнения, получаем квадратное уравнение
о? 4” о । — 30 = 0.
Из него следует, что «л = 5 или oi = —6. Так как oi-|-O2=9,
то 02=4 или 02=15. Итак, получены две пары (5; 4) и (— 6; 15),
удовлетворяющие системе уравнений (8).
Поскольку x+y=oi и ху = О2, то заданная система уравне-
ний свелась к совокупности двух систем:
(х+у=5,	(х+у=— 6,
I ху=4;	1ху=15.
Решая первую систему, находим решение:
Х|=1, Х2 = 4,
f/i=4; 1/2=1.
Вторая система решений не имеет.
158
Пример 3. Решим иррациональное уравнение
VH-V97—*=5-	(9)
Решение. Обозначим \/х через и, а ^97—х через v. Тогда
заданное уравнение примет вид: «4=-о=5. Так как, кроме того,
и4 + v4=(tfc)4+(V97—х)4=х+97 - х=97,
поэтому решение заданного уравнения свелось к решению системы
уравнений
Ь+» = 5,
I «4+о4=97.
Так как левые части этих уравнений симметричны относительно
и и v, введем новые переменные <ti=« + o, as=uv. Используя
формулу (6) п. 2 § 1, приходим к системе уравнений
{oi —5,
о4—4о?О2 4- 2ог=97.
Подставим значение oi=5 во второе уравнение и получим для
отыскания ог квадратное уравнение ог—бОсгг 4-264 =0. Решая
его, получаем 02=6 или аг=44. Таким образом, для отыскания
и и v надо решить совокупность из двух систем уравнений:
(u-|-t>=5,	| u+v — 5,
I «о=6;	l«o=44.
(Ю)
Первая из них имеет два решения: «1=2, oi=3; «2=3, ог=2,
а вторая не имеет решения. Так как и=\[х, то получаем два
значения для х, удовлетворяющие уравнению (9):
х,=24=16. х2=34=81.
Рассмотрим, как решаются системы уравнений, одно из кото-
рых однородно относительно х и у, т. е. системы уравнений вида
*	(F(x, у)=0,
I Ф(х, у)=0,
где, например, F (х, у) — однородный многочлен от х и у степени п.
Разберем два случая.
а)	В многочлене F (х, у) есть член вида ау". Тогда F (0, у)=
=ауп обращается в нуль лишь при у=0 и либо пара чисел (0; 0)
удовлетворяет системе уравнений (это будет, в частности, если и
уравнение Ф(х, у)=0 однородно), либо в решении данной си-
стемы вообще нет таких пар, что х=0. В этом случае введем
новую переменную t, положив y=tx. Получаем систему уравнений
F(x, /х)=0,
Ф(х, /х)=0,
159
или в силу однородности многочлена F систему
(x"F(l, 0=0,
I Ф (х, /х)=0.
Поскольку х=#0, получаем систему уравнений
(F(l, /)=0.
1Ф(х,й)=0.	(11)
Из первого уравнения системы находим значения t, подставляем
их во второе уравнение и находим соответствующие значения х.
По формуле y=tx находим значения у.
б)	Если все члены многочлена F (х, у) делятся на некоторую
степень х, скажем на х*, надо вынести jt за скобки: F (х, у)—
=xkFi (x, у) — и свести решение системы (10) к решению сово-
купности двух систем вида
Г х*=0,	( Fi (х, у)=0,
I Ф(х, у)—0; I Ф(х, у)=0-	(12)
Первая из них решается очевидным образом, а вторая — спосо-
бом, указанным в а).
Пример 4. Решим систему уравнений
(Зх2—4х</+«/2=0,
1х2 + 2!/2=19.
Решение. Так как слагаемое у2 в первом уравнении не
делится на х, то применяем подстановку y=tx. Получаем систему
уравнений
(Зх2—4/х24-/2х2=0,	. р2-4/+3=0,
I х24-2/2х2= 19, Т‘ • lx2 (1 +2/2) = 19.
Корнями первого уравнения являются /1=3, /г=1- Подставляя
во второе уравнение /=3, получаем х2=1, и потому х=1 или
/ 1.Q
х= —1. Подставляя же /=1, получаем x=±~w —. Так как
y—tx, имеем следующее решение системы:
{Х1 = 1
1/1=3;
{Х2= — 1,
1/2= — 3;
Пример 5. Решим систему уравнений
(Зх3—4х2</+х</2=0,
I х2+у2=2.
Решение. Первое уравнение системы однородно, но все
члены его левой части делятся на х. Поэтому выносим х за скобки
и сводим задачу к решению совокупности двух систем уравнений.
160
х=0,
x2-f-t/2=2;
Зх2—4хг/-}-г/2 = О,
c2+i/2=2.
Первая система равносильна системе х=0, у2=2, откуда на-
ходим: Х| = 0, у\=^2 или хг=0, у2=— -у/2. Вторая система
уравнений решается так же, как в примере 4, и ей удовлетворяют
четыре пары чисел:
|хз=1, fx«= — 1, | Хб=-7бД (хб=-<2.
1 уз—1; ' у4 = — 1; '•1/5=3 “76/2; 1 уь = — 3 "76^2.
Объединяя полученные ответы, находим решение заданной си-
стемы в виде {(О;	(0; г-^2), (1; !),(-!; -1), (д/0^; 3^2),
(—Д2; -3-^2)}.
Задача. От пристани А одновременно отправились вниз
по течению реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению
на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти
скорость катера в стоячей воде, если известно, что он встретил
плот на обратном пути на расстоянии 24 км от Л.
Решение. Сначала составим систему уравнений. В каче-
стве искомых выберем скорость и катера в стоячей воде и скорость
течения v. Тогда скорость катера при движении по течению равна
«+», а при движении против течения и—v. Значит, чтобы пройти
96
вниз по течению 96 км, ему надо часов, а вверх по течению
часов. Всего он затратит ——I—часов. Так как по
и — v	u-\-v U — V
условию задачи он вернулся назад через 14 ч, то имеем первое
уравнение:
_^_+_S_= 14.
U-^-V U — V
Чтобы получить второе уравнение, найдем, какое время за-
тратил катер до встречи с плотом. Он прошел 96 км вниз по тече-
нию и 72 км против течения. На это он затратил
часов. Плот же проплыл 24 км со скоростью v, на что затратил
часов. Так как плот и катер одновременно отправились из Л, то
затраченное ими до встречи время одинаково, и мы имеем второе
уравнение:
96		72	__ 24
u+v	U — V	V
Итак, для решения задачи получим систему уравнений
{96  96 _и
и-|-и ' и— о	’
96	। 72 __24
U-|-V	’ U—V V '
6 Н. Я. Виленкин
161
При замене и на tu и v на tv обе части второго уравнения умно-
жаются на Поэтому оно является однородным уравнением.
Так как о=0 не удовлетворяет этому уравнению, делаем подста-
новку u = vz. Тогда второе уравнение примет вид:
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
24z2— 168z=0.
Это уравнение имеет корни 0 и 7. При z=0 получаем и=0, а
это значение и ни при каком значении v не удовлетворяет
первому уравнению. Поэтому z=7, т. е. u — lv. Подставляя это
значение и в первое уравнение системы, получаем: |у+|^-=14,
откуда v = 2 (км/ч). Но тогда и=7-2=14 (км/ч). Итак, ско-
рость катера в стоячей воде равна 14 км/ч.
Упражнения
295. Решите системы уравнений:
1) f х2—ху-\-у2 — 2\,
I у2 —15=0;
3) ( Х+У| х~у=10
J X—(Г *+У 3’
I x24~t/2 = 45;
5) Г (x+«/)2+(x-i/)2=-|-(x2-«/2),
|х2-|-1/2=20;
7) ( х*+у4+^у+ху3=^- хгу2,
(х+у=4;
*2+у2=т1 ХУ-
х2 —</2=7;
4)
х2+^2=а,
Ь;
6) Г х4+у4=^-х2у2,
( х3+{/3=9;
8) ( х3+хгу+ху2+у3=0,
I х2+4у2=5.
7. Графическое решение системы уравнений. Мы уже знаем,
что решение системы уравнений с двумя неизвестными
(F(x,y)=0,
1Ф(х, у)=0	(D
геометрически истолковывается как отыскивание координат точек
пересечения линий Г1 и Гг, заданных уравнениями F (х, у)=0 и
Ф(х, у)=0 соответственно. Этим можно воспользоваться для
приближенного решения системы уравнений (1). Для этого надо
начертить линии Г| и П на клетчатой (а еще лучше на мйллимет-
162
ровой) бумаге и по чертежу определить координаты точек пересе-
чения этих линий. Разумеется, при этом получатся лишь прибли-
женные значения х и у.
Пример 1. Решим графически систему уравнений
{ 1/=х2+4х+4,
I 2х+</+4=0.
Решение. Линия у=х*+4x4-4, т. е. у=(х+2)2, является
параболой, получаемой из параболы у=х2 сдвигом на 2 едини-
цы влево, а уравнение 2х-|-у+4=:=0 задает прямую линию
у = — 2х—4. На рисунке 50 показаны эти линии. По нему устанав-
ливаем, что линии пересекаются в точках А (—4; 4) и
В(—2; 0). Значит, имеем решение системы:
|xi = —4,	1x2=—2,
lj/i=4	1 г/2=0.
Проверка показывает правильность найденного решения. Предо-
ставляем читателю решить ту же систему уравнений аналитически.
П р и м е р 2. Решим графически систему уравнений
( у=х2—2х+4,
I у=2х.
Решение. Прямая у=2х и парабола t/=x2—2х+4 =
=(х—1)2+3 изображены на рисунке 51. Видим, что прямая
касается параболы в единственной точке А (2; 4). Отсюда находим
решение системы: х=2, у=4.
Рис. 52
Рис. 50
Рис. 51
163
Пример 3. Решим систему уравнений
f у=х2—2x4-4,
I у=2х— 1.
Решение. Из рисунка 52 видим, что прямая у=2х— 1 и
парабола у=х2—2x4-4 не имеют общих точек. Система несов-
местна.
П р и м е р 4. Решим графически систему уравнений
(ху=12,
I х—2у—2=0.
Решение. Уравнение ху= 12, т. е. у=—, задает гиперболу.
Из рисунка 53 видим, что точками пересечения этой гиперболы
с прямой х—2у—2=0 являются А (—4; —3) и В (6; 2). Значит,
{Х| =—4,	( Х2=6,
У1=— 3;	11/2=2.
П р и м е р 5. Решим систему уравнений
I х=/4-5у.
Решение. Уравнение у=х2 + 5х задает параболу с осью,
параллельной оси ординат, а уравнение х=у2-|-5у— параболу
с осью, параллельной оси абсцисс. Эти параболы изображены на
рисунке 54. Имеем четыре точки пересечения О, А, В, С, а потому
решение имеет вид:
xi=0,
У1=0;
х3« —4,7,
Уз« -1,3;
х2= —4,
У2= —4,
Х4«- 1,3,
У4®-4,7.
В этом примере значения коор-
динат точек В к С найдены при-
ближенно. Аналитическое решение
показывает, что
(х3=— 3—V3,	(х4=—34-д/З,
1уз=-34-\/3;	\у4=-3-^з
(чтобы прийти к ответу, надо вычесть
почленно второе уравнение из пер-
вого).
Пример 6. Решим систему
уравнений
f х2-|-у24-4х—6у= 13,
I ху—Зх4-2у=11.
164
Решение. Первое уравнение системы можно записать в виде
(х + 2)2+(у-3)2=26.
Оно задает окружность радиусом -\/26да5,1 с центром в точке
К ( — 2; 3). Второе уравнение перепишем в виде у=3*j~ Р, т. е.
у=34—Это уравнение гиперболы, полученной из гиперболы
у=— путем растяжения вдоль оси ординат с коэффициентом 5 и
последующего параллельного переноса, при котором начало ко-
ординат переходит в точку К (—2; 3). Обе линии изображены на
рисунке 55. По нему находим координаты точек пересечения:
Л ( — 7; 2), В( —3; -2), С(-1; 8), D(3; 4).
Итак,
(Х| =—7, ( Х2 = —3, | хз= — 1,	| х4=3,
I i/i=2;	lt/2=— 2; 1у3 = 8;	(1/4=4.
Для аналитического решения системы надо почленно приба-
вить к первому уравнению удвоенное второе уравнение.
На рисунках 56 и 57 показано графическое решение систем
уравнений
I у—х2 — 2х=1,	{ x2-|-t/2-|-2x—6</—6=0,
I х2-!-!/2 —2х—6у-|-5=0 и I х2-|-1/2-|-8х-|-2у—32=0.
165
Замечание. При решении уравнений графическим методом следует иметь
в виду, что решения, получаемые этим методом, являются лишь прибли-
женными. Более того, иногда графики могут ввести нас в заблуждение. Напри-
мер, при графическом решении уравнения (=log 1 х надо найти точку пере-
\167 Ге
сечения кривых	и i/=logi х. Если сделать эскиз, то покажется, что
эти кривые имеют лишь одну общую точку, лежащую на биссектрисе первого ко-
ординатного угла. Однако на самом деле это уравнение имеет еще два корня:
1 1
^=="2 их3 = у.
Упражнения
296. Решите графически следующие системы уравнений и проверьте полученные
ответы путем аналитического решения:
1) f х=у24-5у,	2) f х2 —8х—4у=6,	3) f х2+у2=36,
I «/=х2+5х;	| »/2-|-5i/—5x=0;	1 x24-6y=36;
4) f x2—4x—6z/=20,	5) I x2+j/2=25,	6) { x2-^ = 25,
lxy=—8;	I x2 + (i/-9)2=36;	I x2 + </2 = 47;
7) f x2 —i/2=25,	8) ( x2+j/24-4x—6j/= 13,
I x2+j/2=25;	I xy—3x+2«/= 11.
297. Найдите условие, при котором прямая y = kx+m касается:
х^	х^
1) эллипса	=1; 2) гиперболы	=1; 3) параболы у2=2рх\
4) окружности (х—а)2 + (// —6)2 = /?2.
166
8. Системы иррациональных, тригонометрических, показатель-
ных и логарифмических уравнений. Методы решения систем урав-
нений, описанные в предыдущих пунктах, годятся для уравнений
более общего вида. Разберем несколько примеров.
Пример 1. Решим систему уравнений
( sin x+sin у=а,
I x+y=b, b=£0.	(1)
P e ш e и и e. По формуле (7) п. 6 § 3 главы VI первое уравне-
ние данной системы можно записать в виде 2 sin ^y^cos ^у^=а.
Заменим х+у его значением из второго уравнения, получим:
2 sin -^-cos~'^=a. Отсюда следует, что cos^^=—2-т, и по-
2 Sin у
тому х—y=±2arccos—2-у-|-4лл, n£Z. Отсюда видно, что
2 sin у
система (1) имеет решение при условии, что |а| ^2| sin у-| У=0.
Данная система свелась к совокупности систем уравнений
{х—«/= ±2 arccos—~—|-4лл, n£Z,
2 sin-5-
х+у=ь,
из которой для каждого значения n£Z получаем два решения
исходной системы:
x=-y±arccos —2-у-|-2лл,	у=-|- ±arccos ——2пл.
2 sin —	2 sin -у
П р и м е р 2. Решим систему уравнений
flgx+lgy=a,.
110х’+/=&	(2)
Решение. Так как логарифмическая функция определена
лишь при положительных значениях аргумента, то должны выпол-
няться неравенства х>0, у>0. При таких значениях х и у
первое уравнение системы (2) можно переписать в виде 1g ху=а,
откуда находим ху=\0а. Кроме того, из второго уравнения си-
стемы следует, что x2+y2=lg b, b>Q. Таким образом, заданная
система равносильна следующей системе уравнений и неравенств:
xw=10a,
x?+«/2=lg b,
х>0,
y>Q.
167
Из уравнений вытекает, что (x2±2xt/+t/2)=lg ft ±2* 10а,
т. е. что (х+у)2 = lg ft4-2-10°, (х—yf=lg ft — 2-10°. Отсюда полу-
чаем, что х+у= ±-0g ft+2* 10°, х—у= ±-0g ft—2* 10°. Но по
условию имеем х> 0, у>0, и потому х+</>0. Значит, нужно выб-
рать положительное значение первого радикала. Решая две систе-
мы уравнений
p+y=Vigft+2.ioa, (х+у=УцГН-2.10а,
I х—у=-\/lg ft—2-10°, I х—у = — -0g ft —2- 10е.
находим, что
X| =4-(-0g ft + 2- ю°+y'Tgb - 2-10°),
i/i =4-Mg ft+ 2- 10°-Vlg *-2- 10a),
*2=V<Vlg ft + 2-10° - Vlg ft—2« 10е),
t/2=4-(Vigft+2.ioa+Vigft-2.ioa).
Данная система имеет решения при условии, что lg fti>2-10a,
т. е. ft^lO2'10”.
ПримерЗ. Решим систему уравнений
(-0 —161/2—-\/1 — 16х2=2 (х+у),
х2+у2+4ху=±-.
О
Решение. Из первого уравнения следует, что должны вы-
полняться неравенства |х|^-|-,	причем знак разности
V1 — 16у2—-\/1 — 16х2 должен совпадать со знаком суммы
х+у, а потому |х|>|£/|, если x-^-y^Q, и |х|<|у|, если
х+у<0.
Возведя обе части первого уравнения в квадрат, получим
уравнение
1 -8 (х2 + </2)-71 -16 (x2 + i/2)+256xV=
=2(х2 + «/2)+4х1/.
Заменим в нем х2+у* его значением —4ху из второго уравне-
ния. После упрощений получаем:
— 1 + Збху =д/ — -у + 64xi/+256х2у2.
Возведя еще раз в квадрат обе части уравнения, получаем урав-
нение 650х4/2 — 85x1/4-2=0,
При этом должно выполняться условие 36х</—1^0.
После подстановки xy—t получаем квадратное уравнение
относительно t: 650/2—85/4-2=0, причем должно выполняться
168
условие . Оба корня	h=-^- квадратного урав-
нения удовлетворяют этому условию. Но из |х| С-|-, lf/1
имеем: |/| == |ху\	, а этому неравенству удовлетворяет лишь
о
корень /=тг . Поэтому надо решить систему уравнений
Ои
(х2+у2+4ху=-^-,
Первое уравнение этой системы перепишем в виде (х+у)2 + 2ху=
=-|- и подставим в него значение для ху. Получаем уравнение
(х+у)2=^г, откуда х+у=±-|г.
-уОО
Итак, осталось решить две системы уравнений
(х+у=-2=,	(х+у=------
I 765 и I	л/65
1	2	И 1	2
1^ = 65	1^ = 65-
Решая их, находим четыре решения:
Дополнительному условию, что |х|	|t/| при x-f-y>0 и |х| < |у|
при х+у<0 удовлетворяют лишь решения (xi, у\) и (х4, у<).
Значит, имеем решения
Замечание. Можно было бы не следить за условиями, возникающими
из данных уравнений, а получить все решения и проверить их подстановкой в
данную систему уравнений. Но иногда такая подстановка затруднительна.
Упражнения
298.	Решите системы уравнений:
1)	( х»=243,	2) ( х^+^=у\
| (1024)' =(ух)2;	Л;
3)	( logs (у—X)— log8(3z/—5х)=0,
I х2+«г=5;
169
4)	j Iog2 2	=2.
1 logs x* logs (y+1/=4-;
X	о
6) I cos(x—y)=2 cos (%+{/),
I	3
COS X COS y—~^~ ;
5) J logox+loga!«/=l,
I b ^+x2=2e;
V-^+j/5 + V*2—i/2=a:
8) I 2^x‘+y‘+xy=l,
1±+У.=а;
v У x
9)
ft2
V i?_bt a2—x?
xy=ab;
=4,
10) J -^x2+VxV +‘Vy2+V*V=a,
l*+y+3 ^/bxy=b-
11) f cos2 y+3 sin x sin //=0,	1
I 21 cos 2x—cos 2y = 10;
>2) I tgx+ctg y=a,
I ctgx+tgy=2;
arcsin x arcsin y=-rx ,
v 12
arcsin x + arccos y=0;
13)	cos	a,
^x+y=2 arcsin Д-;
16) f Vx+Vy_Vх-l
l ^хг—у+^х‘+у=1.
9. Решение неравенств с двумя переменными. Линия Г:
F (х, у)=0 делит плоскость на несколько областей, внутри каж-
дой из которых F (х, у) сохраняет знак — в некоторых из этих
областей выполняется неравенство F (х, у)>0, а в остальных
неравенство F (х, у)<.0. Поэтому, чтобы решить неравенство
F (х, у)>0, надо сначала изобразить линию Г: F (х, у)=0 и
в каждой из областей, на которые она делит плоскость, выбрать
пробную точку. Знак, который принимает F в этой точке, она при-
нимает и во всей области. После этого остается отобрать об-
ласти, в которых F положительно. Присоединяя к полученному
решению саму линию Г, получаем решение неравенства F (х, у)^0.
Пример 1. Решим неравенство
х2—4х+у2+6</—12>0.	(1)
Решение. Выделяя полный квадрат, получаем:
(x-2)2+(i/+3)2>25.
Уравнение (х—2)2+(у+3)2 = 25 задает окружность с цент-
ром А (2; —3) и радиусом 5. В качестве пробной точки для внут-
ренней области выбираем центр А (2; —3). Так как (2—2)2+
+(—3+3)2=0<25, то во внутренней области данное не-
равенство не выполняется. Во внешней области выбираем пробную
точку В (8; —3). Для нее имеем (8—2)2+(—3+3)2 = 36>25.
170
Отсюда следует, что во внешней
области выполняется неравенство
(1). Решение изображено на рисун-
ке 58. На рисунке 59 изображено
решение неравенства
х2 —4х+у2+6у— 12^0
(вообще, мы чертим сплошную ли-
нию, если граница принадлежит
рассматриваемому множеству, и
штриховую линию в противном
случае).
Пример 2. Решим неравенство
(х2+у2-4)(х2+у2-16)<0. (2)
Решение. Поскольку произ-
y/Y/Y/x I
0g£tllmllam^
7j7M7j7jZ^W^7/7/7/7/j7/7a
^!&^Ъ77/7/^^7М77//77л
7^7^77/7/7Л^^Л77/7Л77/7Л
ЪЪ77/7^/:^7Л^Г777/7/^77ГЛ
Рис. 58
ведение равно нулю лишь в случае,
когда хотя бы один из множителей равен нулю, уравнение
(х2+у2 —4) (х2 4- у2 — 16)=0
задает линию, распадающуюся на две окружности x2-|-i/2=4 и
х2+у2=\6 (рис. 60). Они делят плоскость на три части. С по-
мощью метода пробных точек устанавливаем, что неравенство
(2) выполняется в кольце, ограниченном этими окружностями (эта
область заштрихована).
Для графического изображения решения системы неравенств
{ Г(х, у)>0,
1Ф(х, у)>0
находят сначала множество Xt точек плоскости, на котором вы-
полняется первое неравенство, потом множество Х2 точек
Рис. 60
Рис. 59
171
плоскости, где выполняется второе неравенство, и, наконец,
берут пересечение этих множеств (т. е. их общую часть).
Пример 3. Изобразим графически решение системы не-
равенств
/х+«/+1>0,
\х2-^-у2^.25.
Решение. Неравенство х+у+1^0 перепишем в виде
—х—1. Ясно, что оно выполняется на прямой у=— х— 1
и в точках, лежащих выше этой прямой. Неравенство же х2+у2С
^25 выполняется на окружности радиусом 5 с центром в начале
координат и внутри нее. Общая часть этих множеств заштрихо-
вана на рисунке 61.
Пример 4. Изобразим графически решение системы не-
равенств
' Зх+20>О,
3x+2t/<12,
' х4-4«/>—2,
x-j-4t/^24.
Решение. Каждое из заданных неравенств изображается
полуплоскостью, причем граничные прямые первой и второй полу-
плоскостей параллельны, равно как и граничные прямые третьей
и четвертой полуплоскостей. В данном случае общей частью всех
четырех полуплоскостей является параллелограмм (рис. 62). Ре-
комендуем читателю разобрать, какие области задают системы,
получаемые из заданной всевозможными изменениями знаков
неравенств на противоположные (всего получится 9 различных
областей).
Иногда бывает удобно разбить область на части, задать каж-
дую из них неравенством или системой неравенств, а потом объ-
единить эти части.
172
Рис. 63	Рис. 64
Пример 5. Зададим с помощью неравенств область, изоб-
раженную на рисунке 63.
Решение. Эта область состоит из квадрата и четырех по-
лукругов. Легко проверить, что квадрат задается системой не-
равенств
х+«/-6<0,
х+у+6>0,
х—у—6^0,
X— £/ + 6^0,
а полукруги — соответственно неравенствами
f(x-3)2+(i/-3)2C9,	|(x+3)2+(i/+3)2<9,
(х+у—6^0;	(х-|-!/+6^0;
{(х-3)2+(!/+3)2<9,	((x+3)2+(i/-3)2<9,
(х—у—6>0;	(х—^4-6<0.
Во многих случаях бывает удобно задавать области системой
неравенств вида
|а<х<&,	/ох
I ф (х)<0<ф (х)	(	>
или вида
(C<£/<d,	/on
I ф	(У)-
Система (3) указывает, во-первых, границы а и b изменения
х, а для каждого х, лежащего между а и Ь,— границы измене-
ния у (рис. 64). Аналогичный смысл имеет система неравенств
(3'). Иногда приходится предварительно разбивать область на
части и задавать неравенствами вида (3) или (3') каждую
из этих частей.
173
Пример 6. Запишем с по-
мощью системы неравенств вида
(3) область, заданную системой не-
равенств
(у<2х+9,
U>2x2-2x-7.
Решение. Сначала найдем
точки пересечения прямой t/=2x-|-9
и параболы у=2х2— 2х—1. Для
этого решим систему уравнений
f //=2x4-9,
\у=2£-2х-1.
Находим 41 (—2; 5) и 4г(4; 17). Из
рисунка 65 видим, что значения х
изменяются от —2 до 4, — 2^х^4.
При заданном значении х значение у
меняется от 2х2—2х—7 до 2х-|-9
(от параболы до прямой). Поэтому
данная область задается системой
неравенств
J —2<х<4,
12х2—2х—7^у^2х+9.
Пример 7. Зададим системой неравенств вида (3) круг
радиуса 6 с центром в точке А (—4; 3).
Решение. Уравнение границы этого круга имеет вид:
(х+4)2+(1/-3)2=36.
Отсюда находим:
у-3= ±Л/36-(х+4)2,
и потому
i/=3±V36-(x+4)2.
Уравнение
у=3-^36-(х+4)2
задает нижнюю полуокружность, а уравнение
у=3+V36-(x + 4)2
верхнюю полуокружность. Так как, кроме того, ясно, что х из-
меняется от —10 до 2, получаем систему неравенств
— 10<х<2,
3—л/36—(х4-4)2< у < 3 + д/36—(х+4)2.
174
Упражнения
299.	Вычертите области, заданные системами неравенств:
1)	(-6<х<2,	2) J 0<//<4,
1 х1 2 * 4	I
1 —— 1 <//<2 —х;	//<х< Ю — у\
3)	f 1^х<3,	4 ( 0<х^З,_______
t х2<//^х4-9;	( 0^//<^25—х*.
300.	Задайте неравенствами:
1)	треугольник с вершинами 0(0; 0), Л(1; 0), В(1; 1);
2)	трапецию с вершинами 0(0; 0), Л (2; 0), В(1; 1), С (0; 1);
3)	параллелограмм с вершинами Л (1; 2), В (2; 4), С (2; 7), D (1; 5);
4)	круговой сектор АО В с центром 0(0; 0) и концами дуги Л(1; 1) и
В(-1; 1);
5)	параболический сегмент АО В, О (0; 0), ограниченный дугой параболы
АО В и хордой, соединяющей точки Л (—1; 2) и В(1; 2).
301.	Область D задана неравенством или системой неравенств. Задайте ее си-
стемой неравенств вида (3):
1)	х>0, //>0, х4-9>//‘; 2) х2-|-//2<а2; 3) х2-|-«/2<х;
4) у^х, х> 1, //< — 1;	5) f//<х^//-|-4,
(0<//<2.
302.	Область D задана системой неравенств вида (3). Задайте ее системой
неравенств вида (3'):
1) 0<х<4,	2) 10<хС1,
(Зх2^//^12х;	(2х^//<3х;
4) [о<х<1,
^<//<7^?.
3) ( 0<х<1,
I — Vl <*/^ 1 — х;
Упражнения к § 2
303. Решите системы уравнений:
1) J Зх—4//4-5z= 18,
1 2х-|-4// —3z=26,
V х—6//4-8z=0;
3) f x4-2//+z + 7=0,
1 2x4-//—z—1=0,
v Зх — //4-2z —2=0;
304. 1) / x-|-//4-z=14,	2) /
I x+//-H=10,	I
| i/+z + f=15,	1
2) J 2z+5=3x,
1 x-|-6//4-4z= 10,
^8//—5x 4-2=0;
4) ( x4-i/4-z=6,
< 2x4-//—-г=1,
V 3x—//4-z=4.
x-l-2// —z4-2/=10,	3) /Х!4-Х24-хз4-*4=36,
Зх—//4-2z-p6/= 19,	J X14-X2—x3—x4=24,
2x4-8//—3z-|-5/=31,	1 xi —X2-I-X3—x4= 12,
4x4-//4- 12z—3/=40;	Ixi — x2— Хз4-*4 = О.
x>0,
!/>0,
x4-9>//-
175
305. 1) ( (х-у) (х?-1^=16,	2) Г (х2+1)(у2 + 1)=10,
I (х+у)(х2+у2)=40;	I (х+у)(ху—1)=3;
3) { х3+у34-ху(х+у)=13, 4) J ^,+У2 =А
I х2у2(х2+у2)=468;	1 ХУ 2 ’
Vc2—у2=3.
300. 1)	2) { х2+4у2—Зх—2=0,	3) f ху+х+у= 11,
<до	I 2х+3у=5;	ЬА/4-х</2=30.
I —-----£—=0,1;
\х—у х+у
307. 1) | х—у=8а2,	2) | -у!х+у—^х—у=а,
* т/х+д/у=4а;	1 -ф^+у2 +^х2—у2=а2;
3 f x=a-^/x+y+z,
S У=Ь-y/x-f-y-f-z,
\ z=c-y/x-f-y-}-z, a^O, b^O, c^O.
308.	1) f ->jx+^y+^x—T/y=2,
’ Vy+V*—Vi/—л/х=1;
3)	( хд/х+ут/у=341,
* x-\/y+y->/x=330.
309.	1) ( x»=243,
l ,о24Ц-Н2=
3io.	i) ( в^+'^зг-г4»-1,
1 5-5“-ll=^252ll+l;
311.	1) J log1(x4-logx«/=5-g-,
V xy=64;
312.	1) J (y 4-1)* = 10 000,
I (u2— i)2j~2=^~	•
J (Fh7’
313.	1) | ух'°в’х=х2т/х,
I log^log,^—3x)=l;
314.	1) ( ,oga X loga (xyz) = 48,
\ loga|/logo(x«/z)=12,
I loga z loga (xyz)=84, a '.
315.	1) f (logaX+loga y —2) log!
I x+y=20a, a>0,
2) | Vx+л/у—л/х—т/у= 1,
’ Vx2—у+^х2+у=1;
2) f/-7x+12=l,
I x+y=6.
2) f xy=40,
I xlgB=4.
f logV*Vr=OTrt+ 1>
< ig(*'gx)
I lg(y'B*) V «/
2) I [(V5)2x]3‘'=58,
l(9999'-»-')x!+6g!-60=l.
2) |xlog2ylog22=y-\/y(l— log» 2),
llog03 21og.^x=l.
2) (logux+logx y=-|-,
»0, a#=l;	( x+y=a2+a.
a=l, 2) f 1g2 x+lg2 y=2,5 lg2 a2,
;	I xy=a2, a>0.
176
316. 1) fsinxsini/=— 1	з COS X COS У~~^~;	2) pgx—tg2j/=l, |jg(x—2«/)=y.
317. 1) j |2х—</|<2, 1 4х+3и>1, Чх|<3; 318. 1) fsinx>~, ^cos	—у ;	2) J |x+2</|<2, V2x—r/>0. z .	1 2) jsinx>y, 1 1 1 cosx>-g-.
319. 1) | sin xcosу = Ь,	2) ( sin x cos y=a, 1 cos x sin y—a.
320. 1) ( x+ay+a2z = a3, < x+by+b2z = b\ 1 x+cy+c2z=c3;	2) /x + ay+a2z+a3t=a4, 1 x+by+b2z+b3t=b4, * x-]-dy+d2z+d3t=d4.
321. 1) ((y-j-z)2-x2 = a, J (z+x)2-y2 = b, l(*+*/)2 — z2 = c\	2> p+*'+x-j/-a+ b ’ < 1 . 1
322. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы нера-
венств и найдите площадь полученной фигуры:
1) /х2+^<4,	2) </>2|x|-l; 3) x2+y2< 16,	4) xj/< 1;	xi+y2^4x, xy>4; x2 + j/2C —4x, |xl + |j/|<2.
323. Два товарища, имея один велосипед, одновременно направились из пунк-
та Л в пункт В; первый из них поехал на велосипеде, а второй пошел
пешком. На некотором расстоянии от А первый оставил велосипед и пошел
до В пешком. Второй, дойдя до велосипеда, поехал дальше на нем. Оба
товарища прибыли в В одновременно. На обратном пути из В в Л они
поступили точно так же, только первый товарищ проехал на велосипеде
на 1 км больше, чем в первый раз, из-за этого второй товарищ приехал
в Л на 21 мин позже, чем туда пришел первый. Определить скорость
ходьбы каждого из товарищей, если на велосипеде они ехали с одной и
той же скоростью, равной 20 км/ч, а при ходьбе первый затрачивал на
каждый километр на 3 мин меньше, чем второй.
324. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авто-
ручки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка —
в 2 раза дороже, а книга — в 2,5 раза дешевле, то та же покупка стоила
бы 8 р. Если бы по сравнению с первоначальной стоимостью портфель
стоил в 2 раза дешевле, книга — в 3 раза дешевле, авторучка — в 4 раза
дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 12 р. Сколько стоит
покупка и за что было уплачено больше: за портфель или за авторучку?
Глава X
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
$ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
1. Введение. До сих пор мы рассматривали лишь действитель-
ные числа. С помощью положительных действительных чисел
можно выразить результат любого измерения, а с помощью произ-
вольных действительных чисел — изменение любой величины.
Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и
деление на число, отличное от нуля) над действительными числа-
ми снова дают действительные числа. Отсюда следует, в частности,
что рациональная функция с действительными коэффициентами
принимает действительные значения при всех действительных
значениях аргумента, для которых она определена.
Операция же извлечения квадратного корня определена не
для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных —
из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. По-
этому в теории квадратных уравнений приходится рассматривать
три случая: если D = b2 —4ас>0, то уравнение ах2 + 6х+с=0
имеет два различных действительных корня, при 0=0 оно имеет
лишь один действительный корень (второй кратности), а при D<0
это уравнение действительных корней не имеет.
Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и
четвертой степеней, привел математиков к необходимости расши-
рить множество действительных чисел, присоединив к нему новое
число t, такое, что i2 = — 1. Поскольку действительных чисел с
таким свойством не существует, новое число назвали «мнимой
единицей» — оно не выражало ни результатов измерения величин,
ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало
дальнейшего расширения множества чисел — пришлось ввести
произведения этого числа на все действительные числа, т. е. числа
вида Ы, где b£R, а также суммы действительных чисел и таких
произведений, т. е. числа вида а-\-Ы, где a, b£R. Получившиеся
при этом числа были названы комплексными, так как они содер-
жали как действительную часть а, так и чисто мнимую часть bi.
Поскольку выражение а-\-Ы напоминает многочлен первой
степени от i (с той существенной разницей, что i не является пере-
менной), математики XVI века производили операции над такими
выражениями по тем же правилам, что и над многочленами, при-
чем когда у них появлялось выражение i2, его заменяли на — 1.
178
Например, сумму и произведение комплексных чисел определяли
следующим образом:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,	(1)
(а 4- Ы) (с+di)=ас+adi+bci+bdi2=
=(ac—bd)+(ad + be) i.	(2)
Частное двух многочленов первой степени не выражается,
вообще говоря, в виде многочлена. Но для комплексных чисел
частное снова выражается в виде комплексного же числа. Именно,
а+& _ (a-\-bl)(c—d'i)__________(ac-{-bd)-{-(bc—ad)i_
с-{-di (с-{-di) (с—di}	cP—d2?
, (ac-f-bd)-f-(bc—ad)i_ac-j-bd  be—ad .	/q,
“	c2+d2	~c2+d2~t~ C^d2
Из формулы (2) вытекает, что
13 = 12ч=(— 1) i= —i,
i= ~(-1)= I-
Вообще,
^4n 4- k = (i^y1 • ik ;= 1n • ik =
Например,
i62=i64+3=i4l6+3=i3 = — i.
Равенства (1), (2), (3) имеют пока что лишь формальный ха-
рактер. При дальнейшем анализе понятия комплексного числа
возникли следующие вопросы:
а)	Можно ли употреблять в записи комплексных чисел опера-
ции сложения и умножения до того, как они получают опреде-
ления?
б)	Является ли I единственным комплексным числом, квадрат
которого равен —1?
в)	Достаточно ли комплексных чисел для записи корней лю-
бых уравнений с комплексными коэффициентами? (При отрица-
тельном ответе на этот вопрос пришлось бы далее расширять
полученное числовое множество.)
И наконец, последний, но первый по важности вопрос:
г)	Какие практические приложения может иметь теория комп-
лексных чисел?
В этой главе мы разберем указанные вопросы.
Упражнения
325. Выполните действия над комплексными числами:
1)	(2Т+3Т‘)_(т+1'Н: 2) (’•(3)+0,2(6)«)-(-2,1(3)-|-0,6(2)0;
179
3)	(2V3-4«^)-(t/§7-,V32)+(-^-+-^-J;
4)	( --2LA+/A_±A);
\ n m J \ m n / \\n mJ \ m nJ)
5)	(44-30-0,(2); 6) (—2—30(—1,(4)); 7) (-3,50(-4,5);
8)	(14-0(1-0; 9) (V3-0(V34-0; ю) (1-л/зо(л/з-|-л/&);
н) ,2>
13) (24-50*(3 -0; 14) (34-03; 15) (14-20*(1-20s;
16) (24-044-(2-04; 17) <l27,<2ie, j736.
2. Определение комплексных чисел и операций над ними. Не-
ясности, связанные с преждевременным употреблением знаков сло-
жения и умножения, устраняются весьма просто. Ведь в записи
а-\-Ы нас интересуют лишь действительные числа а и Ь, идущие
в определенном порядке. Поэтому введем следующее определение:
Определение. Комплексным числом z называют пару
(а; Ь) действительных чисел а и Ь, взятых в определенном поряд-
ке. Две пары (а; Ь) и (с; d) задают одно и то же комплексное
число в том и только в том случае, когда они совпадают, т. е. когда
а=с и b=d.
Из этого определения следует, что одно равенство (a; ft)=(c; d)
для комплексных чисел равносильно двум равенствам а=с и
b=d для действительных чисел. Если z=(a; ft)— комплексное
число, то а называют его действительной частью, aft — мнимой
частью. Приняты обозначения a=Re z, ft = Im z (от французских
слов гёе!е — действительный и imaginaire — мнимый). Числа
(a; ft), для которых ft#=0, называют мнимыми числами, а числа
вида (0; ft), ft=#0,— чисто мнимыми числами.
Определим теперь операции сложения и умножения комплекс-
ных чисел (т. е. пар (a; ft)) в соответствии с «наивными > форму-
лами (1) и (2) п. 1: если z=(a; ft) и w=(c; d), то
z + a>=(a; ft)+(c; d)=(a-|-c; ft-|-d)	(1)
и
zw=(a\ ft)(c; d)=(ac — bd; ad-\-bc).	(2)
Итак, мы ввели понятие комплексного числа и определили
для этих чисел операции сложения и умножения. Теперь можно
перейти к записи комплексных чисел в виде z=a+fti, о которой
говорилось выше. Для этого заметим следующее:
а)	для пар вида (а; 0) определенные выше операции сложения
и умножения сводятся к соответствующим операциям над дейст-
вительными частями, т. е. имеют место равенства
(а; 0)+(с; 0)=(а+с; 0)	(3)
(а; 0)(с; 0)=(ас; 0);	(4)
180
б)	имеют место равенства	/
(Ь; 0)(0; 1)=(0; Ь) !	(5)
(0; 1).(0; !)=(—!; 0).	(6)
Эти утверждения непосредственно вытекают из формул (1)
и (2).
Из утверждения а) следует, что пару (а; 0) можно кратко обо-
значить через а. Тогда равенство (6) примет вад: (0; 1)-(0; 1)=
= —1. Наконец, обозначим пару (0; 1) через I. В этих обозначе-
ниях равенство (5) принимает вид: fti=(0; Ь). Поскольку (а; Ь)=
=(а; 0)+(0; ft), то получаем, что пару (а; Ь) можно обозначить
а+Ы:
(а; Ь)=а+Ы.
Теперь уже операции сложения и умножения в правой части
равенства имеют смысл.
В дальнейшем мы будем записывать комплексные числа в виде
а-\-Ы. Формулы (1) и (2) принимают в этих обозначениях вид,
указанный уже в п. 1:
(а+Ы)+(с+Л)=(а+с)+(ft+d) t	(1')
и
(a+fti)(c + dt)=(ac—ftd)+(ad+ftc) i	(2')
(это неудивительно, поскольку сами формулы (1) и (2) были вве-
дены на основе «наивного» определения операций сложения и
умножения).
Свойства операций сложения и умножения для комплексных
чисел такие же, как и для действительных: имеют место тож-
дественные равенства:
1)	Z-f-W = l0+z,
2)	(z+w)+t=z+(w + t),
3)	z+0==z,
1') zw = wz,
2') (zw) t = z (wf),
3') z-l=z,
а также равенство
4)	z(w + t)=zw-t-zt.
Кроме того, каждое комплексное число z = a-)-fti имеет проти-
воположное ему число — z, а именно — z= — а—Ы. В самом
деле,
(a+ftt)+( — а — bi)=(a—a)+(ft — ft) 1=0.
Наконец, каждое отличное от нуля комплексное число z имеет
обратное ему число, т. е. такое число w, что zw = 1. Действитель-
но, будем искать число w в виде w=x-\-yi. Равенство гш*=1.
принимает при этом вид (a+fti) (x+</i)= 1, т. е.
(ах—by)+(ftx+ay) i = 1.
(7)
181
Но комплексные числа равны в том и только в том случае, когда
у них одинаковы как их действительные части, так и мнимые части.
Поэтому из равенства (7) получаем два уравнения для отыскания
X и у:
Г ах — by= 1,
I Ьх + ау=0.
Решая эту систему уравнений, получаем, что х= .а . , у=-------
а2+Ь2	а2+Ь2
(при этом а2+Ь2^±0, так как число z предполагается отличным
от нуля, а следовательно, хотя бы одно из чисел а, b отлично от
нуля).
Мы доказали, что если z=a-^bi, то
la b .
W —--------------------—--------------4.
z а2+Ь2	а2+Ь2
Итак, все 9 основных свойств операций сложения и умноже-
ния действительных чисел, на которых основана алгебра, верны и
для комплексных чисел. Отсюда следует, что любое алгебраичес-
кое тождество остается справедливым и в комплексной области.
Например, для комплексных чисел z и w верны тождества
(z ± w)2 = z2 ± 2zw + w2,
(z-f-w) (z — w)=z2— w2
и т. д.
Операции вычитания и деления комплексных чисел определя-
ются равенствами
Z— U> = z + (—W)
И
— =z-—, w^O.
w w
Из этих равенств вытекает, что
(a+W)—(c+di)=(a — c)+(b—d) i
и
£±^=(a+W)._l— =(а+Ы)(	=
c-^-di	c+di	\c2-|-d2	c2-f-d2 /
__ac+bd - be—ad .
~ c2+d2 + c2+d2 '
что совпадает с формулой (3) п. 1. На практ ике вместо полученной
формулы используют указанный в п. 1 прием: умножают числи-
тель и знаменатель дроби на с—di.
c-j-ai
182
Упражнения
326.	Найдите действительные числа х и у так, чтобы выполнялись равенства:
9;	7
1)	— —4/-J-4 = 3/——-J-2//;	2) (1 +0*+(1 -1)у^3-ц
3)	(2 + 3z)x+(2-30(x+£/) = 7-8l
327.	Найдите действительные числа х и у, такие, что
(2х — 3yi) (2х+3yi)+xi=97+2L
328.	Вычислите выражения:
3+2/	3+» , 3—>
7—2/’ ' З-ГЗ+i
13)
(1+Q(1+Q.
*2)	(1+2/)3 ’
4)
; 6) -^=-;
V2+ Ы
14) 3±£;. 2
' 3-i 5(1-0
; 15)
5)
” (w)’;
+5 (л/0^-л/5Л«Ч-2));
2 (л/51+W (VT5-4) (V&+Q (1 -УЗ)
(7+5л/2)(л/Й-О3
329.	Покажите, что если 1+е+82=0, то
(а + Ъ+с) (а+&е+се2) (а+Ьг2+сг)=а3+Ъ3+с3—ЗаЬс.
330.	Решите систему линейных уравнений
{x+y+z=A,
х-\-уъ-\-гг2=В,
х+«/82+ге=С,
где 1 +е+е2=О.
3.	Сопряженные комплексные числа. Введем следующее опре-
деление:
Определение. Два комплексных числа называются со-
пряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.
Число, сопряженное комплексному числу г, обозначают г.
Таким образом, если г=а-\-Ы, то z=a—Ы. Например 3 + 4» =
=3—4i. Ясно, что число, сопряженное числу z, равно г:
z=z.
183
Число, сопряженное действительному числу а, совпадает с а, а
число, сопряженное чисто мнимому числу Ы, противоположно
ему:
_а=а, a£R,
Ы=—Ы, b£R.
Докажем следующие утверждения о сопряженных комплексных
числах:
Теорема 1. Число, сопряженное с суммой комплексных чисел,
равно сумме чисел, сопряженных со слагаемыми:
z-\-w =z-\-w.
Доказательство. Пусть z = a-{-bi, w = c-\-di. Тогда
z=a— bi, w—c—di, и потому
z+w =(a+6i)+(c-|-dt)==(a+c)+(&-H/) i==
=a+c—(b + d) i=(a — bi)+(c—di)=Zr{-w.
Теорема 2. Число, сопряженное с произведением комплексных
чисел, равно произведению чисел, сопряженных с множителями:
ZW=Z'W.
Доказательство. Если z=a-\-bi, w=c-\-di, то zw =
={а+Ы) {с -\-di)={ас — bd)+{ad-\-bc) i = ac—bd —{ad+bc) i.
С другой стороны,
z- w={a—bi) {c—di)=ac—bd—{ad-\-bc)i.
Получили одинаковые результаты, что и доказывает наше утверж-
дение.
Теорема 3. Если z^O, то число, сопряженное с числом, обрат-
ным г, обратно числу, сопряженному с г:
—=4т, (т. е. l:z=l:z).
2 z
Доказательство. Из равенства z*-^-=l по теореме 2
следует, что z- —=1 = 1. Но тогда — =4-
z	Z z •
Из доказанных утверждений вытекают следствия:
Следствие 1. Число, сопряженное натуральной степени ком-
плексного числа, равно степени с тем же показателем числа, соп-
ряженного данному:
zn=zn.
Это утверждение вытекает из теоремы 2 и того, что степень — про-
изведение равных множителей.
184
Следствие 2. Если заменить в многочлене Р (г) с комплексными
коэффициентами значение z—Zo на сопряженное значение го,
а все коэффициенты — сопряженными им числами, то значение
многочлена заменится на сопряженное.	_
Если _положить Р(z)=anz" + an-i г"-1+...+оо и Р(г)=
=anz"+an-i zn-l-b - + ao» то утверждение записывается сле-
дующим образом: Р (zo)=P (zo).
Для его доказательства достаточно заметить, что в силу теорем
1 и 2 и следствия 1 имеем:
Р (z0>= anzS+a,,- izo“Ч-... + ao=a«zo + an-izo-1 +
+ ...4-ao=anZo+an_i Zo *-|-...-|-ao=P(zo).
Поскольку действительные числа сами себе сопряжены, то из
следствия 2 получаем:
Следствие 3. При замене в многочлене с действительными
коэффициентами значения z=z« на сопряженное число Zo значе-
ние многочлена заменяется на сопряженное.
Утверждения, аналогичные следствиям 1, 2, 3, верны для лю-
бых рациональных функций от z.
Теорема 4. Сумма и произведение двух сопряженных комп-
лексных чисел являются действительными числами.
Доказательство. Имеем:
_ z+z=(a+6i)+(a — W)=2a,
zz=(a -|- bi) (a—M)=a2—b2i2=a2 + b2.
Упражнения
331.	Докажите, что если сумма и произведение двух комплексных чисел явля-
ются действительными числами, то эти комплексные числа — взаимно
сопряженные.
332.	1) При каких действительных значениях х и у комплексные числа Ъ-\-1ху,
x+y+4i будут сопряженными?
2)	Сколько решений будет иметь задача 332 (1), если не требовать в ее
условии, чтобы х и у были действительными? Приведите несколько примеров.
333.	Разложите на множители выражения:
1)	т2-|-/г2; 2) 4а2+962; 3) x2 + 4x-j-13; 4) х2-6х+25.
334.	Упростите выражения:
1)	(a+1+/)(a—1+/) (a—1 —/) (a+1 —/);
2)	(х+2-3/)(х-2+3/)(х + /)(х-/);
3)	(3b-b4 + 5t)(36 + 4-5z).
335.	Составьте квадратное уравнение с действительными коэффициентами,
одним из корней которого является число:
1)	/; 2) 1 +/; 3) 2—/; 4) 1+2/^/3.
336.	Найдите комплексное число, равное квадрату сопряженного с ним числа.
185
4. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел и ре-
шение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.
Введем следующее определение:
О п р е д е л е ни е. Число w называется квадратным корнем
из комплексного числа г, если его квадрат равен г:
9
W = 2.
Квадратный корень из z обозначают -Jz. Так как равенство
а>2=0 выполняется лишь при «>=0, то -76=0. Таким образом,
из числа 0 можно извлечь лишь один квадратный корень. Если
w — квадратный корень из числа г, то и — w является квадратным
корнем из z: из w2=z следует (—и>)2=з. Мы покажем сейчас,
что квадратных корней из z иного вида не существует.
Теорема. Пусть z=a+bi — отличное от нуля комплексное
число. Тогда существуют два взаимно противоположных комп-
лексных числа, квадраты которых равны г, а иных квадратных
корней из z не существует. Если Ь^О, то эти числа выражаются
формулой
Г / -Т^+^+а. . .	_ Д/7+fr2—а 1	...
w=гь|_ у	V~~+1 sien b V ^2—J >	(1)
где
{1, если 6>0,
— 1, если 6<0,
0, если 6=0.
При 6=0, а>»0 имеем: w=±^/a, а при 6 = 0, а<0 имеем:
w=±i-\l\a\.
Доказательство. Пусть w = u-j-vi и w2 = z. Тогда
выполняется равенство (u-^-vi)2 = a-^-bi, т. е. и2 — v2-]-2uvi =
=а-\-Ы. Но два комплексных числа равны в том и только в том
случае, когда соответственно равны их действительные и мнимые
части. Поэтому для отыскания и и v получаем систему уравнений
второй степени:
[ и2 — v2=a,
( 2uv = b.
Если 6=0, то либо и=0, либо и=0. При о=0 имеем и2=а,
и потому а>О, и=±-\/а. Если же ы=0, то —и2 = а, и потому
а<0, о=±<|а|. Разберем теперь случай, когда 6=#0. В этом
случае и^0, и из второго уравнения находим, что р=^-.
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем уравне-
ние 4и4 — 4аи2 — 62=0. Оно имеет лишь два действительных
корня:
186
Первому значению для и соответствует значение
__ Ь _______Ь_______b	—а
Vl~2ut~	~
Но -7=7=777-= sign b, значит,
il2	n I	°
у । =sign
и потому
w, _Л/^та?+»+,- slg„	.
Второму значению и соответствует противоположное значение
ДЛЯ W.
Теорема доказана.
Пример 1. Вычислим -\/3—4Ё
Решение. Положим в формуле (1) а=3, Ь=— 4. Так
как знак числа —4 отрицателен, то
V3^47=	ТЙ’+Е?-»] _ ±(2_0
Замечание. В отличие от случая корней из действительных чисел под
корнем из комплексного числа понимаются оба значения, отличающиеся зна-
ками. Таким образом, в данном случае запись -y/z определяет не одно, а два числа.
Квадратные уравнения az2+6z+c=0, а=#0, с комплекс-
ными коэффициентами решаются по той же формуле
__—	—4 ас
Z~ 2а
что и уравнения с действительными коэффициентами. (Перед
корнем можно было бы оставить лишь знак «плюс», но мы пишем
оба знака, чтобы сохранить вид ранее известной формулы.)
В частности, теперь можем решать и уравнения с действитель-
ными коэффициентами, имеющие отрицательный дискриминант.
Пример 2. Решим уравнения:
1) х2+4х+29=0;
2) z2-(34-2t)z+6i=0.
Решение. Для уравнения 1 имеем:
х= -2±д/22-29= —2±VZ=25= -2±5t.
Для уравнения 2 имеем:
_ 3 + 2i±V(3-|-2i)2-24i _ 3+2«±т/9-4-12'« _3+2<±л/5-12<
2	2	2	2
187
По формуле (1) получаем, что
^5 - 12, =Л/^+|-1г),+5_,Л/^+<-12Г= = 3 _ 2,-
(берем лишь одно значение корня), и потому
. з+а±(з-2»)
2
Значит, Zi=3, Z2=2i.
Формулы Виета
I	Ь
Zl+Z2=__
21«22 = -^-
а
сохраняют силу и для уравнений с комплексными коэффициентами.
Легко проверить, что в случае, когда коэффициенты квад-
ратного уравнения являются действительными числами, его корни
сопряжены друг другу.
Упражнения
337.	Решите квадратные уравнения:
1)	х2 —2х+2=0; 2) х2 4-10x4-50=0; 3) Эх2 —12x4-7=0;
4)	х24-3=0.
338.	Вычислите квадратные корни:
1)	V- 7 — 241; 2) V244-701; 3) ^/Ц-'л/З; 4) -\/2 + i^2;
5)	<^25; 6) ~\Г—7-
339.	Решите квадратные уравнения:
1)	z2 —(2-Н) z-|-2i=0; 2) z2-(5 + 2i) z+5 + 5i=0.
$ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
1.	Геометрическое изображение комплексных чисел. Мы дали
определение понятию комплексного числа и научились выполнять
над комплексными числами арифметические действия, а также
извлекать из них квадратные корни. Тем самым даны ответы на
вопросы а) и б) из п. 1 § 1. Как там отмечалось, одним из важней-
ших является вопрос о практическом значении комплексных чисел.
Чтобы ответить на него, нужно сначала научиться изображать
эти числа геометрически подобно тому, как изображаются дейст-
вительные числа точками на координатной прямой.
Комплексное число z=x-\-yi задается парой (х; у) действи-
тельных чисел. Та же пара чисел может рассматриваться в каче-
стве координат точки М (х; у) на координатной плоскости. По-
этому поставим в соответствие каждому числу z=x-\-yi точку М
188
и обозначим ее М (г) (рис. 66). Ясно, что
при этом каждая точка координатной
плоскости изображает одно и только одно
число, а каждое число изображается
одной и только одной точкой. Действи-
тельным числам соответствуют точки оси
абсцисс, а чисто мнимым — точки оси
ординат. Сопряженные числа изобража-
ются точками координатной плоскости,
симметричными относительно оси абсцисс.
Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы,
т.	е. векторы ОМ, идущие из начала координат 0(0; 0) в точку
М (х; у). Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые
векторы, имеющие то же направление и ту же длину.
Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно
тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование
операции над ними. Мы знаем, что при сложении комплексных чи-
сел отдельно складываются их действительные и мнимые части:
(а + Ы)+(c+di)=(a+c)+(b + d) i.
Точно так же при сложении векторов отдельно складываются их
координаты: если OM=ai-{-bj и ON=d-\-dj, то 0M-\-0N=
=(a+ft)i‘+(c-|-d) j. Это означает, что при указанном соответст-
вии операциям сложения и вычитания комплексных чисел соот-
ветствуют те же операции над векторами. Иными словами^если
числу z соответствует вектор ОМ, ачислу^ w — вектор ON, то
числу z-f-w соответствует вектор ОМ-{-ON, а числу z — w —
>• >•
вектор ОМ —ON.
Аналогично при умножении комплексного числа z на действи-
тельное число а соответствующий ему вектор ОМ умножается на
это же число. Иными словами, числу az соответствует вектор
а-ОМ. В самом деле, на а умножаются как обе координаты век-
тора ОМ. так и действительная и мнимая части числа z.
Вопрос о геометрическом смысле операции умножения на ком-
плексное число будет рассмотрен ниже.
Упражнения
340.	Как расположены точки комплексной плоскости, соответствующие числам
z=a-\-bi и z=a—bft
341.	Как расположены на комплексной плоскости точки, соответствующие про-
тивоположным числам z и -г?
342.	Во что переходит круг единичного радиуса с центром в начале координат
при преобразовании z->z—2-J-3Z?
189
2. Полярная система координат и тригонометрическая форма
комплексных чисел. Положение точки на координатной плоскости
можно задавать не только ее декартовыми координатами. Можно
задать это положение, указав расстояние г этой точки М до фик-
сированной точки О (полюса) и направление луча ОМ. Последнее
задается величиной угла <р, образованного лучом ОМ с фиксиро-
ванным лучом ОХ, выходящим из точки О. При этом угол отсчи-
тывают против хода часовой стрелки (рис. 67).
Пару чисел (г, <р) называют полярными координатами точки М.
Мы видим, что для задания полярной системы координат на пло-
скости надо задать полюс О, полярный луч ОХ и выбрать единицу
измерения длин и углов. Углы обычно измеряются в радианах.
В дальнейшем мы будем называть число г длиной радиус-вектора
ОМ, а <р — величиной полярного угла (или полярным углом, если
это не вызывает недоразумений). Значение неотрицательного
числа г однозначно определено для всех точек плоскости, а зна-
чение <р определяется с точностью до слагаемого, кратного 2л,
для всех точек, отличных от полюса, и не определено для точки О.
В случае, когда на плоскости задана декартова система коор-
динат, в качестве полюса выбирают обычно начало этой системы
координат, а в качестве полярного луча — положительное на-
правление оси абсцисс. При таком взаимном расположении де-
картовой и полярной систем координат выполняются равенства
x=rcos<p,	(1)
y = rsin<p.	(2)
В самом деле, луч ОМ пересекает координатную окружность в
точке Р (<р), декартовы координаты которой равны cos <р и sin <р
(рис. 68). Координаты же точки М, лежащей на луче ОР и нахо-
дящейся от точки О на расстоянии г, в г раз больше.
Из равенств (1) и (2) вытекают соотношения
cos Ф=у-,	(3)
sin <р=у-.	(4)
Кроме того, из треугольника OMN видим, что
х2+у2 = г2.	(5)
190
Полученные соотношения позволяют находить декартовы коор-
динаты точки по ее полярным координатам и обратно. Из фор-
мул (3) и (4) вытекает, что
tg<P=f-	(6)
а
По этому равенству можно найти значение ф с точностью до сла-
гаемого, кратного л. Знаки х и у позволяют установить четверть,
где расположена точка, и тем самым значение <р с точностью до
слагаемого, кратного 2л.
Пример 1. Найдем полярные координаты точки М (д/З; — 1).
Решение. По формулам (3), (4), (5) имеем:
r=V(^/3)2+(_ 1)2=2,
cos<p=-^-, sin <р= — -L.
По заданным значениям cos (р и sin ф находим, что <р=—
Значит, полярные координаты точки М равны ( 2; —.
Пример 2. Найдем декартовы координаты точки М, если ее
полярные координаты равны 4 и —
Решение. По формулам (1), (2) имеем:
х=4 cos( —=4-^-=2-\/2,
у=4 sin( --J-) = -4-^-= -2^/2.
Иногда отыскание полярных координат точки легче делать
по чертежу, чем по формулам.
Пример 3. Найдем полярные координаты точки М (— 1; 1).
Решение. Из рисунка 69 сразу видим, что
r=V(-l)2+l*=V2, Ф=|- я.
Так как комплексные числа изображаются точками коорди-
натной плоскости, их можно задавать не только с помощью де-
картовых координат этой точки, но и с
помощью ее полярных координат. Из
формул (1), (2) следует, что если z=
=x-\-yi, то
z—r cos ф+ir sin <p=r (cos ф+i sin ф).
Определение. Длина радиус-век-
тора точки М, изображающей число г,
называется модулем этого числа, а поляр-
ный угол точки М — аргументом или
191
фазой числа z. Жощлъ числа г обозначают | z|, аргумент этого
числа обозначают Arg z.
Таким образом, в записи
z = r (cos <р~Н sin <р)	(7)
число г является модулем z, а число <р — аргументом этого числа.
Запись (7) называют тригонометрической формой числа г.
Модуль любого комплексного числа есть неотрицательное дей-
ствительное число, равное нулю лишь при z=0. Аргумент числа z
имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от
друга на слагаемые, кратные 2л.
В случае, если хотят получить однозначно определенное зна-
чение аргумента, выбирают значение, лежащее между числами
— л и л, и обозначают его arg z, —ji<arg z<Zn. При переходе
через отрицательную полуось значение arg z меняется скачком —
выше этой полуоси оно равно л, а ниже нее оно равно —л.
Пример 4. Найдем тригонометрическую запись чисел:
1)	л/З-г, 2) -6; 3) -2(cos-y-isin
Решение. 1) Имеем: г=2, <р=—Значит,
V3-i=2(cos(-f)+«sin(
2)	Имеем: г=6, <р = л. Значит,
— 6=6 (cos л4-i sin л).
3)	Запись z=— 2^cos-£—i sin не является тригономет-
рической формой записи комплексного числа z, поскольку здесь
множитель —2 отрицателен, равно как и знак перед i. Перепишем
z в виде
z = 2( —cos	Н sin .
Теперь осталось найти такой угол <р, что cos <р= — cos
и
sin <p = sin -2-. Ясно, что <р=4-л. Значит,
о	О
z = 2^cos у-л-Н sin
Замечание 1. Так как при z=x+yi, z=x—yi и zz=x2+//2= |г|2, то
справедливо равенство
Iz|2 = zl	(8)
Замечание 2. Для действительных чисел понятие модуля совпадает
с введенным в VII классе. Аргумент действительного числа х равен 0, если х>0,
и равен л, если х<0.
192
В заключение выясним геометри-
ческий смысл выражения |z—w|.
Мы знаем, что число z—w изобража-
ется разностью векторов ОМ и ON,
изображающих числа г_я w соответ-
ственно, т. е. вектором NM (рис. 70).
Число же 1г—а>1 равно длине
этого вектора, т. е. расстоянию
между точками М и N. Итак,
число |z—w | равно расстоянию меж-
ду точками М(г) и N (и>).
Пример 5. Найдем множество точек z, для которых:
1)	|z-24-5t|=6; 2) |z-2+&К6.
Решение. 1) Данное множество является окружностью
радиуса 6 с центром в точке Л (2; —5).
2)	Это множество является кругом радиуса 6 с центром в
точке А (2; — 5).
Упражнения
343.	Представьте в тригонометрической форме комцлексные числа:
1)	-fi+i; 2) 2—2/; 3) 64-6»; 4) 1-«л/3;-5) З-Н»:
л/ л , . . л\ л я л. . л	л	л
6)	— 31 cos -=-+* sin —1 ; 7) 3 cos -х—3i sin	8) sin -z—i cos 777.
\	1	7/	о	о	о 12
344.	Представьте в алгебраической форме числа:
1)	3^cos -£•+« sin у); 2) 8(cos'Tp+isiny)-
345.	Докажите, что для любых комплексных чисел
|Z|| —|z2l < |Z!-|-Z2l < Izd + |z2| •
346.	Докажите, что если |z| = l, то z=—.
Z	a+i
347.	Докажите, что если |z| = 1, z=# 1, то z можно представить в виде z=^—-t, где
а — действительное число.
348.	Докажите, что если |z| = 1, то для любого действительного числа ф имеем,
I z cos ф+sin ф I __
I z sin ф+cos ф I
349.	Вычислите модули комплексных чисел:
1)	z=(i-H)4 + 3<; 2)
(a—6)-|-2z -^ab
350.	Докажите, что для любых комплексных чисел z\ и z2 выполняется равенство
|Z14-Z2|24-|ZI-Z2|2 = 2(|ZI|24-|Z2|2).
193
7 Н. Я. Виленкин
351. Из всех комплексных чисел, удовлетворяющих условию I z — 25/1^15,
найдите число, имеющее наименьшее значение аргумента (если значения
аргумента брать заключенными между —л и л).
352. Изобразите на чертеже множество точек комплексной области, удовлет-
воряющих условию:
1) Rez>l;2) Im z<-2; 3) |z-4i|=7;4) |z-4 + /|<5;
5)	zz+3z+3z=0; 6) |	=3.
353.	Найдите условия, задающие области на рисунке 71.
3.	Умножение, возведение в степень и деление комплексных
чисел в тригонометрической форме. В то время как сложение и вы-
читание комплексных чисел удобнее выполнять в алгебраической
форме, умножать и делить эти числа удобнее, используя триго-
нометрическую форму записи.
Возьмем числа z и w, заданные в тригонометрической форме:
z=r (cos <р+i sin <p),
w — R (cos ф + z sin ф).
Перемножая эти числа, получим:
zw = r (cos ф-Н sin ф)-/? (cos ф+i sin ф) =
= rR [cos ф cos ф —sin ф sin ф-Н (sin ф cos ф + sin ф cos ф)].
Но по формулам n. 1 § 3 главы VI
cos ф cos ф — sin ф sin ф = cos (ф + ф),
sin ф cos ф + sin ф cos ф = зт (ф+ф),
и поэтому
zw = rR [cos (ф 4- ф)+i sin (ф + ф)].
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются. Так как при этом
модули и аргументы преобразуются отдельно друг от друга, вы-
полнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в
алгебраической.
Поскольку r=|z|, R = |w|, ф=Аг§х, ф = Аг§да, то полу-
194
ценный результат можно записать следующим образом:
\zw\ =Jz| • |и>|,	(1)
Arg (zt0)=Arg z+Arg w.	(2)
Смысл равенства (2) состоит в том, что аргумент числа zw от-
личается от суммы аргументов чисел z и w лишь на кратное 2л.
Поскольку деление — действие, обратное умножению, то при
w=£0 имеем:
f=f(c<>s (Ф—♦)+*sin (Ф — Ф))>
потому	<3> Arg(-J-)=Arg*—Arg w‘	<4)
Иными словами, модуль частного равен отношению модулей
делимого и делителя, а аргумент частного — разности аргумен-
тов делимого и делителя.
Наконец, поскольку возведение в степень с натуральным по-
казателем сводится к умножению равных множителей, имеет место
формула
z" = г" (cos n<p+i sin лф).	(5)
Таким образом,
|z"| = |z|",	(6)
Arg (zn)=и Arg z.	(7)
Иными словами, модуль степени с натуральным показателем п
равен степени с тем же показателем модуля основания, аргумент
этой же степени — аргументу основания, умноженному на л.
Пример 1. Вычислим значение выражения
(1+015-(^/з-05____
(— l-H’-y3)10(-2-2i)2
Решение. Раскрывая скобки, мы получили бы очень гро-
моздкое выражение, вычисление которого было бы затрудни-
тельно. Поэтому поступим иначе — преобразуем все числа к
тригонометрической форме:
1 +i=-^^cos sin ; V3-i=2(cos( —+t sin( —
-1 + / V3=2(cos ^Ч-i sin	;
-2-2i=2 V2(cos( -^) +i sin( -^)).
Данное выражение можно записать в виде
195
(^(~т+'™т)) ’ (2('“(_т)+'”п(-т)))'
(К^^)>(.-(-W
Отсюда получаем, что
А ‘-f+5-i<>-3/	/15л 5л 20л , Зл\ , . . /15л 5л 20л
Л=2	(cos(—	-+-) +< sm(—---—
+f))=2-4(cos(_^„)+isi„(_i„)) =
Упражнения
354.	Вычислите следующие выражения, представив их в тригонометрической
форме:
1)	У^+‘ . 2) ~^+~^  3) 1+cosa+t sin а
' 1—/ ’ ’ 1—^3	' 1-|-cos а—/sin а
355.	Вычислите где z=cos <p+i sin <р.
356.	Вычислите следующие выражения:
(1+,-)5(УЗ-Н)'0 .	?у (1 —/)7(—л/з
’ (1_,У(1_(Л/3)" ’	>	(Т+7Г
31	О+О124
' (1-О9’-1(14-о9’ ’
357.	Найдите (14-sin <р+i cos <р)8.
358.	Докажите, что если г-|--|-=2 cos а (где г—комплексное число), то
z“+^=2 cos па.
4.	Формула Муавра. Применения комплексных чисел к до*
казательству тригонометрических тождеств. Если положить в
формуле (5) п. 3 г = 1, то получим частный случай этой формулы,
называемый формулой Муавра:
(cos ф+i sin ф)"=со5 пф+» sin пф.	(1)
Этой формулой можно воспользоваться для выражения синусов и
косинусов аргумента пф через синусы и косинусы аргумента ф.
Для этого применим к левой части формулу бинома Ньютона
(см. п. 9 § 3 главы V) и учтем формулы для степеней числа I. Полу-
чаем, что
cos Пф+i sin пф=сов" ф+Ci i cos"-1 ф sin ф—
— Сп cos "-2 ф sin2 ф—Сп i cos"-3 ф sin3 ф+
+ С1 cos "-4 ф sin4 ф+ ...
196
Отсюда следуют равенства
cos n<p=cos" <p—Сп cos"-2 ф sin2 ф + dcos"-4 ф sin4 ф—
sin Пф=С‘псо8"-1 ф sin ф—Сп cos"-3 ф sin3 ф+ ... .
Суммирование ведется до тех пор, пока показатель при cos ф не
обратится в 0 или в 1 (в зависимости от четности п). Поскольку в
выражение для cos пф входят лишь четные степени sin ф, то их
можно выразить через cos ф и получить выражение для cos пф
лишь через cos ф. Для sin Пф при нечетном п можно получить вы-
ражение лишь через sin ф, а при четном п — в виде произведения
cos ф на выражение от sin ф. Найдем такие выражения для некото-
рых значений п.
При п=3 получаем:
cos Зф=со53 ф—3 cos ф sin2 ф =
=cos3 ф —3cos ф(1 —cos2 ф)=4 cos3 ф—3 cos ф,
sin 3ф=3 cos2 ф sin ф—sin3 ф=3 (1 — sin2 ф) sin ф—sin3 <р =
= 3 sin ф—4 sin3 ф.
При п=4 получаем:
cos 4ф=сов4 ф—6 cos2 ф sin2 ф+sin4 ф=
=cos4 ф—6 cos2 ф (1 —cos2 ф)+(1 —cos2 ф)2 =
=8 cos4 ф—8 cos2 ф4-1,
sin 4ф=4 cos3 ф sin ф—4 cos ф sin3 ф =
=4 cos ф ((1 — sin2 ф) sin ф—sin3 ф)=4 cos ф (sin ф—2 sin3 ф).
Упражнения
359.	Пользуясь формулой Муавра, выразите через cos ф и sin ф:
1)	cos 5ф; 2) sin 5ф; 3) cos 6ф; 4) sin 6ф.
360.	Найдите сумму:
1)	sin ф+sin 2ф+ ... +sin «ф; 2) cos ф+cos 2ф+ .. . +cos «ф.
361.	Докажите тождество
tg5 6 20° - 33 tg4 20° + 27 tg2 20° = 3.
5. Извлечение корня из комплексного числа. Как и для дей-
ствительных чисел, корнем n-й степени из комплексного числа г,
где п — натуральное число, называют такое комплексное число w,
что wn = z. Корень n-й степени из z обозначают 5/z. Таким обра-
зом, если w=^/z, то z = wn. Покажем, что из любого комплекс-
ного числа 2 можно извлечь корень n-й степени, причем если 2=^0,
то *(/z принимает п различных значений.
Будем записывать числа в тригонометрической форме. Пусть
г=г (cos a-f-i sin а). Число w будем искать в виде w=R (cos ф+
197
-f-t sin ф). В силу формулы (5) п. 3 равенство wn=z принимает
вид:
/?“ (cos n<p+i sin n<p)=r (cos a 4-/ sin a).
Но два комплексных числа равны в том и только в том случае,
когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым,
кратным 2л. Значит,
пф=а+2£л, AfZ.
Поскольку число R должно быть неотрицательным, получаем,
что
/?=vr,
ф=«±^, k^Z.
(1)
(2)
Итак, для модуля R искомого числа мы получили определенное
значение. Что же касается аргумента ф этого числа, он может при-
нимать различные значения в зависимости от значения целого
числа k. Выясним, при каких значениях ki и kz получаются значе-
ния ф, отличающиеся друг от друга на кратное 2л (т. е. одинако-
вые значения w). Для этого разность
a+2nfei<х+2л<!2 2л (fei —fea)
п	п	п
должна быть кратна 2л. Это имеет место в том и только в том
случае, когда k\ — kz делится на п. Отсюда следует, что при г#=0
значениям Л=0, 1, ..., п—1 соответствуют различные значе-
ния корня, а k=n дает то же значение корня, что k=Q, при k =
=«+1 получаем то же значение корня, что и при k=\ и т. д.
Число различных значений корня равно п.
Мы доказали, таким образом, следующее утверждение:
Теорема. Для любого натурального числа п и любого отличного
от нуля комплексного числа z существуют п различных значений
корня п-й степени.
Если z=r (cos a-H sin a), то эти значения выражаются фор-
мулой
Wft=^cos^±^+isin^^),	(3)
где k=Q, 1,	п — 1.
Все точки Wk лежат на окружности радиусом ^/г с центром в
начале координат. Аргументы соседних точек отличаются друг от
друга на ^2., а потому указанные точки делят окружность на п
равных частей. Иными словами, они являются вершинами пра-
вильного п-угольника, вписанного в эту окружность (рис. 72).
198
При мер 1. Найдем все зна-
чения для —14-1.
Решение. Находим для — 1 4-«,
что г=л/2, <р=^. Значит,
4
Wk=^\f\/2^cos
^+2nk
±——+i Sin ±--
3	1	3
Отсюда получаем, что
te»o=^(cos -2-4-1 sin -2-) =^-(1-H).
wi =V2(cos ]|n4-i sin =

w2=^2^ cos Sin =V2( Sin i cos •£) =
=^-(л/6-^-/(л/64-^))-
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) Квадратный корень из комплексного числа. При п=2 фор-
мула (3) определяет два значения для ->jr (cos а + / sin а):
w0=^/r( cos -j-4-1 sin -y-) ,
wi =л/^( cos -4-< sin tt+2it) = —cos sin .
Эти значения оказываются (как и следовало ожидать) взаимно
противоположными. Применяя формулы, выражающие cos -2- и
sin через cos а, легко преобразовать эти формулы к виду, ука-
занному в п. 4 § 1.
2) Корень n-й степени из положительного действительного
числа. Если х — положительное действительное число, то |х| =х,
<р=0. Формула (3) принимает в этом случае вид:
u^=V*(cos ^2--Н sin ^-2-) , k=0, 1, .... п—1.
При k=Q получаем положительное действительное значение wo =
='\[х, т. е. арифметическое значение корня. Если п — четное
число, п—2гп, то при k = m получаем еще одно действительное
(отрицательное) значение корня:

। ; 2/пл \	пГ.
Sin -Т-) = —-ух.
1 2т /	*
199
Если же т — нечетное число, то найденное выше значение
корня при k=0 является единственным действительным значе-
нием для корня n-й степени.
К извлечению корней сводится решение так называемых дву-
членных уравнений, т. е. уравнений вида
azn + 6=0.
В самом деле, такое уравнение равносильно уравнению zn = —
и потому для его решения надо лишь найти все значения
4 / ь
дляV
Пример 2. Решим двучленные уравнения:
1) z2+l=0; 2) z4 —1=0; 3) z3-l=0; 4) z3+l=0;
5)	z6—1=0; 6) z4 + l=0; 7) z6+l=0; 8) z5-l=0.
Решение. Каждое из этих уравнений решается путем раз-
ложения соответствующего многочлена на множители первой и
второй степени.
1)	Разложение многочлена z2+l на множители имеет вид:
z2+1 =(z—/) (z+i). Отсюда находим два корня уравнения:
Z1=/, Z2=—/.
2)	Так как
24 _ 1 = (Z’_ 1) (Z2+ 1) = (Z- 1) (Z+ 1) (Z2+ 1),
то в силу 1) имеем четыре корня уравнения: zi = l, Z2= —1,
23,4 = ±/.
3)	Разложим z3 —1 на множители: z3— 1 =(z— l)(z2 + z+1).
Решая уравнения zi —1=0 и z2+z+l=0, получаем три корня:
__1	— 1 ±/ л/З
21 — 1, 22, 3 —-2 ’
4) Решается аналогично 3). Корнями являются числа
21 = — 1, 22,3
__1 л/З
“	2
5)	Так как z6— l=(z3— l)(z3+l), это уравнение сводится
к двум предыдущим. Корнями являются
_______|_1 _	__± 1 ±« л/З
2|. 2—±1, *3,4,5,6 —----5----
(берутся все четыре сочетания знаков).
6)	Для разложения многочлена z4 +1 на множители прибавим
и вычтем 2z2, т. е. (zV2)2:
z4 +1 = z4+2z2 + 1 - (z л/2)2=(z2 +1 )2 - (z V2)2=
=(z2-zV2+l)(z2+z^+l).
200
Теперь надо решить два квадратных уравнения: z2—/2z+l =0
и z2+V2z+1 =0. Решая их, получаем четыре корня:
*1,2, 3,4 = -^-(± 1 ±0-
7)	Многочлен z6+l раскладывается на множители следую-
щим образом:
z6+ 1 =(z2+ 1) (z4-z2+ 1) =
=(z-t)(z-H)[(z4+2z2+l)-3z2]=
=(z-i) (z+i) (z2-V3z+1) (z2+V3z+1).
Решая квадратные уравнения, получаем шесть корней уравнения:
?____|_; 7
zl,2—	Z3, 4, 5, 6— 2
8)	Разложим многочлен z5— 1 на множители:
z5— 1 =(z— 1) (z4-|-z3 4-z2 4-z 4-1).
Отсюда следует, что zi = 1. Чтобы найти остальные четыре корня,
надо решить уравнение
z4 + z3+z24-z+1=0.
Разделим обе части этого уравнения на z2 и положим z+-|-=w.
Так как w2=z24-24-p-, то получаем уравнение
w2—24-104-1=0, т. е. w2+w—1=0.
Оно имеет два корня: и»! 2=~~1±^5. Теперь осталось решить
два уравнения: z+^-= — и z4--^-=—-j—т. е.
22+1^г+1=0, z2+-U^z4-l=0.
Решая их, получаем:
,	_.-1+л/5±<л/Ю+2-/5
г2,з—	4
_-1-л/5±»л/10-2л/5
Z4,5	4
К извлечению корней сводится и решение так называемых
трехчленных уравнений, т. е. уравнений вида аг2"-Ь6гп-|-с=0.
Здесь надо сначала сделать подстановку zn—w, решить квад-
ратное уравнение at02 + ftt0-|-c=O, а потом решить уравнения
zn = w\ и z" = а»2, где t0i и и>з — корни квадратного уравнения.
Пример 3. Решим уравнение
z6—9z34*8=0.
.201
Решение. Подстановка £ = w приводит к квадратному
уравнению w2—9о»4-8=0, имеющему корни 1 и 8. Решая
уравнения z3=l и z3 = 8, получаем корни данного уравнения:
Zi — 1, z2,3——у-—Z4 = 2, Zs_6= — l±i"\/3.
Упражнения
362.	Сколько и какие значения имеет произведение 16-V—9?
363.	Можно ли утверждать, что для комплексных чисел справедливы равенства:
1)	-yj(a + Ы) (c+di)=^la+bi-^c+di; 2) -^(a-}-bif=(-\la+bi)2?
364.	Вычислите значения: tfT, \/Г, "V—2-|-2i, V— ••
365.	Решите квадратные уравнения:
1)	ri+4ix+12=0; 2) ^+7ix— 12=0; 3) х2—to—15=0.
366.	Решите двучленные уравнения:
1)	8г3—27=0; 2) г12-1=0; 3) г5+32=0; 4) г'°-1024 = 0.
367.	Решите трехчленные уравнения:
1)	г8-17г44-16=0; 2) г12-65г6+64=0.
6.	Основная теорема алгебры многочленов. Во всех примерах,
разобранных в предыдущем пункте, уравнение n-й степени имело п
корней (действительных или мнимых). Аналогично обстоит дело
для уравнения (х—З)2 (х-|-4)3=0, если считать каждый корень
столько раз, какова его кратность,— оно имеет пять корней:
корень — 4 третьей кратности и корень 3 второй кратности.
И здесь число корней совпадает со степенью уравнения. Подмечен-
ная закономерность не случайна, она имеет место для всех алгеб-
раических уравнений, причем не только для уравнений с дейст-
вительными коэффициентами, но и для уравнений с комплексными
коэффициентами. Доказательство этого утверждения основано
на следующей теореме, которую называют основной теоремой ал-
гебры многочленов:
Теорема 1. Любое уравнение с комплексными коэффициентами,
степень которого больше нуля, имеет хотя бы один комплексный
корень.
Отметим, что в формулировке этой теоремы действительные
числа рассматриваются как частный случай комплексных, и по-
тому из нее следует, что любое уравнение с действительными ко-
эффициентами имеет хотя бы один (быть может, комплексный)
корень.
Доказательство основной теоремы алгебры многочленов до-
вольно сложно, и мы его опускаем.
Отметим некоторые следствия из теоремы 1.
Следствие 1. Любой многочлен n-й степени с комплексными
коэффициентами раскладывается в произведение п линейных мно-
жителей:
202
anz"+an^i2n *+ ... +a0=a„(z — zt)-...-(z—z„),	(1)
где ao, ..., On, zi ..., zn — комплексные числа.
Доказательство. Проведем доказательство по индук-
ции. При п = 1 утверждение истинно, так как aiz+ao=
=ai(z+-y). Предположим, что утверждение верно при n=k.
Докажем истинность этого утверждения при п=£+1. По тео-
реме 1 многочлен
Р (z) =at+i z*+l +atz*4-...-bao
имеет хотя бы один комплексный корень г*+ь Но тогда по теоре-
ме Безу (см. п. 3 § 3 главы II) этот многочлен делится на z — zt+i,
и потому P(z)=(z—z*+i)Q(z), где Q(z) — многочлен сте-
пени п. По предположению индукции имеем:
Q (z) = b(z—zi) •...• (z—zt).
Значит,
P (z) = b(z—zi) •...• (z — z*) (z —Z*+i).
To, что 6=a*+i, получаем путем раскрытия скобок и сравнения
коэффициентов при z*+l.
Итак, в силу принципа математической индукции утверждение
истинно для всех п.
Следствие 2. Любое уравнение п-й степени (где n 1) с комп-
лексными коэффициентами имеет п комплексных корней (при
этом каждый корень считают столько раз, какова его кратность).
Доказательство. По следствию 1 уравнение
artz”4-...4-ao=0
можно записать в виде
an(z — zi) -...- (z—zn) =0.
Видим, что корнями этого уравнения являются числа zi, ..., zn
и что иных корней оно не имеет. ,
Пример 1. Составим уравнение наименьшей степени, кор-
нями которого являются числа 3, 2-Н, 2—I, а старший коэффи-
циент равен 4.
Решение. Искомое уравнение имеет вид:
4(z—3) (z-2-0 (z—24-0=0-
Раскрывая скобки, получаем уравнение
4z3 — 28z24-68z- 60=0.
Пример 2. Составим уравнение наименьшей степени, для
которого число । является корнем второй кратности, а число 1 —
корнем третьей кратности, коэффициент же при старшем члене
равен 3.
203
Решение. Искомое уравнение имеет вид:
3(2—i)2 (z-l)3 = 0.
Раскрывая скобки, получаем уравнение
3z5 — (9 + 6i)z44- (6+ 180z34- (6-180z2- (9-60x4-3=0.
Замечание. Поскольку любой многочлен допускает разложение на ли-
нейные множители (1), между его корнями и коэффициентами имеют место
соотношения Виета (см. п. 3 § 3 главы II).
В заключение рассмотрим вопрос о разложении на множители
многочленов с действительными коэффициентами. Сначала дока-
жем следующее утверждение:
Теорема 2. Если комплексное число а. является корнем много-
члена Р(г), имеющего действительные коэффициенты, то и сопря-
женное с а число а является корнем того же многочлена.
Доказательство. В п. 3 § 1 было показано, что для
многочленов с действительными коэффициентами верно равенство
р (7) =Гм.
Так как по условию а является корнем многочлена Р, то Р(а) =0,
а тогда Р(а) = Р(а)=0=0, и потому_а — корень многочлена Р.
Данную теорему можно уточнить: а не только является корнем
многочлена Р (z), но имеет при этом ту же кратность, что и а.
Отсюда вытекает, что корни многочлена Р (z) можно разбить на
действительные корни и на пары взаимно сопряженных комплекс-
ный корней. Действительному корню а соответствует в разложе-
нии многочлена Р (z) множитель (z—а), а паре а и а сопряжен-
ных комплексных корней — два множителя (z —а) (z —а). Если
а=Р4“У«> то
(z —а) (z—а) = (z —0 —yi) (z — 04*УО =
= (z—0)2—i2y2 = (z—0)24-y2=z2—20z4-024-Y2-
При этом очевидно, что квадратичный трехчлен z2—20z4-024-y2
не имеет действительных корней. Тем самым доказана следующая
теорема:
Теорема 3. Любой многочлен с действительными коэффициен-
тами может быть представлен в виде
Р (х) =ап(х—х1) •...• (х —xk) (x24-6ix4-ci) -...X
X (x24-fe,„x4-cm),
где xi, .... Xk и b\, Ь2, ..., bm, cit с2, .... cm — действительные числа,
причем множители второй степени не имеют действительных
корней.
(Мы пишем х вместо z, поскольку теорема касается многочле-
нов с действительными коэффициентами и можно считать зна-
чения х действительными числами.)
204
Упражнения
368.	Составьте уравнение пятой степени, имеющее корни
Xi=Z, x2=2i, хз=Х4=1, Х5=— i.
369.	Составьте уравнение четвертой степени, имеющее корни xi=x2=x3 =
= 1 -Н, х4 = 2.
370.	Составьте уравнение наименьшей степени с действительными коэффици-
ентами, имеющее корни xi=x2=2 — x3=i.
371.	Разложите на линейные множители многочлены:
1)	х,+4х2-|-5;	2) х4+6х2+25.
372.	Докажите, что:
1)	многочлен (cos <р+* sin <р)л—cos лф—х sin л<р делится на х2+1;
2)	многочлен х" sin ф—р"_| х sin пф+р" sin (п — 1) ф	делится на
х2—2рх cos ф+р2.
373.	Найдите сумму р-х степеней корней уравнения х“=1, где р — натураль-
ное число.
7. Комплексные числа и геометрические преобразования.
Функции комплексного переменного. Мы видели выше (см. п. 1
$ 2), что сложению комплексных чисел отвечает сложение векто-
ров точек, изображающих эти числа на комплексной плоскости.
Отсюда следует, что отображение z-*z+a, сопоставляющее каж-
дой точке z точку z+a, имеет простой геометрический смысл —
оно является параллельным переносом на вектор, равный ра-
диус-вектору точки А (а).
Выясним теперь геометрический смысл умножения на комп-
лексное число. При этом для простоты речи не будем различать
само число z и изображающую его точку М (z). Пусть R — поло-
жительное число. Мы знаем, что если z—г (cos ф-Н sin ф), то
Rz=Rr (cos <p+i sin <p). Таким образом, модуль числа z умно-
жается на /?, а аргумент остается неизменным. Учитывая геомет-
рический смысл модуля и аргумента комплексного числа, видим,
что отображение z-+Rz, где R >• 0 является гомотетией с центром
в начале координат и коэффициентом R.
Далее, пусть а=cos a A-i sin a, z=r (cos <p+t sin <p). Тогда
az=r (cos (ф-J-a) 4-i sin (<p4-a)). Это показывает, что умно-
жению на число с единичным модулем и аргументом а соответст-
вует поворот вокруг начала координат на угол а. Ясно, что умно-
жению чисел z на числа вида R (cosa-j-isina) соответствует
композиция указанных выше преобразований, т. е. последова-
тельное выполнение гомотетии с коэффициентом R относительно
начала координат О и поворота на угол а вокруг точки О. Более
сложное преобразование получается, если поставить каждому
числу z=/=0 в соответствие число Так как
—т-----:-----Г= —( COS (— ф) -\~l Sin ( —ф)) ,
Г (COS ф-Н Sin ф) г \ V Т/ I	'	V// »
205
то при этом преобразовании точка с полярными координатами
(г; <р) переходит в точку с полярными координатами^-^-; — <р).
На рисунке 73 изображено, в какую фигуру переходит при этом
преобразовании квадрат ОАВС. Видим, что форма фигуры из-
менилась, но углы между линиями остались неизменными.
Преобразования плоскости, при которых сохраняются углы
между линиями; называют конформными преобразованиями. Они
играют важную роль в картографии, так как позволяют получать
карты земной поверхности, на которых углы между линиями та-
кие же, как на этой поверхности. Теория конформных преобразо-
ваний плоскости тесным образом связана с дифференцируемыми
функциями, аргумент которых и значения являются комплексны-
ми числами. Понятие дифференцируемости определяется так же,
как для функций действительного аргумента.
Конформные отображения используются при решении многих
задач теории упругости, аэро- и гидродинамики, электростатики
и иных областей физики и техники. Для этого сложные области
конформно преобразуют в более простые (например, в круг),
после чего решают задачу для этой простой области и обратным
конформным преобразованием получают решение для исходной
области. Комплексные числа находят применение и в квантовой
механике.
Упражнения
374.	Какое геометрическое преобразование определяет формула:
1)	и = Ыг\ 2)	4i?
375.	Выразите в виде u=f (г) геометрическое преобразование комплексной
плоскости, состоящее в последовательном применении:
1)	гомотетии относительно точки О с коэффициентом 2 и переноса на
вектор 3H-4Z; 2) тех же преобразований, но выполненных в обратном по-
рядке.
206
376.	Выразите в виде u=f (z) гомотетию комплексной плоскости относительно
точки 1— i с коэффициентом 5 и представьте ее в виде последовательного
выполнения гомотетии относительно точки О и параллельного переноса.
377.	Докажите, что последовательное выполнение двух преобразований, каждое
из которых получается последовательным выполнением гомотетии, поворота
вокруг того же центра и параллельного переноса, можно заменить одним
преобразованием того же типа.
378.	Постройте образ квадрата с вершинами А (0; 0), В (0; 2), С (2; 2) и D (2; 0)
при следующем преобразовании:
1)	w=iz\ 2) w = <2iz— 1— 3i;	3) w = z2\	4) w =
Глава XI
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
§ 1. МНОЖЕСТВА, КОРТЕЖИ, ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Множества и операции над ними. В $ 1 главы I было вве-
дено понятие числового множества и определены операции над
такими множествами. Введем теперь понятие множества с эле-
ментами любой природы. Это понятие не определяется, а лишь
иллюстрируется примерами. Например, можно говорить о мно-
жестве яблок в мешке, множестве натуральных чисел, множестве
квадратов на плоскости и т. д. Множество считается заданным,
если о каждом элементе можно однозначно сказать, принадлежит
он этому множеству или нет. Обычно множества обозначают
прописными латинскими буквами, а их элементы — строчными
буквами. Если элемент х принадлежит множеству X, то пишут
х£Х, в противном случае пишут х$Х.
Пример 1. Если X — множество русских слов из словаря
В. И. Даля, то «семья»6X, a «sieben»8£Х.
Пример 2. Если N — множество натуральных чисел, то
4£N, а — 0,3£АГ, Сириус^АГ.
Два множества называются равными, если они состоят из од-
них и тех же элементов. Например, множество равносторонних
треугольников равно множеству равноугольных треугольников,
а множество параллелограммов — множеству четырехугольников,
имеющих центр симметрии. Если множества X и Y равны, то пи-
шут X=Y.
Множество, не содержащее ни одного элемента (например,
множество пятилетних гроссмейстеров по шахматам или мно-
жество натуральных корней уравнения 4Х2 —1=0), называют
пустым множеством. Его обозначают 0.
Множество яблок в мешке, рыб в океане, видов живых существ
конечны — количество их элементов можно выразить натураль-
ным числом (хотя мы не всегда знаем значение этого числа).
Множества натуральных чисел, ромбов на плоскости, шаров в про-
странстве бесконечны. Конечное множество можно задать списком
его элементов (например, множество учеников в классе задается
их списком в классном журнале). Два списка элементов одного
и того же множества X могут отличаться друг от друга лишь по-
рядком элементов. Например, (1, 2, 3} и {3, 1, 2}— списки од-
ного и того же множества {1, 2, 3) = {3, 1, 2).
208
В дальнейшем мы будем обозначать число элементов конечно-
го множества X через п (X), а множество X, содержащее п эле-
ментов, будем называть п-элементным множеством.
Пример 3. Пусть X — множество простых чисел, меньших,
чем 20. Оно состоит из восьми чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.
Поэтому n(X)=8, а X является восьмиэлементным множеством.
Если элементы конечного множества как-либо перенумерова-
ны, мы будем говорить, что это множество упорядочено. Одно
и то же множество можно упорядочивать различными способами.
Например, множество учащихся в классе можно упорядочить по
росту (как по возрастанию, так и по убыванию), по весу, в алфа-
витном порядке фамилий и т. д.
Бесконечное множество нельзя задать списком. Его задают
обычно характеристическим свойством, т. е. свойством, которым
обладают все элементы множества и не обладают элементы, не
принадлежащие этому множеству. Множество, заданное харак-
теристическим свойством Р(х), обозначают i .{x|P (х)}. Напри-
мер, запись {х|х2-7x4-12=0} обозначает множество корней
уравнения х2 —7x4-12=0 (т. е. множество {3, 4}), а запись
{АЛВС|ЛВ=ЛС=ВС}—множество равносторонних треуголь-
ников.
Если каждый элемент множества X является в то же время
элементом множества У, то говорят, что X — часть, или, иначе,
подмножество множества У. В этом случае пишут: XczY. На-
пример, множество квадратов является подмножеством множест-
ва ромбов, а множество ромбов — подмножеством множества па-
раллелограммов. Множество натуральных чисел, делящихся на 10,
является подмножеством множества четных натуральных чисел.
Очевидно, что если ХсУ и Y'<zZ, то XaZ. Если XczY и
YczX, то X=Y. Далее, для любого множества X верны вклю-
чения 0<zX и Х<=Х.
Обобщим на любые множества, введенные в $ 1 главы I опера-
ции пересечения, объединения и вычитания числовых множеств.
Определение 1. Пересечением множеств X и У назы-
вается множество ХПУ, состоящее из элементов, которые при-
надлежат как X, так и У.
Например, множество квадратов является пересечением мно-
жества прямоугольников с множеством ромбов, а множество пра-
вильных шестиугольников — пересечением множества шести-
угольников с множеством правильных многоугольников.
Определение 2. Объединением множеств X и У назы-
вают множество ХЦ У, состоящее из элементов, которые при-
надлежат хотя бы одному из множеств X, У.
Например, множество треугольников является объединением
множеств косоугольных и прямоугольных треугольников.
Аналогично определяются операции пересечения и объедине-
ния над любыми совокупностями множеств.
Определение 3. Разностью множеств X и У называется
209
Рис. 74
множество Х\У, состоящее из всех элементов множества X, не
принадлежащих множеству Y. Если УсХ, то разность Х\У
называют дополнением множества Y в множестве X и обознача-
ют Y'x.
Например, разностью множества четных чисел и множества
чисел, кратных 3, является множество четных чисел, не делящих-
ся на 6. Оно является объединением множества четных чисел,
дающих при делении на 6 остаток 2, и множества четных чи-
сел, дающих при делении на 6 остаток 4. Дополнением к множе-
ству квадратов в множестве ромбов является множество ромбов
с хотя бы одним острым углом. А дополнением того же множест-
ва квадратов в множестве прямоугольников является множество
прямоугольников с неравными соседними сторонами.
На рисунке 74, а, б, в изображены схематически операции
над множествами X и Y. Такие изображения множеств и опера-
ций над ними называют диаграммами Эйлера — Венна.
Упражнения
379.	Для каких из следующих пар множеств имеет место одно из соотношений
ЛсгВ, ВсЛ, Л=В, Л£В, В£Л:
1)	Л=(а, Ь, с, 4 В={а, с, 4	2) Л = 0, В=0;	3) Л = 0,
В={а, 6, с); 4) Л=(а, Ь, с}, В={6, с, а}; 5) Л = 0, В = {0};
6) Л=«а}, а, 0}, В = {4 7) Л={(а, 6), {с, 4 с, 4 В={(а, Ь}, с};
8)	Л = {(4 а, 0}, В=0?
380.	Верно ли, что:
1)	{1, 2)cz({l, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};	2) (1, 2)6{{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2};
3)	{1, 3}6{{1, 2, 3), {1, 3}, 1, 2};	4) (1, 3}сз{{1, 2, 3}, (1, 3}, 1, 2}?
381.	Даны множества Л = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
С={—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4}, D=(2, 3, 4, 5, 6}. Задайте списками
множества:
1)	ливисип; 2) ЛЛВЛСЛВ; 3) (Л ЛВ) и (СЛВ);
4) (ЛиВ)Л(СиВ); 5) (Л\В)и(В\Л); 6) D'A{](C\B).
382.	Изобразите с помощью диаграмм Эйлера — Венна множества Л, В, С, если:
1)	Лс=В и BczC; 2) ЛсС, ВаС и Л\В=0; 3) ЛсС, ВаС
и С=ЛиВ; 4) ЛсС, ВсС и ЛЛВ=#0; 5) ЛЛВ=#0, ЛЛСу=0,
ВЛС#:0, ЛЛВЛС#:0; 6) ЛЛВ = 0, ЛЛС=0, ВЛС=#0.
210
2.	Алгебра множеств. Операции над множествами обладают
свойствами, которые отчасти напоминают свойства действий над
числами, а отчасти отличны от этих свойств. Именно:
I. Для любых множеств X и Y выполняются равенства
1)	лиг-ni* и Г) хпк=упх
(аналог тождеств х+у=у+х и ху=ух).
II.	Для любых трех множеств X, Y, Z выполняются равенства
2)	CKunU2=?XU(HJZ) и 2') (ХПУ)П2=ХП(УЛ2)
(аналог тождеств (х-\-у) 4-z=x+ (y+z) и (xy)z-x(yz)), а
также равенства:
3)	(ХиПЛ2=(ХЛ2)и(УП2)
и
3') (Xnr)UZ=(XU2)n(KU2)
(из этих равенств одно можно считать аналогом тождества
(x-$-y)z=xz+yz, но тогда второе не имеет аналога в обыч-
ной алгебре).
В случае, когда все рассматриваемые множества являются
частями одного и того же универсального множества U, резуль-
таты выполнения операций пересечения и объединения снова да-
ют подмножество из того же множества. Дополнение к любой
части множества U снова является частью того же множества.
При фиксированном универсальном множестве дополнение к X
обозначают X', опуская индекс U. Отметим следующие свойства
операции дополнения:
III.	Для любого множества X<^U имеет место равенство
4)	(Х'У = Х.
IV. Выполняются равенства
5)	0'=У и 5') f/'=0.
V. Для любых двух множеств X и Y из U имеем:
6)	(X(]Y)'=X'(JY' и 6') (ХиП'-Х'П)".
Мы не будем доказывать все перечисленные свойства, а дока-
жем лишь равенство (6):
a£(X(}YYoatXftYoatX
или a£Y о а£Х' или Y’ чф- а^Х'О Y'.
Знак о- читается: «тогда и только тогда, когда».
Значит,
(ХПУ)'=*'11У'.
Отметим, что если ХсУ, то X(\Y=X, ХиУ=У- В част-
ности, поскольку для любого множества X справедливо 0 czX
211
и ХаХ, то всегда верны равенства 0(]Х=0, 0(JX=X,
XftX=X, X[jX=X.
Так же как с помощью правил обычной алгебры преобразуют ал-
гебраические выражения, в которых буквы принимают числовые
значения, с помощью алгебры множеств преобразуют выражения,
в которых буквы обозначают множества, причем буквы соедине-
ны друг с другом знаками П. U> \> а к некоторым буквам при-
менена операция дополнения (в универсальном множестве U).
При этом стремятся привести такое выражение к нормальному
виду, а именно к виду объединения пересечения некоторых из
данных множеств и дополнений к другим данным множествам.
Если два выражения имеют одинаковую нормальную форму
(с точностью до перестановки), то они тождественно равны —
при подстановке вместо букв любых множеств из них получает-
ся одно и то же множество.
Упражнения
383.	Пусть А и В — подмножества универсального множества U, имеющие не-
пустое пересечение. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера — Венна сле-
дующие множества и укажите среди них равные:
1)	(ДПВ)'; 2) ДПВ'; 3) А'ПВ'; 4) (4UB)'; 5) 4UB';
6)	Д'иВ'.
384.	Докажите, что для любых множеств верны следующие соотношения:
1)	Д = (А\В) U (Д ПВ); 2) (Д\В)П(ДПВ) = 0;
3)	(Д\В)ПВ=0; 4) Д\В=Д\(ДПВ);
5)	ДП(ВиС) = (ДПВ)и(ДЛС);
6)	AU (ВПС) = (ДUB) П (ДUC);
7)	(Д\В)\С=Д\(ВиС) = (Д\С)\В= (Д\В) Л (Д\С);
8)	Ди(В\С) => (ДUB)\C; 9) (Д\В)иС=>(ДиС)\В.
385.	Пусть А, В и С — подмножества универсального множества U. Докажите,
что:
1)	Д\В=ДЛВ'; 2) (Д\В)'=Д'и(ДПВ);
3) Д'и(ВиС)'=(ДЛВ)'Л(ДЛС)'.
388. Обозначим множество (Д\В)0(В\Д) через ДДВ (симметрическая раз-
ность множеств Д и В). Докажите, что:
1) ДДВ = ВДД; 2)(ДДВ)ДВ=Д; 3) ДД0=Д; 4)ДДД=0;
5)	(ДДВ) ДС=ДД(ВДС); 6) ДДВ=(ДиВ)\(ДПВ);
7)	ДиВ= (ДДВ)Д(ДПВ); 8) (В\Д)Д(С\Д) = (ДЦВ)Д(ДIJС).
387.	Упростите следующие выражения:
1)	ДП(ДиВ); 2) (РЛ<г)П(<?'ПР); 3) (ДПВ')и(Д'Г)В);
4)	(Д'ЦВ')П(ДиВ).
388.	Пусть Дс:В, CcD. Докажите, что (ДQB)IJ (СПВ)\(Д ПС) =ДДС.
212
3. Разбиение множества на подмножества. В основе всевоз-
можных классификаций, применяемых в биологии, лингвистике
и других науках, лежит операция разбиения множества на по-
парно непересекающиеся части.
Определение. Пусть U — некоторое множество и Ха,
а£А — система подмножеств из U, обладающая следующими
свойствами:
а)	объединение всех множеств Ха совпадает с U, U = \jXa;
б)	если а#=Р, то пересечение множеств Ха и Х$ пусто:
Ха(]Хр=0.
Тогда говорят, что множество U разбито на части Ха, а£А.
Пример 1. Множество учеников разбивается на части по
первым буквам их фамилий (Алексеев и Антонюк принадлежат
одной части, Белов, Боженко и Бакрадзе — другой и т. д.).
При этом некоторые части пусты, например часть, состоящая из
учеников с фамилиями, начинающимися на ъ, ь или на ы.
П р и м е р 2. Если X — подмножество в U, то U разбивается
на множества X и X' (дополнение к X).
Пример 3. Множество всех многоугольников разбивается
на множества треугольников, четырехугольников, пятиугольни-
ков и т. д.
П р и м е р 4. Пусть в множестве U заданы любые подмноже-
ства Xi, .... Хп. Каждый элемент множества U принадлежит од-
ним из'этих множеств и не принадлежит другим. Этим определя-
ется разбиение множества U на части, имеющие вид ЛпТ’гП
П ... (\Тп, где для любого k множество Г* совпадает либо с Xk,
либо с Xi.
Разбиения на непересекающиеся подмножества встречаются
при решении производственных задач: детали разбиваются на
классы по материалу, из которого они изготовлены, форме и раз-
мерам, технологии обработки и т. д.
Упражнения
389.	Разбейте множество заглавных букв русского алфавита на следующие клас-
сы: 1) имеющие только вертикальную ось симметрии; 2) имеющие только
горизонтальную ось симметрии; 3) имеющие как вертикальную, так и го-
ризонтальную оси симметрии; 4) не имеющие осей симметрии.
390.	Сделайте классификацию, как в упражнении 389, для цифр и для букв
латинского алфавита.
391.	На рисунке 75 изображены 8 фигур. Придумайте 3 вопроса, позволяющие
однозначно определить заданную фигуру.
4. Кортежи и декартово произведение множеств. К понятию
упорядоченного множества близко, хотя и отличается от него,
понятие кортежа.
213
Определение 1. Пусть даны множества Xi, Хп.
Кортежем длины п, составленным из элементов этих множеств,
называется конечная последовательность a=(xi, ..., xrt), где для
всех k,	имеем: x*6X*. Элемент Хк называется k-fi
координатой (или k-u компонентной) кортежа а.
Пример 1. Из множеств {а, Ь, с} и {1, 2) можно составить
6 кортежей длины 2:
(а, 1), (а, 2), (b, 1), (Ь, 2), (с, 1), (с, 2).
Пример 2. Любое слово является кортежем, составленным
из букв, десятичная запись любого натурального числа — кор-
тежем, составленным из цифр, и т. д.
Пример 3. Любое упорядоченное конечное множество явля-
ется кортежем, все координаты которого различны.
Кортежи длины 2 называют упорядоченными парами, длины
3 — упорядоченными тройками, .... длины п — упорядоченными
n-ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опус-
кают.
Определение 2. Два кортежа равны в том и только в том
случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их коорди-
наты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны.
Таким образом, кортежи a=(xi, ..., хп) и p=(«/i, .... уп) равны
в том и только в том случае, когда т=п, причем Хк=ук для всех k,
\^k^n.
Пример 4. Кортежи (I2, 22, З2) и (-/Г, V16, -y/Si) равны,
поскольку 12=д/Т, 22=-\/1б, 32=-^Т.
Пример 5. Кортежи (1, 2, 3) и (3, 1, 2) различны, хотя
имеют одинаковую длину и одно и то же множество координат —
эти координаты стоят в разном порядке. Различны и кортежи
(1, 2, 3) и (1, 2, 3, 4) —они имеют разную длину.
Координатами кортежа могут быть множества, кортежи и т. д.
При этом, например, кортежи ((а, д}, с) и ({&, а}, с) равны, так как
{а, 6}={6, а}, а кортежи ((а, Ь), с) и ((6, а), с) различны, так как
(a, b)^(b, а).
214
Кортеж, не содержащий ни одной координаты (т. е. кортеж
длины 0), называется пустым.
Подчеркнем еще раз отличия понятий кортежа и множества:
а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи,
отличающиеся порядком элементов, различны даже в случае,
когда они имеют одинаковый состав;
б)	в множестве все элементы различны, а в кортеже координа-
ты могут повторяться.
Чтобы различать множества и кортежи, мы будем в дальней-
шем элементы множеств заключать в фигурные скобки, а элементы
кортежей — в круглые (в частности, в круглые скобки заклю-
чают элементы упорядоченных множеств).
Введем теперь понятие декартова произведения множеств.
Определение 3. Пусть Ль ..., А„ — некоторые множества.
Их декартовым произведением называют множество, состоящее
из всех кортежей вида (аь .... ап), где а*£Л*,	Декартово
произведение множеств Ль .... Ап обозначают Л1Х — ХЛП.
Пример 6. Если Л ={1, 2, 3}, В={х, у},
то
. ЛХВ={(1, Х)(1, у), (2, х), (2, у), (3, х), (3, у)}
И
ВХЛ={(х, 1), (х, 2), (х, 3), (у, 1), (у, 2), (у, 3)}.
Этот пример показывает, что, вообще говоря, декартовы произ-
ведения АхВ и ВХА различны, хотя они содержат поровну
элементов.
Различны и множества АХВХС, (АхВ)ХС и ЛХ(ВХС)—
первое состоит из троек (а, Ь, с), второе — из пар вида ((а, Ь), с),
а третье — из пар вида (а, (6, с)), где во всех трех случаях Л,
Ь£В, с£С.
Если хотя бы одно из множеств Л, В пусто, то считают, что
и их декартово произведение пусто:
ЛХ0 = 0ХЛ = 0X0 = 0.
Пример 7. Декартово произведение RXR состоит из пар
(х, у) действительных чисел, причем (xi, </i)=(x2, у2) в том и только
в том случае, когда Х1=хг, у\=У2- Каждой такой паре соответ-
ствует точка М (х; у) на плоскости, для которой числа х и у яв-
ляются декартовыми координатами (отсюда название «декартово
произведение»). Декартово произведение RXRXR состоит из
троек чисел (х, у, г), которые можно рассматривать как коорди-
наты точки М (х; у; г) в трехмерном пространстве. Декартово
произведение RXRX.-XR. (п. множителей) называют п-мерным
арифметическим пространством. Его обозначают Rn.
215
Упражнения
392.	Из цифр 1,2,3,4,5 составьте все двузначные числа. Как связано получившееся
множество с декартовым произведением ЛхА где А =;{!, 2, 3, 4, 5}?
393.	Равны ли следующие кортежи:
1)	(а, {а, Ь, с), 6, с) и (а, (а, Ь, с}, (6, с});
2)	(а, (а, Ь, с), 6, с) ia (а, (Ь, а, с}, Ь, с);
3)	(а, (а, Ь, с}, Ь, с) и (а, {а, Ь, с], с, Ь)\
*4	) (а, (а, Ь, с), 6, с) и (а, (а, Ьу с), а, Ьу с)?
5.	Отображение множеств. Числовая функция f ставит в соот-
ветствие каждому числу из ее области определения однозначно
определенное число f (Jc). При геометрическом преобразовании
плоскости (например, параллельном переносе) каждой точке М
этой плоскости соответствует однозначно определенная точка той
же плоскости (образ точки М). Оба эти понятия (числовая
функция и геометрическое отображение) являются частными слу-
чаями общего понятия отображения множества в множество.
Определение 1. Соответствие, сопоставляющее каждому
элементу х множества X один и только один элемент множества Y,
называется отображением множества X в множество Y. '
Пример 1. Если каждое пальто в гардеробе висит на одном
крючке, то, ставя в соответствие каждому пальто крючок, на
котором оно висит, получаем отображение множества пальто X в
множество крючков У.
Пример 2. Ставя в соответствие каждому треугольнику
вписанную в него окружность, получаем отображение множества
треугольников X в множество окружностей У.
Пример 3. Ставя в соответствие каждому треугольнику
его площадь, получаем отображение множества треугольников
X в множество R.
Пример 4. Соответствие, сопоставляющее четырехуголь-
нику вписанную окружность, не является отображением множе-
ства четырехугольников в множество окружностей, поскольку
не в каждый четырехугольник можно вписать окружность. Это
соответствие является отображением множества У четырехуголь-
ников, у которых суммы длин противоположных сторон одинаковы,
в множество окружностей.
Пример 5. Соответствие, сопоставляющее треугольнику
длину его высоты, не является отображением множества тре-
угольников в множество чисел, так как у треугольника три
высоты, и потому ему соответствуют три числа, а не одно.
Пример 6. Соответствие, сопоставляющее окружности опи-
санный треугольник, не является отображением множества ок-
ружностей в множество треугольников, так как около данной
окружности можно описать бесконечное множество треугольников.
Элемент множества У, соответствующий при отображении f
элементу х из X, обозначают f (х) и называют образом элемента х
216
при этом отображение. Если f(x)=y, то элемент х называют
прообразом элемента у при отображении f. Совокупность, всех
прообразов элемента у при отображении f называют полным
прообразом этого элемента и обозначают f ~1 (у):
f~'(y)—lx\f (х)=у}-
Правая часть читается: «Совокупность таких х, что f(x)=y>.
Каждому подмножеству Л множества X соответствует его образ
f (А) при отображении f. Этот образ состоит из всех элементов
множества Y, которые являются образами какого-нибудь элемента
из А:
f (A)={y\y=f (а), а£А}.
Каждому подмножеству В из У соответствует его полный прообраз
f~ * (В) при отображении f. Он состоит из всех элементов, образы
которых принадлежат В:
Г'(В)={х\цх)ев}.
Множество А называют областью определения отображения [, а
множество f (Л) — множеством значений этого отображения.
Пример 7. Пусть f — ортогональная проекция плоскости
на прямую I (рис. 76). Образом четырехугольника ABCD является
отрезок EF. Полным прообразом отрезка EF является полоса, ог-
раниченная прямыми EL и FM.
Отметим некоторые виды отображений.
Определение .2. Если при отображении f различные
элементы множества X переходят в различные элементы множе-
ства У, то отображение f называют обратимым.
Определение 3. Если при отображении f каждый элемент
множества У является образом хотя бы одного элемента из X
(т. е. если все полные прообразы f~* (у), y£Y непусты), то f назы-
вают отображением X на У, а не X в У.
Определение 4. Обратимое отображение множества X
на множество У называют взаимно
однозначным отображением X на У.
Замечание. В современной матема-
тической литературе приняты иные названия
указанных выше типов отображений: обра-
тимые отображения называют инъективными
(от слова injectio — вложение), отображения
на — сюръективными (от французского пред-
лога sur — на), а взаимно однозначные —
биективными.
Пример 8. Отображение, при
котором каждому пальто сопостав-
ляется крючок, на котором оно ви-
сит, является обратимым, если на
217
Рис. 76
каждом крючке висит не более одного пальто (некоторые крючки
могут быть пустыми). Оно является отображением множества
пальто X на множество крючков Y, если на каждом крючке висит
хоть одно пальто (на некоторых крючках может быть несколько
пальто). Наконец, оно является взаимно однозначным отображе-
нием X на У, если на каждом крючке висит ровно одно пальто.
Если отображение f множества А в множество В обратимо,
то каждому элементу b из f (Д) соответствует один и только один
элемент а из Д, такой, что f(a)=b. Полагая f~‘ (b)—a, получаем
отображение f~' множества f (В) на Д. Его называют обратным
отображению f. Если отображение f взаимно однозначно, то тем
же свойством обладает и обратное ему отображение f~l.
Отметим, что если существует взаимно однозначное отобра-
жение конечного множества А на конечное множество в, то в Д и в
В поровну элементов. Если же существует обратимое отобра-
жение конечного множества А в конечное множество В, то можно
лишь сказать, что в В не меньше элементов, чем в Д. Это утверж-
дение формулируют часто следующим образом:
Если предметов больше, чем ящиков, то при любом распреде-
лении элементов по ящикам хоть в одном из них окажется более
одного предмета (принцип Дирихле).
На языке отображений эта формулировка означает, что если
вД (множестве предметов) больше элементов, чем в В (множестве
ящиков), то не существует обратимого отображения А в В.
В случае, когда существует отображение f конечного мно-
жества А на конечное множество В, то в А не меньше элементов,
чем в В. Чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать в каждом из
полных прообразов элементов множества А по одному элементу.
Выбранные элементы образуют часть множества Д, содержащую
столько же элементов, что и множество В. Это и значит, что в А
не меньше элементов, чем в В.
Упражнения
394.	Каждому треугольнику ставится в соответствие его площадь. Укажите область
определения и множество значений этого отображения. Как называются
треугольники, образы которых при этом отображении совпадают?
395.	Каждому алгебраическому уравнению ставится в соответствие его степень.
Укажите множество значений для этого отображения.
396.	Среди следующих отображений укажите отображения на: 1) X—множе-
ство кругов, Y — множество действительных чисел, каждому кругу сопо-
ставляется его площадь;
2)	X — множество кругов, Y — множество положительных действительных
чисел, каждому кругу сопоставляется его площадь;
3)	Х = {х|-3<х<5}, Г=Я, f: х-^х2.
4)	Х = {х|-3<х<5), Г=(х|0<х<25), f:x-+x2.
397.	Найдите образ X для отображения f: х-^х2—4х+5, где X=Y=R.
218
398.	Является ли соответствие «Человек у — сын, человека х> отображением
f: х-+у множества всех людей в себя? Является ли таким отображением
соответствие «Человек у — старший сын человека х>? Является ли отобра-
жением f: х-+у соответствие «Человек у — отец человека х>?
399.	Является ли отображением соответствие «Столицей государства х является
город //»?
400.	Приведите известные вам примеры отображений из геометрии. Для отобра-
жения f: х-+х2—5х+4 множества R в R найдите:
1)	образы чисел 3 и 7;
2)	образ отрезка [3; 7J
3)	полные прообразы чисел —2 и 4;
4)	полный прообраз отрезка [—2; 4}
401.	Каждой букве алфавита, кроме буквы «я», ставится в соответствие сле-
дующая за ней буква, а букве «я> — буква «а». Найдите образ подмножества
гласных букв и пересечение этого образа с множеством гласных букв.
402.	Докажите, что объединение некоторой фигуры и ее образа при симметрии
относительно прямой / симметрично относительно этой прямой.
403.	Докажите, что пересечение некоторой фигуры и ее образа при симметрии
относительно точки А симметрично относительно этой точки.
404.	Среди следующих отображений укажите обратимые и взаимно однозначные:
1) каждой окружности ставится в соответствие ее центр;
2)	каждой окружности радиуса 1 ставится в соответствие ее центр;
3)	каждому квадрату ставится в соответствие его периметр (здесь X мно-
жество квадратов, Y=R). Все фигуры рассматриваются на плоскости.
405.	Постройте обратные отображения для следующих отображений:
1)	х—х2-4х-ЬЗ, Х=[2, + оо), Y=R;
2)	х-*х4—4х2+3, X=h/3, + оо), Y=R.
406.	Существует ли отображение, обратное отображению:
1)	х-»-х4—4х24-3, X=h/2, 4-оо), Y=R;
2)	х—x4-4x24-3, X=(-oo, —т/3], y=J??
$ 2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ
1.	Введение. При решении многих практических задач прихо-
дится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы,
обладающие тем или иным свойством, располагать эти элементы
в определенном порядке и т. д. Поскольку в таких задачах речь
идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комби-
наторными задачами. Область математики, в которой изучаются
комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.
Приведем несколько примеров комбинаторных задач.
1.	Расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом
отрезке было по 4 точки.
2.	Расположить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы они об-
разовали «магический квадрат», т. е. квадрат, в котором суммы по
всем строкам, всем столбцам и обеим диагоналям одинаковы.
219
3.	Найти все расположения восьми ферзей на шахматной дос-
ке, при которых ни один из них не может взять другого (т. е. не
стоит с ним на одной горизонтали, либо одной вертикали, либо
одной диагонали).
4.	Найти число расположений восьми ладей на шахматной
доске, при которых ни одна из них не может взять другую.
5.	Узнать, сколькими способами можно из 7 мальчиков и 9 де-
вочек выбрать команду для эстафетного бега, если в команду
должны войти 4 мальчика и 4 девочки.
6.	Путешественник должен объехать несколько городов, по-
бывав в каждом из них по одному разу, и вернуться назад. Найти
кратчайший вариант путешествия, если известны расстояния меж-
ду городами, причем из каждого города можно попасть в любой
другой, минуя остальные города.
Эти примеры показывают, что комбинаторные задачи можно
решать на разных уровнях: искать хотя бы одно решение постав-
ленной задачи (примеры 1 и 2), искать все ее решения (пример
3), отыскивать число решений данной задачи (примеры 4 и 5),
среди различных способов решения искать оптимальный (при-
мер 6). Иногда приходится доказывать, что данная комбинатор-
ная задача не имеет решения. Например, еще Л. Эйлер доказал,
что нельзя расположить 36 офицеров, имеющих 6 различных
воинских званий и принадлежащих 6 различным родам войск
(по одному офицеру данного звания в данном роде войск), в 36
клетках квадрата так, чтобы в каждой вертикали и каждой гори-
зонтали были представлены все звания и все рода войск. На
рисунке 77 показано решение этой задачи для четырех воинских
званий и четырех родов войск.
Мы будем заниматься в этой главе лишь задачами, в которых
надо найти число способов решения той или иной комбинаторной
проблемы. Эти задачи образуют часть комбинаторики, назы-
ваемую перечислительной комбинаторикой или теорией перечис-
лений.
Характерной чертой математического подхода к решению прак-
тических задач является абстрагирование, т. е. отвлечение от
конкретных черт, выявление глубинного содержания, общего для
задач, внешне отличающихся друг от друга. Это приводит к пост-
роению математической модели задачи, к введению общих поня-
Аа	вь	Сс	Dd
Bd	АС	Db	Ca
СЬ	Da	Ad	Be
DC	Cd	Ba	Ab
тий, охватывающих частные случаи. В
комбинаторике такие модели обычно
строят с привлечением разобранных
в § 1 понятий множества, подмножест-
ва, упорядоченного множества, корте-
жа, отображения и т. д. В следующих
пунктах мы разберем, опираясь на эти
понятия, два основных закона комбина-
торики — правило суммы и правило
произведения.
Рис. 77
220
Упражнения
407.	Из шахматной доски вырезаны две угловые клетки, расположенные на
одной диагонали. Можно ли замостить эту доску прямоугольниками, со-
стоящими из двух клеток?
408.	Шахматную доску с 3 горизонталями и 3 вертикалями обходят ладьей и
на пути ее следования пишут одно за другим числа, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Найдите путь ладьи, при котором трехзначное число, получившееся в
третьей горизонтали, равно сумме трехзначных чисел, получившихся в
первых двух горизонталях.
409.	Поставьте на шахматную доску 5 ферзей так, чтобы они держали под уда-
ром все ее поля.
410.	Докажите, что максимальное число слонов, которых можно поставить на
шахматную доску так, чтобы они не били друг друга, равно 14. Обобщите
результат на случай доски с п горизонталями и вертикалями.
411.	Докажите, что среди 9 человек есть либо 3 попарно знакомых, либо 4 по-
парно незнакомых.
2. Правило суммы. Если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши,
то выбрать один плод можно 7-f-4 = 11 способами. Вообще, спра-
ведливо следующее утверждение, называемое в комбинаторике
правилом суммы:
Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент Ь —
п способами, причем любой выбор элемента а отличен от любого
выбора элемента Ь, то выбор «а или Ь» можно сделать т-\-п спо-
собами.
На языке теории множеств это правило формулируется следую-
щим образом:
Теорема 1. Если пересечение конечных множеств А и В пусто,
А(]В=0, то число элементов в их объединении равно сумме
чисел элементов множеств А и В:
Л f]B= 0=>п (Л |JS)=« (Л)4-п (В).	(1)
Запись Х=>У читается: «Если X, то У».
Применяя метод математической индукции, выводим из этой
теоремы следствие:
Следствие 1. Если конечные множества Л>, ..., Ат попарно
не пересекаются, т. е. если Aj(\Ak=0 при j^k, то имеет место
равенство
п (Л1и-.иЛ4)=л (Л1)+.„ + п (Л*).	(2)
Правило суммы и его следствие применяются для решения
комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все
множество перечисляемых комбинаций на попарно непересекаю-
щиеся группы комбинаций, подсчитывать число элементов в
каждой группе и потом складывать получившиеся ответы. Правило
суммы можно сформулировать и на языке отображений.
Следствие 2. Если задано отображение f конечного мно-
221
жества X на множество Y, то число
элементов в X равно сумме чисел
элементов в полных прообразах эле-
ментов множества Y.
В самом деле, все множество X
распадается на попарно непересе-
кающиеся части — полные прообра-
зы элементов множества Y.
Разберем теперь случай, когда
множества могут иметь непустые
пересечения. Начнем со случая двух множеств (рис. 78).
Теорема 2. Для любых конечных множеств А и В верно ра-
венство
п(А()В)=п(А)+п(В)-п(А(]В).	(3)
Доказательство. Множество AUВ является объедине-
нием трех попарно непересекающихся множеств: Л\(ЛПВ) (эле-
менты, принадлежащие только Л), В\ (Л ПВ) (элементы, принадле-
жащие только В) и ЛрВ (элементы, принадлежащие обоим
множествам). Первое из этих множеств содержит п (Л) — л (Л ПВ)
элементов, второе содержит п (В) — п (Л ПВ) элементов, а третье —
п(ЛПВ) элементов. Значит, число элементов в множестве Л (JB
равно
п (А)—п (А(]В)+п (В)-п (AftB)+n (Aft В),
п (Л1|В)=п (Л)-|-п (В)—п (Л ПВ).
Например, если множество Л состоит из букв {а, б, в, г, д, е},
а множество В из букв {г, д, е, ж, з), то их объединением является
множество {а, б, в, г, д, е, ж, з}, а пересечением — множество
{г, д, е}. При этом п(Л)=6, п(В)=5, п(ЛПВ)=3, л(ЛиВ)=8,
что согласуется с формулой (3).
Формула (3) является частным случаем более общей формулы
п(Л1и-.и^т)=п(Л1)+...4-п(Лт)—п(Л1ПЛ2)—п(Л1ПЛ3)—...
...— п (Л1ПЛт) — п (ЛгП^з)—...—п (ЛгПЛп)—•••	(4)
• •• —п (Am— 1 ЛЛт)+Я (Л1 ПЛгП^з)-!-...
...+(-1)*+'п (Л> П^..ПЛ*)+...+(-1)'п+'п(Л1П-ПЛл,),
которую называют формулой перекрытий или, иначе, формулой
включений и исключений. В эту формулу, кроме самих множеств
Л|, ..., Ат, входят их всевозможные пересечения по 2, по 3, ..., по
т. При этом, если число пересекаемых множеств нечетно, соответ-
ствующее слагаемое входит в формулу (4) со знаком «плюс», а
если оно четно, то со знаком «минус».
Например, при п = 3 имеем:
п (Л UBUC)=n (Л)4-п (В)4-я (С)-п (AftB)-
-п(ЛПС)-п(ВПС)+п(ЛПВПС).	(5)
222
Чтобы доказать равенство (5), заметим, что Л1|ВиС=(ЛиВ)и
UС, и потому по формуле (3) имеем: л (Л UBUC)=n (Л1|В)+
-|-/i (С)—я ((Л U В) DQ Но по свойствам операций над множест-
вами
(ДиВ)ПС=(ЛПС)и(ВПС),
и потому
п ((Л и В) л С)=п (Л П С)+п (В П С) - п ((Л л С) П (В Q С))=
=/1(ЛЛС)+«(ВЛС)-п(ЛЛВЛС).
Значит,
п (Л UBUQ=n (ЛиВ)+« (С)-я (ЛЛС)-
-п(ВЛС)+п(ЛЛВЛС).
Заменяя п(Л1|В) по формуле (3), получаем (5).
В общем случае формула (4) доказывается аналогично мето-
дом математической индукции.
С помощью формулы (4) легко найти и число элементов не-
которого множества U, не принадлежащих ни одному из под-
множеств Ль ..., Ат этого множества — сначала надо найти число
элементов в Ai (J...иЛт, а потом вычесть найденное число из числа
элементов в U.
Пример 1. В классе обучаются 42 ученика. Из них 16 участ-
вуют в секции по легкой атлетике, 24 — в футбольной секции,
15 — в шахматной секции, 11 — ив секции по легкой атлетике,
и в футбольной, 8 — и в легкоатлетической, и в шахматной,
12 — ив футбольной, и в шахматной, а 6 — во всех трех секциях.
Остальные школьники увлекаются только туризмом. Сколько
школьников являются туристами?
Решение. Обозначим через U множество всех учащихся,
через А — членов легкоатлетической секции, через В — футболь-
ной, через С — шахматной и через D — туристической. По усло-
вию задачи имеем:
причем
оп(ливис)=0
и «((/)=42, п(Л)=16, п(В)=24, п(С)=15, п(ЛПВ)=11,
я(ЛПС)=8, п(ВПС)=12, п(ЛПВПС)=6.
По формуле (5) получаем, что
п (Л l|BUC)= 16 + 24+15-11 -8-124-6 = 30,
и потому
п (D)=n ({/)—п (Л 1|B(JC)=42-3O= 12.
Значит, туризмом занимаются 12 школьников.
223
Упражнения
412.	В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек,
причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек
знают английский язык, 6 — немецкий, 7 — французский, 4 знают англий-
ский и немецкий, 3 — немецкий и французский, 2 — французский и анг-
лийский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работают в отделе?
Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают
только один язык?
413.	Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе
учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на
хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 уче-
ников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и
отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо н отлично и занимаются спортом>.
Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.
414.	Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни
на 3, ни на 5?
415.	Сколько чисел среди первой тысячи натуральных чисел не делятся ни на 2,
ни на 3, ни на 5, ни на 7?
3.	Правило произведения. Вторым основным правилом комби-
наторики является правило произведения. Оно выражается сле-
дующей теоремой:
Теорема 1. Если множества А и В конечны, то число пар в их
декартовом произведении АХ В равно произведению чисел элемен-
тов этих множеств:
п(АХВ)=п (А)'П(В).	(1)
Доказательство. Множество А ХВ состоит из пар вида
(а, Ь), где а£А, Ь$В.
Если Д={аь ат] и В={Ь........... bk}, то эти пары можно за-
писать в виде следующей таблицы:
(ai, 6|),	(«|, bk),
(ат, fti), ...» (ат, bk).
Видим, что число этих пар равно mk, т. е. п (А)-п (В).
С помощью метода математической индукции формула обоб-
щается на любое число множеств:
Теорема 2. Если множества At....Ат конечны, то имеет место
равенство
п (AiX-..XAm)=n (Д1)-...-л (Дт).
Пример 1. Сколько номеров, состоящих из двух букв, за
которыми идут пять цифр, можно составить, использовав 32 буквы
и 10 цифр?
Решение. Обозначим множество из 32 букв через А, а мно-
жество из 10 цифр через В. Каждый номер требуемого вида-.явля-
224
ется кортежем из декартова произведения АхАхВХВхВ.
Так как л(А)=32, п(В)=10, то по формуле (2) имеем:
п (Л ХЛ ХВХВХВ)=32-32-10-10,-10= 1 024 000.
При решении некоторых комбинаторных задач приходится
иметь дело с более общей ситуацией, чем рассмотренная выше.
Она описывается следующей теоремой:
Теорема 3. Пусть задано отображение конечного множества
X на множество Y, причем в каждый элемент множества Y отобра-
жается одно и то же число элементов множества X. Тогда число
элементов в X равно произведению числа элементов в Y на число
элементов, отображающихся в каждый элемент множества Y.
Доказательство. Множество X распадается на попар-
но непересекающиеся подмножества — полные прообразы элемен-
тов множества Y при отображении f- Поэтому число элементов
в X равно сумме чисел элементов в этих прообразах, а число про-
образов равно числу элементов в Y. По условию все прообразы
имеют поровну элементов. Поэтому п (X) равно сумме п (У) рав-
ных слагаемых, т. е. произведению п (У) и числа элементов в
каждом прообразе.
Отметим, что теорема 1 является частным случаем теоремы 3: достаточно
рассмотреть отображение (а, 6)-* b множества АХВ на В. Видим, что про-
образ каждого Ь£В содержит п (Л) элементов, а в В содержится п (В) элементов.
Поэтому п (Л X В)=п (Л) • п (В).
Пример 2. Сколько упорядоченных пар можно составить из
32 букв, если в каждой паре обе буквы различны?
Решение. Поставим в соответствие каждой паре букв пер-
вую букву этой пары. Получим отображение множества У пар
требуемого вида на множество X букв. Полный прообраз каждой
буквы содержит 31 букву (все буквы, кроме данной). Поэтому чис-
ло пар требуемого вида равно 32-31=992.
Заметим, что множество пар в этом примере не было декар-
товым произведением двух множеств. Аналогично можно найти
число троек, в которых никакие две одинаковые буквы не идут
подряд. Такие тройки записываются в виде (а, Ь, с), где а=/=Ь и
Ь=£с. При отображении (а, Ь, с)-*-(а, Ь) каждая пара (а, Ь) имеет
полный прообраз из 31 тройки. Так как число пар равно 32-31,
то число троек равно 32-312=30752.
Решение задач такого типа можно проводить также на основе
следующего утверждения, обобщающего теорему 2.
Если первую координату кортежа длины k можно выбрать
»| способами, при любом выборе первой координаты вторая
выбирается п? способами, при любом выборе первых двух коорди-
нат третья выбирается пз способами и т. д. до k-й координаты вклю-
чительно, то общее число получаемых таким образом кортежей
равно П\Пч ... и*.
8 Н. Я. Виленкин
225
При построении троек, не содержащих рядом стоящих одина-
ковых букв, первую координату можно выбрать 32 способами,
при каждом таком выборе вторая координата выбирается 31 спо-
собом, а при каждом выборе первых двух букв третья выбирается
тоже 31 способом. Вновь получаем ответ 32-31-31=30 752.
Упражнения
416.	Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами
можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
417.	Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «зда-
ние»? из слова «паркет»?
418.	Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата —
белый и черный? Решите ту же задачу, если нет ограничений на цвет
квадратов. Решите ее, если надо выбрать два белых квадрата.
419.	Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный
квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
420.	Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и
6 экземпляров учебника физики надо выбрать комплект, содержащий все
три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?
421. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко,
либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко,
и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Вани у
Нади больше возможностей выбора?
§ 3. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
1.	Размещения с повторениями. В этом параграфе мы рассмот-
рим некоторые типовые комбинаторные задачи.
Задача 1. Найти число всех кортежей длины k, которые
можно составить из элементов множества X, если число этих
элементов равно т, п(Х)=т.
Решение. Нам надо найти число элементов декартова
произведения XX-XX, состоящего из k одинаковых множи-
телей. По формуле (2) п. 3 § 2 это число равно п(Х)Х --Хп(Х)
(k множителей, т. е. равно п{Х)к=тк.
Определение. Кортежи длины k, составленные из эле-
ментов m-элементного множества X, называют размещениями с
повторениями из т элементов по k. Число этих кортежей обозна-
чают Ат. (Буква А от французского слова arrangement — раз-
мещение. Черта указывает на возможность повторения элемен-
тов.)
Мы доказали формулу
Ат = тк.	(1)
Пример 1. Сколько пятизначных номеров можно составить
из девяти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
226
Решение. Такие номера являются кортежами длины 5,
составленными из элементов множества Х={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
По формуле (1) их число равно Лэ=95 = 6561.
К подсчету числа кортежей данной длины сводятся многие
другие комбинаторные задачи.
Задача 2. Найдем число отображений множества X в мно-
жество Y, если п (X)=k и n(Y)=m.
Решение. Перенумеруем элементы множества X: Х=
={xi, ...» Xk}. Каждому отображению f множества X в У соответ-
ствует кортеж длины k, Составленный из образов этих элементов
(взятых в том же порядке), т. е. кортеж ..., f (х*)). Обратно,
задание кортежа (t/i, .... t/*), составленного из элементов мно-
жества У, однозначно определяет отображение f: элемент х, пе-
реходит в элемент
Значит, число отображений множества X в множество У равно
числу кортежей длины k, составленных из элементов множества
У. Так как п(У)=т, то по формуле (1) это число равно тк.
Пример 2. Сколькими способами можно разделить 6 раз-
личных конфет между тремя детьми?
Решение. Каждый способ раздела является отображением
множества конфет в множество детей. Число таких отображений
равно З6, т. е. 729.
Вообще, любое отображение ^-элементного множества X в
m-элементное множество У можно истолковать как раскладку k
элементов по т ящикам. Мы видим, что число таких раскладок
ь
равно т .
Задача 3. Найдем число всех подмножеств множества X,
если X содержит k элементов.
Решение. Будем раскладывать элементы множества X в два
ящика. Каждому подмножеству А множества X соответствует
способ раскладки, при котором элементы подмножества попадают
в первый ящик, а остальные элементы — во второй. Обратно,
каждая такая раскладка однозначно определяет подмножество
элементов, попавших в первый ящик. Поэтому общее число под-
множеств в X равно числу способов раскладки элементов мно-
жества по двум ящикам, т. е. равно 2П(Х)=^*.
Это утверждение легко доказать и с помощью математической
индукции по k.
Пример 3. Выпишем все подмножества множества {а, Ь, с\.
Решение. Данное множество имеет восемь подмножеств:
0, {а}, {£>}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {6, с), {а, Ь, с].
Так как 8=23, это соответствует доказанному выше утвержде-
нию.
Упражнения
422.	Сколько существует пятизначных номеров, не содержащих цифру 8? не
содержащих цифр 0 и 8? составленных из цифр 2, 3, 5, 7?
227
423.	Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по 3 ящикам?
424. Имеется набор из 16 карточек. На четырех из них написана буква «А», на
четырех — буква «Б», на четырех — буква «В», и на четырех — буква «Г».
Сколько различных комбинаций букв можно получить, выбирая из набора
4 карточки и располагая их в некотором порядке?
425.	В некотором сказочном королевстве не было двух человек с одинаковым
набором зубов. Каково могло быть наибольшее число жителей этого королев-
ства, если у человека 32 зуба?
2. Размещения без повторений. Будем теперь составлять из
элементов m-элементного множества X не кортежи длины k, а
упорядоченные множества той же длины. Иными словами, в отли-
чие от п. 1 будем брать лишь кортежи длины k без повторяю-
щихся элементов.
Определение. Упорядоченное множество длины k, со-
ставленное из элементов m-элементного множества X, называют
размещениями без повторений из m элементов множества X по k.
Число таких размещений обозначают Ат-
Задача 1. Найдем число размещений без повторений из m
элементов по k.
Решение. Первой компонентой кортежа может стать любой
из элементов множества X. Так как их число равно т, то получаем
т возможностей выбора. Если первый элемент xi уже выбран,
второй элемент можно выбрать лишь т — 1 способами (повторе-
ние элемента х> не допускается). Аналогично устанавливаем,
что при выбранных элементах xt и хг элемент Хз можно выбрать
т — 2 способами и т. д. вплоть до элемента хк, который можно
выбрать т—(k— 1), т. е. т — Л + 1 способами (до него выбраны
k—1 элемент: xi, .... хь-\, ни один из которых не должен повто-
риться).
По правилу произведения получаем, что число размещений
без повторений из т элементов по k выражается формулой
А„ = т(т — 1)... (т — k +1).	(1)
Эту формулу можно записать иначе, если воспользоваться обозна-
чением и! (эн факториал) для произведения натуральных чисел
от 1 до п, п! = 1 •2-...-Л. Если умножить обе части равенства (1)
на (т— fe)!=(m — то получим, что
(т —k)\ •Ат = т-(т— l)-...-(m — k-(-1)(т—k)-...-1 = т\
Отсюда вытекает, что
О')
(т — к)\
Пример 1. Найдем, сколькими способами можно выбрать
из класса, насчитывающего 40 учеников, старосту, комсорга и
физорга.
228
Решение. Любой такой выбор является размещением без
повторений из 40 элементов по 3 (он задается кортежем длины 3
без повторений, составленным из элементов множества учеников).
Значит, число способов выбора равно
Л ?о=40-39-38 = 59 280.
В п. 1 была установлена связь между кортежами длины k,
составленными из элементов множества У, и отображениями в
Y ^-элементного множества X. Размещениям без повторений соот-
ветствуют такие отображения, при которых разные элементы
множества X отображаются в разные элементы множества У,
т. е. обратимые отображения множества X в У. Тем самым доказа-
но следующее утверждение:
Пусть множество X содержит k элементов, а множество У —
m элементов. Тогда число обратимых отображений множества X
в множество У равно Акт.
Наглядное истолкование обратимых отображений X в У со-
стоит в том, что элементы множества X раскладываются по т ящи-
кам, причем ни в один ящик нельзя положить более одного эле-
мента.
Упражнения
426.	Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если
имеются ткани пяти различных цветов? Решите ту же задачу при условии,
что одна полоса должна быть красной.
427.	В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из
них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каж-
дого)?
428.	Из 10 различных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами
это можно( сделать?
429.	В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его за-
местителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сде-
лать?
430.	Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если
в каждый ящик опускают не более одного письма?
3.	Перестановки без повторений. Если длина размещения без
повторений равна числу т элементов множества X, то в этом раз-
мещении встречаются по одному разу все элементы из X. Два
таких размещения отличаются друг от друга лишь порядком этих
элементов. Дадим таким размещениям особое название.
Определение. Перестановкой без повторений из пг эле-
ментов называют размещение без повторений из этих элементов
по т.
Число перестановок из т элементов обозначают Рт. (От фран-
цузского слова permutation — перестановка.) Так как
Рт=Ат, то по формуле (1) п. 2 получаем, что
Р„=т-(т- I)*...-(т — т-\- l)=m-(m — I)-...-1 =т\
229
Итак,
Pm = tn\
Пример 1. Сколькими способами 6 человек могут сесть на
6 стульев?
Решение. Занумеруем стулья числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и
обозначим человека, севшего на Л-й стул, через х*. Тогда (хь ....
хе) — перестановка из имен этих шести людей, причем каждой
такой перестановке соответствует один и только один способ
размещения на стульях. Значит, число способов равно Рб==
=6! = 720.
Каждая перестановка элементов множества X задает взаим-
но однозначное отображение этого множества на себя. Именно,
занумеруем элементы множества X числами 1, 2, .... т: Х=
=(xi,.... хт) и возьмем какую-нибудь перестановку этих элементов.
После этого элементу xi поставим в соответствие первую коор-
динату этой перестановки, элементу хг — вторую, ..., элементу
хт — т-ю координату. Этим задается взаимно однозначное отоб-
ражение X на себя.
Например, если Х=(1, 2, 3, 4), то перестановке (4, 3, 2, 1)
соответствует взаимно однозначное отображение множества X на
себя, при котором 1 переходит в 4, 2 — в 3, 3 — в 2, 4 — в 1.
Упражнения
431.	Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани
шести различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?
432.	Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10 фут-
больных команд, если известно, что никакие две команды не набрали по-
ровну очков?
433.	На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими спо-
собами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен вы-
ступать до того, как выступил А? Решите ту же задачу, если Б должен
выступить сразу после А.
4.	Сочетания без повторений. Будем теперь строить из элемен-
тов множества X не кортежи, а подмножества. Получим так
называемые сочетания без повторений.
Определение. Л-элементные подмножества т-элемент-
ного множества X называют сочетаниями без повторений из эле-
ментов этого множества по k. Их число обозначают Ckm. (От фран-
цузского слова combination — комбинация.)
Пример 1. Из множества {а, 6, с, d, е) можно составить
10 сочетаний по 3 элемента в каждом:
{а, &, с), {а, 6, d), {а, 6, е}, {а, с, d), {а, с, е},
{а, d, е}, {6, с, d), {6, с, е), {&, d, е}, {с, d, е}.
Из каждого такого сочетания путем различных упорядочиваний
230
элементов получается 6 размещений из 5 элементов по 3. Напри-
мер, из сочетания {а, Ь, с) получаем следующие размещения,
(а, Ь, с), (а, с, b), (b, а, с), (ft, с, а), (с, a, b), (с, ft, а): Отсюда видно, что
число размещений без повторений из 5 элементов по 3 равно
6-10=60, что согласуется с формулой (1) п. 2: Л1=5-4-3=60.
Задача 1. Найдем число сочетаний без повторений из
т элементов по k.
Решение. Из каждого сочетания без повторений из т по k
путем упорядочиваний получаются ft! различных размещений без
повторений из т элементов по ft. При этом различные сочетания
порождают различные размещения и каждое размещение может
быть получено указанным образом. Отсюда следует, что число
размещений без повторений из т элементов по ft в ft! раз больше,
чем число сочетаний без повторений из т элементов по ft. Иными
словами, мы
доказали, что Akm=k\-Ckm. Но тогда	• ^од_
К!
.	хи!
Акт выведенное в п. 2 значение —, получаем,
(т — я)!
ставляя для
Формулу (1)
pk т\
можно записать также следующим образом:
rk __ /и(/и —1)-(/п —fe+1)
l«2-3*...*fc
(1)
Пример 2. Сколькими способами можно составить команду
из 4 человек для соревнования по бегу, если имеются 7 бегунов?
Решение. Число выборов равно:
____ 7 • 6 • 5 • 4  q с
С7~ 1.2-3-4
Замечание. Если бы команда выбиралась для эстафетного бега на
lOO-J-200 4-400-|-800 м, то число способов выбора было бы в 4! = 24 раза
больше, поскольку играл бы роль порядок спортсменов — кто какую дистанцию
будет бежать.
Понятие сочетания без повторений тоже можно истолковать
на языке отображений, только теперь придется отображать упоря-
доченные множества. Именно, пусть даны два упорядоченных
множества X и У, причем п (Х)=Л, п (Y)=m. Тогда число отобра-
жений X в У, сохраняющих порядок элементов, равно Ckm. В самом
деле, каждое такое отображение однозначно определяется выбо-
ром k элементов из множества У. После этого первый элемент
множества X отображается в наименьший из выбранных элемен-
тов, второй — в следующий из выбранных элементов и т. д. вплоть
до &-го, который отображается в последний из выбранных эле-
ментов.
Например, подмножеству 4={2, 3, 6} упорядоченного мно-
жества У=(1, 2, 3, 4, 5, 6) соответствует следующее отображение
231
упорядоченного множества Х=(10,
И, 12) в У: 10 переходит в 2,
11 — в 3 и 12 — в 6.
Многие комбинаторные задачи
сводятся к подсчету числа соче-
таний без повторений из т элемен-
тов по k.
Задача 2. Найдем число кор-
тежей длины k-\-n, содержащих k
раз букву а и п раз букву х.
Решение. Так как состав кортежей известен, они могут от-
личаться друг от друга лишь порядком букв. Но этот порядок одно-
значно определяется заданием мест, на которых стоят буквы а
(остальные места занимаются буквами х). Иными словами, надо
выбрать ^-элементное подмножество в (£+поэлементном множе-
стве мест. А это можно сделать С*+п способами.
Пример 3. Сколькими способами можно попасть из точки А
в точку С (рис. 79), если можно двигаться лишь вправо и вверх по
отрезкам сети?
Решение. Каждый путь состоит из 8 горизонтальных и 4
вертикальных единичных отрезков. Если обозначить горизонталь-
ный отрезок буквой а, а вертикальный — буквой х, то получим
кортеж из 8 букв а и 4 букв х. Согласно примеру 2 число таких
кортежей, а тем самым искомое число путей равно:
С12
12-11-10-9_
1-2-3-4 =
495.
Упражнения
434.	Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции,
на которой присутствуют 15 человек?
435.	Сколькими способами можно поставить 8 шашек на черные поля доски?
433.	Сколькими способами можно поставить на черные поля доски 12 белых и
12 черных шашек?
437.	У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого — 15 книг. Сколь-
кими способами они могут выбрать по 3 книги каждый для обмена?
438.	Сколькими способами можно заполнить карточки «Спортлото» (зачеркнуть
6 номеров из 49)? Во скольких случаях из выбранных шести номеров после
тиража три окажутся угаданными правильно? Во скольких случаях пра-
вильно будут угаданы 4 номера? 5 номеров? 6 номеров?
5. Сочетания и биномиальные коэффициенты. Обозначение
Ст встречалось нам в п. 9 $ 3 главы V при изучении бинома Ньюто-
на. Совпадение обозначений не является случайным: в п. 9 § 3 гла-
вы V было доказано, что
г* т!
п *!(m-fe)!’
232
а сейчас мы получили ту же формулу для числа сочетаний без
повторений из т элементов no k. Таким образом, коэффициент
при хт-**а* в разложении бинома (х4-а)т равен числу соче-
таний из т элементов по k. В этом можно убедиться, не используя
формул для биномиальных коэффициентов й для числа соче-
таний.
В самом деле, запишем (х-\-а)т в виде произведения множите-
лей (х+а):
(х+а)т=(х+а)*...*(х+а) (т множителей).
Если раскрывать скобки в этом произведении, не используя обо-
значения степени и не переставляя множителей, то получим все-
возможные кортежи длины т, составленные из букв х и а. Напри-
мер,
' (x+a)3=(x+a)(x+a)(x+a)=
=ххх 4- xxa 4- xax 4- хаа -|- ахх 4- аха 4- аах 4- ааа.
Чтобы выяснить, какие из этих слагаемых войдут в член разло-
жения бинома, содержащий хт~к ак, надо узнать, сколько из таких
кортежей содержат т—k букв х и k букв а. В п. 4 было показано,
что число таких кортежей равно (X _*>+*, т. е. Скт. Это и показы-
вает, что коэффициент при xm~*«a* в разложении бинома (x4-a)m
равен числу сочетаний из т элементов по k.
В п. 10 $ 3 главы V были доказаны на основе формулы бинома
Ньютона и явного выражения для Скт различные свойства чисел.
Мы покажем сейчас, что эти свойства можно доказать на основе
комбинаторных рассуждений.
1)	Чтобы доказать равенство
С®4-СД,4-... + С^4--•+CS=2'",	(1)
заметим, что множество из т элементов содержит 2" подмножеств
(см. п. 1). Разобьем совокупность всех подмножеств на классы, от-
неся к k-му классу подмножества, содержащие k элементов. Тогда
в 0-м классе будет подмножеств, в 1-м классе — Ст подмно-
жеств, ..., в т-м — Ст подмножеств. Поскольку каждое подмноже-
ство попадает в один и только один класс, по правилу суммы по-
лучаем равенство (1).
2)	Чтобы доказать равенство
Скт = С%~к,	(2)
поставим в соответствие каждому ^-элементному подмножеству А
m-элементного множества X его дополнение в X. Это дополнение
содержит т—k элементов, причем отображение, ставящее в со-
ответствие подмножеству его дополнение, взаимно однозначно
(если А=^В, то и А'^В'). Значит, число т-элементных подмно-
жеств в X равно числу {т—А)-элементных подмножеств. А это
и значит, что
С Л _z*m — k
т —
233
3)	Несколько сложнее доказывается равенство
Ckm = Ckm-\ + Ckm-i.	(3)
Выберем в т-элементном множестве X какой-нибудь элемент а
и разобьем все ^-элементные подмножества множества X на два
класса. К первому отнесем те подмножества, которые содержат
элемент а, а ко второму — все остальные. Если из каждого подмно-
жества 1-го класса удалить элемент а, останется^—^-элемент-
ное подмножество (т— 1)-элементного множества X, получаемого
удалением из X элемента а. Поэтому 1-й класс содержит Cm-*i мно-
жеств. Множества же 2-го класса являются ^-элементными под-
множествами (т — 1)-элементного множества X (ведь они не со-
держат а). Поэтому их число равно Cm-i. Так как каждое ^-эле-
ментное подмножество из X попало водим и только один класс, а их
число равно Ст, то по правилу суммы имеем равенство
С Л _f>k— 1 I
т — bffi-l-f- Lffl-1.
Аналогичным образом можно с помощью комбинаторных рас-
суждений вывести дальнейшие свойства чисел Ckm.
Упражнения
439.	Докажите следующие тождества для чисел
1 \ Л'т 1 Г>т 1	I I Г'т ______+ 1 •
1)	Сп “Г Сп-|-।Сп-|-2“Г ... “Г Сд-|-т_ 1 = Cn-1-m,
г»0 г>т । /~»1 л~»т—1 i । /~»fe r»m — fe i । pm pO  r»m.
*•) Un —p Up un — p ... “i ^n— p “i ... “Г *^p ^n—p —
3)	CJ «-',4-CJ+I	4-C?+*	4-...+CS+, C^+P=CJV>;
4)	C* CT—Cl CT-11 +...+(-1)* Ci CTrt‘+-4-(-l)m CT C“_m=o.
440.	Докажите, что
(C»)2+(Cl)2-|-...-|-(CJ)2=CS„.
6.	Перестановки с повторениями. При перестановке букв в
слове «толпа» получается Р5=5! = 120 «слов». Если же перестав-
лять буквы в слове «топот»,' то получится меньше различных
«слов» потому, что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка
двух букв «о» не изменяют «слова». Мы имеем здесь дело с пере-
становками с повторением.
Определение. Перестановкой с повторениями состава
(kt, .... km) из букв (ai, ..., а„) называют любой кортеж длины
й=й1-|-й2-|-.,. + km, в который буква а< входит kt раз, ..., буква
am—km раз. Число таких перестановок обозначают P(kt, ..., km).
Пример 1. Кортеж (а, Ь, а, а, с, Ь, Ь, Ь, с) является переста-
новкой с повторениями из трех букв а, четырех букв b и двух букв с.
Его состав выражается кортежем (3, 4, 2) (мы считаем из букв а,
Ь, с буква а — первая, b — вторая и с — третья).
234
Задача. Найдем число Р (kt, km) перестановок с повторе-
ниями, имеющих состав (kt, .... Лт).
Решение. Перестановку состава (Л|, ..., km) можно полу-
чить следующим образом: сначала выбираем k\ место из общего
числа мест k=k\	+ и пишем на них букву а>—
этот выбор может быть сделан С*1 способами. Затем из оставшихся
k—k\ мест выбираем ki места и пишем на них букву аг — этот
выбор может быть сделан Ск£_к{ способами. Выбор мест для буквы
аз может быть сделан	способами и т. д.
По правилу произведения получаем, что выбор перестановки
состава (kt, ki, .... £m) может быть сделан
Ck\
способами. В силу формулы С{=	** получаем:
P(k{, ki, ..., km)=
_ ft!
ki\(k-k$ k2i(k-kt-k2f'"’ UO!
После сокращения получаем формулу
p/L ь \	(^i+fea-b —+^»i)!	zi\
Пример 2. Сколько слов можно получить, переставляя бук-
вы в слове «математика»?
Решение. Слово «математика» является кортежем длины 10,
имеющим состав (2,3, 2,1,1,1) (буква «м» входит два раза, буква
«а» — 3 раза, буква «т» — два раза, буквы «е», «и», «к» — по од-
ному разу). Значит, при перестановках букв получится
₽(2, 3, 2, 1, I, l)=5fJnni_151 200 «ело.,.
Как и другие понятия комбинаторики, перестановки с повто-
рениями могут быть истолкованы на языке отображений множеств.
Пусть даны множества X и Y, причем п (X)=k=kt
... + km, n(Y)=m, У={у.... Тогда P(k........ равно числу
отображений X в У, таких, что полный прообраз элемента ys
содержит kj элементов. Именно, каждому такому отображению f
сопоставляется перестановка с повторениями длины k, состоящая
из букв yt, .... ут, причем буква yj стоит на месте тех х*, для ко-
торых f(Xk)=yi.
Пример 3. Сколькими способами можно разложить 28 раз-
личных предметов по четырем различным ящикам, так, чтобы в
каждом ящике оказалось по 7 предметов?
Решение. В силу сказанного выше число способов равно
Р(7 7 1 7)=———=-^-.
' ’ '»	')	7| 7! 7| 7!	(7f)4
235
В примере 3 было существенно, что ящики можно отличить
друг от друга (например, они покрашены в разные цвета).
Пример 4. Сколькими способами можно положить 28 раз-
личных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом
конверте лежало по 7 открыток?
Решение. Сначала пометим конверты цифрами 1, 2, 3, 4.
Тогда согласно примеру 3 число различных раскладок равно
Р (7, 7, 7, 7). После этого сотрем пометки. Теперь конверты можно
произвольно переставлять друг с другом, не меняя результата рас-
кладки (ведь они теперь неотличимы друг от друга). Так как число
различных перестановок четырех конвертов равно Р*—41, то
число различных раскладок уменьшается в 4! раз, и потому оно
равно
— Р(7. 7 7. 7)=-^-г.
4! Г V, I, •)	4) (7|)4
Замечание. Ясно, что число различных раскладок является целым. Поэтому
28!
4! ^^4— целое число. Таким же образом доказывается, что при любых натураль-
ных т и п число
(тп)1
т\ (п\)т
целое.
Заметим теперь, что так как
то формулу бинома Ньютона можно записать следующим образом:
(x+a)m=2 Р(т-Л,Л)хт-*а*.	(2)
4 = 0
Такая запись обобщается на случай большего числа слагаемых в
скобке. Именно для любых k и t верна формула
(х1+х2+...	Р(Л,.... *,)xf ...X?-,	(3)
где сумма распространяется на все числовые кортежи (Ль ..., ki)
из неотрицательных целых чисел, такие, что ki-$-... + kt = k.
Формула (3) доказывается так же, как формула бинома Нью-
тона: записывают выражение (xi4~... +*0* в виде произведе-
ния k множителей, раскрывают скобки без обозначения степени
и изменения порядка множителей, доказывают, что при этом по-
лучились все кортежи длиной k из букв хь ..., xt, и выводят
отсюда, что коэффициент при х*' ... х*‘ равен P(ki,.... kt). Мы опу-
скаем детали этого рассуждения.
Пример 5. Раскроем скобки в выражении (а+6 + с)3.
Решение. Ответ имеет вид:
(а+Нс)3=2 Р (Л>, Л2, Л3) ak'bk'ck\
236
где сумма распространена на все кортежи (Ль ki, &з), такие, что
61 + ^2+ &з=3. Ими являются кортежи (3,0,0), (0,3,0), (0,0,3),
(2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 0, 2), (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 1, 1).
Так как
Р (О, О, 3)- Р (0, 3, 0) = Р (3, О, 0)=^=1.
Р(2, 1,0) = Р(2,0, 1)-Р(|,2,0)-Р(1.0, 2)-Р(0, 1,2)=
= ₽<°'2-1) = 2ППЙ=3'
Р(1,1.1)=^=6,
ТО
(а+b + с)3=а3 + Ь3+с3+За2Ь+ЗаЬ2 + За2 с 4- Зас2 +
+3b2c -|- ЗЬс2+6abc.
Пример 6. Докажем, что сумма всех чисел P(k\,..., kt),
для которых ki + ...+kt=k, равна tk.
Решение. Положим в формуле (3) xt=Xi = ...=xt = 1.
Получаем:
/‘=2 P(ki, ...,ki),	(4)
где ki +...+kt = k.
Упражнения
441.	Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы слова «парабола»?
слова «математика»? слова «метаморфоза»?
442.	Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (короля, фер-
зя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой горизонтали шахматной
доски?
443.	У мамы было 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день она давала ре-
бенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?
444.	Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной
книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей.
Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 уча-
стниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?
445.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород», чтобы три
буквы «о» не шли подряд?
446.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособ-
ность», чтобы две буквы «о» не шли подряд?
447.	Найдите число членов разложения:
1)	(а + * + с)3;	2) (а + 6+c+d)4.
448.	Найдите наибольший коэффициент в разложении:
1)	(а + * + с)10;	2) (a + b + c+d)".
449.	Найдите коэффициент при х4 в разложении (1 +2x-j-3x2)10.
237
450.	Найдите коэффициент при х* в разложении
(l+x+..-4-x"-')2.
451.	Найдите сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных пере-
становках цифр 1, 1, 4, 4. То же самое для цифр 0, 0, 4, 4.
7. Сочетания с повторениями. В заключение рассмотрим так
называемые сочетания с повторениями. Пусть имеются предметы т
видов и из них составляется набор, содержащий k элементов. Два
таких набора считаются одинаковыми в том и только в том случае,
когда они имеют одинаковый состав. Такие наборы назовем соче-
таниями с повторениями из m элементов по k. Число сочетаний с
повторениями из m элементов по k обозначим С™.
Задача 1. Найдем число сочетаний с повторениями из m
элементов по k.
Решение. Каждый состав сочетания задается кортежем
(fti, ki,.... km), состоящим из неотрицательных целых чисел, где
k\ показывает количество элементов первого вида, kz — второго,...
..., km — m-го. Таким образом, равно количеству числовых
кортежей (Ль.... Лт) длины ш, для которых ki + k2+... + km=k
(как указывалось, здесь все kt — неотрицательные Целые числа).
Итак, надо решить следующую задачу:
Задача Г. Найдем количество тех числовых кортежей
(Л1, ..., km) ДЛИНЫ Ш, ДЛЯ КОТОрЫХ k\ -\-ki +... + km = k.
Решение. Будем кодировать каждый кортеж (k\,..., km)
кортежем, составленным из единиц и нулей. С этой целью заменим
в кортеже каждое число k, последовательностью из kj единиц (если
kj=Q, то единицы не пишутся), а каждую запятую нулем. Полу-
чится кортеж из kt + ...+km=k единиц и m— 1 нуля (запятых
в кортеже (k\,.... km) на 1 меньше, чем чисел). Например, кортеж
(4, 1, 0, 2) кодируется так: (1, 1, 1, 1,0, 1, 0, 0, 1, 1). Обратно, каж-
дому кортежу, составленному из k единиц и т— 1 нуля, соответ-
ствует числовой кортеж (kit..., km), такой, что ki + ... + km=k.
Поэтому искомое число кортежей вида (kit.... km) равно числу кор-
тежей из k единиц и т— 1 нуля. По формуле перестановок с повто-
рениями число таких кортежей равно P(k, т— 1), т. е.	* •
Но это число равно С*+т-ь
Итак, мы доказали равенство
Ckm = Ckk+m-K.	(1)
Пример 1. Сколько наборов из 7 пирожных можно соста-
вить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?
Решение. Искомое число равно С«, т. е. С7+4-1. Но
С{о=С?о=-!~^=12О.
I ’Z* и
Итак, можно составить 120 наборов.
238
Пример 2. Сколькими способами можно разложить k оди-
наковых шаров по т различным ящикам?
Решение. Различные способы раскладки различаются лишь
числом шаров, попавших в каждый ящик. Значит, число таких
способов равно С*т, т. е. С*+т_|.
Упражнения
452.	В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами
можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами
можно купить 8 различных открыток?
453.	Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно
из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?
454.	Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов,
длины ребер которых выражаются натуральными числами от 1 до 10?
Решите нижеследующие задачи, применяя различные формулы
комбинаторики. (Некоторые задачи имеют повышенную труд-
ность.)
455.	Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок,
четырех лимонов и девяти апельсинов (мы считаем, что фрукты одного
вида неразличимы)?
456.	Сколько «слов», содержащих не менее чем одну букву, можно составить
из двух букв «А», пяти букв «Б» и девяти букв «В»?
457.	20 различных деталей раскладывают в три ящика, причем в первый ящик
кладут 3 детали, во второй — 5 деталей, а в третий — все остальные детали.
Сколькими способами это можно сделать?
458.	Сколько пятибуквенных «слов», каждое из которых состоит из трех соглас-
ных и двух гласных, можно составить из букв слова «уравнение»?
459.	20 пассажиров собираются совершить поездку в поезде. В кассе есть 12
билетов на нижние полки и 8 — на верхние. При этом 4 пассажира не же-
лают ехать внизу, а 5 пассажиров — наверху. Сколькими способами их
можно разместить в поезде, если: 1) порядок размещения пассажиров по
местам как внизу, так и наверху не учитывается; 2) порядок размещения
учитывается и внизу и наверху; 3) учитывается только порядок размеще-
ния пассажиров внизу?
460.	Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
если каждое число должно состоять из трех четных и трех нечетных цифр,
причем никакие две цифры в нем не повторяются?
461.	В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие
группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вто-
рую — 5 химиков, а третья должна состоять из трех человек, которые мо-
гут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно со-
здать такие группы?
462.	В течение десяти недель школьники должны написать 10 контрольных ра-
бот, в том числе 2 по математике. Сколькими способами можно составить
расписание этих работ так, чтобы контрольные работы по математике не
шли друг за другом?
239
463.	У филателиста есть 8 разных марок на космическую тему и 10 разных марок
на спортивную тему. Сколькими способами он может наклеить 3 марки пер-
вого вида и 3 марки второго вида в альбом на 6 пронумерованных мест?
464.	Сейф открывается при помощи цифрового кода, циферблат которого со-
стоит из 100 клавиш с числами, расположенными по окружности. Для того
чтобы открыть сейф, необходимо нажать какие-то 3 клавиши, причем из-
вестно, что между любыми двумя искомыми клавишами располагаются не
менее 10 клавиш. Сколько комбинаций из трех клавиш необходимо перепро-
бовать, чтобы заведомо открыть сейф, если: 1) порядок нажатия клавиш не-
существен; 2) этот порядок существен?
465.	В мастерской по изготовлению ключей есть 12 типов заготовок для ключей.
Из каждой заготовки можно сделать ключ, вырезав выступы в пяти опре-
деленных местах, причем на первом месте величина выступа может прини-
мать 2 значения, а на остальных — 3 значения. Сколько различных ключей
может изготовить мастерская?
466.	Две команды А и Б играют серию матчей по баскетболу до тех пор, пока
одна из них не одержит четырех побед (ничьих в баскетболе нет). Сколько
различных серий таких матчей может быть?
467.	Сколько среди километровых столбов 0|999, 11998, 2|997, ..., 99910 таких,
что на них лишь две различные цифры?
468.	Найдите максимальное число шахматных королей, которое можно поставить
на обычную доску так, чтобы они не брали друг друга. Решите такую же
задачу для доски с т вертикалями и п горизонталями.
469.	Какое наименьшее число шахматных слонов надо поставить на обычную
доску так, чтобы они держали под боем каждое поле доски и каждый слон
был защищен другими?
470.	Расставьте на шахматной доске наименьшее число ладей так, чтобы каждое
поле доски было бито по крайней мере два раза. Решите задачу в двух ва-
риантах: считая, что ладья не бьет полей, заслоненных от нее другими
ладьями, и, считая, что она бьет такие поля.
471.	Какое наибольшее количество дамок можно поставить на черные поля шах-
матной доски так, чтобы каждую дамку могла снять хотя бы одна из осталь-
ных дамок?
472.	Из числа 1234567891011...9899100 вычеркните 100 цифр так, чтобы оставше-
еся число было наибольшим.
473.	В шести секторах круга расставлено 6 шашек, по одной в каждом секторе.
Одним ходом разрешается любые две шашки передвинуть в соседние секто-
ры так, что одна движется по часовой стрелке, а другая — против часовой
стрелки. Можно ли собрать такими ходами все шашки в одном секторе?
474.	Даны 20 попарно неравных натуральных чисел меньших, чем 70. Докажите,
что среди попарных разностей этих чисел есть 4 одинаковые.
475.	Из двухсот чисел 1, 2, 3, ..., 200 выбрали одно число, меньшее 16, и еще
99 других чисел. Докажите, что среди выбранных 100 чисел есть два, из
которых одно делится на другое.
476.	Докажите, что из 981 числа, каждое из которых не превосходит 1958, можно
выбрать три числа, такие, что сумма двух из них равна третьему.
477.	Докажите, что 77 телефонов нельзя соединить друг с другом так, чтобы каж-
дый был соединен ровно с 15 другими.
240
478.	Докажите, что 20 взвешиваниями без гирь нельзя упорядочить по массе
10 предметов.
479.	Сколькими способами можно представить число 1 000 000 в виде произве-
дения трех множителей, если разложения, отличающиеся порядком множи-
телей, считаются различными?
480.	Сколькими способами можно разложить 19 различных предметов по 5 ящи-
кам так, чтобы в 4 ящика легли по 4 предмета, а в оставшийся — 3 предмета?
481.	Сколькими способами можно разложить 3 марки по 20 к. и 10 марок по 10 к.
в 4 пакета разного цвета? Решите эту же задачу, если пакеты неразличимы.
482.	Сколькими способами можно выбрать из п различных предметов нечетное
число предметов?
483.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «Юпитер», чтобы
гласные шли в алфавитном порядке?
484.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек», чтобы
4 буквы «е» не шли подряд?
485.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «параллелизм»,
чтобы не менялся порядок гласных букв?
486.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «пастух», чтобы меж-
ду двумя гласными буквами были две согласные?
487.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «огород», чтобы
две буквы «о» не стояли рядом?
488.	Сколькими способами можно переставить буквы слова «космос», чтобы две
одинаковые буквы не стояли рядом?
489.	Сколькими способами можно расставить 10 букв «р» и 10 букв «п», чтобы
для любого 6^20 среди первых k букв было не меньше букв «п», чем «р»?
490.	Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной
доске так, чтобы расположение было симметрично относительно центра
доски? Решите ту же задачу при условии, что шашки ставятся лишь на чер-
ные поля.
Глава XII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
$ 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.	Введение. События в материальном мире можно разбить
на три категории — достоверные, невозможные и случайные. На-
пример, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число
выпавших очков будет натуральным числом, невозможно, чтобы
это число равнялось 7, и возможно, что оно будет равно 5. Однако
при одних бросках это число будет равно 5, а при других будут
выпадать другие значения очков: 1, 2, 3, 4 или 6.
Потребности практики привели математиков к изучению слу-
чайных событий. Например, при организации телефонной связи в
некотором районе нужно знать число вызовов в каждый момент
времени, а оно случайным образом изменяется с течением времени.
При стрельбе из артиллерийского орудия надо знать число Снаря-
дов, попавших в цель, а попадание в цель является случайным
событием.
На первый взгляд может показаться, что в задачах о случайных
событиях ничего нельзя сказать об их исходе. И действительно,
если бросить кость лишь один раз, то с одинаковой вероятностью
можно ожидать выпадения 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Но при много-
кратном повторении этого опыта оказывается, что одни исходы бу-
дут появляться чаще, а другие — реже. Например, если бросить
кость 1200 раз, то очень маловероятно, чтобы все время выпадало
одно очко. Гораздо вероятнее, что значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 будут
появляться примерно с одной и той же частотой.
Раздел математики, изучающий закономерности случайных
событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело
не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточ-
но большого числа испытаний, т. е. с закономерностями массовых
случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, тео-
рия вероятностей есть математическая наука, позволяющая по
вероятностям одних случайных событий находить вероятности дру-
гих случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.
В повседневной жизни мы часто пользуемся словами «вероят-
ность», «шанс» и т. д. «К вечеру, вероятно, пойдет дождь», «Ве-
роятнее всего, мы поедем в воскресенье за город», «Это совершен-
но невероятно», «Много шансов, что я успешно напишу контроль-
ную работу» и т. д.— все эти выражения как-то оценивают вероят-
242
ность того, что произойдет некоторое случайное событие. Однако,
чтобы можно было применять к оценке вероятностей математи-
ческие методы, надо дать этому понятию строгое определение.
Мы сделаем это позднее, а сейчас приведем цитату из БСЭ, даю-
щую представление о том, что такое вероятность:
«Вероятность математическая — числовая характеристика сте-
пени возможности появления какого-либо определенного события
в тех или иных определенных, могущих повторяться неограничен-
ное число раз условиях».
Нашей задачей является превратить это описание понятия ве-
роятности в точное математическое определение и выяснить,
как связана вероятность с частотой появления данного события в
длинной серии испытаний.
Упражнения
491.	Приведите примеры: 1) достоверных событий; 2) невозможных событий;
3) случайных событий.
492.	Что вероятнее — появление герба при бросании монеты или появление не-
четного числа очков при бросании игральной кости?
493.	Что вероятнее при бросании двух монет — выпадение двух цифр или цифры
и герба?
494.	Что вероятнее получить при делении домино между 4 игроками — все
«дубли» или же все кости с «шестерками»?
495.	Проведите следующий эксперимент: бросьте 50 раз две игральные кости и
запишите сумму для каждого броска. Какая сумма появилась чаще всего?
Какая реже всего? Какое число очков появилось чаще: 3 или 12?
496.	Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны русские буквы, вытаскивают
один за другим 4 жетона. Сколько раз, по вашему мнению, нужно повторить
этот эксперимент, чтобы из этих букв получилось слово «барс»? Во сколько
раз будет меньше число необходимых экспериментов, если 4 жетона выта-
скивают сразу (т. е. порядок их появления несуществен)?
497.	Что вероятнее — угадать 6 номеров из 49 или 5 номеров из 36?
498.	При 10 бросаниях правильной монеты выпадал герб. Что вероятнее при
следующем броске — выпадение цифры или герба?
2. Вероятностное пространство. Основным понятием, с ко-
торым мы будем иметь дело в дальнейшем, является понятие опы-
та, или испытания. Этому понятию нельзя дать математическое
определение, однако ясно, что значат слова «подбросим монету и
посмотрим, упала она вверх гербом или цифрой» или «включить
электрическую лампочку и поглядеть, через какое время она пере-
горит». Для нас будет существенно лишь то, что данное испытание
может иметь различные исходы. При этом для простоты будем рас-
сматривать лишь случаи, когда множество U этих исходов конеч-
но: U={X\, ..., Хя}. С каждым опытом можно связать различные
множества исходов. Важно лишь то, что при каждом испытании
происходит один и только один исход.
243
Пример 1. При бросании игральной кости возможны сле-
дующие множества исходов:
1)	01, Аг, Аз, At, А$, Лб}, где Ац означает выпадение k очков;
2)	{Во; Bi), где Во — выпадение четного числа очков, а В\ —
выпадение нечетного числа очков;
3)	{Ci, Сг}, где Ci состоит в том, что число выпавших очков
меньше или равно 4, а С2 — что это число больше или равно 5.
В то же время в этом опыте не являются множествами исхо-
дов:
4)	множество 0(, Л г), так как Ai и Аг не исчерпывают всех
возможных исходов;
5)	множество {Во, Ci}, так как при выпадении, например, 2
очков одновременно происходят и Во и Ci, а мы условились, что
может произойти лишь один исход.
При многократном повторении опыта одни его исходы могут
происходить чаще, а другие — реже. Например, если монета изо-
гнута, то может случиться, что герб выпадает вдвое чаще, чем
цифра. Мы будем говорить в этом случае, что вероятность выпа-
дения герба вдвое больше, чем вероятность выпадения цифры.
Чтобы выразить вероятность каждого исхода числом, надо вы-
брать «единицу измерения». Для этого условимся считать, что
сумма вероятностей всех исходов равна 1. Тогда каждому
исходу Xk будет соответствовать неотрицательное число рь —
вероятность этого исхода, причем выполняется равенство pi +... +
+ Рп= 1-
Одним из важных вопросов теории вероятностей является то,
откуда берутся значения вероятностей исходов испытаний, ведь
вероятности всех остальных событий мы будем получать, опираясь
именно на эти вероятности. Здесь возможны два случая:
а)	по каким-либо соображениям симметрии мы считаем все
элементарные исходы равновозможными, в этом случае имеем
Pi =рз= — =Рп, а так как р\ +р2+ ..+рп= 1, то все р* равны
—, pk = —,
п	п
б)	вероятности pi.рп исходов ..., Хп определены пред-
варительным проведением серии опытов, в этом случае за р« при-
нимают относительную частоту случаев, в которых произошло эле-
ментарное событие Xk (т. е. отношение числа /п* таких слу-
чаев к общему числу М проведенных испытаний).
Подход а) называется классической схемой теории вероят-
ностей, а подход б) — статистическим подходом. Например, если
после проверки 1000 деталей оказалось, что среди них 3 брако-
ванные, то принимают, что вероятность брака равна 0,003, или
же 0,3%. В статистике изучается вопрос: какое число испыта-
ний нужно произвести, чтобы полученные статистическим путем
вероятности были достаточно надежными?
244
i
I	Введем следующее определение:
I	Определение. Вероятностным пространством назы-
f	вают конечное множество (7={Xi, ...» Хп}, каждому элементу
|	Xk которого поставлено в соответствие неотрицательное число
- Pk, причем сумма этих чисел равна 1.
Вероятностное пространство можно обозначить так: (Хь ...
...» Хп; pi, ...» рл). Но в дальнейшем для краткости вместо этого
\ будем писать ({/, Р), где {/={Ль ...» Хп), Р={рь .... рп).
;	П р и м е р 2. Если монета симметрична, то выпадение герба
или цифры равновероятно. В этом случае вероятностное простран-
ство состоит из двух исходов Г и Ц, каждому из которых сопо-
 ставлена вероятность, равная
2
Пример 3. Если кость симметрична, то вероятностное про-
странство можно выбрать так: {Ль Л 2, Аз, Л<, А$, Лв} (см. при-
мер 1), где каждый исход Л* имеет вероятность
Сложнее вопрос о построении вероятностного пространства
 при бросании двух монет. Здесь можно выбрать пространство со-
[ бытий Лг.о, Л|,ь Ло.2, где Л2.о означает двукратное выпадение
| герба, Ло,2 — двукратное выпадение цифры, а Ли — то, что один
раз выпал герб и один раз цифра. Однако эти события не являются
равновероятными. Чтобы обнаружить это, возьмем две монеты:
5-копеечную и 3-копеечную. Ясно, что выпадение цифры или герба
на каждой из этих монет никак не зависит от того, какой исход
имело бросание другой монеты. А это значит, что равновероятными
являются не исходы Лг.о, Ли, Ло.2, а исходы ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ,
каждый из которых имеет вероятность -1-. Вероятности же событий
Лг	.о, Л 1.1, Ло.2 неодинаковы. Так как Лг.о совпадает с ГГ, А0.г —
с ЦЦ, причем вероятности этих событий равны p-то на долю собы-
тия Л1.1 остается вероятность 1—1—-1-=-1-. Значит, в этом
случае вероятностное пространство состоит из исходов Лг.о, Лы,
Ло,2 с вероятностями -1-, и соответственно.
Упражнения
499.	Укажите некоторые множества исходов для следующих испытаний:
1)	производится выстрел по мишени, представляющей собой круг, разде-
ленный на 10 концентрических частей, которые занумерованы числами 1,
2, 3,	10;
2)	проводится турнирный футбольный матч между двумя командами;
3)	наудачу извлекается одна кость из полной игры домино;
4)	пять раз подбрасывается монета.
500.	На десяти жетонах выбиты числа 1, 2, 3,	10. Наудачу извлекается один
245
I
I
жетон. В каких случаях указаны все возможные исходы испытания:
1)	четное, нечетное;
2)	четное, не делится на 3;
3)	простое, составное;
4)	не более трех, не менее четырех?
501.	Для испытания, состоящего в пятикратном бросании монеты, запи-
шите все возможные исходы испытания, если учитываются:
1)	результат каждого броска;
2)	число выпадений герба;
3)	какой стороной монета большее число раз падала вверх.
502.	В каких из следующих примеров указаны все возможные исходы испыта-
ния:
1)	выигрыш, проигрыш в шахматной партии;
2)	выигрыш, проигрыш встречи по баскетболу;
3)	выпадение (в указанном порядке) герба — герба, герба — цифры, циф-
ры — цифры при двукратном подбрасывании монеты.
503.	Образуют ли события «на обеих монетах выпала цифра», «на обеих монетах
выпал герб» множество исходов при бросании двух монет? Какое событие
надо добавить к этим двум, чтобы получилось полное множество исходов?
504.	Образуют ли следующие события множество исходов при двух выстрелах по
мишени: «ни одного попадания», «одно попадание», «нет промаха», «есть
хоть одно попадание»?
505.	Образуют ли множество исходов следующие события при вынимании одной
косточки домино: «вынута кость 0:0», «вынута кость 6:6», «сумма очков
на вынутой кости — натуральное число, которое не больше чем 11»?
506.	Приведите пример опыта с тремя исходами.
507.	Приведите пример опыта с тремя попарно несовместными событиями, ко-
торые не образуют множества исходов опыта.
508.	Приведите пример опыта, в котором есть такие четыре события, что в резуль-
тате опыта одно из них обязательно происходит, но они не образуют множе-
ства исходов этого опыта.
509.	Монета искривлена, и потому вероятность выпадения цифры втрое больше
вероятности выпадения герба. Чему равны эти вероятности?
510.	Игральная кость налита свинцом, в результате чего вероятность выпадения
каждого числа очков пропорциональна этому числу. Найдите указанные
вероятности и вероятностное пространство. Решите задачу, если вероятность
выпадения любого числа очков обратно пропорциональна этому числу.
511.	Вероятность выигрыша партии в шахматы мастером А у перворазрядника В
втрое больше вероятности того, что партия кончится вничью, а вероятность
ничейного исхода вдвое больше, чем проигрыша мастера. Найдите вероят-
ностное пространство для этого испытания.
512.	Задает ли следующая таблица вероятностное пространство?
Исход	XI	Х2	хз	Х4
Вероятность	0,2	0,42	0,28	0,3
246
513. Вероятностное пространство задано следующей таблицей:
Исход	Xi	*2	Хз	*4
Вероятность	0,2	0,1	0,5	0,2
Во сколько раз исход хз вероятнее исхода хг? Какие исходы равновероятны?
514. Для следующих испытаний укажите множества равновероятных исходов:
1) бросаются (правильные) монета и игральная кость;
2) пять раз бросается монета;
3) из мешка с 33 жетонами, на которых написаны буквы русского алфавита,
один за другим извлекаются пять жетонов;
4) то же испытание, но жетон после извлечения и записи возвращается в
мешок;
5) то же испытание, что в случае 3, но жетоны после извлечения расставля-
ются в алфавитном порядке;
6) правильный тетраэдр, куб и правильный октаэдр, грани которых поме-
чены цифрами, бросают на плоскость;
7) в розыгрыше первенства участвуют 18 команд, которые случайным обра-
зом разбиваются на две группы, по 9 команд в каждой.
3. Вероятность событий. С бросанием игральной кости свя-
заны не только исходы Ль Л2, Аз, Л4, Аз, Аз из примера 1 п. 2,
но и иные события, например событие X — «число выброшенных
очков является простым числом» или событие Y —। «число выбро-
шенных очков больше чем 3, но меньше чем 6» и т. д. Каждое из
этих событий выполняется при тех или иных исходах испытания и
не выполняется при других. Тем самым каждому такому событию
соответствует некоторое подмножество множества U исходов. На-
пример, для события X это множество состоит из исходов Л2, Л3 и
Аз, а для события Y оно состоит из исходов Л4, Л5.
Введем следующее определение:
Определение 1. Событием при данном испытании назы-
вается любое подмножество X множества U исходов.
В дальнейшем, говоря об исходах, из которых состоит собы-
тие X, мы будем говорить, что они благоприятствуют этому собы-
тию. Про остальные же исходы будем говорить, что они не благо-
приятствуют событию X.
Определение 2. Вероятностью события X называют сум-
му вероятностей исходов, благоприятствующих этому событию.
Пример 1. Найдем вероятности событий X и Y, указанных
выше.
Решение. Событие X состоит из трех элементарных исходов
Лг, Аз, Аз- Вероятность каждого из них равна поэтому вероят-
ность события X равна 3-4-=_1-=-н- • Событие Y состоит из
О О 2
247
двух исходов At и As, и его вероятность равна 2--^=-|-.
Событие, состоящее в том, что выпало простое число очков
и это число больше чем 2, но меньше чем 5, происходит лишь при
исходе Аз, и его вероятность равна |т-
Пример 2. Выясним, что вероятнее выбросить при мета-
нии двух костей — 7 очков или 8 очков?
Решение. Трудность этой задачи состоит в правильном
выборе множества исходов. Чтобы сделать правильный выбор,
будем' бросать кости по очереди и записывать получившиеся
исходы. При бросании первой кости возможны 6 исходов, которые
мы обозначим 41, Аз, Аз, А4, As, Ав. Все эти исходы равновероятны.
Равновероятны и исходы В\, Вз, Вз, В4, Bs, Be при бросании второй
кости. Так как кости не скреплены друг с другом, то каждая пара
исходов (А/, Bk), где 1 <J/^6,1 имеет одну й ту же вероят-
ность. А так как число таких пар по правилу произведения равно
36, то вероятность каждого исхода (А/, В*) равна
Теперь осталось подсчитать число исходов, благоприятных вы-
падению 7 очков и. 8 очков. 7 очков выпадают при, шести исходах:
(Ai, Bs), (Аз, В5), (Аз, В<), (At, Вз), (А5, В2), (А6, Bi), а 8 очков —
при пяти исходах: (Аз, Bs), (Аз, Bs), (At, В4), (Аз, В3), (Ав, В2).
В первом случае имеем вероятность 6--^г=-|-, а во втором —
5-^-=^-. Значит, вероятность выбросить 7 очков больше, чем
ОО иО
вероятность выбросить 8 очков.
При решении этой задачи мы использовали интуитивное поня-
тие независимости двух испытаний. Позднее мы уточним это поня-
тие, а пока что отметим лишь, что если одно испытание имеет рав-
новероятные исходы А|,..., Ат, а второе — равновероятные исходы
Bi, Вз, .... Вп, то независимость этих испытаний означает, что все
пары исходов (А/, В*) равновероятны, а потому вероятность по-
явления каждой пары (А/, В*) равна — .
Примером независимых испытаний является извлечение из
мешка помеченных жетонов при условии, что вынутый жетон после
записи его пометки возвращается обратно. Иначе обстоит дело,
если вынутый жетон обратно не возвращается.
Пример 3. В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами
русского алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соот-
ветствующие буквы, причем вынутые жетоны обратно не возвра-
щают. Какова вероятность того, что при этом получится слово
«око»? слово «ар»?
Решение. Ошибочно было бы решать задачу так: вероят-
ность извлечения любой буквы равна поэтому вероятность ело-
248
жить слово «око» равна i, а вероятность сложить слово «ар»
Оо
равна . Это выло бы верно, если бы последовательные извлече-
ния жетонов из мешка были независимы друг от друга. Но так как
жетоны обратно в мешок не возвращаются, то, вынув в первый раз
букву «о», мы уже не получим ее при третьем извлечении. Поэто-
му вероятность получить слово «око» равна нулю. Чтобы найти
вероятность получения слова «ар», заметим, что при двух извле-
чениях букв получаются всевозможные размещения без повторе-
ний из 33 букв по две, причем очевидно, что любые два таких раз-
мещения равновероятны. Так как общее число этих размещений
равно Лзз=33*32= 1056, то вероятность сложить слово «ар» рав-
на Ю56 •
Этот пример показывает, что при решении многих задач теории
вероятностей оказываются полезными формулы комбинаторики —
при определенных условиях у нас с равной вероятностью получа-
ются размещения с повторениями (если, например, жетоны извле-
каются и потом возвращаются обратно), размещения без повторе-
ний (если жетоны не возвращаются обратно), перестановки
с повторениями и без повторений, сочетания и т. д. Долгое время
комбинаторику вообще рассматривали как вспомогательную дис-
циплину для теории вероятностей, но теперь она приобрела само-
стоятельное значение.
Пример 4. Из мешка с 33 жетонами, помеченными буквами
русского алфавита, вынимают 6 жетонов и располагают их в по-
рядке извлечения. Какова вероятность получить слово «Москва»,
если: 1) жетоны после извлечения возвращаются обратно; 2) же-
тоны после извлечения обратно не возвращаются?
Решение.^ В случае 1 множество равновероятных исходов
испытания сострит из всех размещений с повторениями из 33 эле-
ментов по 6. Их число равно Лзз=336. Поэтому искомая вероят-
ность равна ЗЗ-6. В случае 2 множество равновероятных исходов
состоит из всех размещений без повторений из 33 элементов по 6.
Их число равно Лзз=33-32-31-30-29-28, и потому искомая
вероятность равна
Пример 5. Из квадратиков с буквами сложили слово «Мис-
сисипи», после чего квадратики положили в мешок и перемешали.
Какова вероятность, что после поочередного извлечения квадра-
тиков из мешка получится то же самое слово?
Решение. В данном случае равновероятными исходами яв-
ляются появления любых перестановок с повторениями из одной
буквы «м», 4 букв «и», 3 букв «с» и одной буквы «п». Число таких
9!
перестановок равно Р (1,4,3, 1)=1[4^-—=2520.
249
Поэтому вероятность получения слова «Миссисипи» равна На-
пример 6. В мешке лежат 5 жетонов, помеченных буква-
ми «а», «б», «в», «г» и «д». Из него 4 раза извлекают жетон, кото-
рый после записи его буквы возвращается обратно. Какова вероят-
ность, что при этом ни одна буква не повторится дважды?
Решение. В этом случае множество равновероятных исхо-
дов состоит из всех размещений с повторениями из 5 элементов
по 4. Оно содержит Лб=54 = 625 размещений. Благоприятными
являются цри этом размещения без повторений, число которых
равно Лб=5’4’3’2 = 120. Значит, вероятность равна ^=0,192.
Пример 7. При тех же условиях найдем вероятность того,
что в полученной записи никакие две соседние буквы не будут оди-
наковыми.
Решение. Здесь надо сначала найти число размещений с
повторениями из 5 букв по 4, в которых нет одинаковых соседних
букв. В каждом таком размещении первую букву можно выбрать 5
способами, а следующие буквы — 4 способами (не повторяя пре-
дыдущую). Значит, по правилу произведения число благоприят-
ных комбинаций равно 5-4-4*4=320, а искомая вероятность
равна -§=0,512.
Пример 8. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны
буквы русского алфавита, извлекаются 4 жетона, которые распо-
лагаются в алфавитном порядке. Какова вероятность того, что
при этом получится слово «винт»?
Решение. Так как жетоны располагаются в алфавитном
порядке, то существенны лишь извлеченные буквы, а не порядок,
в котором их извлекали. Поэтому общее число равновероятных
исходов равно числу сочетаний без повторений из 33 букв по 4, т. е.
Сзз=33’3^'31 ~30=40 920'. Значит, искомая вероятность равна
1_
40920 ’
Пример 9. Карточки, на которых написаны буквы слова
«обороноспособность», располагаются произвольным образом.
Какова вероятность того, что при этом все 7 букв «о» идут
подряд?
Решение. Очевидно, что существенно лишь расположение
семи букв «о». Так как общее число карточек равно 18, то выбор
семи мест для буквы «о» может быть сделан С1в=тц-[у способами.
Благоприятны выборы, при которых все выбранные места идут
подряд. Но группа из 7 букв «о» может занимать лишь 12 различ-
ных положений среди остальных 11 букв (в самом начале, между
250
первой и второй,.... в самом конце). Отсюда следует, что искомая
вероятность равна
12 _7!-11!.12_ 1
"сТГ 18!	2652 '
Пример 10. Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны
буквы русского алфавита, извлекают 4 раза жетоны, причем каж-
дый жетон после извлечения и записи изображенной на нем буквы
возвращается в мешок. Какова вероятность, что из полученных
таким путем букв можно будет сложить слово «март»? Слово
«мама»?
Решение. Множество всех равновозможных исходов состо-
ит из размещений с повторениями из 33 букв по 4, и число этих
исходов равно ЗЗ4. Благоприятны исходы, при которых получаются
в любом порядке буквы «м», «а», «р», «т». Так как из этих 4 букв
можно составить 4! =24 перестановки, то искомая вероятность
равна -Ц-4. А для того чтобы можно было составить слово «ма-
ма», надо дважды вынуть букву «м» и дважды — букву
«а». Так как из этих букв можно составить лишь Р(2,2)=
=2^[=6 перестановок, то вероятность получается в 4 раза мень-
6
ше: —г.
зз4
Упражнения
515.	Будут ли события равновероятными:
1)	«выпал герб» и «выпала цифра» при броске монеты;
2)	«выпал герб» и «выпала цифра» при броске неправильной (например,
вогнутой) монеты;
3)	«промах» и «попадание» при выстреле отличного стрелка;
4)	«выпало два герба» и «выпало две цифры» при броске двух монет;
5)	«выпало не менее трех очков» и «выпало не более четырех очков» при
броске игральной кости;
6)	опыт: вынимается косточка домино из полного набора в 28 косточек; со-
бытие А — «вынута кость, на которой есть 6», событие В — «вынута кость,
на которой есть пусто»?
516.	При броске игральной кости вычислите вероятности следующих событий:
1)	«выпало два очка»;
2)	«выпало пять очков»;
3)	«выпало четное число очков»;
4)	«выпало простое число очков»;
5)	«число выпавших очков кратно трем».
517.	Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на одной монете выпал
герб, а на другой — цифра?
251
518.	Бросаются две игральные кости. Найдите вероятности событий:
1)	сумма выпавших очков равна 2, 3,	12. Полученные результаты изобра-
зите на координатной плоскости точками, у которых абсцисса равна сумме
очков, а ордината — вероятности этой суммы;
2)	разность выпавших очков равна 0,1, ..., 5;
3)	сумма выпавших очков больше их произведения.
519.	Из пяти отрезков длиной 1, 3, 5, 7 и 9 наудачу выбирают три. Какова ве-
роятность того, что из них можно построить треугольник?
520.	Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 равных куби-
ков. Найдите вероятность того, что наудачу взятый кубик имеет две окра-
шенные грани.
521.	Какова вероятность того, что в январе наудачу выбранного года окажется
пять воскресений?
522.	На шести одинаковых карточках написаны буквы «А», «В», «К», «М», «О»,
«С». Карточки раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что
получится слово «Москва»?
523.	Слово «агава» разрезали на буквы и их выложили наудачу в ряд. Какова
вероятность опять получить это же слово?
524.	Слово «лилии» разрезали на буквы и их выложили наудачу в ряд. Какова
вероятность опять получить это же слово?
525.	Слово «молния» разрезали на буквы и выложили наудачу четыре из них в
ряд. Какова вероятность получить слово «миля»?
526.	В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Ка-
кова вероятность вынуть наудачу: 1) белый шар; 2) черный шар; 3) два
разноцветных шара?
527.	В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Из
ящика вынули наудачу восемь шаров. Чему равна вероятность того, что:
1) ровно три из них черных; 2) черных шаров вынули не более трех?
528.	В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих одинаковых на ощупь ша-
ров. Наудачу вынимают 8 шаров. Чему равна вероятность того, что выну-
ли: 1) 3 зеленых, 2 красных и 3 синих шара; 2) 1 зеленый, 5 красных и
2 синих шара?
529.	На карточках выписаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Наугад берут четыре
карточки и выкладывают их в ряд. Какова вероятность того, что: 1) по-
лучится четное число; 2) получится число 1234?
530.	Из семи лотерейных билетов два выигрышных. Семь человек по очереди
берут по билету (не возвращая его обратно). Чему равна вероятность вы-
игрыша и зависит ли она от места в очереди?
531.	Из п лотерейных билетов один выигрышный. Какова вероятность того,
что среди k наудачу выбранных т билетов есть выигрышный?
532.	В ящике лежит 31 деталь первого сорта и 6 деталей второго сорта. Наудачу
вынимают три детали. Чему равна вероятность того, что: 1) все три детали
первого сорта; 2) хотя бы одна из трех вынутых деталей первого сорта;
3) хоть одна из трех вынутых деталей второго сорта?
4. Алгебра событий. Вычислять вероятность события, строя
каждый раз множество равновероятных исходов и подсчитывая
число благоприятных исходов, довольно затруднительно. Поэтому
252
для вычисления вероятностей пользуются правилами, позволяю-
щими по известным вероятностям одних событий вычислять ве-
роятности других событий, получаемых из них с помощью некото-
рых операций. Поскольку событиями мы назвали подмножества в
множестве элементарных исходов испытания, а над множествами
мы уже умеем выполнять операции объединения, пересечения,
нахождения дополнения, то такие же операции будем выполнять
над событиями.
Сейчас мы дадим определения указанным выше операциям над
событиями. Поскольку теория вероятностей была создана задолго
до теории множеств, в ней сложилась своя терминология и свои
обозначения, которые нам придется учитывать.
Определение 1. Событие, которому не благоприятен ни
один из возможных исходов, называется невозможным. Событие
же, которому благоприятен любой исход испытания, называется
достоверным.
На языке теории множеств это означает, что невозможному
событию отвечает пустое множество исходов, а достоверному —
все множество возможных исходов. Поэтому будем обозначать
невозможное событие через 0, а достоверное через U.
Определение 2. Объединением событий X и Y называ-
ется событие, которому благоприятны все исходы, благоприятные
хотя бы одному из событий X и Y.
Например, при бросании двух костей объединением событий
«выпало четное число очков» и «выпало простое число очков» будет
событие «число выпавших очков отлично от 9».- В самом деле,
среди натуральных чисел от 2 до 12 только число 9 не является
ни четным, ни простым. Если два зенитных орудия стреляют по
одному и тому же самолету, то объединением событий «первое ору-
дие поразило самолет» и «второе орудие поразило самолет» будет
«самолет поражен».
Множество исходов испытания, благоприятных объединению
событий X и У, является объединением множества исходов, бла-
гоприятных X, с множеством исходов, благоприятных У. Поэтому,
как и в случае множеств, объединение событий X и У обозначают
хи У. Применяют также название «сумма событий» и соответ-
ствующее обозначение Х+У.
Определение 3. Пересечением событий X и У называют
событие, которому благоприятны лишь исходы, одновременно бла-
гоприятные и для X, и для У. Его обозначают ХПУ или ХУ.
В разобранных выше примерах пересечениями будут события
«при бросании двух костей выпало два очка» и «самолет поражен
обоими зенитными орудиями» (напомним, что единственным чет-
ным простым числом является 2).
Определение 4. Два события X и У называют несовмест-
ными, если их пересечением является невозможное событие (т. е.
если никакой исход не может быть благоприятен обоим событиям
одновременно).
253
Например, несовместны события «чис-
л, ло выброшенных очков делится на 3» и
/	* х Y \ <числ0 выброшенных очков дает при де-
I уА. I лении на 3 остаток 1».
V.	Множества исходов, соответствующие
Г X Т двум несовместным событиям, имеют пус-
тое пересечение: X f) Y = 0.
Если любые два события из множест-
Рис- 80	ва (А,,	А„} несовместны, то эти собы-
тия называют попарно несовместными.
Например, попарно несовместны события «число очков делится на
3», «число очков при делении на 3 дает остаток 1» и «число очков
дает при делении на 3 остаток 2». А события X — «число очков —
простое число», Y — «число очков — четное число» и Z — «выбро-
шено более 3 очков» несовместны в совокупности (их пересече-
ние пусто), но не являются попарно несовместными, так как,
например, 2 является и простым и четным числом, а 5 — простым
числом, которое больше чем 3. Диаграмма Венна для множеств
исходов этих событий имеет вид, изображенный' на рисунке 80.
Если события А|, ..., Хп попарно несовместны, причем их объе-
динение совпадает с полным множеством исходов U, то любой ис-
ход благоприятен одному и только одному из этих событий. В этом
случае множество всех исходов разбивается на попарно непересе-
кающиеся подмножества, соответствующие этим событиям.
Поэтому можно выбрать другое множество элементарных исходов,
а именно исходы А), ..., Хп. Если все элементарные исходы были
равновероятны, а всем событиям Xit ..., Хп соответствует одно
и то же число благоприятных элементарных исходов, то все эле-
ментарные исходы множества {Ai, ..., Ап} тоже равновероятны.
Например, при бросании одной кости события «выпало четное
число очков» и «выпало нечетное число очков» образуют полную
систему исходов, причем они равновероятны, поскольку первому из
них соответствуют три случая выпадения очков (2, 4 и 6) и вто-
рому тоже три (1, 3 и 5).
Определение 5. События А и У называются противо-
положными друг другу, если любой исход благоприятен одному
и только одному из них.
Например, противоположны события «выпало четное число
очков» и «выпало нечетное число очков». События «число выпав-
ших очков меньше чем 3» и «число выпавших очков больше
чем 3» не являются противоположными, поскольку выпадение 3
очков не является благоприятным ни для одного из них. Не являют-
ся противоположными и события «сбитый самолет поражен пер-
вым орудием» и «сбитый самолет поражен вторым орудием»,
поскольку может случиться, что в самолет попали оба выст-
рела.
В теории вероятностей принято обозначать событие, противо-
положное событию А, через А.
254
Определение 6. Событие У называется следствием собы-
тия X, если любой исход, благоприятный событию X, благоприя-
тен и событию У.
Например, выпадение при бросании трех костей нечетного
числа очков является следствием того, что число очков простое
(любое простое число, которое не меньше чем 3, является нечет-
ным). Событие «футбольная команда осталась в высшей лиге»
является следствием события «футбольная команда выиграла чем-
пионат страны».
Если событие У является следствием события X, то множество
исходов, благоприятных событию X, является подмножеством в
множестве исходов, благоприятных У. Поэтому в таком случае
пишут У.
Мы ввели основные операции над событиями. С их помощью
можно определить другие операции. Например, событие Х|"|У
можно назвать разностью событий X и У (оно имеет место, если со-
бытие X произошло, а событие У нет).
Но в дальнейшем мы будем пользоваться лишь определенными
выше операциями. Поскольку операции над событиями сводятся к
соответствующим операциям над множествами благоприятных им
исходов, то все утверждения алгебры множеств, отмеченные в п. 2
$ 1 главы XI, остаются справедливыми и для операций над собы-
тиями. Например, для событий верны равенства
Xpy=XUу, ХЦУ=ХПУ,
операции объединения и пересечения обладают свойствами ком-
мутативности и ассоциативности, причем каждая из них дистри-
бутивна относительно второй операции. Для любого события X
выполняются равенства
1=Х, ХГ\Х=0, ХП0 = 0, хпи=х, ХЦ0=Х,
хио=и.
Кроме того, если УсХ, то ХПУ=У. X[JY=X, а потому
хпх=хих=х.
Упражнения
533.	При каких условиях для событий Л и В верны равенства:
1)	Л=(ЛиВ)\В, 2) ли (В\С)=(ЛиВ)\С; 3) Л\В=Л; 4)Л\В=0;
5)	Л\В = В? Ответы поясните на рисунках.
534.	Верно ли утверждение: если Ли^ = С, то Л = С\В?
535.	Докажите утверждение: если ВсЛ, то Л = В(] (Л\В).
536.	Расшифруйте краткие записи:
11	7	4	7
1) UA;2) АЛ/;3) иЛз*-ь4) л	+
i=5	j=2	*=1	s = 3
255
537.	Запишите короче (см. № 536) события:
1)	ЛШЛги ... 1М57;	2) Л1АЛ2А ... АЛ47;	3) Л31М7и ... иЛ55;
4)	ЛбАЛвА ... АЛю7.
538.	Бросили медную и серебряную монеты и рассмотрели события:
Л — «герб выпал на медной монете»,
В — «цифра выпала на медной монете»,
С — «герб выпал на серебряной монете»,
D — «цифра выпала на серебряной монете»,
М — «выпал хотя бы один герб»,
F — «выпала хотя бы одна цифра»,
G — «выпал один герб и одна цифра»,
Н — «невыпадение ни одного герба»,
К — «выпало два герба».
Каким событиям из этого списка равны события:
1)	ЛАС; 2) ЛАС; 3) МАЛ 4) G|JM; 5) GAM; 6) BAD; 7) MUK?
539.	По мишени производятся три выстрела. Рассматриваются события At —
«попадение при k-м выстреле», k=A, 2, 3.
Пользуясь действиями Uи А наД событиями Ak и Л*, запишите события:
Л — «все три попадания»,
В — «все три промаха»,
С — «хотя бы одно попадание»,
D — «хотя бы один промах»,
М — «не менее двух попаданий»,
F — «не более одного попадания»,
G — «попадание в мишень не раньше третьего выстрела»,
Н — «ровно одно попадание»,
К — «ровно два попадания».
540.	В поле наблюдения микроскопа находятся четыре клетки. За время наблю-
дения каждая из них может как разделиться, так и не разделиться. Рас-
сматриваются события:
Л — «разделилась ровно одна клетка»,
В — «разделилась хотя бы одна клетка»,
С — «разделились не менее двух клеток»,
D — «разделились ровно две клетки»,
М — «разделились ровно три клетки»,
F — «разделились все четыре клетки».
Запишите словами, в чем состоят события в 1—7 и верны ли равенства
в 8, 9:
1)	Л 2) ЛОВ; 3) ЛАВ; 4) B|JC; 5) ВАС; 6) (D|JM) АЛ 7) ВАЛ
8) ВАВ=САЛ 9) BAC=D.
541.	Назовите для указанных событий противоположные:
Л — «выпало два герба», опыт: бросок двух монет;
В — «вынули белый шар», опыт: вынимают один шар из ящика, в котором
лежат белые, красные и синие шары;
С — «три попадания», опыт: сделали три выстрела по мишени;
256
Рис. 81	Рис. 82
Рис. 83
М — «не более двух попаданий», опыт: пять выстрелов по мишени;
D — «хотя бы одно попадание», опыт: пять выстрелов по мишени;
F — «выигрыш Петрова», опыт: партия в шахматы Петров — Васин.
542.	На рисунках 81—84 изображены электрические схемы. Выключатели изо-
бражены кружками, в которых указан номер выключателя. Запишите через
события Ak — «выключатель с номером k включен» для каждой схемы со-
бытия А — «ток идет» и А — «ток не идет».
543.	Прибор состоит из двух блоков. Первый блок состоит из двух однотипных
деталей и работает при исправности хотя бы одной из них. Второй блок со-
стоит из трех однотипных деталей и работает при исправности хотя бы двух
из них. Весь прибор работает, если работают оба блока. Выразите через
события Ak — «исправна fc-я деталь первого блока», 6 = 1, 2, Вп — «ис-
правна л-я деталь второго блока», л=1, 2, 3, и Л*, Вп события:
А — «работает первый блок»,
В — «работает второй блок»,
С — «первый блок не работает»,
D — «второй блок не работает»,
И — «прибор работает»,
К — «прибор не работает»,
М — «прибор не работает, но, для того чтобы его исправить, достаточно
заменить одну деталь».
544.	Прибор состоит из двух блоков. Первый блок состоит из четырех одинако-
вых деталей и работает при исправности хотя бы двух из них. Второй блок
состоит из пяти одинаковых деталей и работает при исправности хотя бы трех
из них. Весь прибор работает, если работают оба блока. Выразите через
события Ak — «исправна 6-я деталь первого блока» (6 = 1, 2, 3, 4), Вп—
«исправна п-я деталь второго блока» (л=1, 2, 3, 4) и события Ап и Вп
события Л, В, С, D, указанные в упр. 543).
545.	Рассмотрим события Л — «взятая наудачу деталь оказалась первого сорта»,
В — «взятая наудачу деталь оказалась второго сорта» и С — «взятая на-
удачу деталь оказалась третьего сорта». Запишем словами, что представляют
собой события:
1)	ЛОВ; 2) ЛЦВ; 3) ЛиС; 4) ЛиВОС.
546.	Докажите равенства:
1)	ЛиВ=ЛЛВ; 2) Ли (ЛЛВ)=Л;
3) (ЛиВ)\В=Л\В; 4) ЛиВ=(Л\В)и(В\Л)и(ЛПВ);
5) (Л\В)иВ=ЛиВ; 6) (ЛиВ)Л(СиВ)=(Лf|C)UB.
9 Н. Я. Виленкин	257
547. При каких условиях справедливы равенства:
1) 4иВ=ЛПб;	2) (Либ)\б=Л;
3) ЯуЛ=Л;	4) Л1)Л=Л?
548. Упростите выражения:
1) (ЛиВ)П(Лий);	2) (Либ)П(ВиС)П(СиЛ);
3) (Ли(В\(ЛЛВ))и(С\(ЛЛС)); 4) ((Либ)ПВ)и(ЛП(ЛПВ)).
5. Теоремы сложения. Приведем теперь теоремы, с помощью
которых можно по вероятностям одних случайных событий вычис-
лять вероятности других случайных событий, каким-либо образом
связанных с первыми. Начнем с теорем, которые образуют группу
с общим названием «теоремы сложения».
Теорема 1. Если события А и В несовместны, то
р(лив)=Р(Л)+Р(5).	(1)
Доказательство. Обозначим исходы, благоприятные
для события А, через он,..., am, а для события В — через bi,..., bn-
Вероятности этих исходов обозначим соответственно через pi, ...
..., pm и qit ..., qn. Тогда событию А IJB благоприятны все исходы
аь ..., an, b.. Ьп. В силу того что события А и В несовместны,
среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность со-
бытия Л1)В равна сумме вероятностей этих исходов, т. е.
Р (A |JB)=pt 4-... +pm+<7< + ••• +<7n-
Но pi +...+pm = P (Л), qi + ... + qn = P(B), а потому
р(лив)=в(Л)+Р(в).
Теорема доказана.
Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить
10 очков равна 0,3, а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему
равна вероятность выбить не менее 9 очков?
Решение. Событие Л «выбить не менее 9 очков» является
объединением событий В — «выбить 10 очков» и С — «выбить 9
очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним
выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков. Поэтому по теореме 1
имеем:
Р (Л) = Р (В) + Р (С)=0,3+0,6 = 0,9.
Если события Л|, .... Ап попарно несовместны, то событие
Л] U ...иЛп_1 несовместно с событием Ап. В самом деле,
(л,и ...иля_1)пля=И|ЛЛя)и - иИп-тЛп).
Но при s<Zn имеем As(]An=0, и потому (Л10 ... 1|ЛЯ-|)П
ПЛя=0. Пользуясь этим замечанием, получаем из теоремы 1
следствие:
Следствие. Если события Ai, ..., Ля попарно несовместны, то
258
вероятность объединения этих событий равна сумме их вероятно-
стей:
Р(Л.и ... иЛ,)=Р(Л|)+...+Р(4„).	(2)
Доказательство. Как было отмечено выше, события
Ai U ...иЛя_ 1 и Ап несовместны, а потому по теореме 1 имеем:
Р (Л,и - иЛ«_1иЛп)=Р(Л1и ... иЛ.-1)+Р(Л„).
Применяя это же рассуждение к первому слагаемому и продолжая
далее, получаем после п — 1 шага, что
Р(Л,и ... иЛ»)=Р(Л1)+...+Р(Ля).
Пример 2. В цехе работает несколько станков. Вероятность
того, что за смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2.
Вероятность того, что за смену потребуют наладки ровно два стан-
ка, равна 0,13. Вероятность того, что за смену потребуют наладки
больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность того, что за
смену придется проводить наладку станков?
Решение. В этом примере опыт состоит в том, что прошла
смена и отмечено, сколько станков за эту смену потребовало
наладки. В этом опыте события: Л — «за смену потребовал налад-
ки ровно один станок», В — «за смену потребовали наладки ровно
два станка» и С — «за смену потребовали наладки более двух
станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события
ЛиВ11С. По теореме 1
Р(ЛиВиС)=Р(Л)+Р(В)+Р(С)=
=0,2+0,13+0,07=0,4.
Выведем теперь связь между вероятностями противоположных
событий.
Теорема 2. Для любого события А имеем:
Р(Л)=1-Р(Л).	(3)
Для доказательства вспомним, что ЛиЛ = (7, Р({/)=! и
ЛQA = 0. Тогда по теореме 1 получаем:
1 = р ({/) = Р (Л U Л)=Р (Л)+ Р (Л),
откуда следует требуемая формула.
Пример 3. Берется наудачу трехзначное натуральное число
от 100 до 999. Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры
совпадают?
Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирает-
ся натуральное число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у него
совпадающие цифры. События «взяли наудачу число N* (N—
= 100, 101, ..., 999) равновероятны (в этом смысл слова «на-
удачу») и образуют множество исходов этого опыта. Число исхо-
дов п=900. Нас интересует событие Л — «у выбранного числа
259
совпадают хотя бы две цифры». Проще, однако, подсчитать
вероятность противоположного события А — «у выбранного числа
все цифры различны». Каждое такое число есть размещение без
повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль.
Следовательно,
/п=4?о—Л2= 10-9-8 —9-8=92-8
(из числа всех трехэлементных размещений без повторений надо
вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и
pM>=W=0'72
Тогда по теореме 2 Р (Л)= 1 —Р (Л)=0,28.
В ряде случаев приходится вычислять вероятность объединения
событий, которые могут быть совместными.
Теорема 3. Для любых двух событий справедливо равенство
Р(Л1|В)=Р(Л) + Р(В)-Р(ЛЛВ).	(4)
Доказательство. Событие Л состоит из компонент
ЛЛВ и ЛЛВ, а событие В — из компонент ЛЛВ и ЛЛВ.
Поэтому
ЛиВ=(ЛПВ)и(ЛПВ)и(ЛПВ)и(ЛПВ)=
=(ЛЛВ)и(ЛПВ)и(ЛПВ),
и поскольку входящие в это разложение компоненты попарно не
пересекаются, то
Р(ЛиВ) = Р(ЛПВ) + Р(ЛПВ)+Р(ЛЛВ).	(5)
С другой стороны, имеем Р(Л) = Р(ЛЛВ)+Р(ЛЛВ) и Р(В)=
=Р(ЛЛВ)+Р(ЛЛВ), а потому Р(Л)+Р(В)=2Р(ЛЛВ) +
4-Р(ЛЛВ)+Р(ЛЛВ). Сравнивая эти равенства с (5), получаем
доказываемую формулу (4).
Равенство (4) напоминает формулу (3) п. 2 $ 2 главы XI (оно
может быть получено из той формулы в случае, когда вероятности
элементарных исходов одинаковы). Аналогом отмеченной там же
формулы перекрытий является равенство
Р(Л,и ...ил„)=2 (-1)*+' Р(Л„Л ... ллд (6)
Здесь суммирование распространено на все комбинации событий
Л|, .... Ап по одному, по два, по три и т. д. по п. В частности, при
п = 3 имеем:
р(ливис)=Р(Л)+Р(В)+Р(с)-р(ллв)-
-Р(ЛЛС)-Р(ВЛС)+Р(ЛЛВЛС).
260
Упражнения
549.	Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку с вероятностью
0,2, а в восьмерку с вероятностью 0,6. Сделан один выстрел. Какова вероят-
ность следующих событий: А — «выбито не менее восьми очков», В — «вы-
бито более восьми очков»?
550.	Выведите формулу для Р (Л U В U С) в общем случае.
551.	В день физкультурника Сизов пошел на стадион. Можно было купить билет
на футбол с вероятностью 0,3, или купить билет на баскетбол с вероятно-
стью 0,4, или купить билет на волейбол с вероятностью 0,2. Какова ве-
роятность того, что: 1) Сизов попал на соревнование; 2) Сизов попал на
соревнование, в котором запрещена игра ногой?
552.	В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потре-
бовать наладки с вероятностью 0,15. Для второго станка эта вероятность
равна 0,1, а для третьего станка — 0,12. Найдите вероятность того, что за
смену хоть один станок потребует наладки, считая, что одновременно стан-
ки наладки потребовать не могут.
553.	Известна вероятность Р(А) и Р (Л П В). Найдите Р(ЛПВ).
$ 2. НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
1.	Независимые случайные события. Формула (4) п. 5 § 1 сво-
дит отыскание вероятности объединения нескольких событий к
отысканию вероятности пересечений различных событий. Послед-
няя задача не имеет определенного решения: если ЛсВ, то
ЛПВ=Л, и потому Р(ЛПВ)=Р(Л), а если ЛП5=0, то
Р(ЛГ|5)=0. Возможны и различные промежуточные случаи.
Однако есть случай, когда по заданным вероятностям событий
Л и В можно вычислить вероятность их пересечения,— это случай,
когда данные два события независимы.
В п. 3 $ 1 мы говорили о независимых испытаниях и отметили,
что если первое испытание имеет т равновероятных исходов, а
второе п равновероятных исходов, то любая пара исходов этих
испытаний имеет одну и ту же вероятность . Рассмотрим теперь
два события А и В, такие, что первому из них благоприятствуют k
исходов первого испытания, а второму — I исходов второго испы-
тания. Пусть для определенности это будут исходы ai, а2, .... а*
и b\, bi, ..., bi. Тогда событию ЛрВ благоприятствуют все исходы
(а„ bf), такие, что 1	1^/^/. Их число по правилу про-
изведения в комбинаторике равно kl. Поскольку каждый из этих
исходов имеет вероятность , то вероятность события Л П В
равна . Заметим теперь, что вероятность события Л равна
ь	/ bl ь I —
— , вероятность события В равна —, а —---------. Приходим к
m r	r п тп т п г
261
следующему выводу: в рассматриваемом примере независимость
испытаний проявилась в том, что вероятность события А П В ока-
залась равной произведению вероятностей событий Л и В:
Р(ЛПВ)=Р(Л)Р(В).
Обобщим теперь понятие независимости на более широкий
класс событий.
Определение 1. События Л и В из одного и того же
вероятностного пространства называются независимыми, если
выполняется равенство
Р(ЛПВ)=Р(Л)-Р(В).	(1)
Это равенство наверняка выполняется, если одно из событий
Л или В невозможно (в этом случае обе части равенства (1) об-
ращаются в нуль) или достоверно (если достоверно Л, то обе
части равенства (1) равны Р (В), поскольку в этом случае
ЛПВ=В и Р (Л) = 1).
Пример 1. Докажем, что при бросании кости события Л —
«выпало четное число очков» и В — «число выпавших очков де-
лится на 3» являются независимыми.
Решение. Очевидно, что Р (Л) Р (В) =-|-. Событие
Л П В состоит в том, что число очков четно и делится на 3, а пото-
му оно равно 6. Его вероятность равна Так как
события Л и В независимы.
Покажем, что если события Л и В независимы, то независимы
события Л и В, а также события Л и В, равно как и А и В.
В самом деле, по правилам алгебры множеств имеем:
(Л(]В) (J (Л OS) =Л, причем Л(]В и ЛПВ несовместны. По-
этому Р (Л) =Р (Л f|B) А~Р (Л П5). Но в силу независимости
событий Л и В выполняется равенство Р (А()В)=Р (Л) -Р (В),
и потому
Р (А(\В)=Р (А)—Р (А(]В)=Р (А)—Р (А)-Р (В) =
= Р (Л) (1 —Р (В)).	(2)
Поскольку Р (В) = 1 — Р (В), то равенство (2) можно записать
в виде
Р(ЛПВ)=Р(Л)-Р(В).
Значит, Л и В независимы.
Аналогично доказывается независимость Л и В. Повторно при-
меняя проведенное выше рассуждение, получаем, что Р (Л QB) =
=Р (Л) -Р (В), т. е. что и события Л и В независимы.
Пусть события Л и В независимы. Из формулы Р (Л1|В) =
= Р (Л) -|-Р (В) — Р (ЛПВ) вытекает, что
Р(ЛиВ)=Р(Л)+Р(В)-Р(Л)-Р(В).	(3)
262
Итак, при независимости событий А и В верно равенство (3).
Пример 2. Два зенитных орудия стреляют одновременно
и независимо друг от друга по самолету. Самолет сбит, если в
него попал хоть один снаряд. Какова вероятность сбить самолет,
если вероятность попадания первого орудия равна 0,8, а второ-
го — 0,75?
Решение. Обозначим через А событие «в самолет попал
снаряд первого орудия» и через В — «в самолет попал снаряд
второго орудия». Нам надо найти вероятность события л£|5.
В силу независимости этих двух событий можно воспользоваться
формулой (3). Но Р (Л) =0,8, Р (fi) =0,75, и потому
Р (Л U В) =0,8+0,75—0,8-0,75=0,95.
Определим теперь понятие независимости для нескольких событий.
Определение 2. События Л, В, ... называются незави-
симыми в совокупности, если для любого подмножества этих со-
бытий вероятность их пересечения равна произведению их ве-
роятностей.
Пример 3. Четыре охотника стреляют одновременно и не-
зависимо друг от друга по зайцу. Заяц подстрелен, если попал
хотя бы один охотник. Какова вероятность подстрелить зайца, ес-
ли вероятность попадания для каждого охотника равна — ?
Перенумеруем охотников и рассмотрим события Ak — «попа-
дание fc-ro охотника», k = 1, 2, 3, 4. Эти события по условию зада-
чи независимы и Р (Л&) =-|- при любом k. Нас интересует вероят-
ность события «заяц подстрелен», т. е. Л| иЛ2иЛз|_|Л4:
р (л1ил2ил3ил) = 1-р (Л|ил2ил3ил4) =
= 1-Р (Л1ПЛ2ПЛзПЛ4) =
= 1-Р (Л0-Р (Л2)-Р (Лз)-Р (Л4) = 1-(4-У=1-0,988.
Здесь, как и раньше, мы воспользовались тем, что при замене
независимых событий противоположными независимость событий
не нарушается (докажите это самостоятельно).
Примененный при решении примера 3 прием перехода к про-
тивоположному событию очень полезен при вычислении вероят-
ностей объединения независимых событий.
П р и м е р 4. Событие Л может произойти в опыте с вероят-
ностью р. Опыт повторили независимым образом п раз. Какова
вероятность того, что при этом событие Л произойдет хоть один
раз?
Рассмотрим события Л* — «событие Л произошло при k-м
повторении опыта», fe= 1, 2,..., п. События Л* независимы, так как
опыты повторяются независимым образом. Р (Л») =р для всех k.
Нас интересует событие «опыт повторили независимым образом п
раз, и при этом событие Л произошло хотя бы один раз» —
263
С|Л*. Заметив, что Л* независимы и что Р(Л*)=1 — p = q, по-
*=i
лучаем:	_____
Р (иЛ*) = 1 -Р (иЛ*) = 1 -Р =
*=i	*=i	*=i
= 1-Р (Л().р (Л2)....•/> (Л„) = 1-<7П.
Интересно отметить, что lim Р (иЛ„) = lim (1— qn) = \ (по-
скольку 0 <</<!), т. е. при достаточно большом числе повторе-
ний опыта событие Л произойдет почти наверняка (с вероятно-
стью, как угодно близкой к 1) хоть один раз. Про события, ко-
торые происходят почти наверняка, принято говорить, что они
практически достоверны.
Замечание. Из попарной независимости событий не следует их не-
зависимость в совокупности.
Упражнения
554.	Бросили монету и игральную кость. Покажите, что события «выпал герб»
и «выпало четное число очков» независимы.
555.	Из полного набора костей домино вынимается наудачу косточка и одно-
временно бросается игральная кость. Докажите независимость событий «чис-
ло очков на косточке домино кратно трем (хоть одно)» и «на игральной
кости выпало простое число очков».
556.	Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что
первый станок проработает смену без наладки, равна 0,9, а второй — 0,8.
Какова вероятность того, что: а) оба станка проработают смену без на-
ладки; б) оба станка за смену потребуют наладки?
557.	События Л и В независимы. Докажите, что независимы А и В.
558.	События Л, В, С независимы. Докажите, что независимы тройки событий:
а) Л, В, С; б) Л, В, С; в) Л, В, С и т. п.
559.	Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность по-
падания для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,75, для третьего —
0,7. Какова вероятность: 1) хотя бы одного попадания; 2) ровно одного
попадания; 3) ровно двух попаданий; 4) трех попаданий, если каждый
сделал по одному выстрелу? Какова вероятность, что все промахнулись?
560.	Могут ли быть два несовместных события независимыми?
561.	В мастерской работают три станка. За смену первый станок может потре-
бовать наладки с вероятностью 0,15 (и после этого до конца смены наладки
не потребуется). Для второго станка эта вероятность равна 0,1, а для тре-
тьего— 0,12. Какова вероятность, что хоть один станок за смену потребует
наладки, если станки требуют наладки независимо друг от друга?
562.	Прибор, работающий в течение суток, состоит из трех узлов, каждый из
которых независимо друг от друга может за это время выйти из строя.
264
Неисправность хоть одного узла приводит к отказу прибора. Вероятность
безотказной работы в течение суток первого узла равна 0,9, второго —
0,95, третьего — 0,85. Найдите вероятность того, что в течение суток прибор
будет работать безотказно.
563.	Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет
дефект. В цехе три контролера. Попадание изделия на контроль к первому,
второму или третьему контролеру равновероятно. Вероятность обнаруже-
ния дефекта (если он имеется) для &-го контролера равна р* (Л=1, 2, 3).
Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадает в ОТК завода,
где дефект (если он имеется) обнаруживается с вероятностью ро. Найдите
вероятности следующих событий:
А — «изделие будет забраковано:»,
В — «изделие будет забраковано в цехе»,
С — «изделие будет забраковано в ОТК завода».
564.	Вычислительная машина состоит из п блоков. Надежность (вероятность
безотказной работы в течение времени Т) k-ro блока равна pk (k = l, 2, ...
... п). Блоки выходят из строя независимо друг от друга. Какова надеж-
ность машины?
2. Условная вероятность. Формула умножения. Получение до-
бавочной информации может изменить значение вероятностей тех
или иных исходов испытания. Например, если известно, что вы-
пало нечетное число очков, то вероятность выпадения 5 очков,
которая до получения этой информации равнялась становится
равной поскольку общее число возможных исходов уменьши-
лось с шести (1, 2, 3, 4, 5, 6) до трех (1, 3 и 5). Вероятность же
выпадения 2 очков при получении этой информации становится
равной нулю.
Получение некоторой информации о результате испытания
означает, что вместо всего множества исходов U надо брать его
часть, которую мы обозначим через X. Если исход х не принадле-
жит X, то его вероятность обращается в нуль. Если же он при-
надлежит X, то его вероятность увеличивается. При этом ясно, что
все вероятности таких исходов увеличиваются в одно и то же
число раз; поскольку отношения их вероятностей не меняются при
получении новой информации. Обозначим исходы, благоприятст-
вующие событию X, через Xi, ..., Xk, а их вероятности — че-
рез рI,..., После получения новой информации эти вероятности
станут равными числам Kpt, ..., kpk- Значение X легко определить
из того, что сумма новых вероятностей должна равняться 1.
Поэтому Xpi4-...+kpft=l, т. е. X (/>, + • -+р*) = 1. Но />1 + ...
...+рк = Р (X), и потому
Мы доказали следующее утверждение:
Если известно, что произошло событие X, то вероятность лю-
бого исхода, не благоприятствующего этому событию, обращается
265
в нуль, а исхода, благоприятствующего ему, умножается на
1 .
Р(Х) •
р k рР(Х) ’
Найдем теперь новую вероятность некоторого события Л. Ему
благоприятствуют исходы двух видов — благоприятствующие X
и не благоприятствующие X. Как мы видели выше, если произошло
событие X, то вероятности исходов первого вида умножаются на
р ~, а исходы второго типа получают нулевую вероятность,
г (А)
Но исходы первого вида составляют события А Г) X, Таким обра-
зом, мы доказали следующее утверждение:
Если известно, что произошло событие X, то вероятность лю-
бого события А принимает новое значение: ^44-у^ .
F (А)
Определение. Число, выражающее вероятность собы-
тия А при условии, что произошло событие X, называется услов-
ной вероятностью события А относительно события X и обозна-
чается Р (Л|Х).
Проведенные
выше рассуждения показывают, что
Р(А\Х)=р-£№-.
(1) вытекает равенство
Р (А(]Х)=Р (X) Р (Л|Х),
Из формулы
(1)
(2)
называемое формулой умножения.
Меняя ролями Л и X, получаем, что верно и равенство
Р (А(\Х)=Р (Л) Р (Х|Л).
Сравним формулу (2) с формулой Р (Лf|X) =Р (X) Р (Л),
верной для независимых событий. Видим, что для таких событий
верно равенство Р (Л|Х) =Р (Л). Оно означает, что для незави-
симых событий наступление одного из них не влияет на вероят-
ность другого.
Пример 1. Пусть имеется а белых и b черных мешков, при-
чем в каждом белом мешке лежит х красных и у синих шаров,
а в каждом черном мешке — и красных и v синих шаров. Снача-
ла случайным образом выбирают один мешок, а потом из него
вынимают шар. Найдем вероятности Р (Б), Р (Ч), Р (БПК)
и условные вероятности Р (К|Б), Р (К1Ч).
Решение. Очевидно, что Р (Б) = ? г, Р (Ч) =—~~г,
' ’ а+b ' ' а+Ь
Р (К|Б)=^-^ и Р (К|Ч)=^-р^. Далее, событие БПК состоит
в том, что выбран белый мешок, а из него извлечен красный шар.
По формуле умножения вероятность этого события равна:
266
Р (БПК)=Р (Б) Р (K|B)=-^--f-.
<Х | и л | у
Аналогично находим, что
р<Бпс)=^-^
Р (ЧПС)=-?-—
'	' a+b u + v
Пример 2. Найдем в примере 1 вероятность вытащить в
результате испытания красный шар.
Решение. Событие К — «вытащен красный шар» является
объединением попарно непересекающихся событий БПК и 4QK-
Поэтому по теореме сложения вероятностей имеем:
Р (К) =Р (БПК) +Р (ЧПК).
Но значения Р (БПК) и Р (ЧПК) найдены выше. Отсюда по-
лучаем:
Р /Ki__ д х . b и
' f a+b x+y'a+b u + v '
Аналогично доказывается, что
р /о ________а__।__-___—
' ' ' а+b	й-^-b «-|-о
Иными словами,
Р (К) =Р (Б) Р (К1Б) +Р (Ч) Р (К1Ч)
и
Р (С)=Р (Б) Р (С|Б) +Р (Ч) Р (С|Ч).
Разобранный пример является частным случаем следующей
общей теоремы, называемой теоремой о полной вероятности:
Теорема 1. Пусть вероятностное пространство U представ-
лено в виде объединения попарно несовместных событий Xi,
.... Х„:
U=Xt{J...()Xn,	(3)
где Xt(\Xj=0 при Тогда для любого события А верно
равенство
Р (А) = Р (X.) Р (Л |X.) +... + Р (Х„) Р (Л |Х„).	(4)
Доказательство. В силу дистрибутивности операции
пересечения событий относительно объединения из (3) имеем:
A=Ant/=^n(^iU-UX,,)=
=(АЛХ,)и-и(ЛПХя).
267
При этом из XiftXj=0 следует, что
(ЛПХ/)П(ЛПХ/)=ДПХПХ/= 0.
Значит, событие А является объединением попарно несовместных
событий ЛПХЬ .... ЛПХЯ, и потому его вероятность по теореме
сложения равна:
Р(Л)=Р(ЛПХ|)+- + Р(ЛПХЯ).
Осталось заменить в этом равенстве по формуле (2) Р(ЛПХ0
на Р(Хк) Р (А\Хк), чтобы получить (4).
Одной из форм формулы полной вероятности является равен-
ство
Р(¥.|Л) — Р(Хк)Р(А\Хк)	(5}
р^х,)Р(А\Х1)+...+Р(Хп)Р(А\Хя)'	к '
Чтобы доказать его, достаточно заметить, что
Р (A(]Xk)=P(Xk) Р (A\Xk) — P(Л) Р(Х*|Л).
Поэтому
Р(Хк\А)^^Р^.
Если Х|, ..., Хп — попарно несовместные события, объединение
которых совпадает со всем вероятностным пространством U, то
в этом равенстве можно заменить Р (Л) по формуле полной веро-
ятности и получить равенство (5).
Равенство (5) называют формулой. Байеса. Она истолковыва-
ется следующим образом: если существуют попарно исключаю-
щие друг друга гипотезы Xt, Хп, охватывающие всевозможные
случаи, и если известны вероятности события Л при каждой из
этих гипотез, то по формуле (5) можно найти вероятность спра-
ведливости гипотезы Xk при условии, что произошло событие Л.
Пример 3. Партия электрических лампочек на 20% изго-
товлена заводом I, на 30% — заводом II и на 50% — заводом III.
Для завода I вероятность выпуска бракованной лампочки равна
0,01, для завода II — 0,005 и для завода III — 0,006. Какова ве-
роятность того, что взятая наудачу из партии лампочка оказалась
бракованной?
Нас интересует событие Л — «взятая из партии лампочка бра-
кованная». Рассмотрим три события: Xt — «взятая лампочка из-
готовлена заводом I», Х2 — «взятая лампочка изготовлена заво-
дом II» и Хз — «взятая лампочка изготовлена заводом III». Эти
события попарно несовместны и Xt U Х2 U Х3 = U. Кроме того,
в условии примера сказано, что Р(Х|)=0,2, Р (Xs)=0,3,
Р(Х3)=0,5, Р (Л 1X0=0,01, Р(А |Х2)=0,005 и Р (А |Х3)=0,006.
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности,
получаем:
Р (Л)=0,01 • 0,2+0,005 • 0,3 + 0,006 • 0,5 =0,0065.
268
Замечание. Формула полной вероятности сохраняется, если вместо
п	п
условия U Xk — U выполнено условие A cz U
fe=l	Л=1
Пример 4. В цеху стоят а ящиков с исправными деталями
и b ящиков с бракованными деталями. Среди исправных деталей
р% отникелированы, а из числа бракованных никелированы
лишь q% деталей (в каждом ящике). Вынутая наугад деталь
оказалась никелированной. Какова вероятность, что она исправна?
Решение. Имеем события Xi — «деталь исправна» и Х2 —
«деталь бракованная», а также событие А — «деталь отникели-
рована». Нам надо найти значение Р (Xi |Л). По условию имеем:
P,A'X’>=^-
Подставляя эти данные в формулу (5), получаем:
а___Р
Р(Х1|Л)=—а+ь -.°-----.
v ' а______Р_,_b__q_
a+b' lOfTa+b' 100
Значит, искомая вероятность равна • Например, если а =
=50, Ь = 3, р=90, <7=5, то
''«'|Л>=«жтк=ода67
Если же а=Ь = 50, р=75, <7=15, то
5О.^.15:=°’833-
Упражнения
565.	Бросили игральную кость. Найдите условную вероятность того, что вы-
пало простое число очков, при условии, что число выпавших очков нечетно.
566.	В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров, одинаковых
на ощупь. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что он
красный, если известно, что он не синий?
567.	В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров, одинаковых на
ощупь. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что:
1) они зеленые, если известно, что при этом не вынут синий шар; 2) выну-
тые шары разноцветные, если известно, что не вынут синий шар?
568.	Поступающие в магазин часы изготовляются на трех заводах. Первый
завод производит 40% продукции, второй — 45%, третий—15%. В про-
дукции первого завода 80% часов спешат, второго завода 70% часов спе-
шат, третьего — 90% часов спешат. Какова вероятность того, что куплен-
ные наудачу часы спешат?
269
569.	Детали на сборку попадают из трех автоматов. Известно, что первый авто-
мат дает 0,3% брака, второй — 0,2%, третий — 0,4%. Найдите вероят-
ность попадания на сборку бракованной детали, если из первого автомата
поступило 1000 деталей, из второго — 2000 и из третьего — 2500.
570.	По самолету производятся три выстрела. Вероятность попадания при пер-
вом выстреле равна 0,5, при втором — 0,6, при третьем — 0,8. При одном
попадании самолет сбивается с вероятностью 0,3, при двух — с вероятностью
0,6 и при трех сбивается наверняка. Какова вероятность сбить са-
молет?
571.	При включении двигатель начинает работать с вероятностью р. Какова
вероятность того, что: 1) двигатель начнет работать со второго включения;
2) для запуска двигателя потребуется не более двух включений?
572.	Докажите, что условные вероятности события обладают основными свойст-
вами вероятности события:
а)	0^Р(Л|В)^1 при любых событиях А и В\
б)	если ЛЛВ=0,.то Р(ЛиВ|С)=Р(Л|С)+Р(В|С).
573.	Обобщите теорему умножения (теорема 1) на случай трех, четырех, ..., k
событий.
574.	Докажите, что если Р (Л|В)> Р (Л), то Р (В|Л)> Р (В).
575.	В белом ящике лежат 12 красных и 6 синих одинаковых на ощупь шаров.
В желтом ящике лежат 15 красных и 10 синих одинаковых на ощупь шаров.
Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то
наудачу вынимают шар из белого ящика. Если число выпавших очков не
кратно трем, то наудачу вынимают шар из желтого ящика. Какова вероят-
ность вынуть красный шар?
576.	Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные
детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго —
0,03, для третьего — 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик.
Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а треть-
его в два раза меньше, чем второго. Определите вероятность того, что
взятая наудачу деталь будет бракованной.
3. Формула Бернулли. Закон больших чисел. При введении
понятия вероятности отмечалось, что если вероятность некоторого
события А равна р, то вероятнее всего, что при повторении испыта-
ния много раз относительная частота благоприятных этому собы-
тию исходов будет мало отличаться от значения р. Это утвержде-
ние, называемое в теории вероятностей законом больших чисел,
лежит в основе всех практических приложений этой теории —
оно позволяет с помощью вычисленных вероятностей предска-
зывать частоту наступления данного события в длинной серии
независимых испытаний.
Выведем формулу Бернулли, позволяющую вычислить вероят-
ность того, что в серии из п независимых испытаний событие А,
имеющее вероятность р, встретится т раз. Результат серии из п
испытаний можно записать в виде кортежа из букв А и А, имею-
щего длину п. Например, если проведено семь испытаний, причем
событие А произошло во втором, третьем и пятом испытаниях,
270
то запишем результат данной серии в виде ААААААА. Условие,
что испытания данной серии независимы друг от друга, означает,
что для вычисления вероятности данного исхода испытаний надо
заменить в записи этой серии каждую букву А ее вероятностью р,
а каждую букву А ее вероятностью 1 — р и перемножить эти
числа.
Пример 1. Проводится серия из 8 независимых испытаний.
Событие А имеет вероятность р=0,7. Чему равна вероятность
того, что получится исход серии вида АААААААА?
Решение. Заменяем каждую букву А на 0,7, а каждую бук-
ву А на 1—0,7=0,3. Получаем произведение 0,7-0,7-0,3«0,7Х
X 0,7-0,3-0,7-0,3, которое можно записать короче в виде 0,75Х
Х0,33. Вычисляя, находим, что искомая вероятность равна
0,00453789 « 0,005.
Вообще, если событие А имеет вероятность р, то вероятность
появления конкретной серии из п испытаний, в которой это со-
бытие произошло т раз, равна pmqn~m, где q=l—p.
Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 1. Пусть вероятность события А равна р, и пусть Ртп —
вероятность того, что в серии из п независимых испытаний это
событие произойдет m раз. Тогда справедлива формула Бернулли
Pmn = C%pmqn~m.	(1)
Доказательство. Благоприятными сериями испытаний
являются в данном случае те серии из п испытаний, в которых со-
бытие А произошло т раз. Каждая такая серия задается кортежем
из т букв А и п — пг букв А. Поэтому общее число таких серий
равно Р(пг, п—т), т. е. Сп (п. 6 § 3 гл. XI). Поскольку, как было
показано выше, вероятность каждой такой серии равна pmqn~m, а
любые две различные серии несовместны, то равенство (1) до-
казано.
Пример 2. Какова вероятность того, что при десяти броса-
ниях игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза?
Решение. Вероятность выпадения 3 очков при одном броске
равна Поэтому р=-|-, р=-|-. Так как, кроме того, п = 10
и т = 2, то по формуле (1) имеем:
о _Z>2 / 1 \2/ 5\8_ 10-9-5’
1-2-610 ’
Вычисления по формуле (1) при больших тип затруднитель-
ны. В математике установлены приближенные формулы, позволяю-
щие находить приближенные значения для Ртп и, что еще важнее
для практики, суммы значений Ртп, таких, что дробь (относи-
тельная частота появления события Л) лежит в данных границах.
По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100
271
2, 10
 / 1 \100
подбрасываний монеты все 100 раз выпадет герб, равна (у) ,
т. е. примерно 1О-30. Не столь мала, но все же ничтожна вероят-
ность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно,
что число выпадений герба будет мало отличаться от 50.
Вообще, при большом числе испытаний относительная частота
появления события, как правило, мало отличается от вероятности
этого события. Математическую формулировку этого качественно-
го утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших
чисел, который в уточненной П. Л. Чебышевым форме гласит:
Теорема 2. Пусть вероятность события А в испытании s равна р,
и пусть проводятся серии, состоящие из п независимых повторений
этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых
происходило событие А. Тогда для любого положительного числа а
выполняется неравенство
(2)
Поясним смысл этого неравенства. Выражение у равно отно-
сительной частоте события А в серии опытов, а | у—р | — откло-
нению этой относительной частоты от теоретического значения р.
Неравенство | ——р| >а означает, что отклонение оказалось
больше чем а. Но при постоянном значении а с ростом п правая
часть неравенства (2) стремится к нулю. Иными словами, серии, в
которых отклонение экспериментальной частоты от теоретической
велико, составляют малую долю всех возможных серий испытаний.
Из доказанной теоремы вытекает утверждение, полученное
Бернулли: в условиях теоремы при любом значении а>0 имеем:
limPfl——р| >а)=0.
«-►оо	\ I п r I /
Для доказательства достаточно заметить, что lim -^-=0.
и—»-оо О Л
Пример 3. Сколько достаточно провести опытов, чтобы из
них получить вероятность события с точностью до 0,1 и чтобы р «
ау с этой точностью и с вероятностью 0,9?
Для решения достаточно найти такое п, чтобы (см. неравенст-
во (2)) было выполнено неравенство ^^-<0,1. А так как q =
= 1—р, то pq—p(\ — р)^у и потому достаточно указать п,
удовлетворяющее неравенству	отсюда п^250.
272
Как видим, даже получение вероятности события из опыта с
такой незначительной точностью требует большого числа экспери-
ментов. Правда, более глубокие теоремы показывают, что можно
ограничиться меньшим числом опытов.
Упражнения
577.	Разберите доказательство формулы Бернулли для частного случая л=4,
т = 1, выписывая полностью формулу (1).
578.	Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости пять очков
выпадут ровно: 1) три раза; 2) один раз?
579.	Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости одно очко
выпадет не более трех раз?
580.	Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости число очков,
кратное трем, выпадет больше 2 раз, но меньше 5 раз?
581.	Что вероятнее—выиграть у равносильного противника (ничейный резуль-
тат исключается): 1) три партии из четырех или пять из восьми; 2) не ме-
нее трек партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
582.	В мастерской работают 6 моторов. Для каждого мотора вероятность пере-
грева к обеденному перерыву равна 0,8. Найдите вероятность того, что
к обеденному перерыву: 1) перегреваются ровно 4 мотора; 2) перегреваются
все моторы; 3) ни один мотор не перегреется.
583.	Вероятность появления события А в опыте равна 0,3. Опыт повторили не-
зависимым образом 5 раз. Какова вероятность того, что событие А появится
не менее двух раз?
584.	В приборе стоят 6 одинаковых предохранителей. Для каждого из них ве-
роятность испортиться после 1000 часов работы равна 0,4. Если испорти-
лось не менее двух предохранителей, то прибор требует ремонта. Найдите
вероятность того, что прибор потребует ремонта после 1000 часов работы,
если предохранители портятся независимо друг от друга.
585.	Событие А происходит с вероятностью 1/4. Опыт повторили независимым
образом 8 раз. Найдите вероятность того, что: 1) событие А при этом про-
изойдет не более двух раз; 2) событие А при этом произойдет хотя бы два
раза; 3) событие А произойдет более четырех раз; 4) событие А произойдет
хоть один раз, но не более трех раз.
586.	Сколько надо сделать опытов, чтобы равенство р«— с точностью до 0,01
। п
получить с вероятностью 0,95?
587.	Какова вероятность равенства Р~~~ с точностью до 0,1 при 100 опытах?
588.	Равенство получено при 40 опытах с вероятностью 0,9. Оцените
приблизительно его точность.
4. Геометрические вероятности. Многие практические задачи
приводят к вопросам теории вероятностей, которые не уклады-
ваются в разобранную выше схему конечного числа попарно не-
совместных исходов испытаний. Пусть, например, стержень на-
273
А _	_ в удачу разламывается на три части. Ка-
кова вероятность того, что из получивших-
Рис 85	ся отрезков можно будет построить
треугольник?
В этой задаче мы имеем бесконечное множество исходов, так
как разлом может попасть на любую точку стержня. Поэтому
данное выше определение вероятности события как суммы вероят-
ностей исходов не годится. Мы будем пользоваться иным опре-
делением вероятности, которое назовем геометрическим. Разберем
следующую модель. Пусть на отрезок АВ бросают наудачу точку.
Назовем вероятностью попадания этой точки на часть этого от-
резка (рис. 85) отношение длины этой части к длине всего отрезка
(если часть состоит из нескольких кусков, надо сложить длины
этих кусков). Это естественно, так как, чем больше цель, тем
вероятнее ее поразить. Оказывается, что свойства введенного
таким образом понятия вероятности очень похожи на рассмотрен-
ные в предыдущих пунктах. Именно справедливы утверждения:
1. Для любой части отрезка значение вероятности является
неотрицательным числом, не превосходящим 1. Для самого отрезка
значение вероятности равно 1.
2. Если части X и Y не имеют общих точек (несовместны), то
P(X(JY)=P(X) + P(Y).
На основе этих двух утверждений для геометрических вероят-
ностей можно определить те же понятия, что и в случае конечного
вероятностного пространства, доказать аналоги формул сложения
и умножения вероятностей, формулу Байеса и т. д.
Вместо отрезка АВ можно взять некоторую геометрическую фи-
гуру, имеющую конечную площадь, и считать вероятностью по-
пасть в часть X этой фигуры отношение площадей указанной части
и всей фигуры. Можно брать и объемы тел в трехмерном прост-
ранстве. , Все эти случаи, как и многие другие, охватываются
аксиоматическим определением понятия вероятности, на котором
мы не будем останавливаться.
Поясним сказанное на решении задачи о разламывании на-
удачу отрезка, о которой говорилось в начале пункта.
Пример 1. На отрезок длины 1 бросают наудачу две точ-
ки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность,
что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник?
Решение. Заданный отрезок рассматриваем как отрезок
[0; 1] числовой прямой. Тогда наудачу брошенные точки имеют
координаты — числа х и у, принадлежащие отрезку [0; 1]. Но лю-
бую пару чисел можно рассматривать как координаты точки на
плоскости. Поскольку	и	1, то эти точки (х; у)
наудачу брошены в квадрат со стороной 1. Посмотрим теперь, ка-
кую фигуру образуют точки, координаты которых удовлетворяют
условию примера.
Для того чтобы из трех отрезков можно было построить тре-
угольник, необходимо и достаточно, чтобы длины этих отрезков
274
удовлетворяли неравенству треугольника.
При х^.у получаем:
х)+(1 — у), у—х<х+(1 — у),
1— у<х + (у — х),
что после преобразований дает систему неравенств
{х<0,5,
</0+0,5,
0,5 < у,
х<у,
которой на плоскости определяется треугольник (рис. 86, а).
При х>у аналогично получается система неравенств
{х>0,5,
У <0,5,
у>х—0,5,
х>у,
которой на плоскости определяется еще один треугольник
(рис. 86, б). Общая площадь фигур, заштрихованных на рисун-
ках 86, а, б, равна 0,25. Следовательно, вероятность построить
треугольник равна 0,25.
Пример 2 (задача Бюффона). На плоскости (бесконеч-
ной) проведено семейство параллельных прямых (тоже беско-
нечное). Расстояние между соседними прямыми равно I. На эту
плоскость бросается наудачу отрезок длины /. Какова вероятность,
что отрезок пересекается хоть с одной из прямых семейства?
Решение. Обозначим через у расстояние от верхнего конца
отрезка до ближайшей снизу прямой (рис. 87). Проведем луч
с началом в верхней (левой) точке отрезка, параллельный прямым
семейства и идущий направо. Обозначим через х угол между
этим лучом и отрезком. Мы получили пару чисел, удовлетво-
ряющих неравенствам 0^х<л, O^t/^/. Точка (х; у) с такими
координатами наудачу брошена в прямоугольник (рис. 88). Для
того чтобы отрезок пересекался хотя бы с одной из прямых се-
мейства, необходимо и достаточно выполнение неравенства
275
Рис. 87
у СI sin х, которым на рисунке 88 определена заштрихованная
фигура. Подсчитаем ее площадь:
S"	I я
I sin xdx= — /cos х = 2/.
О	1 о
Так как площадь прямоугольника (в который наудачу брошена
точка) S=jiI, то искомая в примере вероятность
₽=-£-= Д =—« 0,6366.
S nl п
Упражнения
589.	Докажите, что геометрические вероятности обладают основными свойствами
вероятности события:
I.	0^Р(Л)^1 для любого события Л,
II.	P(t/)=1, Р(0)=О,
III.	Р(Лив)=Р(Л)+Р(В), если ЛПВ==0.
590.	Двое договорились о встрече на следующих условиях: каждый приходит в
указанное место независимо друг от друга и наудачу в любой момент вре-
мени от 13.00 до 14.00. Придя, ожидает не более получаса, а уходит не
позднее 14.00. Какова вероятность того, что они встретятся?
591.	В упражнении 590 время ожидания сокращено до 20 мин. Какова вероят-
ность встречи?
592.	Противотанковые мины поставлены на прямой через 15 м. Танк шириной 3 м
идет перпендикулярно этой прямой. Какова вероятность, что он подо-
рвется?
593.	На окружности радиусом R зафиксирована точка Л. Какова вероятность
того, что случайно брошенная на окружность точка В такова, что ЛВ = /??
594.	В окружность наудачу вписан треугольник. Какова вероятность, что он
остроугольный?
595.	В окружность вписан квадрат. В круг, ограниченный этой окруж-
ностью, наудачу бросается точка. Какова вероятность, что она попадет в
квадрат?
596.	В окружность вписан правильный треугольник. В круг, ограниченный этой
окружностью, наудачу бросается точка. Какова вероятность, что точка
попадет в треугольник?	ч
276
597.	В окружность наудачу вписывается треугольник. Какова вероятность, что
он: 1) прямоугольный; 2) равнобедренный; 3) тупоугольный?
598.	У квадратного трехчлена x2-\-px+q коэффициенты р и q выбраны науда-
чу из отрезка [—1; 1]. Какова вероятность, что квадратный трехчлен имеет
действительные корни?
599.	В шар вписан куб. Точка наудачу бросается в шар. Какова вероятность, что
она попадет в куб?
600.	В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу броса-
ется в шар. Какова вероятность, что она попадет в пирамиду?
Решите следующие задачи, используя необходимый теорети-
ческий материал.
601.	В последовательности чисел 1, 2, ..., п отмечено число k. Найти вероятность
того, что из двух наудачу выбранных чисел этой последовательности одно
меньше k, а другое больше.
602.	Бросается п игральных костей. Найти вероятность того, что выпадет п\
единиц, п2 двоек, ..., л6 шестерок.
603.	Последовательность чисел 1, 2, ..., 4W разбивается наудачу на две равные
группы. Найти вероятность того, что: 1) в каждой группе будет поровну
четных и нечетных чисел; 2) все числа, кратные N, окажутся в первой груп-
пе; 3) числа, кратные N, поделятся поровну между группами.
604.	Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы появление 6 очков имело
вероятность: 1) большую 0,5; 2) большую 0,8; 3) большую 0,9?
605.	Сколько раз нужно повторить испытание, чтобы с вероятностью, не мень-
шей г, утверждать, что хотя бы один раз произойдет событие Л, вероятность
которого в каждом испытании равна р?
606.	Лаборант многократно измеряет длину образца. Вероятность ошибки при
считывании показаний равна р. Какое наименьшее число измерений надо
сделать, чтобы с вероятностью, большей а, можно было утверждать, что
хотя бы одно из измерений неверно?
607.	Детали упакованы в ящики, по 100 штук в каждый. В каждом ящике лежит
по одной бракованной детали. Контролер проверяет детали, выбирая науда-
чу по одной детали в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что
хотя бы одна из извлеченных деталей бракованная?
608.	При каком минимальном числе людей в группе вероятность того, что хотя
бы два из них родились в один и тот же день, не меньше 0,5 (годы рождения
могут не совпадать)?
609.	Вам захотелось найти человека, день рождения которого совпадает с ва-
шим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встре-
чи такого человека была бы не меньше 0,5?
610.	Двое поочередно вынимают шары (без возвращения) из ящика, содержаще-
го М белых и N—M черных шаров (отличающихся только цветом). Ка-
кова вероятность вынуть первым белый шар для того, кто начинает? Рас-
смотреть случаи: a) W = 3, Af=l; б) У = 4, Af=l; в) М=6, М = 2.
611.	Если ЛАЛАСсЯ, то Р (Д)+Р (В)+Р (С)<2+₽ (D).
612.	Каждую секунду с вероятностью р независимо от других моментов времени
по дороге проезжает автомашина. Для перехода дороги пешеходу необхо-
277
димо 3 с. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход бу-
дет ожидать возможности перехода: а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?
613.	Производится стрельба по некоторой цели, вероятность попадания в кото-
рую при одном выстреле равна 0,2. Стрельба прекращается при первом
попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно 6 выстрелов.
614.	В приборе 14 узлов двух типов: 6 — первого и 8 — второго. Вероятность
выхода из строя в течение времени Т для каждого узла первого типа равна
0,002, для второго — 0,004. Найти вероятность выхода из строя прибора в
результате выхода из строя хотя бы одного узла.
615*. Найти вероятность того, что наудачу взятое целое число окажется про-
1
стым, предполагая, что вероятность того, что оно кратно п, равна — .
616.	В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что два наугад взя-
тых натуральных числа окажутся взаимно просты.
617.	На 10 карточках написаны числа: 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6. Вынимаются
наугад одна за другой две карточки. Число, написанное на первой кар-
точке, берется за числитель, на'второй — за знаменатель дроби. Какова
вероятность того, что полученная дробь правильная?
618.	Два шахматиста А и В играют матч на следующих условиях: А должен на-
брать для победы 12 очков (выигрыш — одно очко), В — 6 очков, ничьи
не считаются. Обычно А вдвое чаще выигрывает у В, если считать только
результативные партии (так что вероятность выигрыша А у В в одной пар-
тии можно считать равной 2/3). Игру прекратили после того, как А набрал
8 очков, а В — 4 очка, и победу решили присудить тому, у кого вероятность
на окончательный выигрыш больше. Кто победитель?
619.	А и В играют ряд партий на следующих условиях: 1) за выигрыш засчи-
тывается 1 очко; 2) А выигрывает отдельную партию с вероятностью а,
В — с вероятностью 0<а, а+ 0=1; 3) выигравшим всю игру считается
тот, кто обгонит противника на 2 очка. Найти вероятность выигрыша для А
и для В.
620.	Решить задачу 619 при измененном условии 3: выигравшим всю игру счи-
тается тот, кто выиграет две партии подряд.
621.	Технический контроль проверяет взятые наугад детали из партии, содержа-
щей, как указано отправителем, а деталей первого сорта и b деталей вто-
рого сорта. Предполагается, что от указанного состава есть отклонения:
количество деталей первого сорта, возможно, равно а—2, или a — 1,
или а, или а+1 с вероятностями, соответственно равными pi, рг, Рз, р4.
Проверка первых m деталей, /и <6, обнаружила, что все они второго сор-
та. С какой вероятностью технический контроль может утверждать, что
деталей второго сорта больше 6? Рассмотреть случай: а=5, 6 = 25, pi =
=0,1, р2=0,2, р3=0,6, р4=0,1; 1) проверено 40% всех деталей и
2) проверено 50% всех деталей.
622.	Кусок проволоки длиной 20 см согнули в наудачу выбранном месте. После
этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее), сделали пря-
моугольную рамку. Какова вероятность того, что площадь полученного
прямоугольника не превосходит 21 см2?
623.	Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков, длина каж-
дого из которых не превосходит а, можно составить треугольник.
278
624.	Круг диаметром 25 мм наудачу бросается на стол, который расчерчен на
квадратные клетки со стороной 50 мм, толщина разбивающих линий 5 мм.
Какова вероятность того, что монета не пересечется с разбивающими ли-
ниями?
625.	В круге наудачу проводится хорда. Какова вероятность того, что ее длина
больше радиуса?
626.	Какой толщины должна быть монета (правильная), чтобы вероятность па-
дения на ребро равнялась 1/3?
627.	Неоднородный прямой круговой цилиндр случайно бросается на горизон-
тальную плоскость. Радиус его основания равен г, его центр тяжести рас-
положен на оси симметрии на расстояниях а и b Ь>а, от его оснований.
Найти вероятность падения цилиндра на одно и второе основание.
628.	Вдоль канала шириной L идет судно с постоянной скоростью Vi. Второе
судно курсирует без остановок поперек канала с постоянной скоростью и
гудит. Этот гудок слышен на расстоянии d<L. Найти вероятность того,
что первое судно услышит этот гудок, если пересечение курсов возможно в
любой точке канала.
629.	Некоторое событие может произойти в любой из дней недели с одинаковыми
вероятностями. Найти вероятность того, что это событие произойдет 12 раз
подряд только по вторникам и четвергам. Согласуется ли это с предположе-
нием о равновероятности осуществления события в любой день недели?
630.	В условиях задачи 629 событие произошло 12 раз и ни разу не произошло
в воскресенье. Согласуется ли это с предположением о равновероятности
осуществления события в любой день недели?
631.	На телефонной станции в течение определенного часа дня возникает в сред-
нем п вызовов. Найти вероятность того, что: 1) в течение промежутка вре-
мени t (некоторая доля часа) возникнет ровно т вызовов; 2) в течение этого
промежутка t возникнет хотя бы один вызов; 3) две телефонистки с одина-
ковой нагрузкой (у каждой в среднем п вызовов в час) окажутся перегру-
женными вызовами в течение небольшого промежутка времени /, если каж-
дая из них может в этот промежуток обслужить не более k вызовов.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1. 4) -3—4х+С. 2. 2) Указание. Найти производную функции F по пра-
виду дифференцирования сложной функции. 3. 1) — 8 cos х—9 tg х+С;
2) 6 arcsin х+3 arctg х+С; 3) 6 sin х —4 arctg х+С; 4) —5 ctg х—3 arcsin х+С;
5) x+arctg х+С; 6) —2ctg2x+C; 7) 4—^-+х+С; 8) arcsin х+С.
о	о о
4. 1)	—х+С; 2) tgx—х + С; 3) —cosх + С; 4) тр + С. 5. 1) arcsin 4-+С;
2	2	О
1г	1г -i/Ч	1	1
2) arctg —+С; 3) ---—arctg——|-С; 4) — arcsin 4х+С; 5) -^-sin3x+C;
5	5	5 уЗ	О	4	о
6) -±ctg(5x-6)+C. 6. 2) 4х3^+¥*2Л^+6^+24^+С; 3) 4“
О	/О	X
- S'?96X +С;5) —1-cos4x+C;6)-J-(cos2x-4-cos 14х)+С.7. 1)±(4х-7)’+
+ С; 2) 4(6х+11)л/6х4-11 + С; 3) т+(8х-15)2+С; 4) 4-sin5x+C;
9	loo
6) tg (6х- 1)+С; 7) —ctg 4х+С; 8) Указание. Возвести выражение в скоб-
ках в квадрат и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством;
9) 4» arcsin С; 10) arctg (х—3)+С. 8.1) -i- arctg (х2)+ С; 2) 4" arcsin (х3)+
о	4	2	о
4-С;3) —i-cos(х2)+С;4) sin (х2+х— 1)+С;5) -|-arcsin4x4-C;6) arctg5(2х)-|-
+ С. 9. 1) - Ct(f53x +С; 2) - Icos6 (2х)+С. 11. y'=k(a —0(б —0 •
12. /их" = — mg-\-k (х')2. 14. Указание. Вычислить вторую и третью произвол-
ные функции f(x). 18. 1) у=2 tg(2x+C); 2) у=\/J ; 3) у== l-бх' :
4) //=-|-arccos^ —|-х4 + С^ ; 5) i/=sin^4" + ^ J 6)i/=(arcsin х+С)2. 35. Ука-
зание. Сравнить первообразную функции f (х), обращающуюся при х=а в нуль,
с F (X). 2) у+х-12; 4) sin х. 37.2) у ; 4) £. 39. 1) S-^-; 2) 2cos*~cos +
40. 2) х=2, х= —2, х=1, х=-1. 41. 2) 4; 3)	’ 5) 1 42. Л=+ в=°-
43. А=^-, В=0, С=—44. 1э+ 46. 2. 48. 1 4 • 60. 1) 334+ «4. У к а-
4	4	15	3	4
280
за ние. Точки (у, /), удовлетворяющие уравнению y=^la2—t\ лежат на полу-
окружности радиуса а с центром в начале координат. 66. 1) -rx^sin4	;
2	ID	4
3) 0cJ(x2-4x4-l)2dx<18. 73. 2) Равны; 4) (-\/2—\/3)-3>(-\/2—л/З)-2-
' о
75. 3^>3^. 77. 1) а<0; 2) а—1>0. 79. Указание. Воспользоваться тем,
• 2	ОЛ nx 2х—1	..	1	COS(lnx)
что smx<l, a sin2x>0. 80. 2)	; 4)	6) —;
7) Va+in'x? ; 8) /5Х4г--8в- 4> Т: 5> 3- 87- *) х>0: 3) "Р” х>1;
Х(1Н-Ш X)	xyl—-1п10 X	5
5) при х>1. 88. 2) loga N<log. у; 4) loga W>logeу. 89. 1) x>2; 5) 0.
2	1	1
96. Является тождеством при х>2. 97. 1) -5-+— loga b+-7- loga m —
□	о	О
—l-loga^ + c2); 4) 1-^4—3 loga Z>4-2!ogaC-|-^-loga(/n + n)4-3logad + -g-loga^ .
2
U 4 27	;	1
99. 3) х=-^—pj-. 102. 1) Указание. Воспользоваться формулой	=
t5 w 5
= & logy a. 3) Указание. Перейти к основанию N. 103. У к а з а н и е. Перейти
к основанию 2. 107. 1) loga(/i+1); 3) log* a. 108. 2)	; 4) 4-. 111. У к а з а и и е.
о о
Прих=0, у=с\ прих=1,//=са. 113.5) х=4-- 114.1) — 22х; 3) 0. 115.3) 1;4) 4>.
2	о
1	1	я2	1	—
119. 1) е6; 2) 4; 3) 1; 4) е“2; 5) —; 6) -Ь; 7) 4; 8) е3; 9) е 2. 121. х=-4.
4	а	о	о
3
122. 3) х<—. 123. 2) х = 3; 4) xi = 4, х2 = 4 —Iog35; 5) х=0; 6) x=log24 564;
3
8) х=у; 9) х=3, х=11; 10) х=9. 124. 1) 1<|х|<3; 2) x<Iog23, х>2;
4)
x<log23. 126. 2) х>4=-; 4) 0<х<10. 127. 1)
х=1000, х=0,1; 5) x=-U; 6) x=a2, х=—; 8)
V3	а
10) х=18; 11) х=4; 12) x=-i-; 13) нет решений;
4)
х=1,5, х=3; 2) х=6;
х=4, х=36; 9) х=10;
14) х=26; 15) х=Л/2;
16) х=а 8	; 17) х=а, х = а^/сг, 18) х=1 (при Ьс^\)у тождество при Ьс—
10g2 3
= 1; 19) х=-^-:х=—^—. 128. 1) 0<x<21-log23; 2) х>3 при а>1,
-у/а ауа
3	7
0<х<3 при 0<а<1; 3) 0<х<1; 4) 0<х<1, х>2; 5) “2‘<х<'у»
6) 1 <х< 1 + —, х>3; 7) 0,1<х<100; 103<х<105; 8) при 0<а<1
а^схса ^;приа>1 0<х<а Л^их>а?/2; 9) х< —2; 10) 0<х<1, д/3<х<9;
281
1	3
х>1; 14) 1<х<т/2, х>2±^; 15) —1-<
3) х<(51пх+1); 4) L8^
2	2	2х
6)	; 10) -я—г; 12) ,	131. 1) х=0 —точка минимума; 3) нет экс-
sm 2х	Г-1	л/И+4
тремума; 4) х = е2 —точка минимума; 5) нет экстремума; 6) x=2nk (k — це-
лое) — точка экстремума. 132. 1) (у)п = (— 1)л~’ (п— 1)! х~п. 133. 3) f i-1?- C°2S*—
\ COS X
—tg2 х) (cos x)tg х; 5) ^-^-+(14-In x) In x) xx+x\ 134. 2) -^-ln|4x—5Ц-С;
3) 4-ln(*4+1)+c; 5> -vlnlcos^l + C; 7) In larctgx| +C. 136.
137. 1) In |x+V?+4l+C. 138. 1) -J- In |	+C; 4) -J-In |	+
4-C. 139. Указание. Вычислить вторую и третью производные функции f (х)
и подставить в данное уравнение. 140. 1) е* (х2 4-3x4-17); 3) Зх2ех; 4) es,nxcosx;
вх (х —1)2 в*
5) в* cos 6х-, 7) —--’> 9) Тх—г • 142. У к а з а н и е. Вычислить производную
г+4-	,+1
функции и подставить в уравнение. 143.//=-^— уравнение касательной. 144. 1) х=0—
п	оч л/2	л/2
точка минимума, х=2 — точка максимума, 3) х =-точка максимума, х= ——
точка минимума; 7) x=2nk (k — целое) точки максимума, х = л (2^4-1)— точ-
ки
минимума; 9) нет экстремума. 147. 1)
2х
In 2
з) -4*-зх
О
6)
у е3х (Зх- 1)+С;	7) xlnx-x-ЬС.
151.
Зе”1
x3e-xdx<81e-3.
154.
1) t/ = C1e5x+C2ex; 4) y = Cie~5x 4-С2е"3х.
Lt
т _gm
k '
v2n—1
156.
159. «2,738 кг.
160. 0,32 м/с. 161. v=^~g + vo^e
х2
зуйтесь неравенством 1-}-х-}-—4~--+75-------рт
Z!	i )!
177. Указание. Воспользуйтесь неравенством, связывающим среднее арифме-
2
тическое и среднее геометрическое двух положительных чисел. 182. 2) —;
О
175.
Указание. Восполь-
справедливым для х<0.
1
4) у. 185. 3) 1; 4) 1. 186. 1) 0; 3) 0; 5) 1; 7) 0. 190. S(x)=x V4₽2—х2. 191. S(ft)=
=УА—^ft3’ s(«)=°-3!/Vp2~W- >95. 2(4+"7) при х>1, У>Х и т’ д’
198. 1) а) 2х:(1+х2); б) -2х:(1 4-х2); 4)	5) х	6) 1 V^x8.
199. 1) 0, если х^О, и х, если х<0; 3) —2х—5, если х<—3; 1, если
— 3^х<—2; 2x4-5, если х> —2. 200. 4) х^—2, х>4. 201. 2) При х<0.
282
202. 3) Например, # =  --. 203. 4а2 |6| с*\[с. 206. 1) —2а, если а^— 3;
V—х—3	а	____
6, если — 3<а<3; 2а, если а>3; 3) у; 4) 2ab + 2 V(a2-1) (Ь2-1); 5) а + Ь;
6) а2:т2; 8)	9) x4V?‘V«; Ю) 19лЛ5-j-2£>а0’251: |9а°’25.х°’25|.
207.1) У к а з а и и е. Домножьте обе части равенства на ^2 +1. 210.3) (-yja+\b\ —
—^/а— \b\):^j2. 5) 2^/a+b при а+b^c; 2^/с при а+Ь<с. 212. sin 15° =
=у (V5-1), cos \5°=^(-fi+l), sin 22’30'=0,5 V2-V2. 213. 2) 9-(д/7—т/5)Х
Х(л/3-^):2; 5) (Va+V^HVa+V») 214. 2) _1; 3) 5 7) 05 21# 4) х==5
Q~ О	О	'
5) х= 16; 6) х= ±fi; 9) 2 и —5; 11) х=7±4fi; 15) 10 и —6; 17) £-|-; 3 J
217. 1) х>2; 3) х<-2; 4) - 1<х<1; 5) 0<х<5|Ц; 6) 0,75<х<2;
7) —0,5<х<0,25(11—7153), 0<х<2. 241. 2) х=ат/3:2;
q\ a3+2a2+2a+2—a(a+2)"\/2a+3	лг	63
3^=	7(a+l?	°------’ W a>^= 5) X=°- x=65a
2„.„	2) „4(3а±Л/^+~Г);
3) x=(c±Vc2~“l)2p/?:^	5) x=a-\-b. 263. Указание. Умножьте обе части
равенства на (а—Ь)(Ь — с)(а—с), 264. S4=ai—4а?а2+2о2, $6=ai —5<Jia2+5aiai,
$6=ai—6afcr2+9ai(j2—2(12, $7=01 —7о1Ог+14oio2 —7oio2, $8=о?—8о?о2+
+20оЫ-16о?о^+2о^. 265. х2 - 36*+1000 = 0. 267. 1) о?+о,о2. 268. 5х2+6х-
—8=0. 271. 1) (г^+ху+гу2) (2x2+xi/+i/2). 275. 1) Указание. Сравните каж-
1 пх	%	1111
дое слагаемое с — ; 2) используйте соотношения: тт<ттт—гг=т—:-г ;
Rr k y/t 1J k ' ' 1	ft
6) используйте неравенства (8) п. 3 гл. V; 8) раскройте скобки, выделите
квадраты; 10) рассмотрите а—b как разность квадратов; 12) раскройте скоб-
ки и выделите квадраты; 14) возведите обе части неравенства в куб;
17) можно использовать метод математической индукции; 21) исследуйте функ-
цию (l+c*)*, где c=~"i 25) домножьте на 2 и выделите квадраты; 28) вос-
пользуйтесь неравенством, связывающим среднее арифметическое и среднее гео-
метрическое двух чисел. 280. 2) (х+4)2 + (к/ — 3)2= 100. 281. 1) ((4; 2), (2; 4), ( — 2; 1)};
2) {(7, 3), (7, —3), (—7, 3), ( — 7, —3), (5, 1)}. 282. Указание. Найти решение
системы первых двух уравнений и подставить в третье уравнение. 284. При С= — 21.
286. х=±~л/~—	, //=	290. Единственное
V 7	у 7	о 1о
решение при С=#4; бесконечное множество решений при С=4. 291. Нет.
293. 1) ((3, 4), (3, —4), (-3, 4), (-3, -4)}; 2) «5, 3), (2, 6)); 4) х=0,5а, £/=0,5*.
294. 1) КЗ, 5), (-3, -5), (-8, 5), (8, -5)); 3) <6, 3), (6, -3), (-6, 3), (-6, -3)|.
325. 12) -^3+\,5-fi+i^/l+0,5fi; 14) 18+261; 16) —14. 326. 2) При х=1,
у=2. 327: Пользуясь условием равенства двух комплексных чисел, составьте
систему. 328. 7) 1; 13) 3-+; 15) 1; 17) 8. 332. 1) КН 4); (4; 1)). 333. 2) (2a-
283
-3 л/W)(2а4-3 л/W); 4) (x-3-4Z) (x-3+4i). 334. 2) (х2+5+12/)(х2+1).
335. 3) Например, х2—4х4-5 =0. 339. 1) z=2, z=i. 343. 4) z=cos(—60°)+
4-Z sin ( — 60°); 7) г=з(соэ(—^-)+Zsin(—^-)) . Указание- Ис-
пользуйте геометрический смысл модуля комплексного числа. 351. Указание.
Используйте геометрическую интерпретацию комплексного числа.
1/19	19 \
356. 1) — cos — л-Н sin ~	. 359. 4) sin 6<p = 6cos5 ф sin ф—20 cos3 ф sin3 ф+
+6 cos ф sin5 ф. 360. 2) sin 0,5лф cos 0,5 (л +1) ф: sin 0,5ф. 366. 3) z=2^ cos (2fc-|-
+ 1)44-/sin (2*4-1)-еЛ , где k=0, 1, 2, 3, 4. 367. 2) <o0.i = ±l,
<*>2,з = ±0,5 (1-j-t ~^3),	(^4 5= ±0,5 (1—i д/3),	<о§д= ±2, <ogg= ±(1~^3),
<010,11 = ±(1—1*1/3). 370. (х2 — 4х+5)2-(х2 + 1)=0. 372. 1) Указание. Пока-
жите, что корни двучлена х2 +1 являются корнями данного многочлена. 373. Сум-
ма равна 0, если р не делится на и, и равна д, если р делится на п. 379. 1) ВсзЛ;
2) Л=В; 3) ЛсВ; 4) Л=В; 5) Л£В; 6) В£Л, ВсЛ; 7) В<=Л; 8) ВсЛ, В£Л.
380. 1) Да; 3) да. 381. 3) {2, 3, 4, 5, 6, 7). 384. 3) Указание. Воспользуйтесь
диаграммами Эйлера — Венна. 385. Указание. Покажите, что если некоторый
элемент принадлежит левой (правой) части, то он принадлежит и правой (левой)
части. 386. Указание. Воспользуйтесь определением симметрической разности
и указанием к задаче 385. 387. 3), 4) Л ДВ. 393. 1) Нет; 2) да. 395. Множество N.
396.2) и 4). 399. Да. 401. {а, б, ё, ж, й, п, ф, ь, ю, я}; {а, ё, ю, я). 405.2) х->-^2+1/1 +х
406. Да. 407. Указание. Прямоугольник закрывает одну белую клетку и одну
черную. Угловые же клетки одного цвета. 412. 11; 1; 4. 414. 26. 416. 20. 417. 9; 8.
418. 1024; 2016; 496. 419. 768. 420. 126. 422. 52 488; 32 768; 1024. 423. З12.
425. 232«4 млрд. 427. 336. 429. 3024. 431. 6! 433. 60; 24. 434. 3003. 439.	.
(12!) о!
437. 75075. 438. С49. 442. Указание. Воспользуйтесь формулой перестановок
15!
с повторениями. 444. Сзо- - 447. Указание. Посчитайте число кортежей
(fci, k2i k3i k*), таких, что ki +^2 + ^3 + Аи=4, ki=0, 1, 2, 3, 4. 448. Указание.
Коэффициенты разложения — числа P(kl, k2 kit где ^i+^2H-^3 + ^4= 11. Най-
дите наименьшее значение k2\ k3\ kV. 451. 16 665; 12 444. 452. 293 930;
24 310; 45. 453. 20. 457. 7 054 320. 458. 1560. 459. a) Cfi; 6) Ch-8! -12!; в) Ch -12!.
460. Cl-Cl-6! = 28 800. 461. CbC?0-Ci. 462. 9-9! 463. ChCf0-6! = 4 838 400.
464. 2) 469200. 465. 1944. 466. 70. 468. Указание. В одном ряду можно
х Г/п + П „ кя	* Гл+П
поставить не более —— королей. Можно занять рядов не более ——-
(для доски тХп). 469. Указание. Покажите что 8 слонов могут держать под
боем каждое поле доски. Для их защиты достаточно еще 4 слона. 470. Одна ладья
держит под боем одну вертикаль и одну горизонталь. 471. Дамки не могут стоять
на крайних горизонталях и вертикалях. 472. Указание. Наибольшее число
должно начинаться с наибольшей цифры. 473. Указание. Занумеруйте секторы
1,2,3, 4, 5, 6. Проследите изменение четности суммы мест при движении и в итоге.
479. 784. 480. Cf<rCf5-Cfi •#. 482. 2"-1. 484. 1560. 486. 144. 487. 60. 488. 84.
490. С32; С\б- 499. 2) Ничья, результативный матч. 500. 1),	4).
284
501. 2) {4о, Л|, Л2, Л3, Л4, Л5), где Л,— герб выпал i раз. 505. Образуют.
5ю.Ря=±«,	5П- {в-н> п“14’ 4* 4}’ в«-н> п«-
выигрыш, ничья, поражение (мастера). 512. Указание. Найдите сумму
вероятностей исходов. 514. 1) {Г—1, Г—2, ..., Г—6, Ц —1, Ц—2, ..., Ц—6};
2) ГГГГ, ЦГГГГ, ГЦГГГ. ЦЦЦЦЦ. 515. 1) Да; 2) нет; 4) да. 516. 2) 4-;
О
1	1^9111	Q
4)Т-518-2)Т’ 18’ Т’ -6’ -9’ 18’ 519‘ °’3’ 52°- °’104- 52L Т-
531. 1
522. =L 523. 0,05. 524. 0,1. 525.	526. 3)	528. 1) С?3• С?о• С3:do; 2) CfoX
/ ZU	OOU	УО
4	2
ХС1з-С?:Сзо. 529. 1)	530. p=—, от места в очереди не зависит.
Z ' Чт 532. 1) CiiiCi?; 2) (Csi'Ce+drCe+dOidr. 538.2) Л ПС=К;
7) M|JK=M. 549. Р(Л)=0,85 Р(В)=0,25. 551. 1) Р=0,9; 2) Р=0,6. 552. Р=0,37.
554. Указание. Проверьте, что вероятность события «выпал герб и выпало
четное число очков» равна произведению вероятностей этих событий. 555. См.
указание к задаче 554. 559. 1) 0,985; 2) 0,14; 3) 0,425; 4) 0,42. Вероятность
2
всех промахов равна 0,015. 562. Р«0,7. 565. -т-. 566. 0,6. 568. 0,77. 569. «0,003.
з
570. 0,594. 575. ||. 576. «0,024. 579. Р=2 С?о-(-|-У(-|-) "’. 581.
партии из четырех; 2) не менее пяти партий из восьми. 582. 1)
2)	«0,26; 3) 0,000064. 583. «0,472. 584. «0,77. 585. 4)
4-. 592. 0,2. 595. — . 598.	600. Р= . 601. 2
4	л 24	9л
602 —ni	603 11 _(£^L__e— 21	•
• nM.-n^ *°3, °	(JV!)4(4JV)I ’ 2) с2Д ’
. 576.
587.
1) Три
«0,25;
«0,8.
(*-!)(*-6)
м(м-1)
3)
~2 Z.2W-2
Ь«'С4Л/—4
---73Л----=
C4W
>1п(1- Г)
"In (1 — р)'
606. [|n{iZp)J+1- в07- •—(0.99)100» 0,634. 608. 23. 609. 253. 610. а) у ; б) у;
в) 4-. 612. a) pp3; б) (1 -<?3) p<73; в) (1 -p3-pp3) pp3; <? = 1 -p. 613.0,8s-0,2« 0,066.
5	6	1
614. «0,044. 615. 0. 616.	617. «0,411. 618. В, вероятность его выигрыша
619. У 2, •/ ». 620.	в- ®21- *) ~°-52; 2) «0,61.
or-hP2 а +Р а +Р	а2 + р2 + ар
604. 1)
9
622. 0,6. 623. 0,5. 624. 0,16. 625. -т-. 626. Толщина монеты «35% от ее диаметра.
<5	_______
»28- 1 "р" £<n/te)’+1 "
•-(1-4л/(5)2+1)2 при £>dV(S)2+1- *29- (т)12«з-'°-7-не
согласуется. 630.^ у) «у, согласУется- О	2) 1—(1 —1)“;
з) (1-2 с?г(1-/)"-“)2.
' т — 0	/
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра событий 252
аргумент комплексного числа 191
Байеса формула 268
Бернулли формула 270, 271
больших чисел закон 270
Вероятность геометрическая 272
—	математическая 243
—	события 247
—	условная 266
Выражение алгебраическое 104
— иррациональное 104
Геометрическое изображение комплек-
сных чисел 188
Дифференциальное уравнение 16
---с разделяющимися переменны-
ми 23
---решение 17
---порядок 16
---процессов органического измене-
ния 87
дифференцирование логарифмическое 81
дифференцируемая функция комплекс-
ного переменного 206
Закон больших чисел 271
Замены переменных метод 156
Интеграл неопределенный 8
— определенный 37
интегральная кривая 17
интегральное исчисление 7
интегрирование 7
— непосредственное 11
интегрирования постоянная 8
Квадратный корень из комплексного
числа 186
квадрируемая фигура 30
классическая схема теории вероятно-
стей 244
комбинаторика 219
комбинаторные задачи 219
комплексное число 180
---аргумент 191
--- модуль 191
---сопряженное 18
---тригонометрическая форма 192
--- фаза 192
конформное преобразование 206
координаты полярные 190
корень n-й степени из комплексного
числа 197
кортеж 214
коэффициенты биномиальные 232
криволинейная трапеция 32
Лексикографический порядок 135
логарифм числа 60, 64
логарифмическая функция 60, 63
---выпуклость 62
--- производная 60
Метод алгебраического сложения урав-
нений 155
—	замены переменных 157
—	исключения 154
—	подстановки 12
мнимое число 180
многочлен однородный 136
286
— от переменных 135
----симметрический 138
----основной 138
----стандартный вид 136
множеств отображение 266
множество значений отображения 217
— м-элементное 209
— пустое 208
— упорядочено 209
Муавра формула 196
Невозможное событие 253
неравенство Гельдера 144
— для логарифмической функции 95
----показательной функции 92
— иррациональное 115
— Коши 144
— логарифмическое 75
— показательное 72
Ньютона — Лейбница теорема 34
Область определения отображения 217
образ элемента 216
обратимое отображение 217
общее решение дифференциального
уравнения 18
объединение множеств 209
окружности уравнение 145
определенный интеграл 38
органического роста процесс 55
— убывания процесс 56
основная теорема алгебры многочле-
нов 202
отображение взаимно однозначное 217
— множеств 216
----X на Y 217
отрезок интегрирования 38
Параметр 121
Первообразная 7
переменная интегрирования 8
пересечение множеств 209
перестановки без повторений 229
— с повторениями 234
площадь фигуры 29, 30
подмножество 209
подынтегральная функция 8, 38
подынтегральное выражение 8, 38
показательная функция 68
---выпуклость 86
---дифференцирование 86
--- производная 86
полной вероятности теорема 267
полюс 190
полярные координаты 190
полярный луч 190
— угол 190
постоянная интегрирования 8
правило произведения в комбинатори-
ке 224
— суммы в комбинаторике 221
пределы интегрирования 38
преобразование конформное 206
производная логарифмической функ-
ции 81
—	показательной функции 86
прообраз элемента 217
прообраз элемента полный 217
пространство вероятностное 243
Равносильные системы уравнений 152
---на множестве 152
размещения без повторений 228
—	с повторениями 226
Система координат полярная 190
— уравнений 147
---решение 147
---графическое 188
словарный порядок 135
сложения теорема 258
событие 247
—	достоверное 253
—	невозможное 253
—	следствие 255
—	случайное 242
события независимые 262
—	несовместные 253
---попарно 254
—	объединение 253
—	пересечение 253
—	противоположные 253
совокупность уравнений 150
сочетания без повторений 235
—	с повторениями 238
статистический подход в теории ве-
роятностей 244
287
степенная функция 97
----выпуклость 98
		производная 98
степенные суммы 139
Теория вероятностей 242
Умножения формула 266
Уничтожение иррациональности в зна-
менателе 110
уравнение иррациональное 111
—	линии 145
—	логарифмическое 75
— показательное 72
Формула включений и исключений 222
—	перекрытий 222
—	трапеций 53
функция алгебраическая 105
—	комплексного переменного 206
Частное решение дифференциального
уравнения 19
число е 62
—	комплексное 180
—	мнимое 180
—	чисто мнимое 180
Учебное издание
Виленкин Наум Яковлевич
Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич
Шварцбурд Семен Исаакович
АЛГЕБРА
И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
для 11 класса
Учебное пособие для учащихся школ
и классов
с углубленным изучением
математики
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактора Л. М. Котова, Н. Б. Грызлова
Младший редактор О. В. Агапова
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Художники А. А. Терентьева, Е. П. Титков
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректоры О. Ивашкина, И. Н. Панкова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. ЛР № 010001 от 10.10.96. Подписано к печати с диапозитивов
03.12.97. Формат 60Х90’/16. Бум. офс. № 1. Гарнитура Литературная. Печать оф-
сетная. Усл. печ. л. 184-0,31 форз. Усл. кр.-отт. 19,06. Уч.-изд. л. 16,904-0,36 форз.
Тираж 30 000 экз. Зак. № 820.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государст-
венного комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Государственного комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, «
ул. Чернышевского, 59.
предлагает:
учебно-методическую, развивающую,
научно-познавательную литературу
по всем школьным предметам
□	контейнерную отгрузку во все регионы России и стран СНГ
□	книги крупным и мелким оптом со складов издательства
О розничным покупателям — книги из нашего киоска
Телефоны: отдел реализации
отдел рекламы
факс отдела реализации
289 44 44
289 60 44
289 52 84
289 60 26
E-mail: textbook@glasnet.ru
или
textbook@glas.apc.org
Наши книги оптом и в розницу
можно приобрести в издательстве
по адресу:
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Проезд: ст. метро «Белорусская», далее трол. 18 до
ост. «Гостиница «Северная»; ст. метро «Рижская», далее
трол. 18, 42, авт. 84 до ост. «Гостиница «Северная».
Торговый дом «Просвещение»:
129626, Москва, ул. Новоалексеевская, 8.
Справки по телефону: 2870869
ш

$ ПРОСВЕЩЕНИЕ
В комплект входят:
•	учебники
для 10 и 11 классов
•	дидактические материалы
(автор В. И. Рыжик) г~
•	методические
рекомендации
(под редакцией
М. Л. Галицкого)