Алесгандро Морбиделли
Современная
небесная механика
Аспекты динамики Солнечной системы

Modern Celestial Mechanics
Aspects of Solar System Dynamics
Alessandro Morbidelli
°"flded ^
London and New York

Алессандро Морбиделли
СОВРЕМЕННАЯ
НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА
Аспекты динамики
Солнечной системы
Перевод с английского под редакцией
д. ф.-м. н. И. И. Шевченко
Москва ♦ Ижевск
2014

УДК 599.12-17
ББК 22.313.3
Μ 79
Морбиделли А.
Современная небесная механика. Аспекты динамики Солнечной
системы. — М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2014. — 432 с.
Книга известного французского ученого, специалиста в области небесной
механики и нелинейной динамики Алессандро Морбиделли «Современная небесная
механика. Аспекты динамики Солнечной системы» представляет собой введение
в современную небесную механику — резонансную и хаотическую динамику
небесных тел, с приложениями к задачам орбитальной динамики тел Солнечной
системы. Фундаментальная тема книги — исследование проблем орбитальной динамики
в контексте современной теории гамильтоновых динамических систем. Как
отмечено автором в предисловии к русскому изданию, он надеется, что его книга
«будет побуждать молодых ученых к восприятию наследия великих русских учителей
и к продвижению этой области исследований». По полноте и современному уровню
изложения предмета книга не имеет аналогов на русском языке.
Монография предназначена научным работникам, специализирующимся в
области небесной механики и динамики тел Солнечной системы, теоретической
механики, нелинейной динамики и теории динамического хаоса, а также студентам
старших курсов и аспирантам университетов.
ISBN 978-5-4344-0209-5 ББК 22.313.3
© Taylor & Francis, 2002
© Перевод на русский язык:
Институт компьютерных исследований, 2014
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть перепечатана,
воспроизведена, передана или использована в какой бы то ни было форме электронными, механическими
или любыми иными средствами, которые известны в настоящее время или будут
изобретены впоследствии, включая фотокопирование, запись на магнитный носитель, микросъемку,
или при помощи любой другой системы хранения и обработки информации, если на то нет
письменного разрешения издательств.
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

Оглавление
Предисловие редактора перевода ix
Предисловие к русскому изданию xiii
Предисловие xv
Введение 1
Глава 1. Элементарная небесная и гамильтонова механика . . . 13
1.1. Уравнения движения 13
1.2. Элементы орбит 14
1.3. Возмущения задачи двух тел 18
1.4. Гамильтоновы системы и задача двух тел 20
1.5. Возмущения в гамильтоновом виде 23
1.6. Канонические преобразования 25
1.7. Свойства гамильтонова потока 28
1.8. Интегрируемые гамильтонианы 30
1.9. Переменные «действие-угол» 31
1.9.1. Переменные Делоне 33
1.9.2. Гамильтоновы уравнения в переменных Делоне для
ограниченной и планетной задач 37
1.9.3. Правила Даламбера 39
1.10. Интегрируемая динамика 40
Глава 2. Квазиинтегрируемые гамильтоновы системы 43
2.1. Введение в теорию возмущений 43
2.2. Подход с применением рядов Ли 45
2.3. Проблема малых делителей 47
2.3.1. Нормальные формы 49
2.4. Порядки выше первого 51
2.4.1. Пример вычисления оптимального порядка
нормальной формы 53

vi Оглавление
2.4.2. Генерирование старших гармоник в процессе
нормализации 54
2.5. Усреднение по средним движениям 57
2.5.1. Вековая нормальная форма 59
2.5.2. Резонансная нормальная форма для резонансов
средних движений 63
Глава 3. КАМ-торы 65
3.1. Теорема Колмогорова 65
3.1.1. Эскиз доказательства теоремы Колмогорова 66
3.2. Свойства КАМ-торов 69
3.3. Численные примеры 74
Глава 4. Динамика одиночного резонанса 79
4.1. Интегрируемое приближение 79
4.2. Резонансные переменные «действие-угол» 82
4.3. Возмущенная резонансная динамика 86
4.3.1. Величина остатка 86
4.3.2. Резонансные инвариантные торы 88
4.3.3. Расщепление сепаратрис 90
4.3.4. Размер хаотической области 94
Глава 5. Численные инструменты для выявления хаоса .... 99
5.1. Наблюдение временной эволюции в фазовом пространстве . . 99
5.2. Показатели Ляпунова 102
5.2.1. Вычисление МПЛ 105
5.3. Частотный анализ 109
5.3.1. Вычисление частот 113
5.4. Суррогаты 115
5.4.1. Быстрый индикатор Ляпунова 115
5.4.2. Углы спиральности и закручивания 116
5.4.3. Средний фактор экспоненциальной расходимости
близких орбит 116
5.4.4. Средние, максимальные и минимальные значения
действий 118
Глава 6. Взаимодействие резонансов 119
6.1. Две степени свободы 119
6.1.1. Гетероклинические пересечения 123
6.2. Более двух степеней свободы 126

Оглавление vii
6.2.1. Теорема Нехорошева 127
6.2.2. Нехорошевская структура 133
6.2.3. Суперэкспоненциальная устойчивость КАМ-торов . . 134
6.3. Исследование динамической структуры заданной системы . . 136
Глава 7. Вековая динамика планет 141
7.1. Решение Лагранжа-Лапласа 141
7.2. Решения более высокого порядка 146
7.3. Хаотическое вековое движение планет 149
7.4. Динамика осей вращения 155
Глава 8. Вековая динамика малых тел 165
8.1. Линейное интегрируемое приближение 165
8.2. Интегрируемое приближение Козаи 171
8.2.1. Динамика Козаи внутри орбиты главного
возмущающего тела 173
8.2.2. Динамика Козаи снаружи орбиты главного
возмущающего тела 178
8.2.3. Переменные «действие-угол» для гамильтониана
Козаи 183
8.3. Собственные элементы 185
8.3.1. Семейства астероидов 191
8.4. Вековые резонансы 193
8.4.1. Динамика в вековых резонансах 199
8.4.2. Аномальный случай резонанса щ 207
Глава 9. Резонансы средних движений 215
9.1. Простое интегрируемое приближение 215
9.1.1. «Фазовая защита» от столкновений с планетами .... 226
9.1.2. Случай резонанса 1/1 229
9.2. Перекрытие резонансов средних движений 232
9.2.1. Порог перекрытия вблизи планеты 238
9.2.2. Перекрытие планетных резонансов 239
9.3. Резонансные мультиплеты 243
9.4. Приближение модулированного маятника 247
Глава 10. Трехтельные резонансы 255
10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении 255
10.1.1. Прямой эффект 256
10.1.2. Косвенный эффект 258

viii Оглавление
10.1.3. Учет обоих (прямого и косвенного) эффектов в
астероидной задаче 264
10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты 265
10.3. Пояс астероидов и пояс Койпера 272
10.4. Хаотическая динамика планет-гигантов 280
Глава 11. Вековая динамика внутри резонансов средних
движений 283
11.1. Последовательное исключение гармоник 283
11.2. Динамическая система с резонансами средних движений . . . 286
11.2.1. Вторичные резонансы 289
11.2.2. Динамика Козаи 291
11.2.3. Перигелийные вековые резонансы 298
11.2.4. Узловые вековые резонансы 302
11.2.5. Трехтельные резонансы 304
11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 306
11.3.1. Резонанс 3/1 307
11.3.2. Резонанс 2/1 314
11.3.3. Резонанс 3/2 320
11.4. Важнейшие резонансы в поясе Койпера 323
11.4.1. Резонанс 2/3 323
11.4.2. Резонанс 1/2 327
11.5. Резонансы 1/1 329
Глава 12. Глобальная динамическая структура поясов малых
тел 333
12.1. Обнаружение хаотических зон 333
12.2. Хаотическая диффузия и макроскопическая неустойчивость . 343
12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени и времени
ухода 352
12.4. Применимы ли теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера
и Нехорошева к динамике малых тел? 360
А. Морбиделли, И. И. Шевченко. Douze ans apres. Заметки к русскому
изданию 365
Литература 387
Алфавитный указатель 407

Предисловие редактора перевода
Вниманию читателя предлагается русский перевод монографии
известного французского ученого, специалиста в области небесной механики
и нелинейной динамики Алессандро Морбиделли «Современная небесная
механика. Аспекты динамики Солнечной системы» (Morbidelli A. Modern
Celestial Mechanics. Aspects of Solar System Dynamics. London: Taylor and
Francis). Книга А. Морбиделли представляет собой введение в
современную небесную механику — резонансную и хаотическую динамику небесных
тел, с приложениями к задачам орбитальной динамики тел Солнечной
системы. Фундаментальная тема книги — исследование проблем орбитальной
динамики в контексте современной теории гамильтоновых динамических
систем.
Не так давно на русский язык была переведена и издана другая часто
цитируемая в современной небесномеханической литературе книга [1] —
монография К. Мюррея и С.Дермотта «Динамика Солнечной системы»
(Murray С, Dermott S. Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge Univ.
Press). Изложение в ней ориентировано на самую широкую аудиторию
научных работников и студентов, интересующихся данной тематикой, и
ведется без обращения к современной теории гамильтоновых систем.
Поэтому книга К. Мюррея и С. Дермотта может быть рекомендована для
ознакомления с предметом на предварительном этапе, тогда как книга А.
Морбиделли — на более высоком и продвинутом. Без преувеличения можно
сказать, что книга А. Морбиделли уже успела стать настольной для
аспирантов и исследователей в данной области науки.
Цели, задачи и содержание книги автор освещает в своем предисловии
и во введении, поэтому здесь нет необходимости о них говорить. Однако
подчеркнем, что эта книга пока единственная на русском языке, в
которой читатель может самым подробным образом и на современном уровне
узнать о разнообразных резонансных и хаотических эффектах в динамике
тел Солнечной системы и их математической теории.
Библиография в книге А. Морбиделли ориентирована на
англоязычного читателя, поэтому уместно привести здесь краткий список книг и об-

χ
Предисловие редактора перевода
зоров по близкой тематике, изданных на русском языке. Тематика этого
списка следующая. Книга [1], как уже отмечено выше, может быть
рекомендована для предварительного ознакомления с предметом. В
монографиях и обзорах [2-14] читатель может найти обширный материал для
дополнительного и углубленного чтения по общим вопросам небесной механики,
резонансной и хаотической динамики, теории гамильтоновых систем. В
обзорах [15-17] рассмотрены современные проблемы регулярной и
хаотической динамики тел Солнечной системы.
Перевод книги осуществили: В.В.Куприянов (введение, гл. 1,
разделы 11.3-11.5), В.Г.Соколов (гл. 2), В.В.Орлов (гл. 3, 6, разделы 8.1-8.2,
11.1-11.2), А. Т. Байкова (гл. 4), А. В. Мельников (гл. 5), В. В. Бобылев (гл. 7),
М.Ю.Ховричев (разделы 8.3-8.4), Е.Ю.Алешкина (гл. 9), Е.А.Смирнов
(гл. 10), А. В. Рубинов (гл. 12).
А. Морбиделли поддержал идею перевода книги на русский язык и
любезно представил специально написанное им «Предисловие для русского
издания». Редактирование перевода осуществлено в творческом контакте
с автором. В частности, при переводе исправлен ряд обнаруженных в
оригинале опечаток и неточностей — все эти исправления согласованы с
автором. Поскольку со времени публикации оригинала прошло более десяти
лет, автор книги и редактор перевода вместе подготовили краткий обзор
Douze ans apres о наиболее заметных результатах в данной области науки
за последние годы; он печатается как эпилог к переведенной книге.
Редактор перевода глубоко благодарен автору книги за помощь и сотрудничество
при подготовке русского издания.
Редактор перевода искренне признателен В. К. Абалакину и К. В. Хол-
шевникову за ценные замечания. Участники проекта по переводу и
изданию книги выражают благодарность Российскому фонду фундаментальных
исследований за частичную поддержку проекта.
И. И. Шевченко
Литература
[1] Мюррей К, Дермотт С. Динамика Солнечной системы / Пер. с англ.
под ред. И. И. Шевченко. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009, 2010. - 588 с.
[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. —
М.: Наука, 1989.-472 с.
[3] Арнольд В. К, Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. — М.: Эдиториал УРСС, 2002. —
416 с.

Предисловие редактора перевода xi
[4] Белецкий В. В. Регулярные и хаотические движения твердых тел. —
М.-Ижевск: РХД, 2007. - 132 с.
[5] Белбруно Э. Динамика захвата и хаотические движения в небесной
механике / Пер. с англ. под ред. В. Б. Титова. — М.-Ижевск: ИКИ, 2011. —
248 с.
[6] Лихтенберг Α., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика /
Пер. с англ. под ред. Б. В. Чирикова. — М.: Мир, 1984. — 528 с;
Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 528 с.
[7] Маршал К Задача трех тел / Пер. с англ. под ред. А.В.Борисова
и И. С. Мамаева. - М.-Ижевск: ИКИ, 2004. - 640 с.
[8] ТрещевД. В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. —
М.: ФАЗИС, 1998.- 184 с.
[9] Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. —
Л.: Издательство ЛГУ, 1985. - 208 с.
[10] Холшевников К. В., Титов В. Б. Задача двух тел. — СПб: Издательство
СПбГУ, 2007. - 180 с.
[11] Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. — Новосибирск: Издательство
НГУ, 1977. - 82 с.
[12] Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. —
Новосибирск: Издательство НГУ, 1978. — 80 с.
[13] Чириков Б. В. Нелинейные резонансы и динамическая стохастич-
ность // Природа. 1982. № 7. - С. 15-25.
[14] де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию / Пер. с англ. под ред. Д. В. Тре-
щева. - М.-Ижевск: ИКИ, 2003. - 176 с.
[15] Холшевников К. В., Кузнецов Э.Д. Обзор работ по орбитальной
эволюции больших планет Солнечной системы // Астрон. вестник. 2007.
Т. 41 (4).-С. 291-329.
[16] Шевченко И. И. Резонансы и хаос в динамике тел Солнечной
системы // В книге: Орлов В. В. и др. Астрономия: традиции, настоящее,
будущее. Сборник обзоров. - СПб.: СПбГУ, 2007. - С. 284-314.
[17] Шевченко И. И. Непредсказуемые орбиты // Природа. 2010. № 4. —
С. 12-21.

Предисловие к русскому изданию
Когда я решил написать эту книгу, немногим более десяти лет
назад, я руководствовался главным образом двумя соображениями. Прежде
всего, я чувствовал, что существует большой разрыв между классической
небесной механикой и теорией гамильтоновых динамических систем.
Тогда как последняя самым захватывающим образом продвинулась в
глубинном понимании механизмов, лежащих в основе порядка и хаоса, изложение
в учебниках по небесной механике было сосредоточено на разложении
пертурбационной функции в степенные ряды и ряды Фурье по орбитальным
элементам и на анализе простых задач, часто рассматриваемых в самом
низком порядке теории возмущений. Канонические переменные часто даже
не упоминались. Однако небесная механика становится глубоко
взаимосвязанной с теорией гамильтоновых систем, когда, в попытке описать
динамику реальной Солнечной системы, она имеет дело с сильно нелинейными
задачами: при вычислении высокоточных интегралов движения
(собственные элементы), при исследовании взаимодействия нескольких резонансов,
при определении порога наступления глобального хаоса, если
ограничиться упоминанием лишь немногих примеров. Таким образом, в своей книге
я ставил себе целью «навести мосты», ликвидирующие данный разрыв,
представляя динамику планет и малых тел как конкретные гамильтоновы
динамические системы. Во-вторых, я чувствовал, что динамическая
астрономия все более сдвигалась в сторону численных методов исследования,
чтобы справиться со сложностью реальной Солнечной системы.
Численные результаты можно получить относительно легко, но они нуждаются
в интерпретации, а для этого необходимо, чтобы современный специалист
по динамической астрономии знал теорию гамильтоновых динамических
систем и свойства, которыми такие системы могут обладать.
Поэтому с энтузиазмом и гордостью я приветствовал перевод моей
книги на русский язык. К русской школе, внесшей, возможно, наибольший
вклад в развитие теории динамических систем вообще и теории
гамильтоновых систем в частности, принадлежат такие великие умы, как
Колмогоров, Арнольд, Нехорошее, Чириков, Нейштадт и многие другие. Интерес

XIV
Предисловие к русскому изданию
российского ученого сообщества к моей книге означал, что я сумел
выполнить свою миссию, по крайней мере частично. Если у реалистичной и
аналитической небесной механики есть будущее, то оно, возможно, в России.
Я надеюсь, что моя книга будет побуждать молодых ученых к восприятию
наследия великих русских учителей и к продвижению этой области
исследований.
Алессандро Морбиделли

Предисловие
Последнее двадцатилетие XX века ознаменовалось захватывающими
достижениями небесной механики в познании структуры и эволюции
Солнечной системы. Открытие хаоса в динамике планет, выявление главных
транспортных маршрутов, по которым астероиды покидают главный
пояс и выходят на угрожающие Земле орбиты, раскрытие динамических
механизмов, вызывающих внутренний нагрев галилеевых спутников, — вот
лишь некоторые примеры достижений, сделавших небесную механику
фундаментальным разделом науки о Солнечной системе. Поэтому проводимые
во многих странах мира конгрессы по планетологии, такие как ежегодные
форумы Отделения планетных наук Американского астрономического
общества и регулярные симпозиумы «Астероиды, кометы, метеоры», всегда
включают продолжительные и хорошо посещаемые сессии, посвященные
динамике.
Именно это я называю современной небесной механикой, хотя не
следует забывать, что у небесной механики есть и другие разделы, более
сконцентрированные на строгих математических исследованиях простых
«игрушечных» моделей, а не на реалистическом описании эволюции Солнечной
системы, и недавно в этих исследованиях также были достигнуты
инновационные результаты.
В последние годы издан ряд книг по небесной механике, но ни одна
из них не описывает недавние результаты исследований динамики
Солнечной системы на основе фундаментальной теории. Изложение в них либо
сосредоточено на общей теории динамических систем, либо ограничено
базовыми элементами небесной механики. Настоящая книга призвана
восполнить этот пробел. Надеюсь, она станет подспорьем для студентов
старших курсов и молодых ученых, вынужденных сегодня прокладывать себе
путь, изучая обширную научную литературу — статьи в первоисточниках —
без помощи «путеводителя», представляющего предмет в едином виде. Моя
цель состоит в том, чтобы подвести читателя к рубежу, где он смог бы
приступить к самостоятельному исследованию.
Современная небесная механика глубоко взаимосвязана с теорией
гамильтоновых систем. Большинство аналитических исследований
существенным образом использует методы теории возмущений гамильтоновых

XVI
Предисловие
систем; зачастую также и для корректной интерпретации результатов
численного моделирования требуется хорошее теоретическое знание гамиль-
тоновой динамики. Поскольку гамильтонова теория не входит в обычный
багаж знаний изучающих небесную механику астрономов, в первой части
книги излагаются ее фундаментальные понятия. Без претензий на
исчерпывающую полноту первые шесть глав дают то, что нужно знать о га-
мильтоновой теории, чтобы непринужденно работать над задачами
небесной механики. Приводятся только основополагающие идеи — без деталей
и технических математических доказательств, но с необходимыми
библиографическими ссылками для тех, кто хотел бы освоить предмет более
глубоко. Вслед за первой главой, посвященной базовым понятиям небесной
и гамильтоновой механики, в главе 2 разъясняется основанная на рядах
Ли теория возмущений гамильтоновых систем. Главы 3 и 4 иллюстрируют
свойства инвариантных торов и резонансов соответственно. В отдельную
главу (главу 5) особо выделено обсуждение численных инструментов,
полезных для обнаружения хаотического поведения. В главе 6 обсуждаются
динамические структуры гамильтоновых систем, обусловленные
взаимодействием резонансов, и детализируется, как эти структуры могут быть
отождествлены в численных исследованиях.
Вторая часть книги посвящена непосредственно предмету небесной
механики. Эта часть более техническая, тем не менее изложение здесь
намеренно сконцентрировано на процедурах и на идеях, а не на технических
деталях. Таким образом, книга должна представлять интерес также и для
специалистов по гамильтоновой теории, желающих быть в курсе
происходящего в современной небесной механике. В частности, в книге опущены
детали методов практических вычислений (методов разложения в ряд
возмущающих функций или их вычисления по формулам в замкнутом виде,
вычисления интегралов действия и т. п.). Практические методы
эволюционируют очень быстро — параллельно с эволюцией мощности компьютеров,
тогда как идеи и концептуальные подходы сохраняют свое значение много
дольше. Главы 7 и 8 посвящены соответственно вековым движениям планет
и малых тел. В обсуждаемые здесь темы, среди прочих, входят:
хаотическая динамика планет земной группы; теории, созданные для вычисления
собственных элементов орбит астероидов; динамика вековых резонансов.
Последующие главы 9-12 посвящены сложной теме резонансов средних
движений. В частности, в главе 9 описана структура резонансов средних
движений, сначала в рамках относительно простой плоской ограниченной
задачи трех тел, а затем в более реалистичных моделях. Глава 10 посвящена

Предисловие
χνιι
трехтельным резонансам, важность которых была совсем недавно осознана
как для динамики малых тел, так и для динамики планет. В главе 11
обсуждается вековая динамика внутри резонансов средних движений, которая,
по моему мнению, является одной из самых сложных тем в небесной
механике. Наконец, в главе 12 исследуется глобальная динамическая структура
областей Солнечной системы, плотно населенных малыми телами, и
обсуждается модная тема медленной хаотической диффузии.
Можно видеть, что изложение в книге сосредоточено на динамике
планет и малых тел. Это объясняется главным образом пределами моих
познаний. Важные проблемы динамики естественных спутников и планетных
колец (см. краткий обзор во введении) поэтому не обсуждаются. Однако
большинство развитых здесь концепций применимы также и к динамике
спутников и планетных колец, поэтому я надеюсь, что книга сможет
послужить введением в предмет и для тех, кто интересуется данными темами.
Более того, я решил исключить из книги тему динамики тел,
сближающихся с планетами, поскольку она не входит в категорию квазиинтегриру-
емой динамики и ее связь с остальным изложением была бы очень слабой.
Действительно, динамика тел, сближающихся с планетами, изучается
главным образом численными методами, поскольку возможности
аналитических и полуаналитических теорий в ее исследованиях весьма ограничены.
Завершение работы над этой книгой не стало бы возможным без
поддержки некоторых моих коллег, прежде всего М. Фесту и К. Фрешле.
Я в долгу у главных «ревизоров» книги М. Гуццо, Д. Несворного и Ф.
Томаса за конструктивную критику и у рецензентов А. Джиорджилли, В. Гурза-
дяна, Ж. Анрара и Ж. Ласкара — за оценки и советы. По меньшей мере семь
читателей нашли в себе мужество прочесть каждую строку этой книги!
Также хочу поблагодарить А. Челлино, С. Ферраз-Мелло, Ж. Анрара,
М. Хольмана, 3. Кнежевича, Ж. Ласкара, Е. Лега, А. Леметра, К. Мюррея,
Н. Мюррея и Д. Несворного за предоставленные оригиналы рисунков из их
работ.
Я посвящаю эту книгу памяти моих друзей и коллег Паоло Фаринеллы,
Фабио Мильорини и Мишель Мунс. Жизнь не дала им второго шанса, и мне
недостает их привязанности и их совета.
Ла Турби (Франция), 1 июня 2000 г.

Введение
Тела Солнечной системы и задачи небесной механики
В этом введении мы представляем общий обзор Солнечной системы
для неподготовленного читателя. Наша цель — показать, что практически
с любым телом Солнечной системы связаны какие-либо динамические
задачи, что делает небесную механику важнейшей частью науки о Солнечной
системе. Некоторые из этих задач будут подробно рассмотрены в
последующих главах этой книги.
Первые попытки предсказать движение планет по небосводу восходят
к заре цивилизации. Однако то, что мы сейчас называем небесной
механикой в точном значении этого слова, родилось с открытием закона
всемирного тяготения Ньютоном в 1687 г. С этого момента вычисление точных
эфемерид стало сугубо математической проблемой. В ее исследовании
особенно велики достижения Лагранжа и Лапласа конца XVIII столетия. Решая
задачу повышения точности эфемерид, они сделали первый шаг в развитии
теории вековой эволюции планетных орбит, а второй из них осознал также
важность квазирезонанса между периодами обращения Юпитера и
Сатурна. В те времена любая видимая аномалия в движении планет, казалось,
могла быть объяснена с помощью достаточно точной теории в рамках
ньютонова закона тяготения. Этот успех выковал абсолютную веру Лапласа
в детерминизм, которая затем стала присущей и всей науке XIX столетия.
Поиск все более точных аналитических эфемерид продолжался, и
продолжается до наших дней. Однако два столетия спустя после работ Лапласа —
с открытием нового явления, названного хаосом, разработкой численных
методов для его обнаружения и созданием мощных компьютеров —
было понято, что движение планет является в действительности хаотическим.
С этого момента важнейшей целью небесной механики стало познание
причин такого хаотического поведения и его роли в долговременной эволюции
нашей планетной системы. Возможная связь между хаотическим
изменением планетных орбит и климатической историей планет земной группы
продолжает занимать умы исследователей.

2
Введение
■*т^,и
Рис. 1. Вверху: относительный масштаб орбит девяти планет1 (у орбит Меркурия,
Венеры и Земли названия планет не указаны). Внизу: приблизительный
относительный масштаб диаметров девяти планет. (Из фотогалереи NSSDC2)
Таким образом, планеты дают нам примеры интересного
динамического поведения, но еще интереснее динамика астероидов. Так как их
очень много, для любого возможного динамического феномена, даже
самого необычного, почти всегда найдется демонстрирующий его астероид.
Астероиды — это небольшие тела из скальных пород или льда; самый
большой из них, Церера, имеет диаметр 900 км. Орбиты большинства из них
расположены в главном поясе — области между Марсом и Юпитером — и не
пересекают орбиты планет.
Если мы построим распределения астероидов по большим полуосям,
эксцентриситетам и наклонениям их эллиптических орбит (см. главу 1, где
'По решению XXVI Генеральной ассамблеи Международного астрономического союза
(Прага, 2006 г.) Плутон более не считается планетой в строгом смысле этого термина. Он
отнесен к новому классу объектов — классу планет-карликов. — Прим. ред.
2National Space Science Data Center — Национальный центр космических научных данных
Η АСА. — Прим. ред.

Введение
3
дано точное определение элементов орбит), то станут очевидны некоторые
удивительные закономерности (рис. 2). Прежде всего, при некоторых четко
выделенных значениях большой полуоси, а именно при 2.5, 2.8, 3.3 а. е.
(а. е. — астрономическая единица, равна среднему расстоянию «Солнце-
Земля»), в распределении астероидов имеются явные «бреши». Эти
бреши называются люками Кирквуда по имени астронома, открывшего их
в 1866 году. Положение люков Кирквуда совпадает с положением главных
резонансов средних движений с Юпитером, имеющих место, когда
орбитальные периоды астероида и Юпитера находятся в целочисленном
соотношении. Однако понять, почему астероиды избегают данные резонансы
с Юпитером, не удавалось в течение более чем столетия. По какой-то
причине соответствие между резонансами средних движений и брешами в
распределении астероидов не является универсальным, поскольку резонансу
3/2 с Юпитером при 4 а. е. соответствует скопление астероидов.
Практически полное решение проблемы происхождения люков Кирквуда было
получено лишь недавно.
§ Μ ι | ι
ι ι Ι ι ι ι ι Ι ι ι ι ι I
ι Ι ι
Ι ι ι
оГ-г-
I I I I | I I I I | I I I I | I I
*::ъ\<
ι Ι ι ι ι г* Ι ι
ι Ι ι ι
3 4 5 2 3 4 5
a, a.e. a, a.e.
Рис. 2. Распределение первых 10000 астероидов в пространстве оскулирующих
элементов орбит — большой полуоси а, эксцентриситета е и наклонения г
Однако люки Кирквуда не единственный тип брешей в распределении
астероидов. Например, на левой панели рис. 2 видна другая брешь
криволинейной формы, протянувшаяся приблизительно от а = 2 а. е. и г = 0°
до а = 2.5 а. е. и г = 18°. Эта брешь вызвана резонансом другого типа —
вековым резонансом. Вековой резонанс имеет место, когда некоторая цело-

4
Введение
численная комбинация3 частот прецессии орбиты астероида равна
некоторой целочисленной комбинации частот прецессии орбит планет. Еще один
вековой резонанс, как было недавно обнаружено, отвечает за отсутствие
астероидов в промежутке между двумя четко очерченными группами,
видимыми на рис. 2 при г ~ 20-28°, а ~ 1.9 а. е. и а ~ 2.3 а. е.
На рис. 2 очевидным образом проявляются также несколько
скоплений астероидов. Напрашивается мысль, что тела в этих скоплениях
связаны происхождением — например, образовались в результате разрушения
одного родительского тела. Однако простые небесномеханические расчеты
показывают, что большие полуоси, эксцентриситеты и наклонения
осциллируют со временем из-за возмущений со стороны планет. Поэтому эти
очевидные скопления могут, в принципе, быть лишь видимостью. С другой
стороны, могут существовать и связанные происхождением группы
астероидов, которые не видны на рис. 2 из-за тех же осцилляции. Поэтому
одной из задач современной небесной механики является нахождение
величин, квазиинвариантных во времени, — они называются собственными
элементами, — которые можно использовать для выявления статистически
значимых групп астероидов — так называемых семейств.
Астероиды с большими полуосями орбит вблизи 5.2 а. е. — это так
называемые астероиды-греки и астероиды-троянцы. Они имеют тот же
орбитальный период, что и Юпитер, и находятся приблизительно в 60°
впереди и позади планеты соответственно. Лагранж показал, что в первом
приближении их орбитальная конфигурация устойчива. Однако, если
принять во внимание большие наклонения орбит этих астероидов,
эксцентриситет орбиты Юпитера и влияние других планет, проблема устойчивости
греков и троянцев оказывается далеко не простой. Удивительно, что другие
планеты-гиганты не имеют своих греков и троянцев, что может быть
следствием наличия орбитальных квазирезонансов между этими планетами. Из
планет земной группы лишь у Марса есть два астероида-троянца4.
У некоторых астероидов орбиты таковы, что они испытывают тесные
сближения с планетами земной группы. В зависимости от наблюдаемых
значений эксцентриситета и большой полуоси их называют аполлонцами,
амурцами, атонцами, Марс-кроссерами (астероидами, пересекающими
орбиту Марса); см. рис. 3. Первые три типа объектов входят в популяцию
астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ).
3 Алгебраическая сумма величин с целочисленными коэффициентами. — Прим. ред.
4 К настоящему времени у Юпитера открыто более 2000 греков и троянцев. У Нептуна их
известно 6, у Марса — 4. — Прим. ред.

Введение
5
° аполлонцы * атонцы
* амурцы · Марс-кроссеры
Рис. 3. Орбитальное распределение известных аполлонцев, амурцев, атонцев
и Марс-кроссеров. Сплошными и прерывистыми линиями нанесены границы этих
популяций, а пунктирными прямыми — местоположение некоторых из наиболее
важных резонансов. Как указывают стрелки, астероиды из внутренней и
центральной частей главного пояса могут мигрировать по эксцентриситету, становясь
Марс-кроссерами. АСЗ и Марс-кроссеры своим происхождением обязаны
свойствам резонансной динамики в главном поясе
Численное интегрирование орбит показывает, что типичное время
жизни АСЗ составляет 10 млн лет. АСЗ «погибают» либо из-за падения на
Солнце, либо из-за ухода из Солнечной системы, либо из-за столкновения
с планетой. Динамические механизмы, приводящие к таким исходам, — еще
одна задача современной небесной механики, исследование которой
включает моделирование расположения и силы резонансов, а также влияния
тесных сближений с планетами. Короткое время жизни АСЗ означает, что все
они, безусловно, значительно моложе Солнечной системы, однако их
популяция должна поддерживаться в некотором стационарном состоянии
благодаря притоку астероидов, покидающих главный пояс и начинающих
пересекать орбиты планет. Интуиция подсказывает, что происхождение АСЗ
связано с брешами в распределении астероидов главного пояса.
Столкновения и разрушение астероидов, вкупе со слабыми неконсервативными сила-

6
Введение
ми, непрерывно поставляют новые астероиды в люки, однако воздействие
главных вековых резонансов и резонансов средних движений
немедленно их «вычищает», заставляя тела покидать главный пояс и переходить на
орбиты, подобные орбитам АСЗ. Однако сосредоточение Марс-кроссеров
в области от 2.1 а. е. до 2.5 а. е. указывает на то, что зону главного пояса,
находящуюся в этом интервале больших полуосей, также покидают многие
тела, хотя в ней и нет ничего похожего на люк. Недавно было показано,
что причиной являются многочисленные слабые резонансы,
дестабилизирующий эффект которых проявляется на временных масштабах, достаточно
больших для восстановления астероидной заселенности этой зоны.
За орбитой Нептуна располагается второй пояс малых тел, известный
как пояс Койпера. По данным на 9 июня 2000 года открыто 279 транснеп-
тунных объектов5. «Планета» Плутон также находится в поясе Койпера.
В 1999 г. бурно обсуждалось, следует ли продолжать считать Плутон
планетой, или же его следует понизить в статусе до малого тела Солнечной
системы. Международный астрономический союз принял решение сохранить
исторический статус Плутона6, хотя многие ученые едины во мнении, что
значительно большие, чем у других планет, эксцентриситет и наклонение
орбиты и малые размеры этого тела (диаметр 2340 км, то есть 2/3 диаметра
Луны) заставляют считать его просто самым крупным объектом, открытым
до сих пор в поясе Койпера.
Наше знание орбитального распределения тел в поясе Койпера все еще
весьма ограничено, поскольку, не считая открытия Плутона, первый объект
в нем был открыт только в 1992 году, а для уверенного определения
параметров орбит требуется несколько лет наблюдений. Рис. 4, построенный
для объектов пояса Койпера, наблюдавшихся не менее чем в двух
оппозициях, является аналогом рис. 2.
Хотя полное число объектов (94) на графике невелико, очевидно, что
некоторые особенности их орбитального распределения напоминают
свойства главного пояса астероидов. Скопление тел при 39.5 а. е. — в
котором находится и Плутон — соответствует резонансу 2/3 средних движений
с Нептуном. Кроме того, в области 40-42 а. е. виден «люк»,
обусловленный вековыми резонансами. Где находится внешняя граница пояса
Койпера, неизвестно. Наблюдательные трудности препятствуют открытию его
наиболее далеких от Солнца объектов, поэтому наши знания о поясе
Койпера ограничены его внутренней частью. Одна из важных задач небесной
5Сейчас их открыто уже более тысячи. — Прим. ред.
6См. прим. ред. на с. 2. — Прим. ред.

Введение
7
^
о
со
о
см
о
Г-Н
I 1
-
-
"
I 1
ι ' 1
с
-.
:'.
° ?
1 1 J
I I 1 1 | 1
•
.
°°.
ι** Ί ι Ι ι
III
-
-
~
-
ι ι ι
30
60
40 50 60 30 40 50
а, а. е. а, а. е.
Рис. 4. Орбитальное распределение тел пояса Койпера, наблюдавшихся не менее
чем в двух оппозициях. Построено по данным Центра малых планет на 9 июня
2000 г.
механики состоит в прогнозировании обнаружения новых объектов пояса
Койпера и в предсказании их орбитального распределения на основе
теории.
Тогда как главный пояс астероидов ответственен за поддержание
популяции АСЗ, пояс Койпера считается ответственным за поддержание
популяции так называемых комет семейства Юпитера. Это короткопериоди-
ческие кометы с малыми наклонениями орбит (рис. 5); их динамика
определяется сближениями с Юпитером. В последние годы был проведен ряд
исследований механизмов, заставляющих тела пояса Койпера сближаться
с Нептуном и в дальнейшем перемещаться во внутреннюю часть
Солнечной системы, находясь в которой они наблюдаются и классифицируются
как кометы семейства Юпитера.
Считается, что долгопериодические кометы и так называемые кометы
галлеева типа, поскольку их орбиты распределены по наклонениям
изотропно (рис. 5), происходят не из дисковидного резервуара, подобного
поясу Койпера, а из квазисферического резервуара, называемого облаком Оор-
та. Избыток комет с большими полуосями орбит порядка 10 000 а. е.
указывает на то, что этот резервуар расположен на самых дальних рубежах
Солнечной системы. Полагают, что облако Оорта образовалось из плане-
тезималей, первоначально располагавшихся в области планет-гигантов, но
рассеянных при их сближениях с этими планетами с выходом на сильно
вытянутые орбиты с большими полуосями порядка 10000 а. е. На таких

Введение
долгопериодич.
кометы
кометы
галлеева типа
кометы
. семейства
Юпитера
о
ю
Г-Н
<L>
К
<υ о
X О
О г-н
Λ
Я
о
ю

-ι—ι—ι—|—1—1—1—1—(—1—1—ία
0
•
'
"
D
0 *
■ //- *
Ife* % '
• & ?'
• 1 ■ ■ ' ' Μ
Η
* \
j
!
*|
* ij
*1
*
J
•
■ 1 ■ ■ ■ ■ 1
12 3 4
lg я, а. е.
Рис. 5. Орбитальное распределение и классификация комет. По определению,
долгопериодическими называют кометы, период обращения которых превышает
200 лет. Кометы с меньшими периодами подразделяют на кометы семейства
Юпитера и кометы галлеева типа в соответствии с относительной скоростью пересечения
ими орбиты Юпитера
расстояниях от Солнца гравитационный потенциал нашей Галактики
сильно возмущает центральный потенциал Солнца. Изучение динамической
роли этого Галактического прилива совершенно необходимо для того, чтобы
понять, как образовалось облако Оорта и каким образом кометы
спорадически вбрасываются во внутреннюю Солнечную систему. Модели,
принимающие во внимание Галактический прилив, а также близкие прохождения
звезд и гигантских молекулярных облаков, ставят своей целью определить,
сколько комет должно содержаться в облаке Оорта, чтобы получить
наблюдаемое количество долгопериодических комет. Полученные данные, в свою
очередь, позволяют оценить полную массу исходного планетезимального
диска.
Системы колец Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна представляют
собой удивительные естественные лаборатории для изучения действия как

Введение
9
./ taw'' f/,ψ
Рис. 6. Слева: общий вид колец Сатурна с щелями Кассини и Энке (первая
расположена ближе к планете). Справа: деталь сложной структуры кольца F Сатурна (Из
фотогалереи NSSDC)
межчастичных, так и внешних гравитационных сил в сочетании с
эффектами физических соударений частиц. Величественная система колец Сатурна
(см. левый снимок на рис. 6) имеет два широких люка — щель Кассини
шириной 4500 км между кольцами А и В и щель Энке шириной 325 км
внутри кольца А. Эти люки в распределении частиц колец напоминают
люки Кирквуда в главном поясе астероидов. В самом деле, они тоже
совпадают по положению с резонансами средних движений (с некоторыми из
спутников Сатурна) или же с группами перекрывающихся резонансов.
Например, щель Кассини соответствует резонансу 2/1 с Мимасом, а внешний
край кольца А сформирован резонансом 7/6 с коорбитальными спутниками
Янусом и Эпиметеем.
На снимках колец Сатурна с большим увеличением видно
несколько щелей, еще более узких, чем щели Кассини и Энке. Большинство этих
щелей, как оказалось, соответствуют резонансам со спутниками, причем
иногда резонансные соотношения включают большие целые числа — как,
например, в случае люка Килера на месте резонанса 32/31 с Прометеем.
Некоторые люки не совсем пустые, а содержат узкие колечки, обычно
в несколько километров шириной. В отличие от главных колец все эти
колечки явно некруговые, в связи с чем встает вопрос о динамических
механизмах, ответственных за их необычную форму. Кольцо F Сатурна (см.
правый снимок на рис. 6) также представляет собой сложную структуру,
состоящую из двух узких переплетающихся ярких колец, вдоль которых видны
«узлы». Ученые предполагают, что эти узлы могут быть комками кольцево-

10
Введение
го вещества — миниспутниками. Форма этого кольца, по-видимому,
определяется присутствием так называемых спутников-пастухов, обращающихся
по орбитам вдоль его обеих сторон.
Наконец, системы спутников планет-гигантов можно рассматривать
как миниатюрные солнечные системы, тоже богатые на увлекательные
динамические явления. Резонансы средних движений здесь весьма
распространены, потому что вызываемые планетой приливы приводят к
медленной миграции спутников во внешнем направлении. Поскольку
относительные периоды обращения изменяются при изменении больших полуосей,
при миграции спутники должны проходить через резонансные
конфигурации. В некоторых случаях спутники захватываются в резонанс; при этом
большие полуоси их орбит далее увеличиваются таким образом, что
отношение орбитальных периодов сохраняется постоянным. Особенно
интересен так называемый резонанс Лапласа — тройной резонанс средних
движений галилеевых спутников Ио, Европы и Ганимеда: Ио совершает два
оборота вокруг Юпитера за один оборот Европы, а та, в свою очередь, —
два оборота за один оборот Ганимеда.
Взаимодействие приливных сил и орбитальной динамики объясняет
также, почему эксцентриситеты орбит многих близких к планетам
спутников отличны от нуля, несмотря на быстрое приливное затухание.
Аналогично и для наклонений: например, большое наклонение орбиты спутника
Урана Миранды (4°) объясняется временным захватом в резонанс 1/3 с Ум-
бриэлем, произошедшим в недалеком прошлом.
Приливы также приводят к замедлению скорости вращения
спутников — до тех пор, пока период вращения не станет равным орбитальному
периоду. В этом вращательном состоянии спутник всегда обращен к
планете одной и той же стороной, как Луна к Земле. Однако в некоторых случаях
спутник может попасть в хаотическую область фазового пространства; при
этом вращение спутника становится неустойчивым относительно наклона
оси вращения и он начинает хаотически «кувыркаться». Так произошло,
например, со спутником Сатурна Гиперионом, вращение которого
представляет собой один из первых примеров хаотического движения, обнаруженного
в Солнечной системе.
Внутренний нагрев некоторых спутников обязан сочетанию
синхронного вращения с движением по вытянутой орбите. Наиболее впечатляющим
является пример спутника Юпитера Ио — единственного, помимо Земли,
тела Солнечной системы, проявляющего активный вулканизм. У
некоторых спутников есть следы недавней тектонической активности, а у Европы

Введение
И
0"'
to
1 *„·'*< 4и _ , *^.
Рис. 7. Спутник Юпитера Ио — единственное, помимо Земли, тело Солнечной
системы, проявляющее вулканическую активность. Внутренний нагрев спутника
поддерживается приливными взаимодействиями между Ио, Европой, Ганимедом
и Юпитером. (Из фотогалереи NSSDC)
под твердой поверхностью до сих пор может существовать жидкий водный
океан.

Глава 1
Элементарная небесная и гамильтонова
механика
1.1. Уравнения движения
Согласно теории тяготения Ньютона, уравнения движения
изолированной системы, состоящей из двух сферически-симметричных тел с
массами то и mi, имеют вид
d2u0 <?mi d2ui Ото , λ ( .
dt2 ||ui-u0|r dt2 ||uo — uill
где uq и ui — векторы положений двух тел в инерциальной системе отсчета
(называемые также барицентрическими координатами, если начало
координат находится в барицентре системы), Q — гравитационная постоянная,
||х|| — евклидова норма вектора х.
Обозначая через г = ui — uo относительное положение тел
(заметим, что г*1,Г2,гз называют гелиоцентрическими координатами, если
телом с координатами uo является Солнце), два векторных уравнения (1.1)
можно свести к двум следующим независимым векторным уравнениям:
уравнению
d2r i?(mo + mi)
d'2 ||r||3 '
описывающему относительное движение двух тел, и уравнению
(1.2)
H2s
a?-"· <L3)
которое показывает, что барицентр системы с координатами s = moUo +
+ miui сохраняет инерциальное движение.

14
Глава 1
Уравнение (1.2) можно решить точно, причем решение зависит только
от начальных относительных векторов положения г(0) и скорости ^(0).
Подробное объяснение, как найти это решение, содержится в главе 6 книги
Дэнби (1962). Решение уравнения (1.2) стало первым выдающимся успехом
теории тяготения Ньютона благодаря его идеальному согласию — в случае
ограниченного движения — с тремя законами, эмпирически выведенными
Кеплером из наблюдений планеты Марс.
• I закон. Планеты движутся относительно Солнца по эллиптическим
орбитам; при этом Солнце находится в одном из двух фокусов эллипса.
• II закон. Скорость движения по эллиптической орбите такова, что
вектор положения планеты относительно Солнца заметает на плоскости
орбиты равные площади за равные промежутки времени.
• III закон. Квадрат орбитального периода Τ прямо пропорционален
кубу большой полуоси а эллиптической орбиты.
Таким образом, астрономам удобно характеризовать относительное
движение двух тел с помощью величин, описывающих геометрические
свойства орбитального эллипса и мгновенное положение на этом эллипсе.
Эти величины обычно называют элементами орбиты. Следует помнить,
что эллипс описывает движение одного тела относительно другого; обычно
эти тела называют соответственно вторым и центральным. Выбор
центрального тела произволен: движение гао вокруг га ι описывается тем же
эллипсом, что и движение га ι вокруг гао. Если, используя решение
уравнения (1.3), вернуться к инерциальной системе координат, то легко видеть,
что тела описывают подобные друг другу эллиптические траектории
вокруг их общего барицентра, причем отношение размеров этих двух
эллипсов обратно пропорционально отношению масс. Поэтому если отношение
масс близко к нулю (как в случае малого тела и звезды), то орбита звезды
стягивается к положению барицентра, а орбита малого тела относительно
звезды становится идентичной его орбите в инерциальной системе
координат. По этой причине в качестве центрального разумно выбирать из двух
тел то, у которого больше масса; хотя с математической точки зрения этот
выбор и произволен.
1.2. Элементы орбит
Прежде всего определим величины, характеризующие эллиптическую
форму орбиты вокруг центрального тела и положение второго тела на этом

1.2. Элементы орбит
15
эллипсе. Затем введем величины, задающие ориентацию эллипса в
пространстве.
апоцентр
перицентр
Рис. 1.1. Кеплерово движение. Определение а, е и Ε
Форму эллипса можно полностью определить, задав две величины:
большую полуось а и малую полуось 6, или же, что удобнее, большую
полуось а и эксцентриситет е (рис. 1.1). Название эксцентриситет
происходит из того, что е равно отношению расстояния «фокус-центр эллипса»
и большой полуоси эллипса. Таким образом, эксцентриситет служит мерой
отличия орбиты от круговой: е = 0 означает, что орбита круговая, а е =
= 1 — что орбитой является отрезок прямой длиной 2а, в одном из концов
которого находится центральное тело. Среди всех возможных
«эллиптических» орбит только последняя является столкновительной, если пренебречь
физическими размерами тел. Большая полуось а = оо и эксцентриситет
е = 1 соответствуют параболическому движению, аа<0ие> 1, по
соглашению, — гиперболическому. В нашей книге мы редко будем иметь дело
с этими типами неограниченного движения, поэтому сосредоточимся на
эллиптическом случае. Ближайшая к центральному телу точка эллиптической
орбиты называется перицентром (или перигелием, если центральное тело —
Солнце, или же перигеем, если центральное тело — Земля); расстояние q от

16
Глава 1
нее до центрального тела равно а(1 — е). Наиболее удаленная точка
называется апоцентром (соответственно афелием или апогеем); расстояние Q от
нее до центрального тела равно а(1 Н- е).
Для определения положения тела на эллиптической орбите удобно
использовать декартову систему координат q\, q<i с началом в фокусе эллипса,
занятом центральным телом, и с осью qi, направленной к перицентру
орбиты. Можно использовать также и полярные координаты г, /. Угол / обычно
называют истинной аномалией тела. Элементарные геометрические
соотношения (см. рис. 1.1) дают
qi = a(cosE — е), q2 = а у 1 — e2smE (1.4)
и
/1 ел / cosE-e . у/1 - е2sinE
r = a{l-ecosE), cos/ = - -, sin/ = — —, (1.5)
1-е cos Ε 1-е cos Ε
где Е — угол (с вершиной в центре эллипса) между направлением на
перицентр и направлением на точку проекции положения тела на окружность
радиуса а, касательную к эллипсу в перицентре и апоцентре, как показано
на рис. 1.1. Этот угол называется эксцентрической аномалией. Положение
тела на орбите полностью задается значениями а, е и Е.
Из уравнений движения можно получить (Дэнби, 1962) закон
изменения Ε со временем, обычно именуемый уравнением Кеплера:
E-esmE = n(t-t0), (1.6)
где
η = \/д(т0 + ггы)а-3/2 (1.7)
суть орбитальная частота или среднее движение тела (в согласии с третьим
законом Кеплера), t — время, ίο — время прохождения перицентра.
Астрономы обычно вводят еще один угол
M = n(t-t0), (1.8)
называемый средней аномалией. Он изменяется со временем линейно и
также определяет положение тела на орбите (посредством уравнений (1.6)
и (1.5)).
Чтобы задать ориентацию эллипса в пространстве в произвольной
ортогональной системе координат (x,y,z) с началом в центральном теле,

1.2. Элементы орбит
17
перицен?
Рис. 1.2. Кеплерово движение: определение г, Ω и ω
необходимо задать еще три угла (см. рис. 1.2). Первый из них суть
наклонение г плоскости орбиты (то есть плоскости, в которой лежит эллипс)
относительно координатной плоскости (х,у). Если наклонение орбиты
отлично от нуля, она пересекает плоскость (ж, у) в двух точках, называемых
узлами орбиты. Астрономы различают восходящий узел, где тело переходит
от отрицательных к положительным ζ, и нисходящий узел, где тело
переходит от положительных к отрицательным ζ. Ориентация плоскости орбиты
в пространстве в итоге полностью определена, если задано угловое
положение восходящего узла относительно оси х. Этот угол принято называть
долготой восходящего узла, а обозначают его Ω. Наконец, последний угол,
который необходимо задать, характеризует ориентацию эллипса в его
плоскости. Аргумент перицентра ω (называемый также аргументом перигелия,
если центральное тело — Солнце) определяется в плоскости орбиты как
угловое положение перицентра, отсчитываемое от направления «центральное
тело-восходящий узел».
Орбитальные элементы α, ε,ζ,ω,Ω и Μ полностью определяют
положение и скорость второго тела относительно центрального. Имеется
взаимно-однозначное соответствие между x,y,z,dx/dt,dy/dt,dz/dt
(компонентами г и dr/dt) и элементами орбиты. Оно дается соотношениями
dr _ dq
i~dt
где векторы q и dq/di покомпонентно имеют вид
г - #x,q, dt - Rxq dt ,
(1.9)
[<7ъ92,0] = [a(cosE — e),a\/l — e2 sin £",()],
(1.10)

18
Глава 1
dt ' dt '
na sin Ε1 ηα\/l — e2 cos E1
1-е cos Ε' 1-е cos E1
(1.11)
а матрица вращения Rxq суть
(cos Ω cos ω — sin Ω cos г sin a; — cos Ω sin ω — sin Ω cos г cosuj sin Ω sin г \
sin Ω cos ω 4- cos Ω cos г sin a; — sin Ω sin ω + cos Ω cos г cos ω — cos Ω sin г .
sin г sin ω sin г cos a; cos г J
(1.12)
Заметим, что в случае, если наклонение равно нулю, при заданном
нами определении орбитальных элементов элементы а; и Ω не определены,
поскольку тогда не определено положение восходящего узла. Более того,
элемент ω не определен и в случае нулевого эксцентриситета, поскольку
не определено положение перицентра. Поэтому удобно ввести долготу
перигелия π = ω + Ω η среднюю долготу λ = Μ -f ω + Ω. Первый из этих
углов хорошо определен при г = 0, а второй — при г = 0 и/или е = 0. К
тому же очевидно, что набор элементов а, е, г, π, Ω, λ однозначно определяет
положение и скорость тела. Заметим, что если положить г = 0, то
элементы матрицы (1.12) естественным образом будут зависеть только отш, а не
от Ω и ω по отдельности; и аналогично, если положить е = 0, то
соотношения (1.9) будут зависеть только от λ — Ω, а не от ω и Ε по отдельности.
Наконец, используя (1.9), можно убедиться в том, что уравнение (1.2)
сохраняет «энергию»
-л
dr
di
G{m0 + mi) _ G{m0 + mi)
llrll ~ 2a
(1.13)
и «угловой момент» г х dr/di, модуль которого и проекция на ось ζ равны,
соответственно,
G= y/Gimo + m^ail-e2), (1.14)
H = Gcosi. (1.15)
Эти соотношения будут играть важную роль в разделе 1.9.1.
1.3. Возмущения задачи двух тел
Уравнения движения изолированной системы, состоящей из Солнца
массой то и 7V планет массами mi, Ш2,..., тдг, в барицентрической инер-

1.3. Возмущения задачи двух тел
19
циальной системе отсчета имеют вид
d2u,·
dt2
Зфг
ϊΈ™ίη Ί,3 > (1-16)
и» - и
где г и j принимают значения от 0 до N. Задав гелиоцентрические
положения планет г^ = и^ — ио, эти уравнения можно переписать как
d*2 ||г,||3 .=f^ '{WTj-Tif \\vj\\3), (1.17)
причем движение Солнца дается формулой uq = — Σί=ι πιίγι/ X^=om*·
Уравнения (1.17) определяют задачу, называемую обычно задачей N + 1
тел.
Аналогично, гелиоцентрическое уравнение движения тела
пренебрежимо малой массы в поле тяготения Солнца и N планет, движущихся по
заданным орбитам, имеет вид
dt2
(1.18)
где г — вектор положения малого тела относительно Солнца, а г^ —
гелиоцентрические векторы положения планет массами rrij. Уравнение (1.18)
определяет задачу, называемую обычно ограниченной задачей (либо
ограниченной задачей трех тел, если планета только одна).
Если массы планет малы по сравнению с массой Солнца и ни одно
из их взаимных расстояний Vj — г^ не становится при движении малым,
то уравнения (1.17) и (1.18) очевидно близки к уравнению задачи двух
тел (1.2), причем член, зависящий от масс планет rrij, играет роль малого
возмущения по отношению к двухтельному взаимодействию с Солнцем.
Поэтому движение, описываемое уравнениями (1.17) и (1.18), будет близким
к кеплеровому. Если выразить уравнения (1.17) и (1.18) через элементы
орбит при помощи соотношений (1.9), то уравнения для α, ε,ζ,ω,Ω
запишутся как da/at = O(mj/mo), где а обозначает любой из этих
элементов, а О(ш^/шо) — функция того же порядка малости, что и масса планет
в единицах массы Солнца; уравнение для Μ примет вид dM/dt = η +
+ O(rrij/mo)9 гДе η — невозмущенное среднее движение в задаче двух тел.

20
Глава 1
Эти уравнения для орбитальных элементов обычно называют
уравнениями Лагранжа; согласно им элементы а, е,г,а;, Ω изменяются со временем
медленно, a M медленно отклоняется от своего линейного
невозмущенного хода. Поэтому движение планет и малых тел Солнечной системы удобно
характеризовать, как и в задаче двух тел, через элементы их орбит, имея
в виду, что эти элементы, как правило, очень мало изменяются за время
порядка времени человеческой жизни (именно в этом состоит причина
того, что Кеплер открыл законы задачи двух тел, хотя он наблюдал движение
реальных планет)1. Тем не менее забывать о том, что элементы орбит в
реальности изменяются со временем, не следует. Строго говоря, они задают
лишь мгновенную орбиту, по которой двигалось бы тело, если бы
внезапно исчезли все возмущения. Формулируя на языке математики, элементы
орбиты в момент t задают кеплерово движение, касательное к истинному
движению тела в момент t. По этой причине их называют также оскулиру-
ющими элементами2.
С уравнениями Лагранжа трудно оперировать на практике, поэтому
нам потребуется переписать их в несколько ином — гамильтоновом — виде,
прежде чем мы сможем приступить к детальному изучению движения.
1.4. Гамильтоновы системы и задача двух тел
Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида
§=F(r) (1.19)
имеет по определению гамилыпонов вид, если г имеет размерность 2п и
существует функция Η(νι,..., г>п, х\,. · ·, хп), такая, что уравнения (1.19)
можно записать в форме
ащ=_дН ах^ = дП
at dxi' at dvi'
где χι,...,хп и г>1,..., υη — 2п компонент вектора г, г = 1,...,п.
Функция Η называется гамильтонианом системы, а переменные χι,... ,яп
1 Кеплер опирался на данные наблюдений Тихо Браге; сам он наблюдений не проводил и не
мог проводить (см., например, Берри А. Краткая история астрономии. — М.-Л.: ОГИЗ ГИТТЛ,
1946). -Прим. ред.
2Это свойство нарушается в случае вводимых далее в разделе 1.9.2 формальных оскулиру-
ющих элементов, которые определяют эллипс, трансверсально пересекающий реальную
траекторию. — Прим. авт.

1.4. Гамильтоновы системы и задача двух тел
21
и v\,.. ·, vn — координатами и импульсами соответственно. Для
простоты изложения мы далее будем использовать векторный формализм,
обозначая η-компонентные векторы χ ι,..., χη и ν\,..., νη через χ и ν .
Производную по времени от произвольной переменной α будем обозначать через ά.
Переменные ν и χ называются сопряженными переменными, а
пространство (χ, ν) — фазовым пространством системы. Размерность η векторов χ
и ν называется числом степеней свободы.
Широкий класс обыкновенных дифференциальных уравнений — к нему
принадлежит и большинство уравнений небесной механики — может быть
записан в гамильтоновом виде. В самом деле, легко проверить, что
уравнения второго порядка вида
^ = -gradrC/(r) (1.21)
можно переписать в виде (1.20), положив χ ι = г*, щ = г ι и Η = l/2||v|| -f
-f U{χ). Β частности, уравнения задачи двух тел (1.2) записываются в
гамильтоновом виде с гамильтонианом
н = v\ + v\ + v\ _ SQnp + mi) (1 22)
2 yjx\ + x\ + x\
где χι,..., жз — обычные декартовы координаты с началом в центральном
теле, а щ = χ г — скорости.
Вообще говоря, любая система, сохраняющая некоторую величину
(«энергию»), которую в переменных гиг можно записать как сумму
«кинетической энергии» Т(г, г) и «потенциальной энергии» С/(г), допускает
запись в гамильтоновом виде3. Представив Τ как Г = Г2 + Ti -f Г0, где Г2, Т\
и То — члены 2-го, 1-го и 0-го порядка по г соответственно, мы можем
записать уравнения движения в форме (1.20), причем
дТ
Хг=П, Ч = —, H = T2-T0 + U (1.23)
(вывод см. в книге Уиттекера, 1937, раздел 7).
Описанный рецепт очень полезен для нахождения гамильтониана
системы в таких координатах, в которых уравнения не записываются
непосредственно в виде (1.21), — например, при использовании сферических
координат или вращающейся системы отсчета.
Сохраняющаяся величина не обязана быть равной реальной энергии системы. Например,
в рассматриваемых ниже первых двух случаях мы имеем дело с «энергией», равной реальной
энергии, деленной на массу πΐχ. — Прим. авт.

22
Глава 1
В качестве первого примера рассмотрим задачу двух тел (1.2), записав
уравнения в обычных сферических координатах ρ,ΰ,φ. Используя
формулы связи сферических координат с декартовыми г = (x,y,z), а именно
χ — ρ sin ϋ cos φ, у = ρ sin ΰ sin φ, ζ = ρ cos ϋ, мы можем записать
«потенциальную энергию» как U(q) = —Q(mo + πΐ\)/ρ, а «кинетическую
энергию» — как Г = 1/2[£2 + ρ2ϋ2-f ρ2 sin2 ϋψ2]. Отсюда находим гамильтониан
задачи двух тел в сферических координатах:
ρ2 sin2 ϋ
где τ,ΰ,φ — координаты, ρρ = ρ, р$ = £2,#, Ρφ = ρ2 sin2 $<£> — импульсы.
В качестве второго примера рассмотрим задачу двух тел в
декартовой системе координат, вращающейся с угловой скоростью ω вокруг оси ζ.
Обозначая через X, У, Ζ декартовы координаты в инерциальной системе,
а через ж, у, ζ — декартовы координаты во вращающейся системе и
используя соотношения X = xcosut — у smut, Υ = χ smut -f ycosut, Ζ = ζ,
легко видеть, что «кинетическая энергия» Τ = \/2[Х2 + Ϋ2 + Ζ2]
записывается как Г = l/2[x2-f у2 + ζ2 + ω2(χ2-{-у2) — 2ш(ху — ху)]. Затем, следуя
приведенному выше рецепту и задавая импульсы рх = χ — иоу, ру = у + ωχ,
pz = i, находим гамильтониан задачи двух тел во вращающейся системе
в виде
П = 1(ρΙ+Ρ1+ρΙ)+ω(ρχυ - хру) - f™°+2mi)2. (1.25)
* yJX1 +y2 + Ζ2
Наконец, используя этот же рецепт, покажем, что задача двух тел в
случае га χ Φ О допускает также гамильтониан
_ ||v||2 g(m0 + mi)/zi ( ,
п = ^ й— {1М)
в декартовых координатах г и сопряженных им импульсах ν = μι г. Здесь
μι = τηοτπι/(πΐο + га χ) — приведенная масса второго тела. Действительно,
умножая правые и левые части уравнений (1.2) на μι, находим выражения
для кинетической и потенциальной энергий системы в виде
Τ=\μΐΜ2, U = -6^l^\ (1.27)
откуда, определяя импульсы ν = дТ/дт и Η = Τ + С/, получаем (1.26).

1.5. Возмущения в гамильтоновом виде
23
Разумеется, гамильтонианы (1.22), (1.24), (1.25) и (1.26) полностью
эквивалентны в том смысле, что все они приводят к одним и тем же
уравнениям движения, хотя и в разных переменных. Наши примеры
подчеркивают, что у любой системы гамильтониан не уникален: его вид зависит от
выбора определения координат и импульсов. Выбор того или иного
гамильтониана является лишь вопросом удобства.
1.5. Возмущения в гамильтоновом виде
Уравнения ограниченной задачи (1.18) тоже легко записываются в
гамильтоновом виде. Достаточно обратить внимание, что правая часть (1.18)
имеет вид —gradrC/(r), причем
tf(r) = _^£_gVTOV I -LIl), (1.28)
||г|| ^ ^||Δ,|| \\Sjf)>
где Sj — гелиоцентрический вектор положения j-ой планеты, Δ^ = г —
— Sj, а г · Sj обозначает скалярное произведение г и Sj. Следовательно,
гамильтониан ограниченной задачи суть
||v||2 Ото г^т ( 1 г - вЛ
где Γχ, г2, гз — декартовы координаты, υχ, г>2, Уз — импульсы, причем ν = г.
Заметим, что гамильтониан (1.29) имеет вид Но + Hi, где Но =
= ||v|| /2 — £гао/||г|| идентичен гамильтониану (1.22) задачи двух тел при
mi = 0, a Hi играет роль возмущения, величина которого относительно Но
пропорциональна отношению масс планет к массе Солнца. Далее, в (1.29)
предполагается, что планеты движутся по заданным орбитам, то есть
векторы Sj — заданные функции времени. Гамильтониан (1.29), следовательно,
имеет вид 7i(v, r, t) и служит примером зависящего от времени, или
неавтономного, гамильтониана в отличие от гамильтониана задачи двух тел, не
зависящего от времени.
Неавтономные гамильтонианы всегда можно привести к автономному
виду, увеличив размерность фазового пространства. Это делается
следующим образом. Введем новую координату т, сопряженный ей импульс Τ
и новый гамильтониан
Η' = Τ + Η{ν,τ,τ).
(1.30)

24
Глава 1
Легко проверить, что уравнение для г суть f = дН'/дТ = 1, что дает
решение r(t) = t\ поэтому уравнения движения для ν и г, порождаемые
гамильтонианом Н\ идентичны уравнениям, порождаемым гамильтонианом Н.
Посредством этого приема новый гамильтониан оказывается формально не
зависящим от времени, поэтому к нему применимы известные результаты,
справедливые для автономных гамильтоновых систем. На практике, когда
зависимость от времени имеет сложный вид и включает несколько
независимых частот — как в случае, когда имеется несколько планет, каждая со
своей частотой обращения, — удобно еще более расширить фазовое
пространство, вводя координату Tj и сопряженный ей импульс Tj для каждой
независимой частоты ν2· зависящего от времени возмущения. Гамильтониан
7i(v, r, t) записывается тогда в виде
W' = £^+W(v,r,Ti,...,T,^ (1-31)
з
Опять же легко проверить, что уравнения движения для ν и г остаются
неизменными; преимущество выражения (1.31), по сравнению с (1.30),
состоит в том, что координаты т3- суть «углы»: гамильтониан периодичен по
всем Tj. Например, в ограниченной задаче углами т2- будут средние
аномалии планет. Это обеспечивает возможность разложения гамильтониана
в ряд Фурье по т3- и применения пертурбационных алгоритмов, как будет
показано далее в главе 2.
Рассмотрим теперь гамильтониан планетной системы. Уравнения (1.17)
нельзя записать в виде (1.21), поэтому следует обратиться к
уравнениям (1.16) в инерциальной системе отсчета. Если умножить обе части (1.16)
на mi, то легко видеть, что правая часть может быть записана в виде
—gradrC/(ro,..., гдг), то есть «энергией» системы будет
.7=0 j=l г=0 " г 3 "
Поэтому, как показано в предыдущем разделе, Η будет и гамильтонианом
системы, если ввести импульсы u^ = dT/diii = тп^щ. На первый взгляд
заманчиво преобразовать (1.32), задавая г^ = и^ — uq и ν* = й* — йо,
чтобы перейти к гелиоцентрической системе координат. Однако не всякое
преобразование координат и импульсов сохраняет гамильтонов вид
уравнений движения (как оказывается и в данном случае). Это подводит нас
к понятию канонических преобразований.

1.6. Канонические преобразования
25
1.6. Канонические преобразования
Зависящее от времени преобразование координат и импульсов в
фазовом пространстве называется каноническим, если оно сохраняет гамильто-
нов вид уравнений движения для любого гамильтониана. В строгой
формулировке преобразование (ν,χ) —> (ν7, χ') является каноническим, если для
VH и заданного по определению
W'(v',x') = «(ν(ν',χ'),χ(ν',χ')) (1.33)
уравнениями движения для ν' и х' будут
Класс канонических преобразований является весьма ограниченным среди
всех возможных преобразований в фазовом пространстве. Тем не менее мы
вынуждены ограничиться только каноническими преобразованиями, если
не хотим потерять гамильтонов вид уравнений, весьма удобный для
анализа движения. Поэтому важно иметь критерии каноничности заданного
преобразования. Не пытаясь привести исчерпывающий список, мы
обсудим здесь три критерия, которые будут использованы далее в этой книге.
Наиболее полезным является критерий скобок Пуассона. Если заданы
сопряженные координаты и импульсы χ и ν и функции /(ν,χ) и g(v,x),
то скобка Пуассона / и д определяется как
{f,9} = gradx/.gradv5-gradv/.gradx5 = £ ^-^ - ^-£ (1.35)
г=1
где η — число степеней свободы. Можно доказать (см.: Уиттекер, 1937,
раздел 32, или Гантмахер, 2001, раздел 131), что преобразование (ν,χ) —►
—» (ν', χ') является каноническим тогда и только тогда, если, рассматривая
компоненты υ[,..., ν'η вектора ν' и компоненты х[,..., х'п вектора х' как
функции от ν и х, имеем
{vbvfi = 0, {x'^xfi = 0, {x'^vfi = 5^-, (1.36)
где Si j равно 1, если г = j, и 0 — в противном случае.
Этот критерий весьма практичен и полезен для проверки
каноничности преобразований, и мы часто будем использовать его далее в этой книге.

26
Глава 1
В качестве первого примера вернемся к гамильтониану (1.32), чтобы
показать, как гелиоцентрические координаты можно задать канонически. Если
определить в качестве новых координат гелиоцентрические радиус-векторы
планет rj=Uj — \io(j = l,..., Ν), а также го = uq, to задача будет
состоять в том, чтобы найти новые импульсы Vj такие, что преобразование
(uj,Uj) —► (ν^,Γ^) было бы каноническим. Применяя критерий (1.36),
находим, что подходящим преобразованием будет vo = йо + ύχ + · · · + йдг
и νj; = uj (j = 1,..., Ν). Выбрав таким образом новые канонические
координаты и импульсы, легко проверить подстановкой их в (1.32), что новый
гамильтониан примет вид
,,2 N
V0
Н =
llvol
2mo
-Σ
1
3 = 1
N j-l
ΰΥ.Υ.
з
m0
ГПгГПп
titii^i
Ν
Ν
-«Σ
3 = 1
J_ J_
rrij то
N j-l
+ΣΣν
3=1 г=1
т0
morrij
(1.37)
где Aij = η — Yj. Поскольку он не зависит от г0, уравнения движения
дают vo = 0, то есть барицентр системы движется равномерно и
прямолинейно. Без потери общности тогда можно положить vo = 0 и опустить
в гамильтониане члены, содержащие vo. Тогда гелиоцентрический
гамильтониан планетной системы запишется как
Η
(mo + rrij) тощ
2momj
N j-l
+ΣΣ
Γ V ίν''Vj c mimj }
(1.38)
Заметим, что гамильтониан Η можно представить в виде суммы
гамильтонианов
щ =
Q(m0 + mj)μj
(1.39)
2/Ъ· \\tjW
задач двух тел вида (1.26) с приведенными массами μ$ = morrij /(mo+rrij),
возмущаемой членами, величина которых по отношению к гамильтонианам
задач двух тел пропорциональна массам планет в единицах массы Солнца.
Путем перегруппировки кинетических членов гамильтониан (1.38)
можно привести к виду
|2
N
*=Σ
3 = 1
уГПоЩ
2т i
+
1
2гпо
N
Σ
3 = 1
N j-l
■*ΣΣ
3=1 г=1
πι^πίλ
(1.40)

1.6. Канонические преобразования
27
Такая запись гамильтониана (называемая иногда демократической
гелиоцентрической) представляет особый интерес для разработки алгоритмов
симплектического интегрирования (Коселефф, 1993, 1996; Тума и Уиздом,
19946; Дункан и др., 1998; Чамберс, 1999).
После этого небольшого отступления вернемся к обсуждению
критериев, позволяющих отличить канонические преобразования от всех других
возможных преобразований фазового пространства.
Второй критерий, не слишком удобный в практических выкладках, но
используемый далее в теореме Арнольда-Лиувилля (см. раздел 1.9),
формулируется так: преобразование (ν,χ) —► (ν', χ') является каноническим,
если существует функция S(v', χ) (называемая производящей функцией)
такая, что
dS dS
vj = ^-(v»> x'j = ^/(γ/'χ)' l ^i^ n (Ы1)
(см. Уиттекер, 1937, глава 4). Заметим, что не все канонические
преобразования можно записать в виде (1.41).
Третий критерий лежит в основе подхода Ли к теории возмущений
(что будет проиллюстрировано далее в главе 2). Он формулируется так:
преобразование (ν,χ) —► (ν',χ') является каноническим, если существуют
гамильтониан χ(ν',χ') (называемый производящим гамильтонианом) и
параметр ε такие, что
ν = ν' + / ir'dt = ν'(ε), χ = χ' + / x'd* ξ χ'(ε), (1.42)
Jo Jo
где ν' и χ' даются гамильтоновыми уравнениями ν' = —Οχ/Οχ' и χ7 =
— d\/dvf (см. доказательство в книге Гантмахера, 2001, разделы 133-134).
Иными словами, преобразование фазового пространства является
каноническим, если его можно интерпретировать как результат гамильтонова
потока в некоторый момент «времени» ε. Например, поворот на угол ϋ по
одной из степеней свободы в фазовом пространстве, конкретно χ = xf cos ϋ -f
+ i/sin^, v = — x'sintf + i/costf, является каноническим, поскольку его
можно интерпретировать как поток в момент t = ΰ, порожденный
гамильтонианом χ(ν',χ') = 1/2(г/2 -\-х'2) гармонического осциллятора. Не всякое
каноническое преобразование можно записать как результат гамильтонова
потока; контрпримером служит каноническое преобразование декартовых
координат в полярные (х = y/2pcosq,y = y/2psinq).

28
Глава 1
1.7. Свойства гамильтонова потока
Под гамилыпоновым потоком мы подразумеваем эволюцию во
времени координат и импульсов, описываемую гамильтоновыми уравнениями.
Гамильтонов поток имеет ряд важных свойств, полезных в дальнейшем.
А) Сохранение объема {теорема Лиувилля). Как известно, для системы
уравнений вида (1.19) объем 6V бесконечно малого множества начальных
условий изменяется со временем согласно уравнению
Т77 —г- = > тг-1 = divF, (1.43)
SV dt f-f dri ' v }
где m — число компонент векторов г и F. В случае гамильтоновой
системы (1.20), где m = 2n,r = (vu ... ,υη,χι,... ,жп) и
aw _aw aw aw\
<9a;i''''' (9χη' dvi''''' cfen / '
легко проверить, что divF = 0. Таким образом, гамильтонов поток
сохраняет объем. Это очень важное свойство, означающее, что мера
эволюционирующего облака начальных условий никогда не может уменьшаться или
увеличиваться. В частности, оно также означает, что гамильтоновы
системы не могут иметь аттракторов — многообразий размерности меньшей,
чем число степеней свободы системы, к которым может стягиваться поток.
Данное свойство будет играть важную роль в обсуждениях в главе 4.
Б) Сохранение Н. Скорость изменения Ή, со временем можно записать,
дифференцируя 7ΐ(ν, χ, t), как
άΗ дН
— = gradxW · χ + gradvW · ν + —. (1.45)
ас στ
Используя гамильтоновы уравнения (1.20) для ν и х, получим
Другими словами, гамильтонианы, не зависящие явно от времени (то есть
автономные гамильтонианы), не изменяют своего значения на
порождаемом ими потоке, то есть они являются константами движения. Для
систем (1.23) таких, что Т\ — Т0 = 0, Η является полной энергией системы,

1.7. Свойства гамильтонова потока
29
поэтому сохранение значения гамильтониана есть не что иное, как
сохранение энергии. Однако это неверно в общем случае, когда ΤΊ или То отлично
от нуля.
В) Временная эволюция функции на гамилыпоновом потоке. Пусть /(ν, χ) —
функция, определенная на фазовом пространстве, а ν и χ изменяются
согласно гамильтоновым уравнениям (1.20). Дифференцируя, имеем
^ = gradx/ · χ + gradv/ · ν = {/, Η}. (1.47)
Величина f(t) = /(ν(ί),χ(ί)) называется эволюцией f вдоль потока Н.
Выражение (1.47) позволяет записать f(t) как функцию от t, v(0) и х(0)
следующим образом. Если t достаточно мало, f(t) можно разложить в ряд
Тейлора:
/(*) = /(0) + Σ|^(0), (1.48)
г=1
где /(0) = /(ν(Ο),χ(Ο)) и dV/di^O) = di//dii(v(0),x(0)). Используя
соотношения
f = {/,«}, S = {^.«} = «/.«}.«}. (!·«)
и обозначая
в итоге имеем
/(0 = /(ο) + Σπ^/(°)· ί1-51)
г = 1 г*
Это разложение обычно называют рядом Ли функции / вдоль потока Н.
В дальнейшем мы обозначаем его как 5^/. Как и ожидалось, оно
позволяет записать /(ν(ί),χ(ί)) в виде функции от ν(0),χ(0), причем время t
играет роль параметра. Это разложение будет представлять для нас особый
интерес в главе 2, где будет развит подход к анализу гамильтоновых систем
на основе теории возмущений.
Наконец, используя (1.51), мы можем переписать каноническое
преобразование (1.42) в виде
ν = S£v', χ = S£x', (1.52)
где векторная запись α = S^oc' означает αχ = S^a[,...,αη = S^,a'n.

30
Глава 1
1.8. Интегрируемые гамильтонианы
Решение системы дифференциальных уравнений
с!/*-
—^=Fi(r), где г = 1,...,п и г = (гь... ,гп), (1.53)
можно записать в неявном виде как систему интегральных уравнений
/ jh= dL (1·54)
7r(o) ^UrJ Vo
Систему (1.53) называют поэтому интегрируемой, если интегралы в
левой части (1.54) могут быть вычислены явно и полученные соотношения
F((r(t)) - F/(r(0)) = £, где F[ — первообразные от l/Fi, могут быть
обращены, давая в результате r(t) как явную функцию от t (см.: Арнольд и др.,
2002, глава 4).
Например, дифференциальное уравнение dx/at = χ является инте-
PX(t) Л
грируемым, поскольку интегральное уравнение / άχ/χ = at дает
Jx(0) JO
\nx(t) — lna;(0) = t, откуда x(t) = x(0) exp(i).
Такое определение интегрируемости очень сложно использовать на
практике для выяснения, является ли данная система дифференциальных
уравнений интегрируемой или нет. Если интегралы не найдены, нельзя
сказать, вызвано ли это подлинной неинтегрируемостью системы или же
просто недостаточным мастерством при поиске первообразных F/.
В случае гамильтоновых систем отчасти помогает теорема Лиувил-
ля, утверждающая, что гамильтониан с η степенями свободы интегрируем,
если он допускает η независимых констант движения Φχ,...,Φη таких,
что {Фг,Ф^} = 0 при г φ j. Хотя константы движения найти легче, чем
непосредственно решить гамильтоновы уравнения, не существует общего
рецепта поиска всех констант движения. В частности, если найдено
только т констант движения (т < п), то непросто выяснить, надо ли искать
остальные константы или их просто нет. Например, небесные механики
несколько лет искали третью константу движения для гамильтониана с
тремя степенями свободы, описывающего движение звезды в кубическом
потенциале галактики, пока Хенон и Хейлес (1964) не показали численно,
что третьей константы не существует. И наоборот, долгое время полагали,
что гамильтониан цепочки Тоды неинтегрируем, пока М. Хенон (1974) не
обнаружил последнюю недостающую константу!

1.9. Переменные «действие-угол»
31
К счастью, сейчас ситуация не столь безнадежна, какой она была до
работы Пуанкаре (1892). Существует критерий неинтегрируемости —
наличие хаоса, обсуждаемое в главе 4, — который можно использовать как
аналитически, так и численно. В этой книге нам часто придется вводить
интегрируемые приближения для реальной динамики. Соответствующие
интегрируемые гамильтонианы будут всего трех типов.
1. Зависящие только от импульсов системы, то есть 7ΐ(ι>ι,..., υη). В этом
случае решение тривиально: импульсы щ являются константами
движения, поскольку dH/dxi = О, а координаты χι изменяются линейно
со временем с постоянными скоростями с^ = dH/dvi, 1 ^ г ^ п.
2. Имеющие только одну степень свободы, то есть H(v,x). В этом
случае гамильтонова система интегрируема, поскольку она обладает
одной константой движения, которой является сам гамильтониан.
Движение происходит вдоль линий уровня Η на двумерном фазовом
пространстве (ν,χ).
3. Зависящие только от одной координаты, то есть 7ί(ν\,...,vn,Xk).
В этом случае система интегрируема, поскольку она обладает η
независимыми константами движения г>1,..., Vk-i, г^+ь · · · ,νη κ Η. При
движении сохраняются постоянными значения г>х,... ,г^_ь
г>й+1,... ,υη, и оно происходит вдоль линий уровня Η на
плоскости (vk,xk).
1.9. Переменные «действие-угол»
Важнейшее значение для интегрируемых гамильтоновых систем
имеет теорема Арнольд а-Лиувилля — обобщение теоремы Лиувилля (см.
раздел 1.8), полученное Арнольдом (1963а). Арнольд доказал, что при
выполнении условий теоремы Лиувилля и в случае, если n-мерная
поверхность, определенная неявно постоянными движения Φι,...,Φη,
является компактной, оказывается возможным ввести канонические импульсы ρ
и координаты q такие, что
1) координаты </ι,..., qn являются углами, циклически определенными на
промежутке [0,2π], и каноническое преобразование исходных
импульсов и координат v(p, q), x(p, q) 27г-периодично по углам дь ..., qn\
2) гамильтониан в новых переменных есть функция только импульсов р,
то есть П ξ Η(ρ).

32
Глава 1
Импульсы ρ обычно называют переменными действия системы. Набор
канонических переменных (р, q) (где координаты q являются углами) будем
в общем случае называть переменными «действие-угол». Хотя переменные
«действие-угол» и ранее использовались некоторыми авторами (Эпштейн,
1916; Зоммерфельд, 1922; Борн, 1927) при анализе частных задач, теорема
Арнольда-Лиувилля оказалась очень важной, так как она демонстрирует,
что в принципе любой интегрируемый гамильтониан можно записать,
найдя подходящие переменные «действие-угол», как функцию только
переменных действия. Поэтому, в свете теоремы Арнольда-Лиувилля, можно
представить интегрируемые гамильтонианы в общем случае как функции Н(р)
и разработать общую теорию квазиинтегрируемой гамильтоновой
динамики в переменных «действие-угол», что и будет выполнено в дальнейшем
в этой книге.
Более того, доказательство теоремы Арнольда-Лиувилля дает к тому
же конструктивный рецепт для введения переменных «действие-угол» на
практике. Существование η констант движения для гамильтоновой системы
с η степенями свободы гарантирует, что движение происходит на п-мерной
поверхности Мф, вложенной в 2п-мерное фазовое пространство.
Поскольку {Φΐ,Φ^} = 0 для г φ j, движение можно разложить на η независимых
потоков, порождаемых функциями Φι,..., Фп, каждую из которых можно
рассматривать как гамильтониан с одной степенью свободы. Это
означает, что состояние системы в момент t (то есть ν(£),χ(έ)) можно получить,
следуя потоку Φχ в течение времени t от начальных условий ν(0),χ(0)
до точки νχ,χχ, затем — следуя потоку Ф2 в течение времени t от νχ,Χχ
до другой точки ν2,Χ2, и так далее. Последняя точка νη,χη будет
совпадать с ν(ί),χ(ί). Требование компактности поверхности Мф означает, что
отдельные потоки Φχ,..., Φη и, следовательно, движение в целом можно
разложить на независимые периодические циклы, которые мы обозначим
7ι,. · ·,7η· Тогда действия ρ задаются как
1 ί η
Pi=2^f Σνόάχ3' (1β55)
Записав ν как функции от ρ и χ, определим интегральную производящую
функцию
ί П
5(р,х) = / ^uj(p,x)cbj (1.56)
J 3=1

1.9. Переменные «действие-угол»
33
и введем новые координаты q:
^ = —(р,х). (1.57)
oPi
Преобразование (ν, χ) —> (ρ, q), определенное таким образом, имеет
вид (1-41) и, следовательно, является по построению каноническим.
Можно доказать, что q\,..., qn — углы, а именно qi возрастает на 2π за полный
цикл 7ь и чт0 гамильтониан Η зависит только от переменных действия ρ
(см. Арнольд, 1963а).
1.9.1. Переменные Делоне
В качестве примера использования теоремы Арнольда-Лиувилля
введем переменные «действие-угол» для интегрируемого гамильтониана
задачи двух тел. Мы используем эти переменные в дальнейшем для анализа
динамики в ограниченной и планетной задачах с помощью гамильтоновых
пертурбационных методов, следуя подходу Борна (1927), разработанному
для аналогичной задачи классического движения электрона вокруг ядра
атома водорода.
Удобно начать с гамильтониана задачи двух тел в сферических
координатах (1.24). Прежде всего, выписываем три независимые константы
движения
2 , Н2 ^_ 1 f 2 G2\ Qimo + rrn)
Η = ρφ, G*=p2 + ^- «= ^^Kv" iJ (1-58)
и убеждаемся, что условия {#,G2} = О, {Η,Η} = 0 и {G2,H} = 0
очевидным образом выполняются (две последние скобки Пуассона
показывают также, что Η и G2 являются константами движения для Н). Используя
определение импульсов р# πρφ, легко убедиться, что G есть модуль
вектора углового момента системы, а Н есть проекция вектора углового момента
на ось ζ9 причем обе величины нормированы на приведенную массу.
Константа Η есть гамильтониан задачи двух тел.
Перейдем теперь к отождествлению циклов. Кеплеров случай
проще общего, поскольку каждая константа движения (1.58) непосредственно
определяет цикл. Постоянная Η определяет цикл ηφ на плоскости (ρφ, φ),
задаваемый условиями ρφ = Η и φ Ε [0,2π] (напомним, что переменная φ
уже определена как угол). Постоянная G2 определяет не столь тривиальный

34
Глава 1
(β)
Рис. 1.3. (а) Цикл 7#, определяемый константой движения G2\ (б) цикл 7е,
определяемый константой движения Ή
цикл 7ΰ на плоскости (р#, #); он показан на рис. 1.3а. Вдоль этого цикла
переменная ϋ колеблется между двумя значениями Om-m и $тах, причем ^min,
^тах и ρ<β(ϋ) даются формулами
^п
arcsm
0*
27r-0min, p*{ti) = ±dG*
Я2
sin2 ΰ'
(1.59)
Наконец, константа Η определяет — если она отрицательна — цикл 7ρ на
плоскости (ρρ, ρ), как показано на рис. 1.36. Требование отрицательности Η
есть не что иное, как условие компактности поверхности Мф, играющее
решающую роль в теореме Арнольда-Лиувилля. Если бы Η не было
отрицательным, то движение было бы неограниченным и 7ρ не было бы
замкнутым циклом. Вдоль этого цикла переменная ρ колеблется между двумя
положительными значениями ρτη·ιη и £тах, причем
i?min
i?max
= {-G(m0 + mi) + ^g2{m0 + тщ)2 + 2HG2}/2H,
= {-G{m0 + тщ) - у/д*(то + mi)2 + 2HG2}/2H,
(1.60)
P„(Q) = ±V2 (« + 5(mo + mi)/g) - G2/Q2.
Введем теперь переменные действия, используя (1.55). Поскольку
вдоль цикла ηφ изменяется только φ, то ад и άρ равны нулю и сумма
в (1.55) сводится к единственному члену ρφάψ; аналогичная ситуация име-

1.9. Переменные «действие-угол»
35
ет место для циклов η# и η6. Следовательно, с учетом (1.59) и (1.60)
переменные действия записываются как
Γ2π
Л Г 1 /"^max
= — φΡϋάϋ = - Pe(0)a0 = G-H,
2π / π J#m.n
Ρ2
'70
Ρζ = 7Γ ψ Pq^ = Ζ / Pe(0)d0 =~G+J-
g2(tno + mi)2
'7o " 'ftnin ' ™
(1.61)
Обратив (1.61), легко видеть, что гамильтониан задачи двух тел равен
H = -S{m° + mi)* (1-62)
2(ρι+Ρ2+ρ3)2
Наконец, чтобы ввести сопряженные углы <7ь #2, <7з> определим прежде
всего производящую функцию
S(puP2,P3,<P,u,Q) = Рд(РиР2,Рз, Q)dg + Ρϋ(ρι,ρ2,ΰ)άΰ + ρ^ρ^άφ,
(1.63)
где выражения для pQ (pi, р2, Рз, £>), Ρϋ (ρι, Ρ2, #) и ρ^ (ρι) получаются путем
обращения (1.58) и использования соотношений (1.61). Сопряженные углы
тогда запишутся как
dS dS dS
Qi = л~' ^2 = л-' ^з = л-· (1·64)
<9ρι <9р2 <?Рз
Построение канонических переменных «действие-угол» для задачи двух
тел таким образом, завершено.
Коль скоро задан набор переменных «действие-угол», то любое
линейное преобразование вида
J = Ap, ф = (Ат)~1Ч (1.65)
(где А — матрица с целочисленными элементами и единичным
определителем, а (Ат)-1 — матрица, обратная транспонированной А) определяет
новые канонические переменные «действие-угол». Более того, если
гамильтониан зависит только от переменных действия р, то он, очевидно, будет

36
Глава 1
зависеть только от переменных действия J. Иными словами, набор
переменных «действие-угол» Арнольда не уникален. В случае задачи двух тел
форма (1.62) подсказывает, что в качестве канонических переменных
«действие-угол» удобно использовать следующие:
L=pi+p2+P3, 1 = Яз,
G=pi+p2, 9 = q2-q3, (1-66)
Н=ри h = q1-q2.
При таким выборе переменных гамильтонианом задачи двух тел будет
просто
„„AW-.)», (L67)
Канонические переменные «действие-угол» L,l,G, g, if, h обычно
называют переменными Делоне. Связь переменных действия G и Η с
элементами орбиты, определенными в разделе 1.2, нам уже известна по
формулам (1.14) и (1.15) соответственно, а выражение для L легко получить из
(1.13). Чтобы установить связь с элементами орбиты для углов 1,д и /ι,
необходимо выписать интегральные уравнения (1.64) и использовать (1.9).
В итоге получим
L = \A?(m0 + mi)a, I = Μ,
G = LVl~e2, g = u, (1-68)
Η = Gcosz, h = Ω.
Чтобы избежать проблемы с углами l,g,h, плохо определенными, если
наклонение и/или эксцентриситет близки к нулю, часто используют
модифицированные переменные Делоне:
Λ = L = л/0(гп0 + mi)a, λ = Ι + g + h = Μ + π,
P = L-G = L(1- \/l-e2), p = -g-h=-w, (i.69)
Q = G-H = 2Gsin2 -, q = -h = -Ω.
Эти переменные имеют то преимущество, что переменная λ всегда
хорошо определена, тогда как переменные ρ и q не определены только тогда,
когда сопряженные им переменные действия Ρ и Q соответственно равны
нулю. Таким образом, (Р,р) и (Q,q) образуют полярные системы
координат. Заметим, что при малых эксцентриситетах и наклонениях действие Ρ
пропорционально е2, а Q пропорционально г2.

1.9. Переменные «действие-угол»
37
1.9.2. Гамильтоновы уравнения в переменных Делоне
для ограниченной и планетной задач
Гамильтониан ограниченной задачи (1.29) можно переписать в
переменных Делоне как
H = -?^ + H1{L,G,H,l,g,h,t), (1.70)
где Hi(L, G, Я, Z, g, h, t) получается посредством записи выражения
-STrrij (т-^ - ^Ц) (1.71)
U 3\\\*л lis,II3;
в оскулирующих элементах с помощью (1.9) и обращения (1.68). Время t
присутствует через радиус-векторы планет Sj. Хотя итоговое выражение
довольно громоздкое, его можно выписать явно и использовать в
практических вычислениях. Гамильтоновы уравнения имеют вид
dl ' L3 + dL'
a=-w· *-!&· (1·72'
L ~ ал ' h~ дн-
Ввести переменные Делоне для гамильтониана планетной задачи (1.38)
несколько сложнее. Во-первых, заметим, что интегрируемое приближение
для (1.38) есть сумма гамильтонианов (1.39) — гамильтонианов задач двух
тел, записанных, однако, в виде (1.26), а не (1.22). Если бы мы начали
строить переменные «действие-угол» исходя из (1.26), то результирующие
переменные действия имели бы дополнительный множитель μι по
сравнению с действиями, определяемыми посредством (1.68), а
результирующий гамильтониан имел бы дополнительный множитель μ\ по сравнению
с (1.67)4. Во-вторых, напомним, что импульсы Vj в (1.39) не равны μ^.
Это легко видеть следующим образом. Умножим (1.26) на μι. Тогда гамильтониан (1.26)
будет формально равен (1.22), причем постоянная Q' — <3μ\ заменит Q. Переменные Делоне
и результирующий гамильтониан будут теми же, что и в (1.68) и (1.67), но с заменой Q на Q'.
Наконец, поделим результирующий гамильтониан на μι. — Прим. авт.

38
Глава 1
Это, однако, не изменяет соотношений между Vj, rj и переменными Делоне
Lj, Gj, Hj, I j, Qj, hj по сравнению с имеющими место в классической
задаче двух тел, где Vj = №jYj\ действительно, гамильтонианы (1.39) и (1.26)
формально идентичны, независимо от того, что реально представляют
собой импульсы. По этой причине можно определить формальные оскули-
рующие элементы aj,ej,ij,Mj,uuj,Qj, используя формулу (1.9) с Vj/μ^
вместо dr/d£, и записать переменные Делоне для планетной задачи как
Mjy
Li = Mi V б (т0 + m,j)aj, lj
Gj^Liy/ϊ^ή, 9j=uj, С1·73)
Hj = Gj cos ij, hj = Qj.
Тогда гамильтониан (1.38) принимает вид
H = T-G2{m°\™f^)Z +Hu (1.74)
3 3
где Τίι можно выписать явно как функцию переменных Делоне (1.73)
путем прямой подстановки в (1.38), аналогично процедуре в случае
ограниченной задачи. Тогда гамильтоновы уравнения запишутся как
j ~ dlj ' j ~ Ц + dLj'
G^-^7' я* = щ> (L75)
t -J™± h -dHi
3 ~ dh3 ' j ~ dHj
для каждого j. Уравнения (1.72) и (1.75) являются гамильтоновой версией
уравнений Лагранжа.
Как и в случае ограниченной задачи, чтобы избежать особенностей
в (1.75), возникающих, когда какие-либо из наклонений и/или
эксцентриситетов принимают нулевые значения, обычно используют
модифицированные переменные Делоне:
(1.76)
^з — Lj,
Pi = Lj -
Qj = Gj
- Gj,
- Hj,
λ/ = h + 9j + hj,
Pj = ~9j ~hj,
Qj = ~hj-

1.9. Переменные «действие-угол»
39
1.9.3. Правила Даламбера
В классических работах о динамике в ограниченной и планетной
задачах функцию Hi в выражениях (1.70) и (1.74) обычно раскладывали в ряды
Фурье по углам λ, π и Ω и в степенные ряды по е и г; или же, что
эквивалентно, используя модифицированные переменные Делоне (1.69), в ряды
Фурье по λ,ρ, q и в степенные ряды по Р1/2, Q1/2. Хотя в этой книге мы
не будем работать с классическими явными разложениями, в последующих
главах нам будет крайне важно знать их общий вид.
Обозначим через Aj, Pj, Qj ,\j,pj,qj (j = 1,..., N)
модифицированные переменные Делоне TV тел (одного малого тела иЛ^-1 планет, либо N
планет), а через aj, pj, kj, rrij, Sj — целые числа. Кроме того, традиционно
обозначим через Л, а, /3, k, m и s векторы, компоненты которых равны Aj,
aj, Pj, kj, rrij и Sj соответственно. Тогда наиболее общая форма разложения
в ряд Фурье по углам и в степенной ряд по y/Pj, \J~Q~j записывается как
«ι= Σ ^,k,m,s(A) (ipr/2Q?/2) χ
c*,/3,k,m,s \ j J V · /
x exp [ι(Σ,3 ^λ,-4-Σ,- ™,Ρ,-+Σ,- β^)]>
где /, обозначает у^-l, а ca/3k,m,s — коэффициенты (об их вычислении
см. Брауэр и Клеменс, 1961; Дюрье, 1989; Ласкар и Робутель, 1995; Эллис
и Мюррей, 2000).
Из симметрии и аналитических свойств Hi легко вывести так
называемые правила Даламбера:
1. Hi должно быть инвариантно относительно одновременного изменения
знаков у всех углов λ j, pj, qj. Поэтому разложение в ряд Фурье должно
содержать ТОЛЬКО ЧЛеНЫ С КОСИНуСаМИ, а ИМеННО: Ca))g,k,m,s = Ccx,/3,-k,-m,-s>
причем все коэффициенты вещественны.
2. Hi должно быть инвариантно относительно произвольного поворота
системы отсчета вокруг оси ζ. Поворот системы отсчета на угол ϋ
увеличивает долготы Aj,o7j,Qj на величину ΰ. Поскольку pj = —Wj и qj = —flj,
инвариантность Hi означает, что Yjj kj - ^ mj ~ Z)j sj = 0· Заметим,
что средняя аномалия lj = Xj — Wj и аргумент перигелия uuj = Wj — Ωj
инвариантны относительно поворота системы отсчета.
3. Hi должно быть инвариантно относительно одновременного
изменения знаков у всех наклонений, то есть относительно преобразования

40
Глава 1
1 /о -ι /о 1 ιг\
Qj —> —Q/ Vj (напомним, что Q-' ~ ij). Это означает, что Σ^/^/2
должна быть целым числом.
4. В исходных координатах и импульсах (см. (1.29) и (1.38)) все
особенности Hi в действительном фазовом пространстве, очевидно,
соответствуют исключительно соударениям двух тел. Следовательно, особенности при
Pj = 0 и Qj = 0 у Hi, записанном в виде (1.77), присущи не самой
функции, а специальному выбору переменных «действие-угол». В самом
деле, углы pj и qj не определены, когда сопряженные им переменные
действия Pj и Qj равны нулю, то есть при нулевых эксцентриситете и
наклонении. Эта особенность, типичная для канонических полярных координат,
должна устраняться при переходе к каноническим декартовым
координатам. Определим переменные Пуанкаре
(1.78)
Применяя критерий скобок Пуассона (1.36), легко проверить, что это
преобразование является каноническим и определяет Xj и Vj как новые
координаты, a yj и Zj — как сопряженные им импульсы. И (yj,Xj), и (zj,Vj)
хорошо определены при Р3·, = 0 и Q3; = 0. Поэтому в этих новых
канонических переменных свойства регулярности Hi должны восстановиться. Это
означает, что в (1.77) числа olj — \т3-,\ и Pj — \sj\ должны быть
неотрицательными четными целыми. Только в этом случае Hi аналитически выражается
через Xj,yj,Zj,Vj.
1.10. Интегрируемая динамика
В завершение главы изучим динамику интегрируемой системы,
которая, как мы убедились в разделе 1.9, в общем случае представима
гамильтонианом W(p), независимым от углов q системы.
Уравнения движения записываются просто:
Из них следует, что переменные действия являются константами
движения, а у угловых переменных q3 производные по времени ω3· постоянны.
Поскольку координаты qj представляют собой углы, их производные по
времени, cjj, фактически являются частотами.

1.10. Интегрируемая динамика
41
n-мерное многообразие, допускающее в качестве глобальной системы
координат η независимых углов, называется тором и обычно
обозначается Тп. Отметим для наглядности, что одномерный тор Т1 топологически
эквивалентен окружности, а двумерный тор Т2 — поверхности бублика.
Если движение задано интегрируемым гамильтонианом, то угловые
переменные циркулируют с фиксированными частотами на торах,
определяемых постоянными значениями действий р. Торы ρ = const, следовательно,
инвариантны для динамики в том смысле, что траектория, стартующая на
торе, никогда его не покинет, поскольку действия ρ являются константами
движения. Фазовое пространство расслаивается на инвариантные торы,
поскольку любые начальные условия р(0), q(0) порождают движение,
лежащее на инвариантном торе.
Эволюция углов на торе определяется частотами (длДр). Если частоты
таковы, что уравнение
η
к · ω = Σ к^з = 0» к ξ (/сь ..., /cn) G Zn , (1.80)
j=i
допускает единственное целочисленное решение к = (0, ...,0), то
движение всюду плотно покрывает тор. Это означает, что всякая область тора
посещается траекторией: для любой сколь угодно малой окрестности i/(q°)
любой точки q° на торе траектория рано или поздно попадет внутрь i/(q°).
В данном случае говорят, что частоты нерезонансны, а движение
называется квазипериодическим.
В противном случае, когда уравнение (1.80) в качестве решения
допускает η — 1 независимых целочисленных ненулевых векторов к1,..., kn_1,
движение на торе является периодическим. Действительно, легко убедиться,
что в таком случае η — 1 углов можно выразить как периодические функции
единственного угла. Частоты тогда называются полностью резонансными.
Наконец, существуют промежуточные случаи, когда уравнение (1.80)
в качестве решения допускает лишь т независимых целочисленных
ненулевых векторов к1,..., кт, πι < η — 1. Тогда движение на торе не
является ни всюду плотным, ни периодическим. При этом т углов — скажем,
Qm — можно представить как периодические функции от остальных
п — т углов gm+i,..., qn. Это означает, что проекция движения на (п — т)-
мерный тор, определяемый переменными gm+i,..., qn, всюду плотна, а ее
проекция на m-мерный тор, определяемый переменными </ι,..., qm,
является периодической. В таком случае говорят, что частоты находятся в резо-

42
Глава 1
нансе кратности т. Величина
mim^Jk3'!, ΓΛβ|^Ί = |Λί'|Η-··· + Ι*ΐΙ, (1.81)
называется порядком резонанса.
Вообще говоря, частоты зависят от выбора тора, а именно от значений
действий р. Однако, если гамильтониан линеен по действиям, то
частоты не зависят от р. Тогда говорят, что система изохронна. В более общем
случае гамильтонова система называется вырожденной^ если определитель
матрицы ее вторых производных обращается в нуль:
4lfeH (L82)
Если система вырождена, существует по крайней мере одно направление
в пространстве действий, вдоль которого частоты не изменяются.
Напротив, если система невырождена, то по крайней мере одна частота
должна изменяться при любом сколь угодно малом смещении в пространстве
действий. В последнем случае резонансные торы всюду плотны в фазовом
пространстве — в том смысле, что сколь угодно близко к любой точке р„
существует точка ρ такая, что уравнению (1.80) удовлетворяет некоторый
ненулевой целочисленный вектор к.
Теоретическая гамильтонова динамика хорошо развита для
невырожденных систем с малыми возмущениями. Напротив, свойства динамики
вырожденных систем существенно зависят от специфики рассматриваемой
системы, в частности касающейся направлений, вдоль которых частоты
постоянны, а также того, каким образом вырождение снимается при малом
возмущении системы.
К сожалению, задача двух тел является существенно вырожденной.
Как мы убедились в предыдущем разделе, гамильтониан этой задачи
зависит лишь от одной переменной действия (L) из трех. Это означает, что
частоты не зависят от переменных действия G и Н. Более того, две из трех
частот, а именно g и h, тождественно равны нулю, поэтому g и h являются
в задаче Кеплера дополнительными постоянными движения. Таким
образом, имеется вырождение вдоль двух направлений для I и вырождение во
всем пространстве действий для g и h. По этой причине даже малые
возмущения задачи двух тел — такие, например, как ограниченная и планетная
задачи — могут порождать весьма сложную динамику.

Глава 2
Квазиинтегрируемые гамильтоновы
системы
2.1. Введение в теорию возмущений
Гамильтонову систему называют квазиинтегрируемой, если при
задании подходящего набора канонических переменных «действие-угол» ее
гамильтониан может быть записан в виде
W(p,q)=Wo(p) + eWi(p,q), (2.1)
где ε — малый параметр, a gradp7io и Н\ являются по предположению
величинами порядка единицы. Поэтому естественно рассматривать Но как
интегрируемое приближение, a Hi — как его возмущение. В самом деле,
поток, порождаемый Но (а именно, ρ = const и q = u>ot + q(0), где ωο =
= gradp7io), аппроксимирует реальную динамику, порождаемую Η, с
точностью порядка ε в том смысле, что он отклоняется от реального решения
на величину порядка ε на интервале времени порядка единицы и на
величину порядка единицы на интервале времени порядка l/ε. К сожалению, если
нас интересует очень точное описание динамики или же ее качественное
поведение на интервалах времени больше l/ε, то знания потока,
порождаемого Но, уже недостаточно и приходится искать существенно лучшие
приближения реального движения. Именно в этом состоит цель теории
возмущений. Как будет детально обсуждаться в разделе 2.5,
гамильтонианы и ограниченной, и планетной задач ((1.70) и (1.74)) имеют вид (2.1),
где ε — величина порядка массы Юпитера в единицах массы Солнца, то
есть ~ Ю-3. Поэтому исследование квазиинтегрируемых гамильтоновых
систем не является лишь чисто математической проблемой, но и важно на
практике в небесной механике.
Мощь гамильтонова формализма состоит в том, что вместо поиска
приближений для реальной динамики из анализа уравнений движения (обычно

44
Глава 2
связанного с громоздкими выкладками) он позволяет работать напрямую
с гамильтонианом. Говоря конкретно, общей стратегией для всех
пертурбационных подходов к гамильтоновым системам является поиск
канонического преобразования, близкого к тождественному, вида
ρ = ρ1 + ει\(ρ\ q1), q = q1 + εβι(ρ\ q1), (2.2)
такого, что после подстановки (2.2) в (2.1) гамильтониан принимает вид
W1(p1,q1)=Wo(p1)+£W1(p1)+62W2(p1,q1), (2.3)
где Hi и Hi — некоторые новые функции порядка единицы (обычно Hi
является усредненной по углам q функцией Hi). Если этот поиск увенчался
успехом, то Но + εΗ\ является интегрируемым приближением порядка ε2
для реальной динамики. В принципе, процедуру можно итерировать, ища
последовательность близких к тождественным канонических
преобразований
pr-l =pr + erfr(prt qr}) qr-l = qr + £rgr(pr> qr)) (24)
таких, что гамильтониан как функция переменных «действие-угол» pr,qr
принимает вид
W(pr,qr) = Ho(pr)+£H1(pr) + ---+erHr(pr)+er+1Hr+i(pr,4r)- (2-5)
Тем самым получается последовательность все более точных
приближений реальной динамики. Казалось бы, можно надеяться, что повторение
данной процедуры бесконечное число раз преобразует исходный
гамильтониан 7ΐ(ρ, q) в интегрируемый W^p00). Однако теперь мы знаем —
благодаря работам Пуанкаре, — что такая надежда тщетна: в общем случае
процедура бесконечного порядка не может быть успешной (см. раздел 2.4).
Приходится останавливать итерирование при некотором оптимальном
порядке г, зависящем от ε и свойств системы. Как следствие, наилучшим
интегрируемым приближением реальной динамики является pr = const,
qr = ω4 + qr(0), где ωΓ = gradpr[W0 + · · ■ + erHr(pr)]. Образ этого
движения в исходных переменных р, q можно получить посредством
композиции всей последовательности канонических преобразований: p(t),q[t)
колеблются с амплитудой порядка ε около значений pr,qr(£).
В последующих разделах мы детально рассмотрим эту процедуру
(а также трудности, с которыми приходится сталкиваться при ее
применении), следуя подходу, наиболее часто используемому в небесной механике,
а именно подходу с применением рядов Ли.

2.2. ПОДХОД С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЛИ
45
2.2. Подход с применением рядов Ли
В процедуре, описанной в общих чертах в предыдущем разделе,
большой проблемой является нахождение среди всех возможных
преобразований (p,q) —> (р1,^1), преобразующих (2.1) в (2.3), такого, которое было
бы каноническим. Разумно избежать этой проблемы (Гребнер, 1960; Хори,
1966; Депри, 1968), производя поиск «хорошего» преобразования внутри
класса преобразований, являющихся каноническими по построению. Это
достигается посредством определения преобразований как потока
производящих гамильтонианов χ в ε-времени, как описано в разделе 1.6.
Конкретно, преобразования определяются как в (1.42), или, в эквивалентной форме,
как
ρ = S*p\ q = S*q\ (2.6)
где 5^ — оператор ряда Ли, определенный в разделе 1.7, В (см.
формулу (1.52)). Все преобразования этого типа являются в самом деле
каноническими. Используя (1.42), путем подстановки получим выражение для
гамильтониана Ή в новых переменных:
Н(р, q) = ^(р1 (ε), q1 (ε)) ξ Η1 (ρ1,q1). (2.7)
Таким образом, Н1 возникает как эволюция функции ^(р1^1) на момент
«времени» ε (получаемая формальной заменой р, q на p^q1 в Н) вдоль
потока, порождаемого гамильтонианом χ. Поэтому, как показано в
разделе 1.7, В, Ή} можно записать, используя ряды Ли, в виде
Н1 = S£XH. (2.8)
Теперь задача свелась к нахождению подходящего производящего
гамильтониана χ такого, что если Η имеет вид (2.1), то Н1 имел бы вид (2.3).
С этой целью, используя (1.51) и (1.50), запишем (2.8) в явном виде до
порядка ε2:
Η1 =Но + sHi + ε{Η0,χ} + еЦНих} + £-{{Ηο,χ},χ} + 0(ε3). (2.9)
В этом выражении Но, Η1 и χ следует все рассматривать как функции от
Ρ , q1. Из (2.9) сразу видно, что в Н1 членом нулевого порядка по ε
является Woip1); поэтому Ή} будет иметь вид (2.3) тогда и только тогда,
когда член первого порядка по ε будет функцией исключительно переменных

46
Глава 2
действия ρ1, то есть тогда и только тогда, когда уравнению
«ι + {«ο,χ} = «ι, (2.10)
называемому гомологическим уравнением, удовлетворяют некоторые
функции x(p1,q1) иЙ^р1).
Чтобы решить уравнение (2.10), воспользуемся тем, что
координаты q1 являются углами и гамильтониан Η периодичен по q1. Разложим Hi
в ряд Фурье:
«i(p1,q1)= Σ Ckfo^exp^k-q1), (2.11)
где k — целочисленный вектор, η — число степеней свободы, ι — ^/—I.
Затем мы ищем решение χ уравнения (2.10) в аналогичной форме
X(p1,q1)= Σ dktp^exp^k.q1), (2.12)
k£Z™
так что можем записать
{Ho,x} = -l Σ ^P^k-u^p^exp^k-q1), (2.13)
kez™
где ωο = gradpi7io· Тогда сразу очевидно, что решение уравнения (2.10)
дают производящий гамильтониан вида (2.12) с коэффициентами d^,
задаваемыми как
<*о=0, dk(p1) = -4 °k(p \ Vk^O, (2.14)
и функция 7ίχ, которая просто суть
Wi(p1)=co(p1)· (2.15)
Теперь, когда производящий гамильтониан χ определен, определено
и каноническое преобразование, связывающее исходные переменные р, q
с новыми p^q1. Члены нового гамильтониана W1(p1,q1) второго или
более высоких порядков по ε легко вычислить, используя полное
выражение (2.9).
Однако полученное нами решение уравнения (2.10) является всего
лишь формальным. Следует проверить, что производящий гамильтониан χ

2.3. Проблема малых делителей
47
является аналитической функцией, то есть его ряд Фурье (2.12) с
коэффициентами (2.14) сходится абсолютно. В принципе следует также проверить,
что степенной ряд по ε, определяющий Н1 в (2.9), сходится абсолютно.
Однако последнее гарантируется при достаточно малых ε, если χ и Η
являются аналитическими. В самом деле, в этом случае правая часть (2.9) по
определению представляет собой разложение в ряд Тейлора эволюции во
времени аналитической функции (Н) вдоль аналитического потока
(порождаемого гамильтонианом χ), которое, как известно, сходится при условии,
что промежуток времени [0, ε], на котором определено разложение,
достаточно мал.
Поэтому нам приходится заботиться только об аналитических
свойствах функции χ.
2.3. Проблема малых делителей
Из (2.12) и (2.14) сразу очевидно, что функция χ не определена, если
существует целочисленный вектор к* такой, что знаменатель
Κ·ω0(ρ1) (2.16)
обращается в нуль для некоторого р1, причем соответствующий
коэффициент Ск^р1) отличен от нуля. В соответствии с определением (1.80) это
означает, что производящий гамильтониан χ не определен ни на каком
торе р1, несущем резонансное движение интегрируемого приближения Но-
Как было отмечено в конце главы 1, если гамильтониан Но невырожден,
то резонансы непременно являются всюду плотными; поэтому нельзя
надеяться, что функция χ может в общем случае быть хорошо определена
в открытой области фазового пространства. Резонансы всюду плотны также
и в большинстве представляющих интерес вырожденных случаев,
например, в ограниченной задаче трех тел. Другими словами, пертурбационный
подход, описанный в общих чертах в предыдущем разделе, в общем случае
не работает.
К счастью, имеется пара способов для выхода из этой неприятной
ситуации. В основе первого — использование аналитических свойств
функции Н\. Всякая функция /(φ), 27г-периодичная по углам φ и аналитическая
на комплексном торе
Т>{^€СП : ReW€[0,27r], |Ιπι^|<σ, 1 ^ j ^ η}, (2.17)

48
Глава 2
раскладывается в ряд Фурье
ί(ψ) = 5Z^kexp(tk-(p), причем |ak| < Fexp(-|k|a), (2.18)
k€Z
где |k| = |fci| + ... + \kn\ — порядок гармоники Фурье с индексом к =
= (fci,..., kn), a F — точная верхняя грань |/(<р)| для φ θ Т™ (Арнольд,
19636). Принимая во внимание экспоненциальное убывание
коэффициентов, представляется естественным разделить разложение Н\ на две части:
Wi = WfK + ftfК, где
ЩК = 5Z Ск(р) ехр (* ' q)'
kGZ^,|k|<K
HfK= Σ ck(p)exp(tk-q),
kGZ^,|k|^K
(2.19)
причем К выбирается достаточно большим1 — таким, что является
величиной порядка ε относительно HfK. Тогда в выражении (2.9)
величиной порядка ε будет только εΗ^κ и уравнение (2.10) допускает решение
kEZ"\0,|k|<K υν^ J
Теперь ряд, определяющий χ, содержит лишь конечное число гармоник;
поэтому можно найти открытую область Ык в пространстве переменных
действия, такую, что знаменатели в (2.20) не обращаются в нуль для любых
Р1 £ Кк- Область Ык будем называть нерезонансной до порядка К.
Второй способ решения проблемы малых делителей состоит в выборе
точки р„ в пространстве переменных действия, такой, что частоты ωο(ρ*)
удовлетворяют так называемому диофантову условию:
lk-"o(pJ|>^|7 VkGZ",k^0, (2.21)
где 7ит- некоторые подходящие положительные числа. Теория чисел
гарантирует существование таких частот (причем их множество в Rn имеет
положительную меру) при условии, что г > η — 1. Затем раскладываем Но
Некоторые авторы предпочитают выбирать К не зависящим от ε, вводя, по сути,
новый пертурбационный параметр ехр(—σΚ). Преимущество такого приема состоит в том,
что нормализованный гамильтониан будет аналитическим по ε, чего нет в случае, если К —
целочисленная (и потому разрывная) функция от ε. — Прим. авт.

2.3. Проблема малых делителей
49
в степенной ряд относительно ρΞρ-ρ;
Wo(p) = 5>j(p), (2.22)
где Wq ~~ однородный полином степени j относительно р. Наконец,
рассматриваем ε-окрестность точки р+ в пространстве действий:
We(p.) ={P€R" : ||р|| < ε} ; (2.23)
так что члены Н30 при j ^ 2 имеют более высокий порядок по ε чем Н\.
Поэтому в уравнении (2.9) Н\ будет играть роль Но, тогда как члены более
высокого порядка Н30 с j ^ 2 будут включены в Hi. В уравнении (2.10)
функция Но в скобке Пуассона с χ будет полностью изохронна (так как она
линейна по переменным действия р) с фиксированными частотами о>о(р*),
поэтому формальным решением для χ будет
Теперь, принимая во внимание экспоненциальное убывание
коэффициентов Ск (2.18) и используя определение (2.21) диофантовых частот ωο(ρ*)>
легко видеть, что ряд (2.24) абсолютно сходится на комплексном торе Τ™_δ
при любых положительных δ < σ.
В практических вычислениях, выполняемых обычно с помощью
систем компьютерной алгебры, для решения проблемы малых делителей
принято использовать оба изложенных выше способа в комбинированном виде.
Для обеспечения эффективности компьютерных выкладок функции
должны быть представлены в виде степенных рядов по переменным действия
и рядов Фурье по угловым переменным. Поэтому естественно
раскладывать Но в степенной ряд по р, что имеет также и то преимущество, что
в итоговом производящем гамильтониане χ (2.24) знаменатели не будут
зависеть от переменных действия, поскольку точка р„ фиксирована. С другой
стороны, так как компьютерная память всегда ограничена, все разложения
в ряды необходимо обрезать. Естественно сохранять в Н\ и χ только
гармоники Фурье порядка |к| < К.
2.3.1. Нормальные формы
Из изложенного выше следует, что, хотя преобразовать исходный
гамильтониан Η в новый гамильтониан Н1 в виде (2.3) в общем случае нель-

50
Глава 2
зя, все же достичь этой цели можно, если переменные действия
ограничены локальной областью Ык, нерезонансной до порядка К (зависящего
от ε), или же окрестностью Ιλε тора р„ с диофантовыми частотами. Если
гамильтониан преобразован к форме (2.3) в некоторой области переменных
действия, то говорят, что он представлен в нормальной форме Биркгофа до
первого порядка по ε.
Однако в некоторых случаях представляет интерес область,
пересекаемая резонансами порядка меньше К. В таких случаях соответствующие
члены в разложении Фурье εΗ\ не могут быть низведены в члены более
высокого порядка по ε. С другой стороны, эти члены нельзя исключить
из-за проблемы малых делителей. Поэтому в таких случаях преобразовать
гамильтониан к нормальной форме Биркгофа невозможно и приходится
сохранять резонансные гармоники в новом гамильтониане Н1.
Конкретно, обозначим через U представляющую интерес область
в пространстве переменных действия и определим резонансное множество
/С = {k G Zn , |к| < К : к · ω0(ρ) = 0 для некоторых ρ е Щ . (2.25)
Тогда Н\ удобно разбить на три части: Н\ = HR + H^R + Ή?κ, где
ηι = Σ Ck(p) βχρ(tk · <*)' n?R = Σ Ck(p) βχρ(tk · <*)>
kG/C keZ*\|k|<K,k£/C
(2.26)
a H{ определено как в (2.19). При преобразовании (2.6) членом порядка ε
в Н1 = S^H будет поэтому s[HR + H^R + {Но, χ}]. Тогда можно выбрать
производящий гамильтониан χ таким образом, что H^R + {Но, χ} = 0,
полагая
* = Σ -ij^^expiikV). (2.27)
kEZMk|<K,k£/C UV^ J
Производящий гамильтониан χ аналитичен по р1 Ε U, потому что ни один
из знаменателей к · ω0(ρχ) не обращается в нуль для р1 G U и к ^ /С по
построению /С (заметим, что член с к = 0 также включен в HR), а
также потому, что разложение Фурье в (2.27) содержит лишь конечное число
членов2. Поэтому каноническое преобразование (2.6) хорошо определено
2Поскольку ||р — рх|| = О (ε) (см. формулу (2.6)), то для того, чтобы гарантировать
принадлежность р1 6W, следует выбирать ρ Ε £Υ — Ο(ε), где последнее обозначает наибольшее
множество, содержащееся в Ы вместе с окрестностью радиуса Ο(ε). Это означает, что
размер Ы должен быть по меньшей мере О (ε). — Прим. авт.

2.4. Порядки выше первого
51
и гамильтониан (2.1) преобразуется к виду
H1(p1,q1)=Wo(p1)+£Wf(p1,q1) + 0(e2). (2.28)
Данный гамильтониан Ή1 находится, по определению, в резонансной
нормальной форме до первого порядка по ε.
Резонансные нормальные формы очень полезны при изучении
резонансной динамики, поскольку в них удерживаются в низких порядках
только существенные резонансные члены, а нерезонансные члены низводятся
в члены более высокого порядка. К сожалению, гамильтониан Wc^P1) +
+ εΗ^(p^q1) в общем случае неинтегрируем, если /С содержит более
одного резонанса3 или же единственный резонанс кратности больше 1
(см. определение кратности в разделе 1.10). Напротив, если /С содержит
только один резонанс кратности 1, то гамильтониан Wc^P1) + εΗ^(p^q1)
интегрируем, как будет показано в главе 4.
2.4. Порядки выше первого
Рассмотренная в предыдущем разделе процедура позволяет исключить
гармоники с коэффициентами порядка ε, не принадлежащие
резонансному множеству /С. Естественно итерировать эту процедуру, чтобы
исключить также и нерезонансные гармоники с коэффициентами более высокого
порядка по ε. Конкретно, будем искать последовательность производящих
гамильтонианов χΓ и последовательность канонических преобразований
рг-1 = s£pP| qr-l = 5£qr; r > Х| (229)
таких, что гамильтониан в итоге преобразуется к виду
Wr(p^q^)=Wo(pΊ+^f(p^qr) + ·..+ε^Лp^q^)+ε^1Wr+1(p^qr),
(2.30)
где функции Hf,..., Н^ содержат только гармоники к · qr, к G /Сг.
Множество /Сг представляет собой множество резонансов до порядка Кг,
пересекающих область U, то есть
Кг = {к е Zn, |к| < Кг : к · ω0(ρ) = 0 для некоторых ρ е Щ , (2.31)
То есть существуют по меньшей мере два значения рх и р2 в^и два ненулевых
целочисленных вектора ki и к2, таких, что ki · u>o(Pi) = кг · u>o(P2) = 0 и ki · u>o(P2) Φ 0»
k2 · α>ο(Ρι) φ 0. — Прим. авт.

52
Глава 2
где Кг выбирается таким образом, что все гармоники порядка больше Кг
имеют коэффициенты меньше ег (см. ниже). Гамильтониан (2.30) будем
называть находящимся в резонансной нормальной форме до порядка ег по
отношению к /Сг. Заметим, что в случае /Сг = {0} (то есть когда резо-
нансов до порядка Кг, пересекающих рассматриваемую область, нет)
выражение (2.30) приводится к виду (2.5), в таком случае.Нг называется
находящимся в нормальной форме Биркгофа до порядка ег.
Чтобы определить производящую функцию χΓ, возмущение Нг
представляют в виде суммы HR + H^R + HfKr, где HR и H^R определяются
как в (2.26), а Н^Кг — как в (2.19), но с /Сг и Кг вместо /С и К. Обратите
внимание, что, тогда как HR и H^R содержат гармоники, коэффициенты
которых являются эффективно величинами порядка εΓ, Н^Кг содержит (по
определению Кг) только гармонические члены с меньшими
коэффициентами. Далее, аналогично тому, как делается в случае резонансной нормальной
формы порядка 1 по ε (см. раздел 2.3.1), χΓ выбирается таким образом,
чтобы исключить нерезонансную часть возмущения порядка εΓ, а именно, как
решение уравнения
W?* + {Wo,Xr} = 0. (2.32)
Ключевым моментом этой процедуры является выбор Кг. Как указано
выше, Кг должно быть достаточно велико, чтобы все гармоники порядка
больше Кг имели бы коэффициенты меньше ет. Обратите внимание, что
гармоники исходного возмущения εΗ\ порядка от 1 до К (где К
определяется как в (2.19)) имеют коэффициенты порядка ε; поэтому вследствие
экспоненциального убывания (2.18) гармоники έΗ\ порядка от (г — \)К
до г К имеют коэффициенты порядка εΓ. Как следствие, необходимо
выбирать Кг ^ гК. Это означает, что резонансное множество /Сг при
увеличении г должно содержать все больше и больше резонансных членов.
Поскольку в нормализованном гамильтониане Нг удерживаются все
резонансные члены, оказывается, что его вид не намного более удобен, чем вид
исходного гамильтониана Н. К примеру, нельзя надеяться в общем случае
построить гамильтонианы Нг в нормальной форме Биркгофа до порядка ег
с произвольно большим г, то есть преобразовать исходный гамильтониан
в интегрируемый W^p00).
В практических приложениях обычно интересуются некоторой
заданной областью U пространства переменных действия и стремятся
преобразовать исходный гамильтониан по возможности к наипростейшей нормальной
форме в этой области. Поэтому обычно выбирают несколько независимых
целочисленных векторов к1,... ,кт, соответствующих главным резонан-

2.4. Порядки выше первого
53
сам в этой области, и стремятся удержать в резонансной нормальной форме
только гармоники к · qr, где
keM = {keZn : k = nik1 + ---+fimkm, где (nb...,nm) е Zm} .
(2.33)
Легко видеть, что множество М, обычно называемое резонансным
модулем, представляет собой целочисленное векторное пространство,
порождаемое базисом к1,..., кт (причем наиболее интересным случаем является
тот, когда базис сводится к одному-единственному вектору к1, поскольку
тогда получающаяся нормальная форма будет интегрируемой (см. главу 4)).
Далее, необходимо решать уравнения (2.32) при возрастающих
значениях г, удерживая в Н^ только гармоники к · qr с к Ε Μ. Очевидно, что этот
процесс должен быть прекращен при некотором порядке г, а именно
когда в Н<Кг обнаруживается первая гармоника, резонансная внутри U и не
принадлежащая резонансному модулю М. На этом шаге гамильтониан уже
преобразован к форме
Пг-1 =Но + Korm + £rHr + 0(ε^+1), (2.34)
где Wnorm = ζΉλ + · · · + ετ~1Η^_1. Эту форму следует рассматривать как
оптимальную нормальную форму в том смысле, что при заданных U η Μ
она минимизирует величину ненормализованного остатка εΓ7ίΓ + 0(εΓ+1).
Порядок г оптимальной нормальной формы и величина остатка полностью
определены, как только выбраны область U и резонансный модуль М.
Фактически образ U в пространстве частот (то есть множестве частот ω(ρ)
с ρ G U) и Μ определяют, какая гармоника низшего порядка является
резонансной в U и не принадлежит М. Обозначая ее порядок через ктш,
из (2.18) находим, что ее коэффициент не может превышать ехр(—кт-ша)
с некоторым положительным σ, определяемым аналитическими
свойствами исходного гамильтониана. Как следствие, в общем случае эта гармоника
обнаруживается в процессе нормализации на шаге г = —кт\па/\пе.
(Подробности см. в работе Морбиделли и Джиорджилли, 1997.)
2.4.1. Пример вычисления оптимального порядка нормальной формы
Рассмотрим гамильтониан (2.1) и точку р+ в пространстве
переменных действия такую, что частоты о>о(р*) удовлетворяют диофантову
свойству (2.21). Построим оптимальную нормальную форму Биркгофа в
области £4(pJ, определенной в (2.23). Обратите внимание, что, как объяснено
в подстрочном примечании в разделе 2.3.1, £4(р*) является областью
минимального размера, где можно попытаться построить нормальную форму.

54
Глава 2
Если гамильтониан Но невырожден, то частоты с^о(р) в области £4(р*)
покрывают ε-окрестность ωο(ρ*). Тогда, учитывая (2.21), в £4(р*) имеем
|k · ω0(ρ)| > ||k · ω0(ρ.)| - e|k|| > щ; ~ №, (2.35)
поэтому k-o;o(p) может обращаться в нуль, только если |к| ^ (η//ε)1^τ+1Κ
Таким образом, резонансы низшего порядка в £4(р*) имеют порядок
о~ 1/ελ^τ+1\ а остаток оптимальной нормальной формы Биркгофа имеет
величину ~ ехр[—ε_1/^τ+1^], то есть он экспоненциально мал по ε (Морби-
делли и Джиорджилли, 1997). Можно заключить, что динамика в
ε-окрестности невозмущенного диофантова тора аппроксимируется интегрируемой
динамикой на экспоненциально больших по l/ε интервалах времени.
Интересно отметить, что если в рассмотренном выше примере
разложить 7^о в ряд Тейлора по ρ = ρ — р„, как в (2.22), и члены Н30 с j > 1
низвести в члены более высокого порядка по ε (как сделано в разделе 2.3
при построении нормальной формы Биркгофа первого порядка по ε), то
оказывается, что уже нет формальных препятствий для построения
нормальной формы Биркгофа до любого произвольного порядка г.
Фактически, поскольку ведущий член Hq = ωο(ρ*) · ρ является изохронным с дио-
фантовыми частотами и>о(р*), ни одна из гармоник возмущения, как
представляется, не будет резонансной в £4(р*), в каждом порядке. Однако если
вычислить нетривиальные строгие оценки нормы возмущения (как сделали
Джиорджилли и Галгани, 1985), то оказывается, что в этом случае
норма Нг удивительно быстро растет с увеличением г — как τ\ε~ττ^τ+1\ то
есть ετΊ-ίΓ ведет себя как τ!εΓ^τ+1^. С увеличением г она сначала
убывает, а затем неограниченно возрастает при стремлении г к бесконечности.
Минимум достигается при г ~ ε_1/(τ+ι); 0Η является величиной порядка
ехр[—ε1/^1)]. Таким образом, снова приходим к уже полученному выше
результату для размера остатка оптимальной нормальной формы.
Этот пример мы привели, чтобы показать, что никаким формальным
ухищрением нельзя построить нормальную форму до произвольно
большого порядка. Присутствие резонансов внутри заданной области является
существенным препятствием, которое нельзя обойти.
2.4.2. Генерирование старших гармоник в процессе нормализации
Во многих практически важных случаях исходный гамильтониан Ή
имеет лишь несколько гармонических членов низкого порядка. Тогда мож-

2.4. Порядки выше первого
55
но было бы ожидать, что резонансы высокого порядка, пересекающие
заданную область, не приводят к проблеме малых делителей, поскольку
коэффициенты соответствующих гармоник тождественно равны нулю. Это
позволило бы строить нормальную форму до произвольно большого
порядка.
Однако, вообще говоря, это не так. Даже если в исходном
гамильтониане нет гармоник высокого порядка, такие гармоники обычно появляются
при построении нормальной формы, что легко видеть на следующем
примере.
Рассмотрим гамильтониан (2.1) с двумя степенями свободы, где
По = ωιρι + ω2ρ2 + ^ (Pi + vl)^
(2.36)
Hi = cosgi + cos(<?i - q2) + cos(<?i + q2) + cos<?2,
причем ωι и ω2 нерезонансны. Попытаемся построить нормальную форму
Биркгофа до первого порядка по е. Производящий гамильтониан χ является
решением уравнения (2.10) и поэтому содержит те же гармоники, что и Н\.
Заметим, что функция Ύίγ в (2.10) равна нулю, поскольку усреднение Н\
по Qi,Q2 Дает нуль.
Представим спектр Фурье Н\ и χ в виде следующей схемы:
I fci
fc2
Черными квадратиками на ней показаны гармоники (fci, к2) = exp[t(fcigi +
~^~k2q2)] с ненулевыми коэффициентами. Поскольку Н\ и χ являются
вещественными функциями, то можно ограничиться рассмотрением
полуплоскости fci ^ 0. В самом деле, если коэффициент гармоники (fci,fc2)
ненулевой, то и коэффициент гармоники (—fci,— k2) должен быть ненулевым,
и наоборот.
Выясним теперь, у каких гармоник в преобразованном гамильтониане
Ή = S^H коэффициенты ненулевые. Для этого достаточно заметить, как
гармоники компонуются в скобке Пуассона:
Wpi,p2)exp[t(fci<?i + k2q2)\,β(ρι,ρ2) exp^m^ + m2q2)}} =
= 7(РьР2)ехр{бр1 +m1)q1 + (к2 + m2)q2}} ,
(2.37)

56
Глава 2
где а и β — функции общего вида от переменных действия ρχ и р2, а 7 =
= t(ak · gradp/3 — /?m · gradpa). Например, в {Hi, χ} гармоника (1,1) в Hi
в сочетании с каждой гармоникой в χ генерирует гармоники с ненулевыми
коэффициентами, показанные на следующей схеме белыми квадратиками:
fcl
к2
В результате члены Н1 второго порядка по ε, а именно £>χΗι и \J2C?XНо,
имеют спектр Фурье в следующем представлении:
fcl
к2
Аналогично, члены Н1 третьего порядка по ε, а именно 1/2£^Ηι
и 1/бС^Но, имеют спектр Фурье в следующем представлении:
Ifei
ш—m—m—ш—m—m—m
φ—φ—φ—ψ—φ—φ—φ
φ—и—φ—ψ—ψ—φ—φ
—щ—в—m—ψ—s—β—w-^
Таким образом, все гармоники генерируются, вообще говоря, с
ненулевыми коэффициентами, хотя в исходном гамильтониане было всего лишь
несколько фурье-членов.

2.5. Усреднение по средним движениям
57
Легко видеть, что часть Н1 размера es имеет гармоники, вообще
говоря, до порядка |к| = 25. Таким образом, коэффициенты гармоник
порядка |к| убывают как ехр(—|к|а), где σ — | 1ηε|/2, так что закон Фурье (2.18)
выполняется. Фактически этот пример показывает, что после нескольких
шагов нормализации закон Фурье выполняет не только роль верхней
границы для величины коэффициентов гармоник преобразованного
гамильтониана: следует к тому же ожидать, что коэффициенты убывают не быстрее,
чем по формуле закона Фурье. Пример точного вычисления коэффициентов
гармоник приведен Морбиделли и Джиорджилли (1997).
2.5. Усреднение по средпим движениям
Пертурбационный подход, рассмотренный в предыдущих разделах,
можно непосредственно применить к гамильтонианам ограниченной и
планетной задач с целью построения нормальной формы, не зависящей от
быстрых углов (средних аномалий, или, что эквивалентно, средних долгот).
Эту процедуру обычно (но неправомерно) на небесномеханическом
жаргоне называют усреднением — по той причине, что с точностью до первого
порядка относительно планетных масс она эквивалентна простому
усреднению по быстрым углам.
В ограниченной задаче мы начнем с гамильтониана (1.70), однако,
чтобы избежать явных особенностей, перепишем его, используя
модифицированные переменные Делоне (1.69). Выберем единицы массы, длины и
времени так, чтобы Ото = 1, и обозначим через ε массу самой массивной
планеты в единицах массы Солнца. Векторы Sj (t) можно записать как функции
элементов планетных орбит (предположим здесь, что планеты движутся по
кеплеровым орбитам)4. Таким образом, зависимость возмущения от
времени проявляется только через средние долготы планет λ ^. Предположим, что
последние изменяются линейно со временем, причем каждая со своей
собственной независимой частотой. Как объяснено в разделе 1.5, чтобы
сделать гамильтониан автономным, удобно расширить фазовое пространство
путем введения пары сопряженных переменных «действие-угол» для
каждой независимой пары «время-частота». Естественно выбрать в качестве
новых углов планетные долготы λ^; если обозначить через Л^
сопряженные им переменные действия, гамильтониан ограниченной задачи примет
На данном этапе отсутствует необходимость учета прецессии планетных орбит, так как
скорости прецессии малы, и тем меньше, чем меньше ε. — Прим. авт.

58
Глава 2
вид (2.1), а именно:
1 N
П = По + £П1 = __ + γ^njA. + eWl(A, Ρ, Ο, λ,ρ, ρ, λι,..., λΝ),
(2.38)
где ηι,..., пдг — средние движения (то есть орбитальные частоты) N
планет. Возмущение Hi является к тому же функцией планетных долгот
перигелиев pj и долгот узлов qj, но они, будучи по предположению
фиксированными, играют роль параметров. Эффекты, вызываемые их медленным
изменением, будут рассмотрены в главах 8 и 11. Согласно (1.29)
возмущение Hi является суммой возмущений, вызываемых отдельно каждой
планетой, то есть Hi = YsjHi {A,P,Q,X,p,q,\j,pj,qj). Другими словами,
углы, относящиеся к разным планетам, не могут появляться в одной и той
же гармонике в Hi.
В планетной задаче мы начнем с гамильтониана (1.74), переписанного
в модифицированных переменных Делоне (1.76). Обозначим через ε массу
самой массивной планеты в единицах массы Солнца, а через pj — массу
j-ой планеты в единицах массы самой массивной планеты; опять же
единицы выберем так, чтобы Q = то = 1. Тогда, используя принятые при
записи (1.39) определения μ^ имеем μ^ = epj/(l + epj) и mo + rrij = l + εβj.
Введем новые переменные действия Л^ = Aj/ε, Pj = Pj/ε и Q'j = Qj/ε,
где Aj,Pj и Qj определяются формулами (1.76); при этом угловые
переменные Xj,Pj и qj оставляем прежними. Легко видеть, что гамильтонова
форма уравнений движения сохраняется, если определить новый
гамильтониан Η! = Η/ε.5 Он имеет вид (2.1), а именно:
П -Η0 + εΗλ--}^ щ^ +
+ eH,l{A,1,P[,Q,1,XuPuqu...,A,NyPfN,Q,N,XN,pN,qN). (2.39)
В дальнейшем для упрощения обозначений штрихи будем опускать.
Согласно (1.38) Hi является суммой функций, описывающих парные
взаимодействия планет. Поэтому в его разложении в ряд Фурье ни одна из
гармоник не может содержать комбинации углов более чем двух планет.
5Это преобразование относится к расширенному классу канонических преобразований,
при которых преобразуется и гамильтониан (в разделе 1.6 такой класс не рассматривался). —
Прим. авт.

2.5. Усреднение по средним движениям
59
Чтобы применить пертурбационный подход, возмущения εΗι в (2.38)
и (2.39) раскладываем в ряды Фурье и сохраняем только гармоники с
коэффициентами порядка ε, а гармоники с коэффициентами порядка ε2 или
выше низводим в возмущающую функцию более высокого порядка, ε2Ή,2\
таким образом, Η = Ηο+εΗι-\-ε2Η2· Функции Hi и ε%2 играют роль HfK
и HfK, определенных в (2.19). Аналитические свойства исходного
гамильтониана совместно с правилами Даламбера гарантируют, что Н\ содержит
лишь конечное число гармонических членов, которые можно вычислить
в явном виде.
2.5.1. Вековая нормальная форма
Нормальная форма порядка ε вычисляется как Н1 = S^H, где χ
удовлетворяет уравнению (2.10). Однако производящий гамильтониан χ
нельзя выбрать так, чтобы усредненный гамильтониан Hi зависел бы только от
переменных действия. Фактически из-за вырожденности задачи двух тел,
в которой частоты перигелиев и узлов тождественно равны нулю,
гармоники, не зависящие от средних долгот, но зависящие от перигелиев и узлов,
нельзя исключить.
Чтобы пояснить это, рассмотрим ограниченную задачу; анализ
планетной задачи отличен в основном только в обозначениях. В ограниченной
задаче, поскольку
Wl = E Σ с8и,т,,,,в,(л,р,д)
X explLikX+kjXj+mp+rrijPj+sq+Sjqj)], (2.40)
производящий гамильтониан χ формально будет иметь вид
*=Σ Σ -
Ск,ка,т,т^з,за\^ )Р iQ )
j k,kj>m ^(Л1)3 ^ *31Ь3
-Tlj,S,Sj
X exp[i(kX1+kjX']j+mp1+mjpj+sq1 + sjqj)], (2.41)
где k,kj,m,mj,s, Sj — целые числа, а новые канонические переменные
= ^х^ > · · · > λ = δ'χλ1,... задаются посредством рядов Ли (см.
формулу (2.6)). Тогда очевидно, что все гармоники с к = к3·, = 0 будут давать в χ

60
Глава 2
знаменатели, тождественно равные нулю. Поэтому такие гармоники нельзя
исключить и они должны быть удержаны в Hi. Как следствие, наилучшая
нормальная форма, которую можно надеяться построить, имеет вид
nl=na{k\K)) + eUl{K\P\Q\p\q\p3,qj) + 0{e2). (2.42)
Гамильтониан Н1 представляет собой, по определению, вековую
нормальную форму до порядка ε. В этой форме короткопериодические члены,
относящиеся к орбитальным периодам, исключены в результате усреднения;
таким образом, итоговый гамильтониан описывает долговременную, или
«вековую», эволюцию орбиты, а именно эволюцию переменных Р1 и Q1,
обусловленную прецессионными движениями перигелия р1 и узла q1.
Новые переменные (Λ^Ρ1,^)1, λ1,^1,^1), введенные при построении
вековой нормальной формы, называются средними модифицированными
переменными Делоне (порядка ε). По построению они являются переменными
«действие-угол» для гамильтониана вековой нормальной формы.
Формулы (1.69) позволяют по средним переменным Делоне определить средние
орбитальные элементы (α1,ε1,ζ1,Μ1,α;1,Ω1).
Вековую нормальную форму, однако, можно построить лишь в том
случае, если знаменатели k/(A1)3 + kjTij, появляющиеся в (2.41),
отличны от нуля при всех значениях к и kj, появляющихся в фурье-разложе-
нии Hi. Как обсуждалось в разделе 2.3, это накладывает ограничения на
область, где можно построить вековую нормальную форму. Конкретно,
разложение Н\ содержит лишь конечное число гармоник (k,kj), остальные
же низводятся в εΗ2\ поэтому уравнение к/А3 + kjfij = 0 имеет конечное
число решений Ao(k,kj,rij). Вековую нормальную форму можно
построить лишь в области (назовем ее U) значений Λ1, где исключены
подходящие окрестности Ao(k,kj,rij). Как будет пояснено в главе 4, область U
не должна содержать окрестности Ло размером y/ε. Если Л1 — Ло ~ y/ε,
то производящий гамильтониан χ тоже порядка y/ε, как и получающаяся
разность |Л — Л11 между исходными и новыми переменными. Таким
образом, чтобы гарантировать принадлежность А1 Е U, исходные действия Л
должны выбираться в области, содержащейся в U вместе с окрестностью
радиуса |Л — А1\. Эта ситуация эскизно показана на рис. 2.1. Резонансы
к/А3 + kjfij = 0 называют резонансами средних движений, поскольку они
включают средние движения рассматриваемого тела и j-ой планеты. В
планетной задаче резонансы средних движений даются уравнением
Л*(1 + εΑΓ1/?? /Α? + %(1 + е&Г^/Л? = 0, (2.43)
где индексы г и j обозначают две планеты.

2.5. Усреднение по средним движениям
61
V^
Ло
Л1
у/ё у/ё
Ло
Рис. 2.1. Эскиз геометрического построения вековой нормальной формы.
Нормальная форма может быть построена только в области |ЛХ — Ло| > y/ε (заштрихованная
область на верхнем рисунке). Чтобы обеспечить попадание Л1 в такую область,
исходное действие Л следует выбирать в области |Л — Ло) > 2y/ε (заштрихованная
область на нижнем рисунке). Фактически разность Л
достигать величины ~ у/ё
Л1 зависит от углов и может
Чтобы построить вековую нормальную форму более высокого
порядка по ε, описанную процедуру следует итерировать, определяя
последовательность производящих гамильтонианов χτ и последовательность
канонических преобразований (Лг_1 = 5^ЛГ,..., λΓ_1 = 5^λΓ,...) таких,
что преобразованный гамильтониан Hr = S^/Hr~l был бы в вековой
нормальной форме до порядка ег'. С этой целью χΓ определяется как решение
уравнения {Но,хг} + Нг = Нг, где функция Нг зависит только от
переменных действия, а также от перигелиев и узлов. Однако, как
обсуждалось в разделе 2.4, в егНг должны содержаться все гармоники,
коэффициенты которых эффективно имеют порядок εΓ, поэтому количество членов
в его фурье-разложении растет вместе с г. Более того, следует отметить,
что в ограниченной задаче в порядке ε2 член {7ΐι,χ} также генерирует
гармоники, зависящие от средних долгот тела и двух планет, а в порядке
£ член {{Wi,Xi},xi} генерирует гармоники, зависящие от средних
долгот тела и трех планет и т. д. Аналогично, в планетной задаче гармоники,
зависящие от комбинаций углов трех планет, появляются в порядке ε2;
гармоники, зависящие от комбинаций углов четырех планет, — в порядке ε3
и т· Д. Это подводит нас к более общему определению резонанса средних

62
Глава 2
движений, задаваемому соотношениями
к/А3 + Σ кМ = О, Σ %(1 + ε&Γ^/Λ? = 0 (2.44)
3 3
в ограниченной и планетной задачах соответственно.
По причине роста числа гармоник область, в которой строится вековая
нормальная форма, необходимо уменьшать на каждом шаге г путем
исключения окрестностей резонансов средних движений (2.44), чьи
соответствующие гармоники появляются в Нг. Размер этих исключенных окрестностей
составляет 0(у/ё) по Л, каков бы ни был порядок г шага нормализации,
поскольку |Л —Лг| ~ |Л — Л11 ~ у/е (см. рис. 2.1). Разумеется, область
определения исходного действия Л, где строится нормальная форма, должна быть
непустой. Этим накладывается ограничение на полное число окрестностей
резонансов, которые можно исключить. В свою очередь, это вынуждает
ограничить порядок г, до которого строится вековая нормальная форма.
К сожалению, из-за технических трудностей оперирования с рядами
при вычислениях на практике вековую нормальную форму строят лишь до
весьма ограниченных порядков по ε. В нескольких приложениях в
ограниченной задаче (см., например, Уильяме, 1969; Уильяме и Фолкнер, 1981;
Козаи, 1962; Накаи и Киношита, 1985; Иошикава, 1987) вековая нормальная
форма вычислена лишь до порядка ε путем простого усреднения
возмущения по средним долготам. Более того, поскольку производящий
гамильтониан в этих работах явно не вычислялся, средние элементы несколько
непоследовательно полагались просто равными начальным значениям оскулиру-
ющих элементов.
Более точное вычисление провели Милани и Кнежевич (1990),
вычислившие вековую нормальную форму до порядка ε2. Они учли в Ή\
возмущения, вызываемые Юпитером и Сатурном, и разложили Ή\ в ряд Фурье,
удерживая в нем гармоники с |fc| и \Щ\ не больше 14, а также разложили его
коэффициенты Ск,ка,т,т3,8,8э по степеням эксцентриситетов и наклонений,
удерживая члены до четвертой степени. Эти ограничения, в свою очередь,
ограничивают возможные значения га, rrtj, s и Sj согласно правилам Далам-
бера. Средние элементы были вычислены (при задании χ в явном виде) до
порядка ε, а не ε2, поскольку второй производящий гамильтониан χ<ι не
вычислялся явно.
Леметр и Морбиделли (1994) осуществили схожее вычисление, не
раскладывая, однако, возмущение в ряд по степеням эксцентриситета и
наклонения малого тела (но так же раскладывая по степеням эксцентриситетов

2.5. Усреднение по средним движениям
63
и наклонений планет). С этой целью в узлах регулярной решетки в
пространстве (а, е,г) они численно разложили возмущение и его
производные в ряды Фурье и построили вековую нормальную форму до порядка ε2.
Затем в приложениях они вычисляли вековую нормальную форму в
любой произвольной точке пространства (а, е, г) путем интерполяции данных,
найденных для узлов решетки.
Что касается планетной задачи, построения вековой нормальной
формы в рамках гамильтонова подхода, описанного в этом разделе, по
историческим причинам не производилось. Тем не менее получены эквивалентные
результаты. Ласкар (1985, 1986, 1988) численно получил уравнения
движения, соответствующие вековой нормальной форме порядка ε2. В них
учтены все планеты от Меркурия до Нептуна, а возмущения разложены до
шестого порядка по эксцентриситетам и наклонениям. Это потребовало
удерживать в рядах примерно 150000 членов. Бретаньон с сотрудниками в ряде
работ (см., например, Симон и Бретаньон, 1975; Бретаньон, 1974, 1982,
1990) строили аналитические эфемериды планет, представляющие все
орбитальные элементы в виде рядов Фурье по времени. Их последняя теория
для четырех планет-гигантов (все еще неопубликованная на момент
написания этой книги)6 эквивалентна вычислению вековой нормальной формы
и производящих гамильтонианов с удержанием всех членов,
соответствующих колебаниям эксцентриситетов, наклонений и относительных больших
полуосей с амплитудами более 2 χ Ю-7.
2.5.2. Резонансная нормальная форма для резонансов средних
движений
В практических приложениях вековую нормальную форму обычно
строят лишь до весьма ограниченного порядка по ε, но и здесь
приходится избегать окрестностей главных резонансов средних движений, а именно
резонансов, чьи гармоники проявляются в возмущении до порядка по ε,
не превосходящего порядок нормальной формы. Чтобы изучать динамику
в окрестностях таких резонансов, прежде всего надо построить
резонансную нормальную форму, следуя подходу, обсуждавшемуся в разделе 2.3.1.
Например, в ограниченной задаче в окрестности резонанса /c/Λ3 + kjUj = 0
необходимо удержать в нормальной форме гамильтониана не только
вековые углы ρ и q, но и резонансную комбинацию средних долгот φ = к\ +
+ kj\j, что порождает малые знаменатели в выражении (2.41) для произ-
Эта теория остается неопубликованной и на момент выхода в свет перевода книги. —
Прим. ред.

64
Глава 2
водящего гамильтониана χ. Поэтому последний определяется из решения
уравнения (2.10), при том что Hi полагают функцией от р1,^1 и φ1 (ρ =
— $χΡ1ι Q — ^χ^1' Ψ = ^χ^1)· ^ общем случае говорят, что гамильтониан
находится в резонансной нормальной форме (для резонанса средних
движений) до порядка εΓ, если он преобразован к виду
HrMMR = Но + еН?(Аг,Рг,Яг,рг,дг,<рг) +
+ ... erH?(Ar, Pr, Qr,Pr, qr, φΓ) + 0(er+1), (2.45)
где Ar,Pr,<2r,pr,gr,(/?r — новые переменные (называемые полусредними
модифицированными переменными Делоне), связанные с Λ, Р, Q,p, ρ, φ
через последовательность рядов Ли, а φ суть резонансная комбинация
средних долгот, соответствующая заданному резонансу. Полусредние
орбитальные элементы определяются из полусредних модифицированных
переменных Делоне путем обращения формул (1.69).
В практических приложениях, когда рассматривают резонансы
средних движений, связывающие средние долготы малого тела и
единственной планеты, резонансную нормальную форму обычно вычисляют лишь до
первого порядка по ε (см., например, Анрар и Леметр, 1983, 1987; Сессии
и Ферраз-Мелло, 1984; Ферраз-Мелло, 1987; Иошикава, 1990, 1991; этот
список далеко не исчерпывающий). В случае же резонансов, связывающих
средние долготы малого тела и двух планет, нормальную форму
вычисляют до порядка ε2 (Несворный и Морбиделли, 1998), поскольку в данном
случае коэффициент резонансной гармоники имеет порядок ε2.
Динамику, описываемую вековой нормальной формой, мы изучим
в главах 7 и 8 этой книги, а динамику, описываемую резонансными
нормальными формами (для резонансов средних движений), — в главах 9, 10
и 11. Но прежде нам необходимо в общих чертах разобраться в свойствах
возмущенной гамильтоновой динамики (главы 3, 4 и 6) и овладеть
некоторыми полезными инструментами для численного исследования этих
динамических свойств (глава 5).

Глава 3
КАМ-торы
3.1. Теорема Колмогорова
Из предыдущей главы следует, что для гамильтоновой системы в
общем случае невозможно построить нормальную форму Биркгофа до
произвольного порядка по ε на открытой области пространства действий из-за
плотного присутствия резонансов. Это препятствует глобальной
интегрируемости системы. Однако согласно главе 2 остается открытой возможность
интегрирования движения при частных значениях действий,
соответствующих нерезонансным частотам.
Простым гамильтонианом, хотя вообще и неинтегрируемым, но
допускающим одно точное решение, является
Η(1,φ)=Η0(1)+Η1(1,φ), где Ц^Ц = 0(||1||2), (3.1)
а I и φ — сопряженные переменные «действие-угол». Действительно, при
1 = 0 уравнения движения сводятся к
1 = 0, tp = gmd1H0{0), (3.2)
из которых очевидно, что I = 0 и φ = gradjWoWi + φ0 суть точное
решение, соответствующее начальным условиям (Ι, φ) = (0, <р0).
Следовательно, тор I = 0, φ Ε Tn (где η — число степеней свободы) инвариантен
относительно потока (3.1), поскольку всякая орбита, стартующая на торе,
никогда его не покинет.
В 1954 году Колмогоров сформулировал теорему, гласящую, что
если заданы аналитическая квазиинтегрируемая гамильтонова система
^4P»q) = Wo (ρ) + ε7^ι(ρ, q) и точка р0 в пространстве действий такие,
что
О ^о = gradp7io(Po) удовлетворяет диофантову условию (2.21) с
некоторыми постоянными 7 и т,

66
Глава 3
ii) Но локально невырожден по р0, то есть матрица с элементами
(dHo/dpidpj(p0)) имеет ненулевой определитель,
то существует пороговое ε, зависящее от о>сь такое, что для всякого ε < ε
каноническое преобразование (р, q) —► (Ι, φ) позволяет записать
гамильтониан в виде (3.1) с gradjWoiO) = ω0·
Теорема Колмогорова означает, что квазиинтегрируемые гамильтоновы
системы при достаточно малых возмущениях допускают инвариантные
торы, несущие движение с диофантовыми частотами. Уравнения Гамильтона,
в общем случае неинтегрируемые, можно проинтегрировать на этих торах.
Теорема Колмогорова позднее была обобщена и улучшена Мозером (1962)
и Арнольдом (19636); поэтому сейчас она повсеместно известна как КАМ-
теорема. Инвариантные торы, несущие нерезонансное движение, обычно
называют КАМ-торами.
3.1.1. Эскиз доказательства теоремы Колмогорова
Доказательство теоремы Колмогорова интересно и поучительно,
поскольку его схема представляет собой замечательное приложение теория
возмущений и нормальных форм, проиллюстрированной в предыдущей
главе.
Прежде всего разложим гамильтониан в ряд Тейлора по переменным
действия в окрестности точки р0, вводя обозначение ρ = ρ — р0.
Очевидно, что ρ и q являются каноническими переменными «действие-угол».
В новых переменных гамильтониан записывается как
W(p,q) =a.0-p+|p-Cp + 0(||p||3) + e[/o(q) + p-fi(q) + 0(||p|[2)], (3.3)
где С — матрица значений вторых производных от Но в точке р0,
/0 = Hi(p0, q), fi — вектор с компонентами dH\/dpj(p0, q), j = 1,... , η.
Через 0(||p||J) обозначены члены, имеющие порядок по действиям не
ниже j.
Будем теперь искать каноническое преобразование, которое (3.3)
преобразует к форме (3.1) до порядка ε2. Это делается путем композиции трех
канонических преобразований, каждое из которых задается посредством
подходящего производящего гамильтониана.
Первое из них имеет целью исключить в возмущении член /o(q).
Зададим производящий гамильтониан %сь не зависящий от действий, и
каноническое преобразование ρ = 5ΐ0ρΐ9 q = 5ν04ι· Β новых переменных

3.1. Теорема Колмогорова
67
гамильтониан (3.3) принимает вид
S£X0H = ω0 ■ Pl + -Ρ! · CPl + 0(||Pl||3) + ε[{ω0 ■ Ρχ,χο} + /o(Qi) +
+ {Pi · CPl)Xo} + Ρι · fi(4l) + 0(||Ρι||2)] + 0(ε2).
(3.4)
Легко видеть, что последние два члена в первой строке не зависят от
действий, а первые два члена во второй строке линейны по рх. В дальнейшем
мы обозначаем выражение {рх · Срг,Хо} + Pi · fi(qi) через рх · f^^qj.
В качестве производящего гамильтониана χο выбираем решение уравнения
{ω0 · Ρι,Χο} + /o(Qi) = /о, где через /0 обозначено среднее от /0 по
углам. Не зависящие от действий члены исчезают — от них остается лишь
константа, которую в итоговом гамильтониане можно опустить.
Раскладывая /о в ряд Фурье:
/o(Qi) = Σ Ckexp^k-qJ, (3.5)
k£Zn
имеем
Xo(qi) = -^ Σ ^-^-exp(tk-q1), (3.6)
k£Z™\0 ' °
где через k Ε Zn \ 0 обозначены все ненулевые целочисленные векторы.
Как мы уже убедились в предыдущей главе, поскольку /о является
аналитической функцией (что следует из аналитичности исходного
гамильтониана), а ω0 диофантово, ряд Фурье, определяющий χο в (3.6), сходится
абсолютно.
Второе преобразование служит для исключения нового члена
Pi'fi,i(Qi) B (3-4). Зададим производящий гамильтониан χι, линейный
по действиям, и каноническое преобразование рх = SXlp2, qi = З^Чг-
В новых переменных гамильтониан (3.4) принимает вид
Sx^XQH = ω0 · р2 + \р2 · Ср2 + 0(||р2||3) +
+ ε[{ω0 · Р2, Xi} -f Р2 · fi,i(q2) + 0(||р2||2)] + 0(ε2).
Легко видеть, что первые два члена во второй строке линейны по
действиям. Производящий гамильтониан χι определяется как решение уравнения
ίωο · Ρ2,Χι} + р2 · f 1,1(42) — Р2 * f ι,ι» гДе через f^i обозначено среднее

68
Глава 3
от fхд по углам. Записывая χχ = р2 · g(q2) и раскладывая f хд как
fi,i(q2)= Σ dkexp(^k-q2), (3.8)
kEZ™
имеем
в(<Ь) = -* У" —i-exp(^k-q2). (3.9)
К · u/n
k£Z™\0
Опять же, поскольку f хд аналитична, а ω о диофантово, ряд,
определяющий g, абсолютно сходится.
Однако это второе преобразование дает в итоге гамильтониан
^l5J0W = u>0-p2 + ip2-Cp2 + O(||p2||3) + e[p2-f1,1 + O(||p2||2)] + O(£2),
(3.10)
где все еще присутствует линейный по действиям член (p2-f χ д) в порядке ε.
Из-за этого члена частоты тора р2 = 0 (вычисленные в пренебрежении
членом О (ε2)) теперь равны ω о + efi.i· Эти частоты отличаются от ω о лишь
на величину порядка ε, но этого может оказаться достаточно для потери
ими их существенного диофантова свойства, что тем самым влечет запрет
итерирования описанной процедуры для исключения угловых членов, не
зависящих от действий и линейных по действиям при более высоких
порядках по ε. Однако невырожденность матрицы С в (3.3) (гарантированная
условием (п) теоремы) обеспечивает, что вблизи тора р2 = 0 будет
существовать тор р2 = εδρ с ||<5р|| = 0(1), с частотами ωο + εΐι^+εΟδρ = ω$.
Фактически достаточно положить δρ = — С~Чхд, где С-1 — матрица,
обратная С (она существует, поскольку определитель матрицы С отличен от
нуля по условию невырожденности). Таким образом, мы задаем третье
каноническое преобразование: р3 = р2 — εδρ, q3 = q2. Его можно записать
как р2 = 5^5 р3, q2 = S£5 q3, где χ$ρ = — δρ · q3. Как следствие, в новых
переменных «действие-угол» гамильтониан можно записать как
SlPSlSxoH = ωο·Ρ3 + ^Ρ3·^Ρ3+0(||Ρ3ΐ|3)+εΟ(||ρ3||2)+0(ε2). (3.11)
Гамильтониан (3.11) имеет форму (3.1) — так называемую колмогоровскую
нормальную форму — до второго порядка по ε.
Описанную процедуру можно итерировать, придавая гамильтониану
колмогоровскую нормальную форму до все более и более высокого
порядка по ε. Используется последовательность трех преобразований вида ρ =
= 5e(r)p/, q = 5e(r)q/, где через р, q, ρ', q', как обычно, обозначены старые

3.2. Свойства КАМ-торов
69
и новые переменные «действие-угол», а через χ^ — подходящие
производящие гамильтонианы для исключения членов, не зависящих от действий
или линейных по ним в каждом порядке г по ε. В данном случае не
существует принципиальных препятствий для итерирования нормализующей
процедуры до бесконечного порядка, поскольку колмогоровская
нормальная форма требует не полного исключения гармоник (что было бы
невозможно из-за плотного присутствия резонансов), но лишь тех из них, чьи
коэффициенты не зависят от действий или линейны по ним. Коэффициенты
гармоник могут иметь величину до 0(ε||ρ|| ). Строгие оценки
показывают, что ряд, получающийся при нормализации до порядка г, сходится при
г —> όο, если ε достаточно мало (см., например, Джиорджилли и Локателли,
1997). Это доказывает теорему Колмогорова.
Теорема Колмогорова также справедлива для гамильтонианов,
зависящих от времени, вида Но(р) + eWi(p,q,&ί£, ... ,ι/η£), если частоты
ν\,..., νη диофантовы. Из главы 1 мы знаем, что гамильтониан можно
записать в автономной форме, как в (1.31). Очевидно, что теорему
Колмогорова нельзя применить к такому гамильтониану, поскольку 7ΐο(ρ) +
-f ^jVjTj, очевидно, вырожден. Однако если обратиться вновь к схеме
доказательства, то станет очевидным, что, поскольку в возмущении Н\
нет действий 7}, частоты &Ί,...,&νι в процессе построения колмогоров-
ской нормальной формы никогда не изменяются. Таким образом, никогда
не возникает необходимости применить третье преобразование (для
которого только и требуется выполнение условия невырожденности) к
действиям Tj. Поэтому условие невырожденности Wo(p) относительно действий ρ
является достаточным.
3.2. Свойства КАМ-торов
КАМ-теорема дает первичное представление о динамических
свойствах квазиинтегрируемых гамильтоновых систем при достаточно малых
возмущениях. Как проиллюстрировано в главе 1, динамика интегрируемой
аппроксимации Но(р) дает слоение фазового пространства на
инвариантные торы; при этом действия ρ постоянны, а углы q циркулируют линейно
со временем с частотами и>о(р) (левая панель рис. 3.1). Если добавить
малое возмущение ε7ΐι(ρ, q), то КАМ-теорема гарантирует, что некоторые
торы с диофантовыми частотами сохранят инвариантность относительно
потока полного гамильтониана Но + εΗι. Для каждого инвариантного тора
можно задать новые локальные переменные «действие-угол» Ι, φ, такие,

70
Глава 3
что гамильтониан преобразуется к форме (3.1). В этих переменных
движение на торе является очень простым: действия I постоянны на
инвариантном торе, а углы φ циркулируют линейно со временем. В исходных
переменных р, q движение на торе можно вычислить путем композиции всех
преобразований, потребовавшихся для приведения гамильтониана к
форме (3.1). Поскольку каждое из этих преобразований периодично по углам,
соотношение между р, q и I, <р имеет вид ρ = Ρ(Ι, φ), q = Q(I, φ), где
функции Р и Q периодичны по φ, a Q-1 периодична по q.
Следовательно, на торе углы q уже более не являются линейными функциями
времени, но их спектр Фурье имеет постоянные частоты, тогда как действия ρ
демонстрируют осцилляции, периодические по углам q (поскольку ρ =
= P(I, Q~ (q))) и квазипериодические по времени (поскольку углы имеют
нерезонансные частоты). Однако среднее от ρ по времени не равно
значению р0, при котором невозмущенные частоты с^о(Ро) равны частотам
инвариантного тора. Другими словами, при заданном векторе частот
возмущенный инвариантный тор испытывает сдвиг в фазовом пространстве
относительно невозмущенного тора. Эта ситуация проиллюстрирована на
рис. 3.1. Отметим, что о возмущенной динамике вне инвариантных торов
КАМ-теорема ничего не говорит. В этом случае, как будет показано в
следующей главе, требуется изучать резонансную динамику.
Р\
ε = 0
Р\
ε/0
Я Я
Рис. 3.1. В случае интегрируемого гамильтониана фазовое пространство
расслаивается на инвариантные торы. Согласно КАМ-теореме, торы с диофантовыми
частотами сохраняются, если возмущение мало. Однако действия на возмущенных торах
являются уже не константами движения, а периодическими функциями углов. Более
того, средние значения действий на КАМ-торе в общем случае отличны от значений
действий, соответствующих невозмущенному тору с теми же частотами

3.2. Свойства КАМ-торов
71
Величина возмущения ε определяет, какие торы сохраняют
инвариантность среди всех невозмущенных торов с диофантовыми частотами.
Теорема Колмогорова утверждает, что величина ε должна быть меньше
пороговой ε. Последняя зависит от вектора частот через константы 7 и т,
характеризующие диофантово свойство (2.21). Согласно теореме Колмогорова
оказывается, что ε ~ 74· Следовательно, с увеличением возмущения число
сохраняющих инвариантность торов уменьшается; «выживают» лишь
торы с достаточно большими 7· Если ε достаточно велико, то инвариантных
торов не остается вообще. КАМ-теорема в версии Арнольда (19636)
утверждает, что мера Лебега множества инвариантных торов отлична от нуля,
если ε достаточно мало. Более того, эта мера растет с уменьшением ε,
и в пределе ε —► 0 она стремится к 1. Более поздняя оценка Нейштадта
(1982) показывает, что эта мера стремится к 1 как 1 — у/е. Данный
результат можно интерпретировать с вероятностной точки зрения. Представим
себе, что мы численно исследуем гамильтонову систему и, ничего не зная
заранее о ее динамике, задаем начальные условия для тестовых орбит
случайным образом. Если пренебречь ошибками округления, вероятность
случайного выбора начальных условий на КАМ-торе пропорциональна мере
Лебега множества КАМ-торов. Таким образом, в свете результата Арнольда
вероятность того, что орбита интегрируется на КАМ-торе, в пределе очень
малых возмущений близка к 1. Это свойство будет проиллюстрировано на
численных примерах в следующем разделе.
В гамильтоновых системах с двумя степенями свободы каждый КАМ-
тор разделяет фазовое пространство на две динамически несвязанные
части. Фактически фазовое пространство четырехмерно, но сохранение
гамильтониана принуждает движение происходить в трехмерном
пространстве. Инвариантный тор представляет собой двумерное многообразие,
погруженное в это трехмерное пространство. Как следствие, траектории не
могут перейти из области с одной стороны инвариантного тора в область на
другой стороне, не пересекая тор; очевидно, это невозможно в силу
определения инвариантности (инвариантность как раз и означает, что временная
эволюция при любых начальных условиях на торе никогда не приведет
к уходу с тора). В следующем разделе будет дана иллюстрация
изолирующего свойства КАМ-торов в системах с двумя степеней свободы. Для
гамильтоновых систем с числом степеней свободы более двух изолирующее
свойство уже не имеет места из-за большей коразмерности КАМ-торов
относительно размерности фазового пространства. В случае η степеней
свободы размерность фазового пространства равна 2п. Сохранение
гамильтониана принуждает движение происходить в (2п - 1)-мерном простран-

72
Глава 3
стве. КАМ-тор имеет размерность п; следовательно, коразмерность равна
η — 1. Это означает, что фазовое пространство разделяется на несвязные
области, только если η φ 2. «Визуализировать» этот важный и строгий
геометрический вывод очень трудно, так как нельзя наглядно представить
себе пространство или поверхность, имеющие размерность соответственно
более трех или двух. Чтобы все же получить интуитивное нестрогое
представление, вместо рассмотрения динамики в фазовом пространстве
удобно обратить внимание на пространство частот, которое, если учесть
постоянство гамильтониана, в случае системы с η степенями свободы имеет
лишь (п — 1) измерений. В системе с двумя степенями свободы на
поверхности постоянного гамильтониана пространство частот представляет
собой прямую, параметризуемую отношениями ωι/α^. На этой линии частот
КАМ-торы суть фиксированные точки, соответствующие диофантовым
отношениям; здесь очевидно, что всякий КАМ-тор разделяет пространство
частот на две несвязанные части. Траектории, не лежащие на
инвариантных торах, могут, в принципе, блуждать по линии частот, но не могут
выходить за точки, соответствующие диофантовым отношениям (см. рис. 3.2),
то есть движение ограничено КАМ-торами. В системе с тремя степенями
свободы на поверхности постоянного гамильтониана пространство частот
двумерно. В качестве координат можно выбрать отношения частот ω\/ω$
и о^Л^з- Опять же КАМ-торы на этой плоскости частот представлены
точками, а траектории, не лежащие на инвариантных торах, могут на ней
блуждать. Из рис. 3.2 очевидно, что они могут демонстрировать «слалом» среди
КАМ-торов и «диффундировать», в принципе, повсюду.
Обрисованная картина, однако, несколько наивна, так как «слаломное»
продвижение среди КАМ-торов может быть экстремально долгим по
времени. В этом можно убедиться следующим образом. Если гамильтониан
записан в колмогоровской нормальной форме (3.1), то в окрестности
инвариантного тора можно строить нормальную форму Биркгофа, то есть
исключать все члены порядка г по ε, зависящие от углов, увеличивая г
до оптимального порядка. Эта процедура полностью аналогична
проиллюстрированной нами в разделе 2.4.1, так что оптимальная величина остатка
нормальной формы определяется минимальным порядком резонансов,
пересекающих область, где строится нормальная форма. В окрестности ΙΑρ
(радиуса ρ) инвариантного тора 1 = 0 имеем
|к · ω(Ι)| = |к · ω(0) + к · (ο,(Ι) - ω(0))| >
> Ilk· ω(ο)| - |к|И1) - ω(ο)|| > -!- - |к|ад> (3'12)

3.2. Свойства КАМ-торов
73
ωι/
/ω
хаотическая орбита
χ ч ν-— X X-
\
t
\ /
КАМ-торы
(п = 2)
ωλ/
/ω
хаотическая орбита
(п = 3)
ωι/
/ш
Рис. 3.2. Интуитивный эскиз инвариантных торов и «диффузии» в пространстве
частот. В случае двух степеней свободы пространство частот при заданном значении
гамильтониана является прямой (схема слева), а в случае трех степеней свободы —
плоскостью (схема справа). В пространстве частот инвариантные КАМ-торы
являются инвариантными точками. Поэтому в системах с двумя степенями свободы
КАМ-торы ограничивают «диффузию» в пространстве частот, а в системах с
тремя степенями свободы хаотические орбиты могут демонстрировать «слалом» среди
КАМ-торов и «диффундировать», в принципе, повсюду
где ω(ΐ) — частоты тора I в интегрируемом приближении Но(1)· Мы
использовали диофантово свойство частот ω(0) и тот факт, что для
всякого I G ΙΑρ выполняется ||ω(Ι) — ω(0)|| ^ αρ при некотором
положительном а. Как следствие, к · ω(ΐ) может быть равно нулю только в случае
|к| ^ {η/αρ)1^τ+ι\ Поэтому резонансы низшего порядка в ΙΑρ имеют
порядок о ~ 1/ ρί^η"3Γΐ\ а. величина остатка оптимальной нормальной формы
Биркгофа составит ~ ехр[—ρ1^7"-*"1)].1 Это означает, что «слалом» около
инвариантного тора на рис. 3.2 должен быть экспоненциально медленным
по величине, обратной расстоянию от него. В действительности, как будет
показано в главе 6, ситуация даже еще критичнее: существует пороговое ρ
такое, что внутри ΙΑρ дрейф в пространстве частот является суперэкспонен-
Этот результат можно сопоставить с результатом, полученным в разделе 2.4.1, если
положить ρ = ε. Отличие состоит в том, что в разделе 2.4.1 минимальный размер области, где
можно строить нормальную форму, составляет ~ ε, поскольку исходные действия ρ
осциллируют с амплитудой порядка ε. Здесь же, используя действия I, постоянные на инвариантном
торе, нормальную форму можно построить в любой окрестности произвольного малого
размера ρ. — Прим. авт.

74
Глава 3
циально медленным. Таким образом, в системах с более чем двумя
степенями свободы КАМ-торы, если они достаточно плотны, могут сохранять свою
роль эффективных барьеров для «диффузии» в фазовом пространстве. Эти
барьеры могут быть преодолены только по истечении экстремально долгих
интервалов времени.
3.3. Численные примеры
Наглядные примеры динамической структуры, описываемой КАМ-
теоремой, можно дать для гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы, так как в этом случае КАМ-торы легко визуализировать с помощью
так называемых сечений Пуанкаре.
Сечения Пуанкаре весьма полезны, поскольку они позволяют
представить динамику системы с двумя степенями свободы на двумерных
изображениях, соответствующих заданным значениям гамильтониана. Это
достигается следующим образом. Рассмотрим гамильтонову систему
W(pi,<7i,p2>(72) (где ρι,^ι и Р2>#2 — канонические переменные
«действие-угол»), ограничившись траекториями, удовлетворяющими условию
W(pi,^i,p2,92) = С, где С — некоторая константа. Выберем двумерную
поверхность Σ, трансверсальную большинству таких траекторий.
Поскольку переменные действия системы в общем случае совершают лишь малые
осцилляции, а углы циркулируют (изменяясь от 0 до 2π), в качестве
искомой Σ обычно выбирают поверхность, определяемую постоянным
значением одного из углов, например q2 = 0. При заданном значении С,
значения ρι,#ι на поверхности q2 — 0 однозначно определяют значение
оставшегося действия р2, которое можно вычислить, решая неявное
уравнение W(pi,<h,P2,0) = С. Теперь, численно интегрируя уравнения движения
(см., например, Пресс и др., 1986), находим последовательные пересечения
каждой траекторией поверхности Σ и учитываем только те из них, которые
происходят в заданном направлении, например для которых q2 > 0.
Последовательность точек ρι,<7ι, отмечаемых таким образом на Σ каждой из
траекторий, дает однозначное стробоскопическое изображение временной
эволюции траектории в фазовом пространстве.
Если траектория лежит на КАМ-торе, то последовательность точек
Pi » Qi должна ложиться на одномерную кривую. В самом деле, на КАМ-
торе действия являются периодическими функциями углов; поэтому,
обозначая через ρι = Ρ(<7ι,<72) периодическую зависимость р\ от обоих
углов q\ и #2, находим, что на поверхности Σ, определяемой условием q2 — 0,

3.3. Численные примеры
75
точки ρι,<7ι должны лежать на кривой ρχ = Ρ(ρχ,Ο). Более того,
поскольку углы имеют нерезонансные частоты (см. определение нерезонансности
в разделе 1.8), при каждом пересечении поверхности Σ угол q\ должен
принимать на промежутке [0,2π] новое значение, и поэтому с течением
времени последовательность точек на Σ должна плотно заполнять кривую
ρλ = Р(дь0). Следовательно, если вычислять сечение Пуанкаре
достаточно долго, то КАМ-торы проявятся как сплошные кривые, охватывающие
весь промежуток [0,2π].
Чтобы привести пример, нам гораздо проще не выписывать гамиль-
тонову систему с двумя степенями свободы и численно строить ее
сечение Пуанкаре, а использовать так называемое стандартное отображение,
определяя последовательность точек p\,q\ явно путем итерирования
соотношений
q[=Qi+Pi, p[ =Pi + esin(gi). (3.13)
Стандартное отображение можно рассматривать как сечение Пуанкаре
системы с двумя степенями свободы (Анрар, 1970), хотя последнюю и нельзя
записать в явном виде2. Поэтому приведенные выше соображения о
виде КАМ-торов на сечениях Пуанкаре применимы и в случае стандартного
отображения. Если в (3.13) положить ε = 0, то стандартное отображение
сводится к сечению Пуанкаре при q2 = 0 для интегрируемой гамильтоно-
вой системы H(pi,qi,p2,Q2) = Pi/2 -f 2πρ2', таким образом, ε играет роль
параметра возмущения.
На рис. 3.3 приведены фазовые портреты стандартного отображения
для различных значений ε. Обсудим эти портреты в свете КАМ-теории.
Читатель может также сам легко запрограммировать уравнения стандартного
отображения на компьютере и познакомиться с динамическими
структурами, характерными для различных значений параметра возмущения.
Для построения фазовых портретов на рис. 3.3 выбрано 20 начальных
точек на оси qi = 0, причем эти точки (начальные значения р\)
распределены на промежутке [—π, π] регулярно. При малом ε (панель (а)) каждое
начальное условие порождает орбиту, лежащую на КАМ-торе. Это
означает, что занимаемый КАМ-торами объем велик. Отметим, однако, что торы
существенно искажены по сравнению со случаем ε = 0, когда р\ было бы
постоянно на каждом торе. Благодаря искажению торов у прямой р\ = 0
создается «пустая область». Это не что иное, как резонансная область
(соответствующая резонансу qi = 0); траектории внутри нее не пересекают ось
2Можно, если использовать дельта-функции, см. Чириков (1979). — Прим. ред.

76
Глава 3
(α) ε = 0.2 (б) ε = 0.6
Рис. 3.3. Фазовые портреты стандартного отображения при различных значениях ε.
Обратите внимание, что с увеличением ε КАМ-торы все более искажаются и их
становится все меньше, тогда как хаотические области все более и более
увеличиваются. См. комментарии в тексте
qi = 0, так что их нельзя построить при нашем выборе начальных условий.
Динамика внутри резонансной области будет детально исследована в
следующей главе. Наконец, отметим следующий факт: тогда как большинство
КАМ-торов проявляются на панели (а) как сплошные кривые, один из них,
проходящий через точку ρ χ = —2.24 (а также, по симметрии, и через ρ ι =
= 2.24) на оси qi = 0, выглядит как пунктирная кривая. Объясняется это

3.3. Численные примеры
77
тем, что время, необходимое для видимого заполнения тора плотным
(относительно разрешения графика) образом, зависит от частот на торе. Чем
ближе отношение частот к рациональному числу, тем больше это время.
При построении рис. 3.3 число итераций стандартного отображения для
каждого начального условия составило лишь 1000; если его удвоить, то
пунктирный тор также будет выглядеть сплошным.
В случае панели (б) значение ε увеличено в три раза. Динамическая
структура существенно изменяется. Теперь лишь 14 начальных условий
порождают траектории, лежащие на КАМ-торах. Начальные условия с ρχ =
= ±2.84 и pi = ±1.36 порождают траектории, все еще лежащие на
инвариантных кривых, но эти кривые имеют топологическую структуру,
отличную от структуры КАМ-торов: они выглядят как цепочки кружков
(островов). Эти инвариантные кривые также соответствуют резонансной
динамике; они будут обсуждаться в следующей главе. Наконец, траектории с
начальными условиями pi = ±0.15, q\ = 0 не лежат на инвариантных
кривых, а выглядят как множество рассеянных точек. Область, покрытая
такими точками, называется хаотической областью. Мы увидим, что ее
существование также связано с резонансной динамикой. В хаотической области
КАМ-торы отсутствуют и действия не являются периодическими
функциями углов. Отметим, что искажения инвариантных торов и размеры «пустой
области» в центре портрета увеличились по сравнению с панелью (а).
В случае панели (в) лишь четыре начальных условия порождают
траектории, лежащие на КАМ-торах. Это наглядно демонстрирует, что объем,
занятый КАМ-торами, уменьшается с увеличением параметра ε.
Хаотические зоны проявляются теперь и вокруг некоторых цепочек островов, а не
только, как в случае панели (б), вокруг центральной «пустой области». Как
уже было отмечено в предыдущем разделе, «выживающие» КАМ-торы
разделяют пространство (ρι,^ι) на несвязанные области, ограничивая
динамическую эволюцию траекторий в хаотических областях. Например,
траектория, стартующая с линии р\ = —0.15, никогда не достигнет области
с pi < —2.5, поскольку для этого нужно пересечь КАМ-тор.
Наконец, на последней панели (г) КАМ-торов вообще нет.
Хаотические области слились воедино и теперь доминируют на фазовом портрете
системы. В хаотической зоне невозможно различить траектории с разными
начальными условиями. Действие р\ может с течением времени принимать
на этих траекториях любые значения.
Из приведенных примеров ясно, что КАМ-теорема способна дать
удовлетворительное описание глобальной динамической структуры системы

78
Глава 3
лишь при малых значениях параметра возмущения. Если последний
увеличивать, то КАМ-торов становится все меньше и меньше и появляются
другие структуры. Поэтому, чтобы иметь полное представление о гамиль-
тоновой динамике, необходимо исследовать также дополнение КАМ-торов,
а именно резонансную динамику и взаимодействие резонансов. Это будет
сделано в следующей главе и в главе 6.

Глава 4
Динамика одиночного резонанса
4.1. Интегрируемое приближение
Рассмотрим квазиинтегрируемый гамильтониан W(p,q) = Wo(p) +
+ ε7ΐι(ρ, q) c n степенями свободы и сосредоточим внимание на
области U с одним главным резонансом единичной кратности (см. раздел 1.10,
где дано определение кратности) в пространстве действий. Анализ
резонансной динамики начнем с построения резонансной нормальной формы
с целью минимизации гармоник, не относящихся к главному резонансу.
Обозначим через к минимальный ненулевой целочисленный вектор,
относящийся к главному резонансу, а именно вектор минимальной нормы такой,
что к · cjo(p) — 0 Для некоторого ρ Ε U\ и построим резонансную
нормальную форму относительно резонансного модуля Лч, порождаемого к
(см. определение (2.33)).
Согласно главе 2 резонансная нормальная форма гамильтониана имеет
вид
norm (p,k-q)+7J(p,q), (4.1)
где для простоты для новых переменных «действие-угол», введенных для
построения нормальной формы, сохранено обозначение p,q.
Нормализованное возмущение Wnorm, величина которого не больше ε, содержит
только главную резонансную гармонику к · q и кратные ей; через ΊΖ обозначен
остаток оптимальной нормальной формы, величина которого будет
обсуждаться в разделе 4.3.
На данный момент мы пренебрежем остатком ΊΖ и рассмотрим
только усеченный резонансный гамильтониан HTes = Но + Wnorm· С целью
анализа динамики HTes удобно ввести новый угол φι = к · q. Это можно
осуществить путем канонического преобразования. Согласно лемме 4 из
работы Морбиделли и Джиорджилли (1993), всегда можно определить
матрицу U с целочисленными элементами, единичным определителем и
первой строкой, составленной из компонентов вектора к: к\,..., кп. Обозначим

80
Глава 4
через (UT)~1 матрицу, обратную транспонированной матрице U.
Преобразование φ = C/q, I = (UT)~lp является каноническим, и по построению
оно дает φι = к · q. Угол φι обычно называют резонансным углом, или
критическим углом резонанса. В новых переменных HTes имеет вид
Иге8(1, Ψ) = Wo(I) + W„orm(I, φι). (4.2)
Так как система зависит только от одного угла (а именно, φι),
гамильтониан HTes тривиально интегрируем1. Действия /2> · · · ,1п являются
константами движения, поэтому интерес представляет динамика на плоскости
(Ιΐιψι)- На этой плоскости движение эволюционирует вдоль кривых
постоянного уровня Hresihiifi), а остальные действия играют роль параметров.
В случае общего положения динамика HTes на плоскости (Д, φι) имеет
локальную структуру динамики маятника. Это можно показать следующим
образом. Обозначим через р* значение вектора действий р, являющееся
точно резонансным, то есть удовлетворяющее уравнению к · о>о(р*) = 0.
Пусть I* = (С/Т)_1р*. Положим теперь в (4.2) действия 12,..., /п равными
Ц, ·. · ,1п и разложим гамильтониан в ряд Тейлора по Д в окрестности
точки Ц. Полагая Д = Д — Ц и пренебрегая членами порядка If в Но
и порядка Д в Wnorm, находим, что (4.2) приобретает вид
HTes = а(Г)Д + ^Д2 -f И„огт(Г^1), (4.3)
где а и β — коэффициенты при членах первого и второго порядков
разложения Но в ряд Тейлора. В этом выражении α должно быть равно нулю;
действительно, если ограничиться Но, то α равно φ ι в точке резонанса
Д = 0, а ψι = к · q = k · ω0(ρ*) = 0. Наконец, в (4.3) разлагая Wnorm
в ряд Фурье по φι, оставим только главный член. Без ущерба для
общности предположим, что ведущей гармоникой является c(I*) cosc/?i, тогда
гамильтониан HTes приобретает вид
Wres = -Д2Н-ccosc^i, (4.4)
представляющий собой известный всем гамильтониан маятника.
]Если бы рассматриваемый резонанс имел кратность т > 1, то результирующая
усеченная нормальная форма не была бы интегрируемой, так как в этом случае она зависела бы от
т независимых углов. Случай резонансов более высокой кратности будет обсуждаться в
главе 6. — Прим. авт.

4.1. Интегрируемое приближение 81
О ψι 2π
Рис. 4.1. Интегрируемая резонансная динамика в локальных прямоугольных
координатах (левая панель) и в глобальных полярных координатах (правая панель).
Жирной кривой показана сепаратриса; пунктирная прямая/окружность
соответствует невозмущенному резонансному значению 1\ = If
На левой панели рис. 4.1 показана динамика маятника в случае, когда
коэффициенты β и с оба положительны; левая и правая границы панели
тождественны друг другу. Маятник имеет две точки равновесия, обе при
Д = 0: одна из них при φι = 0 — неустойчивая, или гиперболическая,
другая при φι = π — устойчивая, или эллиптическая. Жирная кривая,
соединяющая неустойчивую точку равновесия саму с собой (по модулю 2π),
называется сепаратрисой, так как она разделяет плоскость (ίι,</?ι) на три
области с различными динамическими свойствами. В области выше
сепаратрисы угол φι циркулирует (изменяясь от 0 до 2π) с положительной
производной; частота циркуляции монотонно растет с увеличением расстояния
от сепаратрисы. В области ниже сепаратрисы угол φ ι тоже циркулирует,
но с отрицательной производной. В области внутри сепаратрисы угол φι
либрирует около значения π, и движение эволюционирует по замкнутой
кривой вокруг устойчивой точки равновесия. Частота либрации равна у/ф
для траектории, ближайшей к устойчивому равновесию, и уменьшается до
нуля с приближением к сепаратрисе. На сепаратрисе, требуется
бесконечное время для движения от точки неустойчивого равновесия к ней же, так
как при приближении к точке неустойчивого равновесия движение
замедляется экспоненциально со временем. Области выше и ниже сепаратрисы
называются областями циркуляции, а область внутри сепаратрисы —
областью либрации. Резонансная область суть не что иное, строго говоря, как
область либрации, поскольку лишь для либрирующих орбит усредненная
производная от φι по времени равна нулю. Выше и ниже сепаратрисы φι,
напротив, в среднем положительна или отрицательна. Полуширина резо-

82
Глава 4
нансной области, измеряемая как значение Д в апексе сепаратрисы, равна
2 у/с/'β. Поэтому минимальный размер области U для построения
резонансной нормальной формы должен составлять Ay/c/β по Д. В разделе 4.3 мы
увидим, каким образом это определяет величину остатка оптимальной
нормальной формы. Полуширина резонанса в пространстве невозмущенных
частот равна невозмущенной частоте резонансного угла ψ\ в апексе
сепаратрисы, а именно 2у/]3с.
Разумеется, (4.4) является лишь локальной аппроксимацией
динамики Hres около Д = Ц. Но в большинстве задач небесной механики Ди^
образуют систему глобальных полярных координат. Глобальное
представление резонансной динамики в этих координатах показано на правой панели
рис. 4.1. Очевидно, около Д = Ц динамика топологически
эквивалентна показанной на левой панели; однако вблизи начала координат Д = О
имеется третья (устойчивая) точка равновесия. Фактически в канонических
прямоугольных координатах χ = \/2Д sin φь у = у/21 χ cos у?ι, коль скоро
гамильтониан 7ires аналитичен в точке χ = у = 0 (что для
гамильтонианов небесной механики гарантируется правилами Даламбера), все кривые
должны быть гладкими; поэтому вблизи центра кривые должны быть
топологически эквивалентны окружностям вокруг фиксированной точки.
Свойство аналитичности в точке Д = 0 означает, что разложение (4.2) в ряд
Фурье имеет вид ^т ст(Д) exp[rniy?i], где ст(Д) ~ /™/2+fc? д. _ не0Т_
рицательное целое число (см. обсуждение правила 4 в разделе 1.9.3). Если
ci(h) = y/h (то есть к = 0), то точка равновесия сдвинута относительно
Д = 0, а во всех других случаях она расположена в Д = 0.
Портрет на рис. 4.1 можно считать парадигмой интегрируемой
резонансной динамики. Фактически учет гармоник более высокого порядка
по φ ι и полный учет зависимости от Д для всех коэффициентов могут
деформировать динамический портрет Hres по сравнению с портретом на
правой панели рис. 4.1, но в общем случае это не изменяет его главных
особенностей: наличия устойчивой точки равновесия, окруженной
сепаратрисой, соединяющей неустойчивую точку равновесия саму с собой, и наличия
второй устойчивой точки равновесия вблизи начала полярных координат.
4.2. Резонансные переменные «действие-угол»
Так как усеченная резонансная нормальная форма (4.2)
интегрируема, согласно теореме Арнольда-Лиувилля можно ввести новые
переменные «действие-угол» J,i/> и записать HTes в виде функции только

4.2. Резонансные переменные «действие-угол» 83
действий J. Назовем эти новые переменные резонансными
переменными «действие-угол». Введение резонансных переменных «действие-угол»
очень важно в небесной механике для возможности детального анализа
возмущенной резонансной динамики. Поэтому в данном разделе мы подробно
рассмотрим, как эти переменные определяются и как в приложении к
новому гамильтониану использовать численные методы.
Поскольку в (4.2) действия /2> ··· Дп являются константами движения,
новые действия J2,..., Jn просто равны исходным, то есть J2 = /2,..., Jn =
= In. Определить J\ сложнее. Коль скоро значения /2»···»Λι
фиксированы, гамильтониан (4.2) сводится к гамильтониану с одной степенью
свободы. Таким образом, в переменных Ι\,φ\ каждая траектория
представлена замкнутой кривой. Эти кривые являются циклами, используемыми
согласно рецепту Арнольда для определения нового действия. Как видно из
рис. 4.1, в резонансной задаче есть вращательные циклы (где ψχ
принимает значения от 0 до 2π) и колебательные циклы (где ψ\ ограничено между
^lmin и Vimax)· На каждом цикле действие 1\ можно выразить как
функцию от φι, решая неявное уравнение HTes{h^i) = Ε, где постоянная Ε
суть значение гамильтониана на цикле. Согласно разделу 1.9 действие J\
определяется как интеграл по циклу от действия 1\:
3ι = ^^Ιι{Ε,φι)άφι. (4.5)
В случае вращательного цикла имеем просто
1 ί2π
Λ = —у Ιι(Ε,φι)άφι, (4.6)
что является нормированной на 2π площадью области между циклом
и осью Д = 0 (см. рис. 4.2, панель (а)). В случае колебательного цикла
формула (4.5) приводится к виду
2π
/ Ι+(Ε,φι)άφι- Ιϊ(Ε,φι)άφι
-Vlmm •'Vlmin
(4.7)
где Ιχ соответствует верхней части цикла, a /j" — нижней части. На
рис. 4.2, панель (б), разность этих двух интегралов представляет собой
площадь выделенной пунктиром области, то есть области, ограниченной
колебательным циклом.

84
Глава 4
О φι 2π Ο φι 2π
Рис. 4.2. В области вращений (панель (а)) действие J\ пропорционально
площади области между циклом и осью Д = 0, а в области либрации (панель (б)) оно
пропорционально площади области, ограниченной колебательным циклом
Что касается новых углов ψ, то они могут быть заданы с помощью
производящей функции 5 = / \J/i(J,<p)d<pi (см. формулу (1.56)). Одна-
^ г=1
ко можно использовать тот факт, что новые углы ψι,...,ψη являются
линейными функциями от времени (поскольку новый гамильтониан зависит
только от действий J) и что преобразование между старыми и новыми
переменными является периодическим на цикле (что обеспечивается теоремой
Арнольда-Лиувилля). Поэтому имеем
Ψι = ψ, ^=|^jiT^(/i(t),¥>iW)dt (ί = 2,...,η), (4.8)
где t — время, а Т — период φι на цикле; причем Τ положительно,
если φι циркулирует с положительной производной или если движение
Ιι·, φι происходит на циклах либрации в направлении по часовой стрелке;
в остальных случаях Τ отрицательно. При этом соглашении
преобразование (Ι, φ) —► (J, ψ) близко к тождественному в области вращений и близко
к преобразованию, определяющему переменные «действие-угол»
гармонического осциллятора в окрестности устойчивой точки равновесия. Из
приведенных формул следует, что производная ψ ι по времени равна частоте
движения на цикле (частоте либрации/циркуляции угла φι), а. производные
по времени от других углов ψι (Ι ф 1) равны средним значениям
производных φι по времени на цикле. Поэтому на каждом цикле зависимости Ιι(ψι)
и yiiV'i) можно легко получить из Д(£) и φι(ί) путем подстановки ψ ι =

4.2. Резонансные переменные «действие-угол»
85
= 2πί/Τ. К тому же, если записать φι(ί) как v\t -f Qi(t) (где функция ρι(ί)
периодична с периодом Г), а φι в виде функции от ψι и ^ (i = 2,..., η),
то получим φι =ψι + ρ(Τψι/2π).
Рассмотрим теперь, как гамильтониан (4.1) выражается через
резонансные переменные «действие-угол». В принципе, и Wres(J), и остаток
1Ζ(3,ψ) можно получить путем замены старых переменных на новые.
Однако выписать соотношение между старыми и новыми переменными в
явной форме очень трудно. Требуется аналитически найти Д(£),<р(£) и
интеграл (4.5). В случае точного гамильтониана маятника (4.4) это требует
использования эллиптических функций; но для резонансных гамильтонианов
общего вида (4.2) такое аналитическое вычисление практически
невыполнимо. Тем не менее гамильтониан и его производные в новых переменных,
как показал Анрар (1990), можно эффективно находить численно с
помощью численных методов. Здесь мы приводим лишь некоторые примеры, как
это можно осуществить; более подробные сведения можно найти в статье
Анрара.
Движение на каждом цикле можно вычислить, используя численный
интегратор уравнений движения. Для каждого цикла значение действия J ι
можно найти путем численного взятия интеграла (4.5). Это позволяет
численно определить функцию J\(E, J2,..., Jn), которую можно численно
обратить и таким образом найти 7ires ξ Ε (J ι, J2,..., Jn)-
Легко вычислить и производные от Hres(3) no J: численное
интегрирование дает частоту v\ либрации/циркуляции угла ψ\ и частоты ν<ι,..., νη
циркуляции углов φ2,····>φη· Но эти частоты равны частотам новых углов
^ь Ψι,. ·., ψη· Поэтому имеем
С/Ires 1 л f л с\\
-Qj- = vh 1 = 1,...,п. (4.9)
Наконец, на каждом цикле можно разложить остаток 1Z (или любую
другую функцию, первоначально записанную в переменных Ι, φ) в ряд
Фурье по новым углам ψ и численно определить коэффициенты этого ряда.
Это делается так. Численное интегрирование позволяет определить Д и φ
на каждом цикле как функции времени. Путем подстановки t = Τψ\/(2π)
находим функции Ι\(ψ\),φ\(ψι) и ρι(ψι). Затем запишем
^ = ^(Λ(^ΐ)^2,..·,/η,^ΐ(^ΐ),^2 + ^(^ΐ),···^η + ^(^ΐ)) (4.10)
и численно найдем преобразование Фурье этого выражения. В результате
имеем коэффициенты фурье-разложения 11(3, ψ) относительно ψι,... ,ψη

86
Глава 4
для каждого значения J. Градиент этих коэффициентов по J можно далее
найти путем численного дифференцирования.
Как мы убедились в предыдущем разделе, резонансное фазовое
пространство разделяется сепаратрисой на три разные динамические области,
причем «период» на сепаратрисе бесконечен, а циклы в области
либрации и в областях циркуляции имеют разную структуру. Поэтому наборы
переменных «действие-угол», заданных в области либрации и в областях
циркуляции, нельзя сшить гладким образом; особенность, соответствующая
сепаратрисе, неустранима. На практике введение резонансных переменных
«действие-угол» преобразует исходную интегрируемую резонансную
динамическую систему Wres(I^i) в три отдельные динамические системы
вида HTes(3), каждая из которых определена в своей динамической области.
Каждая из этих новых систем характеризуется постоянными значениями
действий J и линейной эволюцией углов ι/>, но действия и углы у этих трех
систем различны. Как следствие, также и возмущение 1Ζ в новых
переменных будет иметь в разных динамических областях разные представления.
Иными словами, всякая интегрируемая система Hres(3) будет иметь свое
собственное возмущение 11(3,ψ). Поэтому при использовании
резонансных переменных «действие-угол» исследование возмущенной резонансной
динамики разбивается на три параллельных исследования, каждое для
своей динамической области главного резонанса.
4.3. Возмущенная резонансная динамика
Рассмотрим теперь влияние остатка 1Ζ оптимальной резонансной
нормальной формы (4.1) на динамику, определяемую интегрируемым
приближением HTes.
Чтобы зафиксировать терминологию, назовем главным резонансом
резонанс, для которого построена нормальная форма и чья динамика
описывается Hres. Вторичными резонансами назовем такие резонансы, которые
присутствуют в области построения нормальной формы, но чьи гармоники
не сохранились в Hres. Ведущим вторичным резонансом назовем
вторичный резонанс наинизшего порядка.
4.3.1. Величина остатка
Как показано в разделе 2.4, величина 1Z определяется величиной
коэффициента гармоники ведущего вторичного резонанса, которая зависит от

4.3. Возмущенная резонансная динамика
87
рассматриваемой задачи, в частности от частот углов φ2, · · ·, ψη· Говоря об
«одиночном резонансе» мы неявно предполагаем, что все вторичные резо-
нансы имеют существенно больший порядок, чем главный резонанс, так
что ΊΖ мало в сравнении с HTes. Если это не так, то модель «одиночного
резонанса» неприменима и следует рассматривать мультирезонансную задачу
(см. главу 6).
Отметим два случая, когда можно гарантировать, что ΊΖ много
меньше 7ires5 по крайней мере в пределе малой величины коэффициента с
гармоники главного резонанса (см. формулу (4.4)).
i) Две степени свободы. Напомним, что согласно разделу 4.1
минимальный размер области построения резонансной нормальной формы, чтобы
охватить всю резонансную область, должен быть порядка ~ у/с/'β по Д,
где с и β определяются как в формуле (4.4). Тогда как β обычно не
зависит от ε, с является величиной порядка ε или меньше. На этой области
ψι(= dHo/dli) принимает значения от 0 (при Д = 0) до ~ у/ф
(напомним, что на границе области Д ~ ±у/с/β). Вторичные резонансы
соответствуют соотношениям
кцр1 + к2ф2 = 0 (4.11)
с целыми fci, к2 и к2 φ 0. Так как ф2(= дНо/д12) является величиной
нулевого порядка по с, а φι не превышает ~ y/οβ, для выполнения (4.11)
нужно, чтобы к\ ~ l/y/οβ и к2 ~ 1. Поэтому ведущий вторичный резонанс
должен иметь порядок ~ 1/у/ф. Как следствие, коэффициент
соответствующей гармоники и величина остатка ΊΖ составляют ~ ехр(—1/у/ф).
ii) Фиксированные нерезонансные частоты с диофантовыми свойствами.
Предположим, что частоты углов φ2,..., φη фиксированы (то есть не
зависят от действий) и удовлетворяют диофантову условию
1=2
^шашг' (*».···.*»)ezn_1. (4·12)
для некоторых положительных 7 и г. Тогда вторичные резонансы
соответствуют соотношениям
η
ki<pi + "}2km=0> (4ЛЗ)
1=2
где &2,..., fcn не равны нулю все одновременно. Поскольку ф\ не
превосходит ~ у/ф и выполняется (4.12), соотношения (4.13) могут выполняться,

88
Глава 4
только если Σ™=2 \ki\ ~ ^1 \[Ф Т· Поэтому ведущий вторичный резонанс
должен иметь порядок 1/^/с/З . Как следствие, коэффициент соответству-
ι /т
ющей гармоники и величина остатка ΊΖ сотавляют ~ ехр(—1/\/с/3 ).
4.3.2. Резонансные инвариантные торы
Согласно предыдущему разделу, путем задания резонансных
переменных «действие-угол» в каждой из динамических областей
гамильтониан (4.1) можно записать как Hres(J) + Tl(J,i/>). В предположении, что
HTes невырожден, применима КАМ-теорема. Согласно главе 3, если
возмущение ΊΖ достаточно мало, должно существовать множество
инвариантных торов большой меры. Эти торы должны быть «близки» к
инвариантным торам интегрируемого приближения Hres, то есть к торам,
определяемым условием J = const. Поэтому в переменных Ιχ,ψι инвариантные
торы возмущенного резонанса близки к инвариантным кривым маятника (см.
рис. 4.1). В частности, в областях циркуляции инвариантные торы имеют ту
же структуру, что и у обсуждавшихся в предыдущей главе: углы φ\,...,φη
изменяются в пределах от 0 до 2π, а действия I являются периодическими
функциями углов. В либрационной же области движение на инвариантном
торе соответствует циркуляции углов φ<ι,..., φη и либрации φ χ в
ограниченном интервале; такой тор мы назовем либрационным, или резонансным,
инвариантным тором.
Согласно главе 3 инвариантные торы в задачах с двумя степенями
свободы можно визуализировать, применяя сечения Пуанкаре. На рис. 4.3 дан
пример с использованием стандартного отображения (3.13). Здесь
начальные условия выбраны на оси q\ = π, чтобы исследовать также и динамику
в области резонанса q\ = 0, которая на рис. 3.3 получилась пустой.
На рис. 4.3 (построенном для того же значения ε, что и рис. 3.36)
резонансная область получилась заполненной замкнутыми кривыми — так
на сечении Пуанкаре проявились либрационные инвариантные торы. Вне
резонансной области проявляются инвариантные торы, которые мы уже
видели на рис. 3.36. Цепочки островов, видимые выше и ниже области
главного резонанса, представляют собой сечения либрационных
инвариантных торов, соответствующих резонансам другого типа — типа k\q\ +
+ &2<72 — 0· Отметим, что для этих резонансов сечение Пуанкаре по q2 дает
типичный фазовый портрет маятника к\ раз на промежутке [0,2π] задания
переменной qi. Поскольку для стандартного отображения (3.13) q2 = 2π
и <ji ~ рь цепочка из трех островов при ρι ~ 2π/3 соответствует резо-

4.3. Возмущенная резонансная динамика
89
Рис. 4.3. Фазовый портрет стандартного отображения при ε = 0.6
нансу 3gi — q2=0, а цепочка из двух островов при ρι ~ π соответствует
резонансу 2qi — q2 = 0. Если увеличить масштаб изображения
окрестности какого-либо из этих островов, то обнаружится структура,
аналогичная структуре окрестности большого острова в центре рисунка. Разумеется,
острова могут также проявляться и между либрационными инвариантными
торами; они соответствуют вторичным резонансам между периодом
либрации критического угла главного резонанса и периодом циркуляции q2 (это
резонансы между углами ψι αψ2, задаваемыми в области либрации для
интегрируемого приближения Hres главного резонанса). На рис. 4.3 эти
острова не видны, так как они слишком малы. Однако их можно различить на
рис. З.Зг, где область главного резонанса окружена цепочкой из 8 островов.
КАМ-теорема неприменима вблизи сепаратрис интегрируемого
приближения Hres, поскольку это приближение, будучи записанным в
резонансных переменных «действие-угол», на сепаратрисе теряет свои
свойства регулярности. С другой стороны, как видно из рис. 4.3, инвариантные
кривые на границе между областями либрации и циркуляции отсутствуют.
Сепаратриса, присущая модели маятника, исчезла, а на ее месте появи-

90
Глава 4
лась хаотическая область, имеющая на сечении Пуанкаре вид множества
рассеянных точек. Чтобы понять причину появления хаотической области,
необходимо тщательно проанализировать, что происходит с сепаратрисой
интегрируемого приближения HTes в присутствии произвольно малого
возмущения ΊΖ.
Рис. 4.4. Слева: устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической
точки равновесия в локальном линейном приближении 7ires. Справа: устойчивые
и неустойчивые многообразия маятника
4.3.3. Расщепление сепаратрис
Неустойчивая точка равновесия маятника при Д = φι = 0 имеет
гиперболическую структуру. Разложение гамильтониана (4.4) в окрестности
этой точки в ряд Тейлора до второго порядка дает
η^ = \ϊΙ-\φ\, (4.14)
чьи траектории представляют собой гиперболы с асимптотами £"_ и Е+,
имеющими уравнения Д = y/c/βψι и Д = — y/c/βφι
соответственно (рис. 4.4а). На линии Е- движение описывается формулами φι(ί) =
= φι(0) exp (y/cfit), Д(t) = у/с/ βφι{ϋ) exp (y/cfit); при t —> — оо оно
стремится к точке равновесия. Мы будем называть эту линию неустойчивым
многообразием. На линии Е+ движение описывается формулами φι(ί) =
= φι(0) exp (-y/cj5t)9 Д(£) = - y/c/βφι (0) exp (-y/ept); при t —> -foo оно
тоже стремится к точке равновесия. Мы будем называть эту линию
устойчивым многообразием. Если учесть в разложении Тейлора по Д и φι
члены более высокого порядка, то устойчивые и неустойчивые многообразия

4.3. Возмущенная резонансная динамика
91
в общем случае будут уже не прямыми, а некоторыми кривыми. В случае
маятника устойчивое многообразие точки равновесия при φ ι = О совпадает
с неустойчивым многообразием точки равновесия при φι = 2π, и наоборот
(рис. 4.46). Устойчивое и неустойчивое многообразия вместе образуют то,
что в разделе 4.1 мы назвали сепаратрисой.
Рис. 4.5. Если бы неустойчивые (прерывистые кривые) и устойчивые (сплошные
кривые) многообразия не пересекались, два из них должны были бы закручиваться
по спирали к центру резонанса. Но это нарушило бы свойство сохранения объема
для гамильтонова потока. Поэтому устойчивое и неустойчивое многообразия
должны пересекаться
Введем теперь дополнительную несвязанную степень свободы и
рассмотрим динамику маятника в расширенном фазовом пространстве.
Конкретно, пусть имеется интегрируемый гамильтониан
И(Д,/2^1)=/2Н-Игев(Д,^), (4.15)
где Hres — гамильтониан маятника с одной степенью свободы,
подобный (4.4), а переменные «действие-угол» /2,^2 представляют
дополнительную несвязанную степень свободы. Динамика на плоскости Ιχ,φι,
разумеется, не изменяется, так что сечение Пуанкаре системы (4.15) по φι
дает портрет, идентичный портрету маятника (рис. 4.1). Зададим теперь
произвольно малую связь между двумя степенями свободы; а именно,
рассмотрим в общем случае неинтегрируемый гамильтониан
Η = ΐ2+ΗτβΒ(Ι1,φ1)+π(φ1,φ2), (4.16)
где HTes имеет форму (4.4). Можно доказать (Пуанкаре, 1892), что сечение
Пуанкаре новой системы сохраняет гиперболическую неподвижную точку

92 Глава 4
вблизи Д = φι = 0 (а также и устойчивую неподвижную точку вблизи
1\ = 0, c^i = π). Более того, устойчивое и неустойчивое многообразия
по-прежнему вынуждены пересекаться, так как иначе одно из них
закручивалось бы к центру резонанса по спирали (как показано на рис. 4.5), явно
нарушая присущее гамильтоновым системам свойство сохранения объема
(см. раздел 1.7). Однако здесь уже нет оснований ожидать, что
устойчивое и неустойчивое многообразие совпадают, как в случае невозмущенного
маятника. В случае общего положения они будут трансверсально
пересекаться. Это явление известно как феномен гомоклинического пересечения,
или расщепления сепаратрисы (см. Пуанкаре, 1892; Арнольд и Авец, 1968).
о
ю
о
а,
о
о
-6 -4 -2 0.0 2 4 6
Qi
Рис. 4.6. Трансверсальные пересечения устойчивого (жирная кривая) и
неустойчивого (тонкая кривая) многообразий неустойчивой точки равновесия (0,0)
стандартного отображения. Для простоты показана только половина всей картины (та, что
образована верхними многообразиями); ε = 2.5
На рис. 4.6 показаны верхние неустойчивое (тонкая кривая) и
устойчивое (жирная кривая) многообразия гиперболической точки (при qi = 0)
стандартного отображения (3.13) на промежутке [—2π, 2π]. (Обсуждение
стандартного алгоритма компьютерного вычисления многообразий можно
' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I ' I
ΙιΙ. I

4.3. Возмущенная резонансная динамика
93
найти в статье Симо, 1990.) Как видим, эти два многообразия пересекаются
трансверсально. Каждая из точек пересечения называется гомоклинической
точкой. Из рисунка следует, что число гомоклинических точек бесконечно.
Чтобы убедиться в этом, выберем одну из гомоклинических точек в
качестве начального условия орбиты, скажем точку, обозначенную на рис. 4.6
цифрой 1. Поскольку начальное условие принадлежит как устойчивому, так
и неустойчивому многообразиям, вся орбита, по определению,
принадлежит обоим многообразиям. Более того, последовательные точки этой
орбиты на сечении Пуанкаре (обозначенные цифрами 2, 3, 4,...) не могут
совпадать, так как иначе орбита была бы периодической и не стремилась бы
к гиперболической неподвижной точке. Это доказывает, что орбита
должна иметь на сечении Пуанкаре бесконечно много несовпадающих точек,
которые, по определению, все являются гомоклиническими.
Из рис. 4.6 также видно, что расстояние между двумя следующими
друг за другом гомоклиническими точками убывает, так как с
приближением к гиперболической неподвижной точке орбита экспоненциально
«замедляется». Обратим теперь внимание на область, ограниченную устойчивым
и неустойчивым многообразиями; на рис. 4.6 она обозначена Ζ^. Назовем
эту область петлей. По непрерывности можно доказать, что петля L\
отображается в петлю Z/2 и далее последовательно в петли Li, г = 3,..., + оо,
являющиеся, таким образом, результатом итераций одной и той же петли.
Площадь каждой петли Li должна быть одной и той же, поскольку га-
мильтонов поток сохраняет площадь. А так как длины оснований петель Li
убывают с г экспоненциально, то и их «высоты» должны
экспоненциально расти. Картина при этом все более усложняется: петли, как показано на
рисунке, должны пересекать друг друга, генерируя гомоклинические
пересечения (второго порядка) устойчивых и неустойчивых многообразий.
Результат обычно называют гомоклиническим клубком. Область, плотно
пересекаемую устойчивым и неустойчивым многообразиями, называют
хаотической областью. Динамика в хаотической области эквивалентна динамике
так называемой «подковы» Смейла (Смейл, 1965, 1980; см. также Уиггинс,
1988). Произвольно близкие начальные условия принадлежат различным
частям гомоклинического клубка (то есть различным петлям), и поэтому их
Динамические эволюции совершенно различны; орбиты расходятся со
временем экспоненциально. Как показано на рис. 4.3, сечение Пуанкаре
орбиты в хаотической области дает множество рассеянных точек, чье
распределение очевидно нерегулярно; резонансный угол у хаотических траекторий
альтернирует между либрациями и циркуляциями случайным образом.

94
Глава 4
4.3.4. Размер хаотической области
Размер хаотической области зависит от «расстояния» между
устойчивым и неустойчивым многообразиями. Как следует из рис. 4.6, это
расстояние на сечении Пуанкаре можно измерить как разность между значениями
действия на двух многообразиях при любом заданном значении угла. Если
устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают, как в случае
интегрируемого резонанса, то расстояние равно нулю при всех значениях угла; если
же сепаратриса расщеплена, то расстояние равно нулю только в гомокли-
нических точках.
В принципе, расстояние между многообразиями можно измерить,
используя так называемый интеграл Пуанкаре - Мельникова (Пуанкаре, 1892;
Мельников, 1983; см. также Арнольд и др., 2002). Идея довольно проста.
Рассмотрим опять же гамильтониан (4.16). Если на сечении Пуанкаре
значение φι фиксировано, то существует локальное взаимно-однозначное
соответствие между Д и значением HTes. Поэтому расстояние между
двумя точками на сечении Пуанкаре, имеющими одно и то же значение φι,
можно измерить как разность между соответствующими значениями HTes.
Обозначим теперь через Η^3(φ^) значение HTes на устойчивом
многообразии в точке его первого пересечения с осью φι = φ\. Аналогично,
через Ή^&(ψ\) обозначим соответствующее значение на неустойчивом
многообразии. Расстояние между многообразиями можно тогда измерить как
AWres = Н+М) " W^(y>?). Используя (1.47), имеем
/. + 00
П+М) = ?W+00) - / {HTes, H}dt,
Jo
r°
W^e(Vl) = Wres(-Oo) + / {HIes, H}dt,
J — oo
где первый интеграл вычисляется на устойчивом многообразии, а второй —
на неустойчивом; значения 7ires(-f oo) = HTes(—oo) суть значения HTes в
гиперболической неподвижной точке (достигаемой при t = -f oo на
устойчивом многообразии и при t = — oo на неустойчивом многообразии). За
начальный момент времени произвольно принят0, так как функция {HTes,H}
не зависит явно от времени; интегралы зависят только от значений
координат в момент времени 0.
Интегралы в (4.17) нельзя вычислить, так как решение уравнений
движения на устойчивом и неустойчивом многообразиях в явном виде
неизвестно. Заметим, однако, что многообразия Η отличаются от многообра-
(4.17)

4.3. Возмущенная резонансная динамика
95
зий HTes на величину, пропорциональную размеру ΊΖ; обозначим ее μ.
С другой стороны, скобка Пуассона {Η^,Ή} также является величиной
порядка μ. Поэтому вычисление интегралов в (4.17) на многообразиях HTes
дает точность приближения не хуже чем ~ μ2. Преимущество
состоит в том, что уравнения движения на многообразиях HTes известны (так
как Wres интегрируем) и поэтому в принципе интегралы можно вычислить.
Используя это приближение, имеем
/+оо
{Wres,W}di + 0(M2), (4.18)
-ОО
где интеграл вычисляется на сепаратрисе HTes. Интеграл в (4.18)
обычно называют интегралом Пуанкаре - Мельникова. Он зависит только от
выбранного значения φ\ при t = 0.
В качестве примера вычислим интеграл Пуанкаре - Мельникова для
модели (4.16) с Κ(φι,φ2) = μφ\$\τ\.φ2 и Hres, как в (4.4). Имеем
{Wres, Η) = —μβΐι sin φ2. Уравнения движения на сепаратрисе Wres в (4.4)
имеют решение
hit) = ±2-^-р, Ψι(ί) = ±arccot(-sinhr), (4.19)
coshr
где τ = y/cp(t — so). Таким образом, начальные значения φι и Д при
t = 0 определяются параметром sq- Кроме того, из уравнений, задаваемых
гамильтонианом (4.15), имеем
Ψ2(ί)=ί + φ2(0), (4.20)
где φ2(0) — начальная фаза (для простоты принимаем ее равной нулю).
Таким образом, интеграл Мельникова равен
Г + оо
/i-oo
h{t) sinφ2(ί)άί =
-οο
= Μ / и гъи ^sin Ш = (421)
У_оо cosh{y/cp(t - s0))
2πμ
- sin so-
coshV^
Как видим, M(so) попеременно принимает нулевые, отрицательные и
положительные значения в зависимости от So· Это доказывает, что (i)
существуют гомоклинические пересечения, которые имеют место при значениях φ\

96
Глава 4
переменной φι, определяемых so = кж (к Ε Z) в (4.19); (ii) пересечения
трансверсальны, так как расстояние между многообразиями равно нулю
только при дискретных значениях so (то есть φ®).
Вычисление интеграла Пуанкаре-Мельникова, хотя и осуществимое
в принципе, на практике осуществить непросто, за исключением случаев,
когда движение по сепаратрисе HTes и скобка Пуассона {Wres,W} имеют
простые аналитические представления (см. обзор Делшамса и др., 1999).
Более того, в ряде случаев результат вычисления интеграла Пуанкаре-
Мельникова оказывается мал в сравнении с μ2, так что пренебрегаемый
член в (4.18), являющийся величиной порядка μ,2, может доминировать.
В таких случаях необходимо выводить более сложные выражения для
AHres с точностью до более высокого порядка по μ. Как следствие, в
большинстве случаев строгое аналитическое вычисление амплитуды
расщепления сепаратрисы остается открытой проблемой.
ε = Ю-4, к = 50 ε = μ = КГ4
(б) \
-12 -10 -8 -6 -4 20 30 40 50 60 70 80 90 100
lgM к
Рис. 4.7. Слева: амплитуда расщепления в (4.22) в функции μ. Справа: то же
в функции к. (Рис. 4 и 5 из статьи Морбиделли и Джиорджилли, 1997; с
разрешения Elsevier Science)
Однако эвристические доводы и численные эксперименты (см.
Морбиделли и Джиорджилли, 1997) указывают на то, что амплитуда расщепления
обычно определяется величиной коэффициента ведущего вторичного
резонанса (см. определение в начале раздела 4.3), то есть величиной остатка ΊΖ
со
1
τ
»,
<1"?
ьс '
СО
1
1^
1
оо
1

4.3. Возмущенная резонансная динамика
97
оптимальной нормальной формы. Рассмотрим в качестве примера
гамильтониан Н(р, q, t) = Hres(p, q) + Щр, q, t), где
HTes(v,q) = oP2 -εcosq,
2 (4.22)
Щр, Q,t) = - y{cos[(/c -f \)q - t] + cos[(fc - 1)ρ - ί]}.
Если выбрать целое к близком к 1/(2у/е)9 то гармоники в ΊΖ будут
резонансными на границе области |р| < 2у/е, охватываемой сепаратрисами
гамильтониана маятника HTes\ таким образом, эти гармоники соответствуют
вторичным резонансам. Поэтому в данном случае гамильтониан (4.22)
можно рассматривать как парадигму оптимальной нормальной формы в задаче
о возмущенном маятнике. На рис. 4.7а показана амплитуда расщепления
сепаратрисы (измеряемая численно как расстояние Ар между устойчивым
и неустойчивым многообразиями при q = π) в функции μ; ε и к
фиксированы и положены равными Ю-4 и 50 соответственно. Амплитуда
расщепления идеально масштабируется как y/μ на интервале более 9 порядков по
μ. Степень μ здесь зависит от значения q, для которого вычисляется
амплитуда расщепления: при q = 0 амплитуда пропорциональна μ. На рис. 4.76
показана амплитуда расщепления в функции к при фиксированных ε = μ =
= 10~4. При к > 1/(2а/^) = 50 гармоники в ΊΖ соответствуют вторичным
резонансам (поскольку они расположены при ρ ~ Ι/fc, то есть внутри
области |р| ^ 2у/е, охватываемой сепаратрисами) и амплитуда расщепления
постоянна с точностью до порядка величины. При к < 50 гармоники в ΊΖ не
соответствуют вторичным резонансам, так что (4.22) нельзя рассматривать
как оптимальную нормальную форму. Используя алгоритм нормализации,
описанный во второй главе, можно исключить нерезонансные гармоники,
дойдя до порядка, при котором генерируются гармоники, соответствующие
вторичным резонансам. Это произойдет при достижении порядка \к — 501 по
ε μ, при этом коэффициенты гармоник будут иметь величину 0((£/i)'fc_5°').
Из рис. 4.76 в самом деле видно, что амплитуда расщепления
экспоненциально обрывается при к < 50.
Этот пример показывает, что «количественная характеристика»
неинтегрируемости, то есть величина остатка оптимальной нормальной
формы, непосредственно связана с «количественной характеристикой» хаоса —
амплитудой расщепления сепаратрисы. Наличие хаоса является критерием
неинтегрируемости гамильтоновой системы (это строгий результат,
известный как теорема Зиглина; Зиглин, 1979; см. также Арнольд и др., 2002).

98
Глава 4
Строго доказать наличие хаоса обычно бывает очень трудно (поскольку
для этого надо аналитически взять интеграл Пуанкаре-Мельникова);
однако имеется ряд мощных численных методов, которые позволяют уверенно
обнаружить хаотическое поведение и широко используются для этого в
современной небесной механике.

Глава 5
Численные инструменты
для выявления хаоса
5.1. Наблюдение временной эволюции
в фазовом пространстве
Как убедиться, что заданные начальные условия порождают
хаотическую эволюцию? Как убедиться, что орбита лежит на инвариантном торе?
Здесь мы рассмотрим эти важные вопросы.
В предыдущей главе мы выяснили, что построение сечения Пуанкаре
позволяет однозначно различить регулярные и хаотические орбиты. Однако
сечения Пуанкаре полезны только в случае систем с двумя степенями
свободы. Если число степеней свободы больше, то размерность «поверхности»
сечения больше двух, и поэтому сечение Пуанкаре невозможно представить
графически.
Наглядно выявить динамический характер орбиты можно также из
временной эволюции канонических переменных р, q. На рис. 5.1 показана
временная эволюция действия ρ и угла q хаотической (панель (а)) и
регулярной (панель (б)) орбит простого гамильтониана W(p, g, t) = ρ2/2 -f cos q -f
+ l/4[cos(g -f 5t) + cos(q — 5t)}. Различие между двумя типами движения
очевидно. В случае хаотической орбиты угол q попеременно демонстрирует
колебания большой амплитуды около π, циркуляции от 0 до 2π с
положительной производной и циркуляции от 2π до 0 с отрицательной
производной. Соответственно, сопряженное действие ρ колеблется около ρ ~ 1,
если q циркулирует с положительной производной, колеблется около ρ ~ — 1,
если q циркулирует с отрицательной производной, и колеблется около ρ ~ О
(с примерно удвоенной амплитудой), если q колеблется около π. Очевидно,
что эти три типа поведения соответствуют трем динамическим режимам,
близким к сепаратрисе интегрируемого резонансного приближения Hres =
= ρ2/2 -f cos q. Для хаотической орбиты характерно именно чередование

100
Глава 5
различных режимов; чередование это происходит без каких-либо видимых
проявлений регулярности. В случае же регулярной орбиты (панель (б))
переходов между динамическими режимами нет; колебания ρ и q регулярны
(квазипериодичны).
°0.0 100 200 °0.0 100 200
t t
Рис. 5.1. Временная эволюция хаотической (панель (а)) и регулярной (панель (б))
орбит возмущенного маятника. См. обсуждение в тексте
Однако ситуация оказывается не так проста, если рассматривать
более сложные динамические системы с большим числом η степеней
свободы. Из-за связи степеней свободы, здесь и в случае регулярных орбит
действия и углы демонстрируют сложную зависимость от времени,
имеющую η независимых частот. Поэтому хаотические орбиты могут не так
уж сильно отличаться от регулярных; визуально их различить
становится невозможно. Приведем пример: на рис. 5.2 сплошной линией показана
временная эволюция эксцентриситета орбиты Земли (являющаяся
хаотической, см. главу 7), а пунктиром показана эволюция похожей, но регулярной
орбиты, полученной из интегрируемой аналитической аппроксимации.
Дело в том, что в случае квазиинтегрируемого гамильтониана Но(р) +
+ ε7ίχ(ρ, q) хаос может возникать из-за расщепления сепаратрис резонан-

5.1. Наблюдение временной эволюции в фазовом пространстве 101
Вековые изменения эксцентриситета Земли
-5 -4 -3 -2-10 1
время, млн лет
Рис. 5.2. Временная эволюция эксцентриситета Земли, согласно результатам
численного интегрирования (сплошная кривая), и в аналитической модели
(пунктирная кривая). Какая эволюция является регулярной, а какая хаотической, определить
из рисунка сложно. (Рис. 1 из статьи Ласкара, 1988; с разрешения Astronomy and
Astrophysics)
са, гармоника которого имеет довольно малый коэффициент, скажем
размером ε4. Тогда можно ввести новые переменные р1, q*,c тем чтобы
преобразовать гамильтониан к резонансной нормальной форме Hres = ^(р1) +
+ ^4Wnorm(p1,q1)-f^(p1,q1), где ΊΖ меньше ε4. Затем, визуально
проследив временную эволюцию переменных р1, q1, легко определить,
является орбита регулярной или хаотической, как в примере, представленном на
рис. 5.1. Амплитуда регулярных/хаотических осцилляции р1 является
величиной порядка ~ ε2 (то есть порядка квадратного корня из коэффициента
главной резонансной гармоники), как показано в предыдущей главе.
Однако преобразование от исходных переменных р, q к новым переменным р1,
Ч — порядка ε и периодично по углам q1 (см. главу 2). Таким образом,
временная эволюция р, q представляет собой квазипериодические
колебания с амплитудой ε, на фоне которых совершенно теряются хаотические
колебания с амплитудами всего лишь ε2.

102
Глава 5
Вывод состоит в том, что, вообще говоря, нельзя полагаться на
визуальный анализ временной эволюции переменных системы, когда требуется
выявить регулярный/хаотический характер орбит. Поэтому необходимо
искать более точные и математически обоснованные инструменты.
В этой главе мы подробно рассмотрим показатели Ляпунова,
частотный анализ, а также их суррогаты. К декабрю 2013 года эти инструменты
используются наиболее часто в исследованиях динамики Солнечной
системы. Что касается методов, подобных основанным на КС-энтропии
(Крылов, 1950; Колмогоров, 1959; Синай, 1959; см. также книгу Лихтенберга
и Либермана, 1983) и кривизне Риччи (Гурзадян и Кочарян, 1987; Эль-Зант
1997; Эль-Зант, Гурзадян, 1998), мы не будем вдаваться в их детали,
поскольку эти методы используются в основном для анализа
глобально-хаотических систем с эргодическими свойствами, таких как задачи TV-тел
с очень большими N, типичных для галактической динамики. Читатель,
интересующийся методами анализа хаотического поведения в таких
системах, может найти ряд интересных статей о них в сборнике под редакцией
Гурзадяна и Руффини (2000).
5.2. Показатели Ляпунова
Согласно предыдущей главе, сколь угодно близкие начальные условия
в хаотической области задают траектории, расходящиеся
экспоненциально быстро. Максимальный показатель Ляпунова (МПЛ) характеризует
скорость такой экспоненциальной расходимости. Подробное изложение теории
показателей Ляпунова выходит за рамки данной главы; найти его читатель
может в статьях Ляпунова (1907), Оселедеца (1968) и Бенеттина и др. (1976,
1980), а также в книге Лихтенберга и Либермана (1983). Здесь мы обрисуем
лишь главные идеи и свойства, важные для приложений в небесной
механике.
Рассмотрим две орбиты с начальными условиями р^(0), q^(0)
и р(2)(0), q(2)(0). Измерить относительную расходимость этих орбит
(р^(£), q^(£)) и (р(2)(£), q^(0) нельзя, просто измеряя евклидово
расстояние ||ρ^^(ί) — р(2)(£)|| + ||q^^(i) — q(2)(£)|| между ними в функции
времени. В самом деле, когда движение ограничено, относительное
расстояние не может неограниченно возрастать. Чтобы пояснить эту мысль,
рассмотрим две траектории на поверхности сферы: какова бы ни была
начальная скорость их относительного расхождения, расстояние между ними,
очевидно, не может превысить диаметра сферы. Экспоненциальную рас-

5.2. Показатели Ляпунова
103
ходимость можно измерить лишь локально. Удобно поэтому линеаризовать
уравнения относительного движения.
Обозначая 5р(£) = р(2)(*)-Р(1)(0 и δφ) = q(2)(0-<l(1)(0> выпишем
линеаризованные уравнения относительного движения:
*· - -£мУ>т-чттр' ~ H(p<"(i,-4",(,))S*· (5 ц
где 7i(p, q) — гамильтониан системы, траекториями которой являются
p^(£),q^(0 И Р^(*)>^2Н0» через Spi,dqi,pi,qi обозначены
компоненты <Sp, <Sq, ρ, q; по индексу j подразумевается суммирование.
В принципе, уравнения (5.1) можно использовать лишь на
относительно малых временах, таких, что δρ(ί) и δφ) остаются достаточно малыми,
чтобы линеаризованные уравнения могли служить хорошей
аппроксимацией реального относительного движения. Однако на ограниченном
интервале времени эволюция Sp(t), δφ) и ее скорость, конечно же, зависят от
начальных условий <5р(0), <5q(0) и от величины заданного интервала
времени, что неудобно для характеристики динамических свойств орбиты p^(t),
q^(£). Поэтому, «забывая» об исходном смысле δρ, <Sq, максимальный
показатель Ляпунова (МПЛ) определяют как
С. «ш 11аШМЖг (5.2)
t^+oot ||ip(0),iq(0)||
где через ||<Sp(£),<Sq(£)|| обозначена евклидова норма вектора (δρι(ί), ...,
UPn(t), Sqi(t)9 ..., Sqn(t)). Можно доказать, что С имеет одно и то же
значение для большинства начальных условий <5р(0), <Sq(0) (то есть мера
множества <Sp(0),<Sq(0), приводящих к иному значению £, равна нулю) и это
значение также не зависит от выбора канонических переменных р, q,
используемых для записи уравнений движения (5.1) (Оселедец, 1968).
Благодаря этим свойствам можно заключить, что МПЛ характеризует орбиту
P(1)W> q(1)(*)· Вообще говоря, каждая из орбит динамической системы
имеет свой собственный МПЛ.
В том случае, когда траектория р^(£), q^(£) представляет собой
неподвижную точку, то есть р(1)(£) = р(1)(0) и q(1)(£) = q(1)(0)>
уравнения (5.1) становятся линейными с постоянными коэффициентами, а
следовательно — интегрируемыми. Обозначим через λχ, ..., \2П собственные

104
Глава 5
значения (в общем случае комплексные) матрицы вторых производных Η
в точке р^^(0), q^(0). Гамильтоновы системы сохраняют объем,
поэтому если λ является собственным значением, то и l/λ также является
собственным значением. Обозначим через λ собственное значение такое, что
|λ| = maxi=i,...,2n |λΐ|; тогда либо |λ| > 1, либо |λ| = 1..В первом
случае линеаризованная динамика (5.1) имеет по меньшей мере одну
гиперболическую компоненту, то есть существует по меньшей мере одна пара
сопряженных переменных, поведение которых подобно изображенному на
рис. 4.4а. Поэтому для всех начальных условий <Sp(0), <5q(0) (кроме тех, что
имеют нулевую проекцию на собственный вектор, соответствующий λ, —
они образуют множество нулевой меры) величина ||<Sp(£),<Sq(£)|| будет
расти при t —► +оо как expXt. Как следствие, из (5.2) имеем С = λ. В случае
же |λ| = 1 линеаризованная динамика является эллиптической и эволюция
δρ(ί),δ*ι(ί) ограничена, так что С = 0.
МП Л орбит на КАМ-торах также равны нулю. В этом можно убедиться
следующим образом. В окрестности тора можно ввести новые переменные
«действие-угол» Ι, φ, в которых гамильтониан записывается в нормальной
форме Колмогорова (3.1). В этих переменных уравнения (5.1) для орбиты
на торе принимают вид
Л = 0, δφ = CS1 + F(y>(i)) Л, (5.3)
где φ(ί) — вектор углов на торе, эволюционирующий линейно по t\
матрица С — константа, а матрица F периодична по φ. Как следствие, для
движения относительно орбиты на торе имеем 51 = const и δφ = оА + β(ί),
где α — константа, β{ί) — периодическая функция. Поэтому в
окрестности торов экспоненциального расхождения орбит нет, что, в соответствии
с (5.2), дает £ = 0.
Поскольку у хаотических орбит С > 0, а у орбит на КАМ-торах С = 0,
положительный МПЛ обычно считают индикатором хаоса. Однако
положительный МПЛ, вообще говоря, не означает, что рассматриваемая орбита
является хаотической, если подразумевать, что слово хаос служит синонимом
иррегулярного и непредсказуемого поведения. Строго говоря,
положительный показатель Ляпунова лишь указывает на наличие локальной
гиперболичности в окрестности орбиты. Например, гиперболическая неподвижная
точка маятника имеет положительный МПЛ, хотя динамика в данном
случае регулярна и предсказуема! Однако напомним, что в случае маятника
локальная гиперболичность означает существование устойчивого и
неустойчивого многообразий, которые при наличии возмущения в общем случае

5.2. Показатели Ляпунова
105
пересекаются трансверсально, порождая гомоклинический клубок, то есть
хаотическую область.
В дополнение к максимальному показателю Ляпунова можно
эффективно вычислять и остальные η — 1 положительных или нулевых
показателей Ляпунова (п — число степеней свободы), используя, однако,
более сложный рецепт, описанный Бенеттином и др. (1980). Число
положительных показателей Ляпунова равно числу независимых направлений
в фазовом пространстве, вдоль которых орбита демонстрирует хаотическое
(или по крайней мере гиперболическое) поведение. Теорема Лесина (1977)
утверждает, что КС-энтропию можно вычислить, если известны показатели
Ляпунова £i, по формуле
h = ί Σ A(x)dx, (5.4)
^ £г>0
где суммирование производится для всех положительных показателей
Ляпунова, а интегрирование — по заданной области фазового пространства.
5.2.1. Вычисление МПЛ
Задача компьютерного вычисления МПЛ не имеет простого решения,
поскольку, чтобы вычислить предел в (5.2), формально необходимо
интегрировать систему (5.1) на бесконечном интервале времени. К тому же если
система является гиперболической, то δρ и (5q растут со временем
неограниченно, что при компьютерном вычислении их эволюции неминуемо ведет
к ошибке переполнения.
Эти трудности были блестяще преодолены Бенеттином и др. (1980).
Предложенный ими способ состоит в следующем. Начав с выбора
произвольных <5p(0),(5q(0), вычисляем эволюцию <Sp(£),<Sq(£) до некоторого
момента времени Т, достаточно малого, чтобы избежать ошибки
переполнения на компьютере; затем, положив sx = ||ip(T),iq(T)||/||ip(0),iq(0)||,
определяем δρλ = δρ(Τ)/βι и 5qx = £q(T)/si; наконец, берем ίρχ,^χ
в качестве новых начальных условий 5p(0),5q(0) и итерируем описанную
процедуру. Таким путем мы получаем последовательность ренормирующих
факторов 5χ, 52, ..., si. Бенеттин и др. (1980) доказали, что
У]._, In s9·
С= lim ^-* \ (5.5)
I—>+оо 11
причем результат не зависит от выбора Т, если Τ достаточно мало.

106
Глава 5
Рис. 5.3. Эволюция численной оценки С(1Т) показателя Ляпунова для
хаотической (панель (а)) и регулярной (панель (б)) орбит стандартного отображения. Здесь
Т— 1, а / — число итераций стандартного отображения
Чтобы численно оценить этот предел, обычно строят график
величины £(1Т) = (^2j=i^Sj)/lT в функции IT в логарифмическом масштабе
и пытаются определить ее асимптотическое поведение. На рис. 5.3 даны
примеры типичных результатов в случаях хаотической (панель (а)) и
регулярной (панель (б)) орбит. Хотя величина С(1Т) сначала больше в случае
регулярной орбиты, она, как видим, в этом случае монотонно убывает с IT,
тогда как £(1Т) хаотической орбиты испытывает сильные осцилляции, но
в конце концов, по-видимому, стабилизируется (на рис. 5.3 при ~ Ю-11).
Таким образом, есть основания полагать, что в случае (б) предел С(1Т) при
IT —► +оо равен нулю, тогда как в случае (а) он равен ~ 10~1Л.
Чтобы выявить регулярные и хаотические орбиты, обычно бывает
достаточно построить графики, подобные рис. 5.3. Однако никогда нельзя
быть абсолютно уверенным, что для оценки предела выбран правильный
интервал времени. В некоторых случаях бывает, что С(1Т) сначала убывает,
как на рис. 5.36, но затем асимптотически сходится к некоторому малому,
но положительному значению. Таким образом, если эволюцию С(1Т) не
отслеживать достаточно долго, можно ошибочно прийти к выводу, что
показатель Ляпунова нулевой. Вычисляя эволюцию С(1Т) на временах до
некоторого конечного IT, можно выявить лишь орбиты с МПЛ больше
некоторой величины, определяемой этим заданным максимальным значением IT.
Орбиты с меньшей величиной МПЛ можно выявить только путем
увеличения интервала времени, на котором проводится интегрирование. Чтобы

5.2. Показатели Ляпунова
107
выявить все хаотические орбиты, требуется точное вычисление показателя
Ляпунова, а значит, бесконечное время.
η—ι—|—ι—|—ι—|—ι—|—ι—|—ι—ι—ι—ι—ι—| г
J ι I ι I ι I ι I ι I ι I ι I ι I ι I
200 400 600 800 1000
IT
Рис. 5.4. Эволюция численной оценки показателя Ляпунова С(1Т) для трех орбит
на разном (убывающем снизу вверх) расстоянии от главного резонанса
стандартного отображения. Амплитуда осцилляции С(1Т) служит индикатором расстояния от
«наиболее эффективного» резонанса
Эволюция С(1Т) никогда не представляет собой строго монотонное
убывание: она всегда сопровождается малыми осцилляциями. Амплитуда
этих осцилляции определяется расстоянием от рассматриваемой орбиты до
«наиболее эффективного» резонанса1. В качестве примера на рис. 5.4
показана эволюция С(1Т) для трех орбит стандартного отображения. Ось IT
дана в линейном масштабе, чтобы лучше были различимы периоды
осцилляции. Кроме того, чтобы избежать наложения кривых, к значениям
log C(IT) каждой из орбит прибавлена подходящая константа. Показанные
три кривые соответствуют орбитам на разных (убывающих снизу вверх)
расстояниях от главного резонанса, расположенного при pi ~ 0. Осцилля-
Здесь и в подписи к рис. 5.4 под расстоянием до резонанса подразумевается расстояние
До сепаратрисы резонанса. — Прим. ред.

108
Глава 5
ции указывают на то, что вектор δρ, (5q в (5.1) попеременно стягивается
и растягивается. Это происходит, когда орбита проходит вблизи
гиперболической точки резонанса (в данном случае гиперболической точки pi = 0,
qi = 0 главного резонанса стандартного отображения (3.13)).
Амплитуда сжатий и растяжений, очевидно, больше всего у орбиты, проходящей
на наименьшем расстоянии от гиперболической точки. Отметим также, что
период осцилляции возрастает с уменьшением расстояния от резонанса,
поскольку увеличивается период циркуляции резонансного угла. Таким
образом, из вида осцилляции зависимости С(1Т) можно оценить, не дожидаясь
окончания сходимости С(1Т) к асимптотическому значению, будет ли
орбита иметь в итоге положительный или нулевой МП Л. Если эти осцилляции
почти неразличимы, значит, орбита не «чувствует» близкого присутствия
резонанса и она, скорее всего, находится вблизи инвариантного тора, то
есть ее МПЛ равен нулю. Напротив, если осцилляции сильные, то
орбита близка к резонансу и, скорее всего (но не наверняка!), орбита является
хаотической, то есть ее МПЛ положителен.
Кроме того, если у эволюции С(1Т) нет существенных осцилляции, то
орбиты с близкими начальными условиями будут иметь близкие друг другу
значения С(1Т) при любом фиксированном IT. Последнее не выполняется,
если осцилляции С(1Т) сильные, поскольку их период слегка изменяется
от одной орбиты к другой. Как следствие, С(1Т) является гладкой
функцией начальных условий только в областях, где влияние резонансов
пренебрежимо мало, и, наоборот, является иррегулярной функцией в областях
хаотических или же, по крайней мере, подверженных сильному влиянию
резонансов. В качестве примера на рис. 5.5 показаны значения £(1000)
орбит стандартного отображения в зависимости от начального действия pi
(при этом для всех орбит начальное значение q± положено равным нулю).
Исходя из приведенного рассуждения, рис. 5.5 можно интерпретировать как
«карту» динамического характера системы: плато, где С почти постоянно
(£(1000) ~ 10~2'2), выявляют «регулярные» области, где относительная
мера КАМ-торов близка к единице, а пики и провалы (и вообще все
разрывы) — основные хаотические или резонансные области.
В заключение раздела необходимо предостеречь читателя. Некоторые
авторы при использовании основанного на формуле (5.5) рецепта Бенетти-
на и др. избегают вычисления линеаризованных уравнений движения (5.1),
вместо этого вычисляя <Sp(£), <Sq(i) как разность эволюции двух траекторий
системы. Это очень опасный путь, поскольку результат в таком случае
зависит от интервала времени Т, на котором проводится ренормализация, и от

5.3. Частотный анализ
109
"ТТ"
ι ι Ι ι
WW
Η*φ**^
ι ι Ι
-1
0.0
Pi
1
Рис. 5.5. Значение показателя Ляпунова стандартного отображения, вычисленное за
1000 итераций, в зависимости от начального значения действия. Параметр ε равен
0.6, как и в случае рис. Ъ.Ъб
||<5р(0), <Sq(0)||, если только обе эти величины не являются чрезвычайно
малыми и все вычисления не проводятся с очень высокой точностью. Из-за
численных неустойчивостей получить неверные значения МПЛ очень
легко (см. обсуждение в статье Хольмана и Мюррея, 1996). Поэтому при
вычислениях эволюции <Sp(t), <Sq(t) настоятельно рекомендуется использовать
линеаризованные уравнения движения во всех случаях, когда их можно
вычислить.
5.3. Частотный анализ
Частотный анализ, представляющий собой мощный инструмент для
выявления хаоса, был предложен Ласкаром (1990) с целью анализа вековой
эволюции планет (см. главу 7), а позднее с успехом применялся также для
изучения динамики малых тел (Несворный и Ферраз-Мелло, 19976; Робу-

110
Глава 5
тель и Ласкар, 2001) и галактической динамики (Папафилиппу и Ласкар,
1998). Его свойства и условия применимости подробно изложены в статьях
Ласкара и др. (19926) и Ласкара (1993).
Идея, положенная в основу частотного анализа, проста. Орбиты на
КАМ-торах имеют постоянные частоты (см. главу 3); у хаотических же
орбит, напротив, нет хорошо определенных частот: внутри хаотической
области действия и углы эволюционируют случайным образом. Поскольку
значения частот можно численно найти на некотором интервале времени,
можно проверить, изменяются ли частоты или остаются постоянными от
одного интервала времени к другому.
Конкретно, найдя численным интегрированием орбиту p(t), q(0» чис"
ленно определяем (следуя процедуре, описанной в разделе 5.3.1)
фундаментальные частоты и (to) движения на временном интервале [to, to + Τ].
Продолжительность интервала Τ должна быть выбрана больше величины,
обратной наименьшей фундаментальной частоте, с тем чтобы последнюю
можно было точно определить. Данное вычисление повторяем затем для
различных значений to, таким образом определяя частоты численно в
функции времени. Если они неизменны, тогда рассматриваемая орбита
является «регулярной», то есть она либо лежит на КАМ-торе, либо является
периодической (Ласкар, 1999). Если же ι/(ίο) изменяется с to, есть
сильное основание предположить, что она хаотическая. На рис. 5.6 дан пример
подобного анализа для группы орбит стандартного отображения, близких
к резонансу 1/6. На верхней панели показана временная эволюция
частоты угла q\ для орбит, расположенных на удалении от резонанса с обеих
его сторон (резонанс находится при ν = 0.1666...). В случае наиболее
удаленных от резонанса орбит на графике получаются прямые линии, что
означает, что временные вариации частоты меньше разрешения графика.
Таким образом, данные орбиты предположительно лежат на КАМ-торах.
Напротив, у орбит, расположенных ближе к резонансу, частота ν
испытывает временные вариации с амплитудой больше возможных численных
ошибок, с которыми частота вычисляется на каждом из интервалов (эти ошибки
показаны на графике вертикальными черточками). Следовательно, данные
орбиты должны не лежать на КАМ-торах, а, скорее всего, должны быть
слабо хаотическими. У орбит еще более близких к резонансу 1/6 (панель
(б)) амплитуда вариаций частоты увеличивается, что указывает на более
сильный хаос. Вторая орбита сверху находится как раз в резонансе 1/6,2
и поэтому ее частота испытывает сильные нерегулярные осцилляции около
2Точнее, в хаотическом слое резонанса 1/6. — Прим. ред.

5.3. Частотный анализ
111
UV^vA'sV^^V>V^VvV-^V^-\b^V~^^
3 №
60
10
ίχ 10"
15
20
^^^Λ^^^,^v^^<·^л^'^^^^tV^hS^^^»V^^^^Λ^^^V*^'«ί
1м|1АИШ
.^t^^C:*-^>i^:; '.№t£X^V-^
(б)
о0
10 15
t χ Ю-3
20
"ис. 5.6. Временная эволюция частоты у орбит стандартного отображения, близких
к резонансу 1/6. Орбиты, у которых частота приблизительно постоянна во
времени, лежат на КАМ-торах, а остальные являются хаотическими. (Рис. 5 из статьи
Ласкара и др., 19926; с разрешения Elsevier Science)

112 Глава 5
точного резонансного значения; обратите внимание на ряд уходов частоты
в область значений меньше 0.166, что соответствует временным захватам
орбиты в область циркуляции ниже резонанса. Напротив, вторая орбита
снизу проводит большую часть времени ниже резонанса (у ~ 0.1654);
дважды она временно захватывается в резонанс (когда ν ~ 0.1666).
0.170
0.169
0.168
ν
0.167
0.166
0.165
0.164
-1.2230-1.2225-1.2220-1.2215-1.2210-1.2205-1.2200
У
Рис. 5.7. Зависимость частоты от начального значения у действия р\ для орбит
стандартного отображения, близких к резонансу 1/6. Гладкие участки зависимости
соответствуют регулярным областям, а рассеянные точки выявляют области хаоса.
Горизонтальной линией показано точное резонансное значение частоты. (Рис. 6 из
статьи Ласкара и др., 19926; с разрешения Elsevier Science)
Второй путь, каким можно исследовать динамическую структуру
системы, состоит в вычислении частот в функции начальных условий.
Конкретно, фиксируем начальные углы и задаем частую сетку начальных
условий р0 в пространстве действий; затем для каждого из начальных
условий на сетке вычисляем соответствующую ему частоту ^(р0) на
интервале [0, Т] с некоторым фиксированным большим Т. Теоретический
результат Лазуткина (1973) гласит, что частоты на КАМ-торах можно описывать
гладкой (С°°) функцией действий. Поэтому в тех областях, где КАМ-торы
заполняют относительно большой объем, численно определяемая
функция ^(р0) должна выглядеть гладкой. Напротив, эта гладкость должна
утрачиваться в хаотической области, где частоты плохо определены и на
интервале [0,Т] вычисляются лишь грубые их приближения. Пример показан

5.3. Частотный анализ
113
на рис. 5.7 опять же для области в окрестности резонанса 1/6
стандартного отображения. Частота ν приведена в зависимости от начального
значения р\. Функция ν{ρι) выглядит гладкой при pi < —1.222, причем ν
медленно растет с рь затем она начинает испытывать скачки и выбросы
и наконец превращается в множество рассеянных точек. После
пересечения точного резонансного значения зависимость ν(ρ{) снова становится
гладкой.
Рис. 5.6 и 5.7 демонстрируют эффективность частотного анализа для
выявления хаотических орбит и хаотических областей. По сравнению с
вычислением показателей Ляпунова частотный анализ в принципе требует
меньше времени интегрирования. Нескольких периодов самого медленного
угла достаточно для точного определения частот и выявления их типа
поведения во времени и/или относительно начальных условий, тогда как при
вычислении показателей Ляпунова приходится ждать, пока эволюция £(t)
достигнет своего асимптотического предела. Более того, из частотного
анализа можно непосредственно определить, какие резонансы ответственны
за выявленный хаос, тогда как вычисление показателей Ляпунова не дает
на этот счет никакой информации. С другой стороны, вычисление частот
требует весьма сложного программного обеспечения, в особенности в
приложениях в небесной механике, где из-за вырожденности задачи Кеплера
есть как быстрые, так и медленные частоты. Из-за этой конкуренции
преимуществ в настоящее время широко используются как расчеты
показателей Ляпунова, так и частотный анализ.
5.3.1. Вычисление частот
В этом разделе мы дадим краткие рекомендации по практическому
применению частотного анализа. Подробности можно найти в
оригинальной статье Ласкара и др. (19926).
В системе с η степенями свободы регулярная орбита на КАМ-торе ква-
зипериодична с η независимыми частотами i/l5 ..., νη. В принципе, из-за
связи степеней свободы эти η частот присутствуют во временной
эволюции каждого из действий и углов системы. Однако каждая из частот Vj
является, вообще говоря, ведущей частотой своего угла qj; поэтому, вместо
того, чтобы выявлять все независимые частоты во временной эволюции
одной переменной, удобнее искать главную частоту каждого из углов qj(t).
Если искать частоту либрации на резонансе, разумно ввести критический
угол резонанса φι и сопряженное ему действие /χ (см. главу 4), а затем
задать угол, скажем $ь определяющий в полярных координатах положение

114
Глава 5
точки Д, φ ι относительно центра либрации. Частота либрации является
ведущей частотой ι?ι(ί).
Во избежании сложностей, возникающих из-за взятия углов по
модулю 2π, для каждого из углов qj(t) вводят комплексную функцию fj(t) =
= exp[iqj(t)}. Ведущая частота qj(t) является, конечно же, и ведущей
частотой fj(t). Если использовать простое быстрое преобразование Фурье,
на произвольно взятом временном интервале [to, to + Τ] частоты fj нельзя
определить с хорошей точностью, поскольку fj (t) не является, вообще
говоря, на этом интервале периодической. Вместо этого вычисляют функцию
Φ» = ψ J Ш exp(-uvt)dt (5.6)
и ищут значение ω*, при котором Φj(ω) максимальна. Значение ω*
аппроксимирует ведущую частоту fj. Оно равно ей в точности, если
функция fj(t) является периодической: в самом деле, в случае fj = exp[wt]
формула (5.6) дает Φ^(ω) = sin [(ι/ — ώ)Τ/2]/[(ν — α;)Τ/2], — с
абсолютным максимумом при ω = v. Если fj имеет несколько независимых частот
ζ^ι,..., νη, то ω* не будет в точности равно ведущей частоте, однако
«ошибка» будет невелика, если частоты хорошо разделены и амплитуда
гармоники с ведущей частотой значительно больше амплитуд гармоник с другими
частотами.
В небесномеханических приложениях часто имеются сложности из-за
одновременного присутствия быстрых и медленных частот, связанных
соответственно со средними долготами и с перицентрами и узлами небесных
тел. С точки зрения численной процедуры определения частот такая
ситуация эквивалентна случаю, когда частоты ν\,..., νη почти равны друг другу
и имеют сравнимые амплитуды в спектре Фурье. В первом исследовании
Ласкара (1990) этой проблемы не существовало, поскольку он рассматривал
исключительно вековую эволюцию Солнечной системы, начиная с вековой
нормальной формы (см. раздел 2.5), и поэтому быстрых углов не было.
Когда приходится иметь дело с орбитами, вычисленными в полных
задачах (то есть при наличии и короткопериодических членов),
наилучшей стратегией является следующая: сначала, используя отдельную
численную процедуру (Карпино и др., 1987), проводят фильтрацию орбиты,
чтобы осреднить все короткопериодические колебания, а затем применяют
частотный анализ к отфильтрованным углам. Полная процедура подробно
рассмотрена в статье Несворного и Ферраз-Мелло (1997а). Она позволяет

5.4. Суррогаты
115
эффективно вычислять частоты медленных углов, однако ее нельзя
использовать в области высоких частот.
5.4. Суррогаты
Недавно были предложены новые численные инструменты для
выявления хаоса, представляющие собой вариации на темы показателей
Ляпунова и частотного анализа. Здесь мы кратко рассмотрим только те из них,
которые были успешно применены в задачах небесной механики или же
являются перспективными для будущих приложений.
5.4.1. Быстрый индикатор Ляпунова
Этот метод предложили Фрешле и др. (1997). Для заданной орбиты
системы рассматриваем линеаризованные уравнения (5.1) и, задавая
произвольные начальные <5р(0), <5q(0), вычисляем эволюцию δρ(ί), <Sq(i).
Быстрый индикатор Ляпунова FLI (fast Lyapunov indicator) определяется как
время Т, на котором величина ||<Sp(£), <Sq(£)|| впервые становится равной
некоторому большому произвольно заданному числу R. Интуитивно ясно, что
FLI имеет отношение к показателю Ляпунова: орбиты, для которых система
(5.1) сильно гиперболична, имеют малые FLI; если (5.1) слабо
гиперболична, то FLI больше; если же изменения δρ, (5q ограничены, то FLI
бесконечно. Однако FLI, очевидно, зависит от выбора начальных <5р(0), <5q(0), от
выбора значения Я, а также от выбора канонических переменных р, q,
используемых для записи линеаризованных уравнений. Поэтому в отличие
от МПЛ FLI не характеризует рассматриваемую орбиту безусловно и его
нельзя использовать как абсолютную меру ее хаотичности.
Однако, коль скоро выбраны канонические переменные, заданы
начальные <5p(0),(5q(0) и пороговое значение Я, вычисление FLI позволяет
эффективно сравнивать динамическое поведение у различных орбит. В этом
смысле FLI можно рассматривать как индикатор хаотической природы
одной орбиты относительно другой. Чтобы получить абсолютный индикатор,
необходима калибровка FLI с использованием реперных орбит, для которых
хаотическая природа уже определена, например из вычисления МПЛ.
Главным достоинством FLI является простота и скорость процедуры
его вычисления, что позволяет исследовать большие массивы орбит.
Фрешле и др. (1997) успешно применили методику FLI в исследовании
динамической эволюции всех нумерованных астероидов; из его результатов стало
возможным выявить важность трехтельных резонансов для генерации
хаоса в поясе астероидов (см. главу 11).

116
Глава 5
5.4.2. Углы спиральности и закручивания
Эту методику предложили Контопулос и Воглис (1996). Используя
линеаризованные уравнения (5.1), вычисляем ориентацию вектора δρ(ί),
(5q(£) в зависимости от времени. В случае системы с η степенями
свободы ориентация определяется η — 1 углами —углами спиральности Φι, ...,
Φη_ι. Средние по времени значения углов спиральности (Φι), ..., (Φη-ι)
зависят, в принципе, только от орбиты, относительно которой вычислены
линеаризованные уравнения движения (5.1), но они не зависят от
начального выбора вектора <Sp(0),<Sq(0). Контопулос и Воглис показали, что для
орбит в однородной хаотической области средние значения углов
спиральности инвариантны, а для регулярных орбит они плавно изменяются с
начальными условиями. Это свойство позволяет легко разделить регулярные
и хаотические области, как только на регулярной сетке начальных условий
вычислены средние значения углов спиральности. Разумеется, для
вычисления средних углов спиральности требуется, в принципе, бесконечное время;
однако довольно точные оценки можно эффективно получить уже на
относительно малых временах, что с точки зрения практических вычислений
делает данный метод привлекательным.
В дополнение к углам спиральности Контопулос и Воглис
рассмотрели также их производные по времени — углы закручивания. Вычисление
средних значений углов закручивания также позволяет отделить
регулярные орбиты от хаотических. Они инвариантны для орбит в однородной
хаотической области, тождественно равны нулю для орбит на КАМ-торах
(в случае которых все углы циркулируют) и равны частотам либрации для
орбит на резонансных инвариантных торах (см. главу 4). Примеры
поведения среднего значения угла закручивания для орбит стандартного
отображения приведены в статье Фрешле и Лега (1998).
5.4.3. Средний фактор экспоненциальной расходимости близких орбит
Формулу (5.2) для вычисления максимального показателя Ляпунова
можно переписать в интегральной форме
С = lim - f §§df', (5.7)
где δ = ||<Sp, (5q||, a Sp(t), (5q(£) являются решениями (5.1); δ обозначает, как
обычно, производную от δ по времени. Средний фактор экспоненциальной
расходимости близких орбит (MEGNO — mean exponential growth factor of

5.4. Суррогаты
117
nearby orbits), определяемый формулой
r®-if.m<"· <5·8)
ввели Чинкотта и Симо (2000). Эволюция данной величины во времени
позволяет определить динамический характер рассматриваемой траектории
(траектории p(£),q(£), относительно которой вычисляются уравнения в
вариациях (5.1)). Действительно, в случае квазипериодической траектории δ
линейно растет со временем, и поэтому Y(t) осциллирует с ограниченной
амплитудой около значения 2. В случае же хаотической траектории δ
расходится со временем экспоненциально, и поэтому Y(t) осциллирует около
линейного решения у = at, где σ — максимальный показатель Ляпунова.
Таким образом, если ввести текущее среднее MEGNO по времени
Y{t) = \j\{t')at\ (5.9)
имеем
lim Y(t) = 2 (5.10)
в случае квазипериодической траектории и
Ϋ(ί) ~ |t (5.11)
при t —► +оо в случае хаотической траектории.
На первый взгляд этот усредненный по времени показатель кажется
совершенно эквивалентным максимальному показателю Ляпунова.
Действительно, у него такое же хорошее свойство, заключающееся в
зависимости исключительно от рассматриваемой траектории, но не от
используемых при вычислениях координат и метрики. Однако Чинкотта и Симо
показали, что Y(t) сходится к своему предельному значению быстрее, чем
оценка показателя Ляпунова. Причина состоит в том, что последний
сохраняет длительную память о начальной транзиентной эволюции касательного
вектора <Sp, 5q; в интеграле же (5.8) предпочтительный вес имеет поздняя
эволюция (5р, 5q, что ведет к быстрой потере памяти о начальной
транзиентной эволюции3.
Следует, однако, помнить, что при использовании малых времен счета получающаяся
оценка MEGNO не связана, вообще говоря, с истинным значением МПЛ, поскольку точную
численную оценку MEGNO, как и МПЛ, хаотической орбиты принципиально нельзя получить
на временах меньше характерного времени диффузии по всей связной хаотической области,
которой принадлежит орбита. — Прим. ред.

118
Глава 5
Чинкотта и Джиордано (2001) привели многочисленные примеры
применения MEGNO к системам с двумя и тремя степенями свободы. Во всех
случаях они нашли, что вычисление MEGNO выгоднее вычисления МПЛ:
при одних и тех же временах счета вычисление MEGNO позволяло
выявлять более тонкие детали хаотических областей.
5.4.4. Средние, максимальные и минимальные значения действий
Идея данного подхода вдохновлена методом частотного анализа.
Если орбита регулярная (то есть либо периодическая, либо лежит на КАМ-
торе), то не только частоты постоянны, но также и в поведении действий
есть периодические или квазипериодические повторения (см., например,
рис. 5 Л а). Поэтому минимальное, максимальное и среднее значения
действий на временном интервале [£q, ^о + Т] не зависят от начального
времени to интервала, если Τ достаточно велико.
Из этого соображения получается простой критерий для разделения
регулярных и хаотических орбит: регулярными орбитами являются такие,
для которых среднее, максимальное и минимальное значения действий не
изменяются при переходе от одного временного интервала к другому, а
хаотическими — такие, для которых эти значения изменяются с to. Впервые
этот критерий применил Ласкар (1994) при описании долговременной
эволюции планет; с тех пор его не раз применяли (см., например, Морбиделли,
1997; Морбиделли и Несворный, 1999) для выявления медленных
изменений орбитальных элементов у астероидов и объектов пояса Койпера.
Преимуществом данного подхода по сравнению с методом частотного анализа
является его намного более легкая реализация; к тому же он дает легче
интерпретируемую информацию о долговременных изменениях средних
орбитальных элементов (большой полуоси, эксцентриситета и наклонения).
С другой стороны, частотный анализ позволяет легко отождествлять резо-
нансы, ответственные за возникновение хаоса, чего нельзя достичь
простым отслеживанием изменений действий.
Максимальное, минимальное и среднее значения, принимаемые
действиями на временном интервале [0,Т], можно анализировать так же как
функции начальных условий, аналогично тому, как это делается в случае
частот. Это позволяет аналогичным образом разделять регулярные и
хаотические области. Подробное обсуждение и примеры (для случая
стандартного отображения) можно найти в статье Контопулоса и др. (1997).

Глава 6
Взаимодействие резонансов
6.1. Две степени свободы
В главе 4 мы убедились, что резонанс, расположенный, скажем, при р0,
в действительности определяет динамику в окрестности р0, имеющей
размеры ~ у/с, где с — коэффициент резонансной гармоники. Как следствие,
резонансы, расположенные в разных местах пространства действий,
эффективно разделены только в том случае, если коэффициенты
соответствующих резонансных гармоник достаточно малы; иначе их области влияния
перекрываются.
Чтобы пояснить эту мысль, рассмотрим квазиинтегрируемый
гамильтониан
Р2
W(pi,p2,9i,92) = у + 2тф2 + e[cos(qi) + cos(<?x - q2)\ (6.1)
и рассмотрим резонансы q\ = О и qi — q2 = 0, расположенные
соответственно при ρχ = 0 и ρχ = 2 π для любого р2- Чтобы изучать динамику
этой системы, можно в первом приближении рассмотреть каждый из
резонансов отдельно, принимая во внимание только соответствующую ему
гармонику и пренебрегая другой гармоникой. Конкретно, мы используем
интегрируемые модели одиночного резонанса Η = р\/2 + 2πρ2 + £cos(gi)
и Η = ρΊ/2 + 2πρ2 + £COs(gi — q2) для построения сечений Пуанкаре
в окрестности ρχ = 0 и в окрестности ρχ = 2π соответственно. Полученная
в итоге картина динамики показана на рис. 6.1. Если ε мало, то
сепаратрисы этих двух резонансов находятся на удалении друг от друга; очерченные
прерывистыми прямыми области, где динамика сильно подвержена
влиянию резонансов, разделены большим расстоянием. Оказывается, что
условие разделения резонансов обеспечивает хорошую аппроксимацию
динамики; согласно главе 4 сепаратрисы каждого из резонансов в
действительности расщеплены, образуя узкие хаотические области, но между двумя

120
Глава 6
резонансами, как ожидается, есть много КАМ-торов, так что хаотические
области локально ограничены. В частности, траектория не может
переходить из одного резонанса в другой.
0 qi 2π 0 qi 2π
Рис. 6.1. Сечения Пуанкаре для двух резонансов, вычисленные каждое в
интегрируемой модели одиночного резонанса. Когда ширина резонансов мала, резонансы
хорошо разделяются и для каждого из них применима аппроксимация в модели
одиночного резонанса (панель слева). Напротив, когда ширина резонансов велика,
они перекрываются (панель справа). В последнем случае можно ожидать наличия
крупномасштабного хаоса
Ситуация в корне отлична, когда ε велико (рис. 6.16). Тогда области,
где динамика определяется отдельно каждым из резонансов,
перекрываются, а сепаратрисы резонансов, в том виде как они вычислены на сечении
Пуанкаре каждая в интегрируемой модели, оказываются
пересекающимися. Таким образом, условие изоляции резонансов нарушается, и поэтому
глобальную динамику в данном случае нельзя исследовать, используя
интегрируемые модели одиночного резонанса. Естественно ожидать, что в
данном случае между двумя резонансами нет КАМ-торов, то есть
хаотические области около сепаратрис обоих резонансов в действительности
образуют единую связную область, охватывающую приблизительно все
пространство, занятое двумя резонансами. Образно говоря, начальное условие
в области перекрытия «не знает», какому резонансу оно принадлежит, и «не
уверено», вдоль какой ведущей траектории (кривые на рис. 6.16) оно
должно эволюционировать. Как следствие, траектория с начальными условиями
внутри хаотической области может свободно переходить от одного
резонанса к другому, при этом действие р\ может изменяться от 0 до 2π и обратно,
а два резонансных угла q\ и q\ — q2 — попеременно либрировать и
циркулировать.

6.1. Две степени свободы
121
О qi 2π 0 qi 2π 0 qi 2π
Рис. 6.2. Слева: простой критерий перекрытия для двух главных резонансов при
рг = 0 и ρι = 2π (ε = 2.47). Посередине: критерий перекрытия с учетом также
резонанса при р\ = π (ε = 1.46). Справа: критерий перекрытия с учетом также
и ширины хаотических слоев (заштрихованные области) двух главных резонансов
(ε = 1.2)
Чириков (1959, 1979) и Контопулос (1966) рассмотрели пересечение
сепаратрис разных резонансов, каждая из которых вычисляется в
интегрируемой модели одиночного резонанса, в качестве практического критерия
для количественной оценки порогового значения ε, соответствующего
исчезновению КАМ-торов и переходу к глобальному хаосу. Сейчас этот
критерий обычно называют критерием Чирикова. Чириков (1979) исследовал
его точность на примере стандартного отображения (3.13). Учитывая
только два главных резонанса, q\ = О и q\ — q2 = 0 при pi = 0 и ρχ = 2π, он
получил критическое значение ε ~ 2.47. Истинное же значение, при
котором происходит переход к глобальному хаосу из-за разрушения золотого
КАМ-тора (тора с отношением частот q\jq2 = (л/5 — 1)/2), составляет
ε « 0.9716, как численно установил Грин (1979). Таким образом, результат,
следующий из критерия Чирикова, выглядит лишь отчасти
удовлетворительным и весьма приблизительным с точки зрения возможности
количественных оценок. В общем случае критерий Чирикова дает завышенную
оценку порога перехода к глобальному хаосу в том смысле, что реальный
переход происходит при меньшем, чем предсказываемое критерием,
значении параметра возмущения. Это вызвано главным образом двумя
причинами: во-первых, не учтены резонансы, чьи гармоники отсутствуют в
исходном гамильтониане, но генерируются при итерациях пертурбационного
алгоритма (см. главу 2) с коэффициентами более высоких порядков по ε,
и, во-вторых, не учтены взаимодействие и деформации резонансов.
Чириков попытался улучшить точность своего критерия, учитывая большее
число возмущающих членов. Если учесть резонанс 2q\ — q<i = 0 при pi = π,
коэффициент гармоники которого порядка ε2, то оценка порога уменьшает-

122
Глава 6
ся до ε = 1.46; а если к тому же учесть ширину хаотических слоев вокруг
двух главных резонансов, то получается оценка ε = 1.2. Эти попытки
суммированы на рис. 6.2. Они показывают, что точность критерия улучшается,
если учитывать все больше и больше резонансных возмущающих членов.
со
о
см I
о I
. , . , .
и/
ϊ\
1 // ' ' ' '
\
> | . | .
0.0
0.5
1.0
Рис. 6.3. Перекрытие резонансов в зависимости от параметра возмущения в
системе с двумя степенями свободы. Ширина резонансов зависит от величины
возмущения е. Если возмущение превышает некоторый порог, происходит перекрытие
резонансов. Если ε достаточно мало, то резонансы не могут перекрываться и почти
весь объем занят инвариантными торами
Исходя из всего сказанного, можно представить эскиз глобального
динамического поведения системы с двумя степенями свободы в зависимости
от параметра возмущения ε, как это сделано на рис. 6.3. На этом графике
горизонтальной осью служит отношение α^/ωι частот q<i и </ь а
вертикальной — величина возмущения. Резонансы располагаются при рациональных
отношениях частот; они отмечены вертикальными прерывистыми
прямыми. Сплошными кривыми показаны амплитуды рассматриваемых
резонансов, выраженные в единицах отношения частот. Эти кривые строятся так:
в интегрируемой модели одиночного резонанса вычисляем значения р+
и р~ действия в апексах верхней и нижней сепаратрис (например, для
резонанса q\ — 0 системы (6.1) имеем pi = ±2y/e) и затем отмечаем на графи-

6.1. Две степени свободы
123
ке значения невозмущенного отношения частот, соответствующие р+ир~.
Поскольку величина коэффициентов резонансных гармоник увеличивается
с ростом возмущения, а ширина резонансов пропорциональна корню
квадратному из этих коэффициентов, амплитуды резонансов на рис. 6.3
имеют характерный вид буквы V. Поэтому если величина возмущения меньше
пороговой (зависящей, вообще говоря, от отношения частот), то резонан-
сы не перекрываются и между ними можно ожидать наличия КАМ-торов.
Траектории не могут переходить от одного резонанса к другому, и, таким
образом, движение ограничено в пространстве действий. Если же величина
возмущения больше пороговой, то резонансы перекрываются и КАМ-торы
исчезают. Тогда движение от резонанса к резонансу возможно; отношение
частот эволюционирует со временем как при случайных блужданиях.
Характерная длина шага блужданий определяется амплитудами резонансов,
а характерное время одного шага равно по порядку величины типичному
периоду либрации резонансного критического угла. Далее мы называем это
явление диффузией Чирикова. Термин диффузия здесь не означает, что
эволюция отношения частот строго подчиняется диффузионному уравнению,
а означает лишь то, что эта эволюция испытывает макроскопические
вариации — блуждания в пространстве действий.
Следует заметить, что на рис. 6.3 показаны только резонансы до
некоторого конечного порядка, тогда как необходимо, в принципе,
рассматривать резонансы всех порядков. Однако из графика мы видим, что
ширина резонансов быстро убывает с порядком. Действительно, коэффициенты
резонансных гармоник экспоненциально убывают с порядком
рассматриваемых резонансов, а расстояния между резонансами порядка К
убывают как 1/К. Как следствие, резонансы высоких порядков практически не
оказывают влияния на глобальное перекрытие резонансов. Резонансы,
способные перекрываться, имеют порядки меньше некоторого порогового
значения. Это справедливо и для систем с числом степеней свободы больше
двух; поэтому мы еще вернемся к данному важному факту в разделе 6.3.
6.1.1. Гетероклинические пересечения
Как мы видели, чириковский критерий перехода к глобальному хаосу
весьма привлекателен и интуитивно ясен; но, к сожалению, он является
эвристическим и его полной строгой теории до сих пор не существует. Идею
перекрытия резонансов можно обосновать исходя из понятия гетероклини-
ческого пересечения. Это строгое математическое понятие: так называется
пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий двух различных

124
Глава 6
(б)
' 1 '
I I 1
1 1 | I I 1
г>ч
1.1.
' 1 ■
I I 1
-5 0 5-5 0 5
Рис. 6.4. Гомоклинические и гетероклинические пересечения на примере двух
главных резонансов стандартного отображения для нескольких значений параметра е.
См. комментарии в тексте

6.1. Две степени свободы
125
резонансов (в отличие от обсуждавшегося в главе 4 гомоклинического
пересечения — пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий
одного и того же резонанса). К сожалению, гетероклинические пересечения
изучать гораздо труднее, чем гомоклинические. Последние можно изучать
в рамках задачи о возмущении интегрируемого случая, в котором
устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают. Гетероклинические же
пересечения, напротив, нельзя изучать используя теорию возмущений,
поскольку интегрируемого приближения с учетом обоих резонансов не существует,
по крайней мере в случае общего положения. Картина здесь в самом деле
очень сложная, и по сегодняшний день ясное представление о
происходящем могут дать только численные эксперименты. Из главы 4 мы знаем,
что устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических
периодических орбит можно находить численно. На рис. 6.4 показано, как
происходят гетероклинические пересечения многообразий двух главных
резонансов стандартного отображения. Портрет на панели (а) построен для
значения ε = 0.314, при котором динамика квазиинтегрируема: устойчивое
и неустойчивое многообразия каждого из двух резонансов, как видим,
совпадают с точностью до разрешения рисунка. На панели (б), где ε = 0.942,
резонансы все еще хорошо разделены; однако вблизи гиперболических
точек равновесия обоих резонансов стали заметны гомоклинические клубки.
На панели (в) (ε = 1.632) петли устойчивого и неустойчивого
многообразий двух резонансов уже очень близки друг к другу, но все еще не
пересекаются; по крайней мере, так следует из рисунка (многообразия имеют
бесконечную длину, но, разумеется, можно вычислить и изобразить только
конечные их фрагменты). На этой и последующих панелях показаны только
неустойчивое многообразие резонанса при ρχ ~ 0 и устойчивое
многообразие резонанса при pi ~ 2π, иначе изображение было бы слишком
запутанным. На панели (г) (ε = 1.696) петли наконец трансверсально пересекаются
в точках, называемых гетероклиническими точками. Следуя тому же
рассуждению, что и в главе 4 в случае гомоклинических точек, можно доказать
существование бесконечного числа гетероклинических точек и гетерокли-
нического клубка. У вычисленных фрагментов многообразий на панели (г)
кратные гетероклинические пересечения и гетероклинический клубок еще
не видны. Они все более и более проявляются на последующих панелях (д)
и (е), построенных для ε = 2.198 и ε = 3.14.
Интересно сравнить найденное здесь значение ε, пороговое для
появления гетероклинических пересечений, то есть ε я ~ 1.66, с истинным
пороговым значением для перехода к глобальному хаосу (значением, при

126
Глава 6
котором разрушается золотой тор), то есть с ε с = 0.9716, и с
критическим значением по критерию Чирикова, то есть с ее = 2.47. Отметим, что
£н ^> ^g> так как мы учитывали только два главных резонанса и
пренебрегли всеми резонансами более высоких порядков, расположенными
между ними; если бы мы искали гетероклинические пересечения в полной
резонансной цепочке, то получили бы критическое значение гораздо ближе
к истинному (см. Олвера и Симо, 1987). Альтернативой было бы
вычисление устойчивого и неустойчивого многообразий двух главных резонан-
сов на всем их бесконечном протяжении; но это, очевидно, невозможно.
С другой стороны, ε и «С ее, так как в критерии Чирикова учитывается
лишь амплитуда невозмущенных резонансов и пренебрегается взаимными
возмущениями и шириной гомоклинических петель. Результаты
вычислений, показанные на рис. 6.4, наглядно демонстрируют, насколько сложна
реальная картина динамики; и можно себе представить, насколько трудно
описать эти явления строгим математическим образом. Поэтому
неудивительно, что у критерия Чирикова и чириковской модели диффузии до сих
пор нет полного теоретического обоснования.
6.2. Более двух степеней свободы
Достичь понимания глобальной динамики систем с числом степеней
свободы более двух гораздо труднее, чем в случае двух степеней свободы.
География резонансов, а именно относительное расположение резонансов
в пространстве частот, здесь гораздо сложнее. В случае трех степеней
свободы, например, положения резонансов можно представить на плоскости
в координатах ω\/ω2 и ωχ/ω^, где ω\9 α>2, ωζ — частоты системы. Все
прямые на такой плоскости, имеющие рациональные наклоны, соответствуют
резонансам кратности 1 (см. определение кратности в разделе 1.10) и
формируют сеть, обычно называемую резонансной паутиной, или паутиной
Арнольда. Очевидно, что здесь, в отличие от случая двух степеней
свободы, резонансные линии могут пересекаться, причем точки пересечения
соответствуют резонансам кратности 2. Из-за этих пересечений
перекрытие резонансов имеет место всегда (по крайней мере локально в
окрестностях резонансов с кратностью больше 1), поэтому обобщение критерия
Чирикова неочевидно. Более того, как нам известно из главы 3, наличие
КАМ-торов теперь уже не препятствует «транспорту» в пространстве
действий. Таким образом, тогда как в случае двух степеней свободы возможны
только две ситуации — глобально-устойчивая, когда резонансное движение

6.2. Более двух степеней свободы
127
ограничено КАМ-торами, и глобально-неустойчивая, вызываемая
перекрытием резонансов, в случае более чем двух степеней свободы динамическое
поведение является более сложным.
Тем не менее для достаточно малых возмущений Нехорошеву (1977,
1979) удалось достичь строгого результата о практической глобальной
устойчивости многомерных систем.
6.2.1. Теорема Нехорошева
Теорема Нехорошева касается квазиинтегрируемых систем с η
степенями свободы и гамильтонианами вида W(p,q) = Wo(p) + sWi(p,q),
где p,q — переменные «действие-угол», определенные в области V =
Q χ Тп, пространство действий Q является областью в Rn, а пространство
углов Тп — n-мерный тор. В дальнейшем мы будем обозначать множество
точек р, содержащихся в Q вместе с окрестностью радиуса Δ, через Q — Δ.
Тогда теорема Нехорошева может быть сформулирована следующим
образом.
Пусть W(p, q) = Wo(p) + £^i(p, q) является аналитической
функцией в V = Q χ Тп, где Q С Rn — открытое ограниченное множество.
Рассмотрим матрицу С(р) с элементами CVj(p) = Ц ffi. (p) и
предположим, что выполнено условие выпуклости:
C(p)vv^0 Vpe£ и VveRn\0. (6.2)
Тогда существуют положительные постоянные ε*, α., β, а и Ь, такие что
для любого ε < ε* имеем
||ρ(ί) - Р(0)К Δ ξ αεα
для всех р(0) еб-Аи всех \t\ s$ Τ (ε), где
Г(£)=/?(^)%хр(^)Ь. (6.3)
Здесь уместно сделать несколько комментариев. Теорема
Нехорошева не исключает возможности хаотических движений. В действительности
действия ρ могут изменяться хаотически: теорема утверждает лишь то, что
любые изменения ρ ограничены величиной Δ до времени Т. Медленный
дрейф может принудить действия измениться более чем на Δ
относительно начальных условий только по прошествии времени больше чем Т, как

128
Глава 6
эскизно показано на рис. 6.5. Важно, что время устойчивости Τ
возрастает экспоненциально с величиной ε*/ε. Таким образом, если ε оказывается
несколько меньше порогового значения ε*, то время устойчивости
становится экстремально долгим и может превысить физическое время жизни
системы (например, время жизни Солнечной системы), что обеспечивает
практическую устойчивость системы. Подчеркнем, что столь важный
вывод об устойчивости достигается равномерно по всем начальным
условиям р, q при р, принадлежащих Q — Δ. Очевидно, что орбиты, проходящие
ближе чем на расстоянии Δ до границ области действий, исключаются,
поскольку они могут покинуть Q за малое время. Что касается условий
теоремы, отметим, что условие иметь дело именно с аналитическими
гамильтонианами является критичным. По причинам, которые будут объяснены
ниже, следует ожидать, что у дифференцируемых гамильтонианов время
устойчивости Τ имеет степенную зависимость от ε*/ε, а не
экспоненциальную. Роль условия выпуклости (6.2) также будет объяснена ниже; здесь
же стоит отметить, что это условие можно ослабить, используя вместо него
более техническое условие, называемое крутизной (Нехорошее, 1979),
обсуждение которого выходит за рамки данной книги.
Теорема Нехорошева — нечто много большее, чем сформулированный
выше знаменитый результат о долговременной устойчивости; а именно, она
доказывает существование специфичной структуры фазового пространства,
из чего выводится результат об устойчивости. Однако этот факт обычно
скрыт в доказательстве теоремы, и ему поэтому уделяется мало внимания.
Чтобы сделать эту структуру явной для читателя, приведем набросок
доказательства теоремы Нехорошева.
Как мы убедились в главе 2, гармоники εο^(ρ) exp(tk · q) в
возмущении εΤί\ можно отнести к более высоким порядкам по ε методом
преобразований Ли лишь вдали от соответствующих резонансов к · ω = 0.
Вблизи резонанса гармонику нельзя исключить, то есть она должна быть
сохранена в резонансной нормальной форме. Поскольку резонансы плотны
в пространстве действий, на любом открытом подмножестве Q из
возмущения нельзя исключить бесконечное число гармоник. В общем случае это
препятствует интегрируемости системы (Пуанкаре, 1892). Идея
Нехорошева состоит в том, чтобы рассматривать только резонансы порядка не выше
некоторого порогового К.
Выбор такого подхода очень важен. В самом деле, с одной стороны,
число резонансов порядка не выше заданного конечно, и поэтому всякое
открытое подмножество пространства действий содержит лишь конечное

6.2. Более двух степеней свободы
129
t
2Δ
Τ ~ βχρ(1/ε)
Рис. 6.5. Теорема Нехорошева: каковы бы ни были начальные условия, действия
могут эволюционировать хаотически, но время Т, требуемое для изменения более
чем на величину Δ (ε), экспоненциально велико по l/ε. Если параметр
возмущения ε достаточно мал, то время Τ превышает физическое время жизни
рассматриваемой системы; то есть теорема Нехорошева обеспечивает вывод о «практической»
устойчивости. (Рис. 1 из статьи Морбиделли и Гуццо, 1996; с разрешения Kluwer
Academic Publishers)
число резонансных линий, как на рис. 6.6. С другой стороны,
аналитичность гамильтониана означает, что пренебрегаемые члены,
соответствующие резонансам порядка выше К, имеют величину не больше ехр(—Κσ)
(где σ — некоторое положительное число). Можно показать, что пороговое
значение К можно выбрать таким большим, как 1/еъ (с некоторым
положительным Ь < 1), поэтому пренебрегаемые члены оказываются
экспоненциально малыми по 1/еъ, Этот факт определяет время устойчивости Τ (ε),
экспоненциально зависящее от l/ε6, как в формуле (6.3). Заметим, что если
гамильтониан не аналитичен, а лишь г раз дифференцируем, то, как можно
ожидать, некоторые из пренебрегаемых членов имеют величину К~г, то
есть 1/егЬ. Как следствие, время устойчивости Τ (ε) получается не больше,
чем ~ \/егЪ.
Ограничимся ради простоты случаем трех степеней свободы. К
тому же представим резонансную структуру системы при заданном значении
гамильтониана на плоскости частот в координатах ωι/ω$ и о^/с^з, где ω —
= gradp7i0. Такой выбор позволяет построить удобные поясняющие схемы

130
Глава 6
Рис. 6.6. Эскиз геометрической конструкции теоремы Нехорошева для системы
с тремя степенями свободы на плоскости частот с координатами ωι/шз и о^/^з-
Тремя жирными прямыми обозначены положения трех резонансов кратности 1;
они образуют ячейку паутины Арнольда. Точки пересечения этих резонансов друг
с другом соответствуют положениям резонансов кратности 2. См. обсуждение в
тексте. (Рис. 2 из статьи Морбиделли и Гуццо, 1996; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)
(рис. 6.6). Напомним, что на плоскости частот резонансы суть прямые с
рациональными наклонами.
Прежде всего определим нерезонансную область как множество частот
достаточно далеких от всех резонансов порядка не выше К. На рис. 6.6а это
несвязная область, ограниченная пунктирными линиями. В точном
определении она представляет собой множество частот ω таких, что |к · ω\ > y/ε
для всех к, у которых |k| ^ К.1 В нерезонансной области можно построить
нормальную форму Биркгофа, исключив в возмущении εΉ\ все гармони-
1 Напомним, что согласно главе 4 ширина резонанса пропорциональна корню
квадратному из коэффициента (в данном случае ε) резонансной гармоники; поэтому при определении

6.2. Более двух степеней свободы
131
ческие члены вида etkq с |k| ^ К. В самом деле, по построению все эти
члены нерезонансны в такой области. Полученный в результате
гамильтониан зависит только от новых действий, если в гамильтониане не считать
остатка Ик, который (по своей сути) состоит из гармонических членов
порядка больше К, являющихся экспоненциально малыми. Таким образом,
пренебрегая не более чем экспоненциально медленной диффузией,
вызываемой ΊΖχ, приходим к выводу, что частоты системы в нерезонансной
области не изменяются со временем.
На втором шаге рассмотрим области одиночного резонанса,
ограниченные на рис. 6.66 прерывистыми линиями. Каждая их этих областей
характеризуется присутствием только одного резонанса порядка меньше К.
В этих областях можно построить нормальную форму одиночного
резонанса, исключив все нерезонансные члены порядка меньше К. Затем
приводим гамильтониан к виду с лишь одним резонансным членом (порядка
|fc| ^ К) и с остатком ΊΖχ, состоящим из членов порядка больше К, —
опять же экспоненциально малым. Если им пренебречь, то гамильтониан
будет опять интегрируемым, но зависящим от одного резонансного угла,
так что действия (а следовательно, и частоты) уже не будут более
фиксированными. Из-за наличия резонансной гармоники они изменяются —
вдоль направления, обычно называемого направлением быстрого дрейфа.
На рис. 6.66 оно указано стрелкой. Условие выпуклости (6.2)
гарантирует, что резонансное движение ограничено, как в случае маятника.
Фактически для выпуклого гамильтониана можно доказать, что направление
быстрого дрейфа трансверсально к резонансной линии. Таким образом,
если следовать в направлении быстрого дрейфа неограниченно, то движение
попадет в нерезонансную область. Но это невозможно, поскольку в
нерезонансной области частоты фиксированы, как объяснено выше. С другой
стороны, движение, трансверсальное к направлению быстрого дрейфа, может
быть вызвано только неинтегрируемым остатком ΊΖκ, так что оно является
экспоненциально медленным. Это медленное движение обычно называют
диффузией Арнольда. Кроме того, остаток ΊΖχ вызывает расщепление
сепаратрис, так что амплитуда расщепления не более чем экспоненциально
мала (Нейштадт, 1984).
На третьем шаге рассмотрим области двойного резонанса; их центры
приходятся на пересечения резонансных линий, соответствующие резонан-
сам кратности 2. На рис. 6.бе эти области ограничены сплошными тонкими
нерезонансной области необходимо исключать окрестности шириной у/е рассматриваемых
Резонансных линий. - Прим. авт.

132
Глава 6
линиями. В таких областях резонансная нормальная форма содержит два
независимых резонансных члена порядка меньше К. Поэтому резонансная
нормальная форма, вообще говоря, неинтегрируема и можно ожидать, что
данные области характеризуются сильным хаосом, а частоты могут
изменяться на плоскости в окрестности пересечения резонансов в любом
направлении. Однако это хаотическое движение вновь оказывается
ограниченным. В самом деле, если бы частоты сместились достаточно далеко от
точки двойного резонанса, то они попали бы либо в нерезонансную
область, либо в одну из областей одиночного резонанса. Но это
невозможно, поскольку в нерезонансной области частоты фиксированы, а в
областях одиночного резонанса они могут изменяться только вдоль направления
быстрого дрейфа.
В итоге, если пренебречь экспоненциально малым остатком ΊΖκ, то
при любых начальных условиях движение удерживается в пределах
одной из резонансных областей. Как следствие, частоты (и действия)
могут изменяться не более чем на величину радиуса областей двойного
резонанса (при числе степеней свободы η наихудшим является случай
областей, построенных около резонансов кратности η — 1). Можно доказать,
что этот радиус пропорционален εα, где а — некоторое положительное
число меньше 1, которое уменьшается с увеличением числа степеней
свободы.
Более того, чтобы получить самосогласованную картину, как на
рис. 6.6, резонансов порядка меньше К не должно быть слишком много,
так как иначе не осталось бы места для нерезонансной области и
построить рис. 6.6 было бы невозможно. Тот факт, что наибольшие резонансные
области имеют размер порядка εα, задает для выбора К верхнюю границу
вида l/ε6, как мы и предвидели.
Наконец, примем во внимание экспоненциально малый остаток ΊΖκ·
Очевидно, что этот остаток может вызвать диффузию в любом направлении
пространства частот, но лишь с экспоненциально малой скоростью. Тогда
вывод об ограниченности движения, полученный в пренебрежении ΊΖκ,
будет справедлив, в принципе, лишь в пределах экспоненциально долгих
интервалов времени.
Рассмотренная здесь в общих чертах схема доказательства теоремы
Нехорошева описана со всеми математическими деталями в работе Пешеля
(1993). Читатель может обратиться также к статьям Нехорошева (1977),
Бенеттина и др. (1985) и Лошака (1992), где излагаются альтернативные
подходы.

6.2. Более двух степеней свободы
133
6.2.2. Нехорошевская структура
Конструкцию теоремы Нехорошева можно итерировать, чтобы
исследовать динамическую структуру системы, обусловленную резонансами
порядка выше нехорошевского порогового значения К ~ 1/еъ (см. Морби-
делли и Джиорджилли, 19956).
В самом деле, после исключения резонансов до порядка К в
определенной выше нерезонансной области (обозначаемой далее как Qk) в новых
переменных «действие-угол» p',q' гамильтониан принимает вид
tf'(pW) = «ί,(ρ') + ε'«Ί(ρ',4'), где ^(p'.q') = TZK(p',q'). (6.4)
Как и прежде, это автономная выпуклая система, но здесь новое
возмущение экспоненциально мало относительно исходного возмущения, так как
ε' ~ ехр(—l/ε6). Далее, применяя теорему Нехорошева к этому
гамильтониану (то есть рассматривая резонансы до нового порядка обрезания
К' ~ \/е,ъ ~ βχρ[6/ε6]), мы доказываем глобальную устойчивость
движения в Qk на суперэкспоненциально долгих интервалах времени, а именно
до Τ ~ βχρ[βχρ(1/ε6)]6. Более того, мы находим новую нерезонансную
область Qk>, где нет резонансов до порядка К''. На Ок' можно ввести новые
переменные «действие-угол», чтобы преобразовать гамильтониан к виду
суммы интегрируемой части и остатка ΊΖκ', где последний
суперэкспоненциально мал. Эту процедуру можно итерировать, причем доказано, что
итерационный процесс сходится к множеству инвариантных КАМ-торов
большого объема (Джиорджилли и Морбиделли, 1997). Тот факт, что с каждым
шагом процесса нерезонансная область фрагментируется на все меньшие
и меньшие части, никогда не препятствует применению теоремы
Нехорошева: в самом деле, наиболее существенный параметр, а именно отношение
величины возмущения и размера каждой из связных компонент области,
уменьшается на каждом шаге. Процедура итераций теоремы Нехорошева
резюмирована в таблице 6.1.
Итоговая глобальная картина, получаемая в свете теоремы Нехорошева
и ее последовательных итераций, эскизно дана на рис. 6.7. Если параметр
возмущения ε достаточно мал, то теорема Нехорошева применима.
Динамика структурирована (рис. 6.7а). Резонансы заданного порядка
пересекаются в резонансных узлах, соответствующих резонансам более высокой
кратности. В окрестностях последних присутствует выраженный хаос, но
Резонансы не перекрываются полностью в том смысле, что внутри каждой
из ячеек резонансной паутины всегда есть нерезонансная область. Более то-

134
Глава 6
Таблица 6.1. Схема итераций теоремы Нехорошева. В первом столбце приведено
число итераций N; во втором — размер ρ связных компонент области определения
гамильтониана; в третьем — величина возмущения ||?ίι||; в четвертом — порядок
обрезания К для рассматриваемых резонансов; в пятом — нехорошевское время
устойчивости Ts\ в шестом — размер ρ к каждой из связных компонент
нерезонансной области; в последнем — величина остатка ΊΖκ построенной на нерезонансной
области нормальной формы. Итерация состоит в применении теоремы Нехорошева
последовательно на нерезонансной области, определенной на предыдущем шаге, то
есть в подстановке столбцов 6 и 7 в столбцы 2 и 3. Степени ε не указаны
N
1
2
3
η
Q
1
ε
exp-41/ε)
βχρ-η+2(1/ε)
lltfill
ε
exp-41/ε)
exp-^l/ε)
βχρ-η+1(1/ε)
К
I i7i 1
βχρ(1/ε)
exp^l/ε)
βχρη-χ(1/ε)
TS
βχρ(1/ε)
βχρ2(1/ε)
βχρ3(1/ε)
βχρΛ(1/ε)
QK
ε
exp-41/ε)
exp-^l/e)
exp-n+1(lA)
\\Κκ\\
ехр-Ч1А)|
exp-^l/e)
ехр-3(1/£)
βχρ—(1/е)
го, этот сценарий справедлив на любом масштабе, если рассматривать резо-
нансы последовательно увеличивающегося порядка. Ядром данной
структуры служит множество инвариантных КАМ-торов, представляющее собой
в рамках данной схемы нерезонансную область в пределе, когда число
итераций теоремы Нехорошева устремлено к бесконечности. В дальнейшем
динамическую систему с такой структурой мы будем называть нехорошев-
ской системой.
На рис. 6.76 показана обратная ситуация. При некотором порядке ре-
зонансы перекрываются. Места для нерезонансной области нет, и
инвариантные торы более не существуют. Перекрытие резонансов позволяет
орбитам переходить от одного резонанса к другому посредством хаотической
«быстрой» (чириковской) диффузии. Фазовое пространство
характеризуется крупномасштабным хаосом. Поскольку ширина областей одиночного
резонанса пропорциональна y/ε, такая ситуация имеет место, если параметр ε
не является достаточно малым.
6.2.3. Суперэкспоненциальная устойчивость КАМ-торов
Сравнение размера ρ нерезонансной области и времени
устойчивости Ts при каждом порядке N итераций теоремы Нехорошева (см.
таблицу 6.1) наводит на мысль, что время, требуемое для ухода из окрестности
КАМ-тора, суперэкспоненциально зависит от величины, обратной
начальному расстоянию от тора.

6.2. Более двух степеней свободы
135
Рис. 6.7. Панель (а): эскиз нехорошевской структуры. Резонансы заданного порядка
пересекаются в резонансных узлах, но не перекрываются: внутри каждой из ячеек
резонансной паутины всегда существует нерезонансная область. При уменьшении
масштаба, если рассматривать резонансы последовательно увеличивающегося
порядка, картина повторяется. Панель (б): при некотором порядке резонансы
перекрываются. Нерезонансную область нельзя определить. Инвариантные торы
разрушены. Траектория может переходить от одного резонанса к другому. Как и на
рис. 6.6, резонансная структура эскизно представлена здесь на плоскости частот
для системы с тремя степенями свободы. (Рис. 3 из статьи Морбиделли и Гуццо,
1996; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
Это можно доказать простым непосредственным образом
(Морбиделли и Джиорджилли, 1995а). Как продемонстрировано в разделе 3.2, начав
с нормальной формы Колмогорова, в окрестности ΙΑρ радиусом ρ КАМ-тора
можно построить оптимальную нормальную форму Биркгофа, чей остаток
имеет величину ερ ~ ехр[^_1^г+1)]. Тогда гамильтониан в UQ запишется
как Щ1, φ) = Hq(1) + ερ1Ζ(1, φ). Если Но(Т) удовлетворяет условиям
теоремы Нехорошева, то, применяя последнюю, мы доказываем, что время,
требуемое для ухода из 14ρ, если стартовать из Ы6 — ερ, пропорционально
ехр[1/^] = exp{exp[6/i?1/(r+1)]}·
Это улучшает уже обсуждавшийся в разделе 3.2 результат об
устойчивости КАМ-торов и подчеркивает ту важную роль, которую играют КАМ-
торы в структурировании динамики гамильтоновых систем с любым
конечным числом степеней свободы.

136
Глава 6
6.3. Исследование динамической структуры
заданной системы
В свете раздела 6.2.2 приступать к исследованию заданной
динамической системы разумно с поиска ответов на следующие вопросы. Обладает
ли система нехорошевской структурой? Если нет, то в каком порядке резо-
нансы начинают перекрываться?
кУк (<>)
1 1
К К К
Рис. 6.8. Относительный объем Vk, заполненный всеми резонансами порядка К,
согласно формуле (6.5). На панели (α) ε мало, поэтому при любом К объем Vk
всегда меньше объема фазового пространства (нормированного здесь на 1).
Следовательно, резонансы не могут глобально перекрываться, существуют инвариантные
торы, и система имеет нехорошевскую структуру. На панелях (б) и (в) объем Vk
больше 1 при некоторых К. Поэтому резонансы должны перекрываться, а
инвариантные торы не могут существовать. Порядок, при котором резонансы начинают
глобально перекрываться, зависит от ε. Если ε очень велико (панель (б)), то этот
порядок мал; если нет (панель (в)), то он может быть очень велик и близок к
порядку, соответствующему максимуму Vk· (Рис. 4 из статьи Морбиделли и Гуццо, 1996;
с разрешения Kluwer Academic Publishers)
К сожалению, найти ответы на эти вопросы аналитическим путем
нелегко, что следует из следующего качественного анализа,
вдохновленного работой Арнольда (19636). Ширина резонансной области
пропорциональна корню квадратному из коэффициента соответствующей резонансной
гармоники, то есть она зависит от порядка К резонанса как у/ёехр(—Κσ).
Количество резонансов порядка К растет с К как 2пКп~1, где η —
число степеней свободы. Следовательно, относительный объем фазового
пространства, заполненный всеми резонансами порядка К, составляет
VK ~ 2п^Кп~1 ехр(-Ка). (6.5)
Объем Vk максимален при К = (η — 1)/σ, а при больших К убывает
экспоненциально. На рис. 6.8 показаны зависимости Vk от К при различных

6.3. Исследование динамической структуры заданной системы 137
значениях ε. Если ε мало, то при всех К объем, заполненный резонансами
порядка К, меньше объема всего фазового пространства (рис. 6.8а). Это
означает, что при всех порядках резонансы не могут перекрываться
полностью: есть некоторый объем, свободный от резонансов, где могут
существовать инвариантные торы; система имеет нехорошевскую структуру2. Если
взять ε достаточно большим, то при некотором К относительный объем Vk
достигает единицы. Как следствие, резонансы порядка К должны
перекрываться полностью, инвариантные торы не могут существовать, и
система теряет свою нехорошевскую структуру. Минимальный порядок К,
при котором резонансы перекрываются, зависит от ε. Если ε очень велико,
то резонансы могут начать перекрываться уже при очень низком порядке
(рис. 6.86); при меньших ε перекрытие может происходить при К, близких
к Кта,х = (п — 1)/σ (рис. 6.8в). Последние могут быть очень большими,
если число η степеней свободы велико или параметр аналитичности σ мал.
Например, динамическая система, описывающая движение астероида в
реалистичной постановке задачи, имеет по меньшей мере 10 степеней
свободы, а σ оценивается как ~ 0.1; поэтому глобального перекрытия резонансов
можно ожидать при порядке ~ 100(1).
На настоящий момент аналитические алгоритмы, реализуемые и
используемые на пределе возможностей современных технологий (системы
компьютерной алгебры, получисленные расчеты и т. п.), позволяют изучать
расположение и амплитуды резонансов лишь до весьма ограниченных
порядков. Поэтому выяснить, имеет ли данная система нехорошевскую
структуру, можно лишь в том случае, если KmdiX мало (число степеней свободы
мало, σ велико). Фактически все успешные приложения чириковского
критерия перекрытия резонансов (см. Контопулос, 1966; Чириков, 1979; Уиз-
дом, 1980) относятся к системам с двумя степенями свободы, где можно
получить хорошие результаты при низком или умеренном порядке.
Ситуация оказывается не столь безнадежной, если обратиться к
численным методам исследования динамических систем. Инструменты,
описанные в главе 5, позволяют эффективно выявлять резонансы и области
хаоса, так что можно надежно верифицировать, перекрываются ли резонансы
или же есть достаточно места для существования КАМ-торов. Прекрасные
Со строгой математической точки зрения для того, чтобы доказать существование
инвариантных торов, необходимо показать, что сумма Vk при К Ε [1,оо) меньше 1; однако,
поскольку большинство областей резонансов высоких порядков в действительности покрыты
областями резонансов низких порядков, сумма V^ переоценивает полный резонансный
объем. Поэтому распределение Vx, показанное на рис. 6.8, существенней для нас, чем интеграл
от него. - Прим. авт.

138
Глава 6
I' Г , ,
о
О *ν с' ■ О
О
'-0.5 0
2.5
ю
-л
О
о
'-0.5 0
U.5 1 1.5
3 3.5
W.1 . ~ ' -
0.5 1 1.5
см
о
ю
1—1
о
0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
. ■ I
3.5 4
0.32 0.34 0.36 0.38 0.4
2.5 3 3.5 4 3 3.5 4
Рис. 6.9. Динамическая структура системы (6.6) при двух значениях ε, показанная
в двух разрешениях изображения. Координатами на всех панелях служат начальные
условия для действий pi и р2 (при этом начальные значения углов выбраны
равными нулю). Десятичный логарифм быстрого показателя Ляпунова (FLI) представлен
в цветовой градации как функция начальных условий. Каждая из панелей
построена для 250000 орбит; верхние панели — при ε = 0.01, а нижние — при ε = 0.04. На
правых панелях показаны в увеличенном масштабе особенно интересные области
на плоскости действий. Времена интегрирования для вычисления FLI взяты
равными 2000 (панели справа) и 1000 (панели слева). См. комментарии в тексте. (Рис. 2
из статьи Фрешле и др., 2000; с разрешения Американской ассоциации за научный
прогресс)

6.3. Исследование динамической структуры заданной системы 139
примеры такого подхода дали Ласкар (1993), Канеко и Кониши (1994) и, не
так давно, Фрешле и др. (2000). Фрешле и др. изучали гамильтониан с
тремя степенями свободы
Η = ή- + 4+ρ·* + ε ( - τ) · (6·6)
2 2 У Vcos Qi + cos q2 + cos g3 + V
Необычная зависимость от углов искусно выбрана здесь таким образом,
чтобы в компактной записи получился гамильтониан, чье разложение в ряд
Фурье имеет бесконечное число гармоник3. Чтобы исследовать
динамическую структуру этой системы, авторы провели вычисления быстрых
показателей Ляпунова (FLI; см. раздел 5.4.1) для 250000 орбит с
начальными pi и р2 на регулярной сетке и нулевыми начальными фазами углов. На
рис. 6.9 в цветовой градации показаны FLI как функция начальных (рьрг)·
Обратим наше внимание сначала на верхнюю левую панель, относящуюся
к случаю ε = 0.01. Через резкие изменения цвета относительно
коричневого фона проявляются главные резонансы системы. Они проявляются в виде
прямых линий или прямых полос, так как частоты углов q± и q2 линейны
по pi и р2, и поэтому резонансное соотношение k\_q\ + /с2(Ь + &з<Ь = 0
сводится к линейному уравнению k\pi + к2р2 + &з = 0 Для Pi и Р2· Резо-
нансы, проявляющиеся в виде полос, — это резонансы, у которых принятый
выбор начальных углов обеспечивает представительное разрешение
областей регулярных либрации. В противном случае резонансы проявляются
как одиночные желтые линии. Значения FLI у либрирующих орбит
обычно меньше, чем у фоновых нерезонансных орбит, поэтому несколько полос
окрашены в синий цвет. Желтые линии (как границы резонансных полос,
так и одиночные линии) соответствуют сепаратрисам или же хаотическим
областям резонансов. Действительно, на сепаратрисах и в хаотических
областях движение в сильной степени гиперболично, поэтому значения FLI
велики.
Резонансная структура на верхней левой панели рис. 6.9 напоминает
рис. 6.7а, и это наводит на мысль, что при данном значении ε система,
возможно, имеет нехорошевскую структуру. На нижней левой панели
показана ситуация для учетверенного значения ε: здесь резонансные полосы
шире и проявляется больше резонансных желтых линий, так что наличие
нехорошевской структуры, по крайней мере в области, где |ρι| и \р2\
меньше 0.5, вызывает больше сомнений. Истинная структура системы проявится
Идея такого выбора восходит к работе Б. В.Чирикова «Нелинейный резонанс»
(Новосибирск: Издательство НГУ, 1977), с. 51-55. - Прим. ред.

140
Глава 6
четче, если увеличить разрешение численного эксперимента. Это требует
задания более мелкой сетки начальных условий и интегрирования орбит
на более длительных временах, чтобы можно было выявить более слабый
хаос и более тонкие резонансы; так сделано при построении правых
панелей рис. 6.9. Если система обладает нехорошевской структурой, то
перекрытия резонансов не должно быть при любом уровне разрешения. Тогда,
поскольку заполняемый КАМ-торами относительный объем велик,
существование нерезонансной области при увеличении разрешения становится
более очевидным (верхняя правая панель). Напротив, если резонансы при
некотором порядке перекрываются, то при достаточно высоком
разрешении выявляется глобальная хаотичность системы (нижняя правая панель).
Таким образом, из рис. 6.9 следует вывод, что в рассматриваемой области
пространства действий система (6.6) имеет нехорошевскую структуру при
ε = 0.01, а при ε = 0.04 она глобально хаотична.
Данный пример показывает, что численный анализ, применяемый в
совокупности с теоретическими интерпретациями, представляет собой
весьма эффективный способ исследования динамических свойств любой
заданной системы. В современной небесной механике такой подход становится
все более распространенным (см., например, главы 11 и 12).

Глава 7
Вековая динамика планет
7.1. Решение Лагранжа-Лапласа
В предыдущих главах мы изложили основные концепции
теоретической гамильтоновой динамики, что дает нам теперь возможность
детального исследования динамики тел Солнечной системы. В этой и последующей
главах мы изучим вековую динамику. Это динамика, описываемая вековыми
нормальными формами (см. раздел 2.5.1), причем остаточные члены
игнорируются. Разумеется, вековая динамика правильно описывает реальную
динамику только в тех областях, где вековую нормальную форму можно
построить, то есть на удалении от резонансов средних движений, и ее
точность возрастает с увеличением порядка вековой нормальной формы.
Для упрощения записи формул далее мы не приводим в них верхние
индексы, употреблявшиеся в разделе 2.5.1 с целью подчеркнуть, что
фигурирующие в вековой нормальной форме переменные — средние
модифицированные переменные Делоне, а именно переменные, полученные из
исходных модифицированных переменных Делоне с использованием
последовательности рядов Ли. Кроме того, говоря о средних орбитальных
элементах, определяемых из средних модифицированных переменных
Делоне, мы будем опускать прилагательное средний.
Планетная вековая нормальная форма по определению не зависит от
средних долгот планет λχ,..., Адг. Как следствие, действия Аь ..., Лдг
являются константами движения. Вековая система, таким образом, полностью
описывается каноническими переменными «действие-угол» Pj, Qj, pj, qj
(J = 1,..., Ν). Тогда из нормализованного гамильтониана можно убрать
«главный» член 7i0(Ai,... ,Лдг); в результате гамильтониан приобретает
следующую структуру:
Ή = eWi(Pi,...,Pn,Qi,...,Qn,pi,...,pn,gi,...,gn;Ai,...,An), (7.1)

142
Глава 7
где для упрощения записи в еН\ включены также и члены нормальной
формы более высоких порядков по ε; величины Aj играют роль постоянных
параметров.
Малый параметр ε (масса наибольшей планеты в солнечных
единицах) служит множителем для всего гамильтониана (7.1). Таким образом, он
более не играет роли пертурбационного параметра, отделяющего
интегрируемую часть от возмущения, а лишь показывает, что движение,
описываемое гамильтонианом (7.1), является медленным: его естественная
временная шкала в l/ε раз дольше орбитального периода Юпитера. Поэтому,
чтобы обеспечить возможность исследования гамильтониана (7.1) с
помощью инструментов, описанных в главе 2, необходимо прежде всего
определиться с интегрируемым приближением и новым пертурбационным
параметром (последний назовем 77) такими, что в подходящих переменных
«действие-угол» р, q можно было бы записать (7.1) в виде Wo(p) + Wi(p, q),
где Hi — величина порядка η относительно Но.
Классическим является следующий путь. Учитывая малость
эксцентриситетов и наклонений планет, а также что
е2 г-
Pj-V^i' Qj~2y/a;sm2j, (7.2)
раскладываем (7.1) в ряд Тейлора по y/Pj, \/Qj·
HiPjiQj^qj) = Y^n^P^Q^Pj.qj), (7.3)
где W(n) — полиномиальная функция степени п от у/Р], y/Qj- В
ряде (7.3) член W(0) нулевой, так как из правил Даламбера (см.
раздел 1.9.3) следует невозможность существования гармоник от Pj,q-j с
коэффициентами, не зависящими от Pj, Qj. Кроме того, нулевыми являются
все Н(п) с нечетными п, так как гармоники вековой задачи (общего ви-
Да П/ Р^ Qj ехР[^ Σΐ(πι]Ρ] + kjQj)]) должны удовлетворять условию
Y^j{rrij + kj) = 0; это означает, что величина $^i(lm7'l + IM) является
четной, а поэтому и Y^A&j + Pj) будет четной. Как следствие, ведущим
членом в (7.3) является Н^)· Опять же согласно правилам Даламбера
общий вид Н{2) должен быть следующим:
Ν Ν
HW = Σ Σ kfc V^P/V^cosfe - pk) +
- L (7.4)
2Q3y/2Q^con(qj-qk)

7.1. Решение Лагранжа-Лапласа
143
причем коэффициенты с3^ и d3^ здесь зависят только от постоянных А3,
то есть от больших полуосей планет. Отметим, что в случае к = j члены
суммы равны просто 2с3^Р3 -f 2djjQj. Если ввести канонические
полиномиальные переменные (1.78), то (7.4) становится квадратичной
полиномиальной формой:
Ν Ν
W(2) =^2^21сзАхзхк + УзУк) + d3,k(v3vk>+ ZjZk)]. (7.5)
j = l k=l
Уравнения движения, задаваемые гамильтонианом (7.5), являются
линейными, и, как и все линейные дифференциальные уравнения, они
интегрируемы. Поэтому в качестве интегрируемого приближения векового
гамильтониана (7.1) мы можем взять Н^)· Члены Н(п) с η > 4 будут
играть роль возмущения, причем их величина относительно Нр) составляет
[maxj(y/Fj, y/Qj)](n~2^ ~ [maxj(ej,ij)](n~2\ Таким образом, тогда как
в исходной планетной задаче (2.39) естественным пертурбационным
параметром ε является масса наибольшей планеты в солнечных единицах, в
вековой задаче естественным пертурбационным параметром η оказывается
квадрат наибольшего значения, принимаемого планетными
эксцентриситетами или наклонениями в ходе вековой эволюции.
Найдем теперь решение уравнений движения, задаваемых
гамильтонианом 7ΐ(2), — так называемое решение Лагранжа-Лапласа — и введем
подходящие переменные «действие-угол», позволяющие записать 7ί(2) Β виде
функции от одних только действий. Имея ввиду эту цель, найдем прежде
всего новые канонические переменные а;'·, у', г/·, ζ'·, в которых (7.5) можно
записать как
п(2) = - Σ
■ К-)2 + (^·)2 , Κ)2 + (ζ^
9j о +^ Т^
(7.6)
где q3 и Sj — коэффициенты, зависящие только от средних значений
больших полуосей планетных орбит. Тогда, применяя преобразование,
обратное (1.78), легко ввести новые переменные «действие-угол» Pj,p'3,Q3,qf3,
в которых имеем
Я(2) = -5>^+вД·]· (7·7)
з
Гамильтониан (7.5) можно записать в матричном виде как
Н{2) = х · Ах + у · Ау + ν · Βν + ζ . Βζ, (7.8)

144
Глава 7
где А и В — симметричные матрицы Ν χ N. Таким образом,
преобразование (7.5) к (7.6) сводится к простой диагонализации матриц А и В.
Поскольку последние симметричны, диагонализацию можно осуществить
поворотом векторов, то есть преобразование к новым переменным можно
записать как
х = д'х', у = д'у', ν = P7V, z = Ρ7/ζ', (7.9)
где R1 и R11 — матрицы вращения TV χ Ν9 а через х, у, ν, ζ
обозначены векторы (χι,.,.,χν), (уи · · · ,Vn), (vu...,vn), (zu...,zn)
соответственно. Наконец, докажем, что преобразование (7.9) — каноническое.
Линейное преобразование координат χ = Сх.' является каноническим тогда
и только тогда, когда преобразование импульсов имеет вид у = (Ст)_1у/,
где (Ст)~1 — матрица, обратная транспонированной С. (Это легко
проверяется непосредственной подстановкой в уравнения Гамильтона.) В
формулах (7.9) координаты и сопряженные им импульсы преобразуются
посредством одной и той лее матрицы вращения, но матрицы вращения R как раз
обладают общим свойством R = (Рт)-1.
Теперь, когда введены переменные «действие-угол» P'^p'^Q'^q^
и 7ΐ(2) преобразован к виду (7.7), стало очевидным, что в пренебрежений
возмущением Ση>2 Ή-(2η) действия Pj и Q'· представляют собой
константы движения, а углы р^ и q^ изменяются линейно со временем с
фиксированными частотами — gj и — Sj соответственно. Посредством обратной
композиции предпринятых канонических преобразований легко вычислить
движение в исходных переменных «действие-угол» Pj, pj, Qj, qj в
функции времени. Тогда с помощью соотношений (7.2) находим, что планетные
эксцентриситеты, наклонения и долготы перигелиев и узлов выражаются
как функции времени следующим образом:
N
ej cos Wj = ^2 Mj,k cos(gkt + /?&),
TV
ej sinwj = Σ мз,к sin(gkt + /?fc),
k=l (7.10)
sin — cos Ω^ = V^ Nj^k cos(skt + <5&),
N
sin -1 sin Ω^ = У^ Njtksm(skt + Sk)'
2 fc=i

7.1. Решение Лагранжа- Лапласа
145
Это и есть решение Лагранжа-Лапласа для векового движения планет.
Частоты Qk,Ski коэффициенты Μ^,Λ^ и фазы /?&,£& на данном уровне
приближения (то есть при учете только члена Н^) векового
гамильтониана) зависят только от планетных больших полуосей; но, если учесть
возмущающие члены Н(2п) с η ^ 2, они станут функциями также и от Р-, Q'j
(см. следующий раздел). Численные значения будут приведены ниже, в
таблицах 7.1, 7.2 и 7.3.
Одна из узловых частот si,...,s/v с необходимостью равна нулю
вследствие сохранения полного углового момента. Фактически, если задать
произвольную ортогональную систему координат, χ и у-компонентами
вектора полного углового момента будут
N
Сх = ^2^j\/G{mo -f rrij)aj(l — е?) sin ij cosClj,
TV
(7.11)
С у = 2_. №j \/G(mo + mj )o>j (1 — e<j) sin ij sin Ω^.
Поскольку Cx и Су — константы, одну из долгот узлов можно представить
как функцию от элементов орбит других планет, а именно:
Су — ^2^j\/G{mo -f rrij)aj(l — e^smijsmflj
зФз
Сx — 2_. Vj уб^о + mj)aj (1 — e?) sin Ь' cos Ω^·
taflfij = ^ , . (7.12)
зФз
Поэтому система (7.7) может иметь лишь N — 1 независимых
частот Sfc. По соглашению, нулевую частоту обозначают 55. Поэтому из
выражения (7.7) для 7i(2) действие Q'b исчезает. Кроме того, каждый член Н^п)
в разложении (7.3) должен быть независим от Q'b\ действительно, если
бы Q'b появилось в одном из членов, скажем в Н(2п)> тогда в порядке η
появилась бы и новая независимая частота q'5 = dH^2n)/dQf5, нарушая,
таким образом, сохранение углового момента.
Если система координат выбрана так, что плоскость х,у
ортогональна вектору полного углового момента, то константы А^)5 равны нулю при
всех j. В этом случае плоскость х, у называют инвариантной плоскостью.
В противном случае все константы А^)5 равны некоторому значению,
определяемому наклоном плоскости ж, у относительно инвариантной
плоскости. Все остальные константы М^& (при всех к) и Nj^ (при к φ 5) не

146
Глава 7
зависят от выбора системы координат. Заметим, что согласно (7.10) при
нулевом Nj^ все узлы Ω^ циркулируют. Напротив, если выбранная система
координат достаточно наклонена относительно инвариантной плоскости, то
узлы Ω^ либрируют. Именно так ведут себя узлы Юпитера и Сатурна, если
система координат — эклиптическая (в ней плоскость ж, у совпадает с
плоскостью орбиты Земли в настоящую эпоху).
На небесномеханическом жаргоне частоты дь, Sk обычно называют
собственными частотами к-ой планеты. На самом деле орбитальные
элементы каждой из планет зависят от всех частот #ь . ·. ,#лг, si, · · ·, sw»
как ясно видно из формулы (7.10). Данный жаргон мотивирован тем, что
в большинстве случаев частотам ^ и ^ в динамике к-ой планеты
соответствуют наибольшие амплитуды, то есть |М&^| = max/ |М^| и \Nk,k\ =
= maxj \Nk,i\. Однако это не всегда так: см. таблицу 7.2, где среди |M7)j|
максимальна |М7,5|, то есть ведущей частотой перигелия Урана является д$.
7.2. Решения более высокого порядка
Выраженный в новых переменных «действие-угол» P^ppQ^qp
вековой гамильтониан готов для изучения с помощью инструментов,
описанных в главе 2. При этом гамильтониан H(2)(PpQ'j) и его возмущение
^2n>i^(^n){PpQpPpQj) следует отождествить соответственно с Но(р)
и ε7ίι(ρ, q) в (2.1). Пертурбационный параметр ε здесь равен η, то есть
квадрату наибольшего значения, принимаемого планетными
эксцентриситетами или наклонениями в ходе вековой эволюции. Здесь нет
необходимости вводить обрезающее значение для порядка К гармоник (с целью
разбиения возмущений, как сделано в (2.19)), поскольку введение
функций 7ΐ(2η) с η > 1 уже обеспечило естественное разбиение Н\ на члены
по возрастанию порядка относительно пертурбационного параметра.
Каждая из функций W(2n) содержит лишь конечное число гармоник благодаря
правилам Даламбера.
Для анализа вековой эволюции планет удобно построить нормальную
форму Биркгофа1. Как показано в главе 2, в порядке п нормальная форма
1 По сравнению с анализом в главе 2 здесь есть техническая трудность, состоящая в том, что
функции Ή(2η) неаналитичны, если одно из действий равно нулю, из-за присутствия членов
с квадратными корнями. Однако правила Даламбера гарантируют, что результаты применения
скобок Пуассона в рядах Ли всегда можно разложить в ряды по положительным степеням
квадратных корней из переменных действия. — Прим. авт.

7.2. Решения более высокого порядка
147
Биркгофа имеет вид
п+1
^ = T,^n)(ff,Q?) + n^Qj^7^f), (7.13)
π=1
где Р? > Я1? ι Р%1 Qj ~ новые переменные «действие-угол», вводимые через
последовательность η преобразований Ли, а остаток ΊΖ содержит члены
порядка не ниже η -f 2 по PJ1, Q™.
Если пренебречь остатком, решением (7.13) будет просто
<п+1
/f(i)=Pf(0), p*{t)= W* Jt+p*(0),
Kn=l
dPf
<η+1
(7.14)
9\Έ4
(2n) I
Q?(i) = Q*(0), tf(t) = 4"^ 7t + tf(0).
Движение зависит от начальных значений Р^(0)9 Q™(0), р™(0), <7™(0).
Их вычисляют (путем обращения рядов Ли) из начальных значений
PjiQjiP'jiQj* которые, в свою очередь, зависят от начальных Pj,Qj,pj,qj
через преобразования, описанные в предыдущем разделе. Как только
начальные значения вычислены, движение PJ1, Q™, ρ™, q™ полностью
определено, а его образ в исходных переменных можно легко найти путем
применения вновь (в обратном порядке) цепочки указанных
канонических преобразований. В итоге этой цепочки преобразований зависимость
ejcoswj, ejSinwj, sin (г j/2) cosCtj, sin (ij/ 2) sin Ω^ от времени
оказывается суммой двух слагаемых. Первое из них имеет такую же
функциональную форму, что и правая часть (7.10), но с модифицированными
коэффициентами дк, sk, /?fc, Sk, Mjfi, Nj,k- Например, в частотах дк и sk
появились соответственно члены -d(^=2H^^/dP^{P^(0),Qn(0))
и -9(Ση=2%))/^(^(0),^(0)); оба эти члена зависят от Pf (0),
Q'j (0). Однако же заметим, что, поскольку ни один из членов Н^п) не
зависит от Q'5,q'5, значения 55 и Nj^ остаются неизменными. Второе слагаемое
содержит новые гармоники, включающие целочисленные линейные
комбинации частот gk,sk\ конкретно, в порядке η нормальной формы Биркгофа
имеются гармоники с комбинациями 2n -f 1 частот.

148
Глава 7
Наиболее точной аналитической теорией векового движения восьми
планет Солнечной системы является теория Бретаньона (1974). Бретаньон
разработал свою теорию не используя уравнения Гамильтона, но его
расчеты эквивалентны вычислению вековой нормальной формы до второго
порядка (то есть ε2) по планетным массам с последующим вычислением
нормальной формы Биркгофа (7.13) порядка η = 1; то есть в уравнениях
движения учитываются члены второго и четвертого порядков (W(2) и Нщ)
по планетным эксцентриситетам и наклонениям. Позднее Бретаньон (1984)
разработал более точную теорию исходя из модели, учитывающей также
релятивистские эффекты и возмущения движения внутренних планет со
стороны Луны.
Дюрье (1979) разработал аналитическую теорию векового движения
внешних планет (от Юпитера до Нептуна); его подход эквивалентен
вычислению нормальной формы Биркгофа до порядка η = 2.
Ласкар (1985) вычислил вековую нормальную форму до второго
порядка по планетным массам и до шестого порядка по эксцентриситетам
и наклонениям для полной системы планет (от Меркурия до Нептуна),
однако он не исследовал эту форму аналитически, а с целью определения
частот движения прибегнул к численному интегрированию на интервале
времени 10 млн лет (Ласкар, 1988). В принципе, частоты, вычисленные Лас-
каром, точнее вычисленных Бретаньоном, поскольку Ласкар использовал
вековую нормальную форму, содержащую больше возмущающих членов,
а численное интегрирование дало «точное» решение для системы,
описываемой этой формой.
Наиболее точные расчеты вековых частот внешних планет
осуществили Эпплгейт и др. (1986) и Нобили и др. (1989) путем численного
интегрирования полных уравнений движения (не прибегая, таким образом,
к вычислению вековой нормальной формы). Если сравнивать их
результаты с результатами Ласкара, то наибольшее расхождение наблюдается для
частоты д$; полагают, что оно возникло из-за членов третьего порядка
по планетным массам, отсутствующих в вековой нормальной форме
Ласкара.
В таблицах 7.1, 7.2 и 7.3 приведены расчетные значения постоянных
в формулах Лагранжа - Лапласа (7.10), считающиеся сейчас наиболее
точными. Полные выражения для зависимости элементов планетных орбит от
времени, включая коэффициенты гармоник, соответствующих линейным
комбинациям планетных частот, можно найти в работах Бретаньона (1974),
Ласкара (1988, 1990) и Нобили и др. (1989).

7.3. Хаотическое вековое движение планет 149
Таблица 7.1. Планетные частоты и угловые фазы. Значения <?i,..., #4 и si,..., S4
взяты из статьи Ласкара (1990); значения #5, · · ·, #8 и sq,..., ss — из статьи
Нобили и др. (1989); частоты измеряются в "/год. Фазы βι,...,β& и δι,...,Ss взяты из
статьи Ласкара (1990); они вычислены относительно эклиптической системы
координат 2000 года на эпоху JD 2451545.0
к
~~Г
2
3
4
5
6
7
8
9к
5.5964
7.4559
17.3646
17.9156
4.2575
28.2455
3.0868
0.6726
А(°)
112.08
200.51
305.12
335.38
30.65
128.09
121.36
74.06
Sk
-5.6174
-7.0795
-18.8512
-17.7482
0.0000
-26.3450
-2.9927
-0.6925
**(°)
348.60
273.25
240.20
303.75
107.58
307.29
320.62
203.90
Таблица 7.2. Коэффициенты Μ,·,*; решения Лагранжа-Лапласа (7.10). Значения
сг^5и&^5 взяты из статьи Нобили и др. (1989); остальные — из статьи Ласкара
(1990), если они там приведены, в противном случае — из статьи Бретаньона (1974).
Все значения умножены на 106
лк
1
2
3
4
5
6
7
8
1
185444
6668
4248
650
-7
-6
2
0
2
-27700
20733
16047
2917
-12
-12
3
0
3
1458
-11671
9406
40133
-1
-7
0
0
4
-1428
13464
-13159
49032
0
-7
0
0
5
36353
19636
18913
20300
44187
32958
-37587
1881
6
113
-551
1506
7030
-15700
48209
-1547
-103
7
623
614
650
862
1814
1511
29033
-3697
8
7
И
12
20
58
57
1666
9118
7.3. Хаотическое вековое движение планет
Чтобы исследовать свойства вековой эволюции планет на очень
больших шкалах времени, Ласкар (1989) численно проинтегрировал
уравнения движения, задаваемые его вековой нормальной формой, на интервале
200 млн лет. Он ввел эмпирические поправки к частотам #6, д7 и 57 в W(2)>
приравнивающие эти частоты найденным при численном интегрировании
полных уравнений движения внешних планет; таким образом должно было
быть получено достаточно точное представление «истинного» движения.
Найденное Ласкаром численное решение вековых уравнений позднее было

150
Глава 7
Таблица 7.3. Коэффициенты Njik. Источники те же, что и для М^ в таблице 7.2.
Для вычисления Nj^ использовалась эклиптическая система координат 2000 г. Все
значения умножены на 106
лк
1
2
3
4
5
6
7
8
1
39957
6716
4960
860
-11
-14
11
0
2
30169
-4045
-3431
-566
4
6
-3
0
3
1678
-9544
8760
-15421
0
-2
0
0
4
72261
-5759
4024
34689
-1
-13
1
0
5
13772
13772
13772
13772
13772
13772
13772
13772
6
-139
-60
-1404
-4579
3153
-7858
353
38
7
-1665
-959
-866
-628
-485
-394
8887
-1062
8
-724
-663
-650
-615
-584
-564
543
5790
сопоставлено с результатами интегрирования полных уравнений движения
всех планет Солнечной системы на интервале времени 3 млн лет,
осуществленного Квинном и др. (1991), что подтвердило превосходную точность
решения Ласкара (Ласкар и др., 1992а).
Наряду с орбитальной эволюцией Ласкар (1989) вычислял и
максимальный показатель Ляпунова, который составил ~ 1/5 (млн лет)-1. Это
свидетельствует, согласно главе 5, что орбитальная эволюция является
хаотической. Чтобы найти подтверждение хаотической природы вековой
динамики Солнечной системы, Ласкар (1990) предпринял поиск резонансов,
ответственных за хаос. С этой целью он провел временной мониторинг
различных удовлетворяющих правилам Даламбера комбинаций углов p'j,q'j,
определенных в разделе 7.1, выявляя находящиеся в либрации, а также
те, у которых либрации и циркуляции чередуются. Согласно главе 4
такой подход соответствует поиску критических углов φ χ (см. формулу (4.2))
существующих резонансов. Ласкар обнаружил две независимые
резонансные комбинации вековых углов и таким образом показал, что Солнечная
система пребывает в резонансе кратности 2 или выше (см. главы 1 и 6).
Резонансными углами являются р[ — р'ъ — q[ + q'2 и 2(р'А — р'3) — q'4 + q'3.
Отвечающие им гармоники входят в Н^) и Ή>(6) соответственно; то есть они
возникают в порядках 4 и 6 по эксцентриситетам и наклонениям планет.
На рис 7.1 показана эволюция этих двух резонансных углов во времени.
Первый из них либрирует в течение всего интервала времени, на котором
проводилось интегрирование2. Однако отметим, что амплитуда либрации
2Ласкар интегрировал назад во времени, от настоящей эпохи до —200 млн лет. Поскольку
гамильтонова динамика обратима, интегрирование назад и интегрирование вперед совершенно
эквивалентны. — Прим. авт.

7.3. Хаотическое вековое движение планет
151
Зтг/2
млн лет -200
2π
Зтг/2
млн лет -200
Рис. 7.1. Эволюция углов р[ — р'5 — q[ + q'2 (вверху) и 2(р4 — Рз) ~~ Я.'а + Яз
(внизу) согласно результатам интегрирования вековой планетной системы,
предпринятого Ласкаром. Как следует из поведения этих углов, Солнечная система пребывает
в вековом резонансе кратности 2, что объясняет хаотическую природу ее вековой
динамики. (Рис. 2 и 4 из статьи Ласкара, 1990; с разрешения Academic Press)
существенным и нерегулярным образом изменяется со временем, то есть
движение происходит не на инвариантной либрационной кривой, а в
хаотической области; поэтому можно ожидать переходов к циркуляциям. При
интегрировании на более длительных интервалах времени такие
переходы действительно появляются (Ласкар, 1992). В поведении второго
резонансного угла чередуются либрации и циркуляции, то есть оно явно
хаотическое. Кроме того, Ласкар показал, что линейные комбинации
действий Pj,Qp канонически сопряженные этим двум резонансным углам,
испытывают осцилляции в фазе с либрациями/циркуляциями последних,
обнаруживая динамику маятникового типа (в действительности весьма
искаженную из-за наличия двойного резонанса). Хаотическую природу ди-

152
Глава 7
намики Солнечной системы и описанный характер поведения резонансных
углов подтвердили Зюссман и Уиздом (1992) посредством прямого
численного интегрирования.
Ласкар подтвердил наличие хаоса, применяя свой метод частотного
анализа (см. раздел 5.3) к временной эволюции частот Qk,Sk Солнечной
системы. Тогда как численно измеренные значения 05, · · · » #8 и «б> · · · > s8
не испытывают за 200 млн лет относительных изменений более Ю-4,
у <7ь ...,#4 и si,..., $4 они обычно составляют ~ Ю-2 (Ласкар, 1990).
Таким образом, хаос проявляет себя в основном в подсистеме с 8-ю степенями
свободы, описывающей вековое движение внутренних планет (от Меркурия
до Марса), а подсистема, описывающая эволюцию внешних планет, будучи
слабо связанной динамически с первой подсистемой (возмущение,
оказываемое внутренними планетами на движение внешних, по порядку величины
соответствует массе Земли в солнечных единицах), хаотична лишь в
весьма ограниченной степени. Это привело Ласкара к предположению, что если
бы планет земной группы не существовало, то движение внешних планет
происходило бы на КАМ-торах. Очень похоже, что для вековой системы
так дело и обстоит; однако данное предположению неверно, если
рассматривать неусредненную систему, поскольку в последней присутствуют трех-
тельные резонансы средних движений высокого порядка (см. главу 10).
Работа Ласкара (1990), однако, оставила открытым вопрос о
динамической структуре вековой планетной задачи. Действительно, в свете главы 6
естественно спросить, имеет ли вековая система нехорошевскую
структуру, коль скоро хаотическое движение остается ограниченным на временах
больше возраста Солнечной системы. Ласкар (1994) дал частичный ответ
на этот вопрос, проинтегрировав уравнения движения, задаваемые его
вековой нормальной формой, на интервале времени 25 млрд лет (назад от
0 до —10 млрд лет и вперед от 0 до 15 млрд лет). Из-за хаоса
движение непредсказуемо на временах порядка величины, обратной показателю
Ляпунова, (в данном случае ~ 5 млн лет); поэтому результаты такого
интегрирования следует рассматривать лишь как представляющие
возможную эволюцию. Однако, согласно простым численным примерам в главе 4,
численное интегрирование может дать оценку протяженности хаотической
области, достижимой за время интегрирования. Кроме того, следует
отметить, что время интегрирования здесь превышает физическое время жизни
Солнечной системы: она сформировалась, как полагают, ~ 4.5 млрд лет
назад и просуществует еще, вероятно, лишь 5 млрд лет, прежде чем Солнце
в своей эволюции достигнет стадии красного гиганта и его радиус превы-

7.3. Хаотическое вековое движение планет 153
сит радиус орбиты Земли. Долгая шкала времени была выбрана с умыслом,
чтобы лучше выявить динамический характер исследуемой гамильтоновой
вековой системы. Например, если эксцентриситет планеты через 10 млрд
лет испытал внезапный скачок, то вполне допустимо, что подобное
явление может произойти и за более короткое время, скажем, через 5 млрд лет.
Или, например, то, что согласно результатам интегрирования происходило
в прошлом, может произойти и в будущем.
Чтобы наглядно продемонстрировать хаотическую эволюцию
планетных орбит и их «диффузию» внутри области хаоса, Ласкар применил
«метод максимального действия» (см. раздел 5.4.4), вычисляя максимальные
эксцентриситеты и наклонения, достигаемые каждой из планет на
последовательных интервалах 10 млн лет. Как видим из рис. 7.2, у внешних планет
максимальные эксцентриситеты и наклонения постоянны во времени.
Согласно разделу 5.4.4 это означает, что вековая динамика у внешних планет
очень близка к регулярной. У Земли и Венеры обнаруживаются связанные
нерегулярные вариации максимальных эксцентриситетов и наклонений,
которые, однако, ограничены пределами узкой горизонтальной полосы. Таким
образом, несмотря на хаотичность, орбиты Земли и Венеры едва ли могли
сильно измениться за время существования Солнечной системы. Этого не
скажешь о Марсе и в особенности о Меркурии. Проведя ряд расчетов,
состоявших в численном интегрировании со слегка различными начальными
условиями, Ласкар показал, что в результате эволюции Меркурий может
начать пересекать орбиту Венеры и это может привести к столкновению двух
планет либо к выбросу Меркурия из Солнечной системы после серии
тесных сближений. Отсюда следует, что Солнечная система лишь маргинально
устойчива, то есть существует малая (но ненулевая) вероятность того, что
в Солнечной системе за ее физическое время жизни может произойти
такое драматическое событие, как столкновение двух планет. Однако следует
заметить, что уравнения векового движения, полученные Ласкаром путем
обрезания рядов по степеням эксцентриситетов и наклонений, могут терять
точность, когда последние велики.
Вывод, что Солнечная система лишь маргинально устойчива,
согласуется с сегодняшними представлениями о ее формировании (см. обзор
Тейлора, 1999). Концентрация твердого вещества должна была привести
к формированию не только известных сейчас планет, но также и
нескольких других планетных эмбрионов с массами, которые могли достигать
(особенно во внешней Солнечной системе) массы Земли. Такое представление
подтверждается данными современного численного моделирования форми-

154
Глава 7
0.5
δ °·4
I 0.3
S 0.2
Я"
υ
* 0.1
jj-l » Ι . | I . Ι . | I 1
L /| Меркурий
ΓΙ ■ ι ..i. .[....!..
' ' ' "1 ,-" 1" '
Земля
111··!.
(β) )
Ι ι ι ι . Γ
0.2
0.1
["^V^^
Нептун ^ Юпитер-"*"
-10
0 5
время, млрд лет
10
15
10
О
Г V/ Уран. Сатурн. Нептун. Ί
-10
.Юпитера
у Сатурнч
10
15
О 5
время, млрд лет
Рис. 7.2. Долговременная вековая эволюция Солнечной системы. Максимальные
эксцентриситеты и наклонения, достигаемые каждой из планет на
последовательных интервалах 10 млн лет, показаны в функции времени на интервале 25 млрд лет.
Сохранение этих величин постоянными (в случае планет-гигантов) свидетельствует,
что движение регулярно; а наличие вариаций — что движение хаотично. (Рис. 1 из
статьи Ласкара, 1994; с разрешения Astronomy and Astrophysics)

7.4. Динамика осей вращения
155
рования планет (Чамберс и Уэзерилл, 1998; Агнор и др., 1999), а также
и такими «вещественными доказательствами», как существование Луны
(предположительно возникшей в результате столкновения с Землей
планетного эмбриона размером с Марс; см. Хартман и Дэвис, 1975; Кэмерон,
1997) и наклон оси Урана (для возникновения такого наклона нужен удар
тела размером с Землю; Сафронов, 1965; Паризи и Брунини, 1996).
Солнечная система, плотно населенная массивными планетными эмбрионами,
«бурно» неустойчива (Чамберс и др., 1996). Из-за их взаимных
столкновений й выбросов на гиперболические орбиты система эволюционирует
к состоянию с меньшим числом планетных эмбрионов, соответственно
менее неустойчивому. Эволюция такого рода фактически «останавливается»,
когда система достигает маргинальной устойчивости. В данном сценарии
Меркурий — последний из планетных эмбрионов в Солнечной системе,
которому до сих пор не выпал шанс уйти из системы или столкнуться с
другой планетой.
7.4. Динамика осей вращения
Мы не будем описывать динамику осей вращения планет
исчерпывающим образом, так как это не входит в цели данной книги. Подробное
описание читатель может найти в работах Киношиты и Суше (1990) и
Суше и др. (1999). Мы же рассмотрим упрощенное (но тем не менее весьма
интересное) описание динамики планетной оси вращения, получающееся
с использованием ряда приближений:
1) предполагается, что планета представляет собой однородное твердое
тело с главными моментами инерции Д, Ι2, /з> удовлетворяющими
соотношению Д = /г < Д, причем ось вращения совпадает с
направлением /3;
2) пренебрегается всеми прямыми возмущениями, оказываемыми
другими планетами на вращательное движение; учитываются лишь
косвенные возмущения, то есть изменения орбиты планеты из-за влияния
других планет;
3) итоговые уравнения осреднены на орбитальных периодах, что
эквивалентно построению вековой нормальной формы первого порядка.
В неинерциальной прямоугольной системе координат x,y,z, плоскость ж, у
которой совпадает с мгновенной плоскостью планетной орбиты, а ось χ
направлена на восходящий узел Ω планетной орбиты, ориентацию оси враще-

156
Глава 7
ния можно задать посредством углов ε и Λ, определяемых соотношениями
sx=sin£sinA, sy = sinscosA, sz=cose, (7-15)
где sx, sy, sz — компоненты единичного вектора, направленного по оси
вращения, в системе координат x,y,z. Угол ε обычно называют наклоном
планеты, а угол ψ = А — Ω — долготой ее оси вращения. Коль скоро нами
введены три указанных упрощения, оказывается, что X = cos ε и φ
представляют собой канонические переменные «действие-угол», чья эволюция
описывается следующим зависящим от времени гамильтонианом с одной
степенью свободы:
H(X,ip,t) = |(1 - e{t))~3/2X2 + Vl~X2 {A{t) simp + B(t) cos ψ)
(7.16)
(Ласкар и Робутель, 1993; Ласкар и др., 1993). Здесь e(t) — эксцентриситет
планетной орбиты, a A(t) и B(t) — зависящие от времени величины,
определяемые наклонением и узлом планетной орбиты относительно ее
первоначальной плоскости:
A(t) = 2(q + p(qp - pq))/y/l - ρ2 - q2,
B(t) = 2(p - q(qp - pq))/'y/l - p2 - q2,
где p(t) = sm[i(t)/2]smQ(t), q(t) = sin[z(i)/2]cosQ(i), г(0) = О.
Параметр α дается формулой
3gMQ /3-/1 , .
α = -2^7·-7Γ"' (7Л8)
где ΜΘ — масса Солнца, С? — гравитационная постоянная, а — большая
полуось планетной орбиты (она считается фиксированной), ν — частота
вращения (обратная периоду вращения) планеты. В случае Земли влиянием
Луны нельзя пренебречь; если предположить, что Луна движется по круговой
орбите в экваториальной плоскости Земли, то к гамильтониану (7.16)
необходимо добавить член (ам/2)Х2, где ам дается формулой (7.18) с массой
Луны вместо массы Солнца и с радиусом лунной орбиты вместо а.
Гамильтониан (7.16) квазиинтегрируем: он представляет собой
сумму интегрируемой главной части (а/2)Х2 (или [(а -f ам)/2]Х2 в
случае Земли) и двух возмущающих членов, а именно (а/2)[(1 — е2)-3/2 —
— 1}Х2 и у/1 — X2 (A(t) sin^ -f B(t) cos^). Последние пропорциональны
соответственно квадрату эксцентриситета планетной орбиты и изменению

7.4. Динамика осей вращения
157
ее наклонения относительно исходного значения. Из вида интегрируемой
части следует, что в первом приближении наклон планеты постоянен.
Скорость прецессии ψ оси вращения планеты (так называемая прецессия
равноденствия) пропорциональна Х\ поэтому она максимальна, если наклон
нулевой (X = 1), равна нулю, если наклон равен 90° (X = 0; что
приблизительно выполняется в случае Урана), и меняет знак, если наклон
превышает 90° (случай Венеры). Если элементы планетной орбиты, а значит
и возмущающие члены в (7.16), представляют собой квазипериодические
функции времени с диофантовыми частотами, то КАМ-теорема и теорема
Нехорошева — обе применимы к гамильтониану (7.16) при условии, что
возмущения достаточно малы (о КАМ-теореме см. раздел 3.1.1, а о теореме
Нехорошева — статью Гуццо и Морбиделли, 1997).
В частном случае, если эксцентриситет постоянен, a A(t) -f iB{t) =
= pexp(iut), то (7.16) сводится к интегрируемому гамильтониану
Η = |(1 - е2)"3/2Х2 + Py/l-X*sm(u;t + ψ), (7.19)
описывающему волчок Коломбо, который назван так в честь работы
Коломбо (1966). Точки равновесия системы (7.19) называют состояниями Касси-
ни\ они особенно важны в динамике тел, испытывающих приливную
эволюцию, таких, например, как спутник Юпитера Ио (см., например, Глэдман
и др., 1996).
Согласно предыдущему разделу, в динамике планет Солнечной
системы зависимость орбитальных элементов от времени хорошо
аппроксимируется квазипериодическими функциями только в случае внешних планет.
В качестве иллюстрации на рис. 7.3 показан фурье-спектр A(t) + tB(t) для
Земли согласно решению Ласкара (1990) для векового орбитального
движения: видно, что спектр непрерывен, хотя имеются мощные пики на частотах
sbS2,S3,S4 и 5б линеиного решения Лагранжа-Лапласа (см. раздел 7.1).
Спектры A(t) -f iB(t) для всех остальных планет приведены в работе
Ласкара и Робутеля (1993). Даже если ограничиться возмущающими членами
с коэффициентами больше некоторого порогового значения, все равно
наличие множества частот делает гамильтониан (7.16) весьма сложным для
анализа. Поэтому, исследуя динамическое поведение осей вращения планет
Солнечной системы, Ласкар и др. (1993) и Ласкар и Робутель (1993)
прибегли к численному интегрированию. В качестве сетки начальных условий
они взяли множество Χ(0),ψ(0) с ^(0) = 0 и начальным наклоном εο =
= arccosX(0) на интервале от 0 до 170° с шагом 0.1°. В каждом узле этой

158 Глава 7
A + iB
-6
-7
£ -8
3
-9
-10
-11
-100 -50 0 50 100
частота, "/год
Рис. 7.3. Фурье-спектр члена A(t) + tB(t) в гамильтониане (7.16) в случае Земли.
(Рис. 1 из статьи Ласкара и др., 1993; с разрешения Nature, Macmillan Magazines
Limited)
сетки они проинтегрировали на интервале времени 18 млн лет эволюцию,
описываемую уравнениями с гамильтонианом (7.16), где e(t),A(t),B(t)
были взяты из статьи Ласкара (1990). Для каждой вычисленной
траектории они нашли среднюю частоту ψ, а также максимальное, минимальное
и среднее значения наклона. Согласно главе 5, по характеру зависимости
таких величин от начальных условий можно судить, является движение
регулярным или хаотическим.
На левой панели рис. 7.4 показаны результаты вычислений для
Земли, проведенных с учетом обоих вращающих моментов (с коэффициентами
а и ам) со стороны Солнца и Луны; для скорости вращения Земли было
взято современное значение ν — 1/24 час-1. При исходных наклонах
меньше 50° (напомним, что сейчас у Земли наклон равен 23.4°) эволюция оси
вращения выглядит весьма регулярной, причем частота и наклон являются
гладкими функциями от начального значения ε0· Разность
максимального и минимального значений наклона всегда очень мала, то есть наклон

7.4. Динамика осей вращения
159
60 π—'—■—'—'—I—'—'—'—'—I—,—т
0 50 100 0 50 100
Рис. 7.4. Частота прецессии (вверху) и максимальный, средний и минимальный
наклоны оси вращения Земли (внизу) в функции начального наклона εο· Панели слева
соответствуют модели с учетом вращающего момента со стороны Луны, а панели
справа — Земле без Луны. См. обсуждение в тексте. (Рис. 2 и 3 из статьи Ласкара
и др., 1993; с разрешения Nature, Macmillan Magazines Limited)
подвержен лишь малым осцилляциям. Заметим, что исследуемая система,
строго говоря, не имеет регулярных орбит, поскольку возмущение не
является квазипериодическим, и поэтому КАМ-торы не могут существовать.
Тем не менее не обнаруживается никаких следов хаоса. Причины этого
следующие: для рассматриваемых значений εο частота φ находится
приблизительно в пределах от 35 до 55"/год, а так как члены в возмущении (7.19)
относятся к типу sin(/0 + ωί)9 единственно возможными резонансами
являются резонансы с о; в интервале [—55, — 35]"/год; но компоненты спектра
А + lB с частотой ω в таком диапазоне имеют, согласно рис. 7.3, коэффи-

160
Глава 7
циенты меньше Ю-9. Как следствие, амплитуда хаотической компоненты
динамики Χ(ί),ψ(ί) на данной шкале времени так мала, что в разрешении
рис. 7.4 обнаружить ее нельзя.
Если исходный наклон находится в диапазоне 55-90°, то эволюция
оси вращения «бурно»-хаотична. Объясняется это тем, что данному
диапазону наклонов соответствуют значения невозмущенной частоты ψ от 0
до 30"/год, и поэтому она может быть в резонансах с главными
компонентами спектра A(t) -f iB(t). Тот факт, что независимо от начальных
условий наклон принимает за время 18 млн лет, принятое в вычислениях, все
значения примерно от 55 до 90°, свидетельствует, что главные резонансы
с критическими углами s^t + ψ, s%t + ψ, s±t + ψ, ^ + Ψ и sit -f ψ
полностью перекрываются и образуют однородную зону хаоса, где идет быстрая
диффузия чириковского типа по действию X (см. главу 6). При наклонах ε0
больше 90° движение оси вращения вновь становится практически
регулярным, так как ни один из компонентов с положительной частотой в спектре
A(t) + tB(t) не имеет достаточно большой амплитуды.
Ласкар и др. (1993) также выполнили аналогичные расчеты, чтобы
ответить на вопрос о том, какова была бы динамика оси вращения
Земли, если бы Луны не существовало. Они обнулили в гамильтониане член
осиХ2 и, кроме того, учли, что период вращения Земли увеличился в ходе
эволюции относительно его исходного значения из-за приливного трения,
вызываемого Луной, и поэтому рассчитали значение а по (7.18), полагая
частоту вращения ν в 1.22 раз большей, чем наблюдается сейчас, что
соответствует геологическим данным о частоте вращения Земли 2.5 млрд лет
назад. На правой панели рис. 7.4 показаны результаты, полученные в
данной модели. При всех начальных наклонах εο < 80° динамика, очевидно,
хаотична. Только при начальных наклонах εο > 90° динамика становится
явно регулярной. Таким образом, диапазон начальных наклонов, при
которых возникает хаос, больше, чем в модели с Луной. Причина этого
проста: если в гамильтониане не учитывается вращающий момент со стороны
Луны (член аиХ2), то при наклонах в диапазоне 0-90° частота
прецессии составляет всего лишь 0-20'7год; если же его учитывать, то частота
прецессии принимает значения от 0 до 55"/год (сравните верхние графики
рис. 7.4); однако квазирегулярное движение возможно лишь при частотах
прецессии больше 30"/год, так как тогда нет резонансов с компонентами
спектра A(t) + iB(t), имеющих наибольшие амплитуды.
Отметим, что в отсутствие Луны область хаоса неоднородна.
Фактически можно выделить три области: при начальных наклонах 0-45°, 45-60°

7.4. Динамика осей вращения
161
и 60-80°. При εο в диапазоне 0-45° наклон за время интегрирования
принимает все значения от 0 до 54° (минимальный и максимальный наклоны
не зависят от εο). Ситуация аналогична при εο в диапазоне 60-80°:
наклон меняется от 60 до 84°. Напротив, в области 45-60° вариации наклона
охватывают лишь малый участок в окрестности начального значения, так
что минимальный и максимальный наклоны зависят от εο квазимонотонно.
Из всего этого следует, что скорость диффузии по действию X в
областях 0-45° и 60-80° велика, а в промежуточной области мала. Чтобы
определить, какие частоты угла яр соответствуют этим трем областям, взглянем
на верхний график панели справа. Области 0-45° отвечают значения ψ,
меняющиеся от 16 до 20"/год; эти вариации, по всей вероятности, имеют
место благодаря сильному перекрытию двух главных резонансов с
критическими углами 5з^ + ψ и s±t + ψ. Аналогично, области 60-80° отвечают
значения гр от 5 до 10/7/год, и эти вариации, скорее всего, имеют место
благодаря сильному перекрытию резонансов с критическими углами s\t -f ψ
и 52^ + ψ. Что касается области 45-60°, то ей отвечает такой диапазон ψ,
в котором все резонансные компоненты спектра A(t) -f tB{t) имеют малые
амплитуды. Таким образом, данная область образует «мост» между двумя
главными хаотическими областями. На этом «мосту» диффузия вызвана
перекрытием резонансов меньшей ширины, и поэтому она медленнее.
Пересечь мост можно, но на шкалах времени больше чем принятое в описанных
расчетах время интегрирования (18 млн лет).
Интересен вопрос, почему подобного «моста» нет в модели с Луной,
в которой хаотическая область однородна во всем диапазоне частот 0-
30"/год. По-видимому, ответ состоит в следующем. Согласно разделу 4.1,
ширина резонанса в пространстве невозмущенных частот
пропорциональна y/βο, где с — коэффициент резонансной гармоники, β — в данном случае
коэффициент вращающего момента. Если учитывать Луну, то коэффициент
вращающего момента равен α -f ам; таким образом, он больше
коэффициента а, соответствующего системе без Луны. Кроме того, в первом случае
резонансы расположены при больших значениях наклона, поэтому и
коэффициенты с резонансных гармоник, пропорциональные у/\ — X2, больше.
Таким образом, в модели с Луной резонансы с критическими углами s^t+ip
и s^t+ip могут перекрываться с резонансами с критическими углами s\t-\-ip
и ^t + ψ, тогда как в отсутствие Луны резонансы недостаточно широки.
Ранее Уард (1982) уже констатировал (в аналитическом исследовании
системы, эквивалентной (7.16), но включавшей лишь несколько членов
фурье-разложения A(t) + iB(t)), что в отсутствие Луны наклон Земли ис-

162
Глава 7
пытывал бы осцилляции ±10°. Согласно результатам Ласкара и др. (1993),
вариации наклона Земли были бы даже более драматичными (также и при
меньшем периоде вращения Земли). В отсутствие Луны климат Земли
менялся бы радикально на шкале времени в несколько миллионов лет, что
могло бы предотвратить развитие сложных форм жизни. Таким образом,
описанные результаты, по-видимому, означают, что наше собственное
существование обусловлено существованием Луны, которое, в свою очередь,
является, как полагают, следствием случайного события в ранней истории
Солнечной системы. Действительно, сходство составов Луны и земной
мантии указывает на то, что Луна сформировалась путем аккреции вещества,
выброшенного с Земли после того, как произошла ее внутренняя
дифференциация на кору и мантию (Кануп и Эспозито, 1996; Ида и др., 1997).
Для выброса достаточной массы вещества требуется столкновение Земли
с планетным эмбрионом, сравнимым по массе с Марсом. Отметим также,
что ни у какой другой планеты (за исключением Плутона) нет столь
массивного спутника, такого, что отношение масс спутника и планеты сравнимо
с отношением масс Луны и Земли. Небесная Механика здесь встречается,
с Философией!
В реальности система «Земля-Луна» за время существования
Солнечной системы испытала сильную эволюцию под влиянием приливов: у
Луны медленно увеличивалась большая полуось орбиты, а скорости вращения
и прецессии Земли уменьшались. Динамику земной оси вращения в ходе
приливной эволюции системы «Земля - Луна» исследовали численными
методами Тума и Уиздом (1994а) и Нерон де Сюржи и Ласкар (1997).
Ласкар и Робутель (1993) изучили также динамическую эволюцию
осей вращения других планет Солнечной системы, используя подход,
аналогичный описанному выше для случая Земли. Для планет-гигантов они
получили практически регулярные решения в широких диапазонах
скоростей прецессии и начальных наклонов; в частности, согласно решению для
Урана большой наклон Урана (близкий к 90°) не может быть результатом
динамической эволюции. Скорее всего, он является следствием
столкновения Урана с планетным эмбрионом земной массы на ранней стадии
эволюции Солнечной системы (Сафронов, 1965; Паризи и Брунини, 1996).
Практически регулярная динамика осей вращения планет-гигантов объясняется
простым видом спектра A{t) -f iB{t) для этих планет: в нем присутствует
лишь ограниченное число хорошо разделенных линий.
Эволюция оси вращения Марса, напротив, является хаотической,
причем наклон меняется в пределах от 0 до 60°. Причина состоит в том, что ча-

7.4. Динамика осей вращения
163
стота прецессии Марса близка к некоторым главным вековым частотам его
орбиты; на это впервые обратил внимание Уард (1974). Хаотичность и
размах вариаций наклона оси вращения Марса были подтверждены в работе
Тумы и Уиздома (1993) путем интегрирования неосредненных уравнений
движения.
Наклон Венеры близок сейчас к 180°, и его эволюция является
регулярной. Меркурий заперт в спин-орбитальном резонансе 2/3 (его
орбитальный период в полтора раза больше периода вращения), поэтому динамику
его оси вращения нельзя исследовать, используя осредненный
гамильтониан (7.16). Обсуждение прошлой приливной эволюции осей вращения этих
двух планет также можно найти в работе Ласкара и Робутеля (1993).

Глава 8
Вековая динамика малых тел
8.1. Линейное интегрируемое приближение
Вековая нормальная форма в задаче динамики малого тела
формально эквивалентна вековой нормальной форме планетной задачи (см.
раздел 2.5.1): она не зависит от средних долгот тела и планет, а зависит только
от средних эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов. Как
и в предыдущей главе, верхние индексы у входящих в вековую нормальную
форму переменных, обозначающие, что те являются средними
модифицированными переменными Делоне, далее при записи пропускаются. К тому
же, ссылаясь на средние орбитальные элементы, определяемые из средних
модифицированных переменных Делоне, мы будем опускать
прилагательное средний.
Если в вековой нормальной форме пренебречь постоянным членом
7ίο(Λ, Aj), она запишется как
Hsec = eHi(P,Q,p,q,ej,Wj,ij,Q,j), (8.1)
где еj, Wj, ij, Ω^· — эксцентриситет, долгота перигелия, наклонение и
долгота узла j-ой планеты; в εΗι включены также и члены нормальной формы
более высокого порядка по ε.
Пытаясь дать реалистичное описание векового движения малого тела,
нельзя не учитывать, что, как показано в предыдущей главе, ej, Wj, ij, Ctj
медленно изменяются со временем. В большинстве приложений
предполагается, что элементы орбит планет эволюционируют согласно
решению Лагранжа-Лапласа (7.10) с коэффициентами, чьи значения приведены
в таблицах 7.1, 7.2 и 7.3. Чтобы привести гамильтониан (8.1) к автономному
виду, вводятся новые углы w^ = g^t + &ηΩ^ = s^t -f Sk- Если обозначить
через А9к и ASk сопряженные им действия, то (8.1) запишется как
WSec = ^2(9кА9к + skAak)+eHi(P,Q,p,q,w*k,il*k). (8.2)
к

166
Глава 8
Напомним, что согласно предыдущей главе 55 равно нулю и что при
задании элементов орбиты относительно инвариантной плоскости планетной
системы гамильтониан Н\ не зависит от Ω£.
В принципе, можно взять более реалистичные квазипериодические
зависимости элементов планет от времени, например зависимости,
задаваемые нормальными формами вековой планетной задачи более высокого
порядка; это, однако, не привело бы к увеличению числа степеней свободы,
а следовательно, не изменило бы общей формы (8.2), но модифицировало
бы зависимость Hi от углов Ц и Ω^. С другой стороны, чтобы сохранить
форму (8.2) вековой задачи, необходимо брать лишь квазипериодические
приближения векового планетного движения. Согласно предыдущей главе
вековое движение планет в действительности не является
квазипериодическим; в особенности это явно проявляется в случае планет земной группы.
Если попытаться принять во внимание, что зависимости планетных
элементов орбит от времени имеют непрерывные фурье-спектры, то задачу
вековой динамики малого тела нельзя было бы записать в виде (8.2), так как
было бы невозможно ввести дополнительную степень свободы для каждой
независимой планетной частоты. К счастью, поскольку фурье-спектр
орбитальных элементов у наиболее массивных планет земной группы имеет
сильные пики на дискретном наборе значений частот, квазипериодическое
приближение для векового планетного движения является хорошим даже
в реалистичной постановке задачи исследования вековой динамики малых
тел. Фактически Гуццо и Морбиделли (1997) показали, что результат нехо-
рошевского типа об устойчивости векового движения малого тела,
получаемый в рамках квазипериодического приближения планетного движения, не
изменится, если принять во внимание непрерывность спектров планетных
элементов. Поэтому в данной главе изучение вековой динамики малых тел
мы начнем с вековой нормальной формы, имеющей вид (8.2).
Гамильтониан (8.2) не представлен в квазиинтегрируемой форме,
поскольку планетные частоты д^ и Sk также являются величинами порядка ε.
Таким образом, как и в вековой планетной задаче, необходимо найти
интегрируемое приближение и определить новый малый параметр, скажем η,
задающий величину возмущения. Однако в данном случае выбор
стратегии не может быть единственным из-за того, что малые тела движутся
по весьма разнообразным орбитам, причем некоторые имеют большие
эксцентриситеты и/или большие наклонения. В каждой из стратегий должны
использоваться свое интегрируемое приближение и свой малый параметр.
В данном разделе мы подробно рассмотрим «классическое» интегрируемое

8.1. Линейное интегрируемое приближение
167
приближение, справедливое для тех малых тел, чьи эксцентриситеты и
наклонения имеют тот же порядок величины, что и у планет. В следующем
разделе мы обсудим альтернативную стратегию, подходящую для других
малых тел.
Вспомним, что Ρ ~ у/ае2 /2 и Q ~ 2y/asm2(i/2) (где е и г —
эксцентриситет и наклонение орбиты малого тела) и разложим функцию εΗ\
в (8.1) в степенной ряд по y/P,y/Q и ej,sin(i7-/2).1Mbi рассматриваем
л/Р, у/Q, ej,sinij/2 как величины одного и того же порядка, скажем у/т}',
таким образом, можем записать еН\ = ^n 7i(n) с Н(п) порядка η по у/г}.
Рассуждая так же, как в разделе 7.1, легко показать, что благодаря
правилам Даламбера (см. раздел 1.9.3) исчезают все члены Н(п) с нечетными η
или η = 0. Это означает, что η является естественным «малым
параметром» в итоговом разложении. Также благодаря правилам Даламбера член
низшего порядка в разложении имеет вид
Н{2) = ~9оР — soQ + У^ [cj ej V2P (cos ρ cos Wj — smpsinwj) +
a
+ dj sin — y/2Q(cos q cos Qj — sin q sin Ω^·)], (8.3)
где — go, —so, Cj, dj — коэффициенты разложения, зависящие только от
больших полуосей орбит малого тела и планет. Для коэффициентов членов,
линейных по Ρ и Q, выбраны обозначения — до и — so с тем, чтобы запись
последующих формул была идентична обычно используемой в литературе.
Любопытный факт: если вековая нормальная форма построена только до
порядка ε, то 5о оказывается равным — до при всех значениях большой
полуоси орбиты малого тела; если же в нормальную форму включены также
члены порядка ε2 (как в работе Милани и Кнежевича, 1990), то, вообще
говоря, s0 Φ -0ο·
Используя решение Лагранжа-Лапласа (7.10) для вековой эволюции
планетных элементов, находим, что (8.3) приводится к виду
^(2) = — д$Р — soQ + y^^y^lcjMj^V^Pjcospcoswl — smpsmwl)-\-
3 к
+ djNjtk\/2Q(cosqcosSll - sinqsinΩ£)]. (8.4)
Гамильтониан
«int = Σ(9*Α9κ + SkAs^ + W(2) (8·5)
к

168
Глава 8
интегрируем. Если ввести обычные канонические полиномиальные
переменные у = y/2Pcosp,x = y/2Psinp,z = y/2Qcosq,v = y/2Qsinq
(где χ, ν — новые координаты, а у, ζ — сопряженные им импульсы), то
уравнения движения для (8.5) запишутся как
Кк = ^CjΜjik[y sin wl + χ cos Wk\, w*k=gk,
3
Ksk =^2djNj}k[zsmni + υ cos Ω J], Ω£ = Sfcl
3
x = ~9оУ + Σ Σ сзМз,к costujfe, у = g0x + ^ JZ сзмз,ь s[nwL
j к j к
v = -sqz + ^2^2djNjjk cosCil, ζ = s0v + }У^djNjjksinΩ£.
j fc j fc
(8.6)
С учетом тривиального решения ш£ = gkt + /?& и Ω£ = s^i + (5&
последние две строки (8.6) принимают вид хорошо известных уравнений для двух
несвязанных возмущаемых гармонических осцилляторов с общим
решением
3 к
у = A cos(-g0t + <*) - Σ Σ ^'-fc cos wb->
Λ Λ (8.7)
ν = Bsm(-s0t + β) + У^ } r/j.fc sin Ω%,
Z = £?COs( — 5o^ + /?) — ΣΣ7^ CQS ^fe>
где Α,α,Β,β — постоянные интегрирования (зависящие от начальных
условий), а
_CjM1A _ djNjik
— амплитуды вынужденных колебаний. Отметим, что последние
становятся бесконечными, когда частота до или so равна одной из планетных
частот дк или sk. В таком случае говорят, что имеет место резонанс.
Поскольку соответствующие этим резонансам знаменатели дк — до и sk —
— so присутствуют в линейных уравнениях векового движения малого тела,
эти резонансы обычно называют линейными вековыми резонансами, или

8.1. Линейное интегрируемое приближение
169
вековыми резонансами первого порядка. Кроме того, резонанс go = Qk
принято обозначать ι/*., а резонанс So — $k — через ζ^. Поскольку
ранее, в главе 4, были рассмотрены резонансы с динамикой маятникового
типа с ограниченными амплитудами колебаний, читателя может удивить
тот факт, что здесь амплитуды (8.8) в резонансах обращаются в
бесконечность. Расходимость амплитуд вынужденных колебаний (8.8)
является в данном случае артефактом, возникающим из-за линейности
уравнений движения (8.6) относительно переменных х, у, υ, ζ. Напомним, что эти
уравнения получены из гамильтониана (8.5), в котором не учтены члены,
квадратичные по действиям Ρ nQ. Аналогично, если в гамильтониане (4.4)
пренебречь членом (β/2)1%, то движение Д станет неограниченным. Более
точный анализ динамики в вековых резонансах, учитывающий члены и
более высокого порядка по переменным действия, будет предпринят в
разделе 8.4.
Теперь, используя решение (8.7), гамильтониан (8.5) можно
преобразовать к виду, зависящему только от переменных действия, при условии,
что линейные вековые резонансы отсутствуют. Прежде всего, найдем новые
канонические переменные у',χ', ζ',υ', A'gk,w*k, A'Sk,il*k такие, что (8.5)
запишется как
/О /О /О /О
nint = J2(9kKk+^Kk)-9o^-^--s0^^+F(^'k^'k). (8.9)
Если сопоставить временную эволюцию x,y,v,z,wk,Qk9 даваемую
формулами (8.7), с эволюцией х\ у', υ', ζ\ w*k, Ω*^, описываемой
гамильтонианом (8.9), то естественно выбрать
*' = χ - Σ Σ &k sin wk' ^ = ^+ΣΣ^cos w*k'
(8.10)
v' = у - Σ Σ ^ sinii£> z' =z+Σ Σ ъ* cosilfc>
j k j k
а также w*'k = wk, Q,*k = Ω£. Далее требуется только определить Afgk
и A'Sk такие, что преобразование было бы каноническим. Для этой цели
мы используем критерий производящей функции (см. раздел 1.6 и, в
частности, уравнение (1.41)): наше преобразование переменных можно
переписать в виде неявных уравнений х' — dS/dy',y = dS/dx,..., Ω*^ =

170
Глава 8
= dS/dA'Sk, если выбрать
S(x, у', υ, ζ', wt, А'дк, ill К J = E(W*A« + Ω*Λ* J + ХУ' + vz> ~
к
- ]T]T[£ijfc(y'sin^ + xcoswl) +
3 к
+ 77^ (z'sin Ω£ +vcosQfe)]. (8.11)
Это доказывает, что наше преобразование канонично, при условии, что
преобразование от А9к, ASk κ Адк, AfSk задается уравнениями А9к = dS/dw*k
и ASk = dS/dQ.*k. По построению гамильтониан (8.5) преобразуется к
виду (8.9); функция F из гамильтониана исключается, так как она не зависит
от переменных движения малого тела x',y',v',z'.
Теперь достаточно ввести новые канонические переменные
«действие-угол» Р'\р',Q',q' посредством формул
χ' = у/2Р*8тр', у' = VU^cosp', v' = v/2<27sin</, z = v/2<27cos</,
(8.12)
чтобы преобразовать (8.9) к виду
Ни
Yj9kKk + skA') - д0Р' - s0Q',
к
(8.13)
то есть к виду, зависящему только от переменных действия. Гамильтониан
готов для использования в качестве интегрируемого приближения при
пертурбационном анализе полной вековой нормальной формы. Введенные
новые переменные «действие-угол» обычно называют линейными
собственными модифицированными переменными Делоне. Элементы, задаваемые
путем обращения (1.69) и (1.68), с P\p,,Q/,q/ вместо Р,р,Q,q, а
именно
e' = i 1-
г = arc cos
1-
1-
Q'
π = — ρ ,
Ω' = -</,
(8.14)
L-P*
называют соответственно линейными собственными эксцентриситетом,
долготой перигелия, наклонением и долготой узла. Из (8.13) очевидно,
что до и s0 являются частотами линейных собственных долгот перигелия
и узла соответственно; поэтому их называют линейными собственными
частотами.

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
171
8.2. Интегрируемое приближение Козаи
Найдем теперь интегрируемое приближение (8.2), подходящее для
малых тел, орбиты которых имеют эксцентриситеты и/или наклонения много
больше, чем у планет. В таком случае действия Ρ и/или Q, задаваемые
формулами (1.69), не являются малыми, поэтому раскладывать гамильтониан
в степенной ряд по у/2Р и y/2Q, как в предыдущем разделе,
нецелесообразно. Вместо этого, следуя схеме, впервые разработанной Уильямсом (1969),
мы разложим (8.2) в степенной ряд только по ej и sinij/2, записывая
Wsec = J2i9kA9k + skASk) + ^/C(n)(P,Q,p,g,*7JE,fi;;), (8.15)
к n^O
где /C(n) имеют порядок п по ej, sinij/2. Ведущим членом этого
разложения является /С(о). В данном случае «малый параметр» η, характеризующий
величину возмущения относительно главной части гамильтониана, имеет
величину порядка планетных эксцентриситетов и наклонений (напомним,
что при подходе, основанном на линейном приближении, он имеет
величину порядка е|,ф.
Член нулевого порядка /С(0) не зависит от планетных
эксцентриситетов и наклонений, поэтому благодаря правилам Даламбера он не зависит
и от планетных углов π£ и Ω£. Из правила Даламбера об инвариантности
гамильтониана относительно вращений (правило 2 в разделе 1.9.3) следует,
что в фурье-разложении /С(0) ненулевые коэффициенты могут быть только
у гармоник ехр i[mp + kq\ ст-\-к = 0] это означает, что /С(0) зависит
только от аргумента перигелия д = q — р. Будучи зависимым только от одного
угла, /С(о) поэтому интегрируем (см. раздел 1.8). Вновь вводя переменные
Делоне G,H,g,h (см. формулы (1.68)), примем гамильтониан
«int = ^{дкА9к + skASk) + )C{0)(G,H,g) (8.16)
к
в качестве интегрируемого приближения векового гамильтониана (8.2).
Чтобы записать (8.16) в виде функции одних только переменных действия,
что необходимо для изучения вековой нормальной формы методами
главы 2, требуется ввести новые переменные «действие-угол» согласно
рецепту Арнольда (см. раздел 1.9). Чтобы сделать этот шаг, который обсуждается
далее в разделе 8.2.3, прежде всего надо детально исследовать динами-

172
Глава 8
ку, описываемую гамильтонианом /С(0)· Впервые это сделал Козаи (1962,
1978)1, поэтому /С(0) сейчас обычно называют гамильтонианом Козаи.
Поскольку /С(о) не зависит от /ι, действие Η = у/а(1 — е2) cos г
является константой движения. Напомним, что Η есть z-составляющая углового
момента малого тела. Возвращаясь к средним элементам малого тела а, е
и г и принимая во внимание, что а постоянно, приходим к выводу, что
эволюции е и г (являющихся функциями аргумента перигелия д) связаны
соотношением Η = const. Естественными координатами на поверхности
уровня Η являются G и д, или же, что эквивалентно, е и д. На такой
поверхности эволюция е (или G) как функции от д следует кривой уровня
/C(o)(G, Я, #), где Η играет роль параметра (см. раздел 1.8).
Если нормальная форма вычисляется только до порядка ε, а
членами более высокого порядка по ε пренебрегается, то практический способ
расчета кривых уровня /С(0) очень прост. Фактически в этом случае
нормализованный гамильтониан есть просто возмущение в (1.29), усредненное
по средним аномалиям / и lj малого тела и планет, а именно
η Ν «2тг /.2тг / -. \
"—-^ГЧ I {ш-м-Г'" (8Л7)
где векторы г и sj — гелиоцентрические положения малого тела и j-ой
планеты соответственно; Δ^ = г — s^; причем эти векторы должны быть
представлены как функции орбитальных элементов. Таким образом,
гамильтониан Козаи /С(о) дается выражением (8.17), где эксцентриситеты и
наклонения планет предварительно положены равными нулю. Если положить ej =
= ij = 0, то, как мы знаем уже из обсуждения выше, результат двойного
интегрирования в (8.17) не зависит от h, а следовательно, зависит только от
а, е,г,д и а^. Значения а и aj фиксированы, потому что большие полуоси
являются постоянными для векового гамильтониана. Кроме того, из
условия пребывания на фиксированной поверхности Η = const следует
соотношение г = arccos(if/^/a(l — е2)). Как следствие, значение /С(о)
полностью определено, если заданы е и д. С технической точки зрения интеграл
по lj в (8.17) можно взять аналитически с использованием эллиптических
функций К первого рода. В самом деле, полагая эксцентриситет ej и
наклонение ij планеты равными нулю, имеем (Уильяме, 1969; Бейли и др.,
]Еще раньше аналогичное исследование провел М.Л.Лидов (см. его статью в сб.:
Искусственные спутники Земли. Вып. 8. М.: АН СССР, 1961. С. 5-45). — Прим. ред.

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
173
1992)
|х(т), (8.18)
где
4di\/x2 + ν2
т= -^ / 8.19
г — вектор положения малого тела, χ и у — координаты его проекций на
плоскость планетной орбиты, а г = ||г||. Интеграл по I в (8.17),
напротив, взять аналитически нельзя, поэтому требуется численный алгоритм
(см., например, Пьессенс и др., 1983). Несложно написать компьютерную
программу для вычисления /С(о) в каждой точке е,д сетки на
поверхности Η = const, а затем построить кривые уровня /С(0) при помощи какого-
либо графического пакета.
Киношита и Накаи (1999) предложили для гамильтониана Козаи
аналитическую аппроксимацию:
о
771 ТЬ
^(°) = Σ 3 3 \а2 ((2 + 3e2)(3cos2?: - 1) + 15е2 sin2 icos2c/),
(8.20)
где тс — масса центрального тела, тт^ — среднее движение j-ro
возмущающего тела. Это выражение справедливо при любых значениях е и г, но
в нем пренебрегается членами порядка (a/aj)2, что жестко ограничивает
область его применения. Выражение (8.20) полезно лишь для спутниковых
задач, где отношение a/aj очень мало.
Анализ динамики гамильтониана Козаи удобно проводить раздельно
для двух случаев: астероидного, когда большая полуось орбиты у малого
тела меньше, чем у главного возмущающего тела, и кометного — при
обратной ситуации.
8.2.1. Динамика Козаи внутри орбиты главного возмущающего тела
На рис. 8.1 показана эволюция е и д, определяемая гамильтонианом
Козаи, на шести разных поверхностях Η = const. Динамика вычислена при

174
Глава 8
а = 3 а. е. и с учетом возмущений от четырех планет-гигантов, поэтому она
дает хорошее представление о типичном астероидном случае. Каждой
поверхности Η = const на рис. 8.1 отвечает (максимальное) значение
наклонения при е = 0, а именно гтах = arc cos(H/y/a). Граничная окружность на
всех панелях соответствует максимально возможному на поверхности Η =
= const эксцентриситету, то есть етах = а/1 — Н2/а.
Отметим, что все графики симметричны относительно оси sin g = 0.
Причина заключается в том, что разложение /С(о) в степенной ряд по
наклонению малого тела включает благодаря правилам Даламбера только
члены гп с четными п; поэтому в фурье-разложение /С(0) должны входить
только гармоники cos kg с четными к. Это означает, что функция /С(о)
периодична по д с периодом π.
При малом гтах (рис. 8.1а) кривые уровня /Со по форме весьма близки
к окружностям. Это означает, что аргумент перигелия циркулирует,
принимая значения на полном интервале 360°, эксцентриситет же (а
следовательно, и наклонение) почти постоянен. Таким образом, линейное
интегрируемое приближение векового гамильтониана (см. раздел 8.1), в котором
пренебрегается всеми гармониками по аргументу перигелия, в данном
случае малого наклонения является хорошим приближением динамики Козаи.
При увеличении гтах (рис. 8.16) кривые уровня вытягиваются вдоль
оси esing. Аргумент перигелия по-прежнему циркулирует, но
эксцентриситет либрирует, достигая максимума всякий раз при д = 90 или 270°;
наклонение при этом минимально. При гтах выше критического порога
структура динамики Козаи радикально меняется (рис. 8.1в). Точка е = 0
превращается в точку неустойчивого равновесия; сепаратриса соединяет
эту точку саму с собой и делит фазовое пространства на три части: две
области, где угол д либрирует около 90 или 270° (то есть он уже не пре-
цессирует), и область, где д циркулирует. Данная динамическая структура
типична для интегрируемого резонансного случая (глава 4), поэтому о ней
часто говорят как о резонансе Козаи. Резонанс Козаи можно
рассматривать как резонанс 1:1 между частотами прецессии долготы перигелия w
и долготы узла Ω малого тела. Таким образом, в терминах главы 4,
аргумент перигелия д = π — Ω является критическим углом резонанса. Если
имеет место резонанс Козаи, то классическое интегрируемое приближение
(раздел 8.1) уже не может, очевидно, служить хорошим приближением для
реальной вековой динамики.
Рис. 8.1 г, 8.Id и 8.1 е соответствуют еще большим значениям гтах.
Резонанс Козаи становится сильнее в том смысле, что ширина области либра-

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
175
а = 3.000 гтах = 10.0 (а)
а = 3.000 гтах = 30.0 (б)
-0.1 0.0 0.1
ecos(g)
а = 3.000 гтах = 33.0 (в)
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
ecos(g)
а = 3.000 гтах = 45.0 (г)
0.0
ecos(#)
а = 3.000 гтах = 60.0 (д)
0.0
ecos(#)
а = 3.000 гтах = 80.0 (е)
-0.5 0.0
ecos(#)
0.5 0.0 0.5
ecos(#)
Рис. 8.1. Динамика Козаи в поясе астероидов, представленная в полярных
координатах е, д. Все панели построены при значении средней большой полуоси, равном
3 а. е. Наклонение гтах при е = 0 указано вверху каждой панели. Прерывистыми
кривыми обозначены е,д, соответствующие узловым пересечениям орбит планет.
(По данным Томаса, 1998; адаптировано)

176 Глава 8
ции увеличивается. При этом точка е = 0 всегда остается точкой
неустойчивого равновесия. Как следствие, резонансная динамика вынуждает любую
орбиту с первоначально малым эксцентриситетом достигать больших е при
д = 90° или 270°. Большой эксцентриситет подразумевает малое
гелиоцентрическое узловое расстояние. Последнее определяется как расстояние от
Солнца при пересечении плоскости отсчета; оно дается формулой
а(1-е2)
1 ± е cos g
где индексы «+» и «—» обозначают восходящий и нисходящий узлы
соответственно. Таким образом, астероид в некоторый момент его вековой
эволюции должен пересечь область орбит планет земной группы. На рис. 8.1 β
прерывистыми кривыми нанесено множество точек е,#, порождающих
узловые пересечения орбиты Марса (кривые построены просто путем
подстановки г± = 1.5 а. е. в (8.21)); на рис. 8.1г дополнительно нанесены
аналогичные кривые для узловых пересечений орбиты Земли; кривые для
узловых пересечений орбит Венеры и Юпитера добавлены на рис. 8. Id,
а кривые для Меркурия различимы на рис. 8.1е. Узловые пересечения с
орбитой планеты открывают возможность для тесных сближений астероида
с планетой; эти сближения дестабилизируют орбиту астероида. Таким
образом, динамика Козаи объясняет, почему пояс астероидов малонаселен при
больших наклонениях. С математической точки зрения тесному сближению
соответствует истинная особенность (Δ^ = 0) гамильтониана (1.29).
Аналитическая конструкция вековой нормальной формы, следовательно,
невозможна. Однако можно показать (Гронки и Милани, 1998, 1999), что
двойные интегралы в выражении для гамильтониана Козаи (8.17) хорошо
определены даже в присутствии такой особенности. Поэтому, чтобы получить
первоначальное представление о вековой динамике с пересечениями орбит
планет, гамильтониан Козаи все же можно использовать (в чем мы убедимся
более конкретно в разделе 8.2.2).
Критический порог для гтах, при котором появляется резонанс Козаи,
зависит от а; его точное определение можно найти в работе Козаи (1962).
При любых значениях от 0 до 1 отношения а/а' (где а — большая полуось
орбиты малого тела, а' — большая полуось орбиты главного возмущающего
тела, то есть Юпитера в случае главного пояса астероидов) динамика
Козаи оказывается весьма похожей на показанную на рис. 8.1. Таким образом,
описанная нами динамика не специфична для пояса астероидов, а
характерна для многих систем. Например, советский космический аппарат Лунник,
(8.21)

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
177
запущенный первоначально на квазиполярную орбиту вокруг Земли, через
некоторое время упал на Землю, потому что резонанс Козаи, порожденный
совместно лунными и солнечными возмущениями, вынудил эксцентриситет
орбиты увеличиться настолько, что перигейное расстояние стало меньше
радиуса Земли2. В принципе, в любой динамической системе, описываемой
уравнениями ограниченной задачи трех тел, резонанс Козаи вызывает
сильные вариации орбиты внутреннего тела, если ее наклонение относительно
орбиты внешнего возмущающего тела достаточно велико. Это справедливо
независимо от массы внешнего возмущающего тела или расстояния от него:
действительно, из-за вырожденности задачи двух тел величина возмущения
(ε в формуле 8.1) сказывается лишь на временной шкале динамики Козаи,
но не на ее результатах. Однако если какие-либо иные возмущения
вызывают прецессию аргумента перигелия д, то вековой гамильтониан в первом
приближении принимает вид
Hsec = aG + )C{0)(G,H,g), (8.22)
где коэффициент а — частота вынужденной прецессии д, вызываемой
дополнительными возмущениями, а /С(о) — гамильтониан Козаи,
определяемый присутствием удаленного возмущающего тела. Если /С(0) мало
относительно aG, то резонанс Козаи исчезает независимо от величины
наклонения. Пример этого дают спутники Урана. Их орбиты близки к
экваториальной плоскости планеты, то есть наклонены примерно на 90° относительно
плоскости видимого движения Солнца. Поэтому резонанс Козаи,
вызываемый солнечным возмущением, должен вынуждать спутники упасть на
планету. Однако частоты прецессии их аргументов перицентра, вызываемой
сжатием планеты и их взаимными возмущениями, достаточно велики,
чтобы подавить резонанс Козаи, что и обеспечивает долговременную
устойчивость орбит спутников. То же происходит и со всей нашей планетной
системой. Орбиты планет наклонены примерно на 60° относительно
плоскости Галактики. Если бы в Солнечной системе была лишь одна планета,
то возмущение со стороны концентрации вещества в плоскости
Галактики (так называемый Галактический прилив; см., например, Матесе и
Уитмен, 1992) периодически увеличивало бы эксцентриситет планетной
орбиты. Однако взаимные возмущения планет вызывают, согласно предыдущей
главе, прецессию аргументов перигелия с непренебрежимыми частотами,
Речь идет о КА Луна-3, впервые в истории сделавшем фотоснимки обратной стороны
Луны. Его орбита была наклонена к плоскости эклиптики примерно на 90°. См. книгу
В.В.Белецкого «Очерки о движении космических тел» (М.: Наука, 1972), с. 113-119. — Прим. ред.

178
Глава 8
и поэтому воздействие Галактического прилива становится
несущественным. Напротив, в случае орбиты с большой полуосью в несколько тысяч
астрономических единиц частота прецессии, вызываемой планетами, очень
мала, и поэтому Галактический прилив становится доминирующим
гравитационным возмущением. Согласно наиболее популярной из теорий
происхождения облака Оорта (резервуара долгопериодических комет), динамика
Козаи, порождаемая Галактическим приливом, ответственна за
уменьшение эксцентриситетов тел, которые были рассеяны планетами на орбиты
с большими полуосями в несколько тысяч а. е. (см. Дункан и др., 1987).
8.2.2. Динамика Козаи снаружи орбиты главного возмущающего тела
Рис. 8.2 аналогичен рис. 8.1, за исключением того, что он построен
для малого тела с большой полуосью орбиты 45 а. е., то есть для малого
тела, внешнего по отношению к возмущающим телам (четырем планетам-
гигантам). Из этого рисунка сразу ясно, что во внешней Солнечной
системе динамика Козаи существенно отличается от таковой в главном поясе
астероидов. Если гтах мало, то аргумент перигелия всегда циркулирует
(рис. 8.2а), а эксцентриситет существенно не изменяется (кривые уровня
/С(о) по форме близки к окружностям), как и в астероидном случае. Однако
с увеличением гтах (в порядке следования панелей рис. 8.2) кривые уровня
при малых эксцентриситетах остаются квазикруговыми. На рис. 8.26
прерывистыми кривыми изображены семейства значений (е, #),
соответствующих узловым пересечениям орбиты Нептуна. Орбиты с низкими
эксцентриситетами всегда защищены от сближений с Нептуном; с другой стороны,
циркуляция д принуждает все орбиты с высокими эксцентриситетами
пересекать орбиту этой планеты. Заметим, что кривые уровня /С(0) имеют точки
излома на линиях узловых пересечений орбиты Нептуна, так как дважды
усредненная функция (8.17) при Δ^ = 0 непрерывна, но не
дифференцируема (Гронки и Милани, 1998, 1999).
На поверхности Η = const, соответствующей гтах = 40° (см. рис. 8.2в)
фазовое пространство изменяется: появляется пара точек устойчивого
равновесия при д = 0° и д = 180°. Эти точки равновесия служат центрами
островов, где аргумент перигелия либрирует. Среди всех орбит с
высокими эксцентриситетами только орбиты на этих двух островах либрации
защищены от сближений с Нептуном. Для орбит с очень высокими
эксцентриситетами возможны также сближения с Ураном (узловые пересечения
орбиты Урана обозначены новыми прерывистыми кривыми). На рис. 8.2г
острова либрации гораздо больше, и орбиты с большой амплитудой либ-

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
179
а = 45.000 гп
10.0 (а)
а = 45.000 гтах = 30.0 (б)
-0.1 0.0 0.1
ecos(g)
. = 45.000 гтах = 41.0 (в)
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4
е cos(g)
а = 45.000 гтах = 50.0 (г)
0.0
ecos(g)
45.000 гтах
-0.5
0.0
ecos(g)
:55.0 (д)
а = 45.000 гтах = 60.0 (е)
-0.5 0.0
ecos(g)
0.5 0.0 0.5
ecos(g)
Рис. 8.2. То же, что и на рис. 8.1, но для значения большой полуоси,
характерного для пояса Койпера. Прерывистыми кривыми обозначены е, д, соответствующие
узловым пересечениям орбит внешних планет. (По данным Морбиделли и Томаса,
1996; адаптировано)

180
Глава 8
рации вынуждены пересекать орбиту Урана. На рис. 8.2d кривые узловых
пересечений орбиты Урана разрезают каждый остров либрации на две
части, создавая таким образом четыре малых либрационных острова,
защищенных от сближений с планетой. При очень большом эксцентриситете
на графике появились прерывистые кривые, соответствующие сближениям
с Сатурном. Наконец, на рис. 8.2е выживают только два острова либрации
при д = 0°, 180° снаружи кривой пересечений орбиты Урана. Кроме того,
отметим появление еще двух островов либрации при д = 90°, 270°,
ограниченных кривыми узловых пересечений орбит Нептуна и Урана.
Анализ панелей на рис. 8.2 позволяет сделать вывод, что в отличие от
случая главного пояса астероидов здесь резонанс Козаи не вынуждает
исходно малый или умеренный эксцентриситет увеличиваться, каким бы ни
было наклонение. Поэтому орбиты с малыми эксцентриситетами
постоянно защищены от сближений с планетами. И действительно, в поясе Кой-
пера, похоже, есть несколько тел с наклонениями гораздо большими, чем
в главном поясе астероидов. Однако динамика Козаи при больших
эксцентриситетах нетривиальна, что выражается в наличии островов устойчивого
движения, защищенного от сближений с планетами. Поэтому она
представляет интерес прежде всего при изучении вековой эволюции долгопериоди-
ческих комет. Чтобы охватить диапазон эксцентриситетов, типичных для
кометных орбит, необходимо задать поверхности Η = const,
соответствующие гтах > 60°. На рис. 8.3 показаны кривые уровня /С(о) на таких
поверхностях в декартовых координатах д и X = \/1 — е2. Благодаря такому
выбору координат видимая область высоких эксцентриситетов увеличена
относительно видимой области низких эксцентриситетов, поскольку
функция X сильно нелинейна по е.
Рис. 8.3а отвечает той же поверхности, что и рис. 8.2е, так что читатель
может установить прямое соответствие между двумя системами координат.
На рис. 8.36 нанесены также кривые узловых пересечений орбиты
Юпитера. Каждый из больших островов либрации при д = 0°, 180° разделяется
на три острова кривыми узловых пересечений орбит Сатурна и
Юпитера. Орбиты на каждом из этих островов защищены от сближений с
планетами. На рис. 8.3в два верхних острова при д = 0°(180°) разрушены,
и остается только третий остров, расположенный ниже кривых
пересечений орбиты Юпитера. Однако кривые узловых пересечений орбит Нептуна
и Урана становятся ближе друг к другу, так что этот сохранившийся остров
теперь меньше, чем на панели (б). Однако появляется еще один остров —
также ниже кривых пересечений орбиты Юпитера, но при д = 90° (270°).

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
181
а = 45.0 гтах = 60.0 (а)
а = 45.0 гтах = 68.0 (б)
0.0 100 200 300
9
0.0 100 200 300
9
а = 45.0 гтах = 76.0 (в) а = 45.0 гтах = 86.0 (г)
о q0.0 Ρ ,00
100 200
100 200
1.00
Рис. 8.3. Динамика Козаи в поясе Койпера при очень больших эксцентриситетах
и наклонениях. Шкала вертикальной оси линейна по X = у/1 — е2, что увеличивает
изображение области больших эксцентриситетов фазового пространства. Панель (а)
построена для того же значения гтах, что и панель (е) на рис. 8.2. (Рис. 5 из статьи
Томаса и Морбиделли, 1996; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
Он увеличивается с гтах; на рис. 8.3г, соответствующем гтах = 86°, этот
остров при д = 90° (270°) доминирует в фазовом пространстве, тогда как
остров при д = 0° (180°) почти исчез.
Особенности динамики Козаи, проиллюстрированные на рис. 8.2 и 8.3,
типичны для внешней Солнечной системы, причем они качественно не
изменяются с изменением большой полуоси орбиты малого тела.
Интуитивно это понятно. Появление и исчезновение островов определяются рас-

182
Глава 8
α = 91.60 гтах = 89.41 Δί = 480000 лет
Рис. 8.4. Динамика Козаи, вычисленная для значений большой полуоси и гтах,
таких, как у сангрейзера («царапающей» Солнце) кометы Икея - Секи. На график
наложена кривая эволюции кометы, найденная численным интегрированием полных
уравнений движения на интервале времени 480000 лет. (Рис. 8 из статьи Томаса
и Морбиделли, 1996; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
положением кривых узловых пересечений планетных орбит. Таким
образом, если увеличить большую полуось, то ситуация просто повторится при
большем эксцентриситете и том же наклонении, то есть при большем
значении гтах.
Как впервые отметили Бейли и др. (1992), острова либрации при д =
= 90°, 270° (видимые на рис. 8.3г) могут быть ответственны за
происхождение многих «царапающих» Солнце комет («сангрейзеров»), а также комет,
падающих на Солнце — наподобие тех, что часто открывают со спутника
SOHO. Последние являются долгопериодическими кометами с
экстремально большими эксцентриситетами, при этом их перигелийные расстояния
имеют величину порядка радиуса Солнца. По-видимому, они достигли
своих нынешних эксцентриситетов, преодолев половину либрационного цикла
на одном из двух главных островов рис. 8.3г.
На рис. 8.4 приведен, в качестве примера, случай сангрейзера 1965VIII
Икея-Секи — одной из самых великолепных комет XX века. Показана
динамика Козаи, соответствующая современным элементам орбиты кометы
(а = 91.6 а. е., е = 0.9999, г = 141.86°, д = 69.05°); положение
кометы в координатах д,Х указано стрелкой. На график наложены
эволюционные треки кометы в прошлом и будущем, согласно точному численно-

8.2. Интегрируемое приближение Козаи
183
му интегрированию полных уравнений движения на интервале времени
480000 лет. Как видим, эволюционные треки примерно следуют кривым
уровня гамильтониана Козаи; однако согласие неидеально, так как вековая
нормальная форма первого порядка дает лишь грубое приближение
истинного движения, — ведь движение таких комет сильно возмущается при
прохождении через планетную систему; к тому же в гамильтониане Козаи не
учитываются вековые динамические эффекты, возникающие из-за наличия
у планетных орбит эксцентриситетов и наклонений. Подробное обсуждение
того, насколько уместно использование гамильтониана Козаи для описания
долговременной эволюции долгопериодических комет, можно найти в
работе Томаса и Морбиделли (1996). Однако уже из рис. 8.4 ясно, что простого
компьютерного расчета динамики Козаи достаточно для объяснения
динамического происхождения комет-сангрейзеров.
Мишель и Томас (1996) показали, что динамика Козаи, подобная
представленной на рис. 8.2в, характеризует также движение астероидов
с умеренными наклонениями и с большими полуосями орбит, немного
большими, чем у Земли и Венеры. Острова либрации вокруг д = 0°, 180°
играют важную роль, защищая (временно) такие астероиды от тесных
сближений с планетами земной группы. Не следует удивляться, что в данном
случае динамика Козаи выглядит так же, как описано в этом разделе: в
самом деле, при таких значениях больших полуосей и наклонений у орбиты
астероида Земля (или Венера) становится главным возмущающим телом,
доминируя относительно гравитационного поля Юпитера. Только при
большом наклонении гравитационные возмущения со стороны Юпитера
становятся преобладающими, и динамика Козаи опять выглядит так же, как на
рис. 8.1г.
Гамильтониан Козаи для «кентавров», орбиты которых имеют большие
полуоси 5-30 а. е., что соответствует внешней части Солнечной системы,
подробно изучен Гронки и Милани (1999); как и в случае
долгопериодических комет, в их динамике присутствует несколько либрационных островов,
определяемых кривыми пересечений орбит планет.
8.2.3. Переменные «действие-угол» для гамильтониана Козаи
Поскольку гамильтониан Козаи интегрируем, можно ввести
подходящие переменные Арнольда «действие-угол», чтобы преобразовать /С(0)
в гамильтониан, зависящий только от новых действий. Как уже
обсуждалось в разделе 4.2, в областях, где д циркулирует, и в области, где д либри-
рует, требуется задавать разные наборы переменных «действие-угол»; при-

184
Глава 8
чем на сепаратрисе резонанса Козаи преобразование к новым переменным
будет сингулярным.
Поскольку действие Η является для гамильтониана Козаи константой
движения, одним из двух действий Арнольда, скажем J2, будет само Н.
При вычислении другого действия, Jl9 циклами, используемыми в теореме
Арнольда-Лиувилля, будут циклы, определяемые кривыми уровня /С(0).
Таким образом, имеем
Ji = ^J*G(JC{0),H,g)dg (8.23)
для цикла циркуляции и
'-S
/*<7тах /"5тах
/ G+(IC{0),H,g)dg- G~(ICi0),H,g)dg
(8.24)
для цикла либрации. В этих формулах через G(/C(0), #, #) обозначена
зависимость G от д вдоль цикла, характеризуемого значениями констант Η
и /С(о); через G+ и G~ обозначены соответственно верхняя и нижняя
части цикла в случае либрации, а через дш-ш, gmax — экстремумы д в ходе
либрации.
Что касается новых углов ψι и *02> канонически сопряженных с J\
и J2, они, согласно теории Арнольда, линейны по времени, а их
производные по времени равны соответственно частоте циркуляции/либрации угла д
и частоте угла h, усредненной по периоду изменения д. В полной вековой
нормальной форме новые переменные «действие-угол» вводятся, как
описано в разделе 4.2; тогда интегрируемое приближение (8.16) принимает вид
Wint = ^(9к^9к + skASk) + £(о)(</ъ ·72). (8-25)
к
Для циклов, пересекающих кривую пересечений орбиты планеты,
в принципе, тоже можно ввести новые переменные «действие-угол».
Фактически такой цикл хорошо определен (искусственно), так что интеграл,
определяющий J1} можно вычислить; частоты углов д и h на кривых
пересечений орбит планет бесконечны, но их усредненные по циклу
значения по-прежнему конечны (Гронки и Милани, 1998, 1999). Однако
гамильтониан, записанный в новых переменных, неаналитичен при всех
значениях Ji, J2, соответствующих циклам с пересечениями планетных орбит.
В действительности из-за тесных сближений с планетой динамика будет
сильно хаотической.

8.3. Собственные элементы
185
8.3. Собственные элементы
Как уже упоминалось во Введении, из вида распределений
астероидов по большим полуосям, эксцентриситетам и наклонениям оскулирую-
щих орбит (рис. 2) следует, что некоторые области главного пояса
астероидов заселены менее плотно, чем остальные. Однако взаимные расстояния
астероидов в пространстве оскулирующих а, е,г изменяются на временной
шкале прецессии орбит, так как оскулирующие элементы непрерывно
изменяются из-за возмущений со стороны планет. Поэтому трудно делать какие-
либо выводы относительно того, насколько значимы эти области видимо
повышенной заселенности. Однако для астероидов на регулярных
орбитах, то есть на КАМ-торах, в принципе можно ввести переменные
«действие-угол», такие, что действия являются константами движения. В
пространстве действий распределение астероидов было бы инвариантным во
времени, так что его анализ мог бы дать важную информацию о структуре
пояса астероидов (см. раздел 8.3.1).
Вычисление переменных действия, постоянных на КАМ-торе,
находится за пределами любых практических возможностей. Однако, к счастью,
можно вычислить (путем построения нормальных форм Биркгофа низкого
порядка) действия, чьи амплитуды осцилляции во времени много меньше,
чем амплитуды осцилляции оскулирующих элементов. Для практических
астрономических целей эти действия можно рассматривать как
квазиконстанты движения. Первый шаг при их вычислении состоит в построении
вековой нормальной формы (как уже объяснено в разделе 2.5.1), что
позволяет в качестве первой приближенной константы движения отождествить
среднюю большую полуось. Второй шаг состоит в построении нормальной
формы Биркгофа первого порядка для векового гамильтониана (8.2). Этот
шаг подробно рассматривается в данном разделе.
Из предыдущих разделов мы знаем, что существуют два возможных
интегрируемых приближения векового гамильтониана. Процедура
построения нормальной формы Биркгофа зависит от выбора интегрируемого
приближения, но формальная схема в обоих случаях одна и та же. Поэтому
в дальнейшем мы всегда будем через Но обозначать интегрируемое
приближение, которым может быть либо (8.13), либо (8.25). Кроме того,
через /χ, /2>ψ\·>ψ2 мы будем обозначать задаваемые для интегрируемого
приближения переменные «действие-угол», а именно P\Q\p\qf — в случае
линейного приближения, либо Ji,J2,ipi,i>2 — в случае приближения Ко-
Заи. Наконец, через Hi мы будем всегда обозначать член низшего порядка

186
Глава 8
в возмущении, то есть 7ί(4) ~ ПРИ подходе, основанном на линейном
приближении, либо /С(х) — при подходе, основанном на приближении Козаи.
В линейном приближении частоты долгот перигелия и узла у малого тела
зависят лишь от его большой полуоси. Чтобы иметь более реалистичное
приближение, мы включаем в Но члены Hi, не зависящие от углов.
Таким образом Но становится нелинейным, тогда как среднее от Н\ по всем
углам становится равным нулю. В приближении Козаи Но уже является
нелинейным, а среднее от Н\ по углам равно нулю, так что каких-либо
модификаций не требуется. В итоге нам предстоит работать с гамильтонианом
вида
H = Ho(hJ2,A9kAsk)+H1(IuI2^i^2,™ini), (8.26)
где Н\ — малая величина (скажем, порядка η) относительно Но, имеющая
нулевое среднее по углам, а Но имеет вид
Wo(/i,/2,A5fc,AsJ = ^(^A5fc+^AsJ + Wo(/i,/2). (8.27)
к
Функция Wo нелинейна по h^h, поэтому частоты ωι = dWo/dli, ω2 =
= dV\?o/dl2 являются функциями от ДДг- Напомним, что
гамильтониан (8.26) параметрически зависит от А (квазипостоянного действия,
которое определяется при вычислении вековой нормальной формы; см.
раздел 2.5), то есть от средней большой полуоси орбиты малого тела.
Чтобы вычислить нормальную форму Биркгофа, прежде всего
раскладываем Hi в ряд Фурье по углам:
wi= Σ c^m,n№^2)exp[t(M + te + m-iu4n.^)], (8.28)
j,i,m,n
где 137* и Ω* — векторы, имеющие соответственно компоненты ш^ и Ω^;
индекс к изменяется в пределах рассматриваемого числа планетных
частот. В подходе, основанном на линейном приближении, разложение (8.28)
содержит только члены порядка 4 по эксцентриситетам и наклонениям,
поэтому благодаря правилам Даламбера оно содержит лишь конечное число
гармоник. В подходе, основанном на приближении Козаи, ряд Фурье по φι
(то есть φι) бесконечен, поэтому приходится ограничивать |j|, чтобы
оставить в Hi конечное число членов. Если выбрать получисленную методику
(см. Леметр, Морбиделли, 1994), то можно работать без привлечения явного

8.3. Собственные элементы
187
фурье-разложения по углам, поэтому не требуется и ограничивать \j\. Для
простоты изложения мы будем использовать здесь явное фурье-разложение.
В главе 2 показано, как нормальную форму Биркгофа первого
порядка можно вычислить с использованием рядов Ли: новые переменные
/{, Г2, φ[, φ*2 вводятся преобразованием вида (2.6) с производящим
гамильтонианом χ, который дается решением уравнения (2.10). Используя
разложение (8.28), χ можно записать как
= Σ-
Cj,Z,m,n(-*i> ^2)
j.i.m.n Ш ' S + П ' S + Μ W Д2) + Wl, *2)
χ βχρ[^ονΊ+ί^+ιη·'Π7*+η·Ω*)], (8.29)
где g и s — векторы планетных частот д^ и Sk соответственно.
Построить нормальную форму не удастся, если один из знаменателей в (8.29)
близок к нулю; когда такое происходит, говорят, что есть вековой
резонанс между планетными частотами и частотами малого тела. Поскольку
в подходе, основанном на линейном приближении, и в подходе, основанном
на приближении Козаи, определяются возмущения Н\ с разными фурье-
разложениями, в этих подходах различны и множества вековых резонан-
сов, препятствующих построению нормальной формы первого порядка. Как
и при построении вековой нормальной формы (см. рис. 2.1), аналогично,
чтобы гарантировать, что знаменатели в (8.29) будут не меньше y/rj,
значения Д и 12 малого тела должны отличаться по меньшей мере на 0(y/rj) от
решений уравнений
m · g + η · s + М(/ь /2) + Ιω2(Ιι,Ι2) = 0. (8.30)
Как только χ определено, значения Ι'^Ι^φ'^φ^ соответствующие
Ι\·>Ιι·>φ\,φ2 астероида, можно вычислить до первого порядка по
формулам
Ι1=Ι[ + {ΐ[,χ} = Ι[--^(Ι[,Ι2,φ'1,φ2,π*,Ω*),
/2 = ^ + {^,x} = ^-^(Ji,^,Vi,^,W*,n*),
φ2 = φ,2 + {φ,2,χ} = φΊ + ^(Ι,1,ΐ!>,φ'1,φ'2,π*,ηη.
(8.31)

188
Глава 8
Однако эти уравнения являются неявными, так как производящая
функция χ зависит от новых переменных. Поэтому решение (8.31) находят
численно путем итераций, начиная с 1[ = Д, 1'2 = h, ψ[ = ψ\τ ψ'ι — ψ2-
Если производные от χ малы, то итерационный процесс сходится.
Полученные в качестве решения значения ΐΊ,Ι&φΊιΨ^ называют
собственными действиями и углами астероида. Частоты ωι(Ι[, Ι2), ω2(/^ 1'2) являются
собственными частотами. Напротив, вблизи векового резонанса, где один
из знаменателей в (8.29) мал (меньше ~ y/rj), производные от χ велики
и итерационный процесс обычно расходится.
Действия 1[ и 12 (когда их можно вычислить) — это как раз и есть
те новые приблизительные константы движения астероида, которые в
начале этого раздела мы намеревались искать. Вместо анализа распределения
астероидов в пространстве квазиинвариантных действий Λ, Ι[,Ι2 обычно
предпочитают предварительно задавать более легкотрактуемые величины,
называемые собственными элементами, то есть значения большой
полуоси, эксцентриситета и наклонения, определяемые квазиинвариантными
действиями. Делается это так. Собственную большую полуось
отождествляем со средней большой полуосью, то есть с ар = Λ2/(£ΜΘ), где Q —
гравитационная постоянная, М© — масса Солнца. Затем, если
используется подход, основанный на линейной аппроксимации, полагаем, что
линейные собственные действия P',Q' равны собственным действиям 1[,12
(что в среднем выполняется), и, используя (8.14), вычисляем собственные
эксцентриситет и наклонение. При подходе, основанном на приближении
Козаи, полагаем, что действия Ji и Η гамильтониана Козаи равны
собственным действиям 1[,12, определяя таким образом специфический цикл
эксцентриситета и наклонения как функцию аргумента перигелия д\ затем
в качестве собственных эксцентриситета и наклонения выбираем
некоторые значения е и г, которые вместе с ар однозначно определяют этот цикл:
например, значения е и г на цикле при д = 0 или д = 90° или, как
альтернатива, усредненные е и г за цикл.
Хираяма (1918) был первым, кто применил подход, основанный на
линейной аппроксимации, для вычисления собственных элементов. Он
использовал вековую нормальную форму первого порядка по массе Юпитера,
причем из нее он взял только линейную часть (избежав, таким образом,
вычисления нормальной формы Биркгофа). Позднее Юаса (1973)
разработал более полную теорию векового движения астероидов, основанную на
вековой нормальной форме до второго порядка по массе Юпитера, при-

8.3. Собственные элементы
189
чем он сохранил все члены до степени 4 по эксцентриситетам и
наклонениям. Однако Юаса никогда не использовал свою теорию для явного
вычисления собственных элементов астероидов. Это сделали Милани и Кне-
жевич (1990, 1992, 1994), которые развили теорию Юасы и предложили
метод, основанный на нормальной форме Биркгофа первого порядка (он
описан в данном разделе). В своем наиболее продвинутом алгоритме
Милани и Кнежевич (1994) учли возмущения со стороны Юпитера и Сатурна
и вычислили вековую нормальную форму до второго порядка по массам
планет, сохранив все члены до степени 4 по эксцентриситетам и
наклонениям; кроме того, они учли члены, отвечающие за поправки к собственным
частотам астероида из-за влияния планет земной группы; а для элементов
орбит Юпитера и Сатурна они использовали линейную теорию Лагранжа -
Лапласа, включающую все члены, относящиеся к вековой системе четырех
планет-гигантов, и дополненную главными членами нелинейной вековой
теории движения планет.
Метод, основанный на гамильтониане Козаи, впервые предложил
Уильяме (1969). Уильяме не использовал гамильтонов формализм, однако его
алгоритм вычисления собственных элементов в основном эквивалентен
рассмотренному выше. В частности, его вековые уравнения
эквивалентны уравнениям, определяемым вековой нормальной формой, вычисленной
до первого порядка по массе Юпитера. Леметр и Морбиделли (1994)
пересмотрели алгоритм Уильямса в рамках гамильтоновой теории,
предложив процедуру, основанную на использовании переменных Арнольда
«действие-угол» для гамильтониана Козаи (описанных в этом разделе).
Кроме того, они исходили из вековой нормальной формы, вычисленной до
второго порядка по массам планет, и учли также возмущения движения
малого тела со стороны Сатурна. Для элементов орбит Юпитера и
Сатурна они использовали линейную теорию Лагранжа - Лапласа с частота-
ми #5? #6? 9ί·> $6? 8ί·> s8, дополненную ведущим нелинейным членом с
частотой 2д6 - 05.
Точность собственных элементов была проверена с помощью
численного интегрирования: орбиты астероидов интегрировались на интервале
времени в несколько миллионов лет и при каждом выводе результатов
интегрирования вычислялись собственные элементы. В принципе, собственные
элементы должны быть константами движения, то есть их значения должны
оставаться одними и теми же при каждом таком выводе; однако в
реальности значения собственных элементов осциллируют (см. рис. 8.5) благодаря
членам, не учитываемым в использованных при их вычислении нормаль-

190
Глава 8
0.29
^ 0.28
й
Ё 0.27
υ
| 0.26
& 0.25
±
п 0.24
£ 0.23 ;!::;!„!
1021 Фламмарио
Ι ι,еу ill
МШММ
0.22
0.21
р$МШ#М
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
хЮ6
время, в годах; интегратор Orbit8v
1021 Фламмарио
sinlx ,
. sin/
0.3
«0.295
£ 0.29
о 0.285
Ι 0.28
£0.275
§ 0.27
« 0.265
ю 0.26
υ 0.255 ршЛ
0.25
4 4.5
хЮ6
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
время, в годах; интегратор Orbit8v
Рис. 8.5. Эволюция во времени собственных элементов астероида 1021 Фламмарио.
Надписями ей I обозначены собственные эксцентриситет и наклонение,
вычисленные с использованием алгоритма Милани и Кнежевича; надписями ех и 1х —
собственные эксцентриситет и наклонение, вычисленные с использованием алгоритма
Леметр и Морбиделли и определяемые как значения е и г при д = 0 на цикле Козаи,
задаваемом значениями собственных действий; еу, 1у — те же величины, что и ех,
1х, но определенные как значения е и г при д = 90° на цикле Козаи. Для этого
астероида (имеющего наклонение орбиты ~ 15.5°) точность различных наборов
собственных элементов (определяемая как отношение среднеквадратичного
отклонения к среднему значению) примерно одна и та же. (Рис. 2 из статьи Кнежевича
и др., 1995; с разрешения Astronomy and Astrophysics)

8.3. Собственные элементы
191
ных формах низкого порядка. Поэтому точность собственных элементов
измеряют как отношение среднеквадратичного отклонения к среднему
значению (на всем интервале времени интегрирования). Для астероидов с
малыми эксцентриситетами и наклонениями, не находящихся вблизи вековых
резонансов, точность собственных элементов Милани и Кнежевича
превосходна: среднеквадратичные отклонения собственного эксцентриситета
и синуса собственного наклонения обычно много меньше Ю-3 (Милани
и Кнежевич, 1994). Однако для астероидов с относительно большими
эксцентриситетами и/или наклонениями точность падает, так как
гамильтониан представляет собой усеченный степенной ряд по е и г, а линейная
аппроксимация подразумевает, что е и г постоянны в ходе прецессии
аргумента перигелия; такое допущение для тел, не слишком далеких от резонанса
Козаи, является грубым (см. рис. 8.1). Для тел с г ~ 15°
среднеквадратичные отклонения собственных элементов Милани и Кнежевича становятся
порядка 5 χ 10_3 для эксцентриситета и 10_3 для наклонения, то есть они
становятся сравнимыми с типичной точностью собственных элементов Ле-
метр и Морбиделли (см. Кнежевич и др., 1995; а также рис. 8.5). Точность
последних в основном одна и та же для всех астероидов независимо от их
эксцентриситетов и наклонений, потому что не используется разложение по
степеням е и г и полностью учитывается динамика Козаи. В принципе,
собственные элементы Леметр и Морбиделли можно вычислить также и для
астероидов, либрирующих внутри резонанса Козаи, но этот факт не имеет
большого значения в практических приложениях, так как таких астероидов
известно немного. Однако, поскольку не учитываются члены порядков 2
и 3 по планетным эксцентриситетам и наклонениям (то есть /С(2) и /С(3)),
собственные элементы, вычисленные Леметр и Морбиделли, никогда не
достигают наилучшей точности элементов Милани и Кнежевича.
8.3.1. Семейства астероидов
На рис. 8.6 показано получающееся в итоге распределение астероидов
по собственным большим полуосям, наклонениям и эксцентриситетам,
вычисленным Милани и Кнежевичем. Очевидно присутствие нескольких
областей явно повышенной плотности. Заппала и др. (1990) и Бенджоя и др.
(1991), используя два независимых метода классификации, осуществили
строгий анализ распределения астероидов по собственным элементам а, е
и г; в обоих случаях были получены схожие результаты (Заппала и др.,
1995). Оказалось, что в распределении астероидов (с собственными накло-

192
Глава 8
0.3
0.2 h
0.1
0
- ■ '-.'.? j$fe£"
• ·ίβ1ι
;-/:V ' ·'
&%'{-·&'
'ШШ:--' '
'-v> ί,?!'·' -ΰν3τ Χ ί
\^^Ш^-у
Τ ι ι ι Ι ι
'. ..·■ Λ ■
'Ш ■
Ш-
3iOii," ''/.ν'
*/'-'-"'?;'· "
J Ι I I Ι 1_
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
0.3
0.2
1Ш
^~Ж> & "->>ΐ#
**Яй*-
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
а , а. е. α , а. е.
Рис. 8.6. Распределение 12487 астероидов в пространстве собственных
элементов; а', е', г' — значения собственных больших полуосей, эксцентриситетов и
наклонений, вычисленные Милани и Кнежевичем. (Рис. 1 из статьи Заппалы и др.,
1995; с разрешения Academic Press)
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
α', а. е.
2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
а', а. е.
Рис. 8.7. То же, что и на рис. 8.6, но показаны только астероиды, входящие в 32
отождествленных семейства. (Рис. 12 из статьи Заппалы и др., 1995; с разрешения
Academic Press)

8.4. Вековые резонансы
193
нениями меньше 17.5°) есть 32 области со статистически значимой
повышенной плотностью. По общепринятому мнению, эти области повышенной
плотности представляют собой результат распада родительского тела из-за
столкновения с другим (в общем случае меньшим) астероидом; поэтому
такие скопления обычно называют семействами астероидов. Статистически
достоверно отождествленные семейства астероидов с собственными
наклонениями меньше 17° показаны на рис. 8.7. Форцони Акколти (1995),
используя собственные элементы Леметр и Морбиделли (1994), отождествил
еще шесть семейств при больших наклонениях: три в области Унгарии (это
область, населенная астероидами с а ~ 1.9 а. е., г ~ 22°), два в области Фо-
кеи (а ~ 2.35 а. е., г ~ 24°), а шестое ассоциировано с большим астероидом
2 Паллада (а = 2.77 а. е., е = 0.23, г = 34.8° на рис. 2).
Высокая точность собственных элементов Милани и Кнежевича
позволяет астрономам изучать в деталях распределение астероидов внутри
семейства, таким образом реконструируя поле скоростей, описывающее
разлет фрагментов их родительского тела (Челлино и др., 1999). Это, в свою
очередь, позволяет выяснять свойства физики ударных столкновений
астероидов в диапазонах размеров тел и скоростей столкновений на порядки
величины больших, чем достижимые в лабораторных экспериментах.
8.4. Вековые резонансы
Положения вековых резонансов вычисляются просто как наборы
действий Λ,/ι,/2 таких, что частоты интегрируемого гамильтониана (8.27)
удовлетворяют соотношениям вида (8.30) с коэффициентами m, n, j и I
такими, что соответствующие гармоники expi(j<p\ + Ιψι + ΐϊΐ·τετ* + η·Ω*)
удовлетворяют правилам Даламбера и являются существенными в
разложении возмущения в ряд Фурье. При подходе, основанном на линейной
аппроксимации, использование гамильтониана (8.27) для локализации
линейных вековых резонансов несколько некорректно. Фактически, если есть
линейный резонанс, одна из амплитуд (8.8) преобразования (8.7)
бесконечна, так что (8.27) нельзя построить, следуя пертурбационному
подходу, описанному в разделе 8.1. В этом случае интегрируемое
«приближение» (8.27) определяется просто путем отбрасывания всех гармонических
членов в 7i(2) и Нщ.
Как только определены значения действий Λ, Д, 1<ι, отвечающие
вековому резонансу, вычисляются соответствующие значения большой полуоси,
эксцентриситета и наклонения, как в случае собственных элементов.

194
Глава 8
Вековые резонансы порядков 2 и 4; е = 0.1
собств. большая полуось, а. е.
Рис. 8.8. Расположение вековых резонансов и их оцениваемая ширина при
собственном эксцентриситете, равном 0.1. Показаны только те вековые резонансы, чьи
гармоники есть в Ή{2) или 7ί^)· (Рис. 5 из статьи Милани и Кнежевича, 1990;
с разрешения Kluwer Academic Publishers)
В поясе астероидов положения вековых резонансов вычисляли
Милани и Кнежевич (1990, 1992, 1994), используя подход, основанный на
линейной аппроксимации, и Уильяме и Фолкнер (1981) и Морбиделли и Анрар
(1991а), используя подход, основанный на приближении Козаи. На рис. 8.8
показаны результаты Милани и Кнежевича: расположение вековых
резонансов представлено на плоскости «собственная большая полуось -
собственное наклонение» при фиксированном собственном эксцентриситете,
равном 0.1. Показаны только линейный резонанс д — де и те резонансы, чьи
гармоники есть в главном возмущающем члене Нщ. Данные о
положениях резонансов при других значениях собственного эксцентриситета можно
найти в цитированных выше работах Милани и Кнежевича. В
обозначениях авторов д и s представляют собой соответственно частоту долготы
перигелия и частоту долготы узла, которые в уравнениях (8.30) следует

8.4. Вековые резонансы
195
отождествить с — ω\ и — ω2.3 Для каждого резонанса центральная кривая
показывает точное положение, где соответствующее равенство (8.30) в
точности выполняется, а кривые по ее обеим сторонам показывают положения,
где та же комбинация частот равна ±1"/год (в случае резонанса д — д§) или
±0.5"/год (в случае других резонансов). Эти произвольные значения
выбраны, чтобы дать качественное представление о ширине резонансов.
Обратите внимание, что некоторые резонансы кажутся сходящимися к одному
вертикальному положению, близкому к резонансу средних движений 3:1
(приблизительно при 2.5 а. е). Это артефакт метода вычислений: там, где
располагаются резонансы средних движений, вековая нормальная форма
сингулярна из-за малых знаменателей, которые присутствуют в (2.41) из-за
необходимости исключения соответствующих гармоник. Надлежащий
способ вычисления положений вековых резонансов внутри и вблизи
резонансов средних движений будет описан в главе 11.
На рис. 8.9 показано расположение вековых резонансов, рассчитанное
Морбиделли и Анраром (1991а). Диапазон наклонений здесь шире
благодаря тому, что в подходе, основанном на приближении Козаи, вычисление
вековых частот астероида не теряет точности при больших г. Показаны все
резонансы, чьи гармоники есть в возмущающих членах /С(Х) и /С(2). Как и в
случае рис. 8.8, расчеты выполнены для собственного эксцентриситета,
равного 0.1. Здесь собственные эксцентриситет и наклонение определены как
значения, которые принимают е и г, когда аргумент перигелия равен нулю
на цикле, определяемом гамильтонианом Козаи. Положения вековых
резонансов рассчитаны с использованием вековой нормальной формы порядка
2 по массе Юпитера; поэтому результат точнее, чем у Уильямса и
Фолкнера (1981), которые действовали аналогично, но исходили из вековой
нормальной формы, вычисленной лишь до первого порядка по массе Юпитера.
Полосы из точек при 2.5, 2.8 и 3.3 а. е. обозначают «запрещенные зоны»,
где вековая нормальная форма сингулярна из-за присутствия резонансов
средних движений 3:1, 5:2 и 2:1 соответственно. Рис. 8.9 построен только
для орбит вне резонанса Козаи, у которых аргумент перигелия
циркулирует; однако подход, основанный на приближении Козаи, позволяет
вычислять положения вековых резонансов и в областях, где аргумент перигелия
либрирует внутри резонанса Козаи. Там долгота перигелия астероида пре-
цессирует в направлении, противоположном прецессии долгот перигелиев
планет, поэтому вековые резонансы низких порядков, включающие периге-
3 Читателю не следует путать аргумент перигелия с частотой долготы перигелия, которые
в данной главе обозначаются оба через д (но всегда в разных контекстах). — Прим. авт.

196
Глава 8
Λ' Ά "
υ 2.0 2.5 3.0
α
Рис. 8.9. Расположение вековых резонансов при собственном эксцентриситете,
равном 0.1, вне резонанса Козаи. Показаны только те вековые резонансы, чьи
гармоники есть в /C(i) или /С(2). Цифрами обозначены резонансы: 1 — д = д$ (и5); 2 —
д = 06 Об); 3 — s = 56 Οιβ); 4 - д + s = д5 + se; 5 - д + s = #6 + s6; 9 —
2# = дъ + 0β; 10 — д — s = д*> — sq\ \\ — д — s = д^ — sq. Здесь д и s —
собственные частоты долгот перигелия и узла астероида, отождествляемые соответственно
с cji + CJ2 и CJ2, в обозначениях уравнений (8.30). Полосы из точек обозначают
области, близкие к главным резонансам средних движений, где вековая нормальная
форма сингулярна. (Рис. 9 из статьи Морбиделли и Анрара, 1991а; с разрешения
Kluwer Academic Publishers)
лии, не могут существовать. Как следствие, внутри резонанса Козаи найден
только резонанс s — sq (Морбиделли и Анрар, 1991а).
Мишель и Фрешле (1997) дополнили расчеты Морбиделли и Анрара
до малых эксцентриситетов орбит во внутренней Солнечной системе
(область 0.5-2 а. е.), не пересекающихся с орбитами планет земной группы.
К тому же они приняли во внимание резонансы с вековыми частотами
планет земной группы, которые в расчетах динамики пояса астероидов обычно
игнорируют. Во внутренней Солнечной системе, как оказалось, много таких
резонансов, играющих заметную роль в динамической эволюции
астероидов, сближающихся с Землей (АСЗ) (Мишель, 1997).
Из сравнения рис. 8.9 с левой панелью рис. 2 очевидно, что
распределение астероидов сформировано главными вековыми резонансами.
Резонанс д — д& (называемый также резонансом щ) ограничивает распределение
tu
30
" 20
10
-
=—
-
ч
~ 9
У
3
I 1
/2
NT
4х·
/п

8.4. Вековые резонансы
197
30
25
Перигелийные резонансы, транснептунная область
20 h
15l·
s
ю
о
10Ь
о
-
"
J
\ Я - 98
Н^
\9-97
9-97
[
Π
9-97
9-98
[-9-9S
-
-
9-9s
36 38
Узловые резонансы, транснептунная область
40 42 44 46 48
собств. большая полуось, а. е.
50
25
о
S20
Я
<υ
Я
|l5
Я
β
5
η
ι - г- it
S — 37 J
s — зв
А
I I I 1
-
1
W . . .
J36 38 40 42 44 46
собств. большая полуось, а. е.
48
50
Рис. 8.10. Расположение линейных вековых резонансов в поясе Койпера при
собственном эксцентриситете, равном 0.1. (Рис. 5 из статьи Кнежевича и др., 1991;
адаптировано. С разрешения Academic Press)

198
Глава 8
основного населения главного пояса, тогда как группы Унгарии и Фокеи
(расположенные соответственно при а ~ 1.9 а. е., г ~ 22° и а ~ 2.35 а. е.,
г ~ 24°), по-видимому, ограничены также резонансами д — дъ {уъ) и 5 — sq
(&Ίβ). Как будет детально показано ниже, причиной этого являются
большие вариации эксцентриситета либо наклонения, которые эти резонансы
могут вызывать, дестабилизируя со временем движение астероида; таким
образом, резонансы иъ, щ и ν\§ создали в распределении астероидов
протяженные «люки». С другой стороны, из сравнения рис. 8.8 и рис. 26 видно,
что главный пояс пересечен несколькими вековыми резонансами более
высокого порядка, которые на распределение астероидов заметно не влияют.
Фактически рис. 8.8 напоминает рис. 6.7а с наброском структуры Нехоро-
шева, где резонансы пересекают друг друга в резонансных узлах, но
полностью не перекрываются. Наличие такой структуры указывает на то, что
астероиды в нелинейных вековых резонансах, несмотря на возможную
хаотичность движения, должны быть «устойчивыми» на весьма длительных
временах. Милани и Кнежевич (1990, 1992, 1994) численно
проинтегрировали на интервале в несколько миллионов лет эволюцию астероидов в этих
вековых резонансах и не обнаружили проявлений макроскопического
дрейфа в значениях их собственных элементов. Например, астероид 221 Эос,
находящийся в резонансе д + s — д§ — sq, является родительским телом
одного из самых населенных семейств, несколько членов которого,
включая Эос, ведут себя хаотически благодаря резонансу; однако это семейство
остается весьма компактным и легковыявляемым из-за отсутствия
макроскопической диффузии. Понятие «практической» устойчивости,
появившееся благодаря теории Нехорошева, находит в семействе Эос яркое реальное
воплощение.
Расположение вековых резонансов в поясе Койпера численно
определили Кнежевич и др. (1991), используя тот же подход, что и Милани и
Кнежевич в случае главного пояса астероидов (но Кнежевич и др. учли
также возмущения в движении малых тел, вызываемые Ураном и Нептуном).
В случае пояса Койпера можно ожидать, что результаты будут надежными
в большем диапазоне наклонений, чем в случае главного пояса,
поскольку резонанса Козаи никогда не бывает при малых эксцентриситетах, как
можно убедиться из рис. 8.2. На рис. 8.10 показано получающееся
расположение линейных вековых резонансов. Аккумуляция перегелийных
резонансов приблизительно при 36.5, 39.5 и 47.5 а. е. является артефактом
особенностей вековой нормальной формы из-за присутствия резонансов средних
движений 3/4, 2/3 и 1/2 с Нептуном. Помимо этих сингулярных ситуаций,

8.4. Вековые резонансы
199
в поясе Койпера под сильным влиянием вековых резонансов находятся три
области: область 40-42 а. е. находится под влиянием резонанса д—д% (также
называемого щ), резонансов s — s7 (Уп) и s — s8 (^ιβ); область при ~36 а. е.
пересечена резонансами g — gi (yi) и vyj\ а в области между 36.5 и 39.5 а. е.
два резонанса щ и νι% присутствуют при наклонениях от 10 до 15°. Во
внешней части пояса Койпера (дальше 42 а. е.) линейные вековые
резонансы не проявляются: там у орбит малых тел прецессия медленнее, чем у
орбиты любой из внешних планет, и поэтому можно надеяться найти только
резонансы высоких порядков.
Расположение вековых резонансов в областях между планетами-
гигантами численно определили Кнежевич и др. (1991); соответствующие
графики можно найти в их статье.
8.4.1. Динамика в вековых резонансах
Динамику тел в вековых резонансах можно исследовать
аналитически путем построения резонансной нормальной формы, следуя подходу,
описанному в разделе 2.3.1. Для этой цели наиболее уместным является
подход, основанный на приближении Козаи. В данном разделе мы
сосредоточим внимание на случае вековых резонансов первого порядка, то есть
вековых резонансов, чьи гармоники проявляются в возмущающем члене
первого порядка /C(i).
В качестве отправного возьмем гамильтониан (8.26), который в
подходе Козаи можно записать как
W = ^(^A5fc+5fcAsJ+/C(o)(Ji,J2)+/C(1)(JbJ2,^i,^2,^^^), (8.32)
к
где Ji, ψι, J2, Ψ2 — переменные «действие-угол» для гамильтониана Козаи,
вводимые, как описано в разделе 8.2.3. Подчеркнем следующее: угол ψ2
«близок» к долготе узла h малого тела; угол ψι «близок» к аргументу
перигелия g в случае, когда последний циркулирует; если же последний
либрирует в резонансе Козаи, то ψι характеризует угловое положение
относительно либрационного центра. Частоты углов ψ ι и ψ2 равны ω ι =
= <9/C(0)/<9Ji и ω2 = <9/C(0)/<9J2 соответственно. Благодаря правилам Да-
ламбера возмущение /C(i) должно раскладываться в ряд Фурье вида
/C(i) = Σ [°iAJu J2) cos(ZV>i + Ψ2 - w%) +
к,I
+ ditk(JuJ2) со8(1фг +ψ2- П%)] · (8.33)

200
Глава 8
Если аргумент перигелия циркулирует, то в выражении (8.33)
коэффициенты c^fc с четными / и коэффициенты d^k с нечетными / равны нулю. В этих
переменных гармоника, относящаяся к резонансу g — gt, суть cos(,0i +Ψ2 —
— tu£), а гармоника, относящаяся к резонансу 5 — sk, суть cos (^2 — Щ).
Чтобы зафиксировать обозначения, рассмотрим тело, близкое к
одиночному резонансу с гармоникой cos(^/0i + Ψ2 — wk*)· Случай, когда тело
близко к одиночному резонансу с гармоникой cos(/J)e/0i + Ψ2 — Ω£ ),
тривиально аналогичен. Как показано в разделе 2.3.1, резонансная нормальная
форма первого порядка строится с использованием рядов Ли: новые
переменные J[, ψ[, J2,ip2,A'gk, K'Sk (называемые полусобственными) вводятся
преобразованием вида (2.6) с производящим гамильтонианом χ, который
дается решением уравнения
/C(i) + {/С(0),х} = ch^(Ji J'2) соз(Кф[ +ψ'2- w*km). (8.34)
Тогда
{Kimk.Mlwi^J^+UJ^J^JJ-9k
(8.35)
где нет знаменателей, близких к нулю, в силу предположения, что тело
не находится вблизи какого-либо резонанса, отличного от
рассматриваемого. Отметим, что, поскольку производящий гамильтониан χ не зависит от
Λ^,Λ^, это преобразование не изменяет планетные углы π£ и Щ.
В первом порядке (то есть в пренебрежении членами более высоких
порядков, вводимыми посредством рядов Ли) гамильтониан в новых
переменных сводится к
W = ^(£fcA;fc+sfcA;j + /C(0)(^
к
(8.36)
Поскольку этот гамильтониан не зависит от π^ (к ^ к*) и Щ, сопряженные
действия являются константами движения. Далее, если отбросить
постоянные члены Y^k^k^ Л.'дк и Σΐζ Sk^sk и ввести новые канонические
переменные
S = J'2, σ = Κψ[+ψ2-π^,
C = J[-W2, ψ[, (8.37)
Λ<?** = Kk* + J2> Wk+i

8.4. Вековые резонансы
201
то гамильтониан принимает вид
Η = /С(0)(S, С) -QKS + clmtkm(5, С) cosσ, (8.38)
где отброшен также и постоянный член дк+Адк^. Гамильтониан (8.38)
тривиально интегрируем, так как он зависит только от одного угла. Отметим,
что (8.38) имеет тот же вид, что и (4.2), то есть стандартный вид
интегрируемой нормальной формы одиночного резонанса. Угол σ суть критический
угол рассматриваемого векового резонанса.
На данном этапе рецепт расчета резонансной эволюции тела
концептуально прост. Прежде всего, из исходных переменных «действие-угол»
J = (Ji, J2), ψ = ("01, V^) тела вычисляем полусобственные переменные
«действие-угол» J' = (^ί>^2)> Ψ' = (V,i>V,2)» итеративно решая неявные
уравнения J = J' + {3\x(J'^')}9 Ψ = ψ' + {ψ\χ(3\ψ')} (где χ
задано формулой (8.35)), аналогично тому, как это делается в случае
уравнений (8.31) для вычисления собственных переменных «действие-угол»
нерезонансных астероидов. Затем, используя (8.37), вычисляем значения
Sb,&b,Cb переменных 5, σ и С тела. Они используются в качестве
начальных условий для вычисления эволюции в соответствии с интегрируемым
гамильтонианом (8.38). Чтобы получить глобальную картину резонансной
динамики на плоскости 5, σ (где тело эволюционирует), можно просто на
поверхности С = Съ построить кривые уровня (8.38). На этой
диаграмме эволюция тела описывается кривой уровня, проходящей через точку
Sb,ab. В приложениях на практике часто предпочитают представлять
динамику в переменных более наглядных, чем действия 5 и С С этой
целью для всех значений 5 и С, обращая (8.37), вычисляют полусобственные
действия J{, J2. Затем путем, аналогичным применявшемуся для
нахождения собственных эксцентриситета и наклонения из собственных действий,
определяют полусобственные эксцентриситет и наклонение. А именно,
полагают, что действия J\ и Η в гамильтониане Козаи равны значениям
полусобственных действий J[,J'2> отождествляя, таким образом, конкретный
цикл эксцентриситета и наклонения в функции аргумента перигелия д\
затем полусобственные эксцентриситет и наклонение можно определить как
значения е и г на цикле при д = 0. Разумеется, эволюция полусобственных
эксцентриситета и наклонения представляет собой всего лишь «скелет»
реальной эволюции тела: е и г орбиты тела осциллируют относительно
полусобственных эксцентриситета и наклонения из-за влияния динамики Козаи
и всех нерезонансных членов в /С(Х), которые были усреднены при
построении резонансной нормальной формы.

202
Глава 8
Хотя описанная процедура в принципе проста, ее трудно реализовать
технически. Накаи и Киношита (1985) и Иошикава (1987), которые
первыми исследовали динамику в вековых резонансах z^e и щ, ввели поэтому
ряд упрощений. Во-первых, вместо введения переменных Арнольда
«действие-угол» для гамильтониана Козаи (как описано в разделе 8.2.3) они
просто осреднили /C(o)(G, Я, д) по аргументу перигелия д. В терминах
данного раздела это эквивалентно сведению преобразования (8.23) к
тождеству Ji = G, что является приемлемой аппроксимацией только при малых
эксцентриситетах и наклонениях, когда циклы гамильтониана Козаи в
полярных координатах G, д близки к окружностям. Во-вторых, они
вычислили среднее от /С^ по всем нерезонансным гармоникам, не определяя
производящий гамильтониан χ, и отождествили полусобственные действия
J{, J2 с Ji, J2, то есть с действиями Делоне G, Н. Данное приближение
было мотивировано тем, что цель авторов состояла не в вычислении вековой
эволюции конкретных астероидов, а в исследовании общих динамических
свойств резонансов z^e и щ. В-третьих, Иошикава (1987) разложил
вековую нормальную форму в степенной ряд по эксцентриситету и наклонению
астероида до четвертого порядка. Мы не будем останавливаться здесь на
результатах, полученных Накаи и Киношитой (1985) и Иошикавой (1987);
с ними можно непосредственно ознакомиться в оригинальных статьях.
Отметим, что эти результаты имеют приемлемую точность только при малых
и умеренных эксцентриситетах и наклонениях. В некоторых случаях
могут возникать и качественные отличия от реальной динамики: например,
в теории Иошикавы при большом наклонении либрационный центр
резонанса щ оказывается сдвинутым на 180° относительно истинного
положения (см. осуждение в работе Морбиделли и Анрара, 19916).
Аппроксимации, предложенные Накаи и Киношитой (1985) и
Иошикавой (1987), хороши тем, что они демонстрируют общее свойство
вековых резонансов, которое иначе не проявляется явно в формализме
переменных «действие-угол», рассмотренном в этом разделе. Отождествляя J[, J'2
с G, Я, для перигелийных вековых резонансов вида д — д^ = 0 (что
соответствует I* = 1) из (8.37) получаем S=HnC=G— Я, а для узловых
резонансов вида s — Sk = 0 (что соответствует I* = 0, с заменой π%. на Ω£)
получаем S = Я, С = G. С учетом того, что G — Я ~ г2, а большая полуось
и С — константы, это означает, что перигелийные резонансы сохраняют
наклонение постоянным и вызывают изменения эксцентриситета, а узловые
резонансы сохраняют е постоянным и вызывают эволюцию наклонения.
Разумеется, это имеет место, только если отождествление J[ = G, J2 = Я

8.4. Вековые резонансы
203
является хорошей аппроксимацией, то есть при малых эксцентриситетах
и наклонениях.
Астероид: 945
-0.4
0.4
*2 0[
(945) Барселона
-0.4
-0.4 0 yJ 0.4
(945) Барселона
Рис. 8.11. Слева: динамический портрет векового резонанса v5i построенный для
значений полусобственных действий астероида 945 Барселона. Черной точкой
указано современное положение астероида; определение координат см. в тексте.
Справа: будущая (вверху) и прошлая (внизу) эволюция астероида согласно Шоллу и Фре-
шле (1990). Обсуждение см. в тексте. (Рис. 1 из статьи Морбиделли, 1993а; с
разрешения Academic Press)
Рассмотренный в данном разделе подход был предложен и применен
без каких-либо упрощений Морбиделли (1993а). На рис. 8.11 дан пример
астероида 945 Барселона в резонансе v§ (большая полуось равна 2.64 а. е.).
На левой панели показана глобальная картина динамики на поверхности
С = Съ, где Съ — значение С для Барселоны. Динамика показана в
координатах χ = eSpCOsa5, у = espsina5, где esp — полусобственный
эксцентриситет, а σ5 — критический резонансный угол, а именно σ^ = ψ[ +
+ Ф'2 - vd% (в обозначениях (8.37)). Черной точкой указано современное
положение Барселоны. Как видим, картина резонансной динамики весьма
схожа с фазовым портретом маятника в полярных координатах, показан-

204
Глава 8
ным на рис. 4.16. В частности, имеется точка устойчивого равновесия при
σ$ = 0, окруженная бананоподобными кривыми, представляющими
либрации в полярных координатах. Согласно диаграмме и современному
положению Барселоны на ней, можно ожидать, что астероид либрирует около
σ$ = 0, причем его полусобственный эксцентриситет изменяется в
приблизительных пределах от 0.15 до 0.2. Поучительно сравнить этот
теоретический прогноз с результатами численного интегрирования, например
полученными Шоллом и Фрешле (1990); их результаты приведены на двух
панелях справа на рис. 8.11. Верхняя и нижняя панели представляют
результаты интегрирования вперед и назад по времени соответственно; в обоих
случаях интервал времени равен одному миллиону лет. Координаты суть
*f = [2(1 - x/l-e2)]1/2^^ - wj) ~ ecos(w - wj) и 4>J2 = [2(1 -
— y/l — e2)]1/2 sin(w — &j) ~ e sin(w — &j), где e, w, wj — оскулирующие
эксцентриситет и долгота перигелия астероида и долгота перигелия
Юпитера соответственно. Данные численного интегрирования вперед и назад
представляют собой бананоподобные «полосы», которые, по существу,
образованы «эпициклическим» движением, наложенным на почти
полукруговую дугу эволюции. Эти «эпициклы» обусловлены прецессией
аргумента перигелия д, то есть динамикой Козаи. Полусобственный
эксцентриситет esp, используемый для представления движения в вековом резонансе на
левой панели, соответствует значению е при д = 0, то есть
минимальному значению эксцентриситета на каждом «эпицикле». Поэтому ожидаемую
эволюцию Барселоны на плоскости esp, σ$ следует сопоставлять с
внутренним краем «полос», полученных в результате численного интегрирования
на плоскости Φ/, Φ 2 · Тогда мы видим, что результат интегрирования
вперед и результат интегрирования назад — каждый соответствует примерно
половине либрационного цикла в резонансе щ и что Барселона пересекает
ось Фз = 0 при esp « 0.15 и esp « 0.2 в ходе интегрирования вперед и
назад соответственно. Это очень хорошо согласуется с результатом,
полученным путем вычисления нормальной формы векового резонанса. Отметим,
что по данным численного моделирования полная вариация оскулирующе-
го эксцентриситета составляет от 0.15 до 0.4, и в основном она обязана
динамике Козаи, а не резонансной динамике уъ. В реальности
амплитуда вариации эксцентриситета, вызываемой вековым резонансом 1/5 > обычно
довольно мала (~ 0.05 в данном случае), так как для больших полуосей
в диапазоне, соответствующем поясу астероидов, мал коэффициент
гармоники cos^i+V^-^)1 он обращается в нуль и меняет знак при наклонении
~ 30°, что близко к положению резонанса иъ (см. Морбиделли и Анрар,

8.4. Вековые резонансы
205
19916). Общий дефицит астероидов в резонансе v$, следовательно, в
большей степени обусловлен динамикой Козаи (ответственной за общий эффект
истощения пояса астероидов при высоких наклонениях благодаря накачке
эксцентриситета до значений, соответствующих пересечениям орбит
планет), а не самим резонансом иъ.
Рис. 8.12. Динамический портрет векового резонанса v\% внутри резонанса
Козаи, построенный для значений полусобственных действий астероида 2335 Джеймс.
Черной точкой указано современное положение астероида; определение координат
см. в тексте. (Рис. 5 из статьи Морбиделли, 1993а; с разрешения Academic Press)
Пертурбационный подход, рассмотренный в данном разделе,
применим также и к изучению динамики вековых резонансов внутри
резонанса Козаи, то есть к орбитам с либрирующим аргументом перигелия. На
рис. 8.12 дан пример астероида 2335 Джеймс (α ~ 2.12 а. е.),
находящегося в резонансе v\§ внутри резонанса Козаи. Динамика векового резонанса
представлена здесь в полярных координатах: радиальной координатой
служит полусобственное наклонение г8р, которое здесь определяется как
минимальное значение, принимаемое наклонением за либрационный цикл
Козаи; оно соответствует одному из двух пересечений цикла с осью д = 90°;

206
Глава 8
угловой координатой служит критический угол резонанса z^e, сдвинутый
на 180°, а именно σΐ6 = ψ2 ~ ^6 +π (Фаза π добавлена здесь, чтобы σ\§ был
близок к разности Ω — Qj оскулирующих долгот узлов астероида и
Юпитера; см. формулу (7.10) и таблицу 7.3). Черной точкой на рис. 8.12
указано современное положение астероида в этих координатах. Кривые уровня
нормальной формы векового резонанса (8.38) построены только в
области либрации аргумента перигелия; при пересечении сепаратрисы Козаи
они обрезаются. Как видно из графика, астероид Джеймс либрирует около
σχ6 = 0, при этом его полусобственное наклонение изменяется
приблизительно в пределах от 37° до 42°. Его либрационная кривая пересекает
сепаратрису Козаи при г8р ~ 37°, σ^ = 0; так что астероид может выходить из
резонанса Козаи, при этом его аргумент перигелия начинает циркулировать.
Как видно из рис. 8.9, резонанс ν\§ присутствует в поясе астероидов
также и вне резонанса Козаи. Там его амплитуда много больше, чем внутри
резонанса Козаи: как впервые было показано Накаи и Киношитой (1985),
она может превышать 15°. Кроме того, устойчивый либрационный центр
резонанса ζ/χ6 находится при σχ6 = 180°, то есть он сдвинут на 180° в
сравнении со случаем резонанса Козаи на рис. 8.12. Отсутствие астероидов
в области между группами Унгарии и Фокеи (см. рис. 2) можно объяснить
наличием резонанса ν\§. Фактически астероиды в этой области
испытывали бы осцилляции наклонений, достаточно большие по амплитуде, что
приводило бы к воздействию на них либо резонанса щ (при низких
наклонениях), либо резонансов vb и Козаи (при высоких наклонениях), и это
воздействие увеличивало бы их эксцентриситеты до значений, достаточных
по меньшей мере для пересечений с орбитой Марса.
Согласно результатам численного интегрирования (Фрешле и др.,
1991), на длительных шкалах времени астероид 2335 Джеймс
демонстрирует замечательное хаотическое поведение. Попеременно он то входит в
резонанс Козаи, то покидает его. Когда он вне резонанса Козаи, он
одновременно находится в двух вековых резонансах v$ и ν\§, причем σΐ6
либрирует около 180°; когда же он внутри резонанса Козаи, он вне резонанса ν§
(напомним, что этот резонанс невозможен для орбит с либрирующим
аргументом перигелия), но продолжает быть внутри резонанса ζ^6, причем
σι ρ либрирует около 0°. Прохождения через сепаратрису Козаи
спорадически вызываются сильными осцилляциями наклонения из-за резонанса νγ§.
Любопытно, что астероид, солирующий в этом танце в вековых
резонансах, назван в честь Джеймса Уильямса — пионера-исследователя вековой
динамики астероидов.

8.4. Вековые резонансы
207
Описанную в данном разделе пертурбационную схему использовал
также Мишель (1997) для изучения динамики в вековых резонансах с
частотами планет земной группы во внутренней Солнечной системе (а < 2 а. е.).
Поскольку резонансы z/3 и щ (так же как и резонансы У\% и гуы) могут
перекрываться, нормальную форму вековых резонансов Мишель вычислил,
удержав в ней гармоники, относящиеся к обоим резонансам. Затем, чтобы
оценить протяженность хаотической зоны, он построил сечение Пуанкаре
результирующего неинтегрируемого гамильтониана. Он выяснил, что пери-
гелийные резонансы могут легко трансформировать орбиты тел из
исходно круговых в пересекающиеся с орбитами больших планет, и наоборот,
а узловые резонансы могут вызывать изменения до 10° в наклонении. Оба
эти явления важны для понимания эволюции и современного орбитального
распределения астероидов, сближающихся с Землей.
Что касается пояса Койпера, амплитуды вековых резонансов v-j, z/8, ν\Ί
и ι^ΐ8 были вычислены Морбиделли и др. (1995а) в упрощенных моделях,
аналогичных моделям Иошикавы и Накаи и Киношиты. Их результаты
согласуются с результатами расчетов эволюции и показывают, что тела на
исходно плоских и круговых орбитах с большими полуосями 35-36 а. е.
и 40-42 а. е. вынуждаются пересекать орбиту Нептуна на временной шкале
~ 107 лет. Такое поведение впервые обнаружили Хольман и Уиздом (1993)
путем численного интегрирования.
8.4.2. Аномальный случай резонанса i/q
Обсудим теперь отдельно резонанс щ, который благодаря своим
динамическим свойствам является важнейшим вековым резонансом в поясе
астероидов.
Начиная с работы Фрешле и Шолла (1986) численное моделирование
движения реальных и модельных астероидов показало, что резонанс щ,
в отличие от всех других перигелийных резонансов, способен «накачивать»
эксцентриситеты резонансных тел до значений, превышающих ~ 0.8. Фа-
ринелла и др. (1994) впервые показали, что у некоторых тел в резонансе щ
эксцентриситет увеличивается до единицы. В таких случаях перигелийное
расстояние уменьшается до нуля, так что астероиды падают на Солнце. На
рис. 8.13 показан пример такого феномена; интересно, что эксцентриситет
тела увеличивается от 0 до 1 очевидно регулярным образом на шкале
времени порядка 1 млн лет. Благодаря большим эксцентриситетам, достигаемым
в резонансе щ, тела начинают пересекать орбиты планет либо становятся

208
Глава 8
сангрейзерами. Это объясняет, почему положение резонанса соответствует
области, почти полностью свободной от астероидов.
1992 SZ
360°
270°
180°
90°
0°
0.8
0.6
0.4
0.2
0
l!fiW:?7'?:tf£^!
**<;;·ί
Γ-Ι'^ίϊί';'И'ί ?»·"'.:■ 'ι
Μ·'1 "/
+
эксцентриситет
У^^'%,
-10° 0 ΙΟ6 2 χ ΙΟ6
время, в годах
Рис. 8.13. Эволюция астероида 1992 SZ в резонансе щ по результатам численного
интегрирования полных уравнений движения. (Рис. 1 из статьи Фаринеллы и др.,
1994; с разрешения Nature, Macmillan Magazines Limited)
Резонанс щ столь сильно влияет на эксцентриситет из-за своей
необычной динамической структуры, которая отличается от типичных
маятниковых моделей (4.4), справедливых для большинства других резо-
нансов.
Причину этого различия можно понять на качественном уровне из вида
графика на верхней панели рис. 8.14, где показаны положения резонанса щ
на плоскости (а,е) при различных наклонениях; впервые эти положения
рассчитали Уильяме и Фолкнер (1981). Бросается в глаза, что по крайней
мере во внутренней части пояса астероидов (а < 2.5 а. е.) положение
резонанса щ описывается почти вертикальными линиями; при этом для
заданных значений наклонения и большой полуоси резонанс имеет место
при всех значениях эксцентриситета. Такая ситуация совершенно
необычна; для сравнения на нижней панели рис. 8.14 показан аналогичный график

8.4. Вековые резонансы
209
0.3,
0.2L
O.ll·
' " ' ' ' Ιϋί
г
I1
oil
1. ... ι Hi
jio
Vi Щ
1 \\
i \\20 -
!15 \\
Рис. 8.14. Вверху: кривые положений резонанса щ по собственным большой
полуоси и эксцентриситету, маркированные соответствующими им значениями
собственного наклонения. Внизу: то же, но для резонанса ι/5· Сплошными кривыми
показаны результаты первых расчетов Уильямса и Фолкнера (1981). Прерывистые
кривые построены с использованием более точных значений планетных
собственных частот 06 и 05- (Рис. 5 и 6 из статьи Морбиделли и Анрара, 1991а; с разрешения
Kluwer Academic Publishers)

210
Глава 8
для резонанса уъ. Напомним, что перигелийные вековые резонансы
накачивают эксцентриситет, сохраняя наклонение приблизительно постоянным;
поэтому тело, эволюционирующее в резонансе щ и чей эксцентриситет из-
за воздействия резонанса растет, никогда не покинет точного резонансного
положения, так что эксцентриситет может расти неограниченно.
С математической точки зрения эта ситуация является следствием
потери свойства выпуклости резонансной нормальной формой
гамильтониана (8.38). В главе 6 мы уже обсуждали в контексте теории Нехорошева роль
этого свойства для ограничения резонансных движений. Говоря конкретно,
невыпуклая резонансная нормальная форма — это гамильтониан вида (4.2)
такой, что коэффициент β в его локальном разложении (4.3) равен нулю.
Это означает, что частота резонансного угла равна нулю при любом
значении сопряженного ему действия (соответственно ψ\ иД в (4.3)). Это как
раз и происходит в случае резонанса щ, где (при соответствующих
значениях большой полуоси и наклонения) частота резонансного угла σ§ = φι +
+ ψ2 — Wq равна нулю при любом эксцентриситете, то есть при любом
сопряженном действии 5, о чем говорят вертикальные линии на верхней
панели рис. 8.14. Поскольку β = 0, в аппроксимации, задаваемой локальным
разложением (4.3), действие Д может уйти на бесконечность для
большинства начальных условий (что легко видеть из построения кривых уровня
гамильтониана (4.4)). Однако если Д увеличивается слишком сильно, то
локальное разложение (4.3) перестает быть хорошей аппроксимацией для
реального движения, что критически зависит от функционального вида Но
и коэффициента резонансной гармоники в полной нормальной форме (4.2)
при больших Д. Другими словами, у невыпуклых резонансных нормальных
форм нет единого общего динамического портрета в отличие от выпуклых
нормальных форм, которые все описывают маятникоподобное движение.
Поэтому первые требуют изучения в каждом отдельном случае.
На рис. 8.15 дан пример динамической структуры резонанса щ. На
четырех панелях показаны кривые уровня нормальной формы векового
резонанса (8.38) для различных значений константы движения С. Координаты
χ = espcosaQ, у = espsina6 аналогичны использованным на рис. 8.11 для
резонанса уъ. Графики ограничены областью esp ^ 0.65 из-за технических
трудностей точного расчета нормальной формы векового резонанса при
больших значениях полусобственного эксцентриситета. Панель (б)
построена для значения С, соответствующего фиктивному астероиду со средними
элементами орбиты а = 2.3488 а.е, е = 0.1802, г = 15.105°, ω = 242.81°,
Ω = 138.750°. Черной точкой указано его современное положение в коор-

8.4. Вековые резонансы
211
χ χ
Рис. 8.15. Динамические портреты резонанса i/q при а ~ 2.35 а. е. и различных
наклонениях. См. объяснение в тексте. (Рис. 12 из статьи Морбиделли, 1993а; с
разрешения Academic Press)
динатах ж, у. Из вида кривых уровня можно ожидать, что
полусобственный эксцентриситет этого астероида будет осциллировать приблизительно
между 0 и 0.5, а его резонансный угол σρ — около 180°. Этот прогноз
поведения подтверждается численным моделированием с использованием
полных уравнений движения (см. Морбиделли, 1993а). Из графика следует
присутствие точки неустойчивого равновесия (при χ ~ —0.6, у = 0) и
сепаратрисы, окружающей замкнутые циклы с центром в точке устойчивого
равновесия (при χ ~ —0.27, у = 0). Снаружи сепаратрисы кривые уровня
разомкнуты: любое начальное условие в этой области приводит к
полусобственному эксцентриситету, превышающему 0.65. Судя по виду кривых

212
Глава 8
уровня, логично ожидать, что эксцентриситет может увеличиваться и до
значений много больше 0.65, достигая, возможно, порога е = 1. Эволюция
эксцентриситета, показанная на рис. 8.13, соответствует диаграмме типа
рис. 8.156 для тела, которое вначале эволюционирует на замкнутом цикле
вблизи сепаратрисы (так что его эксцентриситет достигает первого
максимального значения ~ 0.4), а затем пересекает сепаратрису, переходя на
разомкнутую кривую уровня, так что его эксцентриситет сначала
уменьшается до нуля, а затем увеличивается до единицы. Поведение резонансного
угла (см. верхнюю панель рис. 8.13) подтверждает эту интерпретацию4. Не
следует удивляться тому, что тело переходит от одной кривой уровня к
другой, пересекая сепаратрису. Напомним (см. главу 4), что нормальная форма
одиночного резонанса, так как она интегрируема, имеет хорошо
определенную сепаратрису; но остаток нормальной формы в общем случае разрушает
интегрируемость и расщепляет сепаратрису, создавая таким образом узкую
хаотическую зону. Орбита в этой хаотической зоне не следуют в
точности кривой уровня резонансной нормальной формы и может переходить из
области колебаний в область циркуляции и наоборот.
Рис. 8.15в построен для значения С, соответствующего тому же
астероиду, что и на панели (б), но с наклонением, увеличенным до 15.6°. Точки
устойчивого и неустойчивого равновесий, характерные для динамики на
панели (б), здесь исчезли, и все кривые уровня разомкнуты. Это означает,
что, независимо от выбора начальных условий на этой панели,
эксцентриситет накачивается резонансом до значений много больше 0.65. Наконец,
панели (а) и (г) демонстрируют резонансные портреты для значений С,
отвечающих наклонениям орбиты астероида г = 14.1° и г = 17.1°, при
которых астероид находится соответственно существенно ниже/выше
точного положения векового резонанса. Для динамики здесь характерно
наличие только одной точки устойчивого равновесия, смещенной от центра
диаграммы χ = 0, у = 0. Все орбиты следуют циклам вокруг устойчивого
равновесия, при этом полусобственный эксцентриситет осциллирует,
периодически принимая минимальное и максимальное значения. На
большинстве циклов резонансный угол σ§ циркулирует, принимая значения на всем
интервале [0°, 360°]; причем на панели (а) его производная по времени
положительна, а на панели (г) — отрицательна: для орбит ниже/выше резонан-
43аметим, что на рис. 8.13 показан угол ш — τσς вместо σβ, где шд — долгота перигелия
Сатурна. Угол τσ — τσς сильно осциллирует около σβ на временной шкале ~5х 104 лет, так
как τσ$ = zuq + /(τσ£), где / — функция от всех планетных вековых перигелийных частот
(см. формулу 7.10). — Прим. авт.

8.4. Вековые резонансы
213
ч 1 ' I "' Ί''Ί"' Г1'' I ' I ' I ' I ' Ί ' I ■ I ' I ■ U
(б) ,;-Мч, ]
-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 -0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
χ χ
Рис. 8.16. Слева: динамический портрет резонанса щ для тела с теми же
элементами орбиты, что и у астероида 6 Гебы, кроме наклонения, увеличенного до 18.7°.
Координаты по осям: χ = espcosa6, У = espsina6· Черной точкой указано
современное положение тела. Справа: эволюция того же тела, полученная численным
интегрированием полных уравнений движения. Координаты по осям: χ = ecos(ct7 —
— С7б)» У — esin(ci7 — G7e)» гДе е и ш — оскулирующие эксцентриситет и долгота
перигелия тела. (Рис. 11 из статьи Морбиделли, 1993а; с разрешения Academic Press)
са щ частота долготы перигелия астероида соответственно больше/меньше
планетной вековой частоты д^. Если наклонение астероида уменьшать
ниже значения, отвечающего панели (а), или же увеличивать выше значения,
отвечающего панели (г), то есть в обоих случаях смещать дальше от
резонанса, то динамические портреты существенно не изменятся по сравнению
с показанными на этих панелях. Всегда будет присутствовать точка
устойчивого равновесия, немного смещенная от е = 0. В этом легко убедиться,
если принять во внимание в линейных уравнениях движения (8.6) только
возмущающие члены с к = 6.
Диаграммы на рис. 8.15 нельзя считать типичными для резонанса щ
при любых значениях большой полуоси. Благодаря невыпуклости
нормальной формы фазовый портрет резонанса может критически зависеть от
большой полуоси. В качестве примера на рис. 8.16 показаны кривые уровня
нормальной формы векового резонанса для астероида со средними
элементами а = 2.43, е = 0.20, г = 18.7°, ω = 239°, Ω = 139°. Как видим,
эта диаграмма сильно отличается от любой на рис. 8.15. Это не является
артефактом вычисления нормальной формы векового резонанса.
Фактически на правой панели рис. 8.16 показана эволюция астероида, полученная

214
Глава 8
в осциллирующих координатах путем численного интегрирования полных
уравнений движения, и эта эволюция хорошо соответствует кривой уровня,
проходящей через современное положение тела в полусобственных
координатах. Как уже обсуждалось выше на примере астероида Барселона, кривая
уровня нормальной формы векового резонанса вычерчивает лишь «скелет»
реальной вековой динамики: эволюция в оскулирующих координатах
колеблется около ведущей кривой уровня благодаря присутствию всех тех
нерезонансных гармоник, которые были усреднены при построении
нормальной формы векового резонанса.

Глава 9
Резонансы средних движений
9.1. Простое интегрируемое приближение
Эта глава — первая из посвященных резонансам средних движений.
Резонансы средних движений составляют один из наиболее сложных аспектов
динамики Солнечной системы. Они отличаются от стандартных резонан-
сов, описанных в главе 4, поскольку динамика Солнечной системы является
вырожденной, то есть она характеризуется наличием как быстрых угловых
переменных, связанных с орбитальными движениями тел, так и медленных,
обусловленных прецессионными движениями их орбит. В анализе вековой
динамики в главах 7 и 8 вырождение устранялось осреднением по всем
быстрым углам. В случае резонансов средних движений такое осреднение
согласно разделу 2.5 невозможно из-за наличия резонансной связи.
Поэтому нам придется в полной мере бороться с вырождением.
В этой главе мы изучаем структуру резонансов средних движений двух
тел. Мы сосредоточимся на случае резонанса астероида с планетой, потому
что двухтельных резонансов планеты с планетой в Солнечной системе не
выявлено. В следующей главе мы исследуем резонансы средних движений
нескольких тел, а в главе 11, в завершение темы, изучим вековую динамику
внутри резонансов средних движений низкого порядка.
Резонанс средних движений (часто называемый также
соизмеримостью) между астероидом и J-ой планетой имеет место, если кп — kjUj ~ О,
где к и kj — положительные целые числа, щ — среднее движение J-ой
планеты, η = 1/Λ3 — среднее движение астероида. Отправным пунктом
для изучения резонанса средних движений служит нормальная форма,
рассмотренная в разделе 2.5.2. Нормальная форма гамильтониана резонанса
средних движений имеет вид
Wmmr = Wo (Λ, Aj) + εΉι(Λ, Ρ, Q,p, q, kjXj - fcA, e,, tUj, 2j, Ω^·). (9.1)

216
Глава 9
В сравнении с (2.45) для упрощения записи здесь члены нормальной
формы высоких порядков по ε включены в εΗ\, а также при записи
пропущены все верхние индексы, обозначающие, что появляющиеся в нормальной
форме переменные являются полусредними модифицированными
переменными Делоне. С другой стороны, мы подчеркнули, что нормальная форма
гамильтониана зависит от средних эксцентриситетов, перигелиев,
наклонений и узлов всех планет (ej,Wj,ij,Qj с j = 1,..., Ν). В сравнении с
вековой нормальной формой (8.1) Ниык зависит также от средних долгот
астероида и J-ой планеты (λ, Xj), так что Λ и Aj не являются постоянными
и главный член
H0(A,Aj) = -^+n}Aj (9.2)
отбросить нельзя.
Чтобы исследовать динамику (9.1), разложим Hi в ряд по степеням
планетных эксцентриситетов и наклонений, как в разделе 8.2, и
рассмотрим пока только ведущий член Н\ этого разложения, не зависящий от е3-
и ij. Согласно правилам Даламбера (см. раздел 1.9.3), его фурье-разложение
имеет вид
Ηι = Σ cm,s,r(A, P, Q) exp [i{m{kjX3 - kX) + sp + rq)]y (9.3)
m,s,T·
где га, г, s — целые числа, такие, что m(kj — k) — s — г = 0. Гамильтониан
Но + ε7ί\ неинтегрируем, поскольку (9.3) содержит две независимые
комбинации разных углов в противоположность тому, что имело место в
вековой задаче (где k = kj = 0). Отметим, однако, что правила Даламбера
также подразумевают, что при малых наклонениях г астероида
коэффициенты ст)5)Г пропорциональны Qr/2, где Q ~ г2/2. Поэтому если мы
ограничимся плоским случаем г = 0, то гармоники сг/Ов (9.3) будут иметь
нулевые коэффициенты, так что гамильтониан Но + εΗ\ будет интегрируем
как зависящий только от угла kjXj — kX-\- (к3 — к)р и его кратных. Поэтому
рассмотрим гамильтониан
НРС = Ио(А, Aj) + ε«?(Λ, Ρ, к-3Х-э -кХ + {к-3 - к)р; Q = 0) (9.4)
в качестве интегрируемой аппроксимации резонансной нормальной
формы (9.1). Заметим, что Нрс фактически суть гамильтониан резонанса
средних движений в нормальной форме в рамках так называемой плоской
круговой ограниченной задачи, в которой предполагается, что астероид и планеты

9.1. Простое интегрируемое приближение
217
движутся в одной плоскости и орбиты планет круговые. Плоская круговая
ограниченная задача, как мы убедимся в этой и последующих главах, —
довольно грубое приближение реальной динамики, однако она является
подходящим интегрируемым приближением для развития пертурбационного
анализа реальной динамики в резонансах средних движений.
Правила Даламбера также гарантируют, что при малом
эксцентриситете е астероида коэффициент ведущей гармоники exp i[kjXj — кХ + (kj — к)р]
пропорционален pl%-fcl/2? причем Ρ ~ е2/2. Поэтому резонансы средних
движений вида кп — kjUj = О имеют ведущие гармоники, чьи
коэффициенты экспоненциально убывают с \kj — k\. По этой причине астрономы
называют \kj — к\ порядком резонанса. Его не следует путать с порядком
гармоники в определении, принятом в математике (он связан с общим убыванием
коэффициентов в рядах Фурье) и которого мы придерживаемся и в нашей
книге. Последний в данном случае был бы равен k + kj. Чтобы устранить
двусмысленность, в дальнейшем мы будем называть величину \kj — k\
порядком резонанса по эксцентриситету. В действительности и
астрономическое и математическое определения оба правильны в своей мотивации,
поскольку коэффициенты ведущих гармоник резонансов средних движений
убывают пропорционально exp (—\kj — k\) exp [—(k + kj)].
Чтобы исследовать динамику гамильтониана (9.4), а затем и его
возмущение (9.1), прежде всего введем следующий набор канонических
переменных «действие-угол»:
s = p σ = kjXj -kX + {kj - к)р
гСт /С
__ Κη АС . __ _ ΚηΛη "Τ" fb Л
N = ^-r-A + P + Q, ν = I3 ,
_ fejAj - кХ + (fej - k)q
z ~ ^' z~ I I '
(9.5)
k-
Используя критерий «скобок Пуассона» (см. раздел 1.6), легко проверить,
что данное преобразование является каноническим. Угол σ называется
критическим углом резонанса средних движений. Глубокая причина, по
которой мы не определяем σ просто как kjXj — kX + (kj — k)p, состоит в том,
что коэффициенты резонансных гармоник exp im[kjXj — kX-\- (kj — k)p] при
малых S пропорциональны 5mlfc"fcl/2 ~ em\kj-k\^ рсли σ определяется как

218
Глава 9
в (9.5), то резонансные гармоники суть ехр ь[т(Щ—к)а]. Как следствие,
гамильтониан обладает свойством, аналогичным задаваемому четвертым
правилом Даламбера (см. раздел 1.9.3). Это свойство позволяет ввести
канонические декартовы переменные χ = y/2Ssina, у = \/25cosa, чтобы
устранить особенность при 5 = е = 0. К тому же гамильтониан периодичен по
σ с периодом 2п/\Щ — к\.
3.2 3.4
а, а. е.
Рис. 9.1. Кривые уровня N согласно формулам (9.5) для резонанса 2/1 с Юпитером
(панель (а)) и для резонанса 1/2 с Нептуном (панель (б)). Значения N возрастают
слева направо на панели (а) и справа налево на панели (б). Вертикальными
прерывистыми линиями отмечены невозмущенные положения этих резонансов.
Отметим, что преобразование (9.5) сингулярно при kj = к, то есть
в случае резонанса 1:1, имеющего место, когда астероиды находятся на
одной орбите с планетой (подобно астероидам-троянцам). Поэтому для
анализа резонанса 1:1 требуется специальный формализм, который мы
рассмотрим в разделе 9.1.2.
В новых переменных гамильтониан (9.4) принимает вид
Прс = Wo(Aj, TV, 5, Sz) + ε«?(5, (% - k)a, Ν, Sz),
где согласно (9.2)
Ήο = —
(*j-*os
2fc2(7V - S - Sz)2
+ щ
A'--k
/Co
к
(N-S- Sz)
(9.6)
(9.7)
Тогда очевидно, что Aj, N и Sz — константы движения для Hpc- Таким
образом, в (9.6) член rijAj можно отбросить. Напомним, что Sz (то есть Q)

9.1. Простое интегрируемое приближение
219
был положен равным нулю, чтобы получить гамильтониан плоской
задачи; так что интересующая нас часть динамики касается только
переменных 5 и σ и параметрически зависит от значения N. Поэтому
динамическую структуру резонанса можно представлять, строя кривые уровня
гамильтониана (9.6) на плоскости 5, σ для различных значений N.
Здесь полезно иметь в виду соотношение между действиями 5, N и
орбитальными элементами а, е. Соотношение N = const определяет кривую
на плоскости «большая полуось - эксцентриситет». На рис. 9.1 такие
кривые показаны для случая внутренних резонансов (kj > fc; левая панель)
и для случая внешних резонансов {kj < к; правая панель). Поэтому
движение 5 на кривой N = const производит связанные колебания α и е. В
невозмущенной задаче (ε = 0) точный резонанс имеет место при значениях 5
таких, что σ = dHo/dS = 0, а именно при
На рис. 9.1 невозмущенное положение резонанса отмечено вертикальной
прерывистой линией.
Динамический портрет резонанса средних движения первого порядка
по эксцентриситету (\kj — к\ = 1) давно известен из вычислений
(Пуанкаре, 1902а, 19026; Мэсседж, 1966; Шубарт, 1964, 1968; Анрар и Леметр,
1983). На рис. 9.2 показано, как типичный динамический портрет
резонанса с kj = к +1 изменяется в зависимости от N. Если N достаточно мало, то
соответствующая ему кривая N = const на рис. 9.1 не пересекает линию,
которой отмечено невозмущенное положение резонанса. Результирующая
динамика на плоскости 5, σ (рис. 9.2) имеет только одну точку устойчивого
равновесия при σ = 0 вблизи начала координат 5 = 0 (расстояние от центра
уменьшается с Ν); никаких точек неустойчивого равновесия и сепаратрис
не наблюдается (верхние панели). Ситуация меняется, когда N становится
равным пороговому значению 7V* (средняя панель слева). Одна из кривых
уровня имеет угловую точку при σ = π; поскольку динамика регулярна
(в уравнениях движения нет особенностей), эта угловая точка должна быть
точкой неустойчивого равновесия, а кривая уровня, проходящая через эту
точку, суть сепаратриса, соединяющая точку неустойчивого равновесия
саму с собой (см. главу 4). При Ν > Ν* динамический портрет снова
меняется (средняя панель справа). Появляется третья точка равновесия, также
при σ = π, но теперь она устойчивая, а сепаратриса, исходящая из этой

220
Глава 9
Рис. 9.2. Фазовые портреты внутреннего резонанса первого порядка по
эксцентриситету для различных значений N. Координаты по горизонтальной и вертикальной
осям суть V2S cos σ ~ ecosa и V2S sin σ ~ esina соответственно. Комментарии
см. в тексте. (Рис. 6 и 7 из статьи Анрара и Леметр, 1983; с разрешения Kluwer
Academic Publishers)

9.1. Простое интегрируемое приближение
221
Рис. 9.3. Отличие резонансных областей от областей либрации в случае резонансов
первого порядка по эксцентриситету для двух значений N. Заштрихованы чисто
резонансные области на верхних панелях, а также резонансные и нерезонансные
области либрации на нижних. Определения областей см. в тексте. (Рис. 2 и 3 из
статьи Анрара и Леметр, 1983; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
неустойчивой точки, имеет две петли. Это типичный портрет резонанса
в случае, когда переменные «действие-угол» используются как полярные
координаты (см. рис. 4.1). С увеличением N выше порогового значения 7V*
устойчивое равновесие при σ = 0 и неустойчивое равновесие смещаются
к большим 5, а устойчивое равновесие при σ = π приближается к центру
5 = 0 (нижние панели). Как объяснено в разделе 4.1, причина, по
которой начало координат 5 = 0 никогда не бывает точкой равновесия, состоит
в том, что коэффициент ведущей резонансной гармоники ехр ш
пропорционален y/S. Благодаря этому специфическому свойству в случае резонансов
первого порядка по эксцентриситету необходимо проводить различие
между резонансной областью и областями либрации. Как эскизно показано на
рис. 9.3, резонансной областью, по существу, является область,
охватываемая сепаратрисами, окружающими устойчивое равновесие при σ = 0 (на
верхних панелях она заштрихована). Когда сепаратрис нет (как на верхних

222
Глава 9
панелях рис. 9.2), не существует и резонансной области. Области либрации
суть множества орбит, на которых σ либрирует либо около 0, либо около π
(заштрихованные области на нижних панелях). Как видим, в некоторых
случаях у резонансных орбит σ может циркулировать, тогда как орбиты
с либрирующими σ могут быть нерезонансными. В таких случаях
геометрическое понятие либрации фактически не имеет реального динамического
смысла. Исторически сложилось, что орбиты с σ, либрирующими около π,
называют апоцентрическими либраторами, поскольку устойчивое
равновесие при σ = π соответствует периодической орбите, двигаясь по которой
астероид попадает в афелий всякий раз, когда он входит в соединение с
резонансной планетой (ρ = λ + π, когда λ = Aj). Несмотря на их либраци-
онный характер, эти орбиты динамически эквивалентны циркулирующим
орбитам маятника.
о N = -3.440
ecosa
Рис. 9.4. Фазовый портрет резонанса 1:2 с Нептуном, демонстрирующий острова
асимметричной либрации. Жирными линиями показаны сепаратрисы, исходящие
из точек неустойчивого равновесия при σ = 0 и σ = π. (По данным Томаса, 1998;
адаптировано)

9.1. Простое интегрируемое приближение
223
Динамический портрет внешних резонансов первого порядка по
эксцентриситету (к = Ц + 1) эквивалентен представленному на рис. 9.2, но
с σ, сдвинутым на 180°. Единственное исключение — резонанс 1/2 (к = 2,
Щ = 1). В его случае, при N больше некоторого порогового значения,
внутри резонансной области точка равновесия при σ = π становится
неустойчивой и появляются две новые точки устойчивого равновесия, расположенные
симметрично относительно горизонтальной оси (рис. 9.4). Сепаратриса,
соединяющая точку неустойчивого равновесия при σ = π саму с собой,
окружает эти две точки устойчивого равновесия. Как следствие, в резонансной
области следует проводить различие между симметричными и
асимметричными либраторами: симметричные либраторы — это орбиты с σ, либ-
рирующими около π в области, охватываемой сепаратрисой, исходящей из
точки неустойчивого равновесия при σ = 0; а у асимметричных либрато-
ров σ либрирует около некоторого иного значения, и находятся они на двух
островах, охватываемых сепаратрисой, исходящей из точки неустойчивого
равновесия при σ = π. Причина появления областей асимметричных
либрации следующая. Из-за специфических значений коэффициентов с\ и С2
в месте расположения резонанса 1/2, гармоника C2Sexpt2a в
возмущении Н® начинает преобладать над «ведущей» гармоникой с\ y/S exp ίσ,
когда 5 достаточно велико. Согласно рис. 9.1, в месте расположения
резонанса значение 5 увеличивается с 7V; как следствие, асимметричные либрации
должны возникать, когда N достаточно велико. Существование
асимметричных либрации впервые отметил Мэсседж (1958), затем их исследовали
Шубарт (1964) и Боже (1994); детали см. в их работах.
Динамические портреты резонансов, имеющих порядки по
эксцентриситету выше первого, построены Леметр (1984). На рис. 9.5 дан портрет
внутренних резонансов второго порядка по эксцентриситету (kj = к + 2).
При N меньше некоторого порогового значения начало координат 5 = 0
является точкой устойчивого равновесия, около которой циркулируют все
остальные орбиты (см. верхние панели). Если увеличивать N, то
возникает первая бифуркация, при которой центр 5 = 0 становится неустойчивым
и появляются два устойчивых равновесия при 90° и 270° (см. средние
панели). Сепаратриса, соединяющая начало координат само с собой, окружает
эти устойчивые равновесия, охватывая две резонансные области, где σ
либрирует. При 7V больше второго порогового значения динамический портрет
меняется вновь. Центр 5 = 0 теперь устойчив, тогда как при σ = 0, π
имеются два неустойчивых равновесия. Сепаратриса теперь исходит из этих
точек равновесия, а резонансными областями по-прежнему являются обла-

224 Глава 9
Рис. 9.5. Фазовые портреты резонанса второго порядка по эксцентриситету для
различных значений N. Координаты по горизонтальной и вертикальной осям суть
V2S cos σ ~ ecosa и V2S sin σ ~ es'ma соответственно. Комментарии см. в
тексте. (Рис. 1 из статьи Леметр, 1984; с разрешения Kluwer Academic Publishers)

9.1. Простое интегрируемое приближение
225
Рис. 9.6. Фазовые портреты внешнего резонанса третьего порядка по
эксцентриситету для различных значений N. Координаты по горизонтальной и вертикальной
осям суть V2S cos σ ~ ecosa и y/2Ss'ma ~ esina соответственно.
Комментарии см. в тексте. (Рис. 4 из статьи Леметр, 1984; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)

226
Глава 9
Рис. 9.7. Фазовые портреты резонанса четвертого порядка по эксцентриситету для
различных значений N. Координаты по горизонтальной и вертикальной осям суть
V2S cos σ ~ е cos σ и V2S sin σ ~ е sin σ соответственно. Комментарии см. в
тексте. (Рис. 7 из статьи Леметр, 1984; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
сти, где орбиты либрируют около 90° или 270°. Внешние резонансы имеют
точно такой же динамический портрет, за исключением резонанса 1/3, для
которого равновесия при 90° и 270° становятся неустойчивыми, если N
превышает некоторое пороговое значение, причем появляются два новых
устойчивых равновесия, расположенных симметрично относительно
вертикальной оси, внутри каждой резонансной области (см. Боже, 1994). Как
и в случае резонанса 1/2, асимметричными либраторами мы называем
орбиты, либрирующие около одного из этих устойчивых равновесий.
На рис. 9.6 дан портрет внешних резонансов третьего порядка по
эксцентриситету (к = kj-\- 3), за исключением резонанса 1/4, у которого опять
же имеются асимметричные либрации. Динамический портрет внутренних
резонансов третьего порядка по эксцентриситету такой же, как на рис. 9.6,
но с σ, сдвинутым на 180°.
Наконец, на рис. 9.7 показан динамический портрет резонансов
четвертого порядка по эксцентриситету. Внутренние и внешние резонансы имеют
один и тот же портрет, за исключением резонанса 1/5, у которого имеются
асимметричные либраторы.
9.1.1. «Фазовая защита» от столкновений с планетами
В предыдущем разделе мы убедились, что во внутренних резонансах
неустойчивые равновесия расположены при σ = аш = π[1 + 2mkj/(kj —

9.1. Простое интегрируемое приближение
227
— к)}, где т — целое число в диапазоне [0,% — к). Заметим, что если
σ = crm, то ρ = λ + π всякий раз, когда λ^ = λ + 2πιπ. Другими словами,
в неустойчивых равновесиях, если астероид находится в афелии, он при
этом находится и в одном из kj — к различных соединений с резонансной
планетой. Напротив, во внешних резонансах неустойчивые равновесия
расположены при σ = am = 2mkjTr/(kj — к) и соответствуют орбитам, на
которых астероид находится в перигелии, когда происходит одно из
соединений с резонансной планетой. Таким образом, неустойчивые равновесия
всегда соответствуют резонансным орбитам, обеспечивающим такое
сближение астероида и резонансной планеты, которое является наиболее
тесным из возможных. Благодаря либрации устойчивые резонансные орбиты
избегают этой конфигурации наиболее тесного сближения.
Это свойство важно, когда велик эксцентриситет, потому что тогда
наиболее тесное сближение может соответствовать физическому соударению
с планетой. Действительно, если значение N таково, что эксцентриситет
неустойчивых равновесий равен aj/a — 1 для внутренних резонансов или
1 — aj/a для внешних резонансов (здесь а и aj — большие полуоси
орбит астероида и резонансной планеты соответственно), то неустойчивые
равновесия отвечают орбитам с соударениями в афелии (или перигелии)
с резонансной планетой. Когда N больше этого значения, типичный
динамический портрет резонанса выглядит как представленный на рис. 9.8
(последний рассчитан для случая резонанса 5/6 с Нептуном). Жирной кривой
обозначено множество точек е, σ, соответствующих соударению с
планетой. Эта кривая вычислена путем фиксации г = aj и / + π = Xj, где г
и / — гелиоцентрическое расстояние и истинная аномалия астероида,
задаваемые формулами (1.5) и легко выражаемые как функции от N, S и σ. Все
орбиты, пересекающие эту кривую, имеют соударения или очень тесные
сближения с планетой. Заметим, что резонансные орбиты, благодаря либра-
циям около σ = π не пересекают эту кривую столкновений. Таким образом,
резонанс средних движений обеспечивает резонансным орбитам «фазовую
защиту» от столкновений. Плутон (крупнейший из известных объектов
пояса Койпера)1 дает самый известный пример этого свойства. Он находится
в резонансе 2/3 с Нептуном и проникает внутрь орбиты Нептуна.
Однако либрация σ никогда не позволит ему пересечь кривую столкновений,
так что всякий раз, когда Плутон пересекает орбиту Нептуна, он
находится далеко от Нептуна. Этот своего рода «балет» в исполнении Плутона
1 Плутон уже не является крупнейшим из известных ΤΗΟ; см. прим. ред. на с. 325. — Прим.
ред.

228
Глава 9
и Нептуна, как полагают, устойчиво длится начиная с ранних фаз истории
Солнечной системы.
N = -0.920
ecosa
Рис. 9.8. Фазовый портрет резонанса 5/6 с Нептуном; жирной кривой
обозначено множество точек (ε,σ), соответствующих возможному соударению с планетой.
Динамически устойчивыми могут быть только либрационные траектории, не
пересекающие эту кривую. (По данным Томаса, 1998; адаптировано)
Из рис. 9.8 также можно заметить, что точка равновесия при σ = 0°,
обычно неустойчивая в случае внешних резонансов первого порядка по
эксцентриситету, является теперь устойчивой. Эту точку окружает небольшая
область устойчивости, ограниченная с двух сторон кривой соударений. При
увеличении N (то есть при больших эксцентриситетах резонансных орбит)
область устойчивости вокруг точки равновесия при σ = 0 расширяется,
а вокруг точки равновесия при σ = π сжимается. Наконец, следует
подчеркнуть, что резонанс средних движений обеспечивает защиту от тесных
сближений только с резонансной планетой; поэтому всякая орбита должна
в конечном счете стать неустойчивой, если ее эксцентриситет достаточно

9.1. Простое интегрируемое приближение
229
велик, чтобы стали возможными пересечения с нерезонансными орбитами
планет.
9.1.2. Случай резонанса 1/1
Чтобы исследовать резонанс 1/1 с планетой, нужен иной по сравнению
с (9.5) выбор резонансных переменных, поскольку (9.5) являются
сингулярными при kj = к. Подходящими каноническими переменными для этого
резонанса будут
S = Λ, σ = X — Aj,
Ν = Ρ, ν = ρ,
Sz = Q, σ2 = q, (9'9)
Aj = Λ^ + Λ, Xj = Xj.
Введя эти переменные, исследовать динамику в резонансе 1/1 можно так
же, как объяснено выше для других резонансов.
На рис. 9.9 показан портрет резонанса 1/1 с Юпитером для N = 0 (то
есть е = 0); чтобы представить динамику нагляднее, в качестве радиальной
координаты мы используем а = S2 вместо 5. Есть две точки, где
гамильтониан имеет особенности типа «полюс»: начало координат а = 0 и точка
при σ = 0, а = 5.2. Первая соответствует положению Солнца;
квазикруговые траектории вокруг нее отвечают квазикеплеровым гелиоцентрическим
орбитам, большие полуоси которых лишь слабо возмущены, в зависимости
от σ, резонансной планетой. Вторая точка соответствует положению
Юпитера, которое в этих координатах фиксировано. Помимо этих двух точек, на
рисунке имеется пять точек равновесия — это знаменитые точки Лагранжа.
Две из них, обозначаемые через L± и L5, устойчивы и образуют с
Солнцем и планетой два равносторонних треугольника. Либрации вокруг этих
точек обычно называют либрациями типа «головастик»', они аналогичны
асимметричным либрациям, существующим во внешних резонансах
средних движений типа 1/га (то есть kj = 1, к Ε Ν; см., например, рис. 9.4).
Эти либрации ограничены сепаратрисой, соединяющей точку
неустойчивого равновесия L^ саму с собой. Астероиды-греки и астероиды-троянцы
находятся на либрирующих орбитах типа «головастик». На рис. 9.9
также видна большая область либрации вокруг σ = π, ограниченная
сепаратрисами, исходящими из двух других точек неустойчивого равновесия, L\
и L2. Орбиты в этой области обычно называют либраторами типа
«подкова»; они аналогичны симметричным либраторам, обсуждавшимся в связи
с рис. 9.4.

230
Глава 9
acosa
Рис. 9.9. Фазовый портрет резонанса 1/1 с Юпитером для значения N,
соответствующего е = 0
Сепаратрисы, исходящие из Li, не совпадают с исходящими из L<i, но
из рис. 9.9 это трудно заметить, так как они очень близки друг к другу.
С другой стороны, эти сепаратрисы не могут взаимно пересекаться,
поскольку нормальная форма резонанса средних движений в плоской
круговой задаче является интегрируемой.
Сепаратриса, соединяющая точку L\ саму с собой, ограничивает
малую область либрации вокруг а = 5.2, σ = 0. Здесь траектории окружают
планету подобно орбитам спутников. Так как σ должна быть
положительной при а <С aj, траектории в центре рис. 9.9 должны циркулировать вокруг
начала координат против часовой стрелки. Тогда, по непрерывности,
либрации типа «подкова» должны происходить по часовой стрелке, а траектории
спутникового типа вокруг Юпитера должны циркулировать против
часовой стрелки. Вокруг своей оси Юпитер вращается также против часовой
стрелки, поэтому эти траектории спутникового типа называют проградны-
ми. Среднее значение, взятое от двух расстояний «L\ - планета» и «L,2 -
планета», называется радиусом Хилла; оно равно α^ε^/β)1/3, где Ej — масса
планеты (в солнечных единицах).

9.1. Простое интегрируемое приближение
231
acosa
Рис. 9.10. Фазовый портрет резонанса 1/1 с Юпитером для значения N,
соответствующего е = 0.2 при а = 5.2 а. е.
На рис. 9.10 показан портрет резонанса 1/1 для значения N,
соответствующего орбитам с е = 0.2 при а = 5.2 а. е. Вновь мы видим два
устойчивых равновесия (теперь слегка смещенных относительно σ = ±60°) —
центры либрации типа «головастик». Они ограничены сепаратрисой,
исходящей из точки неустойчивого равновесия при а ~ 5.2 а. е., σ = 180°.
Новой деталью, по сравнению с рис. 9.9, является жирная кривая,
окружающая точку а = 5.2 а. е., σ = 0°; она обозначает множество точек α, σ, для
которых может произойти соударение с планетой. Эта кривая вычислена,
как объяснено в разделе 9.1.1, и она аналогична кривой на рис. 9.8.
Поскольку при этом значении N кривая столкновений ограничивает область
большего радиуса, чем радиус Хилла, неустойчивые равновесия,
обозначенные на рис. 9.9 через L\ и Z/2, исчезли, как и связанные с ними
сепаратрисы2. Как следствие, максимальная амплитуда либрации типа «подко-
2 При значении N, соответствующем более умеренному эксцентриситету, радиус области,
ограниченной кривой столкновений, будет меньше радиуса Хилла, а два неустойчивых
равновесия при σ = 0° сохранятся; они соответствуют так называемым орбитам Ляпунова. —
Прим. авт.

232
Глава 9
ва» теперь диктуется расположением кривой столкновений. Глубоко внутри
кривой столкновений сохраняются траектории, либрирующие вокруг
положения Юпитера (а = 5.2, σ = 0) в устойчивом движении спутникового
типа. По непрерывности с направлением изменения σ на орбитах,
пересекающих кривую столкновений (σ > 0 на орбитах с α < 5.2 а. е. и σ < 0 на
орбитах с а > 5.2 а. е.), либрации вокруг Юпитера теперь происходят по
часовой стрелке, то есть они являются ретроградными по отношению к
вращению Юпитера вокруг его оси. Поэтому орбиты ретроградных спутников
характеризуются большим гелиоцентрическим эксцентриситетом3, а
орбиты проградных спутников могут иметь лишь малый гелиоцентрический
эксцентриситет.
9.2. Перекрытие резонансов средних движений
В главе 6 мы убедились, насколько важно понятие перекрытия
резонансов для понимания глобальной устойчивости или неустойчивости
динамических систем.
Чтобы проверить, перекрываются или нет резонансы средних
движений, необходимо вычислить ширину каждого резонанса на плоскости
«большая полуось - эксцентриситет». Это делается следующим образом.
Как показано выше в разделе 9.1, на каждой поверхности N = const
сепаратрисы (если они существуют) обычно пересекают ось σ = astab
дважды (здесь astab — значение σ точки устойчивого равновесия в центре
резонансной области). Обозначим через S\(N) и 52(N) значения 5 в этих
двух точках пересечения (то есть минимальное и максимальное значения 5,
достигаемые на сепаратрисах). Затем вычислим образы (αι(Ν),βι(Ν))
и (α2(Ν), e2(N)) этих двух точек на плоскости (а, е), обратив (9.5) и (1.69),
а именно используя формулы
1/2
(9.10)
Наконец, соединим все точки (ai(N),ei(N))9 полученные для
возрастающих значений N, и сделаем то же самое с точками (а2,е2). Полученные
таким образом две кривые представляют собой сечения сепаратрис
резонанса при σ = astab· Аналогично, обозначим через Sstab(N) значение 5 для
устойчивого равновесия и вычислим его образ (astab(N), estab(A0), найдя
/Со /С
2
, e =
V * N-SJ
Его не следует путать с планетоцептрическим эксцентриситетом. — Прим. авт.

9.2. Перекрытие резонансов средних движений 233
таким образом кривую, представляющую собой семейство точек
устойчивого равновесия, параметризованное через N. На рис. 9.11 показаны эти
кривые для резонансов 2/1 и 3/1 с Юпитером в поясе астероидов; также
нанесено несколько кривых N = const. Как мы убедились в разделе 9.1, в
интегрируемой аппроксимации плоской круговой задачи каждая резонансная
орбита демонстрирует связанные осцилляции а и е на кривой N = const;
два экстремума этих осцилляции, достигаемых при σ = astab, лежат
симметрично по обе стороны от семейства устойчивых равновесий, внутри
сепаратрис. Чем больше амплитуда либрации σ, тем ближе к
сепаратрисам лежат эти экстремумы. Заметим, что в обоих случаях ширина
резонанса возрастает с эксцентриситетом, потому что коэффициенты резонансных
гармоник пропорциональны некоторой положительной степени е.
2.48 2.50 2.52
а, а. е.
Рис. 9.11. Сепаратрисы (жирные линии) и семейства устойчивых равновесий
(сплошные тонкие линии) резонанса 2/1 (панель (а)) и резонанса 3/1 (панель (б))
с Юпитером. Прерывистыми линиями показано несколько кривых уровня N
В случае резонанса 2/1 одна из двух сепаратрис не достигает е = 0
(рис. 9.11а), так как в резонансах средних движений первого порядка по
эксцентриситету, когда сепаратриса появляется впервые (см. среднюю
левую панель рис. 9.2), она уже пересекает ось σ = astab при е > 0. Вторая
особенность этих резонансов состоит в том, что вдоль семейства
устойчивых равновесий а —► 0, если е —► 0 (а для внешних резонансов а —► +оо,
если е —► 0); напротив, в случае резонансов большего порядка по
эксцентриситету семейство устойчивых равновесий достигает оси е = 0 при
некотором определенном значении а (рис. 9.116).

234
Глава 9
Описанный рецепт определения ширины резонанса нельзя применять
к таким резонансам и при таких значениях N, для которых имеются
асимметричные либрации, а также в случае эксцентриситетов выше кривой
пересечений орбиты планеты. В первом случае ширина резонанса
определяется сепаратрисой, ограничивающей симметричные либрации (см. рис. 9.4).
Минимальное и максимальное значения 5 на этой сепаратрисе не
достигаются, когда σ = ас, где ас является центральным значением
симметричных либрации. Это делает вычисление S\(N) и S2(N) несколько более
сложным. Однако для многих практических целей S\ и 52 можно
аппроксимировать значениями 5 на сепаратрисе при а = ас, поскольку отклонения
от реальных значений обычно невелики. Во втором случае, то есть для
значений N таких, что на портрете 5, а имеется кривая столкновений и
отсутствует хорошо определенная сепаратриса (рис. 9.8), ширина
резонанса определяется траекторией, имеющей наибольшую амплитуду либрации
среди траекторий, не пересекающих кривую столкновений. S\ и 52
являются минимальным и максимальным значениями 5 на этой траектории.
Поскольку наибольшая амплитуда либрации бесстолкновительных
резонансных орбит уменьшается с увеличением N, выше кривой aj = α(1 ± е)
пересечений с орбитой планеты ширина резонансов средних движений с
увеличением эксцентриситета уменьшается.
Первые систематические расчеты ширины резонансов средних
движений в поясе астероидов выполнили Дермотт и Мюррей (1983). Они
исследовали все резонансы средних движений с Юпитером вида n/nj = (2m +
+ l)/m, (2m — l)/m, (3m -f l)/2m (где nj — среднее движение
Юпитера, m — целое число), расположенные в диапазоне от 2.4 до 4 а. е., а также
резонанс 8/3 при 2.7 а. е. (рис. 9.12). В рассмотренном диапазоне большой
полуоси эти резонансы имеют наибольшую ширину. По сравнению с
описанным выше рецептом авторы сделали несколько упрощений, чтобы
облегчить расчеты. Во-первых, в случае резонансов 2/1 и 3/2 (единственных
резонансов первого порядка по эксцентриситету среди рассмотренных) они
вычисляли ширину областей либрации, а не резонансных областей (в
противоположность рис. 9.11а). Это позволяет определить «границы
резонанса» и при малых эксцентриситетах, однако при е —► 0 граничные значения
большой полуоси стремятся к нулю и к бесконечности. Во-вторых, они
разложили гамильтониан в ряд по степеням эксцентриситета и сохранили
только ведущий член; тем самым теряется информация о влиянии кривой
столкновений с Юпитером на резонансную динамику и упускается из виду,
что резонансная область, защищенная от столкновений с планетой, сжима-

9.2. Перекрытие резонансов средних движений 235
большая полуось, а. е.
Рис. 9.12. Распределение оскулирующих элементов астероидов (известных
в 1983 г.) в диапазоне 2.4 < а < 4.0 а. е. Сплошными линиями показаны
границы областей либрации основных резонансов средних движений с Юпитером.
Внутри зоны перекрытия резонансов границы областей либрации резонансов 2/1 и 3/2
показаны прерывистыми линиями. (Рис. 5 из статьи Дермотта и Мюррея, 1983;
с разрешения Nature, Macmillan Magazines Limited)
ется с увеличением эксцентриситета, если эксцентриситет больше порога
пересечения с орбитой планеты. Однако для практических целей эти
аппроксимации обычно вполне допустимы, поэтому работа Дермотта и
Мюррея остается ключевой ссылкой по данной теме. Как видно из рис. 9.12, ре-
зонансы средних движений перекрываются при большом эксцентриситете,
приблизительно в области Q > 4.2 а. е., где Q = а(1 + е) — афелийное
расстояние астероида. Согласно главе 6, если имеется перекрытие резонансов,
лишь в центральных областях резонансов движение может быть
регулярным (на резонансных островах); остальное же фазовое пространство
глобально-хаотично. В частности, нерезонансные регулярные орбиты не могут
существовать. Только ниже порога перекрытия резонансов движение
астероида может быть глобально устойчивым (в рамках ограниченной плоской
круговой задачи). Хаотические орбиты могут существовать (вблизи
сепаратрис резонансов), но отсутствие перекрытия резонансов гарантирует, что
движение локально ограничено (см. рис. 6.3). На рис. 9.12 также нанесены

236
Глава 9
положения астероидов, известных ко времени исследования; в качестве
координат используются оскулирующие большая полуось и эксцентриситет.
Легко видеть, что подавляющее большинство астероидов находится в
областях между резонансами средних движений. Области резонансов средних
движений соответствуют выраженным «люкам» в распределении
астероидов, если не считать резонансов 3/2 и 1/1 (последний расположен вне
диапазона больших полуосей, покрываемого графиком). Это заключение
подтверждает интуитивный вывод Кирквуда (1866), который первым
обратил внимание на неоднородность распределения астероидов, построенного
им для выборки из 91 первых открытых астероидов. Области резонансов
средних движений, где нет астероидов, обычно называют люками
Кирквуда. В рамках ограниченной плоской круговой задачи существование люков
объяснить нельзя, так как резонансные либрации устойчивы. Их
происхождение будет объяснено в главе 11, где исследуется вековая динамика внутри
резонансов средних движений в рамках реалистичной модели планетной
системы. Обратите внимание, что несколько астероидов на рис. 9.12 все-
таки оказываются внутри резонансов, хотя и вблизи от границ. На самом
деле такие астероиды в большинстве своем нерезонансны, а внутри
сепаратрис на графике оказываются потому, что их оскулирующие элементы
соответствуют значению σ, отличному от того, который использовался при
вычислении границ резонансов (σ = tfstab)· Если орбитальные элементы
этих астероидов интегрировать до выполнения условия σ = astab, то в
результате у них были бы значения а и е, соответствующие расположению вне
границ резонансов. Самосогласованный метод расчета расстояний
астероидов от границ резонансов средних движений будет описан в разделе 9.4.
Аналитические расчеты ширины резонансов средних движений в
поясе Койпера выполнили Морбиделли и др. (1995а). На рис. 9.13 показаны
сепаратрисы главных резонансов с Нептуном и Ураном, расположенных до
50 а. е. Как следует из графика, резонансы перекрываются вблизи линии
q = on = 30 а. е., где q = α(1 — е) — перигелийное расстояние малого тела,
on — большая полуось Нептуна. Отметим, что при q < 30 а. е. резонансные
области сжимаются с увеличением эксцентриситета по причине,
разъясненной в этом разделе выше. Эти резонансные области являются
единственными областями с q < 30 а. е., где в рамках ограниченной плоской круговой
задачи могут быть регулярные орбиты. С другой стороны, все
нерезонансные орбиты должны быть хаотическими, поскольку они испытывают
сближения с Нептуном. Если же q несколько больше 30 а. е., то тела не
пересекают орбиту Нептуна, а при q > 35 а. е. резонансы средних движений хо-

9.2. Перекрытие резонансов средних движений 237
и 1—-, 1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Г
а, а. е.
Рис. 9.13. Расположение и ширина резонансов средних движений с Нептуном
(«Νπ/πν») и Ураном («Un/nu») в поясе Койпера в интервале значений большой
полуоси от 32 до 50 а. е. Две жирные сплошные кривые соответствуют q = α(1 —
— е) = 30 а. е. и q = 19.2 а. е.; они являются пороговыми кривыми пересечений
орбит Нептуна и Урана соответственно. Жирная пунктирная кривая соответствует
q = 35 а. е. См. комментарии в тексте. (Рис. 1 из статьи Морбиделли и др., 1995а;
с разрешения Academic Press)
рошо разделены, так что движение должно быть глобально-устойчивым —
опять же в рамках плоской круговой задачи. Расчеты ширины регулярных
областей внутри резонансов средних движений с Нептуном также
провела Мальхотра (1996) путем построения сечений Пуанкаре в ограниченной
плоской круговой задаче. Найденные ею значения ширины чуть меньше,
чем следует из рис. 9.13, поскольку при оценках она исключала
хаотические области вблизи сепаратрис резонансных нормальных форм.
Существенная, но количественно не определенная часть объектов
пояса Койпера находится, подобно Плутону, в резонансе 2/3 с Нептуном.
Такие объекты называется плутино. Кроме того, как полагают, один объект
находится в резонансе 3/4.4 Пока, однако, неясно, расположены ли объекты
4Согласно современным данным резонансное население пояса Койпера включает
группы во многих резонансах; в частности, исправленное за эффекты селекции население
резонанса 2/5 не уступает населению резонанса 2/3 (Gladman В. et al. (2012) The resonant trans-
Neptunian populations. Astron. J., 144, 23). — Прим. ред.

238
Глава 9
с большими полуосями от 40 до 50 а. е. предпочтительно внутри резонан-
сов средних движений или же вне их; наличие (гипотетическое) в поясе
Койпера эквивалентов люков Кирквуда пока не установлено.
9.2.1. Порог перекрытия вблизи планеты
Из рис. 9.13 видно, что резонансы первого порядка по эксцентриситету
(1/2, 2/3, 3/4, 5/6, ...) образуют последовательность, сгущающуюся с
приближением к Нептуну; действительно, используя закон Кеплера,
связывающий орбитальный период и большую полуось, легко видеть, что расстояние
между резонансами к — 1/к и к/(к+ 1) равно
Δα = а^
ife-1
к
fc+1
■ 2aj/(3k2) при к -> +оо, (9.11)
где aj — большая полуось резонансной планеты. С другой стороны, с
приближением к Нептуну ширина этих резонансов значительно не
уменьшается. Это означает, что резонансы первого порядка по эксцентриситету при
достаточно больших к могут полностью перекрываться, создавая
хаотическую область вблизи планеты, ширина которой существенна и при нулевом
эксцентриситете. Это явление впервые обнаружил Уиздом (1980). Он также
рассчитал, что пороговое значение к, при котором происходит перекрытие,
пропорционально ε_2//7, где ε — масса резонансной планеты. Этот
результат справедлив как для внутренних, так и для внешних резонансов средних
движений первого порядка по эксцентриситету.
Чтобы воспроизвести результат Уиздома, требуется найти ширину
резонанса вида \Щ — к\ = 1 в функции от к. Эта ширина зависит от
значения N', как видно из рис. 9.2, если N достаточно мало, то точка
устойчивого равновесия очень близка ке = 0, так что осцилляции большой
полуоси и эксцентриситета на либрационном цикле становятся пренебрежимо
малыми. Однако значения N, при которых это происходит, соответствуют
значениям а при е = 0, существенно отличным от невозмущенного
положения резонанса ares, определяемого законом Кеплера. Поэтому логично
выбрать значение N такое, что а = ares с ares, соответствующим е = 0.
Согласно (9.8) это имеет место для N = 1/[к2(к + 1)пу]1//3 в случае
внутренних резонансов и для N = — 1/[к2(к — l)^]1/3 в случае внешних
резонансов. Для простоты сосредоточимся на внутренних резонансах. Из (9.6)
и (9.7), проведя разложение в ряд Тейлора по vS, находим первые члены

9.2. Перекрытие резонансов средних движений 239
гамильтониана:
S 3S2
Η^ = ~1^μ- χ^μ + (fc + !К"5 + tcVScosa, (9.12)
где все члены, не зависящие от 5 и σ, отброшены и сохранена только
первая гармоника; с — числовой коэффициент, приблизительно равный y/2(k +
-f 1)/π[2Χ0(2/3) + Χχ(2/3)], где К0 и Κι — модифицированные функции
Бесселя (Мюррей и Хольман, 1997). При сделанном нами выборе N
линейные по 5 члены взаимно сокращаются. Тогда (9.12) имеет единственную
точку равновесия (устойчивого) при astah = О, 5stab = {sck2N4 /6)2/3;
подставив зависимости с и N от к, имеем 5stab ~ ε2//3&-2/3. Наличие точки
устойчивого равновесия, смещенной от 5 = 0, вынуждает действие 5
осциллировать с амплитудой SS ~ 25stab· Связанные осцилляции большой
полуоси имеют поэтому амплитуду δα = 2у/а6А = 2y/akSS (что следует
из определения N в формулах (9.5)). Таким образом, амплитуда
резонансных колебаний большой полуоси при рассматриваемом значении N
пропорциональна ε2/3/с1/3. Расстояние же по большой полуоси между двумя
соседними резонансами первого порядка по эксцентриситету дается
формулой (9.11). В итоге приходим к выводу, что перекрытие резонансов
становится возможным начиная с к ~ ε-2/7.
Из третьего закона Кеплера следует, что резонанс первого порядка по
эксцентриситету с к ~ ε-2/7 имеет место при значении большой полуоси а
таком, что \а — Оу|/а^ ~ ε2//7. Это означает, что хаотическая область
пролегает по обе стороны от планеты на интервале большой полуоси (в единицах
большой полуоси планеты), пропорциональном ε2/7.
9.2.2. Перекрытие планетных резонансов
Резонансы средних движений тела с двумя различными планетами
также могут перекрываться друг с другом. На самом деле это довольно
распространенный случай, так как между планетами-гигантами есть
квазирезонансные соотношения. Например, Юпитер и Сатурн близки к взаимному
резонансу средних движений 5/2. Как следствие, резонансы средних
движений п/тп с Юпитером расположены вблизи резонансов средних движений
5n/2m с Сатурном. Ситуация аналогична для резонансов с Ураном и
Нептуном (эти две планеты близки к взаимному резонансу 2/1). Резонанс
Лапласа — частный случай перекрытия резонансов средних движений; он
имеет место, когда два возмущающих тела находятся в точном резонансе друг

240
Глава 9
с другом. В динамике главного пояса астероидов и пояса Койпера резонан-
сы Лапласа отсутствуют (так как между планетами нет точных взаимных
резонансов), но они довольно часто встречаются в спутниковых системах.
Наиболее известен резонанс Лапласа у галилеевых спутников, где Европа
одновременно находится в резонансах 1/2 с Ио и 2/1 с Ганимедом.
Когда два составляющих резонанса имеют сравнимую ширину,
эффективным способом изучения последствий их перекрытия является анализ
плоской бикруговой задачи. Гамильтониан этой задачи получается из (2.38)
при учете лишь двух резонансных планет в предположении, что они имеют
компланарные круговые орбиты. Наклонение малого тела также полагается
равным нулю. Благодаря правилам Даламбера гамильтониан зависит
только от углов λ, ρ, Xjx и Xj2 (где последние два угла — средние долготы
резонансных планет) и, таким образом, фактически имеет четыре степени
свободы. В резонансной нормальной форме (см. раздел 2.5.2) в этом случае
от возмущений остаются только гармоники, зависящие исключительно от
резонансных углов, а именно от k'X - kj1Xj1 + (kf — к^)р для
резонанса kj^/k' с планетой ji и от к"Х — kj2Xj2 + [к" — kj2)p для резонанса kj2/k"
с планетой j2· Все короткопериодические члены при построении
нормальной формы усредняются.
Первый шаг анализа осредненной бикруговой задачи состоит в поиске
набора канонических переменных, такого что среди новых углов два
были бы критическими углами рассматриваемых двух резонансов. В случае
kj1 φ к' κ kj2 φ к" подходящими переменными будут
ν (fen ~ к ){kj2 — к ) /. к
^1 = 77777 Г7 Г777 T77V Λ +
\7i / \^72 /V 72
7l7l
kji — k'
£ _ (fcj2 ~ ^ ) (fcjl ~ ^ ) (Д . ^
hl(h- — h"\ — hff(h- — h'\ \ h ■ — hf
\ 72 / V 7i / \ 7l
fej2^j2 - к X
Aj] = AJi ~ ( 1 + fc . _ fc/ ) Σι' ^J'l = λ^'
/ к" \
Λ,2 = Aj2 - ^1 + fc fc//j Σ2, Ai2 = λ,2.
(9.13)

9.2. Перекрытие резонансов средних движений 241
Если один из двух резонансов — резонанс 1/1 (скажем, kjx = к'), то
подходящими переменными вместо (9.13) будут
к"
Σι = Λ + ΪΓΑ^ρ'
κη к,
к"
Ail=AJ-1+A+——
Л - Λ· ^ Ρ
1Υ32 — 1Υ32 7 _ 7 // Γ1
Читатель может проверить, что оба преобразования являются
каноническими, используя критерий скобок Пуассона (см. раздел 1.6). В новых
переменных усредненный гамильтониан плоской бикруговой задачи зависит
только от углов σι и σ2, то есть задача фактически имеет только две
степени свободы. Поэтому динамику можно относительно просто изучать
путем построения сечений Пуанкаре. Поскольку оба угла σι и σ2 могут
попеременно циркулировать и либрировать, логично взять сечение по углу
k"(kh - /c>i - k'{kU2 - к")а2 (или k"oY - к'(кп - к")а2, если kh = k'\
который обычно циркулирует в фиксированном направлении5.
Возможно, наиболее интересным приложением такого подхода
является анализ перекрытия резонанса 1/1 с Сатурном и резонанса 2/5 с
Юпитером. Эти два резонанса имеют сравнимую ширину, если эксцентриситет
астероида равен примерно 0.1. Де л а Барр и др. (1996) высказали гипотезу,
что троянцы у Сатурна отсутствуют из-за этого перекрытия. На рис. 9.14
показана (штриховкой) область начальных условий (а,е) неустойчивого
движения, которая выявляется при интегрировании осредненной
бикруговой задачи. Неустойчивым мы называем здесь движение с уходом из
области определения гамильтониана, а именно движение, пересекающее
кривую столкновений с какой-либо из планет. Как видим, орбиты в центрах
«головастиков» Сатурна (а ~ 9.5 а. е.) при е > 0.12 неустойчивы. При
учете одного лишь Сатурна эти орбиты были бы устойчивы; поэтому их
5Эта комбинация σι и σ2 равна k"kjl\j1 — k'kj2Xj2 + [k"(kj1 — к') — k'(kj2 — к")]р.
Поскольку \j1 и Xj2 не находятся точно в резонансе, их линейная комбинация циркулирует
со временем. С другой стороны, изменение ρ обычно слишком медленно, чтобы изменить
направление этой циркуляции. Конечно, в случае резонанса Лапласа это не так. — Прим. авт.
σ\ = λ — λ^,
σ2= V ,„ +Ρ>
(9.14)
Λή — Λή ι
^32 — ^32 ·

242
Глава 9
неустойчивость должна вызываться перекрытием с резонансом 2/5 с
Юпитером. Орбиты с таким же значением большой полуоси, но с начальным
эксцентриситетом меньше 0.12, в бикруговой задаче устойчивы. Однако
в разделе 11.5 мы убедимся, что вековая динамика «накачивает» их
эксцентриситеты до значений выше 0.12, обеспечивая их попадание в область
неустойчивости.
9 10 11
большая полуось, а. е.
Рис. 9.14. Заштрихована область начальных условий (а, е) неустойчивого движения
в осредненной бикруговой задаче с гармониками резонансов 1/1 с Сатурном и 2/5
с Юпитером. Начальное значение критического угла резонанса 2/5 с Юпитером
равно π, а начальное значение критического угла резонанса 1/1 с Сатурном зависит от е
и соответствует центру либрации типа «головастик» в интегрируемом приближении
без учета Юпитера. (Рисунок любезно предоставлен Д. Несворным)
Как отмечено выше, анализ в рамках осредненной бикруговой задачи
уместен в том случае, когда два резонанса имеют сравнимую ширину, так
что их перекрытие порождает сильный хаос. Но когда один резонанс
гораздо уже другого, как в случае узкого резонанса 5/1 с Сатурном и широкого
резонанса 2/1 с Юпитером, эффект перекрытия является весьма
специфическим, а бикруговая модель в качестве приближения реальной динамики
может быть слишком грубой. В подобных случаях для исследования дина-

9.3. Резонансные мультиплеты 243
мики эффективнее использовать иерархический пертурбационный подход,
разъясняемый далее в разделе 11.2.5.
9.3. Резонансные мультиплеты
В этом разделе мы вновь обращаемся к динамике изолированного
резонанса средних движений. Однако мы будем работать не с изученным нами
интегрируемым приближением (9.4), а восстановим в (9.1) отброшенные
ранее члены, а именно члены, содержащие наклонение астероида и
эксцентриситеты и наклонения планет. Для полноты картины мы также учтем
вековую прецессию планетных орбит; с этой целью, полагая, как и в главе 8,
что планетные элементы эволюционируют согласно решению Лагранжа-
Лапласа (7.10), введем новые углы π* = gjt + Pj и Ω* = Sjt + Sj, а
сопряженные действия обозначим через A9j и ASj (j = 1,... , η). Чтобы сделать
гамильтониан автономным, к интегрируемой части гамильтониана добавим
член ^2j(9jAgj + SjASj). (Напомним, что частоты прецессии орбит планет
малы, так что gj и Sj не превышают ε.) В этой постановке нормальную
форму резонанса средних движений (9.1) можно записать как
WMMR = Wo(A,AJ^flj^ejH-eW1(A,P,Q,p,9,fcJA~fcA,xx7*,n*), (9.15)
где ш* и Ω* — векторы с компонентами w*· и Ω* соответственно;
п°= "ά + njAj + Σ^Α, + *А,)> (9·16)
3
а возмущение еК\ раскладывается в ряд Фурье:
εΗι= Σ cm,u,v,s,r(A,P,Q)x
m,u,v,s,r
X exp{t[m(fcjAj-fcA)+u-cc7*+v-n*+sp+rg]}, (9.17)
где m,r,s — целые числа, а и ξ (щ,..., ип) и ν = (υ\,...,υη) — векторы
с целочисленными компонентами такими, что m(kj — к) — s — г + Ση(η3 +
+ Vj) = 0. Коэффициенты cm)U)V,s,r параметрически зависят от входящих
в (7.10) амплитуд М^, А^^ векового движения планет.
В разложении (9.17) гармоники с т = 0 качественно отличаются от
гармоник с т φ 0. Первые не зависят от быстрых углов λ и Aj; мы с
ними уже сталкивались в главе 8 в задаче о вековом движении астероидов.

244
Глава 9
Они определяют вековую эволюцию эксцентриситета и наклонения
астероида. Гармоники с га φ О, по существу, представляют собой гармоники
резонансов средних движений, поскольку все они содержат резонансные
комбинации kjXj — кХ.
Пренебрежем на время вековыми гармониками (га = 0) и
проанализируем структуру динамической системы, обусловленную лишь гармониками
резонансов средних движений. Такая система, очевидно, неинтегрируема,
так как она зависит от нескольких независимых квазирезонансных
комбинаций углов.
С целью изучения этой мультирезонансной динамики введем прежде
всего углы am)U)V,s,r = m(kjXj — кХ) + и · νσ* + ν · Ω* + sp + rq. Каждая из
гармоник резонансов средних движений имеет в качестве аргумента свой
угол tfmjUjV,s,r· Затем рассмотрим гамильтонианы
Wm)U,v,s,r = Wo (Λ, Aj, A9j, ASj) + Co + Cra,u,v,s,r COS 0"m,u,v,s,r, (9.18)
где для упрощения записи через Cq обозначен коэффициент Со,о,о,о,сь а
также явно подчеркнут тот факт, что фурье-разложение (9.17) содержит только
косинусные члены. Эти гамильтонианы играют роль моделей одиночных
резонансов, использовавшихся в главе 6 для изучения взаимодействия
резонансов. Для каждого из гамильтонианов Wm)U,v,s,r точный резонанс имеет
место при <7mjUjV,s,r — 05 то есть при
кзпз ~ к (^дз + ~^Х) I + sjp + г^| + Σ(ηό9ά + VjSj) = 0. (9.19)
Решение этого уравнения дает значение А, зависящее от действий Ρ и Q,
а также от индексов га, и, ν, 5, г; однако, так как со, Qj и Sj все являются
величинами порядка ε, решение должно быть ε-близко к А = (kjUj/k)1^3,
то есть к невозмущенному положению резонанса средних движений,
определяемому законом Кеплера. Отсюда мы заключаем, что резонанс средних
движений представляет собой мулътиплет субрезонансов6, чьи раздельные
положения по большой полуоси астероида ε-близки друг к другу. Такая
мультиплетная структура является специфическим свойством резонансов
средних движений, а в общем случае — резонансов между быстрыми
углами в вырожденной системе (Гуццо и Морбиделли, 1997).
6В оригинале: мультиплет резонансов. При переводе здесь и далее, чтобы четко проводить
различие между «родительскими» резонансами и резонансами - компонентами мультиплетов,
на которые первые расщепляются, для последних, как правило, используется термин «субре-
зонансы». — Прим. ред.
га

9.3. Резонансные мультиплеты
245
«
β<ε
Рис. 9.15. Схема возможных динамических структур внутри мультиплета субре-
зонансов резонанса средних движений, (а) Полное перекрытие, как в динамике
модулированного маятника; (б) частичное перекрытие; (в) разделение субрезонан-
сов. Через σφ единым образом обозначены углы am,u,v,s,r различных субрезонан-
сов. (Рис. 13 из статьи Морбиделли и Гуццо, 1996; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)
Чтобы вычислить ширину каждого субрезонанса по большой полуоси,
обратимся вновь к интегрируемой модели (9.18); как и в главах 4 и 6,
ширина вычисляется как максимальное расстояние между сепаратрисами,
и она имеет величину порядка y/Cm^v^^· Напомним, что коэффициенты
cm,u,v,s,r не могут по порядку величины быть больше ε (так как они
являются коэффициентами фурье-разложения еН\), но могут быть много
меньше. Обозначим величину наибольшего коэффициента (коэффициентов)
через εβ. Далее, возможные варианты показаны на рис. 9.15: если β ~ 1,
то главные субрезонансы имеют ширину много больше, чем расстояния
между ними (соответственно ~ y/ε и ~ ε), то есть перекрытие является
полным (панель (а)); если β ~ ε, то главные субрезонансы имеют ширину
того же порядка, что и расстояния между ними (~ ε), и перекрытие
является частичным (панель (б)); наконец, если β <С ε, то ширина субрезонансов
гораздо меньше расстояний между ними, и можно ожидать, что перекрытия
нет (панель (в)).
В резонансах средних движений с Юпитером значения |/с— /Су, а также
эксцентриситета и наклонения астероида определяют, какая из трех
описанных ситуаций имеет место. Фактически согласно правилам Даламбера
каждый коэффициент cm)U)V,s,r равен величине εε^'ζ'7"' Ylj M^^N^j с
некоторым численным множителем (не обязательно порядка единицы). Здесь
M5j и N$j — постоянные векового изменения элементов Юпитера,
входящие в (7.10). Кроме того, s + г — Ση(η3 + vj) = m(^ — %)· Как следствие,

246
Глава 9
у резонансов средних движений низкого порядка по эксцентриситету
(имеющих \к — kj\ порядка единицы) некоторые из коэффициентов ст)и^,5,г
должны быть пропорциональны степеням е, г, M^j или N^j, являющимся
величинами порядка единицы; поэтому такие коэффициенты не могут быть
существенно меньше ε (напомним, что согласно формулам (8.7) е и г
осциллируют из-за планетных вековых возмущений, так что нельзя сделать
допущение, что они существенно меньше, чем эксцентриситет и наклонение
Юпитера). Поэтому для резонансов средних движений с Юпитером низкого
порядка по эксцентриситету должна быть характерна ситуация,
представленная на рис. 9.15а. Эта динамическая структура, соответствующая
модулированному маятнику, будет рассмотрена в следующем разделе. Ситуация
постепенно изменяется с увеличением \к — kj\: коэффициенты cmU)VS)r
становятся пропорциональными все большим степеням эксцентриситетов
и наклонений, так что возникают ситуации, представленные на рис. 9.156
и 9.15в, сначала для значений е и г того же порядка, что и эксцентриситет
и наклонение Юпитера, а затем и для больших значений.
Однако в случае резонансов средних движений с планетами, масса
которых много меньше массы Юпитера, частичное перекрытие субрезонан-
сов в мультиплете может достигаться при меньших \к — kj\. Фактически
из (9.19) следует, что расстояние между субрезонансами является
величиной порядка ε (массы Юпитера в солнечных единицах) независимо от
выбора резонансной планеты; с другой стороны, коэффициенты cm)U)V,s,r
субрезонансных гармоник пропорциональны массе резонансной планеты ε^ <С ε.
У трехтельных резонансов (резонансов средних движений астероида
и двух планет) ситуация на рис. 9.156 является ожидаемой уже в случае
очень низких порядков по эксцентриситету. У таких резонансов
коэффициенты cm)U)V)S)r являются величинами порядка ε2, поскольку резонансные
гармоники появляются в нормальной форме только во втором порядке, как
объяснено в разделе 2.5.2. Трехтельные резонансы средних движений мы
подробно обсудим в главе 10.
Конечно, для детального понимания структуры мультиплета
требуется количественный расчет сепаратрис каждого из гамильтонианов (9.18)
одиночных субрезонансов. Однако простую диагностику можно провести,
используя численное интегрирование на коротких интервалах времени. Так
как разделение субрезонансов в мультиплете пропорционально частотам
вековой прецессии (см. уравнение (9.19)), а амплитуда субрезонанса
пропорциональна частоте либрации его критического аргумента &m,uy,s,r (см.
главу 4), динамическая ситуация, представленная на рис. 9.15а, характерна для

9.4. Приближение модулированного маятника 247
случая, когда частота либрации много больше частот вековой прецессии.
Для ситуации на рис. 9.156 требуется, чтобы эти частоты были величинами
одного порядка; а ситуация на рис. 9.15в имеет место только тогда, когда
частоты либрации всех углов am)UV)S)r много меньше вековых частот.
9.4. Приближение модулированного маятника
Рассмотрим зависящий от времени гамильтониан модулированного
маятника с одной степенью свободы:
Н= -р2 + с(1 + acos(ei)) cos ρ, (9.20)
где ρ, q — общие переменные «действие-угол», t — время, ε — малый
параметр, α, β и с — числовые коэффициенты. Модулированный маятник
представляет собой модель-парадигму системы полностью перекрывающихся
резонансов (рис. 9.15а). Действительно, путем тригонометрических
преобразований легко показать, что (9.20) эквивалентен следующему
гамильтониану с двумя степенями свободы:
Η = ^р2 + εΤ + с (cosq + |{cos(q - τ) + cos(q + τ))), (9.21)
где Τ, г (ξ ε£) — сопряженные переменные «действие-угол».
Гамильтониан (9.21) описывает мультиплет из трех резонансов с критическими
углами q, q—τ и q-\-r, ε-близких друг к другу: они расположены, соответственно
при ρ = 0 и при ρ = ±ε. Полуширина каждого из них велика
относительно ε и составляет соответственно 2у/с/β и 2у/са/β.
Гамильтониан (9.20) стал предметом ряда исследований, как
аналитических (см., например, Элскенс и Эсканде, 1991; Брувилер и Кэри, 1989),
так и численных (см., например, Анрар и Анрар, 1991). На рис. 9.16
показаны его сечения Пуанкаре. Они схожи с фазовым портретом маятника, но
вместо сепаратрис на них видны широкие хаотические слои, регулярные
островки внутри которых малы (размеры последних пропорциональны ε).
Легко убедиться, что внешняя граница хаотического слоя на панели (а)
почти совпадает7 с сепаратрисой маятника, имеющего гамильтониан βρ2/2 +
-f- c(l + α) cos q\ аналогично, на панели (б) внутренняя граница
хаотического слоя почти совпадает с сепаратрисой маятника, имеющего гамильтониан
7Полное совпадение имеет место в пределе ε —► 0. — Прим. авт.

248
Глава 9
а, о
а, о
Ί 1 Г
Ί 1 Г-
(<0
Wi-^K?? ■'"" "
О
Рис. 9.16. Сечения Пуанкаре гамильтониана (9.20) при ει = 0 mod 2π (панель (а))
и ει = π mod 2π (панель (б)). Сплошная кривая — сепаратриса маятника,
вычисленная из (9.20) в предположении, что ει — фиксированный параметр, равный 0 (а)
или π (б).
Pp2/2-hc(l — a) cosq. Таким образом, хаотический слой покрывает область,
заметаемую мгновенными сепаратрисами гамильтониана (9.20) за период
модуляции фактора с(1 + acos(et)). (Мгновенными мы называем
сепаратрисы, вычисленные из (9.20) при фиксации t.) Как следствие, регулярная
область, заполненная либрационными инвариантными торами, существует,
если и только если α < 1.
Разумеется, динамика в реальном мультиплете резонанса средних
движений, даже в случае полного перекрытия, является более сложной, чем
динамика (9.20). В действительности мультиплет резонанса средних
движений имеет в общем случае более трех компонент, к тому же у него нет
замечательного свойства симметрии мультиплета (9.21). Тем не менее
ширину хаотического слоя все же можно вычислить с хорошей точностью,
используя рецепт, эквивалентный используемому для модулированного
маятника. В переменных (9.5) гамильтониан (9.15) записывается как
Иммк = Ио(^,5,5г,Лв.,Лв.) + еИ1(5,^,5г,а,1/,аг,ш*,П*). (9.22)
Мы вычислим его мгновенные сепаратрисы в предположении, что вековые
углы ν, σζ, τυ*, Ω* и действия Ν, Sz — фиксированные параметры (так
что Hmmr зависит только от 5, σ и поэтому интегрируем). Тогда
хаотический слой должен покрывать область, заметаемую мгновенными сепара-

9.4. Приближение модулированного маятника 249
трисами при изменении вековых углов, а границы слоя должны совпадать
с мгновенными сепаратрисами, соответствующими минимальному и
максимальному значениям ширины резонанса. В качестве примера на рис. 9.17
показаны эти экстремальные мгновенные сепаратрисы в случае
резонанса средних движений 5/2 с Юпитером в упрощенной модели, где астероид
и планета находятся на компланарных орбитах, а орбита Юпитера —
фиксированный эллипс. Аналогичные рисунки для различных резонансов
средних движений и различных значений вековых углов можно найти в статье
Иошикавы (1990, 1991). Как видно из рис. 9.17, ширина области
либрации в случае минимума (левая панель) много меньше, чем в случае
максимума (правая панель), но она никогда не бывает равной нулю; поэтому
можно ожидать существования регулярной области либрации, окруженной
хаотическим слоем, как у модулированного маятника при α < 1. В общем
случае можно ожидать наличия регулярной области либрации всегда, когда
наклонение орбиты астероида невелико, а ее эксцентриситет существенно
больше планетных эксцентриситетов, поскольку тогда, благодаря правилам
Даламбера, ширина субрезонанса, относящегося к плоской круговой
ограниченной задаче (9.4), доминирует в сравнении с шириной всех других
субрезонансов в мультиплете. Определение области как «регулярная» здесь
не следует понимать буквально: она регулярна лишь в весьма упрощенной
модели, в которой предполагается, что действия N, Sz астероида —
постоянные. В реальности они эволюционируют вековым образом, причем эта
эволюция может быть неустойчивой и хаотической. Анализ вековой
динамики в этих «регулярных» областях представляет собой одну из наиболее
сложных задач небесной механики; она будет обсуждаться далее в главе 11.
Чтобы выяснить, где находится конкретный астероид (вне резонанса,
или в хаотическом слое, или в «регулярной» области либрации),
недостаточно вычислить границы хаотического слоя резонанса средних движений,
так как прецессия вековых углов, вызывающая модуляцию ширины
резонанса средних движений, вынуждает также осциллировать эксцентриситет
и наклонение орбиты астероида; это, в свою очередь, изменяет ширину
резонанса, поскольку последняя зависит от значений е и г. На рис. 9.18 дан
пример этих конкурирующих эффектов. Теперь модель учитывает члены
с частотами дъ и д§ в уравнениях (7.10) для векового изменения
эксцентриситета и долготы перигелия Юпитера. Двумя тонкими линиями показана
минимальная ширина резонанса 5/2 (на плоскости (а, е)), соответствующая
το — vol = 0 и £С7 — vol =7Па двумя жирными линиями показана его
максимальная ширина, соответствующая vo — vol = π κνο — vol =0. Облако точек

250
Глава 9
Рис. 9.17. Динамика в резонансе средних движений 5/2 с Юпитером согласно
результатам вычислений при ej = 0.05989, значении N, соответствующем е = 0.204
при а = 2.825 а. е., и двух разных значениях π — π у. 0 (левая панель) и π
(правая панель). Горизонтальная ось имеет обозначение qa = (fcj — к)а, что в случае
резонанса 5/2 равно 3σ. (Рис. 2 из статьи Морбиделли и др., 19956; с разрешения
Academic Press)
отслеживает эволюцию астероида, найденную численным
интегрированием уравнений движения для резонансной нормальной формы (9.15). В
ходе интегрирования астероид медленно перемещается по плоскости (а, е)
вверх-вниз, поскольку его эксцентриситет испытывает вековую эволюцию.
При этом астероид совершает быстрые почти горизонтальные осцилляции
из-за вариаций большой полуоси, вызываемых близостью к резонансу; они
коррелируют с циркуляцией σ. Максимальный эксцентриситет
достигается, когда w — π $ = 0 и w — π$ = π; в этот момент положение
астероида следует сопоставлять с положением границ резонанса, нанесенных
тонкими линиями; минимальный эксцентриситет достигается, когда π —
— wl = π и π — Wq = 0, то есть когда ширина резонанса максимальна.
Конусообразная форма облака точек, отслеживающих эволюцию астероида,
говорит о том, что амплитуда осцилляции большой полуоси максимальна,
когда эксцентриситет проходит минимум своего векового цикла. Однако
согласно рис. 9.17 чем больше амплитуда осцилляции а, тем ближе
астероид к сепаратрисе резонанса. Поэтому мы можем заключить, что астероид
сильнее всего сближается с модулированным резонансом, когда π — w% = π
и π — Wq = 0. Тот факт, что нижний левый угол конусообразного облака
лежит вне области, ограниченной жирными кривыми, означает, что астеро-

9.4. Приближение модулированного маятника 251
о
со
о
ю
см
о
о
см
о
ю
Г-Н
о
е
о
Г-Н
О
ю
о
о
о
^2.78 2.79 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85
а, а. е.
Рис. 9.18. Результаты численного интегрирования уравнений нормальной формы
резонанса средних движений 5/2 с Юпитером. Учтены вековые изменения орбиты
Юпитера с частотами д5 и д6. См. комментарии в тексте. (Рис. 3 из статьи Морби-
делли и др., 19956; с разрешения Academic Press)
ид и при самом тесном сближении находится вне резонанса; в противном
случае следы осцилляции большой полуоси лежали бы внутри этой
области и они были бы центрированы на ~ 2.825 а. е. Таким образом, следует
вывод, что данный астероид находится вне хаотического слоя резонанса
средних движений 5/2.
Если мы хотим однозначно представить положение этого астероида
относительно резонанса 5/2, то естественно выбрать значения большой
полуоси и эксцентриситета его орбиты, соответствующие нижнему левому углу
конусообразного облака на рис. 9.18, (назовем их α я и ед), а в качестве
границ хаотического слоя взять жирные сепаратрисы. Таким образом, для
астероида и сепаратрис резонанса берутся одни и те же значения всех
углов (σ, π, tug, tug), причем в момент времени, соответствующий их самому
тесному взаимному сближению.
Однако не у всех резонансов средних движений динамика аналогична
показанной на рис. 9.18, поскольку она зависит от локальной амплитуды
вековых осцилляции эксцентриситета астероида и от амплитуды модуляции

252
Глава 9
0.26
0.24
0.22
ея
0.20
0.18
0.16
I I 1 1 | 1
семейство Фемидь
_
. . 1 1 |
1
о §о°8 °1
о° oV°vl
о * V» о 0 0 *J
о°о ft» % °oSj° °2&М
°о о° ο°θο00ββθ
- ft о о
I I I I I I 1
. . . 1
2/1
_
•
3789Жонггуо-
"
-
3.1 3.2
ая, а. е.
3.3
0.11
o.ioh
0.09
ея
0.08
0.071-
0.06
1 > | > 1
" семейство Гефион (г
/?
'. /о ° ° "*°
V^_o° 0
"..!..
1 'I
= 150 м/с)
° ш«о о °
о ° ° о* °
"Ъ «,
. . 1 .
5/2
и | ι
:т
-
'-
I 1 .
2.75
2.8
ая, а. е.
2.85
Рис. 9.19. Левая панель: расположение астероидов семейства Фемиды и граница
хаотической области резонанса 2/1 с Юпитером; указано также положение
астероида Жоннгуо — одного из немногих долгоживущих тел в резонансе 2/1 (см. главу 11).
Правая панель: то же, но для семейства Гефион и резонанса 5/2; в виде эллипса
показано ожидаемое распределение членов семейства Гефион согласно ударно-столк-
новительной модели. Об определении элементов ая и ея, обеспечивающем четкое
сопоставление положений астероидов и границ резонанса, см. текст. (Рис. 6 и 17 из
статьи Морбиделли и др., 19956; с разрешения Academic Press)
резонанса. Например, в случае резонанса 2/1 с Юпитером самое тесное
сближение астероида с хаотическим слоем резонанса имеет место, когда
π — vol = 0 и π — w§ = π, то есть когда астероид проходит максимум
своего векового цикла изменения эксцентриситета и амплитуда резонанса
минимальна. В случае резонанса 3/1 самое тесное сближение происходит
в промежуточной ситуации, когда π — πζ = π — π$ = π. Таким образом,
чтобы правильно представлять положение астероидов относительно границ
резонансов, необходимо для каждого конкретного случая резонанса
выбирать свои фазы вековых углов.
Морбиделли и др. (19956) осуществили первое систематическое
исследование расположения астероидов, принадлежащих к главным семействам,
относительно границ хаотических слоев соседних к этим семействам
резонансов. На рис. 9.19 показаны результаты для семейств Фемиды и Гефион,
находящихся вблизи резонансов 2/1 и 5/2 с Юпитером соответственно. Как
видим, в обоих случаях все астероиды расположены вне границы
хаотического слоя; причем их распределения как будто обрезаны вдоль точных

9.4. Приближение модулированного маятника 253
положений границ резонансов. Это наводит на мысль, что во время
формирования этих семейств из-за катастрофического разрушения родительских
тел некоторые астероиды были вброшены в резонанс. Впоследствии они
были удалены в результате динамического воздействия этих резонансов.
Поскольку семейства астероидов должны быть много моложе Солнечной
системы (что следует из анализа столкновительных явлений; см. Марцари
и др., 1995, 1999), это означает, что формирование люков Кирквуда является
не феноменом ранней Солнечной системы, а результатом действия
«некоего» механизма динамической неустойчивости, активного и сейчас (см. гла-
ву 11).

Глава 10
Трехтельные резонансы
10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении
Трехтельные резонансы принадлежат к общему классу резонансов
средних движений, но в отличие от двухтельных резонансов средних
движений, обсуждавшихся в главе 9, в них вовлечены орбитальные частоты
трех тел. Конкретно, трехтельные резонансы соответствуют соотношению
fciAi+fc2A2 + fc3A3 ~0, (10.1)
где Αι, А2, Аз — средние движения трех тел, a fci, fc2, к$ — ненулевые целые
числа. В данной главе мы потребуем, чтобы (10.1) не распадалось на два
соотношения
fciAi + (k2 -m)A2 ~0, гаА2 +/с3А3 ~ 0 (10.2)
для некоторого целого га. В противном случае трехтельный резонанс
является просто результатом наложения двух независимых двухтельных
резонансов средних движений (в случае точного наложения он называется
резонансом Лапласа) и может быть изучен, как описано в разделах 9.2.2
и 11.2.5.
Ввиду их важности в динамике планет, а также в динамике поясов
астероидов и Койпера, трехтельные резонансы заслуживают отдельной
главы. Если говорить о свойствах движения в резонансах, то в трехтельных
они в общем такие же, как и в двухтельных; однако, при том, что у
трехтельных резонансов коэффициенты гармоник квадратичны по массам
планет, у них сильнее проявляется мулыпиплетная структура,
обсуждавшаяся в предыдущей главе. Кроме того, не так просто понять происхождение
гармоник, относящихся к трехтельным резонансам, и вычислить их
коэффициенты, так как в исходном гамильтониане ((1.29) в астероидной задаче
и (1.38) в планетной задаче), записанном в модифицированных
переменных Делоне (см. соответственно (2.38) и (2.39)), нет гармоник, зависящих

256
Глава 10
от комбинаций средних долгот трех тел. Поэтому можно было бы наивно
посчитать, что трехтельных резонансов не существует, поскольку
коэффициенты соответствующих резонансных гармоник равны нулю. Конечно же,
это неверно. В этом разделе мы выясним, как возникают такие
резонансные гармоники. При этом мы будем различать прямой эффект, общий для
ограниченной и планетной задач, и косвенный эффект, присущий только
ограниченной задаче.
10.1.1. Прямой эффект
Гармоники, включающие комбинации средних долгот трех тел, скрыты
в исходном гамильтониане ((2.38) или (2.39)), но проявляются во втором
порядке по планетным массам, если осреднить гамильтониан по коротко-
периодическим членам, используя пертурбационный алгоритм. Мы уже
обсуждали это в разделе 2.5, а здесь детализируем процесс. Ограниченная
и планетная задачи формально эквивалентны; мы рассмотрим первую, где
запись выкладок проще.
Начнем с гамильтониана (2.38):
1 N
Η = Η0 + εΗι = -^ +YjnjAj + еИь (10.3)
где
TV
eUx = Y^SjH[j)(A,P,Q,X,p,q,Xj,Pj,qj), (Ю-4)
j=i
Uj — орбитальная частота j-ой планеты массы Sj, N — число планет в
системе. Напомним, что все планеты, как предполагается, движутся по
фиксированным кеплеровым эллипсам, поэтому pj, qj можно рассматривать как
параметры1, а действия Л^, сопряженные Xj, введены для того, чтобы
сделать гамильтониан независящим от времени.
В предположении, что среднее движение астероида не находится
в двухтельном резонансе со средним движением какой-либо планеты, все
гармоники в (10.4), зависящие от λ, Xj, можно удалить в порядке ε
путем усреднения. Согласно разделу 2.5 в алгоритме Ли усреднение
возмущения Ή,χ по быстрым углам λ, Xj осуществляется путем введения
^чет медленной прецессии pj, qj ничего не изменил бы в дальнейшем анализе. — Прим.
авт.

10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении 257
производящего гамильтониана χ такого, что
ч, (10.5)
Ι Ν /·2ττ ρ2π
где {/, g} — скобка Пуассона функций fug. Решение уравнения (10.5)
имеет вид
N
εχ = Σε**ω' (10·6)
i=i
где каждая χ^ — функция только от переменных, относящихся к астероиду
и j-ой планете.
В канонических переменных Λ1, jP1 , Q1, Λ^, Α1, ρ1, g1, А^
(полусредних модифицированных переменных Делоне), вводимых с помощью
рядов Ли 5^, а именно Λ = 5JA1,..., λ = SJA1,..., новый гамильтониан
приобретает вид
«1=«o+e(Wi+{«o,x}) +
+ ^ Q {{«о,х},х} + {Τίι,χ}) + 0(ε3). (10.7)
По построению, {Но, χ} = Hi — Ни поэтому гамильтониан (10.7) можно
переписать как
Η'=Η0+ εΗι + ε- {{Них} + {Ήι,χ}) + 0(ε3). (10.8)
Вспоминая выражения для Hi, Hi и χ в (10.4), (10.5) и (10.6), а также
определение скобки Пуассона, сразу находим, что ε2{Ηι,χ} и ε2{Ηι,χ}
имеют вид
Ν Ν Г дЪ,т л д*{к)<т л
εμίζ-^-ίΙ,φ,φι) ■ ——(Ι,φ,φΗ) -
ΣΣ
j=lk=l
8φ ^'^-" dl
Т. Ялу(к) 1
, (10.9)
dTt (9v(fc)
где через ^ обозначены Н[ или 7^х ; переменные I и φ —
канонические переменные «действие-угол» для астероида; переменные φ^ и φ^ —

258
Глава 10
углы j-ой и к-ой планет соответственно; через Jy · -Ц- обозначено
скалярное произведение двух градиентов. Таким образом, ε2{Ηι,χ} и ε2 {Ηι, χ}
содержат члены, связывающие переменные j-ой и к-ой планет.
Гармоники, включающие комбинации средних долгот астероида и двух
планет (относящиеся, таким образом, к трехтельным резонансам),
появляются в ε2 {Ηι, χ}. Их коэффициенты прямо пропорциональны произведению
масс резонансных планет, то есть SjSk·
Чтобы построить нормальную форму трехтельного резонанса до
второго порядка по массам планет, усредним гамильтониан (10.8) по всем
нерезонансным комбинациям быстрых углов λ1, λ] (j = 1,..., Ν),
оставляя только вековые и резонансные гармоники. В принципе это требует
введения нового производящего гамильтониана χ2 и новых переменных
(Λ2, Р2, Q2, Λ2!, λ2, ρ2, q2, λ2) посредством канонического преобразования
Л1 = S£2Л2,..., λ1 = S^2X2, Как обычно (см. раздел 2.5.2),
производящий гамильтониан выбирается так, чтобы
{Η0,χ2}+Η2=Η2, (10.10)·
где Н2 = |({Wi,x} + {Hi,χ}), а Н2 — функция, в которой сохранены
только гармоники Н2 вида
ехр
*(fciA£ + к2Х22 + к\2 + mipj, +
(10.11)
+ m2pj2 + riqh + r2qj2 + rnp2 + rq2
с целыми fci, k2, к, либо равными нулю (что соответствует вековым
членам), либо удовлетворяющими резонансному соотношению kirij1 -\-k2rij2 +
+ к/А3 ~ 0, где rij1 и nj2 — средние движения резонансных планет с
индексами ji и j2.
10.1.2. Косвенный эффект
Косвенный эффект специфичен для ограниченной задачи, где
полагается, что движение планет описывается известными функциями времени,
и только движение безмассового астероида вычисляется из гамильтоновых
уравнений. Напротив, в планетной задаче, где движение всех тел
вычисляется самосогласованно, исходя из глобального гамильтониана (2.39)), о
косвенном эффекте беспокоиться незачем.

10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении 259
В предыдущих разделах этой книги, изучая динамику астероидов, мы
всегда предполагали, что планеты движутся по фиксированным кеплеро-
вым орбитам или же по орбитам, медленно прецессирующим согласно
решению Лагранжа- Лапласа (7.10); в обоих случаях полагалось, что средние
долготы планет являются линейными функциями времени, а все остальные
элементы планетных орбит не испытывают короткопериодических
колебаний. Для изучения трехтельных резонансов этот уровень аппроксимации
недостаточен.
В реальности орбитальные элементы всех планет испытывают корот-
копериодические колебания из-за взаимных планетных возмущений. Явные
выражения для этих колебаний получаются при построении вековой
нормальной формы планетной задачи, как описано в разделе 2.5.
Косвенный эффект состоит в возмущениях движения астероида,
возникающих из-за короткопериодических колебаний орбитальных элементов
планет. Гамильтониан, учитывающий этот эффект, можно построить путем
подстановки в возмущающую функцию вместо оскулирующих планетных
элементов их выражений через средние элементы. Средние элементы по
определению свободны от короткопериодических колебаний; средние
долготы являются линейными функциями времени. Поэтому получается
выражение, формально эквивалентное (2.38), но с λ1?..., Адг в качестве средних
долгот планет; однако итоговое возмущение Н\ уже нельзя более
записать как сумму возмущений от отдельных планет. Фактически в результате
проделанной подстановки вводятся гармоники, связывающие средние
элементы планет и имеющие коэффициенты, квадратичные по массам планет.
Среди этих гармоник присутствуют, среди прочих, и относящиеся к
любому заданному трехтельному резонансу. Для практических целей часто
бывает достаточно рассматривать только короткопериодические колебания
элементов орбиты главного возмущающего тела, то есть Юпитера для пояса
астероидов, а для пояса Койпера — Нептуна.
Далее мы детально рассмотрим процедуру подстановки вместо
оскулирующих планетных элементов их выражений через средние элементы,
следуя подходу Несворного и Морбиделли (1999). Чтобы обеспечить явный
и конструктивный алгоритм, этот подход использует разложения в ряды.
Без потери общности мы рассмотрим в возмущающей функции (10.4)
только член Н[ , относящийся к j-ой планете. Ограничимся для
простоты плоским случаем, то есть положим наклонения орбит астероида и
планет равными нулю (процедура замены планетных орбитальных элементов
в возмущающих членах, зависящих от наклонений, аналогична
описываемой).

260
Глава 10
Классическое разложение Лежандра для e{W{ записывается как
£jH{5) = ~Σ ри{а)ерер cos Фи, (10.12)
J и
где $!и = kjXj + кХ + IjWj + lw (мультииндекс и обозначает набор
значений целых Щ, к, lj, I), a = a/aj. Через а3 е, λ, π обозначены большая
полуось, эксцентриситет, средняя долгота и долгота перигелия астероида
соответственно. Индекс j обозначает принадлежность к соответствующей
планете. Благодаря правилам Даламбера kj + к + Ц + / = 0, Ρ = \1\ + 2га
и Pj = \lj\ + 2п, где га, n — положительные целые числа. Как вычислить
функции Ри(ос) в (10.12), описано в статье Шидлиховского (1990).
Разложение (10.12) содержит оскулирующие элементы
рассматриваемой планеты: oj, Aj, ej и wj. Зависимость этих переменных от средних
элементов планетной системы можно записать в следующем виде (см. Бре-
таньон, 1990):
аз = йз + Σ Αυ С0Бфу + 0(ε2), (10.13)
υ
Хз = *3 + Σ Βν sin Φυ + °^2)' (10.14)
ν
ejexp(LWj) = ejexp(LWj) + ^^Cv βχρ(ίΦυ) + 0(ε2), (10.15)
ν
где Φυ = r^Aj + SjWj + rjAj + SjWj (мультииндекс ν обозначает
набор значений целых rj, rj, Sj, Sj и индекса j φ j). Через aj, ej, Xj
и Wj обозначены средние большая полуось, эксцентриситет, средняя
долгота и долгота перигелия j-ой планеты. Напомним, что средняя большая
полуось постоянна, средняя долгота является линейной функцией времени,
а средняя долгота перигелия испытывает лишь вековые изменения.
Константы Av, Bv, Су пропорциональны массе Sj j-ой планеты. Символ О (ε2)
обозначает, что пренебрегаемые члены по меньшей мере квадратичны по
массам планет. Если бы мы рассматривали пространственную задачу, то
зависимость г j exp(^j) от средних элементов планет имела бы ту же форму,
что и (10.15).
Выражения (10.13)—(10.15) можно подставить в уравнение (10.12), что
сделает Н[ функцией от средних элементов. Однако возмущающую
функцию следует подвергнуть определенным упрощениям, чтобы записать ее
явно в виде рядов Фурье по косинусам. Подстановки выражений (10.13),

10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении 261
(10.14) и (10.15) удобно осуществлять по отдельности, так как они требуют
разных технических процедур.
Подстановка а^
Чтобы подставить (10.13) в (10.12), прежде всего запишем Ρ (о) как
многочлен по а:
Р(а) = ^Рпап, (10.16)
-(п+1)
а затем подставим (10.13) в каждый член:
—ап = ап I Щ + ^2 Ay cos ф^
= —ап - (п+ 1) =~ ап S^ Av cos Φν,
(10.17)
где а = a/aj, a — большая полуось орбиты астероида. Все члены в
тейлоровском разложении, по порядку величины равные А% или меньше, здесь
отброшены, так как они по меньшей мере квадратичны по планетным
массам.
Подставляя (10.17) в (10.16), имеем
-Р(а) = гГРпап-1ГРп(п+1)апГ^со8Ф„. (10.18)
а? а?с—' а% *-^ *-^
J J n J η υ
При подстановке (10.18) в (10.12) первый член (10.18) дает исходное
тейлоровское разложение возмущающей функции, но теперь со средней
большой полуосью CLj вместо оскулирующей aj. Второй член генерирует новые
гармоники cos Фи cos Φν = |(cos(^u + Φν) + cos(^u — Φν)) с
коэффициентом
-εφ_Αν ί Σ Ρη(η + 1)α" j epep, (10.19)
квадратичным по массам планет.
Подстановка λ^
Подставляя (10.14) в (10.12), запишем
cos $!и = Re exp
Μ ^u + Σ kiBy sin Φν j

262
Глава 10
где Re обозначает вещественную часть, а Фи = kjXj + кХ + IjWj + lw. Так
как
exp [tkjBy sin Φυ) = ^ Jn(kjBv) exp (тФ^),
η
где коэффициенты представляют собой функции Бесселя
г>0
Jn(z) = (-l)nJ_n(z) (если η < 0),
имеем
Ыи + ^2к5Ву8тФу\ =
= ехр (№и) J] ί ^ Jn(kjBv) exp (тФ,) J . (10.20)
Так как коэффициенты Βυ пропорциональны массам планет, для (10.20)
можно получить приблизительное выражение, сохранив в Βυ только
линейные члены; тогда
Jo^l, Ji(kjBv)^
K<]±Jy
J-i.(k3Bv) Si -
K<]£jy
и отсюда
exp [б(Фи + ^ %Βυ sin Φυ)] = exp (^Фи) + ^ Σ *^ exp W^w + Φυ^ "
V V
~ 2 Σ fc^v exp №u ~ Φν)ΐ·
(10.21)
Теперь в (10.12) вместо соэФ^ подставим вещественную часть (10.21):
первый член в правой части (10.21) дает гармонику совФ^, то есть
исходную гармонику с формальной заменой оскулирующей Xj на среднюю
долготу Xj\ а два остальных члена дают гармоники соз(Фг4+Ф1;) и cos(^ — Φυ)
с коэффициентами
±-2-kjBvP(a)epe"5
р~ъ
'2а
(10.22)

10.1. Происхождение резонансных членов в возмущении 263
квадратичными по массам планет; здесь знак «плюс» соответствует
аргументу ^и + Φυ, а «минус» — аргументу Фи — Φν.
Подстановка ej exp lwj
Прежде всего, используя представление через экспоненциальную функцию
и полагая, что Ц ^ 0, запишем
e?ne^ exp (djWj)
ej exp (iWj) + 2_. Cv exp (ьФУ)
ё^ехр (—LWj) + 2_\ ^v exp (—ьФУ)
ν
ej exp (iWj) + 2^, Cv exp (ίΦυ)
Выполним биномиальное разложение каждого из множителей и учтем
только члены, линейные по Cv\ тогда имеем
02njj
2n-h
ejnejJ exp (djWj) = e^ne/ exp (djWj) +
+ ё?пё/ exp {djVJj) χ
(η + l^ej1 exp (—их^) ^С7„ехр(4Ф„)+ (Ю.23)
L ν
+ пё^"1 exp (ti%) 2^ Cv exp (—^Φυ)
V
Аналогично имеем
e?ne/ exp (-djWj) = ё?пё/ exp (-л^-) +
-f ё?пё/ exp (-djWj) χ
χ (n + Z^ef^xp^jJ^C^expi-^) + (10.24)
L ν
+ тгё^"1 exp (—lwj) Y^ Cv exp (^Φυ)

264
Глава 10
Таким образом, сделав подстановки (10.23) и (10.24) в члене e^cosVl/u
из (10.12), мы получаем ёуJcos^u, где Фи = kjXj + кХ + ijtuj + lw, (то
есть тот же самый член, но с формальной заменой ej и wj на ёу и tuy) плюс
новые гармоники по Фи + Φυ — Wj и Ф^ — Φν + ш^. Коэффициенты этих
гармоник соответственно равны
(n + L-)^C„P(a)epefJ_1 и n^C„P(a)epefJ~\ (10.25)
ay aj
Опять же эти коэффициенты квадратичны по массам планет.
10.1.3. Учет обоих (прямого и косвенного) эффектов
в астероидной задаче
Рассмотрим теперь, как можно учесть оба члена (и косвенный, и
прямой) при построении нормальной резонансной формы для трехтельного
резонанса. Прежде всего, используя рецепт, описанный в разделе 10.1.2,
и вводя модифицированные переменные Делоне (Λ,Ρ, Q, λ, ρ, q) для
астероида, запишем возмущение в ограниченной задаче как
N
TV
(10.26)
где функции Н[ — те же, что и в (10.4), но с формальной заменой
Aj;, Wj, Qj на Xj,u7j,Clj, а каждая из функций Ύν£ зависит только от
средних модифицированных переменных Делоне j-ой и /с-ой планет. Средние
долготы планет Xj являются линейными функциями времени с
частотами Uj. Чтобы упростить обозначения, здесь и далее черточки сверху мы
отбрасываем и средние долготы обозначаем просто как Aj.
Теперь, как обычно, запишем гамильтониан астероидной задачи в
автономной форме, введя действия Л^, сопряженные Xj, и добавив член
V. rijAj к интегрируемой части гамильтониана. Тогда гамильтониан
астероидной задачи становится формально тождественным (10.3), за
исключением того, что здесь добавляется член V ■ Σα^ϊ ^je^2 » квадратичный
по массам планет, а также члены более высоких порядков.

10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты
265
Усреднение гамильтониана по быстрым углам λ, λ^ в первом порядке
по ε проводим так же, как в разделе 10.1.1; в результате до второго порядка
по массам планет имеем
2 Ν
е2Н2 = £- ({Wi,*} + {Wi,*}) + ££ε^Ρ\ (10.27)
J'=l ^Фз
где первые два члена в правой части те же, что и в (10.8). Таким
образом, возмущающие члены в усредненном гамильтониане во втором
порядке по массам планет представляют собой просто сумму членов,
обусловленных прямым эффектом, и членов, обусловленных косвенным эффектом.
Построение нормальной формы для трехтельного резонанса затем можно
выполнить так, как объяснено в конце раздела 10.1.1.
10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты
Как только нормальная форма для трехтельного резонанса построена,
далее можно действовать так же, как описано в разделе 9.3 для случая двух-
тельных резонансов средних движений. Вековую прецессию планетных
орбит учитываем, полагая, что средние планетные элементы эволюционируют
согласно решению Лагранжа-Лапласа (7.10), и вводим углы w* = Qjt +
+ pj и Ω!- = Sjt + Sj. Чтобы сделать гамильтониан автономным, вводим
действия Кд. и KSj, сопряженные π* и Ω* (j - 1»···»Α0, и добавляем
к гамильтониану член Y^AgjKgj + SjKSj).
Таким образом, нормальная форма для трехтельного резонанса к\Х31 +
+ k2Xj2 + кХ ~ 0 записывается как
W3BR = -^д2 + ПЛЛЛ + П32А32 +
N
+ Σ(&4- + 5AJ +ε7ίι(ρ,ρ,τΛ7*,Ω*) +
3 = 1
+ e2H2{ki\3l + k2Xh +k\,vj\n*,p,q),
где rij1 = Xj19 rij2 = Xj2 и, как и в предыдущих главах, через νσ* и Ω*
обозначены векторы с компонентами π* и Ω!· соответственно. Функции
Н\ и Н2 в (10.28) обе зависят от переменных действия Л, Р, Q астероида,
(10.28)

266
Глава 10
а 7^2 можно разложить в ряд Фурье:
У>2= Σ cm)U)V,s,r(A,P,Q)exp(^m)U)V)S)r), (10.29)
ra,u,v,s,r
где crm)U)V)S)r = m(/ciAJ1 + &2 Aj2 + k\) + u · νσ* + ν · Ω* + sp + rg; га, r, 5 —
целые числа; u = (tti,..., ttn) и ν = (г>х,...,г>п) — векторы с
целочисленными компонентами такими, что т(к + fci + &г) — 5 — г + ^ .(ttj + Vj) = 0.
Согласно разделу 9.3 каждый из углов am)U)V)S)r является независимым
резонансным углом, поэтому трехтельный резонанс расщепляется на муль-
типлет резонансов. Так как коэффициенты резонансных гармоник являются
величинами порядка ε2, ширина по большой полуоси у отдельного
резонанса в мультиплете составляет ~ ε. Разделение резонансов в мультиплете по
большой полуоси пропорционально частотам прецессии вековых углов,
поэтому оно также должно быть порядка ε. Таким образом, можно ожидать,
что для типичного трехтельного резонанса характерно частичное
перекрытие субрезонансов в мультиплете. Несворный и Морбиделли (1999) путем
численных расчетов определили мультиплетную структуру некоторых
важнейших трехтельных резонансов в поясе астероидов.
В таблице 10.1 дан список главных гармоник мультиплета резонанса
5Aj — 2As — 2λ ~ 0 (далее мы называем его трехтельным резонансом 5-2-2),
где Aj и As — средние движения Юпитера и Сатурна, а А — среднее
движение астероида. Этот резонанс расположен в поясе астероидов на расстоянии
около 3.17 а. е. от Солнца. В первой колонке таблицы 10.1 дан
порядковый номер гармоники, во второй — комбинация долгот перигелиев u^w^ +
+ uqWq — sw, соответствующая резонансному углу <71)(0)...)o,lt5)lt6)o...))o,s,o
(далее обозначаемому для простоты как &u5,u6,-s)· В третьей колонке дано
значение большой полуоси ares, при котором угол aU5tU6i-s является в
точности резонансным с учетом частот прецессии перигелиев. Наконец, в
последней колонке дан коэффициент гармоники Οι^ο,.,.,ο,ιΐδ,ιΐβ,ο.-ΟΑβ,ο (далее
обозначаемый как cU5}U6,-s) в функции эксцентриситета астероида.
Вычисления проведены в рамках плоской задачи, поэтому члены, включающие
наклонения и долготы узлов, не приводятся.
Как видно из таблицы 10.1, доминирующей гармоникой в мультиплете
является первая. Ее резонансный угол равен σο,ο,-ι = 5Aj — 2As — 2λ —
— π, а слагаемое в коэффициенте этой гармоники, линейное по
эксцентриситету, равно 45.59 χ 10-8е. Эта гармоника в основном порождается
вкладом ej exp(iwj) косвенного эффекта; говоря более конкретно, большая

10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты
267
величина ее коэффициента объясняется благоприятной комбинацией члена
Φν = Xj - 2λδ + шл в (10.15) и члена Фи = 4Aj - 2λ - w3 - π в (10.12).
Таблица 10.1. Коэффициенты гармоник трехтельного резонанса 5-2-2.
(Таблица 3 из статьи Несворного и Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)
Τίο
"1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Долготы перигелиев
—w
-π\
— Wq
τσί — τσΙ — π
—w% + w% — vj
-2wl + w
-2wq + w
—w% — wq + w
—2wl + Wq
το% — 2wq
zu$ — 2zu
Wq — 2zu
2ζυ$ — 3zu
2wq — Szu
ζυ$ -\- wq — 3zu
Ores — 3.17
(10~3a.e.)
5.08
4.33
4.44
5.19
4.97
3.57
3.79
3.68
4.21
4.55
5.83
5.72
6.58
6.36
6.47
"(КГ*)
45.59e - 32.24e3
-2.76 + 0.93e2
1.18-0.38e2
-3.82e + 2.07e3
-7.39e - 2.98e3
0.15e + 0.73e3
0.03e + 0.14e3
-0.13e-0.60e3
0.01 + 0.07e2
0.01
-23.5e2
23.2e2
0.64e3
1.42e3
3.41e3
Структура мультиплета трехтельного резонанса 5-2-2 довольно
сложна. Из таблицы 10.1 можно видеть, что мультиплет состоит из субмуль-
типлетов, образуемых почти полностью перекрывающимися резонансами.
Например, резонансы 4 и 5 перекрываются с резонансом 1 (у них почти
равные резонансные значения большой полуоси и к тому же их
коэффициенты единообразно зависят от эксцентриситета астероида). Аналогично,
резонансы 3 и 9 перекрываются с резонансом 2; резонанс 12
перекрывается с резонансом 11; резонансы 13 и 14 перекрываются с резонансом 15;
резонансы 7 и 8 перекрываются с резонансом 6. Как мы помним, согласно
разделу 9.4, когда у резонансов разделение гораздо меньше ширины,
динамика подобна динамике модулированного маятника. Таким образом,
каждый из этих субмультиплетов можно рассматривать как резонанс в модели
модулированного маятника.
К тому же эти резонансы, подобные модулированным маятникам,
сами перекрываются; см. рис. 10.1, где изображены сепаратрисы резонансов
1,2, 11, 15 и 6 (доминирующих компонент субмультиплетов) согласно
таблице 10.1. Это перекрытие следует считать ответственным за общую
глобальную хаотичность трехтельного резонанса 5-2-2. Только при больших

268
Глава 10
20 40 60
(α-3.17) χ 10000
80
100
Рис. 10.1. Сепаратрисы пяти субрезонансов трехтельного резонанса 5-2-2. (Рис. 2
из статьи Несворного и Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)
эксцентриситетах, где резонанс 1 много шире всех остальных резонансов,
следует ожидать наличия центрального острова устойчивого движения, как
у модулированного маятника типа (9.20) при относительной амплитуде
модуляции α < 1.
Приблизительное представление о динамике, порождаемой такой
мультиплетной структурой, можно получить путем расчета сечений
Пуанкаре в упрощенной модели, включающей только две главные гармоники из
приведенных в таблице 10.1. Эта модель дается гамильтонианом
1
2Λ"2
+ ββ2 + c0,o,-icosa0,o,-i + c_i)0,ocosa_i)0,o· (10.30)
Фактически этот гамильтониан представляет собой упрощенную версию
модели (10.28), где теперь учтены только две гармоники из ε27^2> а вековая
часть еН\ сведена к единственному члену ре2.
Η
+ njAj + nSAS + Яъ^дъ +

10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты
269
σ 0
-5Е-3 О 5Е-3 О 5Е-3
α-3.1751 "5Ε"3 α-3.1751
Рис. 10.2. Сечения Пуанкаре модели (10.30) трехтельного резонанса 5-2-2.
Большая полуось и угол σ = σο,ο,-ι отображаются при w — νο% =0. (Рис. 3 из статьи
Несворного и Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
Таблица 10.2. То же, что и в таблице
(Таблица 6 из статьи Несворного и
Academic Publishers)
10.1, но для трехтельного резонанса 6 1-3.
Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Долготы перигелиев
—\тя
—ν&§ — Зш
—Wq — 3zu
—2ζυ$ — 2хи
—2vjq — 2ш
—w% — z&q — 2w
—3tU5 — W
—Zvjq — vj
— 2zUs — VJq — W
—vj^ — 2vjq — vj
Ores O.lO
(10_3a.e.)
8.88
8.50
8.57
8.13
8.27
8.20
7.75
7.96
7.82
7.89
Cu5.ti6.-s
(10"ё)
-28.45e4
10.52e2
-16.84e3
-1.28e2
-1.16e2
3.39e2
0.07e - 0.20e3
-O.Ole3
-0.22e + 0.43e3
0.17e-0.42e3
На рис. 10.2 показаны сечения Пуанкаре на четырех энергетических
поверхностях; в правом верхнем углу каждой из панелей приведено
значение эксцентриситета, при котором соответствующая энергетическая по-

270
Глава 10
4
2
σ 0
-2
-4
-5Е-3 О 5Е-3
α-3.1751
Рис. 10.3. Сглаженная траектория астероида 3460 Ашкова в наложении на сечение
Пуанкаре трехтельного резонанса 5-2-2 при е = 0.2. (Рис. 4 из статьи Не сворного
и Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer Academic Publishers)
верхность Η = const (с Н как в (10.30), причем углы положены
равными нулю) проходит через резонансное значение большой полуоси ares =
= 3.1751 а. е. На таких энергетических поверхностях эксцентриситет
примерно постоянен в принятом на графике интервале значений большой
полуоси.
На трех панелях, соответствующих е = 0.05, 0.1 и 0.15, хаос заполняет
почти все резонансное пространство. Только на панели с е = 0.2
относительно большую долю фазового пространства занимает регулярная область
в центре, как и можно было ожидать, исходя из того, что при таком
значении эксцентриситета субрезонанс с углом σο,ο,-ι почти в два раза шире
субрезонанса с углом σ-^ο,ο (см. рис. 10.1). Разумеется, реальная
динамика гораздо сложнее представленной на рис. 10.2, так как модель (10.30)
является очень упрощенной. Однако интегрирование полных уравнений
движения астероида 3460 Ашкова подтверждает существование
квазирегулярной области внутри этого трехтельного резонанса при е ~ 0.2. На
рис. 10.3 показана эволюция орбиты астероида Ашкова за 105 лет (причем
короткопериодические колебания эволюции сглажены путем фильтрации),
наложенная на соответствующее сечение Пуанкаре для модели (10.30).
Отметим, что на данной шкале времени имеется довольно хорошее согласие.

10.2. Трехтельные резонансные мультиплеты
271
ι—ι L
о [
°70
\/ "' I 6
/ ι' 9
75
95
100
80 85 90
(а-3.13) χ 10000
Рис. 10.4. Сепаратрисы четырех субрезонансов трехтельного резонанса 6 1-3.
(Рис. 8 из статьи Несворного и Морбиделли, 1999; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)
Однако на больших временах орбита астероида Ашкова становится явно
нерегулярной; ее ляпуновское время составляет около 8300 лет.
Перекрытие резонансов в мультиплете ответственно за хаос также
и в большинстве случаев других трехтельных резонансов низкого
порядка. Несколько дополнительных примеров приведено в статье Несворного
и Морбиделли (1999). Только у резонансов относительно высоких порядков
по эксцентриситету компоненты мультиплета разделяются уже при малом
эксцентриситете.
В качестве примера можно привести трехтельный резонанс 6 1-3 (4-го
порядка по эксцентриситету). В таблице 10.2 даны коэффициенты
гармоник, а на рис. 10.4 изображены сепаратрисы его субрезонансов. Согласно
рис. 10.4 область неперекрытия субрезонансов простирается до е ~ 0.07, то
есть до величины порядка амплитуды вековых колебаний эксцентриситета
астероида, вынуждаемых Юпитером.

272
Глава 10
Если рассматривать трехтельные резонансы все более высокого
порядка, то ширина у всех резонансных компонент должна убывать, тогда как
расстояние между ними должно оставаться по порядку величины одним
и тем же (так как оно определяется частотами вековой прецессии
перигелиев). Поэтому область неперекрытия субрезонансов должна простираться
до еще больших эксцентриситетов, чем наблюдается на рис. 10.4.
Следовательно, динамика трехтельных резонансов очень высоких порядков по
эксцентриситету должна быть в основном регулярной.
10.3. Пояс астероидов и пояс Койпера
Трехтельные резонансы с Юпитером и Сатурном чрезвычайно
важны для понимания хаотической структуры пояса астероидов. Весьма
ясный пример дает рис. 10.5 (из статьи Мюррея и др., 1998), где показано
ляпуновское время (величина, обратная максимальному показателю
Ляпунова) в функции начального значения большой полуоси во внешней части
пояса астероидов. График на левой панели построен в модели,
учитывающей только возмущения от Юпитера на прецессирующей вековым образом
кеплеровой орбите, а график на правой панели — в модели с учетом и
Юпитера, и Сатурна (а также Урана и Нептуна), взаимодействующих друг с
другом.
Как уже обсуждалось в разделе 5.2 (см. рис. 5.5), минимумы
зависимости вычисленного ляпуновского времени от начальных условий выявляют
расположение хаотических областей, а горизонтальные плато, где
ляпуновское время почти постоянно, соответствуют областям, где влияние
резонансов несущественно и динамика поэтому регулярна. Тот факт, что
вычисленное ляпуновское время в этих регулярных областях небесконечно,
объясняется тем, что время интегрирования конечно. Имея в виду эти соображения,
на левой панели рис. 10.5 (то есть в модели с учетом возмущений только
от Юпитера) можно отождествить несколько изолированных хаотических
областей, разделенных интервалами, где движение регулярно. А на правой
панели, то есть в модели, включающей и Сатурн, динамика существенно
хаотична во всем рассматриваемом диапазоне значений большой полуоси.
С точки зрения резонансной структуры эти две модели отличаются друг
от друга тем, что во второй из них есть трехтельные резонансы «Юпитер-
Сатурн - астероид».
Причина столь сильного влияния трехтельных резонансов на
хаотическую структуру пояса астероидов состоит в том, что они гораздо многочис-

10.3. ПОЯС АСТЕРОИДОВ И ПОЯС КОЙПЕРА
273
1
2'
й о
3.7
а, а. е.
3.8
ю
о
J£b
о л о
Г-Н W
X
Η 5
Л
Я о
*1 Is
^ а со
о« л о
гН - Ю Г-Н
о л о
Г-Н Ч гН
о
а, а. е.
3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 ^
0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75
а, в юпитерианских единицах
е?
0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76
а, в юпитерианских единицах
Рис. 10.5. Ляпуновское время в зависимости от большой полуоси (во внешней
части пояса астероидов). Панель слева: в модели учитываются только возмущения от
Юпитера, причем предполагается, что последний движется по эллиптической
орбите, которая эволюционирует вековым образом согласно (7.10). Панель справа:
в модели учитываются возмущения от всех четырех планет-гигантов,
взаимодействующих друг с другом; вверху графика отождествлены резонансы средних
движений с Юпитером, все другие хаотические зоны предположительно соответствуют
трехтельным резонансам. (Рис. 1 и 4 из статьи Мюррея и др., 1998; с разрешения
Американского астрономического общества)
леннее имеющих сравнимую силу обычных резонансов средних движений
с Юпитером, так как включают три частоты средних долгот. Чтобы
продемонстрировать это свойство наглядно, на рис. 10.6 отмечены
(вертикальными линиями) положения как двухтельных, так и трехтельных резонансов
средних движений в диапазоне значений большой полуоси от 2 до 4 а. е.,
покрывающем весь пояс астероидов. Для двухтельных резонансов средних
движений с Юпитером (красные линии) высоты линий определяются
формулой 10—q, где q — порядок резонанса по эксцентриситету; таким образом,
показаны все резонансы до 9-го порядка включительно. Для трехтельных
резонансов средних движений (синие линии) высоты линий задаются
иначе, а именно, как 7 — q. Так сделано, чтобы учесть, что коэффициенты
гармоник трехтельных резонансов квадратичны по массам и что в случае
е = 0.066 масса Сатурна составляет « е3 (в солнечных единицах);
другими словами, при эксцентриситете 0.05-0.10 трехтельный резонанс
порядка q должен иметь приблизительно ту же силу, что и двухтельный резонанс
с Юпитером порядка q + 3. Использование такого приема при задании вер-

274
Глава 10
ι ι ι , ι
; ι ι Ι ι
ι] Ι π ι
11 if
II
■Ι ι
III Ι Ί
hi II ι
ι h πι π
ι iiInii НИ
1 1 1 EMI ' il II 1
.1 il 111 111! J If
, L I ■ I II I' HJULJ1 I IU 141 I' I !l_ill_ I IJUULLUitU J-J-JL ШШ-1 JLiUJ
2 2.5 3 3 5 4
большая полуось, а. е.
Рис. 10.6. Расположение резонансов средних движений kjXj кХ ~ 0 с k.i+к ^ 20
(жирные красные линии) и трехтельных резонансов fc.jA.j + ksXs + Α:λ ~ 0 с |Агj | -+
+ \ks\ -+- \к\ ^ 20 (тонкие синие линии) в поясе астероидов. Вертикальная шкала
характеризует относительную силу резонансов (По данным Несворного и Морби-
делли. 1998: адаптировано)
тикальной шкалы рис. 10.6 позволяет качественно охарактеризовать
относительную силу резонансов; при этом высокая концентрация трехтельных
резонансов становится очевидной.
В отличие от резонансов средних движений с Юпитером низкого
порядка, настолько мощных, что они выводят астероиды из мест
расположения резонансов (по причинам, которые будут объяснены в следующей
главе), трехтельные резонансы не вызывают каких-либо заметных минимумов
в распределении астероидов. Как следствие, большинство хаотичныхреачь-
ных астероидов находится в трехтельных резонансах. На рис. 10.7 показаны
значения большой полуоси, эксцентриситета и наклонения для каждого из
836 астероидов, хаотичность которых была выявлена Фрешле и др. (1997)
в модели с учетом возмущений от четырех планет гигантов. При
построении графика использованы собственные элементы Милани и Кнежевича
(1994) либо оскулирующие элементы, если собственные не определены. На
нижней панели показано расположение некоторых важнейших резонансов
средних движений с Юпитером (жирные линии) и трехтельных резонансов
«Юпитер-Сатурн-астероид» (тонкие линии). Высоты этих линий
масштабированы так же, как на рис. 10.6. Чтобы не загромождать график, показана
только часть резонансов, изображенных на рис. 10.6.

10.3. ПОЯС АСТЕРОИДОВ И ПОЯС КОЙПЕРА
275
I ' Г · I ' 1 Ί 1 ' Г ' I , Г ' ί ' Ί ' Η I ' Ί
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
α, а. е.
Рис. 10.7. Нумерованные астероиды, сильно хаотичные благодаря возмущениям со
стороны планет-гигантов (согласно Фрешле и др., 1997). Положения важнейших
двухтельных и трехтельных резонансов отмечены вертикальными линиями. Высоты
линий масштабированы как на рис. 10.6. Над каждой линией приведены
целочисленные коэффициенты, характеризующие резонанс: через fcj fcs к обозначены трех-
тельные резонансы fcjAj + ksXs + кХ ~ 0, а через kj/k — двухтельные резонансы
kjXj — кХ ~ 0. (Рис. 5 из статьи Несворного и Морбиделли, 1998; с разрешения
Американского астрономического общества)
Из графика видно, что хаотичные астероиды в своем большинстве
скапливаются вдоль линий, легко отождествляемых с двухтельными и трех-
тельными резонансами умеренных порядков. Двухтельные резонансы
средних движений 7/2, 10/3, 11/4, 8/3, 9/4, 13/6 (и т. д.) и трехтельные
резонансы средних движений 4-1-1, 3 1-1, 4-2-1, 5 3-2, 5 2-2, 2 2-1, 4-3-
1, 5 1-2, 3-1-1, 6 2-3, 5-2-2, 5 3-3 (и т. д.), по всей видимости,
содержат большинство хаотичных астероидов главного пояса. Эти очевидные
корреляции были подтверждены Несворным и Морбиделли (1998) путем
анализа фильтрованных (сглаженных) зависимостей резонансных углов от
времени, полученных численным интегрированием на интервале времени

276
Глава 10
105 лет. К трехтельным резонансам были однозначно отнесены 255
астероидов, а к двухтельным резонансам средних движений с Юпитером — 63.
Так как исходный список из 836 хаотичных астероидов была составлен
Фрешле и др. (1997) на основе анализа динамики первых 5400
нумерованных астероидов — числа, составлявшего менее 1/6 от числа всех
каталогизированных астероидов, Несворный и Морбиделли заключили, что
из-за трехтельных резонансов должны быть хаотичными по меньшей мере
1500 реальных астероидов, а из-за резонансов средних движений с
Юпитером — 380.2 Заметим, что эти оценки, должно быть, сильно занижены,
потому что эффективность отождествления (отнесения хаотичного
астероида к конкретному резонансу) у Несворного и Морбиделли (1998) не
превышала 50% (318 астероидов, отнесенных к резонансам, из 836), а также
потому, что в работе Фрешле и др. (1997), основанной на расчетах быстрых
индикаторов Ляпунова за время 50000 лет (см. раздел 5.4.1), скорее всего,
были выявлены лишь наиболее хаотичные астероиды. С другой стороны,
отношение 255/63 (числа тел в трехтельных резонансах к числу тел в двух-
тельных резонансах) не должно искажаться в расчетах и поэтому должно
отражать реальное положение дел в поясе астероидов.
Как видно из рис. 10.7, большинство хаотичных астероидов
сконцентрировано в области между 3.1 а. е. и 3.25 а. е. при е > 0.1; при этом в
отличие от ситуации в других частях пояса в данной области они не
скапливаются четко вдоль прямых а ~ const. Динамику в этой области детально
изучили Несворный и Морбиделли (1998). Сплошная кривая на рис. 10.8
показывает зависимость максимального показателя Ляпунова (МПЛ) от
большой полуоси; эта зависимость построена по результатам интегрирования
орбит пробных частиц с учетом возмущений от четырех планет-гигантов
(время интегрирования 2 млн лет). Нижняя, средняя и верхняя панели
относятся к астероидам с начальным эксцентриситетом, равным 0.05, 0.15
и 0.25 соответственно. Пунктирные кривые показывают относительное
изменение частоты долготы перигелия астероида за время 1 млн лет.
Согласно главе 5 расчеты МПЛ и частотный анализ дают взаимодополняющую
информацию: МПЛ характеризует уровень хаотичности, а относительное
изменение частоты долготы перигелия — скорость хаотической диффузии
в пространстве частот. Напомним, что в обоих случаях наличие плато на
2Согласно современным данным, полученным на основе выборки, состоящей из ~ 250000
астероидов, в существенных трехтельных резонансах находится примерно 1 % всех
астероидов (Smirnov Ε.Α., Shevchenko I.I. (2013) Massive identification of asteroids in three-body
resonances. Icarus, 222, 220). — Прим. ред.

10.3. ПОЯС АСТЕРОИДОВ И ПОЯС КОЙПЕРА
277
-6
Ί—■—Г
е = 0.25
- е = 0.15
1
2-
з-
-4-
5-
с
О
. ' '' ft
;'.
u^oU^L^uJiJi
ή j\ . · ψ.
и
U
1 1 ' 1 ' 1 '
I ' I
e = 0.05
.:,
Itli
LvA
1 '
a, a. e.
Рис. 10.8. Показатель Ляпунова (сплошная кривая) и относительное изменение
частоты долготы перигелия астероида (пунктирная кривая) в зависимости от большой
полуоси при трех значениях эксцентриситета. В данном диапазоне по большой
полуоси есть много хаотичных астероидов. (Рис. 6 из статьи Несворного и Морбидел-
ли, 1998; с разрешения Американского астрономического общества)

278
Глава 10
Таблица 10.3. Численные характеристики трехтельных резонансов в поясе
астероидов. Первая колонка: тройка чисел fcj, fcs, к, обозначающая резонанс fcjAj + fcsAs +
+ к\ — 0. Вторая колонка: каталожный номер резонансного астероида, для
которого приведена информация в последующих колонках (согласно результатам
интегрирования за время 2 χ 105 лет): собственный эксцентриситет ер, среднее
значение ас и амплитуда осцилляции δα большой полуоси, типичный период Τ этих
осцилляции. Последний обычно равен по порядку величины ляпунбвскому времени.
Поскольку динамика большинства астероидов в трехтельных резонансах хаотична,
данные в последних двух колонках точны лишь по порядку величины. (Таблица 1
из статьи Несворного и Морбиделли, 1998; с разрешения Американского
астрономического общества)
Резонанс
З^П
4-2-1
7-2-2
7-3-2
2+2-1
6-1-2
4-3-1
7-4-2
3-1-1
4-4-1
5-1-2
3-2-1
6+1-3
8-4-3
3+3-2
5-2-2
7-2-3
Астероид
245D
463
1966
1430
258
53
792
789
485
22
576
2395
936
10
106
490
530
6-р
0.1113
0.1795
0.1241
0.1741
0.1687
0.2092
0.1604
0.1471
0.1958
0.0881
0.1758
0.0690
0.1540
0.1347
0.1466
0.0652
0.1937
ас
(а. е.)
2.2157
2.3977
2.4476
2.5599
2.6155
2.6190
2.6230
2.6857
2.7525
2.9095
2.9860
3.0790
3.1385
3.1418
3.1708
3.1738
3.2080
5а
(Ю-3 а. е.)
(Г5
3.0
0.6
0.5
0.7
-1.0
2.5
0.5
3.0
-1.0
2.0
4.0
0.4
0.5
-2.0
4.0
<8.0
Τ
(103 лет)
5D
-10
-30
-30
-20
35
25
20
15
-50
20
10
10
-30
_
10
12
графиках говорит о гладкой зависимости индикатора от начальных
условий, присущей областям, где нет существенных резонансов, а пики
выявляют присутствие хаотических областей. Из рис. 10.8 видно, что
расположение последних хорошо коррелирует с расположением резонансов
средних движений с Юпитером высоких порядков и трехтельных
резонансов «Юпитер-Сатурн-астероид». С увеличением эксцентриситета
хаотические области становятся шире (так как всем этим резонансам отвечают
гармоники, в коэффициенты которых входят е в положительных степенях),
к тому же появляются новые пики, относящиеся к резонансам высоких
порядков, несущественным при малых е. Как следствие, начиная се~ 0.15,
хаотические области перекрываются, превращая эту часть пояса
астероидов в глобально-хаотичную. Это объясняет, почему хаотичные астероиды
не скапливаются вдоль четко выраженных прямых. Отметим, что данное

10.3. ПОЯС АСТЕРОИДОВ И ПОЯС КОЙПЕРА 279
пороговое значение эксцентриситета, при котором происходит глобальное
перекрытие резонансов, гораздо ниже, чем порог, следующий из рис. 9.12,
так как в работе Дермотта и Мюррея (1983) не учитывались резонансы
с Юпитером высоких порядков, а также, что еще существеннее, и трех-
тельные резонансы с Юпитером и Сатурном. В таблице 10.3 представлена
компиляция свойств наиболее важных трехтельных резонансов в главном
поясе астероидов.
τ 1 , 1 1 1 1 1 ι 1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 . 1 1 1 1 1 1
_ -1 JE-tUJ t I 1 1JLJHJ J I I II I, ι 111 I. ■ I I I1 I . Ι Γ I II ■ ' ι,. 11 , I 1 il · ι JU
35 40 45 50 55 60 65 70
большая полуось, а. е.
Рис. 10.9. To же, что и на рис. 10.6, но для резонансов средних движений с
Нептуном (красные линии) и трехтельных резонансов с Ураном и Нептуном (синие линии)
в поясе Койпера
В поясе Койпера самыми важными трехтельными резонансами
являются резонансы средних движений с Ураном и Нептуном. На рис. 10.9
(аналоге рис. 10.6, построенном для пояса Койпера) представлены главные
резонансы средних движений с Нептуном и трехтельные резонансы с Ураном
и Нептуном в области от 35 до 70 а. е. Масса Урана меньше массы
Сатурна, поэтому теперь у синих линий высоты выбраны равными 6 — q (вместо
7 — q в случае рис. 10.6), где q — порядок по эксцентриситету у
соответствующего резонанса. Ситуация аналогична имеющей место в главном
поясе астероидов: «плотность населения» по большой полуоси у трехтельных
резонансов гораздо выше, чем у обычных двухтельных резонансов
сопоставимой силы, особенно вне 45 а. е. Поэтому, как будет подробно разъяснено
в главе 12, изучение трехтельных резонансов чрезвычайно важно для объяс-

280
Глава 10
нения глобальной динамической структуры пояса Койпера и характеристик
его долговременной устойчивости. К сожалению, пока объектов пояса
Койпера открыто немного и орбитальные элементы у открытых определены
неточно, поэтому сейчас нельзя оценить, какая доля реального населения
пояса Койпера хаотична из-за трехтельных резонансов.
10.4. Хаотическая динамика планет-гигантов
Согласно главе 7 вековая динамика планет земной группы сильно
хаотична, тогда как вековой динамике планет-гигантов свойственна лишь
очень слабая хаотичность, вызываемая взаимодействием с планетами
земной группы. Следовательно, если бы планет земной группы не было, то
система планет-гигантов сама по себе была бы регулярной (по крайней
мере с точки зрения вековой динамики).
Тем не менее Зюссман и Уиздом (1992) из проведенного ими
численного интегрирования нашли, что показатель Ляпунова системы планет-
гигантов больше нуля. Однако этот результат никогда не подчеркивался,,
поскольку вычисленный показатель Ляпунова странным образом зависел от
шага интегрирования и от начальных условий. Кроме того, Зюссман и
Уиздом не смогли отождествить резонанс, ответственный за происхождение
хаоса. Фактически планеты-гиганты не находятся в каких-либо двухтель-
ных резонансах средних движений, даже очень высоких порядков. Хорошо
известно, что Юпитер и Сатурн близки к резонансу 5/2, Уран и Нептун —
к резонансу 2/1, а Юпитер и Уран — к резонансу 7/1, но во всех этих
случаях резонансные углы циркулируют, то есть на самом деле эти планеты не
находятся в резонансах.
Недавно Мюррей и Хольман (1999) показали, что в системе планет-
гигантов имеется два трехтельных резонансных соотношения:
3Aj - 5AS - 7λυ ~ 0 и 3AS - 5λυ - 7λΝ - 0, (10.31)
где λj, As, X\j, An — средние движения Юпитера, Сатурна, Урана и Нептуна
соответственно. Эти резонансы не могли быть обнаружены Ласкаром (1985)
из расчетов вековой нормальной формы, так как соответствующие им
резонансные члены появляются во втором порядке по планетным массам и в 9-
ом порядке по эксцентриситету, то есть за пределами имевшихся
вычислительных возможностей. Согласно оценке Мюррея и Хольмана, у первого из
резонансов (10.31) коэффициенты гармоник в уравнениях движения Урана

10.4. Хаотическая динамика планет-гигантов 281
являются величинами порядка 10 12 (в системе единиц с QMq = a\j = 1),
а у второго они меньше на фактор
(eN/ej) ' [(5AS - 2λα)/(2λΝ - λυ)] - 3 χ 10
-3
-ι—ι ι—
h ο
ρ, ι , ■ ■ ι , , , , ι , , , ι , , , , ι
19
19.1 19.2
αυ, а. е.
19.3
19.21
19.215 19.22
αυ, а. е.
19.225
Рис. 10.10. Ляпуновское время в зависимости от начального значения большой
полуоси Урана αυ· См. комментарии в тексте. (Рис. 1 и 2 из статьи Мюррея и Холь-
мана, 1999; с разрешения Американской ассоциации за научный прогресс)
Чтобы понять в деталях сложную динамическую структуру системы
планет-гигантов, Мюррей и Хольман провели обзорный численный
эксперимент, в котором начальные значения элементов планетных орбит были
фиксированы, исключая начальное значение большой полуоси Урана αυ,
которое варьировалось в диапазоне от 18.9789 до 19.3990 а. е. Для каждого
множества начальных условий было проведено интегрирование движения
на интервале времени 200 млн лет и вычислено ляпуновское время. На
левой панели рис. 10.10 показана полученная зависимость вычисленного
ляпуновского времени от начального значения a\j. Область сильного
хаоса, простирающаяся до 19.13 а. е., обусловлена резонансом 2/1 с Нептуном.
Она перекрывается с хаотической областью, порождаемой резонансом 1/7
с Юпитером на интервале 19.13-19.17 а. е. Трехтельными резонансами
порождены хаотические области с центрами при αυ = 19.219, 19.26, 19.29
и 19.34 а. е. Современное значение большой полуоси орбиты Урана
(согласно эфемеридам DE200 JPL NASA) отмечено на рисунке вертикальной
прямой. На правой панели рис. 10.10 дан крупный план графика в
окрестности этого значения. При αυ < 19.218 а. е. можно различить узкие ха-

282
Глава 10
отические области, порождаемые субрезонансами трехтельного резонанса
ЗАл — 5As — 7λυ ~ 0; друг от друга их отделяют узкие регулярные
области. Говоря конкретно, на интервале от 19.216 до 19.218 а. е. Мюррей
и Хольман отождествили субрезонансы с критическими углами 3Aj — 5As —
— 7Аи + qvo% + 7π§ + (2 — q)w? с различными целыми q. На отрезке
19.218 ^ а\] ^ 19.22 а. е. субрезонансы, напротив, частично
перекрываются, так что почти все орбиты хаотичны, то есть имеют конечное ляпу-
новское время. Критические углы этих субрезонансов равны 3Aj — 5А<з —
— 7λυ + qOD% + 6сс7^ + (3 — q)voj. Проявляют себя также некоторые
субрезонансы трехтельного резонанса ЗАу — 5Ау — 7An ~ 0, а именно
субрезонансы с критическими углами ЗА$ — 5Аи — 7Αν + 7π£ + (2 — q)w? + qw%.
Любопытно, что в настоящее время Уран находится в том единственном
месте внутри интервала 19.218-19.22 а. е., где субрезонансы полностью не
перекрываются. Это объясняет весьма сильную зависимость вычисленных
значений ляпуновского времени от начальных условий и от аппроксимаций
при интегрировании, обнаруженную Зюссманом и Уиздомом (1988).
Погрешность определения современного значения большой полуоси
орбиты Урана составляет 6 χ 10-β а. е., тогда как диаметр этой планеты
~ Ю-4 а. е. Поэтому невозможно прийти к заключению, каково реальное
ляпуновское время Урана и какой именно субрезонанс в
действительности влияет на его движение. Тем не менее результаты Мюррея и Хольмана
не оставляют места для сомнений относительно важной роли трехтельных
резонансов в динамике планет-гигантов. Используя некоторую
динамическую модель (которую мы опишем далее в главе 12), Мюррей и Хольман
пришли к выводу, что благодаря хаотичности орбиты Урана ее
эксцентриситет может возрастать до значения, при котором она начинает пересекать
орбиту Сатурна; однако для этого требуется время не менее 1018 лет, что
на 8 порядков превышает физическое время жизни Солнца. Таким образом,
система планет-гигантов является практически устойчивой.

Глава 11
Вековая динамика внутри резонансов
средних движений
11.1. Последовательное исключение гармоник
Как мы уже убедились в главе 9, резонансы средних движений низкого
порядка с планетой имеют в первом приближении динамическую
структуру, типичную для модулированного маятника: имеется центральная область
«регулярного» движения, окруженная хаотическим слоем. Цель этой главы
состоит в изучении динамики внутри этой центральной области на
масштабах времени много больше периода либрации внутри резонанса средних
движений. При этом необходимо также полностью учесть вековую часть
возмущения (9.17). Таким образом, мы приходим к изучению резонансов
внутри резонанса (или даже резонансов внутри резонанса внутри
резонанса, как в случае Плутона), то есть сильно нелинейной динамики.
Согласно главе 4 исключение зависимости от углов в резонансном
гамильтониане даже в интегрируемом случае не может быть достигнуто
посредством алгоритма Ли. Однако это можно сделать, введя переменные
«действие-угол» по Арнольду. В этих переменных интегрируемый
резонансный гамильтониан записывается как функция исключительно
переменных действия и поэтому его можно использовать как стартовую основу
для дальнейшего изучения динамики. Таким образом, исследование
задачи об иерархическом взаимодействии нескольких резонансов требует уже
введения последовательности преобразований к подходящим переменным
«действие-угол» по Арнольду. Использование переменных Арнольда в
таких задачах позволяет нам вновь применить восходящий к Делоне (1867)
пертурбационный подход, основанный на последовательном исключении
гармоник возмущения вплоть до заданного порядка.

284
Глава 11
Принцип алгоритма прост. Рассмотрим гамильтониан 7ΐ(Ι, φ) и
разложим его в ряд Фурье
Η = Ио(1) + Σ Μ*) βχΡ (tm ' *0· ί11·1)
m
Затем выберем одну гармонику, например с индексом rh; и кратные ей
и рассмотрим неполный гамильтониан
Нт = И0(1) + Σ W1) βΧΡ (**™ ' ^)· (П·2)
fcGZ
Поскольку этот гамильтониан интегрируем, введем переменные
«действие-угол» по Арнольду J, ψ, чтобы записать его как функцию новых
действий, то есть Wq(J); при этом вошедшие в (11.2) гармоники будут
полностью исключены. Запишем остаток
К = Σ ftm(I)exp(«n-V>) (П.З)
в новых переменных J, ψ и разложим его в ряд Фурье по новым углам ι/>:
Я= Σ /4(J)exp (mi ·</>)· (П.4)
m^fcm,fcGZ
Новый гамильтониан H'0(J) +7£(J, -0) формально эквивалентен (11.1);
следовательно, чтобы исключить все главные гармоники, алгоритм можно
итерировать (как показано на рис. 11.1).
Этот простой на первый взгляд алгоритм имеет ряд
концептуальных трудностей. Первая трудность касается последовательности, в которой
должны исключаться гармоники. Опыт подсказывает, что для
эффективного и работоспособного приложения на практике необходимо на каждой
итерации исключать ту гармонику, которая оказывает наиболее существенное
влияние на динамику переменных действия; в общем случае это гармоника,
имеющая среди резонансных гармоник наибольший коэффициент, обычно
ей также соответствует самая малая временная шкала либрации (так как
последняя обратно пропорциональна корню квадратному из коэффициента
гармоники; см. раздел 4.1). Если две гармоники резонансны в различных
частях пространства действий, то безразлично, какую из них исключать
первой. В следующем разделе мы увидим, что при применении данного

11.1. Последовательное исключение гармоник 285
7ίο(Ι) + ΣΜΙ)βχρ(ιπι·<ρ)
7ίο(Ι) + Σ bfcm(I)
ехр(ькт - φ) + ^ /im(I) exp(z,m · 9?)
1,9? -* J, ^
7
n'o(J)
Σ ftm(J)exp(tm-i/')
m7^A;m,A;EZ ,
Рис. 11.1. Эскиз алгоритма последовательного исключения гармоник путем
введения переменных «действие-угол» по Арнольду (см. текст)
алгоритма к динамике резонансов средних движений подходящая
последовательность исключения гармоник возникает естественным образом.
Вторая концептуальная трудность состоит в том, что при исключении
резонансной гармоники переменные «действие-угол» по Арнольду
вводятся не глобально по всему фазовому пространству (см. раздел 4.2).
Фактически алгоритм задает фрагментацию фазового пространства на несвязанные
друг с другом области в соответствии с сепаратрисами рассматриваемого
резонанса. В областях либрации и циркуляции резонансного угла
вводятся различные переменные «действие-угол», что приводит к определению
различных новых гамильтонианов Н'0(3) +11(3, ψ), своего для каждой
области. Это отражает тот реальный факт, что динамика внутри резонанса
радикально отлична от динамики вне его. Таким образом, новые
гамильтонианы определяются на областях действий J внутри хорошо определенных
границ, задаваемых сепаратрисами предварительно исключенного
резонанса. Когда рассматривается новая гармоника, действия J уже не
являются более постоянными, поэтому некоторые траектории начинают
пересекать границы своей области действий. Очевидно, что для этих траекторий
невозможно ввести новые переменные «действие-угол» по Арнольду, так
что алгоритм последовательного исключения гармоник нельзя итерировать.
Как следствие, наш алгоритм не позволяет исследовать области фазового

286
Глава 11
пространства вблизи сепаратрис резонансов. Однако это нельзя назвать его
дефектом, поскольку данные области фазового пространства должны
соответствовать хаотическим областям (возникающим, как нам известно из
главы 4, в окрестности сепаратрис интегрируемого резонансного
приближения при введении возмущения).
Третья концептуальная трудность состоит в том, что уже
исключенные гармоники появляются, вообще говоря, вновь в процессе выполнения
алгоритма, когда исключаются другие гармоники. Однако в
предположении, что исходный гамильтониан аналитичен и имеет квазиинтегрируемую
форму (2.1), легко показать, что исключенные гармоники могут появляться
вновь только с коэффициентами много меньшими, чем исходные. В этом
смысле метод последовательного исключения гармоник можно
рассматривать как подлинно пертурбационный подход. Морбиделли и Джиорджилли
(1993) доказали, что если параметр возмущения достаточно мал, то
алгоритм сходится на множестве КАМ-торов.
Последняя трудность связана с технической реализацией алгоритма.
Как отмечено в разделе 4.2, весьма трудно, если вообще возможно,
записать гамильтониан Н'0(3) в явном виде. С другой стороны, на каждом торе
J = const можно вычислить гамильтониан, его производные, а также
остаток ΊΖ(3,ψ) и его разложение в ряд Фурье, используя получисленную
процедуру. Таким образом, алгоритм последовательного исключения гармоник
можно реализовывать, вычисляя значения нового гамильтониана на сетке
в пространстве действий на каждой итерации. Гамильтонов поток затем
вычисляется в каждой требуемой точке фазового пространства с помощью
интерполяционного алгоритма. Данная техника практической реализации
алгоритма детально разъяснена в работе Морбиделли (19936) на
нетривиальном примере.
Опираясь на описанный алгоритм последовательного исключения
гармоник, мы можем теперь, используя структурный подход, исследовать
сложную динамику внутри резонансов средних движений низкого порядка.
11.2. Динамическая система с резонансами
средних движений
В качестве отправного пункта для изучения резонанса средних
движений kjXj — к\ ~ 0 между астероидом и J-ой планетой (при kj ψ к)
мы возьмем гамильтониан (9.15). Напомним, что (9.15) представляет собой
неупрощенную нормальную форму резонанса средних движений, в которой

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 287
учтено также и вековое движение возмущающих планет. На первом шаге
процесса последовательного исключения гармоник требуется найти
интегрируемую аппроксимацию динамики. Согласно разделу 9.4, если у
астероида наклонение не слишком велико, а эксцентриситет существенно больше,
чем у планет, то резонансная гармоника с углом
(fcj — к)а = kjXj — кХ + (fcj — к)р
доминирует в резонансном мультиплете, имея большую ширину, чем все
другие гармоники. Поэтому интегрируемую аппроксимацию Ησ мы
определим, сохранив из возмущения Н\ в (9.15) только эту гармонику и
кратные ей:
Ησ = Ho(Aj,N,S,Sz) + ^2(gjAgj + SjA83) +
з
+ ε^σ(5, (% - k)a, TV, Sz), (11.5)
где Но дается формулой (9.7), ав^> сохранены все возмущающие члены,
не зависящие от углов, отличных от σ.
Здесь имеется трудность, вызванная тем, что фурье-разложение Н\
в (9.15) не сходится, если эксцентриситет астероида достаточно велик, так
что допускаются сближения с резонансной планетой при некоторых
значениях σ (см. раздел 9.1.1). В таком случае функцию Τσ все же можно
вычислить при всех значениях σ, не допускающих столкновений,
записав Н\ в виде функции переменных (9.5) без использования разложений
в ряд и усреднив ее по σζ, τσ* и Ω*. Локальное численное оценивание
Н\ и его производных без разложений в ряды можно осуществить, следуя
Ферраз-Мелло и Сато (1989) и Мунс (1993, 1994).
Гамильтониан (11.5) формально эквивалентен гамильтониану плоской
круговой ограниченной задачи, однако в (9.4) полагалось Sz = 0, тогда как
теперь Τσ параметрически зависит от значения Sz (константы движения
для (11.5)). Напомним, что Sz сильно зависит от наклонения.
Коль скоро гамильтониан (11.5) интегрируем, введем переменные
«действие-угол» по Арнольду. Согласно разделу 4.2 преобразование имеет
вид
2π
Ψσ = ^"ί,
■*■ σ
Ψζ =crz- ρζ(ψσ, Ja, Jz, J„),
фи = ν - ρν(ψσ, Ja, Jz, Jv),
Ja = — φ 5άσ,
JΖ — *b;Z5
(11.6)

288
Глава 11
где в первой строке в сокращенной записи приведено соотношение из
раздела 4.2, связывающее исходные (5, σ) и новые ^σ,ψσ) переменные
«действие-угол», а функции ρζ и ρν являются периодическими с нулевым
средним по ψσ.
Поскольку нас интересует динамика внутри резонанса средних
движений, вычислим расположение сепаратрис Ησ в пространстве (σ, 5, Sz, Ν)
и введем переменные (11.6) только для траекторий внутри сепаратрис;
тогда \Τσ\ — период либрации, a Ja — нормированная площадь области,
ограниченной либрирующей траекторией на плоскости (5, σ).1
Когда σ либрирует около некоторого значения σο, зависимость σ от ψσ
имеет вид σ = σο + ρ{ψσ)ι гДе Q — периодическая функция с нулевым
средним. Таким образом, из (9.5) вытекает, что σζ = σ0 + ρ(ψσ) ~ Ρ + Q =
= σ^-\-ρ{φσ)-\-ω и ν — —σο — ρ(ψσ)+ρ = —σο — ρ(ψσ)—π. Вспоминая, что
функции ρζ и ρν в (11.6) — также периодические с нулевым средним по ψσ,
приходим к выводу, что φζ и — ψ„ можно отождествить соответственно
с аргументом перигелия и долготой перигелия астероида, усредненными за
период либрации на резонансе и смещенными на σο·
Как функция от переменных (11.6), гамильтониан Ησ зависит только'
от переменных действия, то есть
Ησ = Σ(βΐΑ9ι + SJAsj) + Μ Ja, J ζ, Λ)· (П.7)
э
Переменные (11.6) войдут также в ту часть исходного возмущения, которая
не была включена в (11.5), а именно в
Hi-Jv=Jri(^,^>^iW,n*,J<r,Ja,JI/). (11.8)
Поскольку (11.7) зависит только от переменных действия, частоты
*° = WS ^=а/7' ^=дГ„ (11'9)
зависят только от (Ja, Jz, Ju) и поэтому постоянны. Следовательно, мы
можем теперь обратиться к другим возможным резонансам, чтобы решить,
'Как эскизно показано на рис. 9.3, в резонансах первого порядка по эксцентриситету
угол σ может циркулировать на некоторых резонансных траекториях, однако переменные
«действие-угол» и в таком случае можно ввести по формулам (11.6), где под \Τσ\ теперь
понимается период цикла на плоскости (5, σ). Согласно соглашению, принятому в
разделе 4.2, Τσ положителен у внешних резонансов (так как в них либрация на плоскости (σ, S)
происходит по часовой стрелке) и отрицателен у внутренних резонансов. — Прим. авт.

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 289
какую из гармоник Т\ следует рассмотреть на следующем шаге
исследования.
Отметим, что как только расположение резонансов определено в
пространстве (Ja,Jz,Jv), его можно легко определить и в пространстве
(а, е, г), используя сечение при σ = σο· Процедура эквивалентна
применявшейся в главе 9 для построения сепаратрис резонанса средних
движений на плоскости (а, е). Фактически значения трех действий Ja,Sz,N
определяют на плоскости (5, σ) цикл, вдоль которого S принимает два
значения S\ и 52, соответствующие σ = σο. Используя (9.5) и
определение (1.69) модифицированных переменных Делоне, преобразуем
множества значений (S\,SZ,N) и (S2,SZ,N) соответственно во множества
(αχ, ei, zi) и (аг, ег, ^2) по обе стороны относительно центра резонанса.
11.2.1. Вторичные резонансы
Термин вторичный резонанс ввели Леметр и Анрар (1990) для
обозначения резонанса между частотой угла ψσ и частотой комбинации вековых
углов, чья соответствующая гармоника проявляется в (11.8).
В задаче с учетом наклонения орбиты астероида имеется одно
семейство вторичных резонансов, чьи гармоники удовлетворяют второму
правилу Даламбера (см. раздел 1.9.3) и имеют коэффициенты, не зависящие от
планетных эксцентриситетов и наклонений. Это семейство отвечает соиз-
меримостям
τηψσ + 2ηψζ =0 (11.10)
с целыми тип. Поскольку ψζ — средняя частота аргумента перигелия ω,
это семейство соответствует резонансам между периодом либрации угла σ
и периодом циркуляции угла ω.
Если учитывать также гармоники, чьи коэффициенты являются
степенями планетных эксцентриситетов и наклонений, то появляется много
других вторичных резонансов. Среди них выделим два семейства,
соответствующие соизмеримостям
πιψσ + η{ψ„ + д0) = 0 (11.11)
и
πνφσ + η{ψζ + ψν + Sj) = 0. (11.12)
Поскольку фи равно средней частоте угла — ш, первое семейство
соответствует соизмеримостям между периодом либрации на резонансе средних

290
Глава 11
движений и периодом циркуляции угла π — π*, а второе — соизмеримо-
стям между периодом либрации на резонансе средних движений и
периодом циркуляции угла Ω — Ω*. В других семействах вторичные резонансы
включают комбинации перигелиев и узлов.
a/aj
Рис. 11.2. Расположение важнейших резонансов внутри соизмеримости 3/1. Двумя
очень жирными линиями по краям графика нанесены сепаратрисы резонанса 3/1
при σ = 90°. Внутри резонанса 3/1 жирными сплошными линиями показано
расположение вековых резонансов ^ и ^; жирными прерывистыми линиями — вековых
резонансов ζ^β и Козаи; тонкой сплошной линией — векового резонанса ΰ» + д§ +
+ 2ΰζ = 0; тонкой пунктирной линией — вторичного резонанса ψσ +5(τ/ν + до) = 0
(она окаймляет область, затронутую вторичными резонансами вида (11.11) порядка
не выше пяти); тонкими прерывистыми линиями показано расположение трехтель-
ных резонансов 2ψσ + 3(/?js + 9ψ„ = 0 и 3ψσ + 3(/?js + 9ψ„ = 0 (при большем
и меньшем эксцентриситетах соответственно). Напомним, что для внутренних
резонансов ψσ < 0.
Согласно определению вторичного резонанса, вековые углы в них
должны циркулировать с периодом, по порядку величины равным периоду
либрации на резонансе средних движений; следовательно, вторичные
резонансы как правило располагаются в областях, где нет вековых резонансов
низкого порядка, и поэтому доминируют в локальной динамике. Для этих
областей в общем характерны значения эксцентриситета от низких до
умеренных. В качестве примера на рис. 11.2 показана (тонкой пунктирной ли-

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 291
нией) верхняя граница области, затронутой резонансами семейства (11.11)
с m = 1 и η ^ 5, внутри резонанса 3/1 с Юпитером; все эти резонансы
расположены при е < 0.1. См. также рис. 11.10, 11.17 и 11.18, где показано
расположение вторичных резонансов внутри резонансов 2/1 и 3/2 с
Юпитером и внутри резонанса 2/3 с Нептуном соответственно.
Как явствует из указанных рисунков, вторичные резонансы, как
правило, сконцентрированы в узкой области. Следовательно, довольно
бессмысленно пытаться последовательно исключать их соответствующие
гармоники или развивать модели одиночного резонанса для описания их
динамики. Эффективней будет выбрать семейство вторичных резонансов, скажем,
заданное соотношением (11.11) при фиксированном j, и вернуться к
исходному гамильтониану (9.15), записанному в переменных (9.5), сохранив
в нем все гармоники, зависящие от σ и/или от ν + w*. Таким путем мы
получим систему с двумя степенями свободы вида
n,M = no{^N,S1Sz)+gJAgi+e^M{S1{kj-k)a,NJiy+w^Sz), (11.13)
которую можно исследовать с помощью сечений Пуанкаре. В качестве
примера на рис. 11.3 показаны сечения Пуанкаре системы (11.13) (на шести
энергетических уровнях) для резонанса 2/1 с Юпитером в предположении,
что Юпитер движется по фиксированной эллиптической орбите (,д7 = 0
в ΗσΜ). Как видим, вторичные резонансы перекрываются, создавая
хаотический слой, который простирается по эксцентриситету примерно от 0.10
до 0.15. При большем эксцентриситете движение, как видно из сечений,
регулярно, поскольку вторичные резонансы низкого порядка отсутствуют
(см. рис. 11.10). Аналогичный анализ можно провести для каждого из
семейств вторичных резонансов и таким путем получить представление
о протяженности хаотических областей, порождаемых этими резонансами.
11.2.2. Динамика Козаи
В областях, где нет вторичных резонансов низкого порядка, в
динамике доминируют вековые гармоники, а именно гармоники Т\, не зависящие
от ψσ. Если в (11.8) пренебречь членами, зависящими от ψσ, то
гамильтониан, описывающий вековую динамику внутри резонанса средних
движений, примет вид
Wsec = ^2(9jK + s3Aej) + W*. Л, Ju) +
3
+ ?ЛФг.Ф„,το*.ίϊ\.Ισ, Jz, J„), (11.14)

292
Глава 11
о
ЙО
'юо
•-»%Ч Jf№;
Ι ι ■ ■ ■ I ■·■»...*·.
-0.2 -0.1 0.0 0.1
ecosz^
0.2
о
ЙО
'юо
4)
! · ι ■ ■ ;л>>>
• ; '■'' ■'.'ί-·.'>\'t
Wm
%%Ш
''•ι ••.1·;λα^.:4%·.
":'.·&&&-
- Λ. »*" '·'"'. ·'/'! "V
г "'·:-'"·'.-"4^!i
: . ι . . . '.4J.^
,Г_Ц J^MJ- J 1 J,
:,-"--!'.;l^."..::",l.i;.-.i J"
даде^л;::·-
■4, 'W?
$
1 ' I ' !j
-· · «' Λ. J
:-.Ч··'.;
^C;4VJ
#'·;:;ί
,... ,.М$Ш.
?мшш>
■^i'Sp^"';.'
^^••'й'.'
.'■ ЛИ .·.'.'. ι .-.
с-;:·/·.·
.'■'.'■■'-
.· . r . :
О
ЙО
*юО
О
.ЙЯ
'юо
-
_
T'i._
r.::
v.*.
;' ."·'
-
: ■
- - ;.1/«.?->/ΐ.ι'/ιιΐ-/«-ι'.τ'<.-. ' ■
■;,;Г. -^'^Г^ГГГ·^..' '"'·':^> s. -
Ίν.У/.·'· /. "^ "''^V*:^ ·'.. ' >^γ·..' Л"
·.'*:■ >-г^\ л * ;г,*-~,йя.. ^ »·, ι
!·.;·■№·■·. iiR;i::;-i:
■■·.■·'»* %v.'\ .> ..г/-'' *■■ ·.'.·
•-•χ '■:... '■ v.y..';o··.^';·*;". ;./-;·.·
"^ ·., ι,ν.1 ; ..» _ - ... , ·■ Sy''· '/.·
'· > "·'·. ^ s" · ,- ·'··'■"...«,.* -■ Г у'*. .' / -
ι ■ . ■ ·ΐ·.^·.ν».·»'!ΐ'ΓΤ.Γ.Λ'«:« /'< *'·^··. ι ■ ;
-0.2 -0.1 0.0 0.1
ecosz^
0.2
; > ι ' ; -.j ) ) ij .'.j.-: ·, ■ ■ ,i
'·" · „'-Ζ \'":~"· tV ·'" v'···
·.,: ;# ]t :
: . ι . . ".·'.· μ-.< ., t ,ϊ\ , χ , i
r.l .Г · |
Й\\-:;
fnri:
iV''-.
. »" 1 1
;
'Φ
·>
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
ecosi/
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
ecosz^
! '-^ ' -*■ '
gl(
^УТ-РТ^.Т.""-»
·>ι-Ί·\-;·ϊ· ι
·''..'■■..i-.S'N ' ' ' ']
-0.1 0.0 0.1
ecos^
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
e costs
Рис. 11.3. Сечения Пуанкаре системы (11.13) при σ = 0, σ < 0. Полагается, что
Юпитер движется по фиксированной эллиптической орбите с эксцентриситетом,
равным 0.0485. На каждой из панелей амплитуда либрации на резонансе 2/1 равна
нулю для самой внутренней орбиты и возрастает с увеличением
эксцентриситета. (Рис. 6 из статьи Мунс и Морбиделли, 1993; с разрешения Kluwer Academic
Publishers)

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 293
0.470 0.475 0.480 0.485 0.490
а
Рис. 11.4. Вековая динамика внутри резонанса 3/1 с Юпитером на плоскости (а, е)
при г = 0°. Тремя очень жирными линями обозначены сепаратрисы и центр
резонанса. Пары пунктирных кривых, симметричные относительно центра резонанса,
обозначают множества (а, е), соответствующие Ja = const при σ = 90°. Жирными
сплошными и прерывистыми линиями показано расположение резонансов ν$ и щ,
соответственно. Пара тонких сплошных линий и пара тонких прерывистых линий
обозначают сепаратрисы этих двух вековых резонансов. Единицей измерения по
абсциссе служит величина большой полуоси орбиты Юпитера. (Рис. 6 из статьи
Мунс и Морбиделли, 1995; с разрешения Academic Press)
где Т\ — среднее от Т\ по ψσ. Действие Ja является константой
движения системы (11.14). На рис. 11.4 для резонанса 3/1 с Юпитером
показаны множества (а, е), соответствующие 3σ = const при г = 0 и σ = 90°
(значение для центра либрации). Пары пунктирных кривых, симметричные
относительно центра резонанса, соответствуют фиксированным значениям
Ja — const. От г вид этих кривых зависит слабо. Как видим, сохранение 3σ
в ходе вековой эволюции эксцентриситета означает, что амплитуда
колебаний большой полуоси (но не σ\) остается почти постоянной. Парам
пунктирных кривых, отстоящих на рис. 11.4 все дальше и дальше от центра
резонанса, отвечают возрастающие значения Ja. В противоположном пределе
Ja = 0 эти пары кривых стягиваются к кривой, отвечающей центру
резонанса; действительно, Ja = 0 соответствует орбитам в точке устойчивого

294
Глава 11
равновесия резонанса средних движений. Если исследование вековой
динамики ограничить случаем Ja = 0 (см., например, Иошикава, 1990, 1991), то
преобразование (11.6) для ψζ и ψ„ становится тождественным, а
гамильтониан (11.14) получается просто из исходного (9.15) подстановкой σ = σο
и Λ = A*(SZ,N), где Λ*(52, Ν) — значение Λ в точке устойчивого
равновесия системы (11.5), которое слабо зависит от Sz и N.
Каким бы ни было значение Ja, гамильтониан (11.14) неинтегрируем,
поскольку он зависит от нескольких углов. Для исследования его динамики
требуется, как и выше, иерархическое рассмотрение его главных
гармонических членов. Благодаря правилам Даламбера все гармоники, зависящие
от τ/ν, τσ*. Ω*, должны иметь коэффициенты, представляющие собой
степени планетных эксцентриситетов и наклонений; последние в общем случае
меньше, чем эксцентриситет и наклонение орбиты астероида. Таким
образом, как и в вековой задаче вне резонансов средних движений (см. главу 8),
ведущей гармонической частью гамильтониана будет та, которая зависит
только от аргумента перигелия, то есть от φζ в координатах (11.6).
Фактически эти гармоники — единственные, у которых коэффициенты ненулевые,
когда планетные эксцентриситеты и наклонения все равны нулю.
Поэтому следующим шагом процесса исключения гармоник будет
исключение членов, зависящих от φζ. С этой целью, прежде всего, запишем
Wsec = Y,{9jK + s1ASj) + То + Tz + [Τχ - Тг), (11.15)
з
где Τζ — среднее от Т\ по ш*, Ω*;2 затем рассмотрим гамильтониан
П* = Σ(^4 + 8зЮ + «Wrx, Λ, Jy) + ?ζ{Ψζ, Ja, Λ, Λ), (11.16)
.7
который интегрируем, поскольку зависит только от одного угла {ψζ).
Гамильтониан (11.16) эквивалентен гамильтониану Козаи (8.16), но в данном
случае он описывает вековую динамику внутри резонанса средних
движений.
В динамике (11.16) сохраняется постоянным действие Ju = N. На
поверхности в пространстве (а, е, г), определяемой равенствами Ja = const
и σ = σο,3 условие J„ — const задает соотношение между эксцентриситетом
2Благодаря правилам Даламбера угол τ/ν исчезает при усреднении по νσ* и Ω*. В
пренебрежении членами порядка (е.,-, ίΊ)2 среднее по νσ* и Ω* получается просто подстановкой
еч = h =0b/i,- ΠριΐΜ. авт.
3 Первое из них во многих случаях можно аппроксимировать как а = const, чтобы
облегчить практические вычисления. — Прим. авт.

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 295
г cos ω г cos ω г cos ω
Рис. 11.5. Типичные динамические портреты системы (11.16) для трех значений
постоянного действия Ju при 3σ — 0. Координаты 3ζ,ψζ конвертированы в
наклонение г и аргумент перигелия ω. (Рис. 5 из статьи Морбиделли и Мунс, 1993;
с разрешения Academic Press)
и наклонением; оно представлено на рис. 11.6 (для резонанса 2/1 средних
движений с Юпитером) пунктирными кривыми. Эксцентриситет и
наклонение благодаря этому соотношению испытывают связанные осцилляции,
коррелирующие с изменениями Jz,ipz. Эволюцию Jz,tpz легко представить
наглядно путем построения кривых уровня гамильтониана (11.16) с Ja и Ju
в роли параметров. В качестве примера на рис. 11.5 построены кривые
уровня для резонанса 2/1 с Юпитером в случае Ja = 0 для трех
значений Jу. Когда Jv достаточно велико, мы видим типичный резонансный
портрет; таким образом, внутри резонанса 2/1 средних движений с
Юпитером присутствует эквивалент резонанса Козаи. Данное свойство присуще
и многим другим резонансам средних движений (см. Джеффрис и Стэн-
диш, 1972). Заметим, что движение π-периодично по ψζ, так как благодаря
правилам Даламбера гамильтониан (11.16) может иметь только
гармоники ехр[ш?/02] с четными га. Обозначим через ψ^ значение ψζ для одной
из точек устойчивого равновесия; сепаратриса резонанса Козаи
пересекает ось ψζ = φ® при двух значениях Jz (скажем, Jz и Jz ), зависящих
от Jу. Вспоминая, что Jz = Sz и Jv = Ν, можно конвертировать значения
{nl\j»)*Jv) и (7ί2)(Λ),Λ) в (ei{N)MN)) и ЫЮМЮ) на
поверхности, соответствующей рассматриваемому значению Ja. Таким образом
получается изображение сепаратрис резонанса Козаи на плоскости
«эксцентриситет-наклонение». Такую же процедуру можно осуществить и для
семейств устойчивых и неустойчивых точек равновесия системы (11.16).
На рис. 11.6 приведен пример такого графика, опять же для случая
резонанса 2/1.

296
Глава 11
Рис. 11.6. Вековая динамика в центре резонанса 2/1 (JCT = 0). Пунктирными
кривыми обозначены множества (е, г), соответствующие Ju = const. Тонкой сплошной
линией обозначено устойчивое семейство точек равновесия аргумента перигелия
(ψζ = 90°, 270°); прерывистой линией — неустойчивое семейство (ψζ = 0°, 180°).
Двумя жирными линями обозначены сепаратрисы резонанса Козаи, вычисленные
при φ ζ = 90°. (Рис. 6 из статьи Морбиделли и Мунс, 1993; с разрешения Academic
Press)
Далее, в каждой динамической области системы (11.16) (а именно,
в областях прямой циркуляции, обратной циркуляции, либрации ψζ) можно
ввести переменные «действие-угол»:
2тг/
ίσ=^σ-^(^,θσ,θζ,θΙ/), Θσ = J„
ΰ„=Ψν- q№z, θσ, θζ, θ,), θ, = Λ
Jzdr/Jz,
(11.17)
(здесь использованы те же условные обозначения, что и в (11.6)); тогда Hz
будет зависеть только от переменных действия:
Hz = У2(дл\31 + 8jAtJ) + Κο(θσ,θζ,θν).
(11.18)

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 297
Если к новым переменным (11.17) перейти в члене /С ι = Т\ — Tz, которым
мы пренебрегли, то полный вековой гамильтониан (11.15) примет вид
WsEC=/C0(APj,Aej,e<r,ez,ei/)+/Ci(tfa,tfl/,«7*,n*,e<r,ez,ei/).
(11.19)
«Невозмущенные» частоты гамильтониана (11.19) суть
• а/Со · Θκ,ο · а/Со (лл опч
*' = щ.' ** = аёг· *» = щ; (1L20)
наряду с планетными вековыми частотами gj и Sj. Знание этих частот
позволяет локализовать резонансы, соответствующие гармоникам /Сχ. Среди
таких резонансов мы выделим два семейства.
(i) Перигелийные вековые резонансы отвечают соотношениям mdv +
+ Σ 7 mj9j ~ 0> гДе m — Σ 7 тз согласно правилам Даламбера;
фактически достаточно заметить, что преобразование от ψ„ κϋν в (11.17) близко
к тождественному, а также вспомнить, что — ψ„ представляет собой среднее
значение долготы перигелия w астероида на периоде либрации σ. Вековые
резонансы ϋν + gj ~ 0 будут детально рассмотрены (для случаев главных
частот #5 и <7б) в разделе 11.2.3.
(ii) Узловые вековые резонансы. Если ψζ циркулирует, то преобразование от
ψζ κ ϋζ в (11.17) близко к тождественному; поскольку ψζ представляет
собой среднее значение аргумента перигелия на периоде либрации σ, узловые
вековые резонансы задаются соотношениями πι(ϋζ + ϋ») + J2j mjsj ~ 0>
где опять же m = V щ. В разделе 11.2.4 мы рассмотрим резонанс ϋζ +
+ ϋ» + sq ~ 0 внутри резонансов средних движений в поясе астероидов,
а также резонанс #2 + ϋν + sg ~ 0 в поясе Койпера. В области либрации ψζ
узловые вековые резонансы задаются соотношениями rrv&v + J2j mjsj ~ 0·
Однако могут проявлять себя и многие другие вековые резонансы;
например, Плутон, находящийся в резонансе Козаи внутри резонанса средних
движений 2/3 с Нептуном, пребывает также и в резонансе между периодом
либрации ψζ и периодом циркуляции ΰ„ + Ω§ (Милани и др., 1989).
Когда расположение резонансов в пространстве (θσ,θζ,θν)
определено, его образ в пространстве (а, е, г) можно вычислить, применяя
следующую процедуру: вначале вычисляем значение Jz, соответствующее Θζ
при ψζ = ψ®, а затем преобразуем полученные значения (Jz, Jv = θ„,
3σ = θσ) в значения (α, е,г), как описано выше для случая сепаратрис
резонанса Козаи.

298
Глава 11
Заметим, что если ограничиться плоской задачей, то у всех гармоник
с ψζ в (11.16) коэффициенты будут равны нулю, поскольку они по
меньшей мере квадратичны по наклонению орбиты астероида. Таким образом,
преобразование (11.17) становится тождественным по всем переменным,
а гамильтониан (11.19) будет тождествен (11.14). Это позволяет упростить
вычислительную процедуру, но, с другой стороны, радикально
ограничивает применимость результатов плоскостью г = 0. Для случая ненулевого
наклонения Иошикава (1990, 1991) упростил изложенную выше процедуру
путем усреднения (11.14) по ψζ и аппроксимации преобразования (11.17)
тождественным преобразованием; так он получил гамильтониан,
формально эквивалентный (11.19), но применимый лишь в области, где ψζ быстро
циркулирует и вызывает пренебрежимо малые осцилляции Sz. Поскольку
резонанс Козаи пересекает плоскость г = 0 при больших эксцентриситетах
(см. рис. 11.6, 11.9, 11.19), результаты Иошикавы справедливы только при
малых и умеренных значениях е.
11.2.3. Перигелийные вековые резонансы
На рис. 11.2, 11.10 и 11.17 показано расположение резонансов ΰ„ +
+ <7б = 0 и ϋν + 06 = 0 (также называемых ν^ и i/q соответственно) при
г = 0 внутри резонансов средних движений 3/1, 2/1 и 3/2 в поясе
астероидов. Согласно главе 8 вне резонансов средних движений данные вековые
резонансы проявляются только при больших наклонениях (за
исключением резонанса i/q при а ~ 2.0-2.1 а. е.). Поэтому вековая динамика внутри
и вне резонансов средних движений совершенно разная. Эту особенность
вырожденной динамики можно хорошо уяснить, используя подход на
основе последовательного исключения гармоник: как обсуждалось в
разделе 11.1, переменные «действие-угол» по Арнольду, вводимые в областях
циркуляции и либрации σ, совершенно разные, как и получающиеся
вековые гамильтонианы.
Аналогично, на рис. 11.18 показано, как резонанс ΰ„ + д$ = 0 (также
называемый ζ/8) располагается внутри резонанса 2/3 с Нептуном в поясе
Койпера.
Чтобы исследовать резонанс вида u„ + gj ~ 0, выделим в (11.19)
гармонику члена К,\ с аргументом σ7 = ϋν + tv* и рассмотрим интегрируемую
модель
H7=g:jAgj +/Co(e(T.02,0/,) + /CJ(0(T,0,.e/y,aJ), (11.21)

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 299
где функция Κ?λ — среднее от /С ι по всем углам, кроме ϋ„ + π*> В
динамике (11.21) сохраняются постоянными θσ и θζ; одно лишь Su = N
эволюционирует, следуя циркуляции/либрации угла Gj. Как обычно, динамику N
и Gj можно описать с помощью кривых уровня гамильтониана (11.21), с θσ
ηΘζβ роли параметров. В качестве примера на рис. 11.7 показана динамика
резонанса ϋ» + д$ = О для четырех значений θσ и θζ = 0 внутри резонанса
средних движений 3/1 с Юпитером. Как видим, на фазовом портрете
имеется огромный остров либрации, охватывающий почти всю плоскость (7V, σ$)
(кроме случая очень больших θσ, как на нижней правой панели). Это
означает, что вековая динамика резонанса 3/1 на плоскости г = 0 определяется
резонансом и$.
На панелях рис. 11.7, как обычно, верхняя граница N дается
условием е ~ 1. Поэтому те кривые, которые мы видим исходящими из верхних
границ панелей, отвечают траекториям, достигающим е ~ 1 в ходе своей
вековой эволюции; следовательно, астероиды на таких орбитах в итоге
падают на поверхность Солнца. Нижней же границе по оси N соответствует
значение, которое совместно с заданным θσ = Ja определяет
сепаратрису (11.5). Как видно из рис. 11.4, кривые Ja = const внутри резонанса
определены только при достаточно больших эксцентриситетах, а именно при 7V,
больших некоторого нижнего порогового значения. Поэтому все те кривые,
которые мы видим исходящими из нижних границ панелей рис. 11.7,
отвечают траекториям, которые в ходе своей вековой эволюции пересекают
сепаратрису резонанса средних движений и поэтому должны быть
хаотическими. Однако заметим, что в нашем подходе к проблеме мы не учли
обсуждавшейся в разделе 9.4 модуляции амплитуды резонанса,
вызываемой эволюцией вековых углов; фактически действие Ja было введено для
гамильтониана (11.5), в котором нет вековых углов, и при последующем
анализе это действие считалось константой.
Сепаратрисы, окружающие главный остров либрации (см. рис. 11.7),
можно представить в пространстве (а, е,г), используя процедуру,
эквивалентную обсуждавшейся выше для случая сепаратрис резонанса Козаи.
Вначале обозначим через σ® значение Gj для точки устойчивого равновесия
в центре острова; затем вычислим значения θΐ и θΐ \ соответствующие
пересечениям сепаратрис с осью Oj — σ^. Разумеется, эти значения
зависят от θσ и θζ. Таким путем мы получаем представление сепаратрис
в пространстве (θσ, θζ, θ„) и затем преобразуем его, как объяснено в
разделе 11.2.2, в представление в пространстве (а, е,г).

300
Глава 11
Рис. 11.7. Кривые уровня гамильтониана (11.21) для резонанса ь>$ внутри
соизмеримости 3/1. Значения θσ увеличиваются при переходе от панели к панели слева
направо и сверху вниз; эти значения соответствуют парам пунктирных кривых на
рис. 11.4. Через q обозначена величина w — π£, а N = θ„ = у/а(3 — у/1 — е2).
В центре резонанса 3/1 значения N =1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 соответствуют
значениям эксцентриситета е =0.20, 0.55, 0.72, 0.84, 0.92, 0.97 соответственно. (Рис. 7 из
статьи Мунс и Морбиделли, 1995; с разрешения Academic Press)
В каждой из относящихся к вековому резонансу областей циркуляции
и либрации можно ввести новые переменные «действие-угол» по Арнольду
Г£, Т{, Tj, 7^, li, lU чтобы исключить гармонику резонанса ϋν + д$ = 0.
Подобное исследование можно провести и для вековых резонансов,
включающих другие собственные частоты Qj планетных перигелиев. В
случае резонансов средних движений в поясе астероидов следует рассмотреть

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 301
Рис. 11.8. Сечения динамики системы (11.22), вычисленные при σβ = 0. Четырем
панелям соответствуют те же значения θσ, что и на рис. 11.7. Координаты q и N
имеют тот же смысл, что и на рис. 11.7. См. комментарии в тексте. (Рис. 7 из статьи
Мунс и Морбиделли, 1995; с разрешения Academic Press)
по меньшей мере резонансы с д$ и д6, а в поясе Койпера важнейшим
является резонанс с д%. На рис. 11.4 показаны сепаратрисы резонансов г/5 и ^6
внутри резонанса средних движений 3/1 с Юпитером (см. также рис. 11.16,
где показана динамика в резонансе средних движений 3/2). Как видим, эти
вековые резонансы оба очень широкие и полностью перекрываются.
Согласно главе 6 при сильном перекрытии резонансов следует ожидать в
основном хаотической динамики. Чтобы оценить ширину хаотической
области внутри резонанса средних движений, возникающей из-за перекрытия
вековых резонансов г/5 и ^6, можно построить двухрезонансную модель,

302
Глава 11
оставив в (11.19) гармоники /С ι с аргументами σ$ = ΰ„ + vol и gq = ΰ„ +
+ Wq. Практически мы рассматриваем гамильтониан
Н5,6 = д5Ад5+д6Адб+}Со{Эа,Э2,Э„)+)С^\Эа,е2,Э„,аБ,а6) (11.22)
в обозначениях (11.21). Этот гамильтониан неинтегрируем, поэтому
описываемую им динамику следует изучать численными методами. Ее
можно представить на плоскости (σ5, Qu)\ например, посредством сечения при
σ^ — 0. Это не настоящее сечение Пуанкаре, так как угол σ§ может либ-
рировать или циркулировать в обоих направлениях; но тем не менее оно
позволяет отделить регулярное поведение от хаотического. Чтобы
построить настоящее сечение Пуанкаре, надо задать σ6 = σ5 + voq — vol и строить
сечение при некотором фиксированном vol — vol. На рис. 11.8 показано
сечение по σ§ динамики (11.22) для резонанса 3/1; используются те же
значения θσ, что и на рис. 11.7, и опять же θζ = 0. Отличие от рис. 11.7
впечатляет: большая часть фазового пространства является хаотической.
Как впервые показали Морбиделли и My не (1993) и Мунс и Морбиделли
(1995), такая ситуация типична для всех главных резонансов средних
движений с Юпитером в поясе астероидов; единственным различием является
протяженность областей хаоса.
В регулярной области, не затронутой хаотическим слоем,
порождаемым перекрытием резонансов г/5 и ν&·> можно ввести переменные
«действие-угол», в которых гамильтониан становится в низком порядке
независимым от углов vol и Wq. Это делается за два шага: сначала вводим
переменные «действие-угол» Г^,Г^,Г^,7^7^7^ чтобы исключить
гармонику по ди + vol, а затем вводим новые переменные «действие-угол»
Г£, Г^, Г£, 7^> it 5 7^> чтобы исключить гармонику по 7^ + ^1-
11.2.4. Узловые вековые резонансы
На рис. 11.2, 11.10 и 11.17 показано расположение резонанса ϋζ + ΰ» +
+ 56 = 0 (также называемого и^) на плоскости г = 0 внутри
резонансов средних движений 3/1, 2/1 и 3/2 в поясе астероидов. Аналогично, на
рис. 11.18 показано расположение резонанса ϋζ + ди + s& =0 (также
называемого i/is) внутри резонанса 2/3 с Нептуном в поясе Койпера.
Чтобы исследовать резонанс вида ΰζ + ΰ„ + sq ~ 0> мы выделим
в (11.19) гармонику члена /С ι с аргументом qj = ϋζ + ΰ„ + Ω* и рассмотрим
интегрируемую модель
nj = SjASj +/Со(в<г,вг,в1/) + /С^(е<г,вг,в1/,%-). (11-23)

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 303
<о
о
ю
о
ί§
о
см
о
гН
1 I 1
- \
■
~
1 | 1 I 1 I | i 1 1 |Д . 1 1 1 | I
*^л ***··.. \ л
**:'*···. ^^ ***\··.
**"*· '· **»,"'·.
• \ \+ "*Ч '·.
ι Ι Γι ι ι Ι ι + ι ι ι Ι ι ·. | + . 1 .
.11,11.
:>' \
ч\ *'* V
;. . . Г; . .
1,1.1,1
н
ч
-ι
-
S.
,1,, /Г
0.10
0.20
0.30
0.40
Рис. 11.9. Вековая динамика в центре резонанса 3/2. Пунктирными кривыми
обозначены множества (е, г), соответствующие Θ' = const. Жирной сплошной кривой
обозначена левая сепаратриса резонанса Козаи. Жирная прерывистая и тонкие
прерывистые кривые обозначают соответственно центр и сепаратрисы векового
резонанса ^16. Точками показаны Гильды в координатах «оскулирующий
эксцентриситет - оскулирующее наклонение». (Рис. 14 из статьи Морбиделли и Мунс, 1993;
с разрешения Academic Press)
Функция /С] представляет собой среднее от /Ci по всем углам, кроме ϋζ +
+ ϋν + Ω!·. В динамике (11.23) сохраняются постоянными θσ и θ' = θ2 —
— θ^, тогда как θζ (а поэтому и θ„) эволюционирует, следуя
циркуляции/либрации угла qj.
Условие Θ' = const можно преобразовать в соотношение между г и е
на поверхности, определяемой значением θσ и равенством σ — σο,
применяя следующую процедуру: для каждого значения θζ и θ„ = θζ — θ'
вычисляем сначала значение Jz, соответствующее θζ при ψζ = φ°ζ, а затем
преобразуем получающиеся значения (JZ9 Jv = θ„) в (е, г), как
объяснено в разделе 11.2.2 для случая сепаратрис резонанса Козаи. На рис. 11.9
показано несколько кривых Θ' = const на плоскости (е, г), определяемой
условием θσ = 0, для случая резонанса средних движений 3/2 с
Юпитером. На этих кривых эксцентриситет почти постоянен, то есть узловой
вековой резонанс воздействует главным образом на наклонение астероида,
как и ожидалось.

304
Глава 11
Вековую эволюцию θζ и qj можно описать с помощью кривых
уровня (11.23) с θσ и Θ', играющими роль параметров (процедура аналогична
разъясненной в разделе 11.2.3 для случая перигелийных резонансов). Так-
же можно вычислить экстремальные значения θ ζ и θ^ , принимаемые
θζ на сепаратрисах рассматриваемого векового резонанса. Множество
значений (θ!1}, θ,, = θ!υ -θ') и (θ!2), θ,, = θ!2) -θ') можно преобразовать
в значения е и г на поверхности, определяемой значением θσ и равенством
σ = σο, получая, таким образом, представление сепаратрис векового
резонанса, подобное показанному на рис. 11.9.
Как обычно, в каждой из областей либрации и циркуляции векового
резонанса можно ввести новые переменные «действие-угол», чтобы
исключить рассматриваемую резонансную гармонику.
11.2.5. Трехтельные резонансы
То, что внутри двухтельных резонансов средних движений
существуют и играют важную роль трехтельные резонансы, не так давно было
выяснено Ферраз-Мелло с соавторами в серии работ (Ферраз-Мелло, 1996;
Ферраз-Мелло и др., 1997; Мищенко и Ферраз-Мелло, 1997; Несворный
и Ферраз-Мелло, 19976; Ферраз-Мелло и др., 1998а). Это соизмеримости
между частотой φσ и частотой квазирезонансной комбинации средних
долгот двух планет, обычно 2Aj — 5As для пояса астероидов и λυ — 2Αν для
пояса Койпера, где Aj, As, λυ, λ ν — средние движения Юпитера,
Сатурна, Урана и Нептуна соответственно. Эти резонансы можно рассматривать
как результат перекрытия резонансов средних движений с двумя разными
планетами в том случае, когда один резонанс гораздо сильнее другого.
Использование термина «трехтельный резонанс» в данной ситуации не вполне
уместно; фактически далее будет показано, что коэффициенты
соответствующих гармоник линейны по планетным массам, тогда как у «истинных»
трехтельных резонансов коэффициенты квадратичны (см. главу 10).
Для пояснения рассмотрим конкретный случай резонанса средних
движений 2/1 с Юпитером; так как разность 2Aj — 5As мала (соответствующий
период ~ 880 лет), астероид также близок и к резонансу средних
движений 5/1 с Сатурном. Поэтому при построении нормальной формы для
резонанса 2/1 с Юпитером нельзя путем усреднения исключить в (2.38)
гармоники с аргументами m(5\s — λ Η ), где πι — целое число, а через
многоточие обозначены комбинации вековых углов, удовлетворяющие правилам
Даламбера. Коэффициенты этих гармоник пропорциональны sseaegsz^Zg,

11.2. Динамическая система с резонансами средних движений 305
где 6s — масса Сатурна в солнечных единицах; е, г, es, is —
эксцентриситеты и наклонения астероида и Сатурна; причем а + as + β + Ps ^ 4га.
Так как эксцентриситет и наклонение Сатурна малы, гармониками с
наибольшими коэффициентами будут такие, у которых as = /?s = 0. Если
наклонение астероида является умеренным, то для всякого га
доминирующей будет гармоника с аргументом ra(5As — λ — 4ш). Ее коэффициент
пропорционален е$еАгп. Разумеется, можно записать и так:
ra(5As - λ - 4ш) =
= ra(2Aj — λ — π) + ra(5As — 2Aj) — 3mw = ma + τηφ^ — Zmvo,
(11.24)
где (/9js — так называемый угол большого неравенства 5 As — 2Aj.
Поскольку коэффициенты этих доминирующих гармоник гораздо
меньше коэффициента главной гармоники, относящейся к резонансу 2/1
с Юпитером, их влияние можно исследовать, используя характерный для
этой главы иерархически-пертурбационный подход. (Противоположный
случай, когда резонансы с двумя планетами имеют сравнимую силу, был
рассмотрен в разделе 9.2.2.) Сначала вводятся переменные (11.6) для
резонанса 2/1 с Юпитером. Тогда каждая гармоника с аргументом (11.24)
порождает ряд, состоящий из гармоник с аргументами
ηψσ + mc^js + Згат/v (11.25)
(где η Ε Ζ) и с коэффициентами, экспоненциально убывающими с |п|.
Для каждого резонанса вида ηψσ ~ ra^js, таким образом, в возмущающей
функции существуют соответствующие ему гармоники с непренебрежимо
малыми коэффициентами.
Так как обычно эти члены тем не менее довольно малы, в процессе
последовательного исключения гармоник анализ трехтельных резонансов
логично следует после рассмотрения главных вековых членов. При введении
переменных «действие-угол» Гj, Г£, Г£, 7j ? 7;j > li Для регулярных
траекторий вне перигелийного векового резонанса с планетной частотой д$ каждая
гармоника (11.25) порождает мультиплет гармоник с аргументами
n~il + πιφι$ + (Зга + fe)7J + Щ, keZ, (11.26)
где η3, и ηΐ — новые углы, «близкие» к ψσ и ψ„ ~ — w соответственно.
Интуитивно это можно понять из следующих соображений:
использование данных новых переменных, по сути дела, эквивалентно тому, чтобы

306
Глава 11
положить, что эксцентриситет астероида имеет вековые осцилляции вида
е = ео + 6cos(w — π*); подставляя это выражение в член e4m cos(nipa +
+ tt^JS — Зшш), мы получаем гармоники с аргументами ηησ + rrupjs —
— (Зга + k)w + /сет* (где —4m ^ /с ^ 4т), соответствующими аргументам
в (11.26). Фактически эти гармоники уже присутствуют в прямом
возмущении от Сатурна (с коэффициентами порядка es^o m eg ); вековые
осцилляции эксцентриситета астероида порождают их вновь с коэффициентами
не меньше величин порядка £se0m <5'fc'. Так как амплитуда δ в общем
случае много больше, чем эксцентриситет Сатурна es, косвенный эффект,
производимый вековыми осцилляциями эксцентриситета астероида, сильно
доминирует относительно прямого эффекта эксцентриситета Сатурна.
На рис. 11.10 показано расположение на плоскости г = 0 резонансов
с критическими углами ψσ + 2(/9js — (6 — k)w — kwl и ψσ + (pj$ — (3 —
— k)vo — k-col для резонанса 2/1 с Юпитером. Оно рассчитано с
использованием частот, задаваемых формулами (11.9). Как видим, эти резонансы
формируют очень плотную сеть, покрывающую почти всю резонансную
область соизмеримости 2/1. Хотя, взятые по отдельности, эти резонансы
слабы, их кумулятивное воздействие может быть достаточно
существенным, чтобы хаотизировать области, не подверженные влиянию заметных
вторичных и вековых резонансов.
Роль трехтельных резонансов внутри двухтельных резонансов средних
движений не была до сих пор детально исследована с использованием
аналитических или полуаналитических моделей. Исключительно с помощью
численного интегрирования было показано (см., например, Ферраз-Мелло
и др., 1998а), что при внесении возмущений со стороны Сатурна
динамика может хаотизироваться, причем сила хаоса зависит от частоты угла
большого неравенства (эту частоту можно варьировать, слегка изменяя
орбиту Сатурна). С другой стороны, как мы знаем из главы 6, очень трудно
выяснить аналитически, является ли данная система квазирегулярной или
полностью хаотической, когда в ней есть много узких резонансов
высокого порядка. В таких случаях, чтобы достичь четкого понимания реальной
динамической структуры системы, следует прибегать к численным
инструментам, например к описанным в главе 5.
11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов
В этом разделе мы обсудим современные представления о динамике
внутри наиболее важных резонансов средних движений с Юпитером в по-

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 307
τ—ι—|—ι—ι—ι—ι—|—ι—ι—ι—ι—|—ι—ι—ι—ι—|—ι—ι—ι—ι—|—ι—г
0.61 0.62 0.63 0.64 0.65
a/aj
Рис. 11.10. Расположение важнейших резонансов внутри соизмеримости 2/1. Двумя
очень жирными линиями обозначены сепаратрисы резонанса 2/1 при σ = 0°.
Жирными сплошными линиями показано расположение вековых резонансов ν$ и щ,
жирными прерывистыми линиями — вековых резонансов v\q и Козаи (как и на
рис. 11.2). Тонкими пунктирными линиями показано расположение вторичных
резонансов tya+nfyu+Qb) = 0 (п = 2,..., 5), тонкими прерывистыми линиями — трех-
тельных резонансов ψσ + 2<£js — (6 — k)w — кд$ (к растет от 0 до 6 с уменьшением
эксцентриситета), тонкими штрихпунктирными линиями — трехтельных резонансов
Ψσ + v?js ~~ (3 — k)w — кдъ (к убывает от 0 до —4 с увеличением эксцентриситета).
Напомним, что для внутренних резонансов ψσ < 0.
ясе астероидов. В качестве исторического обзора эволюции этих
представлений рекомендуем статью Мунс (1997).
11.3.1. Резонанс 3/1
Резонанс 3/1 средних движений с Юпитером при а ~ 2.5 а. е.
соответствует одному из наиболее явных люков Кирквуда в поясе астероидов.
Вторичные резонансы не играют заметной роли в динамике внутри
резонанса 3/1, поскольку они присутствуют лишь при малых эксцентриси-

308
Глава 11
тетах (е < 0.1, см. рис. 11.2). Поэтому причину возникновения люка 3/1
следует искать в вековой динамике. Несмотря на то что центр резонанса v$
расположен при большом эксцентриситете (е ~ 0.8, см. рис. 11.4), этот
резонанс определяет вековую динамику при всех значениях е (см. рис. 11.7).
Как следствие, у орбит астероидов в резонансе 3/1 имеются большие
вековые колебания эксцентриситета, что вынуждает их время от времени
пересекать орбиты внутренних планет.
Рис. 11.11. Временная эволюция эксцентриситета орбиты астероида в резонансе 3/1
в плоской эллиптической ограниченной задаче; орбита вычислена с помощью сим-
плектического отображения Уиздома. (Рис. 13 из статьи Уиздома, 1982; с
разрешения Американского астрономического общества)
Впервые этот феномен обнаружил Уиздом (1982) (см. рис. 11.11) в
численных экспериментах с использованием отображения, которое можно
считать прародителем симплектического интегратора в смешанных
переменных (Уиздом и Хольман, 1991). Позднее Уиздом (1985) дал объяснение
этому наблюдаемому феномену, предложив полуаналитическую теорию.
Подход Уиздома аналогичен обсуждавшемуся выше в разделе 11.2.3, однако
им была учтена вековая модуляция сепаратрис резонанса 3/1; кроме
того, поскольку эта теория была основана на разложениях в ряды, область
ее применимости отвечала лишь низким и умеренным эксцентриситетам
(см. комментированный обзор теории Уиздома в статье Анрара и Карани-

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 309
-0.2 0.0 _ 0.2 0.4
χ
Рис. 11.12. Вековое движение в резонансе 3/1 при одном из значений
усредненного гамильтониана плоской эллиптической задачи трех тел. Координаты по осям:
χ = ecos(w—m£), у = esin(sc7 —ш£), где е и π — эксцентриситет и долгота
перигелия, усредненные по σ. В виде заштрихованного кольца показана модулированная
сепаратриса резонанса 3/1. У траекторий внутри этого кольца угол σ
циркулирует, у всех остальных — либрирует. (Рис. 5 из статьи Уиздома, 1985; с разрешения
Academic Press)
коласа, 1990). На рис. 11.12 (из статьи Уиздома, 1985) показана вековая
эволюция переменных χ = ecos(a7 - vol), у = es'm(w — ш£), полученная
путем усреднения по σ. Заштрихованное кольцо представляет собой
модулированную сепаратрису резонанса 3/1; угол σ циркулирует внутри кольца
и либрирует вне его. Как видим, вековая динамика вынуждает почти все
орбиты, находящиеся в резонансе 3/1 (то есть вне кольца), достигать
эксцентриситетов выше е = 0.3, что представляет собой пороговое значение
для тесных сближений с Марсом. Те траектории на рис. 11.12, которые
пересекают кольцо, все должны быть хаотическими; так что они могут
совершать скачки к высоким эксцентриситетам нерегулярно во времени, как
и показывают представленные на рис. 11.11 результаты численного
интегрирования. Этот тип поведения присутствует также на графике на правой
верхней панели рис. 11.7 (построенном согласно рецепту раздела 11.2.3);
нижний край этой панели совпадает с сепаратрисой резонанса 3/1, и, таким
образом, он соответствует заштрихованному кольцу на рис. 11.12, тогда как

310
Глава 11
остров либрации вокруг q = π — w% = 0 при малых N соответствует
бананоподобным кривым в правой части рис. 11.12.
Для орбит с меньшей амплитудой либрации внутри резонанса 3/1
(верхняя левая панель рис. 11.7) остров вековых либрации вокруг w —
— vol = 0 исчезает, что впервые обнаружили Анрар и Караниколас (1990).
Однако те орбиты, что имеют наименьший возможный эксцентриситет при
w — vo% — 180°, все же достигают эксцентриситетов выше ~ 0.3 (то есть
N ^ 1.42), когда π — ш£ прецессирует до 0°. Хотя данная эволюция
сама по себе и не является хаотической, достигнутый благодаря ей большой
эксцентриситет достаточен для тесных сближений с Марсом. Последние
вызывают случайные малые скачкообразные изменения большой полуоси
астероида, и поэтому рано или поздно они могут вывести его из
резонанса 3/1. Благодаря такой «кооперации» вековой динамики и сближений
с Марсом, в течение ~ 100 млн лет на месте резонанса 3/1 в первоначально
однородном распределении частиц может образоваться люк (Уиздом, 1983;
Уэзерилл, 1975). Однако, как мы убедимся ниже, механизм, благодаря
которому резонанс теряет населяющие его объекты, на самом деле иной.
Большой остров либрации вокруг w — w\ — 180° на рис. 11.7
соответствует резонансу и5. Траектории, близкие к нижнему краю двух верхних
панелей, находятся вне этого острова и поэтому достигают лишь
умеренных (хотя и достаточных для пересечения с орбитой Марса) значений
эксцентриситета при циркуляциях угла w — vo\ или его либрациях вокруг 0°.
Траектории же, имеющие первоначально большой эксцентриситет (е ~ 0.45
при w — vo\ — 180°), следуют либрационному циклу вокруг w — w% — 180°
и достигают эксцентриситетов, близких к единице. При большей амплитуде
либрации (нижняя левая панель рис. 11.7) большой остров либрации
касается сепаратрисы резонанса 3/1 (нижнего края панели), поэтому и орбиты
с самым низким исходным эксцентриситетом вынуждены приобретать
эксцентриситет ^ 0.8-0.9, когда w — vo\ — 180°. Эту особенность впервые
выявили Ферраз-Мелло и Клафке (1991) путем построения сечений Пуанкаре
в усредненной плоской эллиптической задаче трех тел (11.13) с Sz = 0. На
рис. 11.4 показано расположение сепаратрис большого острова либрации
на плоскости (а, е) при σ = 90°.
Ha этом же рисунке показано, как расположен резонанс щ и его
сепаратрисы; данный резонанс сам по себе порождает вековую динамику,
весьма похожую на представленную на рис. 11.7. Если же принять во внимание
оба резонанса и$ и щ, то, как объяснено в разделе 11.2.3, вековая
динамика полностью изменяется (рис. 11.8). Хаотическая область охватывает по-

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 311
чти все фазовое пространство, вплоть до единичного эксцентриситета (до
верхнего края панелей). Помимо малых островков, погруженных в
хаотическую область, регулярными продолжают оставаться только траектории,
имеющие малые амплитуды либрации на резонансе 3/1 и малые
эксцентриситеты (инвариантные торы внизу на двух верхних панелях рис. 11.8).
Напомним, однако, что эти траектории периодически достигают
эксцентриситетов, достаточных для тесных сближений с Марсом; последние вызывают
скачкообразные изменения большой полуоси и эксцентриситета астероида.
Эти изменения в общем случае очень малы, но при этом эффективно
изменяется амплитуда либрации астероида на резонансе 3/1. При больших
амплитудах либрации хаотическая область, порожденная перекрытием ре-
зонансов г/5 и г/6, распространяется на все возможные значения
эксцентриситета (нижние панели рис. 11.8), и поэтому орбита астероида может
быстро и хаотически эволюционировать до очень высоких эксцентриситетов.
Данное сочетание крупномасштабного хаоса в вековой динамике со
сближениями с Марсом хорошо объясняет поведение астероидов в
резонансе 3/1, наблюдаемое в экспериментах с численным интегрированием
полных уравнений движения. Как видно из рис. 11.13, если и
эксцентриситет, и амплитуда либрации исходно малы, то астероид может проводить
~ 1 млн лет в состоянии с низким эксцентриситетом, осциллируя между
е ~ 0-0.1 и е ~ 0.3-0.4 на шкале времени ~ 104 лет. При этом амплитуда
либрации большой полуоси изменяется благодаря сближениям астероида
с Марсом. В конце концов астероид попадает в протяженную хаотическую
область вековой динамики, и там его эксцентриситет очень быстро
возрастает до значений, близких к единице. Тогда становятся возможными и
частыми тесные сближения с Землей и Венерой. Благодаря тому, что масса
любой из этих планет больше массы Марса, сближения с ними гораздо
эффективнее изменяют большую полуось орбиты астероида. Если
происходит тесное сближение, то астероид уходит из резонанса 3/1, а умеренные
сближения (как на рис. 11.13) приводят лишь к постепенному изменению
амплитуды либрации астероида, при этом его эксцентриситет продолжает
свою случайную эволюцию, вызываемую хаотической вековой динамикой;
в этом случае типичным итогом является падение на Солнце. Отметим, что
в ходе эволюции наклонение орбиты астероида также испытывает
существенные изменения благодаря наличию внутри резонанса 3/1 влияющих
на эволюцию наклонения вековых резонансов — резонанса Козаи,
резонанса ι/χ6 и резонанса ϋν + д§ + 2ϋζ — 0. Их расположение на плоскости (а, е)
показано на рис. 11.2.

312
Глава 11
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
30
20
10
0
2.6
2.5
2.4
2.3
эксцентриситет
-Η 1 1 1—
наклонение
большая полуось
\~~**тж^^Ж
0 5 x 105 106 1.5 χ ΙΟ6 2 χ ΙΟ6
время, в годах
Рис. 11.13. Типичная эволюция эксцентриситета, наклонения и большой полуоси
орбиты тела, находящегося исходно в резонансе 3/1 с Юпитером, согласно
результатам численного интегрирования полных уравнений движения в модели,
включающей все планеты Солнечной системы. Тело в конце концов падает на Солнце. (Рис. 9
из статьи Фаринеллы и др., 1993а; с разрешения Kluwer Academic Publishers)

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 313
Представленная на рис. 11.13 динамическая эволюция вызывает
быстрое образование люка в распределении астероидов на месте резонанса 3/1.
В самом деле, результаты численного интегрирования, проведенного для
статистически значимой выборки частиц (Глэдман и др., 1997), показывают,
что среднее время жизни популяции, исходно помещенной в резонанс 3/1,
составляет ~ 2 млн лет, при этом менее 10% популяции выживает дольше
10 млн лет, но все эти выжившие тела оказываются перенесенными в
область а < 2 а. е. в результате повторяющихся тесных сближений с Землей
или Венерой, так что резонанс полностью освобождается от астероидов за
несколько миллионов лет. Эта шкала времени гораздо короче ~ 100 млн
лет, предсказываемых сценарием Уиздома.
То же самое происходит и во многих других важных резонансах
средних движений с Юпитером, соответствующих люкам Кирквуда. Мунс
и Морбиделли (1995) показали, что хаотические области, порождаемые
перекрытием резонансов i/5 и ^, доминируют также внутри резонансов 4/1,
5/2 и 7/3; поэтому астероиды, находящиеся в этих резонансах средних
движений, также могут приобретать весьма большие эксцентриситеты на
«короткой» шкале времени. Согласно результатам расчетов Глэдмана и др.
(1997) среднее время жизни частиц в резонансах 5/2 и 7/3 составляет 0.6
и 19 млн лет соответственно.
Благодаря своей эффективности в «накачке» эксцентриситета до
значений, при которых орбита астероида начинает пересекаться с орбитой
Земли, главные резонансы средних движений с Юпитером (в частности,
резонанс 3/1) считаются важнейшими «поставщиками» новых объектов для
популяции астероидов, сближающихся с Землей. Согласно
общепринятому сейчас сценарию население этих резонансов постоянно пополняется за
счет астероидов главного пояса с низкими эксцентриситетами благодаря
ударным столкновениям (Фаринелла и др., 19936, Меникелла и др., 1996)
и медленному воздействию слабой негравитационной силы (так
называемому эффекту Ярковского4). Поскольку в хаотической области
резонанса 3/1 единичный эксцентриситет достигается на «короткой» шкале
времени, в большинстве своем резонансные астероиды быстро погибают из-за
4Этот эффект порождается тепловым переизлучением с поверхности астероида.
Благодаря вращению тела и наклону его оси вращения наиболее горячий участок поверхности тела
испускает инфракрасные фотоны в направлении, смещенном по отношению к направлению
«тело-Солнце». Это приводит к слабому ускорению (положительному или отрицательному)
тела вдоль его орбиты, то есть к медленному дрейфу по большой полуоси. Этот эффект
непосредственно наблюдается у искусственных спутников Земли. См. статьи Фаринеллы и Вокро-
углицкого (1998), Боттке и др. (2000а). — Прим. авт.

314
Глава 11
столкновений с Солнцем (70 % выборки в расчетах Глэдмана и др.), и
поэтому они не вносят заметного вклада (к счастью для нас!) в поддержание
популяции АСЗ.
Какой была бы динамика астероидов в резонансе 3/1, если бы
Марса не существовало? Поведение траекторий, которые на верхних панелях
рис. 11.8 имеют регулярный вид, никогда не исследовалось детально с
учетом дополнительных гармоник и степеней свободы вековой динамики.
Согласно рис. 11.2 эту область пересекает резонанс ΰν + gg + 2ΰζ = 0, и он
в принципе может дестабилизировать движение. Кроме того, эту область
пересекают два трехтельных резонанса, но их гармоники должны быть
очень высокого порядка по эксцентриситету, так как резонанс с
Сатурном самого низкого порядка, который может взаимодействовать с
резонансом 3/1 с Юпитером, — это резонанс 15/2 (порядка 13 по е). Численное
интегрирование, проведенное для той же выборки частиц, что и у Глэдмана
и др. (1997), но в отсутствие Марса показывает, что популяция
резонанса 3/1 убывает гораздо медленнее. По прошествии 10 млн лет в резонансе
выживает 15 % частиц, тогда как в численном эксперименте Глэдмана и др.
область резонанса 3/1 за это время полностью очищается.
11.3.2. Резонанс 2/1
Резонанс средних движений 2/1 с Юпитером соответствует люку Кирк-
вуда, имеющему наибольшую ширину по большой полуоси. Поэтому он
стал первым резонансом, который исследовали детально начиная с работ
Пуанкаре. Любопытно, но это и резонанс, объяснить отсутствие
астероидов в котором труднее всего. Найти удовлетворительное объяснение
удалось лишь недавно.
Подробное исследование динамической структуры резонанса 2/1
выполнили Мунс и др. (1998); впервые без упрощений они применили
подход, описанный выше в разделе 11.2. Расположение различных резонансов
и их сепаратрис было численно определено для нескольких значений Ja,
а результаты были представлены в объединенном виде на плоскости (а, е)
для различных значений наклонения (рис. 11.14). На каждой из панелей
рис. 11.14 двумя очень жирными линиями слева и справа обозначены
сепаратрисы резонанса средних движений 2/1, вычисленные при σ = 0.
Отметим, что с увеличением наклонения область, ограниченная сепаратрисами
резонанса 2/1, несколько сужается. Расположение сепаратрис найдено
численно из гамильтониана (11.5), параметрически зависящего от наклонения
через Sz. В пространстве между сепаратрисами точечной штриховкой вы-

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 315
3.40
3.15 3.20 3.25 3.30 3.35 3.40 3.15 3.20 3.25 3.30 3.35 3.40
а а
Рис. 11.14. Сильно хаотические области (выделены точечной штриховкой) и
квазирегулярные острова (белые области А и Б) внутри резонанса 2/1 с Юпитером
при различных наклонениях. Двумя очень жирными линиями слева и справа
нанесены сепаратрисы резонанса средних движений 2/1; пунктиром показана верхняя
граница существования вторичных резонансов; прерывистыми, тонкими
сплошными и жирными сплошными линиями нанесены сепаратрисы резонансов vie, Козаи
и 1/5, соответственно. Комментарии см. в тексте. (Рис. 1 из статьи Мунс и др., 1998;
с разрешения Academic Press)

316
Глава И
делены области, затронутые (индивидуально или совместно) вековыми или
вторичными резонансами, которые обсуждаются ниже. Это сделано с целью
обозначить области, где можно ожидать сильных (хаотических) изменений
орбитальных элементов.
Тонкими сплошными линиями на рис. 11.14 показаны сепаратрисы
резонанса Козаи. Ширина резонанса Козаи увеличивается с Наклонением,
поскольку коэффициент гармоники Козаи пропорционален е2г2. Как выглядит
этот резонанс на плоскости (е, г) в центральной части соизмеримости 2/1,
показано на рис. 11.6. При г ^ 20° верхняя сепаратриса резонанса Козаи
находится вне диапазона эксцентриситетов, покрываемого рис. 11.14 для
большинства значений большой полуоси, поэтому нанесена только нижняя
сепаратриса. Жирными сплошными линиями нанесены сепаратрисы
резонанса ι/5· Угол ^7-^5 либрирует вокруг 0° (если большая полуось
осциллирует в диапазоне 3.22-3.33 а. е.) либо вокруг 180° (в случае орбит с большей
амплитудой либрации на резонансе 2/1). Вековой резонанс щ также
присутствует (Морбиделли и Мунс, 1993): он расположен выше уъ и частично
перекрывается с последним, однако его сепаратрисы на рис. 11.14 не
показаны, чтобы не перегружать график. Резонанс Козаи сильно
взаимодействует с резонансами г/5 и ^5 частичное перекрытие имеет место при всех
наклонениях, и оно должно приводить (как в случае резонанса 3/1) к
формированию обширной хаотической области, где эксцентриситет астероида
может расти до единицы. Такой хаос покрывает область при больших
значениях эксцентриситета в центральной части резонанса 2/1, а при больших
амплитудах либрации он распространяется на все эксцентриситеты, следуя
расположению упомянутых выше вековых резонансов (см. рис. 11.10).
Таким образом, если принимать во внимание только резонансы Козаи, i/^hi/q,
то область при малых и промежуточных значениях эксцентриситета в
центральной части резонанса 2/1 была бы регулярной. В отличие от случая
резонанса 3/1, чтобы добиться увеличения амплитуды либрации
астероидов, исходно находящихся в этой области, здесь нельзя привлечь механизм
тесных сближений с Марсом, поскольку эксцентриситет не достигает
значений, достаточных для появления пересечений с орбитой Марса (напомним,
что в сравнении с резонансом 3/1 резонанс 2/1 находится гораздо дальше
от Марса).
Чтобы объяснить отсутствие астероидов в области малых и
промежуточных значений эксцентриситета, требуется дальнейшее изучение
динамики в ней. Эту область пересекает резонанс ζ/χβ, чьи сепаратрисы
обозначены на рис. 11.14 прерывистыми линиями. Резонанс ν\§ вызывает ко-

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 317
лебания наклонения с амплитудой ~ 15-20°. Кроме того, при более
низких эксцентриситетах имеется комплекс вторичных резонансов: пунктиром
обозначена верхняя граница по эксцентриситету для области, затронутой
вторичными резонансами порядка по эксцентриситету или наклонению не
выше 5. Следовательно, если принимать во внимание также резонанс viq
и вторичные резонансы, то можно ожидать, что на рис. 11.14 регулярными
будут лишь белые области А и Б. Орбиты в зоне вторичных резонансов,
хотя и являются хаотическими, в плоской задаче покинуть эту зону не
могут, поскольку они должны были бы пересечь регулярные области А и Б
(см. рис. 11.3). В полной задаче, однако, вторичные резонансы вида (11.10)
и (11.12) вынуждают наклонение астероида расти. При больших
наклонениях резонанс v\q перекрывается со вторичными резонансами (нижние
панели рис. 11.14), поглощая область Б; при этом открывается выход к большим
эксцентриситетам через хаотическую область, порожденную резонансами
Козаи, уъ и vq. Первым эту «извилистую тропу» обнаружил Уиздом (1987)
путем численного моделирования, а позднее Анрар и др. (1995) описали ее
детально, исходя из результатов массовых численных экспериментов.
Тем не менее ни вековые, ни вторичные резонансы не дают
полного объяснения, почему области А и Б относительно свободны от
астероидов. Эти области, однако, не являются в действительности регулярными,
как выяснили Франклин (1994) и Ферраз-Мелло (1994) путем вычисления
показателей Ляпунова для ограниченной выборки орбит. Несколькими
годами позднее Несворный и Ферраз-Мелло (19976) впервые выполнили
детальный численно-экспериментальный обзор динамической структуры
резонанса 2/1. На интервале времени в несколько сотен тысяч лет они
проинтегрировали орбиты большой выборки пробных частиц с начальными
условиями на регулярной сетке, заданной на плоскости (а, е) при г = σ =
= w — πj = Ω — Qj = 0, где индекс J обозначает принадлежность к
Юпитеру. Для каждой частицы они измерили, как изменилась частота угла w
за время интегрирования. Согласно разделу 5.3, изменение частоты
является индикатором хаотичности орбиты. Результаты показаны на рис. 11.15
в цветовой шкале: красным цветом окрашены наиболее хаотичные области,
а темно-синим — области начальных условий, где изменение частоты ниже
предела обнаружения. Впечатляет схожесть левой панели рис. 11.15 и
верхней левой панели рис. 11.14 в том, что касается расположения наиболее
хаотичных областей. К тому же примененная мощная численная методика
позволяет увидеть, что для областей А и Б характерен протяженный
слабый хаос (о чем говорит их почти однородный светло-голубой цвет), а не

318 Глава 11
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
Рис. 11.15. Динамическая структура резонансов 2/1 и 3/2 (панели внизу и вверху
соответственно). В цветовой шкале показан логарифм относительного изменения
частоты vj за 200000 лет; данная шкала служит для диагностики хаоса. (Рис. 2 из
статьи Ферраз-Мелло и др., 19986; с разрешения Тихоокеанского астрономического
общества)

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 319
структура Нехорошева, обсуждавшаяся в главе 6. Поэтому астероиды,
помещенные исходно в область А или Б, должны испытывать медленную
хаотическую диффузию на плоскости (а, е) и по прошествии большого
времени в конце концов могут оказаться в областях сильного хаоса. Фактически
же результаты долговременного численного интегрирования,
проведенного Несворным (частное сообщение), показывают, что у тел, помещенных
исходно в область А или Б, среднее время жизни превышает 1 млрд лет.
Мищенко и Ферраз-Мелло (1997) и Несворный и Ферраз-Мелло (19976)
высказали гипотезу, что протяженный слабый хаос в областях А и Б
вызван резонансами между периодом либрации σ и периодом вращения угла
большого неравенства φ^ (см. раздел 11.2.5). Чтобы найти этой гипотезе
косвенное подтверждение, они в своих вычислениях слегка изменили
орбиту Сатурна так, чтобы период угла большого неравенства уменьшился
в 2 раза. Оказалось, что хаотичность областей А и Б тогда сильно
возрастает. Как видно из рис. 11.10, эти области пересекает комплекс «трехтельных
резонансов» с критическими углами, в обозначениях раздела 11.2.5
записываемыми как φσ + 2<^js — (6 — k)w — kwl πψσ + 2φ^ — (6 — k)w — kw^, где
к = 0,..., 6. (Чтобы не перегружать график, на нем не приведены
резонансы, включающие vo^\ они располагаются вблизи соответствующих
резонансов, включающих ш£.) Отсутствие различимой структуры Нехорошева на
рис. 11.15 указывает на то, что эти резонансы должны перекрываться друг
с другом. Если период угла большого неравенства φ^ уменьшить в 2 раза,
то этот комплекс резонансов замещается комплексом резонансов с
критическими углами ψσ + (^js — (3 — k)w — kw^ и ψσ — (pj$ — (3 — k)w — kw^.
У последних резонансов порядок по эксцентриситету ниже и
коэффициенты гармоник, соответственно, больше, и поэтому порождаемый ими хаос
сильнее.
Общепризнанно, что в ранние эпохи существования Солнечной
системы Юпитер и Сатурн были несколько ближе друг к другу, чем сейчас
(Фернандес и Ип, 1984). В таком случае, как отметили Несворный и Ферраз-
Мелло (19976), период угла большого неравенства должен был быть
меньше. Поэтому логично предположить, что первичные астероиды,
населявшие области А и Б, были удалены из этих областей, когда период угла φ^
составлял половину его нынешнего значения.
В действительности резонанс 2/1 не вполне свободен от астероидов.
В нем есть несколько объектов с сильно хаотическими орбитами (например,
1362 Гриква), которые, вероятно, были временно захвачены в резонанс из
числа астероидов, сближающихся с Землей, или комет семейства Юпитера.

320
Глава 11
К тому же в результате современных наблюдений обнаруживается все
больше мелких астероидов в области Б при малых наклонениях. Первым из них
был открыт 3789 Жонггуо. Из-за малых (не превышающих 10 км) размеров
этих тел их время жизни, обусловленное ударно-столкновительными
процессами, меньше, чем возраст Солнечной системы, поэтому они не могут
быть первичными астероидами. Согласно рис. 9.19 (левая панель), в момент
ударно-столкновительного формирования семейства Фемиды некоторые из
его образовавшихся членов могли быть вброшены в резонанс 2/1; с другой
стороны, в корректно определенных координатах Жонггуо безукоризненно
выравнен с кластером Фемиды. Напрашивается вывод, что все астероиды
в области Б принадлежат семейству Фемиды и были вброшены в резонанс
относительно недавно, уже после того, как резонансное население
первичных астероидов сошло на нет. Этот сценарий детально описан в работе
Мунс и др. (1998). Хотя имеющаяся статистика все еще бедна,
распределение астероидов в области Б по размерам, по-видимому, является таким же,
как и в семействе Фемиды; при этом оно гораздо круче, чем у астероидов
главного пояса, не входящих в семейства (Ройг, частное сообщение). Если
это сходство подтвердится, оно станет сильным доводом в пользу сценария
родства этих астероидов с семейством Фемиды.
11.3.3. Резонанс 3/2
Среди резонансов средних движений низкого порядка в главном
поясе резонанс 3/2 — единственный, который содержит много астероидов
(см. рис. 9.12). Исходя из названия первого открытого в нем объекта,
население резонанса 3/2 принято называть Тильдами.
Из факта существования Гильд следует, что резонанс не синоним люка
в распределении астероидов. Действительно, в распределении астероидов
резонансу 3/2 соответствует пик на фоне нерезонансного населения.
Причина состоит в том, что нерезонансные астероиды с а ~ 4 а. е. и с не
слишком малыми эксцентриситетами испытывают тесные сближения с
Юпитером и быстро дестабилизируются, тогда как резонансные тела согласно
разделу 9.1.1, «фазово защищены» от тесных сближений с
планетами-гигантами.
Вековая динамика резонанса 3/2 весьма схожа с вековой динамикой
резонанса 2/1. На рис. 11.16 показано расположение резонансов иъ и щ и их
сепаратрис. Угол vo — w\ либрирует вокруг 180°. Два вековых резонанса
перекрываются, порождая хаотическую область, простирающуюся примерно
от нижней сепаратрисы резонанса и§ до верхней сепаратрисы резонанса щ.

11.3. Важнейшие резонансы в главном поясе астероидов 321
Таким образом, для регулярного движения остается область при умеренных
эксцентриситетах, где и находятся Гильды. Согласно рис. 11.16 несколько
Гильд оказались внутри резонанса v$; на самом деле это артефакт,
возникший из-за того, что сепаратрисы резонанса г/5 нанесены для νο — π% = 180°,
тогда как положения астероидов приведены в текущих оскулирующих
элементах, независимо от значения π — νο\. Если бы орбиты астероидов были
проинтегрированы до момента, когда νο — νο\ — 180°, то положения всех
астероидов на плоскости (а, е) оказались бы вне резонанса иъ.
I I I I | ',1 I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I
0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79
а
Рис. 11.16. То же, что и на рис. 11.4, но для резонанса 3/2 с Юпитером. Точками
показаны положения известных Гильд в оскулирующих элементах. (Рис. 10 из статьи
Морбиделли и Мунс, 1993; с разрешения Academic Press)
Согласно рис. 11.17, внутри соизмеримости 3/2 есть к тому же
резонансы Козаи и viq. На рис. 11.9 показано, как на плоскости (е, г) в центре
соизмеримости 3/2 пролегают левая сепаратриса резонанса Козаи, а также
резонанс г^16 и его границы. Как видим, Гильды избегают и этих резонан-
сов. Вторичные резонансы низкого порядка оказываются перенесенными
в область се < 0.15, причем они не порождают значимой хаотической
области, поскольку не перекрываются друг с другом (Мищенко и Ферраз-
Мелло, 1995).

322
Глава 11
Несворный и Ферраз-Мелло (19976) провели численный анализ
динамики резонанса 3/2, аналогичный успешно проведенному ими для
резонанса 2/1. Результаты показаны на правой панели рис. 11.15. В данном случае
соответствие между сильно хаотической областью на рис. 11.15 и
расположением сепаратрис векового резонанса на рис. 11.16 не слишком хорошее,
поскольку последние вычислены при w — νο\ — π, а начальные условия для
пробных частиц взяты Несворным и Ферраз-Мелло при w — wj = 0. Как
следствие такого выбора начальных фаз, хаотическая область,
порождаемая перекрытием вековых резонансов, на рис. 11.15 сдвинута к большим
эксцентриситетам.
^ I I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I
a/aj
Рис. 11.17. Расположение главных резонансов внутри соизмеримости 3/2. Жирные
сплошные, жирные прерывистые и тонкие пунктирные линии имеют тот же смысл,
что и на рис. 11.10, а тонкими прерывистыми линиями здесь показано расположение
трехтельных резонансов ψσ + 3(/?js — 9w = 0 и 2ψσ + 3<£js — 9ш.
Согласно рис. 11.15 область внутри соизмеримости 3/2, не
затронутая вековыми резонансами, характеризуется гораздо более регулярной
динамикой, чем области А и Б внутри соизмеримости 2/1. В интервале
0.2 < е < 0.35 (при w — wj = 0) по центру резонанса 3/2 следов хаоса
не обнаруживается, то есть большая часть этой области заполнена инва-

11.4. Важнейшие резонансы в поясе Койпера 323
риантными торами. Проинтегрировав орбиты всех астероидов до момента,
когда σ = νο — wj = О, Несворный и Ферраз-Мелло установили, что в
подавляющем большинстве Гильды принадлежат этой устойчивой регулярной
области.
На рис. 11.17 показано расположение «трехтельных резонансов» с
критическими углами ψσ + 3(/9js — 9τϊ7 и 2ψσ + 3(/?js — 9ет на плоскости г = 0.
Резонансы с аргументами ψσ+3φ3$ — (9—k)vo—kw$, V><r+3y?js — (9 — k)vo —
- kvol (k> 0) и 2τ/ν + 3(^JS - (9 - fc) ш - fetug, 2τ/ν + 3y>js - (9 - k)w - kw%
(/с < О) находятся в области между двумя резонансами, явно показанными
на рис. 11.17. Есть две причины, по которым трехтельные резонансы не
порождают хаоса в центральной области резонанса 3/2, тогда как внутри
резонанса 2/1 они его порождают: во-первых, резонанс с Сатурном самого
низкого порядка среди резонансов, способных взаимодействовать с
резонансом 3/2 с Юпитером, — это резонанс 15/4 (порядка И по е); во-вторых,
период либрации на резонансе 3/2 меньше, чем на резонансе 2/1,
вследствие чего резонансы с периодом угла большого неравенства допустимы
лишь в более высоких порядках. По этим причинам коэффициенты
гармоник трехтельных резонансов должны быть гораздо меньше, чем в случае
резонанса 2/1 с Юпитером, так что индивидуальные резонансы
предположительно не вполне перекрываются друг с другом.
11.4. Важнейшие резонансы в поясе Койпера
Исследования динамики внутри резонансов средних движений в поясе
Койпера начались совсем недавно, когда были открыты первые
резонансные объекты. Можно предположить, что они продолжатся и приведут к
более детальному пониманию предмета изучения в ближайшем будущем —
параллельно с тем, как будут получены наблюдательные данные об
орбитальном распределении населяющих пояс Койпера объектов. Здесь мы
кратко обсудим современные знания о динамике внутри внешних
резонансов средних движений 2/3 и 1/2 с Нептуном — резонансов, которые, судя по
всему, играют в поясе Койпера важнейшую роль.
11.4.1. Резонанс 2/3
Около 30% тел, открытых на сегодняшний день в поясе Койпера,
находятся в резонансе 2/3 с Нептуном (а ~ 39.5 а. е.). Джуитт и др. (1998),
учтя эффект селекции, благоприятствующий открытию последних, оценили
заселенность резонанса 2/3 как 10-15% от всего населения пояса Койпера

324
Глава 11
макс, показатель Ляпунова
39
39.2 39.4 39.6
большая полуось, а. е.
39J
-7.5
-6.5
-5.5
макс, показатель Ляпунова
4.5
-4
Рис. 11.18. Показатели Ляпунова и расположение главных резонансов внутри
соизмеримости 2/3 с Нептуном. Жирные кривые слева и справа обозначают сепаратрисы
резонанса 2/3. Кривые «щ», «fis» и «Козаи» обозначают положения резонансов щ,
vis и Козаи соответственно; прерывистые кривые «4:1» и «5:1» обозначают
положения трехтельных резонансов 4·φσ — 0un ~ 0 и §ψσ — 0un ~ 0 (напомним,
что для внешних резонансов ψσ > 0); кривая «sig5» обозначает верхнюю границу
области, затронутой вторичными резонансами не выше 5-го порядка по
эксцентриситету. Черными кружками показано расположение известных плутино по большой
полуоси и эксцентриситету при σ — 180" и ω = 90°; причем кружком с крестиком
обозначен Плутон. В цветовой шкале показаны значения десятичного логарифма
максимального показателя Ляпунова, вычисленные для пробных частиц, исходно
размешенных на регулярной сетке на плоскости г — 0°. (Рис. 2 из статьи
Несворного и Ройга, 2000; с разрешения Academic Press)

11.4. Важнейшие резонансы в поясе Койпера 325
в интервале 30-50 а. е. Плутон, самый крупный из известных объектов
пояса Койпера5 также пребывает в резонансе 2/3. Поэтому тела, находящиеся
в резонансе 2/3, принято называть плутино.
Детальное исследование динамики резонанса 2/3 выполнили
Несворный и Ройг (2000). На рис. 11.18 показано расположение главных вековых,
вторичных и трехтельных резонансов на плоскости (а, е) при г — 0° и σ —
= 180° (устойчивый центр либрации на резонансе 2/3), рассчитанное по
рецепту из раздела 11.2. Кроме того, в цветовой шкале на графике
показаны значения логарифма максимального показателя Ляпунова, вычисленные
для множества пробных частиц, исходно размещенных на регулярной сетке
на плоскости (а, е), опять же при г = 0° и σ = 180°. Согласно разделу 5.2
значение показателя Ляпунова служит непосредственной мерой
хаотичности. Как видно из рис. 11.18, значения показателя Ляпунова четко
коррелируют с расположением резонансов. Они очень велики вблизи границ
резонанса 2/3 благодаря присутствию векового резонанса г/« и его перекрытию
с резонансом ζ/χ8. При малых эксцентриситетах (е < 0.05) они меньше, но
все же явно больше нуля (благодаря присутствию резонанса г/18и
вторичных резонансов), как и вдоль трехтельного резонанса, соответствующего
отношению 4:1 между периодом либрации на резонансе 2/3 и периодом
угла большого неравенства φυ^ = 2Αν — λυ системы «Уран-Нептун».
Тело в резонансе 2/3 с Нептуном находится вблизи резонанса 1/3 с Ураном,
так что прямые возмущения орбиты тела Ураном способны генерировать
гармоники трехтельных резонансов с довольно большими
коэффициентами. Этот трехтельный резонанс «4:1» фактически является комплексом из
двух резонансов с критическими углами 4ψσ — <^un + (1 — k)w + kw$ (к =
= 0,1). Оба резонанса пролегают весьма близко к кривой, приведенной на
рис. 11.18, поэтому область хаоса, порождаемого трехтельным резонансом
«4:1» на плоскости (а, е), сильно локализована в отличие от ситуации
внутри резонанса средних движений 2/1 с Юпитером.
В центральной части резонанса 2/3 вычисленный показатель Ляпунова
по порядку величины равен 10~7 лет-1. Однако это значение, скорее всего,
не является истинным, а определяется интервалом времени
интегрирования (100 млн лет): если этот интервал увеличить, то вычисленный
показатель Ляпунова, вероятнее всего, уменьшится. Таким образом, динамика
центральной части резонанса 2/3 оказывается практически регулярной, как
5 На 2013 год самым крупным объектом среди известных THO является Эрида (Eris, 2003
UB 313), чей диаметр, оцениваемый как 2400 км, хотя и ненамного, но превосходит диаметр
Плутона. — Прим. ред.

326
Глава 11
и в случае резонанса 3/2 с Юпитером (любопытное совпадение!). При
помощи численного интегрирования полных уравнений движения Морбидел-
ли (1997) показал, что движение тел в этой области регулярно и устойчиво
на временах порядка возраста Солнечной системы. Напротив, при больших
амплитудах либрации сильно хаотичные тела покидают резонанс и
сталкиваются с Нептуном менее чем за 1 млрд лет. При умеренных
амплитудах либрации тела, близкие к трехтельному резонансу «4:1», испытывают
медленную хаотическую диффузию, которая может вывести их в сильно
хаотическую область с большими амплитудами либрации за время,
сравнимое с возрастом Солнечной системы. Несворный и Ройг (2000) разработали
интересную получисленную модель этого диффузионного процесса.
На рис. 11.18 в проекции на плоскость (а, е) показаны положения плу-
тино на момент выполнения условия σ — 180°, полученные путем
численного интегрирования. Этот график недвусмысленно свидетельствует, что
плутино находятся в устойчивой центральной части резонанса 2/3. Однако
надо иметь в виду, что точность определения параметров орбит тел пояса
Койпера из наблюдений все еще невысока.
При ненулевых наклонениях (г > 0) важнейшим свойством вековой
динамики внутри соизмеримости 2/3 является наличие резонанса Козаи.
На рис. 11.19 показаны его сепаратрисы в плоскости (е, г), вычисленные
при ω = ±90° в центре соизмеримости 2/3. Также показаны
соответствующие положения Плутона (кружок с крестиком) и плутино. Плутон, как
впервые обнаружили Уильяме и Бенсон (1971), либрирует внутри
резонанса Козаи. Любопытно, что, помимо Плутона, в резонансе Козаи
находятся лишь немногие плутино; это может быть вызвано дестабилизирующим
влиянием медленных сближений с Плутоном (Несворный и др., 2000). Как
впервые показали Зюссман и Уиздом (1988), движение Плутона хаотично.
Причиной служит резонанс между периодом либрации ω и периодом
циркуляции Ω — Ω§, что путем численного интегрирования впервые
установили Милани и др. (1989). Этот резонанс, однако, вызывает лишь локальный
хаос, поэтому движение Плутона устойчиво (в том смысле, что он не
покидает резонансов Козаи и 2/3) на временах порядка возраста Солнечной
системы (Киношита и Накаи, 1996). На рис. 11.19 графически представлены
также значения показателя Ляпунова пробных частиц с малой амплитудой
либрации на резонансе 2/3; начальные условия для движения этих частиц
взяты на регулярной сетке на плоскости (е, г). Единственной
выдающейся особенностью графика является присутствие хаотической области при
низких эксцентриситетах для любых наклонений; причиной хаоса служат
резонанс l/ig и вторичные резонансы.

11.4. Важнейшие резонансы в поясе Койпера
327
о
(ГО
ю
см
о
см
наклонение,
10 15
I I I 1
•
•
макс, показатель Ляпунова
\
199Κ\4
•
•
1 I
r V24
•
•
' Кочаи J
-ι
Плутон 1
$ : \
'и 1
1&98UU* J
0.1
0.2
эксцентриситет
0.3
-8 7.5
-7 6.5 6 -5.5 -5 -4.5
макс, показатель Ляпунова
Рис 11.19. Резонанс Козаи внутри соизмеримости 2/3. Жирные и прерывистая
кривые обозначают две сепаратрисы и центр резонанса Козаи соответственно. Черными
кружками показано расположение известных плутино по эксцентриситету и
наклонению при σ — 180° и ω — 90°; причем кружком с крестиком обозначен
Плутон. В цветовой шкале показаны значения десятичного логарифма
максимального показателя Ляпунова, вычисленные для пробных частиц, исходно размещенных
на регулярной сетке на плоскости (е, г) в центре резонанса 2/3. (Рис. 8 из статьи
Несворного и Ройга, 2000; с разрешения Academic Press)
11.4.2. Резонанс 1/2
Резонанс 1/2 с Нептуном при 47.8 а. е. находится у внешнего края
популяции известных к настоящему времени объектов пояса Койпера6.
Этот резонанс необычен в том отношении, что, как отмечено в
разделе 9.1, ему соответствуют два острова асимметричных либрации σ внутри
большего острова симметричных либрации (см. рис. 9.4).
6К 2014 году обнаружено много объектов пояса Койпера, находящихся далеко за этим
краем, в том числе в различных резоыансах (см., например, Gladman В. et al (2012) The resonant
trans-Neptunian populations. Astron. J., 144, 23). —Прим. ред.

328
Глава 11
Впервые динамику внутри резонанса 1/2 исследовали Несворный
и Ройг (2001). Чтобы представить области и симметричных, и
асимметричных либрации на одном и том же графике, они для каждого значения
постоянного действия N вычислили значение ac(N) точки устойчивого
равновесия системы (11.5) в центре одного из двух островов асимметричных
либрации; а затем численно определили соотношение между значениями
действий 5,7V и значениями а, е для σ = σα(Ν). Фактически из рис. 9.4
очевидно, что и симметричные, и асимметричные либрирующие орбиты
должны дважды пересекать ось σ = ac(N) (или, что эквивалентно, ось
σ = 2π - σΩ(Ν)).
В таком представлении крайние жирные кривые слева и справа на
рис. 11.20 обозначают сепаратрисы острова симметричных либрации, а две
жирные кривые ближе к центру обозначают сепаратрисы островов
асимметричных либрации. Внутри последних Несворным и Ройгом были
аналитически определены положения резонанса Козаи и трехтельных резонансов,
соответствующих отношению 5:1 между периодом асимметричной
либрации и периодом угла большого неравенства <^un = 2An — λυ· На рис. 11.20
графически представлены также значения показателя Ляпунова пробных
частиц, исходно расположенных на регулярной сетке на плоскости (а, е)
при г = 0 и σ = σα(Ν). Можно видеть, что показатель Ляпунова велик у
почти всех орбит в симметричных либрациях. Таким образом, здесь
присутствует сильный хаос, чья природа пока еще детально не изучена. С другой
стороны, внутри острова асимметричных либрации показатель Ляпунова
в общем очень мал. По аналогии с резонансом 2/3 поэтому можно
ожидать, что тела в центре островов асимметричных либрации выживают на
временах порядка возраста Солнечной системы. На сегодня7 единственным
кандидатом на нахождение в резонансе 1/2 является объект 1997SZio, но,
как видно из рис. 11.20, он, скорее всего, пребывает в состоянии сильно
хаотичных симметричных либрации. Напомним, однако, что погрешности
наблюдательного определения орбит тел пояса Койпера пока еще
остаются большими. Поэтому пока невозможно сделать вывод, является ли
отсутствие тел в островах устойчивых асимметричных либрации артефактом
из-за скудости наблюдательных данных о населении пояса Койпера или же
это реальный загадочный феномен8.
7 К 2002 году. — Прим. ред.
8К 2014 году открыто несколько объектов в состоянии асимметричных либрации в
резонансе 1/2 (Gladman В. et al. (2012) The resonant trans-Neptunian populations. Astron. J., 144, 23). —
Прим. ред.

11.5. Резонансы 1/1
329
макс, показатель Ляпунова
47.4
-8 -7.5
\_jjjL
\
Г.8 48
47.6 47.8
большая полуось, а. е.
48 2
7 -6.5 -6 -5.5 -5 -4.5
макс, показатель Ляпунова
Рис. 11.20. То же, что и на рис. 11.18, но для резонанса 1/2 с Нептуном. Крайние
жирные кривые слева и справа обозначают сепаратрисы острова симметричных
либрации, а две жирные кривые ближе к центру обозначают сепаратрисы островов
асимметричных либрации. (Рис. 5 из статьи Несворного и Ройга, 2001; с разрешения
Academic Press)
11.5. Резонансы 1/1
Вековую динамику внутри резонанса 1/1 с планетой можно
исследовать, используя тот же подход, что и применявшийся повсеместно в этой
главе. В самом деле, если ввести переменные (9.9), то интегрируемая
аппроксимация полного гамильтониана формально идентична (11.5), где Щ —
— к = 1. Поэтому в областях типа «головастик» и «подкова» можно ввести
переменные «действие-угол» вида (11.6) и тогда вековую динамику можно
исследовать, как описано в разделе 11.2.
В качестве примера применения данного подхода на рис. 11.21
представлена динамика резонанса щ в центре области типа «головастик» в резо-

330
Глава 11
нансе 1/1 с Сатурном. «Истинный» резонанс (то есть резонанс,
характеризуемый точками устойчивого и неустойчивого равновесий и сепаратрисой,
окружающей область либрации) щ имеет место при большом
эксцентриситете, вне границ этих диаграмм. Однако при малом эксцентриситете
имеется точка устойчивого равновесия при w — Wq = 60°. Эксцентриситет,
отвечающий этой точке равновесия, близок к.значению коэффициента Μβ6
в (7.10). Граница, разделяющая области либрации и циркуляции угла π —
— voq, не является сепаратрисой. В полярных координатах вековая
динамика состоит просто из квазикруговых траекторий, смещенных относительно
центра е = 0.
долгота перигелия χ
Рис. 11.21. Динамика векового резонанса щ в центре области типа «головастик»
в резонансе 1/1 с Сатурном. На левой панели динамика представлена в декартовых
координатах, на правой — в полярных (х = ecostu, у = es'mw). Здесь угол π
отсчитывается относительно vj% . В расчетах учтены прямые возмущения со
стороны Юпитера, Урана и Нептуна (дважды усредненные по средним долготам планеты
и малого тела). (Рисунок любезно предоставлен Д. Несворным)
Вследствие существования этой точки равновесия все орбиты с
начальным е ~ 0 достигают эксцентриситетов более 0.15 при π — w\ — 60°.
Согласно разделу 9.2.2 в центре области типа «головастик» динамика
хаотична при эксцентриситетах больше 0.12 благодаря перекрытию с резонансом
средних движений 2/5 с Юпитером. Хаос проявляется на временной шкале

11.5. Резонансы 1/1
331
короче периода прецессии ζσ — τυ*-, так как он порожден резонансами
средних движений. Поэтому благодаря ему тело может покинуть резонанс 1/1
прежде, чем вековая прецессия возвращает эксцентриситет обратно к
меньшим значениям.
При большей амплитуде либрации в областях типа «головастик»
хаотическая область, порождаемая перекрытием с резонансом 2/5 с Юпитером,
сдвинута к большим эксцентриситетам (см. рис. 9.14), и поэтому вековая
динамика уже не в состоянии вывести тела, исходно имеющие е ~ 0, в эту
хаотическую область.
Итак, сочетание вековой динамики с эффектами, возникающими
благодаря перекрытию с резонансом 2/5 с Юпитером, действительно
объясняет, почему у Сатурна нет троянцев с малыми амплитудами либрации, но
не может объяснить отсутствия у него троянцев с либрациями большей
амплитуды. Хольман и Уиздом (1993) путем долговременного численного
моделирования в полной задаче показали, что траектории типа
«головастик» с большими амплитудами либрации и в самом деле устойчивы на
принятой ими шкале времени в 2 χ 107 лет, а «головастики» с малыми
амплитудами либрации быстро прекращают существование. Поэтому
причину отсутствия тел на орбитах типа «головастик» с большими
амплитудами либрации следует искать в механизмах (до сих пор малоизученных)
формирования ранней Солнечной системы.
Детальные численные карты областей устойчивости в резонансах 1/1
с Сатурном, Ураном и Нептуном представлены в работе Несворного и До-
унса (2002).

Глава 12
Глобальная динамическая структура
поясов малых тел
12.1. Обнаружение хаотических зон
В предыдущих главах мы проанализировали динамическую структуру
двухтельных и трехтельных резонансов средних движений различных
порядков по эксцентриситету В этой заключительной главе мы изучим, каким
образом все эти резонансы располагаются в поясе астероидов и поясе Кой-
пера, а также какова динамическая структура, возникающая при их
взаимодействии. В принципе, можно было бы аналитически рассчитать положения
сепаратрис каждого резонанса (или сепаратрис каждой компоненты
каждого резонансного мультиплета) и построить график, аналогичный рис. 9.12,
но включающий двухтельные резонансы гораздо более высоких порядков
по эксцентриситету, а также и трехтельные резонансы. Однако на
практике это невозможно, так как пришлось бы вычислить и проанализировать
тысячи нормальных форм резонансов средних движений.
Наиболее простой и эффективный способ выявления резонансной
структуры поясов малых тел состоит в проведении численных
исследований с использованием инструментов, подробно описанных в главе 5. Знания
о резонансной динамике, приобретенные в предыдущих главах, позволят
нам интерпретировать результаты и получить представление об их
возможных приложениях.
Рис. 12.1 аналогичен рис. 10.8, но здесь анализ распространен на весь
пояс астероидов. Для 5700 пробных частиц начальные условия по большой
полуоси заданы на интервале от 2.1 до 3.24 а. е. с шагом 2 χ Ю-4 а. е.
Начальный эксцентриситет выбран равным 0.1, а начальное наклонение
и начальные фазовые углы — все положены равными нулю
относительно плоскости эклиптики и точки весеннего равноденствия. Чтобы оценить
значения максимального показателя Ляпунова (МПЛ), уравнения
движения (с учетом возмущений от четырех планет-гигантов) интегрировались

334
Глава 12
ьо 4 ι
2/1
I , Ι,Ι Α.\
|Γ ' Ι" Τι
а]оАШш
2.9
3.0
3.1
3.2
Рис. 12.1. Максимальный показатель Ляпунова в зависимости от начального
значения большой полуоси орбиты астероида с начальным эксцентриситетом,
равным 0.1, и нулевым наклонением. В модели учтены возмущения только от четырех
планет-гигантов. Единицей измерения МПЛ служит год-1. Через «тп/п»
обозначены двухтельные резонансы тп/п с Юпитером, а через «πι η к» — трехтельные
резонансы «Юпитер-Сатурн-астероид», соответствующие равенству m\j -\-n\s +
+ к\ — 0. Кроме того, через «S6/1» обозначен резонанс 6/1 с Сатурном, а через
«4J-2U-1» — трехтельный резонанс «Юпитер-Уран-астероид». (Рис. 1 из статьи
Морбиделли и Несворного, 1999; с разрешения Academic Press)

12.1. Обнаружение хаотических зон
335
совместно с уравнениями в вариациях на интервале времени 2.3 млн лет.
На рисунке 12.1 вычисленные значения показателя Ляпунова в
логарифмической шкале показаны в зависимости от начального значения большой
полуоси. Как всегда на подобных графиках, на рисунке имеется несколько
пиков, выделяющихся относительно уровня «фона»; а мы знаем из
раздела 5.2, что пики, узкие минимумы и разрывы соответствуют хаотическим
или резонансным областям, тогда как уровень «фона» соответствует
«регулярной» области, причем «фоновое» значение МПЛ (на рис. 12.1 оно
составляет ~ Ю-5·3 год-1) определяется временем интегрирования: при
увеличении последнего уровень фона в общем случае понижается.
Из рис. 12.1 видно, что с увеличением большой полуоси присутствие
хаотических областей становится все более заметным. Так происходит по
двум причинам. Во-первых, с приближением к Юпитеру резонансы
средних движений фиксированного порядка встречаются чаще. Во-вторых,
обнаруживаются резонансы все более высоких порядков по эксцентриситету
благодаря тому, что показатель Ляпунова коррелирует с величиной
коэффициентов резонансных гармоник (см. раздел 12.3), а последние растут
с уменьшением расстояния до главного возмущающего тела.
Также отметим, что в расположении пиков есть особый порядок: они
образуют мультиплеты с ведущей компонентой в центре и вторичными
компонентами слева и справа. Данную структуру не следует путать с муль-
типлетной структурой резонансов средних движений высоких порядков
(см. раздел 9.3), поэтому мы будем называть ее супермулыпиплетной. Она
обусловлена тем, что Юпитер и Сатурн близки к резонансу средних
движений 5/2. Комбинация y?jg = 5As — 2Aj является углом, который
циркулирует (причем производная по времени положительна) с периодом примерно
800 лет. Этот период много больше орбитального периода типичного
астероида, поэтому при любых фиксированных целых га, raj и ras резонансы,
определяемые условиями га А + (raj + 2/c)Aj + (ras — 5/c)As ~ Ос
различными целыми /с, должны располагаться близко друг к другу (Мюррей
и др., 1998). Ведущая компонента супермультиплета чаще всего
соответствует резонансу наименьшего порядка по эксцентриситету или же
резонансу с ras — Ък = 0. На рис. 12.1 тройками целых чисел «га raj ras»
обозначены положения главных компонент наиболее важных супермуль-
типлетов. Считая от центральной компоненты, резонансы с к = 1,2,...
и с к = —1,-2,... расположены соответственно справа и слева от
центральной компоненты, если га < 0; или же соответственно слева и справа,
если га > 0.

336
Глава 12
Из рис. 12.1 следует, что большинство хаотических областей
соответствует либо обычным двухтельным резонансам средних движений с
Юпитером (ms = 0), либо трехтельным резонансам
«Юпитер-Сатурн-астероид», хотя несколько малых пиков можно отнести к трехтельным резонансам
«Юпитер - Уран - астероид» низких порядков. Отметим, что нет пиков, явно
связанных с вековыми резонансами. Фактически вековые резонансы
должны давать значения показателя Ляпунова не больше ~ 10_6 год-1
благодаря тому, что их критические углы изменяются медленно (типичный период
превышает ~ 1 млн лет). На рис. 12.1 виден только вековой резонанс щ,
расположенный у внутренней границы пояса астероидов. Орбиты тел
в этом резонансе могут со временем достигать очень больших
эксцентриситетов (см. раздел 8.4.2), поэтому их интегрирование прекращалось раньше
2.3 млн лет; в итоге оценка показателя Ляпунова составила > Ю-4 год-1.
Как отмечено в главах 9 и 10, у всех резонансов средних движений
(за исключением резонансов нулевого порядка по эксцентриситету)
ширина по большой полуоси тем больше, чем больше эксцентриситет орбиты
астероида. Как следствие, при больших эксцентриситетах в поясе
астероидов хаоса больше, причем хаотические области, относящиеся к разным
резонансам, могут перекрываться, что делает пояс глобально-хаотичным. Для
части пояса за 3.1 а. е. этот эффект проиллюстрирован выше на рис. 10.8.
Что касается внутреннего пояса, Морбиделли и Несворный (1999)
установили, что при увеличении начального эксцентриситета астероида до 0.2
резонансы внутри супермультиплетов перекрываются, но сами супермуль-
типлеты продолжают оставаться хорошо отделенными друг от друга.
Поэтому в приближении, когда учитываются возмущения только со стороны
внешних планет, внутренний пояс имеет структуру, состоящую из
хаотических полос, разделенных широкими регулярными областями.
Однако хаотическая структура внутреннего пояса радикально
меняется, если учитывать также и возмущения от внутренних планет. На рис. 12.2а
представлены результаты вычислений показателей Ляпунова во
внутреннем поясе, полученные из численного интегрирования на интервале
времени 2.3 млн лет с учетом возмущений от всех планет Солнечной системы
за исключением Меркурия. Этот график можно непосредственно сравнить
с верхней панелью рис. 12.1, так как начальные условия для пробных
частиц одни и те же. Такое сравнение впечатляет: оказывается, что
внутренние планеты «создают» очень много новых хаотических областей, причем
с уменьшением большой полуоси их присутствие нарастает. К тому же
«фоновый» уровень показателя Ляпунова между пиками оказывается весьма

12.1. Обнаружение хаотических зон
337
Рис. 12.2. Панель вверху: то же, что и на верхней панели рис. 12.1, но также с
учетом возмущений со стороны планет земной группы. Панель внизу: минимальное
расстояние частиц от Марса в зависимости от начального значения большой
полуоси. Пики выявляют расположение внешних резонансов средних движений с
Марсом. Через «Мп/к» обозначены внешние резонансы п/к с Марсом. (Рис. 3 из статьи
Морбиделли и Несворного, 1999; с разрешения Academic Press)
нерегулярным по контрасту с плоским фоном, наблюдавшимся при учете
только внешних планет. Это еще раз указывает на плотную аккумуляцию
эффективных резонансов и на глобальную хаотичность в этой части пояса.
При больших полуосях меньше 2.16 а. е. уровня фона вообще не видно;
то есть при вычислении показателя Ляпунова положительный предел
достигается для всех пробных частиц на временах меньше времени
интегрирования. Отметим, что на графике показатель Ляпунова в среднем растет

338
Глава 12
с уменьшением большой полуоси вплоть до 2.1 а. е., где расположен
вековой резонанс щ. В сравнении с рис. 12.1 резонанс vq смещен влево (к
меньшему значению большой полуоси), потому что присутствие внутренних
планет несколько ускоряет прецессию перигелиев орбит астероидов.
То, что значения показателя Ляпунова в общем положительны, не
является следствием тесных сближений частиц с Марсом. На рис: 12.26
показано минимальное расстояние, достигаемое при сближениях частицы с
Марсом в течение всего времени интегрирования, в зависимости от большой
полуоси частицы. Оказывается, что оно больше радиуса сферы Хилла
Марса (7.25 χ Ю-3 а. е.) для всех частиц при а ^ 2.103 а. е. и больше трех
радиусов сферы Хилла при а ^ 2.106 а. е. Таким образом, частиц,
испытывающих тесные сближения с Марсом, почти нет, и, следовательно,
показатель Ляпунова положителен благодаря резонансам с внутренними
планетами. Рис. 12.26 удобно использовать для отождествления некоторых из
них: пики на графике выдают присутствие внешних резонансов средних
движений с Марсом. Только находясь в этих резонансах, частица может
избегать тесных сближений с планетой благодаря обеспечиваемым резо-
нансами защитным механизмам (см. раздел 9.1.1). На рис. 12.26 отмечены
главные внешние резонансы средних движений с Марсом. Обратите
внимание, что пики на рис. 12.26 коррелируют с пиками показателя Ляпунова
на рис. 12.2а. Кроме того, при а < 2.15 а. е. на рис. 12.26 видно много
мелких пиков, что говорит об аккумуляции в этой области внешних резонансов
средних движений с Марсом высоких порядков. Этим объясняется, почему
в данном диапазоне значений большой полуоси показатель Ляпунова всегда
положителен.
Однако одних только внешних резонансов средних движений с
Марсом недостаточно для полного объяснения хаотической структуры
внутреннего пояса. Кривая показателя Ляпунова имеет гораздо больше пиков, чем
кривая минимального расстояния. Морбиделли и Несворный (1999)
установили, что многие из этих пиков на самом деле соответствуют трехтельным
резонансам средних движений «Марс-Юпитер-астероид». С другой стороны,
резонансы средних движений с Землей и Венерой и резонансы с участием
нескольких тел, включающие комбинации орбитальных частот планет
земной группы, по-видимому, не имеют отношения к хаосу в данной области.
Поскольку масса Марса мала (~ 3.3 χ 10-7 массы Солнца), тот факт,
что на движение астероидов оказывают сильное влияние резонансы
средних движений с Марсом высоких порядков или трехтельные резонансы
«Марс-Юпитер-астероид», может показаться на первый взгляд неожидан-

12.1. Обнаружение хаотических зон
339
ι Ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι Ι ι ι I ι ι ι I м
46
50
47 48 49
большая полуось, а. е.
Рис. 12.3. То же, что и на рис. 12.1, но для пояса Койпера. Через «Nm:n» и «Ura:n»
обозначены двухтельные резонансы т/п с Нептуном и Ураном соответственно.
Через «mN+/cU+j» обозначены трехтельные резонансы «Нептун-Уран-объект»,
соответствующие равенству т\и + к\ц + j\ = 0. (Рис. 2 из статьи Несворного
и Ройга, 2001; с разрешения Academic Press)

340
Глава 12
ным. Однако не следует забывать, что астероиды внутреннего пояса
находятся недалеко от Марса, так что его малая масса компенсируется малым
расстоянием до него. К тому же, поскольку расстояния до планеты при
сближениях меньше, область аналитичности возмущающей функции,
относящейся к Марсу, много меньше области аналитичности возмущающей
функции, относящейся к Юпитеру; поэтому в первом случае коэффициенты
фурье-разложения возмущающей функции убывают с порядком гармоники
гораздо медленнее. Наконец, поскольку эксцентриситет Марса сравним по
величине с эксцентриситетами рассматриваемых астероидов,
коэффициенты гармоник различных критических углов, пропорциональные
произведениям степеней эксцентриситета Марса ем и эксцентриситета астероида е,
являются величинами одного порядка, что вызывает сильную временную
модуляцию амплитуд резонансов (см. раздел 9.4). Например, коэффициент
гармоники cos(16Am — 27Α + 3ϊλ7μ + 8^) резонанса средних движений 16/27
с Марсом равен -5.6032 χ 107£Меме8/ам, где ем и ам — масса Марса
и большая полуось его орбиты. Таким образом, если е и ем оба равны
0.1, то ширина резонанса 16/27 составляет ~ 1.6 χ 10-4 а. е. Для
сравнения: у резонанса средних движений 15/4 с Юпитером, расположенного
очень близко к резонансу 16/27 с Марсом, коэффициент ведущей
гармоники cos(15Aj — 4λ — 6wj — 5ш) равен —6857εje^e5/aj, что при е = 0.1
и ej = 0.05 дает ширину резонанса всего лишь 6.5 χ 10_6 а. е. Заметим,
что начальные условия по большой полуоси при вычислениях показателя
Ляпунова, результаты которых представлены на рис. 12.1 и 12.2, брались
с шагом 2 χ 10-4 а. е., поэтому на этих графиках, вообще говоря, может
быть упущено много пиков, относящихся к более узким резонансам.
Несворный и Ройг (2001) провели аналогичное исследование
динамики пояса Койпера. Распределив начальные положения 2800 пробных частиц
регулярно по большой полуоси в диапазоне от 38.8 до 50 а. е. (при
начальном эксцентриситете, равном 0.1, и нулевых начальных наклонении и
фазовых углах), путем численного интегрирования они рассчитали эволюцию
этих частиц с учетом возмущений от четырех планет-гигантов на
интервале времени 100 млн лет. На рис. 12.3 показаны полученные значения
максимального показателя Ляпунова в зависимости от начального значения
большой полуоси. Из рис. 12.3 видно, что пояс Койпера, как и главный пояс
астероидов, имеет сложную хаотическую структуру.
Характерные особенности графиков на рис. 12.3, как и на рис. 12.1,
в большинстве своем обусловлены резонансами средних движений; что
касается вековых резонансов, у них показатели Ляпунова обычно меньше,

12.1. Обнаружение хаотических зон
341
поскольку их динамические шкалы времени длиннее. Единственным
исключением является интервал 40-42 а. е., где перекрываются вековые резо-
нансы i/g, &Ί7 и ι/χ8 (Кнежевич и др., 1991; см. рис. 8.10), что вынуждает
многие пробные частицы менее чем за 100 млн лет уходить на орбиты,
пересекающие орбиту Нептуна.
На рис. 12.3 для ряда резонансов средних движений приведены их
обозначения. Тогда как при а < 46.5 а. е. наиболее выдающиеся пики
соответствуют резонансам средних движений с Нептуном; при а > 46.5 а. е.
большинство пиков соответствуют трехтельным резонансам с Нептуном
и Ураном. Обратите внимание, что последние расположены по обе стороны
от резонанса 1/2 с Нептуном, образуя супермультиплетную структуру,
аналогичную обсуждавшимся выше структурам в главным поясе астероидов.
Она образуется потому, что Уран и Нептун близки к взаимному резонансу
1/2, так что угол <^un — 2Αν — λυ медленно циркулирует с положительной
производной и периодом « 4230 лет.
Отметим также, что на рис. 12.3 с уменьшением большой полуоси
присутствие хаотических областей нарастает. Этот феномен аналогичен
аккумуляции резонансов средних движений с Марсом во внутреннем поясе
астероидов и резонансов средних движений с Юпитером во внешнем поясе
астероидов. Однако заметим, что важнейшие резонансы средних движений
с Нептуном во внутреннем поясе Койпера (2/3, 7/11, 5/8, 8/13, 3/5; а также
и резонанс 1/3 с Ураном) в общем вызывают понижения значения
показателя Ляпунова относительно фонового уровня. Орбиты в этих резонансах
менее хаотичны, чем соседние нерезонансные орбиты, так как эти
резонансы обеспечивают механизм фазовой защиты, а также из-за различий в
вековой динамике. Динамика внутри резонансов 2/3 и 1/2 довольно подробно
описана выше в разделе 11.4.
Робутель и Ласкар (2000), используя частотный анализ, провели
исследование динамики малых тел в масштабах всей Солнечной системы. Они
численно проинтегрировали эволюцию 192000 пробных частиц, исходно
расположенных на плоскости (а, е), с начальными наклонениями и всеми
начальными фазовыми углами, равными нулю. Регулярная сетка начальных
условий включала: 80 узлов по эксцентриситету в диапазоне от 0 до 1;
200 узлов на каждом из четырех интервалов [0.38, 0.9], [0.9, 2.0], [2, 5]
и [5, 10] а. е. по большой полуоси; 1800 узлов на интервале по большой
полуоси [10, 100] а. е. Интегрирование производилось на интервале
времени 0.5 млн лет для пробных частиц во внутренней Солнечной системе
(с учетом возмущений от всех планет) и 2 млн лет для пробных частиц

342
Глава 12
-8 6 4 2 О
Рис. 12.4. Частотная карта динамики малых тел во всей Солнечной системе.
Начальные условия выбраны при наклонении и всех фазовых углах, равных нулю.
В цветовой шкале показаны значения log σ, где σ — относительное изменение
частоты средней долготы частицы, в единицах (млн лет)-1. Черным цветом
обозначены тела, отождествленные в двухтельных резонансах средних движений Сплошные
кривые — кривые, соответствующие условиям пересечения орбит планет. (Рис. 2 из
статьи Робутеля и Ласкара, 2001; с разрешения Academic Press)

12.2. Хаотическая диффузия
343
во внешней Солнечной системе (с учетом возмущений только от планет-
гигантов). Интервал времени интегрирования [О, Т] был разделен на две
половины [О, Т/2] и [Т/2, Т], на каждой из которых вычислялись
частоты средних долгот λ для всех малых тел. Изменение частоты находилось
согласно определению σ = 1 —п^/п^\ где п^ и пУ2^ — частоты,
подсчитанные последовательно на этих двух половинах. На рис. 12.4 в цветовой
шкале показаны значения log σ в зависимости от начальных условий;
дополнительно положено, что белым цветом, совпадающим с цветом фона,
обозначены начальные условия для тел, испытывающих тесные
сближения с планетой за время интегрирования, а черным цветом — начальные
условия для тел, отождествленных как находящиеся в резонансах средних
движений, независимо от их динамики (регулярной или хаотической).
Рис. 12.4 удачно описывает глобальную картину динамики малых тел
Солнечной системы. Разрешение здесь значительно ниже, чем на рис. 12.1,
12.2 и 12.3, поэтому тонкая структура, порождаемая резонансами средних
движений высоких порядков и трехтельными резонансами, неразличима;
однако рисунок дает полезное представление о наиболее вероятном
расположении областей регулярных и квазирегулярных орбит. Замечательно, что
в поясе астероидов такие орбиты (они обозначены темно-синим цветом)
можно найти в большом количестве только в области 2.15 < а < 3.2 а. е.
и е < 0.2. Что касается пояса Койпера, только у области а > 50 а. е.
обнаруживается явно регулярная структура в широком диапазоне
эксцентриситетов. К сожалению, в этой дальней части пояса Койпера пока не открыто
ни одного реального объекта.
Также замечательно, что в поясе астероидов и в поясе Койпера
области умеренного хаоса (они обозначены на рис. 12.4 зеленым цветом)
реально населены, то есть хаос слишком слаб, чтобы вызвать уход большей
части тел за время, равное возрасту Солнечной системы (см. раздел 12.2);
с другой стороны, зеленые области, видимые на рис. 12.4 между планетами
земной группы, а также между планетами-гигантами, малыми телами не
заселены. Данное различие может дать важные подсказки об особенностях
процесса образования планет и/или ранней эволюции Солнечной системы.
12.2. Хаотическая диффузия и макроскопическая
неустойчивость
Тогда как для обнаружения хаотической структуры бывает достаточно
численного интегрирования на сравнительно малых временах, для изучения

344
Глава 12
влияния слабого хаоса на долговременную динамическую эволюцию
требуется численное интегрирование на шкале времени настолько длинной,
насколько это возможно. Благодаря новому поколению
высокопроизводительных компьютеров и быстрых алгоритмов численного интегрирования
(Уиздом и Хольман, 1991; Левисон и Дункан, 1994; Дункан и др., 1998;
Чамберс, 1999) появилась возможность проводить численное
интегрирование на временах порядка 100 млн лет и даже 1 млрд лет. Таким образом,
начинает складываться грубая и лишь отчасти завершенная картина
эволюции пояса астероидов и пояса Койпера на шкалах времени, сравнимых
с возрастом Солнечной системы. В близком будущем она станет еще
отчетливее.
Медленная хаотическая диффузия орбит во внутреннем поясе
астероидов изучена в работах Мильорини и др. (1998) и Морбиделли и Несворного
(1999). Выборка из 412 реальных астероидов интегрировалась на интервале
времени 100 млн лет. Объекты были выбраны среди астероидов, у которых
оскулирующее перигелийное расстояние меньше 1.8 а. е., большая полуось
меньше 2.5 а. е., наклонение меньше 15°, и которые не пересекают
орбиту Марса в течение первых 300000 лет. Последнее условие позволяет
исключить из выборки популяцию «скрытых Марс-кроссеров», а именно тел,
пересекающих орбиту Марса на короткой временной шкале из-за вековых
колебаний их элементов орбит. Учитывались возмущения от всех планет, за
исключением Меркурия.
Чтобы явно представить малые изменения элементов орбит на
длинных шкалах времени, численно находились собственные элементы
астероидов и их изменения за время интегрирования. Это осуществлялось
путем усреднения элементов орбит (значения которых исходно выводились
с шагом 500 лет) методом скользящего окна, ширина которого была
положена равной 10 млн лет. Другими словами, если единым образом
обозначить большую полуось или эксцентриситет через х, то собственный
элемент xp(t) находился по формуле
г'=г+5Му
χΡ® = Ν Σ *(*')> (12Λ)
t'=t-5My
где Ν — количество выведенных значений χ на рассматриваемом интервале
времени; время t увеличивалось на каждом шаге на 105 лет, начиная с t =
= 5 млн лет. Ширины окна в 10 млн лет достаточно, чтобы усреднить все
существенные квазипериодические осцилляции оскулирующих элементов.

12.2. Хаотическая диффузия
345
В результате, как объяснено в разделе 5.4.4, изменение собственных
элементов во времени дает представление о неквазипериодической эволюции,
то есть о хаотической диффузии. Напротив, у тел на регулярных
орбитах, чьи оскулирующие элементы испытывают лишь квазипериодические
осцилляции, собственные элементы во времени постоянны.
На верхней панели рис. 12.5 представлены начальные значения
собственных больших полуосей и эксцентриситетов тел из выборки Мильори-
ни и др., рассчитанные по формуле (12.1) за первые 10 млн лет
интегрирования. Красным цветом выделены тела, которые за время
интегрирования станут Марс-кроссерами. Только у трех тел динамическое время жизни
оказалось короче 10 млн лет, поэтому их начальные собственные элементы
вычислить нельзя. На нижней панели рис. 12.5 показана эволюция
собственных больших полуосей и эксцентриситетов тел выборки: у совсем
немногих из них орбиты регулярны (на графике они выглядят как точки),
тогда как подавляющее большинство испытывает макроскопическую
диффузию по эксцентриситету, то есть существенное изменение собственного
эксцентриситета. Это согласуется с тем, что у большинства тел
внутреннего пояса орбиты хаотичны, как следует из рис. 12.2. На нижней панели
рис. 12.5 красным цветом выделена эволюция тел после того, как они стали
Марс-кроссерами, а именно когда в ходе интегрирования оскулирующее пе-
ригелийное расстояние стало меньше 1.665. Из-за сближений с Марсом эти
тела начинают случайные блуждания по большой полуоси, следуя
примерно вдоль кривой инвариантного параметра Тиссерана относительно Марса
(см. Эпик, 1976). Таким образом, их собственные большие полуоси
изменяются со временем. Эти изменения умеренны у тел, незначительно
заходящих внутрь орбиты Марса, и гораздо сильнее у тел, заходящих глубоко
внутрь нее. При хаотической диффузии, напротив, у большинства тел
собственная большая полуось остается в общем постоянной, пока не
достигается режим пересечений с орбитой Марса. Это означает, что при диффузии
по эксцентриситету тела всегда остаются в одном и том же резонансе
средних движений или же попеременно находятся в близких друг к другу резо-
нансах. Лишь немногие из астероидов, не пересекающих орбиту Марса,
испытывают макроскопическую диффузию по собственной большой полуоси;
это означает, что они мигрируют по цепочке перекрывающихся резонансов.
В разных частях внутреннего пояса скорость хаотической диффузии
различна. На рис. 12.5 видны участки, где изменения собственного
эксцентриситета велики, на общем фоне, характеризуемом малыми, но не
пренебрежимо малыми его изменениями. Такие участки мы будем называть

346
Глава 12
Η
<υ
Η
S
Κ
Он
Η
κ
<υ
а
Κ
η
СТВ.
Ю
ο
ο
со \
Ο [
\
ю L
CN Ι
ο L
Οί [
Ο Γ
Ю L
τ—Ι Ι
ο Ι
2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35
собств. большая полуось, а. е.
2.4
2.45
2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35
собств. большая полуось, а. е.
2.4
2.45
Рис. 12.5. Панель вверху: собственные большая полуось и эксцентриситет,
вычисленные за первые 10 млн лет интегрирования орбит астероидов внутреннего пояса.
Красными точками обозначены объекты, которые станут Марс-кроссерами за
время моделирования. Панель внизу: последующая эволюция интегрируемых орбит на
плоскости собственных элементов (а, е). Регулярные орбиты проявляют себя как
неподвижные точки, а хаотические мигрируют, оставляя на графике треки. Красным
цветом выделена эволюция тел после того, как они стали пересекать орбиту Марса.
Двумя сплошными линиями показаны кривые постоянных значений собственного
перигелийного расстояния, равных 1.92 и 1.84 а. е. (Рис. 8 из статьи Морбиделли
и Несворного, 1999; с разрешения Academic Press)

12.2. Хаотическая диффузия
347
главными диффузионными треками, а фон — диффузионным фоном.
Главными диффузионными треками являются: (i) трек при 2.256 а. е., связанный
с почти совпадающими по расположению резонансами средних движений
7/2 с Юпитером и 5/9 с Марсом (любопытно, что согласно расчетам
последний более эффективен, чем первый); (ii) трек при 2.213 а. е., связанный
с резонансом средних движений 4/7 с Марсом; (iii) область при больших
полуосях меньше 2.17 а. е., где резонансы средних движений с Марсом
перекрываются друг с другом, что вызывает глобальный хаос (как видно из
рис. 12.2). Наиболее важным из последних резонансов является резонанс
средних движений 3/5 с Марсом при 2.142 а. е. Если перейти к внешней
части внутреннего пояса, то мы увидим два замечательных диффузионных
трека при 2.398 и 2.419 а. е., которые связаны с трехтельным резонансом
4-2-1 «Юпитер - Сатурн - астероид» и резонансом средних движений 1/2
с Марсом соответственно.
На рис. 12.6 сопоставлены зависимости максимального показателя
Ляпунова и амплитуды изменения собственного эксцентриситета от большой
полуоси. Последняя кривая получена путем вычисления максимального
изменения de собственного эксцентриситета каждой из представленных на
рис. 12.5 пробных частиц, имевшего место до перехода частицы в режим
пересечений орбиты Марса. Обе кривые на рис. 12.6 сглажены путем
вычисления средних по скользящему окну подходящей ширины. Сходство
рис. 12.6а и 12.66 впечатляет. С пиками кривой показателя Ляпунова
совпадают не только главные пики de, соответствующие рассмотренным выше
главным диффузионным трекам, но также и мелкие пики, определяющие
структуру диффузионного фона. В частности, на обеих панелях пиков
особенно много в области с большими полуосями меньше 2.25 а. е., а в более
регулярной области от 2.3 до 2.4 а. е. пики ниже и они лучше разделены.
Кроме того, в области а < 2.15 а. е. и МПЛ, и de имеют тенденцию к росту
с уменьшением большой полуоси.
Феномен медленной хаотической диффузии астероидов во внутреннем
главном поясе важен, так как он может дать объяснение, почему
популяция Марс-кроссеров сохраняет стационарное состояние (Мильорини и др.,
1998; Морбиделли и Несворный, 1999). В свою очередь, популяция Марс-
кроссеров, в дополнение к резонансам 3/1 и щ, считается сейчас одним
из главных транзиентных источников поддержания популяции астероидов,
пересекающих орбиту Земли (Боттке и др., 20006; Мишель и др., 2000).
Несворный и Ройг (2001) осуществили аналогичное исследование
медленной хаотической диффузии малых тел пояса Койпера. Они провели чис-

348
Глава 12
2Е-5
ър 1Е-5 —\
МЗ/5
М5/9
J7/2
М7/12
М4/7
1
4J-2S-1
(а)
М1/2
М7/13
щиыи^
v«
ι ■ ι ■ г
2.1 2.2 2.3 2.4
α, а. е.
Рис. 12.6. Зависимость максимального показателя Ляпунова от большой полуоси
(панель вверху) в сравнении с зависимостью амплитуды изменения собственного
эксцентриситета от большой полуоси (панель внизу). Через «Μη/ra» и «Jra/n»
обозначены резонансы средних движений тп/п с Марсом и Юпитером соответственно;
через «4J—2S—1» обозначен трехтельный резонанс «Юпитер - Сатурн - астероид»
4Aj — 2As — λ ~ 0. (Рис. 9 из статьи Морбиделли и Несворного, 1999; с разрешения
Academic Press)
ленное интегрирование эволюции 101 пробной частицы на интервале
времени 4 млрд лет, причем начальные условия были выбраны следующим
образом: значения большой полуоси равномерно распределены в интерва-

12.2. Хаотическая диффузия
349
ле [37, 39] а. е., эксцентриситет и наклонение выбраны равными 0.01 и 2°
соответственно, а в качестве фазовых углов взяты случайные числа. На
рис. 12.7 показана эволюция собственных больших полуосей и
эксцентриситетов этих частиц, вычисленная так, как описано выше для астероидов.
Черными точками эволюция обозначена до того момента, когда перигелий-
ное расстояние частицы впервые стало меньше 32 а. е.; затем она
обозначается более крупными серыми символами. В общей сложности на
орбиты, пересекающие орбиту Нептуна, в течение всего времени
интегрирования перешло 16 частиц: две частицы (крайние слева) у границы резонанса
средних движений 3/4 с Нептуном (последний резонанс центрирован на
36.48 а. е.), одна частица (крайняя справа) у границы хаоса в резонансе 2/3,
а остальные 13 частиц стали Нептун-кроссерами в результате медленного
увеличения собственного эксцентриситета в резонансах средних движений
высокого порядка с Нептуном. Большинство (10 из 13) находилось в
резонансе 5/7, причем среднее время перехода на орбиту, пересекающую орбиту
Нептуна, составило 666 млн лет. Остальные находились в резонансах
средних движений 8/11 (время превращения в Нептун-кроссера 641 млн лет),
7/10 (620 млн лет) и 9/13 (1419 млн лет). Среди других частиц у
некоторых наблюдалась существенная диффузия по собственному
эксцентриситету из-за трехтельных резонансов с Ураном и Нептуном, однако за время
интегрирования они не достигли режима пересечений с орбитой Нептуна.
Что касается собственной большой полуоси, она, как и в случае
астероидов, почти не меняется со временем до тех пор, пока частица не начинает
испытывать тесные сближения с Нептуном, после чего происходят
макроскопические вариации.
Более общую картину динамики тел в поясе Койпера дали Дункан
и др. (1995). Они численно проинтегрировали эволюцию нескольких
тысяч фиктивных частиц на интервале времени 4 млрд лет, задав начальные
условия на регулярной сетке на плоскости (а, е) при малом наклонении
и на регулярной сетке на плоскости (а, г) при малом эксцентриситете. При
этом начальные большие полуоси частиц были заданы в диапазоне от 32 до
50 а. е. На рис. 12.8 каждому начальному условию сопоставлено
динамическое время жизни частицы. Последнее определяется как время, прошедшее
до первого сближения с Нептуном на расстояние меньше трех радиусов
сферы Хилла. Желтым цветом обозначены частицы, которые за время
интегрирования никогда не сближаются с Нептуном, однако это не означает,
что их орбиты регулярны: они могут быть хаотичны и в отсутствие
сближений с Нептуном. Поэтому рис. 12.8 следует рассматривать в качестве карты

350
Глава 12
собств. большая полуось, а. е.
Рис. 12.7. То же, что и на нижней панели рис. 12.5, но для пробных частиц во
внутреннем поясе Койпера. Серыми точками показана эволюция тел после того,
как перигелийное расстояние впервые становится меньше 32 а. е. Указаны главные
резонансы с Нептуном и трехтельные резонансы с Ураном и Нептуном. (Рис. 3 из
статьи Несворного и Ройга, 2001; с разрешения Academic Press)
начальных условий, ведущих к макроскопической неустойчивости, а не как
карту хаотических областей.
Важнейшие из динамических свойств пояса Койпера, наглядно
представленных на рис. 12.8, таковы. Кривая q = 35 а. е. разделяет плоскость
(а, е) на две части, в одной из которых динамическое время жизни
достигает 4 млрд лет, а вторая неустойчива на гораздо более короткой шкале
времени. Выше кривой q = 35 а. е. большое время жизни имеют только
орбиты, относящиеся к резонансам средних движений первого порядка,
поскольку последние обеспечивают эффективную фазовую защиту от тесных
сближений с Нептуном (см. раздел 9.1.1). Ниже кривой q = 35 а. е.
главными областями неустойчивости (где даже частицы с исходно круговыми
орбитами имеют короткое динамическое время жизни) являются области
35-36 а. е. и 40-42 а. е., где расположены перигелийные вековые резонан-

12.2. Хаотическая диффузия
351
0.4
0.3
S3
о
К
Я"
8
СП
«
-т—ι—ι—ι—ι—ι—ι—г
■г = 1° ' '
π—ι—ι—|—ι—ι—ι—г
q = 3d а. е.
q = 35 а. е.
0.2
0.1
I I. Ill II
ι ιιιιι ι
I II II III
■МИ.
J L
J L
g
и 4 χ 109
| 3 χ io9
CO
S
К
2x 109
и
χ
к
4
109
35
40
45
50
начальная большая полуось, а. е.
Рис. 12.8. Динамическое время жизни пробных частиц в поясе Койпера в
зависимости от начальных значений большой полуоси и эксцентриситета. Начальное
наклонение положено равным 1°. Время жизни определяется как время до первого
сближения с Нептуном на расстояние меньше трех радиусов сферы Хилла. Через
«η : га» обозначены главные резонансы средних движений с Нептуном. (Рис. 1 из
статьи Дункана и др., 1995; с разрешения Американского астрономического
общества)
сы νΊ и г/8 (см. рис. 8.10). Область неустойчивости 40-42 а. е. делит пояс
Койпера надвое. Во внутреннем поясе (а < 40 а. е.) устойчивые орбиты
относятся к резонансам средних движений первого порядка или же
расположены в области 36-39 а. е. при малых эксцентриситетах. Эту область, как
видно из рис. 12.7, могут покинуть совсем немного тел, — а именно, тела
в некоторых мелких резонансах. Во внешнем (а > 42 а. е.) поясе Койпера,
называемом также классическим поясом Койпера, большинство
устойчивых орбит нерезонансны. В этом отношении динамическая структура пояса
Койпера похожа на зеркальное отражение динамической структуры
главного пояса астероидов.

352
Глава 12
Из рис. 12.8 также следует существование орбит, начинающих
испытывать тесные сближения с Нептуном лишь по истечении нескольких
миллиардов лет эволюции. Некоторые из них, очевидно, принадлежат главным
резонансам средних движений и предположительно относятся к областям
медленной диффузии при умеренных амплитудах либрации,
обсуждавшимся в разделе 11.4. Расположение остальных довольно хорошо
коррелирует с главными пиками кривой показателя Ляпунова на рис. 12.3. Поэтому
вполне вероятно, что эти орбиты медленно диффундируют по
собственному эксцентриситету в двухтельных и трехтельных резонансах высоких
порядков подобно тому, как проиллюстрировано выше на рис. 12.5 на
примере главного пояса астероидов и на рис. 12.7 на примере внутреннего
пояса Койпера.
12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени
и времени ухода
В предыдущих разделах мы убедились, что двухтельные резонансы
даже довольно высоких порядков по эксцентриситету и трехтельные
резонансы играют важную роль в генерации хаоса и медленной диффузии орбит
малых тел по эксцентриситету и наклонению. Однако приведенные выше
результаты получены исключительно при помощи численного
интегрирования; поэтому феномен слабого хаоса в резонансах средних движений было
бы важно и полезно объяснить теоретически, а также получить
аналитические оценки показателя Ляпунова и характерных времен диффузии.
Важную попытку в этом направлении предприняли Мюррей и Хольман
(1997). Поскольку очень трудно (если вообще возможно) решать эту задачу
строго и в общей постановке, они использовали ряд приближений; тем не
менее в большинстве случаев их подход дает оценки, верные по порядку
величины.
Согласно главам 9 и 10 в мультиплете субрезонансов резонанса
средних движений хаос возникает благодаря частичному или полному
перекрытию субрезонансов. Чтобы описать подход Мюррея и Хольмана, используя
принятые в этой книге обозначения, начнем с гамильтониана (9.18) и
ограничимся анализом плоской эллиптической задачи трех тел. А именно, из
всех гармоник cm)U)V)S)r cosam)U)V,s,r в (9.18) мы оставим только
гармоники с ν = 0, г = 0 и Wj =0 для j φ j, где j — индекс резонансной планеты.
Кроме того, для простоты будем рассматривать только члены с т = 1,
откуда Uj = — (fcj — к — s). Используя укороченную запись cs = cijlx-,o,s,o

12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени 353
и со = со,о,ο,ο,ο? Β итоге записываем наш модельный гамильтониан в виде
^азв=^о(Л,Л,-)+с0(Л,Р) +
+ Σ с5(Л, Р) cos(fejAj -kX + sp- (kj -к- s)wj), (12.2)
s=0
где voj — долгота перигелия резонансной планеты. Ее. мы полагаем
фиксированной, поэтому часть Но, зависящая от A9j, ASj (см. формулу (9.16)),
здесь опущена. Для простоты мы далее полагаем wj = 0 и исключаем Wj
из (12.2). Во всех коэффициентах cs сумма степеней эксцентриситетов
малого тела и резонансной планеты равна \Щ—к\. Введем новые канонические
переменные
Φ = (Л - Л0)//с, ψ = кХ - kjXj,
Ι = Ρ, Ψ = Ρ, (12.3)
Aj = А3 + к5(А - A0)/fc, Хэ = Xj,
где Ло — невозмущенное положение резонанса средних движений,
определяемое из закона Кеплера. Раскладывая Но и со в (12.2) в ряд Тейлора
и сохраняя только члены низшего порядка по Ф, /, имеем
Нкзв = \β^2 + 2εΑΙ + £ cs(I) cos(^ - s<p), (12.4)
Z 5=0
где β = d2Ho/d2A(Ao,Aj), 2εΑ = дс0/д1{А0,0) и cs(I) = св(Л0, J).
Хотя гамильтониан (12.4) получен в простых рамках ограниченной задачи
трех тел для двухтельного резонанса, его можно рассматривать и как
более общую плоскую модель мультиплетной структуры резонанса средних
движений, справедливую также и для трехтельных резонансов. С этой
точки зрения коэффициент 2εА следует рассматривать как частоту прецессии
вековых углов, по порядку величины, очевидно, равную ε (массе
планеты, оказывающей доминирующее влияние на вековую динамику);
коэффициенты cs тогда пропорциональны массе резонансной планеты в случае
двухтельных резонансов или же произведению масс резонансных планет
в случае трехтельных резонансов (в последнем случае эти коэффициенты
обычно меньше ε); сумма гармоник должна быть распространена на все
комбинации вековых углов, дающие резонансные гармоники самого
низкого возможного порядка по эксцентриситету.

354
Глава 12
Чтобы получить общую модель, к которой можно было бы
подступиться аналитически, Мюррей и Хольман положили все коэффициенты cs
равными ведущему коэффициенту с,0, а также расширили пределы
суммирования по s до —ос и + ос; отсюда
Wr3B = ^/ЗФ2 + 2ε ΑΙ + cS() (I) cos φ ^ cos βψ =
s=-oc (12.5)
= -/3Φ2 + 2ε ΑΙ + ceo(J) cost/; δ {φ),
где 5(у?) — периодическая дельта-функция Дирака, аргумента φ. Интегрируя
уравнения движения, задаваемые (12.5) для переменных Φ и ψ, на цикле
изменения φ получаем следующее симплектическое отображение (см.
Чириков, 1979; Уиздом, 1983):
ф/ = ф + ^ЦЦ 8[ηψ^ ф, = ψ + ^ф, (12б)
ε А с А
Коль скоро из (12.4) следует, что / ~ — sq^, Для описания эволюции
действия / имеем дополнительное к этому отображению уравнение
1' = 1~з0^4^-^тф. (12.7)
ε А
Если ввести нормированную переменную Φ = Φπ/3/(εΑ), то (12.6) примет
в итоге вид стандартного отображения:
Ф' = U + Xeffsini/J, т// = т/; + Ф', (12.8)
где
Хорошо известно (см. главу 4 книги Лихтенберга и Либермана, 1983;
а также раздел 6.1 нашей книги), что поведение стандартного
отображения (12.8) является глобально-хаотичным, если К^ > Ксг\и где Ксгц ~ 1.
Заметим, что условие Ке^ > 1 аналогично условию перекрытия резонан-
сов в резонансном мультиплете в модели (12.4); действительно,
расстояние между резонансами равно ЙФ = 2εΑ/β, а ширина каждого составляет
ΔΦ ~ 2yJcS(Jβ, так что Ке^ = (πΔΦ,ΜΦ)2. Множитель π2 в этой формуле

12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени 355
отражает тот факт, что согласно разделу 6.1 переход к глобальному хаосу
происходит прежде, чем в мультиплете начинают перекрываться резонан-
сы низкого порядка, так как между ними есть перекрывающиеся резонансы
более высоких порядков.
Чтобы оценить величину показателя Ляпунова1, Мюррей и Хольман
выписали для (12.6) касательное отображение
$ф' = ίφ + δψπ°°0^ cost/;, δψ' = δψ + ^5Φ'· (12.Ю)
собственные числа которого даются уравнением
(1 - λ)(1 + К^соьф - λ) - /Cffcos^ = 0, (12.11)
где Къъ дается формулой (12.9). Решение уравнения (12.11) имеет вид
λ = 1 + -/feff cos^i dKeffCosip+ i -K^cosTp
(12.12)
Логично ожидать, что в хаотическом слое переменная ψ эргодически
принимает все возможные значения от 0 до 2π, так что показатель Ляпунова
отображения можно оценить путем усреднения логарифма λ по ф\
7 = — / In λ άφ.
2π70
Согласно Мюррею и Хольману допустима аппроксимация2
7 ~ In
(12.13)
(12.14)
Поскольку период отображения (12.6) равен π/(εА) (периоду угла φ в
гамильтониане (12.4)), ляпуновское время рассматриваемого резонанса
средних движений равно
Τ = —1 —
L εΑη~ ε Α
(12.15)
'Способ, примененный Мюрреем и Хольманом, повторяет подход Б. В.Чирикова к
аналитическому оцениванию динамической энтропии стандартного отображения. Детали этого
подхода см. в работе Чирикова (1979). — Прим. ред.
2 В статье Мюррея и Хольмана (1997) в данной формуле допущена опечатка. — Прим. авт.

356
Глава 12
Чтобы проверить справедливость этой оценки, Мюррей и Хольман
провели ряд численных экспериментов. На рис. 12.9 представлены
значения ляпуновского времени для пробных частиц в различных резонансах
средних движений с Юпитером во внешнем поясе астероидов (при
начальном эксцентриситете, положенном равным 0.05) в эллиптической плоской
ограниченной задаче трех тел. Значения ляпуновского времени, полученные
из численных экспериментов, показаны черными квадратиками, а оценки,
сделанные по формуле (12.15), — светлыми кружками. Как видим, по
порядку величины в общем имеется хорошее согласие, хотя можно заметить
несколько исключений.
Чтобы оценить скорость диффузии орбит тел в резонансах средних
движений по эксцентриситету, Мюррей и Хольман в качестве отправной
точки взяли известный результат (см. главу 5 книги Лихтенберга и Либер-
мана, 1983), что при Keff > Kcrit в (12.8) транспорт действия Φ
можно описать уравнением Фоккера-Планка. Это означает, что распределение
большого ансамбля частиц по Φ описывается функцией Ρ(Φ,ί),
эволюционирующей согласно уравнению
дР д (DdP\
где D = К^ /2 называется коэффициентом диффузии. Если применить уже
известную нам нормировку Φ = Φπβ/(εΑ), то коэффициент диффузии для
действия Φ запишется как
Учтя, что период отображения (12.6) равен π/(ε А), в итоге находим, что
коэффициент диффузии для Φ дается формулой
d* = \cIWta- (12·18)
Поскольку инкременты Фи/в уравнениях (12.6) и (12.7) отличаются
множителем sq» эволюция действия / будет описываться уравнением Фоккера -
Планка с коэффициентом диффузии
°Ι = ί<{Ι)ΐΑ· (12Λ9)

12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени 357
а, в юпитерианских единицах
N
0.66
о
гН
о
гН
о
гН
о
гН
со
о
гН
о
гН
г-1
[ 1
-
:
-
- до
;
г
Ξ
: 13:7
",
Ϊ
11:6
0.68
' 1
β
■■
9:5
I I 1
■
■
β
k
7:4
ι ι Ι
0.7
"■ Ι '
*
Α
Ι
12:7
Ι Ι L
■!■■"
5:3
■ Ι
0.72
Ι ■""
"
ο
ο
13:8
Φ
8:5
Ι
0.74
1 Ι η
-
Ι
οο
11:7
Η
Η
Η
Η
:
-
Ξ
j
"
3.5
3.6
3.7
α, а. е.
3.8
3.9
Рис. 12.9. Ляпуновское время в зависимости от большой полуоси во внешнем поясе
астероидов. Оценки в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел. Через
«kj-.к» обозначены важнейшие резонансы средних движений с Юпитером.
Заштрихованными символами показаны результаты численного интегрирования:
треугольниками — результаты, полученные с учетом возмущений от четырех
планет-гигантов, квадратиками — результаты, полученные с учетом возмущений только от
Юпитера. Кружками показаны оценки по формуле (12.15). (Рис. 1 из статьи Мюррея
и Хольмана, 1997; с разрешения Американского астрономического общества)
Таким образом, в модели Мюррея и Хольмана резонансные частицы
испытывают случайные блуждания как по большой полуоси
(соответственно Ф), так и по эксцентриситету (соответственно /). Однако в обоих
случаях случайные блуждания должны удовлетворять определенным граничным
условиям. Возможные значения большой полуоси ограничены интервалом,
определяемым перекрытием резонансов в мультиплете, ширина
которого в реальности не бесконечна. Это условие можно смоделировать путем

358
Глава 12
введения отражающих границ, расположенных при определенных
значениях Ф. Что касается эксцентриситета, то он должен быть положительным,
что можно смоделировать путем введения отражающей границы при / = 0.
Благодаря этой отражающей границе пробные частицы на хаотических
орбитах с малыми начальными / диффундируют от малых эксцентриситетов
к большим. Когда орбиты частиц достигают эксцентриситета, достаточного
для пересечений с орбитой планеты, частицы выбывают в результате
тесных сближений с планетой. Этот процесс можно смоделировать путем
введения поглощающей границы, расположенной при / = /тах. Решая
уравнение Фоккера-Планка, Мюррей и Хольман вычислили, что характерное
время ухода, то есть характерное время, за которое частицы, стартующие
от Ιο, достигают границы /тах, дается выражением
Tr „ fn»*xJo =. (12.20)
При помощи численного интегрирования Мюррей и Хольман
проверили справедливость и этой оценочной формулы. Аналогично тому, как на.
рис. 12.9 верифицированы оценки ляпуновского времени, на рис. 12.10
проводится сравнение времен ухода, предсказываемых теоретически
(обозначенных кружками), с наблюдаемыми в численных экспериментах
(обозначенными заштрихованными квадратиками). Поскольку согласно (12.20) Tr
сильно зависит от эксцентриситета, дающего Iq, Мюррей и Хольман в
качестве эксцентриситета брали его среднее значение за первые несколько
тысяч орбитальных периодов, которое они находили из численного
интегрирования. Получаемый при этом разброс значений /0 ответственен за
разброс предсказываемых времен ухода частиц в каждом из резонансов,
показанных на рис. 12.10. При оценивании £>/(/шах) также требуется
определенная осторожность. Действительно, если выбрать /шах исходя из
значения эксцентриситета, позволяющего частице пересекать орбиту Юпитера,
то коэффициент сЯо(/шах) обратится в бесконечность (поскольку
гамильтониан неаналитичен и его нельзя разложить в ряд Фурье, как в (12.2)); тогда
и Dj(ImiXX) обращается в бесконечность, a Tr — в нуль. Поэтому
приходится выбирать несколько меньшее значение /гпах. Чтобы исключить при
этом произвол, лучше всего выбирать /гпах так, чтобы значение Tr было
максимальным.
Из рис. 12.10 видно, что теоретически предсказываемые и численно-
экспериментальные времена ухода в общем хорошо согласуются по
порядку величины, хотя можно заметить некоторые исключения. Это впечатля-

12.3. Аналитические оценки ляпуновского времени 359
а, в юпитерианских единицах
(N
О
гН
£
О
гН
о
О
гН
О)
О
гН
Vi 00
ε
О
гН
ю
О
гН
■^
О
гН
СО
0.66
|
:
|
:
:
-
Ξ
г
:
=
-
—
-
"
Π
оо
Ί Г
13:7
О
11:6
t
^^
f
0.68
' I
■
9:5
1 ■ ■
ι 1
о
ш
:-
1
■
7:4
L_^ L
0.7
"1 1
▲
8
12:7
, , ,
1 '
*
■
5:3
__| |_
0.72
1 Г~
, |
' '
13:8
!
.**
β ■
8:5
I 1 1
0.74
1 ' ' Ι
_J
Η
j
~ι
=
Ξ
-
_з
t j
Ξ
:
oo Ξ
11:7 ^
:
=
-
-=
=
, , | , "
3.5
3.6
3.7
а, а. е.
3.8
3.9
Рис. 12.10. То же, что и на рис. 12.9, но для времени ухода. Заштрихованными
символами показаны результаты численного интегрирования, кружками — оценки по
формуле (12.20). Стрелками обозначено время интегрирования для тех резонансов,
из которых не ушла ни одна из частиц. (Рис. 2 из статьи Мюррея и Хольмана, 1997;
с разрешения Американского астрономического общества)
ет, особенно если вспомнить, как много приближений было сделано при
выводе теоретической формулы. Подчеркнем, что в коэффициенте
диффузии (12.19) для действия / не учтены возможные эффекты чисто вековой
динамики, которые, как мы убедились в главе 11, могут вызывать рост
эксцентриситета на более коротких шкалах времени. Кроме того, сделанное
в начале этого раздела предположение, что резонансный мультиплет можно
аппроксимировать бесконечной цепочкой резонансов, не слишком хорошо
подходит для резонансов низкого порядка по эксцентриситету, которые
ведут себя как модулированный маятник (см. раздел 9.4). В последнем
случае согласно Брувилеру и Кэри (1989) коэффициенты диффузии для орбит

360
Глава 12
в хаотическом слое были бы просто пропорциональны кубу частоты
модуляции, то есть (ε Α/π)3 (опять же если пренебречь важными эффектами
чисто вековой динамики), что меньше, чем дают формулы (12.18) и (12.19).
Этим могут объясняться некоторые из наиболее существенных
расхождений, видимых на рис. 12.10.
Несмотря на модельные ограничения, теоретические оценки времени
ухода, сделанные Мюрреем и Хольманом, представляют собой важную
попытку продвинуться дальше классической теории возмущений и
охарактеризовать статистические свойства хаотической эволюции.
12.4. Применимы ли теоремы Колмогорова-Арнольда -
Мозера и Нехорошева к динамике малых тел?
На данном этапе нашего изложения естественно возникает вопрос,
подходит ли теоретическая картина глобальной динамики, следующая из
теорем КАМ и Нехорошева (см. главы 3 и 6, соответственно), для описания
реальной динамики малых тел в Солнечной системе?
Разумеется, напрямую обе теоремы неприменимы, поскольку они до-,
казаны для невырожденных динамических систем. Прежде чем применять,
их необходимо адаптировать к случаю возмущенного кеплерова движения.
В этом направлении уже работали Арнольд (1963в) и Нехорошее (1977);
а не так давно Гуццо и Морбиделли (1997) переформулировали обе
теоремы с учетом наиболее важных особенностей динамики малых тел.
Из предыдущих глав нашей книги с очевидностью следует, что, вне
зависимости от величины планетных масс и эксцентриситетов, было бы
безнадежно пытаться доказать результат об устойчивости нехорошевского
типа, который был бы справедлив во всем фазовом пространстве (исключая
множество орбит, пересекающих орбиты планет). Действительно, резонан-
сы средних движений, чей порядок по эксцентриситету и фурье-порядок3
оба имеют значения от низкого до умеренного (пороговое значение порядка
зависит от эксцентриситета малого тела), обладают общим свойством
расщепляться, порождая мультиплеты перекрывающихся субрезонансов (см.
раздел 9.3). При помощи адекватной модели (см. раздел 12.3) можно
показать, что макроскопические изменения эксцентриситета малого тела,
движущегося внутри мультиплета, могут происходить на короткой шкале
времени, а именно, в течение времени, пропорционального некоторой
степени возмущающих параметров (см. формулу (12.20)). Верно, что резонансы
3См. определения в разделе 9.1. — Прим. авт.

12.4. Применимы ли теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера 361
низших порядков ведут себя как модулированный маятник (см. раздел 9.4)
и поэтому могут иметь центральные острова, где движение устойчиво; но,
как мы убедились в главе 11, в этих случаях свойства устойчивости или
неустойчивости в конечном счете зависят от особых свойств вековой
динамики, которые меняются от резонанса к резонансу. Таким образом,
возможно и есть шанс доказать результат об устойчивости нехорошевского типа,
чья область применимости ограничена каким-либо одним определенным
резонансом (например, центральным ядром резонанса 3/2 с Юпитером), но
нельзя получить общий результат, справедливый для всех резонансов
низкого порядка.
Как следствие, общий вывод нехорошевского типа об устойчивости
можно установить только на многосвязной области, из которой исключены
все резонансы средних движений порядков от низкого до умеренного. Эта
область существует только в том случае, если такие резонансы не
перекрываются друг с другом, что накладывает условия на максимальное значение ε
планетных масс, на минимальное расстояние от резонансной планеты и на
максимальное значение эксцентриситета малого тела. Мы будем называть
эту область областью Нехорошева.
Подробное описание, как можно получить результат нехорошевского
типа, выходит за рамки данного раздела, поэтому мы дадим лишь общий
эскиз. Заинтересованный читатель может обратиться к статье Гуццо и Мор-
биделли (1997). В области Нехорошева сначала следует рассмотреть
субобласти, где нет резонансов средних движений фурье-порядка меньше l/ε. На
этих субобластях можно построить вековую нормальную форму с остатком,
экспоненциально малым по l/ε, и таким образом свести анализ
устойчивости к вековой задаче. Так как последняя не вырождена, теорема
Нехорошева применима в ее классическом виде (см. главу 6). Есть некоторая
техническая трудность, состоящая в том, что для векового гамильтониана
не выполняется условие (6.2), но в общем случае движение в вековых ре-
зонансах можно ограничить, используя производные третьего порядка по
действиям. Таким путем по-прежнему можно получить время
устойчивости, экспоненциально долгое по Ι/77, где η — некоторый малый параметр,
обычно выражающийся через планетные эксцентриситеты и наклонения.
Вековой резонанс щ является исключением; и действительно, как показано
в разделе 8.4.2, эксцентриситеты тел в резонансе щ могут расти от нуля до
единицы на «короткой» шкале времени.
В других частях области Нехорошева приходится иметь дело с резо-
нансами средних движений непренебрежимого порядка (то есть порядка

362
Глава 12
меньше Ι/ε). Однако согласно определению области Нехорошева у этих
резонансов компоненты резонансных мультиплетов не перекрываются.
Поэтому, используя процедуру, аналогичную кратко описанной в разделе 6.2.1,
по-прежнему можно получить вывод об устойчивости, также справедливый
на интервале времени, экспоненциально долгом по 1/η.
Имея доказанный результат нехорошевского типа об устойчивости на
области Нехорошева, процедуру можно итерировать, как описано в
разделе 6.2.2; тем самым доказывается также существование КАМ-торов. Таким
образом, как и в случае невырожденных систем, результат
нехорошевского типа об устойчивости непосредственно соотносится с существованием
специфичной динамической структуры.
Данные результаты свидетельствуют, что теоремы КАМ и Нехорошева
при подходящей адаптации в принципе применимы для описания динамики
малых тел, по крайней мере в некоторых частях фазового пространства.
Однако на сегодняшний день нет аналитических средств, чтобы решить,
применимы ли эти теоремы к реальной Солнечной системе (с определенными
значениями планетных масс, больших полуосей, эксцентриситетов и
наклонений) и в каких областях. С другой стороны, как продемонстрировано
в разделе 6.2.2, для выяснения, описывается ли динамическая структура
заданной системы теоремами КАМ и Нехорошева, очень полезно
численное моделирование. Хотя подробный анализ (в рамках которого необходимо
было бы выяснить, как динамическая структура изменяется с
повышением точности выявления хаотических областей) никогда не проводился, из
рис. 12.1 следует, что при учете возмущений только от четырех планет-
гигантов внутренняя и центральная части пояса астероидов действительно
могут иметь динамическую структуру, описываемую теоремой
Нехорошева, по крайней мере при умеренных эксцентриситетах. Внешняя же часть
пояса, напротив, испытывает гораздо более сильные возмущения со
стороны Юпитера; поэтому здесь хаотические области, соответствующие двух-
тельным и трехтельным резонансам средних движений, с увеличением
эксцентриситета астероидов быстро сливаются друг с другом (см. рис. 10.8).
Если учитывать возмущения и от внутренних планет, то согласно рис. 12.2
уже вряд ли можно надеяться, что структура Нехорошева во внутреннем
поясе сохранится (по крайней мере до 2.15 а. е.), поскольку эта зона плотно
заполнена резонансами средних движений с Марсом. Таким образом, в
рамках полной планетной задачи следует ожидать, что структура Нехорошева
существует лишь в центральной части пояса при малых эксцентриситетах.
На это указывают и карты частотного анализа, представленные на рис. 12.4.

12.4. Применимы ли теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера 363
Согласно этому же рисунку не следует ожидать, что теорема Нехорошева
применима к динамике малых тел где-либо еще во внутренней Солнечной
системе или в области планет-гигантов. Лишь в поясе Койпера, на
достаточном удалении от Нептуна, можно вновь обнаружить структуру нехорошев-
ского типа. Между 43 и 50 а. е. присутствие структуры Нехорошева
ограничено зоной малых эксцентриситетов, тогда как за пределами 50 а. е. зона
преобладания регулярной динамики существенно расширяется, при этом
она сегментирована четко отделенными друг от друга резонансами. Вполне
возможно, что будущие высокоточные численные эксперименты покажут,
что во всей Солнечной системе реальная структура Нехорошева
существует только в глубине пояса Койпера.
Отметим, однако, что поиск структуры Нехорошева интересен
скорее с точки зрения математики, а не астрономической необходимости.
По имеющимся оценкам, характерные времена устойчивости,
относящиеся к структуре Нехорошева, на много порядков превосходят физическое
время жизни Солнечной системы. Поэтому также и в резонансах средних
движений с перекрывающимися компонентами мультиплетов время жизни
малых тел может быть сопоставимо с возрастом Солнечной системы, если
время ухода (12.20) достаточно велико. Похоже, например, что именно так
обстоит дело с астероидом Хельга (находящимся в резонансе 12/7 с
Юпитером), время ухода которого, согласно аналитическим оценкам и результатам
численного интегрирования, составляет ~ 5 млрд лет (Мюррей и Хольман,
1997).
Проблема справедливости результатов нехорошевского типа об
устойчивости осложняется еще и тем, что возмущающие планеты сами
демонстрируют хаотическое поведение (см. главу 7 и раздел 10.4). Это должно
разрушать структуру Нехорошева динамики малых тел на некотором ее
уровне и предотвращать существование инвариантных торов, в чем
можно убедиться из следующих соображений. Неквазипериодические
возмущения имеют непрерывный спектр Фурье. В случае слабого хаоса,
подобного планетному, логично предположить, что непрерывный спектр Фурье
отличен от нуля лишь в некоторых окрестностях (шириной Αω)
дискретных значений частот, соответствующих квазипериодической
аппроксимации движения планет. Из-за непрерывности спектра возмущения каждый
резонанс расщепляется на непрерывный пакет резонансов. Ширина этого
пакета в пространстве частот равна Αω независимо от порядка
резонанса. Тогда ширина каждой резонансной области должна быть больше Αω,
вместо того чтобы, как обычно, экспоненциально убывать с порядком ре-

364
Глава 12
зонанса. Модифицируя формулу (6.5), находим, что объем, заполняемый
резонансами порядка К, становится больше, чем
VK ~ 2ηΚη~1 [v^exp (-Κσ) + Δω] . (12.21)
Таким образом, он неограниченно возрастает с К. Поэтому в некотором
порядке К резонансы должны перекрываться, разрушая структуру Нехоро-
шева и делая невозможным существование инвариантных торов.
Следовательно, если точность численного анализа динамики астероидов повышать
в достаточной мере, то хаотический континуум будет проявляться рано или
поздно даже в тех областях, которые сейчас выглядят «самыми
регулярными». При этом, независимо от начальных условий, максимальный
показатель Ляпунова будет положительным.
Однако в случае Солнечной системы размеры интервалов Δω,
определяемые относительно некоторой пороговой величины, также довольно
невелики, так как частоты внутренних планет (орбиты которых наиболее
хаотичны) испытывают относительные вариации всего лишь в несколько
процентов (см. раздел 7.3). Поэтому хаотичность возмущений может и не
влиять на устойчивость движения малых тел на временах порядка возраста
Солнечной системы.

Douze ans apres
Заметки к русскому изданию
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Прошло двенадцать лет, как в этой книге были сделаны последние
штрихи. Очевидно, наука продолжает эволюционировать в быстром темпе,
и небесная механика здесь ни в коем случае не исключение. За прошедшие
годы было достигнуто немало новых результатов и, если бы книга писалась
сегодня, в нее потребовалось бы включить несколько новых тем.
В этих заметках мы даем краткий обзор тем, в которых, по нашему
мнению, достижения были наиболее существенными. Не вдаваясь в детали
(это потребовало бы существенного увеличения объема книги) и не
пытаясь дать исчерпывающий список литературы, мы просто укажем предметы
исследований и приведем некоторые ссылки, чтобы заинтересованный
читатель имел ориентиры в современной литературе.
Некоторые из недавних результатов представляют собой естественное
развитие уже рассмотренных в книге тем. Например, с использованием
таких инструментов, как FLI (быстрые индикаторы Ляпунова, раздел 5.4.1)
и динамические карты (подобные представленным на рис. 6.9),
исследовались тонкая структура фазового пространства гамильтоновых систем и роль
паутины Арнольда в обеспечении хаотической диффузии (Фрешле и др.,
2006; Лега и др., 2007). Что касается планетной динамики, сеть трехтель-
ных резонансов (см. главу 10) во внешней Солнечной системе была
детально исследована Гуццо (2006); в итоге было найдено наконец объяснение,
почему согласно некоторым модельным расчетам планеты-гиганты
Солнечной системы имеют хаотические орбиты, а согласно другим — регулярные
(см. также Хэйес, 2008). Аналогично, Робутель и Габерн (2006)
отождествили сеть резонансов и построили карты устойчивых и неустойчивых
областей фазового пространства для троянцев Юпитера.
Следует подчеркнуть, однако, что в прошедшем десятилетии эволюция
небесной механики стимулировалась главным образом новыми
наблюдениями, открывшими новые области для исследований.

366
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Прежде всего, открытие внесолнечных планет: первые экзопланеты
были открыты раньше, чем была написана эта книга; однако на момент
написания были известны, за немногими исключениями, только однопла-
нетные экзосистемы. К декабрю 2013 года открыто « 900 планет (и более
чем 3000 кандидатов в планеты по результатам миссии Кеплер),
существенная часть которых входит в более чем 130 мультипланетных систем. (Всего,
включая и однопланетные системы, сейчас известно более 700 экзосистем.)
Они дают материал для многих интересных динамических задач.
В некоторых мультипланетных системах планеты находятся в резонан-
сах средних движений друг с другом (Ферраз-Мелло и др., 2005; Райт и др.,
2011; Фабрицки и др., 2012). Известными системами с планетами в
резонансе 2/1 являются Gliese 876 и HD 82943, в резонансе 3/1 — 55 Спс; тогда
как Gliese 876 — пример системы, где три планеты вовлечены в резонанс
Лапласа 4:2:1 (Марти и др., 2013) подобно трем внутренним галилеевым
спутникам Юпитера. (Более того, объявлено об открытии плотноупакован-
ной резонансной мультипланетной системы, KOI-730, с резонансом
средних движений 8:6:4:3; Лиссауэр и др., 2011.) Как полагают, планетные ре-
зонансы представляют собой естественное следствие примордиальной
миграции планет, имеющей место благодаря их гравитационному
взаимодействию с протопланетным диском (см., например, Ванг и др., 2012). Факт
нахождения многих систем в резонансах средних движений стимулировал
исследования этих резонансов в рамках общей (неограниченной) задачи
трех тел.
Общая задача представляет собой весьма актуальный современный
раздел небесной механики. Фактически в нашей Солнечной системе
планеты не вовлечены в резонансы средних движений друг с другом. В
резонансах наблюдаются только астероиды, объекты пояса Койпера, кометы,
спутники планет, пылевые комплексы. Поэтому резонансы ранее изучались
главным образом в рамках ограниченной задачи (см. главы 9 и 11). В
общей задаче резонансы изучались в динамике спутников планет Солнечной
системы (см., например, Мальхотра, 1990, и ссылки там); однако в
спутниковом случае члены, возникающие из-за несферичности планеты,
значительно упрощают задачу, поскольку они вызывают быструю прецессию
орбит и расщепление резонансного мультиплета (см. главу 9)1.
Благодаря большему числу степеней свободы динамика резонанса
средних движений в общей задаче гораздо сложнее, чем в ограниченной
1В рамках общей задачи также изучались резонансы и периодические орбиты в динамике
тройных звезд, но главным образом в связи с «хореографиями», представляющими
исключительно математический интерес (см. Мартынова и др., 2005, и ссылки там).

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 367
задаче, особенно в отсутствие быстрой прецессии орбит. Поэтому
исследования проводились либо исключительно численными методами (см.,
например, Марцари и др., 2006; Ли и др., 2006; Либер и Тсиганис, 2009,
2011), либо с использованием аналитических соображений, позволяющих
редуцировать систему к минимально возможному числу степеней свободы,
чтобы можно было численно строить сечения фазового пространства (см.,
например, Боже и др., 2005; Каллегари и др., 2004, 2006; Мищенко и др.,
2008а, 20086). Попытку построить аналитическую глобальную картину
резонансной динамики предприняли Батыгин и Морбиделли (2013а), но за
счет принесения в жертву количественной точности в пользу
качественного анализа. Фактически глобальную картину можно построить только
путем отождествления гармонических членов, используя разложения в ряды
по степеням эксцентриситетов, но эти разложения в действительности не
подходят для случая экзопланет, так как эксцентриситеты последних
обычно велики. Присутствие резонансов средних движений и их
взаимодействие подразумевают возможность хаоса в динамике экзопланет, как,
например, в системе Кеплер-36 (Дек и др., 2012). Хаос может иметь место не
только благодаря взаимодействию резонансов средних движений, но также
и благодаря взаимодействию субрезонансов (в мультиплете, см. раздел 9.3)
с аргументами, содержащими различные комбинации вековых углов
планет (Батыгин и Морбиделли, 2013а). К тому же, как обсуждалось в разделе
10.4, хаос могут порождать трехтельные резонансы средних движений,
например, в динамике планет-гигантов в Солнечной системе. С увеличением
числа открытых экзопланетных систем исследования трехтельных
резонансов были распространены на экзосистемы (Квиллен, 2011).
Вековая динамика планетных систем вне резонансов средних
движений также исследовалась (см., например, Ли и Пил, 2003; Мищенко и Маль-
хотра, 2004; Барнес и Гринберг, 2006; Ферраз-Мелло и др., 2005; Барнес,
2008; Барнес и др., 2011; Гринберг и ван Ларховен, 2012). (Фактически
эти исследования произросли из анализа вековой динамики тройных
звездных систем; см. Маршаль, 1990, и Форд и др., 2000.) By и Литвик (2011)
указали на возможность векового хаоса; это следует из обобщения
динамической картины, представленной в разделе 7.3 для планет земной группы
(также см., например, Ласкар, 1990, 1994, и Литвик и By, 2011, — об
эволюции Меркурия; Шидлиховский, 1990, — об эволюции астероидов), на
системы с много большим дефицитом углового момента, подверженные
гораздо более сильным неустойчивостям. В рамках общей задачи был также
переосмыслен эффект Лидова-Козаи (Либер и Анрар, 2007; Наоз и др.,

368
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
2011). Этот эффект может быть широко распространен в планетных
системах двойных звезд или в мультипланетных системах, где планеты
движутся по орбитам, сильно наклоненным относительно орбиты возмущающего
тела. Фактически эффект Лидова-Козаи мог бы объяснить наблюдаемые
сильно вытянутые планетные орбиты S-типа в некоторых двойных
звездных системах (Иннанен, 1997; By и Мюррей, 2003; Такеда и* Расио, 2005):
при достаточно высоких наклонениях эксцентриситет планеты благодаря
этому эффекту может испытывать сильные колебания. В частности,
показано, что эффект возможен в системе 7 Cephei (Хагигипоур и др., 2010).
Кроме того, его привлекли для объяснения происхождения «горячих
Юпитеров» (Литвик и Наоз, 2011; Наоз и др., 2011). Наконец, отметим, что
подобно астероидам в Солнечной системе экзопланеты могут
одновременно находиться в резонансах средних движений и в вековых резонансах;
пример такого рода динамики (хотя еще и не подтвержденный) — система
HD 12661 (см., например, Гоздзиевский, 2003).
Другим «неограниченным» следствием экзопланетного бума стал
растущий интерес к различного рода критериям устойчивости тройных
гравитационных систем (таких как две планеты на орбитах вокруг звезды
или же планета в двойной звездной системе). Зачастую ошибки
определения орбитальных параметров непосредственно из наблюдений бывают
много больше, чем диапазон значений параметров, обеспечивающий
долгосрочную устойчивость системы. Поэтому анализ долгосрочной
устойчивости системы может накладывать более жесткие ограничения на
возможные орбиты. Получили развитие как аналитические, так и численно-
экспериментальные критерии устойчивости. В первом случае
использовались подходы, основывающиеся на классическом критерии Хилла (Глэдман,
1993; Брассер, 2002; Верас и Армитидж, 2004; Доннисон, 2006) и
критерии перекрытия резонансов Чирикова (Дункан и др., 1989; Мадрик и By,
2006). Во втором случае — вычисления FLI (быстрый индикатор
Ляпунова, см. раздел 5.4.1; Пилат-Лохингер и Дворак, 2002), MEGNO (Mean
Exponential Growth Factor of Nearby Orbits — средний фактор
экспоненциальной расходимости близких орбит, см. раздел 5.4.3; Чинкотта и др.,
2003; Гоздзиевский, 2003; Гоздзиевский и др., 2013), расчеты подлинных
показателей Ляпунова (см. раздел 5.2.1; Попова и Шевченко, 2013), анализ
фундаментальных частот движения (частотный анализ, см. раздел 5.3.1;
Коррейа и др., 2009; Ласкар и Коррейа, 2009), а также простые условия
ухода/столкновений (Хольман и Вигерт; 1999; Пилат-Лохингер и др., 2003;
Холшевников и Кузнецов, 2011).

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 369
Обнаружение планет, обращающихся на орбитах, очень близких к
родительским звездам, дало старт исследованиям взаимосвязей динамики
и приливной диссипации в мультипланетных системах. Анализ вековой
эволюции читатель может найти, например, в статьях Мардлинг (2007), Ба-
тыгина и др. (2009), Ловиса и др. (2011), ван Ларховен и Гринберга (2012),
Коррейа и др. (2013). Что касается резонансов средних движений,
расхождение резонансных орбит исследовали Папалойцу и Теркем (2010), Лит-
вик и By (2012) и Батыгин и Морбиделли (20136); феномен расхождения
резонансных орбит ведет к резонансным системам с отношениями
периодов большими, чем номинальные рациональные числа. Эффект обусловлен
свойством резонансов средних движений первого порядка, обсуждавшимся
в главе 9, а именно искривлением семейства устойчивых равновесий в
координатах «большая полуось — эксцентриситет» (см. рис. 9.11а). Тенденция
к несколько большим, чем резонансные, значениям отношений периодов
явно проявляется в системах, открытых в обзоре с КА Кеплер. В этой
связи особого упоминания заслуживает работа Делиля и др. (2012), в которой
продемонстрирована эквивалентность вековых и резонансных нормальных
форм для таких «квазирезонансных» планетных систем.
Более половины наблюдаемых звезд главной последовательности
входят в кратные (главным образом двойные) звездные системы (Дюкеннуа
и Мейор, 1991; Матье и др., 2000). Особый вызов теоретикам — динамика
и формирование циркумбинарных планет, поскольку условия устойчивости
выполняются у наблюдаемых систем лишь на пределе. Недавно открытая
циркумбинарная планета Кеплер-16Ь обращается вокруг двух звезд
главной последовательности (Дойл и др., 2011). Хотя она и находится в
опасной близости к хаотической области вокруг двойной, Кеплер-16Ь выживает,
будучи в безопасности в области, ограниченной неустойчивыми резонан-
сами 5/1 и 6/1 с двойной (Попова и Шевченко, 2013). Вероятно, планета
Кеплер-16Ь (так же как и другие недавно открытые циркумбинарные
планеты) испытала миграцию извне, так как формирование in situ проблематично
из-за условий, враждебных для аккреции планетезималей, в частности из-за
высоких столкновительных скоростей и низкой концентрации
планетезималей (Мескиари, 2012; Пардекопер и др., 2012).
Особого упоминания заслуживает разработка метода TTV (Transit
Timing Variations) и исследования, проводимые с его помощью. Транзитная
планета, испытывающая возмущения от другой планеты, проходит по
диску родительской звезды нерегулярно во времени. Колебания ее
орбитальных элементов вызывают изменения времени прохождения относительно

370
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
строгопериодического сигнала. Путем моделирования TTV можно
получить важную информацию о массах и орбитальных свойствах
транзитных и возмущающих планет. Исторически вначале была разработана
теория TTV (см., например, Агол и др., 2005; Хольман и Мюррей, 2005;
Несворный, 2009; Несворный и Боже, 2010), а впоследствии, с ростом
числа открытий внесолнечных планет в транзитных обзорах (обзоре с КА
Кеплер в первую очередь), метод TTV стал реальностью. Первые TTV были
обнаружены в мультипланетных системах (Лиссауэр и др., 2011), и они
позволили Лиссауэру и др. (1) подтвердить, что планетные «кандидаты»
являются реальными планетами, и (2) определить их массы. Недавно из анализа
TTV-сигнала транзитного компаньона этим методом впервые была открыта
и охарактеризована нетранзитная планета (Несворный и др., 2012). TTV-
анализ возрождает славные времена небесной механики, когда Леверрье
предсказал существование и положение Нептуна из анализа аномалий
движения Урана. «Чудо» Леверрье стало в наше время обыденным явлением.
Вернемся теперь к нашей старой доброй Солнечной системе. За время,
прошедшее с 2001 года, новые открытия глубоко преобразили наши знания
о ней и породили новые динамические исследования. Резко возросло число
известных астероидов. В 2000 году было известно приблизительно 100000
астероидов, теперь же — более чем полмиллиона. Это накопление
наблюдательных данных позволило астрономам отождествить много семейств
астероидов (групп астероидов, порожденных ударной дезинтеграцией
родительского тела) и охарактеризовать их орбитальную структуру. Теперь
семейства проявляют себя в пространстве собственных элементов не как
размытые «облака», а как четкие и интригующие особенности.
Спектральные обзоры (например, SDSS и WISE) позволили выяснить связи
физических свойств со свойствами орбит, и это оказалось полезным для
обоснования, что некоторые аномальные орбитальные структуры действительно
относятся к семействам, а не вызваны «чужаками». Анализ этих структур
позволил продемонстрировать, что давно уже предсказанный «эффект Яр-
ковского» (он упомянут в разделе 11.3.1) реален и играет существенную
роль. Данный эффект состоит в дрейфе вращающегося тела по большой
полуоси его орбиты, вызываемом анизотропным тепловым
переизлучением поглощаемых телом фотонов. Первоначально он был предсказан в 19-ом
столетии Иваном Ярковским, а впоследствии возродился в работах Дэвида
Рубинкама и Паоло Фаринеллы (Рубинкам, 1995; Фаринелла и др., 1998).
Однако то, что эффект Ярковского определяет распределение астероидов,
было показано только в 2001 году в работе Боттке и др., которые проана-

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 371
лизировали и воспроизвели орбитальную структуру семейства Корониды.
С тех пор эффект Ярковского изучается на основе данных о семействах.
Показано, что взаимодействие дрейфа по большой полуоси, вызываемого
эффектом Ярковского, и вековых резонансов может приводить как к
прохождению резонансов (см., например, Боттке и др., 2001), так и к захвату
в них (см., например, Вокроуглицкий и др., 2006а). В обоих случаях
влияние на итоговые орбиты оказывается явным и индивидуальным. Кроме
того, с течением времени определяемая эффектом Ярковского эволюция
накладывает характерный отпечаток на распределение астероидов семейства
по большой полуоси, зависящий от их физических размеров; этот эффект,
должным образом изученный, стал стандартным инструментом оценивания
возрастов семейств с хорошей точностью (см., например, Вокроуглицкий
и др., 20066; Боттке и др., 2007). Определить возраст более точно можно
только для очень молодых семейств, что достигается путем фиксирования
момента апсидального и узлового выравнивания орбит в ходе
интегрирования назад по времени (см. Несворный и др., 2002).
Параллельно с тем, как изучался эффект Ярковского, была установлена
важная роль YORP-эффекта. Этот эффект, названный по инициалам
первооткрывателей (Yarkovsky-O'Keefe-Radzievskii-Paddack), заложивших
основы для его понимания, влияет на вращательную динамику
несферических тел, изменяя скорость и наклон оси вращения. В этой книге
вращательная динамика была затронута лишь вкратце (см. раздел 7.4), главным
образом в отношении эволюции осей вращения планет земной группы.
Вращательная динамика астероидов, испытывающих YORP-эффект, оказалась
очень богатой. Вокроуглицкий и др. (2003) нашли, что астероиды могут
быть захвачены в вековой спин-орбитальный резонанс (резонанс между
частотой прецессии оси вращения и узловой частотой орбиты) и
эволюционировать ко второму состоянию Кассини (Коломбо, 1966). Этим
объясняется наблюдательный факт (Сливай, 2002), что многие астероиды семейства
Корониды имеют сходные направления осей вращения. Интересно, что
подобный же резонанс (между частотой прецессии оси вращения Сатурна
и частотой узловой прецессии Нептуна), по-видимому, ответственен за
наклон оси Сатурна (Гамильтон и Уард, 2004; Уард и Гамильтон, 2004; Буэ
и др., 2009). Конечно, в последнем случае действует не YORP-эффект, а,
скорее всего, медленное изменение узловой частоты Нептуна из-за
миграции планеты (см. ниже) или потери массы поясом Койпера.
Благодаря этим исследованиям возродилась теория адиабатического
захвата в резонанс и прохождения резонанса. Данная теория не нова (см., на-

372
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
пример, Нейштадт, 1975), и о ней в книге не говорилось (кроме как вкратце
в разделе 9.4 о модулированном маятнике), — и только потому, что
полный обзор приложений адиабатических инвариантов в небесной механике
уже был опубликован ранее (Анрар, 1993). Однако до 2000 года
исследования адиабатического захвата в резонанс касались главным образом спин-
орбитальных резонансов и резонансов средних движений. Только когда
появились указанные выше задачи, предметом изучения в небесной механике
стало и адиабатическое взаимодействие с вековыми резонансами.
Другая тема, которая почти не рассматривалась в книге, и тоже не
новая, — движение комет и, в более широком контексте, возмущенное
сильноэксцентрическое движение. В реальных системах такое движение, как
правило, хаотично, даже когда отсутствуют близкие столкновения с
возмущающими телами; фундаментальной причиной для кометного хаоса является
аккумуляция резонансов п:\ между орбитальными частотами «планеты»
(внутреннего возмущающего тела) и «кометы» (пробной частицы) вблизи
параболической траектории, которая играет роль сепаратрисы,
разделяющей ограниченные (эллиптические) и неограниченные (гиперболические)
движения. Впервые это показали Петроски (1986) и Чириков и Вечесла-
вов (1986); для описания хаотического движения комет на возмущенных
почти параболических орбитах они вывели специальное двумерное
сохраняющее площадь отображение. Главная цель состояла в том, чтобы
качественно охарактеризовать движение кометы Галлея в ожидании ее
очередного возвращения в 1987 году. Аналогично тому как вращение Гипериона
стало первым наблюдаемым примером хаотического вращательного
движения в Солнечной системе, движение кометы Галлея послужило первым
наблюдаемым примером хаотического орбитального движения, как
следовало из анализа исторических хроник ее явлений, выполненного Чирико-
вым и Вечеславовым (1986, 1989). Выведенное отображение было
впоследствии названо кеплеровым, поскольку его вторая строка выражает третий
закон Кеплера. Основное модельное предположение состояло в том, что
главный возмущающий эффект планеты сконцентрирован при нахождении
кометы вблизи перигелия ее орбиты. Использование современных версий
кеплерова отображения позволяет охарактеризовать эффекты хаотической
диффузии в динамике комет и метеорных потоков (Емельяненко, 1992; Лиу
и Сан, 1994; Емельяненко и Бейли, 1998; Малышкин и Тремейн, 1999; Жоу
и Сан, 2001; Жоу и др., 2000, 2002).
Кеплерово отображение принадлежит к классу обобщенных сепа-
ратрисных отображений (Шевченко, 2010). Классические сепаратрисные

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 373
отображения (Чириков, 1979) — эффективный инструмент для анализа
движения в хаотических слоях, образуемых расщепленными сепаратрисами
нелинейных резонансов (Пифтанкин и Трещев, 2007), и их теория может
использоваться для оценивания ляпуновских и диффузионных времен в
хаотических слоях (Шевченко, 2011) в тех случаях, когда стандартное
отображение, описывающее бесконечный мультиплет равноотстоящих друг от
друга резонансов одинаковой ширины, как модель неприменимо. (Оценки
на основе теории стандартного отображения описаны в разделе 12.3 этой
книги.)
Еще одна классическая тема, не нашедшая отражения в книге, —
орбитальная и вращательная динамика спутников планет, демонстрирующая
разнообразие интересных типов динамического поведения, включая
исторически первый случай предсказанного и непосредственно
наблюдавшегося хаотического движения, а именно хаотического вращения
Гипериона — 7-го спутника Сатурна (Уиздом и др., 1984; Харбисон и др., 2011).
Гиперион остается единственным примером наблюдаемого хаотического
вращения в Солнечной системе; второй предполагаемый пример
(Нереида) не был подтвержден (Доброволскис, 1995; Хессельброк и др., 2013;
Тераи и Ито, 2013). Путем массового анализа устойчивости возможных
вращательных состояний спутников планет (определяемой положением на
плоскости «инерционный параметр — эксцентриситет орбиты»)
Мельников и Шевченко (2010) показали, что, хотя подавляющая часть спутников
с известными вращательными состояниями находится в синхронном спин-
орбитальном резонансе, более чем 60% всех спутников с неизвестными
состояниями находятся в иной (быстрой или, что менее вероятно,
хаотической) моде вращения.
Что касается резонансной орбитальной динамики планетных
спутников, многие из них образуют резонансные или околорезонансные
орбитальные конфигурации. В спутниковой системе Юпитера галилеевы спутники
Ио и Европа, как и Европа и Ганимед, находятся в резонансе средних
движений 2/1; таким образом, система этих трех спутников вовлечена в трех-
тельный резонанс 4:2:1 (резонанс Лапласа). В системе Сатурна Мимас и Те-
фия, как и Энцелад и Диона, находятся в резонансе средних движений 2/1,
Диона и Рея близки к резонансу 5/3, Титан и Гиперион находятся в
резонансе 4/3. В системе Урана все резонансы приблизительные: Миранда и Ум-
бриэль близки к резонансу 3/1, Ариэль и Умбриэль — 5/3, Умбриэль и Ти-
тания — 2/1, Титания и Оберон — 3/2. Захваты спутниковых систем в
орбитальные резонансы представляют собой естественные стадии приливной

374
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
эволюции этих небесномеханических систем. Особенно интересно, что
движение системы «Прометей - Пандора» (16-ого и 17-ого спутников
Сатурна — спутников-пастухов кольца F) является хаотическим, что следует как
из наблюдений, так и из теории. Ляпуновское время этой системы,
находящейся в резонансе средних движений 121/118, было оценено как численно-
экспериментально, так и аналитически; оказалось, что оно составляет
всего лишь « 3 года (Голдрайх и Раппапорт, 2003; Шевченко, 2008). Отметим,
что в отличие от других примеров наблюдаемого хаоса в Солнечной
системе здесь наличие хаоса было выявлено сперва из наблюдений и лишь затем
объяснено теоретически. Общие обзоры динамики планетных спутников
даны Пилом (1976, 1986, 1999); теоретическое введение и интересные
факты можно дополнительно найти в статье Мальхотры (1998).
Согласно главе 12, двухтельные и трехтельные резонансы средних
движений определяют динамическую структуру пояса астероидов; более того,
динамическое взаимодействие астероидных семейств с трехтельными резо-
нансами и двухтельными резонансами высоких порядков является важным
фактором в транспортировке астероидов. Примером служат диффузионные
процессы в семействе (490) Веритас, протекающие благодаря резонансу (5,
-2, -2) (Качучо и др., 2010). Недавно Смирнов и Шевченко (2013)
выполнили массовое отождествление астероидов главного пояса в двухтельных
и трехтельных резонансах с планетами: для астероидов из базы AstDyS2
(примерно четверть миллиона объектов) были проведены расчеты
траекторий и поведения резонансных аргументов во времени; как оказалось,
астероиды в чистых трехтельных резонансах до 6-ого порядка включительно
составляют приблизительно 1 % от всех объектов в хорошем согласии с более
ранней оценкой Несворного и Морбиделли (1998), сделанной на основе
выборки из нескольких сотен астероидов. Современный атлас двухтельных ре-
зонансов средних движений в поясе астероидов составлен Галлардо (2006).
Современные наблюдательные открытия не просто завершили
картину пояса астероидов: они буквально революционизировали наши
познания о Солнечной системе в целом благодаря открытию новых популяций
(троянцев Нептуна, нерегулярных спутников планет-гигантов) и описанию
пояса Койпера. Когда эта книга вышла из печати, было известно менее
трехсот объектов пояса Койпера, причем лишь у менее ста из них
орбиты были определены относительно точно (см. рис. 4). На сегодня известно
уже « 1000 транснептунных объектов с хорошо определенными орбитами.
В итоге компоненты и характеристики пояса Койпера предъявлены нам во
2Сайт AstDyS: http://hamilton.dm.unipi.it/cgi-bin/astdys/

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 375
всем их разнообразии: сосуществование нескольких населений (холодное,
горячее, резонансное, рассеянное, удаленное; объяснение терминологии см.
в статье Глэдмана и др., 2008), его внешняя граница (зависящая от
рассматриваемого населения), дефицит массы, корреляции между
физическими и орбитальными свойствами (см. обзор в статье Морбиделли и Брауна,
2004). Исправление наблюдаемой статистики за эффекты селекции
показало, что резонанс 5/2 с Нептуном населен даже больше, чем резонанс 3/2
(Глэдман и др., 2012).
Наблюдательный бум в исследованиях пояса Койпера имел еще
одно радикальное следствие: число планет Солнечной системы формально
уменьшилось до восьми, когда в 2006 году решением 26-й Генеральной
Ассамблеи MAC в Праге Плутон был отнесен к новому классу небесных
тел — классу карликовых планет (к которому были отнесены также
крупные астероиды типа Цереры). Главной причиной для такого решения стало
открытие крупных тел в поясе Койпера, в частности объекта более
крупного, чем Плутон, а именно Эриды (Eris), диаметр которой больше диаметра
Плутона на « 10 %.
Интересно, что поток новой информации о поясе Койпера не породил
многих новых динамических исследований в сравнении с уже
обсуждавшимися в этой книге. Причина состоит в том, что динамика пояса Койпера
относительно проста. Но зато эта новая информация дала старт
численным экспериментам по массовому моделированию формирования и ранней
эволюции Солнечной системы — с целью выяснения, какие процессы, уже
не работающие сейчас, придали поясу ту сложную структуру, которой он
в итоге обладает.
До 2001 года попытки моделирования примордиального
формирования пояса Койпера основывались на простой концепции радиальной
миграции Нептуна, вызываемой его взаимодействием с примордиальным пла-
нетезимальным диском (Фернандес и Ип, 1984; Мальхотра, 1993, 1995).
В прошедшем десятилетии был развит намного более сложный сценарий.
Стало ясно, что для объяснения всех особенностей пояса Койпера и
Солнечной системы в целом необходимо учитывать глобальную динамическую
неустойчивость системы планет-гигантов, описываемую, например, в так
называемой «Nice-модели» (Тсиганис и др., 2005; Гомес и др., 2005;
Морбиделли и др., 2007; Левисон и др., 2011). Концепция неустойчивости планет-
гигантов также проявила себя как наилучшее объяснение для больших
эксцентриситетов орбит внесолнечных планет-гигантов (см., например, Джу-
рич и Тремейн, 2008; Чаттерджи и др., 2008). Это дает единое представ-

376
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
ление об эволюции нашей Солнечной системы и эволюции внесолнечных
систем (см. обсуждение в работе Морбиделли, 2013).
Здесь, однако, мы покидаем почву «традиционной» небесной
механики, если под ней подразумевать исследования динамики в математически
строгих задачах, подобных всем рассмотренным в этой книге. Когда мы
исследуем происхождение планетной системы, главная трудность состоит
не в том, чтобы изучить ее динамику: это можно сделать путем
применения «грубой вычислительной силы». Реальный вызов состоит в том, чтобы
понять, какой система была изначально и каковы главные ингредиенты,
которые следует включать в упрощенную модель. Тогда эволюцию
системы можно рассчитывать численно (аналитические модели здесь редко
применимы), чтобы проверить, эволюционирует ли постулируемая начальная
система естественным образом к финальной, имеющей желаемые
характеристики, например воспроизводящие наблюдаемую структуру Солнечной
системы. Обычно исследуемые системы имеют очень много степеней
свободы: например, включаются все планеты (или даже еще более
многочисленный набор протопланет) и большая популяция массивных планетезима-
лей; иногда учитывается влияние газовой составляющей протопланетного
диска, при этом используются уравнения гидродинамики. Научный язык
смещается здесь от языка гамильтоновой динамики к языку статистической
механики. Мы вправе сказать, что это уже более не небесная механика, а
динамическая планетная наука (где объект более важен, чем сама динамика):
актуальная тема для совершенно новой книги.
Литература
Агол и др. (2005) Agol, Ε., Steffen, J., Sari, R., and Clarkson, W. (2005) On detecting
terrestrial planets with timing of giant planet transits. Month. Not. Roy. Astron. Soc,
359, 567.
Анрар (J993) Henrard, J. (1993) The adiabatic invariant in classical mechanics. In:
Dynamics Reported. Jones, C.K.R.T., et al. (Eds.) Springer: Berlin. R 117.
Барнес (2008) Barnes, R. (2008) Dynamics of multiple planet systems. In: Exoplanets:
Detection, Formation, Properties, Habitability. Mason, J.W. (Ed.). Springer: Berlin.
P. 177.
Барнес и Гринберг (2006) Barnes, R., and Greenberg, R. (2006) Extrasolar planetary
systems near a secular separatrix. Astrophys. J., 638, 478.
Барнес и др. (2011) Barnes, R., Greenberg, R., Quinn, T.R., McArthur, B.E., and
Benedict, G.F. (2011) Origin and dynamics of the mutually inclined orbits of Upsilon
Andromedae с and d. Astrophys. J., 726, 71.

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 377
Батыгип и Морбиделли (20]За) Batygin, К., and Morbidelli, A. (2013a) Analytical
treatment of planetary resonances. ArXiv: 1305.6513.
Батыгин и Морбиделли (20136) Batygin, К., and Morbidelli, A. (2013b) Dissipative
divergence of resonant orbits. Astron. J., 145, 1.
Батыгин и др. (2009) Batygin, К., Laughlin, G., Meschiari, S., Rivera, E., Vogt, S., and
Butler, P. (2009) A quasi-stationary solution to Gliese 436b's eccentricity. Astrophys.
J., 699, 23.
Боже и др. (2005) Beauge, С, Callegari, Ν., Ferraz-Mello, S., and Michtchenko, T.A.
(2005) Resonances and stability of extra-solar planetary systems. In: Dynamics of
Populations of Planetary Systems, Proceedings of IAU Colloquium 197. Knezevic,
Z., and Milani, A. (Eds.). Cambridge Univ. Press: Cambridge. P. 3.
Боттке и др. (2001) Bottke, W.F., Vokrouhlicky, D., Broz, M., Nesvorny, D., and
Morbidelli, A. (2001) Dynamical spreading of asteroid families by the Yarkovsky
effect. Science, 294, Issue 5547, p. 1693.
Боттке и др. (2007) Bottke, W.F., Vokrouhlicky, D., and Nesvorny, D. (2007) An
asteroid breakup 160 Myr ago as the probable source of the K/T impactor. Nature,
449, Issue 7158, p. 48.
Брассер (2002) Brasser, R. (2002) Hill stability of a triple system with an inner binary
of large mass ratio. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 332, 723.
Буэ и др. (2009) Boue, G., Laskar, J., and Kuchynka, P. (2009) Speed limit on Neptune
migration imposed by Saturn tilting. Astrophys. J. Letters, 702, LI9.
ван Ларховен и Гринберг (2012) Van Laerhoven, C, and Greenberg, R. (2012)
Characterizing multi-planet systems with classical secular theory. Celest. Mech. Dyn.
Astron., 113, 215.
Ванг и др. (2012) Wang, S., Ji, J., and Zhou, J.-L. (2012) Predicting the configuration
of a planetary system: KOI-152 observed by Kepler. Astrophys. J., 753, 170.
Bepac и Армитидж (2004) Veras, D., and Armitage, P.J. (2004) The dynamics of two
massive planets on inclined orbits. Icarus, 172, 349.
Вокроуглицкий и др. (2006a) Vokrouhlicky, D., Broz, M., Bottke, W.F., Nesvorny, D.,
and Morbidelli, A. (2006a) The peculiar case of the Agnia asteroid family. Icarus,
183,349.
Вокроуглицкий и др. (20066) Vokrouhlicky, D., Broz, M., Bottke, W.F., Nesvorny, D.,
and Morbidelli, A. (2006b) Yarkovsky/YORP chronology of asteroid families.
Icarus, 182, 118.
Вокроуглицкий и др. (2003) Vokrouhlicky, D., Nesvorny, D., and Bottke, W.F. (2003)
The vector alignments of asteroid spins by thermal torques. Nature, 425, Issue 6954,
147.
By и Литвик (2011) Wu, Y, and Lithwick, Υ (2011) Secular chaos and the production
of hot Jupiters. Astrophys. J., 735, 109.
By и Мюррей (2003) Wu, Υ, and Murray, N. (2003) Planet migration and binary
companions: The case of HD 80606b. Astrophys. J., 589, 605.

378
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Галлардо (2006) Gallardo, Т., 2006. Atlas of the mean motion resonances in the Solar
System. Icarus, 184, 29.
Гамильтон и Уард (2004) Hamilton, D.P., and Ward, W.R. (2004) Tilting Saturn. II.
Numerical model. Astron. J., 128, 2510.
Глэдман (1993) Gladman, B. (1993) Dynamics of systems of two close planets. Icarus,
106, 247.
Глэдман и др. (2012) Gladman, В., Lawler, S.M., Petit, J.-Μ., et al. (2012) The resonant
trans-Neptunian populations. Astron. J., 144, 23.
Глэдман и др. (2008) Gladman, В., Marsden, B.G., and Van Laerhoven, С (2008)
Nomenclature in the outer Solar System. In: The Solar System Beyond Neptune.
Barucci, M.A., Boehnhardt, H., Cruikshank, D.P., and Morbidelli, A. (Eds.). Univ.
of Arizona Press: Tucson. P. 3.
Голдрайх и Раппапорт (2003) Goldreich, P., and Rappaport, N. (2003) Chaotic motions
of Prometheus and Pandora. Icarus, 162, 391.
Гомес и др. (2005) Gomes, R., Levison, H.F., Tsiganis, K., and Morbidelli, A. (2005)
Origin of the cataclysmic Late Heavy Bombardment period of the terrestrial planets.
Nature, 435, Issue 7041, 466.
Гоздзиевский (2003) Gozdziewski, K. (2003) Stability of the HD 12661 planetary
system. Astron. Astrophys., 398, 1151.
Гоздзиевский и др. (2013) Gozdziewski, К., Slonina, Μ., Migaszewski, С, and
Rozenkiewicz, A. (2013) Testing a hypothesis of the ν Octantis planetary system.
Month. Not. Roy. Astron. Soc, 430, 533.
Гринберг и ван Ларховен (2012) Greenberg, R., and Van Laerhoven, С (2012) Aligned
major axes in a planetary system without tidal evolution: the 61 Virginis example.
Month. Not. Roy. Astron. Soc, 419, 429.
Гуццо (2006) Guzzo, M. (2006) The web of three-planet resonances in the outer Solar
System. II. A source of orbital instability for Uranus and Neptune. Icarus, 181, 475.
Дек и др. (2012) Deck, K.M., Holman, M.J., Agol, E., et al. (2012) Rapid dynamical
chaos in an exoplanetary system. Astrophys. J., 755, L21.
Делиль и dp. (2012) Delisle, J.-B., Laskar, J., Correia, A.C.M., and Boue, G. (2012)
Dissipation in planar resonant planetary systems. Astron. Astrophys., 546, A71.
Джурич и Тремейн (2008) Juric, Μ., and Tremaine, S. (2008) Dynamical origin of
extrasolar planet eccentricity distribution. Astrophys. J., 686, 603.
Доброволскис (1995) Dobrovolskis, A. (1995) Chaotic rotation of Nereid? Icarus, 118,
181.
Доннисон (2006) Donnison, J.R. (2006) The Hill stability of a binary or planetary system
during encounters with a third inclined body. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 369,
1267.
Доил и dp. (2011) Doyle, L.R., Carter, J.Α., Fabrycky, D.C., et al. (2011) Kepler-16:
A Transiting Circumbinary Planet. Science, 333, 1602.

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 379
Дункан и dp. (1989) Duncan, Μ., Quinn, Т., and Tremaine, S. (1989) The long-term
evolution of orbits in the solar system — a mapping approach. Icarus, 82, 402.
Дюкеннуа и Мейор (1991) Duquennoy, Α., and Mayor, Μ. (1991) Multiplicity among
solar-type stars in the solar neighbourhood. II — Distribution of the orbital elements
in an unbiased sample. Astron. Astrophys., 248, 485.
Емелъяненко (1992) Emelyanenko, V.V. (1992) Dynamics of periodic comets and meteor
streams. Celest. Mech. Dyn. Astron. 54, 91.
Емелъяненко и Бейли (1998) Emelyanenko, V.V., and Bailey, M.E. (1998) Capture of
Halley-type comets from the near-parabolic flux. Month. Not. Roy. Astron. Soc,
298, 212.
Жоу и Сан (2001) Zhou, J.L., and Sun, Y.S. (2001) Levy flights in comet motion and
related chaotic systems. Phys. Lett. A, 287, 217.
Жоу и dp. (2000) Zhou, J.L., Sun, Y.S., Zheng, J.Q., and Valtonen, M.J. (2000) The
transfer of comets from near-parabolic to short-period orbits: map approach. Astron.
Astrophys., 364, 887.
Жоу и dp. (2002) Zhou, J., Sun, Y., and Zhou, L. (2002) Evidence for Levy random
walks in the evolution of comets from the Oort cloud. Celest. Mech. Dyn. Astron.,
84, 409.
Иннанен (1997) Innanen, K.A. (1997) The Kozai mechanism and the stability of
planetary orbits in binary star systems. Astron. J., 113, 1915.
Каллегари и dp. (2006) Callegari, N. Jr., Ferraz-Mello, S., and Michtchenko, T.A. (2006)
Dynamics of two planets in the 3/2 mean-motion resonance: Application to the
planetary system of the pulsar PSR B1257+12. Celest. Mech. Dyn. Astron., 94, 381.
Каллегари и dp. (2004) Callegari, N. Jr., Michtchenko, T.A., and Ferraz-Mello, S. (2004)
Dynamics of two planets in the 2/1 mean-motion resonance. Celest. Mech. Dyn.
Astron., 89, 201.
Качучо и dp. (2010) Cachucho, R, Cincotta, P.M., and Ferraz-Mello, S. (2010) Chirikov
diffusion in the asteroidal three-body resonance (5, -2, -2). Celest. Mech. Dyn.
Astron. 108, 35.
Квиллен (2011) Quillen, A.C. (2011) Three-body resonance overlap in closely spaced
multiple-planet systems. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 418, 1043.
Коломбо (1966) Colombo, G. (1966) Cassini's second and third laws. Astron. J., 71,
891.
Коррейа и dp. (2009) Correia, A.C.M., Udry, S., Mayor, M., et al. (2009) The HARPS
search for southern extra-solar planets. XVI. HD 45364, a pair of planets in a 3:2
mean motion resonance. Astron. Astrophys. 496, 521.
Коррейа и dp. (2013) Correia, A.C.M., Boue, G., Laskar, J., and Morais, M.H.M. (2013)
Tidal damping of the mutual inclination in hierarchical systems. Astron. Astrophys.,
553, A39.
Ласкар (1990) Laskar, J. (1990) The chaotic motion of the solar system. — A numerical
estimate of the size of the chaotic zones. Icarus, 88, 266.

380
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Ласкар {1994) Laskar, J. (1994) Large-scale chaos in the solar system. Astron.
Astrophys., 287, L9.
Ласкар и Коррейа (2009) Laskar, J., and Correia, A.C.M. (2009) HD 60532, a planetary
system in a 3:1 mean motion resonance. Astron. Astrophys., 496, L5.
Ли и Пил (2003) Lee, M.H., and Peale, S. (2003) Secular evolution of hierarchical
planetary systems. Astrophys. J., 592, 1201.
Ли и др. (2006) Lee, M.H., Butler, R.P., Fischer, D.A., Marcy, G.W., and Vogt, S.S.
(2006) On the 2:1 orbital resonance in the HD 82943 planetary system. Astrophys.
J., 641, 1178.
Лега и др. (2007) Lega, Ε., Froeschle, С, and Guzzo, Μ. (2007) Diffusion in
Hamiltonian quasi-integrable system. In: Topics in Gravitational Dynamics Solar,
Extra-Solar and Galactic Systems. Lecture Notes in Physics, v. 729. Benest, D.,
Froeschle, C, and Lega, E. (Eds.). Springer: Berlin. P. 29.
Левисон и др. (2011) Levison, H.F., Morbidelli, Α., Tsiganis, К., Nesvorny, D., and
Gomes, R. (2011) Late orbital instabilities in the outer planets induced by interaction
with a self-gravitating planetesimal disk. Astron. J., 142, 152.
Ливер и Арнар (2007) Libert, A.-S., and Henrard, J. (2007) Exoplanetary systems: The
role of an equilibrium at high mutual inclination in shaping the global behavior of
the 3-D secular planetary three-body problem. Icarus, 191, 469.
Ливер и Тсиганис (2009) Libert, A.-S., and Tsiganis, K. (2009) Kozai resonance in
extrasolar systems. Astron. Astrophys., 493, 677.
Ливер и Тсиганис (2011) Libert, A.-S., and Tsiganis, K. (2011) Formation of 3D
multi-planet systems by dynamical disruption of multiple-resonance configurations.
Month. Not. Roy. Astron. Soc, 412, 2353.
Лиссауэр и др. (2011) Lissauer, J.J., Ragozzine, D., Fabrycky, D.C., Steffen, J.H.,
Ford, E.B., Jenkins, J.M., Shporer, Α., Holman, M.J., Rowe, J.F., Quintana, E.V.,
Batalha, N.M., Borucki, W.J., Bryson, ST., Caldwell, D.A., Carter, J.A., Ciardi, D.,
Dunham, E.W., Fortney, J.J., Gautier, T.N. Ill, Howell, S.B., Koch, D.G.,
Latham, D.W., Marcy, G.W., Morehead, R.C., and Sasselov, D. (2011) Architecture
and dynamics of Kepler's candidate multiple transiting planet systems. Astrophys.
J. Suppl., 197, 8.
Литвик и By (2011) Lithwick, Y., and Wu, Y. (2011) Theory of secular chaos and
Mercury's orbit. Astrophys. J., 739, 31.
Литвик и By (2012) Lithwick, Y, and Wu, Υ (2012) Resonant repulsion of Kepler
planet pairs. Astrophys. J. Letters, 756, Lll.
Литвик и Наоз (2011) Lithwick, Υ, and Naoz, S. (2011) The eccentric Kozai mechanism
for a test particle. Astrophys. J., 742, 94.
Лиу и Сан (1994) Liu, J., and Sun, YS. (1994) Chaotic motions of comets in near-
parabolic orbits: mapping approaches. Celest. Mech. Dyn. Astron., 60, 3.
Ловис и др. (2011) Lovis, С, Segransan, D., Mayor, M., Udry, S., Benz, W.,
Bertaux, J.-L., Bouchy, F., Correia, A.C.M., Laskar, J., Lo Curto, G., Mordasini, C,

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 381
Рере, R, Queloz, D., and Santos, N.C. (2011) The HARPS search for southern
extra-solar planets. XXVIII. Up to seven planets orbiting HD 10180: probing the
architecture of low-mass planetary systems. Astron. Astrophys., 528, 112.
Мадрик и By (2006) Mudryk, L.R., and Wu, Y. (2006) Resonance overlap is responsible
for ejecting planets in binary systems. Astrophys. J., 639, 423.
Малышкин и Тремейн (1999) Malyshkin, L., and Tremaine, S. (1999) The Keplerian
map for the restricted three-body problem as a model of comet evolution. Icarus,
142,341.
Мальхотра (1990) Malhotra, R. (1990) Capture probabilities for secondary resonances.
Icarus, 87, 249.
Мальхотра (1993) Malhotra, R. (1993) The origin of Pluto's peculiar orbit. Nature, 365,
Issue 6449, 819.
Мальхотра (1995) Malhotra, R. (1995) The origin of Pluto's orbit: Implications for the
Solar System beyond Neptune. Astron. J., 110, 420.
Мальхотра (1998) Malhotra, R. (1998) Orbital resonances and chaos in the Solar
system. In: Solar System Formation and Evolution, ASP Conf. Ser. 149. Lazzaro, D.,
Vieira Martins, R., Ferraz-Mello, S., Fernandez, J., and Beauge, C. (Eds.). Astron.
Soc. of the Pacific: San Francisco. P. 57.
Мардлинг (2007) Mardling, R.A. (2007) Long-term tidal evolution of short-period
planets with companions. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 382, 1768.
Марты и др. (2013) Marti, J.G., Giuppone, C.A., and Beauge, C. (2013) Dynamical
analysis of the Gliese-876 Laplace resonance. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 433, 928.
Мартынова и др. (2005) Мартынова, А.И., Орлов, В.В., и Соколов, Л.Л. (2005)
Анализ окрестности резонанса 2:1 в задаче трех тел равных масс. Письма Астрон.
журн. 31 (3), 234.
Марцари и др. (2006) Marzari, F., Scholl, H., and Tricarico, P. (2006) A numerical study
of the 2:1 planetary resonance. Astron. Astrophys., 453, 341.
Маршаль (1990) Marchal, С (1990) The Three-Body Problem. Elsevier: Amsterdam.
Матье и др. (2000) Mathieu, R.D., Ghez, A.M., Jensen, E.L., and Simon, M. (2000)
Young binary stars and associated disks. In: Protostars and Planets IV. Mannings, V.,
Boss, A.P., and Russell, S.S. (Eds.). Univ. Arizona Press: Tucson. P. 703.
Мельников и Шевченко (2010) Melnikov, A.V., and Shevchenko, I.I. (2010) The rotation
states predominant among the planetary satellites. Icarus, 209. 786.
Мескиари (2012) Meschiari, S. (2012) Circumbinary planet formation in the Kepler-16
system. I. N-body simulations. Astrophys. J., 752, 71.
Мищенко и др. (2008a) Michtchenko, T.A., Beauge, C, and Ferraz-Mello, S. (2008a)
Dynamic portrait of the planetary 2/1 mean-motion resonance — I. Systems with
a more massive outer planet. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 387, 747.
Мищенко и др. (20086) Michtchenko, T.A., Beauge, С, and Ferraz-Mello, S. (2008b)
Dynamic portrait of the planetary 2/1 mean-motion resonance — II. Systems with
a more massive inner planet. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 391, 215.

382
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Мищенко и Мальхотра (2004) Michtchenko, Т.А., and Malhotra, R. (2004) Secular
dynamics of the three-body problem: application to the upsilon Andromedae
planetary system. Icarus, 168, 237.
Морбиделли (2013) Morbidelli, A. (2013) Dynamical evolution of planetary systems. In:
Planets, Stars and Stellar Systems. Oswalt, T.D., French, L.M., and Kalas, P. (Eds.).
Springer: Dordrecht. P. 63.
Морбиделли и Браун (2004) Morbidelli, Α., and Brown, M.E. (2004) The Kuiper belt
and the primordial evolution of the Solar System. In: Comets II. Festou, M.C., Keller,
H.U., and Weaver, H.A. (Eds.). Univ. Arizona Press: Tucson. P. 175.
Морбиделли и др. (2007) Morbidelli, Α., Tsiganis, К., Crida, Α., Levison, H.F., and
Gomes, R. (2007) Dynamics of the giant planets of the Solar System in the gaseous
protoplanetary disk and their relationship to the current orbital architecture. Astron.
J., 134, 1790.
Наоз и др. (2011) Naoz, S., Fair, W., Lithwick, Y., Rasio, F., and Teyssandier, J. (2011)
Hot Jupiters from secular planet-planet interactions. Nature, 473, Issue 7346, 187.
Нейштадт (1975) Нейштадт А.И. (1975) Прохождение через сепаратрису в
резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром. Прикл. мат. и мех., 39
(4), 621.
Несворный (2009) Nesvorny, D. (2009) Transit timing variations for eccentric and
inclined exoplanets. Astrophys. J., 701, 1116.
Несворный и Боже (2010) Nesvorny, D., and Beauge, С (2010) Fast inversion method
for determination of planetary parameters from transit timing variations. Astrophys.
J. Letters, 709, L44.
Несворный и др. (2002) Nesvorny, D., Bottke, W.F. Jr., Dones, L., and Levison, H.F.
(2002) The recent breakup of an asteroid in the main-belt region. Nature, 417, Issue
6890, 720.
Несворный и др. (2012) Nesvorny, D., Kipping, D.M., Buchhave, L.A., Bakos, G.A.,
Hartman, J., and Schmitt, A.R. (2012) The detection and characterization of a
nontransiting planet by transit timing variations. Science, 336, Issue 6085, 1133.
Пардекопер и др. (2012) Paardekooper, S.-J., Leinhardt, Z.M., Thebault, Т., and
Baruteau, C. (2012) How not to build Tatooine: The difficulty of in situ formation of
circumbinary planets Kepler 16b, Kepler 34b, and Kepler 35b. Astrophys. J. Letters,
754, L16.
Папалойцу и Теркем (2010) Papaloizou, J.C.B., and Terquem, C. (2010) On the
dynamics of multiple systems of hot super-Earths and Neptunes: tidal circularization,
resonance and the HD 40307 system. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 405, 573.
Пил (1976) Peale, S.J. (1976) Orbital resonances in the Solar system. Ann. Rev. Astron.
Astrophys., 14, 215.
Пил (1986) Peale, S.J. (1986) Orbital resonances, unusual configurations and exotic
rotation states among planetary satellites. In: Satellites. Burns, J.A., and Matthews,
M.S. (Eds.). Univ. of Arizona Press: Tucson. P. 159.

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 383
Пил {1999) Peale, S.J. (1999) Origin and evolution of the natural satellites. Ann. Rev.
Astron. Astrophys., 37, 533.
Петроски (1986) Petrosky, T.Y. (1986) Chaos and cometary clouds in the solar system.
Phys. Lett. A, 117,328.
Пилат-Лохингер и Дворак (2002) Pilat-Lohinger, Ε., and Dvorak, R. (2002) Stability
of S-type orbits in binaries. Celest. Mech. Dyn. Astron., 82, 143.
Пилат-Лохингер и dp. (2003) Pilat-Lohinger, E., Funk, В., and Dvorak, R. (2003)
Stability limits in double stars — a study of inclined planetary orbits. Astron.
Astrophys., 400, 1085.
Пифтанкин и Трещев (2007) Пифтанкин, Г.Н., и Трещев, Д.В. (2007) Сепаратрисное
отображение в гамильтоновых системах. УМН, 62 (2), 3.
Попова и Шевченко (2013) Popova, E.A., and Shevchenko, I.I. (2013) Kepler-16b: safe
in a resonance cell. Astrophys. J., 769, 152.
Райт и dp. (2011) Wright, J.T., Veras, D., Ford, E.B., et al. (2011) The California planet
survey. III. A possible 2:1 resonance in the exoplanetary triple system HD 37124.
Astrophys. J., 730, 93.
Робутель и Габерн (2006) Robutel, P., and Gabern, F. (2006) The resonant structure of
Jupiter's Trojan asteroids — I. Long-term stability and diffusion. Month. Not. Roy.
Astron. Soc, 372, 1463.
Рубинкам (1995) Rubincam, D.P. (1995) Asteroid orbit evolution due to thermal drag.
J. Geophys. Res., 100, 1585.
Сливан (2002) Slivan, S.M. (2002) Spin vector alignment of Koronis family asteroids.
Nature, 419, Issue 6902, 49.
Смирнов и Шевченко (2013) Smirnov, Ε.Α., and Shevchenko, I.I. (2013) Massive
identification of asteroids in three-body resonances. Icarus, 222, 220.
Такеда и Расио (2005) Takeda, G., and Rasio, F.A. (2005) High orbital eccentricities of
extrasolar planets induced by the Kozai mechanism. Astrophys. J. 627, 1001.
Тераи и Ито (2013) Terai, Т., and Itoh, Y. (2013) High-precision measurements of the
brightness variation of Nereid. Publ. Astron. Soc. Japan, 65, no. 2, article no. 46.
Тсиганис и др. (2005) Tsiganis, К., Gomes, R., Morbidelli, Α., and Levison, H.F. (2005)
Origin of the orbital architecture of the giant planets of the Solar System. Nature,
435, Issue 7041, 459.
Уард и Гамильтон (2004) Ward, W.R., and Hamilton, D.P. (2004) Tilting Saturn. I.
Analytic model. Astron. J., 128, 2501.
Уиздом и др. (1984) Wisdom, J., Peale, S.J., and Mignard, F. (1984) The chaotic rotation
of Hyperion. Icarus, 58, 137.
Фабрицки и др. (2012) Fabrycky, D.C., Lissauer, J.J., Ragozzine, D., et al. (2012)
Architecture of Kepler's multi-transiting systems: II. New investigations with twice
as many candidates. ArXiv: 1202.6328.
Фаринелла и др. (1998) Farinella, P., Vokrouhlicky, D., and Hartmann, WK. (1998)
Meteorite delivery via Yarkovsky orbital drift. Icarus, 132, 378.

384
А. Морбиделли, И. И. Шевченко
Фернандес и Ип (1984) Fernandez, J.Α., and Ip, W.-H. (1984) Some dynamical aspects
of the accretion of Uranus and Neptune: The exchange of orbital angular momentum
with planetesimals. Icarus, 58, 109.
Ферраз-Мелло u dp. (2005) Ferraz-Mello, S., Michtchenko, Т., Beauge, C, and
Callegari, N. Jr. (2005) Extrasolar planetary systems. In: Chaos and Stability in
Planetary Systems. Dvorak, R., Freistetter, F., and Kurths, J. (Eds.). Lect. Notes
Phys., 683. Springer: Heidelberg. P. 219.
Форд u dp. (2000) Ford, E.B., Kozinsky, В., and Rasio, F.A. (2000) Secular evolution
of hierarchical triple star systems. Astrophys. J., 535, 385.
Фрешле u dp. (2006) Froeschle, C, Lega, E., and Guzzo, M. (2006) Analysis of the
chaotic behaviour of orbits diffusing along the Arnold web. Celest. Mech. Dyn.
Astron., 95, 141.
Хагигипоур и др. (2010) Haghighipour, Ν., Dvorak, R., and Pilat-Lohinger, E. (2010)
Planetary dynamics and habitable planet formation in binary star systems. In: Planets
in Binary Star Systems. Haghighipour, N. (Ed.). Springer: Dordrecht. P. 285.
Харбисон и др. (2011) Harbison, R.A., Thomas, P.C., and Nicholson, PC. (2011)
Rotational modeling of Hyperion, Celest. Mech. Dyn. Astron., 110, 1.
Хессельброк и др. (2013) Hesselbrock, A.J., Alexander, S.G., Harp, T.W., and Abel, N.P.
(2013) An investigation of the relationship between shape and rotation to explain
the light curve of Nereid. Astron. J., 145, 144.
Холъман и Мюррей (2005) Holman, M.J., and Murray, N.W. (2005) The use of transit
timing to detect terrestrial-mass extrasolar planets. Science, 307, Issue 5713, 1288.
Холъман и Вигерт (1999) Holman, M.J., and Wiegert, P.A. (1999) Long-term stability
of planets in binary systems. Astron. J., 117, 621.
Холшееникое и Кузнецов (2011) Kholshevnikov, K.V., and Kuznetsov, E.D. (2011)
Stability of planetary systems with respect to masses. Celest. Mech. Dyn. Astron.,
109,201.
Хэйес (2008) Hayes, W.B. (2008) Surfing on the edge: chaos versus near-integrability in
the system of Jovian planets. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 386, 295.
Чаттерджи и др. (2008) Chatterjee, S., Ford, E.B., Matsumura, S., and Rasio, F.A.
(2008) Dynamical outcomes of planet-planet scattering. Astrophys. J., 686, 580.
Чириков (1979) Chirikov, B.V. (1979) Universal instability of many-dimensional
oscillator systems. Phys. Rep., 52, 263.
Чириков и Вечеславов (1986) Chirikov, B.V., and Vecheslavov, V.V. (1986) Chaotic
dynamics of comet Halley. INP Preprint 86-184. Institute of Nuclear Physics,
Novosibirsk.3
Чириков и Вечеславов (1989) Chirikov, B.V., and Vecheslavov, V.V. (1989) Chaotic
dynamics of comet Halley. Astron. Astrophys. 221, 146.
3http://www.quantware.ups-tlse.fr/chirikov/publbinp.html

DOUZE ANS APRES. ЗАМЕТКИ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 385
Чижотта и др. (2003) Cincotta, P.M., Giordano, СМ., and Simo, С. (2003) Phase
space structure of multi-dimensional systems by means of the mean exponential
growth factor of nearby orbits. Physica D, 182, 151.
Шевченко (2008) Shevchenko, I.I. (2008) Adiabatic chaos in the Prometheus-Pandora
system. Month. Not. Roy. Astron. Soc, 384, 1211; 407, 704.
Шевченко (2010) Shevchenko, I.I. (2010) Hamiltonian intermittency and Levy flights in
the three-body problem. Phys. Rev. E, 81, 066216.
Шевченко (2011) Shevchenko, I.I. (2011) Lyapunov and diffusion timescales in the solar
neighborhood. Astrophys. J., 733, 39.
Шидлиховский (1990) Sidlichovsky, M. (1990) The existence of a chaotic region due to
the overlap of secular resonances nu5 and nu6. Celest. Mech. Dyn. Astron., 49, 177.

Литература
Агнор, Канун, Левисон (1999) Agnor C.B., Canup R.M., and Levison H.F.
(1999) On the character and consequences of large impacts in the late stage
of terrestrial planet formation. Icarus, 142, 219.
Анрар (1970) Henrard J. (1970) On a perturbation theory using Lie transforms.
Celest. Mech., 3, 107.
Анрар (1990) Henrard J. (1990) A semi-numerical perturbation method for
separable Hamiltonian systems. Celest. Mech., 49, 43.
Анрар, Анрар (1991) Henrard J., and Henrard M. (1991) Slow crossing of a
stochastic layer. Physica D, 54, 135.
Анрар, Ватанабе, Мунс (1995) Henrard J., Watanabe N., and Moons M. (1995)
A bridge between secondary and secular resonances inside the Hecuba gap.
Icarus, 115, 336.
Анрар, Караниколас (1990) Henrard J., and Caranicolas N.D. (1990) Motion
near the 3/1 resonance of the planar elliptic restricted three body problem.
Celest. Mech., 47, 99.
Анрар, Леметр (1983) Henrard J., and Lemaitre A. (1983) A second
fundamental model for resonance. Celest. Mech., 30, 197.
Анрар, Леметр (1987) Henrard J., and Lemaitre A. (1987) A perturbative
treatment of the 2/1 Jovian resonance. Icarus, 69, 266.
Арнольд (1963а) Арнольд В.И. (1963а) Об одной теореме Лиувилля,
касающейся интегрируемых проблем динамики. Сиб. мат. журнал, 4, № 2,
471.
Арнольд (19636) Арнольд В.И. (19636) Доказательство теоремы А. Н.
Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом
изменении функции Гамильтона. УМН, 18, вып. 5 (ИЗ), 13.
Арнольд (1963в) Арнольд В.И. (1963в) Малые знаменатели и проблема
устойчивости движения в классической и небесной механике. УМН,
18, вып. 6 (114), 91.

388
Литература
Арнольд, Авец (1968) Arnold V.I., and Avez A. (1968) Ergodic Problems
of Classical Mechanics. Benjamin, New York. [Имеется перевод:
Арнольд В. К, Авец А. Эргодические проблемы классической механики. —
Ижевск: РХД, 1999.]
Арнольд, Козлов, Нейштадт (2002) Арнольд В.И., Козлов В.В., Ней-
штадт А.И. Математические аспекты классической и небесной
механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002.
Бейли, Чамберс, Хан (1992) Bailey M.E., Chambers J.E., and Hahn G. (1992)
Origin of Sun-grazers: a frequent cometary end-state. Astron. Astrophys.,
257,315.
Бенджоя, Слезак, Фрейме (1991) Bendjoya Ph., Slezak E., and Froeschle C.
(1991) The wavelet transform: a new tool for asteroid family determination.
Astron. Astrophys., 251, 312.
Бенеттин, Галгани, Джиорджилли (1985) Benettin G., Galgani L., and
Giorgilli A. (1985) A proof of Nekhoroshev's theorem for the stability
times in nearly integrable Hamiltonian systems. Celest. Mech., 37, 1.
Бенеттин, Галгани, Стрельцин (1976) Benettin G., Galgani L., and Strel-
cyn J.M. (1976) Kolmogorov entropy and numerical experiments. Phys.
Rev. A, 14, 2338.
Бенеттин, Галгани, Джиорджилли, Стрельцин (1980) Benettin G.,
Galgani L., Giorgilli Α., and Strelcyn J.M. (1980) Lyapunov characteristic
exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems;
a method for computing all of them. Part 1: Theory: Meccanica, March,
9-20; Part 2: Numerical application: Meccanica, March, 21-30.
Боже (1994) Beauge С (1994) Asymmetric librations in exterior resonances.
Celest. Mech., 60, 225.
Борн (1927) Born M. (1927) The Mechanics of the Atom. Bell, London.
[Имеется перевод: Борн М. Лекции по атомной механике. — Харьков - Киев:
ГНТИ Украины, 1934.]
Боттке, Рубинкам, Берне (2000а) Bottke W.F., Rubincam D.P., and Burns J. Α.
(2000a) Dynamical evolution of main belt meteoroids: numerical
simulations incorporating planetary perturbations and Yarkovsky thermal forces.
Icarus, 145, 301.
Боттке, Едикке, Морбиделли, Пти, Глэдман (20006) Bottke W.F., Jedic-
ke R., Morbidelli Α., Petit J.M., and Gladman B. (2000b) Understanding
the distribution of Near Earth Asteroids. Science, 288, 2190.

Литература
389
Брауэр, Клеменс (1961) Brouwer D., and Clemence G.M. (1961) Methods of
Celestial Mechanics. Academic Press, New York. [Имеется перевод:
Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. — М.: Мир, 1964.]
Бретаньон (1974) Bretagnon P. (1974) Termes a longues periodes dans le
systeme solaire. Astron. Astrophys., 30, 141.
Бретаньон (1982) Bretagnon P. (1982) Theory for the motion of all the planets:
the VSOP82 solution. Astron. Astrophys., 114, 278.
Бретаньон (1984) Bretagnon P. (1984) Improvement of analytic planetary
theories. Celest. Mech., 34, 193.
Бретаньон (1990) Bretagnon P. (1990) An iterative method for the construction
of a general planetary theory. Astron. Astrophys., 231, 561.
Брувилер, Кэри (1989) Bruhwiler D.L., and Cary J.R. (1989) Diffusion of
particles in a slowly modulated wave. Physica D, 40, 265.
Гантмахер (2001) Гантмахер Ф.Р. (2001) Лекции по аналитической
механике. М: Физматлит.
Глэдман, Квинн, Николсон, Рэнд (1996) Gladman В., Quinn D., Nicholson Ph.,
and Rand R. (1996) Synchronous locking of tidally evolving satellites.
Icarus, 122, 166.
Глэдман, Мильорини, Морбиделли, Заппала, Мишель, Челлино, Фрешле, Ле-
висон, Бейли, Дункан (1997) Gladman В., Migliorini R, Morbidelli Α.,
Zappalla V., Michel P., Cellino Α., Froeschle Ch., Levison H.F., Bailey M.,
and Duncan M.J. (1997) Dynamical lifetimes of objects injected into
asteroid main belt resonances. Science, 277, 197.
Гребнер (1960) Grobner W. (1960) Die Liereihen und ihre Anwendungen. D.
Verl. d. Wiss., Berlin. (2nd ed. 1967.)
Грин (1979) Green J.M. (1979) A method for determining stochastic transitions.
J. Math. Phys., 20, 1183.
Гронки, Милани (1998) Gronchi G.F., and Milani A. (1998) Averaging on
Earth-crossing orbits. Celest. Mech., 71, 109.
Гронки, Милани (1999) Gronchi G.F., and Milani A. (1999) The stable Kozai
state for asteroids and comets with arbitrary semimajor axis and inclination.
Astron. Astrophys., 341, 928.
Гурзадян, Кочарян (1987) Gurzadyan V.G., and Kocharyan A.A. (1987)
Relative chaos in stellar systems. Astr. Sp. Sci., 135, 307.

390
Литература
Гурзадян, Руффини (2000) Gurzadyan V.G., and Ruffmi R., editors. (2000)
The Chaotic Universe. World Scientific, Singapore.
Гуццо, Морбиделли (1997) Guzzo Μ., and Morbidelli A. (1997) Construction
of a Nekhoroshev-like result for the asteroid belt dynamical system. Celest.
Mech., 66, 255.
Дела Барр, Каула, Варади (1996) De la Barre СМ., Kaula W.M., and Varadi F.
(1996) A study of orbits near Saturn's triangular Lagrangian points. Icarus,
121,88.
Делоне (1867) Delaunay C. (1867) Theorie du mouvement de la Lune. Mem.
Acad. Sci. 29, Paris.
Делшамс, Рамирес-Рос, Сеара (1999) Delshams Α., Ramirez-Ros R., and
Seara T.M. (1999) Splitting of separatrices in Hamiltonian systems and
symplectic maps. In Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of
Freedom. С Simo, ed. Kluwer, Dordrecht, 39.
Депри (1968) Deprit A. (1968) Canonical transformations depending on a small
parameter. Celest. Mech., 1, 12.
Дермотт, Мюррей (1983) Dermott F.S., and Murray CD. (1983) Nature of
the Kirkwood gaps in the asteroid belt. Nature, 301, 201.
Джеффрис, Стэндиш (1972) Jefferys W.H., and Standish E.M. (1972) Further
periodic solutions of the three dimensional restricted problem. Astron. J.,
77, 394.
Джиорджилли, Галгани (1985) Giorgilli Α., and Galgani L. (1985) Rigorous
estimates for the series expansions of Hamiltonian perturbation theory.
Celest. Mech., 37, 95.
Джиорджилли, Локателли (1997) Giorgilli Α., and Locatelli U. (1997)
Kolmogorov theorem and classical perturbation theory. Z. App. Math.
Phys., 48, 220.
Джиорджилли, Морбиделли (1997) Giorgilli Α., and Morbidelli A. (1997)
Invariant KAM tori and global stability for Hamiltonian systems. Z. App.
Math. Phys., 48, 102.
Джуитт, Луу, Трухильо (1998) Jewitt D., Luu J., and Trujillo С (1998) Large
Kuiper belt objects: the Mauna Kea 8K CCD survey. Astron. J., 115, 2125.
Дункан, Квинн, Тремейн (1987) Duncan M.J., Quinn Т., and Tremaine S. (1987)
The formation and extent of the solar system comet cloud. Astron. J., 94,
1330.

Литература
391
Дункан, Левисон, Бадд (1995) Duncan M.J., Levison H.F., and Budd S.M.
(1995) The long-term stability of orbits in the Kuiper belt. Astron. J., 110,
3073.
Дункан, Левисон, Ли (1998) Duncan Μ.J., Levison H.F., and Lee M.H. (1998)
A multiple time step symplectic algorithm for integrating close encounters.
Astron. J., 116,2067.
Дэнби (1962) Danby J.M.A. (1962) Fundamentals of Celestial Mechanics.
Willmann-Bell Inc., Richmond, Virginia.
Дюрье (1979) Duriez L. (1979) Approche d'une theorie generate planetaire en
variables elliptiques heliocentriques. Ph. D. thesis, Univ. de Lille, France.
Дюрье (1989) Duriez L. (1989) Le developpement de la fonction perturbatrice.
In Les Methodes Modernes de la Mecanique Celeste. D. Benest and
С Froeschle, eds. Ed. Frontieres, Gif sur Yvettes, France.
Заппала, Челлино, Фаринелла, Кнежевич (1990) Zappalla V., Cellino Α.,
Farinella P., and Knezevic Z. (1990) Asteroid families. I. Identification
by hierarchical clustering and reliability assessment. Astron. J., 100, 2030.
Заппала, Бенджоя, Челлино, Фаринелла, Фрешле (1995) Zappalla V., Bendjo-
уа Ph., Cellino Α., Farinella P., and Froeschle C. (1995) Asteroid
families: Search of a 12,487-asteroid sample using two different clustering
techniques. Icarus, 116, 291.
Зиглин (1979) Зиглин С.Л. Неинтегрируемость задачи о движении четырех
точечных вихрей. ДАН СССР, 250, № 6, 1296.
Зоммерфелъд (1922) Sommerfeld А. (1922) Atombau und Spektrallinien.
Vieweg, Braunschweig, Germany. [Имеется перевод: Зоммерфелъд Λ.
Строение атома и спектры. — М.: ГИТТЛ, 1956. (В 2-х томах.)]
Зюссман, Уиздом (1988) Sussman G.J., and Wisdom J. (1988) Numerical
evidence that the motion of Pluto is chaotic. Science, 241, 433.
Зюссман, Уиздом (1992) Sussman G.J., and Wisdom J. (1992) Chaotic
evolution of the solar system. Science, 257, 56.
Ида, Кануп, Стюарт (1997) Ida S., Canup R.M., and Stewart G.R. (1997)
Lunar accretion from an impact-generated disk. Nature, 389, 353.
Иошикава (1987) Yoshikawa M. (1987) A simple analytical model for the щ
resonance. Celest. Mech., 40, 233.
Иошикава (1990) Yoshikawa M. (1990) Motions of asteroids at the Kirkwood
gaps. I. On the 3:1 resonance with Jupiter. Icarus, 87, 78.

392
Литература
Иошикава (1991) Yoshikawa M. (1991) Motions of asteroids at the Kirkwood
gaps. II. On the 5:2, 7:3, and 2:1 resonances with Jupiter. Icarus, 92, 94.
Канеко, Кониши (1994) Kaneko К., and Konishi T. (1994) Peeling the onion
of order and chaos in a high dimensional Hamiltonian system. Physica D,
71, 146.
Кануп, Эспозито (1996) Canup R.M., and Esposito L.W. (1996) Accretion of
the Moon from an impact-generated disk. Icarus, 119, 427.
Карпино, Милани, Нобили (1987) Carpino Μ., Milani Α., and Nobili A.M.
(1987) Long-term numerical integrations and synthetic theories for the
motion of the outer planets. Astron. Astrophys., 181, 182.
Квинн, Тремейн, Дункан (1991) Quinn T.R., Tremaine S., and Duncan M.J.
(1991) A three million year integration of the Earth's orbit. Astron. J., 101,
2287.
Киношита, Накаи (1996) Kinoshita Η., and Nakai H. (1996) Long-term
behavior of the motion of Pluto over 5.5 billion years. Earth, Moon and
Planets, 72, 165.
Киношита, Накаи (1999) Kinoshita Η., and Nakai H. (1999) Analytical
solution of the Kozai resonance and its application. Celest. Mech., 75, 125.
Киношита, Суше (1990) Kinoshita Η., and Souchay J. (1990) The theory of
the nutation for the rigid Earth model at the second order. Celest. Mech.,
48, 187.
Кирквуд (1866) Kirkwood D. (1866). In Proceedings of the American
Association for the Advancement of Science for 1866.
Кнежевич, Милани, Фаринелла, Фрешле, Фрешле (1991) Knezevic Z.,
Milani Α., Farinella P., Froeschle Ch., and Froeschle С (1991) Secular
resonances from 2 to 50 AU. Icarus, 93, 316.
Кнежевич, Фрешле, Леметр, Милани, Морбиделли (1995) Knezevic Z.,
Froeschle Ch., Lemaitre Α., Milani Α., and Morbidelli A. (1995)
Comparison between two theories of asteroid proper elements. Astron.
Astrophys., 293, 605.
Козаи (1962) Kozai Y. (1962) Secular perturbations of asteroids with high
inclination and eccentricities. Astron. J., 67, 591.
Козаи (1978) Kozai Υ (1978) Secular perturbations of asteroids and comets. In
Dynamics of the Solar System. Reidel, Dordrecht, 231.

Литература
393
Колмогоров (1954) Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических
движений при малом изменении функции Гамильтона. ДАН СССР, 98,
№ 4, 527.
Колмогоров (1959) Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как
метрическом инварианте автоморфизмов. ДАН СССР, 124, 754.
Коломбо (1966) Colombo G. (1966) Cassini's second and third laws. Astron.
J., 71,891.
Контопулос (1966) Contopoulos G. (1966) Resonance phenomena and the
non-applicability of the «third» integral. In Les Nouvelles Methodes de
la Dynamique Stellaire. F. Nahon and M. Henon, eds. CNRS, Paris. См.
также: Bull. Astron., Ser. 3, 2, 233 (1967).
Контопулос, Воглис (1996) Contopoulos G., and Voglis N. (1996) Spectra of
stretching numbers and heliciry angles in dynamical systems. Celest. Mech.,
64, 1.
Контопулос, Воглис, Эфиомопулос, Фрешле, Гонцы, Лега, Дворак, Лохин-
гер (1997) Contopoulos G., Voglis N., Efthyomopoulos C, Froeschle С,
Gonczi R., Lega E., Dvorak R., and Lohinger E. (1997) Transition spectra
of dynamical systems. Celest. Mech., 67, 293.
Коселефф (1993) Koseleff P.V. (1993) Relations among Lie formal series
and construction of symplectic integrators. In Applied Algebra, Algebraic
Algorithms and Error Correcting Codes. Lecture Notes in Сотр. Sci., 673.
Springer-Verlag, Berlin, 213.
Коселефф (1996) Koseleff P.V. (1996) Exhaustive search of symplectic
integrators using computer algebra. In Integration Algorithms and Classical
Mechanics. Fields Inst. Commun., 10. Amer. Math. Soc, Providence, R. I.,
103.
Крылов (1950) Крылов Н. (1950) Работы по обоснованию статистической
физики. М.-Л.: Изд-во АН СССР.
Кэмерон (1997) Cameron A.G. (1997) The origin of the Moon and the single
impact hypothesis. Icarus, 126, 126.
Лазуткин (1973) Лазуткин В.Ф. (1973) Существование каустик для
биллиардной задачи в выпуклой области. Изв. АН СССР. Сер. матем., 37,
вып. 1, 186.
Ласкар (1985) Laskar J. (1985) Accurate methods in general planetary theory.
Astron. Astrophys., 144, 133.

394
Литература
Ласкар (1986) Laskar J. (1986) Secular terms of classical planetary theories
using the results of general theory. Astron. Astrophys., 157, 59.
Ласкар (1988) Laskar J. (1988) Secular evolution of the solar system over 10
million years. Astron. Astrophys., 198, 341.
Ласкар (1989) Laskar J. (1989) A numerical experiment on the chaotic
behaviour of the solar system. Nature, 338, 237.
Ласкар (1990) Laskar J. (1990) The chaotic motion of the solar system: a
numerical estimate of the size of the chaotic zones. Icarus, 88, 266.
Ласкар (1992) Laskar J. (1992) A few points on the stability of the Solar
System. In Chaos, Resonance and Collective Dynamical Phenomena in the
Solar System. S. Ferraz-Mello, ed. Kluwer, Dordrecht, 1.
Ласкар (1993) Laskar J. (1993) Frequency analysis for multidimensional
systems. Physica D, 67, 257.
Ласкар (1994) Laskar J. (1994) Large-scale chaos in the solar system. Astron.
Astrophys., 287, 9.
Ласкар (1999) Laskar J. (1999) Introduction to frequency map analysis. In
Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom. C. Simo,
ed. Kluwer, Dordrecht, 134.
Ласкар, Робутель (1993) Laskar J., and Robutel Ph. (1993) The chaotic
obliquity of the planets. Nature, 361, 608.
Ласкар, Робутель (1995) Laskar J., and Robutel Ph. (1995) Stability of the
planetary three-body problem. I. Expansion of the planetary Hamiltonian.
Celest. Mech. 62, 193.
Ласкар, Жутель, Робутель (1993) Laskar J., Joutel F., and Robutel Ph. (1993)
Stabilization of the Earth's obliquity by the Moon. Nature, 361, 615.
Ласкар, Квинн, Тремейн (1992a) Laskar J., Quinn T, and Tremaine S. (1992a)
Confirmation of resonant structure in the solar system. Icarus, 95, 148.
Ласкар, Фрешле, Челетти (19926) Laskar J., Froeschle C, and Celletti A.
(1992b) The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental
frequencies. Physica D, 56, 253.
Левисон, Дункан (1994) Levison H.F., and Duncan M.J. (1994) The long-term
dynamical behavior of short-period comets. Icarus, 108, 18.
Леметр (1984) Lemaitre A. (1984) High-order resonances in the restricted
three-body problem. Celest. Mech., 32, 109.

Литература
395
Леметр, Анрар (1990) Lemaitre Α., and Henrard J. (1990) On the origin of the
chaotic behavior in the 2/1 Kirkwood gap. Icarus, 83, 391.
Леметр, Морбиделли (1994) Lemaitre Α., and Morbidelli A. (1994) Calculation
of proper elements for high inclined asteroidal orbits. Celest. Mech., 60, 29.
Лихтенберг, Либерман (1983) Lichtenberg A.J., and Lieberman M.A. (1983)
Regular and Stochastic Motion. Springer-Verlag, New York. [Имеется
перевод: Лихтенберг Α., Либерман Μ. Регулярная и стохастическая
динамика. - М.: Мир, 1984; Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000.]
Лошак (1992) Лошак П. (1992) Каноническая теория возмущений: подход,
основанный на совместных приближениях. УМЫ, 47, вып. 6 (288), 59.
Ляпунов (1907) Lyapunov A.M. (1907) Probleme general de la stabilite du
mouvement. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 9, 203. Reproduced in Ann.
Math. Study, 17, Princeton (1947). [Русские издания: Ляпунов A.M.
Общая задача об устойчивости движения. — М.-Л.: Гостехиздат, 1950;
Ляпунов A.M. Общая проблема устойчивости движения. — В кн.:
Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т. П. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954.
С. 7.]
Мальхотра (1996) Malhotra R. (1996) The phase space structure near Neptune
resonances in the Kuiper belt. Astron. J., Ill, 504.
Марцари, Дэвис, Ванцани (1995) Marzari R, Davis D., and Vanzani V. (1995)
Collisional evolution of asteroid families. Icarus, 113, 168.
Марцари, Фаринелла, Дэвис (1999) Marzari R, Farinella P., and Davis D.R.
(1999) Origin, aging, and death of asteroid families. Icarus, 142, 63.
Mamece, Уитмен (1992) Matese J.J., and Whitman P.G. (1992) A model of the
galactic tidal interaction with the Oort comet cloud. Celest. Mech., 54, 13.
Мельников (1963) Мельников В.К. Об устойчивости центра при
периодических по времени возмущениях. Тр. Моск. мат. общества, 12, 3.
Меникелла, Паоликки, Фаринелла (1996) Menichella Μ., Paolicchi P., and
Farinella P. (1996) The main belt as a source of Near Earth Asteroids.
Earth, Moon and Planets, 72, 133.
Милани, Кнежевич (1990) Milani Α., and Knezevic Z. (1990) Secular
perturbation theory and computation of asteroid proper elements. Celest.
Mech., 49, 247.
Милани, Кнежевич (1992) Milani Α., and Knezevic Z. (1992) Asteroid proper
elements and secular resonances. Icarus, 98, 211.

396
Литература
Милани, Кнежевич {1994) Milani Α., and Knezevic Ζ. (1994) Asteroid proper
elements and the dynamical structure of the asteroid main belt. Icarus, 107,
219.
Милани, Нобили, Карпино (1989) Milani Α., Nobili A.M., and Carpino M.
(1989) Dynamics of Pluto. Icarus, 82, 200.
Мильорини, Мишель, Морбиделли, Несворный, Заппала (1998) Migliorini E,
Michel P., Morbidelli Α., Nesvorny D., and Zappalla V. (1998) Origin of
Earth-crossing asteroids: a quantitative simulation. Science, 281, 2022.
Мищенко, Ферраз-Мелло (1995) Michtchenko Τ.Α., and Ferraz-Mello S.
(1995) Comparative study of the asteroidal motion in the 3:2 and 2:1
resonances with Jupiter. I. Planar model. Astron. Astrophys., 303, 945.
Мищенко, Ферраз-Мелло (1997) Michtchenko T.A., and Ferraz-Mello S.
(1997) Escape of asteroids from the Hecuba gap. Planet. Sp. Sci., 45, 1587.
Мишель (1997) Michel P. (1997) Effects of linear secular resonances in the
region of semimajor axes smaller than 2 AU. Icarus, 129, 348.
Мишель, Томас (1996) Michel P., and Thomas F. (1996) The Kozai resonance
for near-Earth asteroids with semimajor axes smaller than 2 AU. Astron.
Astrophys., 307, 310.
Мишель, Фрешле (1997) Michel P., and Froeschle Ch. (1997) The location of
linear secular resonances for semimajor axes smaller than 2 AU. Icarus,
128, 230.
Мишель, Мильорини, Морбиделли, Заппала (2000) Michel P., Migliorini Ε,
Morbidelli Α., and Zappalla V. (2000) The population of Mars-Crossers:
classification and dynamical evolution. Icarus, 145, 332.
Мозер (1962) Moser J.K. (1962) On invariant curves of area-preserving
mappings of an annulus. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen, Math. Phys. Kl.,
2, 1. [Имеется перевод: Мозер Ю. Об инвариантных кривых
отображений кольца, сохраняющих площадь. — В кн.: Мозер Ю. КАМ-теория
и проблемы устойчивости. — Ижевск: РХД, 2003. С. 28.]
Морбиделли (1993а) Morbidelli A. (1993a) Asteroid secular resonant proper
elements. Icarus, 105, 48.
Морбиделли (19936) Morbidelli A. (1993b) On the successive elimination of
perturbation harmonics. Celest. Mech., 55, 101.
Морбиделли (1997) Morbidelli A. (1997) Chaotic diffusion and the origin of
comets from the 2/3 resonance in the Kuiper belt. Icarus, 127, 1.

Литература
397
Морбиделли, Анрар (1991а) Morbidelli Α., and Henrard J. (1991a) Secular
resonances in the asteroid belt: theoretical perturbation approach and the
problem of their location. Celest. Mech., 51, 131.
Морбиделли, Анрар (19916) Morbidelli Α., and Henrard J. (1991b) The main
secular resonances ν$, v§ and v\§ in the asteroid belt. Celest. Mech., 51,
169.
Морбиделли, Гуццо (1996) Morbidelli Α., and Guzzo M. (1996) The Nekhoroshev
theorem and the asteroid belt dynamical system. Celest. Mech., 65, 107.
Морбиделли, Джиорджилли (1993) Morbidelli Α., and Giorgilli A. (1993)
Quantitative perturbation theory by successive elimination of harmonics.
Celest. Mech., 55, 131.
Морбиделли, Джиорджилли (1995a) Morbidelli Α., and Giorgilli A. (1995a)
Superexponental stability of KAM tori. J. Stat. Phys., 78, 1607.
Морбиделли, Джиорджилли (19956) Morbidelli Α., and Giorgilli A. (1995b)
On a connection between KAM and Nekhoroshev theorems. Physica D, 86,
514.
Морбиделли, Джиорджилли (1997) Morbidelli Α., and Giorgilli A. (1997) On
the role of high order resonances in normal forms and in separatrix splitting.
Physica D, 102, 195.
Морбиделли, Мунс (1993) Morbidelli Α., and Moons M. (1993) Secular
resonances inside mean motion commensurabilities: the 2/1 and 3/2 cases.
Icarus, 103, 99.
Морбиделли, Несворный (1999) Morbidelli Α., and Nesvorny D. (1999)
Numerous weak resonances drive asteroids towards terrestrial planets
orbits. Icarus, 139, 295.
Морбиделли, Томас, Мунс (1995a) Morbidelli Α., Thomas R, and Moons M.
(1995a) The resonant structure of the Kuiper belt and the dynamics of the
first five trans-Neptunian objects. Icarus, 118, 322.
Морбиделли, Заппала, Мунс, Челлино, Гонци (19956) Morbidelli Α., Zappal-
la V., Moons M., Cellino Α., and Gonczi R. (1995b) Asteroid families close
to mean motion resonances: dynamical effects and physical implications.
Icarus, 118, 132.
Мунс (1993) Moons M. (1993) Averaging approaches. Dep. of Math. Rep., 19,
FUNDP, Namur, Belgium.
Мунс (1994) Moons M. (1994) Extended Schubart averaging. Celest. Mech.,
60, 173.

398
Литература
Мунс (1997) Moons M. (1997) Review of the dynamics in the Kirkwood gaps.
Celest. Mech., 65, 175.
Мунс, Морбиделли (1993) Moons Μ., and Morbidelli A. (1993) The main
mean motion commensurabilities in the planar circular and elliptic problem.
Celest. Mech., 57, 99.
Мунс, Морбиделли (1995) Moons Μ., and Morbidelli A. (1995) Secular
resonances inside mean-motion commensurabilities: the 4/1, 3/1, 5/2 and
7/3 cases. Icarus, 114, 33.
Мунс, Морбиделли, Мильорини (1998) Moons Μ., Morbidelli Α., and Migliori-
ni F. (1998) Dynamical structure of the 2/1 commensurability and the origin
of the resonant asteroids. Icarus, 135, 458.
Мэсседж (1958) Message J. (1958) The search for asymmetric periodic orbits
in the restricted problem of three bodies. Astron. J., 63, 443.
Мэсседж (1966) Message P.J. (1966) On nearly-commensurable periods in
the restricted problem of three bodies, with calculation of the long-period
variations in the interior 2/1 case. In The Theory of Orbits in the Solar
System and in Stellar Systems. G. Contopoulos, ed. Academic Press,
London, 197.
Мюррей, Хольман (1997) Murray Ν., and Holman M. (1997) Diffusive chaos
in the outer asteroid belt. Astron. J., 114, 1246.
Мюррей, Хольман (1999) Murray Ν., and Holman M. (1999) The origin of
chaos in the outer solar system. Science, 283, 1877.
Мюррей, Хольман, Поттер (1998) Murray Ν., Holman Μ., and Potter Μ.
(1998) On the origin of chaos in the asteroid belt. Astron. J., 116, 2583.
Накаи, Киношита (1985) Nakai Η., and Kinoshita H. (1985) Secular
perturbations of asteroids in secular resonances. Celest. Mech., 36, 391.
Нейштадт (1981) Нейштадт А.И. Оценки в теореме Колмогорова о
сохранении условно-периодических движений. Прикл. мат. и мех., 45 (6),
1016.
Нейштадт (1984) Нейштадт А.И. О разделении движений в системах
с быстро вращающейся фазой. Прикл. мат. и мех., 48 (2), 197.
Нерон де Сюржи, Ласкар (1997) Neron de Surgy О., and Laskar, J. (1997) On
the long term evolution of the spin of the Earth. Astron. Astrophys, 318,
975.

Литература
399
Несворный, Доунс (2002) Nesvorny D., and Dones L. (2002) How long-lived
are the hypothetical Trojan populations of Saturn, Uranus and Neptune?
Icarus, 160, 271.
Несворный, Морбиделли (1998) Nesvorny D., and Morbidelli A. (1998) Three-
body mean motion resonances and the chaotic structure of the asteroid belt.
Astron. J., 116,3029.
Несворный, Морбиделли (1999) Nesvorny D., and Morbidelli A. (1999) An
analytic model of three-body mean motion resonances! Celest. Mech., 71,
243.
Несворный, Ройг (2000) Nesvorny D., and Roig F. (2000) Mean motion
resonances in the transneprunian region: Part I. The 2:3 resonance with
Neptune. Icarus, 148, 282.
Несворный, Ройг (2001) Nesvorny D., and Roig F. (2001) Mean motion
resonances in the transneprunian region: Part II. The 1:2, 3:4, and weaker
resonances. Icarus, 150, 104.
Несворный, Ферраз-Мелло (1997a) Nesvorny D., and Ferraz-Mello S. (1997a)
Chaotic diffusion in the 2/1 asteroidal resonance: an application of the
frequency map analysis. Astron. Astrophys., 320, 672.
Несворный, Ферраз-Мелло (19976) Nesvorny D., and Ferraz-Mello S. (1997b)
On the asteroidal population of the first-order Jovian resonances. Icarus,
130,247.
Несворный, Ройг, Ферраз-Мелло (2000) Nesvorny D., Roig F., and Ferraz-
Mello S. (2000) Close approaches of trans-Neptunian objects to Pluto have
left observable signatures on their orbital distribution. Astron. J., 119, 953.
Нехорошее (1977) Нехорошее Н.Н. Экспоненциальная оценка времени
устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. УМН,
32 (6), 5.
Нехорошее (1979) Нехорошее Н.Н. Экспоненциальная оценка времени
устойчивости гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. И.
Труды семинара им. И.Г. Петровского, 5,5.
Нобили, Милани, Карпино (1989) Nobili A.M., Milani Α., and Carpino M.
(1989) Fundamental frequencies and small divisors in the orbits of the
outer planets. Astron. Astrophys., 210, 313.
Олвера, Симо (1987) Olvera Α., and Simo С (1987) An obstruction method
for the destruction of invariant curves. Physica D, 26, 181.

400
Литература
Оселедец (1968) Оселедец В.И. (1968) Мультипликативная эргодическая
теорема. Характеристические показатели Ляпунова. Труды
Московского матем. общ-ва, 19, 197.
Папафилиппу, Ласкар (1998) Papaphilippou Y., and Laskar J. (1998) Global
dynamics of triaxial galactic models through frequency map analysis.
Astron. Astropys., 329, 451.
Паризи, Брунини (1996) Parisi M.G., and Brunini A. (1996) Dynamical
consequencies of Uranus' great collision. In Chaos in Gravitational N-
body Systems. J.C. Muzzio, S. Ferraz-Mello and J. Henrard, eds. Kluwer,
Dordrecht, 291.
Лесин (1977) Песин Я.Б. (1977) Характеристические показатели Ляпунова
и гладкая эргодическая теория. УМН, 32, вып. 4 (196), 55.
Петель (1993) Poschel J. (1993) Nekhoroshev's estimates for quasi-convex
Hamiltonian systems. Math. Z., 213, 187.
Пресс, Тьюкольски, Веттерлинг, Фланнери (1986) Press W.H., Teukols-
ky S.A., Vetterling W.T., and Flannery B.P. (1986) Numerical Recipes.
Cambridge Univ. Press, Cambridge. (3rd ed.: Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 2007.) [Имеется перевод: Пресс В., Фланнери Б.,
Тьюкольски С, Веттерлинг В. Численные рецепты. — М.: Мир, 1990.]
Пуанкаре (1892) Poincare Η. (1892) Les methodes nouvelles de la mecanique
celeste. Gauthier-Villar, Paris. [Имеется перевод в кн.: Пуанкаре А.
Избранные труды. (В 3-х томах.) Т. 1-2. — М.: Наука, 1971.]
Пуанкаре (1902а) Poincare Η. (1902а) Les solutions periodiques et les planetes
du type d'Hecube. Bulletin Astronomique, 19, 177.
Пуанкаре (19026) Poincare H. (1902b) Sur les planetes du type d'Hecube.
Bulletin Astronomique, 19, 289.
Пьессенс, де Донкер-Капенга, Юберхубер, Каханер (1983) Piessens R.,
de Doncker-Kapenga E., Uberhuber C.W., and Kahaner D.K. (1983)
Quadpack: A Subroutine Package for Automatic Integration. Springer-
Verlag, Berlin.
Робутель, Ласкар (2001) Robutel P., and Laskar J. (2001) Frequency map and
global dynamics in the Solar System I. Short period dynamics of massless
particles. Icarus, 152, 4.
Сафронов (1965) Сафронов B.C. (1965) Размеры наибольших тел,
падавших на планеты в процессе их образования. Астрон. журн., 42, 1270.

Литература
401
Сессии, Ферраз-Мелло (1984) Sessin W., and Ferraz-Mello S. (1984) Motion
of two planets with periods commensurable in the ratio 2:1. Solutions of
the Hori auxiliary system. Celest. Mech., 32, 307.
Cumo (1990) Simo С (1990) On the analytical and numerical approximation of
invariant manifolds. In Modern Methods in Celestial· Mechanics. D. Benest
and С Froeschle, eds. Ed. Frontieres, Gif sur Yvettes, France.
Симон, Бретаньон (1975) Simon J.L., and Bretagnon P. (1975) First order
perturbations of the four big planets. Astron., and Astrophys., 42, 259.
Синай (1959) Синай Я.Г. (1959) О понятии энтропии динамической
системы. Докл. Акад. наук СССР, 124, вып. 4, 768.
Смейл (1965) Smale S. (1965) Diffeomorphisms with many periodic points.
In Differential and Combinatorial Topology: A Symposium in Honor of
Marston Morse. S.S. Cairns, ed. Princeton Univ. Press, Princeton N.J., 63.
Смейл (1980) Smale S. (1980) The Mathematics of Time: Essays on Dynamical
Systems, Economic Processes and Related Topics. Springer-Verlag, New
York.
Суше, Луазель, Киношита, Фолгейра (1999) Souchay J., Loysel В., Kinoshi-
ta H., and Folgueira M. (1999) Corrections and new developments in rigid
Earth nutation theory. III. Final tables «REN-2000» including crossed-
nutation and spin-orbit coupling effects. Astron. Astrophys. Suppl. Sen,
135, 111.
Тейлор (1999) Taylor S.R. (1999) On the difficulties of making Earth-like
planets. Meteoritics and Planetary Sci., 34, 317.
Томас (1998) Thomas F. (1998) La dynamique resonnante dans le systeme
solaire. Application au mouvement des objets transneptuniens. Ph.D. thesis,
Obs. de Paris.
Томас, Морбиделли (1996) Thomas F., and Morbidelli A. (1996) The Kozai
resonance in the outer Solar System and the dynamics of long-period
comets. Celest. Mech., 64, 209.
Тума, Уиздом (1993) Touma J., and Wisdom J. (1993) The chaotic obliquity of
Mars. Science, 259, 1294.
Тума, Уиздом (1994a) Touma J., and Wisdom J. (1994a) Evolution of the Earth-
Moon system. Astron. J., 108, 1943.
Тума, Уиздом (19946) Touma J., and Wisdom J. (1994b) Lie-Poisson
integrators for rigid body dynamics in the Solar System. Astron. J., 107,
1189.

402
Литература
Уард (1974) Ward W.R. (1974) Climatic variations on Mars. I. Astronomical
theory of insolation. J. Geophys. Res., 79, 3375.
Уард (1982) Ward W.R. (1982) Comments on the long-term stability of the
Earth's obliquity. Icarus, 50, 444.
Уиггинс (1988) Wiggins S. (1988) Global Bifurcations and Chaos. Springer-
Verlag, New York.
Уиздом (1980) Wisdom J. (1980) The resonance overlap criterion and the onset
of stochastic behavior in the restricted three-body problem. Astron. J., 85,
1122.
Уиздом (1982) Wisdom J. (1982) The origin of the Kirkwood gaps: a mapping
for asteroidal motion near the 3/1 commensurabiliry. Astron. J., 87, 577.
Уиздом (1983) Wisdom J. (1983) Chaotic behavior and the origin of the 3/1
Kirkwood gap. Icarus, 56, 51.
Уиздом (1985) Wisdom J. (1985) A perturbative treatment of motion near the
3/1 commensurabiliry. Icarus, 63, 272.
Уиздом (1987) Wisdom J. (1987) Urey Prize Lecture: chaotic dynamics in the
solar system. Icarus, 72, 241.
Уиздом, Хольман (1991) Wisdom J., and Holman M. (1991) Symplectic maps
for the N-body problem. Astron. J., 102, 1528.
Уильяме (1969) Williams J.G. (1969) Secular perturbations in the solar system.
Ph.D. dissertation, University of California, Los Angeles.
Уильяме, Бенсон (1971) Williams J.G., and Benson G.S. (1971) Resonances in
the Neptune-Pluto system. Astron. J., 76, 167.
Уильяме, Фолкнер (1981) Williams J.G., and Faulkner J. (1981) The position
of secular resonance surfaces. Icarus, 46, 390.
Уиттекер (1937) Whittaker E.T. (1937) A Treatise on the Analytical Dynamics
of Particles and Rigid Bodies. Cambridge Univ. Press, Cambridge.
[Имеется перевод: Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. — М.: Эдиториал
УРСС, 2010.]
Уэзерилл (1975) Wetherill G.W. (1975) Late heavy bombardment of the Moon
and terrestrial planets. Proc. Lunar Sci. Conf, 6, 1539.
Фаринелла, Вокроуглицкий (1998) Farinella, P., and Vokrouhlicky D. (1998)
Semimajor axis mobility of asteroidal fragments. Science, 283, 1507.
Фаринелла, Фрешле, Гонци (1993a) Farinella P., Froeschle Ch., and Gonczi R.
(1993a) Meteorites from the asteroid 6 Hebe. Celest. Mech., 56, 287.

Литература
403
Фаринелла, Гонци, Фрешле, Фрешле (19936) Farinella P., Gonczi R.,
Froeschle Ch., and Froeschle С. (1993b). The injection of asteroid
fragments into resonance. Icarus, 101, 174.
Фаринелла, Фрешле, Фрешле, Гонци, Хан, Морбиделли, Вальсекки (1994)
Farinella P., Froeschle Ch., Froeschle С, Gonczi R., Hahn G., Morbidel-
li Α., and Valsecchi G.B. (1994) Asteroids falling onto the Sun. Nature,
371,315.
Фернандес, Ип (1984) Fernandez J.A., and Ip W.H. (1984) Some dynamical
aspects of the accretion of Uranus and Neptune: the exchange of orbital
angular momentum with planetesimals. Icarus, 58, 109.
Ферраз-Мелло (1987) Ferraz-Mello S. (1987) Averaging the elliptic asteroidal
problem near a first-order resonance. Astron. J., 94, 208.
Ферраз-Мелло (1994) Ferraz-Mello S. (1994) Dynamics in the asteroid 2/1
resonance. Astron. J., 108, 2330.
Ферраз-Мелло (1996) Ferraz-Mello S. (1996) A symplectic mapping approach
to the study of the stochasticity in asteroidal resonances. Celest Mech., 65,
421.
Ферраз-Мелло, Клафке (1991) Ferraz-Mello S., and Klafke J.C. (1991)
A model for the study of the very high eccentricity asteroidal motion: the
3:1 resonance. In Predictability, Stability and Chaos in N-body Dynamical
Systems. A.E. Roy, ed. Plenum Press, New York, 177.
Ферраз-Мелло, Camo (1989) Ferraz-Mello S., and Sato M. (1989) The very-
high-eccentricity asymmetric expansion of the disturbing function near
resonances of any order. Astron. Astrophys., 225, 541.
Ферраз-Мелло, Мищенко, Ройг (1998a) Ferraz-Mello S., Michtchenko T.A.,
and Roig F. (1998a) The determinant role of Jupiter's great inequality in
the depletion of the Hecuba gap. Astron. J., 116, 1491.
Ферраз-Мелло, Несворный, Мищенко (1997) Ferraz-Mello S., Nesvorny D.,
and Michtchenko T.A. (1997) On the lack of asteroids in the Hecuba gap.
Celest. Mech., 69, 171.
Ферраз-Мелло, Несворный, Мищенко (19986) Ferraz-Mello S., Nesvorny D.,
and Michtchenko T.A. (1998b) Chaos, diffusion, escape and permanence
of resonant asteroids in gaps and groups. In Solar System Formation and
Evolution. D. Lazzaro, R. Vieira Martins, S. Ferraz-Mello, J. Fernandez,
and С Beauge, eds. Astron. Soc. of the Pacific, Conf. Series 149, 65.

404
Литература
Форцони Акколти (1995) Forzoni Accolti E. (1995) Identificazione statistica
delle famiglie di asteroidi ad alta inclinazione e/o ad alta eccentricita. Ph.D.
thesis, University of Turin, Italy.
Франклин (1994) Franklin F.A. (1994) An examination of the relationship
between chaotic orbits and the Kirkwood gap at the 2:1 resonance.
Astron. J., 107, 1890.
Фрешле, Лега (1998) Froeschle С, and Lega E. (1998) Twist angles: a method
for distinguishing islands, tori and weak chaotic orbits. Comparison with
other methods of analysis. Astron. Astrophys., 334, 355.
Фрешле, Шолл (1986) Froeschle Ch., and Scholl H. (1986) The secular
resonance uq in the asteroidal belt. Astron. Astrophys., 166, 326.
Фрешле, Гонцы, Лега (1997) Froeschle С, Gonczi R., and Lega E. (1997) The
fast Lyapunov indicator: a simple tool to detect weak chaos. Application to
the structure of the main asteroidal belt. Planet. Space Sci., 45, 881.
Фрешле, Гуццо, Лега (2000) Froeschle С, Guzzo Μ., and Lega Ε. (2000)
Graphical evolution of the Arnold web: from order to chaos. Science, 289,
2108.
Фрешле, Морбиделли, Шолл (1991) Froeschle Ch., Morbidelli Α., and
Scholl H. (1991) Complex dynamical behaviour of the asteroid 2335 James
associated with the secular resonances 1/5 and u\q\ numerical studies and
theoretical interpretation. Astron. Astrophys., 24, 553.
Хартман, Дэвис (1975) Hartmann W.K., and Davis D.R. (1975) Satellite-sized
planetesimals and lunar origin. Icarus, 24, 504.
Хенон (1974) Henon M. (1974) Integrals of the Toda lattice. Phys. Rev. B, 9,
1921.
Хенон, Хейлес (1964) Henon Μ., and Heiles С (1964) The applicability of the
third integral of motion: some numerical experiments. Astron. J., 69, 73.
Хираяма (1918) Hirayama K. (1918) Groups of asteroids probably of common
origin. Astron. J., 31, 185.
Хольман, Мюррей (1996) Holman M.J., and Murray N.W. (1996) Chaos in
high order mean motion resonances in the outer asteroid belt. Astron. J.,
112, 1278.
Хольман, Уиздом (1993) Holman M.J., and Wisdom J. (1993) Dynamical
stability in the outer solar system and the delivery of short period comets.
Astron. J., 105, 1987.

Литература
405
Хори (1966) Hori G.I. (1966) General perturbations theory with unspecified
canonical variables. Publ. Astron. Soc. Japan, 18, 287.
Чамберс (1999) Chambers J.E. (1999) A hybrid symplectic integrator that
permits close encounters between massive bodies. Monthly Not. Roy.
Astron. Soc, 304, 793.
Чамберс, Уэзерилл (1998) Chambers J.E., and Wetherill G.W. (1998) Making
the terrestrial planets: N-body integrations of planetary embryos in three
dimensions. Icarus, 136, 304.
Чамберс, Уэзерилл, Босс (1996) Chambers J.E., Wetherill G.W., and Boss A.P.
(1996) The stability of multi-planet systems. Icarus, 119, 261.
Челлино, Мишель, Танга, Заппала, Паоликки, дель'Оро (1999) Cellino Α.,
Michel P., Tanga P., Zappalla V., Paolicchi P., and dell'Oro A. (1999) The
velocity-size relationship for members of asteroid families and implications
for the physics of catastrophic collisions. Icarus, 141, 79.
Чинкотта, Джордано (2001) Cincotta P., and Giordano CM. (2001) Global
dynamics through the Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbits
(MEGNO). Preprint of Obs. of La Plata, Argentina.
Чинкотта, Симо (2000) Cincotta P., and Simo C. (2000) Simple tools to
study global dynamics in non-axisymmetric galactic potentials. Astron.
Astrophys. Suppl., 147, 205.
Чириков (1959) Чириков Б.В. (1959) Резонансные процессы в магнитных
ловушках. Атомн. энергия, 6, вып. 6, 630.
Чириков (1979) Chirikov B.V. (1979) A universal instability of many-
dimensional oscillator systems. Phys. Rep., 52, 265.
Шидлиховский (1990) Sidlichovsky M. (1990) Tables of the Disturbing
Function for Resonant Asteroids. Czechoslovak Academy of Sciences,
Prague.
Шолл, Фрешле (1990) Scholl Η., and Froeschle Ch. (1990) Orbital evolution of
known asteroids in the z/5 resonance region. Astron. Astrophys., 227, 255.
Шубарт (1964) Schubart J. (1964) Long period effects in nearly commensurable
cases of the restricted three-body problem. Smithsonian Astrophys. Obs.
Spec. Rep., 149.
Шубарт (1968) Schubart J. (1968) Long-period effects in the motion of Hilda-
type planets. Astron. J., 73, 99.

406
Литература
Эллис, Мюррей (2000) Ellis K.M., and Murray CD. (2000) The disturbing
function in solar system dynamics. Icarus, 147, 129.
Элскенс, Эсканде (1991) Elskens Υ., and Escande D.F. (1991) Slowly pulsating
separatrices sweep homoclinic tangles where islands must be small: an
extension of classical adiabatic theory. Nonlinearity, 4, 615.
Эль-Зант (1997) El-Zant A.A. (1997) On the stability of motion of N-body
systems: a geometric approach. Astron. Astrophys., 326, 113.
Эль-Зант, Гурзадян (1998) El-Zant Α.Α., and Gurzadyan V.G. (1998) Relative
chaos in gravitating systems with massive centre. Physica D, 122, 241.
Эпик (1976) Opik E.J. (1976) Interplanetary Encounters. Elsevier, New York.
Эпплгейт, Дуглас, Гурсел, Зюссман, Уиздом (1986) Applegate J.H.,
Douglas M.R., Gursel Y, Sussman G.J., and Wisdom J. (1986) The outer solar
system for 200 million years. Astron. J., 92, 176.
Эпштейн (1916) Epstein RS. (1916) Zur Quantentheorie. Ann. d. Physik,
51, 168.
Юаса (1973) Yuasa M. (1973) Theory of secular perturbations of asteroids
including terms of higher order and higher degree. Publ. Astron. Soc. Japan,
25, 399.

Алфавитный указатель
FLI, 115
MEGNO, 116-118
Аномалия
— истинная, см. истинная аномалия
— средняя, см. средняя аномалия
— эксцентрическая, см.
эксцентрическая аномалия
Апогей, 16
Апоцентр, 16
Апоцентрический либратор, 222
Аргумент перигелия, 17
Арнольд
— диффузия, 131
— паутина, 126
Арнольда-Лиувилля теорема, 31-33,
82, 184
Астероиды, сближающиеся с Землей,
196,207,313,347
Астероиды-греки, 229
Астероиды-троянцы, 229, 241, 331
Аттрактор, 28
Афелий, 16
— расстояние, 16
Биркгофа нормальная форма, 50, 52
Большая полуось, 15
Большое неравенство, 305, 325
Вековая динамика
— малых тел, 165-214, 291-304
— планет, 141-163
Вековая нормальная форма, 59-63, 165,
361
Вековой резонанс, 168, 187, 193-214,
297-304, 340
- ϊ/5, 198, 203-205, 210, 298, 299, 301,
308-310,313,316,320
- ϊ/6, 196, 202, 207-214, 298, 301, 310,
313,316,320,329,336,361
- ζ/16, 198, 202, 205-206, 302, 311,
316-317,321
- ϊ/ΐ7, 207, 341
- I/is, 199, 207, 302, 325, 326, 341
- π, 199,207,351
- ϊ/8, 199, 207, 298, 325, 341, 351
— Козаи, см. Козаи, резонанс
— внутри резонансов средних
движений, 297-304
— критический угол, 201
— линейный, 168, 193
— нормальная форма, 200-201, 204, 206,
207,210
— первого порядка, 169, 199
Венера, 153, 163
Возмущение, 18-20, 23-24, 43
Волчок Коломбо, 157
Вращающаяся система, 22
Выпуклость, 127, 128, 131,210
Вырождение, 42, 59, 177, 215, 244
Галактический прилив, 177
Гамильтониан, 20
— зависящий от времени, см.
гамильтониан, неавтономный

408
Алфавитный указатель
— задачи N тел, см. гамильтониан,
планетной задачи
— интегрируемый, 29-33
— квазиинтегрируемый, 43
— неавтономный, 23-24
— ограниченной задачи, 23, 57-58
— планетной задачи, 24-27, 58
— потока свойства, 27-29
— производящий, 27, 45-50
Гармоника
— генерирование, 54-57, 256
— порядок, 48
— последовательное исключение,
283-286
— преобразование, 264
Гетероклиническая точка, 123-126
Гетероклиническое пересечение, см.
гетероклиническая точка
Гильды, 320-323
Гиперболическая точка, см. точка
равновесия, неустойчивая
Гиперболичность, 90, 104
Главный пояс астероидов, 173-178,
188-198, 203-214, 234-236, 272-279,
306-323, 333-340, 344-347, 356,
358-360, 362
«Головастик»
— либратор, 229
— траектории, 329-331
Гомоклиническая точка, 93
Гомоклинический клубок, 93, 105
Гомоклиническое пересечение, см.
гомоклиническая точка
Гомологическое уравнение, 46
Движение
— квазипериодическое, 41
— кеплерово, см. Кеплера задача
— константа, см. константа движения
— периодическое, 41
— хаотическое, см. хаос
Делоне
— переменные, см. переменные Делоне
Делоне переменные
— модифицированные, 38
Дельта-функция Дирака, 354
Диофантово условие, 48
Диффузия, 72, 123, 343-360
— Арнольда, см. Арнольд, диффузия
— Чирикова, см. Чириков, диффузия
— коэффициент, 356-360
Долгота восходящего узла, 17
Долгота перигелия, 18
Задача двух тел, см. Кеплера задача
Задача N тел, см. планетная задача
Закручивания угол, 115-116
Земля, 153, 157-162
Изохронная система, 42
Импульсы, 21
Инвариантная плоскость, 145
Интеграл Мельникова, см. интеграл
Пуанкаре - Мельникова
Интеграл Пуанкаре-Мельникова, 94-96
Интегрируемость, 30
Истинная аномалия, 16
КАМ
— теорема, 65-69, 360-362
— тор, см. тор, КАМ
КС-энтропия, 102, 105
Каноническое преобразование, 24-27
Кассини состояния, 157
Кеплер
— задача, 13-18, 33
— законы, 14
— уравнение, 16
Козаи
— гамильтониан, 172, 294
— динамика, см. Козаи, резонанс
— резонанс, 170-184, 191, 195, 198,
205-206

Алфавитный указатель
409
внутри резонанса средних
движений, 291-298, 311, 316, 321,
326, 328
Колмогоров
— нормальная форма, 68
— теорема, см. КАМ, теорема
Комета, 180-183
— долгопериодическая, 180-183
— сангрейзер, 181-183
Константа движения, 28, 30
Координаты, 21
— барицентрические, 13
— вращающиеся, см. вращающаяся
система
— гелиоцентрические, 13, 19, 24-27
— сферические, 21-22
Кратность, см. резонанс, кратность
Кривая столкновений, 227, 231
Кривая узловых пересечений, 176-182
Кривизна Риччи, 102
Критерий Чирикова, 121
Лагранжа уравнения, 38
Лежандра разложение, 260
Либратор
— апоцентрический,см.
апоцентрический либратор
— асимметричный, 223, 226, 229
— типа «головастик», см. «головастик»,
либратор
— типа «подкова», см. «подкова»,
либратор
Либрация
— асимметричная, 328
— область, 81,221
— тор, см. тор, либрационный
Лиувилля теорема, 28, 30
Луна, 148, 155, 156, 159-162
Лунник, 176
Люк Кирквуда, 236, 253, 307, 313, 314
Ляпунов
— орбита, 231
— показатели, 102-109
Малые делители, 47^9
Марс, 153, 162
Маятник, 80-82, 91
— модулированный, 246-248, 359-360
Меркурий, 153, 155, 163
Многообразие
— неустойчивое, 90, 92-96
— устойчивое, 90, 92-96
Модуль резонанса, см. резонанс, модуль
Мультиплет, 243-247, 255, 265-272, 335,
352, 354, 359
Наклон, 156
Наклонение, 17
Направление быстрого дрейфа, 131
Нептун, 280-282
Нехорошее
— область, 361
— система, 134
— структура, 132-134, 137, 139-140,
362-364
— теорема, 127-132, 360-364
Нормальная форма
— Биркгофа, см. Биркгофа нормальная
форма
— Колмогоров, см. Колмогоров,
нормальная форма
— вековая, см. вековая нормальная
форма
— векового резонанса, см. вековой
резонанс, нормальная форма
— оптимальная, 53-54
— остаток, 53, 54, 86-88
— резонансная, см. резонанс,
нормальная форма, см. резонанс,
нормальная форма
— трехтельный резонанс, см.
трехтельный резонанс, нормальная
форма

410
Алфавитный указатель
Облако Оорта, 178
Область
— Нехорошева, см. Нехорошев, область
— нерезонансная, 48, 130, 133, 134, 140
— резонансная, см. резонанс, область
Ограниченная задача, 19, 23
— плоская круговая, 216
динамика, 216-243
Орбитальные элементы
— полусобственные, см.
полусобственные элементы
— полусредние, см. полусредние
элементы
— средние, см. средние элементы
Оскулирующие элементы, 14-18, 20
— формальные, 20, 38
Остаток, см. нормальная форма, остаток
Остров, 77, 88, 178, 180, 181, 183, 235
Паутина, см. Арнольд, паутина
Переменные
— действие-угол, см. переменные
«действие-угол»
— полусобственные, см.
полусобственные переменные
— полусредние, см. переменные
Делоне, полусредние
— собственные, см. собственные
переменные
— сопряженные, 21
— средние, см. Делоне переменные,
средние
Переменные «действие-угол», 31-33
— резонансные, 82-86
Переменные Делоне, 33-38
— полусредние, 64
— средние, 60, 165
Переменные Пуанкаре, 40
Перигей, 15
Перигелий, 15
— аргумент, см. аргумент перигелия
— долгота, см. долгота перигелия
— расстояние, 16
Перицентр, 15
Планетная задача, 18-19, 24-27
Плоскость частот, 129
Плутино, 237, 325, 326 ·
Плутон, 227, 297, 325, 326
«Подкова»
— Смейла, 93
— либратор, 229
— траектории, 329
Полусобственные переменные, 200, 201
Полусобственные элементы, 201
Полусредние переменные, см.
переменные Делоне, полусредние
Полусредние элементы, 64
Порядок
— гармоники, см. гармоника, порядок
— по эксцентриситету, см. резонанс
средних движений, порядок по
эксцентриситету
— резонанса, см. резонанс, порядок
Постоянная движения, 31
— задачи Кеплера, 33, 42
Пояс Койпера, 198-199, 207, 236-238,
279-280, 323-328, 340-341, 343,
347-352, 363
Правила Даламбера, 39^0
Преобразование
— близкое к тождественному, 44
— каноническое, см. каноническое
преобразование
— полярных координат в декартовы, 27,
40
Прецессия равноденствия, 157
Приведенная масса, 22, 26
Пространство частот, 72
Пуанкаре
— переменные, см. переменные
Пуанкаре

Алфавитный указатель
411
Разложение
— Лежандра, см. Лежандра разложение
Расщепление, см. сепаратриса,
расщепление
Резонанс
— Козаи, см. Козаи, резонанс
— Лапласа, 239, 255
— взаимодействие, 119-140
— вторичный, 86, 289-291
— задача трех тел, см. трехтельный
резонанс
— кратность, 42
— критический угол, 80
векового резонанса, см. вековой
резонанс, критический угол
резонанса средних движений, см.
резонанс средних движений,
критический угол
— модуль, 53
— мультиплет, см. мультиплет
— нормальная форма, 49-53, 63-64, 79
— область, 75, 81, 87, 131-132, 136, 221,
236
— одиночный резонанс, 79-98, 119, 131,
134
— определение, 41^2
— остров, см. остров
— паутина, см. Арнольд, паутина
— перекрытие, 120-123, 126, 134,
136-140, 160-161, см. также
резонанс средних движений,
перекрытие, см. также мультиплет,
см. также резонанс средних
движений, перекрытие
— переменные «действие-угол», см.
переменные «действие-угол»,
резонансные
— порядок, 42
— сепаратриса, см. сепаратриса
— тор, см. тор, резонансный
Резонанс средних движений, 60, 62,
215-253,283-331,333-364
— 1-го порядка по эксцентриситету,
219-223,314-328
— 1/1,229-232,241-242,328-331
— 1/2 с Нептуном, 326-328
— 2-го порядка по эксцентриситету,
223-226, 307г314
— 2/1 с Юпитером, 314-320
— 2/3 с Нептуном, 323-326
— 3-го порядка по эксцентриситету, 226
— 3/1 с Юпитером, 307-314
— 3/2 с Юпитером, 320-323
— 4-го порядка по эксцентриситету, 226
— внешний, 219
— внутренний, 219
— критический угол, 217
— модуляция, 248-253, 299, 308, 340
— мультиплет, см. мультиплет
— нормальная форма, 215, 286
— перекрытие, 232-243
— порядок по эксцентриситету, 217
— с Марсом, 336-340, 345-347
Ряд Ли, 29, 44^7
Ряд Тейлора, 29
Ряд Фурье, 47
Сатурн, 280-282
Семейство астероидов, 191-193, 198,
252-253, 320
Сепаратриса, 81, 86, 121
— расщепление, 90-98, 131
Сечение Пуанкаре, 74-75, 88, 99, 241,
247,268,291,302
Скобка Пуассона, 25, 49, 55, 95, 96, 146,
257
Собственная частота, 146, 188
— линейная, 170
Собственные переменные, 188
— линейные, 170

412
Алфавитный указатель
Собственные элементы, 184-193, 274,
344-345
— линейные, 170
Сохранение объема, 28
Спин-орбитальная динамика, 155-163
Спиральности угол, 115-116
Спутники
— Урана, 177
— Юпитера, 240
— проградные, 230
— ретроградные, 232
Среднее движение, 16
Средние элементы, 60, см. элементы
Делоне, средние
Средняя аномалия, 16
Средняя долгота, 18
Стандартное отображение, 75-77,
88-90, 121, 125-126,354
Степени свободы, 21
Теорема Колмогорова, 65
Теория возмущений, 43-54
Тесное сближение, 153, 176, 311, 313,
345, 349
— защита, 226-229, 320, 350
Тор, 41
— КАМ, 65-78, 104, ПО, 113, 118-120,
123, 134-135
золотой, 121
изолирующее свойство, 71-72
мера, 71
сдвиг, 70
сохранение, 69
суперэкспоненциальная
устойчивость, 134-135
экспоненциальная устойчивость, 73
— инвариантный, 41, 65, 66, 69-74
— комплексный, 47
— либрационный, 88
— резонансный, 88-90
Точка равновесия
— гиперболическая, см. точка
равновесия, неустойчивая
— неустойчивая, 81, 90
— устойчивая, 81
— эллиптическая, см. точка равновесия,
устойчивая
Точки Лагранжа, 229
Траектории
— типа «головастик», см. «головастик»,
траектории
— типа «подкова», см. «подкова»,
траектории
Трехтельный резонанс, 255-282
— (5-2-2), 266-271
— (6 1-3), 271-272
— в движении планет, 280-282
— внутри резонансов средних
движений, 304-306, 319, 323, 325
— мультиплет, см. мультиплет
— нормальная форма, 258, 265
Угол
— большого неравенства, см. большое
неравенство
— закручивания, см. закручивания угол
— резонансный, см. резонанс,
критический угол
— спиральности, см. спиральности угол
Узел, 17
— долгота, см. долгота узла
Узловое расстояние, 176
Уравнение
— Кеплера, см. Кеплера уравнение
— Фоккера-Планка, см. уравнение
Фоккера - Планка
— гомологическое, см. гомологическое
уравнение
Уравнение Фоккера - Планка, 356
Уравнения Лагранжа, 20
Уран, 155, 162,280-282

Алфавитный указатель
413
Усреднение, см. также Биркгофа
нормальная форма, 57-63
Устойчивость практическая, 127, 128,
198,282
Фазовое пространство, 21
Функции Бесселя, 239, 262
Функция
— Бесселя, см. функции Бесселя
— Гамильтона, см. гамильтониан
— Дирака, см. дельта-функция Дирака
— возмущающая, см. возмущение
— производящая, 27
— эволюция во времени, 29
— эллиптическая, см. эллиптическая
функция
Хаос, 31,90-126, 133-134
— в движении малых тел, 232-253,
265-280, 289-291, 300-302, 306-331,
333-364
— в движении планет, 149-163, 280-282
Хаотическая диффузия, см. диффузия
Хаотическая область, 77, 90, 93
Хилла радиус, 230
Циркуляция, 81
Частота, 40
— диофантова, 48, 66, 69
— нерезонансная, 41
— полностью резонансная, 41
— собственная, см. собственная частота
Частотный анализ, 109-115
Чириков
— диффузия, 123, 134
Эксцентриситет, 15
Эксцентрическая аномалия, 16
Элементы Делоне
— полусредние, 216, 257
Элементы орбиты
— оскулирующие, см. оскулирующие
элементы
Эллиптическая функция, 85, 172
Эффект Ярковского, 313
Юпитер, 280-282

Полный ассортимент литературы издательств
«Институт компьютерных исследований»
и «Регулярная и хаотическая динамика»
по самым доступным ценам представлен
в отделах прямых продаж:
ΌφίΛΗίέϋΑ
Россия, Москва
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415 (м. Ленинский пр-т)
тел.:+7 (499) 135-54-37
e-mail: rhd-m@mail.ru
Россия, Ижевск
Удмуртский государственный университет
ул. Университетская, д. 1, корп. 4, оф. 201 а/207
тел./факс: +7 (3412) 50-02-95
e-mail: subscribe@rcd.ru
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• Отправка заказов осуществляется
почтой РФ из г. Ижевска
• Цены на сайте указаны
без учета стоимости доставки
Московский дом книги
Москва, ул. Новый Арбат, д. 8 (м. «Арбатская»)
Тел.:+7 (495) 789-35-91
Дом технической книги
Москва, Ленинский проспект, д. 40
(м. «Ленинский Проспект»)
Тел.:+7 (499) 137-60-19
Книжные киоски ООО «Аргумент»
Москва, Ленинский проспект, д. 65
(м. «Ленинский Проспект») Главное здание
РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина
ООО «Санкт-Петербургская книготорговая
компания»
Санкт-Петербург, ул. Капитана Воронина, д. 8
Тел.:+7 (812) 295-06-57
Книги можно приобрести также:
ООО «Киви»
Самара, ул. Ново-Садовая, д. 381,4-й этаж —
«ТЦ на Ново-Садовой»
Тольятти, ул. Дзержинского, 21, минус 1-й этаж,
секция 803а — «ТЦ Капитал»
ООО «Пермкнига»
Пермь, ул. Лодыгина, д. 6
Тел.: +7 (342) 242-84-90,242-72-74
ООО «Издательство «Инфра-Инженерия»
Вологда, ул. Машиностроительная, д. 19, оф. 238
Тел.:+7 (911)512^18-48
000«ВЕЛЕС»
Омск
тел.:+7 (3812)46-31-12,46-31-41
Алессандро Морбиделли
Современная небесная механика
Аспекты динамики Солнечной системы
Дизайнер А. А. Гурьянова
Технический редактор А. В. Бакиев
Компьютерный набор и верстка А. В. Моторин
Корректор Е. В. Огородникова
Подписано в печать 28.09.2014. Формат 60 χ 84 У16.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 25,П. Уч. изд. л. 26,87.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная № 1. Заказ № 14-68.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Кооперативная, д. 5.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс:+7(3412)50-02-95