Автор: Колмогоров А.Н.
Теги: математика линейная алгебра алгебра издательство просвещение начала анализа
Год: 1976
Текст
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ 10 КЛАССА
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
А. Н. КОЛМОГОРОВА
Утверждено Министерством
просвещения СССР
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1970
512 (075)
А45
A. H КОЛМОГОРОВ
О. С. ИВАШЕВ • МУСАТОВ
Б. М. ИВЛЕВ
С. И. ШВАРЦБУРД
В книге использованы материалы пробного учебника «Алгебра и
начала анализа, 10 кл.» авторов Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова
под ред. А. Н. Колмогорова.
л 60601 — 453
А 103(03)—76
ннф. письмо
512(075)
© Издательство «Просвещение», 1976 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ИХ ГРАФИКИ И ПРОИЗВОДНЫЕ
(продолжение)
§ 15. Производные тригонометрических функций
75. Производная синуса..................................... 7
76. Производные косинуса, тангенса и котангенса .... 9
77. Непрерывность тригонометрических функций.............. 11
78. Предел отношения длины хорды к длине стягиваемой ею
дуги........................................................ 13
§ 16. Гармонические колебания
79. Вторая производная .................................... 15
80. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. . 17
81. Графики гармонических колебаний........................ 21
82. Сложение гармонических колебаний с общим периодом. . 26
§ 17. Исследование тригонометрических функций
83. Формулы приведения..................................... 27
84. Обратная функция к непрерывной возрастающей (убывающей)
функции..................................................... 32
85. Свойства и график функции синус. Функция арксинус и
решение уравнения sin х = а.................................. —
86. Свойства и график функции косинус. Функция арккосинус
и решение уравнения cos х = а............................... 39
87. Свойства и график функции тангенс. Функция арктангенс
и решение уравнения tg х = а................................ 45
88. Свойства и график функции котангенс. Функция аркко-
тангенс и решение уравнения ctg х = а....................... 49
3
§ 18. Тригонометрические тождества и уравнения
89. Соотношения между тригонометрическими функциями од-
ного и того же аргумента.................................. 53
90. Тригонометрические функции половинного аргумента. 57
91. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента .................................... 59
92. Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму .................................................. 61
93. Решение простейших тригонометрических неравенств ... 63
94. Примеры решения тригонометрических уравнений ... 67
95. Доказательство тригонометрических тождеств........... 69
96. Сведения из истории.................................. 71
Дополнительные упражнения к главе V!........................... 72
Глава VII.
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
§ 19. Первообразная функции
97. Первообразная ...................................... 75
98. Основное свойство первообразной .................... 77
99. Три правила нахождения первообразных................ 79
100. Площадь криволинейной трапеции...................... 81
§ 20. Интеграл
101. Формула Ньютона—Лейбница ........................... 84
102. Интеграл с переменным верхним пределом.............. 87
103. Нахождение координаты по заданной скорости и скорости
по заданному ускорению ................................... 88
104. Интеграл как предел сумм............................ 90
105. Работа переменной силы.............................. 92
106. Три правила вычисления интеграла.................... 95
107. Сведения из истории................................. 98
Дополнительные упражнения к главе VII......................... 100
Глава VIII.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ, ЛОГАРИФ-
МИЧЕСКАЯ И СТЕПЕННАЯ
ФУНКЦИИ
§ 21. Производная показательной функции
108. Показательная функция................................ 103
109. Производная показательной функции. Число е.......... 106
110. Дифференциальное уравнение показательного роста и
показательного убывания.................................... ПО
4
§ 22. Логарифмическая функция и ее производная
111. Логарифмическая функция ............................ 115
112. Производная обратной функции ....................... 117
113. Производная логарифмической функции. Свойства лога-
рифмической функции ............................. 119
114. Натуральный логарифм как интеграл с переменным верх-
ним пределом ............................................ 122
§ 23. Степенная функция
115. Степенная функция и ее производная.................. 125
116. Иррациональные уравнения .......................... 126
117. Сравнение роста логарифмической, степенной и показа-
тельной функций ......................................... 128
118. Сведения из истории ........................... 130
Дополнительные упражнения к главе VIII............................ —
Глава IX.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
§ 24. Системы уравнений
119. Равносильные уравнения и системы уравнений .... 133
120. Решение систем линейных уравнений методом последова-
тельного исключения переменных (метод Гаусса)........ 137
121. Геометрическая иллюстрация решения систем линейных
уравнений с двумя и тремя переменными................ 141
122. Нелинейные уравнения и системы уравнений........ 144
§ 25. Системы неравенств
123. Системы неравенств ............................. 151
124. Понятие о линейном программировании............. 155
125. Сведения из истории............................. 160
Дополнительные упражнения к главе IX ............... 161
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. Действительные числа............................. 162
2. Функция ......................................... 168
3. Четные функции. Нечетные функции ................ 172
4. Периодические функции............................ 173
5. Общая схема исследования функции................. 175
6. Прямая пропорциональность........................ 176
5
7. Обратная пропорциональность .......................... 179
8. Линейная функция ..................................... 181
9. Преобразование графиков функций....................... 184
10. Исследование квадратного трехчлена ................... 188
11. Предел последовательности ............................ 193
12. Метод математической индукции......................... 199
13. Комбинаторика......................................... 200
14. Предел и непрерывность функции........................ 202
15. Производная, ее геометрический и физический смысл..... 206
16. Задачи на экстремум................................... 210
17. Теоремы сложения для тригонометрических функций. . . 212
Справочный материал ................................... 215
Задачи на повторение всего курса ...................... 219
Ответы и указания к упражнениям........................... 232
Обозначения, встречающиеся в учебном пособии.............. 269
Предметный указатель ..................................... 270
Глава
VI
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ, ИХ ГРАФИКИ
И ПРОИЗВОДНЫЕ
(продолжение)
§ 15.
ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕ-
СКИХ ФУНКЦИИ
75. Производная синуса
В этом параграфе будут выведены формулы для производных
тригонометрических функций. Сначала докажем, что
sin' х = cos х*
(1)
Приведем вывод формулы (1), основанный на двух допущениях,
справедливость которых будет доказана несколько позднее:
а) функция cos непрерывна при всех значениях аргумента, т. е.
lim cos (х 4- Дх) = cos х;
Дх-*0
р sinx -
б) lim —1.
нО х
Допущение о том, что lim равен 1, достаточно убедитель-
но х
но из геометрических соображений. В самом
деле, считая сначала х положительным, отло-
жим на единичной окружности (рис. 1) от
точки Ро в обе стороны дуги Р0А и Р0В длины х.
Длина всей дуги АВ равна 2х. Вычислим дли-
ну хорды АВ:
|ЛВ| = |ЛС| + 1 СВ| = 2sin х.
Равенство (1) можно записать и в виде
(sin х)' = cos х.
7
Таким образом, отношение длины хорды АВ к длине дуги АВ равно
2 sin* sinx
2х — х
Из рисунка видно, что при малых х длина хорды и длина дуги почти
sinx
равны, т. е. отношение — близко к единице.
X
Так как
sin(—х) sinx
х
—X
sin х
то и при отрицательных х, малых по модулю, отношение —
х
также близко к единице.
Перейдем теперь к выводу формулы (1). В соответствии с опре-
делением производной найдем предел
,. Д sin х
Jim -----,
Дх-»0 Дх
где Д sin х = sin (х + Дх) — sin х. Представим приращение сину-
са в виде произведения. Для этого в формуле
sin а — sin 6 = 2 cos . sin а —
r 2
положим а = x 4- Дх и P = x. Тогда
Д sin x = sin (x + Дх) — sin x =
Поэтому
(см. п. 74)
2
. Дх
• sin — .
2
( Дх\ Дх
Л • 2 cos х + — • sin —
• , г Д sinx .. \ 2 / 2
sm х = lim --------= lim--------------------- =
Дх->0 Дх Дх-»0 Дх
Дх
sin ~2
— lim cos —| • lim ----------- = cosx 1 ~ cosx.
Дх-»0 \ 2 ) Дх-0 Дх
2
Примеры. Воспользовавшись правилами дифференцирова-
ния сложной функции, найдем:
1. (sin (ах + 6))' = cos (ах + Ь) • (ах + b)' = a cos (ах + 6).
п / . 1V 1 1
2. sin — ) —-------cos —.
\ х) ха х
Упражнения
Найдите производную функции:
1. f (х) = sin Зх. 2. g (х) = sin х + л
3. h (х) — sin ---xj
8
4. М (х) = 3 sin2 (2х — 1). 7- £(*)=sin 2х—2 sinx cosx-f-5.
8. h (х) = sin (2х—3,5) + sin 2х.
5. f <O=sin 2/cos/—sin /cos2/. 9 M (j) = 2% + 36 sjn5 (д_х)
6. f (x) = sin (—x) + sinx. 10. /(u)=cos2«cos ——sin2«-sin—.
2 2
11. Покажите, что производная функции f (х) = 2х — sinx поло-
жительна при всех значениях х и, значит, функция f возрастает
на R.
12*. Найдите, при каких х производная функции g (х) =х — sin х
обращается в нуль. Покажите, что эта функция возрастает на R.
Начертите ее график.
13*. Исследуйте функцию h (х) = х — 2 sin х.
14*. Докажите, что функция g (х) = sin (2х — 5) — Зх убывает
на промежутке ] —оо; оо[.
76. Производные косинуса, тангенса и котангенса
В этом пункте мы воспользуемся производной синуса (п. 75)
для вычисления производных косинуса, тангенса и котангенса.
cos' х = —sin х,
tg'x
1
COS2X ’
ctg' X = —
1
sin2x
(1)
(2)
(3)
Каждая из этих формул справедлива в любой точке области
определения соответствующей функции.
Для вывода формулы (1) воспользуемся равенством cos х =
= sin[— —х) и правилом дифференцирования сложной функции:
, / . / л \\' /л \ / л V
cos X = sin--------X = COS----------X I-------Я =
\ \2 H \2 )\2 J
= sinx(—1) = —sinx.
Чтобы доказать формулы (2) и (3), применим формулу для произ-
водной частного и уже известные формулы для производных синуса
и косинуса:
। х/ sin х V (sin х)' cos х — (cos х)' sin х _ cos2 х ф sin2 х 1
\ cos X / COS2 X CCS2 х cos1X *
ct , / cos x V _ (cos x)' sin x — (sin x)' cos x _ —sin2x — cos2x_ i
\ sin x / sin2 x sin2 x sinsx’
Пример. Найдем касательные к синусоиде в течках с аб-
сциссами хх = 0, х2 — -5-» хз = л-
9
Как вы знаете (п. 52), урав-
нение касательной к графику
функции f в точке (х0; у0), Где
Уо = / М, имеет вид:
У — У о = Ж) (х — х0).
В данном случае f (х) = sin х.
Для решения задачи надо най-
ти значение производной сину-
са в точках 0, -5- и л. Про-
изводная синуса равна косинусу: /'(0) = cosO = 1. Далее на-
ходим f'(--j — cos~- = 0 и/'(л) = cos л = —1. Поэтому:
1) в точке с абсциссой хг = 0 уравнение касательной принимает
вид у — 0 = 1 • (х — 0), т. е. у = х. Мы видим, что касательная
к синусоиде в точке (0; 0) есть биссектриса первого и третьего коор-
динатных углов (рис. 2);
2) в точке с абсциссой х2 = -2- уравнение касательной будет
у — 1 = 0 ♦ (х— -у), т. е. у = 1. Это горизонтальная прямая
(рис. 2);
3) аналогично, уравнение касательной в точке с абсциссой х3 = л
будет у — 0 = (—1) (х — л), т. е. у = л — х.
Упражнения
Найдите производную функции:
15. f (х) = 1,3 cos х.
16. h (х) = 3 cos (2,3х — Юл).
17. §(х)=2л—0,5 cos (л—х).
18. ц(х)=2х2—30 cos (5х-}-6).
19. v (х) = —2 cos (х — л) 4-
4- 2 sin 2х.
20. c(x)=5tg(2x4-3)4-2tg y*
21. s (х) = 3 tg (2х 4- 1).
22. s (х) =2^6£±^4- tg(6x4-3).
cos (6jc + 3)
23. f (и) = cos 2u sin и 4- sin 2u cos a.
24. g(0=cos 2л cos 3/-|-sin3/sin 2л.
25. v(t) = 4 ctg (2/4-3).
26. v (x) = 7 ctg (2x — 2л).
27. f (x) = cos 2,5x • sin 0,5 л 4-
4- sin2,5x • cos 0,5 л.
28. / (x) = sin x cos 5 x — sin5xcosx.
Напишите уравнение касательной к графику функции:
29. f (х) = sin х в точках с абсциссами —л и — .
2
30. s (х) = cos х в точках с абсциссами — -у и 2л.
10
31. g (x) = tg x в точках с абсциссами
77*. Непрерывность тригонометри-
ческих функций
В п. 75 мы опирались на допуще-
ние о непрерывности функции cos.
Докажем это допущение, а также
непрерывность функций sin, tg, ctg во
всех точках, где они определены. Для
этого нам потребуется следующая
лемма.
Рис. 3
Лемма. Для всех х, удовлетворяющих условию
< 1 'Х. »
справедливо неравенство:
|sin л?| < | < | tg х |.
(1)
Доказательство начнем со случая О
х <-у. Сравним пло-
щади S0AD (треугольника OAD), S0AB (треугольника О А В) и
S0ACD (сект°ра OACD) (рис. 3). Эти площади легко вычисляются
SOAD = 4|°Л1 ‘ 1• sinx = 4sinx,
Зола =Т|ОЛ|-MSI =ltgx,
О 12 1
$OACD ~ 2Г Х ~ 2 Х‘
Из рисунка 3 видим, что
°OXD °ОДСЭ °ОДВ»
или
1 . \ ' 1 .
— sin X <, — X < — tg X,
2 2 2
т. е.
sin х < х < tg х. (2)
Так как sin х и tg х положительны при 0 < х < то при
О <х < — неравенство (1) справедливо.
2
* Звездочкой отмечен дополнительный учебный материал, не обязательный
для изучения всеми учащимися. В ряде случаев такой материал отмечен двумя
треугольниками: (в начале), <4 (в конце). См. стр. 15—17 и др.
11
Остается рассмотреть случай —< х <0. При таких х
имеем 0 < —х <у. и к —х можно применить неравенство (2):
sin (—х) < —х < tg (—х). (3)
Так как теперь —х — |х|, sin (—х) = |sin х\, tg (—х) = |tg х|,
то из (3) вытекает (1).
Этим доказательство неравенства (1) для всех х#= 0 из проме-
жутка
л р л
~2' ~2
Теорема 1. Функция косинус непрерывна на всей
числовой прямой, т. е. для любого х0 £ R
lim cos х = cosx0.
х-х0
Доказательство.
। I о • *п — х . х 4- хп
I COS X — COS хо I = 2 Sin -2-^— Sin —
X —ХО
2
закончено.
Оценим | cos х — cos х01.
= 2 sin
х0 —х
2
хи I-
2
o . X — xa
2 sin -----s
2
Поэтому, если для любого 8> 0 ПОЛОЖИТЬ 6 = 8, при |х —х0|<6
будем иметь:
X Sin
T Л0
2
2
Это означает, что
lim cos x = cos x0,
т. e. функция косинус непрерывна в точке х0.
Аналогично доказывается теорема 2:
Теорема 2. Функция синус непрерывна на всей чи-
словой прямой, т. е. для любого лг0 £ R
lim sin х = sin jf0.
Теорема 3. Функции тангенс и котангенс непрерыв-
ны каждая в своей области определения, т. е.
lim tg х = tg для любого х0 £ D (tg),
*-*х0
lim ctgx = ctgx()
х-+х0
Доказательство.
k С Z, то cos х0 0.
Следовательно,
для любого л?0 £ Z)(ctg).
Действительно, если х0 =# -2- 4-
2»
v 4 .. sinx
Inn tgx = lim -----
r-»-x0 x_x0COSX
lim sin х
.= tg Хо.
lim cos х cosx0
Аналогично доказывается вторая часть теоремы 3.
12
Упражнения*
Вычислите предел:
32. lim sin*.
Х-.0
33. lim sinx.
34. lim cosx.
X-.0
35. lim cosx.
Л
36. limtg x.
x->0
37. lim tgx.
38. lim ctgx.
Л
39. lim ctgx.
40. Докажите непрерывность функции sin в точке х0 С R и функ-
ции ctg в точке х0 С D (ctg).
41. Докажите, что функция f непрерывна при всех x^R, если
sin х , „
--- при х =/= О,
к
. 1 при х = 0.
Начертите ее график.
78*. Предел отношения длины хорды к длине
стягиваемой ею дуги
Начнем с доказательства допущения «6)» из п. 75.
Теорема 1.
sinx . ...
lim ---=1. (1)
х-»0 X
Доказательство. Пусть 0 < х < — или —— <х <0.
2 2
Тогда выполняется неравенство!sin х |< |х|< 1 tg х] (см. п. 77).
Разделив все части этого неравенства на |sin х|, получим:
1 <
X I 1
sinх 1 | cosx I '
Учитывая, что при указанных условиях---------> 0, cos х >0, имеем
sinx
- х 1 1 sinx
1 <------< -------, откуда 1 >---> cos х.
sinx cosx х
Отсюда получаем:
0^ 1 sin X
< I-----------< I — COS X = cos 0 — COS X.
X
Так как косинус есть непрерывная функция, то для любого е > 0
можно указать б > 0, такое, что
|0 — х| < б => |cos 0 — cos х| < 8.
Следовательно, для х =/=(), удовлетворяющих неравенству |х| <б,
. sinx| , sinx Л । л ।
I------= I--------< COS 0 — COS X •= | cos 0 — COS X < 8.
X I X
Это означает, что
,. S1HX
hm -------
х-»0 х
13
На основе теоремы 1 можно проводить вычисления некоторых
пределов.
Пример 1.
lim _±_ = Пт —— = —!— = 1=1.
х-»о sinx х-»о sinx sinx 1
---- Iirn ---
х х-0 х
Пример 2.
,. sin 4х sin 4х . , . .
lim------ - lim--4=1 -4 = 4.
х-»0 X х-»0 4х
Пример 3.
tgx ,. sinx 1 ,. sinx 1 .
lim — — lim---- • ----- lim-------- lim--= 1.
x-0 x x->0 x COSX X-»O X X-OCOSX
Замечание. В анализе синус есть числовая функция числового
аргумента. Но введена эта функция из геометрических соображений
(см. определение в п. 63). В геометрии сийус рассматривался как числовая
функция от величины угла. А величину угла можно измерять при помЬщи
разных единиц измерения. При определении синуса как функции числового
аргумента берут за основу радианное измерение углов: синус числа х равен
синусу угла в х радианов. Чтобы быть точным, надо было бы писать
sin х — sinr (х рад). (2)
Здесь слева sin есть обозначение функции числового аргумента, а справа
sinr есть обозначение функции величины угла. При градусном измерении
углов получим
/180
sin х = sinr —
\ л
(3)
Если бы в анализе вместо функции sin, определенной равенством (2),
ввели функцию
f (х) = sinr (х ) = sinr —-х рад = sin — х ,
\loU / \loV /
то для нее получили бы вместо простой формулы
, . sinх
sin (0) = lim--= 1
х-о х
формулу
„/пч 1- Л
/ (0) = lim-= —,
х—о х 180
что не так удобно.
Теорема 2. Предел отношения
длины хорды окружности к длине
стягиваемой ею дуги при стрем-
лении длины дуги к нулю равен 1
(рис. 4).
Доказательство. Пусть хорда
АВ окружности радиуса г стягивается ду-
гой, содержащей х радианов, тогда длина
14
хорды АВ равна |ДВ| = 2r sin-|, а длина дуги хг. Обозначив длину
дуги через I, имеем:
X X
, , „ 2г • sin— sin —
г ABi i- 2 2 .
11Ш-!--L= ]im--------- _ ]im----- = 1
Z-.0 I l->0 xr x-0 x_
2
Как мы видели в п. 75, на основе теоремы 1 доказывается
формула для производной синуса, а на ее основе — формулы для
производных основных тригонометрических функций. Предел
sinx Л
---при х->0 иногда называют «первым замечательным пределом».
Упражнения
Найдите предел:
.. sin8x
42*. lim-----
х-.о 2х
44*. lim sin (Я-Л)
Л — X
43*. lim
х-.О sin 4х
45*. lim
х->0
cos
5х
§ 16.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
79. Вторая производная
Производную от производной f функции f называют второй
производной функции f и обозначают f" (читается: «эф два штриха»).
Например,
sin' х — cos х, sin"x = cos' x = —sin x,
cos' x = —sin x, cos"x = (—sin x)' = —cos x.
Вторая производная помогает более подробно исследовать пове-
дение функции. Первая производная есть скорость изменения функ-
ции, а вторая производная есть скорость изменения этой скорости.
► Пусть во всех точках некоторого промежутка ]п; первая
производная f имеет один и тот же знак и вторая производная /"
на этом промежутке также имеет один и тот же знак. Рассмотрим
поведение функции на этом промежутке в каждом из четырех воз-
можных случаев.
1) /' >0, /" > 0. Из того, что первая производная /' положи-
тельна, следует, что функция f на промежутке возрастает.
15
Функция f' также возрастает на этом
промежутке, так как /" > 0. Поэтому
сама функция f растет ускоренно (рис. 5).
2) f > 0, f" < 0. Функция f растет
замедленно (рис. 6).
3) f < 0, /" > 0. Функция f убы-
вает. Скорость ее изменения /' отрица-
тельна и возрастает (ввиду того, что
f" > 0), значит, /' убывает по модулю.
Поэтому функция f убывает замедленно
(рис. 7).
4) /' < 0, /" < 0. Функция f убыва-
ет ускоренно (рис. 8).
В первом и третьем случаях [" > 0
и (рис. 5 и 7) график расположен выше
касательной, проведенной в любой точ-
ке графика. Говорят, что график функ-
ции обращен «выпуклостью вниз». Во
втором и четвертом случаях /" < 0 и
(рис. 6 и 8) график расположен ниже
касательной, проведенной в любой точ-
ке графика. Говорят, что график обра-
щен «выпуклостью вверх».
В курсах математического анализа
доказывается, что характер выпуклости
определяется только знаком второй про-
изводной (независимо от знака первой
производной): если на промежутке I
вторая производная положительна, то
график обращен выпуклостью вниз; если
же на промежутке I вторая производ-
ная отрицательна, то график обращен
выпуклостью вверх.
Пример. Рассмотрим поведение
функции cos на промежутках 0; — и
I 2 1
1 л . _ Г
— .
2 [
Для удобства рассмотрения знаков
производных функции cos составим
таблицу:
Л л 0 < х < —• 2 Л
cos' х(= —sinx) < о < о
cos"x (= —cosx) <0 > 0
16
Из таблицы видно, что косинус на
промежутке 0; — убывает ускоренно
1 л
—; л
J 2
этой точке будет уравнение
r J J 2 [ '
(см. случай 4), а на промежутке
замедленно (см. случай 3).
л
Замечание. В точке х = — ускорен-
ное убывание косинуса сменяется на замедлен-
ное. График косинуса в точке oj имеет
«точку перегиба» (рис. 9). Уравнением касательной
л
Левее точки касания касательная проходит выше графика функ-
ции, а правее — ниже.^
в
Упражнения
46*.Исследуйте с помощью производных первого и второго поряд-
ка поведение функции sin на промежутках:
\ л Г л л
а) — л;----; б)-----------; — .
] 2 [ J 2 2 L
47*.Исследуйте поведение функции tg на промежутках:
а) 1——; оГ; б) Ъ; — Г; в) 1——; — .
J 2 L . 2 [ J 2 2 L
48*.Напишите уравнения касательных к графику функции sin
в точках с абсциссами х = 0, х = л. Объясните, почему эти
точки являются точками перегиба.
49*.Напишите уравнение касательной к графику функции tg
в точках с абсциссами х — 0, х = —л. Сделайте чертеж и
объясните, почему эти точки являются точками перегиба.
50*.Вычислите вторую производную функции: a) f (х) = 3 —
—2х — х2; б) g (х) = 6х2 — Зх + 2. Докажите, что график
функции f на ]—оо; оо[ обращен выпуклостью вверх, а график
функции g — выпуклостью вниз.
51*.Вычислите вторую производную функции f (х) = 3 — Зх2 + х3
и докажите, что на промежутке ]—оо; 1[ график функции f
обращен -выпуклостью вверх, а на промежутке ]1; оо[ — вы-
пуклостью вниз.
80. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
В предыдущем пункте было обнаружено интересное свойство
функций sin и cos: их вторые производные только знаком отлича-
ются от самих функций. Иначе говоря, обе эти функции удовлетво-
17
О х
Рис. 10
Ох х
Рис. 11
ряют при всех значениях аргумента I урав-
нению
/ЧО = -/(/).
► В физике, в частности в механике,
большую роль играют функции f, которые
удовлетворяют уравнению
Г(0 = -с/(0, (1)
где с — положительная константа.
Разберем задачу из механики, приводя-
щую к уравнению такого вида. Пусть к
шарику массы т прикреплены две распо-
ложенные горизонтально пружины, дру-
гие концы которых закреплены (рис. 10).
Пусть в состоянии равновесия координата
х центра шарика равна нулю. При его
смещении в положение с координатой центра %#= 0 возникает сила,
стремящаяся вернуть шарик в положение равновесия. По закону
Гука эта сила пропорциональна смещению х:
F = —kx,
где k — положительная константа (рис. 11).
Из механики известно, что действующая на тело массы т сила
связана с вызываемым ею ускорением формулой
та = F.
Учитывая, что при движении по прямой ускорение есть вторая
производная от координаты, имеем:
та (0 = тх" (0 = F — —kx (0.
Иначе говоря, движение центра шарика под действием сил
упругости пружин подчинено уравнению
х"(0 = — —
tn
т. е. уравнению вида (1).<
Говорят, что физическая величина, изменяющаяся во времени
в соответствии с уравнением (1), совершает гармонические колеба-
ния. Само уравнение (1) называют дифференциальным уравнением
гармонических колебаний.
Замечание. Вообще, уравнение, выражающее зависимость
между функцией и ее производными, называют дифференциальным
уравнением (см. о дифференциальных уравнениях еще в п. ПО).
Как же могут выглядеть функции, удовлетворяющие дифферен-
циальному уравнению (1) с какой-либо заданной положительной
константой с? Оказывается, что таковы функции вида
f (0 — A cos (tot 4- <р), (2)
18
где А, со и <р — константы. В самом деле, из (2) вытекает:
f (?) = —Лео sin (со? + ф), (3)
f" (?) = —Лео2 cos (со? 4- ф). (4)
Из (2) и (4) получаем
г (?) = -со2 /(?), (5)
т. е. уравнение вида (1), где
с = со2. (6)
Мы видим, что физическая величина, изменяющаяся во времени
по закону (2), совершает гармоническое колебание. Верно и обрат-
ное, любая заданная на /? функция f, удовлетворяющая уравне-
нию (1), записывается в виде (2), где
со = Кс, Л > О, Ф € ГО; 2л[, (7)
Доказательство того, что любое решение дифференциально-
го уравнения (1) имеет вид (2), выходит за рамки курса средней шко-
лы*.
Таким образом, формула (2) есть общая формула гармоничес-
ких колебаний.
Ясно, что максимальное значение модуля функции f равно Л.
Константу Л называют амплитудой колебания. Можно доказать,
что функция /, заданная формулой (2), имеет периодом число
(О
Кроме неинтересного случая Л = 0, этот период наименьший.
Константу со называют частотой колебания. Наконец, константу ф
называют начальной фазой колебания.
► Вернемся к задаче с шариком. В силу сказанного шарик дол-
жен двигаться по закону
х (0 = Л cos (со? 4- ф), (8)
где
со = 1/JL .
г т
В формуле (8) две константы Л и ф остаются пока произвольными.
Это и естественно: в зависимости от того, каковы положение и
скорость шарика в какой-либо момент времени, принятый за на-
чальный, двигаться он будет по-разному. Примем, например, что
* Легко проверить, что ограничения .4 > 0, ф £ ГО; 2л[ не существен-
ны: сняв их, мы не получим по формуле (2) новых решений.
19
в начальный момент времени t = 0 координата и скорость шарика
заданы:
Из (8) и (9) получаем:
х (0) = л0,
v (0) = v0.
(9)
Гх0 = A cos ф, /доч
|v0 = —Лео sin ф. v ’
Записав систему (10) в виде
х0 = A cos ф,
' — — = Л$1пф, (Юа)
(О
видим, что
/ 9 / г; \ 2
л= ¥<+(»)• (||)
Константы Л и ф суть не что иное, как длина и угол с осью абс-
•* / 1М \ * см
цисс вектора г х0; — с координатами х0 и —.
\ 0) / (О
Удобная формула для нахождения ф
tg 4 =-----—Z7, <12)
2 (о (х0 + Л)
будет обоснована в п. 90 (см. у пр. № 259).
В задаче, с шариком мы получили общий результат. ◄
Чтобы из бесконечного множества решений уравнения гармо-
нических колебаний (1) выделить одно-единственное решение, мож-
но задать начальные условия:
f (0) = f0. Г (0) = /о.
При данных с > 0, /0 и f уравнение
fn\t) = -cf (/)
имеет одно и только одно решение. Можно задать «начальные усло-
вия»
f (/о) = /о, Г = f0
и в любой другой точке
Упражнения
52. Напишите формулу гармонического колебания, в котором
амплитуда равна 3,5, период л, начальная фаза равна у .
Чему равна частота этого колебания?
* Вектор (т. е. параллельный перенос) с координатами х и у обознача-
ется г (.«; у).
20
53. Движение точки задано уравнением
у (0 = 0,8 sin t + лЛ .
\ 3 /
Чему равны период, амплитуда, начальная фаза и частота коле-
баний?
54. Преобразуйте правую часть уравнения
2* Л । л • л
• sin — cos х + 2 sin х cos —
6 6
к виду A cos (сох + ф). Чему равны период, амплитуда, на-
чальная фаза и частота колебаний?
55. Преобразуйте правую часть
у = 3 • — cos 2х + 3 • sin 2х
Z 2 2
так, чтобы уравнение представляло гармоническое колебание.
Укажите его параметры.
56. Найдите какое-нибудь, отличное от у == 0, решение дифферен-
циального уравнения
у" = -25у.
57. Проверьте, является ли функция х = 3 cos (2t + л) решением
дифференциального уравнения х" — —4х.
58. Докажите, что функция х = 2 cos М является решением урав-
нения х" = —16х.
59. Является ли функция х — 7 cos (3t + 5) решением дифферен-
циального уравнения х" = —9х?
81. Графики гармонических колебаний
1) Вам известно, что графики функций sin и cos — синусоиды,
причем график косинуса получается из графика синуса параллель-
ным переносом (горизонтально) влево на расстояние -у. Это легко
понять, заметив, что
• / । л \
cos X = sin X Н---.
\ 2 )
Вообще график функции
g (х) = f (х + а)
получается из графика функции f параллельным переносом на
расстояние |а|: влево, если а >0 (рис. 12; а = —), и вправо,
\ 4 /
если а < 0 (рис. 13; а = —-у) .
21
Рис. 12
Рис. 13
2) Отображение числовой плоскости на себя
(х; у) -> (х; ky)
(где k > 0) называется при k < 1 сжатием к оси Ох в отношении
1 : k и растяжением от оси Ох в отношении 1 : k при k > 1. Ко-
нечно, можно и не различать термины «сжатие» и «растяжение» и в
обоих случаях говорить о сжатии. Так мы и будем делать. При
помощи этого отображения из графика функции f получается гра-
фик функции
g W = kf (х).
В самом деле, уравнения
У = /(х) и ky = g(x)
равносильны. Но первое из них обозначает, что точка (х; у) лежит на графике
функции f, а второе, что точка (х; ky) лежит на графике функции g.
Пример 1. На рисунках 14 и 15 изображены графики функ-
ций у = 4 cos х и у = — cos х, получающиеся из графика функции
3
2
у = cos х сжатием к оси Ох в отношении 1 : 4 и 1 : — соответствен-
3
но. Для сравнения (штриховой линией) приведен исходный гра-
фик.
3) Отображение числовой плоскости на себя
(х; у) (kx; у)
22
будем называть сжатием к оси Оу в отношении 1 : k (где k > 0).
При помощи этого отображения из графика функции f получается
график функции
/ kx \
В самом деле, g (kx) = f I — I = f (x), т. e. уравнения
\ k ]
У = 1(х) и у — g (kx)
23
на графике функции /, а второе, что соответствующая точка (kx’t у) принадлежит
графику функции g.
П р и м е р 2. На рисунках 16 и 17 изображены графики функ-
ций у = cos и у = cos 20х, получающиеся из графика функции
у = cos х сжатием к оси Оу в отношении 1 : 2 и 1 : соответствен-
но. Для сравнения пунктиром приведен исходный график.
4) Покажем теперь, как из графика косинуса получается гра-
фик функции
у — A cos (сох + ф), А > 0, со > 0. (1)
► По третьему из установленных выше правил преобразования
графиков из графика
у = COS X
сжатием к оси Оу в отношении 1 : — получим график функции
(О
cos сох.
Из этого графика при помощи параллельного переноса на рас-
стояние вправо при ф < 0 и влево при ф > 0 получим гра-
(О
фик функции cos (сох + ф).
Наконец, из графика этой функции по второму правилу сжа-
тием к оси Ох в отношении k = получим график заданной функ-
ции (1). ◄
24
График функции (1) получается из графика косинуса такси
последовательностью преобразований: 1) сжатием к оси Оу
в отношении 1 : —; 2) параллельным переносом г(—— ;0);
о со
3) сжатием к оси Ох в отношении 1 : А.
Пример 3. График функции у = 3 cos (2х + 4) получается
из графика косинуса следующей последовательностью преобразо-
ваний:
I) сжатием к оси Оу в отношении 1 : ± (рис. 18);
2) параллельным переносом г (—2; 0) (рис. 19);
3) сжатием к оси Ох в отношении 1 : 3 (рис. 20).
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
25
Упражнения
С помощью каких преобразований из графика функции у = cos х
можно получить график функции:
60. f (х) = sin 2х. 64. v (х) = sin (х + -у
61. f (х) = cos f— х\ 65. v (х) = cos (х — 3).
\ 3 j
62. £ (х) = 4 sin х. 66. F (х) = 2 cos (Зх — 2).
63. g (х) = -| cos х. 67. F (х) = sin (2х + 5).
68*. График функции у = cosx подвергли преобразованиям: 1) ежа-
тию к оси Оу в отношении 1 : —; 2) переносу г (—;0V, 3) ежа-
тию к оси Ох в отношении 1:5; 4) переносу г (0;—3). График
какой функции получился? Запишите ее.
82. Сложение гармонических колебаний
с общим периодом
В физике часто встречаются величины, которые можно предста-
вить в виде суммы величин, совершающих гармонические колеба-
ния. В случае двух слагаемых такие величины изменяются во
времени по закону
f (0 = Ai cos (сох/ + <pt) + A2 (coa/ + <p2). (1)
Имеет место замечательный факт: если частоты сох и со2 совпа-
дают, то сумма / есть гармоническое колебание:
/ (0 = A cos (со/ + <р). (2)
Здесь со = со^ = со2, а константы А и ср можно вычислить, зная
константы Alt А2, <рх, <р2* Но соответствующие формулы сложны
(см. упр. 260). Сейчас мы покажем, что высказанное общее утверж-
дение можно доказать без громоздких вычислений. В самом деле,
функции
А (/) = cos (со/ + cpj, /2 (0 = А2 cos (со/ + <р2)
удовлетворяют уравнению гармонических колебаний
/; (о = -ла (0> (о = (0,
где k — со2.
Для их суммы
f = А + /2
находим:
Г (0 = < (О + f, (О = -У, (0 - (0 =
= -k (f. (I) + Ь (О) = -kf (t),
т. e. она тоже удовлетворяет уравнению гармонических колеба-
ний с k = со2 и, следовательно, записывается в виде (2). Еще один
способ доказательства указан в упражнении 70.
26
Упражнения
69. Пусть точка Р (0 равномерно движется по окружности число-
вой плоскости радиуса А с центром в начале координат против
часовой стрелки, проходя <о радианов за единицу времени.
Пусть вектор ОР с начальным положением ОР0 образует угол ср
с положительным направлением оси Ох (рис. 21а). Покажите,
что координата проекции точки Р (0 на ось Ох совершает гар-
моническое колебание, и определите соответствующие констан-
ты А, со и ф.
70. Воспользуйтесь результатом упражнения 69 для того, чтобы по-
казать, что сумма двух гармонических колебаний с общей час-
тотой является гармоническим колебанием с той же частотой.
У Казани е. Воспользуйтесь тем, что сумма ОР (/) векто-
ров OPi (f) и ОР2 (0, вращающихся с одинаковой угловой ско-
ростью, вращается с той же скоростью (рис. 216).
§ 17.
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИ-
ЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
83. Формулы приведения
Число 2л является периодом функций sin и cos. Так как любое
число х можно записать в виде
х = 2лп + и, где 0 и < 2л, n £ Z,
то нахождение значений sin и cos при любом х сводится к нахожде-
нию значений этих функций от аргумента и, лежащего в пределах
0 и < 2л. Можно, однако, пойти дальше, сведя нахождение
27
синуса и косинуса для таких и к вычислению синуса или косинуса
для а из промежутка
Нужные для этого формулы сведены
в первых трех строках следующей таблицы:
и sin и cos и
1 л т + “ cos а — sin а
2 л 4- а — sin а — cos а
3 Зл — 4- а 2 — cos а sin а
4 — а — sin а cos а
5 л ~2~ “ cos а sin а
6 л — а sin а — cos а
7 Зл — — а — cos а — sin а
2
В четвертой строке приведены формулы, выражающие то об-
стоятельство, что синус есть нечетная функция, а косинус — чет-
ная. Строки 5—7 получаются из строк 1—3 заменой а на —а в
соответствии со строкой 4.
Нахождение значений тригонометрических функций от углов,
измеренных в градусах, сводится к вычислению значений для уг-
лов в пределах от 0 до 90°. Именно в этих пределах значения триго-
нометрических функций даются в таблицах.
Выписанные выше формулы называют «формулами приведения»
для синуса и косинуса.
Формулы первой строки приведенной таблицы легко вывести,
используя теоремы сложения для синуса и косинуса:
sin | + а) = sin — • cos а + cos — • sin а =
\2 / 2 2
= 1 • cos а + 0 • sin а — cos а,
(ОТ \ ОХ • JT •
— + а = cos — • cos а — sin — • sin а =
2/2 2
= 0 • cos а — 1 • sin а — —sin а.
(Другое доказательство приведено в п. 102 учебника геометрии
для VIII класса.)
Формулы приведения для углов л + а и — 4- а также полу-
чаются с помощью теорем сложения.
28
Можно, однако, поступить и следующим образом:
(л ! л \\ {л \
— 4-1 — 4-all = cos—4-а = — sin а>
А \ " / / /
(л / л \\ / л \
— + I — -|- all = — sin I — 4- а) = — cos а,
(Зл \ / / л \\ /л \
—- -4- а = sin I л 4- — 4- а = — sin-4 а = —cos а,
2 / \ \ 2 // \ 2 /
/ Зл \ I (л \\ /л \
cos + а = cos л 44 — 4- а = — cos — 4- а =
\2 / \ \ 2 )) \ 2 /
— —(— sin а) — sin а.
Функции tg и ctg имеют период л. Так как любое число х можно
записать в виде
х = лп 4- и, где 0 и < л, п £ Z,
то нахождение значений tg и ctg при любом х сводится к случаю
значений аргумента и в пределах 0 и < л. Для перехода к аргу-
менту а из промежутка 0; — достаточно первой строки следую-
L 2 J
щей таблицы (формул приведения для тангенса и котангенса):
u tg U ctgu
1 Л — + a 2 — ctg a — tga
2 —a — tga — ctg a
3 л T~a ctg a tga
Во второй строке приведены формулы, выражающие то обстоя-
тельство, что тангенс и котангенс — нечетные функции. Строка 3
получается из строки 1 заменой а на —а в соответствии со строкой 2.
Формулы первой строки этой таблицы легко получить из фор-
мул приведения для синуса и косинуса:
/л \
М \ si”(T+“)
tg у + » = —T-„—4 = = - с‘е “•
cos — 4- a
\ 2 /
/л \
, ч cos — 4- a
/л \ \ 2 / — sin a
ctg — + a =------7-----— =--------= — tg a.
& \ 2 1 / /л \ cos a b
sin — 4“ a I
29
Существуют различные мнемонические правила, позволяющие
вспомнить формулы приведения. Например:
Если в формуле приведения угол а вычитается из числа или
прибавляется к этому числу, взятому нечетное число раз, то при-
водимая функция меняется на кофункцию\ если же числовзято
четное число раз, то название приводимой функции сохраняется.
Знак перед приведенной функцией ставится такой, каков знак при-
водимой функции в соответствующей четверти, считая угол а
острым.
Обычно формулы приведения применяют при упрощении триго-
нометрических выражений одновременно со свойствами периодич-
ности тригонометрических функций (вспомним, что у синуса и
косинуса период равен 2л, а у тангенса и котангенса равен л).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Приведем к тригонометрической функции остро-
го угла sin 228Г.
sin 2281° = sin (360° • 6 + 121°) = sin 121° =
= sin (90° + 31°) = cos 31е.
Здесь сначала отбросили период 360°, взятый 6 раз, а потом
121® представили в виде суммы 90° 4-31°.
Пример 2. Приведем к тригонометрической функции остро-
го угла tg 26,9л.
tg 26,9 л = tg (26л + 0,9л) = tg 0,9л - tg =
i / Tt \ i JT
= tg =
Здесь сначала отбросили период тангенса — число л, а потом
заметили, что 0,9л — число большее, чем -у, и применили форму-
лу приведения. Выгоднее применить формулу для числа л — а,
чем -^4- а, так как 4* — 0,9л, л— 0,1 л = 0,9л, а 0,1 л <
Упражнения
Приведите к значению тригонометрической функции положи-
тельного угла, меньшего 45°:
71. cos 89°. 73. tg 68°. 75. sin 48° 12'.
72. sin 71°. 74. ctg 47°. 76. cos 89°49'.
30
С помощью формул приведения замените данное значение значе-
нием тригонометрической функции острого угла:
77. cos 108°. 79. sin 115°12'. 81. tg 165°. 83. ctg 171е.
78. sin 162°. 80. cos 179°42'. 82. tg 104°. 84. ctg 168°.
Приведите к значению тригонометрической функции угла первой
четверти:
85. . 3 sin — Л. 9 88. cos — n. 91. ctg — л. 94. cos 100°.
4 10 9
86. . 2 sin — Л. 3 89. tg | л. 92. ctg — л. 6 18 95. sin 120°.
87. 4 COS — Л. 5 90. tg - л. 10 93. sin 172°. 96. cos 135°.
Приведите выражение к значению тригонометрической функ-
ции наименьшего положительного аргумента:
97. sin-^p. 101. cos 2-|л. 105. tg(— 300°).
98. cos (——У 102. cos 2,1л. 106. sin 1600°.
\ 3 /
99. tg(— 103. sin (—3729°). 107. ctg (—205°).
100. ctg f—1^1 104. cos 1825°. 108. tg 3672°.
\ 3 j
Докажите тождество:
109. sin (45° + a) = cos (45° — a).
110. cos (45° + a) — sin (45° — a).
111. tg (180° — a) = ctg (90° 4- a).
112. tgx + tg(n — x) + ctgfy 4-x) =tg(2n—x).
Упростите:
113. 2tgy — tg(y — л)— ctg[y— —
114 sin CT> _____ tg <90°+ a> I cos CT
sin (180°— a) ctg a sin (90° -f- a)
tg (180° — a) cos (180° — a) tg (90° — a)
sin (90° + a) ctg (90° + a) tg (90° + a)
tg (270° — a) sin 130° cos 320° sin 270°
ctg (180° — a) cos 50° sin 220° cos 360°
Вычислите:
117. 10 ctg 135° • sin 225° • cos 315°.
118. 8 sin — • cos — • tg 240° • ctg 210°.
31
84. Обратная функция к непрерывной
возрастающей (убывающей) функции
С обратными функциями вы встречались в седьмом и восьмом
классах. Например, на промежутке [0; оо[ функция х -► х2 имеет
обратную функцию х -> )/х. При этом по существу вы уже пользо-
вались теоремой, которая будет сформулирована в этом пункте.
Напомним, что две функции fug называются взаимно обратны-
ми, если D (f) = Е (g), Е (f) = D (g) и у0= f (х0) « х0= g (у0) для
любых х0С D (f) и у0£ D (g). Графики взаимно обратных функций
у =f(x) и y—g(x) симметричны относительно прямой у = х
(см. упр. 1008 — 1013).
Относительно обратных функций известна следующая теорема
(ее доказательство выходит за рамки школьного курса):
Теорема. Если функция f определена, непрерывна
и возрастает (убывает) на промежутке I, то мно-
жество ее значений есть некоторый промежуток J
(рис. 22). Иа этом промежутке J определена функция
g, обратная функции f. Функция g также непрерыв-
на. Если f возрастает на промежутке I, то g возрас-
тает на промежутке J (рис. 23а). Если f убывает
на промежутке 1, то g убывает на промежутке
J (рис. 236).
85. Свойства и график функции синус.
Функция арксинус и решение уравнения sin х = а
Рассмотрим график функции у = sin х на отрезке С—л; л]
?рис. 24). По общей схеме исследования находим производную:
sin' х = cos х.
Найдем критические точки. Так как cos х = 0 на отрезке [—л; л]
л л
только при х -----— и х = то эти точки являются критиче-
скими. Возрастание и убывание функции указаны в таблице.
— л л — л; — — 2 К 1 О) 1 л л 2 ’ 2 К | о» ю | Й а л
sin' х -1 — 0 + 0 — —1
sinx 0 —1 1 0
min max
Ввиду того что функция синус имеет период 2л, ее график пере-
ходит в себя при параллельном переносе г (2л; 0). Следовательно,
график функции sin на [—л + 2лп; л 4- 2лгс] получается из гра-
32
24,
фика, изображенного на
переноса г (2тсп-, 0), п С Z (рис. 25).
Функция синус на отрезке
прерывности принимает все значения из отрезка [—1; 1]. Поэтому
функция у=sin х на отрезке —у j обратима, т. е. имеет обрат-
ную функцию, которую называют арксинус и обозначают arcsin. Гра-
фик функции y=arcsin х изображен на рисунке 26. Этот график сим-
метричен графику функции y=sinx, х£ [—
прямой у = х. Из определения обратной функции следует, что
D(arcsin)=[—1; 1], Е (arcsin)= —
четная и возрастающая функция.
рисунке
с помощью параллельного
л
Г’ *2
л
— возрастает и в силу не-
, относительно
л , л
~2' ~2
и что арксинус есть не-
2 Заказ 423
33
Вычислим несколько значений
синуса.
. /2 л
arcsin-у = у, так как sin
_уг2 л Г л . л
~2~ И Т 2"’ ~2 ’
• ( 1
arcsin ------
\ 2
л
—, так как
6
sin
л
"б
2
арк-
л
7
л -
и
л л
2 ’ 2
• « «ГС
arcsin 1 = —, так
2
• ТС « Л
как sin — =1 и —
2 2
л
7
* ✓ 1 \ л • [ л \ « Л -
arcsin (—1) =------------, так как sin-------------— — 1 и---------------С
V 2 \ 2 / 2
л
~2
л
~2
Значения функции arcsin с двумя десятичными знаками проще
всего находить по таблице функции sin от числового аргумента. Для
вычисления значений с четырьмя знаками пользуются двумя таблица-
ми: синусов углов, выраженных в градусах, и перевода градусной
меры углов в радианную. При этом пользуются тем, что синус чис-
ла у равен синусу угла в у радиан.
34
Чтобы найти arcsin х, находят угол а° в пределах —90° а°
90°, для которого
sin а0 = х,
выражают а0 в радианах:
а° — у рад
и получают
sin у = х,
arcsin х = у.
Пример 1. Найдем arcsin 0,9063.
0,9063 « sin 65°,
65° «1,1345 рад,
arcsin 0,9063 « 1,1345.
Покажем, как введенная функция арксинус помогает решать
простейшие уравнения вида
sin х = а. (1)
Так как —1 sin х 1, то при а > 1 и а < —1 уравнение (1)
решения не имеет (рис. 27).
При а = 1 уравнение (1) принимает BHAsinx = l и имеет решения
х = -у 4- 2kn, k$Z.
При а — —1
х= — — + 2Лл, k^Z.
2
Л 3 ~| тт I» Г
— л . Действительно, на отрезке ——
Чтобы найти все решения уравнения (1) при |а| <1, достаточно
найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины 2л,
так как период синуса равен 2л. Из рисунка 28 видно, что удобно
взять отрезок
синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. А
на отрезке
значение тоже один раз. Следовательно, на каждом из этих двух
отрезков уравнение (1) имеет по одному решению. Решение урав-
нения (1), принадлежащее отрезку
определению арксйнуса.
Для того чтобы найти решение уравнения (1), принадлежащее
отрезку
V"’ синус убывает и принимает каждое свое
Л Л |
—; —L есть arcsin а по
2 2 I
—; — л , воспользуемся формулой
2 2
sin х = sin (л — х).
2*
35
Если х^[—; —л],
[2 2 J
Уравнение
то
fn л
---; —
2 2
(объясните почему).
sin х = а
равносильно уравнению
sin (л — х) = а.
л
2
А так как л —х С
п
~2
ТО
л — х = arcsin а,
т. е.
х = л — arcsin а.
Теперь, чтобы записать все решения уравнения (1), следует
воспользоваться периодичностью синуса, т. е. к каждому из двух
полученных решений прибавить числа вида 2л/л, т $Z. Получаем,
что множество решений состоит из двух бесконечных подмножеств:
х — arcsin а + л 2т, (2)
х = —arcsin а + л (2т + 1). (3)
Заметим, что формулы (2) и (3) объединяются в одну:
х — (—1)* arcsin а + nk, Z. (4)
Действительно, при четном k из формулы (4) получается формула
(2), а при нечетном k — формула (3) (проверьте это, подставив
в формулу (4) k = 2т и k = 2т + 1).
Замечание. При а — 1 и при а = —1 множества решений, опре-
деляемые формулами (2) и (3), совпадают.
Пример 2. Решим уравнение
По формуле (4) получаем:
х = (— 1 )k arcsin + rik, k^Z;
1/ 2 п
так как arcsin ~ (см. выше), то
х=(—1)А- + л/г, k£Z.
4
Пример 3. Решим уравнение
sin х = 1.
36
По формуле (4) получаем:
х = (—1)А arcsin 1 + лб;
так как arcsin 1 = (см. выше), то
X = (— 1)*“ + nfe.
При четных k = 2т имеем: х = — 4- 2т л. При нечетных k — 2т 4-
4- 1 получаем: х— —~ 4- (2т 4- 1) л = -у 4- 2/ил. Отсюда видно,
что при а = 1 запись решения упрощается:
х = -у 4- 2/лл, т £ Z.
Пример 4. Решим уравнение
sin х — 0.
По формуле (4) получаем:
х = (—l)ft arcsin 0 4- n>k.
Так как sin 0 = 0 и 0 ; — ,
2 2
то arcsin 0 = 0,
поэтому х = Ilk, k £ Z.
Пример 5. Решим уравнение
sin х — 0,932.
По формуле (4) получаем:
х = arcsin 0,932 4- л£, k С Z,
где arcsin 0,932 « 1,2.
Приближенное значение арксинуса найдено по таблицам Брадиса.
Перечислим теперь основные свойства синуса.
1. Область определения функции — вся числовая прямая:
D (sin) = R.
2. Множество значений синуса — отрезок [—1; 1] : Е (sin) =
= [—1; 1], т. е. синус — ограниченная функция.
3. Синус — нечетная функция: sin (—х) = —sin х для всех
х £ R.
4. Синус — периодическая функция с наименьшим положи-
тельным периодом 2л: sin (х 4- 2л) = sin х для всех х £ R.
5. sin х = 0 для всех х = лл, где п £ Z.
6. sin х > 0 для всех х С ]2лп; л 4- 2лл[, n £ Z .
7. sin х < 0 для всех х + 2лл; 2л 4- 2лл[, ti Z.
37
8. Функция синус непрерывна и имеет производную в каждой
точке числовой прямой.
9. Функция синус возрастает от —1 до 1 в промежутках
—— -f- 2лл; — + 2лп1, п £ Z.
2 2 J
10. Функция синус убывает от 1 до —1 в промежутках
[— 4- 2лп; —л 4- 2лп1, п С Z.
[ 2 2 J
11. Синус имеет минимумы, равные —1, в точках
х = — л 4* 2лл, п С Z.
2
12. Синус имеет максимумы, равные 1, при всех
х = — 4- 2ли, п С Z.
2
Упражнения
Докажите, что:
119. sin 2,3л = sin 0,3л.
120. sin (—330°) = —sin 330°.
121. sin 3,7л = —sin 0,3л.
122. sin 15° < sin 75° < sin 86°.
123. sin 2,16 > 0.
124. sin 4,5 < 0.
125. sin 95° > sin 105Q > sin 175е.
Отметьте на единичной окружности множество точек Рьдля
которых соответствующие значения синуса удовлетворяют
неравенству или уравнению:
126. sin t < —.
2
127. sin t < 0.
128. sin/ =
129. sin t = 0.
130. sin t > 1. _
131. sin/ <-^-
132. sin / > —~
133. sin / < 1.
134. sin t = 1.
135. sin / < 1.
136. sin / > —2.
Найдите значение арксинуса:
137.
138.
. 1
arcsin —.
2
arcsin
139. arcsin-'g—-
140. arcsin 0.
141. arcsin 1.
Решите уравнение:
142. sinx = 144. sin—x = 0,5. 2 ’ 2
143. sin 2x = -P-. 145. sinx— 0,6. 146. sin|4x—= —0,5. \ 6 /
38
86. Свойства и график функции косинус.
Функция арккосинус и решение уравнения cos х = а
Для исследования графика функции у = cosx на отрезке [—л; л]
(рис. 29) находим производную:
cos' х — —sin х.
Найдем критические точки. Так как sin х — 0 на отрезке [—л; л]
только в точках х — —л, х = 0 и х = л, то эти точки являются
критическими (поскольку это внутренние точки области определе-
ния косинуса). Возрастание и убывание функции указаны в таблице.
X —л ]- л; 0[ 0 ] 0; л [ л
cos' X 0 + 0 — 0
cosx —1 У 1 —1
min max min
Ввиду того что период функции косинус равен 2л, ее график
переходит в себя при параллельном переносе г (2л; 0). Следова-
тельно, график функции косинус на [—л + 2лп; л + 2лп] по-
лучается из графика, изображенного на рисунке 29, при парал-
лельном переносе г (2лп; 0,) п £ Z (рис. 30).
39
Из равенства sin^r-|- ~j = cosx видно, что
график функции косинус получается из графика
•*/ л \
функции синус параллельным переносом г ——; 0).
Поэтому график функции косинус — это сдви-
л
нутая влево на — синусоида.
Функция косинус на отрезке [0; л]
убывает и в силу непрерывности принимает
все значения из отрезка [—1; 1]. Поэтому
функция у — cos хна отрезке [0; л] обрати-
ма. Обратную функцию по отношению к
косинусу на отрезке [0; л] называют арккосинус и обозначают arccos.
График функции у = arccos х изображен на рисунке 31. Этот
график симметричен графику функции у = cos х, х £ [0; л], отно-
сительно прямой у = х. Из определения обратной функции сле-
дует, что D (arccos) = [—1; 1J, Е (arccos) = [0; л] и что арккоси-
нус — убывающая функция.
Вычислим несколько значений арккосинуса:
arccos Д5- = так как cos-§- = и С [0; л],
Z О о 2 о
I Л Л 1 Л Г Г\ п
arccos — = —, так как cos— = — и — С [0; л],
2 _ 3 3 2 _3 L J
л л 2 л
arccos — = так как cos — = -у- и С [0; л],
arccos0 = —, так как cos—= 0 и — С [0; л],
2 2 2
/ /2Л Зл Зл /2 Зл . гл п
arccos------н— = —, так как cos-т- =------------^75— и -т- £ [0; л].
\ 4Ь / ТГ Т Z» 71
Значения функции arccos с четырьмя десятичными знаками находят
с помощью двух таблиц: косинусов углов, выраженных в градусах,
и перевода градусной меры углов в радианную.
Чтобы найти arccos х, находят угол ос° в пределах 0° а0
180°, для которого
cos а0 = х,
выражают а0 в радианах
а0 = у рад
и получают
cos у = х, arccos х = у.
Пример 1. Найдем arccos 0,8746.
0,8746 « cos 29°,
29° « 0,5061 рад,
arccos 0,8746 « 0,5061.
40
Покажем, как введенная функция арккосинус помогает решать
простейшие уравнения
cos х = а.
(1)
Так как —1 cos х 1, то при а > 1 и а < —1 уравнение (1)
решения не имеет (рис. 32).
При а = 1 уравнение (1) имеет решение
х = 2л/г, k £ Z.
При а = —1
х = л + 2л&, k € Z.
Чтобы найти все решения уравнения (1) при |а| < 1, достаточно
найти все его решения на любом отрезке длины 2л, так как пе-
риод косинуса равен 2л. Из рисунка 33 видно, что удобно взять
отрезок [—л; л]. В самом деле, на отрезке [0; л] косинус убывает
и принимает каждое свое значение один раз. А на отрезке [—л; 0]
косинус возрастает и принимает каждое свое значение тоже один
раз. Следовательно, на каждом из этих двух отрезков уравнение (1)
имеет по одному решению. Решение уравнения (1) на отрезке [0; л]
по определению есть arccos а. Решение уравнения (1) на отрезке
[—л; 0] равно —arccos а ввиду четности функции косинус. Та-
ким образом, решениями уравнения (1) на отрезке [—л; л] будут
числа ztarccos а. Теперь, чтобы записать все решения уравнения
(1), следует воспользоваться периодичностью косинуса, т. е. к каж-
41
дому из двух найденных решений прибавить числа вида2лп, и CZ;
получаем два бесконечных множества решений:
х = arccos а 4- 2л л, (2)
х = —arccos а 4- 2лп. (3)
Полученные множества принято записывать с помощью одной
формулы:
х = ±arccos а 4- 2лл, п £ Z. (4)
Пример 2. Решим уравнение
1
COS X = —.
2
По формуле (4) получаем:
х = ± arccos — 4- 2л&, где k С Z,
2
или
х = ± — 4- 2л&, где k £ Z.
3
Пример 3. Решим уравнение
cos х = —1.
По формуле (4) получаем
х = ±arccos (—1) 4- 2лт, где т £ Z,
или
х = ±л 4- 2лт, где т £ Z.
Перепишем ответ в виде
х = л (2т ± 1).
Так как множества {2т 4- l[m^Z} и {2т—l|m£Z) совпа-
дают (это множество нечетных чисел), то вместо знаков ± пишут
4- или —:
х = л (2m 4- 1), где т С Z.
Пример 4. Решим уравнение
cos х = 0.
По формуле (4) имеем
х = ±arccos 0 4- 2л&, k С Z,
или
х = ±— 4-2л6, k£Z.
2
Перепишем ответ в виде
х = у (4/г ± 1), /г С Z.
42
Множество {4£ ± 11 k С Z} — это множество нечетных чисел
(объясните почему), т. е. множество {2п + 11 п £ Z}. Поэтому
ответ можно записать так:
х — (2п 4-1), где n С Z.
Пример 5.
cos х = —0,2756.
Пользуясь формулой (4), имеем:
х = ztarccos (—0,2756) + 2 л/г, k С Z.
По таблице находим
arccos (—0,2756) ~ 1,85,
поэтому
х ~ zb 1,85 4~ 2л&, k С Z.
Перечислим теперь основные свойства косинуса.
1. Область определения функции — вся числовая прямая:
D (cos) = R.
2. Множество значений косинуса — отрезок [—1; 1] : Е (cos) =»
= [—1; 1], т. е. косинус — ограниченная функция.
3. Косинус — четная функция cos (—х) = cos х для всех х С R.
4. Косинус — периодическая функция с наименьшим положи-
тельным периодом 2л: cos (х 4- 2л) = cos х для всех х С R.
5. cos х = 0
6. cos х > 0
7. cos х < 0
Л I — rj
при х = — 4- лп, n£Z.
для всех х С
для всех х £
— — 4- лп; — 4- 2лп
2 2
— 4- 2лп; — 4- 2лп
2 2
п С Z.
n^Z.
8. Функция косинус непрерывна и имеет производную в каж-
дой точке числовой прямой.
9. Функция косинус убывает от 1 до —1 в промежутках
[2лп; л 4- 2лп], п £ Z.
10. Функция косинус возрастает от —1 до 1 в промежутках
[—л 4- 2лп; 2лп], п £ Z.
11. Косинус имеет максимумы, равные 1, при всех х = 2лл,
п £ Z.
12. Косинус имеет минимумы, равные —1, при всех х — л 4-
4- 2лп, п С Z.
Упражнения
Докажите, что:
147. cos 8,4 л = cos 0,4л.
148. cos (—130°) - cos 130°.
149. cos 495° = —cos 45°.
150. cos 15° > cos 70° > cos 85°.
151. cos 2,65 < 0.
152. cos 98° > cos 108° > cos 118°.
43
Отметьте на единичной окружности множество точек Pit для
которых соответствующее значение косинуса удовлетворяет
неравенству или уравнению:
153. cos/<-|-. 156. cos/=0. 159. cos t = 7.
£ £
154. cos/>0. 157. cos/<^. 160. cos/=1.
155. cos t = 158. cos t > .
Найдите значение арккосинуса:
161. arccos—.
2 _
1^2
162. arccos-у-.
1/3*
163. arccos-у--
164. arccos 0.
165. arccos 1.
166. arccos f
\ 2 /
/ 1/ 2
167. arccos------*=-
168. arccos
169. arccos (—1).
Решите уравнение:
170. a) cosx =
6) cos 2x = —
x 1 r 2
в) cos -3X =
r) cos (4x + —— 0,7.
\ 3 j
Вместо звездочки поставьте знак равенства или неравенства,
чтобы получилось истинное высказывание:
171. a) arccos — * arcsin —;
2 2
• /2 /2
б) arcsin Aj— * arccos —
Найдите значение суммы:
175. arcsin— + arccos —.
2 _ 2
. 1/2 У 2
176. arcsin —F arccos
172. arcsin 0 * arccos 0.
173. arcsin -y- * arccos .
174. arccos 1* arcsin 1.
. Уз , Уз
177. arcsin -^2—F arccos .
178. arcsin 0 4- arccos 0.
179. arcsin 1 + arccos 1.
180*. Пользуясь формулой для нахождения производной обратной
функции (см. п. 112, стр. 118), докажите, что
• , 1
arcsin х = . ,
у 1 — х2
, 1
arccos х -------=-.
У1 — X2
181*. Докажите, что
, л
arcsin х + arccos х = —.
2
44
87. Свойства и график функции
тангенс. Функция арктангенс и
решение уравнения tg х = а
Так как наименьший положи-
тельный период функции тангенс
равен л, то для изучения свой-
ств функции у — tg х достаточно
изучить их на любом промежутке
длины л. Возьмем промежуток
—Т’ т[‘ К°нцы промежутка ис-
ключены, так как в них функция
тангенс не определена. Для пост-
роения графика найдем производ-
ную:
fg х = —
COS2 X
Выражение—-— положительно
cos2x
при всех значениях аргумента
(исключая х = — + ли, п £ Z, в
которых не определены тангенс и его производная). Значит, функ-
1 л я Г
ция тангенс возрастает на всем промежутке---------------; — .
2 2
Учитывая нечетность функции тангенс, строим сначала график
функции тангенс на промежутке а потом на промежутке
— V’ О] (точки гРаФика симметричны относительно начала ко-
ординат) (рис. 34).
Ввиду того что период функции тангенс равен л, ее график
переходит в себя при параллельном переносе г (л; 0). Следователь-
но, график функции тангенс на —у + лп; + лп^ получается
из графика, изображенного на рисунке 34, при параллельном пере-
носе г (лп\ 0), п С Z (рис. 35).
тт 1 л л
На промежутке ——
все числовые значения: Е (tg) = ]—оо; оо[, т. е. все значения из R.
№л л
возрастания следует, что на промежутке —-; —
тангенс обратима. Обратную функцию по отношению к тангенсу
на промежутке
тангенс возрастает и принимает
функция
л # л
~2' ~2
называют арктангенс и обозначают
45
л . л
Т’ *2
arctg. График функции у = arctg х изображен на рисунке 36.
Этот график симметричен графику функции у = tgx на промежут-
ке
ной функции следует, что D (arctg) = ]—оо; оо[, Е (arctg) =
= —У’‘2”[ и что аРктангенс — возрастающая функция.
Вычислим несколько значений арктангенса.
arctg 1 = —, так как tg — — 1 и —С
4 4 4
относительно прямой у — х. Из определения обрат-
Л
~2 .
л
л .
~~2*
Л
— Т’ Tl’
3
arctg(-/3) = -^-,
О
46
Значения функции arctg с четырьмя десятичными знаками находят
с помощью таблиц тангенсов углов, выраженных в градусах, и пе-
ревода градусной меры углов в радианную.
Чтобы найти arctg х, находят угол а° в пределах — 90° < а0 <
< 90°, для которого
tg а° = х,
выражают а0 в радианах;
а° = у рад
и получают
tg У = х,
arctg х = у.
Пример 1. Найдем arctg 2,747.
2,747 « tg 70°,
70° « 1,2217 рад,
arctg 2,747 « 1,2217.
Покажем, как введенная функция арктангенс помогает решать
простейшие уравнения
tg х = a. (1)
любом отрезке длины л (так как
рисунка 37 видно, что удобно взять
Чтобы найти все решения уравнения (1), достаточно найти все
решения этого уравнения на
период тангенса равен л). Из
промежуток
л ф л
~2'
Решение уравнения (1) на
л л
Т’ ~2
Пользуясь периодичностью функции
промежутке
есть arctg а,
по определению арктангенса.
тангенс (т. е. к arctg а надо прибавить числа вида лл, п С Z),
получаем решения:
х = arctg а + пп, где п £ Z.
(2)
Пример 2. Решим уравнение
tgx = 1.
По формуле (2) имеем:
х — arctg 1 -|- л&,
х = — 4- л/г, k С Z.
Пример 3. Решим уравнение
tg х = уз.
По формуле (2) получаем
х = arctg УЗ + лл, п £ Z,
JX । - г-»
х =----1- пп, n^Z.
3
47
Пример 4. Решим уравнение tg х = 5,177.
По формуле (2) получаем х = arctg 5,177 + л/г, х 1,38 +л&,
k С Z.
Перечислим основные свойства тангенса.
1. Область определения функции — множество всех действи-
тельных чисел, кроме чисел вида у 4- лп, где п £ Z.
2. Множество значений тангенса — вся числовая прямая:
Е (tg) = R. Таким образом, тангенс — функция неограниченная.
3. Тангенс — нечетная функция: tg (—х) = —tg х для всех
х € D (tg).
4. Тангенс — периодическая функция, с наименьшим положи-
тельным периодом л: tg (х 4- л) = tg х для всех х С D (tg).
tg х = 0 для всех х = лп, п £ Z.
tg х > 0 для
5.
6.
tg х
Функция
7.
8.
X £D (tg).
9. Тангенс
О для
tg
Л I Г уи
лп; — 4- лп , n ( Z.
---— + лп; лп , п £ Z.
2 L
непрерывна и имеет производную для всех
всех х £
всех х С
возрастает в каждом промежутке
-------h лп;----Н лп , где п £ Z.
2 2
Упражнения
Докажите, что:
182. tg 200° = tg 20°. 184. tg (—300°) = tg 60°.
183. tg 21,2л = tg 0,2л. 185. tg 6л = tg 0 = 0.
186. tg 3,6л = tg (—0,4л) = —tg 0,4л.
187. tg 3 = tg (3 - л) = -tg (л - 3).
188. tg 10° < tg 15° < tg 30° < tg 60° < tg 75’.
189. tg (-75°) < tg (-60°) < tg (-30°) < tg (-15°) < tg (-10°).
Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующее значение тангенса удовлетворяет
неравенству или уравнению:
190. 0 < tg / < 1.
191. — 2 <tg/ < —1.
192. tg t = 2,5. 194. tg t = 0.
193. tg t = —4,5.
Найдите значение арктангенса:
195. arctg /3.
196. arctg ^=r.
197. arctg 1. 198. arctg 0.
48
Решите уравнение:
199. tg х = 1.
200. tg -х =-U.
201. tg2x = /3.
202. tg3x = 3,5.
203. tg (yx + =0.
88*. Свойства и график функции
котангенс. Функция арккотан-
генс и решение уравнения
ctg х = а
Так как наименьший положи-
тельный период функции котангенс
равен л, то для изучения свойств Рис. 38
функции у = ctg х достаточно
изучить их на любом промежутке длины л. Возьмем промежуток
]0; л[. Концы промежутка исключены, так как в них функция
котангенс не определена. Для изучения графика найдем произ-
водную:
ctg' х = —
1
sin2 х
Выражение----------отрицательно при всех значениях аргу-
sin2 X
мента (исключая х = лп, п £ Z, в которых не определены котангенс
и его производная). Значит, функция котангенс, убывает на всем
промежутке ]0; л[. Учитывая проведенное исследование и то, что
49
Ввиду того что период функции котангенс равен л, ее график
переходит в себя при параллельном переносе г (л; 0). Следова-
тельно, график функции котангенс на ]лл; л (п + 1)[ получается
из графика, изображенного на рисунке 38, при параллель-
ном переносе г (л л; 0), п £ Z (рис. 39).
На промежутке ] 0; л [ котангенс убывает и принимает все значе-
ния числовой прямой /?, т. е. для области значений имеем:
£ (ctg) — ]— оо; оо[. Поэтому на промежутке ]0; л[ функция котан-
генс обратима. Обратную функцию по отношению к котангенсу
на промежутке ]0; л[ называют арккотангенс и обозначают arcctg.
График функции у = arcctg х изображен на рисунке 40. Этот
график симметричен графику функции у = ctg х относительно
прямой у = х. Из определения обратной функции следует, что
D (arcctg) = ]—оо; оо[, Е (arcctg) = ]0; л[ и что функция арк-
котангенс — убывающая функция.
Вычислим несколько значений арккотангенса:
arcctg ]/3 = — , так как ctg — = ]/3 и — £ ]0; л[,
6 6 6
arcctg, так как ctg = Уз_ и ]0;
О О О и о
arcctg (—1) = — , так как ctg — =—1 и — 00; л[.
4 4 4
Значения функции arcctg находят с помощью таблиц котанген-
сов углов, выраженных в градусах, и перевода градусной меры
углов в радианную.
Чтобы найти arcctg х с четырьмя десятичными знаками, находят
угол а0 в пределах 0°<а°< 180°, для которого
ctg а° = х,
выражают а° в радианах:
а° — у рад
50
и получают
ctg у = х, arcctg х = у.
Пример 1. Найдем arcctg 3,078.
3,078 «ctg 18°,
18° «0,3142,
arcctg 3,078 «0,3142.
Покажем, как введенная функция
арккотангенс помогает решать урав-
нения
ctg х — а. (1)
Чтобы найти все решения уравне-
ния (1), достаточно найти все решения
этого уравнения на любом отрезке длины л, так как периодом
котангенса является число л. Из рисунка 41 видно, что удобно
взять промежуток ]0; л[. Решение уравнения (1) на промежутке
]0; л[ по определению арккотангенса есть arcctg а. Теперь,
чтобы записать все решения уравнения (1), следует воспользоваться
периодичностью функции котангенс, т. е. к arcctg а прибавить
числа вида лп, п £ Z; получаем решение
х — arcctg а + л л, где п£ Z. (2)
Пример 2. Решим уравнение
ctg х = 1.
По формуле (2) имеем:
х = arcctg 1 Ч- л&, х = — 4- nk, k С Z.
4
Пример 3. Решим уравнение
ctg х = 3.
По формуле (2) получаем:
х = arcctg )ЛЗ + nk, х— + л/г, k £ Z.
Перечислим основные свойства котангенса.
1. Область определения функции — множество всех действи-
тельных чисел, кроме чисел вида лп, где п £ Z.
2. Множество значений котангенса — вся числовая прямая:
Е (ctg) — R. Таким образом, котангенс — функция неограни-
ченная.
3. Котангенс — нечетная функция: ctg (—х) = —ctg х для всех
х € D (ctg).
4. Котангенс — периодическая функция с наименьшим положи-
тельным периодом л: ctg (х +л) = ctg х для всех х £ D(ctg).
51
5. ctg x — 0 для всех х = 4- лп, п £ Z.
6. ctg х > 0 для всех х С ]лп; ^-4- лп[, п С Z.
7. ctg х < 0 для всех х С ] — у + лп; лп[, п 6 Z.
8. Функция ctg непрерывна и дифференцируема для всех
х € £> (ctg).
9. Функция ctg убывает в каждом промежутке ]пл; л + лл[,
п £Z.
Упражнения *
Докажите, что
204. ctg 312° = —ctg 48°.
205. ctg 17,3л = ctg 0,3л.
206. ctg (—320°) = ctg 40°.
207. ctg 6,4л = ctg (—0,6л) = —ctg 0,6л.
208. ctg 7 у л = ctg у - 0.
209. ctg 5° > ctg 15° > ctg 31° > ctg 45°.
210. ctg (—4°) < ctg (—14°) < ctg (—28°) < ctg (—45°).
Отметьте на единичной окружности множество точек Pt, для
которых соответствующее значение котангенса удовлетворяет
неравенству или уравнению:
211. О < ctg t < 1.
212. —2 < ctg t < 2.
213. ctg / = 1,5.
214. ctg / = 0.
Найдите значение арккотангенса:
215. arcctg/3.
216. arcctgpL=.
217. arcctg 1.
218. arcctg 0.
219. arcctg (—/3).
220. arcctg (—1).
221. arcctg [----Xx
k F'3
Вместо звездочки поставьте
чтобы получилось истинное
222. arcctg 1 * arctg 1.
223. arcctg /3 ♦ arctg ]/3.
знак равенства или неравенства,
высказывание:
224. arcctg ^==
225. arcctg 0 *
226. arcctg 2 *
’ arcts /Г-
arctg 0.
arctg 2.
Найдите значение суммы:
227. arctg У 3 + arcctg У3.
228. arctg^ +arcctg pL.
229. arctg 1 + arcctg 1.
230. arctg 0 -j- arcctg 0.
52
231. Пользуясь формулой для нахождения производной обратной
функции (см. п. 112), докажите, что
arctg' х = —L-,
. / 1
arcctg х =---------.
1 + хг
232. Докажите, что
arctg х + arcctg х = —
2
233.
234.
Решите уравнение:
ctg х — 1.
ctg-J-x = гз:
235. ctg2x = -^=.
/3
236. ctg Зх = 3,5.
237. ctg 1 х = 0.
§ 18.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ТОЖДЕСТВА И УРАВНЕНИЯ
89. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента
Как вы знаете, между четырьмя тригонометрическими функция-
ми синус, косинус, тангенс и котангенс существует три основных
соотношения:
sin2 а + cos2 а = 1, (I)
tg а , (2)
cos а
ctg а = —а . (3)
sin а
Из этих соотношений можно получить и ряд других зависимо-
стей между ними. Вам уже встречались случаи, когда требовалось
доказывать тождества с помощью этих основных соотношений.
Соотношение (1) справедливо при всех значениях а £ R.
Формула (2) имеет место при всех а, для которых tg а опреде-
лен, т. е. для всех а, принадлежащих R, кроме а вида лп,
п С Z. Соотношение (3) справедливо при всех а, для которых ко-
тангенс определен, т. е. для всех а £ /?, кроме а вида лл, n ( Z.
Из формул (1)—(3) можно вывести двенадцать формул, которые
в явном виде выражают значение одной из функций через соответ-
ствующие значения другой (см. таблицу на стр. 54).
53
sin a cos a tga ctg a
sin a = а a ± У1 — a2 a У1 — a2 ± a
cos a = а ± v 1 — a2 a ± У1 — a2 a a * у 1 — a2
tga = a a Ч~~ у f 1 + a2 1 * У r+ a2 a 2 a
ctg a = a 1 ± у 1 4- a2 a ± у 1 + a2 a a
Например, если sin a — a, to
cos a = ±У 1 _ a2, (4)
tga = ±^=, (5) У1 — a2
ctg a = ± Ekz£2. (6) a
Вывод этих формул из формул (1)—(3), как будет показано ниже,
довольно прост. Но внимания требуют: 1) смысл двойных знаков±;
2) особые случаи, когда при определенных значениях пере-
менной а выражение теряет смысл.
Рассмотрим подробнее несколько примеров.
Пример 1. Пусть |а| 1 и sin а = а. Найдем значение
cos а.
По формуле (1)
cos2 а + а2 = 1,
cos2 а — 1 — а2,
cos а = +)/1 — а2 или cos а = —1 — а2.
Покажем, что для любого а, удовлетворяющего условию | а | 1,
оба ответа годятся. Пусть ах есть корень уравнения sin а = а.
Тогда для а2 = л — ах по формуле приведения
sin а2 = sin (л — ах) = sin ах,
т. е. а2 тоже корень уравнения sin а = а. Но по другой формуле
приведения
cos а 2 = cos (л — ах) = —cos ах.
Если cos ах = ]/1 — а2, то cos а2 = —У 1 — а2; если же cos ах =
= —У 1 — а2, то cos а2 — 'У 1 — а2.
Теперь видно, что формула (4) действительно дает решение
задачи.
54
Однозначно найти по заданному sin а = а значение cos а мож-
но, если указано, в какой четверти расположено а. Например,
если известно, что sin а = —, то cos а =± —. Но если до-
2 2
полнительно известно, что а находится в IV четверти, то косинус
определяется однозначно: cos а = А-.
Пр и мер 2. Пусть |а| 1 и sin а = а. Найдем значение
tg а. Из (1) и (2) получаем:
. а , —а
tg а = — или tg а = . .
6 V1—а2 /1—а2
Как и в примере 1, оба ответа годятся. В самом деле, если для
ах и а2 = л — cq
sin ах = sin а2 = а,
то
tg аг = tg (л — ах) = —tg аь
так что если верно решение одного знака, то верно и решение проти-
воположного знака.
Если знаменатель У1 — а2 правой части формулы (5) обращает-
ся в нуль (при а = ±1), то sin а = ±1 и cos а = 0, a tg а не
определен.
Во всех остальных случаях положение аналогично:
1) если формула приводит к двум ответам, то оба они верны.
Однозначный ответ получается только при дополнительном указа-
нии четверти, в которой находится а;
2) если знаменатель выражения для tg а или ctg а обращается
при каком-либо значении а в нуль, то для соответствующих а
tg а или ctg а не определены.
Рассмотрим теперь конкретные примеры с числовыми данными.
Пример 3. Известно, что sin а =— у.
Найдем значения
остальных тригонометрических функций.
Значения cos a, tg а и ctg а находим по формулам (4)—(6):
55
1/3 4 _ 1
Получили две серии решений: cos а = Ц—» igа — ~т=,
Z F О
Ctg а = — Уз и cos а = — , tg а = , ctg а = ]/3.
Пример 4. Найдем значения остальных тригонометриче-
ских функции, если sin а =------и — < а < —.
J 7 2 2
По условию а находится либо в I, либо в IV четверти. Так как
sin а = — -у < 0, то а — число IV четверти. В четвертой четверти
косинус положителен, поэтому из двух решений, даваемых форму-
лой (4), условию задачи удовлетворяет только одно — положитель-
ное. Следовательно,
cos а =
1 _ 4 /з
49 7 ’
tg а = — ^7= . ctg а = —\У 3.
Пример 5.
Зл
л < а <— .
2
3
Найдем sin а, cos а и ctg а, если tg а — — и
4
— = 1
cos2a
. 1 4
ctg а = ---= — ,
tga 3 ’
_9 = 25
16 16’
,26 = _ А
1 25 5
4
cos а =--------,
5
sin а — —
Упражнения
238. Известно, что sin а = —0,8 и л < а <
tg а и ctg а.
239. Найдите cos a, sin а и tg а, если ctg а = —7
Найдите cos а,
и — <а <2л.
2
Упростите выражение:
240. sin2 a ctg2 а + sin2 а — 1.
241. (1 + tg2 а) • (1 — sin2 а) — sin2 а.
242. tg2a . 1 +ctg2a .
1 -f- tg2a ctg2 a
243. tg2 x — sin2 x — tg2 x sin2 x.
Докажите тождество:
244. —------sin x tg x = cos x.
COSX
245. sin2 x sin2 у + sin2 x cos2 у + cos2 x = 1.
56
246. (sin x cos у + cos x sin y)2 + (cos x cos у — sin x sin y)2 =
247*. sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = sin x 4- cos x.
248*. Дано: tg a 4- ctg a = m. Найдите tg2 a 4- ctg2 a.
Решите уравнение:
249. 2 sin2 x= 3 cos x.
250. 4 cos2 x— 8 sin x 4- 1=0.
2
90. Тригонометрические функции половинного
аргумента
Если в формулах
cos 2х = 1 — 2 sin2 х, cos 2х = 2 cos2 х — 1,
выведенных в IX классе (п. 73), положить х =у > получим
cos a = 1— 2 sin2 — и cos a = 2cos2— — 1.
2
Отсюда можно выразить sin у и cos у через cos a:
sin— — ч-l/1 ~cos a,
2 У 2
COS — =± 1/ 1 4-cosa
2 У 2
С помощью формул (1) и (2) можно вычислять значения синуса
a
и косинуса половинного аргумента — по заданному косинусу
аргумента а. Почленное деление равенства (1) на равенство (2)
дает формулу для вычисления tg у;
(1)
(2)
(3)
tg — — -b 1/ 1 — cos a
2 У 1 + cos a
Как и в n. 89, можно показать, что sin у , cos у и tg у опре-
деляются по cos а лишь с точностью до знака, т. е. в формулах
(1)—(3) надо брать оба знака. Если задано дополнительное усло-
вие — в какой четверти находится у , то значения sin у , cos у
и tg -у определяются однозначно.
Умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения
правой части формулы (3) на 1 + cos а, тогда после упрощений
получим:
a ___sin a
2 1 4- cos a
57
Но оказывается, что
. а sin а
tg — = —------------
2 1 cos а
(4)
Действительно,
sin а
1 + cos а
а а
2 sin — cos —
2 2
а
sin —
2
а
2 cos2 —
2
а
cos —
2
. а
Если умножить числитель и знаменатель подкоренного выра-
жения правой части формулы (3) на 1 — cos а и выполнить упро-
щения, то будем иметь:
2 sin а
Докажите самостоятельно, что
, а
tgT =
1 — cos а
sin а
(5)
Формулы (4) и (5) менее удобны, чем (3), так как в них прихо-
дится, зная cos а, находить и sin а или, зная sin а, находить cos а,
в то время как для пользования формулой (3) достаточно знание
одного лишь косинуса. Но формулы (4) и (5) не содержат знаки ± и
корня и тем самым имеют преимущество перед формулой (3).
Пример 1. Найдем sin 15° без таблиц:
________________ ,/i-**. ______
sin 15°= j/l-c°s3i)“ = |/ —JL = ± ]/г —/3.
Пример 2. Найдем значение tg 112°30' без таблиц:
tgll2°30' = —
1 Г1— cos 225°
г 1-f- cos 225°
1 + cos 45°
1 — cos 45°
Пример 3. Найдем sin — , cos — и
= 0,8 и 0 <а <2*.
2
Угол — находится в
tg -у, если cos а =
первой четверти, по-
этому перед корнем надо
во всех случаях ставить знак плюс;
а
sin — =
2
t—°*8 = /о,1 «0,316,
cos — =
2
= /0,9 =3 /ОД « 0,949,
tg “ = 1/ЬУ
2 V Ц-0,8
- «0,333.
3
58
Упражнения
4 тт 12 Зл у у О - ot ОС
251. Дано: cos а = — — и л < а < —. Найдите sin —, cos —
13 2 2 2
, а
и tgy •
252. Найдите sin — , cos — и tg — , если cos а = — и — <а<2л.
2 2 2 5 2
Докажите тождество:
253. 1 + sin х = 2 cos2 (— — -
254. 1 — sin х = 2 sin2 f— — —
\ 4 2,
Упростите выражение:
ft__ 1 + cos a . » a 2
255. —1-------tg2-------cos2 a.
1 — cos a 2
256. 1/ 1 ~ . ctg —----sin2 a.
r 1 + cos a 2
259*. Докажите формулу (11) п. 80, пользуясь формулой (4):
tg — ------------—.
2 со (х0 +Л)
260*. Пусть сумма гармонических колебаний
А (0 = Ai cos (<о/ 4- cpt), f2 (0 = А 2 cos (со/ + <р2)
записывается в виде
/1 (0 + fz (0 = cos (со/ + ф).
Покажите, что
A = VА\ 4- /2 + 2Д42 cos (ф2 — фх),
1g ф _ sin Ф1 + sin ф2
2 Л4-Лх cos Ф14-Л2 cos фа’
91. Выражение тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента
В п. 89 было показано, как по известному значению одной из
тригонометрических функций можно вычислить значения осталь-
ных тригонометрических функций того же аргумента. Однако
при этом результаты обычно получаются неоднозначные. В то
же время при решении тригонометрических уравнений, доказа-
тельстве неравенств и т. п. часто желательно все четыре функции
sin х, cos х, tg х и ctg х
выразить рационально через какую-либо одну функцию / (х).
59
В данном пункте будет показано, как выражаются значения
всех тригонометрических функций через функцию f (х) = tg у .
При этом мы воспользуемся тригонометрическими формулами двои-
ного аргумента. Так как sin х = 2 sin — cos — и cos х = cos2-
r J 2 2 2
— sin’y, т0 Для получения выражения, в котором имеется только
tg—, достаточно разделить правые части на sin2-f-cos2 — --1.
2 2 2
Тогда получим:
XX XX
2 sin — cos — cos2 — — sin2 —
2 2 2 2
sin X =-----------, COS X =-------------.
XX XX
sin2 — 4- cos2 — sin2 — 4- cos2 —
2 ~ 2 2 2
Теперь разделим числитель и
а х
знаменатель на cos у; получим:
sinx =
X
2tgT >
l+tg’f
COS X = --------.
l + tg’f
(1)
(2)
При этом надо учитывать область определения рассматриваемых
функций и дробей. В данном случае х =4= (26 4- 1) л, k С Z.
Выразим остальные тригонометрические функции через tg —,
используя формулу тангенса двойного аргумента:
X
2tg-
tgx =------(3)
1 - tg2 y
ctgx =--------. (4)
X
При этом надо учитывать область определения рассматри-
ваемых функций и дробей. Формула (3) теряет смысл при
60
х= -2-4- nk, k £ Z, и x = л 4- 2л/, / £ Z, а формула (4) —при
х = л/г, k С Z.
Пример. Решим уравнение
3 cos х 4- 4 sin х = 5.
Заменим синус и косинус выражениями с тангенсом половин-
ного аргумента. Получим (при х=£ (2k 4- 1)л, k С Z):
3|l_tg2-1 4|2tg—)
\ 9 \ 2 /
-------= 5.
1+ tg2-^ ,+ ‘ё2|
Обозначив tg у через у и упростив уравнение, получим:
4/ — 4у 4- 1 = О,
у = arctg 0,5 4- лп, n ( Z,
х — 2 arctg 0,5 4- 2лп, п С Z,
х « 2 • 0,464 4- 2лп, п £ Z,
х « 0,928 4- 2лп, п (1.
При решении были исключены числа вида (2&4~ 1)л, где k $Z.
Для таких х имеем cos х = —1; sin х = 0 и 3 cos х 4- 4 sin х =
— —3 =/= 5. Таким образом, в данном случае при применении
формул (1) и (2) корней потеряно не было.
Ответ, х « 0,928 4- 2 лп, п £ Z.
Упражнения
261. Найдите sin a, cos а, tg а и ctg а, если tg-y = 3.
262. Дано: tg-~ = —2. Найдите sin a, cos а, tg а и ctg а.
263. Найдите sin 2а, cos 2а, tg 2а и ctg 2а, если tg а = у .
264. Найдите значения sin 4а, cos 4а, если tg 2а = 8.
265. Найдите sin 4а, если tg а = 3.
92*. Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму
Часто при доказательстве тригонометрических тождеств, реше-
нии уравнений, упрощении выражений, а также при нахождении
первообразных функций (см. п. 98) бывает полезно заданные произ-
ведения тригонометрических функций представить в виде суммы
тригонометрических функций. Формулы для преобразования произ-
61
ведения тригонометрических функций в сумму можно получить
из формул сложения — косинуса и синуса суммы и разности
(см. п. 71).
Запишем синус суммы и синус разности аргументов а и 0:
sin (а + 0) = sin а cos 0 + sin 0 cos а, (1)
sin (а — 0) = sin а cos 0 — sin 0 cos а. (2)
Почленное сложение равенств (1) и (2) и деление на 2 обеих частей
полученного равенства дает формулу:
sin a cos 0 = -i- (sin (а + 0) + sin (а — 0)). (3)
Пример 1. Представим в виде суммы тригонометрических
функций произведение sin 75° cos 15°.
По формуле (3) имеем:
sin 75° cos 15° = у (sin (75° + 15°) + sin (75° — 15°)) =
= — (sin 90° + sin 60°) = — (1 j_ == 2+ ,
2 ' 2 \ ' 2 / 4
Запишем косинус суммы и косинус разности аргументов а и 0:
cos (а 4- 0) = cos а cos 0 — sin а sin 0, (4)
cos (а — 0) = cos а cos 0 + sin a sin 0. (5)
Сложив почленно равенства (4) и (5) и разделив полученное
равенство на 2, получим формулу:
cos a cos 0 = — (cos (а + 0) -J- cos (а — 0)). (6)
Вычтя почленно из равенства (5) равенство (4), получим:
sin a sin 0 = — (cos (а — 0) — cos (а-|-0)). (7)
2
Пример 2. Представим в виде суммы тригонометрических
функций
cos2 х cos Зх.
г. » 14- cos 2х
Сначала заменим cos2 х через ——-— , тогда получим
— (1 + cos 2х) cos Зх = — cos Зх + — cos 2xcos Зх.
2 2 2
Теперь применим формулу (6):
— cos Зх + — cos 2х cos Зх = — cos Зх + — (cos х + cos 5х).
2 2 2 4
62
Итак,
cos2 х cos Зх = — cos Зх 4- •— cos x 4- —cos 5x.
2 4 4
В итоге получилось выражение, содержащее тригонометриче-
ские функции в первой степени.
Упражнения
Представьте в виде суммы тригонометрических функций:
266. cos 40° cos 50°.
267. cos — cos —.
12 12
268. sin — sin -.
24 24
269. sin 110° sin 50°.
270. sin fx 4- —sin (x — — \
\ 4/ \ 4/
Представьте в виде,
и вычислите:
278. 2 sin 22°30' cos 7°30'.
279. cos 45° cos 15°.
280. sin 52° 30' sin 7° 30'.
271. sin fa 4- — 'j sin fa — — V
\ 3/ \ 6)
272. cos (x + P) cos (x — P).
273. sin (x + a) sin (x —a).
274. 4 sin 30° sin 20° sin 10°.
275. 4 cos 60° cos 20° cos 10°.
276. 4 sin 25° cos 15° sin 5°.
277. 8 cos 1° cos 2° cos 4° cos 8“.
удобном для вычисления без таблиц,
281. sin— sin — .
4 12
282. cos — cos — .
12 4
283*. 8 cos 10° cos 50° cos 70°.
Понизьте степень тригонометрической функции в выражении:
284. 2 cos2 х. 286. 2 cos2 х cos 2х. 288. sin2 6х.
285. 2 sin2 2х. 287. cos2 х sin2 х. 289. cos2 4х.
Докажите тождество:
290. 2 sin 4х sin 2х + cos 6х = cos 2х.
291. sin3xcos2x = — sinx—-sin5x 4- — sin3x-
8 16 16
292. sin 5x cos 3x cos 6x = — (sin 14x 4- sin 2x + sin 8x — sin 4x).
4
293. Верно ли равенство sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = — ?
93. Решение простейших тригонометрических неравенств
Вы уже встречались с решениями тригонометрических нера-
венств. Многие из них приводятся к решению простейших триго-
нометрических неравенств вида
sin х < a, sin х > a, sinx а
и т. п.
63
Рассмотрим примеры решения таких неравенств.
Пример 1. Решим неравенство
sin х <у . (1)
Чтобы решить неравенство (1), на рисунке 42 проведена
прямая у = у . Заметим, что эта прямая пересекает синусоиду
в бесконечном числе точек. На рисунке выделен один из промежут-
ков соответствующих значений аргумента, служащих решениями
данного неравенства. Эти значения х, удовлетворяющие неравен-
ству (1), записаны ниже:
— л < х < - л. (2)
6 6
' 17л , 25л '
~б" ’ "б"
не
и
Теперь, чтобы записать полный ответ, надо воспользоваться
5 13
периодичностью — л 4-2л£ < х < — л4-2л/г, fc$Z.
6 6
В качестве первоначального промежутка можно было бы избрать
5 л 13 л « и
—; — , а какой-нибудь другой, например
6 6 [_ j _
общий ответ записать, прибавив соответственно 2л&, k £ Z.
Пример 2. Решим неравенство
1
COS X % — .
2
(3)
Чтобы решить это неравенство, на рисунке 43 проведена прямая
у = Г, Заметим, что эта прямая пересекает график функции
у = cos х в бесконечном числе точек. На рисунке выделен один
64
из промежутков соответствующих значений аргумента, служащих
решениями данного неравенства. Эти значения х, удовлетворяю-
щие неравенству (3), записаны ниже:
(4)
На рисунке 43 промежуток, заданный неравенством (4), отме-
чен жирным отрезком оси абсцисс.
Теперь, чтобы записать полный ответ, надо воспользоваться
периодичностью функции косинус:
-4-2л^<х<- +2л&, k^Z.
з з
, и
В качестве первоначального промежутка можно было бы взять
’л 5л1 « о Г7д 11д'
—; — , а какой-нибудь другой, например — ; —
3 3 J [33
не
общий ответ записать, прибавив 2nk, k £ Z.
Пример 3. Решим неравенство
tg х > 1. (5)
Чтобы решить неравенство (5), на рисунке 44 проведена прямая
у = 1. Заметим, что эта прямая пересекает график тангенса
в бесконечном числе точек. На рисунке выделен один из промежут-
ков соответствующих значений аргумента, служащих решениями
данного неравенства. Эти значения х, удовлетворяющие неравен-
ству (5), записаны ниже:
— < х < —
4 2 ’
(6)
На рисунке 44 промежуток, заданный неравенством (6), отме-
чен жирным отрезком оси абсцисс.
3 Заказ 423
65
Рис. 45
Теперь, чтобы записать полный ответ, надо воспользоваться
периодичностью тангенса:
— 4- л/z < х <— 4- пп, п £ Z.
4 ^2
Пример 4*. Решим неравенство
ctg х < 1. (7)
Чтобы решить неравенство (7), на рисунке 45 проведена прямая
у = 1. Заметим, что эта прямая пересекает график функции у <=
= ctgx в бесконечном числе точек. На рисунке выделен один из
промежутков соответствующих значений аргумента, служащих
решениями неравенства. Эти значения х, удовлетворяющие нера-
венству (7), записаны ниже:
(8)
Теперь, чтобы записать полный ответ, надо воспользоваться
периодичностью котангенса:
— + < л 4- nk. k С Z.
4 Упражнения Решите неравенство: 294. sin х < UL . 2 295. cos х . 2 296. sin х 0,5055. 297. cos х 0,7900. 66 298. sin 2х < 1Z . 2 299. sin х cos — 4~ sin — cos х < — . 3 _3 ^2 300. sin f— — >£1. \2 J 2
301. 2 sin x • cos x
2
302. tgx > /3.
303. tg x < .
6 /3
304*. ctg .
305*. ctg x< УЗ.
306*. ctg (л — x) < —1.
307. cos — cosx-f-sin — sin x>- .
6 6^2
308*. ctg f— — d>—L .
\2 / /3
309*. tg x + tg 2x > J
1 — tg x tg 2x
94. Примеры решения тригонометрических уравнении
В пунктах 85—88 было показано, как решать простейшие три-
гонометрические уравнения.
Встречаются и более сложные тригонометрические уравнения.
Их решение требует знания формул, выражающих свойства триго-
нометрических функций. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Решим уравнение
6 sin2 х — 5 sin х + 1 = 0. (1)
Введем новую переменную, обозначив sin х = у. Тогда уравне-
ние (1) можно будет записать в виде
бу2 — 5у + 1 = 0.
Мы получили квадратное уравнение. Его корнями служат
У = — или У = Следовательно, sin х = или sin х = -^-.
В первом случае получаем решение:
х = (—l)ft arcsin — + nkt или х = (—1)й— + л&, k С Z.
2 6
Во втором случае имеем:
х = (—I)"1 arcsin — + пт, или х « (— l)m • 0,34 + лт, tn С Z.
3
Пример 2. Решим уравнение
6 cos2 х — 5 sin х + 5 = 0.
Заменяя cos2 х через 1 — sin2 х, приходим к квадратному уравне-
нию относительно sin х. Таким образом, заменой иногда удается
привести данное уравнение к уравнению, содержащему одну и ту
же функцию, а затем еще одной заменой получить алгебраическое
уравнение.
Пример 3. Уравнение
cos 2х + sin х = 0
также сводится к квадратному уравнению, если cos 2х заменить
выражением 1 — 2 sin2 х, а потом sin х обозначить через у (дове-
дите решение до конца).
3*
67
Пример 4. Решим уравнение
tg х 4- 2 ctg х = 3.
Обозначим tg х через у, тогда, учитывая, что ctg х=—, получаем
tgx
уравнение
У + 2 • - = з.
У
Оно приводится к квадратному уравнению у2 — Зу 4- 2 — 0 при
условии, что у 0. Его решения: у = 2 и у = 1.
1. tg х = 2, х = arctg 2 + пп, п £ Z,
х 1,11 + лп, п £ Z.
II. tg х = 1, х — — + nk, k б Z.
4
Пример 5. Решим уравнение
3 sin2 х — 4 sin х cos х + cos2 х — 0. (2)
Для этого можно воспользоваться формулами тангенса поло-
винного аргумента и решить потом получившееся биквадратное
уравнение. Однако данное уравнение можно решить проще.
Каждое слагаемое левой части — одночлен второй степени
относительно переменных у и г, где у = sinx и z = cosx. Гово-
рят, что это однородное уравнение второй степени относительно сину-
са и косинуса. Синус и косинус не могут быть одновременно равными
нулю. Так что значение аргумента, при котором одна из этих функ-
ций обращается в нуль, не является решением этого уравнения.
Поэтому можно обе части уравнения разделить на cos2 х (или на
sin2 х) и при этом получить уравнение, равносильное уравнению (2):
3 tg2 х — 4 tg х + 1 =0,
откуда
tg X = 1 ИЛИ tg X = -у ,
Следовательно,
X = — + Л/2, Л ( Z,
4
или
х = arctg — 4- nkt k £ Z.
3
Бывают однородные уравнения второй степени, например
уравнение sin2 х — sin х cos х 4- cos2 х = 0, и третьей степени,
например sin3 х 4- 2 sin2 х cos х — 3 sin х cos2 х 4- 2 cos3 х — 0.
Они также решаются делением левой и правой части уравнения
на косинус или синус в степени, равной степени однородности
G8
уравнения. Так, уравнение второй степени делят на cos2 х или
sin2 х, а третьей степени на cos3 х или sin3 х. Потом, заменой tg я
или ctg х на у, получают алгебраическое уравнение.
Упражнения
Решите уравнение:
310. 1 + cos х + cos 2х = 0.
311. 3 — cos2 х — 3 sin х = 0.
312. 4 sin x = 4 — cos2 x.
313. tg x + ctg x = 2-1.
314. cos — — 1 + cos x.
2
315. tg x — tg(^- —xj = 1.
316. 5 cos x + 12 sin x = 13.
317. sin x — sin 2x = 0.
318. 1 — cos х = 2sin — .
2
319. 1 + cos x = 2 cos—,
2
320. cos 2x = 2— sin x.
3
321. /3 sin x — cos x = 0.
322. cos x 4- sin x = 0.
323. cos2x—3 sin x cos x= —1.
324. 3cos2x=4sinxcosx—sin2x.
95. Доказательство тригонометрических тождеств
Доказать тригонометрическое тождество — значит с помощью
известных формул, связывающих между собой тригонометрические
функции, показать, что левая часть равна правой. При этом в до-
казательствах поступают иногда наоборот, преобразуют правую
часть так, чтобы получилось выражение, стоящее в левой части.
Можно преобразовать отдельно обе части так, чтобы они были
приведены к одному и тому же выражению.
Встречаются равенства, которые являются тождеством на одном
множестве и не являются тождеством на другом множестве. Так,
известные тригонометрические формулы являются тождествами
на определенных множествах. Например, формула
sin2 а 4- cos2 а = 1 (1)
является тождеством на всей числовой прямой R, т. е. а £]—оо; оо[.
Формула для тангенса двойного аргумента
tg 2а =
2tgq
1 — tg2 а
(2)
является тождеством не на всей числовой прямой R. Во-первых,
надо исключить точки, в которых не определены tg а и tg 2а, т. е.
точки вида а = 4- пп, п С Z, а =-^- 4- k С Z, во-вто-
рых, точки, в которых обращается в нуль знаменатель правой
части. Это точки, в которых tg2 а = 1, т. е. tg а = 1 и tg а = —1.
69
Такими течками будут точки вида а е= — 4- лт и а — — —4- лр,
4 4
т, р ZZ (отметим, что эти точки уже исключены, так как при таких
а не определен tg 2а).
При доказательстве тождества иногда в промежуточных дейст-
виях производят сокращения дробей. Тогда из области, на которой
задано тождество, надо исключить те значения, при которых обра-
щается в нуль множитель, на который происходит сокращение.
Например, при доказательстве тождества
cos4 а — sin4 а
cos2 а — sin2 а
преобразовывая левую часть, мы делим числитель и знаменатель
на cos2 а — sin2 а. Поэтому тождество (3) имеет место на множестве
действительных чисел, исключая точки вида а = ± — 4- лп,
4
п С Z.
Упражнения
Докажите тождество:
325.
326.
sin а _____ 1 — сс= а
1 4- cos а sin а
sin а + tg а .
------— .Л = tg а.
1 4- cos а
327 cos а + sin а
cos а — sin а
328. —cos-a—
1 sin а
4
329.
= 2 tgx.
„пп sin а 4-sm За , п
330. —---------= tg2a.
cos а -р cos За
sin (х — n)tg(x — )
331. --------------= — 1.
/Зл , \
cosi — +x)cts(n—
332. cos х tg (л 4- х) tg (—-jA---------------= 1.
\ 2 / . / л \
sin — — х
\ 2 }
„ / Зл \
cos- а — — I
333. ----------^-f- = cos f — 4-
sin (а — л) \ 2 /
334. = 1 4- cos (а — 90°).
1 4- s’n (—а)
70
96*. Сведения из истории
Задачи, которые теперь решаются при помощи тригонометриче-
ских функций, возникли давно. Особенно серьезные требования
к умению решать такие задачи в древности предъявляла астро-
номия. Астрономов интересовали соотношения между сторонами
и углами сферических треугольников, составленных из лежащих
на сфере дуг больших кругов. Они неплохо справлялись о более
сложными задачами, чем задачи на «решение» плоских треугольни-
ков, которыми вы занимались в восьмом классе.
Вместо наших таблиц тригонометрических функций древние
математики составляли таблицы длин хорд, стягивающих дуги
заданной длины. Самые ранние такие таблицы, составленные гре-
ческими математиками еще в III—II веках до н. э., не дошли до
нас. Наиболее древние сохранившиеся таблицы длин хорд были
составлены в Александрии астрономом Птолемеем (II в. н. э.).
Они содержат длины хорд окружности с шагом 30'. Длины хорд
записаны в виде трехзначных шестидесятеричных дробей, т. е.
в виде
а । b , с
60 + 602 ф 603~’
где а, Ь, с — целые числа от 0 до 59.
Тригонометрические функции sin, cos, tg, ctg, sec, cosec как от-
ношения длин отрезков, проведенных в окружности, встречаются
у индийских и арабских математиков V—X веков. Индийский
математик Ариабхата (конец V в.) знал формулу sin2 а +
+ cos2 ос — 1 и даже формулы для синуса, косинуса и тангенса
половинного угла (см. п. 90), которые служили ему для вычисле-
ния таблиц этих функций.
В Западной- Европе эти достижения были продолжены в XV—
XVI веках. Ряд результатов принадлежит здесь французскому ма-
тематику Ф. Виету (1540—1603). С возникновением дифферен-
циального исчисления были найдены формулы для производных
тригонометрических функций. Они по существу были известны уже
И. Ньютону. Их геометрический вывод можно найти у К о т е о а
(1682—1716). Достаточно ясные представления о поведении три-
гонометрических функций при изменении аргумента от —оо до 4-оо
встречаются уД. Валлиса (1616—1703). Но, вообще говоря,
математики до Л. Эйлера не проявляли в этом отношении большой
последовательности и в связи с отдельными задачами ограничивали
область определения тригонометрических функций различным
образом. Не было и ясности в том отношении, имеют дело о число-
выми функциями числового аргумента или имеется в виду зависи-
мость длин отрезков от величин углов или длин дуг.
Современный вид теория тригонометрических функций приобре-
ла только у Л. Эйлера, в частности в его книге «Введение в анализ
бесконечно малых» (1748).
71
Дополнительные упражнения к главе VI
Найдите производную функции:
335. у = sin 5х.
336. у = cos (6х + —
\ 2
337. у = cos2 (ах + &).
338. у = 2х sin х — (х2 — 2,3) cos (х + 2).
339. у = (х2 + х + 1) sin Зх.
340. у = sin х cos х.
341. у — tg х + (1 + ctg х) cos х.
Вычислите предел:
342*.
lim
344*.
v sin 4х
lim--------
sin7x
343*. lim
х-.о 5х
345*.
lim
х->0
sin 5х
tg Зх
Определите амплитуду, период и начальную фазу гармониче-
ского колебания:
346. a) y = 3sin(2x—— ); б) у = 2 cos ( —--------4х
\ 4 / \ 5 t
347*. а) у —— 0,6 cos^~ х + 0,3л);
б) у = sin (х + 1) + — cos (х + 1).
2 2
Исследуйте функцию при помощи производной и постройте
ее график:
348*. f (х) = 1,5 cos [2- х + — 1
349*. g (х) = 3 cos (1- X + —Y
350. Установите, является ли функция у = cos 2х — —) реше-
\ 4 }
нием дифференциального уравнения у" = — 4у.
Представьте формулу в виде уравнения гармонического ко-
лебания:
351. у — 2(sin — sin 2х + cos — cos2x|.
\ 4 4 /
352*. у = 3cos(3x + —W 4 sin (Зх + —
\ 12 У \ 12 j
72
353*. у = у (cos х — sin х).
354. у = 3 sin 2х.
355. у = 4 — 8 cos2 х.
356*. у = —2 sin х — 4]/3 cos х.
Упростите выражение:
357. cos (л — ос) • ctg (—---а
359.
1 — sin2 (л + х)
cos2 (л — а)
Ctg V- а Sin Г-~9
358. --—--------------
cos (л — ₽) • tg (—а)
360.
, /Зл
1 — cos I — — а
\ £
Докажите тождество:
361. tg х + tg (л — х) 4- ctg + х) = tg (2л — х).
362. sin (90° + у) cos (180° — у) • ctg (270е + у) =
= sin (90° — у) • sin (270° — у) ctg (90е + у).
Вычислите без таблиц:
363. 10 ctg 135Q • sin 210е • cos 225е.
364. 2 sin2 225° — ctg 330° • tg 405Q.
OP- . /з , .1
365. arcsin -----h arcsin —.
2 2
1 V2
366. arccos —t- arccos -—.
2 2
/ 1\ / Уз \
367. arcsin — —4- arccos — -— .
\ 2} \ 2 /
368. arctg (—1) + arctg 1.
369*. arctg /3 4- arcctg 1.
Проверьте равенство:
у 2 3
370. arccos 0 4- arcsin -— = — л.
2 4
371. arccos (—1) 4- arccos 1 = л.
372. arcsin (— 4- arcsin = 0.
\ 2 / \ 2 /
373*. arctg (—1) 4- arcctg 1 = 0.
73
Докажите тождество:
__л cos 2а cos а — sin а
•74. -------- --------------.
1 + sin 2а cos а 4- sin а
/ л \
tg2 — + а -1
375. -----------------= s i п 2а.
tg2 (v + ц) 4-1
378. Найдите sin —, cos — и t6 ,
2 2 2
a) sin а = 0,8 и 0 < а < —;
2
б) tg а = 3 у и 180’ < а < 2
„-л 1 — cos 2а + sin 2а ,
376. ----------------- -tga.
1 -j- cos 2а 4* sin 2а
377. Верно ли равенство:
sin 15° cos 15° = —?
4
если:
Докажите тождество:
Р . Р
COS — — sin —
2 2 1 . о
379. п-------Г = —7Г — tg Р.
р р cos р
cos — + sin —
2 2
380. ctg— — tg-2- = 2 ctga.
x A
381. Выразите sin a, tg a и ctg a через tg и вычислите их, если
1--------------/ /3-4
cos a =--------ил < a < —.
2 2
Решите уравнение:
382. sin4 — — cos4 — = 0,25.
2 2
383. cos3 x + 4 sin2 x = 2 sin 2x.
384. 4 (1 4- cos x) = 3 sin2 — cos—.
v 2 2
385. sin x 4- sin 3x = 0.
386. cos 2x — cos 6x = 0.
387. sin (— 4* —sin — !•
\ 6 / \ 6 /
Представьте в виде суммы:
388*. sin (2х 4- у) cos (х 4- 2у).
389*. cos (2a — Р) cos (2a 4- Р).
390*. sin (2х — у) sin (х 4- 2у)
391*. 4 cos2— • sin2 — .
2 2
74
Глава
VII
ПЕРВООБРАЗНАЯ
И ИНТЕГРАЛ
§ 19.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ
97. Первообразная
Вспомним пример применения операции дифференцирования в
механике. Если в начальный момент времени t = 0 скорость тела
v (0) = 0, то при свободном падении тело в обычной земной обста-
новке к моменту времени i пройдет путь
в(0 = |Л (1)
Дифференцированием находим скорость:
s' (0 = v (0 = gt. (2)
Второе дифференцирование дает ускорение:
v'W = «(/) = g. (3)
Оказывается, что ускорение постоянно.
В этой задаче формула (1) была найдена Галилеем из опыта.
Но более типично для механики другое положение: задан закон,
которому подчиняется ускорение (в нашем случае оно постоянно).
Требуется найти закон изменения скорости v (0 и найти координа-
ту s (0.
Для этого служит операция интегрирования, обратная опера-
ции дифференцирования. С ней мы познакомимся в этой главе.
Перейдем к определениям.
75
Определение. Функция F называется первообразной на
заданном промежутке для функции f, если для всех х из этого про*
межутка
F'& = I (х). (4)
Пример 1. Функция F (х) = — есть первообразная для
3
функции f (х) = х2 на промежутке ’]—оо; оо[, так как F’ (х) =i
_ = 2- (х3)' — — • Зх2 = ха = f (х) для всех х С ]—°°;
\ 3 / 3 3
<>
Легко заметить, что — 4-7 имеет ту же самую производную х2.
3
Поэтому и функция -4-7 есть первообразная для х2 на R. Ясно,
3
что вместо 7 можно поставить любую постоянную.
Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообраз-
ной не однозначна, она имеет бесконечно много решений. В сле-
дующем пункте вы увидите, как найти все эти решения.
Пример 2. Для функции f (х) = —кг на промежутке ]0; оо[
Ух
первообразной будет функция F (х) = 2]/х, так как F' (х) =s
= (2)/х)' = 2 • —= ~^= = f (х) для всех х из этого проме-
2 У х у х _
жутка. Так же как и в примере 1, функция 2]/х 4- С при любой
постоянной С есть первообразная для функции -Дг на том же про-
У х
межутке ]0; оо[.
Упражнения
Докажите, что функция F есть первообразная для функции f
на указанном промежутке, если:
392. a) F (х) = 3/х, f (х) = х СО; оо[;
б) F (х) = sin х 4- 3, f (х) = cos х, х С ]—оэ; оо[.
393. a) F (х) = А;/? - 5, f (х) = 3-L, х £ ]0; оо[;
2 V X
б) F (х) = 4 — cos х, f (х) = sin х, х С ]—оо; оо[.
394. a) F (х) = 4/х*. /(х) =/х, хё ]0; со[;
4
б) F (х) = tg х - У2, I (х) = -L-, х gl -i-;
cos2х J 2
395. a) F (х) = У У f (х) = УТ, хё ]0; со[;
О
б) F (х) = 3 — ctg х, f (х) = —х G0; л[.
sin2 X
76
396. a) F (x) = 14— 1, / (x) = ——, x£ ]—oo; 0[;
X X2
6) F (x) = 9 -1, f (x) = -L, x£ JO; co[.
X X-
397*. a) F (x) = |x|, / (x) = 1, x£ JO; oo[;
6) F (x) = |x|, f (x) = -1, xe D-oo; 0[.
Найдите первообразную для функции f на R, если:
398. f (х) = х\ 400. / (х) = х.
399. / (х) = х4. 401. /(х)=2р
98. Основное свойство первообразной
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функ-
ции найти все ее первообразные. При решении этой задачи основ-
ную роль играет следующая лемма.
Лемма (признак постоянства функции). Для того чтобы
функция была постоянной на интервале, необходи-
мо и достаточно, чтобы ее производная равнялась
нулю на этом интервале.
Доказательство необходимости следует из того, что производная
постоянной равна нулю. Достаточность следует из таких нагляд-
ных геометрических соображений: если график функции во всех
точках имеет горизонтальную касательную, то он должен совпадать
с некоторым отрезком горизонтальной прямой.
Докажем теперь основное свойство первообразных.
Теорема. Если функция F есть первообразная для
функции f на промежутке 1, то при любой постоян-
ной С функция
F(x) + C (1)
также является первообразной для функции f на
промежутке /. Любая первообразная функции f на
промежутке I может быть записана в виде F(x)-]- С.
Для доказательства теоремы надо проверить два факта:
1) какую бы постоянную в формуле (1) ни поставить вместо С,
получится первообразная для функции /; 2) какую бы первообраз-
ную для функции f ни взять, ее можно получить из формулы (1)
при соответствующем подборе постоянной С.
Первое утверждение проверяется простым подсчетом. Так как
F'(x) = /(х) для всех х из интервала /, то для всех х из этого
интервала (F(x) + С)' = F'(x) + (С)' = / (х) + 0 = / (х), т. е.
F(x) + С есть первообразная для функции f (х).
Для доказательства второго утверждения воспользуемся призна-
ком постоянства функции. Пусть Ф — еще одна первообразная
77
для функции I на том же интервале /,
т. е. Ф' (х) = f (х) для всех х из ин-
тервала I. Тогда для всех х из интер-
вала / имеем:
(Ф (х) — F (х))' = Ф' (х) — F' (х)
Отсюда следует, в силу признака
постоянства функции, что разность
Ф — F есть функция, постоянная на
интервале 7.
Таким образом,
Ф — F = С, или Ф = F + С,
что и требовалось доказать.
Геометрически основное свойство
первообразных может быть выраже-
но так: графики всех первооб-
разных функций f получаются
из любого из них параллельным
переносом вдоль оси Оу (рис. 46).
Пример. Найдем для функции
первообразную, график которой
проходит через точку М (9; —2).
Любая первообразная функции
1
-т=. записывается в виде
Ух
2/х + С.
На рисунке 47 изображены графики
этих первообразных. Найдем среди
них график, проходящий через точку
М (9; —2). Для этого решим урав-
нение
—2 = 2]/9 + С.
Получаем С =* —8. Следовательно, искомая первообразная имеет
вид:
2у7 —8.
Выражение —cosx4- С называют «общим видом» первообраз-
ных для функции sin. Аналогично и для других функций.
Ниже приводится таблица первообразных для степенной и не-
которых тригонометрических функций.
78
/W х0 (а ^—1) sin х COS X 1 1
cos2 X sin2 x
F(x) +с — cos х + С sin х С tgx + C — ctgx + C
Проверьте ее самостоятельно по образцу упражнений 392—396.
При этом надо иметь в виду, что для степенной функции ха при
целых а это есть следствие теоремы из п. 48, а для остальных пока-
зателей а формула будет установлена в п. 115.
Упражнения
Найдите для функции f первообразную, график которой
проходит через заданную точку:
402. f (х) = х3, М (2; 1). 405. f (х) = —2, М (3; 5).
403. f (х) = sin х, М (0; 3). 406. f (х) - —, М (-з\
х3 \ 2 ]
404. /(х) = —, М о\ 407. / (х) = cos х, М (—; 01
cos2 х \ 4 / \ 2 /
408. График одной из первообразных функции проходит через
/ X2
точку (1; 2), а второй — через точку (8; 4). График какой из
них расположен выше? Какова разность этих первообразных?
99. Три правила нахождения первообразных
Правила отыскания первообразных похожи на соответствую-
щие правила вычисления производных.
Теорема 1. Если F есть первообразная для f, a G —
первообразная для g, то F+G есть первообразная
для f+g.
Действительно, так как F' — f и G' = g, то по правилу вы-
числения производной суммы имеем:
(F + 6)' = F + G’ = / + g.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если F есть первообразная для f, a k—
постоянная, то kF есть первообразная для kF.
Так как F' = f, то по правилу вычисления производной
(kF)' = kF' = kf.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Если F(x) есть первообразная для функ-
ции f(x), a k и Ъ —постоянные, то ± F (kx + b) есть
первообразная для функции f(kx + b).
79
Так как F' = f, то по правилу вычисления производной от
сложной функции имеем:
(1 F (kx + b)\ = — F' (kx + b) • k = f (kx + b).
\k j k
Теорема 3 доказана.
Приведем примеры на использование этих теорем.
Пример 1. Найдем все первообразные для функции х3 + —.
ят* Х^
Так как для функции х3 одна из первообразных есть —, а для
4
функции — одной из первообразных является—-, то, по теореме 1,
X2 X
1 х1 1
для функции х3 + —• первообразной будет----------------.
ха 4 х
Общий вид первообразных есть
х*_____1_
4 х
Пример 2. Найдем одну из первообразных для функции
5 cos х.
Так как для функции cos х одна из первообразных есть sin х,
то, по теореме 2, искомая первообразная есть 5 sin х.
Пример 3. Найдем одну из первообразных для функции
sin (Зх — 2).
Так как для функции sin х одной из первообразных является
— cosx, то, по теореме 3, искомая первообразная равна
— cos(3x — 2).
Пример 4. Найдем одну из первообразных для функции
(7 — Зх)8 •
Так как для функции — первообразной будет то, потео-
х8 4х4
реме 3, искомая первообразная есть — ♦——— = -----------?----.
н г —3 4(7 — Зх)1 12(7 —Зх)1
Пример 5. Найдем одну из первообразных для функции х2—
— 5Кх + —-—.
r COS2 Зх
Как и в предыдущих примерах, при помощи теорем 1 — 3 нахо-
х3 10 — 2
дим, что искомая первообразная есть-------х ух 4—tg Зх.
3 3 3
Упражнения
Найдите первообразные для функции:
409. 5х2—1.
410. —----4 sinx.
ха
411. —=
К2х +
412. ——
cos2 5х
80
413. —------.
sin2 Зх
414. 1—cos3x.
415. 7sin- 4-------2---.
3 cos2 4x
416*. ----------------cos-
j- (5 — 2x)2 2
417*. 2 sin —-------------.
10 (3x — 1)3
418*. 7 — 3x + x3----------—
sin2 —-
2
100. Площадь криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [а; 6] задана неотрицательная непрерывная
функция f. Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком этой
функции, отрезком [а; Ь] оси Ох и перпендикулярами, проведенны-
ми к оси Ох в точках а и Ь (рис. 48). Эта фигура называется кри-
волинейной трапецией. В этом пункте мы будем вычислять площа-
ди таких фигур.
Пример 1. Вычислим площадь криволинейной трапеции,
ограниченной сверху графиком функции f (х) = х2, отрезком [1; 2]
оси Ох и прямыми х = 1 и х = 2 (рис. 49).
Возьмем х С [1; 2] и рассмотрим часть этой криволинейной тра-
пеции, расположенную левее точки х (рис. 50).
Площадь этой фигуры, заштрихованной на рисунке 50, обозна-
чим S (х). Тем самым на отрезке [1; 2] определена функция S (х).
Вычислим производную этой функции. Чтобы не осложнять вычисле-
ний, приведем наглядную схему вычисления для случая Дх > 0.
Тогда
AS (х) = S (х + Дх) — S (х)
есть площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 51. Очевидно,
что
пл. A BCD < AS (х) < пл. ECDN,
или
х2 Дх < AS (х) < (х + Дх)2 Дх, т. е. х2 < < (х + Дх)2,
Дх
0 < — х2 < 2хДх + (Дх)2.
Ах
Отсюда видно, что при Дх, стремя-
щемся к нулю, дробь —— имеет
Дх
предел, равный х2. Следовательно,
S'(x) — lim х\
Дг-0 Дх
81
Рис. 49 Рис. 50 Рис. 51
Таким образом, S(x) есть первообразная для функции х2 и потому
в силу основного свойства первообразных может быть записана
в виде----1- С. Для определения постоянной С заметим, что S(l) =
3
= 0, так как при х = 1 фигура на рисунке 50 превращается в вер-
тикальный отрезок, площадь которого равна нулю. Поэтому по-
I3
стоянную С надо выбрать так, чтобы S(l) ------И С = 0, откуда
получаем, что
£
3’
Следовательно,
S(x)
л-3
3 з'
Искомая же площадь есть
Рассуждения, приведенные выше, сохраняются и в общем
случае.
Теорема 1. Пусть f —непрерывная и неотрица-
тельная на отрезке [а; Ь~\ функция и S есть пло-
щадь соответствующей криволинейной трапеции
(см. рис. 48).ЕслиР есть первообразная для f на ин-
тервале, содержащем отрезок [а; &], то
S=F(b) — F(a). (1)
Рассмотрим часть этой криволинейной трапеции, расположенную ле-
вее точки х (рис. 52). Площадь этой фигуры есть функция от х — обозначим
ее 5 (х). Докажем, что
$'(*) = 7(х). (2)
82
Если Дх > О, то AS (х) = S (х + Ах)' — S (х)' есть площадь заштриховак-
ной на рисунке 53 фигуры. Поскольку функция / непрерывна в точке х, то
для любого числа в > 0 найдется такое число 6 > 0, чго f (х) — е <
<f(x + Дх) <f (х) Ц- 8 Для любых Дх, таких, что |Дх| < 5. Следовательно,
для всех Дх, таких, что 0 < Дх < 6 (как это видно из рис. 53),
пл. ABCD < AS (х) < пл. KMCD
или
(/ (х) — е)Дх < Д5 (х) < (/ (х) + 8)Дх,
т. е.
< Д-S (*)
Дх) — е < ——- < / (х) 4- 8. (3)
1лХ
Аналогично проверяется, что полученное неравенство сохраняется и для
всех отрицательных Дх, удовлетворяющих неравенству —5 < Дх < 0.
Итак, неравенство (3) выполняется для всех Дх, таких, что 0 < |Дх| < 6,
это означает по определению предела, что
AS ,
lim —— = /(х).
д«-о Дх
А так как по определению производной
о, к AS(x)
S (х)=> lim----
Дх-о Дх
то формула (2) получена.
Итак, мы получили, что функция S (х) есть первообразная для функции f
и потому в силу основного свойства первообразных S (х) ™ F (х) + С,
где С — постоянная. Для нахождения постоянной в заметим, что S (а) =»
= 0, так как при х =* а фигура, заштрихованная на рисунка 52, превраща-
ется в вертикальный отрезок, площадь которого равна нулю. Поэтому по-
стоянную С надо подбирать так, чтобы выполнялось равенстве
S (а) = F (а) + С = 0. Отсюда С =• — F (а).
Следовательно,
S (х) = F (х) - F (а). (4)
А так как площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рисунке
48, есть S (Ь), т. е. S = S (д), го из формулы (4) при х « Ь получаем форму-
лу (1).
Вы видели, что нахождение производной функции в большинстве слу-
чаев связано лишь с трудностями вычислительного характера. Нахождение
же первообразных связана со значительными трудностями. Более того, не
сразу ясно, имеет ли данная функция первообразную или не имеет. В связи
с этим отметим, что любая непрерывная на промежутка функция имеет
Рис. 52
Рис. 53
83
первообразную. Однако может оказаться, что первообразную некоторой функ-
ции достаточно простого вида нельзя записать в виде композиции изучаемых в
школе функций. Так обстоит дело, например, для функции у = 2*2. Подроб-
нее об этом рассказывается в п. 106.
Упражнения
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
419. у = Д у = 0, х=3. 422. у= > j,=0>x=0,x=-!i.
420. у— у — 0, х = 1, .г—2. 423. у = 2х — х2, у = 0.
421. у = sin х, у = 0, 0 х л. 424. у = (х + 2)2, у — 0, х = 0.
§ 20.
ИНТЕГРАЛ
101. Формула Ньютона — Лейбница
В предыдущем пункте вы видели, что вычисление площади кри-
волинейной трапеции сводилось к следующему: для заданной функ-
ции пишется первообразная и вычисляется приращение первооб-
разной. Далее вы увидите, что к таким вычислениям сводится ре-
шение многих задач. Так как у функции первообразных бесконечно
много, то естественно возникает вопрос, не зависит ли результат
таких вычислений от выбора первообразной? Оказывается, нет.
В самом деле. Пусть F и Ф есть первообразные функции f на про-
межутке /. Тогда в силу основного свойства первообразных суще-
ствует такая постоянная С, что Ф (х) = F (х) + С для всех х £ /.
Следовательно, если числа а п b принадлежат промежутку /, то
Ф ф) — Ф (а) = F (Ь) + С — F (а) — С = F (&) — F (о), т. е. при-
ращения этих первообразных равны.
Получается, что приращение первообразной зависит только
от заданной функции f и чисел а и Ь.
Поскольку решение многих задач сводится к вычислению при-
ращения первообразной, то для него введено специальное название
и обозначение.
Определение. Интегралом от а до b функции f называет-
ся приращение первообразной F этой функции'. F (Ь) — F (а).
Интеграл от а до b функции f обозначается так:
ъ
У U) dx,
84
читается: «интеграл от а до b эф от икс дэ икс». Числа а и b назы-
ваются пределами интегрирования, а — нижним, b — верхним.
Знак J называется знаком интеграла. Функция [ называется подын-
тегральной функцией, а переменная х — переменной интегриро-
вания. Отрезок о концами а и b называется отрезком интегрирова-
ния. Подчеркнем, что верхний предел интегрирования b не обяза-
тельно больше нижнего предела интегрирования а, может быть и
а > b и а ~ Ь.
Итак, по определению интеграла*, если F’ = f, то
ь
J7 (х) dx = F (0 - F (a). (1)
a
Это равенство называется формулой Ньютона—Лейбница.
Пример 1. Вычислим
2
Jxa dx.
— 1
Поскольку для функции [ (х) = х2 первообразной будет функция
хэ
—, то
3
2
с 2 . 23 (—1)3 о
\ х2 dx =----v—— = 3.
J 3 3
—1
Для удобства записи для приращения первообразной F (Ь) —
— F (а) принято сокращенное обозначение F (х)|*, т. е.
F (6) - F (а) = F (х) |2. (2)
Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона — Лейбница обыч-
но записывают в виде
ь
у/ (х) dx = F (Х)|2. (3)
а
Пример 2.
Я
j sin х dx = — cos x I” = — cos л — (— cos 0) = 2.
о
* Во многих учебных пособиях интеграл
b
J7 (x) dx
a
с заданными пределами а и Ь называется «определенным интегралом». Дела-
ется это в тех пособиях, в которых первообразная или общее выражение
первообразной в виде F (х) + С называется «неопределенным интегралом».
Тогда для отличия от «неопределенного интеграла» интегралу в принятом
нами смысле приходится давать особое название — «определенный интег-
рал». Мы этой терминологией пользоваться не будем.
85
Формулу (1) из п. 100 для площади криволинейной трапеции
(рис. 48) мы теперь будем записывать так:
ь
8 = ^1 (х) dx. (4)
а
Таким образом, интеграл от неотрицательной функции есть
площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом за-
ключается геометрический смысл интеграла.
Например, вычисления, проведенные в примере 2, показывают,
что площадь, заштрихованная на рисунке 54, равна 2.
Пример 3. Вычислим площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 1 — х и у = 3 — 2х — ха.
Нарисуем графики этих функций (рис. 55) и найдем абсциссы
точек их пересечения из системы уравнений:
(У = 1 — х,
(у = 3 — 2х — ха.
Приравнивая правые части, получаем уравнение 1 — х =s
= 3 — 2х — х2, откуда х = 1 и х = —2. Искомая площадь может
быть получена как разность площадей криволинейной трапеции
ВАЗС и Д ВАС.
По формуле (4)
Вцазс = С (3 — 2х — х2) dx = (Зх — х2 — — 1 =>
j V з у —2
= 3 — 1 —4 — 3 - (-2) + (-2? + (=4 = 9;
о О
8ШС= ||ЛВ| |ВС| = 1 • 3-3 = 41.
М Мл»
Следовательно, площадь заштрихованной фигуры
<5 =5вл5С — 5влс = 4-U
м
86
Упражнения
Вычислите интеграл:
431.
1 '
Л
4
Г dx
J cos2 л
о
429.
430.
—1
Вычислите площадь фигуры,
рисунок):
434. у -- х3, х — 1, х — 3, у — 0.
435*.у = Ух, у = 0, х = 4,
436. у =2-\-х—х2, у = 0.
Л
л
3
Г dx
J sin2 х
л
“"2
8
р dx
г * х
ограниченной
i
з
Р dx
J
2
1
Г dx
J
1
2
10
f dx
1
линиями (сделав
432.
433.
437. y=cos х, у — 0, |х|
438. у = х2, у = 2х.
439*. у = х2, у = Ух.
2
i
102. Интеграл с переменным верхним пределом
Прежде всего, отметим, что интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования, т. е.
ь & »
J/ (х) dx = р (/)dt = J/ (г) dz = ...
а а а
Это следует из формулы Ньютона — Лейбница:
ь
j/ (х) dx = F (х) |» = F (b) — F (a)
a
И
b
[/ (0 dt = F (fl I» = F (6) - F (а) и т. д„
т. e. получается одно и то же число.
Рассмотрим теперь интеграл с переменным верхним пределом
(его мы обозначим буквой х, а переменную интегрирования обо-
значим буквой t):
J f W dt.
87
Это есть функция от х. Покажем, что производная этой функции
(1)
\а J
Действительно, по формуле Ньютона—Лейбница
J7 (О Л = F (х) - F (а),
а
и потому
= (F (х) - F (а))' = F' (х) - (F (а))' = / (х).
Из формулы Ньютона — Лейбница следует, что
а
р (0 dt = F (а) - F (а) = 0.
а
Поэтому интеграл от а др х
а
есть та первообразная функции /, которая в точке а обращается
в нуль.
Первообразная, которая в точке а принимает значение q, запи-
сывается в виде
(2)
а
103*. Нахождение координаты по заданной скорости
и скорости по заданному ускорению
Решим теперь задачу, поставленную в начале этой главы. Пусть
точка движется по прямой. При этом координата х точки есть функ-
ция от времени движения t, т. е. х = х (0. Было установлено, что
скорость движения точки v (0 = x'(t). Поэтому если нам известна
скорость как функция от времени v (0, то
f>(t)dt = x(o-x(Q (i)
в силу формулы Ньютона—Лейбница. Число х (/0) называют на-
чальной координатой и обозначают через х0. Тогда формулу (1)
можно переписать в виде
t
X (0 = х0 (z) dz. (2)
88
Это равенство показывает, как по известной скорости движения
точки найти ее координату.
Эту же формулу можно получить из формулы (2) предыдущего
пункта: х (t) есть первообразная функции v (/), принимающая в
точке /0 значение х0.
Ускорение а (/) = v' (I). Поэтому если известно ускорение дви-
жения точки как функция от времени, то
(г) dz = v (/) — v (/0) (3)
по формуле Ньютона—Лейбница. Число v (4) называют начальной
скоростью и обозначают через ис. Тогда равенство (3) можно пере-
писать в виде:
t
v (0 = v0 4- J а (г) dz. (4)
Полученная формула показывает, как по известному ускорению
движения точки находится скорость этого движения. А зная ско-
рость движения, мы по формуле (2) можем найти координату точки.
Пример. Точка движется с постоянным ускорением а.
В начальный момент времени tn точка имела начальную скорость
и начальную координату х0. Найдем координату точки как функ-
цию от времени.
Сначала по формуле (4) находим скорость движения точки:
t
v (/) = Ц) 4- fa dz = v0 + az 1' = v0 4- at — o/0 = v0 + a (t — 4),
J ro
а потом по формуле (2) находим координату
t
x(t) = Xb+ f (o0 4- a(z — 4)) dz = x04-t’o^ —4)4-—4)2»
Упражнения*
440. Камень брошен вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха
и считая ускорение силы тяжести g ~ 9,8, найдите:
1) наибольшую высоту подъема камня в зависимости от на-
чальной скорости о0; 2) скорость камня в самом верхнем поло-
жении; 3) через сколько времени камень упадет на землю.
441. Найдите путь, пройденный точкой за промежуток времени
от t = 0 до t = 5, если скорость точки меняется по закону
v “ 9,8/ — 0,003/2. Найдите ускорение этой точки в конце
пути (т. е. при t — 5).
442. Скорость движущейся точки меняется по закону о — Rt 4-
4- d\f t. Найдите путь, пройденный этой точкой за промежу-
ток времени от/ = 0до/ = 4, и ускорение ее в конце пути.
89
443. а) Точка движется по параболе у = х2 — 2х 4- 3 так, что ее
проекция на ось абсцисс имеет постоянную скорость v. Для
проекции этой точки на ось ординат найдите скорость и уско-
рение (через х).
б) Точка движется по графику функции у — х3 — 2х2 так,
что ее проекция на ось абсцисс имеет постоянную скорость и.
Найдите скорость и ускорение проекции этой точки на ось
ординат.
104*. Интеграл как предел сумм
Мы определили интеграл как приращение первообразной:
ь
У (х) dx = F (й) - F (а),
а
где F — первообразная функции /. Существует другой подход
к определению интеграла, о котором сейчас будет рассказано.
Определив интеграл этим другим способом, можно потом доказать,
что интеграл с переменным верхним пределом имеет своей произ-
водной подынтегральную функцию:
(f f (?) dz 'j = f (X). (1)
\a J
Именно на этом пути была доказана упомянутая в п. 100 теорема,
в силу которой непрерывная на каком-либо промежутке функция
имеет на этом промежутке первообразную.
Чтобы понять наглядно новый способ определения интеграла,
будем считать а < Ь, а функцию f положительной и непрерывной
на [а; 61. Тогда речь идет об определении площади криволинейной
трапеции, изображенной на рисунке 48.
Разобьем отрезок [а; Ы на п отрезков одинаковой длины
л b — а
п
Концы этих отрезков — точки
й = Хо < Хг < Х2 < ... < хп = Ь,
xk — А х>
На каждом из отрезков [x^f, хЛ1 как на основании построим прямо-
угольник высоты /(х^). Площадь этого прямоугольника равна
а сумма площадей всех таких прямоугольников (рис. 56) равна
Sn(a-, b) = f (х0) • Ах. 4- f (хО- Дх 4- ••• + f (*n-i) • A* =
= — tf W + / W + ... + f (x^).
П
90
В силу непрерывности функции
f объединение построенных пря-
моугольников при большом Ц,
т. е. при малом Дх, «почти сов-
падает» с интересующей нас кри-
волинейной трапецией. Поэтому
возникает предположение, что
существует предел
S = lim Sn (а; b),
п->со
который и есть площадь криволинейной трапеции с основанием
{а; Ь], ограниченной сверху графиком функции f. Предположение
©то правильно.
В действительности предел S существует для любой (не
обязательно положительной) непрерывной на 1а; 6] функции f.
Этот предел можно считать по определению интегралом f от а до Ь:
ь
(7 (х) dx - lim Sn (а; Ь). (2)
J П-+СО
а
Остается определить интеграл при а b формулами
aba
j7 (х) dx = 0, р (х) dx = — р (х) dx при а > b
а а Ь
и доказать исходя из новых определений формулу (1). Из нее уже
нетрудно доказать формулу Ньютона—Лейбница. При этом по-
строении теории интеграла формула Ньютона — Лейбница появля-
ется в самом конце, в то время как в принятом в нашем учебнике
изложении она по существу выражала просто определение инте-
грала.
Формулу (3) можно употребить и для приближенного вычисления интег-
рала в тех случаях, когда явное аналитическое выражение первообразной
неизвестно. Лучше, однако, воспользоваться суммами
= Ь-а М f + } +_+f (Хл1) 1 f (ХА
П \ 2 2 J
91
которые равны в случае положительной функции f площадям «вписанных»
в криволинейную трапецию трапеций, ограниченных сверху ломаными, кам
это изображено на рисунке 57.
Упражнения
444*. Как выражается интеграл от а до b функции /, график кото-
рой дан на рисунке 58 через площади Sx, S2 и S3?
445*. Вычислите приближенно при помощи сумм вида Sn для
Л
Т
п=9 интеграл j sin xdx и сравните его с истинным значением,
6
105*. Работа переменной силы
Пусть материальная точка под действием силы Р движется по
прямой. Если действующая сила постоянна, а пройденный путь
равен 5, то, как известно из физики, работа А этой силы равна
произведению силы Р на пройденный путь s. Теперь выведем фор-
мулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.
Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция
которой на ось Ох есть функция от х — обозначим ее через f (х).
При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция.
Под действием этой силы материальная точка переместилась из
точки Л1(а) в точку М(Ь) (рис. 59). Покажем, что в этом случае
работа А подсчитывается по формуле
ь
A =J7 (X) dx. (1)
а
Разобьем отрезок [а; Ь] на п отрезков одинаковой длины Ах =
= [a; xj, [хх; х2], ... , [x^f, Ь] (рис. 60). Работа силы на
п
всем отрезке [а; 6] равна сумме работ этой силы на полученных
отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х, то при доста-
точно малом отрезке [а; хг] работа силы на этом отрезке приблизи-
тельно равна f (а) (хг — а) — мы пренебрегаем тем, что f на отрез-
ке меняется. Аналогично работа силы на втором отрезке [хх; х21
приблизительно равна f (хх) (х2 — хх), и так далее; работа силы на
n-м отрезке приблизительно равна f (хп_у){Ь— хп_х). Следователь-
но, работа силы на всем отрезке [а; Ь] получается приближенно
А т Ап = f (a) Ух + f (хх) Ах + ... 4- f (хп_х) Ах =.
= 4г(/(а) + f (*l) + - + f
М(а) M(b) _ . _
0 а b х хо=а xf хг хз ^=хп х
Рнс. 59 Рис. 60
92
и точность приближенного равенства
тем больше, чем короче отрезки, на
которые разбит отрезок [а; ЬЕ Естест-
венно, что это приближенное равенство
переходит в точное, если перейти к пре-
делу, при п, стремящемся к бесконеч-
ности:
Рис. 61
А = ВшЛп = lim I-—- (f (а) + f (xj 4*... 4- / (xn-i))\
Л-ЮО Л-*ОО\ П /
Поскольку предел сумм Ап при п -> оо равен определенному ин-
тегралу рассматриваемой функции от а до b (см. п. 104), то форму-
ла (1) выведена.
Пример 1. Сила упругости пружины, растянутой на 5 см,
равна 3 н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пру-
жину на эти 5 см?
По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величи-
ну х, вычисляется по формуле
F = kx,
где k — постоянный коэффициент пропорциональности (рис. 61),
точка О соответствует свободному положению пружины, Из усло-
вий задачи следует, что
3 = k • 0,05.
Следовательно, k = 60 и сила F = 60х, а работа по формуле (1)
0.05
А = j 60х dx = ЗОх2 £05 = 0,075 (дж).
о
Пример 2. На оси Ох в точке О закреплена материальная
точка массы т. Она притягивает по закону Ньютона точку массы 1,
находящуюся на той же оси Ох. Подсчитаем работу силы притяже-
ния при перемещении единичной точки с единичной массой из поло-
жения а в положение b (рис. 62).
Если точка единичной массы находится в точке х, то на нее
действует сила притяжения
где ? — постоянный коэффициент, а знак минус указывает на то,
что сила притяжения направлена к началу координат. Искомая
работа подсчитывается по формуле (3) и при 0 < а < b оказывается
отрицательной:
b ь
J х2 х b a \b a ]
a a
0 a x b x
Рис. 62
93
Упражнения *
446. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 ся,
если известно, что сила в 2 н сжимает эту пружину на 1 сл?
447. а) Сила в 4 к растягивает пружину на 8 см, Какую работу
надо произвести, чтобы растянуть пружину на 8 см?
б) Сила в 6 н растягивает пружину на 2 см. Какую работу
надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6 см?
448. Под действием электрического заряда величины q электрон
перемещается по прямой с расстояния а до расстояния Ь,
Найдите работу силы взаимодействия зарядов (рис. 63),
(Коэффициент пропорциональности в формуле, выражающей
закон Кулона, считать равным у.)
449. Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высоты h
с основаниями а и Ь, Найдите силу, с которой вода, заполняю-
щая канал, давит на плотину (а > Ь, а — верхнее основание).
450. Определите силу давления воды на стенки аквариума, запол-
ненного до высоты h. Основание аквариума — прямоугольник
со сторонами а и Ь.
451. Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический
бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите
затраченную при этом работу. Высота бака равна h, радиуо
основания равен г,
452. На прямой лежит материальная точка массы т и однородный
материальный стержень массы М и длины I. Они притягива-
ются по закону Ньютона. Найдите силу этого притяжения,
если расстояние от точки до стержня равно г, (Коэффициент
пропорциональности в формуле, выражающей закон Ньютона,
считать равным у.)
453. Капля воды с начальной массой М падает под действием силы
тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу т.
Какова работа сил тяжести за время от начала падения капли
до ее полного испарения?
454. Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести
надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса
высоты Н и радиуса основания R? Плотность песка равна р
и его поднимают с плоскости основания конуса.
455. Однородный стержень длины I =• 20 см вращается в горизон-
тальной плоскости вокруг вер-
тикальной оси, проходящей че-
рез его конец. Угловая скорость
вращения w = Юл сек~1. По-
перечное сечение стержня S =>
4 см2, плотность материала, из
которого изготовлен стержень,
п>о равна р = 7,8 г[см\ Найдите
кинетическую энергию стержня.
Рис. 63 456. Однородная прямоугольная
94
пластинка со сторонами а = 50 см и b = 40 см вращается в
постоянной угловой скоростью to = Злсе/с-1 вокруг стороны
длины а. Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее
толщина d = 0,3 см, а плотность материала, из которого
изготовлена пластинка, равна р = 8 г! см? (толщиной плас-
тинки пренебречь).
457. Однородная треугольная пластинка с основанием а = 40 см
и высотой h = 30 см вращается вокруг основания с постоянной
угловой скоростью со = 5лсек~\ Найдите кинетическую
энергию пластинки, если ее толщина d = 0,2 см, а плотность
материала, из которого изготовлена пластинка, равна р
= 2,2 г/см? (толщиной пластинки пренебречь).
106*. Три правила вычисления интеграла
Вычисление интегралов проводится по формуле Ньютона—Лейб-
ница, как показано выше. Для более сложных случаев иногда
приходится пользоваться дополнительными правилами вычисле-
ния интегралов, которые непосредственно следуют из теоремы п. 99.
Сформулируем и докажем эти правила.
I. Интегрирование суммы:
» ь ь
(х) + g (х)) dx = J f (х) dx 4- Jg (х) dx.
в а а
II. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла:
» ь
§k f (х) dx •= k^f (х) dx, k — постоянная.
a a
III. Замена переменной по формуле t = kx 4- p, k и p — по-
стоянные:
» . m+p
(kx 4- p) dx =— j f (0 dt.
a ha~^p
Для доказательства этих формул рассмотрим функции F —
первообразную для функции /, G — первообразную для g. В силу
теоремы 1 из п. 99 сумма F 4- G есть первообразная для функции
f 4- g и потому
ь ь
JtfW + gW)dx = (F(x) +б(х)) | = F (6)+G (6) - F (а) -
а а
b Ъ
— G(d) = F (Ь) — F (a) + G (Ь) —G (а) =j/ (х) dx 4- Jg (х) dx
а а
в силу формулы Ньютона—Лейбница. Правило I доказано.
65
b
b
По теореме 2 из п. 99 произведение kF есть «первообразная для
функции kf и потому
ь
§kf{x) dx =kF{x) = kF{b) — kF{a) = k {F{b) — F{a)) =k f/(x) dx
a a
a
a
в силу формулы Ньютона—Лейбница. Правило II доказано.
По теореме 3 из п. 99 функция ±-F(kx 4- р) есть первообразная
для функции f {kx 4- р) и потому
ь
{kx 4- p)dx = ± F{kx+P) =±F{kb + P)~±-F{ka 4- p)
b
a
kb+p
J Kl)dt
ka+p
в силу формулы Ньютона—Лейбница. Правило III доказано.
Приведем примеры вычисления интегралов с использованием
доказанных правил.
4 4 4 4 __ 3
1. C fx2---4- —dx = C v2 dx — 3 f x~4x+ 5 f x~ 2 dx =.
J \ x4 X Y X ) J .) J
0,25 0*25 0*25 0,25
2. В приведенном ниже интеграле сделаем замену переменной
по формуле t = 4- у •
- —3 V3.
При этом новые пределы интегрирования получаются из той
же формулы замены переменной: t = — 4* —• Подставив в нее
6 3
х — —2л (верхний предел заданного интеграла), получаем t =
л 2л л
= ------— =—это верхний предел у интеграла после за-
мены. Аналогично находим нижний предел интегрирования,
& JT
равный — —.
96
3. В приведенном ниже интеграле сделаем замену переменной
по формуле t — 1—2х, откуда следует, что х —
Упражнения
Вычислите интеграл:
2л
458*. С sin — dx.
J 3
—Л
464*.
8
J V 5 + 2
—8
2
dx.
J. (2a: — 1)3
2
466*. -----dx.
—4
28
467*. dx.
3
462*. J (1 4-2x)’dx.
о
0 *
5
3
468*. j(x —2)]/3x — 1 dx.
1
3
0 _______
469*. Jx у/ i___£ dx.
2
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
470*. у = х4-1 и у = 5 4- Зх — 2х2. 471*. у - х2 и у = х 4- 2.
4 Заказ 423
97
107*. Сведения из истории
ь
В пункте 104 было показано, что интеграл f (х) dx может быть
а
определен как предел сумм
Sn =У f (xh)Ax, где Дх = ь—.
Такое определение интеграла не требует предварительного
знакомства с понятием производной и с опирающимся на него по-
нятием первообразной. Математики семнадцатого и восемнадцато-
го веков не пользовались понятием предела. Они говорили вместо
этого о «сумме бесконечно большого числа бесконечно малых сла-
гаемых». Например, площадь криволинейной трапеции (рис. 64)
они представляли себе составленной из вертикальных отрезков
длины f (х), которым тем не менее приписывали площадь, равную
бесконечно малой величине f (х) dx, В соответствии с таким пони-
манием дела искомая площадь считалась равной сумме
s = 2 f«dx
a<x<b
бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда
даже подчеркивалось, Что отдельные слагаемые в этой сумме нули,
но нули особого рода, которые, сложенные в бесконечном числе,
дают вполне определенную положитель-
ную сумму.
На такой, кажущейся теперь по
меньшей мере сомнительной основе
И. Кеплер в своих сочинениях «Но-
вая астрономия» (1609) и «Стереометрия
винных бочек» (1615) правильно вычис-
лил ряд площадей (например, площадь
фигуры, ограниченной эллипсом) и объ-
емов (разрезая тело на бесконечно тон-
кие пластинки), Эти исследования были
продолжены Б. Кавальер и (1591—
1647).
Сохраняет свое значение и в наше
время сформулированный Б. Кавальери
принцип, который им был введен, с
современной точки зрения, неудовлетво-
рительно; он может быть строго доказан.
Объясним принцип Кавальери на при-
мере, Пусть требуется найти площадь
фигуры, изображенной на рисунке 65,
где кривые, ограничивающие фигуру
снизу и сверху, имеют уравнения
У = f (х) и у = f (х) + С.
98
Представляя себе на-
шу фигуру состоящей из
«неделимых», по терми-
нологии Кавальери, бес-
конечно тонких столби-
ков, замечаем, что все
они имеют общую дли-
ну С. Передвигая их в
вертикальном направле-
нии, мы можем составить
из них прямоугольник
с основанием b — а и
высотой С. Поэтому ис-
комая площадь равна
площади полученного
прямоугольника, т. е,
S = S' = С (Ь — а).
Общий принцип Кавальери для площадей плоских фигур форму-
лируется так. Пусть прямые некоторого пучка параллельных пере-
секают фигуры Ф1 и Ф2 по отрезкам равной длины (рис. 66). Тогда
площади фигур Фг и Фг равны. Аналогичный принцип действует
в стереометрии и оказывается полезным при нахождении объемов.
В абстрактном виде интеграл
ь
fjf (х) dx
а
был определен Лейбницем как «сумма всех ординат» графика функ-
ции (имеется, конечно, в виду, что ординаты умножены на «беско-
нечно малое» приращение dx абсциссы). Современное обозначение
интеграла по существу восходит к Лейбницу, который суммы обоз-
начал большой буквой S. Название «интеграл» принадлежит уче-
нику Лейбница Я. Бернулли.
Таким образом, интеграл сначала появился независимо от про-
изводной. Поэтому было большим открытием установление связи
между операциями дифференцирования и интегрирования, кото-
рая в общем виде была установлена Лейбницем и Ньютоном: если
f'W = ftx), (1)
то
F(х) = J /(*) * + С. (2)
а
Обратно, из (2) вытекает (1)*.
* В духе рассуждений математиков XVIII века мы опускаем оговорки,
без которых утверждение не совсем точно.
4* 99
Систематическое исследование интегрирования элементарных
функций было завершено Эйлером в его книге «Интегральное исчис-
ление». Вскоре выяснилось, что далеко не все интегралы от элемен-
тарных функций выражаются через элементарные функции. Ве-
ликий русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894)
полностью исследовал этот вопрос для некоторых классов иррацио-
нальных функций (так называемых дифференциальных биномов).
Современное понятие определенного интеграла как предела
интегральных сумм принадлежит О. Коши.
Дополнительные упражнения к главе VII
Найдите для приведенных ниже функций f первообразные,
графики которых проходят через заданную точку М:
472.
473.
474.
f (х) = х, /VI (—4; 3).
f (х) = 5, /VI (2; —4).
/ (х) = /7, /VI (9; 1).
475. /(х) =±М (1; -3).
X2
476*. I (х) = - , Л4(-1; 5).
у О — X
477. / (х) - 2 — Зх, М (2; 3).
478. График одной из первообразных функции ]/х проходит через
точку (9; 15), а второй —через точку (1; 1). На сколько отли-
чаются эти первообразные и график какой из них расположен
выше?
479. График одной из первообразных функции 1 проходит
через точку (5; 1), а второй — через точку (8; 2). На сколько
отличаются эти первообразные и график какой из них распо-
ложен выше?
Найдите первообразные для следующих функций:
480. 7 — 4х. 487. 1 (3 + 2х)4 ’
481. 482. 3 И- 5х. kx + Ь; k 488*. 489. 5
и b — постоянные. /7 — 3% 5 — sin 7х.
483. 2х — Зх2, 490. 4 4- 3 cos —. 7
484. 485. 4 — х2. х2 + 4х — - 7. 491. 492. 2 sin — + 3 cos 6х, 5 Зх 2
cos2 8х
486. ах2 4- Ьх а, b и с -— 4- с-, постоянные, 493*. 4 I ?
(х + З)2 sin2 Зх
494*. Убедитесь, что рассуждения в примере 1 (из п. 100) при вы-
воде формулы S' (х) = х2 сохраняются и при Дх < 0.
495*. Убедитесь, что неравенство в доказательстве теоремы 1 сохра-
няется и при Дх < 0.
100
Вычислите площадь фигуры, ограниченной следующими ли-
ниями:
496. а) у = х3, у - 0, х = 2; б*) у = Ух, у = 0, х — 9.
497*. у - -^=, у = 0, х = 1, х — 4.
V х
498. у — —, у — 6 — 2х.
X2
499. у = 2 — х — х2, у = 0.
500. у = х2, у = 2х —х2.
501. у = х2«, у = 1.
502. у = х2 — 2х + 2, у = 2 -|- 4х — х2.
503*. у = Ух, у = К4 — Зх, у - 0.
504. Криволинейная трапеция ограничена линиями
у = ах2 4- Ьх + с, у ~ 0, х — р, х = q, р <qt
ах2 4- Ьх 4- с > 0 на отрезке [р; р].
Докажите, что у этой криволинейной трапеции площадь
S=^(y1 + 4y!+y3),
6
и q.
гДе У1» У2 и Уз—значения квадратного трехчлена соответст-
п 4- Q
венно в точках р, ——
г’ 2
Вычислите интеграл:
Л
505*. J sin 5х dx,
о
Л
506*. J sin2 х dx,
—л
2Л
507*. sin Зх cos 5xdx.
6
2л
508*. J cos 2х cos 7х dx,
о
2Л
509*. a) J cos2 пх dx, п £ JV;
о
2Л
б) J sin kxsinmxdx, k, tn^N,
о
Докажите равенство:
Ь а
510*. Jf (х) dx = — j* f (х) dx,
a b
(b \'
j7(0d/j = —f (х) (вычисление производной по нижнему
X /
переменному пределу интегрирования).
Ь с b
512*. J f (х) dx = J
а а
О
Ю1
613*. j f (x) dx = j f (x) dx + j f (x) dx + J/ (x) dx (и т. д.).
а а с p
a+T T
614*. j* f (x) dx = (x) dx, если / (x + T) = f (x) для всех x.
a 0
b
615*. (x) dx^. О, если /(x)>0 на отрезке [о; 6].
а
b b
616*. J f (х) dx j g (х) dx, если f(x) ^g(x) на отрезке [а; Ь].
а а
617*. J f (х) dx = 0, если f (—х) = — f (х) для всех х из отрезка
[—а; +а].
+а л
618*. у (х) dx = 2\f (х) dx, если f (—х) = / (х) для всех х из
—а 0
отрезка [—ст, а].
619*. J f (х) dx
а
b
/ (х) | dx при а < Ь.
а
620*. Пусть фигура ограничена линиями у = f (х), у = 0, х = а,
х = b и f (х) 0 на отрезке [а; Ь]. И в этом случае назовем
эту фигуру криволинейной трапецией. Докажите, что
ь
§ f (х) dx = —S,
где через S обозначена площадь криволинейной трапеции.
621*. Докажите, что отношение площадей подобных криволиней-
ных трапеций равно квадрату коэффициента подобия.
522*. Докажите, что площадь эллипса с полуосями аиЪ равна nab,
523*. Найдите центр тяжести однородного прямого кругового ко-
нуса.
524*. Найдите центр тяжести однородного полушара.
525*. Однородный прямой круговой конус, ось которого вертикаль-
на, погружается в воду (вершиной вниз). Найдите работу,
которая при этом производится, против силы выталкивания
воды.
526*. Определите работу против сил выталкивания воды при погру-
жении шара в воду.
527*. Найдите центр тяжести однородного полукруга.
528*. Найдите центр тяжести правильной однородной пирамиды,
529*. Найдите центр тяжести однородной дуги окружности с цент-
ральным углом 2а,
1С2
Глава
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ*
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
И СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИИ
§ 21.
ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
ФУНКЦИИ
108. Показательная функция
Вы уже знаете из курса восьмого класса, что такое показа-
тельная функция с данным положительным основанием степени а.
Для этой функции иногда мы будем употреблять новое обозначе-
ние; вместо ах будем писать expfl (х): ах = ехра (х).
Здесь ехра — обозначение показательной функции с осно-
ванием а.
При а = 1 показательная функция при любом значении аргу-
мента принимает значение единица, т. е. при любом х
expi (х) = Iх = 1.
Этот случай далее не рассматривается.
На рисунке 67 изображены графики показательной функции
при некоторых значениях основания а.
Показательная функция ехра полностью определяется такими
ее свойствами:
1. ехра (1) = а,
2. ехра (х) > 0 при любом х £ R.
3. При любых действительных х и у
ехра (х 4- У) = ехра (х) • ехра (у),
4. При а > 1 функция ехрд возрастает на всей числовой пря-
мой, а при 0 < а < 1 — убывает (рис. 68).
103
Эти свойства показательной
функции вам знакомы. Пер-
вые три из них в прежних обоз-
начениях записываются так:
1. а1 = а. 2. ах > 0.
3. ах • а-'.
Что означает утверждение,
что перечисленные свойства пол-
ностью определяют показатель-
ную функцию ехрд? Точный
смысл этого утверждения таков:
существует одна и толь-
ко одна определенная на
всей числовой прямой
функция, обладающая
свойствами 1 — 4.
Строгое доказательство этого
утверждения не входит в про-
грамму средней школы. Из курса
восьмого класса вы знаете, как
находятся значения функции
ехра для рациональных значений
аргумента. То, что функция ехрд
однозначно определена и при
иррациональных значениях аргу-
мента, вытекает из свойства 4.
Например,при а > 1 для ирра-
ционального х в силу свойства 4
должно иметь место неравенство
аг* < ах < аГг,
каковы бы ни были рациональ-
ные гг и г2, удовлетворяющие
неравенству
Г1 < х < г2.
Можно доказать, что существу-
ет и притом только одно число у,
которое больше всех а\ соответствующих рациональным i\ < х,
и меньше всех аг*, соответствующих рациональным г2 > х» Это
число у и есть ехрд (х).
Отметим еще несколько свойств показательной функции.
5. Показательная функция непрерывна в каждой точке число-
вой прямой.
104
6. Множеством значений показательной функции (при любом
положительном основании, отличном от единицы) является поло-
жительная полупрямая /?+ — ]0; оо[.
Из свойств 4,5 и 6 вытекает (п. 84) свойство 7.
7. Функция ехра имеет обратную функцию, область опреде-
ления которой есть положительная полупрямая 2?+ , а множество
значений — вся числовая прямая R. Эта обратная функция назы-
вается логарифмической функцией с основанием а и обозначается
Из определения функции log6 вытекает, что при положитель-
ных а^= 1,6#= 1
а = Ь}0*ьа .
Логарифмируя это равенство по основанию 10, получим
lg а = log* а • 1g b,
откуда
Вспомним еще одно свойство показательной функции.
8. При b > 0 и любых х и у
(ЪХ)У = ЬХУ.
Из этого свойства вытекает, что при положительных а и
b 1
ах = (у = ь}оёьа'х.
Полученное тождество
ах = b'°gb (2)
можно записать в виде
ехра (х) = ехр* (х • log*a). (2')
При b = 10 получим
ах = Юх1ба. (3)
Формулой (3) вы пользовались еще в восьмом классе для вычисле-
ния значений показательной функции при любом основании с по-
мощью таблиц значений функции 10х.
Упражнения
Изобразите схематически график функции:
530. у = Iх. 532. у = 0,3х. 534, у = (LV.
531. у = 2х. 533. у = 5х. V/
105
Решите уравнение:
535. 4х =64.
536. 3х = -.
81
537. 25х = -.
5
538. 8х- 16.
539. У&= у 9.
540. У%*- /3х-36.
543. 7(г+1)(х-2)= 1.
544. 2x’+x-0,5^ 4/2?
545. Зхг-х-2=81.
546. 4х+1+4х=320.
547. 2- 3x+l— 4-Зх~2 = 150.
548. 7Х+2 4- 4 • 7х-1 - 347.
549. 5*+* _ 5*-1 = 24.
550. 10 • 2х —4х = 16.
551. 5х —53-х=20.
552. Зб~х = З3х-2.
«о /зум-i /7\5х-9
ООО. I — = — .
\7 ) \3/
554. У8Х~' =
555. 2х- 5х =0,1 (10х-1)5.
556. 8Гх+> = 64 • 2Ух+1.
557. 4/х=2+ 16= 10 • 2/х=2.
Решите неравенство:
558. 2х > у. 560. (0,3/>0,09.
559. (-f<l. 561. (0,2/ <1.
\7) V ’ 25
562. ->27.
3х
563. (0,5/<4.
109. Производная показательной функции. Число в
График функции ехр10 (см. рис. 69) имеет вид «гладкой» кривой.
На глаз представляется, что этот график в каждой точке
имеет касательную, угол наклон# ко-
торой положителен. Поэтому естественно
предполагать, что функция ехр10 при любом
значении аргумента имеет положительную
производную. Эта гипотеза верна, что
доказывается в более полных курсах ана-
лиза. Мы примем без доказательства, что
функция ехр10 имеет положительную про-
изводную в точке 0, Иначе говоря, допу-
стим, что существует предел
л 04-Дх . ЛДх
.. 10 —10® 10—1 щ
lim ---------- = lim-----------.
Дх-.о Дх Дх-*о Дх
Все дальнейшее будет отсюда следовать
уже сравнительно просто.
106
Число, обратное пределу (1), принято обозначать через М:
r I0Av—1 1
lim-------= —.
Дх->0 Дх Л1
Укажем приближенное численное значение константы М:
М = 0,4343...
(2)
Покажем теперь, что функция ехр10 дифференцируема и во всех
остальных точках х £ R. По определению производной
(10*)' = lim - 1°Х+-1~-19— = lim 10* -I0**"1 = 10* lim =
Дл-м-0 Дх Дх-0 Дх Дх-»0 Дх
— 221
~ м ’
Мы получили формулу
(Ю'Г = •10< (3)
При любом основании а > 0, а =/= 1,
ах= 10,с“Л
По правилу дифференцирования сложной функции получаем
(а*)' = ’(10,gfl’*)z = — 10!ga-* (lga-x)' = 10lg а‘х = а*,
м мм
Мы видим, что показательная функция обладает замечательным
свойством: ее производная отличается от самой функции только
постоянным множителем:
«Г = • o’. (4)
м
Коэффициент -^2. в формуле (4) равен единице, если а = 10м,
Число 10м получило специальное обозначение
10м = е.
Таким образом, М = 1g е. Приближенное значение числа в
таково:
е = 2,718281828459045... .
Это число более красиво задается формулой
е = lim [1 ф- —Y*. (5)
n-юо \ Л /
Далее (см. п. 112) будет указан способ доказательства формулы (5).
Показательная функция ехре с основанием е обозначается
просто ехр. Для нее формула производной принимает особенно
107
простой вид:
(e'Y = (6)
или (в других обозначениях)
ехр'(х) = ехр(х). (6')
Функцию, обратную к ек, на-
зывают натуральным логарифмом
и обозначают In (рис. 70). Из фор-
мулы (1) п. 108 получаем
Теперь формула для производной
показательной функции с основа-
нием а принимает вид
(ах)' = In а • а* (7)
или (в других обозначениях)
ехр/(х) = In а • ехра (х). (Г)
Существуют таблицы функции ехр (см. таблицу XX «Четырех-
значных математических таблиц» В. М. Брадиса). Однако часто
бывает удобнее пользоваться таблицами десятичных логарифмов.
Из формулы (2) п. 108 при а = е и b = 10 получаем
е< = 101ее,х
или, так как lg е — М,
ех = 10Мх. (8)
Из формулы (7) следует, что показательная функция а* имеет
первообразную
—+ С
In а
на промежутке ]—оо; оо[. Действительно,
-----------------И С = -5— (ах)' ~ • ах In а — ах.
In а / In а In а
В частности, первообразная для ех равна 4- С.
Упражнения
Вычислите приближенно:
564. е2.
565. -•
е
566. Л 567. Уё.
108
Найдите значение выражения:
568. In е2, 569. In е~6. 570. е’п3.
571. Докажите, что формула (6) есть частный случай формулы (7), Вычислите производную функции:
572. е~х. 577. 27-5v. 582*. e3 4~ 1
573. е3~2х. 578. 3t?v. X 583*. . cos 2x + 5
574. e~*2’ 579. (0,7)-v cos Зх. X V 584*. — . sin 5x 4- 7
575. e~2xs'mx. 580. 5-Л’4+9-(0,l)ct6X-
576. cos е 581. ——. x3 + 2
Найдите первообразную функции:
585. еЧ 588. —. е2-Г 591. 24 —sin3x.
586. g2-5j X 589. 3T — 5- (0,7)4 / 1 ' 5.Г 592. | — | 4- 4 cos 7 x. \3/
587. X т е . X 590. Б1-3* + (0,6)5.
Для приведенных ниже функций f (х) найдите первообразные,
графики которых проходят через указанные точки:
593. f(x) = е~*х, М (0; —2).
594. f (х) = е2, М (0; 3).
595. f (х) = 3х, М (0; 0).
596. / (х) = —, М/1; ---
2* V In 2
597*. f (х) = 5-3v, М(— 1; — —
k 3 In 5,
X
598*./ (x) = 7T, M|8; — V
599.
600.
График одной из первообразных функции 2х проходит через
(5 \ / 7 \
0; у-1, а второй — через точку М 12; -j-yb График
какой из первообразных расположен выше?
График одной из первообразных функции Зг проходит через
точку Л1(1; а второй—через точку м(3; График
\ In 3 / \ In 3 /
какой из первообразных расположен выше?
109
Найдите касательную к графику функции f в точке
с абсциссой х0:
601. f(x) = е~х, х0 =0. 603. f (х) х0 = — 1.
602. f (х) = 3*, х0 = 1. 604. f (х) = (0,7)*, х0 = — 2.
Постройте график функции:
605*. f (х) = хе*. 607*. g (х) = хае~*2.
606*. f (х) = —. 608*. v (х) = х*е~х.
х
609*. и (х) = х • 2~* (при построении принять 1п 2 ^0,7).
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию:
610. f (х) = 612. и (х) = х4 • (0,7)*
611. g (х) = 32х~А'2. 613. v (х) = хех~х\
Вычислите интеграл:
2
614. ^d*dx.
б
з
615*. Je1-2*dx.
—1
2 2
616. 3xdx. 618*. J (3^ + 2 -x?)dx.
о о
2 х
617. j*(54—sinnx)dx.
—2
Найдите площадь фигурц, ограниченной линиями:
619. у = е~х, у = 0, х = —1, х = 2.
620. у = 2*, у = 2, х = —1.
621*. у = 3* у = (0,7)*, х = 1.
622*. у = 6х , у = «г -ф 1, х = 2.
623*. у = ех , у = cos у, х = 1.
110. Дифференциальное уравнение показательного роста
и показательного убывания
Решение многих задач физики, техники, биологии и социаль-
ных наук сводится к математической задаче нахождения функций ft
удовлетворяющих дифференциальному уравнению*
* Дифференциальным уравнением называется уравнение, выражающее
соотношение между значением независимой переменной х и соответствующими
ему значениями функции / и ее производных f, f, ... . В п. 80 вы уже имели
дело с дифференциальным уравнением
Г (г) а (*)♦
ПО
f'(x) = kf(x), (1)
где k — некоторая константа.
Зная свойства производных показательных функций, легко
догадаться, что решением уравнения (1) будет любая функция вида
/(*) = Секх, (2)
где С — постоянная. Так как С произвольно, то решений у диф-
ференциального уравнения (1) бесконечно много.
Докажем, что других решений, кроме функций вида (2), у уравнения (1) нет.
Для этого рассмотрим произвольную функцию /, удовлетворяющую уравнению (1),
и вспомогательную функцию F:
F (х) = f (х)е~кх. (3)
Найдем производную функции F:
F’ (х) = f (х) е~кх + / (х) (е~кх)' = f' (х) — kf (х) е~кх.
Подставляя вместо f (х) ее значение из уравнения (1), получим
F' (х) = kf (х) е~кх — kf (х) е~кх = 0.
Так как производная функции F равна нулю, функция F есть константа: F (х) =>
«= С при всех х. Из (3) получаем
Цх)е~кх = С, f(x) = Cekx,
что и требовалось доказать.
* Замечание. В приведенных выше рассуждениях мы предполагали,
что функция f определена и удовлетворяет уравнению (I) на всей числовой
прямой. В конкретных задачах часто приходится рассматривать функции,
удовлетворяющие уравнению (1) только на некотором промежутке. Есте-
ственно, что в таком случае формула (2) будет давать общее решение задачи
только на промежутке, на котором считается применимым уравнение (1).
Смысл дифференциального уравнения (1) заключается в том,
что скорость изменения функции пропорциональна самой функции.
Пример 1. (Радиоактивный распад.) Пусть в начальный
момент времени масса радиоактивного вещества равна
т (0) = т0. (4)
Известно, что скорость уменьшения массы вещества /п(/) со
временем t пропорциональна его количеству, т. е. что выполнено
уравнение
/п'(0 — —km (f),
где k > 0. По установленному выше
m(i) = С • е~м.
Константа С находится из условия (4). Окончательно получаем
т (t) = mQe~kt. (5)
Hl
Рассмотренный пример типичен: чтобы выделить из бесконечного
числа решений дифференциального уравнения одно реше-
ние, обычно требуется еще ввести «начальные условия», в нашем
случае условие (4).
Промежуток времени Т, через который масса радиоактивного
вещества уменьшается в два раза, называют «периодом полураспа-
да» этого вещества. Ясно, что k и Т связаны уравнением
e~hT =—,
2
из которого получаем ekT = 2, kT = In 2,
т
Например, для радия Т ш 1550 лет. Поэтому
k = — « 6,000447.
1550
Через миллион лет от начальной массы радия пга останется только
т (10е) « щ0е-447 « 0,6- 1О-194то.
Пример 2. Пусть население страны возрастает на 2% в год.
С неплохим приближением можно считать, что зависимость числен-
ности населения страны S = S(t) от времени (исчисляемого в
годах) подчинена уравнению
S'(t) = 0,02S(0
и, следовательно, дается формулой
0,02f
= Sq6 t
где So = S(0)—численность населения к начальной дате наших
расчетов.
Пример 3, Пусть тело, имеющее в начальный момент
времени температуру Т (0) = То, помещено в среду температу-
ры Тг. Естественно, что при То < 7\ тело будет постепенно нагре-
ваться, а при То > 7\ — охлаждаться.
Предположим (хотя это и довольно грубое приближение к дей-
ствительности), что скорость изменения температуры тела Г (0
пропорциональна разности температур. Это значит, что*
Г(о = -k (Т - Л). (6)
• Поставив впереди правой части уравнения (6) знак минус, мы счита-
ем коэффициент k положительным в соответствии со сказанным о направле-
нии изменения температуры Т при Т > 7\ и при Т < Тх.
112
Чтобы найти решение уравнения (1), положим
f (0 = Т (0 - Л.
Из (6) для функции f получаем
Г(0 = -kf (О-
Общее решение этого уравнения имеет вид
f (0 = Се~м.
Для Т отсюда получается
T(f) =Ce~kt +TV (7)
При t = 0 имеем
То = Т (0) = 7\ = С 4- 7\,
откуда
с = т0 - л.
Окончательно получаем, что решение уравнения (6), удовлетво-
ряющее начальному условию
т (0) = Т„, (8)
имеет вид
Т (0 = Л + (То - ТО (9)
На рисунке 71 изображены схематически графики функций
Т = Т (0, соответствующие различным начальным значениям То.
Все они при t, стремящемся к бесконечности, приближаются к ста-
ционарному решению
т (0 = Л, (10)
которое получается при То = Тъ т, е, при условии, что с самого на-
чала тело имеет температуру окружающей среды.
В заключение скажем несколько слов о дифференциальных урав-
нениях вообще. Вы встречаетесь с дифференциальными уравнения-
ми третий раз. Напомним два предыдущих случая.
1. При вертикальном движении под
действием силы тяжести координата
точки z удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
*"(0 = -£. (П)
Общее решение этого уравнения имеет
вид
= + (12)
где
= г (0), v0 = z' (0). (13)
Задав z0 и и0, мы получим уже един-
ственное решение»
из
2. При гармонических колебаниях в соответствии с дифферен-
циальным уравнением
у" (О = -*2 у (0 (14)
общее решение имеет вид
у (/) = A cos (at + tp), (15)
где А и (р — произвольные константы. Но эти константы можно оп-
ределить, если заданы начальные условия
У (0) = Уо. У' (0) =
Эти примеры позволяют понять, насколько мощным аппаратом
исследования являются дифференциальные уравнения. Очень ча-
сто элементарные законы, управляющие каким-либо процессом,
записываются в виде дифференциальных уравнений, а для того
чтобы выяснить, как процесс развертывается во времени, прихо-
дится эти дифференциальные уравнения решать.
Упражнения
624. Докажите, что функция у = 5е3л удовлетворяет уравнению
У' = Зу.
625. Докажите, что функция у = 7е~2х удовлетворяет уравнению
у' = —2у.
626. Докажите, что функция у = Зе-7л удовлетворяет уравнению
/ = —7у-
627*.От т мг радия С через t мин радиоактивного распада осталось
п мг. Найдите период полураспада радия С, т. е, через сколь-
ко минут останется 0,5 т мг радия С?
628*.К началу радиоактивного распада имели 1 г радия А. Через
сколько минут его останется 0,125 г, если его период полу-
распада равен 3 мин?
629*.Период полураспада радиоактивного вещества равен одному
часу. Через сколько часов его количество уменьшится в 10 раз?
630*.Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если
период его полураспада равен 1550 лет.
631*.Докажите, что если функция f имеет производную на R и для
любых двух значений хг и х2 выполняется равенство f (хг +
+ х2) = f (*1) f (*2), то f (х) = еаХ или f (х) = 0 для х С /?.
632*.Одно тело имеет температуру в 200°, а другое — в 100°. Через
10 мин остывания этих тел на воздухе с температурой в 0°
первое тело остыло до температуры в 100°, а второе —до 80°.
Через сколько времени температуры тел сравняются?
633*.Два тела имеют одинаковую температуру в 100°. Они вынесены
на воздух (его температура 0°). Через 10 мин температура
одного тела стала 80°, а второго 64°, Через сколько минут
после начала остывания разность их температур будет рав-
на 25°?
114
634*.Моторная лодка движется со скоростью 30 км1ч. Какова
скорость лодки через 3 мин после выключения мотора? (Восполь-
зоваться тем, что скорость лодки v (/) (в — ] удовлетворяет
\ мин /
дифференциальному уравнению v'(t) =—kv(t), где k = 5/3.)
§ 22.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ПРОИЗВОДНАЯ
111. Логарифмическая функция
Напомним подробнее, как определяется логарифмическая функ-
ция при основании а, где а >0, а #= 1. При а > 1 показательная
функция возрастает на всей числовой прямой, а при 0 < а < 1
убывает на всей числовой прямой, при этом в обоих случаях
Е (ехрв ) = R+. По теореме п. 84 показательная функция ехрд
имеет обратную функцию, с областью определения R+ и множеством
значений R, непрерывную в каждой точке области определения.
Эту обратную функцию называют логарифмической функцией при
основании а и обозначают loga . Из той же теоремы следует, что
при а > 1 функция loga возрастает, а при 0 < а < 1 убывает на
множестве /?+« На рисунке 72 изображены графики функции loga
при различных а.
Так как для любых взаимно обратных функций f и g для всякого
х из области определения gBepno равенство f (g(x))—x (см. стр.169),
то ехро (loga х) = х при х > 0.
По-другому это равенство можно записать так:
а1°е“ х = х ПрИ х > о, (1)
Равенство (1) называют основным логарифмическим тождест-
вом.
Установим теперь связь между лога-
рифмической функцией при произволь-
ном основании и логарифмической функ-
цией при основании 10. Для этого
прологарифмируем при основании 10
равенство (1), пользуясь правилом ло-
гарифмирования степени:
loga х • lg а = 1g х,
откуда получаем искомую связь:
Рис. 72
Из полученной формулы видно, что для
нахождения логарифмов при любом
115
основании достаточно иметь таблицу
десятичных логарифмов.
Пример 1. Найдем log7 3 при
помощи математических таблиц.
В силу формулы (2) имеем:
1 Q It? 3 0,4771 /ч сел с
log7 3 = « 0,5645,
Ь7 1g 7 0,8451
где 1g 3 0,4771 и 1g 7 0,8451
найдены по таблицам.
Пример 2. Построим график
функции у — log3 х.
Поскольку функции 3 х и log3 х
взаимно обратны, то график функ-
ции log3 х симметричен графику функции 3х относительно прямой
у = х (рис. 73).
Докажем, что для любых положительных чисел и и v
loga (uv) = loga и 4- loga v. (3)
Пользуясь формулой (2) и свойствами десятичных логарифмов,
имеем:
log. (up) = !ogau + log,, v.
Igo Igo Igo Igo
Для положительных и, v и а =Д 1 имеют место еще и следующие
равенства:
loga- = logd и — loga v, (4)
V
loga - = — 10ga V, (5)
V
loga uv = Vlogatt, (6)
log. « = , (7)
log* a
loga a =1. (8)
Докажите эти равенства самостоятельно.
Формула (7) играет важную роль. С ее помощью можно пере-
ходить от логарифмов при одном основании к логарифмам при дру-
гом основании, В частности, при а = е, b = 10 получаем:
С числом М = 1g е ~ 0,4343 вы уже встречались. Оно позволя-
ет по десятичным логарифмам находить натуральные и обратно:
1g и = М • In и, In и = .
ь м
Число М называют модулем перехода от натуральных логарифмов
к десятичным.
116
Упражнения
Вычислите логарифм, пользуясь таблицами В. М, Брадиса!
635. log3 5, 636. log7 2. 637. In 3. 638. log2317.
Постройте график функции:
639. f (х) = log2 х. 641. и (х) = logj х.
5
640. g (х) = log0 7 х. 642. v (х) = In х.
Решите уравнение:
1 — —
643. Зг = 7. 645. 53~2х = 4. 647. (0,3) 2 = 53<
644. 2*~х = 5. 646. 25-3х = 74. 648. 2х • З1"* - 7.
649. При каком основании loga х есть возрастающая функция?
650. При каком основании loga х есть убывающая функция?
Решите неравенство:
651. log3 х < 2. 653. log0 6x 1. 655. logx 17 > logx И.
652. log! х 5, 654. logx2 > logx 5. 656. logx — < logx 7,
—— 2
Найдите область определения функции:
657. f (х) = log3 (х — 5).
658. g (х) = In (—х).
659. и (х) = 1g (7 — х).
660. v (х) = log0 3 <9 ~ *2)-
661. р (х) = logn (6 + х — х2).
662. w (х) = 1g (х2 — Зх — 10)
112. Производная обратной функции
Пусть функция f на некотором промежутке / непрерывна
и возрастает или убывает.
Мы знаем (п. 84), что тогда
функция f отображает промежу-
ток I на некоторый промежу-
ток J и имеет обратную функ-
цию g, которая отображает J
на I.
Пусть в двух точках х0 и х
промежутка I функция f прини-
мает значения (рис, 74)
f (х0) = у0, t (х) ~ у.
Рис. 74
117
Обозначим Дх = х — х0, Ду = У — Уо- Будем считать х0, а следо-
вательно, и уо — f (х0) — постоянными, а приращение Дх неза-
висимой переменной. Вместе с Дх будут меняться х = х0 + Дх,
у = / (х) и Ду = у — у0. По определению производной, производ-
ная функции f в точке х0 равна
Г (х0) = lim . (1)
Дх-*о Ах
Но можно считать независимой переменной и у. Вместе с Ду
меняются у = у0 4- Ду, х = g (у) и Дх = х — х0. По определению
производной
g' (у0) = lim
Д1/-0
Ду
(2)
Сравнивая формулы (1) и (2), приходим к мысли, что если про-
изводная f' (х0) существует и не равна нулю, должна
быть справедлива формула
Это предположение верно и может быть доказано при помощи такой выкладки:
, Ах Дх 1 1 1
g (у0) •= игл — lim — ° lim -7— —---------г— “ *73----•
Дг/-.0Ау Дх-»оДу Дх-0 f (х,)
Дх Дх-»о Дх
Здесь нуждается в дополнительном обосновании законность перехода от пре-
дела при Ду —> 0 к пределу при Дх 0.
Чтобы быть совсем точными, мы должны доказать, что из существования
предела
lim — = С
Дх->0 Ду
(4)
вытекает существование и равенство пределу (4J предела
Нт
д^-+о
Дх
Ду ‘
Это утверждение кажется почти очевидным: в силу непрерывности функции
g при Ду, стремящемся к нулю, Дх тоже стремится к нулю, а тогда в силу
Дх
(4) отношение — стремится к С. Проведем строгое доказательство.
Ду
Нам надо показать, что для любого е > 0 существует такое т] > 0, для
которого из ]Ду| < т), Ду 0, вытекает:
— — С
Ду
е.
(5)
118
Чтобы подобрать к данному е > 0 такое т], заметим, что из (4) вытекает
существование такого h > 0, что из |Дх| < Л, Дх Ф 0, следует (5). В силу
непрерывности функции g для этого Л можно найти такое л > 0, что из
|Ду| < я вытекает |Дх| < Ь, а следовательно, при Ду =/= 0, и неравенство
(5), что и требовалось.
113. Производная логарифмической функции.
Свойства логарифмической функции
Выведем теперь формулу для производной логарифмической
функции: для всех положительных х
1о£аХ = -Т~- (О
х In а
Для доказательства этой формулы воспользуемся теоремой 2
предыдущего пункта. Пусть / (х) = ах. Тогда обратная к ней
функция g (х) = loga х и f (х) = ах In а. По формуле для произ-
водной обратной функции (см. п. 112)
loga Х = S (*) = f (g (х)) = alogflxlna = 7^7
в силу основного логарифмического тождества (см. п. 111, форму-
лу (1)). Формула (1) доказана.
Обычно отмечают частный случай формулы (1) — производную
натурального логарифма:
1п'х = —. (2)
X
Она следует из формулы (1) при а = е, так как In е = L
Пример 1. Вычислим производную функции f(x) =
= log3 (5 — 7х).
По правилу вычисления производной сложной функции и фор-
муле (1) имеем:
f« = (log,(5-7x))'=-L.
5 — 7х
(5 — 7х)' —7
1п 3 = (5 — 7х) In 3 ’
Функция f (х) = — определена на двух промежутках /?+=]0; оо[
и ]—оо; 0[. Из формулы (2) вытекает, что на JR* она имеет
первообразную In х.
Покажем, что на ]—оо; 0[ одной из первообразных функции f
является функция In (—х). В самом деле,
(In (— х))' = —
— X
— X
119
Пример 2. Найдем первообразную для функции —-—.
2 “I- Зх
2 Г
3[ J 3 [
О, и по правилу вычисления
первообразных искомая первообразная есть функция -п 4-
3
1 2 ’
Эта функция определена на промежутках —оо; —
12 Г
На промежутке-----; оо , 2 4- Зх
I 3
2 Г
— оо;----первообразной для функции
3
k In (— 2 — Зх)
у =----- будет функция —-------'
2 -Зх 3
/1п (— 2 — Зх) ( г X 1
I ' 1 I — ————
КЗ 1 —2 —Зх
4- С. А на промежутке
1
4- Ci. В самом деле,
. (-з)
3 2 4-Зх
Пример 3, Построим график функции f (х) ) х In х.
Область определения этой функции есть промежуток ]0; оо[.
В этом промежутке функция f непрерывна и обращается в нуль
при х = 1. Исследуем функцию f на монотонность и экстремум.
Для этого вычислим производную
f (х) = (Ух* 1пх)' = (Ух У 1пх + Ух (1пх)' =
In х Ух In х 4- 2
2 ух х 2 У х *
Она обращается в нуль при In х = —2, т. е. при х = е~2. На про-
межутке ]е~2; оо[ производная f > 0, следовательно, на этом
промежутке функция f возрастает. На промежутке ]0; е~2[ произ-
водная /' < 0, следовательно, на этом промежутке функция f
убывает. В точке е~2 производная/' меняет знак с минуса на плюс,
следовательно, в точке е~2 функция / имеет минимум, /т1п =
_____________2
»= / (е~2) —--. График функции / приведен на рисунке 75.
Докажем теперь формулу (5) п. 109:
/ 1 \«
lim 1 4-— •
«-►оо \ п /
Будем исходить из равенства
При х = 1 получим:
In' (1) «= lim
h-0
Положим
ln(l 4~/i)
h
hn
<= 1.
у
п'
120
Уп = п In 11 + —
и вычислим пределы этих последовательностей, используя непрерывность
функций In и ехр:
lim hn — О,
Z2-*CO
lim уп >=> lim
n->00
Л->СО
ln(l+/z„) r 1п(1+й) .
----------= Jim-----------= 1,
hn--------h^Q h
lim zn = lim exp (yn) — exp (lim уя) — exp (1) = e.
n->oo n->00 n->co
Перечислим теперь основные свойства логарифмической функции.
1. Областью определения логарифмической функции является
промежуток ]0; оо[: D (loga) = R+.
2. Множество значений логарифмической функции — вся число-
вая прямая ]—оо; оо[: Е (logj = R.
3. Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема.
4. Логарифмическая функция возрастает при основании а > 1
в области своего определения /?+. При 0 < а < 1 логарифмиче-
ская функция с основанием а убывает в области своего определе-
ния (см. рис. 72).
5. При любом основании а > 0 и а=£ 1 имеют место равенства:
loga 1 = °, loga а = 1,
Упражнения
Вычислите производную функции:
663. / (х) = log3 х. 664. g (х) = log0)7 х. 665. h (х) = log5 (7х). 666. р (х) = 1g (3 — 5х). 667. v (х) = (х3 + 5) log7 (2х 4~1). 668*. и (х) = 1п (2 ~л). 4"5 669*. (о (х) = In cos х.
Постройте график функции:
670*./ (х) = х In х« 672*.и (х) = х — In х,
671*.g (х) = 673*.и (х) = х .
х Jn X — 1
Вычислите интеграл:
з 1 о
674. f -. 675. С 676. С —-—.
х J 3-2% J 0,5%+ 3
1 -1 -4
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
677. у = -, у = 0, х = 1, х = 2.
121
678. у = —, у = 0, х = 1, х = 3.
X
679*.у = у + х = 7. 680*. у = -, у + х = 6.
X X
Решите неравенство:
681. log9 (2 + х) > 0,5. 683. log07 (1 + 2х) > 2.
682. log5 (3 — х) < —1. 684. log0 3 (2 “ 5х) > 2<
Решите уравнение:
685. log3х = —1. 686. logj х = 3. 687. log03x = 2.
688. log5 х = log5 3. 699. log23 x = 4 — 3 log3 x.
689. log5 х = —log5 7. 1 2 700. 1 —— - 1.
690. log2 x = 3 — logo 7» 5 + 1g x 1 — 1g x
691. log3 (log5 x) = 0. 701*.xlogsX = 16.
692*. log, 3 — log, 5 — 2. 702*. xIogaX~2 = 27.
693*.log,_2 (xa_— 6x + 10) = 1. 703*.log4x + log,, 2=1.
694. 2 log7 x = log7 (9 — 2x). 704*.log5 x • log7 x => log57.
695. In (0,5 + x) = In 0,5 — In x. 705*.log5 x 4- log7x=log5 35.
696. 1g (4,5 — x) = 1g 4,5 — 1g x. 706*. 1g x 4- logx 10 = 2,5.
697. ilg (2x — 1)=1—lg]/x —9.
698. log3Vx—5+log3/2x—3 = 1.
Напишите уравнение касательной к графику функции f в
точке с абсциссой х0:
707. f (х) = In х, х0 = 1.
708. f (х) = In х, х0 = е.
709. f (х) = 1g х, Хо = 1, Хо = 10.
710*. Докажите, что
ех = lim (1 + — Y.
n->oo \ М /
114*. Натуральный логарифм как интеграл
с переменным верхним пределом
Напомним, что показательная и логарифмическая функции в
нашем курсе были введены следующим образом. По известному пра-
вилу, для любого а > 0, а #= 1, определялась показательная функ-
ция ах на множестве рациональных чисел. Затем без доказательст-
ва принималось, что эту функцию можно единственным образом
«продолжить» так, что полученная функция будет определена и
122
непрерывна на множестве действительных чисел. Наконец, лога-
рифмическая функция loga при основании а вводилась как функ-
ция, обратная функции ах.
Восполнить указанные пробелы можно, однако при этом при-
дется преодолеть значительные технические и принципиальные
трудности. То же относится и к допущению, принятому в п, 109
при выводе формулы производной показательной функции.
Существует другой способ введения показательной и логариф-
мической функции, в значительной мере лишенный указанных не-
достатков. Этот способ основан на формуле
In' х = —.
X
Из этой формулы следует, что функция In — одна из первооб-
разных функции — на промежутке ]0; оо[, точнее, та первообраз-
X
ная, которая при х — 1 принимает значение 0, Следовательно
(см, п, 102),
lnx = J-ydt (1)
1
Равенство (1) можно принять за определение функции In. Выве-
дем основные свойства функции In исходя из определения (1).
1. Функция In дифференцируема в каждой точке промежутка
]0; оо[. В самом деле, по формуле (1) п. 102
X
1 , !С 1 ,Л' 1
In х = [ । — at = —.
\J t I X
1
Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна
в этой точке (п. 45, IX класс). Следовательно, функция In непре-
рывна в каждой точке промежутка ]0; оо[.
2. Функция In возрастает на промежутке ]0; оо[. Действитель-
но, 1п'х = — > 0 на промежутке ]0; оо[.
х
1.
3. In 1 = J4- dx = °*
1 х
4, (Теорема сложения.) Для любых а > 0 и b > 0
In (ab) = In а 4* In b.
Для доказательства рассмотрим функцию
g (х) = In (ах).
123
Ее производная g' вычисляется по формуле производной сложной
функции:
,, ч 1 , v 1 1
g (х) =----(ах) = — • а = -.
ах ах х
Таким образом, функция In (ах) есть одна из первообразных функ-
ции — и, следовательно, ее можно записать в виде
X
In (ах) = In х + С,
Подставляя в это равенство х = 1, имеем In а = In 1 + С, откуда
С = In а. Итак,
In (ах) — In а + In х.
Полагая х = 6, получаем
In (ab) = In а + In b.
Методом математической индукции легко показать, что для
любых положительных ах, а2, . .ап
In (ах • а2 • ... • ап) = In at + In а2 -Ь ... + In ап.
5. Для любых положительных а и b In ~ = In а — In b.
Действительно, In а = In (—•&) = In — + In b.
\b ) b
Следовательно, In — = In a — In b.
b
6. Для x > 0 и г £ Q
In xr = r In x.
Доказательство проведем в несколько этапов.
а) Для г = 0 и г = 1:
In х° = In 1 = 0 = 0 • 1п х,
In х1 = In х - 1 • In х.
б) Для натурального г > 1.
In xr = In (х. . .х) = In х + In х + ... 4- In х = г In х.
г множителей г слагаемых
в) Для целого отрицательного г, т. е. г = —п, где п — нату-
ральное число, применяя свойство 5, получим:
In хг = In — = In 1 — In хп = 0 — п In х = т In х.
хп
124
г) Для г = — (т — целое, п — натуральное) в силу б) и в)
получим:
т т
п In xr = п In хп — In (ха)п — In хт = т In х.
Следовательно, In xr = — In х = г In х,
п
7. Е (In) = R.
Функция In непрерывна. По первой части теоремы п. 84 мно-
жество ее значений — некоторый промежуток. Поэтому достаточ-
но показать, что этот промежуток не «ограничен» сверху и снизу,
что для любого положительного числа М найдутся такие хх и х2,
что In Хх > М, In х2 < —М.
Учитывая, что In 2п = п In 2 и In 2~п = —п In 2, n ( N, до-
статочно взять Xi = 2п и х2 = 2~п, выбрав натуральное число п
таким, чтобы выполнялось неравенство п > Тогда
In Xi — In 2" = п In 2 > М и In х2 = In 2~п = —п In 2 < — М.
Следствие. Существует число е С такое, что In е = 1.
Мы получим новое определение уже знакомого вам числа е —
= 2,718... .
Далее определяется функция ехр как функция, обратная функ-
ции In, и доказывается, что функция ехр обладает свойствами 1—3
показательной функции. Из этих свойств можно вывести, что
ехр (г) = ег
при рациональных г.
Для произвольного основания а > 0, а =£ 1 показательная функ-
ция ехра определяется равенством
ехра (х) = ехра (х • In а),
а логарифмическая функция при основании а — как функция,
обратная функции ехрп. Попробуйте выполнить намеченный здесь
план исследования функции.
§ 23.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
115. Степенная функция и ее производная
Вы уже знаете, что для любого действительного числа р и каж-
дого положительного числа х определено число хр. Этим на про-
межутке ]0; оо[ определена функция f (х) = хр. Эта функция
называется степенной с показателем степени р. Если число р > О,
то степенная функция определена и при х = 0, поскольку QP = 0.
125
В предыдущих разделах курса вы познакомились со степенной
функцией и ее производными лишь при некоторых показателях
степени (целом, р = 1/2, р = 1/3 и др.). Теперь нам остается вы-
вести формулу для производной степенной функции при произволь-
ном действительном показателе степени р. При этом полученные
ранее формулы сохраняются. Именно при любом положительном х
(хрУ = р • xp~l. (1)
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим
тождеством: х = е1п х, откуда следует, что хр = ер,1п \ Отсюда
по правилу вычисления производной сложной функции получаем:
(хр)' = (е₽ 1п х)' = е?1п х (р In х\ = хр • р • — = р • хр~х.
X
Формула (1) доказана.
Прир > 0 степенная функция возрастает на промежутке ]0; оо[,
поскольку ее производная рхр~1 > 0 на нем.
При р < 0 степенная функция убывает на промежутке ]0; оо[,
поскольку ее производная рхр~х <0 на этом промежутке.
Примеры графиков степенной функции при различных р приведены
на рисунках 76а, 766 и 77.
Упражнения
Изобразите схематически график функции и вычислите ее про-
изводную:
ГГ -
711. f(x)=x . 712. g(x) = хп, 713. и (х) =х~е.
116. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком кор-
ня, называют иррациональными. Например,
2
х — 2 ™ 0 (или х3 — 2 = 0).
126
Приведем примеры решения иррациональных уравнений.
Пример 1. Решим уравнение
]/х2 —5 = 2. (1)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
х2 — 5 = 4,
Отсюда следует, что
х2 — 9, хх = 3, х2 = —3,
Проверим, являются ли полученные числа решениями уравнения (1).
Действительно, при подстановке их в уравнение (1) получаются
верные равенства:
УЗ2"^ = 2 и /(—З)2 — 5 = 2.
Следовательно, хг = 3 и х2 = —3 есть решения уравнения (1).
Пример 2. Решим уравнение
Ух = х — 2. (2)
Возведем в квадрат обе части уравнения (2):
х = х2 — 4х + 4.
После упрощений получаем квадратное уравнение
х2 — 5х + 4 = О,
корни которого суть Xi = 1 и х2 = 4. Проверим, являются ли
полученные числа решениями заданного уравнения (2), При под-
становке числа 4 в уравнение (2) получаем верное равенство У~4 =
= 4 — 2. При подстановке же числа 1 получаем в правой час-
ти —1, а в левой части —число 4-1. Следовательно, число
1 не является решением уравнения (2) — принято говорить, что
это посторонний корень, полученный в результате принятого спо-
соба решения этого уравнения. Решением уравнения (2) является
только число 4.
Пример 3, Решим уравнение
~ у*. (3)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат:
х2 — 2 = х.
После упрощений получаем квадратное уравнение
х2 — х — 2 ° О,
корни которого суть Xj — —1 и х2 => 2. Сразу ясно, что число —1
не является корнем уравнения (3), так как обе части этого уравне-
ния не определены при х = —1. При подстановке в уравнение (3)
числа 2 получаем верное равенство У 22 — 2 = У 2. Следовательно,
127
решением уравнения (3) является только число 2. Число —1 есть
посторонний корень.
Пример 4. Решим уравнение
Ух — 6 — ]/4 — х. (4)
Возводя в квадрат обе части этого уравнения, получаем: х — 6 =
= 4 — х, 2х = 10 и х — 5. Подстановкой убеждаемся, что число 5
не является корнем уравнения (4). Поэтому оно не имеет решений,
Мы видим, что при решении иррациональных урав-
нений полученные решения требуют проверки.
Упражнения
Решите уравнение:
714. У13 — х2 = 3. 719.
715. Ух2 —4х — 1 = 2. 720.
716. х—У х 4* 1 = 5. 721.
717. 4 4- У2x4-3 = х — 2. 722.
718. Ух4=~Г/хТб = 6. 723.
У~х У 2 —х = 2х.
х 4- 6
Ух=2
х + 1
У 2x^1
= ~УЗх + 2,
= Ух — 1.
Ух2 4-2x4-10 = 2х — 1.
]/ х2 4- х 4- 1 = х — 4.
117*. Сравнение роста логарифмической, степенной
и показательной функций
В этом пункте рассматриваются три функции: In х, хр при поло-
жительном р и ах при а > 1, При неограниченном возрастании аргу-
мента х значения этих функций неограниченно растут. Теперь
мы сравним значения этих функций при одном и том же «очень
большом» х.
Теорема 1. Существует такое число М, что для
всех положительных х выполняется неравенство
(1)
ах х '
Для доказательства рассмотрим функцию у = a~xxp+l и иссле-
дуем ее на экстремум при положительных х. Производная
у' =— а~х In а • х^+1 4- (Р 4- 1) хра~х = а~ххр In а ------х
\ In а
- рЧ-1 / ”1Р 1
положительна при 0; и отрицательна при 1^—^; °°
J In а [ J In а
128
Следовательно, в точке рассматриваемая функция прини-
1па
мает наибольшее значение — обозначим его буквой М:
а-х . хр+1
для всех положительных х.
Теорема 1 доказана, так как из полученного неравенства следует
неравенство (1).
Смысл этой теоремы состоит в том, что при больших х дробь
— мала, т. е. знаменатель во много раз больше числителя. Ко-
ах
ротко об этом говорят так: при х, стремящемся к бесконечности,
показательная функция растет быстрее степенной.
Теорема 2. Существует такое число М, что для всех
х>1 выполняется неравенство
— < —. (2)
хр р. х '
X2
Для доказательства рассмотрим функцию у = и иссле-
р
х2
дуем ее на экстремум при х > 1. Производная
у' = — • х 2 4- 1пх(— —'jx 2 = —-— (— —1пх)
х \ 2/ ,+ р \р )
2х ~ 2
- L
положительна при х £ ]1; [и отрицательна при х С ; <*>[.
2_
Следовательно, в точке # рассматриваемая функция имеет наи-
большее значение — обозначим его буквой Л1:
----< М для всех х > 1.
_р
Х2
р
Разделив обе части этого неравенства на х2, получаем неравен-
ство (2). Теорема 2 доказана.
Смысл этой теоремы аналогичен смыслу теоремы 1 — при боль-
ших х знаменатель дроби
1-~ во много раз больше ее числителя.
Коротко об этом говорят так: при х, стремящемся к бесконечности,
степенная функция растет быстрее логарифмической.
Теорема 3. Существует такое число М, что для
всех л:£]0; выполняется неравенство
I ХР In X |
р_
х2 М.
(3)
5 Заказ 423
129
Эта теорема следует из теоремы 2 (так как — > 1)
х
in- е
| хр In х I = —— -----= х М.
1 1 /1 \₽ р.
— / 1 \2
\ X I —
\ X /
Наглядный смысл этой теоремы состоит в том, чтд произведе-
ние хр In х может быть сделано как угодно малым для всех доста-
точно малых положительных х.
118*. Сведения из истории
Дробные показатели степени и наиболее простые правила дей-
ствий над степенями с дробными показателями встречались в XIV
веке у французского математика Н. О р е м с а (1328—1382).
Француз Н. Ш ю к е (XV век) рассматривал степени с отрицатель-
ными и нулевым показателями.
Немецкий математик М. Штифель (1486—1567) ввел назва-
ние «показатели» (exponenten) и дал определение а° = 1 при а 0.
Сопоставляя натуральные числа с натуральными степенями одного
итого же основания, он для этого частного случая пришел к соотно-
шениям log (а • b) = log а + log b, log — = log а — log b.
b
Логарифмы были введены (независимо друг от друга) англий-
ским математиком Дж. Непером (1550—1617) и швейцарским
математиком И. Бюрги (1552—1632). Теорию логарифмов развил
Непер. Он разработал способы вычисления арифметических выраже-
ний с помощью логарифмов и составил подробные таблицы логариф-
мов. Таблицы Непера мало отличались от современных таблиц на-
туральных логарифмов. Десятичные логарифмы были введены анг-
лийским математиком Г. Бриггсом (1561—1617). Лейбниц
еще в конце XVII века-с помощью правил логарифмирования решал
показательные уравнения. Использование таблиц логарифмов, а
позже логарифмической линейки значительно упростило вычисле-
ния, и они долго были одним из основных средств вычислений.
Французский математик Лаплас говорил даже, что изобретение
логарифмов удлинило жизнь вычислителей.
Дополнительные упражнения к главе VIII
Изобразите схематически график функции:
724. у = 0,7х. 728. у - logs X. 732. у - |lg х|.
725. у = 2,3х. 729. У = log(),fi к. 733. у - 1g |х|.
726. У=(~У. 730. У = logli7 х. 734. у = 1g (—х).
\л /
727. у = 3х. 731. у = logL%. 3 735*. у = 1g (3 —
130
736. у = 1g (х — 3).
737. у = |g (х + 3).
738. у = 1g х + 3.
739*. у = |log2 х + 11.
Вычислите производную функции:
740 ё3х. 751. eC0Sx. 762. log9 (3 — 2x).
741. Зе~2х. 752. 35tgx. 763- log0)2 (7 + 5x).
742. 7 753. 72ctgx. 764. Ig5x.
743. ZJ_\9 \е2 Г ; * 754*. 5xsin2x. 765. lg(3 4-4x).
744. 3х. ОЛ 755*- — . 766. In (sinx).
COS X
745 5-4 756* x • tg x. 767. In(tgx).
746. 3 72JT * 757*. . 768*. 3х In (5x).
747. / 5 \2 9З 758*. . 769*.
\ 1 ,7ЗХ/ ’ x4 + 3 In (7x)
748. 92-Бх 759*, 215L. 770*. .
tg x+5 Vx+3
749. 0,37"4 760. log2x. 771*. x3 In x.
750. esin х 761. logi x. Q 772*. logn(x34-4/x + 5).
О 773*. lg(sin Зх + 2х).
Найдите область определения функции:
774. log3 (X — 1). 777. lg(3 — 2x). 781. log7 (6 + x —x2).
775. logo,2(x + 2). 778. In (3 + 2x). 782. log, (x2— 4x+6).
776. logn (4 — х). 779. 1g (2x — 3). г
780. log2 (x2 — 2x- 783. log2(5(x24-6x4-9)‘
Найдите первообразную функции:
784. e2x. 788. 5“x. 792. — . 796. -.
x + 7 8x
785. 7e~x. 789. —. 793. ——. 797. у
32X 5x4-1
786. 5/. 790. 4yz73x". 794. —L.. 798. -^=r
3 —2x 1/X*
787. 791. 795. ——. 799. Xя.
V&x 7 —5x
5*
131
Вычислите интеграл:
800.
801.
з
j exdx.
о
802.
J 3х dx.
-i
803.
о
dx
Зх 4- 7*
з
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
804. у = ех, у = 0, х = 0, х = 3.
805*. у = 5х, у = 3“х, х = 2.
806*. у = 4х, у = х + 1, х = 3.
807*. у = - , у = 0, х = 2, х = 10.
X
808*. у = - , у = 3, х = 2.
X
809. у = — , у = х 4- 1, х= 3.
х
810*. у = —, х 4- У = 4.
X
Напишите уравнение касательной к графику функции f в
точке с абсциссой х0:
811. f (х) = б5*, х0 = 0. 814. f (х) = З’х, х0 = 1.
812. f (х) = е3 , х0 = 0. 815. f (х) = In (2х), х0 =-^- .
813. f (х) = 10х, х0 = 1. 816. / (х) = 1g (Зх), х0 = -.
3
Пользуясь таблицами десятичных логарифмов, найдите:
817. log2 7. 819. log0>7 5,3. 821. yrlj. 823. /л.
818. log3 11. 820. log3>1 0,17. 822. 2,3/Г. 824. ея.
Что больше:
825. logi_ — или logi — ? 827. log7 3 или log5 9?
Г 3 з" 2
826. log2 3 или log3 2? 828. logn 7 или log13 19?
Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремум функцию:
829*. f (х) = In2 х.
830*. f (х) = х In2 х.
831*. g (х) = 6х sin х.
1П
832*. и(х) = - ----.
v ’ 14- 1п2х
833*. v (х) = tg3 х — 3 tg х.
834*. h (х) = —.
X
Глава
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ
§ 24.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ
119. Равносильные уравнения и системы уравнений
Вы уже много занимались решением уравнений и систем уравне-
ний. Сейчас перед вами стоит задача систематизировать и попол-
нить ваши знания в этой области. Ниже рассмотрены уравнения
с двумя переменными х и у, но легко заметить, что все сказанное
в п. 119 относится и к уравнениям с любым числом переменных.
Уравнение с двумя переменными х и у записывается в виде
f (Ъ у) = g (х- у), (1)
где f и g — выражения с переменными х и у.
Решением уравнения (1) называется, как вы знаете, упорядочен-
ная пара чисел (х0; у0), при подстановке которых вместо х и у в
уравнение (1) получается верное равенство
f (х0- у0) = g (х0; у0).
Например, пары (0; —1), (1; 0) и (2; 1) являются решениями урав-
нения
х — у = 1. (2)
Замечание. Определение решения предполагает, что пе-
ременные даны в определенном порядке. В рассмотренном примере
мы считаем переменную х первой, а переменную у — второй. Го-
воря «пара чисел», мы всегда имеем в виду упорядоченную
пару чисел. Пара (0; I) отличается от пары (Г, 0) и, в отличие от
этой последней, не является решением уравнения (2).
133
Рис. 78
Два уравнения называются равносиль-
ными, если они имеют одно и то же
множество решений. Например, уравнение
(2) равносильно уравнению
у = х — 1.
Множество решений каждого из этих урав-
нений есть прямая числовой плоскости,
изображенная на рисунке 78. Утверждение
о равносильности двух уравнений, как
вам уже известно из седьмого класса, за-
писывают при помощи знака равносильно-
сти в виде двойной стрелки <=». Например,
(х — у= 1) (у = х — 1).
Уравнение (1) равносильно уравнению
f (г, у)— g (х; у) = 0.
Поэтому, не нарушая общности рассмотрений, можно считать, что
уравнение с двумя переменными записано в виде
F (%; у) = 0.
В таком виде (правая часть — нуль), например, вы привыкли запи-
сывать квадратные уравнения:
ах2 + Ьх + с = 0.
Обратимся теперь к системам уравнений. Система уравнений —
это конечное множество уравнений. Например, множество из двух
уравнений
S = {х2 + у2 — 2; х2 — у2 = 0}
есть система уравнений. Только записывают системы уравнений
несколько иначе: уравнения записывают друг под другом, а из фи-
гурных скобок часто ставят только одну (слева или справа):
q _Jx2 + У2 = 2
\х2 — у2 = 0.
Решением системы уравнений с двумя переменными называют
упорядоченную пару чисел, являющуюся решением каждого из урав-
нений, входящих в систему. Ясно, что множество решений системы
есть не что иное, как пересечение множеств решений входящих
в систему уравнений.
Например, в приведенной выше системе S первое уравнение
есть уравнение окружности радиуса /2 с центром в начале коор-
динат. Второе уравнение системы переписывается в виде
(х2 — у2 = 0) <=$> ((х 4- у) (х — у) = 0) <=>
х + у = 0
или
х — у = 0.
134
График уравнения х2 —у2 = 0 есть пара пря-
мых, у = х и у —— х. Пересечение этого
множества с окружностью состоит из четы-
рех точек. Эти четыре точки
(1; 1), (1; —1), (-1; 1), (-1;-1)
числовой плоскости и есть четыре реше-
ния системы S (рис. 79). Проверьте это!
Замечание. Обратите внимание,
что множество решений уравнения х2—у2= О
есть объединение множеств решений урав-
нений х + у = 0 и х — у — О, а отнюдь
не множество решений системы У ~ q
одной точки (0; 0).
которое состоит из
Две системы уравнений называются равносильными, если они
имеют одно и то же множество решений. При решении системы
уравнений стараются переходить последовательно от данной си-
стемы уравнений к равносильным ей все более простым системам,
пока не получат систему, решения которой находятся без труда.
Отметим простейшие способы преобразования систем уравнений
в равносильные системы.
1. Правило замены уравнения на равносильное. Заменив в си-
стеме одно из уравнений на равносильное, получим систему, равно-
сильную первоначальной.
2. Правило подстановки. Если одно из уравнений системы име-
ет вид
х — А
(Д — произвольное выражение, не содержащее х), то, заменив во
всех остальных уравнениях системы переменную х на выражение А,
получим равносильную первоначальной систему.
Пример на применение правил 1 и 2. Требуется решить си-
стему
| х2 у2 — 9
(2х + 4у = 6.
Так как
(2х + 4у = 6) <=> (х = 3 — 2у),
то имеем равносильности:
Гх2 + у2 = 9 1 Гх2 + у2 = 9 1 ((3 — 2у)2 + у2 = 9
|2х 4- 4у = 6J |х = 3 — 2у J (х = 3 — 2у
л 12
у — 0 или у = —
х = 3 — 2у
(х = 3, у =* 0) или / х = — —, у = — j.
\ 5 5 /
5у2 _ 12у = 0
х = 3 — 2у
135
3. Правило сложения. Если в систему входят уравнения
А = В и С = D
(А, В, С и D — какие-то выражения относительно переменных),
то одно из этих уравнений, например второе, можно заменить на
уравнение
А + С = В + D.
Получится равносильная система. Это правило выражают словесно
так: любое уравнение системы можно заменить на
уравнение, которое получается при его сложении с
любым другим уравнением системы.
Например, система
/ох _ Г х + у + z = 1
[—х + у + 2г = 2
равносильна системе
/О X (X + у + г = 1
= ( 2у + 3z = 3,
где второе уравнение системы (SJ получено сложением второго
уравнения системы (S) с первым.
Проведем доказательство для случая трех уравнений с двумя перемен-
ными. Пусть (хо; уо) — решение системы
(А = В
{С — D (3)
(Е = F.
Это означает, что верны равенства
А (х0; уо) = В (х0; уо)
С (хи; уо) = D (х0; уо)
Е (хо; уо) = F (хо; уо).
Но тогда верно равенство
А (хо; уо) + С (хо; уо) = В (хо; у о) + D (хо; уо),
а это и означает, что (хо; уо) — решение системы
А = В
А + С = В + D (4)
Е = F.
Обратно, если (хо; уо) — решение системы (4), то верны равенства
А (х0; уо) — В (хо; уо)
Л уо) + С (хо; уо) = В(хо; уо) + Е(х0; уо)
Е (хо; уо) = F (хо; уо).
Вычитая почленно из второго равенства первое, получаем
С (хо; уо) = Щх0; уо).
Поэтому (хо; уо) — решение системы (3).
Таким образом доказано, что множества решений систем (3) и (4) совпа-
дают, значит, эти системы равносильны.
.136
4. Правило умножения. Если выражение С не обращается в
нуль, то уравнение
А = В
равносильно уравнению
СА = СВ.
Например,
/х2-2х = 1'\фф(х2_2х =Х2+ 1)<=>(_2x = 1)
U2 + 1 / 1 ’ \ 2 /
В частности, уравнение превращается в равносильное при ум-
ножении на отличную от нуля константу.
120. Решение систем линейных уравнений
методом последовательного исключения переменных
(метод Гаусса)
Линейным уравнением с переменными х1г х2, .... хп называется
уравнение вида
агхг + а2х2 + ... + апхп = b. (1)
В шестом классе было условлено не рассматривать случай, когда
все коэффициенты а, равны нулю. Сейчас это нецелесообразно.
Линейным уравнением мы будем называть любое уравнение вида (1).
Заметим только, что в случае
= а2 = ... = ап = 6 = О
любой набор чисел (хп х2, ..., хп) является решением уравнения (1),
а в случае
ai — а2 = • • • — ап — 0, 6 =Н= О
уравнение (1) совсем не имеет решений.
Сейчас мы познакомимся с общим способом решения систем ли-
нейных уравнений. Начнем с примера.
Пример 1. Дана система
(S) ~
2х — 4у + 4z = 10
—Зх + 8у — Юг = —25
4х — Зу + г = 1.
Преобразуем ее в равносильную систему так, чтобы в первом урав-
нении переменная х стояла с коэффициентом единица, а в другие
уравнения не входила вовсе. Для этого разделим почленно первое
уравнение системы (S) на коэффициент при х, т. е. на 2. Получим
первое уравнение новой системы
х — 2у + 2г = 5.
Прибавляя почленно это уравнение, умноженное на 3, ко второму
уравнению исходной системы и, умноженное на —4, к третьему
137
уравнению исходной системы, получим равносильную исходной
систему, в которой переменная х будет исключена из второго и
третьего уравнений:
(5г) =
х — 2у 4~ 2z = 5
2у — 4z ~ —10
5у _ 7z = —19.
Второе и третье уравнения системы (SJ содержат только пере-
менные у и г. Деля почленно второе уравнение на 2, получим урав-
нение
у — 2z = —5
с коэффициентом единица при переменной у. Прибавляя почленно
это уравнение, умноженное на —5, к третьему уравнению системы
(SJ, получим
Зг = 6.
В результате мы получили систему
(52) =
х — 2у + 2г = 5
у — 2г = —5
Зг = 6.
Разделив последнее уравнение на 3, приходим, наконец, к системе
(53) =
х — 2у + 2г = 5
у — 2г = —5
2 = 2,
в которой коэффициенты на диагонали равны единице, а коэффи-
циенты влево от диагонали равны нулю (их мы не пишем). Такая
система легко решается:
г = 2, у = —5 4- 2г = —1, х = 5 4- 2у — 2г = —1.
Ответ. {(—1; —1; 2)}.
Система вида (<S3) называется треугольной. Решение системы
линейных уравнений приведением к треугольной форме называется
методом Гаусса.
Поступая подобным образом с произвольной системой т ли-
нейных уравнений с п неизвестными, можно или обнаружить, что
она совсем не имеет решений, или привести ее к равносильной сис-
теме вида
*х 4- а12х2 4- Я1з*з + ••• + «ш*п = bi
*2 4- 023*3 + ••• + «2п*п = Ь2
х3 4- ... 4- а3пхп = Ь3
(2)
*р ... 4~ 0рп*п др,
где р п. Если р = п, т. е. последнее уравнение имеет вид
138
то система в этом случае имеет единственное решение (как это было
в примере 1). Если р < п, то произвольное решение системы нахо-
дится так: переменным
^р+1» ^р+2’ •••’ Хп
можно придать произвольные значения; значения
хр—1> •••> xi
вычисляются последовательно из уравнений системы (2). Так бу-
дет, например, если исходная система есть урезанная система (S)
примера 1.
Пример 2. Решим систему уравнений
, _ ( 2х — 4у 4- 4z = 10
(^ ) - [ _зх -j- 8у — 10z = —25.
Повторяя выкладки примера 1, получаем систему
/е"\ fx~ 2у 4-2z = 5
) - I у — 2г = — 5.
Общее решение получаем, считая z произвольным:
У = — 5 4- 2z,
х = 5 4- 2у — 2z = 5 4- 2(—5 4- 2z) — 2z = —5 4- 2z.
Решений системы (S') бесконечное множество.
Ответ. {(2z — 5; 2z — 5; z) | z £ /?}.
Так может случиться и тогда, когда уравнений столько же или
даже больше, чем переменных, как это будет видно из решения
примера 3.
При решении методом Гаусса систем линейных уравнений могут
встретиться такие особенности:
1) могут появляться уравнения вида 0 = 0. Их просто вычер-
кивают из системы уравнений;
2) иногда для получения на диагонали коэффициента 1 прихо-
дится менять порядок расположения переменных (см. пример 3);
3) может получиться уравнение вида 0 = Ь, где b =/= 0. Это
значит, что система, вообще, не имеет решений.
Пример 3.
х 4- у — z — 2/ = 1 '
2х 4- 2у — z — 2t = 4
—х — у 4- 2z 4- 3/ = 3
Зх 4- Зу 4- г = 15-
х 4- У — z — 2t — 1
г 4- 2/ = 2
z 4- t = 4
4z 4- 6/ = 12.
Поставив на второе место z, продолжим выкладки:
(£/)«
(X — z — 2t 4- у
г 4- 2/
z 4- t
4z 4- 6/
x — z — 2/4-
2 4- 2/
— /
i —2/
х— z — 2/4-
z 4- 2t
t
139
Четвертое уравнение вида 0 = 0 не записано. Общее решение сис-
темы (U) получаем, считая у произвольным:
t = —2, z = 2 — 2t = 6, х = I + z + 2t — у = 3 — у.
Ответ. {(3 — у; у; 6; —2)|у С R}.
Пример 4. Решим систему
(Ю =
X — у + 2 = 0
2х + у — Зг — —7
Зх + Зу — 7г = 2 .
Исключим переменную х из второго и третьего уравнений системы
х — у + z = 0
Зу _ 52 = —7
бу — Юг = 2 .
х — у + г = О
Зу _ 52 = —7
О • г = 16 ,
Последнее уравнение равносильно уравнению 0 = 16, т. е.
противоречиво. Поэтому исходная система не имеет решений.
Подведем итог. Система линейных уравнений может:
1) совсем не иметь решений;
2) иметь единственное решение;
3) иметь бесконечно много решений.
В последнем случае значения некоторых переменных остаются
совсем произвольными, а по ним однозначно вычисляются значения
остальных переменных.
Заметим еще, что при числе уравнений, равном числу переменных, воз-
можны все три случая, но, «вообще говоря», имеет место второй случай.
Если число уравнений меньше числа переменных, то второй случай не-
возможен. «Вообще говоря», имеет место третий случай.
Если число уравнений больше числа переменных, возможны все три
случая, но, «вообще говоря», имеет место первый случай.
Упражнения
Решите систему уравнений:
835. ’ х _ Зу = 1 838. (Зх — 9у = 12 841. (х + 2у = 7 2х + у = 4у . (4х — 12у - - 16. [2x4- 4у=9.
836. | 2х + Зу = — 1 839. (2х + бу = 5 842. (5х — 8у =0 5х + 4у = 1. { х 4- Зу -- 2,5. (х — 1,6у = 1.
837. ( 7х — 2у = — 1. 840. (4х — бу = 8 843. Г х 4- У = 7 Зх — 5у = 12. | х — 1,5у = 2. \2х + 2у = 11.
844.
При каком значении параметра а система имеет бесконечно
много решений?
' ах — Зу = 4 845. ( х 4- ау = 2 846. (х + 1,5у=4
‘ х — у = — . [Зх — 2у = 6. (4х + бу =а.
. 3
140
При каком значении параметра а система не имеет решений?
847. (2х + ау = 8 848. (х — у — 3 849. Г х — у = 2
[Зх — 5у = 6. (ах + 2у = —6. [ 2х — 2у = а.
Можно ли указать значение параметра а, при котором систе-
ма имеет решение?
850. 1 1 х — 5у = 7 851. ( х + 2у = а ах + у = —3. \2х 4- 4у = 5. ?ешите систему уравнений: 852. Г Зх — 2у = 6 (ах 4- У = —3.
853. ’ х + у + z = —2 х — у 4- 2z = —7 2х 4- Зу — z = 1. 857. ' х — у — г = 5 2х 4- у 4- Зг = 3 х — 4 у — 6г = 1,
854. ’ х 4~ 2у — z = 7 2х — у 4- z = 2 .Зх — 5у 4- 2z = —7. 858. ' х — Зу 4- г = 7 Зх 4- У — 2г = 3 х 4- 7у — 4г — 0.
855. ' х — 2у 4- Зг = — 1 2х 4- У — 5г = 9 4х — Зу 4- г = 7. 859*. ( ’ х 4- у 4- 2 4- t = 2 2х — у — г 4- 2/ = 7 Зх 4- 2у — 5г 4- t = 3 х — 2у 4- Зг + t = 5.
856.
’ х 4- 2у — г = О
Зх + 5у 4- z = —10
х + у + Зг = —10.
121. Геометрическая иллюстрация решения систем
линейных уравнений с двумя и тремя переменными
Будем считать, что в каждом из уравнений системы хотя бы
один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Как вы
знаете из курса геометрии, в этом случае линейное уравнение с
двумя переменными определяет прямую на плоскости, а линейное
уравнение с тремя переменными — плоскость в пространстве.
141
Рис. 83
Уравнения системы
Г ахх + Ьху = сг
1 а2х + Ь2у == с2
определяют две прямые на плоскости. Они либо 1) пересекаются,
либо 2) параллельны и не имеют общих точек, либо 3) параллель-
ны и совпадают. В первом случае система имеет одно решение
(рис. 80), во втором — множество решений системы пусто (рис. 81),
в третьем — система имеет бесконечное множество решений (мно-
жество решений есть прямая на числовой плоскости, рис. 82).
Система трех линейных уравнений с тремя переменными задает
в пространстве три плоскости. Рассмотрим возможные случаи взаим-
ного расположения трех плоскостей в пространстве.
А. Все три плоскости различны.
В. Две плоскости совпадают, а третья отлична от них.
С. Все три плоскости совпадают.
Разберем отдельно каждую из этих возможностей.
А. Если какие-либо две плоскости cq и а2 пересекаются, то
возможны три случая: 1) третья плоскость а3 пересекает линию
пересечения I плоскостей и а2 (рис. 83); 2) а3 параллельна I
и не имеет с ней общих точек (рис. 84); 3) а3 содержит I (рис. 85).
Если же пересекающихся плоскостей нет, то имеет место случай
4)’—все три плоскости параллельны (рис. 86).
В. Возможны два случая: 5) третья плоскость а3 пересекает
совпадающие плоскости eq и а2; 6) а3 параллельна совпадающим
Рис. 87
142
Рис. 88
Рис. 89
плоскостям и а2 и не имеет с ними общих точек (рис. 88). На ри-
сунках 87 и 88 совпавшие плоскости заштрихованы.
С. Имеет место случай 7) — все три плоскости совпадают (рис. 89).
В случае 1) система имеет одно решение, в случаях 3), 5) и 7) —
бесконечное множество решений, в случаях 2), 4) и 6) множество
решений пусто.
Для удобства полученные результаты сведены в таблицу.
Слу- чай Пересечение
А. Все три плоскости различны 3 плоскости пересека- ются в точке 1 Точка
2 плоскости пересека- ются по прямой,парал- лельной третьей 2 Пустое мно- жество
2 плоскости пересека- ются по прямой, лежа- щей в третьей 3 Прямая
Плоскости параллельны 4 Пустое мно- жество
В. Две плоскости сов- падают, а третья отлична от них Совпадающие плоскости пересекаются с третьей 5 Прямая
Совпадающие плоскости параллельны третьей 6 Пустое мно- жество
С. Все три плоскос- ти совпадают — 7 Плоскость
Аналогично числовой прямой и числовой плоскости можно рассмотреть
числовое пространство /?3 — множество упорядоченных троек действительных
чисел. Тогда каждое решение уравнения (системы уравнений) с тремя пе-
ременными можно рассматривать как точку числового пространства /?3.
С этой точки зрения случаи 3) и 5) отличаются от случая 7): в 3) и 5) множе-
ство решений системы — прямая в числовом пространстве, в случае 7) —
плоскость в числовом пространстве.
143
122. Нелинейные уравнения и системы уравнений
В этом пункте мы рассмотрим лишь некоторые специальные
приемы решения нелинейных уравнений и некоторые возникающие
при их решении трудности.
1. Иногда одно уравнение оказывается равносильным системе
из двух уравнений. Например, уравнение
(х + у)2 + (х + I)2 = 0 (1)
равносильно системе
х + у = О
х 4- 1= О
(так как сумма неотрицательных чисел может равняться нулю
только тогда, когда оба они равны нулю). Поэтому уравнение (1) с
двумя переменными имеет только одно решение (—1; 1).
2. Иногда множество решений уравнения является объедине-
нием множеств решений двух уравнений. Например, уравнение
х2 _ у2 = 0 (2)
равносильно уравнению
(х 4- у) (х — у) = О,
Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя
бы один из множителей равен нулю,томножество решений уравне-
ния (2) есть объединение множеств решений уравнений
х + у = 0 (2а) и х — у — О (26).
Решая систему
х2 — у2 = О
(х - I)2 4- у2 = 4,
мы должны решить две системы
Гх 4- У — 0 и fx —у = 0
|(х — I)2 4- у2 = 4 ((х — 1)2 4- у2 = 4
и взять все полученные решения (рис. 90).
В виде второго примера рассмотрим систему
Первое уравнение равносильно требованию,
что либо х 4- У — 1, либо х 4- у — —1. По-
этому множество решений системы (3) есть
объединение множеств решений систем
[ х 4- у = Ц (За) ( х 4- У — —Л (36)
Рис. 90 (2х — Зу = 7,) (2х — Зу = 7. J
144
Равносильность уравнения (х + у)2 — 1 требованию, чтобы
выполнялось хотя бы одно из уравнений х + у = 1 или х + У = —1»
можно записать в виде равносильности*
х + у = 1
((х + у)2 = 1) фф или
-X + у = —1.
Не следует путать эту запись с записью равносильности уравнения
системе уравнений*.
3. Во многих случаях левая и правая части уравнения
/ (х, у) — g (х, у)
определены не при всех значениях переменных. Например, левая
часть уравнения
(4)
имеет смысл лишь в предположении у #= 0. Поэтому уравнение
— = 2 не равносильно уравнению х = 2у.
Множество решений уравнения (4) состоит из всех пар вида (2а; а),
за исключением пары (0, 0).
Правильной будет равносильность
- = 2)<=>{х = 2у, у =Н= 0},
где справа стоит система, состоящая из одного уравнения и одного
неравенства.
Но можно записать утверждение, что из равенства (4) следует
равенство х = 2у:
Говорят, что для уравнения (4) уравнение х = 2у является вы-
водным уравнением.
При решении систем уравнений можно вместо перехода от них
к равносильным системам переходить к выводным системам. Но по-
том надо проверять полученные решения выводной системы. На-
пример,
— =2 (х = 2у (х = 2у
(;_1/+/ = ГЧ(*- 1с+/=1в|5?-4у=о.
* В некоторых учебных пособиях считают, что квадратная скобка уже
содержит в себе слово «или», и пишут просто
((X + У)2 = Уу~ !_1.
Говорят также, что уравнение (х + у)3 = 1 равносильно «совокупности»
уравнений х У = 1 и х + У = —1.
145
Рис. 91
Из двух решений выводной системы (0; 0) и
/8 4\
I —, — решением исходной системы является
\ 5 5 /
только второе*.
Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 1. Решим систему
£ у_ = 13
у X 6
х + у = 5.
(5)
Пользуясь теоремой о замене, получаем
(5) «
х . 5— х ГЗ
5 — х х 6
у— 5 — х.
Решим первое уравнение и запишем решения системы:
f ха + (5 - хр = 131 г 6 (х2 4- (5 — х)2) - 13х (5 — х)
1 х(5 —х) 6 ) ( х(5—х)=4=0
° I f 5хЛ6о= °Н(%=2 или х=з>-
Л A J ~~t~ и )
Ответ. «2; 3); (3; 2)}.
Пример 2. Решим систему уравнений
Поскольку
lg (х2 + у2) = 2
log2 х — 4 = log2 3 — log2 у.
lg (х2 + У2) = 2 <=> х2 + у2 = 100,
х 3
log2 х — 4 = log2 3 — log2 у <=>
16 у
х> 0
У
0,
то исходная система равносильна системе двух уравнений и двух
неравенств:
X2 + у2 = 100
11g (хг + у2) = 2 1 . = А
|log2x — 4 = log23— log2y | К6>оУ
y>0
x2 + у2 = 100 '
. xy = 48
|x > 0
у >o J.
* На рисунке 91 черным кружком отмечено решение выводной системы,
являющееся и решением исходной, а белым кружком — «лишнее» решение,
возникающее при почленном умножении первого уравнения на у.
146
(6)
При дальнейших выкладках ограничения х > 0 и у > 0 можно
не выписывать, но тогда надо проверить, удовлетворяют ли им
решения выводной системы
Гх2+ у2= 100
{ ху — 48.
Вычитая удвоенное второе уравнение из первого, получаем:
/ха+у2= 1001 /(х— у)2 =4 1
t ху = 48 J ( ху = 48/
Iх ~ У = 2 1 Или (х — У = ~21.
[ ху - 48/ I ху = 48 /
Решая первую из полученных систем, получаем:
fx — у = 2 1 /у = х — 2 1 /х = 81 „ /х = — 61
1 ху = 48/^/х(х — 2)=48/<=>/у = 6/ (у - — 8/'
Для второй системы имеем:
/х —у = —21 /у = х + 2 1 Гх = 61 /х = — 81
1 ху = 48 /^ (х(х + 2) = 48/^/у =8/ /у=—6/'
Проверка показывает, что из четырех решений выводной сис-
темы (6) удовлетворяют условию х > 0, у > 0 лишь два: (6; 8) и
(8; 6).
Ответ. {(6; 8); (8; 6)}.
Пример 3*. Решим систему уравнений:
х +у = —
1 z 6
,5 (sin 2х + sin 2у) = 2(1+ cos2 (х — у)). (7)
Делаем подстановку у = — — х и преобразуем левую часть
6
второго уравнения:
5 (sin 2х + sin (-2-
5 • 2 sin — cos (2х ——) =
6 k 6 /
= 5 cos (2x—-^1.
\ 6/
Отсюда второе уравнение системы (7) равносильно уравнению
5 cos (2х —— = 2+2 cos2 /2х— —\
к 6 / \ 6
Поэтому в силу теоремы о замене система (7) равносильна системе:
Л
у =--------X
6
5 cos (2х — — 'l = 2 + 2 cos2 f2х — —
к 6 / к 6,
147
Второе уравнение этой системы есть квадратное уравнение относи-
тельно cos 12х — —
\ 6)
2 cos2 (2х — —5 cos (2х — —W 2 = 0.
\ 6 / \ 6 /
Находим корни этого квадратного уравнения:
cos (2х — — 'j = 2 или cos (2х — — 'j = —.
\ 6 / \ 6/2
Так как уравнение cos(2x——1= 2 решений не имеет, то остает-
ся найти решения уравнения cos ^2х— yj =
2х —— = 2пп + —, п £ Z,
6 з
откуда
X
х = пп ± — + —, п С Z.
6 12
Следовательно, система (4) имеет бесконечное множество решений
х=пп± — + — , у = — — х— — + — — пп, n^Z.
6 12 6 12 6
Ответ. ±— Н-лп; — qz ------------яп) n^Z 1.
1Д12 6 12 6 / J
Пример 4*. Решим систему уравнений
| д2 tg х + cos у _ 2
{ 9C0Sy_81tgx =2.
Сделаем замену переменных. Обозначим
u = 9cosy. v = 81tgx.
После этого заданная система примет вид
(uv = 3
\и — о = 2.
Заметим, что по смыслу замены и > 0 и v > 0.
Систему (9) решаем с помощью подстановки и = v +
преобразований первое уравнение системы (9) принимает вид
(8)
(9)
2. После
Его корнями будут числа 1 и —3, Следовательно, система (9) име-
ет два решения: (3; 1) и (—1; —3). Учитывая, что и > 0 и о > 0,
148
отбрасываем решение (—1; —3). Остается подставить найденные
значения и и и в формулы (8)
3 = 9COS у, l = 81tgx
и решить полученные уравнения:
81tg х = 1 tg х = 0 <=> х = лп, п £ Z;
9C0S у = 3 <=> cos у = — <=? у = 2л/п± — , т £ Z.
2 3
Ответ. И лп; 2лт ± — ] п, т £ Z\.
1\ 3) /
Пример 5*. Решим систему уравнений
Ух + у + V х — у = 6
К(* 4- у)3(х — у)2= 8.
(10)
(11)
Сделаем замену:
и = Ух + у, V = X — у.
Отметим, что и’^0, и 0. В новых переменных система (10) прини-
мает вид
и + v = 6
uv = 8.
(12)
Систему (10) решаем подстановкой v = 6 — и. После подстановки
и преобразований второе уравнение системы (10) принимает вид
и2 — би 4- 8 = 0.
Его корнями будут числа 4 и 2. Следовательно, система (12) имеет
два решения: (4; 2) и (2; 4).
Подставляя значения и = 4 и v = 2 в (И), получаем:
4 = ух 4- у] |16 = х4-у] / х = 12
2 — ух— у) (8 = х — у) 1у = 4.
Подставляя в (11) значения и = 2, v = 4, имеем:
(2 = Ух 4- у! И = х4-у) ( х = 34 |
[4 = у^х — у) |б4 = х — yl I у = —301.
Ответ. {(12; 4); (34;—30)}.
Упражнения
Решите систему уравнений:
860. Г(х 4- 0,2)2 4- (У 4- 0,3)2 = 1
|х 4- у — 0,9.
861. (х — у = 1
|х3 — у3 = 7.
862.
1 1 = 2.
у— 1 у 4-1 х
у2 — х — 5 = 0.
149
863. (х3 + у3 = 35
U + у = 5.
865. Гх2у3 = 16
tx3y2 = 2.
867. (log2 х + log2 у = 1
(х 4- у = 3.
864. Г(х — у) (х2 — у2) = 45
|х + у = 5.
866. Гх2у3 4- х3у2 = 12
[х2у3 — х3у2 = 4.
868. riOl + lg(x+5'> = 50
tig (х — у) 4- 1g (х 4- у) = 2 — 1g 5.
869. (log4 х 4- log4 у = 1 4- log4 9
[ x 4- у — 20 = 0.
870. p • 9х = 81
tig (x 4- у)2 — 1g x = 2 1g 3.
871. (y — log3 x = 1
(ху = 312.
874*.
sin x 4- cos у = 0
sin2 x 4- cos2y =
872. з1 +2 loe, (y - 48
2 log5 (2y — x — 12) —
— log5 (y — x) = log5 (y 4- x).
875*. Isin x cos у — 0,25
[sin у cos x = 0,75.
876*. r =_2
3
cos2jt x—s i n2ny=J-.
873*. _ v_5n
У~ 3
(sin x = 2 sin y.
877*.
p4-y = y
4
tg X • tg у = 1
о
При решении системы введите предварительно новые перемен-
ные:
878. /х"1 4- y-i = 5
tx-2 4- у-2 = 13.
879. Гх3 4- У3 = 7
|х3у3 = —8.
880. /х3 4- У3 = 9
txy = 2.
881. /х2 4- У4 = 5
(ху2 = 2.
883*. /7= 4
tx 4~ У = 28.
884. (T^Vy + V~xVy= 12
txy = 64.
885. [32х — 2у = 725
3х — г'2 = 25.
886. /х2 — ху = 28
ty2 — ху = —12.
882.
-L4--L = -
/х /у з
ху = 9.
887*.
, 1
0COS X J------л
Z cos у = 4.
150
§ 25.
СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ
123. Системы неравенств
В восьмом классе уже рассматривались некоторые системы не-
равенств относительно двух переменных. Напомним, что решением
неравенства с двумя переменными
f (х; у) > О (или f (х; у) > 0)
называют упорядоченную пару чисел (х; у), после подстановки кото-
рых в неравенство получается истинное высказывание. Коротко
говорят, что пара чисел (х; у) удовлетворяет данному неравенству.
Например, для неравенства
3 sin х + Зу > 0
(«ГС
—; —21 является решением, так как
3sin— + S’2 = 3 • -+- > 0,
6 2 9
----~ ; 01 не является решением, так как
3 sin у) + 3° = 3 • (—1) + 1 = —2 < 0.
Решить неравенство — значит найти множество решений этого
неравенства. Для неравенства с двумя переменными это множество
есть некоторое подмножество в /?2. Его можно изобразить на коор-
динатной плоскости. Например, напомним, что множество решений
линейного неравенства
ах + by + с 0 (1)
или
ах + by + с > 0 (2)
есть полуплоскость (рис. 92). При этом граница полуплоскости при-
надлежит этому множеству, если неравенство нестрогое (см. нера-
венство (1)) и не принадлежит этому множеству, если неравенство
строгое (см. неравенство (2)).
Множество решений неравенства
есть круг с центром в начале координат и радиусом г (при строгом
неравенстве окружность не принадлежит этому множеству, а при
151
нестрогом — принадлежит (рис. 93)). А множество решений нера-
венства
х2 + у2 > г2
есть дополнение этого круга (рис. 94).
В общем случае изображение множества решений неравенства
/ (х; у) > 0 (или f (х; у) > 0)
есть фигура на плоскости.
Например, множество решений неравенства
у х2 — 2х — 2^0
есть фигура на плоскости, граница которой является параболой
у = 2 + 2х — х2
(рис. 95). Эта парабола разбивает всю плоскость на два множест-
ва — «внутренность параболы» (она заштрихована на рисунке) и
«внешнюю область». Множество решений заданного неравенства
заштриховано на рисунке 95. Действительно, возьмем любое чис-
ло х0. На вертикальной прямой х = х0 лежит единственная точка
границы — ее ордината у0 — 2х0 — х2 4- 2. Для всех точек этой
152
вертикальной прямой, расположен-
ных ниже точки (х0; Уо)» будет
У < Уо» т. е« эти точки принадлежат
множеству решений заданного нера-
венства.
Если задана система неравенств
7 (х; у) > О
g (х; у) > О,
то решением этой системы называет-
ся упорядоченная пара чисел, удовле-
творяющая каждому неравенству
этой системы. Поэтому множество
решений системы есть пересечение
множеств решений, входящих в эту
систему неравенств.
Например, для системы нера-
венств
х + у О
2х — у < О
Рис. 97
Рис. 98
множество решений есть угол, за-
штрихованный на рисунке 96, —это
пересечение двух полуплоскостей,
каждая из которых есть множест-
во решений одного из неравенств этой
системы.
Пример 1. Найдем множество
решений системы
х — у + 1 О
х + у — 3 < О
х + Зу + 1 > 0.
Рис. 99
Множество решений каждого из нера-
венств этой системы есть полуплос-
кость (рис. 97, 98 и 99). А множество
решений заданной системы есть
пересечение этих полуплоскостей
(рис. 100).
Пример 2. Найдем множество
решений системы
Рис. 100
х2 + у2 4
2х 4- Зу 0.
153
Рис. 101 Рис. 102
Рис. 103
Множество решений первого неравенства есть круг радиуса 2
с центром в начале координат (рис. 101). Множество решений вто-
рого неравенства есть полуплоскость (рис. 102). Множество реше-
ний системы есть пересечение полученных множеств, т. е. полукруг
(рис. 103).
Пример 3. Найдем множество решений системы
(Зх — 2у — 1 > 0
[Зх — 2у -f- 3 0.
Множество решений неравенств системы есть полуплоскость
(рис. 104 и 105). Границы этих полуплоскостей есть параллельные
прямые (их угловые коэффициенты равны), в данном случае пересе-
чение указанных полуплоскостей пусто — система несовместна.
Пример 4. Изобразим множество решений системы
х + у — 1 > 0
—х 4- у + 4 0
5х 4- 4у — 38 < 0
2х — у + 3 0
Рис. 104
Рис. 105
Рис. 106
154
Рис. 107
Рис. 108
Рис. 109
На рисунках 106, 107, 108, 109, ПО и 111 заштрихованы полу-
плоскости, которые являются множествами решений для каждого
неравенства системы. На рисунке 112 изображено пересечение
этих полуплоскостей.
Упражнения
Найдите множество решений системы:
888. (2х — у — 1 < О
+ 2у + 2 > 0.
889. (Зх + 2у + 1 > 0
(Зх + 2у — 3 < 0.
890. (х — у + 2 > 0
(х — у — 1^0.
891. /х2 + у2 9
(Х 4~ У 0.
892. /х2 + у2 > 4
(х — у — 2^0.
893. Гх2 + у2 < 16
(х2 + у2 > 1.
894. Гх2 — у — 2 < 0
(х 4- у < 0.
895. (х2 — 4х — у 4- 3 < 0
(2х — у — 2 > 0.
896. /х2 4- У < 0
(2х2 4- у — 1^0.
897. 1х2 4- У — 1 < 0
(х2 — 2х — у — 3 0.
155
898.
899.
'х Ч- 2у > О
х — у С О
х — 4у 4- 6 О.
2х — у — 1 < О
х — у 4- 1 О
У >0.
901.
902.
х + у О
2х — у — 3^0
,х — 2у 0.
х + у < О
Зх — у 4- 12^0
у<0.
900.
Зх 4- 2у — 1 < О
х + 1 > О
У >0.
х 4" у 4- 2 О
х — у + 2 О
х — у — 1 О
124*. Понятие о линейном программировании
Многие практические задачи сводятся к системам неравенств
относительно нескольких переменных. В качестве примера можно
указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно
такие задачи формулируются так: найти наилучший план произ-
водства при заданных ресурсах. Последние обычно задаются при
помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее
или наименьшее значение некоторой функции в области, которая
задается системой неравенств.
Приведем простейшую задачу подобного типа.
Задача. Бетон, производимый на заводах А и В, надо раз-
везти по строительным площадкам № 1, № 2 и № 3. Завод А
производит 320 т бетона в сутки, а завод В — 380 т. Потребность
в бетоне за сутки на стройплощадке № 1 — 200 т, на стройпло-
щадке № 2 — 280 т и на стройплощадке № 3 — 220 т. Стоимость
перевозки одной тонны бетона с завода на стройплощадку дается
следующей таблицей:
Таблица 1
с пл. заводы № 1 № 2 № 3
А 2 4 6
В 4 5 3
Требуется составить план перевозок бетона, при котором стоимость
перевозок будет наименьшей.
Обозначим через х (т) количество бетона, перевозимого с заво-
да А на стройплощадку № 1, а через у (т) — количество бетона,
перевозимого с завода А на стройплощадку № 2. Так как строй-
площадке № 1 требуется 200 т бетона в сутки, то с завода В на
стройплощадку № 1 надо завезти 200 — х (т) бетона. А на строй-
156
площадку № 2 с завода В надо завезти 280 — у (т) бетона в сут-
ки. Оставшиеся на заводе А 320 — х — у (т) бетона перевозятся
на стройплощадку № 3. Чтобы эта стройплощадка была полностью
обеспечена бетоном, с завода В надо завезти недостающие 220 —
— (320 — х — у) = х 4- у — ЮО (т) бетона.
Таким образом, план перевозок задается следующей таблицей:
Таблица 2
№ 1 № 2 № 3
А X У 320 — х — у
В 200 —х 280 — у х + у — 100
Чтобы получить стоимость запланированных перевозок, надо
умножить каждое число из этой таблицы на соответствующее число
таблицы 1 (там указана стоимость такой перевозки тонны бетона)
и сложить полученные произведения. Получится выражение:
S (х; у) = 2х + 4у + 6 (320 — х — у) +
+ 4 (200 — х) + 5 (280 — у) 4- 3 (х + у — 100) =
= 3820 — 5х — 4у.
(1)
По условию задачи надо так подобрать переменные х и у, чтобы
это выражение было наименьшим. При этом надо учитывать,
что переменные х и у не могут
чений. Так, масса перевозимого
бетона не может быть отрица-
тельной. Следовательно, все чис-
ла в таблице 2 неотрицательны:
х 0, у > 0, 320 — х — у>Ь,
200 — х > 0, 280 — у > 0,
х + у — 100 > 0. (2)
Таким образом, наименьшее
значение функции S (х; у) надо
искать в области, определенной
неравенствами (2). Эта область
изображена на рисунке 113.
Наименьшее (и наибольшее) зна-
чение функция S (х; у) принима-
ет в одной из вершин этого мно-
гоугольника в силу линейности
этой функции.
принимать произвольных зна-
157
Действительно, функция S (х; у) принимает значение, равное с,
для всех пар (х; у) таких, что 3820 — 5х — 4у = с. На координат-
ной плоскости точки с этими координатами располагаются на пря-
мой с уравнением 3820 — 5х — 4у = с. При различных с получаем
различные прямые, но все они параллельны, так как их угловые
коэффициенты равны—1,25. Если при некотором значении с такая
прямая проходит через внутреннюю точку многоугольника, то,
немного уменьшив с, мы получим параллельную прямую, которая
тоже проходит через внутреннюю точку многоугольника (если зна-
чение с изменено достаточно мало). Поэтому такое значение с не
может быть ни наибольшим, ни наименьшим значением функции
3820 — 5х — 4у. Если же прямая пересекается с многоугольником
только по границе, то существуют как угодно малые изменения с, при
которых у новой прямой и многоугольника уже не будет общих
точек. Такое положение прямой показано на рисунке 113 пункти-
ром. Соответствующее значение с будет или наименьшим, или наи-
большим значением функции 3820 — 5х — 4у. В самом деле, если
при значении q прямая имеет общую точку (xt; yj с многоуголь-
ником, а, например, при любом с > ct уже не имеет, то сг есть наи-
большее значение рассматриваемой функции на этом многоуголь-
нике и оно принимается в этой общей точке (xf, yj.
Подставляя в функцию S (х; у) координаты вершин многоуголь-
ника (указанные на рис. 113), получаем:
S (0; 100) = 3420, S (100; 0) = 3320, S (200; 0) = 2820,
5 (200; 120) = 2340, S (40; 280) = 2500, S (0; 280) = 2700.
Наименьшее из этих значений 2340 принимается функцией S (х; у) в
вершине (200; 120). Следовательно, затраты на перевозку бетона
будут наименьшими при х = 200 и у = 120. При этих значениях
переменных х и у таблица 2 принимает вид:
№ 1 № 2 № 3
А 200 120 0
В 0 160 220
При такой схеме перевозок затраты на них будут наименьшими и
равны 2340. При любых других вариантах перевозок затраты будут
больше.
Многие задачи при своем решении допускают подобную схему.
Она заключается в том, что надо найти наибольшее или наименьшее
значение для линейной функции переменных хь х2, ..., хп
S = b^Xi + b2x2 + ... + Ьпхп
в некоторой области, которая задается системой неравенств
+ a2jx2 + ... + anjxn ^cf, 1 < / < т
и линейных уравнений
+ а2^2 + ••• + апЛ = Ъ; 1 < k < s.
158
Задачи такого типа называются задачами линейного программи-
рования.
Задачи линейного программирования сводятся, как это видно
из приведенного примера, к решению систем линейных неравенств
и уравнений. В тех случаях, когда система содержит два уравне-
ния с двумя переменными или три уравнения с тремя переменными,
человек может проводить вычисления «вручную», т. е. самостоя-
тельно, без специальных приборов, выписывать решение на бумаге.
Но если такие системы приходится решать часто и помногу — лучше
работу механизировать, применять вычислительные машины.
Механические вычислительные машины до сих пор употребляют-
ся в различных вычислительных отделах, центрах и на счетных
фабриках. Однако появление большого числа более сложных
вычислительных задач, в частности задач, сводящихся к системам
линейных уравнений и неравенств со многими переменными, вы-
зывает непреодолимые трудности у вычислителей-математиков.
Только появление электронных вычислительных машин (коротко
пишут: ЭВМ) дало возможность ставить вопрос о решении огромно-
го числа вычислительных задач, в том числе и задач, сводящихся
к решению систем линейных уравнений и неравенств. При этом
само решение, например, систем линейных уравнений теоретиче-
ски не представляет трудности. Ее, как и в разобранных случаях,
методом Гаусса сводят к треугольной форме и последовательно
находят значения одной переменной за другой. Конечно, большое
число переменных и уравнений способствовало разработке очень
четких и результативных методов решения. Потребовалось уметь
решения задач записывать в таком виде, чтобы весь ход решения
можно было передавать машине. При таких условиях решение
задач, на которые вычислители потратили бы большое время
(например, месяцы или даже годы), машина выполняет за неболь-
шое число часов, а то и минут. Кроме того, из-за возможности
производить быстро огромные вычисления стало реально решение
таких задач, которые ранее считались невыполнимыми.
Автоматизация счета на ЭВМ предоставила возможности ре-
шать не только вычислительные задачи. Оказалось, что многие
задачи логического, стратегического, диагностического и игрового
порядка также решаются с помощью ЭВМ. Например, ЭВМ игра-
ют в шахматы, переводят с одного языка на другой, распознают
зашифрованные записи, в том числе старинные письменности и т. и.
Умение составлять план решения задачи (алгоритм) для пере-
дачи в машину, запись этого алгоритма на одном из языков про-
граммирования становится элементом культуры многих работников
из разных областей. В нашей стране непрерывно растет парк ЭВМ,
требуется все больше специалистов, умеющих ставить и решать
прикладные народнохозяйственные задачи в виде, пригодном для
перевода на язык ЭВМ. Электронно-вычислительные машины зани-
мают важное место в решении задач научно-технической револю-
ции, задач наших пятилетних планов.
159
Упражнения
904*.На животноводческой ферме производится откорм скота.
Пусть известно, что каждому животному надо ежедневно вы-
дать не менее 6 единиц вещества А, 8 единиц вещества В и
12 единиц вещества С (этими веществами могут быть, напри-
мер, белки, жиры и углеводы). Для откорма животных можно
закупить два вида кормов (например, жмых и комбикорм).
Единица веса первого корма содержит 21 единицу вещества А,
2 единицы вещества В и 4 единицы вещества С, а стоимость ее
равна 3 рублям. Для второго вида кормов соответствующие
цифры равны 3; 2; 2 и 2 рублям. Требуется составить рацион,
при котором была бы обеспечена суточная потребность в ве-
ществах Л, В и С, причем стоимость его была бы наименьшей.
905*.На фабрике для производства двух видов продукции исполь-
зуются три вида сырья. Оно имеется на фабрике в следующих
количествах: 13 единиц вида А, 9 единиц вида В и 8 единиц
вида С. На производство первого вида продукции надо израс-
ходовать (2; 0; 2) единиц указанных видов сырья, а для вто-
рого вида продукции эти показатели равны (2; 3; 0) (нуль озна-
чает, что данное сырье не требуется для производства данного
вида продукции). Прибыль, получаемая фабрикой от реализации
первого вида продукции, равна 3 условным единицам, а
от реализации единицы продукции второго вида равна 4 та-
ким же единицам. Требуется спланировать работу фабрики
так, чтобы обеспечить наибольшую прибыль.
125*. Сведения из истории
Геометрическая интерпретация уравнения с двумя переменными
была введена создателем аналитической геометрии Р. Декар-
том (1596—1650).
Линейные системы уравнений со многими переменными впервые
детально изучал Г. В. Лейбниц (1646—1716). Общие формулы
для решения систем линейных уравнений с и переменными нашел
швейцарский математик Г. Крамер в 1750 году. К сожалению,
по Крамеру при этом приходится вычислять сумму из п\ членов.
Более практические методы решения линейных систем предложил
К. Ф. Гаусс (1777—1855). По методу Гаусса вычислители могли
за день работы решить систему с десятью переменными, но решение
систем из нескольких сот линейных уравнений, встречающихся
в геодезии, занимало иногда много месяцев работы нескольких
вычислителей. Только с появлением ЭВМ решение больших линей-
ных систем стало вполне доступным.
Изучение систем линейных неравенств получило мощный сти-
мул начиная с 30-х годов текущего столетия с созданием линей-
ного программирования.
160
Практический интерес имеют, главным образом, задачи линей-
ного программирования, в которых число переменных много боль-
ше двух. Для того чтобы правильно ориентироваться в этих зада-
чах,- существенно владеть геометрической интерпретацией линей-
ных уравнений с п переменными в «n-мерном пространстве» Rn.
Создание методов линейного программирования составляет су-
щественную часть работ советского математика Л. В. Канто-
ровича.
Дополнительные упражнения к главе IX
Найдите множество решений системы:
906. 1* +- 1 W II 1 Ы
2 у 2
со II О)|
х .5
907. f у2 + ху = 15
l х2 + ху = 10.
908.
Ух + у — У X — у — 2
Ух + у — Ух — у = 8.
909.
910.
[х+у+ —=9
у
(х 4- у) х _ 20
У
Гх2у + ху2 = 6
(ху + (х 4- у) = 5.
911.
912.
\х + у)ЗУ- =|
.3 logs (х 4- у) = X — у.
х2у’- 1 = 5
ху’4-2 = 125.
913. Г12 (х + у)2 + х = 2,5 — у
|6 (х — у)2 4- х = 0,125 4- у.
914.
х 4- у 4- 1 > О
х 4- у — 3 < 0
х 4- 1 0
\х — 3 < 0.
915. х — у + 2 X — у — 1 ? 0 ; о
у 4- 1 0
у — 3 < 0.
916. х 4- 2у + 2 ? 0
х 4- 2у — 4 < х — 2^0 ' 0
х 4- У + 1 > 0.
917. ' Зх — 2у 4- 6 Зх — 2у 0 2у — 9 < 0 >0
х 4~ У 4“ 2 0.
918. (X — у + 2 0
1 Зх — у — 4 х + 1 > 0 1у >0. о
919. (х — 2у 4- 1 > 0
Зх 4- у — И х + 4у > 0 . х 0. < о
920. [х2 4- У3 < 9 х 4- у 0 х — 2у 0.
921. о V/°° У aw/ . см о» X X
922. ху — 4^0 х 4- 3 > 0 у 4- 4 > 0.
923. (ху 4~ 6 0
[х — 2у 4~ 8 5 0.
6 Заказ 423
161
МАТЕРИАЛ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1°. Представление рациональных чисел в виде бесконечных де*
сятичных дробей. Любое рациональное число представляется в
виде бесконечной десятичной дроби
Л0, 671^2^3 •••>
где а0 — целое число, а целые числа ak (k = 1, 2, 3, ...) лежат
в пределах
О ’С 9.
Пример 1. 1= 0,3333333...; 1 - = 1,750000 ... .
‘ н 3 4
Бесконечная десятичная дробь
йо> ^1^2 ••• @П'“
называется периодической, если существуют такие натуральные
числа N и р, что
ап+р — ап для всех натуральных п N.
Пример 2. Дробь 67,555555... периодическая (N = 1,
Р = О-
Пример 3. Дробь 3,6134134134134... периодическая (N =
= 2, р = 3).
Периодические дроби принято записывать короче: вместо
67,555555... пишут 67, (5), вместо 3,6134134134134... пишут 3,6 (134).
Число, написанное в скобках, называют периодом. 3,6 (134) чи-
тают: «три с минусом, шесть десятых и сто тридцать четыре в пе-
риоде».
Пример 4. Бесконечная десятичная дробь 0,3750000000...
имеет периодом число 0.
162
Пример 5. Бесконечная десятичная дробь 4,235757575757...
имеет периодом число 57, ее записывают в виде 4,23(57).
Общий способ представления рационального числа в виде бес-
конечной десятичной дроби состоит в следующем:
1) выделяют целую часть а0 числа %;
2) дробную часть числа х, т. е. х — а0—п—, где т б Zo,
п
п £ N, превращают в десятичную дробь при помощи алгоритма
деления; в нужных случаях разложение дополняют справа беско-
нечной последовательностью нулей.
Пример 6. —17у=—18 + у =—18 4-0,7142857142857...=
= 18,7142857142857... .
В результате получается периодическая десятичная дробь.
В самом деле, при делении на натуральное число п возможно
только п различных остатков
0, 1, 2, п — 1.
Поэтому при обращении рационального числа со знаменателем п
в бесконечную десятичную дробь какой-либо из остатков встретится
дважды после не более чем п шагов алгоритма деления. С этого
момента будут повторяться цифры в частном.
Любая периодическая дробь
не имеющая периодом (9), является представлением какого-либо
рационального числа.
Для отыскания такого числа можно применить формулу суммы
бесконечной геометрической прогрессии с |^| < 1.
Пример 7. Дробь 0,(27) есть сумма прогрессии
27 27 27
1Q2 ' 1Q4 + ю« + ”• *
Таким образом, нужно найти сумму бесконечной геометрической
прогрессии с первым членом 0,27 и знаменателем 0,01. Поэтому
0,(27) = —4-— 4- — + ... = —: (1 —0,01) = - =-.
102 104 '10е 100 99 11
Пример 8. Представим в виде бесконечной периодическую
дробь 2,6(037).
о о I 6 . 37 . 37 . . 4 . 37 /.
k 10 10« Ю7 10 10000
______1_\___J _4 37_____1 1 4- 1_______1 12Z
1000/ ~ 10 + 9990 “ 10 "Г 270 270*
Периодические дроби, имеющие периодом (9), можно было бы считать
другой записью чисел, имеющих периодом (0):
0,499999 ... = 0, 500000 ... .
6*
163
2°, Иррациональные числа. Любую непериодическую беско-
нечную дробь считают представлением некоторого иррационального
числа. Объединение множества рациональных чисел и множества
иррациональных чисел есть множество действительных чисел.
Ниже приводятся примеры иррациональных чисел.
Пример 9. Бесконечная десятичная дробь
0,1010010001000001...
(после первой единицы — один нуль, после второй — два нуля, ...
после k-й — k нулей и т. д.) является записью некоторого иррацио-
нального числа.
Действительно, предположим, что эта дробь периодическая. Тогда пе-
риод (пусть он состоит из р цифр) должен содержать хотя бы одну единицу,
поэтому в записи числа между двумя единицами не может стоять больше чем
р — 1 нулей, что противоречит условию. Полученное противоречие показы-
вает, что данная дробь непериодическая и, следовательно, служит представ-
лением некоторого иррационального числа.
Пример 10. Число ]Л2 = 1,41421356... иррационально.
В самом деле, предположим, что ]/"2 — число рациональное,
тогда его можно представить в виде несократимой обыкновенной
дроби _£ , где р <z Z, q £ N. Из равенства ]Л2 = — имеем: р2 =
q q
— 2q2, поэтому р2, а следовательно, и р четно, т. е. представимо
в виде р = 2k. Подставляя 2k вместо р, получаем:
4/г2 = 2q2, или 2k2 = q2.
Следовательно, и q — четное число, поэтому дробь £. сократима
Я
(на два), что противоречит предположению о несократимости дроби.
Этим доказано, что ]/2 не есть рациональное число, значит, оно
иррационально.
Пример II. Число 1g 2 ~ 0,3010 иррационально.
Предположим противное. Так как 1g 2 > 0, то его можно представить
р
в виде несократимой дроби — , где р и q — натуральные числа. Из равенства
q
1g 2 = — получаем 10’ = 2, или 10^ = 21?.
q
Левая часть равенства 10₽ = 2? делится на 5, правая — не делится, сле-
довательно, это равенство ложно. Из полученного противоречия следует,
что 1g 2 — иррациональное число.
3°. Правила сравнения действительных чисел и арифметические
операции на множестве действительных чисел. Будем рассматри-
вать десятичные дроби, не имеющие (9) периодом.
Действительное число а = а0, а^...^... больше действитель-
ного числа Р = Ьо, Ь1Ь2...Ьп..., если существует такое k, что ак > Ьк
и az = bt при всех i < k,
164
Пример 12. 1,23 ... > 1,21 ..., так как а0 = Ьо — 1, ах =*'
= bt = 2 и а2 > &2 (3 > 1).
Пример 13. 23,476... < 4,67 ..., так как а0 < Ьо (—23< 4).
Пример 14. 2,1748 > 2,1739.
Для действительного числа х = а0, aia2...an... вводятся деся-
тичные приближения по недостатку и по избытку с точностью до
10-«:
по недостатку: хп = а0, aia2...an\
по избытку: х'п = хп + 10-я.
Пример 15. Для числа 4,725496... первые шесть приближе-
ний выписаны в следующей таблице:
4 4,7 4,72 < 4,725 $ 4,7254 $ 4,72549 $ X < 5 (с точностью до 1), х < 4,8 (с точностью до 0,1), х < 4,73 (с точностью до 0,01), х < 4,726 (с точностью до 0,001), х < 4,7255 (с точностью до 0,0001), х < 4,72550 (с точностью до 0,00001).
Суммой действительных чисел х и у называется такое действи-
тельное число z, которое при любом натуральном п удовлетворяет
неравенству
*п + Уп < Z < х’п + Уп.
Произведением двух неотрицательных действительных чисел
х и у называется такое действительное число г, которое при любом
натуральном п удовлетворяет неравенству
хп • Уп < г < х’п • у'п.
Если одно или оба числа отрицательны, то нужно перемножить
их абсолютные величины. Произведение положительно, если оба
множителя одинаковых знаков, и отрицательно, если — противо-
положных знаков.
Можно доказать, что для любых действительных чисел их сум-
ма и произведение существуют и определены однозначно.
Пример 16. Пусть
х = 2,7154..., у = 1,4287... .
Тогда х4 4- у4 = 0,1441 + у < д4- у\— 0,1443. Таким об-
разом, мы определили первые три знака после запятой для суммы
х 4- у:
х 4- у = 0,144... .
Вычитание определяется как действие, обратное сложению,
деление — как действие, обратное умножению.
165
4°. Основные законы арифметических действий и свойства
неравенств. Для любых действительных чисел а, Ь, с имеют место
следующие равенства:
а) а + b = b + а (переместительный закон сложения);
б) (а + Ь) 4- с = а + (Ь 4- с) (сочетательный закон сложения);
в) а • b = b • а (переместительный закон умножения);
г) (а • Ь) • с = а • (6 • с) (сочетательный закон умножения);
д) (а + Ь) • с = а • с + b • с (распределительный закон).
Отметим, что для вычитания и деления аналогичные свойства
следуют из определения этих действий, например:
(а — Ь) • с = а • с — b с.
Из любых двух разных действительных чисел одно больше
другого: правила сравнения приведены в 3°. Если число а больше
числа b (а > Ь), то говорят также, что b меньше а (Ь< а).
Перечислим основные свойства неравенств:
а) если а > b и b > с, то а > с, где а, b и с — любые действи-
тельные числа.
Пусть а > b (а и b — любые действительные числа), тогда вер-
ны следующие неравенства:
б) а 4- с > b + с, где с — любое действительное число;
в) а • с > b • с, где с — любое положительное действительное
число;
г) а • с < Ъ • с, где с — любое отрицательное действительное
число.
Из приведенных выше свойств числовых неравенств можно
получить следующие следствия:
Если а < b и с < d, тоа-|-с<&4-с!и a—d<b — с (теоремы
о почленном сложении и вычитании верных числовых неравенств).
Пусть а, Ь, с, d — произвольные положительные числа и а < b
и с <d. Тогда а • с < b ‘ d и — < — (теоремыо почленном умно-
d с
жении и делении неравенств с положительными членами).
5° . Подмножества множества действительных чисел. Между
множеством натуральных чисел
Л={1;2; 3;...},
множеством целых неотрицательных чисел
Z. = {0; 1; 2; 3; ...},
множеством целых чисел
Z= —2; -1; 0; 1; 2; ...},
множеством рациональных чисел
Q = (- m^Z\n^N
I п
166
и множеством действительных чисел /?
существуют следующие соотношения:
Nc:ZoczZczQclR.
х
f А ч
КОЕ М
6°. Изображение чисел точками ко- Рис. 114
ординатной прямой. На произвольной
прямой I выберем две точки О и Е. Точ-
ка О разбивает I на два луча. При выбранной единице измерения
расстояние между любыми двумя точками выражается неотрицатель-
ным действительным числом. Выберем в качестве единицы измерения
длину отрезка 0Е\ |ОЕ|=1. Напомним одну из аксиом курса геомет-
рии: для любого расстояния х на заданном луче с началом О существу-
ет единственная точка Л4, находящаяся на расстоянии х от точки О.
Таким образом, между точками луча ОЕ и неотрицательными дей-
ствительными числами существует взаимно однозначное соответ-
ствие М->хм, где хм = \ОМ |—координата точки М (рис. 114).
Для точек луча ОК координатой служит число хм= — |ОЛ4|. Луч
ОЕ называют положительным лучом, луч ОК — отрицательным
лучом. Отображение М->Хм устанавливает взаимно однозначное
соответствие между прямой и множеством действительных чисел.
Для любых двух точек А и В прямой I имеем:
|ЛВ| = |хл — *в1-
Множество R действительных чисел часто называют числовой
прямой, а его элементы (числа)—точками числовой прямой.
7°. Координатная плоскость. На плоскости возьмем две взаим-
но перпендикулярные координатные прямые с общим началом ко-
ординат О и конгруэнтными единичными отрезками. Одну из ко-
ординатных прямых (обычно ее рисуют горизонтально, а направ-
ление вправо считают положительным) называют осью абсцисс
(рис. 115) или Ох. Вторую координатную прямую (обычно ее
рисуют вертикально, а направление вверх считают положитель-
ным) называют осью ординат или Оу. Между точками плоскости
и упорядоченными парами чисел уста-
навливают взаимно однозначное соответ-
ствие А ->• (х; у) следующим образом.
Из точки А опускают перпендикуляр на
ось Ох. Основание этого перпендикуляра
имеет координату. Ее обозначают черезх
и называют абсциссой точки А. Из точ-
ки А опускают второй перпендикуляр
на ось Оу. Основание этого перпенди-
куляра имеет координату. Ее обозначают
через у и называют ординатой точки А.
Полученную таким образом упоря-
доченную пару чисел (х; у), где х —
167
на первом месте, а у — на втором, называют координатами
точки А и пишут: А = М(х\ у).
Множество упорядоченных пар действительных чисел назы-
вают числовой плоскостью и обозначают через Я2, а любую упоря-
доченную пару действительных чисел—точкой числовой плоскости.
2. Функция
1°. Числовой функцией [ называется отображение подмножества D
множества R на подмножество Е множества R. Множество D
называют областью определения, а множество Е — множеством
значений.
Область определения функции f обозначают через D(J), а мно-
жество значений функции — через E(f). Значение функции f в
точке х обозначают f(x).
Например, если функция / отображает действительное число х
в число х2:
X -> X2,
то D(/) = R, E(f) = Ro = СО; оо[.
Для этой функции
»2) = / (-2) = 4, [(у) = у‘, / ... .
Часто для обозначения числа из D(f) выбирают определенную букву,
называемую независимой переменной или аргументом. Обычно это буква х.
Условившись в этом, вместо того чтобы говорить «функция /, заданная фор-
мулой f (х) = х2», можно говорить «функция [ (х) = х2», или просто «функ-
ция X2».
Для обозначения соответствующего значения функции также выбирают
определенную букву, чаще всего букву у. Сделав этот выбор, можно гово-
рить «функция у = х2».
Однако надо помнить, что равенства / (х) = х2, f (у) = у2, / (г)=г2, ...
определяют одну и ту же функцию /.
Каждому значению независимой переменной х из области опре-
деления D(j) функции f соответствует определенное значение у =
= /(х) зависимой переменной у из множества значений £(/)
функции /. ______
Пример 1. Для функции у = 2 У1 — х2 областью опреде-
ления является подмножество D — [—1; 1] множества действитель-
ных чисел R.
Множеством значений функций является множество Е = [0; 2].
Пример 2. Для функции у = х3 имеем:
D(y) = ]—оо; оо[, £(у) = ]—оо; оо[.
Пример 3. Для функции синус D(sin) = ]—оо; оо[,
Е (sin) = [-1; 1].
Пример 4. D(tg) = U 1—-
ntZ J 2
>= [—оо; оо[.
2
168
2°. Графиком функции f называется множество точек (х; у)
на координатной плоскости, где у = f (х), а х пробегает все мно-
жество D(f). Не всякое множество точек плоскости является
графиком некоторой функции. Для того чтобы множество Г точек
на плоскости было графиком некоторой функции, необходимо и
достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси ординат, пере-
секалась с Г не более чем в одной точке. Так, множества Г, изобра-
женные на рисунках 116—118, не являются графиками функций, так
как с прямой х = х0 они имеют более одной точки пересечения. А
множества Г, изображенные на рисунках 119—121, являются гра-
фиками функций, так каке каждой прямой, параллельной оси орди-
нат, каждое из них или не пересекается (прямая х = хх), или име-
ет только одну общую точку (прямая х = х2). При помощи этого
множества Г установлено соответствие, показанное на рисунке 122
стрелками.
3°. Пусть задана функция у = /(х), т. е. некоторое соответствие
между множествами D(f) и £(/). Если обратное соответствие есть
функция, то ее называют функцией, обратной функции f. Если функ-
ция g является обратной по отношению к функции /, то функция f
является обратной по отношению к функции g. Функции f и g на-
зывают взаимно обратными. Для взаимно обратных функций f и g
имеют место следующие равенства:
D(f) = E(g); Kg(x)) = x, xCL>(g);
E(f)=D(g)-, g(f(x)) = x,
169
Рис. 122
Функцию, которая имеет обратную,
называют обратимой, а функцию, кото-
рая не имеет обратной, — необратимой.
Функция является обратимой
тогда и только тогда, когда
каждое свое значение она при-
нимает только один раз.
Г рафики взаимно обратных
функций симметричны относи-
тельно прямой у = х. Если функ-
ция возрастающая (убывающая), то она
имеет обратную и обратная функция
также возрастающая (убывающая). При-
меры изображены на рисунках 123 и 124.
Функция, обратная нечетной, — нечет-
ная (рис. 125). Четная функция не
имеет обратной (см. ниже, пример 6).
Пример 5. Пусть у — 2х + 1,
тогда обратная ей функция будет у =
1 1
— — х----.
2 2
Графики этих функций изображены
на рисунке 126.
Пример 6. Пусть у = х2. Ее
графиком является парабола (рис. 127).
Эта функция необратима, так как любое
положительное значение а функция при-
нимает два раза: в точках х = /аи х=
*= — У~а, а не один раз.
Для превращения необратимой функ-
ции в обратимую выбирают такой
промежуток ее области определения, на
котором функция возрастает (убывает)
170
и принимает все значения (причем
только один раз).
В данном случае лучше всего взять
промежуток /?0 = [0; оо[ (рис. 128).
Обратной функцией будет функция
У = Ух.
Пример 7. Рассмотрим функцию
у = лЛ Сузим область определения
j—оо; оо[ функции до луча ]—оо; 0].
Функция у = х4 станет обратимой.
Обратной функцией будет функция
у = —У~х. Графики взаимно обратных
функций у=х4, определенной на ]—оо; 0],
и функции у = —Ух изображены на
рисунке 129.
Пример 8. Рассмотрим функцию
у = sin х. При этом D(sin) = ]—оо; оо[,
Е (sin) = [—1; 1]. Эта функция не-
обратима. Например, значение -^-функ-
ция у = sin х принимает бесконечное
7 л л 5 л
число раз в точках----, — , — ит. д.
6 6 6
Заметим, что любая периодическая функ-
ция необратима (объясните почему).
Сузим область определения функции
[л л 1
-------------------------2 ’ ~2 ‘
ция у = sinx, определенная на
у , будет обратимой (рис. 130).
Функ-
л.
~ Т’
171
На этом отрезке функция возрастает
и принимает все значения из отрезка
[—1; 1], равного множеству значений
функции синус.
Обратная ей функция называется арк-
синусом (arcsin) (см. п. 85).
3. Четные функции.
Нечетные функции
Числовая функция f называется чет-
ной, если область ее определения сим-
метрична относительно точки О (т. е.
для каждой точки x£D(f) точка —x£D(f))
и для любого х из области определения
верно равенство f(x) = f(—x) (рис. 131).
Числовая функция называется не-
четной, если область ее определения
симметрична относительно точки О и для
любого х из области определения верно
равенство f(x) = —f(—х) (рис. 132).
Пример 1. Функция у = X* чет-
ная, так как область ее определения R
симметрична относительно О и у(—х) =
— (—х)4=х4=у(х) для любого х (рис. 133).
Пример 2. Функция у — х5 не-
четная, так как область ее определе-
ния R симметрична относительно О и
у(—х) = (—х)5=—х5=—у (х) (рис. 134).
Из определений вытекает, что гра-
фик четной функции симметричен отно-
сительно оси ординат, а график нечетной
функции симметричен относительно на-
чала координат, т. е. центрально сим-
метричен.
Пример 3. Функция у = *3 — *
х3 — х
четная,так как D(y)—'\—оо;—1CUJ—h
OCUJ 0; 1[U] 1; 00 С симметрична отно-
сительно начала координат и для всех
х £ D(y) (рис. 135) у (х) = у (—х).
Пример 4. Функция f (х) = х + _
X
нечетная (рис. 136).
Пример 5. Произведение двух не-
четных функций fug есть четная функ-
ция, область ее определения симметрич-
172
на относительно О (область определения симметрична как пересече-
ние симметричных относительно О областей определения функций
f и g) и f (—x)g (—х)= (—/ (х)) (—g (х)) = f (х) g(x).
Если fug — нечетные функции, то их сумма и разность —
нечетные функции, а частное и произведение — четные функции.
Примерб. Из основных тригонометрических функций не-
четными являются синус, тангенс и котангенс; функция косинус
четная.
Пример 7. Функция у = не является ни четной,
ни нечетной, так как область ее определения не симметрична от-
носительно точки х = 0.
4. Периодические функции
Функция f называется периодической с периодом Т (Т =/= 0 —
некоторое действительное число) (рис. 137), если:
1) для любого х из области определения D (f) функции [ точки
х + Т и х — Т также принадлежат D ([);
Рис. 137
173
Рис. 139
У
О
X
2) для любого х € D (f) верно равенство / (х)' = f (х + Т).
Напомним, что для периодической функции f с периодом Т
для любого х С D (f) истинно также равенство f (х — Т) = f (х).
Пример 1. Функция у = {х} периодическая с наименьшим
периодом 1 (рис. 138), так как область определения этой функции
]—оо; оо[ И {х + 1} = {х} ДЛЯ Любого X £ R.
Пример 2. Функция у = 4 (рис. 139) периодическая, в ка-
честве периода этой функции можно взять любое действительное
число.
Обычно под периодом функции понимают наименьший из поло-
жительных периодов, если такой период существует. В этом случае
все периоды функции кратны наименьшему периоду, т. е. Т =
= kT0 (TQ — наименьший период, k—любое целое число). Однако
бывают функции, которые не имеют наименьшего периода.
Пример 3. Функция Дирихле, равная 0 для рациональ-
ных х и 1 для иррациональных х:
D (х\ = Р» если х — рационально,
' ' (1, если х — иррационально, —
периодическая и не имеет наименьшего положительного периода,
так как любое рациональное число — период этой функции. Это
следует из того, что сумма двух рациональных чисел — рацио-
нальное число, а сумма рационального и иррационального чи-
сел — иррациональное число.
Пример 4. Синус и косинус — периодические функции с
периодом 2л, тангенс и котангенс — периодические с периодом л.
Сумма, разность, произведение и частное функций с периодом
Т также являются функциями с периодом Т.
174
Рис. 142
Рис. 143
Пример 5. Любая сложная функция h(x) — f(g(x)), где «внутрен-
няя» функция g периодическая, — также периодическая с тем же периодом.
В самом деле, h (х 4- Т) = f(g(x + Т)) = f(g(x)) = h (х). Кроме то-
го, если х £ D(h), то х £ D(g) и g (х) £ D(f). Но тогда х 4~ Т £ D(g),
х — Т £ D(g) и g (х + Т) = g(x — Т) = g(x) — принадлежат D (f).
В частности, периодическими являются функции / (х) = {х} — —
(рис. 140), g (х) = {х)а — 0,3 (рис. 141).
Если функция у = f (х) периодическая с периодом Т, то функция
Т
g (х) — f (Ах + В) периодическая с периодом Tt = —.
В самом деле, g(x 4- ТА = f(A(x 4- ТА) + В) = f (Лх + ATt 4-
+ В) = f(Ax + Т + В) = f (Лх + В) = g (х). Далее, х € D(g) Ах +
4- В G D (f), но тогда Лх 4- В ± Tg D(f), т. е, Л (х ± Tt) 4" В £ D (/) фф
4=> х ± 7\ £ D(g).
Пример 6. Функции sin (at 4- b) и cos (at 4- b) периоди-
ческие с периодом —. Соответствующие примеры для разных о
(О
и b изображены на рисунках 142—144.
Если Т — период функции /, то —Т, 2Т (и вообще kT для любого
целого числа k) — периоды функции.
5. Общая схема исследования функции
Чтобы провести исследование функции, находят: 1) область ее
определения; 2) ее производную; 3) критические точки; 4) проме-
жутки возрастания (убывания);5) экстремумы, после чего строят ее гра-
фик. При построении графика учитывают четность, нечетность и перио-
дичность функции. Для некоторых функции полезно найти корни
175
уравнения f (х) = 0. Результаты исследования на возрастание,
убывание и экстремум функции удобно записывать в таблице.
Пример. Исследуем функцию Дх) = —2 4- Зх — х3.
1. D(f) = R, так как / — многочлен.
2. /'(х) = 3 — Зх2.
3. /'(х) = 0 <=> 3 — Зх2 = 0 фф Xj = 1, х2 = —1.
4. Функция f возрастает в промежутках, для всех точек кото-
рых f'(x) > 0.
3 — Зх2 > 0 х2 < 1 ф=> х С ]— 1; 1[.
Функция f убывает в промежутках, в которых f'(x) < 0:
3 — Зх2 < 0 <=> х2 > 1 <=> х С ]——1[ или х £ ]1; оо[.
5. Так как слева от точки —1 функция убывает, а справа воз-
растает, то в точке —1 она достигает минимума.
В точке 1 производная функции f меняет знак с «+» на «—»,
поэтому в точке 1 функция f достигает максимума.
Составим таблицу:
X ]-оо; -1[ —1 ]-1; 1[ 1 ]1; со[
Г — 0 + 0 —
/(х) —4 у1 0 X*
min шах
Функция f не является ни четной, ни нечетной, ни периодиче-
ской.
Найдем корни уравнения Дх) — 0:
—2 4- Зх — х3 = —2 4- 2х 4- х — х3 —
= — 2 (1 — х) 4- х (1 — х) (1 + х) =
= (1 — х) (—2 4- х 4- х2) =
— (1 — х) (х — 1) (х 4- 2),
Xi = 1, х2=1, х3=—2, ДО) = —2.
Строим график (рис. 145).
в. Прямая пропорциональность
Переменную у называют прямо
пропорциональной переменной х, с ко-
эффициентом пропорциональности k,
если соответственные значения этих
переменных связаны соотношением
176
у = kx, vjifi k — некоторое действительное число, отличное от
нуля.
Для любых двух пар соответственных значений переменных х
и у — (xt; yi) и (х2; у2) (хь уъ х2, у2 отличны от нуля) верно равен-
ство
У1 = Уа '
Xi х2
Пример 1. Путь, пройденный телом при движении по пря-
мой с постоянной скоростью, прямо пропорционален времени дви-
жения.
Пример 2. Пусть переменная у пропорциональна перемен-
ной х с коэффициентом klt а переменная z пропорциональна пере-
менной у с коэффициентом k2. Тогда переменная z пропорциональна
переменной х с коэффициентом krk2.
В самом деле, z = k2y — k2krx.
Если считать х независимой переменной, а у зависимой, то фор-
мула у = kx определяет у как функцию х. Графиком этой функции
является прямая, проходящая через начало координат с угловым
коэффициентом k (тангенс угла наклона к оси Ох равен k).
Докажем это. Проведем прямую через точки О = Л4(0; 0)
и Р = M(l; k) (рис. 146 и рис. 147). Пусть Е и D — проекции
точки Р на координатные оси. Тогда |О.Е| = 1 и |О£>| — |fc|.
Мы должны проверить, что: 1) любая точка прямой ОР принад-
лежит графику прямой пропорциональности и 2) любая точка гра-
фика, заданная прямой пропорциональностью, является точкой
прямой ОР.
1) Возьмем любую точку Q = Л4(х; у) прямой ОР. Пусть F
и G — проекции Q на оси Ох и Оу. Тогда F = Л1(х; 0); G — М(0; у)
и |OF| = |х|; |06| = |у|. Из подобия треугольников ODP и OGQ
получаем:
177
Пример 5. Площадь 5
Отметим также, что при k> О
положительным х соответствуют
положительные у, а отрицатель-
ным х — отрицательные у. Итак,
у = kx для точек прямой ОР.
Аналогично у = kx и при k < 0.
2) Каждому числу х формула
у — kx ставит в соответствие одно
и только одно значение у. Поэто-
му достаточно доказать, что для
каждого х существует точка пря-
мой ОР с абсциссой х.
Проведем из точки с коорди-
натами (х; 0) прямую, параллель-
ную оси Оу. Искомая точка —
точка пересечения этой прямой с
прямой ОР.
ПримерЗ. На рисунке 148
изображены графики функций
у = kx при разных k (k — ±0,5;
±3; ±1).
Пример 4. Так как площадь
треугольника равна 0,5 а • h, то
для треугольников, у которых две
вершины лежат на одной из парал-
лельных прямых, а третья на другой
из этих прямых (рис. 149), площадь
прямо пропорциональна длине
основания с коэффициентом про-
порциональности k = 0,5 h (h —
расстояние между этими прямы-
ми). Это следует из формулы
5 = 0,5 ha. Длина основания тре-
угольника — положительная ве-
личина, поэтому график дан-
ной зависимости — открытый луч
(рис. 150).
сектора (S = —/?2а) окружности
радиуса R прямо пропорциональна радианной мере а его дуги с
коэффициентом пропорциональности k = у R2 (где R — радиус
сектора). Графиком данной зависимости служит отрезок с концами
(0; 0) и (2л; л/?2) (рис. 151).
Пример 6. Кинетическая энергия материальной точки
массы т прямо пропорциональна v2 (квадрату скорости точки)
с k — 0,5 tn.
178
S
Рис. 152
Пример 7. Объем прямо-
го кругового конуса прямо про-
порционален произведению квад-
рата радиуса основания на
высоту с k = у.
Если переменная у пропор-
циональна переменной х с коэф-
фициентом пропорциональнос-
ти k, то переменная х пропор-
циональна переменной у с
коэффициентом —.
k
7. Обратная
пропорциональность
Переменную у называют
обратно пропорциональной пе-
ременной х, если соответствен-
ные значения этих переменных
k
связаны равенством у = — , где
X
k — некоторое действительное
число, отличное от нуля. Чис-
ло k называют коэффициентом
обратной пропорциональности.
Отметим, что ни одна из переменных х и у не может принимать
значения 0.
Для любых двух пар соответственных значений х и у—(лу; yj
и (х2; у2) верно равенство
У1 _
— I
х2 хг
так как у^ — у2х2 — k.
Пример 1. При равномерном движении по прямой время,
затрачиваемое телом на прохождение заданного пути, обратно про-
порционально скорости движения.
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х
с коэффициентом обратной пропорциональности k, то переменная х
обратно пропорциональна переменной у с тем же коэффициентом
обратной пропорциональности.
Если считать х независимой переменной, а у — зависимой, то
формула у = — определяет у как функцию х. Графиком этой функ-
X
ции является кривая, состоящая из двух ветвей. График функции
у = — называется гиперболой.
179
П р и м е р 2. На рисунке 152 изображены графики функций
у = — при разных k = ±1; ±2; ± у) .
Отметим также, что гиперболой называют любую кривую, получающуюся из
графика функции у = — при помощи перемещении и сжатии к осям.
X
Пример 3. Графики функций у = — + 2 (рис. 153); у =
X
= —!— (рис. 154); у = —-— + 2 (рис. 155) являются гипер-
х — 1 х— 1
— Д Д, 1
болами, так как получаются из графика функции у = — парал-
лельным переносом (укажите координаты этого вектора).
Пример 4. Кривая х2 — у2 = 1 является гиперболой, так как она
0.5
есть образ графика функции у =— при повороте на —459 (объясните поче-
х
му) (рис. 156).
k
График функции у = — при k > 0 расположен в I и III коор-
динатных углах (рис. 157), а при k < 0 во II и IV координатных
углах (рис. 158).
180
k
Так как функция у = —
нечетна, то ее график симметри-
чен относительно начала коорди-
нат.
k
Функция у = — непрерывна
на полупрямых]—оо; 0[ и]0; оо[.
В точке х = 0 эта функция не
определена.
Производная функции
k k гр
у = — равна-----. Так как
X X2
эта производная нигде не об-
ращается в нуль и определена в
каждой точке области определе-
ния функции, эта функция не
имеет критических точек.
Поскольку у' > 0 при k<0,
то при k<0 функция возрастает
в промежутках ]—оо; 0[ и]0; оо[.
При k > 0 у'< 0, поэтому
функция у убывает в промежут-
ках ]—оо; 0[ и ]0; оо[.
Пример 5. Функция у —
— — убывает в промежутках
]—оо; 0[, ]0; оо[ (рис. 159), а
функция у = 3--------возрас-
х + 1
тает в промежутках ]—оо; —
и ]—1; оо[ (рис. 160).
8. Линейная функция
Линейной функцией называ-
ется функция вида у = kx-\-b,
где k и b — некоторые числа.
Область определения линей-
ной функции — вся числовая
прямая R. Множество значений
при k #= 0 — также вся число-
вая прямая R. При k = 0
множество значений состоит из
одной точки Ь.
Линейная функция /(х)=Ъс+
+ b дифференцируема на всей
числовой прямой: ее производная
в каждой точке равна k.
181
При k > 0 функция возрастает на ]—оо; оо[, так как f'(x) =
= k > 0.
При k = 0 функция постоянная.
При k < 0 функция убывает на ]—оо; оо[ (так как f'(x) = k <
< 0 при всех х).
При k = 0 каждая точка является критической точкой функции,
так как в каждой точке производная равна нулю; при k =£ 0 кри-
тических точек нет.
Линейная функция не имеет экстремумов ни при каких значе-
ниях k и Ь.
Графиком линейной функции служит прямая с угловым коэф-
фициентом k. При k #= 0 эта прямая есть образ при параллельном
переносе г (0; Ь) графика прямой пропорциональности у — kx
(рис. 161).
Если известно, что у = kx ± b, то говорят, что переменная у
линейно зависит от переменной х.
На рисунках 162—164 изображены графики линейных функций
при различных k и b (рис. 162 при k = 1,5 и b = ±1, ±0,5, ±3.
Рис. 163 при k = 0,6 и b = —1, 0, 1, 2,5. Рис. 164 при k = —2 и
b = — 1, k = —0,5 и 6 = 4).
Если переменная у линейно зависит от переменной х, а переменная г линейно
зависит от переменной у, то переменная г линейно зависит от переменной х.
В самом деле, z=k2y ± b2=k2 (ktx 4* ^i)+ b2 = kvk^x ± (k2b1 + b2).
Прямые у = kYx ± 6X и у — &2x±62 параллельны тогда и толь-
ко тогда, когда kx = k2 (см. рис. 165).
Отметим, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности этих
прямых является соотношение k1k2=>—1 (объясните почему, рис. 166).
182
Рис. 165
Рис. 166
Пример 1. Прямые с одним и тем же коэффициентом b
проходят через одну точку М (0; Ь) (см. рис. 167).
Пример 2. Любая прямая, не параллельная оси ординат,
служит графиком некоторой линейной функции (см. рис. 161).
Коэффициент b равен ординате точки пересечения этой прямой
с осью ординат, коэффициент k—тангенсу угла между прямой и осью
Ох. Если М1=Л1(%1; yj и Л12=М(х2; Уг)—дветочки прямой,тоk=
= Уг ~У1- (рис. 168). При этом Xl можно взять равным нулю,
х2 —
тогда >’] равно Ь.
Часто рассматривают соответствия, задаваемые уравнениями
ах-\-Ьу-\-с=0, где а и b не равны нулю одновременно (а, Ь, с — дей-
ствительные числа). Графиком этого уравнения при 6 =Н= 0 служит
график линейной функции у = — — х — а при 6 = 0 «верти-
ь ь
кальная» прямая х = —— (рис. 169).
а
Таким образом, любая прямая плоскости есть график
некоторого линейного уравнения.
Графики линейных уравнений при различных а, Ь, с изображены
на рисунке 170.
183
Рис. 170 Рис. 171
Рис. 172
Множеством решений неравенства (ах + by + с 0) или (ах +
+ by + с 0) служит полуплоскость, границей которой являет-
ся прямая ах + by + с = 0. Соответствующие примеры приведе-
ны на рисунках 171 —174. Чтобы узнать, какая из двух полупло-
скостей является решением, берем пробную точку.
Множество решений неравенства ах 4- by 4* с > 0 или ах +
+ by + с< 0 — открытая полуплоскость с границей, являющейся
прямой ах + by с — 0 (рис. 175). Для того чтобы определить,
какая из двух полуплоскостей является множеством решений
неравенства, достаточно проверить, удовлетворяют ли неравенству
координаты какой-либо точки полуплоскости (при с =^= 0 проще
всего взять точку О).
9*. Преобразование графиков функций
Часто график одной функции можно получить из графика дру-
гой с помощью геометрических преобразований. При этом про-
стейшими геометрическими преобразованиями являются переносы
параллельно осям координат, сжатие и растяжение к осям. Рас-
смотрим в отдельности каждое элементарное преобразование, а
потом и их композиции.
1°. Перенос графика параллельно оси ординат. Графики функ-
ций f и g, где g (х) = / (х) 4- а, конгруэнтны. График функции g
О
Рис. 173 Рис. 174
Рис. 175
184
получается из графика функции f
с помощью переноса (0; а)
(рис. 176). Если число а положительно,
то график переносится параллельно
оси ординат вверх, а если а отрица-
тельно, то вниз.
Пример 1. График квадратно-
го трехчлена у = х2 4- 3 смещен па-
раллельно оси ординат на 3 единицы
вверх по отношению к графику квад-
ратного трехчлена у = х2 (рис. 177),
а график функции у = х2— 5 смещен
на 5 единиц вниз по отношению к
графику у = х2.
2°. Перенос графика параллельно
оси абсцисс. На рисунке 178 изобра-
жены три графика — графики функ-
ций /, guh. При этом g (х) = f(x + а)
и h(x) = f(x 4- b). График функ-
ции g получается из графика функ-
ции f переносом г (—а\ 0). На ри-
сунке 178 для функции g число а рав-
но 2, а для функции h число b равно
—4.
Пример 2. График квадрат-
ного трехчлена у — (х + а)2 по-
лучается из графика у = х2 парал-
лельным переносом г (—а\ 0) (рис. 179,
а = 2,5 и а = —3,5).
Возьмем любую точку (х; у) на
графике функции /. Координаты этой
точки удовлетворяют равенству у=
= f(x). При параллельном пе-
Рис. 178
183
реносе г (—а\ 0) точка (х; у)
перейдет в точку (х — а; у).
Координаты полученной точ-
ки удовлетворяют равенству
у = f (х — а 4- а), т. е. у =
— g (х — а)- Следовательно,
после параллельного переноса
точка оказывается на графике
функции g. Аналогично про-
веряется, что каждая точка
графика функции g получает-
ся после переноса из неко-
торой точки графика функ-
ции/.
ПримерЗ. На рисун-
ке 180 график квадратного
трехчлена g (х) = (х — З)2 — 2
смещен параллельно оси ор-
динат на 2 вниз и параллельно
оси абсцисс на 3 вправо по
отношению к графику квадрат-
ного трехчлена /(х) = х2. Та-
ким образом, график функ-
ции g получен из графика функ-
ции f переносом г (3; —2).
В учебнике VII класса
было сказано, что графики
функций у = ах2 и у = ах2+
4- Ьх + с при одном и том же
а Ф 0 конгруэнтны и второй
получается из первого с по-
мощью параллельного пере-
носа. Докажем это.
186
Из равенства
/ . Ь \2 Ь2 — 4ас
у — а х 4—----------
7 \ 2а/ 4а
видно, что график функции
у = ах2 + Ьх + с
получается из графика функции
у = ах2 с помощью параллель-
- / ь
но го переноса г I— —;
^2 __
--------- . Графиком функции
4а /
у = ах2 является парабола. Сле-
довательно, и графиком квадрат-
ного трехчлена у = ах2 +
+ с тоже будет парабола.
3°. Растяжение и сжатие графика
к оси абсцисс. На рисунке^!81 изоб-
ражены графики трех функций /, g
и Л. При этом g (х) = af (х) при
а> 1 и h (х) = bf (х) при 0 <д <1.
От умножения всех значений функ-
ции f на число а >1 ординаты всех
точек графика увеличиваются в а
раз и получается растяжение гра-
фика от оси абсцисс в а раз. От ум-
ножения всех значений функции f на
число b при 0< b < 1 ординаты всех
точек графика уменьшаются в “Раз-
Согласно принятой в п. 81 термино-
логии мы будем говорить, что гра-
фики функций g и Л получены из гра-
фика функции / сжатием к оси абс-
цисс в отношении 1 : а и 1 : b соответ-
ственно.
Пример 4. График функции
у = 2х2 (рис. 182) получается из
графика функции у = х2 сжатием к
оси абсцисс в отношении 1 : 2, а
1
график функции у — —х2—сжатием к
Рис. 182
е . 1
оси абсцисс в отношении 1 : —.
2
4°. Растяжение и сжатие графика
к оси ординат. График функции g (х) —
.( х\ .
= / — получается из графика функ-
\ а /
ции f сжатием к оси ординат в
отношении 1 : а (рис. 183).
Пример 5. График функции
у = xj (рис. 184) получается из
Рис. 185
187
У
1
///#/////
1
X
О
Рис. 186
Выражение Ь2 — 4ас называют
трехчлена и обозначают буквой D:
графика функции у= {х) (рис. 185)
сжатием к оси Оу в отношении 1 : 2,
а график функции у = {2х} (рис.
186) — сжатием
нии 1 : —.
2
Пример
ного трехчлена
(рис. 187), т. е. у = 2 ^х+ yj 4"
4- 1, получается из графика квад-
ратного трехчлена у = х2 следую-
щими преобразованиями: а) сжатием
к оси абсцисс в отношении 1 : 2;
б) переносом г (0; 1); в) переносом
г —у; 0^; вместо б) и в) можно сразу
сделать перенос г (— —; 1^.
10. Исследование
квадратного трехчлена
1°. Разложение квадратного
трехчлена на множители. Функ-
ция у = ах2 + Ьх + с, где а,
Ь, с—некоторые действительные
числа (а =£ 0), называется квад-
ратичной, а выражение ах2+Ьх-\-
+ с —квадратным трехчленом.
Преобразуем квадратный
трехчлен. Получим (см. п. 9)
( ( . 6 \2 Ь2 — 4ае \ /1Ч
у—а х 4— —
\\ 2а/
дискриминантом
к оси Оу в отноше-
6. График квадрат-
у = 2х2 + 2х + 1,5
4а2 /
квадратного
D = Ь2 — 4ас.
Если D = Ь2 — 4ас >0, то (1) можно разложить
ли как разность квадратов выражений х 4- и
g.~ = а (х + А + \
4а2 / I • 2а 2а J
а
— ^Ь\а } = а(х ~х1)(х ~хг)>
где
на множите-
сь2— 4ас .
2а
( । &
I X 4~ — —
к 2а
(2)
—Ь — У Ь2 — 4ас
*1 =
х2 —
2а_____
—b 4-Сb2 —4ас
2а
188
Окончательно получаем:
ах2 + Ьх + с = а (х — хх) (х — х2).
/ / b ___
Если же D < 0, то а х Ч—---------------=#0 ПРИ всех значени-
\\ 2а) 4а2 /
ях х. Это выражение поэтому (а следовательно, и выражение
ах2 + Ьх + с) нельзя разложить на линейные множители, т. е.
нельзя представить в виде (рх 4- q) (ex + /), так как произведение
(рх + q) (ex + /) = 0 при х — — — или х = — — .
р е
2°. Корни квадратного уравнения. Квадратным уравнением.
называют уравнение вида
ах2 + Ьх + с = 0 (1)
при а#=0.
При Ь2 — 4ас 0 уравнение (1) равносильно уравнению
а (х — Xj) (х — х2) = 0. (2)
Так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из сомножителей обращается в нуль, то уравнение (2)
имеет корни х — хг и х = х2. Эти корни совпадают при Ь2 — 4ас = 0.
При Ь2 — 4ас < 0 выражение ах2 + Ьх + с не обращается в
нуль (см. 1°), поэтому уравнение (1) корней не имеет.
Итак, при Ь2 — 4ас < 0 уравнение (1) не имеет корней, при
Ь2 — 4ас = 0 уравнение (1) имеет один корень х — —при
Ь2 — 4ас > 0 уравнение (1) имеет два корня, которые принято за-
писывать одной формулой
—Ь ± \ГЬ2 — 4ас /о\
Число корней квадратного уравнения (1) зависит от знака D.
Пример 1. Дискриминант квадратного уравнения
6х2 — х — 1 =0
равен I2 — 4 • 6 (—1) = 25 >0, поэтому уравнение имеет два корня:
X = _ L±5 т е = _1 J.
2а 12 3 2 2
Кроме того, квадратный трехчлен 6х2 — х — 1 можно разложить
на множители 6 ^х + -^j^x —= (Зх + 1) (2х — 1).
Пример 2. Дискриминант квадратного уравнения 2х2 —
— Зх + 2—0 равен З2 — 4-2-2 =—7 < 0. Поэтому данное урав-
нение не имеет корней и трехчлен 2х2 — Зх + 2 нельзя разложить
на линейные множители.
Пример 3. Уравнение 9х2 + 12х +4 = 0 имеет один ко-
12 2
рень-------------, так как его дискриминант равен нулю (122 —
2*9 3
- 4 - 9 • 4 = 0).
189
Разложение трехчлена 9х2 4- 12х 4- 4 на множители имеет вид:
9х2 4- 12х 4- 4 = (Зх 4- 2)2.
Пример 4. Уравнение —Зх2 4- 2х 4- 1 = 0 имеет два корня:
х = 2±У2»4.(-3). 1 = т. е. X, = I; X, =. -1.
° ' °' —6 3
2 • (-3)
Иногда формулу корней квадратного уравнения записывают
в другом виде:
в частности, при
-кг
X = ---------
а
а = 1 получаем:
Для решения уравнения —Зх2 -h 2х 4- 1
ас
(3')
(4)
П р и м е р 5.
примера 4 удобнее воспользоваться формулой (3'):
I2 —(—3) • 1 _ —1 ±.2 т е_ %i; х---------L
—3 -3 1 2 3
= О
х —
з
Пример 6. Уравнение х2 — — х — 1=0 имеет два корня:
3 . 3\2 . 3,5 1^о
х = — ± — 4- 1 = — ± , т. е. х, =--------; х, — 2.
4 4) 4 4 1 2 2
3°. Теорема Виета. Найдем сумму и произведение корней урав-
нения ах2 4- Ьх 4- с — 0.
= —Ъ — УЬ* — 4ас j —Ь4- /&'2 —4дс = —b — b = _ Ь_
2а 2а 2а а ’
(—Ь — /д2 — 4дс) (—Ь + К — 4ас) = (—Ь)2 —(Кд2 — 4ас)2 =
4 а2
‘ Хг
4а 2
Равенства Xi 4- х2 = — — и
а
4ас
4а2
Х2
с
•
а
с
= — выражают содержание
а
*1 *
теоремы Виета.
Пример 7. Уравнение
так как его дискриминант положителен (И2 — 4 • 5* 4 = 41 ;
.. —11 11
Сумма этих корней равна----------- —, произведение равно
с 5
5х2 — 11x4-4 = 0 имеет два корня,
* ~ " 0).
—11 11 4.
= —, произведение равно —
5-------------------------------5 5
Для составления квадратного уравнения по его корням и в
некоторых случаях для решения уравнений применяют теорему,
обратную теореме Виета:
190
Числа хг и х2 служат корнями квадратного
уравнения
х2 — Ьх 4- с = О,
где b = (л\ + х2) и с = хг • х2.
В самом деле, а'х и х2 — корни уравнения (х — хг) (х — х2) = О,
т. е. уравнения х2 — (xr + х^ х + хг • х2 = 0.
Пример 8. Числа 0,2 и 4,5 служат корнями уравнения
х2 — (0,2 + 4,5) • х + 0,2 • 4,5 = О,
т. е. уравнения х2 — 4,7х + 0,9 — 0.
Заметим, что уравнение х2 — 4,7х + 0,9 = 0 равносильно
уравнению а (х2 — 4,7х + 0,9) = 0, где а — любое действительное
число, отличное от нуля; например, при а = 10 получим:
10х2 — 47х + 9 = 0.
4°. График квадратичной функции. Для построения графика
воспользуемся общей схемой исследования функции.
1. Область определения — вся числовая прямая.
2. Так как f (х) = ах2 + Ьх + с, то /' (х) = 2ах + Ь, f (х) =
л Ъ
== 0ф=> х =---.
2а
3. Единственная критическая точка функции:
b
х =----------------------------.
2а
4. Если а > 0, то
5. Если а < 0, то
Г (X): > о <=> х £ '__б. 2а’ оо
Г (х) < С 0 ф=> х € оо; b 2а
Г (х): > 0 <^> х £ —оо; • b ' 2а.
Г (х) < 0 <=> х b 2а 1 ОО
При построении графика полезно воспользоваться информа-
цией о корнях трехчлена ах2 + Ьх + с (см. 2°).
Расположение графика функции по отношению к оси абсцисс
в шести подслучаях изображено на рисунке 188.
Точка графика с абсциссой х0 = —~ называется вершиной
параболы, ордината этой точки равна
—Ь2 + 4ас
4а
График функции у — ах2 + Ьх + с (рис. 189) получается из
графика функции у — ах2 при параллельном переносе
** /_ Ь_. —b2 Н~4ас\
? \ 2а 4а / ’
191
а>о а<0
D>0 А - / Х0 \ X
D=0 Хо X (\ •
D<0 1 х0 X — А '
Рис. 188
Так как функция у = ах2 четная, то ее график симметричен от-
носительно оси ординат.
График функции у = ах2 + Ьх + с симметричен относительно
прямой х = —— — образа оси ординат при параллельном пере-
20
* / b — ь2+
носе г-----; -----
\ 2а 4а
Рис. 189
5°. Решение квадратичных
неравенств. Знак квадратного
трехчлена совпадает со знаком
коэффициента при х2 на всей
числовой прямой, кроме про-
межутка между корнями (если
корни существуют).
Пример 9. Корнями
квадратного трехчлена
2х2 — Зх — 5
служат числа —1 и 2,5. Так как
коэффициент при х2 положите-
лен (он равен 2), то на промежут-
ках]—оо; —1[ и ]2, 5; оо[2х2 —
— Зх — 5 > 0, а на промежутке
]—1; 2,5 [ 2х2 —Зх —5 <0.
192
Пример 10. Так как трехчлен —х2 -ф Зх—11 не имеет
корней (его дискриминант отрицателен: З2 — 44 = —35 < 0) и
коэффициент при х2 отрицателен, то неравенство
—х2 + Зх — 11 >0
не имеет решений.
Пример 11. Множество решений неравенства —х2 -ф Зх —
— 1 < 0 — вся числовая прямая; ]—оо; оо[.
Пример 12. Множество решений неравенства
16х2 — 24х + 9 < 0
состоит из одной точки х = — так как 242 — 16 • 9 • 4 = 0 и
4 \
3 \
корни уравнения 16х2 — 24х -ф 9 совпадают: хх = х2 = — I .
4 /
11. Предел последовательности
1°. Понятие последовательности. Бесконечной числовой после-
довательностью называется числовая функция, определенная на
множестве N натуральных чисел.
Иногда рассматривают конечные последовательности — функ-
ции, заданные на множестве первых п натуральных чисел.
Последовательность — частный вид функции, поэтому способы
задания и обозначения функции применимы и для последователь-
ностей.
Однако чаще члены последовательности обозначают буквами,
снабженными индексами:
/ (1) = А; / (2) =/2; ...;/(и) =/л.
Последовательность с n-м членом ап часто обозначают так: (дх;
п2; ...; ап\ ...), или более коротко: (ап).
В этих обозначениях индекс (порядковый номер члена) п —
значение аргумента, а ап — соответствующее значение функции;
при этом подразумевается, что переменная «пробегает» все множе-
ство /V; для конечных последовательностей указывают соответ-
ствующие ограничения (например, п 10, п С N или просто п
< Ю).
Наиболее распространены два способа задания последователь-
ности: аналитический и рекуррентный.
Аналитически последовательность задают при помощи формулы,
указывающей, как по номеру п вычисляется член последователь-
ности хп с этим номером. Эту формулу называют формулой н-го
члена последовательности.
7 Заказ 423 1 93
п2
Пример 1. х„ —
F н п 5— 2п
С помощью этой формулы можно вычислить любой член после-
довательности, например:
З2 п 1002 10 000 2 000
3 5 — 2 . 3 100 5-2-100 —195 39
Условие п С N обычно опускают.
2
Пример 2. Формула хп =----------не задает
п — 3
последователь-
ности, так как х3 не определено. Для того чтобы функция х (л)
стала последовательностью, нужно доопределить ее значение в
точке п = 3. Например:
2
п — 3
1
при п=£3,
при п = 3.
При рекуррентном способе задания последовательности обычно
указывают:
1) первый член последовательности (или несколько, например,
k перЬых членов);
2) формулу (или правило), позволяющую определить (л + 1)-й
член последовательности по номеру л 1 (или л k) и членам
последовательности с номерами, не превосходящими л.
При таком способе задания последовательности каждому на-
туральному л будет поставлено в соответствие число, и притом
только одно. Строгое обоснование этого дается методом мате-
матической индукции.
Пример 3. Пусть хх = 2 и при л 1
хп+1 = *п+ 5.
Легко проверить, что эти условия определяют арифметическую
прогрессию (хл), где хп = 5п — 3.
Пример 4. Пусть xr = х2 = 1, а при л 2 хп+1 = хп 4-
+ ^п-1- Эти условия задают последовательность Фибоначчи:
(1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; ...).
Геометрически последовательность изображают двумя спосо-
бами:
1) при помощи графика (как функции натурального аргу-
мента);
2) члены последовательности изображаются точками коорди-
натной прямой, снабженными соответствующими пометками.
Пример 5. На рисунках 190 и 191 изображены последова-
тельности
194
*П
Рис. 190
2°. Монотонные последовательности. Ограниченные последова-
тельности. Последовательность (хл) называется возрастающей, если
каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. если
для любого натурального п выполняется неравенство
хп+1 > хп- (О
Неравенство (1) часто записывают в виде хл+1 — хп > 0, а для
последовательности с положительными членами в виде
хп+1 > |
Хп п— 1
Пример 6. Последовательность уп — —— является воз-
растающей, так как
Ул+1 — “ 2п(п+ 1) > °’
Последовательность (хп) называется убывающей, если каждый
ее член, начиная со второго, меньше предыдущего, т. е. если для
любого натурального п выполняется неравенство
^л+1 < хП' (2)
Неравенство (2) часто записывают в виде хл+1 — хп <0, а для
последовательности с положительными членами в виде
xn+i < |
хп
Пример 7. Геометрическая прогрессия со знаменателем q,
где 0 <q < 1, является убывающей последовательностью, если
ее первый член положителен, и возрастающей, если ее первый
член отрицателен.
Последовательность (хл) называется невозрастающей, если каж-
дый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, т. е.
если для любого натурального п выполняется неравенство
хл+1 хп- (3)
Неравенство (3) часто записывают в виде хл+1 — хп 0, а для
последовательности с положительными членами — в виде
ХП+1 < |
хп
7*
195
Последовательность (хл) называется неубывающей, если каждый
ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т. е. если для
любого натурального п выполняется неравенство
*л+1 > хп. (4)
Неравенство (4) часто записывают в виде хя+1 — хп 0, а
для последовательности с положительными членами — в виде
хп+1 > |
хп
Пример 8. Любая возрастающая последовательность явля-
ется неубывающей, любая убывающая последовательность явля-
ется невозрастающей.
Пример 9. Постоянная последовательность уп = 5 являет-
ся одновременно и невозрастающей и неубывающей.
Невозрастающие и неубывающие последовательности называ-
ют монотонными последовательностями.
Пример 10. Последовательность хп = (—1)л не является
монотонной.
Последовательность (уп) называется ограниченной, если суще-
ствуют два числа т и М такие, что для всех п выполняется не-
равенство т уп С М.
Пример 11. Последовательность хп = Зп +2 является ог-
г Зп
раниченной, так как для любого п выполняется неравенство
1 1 2
1 < х„ < 1—.
п 3
Последовательность уп = п2 не является ограниченной, так как
для любого числаМ > 0 при п > УМ будет п2 > М.
3°. Предел последовательности. Число а называется пределом
последовательности (хп), если для любого положительного числа е
найдется такое натуральное число AZ, что при всех п > N выполня-
ется неравенство
К — а| < е.
Интервал — е; а + е[ называют е-окрестностью точки а.
Неравенство |хп — а\ < е равносильно двойному неравенству
а — е < хп < а + 8,
т. е. если число а — предел последовательности (хп), то хп £
£ — е; а + е[ при п > N.
Итак, если число а является пределом последовательности хп,
то в произвольную окрестность точки а попадают все члены данной
последовательности, кроме, быть может, конечного их числа.
Зп__2
Пример 12. Последовательность уп =----------- имеет преде-
п
лом 3, так как для произвольного положительного 8 |уп—3|< 8 при
Г 21
8
п
196
D Г 21
В самом деле, при л> —
е
1у„-3|= —2-3
п
Пример 13. Пусть хп = с, т. е. (хп) — постоянная после-
довательность, тогда lim хп = с.
П->СО
Действительно, |хп — с| = 0 < е при любом натуральном п.
Последовательность может иметь только один
предел. Если у последовательности имеется предел, то такую
последовательность называют сходящейся-, последовательность, не
имеющую предела, называют расходящейся.
Необходимым условием существования предела по-
следовательности является ее ограниченность.
____________________________________________2
Пример 14. Последовательность = — сходится к нулю.
п2
Поэтому эта последовательность ограничена. (Отметим, что в ка-
честве чисел т и М в определении ограниченной последовательно-
сти можно взять числа —2 и 0.)
Пример 15. Последовательность хп = п2 + 1 расходящая-
ся (объясните почему).
Пример 16. Для последовательности уп = 1—2п не вы-
полнено необходимое условие сходимости (эта последовательность
не ограничена), следовательно, (уп) — расходящаяся последова-
тельность. Из этих же соображений расходится и последователь-
ность примера 15.
4°. Теоремы о пределах,
сходятся, то
Если последовательности (хп) и (уп)
a) lim (хп + yn) = lim хп + lim у,г; (1)
«-►оо «-►оо л->оо
б) lim (xn—yn) = lim xn — lim уп; (2)
«-►ОО «-►ОО «->00
в) lim (хп • yn) = lim хп • lim уп. (3)
«-►00 «-*00 «-*00
Если последовательности (хп) и (уп) сходятся, ¥=0 и предел
последовательности (у„) отличен от нуля, то
lim хп
Пт =
л-оо \уп) Ит уп
п-*оо
Пример 17. Постоянный множитель можно выносить за знак
предела:
lim (с • хп) = с • lim хп.
П-*<Х> П-гОО
197
В самом деле, в силу (3)
lim (с • хп) = lim с • lim хп = с • lim хп.
«-►00 «-*00 П-»00 -
1
2 —-
_ , „ 2п — 1г П
Пример 18. lim ------ = lim --
п->оо 3n— 1 n->oo 3
— — 1
n
lim [2 — —
«->co \n
lim I — — 1
«->00 \ и
lim 2 — lim —
_ «->OO__«->00M ___ 2 — 0 _ _Q
~ .. 3 -^-1 _ —
lim — — lim 1
«->00 n П-+ОО
Jl ___L
n in Г n2 + rt— 1 1- n n2 n3
Пример 19. lim ——--------= lim--------------
«-►00 П3 -f- 1 «-»00 J 1
n3
lim I—4- ----4---I
«-►oo \ ra n2 n3 ) 0 + 0 + 0
lim
«-♦00
= 0.
1 0
Пример 20. lim (-~ri -
«—00 \4n — 3
+ lim _*L_
n2 + 2n—l) «-oo4n —3
lim 2"2 + 3 - 2 2 + ° = 2 .2 = 1
X n-oona+2n—1 4 — 0 1 + 0 — 0 4
5°. Теорема Вейерштрасса. Если последовательность
монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Подчеркнем, что теорема Вейерштрасса не дает способа нахо-
ждения предела. Но в ряде случаев для вычисления предела до-
статочно знать, что предел существует. При этом обычно пользу-
ются тем, что для любой сходящейся последовательности (хп)
lim хп = lim хп_х.
«-♦00 «-♦СО
Пример 21. lim q* — 0 при 0 < q < 1.
«->00
В самом деле, последовательность qn монотонна (так как для
любого п имеем qn+1 =q • qn<qn) и ограничена (так как 0 < </* <1).
В силу теоремы Вейерштрасса эта последовательность имеет пре-
дел; обозначим его через Ь. Тогда
b — lim qn = lim (q • qn~y) = q • lim qn-1 - q • b.
«->00 «->00 «->00
Таким образом, b = qb, t. e. b (1 — q) = 0. Так как (1 — q)
ф 0, то b — 0.
198
Пример 22. Можно доказать, что последовательность рп
периметров правильных n-угольников, вписанных в окружность
единичного диаметра, возрастает. Кроме того, эта последо-
вательность ограничена: 0 < рп < 4 (рп < 4, так как пери-
метр любого вписанного многоугольника меньше периметра любо-
го описанного, например квадрата); по теореме Вейерштрасса эта
последовательность имеет предел. Этот предел обозначают через л.
12. Метод математической индукции
Если предложение А(п), в котором п— натуральное число,
истинно для п = 1 и из того, что оно истинно для п — k (где k —
любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следую-
щего числа п = k + 1, то предложение А(п) истинно для любого
натурального числа.
Сформулированный принцип — принцип математической ин-
дукции — является одной из аксиом арифметики натуральных чи-
сел. На этом принципе основан метод доказательства, называемый
методом математической индукции.
Доказательство методом математической индукции состоит из
двух частей: в первой части проверяют истинность высказывания
/4(1); во второй части предполагают, что А(п) истинно для п = k,
и доказывают истинность высказывания A(k + 1). Если обе части
доказательства проведены, то А(п) истинно для любого натураль-
ного п на основании принципа математической индукции.
Пример 1. Докажем, что n-й член арифметической прогрес-
сии может быть вычислен по формуле ап — аг 4- (п — 1) d, где
ах — первый член прогрессии, a d — ее разность.
Обозначим через А(п) равенство ап = аг 4- (п — 1) d для на-
турального числа п.
1) Л(1) истинно, так как = at + (1 — 1) d =
2) Докажем, что для любого k £ N A(k) => A (k 4- 1), т. е.
если ak = ar -j- (k — 1) d, то ak+1 = 4- kd. В самом деле, в
силу определения арифметической прогрессии ah+1 = ak 4- d-,
подставляя ar 4- (k — 1) d вместо ak, получаем
пд+1 = ar 4- (k — 1) d 4- d = ar 4- kd.
Обе части доказательства методом математической индукции
проведены, поэтому А (п) истинно для любого натурального п.
Пример 2. Докажем, что для любого натурального п число
52л+1 _|_ 1 кратно 6.
Обозначим через хп число 52n+14- 1, а через А (п)—предложение
«хп делится на 6».
1) Л(1) истинно, так как 52я+1 4- 1 = 126 делится на 6.
2) Докажем, что при любом k £ N из истинности A(k) следует
истинность A(k 4- 1), т. е. из того, что xh делится на 6, следует,
что xk+l делится на 6. В самом деле, хл+1 = 52*+3 4- 1 =
= 25 • 52fc+1 4- 1 = 24 • 52*+1 4- xk.
199
Так как xk делится на 6 в силу предположения индукции и
24 • 52ft+1 делится на 6, то и сумма этих чисел хА+1 делится на 6.
Обе части доказательства методом математической индукции
проведены, следовательно, предложение Л(/г) истинно для любого
натурального числа п.
13. Комбинаторика
1°. Перестановки. Число перестановок. Установленный, в ко-
нечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.
Число перестановок элементов конечного множества зависит толь-
ко от числа элементов, для множества из п элементов это число
обозначают через Рп.
Множество из одного элемента можно упорядочить единствен-
ным образом: единственный элемент множества приходится считать
первым.
Для вычисления Рп обычно пользуются рекуррентной форму-
лой
Л = 1; Р„ = п • Рп-1 при п > 1. (1)
Методом математической индукции можно доказать, что Рп
равно произведению п первых натуральных чисел:
Рп = 1 • 2 • 3 • ... • п. (2)
Короче произведение 1 • 2 • 3 • ... • п обозначают через п!.
Поэтому Рп = п!. Читают: «эн факториал».
По дополнительному определению полагают Ро = 0! = 1.
Пример 1. 7 книг можно расставить в ряд на одной полке
7! = 5040 способами.
Пример 2. Из цифр 2, 4, 6, 8, 0 можно составить 51 — 4! =
= 96 пятизначных чисел. При этом в записи каждого из этих чисел
каждая цифра встречается только один раз.
В самом деле, из цифр 0, 2, 4, 6, 8 можно образовать 5! переста-
новок, из них не являются пятизначными числами перестановки,
начинающиеся с нуля. Таких перестановок столько, сколько можно
составить перестановок из четырех остальных цифр, т. е. 4!.
2°. Размещения. Число размещений. Множество вместе с задан-
ным порядком расположения его элементов называют упорядочен-
ным множеством. Упорядоченные множества записывают, распола-
гая в круглых скобках его элементы в заданном порядке. Напри-
мер, (Л; Б\ В) — упорядоченное множество с первым элементом А,
вторым элементом Б и третьим элементом В.
Конечные упорядоченные множества называют размещениями.
Число размещений по т элементов в каждом, составленных издан-
ных п элементов, обозначают через Ап-
Для вывода формулы для числа размещений можно пользоваться
рекуррентной формулой.
А„ = п и Ап+> — (п — т) Ап при 1 т < п. (3)
200
Методом математической индукции можно доказать, исходя из
формулы (3), что
Л" = ----
(л — ту.
Формула (4) справедлива при любых п, tn С Zo, если
(4)
О пг п.
Эту формулу можно также вывести из формулы (2), подходящим образом
подсчитывая число перестановок из п элементов исходного множества. Дей-
ствительно, пусть требуется упорядочить множество из п элементов. Тогда
какие-либо т элементов придется поставить в определенном порядке на пер-
вые т из п мест. Это можно сделать Д"’ способами. Если первые т мест за-
няты, то останется (п — т) элементов. Ими придется занять последние (л —
— т) мест. Это можно сделать Рп_т способами (по смыслу Рп_т). Всего
получается А™ • Рп-т способов упорядочить множество из п элементов,
т. е.
Рп = А™ • Рп_т, или л! = А™ • (л - ту,
откуда
л” = —21—.
(л — т)!
Формулу (4) часто записывают в виде
Ап = п (п — 1) • ... • (п — т + 1). (5)
Пример 3. Трех человек на три различные должности из
восьми кандидатов на эти должности можно выбрать Al спосо-
бами. По формуле (5)
= 8 . 7 . 6 = 336.
3°. Сочетания. Число сочетаний. Свойства числа сочетаний.
В комбинаторике конечные множества называют сочетаниями. Чис-
ло сочетаний из п по т (т. е. подмножеств по т элементов в каждом,
содержащихся в множестве из п элементов) обозначается через CJJ1-
Подсчитывая число размещений из п по т, можно получить,
что А п = Сп • Рт, откуда
,т __ л1
п т! (л — т)1
Формулу (6) часто записывают в виде
,т _____п (л — 1) (л — 2) ... (л — т ф- 1)
л ~
1 • 2 • ... • т
(6)
(7)
Пример 4. Из 8 шахматистов нужно составить команду, в
которую входили бы 3 человека. Это можно сделать Сэ способами.
По формуле (7) имеем С* = =56.
201
Пример 5. Для любых п и т (0 т п) верно равенство
Gm /^п—т
п —
Действительно,
Qtn _ ____л!_________________п!______ ___Qti—m
П ml (л — гл)! (п — т)1 (л — (л — т))\ п
Пример 6. Число всех подмножеств конечного множества,
состоящего из п элементов, равно 2Л.
Доказательство можно провести методом математической индук-
ции. Так как сумма
Сл-|- СлН- ••• 4"
есть не что иное, как полное число подмножеств множества из п
элементов, то
C°4-Ci+C*+ ... 4-С" = 2Л. (8)
Доказать равенство (8) можно также при помощи формулы
Ньютона, положив а = b = 1.
Пример 7. Для любых пит таких, что 0 т < п, спра-
ведливо равенство
+ Сп+Х= (9)
В самом деле,
Qm [ — п (п — О — (п — /я 4~ 1) п(п — 1) ... (п — т)
1 • 2 • ... • т 1 • 2 • ... -m (m -f- 1)
__п(п — 1) ... (п — m 4- l)(m 4- 1) . п (п — 1) ... (п — т) ______
1 • 2 • ... • т (т 4- 1) 1 • 2 • ... • т (т 4- 1)
п (п—1) ... (п — т 4- 1) (т 4- 1 4- я — т) ___(п 4- 1) п (п — 1) ... (п —/п4~1)
(т+ 1)!
И +1)!
rm4-l
= .
Таблицу, п-я строка которой состоит из (п + 1) числа (п £ Zo)
СО ^>1 х>2
л, •• •» Сл»
называют треугольником Паскаля. Формула (9) позволяет после-
довательно заполнять строки треугольника Паскаля, пользуясь
тем, что в начале и конце каждой строки стоят единицы. Поэтому
иногда эту формулу называют рекуррентной формулой для вычис-
ления числа сочетаний.
14. Предел и непрерывность функции
1°. Предел функции. Число b называется пределом функции f(x)
при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа 8
найдется такое положительное число 6, что при всех х =£ а, удовле-
творяющих неравенству |х — а| < 6, будет выполнено неравенство
!/(*) - д| < 8.
202
Так как |х— а[ < 6 <=г> х £
£ ]а— 6; а + б[, то опреде-
ление предела можно сформули-
ровать следующим образом:
Число Ь называется пределом f (х)
при х, стремящемся к а, если при
любом е > 0 существует такая
окрестность точки а, что для лю-
бого х=/= а из этой окрестности
выполняется неравенство:
№)-Ь\ <е.
Для существования предела Дх)
в точке а необходимо, чтобы функция была определена во всех
точках некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой
точки а (рис. 192).
Пример 1. Для g(x) = с имеем lim g(x) = с.
х-»а
Действительно, |g (х) — с| = |с — с| = 0 < е для любого по-
ложительного числа е. В качестве 6 можно взять любое число.
Пример 2. Пусть Л(х) = -2~2х . Тогда lim h(x) — —2.
1 — X X->1
В самом деле, для любого е > 0 при х =Д 1
I h (х) — (—2) | =
2х(х— 1) | 2
X — 1
- 12 — 2х|=2|х — 11 < 26 = в
при 6 = у и х С ]—б + 1; 1 [ J J1; 1 + ЭД.
Пример 3. lim /х = /а при а > 0.
Действительно, для любого положительного е имеем
|/х —/7| =
х— а
Ух + У а
|х —а|
Уа
8
при [х — а| < /а • 8 и х 0;
х > 0 при |х — а| < а.
В качестве б можно взять минимальное из чисел /а • е и а.
Предел /х при х -> 0 не существует, так как в каждой окрестно-
сти точки нуль есть точки, принадлежащие отрицательному лучу
]—оо; 0[. Для таких х функция /х не определена.
Отметим, что функция Дх) может иметь только один предел при
х, стремящемся к а.
2°. Теоремы о пределах. Если при х, стремящемся к а, суще-
ствуют пределы функций Дх) и g(x), то при х, стремящемся к а,
существуют также пределы суммы, разности и произведения этих
функций, при этом
203
a) lim (f (x) + g (x)) = lim f(x) + lim g (x);
6) lim (/ (x) — g (x)) = bm f (x) -limg (x);
в) lim (/ (x) g (x)) = lim f (x) • lim g (x).
x-*-a x-+a x-*a
x-*a
Если, кроме того, lim g (x) =/= 0, то существует предел частного
функций / и g и
lim Ж = .
x->a g(x) limg(x)
x-»a
lim (cf (x)) = lim c • lim / (x) = c • lim f (x),
x-*a x-*a x-*a x->a
множитель можно выносить за знак предела.
Пример 4.
т. е. постоянный
Пример 5. Вычислим
.. х2 — х — 2
lim ------
х-»2 х2 — 4
Для этого разложим на множители числитель и знаменатель:
lim ^-х-2 = |jm О-2) (*+). = Ит х + 1 = 3 _
х-2 х2 —4 х->2 (х — 2)(x-j-2) х-»2 x-f-2 4
Пример 6.
.. Ух~+1—2 (КхЧП — 2)(/хТТ + 2)
lim -—!------- = lim —— ------- •——— -
х-3 X — 3 х-»3 (X _ 3) (/х 4- 1 4- 2)
(/Г4П)2— 22 .. 1
— lim -----— -----— lim - ----—
х-3 (х —3)(/х4-1 4-2) х-»з/х4-14-2
__1 _ 1 _ 2
lim Ух 4- 14- lim 2 2 4-2 4
х->3
Пример 7. Докажем, что lim хп — Хо для п £ N.
х-»х0
Так как 1) lim х = х0 и 2) из lim xk = хо следует, что
lim xft+1 = lim (х • xft) = lim x • lim xk = x0 • x£ = Xq+1,
X^Xq X-fXQ X-*X0
to limx" = x^ при любом натуральном n в силу принципа ма-
х-**о
тематической индукции.
Пример 8. Для любого многочлена Р (х) = аохп 4- flix”-1 4-
+ ... + an-ix + ап (ао 0, п —степень многочлена) имеем:
lim Р(х)= lim (aoxn) + lim (а1хп~1) 4" ••• + l'm an-ix + an —
X-*X0 X-*Xo
= a0 limx" + limxn~l 4- ... + an_ilimx 4- an =
X-*Xq X-*Xq X-*Xq
= aoxo "T aixo 4" ••• + an ~ P (xo)*
204
В частности, lim (2х4 — Зх2 + 8) = 2 • 24 — 3 • 22 + 8 = 32 —
х-^2
— 12 + 8 = 28.
3°. Непрерывные и разрывные функции. Функция / называет-
ся непрерывной в точке х0, если
lim f(x) = /(х0).
Пример 9. Для любого многочлена Р(х) (см. пример 8)
lim Р(х) = Р(х0).
Следовательно, многочлен — непрерывная функция в каждой точ-
ке числовой прямой.
jp (х)
Пример 10. Дробно-рациональная функция R(x) = ——
Q (*)
(Р (х) и Q (х) — многочлены) непрерывна в каждой точке области
определения.
В самом деле, D(R) = {х \ х £ R, Q(x) =/= 0}. При х0 С £>(/?)
lim R (х) = lim
х-х0 х-*х„
Р(х)
<2(х)
lim Р (х)
Х-*Ха
lim Q (х)
х-»х0
Р(*о)
Q(x0)
= R (*о).
X х3
Пример 11. Про функцию у =---------
нельзя сказать, что
она непрерывна в точке —1, так как в этой точке она не определе-
на (рис. 193).
Пример 12. Для функции g (х), график которой изображен
на рисунке 194, имеем:
lim g (х) = 3 и g (а) = 1.
х->а
Следовательно, g (х) разрывна в точке а.
Пример 13. Функция Н(х) разрывна в точке х0 (рис. 195),
так как не существует предела этой функции при х,
стремящемся к х0.
205
15. Производная, ее геометрический и физический смысл
1°. Приращение функции. Пусть задана функция у = f(x).
Зафиксируем некоторую точку х0, принадлежащую области опре-
деления функции /. Для любого х е D(f) разность х — х0 называ-
ют приращением независимой переменной х в точке х0 и обозначают
Дх. Из равенства Дх = х — х0 следует, что х = х0 + Дх. Разность
f(x) — Кхо) — Кхо + &х) — f(xo) называют приращением функ-
ции f в точке х0 и обозначают Д/(х0).
Отметим, что точка х0 зафиксирована, поэтому Д/(х0) есть функ-
ция аргумента Дх.
2°. Определение производной. Производной функции f в точке х0
называется предел отношения приращения Д/(х0) функции f в
точке х0 к Дх при Дх, стремящемся к нулю:
f(x0) = lim^. (1)
Дх-0 Дх
Равенство (1) можно записать в виде
f(x0) ~ lim
X — Хо
Если функция имеет производную в точке х0, то говорят, что она
дифференцируема в этой точке. Функцию, дифференцируемую в
каждой точке некоторого промежутка, называют дифференцируе-
мой в этом промежутке.
Для существования производной f'(xu) необходимо, чтобы
функция f была определена для всех х из некоторой окрестности
точки х0.
Пример 1. Для функции g (х) = с при Дх =/= О
Ag (х0) g (х0 + Дх) — g (х0) = с —с _ 0= q
Дх Дх Дх Дх
Следовательно, (с)' = lim —g (*°— — limO= 0.
ДХ-.0 Дх Дх-0
Пример 2. Для функции g (х) = х при Дх #= 0 имеем:
Ag (х0) _ g (х0 4- Ах) — g (х0) х0 + Дх — х0 = Дх =
Дх Дх Дх Дх
Следовательно,
g'(x0) = lim Ag (*-°— = lim 1 = 1.
Дх->0 Дх Дх-»0
Производная суммы двух функций равна сумме их производ-
ных, если последние существуют:
(Я*) + «(*))' = /'(*) 4-
206
Действительно, обозначим f(x) + g(x) через w(x). Тогда
(^о) w (*о 4~ Ах) — (х0) f (х0 + Ах) 4- g (х0 + Дх) — / (х0) — g (х0)
Дх Дх Дх
_ f (*о + Ах) — / (х0) g (х0 4- Дх) — g (х0) Af (х0) J Ag(xp)
Дх Дх Дх Дх
Следовательно,
m'W=limp/l^+^W= lim ^W + Iim ^sL =
Дх->0\ Дх Ах / дх-»о Дх Дх-о Ах
= f'(x0) + g’ (Хр).
Пример 3. Функция h (х) — |х + 1| (рис. 196) не имеет
производной в точке —1. В самом деле, при Дх#=0
АЛ (—1) А (—1 Ч- Ах) — Л (—1) 1-14-Дх 4-1||1-Н|
Дх Дх Дх
_ I Ах| _ | 1 при Дх > О,
Дх (—1 при Дх < 0.
Так как функция <р (Дх) = {_} при^х^сО ^рис* не име'
ет предела при Дх, стремящемся к нулю, то функция h (х) не имеет
производной в точке —1.
Если функция f имеет производную в точке х0, то
lim Д/(х0) = 0.
Дх-+0
Действительно,
lim ДДх0) = lim • Дх= f'(х0) -0=0.
Дх-*0 Дх-»0 Дх
Если считать х0 переменным, то производная оказывается новой
функцией от этой переменной. Производную функцию от функции /
обозначают f. Таким образом, /'(хо) — значение f в точке х0.
3°. Производная произведения и частного. Производная про-
изведения двух функций f и g вычисляется по формуле
(fg)' = f'g + fg’
207
в предположении, что производные f и g' существуют (4юрмула
Лейбница).
Пример 4. (х2)' = (х • х)' = х' • х + х • х' = 1 • х +
4- х • 1 = 2х.
Методом математической индукции можно доказать, что для
любого натурального п, п > 1,
(хпУ = пх*-1.
Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
(с • f (х))' = с . f (х).
В самом деле, (с • / (х))' = с' • / (х) + с • /' (х) = 0 • / (х) +
+ с • f (х) = с • f (х).
Многочлен есть всюду дифференцируемая функция:
(аохл + ajX"-1 + ... + an_iX + ап\ = (aQxn)' + (а1х/’-1)' + ... +
+ (ап)' = паохп~1 + (п — 1) ^х""2 + ... + ап_г.
Если функции / и g имеют в точке х0 производную и если g (х0) #=
=И= 0, то в этой точке существует производная их частного, которая
вычисляется по формуле:
lf_\ = / ~fs'
\g ) g* '
X2 1
Пример 5. Пусть (р(х) = -------. Тогда при ху=—
, = (х2)' (2х — 1) — (2х — 1)' _ 2х (2х — 1) —х2 2 __ 2х2 — 2х
Ф [ ~ (2х — I)2 “ (2х—I)2 “ (2х—I)2’
4°. Производная сложной функции h (х) = g (/(х)) находится
по формуле h'(x) = • f \x).
Пример 6. Для функции h (х) = У 2 — х2 имеем:
/ (х) = 2 — х2 и g (х) = У х\ так как /' (х) = —2х
И g'W=2W Т°
Пример?. ((№— 1)")'= 200 (х3 — I)1” Зх2 = 600 (х3— I)1"9 • х2.
5°, Физический смысл производной. Пусть при движении ма-
териальной точки по прямой координата х как функция времени t
задается формулой
х — s (t).
Тогда средняя скорость точки на промежутке времени
|70; t0 + ДГ] равна + Поэтому производная s'(t0) как
предел средней скорости на промежутке [70; k + ДО при А/,
стремящемся к нулю, есть мгновенная скорость точки в момент вре-
мени ^01
o(U= lim M'l + АО - S (Ц =s,(y_
д/-»о Д/
208
Коротко говорят: производная от координаты есть скорость.
Производная функции v (t) в точке t есть скорость изменения
скорости, т. е. ускорение при данном движении в момент времени t:
а (/) = v' (/).
Пример 8. Пусть при движении по прямой координата зави-
сит от времени квадрэтически:
х (t) = pt2 + qt + с.
Тогда v (t) = х (t) = 2pt + q и a (/) — v (/) = 2p. Следова-
тельно, при данном движении ускорение постоянно и равно удвоен-
ному коэффициенту при t2.
Пример 9. Пусть вращение тела вокруг оси совершается по
закону
<р (/) = З/2 — t3 + 1 (рад).
Тогда угловая скорость со (t) равна
со (/) = ср' (Z) = 6/ — 3Z2 (рад!сек).
Пример 10. Пусть тело массой 3 кг движется по прямой
согласно уравнению х (t) = t3 — 2t2 — 1 (координата измеряется
в метрах, время в секундах). Его скорость в момент временив при
этом движении v (t) «= х' (t) = 3/а — 4/, а ускорение a (t) = v'(t) =
= 6t — 4. Следовательно, через 2 секунды после начала движения
на тело действует сила
F - та = 3 • (6 • 2 — 4) = 3 • 8 = 24 (н).
6°. Геометрический смысл производной. Пусть функция у =
= f (х) дифференцируема в точке х0 и у0 = f (хо)- Прямая, опреде-
ляемая уравнением
У = Уо + /'(*о) • (х — *о), (D
называется касательной к графику функции у = / (х) в точке
(х0; Уо).
Уравнение (1) можно записать в виде
у = kx + b, где k =* f (х0) и b = у» — f (ха) • х0.
Таким образом, угловой коэф-
фициент касательной к графику
функции у = f (х) в точке (х0; у0)
равен/' (х0).
Так как секущая, проходящая
через точки (х; f (х)) и (хо; уо), имеет
. . f (х) — f М
угловой коэффициент —-—----------
(рис. 198), а /'(хо)=lim ,
х-»х0 х —х0
то касательная к графику функции
есть не что иное, как предельное по-
ложение секущей, проходящей через
точки М (хо; уо) и М (х; f (х)) графи-
ка функции, когда х стремится к хо.
209
Пример 11. Написать уравнение касательной к графику
функции у = 2х2 + 1 в точке (1; 5).
Подставляя в уравнение касательной значение у'(1) = 4 • 1 =
= 4, х0 = 1, уо = 5, получаем
у — 5 + 4 • (х — 1) — 4х + 1.
Пример 12. Уравнение касательной к гиперболе у — —-—
х— 1
в точке х0 = 2 имеет вид у = —х + 3.
В самом деле, у' (х) =------—У' (2) =—1, у (2) = 1, у=
= Уо + У’ (*о) (х — х0) = 1 — 1 (х — 2) *= — х + 3.
16. Задачи на экстремум
1°. Промежутки возрастания (убывания) функции. Если
функция f имеет положительную производную в каждой точке
интервала /, то эта функция возрастает на этом интервале /. Если
функция f имеет отрицательную производную в каждой точке
интервала /, то эта функция f убывает на этом интервале /.
При нахождении промежутков возрастания (убывания) полезно учи-
тывать, что если функция возрастает (убывает) на интервале и
непрерывна в точках а и Ь, то она возрастает (убывает) на отрезке[а; 6].
Пример 1. Найдем промежутки возрастания (убывания) функции
у = 2х3 — Зх2.
у' = 6х2 — 6х = 6х (х — 1); у'(х) положительна, если х (х — 1)>0,
т. е. при х(]—оо; 0CUJ1; °°Г; У(х) отрицательна при
х С ]0; 1[. Следовательно, функция 2х3 — Зх2 возрастает в проме-
жутках ]—оо; 0[ и ]1; оо[ и убывает в интервале ]0; 1[. Далее,
у (х) — многочлен, поэтому данная функция непрерывна на всей
числовой прямой, в частности в точках 0 и 1..Окончательно полу-
чаем, что у (х) возрастает в промежутках ]—оо; 0] и [1; оо[ и убы-
вает на отрезке [0; 1J.
2°. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.
Точка х0 из области определения функции / называется точкой
минимума этой функции, если найдется такая б-окрестность
]х0 — б; х0 + 6С точки х0, что для всех х =/= х0 из этой окрестности
выполняется неравенство
/ (х) > f (х0).
Точка х0 из области определения функции / называется точкой
максимума этой функции, если найдется такая б-окрестность
]х0 — б; х0 + б[ точки х0, что для всех х х0 из этой окрест-
ности выполняется неравенство
/ (х) < f (х0).
Подчеркнем, что точки максимума и минимума (точки экст-
ремума) — внутренние точки области определения функции /.
210
Внутренние точки области определения функции Д в которых
производная равна нулю или не существует, называют критически-
ми точками функции.
Точки экстремума функции / являются для нее критическими.
Приведем достаточные условия существования экстремума.
Если функция Дх) непрерывна в точке х0, f'(x) > 0 на интер-
вале ]а; х0[ и f'(x) < 0 на интервале ]х0; b [, то точка х0 является
точкой максимума функции Дх).
Если функция Дх) непрерывна в точке х0, f (х) < 0 на интер-
вале ]п; х0[ и /'(х) > 0 на интервале ]х0; &[, то точка х0 является
точкой минимума функции f (х).
Пример 2. Критические точки функции g (х) = — х4 4-
1 4
+ у х3 — точки 0 и —1 (так как g' (х) = х3 + х2 всюду определена
и g'(x) = 0 <=> х2 (х + 1) — 0 <=> х = 0 или х = — 1).
В точке —1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс»,
поэтому точка —1 — точка минимума функции g, точка нуль не
является точкой экстремума.
3°. Наибольшее и наименьшее значения функции. Для отыска-
ния наибольшего и наименьшего значения функции, дифференци-
руемой в данном промежутке, следует найти все критические точ-
ки функции, лежащие внутри промежутка, вычислить значения
функции в этих точках и на концах промежутка и из всех получен-
ных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее.
В самом деле, в любой другой точке х0 производная существует
и не равна нулю и, следовательно, в произвольной окрестности
этой точки есть точки хг и х2 такие, что
/(Л'1) > Дх0) и Дх2) < Дх0).
Пример 3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функ-
ции Дх) = — х3 — 4х на отрезке [0; 2].
3
Так как /'(х) = 0 «=> 4х2 — 4 = 0 <=> х = 1 или х = —1, то
критических точек две: —1 и 1. В промежутке [0; 2] лежит лишь
одна из них: х = 1.
Далее, «0)=0; Д1)=-2|; f(2)=2|; minf(x) = /(l) =
3 3 [0; 2]
— — 2-|; max f (х) =. f (2) - 2^.
3 [0; 2] 3
Пример 4. Боковые стороны и меньшее основание трапеции
равны по 10 см. Определить ее большее основание так, чтобы пло-
щадь трапеции была наибольшей.
Проведем [ВЯ] _1_ [Л£)] (рис. 199). Пусть |ДЯ| = х, тогда
|ВЯ| = /100—х2 и = Sabcd~ °’5 + М£>|) • \ВН\ =«
= (10 + х) У100 — х2. Далее,
211
Рис. 202
Обозначим через еа вектор 7?
динаты равны cosa и sina,
(рис. 203).
f' (х)=У 100— х2—
2х (10 + х) _2 (50 — 5х — х2)л
2 /100 —х2 / 100 —х2
/'(х) = 0 при х = — 10 или х = 5.
Нам нужно найти максимум
функции f на отрезке [0; 10}.
Так как f (0) = 100, / (5) = 75)ЛЗ
и / (10) = 0, то максимальное
значение f (х) на отрезке [0; 10]
равно 75 ]ЛЗ при х = 5, при
этом \AD | = 10 + 2х = 20 (см).
17. Теоремы сложения для
тригонометрических функций
Пусть на плоскости задана си-
стема координат и на осях коор-
динат отложены отрезки ОЕ и OD
единичной длины. Векторы
i = ОЕ\ j = OD
называют координатными векто-
рами (рис. 200).
Пусть дан вектор О А. Повер-
нем точку А вокруг центра О
на угол а (рис. 201). Получим
точку В = Ro (А).
Говорят, что вектор ОВ получен
из вектора ОА поворотом на
угол а:
ОВ = Ra (ОА) = ОЯМЛ).
В этом определении не важно,
как выбрана точка О (рис. 202).
При повороте Ra вектора
а = ОА = 071'
на угол а получается вектор
b = ОВ = (УВ’.
(i) . Тогда по определению его коор-
поэтому еа = cos a i -f- sin a j
212
В дальнейшем будут использо-
ваны следующие соотношения:
а) для любого вектора а и
любого действительного чи;ла k
верно равенство Ra (ka) = kRa (а)
для а С R,
б) для любых векторов а и &
R“ (а + Й = Ra (а) + Ra (6),
а £ R,
в) для любых аир Ra+P (а) =
= Ra (R& (а)) (рис. 204);
г) R2 (5 = 7; RT (j)= —1 (рис. 205).
2°. Косинус и синус суммы. Из формулы
еа — cos а • i 4- sin а • /
(1)
вытекает Ra(j) = Ra (R2 (i)) = R2 (Ra (i)) = R2 (cosa • Г +
л Л
+ sin a • /) = cos a • R2 (/) 4- sin a-R2 (/) = cos a • / — sin a • i.
Следовательно,
Ra (/) = —sin a • i 4- cos a • /. (2)
Заметим теперь, что, с одной стороны,
ea+p = cos (а 4- 0) • Z 4- sin (а 4- 0) • /, (3)
с другой стороны,
213
Далее, в силу равенств (1) и (2) ea+s= cos a (cos 0 • i 4- sin 0X
X /) + sin a (— sin 0 • i 4~ cos 0) • /.
Сравнивая равенства (3) и (4), получаем
cos (a + 0) — cos a • cos 0 — sin a • sin 0,
sin (a + 0) = sin a • cos 0 + cos a • sin 0.
Эти формулы и выражают теоремы сложения.
Пример 1. Найдем cos 75°, sin 75°, tg 75°.
cos 75° = cos (30° -|- 45°) = cos 30° cos 45° — sin 30° sin 45° =
=a.tz_±.ri=iZ(/3- о,
2 2 2 2 4
sin 75° = sin (30° + 45°) - sin 30° cos 45° + cos 30c sin 45° =
= 2 . = ^(/з + i),
2 2 2 2 4
tg 75° = £?,.+ L 2 +
cos 75° j/y_1
Пример 2. Найдем косинус и синус разности.
Так как a — 0 = a 4- (—0), то по формуле (5) получаем
cos (a — 0) = cos (a + (—0)) 7 cos a • cos (—0) — sin a • sin (—0) =
= cos a • cos 0 + sin a • sin 0. Окончательно получаем:
cos (a — 0) = cos a • cos 0 + sin a • sin 0,
sin (a — 0) = sin a • cos 0 — cos a • sin 0.
Пример 3. Найдем тангенс суммы и тангенс разности.
fg (а | 0)_ s’n (a 0) _sin a • cos 0 -|- cos a • sin 0
cos (a 4- 0) cos a • cos 0 — sin a • sin 0
sin a • cos 0 cos a • sin 0
cos a • cos 0 cos a • cos 0 tg a 4- tg 0
cos a • cos 0 sin a • sin 0 1 — tg a • tg 0
cos a • cos 0 cos a • cos 0
tg(»+P)= , +
1 — tg a • tg 0
Заменяя в этой формуле 0 на —0 и учитывая нечетность танген-
са, получаем
tg<«—«е-х—tep
H-tga.tg0
В формуле (6) а, 0, a 4- 0 не являются числами вида -у 4- nk,
(4)
(5)
(6)
Итак,
(7)
где k £ Z.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1°. Тождества сокращенного умножения. Для любых дейст-
вительных чисел а и b верны следующие равенства:
а) а2 — Ь2 = (а — Ь) • (а + Ь) (разность квадратов);
б) а3 — Ь3 = (а — Ь) • (а2 + ab 4- Ь2) (разность кубов);
в) а3 + Ь3 = (а + Ь) • (а2 — ab 4- Ь2) (сумма кубов);
г) (а ± Ь)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2 (квадрат двучлена);
д) (а ± Ь)3 = а3 ± За2Ь 4- ЗаЬ2 ± Ь3 (куб двучлена).
2°. Сравнение среднего арифметического и среднего геометриче-
ского. Средним арифметическим чисел а и b называют число
Средним геометрическим чисел а и b (а > О, b > 0) называют
число У ab.
Для любых положительных чисел ан b верно неравенство:
УаЬ <
3°. Неравенство Бернулли. При —1 (Zi G/?) для любого на-
турального п верно неравенство (1 4- h)n 1 4- nh.
4°. Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность,
каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему
члену, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифмети-
ческой прогрессией. Это число d называют разностью арифметической
прогрессии.
Последовательность (ап) является арифметической прогрессией
тогда и только тогда, когда для любого п > 1 верно равенство:
п ___ ап~1 4- °ЯЦ
2
215
Для арифметической прогрессии (ап)
ап = ch + (п— 1) d; Sn = п,
где d — разность прогрессии, a Sn — сумма ее первых п членов.
5°. Понятие степени. При натуральном п > 1
ап = а • а • ... • а.
п множителей
При п = 1
ап — а1 = а.
При п = 0 и а О
ап = а° = 1.
При п С Z, п < 0 и а^- О
ап = —.
а п
При n ( Q, т. е. п = —, где р С Z, q С N и а > О,
<7
р
ап = aq а‘\
6°. Формула Ньютона. При любом натуральном п
(а + Ь)п = С°ап + Спа"-1 b + .... + С^ак~тЬт + ... + СппЬп.
7°. Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность,
первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со
второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и
то же, не равное нулю, число q, называют геометрической прогрес-
сией. Это число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Последовательность (Ьп) является геометрической прогрессией
тогда и только тогда, когда для любого п > 1 верно равенство:
2
Ьп = ^п-1 ’ Ьп+1.
Для геометрической прогрессии (Ьп)
где q—знаменатель прогрессии, a Sn сумма ее первых п членов.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии (Ьп) при | q | < 1
равна —т. е. lim S„ = ——.
1 — q п-кх> 1 — q
8°, Длина дуги. Площадь сектора. Длина дуги в а радианов
равна aR (R — радиус дуги).
Длина окружности С радиуса R выражается формулой
С = 2nR.
216
Рис. 206
Площадь сектора, дуга которого содержит а радианов, равна
(R — радиус круга).
Площадь 5 круга радиуса выражается формулой
S = лЯа.
9°. Знаки значений тригонометрических функций (рис. 206).
10°. Формулы двойных аргументов тригонометрических функций:
sin 2а = 2 sin а • cos а; cos 2а — cos2 а — sin2 а;
tg2a -----; а =И= — -\-лт, tn^Z, a^ — + — k, k^Z.
6 1 — tg2 а 2 4 2
11°. Представление суммы одноименных тригонометрических
функций в виде произведения:
sin a -J- sin Р = 2 sin C0S'tLzJL;
2 2
• о о a + P • a — В
sin a — sin p ~ 2 cos —sin-------;
2 2
cos a + cos P = 2 cos cos a ~ Р.»
2 2
o n . a + в . a — P
cos a — cos P = —2 sin—— sin-----
2 2
12°. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргу-
ментов: cos (a 4- Р) = cos a • cos P — sin a • sin P; cos (a — p) — cos a • cos p 4- sin a • sin p; sin (a 4- p) — sin a • cos P 4- cos a • sin p; sin (a — P) = sin a • cos p — cos a • sin P; tg(a+p) . 1 — tg a • tg P tg(a —fl) = lea"t6P . 1 4-- tg a tg P
217
13°. Формулы приведения.
и sin и cos и tg и ctg u
л . т+“ cos а —sin а —ctg а — tg а
л + а — sin а — cos а tga ctg a
Зя т + а — cos а sin а — ctg а — tga
—а — sin а cos а — tga — ctg a
л — — а 2 cos а sin а ctg а tga
л — а sin а — cos а — tg а — ctg a
Зл — — а 2 — cos а — sin а ctg а tga
14°. Соотношения между тригонометрическими функциями од-
ного и того же аргумента.
Дано sin a cos a tg a ctg a
sin a — a a ±/l - fl2 еч a 1 •H 1" U. 3 +1
cos a = a ± V1 - a2 a H- а г о to 1+ x 1 ° о bS'
tga = а a /1 4- «2 1 /14- a2 a a
ctg a = a 1 У1 4- «2 a ± V i + a2 a a
15°. Преобразование произведения тригонометрических функций
в сумму.
sin а • cos р = у (sin (а 4- Р) 4- sin (а — р));
cos а • cos Р =~ (cos (а + Р) + cos (а — Р));
sin а • sin р = у (cos (а — Р) — cos (а 4- Р)).
218
16°. Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного аргумента.
а а
2tg- 1-tg2-
sin а -----------; cos а = ----------;
а а
1+tg2— 1+tg2 —
а а
2tg- 1—tg* —
tg а =--------; ctg а =--------.
Л а а
i—tg2 — 2tgT
17°. Формулы дифференцирования:
, , v 1
(ctgx) =------——;
sin2 X
(ах)' = ах In а;
(<**)'=ех;
(logflx)' = —р-;
х In а
(1пх)'=
(О' = 0;
(х)' = 1;
(ха)'=аха~\а^
(sin х)' = cos х;
(cos х)' = — sin х;
(tgx)'= Ц-;
COS2 X
(f + ёУ = Г 4- g';
(f-ёУ =f'g + fg';
(A_Y = f'g—fg'.
\S / g2 *
-g'(x).
18°. Первообразные.
/(*) ха, а —1 sin х COS X 1 COS2 X 1 sin2 x 1 X ’ x > 0 О V ex ax
F(x) у^+1 -—±с а+1 —COSX-b 4-С sinx + +с tg x + + c —ctgx+ + C In x± + c In (—X) + + C 6х ± 4-C ax ,—+c In a
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ
ВСЕГО КУРСА
Укажите верные цифры в записи приближенного значения
числа х:
924. 3,83 ± 0,01. 926. 7,441 ±0,1.
925. 1,380 • 104 ± 0,001 • 104. 927. 2,3 • 10"5 ± 0,2 • 10~5.
928. Вычислите а + Ь • с, если а та b та 0,017; с та 2,3199.
929. Пользуясь формулой (1 ± х)л та 1 ± пх, вычислите 1,0028;
2,0063; 3,0014.
930. Докажите, что УТ не является рациональным числом.
,_____________________________ 19
931. Найдите сумму чисел у 2 и — с точностью до 0,01.
219
932*. Докажите, что 1g 3 не является рациональным числом.
933. Вычислите без таблиц 1g 5 • 1g 20 4- (1g 2)2.
934. Что больше: а) ——-— или —б) 15 или 10 gl ?
1g 2 lg 2
935. Дано: f(x)= • Найдите f Т1 У
Докажите равенство:
936. —— + — 4- —4- ... 4---------------------=---------.
4-5 5-6 6-7 (п + 3) (а 4- 4) 4 (л 4 4)
937. 22 4- 62 4- ... 4- (4п — 2)2 = —1)(2п+ °.
3
938*. _L-4__L 4--I---р ... 4----I-----
1 8 8 15 15-22 (7п-6)(7п + 1)
+ 7п+ 1
939*. —— 4- —4-----------—
4 - 8 8 • 12 12-16
-----!------1-----?--- - -.
4п (4л + 4) 16 (п + 1) 16
940. Докажите, что при п £ N Т-п — 1 делится на 48.
Докажите неравенство:
941*. |sin пх{ п |sin х|.
942*. ——- 4- 4-----— >1.
п 4- 1 п + 2 Зя 4- 1
943. Найдите седьмой член разложения:
4"
X /
944. Найдите четвертый член разложения: (/2а— ab)1.
945. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной ра-
боты. Сколькими способами их можно посадить в два ряда,
чтобы рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг
за другом был один и тот же вариант?
946. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные
пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько
среди них чисел, содержащих цифры 2, 4 и 5 одновременно?
947. Какой четверти принадлежит угол:
1200°; —1000°; 3,5л; -15^-л; аф-я, где 0<а<^-;
5 3 2
а — л, если а — угол III четверти; а — Зл, если 0 < а < —? -
948. Какой четверти принадлежит число х, если:
sin х = 4 cos х; sin х — cos х = 1,2?
949. Вычислите
sin 110° - sin 250° 4~ cos 540° cos 290° • cos 430э
cos2 1260°
1 —— tn
950. Найдите sin x, если cos x = ---- и m > 0.
1 4- m
951. Вычислите cos x, если sin x =---и — < x < 2л.
/10 2
220
952. Вычислите cos х, если sin х • tg х =—.
953. Вычислите tg —, если cos а = ——.
2 5
954. Вычислите tg а, если tg у = ]/2.
955. Вычислите без таблиц с точностью до 0,001 значение sin 46°,
если cos 32° = 0,848.
Указание, sin 46° = sin (30° 4- 16°).
956. Дано: sin а — •. cos а > 0. Найдите tga.
У а2 + Ь2
957. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит
5 кг чистой меди, а второй кусок 4 кг. Сколько процентов меди
содержит первый кусок латуни, если второй содержит меди на
15% больше первого?
958. Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстоя-
ния 325 км, в новом расписании движения автобусов сокраще-
но на 40 мин. Найдите среднюю скорость движения автобуса
по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней
скорости, предусмотренной старым расписанием.
959. Л4оторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна \Ъкм/ч.
прошла вниз по течению 139— км и вернулась обратно. Опре-
3
делите скорость течения реки, если на весь путь затрачено
20 ч.
960. Поезд должен был пройти 220 км за определенное время.
Через 2 ч после начала движения он был задержан на 10 мин,
и, чтобы прийти вовремя в пункт назначения, он увеличил ско-
рость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.
961. Две бригады комсомольцев, работая совместно, закончили
посадку деревьев на учебно-опытном участке за 4 дня. Сколь-
ко дней потребовалось бы на выполнение этой работы каждой
бригаде отдельно, если одна из бригад могла бы закончить
посадку деревьев на 6 дней скорее другой?
962. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна
сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести
изгородью. Найдите длину изгороди, если известно, что пло-
щадь участка равна 1200 ж2.
963. Какой многоугольник имеет число диагоналей на 12 больше
числа его сторон?
964. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды,
после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько
воды содержал раствор и какова была его концентрация?
965. Водонапорный бак наполняется.двумя трубами за 2 ч 55 мин.
Первая труба может его наполнить на 2 ч скорее, чем вторая.
За сколько времени каждая труба, действуя отдельно, может
наполнить бак?
221
966*. По окружности, длина которой 60 м, равномерно и в одном
направлении движутся 2 точки. Одна делает полный оборот
на 5 сек скорее другой и при этом догоняет вторую точку каж-
дую минуту. Определите скорости точек.
967. Из шахматного турнира двое участников выбыли, причем
один сыграл 10 партий, а второй — только одну. Поэтому в
турнире было сыграно всего 55 партий. Найдите, сколько было
участников в турнире первоначально, и определите, сыграли
ли выбывшие участники между собой.
968. На строительстве Байкало-Амурской магистрали (БАМ)
бригада строителей за несколько дней должна была по плану
переместить 2160 м3 грунта. Первые 3 дня бригада выполняла
ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день
перевыполняла норму на 80 xt3; поэтому уже за день до срока
бригада переместила 2320 м3 грунта. Какова по плану дневная
норма бригады?
969. В двузначном числе цифра единиц на 2 больше цифры десят-
ков. Само число больше 30 и меньше 40. Найдите это число.
970. Из двух жидкостей, плотность которых соответственно
1,2 г! см3 и 1,6 г!см3, составлена смесь массой в 60 г. Сколько
граммов взято каждой жидкости и какова плотность смеси,
если ее 8 см3 имеют массу такую же, как масса всей менее тя-
желой из смешанных жидкостей?
971. Докажите, что последовательность (хп) возрастает, а (уп)
убывает, если:
х 6л — 5 . 1
3) Хп== В) Уп= п* , о >
zn пл — zn -j- □
~ (л 4-1)1 ч / 1 1 \ , , оч
б) хп = ——г) уп =---------------------------- (п 4- 2).
2п п \(п4- 1)1 (л+ 2)1/
972. Докажите, что последовательности ограничены:
. Зл + 8 (—1)" . . п(-1)п . 3 4-«я
а) 2п ’ б) ап — 2 » ; г) сп —
973.
П /Зл 4- 2\
Докажите, что последовательность —1— имеет предел.
\2п — 1 /
974. Вычислите пределы последовательностей:
... (л — 2) (7 — п) е(\ V (п— 1 л2 4- 1 \
a) lim -----—------б) lim---------------------——.
Л->00 2л2 4- 1 п-юо \2 4- Зл Зл2 4- 2л )
975. Запишите в виде обыкновенной дроби:
а) 1,2(27); б) 2,(41); в) 0,(428571); г) 0,3(148).
976. Зайдите сумму членов бесконечной геометрической прогрес-
сии:
к . I 1 \
а) Ьп = --
\ ‘J /
AL ( 1 ’ \П
б) bn= I - sin х) ;
в) bn — (2^abV при а =И= Ь\
\ а 4- & /
г) bn = (tg х)п, где 0< х<-^.
222
977. Решите неравенство:
а) х2 — 14х + 15 > 0; в) Зх2 — 5х — 2^0;
б) х2 — Зх + 5 0; г) 2х2 — 9х — 3 <0.
Найдите область определения функции:
978. у = 1g (Зх2 — 4х + 5). 980. f (х)=/3х2 — 4х + 5.
979. у = 1g (5х2 — 8х — 4). 981. / (х) - /6 Ч- 7х — Зх2.
982. Заданы корни квадратного уравнения х± — 1 — ]/3; х2 —
= 1 + Напишите уравнение.
983. Найдите сумму кубов корней уравнения х2 + 2х — 2 = 0.
984. Найдите с помощью производной координаты вершины пара-
болы: а) у = Зх2 + 6х + 20; б) у = 2х2 — 8х + 5.
985. Какой вектор переводит параболу у = 2х2 в параболу у =
= 2 (х — З)2?
986. Напишите уравнение параболы, получающейся из парабо-
лы у = —2х2 с помощью следующих двух преобразований:
а) сжатия к оси Оу в отношении 1:2; б) параллельного переноса
г (0; 2).
987. Напишите уравнение параболы, которая получится из пара-
болы у = -^-х2 параллельным переносом г (—2; 3).
988. Напишите уравнение гармонического колебания, график кото-
рого получится из графика уравнения у — 2 cos (Зх — с по-
мощью следующих трех преобразований:
а) сжатия к оси Оу в отношении 1:3;
б) параллельного переноса г 0^;
в) сжатия к оси Ох в отношении 1: —.
2
989. По графику функций, изображенных на рисунках 207—210,
ответьте на вопросы:
1. Каковы промежутки возрастания функции?
2. Каковы промежутки убывания функции?
3. Укажите точки, в которых функция имеет максимум или
минимум. Какие значения принимает функция в этих точках?
4. Какие наибольшее и наименьшее значения этих функций на
отрезке [—2; 2]?
5. В каких точках функции разрывны и каковы значения функ-
ций в этих точках?
6. Укажите промежутки непрерывности функций.
7. Укажите точки, в которых производная равна нулю.
8. Какие из функций могут быть периодическими с периодом,
меньшим 3, чему равен их наименьший положительный пе-
риод?
9. Какие из этих функций четные и какие нечетные?
223
224
Исследуйте функцию и постройте ее график:
990. у = (х— I)3 — 3 (х — 1). 991. у=-^ + -^.
Постройте график функции:
992. а) у = 2 1g (х — 2); б) у = 3 In (х + 1) + 1.
993. у =-cos(2x — — W 1.
2 \ 4/
994. у = (sin х +-cos —-. 995. у = 2 • -—
sin х • cos х х — 3
996. а) у — {1,5х — 1};
997. а) у = | sin х • ctgх |;
б) у = {1,5 (х - 1)}.
б) у= .
sinx
998. Найдите наименьший положительный период функции:
a) f (х) = 3 {х + 0,25} +1; б) g (х) = {1 — 2х}.
999. Найдите наименьший положительный период функции
у = sin 1,5х + 5 cos 0,75х.
1000. Исследуйте на четность или нечетность функцию:
д;2 _______________ %
a) у — cos---; д) у ^х3 sinx;
х— 1
б)
у = sin
х3 — х_
е) у = х3—х2;
в) у = sin ———; ж) У = In (х + Ух2 +Т);
’ } X— 1
. . Зх3 —х2 . .
r)y=tg------3)y-lg
оХ 1
1001. Вычислите пределы:
. .. cos 2х
a) lim ---------------;
л sinx + cosx
Т
cos 4х
б) lim -----------.
л sin 2х — cos 2х
Г
1002. Докажите, что функция у — sin х непрерывна в любой точке
ее области определения.
1003. Найдите производную функции:
а) у — 2хв — 3,8хб + х — У 2',
3 — 2х
б) у =-------;
7 х+1
в) у = (х + 1) sin х — х cos2 х;
г) у = 2 tg х • 1g х.
1004. Найдите производную функции у —
1005. Путь s (в метрах) точки М в зависимости от времени I (в
минутах) выражается формулой s = 2t3 + 6t — 1.
Найдите скорость и ускорение точки М в момент времени
t — 3 мин.
8 Заказ 423
225
1006. Докажите, что функция <р (х) = —0,2 х5 4- О.бх4—х3 4- х2 —х
убывает на всей области определения.
1007. Напишите уравнения касательных к графику функции
у = х2 + 2х в точках пересечения этого графика с осью абс-
цисс и в точке х = 1,5.
Задайте формулой функцию, обратную функции у = / (х).
Для обратной функции укажите область определения и мно-
жество значений, выясните, возрастает она или убывает,
если:
1008. У = 2х — 3 3 1011. / (х) = 2х + 1.
1009. У = 1 х— 1’ 1012. у = log3 (х + 2).
1010. f(x) - 2х+ 1 ’ 3 — х' 1013. /«= lgi-±A 1 — X
Для указанных ниже функций найдите промежутки возрас-
тания (убывания) и точки максимума и минимума:
1014. У = 2х+ 1 1 — Зх 1019. У = х — In X.
1015. У = 2х—\ 2 — 4х' 1020. У = х In X.
1016. Л1 2х2—4л 1021.
у — у — х + 1 *
1017. У = хеХ‘ 1022. У = 2 sin х + 3 cos х.
1018. У = 1пх X 1023. У = — 2 cos х + cos 2x.
Докажите возрастание функции на всей числовой прямой:
1024. у = х3 — 3х2+3х+ 21. 1025. у=0,8х5— х*+ Зх3 — 2х2+4х.
Найдите наибольшее значение функции на R:
1026. у = 18х2 + 8Х3 — Зх4. 1027. у = —2х4 + Зх2 — 6.
1028. Какое положительное число, будучи сложено с обратным
ему числом, дает наименьшую сумму?
1029. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был
бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы
как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы
полная поверхность была наименьшей?
1030. На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллель-
но касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника
АВС была наибольшей.
1031. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного
треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в
этот треугольник круга был наибольшим?
226
1032. Объем правильной треугольной призмы равен. V Какова
должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность
призмы была наименьшей?
1033. Требуется изготовить коническую воронку с образующей
I = 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы ее
объем был наибольшим?
1034. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема, который
можно вписать в шар радиуса R.
1035. В прямой круговой конус, радиус основания которого R
и высота Н, требуется вписать цилиндр, имеющий наиболь-
шую полную поверхность. Найдите радиус цилиндра г.
1036. Около данного цилиндра описать конус наименьшего объема
(плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают).
1037. Найдите высоту Н прямого кругового конуса наименьшего
объема, описанного около шара радиуса R.
1038. Найдите высоту Н конуса наименьшего объема, описанного
около полушара радиуса R, так чтобы центр основания кону-
са лежал в центре шара.
1039. Из круглого бревна диаметра 40 см требуется вырезать бал-
ку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h.
Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях
b и h прочность балки будет наибольшей?
1040. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукру-
гом. Определите размеры окна при заданном периметре,
имеющего наибольшую площадь.
1041. По двум улицам движутся к перекрестку две машины с
постоянными скоростями 40 км/ч и 50 км/ч. Считая, что ули-
цы пересекаются под прямым углом, и зная, что в некоторый
момент времени автомашины находятся от перекрестка на
расстояниях 2 км и 3 км (соответственно), определите, через
какое время расстояние между ними станет наименьшим.
1042. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену так, что ее ниж-
ний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком рас-
стоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его по-
ложение было наиболее благоприятно для осмотра кар-
тины (т. е. чтобы угол зрения по вертикали был наиболь-
шим)?
1043. Статуя высотой 4 м стоит на колонне, высота которой 5,6 м.
На каком расстоянии должен стать человек ростом (до уров-
ня глаз) 1,6 м, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
1044. Три пункта А, В, С расположены не на одной прямой;
АВС = 60°. Одновременно из точки А выходит автомобиль,
а из точки В — поезд. Автомобиль движется по направлению
к В со скоростью 80 км/ч, поезд к пункту С — со скоростью
50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) рас-
стояние между поездом и автомобилем будет наименьшим,
если |ДВ| = 200 км?
8*
227
1045. На странице текст должен занимать 384 см?. Верхнее и
нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое по 2 см.
Если принимать во внимание только экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
1046. Вычислите:
Л
з
a) J cos х dx-,
Л
6~
л
т
б) J (cos Зх — sin 2х) dx.
л
ЙГ
1047. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций:
а) у — 0,5х2 — Зх + 2 и у = х — 4;
б) у = х2 — 5х + 4 и у = 2х — 2;
в) у = 8 — -^-х2 и у = 3,5;
г) у = х2 — Зх + 4 и у = х + 1;
5
д) у = — И у — 6 — X.
X
1048. Решите неравенство:
б) (х —3)(х —5) Q. X х2+ 5х + 4 0.
7 х — 2 ’ 7 х2 — 5х — 6
д) (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4) < 0;
е) х4 — Зх2 + 2 < 0.
1049. Расходы на топливо для парохода делятся на две части.
Первая из них не зависит от скорости и равна 480 рублям в
час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скоро-
сти, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна
30 рублям в час. Требуется определить, при какой скорости
общая сумма расходов на 1 километр пути будет наименьшей.
Найдите первообразную функции:
1050. f(x) = х+ 1. 1055. ш=-Ь* х + 4
X
1051. f(x) =/2х. 1056. f(x) — 2
' ( 3 sin2 2х
1052. f (х) = 2 sin х + cos Зх. 1057. f (у} = 3
cos2 2x
1053. f (х) = х~5 + х"2. 1058. fix') = 2x + 3/!
1054. f(x) = -~x2-+3x~l . х — 1 1059. /« = x3++
228
1060. Найдите функцию, производная которой равна 2х — 3 и
значение функции в точке 2 равно 2.
1061. Материальная точка движется по прямой со скоростью
v (0 = sin t cos t, Найдите уравнение движения точки, если
при I = — пройденный путь равен 3 м.
4
1062. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (2; 3),
если угловой коэффициент ее касательной в точке х равен
Зх2.
1063. Докажите, что sin (а + nk) = (—l)ft sin а.
1064. Докажите тождество
1 — cos а
1 -J- cos а
1 + cos а
1 — cos а
= 2 ctg а, если л < а < 2л.
1065. Представьте в виде произведения:
а) + sin 20° sin 10°; в) sin х 4- sin 6х — sin 5х;
б) cos а 4- cos р — sin (а 4- 0); г) 1 — cos 1 4- sin 1,
Докажите следующие формулы приведения:
1066. sin | — а । = cos а. \ 2 / 1070. sin ('З’Е — сЛ \ 2 / = —cos а.
1067. cos (л + а) = —cos а. 1071. sin (л — а) = sin а.
1068. sin (2л — а) = —sin а. 1072. cos (— 4-а| \2 / = —sin а.
1069. cos(— 4- al = sin а. \ 2 / Упростите: 1073. cos (2л 4- а) - - cos а.
1074. —: х°’5 * 1 4-------—.
L X1’5— 1 х~0,5
х 4- х2 4-1
1 4- — ______
1075. t----^z±X4-]/74r4 4-
2 —//4- 4 Vt 4-4
1076.
1 — а 2
*т 2Т
а2 —а 2
а'2 — а
1 1
а2-Г 2
Ю77. _____
\ 2 2Va / \ }<а4-1 Уа — .1 /
1078. Докажите, что п4 4- 2п3 — п2 — 2п делится на 24 при п £N.
Докажите неравенство:
1079. т 4- — > 4, т>0. 1080. -4-->2, а>0, 6>0.
т b а
229
1081. - 2<zt < 1. 1082. tgx 4-ctgx>2, 0<x<^-.
1083. Докажите неравенство
. I л \
sin I — a I _
---------------------------}-2sin —<2]/3.
/л a \ /5л a \ 2
sin — 4- — sin — — —
\ 12 4 / \ 12 4 /
1084. Докажите неравенство
(1 + sin <p + cos <p) (1 — sin <p + cos ф) (1 + sin ф — cos ф)х
X (sin ф + cos (p — 1) 1.
Решите уравнение:
1086. Vx------т4=- 4- 1/2 4- x = 0.
Г2 + х
1087. Решите уравнение:
a) tg 5x ♦ cos x = 0; в) sin 2x 4- sin 3x = 0;
6) tg-^- • cos x = 0; r) sin x 4- cos 2x = 0.
1088. Решите уравнение:
а) 3 sin Зх 4- 4 cos Зх = —5;
б) —5 sin 2х + 12 cos 2х = —13.
1089. Решите уравнение:
а) 4 cos (2х — —) 4- 12 sin2 (2х— —'j = 11;
\ 4 / \ 4 /
б) 4 sin (Зх — —Н 7 cos2/Зх — — 'l = 7-;
\ 2 / \ 2)4
в) |2х — 5| = |7 — 2х|;
г) |х — 2| = 2 |3 — х|;
д) х2 - 3 |х| 4- 2 = 0;
е) х2 4- |х| — 2 = 0.
Решите неравенство:
1090. 1091. |3х — 2,51 > 2. |5 —2х| < 1. 1094. х + 3 3. < 1.
1095. 1 — Зх 1 — 2х
1092. |х|2 — 4 |х| 4- 3 > 0. 1096. Зх 2 + х " >2.
1093. 2х2 — 5 |х| 4- 3 > 0. 1097. 3 —х < х — 4 2 3*
230
Решите систему:
1098. 12 (Зх — 1) < 3 (4х 4- 1) + 16 (4 (2 4-х) < Зх 4- 8. 2х> 3— 13х~ 2 11
1099. 11 х 1 2 . . Зх — 20 —— (х — 7) < . (б 3 ' 9 х 4- 1 х^> X— 1 х 2
1100. 2 3^4 0,5х <2 —х. х X + 1 х-|- 4 ^х — 1 2
1101. 2 3^4 1,5х — 2,5 < х.
1102*. <4%. — 2х„ 4- Зх3 — 4x. = 14
2х, 4- Зх2 — 2х3 — х4 = —1 xt -|- 4х2 4- 2х4 = —1 2Xi — х2 4- х3 =4.
1103*. %! + 2x2 —x3 — 2xi = —6
3xj — х2 4- Зх3 4- х4 — 4 2xj 4- х2 — 2х3 = 2 2х2 — х3 4- Зх4= 3.
1104*. Докажите, что две любые параболы подобны.
231
Глава VI
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К УПРАЖНЕНИЯМ
1. 3 cos Зх. 2. — — cos —х. 3.
2 2
—sin х. 4. 6 sin (4х — 2). 5. cos t. 6. 0. 7. 0.
8. 2 cos (2x—3,5)4-2 cos 2x. 9. 2-J-18 sin1 x cos x. 10. —2 cos 2u. 11.
— 2 — cos x положительна для всех x £ R- 12. x = 2л/г, k £ Z. 14. g' (x) =
= 2 cos (2x — 5) — 3<0 для любого x £R- 15. —1,3 sin x. 16. —6,9x
Xsin 2,3x. 17. —0,5 sin x. 18. 4x + 150 sin (5x+6). 19. —2 sin x4- 4 cos 2x.
10 6 18
20.-----—---------. 21. ------—----------. 22. ----------------. 23. 3 cos 3u.
cos2 (2x 4- 3) cos2 (2x 4- 1) cos2 (6x 4- 3)
8 — 14
24. — 3 sin 3/. 25. — ---------------. 26. ------------. 27. —2,5 sin 2,5x.
sin2 (2/ 4- 3) sin2 2x
28.
л, л
—4 cos 4x. 30. у — x H----------, у — 1. 31. у = x, у = 2x + 1 — — . 32.
2 2
33. 1. 34. 1. 35. L-L. 36. 0. 37. 1. 38. 1. 39. 0. 42. 4. 43. 1,25. 44. 1. 45.
2
0.
1,2.
46. а) Убывает замедленно на
л „
0 ; возрастает замедленно на
л;
л
0; — J (0; 0) — точка перегиба.
2
б) возрастает ускоренно
на
л
2
47. в) Возрастает замедленно на
Л . л
; 0 ; возрастает ускоренно на 0;— ;
(0; 0) — точка перегиба. 48. у — х и у = л — х. 49. у = х и у = х 4* л.
50. a) f" (х) = —2 < 0 на ] — оо; оо[; б) g" (х) = 12 > 0 на ] — оо; оо[.
51./"(х)=—64*6х. 52. у = 3,5 cos f—t 4- —\ 54. 2 cos fx 4- “)• Амплитуда
\ 3 3 / \ 3 /
5л
равна 2, период Т = 2л; начальная фаза <р = —, частота а> — 1. 55. у —
3
= 3 cos I 2x 4--I. 56. Например, у = 3,1 cos (5x 4* 2). 57. Является. 59.Да.
\ 3 /
68. 5 cos (4x—2)—3. 71. sin 1°. 72. cos 19°. 73. ctg 223. 74. tg 43°.
75. cos 4Г48'. 76. sin 11'. 77. —sin 18°. 78. sin 18°. 79. cos 25°12'. 80.—cos 18'.
232
233
81. —tg 15°. 82. —ctg 14°. 83. —ctg 9’. 84. —ctg 12°. 85. cos 86. sin - ==
4 3
л Л Л Л Л Л
= cos —. 87. —cos —. 88. —cos —. 89. —ctgy. 90. —ctgy. —tg—.
92. —ctg —. 93. sin 8°. 94. —sin 10°. 95. cos 30°. 96. —sin 45°. 97. cos - .
18 12
98. sin Л 99. —tg y. 100. —tg p 101. cos у . 102. cos 0,1л. 103. —cos 39°.
104. cos 25°. 105. ctg 30°. 106. sin 20°. 107. —ctg 25°. 108. ctg 18°. 117. 5.
118. 6. 126. Множество изображено на рис. 211. 128. Множество изображе-
но на рис. 212. 130. Множество изображено на рис. 213. 132. Множество
изображено на рис. 214. 134. Множество изображено на рис. 215. 136. Мно-
жество изображено на рис. 216. 137. -у 138. -у. 139. у. 140. 0. 141. у
*тт тг 4Т г? ТТ
142.{ (-1)* - + лй| k С Z}. 143. + — | k е Z}. 144.{(—l)ft - + 2л*|
тг О £ <5
Г тт тт JtZ?
Л € Z}. 145. {(- 1)* х0 + nk \k ez}, хо«О,64. 146. — +(-!)*+’ - + - \k£Z .
4 I
153. Множество изображено на рис. 217. 155. Множество изображено на рис. 218.
157. Множество изображено на рис. 219. 159. Множество изображено на
рис. 220. 161.—. 162. -. 163. 164. £. 165. 0. 166. —. 167. —. 168. —.
н 3462 346
169. л. 170. а) х = ± — -J- 2nk, fe € Z; б) х = ± 4-л£, Z ; г) х«±0,20—
6 3
Л 1 . 1 1 т/'ТГ
Т“+ — orfe» k t Z. 171. a) arccos— > arcsin —; 6) arccos Ц— = arcsin L.. * .
12 2 2 2 2 2
V 3 V 3
172. arcsin 0<arccos0. 173. arcsin -— > arccos '----
Li £
174. arccos 1 < arcsin 1.
Л Л Л Л Л
175. —. 176. -. 177. —. 178. -. 179. —. 180*.
2 2 2 2 2
Обозначим через f функцию
f (x) = sin x. Тогда по формуле производной обратной функции (см. п. 112)
1 1
arcsin х = —-----------------=---------------.
f (arcsin х) cos (arcsin х)
то cos (arcsin x) = У1 —x2 уперед корнем
Далее, так как sin(arcsin х)=х,
знак плюс, так как arcsinx g
— —; — . Итак,
2 2J/
arcsin' х = у-- - . Аналогично, если у = arccosх и
g (и) = cos и,
arccos х С [0;
arccos' х =
и (х). Тогда
, 1 1
то arccos х = —------=-----------------—.
g (У) —sin (arccos х)
л], поэтому sin (arccos х) = V1 —х2.
Далее, cos (arccos х) = х и
Окончательно получаем:
—1
г 181.
/1 — х2
и' (х) = arcsin' х
Решение. Обозначим arcsin х + arccos х через
1 —1
+ arccos х . + г- — 0 (см.
/1—х2 Т 1—х2
€
упр. 180). Следовательно, и' (х) = 0, где С — некоторая постоянная.
234
Для ее вычисления достаточно заметить, что arcsin 0 + arccos 0=0 +
+ -= —. 195.-7. 196. £. 197. — . 198.0. 199.(-+nfe| k^z]. 200.
2 2 3 6 4 14 1 J
Л
—+2nfe|ftez
о
201Д-+-
[6 2
KZ
1 л
202. {x0 + — л/г|/г£Z}, xo»O,43. 203. {—n+4n/e|fe£Z}. 215.—•
3 о
л л я 5л Зл 2л ...
216. —. 217. 218. -. 219. —. 220. —. 221. 3 4 2 6 4 —. 222. arcctg 1 = arctg 1. 3
Г— Г— 1 223. arcctg/ 3< arctg / 3. 224. arcctg ^7= > arctg ~7=- 225. arcctg 0 > r 3
> arctg 0. 226. arcctg 2 < arctg 2. 227. ~p 228. л л л Г л —. 229. —. 230. —. 233. 1 — + 2 2 2 (4
1 Гл ) Гл + nk\KZ . 234. 1 h2nfc| k£Z . 235.1— + J 13 J [6 л/г ) 1 — feCZ . 236. {x0 + -nk\k^Z}, Z J 3
Г 5 л 1 4 3
xaxi 0,09. 237. < — + 5 л/г | k € Z.| 238. cos a = — 0,6, tga = —, ctga = —. 3 4
7 1 1
239. cos a = z—. sin a = — t~~7=, tg a = — —. 240. 0; а+=л/г, k £Z. 241. cos2a,
5/2 5/2 7
л л
a Ф — + nk. 242. tg2 a, a y= л/г, k £ Z. 243. 0, x #= —+л/г, k £ Z. 248. tn2—
£
л г л 5 1
— 2. 249. {± —+ 2л/г| Z). 250. {(- 1/ - + nfe| k£ Z). 251. -7=, -77=,
3 0 у zb r zb
— 5. 252. /0J, —3/ОД, — 255. sin2 a, a#=nfe, k € Z.
3
( cos2 a при 2л/г < a < л + 2nfe, k C Z, _ n л ,
256. 1 257. 0, ay=——+
( — (l-f-sin2 a) при — л + 2л/г < a < 2я/г, k £ Z. 2
+ 2л/г, k € Z. 258. 2 261. _з A A A 4 . 262. — — , 5 £
1 + sin a ’ ‘ 5 ’ — 5 ’ “ 4 ’ ~ 3 ~ 5 ’
4 3 ’ 3 —. 263. 4 7 25’ 24 7_ 25’ 24’ 3—. 7 16 63 264. —, — —. 265. — 65 65 24 1 -. 266. — cos 10°. 25 2
267. 1 / — cos 2 \ — + 2 II К I CO GO О J_ 4’ 1 / л 268. — cos cos 2 \ 6 _ /”з — 4/ 4 /2
269. 1 + 2 cos 4 20° 1 / 270. — cos 2 \ л ~2~ \ 1 - cos 2x = — — cos 2x. / 2 1 271. — — cos 2 ^2a+
+ — 6. \ 1 . 272. — / 2 (cos 2x + cos 20). 273. , (cos 2a—cos 2x). 274. cos 10э —
— EA. 275. 1-A + cos 10°. 276. cos 35° + cos 5° — cos 15° — 1X 277. cos 1° +
2 2 2
+ cos 3° + cos 5° + cos 7° + cos 9° + cos 1Г + cos 13° + cos 15°. 278. sin 30° +
+ sin 15° = 0,5 +У 0,5 — 0,25 /T. 279. — (1 + У~3). 280. 4 (/T— 1).
4 4
281. -^ (/3— 1). 282. у (1 / 3). 283. У~3. 284. l-j-cos2x. 285. 1 —
235
— cos 4x. 286. 0,5 + cos 2x + 0,5 cos 4x. 287. — — — cos 4x. 288. у — — cos 12x.
8 8 2 2
289. 0,5+0,5 cos 8x. 293. Да. Указание. Воспользуйтесь результатом упр. 283.
4 л л 7л
294.----л + 2nk < х <----1- 2л/г, k С Z. 295. — + 2л/г < х < — + 2л/г,
3 3 4 4
к С Z. 296. хо + 2л/г < х < л — Хо + 2л£, k £ Z, х0 ~ 0,53. 297. —хо +
+ 2л£ < х < хо + 2л&, k 6 Z, хо =; 0,66. 298. — у + лк < х < у + л/г,
О о
Зл л 5л 7л
feCZ. 299. — —+ 2nfe<x<——+ 2л/г, k t Z. 300. — 4-2л/г < x < —+
2 b bo
+ 2л/г, k^Z. 301. у + nk < x < у + л/г, k € Z. 302. у+л/г<х< у +л/г, /г£ Z.
8 о 3 2
303. “ —’ + лк x < — -j- лк, k £ Z. 304. у +nk<x<n-f-nfe, k £ Z> 305. +
2 6 3 6
+ л/г < х < л + лк, Z. 306. лк < х < —• + л/г, k € Z. 307. 2лй < х < у +
4 3
л л л . л 5л
2лй, k С Z» 308. ~ л/г <С fe£Z. ЗОЭ. ~ 4"^ -Сх < ~*4” лА, 4*
л 3 л 5 л
4- л/г < х <— 4- л/г и — + л/е <х< — 4- лй, k £ Z.
tgx+tg2x
-----------= tg Зх при х, принадлежащих области определения левой час-
1— tgx-tg2x
ти неравенства. Таким образом, нужно решить неравенство tg Зх>1 и исклю-
л л л/ _
чить из полученного множества точки — 4- ли,— 4~ “J Отметим на гра-
2 4 2
фике функции tg t один из промежутков, состоящих из значений
Л л
_Т’ тр
л л
ность тангенса, получаем-----1- лк < Зх < — + лк, k^Z, откуда
4 2
удовлетворяющих неравенству tg / > 1
Решение.
Используя
t {t = Зх),
периодич-
Л Л/г
л лк
< х <-----1- —, k С Z. Для того чтобы исключить указанные выше точки,
6 3
удобно рассмотреть промежуток длины л (и добавить лк, k£ Z)’. tg Зх>1 при
л л 5л л Зл . , 5л ,
— + лк < х < — + лк, — + л/г < х < — + л/г, — + л/г < х < — + л/г,
л л 3 л
исключаем числа вида у + л/г,-----h л/г, — + лк, Z, в данном случае это
2 4 4
Зл f 2л л
числа вида — + л/г, k € Z. 310. < ± — +2л/г; у + л/г
4 I о 2
k£Z
+ 2nfe
k£Z .
k £ Z к 313. {ах + лк-, аа + л/г|
236
k € Z}, di и 1,11; a2 я 0,46. 314. ± —- 4* 4лК n4-2nfe k €Z}.
I о
315. (аг 4-л/г; а2-[-л/г | /г С Z), = arctg 0,55, аа=»
= arctg L+ 5 % 1,02. 316. {а + 2л/г | k£Z}, а = 2 arctg « 1,18.
2 3
л
317. {л/г; ±— + 2л/г | k € Z}. 318. {2л/г; л + 4nfe | k € Z}. 319. {л +
о
4- 2л/г; 4nk\ k £ Z}. 320. {а • (— 1)ft+l 4- л/г | k £ Z}, а = arcsin — « 0,34.
и
321. 4-лй|/гс Z J. 322. — 4-л/г €z). 323. (-7 4-л/г; а 4* л/г|
16 J [ 4 ) (.4
{Л 1
— 4- лЛ; а 4- лй | /г С Z |, а = arctg 3 «
1,25. 335. 5cos5x. 336. —6cos6x. 337. — а sin (2 ах 4- 2Ь). 338. 2 sin х4-
cos X
— —-— — sin х — cos х.
sin2x
л 9л
2; —; —. 347. а) 0,6;
2 5 ’
cos2 х
5 5л
—. 346. а) 3; л; —; б)
3 4
348. Наименьший положительный период функ-
'л Зл/г 17л
—— _ • -4—
[з 4 24
я 3nft]
- + т , k.z.
возрастает на
промежутках
промежутках
л Зл/г
~ 24 + Т’
6 Z, функция
имеет минимумы; в точках вида
График функции изобра-
6л
период функции равен—.
5
Л 6л fe]
-2Т+“ГГег; уб“’
/г С Z. В точках вида
6л k
5 ’
4- 2х cos х — 2х cos (х 4- 2) 4- (х2 — 2,3) sin (х 4~ 2). 339. (2х 4- 1) sin Зх 4-
4-3 (х2 4- х 4- 1) cos Зх. 340. cos2x. 341.
3 4
342. 1. 343. 344. 345.
5л
4л; 1,3л; б) 1; 2л; 14-V
Зл
ции равен —. Функция
Зл/г]
4- — , k б Z; убывает на
л Зл&
В точках вида-----------; k
3 4
л . Зл/г
— 24 ' ~4—’ * ФУНКЦИЯ имеет максимумы.
жен на рис. 221. 349. Наименьший положительный
Г 13л 6л /г
Функция возрастает на промежутках —"2э"4"—>
л 6л k 11 л 6л /г'
вает на промежутках-----— 4- ~г-; — 4“ ~Т~ >
ZU о о
13л 6л /г л 6л ft
— 4~ - функция имеет минимумы; в точках вида— -|- ——
fe£Z, функция имеет максимумы. График функции изображен на рис. 222. 350. Да,
237
у =3cos(lj-x+%)
Рис. 222
(7л\ / л \
2x 4—— j. 352. у = 5 cos / Зх + 2л + — — cp0 1» Фо e
3 t/T / л\ / Зл\
•= arccos—. 353. !__£ cos f x 4-— !• 354. у = 3 cos 12x 4* — I. 355. 4 cos (2x 4*
4-л). 356. /52 cos (x 4-а), где a = arccos I—1/—j « 2,86. 357. —sin a,
л jik „ л
а Ф — + nk, k^Z. 358. — 1 при a#=—, k^Z и 0 =/=----------И л/, l^Z.
2 2 2
. Л
359. tg2 x. 360. 1 — sin a, a #= —----------h 2nk, k £ Z.
£
,— л 7л 2л
4- / 3. 365. —. 366. —. 367. —. 368. 0. 369.
r ° 19 4
4- 381. — Kl, /"3, -L.
3 2 r V 3
1,82. 383. {a 4-л/г | k € Z),
a = 2 arccos — a
3
+ л/г | k € Z),
4
0,5; 6) -,
О □
a = arccos (— 0,25)
384. (л 2nfe, -+ a 4~ 4 л/г | /г £ Z),
k £ Z . 387. {a (— 1)*
363. — 5X- . 364. 1 +
2
378. a) V0/2, 2 /0j,
382. { ±a + 2л/г | fe € Z},
a = arctg 0,5
2,46. 385.
1 2
1
a = arcsin
/3
389. 0,5 (cos 4a 4- cos 20). 390. —(cos (x—
0,46.
а 0,62.
л
2
3
388. 0,5 (sin (3x 4- 3y) + sin (x — y)).
— 3y) — cos (3x + y)). 391. 0,5 (1 — cos 2x).
Глава VII
X^ X® X2 1 X
398. — + C. 399. — + C. 400. - + C. 401. 2 — x + C. 402. — — 3.
403. —cosx+ 4. 404. tgx— 1. 405. —2x+ll. 406. ——;4~5, x C] — oo;0£.
2x2
407. sin x — 1. 408. Решение. Первая первообразная имеет вид 3yGc 4*
4- С1г вторая 3/ х 4- С2. Постоянные Ct и С2 определяем из уравнений:
3 • 4- Сх = 2 и 3 • ^8 4- С2 = 4, откуда Сх = —1 и Са = —2. Перво-
238
образные отличаются на 1; график пер-
вой из них проходит выше (рис. 223).
5 1
409. —х3 — х4- С. 410. —------Ь 4cos х+С.
3 х
411. 5/2х+ 7+ С, х > —3,5.
3 2
412. — tg 5х 4- С. 413. — —ctg Зх 4- С.
5 3
1 х
414. х — — sin Зх 4- С. 415. —21 cos — 4~
3 3
1 з ____
4---tg 4х 4- с. 416. —6/5 —2х —
2
—2 sin — 4- при х < 2,5; 6 |^2х — 5 —
2
— 2sin у 4"С2 пРи х>2,5.
х 5
417. — 20 cos - 4- —---—+ С. 4,8< 7х~
10 6 (Зх— I)2
4 1 х
— -х2 4- - X4 + 10 ctg—h С. 419. 9.
2 4 2
1 1
420. —.Решение. Для у = — одна из
2 х2
первообразных есть F (х) = ——. Сле-
довательно, площадь данной криволиней-
ной трапеции АВСЕ (рис. 224) равна
F (2) - F (1) =- | — (—!)= 1
421. 2. 422. 1. Решение. Для функции у =
—одной из первообразных
cos2x
является функция F (х) = tg х. Следовательно, площадь данной криволи-
(л \
— I — tg (0) = 1 — 0 = 1.
4 /
1 2
423. 1 —. 424. 2—. Решение. График функции имеет с прямой у=0 (ось
абсцисс) одну общую точку Р—М (—2; 0). В качестве первообразной возьмем
функцию F (х) = — (х 4- 2)3. Тогда площадь данного криволинейного тре-
□
1 2
угольника есть F (0) — F (—2) = — (23—О3) = 2 —. 425. 2. 426. 1.
О и
427.—. 428. 1. 429. -L. 430. 3. 431_2,5. 432. 1,5. 433. 0,9. 434. 20. 435. 5—.
5 УЗ 3
Решение. График функции у=У х имеете прямой у=0 одну общую
точку О = М (0; 0) (рис. 225). Таким образом, искомая площадь есть
4 _
площадь криволинейного треугольника ОАВ, т. е. S = j / xdx =
о
239
Рис. 225
1 Г
= 3 х
438. 1—. 439.
3
4_ 2_
о“ 3
5 „
—. Решение.
12
3’
437. 2.
Из урав-
2 3/~ -
нения х2 — у х находим абсциссы точек
пересечения графиков функций у = х2
з__
и у = у4х; х=0 и х=1. Искомая площадь
1 1
равна (рис. 226): S =
440. По
4
3 г I X’
—X---------
4 о 3
i__2
о- 4 — 3 ~ 12
Для нахождения наибольшего
чала найти критические точки
t
формуле (4) п. 103 v(t) = по + J a (z)dz—
о
t
= v0 + J(—9,8)dz = v0—9,8/. По форму-
cl
t
ле (2) п. 103 h (i) = h0 +J v (z)dz = 0 +
о
/ t
+ [(y0-9,8z)Jz=(o0z - 4,9г2) | = vot—4,9/2.
b о
значения h (/), как обычно, нужно сна-
ft (/). В данном случае ft' (/) уже извест-
на — это v (/). v (/) = 0 при
с0
to = При этом значении ft (/) достигает
наибольшего значения (это следует, например, из того, что Л(/)—квадратич-
ная функция), h (/0) =-------, у(/о) = О. Наконец, h (0 = 0 при / = 0 и / =
19,6
I’2 1А
= Ответ. 1)-^; 2) 0; 3) 441. 122,375; 9,77. 442. 8/?+ у а, /? + |.
443. а) (2х — 2) v, 2о2. Решение. По формуле производной сложной
функции получаем v (/) = у' (/) — (2х — 2) х' (/) = (2х — 2) V, а (/) =
= v' (/) — (2х — 2) v' + 2 • x'v = 0 + 2v • v = 2v2; б) (Зх2— 4х) v, (6х — 4) у2.
444. Sj — S2 + S3. 445. 0,9974. 446. 0,16 дж. Решение. Так как F =
= kx и при х = 0,01 имеем F = 4, то k = 2 : 0,01 = 200. По формуле (1)
0,04
п. 105 получаем Д= J 200xdx =100х2|’°4 =0,16 (дж). 447. а) 0,16 дж',б) 0,54
о 0
дж. 448. Решение. По закону Кулона на электрон, помещенный в
точке с координатой х (х> 0), действует сила —у —, где
240
Y — некоторая постоянная; знак
минус указывает на то, что при
отрицательном т сила направлена
от начала координат, при положи-
тельном — к началу координат. Сле-
довательно,
У<7 6 УЯ УЯ /1 1 \
— — = — — — = уя — — — .
Ха Ь а \Ь а /
(а + 2b) h2
449. ----5---1---pg*. 45O.(a+b)/i2pg.
6
Решение. Обозначим через Р(х) дав-
ление на часть стенок аквариума,ле-
жащих ниже плоскости, проведенной
параллельно основанию на расстоянии
хотнего. Тогда, искомое давление есть
Рис. 227
X X+ZJX
—-
Рис. 228
Р (h) и Р (0) = 0 (рис. 227). Площадь
части стенок аквариума, заключенная между плоскостями, параллель-
ными основанию на расстояниях х и х + Дх от дна, равна
2 (а + Ь) Дх. Давление на эту часть стенок приблизительно рав-
ДР
но 2(а -|- b) tax (h — х) pg= ДР. Далее, Р' (х) = lim — = 2 (а 4* Ь) (Н —
Дх-оДх
h ft
— X) рэ и Р (Л) =Р (0)4- f Р' (х) dx = 0 4- J 2 (a4-6) pg (h—x) dx= 2 pg(a 4-
o о
ft
4- b)
ymM /I 1 \ „
452. ------ — —------- . Решение. Масса части стержня, отмеченной на
I \f г + 1 /
ДхМ
рис. 228, равна ——, а расстояние до материальной точки приблизительно
равно х. В силу закона Ньютона на эту часть стержня действует сила ДР «
Л лг^/i^
= Pg (a+b)h*. 451. —— pg.
0
утМДх _ _ ч
в —;----. Обозначим через Р(х) силу, действующую на часть стержня,
IX2
заключенную между точками с координатами г и х; х £ [г; г 4- /];
, ДР утМ
г (х) = lim — = --------- и Р (г) = 0, поэтому искомая сила,
Дх-о Дх 1х2
ИтМ\ — утМ 1 r+l ymM I 1
у — dx =--------!---• — = ----- — —
/х2 / I х г I \г
1 \ g2.U3
— . 453. *---------
npR2H2 „
, g—ускорение свободного падения. 454.-. Реше-
от2 12
ние. Затраченная на преодоление работы силы тяжести работа равна
потенциальной энергии песка. Объем усеченного конуса высоты Дх, огра-
* В упр. 449 — 451 р — плотность воды, g — ускорение свободного падения
9 Заказ 423
241
ниченного плоскостями, проведенными па-
раллельно основанию на расстояниях х и
х + Дх от него, равен (с точностью до вели-
чин порядка Дх2) S (х) Дх, где S (х) — пло-
щадь сечения плоскостью, параллельной
основанию, проведенной на расстоянии х от
этого основания. Потенциальная энергия пес-
ка, заключенного в этом усеченном конусе,
равна ДЕ ггрх5(х)Дх (с точностью до величин
порядка Дх2). Для определения S (х) рассмот-
рим осевое сечение конуса (рис. 229). Высота треугольника РСТ, проведенная
к стороне РТ, равна Н — х. Из подобия треугольников РСТ и АВС получаем:
| PT | И — х
— = —, откуда
Обозначим через Е (х)
ограниченном основанием
|рт| = 1 I S(x)=n{0^PT^nR2(fLA\
п п
потенциальную энергию песка в усеченном конусе,
и плоскостью (параллельной основанию), проведенной
я
Д£ лр/?2х (Н — х)2 л ггч С.
-----------------и А = Е (Н) = I Е (x)dx=z
о
на высоте х. Тогда £' (х) = lim
Дх-»0 Дх
Н2
я
= (Д2х — 2//х2+х3) dx-
J п2
0
2Ехэ
3
= 4 160 000л2 (эрг). Масса части стержня, отмеченная на рис. 230, равна рЕДх;
пренебрегаем диаметром стержня (считаем отмеченную часть отрезком длины
Дх), тогда с точностью до величин порядка Дх линейная скорость каждой точ-
ки этой части стержня равна wx. Обозначим через Е(х) кинетическую энергию
части [0; х] стержня. Приращение кинети-
ческой энергии за счет отрезка [х; х+ Дх] при-
mu2 pSw2x2Ax
близительно равно —, т. е.-----------, поэто-
1 2 2
pSto2x2
му Е (х) — —-—. Е (0) = 0, и, следовательно,
/
= Je' (x)dx=
о
pSw2P
dx—P „ = 4 160 000
6
я
лр/?2 Г
J
о
_ лр/?2/7* М
4 I о “ Н2 I 2 “
Рис. 230
ЧНх2 + х3) dx =
лр/?2Е2
12
455.
6
искомая энергия есть
о о
oadw2b3
я2(эрг). 456. --------- = 11 520 000 л* (эрг).
6
pad(&2h3
457.--------=|95000 л2(эрг). Реше н ие. Масса
части пластинки, отмеченной на рис. 231, приб-
лиженно равна pydAxjy находим из подобия тре-
угольников АВС и PQC: у = ———.Так
ЛР/?2 / //2Х2
Н2 I 2
I
242
как толщиной пластинки мы пренебрегаем, то линейная скорость
каждой точки этой части (с точностью до величин порядка Дх)
равна wx, а приращение ДЕ кинетической энергии за счет этой
padw2x2(h— х) Дх
части равно ----------------- (с точностью до величин порядка Дх2). Обозна-
чим через Е (х) кинетическую энергию части
ЬЕ
BQPA. Тогда Е' (х) = lim — =
Лх->о Дх
parte2x2 (h — х)
/x3ft X4
х Т-7
h h
• Е (ft) = Е’ (х) dx = j
о о
padw2/i3
—----------= 495 000 ла (эрг). 458. 3. 459.
24
padw2 (хЧг — х3)
dx=Padw2
2ft
9/3. 460. 0.
2/i
2/i
h
о
Г— 2
/ 3 719—1 1 С х + 1
461. -—. 462.-------. 463.-33,75. 464. 8. 465. —. Решение. ——dx=
3 20 2 J(2x—I)3
1
2 2 2
Гх—0,54-1.5 С 0,5dx ( С l,5dx
J (2х - I)3 rfx=J (2х — I)2 +J (2х - I)3
1 1 I
2 1/1
— I)"2 = — - -
1 4 k 3
+(2х—I)'1 -1.5+ +(2х-
2
. 466. — 2 —. Решение.
Сделаем заме-
ну переменной по формуле t — 2 — у (р = 2,
2
xdx
k = — 0,5). Тогда
х = 4 — 2/ и
/2-|
-2(74
4__2t С
Поэтому J
-1 4
-0.5-2+2
1 Г
— 0,5 J
—0,5‘(—4)+2
/4 32
=-2((8-16)- ---
4/ \ 3 3
dt = - 2 8 / t
4
2
1 1
2 2
X
~2
3
г>
= —2—8 +
2
= — 2 —. 467. —135,6. Решение. Сделаем
3
замену переменной по формуле t = 1 4—Тогда х= 4/ — 4, 5 — х=
4
= 9 — 4/. Из формулы замены найдем нижний и верхний пределы инте-
грирования: 1 4- “ • 0 = 1 и 1 + — • 28 = 8. Таким образом, искомый
4 4
интеграл равен
1
/27 12 \
== 4( —(4— 1> ——(32 — 1) )
\ £> О /
= 4(40,5 — 74,4) = — 135,6.
. 73
468- - 1 ®
У Казание. Сделайте замену переменной по формуле t — Зх — 1 и вычислите
9*
243
4/ з
. 1 П 1 Л
полученный интеграл 1-/
о \ о
о
1 \
5 2 1 2 _
—1 I dt. 469. — 1 —. Решение. Сделаем
3 / 7
замену переменной по формуле у =
х
2'
Тогда х — 2 — 2у;
нижний и верх-
ний пределы интегрирования: 1—— = 0 и 1 — Получим (так как
о ___________ 1 1 / £ £\
k<= — 0,5): I х 1/ 1 — — dx= — 2l (2 — 2y) 3/ у dy = — 4 11 y3 — y3 J dy =
2 2 x 0
I 3 Y 3 T 1 /3 3\ 9 2 , л
= — 4 — y6 — — y6 =—4 ——— =—4-— = — 1 —. 470. 9. Решение.
\ 4 7 /0 \ 4 7 ) 28 7
Из уравнения x 4- 1 = 5 + Зх—2x2 находим абсциссы точек пересечения графи-
ков функций у = х + 1 и у = 5 + Зх — 2х2: х = —1 и х — 2. Поэтому
(рис. 232) искомая площадь есть разность площадей криволинейной трапе-
2 2
ции PSQR и треугольника PQR: (* (5 + Зх — 2x2)dx — j (1 + x)dx =
-1 -I
2
C /2
1 (4 + 2x — 2x2) dx = 14x + *2 — — x3
\ 3
-1
2
= 9. 471. 4,5. 472. 0,5x2—5.
473. 5x — 14. 474. /x3 — 17 (x > 0). 475. — — — 2, x 6 JO; <so[.
3 X
476. —2 /(3 — x) + 9, x(E ] - oo; 3[. 477. 2x - l,5x2 4- 5. 478. Ha 3-^;
второй. 479- Ha 0,25; второй. 480. 7x — 2x2 + C. 481. Зх + 2,5хг + C.
482. 0,5£x2 4- bx + C. 483. x2 — x3 + C. 484. 4x — -хз 4- C. 485. — № +
3 3
4- 2x2 — 7x 4- C. 486. 4 x* + 4 x2 4- ex ф- C. 487. — — (3 4- 2x)~3 4- C.
3 2 6
Рис. 232
Рис. 233
244
1
— cos
7
X 1
491. —10 cos-------[---sin 6х 4- С. 492.
5 2
У1
Рис. 235
7х 4- С. 490. 4х 4- 21 sin у+С.
1 4
1,5х2 — — tg 8х 4- С. 493. —-----------—
4 х 4- 3
— — ctg Зх 4- С. 494. Решение.
О
— S (х + — S (х) отрицательно, поэтому площадь фигуры, заштрихован-
ной на рис. 233, есть —AS (х). Очевидно, что S
или (х 4- Ах)2
Д5(х) / 2
< ----- < X2,
Дх
При Дх < 0 приращение AS (х)=
• (—Дх) < —AS
т. е. 2хДх 4- Дх2
ABCD^ ~ aECDN,
(х) < х2 • (—Дх), откуда (х 4~ Дх)2 <
Д5(х) о о ,,
<------ — х2 < 0. Из полученного равен-
Дх
lim ------— х2.
л*-» о Дх
Дх<0
ванной на рис. 234 фигуры
рисунка видно, что S ABCD < —Л
ства видно, что
495. У Казани е. Площадь заштрихо-
есть S (х) — S (х 4- Дх) = —Д5 (х). Из
откуда (/ (х) — е) х
е — Д5 (х)
' /(х) -е<------<
— Ьх
497. 2. 498. 6 УЗ —
8 г—
503. —. Решение, ух =
х = 1. Искомая площадь равна
$KMCD>
—ДЗ (х) < (/ (х) 4- в) (—Дх), поэтому
< f (х) 4- е (Дх отрицательно!). 496. а) 4;
1 2
— 9. 499. 4,5. 500. —. 501. --------. 502. 9.
______ 3 2п 4- 1
= 1 4 — Зх при х = 4 — Зх (х > 0), т. е. при
сумме площадей криволинейных треугольников ОАВ и АВС (рис. 235), т. е.
4
Д _________________________ 2 з
I 1Л4 — Зх dx — — х2
3
б) 18.
1
о
12 |
0-?<4-Зх)2
3-2/2
= т- о—“
1 3 \ 9
_ 8
= 9 '
504.
Надо доказать, что
Q
<7 — Р
—(Ух + 4у2 4- Уз)-
Р
245
Q
„ C „ . , , (axi AX2
С одной стороны, I (ax2 4- bx 4-c) dx = I — 4- — + c
fJ \ i
p
9 1
= — (2a (g3 — p8) +
p о
ч- 36 (<?a — p2) 4- 6c (q — p)) = ~ (<7 “ P) (2a (q2 + qp + p2) + 36 (p -j- q) + 6c).
о
a— P Q — P IP + Q\2
С другой стороны, ——- (уг + 4y2 + y3) = —— (ap2 + bp + c + 4a —— +
о о \ 2 /
4- 46 4- 4c 4- aq2 4- bq 4- c) = 9 g - (2a (q2 4- qp 4- P2) 4- 36 (p 4- q) 4- 6c).
( 1
i sin 3x cos 5x dx = —
J 2
505. —. 506. я. 507. 0. Решение.
— (— 4" cos 8x 4- — cos 2x
2 к 8 2
2л 2л
(sin 8x—sin 2x)dx=»
о 0
2 л
0
(— -y (cos 16л — cos 0) 4- ~ (cos 4л —
2 \ 8 2
- cos 0)) =-£(— 0 4- 0) = 0. 508. 0.
Указание. Воспользуйтесь формулой
1
cos 2x cos lx — (cos 9x 4- cos 5x).
&
2л
509. а) л. Решение. J cos2 nx dx =
о
2л 2л 2л
— I (cos 2nx 4- 1) dx = — I cos 2nx dx + ~ I dx = — sin 2nx
2 J 2 J 2 J 4n
о oo
2л 1 2л
о +
— (sin 4лп — sin 0) 4- л =
4n
л; б) л при k — т, 0 при k =£ т.
Решение.
sinftxsin тх=— (cos(A—т)х—cos(fe4-m)x)—
&
— (1 — cos 2fex) при k = т,
£
—(cos (k—т)х—cos (k-{-m)x) при
2л 2л 2л
С 1 Г 1 С 1
поэтому при k = т : 1 sin kx sin mxdx — — j dx — —I cos 2kxdx = — x
b oo
2л
о
2л
1 2Л J P
— —sin 2kx = л— — (sin 4£л — sin 0) = л; при k =#= m : l sin Ax sin mx dx ~
4/z 0 4/?
o
2л 2л
if If 1
— I cos (k — tn) x dx — •— I cos (fe + m) x dx = —--
2 J 2 J 2(r — m)
о о
sin (k — m)x
2л
0
1
2 (k + m)
sin (k + m)x
2л
= 0 — 0 = 0. 510. По формуле Ньютона — Лейбница
о
ь
J7 (х) dx = F (6) — F (а), а
а
а
J7 (x)dx = F (а) — F (6);
ь
следовательно,
k=£m,
246
ba b x
J f (x) dx = — ]’ / (x) dx. 511. Так как )’/ (0 dt = — J’/(t)dt (cm. vnp. 510), a
a b x b
(x \ * /b 4' c
= f (x), to ( f / (0 dt\ = - f(x). 512. f f (x) dx = F (c) — F (g),
b / \x J a
b c
J / (x)dx = F (b) — F (с); складывая эти равенства, получаем: J f (x) dx 4-
c a
b b
+ j* f (x)dx^ F (c) — F (a) + F (b) - F (c) = F (ft) - F (a) = J/ (x) dx.
c a
513. Указание. Воспользуйтесь методом математической индукции.
514. Так как (F (х + Л — F (х))' = /(*+ Л — f W = 0» то по призна-
ку постоянства функции F (х + Л — F (х) = С. Для определения постоян-
ной С подставим в полученное равенство х = 0: С = F (0 + Л — F (0) =
т
= J/(x)dx. Таким образом, для любого х верно равенство F (х + Л —
о
т а+т
—F(x)=§f (х) dx. В частности, при х — а получаем: J f (х) dx = F (а-\-
0 а
Т
+ Т) — F (а) = f f (х) dx. 517. * Из формулы замены переменной получаем:
о
0 —а —а —а
J f (х) dx = — J f (х) dx = — f (— f (— x) dx) = J f (—x) dx =
—a 0 0 0
—a(—1)4-0 a a
= —- j f (x) dx = — j* f (x) dx. Следовательно, J f (x) dx =
0(—D4-0 0 —a
0 a
= J f (x) dx + J f (x) dx = 0. 518. Из формулы замены переменной полу-
—а 0
0 —а —а —а(—1)4-0
чаем: J f (х) dx = J — f (х) dx = J — f (—x) dx = J —f (x) dx =
—a 0 0 0(—1)4-0
a a a 0
= — J —f (x) dx = J f (x) dx. Следовательно, j f (x) dx = J f (x) dx +
0 0 —a — a
a a b b
4- J f (x) dx = 2 • J/ (x) dx. 519. Если J f (x) dx < 0, to f f (x) dx =
0 0 a a
b b
= —J / (x)dx= J —f (x) dx и требуемое неравенство следует из неравенства
а а
ь
—f (х) |/ (х)| и результата упр. 516. Аналогично при j f (х) dx > 0 имеем
а
b b
J f (x)dx = J f (x) dx, поэтому требуемое неравенство следует из неравен-
а а
247
Рис. 236
ства f (х) \f (х)| и результата упр. 516. 520. Рассмотрим криволинейную
трапецию, ограниченную линиями у == —/ (х), у = 0, ж = ал х = b (рис. 236).
Эта криволинейная трапеция симметрична исходной трапеции относительно
оси абсцисс, поэтому ее площадь равна площади исходной трапеции. С дру-
гой стороны, площадь полученной криволинейной трапеции (равная 5)
ь ь
есть J (—f (х) dx), т. е/—J / (х) dx, так как (—f (х)) — непрерывная неотри-
а а
ъ
цательная функция. Окончательно получаем J / (х) dx = —S. 522. Выбе-
а
рем начало координат в центре эллипса, а ось абсцисс направим вдоль полу-
х3 у3
оси длины а (рис. 237). Тогда уравнение эллипса — + — = 1. откуда
л2 АЗ
Г г2
|у| = Ь 1/ 1-Х
V а2
ничена линиями у =
Следовательно, верхняя половина эллипса огра-
— У а2 — х2, у = 0, х — а и х = —а, поэтому площадь
а
а а
1 С 6 /------------- ь С /------т
верхней части фигуры — S равна: I— у а2 — х2 dx =— \ у а2 — х2 dx
2 J a a J
—а —а
а
J Ya2 — х2 dx= ула3, так как это площадь полукруга радиуса а (рис. 238).
—а
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной эллипсом с полуосями а
b Г
и д, равна 2 • — • —ла2 = nab. 523. Центр тяжести однородного конуса
а 2
3
находится на его оси на расстоянии —//от его вершины, И — высота конуса.
4
524. Решение. Пусть R — радиус шара. Выберем систему координат
так, что начало координат находится в центре шара, а ограничивающая полу,
шар плоскость совпадаете плоскостью Оху. Рассмотрим осевое сечение полу-
шара (рис. 239). Из теоремы Пифагора следует, что радиус круга, являюще-
гося сечением полушара плоскостью г = /, равен УR2 — t2. Разобьем полу-
248
Рис. 238
шар на диски ширины А/. Центр тяжести диска, ограниченного плоскостями
z = t и z = t + А/, лежит на оси Oz в точке с координатой, равной t с точ-
ностью до величин порядка А/ (так как этот диск имеет Oz осью симметрии).
Масса такого диска Д/n равна рУ (р — плотность полушара, V — объем
диска), т. е. Д/n ~ рл (/?2 — /2) А/. При нахождении центра тяжести можно
считать каждый диск материальной точкой массы, равной массе диска и рас-
положенной в центре тяжести этого диска. По формуле центра тяжести для
конечной системы материальных точек получаем, что центр тяжести полу-
шара лежит на оси Oz в точке, координата z которой приблизительно равна
г _ ‘оР* (R2 ~ + /гР.-r (fl2-# А/ + - +
р.ч - ф Ы 4- РЛ </?з - ф Ы + ... 4- рл (№ _ t *_,) Ы ’
где tk — kkt. (Напомним, что центр тяжести системы материальных точек,
имеющих массы mXt m2t ..., тп и расположенных на прямой в точках с ко-
™2Х2 + - + тпхп \
ординатами х2» •••» хп> имеет координату ---------------------;-----. I
/Их + т2 + ... + тп ]
Числитель полученной дроби представляет собой интегральную сумму для
функции рл/ (R2 — /2), знаменатель — интегральную сумму для функции
рл (7?2 — /2). Чем меньше А/, тем точнее полученная дробь выражает ко-
ординату центра тяжести полушара, иными словами, эта координата есть
limz(A/). При А/, стремящемся к нулю, числитель полученной дроби стре-
д/->о
Я
мится к j рл/ (R2 — /2) dtt знаменатель к jp л(7?2—/2) dt. Таким образом, г=з
б о
249
рии на расстоянии
р—плотность воды,
V — его объем. 526.
л7?4 pg. 527. Пусть центр полукруга совпадает с
ось симметрии полукруга совпадает с осью Ох,
7?] оси Ох на п конгруэнтных частей длины Дх
и проведем прямые х = х19 х = х2, х = хп_1.
Итак, центр тяжести однородного полушара лежит на оси его снимет-
3 1
— R от центра шара (рис. 240). 525. — Vffpg, где
8 4
g—ускорение свободного падения,Я — высота конуса,
4
3
началом координат, а
Разобьем отрезок [0;
точками хг, х2, ..., хп_г
Alacca части полукруга, ограниченной прямыми х = x-t и х = х,+1 (хо=О;
xn=R), приблизительно равна 2 Дхрк2 —х2р (р — плотность полукруга).
Для нахождения (приближенно) координаты центра тяжести заменим
каждую такую часть полукруга материальной точкой массы
р 2 V А?2 — х2 Дх, расположенной на оси Ох в точке с координатой xz.
По формуле координат центра тяжести конечной системы материальных
точек центр лежит на оси Ох в точке с координатой х', где
_ 2хор — Xq Дх + 2ххр ]/ /?2 — Дх + ... + 2хл_хр р^/?2 — х^_] Дх
2р р^/?2 — х^ Дх + 2р ]/ /?2 — х2 Дх 4- ... + 2р Р^2 —х2_,Дх
Числитель этой дроби есть интегральная сумма для функции 2хр у R2 — х2,
знаменатель — интегральная сумма для функции 2р У R2 — х2. Переходя
к пределу при Дх -+ 0, получим, что координата X центра тяжести полукру-
R R ________
( 2хр y 'R2 — х2 dx ( х YR2—х2 dx
v , b b
л = lim x = —---------------~~R-------------.
J 2p /Я2 —x2 dx J /Я2 — x2 dx
о 0
R _________
дроби равен 0,5 nR2, так как | УR2 — х2 dx pa-?
b
радиуса R.
га равна:
Знаменатель
вен площади
Лх->0
полученной
полукруга
R
* __________ ( И
Для вычисления J xYR2 — х2 dx сначала отметим, что \(/?2—х2) / —
о
3 z_____________
= у(—2)xf R2 — х2, поэтому в качестве первообразной для функции
3
______ 2 Г
2х У R2 — х2 можно взять функции F (х) = — — (R2 — х2) . Поэтому
о
R
J х /Я2 —х2 dx = F (R) — F (0) =
0
2
— R3. Окончательно
3
2
получаем
ул/?2
4/? _
—. Таким образом, центр тяжести полукруга
Зл
250
на оси его симметрии на рас-
от центра круга (рис. 241).
тяжести правильной однородной
расположен
4/?
стоянии —
Зл
528. Центр
пирамиды находится на ее высоте на расстоянии
3
—Н от вершины пирамиды, Н — высота пира-
4
миды. 529. Решение. Поместим начало ко-
ординат в центре окружности, а ось Ох напра-
вим вдоль оси симметрии дуги (рис. 242).
а
равных частей. Пусть А? = —. Тогда центр тяжести
п
п — 1, симметричных относительно оси абсцисс дуг лежит на
такой пары дуг
О
Рис.
241
Разобьем
дугу на 2п
i-й пары,
= 0, 1
оси абсцисс в точке с координатой р, р ~ R cos i Да. Масса
2а
равна Я — р, где р — линейная плотность дуги. Заменим
2п
материальной точкой,
координатой R cos (i Да).
эту пару дуг
лежащей на оси абсцисс
Центр тяжести полученной системы материальных
в точке с
точек вычисляется по
формуле X (п) =
а
а а а а
R2 — р cos 0 + /?2 — р cos — + ••• + R2 ~ Р cos
п п п п
а а
Z?p + Rp + ...
п п
Al cos/0Ц-А/cos/х+ ... 4-A*cos^i i
п • Д/
/П1Х1 + т2х2 4- ... 4- тпхп
а
+ т2 + ... + тп
(п — 1) а
п
X
Яр
+ R^
п
п kt cos /0+А/ cosjx4- ••• 4-At cos /я-1
— R —— -
а
га
где tt = —, i = 1, 2, ..., п — 1, а =
п
О, Ь = а. Числитель этой дроби пред-
о-
ставляет собой интегральную сумму для интеграла j cos t dt. Найдем абсцис-
о
су центра тяжести дуги X — lim X (л) =
П->00
а
/?sina _
-----. Таким обра-
а
а
— sin t
а
О
О
зом, центр тяжести однородной дуги окружности
с центральным углом 2а лежит на оси ее сим-
R sin а
метрии на расстоянии ------ от центра окруж.
а
ности.
Глава VIII
533. График изображен на рис. 243. 535. {3}.
536. {—4}. 537. (— —1 538. (1 539. (—1
I 2J 13) 13)
Рис. 242
251
540.
544.
546.
551.
555.
559.
562.
565.
570.
574.
576. — Se^osbx Sjn 5Х.
{4}. 541. {—4}. 542. {3}. 543. {—1; 2}.
f—1— /13 . —14-/13
545. {—2; 3}.
(2 2
{3}. 547. {3}. 548. {1}. 549. {1}. 550. {1; 3}.
{2}. 552. {2}. 553. {!}.
{1,5}. 556. {8}. 557. (3; 11}.
[0; оо[. 560. ]—оо; 2[.
]—оо; —3]. 563. ]—2; оо[.
0,3679. 566. 20,07.
3.
—2 хе
554.
558. ]—1; оо[.
561. [2; оо[.
564. 7,388.
567. 1,648. 568. 2.
572. —<?-*. 573. —2е3'2г.
>sin 5x. 575. e~2x(cos х —2 sinx).
577. —51n2 • 27"6Х.
3 tg х • In 3
578. —----------. 579.
COS2 X
91n0,l
- —~— -(0,l)^x.
sin2 X
(0,7 )х • (In 0,7 • cos Зх — 3 sin Зх). 580. — 4х3 • 5—х* • 1п5—
581.
5х ((х3 + 2) In 5 — Зх3)
. 582.
5-/ 1 5'
ел I 2 sin 2x 4~~cos2x4-—
583. —-----------------------
(cos 2x 4- 5)2
584.
585. — езх
3
+ С. 586.
5 е
2 • З2
589.
In 3
5 -(0,7)4J
4 ln0,7
+ С. 590.
(x3 4- 2)2
32 ( — In 3 (sin 5x 4- 7) — 5 cos 5x
(sin 5x 4- 7)2
4/+ C. 588. - ^7 + <
5(0.6)’; „ „ . 4 2Г
- —4-C. 591.
In 0,6
+ С. 587.
1
+ 3
I 1 \5x
cos 3x 4- C. 592. — — j
\ 3 /
51-зх
3 In 5 ' In 0,6 ' ~ In 2 1
1 4 „ e“3X , 2
c — + ~ sin 7x 4- C. 593.------------—- 1 - .
5 In 3 7 3 3
594. 2г2 + 1. 595. (3х- 1). 596. (5,5 — 2'х). 597. — —Ц(5’зх+16).
In 3 In 2 3 In 5
X
4 • 74 — 195
598.-------------. 599. Первой. 600. Первой. 601. у =— x 4- 1. 602. y=3(x ln34-
In 7
1 2
4-1—In 3). 603. y=-(x4-2). 604. у = 2—(x ln0,7 4-1 4-21n0,7).
e 49
605. Функция убывает на промежутке ]—оо; —1]; возрастает на промежутке
[—1; оо[. В точке —1 функция имеет минимум. 606. График функции изобра-
жен на рис. 244. 607. Функция возрастает на промежутках ] — оо; —1] и
[0; 1]; убывает на промежутках [—1; 0] и [1; оо[. В точке 0 функция имеет
минимум; в точках —1 и 1 функция имеет максимум. 608. График функции
изображен на рис. 245. 609. Функция возрастает на промежутке
1 1
—оо; — ,
In 2
252
убывает на промежутке
Г n 1,
; со . В точке —— функция имеет максимум.
1 3 7
610. Функция возрастает на промежутке I—оо; —— I; убывает на проме-
Г 3
3
жутке ——; оо . В точке -— функция имеет максимум. Критическая точка О
In 2 In 2
In 2
не является точкой экстремума. 611. Функция возрастает на промежутке
] —со; 1]; убывает на промежутке [1; оо[. В точке 1 функция имеет максимум.
612. Функция убывает на промежутках ]—оо; 0] и
4 Г
.----; со ; возра-
1п 0,7 [ н
4 7
стает на промежутке 0;—руг ® точке 0 функция имеет минимум;
4
в точке —----- функция имеет максимум. 613. Функция убывает на про-
1п 0,7
1 1
межутках —оо;— —
и [1; со[; возрастает на
промежутке —1
Функ-
ция имеет минимум в точке —— ; максимум в точке 1. 614. е2— 1 =; 6,389.
ез — е-б я 16
615. ---------— 10,04. 616. ---------~ 7,28. 617. —=----------я? 4,47. 618. 8 +
2 In 3 I' 5 In 5
8 1 3
+ —— ж 8,81. 619. е — — — 2,583. 620. 4 — -—ж 1,84.
9 In 3 е2 2 Ln 2
2 0,3 2
621. -------h —— ss 0,98. 622. е2 — 5 — 2,389. 623. е — 1 — — — 1,08.
In 3 In 0,7 л
t In 2 1
627. ----------—. 628. 9 (мин). 629. t = ----------- 3,322 (ч). 630. 0,6395.
In tn- In n 1g 2
253
631. Решение.
Тогда
lim
Дх->0
Пусть Г (0) = a.
Г(х)= lim + =
Дх-о Дх
f (x) f (&x) — f (x) f (0)
Дх
= f (х) lim t = f (х) г (0) —af(x).
Дх-^о Дх
Поэтому f (х) = Сеах (как решение урав-
нения у' = ау), где С — некоторая посто-
янная. Далее, f (0) — Сеа-^> = С; следо-
вательно, С2—С C=f (0) ./(0)=/(0+0) =
— ДО) — С, т. е. С2 = С, откуда С = 0
или С = 1. Итак, f (х) = 1 • еах, или
f (х) = 0 • еах; значит, f (х) = еах, или
f (х) = 0 для всех х. Проверкой убеждаем-
ся в том, что для функций у = еах и у = 0
справедлива теорема сложения.
10 1g 2 101g 2
632. ----— =; 14,75 (мин). 633. -----~
1g 1,6 lg 1,25
31,06 (мин). 634. 500е-5 — 3,37 (м/мин).
635.1,4651. 636. 0 3562.637 1,0986. 638. 0 6370.
246. 643. {log3 7); log3 7 = 1,771. 644. {1 -
646. {xq}; хо ss
lg 7 — lg 3 ~
lg2 — 1g 3
1 1 1
J 16807
]0; 1[. 655. ]1; oo[. 656. ] 1; oo[. 657. ]5; oo[. 658. ]—oo; 0[.
640. График изображен на рис.
— log2 5}; 1 — log2 5 os— 1,322. 645. {x0}; x0 ~ 1,0694.
{xo}; Xo ~ —0,2849. 648. {xo}; xo =
ss — 2,077. 647.
os —2,090. 649. а
е ]1; со[. 650. а 6 ]0; 1[. 651. ]0; 9[. 652.
653. [0,6; оо[. 654.
659. ] — оо;7[. 660. ]— 3;3[. 661. ]—2;3[. 662. ] — оо; — 2[(J]5; оо[. 663. , о
х In 3
664. ---------. 665.
x ln0,7
+ 3x« log7 (2x + 1).
1
x In 5 *
668.
5 2 (x3 5)
666. — ------;--n. 667. ------L~L-
(3 — 5x)lnl0 (2x4-1) In 7
3(x4-5/x2)-(x-2)ln(2-x)
3 /x2 (x — 2) ( 3yx 4- 5)2 ‘
670. Функция убывает на промежутке
Г 1
ке —
оо . В точке — функция имеет
е
см. на рис. 247. 672.
возрастает на промежутке
е
Функция
[1; со[. В
1 11
0; — ; возрастает на промежут-
е J
минимум. 671. График функции
убывает на промежутке ]0; 1];
точке 1 функция имеет минимум.
673. График функции см. на рис. 248. 674. In 3 = 1,0986. 675. — In 5 ~
— 0,8047. 676. 2 In 3 — 2,1972. 677. In 2 0,6931. 678. In 3 =: 1,0986.
679. 17,5 — 61n 6 — 6,7492. 680. 12 — 51n 5 ~ 3,9530. 681. ]l; oo[. 682. ]2,8;
3[. 683. ]— 0,5; —0,255[. 684. J0.382; 0,4[. 685.
-I. 686.
3)
2]
8)
687.
(0,09}.
254
692. {/0,6}. 693. {4}. 694. {3}.
688.
695.
701.
707.
+ 1
{3}. 689. 690. j-yj. 691. {5}.
{0,5}. 696. {1,5; 3}. 697. {13}. 698. {6}. 699. ; з1.700. {0,01 ;0,001}.
[81 J
[— ; 4]. 702. [—;2?|. 703. {2}. 704. ; 7]. 705. {7}. 706. {/10; 100}.
(4 J 3 I 7 J
у = x — 1. 708. y= — x. 709. у = 1g e (x — 1) и у — 0,1 1g ex -f-
e
1 --1
— Ige. 711. f (x) = /3xv<3—1 . 712. g'(x) = —xn . График функции
л
изображен на рис. 249. 713. и' (х) — —ех е~г. График функции изображен
на рис. 250. 714. {—2; 2}. 715. {—1;5}. 716. {8}. 717. {11}. 718. {3}.
719. {0; 0,4}. 720. {10}. 721. {5}. 722. {3}. 723. 0 . 724. График изображен
на рис. 251. 726. График изображен на рис. 252. 729. График изображен
на рис. 253. 732. График изображен на рис. 254. 733. График изображен на
рис. 255. 736. График изображен на рис. 256. 739. График изображен на
рис. 257. 740. Зе3*. 741. —бе"2*. 742. —35е"5*. 743. — 6е'ех. 744. 3х X
Х1п 3. 745. -4 In 5 • 5"4Х. 746. -6 In 7 • 7"2*. 747. —150 In 1,7 • 1,7-вх
748. —10 In 3 • 92-6х. 749. —2 In 0,3 • 0,37"2*. 750. cos х • е®'пх»
5-ln3-36tgJf 21n7-72ctgX .
751. — sin х • ecos x. 752. ----------. 753. — ------------• 754. 5x(ln5X
cos2 x sin2 x
2х (In 2 • cos x + sin x) tg x Ух
X sin 2x + 2 cos 2x). 755. --------------------. 756. —57= + —^-5— •
„ 4x + sin 2x 23 ((x4 + 3) In 2 — 757. — 7=—— . 758. — !— 12x3)
4x У x sin2 x 3 (x4 + 3)2
(0,3)x((0,5sin2x4-5cos2x)ln0,3—1) 1 1
759. . 760. , . 761. — , „ •
cos2 x (tg x + 52 xln2 x In 3
Ige 4 1g e
764. — . 765. ---------5— . 766. ctgx.
x (3 + 4x)
255
Рис. 251
Рис. 253
257
767.
770.
773.
777.
781.
2 „ I. „ , _ 1\ xcosx-1n(7x)— sinx
—768. 3х I In 3 1n (5x)4-— . 769. --------------.
sin 2x \ x / x In2 (7x)
2 Ух 4-6— j/^ln (2x) 771> 3x2 In x 4- x2. 772. 3x2pzx + 2
2 x (/x + 3)2
lg e (3 cos Зх + 2х In 2)
sin Зх + 2х
]—oo; l,5f. 778. ]—1,5; oof. 779. ] 1,5; oof. 780. ] —co; — If J] 3; oof.
]-2; 3f.
Ух (х3+ ±Ух + 5) In 11
. 774. ]1; oof. 775. ]— 2; oof. 776. ]—oo; 4f.
782. ]—оо; oof. 783.
-3fJ] -3; «,[.
784.
1
1 з~ 2 __ 5~х
— е*х + С. 785. — 7е~х + С. 786. 15е J-C. 787. — /е’х-|-С. 788. — —+
2 3 In 5
2
•LilH+C. 791. - -55- V
In 7 In 8 r
и In (—x — 7) -г C2 при x <
и 0,6 In (—5x — 1) + C2 при x
: < 1,5 и
. —0,8 In (7 — 5x) + C\ при x
796. — In x + Cx при
8
л-Н
. .— x
798. 10Vx. 799. ------
y л+ 1
80
-----= 24,27.
3 In 3
8
= 14,10.
91n3
3“2Х
+ с. 789. —2,5 •—- + С. 790.
In 3
792. In (х + 7) + С\ при х > —7 1
0,6 In (5х + 1) + Cj при х > —0,2
—2,5 In (3 — 2х) Сх при х
1,5. 795.
794.
х >
при
797.
х > 1,4.
10
0,7х7 .
— 1 = 19,08. 802.
24
= 19,08. 805. ,—
In 5
» 1,6094. 808. 3 — 31n 2 = 0,9207.
— 3 In 3 = 0,7042. 811. y=2x +
= 10 (In 10 • х +
= 2х — 1. 816. у
820. —1,566. 821.
—7. 793.
< —0,2.
—2,5 1п (2х — 3) + С2 при
; 1,4 и —0,8 In (5х — 7) + С2
х > 0 и — In (—х) + С2 при х < 0.
8
803.
806.
809.
1.
1 — In 10). 814. у
800. In 2 = 0,6931. 801. е3—
— = 0,6486. 804. е3 — 1 =
3
63
-— — 7,5 ~ 37,95. 807. In 5 =
In 4
6 — 2 In 3 = 3,8028. 810. 4 —
812. у = - х + 1. 813. у =
3
— -^-(In 3 . х — 1 — In 3). 815. у=
= х • 3 lg е — lg е. 817. 2,807. 818. 2,183. 819. —4,676.
1,112. 822. 3,246. 823. 1,464. 824. 23,14. 825. log. — >
Г3
> log] . 826. log2 3 > log3 2. 827. log7 3 < log5 9. 828. logu 7 < log13 19.
Г 2
829. Функция убывает на промежутке J0; 1]; возрастает на промежутке [1;
oof. В точке 1 функция имеет минимум. 830. Функция возрастает на проме-
жутках 0; — и [1; oof; убывает на промежутке —; 1 . В точке— функция
J е2 J [е2 J
имеет максимум, в точке 1 — минимум. 831. Функция
[л Зл "I
—------|-2лЛ; —+ 2л£ , k CZ; убывает на
4 4
. „ . 7л
' - ’ 4
1
1
’ e2
7 л 1 Зл
2лЛ;-----1- 2лЛ , k С Z. В точках---(- 2л&, k £ Z,
4 4
e2 '
возрастает на проме-
ГЗл ,
промежутках------F
4
функция имеет мак-
л
симумы; в точках —---Н 2лА, Z, функция имеет минимумы. 832. Функ-
4
258
ция убывает на промежутках 0; —
I е
и [е; оо[; возрастает на промежутке
—; е . В точке г функция имеет максимум; в точке-минимум. 833. Функция
е J е
Зл . от .Г
ол , л , л , л
возрастает на промежутках — — 4-л/г; — — + л£| и — — + л/г; — — 4-
4 2 2 4
L 4 ' 2 • L
Гл л
4- л« , fe£Z; убывает на промежутках —-F л£;-1- nk ,k£Z. Функ-
4 4
л
ция имеет максимумы в точках —---1- nk, k £ Z', минимумы — в точках
4
у+лА, k6Z. В точках^ + nk, k £ Z, функция разрывна. 834. Функ-
ция убывает на промежутках ]0; I] и [е2; оо[; возрастает на промежутке [1;
е2]. В точке 1 функция имеет минимум; в точке е2 — максимум.
Глава IX
835. 1^2;—II. 836. ((1;—1)}. 837. {(—1; —3)}. 838. {(Зу + 4; у)|
у е Я}. 839. {(2,5 - Зу; у) | у £ Я). 840. {(1,5у + 2; у) | у £ Я). 841. 0.
2 1
842. 0 . 843. 0 . 844. 3. 845. — —. 846. 16. 847. —3 — . 848. Таких значений нет.
3 3
a = 2,5. 852. a 6 Я.
llc-hll '
5 1 C
849. a R, a 4. 850. a =—0,2. 851.
853. {(—3; 2; —1)}. 854. {(2;3;1)}. 855. j?
856. {(—7c — 20; 4c 4* Ю; с) | с £ Я}- 857. 0 . 858. 0 . 859. {(1; —1; 0; 2)}.
860. {(0,4; 0,5); (0,6; 0,3)}. 861. {(2; 1); (—1; —2)}. 862. {(4;-3); (4; 3)}.
863. {(2; 3); (3; 2)}. 864. {(4; 1); (1; 4)}. 865. {(0,5; 4)}. 866. {(1; 2)}. 867.
{(2; 1);(1;2)}. 868. {(4,5; 0,5)}. 869. {(2; 18); (18; 2)}. 870. {(1; 2); (16; —28)}.
сел.
871.
. 872. {(16; 20)}.
k tz |. 874. |((-1)' + 1 ^4- л/; ±^-+ 2л£);
) I о 3
k, I £ zi. 875. И-—(—1/ -4-- (26 — /);
J К 4 12 2
; k 4- Д k 6 Z 1. 877.
k, I £Z
/ I , Л
I Хг 4- nk\ -- — Xj
1 \ /1 1 \)
3/ \3 2/J
(1; -/2); (2; 1);(2; -1)}. 882. {(1; 9); (9; 1)}.
873. 4-яЛ; — — 4- лй'1
((—± ~ +2nk
О 3
7+ (-!) ^+>+0)
1 t
хо + ля; — — хо — ля ;
4 /
где хо ~ 0,46; хх 0,32.
{(1; 2); (2; 1)}. 881. {(1; /2);
883. {(1; 27); (27; 1)}. 884. {(1;
64); (64; 1)}. 885. {(3; 2)}. 886. {(7; 3);
{/Л
I- + nk;
259
Рис. 262
Рис. 263
Л , зт , _ f
----h 2л/ ; ----J- nk-, —— + 2л/
3---) \ 2-3
889. Полоса (рис. 258). 890. Полуплоскость, определяемая вторым неравен-
ством. 891. Полукруг (рис. 259). 892. Пересечение внешней области круга
и полуплоскости. 893. Кольцо, ограниченное концентрическими окружно-
стями (рис. 260). 894. Параболический сегмент. 895. Параболический сег-
мент (рис. 261). 896. Множество изображено на рис. 262. 897. Множество
изображено на рис. 263. 898. Треугольник с вершинами М (0; 0), М (—2; 1)
и М (2; 2). 899. Треугольник с вершинами М. (—1; 0), М. (0,5; 0) и М (2; 3).
900. Треугольник с вершинами М (—1; 0), М
888. Выпуклый угол.
и М (— 1; 2). 901.
Множество изображено на рис. 264. 903. Множество изображено на рис. 265.
904. В рационе должно быть по две единицы веса каждого вида кормов.
905. Следует выпустить 3,5 единицы первого вида продукции и 3 единицы
второго вида продукции. 906. {(1;3); (2; 6)}. 907. {(2; 3);
Г/ 1 2\ 1
908. {(41; 40)}. 909. 3—; — ; (4; 1) . 910. {(1; 2); (2; 1)}
[ \ о о J )
2V ( A. /1
8 ’ ~ 8 /’ \ 24’ “ 24/ \4’ 6 )' V12’ 3 Д’
914. Параллелограмм (рис. 266). 915. Параллелограмм с вершинами М (—3;
— 1), М (1; 3), М (4; 3) и Л4 (0; —1). 916. Трапеция с вершинами М (0;
М (—6; 5), М (2; 1) и М (2; —2). 917. Трапеция (рис. 267). 918.
(-2; -3)}.
911. {(4; 1)}.
912. {(5; 1); (5; —1)}. 913.
-1),
Выпуклый
четырехугольнике вершинами М (—1; 0), М (—1; 1), М (3; 5) и
919. Выпуклый четырехугольник. 920. Сектор. 921. Множество
но на рис. 268. 923. Множество изображено
на рис. 269.
изображе-
Задачи на повторение всего курса
924. 3; 8; 3. 926. 7; 4. 928. 3,75. 929. 1,01; 8,072; 81,108. 931. 2,53.
933. 1. 934. б) 15 log310 = 10 log3 15. 935. а при |о| > 1. 941.
Указание. Воспользуйтесь равенством sin (k + 1) х = sin kx cos x +
+ sinxcosftx. 943. —330*. 944. 70 /2а362 /а. 945. 2 • (6!)2 = 1036800.
946. 1800. 948. I или 111; 11. 949. —1. 951. -^=.952. llEzzL. 953. ±2.
/10 4
r— a n
954. _2 /2. 955. 0,720. 956. — . 957. 25%. 958. 75 км/ч. 959. 4 км/ч.
I ft I
960. 55 км/ч. 961. 6 и 12 дней. 962. 140 м. 963. 8. 964. 160 г; 20%. 965. 5 ч;
7 ч. 966. 4 м/сек-, 3 м/сек. 967. 12, да. 968. 240 л<3. 969. 35. 970. 12 г, 48 г,
1,5 г/сл3. 974. а) —0,5; б) 0. 975. а) 1 - ; б) 2 - ; в) - ; г) — .
22 99 7 54
976. а) —2-| ; б)
sin х
2 — sin х
7 — /34[1)]7+ /34; оо[;
; в)__2 ___; г) tg% . 977. а) ]—со
a—2/aft+ft 1—tgx
б) ]—оо; оо[; в) |- у; 2 ; г) 9~р05;
1 \ / 1 1
М
9 + /105'
. 978. R. 979.] —co; — 0,4[|J]2; со[. 980. ] —со; оо[. 981.
—; 3
3
4
262
982. х2— 2х— 2. 983. —20. 984. а) М(— Г, 17); б) Л4(2; —3). 985. 7(3; 0).
986. у = — 0,5х2 + 2. 987. у = 0,5 (х + 2)3 + 3. 988. у = sin х. 990. Гра-
фик функции изображен на рис. 270. 991. График функции изображен на
рис. 271. 992. б) График функции изображен на рис. 272. 994. График сов-
падает с графиком функции у = 2 при х
nk
~2
, nk
k g Z; при х = — ,
k ez.
функция не определена. 996. Графики изображены на рис. 273, 274. 997. Гра-
фики функций из упражнений а) и б) совпадают (рис. 275). 998. а) 1; б) 0,5.
8л
999. —. 1000. а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) ни четная, ни не-
3
четная; г) ни четная, ни нечетная; д) четная; е) ни четная, ни нечетная; ж) не-
///Л7//
о 1
Рис. 273
////////
0 1
Рис. 274
263
_ — 5
четная; з) нечетная. 1001. а) У2; б) — У 2. 1003. а) 12х5—19х4+1; б)---------;
(х+1)2
9 х Iff р 2 х
в) (х 4- 1) cos х 4- sin х — cos2 х 4- sin 2х • х; г) ---------------4- & .
х cos2 х
1004. . 1005. 60 м/мин1, 36 м!мин2. 1007. у= —2х — 4; у —
(8х2 — З)3 7 7
= 2х; у = 5х — 2,25. 1008. у — 1,5х + 1,5; возрастает на всей числовой
+ — ; убывает на промежутках ]—оо; 0 Г
х
прямой. 1009. у =
1
и ]0; оо[.
юю. , =
х4-2
10х—1
= । • Ю14. Функция возрастает на промежутках ]—оо;
1011. у = log2 (х — 1). 1012. у = 3х — 2.
1013. у =
1
— Г и 1 —; соГ.
3 L J 3 L
3 ’
1015. Функция постоянная /при х Y т. е. является
\ * /
и неубывающей на промежутках ]—оо;0,5[ и ]0,5; оо[. Экстремумов функция
не имеет, хотя каждая точка области определения критическая. 1016. Функ-
ция убывает на промежутке ]—оо; 2]; возрастает на промежутке [2; со[.
В точке 2 функция имеет минимум. 1017. Функция убывает на промежутке
]—оо; —1]; возрастает на промежутке [—1; оо[. В точке —1 функция имеет
минимум. 1018. Функция возрастает на промежутке ]0; е]; убывает на про-
межутке [е;.оо[. В точке е функция имеет максимум. 1019. Функция убывает
на промежутке ]0; 1]; возрастает на промежутке [1; со[. В точке 1 функция
имеет минимум. 1020. Функция убывает на промежутке 0; — ; возрастает
е
невозрастающей
Г 1
на промежутке — ; оо . В точке — функция имеет минимум. 1021. Функция
е
убывает на промежутках ]—оо; —1[ и ]—1; 0]; возрастает на промежутке
[0; оо[. В точке 0 функция имеет минимум; в точке —1 — разрыв. 1022. Функ-
ция возрастает на промежутках [хо — n + 2nk; хо + 2лй], k g Z;
убывает на промежутках [хо 4* 2л£; хо 4~я + 2лА, k £Z; в точках
вида хо + 2л&, k 6 Z, функция имеет максимумы; в точках вида л 4*
2
-ф хо + 2л&, k С Z, функция имеет минимумы, где хо — arctg —я0,59.
О
е
264
^при 1028. 1. 1029. 3 см, 6 см, 4 см. 1030. На расстоянии 1,5/?
л
от точки касания. 1031. —. Решение. Пусть основание треугольника
3
равно 2d, а угол при основании 2а. Тогда (рис. 276) г = \ОН\ = |НС| tg а =*
= b tga. Выразим b через заданную площадь X треугольника: X = 0,5х
X
Х|ЛС| • \ВН\ = b • b • tg 2а, откуда Ь2 = . Будем искать максимум
S(1 — tg® a) tg® a
2 tga
X
- (tga— tg3 a).
квадрата радиуса.
5 tg® a
г® = b2 tg2 a = ----2----
2 tg a
1 — tg2 a
Обозначим tg a — tg3 a через и (a). Нужно найти наибольшее значение функ*
Г л ] , . . 1 3 tg2 a 1 — 3 tg® a
ции и (а) на отрезке 0; — ; и (а) =—— — —„—= ----------------------------- ;
' F L 4] cos® a cos2 a cos® а
1 л
и' (а) = 0 при tg а = ± , т. е. при а = ± — +лй, А6 Z. Из точек такого
Л ( л \
вида "только одна х = — лежит на данном отрезке. Далее, и (0) = и — =
“ 6 \ 4 I
/ л \ 2
= 0, и — I = z— . Таким образом, максимальное значение и (а) на отрез-
\ 6 ] 3 У 3
' Л 1 л
ке 0; — достигается при а= — . Угол при вершине
4 6
л
6
__ 20 2
1032. f/4V. 1033. у==(см). 1034. -y=R. Решение.
V з у з
Рассмотрим осевое сечение цилиндра,
шар радиуса R (рис. 277). По теореме
треугольника АОВ находим |Л5|® = |ЛО|2 — |В0|2,
й®
т. е. г* = R2 —— , где г — радиус основания ци-
равен л — 4a = —.
вписанного в
Пифагора из
/ h3\
линдра, h — его высота; V = nr2h = л /?2й-----------------
X. 4)
265
ИЛ) =
(Н
о
Рис. 278
при h =
> 0, то
Требуется определить наибольшее значение функ-
/ Лз\
ции V (Л) = л I R2h— —) на отрезке [0; 2/?].
\ 4 /
л/?2 — t у =о при 3h2 = 4R2, т. е.
4
Так как V (0)= V(2R)—0, а >
функция V (Л) достигает наибольшего
2R
значения при h = *035. Решени^ нет ПРИ
>0,5Диг=0,5Я/?:(Я—/?)при/?<0,5Д. 1036. 7?=1,5г.
1037. 4R. 1038. ff = R Уз. Решение. Пусть около полушара радиуса
R описан прямой круговой конус. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 278).
х R
Из подобия треугольников АОС и ОВС получаем: у~^=3~н * от*
Я2/?2 1 1 №
куда х2 =----------; V (Н) = — лх2// = — л/?2-----------; V (Н) =
Н2 — R2 v ’ 3 3 № _ k '
= (H2 — Я2)2 3 (№ — Я2)2 ’ ° при '
Остается проверить, что при этом значении Н функция V (Н)
40
меньшего значения на промежутке ]0; оо[. 1039. b = у^=см.
Р Р 23
1040./?=------н=-------,Л
л+ 4 л+ 4 410
наблюдатель находится на расстоянии х от стены в точке О (рис. 279).
достигает наи-
ft=40]/ -см.
V 3
- . 1041. —— ч. 1042. 2,4 м. Решение. Пусть
Требуется узнать, при каком х ЕОВ будет наибольшей. ЕОВ— ЕОА — ВОА,
3,2 1±8
поэтому tg (ЕОВ) = tg (ЕОА — ВОА) = —-— *
I+-
X
чим----—— через / (х). Так как 0 ЕОВ < —
х2 4-5,76 2
1,4х _
. „ — „ ———. Обозна-
1,8 х2 + 5,76
х
_ л
и на промежутке 0; —
тангенс возрастает, то достаточно найти х, при котором / (х) принимает
наибольшее значение на
промежутке [0; оо[.
„ (х2 + 5,76) • 1,4—1,4х-2х
f(x) =-----------------------
(Х2 +5,76)2
— 1,4 (х2 —5,76) „
~ (х2+5,76)2
при х = 2,4. На промежутке ]2,4; оо[/' < 0, поэ-
тому при х £ ]2,4; оо[ [ (х) < / (2,4). Аналогично
/ (х) </(2,4) для х £ [0; 2,4[. Итак, при х =
= 2,4 функция/ достигает наибольшего значения
_ 27
на промежутке [0; оо[. 1043. 4рЛ2.м. 1044. 1 — ч.
1045. Длина страницы—30 см, ширина — 20 см.
266
Решение. Пусть длина страницы равна х. Тогда текст
384
представляет собой прямоугольник со сторонами х—6 и -. Ширина стра-
х — 6
384 I л 384x .
ницы равна-------(- 4, площадь равна------Н 4х. Требуется определить наи-
X — 6 X — 6
384х
меньшее значение функции /(х) =---1- 4х на промежутке ]6; оо[; (х) =
х — 6
= 384 * + 4- = ° при 4 (к — 6)2 = 384 • 6,
(х — 6)2 (х — 6)2
т. е. при (х — 6)2 = 576, откуда х = 30; при этом ширина страницы равна
384 + 4 = 16 + 4 = 20. 1046. б) 3 ^3 . 1047. а) 5 — ;
30 — 6 12 ’ 3
5 1
б) 20у; в) 18; г) 1— ; д) 12 — 5 In 5 ~ 3,953. 1048. а) ]1; 2[Ц] 3; оо[;
б) ]—со; 2[J] 3; 5[; в) ]-оо; - 3] J [1; оо[; г) ]-4; _1[(J] — 1; 6[; д) ]1;
2 EU1 4[; е)[—1^2; —1] [J [1; 1^2]. 1049. 20 км/ч. Решение. Вторая
часть расходов равна бх3, где через х обозначена скорость парохода, k —
коэффициент пропорциональности. Для определения k подставим х = 10,
тогда 30 = 10004, откуда k = 0,03. 1 км пути пароход пройдет за — ч. За
х
это время расходы будут равны 480 •—+ О.ОЗх3 • . Требуется опреде-
480
лить наибольшее значение функции / (х) =----------J- 0,03х2 на проме-
х
480 , 480
жутке ]0; оо[; /' (х) = —— + 0,06х; f (х) = 0 при х3 = т. е.
при х = 20. Легко проверить, что в этой точке функция достигает наимень-
Х^ X2
шего значения. 1050. —}- In х 4* при х > 0, —И In (—х) 4- С2 при
2 2
2 11
х < 0. 1051. — у~2 х3/24- с. 1052. —2 cos х 4- ~ sin 3x4-С. Ю53. — — х~4—
3 3 4
(х_ns
— х'1 + С. 1054. vС при х #= 1. 1055. 3 In (х + 4) при х > —4,
1 3
з In (—X — 4) при х < —4. 1056. — — ctg 2х 4- С. 1057. — tg 2х 4- С.
3 2
1058. х2 4- х3 4- С. 1059. х4+/2 4- С. 1060. х2 — Зх 4- 4.
4 Г Г
1061. —0,25 cos 2t 4- 3. 1062. у = х3 — 5. 1065. а) 4 sin 15° cos 10° cos 5°;
„ , а 4-Р л4- 20 . я— 2а . х 5х
б) 4 cos -- cos------sin----- ; в) 4 sin — cos Зх • cos — ;
’ 2 4 4 ’ 2 2 1
г— 1 /1 я \
г) 2 sin — cos I — — — I . 1074. x 4~ 1 при x > 0. 1075. —4, t =/= 0,
t > —4. 1076. —a0,5 — 2a-1,5 при a 1. 1077. г— при a =£ 1.
267
1085. {15}. 1086.
{nk
—
5
(2 л/г
в) — ;л
I б
2лй
+ 3
fe$Zj; б) {2л»г;
^\А+1 Л
» 0,395.
k £ Z ,
2л
9
fc£Z к а = arccos « 0,64; б) (Л ”
{ла ла
-4--+л/г;
о 2 о z
( 1 \ Га 2л£
а = arccos — —кг 1,74; б) < —- 4--;
\ 6/ (33
kf zl, а = arccos {— ~ 1,64;
J \ 14/
2лЛ
T
Д) {—l; 1;—2; 2}; e) {—1;1}. 1090.
' 4 J '( з 1
1 5
+ л/г k £ Z а = arctg — «
7л , л
- л/г; ~ + л/г; — — + л/г
24 24
а 2л/г 2л 2л/г
"Т + Т + Т~ ’
в) {3}; г) М; 4 :
I <J J
<ю; U [1.5; оо[. 1091. ]2; 3^.
1092. ]—оо; —3[ (J ] -1; 1 [J] 3; оо[. 1093. ]—оо; —1,5 ]J[ — 1; 1 ]|J[ 1,5;
оо[. 1094. ]—3,5; —3[.
1095.
0; -
2
1096. J—оо; — 2 QU ] 4; оо[.
1097. ]—со; 3,4 [ J] 4; оо[. 1098. ]— 3,5;
1101. 0. 1102. {(1; 0; 2; -1)}. ПОЗ.
0[. 1099. 1;
{(1;-2; -1;
1100. Г— 3; —
L 3
2)}.
ОБОЗНАЧЕНИЯ,
ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ
В УЧЕБНОМ ПОСОБИИ
W — множество всех натураль-
ных чисел
Z — множество всех целых чисел
Zo — множество всех неотрица-
тельных целых чисел
Q — множество всех рациональ-
ных чисел
/? — множество всех действи-
тельных чисел, числовая
прямая
/?+ — множество всех положи-
тельных действительных
чисел
R2 _ числовая плоскость
[а; й] — замкнутый промежуток
(отрезок) с началом а и
концом &, а < b
]д; Ь[ — открытый промежуток
(интервал) с началом а и
концом b9 а < b
6], [а; полуоткрытые проме-
жутки с началом а и кон-
цом Ь, а < Ь9
b — а — длина промежутка с конца-
ми а и b
]а; оо[, [а; оо[, ]— со; й],
]— оо;
— бесконечные промежутки,
лучи числовой прямой
]—оо; со[—бесконечный промежу-
ток, числовая прямая
=£> — знак следования
<=Ф — знак равносильности
С — знак принадлежности
п 6 N — число п принадлежит мно-
жеству натуральных чи-
сел N
О. — знак включения
С CZ. D — множество С включено в
множество D, или С есть
подмножество множества D,
или множество D содержит
множество С
U — знак объединения
С J D — объединение множеств С
и D
а — обозначение вектора
г(хо’ у0)—вектор, отображающий то-
чку (0; 0) в точку (х0;у0).
Числа хо, у0 называ-
ются координатами этого
вектора
]а—е; а+е[— е-окрестность точки а
{а\Ь\...}—множество, состоящее из
элементов а, Ь, ...
(а; Ь) — упорядоченная пара
(а; Ь\ с)—упорядоченная тройка. Ес-
ли а, Ь, с попарно различные,
то (а; Ь), (а; Ь\ с) обозначают
также
упорядоченные множества
п! — «-факториал—произведение
первых п натуральных
чисел
Рп — число перестановок из п
элементов
А™ — число размещений из п по т.
С™ — число сочетаний из п по т
[ЛВ] — отрезок прямой с концами
А и В
(АВ) — прямая, проходящая через
точки А и В
|АВ| — длина отрезка [АВ]
— ►
АВ — вектор, отображающий
точку А в точку В
[х] — целая часть числа х
{х} — дробная часть числа х
|х| — модуль (абсолютная вели-
чина) числа х
(х„), (ап), (/„) — бесконечная после-
довательность
lim хп = а — число а является пре-
п-»со
делом последовательности
(*я)
269
f(x) — значение функции f в точ-
ке х
D(f) — область определения функ-
ции f
E(f) — множество значений функ-
ции f
&х — приращение переменной х
&f(xo), — приращение функции f
в точке хо
lim f (х) = Ь — число Ь является
х-*а
пределом функции f при х,
стремящемся к а
f (хо) — производная функции f в
точке хо
Z АО В —угол АО В
Rq —поворот плоскости (луча,
вектора) на угол а вокруг
точки О. Если О — начало
координат, то просто: Ra
sin — функция синус
cos — функция косинус
tg — функция тангенс
ctg — функция котангенс
ехрд — показательная функция с
основанием а
е — число е, основание показа-
тельной функции, для
которой (ех)' = 6х
ехр — показательная функция с'
основанием е
loga — логарифм с основанием а
1g — десятичный логарифм
In — натуральный логарифм
(логарифм с основанием е)
шах / — наибольшее значение функ-
1а ;&]
ции f на отрезке [а; Ь]
min / — наименьшее значение функ-
[а; bj
ции / на отрезке [а; Ь]
J — знак интеграла
ь
J f (х) dx — интеграл функции f в
а
пределах от а до b
arcsin — функция арксинус
arccos — функция арккосинус
arctg — функция арктангенс
arcctg — функция арккотангенс
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Арккосинус 40
Арккотангенс 50
Арксинус 33
Арктангенс 45
Бернулли неравенство 215
Верхний предел интеграла 85
Геометрический смысл интеграла 86
» » производной 209
График гармонического колебания 21
» косинуса 39
» котангенса 49
» логарифмической функции 115
» показательной функции 104
» синуса 33
» тангенса 46
» функции 169
Графическое задание функции 169
Десятичные приближения действи-
тельных чисел 165
Дифференциальное уравнение 18
Дифференцирование функции 206
Длина окружности 216
Дроби бесконечные десятичные 162
» периодические 165
Дробно-рациональная функция 212
Задача об охлаждении тела 111
Закон распада радия 114
Замечательный предел 15
Измерение радианное 14
Индукция математическая 199
Интеграл с переменным верхним
пределом 87
Интеграл 84
Интегрирование 75
Квадратный трехчлен 188
Комбинаторика 205
Косинус 212
Котангенс 9
Криволинейная трапеция 81
Критические точки функции 210
270
Максимума точка 210
Минимума точка 210
Модуль перехода 116
Натуральный логарифм 108
Начальные условия 20
Нижний предел интегрирования 85
Окрестность точки 196
Первообразная 75
Перестановки 200
Площадь криволинейной трапеции 82
» круга 217
» сектора 217
Последовательности бесконечные 193
» возрастающие 195
» геометрическое
изображение 194
» конечные 193
» монотонные 195
» невозрастаю-
щие 195
» неубывающие 196
» расходящиеся 197
» сходящиеся 197
» убывающие 195
Предел дробно-рациональной функ-
ции 205
» многочлена 205
» числовой последовательно-
сти 196
» функции 202
Приращение аргумента 206
» функции 206
Прогрессия арифметическая 215
» геометрическая 216
Производная 216
» логарифмической
функции 119
» обратной функции 117
» показательной функ-
ции 108
» постоянной 216
» произведения 207
» сложной функции 208
» степенной функции 126
» суммы 216
» тригонометрических
функций 7
> частного 208
Работа переменной силы 92
Равносильные системы 135
» уравнения 134
Радиан 14
Размещения 200
Рекуррентный способ задания после-
довательности 194
Синус 212
Синусоида 9
Система уравнения 134
Сложная функция 208
Сочетания 201
Тангенс суммы и разности 214
Теорема Вейерштрасса 138
» сложения 212
Треугольник Паскаля 202
Угловой коэффициент 281
Уравнение гармонического колеба-
ния 21
» показательного роста 110
Факториал 200
Формула Ньютона 216
» Ньютона — Лейбница 85
Функция возрастающая 32
» квадратичная 188
» линейная 181
» логарифмическая 115
» непрерывная 205
» нечетная 107
» обратная 32
» периодическая 173
» показательная 103
» степенная 125
» убывающая 32
» числовая 164
Числа действительные 162
» иррациональные 164
» рациональные 163
Числовая плоскость 168
» прямая 167
Экстремумы функций 210
271
Андрей Николаевич Колмогоров,
Олег Сергеевич Ивашев-Мусатов,
Борис Михайлович Ивлев,
Семен Исаакович Шварцбурд
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА
АНАЛИЗА
Учебное пособие
для 10 класса
Спец, редактор
Г. В. Дорофеев
Редактор
Г. С. Уманский
Художник переплета
Б. Л. Николаев
Художественный редактор
Е. Н. Карасик
Технический редактор
М. И. Смирнова
Корректор
Н. И. Новикова
Г. С. Попкова
Сдано в набор 26/ХП 1975 г. Подписано к
печати 18/ТП 1976 г. 60Х90>/н.
Бумага тип. № з. Печ. л. 17. уч.-изд. л. 14,37.
Тираж 3950 тыс. (1—1159000) экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издатель-
ство «Просвещение» Государственного комитета
Совета Министров РСФСР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва. 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Зна-
мени полиграфический комбинат Росглавполи-
графпрома Государственного комитета Совета
Министров РСФСР по делам издательств, поли-
графии и книжной торговли.
Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ № 423.
Цена 26 коп.